Автор: Аксенова М.Д.   Володин В.А.  

Теги: издания для определенного назначения   математика   справочные издания по математике   энциклопедия для детей  

ISBN: 5-94623-072-7

Год: 2003

Похожие

Занимательная математика в рассказах для детей

Энциклопедия для детей. Том 17. Химия

Энциклопедия для детей. Том 17. Химия

Энциклопедия для детей. Том 12. Россия: физическая география

Текст
                    ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕ КТОР
Георrий Хромов
ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР
Мориом Аксен ова
ГЛАВНЫЙ ХУДОЖНИК
Е11ено Дукельскоя
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ И ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР ТОМА
Виктор Володин
НАУЧНЫЕ РЕДАКТОРЫ РАЗДЕЛОВ ТОМА
[Анатолий Савин~ Изабелла Башмакова, Владимир Болн1нский,
Николай Долбили11, Владимир Дубровский, Владимир Тихомиров


МАТЕМАТИКА


УДl< 087.5:51(031)
1ШК 22. lя2
э68
ISBN 5-94623-072-7 ('r. 11)
rSBN 5-94623-001-8
I СЕS -,-N-т-ЕR-N-л-т1-о-,-л-L_c_E_-.;т_R_E_o_F_E_Du_c_л_т_1o_N_л_L_s_v-sт-E-~,-s-11e-rs-1 ••~ :иr.,,
МЕЖnУ Н АРО!\Н ЫЙ UЕНТР ОБУЧЛЮШИХ СИСТЕМ 1 ЩОСI .~~f.~~:'"
CENTRE PHERNAТIONЛL OES SYSTEMCS D' LDUCATION 1CISf1 ••~::0'~3"
.
_1v_т_н_н_Nr1_т_1_o_v_л1_E_s_z_i:_N_r_н_t_.~1_F_u_R_л_u_~_в1_1_D_11_N_a_s5_Y_s_т_E.1_1E_11z_л_s1 .__•·_•u_.~_д_:'._"_,
~
О IESCO
МЕЖДУНАРОДНАЯ КА.ФЕдРА- СЕ"JЪ UNESCO/JCES
"TILY.HИЧRCKO.li' И ГТРОФl!СС:ИОНА/ТЬНО.Е 06РА30МНИЕ
и лодrо1 ·овт« I«ЛРОВ'·
Рекол~еидовшю Ali!Ж<h111ajюд11ы/vt це1тц1ш1 иб1·чшищ11х ~11~mt'..1t
(МЦОС) 11,1w.:11а)рю/юд1юй 1.;афейриi1 tt'fflЫ(J ЮНЕСКО/!IЩОС а ка11(!01·1ос·
. J' 'lt'mllNU IIOCUбUЛ
Сер ия «Эпц.uю&011едил dlUI дenU'l/л реКf.J.1t1е11доваиаДеппрта.меи-
1110.м обj?свпватш1ы·1ы.х 11рогрс.1.лt~r" стrшдt.1{!111(111 оfi1цего nfipr1,юr1a111rл .1111 -
нистерстеа пбра10пания. l'occulrc'!<:oi1. r/>f!6e;xщu11.
JI К'Oll'J91)C(' JIUЛ)'ЧU1J'Ю 1.7 -lli?:J' Юда Ш(')ЩJЩЮ,(;Л'IХ! om·,щ)11Netl/U! //fJaf{йia-f
нtЩ>а:)Jсдrто диrию.мо.;11 0111 :!':J.()3.99 .1t1.11учrиий 1-1.1дame.;1ы,"Kllll ,фое-J..'111
год(1 для детей и юно~иестtш.
Оргко..111и1rи:т Х1 i\1JQc-л:vвcl(Qf1 Ме Ji{·u1111ap()mюil 1>.·11и >и.11тi я/мтрл:11, l е
11ералы1ая дupe11.1{UJ1.межi>J11шр1х)пы,\1,1щж ''-7'·"' аып11аао11: 11я;.нщjхж11п­
грааили uздcrmc.nw:1;oe обr..ёд111п111/.U' //(Jafиfi,a, · 1)11ш1rнщ11 r11110.:.'.00.9R1.;с1л·
t10бед11 111 Ш1Я в 1111м1гНU1{ШI «Ca11iьth •.ttaccoвый иознавате..r~ы1ый 1tро ­
ект. 1998».
: ~а ptL'ljJafim пху нq) 1ч1щ~.иш11оr>11 чео·ой i\'OI ц(l:'l11 <''и 11:и11ж ·ш1шt уцl!бн111.."<:
,ШlJ'lliJ}Jlltl 'Шfl фJ'НOtlЩ11iJ/JtlЛЫltl}l Ji"IJOl/.1f/.I)/ Lli/)11)1 •• }нz/1/h.' 'lШIL'йШI rlФI rlt:mvй··
нt1 гра:ж:дена 1zpe..t1ueii ЛреJ 11 денп111 Рисси йf.:кой Фе<)еjJац~ш
в (.IOЛQC11lll обра_ювтт.11 .J(I 200 1 год.
Энциююпедия для детей. Т 11. М:rтсмат\'ОСJ / Гл:~в. peri..
~6Н М . Д Аксё~-юв~l ; м.сrод. и отв (X'.n;. В. А l3оn<щи11. - М.: А.ванта+,
2003. -
6НН с.: ил.
ISBN 5-Ч-·Н>25-07 2-7 (т 1 1)
{:,BN 5-9 1613 -001 -8
Н '1'с)ме • Ма 1емати:~\<1• t't:рин •<:)нц111u1опс:дшJ щ1я детей• t:OJ\<::pжa-rcя
сведения 1н.1 с;1м.ым раз ным раздс11ам соuреме111 юй м;11·ема1ню1 - как
ш<..'Тючё 1-1111.1м в Шl(()J1 ь11ую про1·рамму. так и 13ыхо11.ящ1~ !\t з:~ сё р:~мки. ~~то
и спраnоч 1юе ПО('СJбие JVl fl lLПЮЛЫ·I ИIЮВ, и популя1:тая KH llГ:I JVlfl ЧTCfl llfJ_
которую отт1чJют полн()та с<щсржаню1идскту1111 ост 1,11~i1южсн1н1 . Ав­
тnrы статей - RС/\)'lЦИс учёныс, СJnытн ыt: 1 ю11}·лир11 :1аторы и 11rх; 1 щд;1-
ватели. Я ркие и красочные: 1m11 юсrр:.1 11ии. схемы. rраф11ки пробуждают
ин·1уиц11ю и вообр:.tже 11 иt:. 1 1<.:стр:.~я мозаика щшмсроu, зад.1ч 11 формул
сю1ан ыв:.tется в единую к:1 рт111-1 у неликонеп11оi1 , с1тюй 1юй и 11еисчерпа­
е.•юй ll:l )'KИ Матем'!тшсн.
УДК 087.5:51(031)
ББК 22.1я2
~Нз;щ·1·СJ 1 1,с кий 11е1 п·р "А n.шта+" • 1111JJЯето1 11 р:1 nообл .щ.1 1слсм н:1 CТ()fl щl'­
го н11~.1111-1я Использом111 ·1с 11:щ:~11 ия 1111слом irn11 mof>nli его ч:1сти бс;1 r;1з­
ретпе111ш ~ и·щатсл1,скоrо нснтр;:~ ,.Ав:нпа +"• мсчёт 0·1·нетственнuсть
R С{)()ТJ3СТС1"С\Ш С ДС:ЙСТRУIОЩНМ '! ;il<OHO/\a' l'f'Лl>Пl\0~1.


К ЧИТАТЕЛЮ
Чтu даж1 матема·1·нка людям' Заче,"1 её н:ч.rчать?
Когда она родИJ 1 ась и что явизюсь пр11чи1ю 1:-r
t:ё 1ю1 1-1икновения? Д3лайтt; гюrоАuрим обо
11сём этом.
Часто можно пrючесть, что математит<:а 1юз­
пшшаnглубокойдревностииз практиче-
с к их потребностей людей. 110 поводу древ­
ности математ~шн 11иicru спорить нс будет, а вот
о том, что же 11обудило тод<:>й с:ю заниматься,
сущестRуt~т и друl'Ос мнение. Согласно ему, ма­
тематика , так жt как поэзия, живuш1сь , музык::~ ,
театр и вообще - 11скусство, б1,1 ла вызвана к
жизни д у х n в н ы м J1 потреfiностям11 чело­
пека. его, быть может 11е до конца осознанным
ещё, стремлением 1< познанию и красоте.
В 11с-гории науки пр1111ято наз ывать первым
математиком Фалеса - гречес1юго h'J'ПЦа , пу­
тешестве1шию.1 'И фшюсофа (он родился n VII в.
до 11. э.). Конечно. существуют более рашше
египетские н вавилонские псточrrики. содер ­
жаuще р<t::~нообразные <~рифметичс::скис и гео­
"1етрич ес кнс снеденю1. но в них 1-н:"1 · даже
намЕка на доказатсльстна. Ф:Jлtсу же прнписы­
АШОТ 11ервые матема1 · нч<.;с1:<11е т с о р е м ы.
Кстати, Фалес 1-1с б~.~л толысо ~ ч1.-tс1ъ1м ~ матема­
тиком, 011 реша11 ~1 прикладные эадачи. Изме­
рив тент, от е!'иnетской пирамид1)1 и тен 11 от
ш еста н нримснин свои теоремы о 1101~обиrr, он
ВЫЧ11СJIНЛ ИЫСU'lу 11ирамщ.1,ы . Так, по Л(Тен,щ.:.
родю1ась наша наука.
В 11режние времена , вnло1ъ до конца XlX сто­
летия, Ntатематнкой занималио. немногие. Сей ­
час ей IЮ('RЯЩаЮ'!'ЖИЗ!Тl1) \ССЯТl<J.1,;] IЮ:1М()Жl-Ю, 11
сот н и тысяч людей. Одних 1щол'нош~яст nрн ­
кладпой аспект математики, других - её пнуг­
решIЯЯ кра<:ота 11 гарМОilНЯ , а Тf)еТЬИХ nриnле ­
кает и то и другое.
Связь матРмПИКИ и кr<кnты nO-ttonnмy пrояв11л~сь в хх в"
щrдi! f\ыл11 открыть~ 11ес.Юычны~ м~ t\:MJ 1нческие обь~кты -
фрд ктал~,1 .
5


К читателю
Геометрия е<.ть поз нание всего суш1:~го.
Платон
Маrематика... выявляет порядок, симметрию и
011ре.t.еl\ённость, а это - важнейшl-'е виль~ r1рекрас­
ноrо.
Аристотель
В огромном саду 1 еометрии каждый 11айдет букет
себе по вкусу.
Лавил Гильберт
Математик, который не есть отчасти поэт, не будет
11икогла подль111ным математиком.
Карл Вейерштрасс
Числа 11е управляют миром , 110 показывают , как
управляется мир.
Иоганн Вольфганг Гете
Вдохновение нужнп в геометрии, как и в поэзии.
Алехсанлр Сергеевич Пушкин
•·Красотй? К;шая может быn, t<расота в м::пе­
мапшс? - недоумёшю с11рuс11т учс11111<, 11е пu­
люби1:1шш'1 сщ(.· ::~тuт прсдмL01·. - Искусстr.ю
-
совсем лру1ое дело!" И ,цейе1·ви·.1·сл~,но, нспом­
ннм шекслирояско1т> l'э млста, е1·п потрясен11е
и1·рой актёра, кuторый ~н А 1 .1мыпи~с 1 111оl1 (."r·рз­
ст 1 1 так rюf(пял 11'УХ свО1'1 ло стюе1'i мечты". l I всё
из -:'lа чет? Из-:1а Ге 1<убы! Что ему Гекуба. что
011 Гекубе, чтоб о ней рыл:пъ?». Мы не удивля­
емся, •по чслпnека заставляет nосхнщатися п
рыдатL волшебная с1rла 11с1<усства .
Но послу1 11аем рассказ Тtру1·ого чслоnе1<а, со­
време111 шка llleкc1rнpa . об 11стор 1 1н с1юс1·0 от­
крытия: «Восемь мссяцсJJ тому 11азад ПCJX:J(O
.\lной fiлt'снул псрныl1 луч <:1кvга, з;1 тр 1 1 месsщ:1
ующсл }1 /\C lll"11, 1l~llIOHCJ \. coиcc:vt IJl'/PUIIO я смог
увтщеть луче:iарт юе сот 11 \С". Я пох~1т11л золо-г1.1 е
сосу;1ы е 1 ·иптш 1, чтобы со:щать из 1111х хр<1м мо­
е.м:у божеству вщ1.rш от 11ределов Errinтa ... Жрс-
61111 брошен . Я нншу оюю к11111)·. Прочтёто1 ли
она мои,чи соnрсме1шикам1111лт1 по·1·омством -
мне всё р~1нно - опа п~1 йдt'·1· своего ч11татеJШ .
PaJl:JC Госпо;1ь 1)01· нс ждал 1 11 ссtъ тысяч лет со­
:J<:р1 щтеш1 С1:ю<:1·u ·1·1.юренюl? ~ . 1\то пишст это
восторжен ноl' 11ш·ж11111е' 11 с1·1·0 n po11 :io111лu?
П111uет нслию1l1 учё111>111, которFМ1 всю ж11·J111,
характери:ювал ссбн тш1ьк<1 одним слшюм -
,\1атем:1тнк: «Ma1l1ema1ikl1" Jol1a1111es Kcplc1- .;
-
«Ма темэ·1·r1к Иол11111 1<е11ж:р». :~rели11(е, пред­
ставшее перед ш1м, - пе те:пралытые пrщж1ст ­
кн, а сама Rселе1шая. храпящан м11ожес11ю тайн .
И однэ иэ них 11 результате тнта11нческ11х уси­
лиr1 Кеплера вдруг отr<рылэсь ему. Тс11срь 011а
изнестна всему культурному мнру как трсп1l1
:~:шо11 Ке11лсра· к11:щрат отношсш 1я 1rсрнодон
обраще11ия д11ух ш1:111ет ранен 1-.--у()у отношс НJ1я
; 1л 1 1н бш1 ы1111х пш 1 уоссл их орб1п. J\i!oж1ro с11ро­
<.:итп, 11торя Гамлету: «Ч то e. -. - ry ор61 пы . чтобы так
1111копа1ъ:.-·>. 011ie1 1 1аходим у 11ру1·01·0 вст 1ко1·0
мысJ 111т~щ Алuбt:рта Э1'111111тсй11а: «Ощущенне
тайны - наиболее прекрасное 11з доступных
н;:~м переж1 mа~п1i1. l"l мешю это чунстnо стоит у
колыбели 11с'Гпmюrо нскусстnа 11 настоящс~"1
11аую1». lle H<.:t'JЧ /l.атю 11с11ытать это счасrъе. э1·от
1юстоrr 3r11тtJ1я .\111роздаrrня а страсть тяорца,
но 11х 11 ро11схож;(сн1к· то Жl.', 11·1·0 у актёра ,
ры1 (а1ощс1'0 о Гt:кубt:: нспос1·1 LЖиJ\10е с1ю 1'1с1'тю
чсловска - с1 ремж:н~1с к 1ю;~11~111ию ~1 1юсх11ще-
11иl' 1·jpмo111 1eli.
Н() матсмат1 11<:1 - ::J'J'O не тnJ11>1<0 1:1дохнове-
1 11 rе т1юр 1 юв 11 nосх11ще11не тех. к·1·0 спщ·оfiс11
оце1111 ·1 ь1\,\ ДОСТНЖСШ1Н. F.:f 1 1cтopll)I \[;IПOЛtlella


.
'
"_
-
Cuop!!'Vll:' ft11 J s1 мJП' 'Уlапн.~ 1 фоrм~1ruвJл.1с ь 11p11'Yl('f)1tu ·IOU (1(•· 1
ТО\i У к.НdЛ в rm'Лd\ r.~.1<111ея, Кеплера , (Юйrен(",l, 1IЫ<П()К.3 ,
Л1:nб11<ш.1. мл оры(• с tр1!'1или сь попнчь J<1кu ны д~>1А<t:f1и1111С!бt.•от'
rел А в 1846 г уже 6ла rnдdрЯ мнем,т1кЕ' fiыла nткrыта nл.1нt>т~
Н~111у11 , КО!Ор ую tllclЧdЛd ~bl Чlit.,ИЛll. d fl()T O \i об 11 <1ру>КИЛl l ilcl Гll'fk•
и Т(рамат1rчсскими событнями. 1lередт<о псрnо ­
открыватсшr опереж;u1и сnоё время и нс встре­
чали rюнима11ш1 у совреме11н11кон. Так было с
открьп·исм в ХГХ 1:1. нсснклидо1юЛ 1·еомt:трии
-
од1111м из фун11.амснталы 1ых дос1нжег1и~l 11ауки,
которое стшю ос1 ю1юй 1v1я всей соврсмс1 n юй
физнки; вьщающ11йся русски11 уqё 1п)rй Николай
Иш111онич Лобачевский умер 11 е 11рнз 11а 1н1ым и
11еоценё111IЬL"1. Боязrн, быть пепо1шты:N1 остапо­
вила rтеро nсли1<ого Г:.~.усса, который 11е рискнул
прс/\ать глас~ юсти свои ш::следо.ва11ия; гепналъ ­
ный нен1·ерский м:~тс.\1 l1°1 ·ик Янош Больяй 1ш ­
ш 11 ; ю1 рассунка от тнжёлых пережннан11й.
ТL'псрь nрI1шло нремн сказать о том, что же
дзла матсма· г r1к:~ ч1::1Ю1iечеству . Мно1·и<:' круп ­
не1~пш 1 е учё11 ы е (сренн них Жо:~еф Фур1.t: 11
Лll[JH Пуан~<аре) видели с.:ё гщ1ш1ую 3адачу 11
С'()f1.Сйст1ши обыгспепию :1а1<01 Юli 11р 1 ~роды . Га ­
шrлсю при11адлежат замечателы 1ы е слоRа: "вс­
л11кая юш1·а 1 1рнроды наткана я:1ыком .\1ате­
~1атиюr». Uдох11оnс:ш-1ы ."1 сторо11ни1<ом этой
к01ще11ц11и н1tilяется оли11 нз I<руnнейшнх ма-
Нщ"ол.Jи Ие.~но~;и •1
Лnna• t(:IUf кии
К читателю
· 1·емз·1·111<01i соnреме1 нюсти - Вл:щпмир Игорс­
Rич Артюльд. Он даже как-то написал, что «,чз ­
тематика - часть физиюн.
С01~ремеппая м.~тсиатиl<а сформнровал:кь
прпмерно ·100 ле-1 тому наза;1 Rтру;\ах Г:.u1и11ся ,
Кеплера, Гюйгенса , Н1,ютuна, Jlсйб 11 и~1а , nд1 1нм
11з осно1111ых стимулов для которых было по­
стичь ЗаКОНl>I f\RllЖCHl lH П.:Л. В тrуд::tХ ЭТИХ
уч ёных '11~\Тем:пнка 11фи:зн~<:а ка1< бы сливалис1,
rюедт ю. Сою:1 математпкн и 11ау1< о природе
припёс самые яркие плоды в начале ХХ n. Тогда
родилнсь 1еория от11ос1rrелыюсrн п t<n~штовая
меха1 шка.
Математичсt:кие кор~-ш 01с:цнал ы-ю~'1 тео­
рии от110сительности вскрыл НЫ/\::ttuщийся
немецкий J\1 u·1·см;1 '111 к Гсрма11 Мш1ковскr·1i1 ,
уl'та1юнин11111й сё 1 ·лубоча 1!л 1 ую свя:~ь с гсо­
мстрис i1 Лобачепского. Это стало тр11умфО.\1\
матсмати1си: чисто теоре1 · 11ческне построеIJия
мзтематик;:~ 1 1е~: 1 ст111 1те11ы ю 01<а:'lалпсь язьп\ом,
на 1<отором написана юrига Природы. Имена
Гаусса. Gольяя r1 Лобаченского произносятся
тепер1, кан: нмена героев. Квантован мсх;11111ка
базировалась 11а родившемсs1 н начаJ1е ХХ 1~ .
фушщиоштьном ана1шзt:, что стало ещё 011.ной
победой ма ·1'ематическо1~1 на ую 1 . R н:1111с нремн
м:1тем •1т11 ка 11 тсоретнческ:l}I физ11ка в1юнь пt:­
режнн~1ют 11ermo)\ интенпrвно1·0 t:блнжtн11я.
О11на1<0 11р11ложе1 mн матем::1·1·111<1 1 11е- rнра 1 11-1 -
чиваются 11и1111) фн:ш1юй. С Л'VШ п" со премён
:?йлера п Лагранжа, мате\.1аn11\а служит ба:юй
л:ля тнтжсттсртrьrх паук. Все крупные тех1ш•1е­
скне ,rщстижешш - от строительства зданий 11
мостоu до расl\репощс11ия атомной энсрпш,
сверхзвуковой авнацин н косм 1 NССТ<их 1ю.11ё­
тов - были бы нснозможны бс:J м;:псмат11кн .
Гер\.\с1Н М1 IHM!6( ~111~ .
7


К читателю
8
.•.Внешний мир навязывает нам своими ре<1льными
фактами новые вопросы и открывает 11ам новые
области математического знания И в npouecce
включения этих 1ювых обласrей знания в uapcrвo
чистой мысли мы часто нахолим ответы на с.тарые
нере1J.Jt'нные проблемы и таким путем наилучшим
образом продвигаем вnер~лсrарыетеории . На этой
постоянно nовторяюwейся и сменяюшейся и гре
межлу мышt1ением и опытом, мне кажется, и осно­
ваны те много•1исленные и поражаюшие аналогии
и та кажушаяся nредусrановленная гармония. ко­
торые математик так часто обнаруживает в задс;~чах,
методах и понятиях различных областей зн ания .
Лавиd Гильберт
Стрм1~ша одного 1н nерв1.о1х учеб11иков по 1.1атема тике
Hd руге кпм яо~ык е - •Арифмеrи"и • /\ . Ф Маrн~шщrо 170 J r .
!1отре6 1 юс1ъ рсш::1ть эти rрандио:шые задачи
привела к созданию комш,ютерuв, и на наших
глазах лроисходит новш1 техническая н и1-1фор­
мацнон 1 1ая революция Наше нремя - t~ериод
11ени!{а11н() 1'0 расцве-1·а математики Достwже­
rтпя ХХ века 1ю меш, 111 ей ;\1ере спnост~н1имы с
результатами нсеr() преншествующеrо 11ернода
её раз1щтил - отФалесадо11::1чала хх: столетня.
А чнсло ещё не раскрытых тайн неисчерпаемо.
Людей, для котuрых знание матем;~тикн
явпяется прuфессиональ~ юй nотрсб11ос·1 ью, с
каждым годом С1jнОJштся нсё больше. Но нуж­
но ли )1'./ IЛЪ м:псм;~тнке всех? Сомне111rя в не­
обход11мостн 1 1 е тOJJ 1~кu ма1е м а1 1 1 ческого, 1 1и
И.. более ПJIJrOKO, 11ауч110ГО ОбраЗОНЭНИЯ UОО6-
Ще время от t1ремени к~.сска ~зыn~нотся н разно -
•.. Я преЖде всего хочу говорить об истине на.уч ­
ной; но вместе с тем я хочу говорить и об истине
моральной, no отношенVlю к которой то, 1.\10
зовётся сnравелливостью, есть только один из
видов ... я не могу отделять их, и те, которые любят
олну, не могут не любить другую. Лля того чтобы
найти од11у, так же как и лля того, чтобы найти
другую, нужно постаратьо1 полностью освоболить
душу от r1релубежления и присrрастия. нужно ло­
СТ\1\r11уть абсолютной истинности. Эти оба рода 1-1с­
ти~1ы, однажлы открытые, nриволят нас в олинако ­
вое восхишение; и та и другая, лишь только их
усмотре/\и, сиs:~ют одним и тем же светом, так что
нужно или вилеть их, или закрыть глаза. 1Нако1 reu,
обе они и привлек ают нас, и уско/\ьзают от на с;
они никогла не фиксирова11ы жестко : К<>rда кто­
~111будь подумает, •1то достиг ~1х, - сейчас же уви­
дит, что еше нужно илти, и тот, кто стремится по­
стичь их, осуЖАён никогда не знать п окоя.
Анри Пуанкаре
Математика играет весь.\i1а сушествен н ую роль в
формировании нашего духовного облика. Занятие
математикой - полобно мифотворчеству. литера­
туре или музыке - :по Од1-1а ю H.lt.tбoлce nрис.уwих
человеку областей его творческой деятел.ьности, в
которой проявляется его человеческая суw11ость,
стремление к интеллектуальной сфере жи":Jни, явля­
юшейся олн им из проявлений мировой гармо1111и.
Герман Вейль


об раз 11ых дис1сусонхх как в России. так и за её
rrреf(елами. При этом считаете}\. что обнзателп-
1-гым для всех должно быть 1 1ишь гуманитарное
образование. Один известный журналист, на­
прнмср, как-то сказал: «Каким только мусором
нс забивали нам 1 ·о;юf}у учителя! Что, какая
часть того, чем мучюш нас учнт<.:ля и мучают
теnер1, наших детей , с1·одилась нам в жизнн ,
для /~ела, Д.НЯ JIЮбви?". Нетру;~но ло1·ал:.11ъся, ЧТ()
11од ~м учи1тлямн ~ 0 11 подразумевVJ прежде
nсего учитепе~I математики .
Но нет отдельной rуманитар1юй ку11мур1.1 .
Есть общечеловеческая кулы·ура, и с,rща ли не
основ11ым звеном в ней являются достижен ия
пауки. II свозмож1 ю рассматриnать историю
человечества только как историю царей и пол­
ко ною tев, войн, рсволюцю1 и реформ , Ht' зuт­
раrивзя истории Культуры , нстuрнп Илей ,
высших взлётов Разума.
H:i вопрuс «ддя че1·0 11 зучают математику?•
замечателы ю от ветил ещё в хпr н. английский
философ и естествоиспытатель Роджер Бэкnн:
.-тот, кто не знает математики , не может ус~пать
никакой другой науки и 71аже не может обнару­
жип, с1юсго невежества».
Отметим и ещt: одну, особую роль мзтсма­
тики как дисцю ~; 1 ин ы, развивающей и 1rтсллск­
'1уал hн ые и творчесю.1е способности человека.
Лучшего средства дня цх совершенстнона н ия
пока не найдено.
к с1итателю
Математический язык удивитель но хоро шо приспо­
соблен АЛЯ формулировки ф изи ческих законов.
Это чудесный дар, который мы не п он имаем и ко­
торого не зас.'\уживаем. Нам остается ли шь благо­
дарить за него судьбу и надеяться, что и в своих
будуших исследованиях мы сможем по-прежнему
пользоваться им. Мы думаем, что сфера его при ­
менимости (хорошо это или плохо) будет неп рерыв­
но возрастать, при нося нам не только радость, 1 ю
и новые rолоrюлом ные проблемы .. .
. ..Вел и кий математи к rюлностью владеет всем арсе­
налом лоп устнмых приёмов мышления и, действуя
подчас весьма рискован но, балансирует на самой
грани допустимого. Уже одно то, с1то его безрас­
судсrво не завело его в пучину противореч ий, само
по себе чудо. Трудно поверить, что дарви новский
проuесс естесrвешюго отбора довел 1-1 аше мышле­
н и е до такой степен и совершенсrва , которой о но,
суля no всему, обладает .
Юджин Вигнер,
лауреат Нобелевско/1 премии по физике
Этот том <;ЭJIЦJ·1 клоnсдии для детей., призв:u 1
внести вас в таинственный и прекрасный мир
математики. Хотим 11ожелать нашим ч.итате­
;rям, чтобы они научились н е только нзвлекать
11()} 1ь:зу из заннти й математикой, но 11 носхн­
щаться сё красотой.


История математики
г---
СТАРИННЫЕ СИСТЕМЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ
12
Памят1, чеповечестна не сохранила. недо1 1есла
до ш~с ИJ\l(Я изобретателя 1<олеса или гончар­
ного крута. Это и нсуд11вителыто: более J О тыс.
лет прошло с тех пор. ю1к .rrтодн вссрьёз завя ­
JIИсь землелслием, скотоводством и производ ­
ством простейших товаров. Назвать же имя
1·енил, нпсрныс з~щавше1·об1 вопросом "скол~­
ко7 •>, тем более неnозможнu.
В каменном веке, коrда люди собнра11и
плоды' ЛОНI IJJИ рыбу и охотились [ 1а жи ВО'П lblX,
потреб~ юсть в счёте 1ю~i1 нrкла так же естествен ­
но, ю1к н потребность в добьrnаrши оr11я. Об
этом свилстельствуют находки археологов на
стояrшах первобытных людей. 1-Jапример, n
19:)7 r. в Вестонице (Моравия) на У~есте одной
нз т:н<Их стоянок ш1 йден<1. волчы1 кость с 55
глубокими зарубками . Позже в других мсст~L'I.
учёные 11ахо11.илн стоJlь же древние к:~ме1-111ые
1 1 редметы сточками и чёрточками~ с 1 ·рупплро­
ванr1ымп по три 1 ~ли по 1rя·1ъ. Т<tкая система
записи чнсе.11 называете>~ еди1-tuчиой, та 1< как
любое чнсло в 1rеИ образуется путём повторе­
' 1ия одного з1 1 ака, симнолизирующего е;"(ини­
цу. Груш 1 ировкн и вспомогательные зна,1ки
нспользуrо·тся лишь для облеrче 1 1ия восприя­
тия больших чисС'л.
Едиюrч.ная система с ч исления пср1юбыт­
l1ЫХ лю11,ей, рнсоватuнх палочки на стсн;1х
neщcpht нли дела1:нш1х зарубкн н::~ костях жн-
1ют11ых н нстк<lх деревьев, rrc :забыта и в наш.и
/\Н.И. К::~ к узнать, на каком курсе учнтсн курсант
военнш ·о училища? Сосч11тайте, сколько по ­
лосок 11аш1 1то на рукаве ero му 1 тл.ира. О l{ОЛИ­
честве самопётоu протrшника, сбитых асом n
во:1дуuшых боях, говорит число звё:щочек, па­
рнсованных на фюзеляже его самолёта.
llоmтучпо сч11тать предметы удобно то1да,
ко 1 ·ла их не очень м1101·0. Псресчитынать же
такнм образом бoJJьULиe соно/\упности с~<учно
и утомнп:J1ьнu, Lюэтому 1ю:~никла иде}I объ­
t;-1,иня1ъ <::диницы н группы. Появился счёт пя­
тёрками, дес}lтками, двадщ.1тками - по коли­
чесrву nальцеu рук н но1· ~cчei·ofIOJ(:H.
ИЕРОГЛИФИ Ч ЕСКАЯ СИСТЕМА
ЛРЕВНИХ ЕГИПТЯН
Около .3 - 2,5 тыс. лет до 1ю1юi1 эры ;~ревн11с
е1·и11тяне 11р11думали свою числону10 систсму. В
ней ключевые числа: 1, 10, 100 и т. д. - 11зобра­
жалис1, спе1~иальными :1нач 1<а ми - 11ерогm·1-
ф:н.ш. Еги11тяне nысеюшн их щ1 сте1 tах но1ре­
балы 1ых ~<амер, m1 салнтросrнико13ым пером 1 1 а
с 1ш·1·ках 1raшrpyca.
Д;ш затки чнсел онн утютребюти следую­
щ:ие иероrл 11ф 1,1 :
rr1~11)._
\!' :О
1()
Вес остальные числ:.~ состанлял 11 с ь и з этнх ю1ю­
чсuых при помrнц11 опеrщш1 сложе1шя. IIа­
пrнмер, :запис1 .
расшифровьшалась так: две тыся'-IН. трн сотни,
два деснтка 11 L11 ссть единит~.
l.3елищ1н<~ числа, занис;ш1-ю.1·0ни<:'рогт1ф11-
ческой системе . нс :зависит от ·1·01·0, fl каком
норя/11<е расrтоложены состан;тнющне с1·п :1на­
ю1. Д~1же если зап 11сать их с11р:.1к<1 11алс110, один
под друпrм ю11 1 вперемешку - число от этоr 'u
не н:..-1 ."1ен11тся.
В рез~·льi"ате упро 1 цешнr и стнлизаций от
пероrлифов поз)l.нее щювэошт1 условные зна­
ки, облегчающие письмо от рука. Они легли 13
ocrroвy так пазьmаемш·о 11ератичс<.:кого письма
(от греч. « ИСратш<ОС? - •·сnяще11ны1·н). Эту с 1 1-
стему :..-iaпиCJI ч11сел моЖJ-ю uбt 1ар)')1шть в более
по3дн. 1tх с1 ·1шетскнх п~1 пнрусах.
Уцслелн два м:1тсматнческих папируса, 11ас­
крывающис тайну древю..:египстского счёта.
Один И3 11их 11азва11 <- Г1а11 1,1русом Pai1t1/1,a~, 11py-
rm"i - ~москопским» (1 ю,1tpon1 ice ()6 этим 1 ·t>1ю ­
ри.·1·ся н ста·1ъе ~древшui Ег~mе'Т'»).


РИ МСКИЕ UИФРЫ
Среди м н ожества нероrлиф11чесю 1х систем
сч11с11е 1 пш, которые сущестrюnали n раз11ыс
време 1 1а у разных пародов, только одна 1rсполь­
зуется до пrх nor. Её цифры знакомы всем,
хотя им уже окОJю :г. '5 тысячедетий. Эти цифры
всrреч:~ются ш1 циферблатах часов, фронтонах
е1·ари1:1ных 11 современных зданий, Ш!NtяТ-
Старинные системы записи чисел
~
EU.l(!J
н 11 ках, е1гани1цх книг. Ну IOJllCYHO же, rсч1.
идёт о р1 IMCKOIJ CI ICl'CMC C'-lHCJleпviя.
Нелr.зя ска:3ать, ч~ ·о лремя совсем не косну­
лось of1111-11<a римских цифр. Еслн б ы жлтель
Древнс::го Рима захотел прочитать число, обо­
значающее дату открытия ста1щ 1 щ метро «Рим­
с 1<ан·> н Москве, то 011 оказался 6hl n нснмонср­
ном затруднении. Причина R том, Ч'IО тол1,ко
зн аки l, У , Х с течением нрсмепи не претерпе­
ли какнх-либо изменений . Друп 1 е же цr1фры в
дрt 1 11 юсти 1 1:юбраж;u111с1, н1 ia че.
Учёныс 11 rедnола1·ают, что пер1ю 11 ачwыю
иерог11иф для числа 1()() имел н1 1л пучка из
трёх чёрточек наnо!(обие русской б),СВЫ Ж а
для числа 50 - шщ верхней ПОЛО!ШIIЮI ЭТОЙ
буквы: '\V. 13 далыrсйшем nослсд11 ю'1 11ерогm1ф
nостепеш ю трапсформировался n з1 rак L: '\V -7
-4 \J.J -7
.. .L
--) L. А <щсло 100 ст:.1щ1 060::1нач.1·1ъ
буююй С (от начальн ой букны шLтинскu1·u
оюн;1 сепtшn - <.с_~го" ).
Симиол ы μ,;ш ч1ке1 1 500 1·1 1OOU тdкжс про­
шт 1;v1и · 1 ·сJ1 ьнvю энолюц11ю. В 1 1ачаж: для ч 1 ru1<1
1ООО 11рименя~п 1сь значю 1 Ф, <О, 0), -h . На1rр11мср ,
1 1 а титулuном листе ю-1ип1«Рассужде1 1 11е оме­
ТО!\С» нзвестrrого фра11цузскоrо математика и
философа Рене ДСJ\арта , издаи ной в 16.17 r"
указана дата ФРсхххv 1 1. il этой загшси наряду с
уже известными п:.tм цифрам 11 l, V, Х. С исподь­
зонаны старинные римскне иероглифы. Ф =
= l ООО, Р = 500. 1IришсдJНнt'1 1 м на сме н у ::111ак~1
М и О нро11:ю 1 шш uт нач:шьньrл. букн л::~т1 1н­
скнх слон 111i1Je - .;·1·ыся •1:н и der1нmille
-
<-ПО­
лон 1 11-1:~ ты сячи~, <· ПЯ"I ьсот».
Древниt: римюr 1 1 t: ,\1or·m1 ныр:1:~1пъ од11 1 1м
знаком 11 ч11сла болыJJе тыотчи. Та!\, ллл числа
1О ООО omf приме11ящ1 :тачок r.4-\ а для ч11сла
l 00 0()0 - rll~ . Крайrше дужки в последнем
иеро1·лнфе со nремснем сомкнулись в «арку»
@, с..-1·аншую прообразом спсци;и1ьной рамоч­
ки: П. Цифра, 1 юмсщёш 1 :ш 1:1 такую рамuчку,
ум 1 южаласh 11:1 НЮ UUO. Заш1съ 1Х1, т;~ю1м обра­
:юм, пpt'/J.C'I :1нлнла число 1 ООО ООО.
В СрL'д11ис века эта тр:щиция лолучил;з свое­
образное продолже11 11с Для то1·0 чтобы указат1"
что чJ 1 сло следует ум11ожа1ъ 11а 1ООО, сверл}' над
11 им сганш111 чёрточку. На 1 1р11 мер, за111к 1, iVv1
обозначала число 4 1()()() + 6 = 4006.
К;щ ЧJ1r.~ть римские ц11фры? О111ю из правил
записи римских чисел гласит: «Если боль­
шая цифра стоит перед ;\1С r rьшсй. то ош 1 скла­
дьш~1ются, CCJI H Жt MCl!Ь Ш :UI C'J 'OllT перед бOJlh­
шtй (в этом случае ме1.-1ьшан ц11фра нс мuжет
[_)


l.;.f
История м.:11 сматики
IJOl:!'l'()J1ЯTl;(.'fl), Т() MC.:lfbltlaн 13ЫЧI!Тается И:'! 60111,-
WC.:lt» кпrнмсру,Vll= '> +l+1=7;lX=1о -1=
= t) 1lот.;,~у н сь э·111м нранююм. можно рассч11 -
1 ·а 1ъ. н 1.:1 ком 1оду u·1·щ)ыщ1с1> ст,шция метр о
"r 11жl\a)! ·.>' МСМХ С\1 = 1()()\) + ( 1()()() - 100) +
+(1()()- 1о)+') =199'>.
R 11:111111 11 1111 любую 1 1::1 рr1м сю 1л цифр 3<tнрt:­
щаетсн 1:1111 1 lъ1 н:пъ в 0;11юм ч11сле бо.:~ес.: трс:.'х
р.1 з ПOi\f)HJ!. R с11я.i11 с э 111 м выраженш1 \.' Ll l l,
ХХХХ 11 ·1 п сч 11 тзютсн некорре1<111Ы .\.1J1 Одна­
ко дрс11111 н: р11мляr rc о nодоб1 юм оrран 1 1 че-111 11 1
н11чс.:1'0 11с nc;1a. 111 11 чпс;ю 199'5 скорее всего
:за11 1 ка.t111 бы так .\Ш CCCCLX..XXXV.
l 'uлпкu что .\IЫ столю 1у:шс ь с любоnыт11ь1:11
фl·но,н:11оч 11 •·общl·ствс» рнмсюrх чпссл. раз-
рс.· 11111н цифрач 1шр111 1 чикам прн ~сборке-• нu-
1.l hLЛ ч11 сl"1 нс тол 1.ко складыnатъс1L, 110 11 выч 1 1 -
та·1 hCH, мы 'l'C .:\\ С:!МЫ~\ Jl lllШ L'lli р11мсы1е ЧJIСЛЭ
<>ННО/'() l l:i 11ажн1,1'\ \\,l'l'C\1,ITl l'I CCКIIX СВО J)СТН -
е, 11 1 11<.-11 1с.· 11н ос.-111 1 1рс.:1(сгзнлс1111я Что теперь ~tе­
шает, 11 з1 1р11,1 ср. ~:11 11 кt1т 1, да·1у отк рытня <.-га11 -
1~1-rи м с-1 ро • Р11чска.и» как /'V1Y~1, 11т1 как \11)\'[),
111111 ещЕ11сr 1юлы.;11м 1 r ,"(ру 1'11\111 спосо6а~111 ;.
Ес111 1 11ро<1н;1л 11 з 11ровз т1, м1южество ст:~­
ршшых 1t CO ll\)tMC I П llo!X 11адп11се(t \)ll\\CKl\~111
1~'1фраr.ш, 1о можt ю v6сд1111,ся, что авторы, cт::i­
p:t't'<.:JI 1 . 1 10СК(),\1П()!101141 КШI I C этн цнфры в ЧI кла.
11р11 ; ~с рж1 1наm кh к:1ю 1 х-то т 1 егт1 спых ттр;~т1л .
Н о с.:д 111 lhl X 11 1 1t"J'1<11x 11р11нц11п ов :;1;im1c11 р11м ­
сю1х ЧJtl't:J 1 ; ~о с 11х 1юr т:ж 11 нt.: выработаrю.
Су щес·1· 11у11 >· 1 1111111 п 1111 тсрссныt 11ре;(1южен11я
Тш<, сопрсмс-11 111.111 :1~1 cpr11<a11 cк 11 r'1 учё ный Ст 11 -
nе11 Шн а р11ма11 11рсJ ~Л~11·ает Междуна rо;\ 11ыl1
ста 1 щарт р11м(ю1х ч11сел (ISRN - T111em:.1Lioпal
Stan<.tart J{o 111an NL1111 c r 41ls), в ocrro ne 1.;оторо 1 ·u
ДUJIЖC.: 11 ЛСЖ:.11Ъ СIЮД H~J спец11альпо ПO,'l,Oopa11 -
l lhlX 11\1 IJJ<:CTll ПpJ11ТIJI
l:.tlll l в 1.1 ;>..OTllТ{.' :J< lfllll'ЫH.l 'l'b р11мсю1е 'ШCJia
··~·К, Ч 'I о()ы он 11 1ю:ш< к 1hIO COUTl.!CTCTIIOB:.tЛ ll
11ока с.:щс.: н с.: )~1·нс.:рждt 1 11ю~1 у мсжду11аrод1юму
CT:ll 1/~.1р1~, '1'0 11 '- ) ·10\1 l l0\10ЖC' I llpl IВCДCllJl:IЯ
:~,1~с1, ~;1бт 111:1.
Ol>U~l l.\Ч.Ш IНЕ ЧПСЕЛ
Pl LЧСЮ 1~11 1 Цl IФРЛ:'- IИ
1 •д111uщы / ~С'СЯ'I IOI
1
1
1() х
211
2() 'СХ
,) 111
ю ххх
4IV
1()
XI.
')\
')() L
() YI
()() 1.Х
7 \111
70 LXX
н \.'111 fIO r.xx:x
9lX
~ю хе
COTlll f
Тысяч1 1
100с1000м
2()() се 2()()() 1Y\ l\I
500 ссс ~()()() ммм
!()() СО
' )(j() L)
()()() Т1С
7UO JJCC
R<IO ПС:СС
1)()() см 1
()на 11() i!IOJIЖ"I u6o:m;IЧll'I h 1 юбuс Ч11С!IО от 1
/\О ~<)<)() С11ач.1. 1:1 .1.1111111111 ic ч 11 ию ка к uб1>1 'НЮ.
в ;:t~OllllЧI IOJ I C lll ll'\ll' . ~а1 с:ч
:~:1я 1~11фр l 10-
HЩll.X н paJpя, t.1\: 1ЫL>IЧ, lO'lt"ll. 1 !С'lЯТКОН IJ l":t11-
llJIЦ, по таолr щt· 11щ1'1с:рптс соо 1 нетсгнующу10
кодоn)1О 1р\•1111у. Н.1пр1шеr>. вот 1.;:щ fiy:te-1 вы-
1шщt1'1, ч11с:ю ~i)t)<) 1'1J\l.\KMXC:lX.


О ЧЁМ МОГУТ РАССКАЗАТЬ
ЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ
Числительные - слова, обозначаюшис количествu
или порядок предметов при счете, - появились в
те 11е за памяп1ы е времена, когда числам на•1али
давать назв ани я. Прислушайтесь к числительным
русского языка - они могут расска1а1 ь о себе мно­
го интересного .
По-вилимuму, число 4 когда -то игра ло осuбую
роль . Спе1Jиалисты полdГают, что в глубокой лрРвно­
сти 01 ю служило своеобразн ым рубежом, отделяюшим
числа, у которых уже имелись собствен~1ые на"Jв<111ия
(олин, лва, три, четыре), от безликого и безымя~нюго
м1южества чисел, скрывавш11хся пол понятием «м~ю-
lic1111 же гrонадоб11·1-01 :1:mисатr. число в ript: -
/\t:лax MИЛJll!O l l<I, '1'0 ДJ I Я R l .ЩСЛСНИЯ ЗН<JК()ВОЙ
rруппы тыснч можно иоспольаовап.ся 1 1ад­
счюч1ю й чёрточкой или же пометит~, группу
тысяч маленькой подстрочной буквоИ т , rra -
11pн:viep, 273 847 = CCLXXlll1111JCCCXl.VL1 (наrю­
мним, что т - нерван буква л:п ш 1ско1·0 CJIORa
11ullt: - <- тыаrча" ). Так тuжt: nрш-1ято былu запи­
сыва 1ь римские:: числа fl сгарш-rу.
ЛРУГИЕ ИЕРОГЛИФИЧЕС КИЕ
СИСТЕМЫ
Кроме спrпстскоii и rшмс1сой к пероглифиче:­
скпм системам чисел опюсятся фш шкийская,
nальм11рс 1<ая, критская, сиршlск:u~, 1 ·рсчесю1я
:tтпIЧсская, шш Герuц и а н uна (нме1111( 1 нз сооб­
щешш J'P:.!MM;l'1 '11Ka l"<::rюд11ан;J, ЖllIOllC l'O IIO Ll -
ПL .в1:1.• залаююt:нро11еt1скнс ш:тuр11ки к1н~рныс
узнаш 1 о её сущестиок;u;ии). Известны также
с·1 арnк~па liская , rт:1 ро111 щ11 ЙС'I<ая, ~щтекска>J
r1срuглифиче:с1<11е с~1с 1 е,"1ы. В них, как и в е1 н -
Старинныi:' <ист~мы {,·1 ПИ( 11 ч1кt>л
ГО•. Вероятно, у наших дам•ких предков «мно1 о» обо­
знач ало любое кпличество больше чет1>1рёх. Посмот­
рите, какие окончания у сущеспsительных в сочета ­
нии с лрев11сйшими чиt.лительными: две коровы, три
коровы, четыр!:' кopntJы . Но уже начиная с пяти и далее
сушествителы1ы е меняют окончания: пять коров,
шесть коров.
Особняком в ряду числит/i'лhных rго ит и «сорок » .
Оно явнп не похоже на слова, обозначаюшие назва­
ния десятков: «двалuать•, "тридuать•, " пятьдесят•. По
всей ВИдИl\1\ОСПI, слово !<СО РОК» дошло ло l ldC как ПJ­
MflТb о бытовавшей в стар ину системе счисления с
ос1 юв;шиС'м 40. Теперь о ней 11апоми11ает лишь рус­
ское устаревшее числи тельн ое «сорок сороков•: со­
рок сороков uерквей, с,орок со1.юков Вt"яких небылиu...
11етс1юй 11 p11мCI<(Jf1 снстем:1х, 111ю1~ятся ключе ­
вые числа, для обозначеr~ия 1юторых прпме­
rтяrотся спецшты1ыс исро 1 ·л11фы. llce О<.J.аль­
ные числа обра:~уются приттисыnа1шем с той
ИЛ ! ! ннuй ("f'O/)Uflbl КЛIОЧС.ЕЮl'О ЧIKJ!:I друп1х
ю 1 ючсв1.1х ч1 1с1:11 , нозможнu t' нскотuрым11 по­
вторе111tям11
Jlюnопытнu ОТМСТJПЪ, что у MIЮГIIX наро­
доnдпя C)003 1IaЧt:IJllЯ ЧllCJ1:1 1 Пр 1 1J\1СНЯЛСЯ OДIIH
11тот же с11м1юл - вертикальн:нr чёрточка. Это
ClMOt /~ре 1111 ее '"1И('JIO в 11CJ пр11 1 1 ЧCJIO llC'ЧCC'l li::I.
()1ю 1юз1 11 1юю 1 1 з простоl1 ч ср'11,1 11а земле, 11з
~1арубю1 на дереве илн тюс'п1.
АЛФАВИТНЫЕ СИСТЕМ Ы
1l арщ~у с 1н:ро1 J 111tj:шчсскнм11 н ;~рt:ш юст1 1 ш1 1 -
роко пр11мс11ял1къ <:11сн:мh1, 1:1 юнорых ч11 01 а
н:юGражаткъ бую1ам11 :1лф;ншт~1 . Имt:111 ю т;1-
кой быпа 1 · речес1<ая алф~1ннтна11 нум~рац1 1 я,
nrтучттmая название 1юн11чсской Ола смt:­
шша аттическую систему в IП в. ~о 11 э. в~1есте
1')


1(1
Ис-rори~ матеман1ки
с хрие1·1 r<i нст1юм 1·1 т 1 с1,меrнюстыо эта нуме­
рацю1 пришла к славюrам - сначала к южным,
а потом и 1( rЮСТ()ЧНЫМ .
Ниже 1 1рт.ше!(ены изображения 27 бую~ сла­
uю1скоrо алфавита с их число~ыми зн3чения­
ми. ,Dщ1 обозначення чисел н~щ буквами сверху
стаRr 1лся специаль11ый значок ...
-
титло. (Сам
алф~1вJ1т здесь лредставлеп нс 1ют-юстью, 1 1 а­
пример, отсутстuуют буква Б - «бую1" 11 неко ­
торые другие .)
Едиrrицы
Десятки
Сот1 rи
...
r
~
1G\
10[
!00 р
"
...
f,
2G
20к
200
3f
.)О
..
л
.)00 f
д
•'
"
4
40 Л\.
400 у
в
.-
5
50н
500 ф
..
~
6$
60а
600 х
7j
70"
70() w
о
вй
80 ri
800 w
9 .$.
90
...
900 ft
ч
С помощыо этой таблицы можно ле1·ко за­
mкатьлюбuс Цt'JIOe число 0·1· 1до999 включи­
тслыю , например:
н~ Ы'rИ а
'5 '5
.288
уЧй
49R
Числа 100(), 200() и т. д. наши пре,~ки заnи­
сынали теми же буквами, что 1, 2, "" но слена
1шизу с1·авнл11 опознавательный з11<.ш тысяч:
). = 1ООО, "G == 2000, ". ·j'- =9000.
ДесятJ<И тысяч т;u(ЖС отмеч:~т1сь первыми бук­
вами алфав11та, но уже без т11тл:.1, 11 букnы обtю­
диJшсь кружком:
@=1О00(),@ =20ООО,." @ =9()ООО.
Сотни 1ысяч кюбражались 1 юхо.жим обр~1 зо1v1,
но кружок сюrадыва1 1 и из точек
А= lUOООО, 6 =200ООО,." .О· =900ООО
Наконец, ,"1ишп1uны отмеч.а.J шс 1~ кр}?Кочком ~1э
чср п JЧt:h.
{А}= 10()0()00,{с) =2 ООО ООО, ."
''•""
f /11
{~;~ = С) ()()() ()()(),
Чнсл:-1, которые обuзн;.rч~111сh букnамл в кру­
жочках, точках н чёрточках, 11мст1 <.'11<.:циат.-
111,1~ 11<431\:.tl H·LЯ:
@ - ~тьм~1,>, А
-
«ЛС 1'нО11о); (i•.'J - «JТеодр"
~"...
Кзк бvдст Вh11·лн;~ст1, 'П 1 сло 4 210 ООО n ста­
рославя~ско1"1 нумсрац~ ш? Поскольку 4 l О" =
,,",,,
~
,.\
®
""~.А},2· 1О = Е,1 1О = А.следовательно,
421оouo- это~I!.в@.
'• •·'
Олнсаrшая выше нумсрацин rюлучюш на-
зnан11е 'малое 'ШСЛО?. В 1н~й uтчётливu 11росту·
11аю·1· зачатки lЮЗШ ~HOHL-Юi"L С И СТt'МЫ , посколь­
ку ДШI ОбО::!ЮIЧСН l lЯ еДИНIЩ f1aЗllЬIX [)<!Зр}:[ДОА
приме.1:1нютс51 одни и те же сим1юJ1 ы.
13 одной 1rз сла вянских ру1<011Т1Сетl XYlI в.
упоминается и другая с11с1 ем2 - «болъшое
ЧИСЛО». илн «IJeJHIKOe ЧИСЛО» . Наэваrшя боль ­
ш их ч rкt:..rr 11 ней строятся на основе любоnыт·
I IOI'() nриёма - «ВОЗЬМИ С'ГОJ!ЬКО по СТОЛЬКО».
весь м а uерояпю ::шrмспюн.:1111юrо у Архимеда
Первоначально число l O'' объявлsк~тся тмюli .
затем ·1 ьма тем, т. е. J U 1 ~, пшNчает наз13а1111е ле­
г1ю11: лепюп пегионов, ·г. е. ·1OJ4, получает н:.~-
®
-''i -
...
~
l\
"l\ -
-
-
.
.
...
~
", .,,"
Т1,м.1
Ле{'ио11
Ле"дf1
nщхш
Ко:ю11а
10"
101~
10~1
j()IH
J о4')


-
'Т
з\
'
'
""
<1щ ЕЖf сч11т11t1 с"' доrтJ ·гыс...члн 11 ~;ош7'
npon.&~· ~CIHl)\J: 'l;lr.r~ ЦЫФ~j"l1\\ll •
"
..........
'
&TOf/,111 _?Gf4 'IHf~"Л •
~
•1
10
100
100-О
10.РОО
100000
JOCOOOO
JOOQQ!)OO
toaaooooo
) OQ0.,00-0 .000
!
... .
"~ C'l'O Tl,;CA\Lll?: •
J.
,
,
"•I TLl<A\ЧJW ·n .1CA .ljlrn
~ ·n,;r...цn; т1.:САЦl!Н
" '• ("fO т1,;c-o.t1r1. rbl<R>ЦJfll•
kJ
t
,
'
тъ~r....цю. 1~. 1с.щ~ т~t
C"'lf.101 • н,111 ТЛ\1/ •
тprri11 ~"fAJ" ·
'
'Х,
\"''
'
?С
К\\1\Жl\!,1 '1\IC .rь ксr... €VfWt\!.t fU.\\CKH •
Infl(rvуVI\'IIvшJXх
"&lд€s3 11.о.1
А+
Х{
,J)
Сrр<1 1-11ш.1
1н pyccкuru
уч1:'!1ника
.1рифмf'1ики
1699 r
знанислепдр; а лсuдр J1eo;~po1:J, т. е. 1 0·1н, имену­
t"Тся вup01-tu.м. Вороны обозначались букваJ"ш.
обрамлён 1 тыми кружочком 11з крестиков: 1:~:·.
Следующий рубеж, 1() 1
'
1
• назып:шся 11;щюдий .
На ней ~сrютыкаJ111сь», и счёт окончательно пре­
рывался ~ ~...и более cero несrь '-lеловеческому
уму разумевати». Колода обозначалась так: Д.
Похожие снстеJ.11ы счислснщ1, в которых
букnы алфавита по совместительству юодра ­
батьшашr» цифрами , использок:шись в <..~1·ари ­
ну у :~рабов, еврее.в, гrуэин, армян .
С'..лавянская нумерация просущестковала /\0
конца XVll столеп~я. rюка :вм<.:сте с реформа­
i\Н1 Петра Т в Россию из Европы нt пришла по ­
з и1 ~ионная лесятичная система счислсJ-1ин, ко­
торой мы поm,зуемся и сейчас.
ШЕСТИЛЕСЯТЕРИЧНАЯ
(ВАВИЛОНСКАЯ) СИСТЕМА
Записи чисел в алфавитной нумс:рацни полу­
ч:\ются более короткими, чем в иероглифиче­
ской . Но и у той и у другой сист·tмы представ­
леr tия чисе.~1 есrь один весьма сущесгве111 1 ый
неrюс-1·ато1<: арифмtтические дейстL1ия над та ­
кими ч11с!lами - занятие кесьма трудоёмкое.
Этого неудобства нет у no3uцuo1mыx систем.
Старинные системы записи чисел
Идея nрипи:сьrnать цифрам разные вСJшч1111ы в
~ависи:мости от того, какую поз1щию они за­
нимают к ~аписи ч11сла . впервые поя.вилась в
Ш ты ся челетии ;ю 11. э н Месопотамни (Между­
речье) у дрснне 1 ·0 талантли1юго наро~~1 - шуме­
ров. От 1 1их она 11ерешла к наr~илонянам - 110-
вым хозяенам Мсж;..1,уречья, rючсму и 1юu 1 ла в
ИСТ(}f)ИЮ как навилонска)f система счисления .
До t1зс дошли сотни тыся.ч обожжёпных
глиняных таб.rrич-ек с письме11ами древних
вавило1 тн. Простейшими цифрами в их систе­
ме служили два знака : вертикальный K.flИLJ Т для
обозначения 1 11 rорнзо11тальны 11 клин ( - ДJlЯ.
l О. LJ ис; 1 а от 1 до '59 :з~111 нсы.н:urись с помощью
этих ;~вух знаков, как н обыч~-юй иеро1'.l 1ифн­
ческой си стеме ·
rr=2,<:т = 11,<<< =30.
Число 60 спона обозначалось тем же знач­
ком. '-lто и 1, т е. т . Таким же образом записы­
вались и все другие стеле1:и 60: :S6<IO = 60!,
216 О()()=6U~и т.д.
На этих примерах видно, как R вавилонской
системе прелстанляли раJлич 1 1ыс числ::~ :
т<: п
<«ТП«
72=1 •6()+12,
20()() = 33 ()() + 20.
Однако из-за отсугствия нуля эта система за­
nи.сн была не()днозна41ю.й. 11 зависимости от
контекста одпа 11 та же запас r , могла о:зна-
чатъ ч11сло 72, илн 4 320 = 1 6<i+l2 (>0
1
,
или11/., = 1 60°+12 601ит.д.
Шестилссят<.:ричная снстема. широ­
ко 11рименЯJ 1 ась н астрономическн.х
расчётах вплоть ло эпохи Возрождс­
н ия. Им:енно ею 1юльзовался во 11 н.
1 ·р~ческ 1-1 й матсма·1·1 1 к и аt"r·роном t(JJ
нии таблицы синусов, 7\ре1шеи- t'J ~ ~
шей ИЗ [(ОШедuшх ДО нас.
{
.
_
Кла 1щий Пт011емей при состав~е~
Г. ~."/М
...,.-= 1-..1
......"
.
.
-,.. ,_,,__
17


~
а'"'{Ю
Исrор~1я матема 1ики
IH
СЧЁТ И UИФРЫ ИНЛЕЙUЕВ МАЙЯ
Индеl1сю1й 11арод маf1я. обнтающий иа т~:ррн­
т<>р1111 ЦентрЗJJьной Лмср11ю1, в т~ ачалс:: 1ю1юii
эры прсдставтrл числа примерно так, как и
древннt шумсры. Майя 11зобре.rтн похожую чt1 -
слоную систему, по с 11рул1мн ос1 юва1-~11Яl\П:1 -
шпсрич110-д13адцатср11ч1тую Лростсnшнr-1и
цпфрами у н11х были чёрточки и точки, ко·1·0 -
рым11 за111·1СЫf\аJ111с" ч11сла от 1 до 19. Точкам11
они обознач:шн сю11шцы пт 1 /{О 4 . чёрточ-
1ю(1 -
') К примеру, зa11irc 1, .:..:.:. пзнач~~ж1 число
R, а· ··· - ч11010 19.
Осr-юп11ую рот. 13 с11ст<:ме майя 11rрала «ис­
кажётша>J ·> двал1 ~атер11ч11аи с1к'Iема сч1 1 слс11шr.
!:ели ва1шлонскан снстема ос1юn~ш:~ 11а разт 1ч-
11ых сп:11е 11ях числа 60, то\' майя так11мп ю110-
чеnым1 1 ЧИCJl;\MII BЫCTYП<IJl;I 20. 18 20, li::i . 20! ,
1
1
.
•
18 2() ,18·20 ит.лПризаписr1числацифры-
кир1111 ч11кн :~а1111сывал 11 сь 0J111 a 1юд друr' ой,
ИЗ ИСТОРИ И UИФР
Время изменило внешний облик uифр. Если в Xl l в.
uифры огубар», п рименявшиеся о мавританских госу­
дарсrвах, им~ли следуюший вид:
2
345
7
89о
G18?о
то уже в 1480 г. в книге «Зеркало Вселенной~ аиrли­
чанина Каксто~1а 01-iи изображаются rак:
1z3
И лишь в 1 'J22 r. в книrе итальянuа Тонпалля рни
принимают более-менее современныи вид:
I'L)f)с7g
о
Л1Обопыт110, что в Индии uифры тоже видоизме­
нились и к 11ачалу ХХ в. выглядели так:
1-~~8-Ч(б т { о
Начиная с XVl в., кuгла в Европ~ уже бь1ло развито
книптечатание, многие хуложн11ки работали над со­
зданием раз~юобразных типографских шрифтов, 1·1а.д
формой букв и uифр. Они старались придать им при­
ятный лл11 глаза вид. Но история ш1фр на этом не кон-
r1р11чt;м ст:.~рше1'1 ян1 1н11ас1-> н~рхннн 1т.11фр<1. 1la-
.: ..:. .: .:
щ111мt:р, 3а11нсь :· · в с 11 стсмс майя 11рсдстан -
-
-
л.ялачислоl9 JlL20-t- 13 Ш+11=7111
(IЮNН:: рю1у1ы КJIЮЧСНЫС Ч11СЖt)
/l,llя обоз 1тачс1шл11ую1 мшЪ1 11 р1rмен>1Jш з11 :.ш,
11;шом11пающий полуз~Н<рытый глаз: <Ш>. Так.
:~arnкh <Ы> 1-11,rражала число 2 · 20 + О = 40
ПОЗИUИОННАЯ
ЛЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА
Дрсш 1еС1111ая НЗRСС'1 '11'1 Я :3а1 1и сь в IЮЗНЦl!ОIПIОЙ
/(еся·1 1 1ЧJюl1 системе обнаружеIIа u И11д1111 11
датируется ')()') r. ПояnлснJJе хорошо з11;~комо­
rо нам пуш1 было подготовлено системамн
CЧILCJIClllIЯ , l rзд~шна Пp!u\.fCHЯJШЛI.iVIJICЯ rrc толь ­
ко в И.1:-щи11 , ~ю 11 н Дрешrем К11тае. 11 :-э111х <:та -
чае rся . Например, совсем 11еда1.:111 0 в ряде Cl ра11 стали
ислоль:ю~ать такую .1.~nись:
Чем ·ни uифры лучше обычных? А 'Тем, •1то у четных
Llифр ~хвостики " идут вверх, а у неч ётных - вниз.
Теперь труднее спутать, скажем. 2 и 5 . Прс:шда, это
нововведРние широко не привило с1,. А вот начерта­
ние uифр, которое знакомо кажлому ·
о123чs6l8g
·)Ти uифры можно видеть на микрокалькулятора х и
ручных ·)Лектронных часах. С nомошью ~1аЬора из семи
отрезкоо улаётся досrаточ110 « узнаваемо » изобра-~и 1ь
кажду10 И3 леопи uифр.
[ше одно и ·юбражение uифр, связанное с потреб-
1юстями техники, можно 11а1.1п1 на обороте почтово ­
го ко11верта:
о127чs6rв9
Здесь в написании uифр участвуют уже девять от­
rезков . Uифрь1 прсдна'.\на•1 ены лля электронной ма­
шины, сортируюшей коррс с по1 1 де11uию . Жирные
черто•1к11 Нdд и11дск сом 11а ко11вертс 11уж11ь1 лля того,
ч гuбы машинс1 tмor ла ~очно настроюьr.я на наткан­
ный vтправителем индекс:


р111111ых сие~ емах для ;~ан иен одшта1со1ю 1 ·0
числа сд1ш1щ. десяпшв, сотсп wш тысяч 11с­
пользовались одrrи и те же сI1мnолы, по до­
ттол1mтслы то rюме<-1алос1,, n каком раэря/1,е 01111
стuят. Гlостсn<:нно Ja ,'v1t'т1ш11, ч'1·u даже ecm1
нс указынать 11м е на р:.~зрндов, то ч11сло всf
rdюю можно nро1111тать, так как у каж;~о 1 ·0
разря;tа есть своё о~юсщочтюс мсс1·0" - пuз1 ·1-
1t11я . А есл11 поэ1щ11я пуста», то t:ё нужно поме-
1·1гrъ спец~ 1ал ыi ы м з1 1::1 чком - нуJ 1ём. R 11ОС$/1,НИХ
nаnт~ло11сю1х текстах с тал 1ю.нв.тшться такой
з нак, однако н кохще чrкла его 111шоrда не ста-
1шщ1. Лишь n ИпJ(иr1 в lX в . нуль окончателы-ю
l:т.:1ри1-111ыс <. 11<. темы з;:щнсн чи<.l:'Л
,Аь.
8'.i(!J
;~а ш1J1 оюt: место 1~ нумер;щ1111, котор:н1 рас11ро­
стр:11шлас 1 , зан:·м гю nсел1у миру.
И11дийская 11} мер;щия прJ1111ла crrз чала в
арабс1<ие страны, а затем и в :~ападную Европу.
О не11 подробно рассказал среднеазиатс101й ма­
тематик алъ-Хорсзми. Простые н удобныl' пра­
вил:_~ слож<:нш1 11выч11тан11л скот, уго,11но боль ­
JJ 1их ЧJ,н.:с.:л , З;.1 1 rисанны.х н 1юз11цишn юй с 1 1с1:ем<:.
сделали её особ<.:нно 1юпут1рной. А .поскuл1>ку
труд <uн,-Хорезми был написан на общем дю1
мусулыv1аn скm·о мира }J:'!ыкс.:: - ар~16ском. то ;3а
инднйстюй 11умера~т;пей н Еврппс ::1акре11ш10с1,
1tеnрашшыrое 11 а:1в::шш~ - «арабск<1.н ».


20
Истприя математики
МАТЕМАТИКА ЛРЕВНЕГО ВОСТОКА
ЛРЕВНИЙ ЕГИПЕТ
CaNiыe ранние математические тексты, извест-
11ые в наши ДJ 1и, оставили ~ве великие циви­
.rtизации древности - Еп-mет и Месопотамия,
или Междуречье. l1ме11но там появились лер­
ныс матсмат.иqескне задачи, решения которых
требовала rюнседненная ж11знь. Нсдь ненозмож­
но без расчётон построи1ъ зд~u-~ие, будь то ве­
л ичестве1111ы:й дворец или простой сю1ад дл.я
зерна. И как гюделнть землю между родствен-
1111 кам и." прибыт, между торговцами , 11айт1-1
праnильн1,1й путь n пустын е и;ш н морс, ео1и
вы не знакомы с прапилами счёта?
Несколы<о тысячелетнй кул~,тура Египта
развивалась бса каких бы то ни было внешних
nлияний, и именно 3ТИМ обънсниетсн сё само­
бытrюсть. ~'pouer rь дpenr rсегилетской математи­
ки был дшюлыю Rысок. Дреннис греки, до ­
стижения которых лежат н основе сонрсмсн ной
нзуки, считали себя ученика мн египтин. Вот как
нисал об этом в V в. дон. э. знаменитый грече­
ский историк Геродот:
~,оп и [е1·иnстские жрецы] говорили, <tто 11арь
разf\ели11 землю между nсемн епштянамн , ,п;ав
каждому по раГ11юму прямоуt ·ол ьr-юму участку:
из этого 011 со:щал себе Д()ходы, np1 rказан еже­
го11по н1юс11ть налог. Есю1 же от какоrо-н 11 будь
11адела река отнимала что-11нбудь, то владелец,
приходя к r(арю, сообщал о rтроисшедшем. Царr,
же посылал людей , которыедоЛЖJ-JЫ был~~ осмо­
треть учасl'Ок зсм1 1и и 11змсрнт1, , 11а скот,ко он
ст~щ мены11е, чтобы вл;щелец н1 юсю 1 с остан-
111сйся 111ющз/(И н:тог, про11ор1\иО1i.:-lJ1ы 1 ый усrа­
новлснному. Мне кажется . ч1-о так и fiылз и зоб­
ретена rеоме-1 рия , кu·1-орая :.~атем из Египта бьта
перевесе~ 1 а n Элл:щу» .
ПЕРВЫЕ УЧЕБНИКИ
Общсствсrшос устройство Древнего Епшта
н:с менялось н течс1:шс дuт ·ого времени. Сохра­
ннл ись без нзменен11й и 11аучныt :ш:н-11ш, JЮ ­
этому сс rоднн учёным O' - it'Ht.> трудно точно
определить /t<ITY TOl' O или ИHOl 'LI O'ГKpnlTliЯ.
К тому же исто чников. no которым можно су­
ди1ъ об уровне м атема·л1чсских ~iна11ий 1tрев-


ннх с:ги1 1 тян, со нсс:м rieмнo r·o. Назовём са м ые
и:щестпые пз н их.
Во -первьlJ{, это nanиpyc Райщщ, назnа~-шьн1
так по 1Lvre1 ш своего первого ВJщдсльuа. Он был
11аiще11 в J858 г.. расш11фронап н нздан 13 1870 J'.
Ру1<оn 1 кь пре)].ставляла собой узкую (3.3 см) н
Jl.JIИH I JYIO (5,25 м:) rюлосу п::~ 1 1ируса , <.:Оде ржа­
щую H·I :{ад<1чи. Теперь одна часть п:1 пнруса
хран11тся 1:1 Британско м музее п Лонлоне , а
дру1'ая 11ахою 1·1·сн н Ныn-йпркс.
Ro-Rтnpыx, так назыиаемый Москоrккий
na1111pyc - e rn n декабрt.:: 1888 г. приобрёл в
JJyкcope русткий египтолог Владимир Семё1ю -
1111ч Голсн111цсв. Сейч~с папирус при надлежат
l'осу;щрствею-юму музею изобразитс.rть ных ис­
ку<.:ств имени А. С. П ушкина . Этот с:виток wrи­
нoi1 5..+4 ми rпирююй 8 см вклю ч ает 25 задач.
Пщ Ptl J,~ 11олс 1 1(• 10"' кол~1че<. 1в..~ н.•рн,J Eri..1111. •1 tt<t1H п ,,тул·ка
Околfl 2040- 171\'i п· дон '
М<П~матика Лревнеrо Восток;)
И н~шопец, •Кожаный сnиток егип етской
математики», с болъшнм трудо м распрямлён­
пый в 1927 г и во мноl'Ом проливший свет на
арифметические знан11я егиr~тян. Ны11е он
хра1.1 ится в Брнта 11 ском музее.
Эти рукош 1 с11 относнтся к эпохе Срсдне1'0
1 \Ц>ства (XX-X\ТII вн. ло н . э.) . Московский па ­
пирус б~.111 п среtшсаr 1 11 ею·1м учепиком между
1800 н 1600 1·с. до 11. э. с более древнего текста.
примерно 1900 r. до 1t. э. А п апирус Райнда пе­
рсшrсал писец Л.,'{мсс около 1650 r. до н. э.
Автор ори г инала 11еизRестсн, устано влено
лишь, ч·~·о тскс 1· созд~1нался во второй по1юn11 -
пе XlX н. дон . э . ~кож:.~.ный <.:В иток? датирует<.:я
XlX-XVlll вв. до н.:::)
Пnдобн ые пап11русы, 1 ю-пн;(имому, служ11л 1 J
сное гп рnда учеtlник:1 м 11 . КаТ< СJ{а::тю в руrюпи­
си Ахмсса, ока nосвюцена <-сонсрrненному н
ос1-юн;пелы юму исСJrедощнтю() всех ве111ей, 1ю-
11им ани.ю их су~цr-юс1·и, шхн-1анню их тайн". Так
в ы соко ценились в те далёк.1е nремена мате.ма ­
·rнческис знания! 13 папирусах есть зад~1 чи на
вы числение - образцы выпош1с 1 1ю1 арифмети ­
ческих опера ций, задас~и щ1 раздел имущества.
ш1 нахождение объёма амбара или корзины,
площади поля и т. д. Длs~ ко1'0 же nредна~тач.а ­
лнсь такие учебники?
Папирус Ра.йн/{а з:1канч1ш:tстся такнм 11 сло­
н:1ми: •Ло 11 и r·мов, мы 111 ет\ иы r 1а.11ыва1I <.:орныс
траны зэсnежо; ПOJfyчaf1 обнлы1ую пряжу. П ро-
01 у бт·а Ра ·1·епла, ветра 11 высо1<0'1 rю;{111". По­
э·сому 11 екоторые 1ксле~о11атсm 1 реш11л11, что
свиток адресован зе.чледел~,цам. Однако м 1 ю-
1нс из содсржащпхсн в 11ём задач i\OIICC нс11)'Ж­
r 1ъ1 крсстьшmну. l3 с~·рапе фараоноn была
особал 1'р:тпа 111Uдer'1, которой требов<111.ись
11одобные :5H3III 1 Н , - ЭТО lllK I \1.1
. Пнс< .:ц - /~OJJЖ­
H OCTh отвстстненн<1л и uесьма лривилс1 ·нро­
н;1ннам . Он обнзан был 06J1;щ~r1ъ са ."1ьш11 разно­
uбрззными ма·1 ·с:::м:.п11чесю1i"111 1 rаны1<ам1 1 , чтобы
11сэ труда рз:-1рсш11· 1·ь любую з:тачу.
МЕТОЛЫ ВЫЧИСЛЕН И Й
Вес пран11ла cчi..~:.t дрснптLх египтян щ:новыва­
лн<.ъ на умс:нш 1 скла/1,ы и~пъ 11 иыч 1 1·1 ·ать, удва -
11 Rать числа н ДО I ЮJJЮПЪ J(pun 11 / \U е')\ИНl l ЦЫ.
Умножение [1;\с1 1 еннс: сною 1л11 к сложе1111ю
11рк по....ющ1 1 acoбolr опера11111 1
-
мно1·ократ­
Е1ОГО удвоения ю11-1 раад 1юе11ня ч11сс.r1. Вы1 ·11н ­
дt:Лп т:~кис р::к·qёты ;щnол1.но громозл.J<О.
2l


22
История м;пем;з тики
1n1 \1
~
-
l 'МI!
---
.
11
~р
.JlfJI
1
"\
р
,
~
Er11neтcкft e 11'1фры " ч 11ела .
Дш1 лробей были с11еппалы U> te обоз~ 1 ачсп ия.
Е1'иnтm 1е использоnали дроби вида 1/н, где п -
натуральное ч нсло. Такие л;роби наз ьшаются
ал.иквотиы.лш. Едипствепная неалиюютпая
л;робь, 1сото рую « признав;ши» египетские ма­
тематики, - это 2/:,. Иног)"(а вместо дсле:ння
1
т : п производили у~vшожспие т · -
. Дпя этого
п.
прим<:: •iЯли специ~\ю,ные таблицы . Haf(o ска-
з:пъ, что нейств11}1 с дrюбям и состанлнди uсо­
бе1-1 нос1ъ е~·ипстской арифметики, 1:1 которой
самые rrростые 11ычис; 1 еrrия порой пf)еL1ращ::J.­
лис r, R сложt1ые задаl..fи.
Сравнительно rтебольuюй круг задач в еги­
петских папирусах сводится к решению лро­
стейших уравнений с одним неизвестным, н.а ­
nример 33-я задача из шшируса Рай11да: « lleкoe
колнчество, ei·o 2/3, с.1·0 l /2 и eJ 'O J /7, сложен-
1 1 1 ,тс нмс:о·е , 11.ают ~7 . Какоrю э· 1 ·0 1шm1честАо?•>.
Ответ 1(> .:/.1~ ззш1снr n эщ11<1ютн1.1хдробях:
1
1
1
16+-+ - - +--.
56 679 776
П рн решении подоб11ых ]адач мя 11е11зnест­
н о1 ·0 IICI IOJIKIORaJlll CllCЦH:IЛhl-tЫil 11ер01'11Иф со
:! f !~I ЧСНИ<.:М QKy•t:!». В 3;(Д~Ч'1Х nro ~K}'' t y», rкша-


CMhlX t.:JJ,ИНЫ.М Mlvl'OДOM, можнu усмотрt:1 ъ 3~1 -
Ч:!'l'КН :1111·сбры к;.~к н~ую1 об ур; 111нсн11н х.
R t'J 1tnt: 1 ·cю1x11 :ш11русах 1:1стрtчаются ·1акжt.:
~~а;1ач1 ·1 на :1р11фмстическую t1 J 't.;ОL\1t.:трнчсскую
rrро1т>есси11. что ещё раз nодчёркинаст 11е · юль­
ко пр::11<тическrп1, 1ю11теореrпчесю1i1 характеr
μperшci'1 матема1'ики.
ГЕОМЕТРИЯ СТРАНЫ ПИРАМИД
Пораз11тслыю, 1ю 11 рн дово11ънu 11р11м н· 1·т 1ннuй.
11 громоз1 1ко1'1 арнфмстнке е1·111rтянt: с:мш·1111
HUOllTl>CH :Ш;./ЧИТt!JЪНЫХ услtХОВ R l'еОМСТрНИ.
Онн умсл11точ1ю11аходн1· ь 111юп\:ц1ь 1юля пря­
"юутлы ю~1. треу 1'01 1ы юй и · 1 ·рапе:цневнд1 юй
формы.
Известпо, что в серслине 1 тысячелетия
до 11. э. для постросrнш прямого уг.r1а сrпптяне
tю1uльзоваJн 1 вtрёвку, раздслёнпую уалаr-ш тrа
12 p:tBllhL'{ ч:.~стс.;й Ко1щы всрёвки связьш11ш н
з:псм натн1·1шали t:ё на трн кuлыwка. ~ели сто­
роны 0111осились как.). "1: S, 10 гюлучала1 пря­
моутльный ч1еуголы-111к и это - едшrс:твсн­
НЫJI прямоуголы1ый треу1 uльн11к, 1ю·1орь11-1
3н~1!1и uДрl:Rнсм Епште. Е папирусах не1 :задач,
как -т1fi() связютт11 ,1 х с теоремоil Пифа1·()ра ,
Х()'!'Я Д() расшнфроuки .математических текстон
существовало мнение, что древние сги11·1.шrе
были с 11сй знакомы.
Важным дос1·1~же1шс:м 1·еом.стрич.еской на ­
ую1 t'1·1штян былu оче 1 rъ хuрошсе пр11ближс­
ю1t: числа тт, которое rюлучаетсн из формулhl
юш площа;\11 кру1·а дна метра tl:
5 = (d-icli=(l- i)2d
2
•
Этомуправплу из SО- й змачи папируса Райнла
ссютветствуп значение тт = .. .J .(8/9) z "" 3,160<:/.
Однако каким образом сrю 1тяпе получали
саму формулу, rп ко1-rтекс1·а псяс~ ю.
Матем ,н ика Лревнt:>1 о Востока
~
S!JШ
:-;;:---; :-~·~··' ~~~
~-
--
-
-~
-~_- ~- -~ ~··_-::.: .
-~
...
"~
.... -
~-----
~1
В Московском п'1.пирусе еnъ ещё ощта 1 11tте ­
ресная :Jадача: вычисляется поnерхност1, кор­
зи111>1 «С отверстием 4
1
/J» · Исследователи толку
ют сё по -рю1 юму. поскольку n текс1·с 11с укаэа~ ю.
какuй формы бьuш 1<орз11на. llо nce схu,цятся ~ю
м1Jсн111-1 , что 11 ::1/\lТь ;1,.11н чнсл:1 л nерёто1 ·1·u Жl'
самое nрнближённuс :тачс11ис "-l(R/9)~. Замс­
п1м , что 1ш Rcё .V! Древнем Востокl' пr)lj 111,11111 -
слсн~щх нсnоль'юRаJ ЮСh .~н.t•1с11~н:: тt = .~ Цаж<.:
в Библии есть ука3ание 11а 11с1'0 Так что R этом
OTll()ШeJllJИ CГИll 'l'ЯJJC 11ам1101 () опсредш111 11ру-
1·ие 11арщ1ы.
Среди простра11стпенных тел самым (< еr11-
пстским» ~южпо считаn, нирамит, ведь имен ­
но такую форму имеют :щ:.~мен11тыс усшrат,
ницы фараuнuн. Так нот. сжазываl"t'СJI. кроме
объёмон куба , r1араллелс 11 1нrеда . r1р11змы 11
ЦИJIННдра e1·1111ТHll<: ум<.:ли l:IЫЧllCЛ>ITb объём
усечённоi1 1трам1щы, н оснокн111ях которой
лежат ква~ра·11,1 со сторо11ам11 п. ~1 h , :~ нысо·1 ·~1
ран11а h. От 1 11r11 .'ll1снял11 формулу
\f ::((/~+C/h+f')L)fl
3
23


История математики
О ФОРМУЛЕ П ЛОШАЛИ
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА
В папирусе Райнла приводится
такое правило для вычисления
площади произвольного четырех­
угольн ика ; полу сумму лли 1-1 двух
противоположных сторон ч еты ­
рехугольника умножить на полу ­
сумму длин двух других сторон.
Разумеется, оно пояснял1>сь на
примере, а не с помошью фор­
мулы, как на рис. 1 .
Но это правило невер1-ю! Лаже
для парамелограмма оно не дает
игтинного значения п лощади. Ведь
если изготовить шарнирный пря ­
моугольн~1к (рис. 2), а затем сжать
его так, чтобы uн превратился в
КАК МОГЛО ПОЯВИТЬСЯ
ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕН И Е
ЧИСЛА п
Чтобы понять, каким обра·юм древ­
ниt! учёные получили тот или иной
результат, нужно постараться пред­
ставить себя на их мсL те, т. е. по­
пытаться реши ть поставленную :1а ­
лачу, исполь•уя только знания и
приемы вычислений того времени.
Именно так поступают иссле1юва­
тели стариttных тек( тов. однако
решения , которые им удается
найти, вовсе не обя зательно не
самые». ОчР.нь часто д/\Я одной
задачи премагается несколько воз­
можных вариа н тов решеt 1ия -
реконструкuии. Каждый внравЕ:' от­
дать прелпоспение оыюму из спо­
собов, 1ю 1111кто 11с может утверж­
дать, что име1 lllO им ~1 ПОЛЬ3\)IЫЛИСЬ
в лрев11ости.
По поводу формулы пло шали
круга HJM кажется весьма правдо­
подоG1-юй гипотеза автора много­
чиLЛенных кни1 1ю истории мате­
матики А . Е. Раик; плошадь круга
диаме гра cf Lpa вн11вается с пло-
параллелограмм, то длины сторон
не изменsпся, а плошаль умень ­
шитсs1. Вообше, для любого четы­
рёхугольника со стороt1амиа, Ь, с,
d имеет место неравенство
Рис. 1.
s.;: а+с b+d
2
2
S=fJ...±. .f . .b+d
2
2
с
шалью описан1юго вокруг него
квадрата, из которого по очерели
удаляются малые квадраты со сто-
1
1
ронами бd и gd.
cf
(/
В наших обозt1аче11иях вычис­
ления булут выглядеть так. Н пер­
вом приближении площадь круга 5
равна разности между плошалью
квадрата со стороной d и суммар­
ной плошалью четырt:'х малых к1:1ал-
1
ратов А со стороной 6d:
В равенство оно преврашается
тол1,ко дЛЯ прямоугольника. Иначе
гuворя, еrи11етское правило с11 ра­
велливо \и то не точно, а лишь
приближенно), когда четырехуголь-
1-1 и к мало отличается от прямо ­
уголы-~ика. По-виы1мому, имен110
такую форму имело большинство
земельных участков египтян, и лля
1-1их ошибка, заключённая в :пом
оравиле, была нсзначителы-~а.
Лалее 1н получе1111ой олошали
нужно вычесть nл1)шаль вщ ьми
l
квадратов В со стороной 9 cf , и
тогда nлошадь круга будет при­
ближен1ю рав11а LЛедуюшему 1:1ы­
раж е нию:
-~[1-~)dl =[1-~yd2•
В польз у излuжен~юи здесь ги­
потезы свидетельствуют аналогич­
ные вычисления в однои из 1алач
Московског о папируса , где пред ­
лага1::тс~ <..осчит..~ть
(1-~)-~(1-_! _)'
999


Эта формула считается высшим 11остиже1 т ем
дреш-rеегнпетс 1юй математики.
Подnедём итог. Математика в Дреnне.~1 Епш­
тс представляла собой совокупность знаний,
между которыми ещё нс существовало четких
МЕЖЛУРЕЧЬЕ
Первые очаги кулътуры Дреянсй Месппотами11
(Междуре'!Ъя) 1юз11икли на берегу Персидско­
го залива. Именно здесь, в дельте Тигра а Ев­
фрата, 13 IV тысячелетии дон. э. жилп шумеры;
они построили города Ур, Урук (под НJvн:щ·м
Эрtх он угю мнн.~стся н Бибюн1). Л~11'а111 и Ларс<t.
Севернее жили сеNшты-аккадцы, гщ11:1ны м ro-
[IO/\OM которых был Аккад.
Ужt> в серещ. 11-1с IV ·1ъкя чслетия лu н. ~. н
Шумере сущес-1·tю1~апа nисьме1 п юст1 .. Мзтери­
алом !(ЛЯ пио,ма вначале служили каме1-н-1 ые н
гmшшrые плитки. На ШIХ острым предметом
вьщараnывали надписи. Затем писать стали на
сырой глине бамбуковыми 11ли костяными па­
лочками, после чего плитку высуrm1щmи или
обжигали При надавлннанrш палочка остав­
ш111а на 1·1niнe след в R1-ще ю1ин::1, и онредсJiён-
1-1ый набоr Т<.lКИХ КJIИJ-JЪCB служил для перС/\:1-
ЧJJ того 11ЛН нноrо ПОНЯТ:ILЯ .
ло.1 nш u~ llt'flCl l Иlbl!l•IКll ддНЬ ИJ IJX8d' ll:HHUI u ( СЛ('НЩI. Р(!льеф
д~l•pu.1 r111 1d~<'pИf>,1 ~ f IИI Н'Ш1" Vll lj Д(I 11 э
Матем.:пика Лревнеrо Востока
~
c:tl~
1-ран1щ. Э10 были правила для реше11ня 1<()11
крстных задач, имеnших практическое значе­
ние. И лишь постепенно, o(ie1 11, и о ч е llь медлен­
но, задачи начади обобщаться и приобретап,
более абстрактны~:: черты .
Во II тысн челе-1 и11 ;~о 11. ::>. rюnые племена
семитпв. пришедшие с занада, стали хозяева­
ми Междуречья. 31\СС~. сложилио, две мощные
державы - Ассирия на севере (сё стол ицей
была Н1·1нен~н1) и Ван1шония на ю1·с (с1·олиц<1
Ванилон) . Шумер()<Jккадское письмо 61,uю ::!а­
имсттюнано ванило1-1янам11 и ассир11йцамн, а
также соседнпми народами - ХL'1там11 , перса­
ми н урарту (1rрею<амн армя11).
JlOLЛC арХСШЮГНЧССКИХ ИЗЫСКаl 111Й 1-1 серею1-
11е X I X в. КЛИIЮПИСllЫС ГЛИILЯIIЫ<С табллчки в
огромных колнчестnах стали пос1упат1, в Енро­
пу. Так, в 1849- 1850 rr. 13 развалинах l l и~1евии
обнаружили дворцовую бибm10тску, а в 18Я г
открыли 61 16J11ЮТСК)-' Ашmурбанип:vщ ассирий ­
ского царя, ~rраrшвшего в \ГН в. до н . э.13 Британ­
ском музее (J l oi щон) храннтсн 2U тыс. таблнчt:к
н :{ этих раскопок Все1 ·0 же в 111ире насчнтынJ­
ется ()КОЛО '500 тыс. ю1111-ютк1-1111х табличек
КАК ВОЗНИКЛА ШЕСТИЛЕСЯТЕРИЧНАЯ
СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Шестилесятеричная система счислениs~, rю-вилим(}­
му, сложилась п ри торговых сделках между двумя
древ1iими народами Месопотамии - шумерами и
аккалuами. У шумеров «де~tсж11ои сди11иuей » с11у­
жим мина - кучка серебра. Это была круп н аs~
сумма, и при продаже 11едорогих товаров ее обыч ­
нu де11и11и пополам. а каЖАую половиttу - еше на
три ча<-.ти, так что шестая ч<1сть мины широко ис­
пользовалась пр1~ расчётах. У .жкалuев в ходу была
своя монета - шеккель. При сделках между шумера­
ми и аккалuамt1 шестая часть мины приравнивалась
к 1О шеккелям, т. е. мина составляла 60 шеккелей.
В результате появил11сь з11аки лля чи сел 1, 1О,
bl), 600, 3600. Это произоШl\О окu110 5 тыl. лет
назад. З 11 аки выдавливалиеt, тупым конuом палоч­
ки дм1 письма на глиняных табм~чках. Позл11ее онн
превратились в к11инья и уголки.


