Автор: Аксенова М.Д.   Володин В.А.  

Теги: издания для определенного назначения   математика   справочные издания по математике   энциклопедия для детей  

ISBN: 5-94623-072-7

Год: 2003

Похожие

Занимательная математика в рассказах для детей

Физика. Энциклопедия для детей. Том 16. Часть первая

Энциклопедия для детей. Том 17. Химия

Энциклопедия для детей. Том 17. Химия

Текст
                    ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕ КТОР
Георrий Хромов
ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР
Мориом Аксен ова
ГЛАВНЫЙ ХУДОЖНИК
Е11ено Дукельскоя
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ И ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР ТОМА
Виктор Володин
НАУЧНЫЕ РЕДАКТОРЫ РАЗДЕЛОВ ТОМА
[Анатолий Савин~ Изабелла Башмакова, Владимир Болн1нский,
Николай Долбили11, Владимир Дубровский, Владимир Тихомиров


МАТЕМАТИКА


УДl< 087.5:51(031)
1ШК 22. lя2
э68
ISBN 5-94623-072-7 ('r. 11)
rSBN 5-94623-001-8
I СЕS -,-N-т-ЕR-N-л-т1-о-,-л-L_c_E_-.;т_R_E_o_F_E_Du_c_л_т_1o_N_л_L_s_v-sт-E-~,-s-11e-rs-1 ••~ :иr.,,
МЕЖnУ Н АРО!\Н ЫЙ UЕНТР ОБУЧЛЮШИХ СИСТЕМ 1 ЩОСI .~~f.~~:'"
CENTRE PHERNAТIONЛL OES SYSTEMCS D' LDUCATION 1CISf1 ••~::0'~3"
.
_1v_т_н_н_Nr1_т_1_o_v_л1_E_s_z_i:_N_r_н_t_.~1_F_u_R_л_u_~_в1_1_D_11_N_a_s5_Y_s_т_E.1_1E_11z_л_s1 .__•·_•u_.~_д_:'._"_,
~
О IESCO
МЕЖДУНАРОДНАЯ КА.ФЕдРА- СЕ"JЪ UNESCO/JCES
"TILY.HИЧRCKO.li' И ГТРОФl!СС:ИОНА/ТЬНО.Е 06РА30МНИЕ
и лодrо1 ·овт« I«ЛРОВ'·
Рекол~еидовшю Ali!Ж<h111ajюд11ы/vt це1тц1ш1 иб1·чшищ11х ~11~mt'..1t
(МЦОС) 11,1w.:11а)рю/юд1юй 1.;афейриi1 tt'fflЫ(J ЮНЕСКО/!IЩОС а ка11(!01·1ос·
. J' 'lt'mllNU IIOCUбUЛ
Сер ия «Эпц.uю&011едил dlUI дenU'l/л реКf.J.1t1е11доваиаДеппрта.меи-
1110.м обj?свпватш1ы·1ы.х 11рогрс.1.лt~r" стrшдt.1{!111(111 оfi1цего nfipr1,юr1a111rл .1111 -
нистерстеа пбра10пания. l'occulrc'!<:oi1. r/>f!6e;xщu11.
JI К'Oll'J91)C(' JIUЛ)'ЧU1J'Ю 1.7 -lli?:J' Юда Ш(')ЩJЩЮ,(;Л'IХ! om·,щ)11Netl/U! //fJaf{йia-f
нtЩ>а:)Jсдrто диrию.мо.;11 0111 :!':J.()3.99 .1t1.11учrиий 1-1.1дame.;1ы,"Kllll ,фое-J..'111
год(1 для детей и юно~иестtш.
Оргко..111и1rи:т Х1 i\1JQc-л:vвcl(Qf1 Ме Ji{·u1111ap()mюil 1>.·11и >и.11тi я/мтрл:11, l е
11ералы1ая дupe11.1{UJ1.межi>J11шр1х)пы,\1,1щж ''-7'·"' аып11аао11: 11я;.нщjхж11п­
грааили uздcrmc.nw:1;oe обr..ёд111п111/.U' //(Jafиfi,a, · 1)11ш1rнщ11 r11110.:.'.00.9R1.;с1л·
t10бед11 111 Ш1Я в 1111м1гНU1{ШI «Ca11iьth •.ttaccoвый иознавате..r~ы1ый 1tро ­
ект. 1998».
: ~а ptL'ljJafim пху нq) 1ч1щ~.иш11оr>11 чео·ой i\'OI ц(l:'l11 <''и 11:и11ж ·ш1шt уцl!бн111.."<:
,ШlJ'lliJ}Jlltl 'Шfl фJ'НOtlЩ11iJ/JtlЛЫltl}l Ji"IJOl/.1f/.I)/ Lli/)11)1 •• }нz/1/h.' 'lШIL'йШI rlФI rlt:mvй··
нt1 гра:ж:дена 1zpe..t1ueii ЛреJ 11 денп111 Рисси йf.:кой Фе<)еjJац~ш
в (.IOЛQC11lll обра_ювтт.11 .J(I 200 1 год.
Энциююпедия для детей. Т 11. М:rтсмат\'ОСJ / Гл:~в. peri..
~6Н М . Д Аксё~-юв~l ; м.сrод. и отв (X'.n;. В. А l3оn<щи11. - М.: А.ванта+,
2003. -
6НН с.: ил.
ISBN 5-Ч-·Н>25-07 2-7 (т 1 1)
{:,BN 5-9 1613 -001 -8
Н '1'с)ме • Ма 1емати:~\<1• t't:рин •<:)нц111u1опс:дшJ щ1я детей• t:OJ\<::pжa-rcя
сведения 1н.1 с;1м.ым раз ным раздс11ам соuреме111 юй м;11·ема1ню1 - как
ш<..'Тючё 1-1111.1м в Шl(()J1 ь11ую про1·рамму. так и 13ыхо11.ящ1~ !\t з:~ сё р:~мки. ~~то
и спраnоч 1юе ПО('СJбие JVl fl lLПЮЛЫ·I ИIЮВ, и популя1:тая KH llГ:I JVlfl ЧTCfl llfJ_
которую отт1чJют полн()та с<щсржаню1идскту1111 ост 1,11~i1южсн1н1 . Ав­
тnrы статей - RС/\)'lЦИс учёныс, СJnытн ыt: 1 ю11}·лир11 :1аторы и 11rх; 1 щд;1-
ватели. Я ркие и красочные: 1m11 юсrр:.1 11ии. схемы. rраф11ки пробуждают
ин·1уиц11ю и вообр:.tже 11 иt:. 1 1<.:стр:.~я мозаика щшмсроu, зад.1ч 11 формул
сю1ан ыв:.tется в единую к:1 рт111-1 у неликонеп11оi1 , с1тюй 1юй и 11еисчерпа­
е.•юй ll:l )'KИ Матем'!тшсн.
УДК 087.5:51(031)
ББК 22.1я2
~Нз;щ·1·СJ 1 1,с кий 11е1 п·р "А n.шта+" • 1111JJЯето1 11 р:1 nообл .щ.1 1слсм н:1 CТ()fl щl'­
го н11~.1111-1я Использом111 ·1с 11:щ:~11 ия 1111слом irn11 mof>nli его ч:1сти бс;1 r;1з­
ретпе111ш ~ и·щатсл1,скоrо нснтр;:~ ,.Ав:нпа +"• мсчёт 0·1·нетственнuсть
R С{)()ТJ3СТС1"С\Ш С ДС:ЙСТRУIОЩНМ '! ;il<OHO/\a' l'f'Лl>Пl\0~1.


К ЧИТАТЕЛЮ
Чтu даж1 матема·1·нка людям' Заче,"1 её н:ч.rчать?
Когда она родИJ 1 ась и что явизюсь пр11чи1ю 1:-r
t:ё 1ю1 1-1икновения? Д3лайтt; гюrоАuрим обо
11сём этом.
Часто можно пrючесть, что математит<:а 1юз­
пшшаnглубокойдревностииз практиче-
с к их потребностей людей. 110 поводу древ­
ности математ~шн 11иicru спорить нс будет, а вот
о том, что же 11обудило тод<:>й с:ю заниматься,
сущестRуt~т и друl'Ос мнение. Согласно ему, ма­
тематика , так жt как поэзия, живuш1сь , музык::~ ,
театр и вообще - 11скусство, б1,1 ла вызвана к
жизни д у х n в н ы м J1 потреfiностям11 чело­
пека. его, быть может 11е до конца осознанным
ещё, стремлением 1< познанию и красоте.
В 11с-гории науки пр1111ято наз ывать первым
математиком Фалеса - гречес1юго h'J'ПЦа , пу­
тешестве1шию.1 'И фшюсофа (он родился n VII в.
до 11. э.). Конечно. существуют более рашше
египетские н вавилонские псточrrики. содер ­
жаuще р<t::~нообразные <~рифметичс::скис и гео­
"1етрич ес кнс снеденю1. но в них 1-н:"1 · даже
намЕка на доказатсльстна. Ф:Jлtсу же прнписы­
АШОТ 11ервые матема1 · нч<.;с1:<11е т с о р е м ы.
Кстати, Фалес 1-1с б~.~л толысо ~ ч1.-tс1ъ1м ~ матема­
тиком, 011 реша11 ~1 прикладные эадачи. Изме­
рив тент, от е!'иnетской пирамид1)1 и тен 11 от
ш еста н нримснин свои теоремы о 1101~обиrr, он
ВЫЧ11СJIНЛ ИЫСU'lу 11ирамщ.1,ы . Так, по Л(Тен,щ.:.
родю1ась наша наука.
В 11режние времена , вnло1ъ до конца XlX сто­
летия, Ntатематнкой занималио. немногие. Сей ­
час ей IЮ('RЯЩаЮ'!'ЖИЗ!Тl1) \ССЯТl<J.1,;] IЮ:1М()Жl-Ю, 11
сот н и тысяч людей. Одних 1щол'нош~яст nрн ­
кладпой аспект математики, других - её пнуг­
решIЯЯ кра<:ота 11 гарМОilНЯ , а Тf)еТЬИХ nриnле ­
кает и то и другое.
Связь матРмПИКИ и кr<кnты nO-ttonnмy пrояв11л~сь в хх в"
щrдi! f\ыл11 открыть~ 11ес.Юычны~ м~ t\:MJ 1нческие обь~кты -
фрд ктал~,1 .
5


К читателю
Геометрия е<.ть поз нание всего суш1:~го.
Платон
Маrематика... выявляет порядок, симметрию и
011ре.t.еl\ённость, а это - важнейшl-'е виль~ r1рекрас­
ноrо.
Аристотель
В огромном саду 1 еометрии каждый 11айдет букет
себе по вкусу.
Лавил Гильберт
Математик, который не есть отчасти поэт, не будет
11икогла подль111ным математиком.
Карл Вейерштрасс
Числа 11е управляют миром , 110 показывают , как
управляется мир.
Иоганн Вольфганг Гете
Вдохновение нужнп в геометрии, как и в поэзии.
Алехсанлр Сергеевич Пушкин
•·Красотй? К;шая может быn, t<расота в м::пе­
мапшс? - недоумёшю с11рuс11т учс11111<, 11е пu­
люби1:1шш'1 сщ(.· ::~тuт прсдмL01·. - Искусстr.ю
-
совсем лру1ое дело!" И ,цейе1·ви·.1·сл~,но, нспом­
ннм шекслирояско1т> l'э млста, е1·п потрясен11е
и1·рой актёра, кuторый ~н А 1 .1мыпи~с 1 111оl1 (."r·рз­
ст 1 1 так rюf(пял 11'УХ свО1'1 ло стюе1'i мечты". l I всё
из -:'lа чет? Из-:1а Ге 1<убы! Что ему Гекуба. что
011 Гекубе, чтоб о ней рыл:пъ?». Мы не удивля­
емся, •по чслпnека заставляет nосхнщатися п
рыдатL волшебная с1rла 11с1<усства .
Но послу1 11аем рассказ Тtру1·ого чслоnе1<а, со­
време111 шка llleкc1rнpa . об 11стор 1 1н с1юс1·0 от­
крытия: «Восемь мссяцсJJ тому 11азад ПCJX:J(O
.\lной fiлt'снул псрныl1 луч <:1кvга, з;1 тр 1 1 месsщ:1
ующсл }1 /\C lll"11, 1l~llIOHCJ \. coиcc:vt IJl'/PUIIO я смог
увтщеть луче:iарт юе сот 11 \С". Я пох~1т11л золо-г1.1 е
сосу;1ы е 1 ·иптш 1, чтобы со:щать из 1111х хр<1м мо­
е.м:у божеству вщ1.rш от 11ределов Errinтa ... Жрс-
61111 брошен . Я нншу оюю к11111)·. Прочтёто1 ли
она мои,чи соnрсме1шикам1111лт1 по·1·омством -
мне всё р~1нно - опа п~1 йдt'·1· своего ч11татеJШ .
PaJl:JC Госпо;1ь 1)01· нс ждал 1 11 ссtъ тысяч лет со­
:J<:р1 щтеш1 С1:ю<:1·u ·1·1.юренюl? ~ . 1\то пишст это
восторжен ноl' 11ш·ж11111е' 11 с1·1·0 n po11 :io111лu?
П111uет нслию1l1 учё111>111, которFМ1 всю ж11·J111,
характери:ювал ссбн тш1ьк<1 одним слшюм -
,\1атем:1тнк: «Ma1l1ema1ikl1" Jol1a1111es Kcplc1- .;
-
«Ма темэ·1·r1к Иол11111 1<е11ж:р». :~rели11(е, пред­
ставшее перед ш1м, - пе те:пралытые пrщж1ст ­
кн, а сама Rселе1шая. храпящан м11ожес11ю тайн .
И однэ иэ них 11 результате тнта11нческ11х уси­
лиr1 Кеплера вдруг отr<рылэсь ему. Тс11срь 011а
изнестна всему культурному мнру как трсп1l1
:~:шо11 Ке11лсра· к11:щрат отношсш 1я 1rсрнодон
обраще11ия д11ух ш1:111ет ранен 1-.--у()у отношс НJ1я
; 1л 1 1н бш1 ы1111х пш 1 уоссл их орб1п. J\i!oж1ro с11ро­
<.:итп, 11торя Гамлету: «Ч то e. -. - ry ор61 пы . чтобы так
1111копа1ъ:.-·>. 011ie1 1 1аходим у 11ру1·01·0 вст 1ко1·0
мысJ 111т~щ Алuбt:рта Э1'111111тсй11а: «Ощущенне
тайны - наиболее прекрасное 11з доступных
н;:~м переж1 mа~п1i1. l"l мешю это чунстnо стоит у
колыбели 11с'Гпmюrо нскусстnа 11 настоящс~"1
11аую1». lle H<.:t'JЧ /l.атю 11с11ытать это счасrъе. э1·от
1юстоrr 3r11тtJ1я .\111роздаrrня а страсть тяорца,
но 11х 11 ро11схож;(сн1к· то Жl.', 11·1·0 у актёра ,
ры1 (а1ощс1'0 о Гt:кубt:: нспос1·1 LЖиJ\10е с1ю 1'1с1'тю
чсловска - с1 ремж:н~1с к 1ю;~11~111ию ~1 1юсх11ще-
11иl' 1·jpмo111 1eli.
Н() матсмат1 11<:1 - ::J'J'O не тnJ11>1<0 1:1дохнове-
1 11 rе т1юр 1 юв 11 nосх11ще11не тех. к·1·0 спщ·оfiс11
оце1111 ·1 ь1\,\ ДОСТНЖСШ1Н. F.:f 1 1cтopll)I \[;IПOЛtlella


.
'
"_
-
Cuop!!'Vll:' ft11 J s1 мJП' 'Уlапн.~ 1 фоrм~1ruвJл.1с ь 11p11'Yl('f)1tu ·IOU (1(•· 1
ТО\i У к.НdЛ в rm'Лd\ r.~.1<111ея, Кеплера , (Юйrен(",l, 1IЫ<П()К.3 ,
Л1:nб11<ш.1. мл оры(• с tр1!'1или сь попнчь J<1кu ны д~>1А<t:f1и1111С!бt.•от'
rел А в 1846 г уже 6ла rnдdрЯ мнем,т1кЕ' fiыла nткrыта nл.1нt>т~
Н~111у11 , КО!Ор ую tllclЧdЛd ~bl Чlit.,ИЛll. d fl()T O \i об 11 <1ру>КИЛl l ilcl Гll'fk•
и Т(рамат1rчсскими событнями. 1lередт<о псрnо ­
открыватсшr опереж;u1и сnоё время и нс встре­
чали rюнима11ш1 у совреме11н11кон. Так было с
открьп·исм в ХГХ 1:1. нсснклидо1юЛ 1·еомt:трии
-
од1111м из фун11.амснталы 1ых дос1нжег1и~l 11ауки,
которое стшю ос1 ю1юй 1v1я всей соврсмс1 n юй
физнки; вьщающ11йся русски11 уqё 1п)rй Николай
Иш111онич Лобачевский умер 11 е 11рнз 11а 1н1ым и
11еоценё111IЬL"1. Боязrн, быть пепо1шты:N1 остапо­
вила rтеро nсли1<ого Г:.~.усса, который 11е рискнул
прс/\ать глас~ юсти свои ш::следо.ва11ия; гепналъ ­
ный нен1·ерский м:~тс.\1 l1°1 ·ик Янош Больяй 1ш ­
ш 11 ; ю1 рассунка от тнжёлых пережннан11й.
ТL'псрь nрI1шло нремн сказать о том, что же
дзла матсма· г r1к:~ ч1::1Ю1iечеству . Мно1·и<:' круп ­
не1~пш 1 е учё11 ы е (сренн них Жо:~еф Фур1.t: 11
Лll[JH Пуан~<аре) видели с.:ё гщ1ш1ую 3адачу 11
С'()f1.Сйст1ши обыгспепию :1а1<01 Юli 11р 1 ~роды . Га ­
шrлсю при11адлежат замечателы 1ы е слоRа: "вс­
л11кая юш1·а 1 1рнроды наткана я:1ыком .\1ате­
~1атиюr». Uдох11оnс:ш-1ы ."1 сторо11ни1<ом этой
к01ще11ц11и н1tilяется оли11 нз I<руnнейшнх ма-
Нщ"ол.Jи Ие.~но~;и •1
Лnna• t(:IUf кии
К читателю
· 1·емз·1·111<01i соnреме1 нюсти - Вл:щпмир Игорс­
Rич Артюльд. Он даже как-то написал, что «,чз ­
тематика - часть физиюн.
С01~ремеппая м.~тсиатиl<а сформнровал:кь
прпмерно ·100 ле-1 тому наза;1 Rтру;\ах Г:.u1и11ся ,
Кеплера, Гюйгенса , Н1,ютuна, Jlсйб 11 и~1а , nд1 1нм
11з осно1111ых стимулов для которых было по­
стичь ЗаКОНl>I f\RllЖCHl lH П.:Л. В тrуд::tХ ЭТИХ
уч ёных '11~\Тем:пнка 11фи:зн~<:а ка1< бы сливалис1,
rюедт ю. Сою:1 математпкн и 11ау1< о природе
припёс самые яркие плоды в начале ХХ n. Тогда
родилнсь 1еория от11ос1rrелыюсrн п t<n~штовая
меха1 шка.
Математичсt:кие кор~-ш 01с:цнал ы-ю~'1 тео­
рии от110сительности вскрыл НЫ/\::ttuщийся
немецкий J\1 u·1·см;1 '111 к Гсрма11 Мш1ковскr·1i1 ,
уl'та1юнин11111й сё 1 ·лубоча 1!л 1 ую свя:~ь с гсо­
мстрис i1 Лобачепского. Это стало тр11умфО.\1\
матсмати1си: чисто теоре1 · 11ческне построеIJия
мзтематик;:~ 1 1е~: 1 ст111 1те11ы ю 01<а:'lалпсь язьп\ом,
на 1<отором написана юrига Природы. Имена
Гаусса. Gольяя r1 Лобаченского произносятся
тепер1, кан: нмена героев. Квантован мсх;11111ка
базировалась 11а родившемсs1 н начаJ1е ХХ 1~ .
фушщиоштьном ана1шзt:, что стало ещё 011.ной
победой ма ·1'ематическо1~1 на ую 1 . R н:1111с нремн
м:1тем •1т11 ка 11 тсоретнческ:l}I физ11ка в1юнь пt:­
режнн~1ют 11ermo)\ интенпrвно1·0 t:блнжtн11я.
О11на1<0 11р11ложе1 mн матем::1·1·111<1 1 11е- rнра 1 11-1 -
чиваются 11и1111) фн:ш1юй. С Л'VШ п" со премён
:?йлера п Лагранжа, мате\.1аn11\а служит ба:юй
л:ля тнтжсттсртrьrх паук. Все крупные тех1ш•1е­
скне ,rщстижешш - от строительства зданий 11
мостоu до расl\репощс11ия атомной энсрпш,
сверхзвуковой авнацин н косм 1 NССТ<их 1ю.11ё­
тов - были бы нснозможны бс:J м;:псмат11кн .
Гер\.\с1Н М1 IHM!6( ~111~ .
7


К читателю
8
.•.Внешний мир навязывает нам своими ре<1льными
фактами новые вопросы и открывает 11ам новые
области математического знания И в npouecce
включения этих 1ювых обласrей знания в uapcrвo
чистой мысли мы часто нахолим ответы на с.тарые
нере1J.Jt'нные проблемы и таким путем наилучшим
образом продвигаем вnер~лсrарыетеории . На этой
постоянно nовторяюwейся и сменяюшейся и гре
межлу мышt1ением и опытом, мне кажется, и осно­
ваны те много•1исленные и поражаюшие аналогии
и та кажушаяся nредусrановленная гармония. ко­
торые математик так часто обнаруживает в задс;~чах,
методах и понятиях различных областей зн ания .
Лавиd Гильберт
Стрм1~ша одного 1н nерв1.о1х учеб11иков по 1.1атема тике
Hd руге кпм яо~ык е - •Арифмеrи"и • /\ . Ф Маrн~шщrо 170 J r .
!1отре6 1 юс1ъ рсш::1ть эти rрандио:шые задачи
привела к созданию комш,ютерuв, и на наших
глазах лроисходит новш1 техническая н и1-1фор­
мацнон 1 1ая революция Наше нремя - t~ериод
11ени!{а11н() 1'0 расцве-1·а математики Достwже­
rтпя ХХ века 1ю меш, 111 ей ;\1ере спnост~н1имы с
результатами нсеr() преншествующеrо 11ернода
её раз1щтил - отФалесадо11::1чала хх: столетня.
А чнсло ещё не раскрытых тайн неисчерпаемо.
Людей, для котuрых знание матем;~тикн
явпяется прuфессиональ~ юй nотрсб11ос·1 ью, с
каждым годом С1jнОJштся нсё больше. Но нуж­
но ли )1'./ IЛЪ м:псм;~тнке всех? Сомне111rя в не­
обход11мостн 1 1 е тOJJ 1~кu ма1е м а1 1 1 ческого, 1 1и
И.. более ПJIJrOKO, 11ауч110ГО ОбраЗОНЭНИЯ UОО6-
Ще время от t1ремени к~.сска ~зыn~нотся н разно -
•.. Я преЖде всего хочу говорить об истине на.уч ­
ной; но вместе с тем я хочу говорить и об истине
моральной, no отношенVlю к которой то, 1.\10
зовётся сnравелливостью, есть только один из
видов ... я не могу отделять их, и те, которые любят
олну, не могут не любить другую. Лля того чтобы
найти од11у, так же как и лля того, чтобы найти
другую, нужно постаратьо1 полностью освоболить
душу от r1релубежления и присrрастия. нужно ло­
СТ\1\r11уть абсолютной истинности. Эти оба рода 1-1с­
ти~1ы, однажлы открытые, nриволят нас в олинако ­
вое восхишение; и та и другая, лишь только их
усмотре/\и, сиs:~ют одним и тем же светом, так что
нужно или вилеть их, или закрыть глаза. 1Нако1 reu,
обе они и привлек ают нас, и уско/\ьзают от на с;
они никогла не фиксирова11ы жестко : К<>rда кто­
~111будь подумает, •1то достиг ~1х, - сейчас же уви­
дит, что еше нужно илти, и тот, кто стремится по­
стичь их, осуЖАён никогда не знать п окоя.
Анри Пуанкаре
Математика играет весь.\i1а сушествен н ую роль в
формировании нашего духовного облика. Занятие
математикой - полобно мифотворчеству. литера­
туре или музыке - :по Од1-1а ю H.lt.tбoлce nрис.уwих
человеку областей его творческой деятел.ьности, в
которой проявляется его человеческая суw11ость,
стремление к интеллектуальной сфере жи":Jни, явля­
юшейся олн им из проявлений мировой гармо1111и.
Герман Вейль


об раз 11ых дис1сусонхх как в России. так и за её
rrреf(елами. При этом считаете}\. что обнзателп-
1-гым для всех должно быть 1 1ишь гуманитарное
образование. Один известный журналист, на­
прнмср, как-то сказал: «Каким только мусором
нс забивали нам 1 ·о;юf}у учителя! Что, какая
часть того, чем мучюш нас учнт<.:ля и мучают
теnер1, наших детей , с1·одилась нам в жизнн ,
для /~ела, Д.НЯ JIЮбви?". Нетру;~но ло1·ал:.11ъся, ЧТ()
11од ~м учи1тлямн ~ 0 11 подразумевVJ прежде
nсего учитепе~I математики .
Но нет отдельной rуманитар1юй ку11мур1.1 .
Есть общечеловеческая кулы·ура, и с,rща ли не
основ11ым звеном в ней являются достижен ия
пауки. II свозмож1 ю рассматриnать историю
человечества только как историю царей и пол­
ко ною tев, войн, рсволюцю1 и реформ , Ht' зuт­
раrивзя истории Культуры , нстuрнп Илей ,
высших взлётов Разума.
H:i вопрuс «ддя че1·0 11 зучают математику?•
замечателы ю от ветил ещё в хпr н. английский
философ и естествоиспытатель Роджер Бэкnн:
.-тот, кто не знает математики , не может ус~пать
никакой другой науки и 71аже не может обнару­
жип, с1юсго невежества».
Отметим и ещt: одну, особую роль мзтсма­
тики как дисцю ~; 1 ин ы, развивающей и 1rтсллск­
'1уал hн ые и творчесю.1е способности человека.
Лучшего средства дня цх совершенстнона н ия
пока не найдено.
к с1итателю
Математический язык удивитель но хоро шо приспо­
соблен АЛЯ формулировки ф изи ческих законов.
Это чудесный дар, который мы не п он имаем и ко­
торого не зас.'\уживаем. Нам остается ли шь благо­
дарить за него судьбу и надеяться, что и в своих
будуших исследованиях мы сможем по-прежнему
пользоваться им. Мы думаем, что сфера его при ­
менимости (хорошо это или плохо) будет неп рерыв­
но возрастать, при нося нам не только радость, 1 ю
и новые rолоrюлом ные проблемы .. .
. ..Вел и кий математи к rюлностью владеет всем арсе­
налом лоп устнмых приёмов мышления и, действуя
подчас весьма рискован но, балансирует на самой
грани допустимого. Уже одно то, с1то его безрас­
судсrво не завело его в пучину противореч ий, само
по себе чудо. Трудно поверить, что дарви новский
проuесс естесrвешюго отбора довел 1-1 аше мышле­
н и е до такой степен и совершенсrва , которой о но,
суля no всему, обладает .
Юджин Вигнер,
лауреат Нобелевско/1 премии по физике
Этот том <;ЭJIЦJ·1 клоnсдии для детей., призв:u 1
внести вас в таинственный и прекрасный мир
математики. Хотим 11ожелать нашим ч.итате­
;rям, чтобы они научились н е только нзвлекать
11()} 1ь:зу из заннти й математикой, но 11 носхн­
щаться сё красотой.


История математики
г---
СТАРИННЫЕ СИСТЕМЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ
12
Памят1, чеповечестна не сохранила. недо1 1есла
до ш~с ИJ\l(Я изобретателя 1<олеса или гончар­
ного крута. Это и нсуд11вителыто: более J О тыс.
лет прошло с тех пор. ю1к .rrтодн вссрьёз завя ­
JIИсь землелслием, скотоводством и производ ­
ством простейших товаров. Назвать же имя
1·енил, нпсрныс з~щавше1·об1 вопросом "скол~­
ко7 •>, тем более неnозможнu.
В каменном веке, коrда люди собнра11и
плоды' ЛОНI IJJИ рыбу и охотились [ 1а жи ВО'П lblX,
потреб~ юсть в счёте 1ю~i1 нrкла так же естествен ­
но, ю1к н потребность в добьrnаrши оr11я. Об
этом свилстельствуют находки археологов на
стояrшах первобытных людей. 1-Jапример, n
19:)7 r. в Вестонице (Моравия) на У~есте одной
нз т:н<Их стоянок ш1 йден<1. волчы1 кость с 55
глубокими зарубками . Позже в других мсст~L'I.
учёные 11ахо11.илн стоJlь же древние к:~ме1-111ые
1 1 редметы сточками и чёрточками~ с 1 ·рупплро­
ванr1ымп по три 1 ~ли по 1rя·1ъ. Т<tкая система
записи чнсе.11 называете>~ еди1-tuчиой, та 1< как
любое чнсло в 1rеИ образуется путём повторе­
' 1ия одного з1 1 ака, симнолизирующего е;"(ини­
цу. Груш 1 ировкн и вспомогательные зна,1ки
нспользуrо·тся лишь для облеrче 1 1ия восприя­
тия больших чисС'л.
Едиюrч.ная система с ч исления пср1юбыт­
l1ЫХ лю11,ей, рнсоватuнх палочки на стсн;1х
neщcpht нли дела1:нш1х зарубкн н::~ костях жн-
1ют11ых н нстк<lх деревьев, rrc :забыта и в наш.и
/\Н.И. К::~ к узнать, на каком курсе учнтсн курсант
военнш ·о училища? Сосч11тайте, сколько по ­
лосок 11аш1 1то на рукаве ero му 1 тл.ира. О l{ОЛИ­
честве самопётоu протrшника, сбитых асом n
во:1дуuшых боях, говорит число звё:щочек, па­
рнсованных на фюзеляже его самолёта.
llоmтучпо сч11тать предметы удобно то1да,
ко 1 ·ла их не очень м1101·0. Псресчитынать же
такнм образом бoJJьULиe соно/\упности с~<учно
и утомнп:J1ьнu, Lюэтому 1ю:~никла иде}I объ­
t;-1,иня1ъ <::диницы н группы. Появился счёт пя­
тёрками, дес}lтками, двадщ.1тками - по коли­
чесrву nальцеu рук н но1· ~cчei·ofIOJ(:H.
ИЕРОГЛИФИ Ч ЕСКАЯ СИСТЕМА
ЛРЕВНИХ ЕГИПТЯН
Около .3 - 2,5 тыс. лет до 1ю1юi1 эры ;~ревн11с
е1·и11тяне 11р11думали свою числону10 систсму. В
ней ключевые числа: 1, 10, 100 и т. д. - 11зобра­
жалис1, спе1~иальными :1нач 1<а ми - 11ерогm·1-
ф:н.ш. Еги11тяне nысеюшн их щ1 сте1 tах но1ре­
балы 1ых ~<амер, m1 салнтросrнико13ым пером 1 1 а
с 1ш·1·ках 1raшrpyca.
Д;ш затки чнсел онн утютребюти следую­
щ:ие иероrл 11ф 1,1 :
rr1~11)._
\!' :О
1()
Вес остальные числ:.~ состанлял 11 с ь и з этнх ю1ю­
чсuых при помrнц11 опеrщш1 сложе1шя. IIа­
пrнмер, :запис1 .
расшифровьшалась так: две тыся'-IН. трн сотни,
два деснтка 11 L11 ссть единит~.
l.3елищ1н<~ числа, занис;ш1-ю.1·0ни<:'рогт1ф11-
ческой системе . нс :зависит от ·1·01·0, fl каком
норя/11<е расrтоложены состан;тнющне с1·п :1на­
ю1. Д~1же если зап 11сать их с11р:.1к<1 11алс110, один
под друпrм ю11 1 вперемешку - число от этоr 'u
не н:..-1 ."1ен11тся.
В рез~·льi"ате упро 1 цешнr и стнлизаций от
пероrлифов поз)l.нее щювэошт1 условные зна­
ки, облегчающие письмо от рука. Они легли 13
ocrroвy так пазьmаемш·о 11ератичс<.:кого письма
(от греч. « ИСратш<ОС? - •·сnяще11ны1·н). Эту с 1 1-
стему :..-iaпиCJI ч11сел моЖJ-ю uбt 1ар)')1шть в более
по3дн. 1tх с1 ·1шетскнх п~1 пнрусах.
Уцслелн два м:1тсматнческих папируса, 11ас­
крывающис тайну древю..:египстского счёта.
Один И3 11их 11азва11 <- Г1а11 1,1русом Pai1t1/1,a~, 11py-
rm"i - ~москопским» (1 ю,1tpon1 ice ()6 этим 1 ·t>1ю ­
ри.·1·ся н ста·1ъе ~древшui Ег~mе'Т'»).