26
История математики
Н Навшюrн.:ком царстnс nссми рас• 1ётами за ­
нимались шкцы, кu·1 орыt прншщлt:жали 1с
нысшему сослон1 1ю. Нередко сыновья uр,шитt­
лей и::1б11р:uш ~ту проф<:ссшо. Школа , ГJ\С uбу­
чалнсь шrсцы. называлась ~дом т::tбличекь ~пн­
сец должен уметь писа·1·ь понятно, хорошо
:~1 1э·1 ь счёт, уме-1ьмежевал_,1емт1 , [Jримирsпъ
споря~щтх», - mтсал олиn пз учстпю11 сnое ­
му друrу. Дrш таких школ прсд11а::1пачалт1сь
специальные J\1атематические ·1 абличю1. Тек ­
сты па них можно раздстпъ IJa }\na класс:.1.
·1 ·аблицы и з;щачники.
Широкое:: нрименен11е различных
1'абли1t - характернаи uсuбенност1,
в;ншло 11 скоl1 матемзтню1. Кро,...н:
таблиц умножс:ння были <:щётаб -
111щы ю1ащх1то11 llaтypam.11ыx
ч1rсел , кубов, квадrат11ых кор-
11ей (в шсспще<:ятсричных дробях) и даже таб­
mщы ЧJКt:Л ю1;~а п1
+1/ 1.Jтuбы раздtшпъ <nн:ло
т на 'ilICJIO 11, в:ш11лоня1-н.: IKL:ГNI брал11 ЧНСJ Ю
п' = 1/п, обрзтнос дели·~ ~лю, 11 ум1 юж:~лн 1п


И1м1•рf' Н'1Е'
терр11тори11
~е"'ельноr u у~Ja( 1Kd
в Умме
(МС'жлуре"!Ье)
Гли11я11 ая табл11чка .
ш1 п'. 1юэтому бъmо много та.блиц обратных
nеличин . Та кой под,\:од к делению сохраюu1сн
и в современ ной мат<::матнке. на11 р11 м t: р н
шн ебре м:при1l-
Что к:tса~ 1 сн тскстоп-з;щачннкок . с амы м
ую-1ш1тсльным оказалось ·1
·0 , что боm.шннс·1 ·ао
з;щач сноднтся к ре111 е 11ню кА :Щр:п11ы х ура1те­
нигl . Эт() 1 юразителыюс открытие 1ю:шол1.uто
от1 1ес111 ртrщстrие алгебры 11е к V в. до т1. э., как
полаrалн прежде, а к ХVШ n.110 п. э" т. е. 11а 11
веков н азад. Но об этом чугь п озже.
КАКИЕ ЗАдАЧИ
РЕШАЛИ В ВАВИЛОНЕ~
Сред и Аычиоп1тtл 1>11ых :~ад~~ч на клн 1 юnи с 1 1ых
таблн чках встречаются :~ал::~ч и н а ар1 1фмет11 -
чес 1ш е 11 геометрически~ про1 ·ресси н , ттред ­
стаrтения о которых у вавилонян были более
раэвиты, чем у египтян. М етоды решения в ос ­
но1шом ош 1ралнсь на 1щси пропорц1 юн;:urыrоfI
1авис11мосп1 и с редн с 1 ·0 арифметичес кого. Ва­
в11лонсю1с 1111с~~ы з11 :1ли нра.вшю су мм11рuв<1-
.1шя п ч1 1 ено н арифмет11чсско 1'111 ро1·рссс11и:
s·
_ п (а1+а")
'11 -
2
.
U юш1ю1111с1 1 ых текстах. содtрж:по1 11 ерные
змачп rra проценты - ведь Ваннлон стоял 11:1
пересечении то рговьrх пуrсй. и :щесь рано 110-
явнлис ь денежные з на кн и креди1 . Было у
вавштотrн 11 пр авило д;r_я 11р11 6л ижёпно го
вычислс1 111Я кв;щратных кортrсй.
Математика Лр~внего ВостокJ
~
Ell.l{]]
КАК ВАВИЛОНЯНЕ РЕШМИ
КВАЛРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Hi!. одной из клинописных табличек Janиca1-1 a такая
Задt1ча: • Множимое и м1 южитель 2; 30». Речь в 11 си
ил~т u лвух Аjа и м н о обратных всличи11ах х и у
(ху = 1), сумма которых равна 2; 10, т. е 2 +
+ 30/60 = 2,5. Таким образом, ученику для реше -
11 ия прсллагается система, кurupyю 1;1 сонременной
символике можно .:1аписать к<1к
гдеа=2,5, Ь =1.
{
Xi у= с:!,
ху=Ь,
Лалее в тексте табли чки ука3ывается, какие опе­
раuии нужно nрод~лать. чтобы получ ить ответ.
Ниже привеле но решение вавилс1нСК()ГО F1ыч11см1-
теля. Оно сопровожлается лоой 11 ым перевплом -
записью да11 11ых и опера uи й ll десян1ч ~ю и по1иuи­
он ной СУJстеме и ~с\ПИlЫО дейnвий 1:1 (Оl:!ременных
буквс1тых 0601 наче ниях:
«На O;JO умножь: 2, 5
1
а
2= 1,25
-
1; 15».
2
«1; 11 на 1i15
1,251,21 =
а
~=(~)l
-
умножь:
= 1,5625
2
1; 33, 45».
« 1 вычти отсюла: l ,S625- 1 =
(1')' -ь
О; 33, 45».
= 0,5625
" L\то на что надо \i(), '1625 =
г;--;~-
ум1 южить, чтобы
= 0,75
~(~) - /}
получить
О; В. 4Я»
r
1,25+0,75=2
1•
(<О;45к1;15
.1
")
прибав~:.:
2+v(2) - h=x
2 - множимое».
110;45от 1;15
1,25 - 0,75=
~-Д~J -/J = y
вычти: О; 30 -
= 0,5
обратное».
Очевидно, что дае тс я ре uепт для реше ния квал­
раnюrо урае11ени~1 z 1 JL + Ь = О, к которому соо­
лится с истема i•). Никаких пояснений в тексте 11е 1.
а то, что этот алгоритм н осит Оfiший характt>р, ил­
люстрируется больш им ч ислом олнотипных задач.


28
История математики
I>олыпое число зада ч снодится к ур:н111е11и­
ям ш ш системам уравпеню1 первой и второГ1
стеnе11ей. И."\': записывали без симво.1юв, в сnо ­
ей особо(r терминологии. Раз 1 ·<.шор11ым nзыком
ванююнян 61,u1 аккадский , 1 ю н науке в каче ­
стве тсрмннон они упо· 1·ре6J1 яnи 111умерошс
С'ЛОl:!а. КЭЖ/\ОС 11 3 таких СЛОR и:юбражаJЮСЬ од­
ннм знаком и потому н ьщел нлось в общем тек­
сте на фоне бoJJ ee по:зднеrо п о nроисхожде-
1rию CJIO l;OJIO ГO ГП·IСl>М:1.
Искусство ре ш ения ура1311е1шй .n.ости 1·1ю
высоко го уровня DХVШ n. .n.o н. э., u эпоху наря
Х;~ммураnи. Обычно в задачах требовалосъ
найти <>дли ну·> и « ширину» и;ш «м 11 ожимое» и
«ш-южитслr.», дnя котор1.1х были сформулиро ­
ва1-11.1 ра:шн ч ны<:: условия. Про11·знс.:дениедлины
11 ШТ!рtЛ lbl l I MCHOB::tЛOCЬ «ПJТОЩ::tДЬЮ» . в З<J,Т\ач а х,
снодящ11хся к кубическим ура rиrсн иям (а б ыл11
11 такrrс!), 1юн н1rялос1, третье 11еизnсстное -
~ 1·луб111rа », 11 nроизаедешrе nccx трёх пс:лич11н
называлось ~объёмом»
Хотя тсрмтюлогия указывает ш1 гсоме-1 ри ­
чеоюе пр ои схожлеJJие задач, для вавило11 я11
:;)ТО были прежде всего просто числа. вот по­
чему они свuбоднu складъшали дли ну с пло­
щадью 11 т п. В дрсю 1 е1 рсчсской м:lтсматике
( 11 с::щёдолгое времи 1t0сле) это1·uдt:.11ать было
нельзи.
Существовал 11 ,'\руl'Ой 1·1ш :1зщ1LJ , такжt: тр<::­
бсащвнrий разни'НLИ ангебра11•tесю11х мс:тодов. -
1 1 ео 11ределё птrые ура 1з нения (таr< 11 азыв;-11отся
ypaIJнe111 щ в которых дне нm 1более 11 е .изнест­
ны<:: nелнч~шы) Вот сам 1.1l1 древний п з наме­
нитыil приме р нео11ределёштого уравнс: пшr:
(*)
Во мнш·нх клино писных т<::кстах речь ндёт
о ре 111 е нни ЭТО\'() У\J<Н~ненин в р;.1 1\нонаньных
ЧI ю1ах (.\".у, z) - ПО:'!ДI ICC нх стми 11азы 11;\'l 'h ~ 11 н­
фа гогюны ми тройками~. lle совсем ясно, знали
B~1Jll I ЛO l IЯHC о()щне формулы CI о решt:ННЯ HJIH
пет, rщ11ако многие таю"е троfпш и"1 Сtыли нз­
nсстны, напри.мер (.), 4 , '5), (), 12, 13), (_8 . 1'), 17)
11 др. Сохра1шлась даже табл и на р::щио11алы 1ы х
~ 11 ифагоровых трое~<", 1ю ю~ю1~1 обрJзом она
быж\ получе.11а, Qnрсделёшю сказат~, нель:~я.
Древние нан1111 011я11с рассматрнвалп ещё
0,111 ю неuп ре/~t"л<.'н нuе ур:шш:·1111с :
Его paц1ю 11aJJLiHbl<.: rс111е1 111н (ll, l', /./')образуют
"l 'a 1\ 11<1. :зынас м ы е «Н:l ВИЛОНСКI IC 'l' J)OЙ К11•1.
Это урат 1е 11ие таюке пмееr 1·еометrическую
природу. Оно возшшло nри ре 1 u енип за,Т\ачи,
часто nстречающсйсн й вав ~ионских текстах:
рассечь дашrую тр:шсцию на ,1'ne рав11овели -
1ше части 11рямu 11. 11 ар~L1IЛ<::J1ыюй· uсtювюшю
( ри с 1). Ес:J1и обоз11;~чн1 ь нижнее 01.:нон:шис
буквой //, н~::рх 1 rc:c - и, а ра:1JJ,<.:ля ющую пр>1-
мую - и1, то нетрудно н1щс·1·ь, что для 1111х
В..-111илоtк1<J~ f \111fs;tнaя 1 1.•ЬМ•"•К'I.\, с.одср А-.dШdЯ rеuме 1 р11ч<:< кие
~dЛi!'llI 1~.1•1Jl\C>11 1щ и•1PM'Tll!1 Л() 11 ,_ 1\1ыдр.зт l<lд'1 1111lol)\
f><HмepurJ nuделен HJ р:tз~ 11•111ы(' ф1н уры. плошаль коюрых
Y ' IPHHI( ЛОЛ~( ·Н ВIM 't \llC 'Л ИTt,1


и будет справедливо у'рав1 reшre (**). Вавило11ю 1е
умел~ 1 паходи1ъ бескопечно много решенпй
этого ураnпення.
Они также знали, что решения ураnпений
(~) и (**) свюаны Мl'жду собой: <::СJ 1и (х, у, .z') -
корни ураш-н:н~.-01 ("), то и= .'С - у. l' = х + у,
ll' = z - корни уr:ш1-1с1-1ия (**).
Т<1ковы дuст11жсн1tЯ древних ванилою1н 11
а.~н·ебре. И.х успехи в геометрии быпи скром -
11ее и от11осш1ись в гrервую очереN, к измере-
1шю nростеfiши."Х фнгур. Наряду с тсю1 фигу­
рами, которые встреч<VIИС& н геометри ческкх
задачах еrиnтя11, - кубом, параллелепи 11едом,
11ризмой, цилиндром - вав.~.шоrtянс изучал11
некоторые правильные многоу1·олышки, сег­
мент кру1·а, усе::чён.ный конус. lkронтно. было
и з в<:стнп пр;~вило /\ЛЯ вычисленнн объё.\НI
усечi::нноС1 гrирамиды. Дrшну окружности rа с­
счит111в;~ли , утр;н-JRая J(Иаметр , т. е. для тт браш-1
з 11аче1111е 3. С тем же значением п 011реде:лял11
площад•• т<руга.
Одним из самых замечательных геомет­
рических открытий было появлс1 ше. и притом
для общего случ<щ теоремы, которую впослед­
стш1и стал11 на~1ыватh тt:оремой Пифагора.
Вщ: рт1ыс uна встречается в КJ111но11ис1-1ь~х тек­
стах кремё11 царн Хаммураш1.
***
Т:ш же как и н Древнем Египте, L~ Междуречье
математические тексты излагались д01 ·мати-
ЛРЕВНИЙ КИТАЙ
Наиболее ранние из дошедшнх до нас китай­
сю-~х мате матических текстов от н uсятсн к кон­
цуJтысячелетия т~о н.э.Во11в /Щ н о.были
1~а11исан ы математико -астро1-1ш.1ичссю1й чТрак­
тат об измерителъном шесте~ и «М<Пt'м<1тика R
дсвят11 ю1и1'ах» Поаю-rее, уже н VП 11" оба сочи-
11 ения вошли R сбарш-1к «десять ютассичесю1х
трактатов», который 11зучали в течение многих
столетий. Сборник в1<лючал и другие труды:
~трактат о морс1<ом остроне ~ Лrо Хуэя (111 п.) с
задачами на оnрсдсле1-те расстояний до r1сдо ­
СJуш1ых предметов и их размtроR; «Математи­
ческий трактат» Сунь-цзы (Ш н.), содсржа щ11й
м:.~тсмат11qеские тttблицы , арифметические и
1·еометрич:сские зад~1чи , зада чи на системы 1Lи-
Мс1тематика Лpco1 rcro Uостока
~
ElfJ®
чески. Все 11рав11щ1 были сное1·0 ро1 1а рецепта
IvlИ (дeл:ilt раз, делай два, делаfr три ) , которые
пе обсуж,щишсь. ll строго нерархичсских и ;1ес­
nотичсстшх государствах rосrюдствовал аnто ­
рнт:.~рный склад мы1111 1 сн 1tя . Учёrrым 11с nрихо­
/\илось отст<'шватъ сною 11 равоту. доказыnать
11 ст1 -1111 юс1ъ резуJ1ьтатон доно;щми разума. что.
конечно , сдерж11н<1ло развитие 11~1у1<11 .
И ·1·tм нс менее открытня, едела 1111ы е м~пс­
мат1 1 ками Межr~урсчы1, 1 юражают аюнм разма ­
хом. Ведь 11мет 11 ю з;1есь пояшшас1, пераая 1ю:т-
1J,Ио1111ая система счисления, и в rrтore тех 1 1ика
вычислений оказала<.ъ л:аже выше, чем у греков.
Здесь nn epRыe быш1 разработана алгебра ли ­
нейных и 1<n<t,"tpaп1ыx уравнений и рассмот­
рены 11ервые нсопрс11слённые уравнения, воз­
никшие из 1 ·еомстр 1rчсскпх зздач Такан тtсная
снязь гепметричесюrх з<!дач с ал 1'еброй н тео­
рией чнсел - одна 11:1 особенностей в:.~нююн­
скай матt:матию1.
Древ11ие греки н<1чпнали сван нсс1 1t:дова.ния
с тех проfiлем, кпторые занимали нан11 1ю1 rян.
Наnилонские традиции можно лроследнть n
работах Герона и Днофаrrта, а ещё лозд11ее -
у :шь-Хорсзми и других основателей ал1·ебра­
ич<::ской ш1юлы стран арабскuго Восто1<а. ll ре­
обр:1зование: матсматик11 113 совокупности
отдельных расчётов и пrавил в стройную ло-
1 · 11ческую систему, в кпторой эти nrнёмы в
правила nолучилн стрn1 ·ое пбоснова1-шс , ста­
лп 1 ·лаш1ым дwом а11т11ч 11 uL'{ учёных.
нtйных уравнений: анонимный «Математнчс­
скнй трактат пят11 ведомстн~ с задачами 11рш<­
тиче('ко1·0 со;~сржания .
Оснонны111 IJ::l)"IHЫM тру11 ом бhlJJ;J v Матс ­
матика 1~ девяти кни1·ах;.. Она nредназнач :ш:.tс1,
29


30
История "1атематики
длн всех, 1<0му трсбоватк1, м;-~тсматнческ11 с
зна11ня : 1tЛЯ :;еМJ1С1\1ерон, нпженеров , чиноRни­
ков, торго1щсн. По c111tecтRy, это сборник JJ:i 246
задач без нн<щных текстов и 11рею~эрител1,1-1 1 ,1х
разъяс11е11 ил. Каж/\Ы И ра~ ш 1:.1 чале фор,v1у111 1 ру ­
ется з~1нача. затем сопбщастсн отвtт и н сжатп1'1
формt: ук<1:11.1 н:зетсн сппсоf) реше11 ин.
АРИФМЕТИКА
С 1лубокой древ11ост11 счi.'т в Китае вели дссят­
Т«t~rи. Примерно с IV н. l\O н. э. стали счнт:пь с
помощью с11t.: 1 t 1.1альных паJючск. О11и fiыл11 в
ходу на 11ротнжени11 более 11плу1пр:о1 тыснч лс:т.
Палuчки р:.tсюrадыв<~ли 11а счётной доске, кото­
р;~я. к<1к полагают, была ра:з111 11 юиа11а 11а строки
н столfiц1)1 . ЕсJ1и как()й-то разряд н ч и сле отсу1·­
ст1юш1л. то соответствующая ячейка ос1·Jвалас1,
пустой. Т~Н< что юттайская 11умерацня с по ­
мощью счёт1 1 ых п:1лочск - дрещ 1 ей'шая иэ дсся­
т1 1 ч11 ых позици01ш ь1х систем.
I< lll в. дu н. э. уста ~ toв1mach и )Ч))'I Шt срорма
обо:щачении ч~ а сел - исро 1 'J1ифнче'ск::~я При
З~Ш.ИС\1 ч [ 1(..'Jla, СОСТОЯЩС l'О, 11апр1rмер, 1 t:~ тыснч,
ситсн . леснткпв н сдт 11-rц , сначала :за11нсыпш111
ч11с1 ю тысяч, затем 01ра1:1а 1 1лн снизу иеро 1 ·­
J 11tф , обо:та ч::tющиi1 тыся чу, чнсJю сотен, :~а
ним - нероп1иф, обозначающий сотню, число
дtсят 1юн, знак десяти и, наконец. чнсло е1~и-
111п{.
Таблицу умножения от l х 1 /{О 9 х ~) эауч11 -
в::tлн 11аизусть. Ее декламироnаm1 юш даже
распеват1 ш1 уроках . Был1 1 11 др)т 1 1с числовыс
табшщы, нклю 1 1 ~шшнс: npu1r:>Rcl\CllJ1Я кв~щра­
ток. кубов и ·~стнёртых с1 ·с11с11сй.
Лю Хvэи .
И:щав11а в l<11тat· бь1 J 111 И3Rt'стны 1tp()611
J lекотuрыс имс.1111 ;рже свон н:.1Звання . По110-
в11на 11а:~ыв:1л:tеь <,бан1' '" тpL"l'I• - ~ш:.ю б::~нл->
(•м~1J1::111 1 ю1ют111э » ) , /tве треп ~ - ~тай 6:.1111. "
(<,бо11 1,111а.я 11олпuи11а» ). ГТо:щпее пш11111Jюо, спе­
l{Тiалы юе 1 1 а 11 ме1 юв::шпе для четвёртоl1 час­
п1 - «слабая по.'!ошп~а». I lользоnалас1. п деся­
т1 I ЧIJЬJMII дробя."JИ.
При реше11нн за,11ач порой прихо/1,тmось от
мс1-11,111сго колич<.:стна 0· 1 ·н11м:1· 1 ъ большее. Так
IIO JJ В. ДО Н. Э. 1IOHВ11Jll'IC11t)T[)I11 ~aTCJ! Ы-11'!(;: ЧIIСЛ:1 .
На счётно 1~1 NJCKC 11х ныдслялr 1 t1аJ1uчкам11
T\P)'l'v1·0 цнета 11т1 фор:-.11>1 , а 1-1 руко 1 п1си -
/tру 1 ·1 1 м 1 1 чсрютам11 11; 111 косu 1\ чt:ртu1'1. 0 1р11 -
цзтет,ныс чнсл;1 1 1а:з111нал11съ «фу». а 1ЮJЮЖ11 -
тсль11ые - « чжэн». Постепен110 ч11 сла «фу» ста­
т ·~ 11 столковьш::tть как долг, недостаток.
Вщ:дение отр11цатсльных чисел и правил их
сложения 11 вычитатшя можно счнтат1, одп.им
из самых круш1ы.х uткрыт1·11-1 к 1 rтайс.кнх
учfных. В 1 ·речсскuй м · 1 ·1 ·смап 1 ке это с;tслал
/t11nфант н ссрсю1не 111 в.. и лн1111, 11 Vll н. отrнr­
цателъю,rс чнсла поя 1iюн10, 11 111 щ11йско 1l ма­
·1ематике .
АЛ ГЕБ РА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
В трактате «М:tтемат1ша в девят11 кн~rгах-> объ­
яс1шется, как извлечь квадратный н куб11че­
ски 1'i корни с помuщыо формуJ111t квадрат:~ и
куба суммы днух ч1 ю..:л. Пuсколы,~· ю1таl!скнс
м:~тсм:пию 1нсю 1счi.:'1· 11::1 доске. 11.х о юсоб 11мс-л
некотuры<.: осоt.11::111юсп 1 . Позжс: (HI был обоб­
щё11 лля случая тобо1·0 i<oprrя п 1юобщt: д;LЯ
числсн1юго реше1111.н ура1те1шя 11-\1 с 1 ·с 1 1с1111 .
Метсщ nOJ l)'ЧШJ 113 зnа11ис "тя 1 тъ-юа111," (бу1шат,­
тю - « 1 1ебео 11,111 элемент->) - так юпа!1 11,ы 060-
~шачат1 1 1ен:~nесптую вt:J1ичш 1 у. В1 10СJ 1 с::;1ствш 1
метол «тmп,-юа11 ь» р::~зш11п1 п разработ11ш 1<11 -
тайские алгебраисты Xll l-XIV нв. (В Европе н
XlX n. 011 ст;щ извсстсн ка1< мс· 1·0/\ Руффнни­
Гор11сра.)
Дпя рсшсн11.я с1н.·тсмы /1 1 шнейных уравнt.:-
1IИЙ(.'17Ht'J1знс с~1·н ЫMll 11p11Ml'1fЯJll'H Ml"I'(.)) \ «фан
LJЭH '), 1l азн~ll ШС 03HaЧ:tl'T <- НЫСГ['!<Шнаннс ЧJICCJI
1Ю l\JICTKa,\,\ » ( ra:~yмee'l'CSI, I ТЗ CЧL:T1 t0i'1 ДОС!<е) .
Этот ;щ·тu;~ 11а 1 юмш1:icr дейстшrя с матр1щ:-lМ11
II опреде.r11 IТСЛЯМП . 13 Европе 11ервыт~r ПО/\ХОД 1\
реше1 1 1r10 снстсмы линей ~ 1ых ураnr1спш"1 nстре­
'-1ается: у Леонардо IIJ 1 з at 1 ci.;01·0 (1202 r.), а Э<П ем
у Джероламо L<ардатю ( 1'5 ·15 1'. ) .


Из За/(ЗУ , от.носящихся к тсорпи ·спксл, сле­
дует }11Ом.»н уть кл:ксич<::скую задачу нз послсд­
нсfJ кнш·н « М~1·1·сматическо1·0 трактата·, Сунь­
цзы: «Имеются ВСЩJ!. ЧНСJЮ IJ X t-ICHЗll<.'CI HO. HCJ IИ
считать 1 1х 'l'f){)ЙКам11, то остаток 2; еслн счи­
тать нх ш1тё1жзм 11 , то ос1 ·аток 3: сст1 сч 11 та ть
их семёр rсзм11, то остаток 2. С1 1р :~ш и вае·1·ся :
С1\011ы<0 нещей?J) . Ины:мн слоnамп, требуетсн
11айтн чнсло, кото рое при делешш 11~1 3, <) п 7
даёт соответстnсrшо остатки 2, :1 " 2. Искомое
qпсло - 2J
Вс;сьма возмож н о, что задача более дрсвпс-
1·0 нронсхож.це1шя [1 в «Матсмат11 ку R деннти
KHl l f':IX » нс ПOШ/JI~I 1ютому, что н е IJOJ(OITTЛa Н11
к О}\1 ЮЙ теме сё rазделов. и у Сунь-цз ы задач :~
та 1ю1 п ·п 111 а - ед1111сгпст rая. Кстати , она был :~
шнрпко и:1вестна в нарrте и бла~·одарн совпа­
де1111ю нмён служила примером осоfюй муJl ­
рости n()лко1юдца Сунь-цз ы.
Общее пр~шило решения подо611ых задач
сформу11J.о1ро1:1 а1ю нс было. <.Jно nояnлието1
ШIШЬ ДС(;ЯТЬ t:ТUЛ<.;:'ГИЙ с1 1уст.н у Ц11нь Ц:но-шао
н lTO •дс1:1ят11 кюн·ах 110 математик<.:.> (X!fl н.).
Термн 11 ы, R Нсдё1-1ные 11м" заимствованы из
сада·1·<.~m,1юй терми н оло1·ии конфуц11а1 1 с кu/'1
•Кн 11 г11 перемен» (УШ-VП 1ш. 1т..о н. ?!.). R ос1 ю-
11е г~щан и я леж:1J10 11редска:1а1111<:: сульбы по
с1·еблн м ·1 · ысячел истппка, IШТ()рт.rе расю1ад ы ­
n.tлщъ произвольным об разом па отдслы1 ы с
груды. 13 р<::зультатс .ма r-rипуляцнй с этими па­
лочкам11 .и 1юз ш1к11~1 уnомяrтутая теорети ко­
ч11словая зада ча. с 1<0тороl1 Цю11, Цзю -шао
11;\ЧИIТ:tСТ Llюё COЧl'JHt'HИt'. отдавая д;шь IICO-
кoнфy циal JCTl:I~·'. (Остал 1,ные зада<ш нз теории
чисt=.11 уже н е свя:iан ы с l 'аJ(3 11.и ямн; 0 11 11 ноз­
н11к;u1 н н пс1 ю 11н ом п р11 сос_~ганлсю t 11 к~1л t11-
/Щ>СЙ .)
В Евро11с эта же ззJ.1,ача 11р111ююпся Лсонар­
f(() П11:1',mсюrм, встречаетсн н од1101I нr1:~ан·п 111-
ской рукот:rси XlV 1:1. , н н еме цких р)'1<0П1к11ых
ар ифметика." ХV в. и n русских математнческнх
рvко nнся...'\': Х\:'11 в. Общий метол: 1хщсн1ш так11х
'iадач был нно~ 1, разработ~tн Лсо нарл;ом Эйле­
ром в 17·IO t '" и K;i рлом l'ауссом в 1801 г.
ГЕОМЕТРИЯ
fс()метр11н n Древнем Китае 11 е р;1~ви11ас1, 11 са­
~юстояте)Jы tую 11 аут(у, к:ш ::>то пр он :юшло 11
Древпеif Грец11и. J3 11ерво1t юшrс «Maтc J\l a·1 111< 11
IJДCHflTll l(!IШ ':lX? Пр!tnО,r:(ЛТСЯ ОТДСJIЬНЫС правила
Ма 1ема тика Лревнего Востока
11змер<::1 rия площадей 11 рнмоу1 ·олышка, трс ­
уrолы ш1щ трапеции, кольца, круга, е1·0 сектора
и ссrмс;11т;1. 13 1ш1·uй кн..ш·с рассматрrшаются объ­
ёмы нрямого п:1раю1слс111111сда с квадратным
OCIIO\\<IHHCM. lljJ$\MЫe при :iМЫ с тр~.111\.:J~СИД~\JlЬ­
ным н тр~у1·ольным оснона1-111нм11 . п 1 1р:~м11 ;1 ы с
ква11ратн ым и ll j)Я M OYl'OJUoHЫM OCI юна 1111 НМ11 11
дру п1~ п::ометричссюrе ф 1 11ур1·,1
Co1·Jt:J с1ю <·Трактату об тrзмеритеJt ы юr-1 шес ­
те'>, тс()рсма Пнфаt·ора для ча стного случая -
nртvюу1·олыюго трсуrольшно со сторо11ами :),
..+, S - была 11звестна за 1100летдо п. э., адля
общего с; 1 уч:1я - в VT н. до н э. Доказатсл~,ство
осно1:1 ьша 1юс1, на ра:.1611с1-11111 ющдрат а. по ­
с11:юс нн ого на сумме 1<~1'/'t'TOB 11ря..,ю у 1 ·ольно1·0
ЗАЛАЧИ НА ТЕОРЕМУ ПИФАГОРА
Вот з..~дача о и з девятои кни1 и « Математ ики в девя­
ти книгах » : « Имt>ется водоем со стороной в 1 чжан
(= 1Очи). В L1ентрР его растет камыш , которыи высту ­
пает над вuдой на 1 чи . Если потянуть кам1>1ш к берt!-
1у, то он как раз кщ:нt?т< я его. СпрашивJt:тrs1: какова
глубин:э волы и какова ллина камNШ<З~» .
Если обозн<l'1ить глубину воды черезх. то по­
лучим прямоугольный треугольник, олин ка 1е1 ко­
торого епь х, второй равен 5, а гипптенуза х + 1.
По теореме Пиф:эгор:э легко вычислить, что глубина
воды составляет 12 чи, а ллина камыша - 13 ч11.
Приведем 1ад3чу 13 из той же книги: «Имеется
бамбук высспой в 1 чжан (=1 О чи) . Вершину его
соп1ули так, что она касается земли на расстu янии
3 чи от корня. Спраш11вается: какuва высо1а после
сгиба ни11? ».
Применяя к прямоугольному треугольни ку те­
орему Пифагор а, получ~1м , чтu высота бамбука
посл~ СГl'!ба11ия равна 4 11 / 2n чи.
;)l


История математики
треуголы-rиr<а, на 1юсемr, треуголы-1 ш<о 11, рав­
ных между соб()й, н на маленький 1ша11рат со
стороной, равной разности r<атетоu.
Легко заметип" что большо11 квадрат на сто­
роне а + Ь составлен из кв<1драта на стороне:: с
и четырех прлмо-утолы1ых треу 1·ш 1 ью1К.ОВ с ка­
тстамн а и Ь, а значит,
(а+ь/-=с~+2аЬ.
С другой стороны, па ::пом же чертеже нетру71-
1 ю разглядет 11 и доказательство и звестного во
нсех дрс::нних цив1-1лr1з:о11\1н1х ал 1тбраическо1·0
тождеств;:~
>
>
'
(а +Ь)-=а-+ь- +2ah,
откуда следуе-1·. ч ·r·о
с.!.= с12 + /J:!..
Этот вариант реконструrщи 1 1 докааательства
приrщцлс1ю1т известному математику Б. д Ван­
дер-Вардену. Замстнм, что существуют и друп1с::.
***
Вплоть до xrv н. математика н Китае ра:.щи-на­
лась как сис 1·сма стrоги:х праRил , предна~1-1а­
че1шых дт:r решения :~~щач по ::1рифмет1 1 ке ,
алгебре и геометрии. Китайская маr~·ем:пика
rre была изолирована от науюr Индии, Средней
Аэии, стран Блюю-1е1 о и Среднего Востока, что
подтвt:рждается сходством многи:х задач и
общностью Mt:TO/\Ofl их рt:шсния . Через =~ти
страны матсматию1 Кит:1я оказала влияние на
мзтематику среднсвско1ю 11 Еврuпы. Однако
м11оrие открытня r<итайсю 1 х учёных С1али нз­
оес~·1 1ы 11 Енроттс уже noCJ1e то r·о. как свропс~:-щы
пришли к 1111м саrvюстонтелыю.


АНТИЧНАЯ МАТЕМАТИКА
ФАЛЕС И ПЕРВЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
ПоЖ'JJtуй, }lату поя1:шс1-1ня маТС'v\атики к;1к 11:1-
~-кн МОЖШ) OTT[lL'f\CЛJITb ДОВО!IЫЮ тuчно - \! /В.
/\О н. э. На 11pn·1яже1-11111 20-30 прсдыдущ11 х
веков н;~роды ;1.pem 1е1 о Вое.тока сдел:1л11 нема­
ло о·nч1ы·1 нi1 n арнфмет111\е, 1 ·ео1\1стрm1 н эс~ро-
1юм1ш. тю сдшюi1 матем::пнчсской I1аук11 01111
нс создали. Грс1~а,·1 же это удапuс1, н те'-1ешrе
одног о с1 олепш, что ло сил пор кажется чудом.
l la полтора l"I Шlетия раньше - н ccpCi\IШe
VIJI в. до н ::i. - 1 ·рск11 ш~рсж11 J 111 насн.>ЯЩ)'Ю
ку11ь·1 урную pc.:t\OJll(ЩI llO. у HlL'\ llШIНI I JICSI сноi1
;iлt.j1:iк11·1 , 11 ю 11очанп111Л глас~ 1ыс буквы . То1 J \:J Жt'
()1,1л~1 со:ц1,а1 11.1 1юЭ\ 11,1 ~ иm1.t;lЭ » 11 <·()JJ, 11ccc}J·>
Гомеро1~ск11i1 :"llIOl 1ю. 1110111гл 11рLюб1_ц11л101 к
ку.'11.~)ре ~кем , ;\аже 11с·1 ·рамот11ым. Re,(1, ст~1х11
11струю ю RЫ'УЧПТL r1:111зус·11,. В ту же :=юnху 110: 1-
1111юп1 Олr1м111111сю1с..: игры. На них каждыс­
чстыре 1·ода встрсчат1с1, шшболсс aкт1lli1iыe 1J
11pocncщc1111h1L' 1р,tжда11с rоро;щн <Jлла,r(ы (таrс
11:1::н,111ал11 с1~с.нu рuд11ну самп r1к·ю1).
<..: ссрсд1 шы \.·11 1
11. дон. э ()ыtтро росло
ЧJJLJIO 1OpOJ \011, РСО()с1 шо Н ЗЯ ~1С JpCIOJX r<OJI0-
111 IЯЛ . R !IOHCK<!X новых 'i('~ll'}ll>. пr111 ( ЩНЪIХ ДllЯ
ССЛЬСК()!'() хu:ш\1С111::1 . CQ'l' H\I l'С•Н.:Й пcpcпpailJIЯ­
J lllCb ia мuрс 11 ССЛJJЛ11tъ 1ю н<:сму нобl'рсжью
Срсд111смщJ1 о 11 Чср11и1·0 морсt'1 - р>щом с ~н.:­
cr11ur'v111 <·нарнар~1м11 -> ~;)Jш шrы ·шакомшшсь с
кут.турnй соссд1111х 11арщtов. уч11л~1С11 у 1111х 11
сами пытат1п. уч1пr, нх. /К111е:111 горо;кюrх
респубJJ 111< - П()Л11СОI3
-
еЖС{\1 ICBI Ю Обсулщалн
па улн.Цах 11 площ~1х uce nолноваnuше 11х rю ­
просы: от Dидов 11<.1 Урожаl1 н тн.: трое1н111
uкрсс."п 1ых варnаμон до rювосте~\ пр1 шс~ёш !bL'\
'{ас:::1ж11м11 К)-пцам1r
C:-t м hl(;" 11 H 'J'(;"j)t'Cll hl(;' l l:JIН.:C l ' I ш J] р1 IXO/ (l IЛ 11 11:J
l'OCYf \<I рстн Бm 1ж11tтu Восток;~ - Ji1 11п·1 :1 н Лс­
снрш 1. ;1 ПОСЛ(:' J'HOt'Jl ll Aн.:1 tp1 1йt:KU l'(J [\'1(lCTK'1 -
1-1:-111 <щt'1111н1шс\<.:10 ш1щ~.снш1Ванн, ю11r1r111 М11 -
f(Ш1. 13 cepe!ll111e \/111. i \tJ r1 . .:1 . 1ке :о1· 111 3t'MJ111 r10-
п.1лн П()/1. власт1. nе1ков, 1щт ор1>1t' yC'l ·a1 Юti11ю1
Г1р0L11IЫЙ ~tпр в сuоей (JГf)OMIIOil !IМПср1111 .
Tcnc..:pi, м1ю111е лю6озн:пелы rыс элт.111ы 11~1 e­
J111 воз можr10ст1, бсзопас~ ro rr)- 1ешествоnать по
зсмш1м llcpc11дc1<<J1'1 державы: О/\1111 - с торго -
11ы ,,111 1l(.'Jш ч11 "~ру1 ш.: - н н.1;1;с;1у;с 11prio()1r t1111 ,ciJ
К VlyдpOC'J'IJ l'l 'flll IЯH 11 11aН1IJ l()l-OIH


31
Иt тория матем.пики
<J);iл er 1равюрu
Hd \1!>ЛИ XVlll 8
Вср 1 1уrтпкь /\омо1\ такпй 11у·1·е111ес"п~еr 1 1п11<
Rcerл;a rю:~буждал Ж111юf' J1ю601щтст1ю соrраж­
,rщн. Но не JIO 11сём ему nсрили 11а слово. ll<1 -
п рш•1ер. от1 rоnорил, будто n ёпште стоят
рукопюрl!Ыt' ХШJМЫ llЗ K<IJ\!JIЯ rробIIИЦЫ
.Щ->t:Нl-HIX царсl1 - BbKOTOIJ в 20() 1/JШ 5UU лuк­
тсй. 1lсужt:ш1 011 сам 1вмсрил 11х выt:uту? К;:~­
ю1м пбра:юм' Пус1ъ :щкажст, что его слова -
нра1ща! И сщё: он ска:.щл, •1то мудрые t:Г1tптя11с
)":VICJOT nrt:,JJ.CKa:'la'l'I_, срок будуЩС l 'О ЗaTMl' I HIH
Лу11ы 11111 1Спm щ::~. Пус1ъ пбъяс111 п. как от t11 этn
лелатот! И 1шгда мы у111щ11м nчере,11,1юе затмс-
1ше 13 нашем 1·ородс'
Ви,1п1мо. перnым нз rреков. кто научнлся
убсднтслыю отвечать на подобные вопросы,
был Фалес .Милетский.
Фалсс (OKOJIO 625 - OKOJlO 5·17 до н. э.)
роюшсн и вырос н 1uрсщс М 11лt:те (л.rенней.шем
1·речес ком цснтрt 1~ Мащ)i1А:шн),1~оэтш.1у его
и на:.ihrнают Фалесом М 1 шетским. На собстнен-
1 юм корабле. rружённuм l'речсскнм11 ·1оаара ­
мн, Фалес плавал по Сре;~иземном:у моrю Осо ­
бе нпо удачно он нё.11 торгrmлю плиnковым
маслом, чем нажил огромное состшшие. Бы­
вал Фалсс в Епштс, Ассирии, l3aвrrлo 11e. где по­
знакомился с м атематикой и астро rтомисй .
Именно этим наукам он посnя щал с 1юё сво­
бодное время. Кроме того, он был философом.
:-iакон одэтелем. Е1 ·0 считают псрRым 11 ~~ семи
Rсликих мудрецон древности - оснонателей
греческой 1<у11ьтур 1,1 н науки.
R ')8'5 г. тr.о п. з. Фалсс пре.дсказ::~л сол11еч1юе
затмение. В то nре.мя шла 1юй 1 щ 11, 1щг1~а npek
сказание сбылось ( <·11.ет-11) преврап 1лся в ночь",
по словам исто рю<а Геродота) , воины в страхе
поброса.'ти оружие 11 ра:.iбсжал1къ . Затмt.:111 1 е
быдо раl'цснснu как 11μ~:1~знамснu11анис, и
11u 1·11 щ прскр:1т11л:1<.'h
J !о ttl' астро1юм11>1. а матсм<iтнка ст;uш лю-
611мым эа1~нтнсм Фалtса . ()н 6ыJ 1 11ер111,1м. кто
1тач;111 дока. J ы 11ат11 11екс1л >рые 1 ·еометр1.1ческнс
1 1 ре;tл()же1тя, ЧП) прсnраттшо rt:o:v1eтp1rю
11з свода практпческк'( праиил в nодт11-1ную
11а~1~·.
J\110:,ю то СIЩЛЬЮ) угодно ра:{ убсжда'lЪСЯ П)тём
нзмсрсн~J!"t, ч•1·u J(H:t 1н.:рт11~.:а ; 1 ы-1 ых у1·ла раш1ы
межлу собоl1 . I::сш 1 OJ\I rн 11:-i ш 1 х со;~ерж11т 60°.
то н ,i1py1лi'J 't'C >Же. CCJ\11 н OДl-IOM 12° )О', то 11 н
другом стшр-.кu жс, 11 т. J\. Но 1щру1· /J.JIH очень
малсны;11х углт1, которые ·1 ·руд1ю 11змер11тъ .
:'JTO 1 1 е- т;:~к? 0 ;11 rако ~м():1р1пелыюе рассужлс-
11не - nьшод (шш , как "чы те11ср1~ 1·01юр11:v1 .
до1сазате.11ьсшо) позJJОJJЯет у11зсрждат1,, что этот
фак1 верен веста и щ1я всех утлов.
J<аю1м же обра~юм проводнл Фалсс l'BOII
док;t:iатеды:тиа~ Д.нл ::Jтo!t цслн он 1 1 c1ю11hJOВ:.l.'l
~движ<.::111 1 н". Есл 1 1 J(BC ф111 ·уры ПJчни со1:1мtт­
тятся дру1· с друго.'\1 rюсрс.;дсттюм /\НТ 1жс1тт1я, то
:-'JTII фill~'PЫ 0/\1!1-\aIOШl>I, рав11ы
Иrvt<.::1-JJJO таю1~1 П)~l't'l1 Ф:~лес дnк:~зал rя,1
псрнт.1 х ·1спрем 1·еоме-1·р1111 . F.cm 1 п;юскос1ъ по­
вер11у1·1, как тнёрдое 1~елое 1юкруг 11ското1ю!1
точrо1 О па пол-оборота (lHO"), го луч ОА
nере 1'щё·1 n его продолжсrmс UC. J ! о тогда ясно.
что стороны од1ю 1 ·0 и~i двух вt:ртllкальных
углов как раз перейдут в стороны друсоl'О. т. е.
:1ти два у1 ·;ш соимесштся Знач11т. вср·1нк;uтыrыс
уты раины ( рнс. 1) . ' l't:\1 ж<: с1 юсобом Фалс:с
нuка:з;ш , что днамстр дt.::.111п кrу1' попuлам, т. с:.
дна полукруга р:.шн 1 ,1 м~жлу co()ofi.
Ko 1 1eчJJO. те 1 1ер1,, 1.:ог/(а с ге()метрпет1 знаком
каждый шко11п1 1 1 1 к, кажется-. ЧТ() nсё это абсо­
лтот1rо очсRrrд1ю. Однако до Фалеса доказа ­
тельств просто не сущеспю1:шю! Точно так же
ИЫI'JIЯДl!Т совершенно еСТССТJ3СШIЫМ, ЧТО гон­
чар делает ~.;руглый сосуд, пользуясь нращаю-
в
Р1к. 1.
Рис. 2.


щ11\1t :.1 ~ 1om11\01-1 . Но человек, котоμый первым
llj)ll1I\ м.1.1 .но, 111 l t: IКЯЮ IX сом1-1енпt 1, CUBl'f)IllHJI
1e1111,1JIЫIOl' ОП<рып 1 е.
Ф.1лсс д<жаз,ш раnе1ктво упюn 1tp11 ос 1юна-
111 r11 ращ юбt:дрс11нuго трс}толы-шка. А р~1ссуж­
;1ал 011 так ра1шобс;~рс11н1,u'1 •1рсу1·олы111к c 11м ­
ML"1pir< Jl'l I OTH ()l'J ITCJI 1>1-1 0 (1 11е:сект рт1сы y 1·11:J 11р11
н1.:р111н1н.:, а з11:1чит, 11рн псре1·ибан1111 чсртt'жа
rro Ci1ю:t 1\'I рщт у 1·лы 11ри оснон:111ии сон п~щут
(!HI( 2)
< >н ) ст:11ю 1 111л 11 оюm 11 з прпзн~шоu ра
11с1н 111.1 1 ·рс::у 1 ·ол1 .11шюn: еслл ,тша треуголыпша
11ж·ют р.1n11ую сторону и дна раrшых )Тл~1 . np11 -
.1e1Jющ1 1х 1\ э·1 0 11 стороне ( рнс -~). то эт1 1 трс­
~тuлы шю 1 p .tl!l!(,I , l lo пр~д<ШИЮ, он 11p1tMCllH.'t
А11т11чн.::~я мaтe.vtd r11ка
ПОI Щ/11.111.11', чтобы oпpe;\C!lllTb p:IClTOffill lC ДО
IIO\X\\)JLЯ !} море
11 )' 11. 1'0 JIC'll IO. llЗДО ОТ\\СТI!ТЬ ТО yTRt'pЛ\,.'ll­
IIJIC. r.:uтopoc мы 11 сеl1ч.1с н:1зын;1см 1 1..·orc.\щi1
Ф.1:1сс:1 t.:C.'111 н.1 п, 1нu i1 <. юроне ~т;1а от.1t)Ж111ъ
р:1нньн: 01·1к·~ю1 :1 3:tтсч Чl'рсз концы эт11:s от­
рс ih:OH llj)OHl'< · 1
·11
ll:IJ>:ill!JC. lhfll>IC 11ря .\J ЫС, J u 11:1
нторо1·1 е1оронс)1 ла 1 1р11 псресечс111 111 с эт11'111
11p:.1~11>\\\ll \<'\КЖt: обра:~ую 1 ся fЩШIЪIС '\1eiK,\Y (0-
f)()JI отрt":Н\11 ( р11с -4) KaI< ;щказыnал теорему
Ф.tлt>с, мшыю толыю дога;1ыnаться. l \ o- nr1д11 -
J\I0~1)', oir 11 здес1. 1юль:.юва11ся тем же 11р11:та-
1,ом r:ше11C1'13:l ·1рl'угол h l uшо н.
"'...*
Т:1ю1м 06р;1 .юм, Ф;шl'с 111х: 11ратш1 J\{lCIНllOIO 11
снящсr 11 ry10учСностr,нr1р1.:;1мет с 11оро н и ;~ока
"1:1·1·с111,(."1'н l /скушё11 н 1,1е li с 11nр·пнн~ ы х сос1 ж·~а ·
111\Н ~ 1j)tКll щ· .1нал11 ; 1ото 1'1 П()j)Т>! СЛОЖ IIЫХ 1111 ·
1е-л, 1 t.:ктуалы11.1 '\ 11гр 11ро11е ш:~х,1ат С лёгrюf1
р) ю1 Фалес<I гс()метрня оказалась 1 1ервоt1 та
1,ой 1н·роf1. Вскоре он~1 ста.1а почl"7пым за11.и­
n1с;\1, 1<ак бы 11:н.1.1 ю11аnьным I:ШДv\t спорта -


-~
В".Lf!J
История математики
нараnне с ттолитико\1 или Ол~тмпнйск11м 11 ю·­
рэмr~. В геометрии rтояш111ись мастера. кото­
рые nрсвзошлн Фалеса н па'-rали открьшатъ
такие математические истнны. ~юторые даж:е
нс сrщтtсь их прсдшест.вснш 1 кам .
ПИФАГОР И ЕГО ШКОЛА
Be;i 1.1ю1l1 дрс111 1 е 1т>еческ111-1 учё11ыГ1 Пнфагор
ролнлся 11а ое1poneСамое АVI в до 11. э. В ~ю­
:юдОLl'И побыnал в Еrиnте, где yчи.rrcJ1 у жре ­
цов. Говорят, что ori был допущен в сокровен­
ные свяпrт1ща Пгнnта, посстнл халдеnсюrх
мудре 1 tов 11 псрсJJ,1\СТШХ магов, Ок01ю 5:$0 г
до 11. э. Пифагор пcpcexa.rr н l<рото н
-
r-речс­
скую ко1юmnо н LОжно 1i Итал1tи , 1'дс основал
так 11азь111асмыli п11ф;11·ореltекнl1 сою:з (шн1
крптонскос братство). В сферу 11 1-11еrн.~со н
чле 1 юв сою:-1а нхо11нл1-1 на~rч1 1 ые исследонапня,
рел 11 г r юзпо-философсю1е иска 11ия, 1юлит11 -
ческа~J деятелыюС'1 1,. Онн вели суровьп1 образ
П>~фагор
1 f'•IRk•p.1
11~ п~r~1нно11
•11•11и
В 1юt~1· иже 1 L1-111 Вселсююл чt'rез математи­
ку п1·ром 1-1 1.1i1 ша 1· нпсрёд сделзл Пнфа 1'ор. 011
первым ;i;:~меп1 л, ЧТ<) с 11ла п tдн1 1 ст1~0 1rаую 1 ос ­
нова н ы 11а работе с идеалыrымн объе1стам11
llanpимep, прямая линня - это пе тетнва на­
тянутого лука 11 нс луч cIЗera: осдь они имеют
11сбuлыную ю11щпну, а т1ния тuл щиr 1ы не пмс:­
ет. То же относитсн к 1·сомстр 11 чеошй 1 1 1юско­
стт 1 и nоверхнос11 1 волы н споко 1'i1ю.\11 о::н.:рс
илн к ч 11слу '1 [1 пят11 пальцам на руке. Илсаль-
1 1 ые nбъскты (буд1. Т() чнслз 11лн ф1 пуры) встре­
чаются тоm, rю н r.1 атема ·п 1чсском рассужд<::ни1 1
И только /~ля них верны строгие 11ауч11ые выrю ­
ды! Поэтому мзтемат1 1 1<а 5Шлястсn как бы «вто­
рым зрением" человека : она открывает раэуму
идеальн ы е объеk"'ГЫ, 1огд:~ как обычные чувства
1'оворт· нам и своikтв;1х прпролных тел.
ж11:~ни , rrревыше nct1'('> 11сш 1m 1са мообл:цщ11 rre .
смелос 1 ъ и коллектниную лr 1 сц ш 1Jппту. Ппфа ­
rорейцы жилн вместе, у 11нх было со~месгно\
Нi\1)'Щес1 во, и даже сван открытия онн счита ­
;т общим достолш1е.,1 .
Дся'1·сльнос1 ь сою3а была u.кружс.на тайной,
rюэтому ннк~1х т<:кстut1 от раш-111х 11ифаrо­
ре 1!1\ен нс остшюсь. Крощ.· ·1or·o, 110 TJ1:.lД\11(l t H.
0 1111 вес открыт 1 1н r1рн1111 <.: 1,111ат1 П1 1фдгору, ()
котором уже 11р11 ж113н11 XO/(llJНI 11е 1 ·ен!(ы. Кто
на самом деж: я 11; 1 нстс я автором тп1·0 1111и тю­
гп реэул~,п1та, пеи:ше ст1ю.
Пифзгорей~1ы 11азывал 1 1 собстnс111 1 ые исс.11е­
~ова.~111я <· математ;н, ч·1 о 0:1пачаст <- Ш1ую 1», 1.1
делилп 11х на четыре части : арпфметику. rео­
метршо, ::1строноыню 11 гармоншо (уче1 шс и
музыке). Гл;:~вrюй сч11л1л:1сь ар 1 1фметшс.1 -
наук:~ о ч 1 1сш1х. 11менно 011а т:ж;и 1 а 11основе11
1·еомстр1r11, н ;,~стрт-юм 1111 , 11 1'аrмо111111.
АРИ ФМЕТИКА
Ilнфа('()рей11ы nредсташ1ялн ~1 1 1 сла как сово­
~-..-у111 юстн точек образующих н:ометрнчсс 1ш~
копфш·) ращ11 1 - r1Jподоб 1н: р~JСутrка из 1<а­
\rсшкоn па зс,,тс. Т;,~ю1111 обр:1зо11·1 . 110д LШС ­
ло.ч ОIШ I IOJ(p:!З\'\11t.: Ha.'llr f,\.UНJЖ<.:CTHO t.:ДllJ-11\Ц'>
(1/1(!•1 . "-ар 1 ттмt)с.») 11 11r11 ~>нан:11111 тол ы<о J(C..'lnte


Ф11гурнt.1f' •ои< Лd . 1рруruл 1,~1ые, квадратные.
nрямоу1 ольныt:. пятиугольные.
tюложительпые (т. е. 1tатурады1ыt:) числа.
разделяя их на чётпые и нечёт11ые. (ILозже
I1'1ато11 говорил, trтo арифмепша есть учение
о чётнuм и нечётпом.)
П11фа1·орейцы доказали псрn-у10 теорему те­
ори 11 rtелимост и: 1tроизв1:дение двух чисел
чi:'THOTO l '[J.<11 1 Т'ОЛЫ<U'l'О!Ла, КОt'Да чётнопо кр:.~й­
ней чср<.: одно 11з ннх_ О11н постаннлн такжt"
задачу п r1ахожденн11 совершенных чисеJ1, т. t:.
члсел , ран~ rы х сумме своих 11<:.л 11т<.:л е1~1 (см
с1·атыо «Соверш енн ые и дружестне111 1ь1t: чисжн).
Ед11ю1щ1 с читалас ь педслимоr1, у 1 1 её 1te быпо
~доле11» . Uместо этого rrифагоре1'п1ы расс~1атрн ­
валн ОТI10шс1шя (т. е. про порции ) целых <rnccл.
1{ пр11мсру, они мопш сказать, что 2 точно так
относится к 3. как ' ' к 6. Говоря современным
языком. 0 111-1 построи ли теор ию раци о 11аm,нf,1х
чисел как теорию пар. Её и зложе ние дошло до
1-1ас в «Началах? Евюв1;~~1 (111 в. до н. э.).
ГЕОМЕТРИЯ
Остаётся 1Lеизuестным, сколько и ю1ю 1е имен-
110 аксиомы положили ранние пифагорс~щы n
ос нову свосl1 геомеrрип, 110 nce ою1 относи­
лись к ш1;,~1-1нм е 1 рин 11рямоли нейпых ф11tур.
Изуча 1шс1> свu й стн а трtугольн111<ов, прям о­
у1·u11ьнико1:1. нараллелuграммuн 11 дру1·их шюt­
кнх ф111'ур, сравниналнсь 11х шю11(:J)\I1 . Пен ч~uю
их 01с:тему зю1нv~i1 докззательст1ю з 11ам1::нитоl1
l'еорсмы П11фа1·ора, котор<UJ до этш·о 6ы11а 11.J-
вест11а лишь как факт для некоторых: частных
случаеn. Трудно переоцеIJ итт, з11аче 11не тео­
ремы Пнфагора (см. статью «Тr>еуголъник, nро­
стеl1шш·1 и 11 сисчерпаемый» ). J::ё обобщение
и сспщня лежит в основе определения: всех
ме1 р 11ч есю-1 х 1 1ростра11ств.
Мож.но утверж;1~1ть. что и в стерсометрнн
nифа 1·орс:1lцы дuсп11 ·m1 .ш:Jчнтелы-1ы х успехов.
По сtнще1 t'ЛhСтву грсчсскот нстори ка и фн­
лософа 'i/ н. П рrжл~1 . нмt:нно uн11 Л()стr1)ю1н
ш1·1ъ правилыrых м1юсо 1ранннков: тетраэдр,
Анти1.1ная матем;ника
куб, оr<та эдр, дсщекаэ1~р, 1 1 косаэдр (см. стат1.ю
"Мrюгогра1 шию1" ). Правда , м1 юп1с соuремен ­
ны е исследователи сч.итают, что ll11фa1·opy
бьuш и:шестны ли1m, куб, тетраэдр 11 додекаэдр.
а uктаЭ/\Р 11 11косаэдр открыл Тсэт(;т Афш-кю1й
(IV в. до 11. э.) , таю1нтливы l1 уч е ник пифаго­
рейца Феодора К11ре1 1 ско 1'0 н Плато 1 1:1.
АСТРОНОМИЯ И ГАРМОНИЯ
Пифагорейцы считали. что Зс~шя имеет форму
шара и наход 1 пся в центре Вселенной: ведь нет
нн ка.ю...L'\: оснований, чтобы uна бьmа смещена
и л н R ы'шнуrа .в ка1<ую-то о;сну сторону. Сотщс
же.Лу11;1и11нтh11J1анет (Меркурий , Нснсра. Марс,
Юпитер и Сат~'{J н ) днажутся 1юкр ~т Земли Рж·­
стuн11ия от них до нашей rJ.1Ja11eты таковы , что
т1и как бы состаяляют ссмне1·р}'11r 1 ую <1рфу, 11
при их дR и же 11ш1 11озн 11к ает прекрасна я му­
зыка - музыка сфер. Оf>ыч но люд11 нс слышат
её из-за суеты жиз1-m, и лшuь после смерти не­
которы е из !Jl[X смогут шклаюпъся ею. А Пи­
фа1·ор слыш;ш се и прн жизни.
llифilrop l му.1ыкальнuй шкмой. <'Ppr11 м~'н1 фpf't ~11 Р,1фнл11
• AфliH(KJll IJJKOЛ,1 •. l'i 11 Г.


Истор~1я математики
ТЕЭТЕТ
Теэтет, молодой афинский матl:'­
матик, имел 11еобык~юве~111ые спо­
собности и при лом был ве<.ьм..~
скромен 11 лружелюfiен. Великий
философ Сократ говорил, что Те
этет несо1V1нснно прослuвится , ко­
гд;:~ достигн ет возмужания. Н о его
жизнь оборвалась рано. В 369 1.
дон. э. ТсэтС'т был смертель110 ра­
не11 на поле брани под Коринфом.
Умираюшеr о героя 11риое.ми в Афи­
ны и пели хвалебный г имн о том,
как храбро он бился в сражении.
Несмотря rtJ 11едоl\rую жиз11ь,
Теэтет оставил глубокий Сl\ед в
науке. Он развиА учение о «Соиз­
меримости• и лал •\ОказатеАьст1ю
тстра:Jдр и лолека:>Лр) бым1 изу­
чены nифаrорейuам11, а два послел­
~1их (октюлр 11 11косаэлр), nо-вили­
мому, OtKpьtA Т~.:нет.
ирраuиональности чисел ~2, , 3
и других, причём как в алгt>браи­
ческой, так и в геометрическои
форме. Это былu совсршен~ю но­
вое направление в математике.
Теэтету при1~амежит и зас-луга
завершения учения о правильных
мноrогранниках. Их на3ывакл- так­
же nАатnновым11 телами , хотя их
открыл не Платон. Три ю них (куб,
Стро11 арфы доmксн был подчиняться 3ако-
11а.\1 арШj)~1('1 ИК.И. в чаСТН()СТИ. к~к ()ОНар~жи­
JШ п11фа 1 ·орейцы, так1tе муз1,1ка111,н1,н: нн·1 ·ср­
н::u1ы , как 01<1"-lв:-1 , ю1и 1 1'1";.i и кв;1 рта . соnтнетствуют
:знучанню 11::irы од1111~1 ковn 11атяr1 утых струн ,
д;111нh1 кот()рых находятся в отношен11и 1 • 2,
2:.~н3. ..J.
Rce :<1тн от!\рытш1 н привели rn1фarnpefщcв
к ·11f{ee о том, что «Rсё есп, ч~ 1сло», т. с. :1аковы
прнроды - не что шюе , как закон ы целых
чисел 11 их отношений.
ОТКРЫТИЕ ИРРАUИОНАЛЬНОСТИ
Кпачале пифагоrейцы пол:11 ·а1ш. что отноше­
ш 1я л юбых физнчсских 1JЛJ1 гсомстр11чсск11х
lleJlllЧl!ll МОЖJ 10 1З!~!ра:з11·1ъ ()'f'IIOШCliШ:l."11-111е,1 1ых
ч11сел. в ЧаС"ПЮСТl f. ШПI CЧIITЗЛII, что nce от­
резки сонзмеrr 1 мы, т. е. 1с1коnы бы шr бьuш два
отрс:зка .1В и CD. <...-ущестnует такой отрезок е.
который целое ч11СJю раз укнадьшаетсн каr< по
длиr 1 е А О, так и по длине CD, а ЗIJачит, rсомст­
р11ю можно свести к арифметике.
Однако uскоре ш1фагорейцы сдеш1J11I oт­
K(JhLT11c, которое перевернуло все и.х взгляды:
он 11 жжазали, что отr rошспис ,r1rтa гонат r к сто­
р(!Не к1:1адрата нельзя выра::н-п ь от1rошенпем
l\CЛhl'< чисе ; 1.
П<х1же fi1,uш 11а1~ще11ы н J(pyr' 11e несои :з."1ери­
мыс отрсэю1. R сщстноrтп , Ф<:одuр Ю1рснсктri1
обш1ружнл, что сторон 1,1 кн:щратон с пm 1щадя­
мн :), '),6, 7 ,R, 1О, 11, 12. 1~. 1-t, 1 '>11естrзмеримы
со сторо1юй ед11 1 111ч1юrо кв:щрат:-1 Л Te:::i-reт
/\Ol<(IJaл, что если nлоща71ъ кналрата выражается
любым целы.ч 1Iекnадрат11ым чнСJЮ!'-'1 N , то сто­
рон а е1'0 1 тссои~1мсрн:ма с с,г1иrпще11. Нны~1и
слона~1и, было усr:шовлепо: сели .'V Фа;, то \ ~ \ i
нс 1:1ыр:::t;.к:н:тс.н ннкаю1м р:ш,1 ·юнат, 1 1h1 ,\1 ч 1 1с­
лом - он ирр:щ1ю11~uтс11 (см сгатыо «Ирf1:1t\1ю-
11 алы1ые ч1 ~ела ~).
И тогда нре111 1 е1 ·речесю1е м 1 .1сл1 rтел11 .1:11<.• rю­
чнш1, что ар11фмет11к;:~ 11~ может служ11 1 1, ос1 ю ­
uoil для ~·еометри11. Геометр1 1ч есю1с 1iem 1ч и1 11.1,
решилн ош1 , 11меют более общую прнроду. че.ч
ч1rсла и 1rx отrюшешш. Jначит, в основу мате­
мат11ю·1 следует полож11т1, rеоУ1стр1по!
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ПОНЯТИЕ БЕСКОНЕЧНОСТИ
Геометрическое облачеш rе придало м:пемати­
ке 11еобыююuе1шую красоту и ~101юш111юсть.
У•1ение о решени:и уравтrениН ла п сама ариф­
Уlетика приобрели rсоыстричсскую фор :му
Именно .!еамет/mЧl'СJШй tl.llгuбjюй назьшасм
мы теперь 1 у ч;:rс1ъ а11п1ч1 юf1 математ11ки. 1<() -
торан затптмалась нсч11слсrшем отрt:эков н
площадей.
Осrювы этой 11ауJ<и был11 изJ1оже11ы е «На­
ча11ах" ~ню1 н1щ. Там рассматр1111аются uтре:жи


и опрt.:Дl'ШlЮТСЯ арнф.Мt'ТIТЧССЮll' ()ПСр<ЩШ!
шщ 1111м11. 1-lанрнмср, f\t1a uтр<.:::Н<:t складышuш,
11р11станляя 0;(111-1 к 1\rугuму, кы<1итал11 , у611рая
11:~ 60Л11!1Il'J'O ОТ[)l'З Ка Ч:1С'l1>, р:1rшую J\•\C!IЫJICMY.
ПрО11зве;(е111 r ем f(вух отрс:.~ков Н d:lЫВ<!лся пo­
crpocrn rr.rlr 1rэ 1шх прямоуr·олыпrк, трёх отре1-
1шв - пpm.юyroJf ы 1ый параллеж:mmсrr,.
Разумееrся, rrc 11~re110 смысла rоворитr:, о сло­
же1111н пря ,'>Ю)ТОm,rтию1 11 отре1к::1. Поэтому пс-
1 шслс:шrс. оrrрсделёнrюс 11 1 ·ео.~v1с трнчсской
t.tJJ r'cбpl'. бьuю ктупе нчаты.м». Псрн~·ю с-rупL'нь
(."О<."J'а кюшн u· 1·рсзк~ 1, вторую - 11лощ: 1;tн, тр<.:­
·r ыu - с >бъ<:м ы . О 11po11.3f\tJLl' HIНI ч:<:"t' h1pi:'x 11
fiOJICl' отрезков речи нс шло, BCJL I> НСКО:З\·ЮЖJ 1О
11рс,~сгаn~пь r\m 1ypy, имеющую более трi.'х 11~­
щ:рс1111й. И11стrумс1 1 тзмн, с 1юм о 1ц1>Ю 1ш·1·ор1,1х
р:1:1рсшалос1, 11 ро/\tдьrвать rюс.:троt'11ия n rсоJ1.1 е1 ·­
рнческой :lЛГсбрс, стат~ ц нрку.тл, 11 J 111ш:·йкd.
J3 первом же предложении ~порой юшги
• llачал·) даrто гео.четрнчсское дока3~1 тсл1,спю
распрсJ1ел 1 пслыюr ·о (,1.1,истrнбут1·1нно1·0) :за ­
кона умножения: L:сл11 11 рнмоу1·ш11>1-1 1 1к 1 ю­
стросн 1-1:i отрсзках а 11 /) ( рнс. 1) 11 ()/tн r1 и::~
н11Л, скажtм а, р:1Ссечёr 1 на час 1·11 а= а, + а~+
+...+UmТО
r1!1=(а,+а2+...+С111)Ь= t11h+tl2IJ+...+Cl,/J.
Перехоf( к гепметр11L1tскому языку по:шолнл
uперJЗые л.ою:tзать 11 некоторые алгебра~ 1чесю1с
тождества, н:шримср в~см 1!зnссп-1~10,форr-1улу
КR:~лрата суммы (а+ /J) " =а · 1- 2a/J + ь- (рве. 2).
Oi.i~m щно, что п:юща;\h квадрата, 11остросн ­
нот 11а ,~, орсн-1с а -1 fJ. склщ\ы нас-1 сн 11 :~ шющ:t­
дс~'1 ;~ 1~ух кв:~др:П(Jll ( 11:1 сторо 11 с: п 11 e1·opo11t: !?),
:J таюкt ,'\Н~'Х 11p>H•I0Yl'OЛЫlllK(JK, llOL'l'J10l'llHЫX
11:1 11их. Пр11 чём спраnеюн11юсrь тожцеС'nsа
;о·:шовлепа rr,11н нюбых а п Ь 11ез:1вист1мо о 1· 11х
ко111<ретных ГКЛllЧ[Нl и ОТ того. COllЗMtpIIMЫ
01111 нт r нет.
З:иачи. экшшалептные ю~адратным ~1Jанш:­
шrям , ·~·шоке: полvчпJ111 1 ·еоыстрпчt'скую форму
(/
аЬ
/)
/1 аЬ
(. /11
Ри~. 1.
f't1L. 2 .
Античная Mcl 1· ~матик;1
11
~:)!X'll"" "
1fi1mtl11ш1 J~ro No1!• dladqti <:< ('IJ(ID ""'•нлшn
1npf.i fi r:t'qt1U cntl)u;,\ (1.tiUCfiJ (ltJJdt \Nufu\I~' ir.co .
ФЭ1~ Lн1а,а.ь.01111 1а 111.0.с.-:.1.tl~.d b.Ot.QI;' .'йо~ q;,f11q ~i
tl'lt fiX W·~a.b.111(cqot11 <:1.с .ь.f.t\\llii (l'\ lн-1qD'fщ11t (~ Фr11101
11:11 \11:11Пti!t~q; tжr;n1m p;iп1>11n qб va~:i111 PQ.tdx!.olk1w- .c .s ., ,{t.b (qщJ.1
11J11ur.:1.c.t' b .f .6!111tcrlu111<JtUf,t <~tn.;.a;.b.(tl.fQ3 p p:..:1mfT.amqь М <т«t/ •
ftit.l.•111 tot111n.a.ь.щuб"qD(u q.~1"11.k .11.1 ur1•11CCJ \;t6t.•.t.иq1 tr.k .1 о.Ь .
1щJ6f1н~шшict.<1.ti 1p('C.-'6(J.,k .юo111111\ir<N ~.h qg.11u~-a.b &n011111'8'
ст1d qr.k . t .. alt .IUt t'\4U3'o.~pJt« \\':1;dr( pюpo(11n1t1.
1J:>:"P"fino ".
fo<r1tt111C'a tn t'IЩl~'Wt'1!0tU11~ 1Jlt1~ qt\fitiq: ~rшu t~
001Mlt<'tntn .rrё cquit <Тltb~q<~C<Jmt dnld< p:lr
1·
1 111ulrt.wш.
°1P':"poMto · - 4
Э fi.it}lf f&llt"ll~tf} VШI~ blfUC'ltOll11tlud Q"l:t:tlDCПI ron°i
c1p(J f1r-.c:quu i: Ь1очcr i)C("m\1muJq; rt!Gl l~tpl:\ f11tc.
r1"1al1tт;s btt! JE.-1~('( ma111fclt Uf q, i ot 4'ft 'i .1tl) \1u' IDQ
rk1roQIHtG t1Шf11(1('Т ft\\\(~rncdi.11 (ш1t SПlbC quзdr>atC'.
([!:';t111<11"'J.Jl,b.t1rP1''11i ·1.ai.c~.b.t toltoq•ф11drtl11n1 rmuз
11.Ь. щrJ1t1 a!~J.Юu", qa1'!:.Jtц_'r OU4n11nli11car1nn .a.t. r.~.(.oor10 а~ q.6
f.r r:tronu • 1 11J:н-а.;: 1.11..it1л-Jш:r,,.lmoo111'°Jt~dt.ttьn1 ,11'"~' ~orr~:11шm f11q\
c.d.b.c.qtl3dn1U l1n<(.,t Ь,tщ ad&1 1r,sJn1 s;1101 11мi(~·o"id1i at1tt1i ь1r..tt1116 1111((
!i.ft11.UGf'i).ti С. q~Г:ш1111 Ьосщ6,i11qu.Юшо «fСПр!О p:Ch!ll.чam Cl!lfl'IClrU
ь..<t•..:а 1'-U llC ll),] , cd11(11111pc:rpc11da..1i11r<m (1)~Jttkmr1 . a ь.i;i11Cf1.l.\'J .k ."p'1 t .k
-r~IJ.mCml b.J! . , . i-. dut3nt ffq)qi10 roomjr1111нnuroJ.'t't,J p11ntto.f r:oФltJn
{.~.('-11JtJ1 11Jnrc(11\.(.: .с ь.qui.f.t:i.<.Ь.11' r:od1Jt'3n' f:rq)quo tcntmтjrt рй-:rо
5.~r:od1Nj.t,d.'1iu~J h.- : : .i:.d. ffq;od k.frq;шaooolзttl'\1 ,d.(л.c.b m•1•
~~.d.r~Ь.fi111rcqnai1.1~dUfJ>CY.s p:u111 сн10 aiis!Ja.(.d.ь. 't.t.~.d.щ1itcs:-: qt
0.t1s1il1~.r.dt rмu~ <nt ~.~:..р:нn1 flctqj щr:m1-J1tto.!rL'l'ft, .f~dc 143rk псr1
~u~:qiз11:;u!o:ai.t .d.ь.-:..c.ь.-J cщ1rщJ1aзu rct1 1.qiwLe rocбd1e1nn.~9 ~
11tl Cl'\f WJl~\(n(q;<f.l~IUC~a!lёi'iofqm rr.n1.b.(.d.1.b.d.f.~.}i. f,d,f .k,d.J, ПК
dli.1ag f(:m n'»O C·6.f'~18nt.J.j.1.S, Ь..timtЦl11:ik!I, (1m1IUCГ Cillt'I)) .f .4. 't .11 .b.
pзnr6c.f.Ьл.l>.d..11(1.\\(.t\,1.k d qlШ,\"fr2rj)t'Cl:m:i(p~l(1cn1.<a.b!J f.1 .t,
tf,f>.t tO ~uadr3r11.z"\~101J1~(\IJJi1r.Jruщ,'3.b.f.g.qнitqutdr~cLi ~n«:.·~.b.!011
lt'1 fй0~1"~q.цdтiЩ)q1Xr$1i)r1n1amo1!ш~~r1mt ~1dr..at:iD\1.ir1ri11
1.t1юn:1n '3.с.-:.с.ь -:«oooЬooft1Niltm(n11Sqooii v:11*~·pdoaf« .t.tJ11
~.c.pJra p~OQQГ11uщ щ:Oni.<IЭ!ttcrt'tr lioo:1.~.b. Vt P~i o.щft t11 <1,, .t . .< .b\
ь~
[[]•
'
•
о
.~:•
<
'
l~n~a'\,)Tfl ,'\bl 1нп 61tПрн6) T IHHH.I '- 1lt V'\НiОЖЕ't-ЩЯ н cJ•opr-.1)' i\til
1ш,1л рм.~ t.v~щы "''10.\ом геометр11ческст ,~л гt>оры.
1. t{KMI.\. < Нс1'1.!Лс1> И$,\,11111Р 111\.! r .
; 111ронку. Реч 1 . li 1111х 11ш;1 о f 1 1pr1Jroжe 11111 1 пло­
ща,11;е1~1 ,). Р:1со1этр11 1 1э1111 тprr п 111 а т:tю 1х :-~ад:lч:
1) преобр;.~зовать /\а1 111ыf1 прямп) 1-с>JLьшп< в
кв;.щрат, т. с:. ре1111нь урзвпсrще .У2
= a[J (пара­
болпческая :iадача );
J.) пр 1 т.1ож11ть r< 1(3111ЮМУ отрезку а прямо ­
у1•олышк :1~щ;~н1 юfr rшощ:.1;l 11 S так. ч:тоб 1,1 •! 1l'до ­
с 1 ·:1ток» был l<Ba/lPCl'f "OM: x(rf -
.\') = S (эю11 11 п·11-
чсскам :~а;1:1ч<1.):
;1) при;юж1лъ к ;рннсщу и1рсзку tl 11pммu­
~TOJL'1!Lll l\ :J:.If(3111Юi"l J[Jf()llla/ \11s · 1:Jl\,ч106 1,1 <' JIЭ­
быТ(Ж ·> был 1ш:1r\р:1том: .:\'(n + х) = S ( 1·1тrтepoo­
mrL1cc1~u1 :iа11ач:1).
С 1 юио111ыо циркуля 11 тше1'пш можно ре­
ша11. за;tач н, :жшшале 1 1т1 rыс ю1адра·11 rьщ уран­
нl' 1-11 mм. ИМt:ЮlЩIМ дсйсТВ I ПС.'IЫIЫil ПOJIOЖll ­
l'C.'lhHЫЙ корt:н1,_ Те ж<: мс..:тu;(ы познот1ют
pt:11taп, Jaд;JЧJI, CBOJl,)LЩIJt'(Я к IIOCJICД()B,l 'l'CJl l>HU­
CТll Hl'CKUJlhКllX 1ш:щрат11ых ур:1нr·1<.·1111!1, в ко ­
., opor1 коэффr11 \llCH 'IЪI К: l Ж!\01'0 O()C.!JC/ lY1011\L'l 1)
ур~11111еrп 1 я :з:ншсят от кор1161 11pt'д1.11\yr1 \е1 ·о.
Очс 1 11, скоро поннт111сь 11 др) 1 · 11е :~ад:.1чтr: 06
уд1:юеrrни куба, о тр11сскщн1 уела, о тшадратуре
кру1·а (см. статыо ,:1·рн:ш~1ме1111тыс :1алач~1 древ-
1юсти " ). Jдссь гсометрIJчсск;~я аш·ебр;t 01<аза ­
пась 6CCCll.'Jh1i;\. Одпак(.) уже CLMJI IЮПЫТЮJ


г
История ман'ма1ики
реши1 ь эт11 з:-~дач11 привели к nыдающпмся
рсзут.татам. Упомянем лишь. что пр 11 1 1сслс­
дова111 ш заμаt.ш об у;~носнн11 куб:J были откры­
ты кuннчсскш.: сечс1щя - 11овые, чрезныча1~1-
нu нажныс крr 1 1-1ые, нашсд ш нс бт-1 статсльное
11риме11ен J1 е н ;1стр()11ом1-111 ю1е тысячи Л(:Т
спустя (см. е1 ·атью "Замеч::1 ·1е1111 1 1ые кр1нJые»).
Неразреш 1rJ\10cт1) :11t:~менитых за11ач дреrн rостн
смrт11-1 доказа 1·1, тnJ 1 ько в XlX в.
ПОСТИЖЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОГО
Нместе с открытием 11есонзмср11мьLх вел11чrш в
l 'JХ'ЧСС КОЙ ма·1·с\1.ап1ке IIOЯBJ I JIOCb l lOJ-IЯTИ~ ficc-
KOllCЧ! IОСП1 Трудн ости, СПЯ:1ан Hbll' с ЭTll м nо­
ня 1 ·нсм. 1Jрн вел н к 1·лубо1ю.му 1<ри:-11-1су а1пич 1 юй
м<Jтема·1·11ю1 ::1тС16ыла первая большая буря, по ­
трнс 11 1ан ещё 11е окрепшее здание 11:-~ую 1. В об­
су'lrсдетше nюпочились ф11лософы всех школ 11
11алравле 11и.й: от Л11а1<с1гора н Дсмокрнта до
Лрис-1 0·1·елн. Софисты (профсссиошшы1ыс учи­
теля философии), I<Отuрых Платон окрсст 1 111
МСJ1Ю11'11И тор1·01:1ц;1 мн ИCTИ I IOll, CДCJl;\JIJJ ...JТИ во­
просы оченn rюнулнрнымн.
В<.:l(рыть 11,сйстн11тсnьныс тру7~;носп1, т~1ящ11-
сся н поня·1 1 1>1х 1-11:: преры1ню1 ·0 11бесконеч11ого,
и тем самым показать, ско111 . 11есоверте 1 н 1 1,1
ещё бытr 11rедст:-~ нлеm'1Я о них. удалось 3сно ­
пу ЭлсfrскоJ1.1у (около 49U-око.rю -J. -)0 до н. э ).
сформут1rовавшсмх их n виде парадоксоn. нли
cmopuii (греч. «апор 1 rя•1 - «трудпостм, «бсзыс­
ходтюст1.») Вот уже более 25 веков ош-1 при­
влск:нот внимапнс мат1:мат11 кон и ф1щософон.
:Jснон был любимым учеником Лармеtш­
J\а - ~·лавы шкu1rъ1 ~ле;.~тов (no н~J ЗВ:J.нню ro-
Зt•tщн -Элещ ~''"'
1р.шю1ы 1ьОЬ r
рода Элея), кo-ropыff nсрnым т~ачал строить
фнлософшо 11а ос11ов~ лопrческих рассу'А<f\С -
1шй Дрсв1шс счптали Парменида родо11ачаль-
1-111ком 1ю1 ·ню-1 Элсаты nостояrпю пол r,зо1-1:1-
лнс 1, докаэ;1тс11ы:тна ч11 11 утём 11 р111:1ед~ 1 iИЯ
к абсурду. Так 11ос1упал 11 З<.:но н , призн~нный
з ;~ м <~стсрскnс нлаJ\ен не дна11ект1 1 кой •·лву­
н:-1 1 ,11нн1 ».
R J(JX'R 1юr"1 11 6ы1ю 11·~вест1 f() бол~е сорока
апорий 3сrюн:1, но пас же л.п 111ло всеГ'О девюъ.
Самыми знамешrтым11 являются четыре а110-
rии ДВИЖСIПIЯ, •ДИХОТОМИЯ», «А.хиЛЛеС 11 чере­
паха ·), <· Стрела» в •Стад1юн", rюторые форrv1 у­
л 11руст 11 11< );чю6но nбС)'Ж/\аст в сrюс:й «Ф 1 111 о<С»
Ар1l(.' 1 '( >Tt::JJ />.
Своим зl1орням .1е 1 1011 Пf)И/\ал ярко ныра­
же 1 11. 11.1l1 (l) 1 1Зf-ГЧCCl\Hll смысл: он l-1~1J1paв111t 1 1 Х
ПрОТИВ 1ЮЗМОЖ! IOCTJ.I ДПI rже1 П I H. Н() 11едl• ДFН IЖС­
ПИС тел пpOllC'XO/HIT ежею1е 11 110 11:1 f l ~U I ИX
глазах! U чЕ.м же '"ело? Очстп, остроум~ ю раз­
мышления на эту тему а:~ложил в пс()олы пом
стпхотnорешш Ллеl\с:нщр Сер 1·еев11ч Пушюш.
Вот как он прсдст:шил слор двух мыст1тслс~"1
/\рсmюс-11 1 - Зенона 11 J~iю r ·e н:i :
Дв11же11ы1 щ•m. осазал .Л~)·дрец брадатый.
Др) •юti CШJJ/ 1-/(/Jl / .( ( 111(1.7 пре(} IJU.M
. \"(J('IUJ11l1.
Сши~нее бы не .~юг 011 возразитъ;
XlШ/tUЛU i:JC(! Ш1'/i:J(!1)] 3tlMblc;!l()(:/({1J/Ыzl.
Но, госноr)(/, :шби1л11ый CJ~J' Ч(l1t Cl!1'i
Дj~)1Юй 11/JШUJ/J NCI 11flAIЯ1П'h .1111-il:' 11/J/180д/1111:
Ведt. к.аж:r)ь11/ f)eнt, преа налt11 сш1нце xщ)um,
Ойщт:п .11( прав у11ря.мы1/ Гапl(.m!1!.
Об 11 1епрннятой н 1 ·рс ческой мап.:матнке
стала точю1 3рен11я, 1:1пtрвые в ы сказаннан ф11-
лософом АнаксаJ'()р0~1 (V В. ДО I J. Э.) . 011 пrо­
IЮ~гл:кил. что • н >vtaJ юм Hl' существует 11 ~шмеш.-
1 1 1 е 1 ·0, гю nce1~1a естт, сщё мснпu1с<.>>. R рс~)J1hт:1те
11елення отрез1<а 11re1·; \a 1'1удут 11ОЛ)"-1<l'п,01 отре~­
ки, которые по-прсжнсчу остаютсн /\еmшы ­
м11 ВСЛИЧIП ! ;:JJ\11!, и таr<иr-1 11у1ём мы l!ИКО J ·д,1
не доlщё_r..1 ДО llCДCЛlli\.lblX •Iасттщ. ~ТО ОЗШ!Чае1 ,
спо 0·1 резок ш: <.:остонт 11:.i точек, а ест 1, «rеомет­
ри ческое место » точек
l l oш.1c основы маТС\1:11·~·1 кн - общее учс111rс
об 0'1 HOIJJCH.llJIX 11C'l'fl<H'llC методы пpcJ~l:Jlhl-lf>IX
11ереходоu - былн со:щ:~ны Ендоксом К1-11щ­
скт1м (около 40R- n1<0JIO 3'>') N> 11. э.).
Еn,ТJ,окс б1.1л 1 1 е толыт 1 ·е 11 1 1 а11ы11>1\1 матсма­
тиком, по 11 вы/1.зющ11мся зсrро 1 юмом. 1ео1·ра­
фом . врачом. фшюсофnl\'1 11 ора 1ором. 011


АПОРИИ ЗЕНОНА
дихотомия (рассечение n оnолам).движушееся тело
t111 когда 11 е достигн ет KOtll.LJ пути, поскольку сначала
оно должно дойти до середины пути, по1ом - лосе­
реди ны ост;:~тка и так далее. 3 начит, прежде чем
лоити до конца, 0 110 долж1ю «отсчитать» бескон еч­
rюе число сереы1 н , а следовател ы1 0, до конца дой1и
ему не удастся.
И ногда этот парадокс пытаются обы1снить тем,
что сумма всех пройденных расстоян и й представля ­
ет< обой хотя и бесконечный, но всё же сходяший ся
ряд (с.м. статью « Чи 1ловые ряды•):
Американский математик Герман Вейль, чтобы
пояс 11и ть, в чём именно здесь состоит труд ность ,
привёл тако и 11ример. Представим себе вычислитель­
ную машину, которая выПоl\няет первую операuию
за 1/2 м11н, вторую- за 1/4 м11н, третью-за 1/8 мин
и т. д. Такая машина моглil бы к конuу первой ми­
нуты р~>шить, t1ап рим ер, вели кую теорему Ферма. Но
ясно, что работа над построе нием подобной машины
обречена на неудJчу. Так п оч ему же тогда тело смо ­
жет достигнуть конuа п ути, отсч итав бесконечное
множество 1ерели н ?
Ахимес и черепаха. Быстрuнuгий Ахиллес 11икогда
не лоt онит черепаху, если даст ~й хоп1 бы малень­
кую фору. Ведь пока он пробежит расстояние форы,
чере паха уnолзёт на другое расстояние, и пока Ахил-
1юд1~лся в Книдс (на ю r ·о-з:~паде МаJюй А3и11)
и ркс н молодnст1·1 гюбr,лзал по мноп1х l~гран:~х_
tl;1 С11цит щ оп учился мещщ1111е, а п Грецт1
юучал мате.\1атику под р)'1<0Аол:с·тпом 1.;ру1111е1<1-
шеrо учё1юго то1·0 времснп Архнта Таре11· 1 -
скоrо И если Фещtора Кире11с1юго и Теэте·1 а
\ЮЖНО было бы 11азват1. алгебраистами, то Лр­
х11т и Еnдокс :3анимались 1адачам11. 1<отор ы е
ССl 'ОДНЯ прю IЯТО (JТН()СИТ'f, к "1tаТематнческо.му
анализу .
1<.ндоксу было немногнм бот.нrс f\н::щцати.
кшд:~ ()Н прие.:х;u1 п Афины - 1'J l :tR11ый кулh­
турный цсн·1р I'реции Г::1·0, как 11 \1но111х дру-
1 и х мо110д1>1х людей, пр11nлек;1т1 :~11аме11 1пш1
Лкаf\смия I l лато 1 ra, на дверях которой быщ1
высечена тщrтись: <Да 11е nойдёт СЮ/1,а пс зпа ­
ющ11й геометрии». В Лкадем 1 ш ш11роко обсуж­
д:~лисъ ос1ю1111ыt' проблемы ~rа\'Т<И и филосо­
фии. Именно :3/tt<.:I> Евдокс 3аиптсрссовался
Ан 1ичная математика
!\ее добежит до этого места, она уnолJет еше дальше ,
и 1.1к до беско н ечно сти.
В эн; и <I пории помимо того же затрудне11ия со­
с-чита нной беско11еч1 юсти есть еше одно. Пусть н.:1-
чальное расстояние форы - а, и пусть Ахиллес
бежит в k раз быстрее ч е р епахи. Ко гда Ах~1Ллес
пройдет р асстояни е а, черепаха отползёт 11а a/k,
а когда Ахилле< п окроет 11 это расстоя н ие, череr1аха
пролвинется еше наа/k~, и т. д . Предположим, что в
какой-то момент Ахи ллес догонит •1ерепаху. Запи­
шем путь Ахиллеса
5 =а;-~+~+
"
kk2
и путь черепахи
аа
а
s.,=т+k1 +kl+
Кажлому отрезку пути , пройде1 11;ом у Лхиллесuм , со­
uтветпвует отрезок п ути черепахи. Поэтому к мо­
менту встречи Ахиллес долже н п ройти «СТОl\ько Же»
отрезков, сколько и черепаха. С другои сгороны , к,1ж­
дому отрезку, 11ро йдеt11юму чср ст1хой, можно сопо­
ставить равный ем у по велич ине отрезок пути Ахил -
1\€\<1 Н о кроме них Ахиллесу нужно преололеть еш ё
один оrрез<>к ллины а, т . с. 011 должен пробежать на
оли н отрезок больше, чем черепаха. Если количео·во
oтpe'IKOR, прuйленное последней, равно п, то nолу­
чаем,чтоп+1=п.
Парадокс о том, что « часть равна uелому», стал
в посl\едСТвии предметом ра .iмышлений Галилея, Ни­
колая Кузанского и м ногих других учё 11ы х, которые
даВ<1Ли эrому парадоксу различные объясне11~1я.
:3Эда ч ей, постанлсш юй Пт1тоном · скш ~струп­
rоват1, MOДCJlh, А KO'l'Oj1<JIJ С ПОМОЩЬЮ ранно­
МСрН ых i-. :py1' 0 111 .1 х днижений сфер М( JЖJ 1< >ПыЛ< >
/\рх11т Тарентски11.
f f liШ~lfJ<I J ()(111 1
.:.\ J


·12
И< тоrия 'vldT~MdTИKl1
6 1.1 110J1} 1 111·1ъ l:\Ct: rнщимые дш~же1111н С.отща.
Лу1 1 ы 11 11т11 н.:т, - н yc11cr111 ю сё рстrпrл. Вс1шрl'
F.в:tOKl Ot'H()K;Lll coбcTl:JCI 111уто 11:~учную IТТТ<О.'1)'
в К11 !1 11\t:. н:1 южнu \1 1юбсрсжье М рз \\Opr ю1·п
чорх Там ..ке 61.ща 11щ· 1·р< н.:на обссрватор ня ,
псрnзя n :~лл:це.
Uдн,11<0 11:tп60J1et: 1·11убою н: 1-1сс:J1с,щн:11111я
Ещ.1окс:1 0·1 J юснтсх 1< 06J1:ti.-1 ·11, котор:.J>I тс1 1 L·рь
на:.н.1вастся внеде1 11 н.·м 11 ::J 11 aJ111з бесконечно
м:ш ых нсщ tчш r. Ilo q.щ~стDу, or1 пос1ро11;~ 11с.:р­
В}Ю к щ: тор111 1 т1::ор11юдс1ктнн·1е:1ыю1п ч11с11а
('1еор11н 1<1·11 ioшe111 1 lr ) 11cu щал \1спщ 1rcчtpnы­
n::i1111я "0·1оры'1 1ю.r1ь Juкал о1 np11 выч1к. 1 е11111 1
П.'lOЩ:l/tl'il кp1 11IOЛllHl'ilfl l,1' ф111·ур. ~)ТОТ мето, 1
по:ш().111111 с 1 por·o с:ощ:р 111 а 1·1, 11рсдслы 1ыс П<.:)Х:­
хою.1 ~1 l- 1·a11 пс 1ю1юl1 а11т11ч 1 шl1 тсор1111 щх·д<:­
лов Надо с1<ааат1 •. что 0 ·1крr.1тыс 11а рубеже
Л'\· 11 Х\1 111110. !\1e'I'()/(11I 111 IH:' l'(X1ЛЬHOI'() 1IСЧ ll('!ll '-
HllSI устуnJ .1и по cтporncпr ме~ону Fкюжс.1 .
С1 [10Г11t: ЖС МСТО.J,Ы ПОЯ\311Л11Сu illlllll• 11 '\IX 11.
•"*
Геоr-н.:тр11 1 1 cl t-;:.!» ;u11·<.:6p:1, 1ruJншrщ1ш::J) 1 11:1 r 1ер ­
вых 11Ор:1х 110JIJ'Ч1 1·1·h Gom, 11111 <.: п рсимущсстnа
пере,~ ч l ICJIOIIOll :1Jll 't:'t)po1'1 B:tHI IЛOШlll. 13 опр<.:­
.J.еJ1ё11111.111 мn\1е11т стаJ1,1 1ор\юз 1п ь pa:и.il 1п re
:нrrнч11oir мJтс.чат11юr . 011:1. rю,'{обнv 11;~нц11рю,
сковьш::~ла её ж~шо1·1 ор1·:11111 ·з м н .\Н~ 111:1ла l'~'Y
11ра111L11>1ю расти. Н:.~чат1, хптя бы с 1·01 ·0 , ч 1·0
ур:ш11сшш чствертоi1 степе ш1 11 в1,m1t: J \:tЖ<.:
нс рассм:1·1р11uалнсь. 13 1 ·<.:о.ме1 рнчес~ш1·1 :11 11 ·еб­
ре нс 61.11ю места 11ля uтpr lll~Пслы rыл c111 ccn.
llt' п торн уже о м1 шмых. l lco(lxo..::rr-r.чo t)ы;ю от­
ка~а 11>(.'Я ( 1'( Гl'OMl"l'PI IЧ<.:CKOl 'O stзыка 11 ис1,;ат1,
1ювы11 , 11n. 1ee ot>щ11l1 11 l>олес п16ю 1 1! . l'Jкo1'1
язы1< ()1,1.'1 11аiщс;;т 1 то. 11.ко в 11cpRыt: нек.1 нuнui1
эры н ·юоху эт 1111111 :1,1а.
ПЛАТQN
AJ<A6HMIA
ЭПОХА ЭЛЛИНИЗМА И ЗАКАТ АНТИЧНОСТИ
Новая .-н н 1x:i :tJ 1·п1 щюi1 11сторшr - эпоха элл~1-
н 1 1.1.ч:1 - 11aч:u1ach с за 1юсв:1н111'1 Ллександр:~ Ма
Kt:ДOIН:KOIO В :).)2 -. 11:'> 1'1'. /(() 1-1 . Э. OI I 1101<0р11Л
t1·1111ет. R::~ш 1 1ю1111ю, Пср<'1110, Со1·;.щ:шv. u:1кт ­
р1110 11 д..1.ж<.: чаt.'Тu И11н1111 П оен~ С.\t<.:рт11 А. н:к
с.1ндр.1 u1 рочнан 11ч11ер11н рас11зласh. Е1 о 110!1-
коиuАltЫ раздсл~1.rt11 \1<'it<;!) собоi1 ззиоёка11ны<:
c1·p;.t 1rы : h1·11ncт vl<З:J:lлcя под nл:1ст1.10 Пл 1л<.:­
мс.:ск. 11 Мссо1юта:v11111 ~1 <..:11р1 1 и с 1:~л11 11р:~1111 ·1ъ
С<:;1с11К11/t1.1 , н \.1,1 Kt:/(Uн1111 Л1п111·011 11 <:1011р<.:­
ем1 111 к 11 .J t: 1ж<.: в . tOJ11111c.: 1'111 ,1.1 пpanи.rr11 греческr1е
ЮlЯ:11»1. 3аКОГJЧIL'l:.кь :iJ IJlllll11(.TllLll'CJ~;.ш эгюх.1 в
!>О-х 1·1 :io н :с.э. юн ·, 1:1 1 • 1 · 1111с.:т - 11ослс:111ня
rpCЧC C1'<UI l\OJI OllШI 11о~-;ор11,1сн (111 ч. шна \I
~1pah."lt'p1юf! чt'рто11 +1011 :-тол11 61.1.•ю llU/\-
ражаннс 1ю11111сю 1"'1 ( 1·рс.:Ч<:l к~ 1\1) оi1р,1·щ:1 ~1 нu
вс<.:м - 11 11с1<усстне. 11:1) i(t' , 1<у; 11.1 уре
1 ·ос~11:1р­
с·1·нс1 111 ы\·1 я:!ыком. :1:111ачт1т,11 я:1ы1<()м н:1ую1 11


культур 1.1 nо11сю11у быJJ r·pcчccrшi1. Учёные
те11ерь легко об щалшъ и rюс11ршшмали тра­
д1щии. сохрашшurиесн в науке ра:-шых стран,
ранее обособлен11 ых.
Цар1, n·1·ш1емс1v1 1 Сотt::р 11р:1вил El'Иll'J'() M 1:\
.101-283 1т до н ::J Свuсй CT!JJ1и1 tei1 он 11збр:ш
город. OCI IOHaHHhlJI к .~31 г. ДО н . э АлtкСаНДf)()Л1
~1аке11.0Е1О< 1-1м 11 на:зн~н1 1 1ыii Ji с 1 ·0 ч1.:с1ъ Алсксан­
щ1 11 tl1. Здесь ПтоJJемсй ос 1·10нал 1v1усейо 1 1 (хр:.1.11.1
чу:1 11 окроnrпе;1ы 111ц п ау1< 11 11CJ<yccтn ). ста а­
шиii ЦСJJТром 11аучrюй мысли ЭЛОХJI ЭJIJШ IШ:1иа.
13 сос1 ан Муссйона в.ходила 11601~атсf11n ая Алек­
сuщр1tйская би блиотека, 1ха считыu:11:1шая око;ю
7U() тыс TOMOfl ( C l.ШTJ(OR) . Е~ ocrюny. 1ю преда ­
нию. tо<.:т~шнл: 1 б 116шют1.:ка дри<.:то·1·еля. Имен­
rю ею; ~;~ стрсм11 1 11 rс 1, Ж3Ж/t)'щ11 с знашrй .'vluлu ­
/IЫC JHO/ \H со нсе 1 ·0 MJJpa
В IП-П 1ш. дон. э. особе11 1ю 61,1C1JX) ра:~1111-
r1а.·111с1>'ючные 11;-~ укн. И :по 11еуднnнтслы1 0, пп­
сколы<у IJ Т() нремя Жl1JIII и TR()[JШ I И ГС I ПН!,
11ме1 1а 1юторы.х н:шсс-rны 1J uеках, - F.вюшд, Ар­
химед, Лполло1шй . 13сс крулпейшис учёные, за
нсю1ючсн11см Архимеда, работали 1·0 1 да в Ллс1<­
сандр ш 1.
Ен клид б ы J I совремt'1111иком Лтолсмеs~ 1.
И это, rюж~1луr1 , всё, ч-~о досто верно о нём
11авест 11 0. Нет с1:1сдс1111й о том, uткуда 0 11 бы.11
ро,(ОМ, r·дс l I у кого уч ш101 Кос-кrо и з и сторикон
11ayic11даже11ред 1 юлагал, ч·1 о имя ЕнКJJИ/\ елу-жи­
ло nсеRдо1 111мом лля 1-руппы алекс:шдрийскнх
матемаr1 1ков (подобно тому, 1~к фра 1 щузскпi'1
матемаr11к 1l икотi Gyp6~1к~r или руссю1й писа­
тель Козь.\1а Прут1<01J лвлялис1, J шшь ВЪL\11,1шлен­
ными персонажами . з~1 кuторымн скрываласr,
1 1<.:л:н1 rp)11П<I анторов ) О; 1нако у шн.: нет о<.:нu-
1!:111ю·1 сом ненат 1,01 н ·1ом, что Енкт щ peu1 ы-1 u
Еuкл11д. 1 pttBfl'Jf)il ft(1 ,"едt1
П1mмРfНЮ X\lllJ в
АI ПИЧНJЯ Мс1ТСматнка
~
8'J.(]_J
существо пал, как пс сом~ 1ев:~лш::ь R з'го~1 и по­
зю 1ейшне греческие учё 1 1 ые.
Н оюrом нз сnоих соч1шс1 1 ш'~ r lапп Лле1,с:11т ­
дрнйсютП ( 111 1:1) изображаt:1 Еnюнщ:~ как чс­
лuнека ИCJ<ЛIOЧllTC!lЬIIO ЧС<.:'L'Н01'0, TllXOl'O н
скром11оrо. чуждо1·<1 ·1 · щс::славня 11 э 1·011зма. Он­
нако R нооросах, кас1.10щ11х ся нзучснш1 ,'vt~1-
· 1·е;ч:.~тню1 , 011 П 1,1 л li яысше~'1 с 1 ·L'псн11 сср 1 .ё~1<:н
1r C'l'po1·.
Как coofi 111acт пстор111< 11 ф1июсоф
Прокл (V 11.), одпажJ\Ы царь Птш1емс::i1 спрос~ 1J1
Нвклида, пелюs1 ли найти более коро·1 ·ю1fr 11 ме­
нее у·1·ом1пслыrы~'1 11уть к 1пучс1111ю п:<1мстр1нr.
чtм шту,~ровашrс <·H::tt 1 :ш~. Учё11т.п'1 см<::Jю от­
нстил: «В гсо,н::трин пет 11а1х:кой доро 1·11!» Дру-
1·011 11сторичсск~1й :шекдuт rюв(хтвуст о том.
что Oi \1 IH IOI Юllta, 11:sуч1ш первое прсДJЮЖСНJIС
"J-Iaчa11~. cпpOCllJI у ПBК!lll/~3 : «А что н CMOI')' ~.1<1-
JXIOO'Г~ITh. выуч11в нсё это'·• . То г.п.з Енктщ нознаJ 1
раб::~ 11 ска:зал: "ДаГ1 ему трл обола, т::1 к 1с1к бе11-
1IЯжка хочет з~1рJбота·11 • дспьг11 сноим уче11н ­
е~1». (060J1 - мелкая серебряная мо 1 1с::та.)
Евкш-1д - ;штор «Наqал•
-
юrиги. 11ережнл -
111сй бoJJee двух ·п,rсячел<.:т1 rй. lle будет r1pe) ве­
nнчt1шсм сказать, что по нс11 уч11л 11сь матсча ­
т11к 11 нссх вр<.:мён н наро11uн. И до си.х 110μ ..:Jта
у1\ 11 внтСJ 1ьн ая ю1111 ·а не ~-1ратнла с.1юсго Jначс­
ния . Со;1сржзнне et: ;1: 1J 1 еко 11с исч<:μ1 1 ынае1·сs1
:--1.rтсме1 1тар11ой 1 ·ео'v1етр11ci1 . 3/(L'l'h 1нщ 1-юд1 1 то1
1пиг болсt' ч ем .)()()-летнему разк11т11ю :111п 1ч-
1101'1~1а·1·ем~1тию 111 1 1месте с те."1 С< >:щаётся проч ­
ная ба:1а дш1 дальней шнх 11ссш~доnа111-111. Прокл
ут1:1ерждал , что , составляя ··Начала", L:вкmщ
"r1ю1ючнл в шrх ~шогое пз Enдoi.\ca. усоnершс11 -
с:тnов;1л :vшoroc нз Теэтета и дал 11еопроr1ерж11-
мыс дсжаз;~тсльсrва того, что его предшсствст1 -
1111к~111окаэал11111:строго*. И хотя матсм:1т1~1к;1 со
F1ремё1 1 Е.вклиr1а IJЗMCIТ\1Jl;]Ch OЧl'lll> С\.1ЛЬНО. 1 1 а
11pcrvюжc111·1>-J ~ начал» нее послед) ющ11t матс­
ма J 'И КИ CCЫJJЭJll1CI> как на llCЧTO око11ча'J'СJТnНО
уста1ю1щсн 1 rое. (Ппдробнее об ~то'v1 юаор н тся
n статт,е ~ ,. Нзчал а" ЕRюшда·>.)


Истприя мdтематики
Hu <>Н:.tчала» - нс ед11нстнен 11ый труд Eнк­
JI11Jta. Ему прнна.шrежш 1и также ~данные·>. J10-
щ>m~яющис « Нач<111<1 ~; ~се ченне ка 1-ю11~1~ ('1-рак­
тат гю тсор11н музык и) ; утt:рян 1 tый труд о
конических ссчсн11ях <-Геометрпческне- месrа
на гюверхноеп+>; · 1 -рактат о лслс11н11 c/)l(ryp, со­
хранившийся ли1пъ n араf>ском нереrюl(с; «По­
рпзмьr·> («Следствия»), о которых свидетель­
ствуют Лрокл и Папп, а кроме тоrо, тракта1ы
по оптике, механике rr ~1 стр01-юмни.
Друп1м ныдающимся учё1 1 ым эпох 11 эл1111-
н11Jма бьш Арх.имен, о жизн 11 которur·о сложе­
но 1rсмало J1e1·cн;t. Т 1юрчест1ю этого 1·е::ннн на
доm·ис века опрс11слшю С)'/11,бу н ауки, а тем са­
мым и судьбу ЧСЛОRечсtтна.
Н есмотря на r·лубо1шй интерес Архнме/tа r<
1-юпросам меха 11 ики, гидростатики, оптики, ос-
1ювн ьhVI делом его жизни была математика_
По слоnам зш1 мешпого историка Плутарха
( 1- 11 rш ). учёный был простu одержим t:ю.
часто :~абывал о шrщt: н с0Rер111сшю не з.~­
боп 1 лсн о себе. Его м;псм :.1т11ческие труды -
, и зме ре1-111с круг.~ ·~. «0 шаре и 1 t11лr 11 1дре?, «Ис­
• 11 1слсни<.: песчинок» н др. - 1юражают орип1-
налы-юстыо мысли, мастероюй техникой вы­
чнсле11 иС1 и стро1·остыо дою1зательсп1. Кроме
того. математичес 1<ие резулы а·1 ы Архимеда
11зложены в е1·0 письмах к александрийским
учё ным . и 1<аждое письмо ттрсдставm1ет собой
за1<01 1ч сш1ый научный мемуар.
Нскuторые сочин ения Архимеда сохран11-
т1сь тuлько в арабском 11ере 1ю.це ба 1 ·щщскurо
учёно1'0 lX R. Сабита нбн Kypf1ЪL Это «Ле .\11 .\1\ЪI->.
«0 семиу1·011ы-1нке» и <.<О касающихся кру1'ах».
В ~ле ммах ·> с.:ред 1 1 1tруп1х задач 1rзла 1'аетсн
реше1111е зздач 11 о ·1рисею ~нп углэ с 1юмощыо
А[)Хl~МЕ'Д
Ан П1'111Ыl1 рt•ль.::ф
Собрм1 ие tоч11fщнии Аμхим~АJ.
IHM HHOE' В Ьа <l'Лf' 11 1'>44 Г
пставки (см ста·1но «Трп з 11;1меrт1ъте ~1адачu
,'J,peniюcт1 1 "). R сочш1е 11и11 «О семиутолы1111<е•
расс"'1атр1 шаетсн задача, экDiшале11тпая ~611-
чсскому ypa13JICillПO. В CГlHCI<C COЧИIICШIII Ap-
XllMeдa, известных арабам_ упом.ш1астся таюке
тра1<.1ат <'О пар:uшслы-1ых лшшJIХ~. ilозмож1ю.
Архимед был Оf(ним J.IЗ ltt'pвыx уч ёных, 1 1ы тав-
1ш-1 хся ;~оказать rLЯтыl! поС"rул:п Евктща (с.м
статью <-Гсомстр1 1я Лобачевского").
На116олее важе11 nклад Архимеда в ту область
математики , которая тепср11 1 1:азывается интег­
ральным 11счисле 1шем. Его и сследова1шя по
IЗЫЧИСЛСIППО ПЛ()Щаде 11: плоских фш) р и объ­
ёмоn тел. к сожален1110. не получили развитня
в древности. Человечество дважды открьншю
длн себя Архнмеда, н r1нажды учёные n 1 ,1талнсь
продвинутьtя щ1лы1r<.:. В первый раз это про­
изошло в Сре;~ние века на ар:.~бско.м Впстоке.
B(J второ!"1 - в Европ<:" Л'VТ-ХУl l 1щ Jlyчwt: всслJ
о значении е1 ·0 pafioт с1<а:1ал од11н 11з создате­
лей ;~иф<.}х:ре1щ11 а.11ыюrо 1 1r 11 пегралыюго11с­
чиспе1111н - Готфрид llиJ1ы·елт.м Лейбшщ
<·ll11J·Jмt1тeлыt0 читан соч 1 111енш1 Архимеда,
перестаёmь удивлятъся всем новейшим откры­
тиям: геоме-~ pon·> . (См также статью "Арх нмед».)
Третий из вслию-~х греческих математиков
ЭLIOXH ЭЛЛIIIШЗМа - АПОЛЛОLIНЙ РО/lИЛСЯ R
городе П ер 1':1 н M:iлol1 Азн11. О нремс1111 его ж11з­
Н11 иl\1сются прот111юречивые св 1 1детсльств;1.
Некоторые иссле/1оватслн полаr:нот, что Алол­
;ю ний ро;t1шсн uкuло 260 1' . ;юн. э .. 11 ес:т1. ос-
11011<1ния СЧll'l':пъ. Ч' I о около 170 Г. 1\0 11 . З. он
ещё был жив.
Расцвет деятелыюс1·11 учёпого пришёлся на
копеu Ш в до 11. э .. 1<огда он работал в Алексан­
дрии. 13 э1·ом городе проuша бол~.лrая часть его
ж11з1 п1. Сюда Аполлон11й приехал юнuше11.
З/(есь учился у м.ате.v1:.1т11ко1:1 шкuлы Еккmщ:1, ;1


затем 11репо.~аnал ~~атсматmсу. В предисловии
к ncpnoй юшгс <·Конических сеченн11 " А1ю11-
1юний сообщает, что начатh р::~боту над этим
сочинением его побудил 1·еометр 1lаnкратес,
которыir слушал с1·0 лсю~и1 1 в Алскс1ндрн11.
По-в11;~имому, позже Лполлоний переехал 11
Гfсргам - кру1111еИ11111й куm,тур 11ы й це11тр Ма­
жн'1 Лзи11. В библиотеке Пергама храшшось до
2()0 1ыс. cnrптcon; по количеству ру1<0писей она
уступала ш1шь Алеr<сандри.Иской бнблиотеt{С.
Более всего Аполлотrиfr извссгсп свuи~1 тру­
дом « Котшчсскис ссчсшrя» в восьми кнш·ах.
1Jсрвыс четырt: кн111·и дошни до на11111х днt:й в
оригинале.:, следующие три - в ::~рабском пе­
рсrюде Саб11та иб11 Курры, нось,v1ая же книга
утерю1а. В с1юём трактате Аполлониii постро-
1111 Jакuнче111rую ' L'ео рию 1<рнвых второго по ­
рн11ка (т. е. окружности, эллипса. параболы и
1 ·1111ерб()ЛЫ~ см. также статью «За мечательные
Т JC;r Q..Vl 1 X't". LLNT1$il,\(I
Opmf.'<rDo<'\JfftuiPЬ.l*i:Ьun•
'""""'u B•pull""' м,,...,.р,.;
airiurt) Vmcwn\Marh.t,nю.;:
'~1а1шакr Aшum 1n V1Ьс
V nкt1 Lcl.. "tan:n РuЫ;,
cum.Dt(i/uo m 1.3
"'1um Tndut1,_
.l(Nouнcrlro
p<dl>.
П1•ршя· 11t·ч .1 111<11' и 1ла1111f• Аn олло11ия , rnдl? pЖilWl'P л,п11нr~ии
ne~IIOll К<>нИч е1 к>1х ,·е• 1ениl1 >. fkнt<u1111 1'i \ 7 г
f
Античн<1я математика
Llертеж н3 11змн1111
«K01t111 1t:'CK •1 X ff.?Ч(! lll1\1»
Аnnл лоння . Бол онь11
1~ы, г
крнвыс->) , 11 зложнн её 11е ·1 ·оnы<0 без ал1 ·ебра11че ­
Сf(НХ спм1юло n. но лаже: Ek1 пспользовз11 1 rя
таюrх пmштнй, как « 11олм н «Отрrщзтелы1ая
величи11а», неизuес1ных то1·да 1реческ0Гr мате­
матш<с. tlcc доказательства Аполлония 1rысют
чисто геометрический характер, 11 в это.v~
смысле е1 ·о работу можно сч 11та· 1·h Hh1c111<.:i'I 1·uч­
кой, кот< 1рой дос.~1· 111·ла 1 · речес1<ая 1 ·еоме·1р11-
ческая :шгеfiра .
И3учатr. кон11ческис ссчсюLЯ в ГpCllИll нач::t­
т1 в rv FI. до н . э Их ()ТКрып МСНСХ..\1 , учен11к
Е 1щокс1, 11р11 1ю11ы· 1 ·ке рен1н · 1ъ ;~:.~дач) уд1юе 1 н1я
куба. Он представил их к~ш ссчс 1шя пря.мо­
уrоль11ого, тупоу1·0:1ыюю 11остроугопы101·0 ко­
нусоn вращення плоскостью. псрттепдикуляр ­
т юй образующей. лпоmю11иi1 n своей книге дал
более общ<.:с стсрсомстр11чсс1юс опрсдслс1 rис
ко11нчесю1х сечен11!1. Во-1 1 ерных , uн рассм:пр11 -
11;u1 rrрш1:щолы 1ы Г1 крутоной конус. Во-вторых.
уч 11тывал one его полости, что поз 1юлялп 11зу­
ч и·1ъ обе не1·1111 1·1 rперболы И l 1:i ко11е1 l, 011 про­
нолт 1л сечен11я mюскос1·ып, рас 1 юлnже111юi1 под
лю(iым углом к образующе 1'1.
О11ре;~елиn 11 1юстро11н тр11 1<()111 1ч <.:сю1х сс­
чеrшя. лпошюний 11сследова 11 их ос1юв~1ые
свойстnа. асимптоты, касатслы1ыс. фокусы.
сопряжё1111ьн:: ДИ:IМt"lрЫ 11 '1' . д . к COЖ::tJICIU1IO.
методы нсследuвюiю1 кривьL\':. создаш1ыс А.!1011-
лонием. в дрс.:вности не 11uJJyLJИ J Ш раз1шпш.
хотя ШUIO'IЪ до H<IЧ(lJJ;\ v tl. cTU 't'p)'Цhl нзучал 11 11
KOM.\1CllTИp()t1:1 Jll·I Са~111 K()llllЧC:'CIOlt;" Ct'ЧCllllЯ
ПJlll'vtt>ня1111 J 1н1111, дт1 рс111сн11я куf111чt:ск11х
ур~щ11е1111Г1 . Так что теор11ю 1\01111чесю 1х се ч е
11111! Аrю1 11ю11l11! спзщ1; 1 ~ажщгп ;~п того, к;н; пщ1
оказалась пе()()ходимой.
Только в XVII в. Репе Декарт. Пм:::р Ферм~.
Исаак 11 ЪIOTO ll 11 1\ругие г1ёrrые обратнлr 1 с1.


46
История матсм.:1тики
к rабот:1м AГIOJIJl()l lll>I , СамСJе ll lllfXЖOC' пр11ме-
1re1111e ·1·еор ин ко 1 rпческих ссчс1mй п ттучт 1ла li
мехат1ке 11 астрономни. И01·аш1 Кеплс:r уста­
тюви.rr, что планеты Солнечной сr 1 сте~tы д1ш­
жутсн 110э; 1ш 111сам, в од1юи 113 фокусоn которых
находится <..олтще. Галилео Г;vншей показал, что
в пустоте бrошсш1n1й ю1J\н.:т, (ил н снаряд) буде~·
JJeтeтh LIO 11арабо.11с А в RO-x 1·1
·
Иса:н< IJыото11
СОЗ.' \:!Л CBOI·! зна \\СН 1IТЫС «М:.1 тсмз ·1 1 1ч есю I C 1-1а­
ч:v1а 11::iтyp:u1t>1roй ф11:юсс1фт111•>. 1 н;~посрс;~сrщ:н-
1ю O ГIИj):IR(.Ъ H:.t рсзу.11ътз.ты ЛТТОЛ!ТО!-1 1 1>1.
ПОСЛЕЛНИЙ ПОЛЬЁМ
АНТИЧНОЙ МАТЕМАТИКИ
Творчс:ство Евклнд:.1 , Аrхнмс:ди 11 Аrщ: 1 1ю1-111н
было вершш-1о~'J 1'р еч~с коl1 м~пем:пик11 . Ис­
слс11овання. 1 1ро1юд1rвш 11 ео1
в последу1ощ11е /\па столс:тия.
не выхоJ 1ию1 11 з 1<ру1 ·а 11роблем.
которые (ШП к-1учат 1. Н11 но­
вых 1 rдей, ни новых теор11 й
IIC ТТОЯПЛЯЛОСI>. f l есомнен1 ю,
~то б1.1ло сRяз:1 н< >11 t' 1ю;11 1·1·1 1 чесю >й <>nст:11 ~он-
1<а1\ с 1<л а; \1.1 на11111с:1'1ся 11 м t 1пс.
Уже с 1ю111l<I Tll п. дп r1. :"'>. 11ач:-1m 1с1, заноева ·
те:1ь11ые войны pн~L'IШI. Экшюм 1 rческан 11 куль­
тур 11 ая жиз111, 11 1-речесю1х колошIЯХ замерла .
Измученные стра11,анш1м11, люди п отш rуднсь к
рслш' ш1 , которая обе щала друrую, лучшую
жпзнь. Абстрактное мышлеrше, лоrичсск 11 е
р:Кс)'ЖЛС l ll!Я OTOЛRllHYЛИCI> Н~ нтоrой IJ!!:.tH
П-l fШ. дон. э. ст:v111 нрсмс11t:м с 1·рсмl[тель-
1юсп IIO:lBl>l1Нet111Я P 1t M:1 . В :'1>0 - х 1'1. ДО 11. d . пало
ПOCЛf'[\IJe e 11 :1 ЭJIJll !llJI C'l ' ИЧt"' C l<ll X l'OC)'/\:t[1CTB -
Египет 11 был:~ ос1юва 11 а Р1tмск:н1 1 ш11ер11я. tl rе­
эультате жиэ11ь 6ыn ш11 х грсческ11 х коло1111И ко­
ре~ 1н ы:-..1о6разои 1. 1зме1 11 и:~.с~.. С одтюй стороны,
прскратилнсь rазоритслыtыс rюi111t.1 и 11 рнмой
p:1::16u1\ <:JKUHOM I I Чt:<.:кuc I IOJIOЖl'HИl' стало fioлee
устойч1шh1м . Но с /\ру1·ой - эшшн1ктичсские
1 ·осуцарстна 1 ю1·t:рш 11 1 са ."1uстоя 1 ·сm,нuс.~1·ь 11 . по
uбраз11ом) ныражс 11111t> 1Jл~тарха , ж1 1 ·1t:1111 по­
сгоя 111ю сознавал11. что н~щ и х 1 ·01ювам 11 за1 1 е­
сё11 «римский сап т·"·
И .всё же греческая кулыура ожнвала. Ко11ец
1-11 88 . обычно называют «гречtсю 1м nозрож­
деттием~. так как в это время творит ~ такие вели ­
rшс ппсатсли, ка~< Пл)-rарх 11' Лук 11 :11 1 . ~стестRс11-
ные науки таюкс испытьш:ти под1.ём. В первые
нска ноноll эры АJ1ександрия оставалась науч­
ным и куль·1ур11 ым ц~ 1 t'1 ром дренн~1'0 мир;1.. Рrш
НllКОГД<! не м ог ср~ШШIТЬ СЯ с не1-1 в этом
ОТНОПIСН 1111. Он СЛ~IВНЛС}I CBOl IMИ поэта ­
ми, и стор 11к ам11 , юристами, но так 11
11е r 1р11общ11лс>11<1·J 1убн11:.1м :--:1ллн1rско й
ш1учпоlr мысли.
1:3 1 n. n Алекс<нщртш работал пре1<рас-
11ый матс матllк 11 тал:штлт1Dый ннже­
нер-изобрt~татсль Геро н , 1<оторый 01· крьш


ГI:<)МЕТРИЯ РИМСКИХ
ЗЕМЛЕМЕРОВ
Согл.!< но лревн11м м ифам, окружа­
юш11й чслове~..сJ м11р вuзн11~.. 1:1 неiа
ПсJ\1Ятt1ые врt·\1t• на пос ре~и бсско
неч11u rо ~1 жуткого хаоса В uтл~1ч щ~
m >..юса, в котором 1н:1 ;1 акu н ов1
~111r упuрядuс1 с11 В 1~см, во первы >.,
Cl.11> щ•нтрал1>НrlЯ TO'IKJ -
• пуп
зt•мм1 Во- вторых , в м11ре сстt.
ВЫЛ('Лt' I 1 ные 11.lПрdВЛl'НИЯ. в ropи -
10 tlTJЛbHUЙ /I ЛОСКОСIИ ~то ЛИ llИ И
се1.н.: р-1С1r и 1.~пал-восток. обр.1 -
~уюш11е крест 11 разби ва1ошие пло<
кnсть 11а 4 чао11
Э1и дрсвнt!~ш1ие и простейшие
геuметри ч еск 11 е предс:: 1 а в ле~1ия
на11(Юl\Се ПОЛllО ИСПU/\Ь·Ювам1 в
Лреn11е"' Р~1мс НапримРр, .\лsi га
д..~1 1 ия по полету пти u ри..,ск и с
..+.рl'ш>1 '1ыслен 1ю раэб11оалн 11etio
на 1части ЛИН11\.IМИ <.CBt:p-tOГ и зз
n,,д оuсток Затем пар:~ллель110
ГЛi\OllblM /I Иll ИllM • ПрО ВОЫ1ЛИ » BTU-
po< rt-11енные так что вс<: нt!бо 011..1
шва лпсь 110д1:лс11 ным Нс1 равные
квадраты. н.1 (1люд ая за пс-реме
ШCtt Иt'\o\ ппш И"! ОдtЮ ГО квадрата
в \рути, онн по определе н ны"'
прав и лам ИL t uлк овывал и волю
Ю1111 1 с.:р,1
По тому же принuипу р11млs~не
ра'iЬив;:~ли на чс1сти свои поля. На
поле отмеча11и uентраль ную точ ку,
чер<:з кото рую перп ендикуляр1ю
друг лругу проклад ывали дее глав -
ныс дорu1 ~· - kardo max1mL1'>
(с CLUt'J)cl нс~ ю1 ) 11 clec um.:inus nы ­
х11щ1~ (( воспж.1 на запад), со11.ра­
шенно КМ 11 ОМ . 3.:~тсм nс~ раллель­
н о ГЛс)Ul/ЫМ дорог il\1 черЕ'i r<'IBHЬIC
patt r ш1н~1я п роводим1 rp.:i 11 иuы ,
раlдРЛЯRШ 11Е' ПОЛ(' на СИСП.'\1У КВсlд­
р а тов . )111 кu.:~дμ.п ы 11d 'iьt 1ылись
uе11тур ия\'1~1 . l dкую ЖI' сетку р~1...1
ляttt:• 1н ПО'\ЬЗовал11 при fJJ 1бив"е
военнЬI'< лarcpNt и про~кп1ровс~­
ню1 1юоь1х 1upuдoo.
В 1-1 1вв.1 р.1н иuь1 Р11мскои им ­
пер и и 11.олоссilльно раLш~1р~1лись.
r 3Jхва• 1 с>н~1ых земель и i t оняли
nр~Ж l/ ИХ BЛdд('l\ l>llHB, и гоrула р­
ственные ·~емлРмеры п р11сту 1 1ам 1 к
свое~~ работе Упорно н .-.1с.:тол ич­
но разби вая nuлc.: 1ы uентур 1·111, о н~1
не п1.юrто 0Оо.т,1чали гр;111иuы
влJде ю11с1 , ~ю олнпвре,1сн 1 ю ycrd
HclBЛllR.lЛll на ЗС'IАЛС nорядо", ( хол­
ныи с 1«:м, что был нз небе -
в оби 1с.:ли <амс 11 с) Юп итер.:~.
l la колон~1 а11ыtы'< зем11ях n рак­
тич11ы с и хоэяиL твенные р11м"IЯНР
ввом1л11 п1Стему коорди 11 <1т, оче11 ь
похожу ю 11 а rп време11ныс.: п рямо-
,сtвюкущую силу пара. ll 1<0r-щc нск~1 ·1ам жил ма­
те,1:1·1 11 к 11 астроно;\t Ме11ела11, сuздан:Jt ь си­
стечы 1еож.·тр1111 и тр11rотюме:1 р1 111 на <.фсре -
первоf1 11~:сню11 111ово~'1 rеометрнп (см с-1 ·атью
~Ф11 rvры 11:1 с фере~) Во II в. знаме1штыl1 алек­
с:шдр111fсю1!1 аст1юном 11 матсматнJ\ К,1авд1 1f1
Птолсмей соз, ~ал rс..:о цс111 ричсскую м олслh
~щр:t. просущсt-1·1юна 111 11 ую до XV- XVl 1111.
В ~рудах этнх уче н ых: )ЖС н аметилась те11 -
,'1.сн1~11 я поворота к выч 11с.1нтс"'Jh 1t Оl1 ма 1е.мати ­
кс:, рас 11111рс:1ш ю п о11ят11я ч.и сл а , отказу от rео­
"lетр11чс..:скuй :.tJtгсбры. Особе11н о нрко новое
напрз1111 с1 111с 11μонв1 шос~, в пюрчееmс вс..rшчай­
шего ат ·сбра1 1с 1-:.1 Д1 юфа 11та Алекса~ 1др1 11"1 ского.
которы 1~1 п01южил нач ало двум наукам ал гебре
лffh
c:D.LfJJ
_J L_J ;SL_I L_J
] ГsDll§~ rпп"I
~!~ UKI
KAR UO ~ MAXIMl lS
] ГsDil:srю 1
1
f )()ll
J[fuJ~~~("1 ~
·по
ш1vпп1 rю1
П(ll ~CKll С1\11
\Jl'1Пр.~лы1с111 чс1пь P""' 'nrn nu \11 <
IH"HT) р11я,111. лля f<(I орых УКd33НЫ и~
коорл 1111 мы с 11cno111. 11111 .111 1>1 <''1 1н1 м( f(l1X
u нфр 111 11 ( tll<IJ<lllH·H~IЯ о.з н ачDЮТ
(.)(.) tclextrJ (\rcun1an 1\
t r1p.11:1.1 о т ОМ,
sn •sttlt''' ·' tll'~UПIJl\il - C'\PBil ОТ n м
U li. !ulнa ka rd1nt>m ·1 ш11·рх т li.M
(К (с illol k,щl11\l'П\) - IJНl11 ()Т КМ
уrолы1ы <: ( декарншы) коорм1 наты
11.i плuLкuст11 . Кс~жла11 uентурия 11а
п ом• кол ировалась лву."1я •t иi 11,1м и.
По н11м вл,1делсu мur легко 01 ыt
катъ 11а плане t1ю11 участо~.. Отли
чне этоГ1 с исте~1ы от лекартооо~1 со­
стоs~м.1 ЛltШЬ в том, 'ITO римЛЯНf'
не знал11 отриuатt:льных чи<ел. Он11
~1 CПOЛbJUBdM1 выражен 1111 rЛL'IЗJ от
ом" - справа ()Т DM), «BllИJ uт
км. - «Восрх 01 КМ».
C~t''"l roptJдlKUГO ПOCl.'Лl.'fllt Я 113
рукоП 11(1 t fHIM( t<ИХ lf'M l\(''IC:f)Uf) .
В11м1ы r 11.1вныt• лороrн CP/Jf'('l--l()Г
" заnал-!l()(то...
"-1 7


48
История матемалщи
н днофапто ву апашпу. Ему суждено было стзт1,
последним великим математико;у1 древ Jiости.
После Д1 юфанта работалн только более или
менее:: тал~штшmыс ко:ммсrгrаторы.
Христиа.гК"J'l:Ю, возникшее в 11ервых веках
НОIЮЙ :::>phl, ныс 1 ущию 11 ро· 1 · и в ЯJ ЫЧ ССКОЙ K}'Jlh-
тypы IJ науки ВJtаст:итсли .\1Ир~1 - р 11мляне так­
же не 1юuщрнлн з:,~нятнf1 <J.бстрактной наукой.
Но 11 к стот, небла~ ·о приятнnй оnстановке алtк­
сш щри йскэя ш коJ1а 11 росущест1ю 1{а11 а с:щё око­
ло трёх веков. В III- IIачале IV в. в Александрии
жил и работал замечательный учёный Ilапп. Его
труд « Математнческое собраll ие" rюказывает,
что 011 был прскр<1спъrм знатоком к.пассичсской
:шп1ч110й г<:омстрии. n КОI ЩС l'v' в. Хрисп 1 аI1 -
скан Церковь начала ор 1 ·ан11:юнанное 11асту11-
л1.:1111е 11а 11а)'ку. В .~91 г. была сожжена :шачи­
тельнзя ч асть Алсксандр11йской 6IIблиотсю 1 .
Остав ш иt.:ся pyкo{ll JCH продолжшm ун 1 1чтож;пъ
11 а лrотяже1111н более ·1 ·рёх столети l1.
« НАЧАЛА » ЕВКЛИЛА
.Быть мож<..'т, Евклид и не принадлежит к числу
таких но~заторон н ма·1·1.:ма·1' икt:. как Ф:!)1ес 1111и
Af)XI 1Мt:Д. Но он. кне НСЯК() l 'О сом 1te l-fl1.Я, я НЮU!СЯ
нспрснзоlfдённым с 1 1стt.:м:пт 1 :>атuром, ттед::1го­
гом 11 1101 1 уляриз;~тором 11аую1 . Спш1мr 1 учеб-
11111<амl1 ('J'. е. ю1111·а:v1 и, сnста11ннш1.1l\н1 ern <-На­
чзлз->) ЕиКJнщ охватщJ нrю :"IJ 1 eмt1 1 таr 11 ую
ы:пематику :-эпохн Платова.
«J!ача1 1 а» (др}той переnод названия - «:С:IЛе­
мспты ~) прсл.ставлнют собой з~шсршсш-1 1.: це­
лого ряда нс дошt'дшнх до нас .\1атсмат 11 чссю L~
прон:~нсдtшн1. Например, в шпой кнш·е ~·На­
чал» и~1л: 11 ·астся т1.:orm1 отно111ени/'1 по Ен)\ОК­
су, в десятш·1 кнн 1 ·с - теория иr1хщипнальных
RCJll1Ч[ I H пп Тt:этсту, 13 тр11н::Щl(<IТОЙ - теоrня
гt[): 1 BllJIЫ1 "1Х 'V11101 '0 1 'рЗ1111111(0 1\ · 1·з ЮКе llOCXOД}l -
11 \:1.Я 1< Теэте- 1 у.
Р:пумсстсн, Тiзлагая откrытия Тсэтстз. En -
,1 10 1<c:1 и другах свошс прсдшсствспликов, Ешс­
лr щ добавнл мr ю1·0 нового, дал нол11ые дока ­
зательства того, что нс было ок01 1 L1атслыrо
уста 1 ювленр pa11ct Петь в ~ началах» н 11екотu­
р1,1<.: Н :tХО/\К11, нr l/(HMU 11p11н~ljl) I CЖ<l ll \ ll C с~1 мому
~l\IOlll/\Y· 0 /\11 :.1 11 :3 11 ;.~и болсс яр1<ИХ l'al<~ I X 1I~IXO­
ДOI\ -
·1 ·copt1'-'ta о бссконсчност11 множества
11рос1ъгх ч1 1 с<:л (см. статыо « Пrостыt: числа ·>) .
Из учён"'х конца lV н . ~южно назвать Теона
Александрийского TI его ДОЧI> r1111атию - 11ер-
11ую n истории женщину-математика. rнпа ­
т1 1 я - ;mтор коммсн·1 арнсн к работа м Аlюшю­
ния 11 Диофшп~1 :;)т;:~ ;iамсчателы 1 ая жен 1ц ин ;1
сла н11лась умом и красноречнем. О её трап~ че­
ской су;\ьбt на11щ:аны нсторичt.:сю 1 1.: романы .
В 41S 1·. Гипатня 6 ы ла рзс"l ·ер:~з 11з тол 1юй фа 11 а­
т11ков-христна11 за то, что нс хотела порыRат1,
с я~ычестnом .
В V в. учёныс пою1,11ал н Ллекса 1 тдр1110 н nе­
реезж<ши в Афш 1ы 3дссь работал 11 poкri (410-
485) , ксrюμы l1 оставил коммснта р11и к первой
юш ге <- 1l ачал"' F.11ю11~ди и кратю 111об::~ор 1 ктu­
р1 ш геометrи11 ()Т Фзлtса до Енкп 1 ща , В VI n.
1юсл~днне 11з н1::лию1л комме 1 rтатоrоt\ - Евто­
ю~й r1С11м11лr1ю11\ 1 1з1·1 1а1111ые 11:1 Лф1111, 11ъ111уж­
дсны nылrт пересет r т~.ся в Ирз 11 Л1 1 т11 ч 11аи
наука и т~71ЬТ)11:1 угасли вместе с п ~ белью ncer()
а 1п·н~п юго общестна.


СОЛЕРЖАНИЕ (( НАЧАЛ » ЕВКЛИдА
« Нач ала» состоs1т из три надuати кн~1г. Первы е четы­
ре посвяшены геометрии 1;а п лоскосr и. КаЖАую к11и­
гу Евклид начинает с определений, но, кроме этого,
nервой книге предшеству ют пять а кс и ом и п осту­
латов, сред1<1 которых 1·1uход11тся знаменитый nsный
no( тулат о па ра ллельны х линия х.
Затем в 1к ниге изла гается п ланиметр и я п рямоли­
нейн ых фигур; устанавливаются основные свойства
треугольни ков, параллелограммо в. тра п еuи й. Ве1;ча­
ют кн11гу теорема Пифагора и обратнuе ей преы.о­
жение - треугольник, коадрат одной и• сторон ко­
торого ра вен сумме квадратов двух дру r·и х сторон,
nр я моуrол ьны й.
Вп 11 к ниге изла гаются основы геометрической
алгебры.
К11ига 111 посвяшена свойсгвам кру1 а, его каса-
1 ельных и хо рд - воп росам, которые Gыли исследо­
ваны Гиппократом Хиосским lV в. ло н. э.) илн ранее.
В IV книге строятся правильные п-уголь11ики при
11 =3, 4, 5. 1(), 15. Исключительно изяшнuе rюстрое­
ниt" пrавильногп 15-угольни ка при надлежит самому
Евклиду.
Кttига V сuлuржит об шую теори ю отноu.1N111 и вели­
чин no Е13дсЖ( у. Многие современt1ыс yчt:!tlыe счита­
ют ее первой теорией действител ьного числа, во мн о­
гом напоминаюше>й теорию сече11и~1 Лелекинда,
CO.iдclll H YIO В XJ X В.
В VIкни1 е Евклид излаrа~т уче~1ис о rюдобии. Он
nриме~1яет это учение к .:1адачам. которые можно
Несколько слон о ТО\1, как 1юегрое11 ы <-ll;1-
ч:.1л:1». Слслун л01·ичсской системе снос1·0 уч11-
теля Арщтотсля, Евк.тш;\ 1 1 ытаt:тся i\·1·1ъ :.1кснn­
~1;п11 чсскос и:'!.lюжс:ние 1'с:Омстрн 1 1. Это \южно
ПШ!l'l l lЛ h CJll'f\}'IOЩH!\1 о6р:~зом.
F.слн р:ксмотрет1, /\OI01 :-i a 1 ·с::лъс1· 1ю ттекото­
ро1'1 теорем ы, т мож110 ушr,1е."1Ъ те 6олс:с про ­
r·1ые ф:н<1'ы. с nомо щ ыо которых оно п о ­
строено. Эт11 nросг ые факты, н сво ю очсрсю"
вьпскают И:3 сщё более 11росты х факто11 11 т. )\.
BЫ I IOЛIIllГI тако iт :lH:IЛl!J /.~JlЯ BCt: X Tt'opt:м l'l '0-
. 11e1p 1111. ;v1ы 11uлуч1 1 м l'писок 11ростt:й u11 1 .\ фаr-­
ток. облад:о~ ю1 щ1х CJl{::f\y к111 lнм11 с1юl1с·1 н:1м1 1: но-
111.::рJ-1ых, u1-11 1сок~ршен1 ю «оч ев~ 11тны " 11 потому
НL"1рt:бу кл 1 tо к:.1 з:~тельс1 f\3, 3 во - вто рых, 11 э 11 11х
\Юil\IIO m .rпес 1·н. ил.я о()ратт1ы м путём. BL.C тео ­
ремы rеометрпн Такие r1ростсl1шне факты 1т;:~­
зы 1шотся акс 1 юмам 1r, d все осталыrыс фаюъ1
rеометр11 н явля ются теорсN1 а.ч11 . н ка.1.кдую тt ­
орему мо:;юю доказатъ с помощью аксном 11
Античная математн ка
свести к решен ию различных типов квадратных урав­
нений.
Книги Vll- IX посвяшены ар11фметике, т. е. тео­
рии uслых и раuиональных чисел (она была известн;:~
пифагорейuам не пщднее V в. до 11. э .). П<>мимо тео­
рем, относяшихся к сло жению и умн ожению uелы х
ч11сел и их отt-юшени~, в них рассматриваются и воп­
росы теории чисел: вводится алгоритм Евк11ида, изла­
га к 1тся основы теарии делимосл~ Uf'лы х чисел, дока­
зывается знаменитая теорема Евклида о том, что
просты х чисел беско11ечно много.
В книге Х на основании учения о uелых и рашю­
нальн ых числах Евклид, следуя Теэтету, лает класси­
фикаuию квадратичных ирра uиональностеА, возн и­
каюших при решеi"I ИИ uепос1ек квадратных уравнении.
Кн ига XI п освяшен а стереометри и . Она содержит
основные теорем1,1 о прямых и nлоскLн.:тях в 1 р~хмер­
ном простра11стве, задачи на построение (например,
как опустить r1ерnе11дикуляр из да ~11юй точки 11а
данную nлоL кость), а та кже теnрем ы о тnм, при каких
условиях параллелепипед и призма могут имегь
рав1-1ые объёмы .
В книге Xll с помошью метода исчерпывания Ев­
L\Окса лок .ны ваю1·ся теорем ы о том. что отношенщ~
плошалей кругов равно отноше1111ю кос1Аратоо их
диа~1етров1 J отно ш ен и е объемов ша ров равно опю­
шен и ю кубов их ди аметров .
В книге Xlll излагается учение о правильных мно­
гСJгр.знниках· как их мо;.t<,1-ю пострQить, как нанти
д!\И llУ их ребер . зн ая радиус оn иса11111.>й сфе ры, и nо­
•1ему лμугих nрав11льн ых тf'л не сушепвует.
ра 11ес уст:~1 гоклс11ных теорем. Т:~ю 1 м 061x1~JOl\1 ,
всё Зi\ан ис 1·сомстрш 1сто1 1т 11:1 фун/\<~ме нтс 11з
не6ш1ы1ю1·0 '-!1 1сп:1 акс1 юм.
F.1щm1л ра:l11 1 1'-! зл а кс1том1 .1 и посгулат1.1. Г10-
сrулат:~ м11 0 11 1 1ззы 1цл требощнпrя, кото рымп
слелуст рУrюn<1дстnонзться np11 гсо метр 1 r че ­
сю1х построеrrнях. H:.inp11мep. одш1 нз посп·­
:1атов 1·ласrтт, что «1 1з любого цс11тра любы."•
p1t1.\II)'COM можно ош1сат1, окружность ~. Срсд11
пос·1 улаток. сформул11рuкш111 ых Нв1,л1щом.
бьL11и и такие: "Lkpc:3 ДНt:' точю1 можно 11рож:с­
т1 1 нрнмую~: <1JJ,1~e 11рнмыс 11<: \101ут 3;Jк,11< 1ч 1пъ
JJростр:~н стна >:> (Э'l'О можно ГЮl lЯ'IЪ l'i/I(. ЧТО l:CЛI!
i \l:lt' прямыt: l1мекп дне nбщне точкr1. тn 0 1111
J\Олжны соn11асть) 11 11р.
с ЛO! IHТI IЯ~IH делn 06сто11т a11aJТ O ГlJЧllO .
К r1р1 1м еру, о круж1 ю('"Гr, опрелсляется как п:'о­
мстрическое место точек JI3 пл оскостн, от­
сншщrIX от панной TOЧKll () (1\<.'HT IXI) на дан­
ш.к: рассr·uннис 1-.
Таю1м обра:юм . чтоб1,1 да·1·1,
49


Ипор1,1я м,11 ема ги к и
[вкл11д , l't'\Ы'ф pdtютi..i J\11дрt'д 1 1 " .мно Около 1 ~34- 1341.11 г
()1 1 ре;\епеш 1с окруж1юс1· 1 1. rта,1\О :шать. что т~1 -
1<ое ,,то чка», "расстоmше», <-nлоскос·rъ» 11 т. д.
13 KOJ ще 1\ОТ!ЦОВ можно IJi.tЛeлIITЬ lICбO!LbWUe
ч1тсло нз116опее 11рuсп,гх понятий. с 1ю,,·10 11 \ 1,rо
котоrых 011pl'дt."JШ 1и1·ся все ос1·:uн,ю,1с 1юня ·1 'J ~я
«Лсрвонач:т1,ные·• же поннт11н нас·1·011ы<о 11рос­
т1,1 11 ИCll Ы , ЧТО 1IX )'Жl' Н(' 'l'pc()ye'l'CH ОПрС{l.СЛЯТ I>.
Впрочем , Енюнщ 11 1:: хи1·сл ! КТ:.Jнш11ъ fieз
t н 1гк·1\<:лс 111 1н даже 11ростсl11нr 1 е 1ю11нтпя. Т<tк, он
1 1111J1ет: '·Точк~1 есть то, что 1 1е 1 тмсст частей".
O,r\11ако нсяс110, что оз11ачаст ~ нс нмt'ть частей».
(Скорее все 1·0 U1щлиi1хочет11росто пояст11пь.
что rео."1етр1 rчсская точка не имеет р:~змсров)
llеудатпслыю. что это тумашюс 0 11рсдслс н1 тс
lВК!lИД 11111 '/J,t' /t;!J ll>l lН: нс l!CПOJlhЗycт
11нтерСС1 Ю Пj)rJCJLCДl1 '1'1>, Ка 1( IIr!)IIOДЯTCЯ В
<' !!:~чала х» самые нервы<.: л.ок::~за·1 сльстна. П о
Е11 ю 1иду.лкс ф111·уры 11азываютсн ранным11 , t'C!llJ
OJJll чогут быт1. «СОВ\1\С ЩСНЫ•> HCt'Mll C IIO ИMJI
точкам11 ('1'. е. 11 ерсм1::щан од11) фигуру ка!\
п1ё1щос ц<.:лос, мож1 ю ТОЧ1JО наложить её на
вторую фшуру). 1lo Еnюшд не опрслслщ:т. что
эш1ч11т <,совм<.:ст111ЪУ , Таким образом. его «011ре­
деле 1 rнс.:» равенеl'!~:.t фигур па с;.1"чо.м дс;1 с t:с1ъ
обр;uц<:: 1ш<:: к 1L:.t11н.:rv1) IЮ13ССДН:<::J:Н-Ю МУ ()IJ Ы'l'Y· к
ш.:p<::MCll\{;Hl·llO тел "К:ll{ ' l'Нё/)Д<Н'О Цt::JШ\ '0->. Да-
:lt't:. l ' ШJMOIЦl,10 . -:J' l 'O l 'O HH lj)t: /\e.IJ <::l lll И'> hHКilll!l
Д< )~<азыRа<.:т прн:1нак~ 1 раве11п в~1 трсуголын1ков
R ПОСЛt';\)'IОЩL 1х же raccyЖJ\t:HШIX <111 ()ол i>ltl('
11 <:: 11 {JJI 1 .эуетсн налnжс 11 11t:м ф 1 11 ·) р. ;1 ссылается
на уже сформулиров~т 11ыс прrr:шаю1 равепсти~
треуrоль ш11<он. 1Iапртrмср , чтобы i\0 1\азатr,
равеJ1ст1ю 1-тлоп при ос 1юв::~111111 раnrю6ед·
рст шого тре~то.r1ьн rтка, Еnюшд провод1 1т бис­
с<::ктрнсу у1·11;1 11р11 всршпне и 1юказ111на е1, что
IIOJl)'ЧCHl!ЫC < )JОЛС>IНН-/Ю / » р:1н 11 ы I IO пс:рно.\•1)
11р 11 :~11аку. А 11оскот,ку 1~ ран11п1 х трt')ТОJ 1ы111-
к;,~х-1юJющ1111<ах 11рп·1·11н р:нн-11 11х сторо11 лежат
р~ш111,1t: ут.·1ы. С'J1е1юв: 1тс;1 ы ю. )Тл ы 11р11 nc11or.:1 ·
111111 11cxnJJ,1югo треу1ол1.11111<:.з р;ншы (рпс. 1)
R r\слом тnореш 1 е Ен1сл1т1р веm 1<-1естве11 1 ю
Со:щ:ншан 11ч с1ктсма нзложе111ш 1·со мстр1ш
быт~ 11асголъко xuporтr~1. что прос.ущсо·13она.1:1
более двух тысяч лет. Впл о1ъ до ХХ стuж"1'1 1н в
странах Енро1 1п1 (в том ч.1клс н l'occ1 11 1) 1·со~н:.:т­
р 1 110 н 111кол:е~х 11rL·1ю1 1a11a.1 111 11 0 псрско;1ам 11m 1
llO l l)'JJ Hp HЫM 06рабu1 K:IM rBКJllЩtll:IЫЛ <· HaчaJI ->
Но 1IOCЛt:Д)'IOЩ I IC IJUK()Jll'l l l IЯ ~1атем;J'l 1 1кон
l lt:: liO 1кём ClJГЛ:.1Ш~UlJ ICl1 с CI 1 стс:.юi1 а.КСПОJ\1 11
О11ре; 1елстнrf1 Евю11щ;1 11 JlblT:lЛllCb ее ул~'ЧШIЛЪ.
Наттр 1 ~мер, аксиома о том. что псе прямые ~тm,1
рzшпы меж;\у coбofi, 01Gtэаласъ пе11уж1 юГ1: тго
пред;южеrщ с удалnсь доказат1, т.:ак теорему
исх одя п:i остат, ны х акспом
Поднер 1·1111 ch с< >Мш.:шно 11н еко·1·орыt: r1py 1'11e
акс1юмы 11 1шстул:~ты rнкJ111л:.1 Осоfk:нное
НС:)'/ !< )J\JIC''J'B<>peн 1 IC всс1:1 1;1 1\ЫЗЪIR:Ш l IЯ'J'ЫJI П< )Cl)'-
JL;J· 1, утнерж; 1ан11111l1 : tтл 11 д,Кt" 11rнu.1ыс. 11~pt"' Ce·
::>·" rNr.11;:оuь
У.111гл пr.рв"JJ,
l}<'~н r.rг~ri.t ),·~ ,,n щ;.1tmЪ [/111~ ·..~"Ъ
11 )'1'.-\Х}1.т. 1.11j(}'14',\fl f11t.~ \'t 11 Q0}11f1J,1-.'Ъ
!·1 1 уrа'Ъ •11)M'•'\.' 1111 u·1r..1~Ъ J !.J ';il." I C
<J n.t 11.\\сл•••рч•t-11:0.Ъ и11.1.ЪJ111 ., 1t11•Ъ t·:i-
" .., ,, 1(\111 3o~t1 nl '· .-.~rf1 1 ~1,1
~1м' q>,-rJfU ,..111·1()
У' U/\•iH ~' l tt"l r 1_)'Mlf • 11111: Гшr~ n'mL. щ«t(A/lt .\ HЫ~l
t111i•\1"y 1,.._щ 11.н.jh 11н1 tt~f-'·\.\CAЩ'f•:l\:"1.i.'81 .11\1 -1
ш.1•1)",1;с: - n\,_ cv1 Q~•l\l'•H•1l1 (ltfc''ll11
• 1q1•1)р.1Ь
triнi1r11J','\111111.·";~1 "n:--.ч• n th!'il'. н~rrн "r ! JJ 1 t 1 't 1 -
ivmlo Н• 1 11'1{С :. r
"._ . 1 \'1 на1т"n.Л~ f (f11 nr(;r Цf\·
1tyll'I mv П Allfl){<MY rlllf('jt'~W.
rн 1·1· яко;.1Ъ '1 ·rr-vr·" \l 1fr; J; 11rnмnyr" 1
1 10~1li. ""' .11,н'11 Cl\'>K' ~nто ро1 1 r.р~­
м11му у 1"у npoт1 ruA'l\ >r-пЪ p.нtril>
FCT~ nрнчы, ъ ..1nухЪ fOK'JfЪ К11.1)р1"·
'IЛ~IU ЧllHO
l l t'jJIIOI ' рус ('"1~
IПдJН\11:' • I 1,J•<~Л•
l•ЭЛt'Mt'll!l)fl n l
Е JK/\11Л<l. 17jq г.


LA+LB< 180 '
.,.
.,.
.,.
чённNt т1х~·1·ы.:й. обра:>уют 1ю одну стuр(Jну от
трt"гы:й ЩJ.И ,\1UЙ 1шутрен11не у1·J1ы. сумма кото­
рh1Х Mt:HCC Дli)'X прямых )'l'Jl(Щ '1'0 1 1рп 11р()ДОЛ ­
жс:нии ~-1'их Т(Нух 1 1рямых 0 1111 1н.:ттреметю 11е­
ресекуте>1 , причём пме111 ю с той стороны от
тре-1' 1)ей 11 рдмой. 1·де сумма олносторошпrх
утлон .менее 180° (рнс. 2).
Об этом постулате уже нельзя сказать «ОН
столь прост н очен 1-1деп, что пс требует до­
казатСJ1ьства ·>, нс праRла л 1 1~ liсть н 1·еомtтр1ш
'1<.:uремы, котор 1,1с 1:1ыражают 1 ·ораз;ю болс:е
пр<КТЫС и OЧCBИJ\HhlC 1·~011,1стричсски ф:!КТЫ,
АРХ ИМЕЛ
Нссо~шс11 1 ю, Архнмсд (О1<01ю 287-2 12
дон э.) - CIM hU1 гсниалы1ы1'1 учёный Дренней
Гр<::цин . Он сто1л н 0;1ном ряду с Ныотш [(),\1,
Гаус~.:ом, uйлс1х>м, Лоб<1че1:1~.:ю 1м н 11руп1мн
вслича(11.11нмп м;.~·1·см<~т11ками всех нрсмi:н. E1·u
Тр)'l\Ы n ос нящtны 11t тш1ько матtматш<t . Он
сдеш1л замечательные спl\ры·1 ш:1 н мt:ха11шсt.
хорошо знал астро110,,шю, оптику, rи;т,равлпку
J1 был JIOИCTJШe легендарной ЛJ IЧI ЮСТЫО ,
Сь111 астронома Фпдия, написаnшет соч1ше-
11не о ниаметрах С:олнца и Луны, Архимед
родился и жю1 в гре• 1 еском гoporte Сиракузы па
ОЩ1mн1,1, Он б ыJ 1 11r116лижён ко двору цар>1 Г11-
l'рона 11 н l:J'O CЫH<.t-HaCЛ<.:JtH11Ka.
Хорuшо известен rассказ о жертвен нuм
11t:нце Гперо11:i. Арх 11 мс;~;у nпруч11л11 11poncp1 1 ·1ъ
честност 1, ю11еп 11ра 11опрсJ\елнть, СJ\tлаи иенсц
нз ч1 1<.то1·0 золота ит-1 с примесями друг11х ме­
талжн1 п r1e-1
· лн ю ~у тр и 11ero пуетт. О;\нажл1,1,
размышляя об этом, Архимед 1101·руз11J1ся в
1ш111у и заметил, что nытссне 1 шая его телом
вод;~ пролнл:~сь через край. Гсrrнал.ыюrо учёпо-
1·0 тут же осс~-шла яркая пдея, и с кр1шом «Эв­
rика. энрнка!» (Т. С, «1l :н.uёл,11<1111/::Л~») ОН, IOJK был
H::l l'OJI, брос 1 JЛСЯ проАОJ~ПТ!, экспtр1 I MCH'I' ,
Антич~ I JЯ мат<:?матик.:~
н~11р11мt:р 'l'еl)ремз о Т()м, ч·1'() n ра1шо6е,л,ре11-
1 юм треуrолынше у1·лы пр11 пстювании равны.
Неудпnит<::лы ю. что на протнже11т 1иекоn м~ю­
rие матсм::1тш01 nытаJ111С1> доказать пятый nо­
е1улат Евклида как теорему.
Былп найдспы и друпк формулнровю·r это 11
i!КСIЮЯЫ, КО'!'ОрЫС выражаюто1 11\i<JЧ(' , IIO Э.l<'IШ -
1:\~VleH'l'HЫ пятом у пос.-1-ул:пу, О,цна И:3 ннл таt;шщ:
чt.:ре:~ точк~. 11<.: прш 1 ;.щле.жащую 11анной пrя­
мо(r, мож1roлровесп1 'J'Om,кo одну 11рнму10, 11:i -
pam1eJ1ы-ryю датюй (т. с . 1н: щ;ресекающу1ося
с ней). Име111101зтакпl1 tlIOP;\1t пршюдптсн аксп
ома па 1хщлеJГL1 юстп в совреме1 шых Шl\OJJЫ 1ых
Уче61 шках.
Но М()Ж!IО ЛI I ДОК;t:~:.~тъ ПЯTblfl постулат с
помощью остальных аксно;\J? Нс1т да, то эта
аю:1ю.,1а 1 1 с i-ryжiia, т. с. 11зJю.жсн11с 1·еомстрr·111
\ЮЖНО СДСЛU'I Ъ более ЩХJСl'ЫМ. А <.:CJUI 1!СТ ?" ()·1 -
1\СТИ'lЪ на ЗТО'J' IIOll[IOC VIЗTC,l\!:JTJ !КН смо1·m1 J I HШh
через дне 1 ъ1ся ч 1·1 лет после Евюшда (Ct\1. ст:пъю
"Геометр~ 1я Л обз чеrкко1·0~ ) .
Иде.:я ЛрхнмсJ\:1 0•1снh проста. Тело, погру­
ж<::н1 юе н 1:ю11у, вытесняет стш1ько ж1111кuст11,
каков объё,,1 само1'u тела . Тlоместн 1кнен, R
Ц11/1111-1Дf1ИЧССКИЙ СОС)Д С BOHOJI, МОЖНО 011рС­
дели-~ъ. какuс КОЛНЧССТВ{) ЖllДl.IOC'll l uн HЫTt'C­
HJ 1т. т. t. уз1 ~ ать его объём.. А з1 i:iя объём и R~зае­
с11в ве 11 ец. леl"КО nыч1rслит~. удельную м~кс~ .
Это и даст возможность установ rп·ь 11стr111у:
ве,111, золото - очень тяжёлыit мет;:~лл. а более
,0,рх»М<'А Г1мnюра
(" а HTllЧ t IOI О <tЗUUfJilЖCHИl'I
()коле"> "\Vll l в
')1


,Аъ.
CZ'.l(]J
История математики
'52
лёrкис примес11 , и тем более пустоты, уrv1ень­
шают удельную массу изделия.
Но Архимед на этом не остано1шлся. В тру-
1\е «О пщшающихтелах» он сформулировал за­
кон, который гласит: ~тело, rюгружёштое u·
жию<0с1ъ, теряет в сноём весе столько, кm<ов
вес вытесненной жидкости». Закон Архшv1е/\а
являе;rся (наряду с другими, позже открытыми
фаtпами) основой гидравлнки - науки, нзуча ­
ю1цей зеiконы днижения 1·r равновесия жидко ­
стей . Именно этот закон объясняет, почему
стальной шар (без пустот) тонет в воl\е, тогда
ЮН\. дсревя/lнос тело всплывает. В первом слу­
чае вес нытеснеr11 юй 1юды меньше веса самого
urapa, т. е. архимедова « Ныталки:nающая» сил~1
педоСТ3ТОЧJ 1а для того, чтобы удержать его 1ia
поверхности. А тяжело rружённый корабль,
корпус которого сделан из металла, не тонет,
погружаясь только до так назъшас.мой nатер­
;ш ни и . Поскольку внутри !\Орлуса корабля
много 11ространстна, заполненного воздухо.и,
сре; \11яя удельная масса судна мснhlл е плотно-
сrи вuды и вытал1швающая сила удерживает
егu н;~ плаву. З<~кон ApX1'L"tcдa объясняет также,
почему воздушный шар , заполне1-пrьui тёnлым
воздухом или газом , которьпl лс1·чс воздуха
(~=юдородом , гелием) , улетает ввысь.
Знание пщранлию·1 rю:толнло Архимеду
нзобrести вшповui1 1-1асос r~ю1 вык<1чи1:1ання
воды. Такой насос (1<охля) до педащ 1 его време-
1щ применялся па испанс1шх 11 мексиканских
серебряных руд11111<ах.
И:> курса физики всем знакомо Архиме,цово
пр:ншло рыч:н·;~. Со1·ласно пред<1нию. учёный
про11 :шёс крыжн11 ю фразу: <Дайте мне то<IК)'
опоры, и я подниму Землю' ~. Конечно. Архи­
~1ед нмел в rшду пр11мене11не рыча1~а . но, nрн­
мо о<аже;ч, 011 был несколько самоу13сре11: кро­
ме точки опоры ему п rычаг понадобился бы
совершенно фанl'астнче('кий - 11евеJюя·11 ю
д.rrинный и прп этом 1rесrибжмый с_-герже1гь.
Достонерю,1с факты п мrю1'очнсле1шыс ле­
генды тrюрят о том, ч·1·0 Архи,\tед изобрёл
немаJЮ интерес11ьLх машнн и присnособл ений.


Цар11 Гиерон приказал построи1ъ огромный
корабm; «Сиракосия» . Но он был так тяжёл, что
множестnо вои11оn не смогmf даже сдвш·1уrь eJ ·o
с места. Тогда Архимед скопсгруироRал мсха­
н1пм , который nоз1юлил сделат ь это О1' Н ОМ)'
человеку. Царп сам спустил корабль на воду и в
вocroprc закричал: ~01 •нынс, что бы 1 1 и сказал
наш Архимед, мы всё будем сч11·1-а·1ъ ис1·и 1 шым! ».
Архимед был семидеся·1·илетним стариком,
1ю1·да римт1 11е осадили ег() родной гоrод С11-
ра1'"}'ЗЫ. Чтобы помочь жителям в обороне, оп
изобретал военные машины. Мощные ката­
пулыъ1 метали тяжёлые камни: на римские ле­
гионы, а более лёгкие обрушивали н ;,~ враг.~
целый град ядер. Специальные береговые кpa­
HhI. 1юзвы111авшн ес51 над крепuсr:ными с1'енu"'н1 ,
поднимали крюка.ми корабли римлян и опро­
кидывал и 1. 1х. Р11мский тюеначальн~rк Марцс::лл,
r~едоволы1ый сrюими 1юе1111ымн и11женерами,
nосх1·111lался Арлvrмедом, который «черпал море
римскими кораблями». А легионеры в панr-ше
разбеr;шись, когда из-за r·ородской стены по ­
казывалась ка.юш-ннбудь nсрё.вка или бревно:
•Архимед придумал rrо.вую машнну на нашу
11ш11бель!->.
t..(тобы отразить ttаnадение болыuо1 ·0 рам­
с кого корабля, Архимед заставил 1·ре ч еск11.х
1юигюв до блеска отполировать мt:т·аJ1лические
щил,1 , а затем выстро 1·пъся 1що.~1, береrа.. По е 1 ·0
указа~ 1ию воины сфокусиронали С())шечные
Jiучи от щито-в в одной точке на борту корабля.
Деревянная обшивка судна IIarpeлacь до высо­
r<ой температуры и вспыхнул:~ - на 1<ораблс
начался пожар.
Но дла само 1 ·0 учёного все эти военные
изобретения были лишь н езначительными
11 рактическими приложениями его н;.~учных
открытий. Кроме правила рычага и закона о
ныталкивающей силе, заставляющей тела пла­
нюъ, Архимед создал уче 11 ие о центр:Iх тяжес111
'fел и с его помощью доказаJt ·1·еорему о меди­
анах треу1•ол ьника , которую теперь называют
его именем.
АрхИJ\'tед рассуждал ·rак Поместим три рав­
ные массы в вершинах треугольника АВС, и
пусть О - центр тяжести этих масс, т. е" еслн
110;\11ере-тъ треу1·ольн ик н ~той точке, он бущ:т
находиться н равновесии (рис. 1). Теперь
nеренесём дне нз этих масс в середю-tу ссют­
ветствующей сто роны ВС. "! '. е. R точку, явпяю­
щуюся цеатром тяжести этих двух масс. В ре­
:~ультате положение общего центра тяжести
Анти чная математика
всех трёх масс не изменитсн (рис. 2). Но зато
стш ювится ясным, что точка () находится н;1
медrrанс АЛ-1 и делит её в отнош<.:11ин 2 : J
(сч11т~ш от нерШ1 1 ннА). Tu же рассу-жденне при­
мсю1м:о 11 к любоf1 другой меднане. А знач11т,
все три медианы проходят через точt-..'У О. Так
Архи мед доказал. что н любом треуrоJ1ьникс
мед11а11ы пересекаются в сщноf'I точке (r \ei-rтpc
т51жссти треугольника).
Архимед наmёл и ряд других геометриче ­
ских nримс11е1 rнй своей тсорю 1це1 iтpun тяже­
сти: он р:!ссказал u них в труде «О равновесии
тюских фигур''·
Hu самые замсч;.пельныс м::~тематнчесю1С
открыпнt Аrх11мед.а сн>1з:.1ны с его мстодам11
вычнсн ени.н тющадей 1·1объёмов. Эт11 мст<щы
фа 1<тичссю 1 прсдносхити1111 l.'~дею ннтегриро­
вания - за 18 веков /(О того, "ак дт 1 ффере111 щ­
:шьное и 1-ште1·ралыюе исчисление 61,mo rю ­
строено liыотоном и Лейбни 1 ~ем!
I lрименяя метод Евдо.кса, Архнмед nычнслил
площадь 11роизволыю1·0 сегмента параболы. В
CORpeMCIIHJ,JX 0ООЗН3ЧСНИЯХ ЭТИ раСС)'ЖДСНИЯ
можно изJюж1пь следующим образом.
Рассмотрим сс1·мент парабОJLЫ , uтсекаемьuvJ
от этQ.й кривой хор;\Ой АС, и пусть 11рямая,
параллелы 1ая хорде, кз саетс.» ш~раболы н точ­
ке В (рис. 3). Треу1'0льни 1< АВС ме11 ы11е 110 шю­
щади, чем рассматриRаемый сегмент тtрабол~-.1.
Возьмём тепер1, на параболе ещё две точки G,
Н, которые проектируются в середины отрез­
ков AD и DC. Доб:ши.в к треуголышку AJJC тре­
угольники ABG, вен, мы получим многоуголь­
пиклс;внс, который по шющади более близок
к сеrмеюу параболы . Теnерп можнu на хордах
AG, СВ, ВН, НС 1 юстро 1нь новые треу1 ·uльники
·А Рис.1.
53


54
Истnрия математики
(с трсты:l1 нершшю~'1 нrt параболе) 11 т д. В
рс:iультатс: N\Ы будс:м нсё болс:е точнu у:н~анаТh
шющаr1 1 , сеrм<::нта параболы .
А ;-щлыIJс Архимед лрu1юю11 сноп замеча­
тельные 11::1ыскаюrя. 011 нычнсляет плnщади
тюлучающr1хся м1ю1·оуrольникпв (таких, как
АСВНС и тюсз1едующтте) и фаю·11чесю r 1rахп1~1 1 т
nре/(ел, к которому стремятся :=~ти площаюr. т. е.
нахол;ит п1ют;а;~ь сегме11та параболы. Окюы­
вается. она составляет 2/3 от площади нарал ­
пелогр~м.ма АЕРС.
::>тот результат Архимел получае1· дпумя с110-
соб:1.мн . 8 пср1юм он 11сп011к~ус:т учение о
центрах 'Г>J.Жести · к;Lк бы р<1зре~:.1ет се1 ·м~:нт па­
раболы на тuнкне нертикальныс пnлоски 1r,
смещая llX, 11<.IХОДНТ пе11тры TIOKCCTll IIOJIOCOK в
псрно 1 1::1чал~,ном 1-1 смещённОJ\1 положе 1 rш1х,
уrа111ювешиная с помощью рычага сегмент
параболы н 1-1екоторый треугольник Второй
способ - чпсто выч 1 клнтельный
-
даёт вы ­
раженле nлощаде1'1 вписанных в сегмент мно­
rоуголышков с помощью формулы
1
)2
~-~
1
...
5(L+~ +...+/1)- п +11. +(J+.t.+ ...+11)
РазумеС'f'ся, Архимсн пр1 rнодит её в словесной
формулировке
Разрез:шне на по1 юсю1 , нт1 сло1 1 , Арх11мед
применнет 1·акже д1 1 я вычисле1 1 11я 06'1,ё,"та н
nоnерхrюстн тара, объёма и поверх~юстп
urapoвo r·o слrщ объёма параболоида nращепия
и других тел (рис. .+).
Архимеду пр1шадлсжит ещё много замеча­
телы 1 ых 1·еометр11чсских открытнЛ ()11 на­
учплся выч 1 1слять сторо11ы шшсанного сем11-
у 1 ·от,н11ка; / (ОК;J.З:JЛ , что H<JKJIOHHOC c<:Ч<::ltl-Je
конуса 11рсдста.вляст собо11 эллvrпс. Формулу
Н;JХОЖ/\СНШi l IJIOIT(aДИ. ·1-реугоm,ника 110 ДЛ\.'ГН::lМ
е го стuро11 :
Рис. 4.
S = ,/ р( р-а)(р- b)(J1- с:.)
Pite. 5 . Aμx11м eлnR.i
t llНj.JdЛb
[ vH?fПb Архн.,.l"л .1 . Копня XVlll и. 1 римrкш1 "tн.1ик1t 11в
называют фор.му.'Iой Герона, тю Архимед з11ал
её раньше.
Кроме то го, Арх 11МС/\ ПОС1 p01 IJI сnпрал ь, H<l-
Зhl f\~1 IOЩ)'IO("}J тcncph el'(> именем (рис i) Им
уст;11 юв1 1егю , что сслн JJpsi \t ~1я нр:ш.щется рав­
ном ерно нокр,11 · 11екоторо1'1 свпеlJ точю1 n, а но
этоn прямо!~ раnномср1ю дR11жетсн 'ючка , то
она uп 1 кывае-r спнраI11,_ )],J1я этоl1 с11щ1алн Ар­
хнме;~ nывел угалне~ш<' н полярных кппрдll ­
н:пах, 11ашёл тсасательную n произuОJ[Ы-Юй точ­
ке, вычнслил площадь между дuумя радиусами
и между дnумя в11тт<амп. 011 описал т:uоке рнд
мехаш1чс:ских примснсr шй такоf1 cr111pam1
ll1пt'Jx·c 110. ч10 Арх11мсд снач<lла нс даnал
/(OK;J1aTCJlbCTll, T<IK как ЖCJl<JJ I , чтобы <· К:I Ж/ \hlll
м.3 1 емапrк имеJ1 у11овольстние самш:тшпельно
11 олуч11ть этот рсзулъта'J ">. Более то1·0, он любил
ОЗ<!./1,<1.Ч/11\аП, CROllX ·jaШ1CTHllKOI~. пр11n:11:тяя Нt'­
которые 11енсрные у1 верж;,t.:111щ •·N• бы тот, кто
бу; \еТ уверЯ'JЪ беэ )\OKaЗ<lП.:Jl/)CT.R::I. ЧТО ОН все ОТ-
1\рЫЛ сам. rютталс я 6ы n 1юnvптку, утнерж; 1ая без
ос11опания , что 11а111ёл то, чего 1 1 сльэя найти".
Древние 1'рею1 nокрынал11 стол сухим песком
и на ::JТUl-i <-rrecчaнu1·1 но<.:ке" дел;.ин1 liСртсжн За
т:.~кнм столом и силе; ~ Арх1 1 ме;1, углу61 1 ённыГ1 н
CB()JJ MЪICJll -1 , кпгд:1 OД I LH и;-J ГJИМСК11.Х HO l lHOA,
СJюм1 11тп1х сппрт 1-1вле н1-1t' 1 ·ре1<ов , ворнался 1<
нему. «Не CN1t:й 1poran, мон чертежн~ ,, - за -
1..:рнчал учё11h11'1 . Легионер вскипел. Лере;' ни:1-1
был враг, yi mчтожа.вшн(1 рнмс1ше кораблн, со-


J,. \311JllllЙ ;'ЩСЮfС MЗllllJIIЬГ. Т<о·1·орыс ;'\1е'!';.1ЛИ КЗ~l­
rrп и у6 1тщ1т 1 его тонар1шJ.сl1. И, 11еомпря 1 1~1
·шпрет военачаJ1ы1ш<а Марцелла. 011 прон:шл
старика мечом. Обтщаясь 1.:р оn ыо, Архпмед
упал 1ia свои чсрп.:жи, Н<Хiможно содсржав шш.:
ещt о;~.но научно<.: отк р1,r· 1·11 е...
« АРИФМЕТИКА » ЛИОФАНТА
Дп 11 :i tШL~ J\11e(1 дошлн два nронзведсп11н Дш) ­
фанта, оба 1 1 с 1101шостыо. :)то «Арифметика•
(шес11> 1<1 11 11· нз тринадuат11) и uтрьшю 1 из тра к­
тата <· О ~шоrоуголъпых ч.ислах?. 1:-Lu о са ~юм
авторе 1 1 е:: 11~~ВС(vгно 1 юЧ'!11 н11чс 1·0 Фr:н-щузский
1кторJ1к м:1тс,\1 :Т11 1ки Поль Т: 1 ннср11 , t>СНоRывз­
нсь на косвс11ныхдзш1ых, опредслr 1 J 1, чтоДио­
с!шrrжru~ k ct:re1t1 1нс lll в. n11.нa1<CJ учёные ~ r юхн
Возрож11с11ня, n·1 ·к rыя11111е coч1111e 1 rrrя Д110-
фанта в 6иnmютеке 8 3T~n<a 1 1а, оттюс 1 1ли время
ею ж11:ши J< серед1111 с 1.1 в. Сохранило1 1·екст
эm1тафи11 ( па11писи lla 11адгробrrом к~1м1н:). нз
KOTOr()fT МОЖНО IIЗПЛеУ.Ь IЮС -КаКИС СRt'ДС:ШIЯ:
ПрахД1тфстта г;ю6111ш,а 1101\ошп:
диrшсь l!tf - и каме1tь
J~) 1cJpы11 U<.'Л:J'CCIJl(JQ,;lt C!ZO Cl\(LЖY!J/1
усоптеги (U'JL.
Волр1/ богои июсп~1 110 часть .11(uзни
()/-/ 11/ЮЖ'Шl jJe(iё11J\IJ.M .
и )Щ111 >н1 1 ну 11/ l!CHIO(/ RCYnf.щ miu1.
с 1~,1 1mх:о.м на ll(l!JCa.\".
Т11.1111л-о лmн:~:'ш С(:'()U1ная, с шн)ругот
mt оfiручuли1.
С ·llt!IO nmJU1 лет щювсдя .
cыlfa до.ждш1СJ1 .ч11дрсt(.
7'с.иы~о 1юлжиз1-tи отцовс1\оii
воз.любле1111ы1/ сын его 11/JШICLlЛ -
Uтнлт 011 был 11 опща pa11н&t"r
_.1юг 1 и11 )li сmщ1!.
Два.>1сды дtю гш)а рос)итш1ъ ш1Jшкиr:мu1
JYlЯ:J/CIШf! горl!.
Тут и у1ш()ел 11/NйeJ1 .J1с11.ан11
llt!ЧtlЛЫIOzi C(l(}f!Lf.
Д<Х'Т:П'() • 1н о pбltll'f'I, yp:i ш ICHI lt:' 1н:рАо й сте 11 е-
1111 с O/\flllM не11:~uсстным - 11 мы у:тасм. что
Д1юфант 11rюЖ11л fЧ 1·ола.
Е 1·0 ~ Ариф м е·т· ика<> стат~ rюuоротным пунк­
·1·ом в 1х1зmп111 1 злсебры11 теорпн ч1кt:Л. Имен -
А нп1 ч нd1 1 мате"1мпик<1
~то проrtзошл(I u 212 r. до 1r. .- > ••Марцелл np1 1-
каJ:.т с почссп1м11 похоро111 rт1, Лрхимедз , а на
~101плыюй плпте иэобра:нлъ цн.11и11др 11 н1ш­
сан ны11 в н<"тu шар. Такхотt:л сам учёньнl , 110-
скою,ку оче 11ь 1·ор,t1 1л ся открыты \1 11м сщ>тно-
1нсн1 1 см объёмов ::>т1 1 х фигур - 3: 2.
110 :щссь nропзошсл Ol<Ol l Ч:lTCЛЫIЫ fl (УПШ:3 от
rеомстрr JLJt:cкolr :-1лп::бры. Бпанщаря б) кнс111101't
снмнuюшt' Д1юф~111 та ал1тбра uбрt.:ла ноныl1
ш:1ык, i ·opa.31\0 Guлct: ш1t.:р;п 1 11111ы1'1 11 у, 1,06 1-1ыl1 .
•1см я::1ык гt::o,'ll1cтp1J11 (см . ста тыо "f1ткде1111с (iук­
кс шюfr с11.,шо.rттrю r ·•).
«Ар11фмет11ка" -- ::>то 1н:: тсnрет1 1с~ сско~ прn-
11:шс,1е 1 11 1е, ка1' «l l aчaл::t» r:1щл11rta 1ип1 " Ке> 1111 чс­
с 1ше се че~ пш-> Лпо.11.rюrmя. :)то с6о ршп' : sадзч
(nce t·o 1rx t 8<)). каж,:1::ш н:~ r.:oтopurx с1 r :.16жlт1а
ОД !lИМ llJIИ llCCKOJlbКlL'\Ш рt:ШСПШI М\1 и нco6-
XO,l.11Lt\1ЫMl'I II05JCIICHl151,'vllf,
в н.:Nалс Сl:Ю<.:ГО ~ ·руда /~1 юфа~rт 1IOMCCTl lJI
кр~ткое вве11.<.:н11с. ста 111нее 1 н: рны~1 11з.южс нн­
см ()С Н ОН алтс:бр1,1. В НёМ СТрСШТСН l IOJll' ra 1~1 I0-
1J:IJ111H ЫX ЧJ I CCJI 11 BBOДL l 'J'(' Я fiуккс 1 111:1н C l 1MПO­
Jll lK<I. Та .\1 же <lюрму1 111руюто11 1раш1ла1161сп111~1
с м1ю1'о ч ; 1 ~пам 11 11 :-1)ar111e11шr~11 1 Цх.1з:-· отnо­
р11м сл, чн-, ап:~лн;з ре111е1 шf1 ~1а1tач по. пюляет
0611аружr пь 13 •·Лр11фмст 1 1ке·• 60_1ее шнрокие
тсорет11ческнt: ос 1 10uа1ш:я, чем те, 1-\ОТ()р ы е
>wrю пз1южс:ны но ввсдещщ Пре)fщс всего это
опюс 1 11·ся к ч н слоно1I обл:1ст1 1 .
l l 3!1UMHIJ.\1, что R КJl:lCt:JIЧCCKOi'I а1 1 тr 1ч но~'r
.'lll :t'ГCM:lТJIKC: ч11слам1 1 113:1ЫR:JЛ ll CI> М !-I ОЖССТВ ;]
t:/\lfНJЩ, '1'. с:. ТОJ.IЫШ на тураЛh НЫ С Ч!LCJ l :l
Дно­
ф~IJIТ же Х/)ТН 11 ) \:1 t ·1 cн1pe.r\CJICH I Jt: Ч11 СJ 1 ~1 [((tl{
мнnжс:стRа е; ~нннr1 , 1 ю н;J 11ротнже 1 н 1 11 всех
КllНГ !1 ~1:11>111аст r<аждос l lOJIOЖllH'J lul IOC p:lЦIIO
нали1ю с решение сnо их з:щач словом «ч11сло ».
()д 11 аr<о д:1я построе11ил :тгсбры Ol\IlHX
толы<о полож1 пе.'1Ь1n,1х дробс~'t 11едостаточт10.
11 Цtюф:шт делает рспн пе.r1ы1ыi1 шаг Rnoд1 rт
отр 1щатсJп,ные чнсла. Дrrя :о~того он выбнр:н:т
Ml~I'C>/\, l IЗHCCTI IЫJI TCГIC:/)h как :1 кс 1 юмaTl·l'l t'CIO ltf:
01 1 0 1 1рс;1<:11нt:т 1юш,111 ofiъtж1·, которы i'r 1~а:зы-
1:$~1ет < НС/~<х·т~п·ком», и фор .чул11рует пран11ла
11c1lcтm 1 r1 с 1111 1>1. Диофант 1 111 шtт: « Недостаток
у1V1ножс:111 rыlr 11;.i НС/1,остатоt<, д:lёт 11 :~л ичяе ;
11едоста·1·ок же:, ''м1южс 11 1 11,1 й п:.t н;.1m1ч 11е, даёт
.
.