РИ МСКИЕ UИФРЫ
Среди м н ожества нероrлиф11чесю 1х систем
сч11с11е 1 пш, которые сущестrюnали n раз11ыс
време 1 1а у разных пародов, только одна 1rсполь­
зуется до пrх nor. Её цифры знакомы всем,
хотя им уже окОJю :г. '5 тысячедетий. Эти цифры
всrреч:~ются ш1 циферблатах часов, фронтонах
е1·ари1:1ных 11 современных зданий, Ш!NtяТ-
Старинные системы записи чисел
~
EU.l(!J
н 11 ках, е1гани1цх книг. Ну IOJllCYHO же, rсч1.
идёт о р1 IMCKOIJ CI ICl'CMC C'-lHCJleпviя.
Нелr.зя ска:3ать, ч~ ·о лремя совсем не косну­
лось of1111-11<a римских цифр. Еслн б ы жлтель
Древнс::го Рима захотел прочитать число, обо­
значающее дату открытия ста1щ 1 щ метро «Рим­
с 1<ан·> н Москве, то 011 оказался 6hl n нснмонср­
ном затруднении. Причина R том, Ч'IО тол1,ко
зн аки l, У , Х с течением нрсмепи не претерпе­
ли какнх-либо изменений . Друп 1 е же цr1фры в
дрt 1 11 юсти 1 1:юбраж;u111с1, н1 ia че.
Учёныс 11 rедnола1·ают, что пер1ю 11 ачwыю
иерог11иф для числа 1()() имел н1 1л пучка из
трёх чёрточек наnо!(обие русской б),СВЫ Ж а
для числа 50 - шщ верхней ПОЛО!ШIIЮI ЭТОЙ
буквы: '\V. 13 далыrсйшем nослсд11 ю'1 11ерогm1ф
nостепеш ю трапсформировался n з1 rак L: '\V -7
-4 \J.J -7
.. .L
--) L. А <щсло 100 ст:.1щ1 060::1нач.1·1ъ
буююй С (от начальн ой букны шLтинскu1·u
оюн;1 сепtшn - <.с_~го" ).
Симиол ы μ,;ш ч1ке1 1 500 1·1 1OOU тdкжс про­
шт 1;v1и · 1 ·сJ1 ьнvю энолюц11ю. В 1 1ачаж: для ч 1 ru1<1
1ООО 11рименя~п 1сь значю 1 Ф, <О, 0), -h . На1rр11мср ,
1 1 а титулuном листе ю-1ип1«Рассужде1 1 11е оме­
ТО!\С» нзвестrrого фра11цузскоrо математика и
философа Рене ДСJ\арта , издаи ной в 16.17 r"
указана дата ФРсхххv 1 1. il этой загшси наряду с
уже известными п:.tм цифрам 11 l, V, Х. С исподь­
зонаны старинные римскне иероглифы. Ф =
= l ООО, Р = 500. 1IришсдJНнt'1 1 м на сме н у ::111ак~1
М и О нро11:ю 1 шш uт нач:шьньrл. букн л::~т1 1н­
скнх слон 111i1Je - .;·1·ыся •1:н и der1нmille
-
<-ПО­
лон 1 11-1:~ ты сячи~, <· ПЯ"I ьсот».
Древниt: римюr 1 1 t: ,\1or·m1 ныр:1:~1пъ од11 1 1м
знаком 11 ч11сла болыJJе тыотчи. Та!\, ллл числа
1О ООО omf приме11ящ1 :тачок r.4-\ а для ч11сла
l 00 0()0 - rll~ . Крайrше дужки в последнем
иеро1·лнфе со nремснем сомкнулись в «арку»
@, с..-1·аншую прообразом спсци;и1ьной рамоч­
ки: П. Цифра, 1 юмсщёш 1 :ш 1:1 такую рамuчку,
ум 1 южаласh 11:1 НЮ UUO. Заш1съ 1Х1, т;~ю1м обра­
:юм, пpt'/J.C'I :1нлнла число 1 ООО ООО.
В СрL'д11ис века эта тр:щиция лолучил;з свое­
образное продолже11 11с Для то1·0 чтобы указат1"
что чJ 1 сло следует ум11ожа1ъ 11а 1ООО, сверл}' над
11 им сганш111 чёрточку. На 1 1р11 мер, за111к 1, iVv1
обозначала число 4 1()()() + 6 = 4006.
К;щ ЧJ1r.~ть римские ц11фры? О111ю из правил
записи римских чисел гласит: «Если боль­
шая цифра стоит перед ;\1С r rьшсй. то ош 1 скла­
дьш~1ются, CCJI H Жt MCl!Ь Ш :UI C'J 'OllT перед бOJlh­
шtй (в этом случае ме1.-1ьшан ц11фра нс мuжет
[_)


l.;.f
История м.:11 сматики
IJOl:!'l'()J1ЯTl;(.'fl), Т() MC.:lfbltlaн 13ЫЧI!Тается И:'! 60111,-
WC.:lt» кпrнмсру,Vll= '> +l+1=7;lX=1о -1=
= t) 1lот.;,~у н сь э·111м нранююм. можно рассч11 -
1 ·а 1ъ. н 1.:1 ком 1оду u·1·щ)ыщ1с1> ст,шция метр о
"r 11жl\a)! ·.>' МСМХ С\1 = 1()()\) + ( 1()()() - 100) +
+(1()()- 1о)+') =199'>.
R 11:111111 11 1111 любую 1 1::1 рr1м сю 1л цифр 3<tнрt:­
щаетсн 1:1111 1 lъ1 н:пъ в 0;11юм ч11сле бо.:~ес.: трс:.'х
р.1 з ПOi\f)HJ!. R с11я.i11 с э 111 м выраженш1 \.' Ll l l,
ХХХХ 11 ·1 п сч 11 тзютсн некорре1<111Ы .\.1J1 Одна­
ко дрс11111 н: р11мляr rc о nодоб1 юм оrран 1 1 че-111 11 1
н11чс.:1'0 11с nc;1a. 111 11 чпс;ю 199'5 скорее всего
:за11 1 ка.t111 бы так .\Ш CCCCLX..XXXV.
l 'uлпкu что .\IЫ столю 1у:шс ь с любоnыт11ь1:11
фl·но,н:11оч 11 •·общl·ствс» рнмсюrх чпссл. раз-
рс.· 11111н цифрач 1шр111 1 чикам прн ~сборке-• нu-
1.l hLЛ ч11 сl"1 нс тол 1.ко складыnатъс1L, 110 11 выч 1 1 -
та·1 hCH, мы 'l'C .:\\ С:!МЫ~\ Jl lllШ L'lli р11мсы1е ЧJIСЛЭ
<>ННО/'() l l:i 11ажн1,1'\ \\,l'l'C\1,ITl l'I CCКIIX СВО J)СТН -
е, 11 1 11<.-11 1с.· 11н ос.-111 1 1рс.:1(сгзнлс1111я Что теперь ~tе­
шает, 11 з1 1р11,1 ср. ~:11 11 кt1т 1, да·1у отк рытня <.-га11 -
1~1-rи м с-1 ро • Р11чска.и» как /'V1Y~1, 11т1 как \11)\'[),
111111 ещЕ11сr 1юлы.;11м 1 r ,"(ру 1'11\111 спосо6а~111 ;.
Ес111 1 11ро<1н;1л 11 з 11ровз т1, м1южество ст:~­
ршшых 1t CO ll\)tMC I П llo!X 11адп11се(t \)ll\\CKl\~111
1~'1фраr.ш, 1о можt ю v6сд1111,ся, что авторы, cт::i­
p:t't'<.:JI 1 . 1 10СК(),\1П()!101141 КШI I C этн цнфры в ЧI кла.
11р11 ; ~с рж1 1наm кh к:1ю 1 х-то т 1 егт1 спых ттр;~т1л .
Н о с.:д 111 lhl X 11 1 1t"J'1<11x 11р11нц11п ов :;1;im1c11 р11м ­
сю1х ЧJtl't:J 1 ; ~о с 11х 1юr т:ж 11 нt.: выработаrю.
Су щес·1· 11у11 >· 1 1111111 п 1111 тсрссныt 11ре;(1южен11я
Тш<, сопрсмс-11 111.111 :1~1 cpr11<a11 cк 11 r'1 учё ный Ст 11 -
nе11 Шн а р11ма11 11рсJ ~Л~11·ает Междуна rо;\ 11ыl1
ста 1 щарт р11м(ю1х ч11сел (ISRN - T111em:.1Lioпal
Stan<.tart J{o 111an NL1111 c r 41ls), в ocrro ne 1.;оторо 1 ·u
ДUJIЖC.: 11 ЛСЖ:.11Ъ СIЮД H~J спец11альпо ПO,'l,Oopa11 -
l lhlX 11\1 IJJ<:CTll ПpJ11ТIJI
l:.tlll l в 1.1 ;>..OTllТ{.' :J< lfllll'ЫH.l 'l'b р11мсю1е 'ШCJia
··~·К, Ч 'I о()ы он 11 1ю:ш< к 1hIO COUTl.!CTCTIIOB:.tЛ ll
11ока с.:щс.: н с.: )~1·нс.:рждt 1 11ю~1 у мсжду11аrод1юму
CT:ll 1/~.1р1~, '1'0 11 '- ) ·10\1 l l0\10ЖC' I llpl IВCДCllJl:IЯ
:~,1~с1, ~;1бт 111:1.
Ol>U~l l.\Ч.Ш IНЕ ЧПСЕЛ
Pl LЧСЮ 1~11 1 Цl IФРЛ:'- IИ
1 •д111uщы / ~С'СЯ'I IOI
1
1
1() х
211
2() 'СХ
,) 111
ю ххх
4IV
1()
XI.
')\
')() L
() YI
()() 1.Х
7 \111
70 LXX
н \.'111 fIO r.xx:x
9lX
~ю хе
COTlll f
Тысяч1 1
100с1000м
2()() се 2()()() 1Y\ l\I
500 ссс ~()()() ммм
!()() СО
' )(j() L)
()()() Т1С
7UO JJCC
R<IO ПС:СС
1)()() см 1
()на 11() i!IOJIЖ"I u6o:m;IЧll'I h 1 юбuс Ч11С!IО от 1
/\О ~<)<)() С11ач.1. 1:1 .1.1111111111 ic ч 11 ию ка к uб1>1 'НЮ.
в ;:t~OllllЧI IOJ I C lll ll'\ll' . ~а1 с:ч
:~:1я 1~11фр l 10-
HЩll.X н paJpя, t.1\: 1ЫL>IЧ, lO'lt"ll. 1 !С'lЯТКОН IJ l":t11-
llJIЦ, по таолr щt· 11щ1'1с:рптс соо 1 нетсгнующу10
кодоn)1О 1р\•1111у. Н.1пр1шеr>. вот 1.;:щ fiy:te-1 вы-
1шщt1'1, ч11с:ю ~i)t)<) 1'1J\l.\KMXC:lX.


О ЧЁМ МОГУТ РАССКАЗАТЬ
ЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ
Числительные - слова, обозначаюшис количествu
или порядок предметов при счете, - появились в
те 11е за памяп1ы е времена, когда числам на•1али
давать назв ани я. Прислушайтесь к числительным
русского языка - они могут расска1а1 ь о себе мно­
го интересного .
По-вилимuму, число 4 когда -то игра ло осuбую
роль . Спе1Jиалисты полdГают, что в глубокой лрРвно­
сти 01 ю служило своеобразн ым рубежом, отделяюшим
числа, у которых уже имелись собствен~1ые на"Jв<111ия
(олин, лва, три, четыре), от безликого и безымя~нюго
м1южества чисел, скрывавш11хся пол понятием «м~ю-
lic1111 же гrонадоб11·1-01 :1:mисатr. число в ript: -
/\t:лax MИЛJll!O l l<I, '1'0 ДJ I Я R l .ЩСЛСНИЯ ЗН<JК()ВОЙ
rруппы тыснч можно иоспольаовап.ся 1 1ад­
счюч1ю й чёрточкой или же пометит~, группу
тысяч маленькой подстрочной буквоИ т , rra -
11pн:viep, 273 847 = CCLXXlll1111JCCCXl.VL1 (наrю­
мним, что т - нерван буква л:п ш 1ско1·0 CJIORa
11ullt: - <- тыаrча" ). Так тuжt: nрш-1ято былu запи­
сыва 1ь римские:: числа fl сгарш-rу.
ЛРУГИЕ ИЕРОГЛИФИЧЕС КИЕ
СИСТЕМЫ
Кроме спrпстскоii и rшмс1сой к пероглифиче:­
скпм системам чисел опюсятся фш шкийская,
nальм11рс 1<ая, критская, сиршlск:u~, 1 ·рсчесю1я
:tтпIЧсская, шш Герuц и а н uна (нме1111( 1 нз сооб­
щешш J'P:.!MM;l'1 '11Ka l"<::rюд11ан;J, ЖllIOllC l'O IIO Ll -
ПL .в1:1.• залаююt:нро11еt1скнс ш:тuр11ки к1н~рныс
узнаш 1 о её сущестиок;u;ии). Известны также
с·1 арnк~па liская , rт:1 ро111 щ11 ЙС'I<ая, ~щтекска>J
r1срuглифиче:с1<11е с~1с 1 е,"1ы. В них, как и в е1 н -
Старинныi:' <ист~мы {,·1 ПИ( 11 ч1кt>л
ГО•. Вероятно, у наших дам•ких предков «мно1 о» обо­
знач ало любое кпличество больше чет1>1рёх. Посмот­
рите, какие окончания у сущеспsительных в сочета ­
нии с лрев11сйшими чиt.лительными: две коровы, три
коровы, четыр!:' кopntJы . Но уже начиная с пяти и далее
сушествителы1ы е меняют окончания: пять коров,
шесть коров.
Особняком в ряду числит/i'лhных rго ит и «сорок » .
Оно явнп не похоже на слова, обозначаюшие назва­
ния десятков: «двалuать•, "тридuать•, " пятьдесят•. По
всей ВИдИl\1\ОСПI, слово !<СО РОК» дошло ло l ldC как ПJ­
MflТb о бытовавшей в стар ину системе счисления с
ос1 юв;шиС'м 40. Теперь о ней 11апоми11ает лишь рус­
ское устаревшее числи тельн ое «сорок сороков•: со­
рок сороков uерквей, с,орок со1.юков Вt"яких небылиu...
11етс1юй 11 p11мCI<(Jf1 снстем:1х, 111ю1~ятся ключе ­
вые числа, для обозначеr~ия 1юторых прпме­
rтяrотся спецшты1ыс исро 1 ·л11фы. llce О<.J.аль­
ные числа обра:~уются приттисыnа1шем с той
ИЛ ! ! ннuй ("f'O/)Uflbl КЛIОЧС.ЕЮl'О ЧIKJ!:I друп1х
ю 1 ючсв1.1х ч1 1с1:11 , нозможнu t' нскотuрым11 по­
вторе111tям11
Jlюnопытнu ОТМСТJПЪ, что у MIЮГIIX наро­
доnдпя C)003 1IaЧt:IJllЯ ЧllCJ1:1 1 Пр 1 1J\1СНЯЛСЯ OДIIH
11тот же с11м1юл - вертикальн:нr чёрточка. Это
ClMOt /~ре 1111 ее '"1И('JIO в 11CJ пр11 1 1 ЧCJIO llC'ЧCC'l li::I.
()1ю 1юз1 11 1юю 1 1 з простоl1 ч ср'11,1 11а земле, 11з
~1арубю1 на дереве илн тюс'п1.
АЛФАВИТНЫЕ СИСТЕМ Ы
1l арщ~у с 1н:ро1 J 111tj:шчсскнм11 н ;~рt:ш юст1 1 ш1 1 -
роко пр11мс11ял1къ <:11сн:мh1, 1:1 юнорых ч11 01 а
н:юGражаткъ бую1ам11 :1лф;ншт~1 . Имt:111 ю т;1-
кой быпа 1 · речес1<ая алф~1ннтна11 нум~рац1 1 я,
nrтучттmая название 1юн11чсской Ола смt:­
шша аттическую систему в IП в. ~о 11 э. в~1есте
1')


1(1
Ис-rори~ матеман1ки
с хрие1·1 r<i нст1юм 1·1 т 1 с1,меrнюстыо эта нуме­
рацю1 пришла к славюrам - сначала к южным,
а потом и 1( rЮСТ()ЧНЫМ .
Ниже 1 1рт.ше!(ены изображения 27 бую~ сла­
uю1скоrо алфавита с их число~ыми зн3чения­
ми. ,Dщ1 обозначення чисел н~щ буквами сверху
стаRr 1лся специаль11ый значок ...
-
титло. (Сам
алф~1вJ1т здесь лредставлеп нс 1ют-юстью, 1 1 а­
пример, отсутстuуют буква Б - «бую1" 11 неко ­
торые другие .)
Едиrrицы
Десятки
Сот1 rи
...
r
~
1G\
10[
!00 р
"
...
f,
2G
20к
200
3f
.)О
..
л
.)00 f
д
•'
"
4
40 Л\.
400 у
в
.-
5
50н
500 ф
..
~
6$
60а
600 х
7j
70"
70() w
о
вй
80 ri
800 w
9 .$.
90
...
900 ft
ч
С помощыо этой таблицы можно ле1·ко за­
mкатьлюбuс Цt'JIOe число 0·1· 1до999 включи­
тслыю , например:
н~ Ы'rИ а
'5 '5
.288
уЧй
49R
Числа 100(), 200() и т. д. наши пре,~ки заnи­
сынали теми же буквами, что 1, 2, "" но слена
1шизу с1·авнл11 опознавательный з11<.ш тысяч:
). = 1ООО, "G == 2000, ". ·j'- =9000.
ДесятJ<И тысяч т;u(ЖС отмеч:~т1сь первыми бук­
вами алфав11та, но уже без т11тл:.1, 11 букnы обtю­
диJшсь кружком:
@=1О00(),@ =20ООО,." @ =9()ООО.
Сотни 1ысяч кюбражались 1 юхо.жим обр~1 зо1v1,
но кружок сюrадыва1 1 и из точек
А= lUOООО, 6 =200ООО,." .О· =900ООО
Наконец, ,"1ишп1uны отмеч.а.J шс 1~ кр}?Кочком ~1э
чср п JЧt:h.
{А}= 10()0()00,{с) =2 ООО ООО, ."
''•""
f /11
{~;~ = С) ()()() ()()(),
Чнсл:-1, которые обuзн;.rч~111сh букnамл в кру­
жочках, точках н чёрточках, 11мст1 <.'11<.:циат.-
111,1~ 11<431\:.tl H·LЯ:
@ - ~тьм~1,>, А
-
«ЛС 1'нО11о); (i•.'J - «JТеодр"
~"...
Кзк бvдст Вh11·лн;~ст1, 'П 1 сло 4 210 ООО n ста­
рославя~ско1"1 нумсрац~ ш? Поскольку 4 l О" =
,,",,,
~
,.\
®
""~.А},2· 1О = Е,1 1О = А.следовательно,
421оouo- это~I!.в@.
'• •·'
Олнсаrшая выше нумсрацин rюлучюш на-
зnан11е 'малое 'ШСЛО?. В 1н~й uтчётливu 11росту·
11аю·1· зачатки lЮЗШ ~HOHL-Юi"L С И СТt'МЫ , посколь­
ку ДШI ОбО::!ЮIЧСН l lЯ еДИНIЩ f1aЗllЬIX [)<!Зр}:[ДОА
приме.1:1нютс51 одни и те же сим1юJ1 ы.
13 одной 1rз сла вянских ру1<011Т1Сетl XYlI в.
упоминается и другая с11с1 ем2 - «болъшое
ЧИСЛО». илн «IJeJHIKOe ЧИСЛО» . Наэваrшя боль ­
ш их ч rкt:..rr 11 ней строятся на основе любоnыт·
I IOI'() nриёма - «ВОЗЬМИ С'ГОJ!ЬКО по СТОЛЬКО».
весь м а uерояпю ::шrмспюн.:1111юrо у Архимеда
Первоначально число l O'' объявлsк~тся тмюli .
затем ·1 ьма тем, т. е. J U 1 ~, пшNчает наз13а1111е ле­
г1ю11: лепюп пегионов, ·г. е. ·1OJ4, получает н:.~-
®
-''i -
...
~
l\
"l\ -
-
-
.
.
...
~
", .,,"
Т1,м.1
Ле{'ио11
Ле"дf1
nщхш
Ко:ю11а
10"
101~
10~1
j()IH
J о4')


-
'Т
з\
'
'
""
<1щ ЕЖf сч11т11t1 с"' доrтJ ·гыс...члн 11 ~;ош7'
npon.&~· ~CIHl)\J: 'l;lr.r~ ЦЫФ~j"l1\\ll •
"
..........
'
&TOf/,111 _?Gf4 'IHf~"Л •
~
•1
10
100
100-О
10.РОО
100000
JOCOOOO
JOOQQ!)OO
toaaooooo
) OQ0.,00-0 .000
!
... .
"~ C'l'O Tl,;CA\Lll?: •
J.
,
,
"•I TLl<A\ЧJW ·n .1CA .ljlrn
~ ·n,;r...цn; т1.:САЦl!Н
" '• ("fO т1,;c-o.t1r1. rbl<R>ЦJfll•
kJ
t
,
'
тъ~r....цю. 1~. 1с.щ~ т~t
C"'lf.101 • н,111 ТЛ\1/ •
тprri11 ~"fAJ" ·
'
'Х,
\"''
'
?С
К\\1\Жl\!,1 '1\IC .rь ксr... €VfWt\!.t fU.\\CKH •
Infl(rvуVI\'IIvшJXх
"&lд€s3 11.о.1
А+
Х{
,J)
Сrр<1 1-11ш.1
1н pyccкuru
уч1:'!1ника
.1рифмf'1ики
1699 r
знанислепдр; а лсuдр J1eo;~po1:J, т. е. 1 0·1н, имену­
t"Тся вup01-tu.м. Вороны обозначались букваJ"ш.
обрамлён 1 тыми кружочком 11з крестиков: 1:~:·.
Следующий рубеж, 1() 1
'
1
• назып:шся 11;щюдий .
На ней ~сrютыкаJ111сь», и счёт окончательно пре­
рывался ~ ~...и более cero несrь '-lеловеческому
уму разумевати». Колода обозначалась так: Д.
Похожие снстеJ.11ы счислснщ1, в которых
букnы алфавита по совместительству юодра ­
батьшашr» цифрами , использок:шись в <..~1·ари ­
ну у :~рабов, еврее.в, гrуэин, армян .
С'..лавянская нумерация просущестковала /\0
конца XVll столеп~я. rюка :вм<.:сте с реформа­
i\Н1 Петра Т в Россию из Европы нt пришла по ­
з и1 ~ионная лесятичная система счислсJ-1ин, ко­
торой мы поm,зуемся и сейчас.
ШЕСТИЛЕСЯТЕРИЧНАЯ
(ВАВИЛОНСКАЯ) СИСТЕМА
Записи чисел в алфавитной нумс:рацни полу­
ч:\ются более короткими, чем в иероглифиче­
ской . Но и у той и у другой сист·tмы представ­
леr tия чисе.~1 есrь один весьма сущесгве111 1 ый
неrюс-1·ато1<: арифмtтические дейстL1ия над та ­
кими ч11с!lами - занятие кесьма трудоёмкое.
Этого неудобства нет у no3uцuo1mыx систем.
Старинные системы записи чисел
Идея nрипи:сьrnать цифрам разные вСJшч1111ы в
~ависи:мости от того, какую поз1щию они за­
нимают к ~аписи ч11сла . впервые поя.вилась в
Ш ты ся челетии ;ю 11. э н Месопотамни (Между­
речье) у дрснне 1 ·0 талантли1юго наро~~1 - шуме­
ров. От 1 1их она 11ерешла к наr~илонянам - 110-
вым хозяенам Мсж;..1,уречья, rючсму и 1юu 1 ла в
ИСТ(}f)ИЮ как навилонска)f система счисления .
До t1зс дошли сотни тыся.ч обожжёпных
глиняных таб.rrич-ек с письме11ами древних
вавило1 тн. Простейшими цифрами в их систе­
ме служили два знака : вертикальный K.flИLJ Т для
обозначения 1 11 rорнзо11тальны 11 клин ( - ДJlЯ.
l О. LJ ис; 1 а от 1 до '59 :з~111 нсы.н:urись с помощью
этих ;~вух знаков, как н обыч~-юй иеро1'.l 1ифн­
ческой си стеме ·
rr=2,<:т = 11,<<< =30.
Число 60 спона обозначалось тем же знач­
ком. '-lто и 1, т е. т . Таким же образом записы­
вались и все другие стеле1:и 60: :S6<IO = 60!,
216 О()()=6U~и т.д.
На этих примерах видно, как R вавилонской
системе прелстанляли раJлич 1 1ыс числ::~ :
т<: п
<«ТП«
72=1 •6()+12,
20()() = 33 ()() + 20.
Однако из-за отсугствия нуля эта система за­
nи.сн была не()днозна41ю.й. 11 зависимости от
контекста одпа 11 та же запас r , могла о:зна-
чатъ ч11сло 72, илн 4 320 = 1 6<i+l2 (>0
1
,
или11/., = 1 60°+12 601ит.д.
Шестилссят<.:ричная снстема. широ­
ко 11рименЯJ 1 ась н астрономическн.х
расчётах вплоть ло эпохи Возрождс­
н ия. Им:енно ею 1юльзовался во 11 н.
1 ·р~ческ 1-1 й матсма·1·1 1 к и аt"r·роном t(JJ
нии таблицы синусов, 7\ре1шеи- t'J ~ ~
шей ИЗ [(ОШедuшх ДО нас.
{
.
_
Кла 1щий Пт011емей при состав~е~
Г. ~."/М
...,.-= 1-..1
......"
.
.
-,.. ,_,,__
17


~
а'"'{Ю
Исrор~1я матема 1ики
IH
СЧЁТ И UИФРЫ ИНЛЕЙUЕВ МАЙЯ
Индеl1сю1й 11арод маf1я. обнтающий иа т~:ррн­
т<>р1111 ЦентрЗJJьной Лмср11ю1, в т~ ачалс:: 1ю1юii
эры прсдставтrл числа примерно так, как и
древннt шумсры. Майя 11зобре.rтн похожую чt1 -
слоную систему, по с 11рул1мн ос1 юва1-~11Яl\П:1 -
шпсрич110-д13адцатср11ч1тую Лростсnшнr-1и
цпфрами у н11х были чёрточки и точки, ко·1·0 -
рым11 за111·1СЫf\аJ111с" ч11сла от 1 до 19. Точкам11
они обознач:шн сю11шцы пт 1 /{О 4 . чёрточ-
1ю(1 -
') К примеру, зa11irc 1, .:..:.:. пзнач~~ж1 число
R, а· ··· - ч11010 19.
Осr-юп11ую рот. 13 с11ст<:ме майя 11rрала «ис­
кажётша>J ·> двал1 ~атер11ч11аи с1к'Iема сч1 1 слс11шr.
!:ели ва1шлонскан снстема ос1юn~ш:~ 11а разт 1ч-
11ых сп:11е 11ях числа 60, то\' майя так11мп ю110-
чеnым1 1 ЧИCJl;\MII BЫCTYП<IJl;I 20. 18 20, li::i . 20! ,
1
1
.
•
18 2() ,18·20 ит.лПризаписr1числацифры-
кир1111 ч11кн :~а1111сывал 11 сь 0J111 a 1юд друr' ой,
ИЗ ИСТОРИ И UИФР
Время изменило внешний облик uифр. Если в Xl l в.
uифры огубар», п рименявшиеся о мавританских госу­
дарсrвах, им~ли следуюший вид:
2
345
7
89о
G18?о
то уже в 1480 г. в книге «Зеркало Вселенной~ аиrли­
чанина Каксто~1а 01-iи изображаются rак:
1z3
И лишь в 1 'J22 r. в книrе итальянuа Тонпалля рни
принимают более-менее современныи вид:
I'L)f)с7g
о
Л1Обопыт110, что в Индии uифры тоже видоизме­
нились и к 11ачалу ХХ в. выглядели так:
1-~~8-Ч(б т { о
Начиная с XVl в., кuгла в Европ~ уже бь1ло развито
книптечатание, многие хуложн11ки работали над со­
зданием раз~юобразных типографских шрифтов, 1·1а.д
формой букв и uифр. Они старались придать им при­
ятный лл11 глаза вид. Но история ш1фр на этом не кон-
r1р11чt;м ст:.~рше1'1 ян1 1н11ас1-> н~рхннн 1т.11фр<1. 1la-
.: ..:. .: .:
щ111мt:р, 3а11нсь :· · в с 11 стсмс майя 11рсдстан -
-
-
л.ялачислоl9 JlL20-t- 13 Ш+11=7111
(IЮNН:: рю1у1ы КJIЮЧСНЫС Ч11СЖt)
/l,llя обоз 1тачс1шл11ую1 мшЪ1 11 р1rмен>1Jш з11 :.ш,
11;шом11пающий полуз~Н<рытый глаз: <Ш>. Так.
:~arnкh <Ы> 1-11,rражала число 2 · 20 + О = 40
ПОЗИUИОННАЯ
ЛЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА
Дрсш 1еС1111ая НЗRСС'1 '11'1 Я :3а1 1и сь в IЮЗНЦl!ОIПIОЙ
/(еся·1 1 1ЧJюl1 системе обнаружеIIа u И11д1111 11
датируется ')()') r. ПояnлснJJе хорошо з11;~комо­
rо нам пуш1 было подготовлено системамн
CЧILCJIClllIЯ , l rзд~шна Пp!u\.fCHЯJШЛI.iVIJICЯ rrc толь ­
ко в И.1:-щи11 , ~ю 11 н Дрешrем К11тае. 11 :-э111х <:та -
чае rся . Например, совсем 11еда1.:111 0 в ряде Cl ра11 стали
ислоль:ю~ать такую .1.~nись:
Чем ·ни uифры лучше обычных? А 'Тем, •1то у четных
Llифр ~хвостики " идут вверх, а у неч ётных - вниз.
Теперь труднее спутать, скажем. 2 и 5 . Прс:шда, это
нововведРние широко не привило с1,. А вот начерта­
ние uифр, которое знакомо кажлому ·
о123чs6l8g
·)Ти uифры можно видеть на микрокалькулятора х и
ручных ·)Лектронных часах. С nомошью ~1аЬора из семи
отрезкоо улаётся досrаточ110 « узнаваемо » изобра-~и 1ь
кажду10 И3 леопи uифр.
[ше одно и ·юбражение uифр, связанное с потреб-
1юстями техники, можно 11а1.1п1 на обороте почтово ­
го ко11верта:
о127чs6rв9
Здесь в написании uифр участвуют уже девять от­
rезков . Uифрь1 прсдна'.\на•1 ены лля электронной ма­
шины, сортируюшей коррс с по1 1 де11uию . Жирные
черто•1к11 Нdд и11дск сом 11а ко11вертс 11уж11ь1 лля того,
ч гuбы машинс1 tмor ла ~очно настроюьr.я на наткан­
ный vтправителем индекс:


р111111ых сие~ емах для ;~ан иен одшта1со1ю 1 ·0
числа сд1ш1щ. десяпшв, сотсп wш тысяч 11с­
пользовались одrrи и те же сI1мnолы, по до­
ттол1mтслы то rюме<-1алос1,, n каком раэря/1,е 01111
стuят. Гlостсn<:нно Ja ,'v1t'т1ш11, ч'1·u даже ecm1
нс указынать 11м е на р:.~зрндов, то ч11сло всf
rdюю можно nро1111тать, так как у каж;~о 1 ·0
разря;tа есть своё о~юсщочтюс мсс1·0" - пuз1 ·1-
1t11я . А есл11 поэ1щ11я пуста», то t:ё нужно поме-
1·1гrъ спец~ 1ал ыi ы м з1 1::1 чком - нуJ 1ём. R 11ОС$/1,НИХ
nаnт~ло11сю1х текстах с тал 1ю.нв.тшться такой
з нак, однако н кохще чrкла его 111шоrда не ста-
1шщ1. Лишь n ИпJ(иr1 в lX в . нуль окончателы-ю
l:т.:1ри1-111ыс <. 11<. темы з;:щнсн чи<.l:'Л
,Аь.
8'.i(!J
;~а ш1J1 оюt: место 1~ нумер;щ1111, котор:н1 рас11ро­
стр:11шлас 1 , зан:·м гю nсел1у миру.
И11дийская 11} мер;щия прJ1111ла crrз чала в
арабс1<ие страны, а затем и в :~ападную Европу.
О не11 подробно рассказал среднеазиатс101й ма­
тематик алъ-Хорсзми. Простые н удобныl' пра­
вил:_~ слож<:нш1 11выч11тан11л скот, уго,11но боль ­
JJ 1их ЧJ,н.:с.:л , З;.1 1 rисанны.х н 1юз11цишn юй с 1 1с1:ем<:.
сделали её особ<.:нно 1юпут1рной. А .поскuл1>ку
труд <uн,-Хорезми был написан на общем дю1
мусулыv1аn скm·о мира }J:'!ыкс.:: - ар~16ском. то ;3а
инднйстюй 11умера~т;пей н Еврппс ::1акре11ш10с1,
1tеnрашшыrое 11 а:1в::шш~ - «арабск<1.н ».