56
Исrория математики
Лиофант.
11 сдостuток » 3то « 11раашю з 11;.iкrm·> мы .vrожем
зa11JJca ·11, так:
(-)х(-) =(+),
(-)х(+)=(-).
Прашmа СЛОЖСНllН 1r IЗЫЧIIТан11н / (}!}1 110ВЫХ
чи<.:сл Д11офu н·1· 1-r<: 1r:1ла1 ·аt:т , он просто пол ь­
зуетсн 1rм11 в с1ю11х книr·uх И. всё же отршtа­
·1e.Jl hHl>l t: числ::~ Днофа 11 т 11р11м еняст тол~)ко 1~
nрuмс::жу·1очных выч. и слсниях . а в качест в е
рс шенш1 НСt: ГД~I выб11ра е1 ПOЛOЖllTeJll>IIOC р:i ­
Ц I ЮН:!ЛЫЮе ЧИ СЛО.
В 1~реf1!1оже1ш01'1 Диофантом буквешюй сим­
волике примечательно то. что кроме знака для
И3д<IНИР
Nлр~1фмt! I Иti.И \
Лиофанта
Ба·1ель 1:i75 r
11е и::.11:1сстнuй нелн ч1111ы н1юдятсн обuз нач с::ню1
для nер кы х шести сС с1·спс нсй . к::~к пшюж и­
телhНЪLХ. т~1к н uтрю~<1телы1ых То естьлля Д1ю­
ф;~нт:.1 эти вt:личн111,1 11е 11мскл п::оме'rр11ческо ­
го см 1>1 ст1. как было ра11ы11е. С:формуm1рошш
11раrнта умтюжс.:аия с1е11е1rей п еп звестного 11
rте1щ специ::tлы1ые з 1такн для равенства - 1cr
( 11 ,1ч .~лы1ые буквы грсчес1<01·0 слова <-ПСОС " -
« раu11ый ») и нсопред<::лё11тюrо квадр:.1та - О ,
Днофант внерные н м:1тсматикс IЮJ1учает воз­
можно с·1ъ зап 11 сыва 11> 11J;ll\ 11 c r111я н111 1 01стсмы
урав11сгшй. l<ан счно, е1·0 форма заш1 с 11 1111 -
скuлыш нс 1юход11т 11 ::1 сонремснную, ОД11:1 ко ~1 о
настоящие уращ 1 е 11ня. щ,щt:11я10щ11еся н тексте
т<1к же, ка ~< в 11ынеппшх м ;1те\1атических ра60-
п1х . Собственно говоря, /\() Диофанта 1rи1<::tю1х
уравнений - 1111 опредслёшrых, 1111 пеопрсдс­
лёшLЬLХ. - просто 11 е быJJо Рассматр1 шались за­
дачи, 1соторыс мы те11ерь м ожем свес.-r·и к уран-
1 1с1 1иям, и не болt'с топ)
Наконец, но нвелс11111 1 Диофант форУ1ул11ру­
ет дна uснош 1ых 11 рани;1 ~1 11pt.:c >nразонан1 1 я ~·ра 11-
1rс11 и(1 1rранило 11t:ре1юса члена ура1шеr 111я 11з
одной части н ;1руrую с uбратr1ым ~паком и
пр;lВ ило Щ) 1113е11епия пu.п,об11ы,-.. членов Вп о­
сле,цс 1 в r1 и этп правила ста11н нзвестны п од
арабскпми назв:н шями "ат,-джебр" и <«Uiь-t-ч ­
кабала -> (см статью "Страпы :-~рабского Вос­
то ка")
По<.:кольку <·Арнфметнка ·, - это сбор нпк
задач. можtт с.:л<Jжнп,с.:я вп еча1·;tе нн е. что Д1 ю­
ф ~шт разμаботал остроуi\1ные 11р~ 1 ё мы !J.ШJ
рtшенни частны х сл~ чаен. но не создал общt-
1·u метода. Однако при 1ш1 1:м .tт1:льно м чтени11
можно у6сд1 1т1,ся· 1·щатсл1.ю,1й подбпр 11 про­
дума111юе рас положе1ш е зада ч напраnлеrrы 11:1
·10, чтобы проиллюстрировать применение
rшпm-те определённых общих .методов.
В п ервой ю1нrе решаютсн определённыс
у равнения п ервой u второй сте пен ей, нu
все остальные кнн1· и пос вящены реше ни ю
всопределtнны х ураннени 1"i 1·1 с и стем т~1ких
уравкеннй Тщатсл ы-ю разб11рая решен11я Ди ·
офанта, можн о у1шдстh , что 0 11 фактичсск11
доказынаст слс;\ующую взж11 ую теорему · если
уравнение второ1'1 сте 11ени с J\ПУ1"1я 11е11з11ес1 -
ными и с ра1~11rнrалы1ым11 1<оэффитщептами
имеет хотя бы одно рац1юпалыюе решение.
то это уравнение имеет бесконечное м1южс­
ство таки"'1: реше1шii. Более того, зпачсш 1с нс11з­
вестных х и у можно задат~, раци ональны.мн
функциями от одного пара м етра: .-х: = <p (k),


у<= ljl(k). Для уравнений оыше второй степени
этu }"J 'Rержденис неверно.
Диuф~11-1т 1юл. ноt.:тью nроа11ализнровш1
нсопределённые уrаннсния Rторой стспе 11н с
двумя нсшmсстными .Для реше 1 1ия ураннt.:ний
11 систем более нысою-~х стспенс~'1 он р:'lз рабо­
тал ещё более тоJ 11<ие н сложные методы , 1<0-
·1·орые привлекали в11има 1 rи е м110 1 ·их сF1ропей ­
с1<их математиков Нового временн Од1п1м из
этих методов решается самая извест~тая задача
Д11офшпа: «Зада rшый квадрат разложит~, на
дnа квадрата•). Двепадц;пь ве1<оn спустя р:1з­
мы 1 11лсню1 над ней побудишт фратщузск01·0
матСУtатика Г11,сра Фе рма сформулировап, его
Античная математика
знаменитую теорему (см. статью « Rели1<ая те­
орема Ферма»)
Труды Диофанта и.мели фу11даменталыюе
значение для развития ал~·ебры и теории ч11сел.
r: ил1е 11 ем это1·0 учё.но 1'0 свя::!ано rюяк11ение а
развитие алгебранче::ской 1·еомстри 11. г~робж:ма­
ми которой вrюа1е;\ствю·1 занималиСh Л ео н:Jрд
Эйлер, Каrл Якоби 1,1 дру гне а1поры . Н:щболее
тубокое применение методы Диофанта 1-1 ашл1-1
в рабптах ~амечателы-ю 1 'О математи1<а ко1-ш.<1
ХIХ- начала Х)С n. Л11р11 Пуанкаре. На oc1rone
этих методоu строится арифметиI<а ат·е6раи­
чссюIХ криDых - область, иптс1 1 сиu1ю разви­
н~нощаяся в конце ХХ столетня


История матf'ман1 к~i
СРЕЛНИЕ BEl<A И ВОЗРОЖЛЕНИЕ
СРЕЛНЕВЕКОВАЯ ИНЛИЯ
Уже н ссредш1е 111 тысяч<..:л1.."гин .цо н. э в доли -
11с реки И нд сущсспюв~1л~1 р;1Jнитш1 цн1шли­
:~ац11н. Об уровн<.: знаний Т()Й д~~лёкой энохн
MOЖl-IO судJIТЬ 11() (1<.:З)'JlhТ:пам арХСОЛ()Г11ЧС­
СJНIХ иэысканиl1 . l la11pнм.tp , пр11 расконк:ах
Gы;1н 11ай;~е11ы обломок: .rн 111 eilю 1с делс:1111нми
и древнейшие в мире иr рJJIЬ ные костп кубн
ческой формы. На каж,f"\ОЙ стороне ямочт<ам11
обоз~ rачены ч исла от 0,11 ro1··0 до шес1 и. Тор­
гош~ы тех далёких времен ттолr.зоuал11сь ка­
мсшrыми п1ря,\111 различной вслич1111 1,1 . Архе­
оло 1 ·11 uбна р-ужили болън юс ч11с1ю прсдмстоn
1 11х1ш-rлыrо!1 1 ·сомстричсской формы Дю1 1ю­
строt.:ния сжруж1 юс-r<::1'111нд11йцы, 110-нид1 1мu-
1\.'fУ, применяли и1-1 струмент, похож1 rl1 на соврс­
ме1шый циркуль.
М 1 rо 1 ·ие черты роднят 1(1 1 щ111нза1 0 11о)(ОJ1J1ны
Иr ща с други.м11 J(pe1-1 11им и куль~1Jамп - Ег1"11 r-
том и государствами Меж:1уречr,я. !)езде во:-1-
шп<~Ши одппаковые 11роблсмьJ. приходилось
делать расчL'ты ттри стронтельствс ;щорпов.
XPJMOB, ЖИJIШJ..J,, складов /\JHI зерна, BOCIUILIX
укrсш1с1-1нй, 01 1рсдслять r::i·Jмcpы и очертания
по;1е11, учитывать кот1чест1ю матсрпалов и
протlуктон - словом, решхтъ схожие матема­
п 1 чt:скнс з адас1 11.
Ro 11 - 1 'J'ЫСЯЧСJIСТ!!ЯХ ДО 11 . :7. ПОЯВIIЛJIС Ь
рСЛ111'НОЗНО-фшюсофск1'1С КНИПJ - ВС'/\Ы ( <iЗl-!a­
HI 1и» ). Од1111 11з раз/\СJЮВ Вt'д1 11·1скоl1т1тсратуры
1 1а:з ыnался <-illy.111,();1 -C)тp:1 » ( <·Пр;шт ита верёнr<Н,>)
?}тот 1 ракrат, сост~rще111 1 1.1l1 11 V11 - \i вn. /\() 11 э.,
С()держ11т праnнла и:i ,V1epe111111 (.." пом()щ1.ю 1зе­
рёню 1, 11р11ме1 шемыс пр~ 1С1-рс:1 11·1 c.1ucтne жерт­
nенпых алтаре1'i и храмов.
В 11срвыс века по1ю1'! эры полш1лис1, аст­
роrюми ч сск:нс 11 м,1 тt:матичссю 1 е 1руды - cид ­
/JX:JH' I ы ( "' Y 'ICl-11 I И» ). Фаюы, IBЛOЖClll-lbll' н llt'pвыx
сиддха1-пах, :{~t11м с·1 ·1юваны у дрснн 1 1х tрсков
Труд •Пут 1с;1-с11ю~хаt1та -> нришкыкжтся aJl(:K-
c:11 щрийtкому :ктрш-н >.">1~ ЛауJ1осу. О ~·р~чt::ском
происхожде1tнн с1111дстсл1,с-1 ·ку~т 11 11::1 :танш.:
«Ромака-сиддхалт:.~ " (жнтелt1~1 Восточно1' 1 Р11~1 -
С1<ой империи часто назыnали ро.чеями) . 13 спд­
дх<нп·ах нспользова 1 1ы некоторые греческие
термины Впрочсi\1. лаучные связн И1щ11н 111'ре­
цш1 сущсст~tша:ш сщt n ::111т11чньн.: времtпа.


В Среднt r<" века рабатат 1 н1111 111у1скис мате ­
мап1ки 11 :.1стrоrюмы Лр11збх;.iта (V- Vl вв.) ,
БрахмагУnта (Vll в.), Магаш1ра (IX 11.), Шртiдхара
(lX- X вn.), I.>x:icкapa (Xll в.), Н11лака1па (XV-
XVI вв.).
Бш1ьw11непю трактатов 1111f\11йцев 11<1п1.ка-
110 н<1caнcr<pr1те - я::;ыке наую·•. ко· 1 ·uр ый абъе­
дш1ю1 ученых. 1·онорнкшнх на разных наре­
чшrх М11ог·нс труны r1з;юже111>1 FI с·rи хах, r~ я
того чтnбы пrаннла можно 61 .1110 з<1учн1:1а1ъ
наизус1ъ. Науч.11ые текоъ1 обычно сопровож ­
дались 1ю;(f"Юбн1.rми 1<омме11тариямн, где каж­
дое nraf\ПJIO ТЩЗТСЛЫЮ ОбЪЯСНЯЛОСЬ.
ИНЛИЙСКИЙ СЧЁТ
С 11peвr-rtl1111 нx 11ре,,,1ё н в И11;~ии 11римснялась
f\ССЯТИЧJ l :JЯ 01стема счнслсння. .Цля СДИJ 1111\ су­
ЩССТfЮН:.11111 спс.: 1\11~uтr.1 rые :·1н:н:и. а десятки н
сот11н заrтнс ынал и теми же 1\ифраJ\нt, 1то li
друmй rю:~vщии. Памимо цифровых у чисел
были и словесные обозначепня. Tar<. нут, обо-
111:1чали слоn:~ми «нусто1т». «нtбо» илн ~д ыра»;
ед1111ицу - н:.~зnаниями единичных предметов :
•Луна->, «Jемля->: дnойку - назв::tниями n.~рньос
пред~н:тоn: <-бди:нrс1\n1->, « глаза·>, «1юз;1ри·>.
•губы') 11 т. д.
Имс11110 01' 1шд111kкой IIOЗ!ll\llOHJ-Юii нумс­
рацшr прон :юшла прнпычнан 1~ам система
Средние BE'Kil и ВозрожлениС'
~
EDJ®
сч1 1 сле 1111я . И11,'iпГтr\111 рдра(Jп· 1·ал11 nр~11111ла
ар11фметичепшх детrсттшfi. ос1юва1111ые на
этоl! нумерацшr (первым 11х применил Ар11~1б­
хата) . Оrш умелн ск.1аf\Ы1Jать. ш.1читат1" умно­
жать, !(СJ 11 ггь, вознод11ть LНICMI в ю3:щрат н куб.
изнпекать к~адр~1т11111<.: н К)16Нчt'сю1с корни. .!3н­
rю11с:йцы ll:1З l1IH<llO'I' Цttфры ОТ() ДО q :.1paбCIOL­
Ml ·I , т:~к как 3а1 •1м с.~гвон;1лн 1 1х) арабов. Но с:1,111
арабы 1 1м еную1 ~тн цнфры ннд.ийскнм11 . :1
ар11фмст11ку, uс1юн;11111)'1О 11t1 дс:сяпrчrrой от­
стеме. - ПIТА11йошм счётом
Арифметические правила шщ11йцев м:1ло
чем отличались от 11равIJл , изучаемых соuрс ­
,"rе 1шыми школышками.13от 1car< f)хаскара от1 -
сал операцию сJюжс1шя: «Сложи ц11фры , сто­
ящнс н:t ОДН!IХ 11 тех же пo:нrttlIOШIЫX •ЧCel'~IX ,
в r1рямом 11ш1 06р:1т1-юм порню<с" (11р1111rямом
nоря;tкс сложеш 1 е нач1111;1ется с сд 1 н1н1\, пр11
обrа·1·1-юм - со с1·аршнх pa:irя/ЩR). Д6rстR 1 1е
1-11.1чнтаrrия Бх:н: к.арэ \н1ре1tслю 1 так: <· R1.1ч1п·:11: 1
ч 11сла 11 соответстшш с нх 1ю:нщ1юшu,1мп ме­
стами R прямом IIJJИ обрат-~ юм поряд1<е». А пра­
n11ла для сложешrя. вычнтапш1 и )'Мrюжещrя
дробей такuвы: «После прш:!t'flеттшr дробей к
общему знаменателю с:лож 11 Чil('JlПTCJllI»; <.По­
сле nр11не1tеюrя /tроб<::й к общему з наменап.:­
лю СJlедуст юять p:1:311UC'IЪ между ЧТICJl ft'l'C)l}l ­
MlH; (< ПpoI LЯl:!C/(CHlle ЧI ICJIHTCJlt:Й , /tСлё ш юс H~I
1 1рои3вед<::ннс з 11 амсна·1·сле~'1, с.:с1ь рсзульт:)'1·
ум1южспп>J двух 11т1 болt:с Л!Х>беl!».
59


60
История математики
Н;J.чи н ая <.: VII J:J. и1щийск1 1 е математик 11
nользов~uшсъ отрш ~атсльным11 чио1::~м11. Пшю­
ж1 1 тсльные чис;1а они 11азыпали <>дхана» или
~с13а » ( «иму1цСС1'fЮ»), а 0·1·ри ца1·елы rые - ~pm ta»
11J111 «КJJ.tайя» («долг"). 13ра.'Смагугrта, приводя
прашша арифметических действий пад отри­
цательпым:н Lrислам:и, ещё пе отмечает двузнач­
пост1, квадратного корня. но Магавпра в IX в.
уже указывает на неё.
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Индпйские математик~ 1СОЗJЩ.J111 развитую атееi­
ранческую символику. R Индии пrrepnыe nояви ­
лнсr. rкоб1.1е знаки для .мтюrнх неизпестных
величи11, свобо;щого члена ура 1ч-rення. степе­
ней, основных арнфмет1 ·rчес.:кнх дейстшrй. Болъ­
шm 1ство симrюлон предст:1влю 111 собой первые
слоги сапскритских терминов. Наnрнмер, не11з­
вестну10 величину ~11-1ди 11цы называли ~·й:.~в:~т­
тават» (<.С-Т'ОЛl>КО-СКОJIЬКО») , сё обС1Зllач~иш cлo­
l'QM «й:н. Если неизвестных было несколыш, то
11м дапали наимепова111ш разл11ч1 1 ых цне ·тв·
чёр11ый - •кал(.(IСа», голубой
-
«т-rилака», жё.:1 -
тыИ - «nита1<а о)
-
и эаписыnал11 слогами ~ка».
<НIИ», «ПН» И Т. П.
Индиl1с1ше математики достигли больших
успехов в решении задач, свя:3аш1ых с алгеб­
раичеСКИJ\оШ вычиСJ1е н ю1 ми. Ариабхата ое1·а .1шл
зад~tчи, сводящ 11есн к ре1щ:ниНJ линейного
~'ра1:1нения с одним не11звестным. У МасавирьL
Бха<:к:.~ры и /фу1 · 11х учёных есть з~щ::~чи. прино­
днщ11е к систем:1м линейных уравнений с нс­
<.:колькими нси~1.Аест11ым1 1 . Вот одна нз эадач
Ма1 ·аF1иры: «CT()J1.i'v10CTЬ 9 лимонов и 7 ЛССIIЫХ
яблок равна 107; стоимость 7 т-1монов и 9 лес­
ных яблок равна 1О l. О математик, быстро ш1-
зовн м не цепу лимона и лесного яблока».
Задача при.1ющп к системе двух линейпьrх
урав нений с п:вумя н еизнес-1· ными:
{9х +7у=107,
7х + 9)'= 101.
Метод решения, изложеш rый Магавирой, не от­
личается от современного способа решения
с помощью уравнивания коэффнциентов.
Бхаскара nрс:длш·ает т~u<ую з<щачу: «Од1ш
имеет :IOU монет и 6 лошадей; дру1·ой имеет
1О таких лошадей, но у него недостаfт l 00 мо-
нет. Оба оди11аково богаты. КаТ<оuа uена лоша­
ди?" . УСJюние ныражас::тся ур:шш:-ш1см
6х+.30()= 1Ох- 100.
Отсюда Бх~ккара нахот~ит, что JIOШ<l,L\I> стоит
100 мо11ет.
Задачи на ква~ратные ур<11..1не 1 шя ес1ъ уже в
«Ш)'Льба-сугре», где прrmедены ур:пше 11 ия п11да
а;;/ = IJ, ах
2
+х=/-;.
О;\нако их решеюш :-..1ы впервые встречае:-1 у
Ариабхаты. Этu :заJ~ачн на СJ ЮЖные проценты
п на нахождение ч1кщ1 членов арифметиче­
скuй прогрессии . Бхаск::~rа рассм~принал спс­
ц11алы ю лодобранныс ур;~внсн~rя третье!~ 11
четRёртоii сте11е11е1\ целоч11ст.:: н н ые КС1рнн
которых он ва..'i:сщнл путём неслож11ых лреоб­
разоват111й.
Итщийсюrс матемзт11ки усnеш110 решали
нсопредслё1шыс урав1rе1rня, r(оторые rюз1шка­
т1 в ::н:тpOHOJ\·HNeCКllX задачах. в OTJllJЧИC от
Диоф;1нта. искавшс1 ·1) любые рацио113Льные
корни, 1 1н;(ийцы далн способ ре111ения неопре­
деJ1ё1111ы.х ур:шнсннй в целых п01южнтеJ1ы1ых
ч11слах . Л1111ей11ое ур:шн.сн1-1 с в целых ч11слах с
[(Тlумя 1-1ензt1еС'l'l 1ы мн
ах+!:> =~} '
приnодит уже Ариабхата. но более подробно о
нё,\1 рассrGtзывают в своих сочш rешшх .l.5рах­
ма~у11та 11. Бхаскара .
1.kршин<~ достижений шщийс.:ю1Х .\ilа1·ем<Jт11 -
кон н тсоrи1 ·1 ч11сел - ретс11не в целых 1юло­
ж11тельных чнслах нсопрсi(t:JJённ01·u )'равне-
11ня второй степени с ;~нумя нt:извt'стны.м11
axl+fJ=):2,
rде а - целое число , не являющееся квадра­
том. Эт() уравнение рассматртrRалн Браы.ш­
гупта и Бхаскара , который ш1 примерах изло­
ж~;.ш метод, 11азываемый теперь циклическюt
Позже в E~pu.11e этим уравнением занимались
П. Ферм.~, JI. Эйлер, )К л. л~нранж. Метод на·
хождения nолн.01'0 ре111ен11я , открытый Лагран·
жем. в 1769 1·" близок к шщ 11 йскому.
Арнфме•п1чсскис и 1'сомстr 1 rчески.е про-
1'рес'Сии за11имали видное место R индийской
математике. Некоторые задзчи очень извест­
ны, к примеру задача о награде за изобрете­
ние шахмат, которая сводится к пахожле нию
суммы геометрической прогрессии со знаме­
нателем 2. Суммирование числовых рядов ин·


тересо11а.1ю многих индийских математнков
(см. ста1ъю ~числовые ряды»). Ар1 1 абхата при­
nодит прав~ща суммирования рядов треутоль­
ных чнсел, натуральн ых кn::~дратоu и кубов, а
Маrавира - правила сумми роnани я рядов
квадратов и кубов членов арифметической
11ро 1 рес<..:ии
БоJ 1 ыnой интерес 11н; \ 11й1\ ы проявляли к
комбин~1торнкt:. Вот, например, задача Ма1·а ­
виры: ~о /\руг, 1-ш:юв11 'fИCJIO р;!ЗJГН Ч J-fЫХ uжcpc­
Лllit. которые можно получить из брш1лнантоu,
сапф11р()1:1. изумрудов. коrх1 1 1 ;ю 11 и жемчугов».
А уШридхары 11р1 1 но1iи·1·ся такая задача: <.Повар
готовнт рззл11чпые блюда с шестью вкусовы ­
мн оттепк::~мн : острым, горьким, в.яжущпм, ютс ­
лы.'.1, солё11ы.'-1. слащшм. Друг, с1<ажи, каково
чнсло 1:1сех разноnид1 юстсй·1.
ГЕОМЕТРИЯ
311а1 tнн н открытия 1rнщп~tскнх математиКОli 11
rео~1 етрн11 скромнtе, чем 11 арнфмет1 1 ке, алгеб­
ре и теории ч11сел. Спеr~иалъныхсочт-шений по
r·еометрщ1 в Индии пе было, эти сведения со-
Инл1111rк~1й "э11уrкр1<nт XVI в.. кпш1я матРм,п 1 1ч~·<"ко 1 1
рукоnиl" Бхаск.~ры
Средние века и Возрожлен ие
общалис1, 11 ар11фN1етических тракгатах нли в
а риф.метн ч еских разделах сочипе11 и 1! по зст­
роном 1111.
Геометрические теоремы r1 р1шодил11сь без
доказательСТ13. Обычно ЭТО был только чсrтёж
со с;юном «смотри». Лшuъ в редких случанх t1·0
сопровождали кр~1 ·1 ·ю1с 1 юя<.:11е11ин. I Iо-1:11щ11мо­
му, доказате.11ы"1на учащимс51 сообщались уст­
но. В геометр11ческнх :~~щачах 1:1опросы чаще
вct."ro Сt.юд 1-1ю 1 сь к иьrчrклснням 11 гораз1ю
ре.же - к построен11нм .
СаJ1-1 ьн:: ра1111ие сведе1111н о 1юз11а1 1 115!Х н11яrrй ­
цев в обласп... геометрии содержатся n руковод­
стnс по постройке алтзрей н храмов - <·Шу111.ба ­
сутрс<> Храмы ВОЗ!ЮД11ЛИ, П ОДЧ l fl l ЯЯСЬ рл,11у
правил: здапнл должны были иметь в основа­
ниях опрсдслешrьrе фнгуры и бьпь сорнентн­
рон:шы no странам С1~ст:1. ДrLЯ :;i·r ·o1·0 требовалось
у\1енне стрuи'IЪ прямой ~1·ш1. ю~адр:п, nрнмо­
у1·оnы tые треу1·ольннки. сторон1>1 которых вы­
ражаются це.1 1 ым11 чrкламн . Н1-щпr~щы эналн. как
tюстронть ква;\р:-tт, р<11Jно11е;1 ики~1 11 рямо~1 ·олt,­
нюq:, и кнадра 'I'. 1IJ ЮЩЭДI> J(()ТО\)()Г() 1<рат11а ТТЛ()­
щади данного тrnа,11р~па. Отnравпой точ1юй м1 ю­
п r х построений служила теорема 1Iпфагора .
Пхаскара приnодпт дою1~штсльст1ю :.,~то11 тео­
ремы в виде чертежа с: 11адшкыо: <· С.\1отри·>
ТРИГОНОМЕТ РИ Я
На ра:ш11т1 1е ас1рп1юм 1 п 1 в И1 1;11111, пп- nт111нмп­
му, оказали u11 1 iя 1 111e труды Птолемся, кот()рые
1 шдийцы nреобразоnалп n спстему расчёт11ых
п1хtвш1. Глаш1ым их достнжеш 1 ем стала заме-
11 :.1 хорд синусамп. ЧТО ПОЗRОЛI I ЛО JЗ JЮДИТЪ
()1


,Аtъ.
EUL[!J
История математики
62
р;~зл11ч1tые фупю~ш1. сnя:зат1ые со сторо 1 1ам11
11 уt·лаып пряl\Ю)ТОЛЫЮl·о треугольника. Таким
образом в Иr-щш1 бьшо положено rr<tt 1 aлo три­
го 1 10метри11 как учсншо о тр11гоном<.тр 1 1чс­
ск.1-L-... ве1н1чинах.
!1нднйс1ше ученые тн11,;.юн:.1 J 111<.ъ ра:3.11ичны­
м1 1 триrонометр11ЧССК11l\11 1 COOTHOL 11 t:L 1 11Я.\'I И. 1-S
ТОМ ЧIIC!IC Н TCMIJ, "()'t'OГf• I C fl СОl!()СМСННОЙ фор­
;\-1С Rыражаются как
siп1ц +co.s~o: = 1.
c;in а= cos (90°- а).
si11 {а± Р> = .sin <.У. со-, р ±со::. п ·siп~.
l111дий1~ы тшокс знал 11 фор~1улы для rq)атн1.1х
у1лов si!i 110., cos 1ю., 1·нс 11 = 2., 3. -\, 5.
Тр111 ·ономстрин г1собход1 1м;,~ N•Я астроно­
J\Н1чссю1х μасч.ётон, которые оформляются в
н~1дс т;.~бm1ц. Псрн:нr ·1абтща с 1111усов 11мсетси
1:1 «С)Т>ЬН -сщv~х;штс» п у Лриабхаты. О11а прп ­
nеде11<'1 qерсз 3"4<>'. Позю~ее учt:11ыс состз~шли
более подробные т::~бшщы: вапрнмер, Бхасr<ара
nр1шоднт табщщу cшrycon через 1°.
10ж1ю 1111юrrк1ш~ математики в X\f l n. доби­
ш1с1, больших успе:хов в области суммнрона-
СТРАНЫ АРАБСКОГО ВОСТОКА
Kom<J. н (>22 1·. 11рор<ж Мухаммел бежал 1 1з Мск­
ю.1 И С'ТЭЛ nрОПОНедоnать ПСЛЗJ\1 (араб «ПО1Юр-
1ЮСТЬ•>), ещё ничто не нредвещало •'Рsrдущего
трнумфа IIOBOЙ реJJИl'ИИ и ИСЛ<LЫСКОЙ государ­
ствс111юс·1·11. Ilo уже к нас~алу \TlJI 11. арабские х~1-
лифы (прсс.мнню1 11ророка) покорили огром­
ную территорию от Псн11.жаба и Хорс:зм<1 H<I
щ >с1 ·оке до Геркулесовых стол бон ( Гнбралтар­
скш·о 1 1ролина) 11 а западе. Псрныс халнфы не
жалсж<utн с11е1·ску10 1<yJll>1ypv 11на\'Ку, н том ч1 кщ·
мaтe1v1<1'1'J.JJ<y. Л вот халифы нторой ;'(и 11ас-гии .
ЛГ>6ас1 щов, - a.flli- Maнcп) и Харун ар-Ра11тд (l'а­
рун аm гt>ашпд, :шакоиый всем no ска:-~ка!\1 <:Гы­
снчи и ощю11 ночи"), 1·л:убо1ю y'R3Ж<l.fl учёпость,
стал11 11ригла111атr, 1> liа 1 ·щщ ино;~емлых мудре ­
цов. В 1Х-Х нн. на щх1бскнй я:~ъrк б1,1л1111ерt:нt:­
/ (С ны ос1юm1ыс нрошшt:;(сния Енкли,тщ, Архн­
МС/Щ, Аполло1 шя, Герона, Птш1<::мс:я 11 Диоф:~нт:~.
В VL1L-1X kB. в Арабском хал11фатс уже
пользоналн<.ъ 11ндн[iско(J лссw1·1 1ч 11от'r поз11-
111ю11нuт'1 с 1 ктемот'1. Трактат «0() и11ди~'1ском
шш бес1ш печ 11ых чтrслоных ря,_1он. По-ю 111rrчо·
му, O!ll1 3:1JП IM ~IЛ11Cb ЭTlfMll l!ССЛС,Т(ОВа1шлм11,
ко1·да rтсюm11 способы 1.:1ыч1rслен11я более точ­
ных значсню1 ч11сла п. l lнлака11т~1 с110вссно
!1рt·шол11т ttpaш ша разложен~ tя аркташ·снс1 11
бсск011ечны~-1 С"1·епен11u 11 ря;1. Л в аншшмнuм
трактате ~карlНi~ш<1щ1х:п11 ,, (<.ТL"хш 1ка вn1чнСJ1с­
ннй ->) л;1ны 11p;ш1m:J раз.гюжсн11я сшJуса 11 ко·
с1-11 ryca в ()с:ско11еч1 tыt: стспе 1 1111,1е ряды. Нрю~о
ска:-~ать, ч то RЕвроnе " 1юдо611 ы м результатам
подошли JllJmJ, в Л"VН -ХУШ вв. Так ряды Д}IЯ
синуса и косинуса nыве:л И. liьюто11 около
1666 r., а ряд арктанrе1ка бьur 11a\'iдeJ-1 Дж. l'ре­
гор111.:1167] г. н Г.li.Лсi'iбн 1 щсмв 167:31·.
***
В \:JП в. учёные стран Ьл11ж1rt.то 11 Срсr1нс1·0
Вооока позна1<ом 1 m11сь с ·1 рудам11 и 1 1диlкюL'<
матем ал 1кон 11 ::~п ро1 юмоn 11 11ере::всл11 11 х на
арабсюri1 нз 1 ,1к. 13 серс;~111 1е IX fl. срсд IIеа:нrат·
ский учё11ый аль-Хорсзм11 н:~пис~ сочи11е1111е
<>Об 1п 1дш1с1ш;11 стrёте». После того как арабсю rе
трактаты 61,1m1 ш:рсвсдсны на латы11ь, многие
И/1;~11 ИlJДllЙСКИХ матем;~тнкu.в CT:.tml ДUL'ТОЯIШ ·
ем сиропейсrюй. а. затем i1 мирuвой на уки.
счётс-> - 11ервы!1 араt1с 1шй тру;1, н котором
F1С"1·речается 1ювая 111щ11l1скал нумерация. Его
наткал uыдающтпlся учtпый Мух~1мме,\ бен
Муса аль-Хорезм 11 щшмерно в 825 г. В XII в.
юп-1гу 11 сревсл1 1 на л;пынь. И 1юск<.тьку н !iнро­
ну деся·11 1ч ню1 с 11 стсма пр 1 rшл:1 чсрс' :~р:.tбов,
сё <.:тшш 11аз1"1н:пь 3(Х~бсюJй. Прав1rла деf1стню1
с /(ССЯТ l!ЧllЫМИ Чl l CJШMll IIOJJyчшrи назь<11111е
«алгоритм-> Это слоно про1 1 схо;111т от латнн­
скоfl формы пмет111 з;11)-Хорез1v111 .
Учёпые арабского 'Востока был1 1 в ос1юn·
1юм астрономами. С !Х в. n Лрабс 1юм халифа·
те начала складываться сrюеобраз 1 rал матема­
п 1 чсс1<ая культура. Здесь ~стоды 1 ·rсчсской
матсм.атшш пр1L"1ешшись для рсшс1 11 1я астро·
1юмпчс:ских за;щч.11м<:нно nотребнuстп :~стро-
1юмш1 и np1 шел и к буr1юму ра зш 1л 1ю алгебры
11'J р11гонометрш1
Ос1юRы ап!'ебры кdк 11ауки 3:1лож 11п труд
:ть-Хоrс::1м11 ·f<таб аль-лж~()р валт,- ... 1укабала1
( • Кшrга () nосстаноnле 1 11111 п пр()т1-11ю1юст:.~nле·


Средние B€:'KJ и Возрожлt'llИ~
111111 »). Сло1ю «ал1.-;ркебр>} R матем::пической
11и'rt:paтy1Je арабского lЗостоI<а означало 11ерс-
11с(е1ше отрнцателыюго члена из одной частн
ур:шнсш 1я в другую, чтобы нолучптт, н обеих
час1н.л полож1п слыrыс члены; u-1сюд<J 11 11ро-
11зо1шю н:1 ·ша11не наую1 - алr·tбра. <·А.111,-мука­
бала~ 11 сренодито1 как "сраннсннс~, "nрот11вu-
1юставлс11"н.:,,: с ·1 ·0 1 1ки зрс11 11н матсм:.1т11ю1 это
orrepJцшr 11r11всдr:ю1я по;(обных чле1юв н
оnсих частнх ) р:шнсm 1н.
J>ешение ю1адра·1'11ых, кубпчесю1х н 11еопрс
делётrых ураnr 1 ешн\ 1 1 зшн:чсrш е корнс1I ·1рс­
т1,ей, ЧL'Тflёpтofl 11 nюой сте11 с11сй сталн ос11ов-
11ьrм11 дост11жснням 1 1 арабской алгебры. llp11
рсu1<::1111и ур:шJ 1сн11i1 11с1ю1tьзонат 1 сh ар11фмс­
т1 fl-JC<..:КI1<.' 11 l 'COMCT[JI 1Чt::СЮ Н..: МСТОJ(Ы .
Алп.:6р~11·1ч ссю1й тракта·~ :шь-Хоре.1м 11 был
СОС'J ':шлсн как p~XOflOДCTll(J /1,ШI pt:lllCI !ИН пр:.11< ­
т1rчео01х :щп.ач. 1юз1п1к:н1Lш1х. 11,111ример. 11р11
разделе 11аслс1к·1· ва (М~ cyJ1 ьманс1юе право
А/\Ь-ХОРЕЗМИ
РоЖдение матем« гию1 и п ер1:1ые её
шаги 1,пра1:н:~дли1ю t вязывают с
именами учёных Лрев1·н:•й Греuии.
Но случалось и ТJк, что свет зна
ний шел ю Азии, .:1аставляя улив
ляты я Европу. Вем1к 1:1клад в срел­
невекоаую науку Мухам.... ела {)ен
Мусы аль-Хорезми (787- око.ло
85()}. Кстати, в самом t!ro име ни
содержится опрелелён ная инфор­
маuия: Мухаммед, сын Мусы из
Хорезма.
Хоре:-~м - земля древняя. За
тысячу лет до новой эры там уже
был 11 пострuены магистральн~..1е
просительны~ ка11алы и искус11ые
ирри гаuионные сооруже ния. Надо
полаr.~ть, именно потребность в
точном сельскохозяи<..-твенном ка­
лендdре, в регулирова1 1 ии стока
волы и планировани11 поливных
земель э.:ктавила хорезмuев разв и ­
вать математику и астрономию с
особым усердием.
IX век стал временем п одли 1i-
1юrо расцвета науки в Сред11ей
Азии. Именно тогда nыли состав­
ле11ы первые тригонометричесю1е
и астро 11омические табли uы, про ­
ве.ьсны и;1мерения величины
Земли, строились обс-срватор11и,
появились научные трулы по геп­
граф~1и и первые гео1·рафическне
карты. По'lтому 11 ель3я сказать,
ЧТ() rlЛb-X opeJM И был ()ЛИНОК В
своf'м отечестве, - 110 он был 11 а
ГОЛОВУ IЗl>IШC МНОГИХ.
О его детских и ю1·юшеских
rпдах, учёбе 11 учителях свелений
не сохранилось. И1вестно, •по
околп 81f)1. проrвеш/:lн11ый халиф
аль-Мамун пригласил аль-Хорезми
( коrорый к тому времени уже з<J­
воевал ttаучный авторитет и хо­
рошо знал основные 1руды уче ных
древней Греuии, Индии, Ирана) в
Багдад. Там аль-Хо резм11 возгла­
вил библиотеку Лuма Мудрости
(сеrолня мы на:1~dл11 бы его t\ка­
демl'tеи 11аук). Пол его нач алом
в библиотеке переводили трул1>1
Птuлемея, Енкм1 ла, Ар11гrотt>ля,
д1юфанта, Герона. Он работал в
окружении 1:1слуших учё11ых Вос­
тока, которых собрал у себя х;миф
аль-Мамун.
Аль-Хорезми - автор олиннал
uат~1 работ; шесть из них лошли ло
на< в арабском ори rин;;~ле, три -
в пер еводах и пересказах , а лве, к
сожале11ию, были утеряю.~. Наи­
больший ин1 ерес представляют
трактаты аль- Хоре·i."1и по ,1рифме­
тике и аr\ гебре.
Арифметически и тракта 1 13
ори1 инале не солранился. В Xll f:I.
в Испании его перевели на латынь,
~атем в XIV в перепи сали, и елин­
t твенгrый ·ж.iемпляр этой руко­
писи находится ныне в Ан1 лии, 13
библиnтt'ке Ke'vlfipилжc:кnrn у11и­
верситета. Как озаглави" тракт.:~т
ав1 ор- неиз вестн о, .:1а переводом
же 1акрепилось назва ние «06 ин­
диС1ском счете•.
Но если в арифмстиче<..ком
трактdте аль-Хоре.:1ми главным об­
р:~зом проп аг.:1нли ров ал достижf:'­
ни11 ИНДИЙ СК ИХ матемJТ11КОВ, ТО
алгебраический его трактат «К11 и­
га о восrтановлении и противо по­
ставле11ии )) - сочи нен и е совс.:р-
шенно оригиналЫJUl'. Лрев11ис 1re·
~..и шли от rеоме1·рии к алгебре,
аль -Хорсзми использует гсомет
рию для иллюстраuии с.ловес 1-1ы х
алrебраичепих правил, которые
для него первичны . Истор11к Ибн ­
Халду11 ~в Туниса писал в XIV в.,
ч то ~кн ~t га аль-Хuрсзми о шести
типах аl\ге6ра1~ческих зала<t при­
надлежит к числу лу<twих кн11г, <"о­
ста 1менныл в ::пои области».
Митематичео.ие труды алt.-Хо­
ре.,,м и высоко uuене-ны во всем
мире. В 11 45 г. алrебраическии
трактат был п~рсослен н,1 латынь,
в 1 В42 1. сделан его перевод на
франuузrкий язык, в 1Н57 - на
немеuкий, потом на Jttt м1йский , а
в ХХ в. ;пи сочи не11 ия опублико ­
ваны на русском Я '{ЫКе.
Вnрочсм, ал~..-Хорезми зани ­
мался не только матсм.пико~::-1. В
< пио:е t:-ro основных работ 1на­
чится и трактат по астрономии , в
ко1ором 0 11 иtслсдует движс1-1и е
Солнuа, Луны и пяти пла11ет, ла(!Т
пrав~1ла измер<:'ния геnrрафичР­
ских широт и долгот, оnрелсляет
размеры солнеч н о~ о лиска, рас ­
скёнывает о солнечных и лунных
1атмениял .
Лруrая раб(П;~ аль- Хорезми -
« Книга кар1 и ны Земли• - труд
географический . В нем л.1ны ко ­
орли1-1аты 2402 пу1-1кто 1з ЗС'М J·JОИ
поuсрхности и нJлuже н.1 uри 1 ~1-
Н<1льная 1ео1 рафическ.~я СИ( 1ема
с уч~>том климатическю. зон . К сп­
жалснию, эта книга не 61->jла 11з ­
вес:тна европсйuам, 1ю t?c JI 1 ачс­
н ие для развитин географии н а
Восток!:' очень велико.


История матема г и к и
п редусматривало тота сложную систему на ­
слсдова1 rнн, в соответствии с которой мно rо­
числс 1ш ыс родст~'lе н никн умерше го 11олжны
были п олучить CJ:IOI() /ЮЛЮ в ЗШ:ШСИМОСТИ ОТ
степе~ 1 и родеrва.)
Аль-Хо резм.и дал классификацию ли 1 1ейных
и кn;щр::~тных ураu 11 е11и~1 н с п особы и х реше-
1 1ия. Общее решение квал;рат1 ют ураш rеrшя он
не рассматрю1ал. Во-первых, его не шrтересо­
вали уравпе ~ шя. у которьL'с не было ни од но1·0
положительного корня. А no - nтopьi.", он ста­
рался записать уравнен ие т.~к, чтобы вес еп)
члены выс тупали н к::~честве сла гаемы х, а не ны ­
читасмых. Поэтому ;~ль-Хорсзмн рассм;~трннал
отд<.~лnнu 111 ссть R1rдou ур~шнений, к которым
путём алгебра ~ 1ческих п реобра :юJ:1а1 ~и 11 сnо­
дятся /IР}ггт 1 с уранне н ин:
1) их-= !1:х (в терминологии aJ 1ь-Хорезми -
«квал;рат,ы рзu11 ы ко рням»);
2) а:-.::-= с ( «КВадраn,1 равн ы числу»);
3) tL"< ;= с («кор ни р аnн ы числу»);
4) а.'1:- + Ь:х = с (~квадраты и корн и ран ны
ч.нслу» );
5) o:\·J +с= /JX (« кш1 драты н чнсла 1х1 в1-1ы
корням~);
,
6) lxx +с= ах- («к()рн11 н чнсJ1::t равны квад­
ратам ~).
Здесьа,fJ,с>а.
Помимо ат·ебраического способа нахож­
дения корпя уршшения аль-Хорезми обыч но
предлагал и 1·ео:мстрнческий. Нот, 11апримс р,
nссьма изя щ ное геометрическое рt'ше ни е
ур.uшс 1 шя
х2
+ lOx= 39,
(*)
ОТ'НОСЯЩСJ'ОСЯ К -1·-МУ ТИП)'.
Рисуеrся квад р:п, сторона котuрОJ'() оfi()з11а­
чаетсн неI1з1к:ст1 юй не111 1 чн110!1 х. ПJ1()Щадь та­
коr() кщ~.щхпа х.!. На сторшт::~х кnадрата стро­
mся четыре прнмоу1 ·опь1 ш ка со СТ()ронамн .\" 11
lU/ 4, а в углах - четыре квадрата со сторо11ой
IU/ 4 (рнс. 1 ). То1·да площадь каждо1 ·0 из 110-
10
строенных 11рямоусоль111rкut1 будет -:Jx , ;1
сумма 11х ПJ IOЩ::t/leJI 10.У. Пщ)Щ::t/\h каж;lо 1·0 11:J
чс-1ырёх yl'Jlo1:1ы х квадратон равна 100/ 16 = 6 ,Yi,
а 11х сумма 100/ 4 = 2'5 . Ecm-1 сложит~ . шющад11
кн:tдрата (х2) 11 четырёх 11рямоугnлт,н 1 1кuR
( 1Ох). то получнтся выражен не. стоя"ще~ в лt­
нot'r чаС'l·и ур:~ннсння (*) , т. е. суммарная 11ло­
щаДЕ, ршш:1 59 Отсtода нахою1м, что площадь
бол ьшого ква,тtрата :)9 + 2') = 64, а его сторона
соответс-rне нr ю 8. ~ то же время из ч ертежа
следует, что С1'орону больто1 ·0 к н:щрата мож­
но выразить как сумму х+ 2 10/~1. Пр11рав-
1111в::1я:х+ 2- 10/.:1 = 8, rюлучасм х = 3.
Другой ара6ски.й математик. аль-КарадЖJ 1
(? -1 016), 11ред1ю ч итал ариф м ети ч ески~ ме­
тоды решепня я1аn 11 е 11и й Его эаслуга n том,
что он ввёл бескопечпо м1 ю1·0 положителы1ъ1х
и отрицателы-1ых сте пеней неизвестных 11
арифмети ч<.:скис опсрац 1 1и над многочле1 r ами
(пращ~tt. нри делении огра ничивался лить
деленнсм мно 1 ·очлсна на одночnе н ). Однако
ал ь- Карадж11 нс б ыли чужды 11 гсометр1rческие
мето/\ Ы . ТТрнведём эле1·а 1 rтное гсомстрич<::скu­
аm'ебрзич еское дuказательстно формулы сум­
мы кубов натуралы 1 ых чисел (у аль - Кара/\ЖJt
ll = 10):
1\+2'+5'+ 1:1+...+п\=
= (1+2+.3 -j4+...+н/.
Р:ксматривается кнадрат АВСD со стороной,
равнойсумме 1+2+3+...J +...+ll (JlИC.2).
В квадрате Rьщелнетсн уто:нж BB'C'D'DC, такоi1,
ч1п DD' =В.В'= п . ТТлощ:.Iдь ~~·1·п1 ·а уголка, p~1111 1 aJ1
сумме площадей прямор· m1ы111кпн D'ПСЕ 11
R'FCB м.нпус плn 111аJ11, квадрата CFCE. пре;1с·1-ал­
ляется разностью
2r1(1+2+5+4+...+11)- 11.!..
Преобразуя этu выр<lжепиt" с 1юмuщыо фор­
мулы ДJШ суммы apиф.tv!(.'TИЧCCKU IJ 11ро1-ресс1ш
1+2+3+4+...+п=п(n+1)/2.rюлуч;н:\1
2n(l+2+:i+ 1+ .. +n)-N~ =
= ln _11_(~1_1 _
.... _
!-'-
)
2
Дзлсс рассматривается кна,цр;п , Ш'СD'.
13 нём ·1·а.кжс выделяется )TO!IOJ< B'B"C'/J"D'C',
])
Fс
D'
С'Е
х1
!Ох
-zr·
D"
С"
6 1'4
А
В"В'в
Рис. 1.
Р11 г. 2.


~
81~ История математики
66
Рнt. З.
11е n1>1JIO, :1a1111CJ1 урап11е11111'1 11 НЗЛОЖ<::l 11-Н.: re:1ym,-
TaTOR оставалпст. с1юж11r.1м11 11 11еуноб11ым11 .
Очень важны псслсдоватшя ара6сю 1х учё­
ных u 0611асти 1·еоме11)1111, в частности ра\1оты,
поснлщёш1ые док;-~з:~тельстuу пятого постулап
~Rютида о п3раллслы1ых. Разу:-.1сется, псе rюпыт­
ю 1 доказ:t1 ь пятый постулат бьин обречены на
1н:у) \<11 1у, нu 01-111 110/\1·0·1·uн111111 1ючву для 1юсл е­
дующих иссл<::/\он;11111i1 ~11ро11е1kкнх математ11-
ков 11 В К.ОНеЧ 110М 1IТОП: ДJ IЯ OTKpЫ'l'I IЯ В Х rX Н
н<.:с:ню.LИ/\ОВhl х 1·сомстр1 tit ( с,..,1. с r·атью ~ Гсо.УlеТ'­
рня Лобачевс:1ю1·0~). Kpo:vi1.: тоr·о. про11схо;\111ю
СРЕДНЕВЕКОВАЯ ЕВРОПА
r1:ш.::н<1 тнор1\<Ж антнчной ма·r·с,1:1·1·11ки - 1111-
фаt'ора, !::вю111д:1, Арх11ме1 1:1 - зте1 к:1;~..:,т1ый, l lo
11011po()yi"11 e HCIIOJIHllЛb X()l'>I ()ы ОДНОJ '() 11:~ eн­
(lUПt:ЙCКIJX .У1зтсм:~1·11ков С:rсднснсковья, tJ н~к
скорее 11eei·n пост111~ нс'1· нсу;1ач:~ А пr11ч11н .1 нот
11 чём. 11 Сре;11111е 11ек~1 (ко11е1 \ \' -
Х\'ш1)11Енрс>-
пе формируется нн:щ отлт rчтrая от а т1тич1-ют1
снстема цеш юстей. !iё основу уже не сосrавля­
ст r<улr,т паутш. 1lом1.1слы людеl1 обращены
к Богу , Цсрюш, соnсрт епстnоRанпю J\уш11
У большшк"гва в; r шпслы п,rх: богосл:оnов н ~1ыс­
J 111теле 1'1 то1 ·0 крс:-.1сн11 н с на(1т11 размышJ1ен11й
() \•1:l'!'t'Ma'J 11ке 11 ее pomL в M11(1t°. СХ()/\НЫХ 1!0
глуб111-1с с 1рсчсскr1мн образцз.v~11.
И вес же н сред~ 1енсконо1'1 Европе нс забыли
1ю111юстыо о ~11 1аче11111r м<пе..,,1ат11ю1. В VГ н. Фла­
в11(1 Кзссиоf(ор. п;.1,1111 11 з 1юсJ1е;~111 1х образо­
ва1111ых р11мт111, ос1юн:1 ·1еJ1ь хр11стиа11ско1 'О
моттастыря тта лаnшсrюм :~ападс. 1'\Срзтrул пред­
ставать Б01 ·а-Твор ца в образе 1 ·еометра В е/'О
трактате «l lастаnлст111я n науках Божсстnспнr.1х
п чсловсчссюDС» глав:~ о геометрии открыва­
ется заспшом, который в вольном псрсложениа
;тучm так: • Теперь 1н.:рейдём к нзложснию
H<llШПЛCllllt: 1 ·еоме-1р11че.сю 1 .х фat('IOH, КIПt>рЫt'
111юследстnпп быт~ осоз11а111.1ка1\11rеwюже1111я
::iIOШllaЛelITJIЫe ПЯТОМ) постулату. TaIOtMH nre,.r1 ·
ЛОЖСНТТЯМIТ JffiJIHIOTCЯ, 11::tпр11мер, утверждеш1я
о сущt("l'1:Юн~шш1 лараллс:.11огра.мма и прямоу­
rолh1-111к:.~, кuторыt' 6:t1'}.J,aдcrш r1 матсмап1к Сабит
11611 Kyrpa (8.)6-9U 1) 11снuньзоиал для доказа­
тt:J1nс·1·н:.~ 11ято1'0 1юt~1ул:1·1·:.~ А 01V1ap Xaйsl\t 111жа-
3ыаал СГU l·IC.X()/\H и;~ ~ l 'J-\C(lЖ/~CHI rя· <·ECJLll }\НС
11рн .\1ые 11rи6т1жаются 11гу1· к дру1·у, то 01-111 обя­
:1атслыю ,1ол;юrы псрсссч-1.сн·>.
Ара6с!(ие м:~тематиrш впервые rпучили rке
тр11го1 юме1 р11чесю1е фушщш1 и сосr.ш1mи н6-
лицы оптусоn углоn с промежутком u 1U', прн­
чё."'1 с пор.1:-штслыrоr'r точrrостыо - до 1/60·1
.
~ помощью тр111·ш юметричсских футrю~иr'1 они
llCCJICДOB:IJlll COOTJIOJll<..'llllН МСЖJ\У е~-оронам 11 11
у1·лам11 треугштъннков. To!tbKP ЭТJ 1тrеу1плы111юr
11;1х<щ11т1<.ъ нс на 11лоскост11 , а на повер:-.1юсти
сферы. f'<Шt:t: 1ю110611ым11 1юпрос1м11 зан1ш:~­
лно. Мевел:Н'! (1о. )11 К'1:11щ11f1 Ilтoлeмeir (lJ n.)
-
со.щатеmr сфсрнчсскоi1 тр111'0 1юметрш1.
bor-Tвopeu
к.н~ Г{•ометр


rеомстртr. Ст1детельств:.1мн 11реnп11х п ерсю1-
110, что J()шrтер в дся11нях CJIOJIX nоступас1 как
П.'О.\н.:тр. 1-k знаю. л;остойно лн это nохnалы шur
llOJJIЩШIIЩ IIO 01111 OCMCЛILJIIICb СI<; 1 зат 1., что
Ю11 1 гrср на нсu<: пюр11т no;\0{)1ro 1·<:0.\ileтpy.
р11сующем~ ф111уры 11<1 р:1<.:кра1 11 е11но1"т 11ыm1 .
11uкрын::но111с~"1 1·сомстр11ческую цоску. Так~ rc
peчLI. еслн 11Х с ДOJJЖHOII ()ГOLIO[>l<O(I о·r·нссги !(
Т1ю1щу, 1к·смо1унJ.t:'МУ Госно((у, мо1·ш1 бы, по.жа­
луй. COO'J'BC.:TC'l'ПOli:.lTI> I I CTL HTe - Bt::Лh Сшпан
Tpomta постунает, еслн доз.волепо буде-г 1·< .11<
выразпться, как геометр, ко1да пр1щ2ёт Сволм
•r ·1юрснпям оnредслё111-1ую форму 1r Rriд . Откуд<1
слсдуL"I', что всt:, что правильно р<~сполаr<.tетсн
н обтщас.:1 .зако нчснн остыо фор~1. может бь11ъ
Ш"L{aЧt' L IO ЭТОй дщ:ЦllrтJl\IHO.Й».
Уе.рберт и3 Орийака
(Папа Ci1JlЪ~ecтpJI)
о
оо
l р<?л1ще века и 1:!01ро~е1ще
По-R1~дr1мо:\\у, те же сооf>раже11 11я 1:щ(тоm<
нут 1 неr<ОтQрых cpc1ri;f1eвeт<onыx ху;~ож11и1ю11 к
rreo61,1чrroi1 m~ee: нзобраз~пъ Tuoprщ с 01-ром­
ным ЦI!рh.·улем , 2 /.НIOJД:I с HCCl.ЧII I1ЛII ПJJ(.)TlНЩ ­
IO I M )Tom.1-11rкo"'1 в рук:Jх . 1ro подобных мш111-
атюр <:СJхраю1лось uче111, м<1ло. БшIЬu1и11ст1.ю ж<.:
ж 1 1шJ1111сцt~11 нс ()ралн н :~ сс6я смслостъ ююж11'1·1,
в рую1 Твор1 ~а 1111струмсю ы - ведh 1-t}.. 11с1юль­
·ю на1111с огр:11111чи11аJю Er·o 1к-смо1ущt'ст 1ю.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТРАКТАТЫ
РАННЕГО СРЕЛНЕВЕКОВЬЯ
r;цш1·шс матбrатшш в Ра .нлем Ср~д-
11<.:t~скuнь<.: (до Xtt в.) нач~ tнююсъ с
ПОС'l 'L'Ш: Н НО!'( 1 OCtIO(.'J-НJH :1нт11ч 1-JО(1
:- . \<1 t<.:ма·1·11чс t'1<ой куn1,туры R мо-
1l:l("l'l>IJJЯX MHПl'CJКp:t'J'H(I 11ert:п11c1.1-
fl(\J1J\ 11 11:Jуч:1ли .~1щ111<т)11ед1 1ч е­
сю11! тракт:п i\1ap1111:iнa Ка;1 еллы
"о браюхочета1пш Фплтюп 111 11
Мсрю•рия" (\1 в.) , а также труды
Аш1ция Ма11111шТорю"ата Cenepн1 ra
Бо:щия (около -HI0 - )2.:J.).
И:ннщ пс1х1 lюэцш1 6лсстя-
щс1·0 (."l'I JJJllCTa, 11:.iBCC'ЛIOJ'O (.)(:нo нa­
TCJll>HhlM :н1:11111см :н-1тнчнm'1 11а­
ую1, - HЫlll!IJ 1 Л:ITIJHCIO IC пepcBO/(f1I
,п.вух фу11л:1мс111·аJ1ы1ых 1-речсск11х
\
1
1
1
J


,Аь_
~ Иr гория матt>матию1
Пер1:вuл . н ,1•1,11\0 [t1клилJ 111 •оfiр,1нн11 rn•1инен1111 Г.nэu11я.
Издание 1499 г
68
трактатов: .н1аJ\·tс111п·ых «Ha •I:tл" Евклтща и .-На­
станлешт в арr1ф,"1е1111<е» t 1 ео1111фа юреl'щ:~ 1111-
комаха пз Гсrаст.1 ( J- Jl rш.) Псрсвон "J-Jачал•,
во;~.\Юж1ю. был частнч11ы,\1. И:~ м 1 101·очш.:ле11-
н ых 1·1с1·оч ни ~..:он Бо::н tнй ·1·а кже се К"1·ан1111 _11:1'1 '1 -1 н­
ску1О KO.\.lll l JJIЯЦ IJ IO <·] laCT:JBJI Cl ll l l' 11 музыке•
(Ком1111шщ11еi1 назынастся 1 1rю 1 1анслен11с. сn­
ст;.111лt: 11н< >L' ~i;1 11t'рt:рабпта11н1>1л фра1 · ме11то11
Ч)')ЮIX СОЧ!111е111111 ) в 11е1'1 1{ COO'l 1\e'I t"1·1111и (
rреческоi1 траl\1щие1:1 i\-rу:1ыка трактовалась как
ма·1 еман·1с1ес 1<м1 д11сц 1 111.1 1н1 r::t.
В коп цс V11 1n. тю рол~, фра111<оn Карл 1 Всл11 -
ю 1Т-1 обр:.~пш шп 1~1 ~шис 11а бсдс:твсшюс поло­
жс::ш1t: с 11:1уч.<.:1шс.\1 11:1ук в варв: 1рскuм св<я:м
отt:чсствс. <..; пр11с у щl'1'1 сму энсрr11сi1 I<ap!1
11.\НЛСЯ :~:1 rс.:форму 06р:1:юн:1t111Я 11 flf)CЖ/\C BCl'! 'O
распорн ;\)!ЛСЯ !IС1Тра111т·1ъ на ПСТIС)Щ~ Л)'ЧlШL'\
текстов лttп r11скуто Б r 1 П111110 11 fio1·ocл)?KefJ11ыe
ю1111 1 1 P:.iз r,JCюm::iя т~110 1 е теl\ст1.1, :i тэюке учеб -
1 1 ию ( Л3ТИ1 I CJ(()(J 1p::t~IM:1Tl!l(JJ, i\1()JJЗX l l часто JJЗ­
талюшаЛJJСЬ 11а ру1шш 1 с11 :111н1ч11ых автороn.
01:111 были носл'lнце111.1 пронзnсдс1111ямп Всрп1-
m~я и Горащщ Овндня 11 Ц1щсрона. llач.иная с
lX u. (::~то BJJl'ИЯ [ l;.J:3ЬJHaю·1 ~кЩ.IOJ I Ш tl 'C'IOl~I IЮЗ­
рткденt l l'\1·•) 1rpOIL::!Hl'/J.C Hl!}I HCJlllKHX p r JMЩ I H
CTlJHJl l l н:1 l lOJll<:IX VIUH:1cтыpci..:11x 61t6J1110'lt.:I\
1»щом со Свнщ<.::1111ым 1111с:11111см 11 1руд.шн
Отцон Цсрюш. Трактаты J)оэл11н по ар11фмст11-
ке бы1111 1'0 1~да оче11 r, r1онут1р11 ы ~ l :шеС"1 но око­
JЮ J ')() СПИ("ТШR I>C>:~ 1 i:пc1юf1 <· Лр1fф\1СТl-ТКТI•
Л юбопытпо, что Оl\Ш1 rп богато пллюстрпро­
в.ш ньL'\ рукопнсей lX в. при11адлежала nнр<)
К.tрла llemн<o1·0 - 1<орото l<apJJy Лысому. Он
оеrаnил по~1с11ш на её полях.
Иная сую,ба ож~ 1)1<1ж1 Gоэ1tt1с11 r 1 срснод .1 1а­
ч ;.1л.} .t:ню11 1 11а З11ач11тслh11ая час~ h это1·0 тр:1к­
·rа·1·:1 'l':J ll HCTBC lllt ЫM 06ра:ю_11.1 llCЧC~Нl.l 11:1 110:1я
:1рсния сщё в Ран1-н.:м Срс;~нсвс ковьс. Ос1·авшу­
тоо1 час1ъ - определенr 1 я, пос 1 у.11аты, :скс110 .\1ьr
и формуJ1нро 1 11т r1pe; 1m>жe1111i1 11:1 11ер11ыл
чегырёх ктrпг - псполкюnал1111с как са·"lосто­
ятелыюе прои:шеде1 ше, :i юш осноо у для нк
назьшаем.ьL\: флорилео1i1 (от лат. floгilegL1s -
~со611рающ11й 1~nеточ11ый нскrар ~ ). Флорпле-
1'11SI - это нечто nродс моз:нп:л, сложс111 ю 1·1 нз
~ 11 tтсрсо Lых фрш мен·1 он текстов. Дне нанболс:е
11:шсст11ы е флорнле1н11 , сос1·аи11е111 1 ые н rx 11
Xl 1ш.. под11ис1ны 1rмснсм само го Боэц11я. хо·1~
сдна ли н;.1половину прин:.tдлt:ж зт tто 11еру
В n рочt:м. такоi1 под1ю1· - янлеt 111е обыч1 юе для
ш1т1 1УЕюстн 11 Средненекоm.я. Не 11адеясь 11::1 то.
ЧТО Ю{ детище будет СО:'Ч>апеrю ДЛЯ ПОТОМКО}j,


/..дr.\ 1 ВРлик1111, ко1юл1> фра11ко11. 11 "nepa1op
tея wt•111юй 1'11мtко11 им11<>1н111 .
lft'J\OTOp1.1c ;i llП>рьт ГЮ/ \Ш 1 сыn3111 [ cn011 'J'PY/1.J.J
llt'.'1111\И\,1\ llMC\13.i\!H. T ':lK, J\(} Ш\ШИХ )Ш~Й J\ОШJШ
сш1сю 1 соч1·1 11ешт й nсендо-Аристотели, 11ct'n.n;o -
Л.nryrn111a н др.
Rсrсr~нсксковых l't:uмcтpнs1x П('СIЩU-ЬОЭI ~' lli
ыы Bllt:pвыc CЛIJIJ<IIKacмcя со С'Lр~1111-11,1м НШI С-
11ш.:м. совср1ш:"·нно 1 1 сТ1JJ111'111ым дю1 ю 1 ж·с11чс­
скоЛ грс 1 1сскоl1 "1:rтемат11кн. Высок:н1 эллнн­
ска и на~·к:r llCOЖH/\<IHHO OK<IЗЫB:Jt:l'OJ cpt:/1.11
тсксr'Ов зсмJ1е\1t'рнп1·(' солержанпя, которые
tpt' i-\11 1Юо\1ще СКЛОННЫ (11,1 mт ВЫ 1IОС111Ъ :Ja nre-
/LeJlbl м;пем:пнк11 Гсометрт~я F.: 1нr:.11ma ·1 еряет
свою счю 1 ·ост1,, J(о1сазател 1,стnа теорем 11счез:1 -
ют. :1 trx \1есто :~ан11мают ссылюr щ1 формы
по;1сf1 (кру1·..1юс, треугоm,1юt'. квадратное 11 т. д.)
11 формулы NШ выч11слсш1я 11х шющадеЛ То.
11p()TllB чсr·о так B03(1<tЖ:tJ l ll J\[\CHIJCJ'Pl'ЧCCIOlt'
учL~ны<: - н~1ру1 1 н:: 1 111с ис:рарх1111 н ()бж1сп1 зн:-~-
1шя , - свср1н111юс1" Стро1·остh 11 ч11стота 11аую1
fiыm 1оскнс:р11снh1 .
( релние вt->к;~ и Возр0Ждt:>11ие
Последстn~ш этоrо oкa:i:JЛJ 1 с 1 , для геометрии
кат:ктрофичесю 1м11. Вот пр11мср тш·о, т<ак 110-
ш1м:~лся в гксвдо Бu:-)ЦIJCШ)L'{ 1·сол.н.?-тр11ях в·1·0-
роiт 11uстула ·1 · Евю111/1а. согщ1с110 котором у
нснкую 11рнму 10 11ин11 10 можно щ:о 1ран1 1 • 1 енно
1 1rк>;1олжа · 1 · 1,. Есл и гтрt:/\С'l'авлнть 111 rнию ка"
1ран1111у уч: 1 стка 11а пuлс , то она, сстtе1·вс:111ю.
11l' "10Жt:'I' быт1) бecr<01 1 eч1-1oli. что nrю·1·1шоре ­
ч 11'1· Rнкл идоnу 1юсrул::пу Гсоме·1·ры Ра 1111еги
Сре1 111свеrтвья ш .1ходплп r 1з з:пру/\11еrшя сле­
дующнм образом. 0 11 11 сч1пали, чтu в постула ­
те μ~чъ 1-1дё1· о nродолже11111:1 11с rю 11pяJ\Юll. а
" вбок", п n своих рукоптrсях обычно 1шюск·1·­
rнрокшш ЭТU 3 :1MIOIYTOi1 Л()М:tНОЙ
«РЕН ЕССАНС Xll ВЕКА»
И ГЕОМЕТРИ Я
f-l(m;m во1111а псрс1юдоn дре111 1егрсчесю rx ру1,о­
пнсс1'1 u ]апа,.1,1юi1 Г.::нроnе nри штю, на XJJ в.
:·}10 nрсм.н ш1зывают «ренессансом (uозрождс-
1 тпс,..1) ХН nека». vL\\сн1ю то1да во~1н 1 1ю1 1 1 пер­
вые с в ропсiтс..:ю lt' ушшеро1п:ты. t'о:танавшнссн
обычно н;1 базе крул11ы.х к:н/х:д ралы1ых ш1шл .
Как 11п 1л ьдш 1срL·д11с:в<.:кон.ы х рс:месл<.:1-1 ни1шв.
у1 11 шсрс1 1 тсты 11аход1 1 111JС1, под nuкрпш1·1·сль­
ст1юм C l:H.TCКllX 11 l(CJЖORHЫX н<.:рарх11н 11не з;1-
!1r lCCJ I И от про11:тола фсо11ало11. H:шl1oJJct: 11:i -
нecп-1r.rc 113 утtинерстrтетnн ТОГ() нr>eMCIJl.I -
Партксю1Г1 (Copi1n1111a)11 ()ксфорнсю1й. а т::rк­
жс Бплопсю1й 11 Падуа11скпй. lltpnыe два Сiы:ш
особс11110 зттаменнт1,1 Сl3011.ч11 богосл.01.кюr:vтп
факультетами и факультетами «11скусст~», на
которhl Х изуча; 11 1 ф 1 1 1юсо ф1 r ю 11 матсматнчt..:­
ск11.с: 1 1а~'1<11. в XII к. в1 1 сr11пк· 11щ1111 1 J 1 1 tc1, rюлныt:
11<1:1· щ-1.скt1е пс;рс1Ю/\Ы " tL~l'taл » Евю 1 1 ща. нntпол-
11<.:: 11н 1,1е с ар:16скш·о. Исчс~JJО "нарнаrскос• 11ро­
ЧТl'н11t..: кл:зсс1rчl'скr 1 х Тl'кстон. Ою1:11.;о сама
ндс:н общнос1 ·11 гсометр1111 11 11ра"·1·нче<.:К11х
1 1 р 11 L'vю 1i 11амсре 1 1111-1 остал:кь 11 11рrшсла t< по ­
яnле11шо пово1·0 ра:1дела матемзтпю1 т~ш тrа ­
зыnасмой nrщ11,тичес1.:.ой геи..метр1111.
n тра1<татзх но nра 1пнчсской гсометrпт~
nроблс:.ч ы ~1 змсре111rя полt:~"1 н<.:t: бсты11с ус.ту­
п:.~т-1 Мt'с.~го эа;~ач:tм 11а нахож;~енис расстош 11111
)\() 1-K'(\OC'I '} l ll JЫ X r1peд;.1cTOf\ (C:1Mll ;:)Tll :1:.~ 11ач11
ROCXO[ \lllll l [{ r11мсю 1 м llCTO ЧHJIK:lM) . Mcтo;~n l llX
решсн 11я KllOЛHC OTl:lt'Ч~1Jlll Щ)lfHJ~lJП:lм п:OJ\1e'l '­
pr111 ~BKltlЩa. H ~trlбOJICe llC!HtC'f'НhHvlll llЗ T:'llOIX
· 1р:н,та·1тш l1ыт1 тру,Г(ы мСJнахэ-l)ене,Г(т1к1 1 rт11\:1
f\1·0 Сс11 - Викторс1ют (?- 1 L ~l1 ), в1~1дато11~егосл


7()
Иrтория ,1,1атематики
Гуго (рн
В>1кrо1кки.:1
R кpvrv rr1011x
уч1е1111ков
\1 .1pи1111 ,tst
КНЮ~Нi\Я
,\1 ~ 1HJ1,J rtu p .t
11·1~1льян скп 1·0 матс.-.,1а·1·11к:1 Лt:uнар710 П11:~а1-1ск< )-
1·0 , 1 1 :шсстно 1 ·0 также 1юд 11ме11е.\1 Ф11бо1-1:1чч11.
11ар1-1жско 1"0 матсчатнка 1111р11;\rюр1ю1·u астро-
1101·а Д()ме111-11т / \е К'!аRаз 1 ю (XJV н. ) ~ 1 ба 1<:111:тра
меющш1ы Н11 1<0л~ IП1<жt~ (Лv· к), рабптан111t-1л
в Jl1юш::.
11-ужно ск;:~зать, что срелпевскоn~,тм ш1,от1-
рам премудростн нра!(Тической геометрии
дав~шись с больш11м трулом. Чертежн, сопро ­
вождающне Тt'Орсмы. IIal1,o было за1ю мншпь
Вот ::JTO и с1·анонrvюсь ю1.\1нсм пr<.·тк11онсн и н
;urя уч.ащихо.1 , которым прuщс 6ьто :~а 1вср-
Рис. 1.
С 1p.11111u.1 "J ,1льUtJ\«1 1:!нлл,1ра
t.'Оннl:' кур.1 Гпри~1)~1т"лы1~я nр11Р~ 1 111я
0.iшt'll ( оiюр,1 ll 1\11t\H{'
литт, 11аизусп, 11есколысо стр~111нц латиш.:кого
текста, щ:жсли rюспрои :шссти по паi"mти чер­
тёж. Ikдь люди тогда 1ючти Н<:' сталюшат1сь в
CBO(;'l! Ж l l:..SHl1 с таю 1 м11 nпннТННМ IJ , !(;}К lL'Jall
иm1 чсртёж. ныпоттсr 1 ныl1 н масштабt'. Как
r·пнорят 11стпршш. 0 1111 ЖIIJIИ «В м 11 рс пр116ли·
Jи·1·е111.1 юс1 "' " 11 нмс С'1'СJ 11 змеrе1 lllЯ 11 вычсрчи ·
натrют н1ч11ых 1 ·епмс-гр 11 ч<.:ск11х форм доноль­
ствоnалттс1. и-х сл СJ11ес11ым1 1 оmкапиямтf. Чтобы
11адёж11ее Зtl!IОМIППЪ ТОТ 1 1.'Ш ИllОЙ чертёж из
« ll ачал" Еnютпда. ученики прндумывалп им
с 1v1ешные . :мп оми11ающ11сся на:шашш вро,1е
« К)'р~1нuй лапы», •OCJll IH()I'() MOC'l':J. • 11Jlll <ХВОСТ:!
11аш11111а .- (р 1 1с. 1).
Остаётся :i:.Jl'~I Jtкo li , от-кудэ чсрпал11 з н:1н1tя
по гсомс.~1р1 111 с ред11енС'коныt: архr1тскторы 11
стрrн-пе.:111 1 ·0·1 ·11чt:скпх соб()rюв, вeJ tl> m11 1. по­
nидпмому, 11е 1юсе 11 tалн yr шnерсптt'Т()R, Скорее
uсего секреты зо,'('i 11 .х uереданалпсь от мастера
к учеш шу и не подлежал~ 1 раз!'J1ашеншо. 04'~·
nттдтю, поэтому от т<.:х nрсмё11 до нас лоспн
не дошло арл"1ттскrурных альбомов. которы~ч11
так богата 1юследу1тцая эrюх:1 Возрождеюrn.
Ед1шстве 1 11юе исключеннс - чулом уr (елещ11 11 й
:~льбом арх1Iтек·1урных ззрнстюк, пр 11 над.11е­
жавuп 11'i некоему Виллаrу д'()ннс:куру. 011 д:п11-
руС'1·ся np11.vrcpнo 12;is r·.
Полторы стrан 1щы
1rс 1 1ещре11ur чсrтсжамп <' по;(1 1ио1мr1 н<1 m 1кар­
.~иl!ском лш1лекте старофранпу:к1<оf'О яэ 1,1 ка,
разънсшuощимп их смысл. Расшнфровать «гсо­
'-'tстр1 1 ю" Uшшара д·оштскура нещюсто д:1же
историюм арх 1 пе1('1у11ы.
АРИФМЕТИКА НА АБАl<Е
В Срсднщ: нск:1 бор1.б~· за право называться
м::1·1·ема·11 1чl'Скоl1 н~1у 1юl1 1юнt:JШ nр;,~кт1 гка счёта.
Так, с 1<О1 ща Х 11. ост ювным рукоuодством 110
арифметике 01уж11л трактат «О пран11J1 ax аба ­
ка " учё1 юго монаха l 'ерберта нэ Орайзк:J (око-
1ю 940- 1()():) ). ст::ш щ сго 1шослс;1стn~ш Па ной
РимсюL\1 С11л1,пестрuм 11.
Абт,- - это прост<:lн 1 н::е счi:'т11ос прп способ­
!1е1 ll-l t (СМ. СТ~IТЫО <· Чe'l' hlj)(' Jtc:i'I CTIOШ :~р пф
Mt."l'JJIOJ->). L\тобы 11 1хr\с'l'анr1ть себе, к:1к о н вы ­
глядел. Д()стато ч но 1к1юмн11т1, русск11е счt:ты.
У<" 1 ·ройс:тво аnака Гcpfiep·1·;:i 1 1 ескоm)ко r1 нос Он
llCЛOЛliЗ()Щ.I JI 11 l(:lЧt:CTRC Вl1IЧJJCЛИTe'J I 111 !111.Х ЭЛС ­
МСНТОR ЖеТОl!Ы с 11ане<:'ёпны~н~ 11 а 1111х 1~нфра·
ми от 1 !\О 9. Раскла;\ывая жето11ы на а(')а\\е, Гер­
бер·1 чо1· нзображ:~ть 11ззт1ч11ые на·1-у11ал.ыrые


Пv11t1
(>tльвестр 11
1 Ге-рt1ср1
•н Ор•1>1а.ка) .
1р.1в~1р.1
на 11ep<>~t
1мfie111.1
1 l\\рв11ньяр.1
ч11СJ1а 1юч·1 11 т;ш Жl' , ка" мы 11р ед<~ 1 ·а11J1яем 1rx н
АL'ся·1·1 1 ч 1юй rю~шцнон ной c 1 icтe.v1e. Тош,кu .вм<:­
сто нули 0 11 брал п устой жетон
Ноный аб<JК н1>н:л бш 11,шое прс1f\1)'1JJ,ee1 ·щ>.11<.1
11t-м \10Ж1-f() было ум 1южат1, 11 1..1е.111п1,. (Ста ры1'1
р 11 :-.1о:нй ;t6ак бы.'1 Щ1\ ICl10l.OGЛC!1 к OCIIOl\HOM
ДТIЯ C.'IOЖellHH И BЬJLHJТaJIШl. ) Уд06СТ130 С Чсrа 11 ;1
абаке состояло n том, что ОН :.1аt<СИl\1:1ЛЫIО
':9 •
f,
~( Т1'>'> ~
c;Jf ~;
\.,J,al 1~
""fnt(
f"лr .r,.,,. ,
11
~.r 1
'f"
"
,r
'
r .,.
(8'18/' с.у~~\) 1
--~
~-· -- .xi• ii. t
...
-
...
t
~....
Cf 111
с
хJ....х
~
Б 1..
ь....- l
v
dl"/~
v
l~
--
--
_.
ь
~~ъ~ъь
-
~L 1~ 1&~
~t-
!.!\
i
:tON 11 \ сеl >.Х'1 11_,....'>
1)'
11ь
"'
-
--
»L) ~
;l.XU> IY ~
1у
с'У ,'ОС/
J(lt,
:а «\., ёёL ~~
1
1
С ~е"а ,1tы1о. ,1 Герберта
ра:11·руж;1л лачнп,· lll•IЧl l CJLCllllЯ f\L'JlllCb IJOЧТll
аnтом::tт11чtтю 1 , 11 е тр<=6011а1юс1, :1а1юм11н:пь
допол 111 1 1 е:1ыrыс: рззрню.1 11р11 у·~нюже111111 11
уидьшат1, частllое пр11 деле 111 111 llромсжу·юч ­
пыс рсзул 1.,т;~ты обычно зашкыв~1т1 на nоско-
1:1~ ю таблs1чю· (цсру) m 160 11редстаnллли D шще
кuмбшr:щшr т1льцсн Надо отмеппь, LJТO па .1а­
т1 шскuм Зшrадt: сущсс1·1юв;Uiа 1х1знн ·1·ан система
11редС'l'<ШJН.:н1т ЧШ.'LJI н:1 IJШIЬЦ<!Х и1.о 9l)99). Она
01 1 11с.1 н;1 1:1 1·ракт;..j 1 ·с Бс11ы ) tостогюч.1 ~11но1'0
(OIIOJI() (173- Ol<OJIO 7.~5) •. () счёте lipt:.\ ll'J\11 '>.
гтосnи щё111 юм р:кчёту 1щеl1 Пасх~ 1 Oчt'Jll> П()­
чоrала пр 1 1 1i1>1ЧI1c:.rseпш1 ., 11 1·а бтща ум1 южt'-
11ш1, сост:шлетпrан ещё в 4-17 1 рнмюн111ном
Ни1пор~1ем
Остаётсн за1·адкой. 1<;11< у l 'ерберта ро,Г(rrлась
tЩ(.'}1 е1 ·<.щ ь yдuri1 1ш ·o абака с мсчены,\lн жсто ­
нам 11 0 ) \I JH CpLJ\l l t:BCKUKhU~I а1:1тор. Щ1;tНДа . CU-
oбщal'J, 11'1'0 "Герберт JIOX I ITI !JI абаl< у с1ра1 \J I H ».
г. с. у арабпя ;L61стн111 елы ю . li м ш~одое111 011
11ронеJ1 некоторое нрсм? н Ис11:1нско1'1 м::~ркс
\погра11 11ч щн1 с араба.-.ш 1·е рр!1торнн) О; ~нако
не док::~:~атю. что у самих apafю1i в те вреi'1 е 1 L3
с~1.цес1 вова.1 та кой аб:ш
Пор•pt'r Ьt.'л~1 дut 1 ог111ч 1 e1111u1 о 11 1 к1111 1 " ,() t чl' 1l' 1o1μt•,1t·н~1
Пdрю+:. и~,~аниР 1r, p7 г
71


72
Имя Герберта нз Орнйака - э;шсчател ы ю 1 ·0
математика 11 11су'томимого церковно-пол11т 1 1-
'IеС1<0 1 ·u дентош - было (Жрркс110 01·ромt 1 ьнv1
KOЛI I ЧC('' l 'HOM l'Jl yXOH н J!Cl'CHД. Его даже обшп Щ ­
Jll! \{ чс.рноюt1ТiКШ I \\ <.:IIOlllCHHHX l' JJ ,bHJIOJIOM. в
н:1рнарсю·1l1 кск с у1tо1юльп·внt:м сочнн н л11 нс-
6ыш щ 111 о че11n некt, ум<:тшк:м ум1-1 ожать 11дел 1 1ть
болы1гне •1и сла, и:11·0·1·а 11тпъ <·1·онорнщ 11 с 1 ·шш-
111,1", :туrюn(')й ~ффе 1,· 1 · 1<0·1 ·np111x со:1л.:111;uкя, по­
в1111 1 1мому, силой пара, и n poчrre 11е ме 11 ее ~·;~1 1 -
вrrтелытыс вещи.
l'ербсрту 11рипщ:ыщ11от сщё одн о наж11ое
азобрс...:тс 11 нс (tшро чем, 0110 сп~ло нзnсстrю уже
поон.: c...:ru пн.:рт11). ~тu н;ктuлы1;u1 ИJ'[XI no:t 11а ­
:1в:.~шн.:м ~r11тмuмах ~.-н1 ·>, что uзнач:.~ст «бнтва
ч 1 н.:с...:л». ИгроН!JС поле ритмом~1х11н наnом 11 1-1а-
1ю шахма· 11 юе. И1· р~!, оснона н нан на з11э11ш1
npocrcй r 1111x сво l ктн чнсел 11 нх11ро1 1 зн<:.:1~ен 1 1lr .
11 TtЧ~III JC СС!VГИ l'ICJШR служrт::~ 11ре 11ОСХ()ДJJЫМ
1ше1\е~шем в арифметику, гrр111н 1 1-1 ая 11 аныю 1
работы с ЧHCJI :lMH .
С 11ач~и1а Xll в. в Европ<.: стала рас11ростра ­
rrят1.01 :Ja11м("1 ·к011:11-шая у арабов по:.шцио ппая
дс<.:ят1·11111 аи с 11 сгс\1а счнс11снш1. Однако у1111 -
всrх: 1Пt."1·сю tl' l tpoфeccopa НС 11 pOЯBJJ.ЯJlll К ней
о<.:0601 ·011нтерсс1 _11рсr~лочнт~н1 11 :и1 ;н«t'l'h 111 1фа-
1·uр<.:r~н: ку10 ар 11 фмстнку 11.11 11 1 1 раннла абака.
С ч 11таетсн, ч·1·п 1 1ерпымr 1 110-11ас 1 ·онщсму оцен11-
1111 у;(оfiст1ю ;1ра6скоl1 ц нф 1 1 рн нт:щыf 1 1сюн::
ку 11 1 1,1,J. llовая I[)'111срэ 1 ~1ш п р ижнлас1, в ку11ече­
с1<0тr среде Италии н в ремеслснпых rоролах
Ю:iк1юй l 'срмашш на 11злё·1·е С:ред 11еnекопы1, R
Xl\1 - XV nn. Коммсрсаптам бо1·зтьL\. тор 1 ·овых
crpa1J осuб<.: н1-ю часто пр1 1ходmнхъ сосrамятт,
KCKCCJI Я, С'М.С'l'Ы , НЫЧIТ<.'JIЯ 'I '/, CJIOЖl-ll> lt: 1 1роценты
Дсся1т1 ч1 rая с1 ~ стема окончателы ю vгвepJ\J 1ж1с1,
11 С:нрпне, ко 1 ·да вмс.:сто доrю 1 ·ос1·оя щс1·0 не р 1«1-
мс1па (в ыдеJJа 11 1ю1'1 ·1 ·01-1коl1 кож 1 1) 1юнн11лась
6011С'е /\е111ё11зн Г1ума 1 ·а, 1 1 а которui1 мож н о бь1 ло
прт 1 :шод1пъ ар11фмет 1 1,1еск 11 е расчёты . Но
Ntжe развнтие ю 1111 оп<: ч атюшя нс смогло пол -
1юстью nытсснитr. счёт на :~баке.
МАТЕ МАТИ КА
И НАУКА О ЛВИЖЕНИИ
Oi1t10 1 1 з 1~а11более прш ·1шалънъ1-х J1.Ост1 1 жсн11й
C[JL'/( f-ICBC t<OBO(I ммсm1 - мзтем~'l 1!Ч t:СК;\Я тсо­
рня ,~впж<:m 1 я. Начш 1 ан с XII н. н Екрnпу посп.:-
11е111 ю, через переводы с арабсrю 1'0, ст;u11 1 11ро­
rшк.1.ТЬ идеп Ар1 ~стотею1 Хоп1 са);! Аристотель
11o:ipaжt.tл протпn ITCTIOJl b :'IOl\'11111>1 ,\1:1Tt'MaT\ l "IC-
CIO!.'< ме·l'ОдО.1:! в фll3 1 1J(C, IIML'IПIO пр11 ()CMЫ CJle­
IIШI его ПJ'(с1'1 11а ла·1·ш1ском ~~ападс н nо:щнюrа
у1r11 к:l.'lь11:ш в сно61 ро!(С rrayкa о 1~н 11же11ш1
По-11~н.:тонщсму <..трьёзное ра:~витис оп:t
rюлуч1и1: 1 11 XI\' 11 :>->т: 1 наука 11 мtJ1a две uсобсн­
ноеr11. Прежде все 1 ·0, 11 Ар 1 1с1·0·1·ст,, 11 средне­
некоm.rс учi.lны<.: ПOHHM~IЛl l IH)ДДHl l ЖL'lllleм 1\СЯ­
кос 11з~1е 1 1е11 н<: m юбщ<:: 0·1 11 ;н. 1 снсннн цкет:з 11
п:~мnсратуры ло 1 юя11ле11ня 11 уr1ичтожсн1 1 н
всщсtr. r! о это1'1 11р11чине одно и то же лопrrю­
м~тсматнческое построеrше, скажем теоrпя
нро11орцш1, исnол1.зоnалос 1, д1 1 н оn11са1шя
таю1х ра:JJ11Ilшыхш1;к·ш1й. как прuстра11стnсн­
нос ПL:рсмс11 ~сн1 н:, μаснμсделснш.· <-теплоты» 11
qхшюда» 1~ орг:111и1мl' чсло вск:1 (тu1ла это была
oc110ua ·1·еореп 1 чсско(1 мсд1щ1шы), 11дажс .пля
осмыс; 1е 111 1>1 <• неликоr'1 1~<:111 1 бы·111н» , простнрав-
111сйся пт Божесл-1е 1 11 юп) со 1 1сршснсп1а через
ат 11 ·с.:лоn 11 чслоnска ло 11еж 11 11oi1 11 р 11рuды.
Дру1 ·:ш особешюст1, срс~нсnек()Jюй тепр 1111
дшDкспшr состояла в том. что 11аблrодс111ш п::~,1
прнродоn не ш ·ралн в пcrl рсmаrощей роли.
Часто о н и давалl! ШШ1Ь псрвы 1'i толчо1< к раз­
~1ьш 1лt.' 1111 }щ. а :3аТс,\1 мысJlЬ уносш1 ась в облает~,
чш..:тnl1 11ш ·11ю1. Taкofr сrюсоб ш.:слсдонапия
1-(;[:3ЫК:~лся CXOЛ:lCТI JJ-\()Й (0'1' l/JeЧ. * СХUЛасти­
КОС? - <· J[JJ\OЛl1HJ,Jli », «учёныll ·~)
Мате:1..,-3т 1 1чес~ше мо;1ел 1111н 1 1жсн 1 rя 11с1ю1!h­
.юнались !(ЛЯ ()ор1,6ы с :ктр()JЮ\'11ей. Так, фр~~н-


СР ЕЛНЕВЕКОВЫЕ
СХОЛАСТЫ П РОТИВ
АН Т ИЧНЫХ ФИЛОСОФОВ
Средневеко вы е уч ёные -схол;э< rы
использов;зл и математически е рас­
суждения лля опровержения фи110-
софс к~1 х доктrин античнuсти, и
прежде всеrо утвf'рж.ления Дем о ­
критLI о том, что uc.b состоит из
ан)мо в . Ан глийски й схоласт Томас
Бrалва рдин критиковал эту точ ку
эрс11ия слелуюшим обра зом.
10 rоч ек ди аметра 1:юсс1анов 11м
пер п ен дикуляры , которые пере­
(.скут окружность в 20 точкJХ . По­
лус1ается, что длин а окр уж 1-юс.ти
влвое больше диаметμJ, 1110 , е< rе­
ствен 1 ю, ош11боч 11 0. « Об 1том, -
т1шет Брад1:1арди11, - з11ают
не только математи ки, но и плот­
ники, каме~1шики и другие м;;~с­
тсри , опыт кото р ы х показыв ает
лож11ость подоб1-1о r<1 заклюс1е1-1ия• .
мых Оуде·т п олько ЖЕ.', Lкол1>ко 1о­
ответствуюши х перпенл11куляров
в прямоуголь11икс САГ[, а по дли­
не о ни прееосхt,ля т э ги перпе нди ­
куляры в отношенииСС: СА Если
nлощ.1ли состоя т из ли нии, то во1 -
11 икае 1 111ютивор~ч ие: 11 ардл11ело
грамм больше равного ему п рямо­
у~-t)/\hНИК:'I в се : СА р<н П рич l:'м,
выхолит , чем оrтрее угол п ир.злле­
лоrрамм.:~, тем больше 1.:1 о пло­
Ш<lдЬ, что, КОНЕ-'ЧН(), Нt'81.:'рно.
Е(.ли 11ри1·1ять, •1то всяк,н1
непrе рывнаЯ l:lеЛИЧИllд - ЛИtl И Я,
плоская фиrура Иl\И теАо - сосю-
11т из кон еч но го ч11с11а атомов-то­
чек, то н еизбежно прон1 вореч и е.
Лейп 1-1и тельно, п рЕ'.лn олuжим, что
•1и сло точек на н е котором отр~:з ке
ко11е•1но и рав1-ю, скажем, 1О. По­
строим на э1·ом отрезке как 1-1а
диаметре окружность. В каждой и-~
А ~ют ка ким Р<Н'< ужден ием он
опрове ргал кон цспUИ J(), со глас но
которои 1 1е п р ерыuная величи 11 J
состоит из бесконечtю1·0 чи< ла 1 ю ­
леi\имых точ~к .
Известно, что параллелограмм
равновелик прs1мо у rольн и ку с те
М~1 же ()( новаНИЕ-'М и ВЫСОТОЙ . П ро ­
ведем в па раллелограммеСGК[ от
всех то•1ек опюва1 1ия С[ «вес пря­
мые» к тuчкам 11ротивополож11ой
rтороны СК 11а ра ллельн о ГС. Пря-
цукю 1й схол:н:т Н11кол:I Орсо\1 (около 1.)23-
1 .)~2.) рt::юнн о пол :.~гал, Ч' НJ если ш,1fip:i · 11, лкt
C'He'J llJJ a , '1() Jlt'(lШJ'l'JJOCTb TOJ'\). ЧТt) t)' J' l-IOIГТC I l t 1 е
Н\ LКоросте11 б~'дl'Т р;1 1 ~1 rо11::1лы1ым ч11слом,
11нч-rож 1 ю мала. А коль с коро шю 1{ыр;ur.;аетса
чткло.м 11рраш-юналы1ым. то два сnспш~1 rrн -
1<0111а 11 е понторнт cnoe1·0 нач алыюJ'о n ол ожс­
шш н:~ небе. и, значит. астролоп-rя пс может
61,п ь ТОЧI ЮЙ 11аукой.
В н :111 6ол <.х: 110лr юм ющс ма тсм:1 ·1· 1r че<: к:.1я
тсuр 1 н1 /\н1-1жс11ня 11зл ожс 11 а н <- К11 1 1п.:- в ьтчнс.11с-
1 1т~, " ~~н1 11нйскr)J'() сх1 таст:1 Р11чарда Суа йно.ед~1
11 tpyna' Орсма. ИJ1ея :Jаключаl'тся 1:1 том, что61,1
•качtстна» 1rреr~мсто11, 11 в част1 юLТН скорос-11.
дш1же1 11 tн, н:101.iражат1, •~tрt:1камн прям о!~ . ко­
торыеотюrадьшаю·1 сн пер11.е1 щш<уляр11от1r rип,
06о:~т1<1ч ающе й uремя или 1х1сс'('Оя 11ис. Если на
r·opн ю r 1т~LJU,1 юй л ишш отмеч~uш nрс.чя. то по­
луч;~лся рисунок, rюхожИJ'r на соnрсмснп_ь1l1
1раф11к :шзисимосrи скорост11 от врс\1сш1. Рас­
стоян1 1с. про 1'11 1сн 1 юс телом за uн рсю:пСш11-,1 ~-1
11ptмl'1111ш't 11 ро м <.:ж~·пж, r1р<::) ~ст::штr л а ф1 r rypa,
построс 1111 ая на nc1 1нрсмс1 1н Н:шр11 м ср, к слу­
чаеДШ!ЖСНJ !Н с ПОСТОН! !!!От'! с1<0ростыо З'l'О был
t1pR\юy 1опыrш<, 11 случае р ав ноус 1ю реш ю 1 ·0 нлн
ра вr ю:~а."1ею1сш ю1·0 двнжешtя - 11рямоуt n1n., -
m,rfr трс)тол ышк и ·г. д. ПОJГ'} чшшшесп ф1 f111)Ы
исследо вали ~1атемат1 1 чссюr.
Ор<.: м дока:-iыв:ut. что тющ~щ1. r rpнмoy1·om,-
1юго T J'l"Yl' <))11-,l JПK:J. 11 pt.:дcra KJ!>I ю ЩlTtJ pa}j-
1-юycкope11rro<.: f(t111жt'1r1 re. рав11<-1 п;юща101 1tри­
МО)ТОJ 11,ш11с1 с тем же ОСПО11:-1 11ИС:'\'( и В,'\ВОе
меr 1ьшсi1 высотт"1, че.м у ·1 реуголr,r11ша. (; точ­
Кlf зреlIНЯ мел:ншют это 02начало. чтu путь,
проlще н11ы1~1 тс~ло м 11рн ра11 1 JОус r<орс 11 пом
дю1жсш1и, раnсн щn 11, которо<.: он о прошло бы
:3:1то ж<.: нремя, д1н 11·:шсь со CJк·д1 1ci"1 скоростью
Чср<::.~ 2"5 n J1<:т ·1
·0 •11 юс д1.ж:1:~а·1·ельс1·1ю /(,1 1111< >r ·o
I IO.ll OЖC l!! JЯ /(::IC'I Г:mruн:r> r~I Jll lJl!;' J\ KO' l< Jp 1, 11'1 11
11р11?v1ен1 1·1 сго к 0111ка1 111н' пю()О)\1н11 о 11<1.'tl·-
1111>1 'l'<.:Jt;J IJ l l )'L-Г<П't'
1\11.1 пр11нетr ДОС'"l :lТОЧl!О !![IOC'IOil Пj)H\ltp.
Но схоласп.1 3аш1ман11сt. 11 бощ:е t py1(1LЫ \.t11
п роблсмам11. Прсдполож11 м. что 11e1.:t) r·o μoc
·1<.:ло .щнжется в те ч е ни е отре.ша n рсме 1 ш.
рав11 оrо 1. <:о с кuрщ:тыu 1. J:tTl'M в TC'Lt' I шe
npc.\H.'IIИ 1/2 cu Cl\OpOC'lЫО !. , в п: ч сшr<.:
щх·мс1ш 1/-1 = 1/ 2! - со скоμостыu ~. 11 тсчс-
,
~
11щ· врсмс1111 1/t5 = 1/1.
-
со скорtк"11-,ю 1111 ;~.
КакоС1 11}' 1ь 11μ0 1'щё·1 'lt:JI< 1 за арс,н1 _ ра тюt: 2·1
(3;\ес1, оощеt: нрt'мя д 1ш же 11т1 CL~r r, су~-1 ,1 ;1 ()с:- с­
ко 11е ч 1то 1·0 ч 1кл:1 чле 11 он rc-n:v1eтpп чecrш lr прn
111
rp<.:c:c111 1с основа1111см 1/ 2: 1+1 +
2
!+)7+.=2.)
И ш: будет лп э·1 от путъ вообще бесконечным ?