20
Истприя математики
МАТЕМАТИКА ЛРЕВНЕГО ВОСТОКА
ЛРЕВНИЙ ЕГИПЕТ
CaNiыe ранние математические тексты, извест-
11ые в наши ДJ 1и, оставили ~ве великие циви­
.rtизации древности - Еп-mет и Месопотамия,
или Междуречье. l1ме11но там появились лер­
ныс матсмат.иqескне задачи, решения которых
требовала rюнседненная ж11знь. Нсдь ненозмож­
но без расчётон построи1ъ зд~u-~ие, будь то ве­
л ичестве1111ы:й дворец или простой сю1ад дл.я
зерна. И как гюделнть землю между родствен-
1111 кам и." прибыт, между торговцами , 11айт1-1
праnильн1,1й путь n пустын е и;ш н морс, ео1и
вы не знакомы с прапилами счёта?
Несколы<о тысячелетнй кул~,тура Египта
развивалась бса каких бы то ни было внешних
nлияний, и именно 3ТИМ обънсниетсн сё само­
бытrюсть. ~'pouer rь дpenr rсегилетской математи­
ки был дшюлыю Rысок. Дреннис греки, до ­
стижения которых лежат н основе сонрсмсн ной
нзуки, считали себя ученика мн египтин. Вот как
нисал об этом в V в. дон. э. знаменитый грече­
ский историк Геродот:
~,оп и [е1·иnстские жрецы] говорили, <tто 11арь
разf\ели11 землю между nсемн епштянамн , ,п;ав
каждому по раГ11юму прямоуt ·ол ьr-юму участку:
из этого 011 со:щал себе Д()ходы, np1 rказан еже­
го11по н1юс11ть налог. Есю1 же от какоrо-н 11 будь
11адела река отнимала что-11нбудь, то владелец,
приходя к r(арю, сообщал о rтроисшедшем. Царr,
же посылал людей , которыедоЛЖJ-JЫ был~~ осмо­
треть учасl'Ок зсм1 1и и 11змсрнт1, , 11а скот,ко он
ст~щ мены11е, чтобы вл;щелец н1 юсю 1 с остан-
111сйся 111ющз/(И н:тог, про11ор1\иО1i.:-lJ1ы 1 ый усrа­
новлснному. Мне кажется . ч1-о так и fiылз и зоб­
ретена rеоме-1 рия , кu·1-орая :.~атем из Египта бьта
перевесе~ 1 а n Элл:щу» .
ПЕРВЫЕ УЧЕБНИКИ
Общсствсrшос устройство Древнего Епшта
н:с менялось н течс1:шс дuт ·ого времени. Сохра­
ннл ись без нзменен11й и 11аучныt :ш:н-11ш, JЮ ­
этому сс rоднн учёным O' - it'Ht.> трудно точно
определить /t<ITY TOl' O или ИHOl 'LI O'ГKpnlTliЯ.
К тому же исто чников. no которым можно су­
ди1ъ об уровне м атема·л1чсских ~iна11ий 1tрев-


ннх с:ги1 1 тян, со нсс:м rieмнo r·o. Назовём са м ые
и:щестпые пз н их.
Во -первьlJ{, это nanиpyc Райщщ, назnа~-шьн1
так по 1Lvre1 ш своего первого ВJщдсльuа. Он был
11аiще11 в J858 г.. расш11фронап н нздан 13 1870 J'.
Ру1<оn 1 кь пре)].ставляла собой узкую (3.3 см) н
Jl.JIИH I JYIO (5,25 м:) rюлосу п::~ 1 1ируса , <.:Оде ржа­
щую H·I :{ад<1чи. Теперь одна часть п:1 пнруса
хран11тся 1:1 Британско м музее п Лонлоне , а
дру1'ая 11ахою 1·1·сн н Ныn-йпркс.
Ro-Rтnpыx, так назыиаемый Москоrккий
na1111pyc - e rn n декабрt.:: 1888 г. приобрёл в
JJyкcope русткий египтолог Владимир Семё1ю -
1111ч Голсн111цсв. Сейч~с папирус при надлежат
l'осу;щрствею-юму музею изобразитс.rть ных ис­
ку<.:ств имени А. С. П ушкина . Этот с:виток wrи­
нoi1 5..+4 ми rпирююй 8 см вклю ч ает 25 задач.
Пщ Ptl J,~ 11олс 1 1(• 10"' кол~1че<. 1в..~ н.•рн,J Eri..1111. •1 tt<t1H п ,,тул·ка
Околfl 2040- 171\'i п· дон '
М<П~матика Лревнеrо Восток;)
И н~шопец, •Кожаный сnиток егип етской
математики», с болъшнм трудо м распрямлён­
пый в 1927 г и во мноl'Ом проливший свет на
арифметические знан11я егиr~тян. Ны11е он
хра1.1 ится в Брнта 11 ском музее.
Эти рукош 1 с11 относнтся к эпохе Срсдне1'0
1 \Ц>ства (XX-X\ТII вн. ло н . э.) . Московский па ­
пирус б~.111 п среtшсаr 1 11 ею·1м учепиком между
1800 н 1600 1·с. до 11. э. с более древнего текста.
примерно 1900 r. до 1t. э. А п апирус Райнда пе­
рсшrсал писец Л.,'{мсс около 1650 r. до н. э.
Автор ори г инала 11еизRестсн, устано влено
лишь, ч·~·о тскс 1· созд~1нался во второй по1юn11 -
пе XlX н. дон . э . ~кож:.~.ный <.:В иток? датирует<.:я
XlX-XVlll вв. до н.:::)
Пnдобн ые пап11русы, 1 ю-пн;(имому, служ11л 1 J
сное гп рnда учеtlник:1 м 11 . КаТ< СJ{а::тю в руrюпи­
си Ахмсса, ока nосвюцена <-сонсрrненному н
ос1-юн;пелы юму исСJrедощнтю() всех ве111ей, 1ю-
11им ани.ю их су~цr-юс1·и, шхн-1анню их тайн". Так
в ы соко ценились в те далёк.1е nремена мате.ма ­
·rнческис знания! 13 папирусах есть зад~1 чи на
вы числение - образцы выпош1с 1 1ю1 арифмети ­
ческих опера ций, задас~и щ1 раздел имущества.
ш1 нахождение объёма амбара или корзины,
площади поля и т. д. Длs~ ко1'0 же nредна~тач.а ­
лнсь такие учебники?
Папирус Ра.йн/{а з:1канч1ш:tстся такнм 11 сло­
н:1ми: •Ло 11 и r·мов, мы 111 ет\ иы r 1а.11ыва1I <.:орныс
траны зэсnежо; ПOJfyчaf1 обнлы1ую пряжу. П ро-
01 у бт·а Ра ·1·епла, ветра 11 высо1<0'1 rю;{111". По­
э·сому 11 екоторые 1ксле~о11атсm 1 реш11л11, что
свиток адресован зе.чледел~,цам. Однако м 1 ю-
1нс из содсржащпхсн в 11ём задач i\OIICC нс11)'Ж­
r 1ъ1 крсстьшmну. l3 с~·рапе фараоноn была
особал 1'р:тпа 111Uдer'1, которой требов<111.ись
11одобные :5H3III 1 Н , - ЭТО lllK I \1.1
. Пнс< .:ц - /~OJJЖ­
H OCTh отвстстненн<1л и uесьма лривилс1 ·нро­
н;1ннам . Он обнзан был 06J1;щ~r1ъ са ."1ьш11 разно­
uбрззными ма·1 ·с:::м:.п11чесю1i"111 1 rаны1<ам1 1 , чтобы
11сэ труда рз:-1рсш11· 1·ь любую з:тачу.
МЕТОЛЫ ВЫЧИСЛЕН И Й
Вес пран11ла cчi..~:.t дрснптLх египтян щ:новыва­
лн<.ъ на умс:нш 1 скла/1,ы и~пъ 11 иыч 1 1·1 ·ать, удва -
11 Rать числа н ДО I ЮJJЮПЪ J(pun 11 / \U е')\ИНl l ЦЫ.
Умножение [1;\с1 1 еннс: сною 1л11 к сложе1111ю
11рк по....ющ1 1 acoбolr опера11111 1
-
мно1·ократ­
Е1ОГО удвоения ю11-1 раад 1юе11ня ч11сс.r1. Вы1 ·11н ­
дt:Лп т:~кис р::к·qёты ;щnол1.но громозл.J<О.
2l


22
История м;пем;з тики
1n1 \1
~
-
l 'МI!
---
.
11
~р
.JlfJI
1
"\
р
,
~
Er11neтcкft e 11'1фры " ч 11ела .
Дш1 лробей были с11еппалы U> te обоз~ 1 ачсп ия.
Е1'иnтm 1е использоnали дроби вида 1/н, где п -
натуральное ч нсло. Такие л;роби наз ьшаются
ал.иквотиы.лш. Едипствепная неалиюютпая
л;робь, 1сото рую « признав;ши» египетские ма­
тематики, - это 2/:,. Иног)"(а вместо дсле:ння
1
т : п производили у~vшожспие т · -
. Дпя этого
п.
прим<:: •iЯли специ~\ю,ные таблицы . Haf(o ска-
з:пъ, что нейств11}1 с дrюбям и состанлнди uсо­
бе1-1 нос1ъ е~·ипстской арифметики, 1:1 которой
самые rrростые 11ычис; 1 еrrия порой пf)еL1ращ::J.­
лис r, R сложt1ые задаl..fи.
Сравнительно rтебольuюй круг задач в еги­
петских папирусах сводится к решению лро­
стейших уравнений с одним неизвестным, н.а ­
nример 33-я задача из шшируса Рай11да: « lleкoe
колнчество, ei·o 2/3, с.1·0 l /2 и eJ 'O J /7, сложен-
1 1 1 ,тс нмс:о·е , 11.ают ~7 . Какоrю э· 1 ·0 1шm1честАо?•>.
Ответ 1(> .:/.1~ ззш1снr n эщ11<1ютн1.1хдробях:
1
1
1
16+-+ - - +--.
56 679 776
П рн решении подоб11ых ]адач мя 11е11зnест­
н о1 ·0 IICI IOJIKIORaJlll CllCЦH:IЛhl-tЫil 11ер01'11Иф со
:! f !~I ЧСНИ<.:М QKy•t:!». В 3;(Д~Ч'1Х nro ~K}'' t y», rкша-


CMhlX t.:JJ,ИНЫ.М Mlvl'OДOM, можнu усмотрt:1 ъ 3~1 -
Ч:!'l'КН :1111·сбры к;.~к н~ую1 об ур; 111нсн11н х.
R t'J 1tnt: 1 ·cю1x11 :ш11русах 1:1стрtчаются ·1акжt.:
~~а;1ач1 ·1 на :1р11фмстическую t1 J 't.;ОL\1t.:трнчсскую
rrро1т>есси11. что ещё раз nодчёркинаст 11е · юль­
ко пр::11<тическrп1, 1ю11теореrпчесю1i1 характеr
μperшci'1 матема1'ики.
ГЕОМЕТРИЯ СТРАНЫ ПИРАМИД
Пораз11тслыю, 1ю 11 рн дово11ънu 11р11м н· 1·т 1ннuй.
11 громоз1 1ко1'1 арнфмстнке е1·111rтянt: с:мш·1111
HUOllTl>CH :Ш;./ЧИТt!JЪНЫХ услtХОВ R l'еОМСТрНИ.
Онн умсл11точ1ю11аходн1· ь 111юп\:ц1ь 1юля пря­
"юутлы ю~1. треу 1'01 1ы юй и · 1 ·рапе:цневнд1 юй
формы.
Известпо, что в серслине 1 тысячелетия
до 11. э. для постросrнш прямого уг.r1а сrпптяне
tю1uльзоваJн 1 вtрёвку, раздслёнпую уалаr-ш тrа
12 p:tBllhL'{ ч:.~стс.;й Ко1щы всрёвки связьш11ш н
з:псм натн1·1шали t:ё на трн кuлыwка. ~ели сто­
роны 0111осились как.). "1: S, 10 гюлучала1 пря­
моутльный ч1еуголы-111к и это - едшrс:твсн­
НЫJI прямоуголы1ый треу1 uльн11к, 1ю·1орь11-1
3н~1!1и uДрl:Rнсм Епште. Е папирусах не1 :задач,
как -т1fi() связютт11 ,1 х с теоремоil Пифа1·()ра ,
Х()'!'Я Д() расшнфроuки .математических текстон
существовало мнение, что древние сги11·1.шrе
были с 11сй знакомы.
Важным дос1·1~же1шс:м 1·еом.стрич.еской на ­
ую1 t'1·1штян былu оче 1 rъ хuрошсе пр11ближс­
ю1t: числа тт, которое rюлучаетсн из формулhl
юш площа;\11 кру1·а дна метра tl:
5 = (d-icli=(l- i)2d
2
•
Этомуправплу из SО- й змачи папируса Райнла
ссютветствуп значение тт = .. .J .(8/9) z "" 3,160<:/.
Однако каким образом сrю 1тяпе получали
саму формулу, rп ко1-rтекс1·а псяс~ ю.
Матем ,н ика Лревнt:>1 о Востока
~
S!JШ
:-;;:---; :-~·~··' ~~~
~-
--
-
-~
-~_- ~- -~ ~··_-::.: .
-~
...
"~
.... -
~-----
~1
В Московском п'1.пирусе еnъ ещё ощта 1 11tте ­
ресная :Jадача: вычисляется поnерхност1, кор­
зи111>1 «С отверстием 4
1
/J» · Исследователи толку
ют сё по -рю1 юму. поскольку n текс1·с 11с укаэа~ ю.
какuй формы бьuш 1<орз11на. llо nce схu,цятся ~ю
м1Jсн111-1 , что 11 ::1/\lТь ;1,.11н чнсл:1 л nерёто1 ·1·u Жl'
самое nрнближённuс :тачс11ис "-l(R/9)~. Замс­
п1м , что 1ш Rcё .V! Древнем Востокl' пr)lj 111,11111 -
слсн~щх нсnоль'юRаJ ЮСh .~н.t•1с11~н:: тt = .~ Цаж<.:
в Библии есть ука3ание 11а 11с1'0 Так что R этом
OTll()ШeJllJИ CГИll 'l'ЯJJC 11ам1101 () опсредш111 11ру-
1·ие 11арщ1ы.
Среди простра11стпенных тел самым (< еr11-
пстским» ~южпо считаn, нирамит, ведь имен ­
но такую форму имеют :щ:.~мен11тыс усшrат,
ницы фараuнuн. Так нот. сжазываl"t'СJI. кроме
объёмон куба , r1араллелс 11 1нrеда . r1р11змы 11
ЦИJIННдра e1·1111ТHll<: ум<.:ли l:IЫЧllCЛ>ITb объём
усечённоi1 1трам1щы, н оснокн111ях которой
лежат ква~ра·11,1 со сторо11ам11 п. ~1 h , :~ нысо·1 ·~1
ран11а h. От 1 11r11 .'ll1снял11 формулу
\f ::((/~+C/h+f')L)fl
3
23


История математики
О ФОРМУЛЕ П ЛОШАЛИ
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА
В папирусе Райнла приводится
такое правило для вычисления
площади произвольного четырех­
угольн ика ; полу сумму лли 1-1 двух
противоположных сторон ч еты ­
рехугольника умножить на полу ­
сумму длин двух других сторон.
Разумеется, оно пояснял1>сь на
примере, а не с помошью фор­
мулы, как на рис. 1 .
Но это правило невер1-ю! Лаже
для парамелограмма оно не дает
игтинного значения п лощади. Ведь
если изготовить шарнирный пря ­
моугольн~1к (рис. 2), а затем сжать
его так, чтобы uн превратился в
КАК МОГЛО ПОЯВИТЬСЯ
ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕН И Е
ЧИСЛА п
Чтобы понять, каким обра·юм древ­
ниt! учёные получили тот или иной
результат, нужно постараться пред­
ставить себя на их мсL те, т. е. по­
пытаться реши ть поставленную :1а ­
лачу, исполь•уя только знания и
приемы вычислений того времени.
Именно так поступают иссле1юва­
тели стариttных тек( тов. однако
решения , которые им удается
найти, вовсе не обя зательно не
самые». ОчР.нь часто д/\Я одной
задачи премагается несколько воз­
можных вариа н тов решеt 1ия -
реконструкuии. Каждый внравЕ:' от­
дать прелпоспение оыюму из спо­
собов, 1ю 1111кто 11с может утверж­
дать, что име1 lllO им ~1 ПОЛЬ3\)IЫЛИСЬ
в лрев11ости.
По поводу формулы пло шали
круга HJM кажется весьма правдо­
подоG1-юй гипотеза автора много­
чиLЛенных кни1 1ю истории мате­
матики А . Е. Раик; плошадь круга
диаме гра cf Lpa вн11вается с пло-
параллелограмм, то длины сторон
не изменsпся, а плошаль умень ­
шитсs1. Вообше, для любого четы­
рёхугольника со стороt1амиа, Ь, с,
d имеет место неравенство
Рис. 1.
s.;: а+с b+d
2
2
S=fJ...±. .f . .b+d
2
2
с
шалью описан1юго вокруг него
квадрата, из которого по очерели
удаляются малые квадраты со сто-
1
1
ронами бd и gd.
cf
(/
В наших обозt1аче11иях вычис­
ления булут выглядеть так. Н пер­
вом приближении площадь круга 5
равна разности между плошалью
квадрата со стороной d и суммар­
ной плошалью четырt:'х малых к1:1ал-
1
ратов А со стороной 6d:
В равенство оно преврашается
тол1,ко дЛЯ прямоугольника. Иначе
гuворя, еrи11етское правило с11 ра­
велливо \и то не точно, а лишь
приближенно), когда четырехуголь-
1-1 и к мало отличается от прямо ­
уголы-~ика. По-виы1мому, имен110
такую форму имело большинство
земельных участков египтян, и лля
1-1их ошибка, заключённая в :пом
оравиле, была нсзначителы-~а.
Лалее 1н получе1111ой олошали
нужно вычесть nл1)шаль вщ ьми
l
квадратов В со стороной 9 cf , и
тогда nлошадь круга будет при­
ближен1ю рав11а LЛедуюшему 1:1ы­
раж е нию:
-~[1-~)dl =[1-~yd2•
В польз у излuжен~юи здесь ги­
потезы свидетельствуют аналогич­
ные вычисления в однои из 1алач
Московског о папируса , где пред ­
лага1::тс~ <..осчит..~ть
(1-~)-~(1-_! _)'
999


Эта формула считается высшим 11остиже1 т ем
дреш-rеегнпетс 1юй математики.
Подnедём итог. Математика в Дреnне.~1 Епш­
тс представляла собой совокупность знаний,
между которыми ещё нс существовало четких
МЕЖЛУРЕЧЬЕ
Первые очаги кулътуры Дреянсй Месппотами11
(Междуре'!Ъя) 1юз11икли на берегу Персидско­
го залива. Именно здесь, в дельте Тигра а Ев­
фрата, 13 IV тысячелетии дон. э. жилп шумеры;
они построили города Ур, Урук (под НJvн:щ·м
Эрtх он угю мнн.~стся н Бибюн1). Л~11'а111 и Ларс<t.
Севернее жили сеNшты-аккадцы, гщ11:1ны м ro-
[IO/\OM которых был Аккад.
Ужt> в серещ. 11-1с IV ·1ъкя чслетия лu н. ~. н
Шумере сущес-1·tю1~апа nисьме1 п юст1 .. Мзтери­
алом !(ЛЯ пио,ма вначале служили каме1-н-1 ые н
гmшшrые плитки. На ШIХ острым предметом
вьщараnывали надписи. Затем писать стали на
сырой глине бамбуковыми 11ли костяными па­
лочками, после чего плитку высуrm1щmи или
обжигали При надавлннанrш палочка остав­
ш111а на 1·1niнe след в R1-ще ю1ин::1, и онредсJiён-
1-1ый набоr Т<.lКИХ КJIИJ-JЪCB служил для перС/\:1-
ЧJJ того 11ЛН нноrо ПОНЯТ:ILЯ .
ло.1 nш u~ llt'flCl l Иlbl!l•IКll ддНЬ ИJ IJX8d' ll:HHUI u ( СЛ('НЩI. Р(!льеф
д~l•pu.1 r111 1d~<'pИf>,1 ~ f IИI Н'Ш1" Vll lj Д(I 11 э
Матем.:пика Лревнеrо Востока
~
c:tl~
1-ран1щ. Э10 были правила для реше11ня 1<()11
крстных задач, имеnших практическое значе­
ние. И лишь постепенно, o(ie1 11, и о ч е llь медлен­
но, задачи начади обобщаться и приобретап,
более абстрактны~:: черты .
Во II тысн челе-1 и11 ;~о 11. ::>. rюnые племена
семитпв. пришедшие с занада, стали хозяева­
ми Междуречья. 31\СС~. сложилио, две мощные
державы - Ассирия на севере (сё стол ицей
была Н1·1нен~н1) и Ван1шония на ю1·с (с1·олиц<1
Ванилон) . Шумер()<Jккадское письмо 61,uю ::!а­
имсттюнано ванило1-1янам11 и ассир11йцамн, а
также соседнпми народами - ХL'1там11 , перса­
ми н урарту (1rрею<амн армя11).
JlOLЛC арХСШЮГНЧССКИХ ИЗЫСКаl 111Й 1-1 серею1-
11е X I X в. КЛИIЮПИСllЫС ГЛИILЯIIЫ<С табллчки в
огромных колнчестnах стали пос1упат1, в Енро­
пу. Так, в 1849- 1850 rr. 13 развалинах l l и~1евии
обнаружили дворцовую бибm10тску, а в 18Я г
открыли 61 16J11ЮТСК)-' Ашmурбанип:vщ ассирий ­
ского царя, ~rраrшвшего в \ГН в. до н . э.13 Британ­
ском музее (J l oi щон) храннтсн 2U тыс. таблнчt:к
н :{ этих раскопок Все1 ·0 же в 111ире насчнтынJ­
ется ()КОЛО '500 тыс. ю1111-ютк1-1111х табличек
КАК ВОЗНИКЛА ШЕСТИЛЕСЯТЕРИЧНАЯ
СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Шестилесятеричная система счислениs~, rю-вилим(}­
му, сложилась п ри торговых сделках между двумя
древ1iими народами Месопотамии - шумерами и
аккалuами. У шумеров «де~tсж11ои сди11иuей » с11у­
жим мина - кучка серебра. Это была круп н аs~
сумма, и при продаже 11едорогих товаров ее обыч ­
нu де11и11и пополам. а каЖАую половиttу - еше на
три ча<-.ти, так что шестая ч<1сть мины широко ис­
пользовалась пр1~ расчётах. У .жкалuев в ходу была
своя монета - шеккель. При сделках между шумера­
ми и аккалuамt1 шестая часть мины приравнивалась
к 1О шеккелям, т. е. мина составляла 60 шеккелей.
В результате появил11сь з11аки лля чи сел 1, 1О,
bl), 600, 3600. Это произоШl\О окu110 5 тыl. лет
назад. З 11 аки выдавливалиеt, тупым конuом палоч­
ки дм1 письма на глиняных табм~чках. Позл11ее онн
превратились в к11инья и уголки.


26
История математики
Н Навшюrн.:ком царстnс nссми рас• 1ётами за ­
нимались шкцы, кu·1 орыt прншщлt:жали 1с
нысшему сослон1 1ю. Нередко сыновья uр,шитt­
лей и::1б11р:uш ~ту проф<:ссшо. Школа , ГJ\С uбу­
чалнсь шrсцы. называлась ~дом т::tбличекь ~пн­
сец должен уметь писа·1·ь понятно, хорошо
:~1 1э·1 ь счёт, уме-1ьмежевал_,1емт1 , [Jримирsпъ
споря~щтх», - mтсал олиn пз учстпю11 сnое ­
му друrу. Дrш таких школ прсд11а::1пачалт1сь
специальные J\1атематические ·1 абличю1. Тек ­
сты па них можно раздстпъ IJa }\na класс:.1.
·1 ·аблицы и з;щачники.
Широкое:: нрименен11е различных
1'абли1t - характернаи uсuбенност1,
в;ншло 11 скоl1 матемзтню1. Кро,...н:
таблиц умножс:ння были <:щётаб -
111щы ю1ащх1то11 llaтypam.11ыx
ч1rсел , кубов, квадrат11ых кор-
11ей (в шсспще<:ятсричных дробях) и даже таб­
mщы ЧJКt:Л ю1;~а п1
+1/ 1.Jтuбы раздtшпъ <nн:ло
т на 'ilICJIO 11, в:ш11лоня1-н.: IKL:ГNI брал11 ЧНСJ Ю
п' = 1/п, обрзтнос дели·~ ~лю, 11 ум1 юж:~лн 1п


И1м1•рf' Н'1Е'
терр11тори11
~е"'ельноr u у~Ja( 1Kd
в Умме
(МС'жлуре"!Ье)
Гли11я11 ая табл11чка .
ш1 п'. 1юэтому бъmо много та.блиц обратных
nеличин . Та кой под,\:од к делению сохраюu1сн
и в современ ной мат<::матнке. на11 р11 м t: р н
шн ебре м:при1l-
Что к:tса~ 1 сн тскстоп-з;щачннкок . с амы м
ую-1ш1тсльным оказалось ·1
·0 , что боm.шннс·1 ·ао
з;щач сноднтся к ре111 е 11ню кА :Щр:п11ы х ура1те­
нигl . Эт() 1 юразителыюс открытие 1ю:шол1.uто
от1 1ес111 ртrщстrие алгебры 11е к V в. до т1. э., как
полаrалн прежде, а к ХVШ n.110 п. э" т. е. 11а 11
веков н азад. Но об этом чугь п озже.
КАКИЕ ЗАдАЧИ
РЕШАЛИ В ВАВИЛОНЕ~
Сред и Аычиоп1тtл 1>11ых :~ад~~ч на клн 1 юnи с 1 1ых
таблн чках встречаются :~ал::~ч и н а ар1 1фмет11 -
чес 1ш е 11 геометрически~ про1 ·ресси н , ттред ­
стаrтения о которых у вавилонян были более
раэвиты, чем у египтян. М етоды решения в ос ­
но1шом ош 1ралнсь на 1щси пропорц1 юн;:urыrоfI
1авис11мосп1 и с редн с 1 ·0 арифметичес кого. Ва­
в11лонсю1с 1111с~~ы з11 :1ли нра.вшю су мм11рuв<1-
.1шя п ч1 1 ено н арифмет11чсско 1'111 ро1·рссс11и:
s·
_ п (а1+а")
'11 -
2
.
U юш1ю1111с1 1 ых текстах. содtрж:по1 11 ерные
змачп rra проценты - ведь Ваннлон стоял 11:1
пересечении то рговьrх пуrсй. и :щесь рано 110-
явнлис ь денежные з на кн и креди1 . Было у
вавштотrн 11 пр авило д;r_я 11р11 6л ижёпно го
вычислс1 111Я кв;щратных кортrсй.
Математика Лр~внего ВостокJ
~
Ell.l{]]
КАК ВАВИЛОНЯНЕ РЕШМИ
КВАЛРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Hi!. одной из клинописных табличек Janиca1-1 a такая
Задt1ча: • Множимое и м1 южитель 2; 30». Речь в 11 си
ил~т u лвух Аjа и м н о обратных всличи11ах х и у
(ху = 1), сумма которых равна 2; 10, т. е 2 +
+ 30/60 = 2,5. Таким образом, ученику для реше -
11 ия прсллагается система, кurupyю 1;1 сонременной
символике можно .:1аписать к<1к
гдеа=2,5, Ь =1.
{
Xi у= с:!,
ху=Ь,
Лалее в тексте табли чки ука3ывается, какие опе­
раuии нужно nрод~лать. чтобы получ ить ответ.
Ниже привеле но решение вавилс1нСК()ГО F1ыч11см1-
теля. Оно сопровожлается лоой 11 ым перевплом -
записью да11 11ых и опера uи й ll десян1ч ~ю и по1иuи­
он ной СУJстеме и ~с\ПИlЫО дейnвий 1:1 (Оl:!ременных
буквс1тых 0601 наче ниях:
«На O;JO умножь: 2, 5
1
а
2= 1,25
-
1; 15».
2
«1; 11 на 1i15
1,251,21 =
а
~=(~)l
-
умножь:
= 1,5625
2
1; 33, 45».
« 1 вычти отсюла: l ,S625- 1 =
(1')' -ь
О; 33, 45».
= 0,5625
" L\то на что надо \i(), '1625 =
г;--;~-
ум1 южить, чтобы
= 0,75
~(~) - /}
получить
О; В. 4Я»
r
1,25+0,75=2
1•
(<О;45к1;15
.1
")
прибав~:.:
2+v(2) - h=x
2 - множимое».
110;45от 1;15
1,25 - 0,75=
~-Д~J -/J = y
вычти: О; 30 -
= 0,5
обратное».
Очевидно, что дае тс я ре uепт для реше ния квал­
раnюrо урае11ени~1 z 1 JL + Ь = О, к которому соо­
лится с истема i•). Никаких пояснений в тексте 11е 1.
а то, что этот алгоритм н осит Оfiший характt>р, ил­
люстрируется больш им ч ислом олнотипных задач.


28
История математики
I>олыпое число зада ч снодится к ур:н111е11и­
ям ш ш системам уравпеню1 первой и второГ1
стеnе11ей. И."\': записывали без симво.1юв, в сnо ­
ей особо(r терминологии. Раз 1 ·<.шор11ым nзыком
ванююнян 61,u1 аккадский , 1 ю н науке в каче ­
стве тсрмннон они упо· 1·ре6J1 яnи 111умерошс
С'ЛОl:!а. КЭЖ/\ОС 11 3 таких СЛОR и:юбражаJЮСЬ од­
ннм знаком и потому н ьщел нлось в общем тек­
сте на фоне бoJJ ee по:зднеrо п о nроисхожде-
1rию CJIO l;OJIO ГO ГП·IСl>М:1.
Искусство ре ш ения ура1311е1шй .n.ости 1·1ю
высоко го уровня DХVШ n. .n.o н. э., u эпоху наря
Х;~ммураnи. Обычно в задачах требовалосъ
найти <>дли ну·> и « ширину» и;ш «м 11 ожимое» и
«ш-южитслr.», дnя котор1.1х были сформулиро ­
ва1-11.1 ра:шн ч ны<:: условия. Про11·знс.:дениедлины
11 ШТ!рtЛ lbl l I MCHOB::tЛOCЬ «ПJТОЩ::tДЬЮ» . в З<J,Т\ач а х,
снодящ11хся к кубическим ура rиrсн иям (а б ыл11
11 такrrс!), 1юн н1rялос1, третье 11еизnсстное -
~ 1·луб111rа », 11 nроизаедешrе nccx трёх пс:лич11н
называлось ~объёмом»
Хотя тсрмтюлогия указывает ш1 гсоме-1 ри ­
чеоюе пр ои схожлеJJие задач, для вавило11 я11
:;)ТО были прежде всего просто числа. вот по­
чему они свuбоднu складъшали дли ну с пло­
щадью 11 т п. В дрсю 1 е1 рсчсской м:lтсматике
( 11 с::щёдолгое времи 1t0сле) это1·uдt:.11ать было
нельзи.
Существовал 11 ,'\руl'Ой 1·1ш :1зщ1LJ , такжt: тр<::­
бсащвнrий разни'НLИ ангебра11•tесю11х мс:тодов. -
1 1 ео 11ределё птrые ура 1з нения (таr< 11 азыв;-11отся
ypaIJнe111 щ в которых дне нm 1более 11 е .изнест­
ны<:: nелнч~шы) Вот сам 1.1l1 древний п з наме­
нитыil приме р нео11ределёштого уравнс: пшr:
(*)
Во мнш·нх клино писных т<::кстах речь ндёт
о ре 111 е нни ЭТО\'() У\J<Н~ненин в р;.1 1\нонаньных
ЧI ю1ах (.\".у, z) - ПО:'!ДI ICC нх стми 11азы 11;\'l 'h ~ 11 н­
фа гогюны ми тройками~. lle совсем ясно, знали
B~1Jll I ЛO l IЯHC о()щне формулы CI о решt:ННЯ HJIH
пет, rщ11ако многие таю"е троfпш и"1 Сtыли нз­
nсстны, напри.мер (.), 4 , '5), (), 12, 13), (_8 . 1'), 17)
11 др. Сохра1шлась даже табл и на р::щио11алы 1ы х
~ 11 ифагоровых трое~<", 1ю ю~ю1~1 обрJзом она
быж\ получе.11а, Qnрсделёшю сказат~, нель:~я.
Древние нан1111 011я11с рассматрнвалп ещё
0,111 ю неuп ре/~t"л<.'н нuе ур:шш:·1111с :
Его paц1ю 11aJJLiHbl<.: rс111е1 111н (ll, l', /./')образуют
"l 'a 1\ 11<1. :зынас м ы е «Н:l ВИЛОНСКI IC 'l' J)OЙ К11•1.
Это урат 1е 11ие таюке пмееr 1·еометrическую
природу. Оно возшшло nри ре 1 u енип за,Т\ачи,
часто nстречающсйсн й вав ~ионских текстах:
рассечь дашrую тр:шсцию на ,1'ne рав11овели -
1ше части 11рямu 11. 11 ар~L1IЛ<::J1ыюй· uсtювюшю
( ри с 1). Ес:J1и обоз11;~чн1 ь нижнее 01.:нон:шис
буквой //, н~::рх 1 rc:c - и, а ра:1JJ,<.:ля ющую пр>1-
мую - и1, то нетрудно н1щс·1·ь, что для 1111х
В..-111илоtк1<J~ f \111fs;tнaя 1 1.•ЬМ•"•К'I.\, с.одср А-.dШdЯ rеuме 1 р11ч<:< кие
~dЛi!'llI 1~.1•1Jl\C>11 1щ и•1PM'Tll!1 Л() 11 ,_ 1\1ыдр.зт l<lд'1 1111lol)\
f><HмepurJ nuделен HJ р:tз~ 11•111ы(' ф1н уры. плошаль коюрых
Y ' IPHHI( ЛОЛ~( ·Н ВIM 't \llC 'Л ИTt,1


и будет справедливо у'рав1 reшre (**). Вавило11ю 1е
умел~ 1 паходи1ъ бескопечно много решенпй
этого ураnпення.
Они также знали, что решения ураnпений
(~) и (**) свюаны Мl'жду собой: <::СJ 1и (х, у, .z') -
корни ураш-н:н~.-01 ("), то и= .'С - у. l' = х + у,
ll' = z - корни уr:ш1-1с1-1ия (**).
Т<1ковы дuст11жсн1tЯ древних ванилою1н 11
а.~н·ебре. И.х успехи в геометрии быпи скром -
11ее и от11осш1ись в гrервую очереN, к измере-
1шю nростеfiши."Х фнгур. Наряду с тсю1 фигу­
рами, которые встреч<VIИС& н геометри ческкх
задачах еrиnтя11, - кубом, параллелепи 11едом,
11ризмой, цилиндром - вав.~.шоrtянс изучал11
некоторые правильные многоу1·олышки, сег­
мент кру1·а, усе::чён.ный конус. lkронтно. было
и з в<:стнп пр;~вило /\ЛЯ вычисленнн объё.\НI
усечi::нноС1 гrирамиды. Дrшну окружности rа с­
счит111в;~ли , утр;н-JRая J(Иаметр , т. е. для тт браш-1
з 11аче1111е 3. С тем же значением п 011реде:лял11
площад•• т<руга.
Одним из самых замечательных геомет­
рических открытий было появлс1 ше. и притом
для общего случ<щ теоремы, которую впослед­
стш1и стал11 на~1ыватh тt:оремой Пифагора.
Вщ: рт1ыс uна встречается в КJ111но11ис1-1ь~х тек­
стах кремё11 царн Хаммураш1.
***
Т:ш же как и н Древнем Египте, L~ Междуречье
математические тексты излагались д01 ·мати-
ЛРЕВНИЙ КИТАЙ
Наиболее ранние из дошедшнх до нас китай­
сю-~х мате матических текстов от н uсятсн к кон­
цуJтысячелетия т~о н.э.Во11в /Щ н о.были
1~а11исан ы математико -астро1-1ш.1ичссю1й чТрак­
тат об измерителъном шесте~ и «М<Пt'м<1тика R
дсвят11 ю1и1'ах» Поаю-rее, уже н VП 11" оба сочи-
11 ения вошли R сбарш-1к «десять ютассичесю1х
трактатов», который 11зучали в течение многих
столетий. Сборник в1<лючал и другие труды:
~трактат о морс1<ом остроне ~ Лrо Хуэя (111 п.) с
задачами на оnрсдсле1-те расстояний до r1сдо ­
СJуш1ых предметов и их размtроR; «Математи­
ческий трактат» Сунь-цзы (Ш н.), содсржа щ11й
м:.~тсмат11qеские тttблицы , арифметические и
1·еометрич:сские зад~1чи , зада чи на системы 1Lи-
Мс1тематика Лpco1 rcro Uостока
~
ElfJ®
чески. Все 11рав11щ1 были сное1·0 ро1 1а рецепта
IvlИ (дeл:ilt раз, делай два, делаfr три ) , которые
пе обсуж,щишсь. ll строго нерархичсских и ;1ес­
nотичсстшх государствах rосrюдствовал аnто ­
рнт:.~рный склад мы1111 1 сн 1tя . Учёrrым 11с nрихо­
/\илось отст<'шватъ сною 11 равоту. доказыnать
11 ст1 -1111 юс1ъ резуJ1ьтатон доно;щми разума. что.
конечно , сдерж11н<1ло развитие 11~1у1<11 .
И ·1·tм нс менее открытня, едела 1111ы е м~пс­
мат1 1 ками Межr~урсчы1, 1 юражают аюнм разма ­
хом. Ведь 11мет 11 ю з;1есь пояшшас1, пераая 1ю:т-
1J,Ио1111ая система счисления, и в rrтore тех 1 1ика
вычислений оказала<.ъ л:аже выше, чем у греков.
Здесь nn epRыe быш1 разработана алгебра ли ­
нейных и 1<n<t,"tpaп1ыx уравнений и рассмот­
рены 11ервые нсопрс11слённые уравнения, воз­
никшие из 1 ·еомстр 1rчсскпх зздач Такан тtсная
снязь гепметричесюrх з<!дач с ал 1'еброй н тео­
рией чнсел - одна 11:1 особенностей в:.~нююн­
скай матt:матию1.
Древ11ие греки н<1чпнали сван нсс1 1t:дова.ния
с тех проfiлем, кпторые занимали нан11 1ю1 rян.
Наnилонские традиции можно лроследнть n
работах Герона и Днофаrrта, а ещё лозд11ее -
у :шь-Хорсзми и других основателей ал1·ебра­
ич<::ской ш1юлы стран арабскuго Восто1<а. ll ре­
обр:1зование: матсматик11 113 совокупности
отдельных расчётов и пrавил в стройную ло-
1 · 11ческую систему, в кпторой эти nrнёмы в
правила nолучилн стрn1 ·ое пбоснова1-шс , ста­
лп 1 ·лаш1ым дwом а11т11ч 11 uL'{ учёных.
нtйных уравнений: анонимный «Математнчс­
скнй трактат пят11 ведомстн~ с задачами 11рш<­
тиче('ко1·0 со;~сржания .
Оснонны111 IJ::l)"IHЫM тру11 ом бhlJJ;J v Матс ­
матика 1~ девяти кни1·ах;.. Она nредназнач :ш:.tс1,
29


30
История "1атематики
длн всех, 1<0му трсбоватк1, м;-~тсматнческ11 с
зна11ня : 1tЛЯ :;еМJ1С1\1ерон, нпженеров , чиноRни­
ков, торго1щсн. По c111tecтRy, это сборник JJ:i 246
задач без нн<щных текстов и 11рею~эрител1,1-1 1 ,1х
разъяс11е11 ил. Каж/\Ы И ра~ ш 1:.1 чале фор,v1у111 1 ру ­
ется з~1нача. затем сопбщастсн отвtт и н сжатп1'1
формt: ук<1:11.1 н:зетсн сппсоf) реше11 ин.
АРИФМЕТИКА
С 1лубокой древ11ост11 счi.'т в Китае вели дссят­
Т«t~rи. Примерно с IV н. l\O н. э. стали счнт:пь с
помощью с11t.: 1 t 1.1альных паJючск. О11и fiыл11 в
ходу на 11ротнжени11 более 11плу1пр:о1 тыснч лс:т.
Палuчки р:.tсюrадыв<~ли 11а счётной доске, кото­
р;~я. к<1к полагают, была ра:з111 11 юиа11а 11а строки
н столfiц1)1 . ЕсJ1и как()й-то разряд н ч и сле отсу1·­
ст1юш1л. то соответствующая ячейка ос1·Jвалас1,
пустой. Т~Н< что юттайская 11умерацня с по ­
мощью счёт1 1 ых п:1лочск - дрещ 1 ей'шая иэ дсся­
т1 1 ч11 ых позици01ш ь1х систем.
I< lll в. дu н. э. уста ~ toв1mach и )Ч))'I Шt срорма
обо:щачении ч~ а сел - исро 1 'J1ифнче'ск::~я При
З~Ш.ИС\1 ч [ 1(..'Jla, СОСТОЯЩС l'О, 11апр1rмер, 1 t:~ тыснч,
ситсн . леснткпв н сдт 11-rц , сначала :за11нсыпш111
ч11с1 ю тысяч, затем 01ра1:1а 1 1лн снизу иеро 1 ·­
J 11tф , обо:та ч::tющиi1 тыся чу, чнсJю сотен, :~а
ним - нероп1иф, обозначающий сотню, число
дtсят 1юн, знак десяти и, наконец. чнсло е1~и-
111п{.
Таблицу умножения от l х 1 /{О 9 х ~) эауч11 -
в::tлн 11аизусть. Ее декламироnаm1 юш даже
распеват1 ш1 уроках . Был1 1 11 др)т 1 1с числовыс
табшщы, нклю 1 1 ~шшнс: npu1r:>Rcl\CllJ1Я кв~щра­
ток. кубов и ·~стнёртых с1 ·с11с11сй.
Лю Хvэи .
И:щав11а в l<11тat· бь1 J 111 И3Rt'стны 1tp()611
J lекотuрыс имс.1111 ;рже свон н:.1Звання . По110-
в11на 11а:~ыв:1л:tеь <,бан1' '" тpL"l'I• - ~ш:.ю б::~нл->
(•м~1J1::111 1 ю1ют111э » ) , /tве треп ~ - ~тай 6:.1111. "
(<,бо11 1,111а.я 11олпuи11а» ). ГТо:щпее пш11111Jюо, спе­
l{Тiалы юе 1 1 а 11 ме1 юв::шпе для четвёртоl1 час­
п1 - «слабая по.'!ошп~а». I lользоnалас1. п деся­
т1 I ЧIJЬJMII дробя."JИ.
При реше11нн за,11ач порой прихо/1,тmось от
мс1-11,111сго колич<.:стна 0· 1 ·н11м:1· 1 ъ большее. Так
IIO JJ В. ДО Н. Э. 1IOHВ11Jll'IC11t)T[)I11 ~aTCJ! Ы-11'!(;: ЧIIСЛ:1 .
На счётно 1~1 NJCKC 11х ныдслялr 1 t1аJ1uчкам11
T\P)'l'v1·0 цнета 11т1 фор:-.11>1 , а 1-1 руко 1 п1си -
/tру 1 ·1 1 м 1 1 чсрютам11 11; 111 косu 1\ чt:ртu1'1. 0 1р11 -
цзтет,ныс чнсл;1 1 1а:з111нал11съ «фу». а 1ЮJЮЖ11 -
тсль11ые - « чжэн». Постепен110 ч11 сла «фу» ста­
т ·~ 11 столковьш::tть как долг, недостаток.
Вщ:дение отр11цатсльных чисел и правил их
сложения 11 вычитатшя можно счнтат1, одп.им
из самых круш1ы.х uткрыт1·11-1 к 1 rтайс.кнх
учfных. В 1 ·речсскuй м · 1 ·1 ·смап 1 ке это с;tслал
/t11nфант н ссрсю1не 111 в.. и лн1111, 11 Vll н. отrнr­
цателъю,rс чнсла поя 1iюн10, 11 111 щ11йско 1l ма­
·1ематике .
АЛ ГЕБ РА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
В трактате «М:tтемат1ша в девят11 кн~rгах-> объ­
яс1шется, как извлечь квадратный н куб11че­
ски 1'i корни с помuщыо формуJ111t квадрат:~ и
куба суммы днух ч1 ю..:л. Пuсколы,~· ю1таl!скнс
м:~тсм:пию 1нсю 1счi.:'1· 11::1 доске. 11.х о юсоб 11мс-л
некотuры<.: осоt.11::111юсп 1 . Позжс: (HI был обоб­
щё11 лля случая тобо1·0 i<oprrя п 1юобщt: д;LЯ
числсн1юго реше1111.н ура1те1шя 11-\1 с 1 ·с 1 1с1111 .
Метсщ nOJ l)'ЧШJ 113 зnа11ис "тя 1 тъ-юа111," (бу1шат,­
тю - « 1 1ебео 11,111 элемент->) - так юпа!1 11,ы 060-
~шачат1 1 1ен:~nесптую вt:J1ичш 1 у. В1 10СJ 1 с::;1ствш 1
метол «тmп,-юа11 ь» р::~зш11п1 п разработ11ш 1<11 -
тайские алгебраисты Xll l-XIV нв. (В Европе н
XlX n. 011 ст;щ извсстсн ка1< мс· 1·0/\ Руффнни­
Гор11сра.)
Дпя рсшсн11.я с1н.·тсмы /1 1 шнейных уравнt.:-
1IИЙ(.'17Ht'J1знс с~1·н ЫMll 11p11Ml'1fЯJll'H Ml"I'(.)) \ «фан
LJЭH '), 1l азн~ll ШС 03HaЧ:tl'T <- НЫСГ['!<Шнаннс ЧJICCJI
1Ю l\JICTKa,\,\ » ( ra:~yмee'l'CSI, I ТЗ CЧL:T1 t0i'1 ДОС!<е) .
Этот ;щ·тu;~ 11а 1 юмш1:icr дейстшrя с матр1щ:-lМ11
II опреде.r11 IТСЛЯМП . 13 Европе 11ервыт~r ПО/\ХОД 1\
реше1 1 1r10 снстсмы линей ~ 1ых ураnr1спш"1 nстре­
'-1ается: у Леонардо IIJ 1 з at 1 ci.;01·0 (1202 r.), а Э<П ем
у Джероламо L<ардатю ( 1'5 ·15 1'. ) .


Из За/(ЗУ , от.носящихся к тсорпи ·спксл, сле­
дует }11Ом.»н уть кл:ксич<::скую задачу нз послсд­
нсfJ кнш·н « М~1·1·сматическо1·0 трактата·, Сунь­
цзы: «Имеются ВСЩJ!. ЧНСJЮ IJ X t-ICHЗll<.'CI HO. HCJ IИ
считать 1 1х 'l'f){)ЙКам11, то остаток 2; еслн счи­
тать нх ш1тё1жзм 11 , то ос1 ·аток 3: сст1 сч 11 та ть
их семёр rсзм11, то остаток 2. С1 1р :~ш и вае·1·ся :
С1\011ы<0 нещей?J) . Ины:мн слоnамп, требуетсн
11айтн чнсло, кото рое при делешш 11~1 3, <) п 7
даёт соответстnсrшо остатки 2, :1 " 2. Искомое
qпсло - 2J
Вс;сьма возмож н о, что задача более дрсвпс-
1·0 нронсхож.це1шя [1 в «Матсмат11 ку R деннти
KHl l f':IX » нс ПOШ/JI~I 1ютому, что н е IJOJ(OITTЛa Н11
к О}\1 ЮЙ теме сё rазделов. и у Сунь-цз ы задач :~
та 1ю1 п ·п 111 а - ед1111сгпст rая. Кстати , она был :~
шнрпко и:1вестна в нарrте и бла~·одарн совпа­
де1111ю нмён служила примером осоfюй муJl ­
рости n()лко1юдца Сунь-цз ы.
Общее пр~шило решения подо611ых задач
сформу11J.о1ро1:1 а1ю нс было. <.Jно nояnлието1
ШIШЬ ДС(;ЯТЬ t:ТUЛ<.;:'ГИЙ с1 1уст.н у Ц11нь Ц:но-шао
н lTO •дс1:1ят11 кюн·ах 110 математик<.:.> (X!fl н.).
Термн 11 ы, R Нсдё1-1ные 11м" заимствованы из
сада·1·<.~m,1юй терми н оло1·ии конфуц11а1 1 с кu/'1
•Кн 11 г11 перемен» (УШ-VП 1ш. 1т..о н. ?!.). R ос1 ю-
11е г~щан и я леж:1J10 11редска:1а1111<:: сульбы по
с1·еблн м ·1 · ысячел истппка, IШТ()рт.rе расю1ад ы ­
n.tлщъ произвольным об разом па отдслы1 ы с
груды. 13 р<::зультатс .ма r-rипуляцнй с этими па­
лочкам11 .и 1юз ш1к11~1 уnомяrтутая теорети ко­
ч11словая зада ча. с 1<0тороl1 Цю11, Цзю -шао
11;\ЧИIТ:tСТ Llюё COЧl'JHt'HИt'. отдавая д;шь IICO-
кoнфy циal JCTl:I~·'. (Остал 1,ные зада<ш нз теории
чисt=.11 уже н е свя:iан ы с l 'аJ(3 11.и ямн; 0 11 11 ноз­
н11к;u1 н н пс1 ю 11н ом п р11 сос_~ганлсю t 11 к~1л t11-
/Щ>СЙ .)
В Евро11с эта же ззJ.1,ача 11р111ююпся Лсонар­
f(() П11:1',mсюrм, встречаетсн н од1101I нr1:~ан·п 111-
ской рукот:rси XlV 1:1. , н н еме цких р)'1<0П1к11ых
ар ифметика." ХV в. и n русских математнческнх
рvко nнся...'\': Х\:'11 в. Общий метол: 1хщсн1ш так11х
'iадач был нно~ 1, разработ~tн Лсо нарл;ом Эйле­
ром в 17·IO t '" и K;i рлом l'ауссом в 1801 г.
ГЕОМЕТРИЯ
fс()метр11н n Древнем Китае 11 е р;1~ви11ас1, 11 са­
~юстояте)Jы tую 11 аут(у, к:ш ::>то пр он :юшло 11
Древпеif Грец11и. J3 11ерво1t юшrс «Maтc J\l a·1 111< 11
IJДCHflTll l(!IШ ':lX? Пр!tnО,r:(ЛТСЯ ОТДСJIЬНЫС правила
Ма 1ема тика Лревнего Востока
11змер<::1 rия площадей 11 рнмоу1 ·олышка, трс ­
уrолы ш1щ трапеции, кольца, круга, е1·0 сектора
и ссrмс;11т;1. 13 1ш1·uй кн..ш·с рассматрrшаются объ­
ёмы нрямого п:1раю1слс111111сда с квадратным
OCIIO\\<IHHCM. lljJ$\MЫe при :iМЫ с тр~.111\.:J~СИД~\JlЬ­
ным н тр~у1·ольным оснона1-111нм11 . п 1 1р:~м11 ;1 ы с
ква11ратн ым и ll j)Я M OYl'OJUoHЫM OCI юна 1111 НМ11 11
дру п1~ п::ометричссюrе ф 1 11ур1·,1
Co1·Jt:J с1ю <·Трактату об тrзмеритеJt ы юr-1 шес ­
те'>, тс()рсма Пнфаt·ора для ча стного случая -
nртvюу1·олыюго трсуrольшно со сторо11ами :),
..+, S - была 11звестна за 1100летдо п. э., адля
общего с; 1 уч:1я - в VT н. до н э. Доказатсл~,ство
осно1:1 ьша 1юс1, на ра:.1611с1-11111 ющдрат а. по ­
с11:юс нн ого на сумме 1<~1'/'t'TOB 11ря..,ю у 1 ·ольно1·0
ЗАЛАЧИ НА ТЕОРЕМУ ПИФАГОРА
Вот з..~дача о и з девятои кни1 и « Математ ики в девя­
ти книгах » : « Имt>ется водоем со стороной в 1 чжан
(= 1Очи). В L1ентрР его растет камыш , которыи высту ­
пает над вuдой на 1 чи . Если потянуть кам1>1ш к берt!-
1у, то он как раз кщ:нt?т< я его. СпрашивJt:тrs1: какова
глубин:э волы и какова ллина камNШ<З~» .
Если обозн<l'1ить глубину воды черезх. то по­
лучим прямоугольный треугольник, олин ка 1е1 ко­
торого епь х, второй равен 5, а гипптенуза х + 1.
По теореме Пиф:эгор:э легко вычислить, что глубина
воды составляет 12 чи, а ллина камыша - 13 ч11.
Приведем 1ад3чу 13 из той же книги: «Имеется
бамбук высспой в 1 чжан (=1 О чи) . Вершину его
соп1ули так, что она касается земли на расстu янии
3 чи от корня. Спраш11вается: какuва высо1а после
сгиба ни11? ».
Применяя к прямоугольному треугольни ку те­
орему Пифагор а, получ~1м , чтu высота бамбука
посл~ СГl'!ба11ия равна 4 11 / 2n чи.
;)l


История математики
треуголы-rиr<а, на 1юсемr, треуголы-1 ш<о 11, рав­
ных между соб()й, н на маленький 1ша11рат со
стороной, равной разности r<атетоu.
Легко заметип" что большо11 квадрат на сто­
роне а + Ь составлен из кв<1драта на стороне:: с
и четырех прлмо-утолы1ых треу 1·ш 1 ью1К.ОВ с ка­
тстамн а и Ь, а значит,
(а+ь/-=с~+2аЬ.
С другой стороны, па ::пом же чертеже нетру71-
1 ю разглядет 11 и доказательство и звестного во
нсех дрс::нних цив1-1лr1з:о11\1н1х ал 1тбраическо1·0
тождеств;:~
>
>
'
(а +Ь)-=а-+ь- +2ah,
откуда следуе-1·. ч ·r·о
с.!.= с12 + /J:!..
Этот вариант реконструrщи 1 1 докааательства
приrщцлс1ю1т известному математику Б. д Ван­
дер-Вардену. Замстнм, что существуют и друп1с::.
***
Вплоть до xrv н. математика н Китае ра:.щи-на­
лась как сис 1·сма стrоги:х праRил , предна~1-1а­
че1шых дт:r решения :~~щач по ::1рифмет1 1 ке ,
алгебре и геометрии. Китайская маr~·ем:пика
rre была изолирована от науюr Индии, Средней
Аэии, стран Блюю-1е1 о и Среднего Востока, что
подтвt:рждается сходством многи:х задач и
общностью Mt:TO/\Ofl их рt:шсния . Через =~ти
страны матсматию1 Кит:1я оказала влияние на
мзтематику среднсвско1ю 11 Еврuпы. Однако
м11оrие открытня r<итайсю 1 х учёных С1али нз­
оес~·1 1ы 11 Енроттс уже noCJ1e то r·о. как свропс~:-щы
пришли к 1111м саrvюстонтелыю.


АНТИЧНАЯ МАТЕМАТИКА
ФАЛЕС И ПЕРВЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
ПоЖ'JJtуй, }lату поя1:шс1-1ня маТС'v\атики к;1к 11:1-
~-кн МОЖШ) OTT[lL'f\CЛJITb ДОВО!IЫЮ тuчно - \! /В.
/\О н. э. На 11pn·1яже1-11111 20-30 прсдыдущ11 х
веков н;~роды ;1.pem 1е1 о Вое.тока сдел:1л11 нема­
ло о·nч1ы·1 нi1 n арнфмет111\е, 1 ·ео1\1стрm1 н эс~ро-
1юм1ш. тю сдшюi1 матем::пнчсской I1аук11 01111
нс создали. Грс1~а,·1 же это удапuс1, н те'-1ешrе
одног о с1 олепш, что ло сил пор кажется чудом.
l la полтора l"I Шlетия раньше - н ccpCi\IШe
VIJI в. до н ::i. - 1 ·рск11 ш~рсж11 J 111 насн.>ЯЩ)'Ю
ку11ь·1 урную pc.:t\OJll(ЩI llO. у HlL'\ llШIНI I JICSI сноi1
;iлt.j1:iк11·1 , 11 ю 11очанп111Л глас~ 1ыс буквы . То1 J \:J Жt'
()1,1л~1 со:ц1,а1 11.1 1юЭ\ 11,1 ~ иm1.t;lЭ » 11 <·()JJ, 11ccc}J·>
Гомеро1~ск11i1 :"llIOl 1ю. 1110111гл 11рLюб1_ц11л101 к
ку.'11.~)ре ~кем , ;\аже 11с·1 ·рамот11ым. Re,(1, ст~1х11
11струю ю RЫ'УЧПТL r1:111зус·11,. В ту же :=юnху 110: 1-
1111юп1 Олr1м111111сю1с..: игры. На них каждыс­
чстыре 1·ода встрсчат1с1, шшболсс aкт1lli1iыe 1J
11pocncщc1111h1L' 1р,tжда11с rоро;щн <Jлла,r(ы (таrс
11:1::н,111ал11 с1~с.нu рuд11ну самп r1к·ю1).
<..: ссрсд1 шы \.·11 1
11. дон. э ()ыtтро росло
ЧJJLJIO 1OpOJ \011, РСО()с1 шо Н ЗЯ ~1С JpCIOJX r<OJI0-
111 IЯЛ . R !IOHCK<!X новых 'i('~ll'}ll>. пr111 ( ЩНЪIХ ДllЯ
ССЛЬСК()!'() хu:ш\1С111::1 . CQ'l' H\I l'С•Н.:Й пcpcпpailJIЯ­
J lllCb ia мuрс 11 ССЛJJЛ11tъ 1ю н<:сму нобl'рсжью
Срсд111смщJ1 о 11 Чср11и1·0 морсt'1 - р>щом с ~н.:­
cr11ur'v111 <·нарнар~1м11 -> ~;)Jш шrы ·шакомшшсь с
кут.турnй соссд1111х 11арщtов. уч11л~1С11 у 1111х 11
сами пытат1п. уч1пr, нх. /К111е:111 горо;кюrх
респубJJ 111< - П()Л11СОI3
-
еЖС{\1 ICBI Ю Обсулщалн
па улн.Цах 11 площ~1х uce nолноваnuше 11х rю ­
просы: от Dидов 11<.1 Урожаl1 н тн.: трое1н111
uкрсс."п 1ых варnаμон до rювосте~\ пр1 шс~ёш !bL'\
'{ас:::1ж11м11 К)-пцам1r
C:-t м hl(;" 11 H 'J'(;"j)t'Cll hl(;' l l:JIН.:C l ' I ш J] р1 IXO/ (l IЛ 11 11:J
l'OCYf \<I рстн Бm 1ж11tтu Восток;~ - Ji1 11п·1 :1 н Лс­
снрш 1. ;1 ПОСЛ(:' J'HOt'Jl ll Aн.:1 tp1 1йt:KU l'(J [\'1(lCTK'1 -
1-1:-111 <щt'1111н1шс\<.:10 ш1щ~.снш1Ванн, ю11r1r111 М11 -
f(Ш1. 13 cepe!ll111e \/111. i \tJ r1 . .:1 . 1ке :о1· 111 3t'MJ111 r10-
п.1лн П()/1. власт1. nе1ков, 1щт ор1>1t' yC'l ·a1 Юti11ю1
Г1р0L11IЫЙ ~tпр в сuоей (JГf)OMIIOil !IМПср1111 .
Tcnc..:pi, м1ю111е лю6озн:пелы rыс элт.111ы 11~1 e­
J111 воз можr10ст1, бсзопас~ ro rr)- 1ешествоnать по
зсмш1м llcpc11дc1<<J1'1 державы: О/\1111 - с торго -
11ы ,,111 1l(.'Jш ч11 "~ру1 ш.: - н н.1;1;с;1у;с 11prio()1r t1111 ,ciJ
К VlyдpOC'J'IJ l'l 'flll IЯH 11 11aН1IJ l()l-OIH


31
Иt тория матем.пики
<J);iл er 1равюрu
Hd \1!>ЛИ XVlll 8
Вср 1 1уrтпкь /\омо1\ такпй 11у·1·е111ес"п~еr 1 1п11<
Rcerл;a rю:~буждал Ж111юf' J1ю601щтст1ю соrраж­
,rщн. Но не JIO 11сём ему nсрили 11а слово. ll<1 -
п рш•1ер. от1 rоnорил, будто n ёпште стоят
рукопюрl!Ыt' ХШJМЫ llЗ K<IJ\!JIЯ rробIIИЦЫ
.Щ->t:Нl-HIX царсl1 - BbKOTOIJ в 20() 1/JШ 5UU лuк­
тсй. 1lсужt:ш1 011 сам 1вмсрил 11х выt:uту? К;:~­
ю1м пбра:юм' Пус1ъ :щкажст, что его слова -
нра1ща! И сщё: он ска:.щл, •1то мудрые t:Г1tптя11с
)":VICJOT nrt:,JJ.CKa:'la'l'I_, срок будуЩС l 'О ЗaTMl' I HIH
Лу11ы 11111 1Спm щ::~. Пус1ъ пбъяс111 п. как от t11 этn
лелатот! И 1шгда мы у111щ11м nчере,11,1юе затмс-
1ше 13 нашем 1·ородс'
Ви,1п1мо. перnым нз rреков. кто научнлся
убсднтслыю отвечать на подобные вопросы,
был Фалес .Милетский.
Фалсс (OKOJIO 625 - OKOJlO 5·17 до н. э.)
роюшсн и вырос н 1uрсщс М 11лt:те (л.rенней.шем
1·речес ком цснтрt 1~ Мащ)i1А:шн),1~оэтш.1у его
и на:.ihrнают Фалесом М 1 шетским. На собстнен-
1 юм корабле. rружённuм l'речсскнм11 ·1оаара ­
мн, Фалес плавал по Сре;~иземном:у моrю Осо ­
бе нпо удачно он нё.11 торгrmлю плиnковым
маслом, чем нажил огромное состшшие. Бы­
вал Фалсс в Епштс, Ассирии, l3aвrrлo 11e. где по­
знакомился с м атематикой и астро rтомисй .
Именно этим наукам он посnя щал с 1юё сво­
бодное время. Кроме того, он был философом.
:-iакон одэтелем. Е1 ·0 считают псрRым 11 ~~ семи
Rсликих мудрецон древности - оснонателей
греческой 1<у11ьтур 1,1 н науки.
R ')8'5 г. тr.о п. з. Фалсс пре.дсказ::~л сол11еч1юе
затмение. В то nре.мя шла 1юй 1 щ 11, 1щг1~а npek
сказание сбылось ( <·11.ет-11) преврап 1лся в ночь",
по словам исто рю<а Геродота) , воины в страхе
поброса.'ти оружие 11 ра:.iбсжал1къ . Затмt.:111 1 е
быдо раl'цснснu как 11μ~:1~знамснu11анис, и
11u 1·11 щ прскр:1т11л:1<.'h
J !о ttl' астро1юм11>1. а матсм<iтнка ст;uш лю-
611мым эа1~нтнсм Фалtса . ()н 6ыJ 1 11ер111,1м. кто
1тач;111 дока. J ы 11ат11 11екс1л >рые 1 ·еометр1.1ческнс
1 1 ре;tл()же1тя, ЧП) прсnраттшо rt:o:v1eтp1rю
11з свода практпческк'( праиил в nодт11-1ную
11а~1~·.
J\110:,ю то СIЩЛЬЮ) угодно ра:{ убсжда'lЪСЯ П)тём
нзмсрсн~J!"t, ч•1·u J(H:t 1н.:рт11~.:а ; 1 ы-1 ых у1·ла раш1ы
межлу собоl1 . I::сш 1 OJ\I rн 11:-i ш 1 х со;~ерж11т 60°.
то н ,i1py1лi'J 't'C >Же. CCJ\11 н OДl-IOM 12° )О', то 11 н
другом стшр-.кu жс, 11 т. J\. Но 1щру1· /J.JIH очень
малсны;11х углт1, которые ·1 ·руд1ю 11змер11тъ .
:'JTO 1 1 е- т;:~к? 0 ;11 rако ~м():1р1пелыюе рассужлс-
11не - nьшод (шш , как "чы те11ср1~ 1·01юр11:v1 .
до1сазате.11ьсшо) позJJОJJЯет у11зсрждат1,, что этот
фак1 верен веста и щ1я всех утлов.
J<аю1м же обра~юм проводнл Фалсс l'BOII
док;t:iатеды:тиа~ Д.нл ::Jтo!t цслн он 1 1 c1ю11hJOВ:.l.'l
~движ<.::111 1 н". Есл 1 1 J(BC ф111 ·уры ПJчни со1:1мtт­
тятся дру1· с друго.'\1 rюсрс.;дсттюм /\НТ 1жс1тт1я, то
:-'JTII фill~'PЫ 0/\1!1-\aIOШl>I, рав11ы
Иrvt<.::1-JJJO таю1~1 П)~l't'l1 Ф:~лес дnк:~зал rя,1
псрнт.1 х ·1спрем 1·еоме-1·р1111 . F.cm 1 п;юскос1ъ по­
вер11у1·1, как тнёрдое 1~елое 1юкруг 11ското1ю!1
точrо1 О па пол-оборота (lHO"), го луч ОА
nере 1'щё·1 n его продолжсrmс UC. J ! о тогда ясно.
что стороны од1ю 1 ·0 и~i двух вt:ртllкальных
углов как раз перейдут в стороны друсоl'О. т. е.
:1ти два у1 ·;ш соимесштся Знач11т. вср·1нк;uтыrыс
уты раины ( рнс. 1) . ' l't:\1 ж<: с1 юсобом Фалс:с
нuка:з;ш , что днамстр дt.::.111п кrу1' попuлам, т. с:.
дна полукруга р:.шн 1 ,1 м~жлу co()ofi.
Ko 1 1eчJJO. те 1 1ер1,, 1.:ог/(а с ге()метрпет1 знаком
каждый шко11п1 1 1 1 к, кажется-. ЧТ() nсё это абсо­
лтот1rо очсRrrд1ю. Однако до Фалеса доказа ­
тельств просто не сущеспю1:шю! Точно так же
ИЫI'JIЯДl!Т совершенно еСТССТJ3СШIЫМ, ЧТО гон­
чар делает ~.;руглый сосуд, пользуясь нращаю-
в
Р1к. 1.
Рис. 2.