7~
Исrория м.:~ 1~мат11ки
Со1:1рt:мt:нныl1 \1а·1·<.:м;.1т11к ска :~;ш бы . что
пуп~, пр1 ) lI/~(.'111 /0\1)' TL~110i\1 , {:()( >TBCTl'Т R)'CT ВСJПl­
ч1111а. 11ре;к" 1<НJ.11е1111~1Я l1ескоr1еч11ым рядом
1>l
1
1
]+21+.., 2'+4.21+')21+...
Этот ряд паТJ,о спзчзлз псслс;~;оnатr. 1ra сходп ­
ыос1 Ь, J [ еслп 011 СХОДЛЩИllСЯ - ПОПЬ\1 JТЬСЯ
нa{JTlJ t:J 'O JH:ICJ(:'HIJC' .
Opt.:"1 рж:с ужнал нначс. Как 1111; 11-ю 11:.1 11рс; \­
.·1оженно1·0 11м ч ертежа (рпс. 2). сумм:J рнд:~
п рt.:7\ст:шляс:тся ка к площ:щ1, ПОТ\ бс.:сконсчнul1
Сl)'Пt:11ч~~·101'1 : 1111 mt>l-1 , 1~:щстроt:11110\i 11ад отрt::i-
1ш;ч АВ = 2. Rысот:~ каждоrr <•ступены<rr·' посто ­
янш1 11 равна 1. Ширнна ступенек убьmаст в
гео :v1етр11ческой л рогрессш1 с o cr юва1 шем l / 2
Jатсм Opc:vi рассматривжт прямоуголышк с
нькотоfl 1, 1юс-1 роенный на 1·ор11зонталыюм
отрс~кс СЛ = 2 . ПJJощ~щь ::>TOl'U 11рн\1оу 1'олышка
рав11а 2. 0 ·1 р<.::.ю1< CD разб1шастся, 11ач11ная от
точкн С, на отрсзю1, длш 1а ко1орых \'бымает по
'
'
\
1
•
закону l, 1/ 2. 1;2-, l / 2 , 1/ 2 .... расоютрсt-11-юму
111.1 11 1 е. Черt:.1 кп1111,ы :1' 11 1х 0 ·1ре:жо11 Орем 11рп ­
Fю1111т nсртmс1лып,1с .m.пнтн тэк. чтп nрямп
уг()лы шк ока:-1ьшаt:тся состамеmп,n.1 и:i ()сско ­
неч.tю1 о ч.ас11а пря~юугО.'lЫlИКОВ Е, F. с; н т. Д"
площади которых образуют nсё ту же 1 ео-
Рис 2
G
--
F
Е
.А
л
шс
1J
мстр1 ·1 чсс кую 11po 1'pL'cc:11 ю. д~1J1<:с:: он за щ: • 1ает.
чтu часть с1·упс11 ч:1·1 <)\t ф111уры. но3ны 111:1 ю111анс}I
над JICp:tIOll «CT~'llCHhKOIJ », r.остш1 ·1 111 T:JКJIX же
тuч110 прямоугольн 1 1коn Е. Р. (/ 11 т д. Поск()льку
су.ч~1:1 111юща)1е~'1 Е ...t. - Р + <7 + ." = 2, ;J 1що1ц;щ1,
псрноii ступснъкr1 тзюке раш 01стся 2, то оnщая
11лпщадь nод С'Jупенчатой mшпей будет равпа 4.
Так IТ\'Тём 11е~.:ложт1ых гео:v~етр11ческих рассуж-
1\етшй в Сре;111сnсков1.с до 1.;азт.mалн некоторые
теоре .мы ма·1ема111ческо1·0 анализа.
11 нее же срсднеRсконhlе теuр1111 д 1шжешtя
бьиш скорсс 1rо1 ·нко-ф11лософс.:кт.11 1 , 11сжслн
матс"1::1т11чссюш11. I3с11ь в тt: щк· м1..:11а, ка1< 11 н
а1 1 ·1·t1ч 1 юстн, мате.v1атнк:J t' ll \ё не (i1 ,1л;1 оторRана
nт 1<улr,1ур1.1 l')M:!lll-1'1~lp1юй и l lt'}'ДHIHГl'tЛMIO,
что сре11н мате:v1 а·1 11l{Ofl Сред~ 1 е11е 1<0вr»1 пс-1реча­
лос1, немало тсоло1 ·0 11 ({)01 ·ос1ю11011 ). Тешю1 ·ом
бr,1 л ;нт 1 иltс 1шй схоласт Томас Iiрад.nардш1
(около 12\JO - l _~._~LJ). J3 трааа:пс "о Божсстuс11-
1ю~'1 1rрич1 1 не» он первым нысказал .\IIЫСЛЬ ото~~ .
что J1рuстран<:." 1·1ю, в кuторо<: 1ю 1 ·ружён шtш
м11р, беско11е•1но. Эта нс11р11с:мл<:>v1ан длн ;.~н п1ч -
11ос1 н 11 Срс; ~ Е I Cl.JCKOHЫI J IДСЯ В1IОСJН~/К'ТНI11 1 СЫГ·
p~I J l : I ПаЖI!\ 1() ГЮЛЬ 11 paJRI I T I 111 l'RpOПCllCKOi1


'1ыслн. Она n кош:чном ито1·е npIJнcлa к uтож­
/(1.:с·1ш1сн1 1ю 6ескош:ч1ю1·0. 0;1норо; 1н о1·0 про­
стμанстн:1 с атрибуто,\1 1)01·. 1 иm1 )~ажt с с:1м11\1
Бо1 O\t. Р~1 :-1ру111 ш1 ;,tнт11ч11 ьн.: и срс;1ненсконыс
1rонят11я о Космосе, он:~ пр0Jю;ю1n:111угь }IOllЫVI
11ар,:1м - нсбесrюl1 .\1ех:~н111<е 11 мзте\1<1тнче­
СК(щу ;tнаю 1зу Л'\7111;
Е11\ё о;щп пример - теолог 11 матс;v1атнк
карднлал Ннколаft Куза11сю111 (1-Ю 1-1464),
который ттервым ввfл n матсматнку понятш~
6CC!<OJICЧIIO малой 11 01.:СК()[ IСЧН О болы11uй
1к·m1ч11н. I< ним он прншё:1. р:1зl\1ы111лян 11:щ за -
Сред11ИР l:IE:'Kil и RtН\ЮЖлt'НШ~
~
а~
дачб1 о кв;1лратурl' кру1·:1 11 н:щ ·1·солоr11чес 1<0!'1
11ро611с\ЮЙ 0·1ношен1 щ в KU'J'( 1ром rt~LXOJ(H'l'бJ
ьо1· 11 со:~лан11ыr1 Им l«JC\IOC.
Была J11f срсд11снсковая н;~~·к:~ о д1111жсн1111
1111с,т\Теч1.:l1 матtм:~т1 rчect<nг<) СС"1·есгво111:1 ния
Ноrюгп нrс),1е1111? Ил~ 1 же R XV[J CTOJl~TIПI 11/Ю­
llЗОШЛа революция:, н ходе· которой нонан
11аую1, оm1раясь на образны l'pt:чecкor1 "'fатема­
пшн, 1Т прсжле 13ССГО на труды lICПOIIЯTOГO в
Среднсвс:1<о~ьс Архимеда, отброс11л:1 за непу-А<­
ноС'rъю схож1сп1ческ11с тепри11/ Об ..,;том до
снх пор спорят 1rстор11ю1 1rаую1
ЛЕОНАРЛО ПИЗАНСКИЙ И ЕГО ВРЕМЯ
Срс,1н совремсшппюв е.му 11е было р:11шых ll в
nосле,"(ующвс трн столе·rш1 11ельзя 113зu:1т~, 1111
одного учёноrо такого ;часштзба. Тnорчестnо
Леон:1рдо Il11занскоrо (l lH0-121()) ока:{аJю рс-
11шощеt: ю1ш11111t: на ра~щи·1·11е ат·ебры l1 теu­
р1ш 1111се.r1. 11 част1юеп1 на 1ксш:~;~.uка11ня таю1х
~1атс:мат11кон. /'\:JK Франсу:~ Внст t1 Пьер Ферма
Леонардо род11ли1 и бш1ы1юм 11·1·алыu1СЮ->\1
1·ор1·оком 1 ·ородс -р<.х: 11у6.rш1\е Пн:1е. Е1·и Ч(IСТО
11а;млают Фr-1{)011ачч11. т. е. сы11 Бопачч1 1 (Доб­
рого). 1l:н:тонщая el'O фам1 uнrл. гrо-впли;-.юму,
ьш·оmю. llo кpJйL1ef1 мере так он rюнменован
в ;ште о покуш((.: :.1е;\11ш, которую совсршJL'1 гто
...1uвt:решюстн для сnосго родстнснннка.
Отс1~ Лсощ1рдо 61,щ ноп\.)llусом респуб:111-
к11 П11э;1 Ikкop(: rrocлc ртк.це111 1 я сына e r· o 1ю­
с11:1. 111 со служеб1 1ы\1 11оручсн11t:м 1:1 1:>удж11
(11ынс Ллж11р), 1'1\С' 011 ныполш1:1 t>б>1:1.о;11-11-юст1 1,
бтлю 1е 1<конL·улн:ю t,v1. Ко~ да Лсонаrщо 11сп ол -
1111J1<Хъ 12. Jteт. oтt:r\ liЫ:-J11aл er·o к себе, чтоб1,1
поз11;1ком111ъ с дещ1 м ~1. n пер в)10 очере,11, с ком­
мерчсс~<н1'1ш расс1ётамн. Вес этн сnеденшт со­
общает сам Леонардо n преднслошш I< ф)1rда ­
мснталыю.,1у труду «Книга абака».
Лсоrзардо rту1·ешсстнов;.~л r ru 1:\п 1rгry. Си р1 rи,
Грt:щш. С1щ1т1111 11 1Iрuнансу и вt:щс <.т:~рался
ПCJЗH:JKUMll'l'hO.l с fJ<l:JJlllЧllЫJ\111 с1шсоб~t\1 11 C1lL'1 ':t
1111ачш1а\111 ал1 сбры. Он убсл1тся. что техника
счС:.:та IIO ДCOl'f 'I JЧHOJI ПОЗ) ll(J ЮНJ-!ОЙ CJ 1сте:-.н:~
11::iм11oro пре1юсход11т все друп 1 е.
Нер1rуnш 1 ю, n П1 1 .зу, Лепн:~рг~:о серъёз1 ю :1а­
нллся матем:.~тшю11. Он nо:l11аком11лсл с «На<1а­
ламн» Евюш11а н. спс1111111ш эп1 з11а11ия с тем,
что уз11~1л от ар;~бских у•1Еных. состав1rл n
1202 г. «Кinrry абаr<а·> 11астонщую эт11\111сю-
1тедто ~1атс,,1ат11•11.:с1\11х :нrаtшй с1·0 :·>nохн
:37'ССЬ проян.11:~ас1, нысо1<:ш одарён1юст1, автора:
"f'P\rд Jku11;1pдu Ш' ~ЧCI-Jil'H:l'Kaя KOMll!IЛЯJtlТЯ. а
1·лубоко лро11ум:ШНОl' н К() MIIOJ'OM OJ111П!ll;]Jlf)­
нщ: пго11:шс;~сн11с. В нём рассма· 1р11н;,~ 1( н·с.я но­
rчюсы ;UIJ't:бpы, ГС<1МСТJ11111 11 'J 'C 'O{J l111 ЧI llTЛ.
Имснrю н :'>тоi1 кн1п·с rзпсрныt~ пр111нщ11тся
ре111етrне ~1звестнот1 за1t:~ч11 о K[IOJ1irкюc С11ра­
п 11 н1ается. сколыш пар кролпков ро11:т ся в год
от оюrой rrapы. t:слн кажюш ттар:1 прmюс!Iт
ежемсс~шо по паре. сrюсоб 1ю\1 н сnою очередь
через .\1ССЯЦ к р.1З)IШ()ЖСШПО. 11 сели HII OJ{H:l
пара не гrо1 ·ибпст. Ответ даi.:тсн суммой ряN1
1+1+.?.i 3+"\+н+". +111.к~1жды\'1член
;.1·1·01 ·0 f1ЯJt:I. H:JЧI 1Н:JЯ (' трС'ТЫ.'J'О, янляt~1·с.я С~'\1-
мш'j ЛН)';'\. 11pt:Jth!/t)'IЦHX:
П<ХJТС/"(Оli::1Телыюст1, {liп l в на.11>11ег·1шt~Ч C"l';'\!ЛI
на.11,шать nослсдоnатслыюст1,ю Ф116011аччл
(см. статью «Лослсло11атслыюеrr1») .
В 122:\ ·1" Леонардо пuсвятнл 13торuс изда­
нщ: ::Пой ю1 1 1гн свuс,чу другу М111<сж· Скuтто -
11μндrюрнuму :1стrоному 1 1 астrолшу11.щ1ср:1-
тuра Фр11дрнх:1 11, гому са,чому, кuтuporo 110-
гом Да11 гс уrнн1ш-1с1 в <-Ьожсствс11ноi1 кu:v1t:­
/ \1 IIH (Данте ПОМССГI L'J l'l 'O н J:IO(ЪMOJJ t<pyt ала.
в ЧС'!'Вёр·1'ыГ1 ров. f\местс с ;tруп1м1 1 пf'iма11щн -
1самr1, вr.r11анавm11м:и себя за ттрпr11г~;~1·н:~лет1:
А следую1.цт'i, .·тют худобш1тi,
811а11ся ,Нтсе:лf! Сл:оп тт 11 fiш1ы111t~t
н (Ю,11/((е()JtЫ..У llЛJ'ltlllЯX llOLflltfla'lCЯ дrЖ<Jlf)


76
История математики
Эт() посnящс 1ш с говорит о близости Лео­
пардо к с1щиm1йскоi\1у11вору Фрндр1L'Сl 11 Шт~1 -
уфе11а, перnого пз просnсщtrшых дссшу1 он
l+Т<IЛИИ, К()Торыми l!ПOCJJCДL'l'.IШ l1 бьщо Т:1К
богато Возрождснш: llo дажt' в ·ю сvронос
время Фридр 1 е{ сумел nрuслан 1.1·гnся особо~'1 Жl..'­
с· 1·окоl~1ыо. P:tC('l\:lЗЫJl<lJI J 1, бу/\Т() 011 raзpC1113JI
Щ10НО/\11Тh анатом ~IЧССКНС l·ICCЛl:J\1 )H~I н IOI 11 ~1
жн 1~1,1х 111одях - осужде11r 1ы х 11rесту1111и1<ал.
Пр11 а·1 ом 011 1 юкро11 11те;н.ст1ю1'lа;1 литературе
11 11эу1«1 м и сумел сж р~rж тпт, себя учсттымп и
философами.
Связu Леонардо с блестящим ощнлийсютм
:~вором nссьма прнмсчатслыш. Ведь через Си­
ц11т1ю 11 Исп:шшо За11адная Енро1 1 а позна­
комилась с арабской наукu11 Но. в 0·1·1111ч 11 с <J'I
J/l<.:11a11и11, H:J C! Щ l l JIH11 nЫJlll И llCllOCpeДC l 'HeJ 1-
llhH.: ко11т~11<1ъ 1 с '">JJJIH нскоlr наукой. Дело нто~•.
Ч'l'О ос1 рон с /\JJCHHCЙlllllX 11рс.чен ЯRШIЛОI l 'j)t'-
чсской KOJIOllHt:Гf С 601':.JTh \Mlt K)Jll,1)p11bl1\Jll
1·0 1ю1\<l мн. Элли~ rская тра.п;пция сохр:,шилась и
п осле Jавоеn:нпrя его ртr.млятшми (коI1ец lJl в.
.п;о 11. э. ). Сар,щrшы (арабы) иысадюшсь 11<1 Сн­
циmш в 827 1·. и к 878 1'. заnер111 1 1лн её по1\оре -
1111е. Их вытес11илн оттуда порм:шпы (1060-
1092 1'1.) . которыt' 11 uснонат 1 С 11ц1111ийскос
K()p011C HC'l'B0. K~I K : tр:.16Ы, 'l':JK И 110f1М:.!ШIЫ l]J1()-
H BШUl H ptJ l ll l 'HO.Нl}"IO ·1ep1 t11M OCTh, llOЭ'l'OM}'
11а острове ИCll<JBCДOH:.JЛHCI> XjJlll"Т'H<IHCKaя r1
мусу111,манск<1я рслнги1·1 и были n хrщу ·1 р1.1
языкз: 1 ·речесю.11!, л:п1 11 ю<ий и арабсю 1й. Учё -
Фр"др11х 11
Шт,1уф<"н
V\и 1 111.i1юpd
Xlll и
ные мо1·1 111 сноnrт 1 ю общат1,сн, обме111 1 ваться
з11атпшм11 .
Ilpff дворе Фридриха устра11ват1сь наусшые
днснуты. lla одном нз 11 1iX придворный фшю­
соф магистр И.ога1111 Г1алсрмсrшй nрсдлож11.1
Лсопар/~о !l11защ; 1<ому два вопро<.:а, 1юторыс в
со нрсменных обозначен~ 1нх н 1,11 ·1 1 1щн ·1· так:
1) н:1iп1 1 корень урав11с1111я
,.\'\ + 2.\) + 10.\' = 20.
(*)
2) 11а1:пи р:щ1 юнат.1 11.l l' rешсш 1 я с11стемы
уращ re1111й
{
:\'
2
+5=1/.
х2- '5 =1r
с··)
Леонардо прuвi::'л ·1щатсльныс 1 кслсдо1ш-шя
o6CIJX 3адач 11 наr lllCIJI ,ЦНС К11111'11 - < · [lilCTUK» JI
•K llJI!'~) KB:.l)\f1~1TOH» {llЛIJ ~ J\11н1 ·; 1 {) ю~;щр:1т11ых
ч11слах ·>) ( 122'5 1· . ). пос1н1щён 11ы с 11х рс1 1 1с11ню
Хотя обе: раб01 ы и:щаны т111 ю1т>:.1фс1<1 1 ."1 сно­
собом '1·олы.;о 1~ J 862 1·, ма 1е.1атикам сре;1 11 еве·
коиой Енро11ы 01 111 6ш11 1 лоро11ю11знес1·11ы .
В первоiI кшrге Леонардо уста11овал. что
корень уравнепня (*) 11е является ни целым
ч11сло.м, rrrr дробью Orr таюкс 11с может 11мсть
1шд , 11. 'n+,m ш111 \11 - vт. Н:11ю11ец,Лео-
1rардо ВЫЧllСЛИ.'1 сго с ТОЧН!1СТЬЮ ДО шестого
1rrе спщссятср 1тчн о1·0 :.~ттака :
,\' = 1;22.7, ..+2, .1:).4. .ю


(здсс1, TOLIK<I с запятой отдемrет пелущ часть от
npo61шi1, :1 :;;шнтыс - ШС("1•идсо1терпчныс
р;1:Jрнды). Каким сrюсобом было полуL1t1Н> это
значсн11е, 110 c~tx пор <JСТ:rётсн 1н.:11з1:1ееrным
Rт()rую '{а/1:1чу. постанлtнную ИО1 ·:н1ном
Гl:111ср1\tс101м , Леон~1 р.до нcc.r1t'J10RaJr в <·К 11нге
ккадратоА~ . В конце ко11цо11 011 r1:ш1ёJ1 ответ, 110
;~то щ· сам()е 1щ1т-юе.
Разм ышлетrия ir;щ зтой Jа11ачей nрнuелп
его к юраздо более пr1терссном:у rю11росу: ка­
ю1е значс rшя tvюжст 11ри1111м:1т1, 1:1ыраже11пс
4Jщ(f/ - </)? J!совардо заюночил , что нрн
цcJJ ых р н tJ u110 не можеr· быть кв:щратом. По
сут11 это ут11ерж11ен11е :-IKRHH:lJJCHTHO HC'Jll LКOIJ
теоrсме Феμма для Чt:'1ъёрт1'1х стсnснеi\. Таки~~
nбра:юм, ЧаСТlfЫЙ случай Ht'ЛHKOfl тсоrе~11,1
Фсrма бы11 откр1.1т :Ja 400 лег ; 1n Ферма! Ол1 щ­
ко локазат1. е1'0 Лео11ар/\О 11t' улалось.
***
В nрсднслот ш к « Кшrгс к1.1адратов,• Лео11ар110
п11сал:
•Когда, u знам<:юп't.:1'1шиf1 кювn 1 ·uсшщ11н
Фр111чJ11х, м:11·ис'1·р Доминик nр1шёл м<:ш1 в
П11зс к 1ю1·ам Ва11н: 1·u вt:J111честн~1, м:.irr1Cтp
Ио1'анн П::~лерлкки11. 11сгrt:г1ш мt:ня. 11ре~1,Jшжнл
м11е вон рос, о ко'rоро:-.1 я на 1111 шу 1111жt.: 11 кп­
торыi1 lll' Mt:JICC OTI юсип:-я к 1t:0\1CTpl Гl l , чем
Срелние ве1<d ~' Во~рожден11е
к чнслам. а именно 11айти 1.;Rадр:.пнос ·1~1CJIO.
1<оторос, будучт1 увслJ 1чс1ю шш умt:11ьп1ено
на 1 1н ·1ъ, вснк 1 1й раз 1юрождш10 бы кналратное
ЧIJСЛО
Посл е размышлсннн н~щ рt.:нте1111см .-~то го
1ю11ро<.:а, 1ттuрое я уже н;.1шё.r~ , )1 y1111l\CJ1 _ что
ИCTOЧlll!IOI Э'lОГО pt:111C I Jl l }f лежат во MHOl' l lX
вещ:L-х. которые ОТ!IОСЯТСЯ к ЮЗЗ/1,ратш,1~1 'ПJ С­
ла.ч са мн по <"еое 11 н их 0·11 юuтс1 t11и пру~· к
другу. l\роме ·гоrо, узнав нз р:1 згоно роn н Пизе
11 ;~ру1·их, которые дош11и до меня 11 з нi\mера ­
торско1'О NIOpa, что 13ащс н<::личество собла1'u­
Rоли 1ю 11рочее1ъ 1<н111·у, которую я 11anиc:u1 о
ч11с.т1:.L'<, 1-1 чтп Ему 111 ю1·д~1 ;~оставляет у;10 1ю11 ь­
ст·н1 ic слытать 11 :>я щ1 ~ыс р:1 ссуждс 1н1я . от1 юся­
щ11сся к 1 ·с()мстри11 , я нс110.ч11r111 о Rorrpocc. ко­
тnрыlf }f сформу•лпронал 11 котор 1 м'r uы.11 м11е
предложен при Нашем дnоре Ваmт1м фююсо ­
фом. Я юял этот rюпрос n качесше темы н ттред­
прпr шл состаuлс1111е 11:1стонщсi1 работы, кото­
рую рсшнл назв~п. ,,1\шт гой о к1:1адратных
числах" Тс11ерь л t1ропту B;.imc11 сшкхuдтпt..:Jrь-
1-юстн н том. <.:нуч ас, 1..:сл11 кнш ·а <.:UJ~<:rж11т чтu­
лнбо б<Jлсс 1Jл11 ме11сс 1.1срнос 11 11co(Jxtщ11,YtoC.
так как 11очн11тr, обо нсём 11 1-11 -1 н чём нс uш11-
баться оюйет'Ненно nпжt.ттвс1п-1< ):viy~·мy бuж:l'.
чсJ1·1 чел онеческо му. 11 11е·г н11ко1 ·0. к1·0 снобо­
; 1е1 r от 11t:,rtостатков 11 сrюсобен у•1естъ всi::·>.
ЭПОХА ВОЗРОЖЛЕНИЯ: СЛАВНЫЕ ОТКРЫТИЯ
Эпохо 1I По:3рож;~сюш, илн Рс11ссса11са , r1рн11я­
rо CЧH'l';l'IЪ XV-XVJ вн., К() l '/Щ но МНОl'ИХ снро­
nеЙ.СК~IХ сгра1 1 ах стаJ 1 тюзрuждатnся ·1'm nысо­
ю1й уровспь кут,1уры, KOTOj)J)I Й C)'ЩCCТ IIOR <Ul в
а1-1'r11чноl1 Грс 1 111и. Ра1-11 ,щс, чем 11 дру1'их Сl [Х1-
нах, - н XIII- XIV 1щ - Rо~~ртме1111с 11ачалос1)
в Италии, наиболее развитой и R зко1юмиче­
с1<0м, н в культуртюм оп-тоше11ии. К то,\1у же н
снду географического положения Италия была
связующим :1веном между Западом 11 Востоко.УL
НоRые всян1-ш отра~шшсь в творчестве всю 1ких
мастсрuн· н поэзии и прозе Динтt Ал1uъерн,
Джонашrи Боккаччо 11 Фрап'!сско Пстраркн, в
жнн()nнси Джотт, Лсо11ардо да Винч11 и Рафа­
эля \.а1пн. в прекрасных скулыl'lурах Мнксла 1 1-
джело Буп11арроп1 11 Бснвенутn Чеm 11 11 rи. Все
01111 верили n безrра1111чш,те возмnж.110<.:т~ 1чело­
века, его волю и разум: r:шдели в нём венец тво-
рt.:ннн . ~" 1·нt'рж;1:ш в 1-щсал !'~1р1.ю1111чноl1 i 1т1:1ор­
ческuй J JНЧНО('ТИ.
Эпоха Во:~рождсння стала 11 э11пхоl1 Вею ·1к11.х
гсогр<1с]шчесю1х открытнЛ. В 1-192 1·.
Хр11сто­
фuр Колумб rУ!'крыJ1 Амер11ку. в f ') 19 - 1')2 \ rт.
Фер11ап M:-IГCJIJl::ll! совеr ши11 К}))ТОСНСТrюе пу­
те111естш1е. Вот кзк ппс;1л об этом яркий пред­
стаrнпель Возрождения nрач, математик и фи­
лософ Джероламо Кард:ню:
«JJ роднлся n тuм веке, ко1·да бъv1 открыт
несь :3емной шар. тогда как в ;фев1юсти было
извсст1ю mш11, Нl'М1ю 1 ·ш1о1 бол<.:с uдной с1'0 трс­
т11 . " Есть ли что-лr 160 бuлсе у;,тшнтсm,ноt:, чем
nирот1::лн11ю1 11 человеческ:~н \.1ш11111я (·1 · е.
артнлJJернн. - ПptrJJ·t. ред.) , которая траздо
011acr1ce мол11нн rтeПoжrrтeJ1t:lf. f-le уJ11олчу л 11
о теnе, пет 1ки(1 м~1пп1·1·, о тебе, nс;1ущсм 1ra c П< >
беэnрежпым мор.нм n темноте 1ючп DO время
77


78
История математик~~
ужас.11сi1ших бурь в далекие неnедомые края'
Прибавим 1< ::Jтому еще четnёртое откр1,пие -
нзoбpl'TCHllt: KHI (J'Оllt:ч.папня COJД<llПIOC pvl(.1 -
M I 1 люд<:й, щ1 1 rд~N1з1111щ; 1ix 1енис'vl . Оно сош~р
н11чает с Божссг11сю 1ым11 чул.<::са.чи. 1160 чс ~·а Жl'
t:щё нед(Jстаёт нам кро.\1с tJвл::~дсш 1я 11eбoVI' »
1111е 1ресrесю1е р~кошк11 11"1е111ю учё11ые 1311
эаптип сохрJ11и:ш для ш.:сх послсдующах поrю·
лс1шfl бссцс1Шf)t' 1рсчсскос нuu1t'Д1Jt' , которо<.
н l't' Ht'CI IOKOl IHblt' нμс\\С:Н:t 1!1 ((JJIl lt: \1()1JIO p.IJ/\l'
шпь судьбу дрс1~нсюпаi1Lю1л 1рактатов по "1:1
тс'11:п икс (по повсл<.:нJJю импср;пора Ц11111, Ш1 1
Х\.111-.т~.11ш11111ыл11 L1>)10Ke111 .1п21 .~ 1 дп 11 ::i)
В Сред111 re ве1<а 01\ 1 111м 11з крупнсйш11х на
учпых rt<:r пр() в Евроrщ бш1а В и зз1 пня Сюда
съе.1жаJшс~.. ~·чёные из ра'11 r1,1x стр:н 1 чтпnы пе­
решкьшатr, , нзучат1, п rшммептирова~ъ древ
R 11011Lк1х со101 1111коn гтрот11n ·Г\11пк В11з,111
тшr сnл11:пrл:к1, с Bc11c:r(11cfr. В те времена вене
ц11а11ские корJ6Л11 борозд11ли морн. н боr;пыс
ЖИВОПИСЬ И ГЕОМЕТРИЯ
Пр11мерно с Xll l в. худож11ики (сре­
ди 11их. италья1·rеu Лжотто ди Бон­
доне) н.:tчали ~кrпериментировать с
изображением простра нства Они
·<Создавали» живописное nростран­
сню, И3М(!НЯЯ р.нмсры фи1·ур, ра< •
полагая по определ~нным прави
лам Jлемснты архнтектуры . детали
ландшафта.
В то время на латинrком Запа­
ле rтали популярными трактаты по
опп1ке и в частности труд «Пер-
спектива» польского ученоrо Uе­
лека в~1 тело (около 1225 - около
1280) В нем описание оптических
экспериментов сочеталосt. с изло
жением 11выс шей математики» 1ш1
эпохи· фрагме1~тов «l-laч;iл. Евк
Ntлa, «Ко 1-1ическ~1х. сече1-1ии » Лпол­
лония и «Гlер('пt:-к·1111:1ы» с11мбскогu
математика Х XI вв. И()н аль Хаи
сама IАльгазе>на\ Интерес к гео!'v1ет­
рии пространства в ко11еч11ом ~по­
ге привел к т крытию в живопиr11
линеи 11 0~1 перrпективы r единои
ГОЧКU~1 СХОдJ. (ТОЧI 1ее rказать "\ТОТ
прием был переоткрыт поскольку
им вла.лели ешё древние греки )
В XV в итальянскии архитектор
и скульптор Фнлиппо Брущ:ллсс­
ю1 наnи<.dл мн, к.~1пины t в~1лdми
Фl\оренни1~ при~f'НИR 1аконы пер
СПСК1ИВЫ к СОЖJl\е11ию эти рабо
ты Н!:' сохранились. Истnрики спо­
рят о тnм обладал ли Брунелле< ки
недЮА<ИНllЫМ11 ПOJI 1а1 IИЯ~И в м,1те­
матикс и других науках Если так
то е1 о картины прсдrтавляли со-
С тp.111•1uJ
11з Руковолсrва
К "1 lM~pe1 Н1Ю
А ,\н1р1>ра
Нюрнб~;-рг
1525 г
Тро1ша Фрt·~к,1
Мазаччо
вroGope
Санта Мария
Новема
Ф\Opl'HIJl1Я
1425-142611
бои <ложнеишие геометрические
поrтроРния [сть и другое мне>ние:
Брунеллески вначале писал кар
ти11ы 11а зеркале обводя и рас
краL11ивая отражения Именно по
натолкнуло Е'ГО н а мысль о пер­
спективном сокра шснии архитек
тур11ых фСJрм Вскоре у него по­
яв"'м1сь ученики 11 nослело1:1атели
В их числе - друг Брунеллески ж~1
вопип•u МJJаччо Его кисти пр~1-
наллс'жит монуме11тальнос па11~ю
< Троиuа• во флоренл1йско11 uер­
кви С.1нта Мария 1lовелла где
Х}'дUЖllИК nримt:llИЛ ед1111ую точку
сход,1 ухолиших в 1лyfi~111y м1ни11
Страстнt.1м энтузиастом перспек­
тивы был и П<.1олu У•1 челло.
Прdкп1чР< кvкJ п:ометр1·110 и.~у­
чали отложив на время кисти 11
кр.:к~-.и . вел11ча11шис художн11кн 11
теоретики искvrства Лестарло Аа
В11нчи и Алпбрех.т Люрер Они И<­
пользnflали гео"1етриче<"кую тРхн11
ку в приложении к теории п ропор
uий и перспективы в ж~11юпи<.н


r:унцы Город:~ дoжt:lr nem1 ож1шлсr~ную тор -
1·овлю с по1лоу,ым 1 1 ~·орода:--ш l>m1ж11сго Вос ­
'J(Жа. Поон.: падсн11я 1\онстаrттшюполн 13 1-iS:'> 1·.
ученые, ра6от;,tнw11с т;1м. стал11 11срсс::!жать 1 1а
З;1ria;~. Так научный мнр Екропы по~1-1а1юм 1 1 J IС){
({) M I HJГl1:'>111 IOJ;ll'CllЧt::CКll .\11-1 трудами ПIJ м:1тс­
мат1-JКl: 11<1 1 рс ч ескuм J-1.11.1кL:.
Одн:11<0 1 1 ауч 11 ыt: :ша 11 1щ р~КЩ)1>сtраш1з 1 1-1с1,
.\ IeJ1.J1t:111 ю. ма·1·t;,ч<1т1 •К) пре1 юдаnаJ/11 в ~~н 1вt:р ­
снтеrах, которые тог[(а 11~Lхо11.11 1шсь под покро­
r.итет,ст1юм ЦерК13и. Её нерзрл·н стар;.11шсь со­
хр:~rнпь срсдневсконыс предстаrшспш1 о ~шр<:
11прот1~1111л11с1,1юэраст,1 ющс~1)' wншт111ю 11аую1.
\( ·1·Gиу же уч<:ньн.: uбычнu рлбuта: ш 1'· u,цшюч-
1<.) 1lc быmJ научных об щt:стн 11 журнаJ1о н, м~1-
теs1:1111ю 1 не вс.:лл 11 ;1у чн ой щ:рсшн:ю1. Состон
11:1 жзлнван1,е у 1<<1КШ'{)·Ниб~д1> 1\\t'Het-·1<1·1 ·. 1 11 1 ю­
('ТШ11-1но 01 rасансъ апастr. 11 1r1::мююс 1 1" м;нема
тнк ренпшю oбc;:pcraJJ своr 1откры·1· 1 1я.
Хар;щтерпая нриме1· а того нрб1<.:1н1 - нdуч­
пые тур1111ры. Победа в таком турш rрс 1юроi1
стапоuш1ась реш:но щ им событие~t lJ ж11з11и .
Побсдптслю доставал:.~<.:~-. нс тонько 01ана, 110 11
кру11но<: [\<.: 1-н.:жно<.: 1юJ1 1аrражде11н<:, а ч:кто 11
весьма ны1·од1-юе пр111·лзшенис на работу.
В ссрсд11ш; XV к быJю l!:юбрстсrю ю-шrопс:­
чата111 1 l', н знання сг:uт1 1 дос1упны 6онсс uшро­
К()М} кр~ту :~юдеr'1 Хm·н 11ауч 11 ыс:: соч1111еI-mя
нс по11ал11 n ч 11 сло 11ервых 11ес1ат11ых юш1, нсё
же к копщ' Х\/ n. в Европе у-л<с полшrm 1сь "ком ­
мерчrска н ар1 1фметш\а'' (1478 г.). «H:.P·t;:iлa» Еn-
1@ща (1482 t'.) в латшн..:ком переводе Камшн1~1
!Jаваррскuго. сдслантrом в ХШ в" и " ~умма з11а-
11н l1 ~ ( 1~9-1 1·) учё1 юго мо11:оса-фраrщ11скаш \а
Лую LПаqrнш. В Х\1 1 н . напе::чатаны ·1·pyrlы А1 юп­
;юн1нt 11 Аr-~шмt:да. Кн.11п1 н~1 т1ты1ш мог про­
ч11тt1 ·1 ь /tJлско не каждый. поэтому Пачо111r,
l'шшлсlt 11 Д<..:кз р1 С(.)3!ШТСПЫЮ Пl!C<}JLlt своп
μэбтъ1 11а •·р:tзrо 11орных» яаы1шх - r 1 ' 1(1;11,я 1 1 -
с1<0:У1 11 фра 1щуэском.
«Сумма зт~а 111 1й" итзлып 1ца Паqшш сопер­
жала нсё, что тогда знаm1 по ар11фметпкс, ал геб­
ре, rco~1eтp111 r й триrономстри1L В этом труде,
R L1аспюстн, была поmюстыо вос проИЗll<:дена
•Кн111 ·а абака» Леон ардо П нза нского. В 1<0111 (е
рп:щсла, лосвящё 1 1нu 1 ·0 аJл ·ебранч<:ск11м уран­
r~енш1:v~ Пачл1ш за.\1сти11 , что /J.'I~ рсшсння ку­
бичесюtх уран н е тr й <·искусстrю алгебры сщ~
кс ;1а;ю способа , I<a к нс на 11 способ к на,!\ратур r,,
круга". Ero сл она rюспуж111111 оюеоб ра:щ ым
вызовом для следующе1·0 поколе1 щя алrебра 1 1-
сrов. Молzет бы1ъ, вперв ые после «С рсднеnеко -
С релн 11 е века и l:kнрожлсн 1н•
~
E"ll.l(IO
f\YKA ПАЧО/\И
Лука П а•юли (t>k.oлo 1445 около 1514) был круп -
11 ейшим Сfjрuпейским алгебрсtи t:тuм XV u . Он
рuлилс:я в мес. 1 ечке Бор го-Сан-Сепuль~<ро в Uент­
ральнои ИталиИI, учился в Болон с 1<ом ун иверп1те­
rе. Па•юли ста!\ профессором ма 1 ематики и пре­
nолав;1л в Риме, H eanoлt>, Миланf', <Dлорt>нш1 и,
Болонье .
В Мила н е 011 подружился с вылаюш~1мся хулож-
1-1икuм и ученым /\ео11ардо да Ви11 чи. П С' настоя­
нию Леонардо r.; 14q7 1. Пачом1 написал к ни гу «0
Божественнои про порu11 и. (её печ.:~тное излан ие
вышло в Вен еФ1и в 1509 г.) . Са.\о\ /\ео11арло 1:1ы пол­
нил иллюстра u ии лля этой книги, в том ч исле
59 изображе ний многоrра ню1ков.
Но самым --с нам('ниты м сочин е11~1 ем П ачол11
стала (< Сумм а з нан и й 1ю арифметике, геометрии.
отношс11иям и проnор uионалыюсти» (1487 г.).
Книга была напечатан;:~ в Венеции в 1494 г.
Лука П.эчuли. Карп 111.1 щ•11Jвес:т 1 ю1 о Х\'дu:>1.н11к а J 49 i; r .
rюй с11я чюf>} еоро п еiiцы осо"ша.; 1 11, qто м~1.10
только следовать класснчtс 1ш .ч образцам н
прилежно усватmать аr 1111чщ1ю 11ау1<у. пора по­
иыта1ъся создап.. что -то новое, 11epcwai-rry-п,
1'раrшrщ , )'l<аз:н ш ые ю1 ;1сс11камн. 11 это 1rм уда ­
лось. Ит:1щ,янсю1с матс.-.1ап тк11 XVl н. 1 1аш 1 ш
форму1 1n1 1шрнс 1! :.ыr·L:fip::1.11чecк11x уравнен ~ 1i1
трет ьей 11 чстн~ртоГ1 степе ~ 1~f1 11 те.\1 c1мJ1J '\1
решт11 1 зада ч у, котор;l я н~~ протяжс 111 rн мло­
п 1 х пеков rLрсr~стап11 н11ас1, учё11 ы м нсра:~рсш11-
мой. В<1т п очеУ1у Л-VТ столетне 1ю 1111ю н 11сто­
р 1110 м атемат11 1<11 как J'leк алгебры.
79


_,Аъ_
Cll.lfl!
История м<~тем.:пики
СЕ КРЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
1 1~·р1ыя 1тр.11, цu,1
,('ум\\Ы 1Н.1 Н '111 »
Л 1 1,1ч1 1л1-1 Bt•Ht! UИ>t
~l~t\.lHllP 11..! ! 1
В м ате матике то 1·0 вре мени от рнц;tтслы1ые
сrпсла е щё не ПОЛ)'ЧI1л11 <· праu 1·ражл:п 1 ства ·}. Их
нс.:пользовали при решении урашн:ш1й только
н щюмсжуточ ных рзсчётах, IIO (;'(Jlll ИCl\OMЫJl
коре нь or<:tэыв:ctJtcЯ отр пца1·сльным чнслоы, то
CЧlIТJJIOCh. что yp:lBHCl-H fl' кuр1 I СЙ l [(..' нrvtceт. Д.1 1 я
тu1 ·0 чтобы научнтьсн рсш:пьлюf>ос куб 11ч сс кш:
\'IXlllHCHl1C, MЗTtM(l'l'Hl<l ·I ДОJ lЖН1>1 fi1,L1llf :1! 1 ~1ТЬ , как
рс111а1п1пr тр 11 ра:~ных т11па ypamre11иrr:
.\'~+fJX = Cj,
х1=рх+ tf.
\
.\' + f/ =р.х,
где р, (/ - rю1южитслы1ые LШCm1. Исторшr от­
крытия qюрму11 корней эт1 rx урав 11с 1 1ий полна
драм ат11:.1м а. 11 1rтрш', коварства 11 оfiмана.
П <.:рным ус 11 еха 1 \uбилсн профессор Боло11-
ско 1 '(1 унипсrн.: 1 пста С1\1ш 1 ю11 Дал 1) Фсрро
( 1"-165- .1526). Ha,11u сказат11. что n Л'V-XVJ 1ш.
Болонскиii уmrвсрс~пет был 011;Т 1и :ч из с;.1,чых
11з1:1ест11 1 .1 х у1шверситетоn Enponы. В рз з 1юс
время его студе нтами б ыл11 Jly1<a Пачолн, Аль­
брехт Дюрер 11 Ннколай Коперник. В 1'11.:; г.
д{LЛL, Фсррu 11ашёл рсшс1ше уравн е ния вида
х +р.,. = t/, но, щ) обычаю то1'0 нремени. н<:
011ублико1шл е1·0, а хранил в тайне. Рукоп ись с
н.з1 южt:11Ие.:'.1 :'Jтo1 ·u uтк рытш1 Д~mь Фt:рр< >пе ре-
1~ш 1 с 1юсму >ят10 и nрtемни~:--у по к:.~фtдре Ан -
1-111б:Jле дt~лла J lанс. Хотя впоследс" 1·нm1 рукопись
11айт11 11е yдaJJO('I•. с он р с.:-IСПТIИЮ 1 )'Чtf IOI'() 1111·
1ю1да IJe осп:~рнnашr с1·0 пр1юр11тета, 11 во м1ю-
1 ·их матсматп ч есю 1х соч1111с111 1лх X\TJ n. rч шю ю
встрс:тить уном11на 11ис () ,,правшrс ДаJ11, Фсрро-> .
И::1щ.:сп 1ы f1нт:шы1нс ю 11'1 11 стuрт u<м~1тсмап1-
ки У. Фор 1и наJываст 11мс11а t:щё двух чt:Jюnск,
ко 1·орыс энаJ111 с п1 н:об ,Ц:ui ь Фсрро: это лnоря·
HI IH пo~Hlt:O UOJIOJll'Tl 11 11Лll 1 '0 1 11 ltJ Мар11н Дt:ЛI>
Ф 1 .()рt:, уче1-шк прш/х:ссор3 Дэ.111, Фсрро. После
смерт1 1 сrюе1"< 1учr 1·1·ею1 /\СЛ 1, Ф1,оре rюл 1,:1()11ался
С()общёrшым ему сскре-1 ом. 6. 1аго;р ря чему
r юбсждал н а r1 ауч11ьLх турнпрах.
НИККО/\О ТАРТА/\ЬЯ
Н астоя шмr его фа'v1илия - Фонт.:~на. Прозвише
ТJрталья (нJика») Никколо получ ил, когда l'Мубыло
шесть лет . 011 вместе с родственниками спасался в
11еркви от фр::~нuу ·кк и х -1авоеват('лей, осам1вш их
его ролно~1 город Брешу. Свяшен11ы ~' 1тЕч 11~ . ол11а
ко, не уберегли от несчастья : Ни кколо был тяжело
pat 1е11 в горта нь и 11 а всю жиз нь U(:TJЛ< ~1 1аи кой.
Ма/\ ьч ~1к р(К в бедной семь(;', ра но остс1лся (\€'~
()ТIJJ . Мать нс могла плат~нь 1а обуч\:' 1111е сына, П ()­
этому в школе Никк олu успел в ы учить лишь поло­
вину <IЛфсlВИ Г, \ , И ВСЕ' Жt> (,Tpl'MЛC I IИЕ' К '1 Ht~H l•IS!M И
н еоuыкнш~ен н ая твёрлость хар<1ктера проявились
>'Же в лстствl'. Тарталья нс толL>ко самостоятель~ю
11ауч ил<..я читать и писать, нu и сумt!л при обрvсти
большие П(ннания 11 ма 1 Рма 1·и ке и мf'х,1нике. Вnо­
слРлствии 011 созл<:tл 1аме ч ательныи лля свое го
времени трuктат «Новая наукJ • . в котором р ас­
е мотрел р.нлич н ые воnр0< ы меха11ики 1 в том ч исле
расчёт тrаекторий сн.зрялов.
Н11кколо
Тарталья


И вот R J ~) "> г. дедь Фьоре uызвал 11а состнза-
11 пе з11аме1111то1·0 матем.атюса 1tию<оло Тар -
1м1ью (о коло 14()()-t 557). Тарталы1, у:шаn. что
дет, Фьорс обладаеr· сt:кретuм Сцитюна д~u11,
Фсрро, за rrccкuл hKO ю 1el1 /\О ·1 урннра cyмt:J1 с1-
мuе1·онтс::лы-ю открыть (j10р .\.1улу корней и O/tcp-
ж;u1 1 юбс11у За два ч:rса он репл rл нее ~s~щ~1чи дtл1,
Фьnрс:. Протишл 1к же, nu слон;~м са .нот Т;.~рта ­
nы1. ш: спра1н111ся ни с о;~ной. дзже 11з 1·ех, кuто ­
rыс MOI' бы pCIТI! пъ по 11р<Н1илу Д;;JЛf> Фсрро
Череэ лень после тур1шра Тарталья репшл
также ураrпте.1-шt: nида х' == рх + cf. Это было
вел11ча iiшнм оп<рытисм. К учёному nр1 шша
слава, c 1·u пршж1mаш 1 прс 1 юдавать н Верону,
J.k1H.:llИIO, Пы1 чеJщу, Брешу. Но пубm1коват1,
пю11 формулы Тарталы1 не стал. Пuчсму' Во~­
можно, 11р11ч1 1 на был:-1 нот н чё.ч .
Куfiнчсскпе ура втте1111е первого т11 щ1, т. е.
уrмине1111е
_\J + px=q.
1'
'\
с 1юмощыu nпдст:11-1оню1 х = 1,U - vиТ:-~рт~1лья
(вслед за Д;:~ль Фсрро) с1юдш1 к квадратнО.'-'1)'
yp<tB !lt'I IJIIO
.!
(р)'
и-чи. -
.1
=О.
Дискрими на.1 п ::>1·{ н·о ур;нше1п 1 >1
ПОЛОЖИТСЛСН, И ПОЭТОМ)' 0110 1IMCCT 0,ЦШ I flO-
JIOЖJl'l'tJ IЫIЫЙ корень.
,Ш~х решения ур;,~внс11ш1 нщр
х1=рх+ц
~
;
'l'арталыr решил с;(слатL зэмепу .i .: = ' 11+\1 •
Со01·нс·1·ствснно ш1 JJ<)Jlyчrrл кRа;~ратное ура11-
вс1111 е
>
fJ
()
~
tГ- tjlf+ °'Т =О,
/\ llCKPHMlllJШl 'I' кuторu 1 ·0
чnжетбытr, ка1< поJюжите11ытъLч. такп отр1 11tа ­
'l'е.'lы-1ым. В 1 ·ом случае, коща 011 отрицателен
Средние века и ВозрожлРние
(т'1к 11азываемыi 1 nапршюдUt11ыt/ с.лучаil), метод
Тарт:1.11ы1 «не работад», хотя кубнческос ура11-
1-1е1шс и IIMCЛO peшt:IIИC.
Имс::н110 :,)Та 'l'РУ/tность стал::~ камнем 11рс­
·1·ю ювсн ия для rsccx учс2н ых . Т.tрталья, rю-н11/(1 1 -
мому. 11с: хотел nубт 1кок1ть свою формулу /(О
тех пор, пока окончатсJ 1 ы-ю не р<J::Jберt:тся с
11е11ривuд11мым случ;.~ем.
Тем щ1сме11ем ещё 11ри жиз11и ТЩ"Jтзльи с:1 -
мое важное cro откры·1 не у1<рас :ило юшгу
другш·о человека. А случилось это так
В l 536 г. Джероламо Ка рдан о, 1-отоnя к изг~:а ­
нию сочинение «Практика арифме 1 ·1·1ю-т», уэ1 1:.и1
о сущестнованин ~ 11 рав11ла Даль Фсрро». НJ нест­
ного /lH)'M ученым - Ннкколо Тарт~u 11,с 11 Ан­
тонио дсль Фьорс. Карл<1но 1н111нл, ч · 1 0 ~сJ ш
)/lJСтся 011убт 1 ко11а·11, этпт ре;{ул 11·1·а·1 в с1юей
юп11 ·е, то с;1а 1{а бyrte1 ему 0Пес 11ече11з Однакп
11се ПО\\ЫТКИ сзмому ПЗl~i'ПI ре111е1ше Ol<ЗЗM IKh
безуспе1ш1ы.\.1И. Тоща он задум~JЛ выuснать сст<­
рет у Тарnтьи И nот, после долл1х. )топоров и
увсщеnа1шй, в марте 1S:S9 г. Тарталья, nрсдва ­
рнтелыю нзнв с Карда.но юrнтву н с раэглашать
это 1'0 открыт1ш 11 /(:~же заншфроnать с1·0 так,
CARDANI
A H:S MAGNA
Alt l ТНМ.НТ 1~1f: .
Scu L11\<;:r ч1.1aclra1;н\t::t Cap1tulol'L1111 ,
& чu.нlra~111t.1 QQ;rllюnun1.
1'RОOLМ1VМ
AD R {) l'l/11 /i'l'l' J\1 .1J(C/lf.NТfT"'f,
l 'p[ropum ""'!' i•"tir .ltpнHrt
"1а5·:. '"'1 С) ·~" '·· !(1. /'ir1 1·, ...."
, , 1, .•.,,,1t ,.,.,.м (
.r.
а •1-. ..
•
•
-
.Jм •
.t
.....--
:t1
L
,
,Ji,
"
1
t:"
"
......
• ,.... . ::;:;:-: ". "";r;
1."" 111
'1
•
,,'".'"
1 .J,
".
1i.,1 " ~ 11~-1..11,01 ; \;111··.r•rr1 1c ' - 'I '•'"" '
... ,"
_,/,,·111tftJ'.Z:
1111rV1r"
~·._."
Первая rтра 1 111ua
тp ,l KTdTd
« В<'ЛИКОf'
Иt.t{ y(( IHtli
111 nол11ого
с оt>рани11
< t•'IИHl 'lllH1
д.,., Карыно
81


82
История математики
чтобы никто не смог прочитать напr1санн ое ,
передал ему «Стихотворный алгорити ·> ре ­
шения.
13скорс после этого самому т:1ж1нтт1н()му
уче1-1нку 1<~1 рr~ано - Лудо1шко Фсррари ( 1'1 2 2 -
1')(>')) удалое~, наfiтп с 1 юсоб реше ния ура кнс-
1111я чет11ер·1011 стt1 1 tнн. Жt11а11нt Карн<~но
оnуб.11иконат~. таю 1 е 111.щаю щ11 еси re:-iyJll)l'3 'J'bl
ЛЖЕРОЛАМО КАРЛАНО
ЛЖер оламо Кардано ( 1501 - 1576) был ~ктинным
сыном :юохи Возрожления, воплотившим как хоро­
шие, так и дурные стороны с1юе1 о времени. С юно­
пи джС>роламо пбуревала жажда славь~ « Uель, к
которой s1 стремиЛ<·я, - писал он на склоне лет в
автобио1·раф~1и, - заключалась в увековечива11ии
моего имени, поскольку я мог этого до<.тиrнуть, а
вовсе не в богатстве или п раздности , не в почестях,
lie в высоких дО/\ЖtЮСiЯХ, lie во ВЛdLТИ". »
Кардано nuлучил мелиuинское образование и
всю жизн ь занимался вра•1ебной практикои. Одна ­
ко, как многи е учёные эпохи Возрождения , он 1ю
ограничивал себя лишь од1 юй областью 1-Jауки: Кu.р­
дано вошел в историю как математик , философ,
естествои с пьпат~ль и изобретатель. Суш~ствует
леге нда, булто он составил свой гороскоп и п ред­
сказал , что умрет 21 сентября 1576 1- .
дабы под­
держать собственную славу астролога , к назначен­
НО"vlу сроку он уморил себя голодом. Лаже если этот
рассказ и вымышле 111-tый , суть характера Карда1ю
передана очень верно.
(;:~мой и з вестнои к~1игои Кард;:~ но стал трактат
1 ю ал1 eGpt: под названием • Великое иtкуtсrво 11 1
опуОликованный в 1545 г. Книга содержала фор­
мулы ре шения кубического урdвнения - секрет
Лал1, Фе рrо и Тартальи.
джерола"о Кард.~но.
стало JJpocтo I:Н:'преодолнмы.м. l< то му же в
l '542 1'. 1\Щ)/(3.Н U 11 Ферр:~ри кстрС'1' 1 IJll ICb с ДС.'U1:1
ltaвc, который охотrю пcж::t:{:!JJ 1·ос1·ям рукоn11сь
снос1 ·0 тсстн с -зансл ю Г1 фор~1у11nй. 31 1::~ч11т, сё
мож~ ю было у:111:i·11, 1 1е 1·ш11.кп пт Tapт:JJJы11 Кэр­
дано ре11111л . чтп 11'\1еет 11р:ню 11:1ру11111·1ъ Jl:ll 111ую
Тартальс клятnу, 11 RЮТЮЧllЛ RСё ему llЗBCC'Tl!Oe
11 со6стве11щ10 юш1 ·у.
Наrю отмстить. что чест1. 11е11 1 1ю1х открьJ'Тiн1
Карда1ю отд:ш нмс1шо тем mодям, которые се
заслуж111н1 011 11ис~и 1 .
•·Н 11:111н: неm1кое вр<::-н1 С1 l1 1 n1юн Jl:1JJ1, Фер­
ро откrыл rlюрмул): "Kyfi ксщ11 ш1юс вещь
р~кны чнслу". ~то был о 1юнсп11-1t: rtpt:кp.tcнoe
открытие Так 1(ак 11олоб11оt 11 с.кусс1 rю прt'вос­
ходr 1т nсё человечес1юе остро~'м 11 е 11 всю яс-
1юс1ъ ума с.мернюго. то 1::1 ·0 iryж11 0 расо1атр11·
Rэт1 , как подарок небесвого прои:схожде1шя. а
также способrюст1, силы ума. Это настолько
слашюс: открытпt, что от того, кто мог его до­
ст1 1 1'H)" I h, ,\>ЮЖНО ожнд:tть . Ч'I'() 01-1 ДUC'l'Jll'Ht'I'
всс1·0 Co1tcp111 1ч<1J1 с L111 ,- . .1 , 1111ю<0J Ю Таrталы1 11з
Г1рс1н11, наш друг, liудучн ны::1н:11-1 на сос1·и зан11с
учс:н 1 1ко .ч Даю, Фtрро 110 11м1.:н11 Ан·1он1ю Мэ­
рш1 Флоридо. ре11111л , д::11.l1.1 r1e бr.1 ·1ъ rюбt:Ж.'\tli·
НЫМ , ту же Ca/\J)'IO проб;1 е му 11 IIOCJll.. ' (\Ш\П\ 1\
просъб псрс[(а.rт её мн е. Я был внелё11 в зз блуж­
де 11 1 te словамн Луки Пзчолн, который гоuорш1.
что rrcт общего рсrпсшш т~нюrо ураnне111щ 11,
так 1<ак я обш.щ~LГI ужt MllOГHMIT, MllO IO СIМИМ
с.цел:~ш1ыи11ОТiфЫТШL\111, я11с uтч:швался ш111-
та то, ч1.:1·с1 н не cмtJt 1ккать. О;~нако ко1да 11
получ11л эту 1'л :шу 11 дtJбр:11н.:м до t:ё рt:шен1щ
то н у1ч·JДСЛ , что с сё IЮ.\10ЩЬЮ MCJЖllO }v\J юrое
е щё сделап_" 11 уже с 11стыше11тю1'1 у в ерен-
1-юсrыо n ('fiOИX СlfЛЗХ я nрн Jr('CЛe/1,0ПЗlll!JI ()Т­
крыл 11am,11cfm1 cc, чз стыо с:,1 м, ч:ктыn с Лудn·
т 1ко Феррарл, моп м бъmттшм учс1n11юи".
Т~1рТ'1.ЛЪЯ СЧёЛ Себн ОСКОрблёш I ЫМ, !! раэра­
:-!НЛСЯ ск;11r,'щл. В тсчсm 1 с тр<:х лет 011 11 Л~довн­
ко Ферраr11. вставший 11а 3ащиту с воего учи·
тсля . uб~н.' нин~иr11сь ру1·а'J'!.:11 ьн.ым11111~сьм:t,щj 11
nамфл t:там11 . И tсл 1111 1х:ж;к научнан IШJLt',\ШK:t
в<:лас ь 11:1 J1:J'1ъш11, то 1·с 1н: рь об:.~ ~штор:.~ 1·1 '3.Jt;11'~t·
JUI CJIOII МЫ СЛJI нз <- L 1 ap( ЩJIOM ~ }!;-JЬJ KC. .Вен Ита·
JН-f}J_ с 111 l'l't'j)tC()M CЛ t:/ lHJl(I 3:.J ра:.нн гп ll'M t'ОбЬI·
т11й. Сам же Карла1ю от )'Ч::~стнн н ;(11С'куссш1
отказался. <- 1<ак дворянrш отка: 1апся бы от дуэлн
с 11ростошодшюм~.
Точку n этом споре nостаннл тур1111р :-.1 ежду
Тартальсй п Фcprar11 Оп состоял ся l О аrнуста
1">4Н 1·. н Мш1ане , родн ол1 1·uроде Кардано н


Фсррарн. Gоль ш1шспю ~рнтеJit'Й, конечно же.
1ющ.1,ержива111 1 l'н.uс t·о .3t' ~u 1 нк~с Как rutctн 1юзд­
J1t:C Т<tрталь>J, «для меня стало яt:нu, что \1Оё н:~­
v1cpt1 1нt· убс,11 1те11ыю 1·rнюр1 1ть перед тшнюй
1 н::ос~·щсствимо. r1 так l\ar< я нач :u1 сн1 аса1ъо1
худ111е1·0. то 11а с.г~едующнi1 деr11" H t' ска::1а 1~ 11и ­
кт1у 1 1н слоnа, уехал 1 ю друго~'1 д()роге в Бре­
шу". Ло(Jед1 1телем был 06ъявлс:11 Фсррари. по­
скольку er () со 11е ршп; поки11 у.r1 «Поле боя».
Да.11ы 1еr'ш1ая жнз 1 11, Феррари сложиJiась удач­
но: 011 п олу• 1ил ,\НЮГО лсстньL'i. предложе ни й 11
ныбр;~л самое Hhll 'OДHOC IП них. 13ОС<..'МЬ лет он
вn:ллающл 11~1Ло 1 ·оrюс 1:1едо.мство R 11рош 1111 ~ 111Т
.'vl all'lyя. ! ЮТОМ CT:Ul профсссорш.1 \1;1 '1'С М :1ТИЮI
В nOJl()f ICKOM )'Н 1rнcrcиTCTt'.
Ннктn пз участ1-н1коR этn~1 1ктор1 111 бС>лылс
пе C,'\en:m 11шса юrх м а·1 е 1"1атнчсс 1с нх открытп!1 .
О6ъясп ит1, непр1шо1\и мыi1. случ:н'1 JСубическо­
го ураn11с11ия удзлосr, Раффаэле Бомбе.rнш.
ПОЯВЛЕ Н ИЕ МНИМЫХ ЧИСЕЛ
Рафс!ЫЭ.'J t: nO\.lбCi!ЛH ( 1'526 - 1') ..,2) б ыл IH·1жe­
lll:JJ 0\1-l 't 1ДfXIПJl1 1 K0!\1 11 прщ:ланился 11 ро,11но 1!
Итаю 1н работа >ПI по с >суше ~ 111 ю болот в ж.:с­
течке В:ть-дн-К1>я11 а (Дот п 1а Болот) в 1'549-
1')')1 11. В снобоююе н ре м я оп ::1;1111 1 малс.sт м а­
·сем;~тпч сск11 ми 11сследоnа 1ш ям п . К J '>50 1'.
lJочбеJши :1а коrrчлл нервый nзр1 1а 1п· с nосго со­
ч 1шс:11 ш1 «Алгебра,>. t lро.:~.олжая ра боту над
кнпгой, 0 11 отыскал в бибш ютске Ватик:нт а
•1·речсскос С()Ч1 1 не1 шс по этш1 дасц1н 1;11ше.
<.·ост:111л<: н нuс 11сю 1.>1 Л н uфан 1 ·0 :-.1 Ллекса J щ рн й ­
сю 1м."•. llахсщка прон:шела н:~ не1·0 с11т,ное
llllt"Ч~ITJICHlle. (."Чтобы 0601·а11-1т1) ~11 1[) 'J':lКllM
:за.,1е ч ателr,ныvt r1ро1 1 :з 1к:лсп ием, 1 1.зят 1cr> м r.1 :-ia
перевод н п ерепели шп1, юmг 11з семи, 1щтп­
рые пе б1.111н персr.е~ены до этого", - ттнсал
i)0,\10CЛJI Н.
Под nJ1ш1J11 км Диофантuвой «Лр11фмсп1ки»
Gомбслли кuре1ш ым образо м ттср сра бот<.1 л
еrюю рукош1с1" ню1ючиn н нсё lil.1 з;1д;,~ч11 Ди­
офан·1·а. Но 11с тu;1ько ;;:адачн 11 нх rс111сн1.LЯ
1 юра:.11 1лн Gомбеллн . CtюcuCi 1шсдс н11я н м атс­
\1ал1ку новых ВL:лич1111 - отриц;.1тсл1,1-1ых
'-IИCeJI - вот что бьuю важ1 IЫ М ,'1,ПЯ нсгп 1 fk;~ь
11мс111 ю ·1·аким ()аразпм, чистп акс11омапrче­
с1ш, м())ю ю определ~ 11 1, 11е толыш птрш ~а тел1,-
11ые. 1ю п 1\И'1·11е чпсл;,~ . И Боибелл1-1 перnы.м
ввёл n алгебру м 1 mмые нслиL1ш1 ы (см . статыо
«Зачем 1 1 ~ж1-1ы новые чи<.'ла? ·>)
L' .1:1\ LG E BRA
OPERA
D1 R.•нsL8онанt1da BoJosna
Diш(; >n rre LiЬri.
C•• l~i•.ltrм}iипо J..fe poi.J 'llmirttn prrfi1t11
rogmшm<d.//~1,"1<•1ltll'Ar1,,.,11<~.
C..n 1•n • T•11 0I• copi or• d<lkmi1<ri<1 cЪc
in clf• й comcngono.
1о/• hor• '*ltm ) ltntfm <f'U' ЛN"1.jii
Jm A ftlfyfttnt .
lN BOLOG NA,
l'cr G1ouann•RaG1, i\\ L> l.XXIX.
Соп l•tZti," dt' S11;щ 1et1 ,
д!1ь_
с=и~
Г11~ул1>ны11 лщ 1
BT(lf'< .11 U '1 iЛ<l>IИЯ
"ллгебr • ~·
r ь11м(>1елл•·•
Бо J.~ОНЬ\1 l 'i7<11
C 11 ;1чaJ 1 :.i он, кзк н Дrюф;шт, ,\ал 011рt'/\t:лс­
н11 е 0·1·р1 11 tатслы,1 ым чнст1м (1юторыс нее м::~­
тсм<1т1 1 ю1 ТОГО вpcivH..'llll CЧ llT:J.111 1 <')JOЖ H l>l 1\ll 1 4 ) 11
уст:нюв11л 111х1щ 1л:,~ обращt' 1 11 1 я с н1 1 м 11 Кна,п.­
р:п11 ыl1 1<0 рснь 1 1 з 0·1 р 1 щателы10 1 ·0 чrклз, к~н;
заметил Бомбелли, не J\Южет.бьгп, 1111 положп ­
тел ьны.м, нп отр1 щатепы 1 ым числом. То 1'да 01 1
пред.'lожнл назвать эти ~юные. «софнста<rе-
t:ю:1с• Ч HCJI U «ПЛЮС<JМ 11 :1 МIПТ)'С'1" ( +\'- J ). fIOl'/\3
ИХ ll'(ЖI IO 11p116ЗH;l}l'J'I>, 11 «МНТJУСОМ 11:1 i\1IПT)C3»
(-\-\ ). когд::~ 11.'( llY)IO IO BЫЧllT:t'l'l1.
В со крl' .\.\е 1111ой :.im ·e()pc, н 1юдя ,\11-11 rмy 1<J с;~11-
ш11 \у, матt:\1'1 ' 1 ~ 11<11 гово рят· 1· П yL·1·n С \'щестнуст
1re 1..;m·npoc ч 1 1с1ю, которnе 11 р1 1 тю:{ведетш в
ю~:;щр::1·1· рзвпястсн - J. Оно <1удет 11а~\ЫН~п 1,сн
:--11111.мoir еюпшце ir i. То есть i 2
=-
1, и, следова-
телы ю, по оr1 реж:лt'111 1 ю, i = ,_1 "· Т<::~к 1нщ 1 1,\:1.
опреде.11е 1 ш<.: м1 11 1моli едшп щ ы эа 11роrпедш 11е
·НЮ лет 1ю суп~ 11е 113менr~лос~,, а :,~р11фме1 11-
ч.ескпс 11е(r ств11я с 11еГ1 щюпэнодятся 11 :чет ю
та к. как эт<J делал Бомбслл 1 t в XVI в.
Н 11какш·n 1 ·еомстр11 ч еск< 11·0 обос1ю1{а Н11н
~ юным ч1 rсла:>v1 Бnмбt'11Л11 1 1е д:-tвал. ()п ~х1 ссма·1·­
р~m:-1л 1 1х к;1к формаю.1r1>1с спмrю111.1 . о котn рых
1шчсrп 11е 1 1:1весттю. кроме опреде.11ё1111 ых 1 1 м
11 рап11л. I I Jiмешю с 11 п,,ющью зт11х ч1кс:л е~1 у
у,'\аJтосъ объяс н пт1,. rючсм:у ,1\аже в том случае,


84
-
История матем<1т11ки
ко1·;~:.~ в фор"1улах 1юр11еl1 1<уб11чес1<01 о уrх11111 е-
1111я 1юд :~1 i;1 ко.:.1 квадрат~ ю1 о корпя стоит от­
ртп,ателы юе число ('1 J1\ что этот 1<0ренъ вро,'\е
бы н 11е сущсстnу<.:т). ур;шнспне нсе-·1 ак11 ИJ1-1еет
11ейстщпелыюе μtшение.
Мшrмыс ч11сла, нведённыс Бомбешш. более
двух столL·тш1 вос11р11н11м:1m 1 с1, J11нш. как ~доб-
ныс CI IMKOJIЫ. Ма 1ем:~ J IJKJI П[1ИMt'l IЯJll I llX R прu·
\1ежуто•11 rых 111,1 клщ~ках . но дю1 pe3yJt 1r1 .!'Га 1к"
П\JЛ l1ЗOliaJ I l1 ТОЛЫ(() <·1 1ас1·оя щш.: -> - 1'eЙCTl111'1'eJ1L··
ные члсла. Липть в 11::~чJле XJX в., после:: того ка~<
~ r<o/ю.riь математиков» Гаусс npc!(Jloж11n нагляд­
ную гсометрн•1ескую ш1терпретацшо комплекс-
11ых чпссл, 01111 пол:у·ч11л11 « 11pitн.11ражд.шства~.
РОЖЛЕНИЕ БУКВЕННОЙ СИМВОЛИКИ
Не1юзмож1 ю лредстаоить себе математику ()еэ
спе r,т1алы 11>1х обозначе11ий. Мы насто.rrъко пр11-
выю1и 1< 1шм. что порой нс можем 1'ОКазат1"
не прнбеган к Сl11\11юл<11v1, 11ростейшие тш1щесп3а
Соз11:~тслсм аJ11'ебра1тческо1'r снмно1шки по 11ра­
ву считается фр:НЩ)"1СК1111 математ11к Фр:.~нсуа
Ви ет. СRон нде~1(}J1 нэлтю1J1 но "нne,r1e11111-1 Rа~1з­
т1тнческос llCl<}'CCTIIO» ( J ')<) 1 t' .), которое долж­
но было с1атъ началом всео61'смлющего трак­
тата по ~u1гсбрс. Внс:т пис:-tл: «Искуtтт1ю, кuтupu<.:
<DPAHCYA ВИЕТ
Фраtку<1 Виет ( 1 'i40- I bD ~}
родился в городке Фонте1-1е-ле­
Ко1п прuвинuии Пуату, недалеко
от Jнаменитой крепuс:ти /\а-Ро-
1t1 ель. Сын прокурора, Виет полу­
чи/\ юридическпе оnра1ован11е и
начал адвокатскую практику в род­
Н()М городе . Но вскоре он стал
секретарем и домашним учитеАем
в дuме 31ытного дворя11ина-гу ге­
но rа де Партеt1ей. (Гугеtюты -
послеловатеАИ к аАьви ни1м а, одно­
го из основных течений Реформа­
uи и Uеркви.) Тогдil Виет очень
)'Влекси изучением астрономии и
триго1юметрии и м1же not\yчиt\
~1екотuрые важные резуАьтаты. На ­
примеμ, 11 н сумел представить
c,1n пх и cos 11,\ в виде многпчм•нов
отsinхиcosх.
В 1571 г. Виет переехал в Па ·
риж, где возоG 1ювил адвокатrкую
практику, а позже стал советником
nарАамснта в Gрета11и. З11;:~1<омство
с Ген рихом Наваррским, будушим
королём Франuии Генμихом JV,
помогло Виету за нять видную при­
дворную должность - То:\ЙНОГО со­
ветн ика - с начала при королс Гсн­
рихе 111, а затем 11 при Генрихе IV.
JJ 11:ш:11 ·J10, нов о шш. по кpaй!lcil \1Срс, настuль­
кu 11с1юрчснu времеш:м и искажено ш1иян11е.'1
Ол1111м 11з самых .:1<\мс•чатсльныл
достижении Виста ~1а кщюлсulкuи
Сl\ужбе UЫЛд p a:iraдK'1 шифра, R
котором на сч иты валоrь Волее
500 знаков, менявшихся врем>~ 01
1Jрсмс11и. Этим шифром п оль:юва­
лись недруги франuуккого короля
в Нидерм.1ндах для переписки с ис­
n<Н1t.ким дDuром. Хотя франuузы
часто перехватывали п1~rьм.1 из Ис­
пан ии , раrшифровать их никто 11е -
мог. И только Вист быстро нашел
Кl\ЮЧ. ПоJже И\П..tнuы обвиняли
Генриха IV в том, что у него на
rAyжfiE" состоит сам льявол.
Виет жил в :тоху кровопрu­
литных религиu.iных войн. Нет с ве­
дении о том, 1<3ТОl\ИКОМ он бЬI/\ ~il\И
гугенотом. И1веrт1~0 только, ч го
по 11апш111ию яpt,ix католиков п:>р­
uогов де Гиюв ero отар а н или от
должности в ко1ш.;- 1584 г. /\ишь
после разрыва кuрuли l де г~1Jами ,
в н..~чале 1SR9 1 ., он вновь fiыA
приглаш ё н ко двору.
Четыре года оп,\АЫ <.жа.1<1лись
11собычайtю плодотворными дмt
ВиЕ>та. МатЕ>ма rикёl аала его еди н­
ствен ной страrт1,ю, он работал са­
мо1абос 11 но. По р,ксказам Lо1:1ре­
Мt!н11икuв, Вие1 мог 11рuсиживdть ы
пис ьменным (талом по трое rуток
подряд, только иногда эабываясь
Lнu м на 11 ескuл ько минут. Именно
тor,~i\ он начал f)оАьшой труд, коп1 -
рь1 и назвал "Искусс тво анализа ,
И/\И Новая алгебра». Несмотря на
огромноt' жемние и упор11ы1~ -~аня­
тия , книгу В111н Rr·1• Жt' не завершил.
l lo ГАав1юс было написа110. И Jто
главное u11рсдем1ло р<1зЕ1и rие 1:1се11
м,1тематики Нового времени.
Фра нсуа В~1ет
Лнтnгrа•l111я 1 rr,111к1p t~ Х\1 1 t<


11<1рнарон, что н счёJJ 11ужны~1 1tр 1щ:лъ t:.\ty со­
всrшен1ю НОНЫЙ ВН[\" .». Хотя Cll.\lf\()J!1 1K:I В11ст:1
обладала 11<:кtУl'Оf1Ы.\1И н<:.цостатк:11.н1. Tt.\1 Ht'
:.-1е11(.'(.; ЭТО бhlJ I ОГ[ЮМI IЫl~J шаt' вnерёд. А 1Ю1' щх·н-
1111е ,\1атt:м:~таюr вполне обходилпrп без бу1<­
пенных обозтrаче 1шй и специалы 1ы х пр::~внл
011erшroFJa111 ш с 1 111м н. Наверное, будс:т rю11ез­
по вернуться назад и посмотреть, каt\ 1 юявилпс 1 ,
первые .\JЮ'с,чаттrческш: :шак11.
СИМВОЛ ЛЛЯ НЕИЗВЕСТНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ
Уже li rаботах Гt:рона 1'\.11екса 1 щр11йс1шго (Т Н.)
11 в М11ч11гапском 11апирусе (ll в.) можно наiiт11
с1тец11алы1ь11l зшпс для 11еиЗI3ССТI ЮЙ ВСЛИЧИI lbl.
Это бу1<11а грсчес1ш1·0 алфаnита .;
-
«кшщсв:.1л
сшжt», r1c ШJ1.свш:u1 ч11слово1 ·u :~11аченш1. Сле­
дующий н 1 а~· в со:ща 1-пщ а;н·сбранч.сс.:коr'1 с1 1м­
щ>Л11ки С/Lt'Л:щ Д11офа1 rт Ллсксu 1 1/1р111!сю11'1 -
llOl'ЛCДHllЙ BCJJJ!IOIЙ м:псматик :ll-IЛJ 1 1110CTll (Cvt.
ст~·тъю «"Лр11фмст1 1кJ" Д1юфа1 1Та») . nо;1роГ1тюс
() rшсаннс ~юных обозначсннl1 vчёпыif 11()-
месп ш в<1 вnс/1,е11и11 к cn()eii :шаме1111той «Лрпф­
мстm<е». Там 011 rrprmёл 01мвоm,т дня 11сиэ ­
веспюго. шестп cro положrпелыrых 11 шести
отр1щ1телы1h1х. степе~ ~ей. J также 11равппа г~ей­
ствш'f с 11нм~r.
Ilo тр:щнr о ш того нрсме1н 1, J\IO! ш~rно~'1 сте­
nсн11 Нt'и:т<хтной неm1чнны Д11офан ·1· 11 с пш1ь­
:юк:1Л знак;. :1 ) ~JНI ()С'l':U!ЬНЫХ C'l'C!ll'HCI\ - <:u-
кращен11н от 11.х 1· рс::чсскнх на~щ:н-шr1:
х" - t.." (81)vсхμн; - «Сила•, <-Стспе1 11·,•);
х' - к'' (кuРос;
-
«куб»);
х1
-
л"л (ouvaμoouvo.μ1.;
-
«ющtрэто­
кuадрат~ );
.л5 - ~" К (o,)vaμ ок-Uрос; - "ко;щрато-.куб» );
l)
\1
'п. '( .t
-
б
х - к К (1пJ1Juru"щ - «куоо-ку )~).
()тр111 t;!ТСЛЫ IЫС сте 1 ICI IJ 1 Д~юфа1 ('[' ОЛ\Х'ДС'­
ЛЯ!I каК1\fЮ611 с ч1тст-rгслем 1 11 знаменателем,
равным сО()'1' нетст11ующ6i 1юложптелы юй стс­
ттени. Для 0·1рицатею,11ых cтe11er- 1 cl1 был ·1·акжс
нnедё11 особый знак х, 1<0тор1,1й доfiавю1лся
спрала c1icpxy т< си~волу по1юж1пслыюй стс
nc1111 . Н :шрим.ер, х ~ в обоз11:.~чеп1 1 я.х Диофа1 п:t
fJЫFЛЯДJIT KaJ( д"~ .
Был у Днофаптз и энак юш нсизnестного n
нупевой стс 11 сни - М, в котор1.1й вошли 11срвыс
две букны l'рсчсского слова •· 1\юнаr » - <-l'/\11-
Средние векJ и Возрождение
д!1h
EU~
lllll l'1». JJ.1 1 otj1~111т нс OTOЖ/\CC'l ' BJIНJI t:J'O с: Ч11СЛОМ
1. Поско.1 11>1<.у в •· Лрифl\11.'Тt1Кt ·• нет сnе1н 1 ат.1-11.1х
:m:1 ко1i ;ин июже111 rя 1r умr юже1111.fl, оче 11 t> к1жеп
11орядок 3:.i1111cr1 стсnе1111 неи:шестrю 1«) и 1<оэф­
qнщ11е1 1·1~1: :1j энаком степени вссmа следовал
ко::>ффтщне11т, так что с11м1юл М выполнял ещё
и з 11 1коrаздел11тслыrуто ф~.1шциrо.
л вот дш1 uщ.:р:щш1 нычнтаmнr Д11офа11т
ВВёЛ 311:11< lfl. В f1C:ЗyЛbT;l'l'C Jl(HIHllЛ~I Cb BOЗVlOЖ-
1-IOL"l '/ , .)~IПI ICl1I нать [):l:ЗJ ll IЧHЪIC l\1Jl()Г{)ЧJ1Cflbl • cнa­
Ч:lJJ 3 11cpcЧllCJ IHJ11fCf, f-ICl' IIOЛOЖITTCЛl1llЫC члены ,
а после :-111ак:.1 lfl - все отrн1tа·1 ·елыrые.
Исrюm1:1уя Аместп этша ра 11еrк111а первые
щ1е (Jуквы c.iю 1ia юос; (<· нСОС·• «р:шныir» >,Д1ю ­
фаr1т заг,шсыnал r1 }1)аnнешш. Напрнмер, урав -
11е1rисх'= !.
-
х n з::шиси J~иофа 1rта ш.rглщ..tсло
бы так;
к~ сшJМ~l l\ ф
(буквам а. 11~н1·rсчсскоi1 алфав11т1-ю~'1 11умсrх1 -
цш1 отвсч:1т1 знач1.:ш 1 я 1 тr 2).
llocлe з ака·1 ·а ar 1т11ч 1,ю~'1 матс:-.1зтr 11<11 1~с;нтр
:111ш 1нй nеремсст1111сн на Востпк. 3дсс1" благо­
!l,арн тryJ1.a ~11 арабсютх учёш,rх, алсебра nьщею1-
лас1, в сампстоятелытуто об;~асп, матем~1 т111ш.
На арабском Воспже впервые стал11 1ют,зо­
ваться десятнчпоi1 поз1·щ1юшюЛ с11с:тс,чой
счн.с1!сtшя . занмстnоnа11нuй нз Н1щш1. tta араб­
сю 1f-r }131,1 к былн 11ерсвсдс1-11.1 мно1 ·11<:: 1'реч.ссю IL'
11 r1нднйсн:J1с: ·1·срм11ны , но от бу.кксн11ыл обо­
~{11а Ч<:HHJJ l ICI IЗRCCTI 111.!Л матем:tТI fl:(] 1(Уl 'Ка :Jалнсь
11 11а3ыкаш1 1\Х СЛОRЗМI\ . H:-tЩllil\\t:\l . aJ11>-Xupc:>-
l\1H все 1\СЛНЧJ lllbl. с KfYl'OpЫ.\tJ 1 l'M~ 1Гj)l ·IXOJ\ШIOCl1
н мс1ъ J\t":JI(). 1х1з 1 1ет 1л на тр 1 r ви/~:а: 11е1 1 :тсс1 -
rюе - «джп:~р·~ ( «1юрен1»>) пли « ШaiI ·> ( <· вещь» );
квадрат неи:шсстного - " '"1зл» («вмущеrтпо" );
с1юбодпыi 1 члеп - "дархе.ч» ( <- серебряная мо­
J 1 е-1·а»). Позже Абу Kaмll.'l J1:i:m:iл третью степень
<- 1с:~'б" (<-куб·>).
Отк:~зш3шис1,от аш·сбра11чсско1·1 снмвош1ю1,
арабские ~1а 'ге,\11а ·1·11 ю1 сдслал11 ur;iг 11:r~ад 110
Cf1:1Rllt:HH/O с rpt:Чl'CIOIMlf учёнЫ,\1111 .
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА
МАТЕМАТИКОВ
СРЕЛНЕВЕКОВОй ЕВРОПЫ
С дост1DКе1шлм 1 r ~1рабсrюй алгебры свроnсй­
сю1х уl1ёных гюзнаком1111 Лсон;1рдо Пrrз:111-
ск 111~1 !\суд11н11т<:=11ын; , что оснuнные ·1·срм11ны
85