щ11\1t :.1 ~ 1om11\01-1 . Но человек, котоμый первым
llj)ll1I\ м.1.1 .но, 111 l t: IКЯЮ IX сом1-1енпt 1, CUBl'f)IllHJI
1e1111,1JIЫIOl' ОП<рып 1 е.
Ф.1лсс д<жаз,ш раnе1ктво упюn 1tp11 ос 1юна-
111 r11 ращ юбt:дрс11нuго трс}толы-шка. А р~1ссуж­
;1ал 011 так ра1шобс;~рс11н1,u'1 •1рсу1·олы111к c 11м ­
ML"1pir< Jl'l I OTH ()l'J ITCJI 1>1-1 0 (1 11е:сект рт1сы y 1·11:J 11р11
н1.:р111н1н.:, а з11:1чит, 11рн псре1·ибан1111 чсртt'жа
rro Ci1ю:t 1\'I рщт у 1·лы 11ри оснон:111ии сон п~щут
(!HI( 2)
< >н ) ст:11ю 1 111л 11 оюm 11 з прпзн~шоu ра
11с1н 111.1 1 ·рс::у 1 ·ол1 .11шюn: еслл ,тша треуголыпша
11ж·ют р.1n11ую сторону и дна раrшых )Тл~1 . np11 -
.1e1Jющ1 1х 1\ э·1 0 11 стороне ( рнс -~). то эт1 1 трс­
~тuлы шю 1 p .tl!l!(,I , l lo пр~д<ШИЮ, он 11p1tMCllH.'t
А11т11чн.::~я мaтe.vtd r11ка
ПОI Щ/11.111.11', чтобы oпpe;\C!lllTb p:IClTOffill lC ДО
IIO\X\\)JLЯ !} море
11 )' 11. 1'0 JIC'll IO. llЗДО ОТ\\СТI!ТЬ ТО yTRt'pЛ\,.'ll­
IIJIC. r.:uтopoc мы 11 сеl1ч.1с н:1зын;1см 1 1..·orc.\щi1
Ф.1:1сс:1 t.:C.'111 н.1 п, 1нu i1 <. юроне ~т;1а от.1t)Ж111ъ
р:1нньн: 01·1к·~ю1 :1 3:tтсч Чl'рсз концы эт11:s от­
рс ih:OH llj)OHl'< · 1
·11
ll:IJ>:ill!JC. lhfll>IC 11ря .\J ЫС, J u 11:1
нторо1·1 е1оронс)1 ла 1 1р11 псресечс111 111 с эт11'111
11p:.1~11>\\\ll \<'\КЖt: обра:~ую 1 ся fЩШIЪIС '\1eiK,\Y (0-
f)()JI отрt":Н\11 ( р11с -4) KaI< ;щказыnал теорему
Ф.tлt>с, мшыю толыю дога;1ыnаться. l \ o- nr1д11 -
J\I0~1)', oir 11 здес1. 1юль:.юва11ся тем же 11р11:та-
1,ом r:ше11C1'13:l ·1рl'угол h l uшо н.
"'...*
Т:1ю1м 06р;1 .юм, Ф;шl'с 111х: 11ратш1 J\{lCIНllOIO 11
снящсr 11 ry10учСностr,нr1р1.:;1мет с 11оро н и ;~ока
"1:1·1·с111,(."1'н l /скушё11 н 1,1е li с 11nр·пнн~ ы х сос1 ж·~а ·
111\Н ~ 1j)tКll щ· .1нал11 ; 1ото 1'1 П()j)Т>! СЛОЖ IIЫХ 1111 ·
1е-л, 1 t.:ктуалы11.1 '\ 11гр 11ро11е ш:~х,1ат С лёгrюf1
р) ю1 Фалес<I гс()метрня оказалась 1 1ервоt1 та
1,ой 1н·роf1. Вскоре он~1 ста.1а почl"7пым за11.и­
n1с;\1, 1<ак бы 11:н.1.1 ю11аnьным I:ШДv\t спорта -


-~
В".Lf!J
История математики
нараnне с ттолитико\1 или Ол~тмпнйск11м 11 ю·­
рэмr~. В геометрии rтояш111ись мастера. кото­
рые nрсвзошлн Фалеса н па'-rали открьшатъ
такие математические истнны. ~юторые даж:е
нс сrщтtсь их прсдшест.вснш 1 кам .
ПИФАГОР И ЕГО ШКОЛА
Be;i 1.1ю1l1 дрс111 1 е 1т>еческ111-1 учё11ыГ1 Пнфагор
ролнлся 11а ое1poneСамое АVI в до 11. э. В ~ю­
:юдОLl'И побыnал в Еrиnте, где yчи.rrcJ1 у жре ­
цов. Говорят, что ori был допущен в сокровен­
ные свяпrт1ща Пгнnта, посстнл халдеnсюrх
мудре 1 tов 11 псрсJJ,1\СТШХ магов, Ок01ю 5:$0 г
до 11. э. Пифагор пcpcexa.rr н l<рото н
-
r-речс­
скую ко1юmnо н LОжно 1i Итал1tи , 1'дс основал
так 11азь111асмыli п11ф;11·ореltекнl1 сою:з (шн1
крптонскос братство). В сферу 11 1-11еrн.~со н
чле 1 юв сою:-1а нхо11нл1-1 на~rч1 1 ые исследонапня,
рел 11 г r юзпо-философсю1е иска 11ия, 1юлит11 -
ческа~J деятелыюС'1 1,. Онн вели суровьп1 образ
П>~фагор
1 f'•IRk•p.1
11~ п~r~1нно11
•11•11и
В 1юt~1· иже 1 L1-111 Вселсююл чt'rез математи­
ку п1·ром 1-1 1.1i1 ша 1· нпсрёд сделзл Пнфа 1'ор. 011
первым ;i;:~меп1 л, ЧТ<) с 11ла п tдн1 1 ст1~0 1rаую 1 ос ­
нова н ы 11а работе с идеалыrымн объе1стам11
llanpимep, прямая линня - это пе тетнва на­
тянутого лука 11 нс луч cIЗera: осдь они имеют
11сбuлыную ю11щпну, а т1ния тuл щиr 1ы не пмс:­
ет. То же относитсн к 1·сомстр 11 чеошй 1 1 1юско­
стт 1 и nоверхнос11 1 волы н споко 1'i1ю.\11 о::н.:рс
илн к ч 11слу '1 [1 пят11 пальцам на руке. Илсаль-
1 1 ые nбъскты (буд1. Т() чнслз 11лн ф1 пуры) встре­
чаются тоm, rю н r.1 атема ·п 1чсском рассужд<::ни1 1
И только /~ля них верны строгие 11ауч11ые выrю ­
ды! Поэтому мзтемат1 1 1<а 5Шлястсn как бы «вто­
рым зрением" человека : она открывает раэуму
идеальн ы е объеk"'ГЫ, 1огд:~ как обычные чувства
1'оворт· нам и своikтв;1х прпролных тел.
ж11:~ни , rrревыше nct1'('> 11сш 1m 1са мообл:цщ11 rre .
смелос 1 ъ и коллектниную лr 1 сц ш 1Jппту. Ппфа ­
rорейцы жилн вместе, у 11нх было со~месгно\
Нi\1)'Щес1 во, и даже сван открытия онн счита ­
;т общим достолш1е.,1 .
Дся'1·сльнос1 ь сою3а была u.кружс.на тайной,
rюэтому ннк~1х т<:кстut1 от раш-111х 11ифаrо­
ре 1!1\ен нс остшюсь. Крощ.· ·1or·o, 110 TJ1:.lД\11(l t H.
0 1111 вес открыт 1 1н r1рн1111 <.: 1,111ат1 П1 1фдгору, ()
котором уже 11р11 ж113н11 XO/(llJНI 11е 1 ·ен!(ы. Кто
на самом деж: я 11; 1 нстс я автором тп1·0 1111и тю­
гп реэул~,п1та, пеи:ше ст1ю.
Пифзгорей~1ы 11азывал 1 1 собстnс111 1 ые исс.11е­
~ова.~111я <· математ;н, ч·1 о 0:1пачаст <- Ш1ую 1», 1.1
делилп 11х на четыре части : арпфметику. rео­
метршо, ::1строноыню 11 гармоншо (уче1 шс и
музыке). Гл;:~вrюй сч11л1л:1сь ар 1 1фметшс.1 -
наук:~ о ч 1 1сш1х. 11менно 011а т:ж;и 1 а 11основе11
1·еомстр1r11, н ;,~стрт-юм 1111 , 11 1'аrмо111111.
АРИ ФМЕТИКА
Ilнфа('()рей11ы nредсташ1ялн ~1 1 1 сла как сово­
~-..-у111 юстн точек образующих н:ометрнчсс 1ш~
копфш·) ращ11 1 - r1Jподоб 1н: р~JСутrка из 1<а­
\rсшкоn па зс,,тс. Т;,~ю1111 обр:1зо11·1 . 110д LШС ­
ло.ч ОIШ I IOJ(p:!З\'\11t.: Ha.'llr f,\.UНJЖ<.:CTHO t.:ДllJ-11\Ц'>
(1/1(!•1 . "-ар 1 ттмt)с.») 11 11r11 ~>нан:11111 тол ы<о J(C..'lnte


Ф11гурнt.1f' •ои< Лd . 1рруruл 1,~1ые, квадратные.
nрямоу1 ольныt:. пятиугольные.
tюложительпые (т. е. 1tатурады1ыt:) числа.
разделяя их на чётпые и нечёт11ые. (ILозже
I1'1ато11 говорил, trтo арифмепша есть учение
о чётнuм и нечётпом.)
П11фа1·орейцы доказали псрn-у10 теорему те­
ори 11 rtелимост и: 1tроизв1:дение двух чисел
чi:'THOTO l '[J.<11 1 Т'ОЛЫ<U'l'О!Ла, КОt'Да чётнопо кр:.~й­
ней чср<.: одно 11з ннх_ О11н постаннлн такжt"
задачу п r1ахожденн11 совершенных чисеJ1, т. t:.
члсел , ран~ rы х сумме своих 11<:.л 11т<.:л е1~1 (см
с1·атыо «Соверш енн ые и дружестне111 1ь1t: чисжн).
Ед11ю1щ1 с читалас ь педслимоr1, у 1 1 её 1te быпо
~доле11» . Uместо этого rrифагоре1'п1ы расс~1атрн ­
валн ОТI10шс1шя (т. е. про порции ) целых <rnccл.
1{ пр11мсру, они мопш сказать, что 2 точно так
относится к 3. как ' ' к 6. Говоря современным
языком. 0 111-1 построи ли теор ию раци о 11аm,нf,1х
чисел как теорию пар. Её и зложе ние дошло до
1-1ас в «Началах? Евюв1;~~1 (111 в. до н. э.).
ГЕОМЕТРИЯ
Остаётся 1Lеизuестным, сколько и ю1ю 1е имен-
110 аксиомы положили ранние пифагорс~щы n
ос нову свосl1 геомеrрип, 110 nce ою1 относи­
лись к ш1;,~1-1нм е 1 рин 11рямоли нейпых ф11tур.
Изуча 1шс1> свu й стн а трtугольн111<ов, прям о­
у1·u11ьнико1:1. нараллелuграммuн 11 дру1·их шюt­
кнх ф111'ур, сравниналнсь 11х шю11(:J)\I1 . Пен ч~uю
их 01с:тему зю1нv~i1 докззательст1ю з 11ам1::нитоl1
l'еорсмы П11фа1·ора, котор<UJ до этш·о 6ы11а 11.J-
вест11а лишь как факт для некоторых: частных
случаеn. Трудно переоцеIJ итт, з11аче 11не тео­
ремы Пнфагора (см. статью «Тr>еуголъник, nро­
стеl1шш·1 и 11 сисчерпаемый» ). J::ё обобщение
и сспщня лежит в основе определения: всех
ме1 р 11ч есю-1 х 1 1ростра11ств.
Мож.но утверж;1~1ть. что и в стерсометрнн
nифа 1·орс:1lцы дuсп11 ·m1 .ш:Jчнтелы-1ы х успехов.
По сtнще1 t'ЛhСтву грсчсскот нстори ка и фн­
лософа 'i/ н. П рrжл~1 . нмt:нно uн11 Л()стr1)ю1н
ш1·1ъ правилыrых м1юсо 1ранннков: тетраэдр,
Анти1.1ная матем;ника
куб, оr<та эдр, дсщекаэ1~р, 1 1 косаэдр (см. стат1.ю
"Мrюгогра1 шию1" ). Правда , м1 юп1с соuремен ­
ны е исследователи сч.итают, что ll11фa1·opy
бьuш и:шестны ли1m, куб, тетраэдр 11 додекаэдр.
а uктаЭ/\Р 11 11косаэдр открыл Тсэт(;т Афш-кю1й
(IV в. до 11. э.) , таю1нтливы l1 уч е ник пифаго­
рейца Феодора К11ре1 1 ско 1'0 н Плато 1 1:1.
АСТРОНОМИЯ И ГАРМОНИЯ
Пифагорейцы считали. что Зс~шя имеет форму
шара и наход 1 пся в центре Вселенной: ведь нет
нн ка.ю...L'\: оснований, чтобы uна бьmа смещена
и л н R ы'шнуrа .в ка1<ую-то о;сну сторону. Сотщс
же.Лу11;1и11нтh11J1анет (Меркурий , Нснсра. Марс,
Юпитер и Сат~'{J н ) днажутся 1юкр ~т Земли Рж·­
стuн11ия от них до нашей rJ.1Ja11eты таковы , что
т1и как бы состаяляют ссмне1·р}'11r 1 ую <1рфу, 11
при их дR и же 11ш1 11озн 11к ает прекрасна я му­
зыка - музыка сфер. Оf>ыч но люд11 нс слышат
её из-за суеты жиз1-m, и лшuь после смерти не­
которы е из !Jl[X смогут шклаюпъся ею. А Пи­
фа1·ор слыш;ш се и прн жизни.
llифilrop l му.1ыкальнuй шкмой. <'Ppr11 м~'н1 фpf't ~11 Р,1фнл11
• AфliH(KJll IJJKOЛ,1 •. l'i 11 Г.


Истор~1я математики
ТЕЭТЕТ
Теэтет, молодой афинский матl:'­
матик, имел 11еобык~юве~111ые спо­
собности и при лом был ве<.ьм..~
скромен 11 лружелюfiен. Великий
философ Сократ говорил, что Те
этет несо1V1нснно прослuвится , ко­
гд;:~ достигн ет возмужания. Н о его
жизнь оборвалась рано. В 369 1.
дон. э. ТсэтС'т был смертель110 ра­
не11 на поле брани под Коринфом.
Умираюшеr о героя 11риое.ми в Афи­
ны и пели хвалебный г имн о том,
как храбро он бился в сражении.
Несмотря rtJ 11едоl\rую жиз11ь,
Теэтет оставил глубокий Сl\ед в
науке. Он развиА учение о «Соиз­
меримости• и лал •\ОказатеАьст1ю
тстра:Jдр и лолека:>Лр) бым1 изу­
чены nифаrорейuам11, а два послел­
~1их (октюлр 11 11косаэлр), nо-вили­
мому, OtKpьtA Т~.:нет.
ирраuиональности чисел ~2, , 3
и других, причём как в алгt>браи­
ческой, так и в геометрическои
форме. Это былu совсршен~ю но­
вое направление в математике.
Теэтету при1~амежит и зас-луга
завершения учения о правильных
мноrогранниках. Их на3ывакл- так­
же nАатnновым11 телами , хотя их
открыл не Платон. Три ю них (куб,
Стро11 арфы доmксн был подчиняться 3ако-
11а.\1 арШj)~1('1 ИК.И. в чаСТН()СТИ. к~к ()ОНар~жи­
JШ п11фа 1 ·орейцы, так1tе муз1,1ка111,н1,н: нн·1 ·ср­
н::u1ы , как 01<1"-lв:-1 , ю1и 1 1'1";.i и кв;1 рта . соnтнетствуют
:знучанню 11::irы од1111~1 ковn 11атяr1 утых струн ,
д;111нh1 кот()рых находятся в отношен11и 1 • 2,
2:.~н3. ..J.
Rce :<1тн от!\рытш1 н привели rn1фarnpefщcв
к ·11f{ee о том, что «Rсё есп, ч~ 1сло», т. с. :1аковы
прнроды - не что шюе , как закон ы целых
чисел 11 их отношений.
ОТКРЫТИЕ ИРРАUИОНАЛЬНОСТИ
Кпачале пифагоrейцы пол:11 ·а1ш. что отноше­
ш 1я л юбых физнчсских 1JЛJ1 гсомстр11чсск11х
lleJlllЧl!ll МОЖJ 10 1З!~!ра:з11·1ъ ()'f'IIOШCliШ:l."11-111е,1 1ых
ч11сел. в ЧаС"ПЮСТl f. ШПI CЧIITЗЛII, что nce от­
резки сонзмеrr 1 мы, т. е. 1с1коnы бы шr бьuш два
отрс:зка .1В и CD. <...-ущестnует такой отрезок е.
который целое ч11СJю раз укнадьшаетсн каr< по
длиr 1 е А О, так и по длине CD, а ЗIJачит, rсомст­
р11ю можно свести к арифметике.
Однако uскоре ш1фагорейцы сдеш1J11I oт­
K(JhLT11c, которое перевернуло все и.х взгляды:
он 11 жжазали, что отr rошспис ,r1rтa гонат r к сто­
р(!Не к1:1адрата нельзя выра::н-п ь от1rошенпем
l\CЛhl'< чисе ; 1.
П<х1же fi1,uш 11а1~ще11ы н J(pyr' 11e несои :з."1ери­
мыс отрсэю1. R сщстноrтп , Ф<:одuр Ю1рснсктri1
обш1ружнл, что сторон 1,1 кн:щратон с пm 1щадя­
мн :), '),6, 7 ,R, 1О, 11, 12. 1~. 1-t, 1 '>11естrзмеримы
со сторо1юй ед11 1 111ч1юrо кв:щрат:-1 Л Te:::i-reт
/\Ol<(IJaл, что если nлоща71ъ кналрата выражается
любым целы.ч 1Iекnадрат11ым чнСJЮ!'-'1 N , то сто­
рон а е1'0 1 тссои~1мсрн:ма с с,г1иrпще11. Нны~1и
слона~1и, было усr:шовлепо: сели .'V Фа;, то \ ~ \ i
нс 1:1ыр:::t;.к:н:тс.н ннкаю1м р:ш,1 ·юнат, 1 1h1 ,\1 ч 1 1с­
лом - он ирр:щ1ю11~uтс11 (см сгатыо «Ирf1:1t\1ю-
11 алы1ые ч1 ~ела ~).
И тогда нре111 1 е1 ·речесю1е м 1 .1сл1 rтел11 .1:11<.• rю­
чнш1, что ар11фмет11к;:~ 11~ может служ11 1 1, ос1 ю ­
uoil для ~·еометри11. Геометр1 1ч есю1с 1iem 1ч и1 11.1,
решилн ош1 , 11меют более общую прнроду. че.ч
ч1rсла и 1rx отrюшешш. Jначит, в основу мате­
мат11ю·1 следует полож11т1, rеоУ1стр1по!
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ПОНЯТИЕ БЕСКОНЕЧНОСТИ
Геометрическое облачеш rе придало м:пемати­
ке 11еобыююuе1шую красоту и ~101юш111юсть.
У•1ение о решени:и уравтrениН ла п сама ариф­
Уlетика приобрели rсоыстричсскую фор :му
Именно .!еамет/mЧl'СJШй tl.llгuбjюй назьшасм
мы теперь 1 у ч;:rс1ъ а11п1ч1 юf1 математ11ки. 1<() -
торан затптмалась нсч11слсrшем отрt:эков н
площадей.
Осrювы этой 11ауJ<и был11 изJ1оже11ы е «На­
ча11ах" ~ню1 н1щ. Там рассматр1111аются uтре:жи


и опрt.:Дl'ШlЮТСЯ арнф.Мt'ТIТЧССЮll' ()ПСр<ЩШ!
шщ 1111м11. 1-lанрнмср, f\t1a uтр<.:::Н<:t складышuш,
11р11станляя 0;(111-1 к 1\rугuму, кы<1итал11 , у611рая
11:~ 60Л11!1Il'J'O ОТ[)l'З Ка Ч:1С'l1>, р:1rшую J\•\C!IЫJICMY.
ПрО11зве;(е111 r ем f(вух отрс:.~ков Н d:lЫВ<!лся пo­
crpocrn rr.rlr 1rэ 1шх прямоуr·олыпrк, трёх отре1-
1шв - пpm.юyroJf ы 1ый параллеж:mmсrr,.
Разумееrся, rrc 11~re110 смысла rоворитr:, о сло­
же1111н пря ,'>Ю)ТОm,rтию1 11 отре1к::1. Поэтому пс-
1 шслс:шrс. оrrрсделёнrюс 11 1 ·ео.~v1с трнчсской
t.tJJ r'cбpl'. бьuю ктупе нчаты.м». Псрн~·ю с-rупL'нь
(."О<."J'а кюшн u· 1·рсзк~ 1, вторую - 11лощ: 1;tн, тр<.:­
·r ыu - с >бъ<:м ы . О 11po11.3f\tJLl' HIНI ч:<:"t' h1pi:'x 11
fiOJICl' отрезков речи нс шло, BCJL I> НСКО:З\·ЮЖJ 1О
11рс,~сгаn~пь r\m 1ypy, имеющую более трi.'х 11~­
щ:рс1111й. И11стrумс1 1 тзмн, с 1юм о 1ц1>Ю 1ш·1·ор1,1х
р:1:1рсшалос1, 11 ро/\tдьrвать rюс.:троt'11ия n rсоJ1.1 е1 ·­
рнческой :lЛГсбрс, стат~ ц нрку.тл, 11 J 111ш:·йкd.
J3 первом же предложении ~порой юшги
• llачал·) даrто гео.четрнчсское дока3~1 тсл1,спю
распрсJ1ел 1 пслыюr ·о (,1.1,истrнбут1·1нно1·0) :за ­
кона умножения: L:сл11 11 рнмоу1·ш11>1-1 1 1к 1 ю­
стросн 1-1:i отрсзках а 11 /) ( рнс. 1) 11 ()/tн r1 и::~
н11Л, скажtм а, р:1Ссечёr 1 на час 1·11 а= а, + а~+
+...+UmТО
r1!1=(а,+а2+...+С111)Ь= t11h+tl2IJ+...+Cl,/J.
Перехоf( к гепметр11L1tскому языку по:шолнл
uперJЗые л.ою:tзать 11 некоторые алгебра~ 1чесю1с
тождества, н:шримср в~см 1!зnссп-1~10,форr-1улу
КR:~лрата суммы (а+ /J) " =а · 1- 2a/J + ь- (рве. 2).
Oi.i~m щно, что п:юща;\h квадрата, 11остросн ­
нот 11а ,~, орсн-1с а -1 fJ. склщ\ы нас-1 сн 11 :~ шющ:t­
дс~'1 ;~ 1~ух кв:~др:П(Jll ( 11:1 сторо 11 с: п 11 e1·opo11t: !?),
:J таюкt ,'\Н~'Х 11p>H•I0Yl'OЛЫlllK(JK, llOL'l'J10l'llHЫX
11:1 11их. Пр11 чём спраnеюн11юсrь тожцеС'nsа
;о·:шовлепа rr,11н нюбых а п Ь 11ез:1вист1мо о 1· 11х
ко111<ретных ГКЛllЧ[Нl и ОТ того. COllЗMtpIIMЫ
01111 нт r нет.
З:иачи. экшшалептные ю~адратным ~1Jанш:­
шrям , ·~·шоке: полvчпJ111 1 ·еоыстрпчt'скую форму
(/
аЬ
/)
/1 аЬ
(. /11
Ри~. 1.
f't1L. 2 .
Античная Mcl 1· ~матик;1
11
~:)!X'll"" "
1fi1mtl11ш1 J~ro No1!• dladqti <:< ('IJ(ID ""'•нлшn
1npf.i fi r:t'qt1U cntl)u;,\ (1.tiUCfiJ (ltJJdt \Nufu\I~' ir.co .
ФЭ1~ Lн1а,а.ь.01111 1а 111.0.с.-:.1.tl~.d b.Ot.QI;' .'йо~ q;,f11q ~i
tl'lt fiX W·~a.b.111(cqot11 <:1.с .ь.f.t\\llii (l'\ lн-1qD'fщ11t (~ Фr11101
11:11 \11:11Пti!t~q; tжr;n1m p;iп1>11n qб va~:i111 PQ.tdx!.olk1w- .c .s ., ,{t.b (qщJ.1
11J11ur.:1.c.t' b .f .6!111tcrlu111<JtUf,t <~tn.;.a;.b.(tl.fQ3 p p:..:1mfT.amqь М <т«t/ •
ftit.l.•111 tot111n.a.ь.щuб"qD(u q.~1"11.k .11.1 ur1•11CCJ \;t6t.•.t.иq1 tr.k .1 о.Ь .
1щJ6f1н~шшict.<1.ti 1p('C.-'6(J.,k .юo111111\ir<N ~.h qg.11u~-a.b &n011111'8'
ст1d qr.k . t .. alt .IUt t'\4U3'o.~pJt« \\':1;dr( pюpo(11n1t1.
1J:>:"P"fino ".
fo<r1tt111C'a tn t'IЩl~'Wt'1!0tU11~ 1Jlt1~ qt\fitiq: ~rшu t~
001Mlt<'tntn .rrё cquit <Тltb~q<~C<Jmt dnld< p:lr
1·
1 111ulrt.wш.
°1P':"poMto · - 4
Э fi.it}lf f&llt"ll~tf} VШI~ blfUC'ltOll11tlud Q"l:t:tlDCПI ron°i
c1p(J f1r-.c:quu i: Ь1очcr i)C("m\1muJq; rt!Gl l~tpl:\ f11tc.
r1"1al1tт;s btt! JE.-1~('( ma111fclt Uf q, i ot 4'ft 'i .1tl) \1u' IDQ
rk1roQIHtG t1Шf11(1('Т ft\\\(~rncdi.11 (ш1t SПlbC quзdr>atC'.
([!:';t111<11"'J.Jl,b.t1rP1''11i ·1.ai.c~.b.t toltoq•ф11drtl11n1 rmuз
11.Ь. щrJ1t1 a!~J.Юu", qa1'!:.Jtц_'r OU4n11nli11car1nn .a.t. r.~.(.oor10 а~ q.6
f.r r:tronu • 1 11J:н-а.;: 1.11..it1л-Jш:r,,.lmoo111'°Jt~dt.ttьn1 ,11'"~' ~orr~:11шm f11q\
c.d.b.c.qtl3dn1U l1n<(.,t Ь,tщ ad&1 1r,sJn1 s;1101 11мi(~·o"id1i at1tt1i ь1r..tt1116 1111((
!i.ft11.UGf'i).ti С. q~Г:ш1111 Ьосщ6,i11qu.Юшо «fСПр!О p:Ch!ll.чam Cl!lfl'IClrU
ь..<t•..:а 1'-U llC ll),] , cd11(11111pc:rpc11da..1i11r<m (1)~Jttkmr1 . a ь.i;i11Cf1.l.\'J .k ."p'1 t .k
-r~IJ.mCml b.J! . , . i-. dut3nt ffq)qi10 roomjr1111нnuroJ.'t't,J p11ntto.f r:oФltJn
{.~.('-11JtJ1 11Jnrc(11\.(.: .с ь.qui.f.t:i.<.Ь.11' r:od1Jt'3n' f:rq)quo tcntmтjrt рй-:rо
5.~r:od1Nj.t,d.'1iu~J h.- : : .i:.d. ffq;od k.frq;шaooolзttl'\1 ,d.(л.c.b m•1•
~~.d.r~Ь.fi111rcqnai1.1~dUfJ>CY.s p:u111 сн10 aiis!Ja.(.d.ь. 't.t.~.d.щ1itcs:-: qt
0.t1s1il1~.r.dt rмu~ <nt ~.~:..р:нn1 flctqj щr:m1-J1tto.!rL'l'ft, .f~dc 143rk псr1
~u~:qiз11:;u!o:ai.t .d.ь.-:..c.ь.-J cщ1rщJ1aзu rct1 1.qiwLe rocбd1e1nn.~9 ~
11tl Cl'\f WJl~\(n(q;<f.l~IUC~a!lёi'iofqm rr.n1.b.(.d.1.b.d.f.~.}i. f,d,f .k,d.J, ПК
dli.1ag f(:m n'»O C·6.f'~18nt.J.j.1.S, Ь..timtЦl11:ik!I, (1m1IUCГ Cillt'I)) .f .4. 't .11 .b.
pзnr6c.f.Ьл.l>.d..11(1.\\(.t\,1.k d qlШ,\"fr2rj)t'Cl:m:i(p~l(1cn1.<a.b!J f.1 .t,
tf,f>.t tO ~uadr3r11.z"\~101J1~(\IJJi1r.Jruщ,'3.b.f.g.qнitqutdr~cLi ~n«:.·~.b.!011
lt'1 fй0~1"~q.цdтiЩ)q1Xr$1i)r1n1amo1!ш~~r1mt ~1dr..at:iD\1.ir1ri11
1.t1юn:1n '3.с.-:.с.ь -:«oooЬooft1Niltm(n11Sqooii v:11*~·pdoaf« .t.tJ11
~.c.pJra p~OQQГ11uщ щ:Oni.<IЭ!ttcrt'tr lioo:1.~.b. Vt P~i o.щft t11 <1,, .t . .< .b\
ь~
[[]•
'
•
о
.~:•
<
'
l~n~a'\,)Tfl ,'\bl 1нп 61tПрн6) T IHHH.I '- 1lt V'\НiОЖЕ't-ЩЯ н cJ•opr-.1)' i\til
1ш,1л рм.~ t.v~щы "''10.\ом геометр11ческст ,~л гt>оры.
1. t{KMI.\. < Нс1'1.!Лс1> И$,\,11111Р 111\.! r .
; 111ронку. Реч 1 . li 1111х 11ш;1 о f 1 1pr1Jroжe 11111 1 пло­
ща,11;е1~1 ,). Р:1со1этр11 1 1э1111 тprr п 111 а т:tю 1х :-~ад:lч:
1) преобр;.~зовать /\а1 111ыf1 прямп) 1-с>JLьшп< в
кв;.щрат, т. с:. ре1111нь урзвпсrще .У2
= a[J (пара­
болпческая :iадача );
J.) пр 1 т.1ож11ть r< 1(3111ЮМУ отрезку а прямо ­
у1•олышк :1~щ;~н1 юfr rшощ:.1;l 11 S так. ч:тоб 1,1 •! 1l'до ­
с 1 ·:1ток» был l<Ba/lPCl'f "OM: x(rf -
.\') = S (эю11 11 п·11-
чсскам :~а;1:1ч<1.):
;1) при;юж1лъ к ;рннсщу и1рсзку tl 11pммu­
~TOJL'1!Lll l\ :J:.If(3111Юi"l J[Jf()llla/ \11s · 1:Jl\,ч106 1,1 <' JIЭ­
быТ(Ж ·> был 1ш:1r\р:1том: .:\'(n + х) = S ( 1·1тrтepoo­
mrL1cc1~u1 :iа11ач:1).
С 1 юио111ыо циркуля 11 тше1'пш можно ре­
ша11. за;tач н, :жшшале 1 1т1 rыс ю1адра·11 rьщ уран­
нl' 1-11 mм. ИМt:ЮlЩIМ дсйсТВ I ПС.'IЫIЫil ПOJIOЖll ­
l'C.'lhHЫЙ корt:н1,_ Те ж<: мс..:тu;(ы познот1ют
pt:11taп, Jaд;JЧJI, CBOJl,)LЩIJt'(Я к IIOCJICД()B,l 'l'CJl l>HU­
CТll Hl'CKUJlhКllX 1ш:щрат11ых ур:1нr·1<.·1111!1, в ко ­
., opor1 коэффr11 \llCH 'IЪI К: l Ж!\01'0 O()C.!JC/ lY1011\L'l 1)
ур~11111еrп 1 я :з:ншсят от кор1161 11pt'д1.11\yr1 \е1 ·о.
Очс 1 11, скоро поннт111сь 11 др) 1 · 11е :~ад:.1чтr: 06
уд1:юеrrни куба, о тр11сскщн1 уела, о тшадратуре
кру1·а (см. статыо ,:1·рн:ш~1ме1111тыс :1алач~1 древ-
1юсти " ). Jдссь гсометрIJчсск;~я аш·ебр;t 01<аза ­
пась 6CCCll.'Jh1i;\. Одпак(.) уже CLMJI IЮПЫТЮJ


г
История ман'ма1ики
реши1 ь эт11 з:-~дач11 привели к nыдающпмся
рсзут.татам. Упомянем лишь. что пр 11 1 1сслс­
дова111 ш заμаt.ш об у;~носнн11 куб:J были откры­
ты кuннчсскш.: сечс1щя - 11овые, чрезныча1~1-
нu нажныс крr 1 1-1ые, нашсд ш нс бт-1 статсльное
11риме11ен J1 е н ;1стр()11ом1-111 ю1е тысячи Л(:Т
спустя (см. е1 ·атью "Замеч::1 ·1е1111 1 1ые кр1нJые»).
Неразреш 1rJ\10cт1) :11t:~менитых за11ач дреrн rостн
смrт11-1 доказа 1·1, тnJ 1 ько в XlX в.
ПОСТИЖЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОГО
Нместе с открытием 11есонзмср11мьLх вел11чrш в
l 'JХ'ЧСС КОЙ ма·1·с\1.ап1ке IIOЯBJ I JIOCb l lOJ-IЯTИ~ ficc-
KOllCЧ! IОСП1 Трудн ости, СПЯ:1ан Hbll' с ЭTll м nо­
ня 1 ·нсм. 1Jрн вел н к 1·лубо1ю.му 1<ри:-11-1су а1пич 1 юй
м<Jтема·1·11ю1 ::1тС16ыла первая большая буря, по ­
трнс 11 1ан ещё 11е окрепшее здание 11:-~ую 1. В об­
су'lrсдетше nюпочились ф11лософы всех школ 11
11алравле 11и.й: от Л11а1<с1гора н Дсмокрнта до
Лрис-1 0·1·елн. Софисты (профсссиошшы1ыс учи­
теля философии), I<Отuрых Платон окрсст 1 111
МСJ1Ю11'11И тор1·01:1ц;1 мн ИCTИ I IOll, CДCJl;\JIJJ ...JТИ во­
просы оченn rюнулнрнымн.
В<.:l(рыть 11,сйстн11тсnьныс тру7~;носп1, т~1ящ11-
сся н поня·1 1 1>1х 1-11:: преры1ню1 ·0 11бесконеч11ого,
и тем самым показать, ско111 . 11есоверте 1 н 1 1,1
ещё бытr 11rедст:-~ нлеm'1Я о них. удалось 3сно ­
пу ЭлсfrскоJ1.1у (около 49U-око.rю -J. -)0 до н. э ).
сформут1rовавшсмх их n виде парадоксоn. нли
cmopuii (греч. «апор 1 rя•1 - «трудпостм, «бсзыс­
ходтюст1.») Вот уже более 25 веков ош-1 при­
влск:нот внимапнс мат1:мат11 кон и ф1щософон.
:Jснон был любимым учеником Лармеtш­
J\а - ~·лавы шкu1rъ1 ~ле;.~тов (no н~J ЗВ:J.нню ro-
Зt•tщн -Элещ ~''"'
1р.шю1ы 1ьОЬ r
рода Элея), кo-ropыff nсрnым т~ачал строить
фнлософшо 11а ос11ов~ лопrческих рассу'А<f\С -
1шй Дрсв1шс счптали Парменида родо11ачаль-
1-111ком 1ю1 ·ню-1 Элсаты nостояrпю пол r,зо1-1:1-
лнс 1, докаэ;1тс11ы:тна ч11 11 утём 11 р111:1ед~ 1 iИЯ
к абсурду. Так 11ос1упал 11 З<.:но н , призн~нный
з ;~ м <~стсрскnс нлаJ\ен не дна11ект1 1 кой •·лву­
н:-1 1 ,11нн1 ».
R J(JX'R 1юr"1 11 6ы1ю 11·~вест1 f() бол~е сорока
апорий 3сrюн:1, но пас же л.п 111ло всеГ'О девюъ.
Самыми знамешrтым11 являются четыре а110-
rии ДВИЖСIПIЯ, •ДИХОТОМИЯ», «А.хиЛЛеС 11 чере­
паха ·), <· Стрела» в •Стад1юн", rюторые форrv1 у­
л 11руст 11 11< );чю6но nбС)'Ж/\аст в сrюс:й «Ф 1 111 о<С»
Ар1l(.' 1 '( >Tt::JJ />.
Своим зl1орням .1е 1 1011 Пf)И/\ал ярко ныра­
же 1 11. 11.1l1 (l) 1 1Зf-ГЧCCl\Hll смысл: он l-1~1J1paв111t 1 1 Х
ПрОТИВ 1ЮЗМОЖ! IOCTJ.I ДПI rже1 П I H. Н() 11едl• ДFН IЖС­
ПИС тел пpOllC'XO/HIT ежею1е 11 110 11:1 f l ~U I ИX
глазах! U чЕ.м же '"ело? Очстп, остроум~ ю раз­
мышления на эту тему а:~ложил в пс()олы пом
стпхотnорешш Ллеl\с:нщр Сер 1·еев11ч Пушюш.
Вот как он прсдст:шил слор двух мыст1тслс~"1
/\рсmюс-11 1 - Зенона 11 J~iю r ·e н:i :
Дв11же11ы1 щ•m. осазал .Л~)·дрец брадатый.
Др) •юti CШJJ/ 1-/(/Jl / .( ( 111(1.7 пре(} IJU.M
. \"(J('IUJ11l1.
Сши~нее бы не .~юг 011 возразитъ;
XlШ/tUЛU i:JC(! Ш1'/i:J(!1)] 3tlMblc;!l()(:/({1J/Ыzl.
Но, госноr)(/, :шби1л11ый CJ~J' Ч(l1t Cl!1'i
Дj~)1Юй 11/JШUJ/J NCI 11flAIЯ1П'h .1111-il:' 11/J/180д/1111:
Ведt. к.аж:r)ь11/ f)eнt, преа налt11 сш1нце xщ)um,
Ойщт:п .11( прав у11ря.мы1/ Гапl(.m!1!.
Об 11 1епрннятой н 1 ·рс ческой мап.:матнке
стала точю1 3рен11я, 1:1пtрвые в ы сказаннан ф11-
лософом АнаксаJ'()р0~1 (V В. ДО I J. Э.) . 011 пrо­
IЮ~гл:кил. что • н >vtaJ юм Hl' существует 11 ~шмеш.-
1 1 1 е 1 ·0, гю nce1~1a естт, сщё мснпu1с<.>>. R рс~)J1hт:1те
11елення отрез1<а 11re1·; \a 1'1удут 11ОЛ)"-1<l'п,01 отре~­
ки, которые по-прсжнсчу остаютсн /\еmшы ­
м11 ВСЛИЧIП ! ;:JJ\11!, и таr<иr-1 11у1ём мы l!ИКО J ·д,1
не доlщё_r..1 ДО llCДCЛlli\.lblX •Iасттщ. ~ТО ОЗШ!Чае1 ,
спо 0·1 резок ш: <.:остонт 11:.i точек, а ест 1, «rеомет­
ри ческое место » точек
l l oш.1c основы маТС\1:11·~·1 кн - общее учс111rс
об 0'1 HOIJJCH.llJIX 11C'l'fl<H'llC методы пpcJ~l:Jlhl-lf>IX
11ереходоu - былн со:щ:~ны Ендоксом К1-11щ­
скт1м (около 40R- n1<0JIO 3'>') N> 11. э.).
Еn,ТJ,окс б1.1л 1 1 е толыт 1 ·е 11 1 1 а11ы11>1\1 матсма­
тиком, по 11 вы/1.зющ11мся зсrро 1 юмом. 1ео1·ра­
фом . врачом. фшюсофnl\'1 11 ора 1ором. 011


АПОРИИ ЗЕНОНА
дихотомия (рассечение n оnолам).движушееся тело
t111 когда 11 е достигн ет KOtll.LJ пути, поскольку сначала
оно должно дойти до середины пути, по1ом - лосе­
реди ны ост;:~тка и так далее. 3 начит, прежде чем
лоити до конца, 0 110 долж1ю «отсчитать» бескон еч­
rюе число сереы1 н , а следовател ы1 0, до конца дой1и
ему не удастся.
И ногда этот парадокс пытаются обы1снить тем,
что сумма всех пройденных расстоян и й представля ­
ет< обой хотя и бесконечный, но всё же сходяший ся
ряд (с.м. статью « Чи 1ловые ряды•):
Американский математик Герман Вейль, чтобы
пояс 11и ть, в чём именно здесь состоит труд ность ,
привёл тако и 11ример. Представим себе вычислитель­
ную машину, которая выПоl\няет первую операuию
за 1/2 м11н, вторую- за 1/4 м11н, третью-за 1/8 мин
и т. д. Такая машина моглil бы к конuу первой ми­
нуты р~>шить, t1ап рим ер, вели кую теорему Ферма. Но
ясно, что работа над построе нием подобной машины
обречена на неудJчу. Так п оч ему же тогда тело смо ­
жет достигнуть конuа п ути, отсч итав бесконечное
множество 1ерели н ?
Ахимес и черепаха. Быстрuнuгий Ахиллес 11икогда
не лоt онит черепаху, если даст ~й хоп1 бы малень­
кую фору. Ведь пока он пробежит расстояние форы,
чере паха уnолзёт на другое расстояние, и пока Ахил-
1юд1~лся в Книдс (на ю r ·о-з:~паде МаJюй А3и11)
и ркс н молодnст1·1 гюбr,лзал по мноп1х l~гран:~х_
tl;1 С11цит щ оп учился мещщ1111е, а п Грецт1
юучал мате.\1атику под р)'1<0Аол:с·тпом 1.;ру1111е1<1-
шеrо учё1юго то1·0 времснп Архнта Таре11· 1 -
скоrо И если Фещtора Кире11с1юго и Теэте·1 а
\ЮЖНО было бы 11азват1. алгебраистами, то Лр­
х11т и Еnдокс :3анимались 1адачам11. 1<отор ы е
ССl 'ОДНЯ прю IЯТО (JТН()СИТ'f, к "1tаТематнческо.му
анализу .
1<.ндоксу было немногнм бот.нrс f\н::щцати.
кшд:~ ()Н прие.:х;u1 п Афины - 1'J l :tR11ый кулh­
турный цсн·1р I'реции Г::1·0, как 11 \1но111х дру-
1 и х мо110д1>1х людей, пр11nлек;1т1 :~11аме11 1пш1
Лкаf\смия I l лато 1 ra, на дверях которой быщ1
высечена тщrтись: <Да 11е nойдёт СЮ/1,а пс зпа ­
ющ11й геометрии». В Лкадем 1 ш ш11роко обсуж­
д:~лисъ ос1ю1111ыt' проблемы ~rа\'Т<И и филосо­
фии. Именно :3/tt<.:I> Евдокс 3аиптсрссовался
Ан 1ичная математика
!\ее добежит до этого места, она уnолJет еше дальше ,
и 1.1к до беско н ечно сти.
В эн; и <I пории помимо того же затрудне11ия со­
с-чита нной беско11еч1 юсти есть еше одно. Пусть н.:1-
чальное расстояние форы - а, и пусть Ахиллес
бежит в k раз быстрее ч е р епахи. Ко гда Ах~1Ллес
пройдет р асстояни е а, черепаха отползёт 11а a/k,
а когда Ахилле< п окроет 11 это расстоя н ие, череr1аха
пролвинется еше наа/k~, и т. д . Предположим, что в
какой-то момент Ахи ллес догонит •1ерепаху. Запи­
шем путь Ахиллеса
5 =а;-~+~+
"
kk2
и путь черепахи
аа
а
s.,=т+k1 +kl+
Кажлому отрезку пути , пройде1 11;ом у Лхиллесuм , со­
uтветпвует отрезок п ути черепахи. Поэтому к мо­
менту встречи Ахиллес долже н п ройти «СТОl\ько Же»
отрезков, сколько и черепаха. С другои сгороны , к,1ж­
дому отрезку, 11ро йдеt11юму чср ст1хой, можно сопо­
ставить равный ем у по велич ине отрезок пути Ахил -
1\€\<1 Н о кроме них Ахиллесу нужно преололеть еш ё
один оrрез<>к ллины а, т . с. 011 должен пробежать на
оли н отрезок больше, чем черепаха. Если количео·во
oтpe'IKOR, прuйленное последней, равно п, то nолу­
чаем,чтоп+1=п.
Парадокс о том, что « часть равна uелому», стал
в посl\едСТвии предметом ра .iмышлений Галилея, Ни­
колая Кузанского и м ногих других учё 11ы х, которые
даВ<1Ли эrому парадоксу различные объясне11~1я.
:3Эда ч ей, постанлсш юй Пт1тоном · скш ~струп­
rоват1, MOДCJlh, А KO'l'Oj1<JIJ С ПОМОЩЬЮ ранно­
МСрН ых i-. :py1' 0 111 .1 х днижений сфер М( JЖJ 1< >ПыЛ< >
/\рх11т Тарентски11.
f f liШ~lfJ<I J ()(111 1
.:.\ J


·12
И< тоrия 'vldT~MdTИKl1
6 1.1 110J1} 1 111·1ъ l:\Ct: rнщимые дш~же1111н С.отща.
Лу1 1 ы 11 11т11 н.:т, - н yc11cr111 ю сё рстrпrл. Вс1шрl'
F.в:tOKl Ot'H()K;Lll coбcTl:JCI 111уто 11:~учную IТТТ<О.'1)'
в К11 !1 11\t:. н:1 южнu \1 1юбсрсжье М рз \\Opr ю1·п
чорх Там ..ке 61.ща 11щ· 1·р< н.:на обссрватор ня ,
псрnзя n :~лл:це.
Uдн,11<0 11:tп60J1et: 1·11убою н: 1-1сс:J1с,щн:11111я
Ещ.1окс:1 0·1 J юснтсх 1< 06J1:ti.-1 ·11, котор:.J>I тс1 1 L·рь
на:.н.1вастся внеде1 11 н.·м 11 ::J 11 aJ111з бесконечно
м:ш ых нсщ tчш r. Ilo q.щ~стDу, or1 пос1ро11;~ 11с.:р­
В}Ю к щ: тор111 1 т1::ор11юдс1ктнн·1е:1ыю1п ч11с11а
('1еор11н 1<1·11 ioшe111 1 lr ) 11cu щал \1спщ 1rcчtpnы­
n::i1111я "0·1оры'1 1ю.r1ь Juкал о1 np11 выч1к. 1 е11111 1
П.'lOЩ:l/tl'il кp1 11IOЛllHl'ilfl l,1' ф111·ур. ~)ТОТ мето, 1
по:ш().111111 с 1 por·o с:ощ:р 111 а 1·1, 11рсдслы 1ыс П<.:)Х:­
хою.1 ~1 l- 1·a11 пс 1ю1юl1 а11т11ч 1 шl1 тсор1111 щх·д<:­
лов Надо с1<ааат1 •. что 0 ·1крr.1тыс 11а рубеже
Л'\· 11 Х\1 111110. !\1e'I'()/(11I 111 IH:' l'(X1ЛЬHOI'() 1IСЧ ll('!ll '-
HllSI устуnJ .1и по cтporncпr ме~ону Fкюжс.1 .
С1 [10Г11t: ЖС МСТО.J,Ы ПОЯ\311Л11Сu illlllll• 11 '\IX 11.
•"*
Геоr-н.:тр11 1 1 cl t-;:.!» ;u11·<.:6p:1, 1ruJншrщ1ш::J) 1 11:1 r 1ер ­
вых 11Ор:1х 110JIJ'Ч1 1·1·h Gom, 11111 <.: п рсимущсстnа
пере,~ ч l ICJIOIIOll :1Jll 't:'t)po1'1 B:tHI IЛOШlll. 13 опр<.:­
.J.еJ1ё11111.111 мn\1е11т стаJ1,1 1ор\юз 1п ь pa:и.il 1п re
:нrrнч11oir мJтс.чат11юr . 011:1. rю,'{обнv 11;~нц11рю,
сковьш::~ла её ж~шо1·1 ор1·:11111 ·з м н .\Н~ 111:1ла l'~'Y
11ра111L11>1ю расти. Н:.~чат1, хптя бы с 1·01 ·0 , ч 1·0
ур:ш11сшш чствертоi1 степе ш1 11 в1,m1t: J \:tЖ<.:
нс рассм:1·1р11uалнсь. 13 1 ·<.:о.ме1 рнчес~ш1·1 :11 11 ·еб­
ре нс 61.11ю места 11ля uтpr lll~Пслы rыл c111 ccn.
llt' п торн уже о м1 шмых. l lco(lxo..::rr-r.чo t)ы;ю от­
ка~а 11>(.'Я ( 1'( Гl'OMl"l'PI IЧ<.:CKOl 'O stзыка 11 ис1,;ат1,
1ювы11 , 11n. 1ee ot>щ11l1 11 l>олес п16ю 1 1! . l'Jкo1'1
язы1< ()1,1.'1 11аiщс;;т 1 то. 11.ко в 11cpRыt: нек.1 нuнui1
эры н ·юоху эт 1111111 :1,1а.
ПЛАТQN
AJ<A6HMIA
ЭПОХА ЭЛЛИНИЗМА И ЗАКАТ АНТИЧНОСТИ
Новая .-н н 1x:i :tJ 1·п1 щюi1 11сторшr - эпоха элл~1-
н 1 1.1.ч:1 - 11aч:u1ach с за 1юсв:1н111'1 Ллександр:~ Ма
Kt:ДOIН:KOIO В :).)2 -. 11:'> 1'1'. /(() 1-1 . Э. OI I 1101<0р11Л
t1·1111ет. R::~ш 1 1ю1111ю, Пср<'1110, Со1·;.щ:шv. u:1кт ­
р1110 11 д..1.ж<.: чаt.'Тu И11н1111 П оен~ С.\t<.:рт11 А. н:к
с.1ндр.1 u1 рочнан 11ч11ер11н рас11зласh. Е1 о 110!1-
коиuАltЫ раздсл~1.rt11 \1<'it<;!) собоi1 ззиоёка11ны<:
c1·p;.t 1rы : h1·11ncт vl<З:J:lлcя под nл:1ст1.10 Пл 1л<.:­
мс.:ск. 11 Мссо1юта:v11111 ~1 <..:11р1 1 и с 1:~л11 11р:~1111 ·1ъ
С<:;1с11К11/t1.1 , н \.1,1 Kt:/(Uн1111 Л1п111·011 11 <:1011р<.:­
ем1 111 к 11 .J t: 1ж<.: в . tOJ11111c.: 1'111 ,1.1 пpanи.rr11 греческr1е
ЮlЯ:11»1. 3аКОГJЧIL'l:.кь :iJ IJlllll11(.TllLll'CJ~;.ш эгюх.1 в
!>О-х 1·1 :io н :с.э. юн ·, 1:1 1 • 1 · 1111с.:т - 11ослс:111ня
rpCЧC C1'<UI l\OJI OllШI 11о~-;ор11,1сн (111 ч. шна \I
~1pah."lt'p1юf! чt'рто11 +1011 :-тол11 61.1.•ю llU/\-
ражаннс 1ю11111сю 1"'1 ( 1·рс.:Ч<:l к~ 1\1) оi1р,1·щ:1 ~1 нu
вс<.:м - 11 11с1<усстне. 11:1) i(t' , 1<у; 11.1 уре
1 ·ос~11:1р­
с·1·нс1 111 ы\·1 я:!ыком. :1:111ачт1т,11 я:1ы1<()м н:1ую1 11


культур 1.1 nо11сю11у быJJ r·pcчccrшi1. Учёные
те11ерь легко об щалшъ и rюс11ршшмали тра­
д1щии. сохрашшurиесн в науке ра:-шых стран,
ранее обособлен11 ых.
Цар1, n·1·ш1емс1v1 1 Сотt::р 11р:1вил El'Иll'J'() M 1:\
.101-283 1т до н ::J Свuсй CT!JJ1и1 tei1 он 11збр:ш
город. OCI IOHaHHhlJI к .~31 г. ДО н . э АлtкСаНДf)()Л1
~1аке11.0Е1О< 1-1м 11 на:зн~н1 1 1ыii Ji с 1 ·0 ч1.:с1ъ Алсксан­
щ1 11 tl1. Здесь ПтоJJемсй ос 1·10нал 1v1усейо 1 1 (хр:.1.11.1
чу:1 11 окроnrпе;1ы 111ц п ау1< 11 11CJ<yccтn ). ста а­
шиii ЦСJJТром 11аучrюй мысли ЭЛОХJI ЭJIJШ IШ:1иа.
13 сос1 ан Муссйона в.ходила 11601~атсf11n ая Алек­
сuщр1tйская би блиотека, 1ха считыu:11:1шая око;ю
7U() тыс TOMOfl ( C l.ШTJ(OR) . Е~ ocrюny. 1ю преда ­
нию. tо<.:т~шнл: 1 б 116шют1.:ка дри<.:то·1·еля. Имен­
rю ею; ~;~ стрсм11 1 11 rс 1, Ж3Ж/t)'щ11 с знашrй .'vluлu ­
/IЫC JHO/ \H со нсе 1 ·0 MJJpa
В IП-П 1ш. дон. э. особе11 1ю 61,1C1JX) ра:~1111-
r1а.·111с1>'ючные 11;-~ укн. И :по 11еуднnнтслы1 0, пп­
сколы<у IJ Т() нремя Жl1JIII и TR()[JШ I И ГС I ПН!,
11ме1 1а 1юторы.х н:шсс-rны 1J uеках, - F.вюшд, Ар­
химед, Лполло1шй . 13сс крулпейшис учёные, за
нсю1ючсн11см Архимеда, работали 1·0 1 да в Ллс1<­
сандр ш 1.
Ен клид б ы J I совремt'1111иком Лтолсмеs~ 1.
И это, rюж~1луr1 , всё, ч-~о досто верно о нём
11авест 11 0. Нет с1:1сдс1111й о том, uткуда 0 11 бы.11
ро,(ОМ, r·дс l I у кого уч ш101 Кос-кrо и з и сторикон
11ayic11даже11ред 1 юлагал, ч·1 о имя ЕнКJJИ/\ елу-жи­
ло nсеRдо1 111мом лля 1-руппы алекс:шдрийскнх
матемаr1 1ков (подобно тому, 1~к фра 1 щузскпi'1
матемаr11к 1l икотi Gyp6~1к~r или руссю1й писа­
тель Козь.\1а Прут1<01J лвлялис1, J шшь ВЪL\11,1шлен­
ными персонажами . з~1 кuторымн скрываласr,
1 1<.:л:н1 rp)11П<I анторов ) О; 1нако у шн.: нет о<.:нu-
1!:111ю·1 сом ненат 1,01 н ·1ом, что Енкт щ peu1 ы-1 u
Еuкл11д. 1 pttBfl'Jf)il ft(1 ,"едt1
П1mмРfНЮ X\lllJ в
АI ПИЧНJЯ Мс1ТСматнка
~
8'J.(]_J
существо пал, как пс сом~ 1ев:~лш::ь R з'го~1 и по­
зю 1ейшне греческие учё 1 1 ые.
Н оюrом нз сnоих соч1шс1 1 ш'~ r lапп Лле1,с:11т ­
дрнйсютП ( 111 1:1) изображаt:1 Еnюнщ:~ как чс­
лuнека ИCJ<ЛIOЧllTC!lЬIIO ЧС<.:'L'Н01'0, TllXOl'O н
скром11оrо. чуждо1·<1 ·1 · щс::славня 11 э 1·011зма. Он­
нако R нооросах, кас1.10щ11х ся нзучснш1 ,'vt~1-
· 1·е;ч:.~тню1 , 011 П 1,1 л li яысше~'1 с 1 ·L'псн11 сср 1 .ё~1<:н
1r C'l'po1·.
Как coofi 111acт пстор111< 11 ф1июсоф
Прокл (V 11.), одпажJ\Ы царь Птш1емс::i1 спрос~ 1J1
Нвклида, пелюs1 ли найти более коро·1 ·ю1fr 11 ме­
нее у·1·ом1пслыrы~'1 11уть к 1пучс1111ю п:<1мстр1нr.
чtм шту,~ровашrс <·H::tt 1 :ш~. Учё11т.п'1 см<::Jю от­
нстил: «В гсо,н::трин пет 11а1х:кой доро 1·11!» Дру-
1·011 11сторичсск~1й :шекдuт rюв(хтвуст о том.
что Oi \1 IH IOI Юllta, 11:sуч1ш первое прсДJЮЖСНJIС
"J-Iaчa11~. cпpOCllJI у ПBК!lll/~3 : «А что н CMOI')' ~.1<1-
JXIOO'Г~ITh. выуч11в нсё это'·• . То г.п.з Енктщ нознаJ 1
раб::~ 11 ска:зал: "ДаГ1 ему трл обола, т::1 к 1с1к бе11-
1IЯжка хочет з~1рJбота·11 • дспьг11 сноим уче11н ­
е~1». (060J1 - мелкая серебряная мо 1 1с::та.)
Евкш-1д - ;штор «Наqал•
-
юrиги. 11ережнл -
111сй бoJJee двух ·п,rсячел<.:т1 rй. lle будет r1pe) ве­
nнчt1шсм сказать, что по нс11 уч11л 11сь матсча ­
т11к 11 нссх вр<.:мён н наро11uн. И до си.х 110μ ..:Jта
у1\ 11 внтСJ 1ьн ая ю1111 ·а не ~-1ратнла с.1юсго Jначс­
ния . Со;1сржзнне et: ;1: 1J 1 еко 11с исч<:μ1 1 ынае1·сs1
:--1.rтсме1 1тар11ой 1 ·ео'v1етр11ci1 . 3/(L'l'h 1нщ 1-юд1 1 то1
1пиг болсt' ч ем .)()()-летнему разк11т11ю :111п 1ч-
1101'1~1а·1·ем~1тию 111 1 1месте с те."1 С< >:щаётся проч ­
ная ба:1а дш1 дальней шнх 11ссш~доnа111-111. Прокл
ут1:1ерждал , что , составляя ··Начала", L:вкmщ
"r1ю1ючнл в шrх ~шогое пз Enдoi.\ca. усоnершс11 -
с:тnов;1л :vшoroc нз Теэтета и дал 11еопроr1ерж11-
мыс дсжаз;~тсльсrва того, что его предшсствст1 -
1111к~111окаэал11111:строго*. И хотя матсм:1т1~1к;1 со
F1ремё1 1 Е.вклиr1а IJЗMCIТ\1Jl;]Ch OЧl'lll> С\.1ЛЬНО. 1 1 а
11pcrvюжc111·1>-J ~ начал» нее послед) ющ11t матс­
ма J 'И КИ CCЫJJЭJll1CI> как на llCЧTO око11ча'J'СJТnНО
уста1ю1щсн 1 rое. (Ппдробнее об ~то'v1 юаор н тся
n статт,е ~ ,. Нзчал а" ЕRюшда·>.)