~
&"®
История мLtтематики
Sб
t ювоrо ип.:тсства бшrи пеrеnсдены с арабско -
1·0 языка. Но при персrюде 11а итальянсю 11:r гю­
лучал11сь слова. Ш\LПIJ1 ;tющиеся на одну и 1у же
букву: COS:l ( ~ ВСЩI»> ), сспsо (<'ИМУЩСL"ГВО~) п CllbO
(«куб"). Внднмо, поэтuм у 11·1·;.и1ы1н<.:кие алгсбра-
11<.:ть1 uбu:>на чали сте11е1111 11 е11 зке<.:тнu1 ·о д1:1умя
11ерны м 11 бую\а ми соот1iстс 1 кующего слuна. T;tк.
в нсданно найден1-юм 1'[хtктатс Маэстро )К11т ю
«Во1~росы ~u11·сбрые> ( l 3R4 1.) х - э·r·u со" xL -
се.,.'\: - u.t.,x
1
-
и:•. cli се. (се пsо di сепsо - 1• кнал­
рато- r<валр::1т" ).
Ш колы алгебраистов воз~ ~икали 11е только n
Италии, lJO и в Гер ."'1ашrn . Ита.rтыmское слово
cosa (nроизноопся «коза·') :щссь преnрат ююс 1,
в Со~ ( «косе») , п потому нсмецю-rх алгсбраистоn
назьш,tЛI! <-КОСС ИСТ~МИ». а RRсдекныс Н.МН 060-
:щ ач с 11 ия - «косснч сскн.\ш•. l l t:p1:1ым в Гер ма­
нн11 J1t.·кцин по <tlll'c()pc ст<~л ч итатh урожс11е1 ~
Чехии Ян Вндма 1 1 (Н6()-11ач:ию XYJ R.) . В с1 о
учебнике <·Быстрый и кр.~си11ый счё·1 r~ля 1кс 1 ·0
купечества» ( 1489 r.) nперnые пш1111 111нс1•. 1 11:.~ки
оюже1-шя и выч ита1 rия , которые нсполъзрот ;~о
снх поr: вместо символар (отит. piti - «плюс»)
о п использов ал знак +, J вместо гn (от ит.
шсnо - «мн~rус»)
-
нривычIIыfr -
Наиболее изnестным коссис-rом был Адам
PIIзe ( 1489- 15'59) В сноё м) чсбннке ~со ~*, так
11 нс нап еч<~ташюм, Рt 1 зе nоместш1 болhwую
таблш~у косси чесю1л обоз начений , которы е
впослсдст1ш11 11 с11ользоuал Л. Ф. Магн111~ю1(1 в
п<:>р воri росс11йской <•Арнф метикс:» (1703 г.).
J
1
Стр:~н 1щы •Ар11 ф~1ети к11 . /\. Ф маrниuкого l 70J г.
Лла"' Рюе Гр,1вюрJ 11а дl':J<' fl~" ыноRо 01.:р~шенная 15j0 г
Нсмсuю1 е ;:~лгебр:шсты того npcJ\1c11и стре­
мились со1<ратнть ч1к;ю с нмволов и nnссти
едшюобр аз1 rыс обозпаче ш1я Большую роль в
этом сыr·μала кII11ra J\1лхсля 11lт1 н.рс:1ш ч flол ная
аrифмt:ТI IKa -> ( 154-1 1'.) .
Изоб рет~11 11с к11 .11сопсчатани}1 окззшш 01 -
ромrюt" пл 11янис на нею снрстейскую культу­
ру, 11 п частнос.тr1 на разв 11 т1tе математики.
f'укоr111<.ны>1
3К\t'\о\П/\11р
учС'61111Кд
А Р111е •Со~'


В •111слс 11ср1:1ых опубтжонаш 1ы х матем:1т11qс­
ск11:х соч11нсн нli бьта •Сумма :шашл"r п о ар 1 1ф­
~1tтнкс, геометрии, 0· 1·ношСНl'ШМ и пропор1 \И­
<>на1 1hнос1·11 <> J!ук11 r1ачолr1, 11 <:1·0 обоз1-1аqе1111я
ГЮЛ)'Чили 1ш1рокос рас11рос1· раш~1111с. Ою 1 ако
fiылн 1rc оче11 11 удоб11 ы , н потому N1атем:пи ю r
П[Ю/Г.Шlжали rтп<2т1, более простую снсте м у
()(iQ;Щ:lЧёШ I Й.
Фр:11щуз бз1<.1.11~шр м<::диt~иr1ы Нт1кола Шюке
U - ОI\ОЛО J ')()() 1·.) предложил собстnенпы ii
вар11;1нт: пока :iатсль степени он 11ис:-1л мелкrr~
шр11фтuм ок:р~у 11 справа от коэффтщиснта.
Напр11мер, l 2x н :5а 1 1ио1 Шюке выглядело ка к
12 1. Кроме ·m1·0, Ulю ке смс1ю ннё11 н с1:1ою с11м­
кuлик-у нс толt>КО 11 у11е1юй (/ \JНI с нu бuд ных
~!JICl lOH }1ХШН<.:Н11Й). НО 11. OTpИ l\:}'J'CJIЫ lЬIЙ I IOKa-
o
8\ -1
6)
-
:~атслъ. оыраже1111е ..'С
·7Х
= ') ">.'\: - рн 11::юора-
-
8~
71 111
••
-62
зш1оытак:" . по~пюжстнюс на
,д:~е·1 ,J »,
Ту же идею иснользовал в xv1 в. италr»щец
Раффаэлс Бомбеллн н с1.юей ,A.rJгeбrt". Нсизnс ­
спюе 011 об<ннаtfал спсннальным с11МJюлом 1.
а его стсш.:ни - символаыи 1, , j_ , ." Обозначс.::­
н11я 60J\1nt:ЛЛJt ()l\;JЗ:.VIl'I Hj lИJIHl1C ir 11а алгс6р:~ 1 .r­
чсскую сrrмволику ш1дtр1 1 а11;(ско1·u i\1атсмат1 1 к~1
Снмо11<1 сп~в нн а ( 1'i...\8-1620). 011 нс TOJl11KU
ВВёЛ IJОХ()ЖИе OnO~IHaЧt:Hll>I /l,JНI L:ТelJt ll eй ()/\НО­
Г() нсн:-1Rест 1 ю1 ·0 - (D, ф, G), .."но и распрост­
р;1н1rл их па стспе11п нтпро1·0 11е~ 1 знtстноJ·о -
sec. ф, sec. @ , sec. (j), .. "а таюкс трен,ет - 1е1·. ф,
/Ш: ф, /f!1'. (3), ."
ПЕРВОЕ БУКВЕ ННО Е ИСЧИСЛЕНИЕ
Дпя соз1 1анин бук нс 1-1н о 1 '0 псчислсн 1 1.и остана­
Jюс ь с1tе11ал. еди 11ст1~енн1.1 й, но 11рш щ 1 шиал 1,­
но ~юnый 111 аг - t111еС'п1 06о::~н;.~чсн1tя нс тш111кn
;и1я 11еи:шест1 юrо и e1·n сте1 1 е11е1\ 1ю 1-1 д.rш1rapз ­
\te-гron. Это и сделал Фра11су2 Виет в т1х1кrате
• Вnеде11ие в ::шалит11ческос 11скусrтнn,>. (Виет
стрем11лся со:щатъ тюnую науку, которую назы­
вал а11<11111ти ч<.:сю1м искусством. Она должна
была обла;1а· 1ъ строюстью гсо.1\.К"Iрии и оттсра­
ти1ш<х1·ыо iш 1 ·сбры. Перед т:1кой на}1Юй, 1<ак по­
т1 1·а.11 Вист, нt: MOl'Jla бы устон·1ъ нн uдна зад<~ча.)
Сво ~о ноную сим1:1оm 1чt:скую ш 11 ·<.:бру (lugis ti -
ca speciosa) В1 1 ет 11 рот11вогтоставлнл прежней
ащебрс - чнсло1юй (logi~tica 11L1111 ею~а). Учё­
ный с ч1 1 таJ1, что только псрnая - ;по аJ11 •ебра в
собсrвсшюм смысле, т~ 1< как по:пюляет 0 1 1ер11-
ровать с цслымн кпассами вещей. llторая же есть
арифмtти.ка, о п ср11рующая просю числамн.
Средние века и Возрождение
Прежде че.'11 рассУ..ззьшзт1, ч11тателю об арпф­
М<.."п1чссю 1 х дсйстсш~х с классамн, Виет 13 пол­
ном соответс.:тв11и с rсометр:ичсской а.r1п;бро-И
,r1 рсвних rреков разделил щ.:с возможные всшr­
чнг1ы 1сш ступснн. 1\ 1rep1юlr сту11е 1 ш 0 11 0·1·н('с
«71,JПIНЫ\ ИЛИ ВеJШ4 1111Ы О/\Н ОГО ll :iMC[)l:H llЯ , K0-
'1'0p11le можно сю1ад ы1:1лъ н выч.ит~тn - 11з болh-
11161 ме11 1. шую. Й реiуmп·атс ЭTllX /ЩУХ OПCpa l \llJI
получится Re.r111ч1 111 a '1·0 11 же: ступе1ш. По ecm1
11ереы 1южити две Rcшrqи1Jы 11 ерuой ступснп, то
рсзул 1,татом будет уже ~площадr>" - ве11и•11ша
второf1 стуnсшr, или nеличнна двух 11змсрст ш й.
Следую щей ступенью , ес1·ественпо, были
юбъём ы ~. Н отли чие от греческих ма- 1·ематнкоn
в~н~т 11(.' щ:та н он н лс н 1-1:.1 первых тrёх сту 11 с нн.х,
а по111ёл 1-1;u1h1L1e - JJX у нс1·0 бесконечн о м11ого.
Вэ'1'Ом исч11слсн11и нажсн 11ршп..1,11л одноро1 1но­
стн: МОЖ IТО СКJ13ДЫtl3 '!Ъ ll nычнтатт. ЛИl lJ l1 Вt.11\1-
ЧИШ1l 0[\ПОй ступ е нн. llp11 у1ЧI ЮЖС llНТ1 Be.llllЧJН IЫ
ступеш 1 /1 на nс:тпчи11у сту11ени т получ~пся
nсличиrrа ступеrш 11 + т. Раз,r~ет 1·1ъ же их ~юж-
110, толы<о если 11 > т. Результ:.~т такого де1!ств 1 rя
бу11е1· 11р инадлtжать егупснн п - т.
:1ате м Вист обозначш1 все нст1ч 1-1ны буква­
ми алфаннт:J. Поскольку величи н ы быв~1 ют 1:1з­
нсстным11 t1 н е 11:;Неl"1 ·1-11.1м11 , то ДJJЯ обозн ачсн~н1
11tрвых он кыбрш1 сш ·ласю.t(' В. С, О. .." а ;1,.1н1
вторых - гласные А. Е, 1, .. (Сегодня м1,1 060~-~на­
час:v1 11 арзме-1ры задачJJ, как праншю, 11 ервым11
буквами л~тинскоrо алфа1~ 1-па а, fJ, с, .." а 1rе11:1 -
nестные - буквами иэ ко1-щз алфаnита
-
x ,y, z.)
IN ARTEM ANALYT TCEM
t)лfi()(,,_
'Dc Dtjmtmt &'r ullf#/llfXrA•d.Jfit.rJ <;- "''l'f'-'"'',.."
Zщ,Jt04,
tл1'v~ 1.
П•!rRilЯ пr;~н1шi1
гр.~кг.н а Ф. Ви~ 1 а
• Beo;,лt'1t>1t·
1'1 dl·t алнп1че<..кое
ИL"-YLL llIO ". lур11н
15!)1 г.
87


,Аiъ.
a'Jl{!J
История математики
НАУЧНЫЙ ВЫЗОВ ВАН 1-'ОМЕНА
С имен~м Франсуа Виета cвs1зJ1-t0 1-1есколько замеча­
тельны х истоμий. Вот одна и.з н~1х .
Оы1аЖАы в ноябре 15q4 г. при дворе Генрю"а IV
нидерландский посланник рассказал об изееснюй
задаче з 11аме нитого матемап1ка Адрисна ван Ромена
(1561-1 Ы SJ. Это был вызов математикам всего
мира. Речь шла о решении уравнс11ия 4 5-й сте пени
45х- 379')х1 +9534х~ - ". -
12300x3q + 945х• 1 -
-
45х41
+X
4
s =а,
В спиLке тех, кому слеловало направить его науч ­
н ый вызов, ван Ромен не указал 11и ол1ю го франuуза,
и посланник заметил, что , по -видимому, во Фра1шии
нет математиков. «Но ПО4ему же? - во .~ра:.ил ко­
роль. - У меня есть математик, и весьма выдаюший­
ся ». И он посла л за Виетом.
Тепе рь В1rет смог залис ын атъ ур:~нненин
нс тпл1око с кш1кретными ч11слш1ым н ~т:.~ченн ­
ям11 , но и с параметрам11, ·1 . с::. 1~с::лыс KJJaccы :~а­
лач, К<1ТОрые МОЖНО рс 111 ап, С IЮМ()ЩЫО ОД НОГО
правила, не забынаи , 1.:оне<пю, о гrрt11щи11е сщ­
нородности. Например, уравнение.\} + 5Вх = D
у 1:)11ета uы1лядсло бы так:
А c:ubus + В р!апо 3 in А aequшi 1J solido.
З.п,ес 1о А cubus означает третыо степень нси з ­
всстно1'0 А , В plano - <18 плоское», D solido -
«ТСЛО 0 1>.
Но что особе~ ню нажно, помимо ураю 1с1 rий
те J1 ер1, можно 6 1ошо :iа11исы1~а1ъ 11 формулы.
Один коренt, Вист н ашёл сразу же, а на слелую­
шее утро представил ешё 22 решения уравне11ия. Как
же ему удалось Lделать это так быстро?
Лело в том, что, занимаясь разложен~1емsin пх в
cos пх по степеням siп х и cos х, Виетустанов11л связь
некоторых алгебраических урае 1-1е 11 ий и задачи о
дслt:нии угла на ранные части. Он увидел, что прел­
лuженное з нач еж1е параметра а является сторо1юй
вписанно го в круг правильного 15 -угольника , т. е.
хордой, стягиваюшей дуrу е 24° . Коэффиuиенты nри
х45, x•J, .", х показывали, что речь идёт о делени 11
это го угла на 45 равных частей, зн ач ит, одно из реше­
ний преАЛо женнu го ураsнения
2
.
240 2.40
SIП- -
=SIП-.
2. 45
15
Остальны е п оложителы1ые решения будут иметь в~tд
2~in(120+п.360oJ· п = 1, 2, ""22.
45
Ешё 22 решения - отриuателы1ые, и, по традиL111и
то1 о времени , Виет их не У4ИТЬ18ал.
Ответ Виета был оскоре опубликован и при11ес
учёному мировую славу.
Bt:J(ь математ.иче<.:кш: форМ}'J 1ы - это нс толr.,­
ко сокр:.~щённан З:\JШСЬ теоr<:м . Гл:~ннuс :{aIOllO·
чается н том, что н:1;~ формулами М( )ЖН О 11ро-
1 1.з11одmъ (тер:~ ц1 ш 111юл учат~, ноАыl' lj юr 1v1>·, tы
и rопттю111е11ни . T:i ю 1м пбра:юм , n}·кnенн оl' Lrc-
ч11cлcrrн c тто з1юляет :'lамс1-тт1, ча с·rъ рассуждс-
1шй меха1нтч еским11 о пера11.11ям11 ( 1 11.1 ю1~щ­
ю1ми) . Как говор11л Лейбшщ, о по " Р::t з 1гуж<1 ет
воображе1 ше".
Сейчас нам трудн о 11редсташтть м;пе мат11-
ку без формуд, но 11ме1 11ю тако11 он:~ бьшt1 до
811 ета . I Iоследн11й (,штрих» з.п,есr, доба1шл уже n
Х\ТП в. Реве Дск~1рт к скосй <·Геомстр11н» - 011
отк:~зался от принц~rлэ сщнороююст11 .


НОВОЕ ВРЕМЯ
~
81~
СТАНОВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Со врсмёв <нrтичr-Ю(ТИ учёные пыт:шись н.ай­
ш методы ]{Ь1чис.11снш1 площадей кр11волн­
не11ных фн1-ур 11об·~,ёмо1{ тел враще11ш1 К КОIТ­
цу XVI 11. к ЭTllM З~IД:JЧ<1М l(Oб:ll:!И!LПCJ> l-IOBhl.C
-
110с1тюсн1 1с касзтслъных к кр1шым, разложс­
t1ие фуt1ю\11й н rнщы 11С();щани~ 1юrар 11фмон"
Замечателы ю то, что, несмотря 11а раз11006ра­
з11 е з:щач и 1юноввсr~е1111!1, все ошr оказзт 1сь
•1 резвыч:~йrю тесно сnяз:111ы меж11у собой.
АНМИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Одно 11 :~ к~1ж.нейш их дщ"1·ижент-:-1 1-lоного щх·­
\1ени - co:~f\:11-IИ.t:: ::1щv1ити.4еской 1 ·сомстрии.
С1ю 11м рожден1-1t:м OHJ. обяз:.1н;1 дRум круп 1 Jс й-
11111м фр;11-щуэсю 1м математ11ка.'vl XVТI в. - n 1)е­
ру Феrм<1 (160 l -1665) и Рс:11е Декарту (l '596-
165U). О ни леэаrшс им о друт от друг:1 н
одновреысшю начали разрабатывать ос1юt1ы
это!'i новой матема11-1чес/\ой дисщюю111ы.
В 1656 r Ферма налпсал <:татыо <-Dneдcmн~
в изуч<..·нщ· пл оских и ·1 ·tлесных l\fCCT». Говоря
о "тюо:их. и. телесных местах", 011 исходнn И:-$
античной классифик:щнн криnых , которыt'
л одразделяю1сt> на шюскне (лрямыс 11 окруж-
1юст11), тслс::с rrыс (эллипсы. пщх16олы 11 ги1н::р-
6олы) и 111л 1сй11ы с {кр1шыс, определяемые ки­
н емат11ч сс. ю1). Ферма :1.ал 1·е()месрr1чt:ское
1тре1(стаnлс11ие нх1т 1еrшя с !(Н)'МН переме1111ы ­
ми с JIOMOПJ,ЫO I<ОСО~ТОЛЫ!ЫХ rюорд1111::~·1" ()rr
Щ)()Из1ю11ыrо nыбирал начало 1<0ор,'\ш1ат и
проIЮ/\Ил от 11cro ось ::~бсцнсс Ордип:па, 11:~­
к1юпённатт 11(),11, некоторым факс11роuа1tr1ым уг­
лом, ОДlШ.М CBOJIM КОНЛ,ОМ CJ(0ffi>31IJLa 110 OCJ1
абсцисс, в то нрем.н как 1пороf1 t:ё конt:ц 0 11и­
сын;ш с1м~ кривую. Т~ншм обр::~ :.юм Ферма rю­
каза;~, что крн11·м1, котора}1 '>:!/~а\:то1 кu:-~др<~.т­
ньrм уран~ 1 е 1111 ем . ~C'J'f) KOl-JJ1Ч<.:l'KOC <..'СЧ~ НI Н.' -
эюшпс. па р<1бола ил.и гипербола . Сущсст11<.:н-
11ым r1 едостатком с:го под'\О,rJ.:.1 было то, что 011,
как н Ф. 13нет, продолжал прндерживатьсн
античного правилз ОJщ.ороююстн. Т~ш. антич­
ная N1aтeNraнrкa уста11:J вливала соответствие
между операцией сложtrшя н он<Ладъша 1rнсм
0·1рсзков - сл~1 гае.'>1ых ндоm, прямой лшнш.
89


А-=-.
&1i]J
Истор1-1 я математи1<и
Итак, желая решить какую-нибудь задачу, следует
сперва её рассматривать решенной и да гь назва­
ния всем ли11иям, которые представляются необ­
ходимыми лля ее решения, притом 1-~еиз1:1естным так
же, как известным. Затем, не проводя различия
меЖАу этими известными и неи'lвестны'Аи л11ния­
ми, нуж110 обозреть труыюсть, следуя тому поряд­
ку, который показывает наиболее естественным
образом, как они tваимно зависят друг от друга,
до тех пор, пока не будет найдено средство выра­
"lить од11у и ту же величи~1у двояким образом: :но
то, что н азывается уравнением, ибо члены, полу­
ченные одним из этих способов, равны членам, по­
лученным другим_
GГ.ОМГ:ТRrА.
il
R[1'Л1·О DГ~СЛ1~ТrS
Лnno 16J7 Galli~~odi"1nunцumn
Сuм Nотн
r ;_оR! M11Nl>J (J[ 'J,J"/fr'N f ,
l•t1oril •t.fi-Jc..,llkш'IJt~,
la ~i...ш.м.m.,&,_ct\Q_
n!sШallrlц
q.r.r ",,.. _, ,, .
111\1'11'11~'>f"11оо11N,
~i....._.. ...,...._....,.i.м..ьu...
~.~-
Lw••·~· а...,•• оа. •••
Е.х OAic1n' 1<> 'N N1 М \ 1ц,
CI~ 13С: Жl.&Х•
<)()
Ренедекарт
'
"' ~U1e1.11·"rюn .i ''- t .I
-<,•
W
"*1nltl\~1um Jc - "• ~
\.'tf1 kи и1р1t111 о:р" ztnrn' ll 1l•nr 11· (" qo.1)•1\
fLi1
•,VQl>ll tkJo1>1 1 t ,, (1)" J)(J nlt1(e( ()-111 . lll ILJ..;I !~-
C.: J &: 1IJ.:11 1tllJl1 nt N
rl) )\ н••"1..
Jt111 t: ,,,a .J11(4,," ~r1
,.,
•11111111t.\ ·e-
1.ir f111·1~ rl.t:IШI ,lcr." k
J
''' ~(1 111
d:Lmcti:J'( u ~Li'-'f-... $. ~
н11,,
JmC'жD-\ .
. i-r
r
~"
J\].t/J.1 G L. "
.l ft.t'C1•1t1L с , ,.
., -fi
Титульны11 ЛИ(Т и с тr~ниuа
•1 ~ КНИI И р Лскарт,1
"•11~
, J t;>uщ•1 /')'1R • И3дание 1u4CJ Г
Рис. 1.
ГРnмРтри<tР ( кая
11111 Cf) l lfJCTdU'1Я
vмнnж Рния
110Дt'1o.dp1y
Зл<"с 1, 1RE1 =,,/,
Умноже:ниt:' же 11ре,r~;стаRляли ка1< r юстроенне
прямо} 1·олы1икз со сторонами , р::шными со­
м пожптслкм~, ·1 . е. произnсдспне дuух длил
было uещ1с1m10й другого рода - площадью
« Введентrс» Ферма , дош·ое нрсмя остававше­
еся n р)1<оmки , 11 е нашло ·1
·01 ·0 широкого рас -
1 1ространеющ какое получш1 а « ['сuметри1н Де­
кар·1 а, 11::11~анн ан в 1637 L'. Это nр11ложе11ие к
ф 1 1лософскому тр~1ктату ~Р<1Ссуж11сн 1 1е u мето­
де•> должно было сл~')ю 1 ·1ъ матсмаrлческой ил­
Jtюстра r 1нсй 1::1·0 ,...,1етодолопrческнх 11рн1111и:пов.
На само ,ч дeJJe <- Геометрия» ОТJ(рьи1а ноиую
страш1щ 11 математике и име; 1 а фу1щал1с11таль­
L1Ое значение совершенно пе~аrшсимо O'J' ф11 -
лософш1 Фратщузсюн1 .чатема·rm< 1 т истор ик
науки Миm<:ль Шаль рuннu чr.:рез два столетня
1 1 щ:ле ооубликuнаная ~ гсометр1-ш·> 1111сщ что
представлс:нш1 , н ней р;.~:ш11·1 ые. яш1>1 ютсн «ж~rъ­
.VJH , rюяюн:шшfl НК'>J и.1 свеr 6е:3 vrатср11 ~. 11 :1столь­
ко OH l l JJt: JlOXOЖlf Н~! прс.::ж1пою MЭ 'I CJl.l ::ITHК)'.
Декарт rтреодолt:л 1 1 е;1остэток :н-1ал~1 ·1 11 че­
ской 1·ео:-1е·1р1 111 Ферма . Он 1юr\азал. что если
выбра11а едиюща дшшы, то ncc велпчш1ы вне
заннс11мости от 11х размертюстн (длiшы, nло­
щают, объёмы) ""югут бытъ прс11стаuлены оди­
ш1ковым образом, а LL.\1t'HHO с 1юмо щыо соот­
нстствующсго 0·1
.резка. Тс 11 срь умложен11с11 вес
ост;шьные ариф:-.н: 1· 11ческ11с /(Сl1ствия д~tвamt
ВСJ11,1чнну, ОJ~1Юр(ЩН)'Ю с ИCX()) \I IЬIJVLl l (рис 1).
Поэтому, 11:111рниср, к::~ждому 0·1ре:3ку .'\"и мно­
l'Очлену Р(.х) с ра111ю11:IJ1ы 1ыми кuэфф1·щнен­
· 1·зм11 можно 1 юста111 1ть n соотв~тстnие l\pyrori


отrсзоку = Р(х). Это утнерж,Т\еш н: п составля­
ет ocнvny 1·<.·омс.'ТТ)нн Дс1<щла, ю.У1·орая v.. конце
Х\'Ш н была на::.~вана аншштичf:'l..:Кuй. Интерес­
но. Ч'J'U 'l'OЧllO T;JKOt' Же UПfX~) ~C.JJeH ll<.: J J1 1 1 фMC­
Tl 14t:CК\·1X опсрац11й над u·1-резкам н ~стреч~н.:тся
1:1 J\ ' к1 11 11·t: <·Алr<:бры» Р. Бомбеттп. 1tamt c1 111 юй
JJ 1'1'50 1·. 11ire 11 убл ит юн ал п1 еii си ,110 11:Jчала ХХ '"
К(:тат11. н " Ге.омсrрни" соп,ср~u1ись ~ др~тие
IЮIЮ6ВСДе11ня. Н:~ пример, И.\1СНIЮ Декар·r СТ<IЛ
обпзш1чLт, не 11зnесш ыс тюследнпми буквами
латинс"о1·0 алфавита (х, у. z), а коэффнци­
еlJ'l'Ы - ттсрными ((.t, Ь, с, d".) . 011 т<1кже внёJ1 11ри -
v
1
'
вwчную лам заrшсь с.-1·спе н си. х· , :v и т. д.
ОТКРЫТИЕ ЛОГАРИФМОВ
Пол1..1тю 1 С0П()('1 "<1ВИТЪ МНОЖСС1'13У чисел шща
1О' м 1 южест 1ю соотnетствую щих· пок;~зателей
степенн х мы Ш\ходим 13 XVI в. у немецкого rv1а­
тематиl(а Михсш1 Штнфсля. Важ~юстr, тa_l(oro
1юдхода NJЯ uракп 1 к11 nыч 11слс пий дuст:tточно
1к11а. Есш •111сну r1.·" сuu·11'l<::теп~ует 1юказатеш,
)'
\
1
\"+ 1
х, а ЧllСЛ)' (l - у, ТО прон~ВСДСJJНЮ а· . (,{.
={(
будет отвечать сумм:~ х +у. т. <::. ум1-южсю1с
можно ззменить оюжсние~л. что было да13нсй
\1сч·1nй нссх 11 ы чнс1 111тсJ1е 1·1. Чтобы ef осущt­
стR~п1" трсбовалос1, соста 1111·1· 1 , точ 11 ыс таб­
ли1\ы, n которых содержались бы вес 1tеобхо­
димые дашrые. Этот о r·ромный труд оказался
ло сплам шоттшдско.му мате,,1атику Джону
lleнepy <1') '50 - 1617).
Работа f-l eпepa 1 юд названш:м 1·Опнсаш 1 с
\'ДШШТСJI hНОЙ таб; r HЦhl ло1·ар 1 1фмок• llOH l:!Ш/Ж' I,
н tc1t4 г В L619 1·., у-..кt' после смерти автора,
011уf!лнкона 1 ю <-ТТостrюснне уд11нJ 1 · 1 ·ел 1 ,ной таб-
Лжnн 1tеп ер.
Huuo~ вр~мя
~
~~
р
/~
,_______
'\1'(1нf\'(/[~у~[
CANO=- < IS l'JE~CRIPТTO.
."
l'Ц,-t"<:f•J.'No"f""
.,...,.,_".....
n~bf,~-::;l.t"•/dw d-
A~ x \noQЩWt
l.&r~ A.L"t\'b6'1nt Nt--
"
Apud Ba11h.Vinccn 1 iн111.
.·
Т И 1у111,11 ь11i Л11< 1
ке 11н 11Лж. 1tc.~11Qpa
"' <>nнса1 1 ~1~
улщ 1 щ'f'ЛЬ Н ()I(
la(!Л l-!UЫ
лu1-ариф,юF1•
Издание 1(,20 1
шщы лo1".1pirфi\IOU» , me объясш1Lvrся нршщт1
ло1 ·:~рифмнчсошх табш щ. 11uмt:щfн11ых 1111t:р-
11ой ю1 1 н·е. В N.:Сtс11штt:лыю<.:т11 1пор~щ юш1·а
былз 1-1ап1 1 с1нз ра!l ьше псрtюl! , r1, 1НJ- в11,111мо­
му. у-же к l 59LI r·_
Нспсr 11л~щсл ттр11нц1нюм об­
рз:Ю\"\аншt логарифмо~ (ctv1_ стз:rыо ~.3немt:11-
тарные фу11кц11и н нх свойсгвэ») Ht"зamrc11м()
от Не11ера в 1620 r. ,-~ 11 алогт1ч11ьrе , хо· 1 ·н и ме11ее
сонершс 1 шые таб !шц1.1 ЛОL щ111фмоn оnуб:шко­
шш ТТIDейцарсюп'i мате.м:tтик и астроном Иобсг
Бюр rи в юrпге «Табл11цы ар нфмстичсс1юr'1 н
rеом.етрическоit нрогрес<.:иtt»,
1lc11cp состав;mл табл~ щы мя · 1·р11го 1 ю~н::три­
чесю·L': HЫЧJi('Jl~l-\l 'IЙ, а /(JI}\ дру1· 11 л jl:JCЧt"l 'Oll ШН\
fir.щи неуr~обны Учёный хорошо пони.мал эт(),
и совершс11с.-пюF1:111 не снсгем ы JIOJ ·::~рнфмпв <~га -
1ю R дат,ней шем общt>й заfютuй Пещ·р;1 11 t'ГО
др)Та 01\СфОрL!.СК()ГО нrюфессорз Ге 1 tpH Брщ'(:;J..
В l б24 1'. Брr 1 1У осуществпл заду,1:.1111юе нмr~
улучшение. Оп оnубликовал СJЗОЮ «Лоrарнфмн­
ческую ар 1 tфмет1-tку», в которой содержа1шсь
табл нцы дсснтн:чных логарнфмок
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОШАдЕЙ
R а11п 1 чносп 1 н:ншыс 11 111х рс:~у111.>1 «1тпн о ш,тч.11с-
1 1t11ин площаде 1;-r ра:м1rчп 1 .1 х фпгуr дост11r
Архимед. В Honoe вреr..щ эта :1:1д;1ча, которую
на:1 ывали задачей лУ1аr)ратуры, привлекала
шшма11 ие мuоп 1.л учё 11ьrх. Так, 1 ·1 огаш 1 Кеплер
прн выnоде второго з::~кон:~ двvDксrпrя планет
91


~
ED.l(!j
История ма1 см.:пики
Тн ЕОRЕ МА. III.
Cyl111dri vcroad Par·allelcpipedшn colпnшa1·cre­
ll:a11gulшu xg;al шrn, ciuod Cylindп co1·pus fi:nпg1r
qu:нJraщ fim l)afibus&paraHclls larcri!Jщ, 1·at10efl:ca-
dc111, ciu:i:: сн c 1Jli ad quad.ratu11н:11'cumfcriptu111, l1oc
elreadt:mqнx 11. :id ' 4'·
f(f,. ,.,, ..
/1J.
Vrcniro CD CvHndrica ЬзGнir.
culari• •d ЛВ quad;1нum circom(cri.
ршm, 11~ Cfcorpos Cyllodrl,adЛE
c o rpus paral!clcpJpedi rcfungufi, fсц
c olumnz•
. Afclt: dcSpb:tra& Cylindro .
CyJmdcr сшm & соlшnпа ~que·
ol u!untluc vcluti quxdam plana cor-
pora1a:acc1du111igi1urill1~ cadcmqui
pJan1J,
Вз-
ТНЕ О-
(,тpatH1UJ IH КН11П1 и Кеплер,1 , н,щ,1я C l\'f>l'OMl.' 1 1)1·1~ Bl1Hllbl)(
/10•1<>11 " И1л,111и Р 1(i1 q r
попытался Rыч нслн1ъ nжщ ~;:щ r , эnn 111 1·1· 11 чес 1ю-
1·0 rе1ппра. сю1адывая радиусы-веJ(Торы, как
если t'lы шп r были «отрезка1"Ш», 1-h\1еющнм11 ·1ол ­
щпну. Профессор математшш Боло1 1 rкoro у1 ш­
верснтета, мона,'i: орден а исронимнтоn Бона ­
вентура Юшальер11 (1 '59Н-16'П) в сочшrешш
«Геометрия, изложс1-111::~н 1-юным с1юсобом нр11
помощи неделнмых не 1 1рерь11.шоrо» дал с11стс­
мат1 1 • 1 сскоt' 11з1южс1-п1с: своего 11счнслсн11я бсс­
ко1 1 сч110 м:тых ( 1lод бесконечно малы ."пr в то
В!JС:\1Я IIOHllMaJl l l не1-:ие неJ 1 11ч111 1 ы, l<O'l'Of)Ыt'
Mt:l lbНlt: любоl1 KOHt:ЧJJOJI ВСЛИЧIПIЫ, тю всё же
11е pam rы 11ул ю.) C.omacIJo Кавальерн, любую
плоскую фигуру можпо рассJ1.1атр1 mать r<ar< со­
.вокуш !ОСТЬ параю1 ельных лшшй JIЛИ COBOKyТI­
l IOCTJ, ~<СЛСJЮ13». IIOT<Jpыe 0(."J,ШJUIC'l' JLЮШЯ, пс­
рсдnигаяс1. параллсл1.нu C:.tl\I01'1 себе (рнс. 2)
Аш11ю п :rч1ю д~1t'гся лрещ:тавлсн 1 1с и телах: он 1 1
обра3уются нри двнженни плоскос:те(L 1 lеоют­
ря 11~1 ·1 о что к~ш :шьеrю вшщсл am·cnp:.н гчссю 1-
Рис. 2. l lло 11ыли ф1.1rур J:H(,r 11 AlJC. н ОТНОПIП. Я ~.;1к < ВСе ,,ИН'1'1 >1,
ПfШНJЛЛt>ЖЩIИ<' )ТИМ rj)l1гypdм . Lсм1 RS = NO, Г/-1 = ао
TV =11(.j и r л , тu nлош ,1д11 фигур равны .
Рщ·унnк 11~ ~ ()nО1тnв о G~ К.1FЧ1льt>ри
~н1 мстода\1\11 , свою «Гсомстр11ю 1 1с,Т(еJ111мых ~ он
спз11:пеm.1 ю 11 :шож11л на я3ыкс сню1идовnil
геометр11ческоi 1 ат·еnrы . сч11тан, что такnм
обра:юм до61 шастся бплы 11cr'1 строгое~ 11 И:~-1~
этого 01·р~111нчения 011 получил кnадра~1)ы сте·
псшюl! фупrщлн у= .\'
11
(т. е . шющад11 под
~·рафиком кривой) только для 11 = 1 11 11 == 2.
11оскш11,ку ужt: 11μ11 n = 2 t:му ЩJИXUДIJЛ()L h
П()ЛЬЭ(.Ш<IТЫ:~1 npeд<."l 'ttH; J(.:Hl1CM u трСх.\1ерных
н.:лах . Е 1'0 др)'I 11) чсннк Эна1щжсл1н:та Торр11 -
челm1 ( 1(10R - I () 17) Bl>IЧIIOlllЛ в 1() 1: 1 1' ТIО ж­
Т(Щу KaRaлi,ep11 ofJ·1.ё ,\1 ·1ем1, 1ю1 1уч:зющt'1 ос~
вращсппс:\-1 рат юrторп1111еi1 1·1>111epfJoJJ1,1 :\у = сг
вокруг осп (~)"
Метод Каu~шьер11 раэш1л аш т 1Лсю 1й ;\·1атема­
тик, профсс-сор Оксфорi~ского у11 1 шерситс:т:1
Джон Вал.1111с (1616-1 70 .7>). OLI псрсвёл rpo-
M<XIJ\IOJ<: l'(.'UMCTJJHЧl'CIOI(.' I IOC'l 'pOCHl l }J н:\ ШЫК
ар11ф.-.1С1 НЮ! В <ч\рнфМt:Тl l КС nt'C:KOH<.'ЧHOПJ•
( 10'5 '5 1'.) B~IJIЛllC НЫЧНСЛllЛ ШЮЩа/~Ь 1ю: 1 гр,1ф11·
ком пока~5<1Тt'Л r.г-юй фуню 1н 11 у = х
11
нс тот.1ю
llJIЯ 1 rат)ра.111.r1ых р. 1 ю таюке ;111я 1ю1 1 ожитt~'IU ­
ных и отр1щатслы1ых ра1~1ю11алы1ых 1юr<з:1:не­
лей. Рассматривая шющадь кр)та е111ш11ч1юrо
pa,1\lfyca, четнёрт;:щ час-11.> 1ю1орой па юыке со ·
врсмстюй матсматию1 Dыр:~жаетсн ю 1тегра110'1
1
f''
1t
\1-.'У' (/_\' =4'
(1
Валю н." получт1 прс,ГJ,ст:1влсн11с ч1 ICJl<I .:.J /тт в вrще
бс::ско11еч1 ю1 о 11ро11 .тс11с:1111я .
-1 -~3·5·"17799
-
-
тт !.4-Н-1(>НH-LO
Иным путё.С\1 шш1 фршщу-зсюrс матемапrк11
Фсрм;1, н,шр11.\1ер, находил площадь фттры
11сщ крнноi'1 . н1111L'ы.в:1н в неё такие nrямо1тол1~·
111 1 ю1, шющал11 KO'lupыx ссктавшuш бссконсч·
ну 1и убыи~1 1tнцун> 1·еомtтр11чс::скую 11рu1·ресе11 ю
Посколы;у сrтособ вычпсл<:нин суммы ::нoi'I
1 1ро1 ресс1111 ()1,1л уже нзнесн::11, pt:1L1eн11c :3:щачн
CR();\IOIOCl1 1{ IIOl!Ct.:~ llОДХОДНЩеl'() ():IЭtlJГt'Hll>l.
Nkтол 1ша11ра11т> и::1учал н 11ру1·ой э11аче1ш­
·1 ый фра1щу1скиf1 иа·гематr.ш и фп::1ик - Блез
Паскат. ( 162'-i - 16С)2) 13 работе 16'59 г 011
выскаэ:ш сообrажсвис, что прн nычrrсле11 1 ш
rию111:111е11 о;~ни бесконечно .\1;шы<.' могут заме·
llЯТЬСЯ ;1руг11 \111, 11 Ч:JCTH<JC'l'l'I , малую /J,)'l 'Y крн­
иой 01i сч1 rтал рашю1-1 малому отрезку касатель­
ной. Тру/ \ П:~скаля ока:ц.11 ocofioc нm1я1111е на
ЛеГ1(} 1 11ща, 1«поры~'1 прочёл с1·0 н IC)7~ '"


РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКUИЙ В РЯЛЬI
:3:щ:.tч:.t о нычисленш 1 площадс~-1 ою.1~~аш1с1. тс:-с-
1ю свюанш нl с разложенrJем функцнй 1:1 ряды.
Так, У11лы1f..1 брс')ункер ( 1620-lbl:Ч) , nервы(r
1 1 pe:m;(c 1 1т Ло 11донско1·0 королевского nбт.ест­
ва. 011 рсл1::11ял 1.11ю11 tад 1, 1юл г иt1 ербшн )lt <l) :J к·1 11 -
чесю1 как пpeдt"JJ 111ш са11 нr,1х прямоутопы·1111шв,
а т:щже К<Н• nре;1ел вписа нны х треутолnr1иков.
Дая 11epB()I'() случан ()Н Ш))I)iЧИЛ. ЧТ()
1
.
1
1
1
S= 112 =-- +-
-
+--+ .
.,
l-2
.1
4с;6
г:1е.) - искомая mющадь. Броункер н~ёл эту
фор1\1улу нс позднее Jб'i7 1·.. но опублт1конал сё
ТОЛЫ<О в 1668 1' . 3/tCCh егп oпept?JЩJI 11таЛhЯН­
СКl lЙ м~псмзт1rк Пhетро МенJ'о11и ( 1625- 1686),
кuторы1'1 11рнвёл этот ря/t в « fl:1чaл:Jx 11и;101юй
1·eoмe1'/)l'!l 1 » ( 1659 г.). В 1668 г. 11 еме 11ю 1~'r м:lтс­
матик Н111юлаус Кауфмз 11 (около 16 20 - l blP),
р:~ботаuшп!I тогда n Ло11,11011е 11 более нзвест-
11ыi1 под m1Т1ши3ироnа1шым 11ме11ем Меркатор.
шmечатал n с1юсй книге ~11огарифмотех1п1ка·>
ра:тожс1 те
х~ х' х-1
Jл(l+x) =х --+ 2 --+ . _ ('")
2;)
-t
для :ш;Jчс1111i1 х == 0. J н 0,2. При х= 1 ;~:н1ны1'1
j11Ц CUl3ПЩ~:lt:T С j)<LЗЛOЖl'J IИС,\.1 o p OyJ IKCp<t -
нt:()f1хо;(11мп , 111111ь пр1111t:ст11 к обще:-1 ~· эпамс-
11ат<:то стоящ11е в 1 1ём разнос·~ lJ.
Новоf' время
Эти дО<."rижс11 1 ш ш,1знат 1 шпрою1\1 отюш1' к
среде ан1 ·;ш1kк1JХ ~1а1'1.:мат11ков. Ват111с , н част­
ност11 , 3aмeTH.i l. Ч'!'() CXOJ~ll MOCIЪ рщ~а (*) 11:1ру­
ш:1стся, сс1111 .У > 1, 11 11ашёл р:!эложt:m 1 с ll рнд
д11и функцю r
1
111
1-.У .
Далы1ейпн1 й JJ\)OL' pecc 11 этом 11 a npauлcш1J1
сuлза1 1 с именем замечатслыю1·0 шотланнско­
го математика 11 астро1-10.м:1 /])I«.:ймса Гре1·uрн
(16.)8-16/)). В 1667 1' . 0 111-!<IJl/ I C:!JI [)аботу ()
кна;цхпурс кр у 1·а и 1н111.:рбш1ы , н 1\отороС1 щ;-
1юль:юнал 1'5<.;ско н сч 11 ыс схолн 11111сся рялы. Грс-
1·ори едва 1111 нt: псрuым устаJ 101l1 1J1 чё·1·кuе
pa:3JIHЧlle м<.:жду СХUД}IЩ l/ ,Ч/101 тr р:tСХО/\Я ЩJJ ­
мися ряд<1м11. В т~ругом своём труде. «У11ивеr­
сальн зя 1 ·еомет р11я ". 01 1 прннёл гн1/t пра1.шл
выч 1клсн1ш ллощмей под. r<р11вым11 н об·.ьё:мов
тел. обр:.~зуюпщхся !!р1 1 .вращсшш данных
I< р ивых. Рс:1ульта·1 ъ1 , ттолучс.ю1ы<.: Гр<.:1 ·ор11 , ос-
1·авал 1к1, Ht:JI3HeCJ'J-IЫMJJ HI IJ10'1'1, ДО J9 39 1'. , ко 1 ·;~:1
1111ерныс 6ыт1 о п убm1кованы е 1 ·0 п1 1t· п~1а 11
руко1111с11. Ок;.~залuсь. что ~rчQны r~1 щх~ю.юсх 11-
тш1 мн<>1'11 е открыт1 1 я в теоr1111 ч11сел 1r кана­
т1:i<.:. ТI:.inp11111ep, 011 .н 1 : 1л o\11 r\ <.:e р :1зложt:>1 111 с
днучJfен;1 ( 1 + .\:)
111
,а·1
·:1кже р:1 эло же111 re, к< rmp< ><:
1ю:1,ri;1-1et: стало 11 .тес' п 10 как fЩд Teirлopa (с~1.
статью •·Сте11е11r1ые ряд1м). н ч~1 ст1юсти рн,т~;ы
для та1rге11са, cer<at 1c:J 11 аркт;u 11·снсt.
ЗАдАЧА О ПРОВЕЛЕНИИ
КАСАТЕЛЬНОЙ К КРИВОЙ
Ro 1п·ороr'1 ч<."гнерт11 Х\ТТJ 1~. 11p11tтa111,11f;e н1-111-
маr 11 rc N1:псм:п11 кон 11ач:т:.1 п р1 t11ж:к:1т1, :~a/\:.t ча
о 11рuвсдс1 111и ка спслы 11.1 х..
О11т11ч~ск11е 1 1соrе;1ов:11 r1 1>i /l,Lf\apт:1 11р11 ве1111
его ктакоir nроGлемс: рассч1rтат1, форму J1 111пы
с да1 111ым фоК\пrым р<~сс:тт111ием . i\1J атематн­
ческ11 это требоrшше эюншале1111ю обр:пrюi1
Jад:~ чс nocтpoerrrrя касатслыrо lr - 11ахождеrп1rо
кrmюй, нормаль к которо l1 обладает 11<.:кото­
ры1.r зщ.рнны.ч сво~'н..т1юы (нсно. что норl\tаль
11 кaC:tTC:JIЫI ШJ в:~аим1ю oлpc;(L'.IOI IOTJIPYl'/ ( iJ~T:I).
ff.eк:1p·1· рсш11.1 1 ::~а1 1ач~ о m 111 :к·, а т~Н<"~С прс:;1л о­
:ж1rл пбщ1 1 П мс-m;\ 1юстрос нш1 нор ."1 :ше i1 ( 11 ка­
с~т..:; 11,11ых) к крнным. 011 быJJ )'rrpoщ<:11 r-111;~ер­
лаJ1дским м<1 ·1·е.чап 1 ко"" 11ог:н11юм ГyJ tN· 11 в
э·1 о."1ycrн1cp 1 J1e 1 1ст~ю1щ1 нюм вл;tе оrтубт11Юн:!11
11 иалашш « Гсометрнн·• Де1<,1рт:t 16'59 1·. Кл ш· а


дf!ь_
EUJ(!J
История мат~мJ.1 ню1
11ы1111 1 а н ;1атинскuм 11срс1юдс с коммсt 1 та рня­
"'11 ;1руtп1 о н~щсрлан;1скоr·о учё 1 ю1 ·с1 - Франса
нэ н Схотt.:на .
М1.:·1·щ~ Де1<аrта годился только л.ля <1л~"ебр::~и ­
чес ю1х (с1м Д1.:к:1р'J' 11а:1ынал 11.л 1 ·еометрически­
м11) r<p11nt.LX .
·1 . е. д;1н 1<р1111ых. ураnнепиямн
которых яu;rяются ~uюгочлены ко1 1 ечrюЛ сте­
пе~ ш. l lo существуют и неалrебраrтчесютс кри ­
вые, FJапрпмер цикло1ща - траскторня. кото­
рую пр11 вращет 1ни 1.:олсса описыв: 1 ет точк:1 ,
находящащ:я 11 а его ободt'. Профессор Пар11:.к­
ско1 ·0 кор011 свск01·0 кuллсжа Ж1111ь Роfiерваль
( l (')()2-1б75) ра~р',161>тал11ру1 ·с.нl мстол. рассмат­
р1 IR:J Я кр 11 ну10 юж траекн1р11ю /\ННЖСI Lll Я 'IОЧJ(И.
Еп~ё Га11илей , 1.J :~уч:о~я дннже11не с11аряла ,
бро 111 е1r1ю1 ·0 rorнr :н>r-1тал ы ю, /(О 1«1.1 ал, что
м1·1 юветтая скоросп, ч :кпщы пбусловлена её
учас ти ем u Jtli)'X ие::~аткимых двнжениях -
раnномсрном движении по горизонт;ши и
раnIТО)'СТ(Орешюм cepTПKdJТLIIOM падt:ШШ ILOД
действием сш1ы тяжсстн. И ссл11дш 1женне точ­
ю1 t:l'Tb рtзультат СЛОЖСI uш двух ДНИЖСНJ 1(1, тu
касатслы-1ш1 рас11ола1 ·аtтсн по напr:шлс111110
су.-.1 ,-.1 ;1р1юi1 скu1хкт1 1 (р 1 1с..)).Именно этn co-
nnpaжc1111e llCПOЛbЗOH;UJI I Н 0/1,1-Ю 11 ТО Жt: UJIC'MH,
н J 6-1 -1 1·" Тnрричслли 11 Роберuаль. Тпррт 1ч ел ­
: 111 11пстрптт кас1тtm .1 1ую 1< 11 apafioлc, а Р()бер-
()
J'
Рис. З. Провt>ден11е
кa( JTeЛt>HOll к Пс1рi100Л(',
коюр м1 яuл1-1 е rся
1f)cl t't\ l ()l)lt(:•й IPЛcl,
ljpoш('tlHClГO гор11 HIHlil.'\11111}
с,орость в точке л1
с кмлываt>тся 1н скорост11
p~l!HOM! :j>IIO I О д1J11Жt'111 1Я !Ю
1 1>р11 1011т.1м1 v - MN 11
скоросп 1паления Дt = MS .
Их Гf'Щ<1' 1J)11ЧС'ская сумма
л IV Л<1 С'Т IЫП[JJBЛ< 01!'1 t'
к~JL <' r<-•лt-.1н1й.
11~1J11, - к 1 \11кrю1 1/ \t: 11 некоторым J\py1·11~1 11с: 1л-
1 ·ебра1 1ч еским крнн1,1м.
С поr1стсом тако1·0 пп11оже 11ин кзсате.т,1ю1'r.
в котором 0 11 а 11араллелыта осп абсцисс, тесно
спязана задача нахождения ,..,1акснмума rrлrr
м111шмума фушщиr1. Bnep3i,1c эту сш1зь обпа·
ружил Ферма в работе « Метод отысканшr м:~к­
с~1 .\1у м ок н МИ1Шl\·1)ТМОВ». Она опублнкuнана u
1679 1·., уже после с.мсрт1 1 учС: 1-ю1 ·0, 1 ю н c p~/\t.'
фран~\узских i\1ап: м:пиков получ.нла 11 акест­
носп, 11<1 1 ю1шска раньrпс.
Реч1, 1 11ла о следующей эада ч е: 11м еется 0·1 -
ре:ю1< {{аннон ДJllfI-lbl /); треl1уе1·ся rаздетпъ его
па две част11 'r':l.f(~li\1 образом . чтобы ор1:1:1ма , ос-
11оuан11ем 1<отщюl1 служиr квадрат со сторо1 юJI
а, равной ncpвofi с1аст11 отрезка. а высотой -
втu р:ш чаL1" 1, отрезка (т. е /J - а). 11мt.r1 :1 макс11 -
l\1:tл 1,н ы й объ61 ( рнс 4). Без какuт бы 1·0 н~1
бшю /\(Ж:J:iатсльства 11;1н обоснс.т:t1 11 rя Фе рма
ll CIJOJ1Ь30BaJI 11p11i.::\>1, paBll()('llJJЫLЫil 11ЫЧIJ CJ IC­
IJJIIO 11ро 11 з кою-юй :
1
.
((.·~: + /1) - }(.'\')
"
1111 .
/
: ./ (.\;).
h->1)
,
а затеl\.~ - 11рирзF11mnатппо этой пронзвод11ой
/(нулю.
Рис 4. \,1,ыч1
Феf)мd д,н~
oтrt'~'" , \ { =/J
LГ(! надо рс1Jдсл~ щ
t l 11 ЛАС> Ч1I С-П.I
АВ=а"'ВС =Ь-а
1,\ КИ \.\ o op.1 ·IO'vL,
•1тоt>ы о6ы •м
прймо.-~ 11 Р" """·
1нofip.1>1.P.HHOll
1 ы рщу11кС', fi1н
М.1К( f1'-l~ .\ b Hhl\1
СОЗЛАНИЕ ЛИФФЕРЕНUИА/\ЬНОГО
И ИНТЕГРАЛЬНОГО И СЧИС/\ЕНИЯ.
НЬЮТОН И /\ЕЙБНИU
Несмотря на то что 11 ныч11 СJ 1 сн1tсм площ;щсй
п<щ кривымJ 1 , ti ;;~щзчам11 на провсдс1111с ююt·
'Гtл ы11.1х к кр11в1,1м учi.'11111<:" :1:.J[ J1J м :1л11Ch / (01ю1111·
по f(a rmo, 01-111 нсё ещё 11е уС' матртшалн Ш[КЗ­
кой сняз~1 межлу /(В)'?v!Я :;)TJI.'>Ш процед)'рамн
То·1 пс менее связь эта 11мсла фундамснталь·
пос :ш:~чсние , та 1.; 1<ак ~1,азыв~1 ла на общнiJ
характер анализа бссконсч110 м::tлыл. Псрl!ЫМ
Ч l.'ЛClHt'KOM, сумсвшнм это обнар)'ЖJl'IЪ, б ыл
И.с;1~1к Б::~рроу ( 1 6;IO- J б77) .


В 166.1 1. н;,~ срt"дс1·ва некоего Генрн Лукас:1
н колле/(ЖС Сю1то1) Тро111 (Ы (Тр1 ~r 1 ити-ко11лс; (ж)
в Ксмбрнджс был;~ учрсж;~е 1 1а кафедра мат<:м~J­
тики. и занял tё 33-нt1· н 11i·\ Исаак Барроу ,
весьма одарё 1Тн ы й учё 1 Th1i1. зпа:вш11й математи­
ку стол~, же хорошо, ка.к и богосл онне и дрен-
1111е языю1 . В 1670 r. Барроу 011убm1ковал cno11
•Лскцин по геометрии». где показал . что ()пе­
рац1111 ~rахш1щения площади п ттроведе r rня ка­
с;1тслыю/1 }1вляютси взаи.мпu обратным и.
н J.\;lJlЫ ICJJll lt м pa3RHT111J [·1нтс1 · рал hHOI'{) 11
д11фференщ1<1ЛhНU1'О llCЧ I !CЛel l\ J}j 1'.%\ВШl~ роль
11ршщц.1н,;:ж:нта дн)·~~ ксликим учёным - а 1-rглн ­
ч:~нrrну ИСЭ:11\')' Ныотону ( 1643-172 . 7) 11 н см.цу
Гптфр 1 11'у Rr 1111,rcл1>M)' Лейбн ицу ( 1646- 17 16).
Ныото1 1 был самоучкой в матем ат11ке, 1JO С<l­
моучкой rепиалъны м . Ког,п;а он, став с·1удентом
Кембр11джского унинсрситета, mrepnыe nрншёл
на эт<замен по математике, выяснилось. что Ев­
к.r 1 ида, по которому учили r1 ~1-IИRCJX11'1't.'Тc. OJJ
нс знает, но зато з-нако~1 с.: ~ геомстр11сй» Де­
карта. В к01 ще кокцон экзаме11 он Rьщержал -
экз;1ме11~пuр, сам Исаак Ба рроу, 1 юдосто1 11 1с·1·ву
оценил е 1'() матеv1а·1·11 ч сское нарованис. к тому
времс11н Н ыт он прn чёл нс ТОJ 11 ,ко Де1сартз, но
т:акже Ва.1mт 1са 11 Схnте 11;1 11 уже почу11ст1ювал
ПК)'С к 1\.1атематически!'.·f nроблсмам.
И<.1.JК н1.ю 1 u11 П11ртрет ИJ 111л.1ння < О1 1 тики • 1740 1,
Нuвое врt:>мя
13скоре Лш·лню ПОСТПГЛ О ('Tp:.!ШJJCJC 6ед­
СТТШе - эпидемия Ч)'i'1Ы. Ушн;ерснтст 11а врс.ми
закры-'1 01, и Н 1,ют011 почтн два года пронfл в
сrюё,\1\ 1юмсс1 ·ьс Вуле1'ор11в 1·рt1фствс Л11нкол 1,н-
1J1ир. Эти l'OJ(Ы ок:валнсь лля не1·0 уюrн11тсльно
1 1лолотвор 1 тым11. По:щнес 011 нс1юм1шал: "13 11:1-
ч:~лс 166') 1·. я открыл МСТО/( 11р11бт1жё 1111ых
JJЛ/~OFI 11 [ [раншrо /l,JIH СВt'ДСН ня тобой стспсн 11
тобоrо 6111юма т< так11м рн; 1,аl\1. 13 м:~е тш·о Жt'
ro,11,a я ОТJ(р1>1л метод 1<:1сатсл1>1 1 1,1х Гpe 1 ·np1r 11
Слюэ•l, а u ноябре - прямоi1 метод флнжо1И". и
в слс;1ующб1 гощ u !ltac я уже имел n рас 11 оря­
же11ин обрзт11ьп·1 ~tетод флюкс111r....lkё это нро­
н:ютпло в дnа чумных год:.1. 1(>6'5 11 J666. Ибо в
:-по вре!\tн н наход1щся в на1шучшсм 11,ля откры­
тшi во::iрастс и ,.'.\yм:ur о матсма ·1 ·11кс 11 ф 1 1жк·о­
ф11н бот,шt:. чс~·1 кш·да-л1160 1ю:..1жс ~.
Л рямсн'т мето11, фл 1шсс1 п'r. а которо/\ 1 1 01юр1-1т
Н ыото11. - не что 11ное. как д 1-1tj1фсрснц 1 1 р<1в:1-
11111::. соо·1 ·встст11ен rro обратн L,111 .четод фJ1101<­
сий - шпегр11рощ.11111е (см. ст:1 п,ю «Что 1·акое
математ11ческий ан~1з»). 1:3последсттпr 01 1на­
писал работу под 11азват111ем «Метод флюксий
r·1бесконечных рядов», тю пр11 ж11:3I111 ош1так11
11с бы!!а 11апеч~1 тшта: в 1756 г. онубтнюван сё
ан1·;111Оскнй щ:рt'.1щд, а opш·1rпVIыrыfr J 1ап111 -
ск11й текс1 у1ш,Ц<:Л снtт m111 1 ь н 177() 1'.
.l lepe~1e111rыc веJ 11 1чнны .~:. у, :: Ilьютон 11:о1 -
з 1 ,1нал флюснтй:11н, т. е. «текущ11 ,ч и ·> (от лат.
nll~ - «ТеКу»), ;.! « О:ОрОСТН, С КОТО/)ЫМН КЗЖ)\Шi
флюе1rта увелнчнвается в снлу пnрОЖJ"(ающе­
го J (tШЖCТll·fH ", - ф11юксиям1 1 . О1ш обп.н-1~1 1.J:.1-
лисL теми же буквам11, 110 с п;ч rшй вверху:


Ист ория матем,~тики
JJJ11m1/r.t1i~ J.r 111 ,fj,f ,ul.11.
Х t 1L 1...с' 111t1t11C1\J dct. Q1:111nщ6 fof1JCJ1t~>\ 1..'c!\-& -d3rc tai:.t
rimtia J:\.dc:!';1щш.:nt reutCJ•f .:Z r r• _ ,. _' t' . c(\ion di:(IJllCliь, t1~1111 ,jq_p11•
11с1 11.Je.linuut"tlJ '")CH•t'\ i;Li; 11.110, clk • (1111 r e o n 1111u1-IJC 'r.)l;(!t ~'-'IJ·
roc1\I~) ((ln1 ('(i•шuc: !, _ "' \f~ttG'~ dt: Jcu r Flu, o ')U Л1.i.""f1J11fc-nч:11• .
Х 1V• .i;, drinc !с prndш1d.: 1" ~lefrr.:..: ~щ мс tJ1.ш1111J U.J .:.
fi'l1.nrn1 rctнr.: " • c \.lt .н11 :.:, !i t1• rr-pr~ l\_-.~f~ 1., ; 11 1mu :11.1 d'urн:
Q-~..w.tё ~.Jcli:o1~i:\uc " ~ Lt\ ~"t1щ" 1"1; 1.1. ., ~u.~t~ : • 1
, т,.k\-w.'\
tepr~knt~ ylf ~1~1-., 11..11 1 p 1n:c q\lc:~ , р, .ot•, ;и fощ cl1~u 11.t
~OllHl.М:8 1 f 1 1·,~
.х \f. rwa ОО1к ~JU-' k' ll~.11J1cш1 trid"Щ.~ ;._ , • 1~ (о м IC$ ас"
c cft1 -> "• аи .l.'.l:\1111.111a11of1'1 1 n 1fcl11\·11к11-r 1)1. ll(t '' ~n ~ ,,~щit t. f. l l )i = Ф •
tcs ..: ~ ·"' pcm)an : k5 1л&:ti1~11n ~nt 1•tn1, 1nttrv.il.;. dr 1е1щ., 1) l'lщ
tjll<: «t Qu:inшO " N f -»1•1-U .д~ 1f'!!t.:t1J~ll11! ar.d1.li11 .11!ie 11 pi:tit &
tam., d ;:o,,-1.1.'1uн~nt x+~• & у +;-, , & p~r oauf.!°'1.l)C n• fEqu~ti("I
qa1t.n '""J!:'OWI~ ct1• r11ut iq1Ji:mf't1t IJ. ll ct:irtt•11 .ka t)uJ111u-6 f ·\ucl•
ш,-(',-1pmw:tA- I" lk li!.11(1" С'!НС ~-;.-~" 6;. r+ ; , tOU' 11dfi.tщ-ц
'1tlC:rltrC: Jt 6' J • Olnfi (Щ f~Uf fu!J6i1Ut'f" \l.\IU Ц 1~1С i::qu -a-nQl1
• -+,;• & )'+;11, .цt1t1J ii: •« у
Х V J. $ .Qir di)!'lc l'E:pr.at~U dмn.ic quc:lcьn111c .1 - .t"~+ l-lff
_
, , g;;O JC (11bllui:c ,· + U P'Y.11 ~,&y-a..ju po11".Yi .:.с1·м
Стри11иud
и 3 фра 1шу ккоrо
11JД<IШIЯ • Метод3
флюк< ~,й и
бесконечных рялов , ,
ltме ржашая
объяснение
tlJJИI I Шll lOH
д11ффt'/)! •НШt~ЛЬНОГ(I
И С '-IИt..Л Е' t-1\.IЯ ,
П<1р11ж. 1740 г.
.\:,у, z. Ныотu 1 r таюкс рассмзтр1 шал « моме1 rты
фJ1юкс11й » (в совремешюll тсрмююлогни диф­
фереrщизлы). т. с. нt1111чнны xo.yo,zo, 1де о -
бссКОllСЧЛ() M:lЛUC K<JЛllЧC<."П~<J.
Н качестве ал!'оритмз щ1фферс 1 щ 1 1рон:~нш1
Н1,ютuн 11споm,зонал ту же процедуру , ч.то 11
Ферма пр11 отыска 11 11и NJЗ 1<симумо11 н ми1111му­
\ЮR функцнlr . Нзпр11;\·1ер, выч1rсJ1>01 1 1 рm 1 :знод-
11у1n (флнжс1110) от х-, оп ттоступтrл бт.r так:
(х+i·o)t _ .\.~
()
х! + 2..'\:\:о + .\'о.\:о - х~ _ )
."
-
-\.\,
(}
причём чле1 1ы, нключающ11е:: и н C'L't:Пt:Hll выше
п<:'рвой, он просто отбр~1сы11:.1л . ~ нбо 11х "южно
считать за нич·1·n 110 сран11t.::11шо <.: 11 ру 1'1 1ми •.
Точно так же: можно IЮЛ)'Чнть формулы прu­
н :шuю1ых н /IJIЯ стс:11ен<.:й нынн.: нторuй . Дли
д 11фферс 1 щ11роuаJ1ш1 фу111щин с р:щнкалаvнr н
!\[1Обям VI Н 1 ,юто11 ИС ПОЛllЗОПЭЛ liCПOMOI а·1 ·ен1,-
11ы е 11ере,"1е1 шые, :i для не ;шгебр.нтчсских функ-
1\нi1 - раз11ожеш1е в бесконечные rяды.
В «Мето!(е флюксн11 ~ чётко сформУш1рованы
обе :}адачи нс'-пtслснпя бсскuпсчтю малых:
1. l lo 1tа11ному С<.ЮТНОШСНЮО между <..jJЛIO­
CLIТ;IMИ опрсщ:лнть COOTH() l llt.::HИ(; м ежду lj.IJIIOK-
CliЯMl'l.
1 . П о H:llНIOMY yp::ШHCHllIO , СО/\С'рЖаЩС.\1)'
фл1окс1111, 1 1 а~1т11 с оотпоше1111с ~1СЖТ\ У флю­
е нтаМLI .
Яс 1ю , что п пepnol1 за,Г\:.~чс реч1, J.Jдёт о ;1иф ­
фере111 ~111хт;1111 IИ. и мы ~гже шщели, как Н ьютон
сё рсrпзст. Что кас::~стся nтороП, то дать общ11 l 1
ме::пщ ш1тсrр11ров:нпш yp:tвпcrшir n то nрсмя
11е представшuюсь 1юзыож1 1 ым. И nсё жс llыото
нуу{(алось н;1йт1 1 формулы ;v r я большо(1 1·ру1111ы
!!НТtтрал о в , С<Щ срж~IЩI IX 11pp<11\l1UHUЛl>l-IO("l'И .
Все .~т11 открыт11я 6h1JН1 нуж11ы учёному
HL: ca.'Vlll ло сс:бе. а / 1,ЛЯ [Х'IПСН\НI ГJ laHHOJI ::1~1Д~­
ч11 - t.о~щ;11 нш 1ю1юl1 ф11 з ню1 . Е1·0 осгюшщil
1·ру;1 - «Матеl\1атичсскпс начала 11::~турат, 1ю1'1
фплософин" ( 16t{7) 1щ.ёт м•пем:~тнческое до1\;1·
зательстnо того фзrпа, что есш1 траекторня
орбиты 1шанеты есть rщппчсское сечение
(эlUIТrnc. п;~рабола ини пtпср б оJ ~а) , то сила пр11 -
тяжешш м<::ЖJtУ ш~анt:· 1·ой 11 Солнцем обр:tтrю
11ро11()рцнональна расстоя11ню меж;tу нш111
(закон все .\111р1 юrо 1·яготсн11я). 3,1'\l'Ch жt: f-l ыо­
гон прнн<.:1 1 реше 11 щ' f\.11 ю 1 ·нх з::щач , прt.:ж.тав­
люш11 LX суп ~ествс1 п rые математ11чесю 1е труд~ ю­
сти , таю1х, ка1\ о6ъясш:ш rc пр~ шн11011, ос1 юпы
теор~ ш ;,вr-1же1 ~нл JI vны, проблема притяжения
массиш1ых сфер и т. п. Uсrrошюму содерж:ншю
к11ипт предпослана н1юднш г ча<.~гь, 1дс: нзло ­
:жсна теория npcЛL'ЛUf\. Францу:кк11i1 матем:1·1·1щ
L'ийО.\1 де Jlошпалъ , 1<uторый в 16()6 1·. 011убл11-
ков:u 1 11срныii учс6н11к rш 1 1 сч11слс 1 111ю бс:скu-
11сч1ю.'v1<.1лых,11 прсд11с1юmш к нему ш1сш. •1то
R кншт Ньютп 1 1э «."есtъ 11оч·111 все, что 11ред­
с1·ат1яе·1 спбой это исчнслс1ттн.:" .
Соч1111е11ия Ньютона по матсмат11кс увн;tе·
ли сnет только н ХVШ столет1111. хотя ocrюn­
ш,rc рс:~упътаты о п получшt в ЫJ-х tт. ХVП n
Од11:1ко iюe- LIТO бьuто пзвсстпо его 1<0Jme1 ·;:iм 11з
ш 1 ссм. Так, нско·юрые свои рс:~упьтаты в а11а­
J1 11зс: Ньютон сооnщнл Ле f1 nн1щу 11 1676 1'.
ко1·да тот уже сам прнш<.:л к открыт11ю д11ффе­
рt1-щи:u11,нпго ll интсгр ~uгьнш ·о нсч11сл<:н11я
Лсйб11н11 со:тал исч11слснис бесконеч11 0
м:и1ых сонср111е111 ю 1 1 езап~кн мо от Ныо'l'Она н
аернод между 167j и 1(,7() rr. На 11em llfXJ11 :l 11e-
m1 бnJ11,11юе 1111е•~атле11ие математнчес1rnс ра­
бmъr Паскаля, в особенности то, как н од1Iой
rо<ФР"' '''~"'~' 1
l\1·H(HIИL1. j


ю ~:~дач с 11\1()1\СД(;НЩ:М касате-1 1 ыюй он 11(.' I ЮЮ,­
зовал ·1 рtугол:.ьн ик обра:ю ваю 11,1й скоm, у1 ·одно
i\laJIJ,JM l l UТ(X'ЗK~IMl l л:v, ду, лs (р 1 fl' ')) . )1,руr·~1 м
JICf'() 1 IH/,J К( >М ,\•J;JTCi\1 ат1 IЧtC/(()1'0 IЩOXHOl~Ct-J 11н
Лей6н1·11 \~~ был~~. как 01 1са,ч 11риз11:т:111. а1 1ат1-
'пf•1ес1<<tн п:оме· 1 р 11 н Де 1<аrта Н рабnт1,\ nалл~ \Cl
11 Мер1«1 торз о рндах. Уже в началt с1юей работы
Лей611и 1 ~ вnёл термин «фу11 rщю1 » и ппдуч 11л
р:1 зложе111 1 е ар1стJr 11 ·епса, а с его пом ощью - рпд
п
111
-
= 1--+- -
-+ ".
,,
.~57
11:.Jнt'c1 11 ы 1J 11ы11с !{:tк рн;t Jl616mщ:i . Тrеуп)J1ь-
1111к cu стuрш 1:1м11 ti\' . ф1, ilz (<·хаr:1ктср1tCП I' 1<.:­
сю1l1 ") 011 p :tCCMJTPI IH:IJJ как 1IJ IC'11'Y·\1CI JT но­
('Т\Ю'.:111 rn .:ас1·1 с:;11 ы юй дня :-1ад<1 ч ca!\IOI'() 06щс1·()
тщэ. С 1rомпщып :это1·0 Ж<:' треупшы11п<а Лсr'1 6-
111щ n 167:'> r. устано 1 111л для сrаспю1·0 случ~1 л
n:~аим1ю пбrат11ый характер onep;щнlf. r 1 а ­
зв;1 пных им влос11сдстrш11 диффtреrщиrова ­
ннем '1 ш-псrриро 1~:лшем.
В октнбре J675 r'. сдел;Шh! пер н ыс u1а1 ·н rJO
COЗ/\ CIHl l IO H<.'ЧllCJI CHHH - Н J1YKШll ·I CЯX JICJ16 -
ШЩa ПОННШНОТСН ОС! ЮННЫt: !IOHJ.!'l' HH , IШО/1ЯТСЯ
ш1сr;~щш 11 симнолы . Н аконс1~. летоr-1 1(i77 1'. в
от1~~те Ньют·ону на tго второе 1шс1->мо Леl161 1 ш\
СО()бщ11; 1 np:Jmrm1 щ.1ффеrс 1 ЩНJХ'J 11з r 111я прт1 з­
веде11ия (э пмешrо d(.л:у) =ycLY + .л:t{)') r1стс 11еп 11.
а ~";lюке cпocofJ, пrнме~шя которы!'r 11ет нужды
освобождаться от нрр;щи()нальпосте(f, ю1к это
1'\елалн математики прежде , а ~юж.но вро11:>.nо­
дить дифференцн:роnашrс пепосрсдс'1'всн1rо.
:3дссь же впервые понвr тся тер,"1 r-ш ~;1"иффсrен-
1111:~лhное ур~1 ннсн11е ».
Свш1 ре3уm>1·:1ты Леfrбн ин отrубт 1конал л ншь
1\ 16R41· 11<1 стра11и1~ах журнащ1 ~лс 1 <1 eп1ditoп.1111 »
(•.ТJ1}Лht учf111.1 Х») А короткой стат1)е, 1ю·1·nр<1н
1fмtла. однако, ~11Югозна ч ителыюс 1 1а:шание:
•Новый ~te-1·011 макс.имумоR и .мш rимумов. а так-
J:."'
в
HOHOI-' 8рt' .\1Я
Рнс 5.
,, Л,1р.1 ю ернt п1чеrк1 1 11
r p<'y1 11~"""""'
(l()p,\ '()[! ,НЩЩt С ~..()ЛЬ
VI IJЛI t{) !\\il.ЛM\l& i
;>TPP'lk '1M11 Л \ - t/.. ,
ЛI:['f.., ,\,= /С.
же к;~сп l'JJI,ныx. для юл орого 1 1с служат пpLI 1ят­
стн 1 1<::у1 llH щ106111,1е, ШI llf)\)al~ЩHIЗ Jl\,H\\lC \\ё:Jlll ­
ЧJllТЫ , и ncnfiы{I /\Л Н ~T()J'() рпд llCЧTfCJlё: l t llЯ ·>.
~ осоf>ый рО,'\ исч11С.'1е1 1 1rя " - это, кmrecn ю, ;п 1 ф­
фсре11циалыюе исчисле1те. Лейбт 1 1щ пр1111од1 rт
в ста·1ъс пrос1сi-1 шпе rrрав1ша ю1фферс1щ11ро­
иа11ия. устанавнива<:: 1· ра~.11ичис межну }.1:1кснмv­
,\Ю .М Н \11-!HllMY\IOM f\/)J IH0/1 JI /(:ll:T Гlj): I Bll JI(! J\]IJI
опрс:д<:ЛСННЯ TOЧKll lll'J1CI 11ба. с ЗТОГ() М()1\1СНТ(!
н;~ч111-1а1:тся <>ф111~налы 1 ая 11стор11я .мшпе.мати­
'1~(-л-ого CIHtlЛU.ЗCI .
Г1rклепукнц11е с1·0 ст;п, 1>11 . печзтаншнL~С)J в
тnм iК<:' журпа; 1с с Lbl~() по 1(><)7 1·.. бы! IН 1юсня·
щсны ра:щичным 11робле;,1ам ашu 1 н:{а. в ч:~ст­
I ЮСТ\1 нorrpoc~LM нrпerpaJir.IJ()ГO lfCЧllCJICHHЯ
(этот Тt'рмиrт также nринад.rтеж1 п Лейбшщу).
llanpнмcp. в ст~t·rъс l 6<J-1 г. уста1-~авщша;цсь
свя::Jь между 111J·1 ·<.:гр;шом п 1 1 ро н звод1ю1·1. лрн ­
чём проИЗIЮ/ \Н~lЯ p:.tCCM:J 'J'PШ\;u1:1 cь К'11-> танl'L'НС
) гла t1аклон::1 к:1с:пс.г1ы юй к пен а6С"ц11сс.
Jif lтледо11а 1111я Лсйбн1 1 1 \<! н .~нач И'l 't'лы 10!1 C'l't'·
ненн 011ре11еннли ра:щ~-ннс метож,н анал11за R
конт1111с11т<1Л ы-1 т1 Еnропе. Сре;1 1 I е1·0 1н >СЛеf(СJ11 ;1-
телей 11 ~1:юнём 6ра·п1ен Ио1юп 1<1 н Яко():~ Ikpriyn-
mт. Пьера На р и11ьошt и Гнйома l\e Лошпаля.
ИДЕАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИК - ЛЕОНАРЛ ЭЙЛЕР
XVI 11 о·ш 1е1· 11с - нCJ\OJtl' ИЙ щ;к l l pocv.l'1дcн11s1
меЖ/()' .~похамJJ жестокой 1r ~тсрпимости. Все­
го лшг11, :ia 111с:с1ъ 11е1· /\О рожления Лсон;~рн:.1
Эйжрэ ( 1707- 178.:3) u Бtр.rтн11с была пубт 1 ч-
1ю сожжст 1 ;1 П()Следшrя ве/(ЬМ~I- А ч<:ре:з ПJ tX"TTJ
лет посяе его смер1и.тю1ыл'1 1уш1 Вел нЕан фран­
цузская ревоюотt11я .
:')Й111.:ру 1ю~е\JЮ: он ро;~Ш\СЯ l~ ,Y1<1J1CllbKOЙ Т\ 1-
ХОЙ fЛн6щар11и, куд:.1 сп вcci'r Евро 1 1ы пр1 1 е:i­
жалп м~1 стс:rа lJ уч~т1ыl'. нс желаш r 111t' тр:п ·1 н1,
,'\l);]1·оцет11юе нрсмн на 1·раж/~а11с1< 1 н:: смуты 11 ; 11 1
рслнгнозные расnри. Так нересслнлась в ero
родной Базель Н'3 Гш1лшщш·1 сем~,я l)ерну;mн -
упнкалъпое соэnсз,J.ие rrаучных талантт-1 по


9Н
Ипория мэтематики
Г.~ \t", \ b 1f)cllllO('lol 17 6 1 1
главе с братьямн Якобом н Иогашюм. Вокруг
братьев Берпуллн с1юж11ло1 саь1ыl1 нр1шй ма­
те~tатичесю 111к ружок,11 на пnл1:1ска Ьазел1, ст:u1
треты•1м 1ю важности матсмат11ческ1 rм цен­
тром Европы 1 юслс ГL1р11жа 11 Лондона, где уже
11роцнстат1 акадt,\111 1 11 наук КаЖJ(ЫЙ l'O/J, J-1 кrуж ­
кс решалис~, трун11ыс 11 увJJеТ\<1телы1ыс :1адачт 1,
а 1ш смену им пст<1ш1л1 1 новые .
Поступиn n Базел~,ский утпшерситет, Эйлер
слушал лс1щни Иоганна Бер нулли н подру
жиле>~ с его сы1товьям11 - Ннколас:м н Дантш­
лом. Но когда учёнън: орлята ~юдросли, выяс11и-
1юсь, что 11 Швt"йц<1р1rи не хвап1т м<:::ста д1ш 11х
собс_;·нсш tых 1·нс~щ. З:1то н далёкой Россш1 1ю
замью1у Петра 1.и по проекту Лейбн1ща13 1724 r'
был<t учреждена Пете рбургсю:~н А:к:щемня наук
Русских учёных 11е хватало, и трое друз<::й -
Леонард Эйл<::р и братья Да111 1 нл и Н111<олай Бер­
нулт 1 отпр<1 н илт 1сь Т)'да А поис~<ах с чае1ъя и на­
учн ых подвигов.
Чем только не пришлось за11нматься Эйлеру
на ноnом месте' Он обраб:пывал данные вес-
)J\11:.0 'i))i"\..1 '. .'V\>i "'i\cf)~'1'-V1 ""-~"-~>'t:\''""' \ \'\ \\'lR:>f\~'°1':\
эrу 01 ромнvю р,1боrу в оди11очкv) . 0 1t расшнф·
ровывал перехвас1е1шые ююстра 1 111ые д1111 1юма·
111чесю1с дсш:ш11 (оказалось. что с де1ш1фрой·
кой м.атематики спр.шлmотся быстрее 11 лучше
прочи,""< С1Jе1\налистон) . Он обучал .молодых мо·
ряков вш.:ш ей м:1·1ема·1·ике, ;1с'1'роном 11н, а так·
же о<.:11сшзм 1щр ~1 блсс·1·рое 1 1ии 11 упр:~Rлен11я
гтарусным t:удном n 11п·ш1п 11 н буrю А <::щё со·
ст::~илял т:абJ 11 щы. 11еобход 11мы<.: /(ЛЯ рJсчёта
артню1ер1 rrrcrюrr стрельбы и табл rrr(Ы дmrА<еrшя
Луны (ведь 11 щ1лы1ем 11лаваш ш Луна чаоо за­
меняла часы nри 011редслеш111 долготы)
Только гс1шй мо1· 'Ja этнм11 трудам 11 не за­
быть о большой пауке Эйлер 11 был гсщ1ем З3
[ 1.J Лt.'Т сносr·о пср1ю1'0 прt:бысатu1я н Росош
(1727- 1 7~111'1 '.) 0 11 ycщ:J I l[~IЩI C:l'IЪ 11еркы11 R
мир е учеб ник 110 ·1·сщк·т11чсскоС1 механике


С.1 11~1 - flетерб)'Р' . Гравюр.1 XVlll в .
(,llL" }'Чlf'l.h Жt: cтy;leJITOK 11() CJIOЖlll>l:vl l{JlllJ':.1~1
Ныто11а!) , а также курс м:пемат1rческо~'11raR11-
1a101111 1."11 югпе нр)'ГИС труды. Пт1сал Эйлер лег­
ко 11 быстро, простым н ПО!\ЯТ11ЫМ Я'\ЫКОМ .
Сто:11.> же быстро он ouлaдc:n;v1 нопъщ11 языка­
м11. по nкуса кл11п:ратуре ш: имел. Матс~·1а11ша
по1 ·1 ш1щmа нес Cl'O нрсмя н снnы.
В 26 лет !'Э 1l лср~1 и:.~бралн росс1-11~1ски1'<1 :1каж:­
\1иком. а чсре:-1 носем1, J 1 ст 011 nсрсех:1л 11:.1 П е­
тt.:рG~·р1 ·~1 и Берт 1н. В чём /lсло? Тшr пко ч'ю за­
вt:ршшюсь [\<1рствt)В<1нrн.: Анны Иоан1-юш1ы, 11
во:юб1юн 11ла сь чсхарла днnр1ювь1 х псре1юро­
·пж n11ш1 ко Эйлера Э'l'С) вnр>1мую l(e [\:JJ.:aлoct»
('l[JIT:l'l'l>OJ v JICMцe .\.'l» fl П етербур 1 е было безо­
П:!СlЮ 11 престшкrю, а учёньLх- немцеn ценили
ш вес золот;~. 110 оп \1Же по•1увствоnал себя од-
1111,"1 пз с 1 1лънсйшrrх "'tатсматикоn Еnропы -
11 uдpyr заметил. что здесь CJ\1Y нс с ке,.-.1 па
р:шных по1·онори1ъ о cnoc1~1 науке. Пrиезжая
11НОС1 р;.11-111;,~я ,\.IQJ IOftfЖf, 1IOBЗJX>CJit'ЩI 11 !lибо nu-
IOll·ryлa д11 кую, п1 1 асную Россию, 111-1 60 погрязла
в мелкоr:1 ·1екущсlr р:1nоте Л ncpRoe nоко11епнс
уче11ых-росси~н сщё 111.: выросЛL> . (Вспомним,
чтп ЛомпносrJ11 нахо;\ило1 'H>rl(a 11::1 учёбе 11
Теrмз11нн . ) Эйнер pe111111r переелатr, туда, где
1ш<~ш науч11ых J\искусснй был шшы111е. 011
яыбр:т Пср.1п111 - там молодоf1 король Фрнд­
р11х Il рсrш JЛ созд;~ть 1тау'-111 ый центр не слабее
пар11жскоrо .
J(1лср п роuсл к licp.11ш1c чет нерп, иска
(с 17.с/ 1 по 1766 г.) и t:ЧИT<IJI э ПI ГО/\1•1 Jl}'ЧНIHM11
н своей ЖllЗllll. у 11е!'О ннонь ПOSШIUIOl'h МJЮГ()
дру:1с~'1-~11 1С::r 1ых, в IIX ч11слс прсз1щснт Бср­
:1инск(н'1 акздемтт 11 аук ТТ1,ер Лу11 М()ро ;1е Мо­
nсртю1 '1 ( l 69R- l 7"59) Физ111< 11 rет·раф, n11
проnернл r·ипоте:зу Ныпто11а п сплюс11утостн
зе,,нюгn 1u apa nn:.лe полюсоn. Л;1я этог() 011 пз ­
·'н.:рял дт11 ry градус:~ мс:р1щаапа п Jlзплаr 1;щи.
Новое время
н то вреr"l.Н как е1·и коллеги выполняли ·1у же
работу в Н1жной Амернке. Мопе1т1 юн решил
n рсf\зойтн Н ью·гона, откр r.111 1ювый мэтемзти­
чесr<иii :>а rюн прнроды - приr-щ~ш наимень­
шего дейстr~ин, которы.11 выделяет трае.к-тории
rеалыюrо [\nижепия тел (11а11ри:мср, 01<руж­
тюсть и параболу) из огромного множества
rюобра:~им1,L~ траекторий.
11/\Сн Мопертюи была хороша, но её матс­
м ат11 ческ~н~ су 1ъ ок~~зал:кь оченп сложной, и
нотрсбовалась помощь 3йж:ра. Тот понял, что
нок1,1й закон относится к област11 иарl!~Lцtюн-
1-101·0 11L ч1 кления. Эfrлер coзr~aJ1 это 11счнсле1111<::
11 1740-t 1т. Пр1шц11n М о1 к·ртюи стал пдн11м 11з
11ерnых 11рпложе11иl1 1 юnой 11аую1. К нему
·:iйJJ(~p сделал замечателr,ное добаuле1П1 е. 011
заметнл. ч'f'о естестnеrшыс мате.маттrческие
услоиия ,/'\оn.ускают траектории не только м11 -
1шма ; 1 ыюго, 110 и максималыю1 ·0 дейстuия.
Пращ\;\, в Mt'X<tliикe этн ,\ilаю.:vtмумы гючему-то
нс 11аблl(щаютос но 1З 1~руг1х 06J1астях ф11з 1 1-
ю 1- h-1·0т1ас1 ·'
Д1)1'а; 1ка П 1111ера 11()/~TRcp/~1mac1,11t11.111, в кон­
це Л'Х 11•• кот;:~ ф11з11ки н<tчз;1и нзуча ·1ъ нера11-
1юнссныt' снстем 1.1. спосо(тые 11зме11н1ъ своё
с1 тюеrше и з1ко11ы с1юеrо rюведс1111я. Ока:за­
ЛСКh, что '1 ::tкнс nерехо11.ы, nырзжаюm~н:-ся R
и:~мснеш-ш СП!'-1мс.-триi 1 спстемы..ГJ)'lJШC nсего
01 t11сьmато·1 ся траектор11ями экстрс:малыюrо
(n часпюсти, макснмалыюr ·о) дейс·1·ш1я.
Эйш~р заm1мался самым11 разными проблс­
мамн. и почт11 нcx:r;ia - ус 11 еш110. Напрпмt'р,
захотелось ему 11ере11ссти нее мет<щы м:~тема­
т1 1 чсско1·0 анат1 :i:1 на фу нкцни, за~н1сящ11с от
ком1111t 1<сны>. ncpcмer1н1i1x , 11 он создал ·1 ·ео­
рню элементарных фу11к11ттй 1юмлщ·ксrюrо
Пhtep Ау11 Мнро
д.., \\0111ер 1KJll
С)С)