Истприя мdтематики
Hu <>Н:.tчала» - нс ед11нстнен 11ый труд Eнк­
JI11Jta. Ему прнна.шrежш 1и также ~данные·>. J10-
щ>m~яющис « Нач<111<1 ~; ~се ченне ка 1-ю11~1~ ('1-рак­
тат гю тсор11н музык и) ; утt:рян 1 tый труд о
конических ссчсн11ях <-Геометрпческне- месrа
на гюверхноеп+>; · 1 -рактат о лслс11н11 c/)l(ryp, со­
хранившийся ли1пъ n араf>ском нереrюl(с; «По­
рпзмьr·> («Следствия»), о которых свидетель­
ствуют Лрокл и Папп, а кроме тоrо, тракта1ы
по оптике, механике rr ~1 стр01-юмни.
Друп1м ныдающимся учё1 1 ым эпох 11 эл1111-
н11Jма бьш Арх.имен, о жизн 11 которur·о сложе­
но 1rсмало J1e1·cн;t. Т 1юрчест1ю этого 1·е::ннн на
доm·ис века опрс11слшю С)'/11,бу н ауки, а тем са­
мым и судьбу ЧСЛОRечсtтна.
Н есмотря на r·лубо1шй интерес Архнме/tа r<
1-юпросам меха 11 ики, гидростатики, оптики, ос-
1ювн ьhVI делом его жизни была математика_
По слоnам зш1 мешпого историка Плутарха
( 1- 11 rш ). учёный был простu одержим t:ю.
часто :~абывал о шrщt: н с0Rер111сшю не з.~­
боп 1 лсн о себе. Его м;псм :.1т11ческие труды -
, и зме ре1-111с круг.~ ·~. «0 шаре и 1 t11лr 11 1дре?, «Ис­
• 11 1слсни<.: песчинок» н др. - 1юражают орип1-
налы-юстыо мысли, мастероюй техникой вы­
чнсле11 иС1 и стро1·остыо дою1зательсп1. Кроме
того. математичес 1<ие резулы а·1 ы Архимеда
11зложены в е1·0 письмах к александрийским
учё ным . и 1<аждое письмо ттрсдставm1ет собой
за1<01 1ч сш1ый научный мемуар.
Нскuторые сочин ения Архимеда сохран11-
т1сь тuлько в арабском 11ере 1ю.це ба 1 ·щщскurо
учёно1'0 lX R. Сабита нбн Kypf1ЪL Это «Ле .\11 .\1\ЪI->.
«0 семиу1·011ы-1нке» и <.<О касающихся кру1'ах».
В ~ле ммах ·> с.:ред 1 1 1tруп1х задач 1rзла 1'аетсн
реше1111е зздач 11 о ·1рисею ~нп углэ с 1юмощыо
А[)Хl~МЕ'Д
Ан П1'111Ыl1 рt•ль.::ф
Собрм1 ие tоч11fщнии Аμхим~АJ.
IHM HHOE' В Ьа <l'Лf' 11 1'>44 Г
пставки (см ста·1но «Трп з 11;1меrт1ъте ~1адачu
,'J,peniюcт1 1 "). R сочш1е 11и11 «О семиутолы1111<е•
расс"'1атр1 шаетсн задача, экDiшале11тпая ~611-
чсскому ypa13JICillПO. В CГlHCI<C COЧИIICШIII Ap-
XllMeдa, известных арабам_ упом.ш1астся таюке
тра1<.1ат <'О пар:uшслы-1ых лшшJIХ~. ilозмож1ю.
Архимед был Оf(ним J.IЗ ltt'pвыx уч ёных, 1 1ы тав-
1ш-1 хся ;~оказать rLЯтыl! поС"rул:п Евктща (с.м
статью <-Гсомстр1 1я Лобачевского").
На116олее важе11 nклад Архимеда в ту область
математики , которая тепср11 1 1:азывается интег­
ральным 11счисле 1шем. Его и сследова1шя по
IЗЫЧИСЛСIППО ПЛ()Щаде 11: плоских фш) р и объ­
ёмоn тел. к сожален1110. не получили развитня
в древности. Человечество дважды открьншю
длн себя Архнмеда, н r1нажды учёные n 1 ,1талнсь
продвинутьtя щ1лы1r<.:. В первый раз это про­
изошло в Сре;~ние века на ар:.~бско.м Впстоке.
B(J второ!"1 - в Европ<:" Л'VТ-ХУl l 1щ Jlyчwt: всслJ
о значении е1 ·0 pafioт с1<а:1ал од11н 11з создате­
лей ;~иф<.}х:ре1щ11 а.11ыюrо 1 1r 11 пегралыюго11с­
чиспе1111н - Готфрид llиJ1ы·елт.м Лейбшщ
<·ll11J·Jмt1тeлыt0 читан соч 1 111енш1 Архимеда,
перестаёmь удивлятъся всем новейшим откры­
тиям: геоме-~ pon·> . (См также статью "Арх нмед».)
Третий из вслию-~х греческих математиков
ЭLIOXH ЭЛЛIIIШЗМа - АПОЛЛОLIНЙ РО/lИЛСЯ R
городе П ер 1':1 н M:iлol1 Азн11. О нремс1111 его ж11з­
Н11 иl\1сются прот111юречивые св 1 1детсльств;1.
Некоторые иссле/1оватслн полаr:нот, что Алол­
;ю ний ро;t1шсн uкuло 260 1' . ;юн. э .. 11 ес:т1. ос-
11011<1ния СЧll'l':пъ. Ч' I о около 170 Г. 1\0 11 . З. он
ещё был жив.
Расцвет деятелыюс1·11 учёпого пришёлся на
копеu Ш в до 11. э .. 1<огда он работал в Алексан­
дрии. 13 э1·ом городе проuша бол~.лrая часть его
ж11з1 п1. Сюда Аполлон11й приехал юнuше11.
З/(есь учился у м.ате.v1:.1т11ко1:1 шкuлы Еккmщ:1, ;1


затем 11репо.~аnал ~~атсматmсу. В предисловии
к ncpnoй юшгс <·Конических сеченн11 " А1ю11-
1юний сообщает, что начатh р::~боту над этим
сочинением его побудил 1·еометр 1lаnкратес,
которыir слушал с1·0 лсю~и1 1 в Алскс1ндрн11.
По-в11;~имому, позже Лполлоний переехал 11
Гfсргам - кру1111еИ11111й куm,тур 11ы й це11тр Ма­
жн'1 Лзи11. В библиотеке Пергама храшшось до
2()0 1ыс. cnrптcon; по количеству ру1<0писей она
уступала ш1шь Алеr<сандри.Иской бнблиотеt{С.
Более всего Аполлотrиfr извссгсп свuи~1 тру­
дом « Котшчсскис ссчсшrя» в восьми кнш·ах.
1Jсрвыс четырt: кн111·и дошни до на11111х днt:й в
оригинале.:, следующие три - в ::~рабском пе­
рсrюде Саб11та иб11 Курры, нось,v1ая же книга
утерю1а. В с1юём трактате Аполлониii постро-
1111 Jакuнче111rую ' L'ео рию 1<рнвых второго по ­
рн11ка (т. е. окружности, эллипса. параболы и
1 ·1111ерб()ЛЫ~ см. также статью «За мечательные
Т JC;r Q..Vl 1 X't". LLNT1$il,\(I
Opmf.'<rDo<'\JfftuiPЬ.l*i:Ьun•
'""""'u B•pull""' м,,...,.р,.;
airiurt) Vmcwn\Marh.t,nю.;:
'~1а1шакr Aшum 1n V1Ьс
V nкt1 Lcl.. "tan:n РuЫ;,
cum.Dt(i/uo m 1.3
"'1um Tndut1,_
.l(Nouнcrlro
p<dl>.
П1•ршя· 11t·ч .1 111<11' и 1ла1111f• Аn олло11ия , rnдl? pЖilWl'P л,п11нr~ии
ne~IIOll К<>нИч е1 к>1х ,·е• 1ениl1 >. fkнt<u1111 1'i \ 7 г
f
Античн<1я математика
Llертеж н3 11змн1111
«K01t111 1t:'CK •1 X ff.?Ч(! lll1\1»
Аnnл лоння . Бол онь11
1~ы, г
крнвыс->) , 11 зложнн её 11е ·1 ·оnы<0 без ал1 ·ебра11че ­
Сf(НХ спм1юло n. но лаже: Ek1 пспользовз11 1 rя
таюrх пmштнй, как « 11олм н «Отрrщзтелы1ая
величи11а», неизuес1ных то1·да 1реческ0Гr мате­
матш<с. tlcc доказательства Аполлония 1rысют
чисто геометрический характер, 11 в это.v~
смысле е1 ·о работу можно сч 11та· 1·h Hh1c111<.:i'I 1·uч­
кой, кот< 1рой дос.~1· 111·ла 1 · речес1<ая 1 ·еоме·1р11-
ческая :шгеfiра .
И3учатr. кон11ческис ссчсюLЯ в ГpCllИll нач::t­
т1 в rv FI. до н . э Их ()ТКрып МСНСХ..\1 , учен11к
Е 1щокс1, 11р11 1ю11ы· 1 ·ке рен1н · 1ъ ;~:.~дач) уд1юе 1 н1я
куба. Он представил их к~ш ссчс 1шя пря.мо­
уrоль11ого, тупоу1·0:1ыюю 11остроугопы101·0 ко­
нусоn вращення плоскостью. псрттепдикуляр ­
т юй образующей. лпоmю11иi1 n своей книге дал
более общ<.:с стсрсомстр11чсс1юс опрсдслс1 rис
ко11нчесю1х сечен11!1. Во-1 1 ерных , uн рассм:пр11 -
11;u1 rrрш1:щолы 1ы Г1 крутоной конус. Во-вторых.
уч 11тывал one его полости, что поз 1юлялп 11зу­
ч и·1ъ обе не1·1111 1·1 rперболы И l 1:i ко11е1 l, 011 про­
нолт 1л сечен11я mюскос1·ып, рас 1 юлnже111юi1 под
лю(iым углом к образующе 1'1.
О11ре;~елиn 11 1юстро11н тр11 1<()111 1ч <.:сю1х сс­
чеrшя. лпошюний 11сследова 11 их ос1юв~1ые
свойстnа. асимптоты, касатслы1ыс. фокусы.
сопряжё1111ьн:: ДИ:IМt"lрЫ 11 '1' . д . к COЖ::tJICIU1IO.
методы нсследuвюiю1 кривьL\':. создаш1ыс А.!1011-
лонием. в дрс.:вности не 11uJJyLJИ J Ш раз1шпш.
хотя ШUIO'IЪ до H<IЧ(lJJ;\ v tl. cTU 't'p)'Цhl нзучал 11 11
KOM.\1CllTИp()t1:1 Jll·I Са~111 K()llllЧC:'CIOlt;" Ct'ЧCllllЯ
ПJlll'vtt>ня1111 J 1н1111, дт1 рс111сн11я куf111чt:ск11х
ур~щ11е1111Г1 . Так что теор11ю 1\01111чесю 1х се ч е
11111! Аrю1 11ю11l11! спзщ1; 1 ~ажщгп ;~п того, к;н; пщ1
оказалась пе()()ходимой.
Только в XVII в. Репе Декарт. Пм:::р Ферм~.
Исаак 11 ЪIOTO ll 11 1\ругие г1ёrrые обратнлr 1 с1.


46
История матсм.:1тики
к rабот:1м AГIOJIJl()l lll>I , СамСJе ll lllfXЖOC' пр11ме-
1re1111e ·1·еор ин ко 1 rпческих ссчс1mй п ттучт 1ла li
мехат1ке 11 астрономни. И01·аш1 Кеплс:r уста­
тюви.rr, что планеты Солнечной сr 1 сте~tы д1ш­
жутсн 110э; 1ш 111сам, в од1юи 113 фокусоn которых
находится <..олтще. Галилео Г;vншей показал, что
в пустоте бrошсш1n1й ю1J\н.:т, (ил н снаряд) буде~·
JJeтeтh LIO 11арабо.11с А в RO-x 1·1
·
Иса:н< IJыото11
СОЗ.' \:!Л CBOI·! зна \\СН 1IТЫС «М:.1 тсмз ·1 1 1ч есю I C 1-1а­
ч:v1а 11::iтyp:u1t>1roй ф11:юсс1фт111•>. 1 н;~посрс;~сrщ:н-
1ю O ГIИj):IR(.Ъ H:.t рсзу.11ътз.ты ЛТТОЛ!ТО!-1 1 1>1.
ПОСЛЕЛНИЙ ПОЛЬЁМ
АНТИЧНОЙ МАТЕМАТИКИ
Творчс:ство Евклнд:.1 , Аrхнмс:ди 11 Аrщ: 1 1ю1-111н
было вершш-1о~'J 1'р еч~с коl1 м~пем:пик11 . Ис­
слс11овання. 1 1ро1юд1rвш 11 ео1
в последу1ощ11е /\па столс:тия.
не выхоJ 1ию1 11 з 1<ру1 ·а 11роблем.
которые (ШП к-1учат 1. Н11 но­
вых 1 rдей, ни новых теор11 й
IIC ТТОЯПЛЯЛОСI>. f l есомнен1 ю,
~то б1.1ло сRяз:1 н< >11 t' 1ю;11 1·1·1 1 чесю >й <>nст:11 ~он-
1<а1\ с 1<л а; \1.1 на11111с:1'1ся 11 м t 1пс.
Уже с 1ю111l<I Tll п. дп r1. :"'>. 11ач:-1m 1с1, заноева ·
те:1ь11ые войны pн~L'IШI. Экшюм 1 rческан 11 куль­
тур 11 ая жиз111, 11 1-речесю1х колошIЯХ замерла .
Измученные стра11,анш1м11, люди п отш rуднсь к
рслш' ш1 , которая обе щала друrую, лучшую
жпзнь. Абстрактное мышлеrше, лоrичсск 11 е
р:Кс)'ЖЛС l ll!Я OTOЛRllHYЛИCI> Н~ нтоrой IJ!!:.tH
П-l fШ. дон. э. ст:v111 нрсмс11t:м с 1·рсмl[тель-
1юсп IIO:lBl>l1Нet111Я P 1t M:1 . В :'1>0 - х 1'1. ДО 11. d . пало
ПOCЛf'[\IJe e 11 :1 ЭJIJll !llJI C'l ' ИЧt"' C l<ll X l'OC)'/\:t[1CTB -
Египет 11 был:~ ос1юва 11 а Р1tмск:н1 1 ш11ер11я. tl rе­
эультате жиэ11ь 6ыn ш11 х грсческ11 х коло1111И ко­
ре~ 1н ы:-..1о6разои 1. 1зме1 11 и:~.с~.. С одтюй стороны,
прскратилнсь rазоритслыtыс rюi111t.1 и 11 рнмой
p:1::16u1\ <:JKUHOM I I Чt:<.:кuc I IOJIOЖl'HИl' стало fioлee
устойч1шh1м . Но с /\ру1·ой - эшшн1ктичсские
1 ·осуцарстна 1 ю1·t:рш 11 1 са ."1uстоя 1 ·сm,нuс.~1·ь 11 . по
uбраз11ом) ныражс 11111t> 1Jл~тарха , ж1 1 ·1t:1111 по­
сгоя 111ю сознавал11. что н~щ и х 1 ·01ювам 11 за1 1 е­
сё11 «римский сап т·"·
И .всё же греческая кулыура ожнвала. Ко11ец
1-11 88 . обычно называют «гречtсю 1м nозрож­
деттием~. так как в это время творит ~ такие вели ­
rшс ппсатсли, ка~< Пл)-rарх 11' Лук 11 :11 1 . ~стестRс11-
ные науки таюкс испытьш:ти под1.ём. В первые
нска ноноll эры АJ1ександрия оставалась науч­
ным и куль·1ур11 ым ц~ 1 t'1 ром дренн~1'0 мир;1.. Рrш
НllКОГД<! не м ог ср~ШШIТЬ СЯ с не1-1 в этом
ОТНОПIСН 1111. Он СЛ~IВНЛС}I CBOl IMИ поэта ­
ми, и стор 11к ам11 , юристами, но так 11
11е r 1р11общ11лс>11<1·J 1убн11:.1м :--:1ллн1rско й
ш1учпоlr мысли.
1:3 1 n. n Алекс<нщртш работал пре1<рас-
11ый матс матllк 11 тал:штлт1Dый ннже­
нер-изобрt~татсль Геро н , 1<оторый 01· крьш


ГI:<)МЕТРИЯ РИМСКИХ
ЗЕМЛЕМЕРОВ
Согл.!< но лревн11м м ифам, окружа­
юш11й чслове~..сJ м11р вuзн11~.. 1:1 неiа
ПсJ\1Ятt1ые врt·\1t• на пос ре~и бсско
неч11u rо ~1 жуткого хаоса В uтл~1ч щ~
m >..юса, в котором 1н:1 ;1 акu н ов1
~111r упuрядuс1 с11 В 1~см, во первы >.,
Cl.11> щ•нтрал1>НrlЯ TO'IKJ -
• пуп
зt•мм1 Во- вторых , в м11ре сстt.
ВЫЛ('Лt' I 1 ные 11.lПрdВЛl'НИЯ. в ropи -
10 tlTJЛbHUЙ /I ЛОСКОСIИ ~то ЛИ llИ И
се1.н.: р-1С1r и 1.~пал-восток. обр.1 -
~уюш11е крест 11 разби ва1ошие пло<
кnсть 11а 4 чао11
Э1и дрсвнt!~ш1ие и простейшие
геuметри ч еск 11 е предс:: 1 а в ле~1ия
на11(Юl\Се ПОЛllО ИСПU/\Ь·Ювам1 в
Лреn11е"' Р~1мс НапримРр, .\лsi га
д..~1 1 ия по полету пти u ри..,ск и с
..+.рl'ш>1 '1ыслен 1ю раэб11оалн 11etio
на 1части ЛИН11\.IМИ <.CBt:p-tOГ и зз
n,,д оuсток Затем пар:~ллель110
ГЛi\OllblM /I Иll ИllM • ПрО ВОЫ1ЛИ » BTU-
po< rt-11енные так что вс<: нt!бо 011..1
шва лпсь 110д1:лс11 ным Нс1 равные
квадраты. н.1 (1люд ая за пс-реме
ШCtt Иt'\o\ ппш И"! ОдtЮ ГО квадрата
в \рути, онн по определе н ны"'
прав и лам ИL t uлк овывал и волю
Ю1111 1 с.:р,1
По тому же принuипу р11млs~не
ра'iЬив;:~ли на чс1сти свои поля. На
поле отмеча11и uентраль ную точ ку,
чер<:з кото рую перп ендикуляр1ю
друг лругу проклад ывали дее глав -
ныс дорu1 ~· - kardo max1mL1'>
(с CLUt'J)cl нс~ ю1 ) 11 clec um.:inus nы ­
х11щ1~ (( воспж.1 на запад), со11.ра­
шенно КМ 11 ОМ . 3.:~тсм nс~ раллель­
н о ГЛс)Ul/ЫМ дорог il\1 черЕ'i r<'IBHЬIC
patt r ш1н~1я п роводим1 rp.:i 11 иuы ,
раlдРЛЯRШ 11Е' ПОЛ(' на СИСП.'\1У КВсlд­
р а тов . )111 кu.:~дμ.п ы 11d 'iьt 1ылись
uе11тур ия\'1~1 . l dкую ЖI' сетку р~1...1
ляttt:• 1н ПО'\ЬЗовал11 при fJJ 1бив"е
военнЬI'< лarcpNt и про~кп1ровс~­
ню1 1юоь1х 1upuдoo.
В 1-1 1вв.1 р.1н иuь1 Р11мскои им ­
пер и и 11.олоссilльно раLш~1р~1лись.
r 3Jхва• 1 с>н~1ых земель и i t оняли
nр~Ж l/ ИХ BЛdд('l\ l>llHB, и гоrула р­
ственные ·~емлРмеры п р11сту 1 1ам 1 к
свое~~ работе Упорно н .-.1с.:тол ич­
но разби вая nuлc.: 1ы uентур 1·111, о н~1
не п1.юrто 0Оо.т,1чали гр;111иuы
влJде ю11с1 , ~ю олнпвре,1сн 1 ю ycrd
HclBЛllR.lЛll на ЗС'IАЛС nорядо", ( хол­
ныи с 1«:м, что был нз небе -
в оби 1с.:ли <амс 11 с) Юп итер.:~.
l la колон~1 а11ыtы'< зем11ях n рак­
тич11ы с и хоэяиL твенные р11м"IЯНР
ввом1л11 п1Стему коорди 11 <1т, оче11 ь
похожу ю 11 а rп време11ныс.: п рямо-
,сtвюкущую силу пара. ll 1<0r-щc нск~1 ·1ам жил ма­
те,1:1·1 11 к 11 астроно;\t Ме11ела11, сuздан:Jt ь си­
стечы 1еож.·тр1111 и тр11rотюме:1 р1 111 на <.фсре -
первоf1 11~:сню11 111ово~'1 rеометрнп (см с-1 ·атью
~Ф11 rvры 11:1 с фере~) Во II в. знаме1штыl1 алек­
с:шдр111fсю1!1 аст1юном 11 матсматнJ\ К,1авд1 1f1
Птолсмей соз, ~ал rс..:о цс111 ричсскую м олслh
~щр:t. просущсt-1·1юна 111 11 ую до XV- XVl 1111.
В ~рудах этнх уче н ых: )ЖС н аметилась те11 -
,'1.сн1~11 я поворота к выч 11с.1нтс"'Jh 1t Оl1 ма 1е.мати ­
кс:, рас 11111рс:1ш ю п о11ят11я ч.и сл а , отказу от rео­
"lетр11чс..:скuй :.tJtгсбры. Особе11н о нрко новое
напрз1111 с1 111с 11μонв1 шос~, в пюрчееmс вс..rшчай­
шего ат ·сбра1 1с 1-:.1 Д1 юфа 11та Алекса~ 1др1 11"1 ского.
которы 1~1 п01южил нач ало двум наукам ал гебре
лffh
c:D.LfJJ
_J L_J ;SL_I L_J
] ГsDll§~ rпп"I
~!~ UKI
KAR UO ~ MAXIMl lS
] ГsDil:srю 1
1
f )()ll
J[fuJ~~~("1 ~
·по
ш1vпп1 rю1
П(ll ~CKll С1\11
\Jl'1Пр.~лы1с111 чс1пь P""' 'nrn nu \11 <
IH"HT) р11я,111. лля f<(I орых УКd33НЫ и~
коорл 1111 мы с 11cno111. 11111 .111 1>1 <''1 1н1 м( f(l1X
u нфр 111 11 ( tll<IJ<lllH·H~IЯ о.з н ачDЮТ
(.)(.) tclextrJ (\rcun1an 1\
t r1p.11:1.1 о т ОМ,
sn •sttlt''' ·' tll'~UПIJl\il - C'\PBil ОТ n м
U li. !ulнa ka rd1nt>m ·1 ш11·рх т li.M
(К (с illol k,щl11\l'П\) - IJНl11 ()Т КМ
уrолы1ы <: ( декарншы) коорм1 наты
11.i плuLкuст11 . Кс~жла11 uентурия 11а
п ом• кол ировалась лву."1я •t иi 11,1м и.
По н11м вл,1делсu мur легко 01 ыt
катъ 11а плане t1ю11 участо~.. Отли
чне этоГ1 с исте~1ы от лекартооо~1 со­
стоs~м.1 ЛltШЬ в том, 'ITO римЛЯНf'
не знал11 отриuатt:льных чи<ел. Он11
~1 CПOЛbJUBdM1 выражен 1111 rЛL'IЗJ от
ом" - справа ()Т DM), «BllИJ uт
км. - «Восрх 01 КМ».
C~t''"l roptJдlKUГO ПOCl.'Лl.'fllt Я 113
рукоП 11(1 t fHIM( t<ИХ lf'M l\(''IC:f)Uf) .
В11м1ы r 11.1вныt• лороrн CP/Jf'('l--l()Г
" заnал-!l()(то...
"-1 7


48
История матемалщи
н днофапто ву апашпу. Ему суждено было стзт1,
последним великим математико;у1 древ Jiости.
После Д1 юфанта работалн только более или
менее:: тал~штшmыс ко:ммсrгrаторы.
Христиа.гК"J'l:Ю, возникшее в 11ервых веках
НОIЮЙ :::>phl, ныс 1 ущию 11 ро· 1 · и в ЯJ ЫЧ ССКОЙ K}'Jlh-
тypы IJ науки ВJtаст:итсли .\1Ир~1 - р 11мляне так­
же не 1юuщрнлн з:,~нятнf1 <J.бстрактной наукой.
Но 11 к стот, небла~ ·о приятнnй оnстановке алtк­
сш щри йскэя ш коJ1а 11 росущест1ю 1{а11 а с:щё око­
ло трёх веков. В III- IIачале IV в. в Александрии
жил и работал замечательный учёный Ilапп. Его
труд « Математнческое собраll ие" rюказывает,
что 011 был прскр<1спъrм знатоком к.пассичсской
:шп1ч110й г<:омстрии. n КОI ЩС l'v' в. Хрисп 1 аI1 -
скан Церковь начала ор 1 ·ан11:юнанное 11асту11-
л1.:1111е 11а 11а)'ку. В .~91 г. была сожжена :шачи­
тельнзя ч асть Алсксандр11йской 6IIблиотсю 1 .
Остав ш иt.:ся pyкo{ll JCH продолжшm ун 1 1чтож;пъ
11 а лrотяже1111н более ·1 ·рёх столети l1.
« НАЧАЛА » ЕВКЛИЛА
.Быть мож<..'т, Евклид и не принадлежит к числу
таких но~заторон н ма·1·1.:ма·1' икt:. как Ф:!)1ес 1111и
Af)XI 1Мt:Д. Но он. кне НСЯК() l 'О сом 1te l-fl1.Я, я НЮU!СЯ
нспрснзоlfдённым с 1 1стt.:м:пт 1 :>атuром, ттед::1го­
гом 11 1101 1 уляриз;~тором 11аую1 . Спш1мr 1 учеб-
11111<амl1 ('J'. е. ю1111·а:v1 и, сnста11ннш1.1l\н1 ern <-На­
чзлз->) ЕиКJнщ охватщJ нrю :"IJ 1 eмt1 1 таr 11 ую
ы:пематику :-эпохн Платова.
«J!ача1 1 а» (др}той переnод названия - «:С:IЛе­
мспты ~) прсл.ставлнют собой з~шсршсш-1 1.: це­
лого ряда нс дошt'дшнх до нас .\1атсмат 11 чссю L~
прон:~нсдtшн1. Например, в шпой кнш·е ~·На­
чал» и~1л: 11 ·астся т1.:orm1 отно111ени/'1 по Ен)\ОК­
су, в десятш·1 кнн 1 ·с - теория иr1хщипнальных
RCJll1Ч[ I H пп Тt:этсту, 13 тр11н::Щl(<IТОЙ - теоrня
гt[): 1 BllJIЫ1 "1Х 'V11101 '0 1 'рЗ1111111(0 1\ · 1·з ЮКе llOCXOД}l -
11 \:1.Я 1< Теэте- 1 у.
Р:пумсстсн, Тiзлагая откrытия Тсэтстз. En -
,1 10 1<c:1 и другах свошс прсдшсствспликов, Ешс­
лr щ добавнл мr ю1·0 нового, дал нол11ые дока ­
зательства того, что нс было ок01 1 L1атслыrо
уста 1 ювленр pa11ct Петь в ~ началах» н 11екотu­
р1,1<.: Н :tХО/\К11, нr l/(HMU 11p11н~ljl) I CЖ<l ll \ ll C с~1 мому
~l\IOlll/\Y· 0 /\11 :.1 11 :3 11 ;.~и болсс яр1<ИХ l'al<~ I X 1I~IXO­
ДOI\ -
·1 ·copt1'-'ta о бссконсчност11 множества
11рос1ъгх ч1 1 с<:л (см. статыо « Пrостыt: числа ·>) .
Из учён"'х конца lV н . ~южно назвать Теона
Александрийского TI его ДОЧI> r1111атию - 11ер-
11ую n истории женщину-математика. rнпа ­
т1 1 я - ;mтор коммсн·1 арнсн к работа м Аlюшю­
ния 11 Диофшп~1 :;)т;:~ ;iамсчателы 1 ая жен 1ц ин ;1
сла н11лась умом и красноречнем. О её трап~ че­
ской су;\ьбt на11щ:аны нсторичt.:сю 1 1.: романы .
В 41S 1·. Гипатня 6 ы ла рзс"l ·ер:~з 11з тол 1юй фа 11 а­
т11ков-христна11 за то, что нс хотела порыRат1,
с я~ычестnом .
В V в. учёныс пою1,11ал н Ллекса 1 тдр1110 н nе­
реезж<ши в Афш 1ы 3дссь работал 11 poкri (410-
485) , ксrюμы l1 оставил коммснта р11и к первой
юш ге <- 1l ачал"' F.11ю11~ди и кратю 111об::~ор 1 ктu­
р1 ш геометrи11 ()Т Фзлtса до Енкп 1 ща , В VI n.
1юсл~днне 11з н1::лию1л комме 1 rтатоrоt\ - Евто­
ю~й r1С11м11лr1ю11\ 1 1з1·1 1а1111ые 11:1 Лф1111, 11ъ111уж­
дсны nылrт пересет r т~.ся в Ирз 11 Л1 1 т11 ч 11аи
наука и т~71ЬТ)11:1 угасли вместе с п ~ белью ncer()
а 1п·н~п юго общестна.


СОЛЕРЖАНИЕ (( НАЧАЛ » ЕВКЛИдА
« Нач ала» состоs1т из три надuати кн~1г. Первы е четы­
ре посвяшены геометрии 1;а п лоскосr и. КаЖАую к11и­
гу Евклид начинает с определений, но, кроме этого,
nервой книге предшеству ют пять а кс и ом и п осту­
латов, сред1<1 которых 1·1uход11тся знаменитый nsный
no( тулат о па ра ллельны х линия х.
Затем в 1к ниге изла гается п ланиметр и я п рямоли­
нейн ых фигур; устанавливаются основные свойства
треугольни ков, параллелограммо в. тра п еuи й. Ве1;ча­
ют кн11гу теорема Пифагора и обратнuе ей преы.о­
жение - треугольник, коадрат одной и• сторон ко­
торого ра вен сумме квадратов двух дру r·и х сторон,
nр я моуrол ьны й.
Вп 11 к ниге изла гаются основы геометрической
алгебры.
К11ига 111 посвяшена свойсгвам кру1 а, его каса-
1 ельных и хо рд - воп росам, которые Gыли исследо­
ваны Гиппократом Хиосским lV в. ло н. э.) илн ранее.
В IV книге строятся правильные п-уголь11ики при
11 =3, 4, 5. 1(), 15. Исключительно изяшнuе rюстрое­
ниt" пrавильногп 15-угольни ка при надлежит самому
Евклиду.
Кttига V сuлuржит об шую теори ю отноu.1N111 и вели­
чин no Е13дсЖ( у. Многие современt1ыс yчt:!tlыe счита­
ют ее первой теорией действител ьного числа, во мн о­
гом напоминаюше>й теорию сече11и~1 Лелекинда,
CO.iдclll H YIO В XJ X В.
В VIкни1 е Евклид излаrа~т уче~1ис о rюдобии. Он
nриме~1яет это учение к .:1адачам. которые можно
Несколько слон о ТО\1, как 1юегрое11 ы <-ll;1-
ч:.1л:1». Слслун л01·ичсской системе снос1·0 уч11-
теля Арщтотсля, Евк.тш;\ 1 1 ытаt:тся i\·1·1ъ :.1кснn­
~1;п11 чсскос и:'!.lюжс:ние 1'с:Омстрн 1 1. Это \южно
ПШ!l'l l lЛ h CJll'f\}'IOЩH!\1 о6р:~зом.
F.слн р:ксмотрет1, /\OI01 :-i a 1 ·с::лъс1· 1ю ттекото­
ро1'1 теорем ы, т мож110 ушr,1е."1Ъ те 6олс:с про ­
r·1ые ф:н<1'ы. с nомо щ ыо которых оно п о ­
строено. Эт11 nросг ые факты, н сво ю очсрсю"
вьпскают И:3 сщё более 11росты х факто11 11 т. )\.
BЫ I IOЛIIllГI тако iт :lH:IЛl!J /.~JlЯ BCt: X Tt'opt:м l'l '0-
. 11e1p 1111. ;v1ы 11uлуч1 1 м l'писок 11ростt:й u11 1 .\ фаr-­
ток. облад:о~ ю1 щ1х CJl{::f\y к111 lнм11 с1юl1с·1 н:1м1 1: но-
111.::рJ-1ых, u1-11 1сок~ршен1 ю «оч ев~ 11тны " 11 потому
НL"1рt:бу кл 1 tо к:.1 з:~тельс1 f\3, 3 во - вто рых, 11 э 11 11х
\Юil\IIO m .rпес 1·н. ил.я о()ратт1ы м путём. BL.C тео ­
ремы rеометрпн Такие r1ростсl1шне факты 1т;:~­
зы 1шотся акс 1 юмам 1r, d все осталыrыс фаюъ1
rеометр11 н явля ются теорсN1 а.ч11 . н ка.1.кдую тt ­
орему мо:;юю доказатъ с помощью аксном 11
Античная математн ка
свести к решен ию различных типов квадратных урав­
нений.
Книги Vll- IX посвяшены ар11фметике, т. е. тео­
рии uслых и раuиональных чисел (она была известн;:~
пифагорейuам не пщднее V в. до 11. э .). П<>мимо тео­
рем, относяшихся к сло жению и умн ожению uелы х
ч11сел и их отt-юшени~, в них рассматриваются и воп­
росы теории чисел: вводится алгоритм Евк11ида, изла­
га к 1тся основы теарии делимосл~ Uf'лы х чисел, дока­
зывается знаменитая теорема Евклида о том, что
просты х чисел беско11ечно много.
В книге Х на основании учения о uелых и рашю­
нальн ых числах Евклид, следуя Теэтету, лает класси­
фикаuию квадратичных ирра uиональностеА, возн и­
каюших при решеi"I ИИ uепос1ек квадратных уравнении.
Кн ига XI п освяшен а стереометри и . Она содержит
основные теорем1,1 о прямых и nлоскLн.:тях в 1 р~хмер­
ном простра11стве, задачи на построение (например,
как опустить r1ерnе11дикуляр из да ~11юй точки 11а
данную nлоL кость), а та кже теnрем ы о тnм, при каких
условиях параллелепипед и призма могут имегь
рав1-1ые объёмы .
В книге Xll с помошью метода исчерпывания Ев­
L\Окса лок .ны ваю1·ся теорем ы о том. что отношенщ~
плошалей кругов равно отноше1111ю кос1Аратоо их
диа~1етров1 J отно ш ен и е объемов ша ров равно опю­
шен и ю кубов их ди аметров .
В книге Xlll излагается учение о правильных мно­
гСJгр.знниках· как их мо;.t<,1-ю пострQить, как нанти
д!\И llУ их ребер . зн ая радиус оn иса11111.>й сфе ры, и nо­
•1ему лμугих nрав11льн ых тf'л не сушепвует.
ра 11ес уст:~1 гоклс11ных теорем. Т:~ю 1 м 061x1~JOl\1 ,
всё Зi\ан ис 1·сомстрш 1сто1 1т 11:1 фун/\<~ме нтс 11з
не6ш1ы1ю1·0 '-!1 1сп:1 акс1 юм.
F.1щm1л ра:l11 1 1'-! зл а кс1том1 .1 и посгулат1.1. Г10-
сrулат:~ м11 0 11 1 1ззы 1цл требощнпrя, кото рымп
слелуст рУrюn<1дстnонзться np11 гсо метр 1 r че ­
сю1х построеrrнях. H:.inp11мep. одш1 нз посп·­
:1атов 1·ласrтт, что «1 1з любого цс11тра любы."•
p1t1.\II)'COM можно ош1сат1, окружность ~. Срсд11
пос·1 улаток. сформул11рuкш111 ых Нв1,л1щом.
бьL11и и такие: "Lkpc:3 ДНt:' точю1 можно 11рож:с­
т1 1 нрнмую~: <1JJ,1~e 11рнмыс 11<: \101ут 3;Jк,11< 1ч 1пъ
JJростр:~н стна >:> (Э'l'О можно ГЮl lЯ'IЪ l'i/I(. ЧТО l:CЛI!
i \l:lt' прямыt: l1мекп дне nбщне точкr1. тn 0 1111
J\Олжны соn11асть) 11 11р.
с ЛO! IHТI IЯ~IH делn 06сто11т a11aJТ O ГlJЧllO .
К r1р1 1м еру, о круж1 ю('"Гr, опрелсляется как п:'о­
мстрическое место точек JI3 пл оскостн, от­
сншщrIX от панной TOЧKll () (1\<.'HT IXI) на дан­
ш.к: рассr·uннис 1-.
Таю1м обра:юм . чтоб1,1 да·1·1,
49