Истприн м.1Т(:'МJ г и к~1
/\P(\H,1p t.
::1<t\<" P
Пщ>1рр 1
1моu1ы
) X 1-1HЛM1tllH.1
С.еред1tна
\Vlll в
ll(:peмt'H!-101 '0. l lu 11 y1·нo К Ы ЯСНJ IJIOt:b. у 1() 1юк;1 -
j;JТ(;'Jt1,н:н 1 фун1-щин (:-;кс1юн<..:нта) l l с 1 1 нусо11л:~
t.yrъ J\11<..: с."1011011ы ол.1 ro11 мt:лалн . Это пыража­
<:тся фо р .,tулой
(!
11
= ('()~t+i'>i11t.
которая гt:ок:.~зывас1 01 np11 по м ощ~( с1·ене1 шых
рядоо
llo коль скоро экспонента п сюrусоrща
•'Сёстры.- , волткает з.tысчатt'лы-шя сннзь _,1tж­
ду •шслам 11 е (ос1юв;,~н11<..:\1 с:tм 1,1:< удобных :ю­
гаршрмов) J11t (OTШ.>JJJCIJJJL:.M ДJLJ JllЫ ОК!1УЖНО-
ll\TRODUCTJO
IN ANALTSIN
1NfJN J TORu~L
1. L 01'1ПJ\ RDO rut..FRO , .
PrtfiJёn 'Rp BJ\a. OL ltffWSlt d 4lllitм1AI•
~-.ЮМ//llllfftlfJ !'J.Тa.OJ'OLIT41)tA
.
w..
r1\;
1,JlJ~'us
AVS~"i N A
~w-J Al.t.t . t "t u 11 1"11-.нн1. 8<н1н~Dt 1 i. Si. .o.a.
100
L11!11< 1'!(J~1l~
"r''г r-1~tмuц
810 1 ~' '!l<IH!lt. 1 • -
"''~
"." ....,1
,,,..
•;•
,."
.• •"
",1 ,." .." (>.
".
,,.""~,..,,~. t..lo
'f~~::-;:.1.::~:~··:~·::""""
11
1,
:~.~"" •_..__:._u.,:~.:'j . ... .
lLl t yAt·ltt..lй Л"ll
11 nРрв.1 я (' TIJ<lHlllJJ kH111 ll
Л .::1i1л1:!р,1 "Bu(!д(!ltltt!
fi dtt,J ЛIH {H"'t. K Olt t"ЧHt'>IX "·
1;-4в ,
сп·1 к ; (11 ; 1 \1С1·μ~) Т lоскольк~ нррац1ю 1 1а:1шос1ь
{;' )_(()К;1:·11,ш:1L:ТСН (. ран1-111 · 1·с; 11, н о 11pUL'1'U (уж очень
}/(OUllhli'I рнл1-11/JI+l/21+ l/jl 1- l'XO[\lllCЯ
1< :')ТОМ} Чll СТ\' ). то, нal1l'[11-10l'. 'l 'OT же 11 )'1'1> 11[)11·
вс,11ёт 11 1' /(0 1\;'JЗ3Te,11>t~I ну 1 1 ppa 1~I JO H <1Jlbl-IOCTLJ п
О,11;1 rако. " пусть '\.1ОЛОЛ111 \" м ~п ел1:1 · 1~1ю1 одо.1с11п·
эту дреш 11ою проблслrу. аЭйл(>ру cm111h1 ужедос­
таточrю ! Так рассуд1 1J 1 учёны!1 - н нс ош 11 6ся·
в 1766 1·. Иога1111 l 'c 11 p 11x Jlзмберт нашёл до1<а­
J~1·1·с~11ьст 1ю 11ррац11ш 1алы юст~ 1 л .
'!'о же бhlJIU с нсJ 111 кu!1 'l<:u p<..:мuf1 Фсрщ1
УсJ1ы111ав о 11cl1 . Эl~лср p<.:11111 J1сам носст:11юu11ть
)r1pa ч l'111Joc: дока:~а'1·t:J1ьстно Вскu рс u11 11μ 11шt:л
к ~ 1 <..:-1 оду cnyL к:с к.tк 11 Ф<.рм:1 Hl'\\lJ\1 p:1111,111t:
(С,\1. статыо <- lk.-11 1кая т<:прс:ма Фc:pvi.J») llfIOHe·
р1111 е1·0 длн п e 11t:11c-i1 ~ 11 1, ::Эi 111с:р (1бра'111лся к
следующе."1У щюс1 сшуnою.i~Пс..:лю -
'1 "1\т llCJ3·
fl\1I0111 З<t'l'ру..:~.11ешш. 11 0 1l OCT,11Jll. I ' 'JTY Tt'M~ М()·
.1(.)/\Ы~I I!LCЛC!\(Щ<ITC.1HM.
В л:омстршr Эlпсра 1штсрссошJ11 1 11е столь·
кu ноные ф.~ю ы. сколько общ 11 с тсоро1 ы
щ: ую1~1;\ ыв:11011\нссн в 1ю 1 ·ма' 1 '11ку t:нк"111;щ fl<J·
11p l·J1'v1C p. ' 1l'орсма () Cl:SH ~Ш .Чt:ЛЩу Ч ll C!l:I Mll нt:р·
l11HH , рё6t:р н 1р анс[j HЫII) KJlOI () ~ )) I Ol'Ol'paн-
111\Ka: R - Р
-1 Г - 2. :'1т~· формулу J1ш1 l:Ще
Деt<:1р·1, 110 llt'<X~1-:1 1111л L'fдoкэ :ЫTCJlhCTH:I :>111лер
легко 11 з111ё.1 1 / \<Ж:вз·1·еJ1 1,с1 ·tю. а т ютом .1а1lумш1ся·
еслп фор:v1ула t:npaвc11,.rrтrRa f\IOI 1 кел в1.111~клыл
тс11, то ч&ё же своr1ство онз nьrр,1ж.1ет·, bl()жei
б ыть. свойство сферы. в котор)1О можно 11е­
фор.м11ровать любой вытrу1<Лыi1 :многогр.uш r !К?
Т01д:~ 1 ·р,1 н11 превратятся n «стра 111,1" , а рёбра -
R «1ран1щы ». Есл 11 так. то формул,1 в 11ядш 1 <'пра-
1:1сдш 1в:1 /l.JlЯ "Ка рт·>, нансс(:н1-11,1х на дру1 ·ис ЗJ)t·
КН~'ГЫ С ГIOHl'P'<l-l()CTI 1 R роде тор:1 llЛJJ кр<.: 11) \(;, IЯ
llp0 11t'rкa Jl(Ж:1:1ала: /JЛЯ Hl'IШTOjlblX '· l\Э f' I " 1Щ
тре п 1,1р;111<е1 11tе IЗ - Р + Г пр11н1:~маl'Т :111аче·
11 ие О. ~1 11::i 1<ре11де11е - :н1::tчtm1~
-2 Но t((Ж:I·
ч ать эп1 равенств:~ ,'J/Hl всех rсзrт 1 1~111:11111111 s 1 ш­
нерх11остях ~)ИJ1ер пе су:v1ел п опят~. щ·та1111J1
рсшснпс проблс~1ы п о·юмкам . Удзча 11p11uuтa n
l 89U-c lT к А11р11 I lу:шкщх:..
В l 766 1. Лсоп:1рд Эiш<..:р покинул ficp.rш11 [J
ксрнулсSJ н Рuссшо. Новая россш1с1с1я 11мперэ·
тр1111,<1 Пк:1·1 t:р111-1а lT . не мка n u 11ро11схождс1111ю.
1tpeJ \J l <JЖllJШ У' 1 ~1 IO:VJ) 1ораЗ[\О JIY ' 11111 н.: ~ СЛОВJ IЯ
Жll Зllll, Ч (;,'v] TL', ЧТО пpL'/(OCTaHJIЯ!J CIIOJl!\I ;1 к:ще­
~1111('1М ску11011.11ы1I и к:111р1 1~н1ыl1 Фр 1 щрш: 11.
Надн италась старосп" JL()Э'I O ,\t) :)(1, 1 с-р co1·mt·
силен. Тесrюс оащс 1-11 1 с с J 1 ,1у ч1101~1 м оJЮ/\ёжью
е1·0 ~-же 11е увле1\;m о. Он хоте.'! усп"т1 , 11з1юж111ъ
rra бумаге бесч11сле1 1 t 1ы е открьп 11н 11 .10ГJ.\КН


кото р1.1е осеш rлн с 1 ·0 в <-Золо'l}'ТО•> 6ерлшrску10
нору. Тружкnосuбность 11 1щох1 юnст 111 е э'Гоrо
че.rювека поrа:m' 1 ·сльны: вес п:!уч1tыс жyr11::111h 1
Евро11ы 1юст<нн1 11 0 1н:ча· 1 · алJ 1 н оRые сп1·1ъ11
~)йлсра, 11тем н t: менее.: м1 ro1·1rc t.:I' () труды так 11
1 1е ~1{11дсm 1 свет прн жнз111J :штора.
Rc кopt· rroCJ tc 11t:pct':Щa в Пе-1 ·с:рбур1' учё 1 ют
1ю1х1:~11; 1а слt:потэ . liеукрот1 1 мый старс 1 ~ про­
;1олж:~11 раб(У\':пь - J\11IO'OH3'\'n C'TaThll \'\ КННПI.
Н так до caмolr смерти, rюторая пост1 т1а el'O
т 77- м году жи:щп и 11а 16-м го:1у слепоты.
За rою.1 пребьша ш ш Эйлера в россиi 1ской
CI ОJШЦС вокруг HtTO выросла Ш::Т<.:рбур 1'СКШJ
ма·1·с.•-~:-~т11чсская 1шшш1 , более ч с:.:м на п олот 1 ну
сщто}jвшая ~в русею 1х учёных. Тогла ЖС' :~авс.::r­
uшлась 11)•6J11 1к;щ11я 1'J1ан1 юй с1·0 тrшлоr1 1 1 1 об
1 l овое врt>мя
OCIJOB~IX диффсрС!П~lt<lJIЫЮ ГО н н11те 1 ·1х1лыю1 ·0
нсчисж:пия (no 11ей почт~ 1столетне уч11m 1сь ncc
свро1н::йскис матем.:1тню1) . О11а выгодно от1ш­
чалась 11 от -. IJa<-1;ш,> Е11кл 1 ща.11 от <·М:.пе,\1:.1т11чс­
ск1 1х нач~ш шJ·1урат,ной фrmucuф 1 111 ~ 1 ! 1 .к>тона.
Воз 11с; (я tw1poй 1юс зда н не ма·1·с.:ма· 1 ·11чес1<О1'0 аны-
1 1 11 з :1 от самого фущщмснта , nluн:p нс y6r~u1 т<.:
леса н .11есп111цы , по кспорым <)Н сам 11:16нр~u1ся
1< с 1юнм О'l' l<j">ытиям. М 1 юп 1 е крас11ные н1>1·:щкн
н 1 1~1чалы1ые r 1ле11 дока:1атсm,0·11 coxpa1Je11 1.1 11
тексте. несмотря 1 ra СО/l;Сржащ 11еся n т 1х ош116 -
ю:1, - u поучение все.ч 1 1 аследш1кам Эйлеровой
мыслн. lkрвый учебник, алрссова1шыf1 нс rю­
слс;~оnа·1·слям, а псслсдuliатсдям - тако1ю :.1аrк ­
щаш1с Лсuнарда ~)йт: ра и нссй :-:111охт1 Прuсвс ­
щсн1111 1 ·рядущим Нt'Ка .ч 11 11 арuд:.1м.
XIX ВЕК: ОСВОЕНИЕ АБСТРАКТНОГО
ОТКРЫТИЯ ГАУССА, АБЕJ\Я И ГAJ\УА
Есл11 н ·1 ·еч.е1 шс 1\1НОп1х столетий алгебра за­
ннм;.~.11 ~н.ъ рсшеннс~1 уравнсш1 !'i , то в XL'\. в. ct
l \l'JIЫO е1·алu 1 1зуче 1 1щ: <1JJL'<:6p:111ч<.:c1<11x струк­
тур. Этпт 1-ювый ур< >нt:нь аборак 1 ( 1 1и сш1 зан н
нсрвую очередь с работам~ 1 1:1ет нщ1·0 нсмс:1 t-
1ш1·0 ,\1 а·1·с: •-:~:.~тrп<з К1 рла Фрнл. rн :-<а Г<t усе а
( 1777 - 1~')')).Его заJ1.1ечательныf1 тру;( "Лрнф­
щ:·шчссю"!с исс;1едон<tпия~. ()11у6лП\\()11<.1ш1ый n
1iIO1 l '. , ознаменовзл рожле 1 1 1 1е соnрсме111 юй
•\l<l'fC,\.laTI 1КН.
Га\·сс L1сслсдо 11ал зада~r, 11а;\ котороiТ труд11 -
.11 ш.ъ
1.: щС ма·1·t ,чат11к11 Дре1шсl1 Грсц1ш: ка1<0с
Кар., Фр..,дри\ Гаусс.
ЧllCJIO стор он ,~ОЛЖС:Il ИМСТJ, 11рав1 IЛ Ы rыi1 Иl IО ­
ГО)ТОЛЬНJП;, чтобы el'O м ожпо бь1J10 п остр оить
с помощью цнркулн и 1ш 1 1сйюL? Древние грск11
умели строttтъ М!ЮГОУL'ОJLЫШКН с чи.сно м сто­
рон 1.
-1
.
5. 6, 8. 1О. 1). Uнн :шат 1также. спо.
l l MCH 11ран1шы1ы1'1 MH< ) l'O)'ГOЛЫ 111K, Jlt.:l'K() уююн·1·1,
ч11с1ю е1 о стnрон. А но:3 .ч ожно ш 1 пострш:111к·
r(ирку:1ем 11 JIHllCl-fKOJI Mll(JJ 'O)TOЛЬI 11 11\ОН с 7. 9 ,
1 l , 13 rтopnнa'Vlir' БОJ1ее ;tв:'х тыс}JсL л ет \1атс­
i\1:1 ·п1ю1 пс 111()\'Л\1 (Y\'\\CTHTl1 Щ) ЭТlУГ Т\011\)ОС.
:Ю марта j7C)() 1'. , за МС СЯI UlO CllOCГO 19-J1 ет11Я,
Г;~усс сл:сJ1ал о чеш. n;iж11)10 :~аш1с1 . 11 /(11ешшкс.
Е.\1)" 'm:1Jюсь дсжаза·1ъ . что с по~ющыо цнрку11 я
11 лш1с~'1 ю1 строJiтся 11ранш1ы 1 ыiт 1 7 -у1·олы1ш;:.
в '1'0 врС\1 Я юноша ГIOC'J')'llaJI R l 'ё'l"l 'llНl"CIJ CIOllf
ун11нс1х1 1Т<."l' 11 tщ~ 11t рс11111;1, чс~1у 1юсннппъ
ж11знr, - "1:1·1·смат11кс 11л11 ф11лшю11111 Uткры ­
т11с:, сня :!аннос с rrр:т11л1>11ым 1 7-у1 ·011 ы1111<ом ,
Oll[)CДC!IJ IJI() t: l'O RЫ6Ор 11 п щ н.:3у м:1тe'l1 : Пll l\l I.
В "Лр11фме' 1· 11чt'сю1х 11СС.!1 елоR:11п1ях " Г: 1усс
сформу.rтирон;-1 1 1 теорсJ1.1у: ес1111 /1 - 11р остос
ч11с.11п 1111 - 1 = р,р2 ."р,. сст1, ра:~11ожс11J1е ч11сJ1а
11 - 1 11а простые м1юж11тсm1 , то рсшсr 1 1 1с ypJn
нения х " - 1 = () своюттсл к рсшсттю /..~ урав­
нс1птr1 сп::ш~ш:й fJ 1, р:.· ".. Р1.:· В частностн , ссл11
1l - 1 = l"', уран~ ICIII!l' .'>.'
11
-
1 = uCBO/~ll'l'Cll к це­
почке кваJ1.rатных. ура1111сни~"t.
/1,лн на1·ш1; 11юст1 1 11ринс1tём такоl1 11р11мср:
5
.
,j
\
'
х - 1=(.У- l)(X +х +х-+х+1)=0.
10~


Ип·ория м<~т~матики
IJIS•zl' IH1·10NH$
ARTTHMETICAE
Ll,StAE
ОТh'уда
Х-\=()llЛH
·1>11у~ы1ы~1 \>11 1
nepвnro 111л.1ния
~11111 И К Ф l,tyll,I
~ Ap11cf>м~л 1чert1.11E--
11tt л~·л/нs.111ия)
Ле11щ111г l IIO 1 г.
х1+х'+х!+х+ 1=О.
Последнее ур:~ннснис ра:3J\с..:J1нм на х!·
'
11о
x~+x+I+-+-~
х .,.~
Прои:теля- замену
11 3:tMCTИl'I, ЧТО
1
z=.:'(+-
\:'
'
'
1
z-= x- +-,+1.
~·-
""
nолучпм N!Я z ураu11е11ие
z!+z- 1=О.
;\ /\ЛЯ .\' ИЗ (*) уравнснпс
х~- z:\·+1=U.
(*)
Реше1111е уршше1шя х5
-
1 = () сксдснu к решс­
ш 1ю дnух квадрат1 1 ьLх ура1шсш 1 1-1 и o,1нu1·u m1-
11сt"пюго.
Ypallнcю1t:х1-- 1=О('!'. с. 11- 1 = 2'
1
) oю­
J\t 1тся к чстырl:м кн~щратным ур::т1 1 е11ням. и, слс­
донателыю, 1 1 rан1 1 1 1 ы1ыf1 1 7 -у(олы111к можно
посчю 1 IТL с 1ю.vющью 1\1 1 ркулп 11 mrнсйю1. Гаусс
дuкаэал. что в том случае, кut /\a ра зложснщ:
ч11с: 1;L ll - 1 содержнт множ11тсл 1 1 , отличные
от 2, ураnнс1-111сх" - 1 =О 1-н::m,Jя скесп 1 к1\епuч-
102
К<: квадратных урав11с.:ннi1. Л з11ачнт. 1 тевозмож­
r ю /l<.:J 1 <:1шe окружнuсти 11а 7. 1 1, l .l, 19 частеiJ.
~лр 1 1фмет11чссю н..: 1кслсдоn:.1 т1я" стат~ на­
сгш1 ы ю!1 KHI ll'UiJ M:1T<:M:JTI lKUll XlX 13. lkнь :щссь
cn;~epжaЛIICb l l t: ТОЛl>КО }/рюн; pt::.iyJ IL>T3T bl , но 11
rю111,1!1 матс,1ат11чесю 1!1 ш 111ар:1 г нля нсслеяо­
nат 1 ия ат·еnра 1 1чсс~<11х урат-1с1шr1
llапомl!нм , ч ·1 ·0 сщё матема·1·11юt Дрепнего
Междуречья р1ел11 решат~ , Юi:.tЩJ;tт11ые ур::11111е-
11ия, а в XVl н. n ИТ'JЛIJИ были 11::11\~е1 1 ы фор;ч~лы
дт1 корней урш.з11е::1111й трс1ъеi1 н четвёрто1· 1 l-гt-
1 1 снt:1I. Пuщ:ю1 фор.,1ул /\ЛЯ ура1шеш 1 lr пятой
< "l 'l'П<:н1 1 11 ньнщ; уснеха 11с нме;ш В l 77() г.
фр:.1111tу:.кю111 .ча1·см;1т111< >Кспс.:ф Лу 11 Jlа1р;шж
( 1756-JRJ.)) к р:16оте •P:t:Jмыш;1еш1>1 об ;1л1·е6-
ра 11 чl'с ком p<:LIJt: 1 1н1r у1х1 к11е1-1 1 1l1-> кр11т11 1 1t:.'ск11
псресмсп 'рел 1к<.: су11tеств) 1011t11t: мс.:тод1.1 [1<.:111t:-
1шя )1Xtm1e 1111!1 11ерnых че·1·ырfх c1·L:пe-11e1't, что­
бы ПOILЯTu, поче.v1у l lll o;t11 11 11.3 lll!X 11(; Г()/lllTOJ
мя ур:.11ше1шй плтоi1 стеn~.;нн. Ла 1 р~шж н11ер­
выс рассматривал rруп11у подста110110 1-: корпсй
ура.1шсrпн1 (см. статью ,, 1·ру1 1 nы » ), указа ~\, lJTO
т~uрин IIOДCT;JJIO I IOK ЯНilЯСТСЯ <- l!C'l'l l НLIOiI ~ICT::t ­
фн:ШJ<OCI рсшсшrя ураннс1-111й».
В J А24-1826 1·1 · молодой 11орnсжск111! учс-
11ыl1 Нш1ы: Хснр1 1 к Абст, ( 180l-ltiL9) .:~.uка­
:1ал, чтu 06щt:t'1 формуJ1ы J1,J1я р<:шсн11я ура11не-
11иl1 степсн11 11 :;;,. :; 11t сущсс·1·кует Лр11 это.\1
11екотпрые ур::ннrснпя \Ю1·р· бытh ре11н::111,1 11
радикалах.. а друп1е нет, n 182С) \',. 11<:::'\адолгп до
свое i1 бе:шречс111ю1'1 смсртТI. Лnелr1 опуf>л111ю­
nал •Мемуа.р об ою-юм особом классе алrс6ра­
нчески разреuшмых ~'ра13не 1 шf1» . Н ьше 11х ва­
·.~ываю1 :lf)слсны1,ш ур;ш11сшшм11.
l louыe круш1ые отт<рыт1 ш u :.tJU"c6pc С/tелал
моло:~;от·1 фр;шцузсю1й уч<.: 1 rы1'1 Эuарш"г Г;шуз


Нилы. Хенр11к Лоель .
Memoir в
l c t 6qr1ationJ at s~briques
. , , ,. 6./ofi•\11!1'0 1 "roшi""'81• i•" 1tнt1.t." 4• rеч..-111.-.. ьblta'lir
ф,, 01111(11!f11t•~<tl
Ga r1•11tt\1&
O• lir-1,,,., .1•" tlt••_ . l"H
lftt,.
« Ме"1уар об uл1 ю"'
oco6o\t tUн-lrCP
алг~орм 1ч<"ски
f) rl iiJt'Шll\llol X
YJJ~ 8H E'Hl111
Н Х: Аб"""
И1л,1ние 1R24 г
(1811- 1 ~ ."il) Развивая lЩCII лагра rrжа, Гаусса
нАбt'!IЯ. 0 11 1юстаниJ1 и блесп1ще решил :заf(ачу
о 'l'OM, KdK по ннл;у yp:iю-t('H l l}I .\·
11
+a1Xl/-I+."+
+{/" 1-' + а"= о 0 11рС/\СЛИТЬ, pcш~lC'f'CJI ЛJI оно н
ра;1ю<ш 1::~х ('1. t . существует т1 форr-.1у;1~1 кор11tй
да1 llIOГ() )1)аf111е11ш1 ). Д11н знm> 011 JШtЛ ГЮПЯ-ПIН
лшш 11 rр~тmы по/~;ста1101ю1< 1юр 11е1:1 ура1111сrшя,
те мешнощнх прав11лыю сп1р::щ1ю11алы1ьrх со­
отrюше1шi 1 между корнями~. cтanrmtt." oci юш rы­
ми в теории l 'алуа. Dнар11с1 Галуа пог11б н;~ ;~;уэл 11
n .Ю ж:'l. Свои рс:1ут.таты оп очень I<P<.11 ко из­
ложиJ1 11 ;1нух м с чуарах 1~ .-юг. и в mtеьмс. н ;111и­
rа1111ом н 1юч1, nc rк·1\ 1юс; 11шкuм.
Потрсбонашкь дсопнJ 1 е1 · 11и , • 1 · 1·uбы тсорш1
Гал~'а ст:u1а 1юняп1 а м:пt::матш<ам. О нt.:й рас­
rказ;v1 в 187() 1· фран11узск~ нl уч~11ы~'1 Кам11m>
Н овое время
Жuрдан в «Трактате о 11 0/\С'rанов ка х 11 алгеб рз -
11чсс1шх ур:1внснш1х->. 1Jo м~рс то1·0 как н ;m1·сб­
ре происхо,п;r 11ги нзмснсн11J-1 . с11з 1iа Г:туз росла.
В 18SЧ 1 а111 m1i1cю п'i мзте м атик Лрту[> Кэли
( 1821 - 189'5) ; 1ш1 общtt' опредслсшн.: 1·руппы
как конечного м 1 10жес·1 ва объе ктов пр оиз -
1юлыюй природы с :-iaj\a1 11 1ым за ко 11ом 1<ом­
nо:J1щ1нт, который удовл етво ря ет услониям
ассоц~rат1rnностн, С) ществоваr шя е;пrю1цы 11
од11о:шач11 ой ра з ре11111мости уравш.'11нй а.\= /J,
J'CI. = /? ДдЯ ЛЮбЬL'{ С/ И lJ. [-{ 18<)8 1' l!С.МеЦI<НЙ
учёнш'1 Генр11х Вебер (1842 - 1 У 1 5) ссl.ЮРМ)'ЛИ­
rюкзл :JКСИШ,\:JТl-1 Чt'CKU{; 01 1() l'ДеЛСН1 lC 1'/)УП IJ Ы ,
Создатсл "1 теор~ 111 гру пп исходиш1 из про­
блемы раэреш1 ~мости в ради кал.ах ат·сnранчс­
с1ю1 -с> урав11<::ННЯ 11 1•1 :ЗУЧ~IЛ11 J'Л;HlllЫM оnр<~:юм
rpy11111.1 1юд<.та11()пок еп) кор11сй. Те 11 е р1) же
группы 11грают ~цжr1е1~1шую роль тю ч1ю 1 ·н х
областн.х Шl)lШ: fl тепр 11н /Щ ффереrщнальных
уравнений (rpynпi...i Jlи). н фи:щкс (группа Л о­
ре~-ща), в геометрии (rр-у 1шы прсобразонаt111fi).
«ВООБРАЖАЕМ ЫЕ » ГЕОМЕТРИИ
И·1ак. в x rx Г!. ~1лп.:бр<1 нес 60JIЫ lle ;1 бс грап1ро­
наJ 1 :1СI> от 1 1р11 г:нщ1,1 н:.!учз см ых оnъе1пов. CтoJrh
же p eu<>JllOl\l lOJ ll l l1IC ll:iMCHC!ll IH llj)Ol ICXOДJtJll 111
n гсомстрт1. 0 1111 с11я:з:-~1-11,1 с JТ\1er1:iм11 К Ф. Га­
уссз, Н. И. Ло6ачеrsсJ<сн о, Я БолLяя 11 Б. Р11ма 1 1:1
(см. статыо « Гео.метрIIя Лобачсвс~со1 о").
Jlocлc того ка1< n 111 в. до 1r. .:> Евю1нл т1зло ­
жи 11 CIJC'I сму ;!!\СНОМ rеомстр11 11 , Hl11 1.\1:tl1Ht:
учi..' ны х 1~ '1 '(.' ЧСI ШС MHOГllX CTOJ I C'J.'llЙ было 11~1
111хшлс1-rо на : 1кс110м у о 11араJUlслы-н,1х , кuторую
назhrваю·1таюке1шт1>Jл.t 1rос1ула·tом. 01.1 ,11:J 11 :J et.'


И<..тор11я мdТt'мд ·1 ики
фор_муm1ронок зnучнт так через точку Al, лежа­
щую J:\1-H: прнмол АВ, н 11лоскос'1·и АВМ можно
пронсс1·н толыш одну нрямую, параллелы 1 уюА.Н
Ма·1·с.\1а· 1·11 ю·1 е~ремндись либо за_11>1снить акс1ю­
_\1у () пaraлЛt'Jll,HЫX ООЛС:С 11рОСТОЙ , И11'1 ')'ИТНА I Ю
яс1 юй , ли()о /(01<a:Jaтr> её как теорему, 011и р:шсп
H;J ЛРУ l 'Иt аКСИО :\1 1 >( <- НЗЧЭJI·>, nри этом 1шлот1, до
Х1Х к 11икrо пе С()М11енался 1 ш r. \К' 1·и~шост11
П>fТОГО постулат~~ . ни в том , <ПО СlЗЮlИДОRа
геометрия C}\ИllCTUeIIIIO UO:ЗMOЖii<lH. JIИ п том,
<по orra ошкьшает реалы 1 ыi1 фи:шчсский мпр.
Гаусс обратился к теорш1 rrа раллеJ 1ьн ых в
1792 1'. С11а•1щ 1 а он напе suн:я 1\(Жазать 1 ш 1нй
тюстулат. но зэтсм нrи111ёJ1кмыСJ11 1 о1юсr· рос­
н 1 111 11овuй 1 ·соме;:тр1111. которую на:тал Нt'ев­
кл1щово.й. Н 18 ! 7 1· в щ1ном и:r гrнсем учfныl1
11р11:.шался : «Я 11 рнхожу всё 60J1et к убсж;\е1н110,
что пеобходимосJЪ пашсr:-1 1 ·еомстр 11и нс мо ­
жет быть доказана». Во обнародоватъ эти идеи
он не репптся и:! боязни быт ь петтонятым.
l·aycc не опублнхонал ш-1 один из сuои:х резуль­
татов. хо·1·н 11:{ его n11ct.\t и личных бума~· нпДiю,
что он ра:чх1бо·1·ал оснонныt: положения нt:ен ­
юш;.1овой 1·ео метr 1 1 и.
Т1юр 1 ~ам1·1 новой п.:ометрнн ст:ши также 11ро­
фсссор Ю1з:1нск01 ·0yr 11-rнсрс~п·t:та Н нкощ1:й Ивэ­
но1mч Лобзчt:пскш'r ( 1792- 18">(>) п Нt:t·11 ·ерский
мате1щ1 тик Я-110 11 1 Болынl (Бой~ш) ( 1802- 186()).
R отш1-с.11 1 е от Гаусса они стремились рзсnро­
стра11нт1, свои идеи, 110 болы 11 ннство матема -
111ков тогда сщё не были Ротоны irx воспритшть.
Рсзудьтаты Я нош~1 Болыrя бьши сжато изло ­
жены в 18.52 г. Е пршюжснии к ю.шгс с1·0 отца,
Ф;1ркаш;1 Болыш. Тру;\ Н. Бол.ьш1 " Гlршюж.снис,
содсрж:~щеt: науку о 11ространстrк: , абсо;uотно
l l("ITll-11l)'IO, НС З:llШCЯll\)'IO O'L' IКТИННРСТГI llJlll
:южности X l акс 1 юм1>1 FRКJ1нда ( ч тп а p1·iu1·i
н1 L1'n1лa рс:ше1 1 0 OhlТ I > 11t: может)» обыч1 ю KPJ'l-
кo 11:ззы11ают «Аnпе 1 щш<с,, (.1шт. <·прш1ожстr11е»).
Прочпт;~н это соч1 1 1 1е1шс, Г;~усс натп r сал cnoe-
" f)' учешrку. мат<::мат~rку Герли:шу: "Я считаю
MOJIOДOI о r<::OMe'I ра фон UOflbllЯ ГСI 111ем псрно1'1
nеш 1чины». О1111а 1ю н шк1.ме к Ф. БоJ1ьшо оп
ото:шался о соч1шс111ш Яноша l'оразлu сдt:р ­
жанн<:t>: <ТСГlt'рь кос- 1 1 то о работе Tl:IOCJ'() <.'ЬLIOJ..
Есю1 Jr начну с того, 11то ;j'r ·y ра6оту нс д01 1жсн
XH:tЛllTh, ТО ТЫ. КСН-IСЧНО, Jl:t Ml'HOl:Sl:ll l fC 11О[><l­
ЗJIШЬСЯ, ни /Jl l aчe н не М(IГ)'; XH::tJlll'IЪ сё 3 11 ач111ю
бы хнал~пь с:11vю1·0 с.:сбн· uсё t:ОJ\ержа11нс сочи -
11еtл1я. н уть, по l(CYIO[)OMY 'ПЮЙ Cbll l 1 юmёл, 11
ре:-1ульта1ъ1. которые 01 1получил, п очтн сплоm1,
со впадают с моими собст13е 1 п л .1м11 достнжени-
1()4
ЯM l l, которые ЧЖ"ПIЧНО нмсют ДШ31ЮСТЬ 30-
~') Л<:'! "'· l le IJ;JЙ)\Я IIOДf\Cj)ЖКll у СОRрс:мс 1 !H l lKOB,
Я. Больяй 11ерсстал эа 111t,\~аться м: 1 ·1·ем:УJ 1rкul1 .
Оп ) J\1cp н СОС'l'ОШ 11111 1 ·лубок<11'1 / (спрс.:ссн11 ;;1
несколько лет д< >TO l'O, как нсевr<.rrндона 1·еомст­
р1 1 я nо.1 1 у'Ч1 1ла 1кео!1щсе t1рнзнз 1 11rе.
Лобаче11ский н~ 1ерные 011убт1кп11а11 рс:1ут,­
таты своих 1·еомстрнческих 1кслсдоиаш1й 11
1829 г. в работе «О 11ачалах геометрии» . Зате~1
0 11 ра:ш 1 ш;v1 ::>111 ИftCH во M I IOJ'ШC трудах, IIЗДll ­
вan u11 rхся нс только rш русском . но 11 н~1 фран­
цу:кком 11 11t'мсцком я::~ыках. Учены~-1 смс1ю
11ис1л о тuм, что тrарн/\У с 1·сомстр 1 1с(r Е1:1юп1;(;.1
cyr1(cL~r· кyt'т нру1 ·ая 1 ·t'uмстр1 1 я. кm·оrую он 11э­
з.1:1ал вuображаt'мой . Jl11шь 01 1 ыт, счнтал 0 11. ~ю­
жст rеш HTl1. Ка К;lЯ 113 1·еомеrри 11 J HvJC:tT MeC"IO В
ре:.tльном 1 ~ростра1 1 c1·uc.
Птъ1й пооу.1 1 ат Евклида Лобачево:11й аа­
мt>шщ следу10щ11м: сели дана прнмая AIJ н
LLe лежащая ШI IICЙ ТОЧI<а Ji, '!'О LJCpcз точку .ни
плоскости AH,\J можн о провести две nряь·LЫС.
пара1 111слы1ьн.:АВ. Ilринсдf.м 1 1ссколько тсuрсм
1 ·сометр1н 1 J10\1ачснсю..J1·{):
Сумма у1·1юн трсу1 ·олы-1 1 1ка меJ 1 ы11с J8()0 Она
11ЗМl'1 1 я<::тся пр11 псрсхо;~е от од1юго тр~уголь-
11ика 1с другому
Не существует 1111 o,r\rюi"i нaphl 1юдо61щх
треуr·олы п1 ков.
Нс через каждые три то<1ю1. 11с лежащпе 11а
прям.ой, можно провести окрулшостъ.
Не Сущсст~ует IIИ одного ттрш,юуголышка.
DOOBPд,/ltAI:M A.Я
:1!}
Г Е О МЕТРlЯ.
\'/
Т11Тум.нt.1 и
\~IL-Г Ktllll JI
1-1 И. Л<!б,JЧt-'R • 1,111< 1
, Воо бр.:~ж.1t· ,4,151
1etJMl'l р11я ' K<13d1t1,
1835 г.


:7 ·1
·11 у·1·ш·рж;1сню1 к:.~ :~ат1сп сощJсмс::н 1 111кам
ст11~ш1тыми , Не",Jн.:п 1.1ми Круr1не 1~ш1ие "1й.Тt:М<Уп1-
ки Росс1111 - М. R. Оt-1ро1радсю1й и В. Я f)ут1-
к<>nскнй выс1·}"Пи;1п нрот~.ш 1ю 1юй rе()ме·1 р 1111 .
Кр11п1 •1еоюе (1Т1 юнн::1111е r<o1mcr несщ),,1ило Ло­
баrrенского. J kнзирая на отрицатею,11ыс per(e11 -
з111i , 11жмешк11 , о н продо11жал и<.:сж:,!\оваш1я .
LJoc;1c С\1ерп1 Гаусса были 11зданы n11сьма, в
которых 011 н:;лагзл с 1юн нз1·яяr~ы н а нсевюн r-
дову гео метрию 11 тюсторжсн1ш п1зын;11 1 ся о
со ч1111сюшхЛ06ачснско1 ·0. Н:.~лрнмср, н I R·16 1'.
Г'~l)'С:.:С' 111 ICШI OДf I01\.l)' И:1 ЩJузс 1'1: «Ло()аче 11L1\J 11'1
тш1кус·1 · о 11редм сте r<ак :н1атrж , в 1rст1 1 1 11 ю
1·ео:v~етричсошм ;1уле. Я с ч11'1:но ссб>1 of> >1 :1a11-
111.r :v1 06рапп1, Uавн.: в 1 rима1111е ш1 юш 1у "Гео ­
метр11чесю 1 е нсследоnаrшл rю теор1п 1 парал ­
лелы1ых 1ш1111i1 ", чтс11 1 к· которой нспремсшю
при11еl'fт ~ам бол1>111ос )'ДOIIOЛl>C.'TBHt"» .
!jш1ч '.нн; 11е<::1Sкп~щока !'<.:'Оме1·р 1щ ю1 зан:1сь
<.:IOIJ IIO!I. к ко·1·оrо11 ОПl'LС:!Н фа Н'J'~I СТИЧ<.:С.КI 1й м 11 р.
Где 11р11мсюн:тси эта 1 ·<.:u мстрин?Нt: содt.:ржнт ли
0 11:~ nро·1· 11 rюрtчи11? Творцы нoun il t·сомt:три11
счm ·<1т1, что ма·1ема1't1чесю1 е :1 бс1·ракцт111олж-
1 tьr выражать реалып,те свойства окружающего
'111ра. 11 на ()стющ11ша опытов 11ал.еялись отв<:>
11-пъ на ноnрос. к:шона rеометрш1 фн:шческоп)
простр;111С'111а. Лобачевский, н.нтример, запялся
неnосрс11ствс 1111ым измерением «космУ1 чссю1х
трсугольн 1 ткоn», раL'сч11тьшан с: IГО.\Ющr,ю дан ­
f{ЬJХ ;1стршюм11н 1 юказа ·1 ъ, что cy~'<ta 11х уиюн
не р:шн~1 18()0
,
0;\н~ко вп;: сп·юю11с1·111 я 1У1 1R0°
окд;1J11 1 сь R J1рсдслах точнпст11 11<1блюде н11й .
Toma учё1:-1h1й выска :1;u r пре11полож<.:1111е, чтn tто
1сометр11я ()JJ11c1,inae1 · м 11 кром1 1р.
Впоследст1шп мате,,,.1а·1·r 1 rп1 рс1111rm1 11р<1бле­
му 1штерттре:тацш1 t1еевюп1д01кн't rеометр1-1 11 , а
ф11зr r ю1 ш: попыовали сё рсзулы·аты в своих
псслсдоnа11инх. И что примсчатслыю, н осно­
ве ~ювых ндс~: 1 лежал;~ теория повсрхrюстсf 1,
сuзда11 11ая Гауссом.
l'aycC .\ltfl(JГU JICT :;al-IIJMaЛCH l 'l'OДC:J ! l <:'(J: пro­
JIO/(llЛ 1'соr~с.ш ч ескую съёмку Ганновt.:rско1·0
корош:rктн:.1, 11:~м<2рял )~у!')' мL:р1щи:111:1. ()1-1 прга -
1111зовh шал rюлспыс 11змерс11ня. сам и 11ох ~rча­
ствоu:lл, выrют1ял трудоёмюrе иыч11слtю1я.
В рс:-~улптатс 0 11 ()'r·крыл 1ювыl1 ра~щсл мэ·1 ·сJ\1:1 -
ш 1ш - шrу~рс11111ою гсо.-.-rстршо понерл1 юстей.
l\ 1828 1'. Гаусс оtrубюпювал «Об щие нссле7'О­
вання о кривых nоверхлостях~ . где 1.1 11срвые
бьuю введено п о11ятис 1·ауссовой криnн:шы .
Исслсдо ванил ravcca нротщлжилФсрдш rанд
Гu1·;1н601щч М11ню~111, ( 1H06-1RH5). ро<тн~1-
Houoc uрсмн
,Аь_
EDJ(!!
J\111 хаил Н;н 11лы11-нtч
()п рогралс ~•111 .
cюrfr м;1тсматн1< , нс:мец по пронсхождешно.
работ;~вшю1 вДсрnт<.' (пы1 1 е Та рту). Оп 11эучил
IIOIIHTИ<.: К\)ИВИ:3НЫ П()BCpxrIOl."IЪ , крини::.ш',l К()­
торо 1'1 р:шн;~ н~·лю, сс· 1 ъ простая 111111 11Jо 1 ·нутан
НJIC)CKUC'l'I>. Jloнt.:pXHOC'IЪ. KJ1 J I HJ 1 :н1;.1 KU'l' l )j.)OЙ
ПL>CJ 'O}l l IJ l a J 1 ПOJIOЖ1ITC:J!l1H:! , МС)ЖС'I' nЫ'ГЬ H;JJl(J-
Жt:H:.1 11<1 111:.ip. М1 1 н;(111 11" рассмотрсJ1 по11tрл ­
ЕЮС'LЪ 11oc1·mr~11 юй отр11ttа'L'е; 1 ы1ой крr-11шз1н.1 -
так щ1зыnаемую псс: н,~осферу - 11 11 а1 11 ел трп -
1·01ю:мс·1·р11чеl.'ю1<.: соотщ)111сн11я н т р еу гол:u­
r 1 ию1х на этой поверхностн.
Юtк сжазалось, Лобачсвскrrй в юшге f Нооб­
р:,~жас .м ;:~.я геометрия " вынел ,~ля чху1·ол ы шков
те же с:tмыс трагиномстрr :1 ческис формулы , что
11 Ми1-1днв1 · д;1s1 треу 1·0J 1ы~нксщ на 11сt1»дщ:фсре.
tlo <:JJ aчa11:i \'Чtныс не Jа.щ~н1л11 Э'1 ш·о сон11аде­
ння . Чсрс:~ ~·;1-юr·о Jll"I . н 1!'36R 1·, н:1 11<.:1·0 1 >6рат11л
11н нман 11с 11·1·а,1ыrнск11 !'1 мзтсматнк Э\·дж<.:111 ю
Rem»r'J):iмн ( 1R~-1- 1900) 11 /(O /\a :1aJJ . чтn l'COM e"l -
pr1н orpa11 11 ч<.:111 ю lr ч:~п· н 11лоскос"1· 11 Лоб;~ч<.:1{·
оюго спраиедт 1щ1 ;~ля rю::n;1осфер1 ,, Р:1:тык11с ·
~шя , да11 11ыс Белътра;ч 1 1, помоr'JIП поr1~п 1. п
лрн :нr:пъ 11есuктпщоR\' J ·ео метршо.
fkp11xapд Рт'rматr ( 1826- 1Н66), матс\1а1т1к 1 1 з
Гt'рм;шлт1 , перстёл от IJ зучс:r шл 1юверх1юстеi1
l\ JI C:.:CЛCД(JВ:Шl l IO rrpocтp a!ICTB. В J IIOJH: Н)-1 1 1'. ~
['ёт 1·1н 1 н~1кком у 111н~чхнтt"1·1;: 13 r1 р 1 к~"1·с1·1ш11
Гаусса он лроч11·гал л<.:кц 11ю ,. о 1·111ю·1 <.::JаХ, 1 1 с­
жащ JJ х в ос111 >ва1 1 1111 1т uмtтр 1111". Глу6окис 11
смел ые \llЫCJ llJ P 1 1мat-1:t. 1 1зложенн ы е очt.:1-1ь сж:~­
тп, соврt'ме11J1ию1HnL·np 1 п 1н 1111 11 е сра:зу. Лскц11н
была опубл11ков:.ша 11ш111, в l~bl~ г" 1юсж~ с1 0
смер·1' 11 . 1lонят11е кр1ш 1 1:111 1 .1 пр оп· ра 11 ст11а
у Рнма11а - это обобщсшн: л.1уссо 1юlr кри­
в 11 3ньr д.11я п о uсрх.rюсти. Обращепне кr 1 in11зr1ы
в .н ут, во нсех точ:ках характсрн:3ует е 13кл11до11u
1()5


л!Jъ.
& l(!J
Исrория математ ики
простр:.~н<:тво. Гt:OJ\tC'tp11я двущ.·р 11 01·r> 11110стра 11 -
сг к ,1 <.: rюt•1·о н111 юй п олож .1-пе11 ы ю11 крнпн з 1 юi'i
сов1 [;1;щt"J' с 1 ·eaмt.:·rr11eil 11а сфере, а гео .v~етрrтя
111юс1 р:11тс тn:1 с 1юстояшюй отриr~ател ы юй
1<р11щп1юй - с 1·епмстrией. Лоба ,1 евс1ш rо.
Открытня Гаусса,Лобачеnскоrо. Рамана з 11а­
ме 1 юкш11 собой реuолю11ию в о6ш~стн чсловс­
ческоr1 мъкли - nрсобраэованн<.: ф11знчесю 1 х
воззрс1111й на 11ространство и нрс~tя Уже R н а­
чале хх: в. в · 1рула,'< А. Эйнштейна, А Пуанкаре,
1'. М111-1ковско 1 ·0 6ь1J1а со:щ:ша с r1сц~1ат,ная тео­
рш1 O'l'llOCI LTCJI 1.11ости, а та кжс уст:н IOBJJCHa сё
с кюь с 1 ·с< >:-..1стрl1сй Лобачснскою. R 191 6 1·. ~й 11 -
ппсй 11 1юс1·ронл ОU Щ)'Ю теорию OTI IOCI ITCЛ!J ­
HOCTl I, OCIIORЫЩlЯCI• 11(1 работах Гауссl! о югут ­
ре 111 1ei"i гео!'vlетрин nоF1срх11остей п нсполь:зун
'1 ;-~тем:~.т11ческшl :1 пттар:п 1 ·еоV[етрш1 P11Jv1ai1:1 .
« ЭР/\АНГЕНСКАЯ ПРОГРАММА »
К/\ЕЙНА
Ещi:: 11 f~ре1шс!1 Грс1~1111 была 11:3 11сст11а сфср11-
чсо-:~н11·coмC'lptiя, к юлороr1 пр111Ю)\m1и з;.ща ­
ЧIJ астро 1 юм1 1н . Состаuле11ие 1·еографичtс1<11л
кзрт трсбоn;uто 11а~'1т1 1 сnосо6ы о·~оnражсшп'1
,-.Jm 1и11 соп1'а [ l a JJJюскость. Художшпш. архнтек­
·юр 1.1. 1шже1 rеры ра:~рабатын<lЛи правш1а 11ер­
спскпrны. II 1822 г. Жа1 [ l31 жrop По11сс:ле ( 1788-
t 867). фрапцузскш'1 матс~1атпк 11 1шжс11 ер ,
опубшшовап •Тра ктат о t 1 μ0<.:к· 11 ш 1т ых сно1'1-
ств,1х фи1 ·ур;; Он 11сслсно1~ал сtю iкт ва , • 11сна­
ру111:1см ы с 11р1 -1 11роскт11rонанr ги ~ . Нс1ю. что
;\J llJНЫ IJ )'l 'Jrh1 н 11роскц нн ,\ Hl' COX (X!IНllOTCЯ , но
'l'ОЧКН , ЛСЖ~Ш\И (.' на OДHOII примой. Ta t-. :OH1>1'\1( 1 1-1
(1ста10тся . t 1 ересекающ11 ео1 1 1рямыс ос'1·аюто1
1U6
нсрссскаю щимис:я . Та.к во::!н11кла 11дс:я щх:ледо·
наТh с войс:тва ф111ур. 1111 на р11а11тньк: (Нl'llЗ\\СН­
ные) опюс11п:л 1t110 проскт11ров:11-1 11н.
После та1·0 ка1< fi ыло rюказ:шп. что rt.:омст·
р111'1 Е11кл 11да 11 Лоfiаче11оюгп ран ~ 10nр<11111ы, на·
:1рел:1 псобход1 l\IOC'l 'I• }\:1т1 , кл:1сс 11 ф1 11<ац1 1ю всех
сущсствующ11 х 1 ·ет.,1С1]1Ичесю 1 х 01Стем. Эту за·
да ч у реш 11л 11еме1 1 1сий матсма1r1к Фел11кс l<лей11
(18-J.9 - 192')) _
Сво 1 J иыс1ш l{лci-111 выск~1:1ал в 1872 г Вету·
нан н должпость 11рофессора Эрла н1 ·l' 11 с:кого
ун11ш:рс11тс..:та. о н 1 1рочнт:ш J [скц11ю •Cpaнш1-
't'l'J1hl юс обu::!рс..:1-1 11 (:' 11онейш11х J 'COM t"Г(1 11ЧCCIO-L\
1 н:слс1tован1 11~1Q. н з:нестн~·ю п о; ~ 11а~{н~11111ем ~?1р­
т1н1 ·с1 1 ск:н1 11р о1·рамма-> .
По Клс1111у, ;1л н 11ос1рпеп1 1я ·1иi1 11J111 1111oi'I
r·ео метр1111 1 1уж1ю1адзть м11ожесmо эле~1е 11тов
11 I 'py1111y прео6 разон:~. 1 1нi1. Задач:J I·еометр1ш
состоит в пзучеш ш тех от11 оше1111i1 чежду эле­
мепта.ч11, которые остаютс.н 1111 nариа11т11ы\111
np11 всех прсобразован1 шх J \анно~'1 групны. lla·
нр11м1:·р. rCO);It~тp11111i НЮ\Н/\а нзучае1"t l' l'JIOf1erna
фн1ур. которы<.' остаются н с:: 11 :1мс111 1 ы,ч1 1 11р11
ДKHЖCHllИ. llo CCTh 11 друтне НllДЫ ll'(),\lll'Tp11чe­
CKИ X rrpcofipa ~ю.1:1:11-11 111. ко1 1фоrмны<.:, нt:прерын·
Н111t:. т 111сr1ныс 11 т. д В 1<n11формно11 1 ·еомет·
rнн1 н сслс1tуются 11реоб ра:юпа 1111я , которые
11ерсВОf1.ЯТ кру1 ·11 н "РУПI и сохрт 1я ют~тт,1. То­
поло 1·ия ~1 зучаст вепрерыn11ыс преобразооа-
11ш1, аффшш:~.я 1·еомстр11я - m 111cf1m,1c nрсоб·
разоn анин. Клс1'i1 1 :i:tмcпur. чта свюшдовы
дш1жс1-U 1я, nрсо6р:t:юван 1 rн ПО/\О61щ аффuн-
11ые . 11роскпшньн:.:. кuнформ11ыс врсuбра:юва·
1-11 Ш 11 1 IC<::HIO ll1/\UllЫ /\ Ш IЖC HJ IЯ оnр~1:1уют 1руr111ы,
eCЛL I C ЧlfT;ITh 11\)0ll ЗKl:[\Clllll'M нвух 11рсuбра:Ю·
в;~ ннi1 результат п ос11е,.ща::~т~.:лыю1·СJ 111.ню1111е·
11ня да1-Jных пр~::обrазонат1й.
Про 1рамl\1а Клей11а осущсс1111 1J1а 1ю1Jыi1с1111·
1·е;1 l!Л гсбры. 111·еометрпп. та1< ч·1·0 в ХХ в. 11за11·
!IIOЩIOI 111 IOIOllelП l l: этих ДlJСl\1111ЛИ11 стало ещё
более ГЛУбОI<ИМ.
Ра3работанпая Кле.\1 нам 1'лас:с 11фнкацил
1 ·со.метрщl пс BКJIIOY.:IJI;.! в l't:бя ф\'Н)J.:t~IСН'1'<1ЛЪ·
ные и11еи Римана. Кле йн 11:.1~ LitlJl 1·pyt1 11f,1 1 1 рсо~
ра~юн:н шй . Рнма н же в1 це.1 1 цс; 1 h 1·со,1етrю11 в
н :{уЧtННН 11 po<.T(1:llfCTll. 1-l :! ОС Н< ШС Cl'O щ:следО·
ван11й в хх li . н 1\1атс:щ1•пщу l lOШJll 1M<:'l'p l·I Чl'C KllC
и·1
·n1 ю1юп-1чсс 1<не 11 рпстра11ства, l1ш 1 C()1Jtan
фу11ю1т1011:1111.11ыil ан ;.1л11.1 - ра;щел мат~ чаш­
ю1. n 1<0торn,,1 о(i()(>щаются ос 1 юн~тые операцmJ
;\1 атема ти чсского анализа: прсf(сльпые пере­
хо,11ы, д11ффере 1 ЩfJ ponaп11с. ш 1те 1·р 11ро11анrr~


Новое оремя
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ
!lтшлай Ип:11rо~пч Ло6;;1че13с1щi1 родrшся п
l 7<)2 1'. 1 iнж1т~м ! lон1·ородс. Ко1·да .м;шъч1 шу
б1>uю дс: 1ш·1ъ лет. <..:с м ьн лерL'ехала в K:1Ja1Ih.
Здt.:сJ, ll1 1 кo11a>J u 1 1pe;te_1 11 1л1 r в r ·11м 1r :1:н1ю <·На
ка~Снныr'1 сч<:т··
R 1R07 г. \ L\-, 1t:'1·1 11 н1 1-\ 1 1коJ1:1й Ло(')~1чснсю1i1
rт:1л ст~дt.:нтом КазанскС>1·0 ун1rнcpc t 1те1«1 .. кото­
ры!1 открылсн т11111. ;щумя 1 ·олам11 pairee. Т:1м
rtpcпoдan;vщ nчспь хороттшс м::~тем:~ттнш, сре­
д1 1 ш1х - профессор Маμтин Фё1101 юв 1-1ч:
(Нога1ш М;1 рт1 ш Кр11стна11) Партельс, бт тзко
зн:1кочы11 с сам.нм L'ауссом. Прс11одаватсю1
nыде11.ял~ 1 на 1\урсе двух студентов. .Иrшrа Сн­
'юн.она (нnослt.:дстю 11 1 он стал J 1 рофс-ссором
Каэанско1 ·о у1ШHl'\ll'I1тст:1) н 1tJ.н<o!faЯ Лоб а ч<.:в­
скш·о. в ОТ'1ЫВl' Дl'Ка11а, ЩJC,ЦCTaШICHIJOl\1 R
IRl2 1'., 1 ·0 1юр1щосh: "хотн Снмонон хоро 1 1ю
ос11едr1;1.1лё1-1 R м:1темаn 1 чtтк 1 1х на~гк:~х, щ1нако
Лоб:1че1кю 1 1t нрсrюсходнт. особенlю R 1ю 11 -
росах то11юtх».Дска11 ут 11 шсрснте1·а с<штал. что
Лобачеосю r i! «П будущем пе сможет ост;~ться
неnрослаnлс111 rыи».
Кар1,ера Jlоб~ · 1евско1·0 разшшалас~, стреми­
тслыю В НН-1- г. по рскоме~rд:щ1111 13артсльса
его утнер;щл 11 <IДЪIOJIKTOM ( t ЮМОЩ НИКОМ про­
фессора). а чс.:рс::.~ дна 1·о;р. R нозрастr; 2.) ж:т,
\\Ыбр~IJШ экстраор,л;и 11 :.1рным 11rюt\х:е<.:ором (со­
от1:1стстну1:т /lOJJЖI юсти дшtt:нта) . В J 822 t. Ло­
бачевсю 1 (1 п·~т ор;о-1нар11ы .v~ прuфt:ссо рuм.
С1111сок курсов. которыt: 0 11 1 1 рочнтал н пер ­
вые 10 - 12 . Jtcт сrюей ПСJ\~rог' 1 ческо~1 /°'\б1Тель­
носп1. со~ерж1п более десm'ка 11ан."1е1 юнаний.
н"~•Jл<н• ив.нюии,,
ЛorJa 1ct о(м10
~">то теория ч11сс:.'Т (по ! 'ауссу). тюск~ш 11 сфе­
р11ческая тр1н·оном<::трня. ~111~1л~1т11чсская и 11а ­
чч)'J'атс:льная J '<;U,МС'Гр11Я, :н::трОНОМIIЯ, диффс­
р<:НЦИ:lJI ЬНОС Н llJ-l'l'l'l'/);!Jt bHO(.' ПCЧllCJil'fJ I IC: .
ф1·13НК:J . C'l :l'l 'l t Ka 11 Дl lH:tl\.1ИK;J 11 )!р. К~Н< ВJЩНМ.
,\\\)Jl\ЩОЙ профtТСt)р 1\ \ 1'\ 'ШI леющ11 llC 'l 'OJl1>KO
11() разЛТ!Чlff>l .\1 оСiJJЖ'ТИ\ 1 M:J 'J't 'M<!Tl·fK l l , fJO 11 по
ф1 1:1111<t: 11 <1стро1юм 1 111 Он 61,1J1 оч.с 1 11, прш1 еж-
11 ым .' l eI\l'opo,1.
ОД1 1 аЖ,J\Ы н кх~э1ккпi1 ),Шперс11Те'I лр11111ЛЭ
~rнструкцrш. утпсрж/.1,ёr 1 шн1 нмператором Алек­
сандром 1: <·llpoфeccop теорет~ 1ч ескоii н 011ыт-
11о l1 фн :шкн обнэ,1н во псt ГIPO'l'f!Жl'I ll JC кпха
оюс1 '0 укаэыв:1·1ъ 11а 11ремудрое1ъ Пожню 11 01 ·ра­
н11 ч е 11 нлсть на1ш1х ч у1:1ст1:1 11 оруднй 1vrя нозt1а­
н11я нспрсст;1юю окр)!",кающ11х 11ас чуд<:с~. J:lpя_.t
лr1 Ji116.1чс1кю1й, которы !'1ч11·1·ш1 в то крсмн курс
~тспrетческая 11практ1 rчесrшя ф1 rянка», c11c;~o-
11:u1 :3ТС1М~ rтpt;'l,l lИ:C:iH\.110.
К ТО'\1.)' 11ре."1сш1 011 уже тр11 года. 11ачттая с
1Hl7-1·0. работал 1 1:.iлo11110i1 11~:1·1рудней11 1 1 1х про ­
бле.\f - доrса:1атсльспюм пятого постулата Ен­
клнда о параллелы~ыл. ! l-a ле 1щня:х 01 1 расскз­
зывад студентам о попытках жжа:1ать, что Lrcpcз
точ ку 1:111 е прямой можно лронест1 1 сдm tС."!'нс:н­
ную 11 рнмую, 11ap:11111c:J1 ьную Ci i. 1\.11 IOJ'l le 11 :.!НССТ­
\l Ые математики исслс;\ощu11111ро611с .му11и·1 ()1 't)
1юстулат:1 . но но нес врс.\Jс11а немало было н
;.1мби 1 (JJоз11ых невежд, которые хи:1т:1л11с1. :!<1 .'IT~
Э~l/\:1Ч) ТОЛhКО гю·r ому. что сЕ форм~·mrронк;r
бьm:1 ;~:ост) н11а каж,ному. Лобач.е1ккнi~ 11р11;\<111а;1
ei1особое:: :з1rачетн:. 0 11 ш1с::.1л, ч·1·0 :3;щача о nз­
ралдслытых предст:mляет собой •ч1уд1юсть. J\t>
ci 1x: пор 11еnо6едш.1ую. 110 ~~ежду 1см заключ::~­
ющую 13 себе 1-н.1·ш1ы Ощ)•1·1 ~тель11ые. вне ucmzo -
1·0 сом пешш. н столь важные !ИН! пеJ1ей наую1.
что н1 1 как н е могут быт1, обоfr;1с11ы".
В н ~1чалt: J1обачевскн{J 11 ос1у 1 1ал к;~к t l 6011ь­
t1J1ш L~пю J\py1·11x матсматнюж, ·1· е. нскаJ1 ;юка­
за· 1·сл1,стRn CYI пр<Н IГIШпt о. '1\IЮ LM путём 01 l
НЫНL'Л МIЮЖССТНО утнерЖДL'НI 1(1, l ICJ<O'l'0[1ЫC 1rэ
I JJIX Н Ы l'ШЩСЛН . MUf 'h:() 1·онорн. Lvгр:11-11ю, Н() rн...­
КП1\.\Оi 'О 1 1рот1. 1 Н<Jrн::~ннt 1''аК 11 Н<: 1IOJ1\''-ll IJH 1(.]J.
U l~lj r. 011 пршнС:л к ~tыс1ш о педсжазуе.юс­
т11 1штu1·0 постулат;~ 11 о нозможност11 1ю1юfJ
1·со1Ч<:"Трин. Болt.:с тш·о. J!оба чеnсю 111 понял, '1то
:.:~та •·!:юображасмая" 1·со"1стр11я, 1. 1есмотрн на
11с11 1·)и1~ыч1юеп, се сонсржан11я. к пр11н1\11п с
нс может бытп 0 11ровср1 ·11ута 11~1ш 11 :- .1 01 1ытом
107


Истор~1s~ матсм;пию1
0\1111.1 '. 1 TO P CI O \1 О li\.l IВCii \l'O YHJI-
ШWC!lTJ:..TI
18З~
1. DAYJ:U
UC]')'П.t EIOX.
JJ,~fi'!f.I 1t~1.J.c:-st1.G '1 11н1 ''" Гco"«mrl" 111 rог" n :r·
r:i ~>l>i\U J('\o. f<,V 1•t1 :ir. •
111•! •1• IМ.1 1!!&11 1Н." l>t~ 1Jl'l.<>L+.-~1t·
""''' 11. 1~щ('1М1'1 " "'_ .l , . 1a;11 \:f• ,P•'~'ri. L.t.11.111.1•, v:;,. 111• ,.
!l•••t"JU),•• 1 _...,,1,.1.i. . 1t.1111.,
"'-''•1.i...11J,1 "'-"'"" '"Ч"J•
) 't:.1111щ,, •н11<1 lo'l.(l.c ,JllJJ . ,C . llнl.lli"l1':'t'J. сЩ" l.ltJi'!r.. \10 -
"
с•1.1с11 1110.1 S1~11111ro1, ll"liloVl')lt/ :ir. ,;i.111•1-ta jj<Jo.1& .lo.Mf:tl:I
tl ILOllllll!} r.I шн.J.~11..)11 1•11~<1\l loO ~p,r1i~r. "Qil ll'l t<1foIOl'I.
"
1lt•fJll<lll 1 1 j)<IHl\U,\
p.Jl><>I hl
11 И 1\ОбдЧРВtКОГО
« Нош.•1 с 1t.JЧdлL1
гео"етрнн •,
LJГIVUЛllKШ!.1H I IUЙ
в ·«Учены>. запио(,1>.
K.1 {.illt Kuto
униRРf)( IПPTil .
1835 1
13 ф<:врале 1R2()1 ·" ко 1 ·цз Лоба•1е- 11с~о1й 1 1 ;~1 1н ­
сал псрnую работу об открытии 11овоf1 гсо­
мстр 1ш и передал её 11ес1<0льюL~'1 профессорам
)1пшерс1пет::t, ответа от колле1· не последоuз ­
ло. А сама работа вскоре был;:~ утеря11а.
В l 82t) г. журнал <·К:~.запсrшй всспшю> опуб­
ликовал сочш 1с:11ие Лобачевского о неевю11що-
1юl1 l'COMC'l'()I 111. в ОТ:JЫНС H ~l H C l 'O 11 31\C:(" J'f-IЫl'J ма­
тсм:1т11к :.J 1<адс1vшк М. В. Остроградсю1!1 1 111с111:
«А нтор, 1ю-в1щнмом1. з;щ:шо1целью 1 111с:пъта­
ю1м обр~1зом. чтобы его нст,зя 6 1,~ло понн•1ъ.
0JI i \OCTI 11 ' CIIOCil 1\tJ1 Н: nOJJЫHa>J Ч:lСIЪ Ю !lll'IJ
ос- 1·з;1:.1с 1 , сто1 11, же 11 е 1 fз1-1ес1· 1·ю1·1 11/ IH ме11н. ка1<
cCJUI бы я ш 1коr·да ие видел её».
1·е1шi 1 все1 ·.ца 011ережает сноё время. Через
~U --IO лет пояRятся работы, н н:оторых бущ.-т
док~1:{а110, что l'сомстрия Лобачснс 1щ 1 ·0 <.:толь
же пр:~во •\1ср~ 1а, как и 1·еометр 11я tню1 1 111а, 11 t:i..;
О'1·крf,1 ·1 ·1 1<.: - важный 111а 1 · 1-1<1П}"l'lf1\ nо1-111 .,1а1-1 11 ю
<>Kj)}'}K:J10 11~e1п 11 ас мнра. Jll> в ко1ще 20-х 1·1 .
XIX к. Лобаче1кк11r1 ока:J:mсн н очсн 1, сложном
llO:J()ЖCJ-11111. f.1 ·0 НС Гl()lil'IM:.JJ111 11 fl;lЖ{:' ocyжr\<1JП I
луч11111е м;1 '1 't:\1:Jт 11 к и ·1 ·() 1'0 11 реме111 1 , ~;:ол 11е1·1 1
ЩIП.~Jl l l 113('.Vle' lllЛl lll Ыe, а 1I0p()l1 ос 1<ор611те;1ы 1 ые
от.1ывы о его работе. Это было настоящее тrс-
11ьпа1ше х;1ра1пера учё1ю1·0 . Лобаченсю 1 (1 е
чсстыо его nьщсржал. э~1 ncpnoli: бол ьшой
ста1ъ~й псклсдоваrш новые работы на ту же
тему. н этом он pCWJITCJlbHO OTJIИЧ::IJl<..'Я от дру -
1'01 '0 пср1юо·1 · крыт1атсля 1 1ccnклr 1 j\onof1 гco­
J\•t<: 1p111 1- Га усс:1 (< Кородь мaTC.\1.l'l'J 1КОВ» OKOJIO
108
_1 0 лет з~11111малс>1 ·1enp11ei1 11ара11!Телы1ых п
прпшёл к выводу о праnомсрпост1 1 11ссRкющо­
uоl! 1·еометр1ш. 110 так 11 не 011Убт1кt1в~л с1ю11
рсзулr,таты.
Однако Гаусс сы1 рал важную роль н сд1111-
с1 ·кснном 11р11 :ж.и~ненно:.1 1 1р11:таю111 научных
э:н:11 у1 · Лuбач~нско 1 ·u. в 1 l:Ц2 1·. 11 ~·•кuJtaй 11вано­
н~ 1ч iiыл 11 :~6ра1 1 ч11с11\)М-К( )ррt>СПl}IЩ~1 1том Гё'1·
T I IH l' CHCKOI '() учёно1 ·о 06.щеL·1·ва (ак:JДС~1J IJ 1 н:~у к)
Реше11ие n() нзбра1 1 r 1и 1 1дн 111юм 1юд1 11 1 с:1ныt·~1·
'vПIM Гауссом.
Обра т~ 1м ш шжнше 11:1 ответ Лобаче1юi0ГС
Га уссу· <Лроснпе мле. '-По я так доЛl'о 1<0ле·
баJJсн с ответом. :зJIOJ ю; 1 уч 11ш'1 1юж.1р ~·орода
отnстсгвсп :.1а это: этот послс1щ 11й расстроил
мш: :щорон ье ". обрсменrш ,vн.:нн сщt массой
особых <.:1rужсl>1 1 ых :3абот-> Учс11ом\1 сообщаю~
об нзб раннн с1 ·0 члсно,ч ан·1·щштс'1 11с 1\111е1·0
н<1учно1·0 сообщссJ на. ;1 ему нско 1 ·1\:1 O'I ~сп1·r·ь
и:{-за п<~жара 11 1 ·ор1щ<: В 11111·1,мt' р:ккрыкается
Па\.\яr 1 щк Aofi.J'lt?HtKOмy в К.-1 ы11и


ещё 01111а с1 ·о~нш;11111L111oc 1 ·11 ЛобачснскuпJ. Jl.с1~1-
стн11тсл1.1 ш. м: 1тсм:.1т~ 1ч<.:с1<1 11'1талант 11 нсобык -
1 1оrк1 11 l:l}I crp:iC'l'lfOC' I ,, н OTI f() lllCI 11111 к 1 1:1 укс co-
ЧC"J ;JJIHCI> у JILTO (.' Иh l COIO l 1\I 1 1рс/\(.~1 · анлс н1н.·м об
общеС'ПSС I 1l юм /\OЛJ't.
Уже112<. -
~О-лст11ем 1Ю:1расте Jl~)6aчt:11Cю1iJ
.1:н1t:дова11 0Gс1.;рнатор 1 iсй. был лек;нюм l\ШТс: ­
ж1т11ческоr·о факу11ьтста. Многие годы 0 11 во:1-
г;1мшлл ут 1 111>срси '1·с1·с:к,·ю бнбшюте к у. 11 0 -
нш.1:1я. J\ah'YIO нажную r>оль u 06разон;ши11
ш·рас·1· бr16тютска. Лuбачетккиfl с:щш1 R Гl с­
·1·ч')бур1', чтобы Jшч нu от6 1 ·1 рат1, 11 зак;т1 атъ кнн­
r 11 К:1к пренсс,1атсm, стгннrте;1ыю 1 ·0 КОJ\1Итtта
у1111Rс 1х·11тста . т 1 ру1-юrю;щ.11 с1·р01 1 тсл1,с1·щ ) i\1
ноных учсf)ных кор11усо11.
В 1К1 7 1'. Ло6~1чc: 1KK(JJ'<1 11 :с1\lр;1лт 1 рс:1-;тором
K1;iarrc1<01 пу1111нсрс 11·1 t"1·a . R1 юследстш11 1 m r пс­
rе11 ;161 11х1 лся Ш1 ЭТ)' [\ОЛЖ I ЮСТЬ 111 естr, раз JI
oc'l<1IOJ1Cя ректором в тсчен11с lO ле1'. На этом
посту J lобачсвсю1l1 э11ерr1 1ч1 rо 11 коипетеr 1ттю
з:11ш,v1 ~L1СЯ 6yкnaJJЪLIO всем: учt:бно i'! н лауч1юй
работu 1\ фт 1н:шса мн. стрu11тс!lы·1 ·во.\·t. Осоnсн-
ХХ ВЕК
НА РУБЕЖЕ ВЕКОВ
8 августа 1900 г. па Втором Между11аро,тl1юм
мате;чатн че:ском кош·р~ссс u Ларшю.: nыcтynaJI
Датщ Гильберт - 0111ш из вет1чаi1щ1 rх матс­
ч:тrков всех времен. а то 1 ·1"щ молодой профt.т­
сор 11 ~~ Гё'1·1·и .111 ·t.:на. Сной :311·,1мб111'1ъ1(1 J\1жл:17\,
11001ящё нный м ;1 тсмат 11чссю 1 м проблс.\1:1,v1, 011
нач:L'J CIOB;tM l t: ~ К'I\) 113 11:1 с tн: XOTt' . JI бы 1 1р нот­
крьп 11 ;1анссу. :{:. -t кин1рой скр ы·1 о наше ()уд} 1цес
чтобы хоть 0,1.J.JI ГIM IJ;Jj 'Jl}J;~()M про111 IKH)'TIJв 11 pt:J\­
CTOЯЩl lt: усгrехн на 111с:го :J 1lаН11>1 и таl111 ы е 1 -о
разщ1тш1 li ближайшт 1 е с1·оле-тя?».
Тогда. на 1юроге ХХ в" оглядывансъ на ве~<
~11111ув11н 1 й, ;vюж110 бЫЛО пrсдС'l'<l13JШТЬ t: ебе
бу~1це<.' Je~1111 прскр~1 с11ым. Казал()СJ,, что па ­
стущет эра блз годсrктння 11 pa~i~r;o.1a . А ссгод1 вт
мы, к;1к 1·1 lf:JJlll г прс:;\11.1ССТНСН1П ·I КИ сто Jll'T па:1 :1Д,
брщ:Jем в:5 1 'JIНi\ 1-1:1 11р01J1ею 11 ее t" 1·oлt.: · 1 ·11e . Ч то
tЩДll.\ol М hl T\l f\\?
НJдt:Ж/\Ы н а !)л;11л1 1 е11ств11t не оt 1р ;11щ~1-
т 1п, - н хх неке быт) MJ юго '/'(l;./ l'~IY.CCKOIO: Н11
сче.ч 11с ср:-11ш1 ~ мое взр11;1рс1'по. оскупе шrс 11р 1 r-
РО/\Ы. отр:~11лс11 111,1е рек11 1-r 11ы сох11тн~~ \1О рн .
Нот 1е. вр~мя
но ·r ру;11 ю 11р1ш1лось во 1:1рсл111 xo:rcp1юi1 эшr-
11см1111 1~.)-) )'. 1 1}'IIO~U Jll~ ' l 'OЛ> 1 южа 1 >:1 lH12 1'.
В lК-1(> 1·.
11:1аLт11 укол 11111 1 Лоб;тчснскоr о с
11ш1ж 1 1ост11 рсктр:~. U ян юре 18'12 1°. ~мер L'J 'o
стар11 111!1 сы11 . ,\·l:1·1·tp11:u 1ы юс 11 0,юже11 11с се: мы 1
с1:р1.ё.1110 ух~ i\11111тюс1" Нез~ЩО.'11 ·0 J\O 01tрт11 Нн­
колаir 1111~1110111-1<1 гю· 1 с:ря.11 . 1рст 1 е. Послс:~11юю
работу « П а11гс()Ме1рт1н -> (греч.сскзя пр 1. 1стаnка
"11ari-" озт 1 ачает <- всё». , nсеоб щш'1 "). нриурочсн­
вую к '50-лстню Казанпюr·о уш1не1х1 1 · 1·ета . 011
про;111кто11а ;1 ою 11 ,ч <.:1'удс11та .ч буд)ЧlJ у,кс со
1:1<.'с,,·1 слt:п ы .\1 . У м<:р Лоn:tчевсю 11~1 в 1i:S"i6 1' .
в lf;.28 l' f!( ) C'l~Ч:llO 1 1<:-рной ( '()j\() J~ ЩllHЫ СВ()С[ '(!
рскторстна Лоnа чсвсю11'1 про11:111ёс ст:111111~ н1
гю·1·ом з11:1мст 11но~т реч~.. "() важ 1r eйm11" ттре/\­
мстах TIOCJJIП'<IYIШI-' . н 1 1 ет1 0 11 . fl Ч~KTIJOCTl l . сrс1 -
зап: чПр11rv1еры научают нуч111е. нсжеnп 1·0:1ко
ваш тя н ю111п1 ". )1(11:JJ11, ll11 ко:1ан l! нз11<)tн 1 ч.а
J Jобачсnск.ого са .ч ,1 н1шястсн : 1з~1 с.'L1ателъным
11 р11 мсром спужсн 1IЯ O'l'l"ЧC'CTBY ll [ 1 ~1 yicc .
rт:~нержеш1с мор;иш , чудошrщ111.1t: лр сс1упле ­
шrя, 1·еrютшд. rрнбы :п·омт,тх п:;рыuоn. 11епре­
кратц:нощт1еся rюС шы." 13сё 61.ию. :-по пра1щ;-~. Но
11е вся нр:Ш/\:t. ЭТ()Т nет< - Jt чудо1111щ ны r'1 н
вслнкпй од 1 юnрr:мс1 11 rо.
ДJ1н на\'1<1·1 Х,'{ нск бы11 нст1ю1м. Д<хт1 1же1 шя
м ~пем:п11ю1 11 ;;э· 1 ом l"'l'\ .)Jlt'Ti111 . нож:шу\1 . 11pt:11ot'-
xo/\}1T нсС ТО, Ч 'l'U CCJ ~/\ ;\Ht 1 :1<1 111 Jt') \lllCl-l'НYKHЦJll'
Дll<:: Тl1I СИЧТI Лt'Т .
RоС1можпы ра:.н·I Ыt' точю r :чх: 111 1я 11;1 c,'v1hr cл
~3:н-1нтvн1 матсм:1·1·1 1 коi1. Н ХlЛ н . 1ю:{1 1 11к снор
между N~у~1н : н-1<1ме 1. 11пым11 уч~ны~ш - фран­
Щ':'!сю 1 м м~1 тем:1' L'Т11<0 .v1 >Кn:~сфом Ф)р1 .е 11 11с­
м.с 1 \тшм - К:.tр1ю11-1 Якоби. Фур11е счнт:1J 1, ч·1 ·0
цt:зть матсм.::п11кт 1- се щеiiсnюла11, объяс- 11с111 110
лрнроды . Якоби о·r·всча.01. Ч'Н) сё rtел1, - щю­
славлять LJ<:лoвeчecюftl ра:1уи. l3 nр.нrщ11 ш:,
МОЖНО прн :шат1, лp;-irlOlT О6ОТI.\, 11 0 . кrюме
то 1 ·0, 1tt'JJЬIO матемаТIIЧl'СКНХ 11<.:С.'1С) \ОВ::111111·1 л
ПОСJIСД\111 (' тр 11 СТШ!i.."1'1\Н fн,JП!I 11 p<tl<T\IЧC(.' K \ !C
лр нл оже н нн - 11нженср.ныс.: . 1\011 1.." 1·μ~ ктuμсю1с .
::JK() l·J0\111Ч e<.:Юl(' 11 ИllЫ<.:. H~JJШJ-I C I (. l\l:l'l 'l'~l :I TJIK,I
во нее Rрсме1 ш ока:1ы нала нJ 11 ш11 rIL' t 1:1ф11лосr >ф­
C'l\()t" ОСJ\ 1 1.тсле1111с мнра .
1()l)


Иггория математики
Матсматнчсск;tя 11:1у1'а ХХ <."1·олt:1· 11я 111x>cл:.i-
1шJJ ~1 c 1, 11:.i всех :-:Jт11х 11а 11равле1 шях .
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ШКО/\Ы
13 первой половине ХХ n. м;~те.матшса разшша­
лась ~·11ан11ым образом п 1r ;щио11алы-1ых рамках.
Ве,1}'щую ролт" как и в предыдущем столст1ш"
11гралн фршщу:ккая 11 немецкая математиче­
<..:кнс UJKUJJЫ, JIO в м1 1pu11u<.: <.:UOOЩ<..:CTHU м;1Т<..:­
м;п 1 1ков уж<..: акт11111ю включаm1сь t1'1-;ыья11ск11е.
не ш·t:рсю1 е, :1встр11йсю1с. шксдск 1 1с учёныс
Ещё tl сt:рсд111-1с xrx Н. обра:юв:urась росс11(1ская ,
в nсновном петербурr·ская, школа Птшrшись
первые кру1111 1.1 е математики 11а А!'.1 ер11ка11с1<nм
1ю1тт1птсптс, формировалась польская мюсма­
т11чс.-ская ш1ю1ш .
I3 д:mьнейшем :v~атемат111са стала nр11обрс­
т:~ть черты иптс:ртщпон:шыюй 11аую1 Н:.~чала
осущссгnляться :v~ыс1ь Гш1ьбtрта о том , Ч'!u .шш
M:.1'1'(.',\1aП JK<t R(;'(:t, куm,турны(r ,\111[> пrt) \СТ:ШЛЯ­
t.:'1' собо11 с:щ11 rую с1рану.
ЭнnJI IO l lJ 110 наую 1 НСIЮЗ \ЮЖНО 11fЮСЛС.-ЛI IT!>,
нс коснун11111с1, · г1юrчt:(" 1 к1 кр~тr1н.:й1 1н1 х, наи­
болl'1.: F1m1ятt::лы 1r.1х учё111.1 >.. Н:~:зонём 11ме 1 1а
ма 1t"м:1л1ко1-1, 1 11ра 1т11 1 х н111111ую рот> 1:1 nep1юl1
1ю, 1 ов~ Пlе ХХ столетия.
Особым авторнтето.м польз оuался Даrшд
Гш1ьберт ( 1862- J94:)). 1lсмстn<ую матсщ1ти ­
чсску10 rтn<олу прсдсr..1впяли и такие выд;нощие ­
ся учёныс, как Гер.чан Вейль ( 1885-1955), Фl'­
ликс Кпt::йн (1849- '19 2')), Герман 1\!l инкuвскн1I
( 186~J-J 90CJ), :;"Jммн !!Етеr (lR82- lC).- 1'1), Фс ­
л11кс Х~)'С/lОрф ( 1SбЯ-1942).
Ф[1<1Н1lуз Жrот. Лr1р11 П у:ткаре ( 1854 -
l C) l 2) - одн1111:> ue1нi ч эi'i1_1_11 tx 11ауч11ых 1е11иен
ucex 11ремё11 . После ТТуа1н;аре 11анбплт.rннм
ант()рнтетом среди математпков Фраrщrш
полr..:ктался Ж:Н< Адамар ( 11565-1<)63). 13 чнсле
.выдаюЩJ1хо1 фра 1 щузсю 1 х матсматrнюв нужно
11а зnатr, Эмиля Борс:ля ( 1871 - 1956), Жш1а Гас­
тон;~ Дарбу ( 18Ll2 -l<Jl 7). Эл11 Жозефа Картана
( lR(')<)-1951),АнриЛеона Лебс1·а ( 1ю::;-1941 ).
ПолSJ Монтслн ( 1t376-l У75), Э,\ 111Лн П1 1 к:1р:1
( 1856-1 У-11 )
И1:11 1h>1НLкую м~1тсмат11чt:скую 111колу пpt:/\­
l-1 :.~нлялн В нто 8()m»1·epp~1 ( 1860 - 19-Ю) 11 Тул -
ЛllO Ле1111-Ч1111~1та (187:)- 19-J .1). IТIRC[\C KV"IO
-
М:11'1 1 ус l'ёст::~ М 1-1паr-Лёффлср (18..J.6 - l<J27) п
:-Эp rrr< Ив~1r Фредголь;ч ( 18(J6- l 927). а11пш!1-
скую - 1·одфр 1 1 Л:~ролд Хардн ( 18 77- 19..J.7),
110
л,1 111 ри•i Федоров "0 1l1ороR.
Джон Иден:юr Лнтлuуд ( 1RR)-1 С)77), Бtртран
Р<1ссел ( 187 2- 1970), русскую - Ллексстдр
Мих:li11ювнч Ляrrутюв (18')7- 191R) т 1 Л1т,~реf1
Лrтдрссnич Маркпn ( 18'56 - 1<)22), амсрпк:ш­
скуто - Джордж Дейшщ Бирю ·оф ( 188'-i - l ()+!)
11 Осн:11 1 ;\ В~блсп ( J88/J J \.)()()) .
Слtдует с:ка:за·1ь. что и н 1н.:рвuй 11олu.1шш·
СТО.!ГСТ~IЯ Мl)ЖН() KhЩC:ll J'J 'I> дна 11ер1ю.ца - ДО 11
ПОСЛ(.' 11с.-рпо1'1 м11ронuй H()JI Hbl 191-1-1918 1'1'
Лосле войн 1 .1 прощ·лол11 .. 1а смена поколt:н1н1.
1щ·1·01х1н :~;пронул.1 11рсж;..1.с нсс1·0 фр: 11 щу.il'К)'Ю
пп<0лу. Фаптисты. прнr11с1111111с.- к нл:ктн в Гср\1а­
шш, ра:з1ром1 1 m 1 11емец1\)1011аук1. J\.11 кн·о т<1ю11 1·­
тшых молол:т.тх )1.ЦТСМ<IТПКОП пз Еnротты псrе­
схали n Америку, п там 11ачалн формироnат1,ся
rювыс матсматичесю1е ШI(Олы и 11аrтравлt1шя .
llеобыч:ti11ю1·0 расц11е·1·а достt 11 ·nа москов­
ск:нt м:1тем:.rnrчсская школа 13 .1>0-с 1т. она.
nС:З)1СЛОН l-Ю, 3<1 НЮ1а J lll/(11p)'IOЩtC I IOЛOЖCHllt Ji
~шрс. Её ос1юн;пслям11 Gы1111 Д.1\.111·1·р11~'1 Фёдо-
ни~о"i111 Hll~O.\aC'OllЧ 1\VЗllfl


f)()1щч f. 1 ·арш1 ( 18()9-193 1) и Нн1<опаИ Нн1<а ­
лаен11ч Лузнr1 ( I R8~-19')0).
НАУЧНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
В МАТЕМАТИКЕ ХХ ВЕ КА
Г l рс11ст~шлс:н11<..: о том , .каки е на11равл сн ия 11рсоб­
тщ;~л и к матсм;пикс 11ач:;~ла )(Х в.. ,да(,;т сr1и сок
ссю~и й на нсторичсском Парижс ком кош·рсс­
сt. ~:Это чет ыре основные се ю ~111 1~ ар11ti>мст1н~а и
а.; 11·ебра: анал11з; 1·еомеrр11я; механпка 11 матс:м;1 -
п1чсс1са н фпз r ша, а т;нокс сщё дnс: история п
611блиоrраф11я: преподавание и методол огия.
Об п:!ме 11еш 1лх, произошедпrнх с тех лор
n 11ауке, с1шдстет,стuует псрс• 1 е1 1и сс1щиi1 сов рl'
ж.·1пrых тю ш:рсссов: ма·1·с:матиqсt:к;н1 ;ю1·ика 11
uс.: н ования м;.1 ·1·ематию1 ; а;11 ·сбра: тt:ор11н чис<::л:
1·ео1--11.:трин; топu1юt·ин; аю·<..:браис1t:скан 1 ·<.:u:..1ет­
р11}1 : ком11лсксный анuлн з: r · ryп111,1 Ли и · 1·со р11н
ГIГJCl LCT::ш11c 1111i'1 ; ВСЩtТТАСННЫй н фyню1110LJ:.tJ l l1-
{11>1Й ан:т и з; теорш1 в<..:рою·щ 1c1·cr1 н м;1:п.:м:~т11 -
чес1<ан ст:1т1кттrка: ; 111ффсрс1 11 tи ..-.лы rыс п)а 1111е-
1шя с частr1 ыr.ш про 11 зuод11ымн; обыкновстпrые
д11фференп11алы 1 ы е у1Хшнения; математическая
фнзнr<а; ч.ислетшые иетощ,1 и теория о ычпсл е-
1 пrif: дискретная м:пем.атика п кш.1бит1аториrс.1:
~1атсматичес кш.: :~спскты ш1фор ~tа'L'НКН; принu­
же н ю1 матсма · 1· 11ки к ш.:'ф11зичесю.1Nt н:~укам; н с-
1 щ111н математ11к11; 11ре1юдаван ис ,,1:~тем:1т~1ю1.
Мно 1 · 11<..: 1 1 з 1-1азн:J11ных pa·щt'JIOR м ~пемат 1·1 К11
fЮЗ н11ю11 1 1шн офuрм11т 1сь F\ ХХ в. На рубсжс­
ХIХ-ХХ Htl. rюдл1111 сь 'J'РИ тшпра11J1е1 1 11я , KO' l'O-
[Шl\1 суж;~t'НО fi1.IЛ() с 1,1ГJХIТЪ flЫ)ЩЮЩуюси рот,
11 истор ии матемап1ю1: фуню~rю11алы r ый а 11а­
лиз. тополоrия 11 теория функцпi'I.
Фун1щион альны:й анализ. I:::щi: в ХУШ в.
были разработаны методы рснн:н ия систем
л111н: l111ых ураш-н.: н11й . В 1(0 1 щс Х!Х 11. обн ару­
жс1-1 ы :.111:1 лоп 1и мt'ж,11у тспр11t:1'1 с1 1 стсм 111 1-
нrйных ур:нн-1сн11С1 ко11счно1·0 ч1 1сла 11ере­
ме1111ых и 11х бссконс ч1юм<.:р11ых ~1н:1лu1тнs -
т111с i111ы х 1 11п·е1·р:mы-1ых уравнс1111i 1 .
Рс 111:11ощ11й 111;,~г сдсл:111 wв<::дскн~'i ма·1·~ма1·1·11'
Нвар Фре11,1 ·ол и~1 в 1900 г. Пр 1 1мешш метпды
rе111е111ш с и стем шшеfшых ураrнrсш1й н пе­
рейдя к нредl'Л)'. 0 11 11аш<:л ус1101шя разреш11-
мuстн 1r алгоритмы решений уранш: 1шй шща
11
.\"(/)-АfJ((t, t )X('t' )C/1' =у(!),
({
Новое время
д!Jh
С?О4Ш
Это послуА<ИJЮ (~П IMYJJOJV\ 1< raз raf'O'!'Kl: тсори1 {,
1ю·гор:н1 соч L-та.11 :1 11 <.:l'бС ~J 1емt:нты аm·ебры 11
>'еометри11 , 1ю u бсс1сп1 1 еч11омер J rых пр остр:.1 н­
ствах. Так пш1~н1пся лu1-1rJй11ы1/ ф)111л.·ц~m1Lш1ь ­
ны1! т1ализ.
Rажны:ч разделом фушщ1то11аJ1ыюrо ан;:~ ­
лп:;а стала теория квад11:1тнчных форм. начала
которо~-т З<1Jrожш1 l'1щь6срт. Со нокуш юсть всех
функцнlr с н1-1·1·с1 ·рирусм ы м ю~~щратом
/1
Jx~(t)dt <=
tl
получ ш1а 11а :;ваш 1е гил ьберт оrю Щюстра11-
с11uю (ci.( обозначают /.~). Нш,с; 1 сдстнш1 теор11я
юз:tJ \р: 1· 1 11чпыл ф{)рм в п1m,fk:ртовых 11 μос-1р~т­
ст13ах П()СJ1ужнл;.1 M:t'l'CM~ITI IЧl' CKOt'I ба зой д.'Jjj
к1:1а1tтснюй мехаt1нкн.
Тоrю;1огия . T~ fl.\H-IH «'l'Ol lOJ' O l 'l ljj" можt:т бы ·1·1,
отнссё11 к д11ум р;1:·щела-. 1 м:1темат1 1~-;и. От ry то­
п о;ю гшо, ро1юш1 ч<и1ыm ко.ч которой был Пр11 -
каре, долгое время 11азыо;vш мJ..мби11стшр;т/1.
]а дру1·ой . у псто ков которой стоял 11емец1..:11~'1
учё1 п,1(1 Георг К:;~нтор ( 1845 - P)J S), закреm r ­
лось назnа1 1 и е общей 11лн mt!орет11ко-"111юJ1се­
ствен нтi .
1\омб 11натор11 :1jj ·1·опо1ю1·ш1 - ра:щс;r 1·со ­
мс:тр1 t1 1. О1 1 а 1t:'!уч а ет с во1kтна 1 ·со:\1С"1'р 1 1чссю ·1.х
ф111ур , ос·1 ·3ющисся 11 ен зм сн11ым11 npt1 1:1.з:1нм­
но О/( 1 Ю:'j1-13ч 1 1 1,1х 11 ~-1 с 11рсрыв ны х о'l·оn ра жс­
н 11я х. /'1,t)JIГ'oc нремя то n01ю 111я 1юспр 1 11111мш1:1с1,
1.;;н..; п<~уТ\а , далёкая от жн ;ш11, пр11:111:-1ш1ая m11ш.
" пр ославшrт1, человсчесю1й рз~\1111 " . Но н
11ашс время выяс11шюсь, что она имеет с:.11110е
lt•op1 К.1111ор .
111


Истори я ,.,,1атсм;~л 1 к 11
rIJBel\ ( Ppr <' !'!JllЧ
Л'\РКС it111~po в.
НС! юcpt:/~CTBCll ( Юt: оттю 111 е1 111е (( OnЪHC'llt'JJllIO
устройства МНJЮ:'!~а11 1 ш.
~)(Jщая ·1·01юлопнr лр11м1,псtст к теор1111 м но­
жеств 11 ,1сжи· 1 в ucпon:i r н ш .чатсма·лоо 1. Это
:11.:стюм:п 11'-н::с к:нг теорIIя . прнзнаш r~ш 1J <-'l'!lcдo
н;пъ такп с 1юняпrя. I(;JK - 1 1рсдсл ", «CXUД1Lмoc·1 ·h·'·
" 1к· 11рерывнос·1·1", 11 ·1
·.
11. Оснсж ы :11<с1юмат1 1ю1
TOПOJ IOl 'I [L[('CK(}l'O 1 1pucтra1 l l"11!a б hlЛН ЗJЛОЖСНЫ
Фс; шксом Хаус;tорфuм 11 ~-1::~ 11t'р 1 11<:ны роо: 111'1-
ск~ 1 м м:1· 1 ·с;;1ат1 r к<>м J! ;нuюм Cerm: eвi1чc:v1 AJtt'K-
c:11 IH[J< IНhlM ( J 8t)(1- I C)ii2).
Теория функций. U ШlLJaлc века фра1щу:1
А11р>1 JJ e6cr :1аверши.11 п остроеш 1 с тсор1ш ме ры
н пттте1·рщюшr1 11 1я. 13 Xl.X n. 1кл<::д за О. Коши п
.LJ. 1:'11ма11о м ш 1тсrрал
,,
f/(.\' )CL\·
(/
щ.1н11м:ш 1 1 как 1 1ре;~ел р н м:.t1юш,1х су'\1 ~. За
11р11f>J111жё 1 111ое :-1 наче11 11е 11 нте1 '[)ал:1 бра11н 111,1-
р;.~же11ш1 R1 1да
11
I,лс,,н.v, - .У,_ 1 ).
1дс.\'1 -
11екоторая точка отрезка /х, 1. x, I, о =
= .\',, < х1 < ... <. .У,, 1 <.1:11 = /J - раз611е1111с отрезка
11нте1·рщюш11 1 ия \а, tJ \.
Лl:бtт ст: 1л rюсту1шт 1 , нн:~ чс. Он p~i:j611вa 11
irл: ''"YL'r.1 ·~ifY~ 1•1.},.t,/,'.'L ~ ·ь. 1\"1'-}tJ '\Y\'.//\•-'1_t1'a{1\ ' '\ f\'J ..!"\_'<'2''.4'\1\'' 4• • < . .
<. 1', 1 < у, < .... MOTIIl\l·IPYЯ Э'l'О тем. Ч'l'О ДЛЯ рзз­
rывпоiI ф)•llKЦill I,{HeHOЗMOЖ!IO l\Ыб\Х.\\\, ТОЧКУ
.\',. кuто рая а;tс1<ва-11. ю <-Предст~шюrла» аы фу1 ш­
ц11ю 11а 0 ·1р<::л-.:е jx1 1. х,). Jlo если фунющя ;~о­
е1·аточтю сложна. то .v1 1южества Е, нз ос1 1 :16с
ПIн.:с. ДЛЯ ~LYП.>pbL'< Yr- I <, ./\.\:) <у,. MO!') ' I' бh!ТЬ
112
yc· 1poc11hl H(>ChM::J 11p11 •1 y;l.)ll llIO. 1т ч ·1 п()1, 1 JIOC'll)O-
IПЪ ·1·сор1110 1J 1 1тс1·р1 tpo11:11 11 1н 1·1t:об.хою 1мо ()ыло
НЭЧ.:1.'LЪ ( meo/Jl.111 Ш!jJЫ. '1' t'. Jl;.!)'Ч lf 'J ы·н 11 :1 \J CJЖIЪ
r':iкr1c м11ижсстна. ::)·1
·0 c;~~J1ЭJ111 l)opc. 11 , 11JlL:()e1
М ера мrюжесл~а Е (с~с1жем.. 11 а отре:ше 10. Jj)
опрслеляется следующ11 м о6рззом. Н 1 rж 111ою
грань сумм щшн н11тtтр:L'ЮТ\ 1юкры11ающ11х Е.
rтазо..uём вl!jJ.Y1-t01! .мcpotl Н. J:kpx1 1ю1 мер;~ ощх~­
дслсна .ЦjШ шобо1 ·u 11-uюжсс1·на.1'1пожt:ешо Е 11а­
зы н а<:то1 lf3..~юри.мьн1 по Jil!бe?_J '. t:сл11 сум ~1 а
lll'(1X 1-н.: й Мt:ры :"!ТО!'( ) м 1I OЖCC'l ШI 11 Rt:px11 c1' 1
меры Cl'() i \O/IOЛllCHШ! (!Ю OTl-!OllJCllJIIO" огрl':l­
ку (U, ll) раы1а C/\J 1111щс. 1'(JJ'дa вс.:рх11ю10 меру Е
11a:J1,1 в:нот .мероi1 Лебеиt 11,1 11ожес1 ·н~ Е 11 п\10:111;-~ ­
ч:1 ЮТ П1(:S Е.
Ри .v1:шоnы су.чмы для вы • 1 ис 1е111ш 111гr<:rp;:iлa
1kбе1 · :~aMClШ.JJ C)ГMM:JMl1 НJЦа
I Т\,шс:-.А,,
1·де т~, - lll'K(Yl'Up:1н точю1 0·1·р<':ща [ J', 1
• l',l Он
кссhм :1 ныра:-1 1 1п:1 1 ы10о х:1рактср1 1:ю11ап 11 рс: 1 1му­
щсстни сщ ,с1п ме-1·ода. ~в мет1щl' Ко1 1111. - 11 11
ст Лсбе1. - оперируrот т;.11, , 1<:i 1< [(ел:-tет :~Т()
l l t'() I J l 1l'ГПЫЙ ю1е::рк, J<()'l'Opblfl IIO/ ~(' Чl lТЫB:'l e'I' М(] ·
11е·1 1.1 11 крl:д~ п 1 1ыс 6иле 11,1 ссюбра:шо ТО1\1 у, ка1<
0 1111 1юпадаются 1юд ру1<у. Тогда ка!\ мы опери­
руем, ка к опыт11ы:i 1 н иетол.пчоый клерк l'OHO ·
ря щиi1 : у мсIJ я rпes Е 1 монс:.т по 01tтюму фрашт.
сп)ящнх 1хшс~F1, у ,чспя 111ск Е~ монет но д~3
фpaI1 1<:.t, стоящнх 2 х mcs Е!. у меня 1щ.:s п, мо­
нс:т но 1IН' l'h ф\)аL 1 кон, с:.vrо н щш< '5 х mc~ ,";. Ltтo-
1·<>,у мс:.:нн1хшс"f,1+2 х111с:-.1~':.+'iхпк·-,Е;+
фра1-1 ко11. Конечн о, r1тот и 11 р)то 11 ю1ерю 1 111т ­
дут к 0;(1 юму п тrJ~·1 y же pcэy.r11>1<J·1 у. HrJ в случае
сумм 11сдсm1м 1.1х, чпсло которых 6ес коне<11Ю.
раз~ 11щ~ 1lB}:\ ~1 tт(щов ка111 rт~mы1э·), llа ба:1е 1 ео­
рпи меры ро,rщ.rюсь 11 оное пащхтлепие в тео­
рн н фушщш'1 - лum~рl!цесл:ал теория фу111щшi
Тр а1 1сформ11роваласJ, в тсорпs1 м1южссн1
Трп фр~111цу:кю1х учi.;ныл - Борет,, Лсбс1· 11
Ре не Лу и J-;1::1p - :зэложш 1 1J ос1 ю 11:1н1 ш r)l!оф1т­
т11вной IШIO/JllUЛ1.IIO)l((!C11 Ж 'L '. с . теор1 1 11 ЧJ IC J[ O ·
l~ Ы Х Мl·!ОЖ.е\Т\~.
R 20-с п·. нсдущан рш1u в тсор1111 ф~ ню 1 111'1
?<..::'iY.::u·1д~t ·L'. 'fJ~''-'-·6.~J'ii1 ·шк\.>nс. 1,0 l\ J\IYIO 11ptдl 1·а11·
тrлп Н. ll. Лу:нш 11 его уче1111юr: П. С. Ллt:кс:111-
1\РО'<'•, Н . К. Пaplt:\. А. Н. Конмоrорсн~. Д. ~- Ме11ь·
шоn, М. Я . Суст-ш, А Я. Хт1чш1.
Раз.вптис а бстрактных разделов матем:~·
тики Стрс:.\щ:1шс 11р1к.л аtш 1· ь чt.:. IO\\l' 'lt:t:ю11'


разу,,1 ,\lf;1f)п11н,wн:1ло усилия .~ti'i'O.' liX,., м1.·о,• их
j'чё111.1х . Внрочем, 1н.:рС!'•СО 0110 утю;tшю их 11
rакпс ,"\ебр11. которые почт~ 1 11 е н.мст1 сопрп-
1\uс11ове~шlт с реальностью.
н ПС'рной П()ЛОНИl!t' хх н. нo:ШJJК.'I~I концсл
ЦJIЯ аксио~1атнчсскогu ностроt'нш1 всей матс­
щ1·шки. Со1'л;ю-ю этой концеп1tнi1. lJ<.) с1ю 11а"'
ак;111<::.ш ка А11/\Рl'Я l-11 1кол ;н:кн чэ Кол мu1 орона
(190:\ - l987), '< Н OCl-IOHC t .K<.:it 1' 1;,l"J l'.\.la'J'Ш<ll ЛСЖJ l'J'
Yl lLT:JH 'l't:Ория МНОЖt.:СТ!З» - духовно<:: / \C'J 'IJ J(lt;
1«:ор1 ·~1 Кантора. J\11ю1·11м 1<а ::J :~лось, что 61 1аг0/\~1ря
11сиедо11а1О1яl\1 Ка1 1тора математ1ша 1 1олж11а
61.i .r1,1с t:п п f"юлсс стройной н с~ю юй - состоя-
1ше. которпе Г11льберт 11аэк1л «раем». Koi; ta 06-
11 аруж11лщъ пр отшюр~::чнн u теории мtюжссгn
~1 мат<:м.~тнки C1':v111 выражат1, COJ' - 'J 11е11ия R c:1м1L'i:
et 1к1юват1нх . Г1rльбср·1· 1юскл11кнул : « !1111шму
11с д,1нu 1п1·11а·1ъ нас 11.> кантuрu.нсю}J'(.> рая~ ~-
Раэ 1111 · 1 · нt: аксиом:~т11 чес ко1 ·u мстсщз 1ю1 ·рt:60-
1шю кр1r·1· 1 1чс.с ю 1 11с:рсс"ю' 1·рl"ть оснон-а1-11, щ на
которы е оп11рал:.1с ь мате1ч :пн1<:1 K1)JI •\.1UJ ' OP<J11
JlllC':-t!1 : «\lp11 IHК:TJ10l'llШI 061ш 1р11ых 11 Н110ГЩ1
11ес1,"1:1 a6C'rpaкr 1 11.1x теорий, охватывающих,
rюии.чо тех ча стных случаен, которые п.rнте1111
Г\ 11л со:~,"\;пrню, 01тюм111.1й матсрнаJ 1, получаю -
1щ1й КОВК\)i;;ТПЫС lф\!МСНС1НШ JIИШ\," 11ерсш.:1'-
11шс десяп1ж.:тнi1, ждать пспосредст1к:111тых сн1·-
1ылuв о 11сдuстаточ1 ю\1 коррс1пнuст11 теор и 11
ПС'ЛhЗ!I . ВМСС]'(} ~ТОП.) llj)HXU[(ИTCЯ оnр<1ща IЪСЯ КО
1ю.: \\у llaKOПЛCJJJ[()l\;\Y uпьпу работы Yt'JIUllCЧC­
cкol1 ~1ы с, 111, котС)рый как p:t3 11 суммнрустся R
ныраб:пын:н:: мых 1н>сгr::псr1но науюн't трсnо11а-
11шrх к " L"1 р< н·ос1·1 !'. доrса:1атс::m,с1 'Г1».
Гr1.11.берт СО:iJЦЛ ;1J(C I IO i\1;) ' 1'f IKY ЭЛСМСI п ap1юir
1·с::омстр1111 , ;i Колмогоров - тсор1111. веронт110-
стс l1 Ст:11ш р:.1зшша1ъсп мног11е др5т11с Jкс1ю ­
матпчесю1е п.:uрпн.
ll коrще 5U -x гг. гру1ш;~ фран1~узсютх .мате ­
машкuв. вые 1 '\1 111шшн:< н 11ечатн 1ю,~ 11сt:в1101-11 ·1-
мо:-.-1 Н11кол:i 1->°урбаю'1, оf1ъс;1 1·1н1rщ11_:ь 11 жстнш11
l lUC' l'PO l lTЬ KCfO ~1:1'L'(;' .\'1:ITI1 ку 1[;1 а K~HOM<l 'J'l I чсско 1"1
оо ювt.:. Ф)о 1~даl\1ентом с.11уж1111:-1 тсорня множесп1 .
3л 1::;-. 1 сгр0111101
пср~ыJ·1 этаж у1юрядоч~.:1111 ые
с·1·ру1<тур1>1, '1! 11·е\1ра. общая ·1 ·ополnпщ теор~ rн
11сры. По-1 ом сле; щваJЮ ноз1н:·сги nтCJpCJ1i эт:1Ж,
r.·1e ('OC/tltllЯЛПCЬ бы струКТ)1JЫ - :шгсбр:.111•1е­
:к11е, 1·еомс-rрическш: и 1'. н"
-
состашшющие
ntр1ш й этаж. :·)та по11ытка осталась 11сзавершL·н­
иО1\ так каr< сама цст" 1 10-вrщимому, бъша ую­
m1чн~1.
R 2U-<:: IТ. JIL'U6ЫIOIOKtlll-I01'0 \):IЗBll'l'lfИ до­
=т111ж1 ;;m ·сбра , нрои :щ шла :ш 1 ·сбранз<11 щя ма-
1 loooc орсмя
Лн11рt·i1111щм ,11·ш1•<
Колмоrо роs
'J 'CM:t'l'llIOI . C:p<:J\11 тех, K'J'() н :{H ;IЧl'l'l 'CJll>HOO м<:рl'
с11особс1·кока.11 :-~тому 111хщсссу , t 1 :що н:1.:~на · 1ъ
нсмсц1«J1'<J матt:мt1·1 · 1·1к::1 Змм11 Нёп:р 11 ее учс-
1111к::1 1·01u1:1 t t/ tl (:1 fia 1т1 '(;'Jl<I Л<.:1 l / \t:рт~1Ra11-,tt:p-Bap­
/ (t:Jta ( 19();1 - 1996).
МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА
В конц<:: Xl.X n. каза:юсь, что фи зика
-
:1аuер-
1ш:~1mая облает~, з11ш111й. Р~1сска::~ываrот. что
некай ющ.>llL:t обрат~ u1сн к мэтру (на стан~ в 1ку)
с пrосьбuй о 11а11утстн1111 - он хоп.:л стать ф1J­
з11ко,ч. //о мэтr OTBC'l 'HJI , Ч'JО у t\Jl!ЗJIКI 1 1н:т гrcr­
(ПCl<TIJВ: 11а почт11бс:юблач1шм11сбс 0·1·крыт1,1х
llC'I llH HIЩllJ,I ЛllШЬ / \Ua [ I CбOJIЫUIIX обл :~чка -
0111,1 ·1
· 1'v1а ~'1 1<сл псо 11а ((Jtl 1tока:~ал 11с:-.1;1в11с1шост1,
скорост11 света ()·1· /(Виже11ю1 :kмт1 . Пр1Lм.
ред.) 11:-~а1ю 1 1ы11:1.11учсния. Скоро 01111 рассеются,
н в фпз111<е нечего 6)7\СТ делать.
Через нс.:сколько лет 1 1з ~1срво1·0 об11ач1<а
рuдиласт, с11~цнал~.11:ш тсор11н uт1юс11тслыю ­
стн, а 11.:~ втuро1·0 - ккантован мt:хаtшка .
Ct 1 сц11а : 1ы1ан 1с.;орня 0·1 ·нос11тсл ы-юс 1 11 cu-
:3:\<tнa к 1905-1906 rт. усшшнм1·1 Альсk:rта ?Юн -
111· 1-еl1на ( 1А7С)-19'55) 11 Пуанкаре. Устроl1стно
ф11 :111чсощ1 ·0 :v1ира, 011исы~асм о1 о .- f1 011 те1)р11-
tl1, Gы1 10 оче111, 11 t:пр1н11,1ч11 ы VJ . 01 ю r1ротинорс:­
ч11Jю · 1.·с:м 11 pt:ДC'l'~lliJH; IПIHJl.I, /..0'1ЛрЫt" 11ыр;1б:п1.1
валпс1, па nротяже11ш1 пос1 1t:t1шх тrёх ueкon.
Чct·u стон·~, нанрнмер, ч1арадокс 61111:~ш: цо в+ .
Один и з 1шх жиnёт 11;1 Земле, а другой отправ­
ш1<:тсл в тщошчсскос путешествие па свt'рх ­
скоростной ракt.:тс. l3ер1 1 уш 111 1с 1, 11а:~а/\ 1ючти
11с 11:з1v1<:1-~нuш11мсн, всС:· так11м же Н)НЫ~t. ка1\ в мo­
Mt:H'I' ст;~рта, 011 :~:1 ст;1ёт с воt1·0 (1рат;:~ 1 ·nубою1м
lH


История математики
ЖюАь Анри Пу~ н карр
l~1·ари ком - ведь nрсм:я на Земл е и в космиче­
ской ракете текло по-ра:шо му.
1! о коr.п. а 061-1аруж.илась снязь спе циальнuй
тсо рнн относитt:ль 1-юсти с 1·сомстрпt:й Лuба­
ченскоrо, это кдох1 ювилu м<1тема11,1 ков: теория,
1 1 редс1 авляншаяся многим абсурдной заумью,
Bfl.pyr оI<азалась пежа щей в основа 111 111 uсего
мнро :ща тrя.
Через десять лет :7йmuтей11 создал общую
теорию относителыю сти , 1<ото рая полностью
разрушила представл е1ше о « Плос 1<0м» мире .
Геометрия мира предсгала «искрнвлёпrюй» и
снН::!<1нной с: тя 1 ·отен11см . Пок:~ з:шия 11риборов,
сонер шнв111и х rтуть от одной точки н дру 1 ую,
как ныясн.илuсь, тюлжн1,1 завн сеть от траекто­
rни J\f\ИЖС ННЯ Паралле.11ы-ше пс.rе н есе 1 IИ<:' на
1-1 ск rнил Е ннn~ х поверхностях опре11 еляето1
одннм н з tJаж11ейших понятнй 1·еоме1rни -
свл:тостью. 0110 было п 1х:дметом изучения
геш.1етров итальm·1ской тттколы - Леви-Чивита
и др. Всё это повлекло за собой интенсишюе
развитие 1-еоl\1етрии в 20-е и 30-е rr.
Тогда же научны й мир ожидал и другой
« 11ruк ~ - рuждсние квантовой механики. Ру­
шился сщн н 1·13 H <:З hl бЛC MhLXДOT(}JJ поры баС'l'И­
о н он на уч ног о мнровпззрсния - прю-щ1 1 11
детерм1 1низм::1, т. е. nредск:~зуемости будущею
по пр ошлому. Выяснилось, что мнкром11р
неnрелсказуем . В ссютвстствии с при1щmюм
неопределёштост и мы 11 е можем точно уз1 1 э·1ъ
од11оnреме11110 н пол ожение элеме нтарп о f\
частн!(ы и сё скорость. Это казалос1, неnероят­
ным даже такому rcr rнro, как Эйнштейн, - од­
ному из ОСНОВОПОЛОЖIIИI<ОD квантовой теории.
~ я нс нер ю .в Бо1·а, иrрающе1·0 н кост~», -
н с уставал п о вторять он.
114
т~1к случн 1 юсь. чт11ма· 1·с мат11ческис основа­
нш1 к1:1а1п·о вой мсханюш были с:озданы Гнль­
бертом и е 1·0 ПОСЛС.:/\01'\аТСJl>IМ И ll C.::.J;Jll;OJIГO ДО
рожде 11ня само~! t 1 аук11 . В ч<1сп-юст11 . Г11т.бt:р­
тоnа теория бесконс чrтомер11ьLх кпадrаптч11ых
фо рм помогла установитъ рав1t0с 1rлыrость
двух 1юдходов к о rтнса нию микр омира - ма­
тричной механики Гейзенберга и вотю1юlr ме­
хашш:и Wpi.:1~11н1·t'pa .
в 190'5 1' :;)r1 нш ·1·е йн uпубликовал тrи рабu­
ты . Ою1а была посвящен~• спе r tи ал ы-ю й теор1111
от1-юс11теJJы-1ос_-г и. !\ругая - кна11·1·01ю1'1 механ11 -
к<::, ЧХ0Тl>Я -
'1еОр1·111 броуН<.>RСКОГО /~111-IЖ<::HJ 1Я
О первых ,11вух пробпемах уже rr>1юр 1-1лос1"
тепер1,, peLJЬ пойдёт о трет1.е н .
Математическую теорию б роу 1 ~овского
дnижет-п-ш построил Колмогоров. 13 пей nоссо­
t'ди11илт 1 сь тео рия теплоты, пачат~u1 11 сслс1ю ­
кшия.ми Фурье, Т(;орю1 броут10Rско 1'u дш1.же­
н11н Эйнштейна - с~юлухuвс:кого, со;9щ11нш1
ими на фн::sичсском уровне, и ре::iульт:пы тео­
рии вероят1юстсl1 , нач:.11ю которым положи­
Jllt M<tfЖOn и Rи1 1ер.
Высокого ~1Jоnня достит ·л<t теория урав 11е­
ний с частнымн гrрон:1tю; 11 11 .1ми. Пуант<а ре 1111-
сал: «Каждая физическая тео р1ш . п<нюnа~1у
освещает уравне ния. Без ;:,ти х теорий мы
н е зналн бы, что та кое ураu11ения в ч астных
проиэво; tны х•. Прониюювспис мз тематики в
различные обласvr'и мс::ханики и физнки шло
широким фронтом . Уч ёные-ма тсматики 11ри­
нимал11 активное уч<1стие 1:! р;вработке м но­
гих фн з ичt:t:КИХ тсо р11й - турбуJ 1 t:нт н ост11
с nерх прОВО,!\ИМОСТИ 11 др.
МАТЕМАТИКА
И ВОЕН НО-ПРОМЫШЛЕН Н ЫЙ
КОМ ПЛЕКС
Матсм~1 тнка }"Jастновал:~ ин т;.~ю 1х дб1 н1 шх нека
котоrые п о11нсли человечество к rранн всем11р·
ной катастрr>фы. О1·ром1юс ч1 1 слn учёных я
разных п·ра 1 1 ах 11ринюш учасп-t~ R11рu 1 раммах
110 СОЗД:.111ИЮ IIOFleЙt llllX сrедСТП 1юоруже 1 1 11.я 11
веде1 1 ия военных дейстnиi1 .
Потреб11осп 1 самолётостроспия пр иоел н li
развитшо аэродинамrпси и появле11и ю n m<ra-
лc всI<а теорин полёта. Среди ю1а сси 1юn это11
науки - «0тс1 1 русской :~виаци 11 » 11. I::. ЖуТ<ов·
ский и его 11осле;1он ап::ли - С. А Ча 1 1лыt·1 щ


1.1 . 13. Голубев и др. Длн создання те:орш1 rюлёта
ош1 прнмс н яли н шттенснв1ю разnивзлп тсо ­
р11ю фу11кц11Г1 ком1~лс1,сного переменного.
С..:о стропп.'ЛЬСТJЮМ IЩЦВОДНОГО 11 ПОДIЮДJЮ­
\'U t\11ют~ были с.вя :>.:11-1ы фу1 1J\аме11т;u~ъные до­
ст1гжсt 111я н обп:к~1·1 1 теор1111 кор~1бля (А. 1-1 Кры­
лов), гироскошн1 (А. Ю И1 11 тшскнй), ра:тнт11с
г·сnрин )'C'l'OЙЧ l·IJIOC"ПI , ме'J'ОД()В RЫЧНСJ1ени1I .
Н1111ер и Копмогорт1 :1ан 1-1 ~1ат rс1, ,\11rог11мн
пр 11ложепннми теор 11 н нероят1юстей, R ч :кт-
1юстн утtранлением ар·r·илперийсrшм с>п1ём и
nроблема ,\1и бомбометания. Из nотрсf1 1 юсте 1'1
11шфроnк11 секретных сообщений 11 эффск-пт
1юi 1 псрсд:.~чи их по как~Uiам сш1зи nырос со­
вер 1 uешrо новы 11 ра~дсл матс~1атики - meoprm
11нфор.мmр1U (К \Uе нно11). сонсршс1-1стnоuалась
11 1·сорин конирона 11 ин . КО11с·1·руи рова ние раке· r·
{\а11ы-1с1·0 дсйстния с1·имуниrокало развит11е
оп·п1м:.~лh1юго ут1ранлс11ия (Л . С. Понтряги11 .
Р Бt:.ш r ;11:.1 1 Т) и мнопrх друтнх p<1З/\t:JIOB прш<Ла/t-
11ой п ч1к·тоИ м::~те,,1атнюr. Г1рЛ1<.1!<1/1,t1ая м:.<тема ­
тпка обслужнн;vrа и ~томную про 1·рам .v1у.
Лроп~rюстоя 1 ше дnух со1tиалы 1 ых систем
привело к невилашюму развитию техпнки и в
конt:чном ито1 ·с - к и11форм;щионному взры­
ву, выз нш 11-юму коиrrhlотернз:щисй . Роль матс­
,\lатикон к pa~raбu·r·кc 11 сuзданн11 n l'рных ком­
пыотсрuн н1.::сьма 11(.'лнка.
МАТЕМАТИКА И НАУЧНОЕ
МИРОВОЗЗРЕНИЕ
Неличие ХХ столетrщ в часn-юсти, 1:1 том, что
01ю нарушило, изме1шло, преобразовало п очти
нес 11редставлсния челоне ч сства об окружаю-
Новое орсмя
Щс\1 мире. И здесJ, л1атсмат111ш сы 1 ·ра;1.~ вы,rр­
ющуюся роль .
В 11 ачалt: века казалос~. - 11ау1<а fi.rшзка к
оn'Ьлс11е1mю картт1 1.r мирозда 1 ннr . Учё11ые
были Уflерепы в том, что м1tр nпзнаnаем , что
.l:k-cJ 1 e1111aн суrцествует вечrrо. что она пе имеет
ни начала, /Н I l\OtlЦ<l 11.И во Bj)CMCIIJt. ШI u 11ро­
стра 11 ст~е . Земля, счпт:~ли они, образоnа;1 ась
естественным 11утём. естественным путем во3-
н111.<л:t на нсй жизнь 11 н ходе естест1к:нноrо
р: 1 :.т11т1 1я она ,r\ост1 н·ла щ.:сго то1·0, что открыто
пер<::/\ нашнм llЗ()ром.
Однакп 0()11(:1 н ·rтпрт1 относнтст.1-1остн
Зйнr11те1"111а пr1 1 11слз к развитию .космологии. к
теорн1 1 Болr,шого В:1рыва - пачэль11оli точки
отсчёт:1 ж11 31111 lkелеш rой . Лростраrк1'во Rсе­
лешю11 О1<азалось ограниче11 ным, хотя и рас­
пrпртощимся.
В больш1111сrне теорий о происхождешш
Солнечной с11стсмh1 обнаружилпсь глубоюrс
ИЗЪЯНЫ. \.':щ{: f>OJJCC ' \'~\HllC'TBCHHhlM ~Ыl'JIЯДl'\T
IЮЯllJJ(.'ltHC ЖИЗt-111 на Зt:,\.1ЛС н сё ЭВ{)ЛЮJ \1 !Я , 11ро­
исхождс 1 r нс чел о нека. Нз месте пошатну11-
uн1хо1 TI pyXH)'llllLllX П[)CДCT::JRJICHHJI Об }'C 'Tr>OJ1-
Cl'HC Rce;1e-11нoi1 сонреме1111ыс учсныt' пытаются
соэ7(;.п11 р<щиоrrат rстнч ескую версию мирозда­
шщ хотя уnереmюсти в ус 11ехе у 11их 1 ·ора :то
менъше, ч ем быJ ю у 1юr<олс11ия 11х уч11те.11~й .
l3cp11ёмся к вопросу о дстерм11ш1зме. Оо юn­
но11 тезис постн ыотоноnской н:~турф 1 rлосо ­
фш1 состшm D том. <rто мир управляется диф ­
ференцш1 лы-1ы мн урав111.:н1шм11, 1111ачс 1·01юря ,
01 1 rюлнос·1·ыо пред с казусм . Гlослу111айте:: , на­
пр11мср, t1ьср;.1 Симона JТанпаса: .-,Ум , кт·орому
fiЬJJll.J nы 1I Э llCCТ.l I Ы ДЛЯ КС!ЖДОГО /\aHHOl'O МО­
ме11 ·га вес с11лы _ ОЛ}Wевляю 11п 1 е пр 11[Ю!\У, 11 от-
1юс11телыюе 11оложеш 1 е 1ксх tё составных
частеf1, еслп бы n11.обаrюк 011 оказался / \r JСТатuч ­
но обш 11рпым. чтобы подчш1иТh эти да11 11 ые
анализу. - он обнял бы в одпой фopl\-ty.rte
дш1жс11ю1 вслнчай1uихтел l3селс11 н ой наряду с
движениями лс1 ·чаftших атомов: 1rc щ_'ТаJЮ<.:1> бы
н1 1 <1егu, ч'1·0 бызю бы для него недостunср110, и
будущее 'J'~ll< же, каr< 1-1 прошс.:ю 11 ес. 1 1рС/(Ст~1л о
бы \IC}ll:;'/\ CJ'O ВЗО[ЮМ ».
Ro npcмtн:.i Ла11J 1 aca Ш'ром1 1 ыlr мнр представ­
лялся 1щрст1юм Поря11.ка, 1~ нём всё нр~дt:к<tзус­
мо, nrСД()ПрсдеЛСllО, И ТОЛЬКО ШIЧ 'l'ОЖllЫЙ J(ЛО­
ЧОК этого мнра зашrмала « прот11 1юпр:ав 1 1ая ->
область, где утверждал себя Хаос, - азартные
1rгры Пасr<аль, Ферма, Я . Бернулли н сам Лаплас
uписади первые законы случая.
115


Иrrория матt>митики
Жюль Анр11 1 1 у.111к ,1рt•
стаrтпюм - ведь время 11а Земле и в космнче­
ской ракете текло 1ю -раэ1 юму.
1Jo кота обнаружилась связь специалr..rюй
теории относит<:лыюсти с геометрией Лоба ­
чевского. это ндою-ютmо математиков: теория,
1 1рсдставлянrш1яся мJ-ю1·им абсурдной зау м1,10,
BJtpyг ОК:133Л3.СЬ m::ж:1111сй R OCJJOBЭllИИ всего
м11роздан11я .
Черсз десять лет ЭйнштсЛн создал общую
теор~ 1ю от1юс1 1'1·елы-юст11 , которая поm юстъю
ра:зруш11ла представление о ~ 1 тлоскnм» мире.
Геометрия мира 11редс1·ала «тrскривлёпной~ и
свлэаш-юИ с тя готением. Показа ния приборов.
совершивших путь от од1 юй точю1 в другую,
к;щ выяснилось, доджны зависеть от траекго ­
рии движения . Параллельное перенесение на
нскривJ 1 ённых nовсрх 1 юстях 01 1р едет1етсн
олннм и :~ важнейших 1юнн·1·ю) 1·еометр1ш -
сн~зностыо. Оно было 11ред м етом изучения
геометро 11 ит:з11ыrнской школы - Ле1т-Чивнта
[r др Всё э·1·0 1ювлекло з(! соб()й 1111те11сн ш юе
ра::mитне геомеrрш1 11 20-е 11 30-е п.
Tor,1,a же 11 ауч 11 ый мнр ожидал 1-1 другой
« ШО!\ •> - рождение квантовой механики. Ру­
шился одm 1 и:з незыблемых до той поры басти ­
онов научного мировоззре ния - принцип
детер.м11низ ма, т. с. предс казуемости будущс1'0
по 11 ро1111юму 13ыясншюсь , что мокром1 1 р
11сnрСf(СКазусм. в COO'l'RCTCTl\llИ с пpHHl(ИflOM
нсопрсделё нтюстн мы не можем точн о узнат1.
од11овреме1 11 ю н положение элементарной
части~ (Ы и сё скорое1ъ. Это казалос~. певеронт­
ным даже такому r·етпо. как Эйн штейн , - од-
1юму из ОСНОВОПОЛОЖ l lИКОВ квантовой теори и.
«Я 11е ве рю й Бога, играющего в кости•>, -
не уставdЛ повторять о н .
114
Так l'J IYЧ.11JLOCI>. ЧТ<J матсм;~т 1 IЧ {:(.'!{НС ОС НОН3-
НШI квантmюй механ 11 ю1 были со.:щаны Г11J1 ь­
бt:ртом 11 ето после11m1а · 1 ·е11>1мн нсза,r~,ш11'0 до
рож,це1111я са моl 1 1-1аую r . Н час·тност11. Г11J11,бер­
това теорпя бесконечномерных r<naдpaтrrЧ1rыx
форм помоJ ·ла устанонип, рав11осплыюст1,
ДRух 110,ri,xoл:on r< опи сашпо микромира - ма­
трично й м<.:ханню1 Геl1з<.:нбсрга и тюm юnof1 мс­
хаш 1ки Шр~д11н 1 ·ср:~ .
В 1905 1·. :;1r1ш1y1·1.::i:-111 tшубл 11.конап тр 11 р:160-
ты Одна была посня Щl"На спе1 ~11 ~u 11,1 юit теор111 1
ОТН(1ситс.rгьносп 1 ,дру 1 ·;:~}! - квантшюй м ехан и­
ке, 1т>еты1 - ·1·еор1 1 и броу110 1ккого ;~н11жrн11я.
() nepnr.1x двух проблемах уже 1'0 1 1орнлос1"
теперь реЧ1, пойдёт о третьей .
Математи<-1ес1сую теорию броуновского
дшfжсшrя построш1 Кuлмо1·ороn. 13 ней nоссо­
едш1шшtъ теорня те1шuты , начатая исслсдо ­
вш шями Фурье, тсор11я брuутювского дв11жс­
н ш1 Эй н111тс:й 11 а - С"юлуховскш·о, сu:.ща111 r ая
имн на фи :шчссr<ом уроRнс, t1 резу111.т:1ты т~:о­
р1111 вероятностей. начало которым положи­
ли Мар1ю11 и Rи1 1ер.
Высо1<ого уроrнrя досп1гла '1 ·еорШ1 yraD11e -
1rи:й с частными проиэnодт1ыми . 1lуа11каре1111-
с:зл: <- Каждая физичес1<зя теория... п о - 1ю1юму
освещает ура!311ения. Без ;:,тих теорий мы
н е з нали бы. '-ПО такое уравнения в частных
произ1юдных~ . Про н11ю-ювс rrие матсмап1ю1 в
различные области мех;1ш1ки и физики шло
ши роким фрuнтом . Уч ё ны е-математики 11 ри­
нимаJ1и активнuе участие н разрабuткс м 1-ю­
t'ИХ фн з 11чсских тсорпй - турбулент1 юс·1 11.
снерхnрО!'IО/~имлс-п1 н д р.
МАТЕМАТИКА
И ВОЕННО-ПРОМЫ ШЛЕНН ЫЙ
КОМПЛ ЕКС
Математика участвонала н Rтаких r1е>1н пях века.
котор ы е подвели челuвечестнu к 1'ра1 ш ш::ем 1 1р·
ной катастрофы. О1 · р()м1юе ч-1 1 сло учёr11,1 х н
раз1rыхе1-р;н1<1х при 1 rю111 уч аст11е н [ 1 роtраммах
1ю со:1да 1 тию 11 овей ш11х сре11сп~ нооружt11ия ~1
Rсдс11ия военных действий .
llотребпостп самолётостроешш прилел11 к
paзDlfTllIO аэродипамm<и и rюявлешuо u 1~а•1а­
лс пека теории полёта. Среди класс11коn этой
пауки - «0те1 ~ русской а ни ац1ш,) Н. Е. Жу}{ОВ·
с ки й и е1 ·0 1 юс.:11едо 1~~1тели - С. А. Ч.аплыnщ


13. В l'олубсв и др. Длн со:щан~m тсорш1 попtта
0111·1 11р1 ·1мснял 11 п шrтсш..:1 шно разн 1 ш;JJш тео­
рию фуr llЩI JJJ KO,\l!ПJICl<CI (()!'() 11еремt:н H()J 'О.
Со строJ JTl'Jlьcтвuм 1 1 ~щ1юд1 ю1·0 о лоднuдно­
го флота быт 1 свнз~н 1 ы фу11дамснт;lЛьНые до­
с~·ижсrшя и област11 тсорнн кор:.rблн (А. К. Кры­
жш), 1·ирnс 1юпr 11 1 (Л. 1-0. Итлт rсr<ий), разuнтие
теор1111 устойчиnос-·ги, мепщов JЗычпсленr 1r'f.
Uиттеr 11 К()nмог()роn ~аннмзлнсь м1ю 1·има
nр111южешшмн теории вероят11остей, в част-
1юст11 уnраnление м артиллери-йсrшм оrнём н
пробпем:н.~н бо.мбометзшrn. Из по1·rкбно(тсй.
шнфро.кю-1 секретных сообщt' 1-ги 1"1 и эффектив­
но11 псrсда4Н JIX ПО K:lH:lЛ:ti\1 СВНЗИ вырос CO-
кep111Cl-\llO ноный р:щц~1 М<IТСМ~IТИКИ - 1·neo/ЩJJ
инфо(J.лш111111 (К Ulc 1 1нш 1). соRерmенствонал~н.:f,
и теорнн kл;111ронан1нс Конструир0Rан1·1<:: р:~кс.·т
д;1ш.11\:\'() дейt"r1~115\ сти м уJI 11 ров~ло развитие
оптнмалы юго )r11раш1ен 11я (Л. С. Понтря rин,
Р. Пеллмап) и м 1 юги.х[(р-~тнх раз;tелов прнклап:­
ной 11 чнС'10\1м:псмати1ш. 1 Iр11кладп~я матема­
тнка обаrул~11в:иа г1 атш.нrую програМ).f}'.
1Iропmостолr шс: двух соцпалыu)rх С1 ~стем
11р11uсло к нсш щанному ра:.1внтшо тсхш~кп ин
конечном rrт01·c - к ш-1фоrм:щ1юНiюму ВЗ[>hl ­
иу. вызванному компh}tУJ'ер1 1 за1щеЛ. Ро11.ь м;1тс­
мат1-1ков к разработке 11созд;1нии 11ерRых ком-
1тыотtра11 Ht:ChMЗ BCJI 111<3.
МАТЕМАТИКА И НАУЧНОЕ
МИРОВОЗЗРЕН ИЕ
Всm~чис ХХ сталс.тия , в часпюС1'11, в том, что
оно 11арушило, 1 1змсюr1ю, nрсобразовало почти
все прсд(~r:шления чслонс:чества об окружаю-
1-fовое орещ1
-~
~L(!J
щсм м 11ре. И здесь мате,vr<1'1'1'П<'1 сы1·ра1 1а 11ы;tа­
ющуюс}j роль.
В начапс век:~ ка:~алосъ - наука блнзка 1<
объяснению картш 1 ы мирu:щ:нrпя . У ч еные
были уверены н том, ч.то мир лоз 11авасм, что
Вс<"·л1.::1-ш~ш сущесшует 1~еч1-ю, ч·1·0 она не им1::ст
н11 начшш, 1·11 -1 конца 1 1н tю нрсi\1<.:11и , 11и н 11ро­
странстве. Зе111ля, счнталн они, образuвалзсr,
естественным путём, естест1:1ен111,1м П)rt·ём nоз­
ннкла на не~1 ж11э 1 11. и 1~ хсте естестве ~ 11ю1·0
ра::~11J1тня она /\Ост1гг11а всего ·roro. ч·ю открытп
перед нашнм. н:юром.
Однако общая тсорт~я отпосителыюсти
Эfi 1 шпеfщ;1 nриnеда к разnиnно ~юсмо;югии, 1<
теории Нолыпого Вэр.ыва - началън оil точю-t
отсчёта ж 1 rзнн Вссл<.;Ш-юi1. l Ipoc1·p:111cтнu Все­
лс-нной OJ\;.iз::uюc1, огра1111чснт1ым, хотя 11 рас-
1 r 1иряю 1ц имся
В большинстве теорий о про11схожJJ.сI11ш
Сот-1ечной с11сп::мы обн:1руж1uнкъ глубою1с
1п r .яны . Ещё более ·1·~111нсп~еrrнъrм выr·ляJ\и ·г
1юн1111с11 1 1е жrr:JJ(H на 3eмJre н её ~нолюцня, 11ро ­
исхож.дешrс челоnека. На месте noшaт11yn­
rn11xo1 и рухнувших представлеш1ii об устрой­
сnзе Вселешюй соuрем:снвыеуч.6тые пытаютсн
создат1, р;.~ 1.1,Ионалнстнчсскую .версию мирозда ­
ния, хотя уnерснrюсти в успехе у ш 1х гораздо
меньше, чем бьJJю у п<ж<.mсния 11х у чнтелей..
Вернёмо1 к вопросуощ:т~рмнннз м с. Оснон-
1 юй тез 1к 1юс.:тныlУ1'uнонс1юi1 натурфщюсо­
фин сое1·ш1J 1 в том что м11р управляется днф­
ферсн1tн:1лhным11 уравне111,1 ямн, нн:1чс го1юря,
он 11от юс1ыо прt'лска:зуt'М. TTocлy11 ra ilтe, 11а ­
пример, Пьера Симощ1 Лапласа· «Ум, которому
быт1 бы аэnсстны длJ/ каждого щшrю1·0 мо­
мента все: сиJТы, одушевляющие прщюду. н от­
ноо пслы юе rюJюжсние всех её состаnных
частей, еслп бы uдобавок он оказаJ1ся дос1·~точ -
1ю обшнрным, чтобы 1юдчш11пъ эти даю 1 ыс
:ш:1т-гзу, - он об11яп бы 11 одной фopмyJJt:
дrн 1 жс.:1шн1:1t:1111ч;1Л111нх тел Rссл енной 11:1рялу с
дв 1 rмсниям11 лс1чай111их атомоо; 11е ост~шось бы
н11чс1 ·0, что было бы для 1-tcro 11с;щстонеrно , н
будущее так Жt', как 1r прnшс]\шсе, предсr:тп
бr.r перед с1·0 в:юром».
Во врсме11а Лапласа огромны.И мир предста u-
ляло1 Ilарством Порядка, в нём всё nрсдсI\азус ­
мо, пре;юnредслеrю. И только нпчтоЖJrr.rй юю ­
чок этого .мира :~анимала <•противонравmtя?
uбпасть, где уr·нсржд:т себя. Х:юс, - азартные
И1ры . Ласк:'.lль, Ферма, Я. Бер11ую1и н сам Ла111шс
опие:u1и 11~рвые законы сJJучая.
11 ')


Иtтория математики
ЛлеКСi\Ндр м1,1хм1лов11ч
л~тунсщ,
Но." облас1ъ Х:.юса расш11рял:~с1" 1fау1<з а слу­
ч:н11 ю:vi - теория 1~e/юяm1LrJu11uй
-
ра: ш1mалась
11 кре11лJ. В ХХ n. 1ю J\IJl(m"Jм 6лаr()д.tря усншшм
П. Л . Чсf>ыm~ва, л. М. Л~rл ,·1юва, Л . л. Маркоuа.
С. Н. .Dtрнштейн:-t и А. 11. r<:олмоrороАа от око 11 -
чатсл 1 , н о оформил.tсь 11 стал.t :1 ,шимать всf
6ольшсl' M(X'l'U !:) 'j'UJIKU.В<IHИH 11р11р01~ы . I::щС I ТU.IJ­
BL'K:l назад казаJlо(.ъ, чтu 1~<1рс·1 1 10 Х:юс: 1 11 1t:~р­
спю Пuр sщка п u край 11 ti1 o\lt'pt <.:О И. {J\\t'р11мы
лру1·(.' лру 1 ом. Но к llЭШt: время 1\] Jj()J 'ИC учёныс
11сповс.:.:дую· 1 но:13ренr t l'. Y", j {l' 11 ря мо 11ротн нопо­
:южнос н1,н >Т< >I-H >-ла пласопскому, Y"l 'Пt[lЖ/Laя, •по
1ке eC'I ь Х<юс. и у 1111!1. 1tm1э·1·01·0 епъ м11оrо oc-
1ю1ia11r1!1.
R -Ю-с п·. родилос 1, [f0130e направление н
;11~1т~матике - теория ~шформацин . Амер11ю111 -
скш·1 учёный IJ орберт tlнщ:р ( 18()4 196 1)
nклточпл тсоршо 1шфо рJ.1:щ1 111 в божт общ) ю
научную д1кц1- 1ru111ну. ко·1·орую он н.1;.1в:1 11 1m-
бejmenm~o{1 (г/Jеч. " 1 ~скус<." 11ю yнp::iв1Lt.'111lЯ")
116
Рож; tс.:1111с этой пауки т:шжс спя :~:шо с ооrы<. ­
ж: 1111 с.:м J\ш01·11х фшюсофсю1х 1<01щс 1 щнй. н
lf{ll'Ж/\L' HCC l 'U С l l(JH~ITl l CJ\ I COJHilHШI hЫJl,1 111,1-
CKa.~;.i 11<1 ~1/\бl -" 10/(l'JIJ 1рш~а1111}1 чеJН HIC'lt:Cl{()l 'O
Cn:1 1r:i 1г11я _ Но:iможностh со:щан11я 11екусс1 нс.:н-
11ых t'YЩl'CTH, o6J l 3/\alOЩHX MЫlllJ\Clllll:~1. -
одш1 из r1 робщ·м 1I01io1:1 филосафии. 1 ю:-1 1 1111< ­
шейnко1щеХХн.
И JТаконец, оди 11 11:1 кр::tеуголы 1ых кампtir
фшюсофш1 начала не1<а - сама 1щея Jюз11.1 -
н;~с.: ,,юсп1 м11ра. по - ш l/llL\1 0мy, тожt: разруш<.:11а
Uo всяко.;1 ст·час, uршщшш:u1ьн;т ш~ р:t3ре-
1ш1мос1ъ 11μ06J1t'\IЫ "разрс 11111 ..,,юсп 1 ВС(.'Х 11ро­
блt:'vР nыла ус1 :IHOШ lt'Jl :l В :Ю -1..· 11 ' l\)l'YllJ!\I
Гtд<:Jlt'l\I ( 1906 - 197Н). :1кс 1р11Г1сю l:\'l м:1 1·сл1::~ 111 -
1юм. :'11\1 111 ·р1 1 р(нi;1Нш11.\t 11оз;t11сс 11 CUTA
НЕКОТО РЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ПРОБЛЕМl::~I И ИХ j-JfWEHИE
« Нt:нu:.;1\1ож1то отри~ lа1ъ глубокое :~1 rачсшrс. ко­
l'Орое l lMt'IO'I OIJj.Jl'Дt'Jlt:HHhlt: 11po6J1C\1J,I Д.1111 11pu-
1'1:R IJЖCH[I!/ матема·1·11чс:.:ско1'1 11аук11 1юобr 1 ~<.:. 11
важную рот" кuтuрую 01 111 1 11 ·р~щл к paб<Yl 'l'
()1:дcЛbll()l(J l l CCJ l (. 'Jl()l\;1•1t:JI H » -
Э'l ll tJl()К:I ['11Jlb-
l)ep·1 llj)OI r:{н(;с ко HC'I у1lll'J'CJIbllOll Ч.ll 111 CHOL:J'()
; (ОI<Л;Ща, тюсвн щё111 IOIЛ формут lj)OJ\l\~IM .матt:­
ма гичесю 1х 11робJ1ем.
ХХ век }'H<tcлt.:,'l.O fiil!l от n рошл i.rx 11ремс11
11сс1<олъко ncm 1к1 rx проблс\1. С:1м;u1 сгар.1я 11.1
лпх, поставлешrан в XVll в., ~ тсо1х:ма <l>ep:--1.1 о
11t'pa3pt'1Шli\1 0CTИ 11 1raтypaJJ 1,1 !ЫХ ЧllСЛах Д llO­
ф<l l l'l'Ol!:t НХШ ll С 1111Я .\'
11
+)'
11
-z''прпJJ>2Двt
3На .чснНТhl С г1роблс,11,1 - ГonhJ\6,1x.1 11 ~!'1.11<.:р,1 -
н TL'op1111 ч11се:r 11р1 1111л1 1 11.~ Х\' 111 11 Rср1 ю J111,
дd1:111л Гильоt-μ1 .


что К:tЖДОt: на·Г)1Х11ГЫ·Юt: Ч\/СJЮ, 60J 1ы 11et 6, t:CTb
сумм;:~ ·~-рёх npocтr.tx ? С этим во11росом в 1742 г.
Х. 1·от,дбах обрэтился к Л. !)йлеру. Эйлер же
за.•1етил. что длн o-rneт:i на nоста1шс1шый во­
пр()с досгаточ1-ю ,~юказать, что каждое чётное
ЧJICJIO является су.:v~мой двух J1poc.rыx.
И:1 пробл<:"1 X JX н. нанболсе 11звестна 11ро-
6лсма ко1 1т1JJ1уума, 110с1·аю1е1-mаи l<антором : су­
ществ>'<.:'!' ли такое множсстно, которое можно
ю:1ш.11 ю ол1 юз1 tачно отобра:тть в сдr 1ннчный
OT[>e:\<JK , НО пр11 ЭТОМ еЮ·11 1 11ЧНЫЙ отре:Ю.К
11сm,зн f13;m~пю однпз11ач110 0·1·06ра:нлъ fl это
м~южесттю?
('и.rп.берт сформулировШl 2) проблемы, ко­
торые, rю ei-o м11е11и10, доюю1ы быm1 опреде ­
лш·1, nерс11ективы матсматшш в ХХ 11. Во мrю­
пrх нопросах оп окаэ:шся хорошшv1 прnвщщсм,
но в нескот,ких снучанх r1н·1у1 щr~н нз мет ша
С,\1у. Как лрантю, это быJJо напрJJмую с1:.шзано
с Т<.: .м ~Ql l'l'llMlfC'f 'llЧCCIOTM» RЗ l'JUЩOM н ;1 М~!р. о
котором уже твор111юсr" Сною убсж.;~ённ остh
111 rerJl'pa1 шчснных Rоэможностях ч..еловсчс ско­
rо разум:.~ Г~rт,бсрт выразил н афор11зме «Мы
XOT\tM Зlll1.T I>, мы бу!\еМ з11а1ъ" .
Оста1юш1мсл лш нь па некоторых пробле­
мах l'шн.берт:~. На первом месте в его списке
стояла проблема ковтrшуума. Обращаясь к 11ei'1,
Ги.%6<.:р"J псход11л нз возможr rестн её разрсше­
н~ш н ту 11лн 1шую сторону: да или не:т. llo
к1,1нс1111sюс1" ч· 1·0 она нс может бы·1 ъ J:-111 дока­
:1:~щ1 , 11и т1ровtрп1 уrа мстuдамvt д1ат~матнч<.: ­
ско i'r 1ю1·11ю1 н r1дной общспр11нято11 акс1Lома­
тичес 1·;0\·1 ·1·соrшей 'шожсс.:тв. То, 1..1то еС: н1::ль:1я
011 ронер п ryтr" лпкаэал п 19 ~() 1- . Гё;1ел ь. а обрат­
ную 'reorcмy - 11 19(1:1> 1·. 3мер11к;-~псю111 ма"1•е­
,\1:111ш Пол Коэrт (родился n 1Q34 J• ) .
Уверсшюсть n том, что I<аJКДая опrеделёп­
пая м~1тс~атJJческ::~я вроблсма flепремснно
должна нмеп> решеrл re, лоб)'днла Гал ьбер·1·;~
1юсп1щ11"h п 10- ю проблему .-УJ(азат1, способ.
llf>JI I Ю\ЮЩ r r которого 1юзможr ю после кuпеч-
1ю1'u числ:.~ оr1еращ1й усrа1юв11·1ъ, разре1uимо
.1Н ЩIHll<Jl' ypaBllCHl!e 13 ltСЛЫХ f1aЦ110lf;JJlbl!ЫX
ч11ст1х» . Иначе 1()-я 11робл~м:r формут1rуется
Новое время
так: дока:3ат1.., что С}'l.Цсствуе·r аm ·ор ит.1v1, кото­
рый 110 данному мн огочлену ;; от п г~ере­
м.енных с целым~ r коэфф~ щ11ентаJ\·Ш рнспозIIа ­
вал 6ы, имеет ур:11ше,н11с Р =О целоч1к'J1<.: 1 1ныс
корн.и 11m1 нет. U 1970 r· .
IОрн1'1 Вл;щнм11ров1·1ч
МатннсеmР 1 (роютсн в 19-1
.7
1· .) устаtювш1, что
требуемОl'О ;u 11 ·орнтма нс существует.
rнльберт 6ш1 настсжыю у1~ерс11, ч·1·0 фу11к-
1tю1 трёх nерсме:нных устроены слож 11 ее, чем
фут11щи1 rлnух нереме1шых. что 111>1С1<З :з:lJ1 таr<у ю
гнпотезу: нскоторзя ко11J(рет11ая фупкцнл 1рёх
nере:мешrых 11епредставима в rнщс суnерпозrт­
ции непрерывных фупкцш'1 ДВ)"'Х псремешп,1х
(13-я 11роблсма). Её онроверrли в 195 7 г. Кол­
м<хоров н В1t:~дп~шр Игорс:nич Л.р~юнь/l, (ро­
д11лся :в J 9.)7 1'. ) . Ок;:~~алосъ, что с помо щью
'1OJIhK() ОД! \ОЙ, 11 1lp11TOM 11ростей шей , фуню \1 \И
;tвух ПCfXM t lfHЫ X с:).·,у) ~.\"+у 11 Нt:Прерыиных
фр1кцнй о.п:ноi1 персмсн1-юl1 .мuж1ю носстано­
АИ'IЪ любую ф)'lfЮА 1 1ю 11 пС[)(:,ченных.
Пробл ем:~ Фе:рма б ьи1а разрешена н 199') '"
(см. статыо <·Вет 1кан ·1·еu рем<1 Фt'рма·>) . Проб­
лема Гоm,.п:бзхз ок:lзалас1. <· почт~,,, ре1u ё1 нюi1
в 19:Р L'. Ива.1ТО~1. 1\1атвееnтtчем Urп югра.д()ным
( l891 - 198:)), кuторыfr доказал, что J1юбое до­
статочно l><шьшос на1)11хu1ыюе чпсло предста­
в ~ 1м о сум...мой трёх прсктых. П роблсма Эflllcp;i
1ктал:1съ 1н::ра:.1рсurёююl1 и 11 1шш1с ХХ в.


Числа
АЗБУКА СЧЕТА
ПОЗИUИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
ПокуттатеJ1JJ. нриходя в иа 1 ·а:шп . видит товары
самой разной стоимостн - есть о~rеаь дешё­
вые, есть неrrо.мсрrю дороr11с. Чтоб ы у11рос111ть
расчёты пр11 покупке, Цс: нтралытый баr-11< вы­
пускает дtш.:жныс зн;ак11 различ1-ю1·u достоин ­
ства. Кu 1 ·да фото1·р:зф J1ш1 ап·1·tк:Jр1, / LJIЯ r~р1л·о­
тпнл е н 1111 нтжного ему р<1стнор.1 нзнешив::tет
порош кн , он 1 1 сгют,зуст спt:ци:~льные ап1ек:~р­
ск1-1е весы 11 11а(юр 1 '11рек р:вной "'ассы То ч но
тз к же Т1З базов1.1 х ::JJ1eмe1 1'1 ()П, НЛI 1 КЛJОЧt:ВЫХ
ч11сел, с1тюнтся любая числовая с11стема .
Если пrи взвеш1ша1шн порош1<а ~ттекаръ
положил 11::1 ч~1 шу nccon дnе rиpLкr1 по 'Ю 1 , одну
ПфьJ<у в ') 1· r1 одну гирьку в 2 г, то nec порошка
составил2 '501·+1 '51·+1·21=107г.Iloи
сама запись ч 1 1 сла 107 сш1зана со спt:циалыюй
ч11ою1.юй б::t:юй, а имен~ ю 1, 1О, 100, ." Так,
1~ифр: 1 1 3:1) \аёт ЧllCJIO COTCJ-1, () - ЧllCJIO J~есят­
ков. 7 - чнс;ю ени 11111 \. Эт.:м1,;нты ч ислоноГ1
f)аз ы. 11лн кпючеnые ч11сJ1а, u l((llнюм случае
11рс:1,с.-1·;шля ют собой степе~ 111 д.есн· 1 1 1
1=10°, 1о=н)', 1()()= н/1ООО=1()'ит.д.
120
В JLеоп ·н,шой системе всего лесят1, цнфr; О,
1, 2, :'), 4, S, 6, 7, 8, 9. Говорят также. что эти
цифры представляют coбofi коэфф1щ11енты
разпоже1шя :!;ща11110rо числа по степеня.ч 10. а
само число 10 н.t~{wвакп ос1ю(iа!ШС.М системы
СЧИСЛСНIШ. ~ tkc» цнфры R i(eCHTI ILHIOЙ заш1сн
числа 011рслеляется её П< )з1щис1!. ч t:м дш1ьшl
отстоrrт .п.;.~нная поз1щ1tя т крайне1 '0 11р~1нш·о
ра:~ряд~1 ед111-1тщ, тем большую ч·0111щ н ос1ъ~ 11
<· АСС» она нмее1 Поэт()му пр 1 н-1 ятзя снстсж1
.3агшс1 1 чн сел пазываето1 Оесятич11ий 111л1111,11-
тию1i с"сте.мой счиспе1111я.
Пытлrmый читатель ~шраве спросит~,: а поче­
му u качестnс ба зоnых LJ11Ce11 выбираются сте ­
пе1-11 1 11ме11110 числа 1Ut 1l елъзя лн воспот,зо­
n;пr,ся сте11сш1ми друго 1 ·0 числа, наnрлмер
пятёрки или ;щойкн?
,'vl ожно. 1{ 11р11мсру, р~1:тожс н1 1с ч 1 1сла I U7
ло степеням пятерки Rhll 'ЛЯ/\11·1 · ·1 ак:
107=4 52
+15
1
+2.5°,
а по степе11.ям двойкII следующим о6р::~:юм :


JU7=1.i'+1.1'+lJ 21+J 1.' +() 2L+
+1 11
+12'
1
В 11~р1ю.м <-.:луч',н.· множ1·пс:1 им 11 1 1 р11 <.:1'(.:11е 1. 1и х
1~1.к1упают11,11фрr.т из 11абора О, 1,2, 5, 4, 110 вто­
ром - 1·~1ю1х ц11фр всего пне: О п 1.
6.ВО ИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛ ЕНИЯ
Прuч11таr'r· 1·с шуточное c:1 ·11XO'J'1101x~1 r 11t' А. Lj. Ст:1-
рJ1 ков;1 <Л<.::oбыJ<J HJl!C H H:нr /~СJ:!ОЧКа •:
Ezi бы.по тысяча сто лет.
Она в сто rrf!/жый ;..:ласе :'(.одила,
Н пор11и/юлС' 110 сто юн 1г 1юс11.11t1 -
Во! -тт 11рши)а. с1 11 е fi/ }l:'(1.
К()гr)а, пычя f)есят11п:11 ног.
О11а 111{1гапа 1 ю йо;югс,
3а 11111/ асегда t7С'.>1шл 1це11т1
С m)1ш·11 х1юсто...н, 3а11ю сто1югиt't.
О11а ловила 11дJ1ц)ы1/ з~1·1,·
Сво1Lми (>1?слтыо yzuaмu.
11 дr:сять загирелы:~: PJ 'h.'
Портфель и пиводт.;, дер;1сшти.
lt деот1.ь mёiN1ю -cu11ux гл<.t.1
Расс.мтn/н1.8алli .м1 1р 1фивыч1-ю."
Но cmmtf!m всё С(Jщ:е.111 обычньнt,
Кигда ппit.мёп~е н:аm fюсскаJ
Ра::11·;щ;пъ :~агадку поэта IJ aм номожет слсдую­
щс:с: 11 ,16люде111 1с:. Uыш1 шt: м уnшмшутыс в l"J11-
хuтвuре111111 числ:~: 1, 10. IUO, IOL, l l OU. Легко
1:1 \1C'J 111'h. • по нес OH!l 3:1 ПI [CЫB:.JIOTCJI с 110-
\HlЩl>IO JJИlllh двух цJiфр: О 11 \ . Может б1.п1,_
здсс 11 Jаш1 1 фронано pa:11roжcr 1 иt" ч11сел по сп:~ -
11е11я~1 днот1 1<1-1? Пр()иери'''
1-Етr бы.1() 1100 лет»: 1 21
+122+О21
+
+О i' = 12 . :~1 1 а<л11, e1-f t)ы1ю 12 ле-1-.
«Онз в 101-й 1<ласс ходш1:1»: 1 1-!. +О 21+
+ 1 2'' = S. З11ачнт, она хоюта fl ') -11 класс Н
т:н< далее. Дс ikтннтслмю , IТOJJ}'Ч a(."1'01 со всем
обычная 1<:1μпша . А помо1·ш1 11:.tr.·1дво11ч11ая с11 -
<.:тем:1 СЧ.НСJ I СНИЛ.
Итак.1 1 о:щц1 ю1 11 1ш1 с11с 1 ·с масч1 1 слс111т. н ко­
торо1! н качсегнс 6;1~он~,1 х ч1 JCCJ1 в1.1i111ранпс}1
cтi.: 1rt 11 11 ч 11 сла 2, 11а: 1ынаето1 ()rю11чГ10[1 гю3 11ц11 -
m11ю(i п1ппе.~юй cчuc;1J:!ll11Я. Чтобы рi1-v1и ч пт1 ,
ч11сла. :-~а1шса111 1ыс в р;~:тых спстемах сч11сле-
111щ IJX :J;I J(JП()Ч:JIOT в с 1юбю1, а в11и:~у СПJХ! Щl )1\3.-
зьгваю·1 ос1 юuаш·1е системы сч1 1 слс.:IПIЯ. H:mpL 1-
мep, з~п1rсь ( 1HI0)2 озп;tчае1'"rо же са .чос •нкло.
чтп 11 ;{;,1.1 1 1 1 с11 ( 12) 11). Поскольку все м1,1 110 ; 11 ,:{у­
tмсн J\t:OП'l\Ч.HOll CIK'\'t:MO~\ СЧllСЛС'Ю !Я, '\'О J\t:CИ­
ТJ IЧHOe ос1 ю11ан~:1е 061,1 ч1ю r1e ук:1:~ы r1асто1·
(1100)! = 12.
Чтобы rю1шти с1 ихотrюрсrте u 1 1собьпаю­
пеш ю 1) деночке, п ришлосr, перс.:nссп 1 ч11сла 1 1з
двонч r юй с.:исте~ы в дс.:сятичную. 1lссложrю
п роиз вс.:ст11 и обратную uпср:щ шо: :{;щ~шнос
Дl'CЯ 'l 'l·J Чl! OC Чl!СЛU i1pC:IO""l aВJ ITl1 13 /~ПU! I Ч J Ю\1
ш1 ;~е. Пустп трсбуtтсн Нt'р<.:1.1сстн н ;~1ю 1 1ч11~'н1
с 11стсму ч11с110 HJO. Вообраз 11 м, что :за пш-:упку
н ма1 ·::1:111не 11)rж1-ю уплатит~, 1О() дснсж111,1 х с;11 1-
11 11ц, :i н нашt:м рас 1 юряже1ш11 1 1 мсс·1с}1 слсду­
ющ111'iнаборК}11Юр· l.2, -! .А, IC), Ч.(>...J , l2S, ...
F.стестnеr 11 ю, отсчёт y;~ofi11ee 11;з.ч;пъ с сампr'1
кру111 юi'! к~ пюр1.1 u Щ)С/'\елах 100. :~атем 1юз1,мЬ1
CJ I CД}'IOШ,)10 ПО,.J.ХО/\Я Щ)'Ю ДJIЯ 11а6о р;1 1 1уж110!1
ср.1мы lI т. д. В m ·o 1·c .: паша "бухг алтер1ш » 11р11-
ыст 1шд: 64 + 32 + .cJ = 1OU. l lo лоскот.К) вес.: c11:t -
1·:ic .v1 1,1c - ! 1(' что l IHOC. как CTCl!t:III! /{l:IO IJIO I . ' 1'()
(1
;
i
Mn1T~IKЖCl1MCC.:~I ] ()U=2 + 2 + 2 -= (J1001()0) 1 .
на 11 р: 1 KTJLI(~ 11срс1ю;t Чl-JC('JI 11.{ ) \l'OJTJ 1'1JН>il
C' ll l~1 ·cмы CЧllCJICllHЯ н ,tl"IO l lЧll}H) удибщ:с 11 ро-
11:,110J \1лъ методом 1\елен 1 1 я Бу;\ем J\t:..:11 п ·1,, 1кх~ )Д-
1юt: ч исло, а ·1 ·акж е 1 юлучаю 11 1 1 1ес-я н r1po1 tl'CCt'
J teлcrrин частные:- 1 1а 2. 110 тех 1юр. 11 ока в 11'1 ·ore
пс 1 юлу·ч11 м 1 Прr1 это~1 от,це.1 1ыю бу;1,е;-.1 он1е­
ч:пь 1 1р()МСЖуто чт1ыс остатк1 1 , ка к J](Ж;1 .J;1 r ю
121


Чщлt.1
1111жс Ч11 и 10 о()р:~ ·юн.1111 tO(' 1JOU lt:)tl11 ш ч~r с 11 1ы ч
1 11 ос1 ;п K; lf\'111 . l l C[X'ЧltCJ ll'HH l,J;\111 Lll[l.IH. I Н.IЛС-
1\\\, \>~ ;\\.:'\' IKKO\\IM•\
lL
'50 l1
'50 2')
о 2·1
1
1()() = ( 1100 1()()),
Л,1ю11ч11ан. LHC'I емJ СЧI 1 сле11ия CTJ.'Тd ОДПТIVJ !Н
l IL'TOKOB rтро 11.юше,1шt;й u ~х в. 1·pal11lIIOЗ!LOlf
1ю мпьютер11ой ренолюшш . Тех1111 1 1сс101 ri;вc
122
ЗАЛАЧА О РАЗ Н ОВ ЕСАХ
Соврем1;:нныС;: продав u ы уже ttастолько пр1шыкм1 к
элек трон 11 ым несам ч10 ~t e пред< т;1 вл11к)т 1 ef>t-> , как
бы Oll И ВЗВЕ'ШИВJЛИ ТОВар r ПОМОШЬЮ Пif1b piHHOBe
сов. Тем 11е менее Htl μы~1кJх и t1 небольших маг.э ­
~инах лосих rюр можно Астретиrь Rt'CЫ простеише~t
ко 11струкuи11 ГJк что ст;~ри н ная задача о р;вновесах
l'ШС' 11<: совtt:м пuн:р~1ла .:~к;уJльность А история её
ГdКОНд .
Почти 400 лет н.1зал но Франuии жил Клод Гаспар
Б.:~ше де МсJири <lК с11искавшии rебс славу позтJ и
тш1коrо ш:•11 ителя мате.\ытики . Bu 1.пuром изда11~1и его
cбop t tttKd « ПрИЯIНЫt' и lа н им,1ТРЛhН Ые 3<:1Лс:JЧ11 * есть
и тако:~я какое 11 .:~именьшее чиrло гирь потребуется
для ювсшив<lния любого прсд1v1ета. масса которого
равна uслому числу фу11тов от 1 до 40~
Ок<ПЫR<l ется , Е:'l'ЛИ гирьки r;:11реш;:~етп1 склалы ­
ват~, только 11а од11у ч<1 111 у RecnA, тп достаточно за па
стись шестью раJ11uвес<1ми , масс.ы ко1орых чщлен 110
ра1:1ны uелым rтепЕ:'ням лвоики : ·1, 2, 4, R, 1n, 12. Бо­
лее того, тех же гирек хвати т для взвеш и ва н ия всех
пр!:'д1v1СЮ1;i MJ( rои до f)-1 фунтов . По•1 ему(
Лd по тои ..+.t · прич 11 н1::, по которои шссrи таков
достаточно лля ~dnиси люГ>о го 11 а 1 ур<~льного чи( ·ла о 1
1 до 63 о лвоич1юи с.истс'vlе счислt:·ttшt . Аtt ,)ЛОГИЯ
J/ШСЬ ПOЛlliHI . Mi.lC.C.e п1рьки отвсчас ·r «ПUЗ~t Шl()llllЫИ
l:!t:'C » шнμры в Лl:IОИЧН()И ЫГIИСИ ЧИ! ла, fJt:'ll1€HИIO по­
ложи ть гир1>ку н.:~ Аеrы - 11ифра 1 в rоответrтвую­
шси 110зиuщ 1 реше11ию нс ~1спользов'1ть гирьку -
uифрс1 О . Например двоичная зап ись числа 6 - это
11 О З н а 1 1ит, для уравновеши1:1ания 1 ру~,1 VlclCToй
6 фунтов liJ другую чашу в<:>со11 11уж110 положить гирь­
ки о 4 н 2 фут а. Наибольшее Ж\:' 'tи<.лu, кu 1opuc
о+о=о
охо=о
о+1
1
о)(1=о
\ ,\Q\\1 UЬ'
1+о=1
1хо=о
t .\ O ..+ilЧ lllЯ
11 \'V.HO:».eHllЯ
1+1=10
1х1=1
l\ЕИ1н~1ных
4111 (: \
1~11фры 1юс11рт1 .1 11ес·1 1 1 11ростп: 1 прпхо1 11 1 1
101< n поm.ттро 1ю,7111 1 шотюм ·~ж: мс11п.• О - 1ок
нс прохо,.(IП . Сtк 10J111ш1 -темt:н1·а <- 11rюхо4ш
'l 'OK • 11 · 11 1: 1l j)OXOIOIТ ТОК > .ЧОIТТ С~Н~!IЯТЬ др)Т
/\Р) 1·:1 :~а OYl'ttЬ коро1 кис11ро~·н.::жу1·ю r нрсмснн -
Ml l JJJJllOHHЫC' 1-10, 111 CCК: I JДhl ~)r ·u 110:.!IIOJlllCT 1rро-
11:шол11т1, ~1р1 rфмст1l'll'Cю1с ; ~<:l1 t-т1 ш н:I/ \ ;~вш 1ч -
111 .1м11 чtн:л.l\JJI с lll' l [\IOH~p11ol1 (1\ОрОС'IЫО .
Тl() сра11rн.'н11ю l 1ромо:-111,к11~111 г.1.6т11 tам1 1
, .ЧП(JЖ<:ПШI ll L.'IOЖt:Jflf}J ЧtlleJJ 11 / \t:C >i 1 1 1ч1101'1 C'll -
C'I ече 1 ·аб,11щы ОIОЖС111 1 Н 11" ~ MllOЖCllШI /ПЮ
в дВШIЧllОИ СИСТС'Мl' l<JflИlbllJt.l\:'TCЯ l помuшыо LUec н1
.{llCIMJU, -
)ТО\11·1111)=6.3
А тuпt'рь предположим, •1то п1рьки р;нрешJеТ<'R
кло:~сть Н<1 обе чаши uer oв Любопыпю . что в такои
llULтJно1:1к е 1алача о pa:i t ювссах встречается еше у
италын1< ко1 о 'vtа тематика Леонардо Пи.:1анского (Фи­
Ьона11чиJ - 1а •1етыре столсп1я до Ме1ири.жа 1
Понj') п ю, ' I TO в 1тuм случае можr ю uбuитись лажи
ме~н,ши"1 шбором разновесов· 1r , , q и 27 фунтов .
Так, в<1вешина$1 тово:~р в ''° фу 11 т()в, все эт11 гир~,ки по­
ложим 11;:1 вторую •1ашу весов, '1 для взвеш~ 1 ва11ия
11рслм1:т,1 u 25 фу11тоu гирьку Mil<Loи J фунта ~тус­
rимнаоднуснимчашувеrовидвегирьки- в1и27
фунтов - HJ другую
Н Пi1f1'111V п1р11 11М<1~1 1 фt1рчу ' IJШIЖ '1 6i<.ЛсlдЬl13i.1ЛЩ \,
друг в друга . ка" ..,,преш к11


ПОЧЁМ КИ/\0 БАЙТОВ?
Ссrолня комnьютероV1 никс1го не уд11R11шh. Прш1лёт
ешt' 11смного t:sрt>мени, и для вrе>-. п,111ут привыч­
ным~• такие слов.:~, как «килuб,1йт», « ,-.1сгабайт»,
« п1га6,1йТ» ... Что они 03начают{
В соАрем енноИ мате.,,1атике С'\ТЬ такпи ра~дел -
1еор1 1я информ;ш~~11. Эта ICO\)\l\S\, в ч1.1с11юсти, опре
леляе1 с11оспб Иiмерения ком1чества информа1J 1 1и
11 Ры111иuу и1мерения н;э1ывэет « hИТ». А fiаит - это
1JULl'\•1 ь б11тов. Терминами « 611т" и « б,1йн широа<<1
1юль1укпся npor р.1мм~1пъ1 и Lnl'ш1aлиL 1ы по ш1ф ­
рпв1т тех11ике. У н их даже е< 11, шутмшая no1тюр~.;<1
., з.:1 од1111 ба нт восе"~ 1, б~нов л;эют ".
ПриL тавка же • кило- " tзCC'vl хuрошо 1нJкuм<1.
Он..~ ш1 t<tЧ ,lt'T 1ысячу: кщоrрамм - тыо1ча rр<ш­
'юв, 1<илометр - тысячJ метров. Учёные и инже -
11еры, имеюшие дt'ло с болы11им11 велич1111ами, иС·
поль;1укн также пристс.1uк н «ме г а- » (миллион) ,
" rиril-» (миллиарл) и 1. л.
Проrр;:щмисты тоже оперируют большими ' 1 И( -
лами . И он и использую ~ прист,10ки « Кило -», • Mt:'-
ra -», «1иrd-», но, как 11и cтp<t t11 101 в другим ~ 11ачении.
Программ 1ктское «К11ло- » чуть 6ольше об ы• 1ного.
Пр11 •1и1юи тому двоичнdЯ систе1v1а счисле 1111я. Всм.
в ней «круглыми» числами являются не сrспсн11
лес ятки, а стеnен и лвойки. Аот и поы>Врали Т;.'lкие
пеnt:' 11 и 1 1 исл,1 2, которые лу• 1 ше всего соотвf'тству­
ют обшеnри нятому смыслу JПI >-. приставок. Поэто­
\\У nр11мс н ительно к компьютерам н с~ш и приставк 11
означают·
кило- 2 111 = 1024,
мf'ra- 2ш =1024! = 1 048 '>7f"
ГИГJ- zin =10241 = 1 07\ 741 824.
11чных чнсел .ч1 ~пиа·1 rop 1 11>1. Бш 1 t<=' тон), У·"" ю­
же111н:: на 1 1юоf> 11•с не 1\1е1шст ч1 1 сж1 . По~то~1у,
ч1оfн,1 щ:рем 1 южJпь лва :-шогораэрндr 1 ых /'(ВО-
1\ч111>rл. ч 1 1сна, дост;нuчпо 11сс~юны<0 раз сдш1
Н)"l 1· верхшri 1 (()И!IОЖПТель на СООТНСТСТВу10-
ЩСС l\OЛl l ЧCC.-lBO ра .фЯДОВ [IJICIIO и cyM .\'11 1pOH.t'l I>
L{CC rюлучснныс ч1кла
Uш.:ра 1 ~1 11 111ростс\1 11111 е , и KOM l\bl(.)'ICj) HЫIIOJl­
rrщ.:·1 llX бt.:{)'ITPCЧllO. l lu ll f-IOГ/\,I в ~ 1 .lllll ll Jl' 11ро-
11СЛО/l1П какой- 11 116"~ / lЬ cбolt 11m1 1 1 роrр~1 _11;1 ма -
:1:щанис комныотt:ру 11а li1>tl 1t )J1 11 c11 11 t: расчё ­
юи - сО/\ерж11' 1' РIП1 1 6ку Тог,'\а 11ро1ра.\1~111ст;.t1'1
nр1 1 лон1по1 1 1ept:rrponepiпь себя и 1ш,чm,ютер.
позтому бсэ :111а1 IНЯ IЗCCJI КОМ! 1 ыотсрной K)'XIТJ I,
· с1ряп:11ощеl 1 " л1ю11ч~rые чнсла, хорошс .ч\ сш:
1lH:lilllC'1"\' 1 1 111{ак нс 0601'пш:ь.
СЧЁТ ЛЮЖИНАМИ
Г< Лll /'J()l\ЬltJ111\1 П3ЛЫ.t('М рую1 COCЧ llTJTI, •111сло ф.1
л,111r на други х пальu .~х ·ло11 руки , то мы щ1лучим
·12 - JсlМl'Чспслыюt• ЧИlЛU, столп же пuпуляр11о с в
н!:'которых !:'нропеиских стрJнах , к,1к и •111•ло 1О.
Можс•т быть, ')Тои поnуляр1 юсп1 11С>м.~лп c11ocofi-
<тuовалu сuои с твu чи с "а 12 бс~ осн1 KJ л<•м1 rься
11а2,l,411Ы
Группы no 12 nрt>дметnв име11овались дюжин;:~
м11 (лат. duuclt:c1m , фр. rlouzai11c , 11т . clozzi11a , <1нг;1.
(i uд:п). Люжи11а дюжю 1 с щ тавляла грщ с lt:1 u/3 м
lll:'pl:'tiOдt' t H1:'"1t:'Ul<OГ() - « UОЛЬWОЙ » ) , <1 ЛК)Ж11Нс1
гроссов
м.ксу.
Лtс1с 1 1алuап,ричными дрс;бями n uльiU!}аЛиLь
t>Wt' др1-1нниt.: рн.\.\Мlнf' Лроf1ь 1/ 12 ри>v1лян~> на :{nt­
В<IЛИ унL1ие~1. У{а1<они1ъ лвеналL1.нер11чную с 1кте
му - сс1ёт ДЮ:.+.1111.JМИ И rro cCiJ.\IИ - П l,IТёlЛСЯ ШАС'Л­
( кии корпл1, K<lfJЛ Xll ( rот сам1.>1й, коruрогп py<-t к11с
воИ(к,1ра1гром11л1111ол 1 lолг.щои в 170'1 г.1 . В 8'.0 H-
ue XV\1 1 8 . 11лея 11С'ре>ход::111d двс-11алl1,пернч11ую сн­
стему всерьёз обt ужлс1ла(ь r?U Фр<шuи и .
Влияю1 е Lf~H л,1 12 щцушаl'ГО1ва 1 1гло-<1мt>JJИ8'..1н­
ской системt;' линеиных мер, в которои 1 фут
(10,48 см) р;~Аен 12 дюи~1<1м, 1 лю11м - 12 л~111иям,
а 1ли1 1~1я - 6 тuчкам. Миu1-ис пр(:-'дметы пугови uw,
платки, куриные яиuа и 1. п. - в .~апал1юевроnеА­
ских странах ло сих п ор n род<Jются люжи11ам 11 .
12~


Числ<1
ПОЗ ИUИОННЫЕ СИСТЕМЫ
С ПРОИЗВО/\L-:>НЫМ ОСНОВАНИЕМ
лнnп, сТ :тачеmrт'1. О. 1rл11 1. 11m 1 2, -· ·
11л11(/-1
:1аыстиr>1 . ч1 о u случае d > 1(} пр111'ё 101 11 р1 щу­
\11,шат1, 1.ювые с1 1 .vнюлы д.1я 1~11фр.
мы 11р11ш,1к.;111 к .'J,(::l'Я'l'l \LUJl)iJ снс~н:мt: l'ЧI l (.'Лt:Ш IJ.I .
Компыот<.:ру как 11 L'J 11,:3~1 лучнн.: 1 ю;\ход1 п· дно-
1J ЧJ 1.tя CHCT<.;M:.i. l l o 111 1()1}\;1 мо1ут<>К:t3<!ТЬ01 yдufi­
HЫMll c1 1 cтt::\1hl с дру1 · 1 1м11 nc 1ю11a11 1tJ.1\111 . С ч ет
на ЛЮЖIГНЫ rtpl'K[J<It'Hhll:I ТОМ) 11рнмер. ~дес1.
ч1к,ю 11;·J J.1 f)а·~з - l~1e 11e1111 -сшсла 12.
)L'IЯ ШlХОЖДСПIIЯ llH фp 'lllCJl ::J. llO задаrшому
ч1rслуN 1 J uснuнан шо с/ мшюю к<Jспол1,:юn:1тьсл
l '<:'M Жl' C I I UL'U601'1, Ч'l'U 11 11рн у1 IJI:!T<:: сум.:v~ы ДClltl'
К [Xl3. "1<:' f K' i\' p y (')лc:lt . О h'O 'l'UfJUM l 'lHIOp11ЛOCb
p;i н1,111с Сна ч:т: 1 н:1л.0) 1ят с~1мос: ()( >J1ы 1 ю<.: ба:ю­
нос: ЧНСЛО с/11, НС 11 рl'НОСХОДНЩ<:'<:' ,\.' . ~;J ' l <: 'M Ч I ЮЮ
''
f'I
/ v :1ет1·1 11а r; , li ре:~ут,т~1 ·1 ·t" Ч l..'1 о rюлуч:нот 11с-
В о6щс;ч же случае nрсдС'1а1111'1ъ 11ро11зuот,-
1юс: <шою "\ в снстеме сч11слст111я с з:щат 1 ым
ос 1 юн:.~1111ем du311aчae· 1 :sаш ~сагь <::10 в штде
полrюе чж·ттюс а,, п остаток 1~1 1• т. е.
,\'= а11d"+г"1•
\,
1"
//1
11
1
,
=n11 t +а11 1с/ +".+a~r, +п1 с +п,1•
Остаток 1·11 1 уже :- .1c111.rrJC ба.ю1ю1·0 ~шсл.t ci'.
поэтому дсл11м 1·11 1 на с/'
11
п получ:tс\1 не1ю"1-
1·,щ: с/ - любое целое ч11с1ю, боn ынес tJ\J 111и 1 \Ы .
Коэфф~ 11 \llL'I rты t10, с1 1 , • , tt" на:{hlflаютсн r 11·1фра­
~111 в c/-11ч1-1< >fr :~а1 111 с 11 ,\' 0111 1 \101·~т пр111т11мат1.
нос час1·нос п11 1 11 остаток г" !·
ИГРА «UЗЯНЬШИUЗЬ11}
И ЧИСЛА ФИБОНАЧЧVI
в П ()ЗИ UИ()Н НЫ Х СИ\Т~мах счисле­
ния ~1Ы фиксируем некоторпе ос­
нu1;1 а 11и ~ - uелос пuложи1ельное
чи< ло 1/ - и раtсм;прива ем базис,
составленный из с тепенеи qтoro
числа: d 0
,
d1, d
2
,
••"
d", ... А ЧП)
будет, е<.:ли в кач естве базиса вы­
брать не геометриче1 кую прогрес­
\ИЮ, а любую nоследооат('льность
ВОЗрастаЮЩИХ HJTyp.ЭAb Hl,J J( "IИСеЛ
1/о=l <q1<(/~< ...< ч11< ...{Име~1-
но таким обпбшё н н ым базисом
поi\1.,зовались, 11апри"'ер, инлейuы
ма йя (1...м. с.татью ~ стuрин~1ые си­
стемы 'апи< и чисел»). В их t иrтe'l!lc
\ЧИСЛС1111Яq 11 = 1, (/1 =20,q]= 1Bq,,
q,=20q!.q"=20с7,ит.л.
Люuопытным r1римером t.исте­
мы сч ислt-ния < обобшенным ба­
J 1ком явмюто1 Фибона•1чиева си ­
с-1 ~мс1 Lчис.лс:ния. В tieи в качестве
fi;ни< ных ч11п:•л бi>pyi ('Я чиt .ла по­
rлеловатеАь~юсти Фибоначчи : 1, 2,
) , 5, 13. 13, 21 ...., IJ KOГUJJOl·I каж­
дЫИ член, н ач ин ая с треть!!го, ра­
вен суммt> лвух прелылу ши х члРнов
(см. стат~..ю « П ослсдовательносп1 ») .
При октеме lЧИLЛе 11 ия с б.ви­
tом1,2,З, 'i,а,1'3, "вкачегпщ
11ифр дпст;~точно иметь то.л.ыю О
и 1. Еы1ниu.:1 в rе ервом (кр;:щ 1юм
пр,нюм) ра:1рнле 06<>'1начаст 1, во
ВТt)ром - 2 , в трЕ>тм,•м - ~. в чет­
вертом- 5,впятом - 8ит.д.
Правла, за пис~.. числа в тако11 си