Ипор1,1я м,11 ема ги к и
[вкл11д , l't'\Ы'ф pdtютi..i J\11дрt'д 1 1 " .мно Около 1 ~34- 1341.11 г
()1 1 ре;\епеш 1с окруж1юс1· 1 1. rта,1\О :шать. что т~1 -
1<ое ,,то чка», "расстоmше», <-nлоскос·rъ» 11 т. д.
13 KOJ ще 1\ОТ!ЦОВ можно IJi.tЛeлIITЬ lICбO!LbWUe
ч1тсло нз116опее 11рuсп,гх понятий. с 1ю,,·10 11 \ 1,rо
котоrых 011pl'дt."JШ 1и1·ся все ос1·:uн,ю,1с 1юня ·1 'J ~я
«Лсрвонач:т1,ные·• же поннт11н нас·1·011ы<о 11рос­
т1,1 11 ИCll Ы , ЧТО 1IX )'Жl' Н(' 'l'pc()ye'l'CH ОПрС{l.СЛЯТ I>.
Впрочем , Енюнщ 11 1:: хи1·сл ! КТ:.Jнш11ъ fieз
t н 1гк·1\<:лс 111 1н даже 11ростсl11нr 1 е 1ю11нтпя. Т<tк, он
1 1111J1ет: '·Точк~1 есть то, что 1 1е 1 тмсст частей".
O,r\11ако нсяс110, что оз11ачаст ~ нс нмt'ть частей».
(Скорее все 1·0 U1щлиi1хочет11росто пояст11пь.
что rео."1етр1 rчсская точка не имеет р:~змсров)
llеудатпслыю. что это тумашюс 0 11рсдслс н1 тс
lВК!lИД 11111 '/J,t' /t;!J ll>l lН: нс l!CПOJlhЗycт
11нтерСС1 Ю Пj)rJCJLCДl1 '1'1>, Ка 1( IIr!)IIOДЯTCЯ В
<' !!:~чала х» самые нервы<.: л.ок::~за·1 сльстна. П о
Е11 ю 1иду.лкс ф111·уры 11азываютсн ранным11 , t'C!llJ
OJJll чогут быт1. «СОВ\1\С ЩСНЫ•> HCt'Mll C IIO ИMJI
точкам11 ('1'. е. 11 ерсм1::щан од11) фигуру ка!\
п1ё1щос ц<.:лос, мож1 ю ТОЧ1JО наложить её на
вторую фшуру). 1lo Еnюшд не опрслслщ:т. что
эш1ч11т <,совм<.:ст111ЪУ , Таким образом. его «011ре­
деле 1 rнс.:» равенеl'!~:.t фигур па с;.1"чо.м дс;1 с t:с1ъ
обр;uц<:: 1ш<:: к 1L:.t11н.:rv1) IЮ13ССДН:<::J:Н-Ю МУ ()IJ Ы'l'Y· к
ш.:p<::MCll\{;Hl·llO тел "К:ll{ ' l'Нё/)Д<Н'О Цt::JШ\ '0->. Да-
:lt't:. l ' ШJMOIЦl,10 . -:J' l 'O l 'O HH lj)t: /\e.IJ <::l lll И'> hHКilll!l
Д< )~<азыRа<.:т прн:1нак~ 1 раве11п в~1 трсуголын1ков
R ПОСЛt';\)'IОЩL 1х же raccyЖJ\t:HШIX <111 ()ол i>ltl('
11 <:: 11 {JJI 1 .эуетсн налnжс 11 11t:м ф 1 11 ·) р. ;1 ссылается
на уже сформулиров~т 11ыс прrr:шаю1 равепсти~
треуrоль ш11<он. 1Iапртrмср , чтобы i\0 1\азатr,
равеJ1ст1ю 1-тлоп при ос 1юв::~111111 раnrю6ед·
рст шого тре~то.r1ьн rтка, Еnюшд провод1 1т бис­
с<::ктрнсу у1·11;1 11р11 всршпне и 1юказ111на е1, что
IIOJl)'ЧCHl!ЫC < )JОЛС>IНН-/Ю / » р:1н 11 ы I IO пс:рно.\•1)
11р 11 :~11аку. А 11оскот,ку 1~ ран11п1 х трt')ТОJ 1ы111-
к;,~х-1юJющ1111<ах 11рп·1·11н р:нн-11 11х сторо11 лежат
р~ш111,1t: ут.·1ы. С'J1е1юв: 1тс;1 ы ю. )Тл ы 11р11 nc11or.:1 ·
111111 11cxnJJ,1югo треу1ол1.11111<:.з р;ншы (рпс. 1)
R r\слом тnореш 1 е Ен1сл1т1р веm 1<-1естве11 1 ю
Со:щ:ншан 11ч с1ктсма нзложе111ш 1·со мстр1ш
быт~ 11асголъко xuporтr~1. что прос.ущсо·13она.1:1
более двух тысяч лет. Впл о1ъ до ХХ стuж"1'1 1н в
странах Енро1 1п1 (в том ч.1клс н l'occ1 11 1) 1·со~н:.:т­
р 1 110 н 111кол:е~х 11rL·1ю1 1a11a.1 111 11 0 псрско;1ам 11m 1
llO l l)'JJ Hp HЫM 06рабu1 K:IM rBКJllЩtll:IЫЛ <· HaчaJI ->
Но 1IOCЛt:Д)'IOЩ I IC IJUK()Jll'l l l IЯ ~1атем;J'l 1 1кон
l lt:: liO 1кём ClJГЛ:.1Ш~UlJ ICl1 с CI 1 стс:.юi1 а.КСПОJ\1 11
О11ре; 1елстнrf1 Евю11щ;1 11 JlblT:lЛllCb ее ул~'ЧШIЛЪ.
Наттр 1 ~мер, аксиома о том. что псе прямые ~тm,1
рzшпы меж;\у coбofi, 01Gtэаласъ пе11уж1 юГ1: тго
пред;южеrщ с удалnсь доказат1, т.:ак теорему
исх одя п:i остат, ны х акспом
Поднер 1·1111 ch с< >Мш.:шно 11н еко·1·орыt: r1py 1'11e
акс1юмы 11 1шстул:~ты rнкJ111л:.1 Осоfk:нное
НС:)'/ !< )J\JIC''J'B<>peн 1 IC всс1:1 1;1 1\ЫЗЪIR:Ш l IЯ'J'ЫJI П< )Cl)'-
JL;J· 1, утнерж; 1ан11111l1 : tтл 11 д,Кt" 11rнu.1ыс. 11~pt"' Ce·
::>·" rNr.11;:оuь
У.111гл пr.рв"JJ,
l}<'~н r.rг~ri.t ),·~ ,,n щ;.1tmЪ [/111~ ·..~"Ъ
11 )'1'.-\Х}1.т. 1.11j(}'14',\fl f11t.~ \'t 11 Q0}11f1J,1-.'Ъ
!·1 1 уrа'Ъ •11)M'•'\.' 1111 u·1r..1~Ъ J !.J ';il." I C
<J n.t 11.\\сл•••рч•t-11:0.Ъ и11.1.ЪJ111 ., 1t11•Ъ t·:i-
" .., ,, 1(\111 3o~t1 nl '· .-.~rf1 1 ~1,1
~1м' q>,-rJfU ,..111·1()
У' U/\•iH ~' l tt"l r 1_)'Mlf • 11111: Гшr~ n'mL. щ«t(A/lt .\ HЫ~l
t111i•\1"y 1,.._щ 11.н.jh 11н1 tt~f-'·\.\CAЩ'f•:l\:"1.i.'81 .11\1 -1
ш.1•1)",1;с: - n\,_ cv1 Q~•l\l'•H•1l1 (ltfc''ll11
• 1q1•1)р.1Ь
triнi1r11J','\111111.·";~1 "n:--.ч• n th!'il'. н~rrн "r ! JJ 1 t 1 't 1 -
ivmlo Н• 1 11'1{С :. r
"._ . 1 \'1 на1т"n.Л~ f (f11 nr(;r Цf\·
1tyll'I mv П Allfl){<MY rlllf('jt'~W.
rн 1·1· яко;.1Ъ '1 ·rr-vr·" \l 1fr; J; 11rnмnyr" 1
1 10~1li. ""' .11,н'11 Cl\'>K' ~nто ро1 1 r.р~­
м11му у 1"у npoт1 ruA'l\ >r-пЪ p.нtril>
FCT~ nрнчы, ъ ..1nухЪ fOK'JfЪ К11.1)р1"·
'IЛ~IU ЧllHO
l l t'jJIIOI ' рус ('"1~
IПдJН\11:' • I 1,J•<~Л•
l•ЭЛt'Mt'll!l)fl n l
Е JK/\11Л<l. 17jq г.


LA+LB< 180 '
.,.
.,.
.,.
чённNt т1х~·1·ы.:й. обра:>уют 1ю одну стuр(Jну от
трt"гы:й ЩJ.И ,\1UЙ 1шутрен11не у1·J1ы. сумма кото­
рh1Х Mt:HCC Дli)'X прямых )'l'Jl(Щ '1'0 1 1рп 11р()ДОЛ ­
жс:нии ~-1'их Т(Нух 1 1рямых 0 1111 1н.:ттреметю 11е­
ресекуте>1 , причём пме111 ю с той стороны от
тре-1' 1)ей 11 рдмой. 1·де сумма олносторошпrх
утлон .менее 180° (рнс. 2).
Об этом постулате уже нельзя сказать «ОН
столь прост н очен 1-1деп, что пс требует до­
казатСJ1ьства ·>, нс праRла л 1 1~ liсть н 1·еомtтр1ш
'1<.:uремы, котор 1,1с 1:1ыражают 1 ·ораз;ю болс:е
пр<КТЫС и OЧCBИJ\HhlC 1·~011,1стричсски ф:!КТЫ,
АРХ ИМЕЛ
Нссо~шс11 1 ю, Архнмсд (О1<01ю 287-2 12
дон э.) - CIM hU1 гсниалы1ы1'1 учёный Дренней
Гр<::цин . Он сто1л н 0;1ном ряду с Ныотш [(),\1,
Гаус~.:ом, uйлс1х>м, Лоб<1че1:1~.:ю 1м н 11руп1мн
вслича(11.11нмп м;.~·1·см<~т11ками всех нрсмi:н. E1·u
Тр)'l\Ы n ос нящtны 11t тш1ько матtматш<t . Он
сдеш1л замечательные спl\ры·1 ш:1 н мt:ха11шсt.
хорошо знал астро110,,шю, оптику, rи;т,равлпку
J1 был JIOИCTJШe легендарной ЛJ IЧI ЮСТЫО ,
Сь111 астронома Фпдия, написаnшет соч1ше-
11не о ниаметрах С:олнца и Луны, Архимед
родился и жю1 в гре• 1 еском гoporte Сиракузы па
ОЩ1mн1,1, Он б ыJ 1 11r116лижён ко двору цар>1 Г11-
l'рона 11 н l:J'O CЫH<.t-HaCЛ<.:JtH11Ka.
Хорuшо известен rассказ о жертвен нuм
11t:нце Гперо11:i. Арх 11 мс;~;у nпруч11л11 11poncp1 1 ·1ъ
честност 1, ю11еп 11ра 11опрсJ\елнть, СJ\tлаи иенсц
нз ч1 1<.то1·0 золота ит-1 с примесями друг11х ме­
талжн1 п r1e-1
· лн ю ~у тр и 11ero пуетт. О;\нажл1,1,
размышляя об этом, Архимед 1101·руз11J1ся в
1ш111у и заметил, что nытссне 1 шая его телом
вод;~ пролнл:~сь через край. Гсrrнал.ыюrо учёпо-
1·0 тут же осс~-шла яркая пдея, и с кр1шом «Эв­
rика. энрнка!» (Т. С, «1l :н.uёл,11<1111/::Л~») ОН, IOJK был
H::l l'OJI, брос 1 JЛСЯ проАОJ~ПТ!, экспtр1 I MCH'I' ,
Антич~ I JЯ мат<:?матик.:~
н~11р11мt:р 'l'еl)ремз о Т()м, ч·1'() n ра1шо6е,л,ре11-
1 юм треуrолынше у1·лы пр11 пстювании равны.
Неудпnит<::лы ю. что на протнже11т 1иекоn м~ю­
rие матсм::1тш01 nытаJ111С1> доказать пятый nо­
е1улат Евклида как теорему.
Былп найдспы и друпк формулнровю·r это 11
i!КСIЮЯЫ, КО'!'ОрЫС выражаюто1 11\i<JЧ(' , IIO Э.l<'IШ -
1:\~VleH'l'HЫ пятом у пос.-1-ул:пу, О,цна И:3 ннл таt;шщ:
чt.:ре:~ точк~. 11<.: прш 1 ;.щле.жащую 11анной пrя­
мо(r, мож1roлровесп1 'J'Om,кo одну 11рнму10, 11:i -
pam1eJ1ы-ryю датюй (т. с . 1н: щ;ресекающу1ося
с ней). Име111101зтакпl1 tlIOP;\1t пршюдптсн аксп
ома па 1хщлеJГL1 юстп в совреме1 шых Шl\OJJЫ 1ых
Уче61 шках.
Но М()Ж!IО ЛI I ДОК;t:~:.~тъ ПЯTblfl постулат с
помощью остальных аксно;\J? Нс1т да, то эта
аю:1ю.,1а 1 1 с i-ryжiia, т. с. 11зJю.жсн11с 1·еомстрr·111
\ЮЖНО СДСЛU'I Ъ более ЩХJСl'ЫМ. А <.:CJUI 1!СТ ?" ()·1 -
1\СТИ'lЪ на ЗТО'J' IIOll[IOC VIЗTC,l\!:JTJ !КН смо1·m1 J I HШh
через дне 1 ъ1ся ч 1·1 лет после Евюшда (Ct\1. ст:пъю
"Геометр~ 1я Л обз чеrкко1·0~ ) .
Иде.:я ЛрхнмсJ\:1 0•1снh проста. Тело, погру­
ж<::н1 юе н 1:ю11у, вытесняет стш1ько ж1111кuст11,
каков объё,,1 само1'u тела . Тlоместн 1кнен, R
Ц11/1111-1Дf1ИЧССКИЙ СОС)Д С BOHOJI, МОЖНО 011рС­
дели-~ъ. какuс КОЛНЧССТВ{) ЖllДl.IOC'll l uн HЫTt'C­
HJ 1т. т. t. уз1 ~ ать его объём.. А з1 i:iя объём и R~зае­
с11в ве 11 ец. леl"КО nыч1rслит~. удельную м~кс~ .
Это и даст возможность установ rп·ь 11стr111у:
ве,111, золото - очень тяжёлыit мет;:~лл. а более
,0,рх»М<'А Г1мnюра
(" а HTllЧ t IOI О <tЗUUfJilЖCHИl'I
()коле"> "\Vll l в
')1


,Аъ.
CZ'.l(]J
История математики
'52
лёrкис примес11 , и тем более пустоты, уrv1ень­
шают удельную массу изделия.
Но Архимед на этом не остано1шлся. В тру-
1\е «О пщшающихтелах» он сформулировал за­
кон, который гласит: ~тело, rюгружёштое u·
жию<0с1ъ, теряет в сноём весе столько, кm<ов
вес вытесненной жидкости». Закон Архшv1е/\а
являе;rся (наряду с другими, позже открытыми
фаtпами) основой гидравлнки - науки, нзуча ­
ю1цей зеiконы днижения 1·r равновесия жидко ­
стей . Именно этот закон объясняет, почему
стальной шар (без пустот) тонет в воl\е, тогда
ЮН\. дсревя/lнос тело всплывает. В первом слу­
чае вес нытеснеr11 юй 1юды меньше веса самого
urapa, т. е. архимедова « Ныталки:nающая» сил~1
педоСТ3ТОЧJ 1а для того, чтобы удержать его 1ia
поверхности. А тяжело rружённый корабль,
корпус которого сделан из металла, не тонет,
погружаясь только до так назъшас.мой nатер­
;ш ни и . Поскольку внутри !\Орлуса корабля
много 11ространстна, заполненного воздухо.и,
сре; \11яя удельная масса судна мснhlл е плотно-
сrи вuды и вытал1швающая сила удерживает
егu н;~ плаву. З<~кон ApX1'L"tcдa объясняет также,
почему воздушный шар , заполне1-пrьui тёnлым
воздухом или газом , которьпl лс1·чс воздуха
(~=юдородом , гелием) , улетает ввысь.
Знание пщранлию·1 rю:толнло Архимеду
нзобrести вшповui1 1-1асос r~ю1 вык<1чи1:1ання
воды. Такой насос (1<охля) до педащ 1 его време-
1щ применялся па испанс1шх 11 мексиканских
серебряных руд11111<ах.
И:> курса физики всем знакомо Архиме,цово
пр:ншло рыч:н·;~. Со1·ласно пред<1нию. учёный
про11 :шёс крыжн11 ю фразу: <Дайте мне то<IК)'
опоры, и я подниму Землю' ~. Конечно. Архи­
~1ед нмел в rшду пр11мене11не рыча1~а . но, nрн­
мо о<аже;ч, 011 был несколько самоу13сре11: кро­
ме точки опоры ему п rычаг понадобился бы
совершенно фанl'астнче('кий - 11евеJюя·11 ю
д.rrинный и прп этом 1rесrибжмый с_-герже1гь.
Достонерю,1с факты п мrю1'очнсле1шыс ле­
генды тrюрят о том, ч·1·0 Архи,\tед изобрёл
немаJЮ интерес11ьLх машнн и присnособл ений.


Цар11 Гиерон приказал построи1ъ огромный
корабm; «Сиракосия» . Но он был так тяжёл, что
множестnо вои11оn не смогmf даже сдвш·1уrь eJ ·o
с места. Тогда Архимед скопсгруироRал мсха­
н1пм , который nоз1юлил сделат ь это О1' Н ОМ)'
человеку. Царп сам спустил корабль на воду и в
вocroprc закричал: ~01 •нынс, что бы 1 1 и сказал
наш Архимед, мы всё будем сч11·1-а·1ъ ис1·и 1 шым! ».
Архимед был семидеся·1·илетним стариком,
1ю1·да римт1 11е осадили ег() родной гоrод С11-
ра1'"}'ЗЫ. Чтобы помочь жителям в обороне, оп
изобретал военные машины. Мощные ката­
пулыъ1 метали тяжёлые камни: на римские ле­
гионы, а более лёгкие обрушивали н ;,~ враг.~
целый град ядер. Специальные береговые кpa­
HhI. 1юзвы111авшн ес51 над крепuсr:ными с1'енu"'н1 ,
поднимали крюка.ми корабли римлян и опро­
кидывал и 1. 1х. Р11мский тюеначальн~rк Марцс::лл,
r~едоволы1ый сrюими 1юе1111ымн и11женерами,
nосх1·111lался Арлvrмедом, который «черпал море
римскими кораблями». А легионеры в панr-ше
разбеr;шись, когда из-за r·ородской стены по ­
казывалась ка.юш-ннбудь nсрё.вка или бревно:
•Архимед придумал rrо.вую машнну на нашу
11ш11бель!->.
t..(тобы отразить ttаnадение болыuо1 ·0 рам­
с кого корабля, Архимед заставил 1·ре ч еск11.х
1юигюв до блеска отполировать мt:т·аJ1лические
щил,1 , а затем выстро 1·пъся 1що.~1, береrа.. По е 1 ·0
указа~ 1ию воины сфокусиронали С())шечные
Jiучи от щито-в в одной точке на борту корабля.
Деревянная обшивка судна IIarpeлacь до высо­
r<ой температуры и вспыхнул:~ - на 1<ораблс
начался пожар.
Но дла само 1 ·0 учёного все эти военные
изобретения были лишь н езначительными
11 рактическими приложениями его н;.~учных
открытий. Кроме правила рычага и закона о
ныталкивающей силе, заставляющей тела пла­
нюъ, Архимед создал уче 11 ие о центр:Iх тяжес111
'fел и с его помощью доказаJt ·1·еорему о меди­
анах треу1•ол ьника , которую теперь называют
его именем.
АрхИJ\'tед рассуждал ·rак Поместим три рав­
ные массы в вершинах треугольника АВС, и
пусть О - центр тяжести этих масс, т. е" еслн
110;\11ере-тъ треу1·ольн ик н ~той точке, он бущ:т
находиться н равновесии (рис. 1). Теперь
nеренесём дне нз этих масс в середю-tу ссют­
ветствующей сто роны ВС. "! '. е. R точку, явпяю­
щуюся цеатром тяжести этих двух масс. В ре­
:~ультате положение общего центра тяжести
Анти чная математика
всех трёх масс не изменитсн (рис. 2). Но зато
стш ювится ясным, что точка () находится н;1
медrrанс АЛ-1 и делит её в отнош<.:11ин 2 : J
(сч11т~ш от нерШ1 1 ннА). Tu же рассу-жденне при­
мсю1м:о 11 к любоf1 другой меднане. А знач11т,
все три медианы проходят через точt-..'У О. Так
Архи мед доказал. что н любом треуrоJ1ьникс
мед11а11ы пересекаются в сщноf'I точке (r \ei-rтpc
т51жссти треугольника).
Архимед наmёл и ряд других геометриче ­
ских nримс11е1 rнй своей тсорю 1це1 iтpun тяже­
сти: он р:!ссказал u них в труде «О равновесии
тюских фигур''·
Hu самые замсч;.пельныс м::~тематнчесю1С
открыпнt Аrх11мед.а сн>1з:.1ны с его мстодам11
вычнсн ени.н тющадей 1·1объёмов. Эт11 мст<щы
фа 1<тичссю 1 прсдносхити1111 l.'~дею ннтегриро­
вания - за 18 веков /(О того, "ак дт 1 ффере111 щ­
:шьное и 1-ште1·ралыюе исчисление 61,mo rю ­
строено liыотоном и Лейбни 1 ~ем!
I lрименяя метод Евдо.кса, Архнмед nычнслил
площадь 11роизволыю1·0 сегмента параболы. В
CORpeMCIIHJ,JX 0ООЗН3ЧСНИЯХ ЭТИ раСС)'ЖДСНИЯ
можно изJюж1пь следующим образом.
Рассмотрим сс1·мент парабОJLЫ , uтсекаемьuvJ
от этQ.й кривой хор;\Ой АС, и пусть 11рямая,
параллелы 1ая хорде, кз саетс.» ш~раболы н точ­
ке В (рис. 3). Треу1'0льни 1< АВС ме11 ы11е 110 шю­
щади, чем рассматриRаемый сегмент тtрабол~-.1.
Возьмём тепер1, на параболе ещё две точки G,
Н, которые проектируются в середины отрез­
ков AD и DC. Доб:ши.в к треуголышку AJJC тре­
угольники ABG, вен, мы получим многоуголь­
пиклс;внс, который по шющади более близок
к сеrмеюу параболы . Теnерп можнu на хордах
AG, СВ, ВН, НС 1 юстро 1нь новые треу1 ·uльники
·А Рис.1.
53


54
Истnрия математики
(с трсты:l1 нершшю~'1 нrt параболе) 11 т д. В
рс:iультатс: N\Ы будс:м нсё болс:е точнu у:н~анаТh
шющаr1 1 , сеrм<::нта параболы .
А ;-щлыIJс Архимед лрu1юю11 сноп замеча­
тельные 11::1ыскаюrя. 011 нычнсляет плnщади
тюлучающr1хся м1ю1·оуrольникпв (таких, как
АСВНС и тюсз1едующтте) и фаю·11чесю r 1rахп1~1 1 т
nре/(ел, к которому стремятся :=~ти площаюr. т. е.
нахол;ит п1ют;а;~ь сегме11та параболы. Окюы­
вается. она составляет 2/3 от площади нарал ­
пелогр~м.ма АЕРС.
::>тот результат Архимел получае1· дпумя с110-
соб:1.мн . 8 пср1юм он 11сп011к~ус:т учение о
центрах 'Г>J.Жести · к;Lк бы р<1зре~:.1ет се1 ·м~:нт па­
раболы на тuнкне нертикальныс пnлоски 1r,
смещая llX, 11<.IХОДНТ пе11тры TIOKCCTll IIOJIOCOK в
псрно 1 1::1чал~,ном 1-1 смещённОJ\1 положе 1 rш1х,
уrа111ювешиная с помощью рычага сегмент
параболы н 1-1екоторый треугольник Второй
способ - чпсто выч 1 клнтельный
-
даёт вы ­
раженле nлощаде1'1 вписанных в сегмент мно­
rоуголышков с помощью формулы
1
)2
~-~
1
...
5(L+~ +...+/1)- п +11. +(J+.t.+ ...+11)
РазумеС'f'ся, Архимсн пр1 rнодит её в словесной
формулировке
Разрез:шне на по1 юсю1 , нт1 сло1 1 , Арх11мед
применнет 1·акже д1 1 я вычисле1 1 11я 06'1,ё,"та н
nоnерхrюстн тара, объёма и поверх~юстп
urapoвo r·o слrщ объёма параболоида nращепия
и других тел (рис. .+).
Архимеду пр1шадлсжит ещё много замеча­
телы 1 ых 1·еометр11чсских открытнЛ ()11 на­
учплся выч 1 1слять сторо11ы шшсанного сем11-
у 1 ·от,н11ка; / (ОК;J.З:JЛ , что H<JKJIOHHOC c<:Ч<::ltl-Je
конуса 11рсдста.вляст собо11 эллvrпс. Формулу
Н;JХОЖ/\СНШi l IJIOIT(aДИ. ·1-реугоm,ника 110 ДЛ\.'ГН::lМ
е го стuро11 :
Рис. 4.
S = ,/ р( р-а)(р- b)(J1- с:.)
Pite. 5 . Aμx11м eлnR.i
t llНj.JdЛb
[ vH?fПb Архн.,.l"л .1 . Копня XVlll и. 1 римrкш1 "tн.1ик1t 11в
называют фор.му.'Iой Герона, тю Архимед з11ал
её раньше.
Кроме то го, Арх 11МС/\ ПОС1 p01 IJI сnпрал ь, H<l-
Зhl f\~1 IOЩ)'IO("}J тcncph el'(> именем (рис i) Им
уст;11 юв1 1егю , что сслн JJpsi \t ~1я нр:ш.щется рав­
ном ерно нокр,11 · 11екоторо1'1 свпеlJ точю1 n, а но
этоn прямо!~ раnномср1ю дR11жетсн 'ючка , то
она uп 1 кывае-r спнраI11,_ )],J1я этоl1 с11щ1алн Ар­
хнме;~ nывел угалне~ш<' н полярных кппрдll ­
н:пах, 11ашёл тсасательную n произuОJ[Ы-Юй точ­
ке, вычнслил площадь между дuумя радиусами
и между дnумя в11тт<амп. 011 описал т:uоке рнд
мехаш1чс:ских примснсr шй такоf1 cr111pam1
ll1пt'Jx·c 110. ч10 Арх11мсд снач<lла нс даnал
/(OK;J1aTCJlbCTll, T<IK как ЖCJl<JJ I , чтобы <· К:I Ж/ \hlll
м.3 1 емапrк имеJ1 у11овольстние самш:тшпельно
11 олуч11ть этот рсзулъта'J ">. Более то1·0, он любил
ОЗ<!./1,<1.Ч/11\аП, CROllX ·jaШ1CTHllKOI~. пр11n:11:тяя Нt'­
которые 11енсрные у1 верж;,t.:111щ •·N• бы тот, кто
бу; \еТ уверЯ'JЪ беэ )\OKaЗ<lП.:Jl/)CT.R::I. ЧТО ОН все ОТ-
1\рЫЛ сам. rютталс я 6ы n 1юnvптку, утнерж; 1ая без
ос11опания , что 11а111ёл то, чего 1 1 сльэя найти".
Древние 1'рею1 nокрынал11 стол сухим песком
и на ::JТUl-i <-rrecчaнu1·1 но<.:ке" дел;.ин1 liСртсжн За
т:.~кнм столом и силе; ~ Арх1 1 ме;1, углу61 1 ённыГ1 н
CB()JJ MЪICJll -1 , кпгд:1 OД I LH и;-J ГJИМСК11.Х HO l lHOA,
СJюм1 11тп1х сппрт 1-1вле н1-1t' 1 ·ре1<ов , ворнался 1<
нему. «Не CN1t:й 1poran, мон чертежн~ ,, - за -
1..:рнчал учё11h11'1 . Легионер вскипел. Лере;' ни:1-1
был враг, yi mчтожа.вшн(1 рнмс1ше кораблн, со-


J,. \311JllllЙ ;'ЩСЮfС MЗllllJIIЬГ. Т<о·1·орыс ;'\1е'!';.1ЛИ КЗ~l­
rrп и у6 1тщ1т 1 его тонар1шJ.сl1. И, 11еомпря 1 1~1
·шпрет военачаJ1ы1ш<а Марцелла. 011 прон:шл
старика мечом. Обтщаясь 1.:р оn ыо, Архпмед
упал 1ia свои чсрп.:жи, Н<Хiможно содсржав шш.:
ещt о;~.но научно<.: отк р1,r· 1·11 е...
« АРИФМЕТИКА » ЛИОФАНТА
Дп 11 :i tШL~ J\11e(1 дошлн два nронзведсп11н Дш) ­
фанта, оба 1 1 с 1101шостыо. :)то «Арифметика•
(шес11> 1<1 11 11· нз тринадuат11) и uтрьшю 1 из тра к­
тата <· О ~шоrоуголъпых ч.ислах?. 1:-Lu о са ~юм
авторе 1 1 е:: 11~~ВС(vгно 1 юЧ'!11 н11чс 1·0 Фr:н-щузский
1кторJ1к м:1тс,\1 :Т11 1ки Поль Т: 1 ннср11 , t>СНоRывз­
нсь на косвс11ныхдзш1ых, опредслr 1 J 1, чтоДио­
с!шrrжru~ k ct:re1t1 1нс lll в. n11.нa1<CJ учёные ~ r юхн
Возрож11с11ня, n·1 ·к rыя11111е coч1111e 1 rrrя Д110-
фанта в 6иnmютеке 8 3T~n<a 1 1а, оттюс 1 1ли время
ею ж11:ши J< серед1111 с 1.1 в. Сохранило1 1·екст
эm1тафи11 ( па11писи lla 11адгробrrом к~1м1н:). нз
KOTOr()fT МОЖНО IIЗПЛеУ.Ь IЮС -КаКИС СRt'ДС:ШIЯ:
ПрахД1тфстта г;ю6111ш,а 1101\ошп:
диrшсь l!tf - и каме1tь
J~) 1cJpы11 U<.'Л:J'CCIJl(JQ,;lt C!ZO Cl\(LЖY!J/1
усоптеги (U'JL.
Волр1/ богои июсп~1 110 часть .11(uзни
()/-/ 11/ЮЖ'Шl jJe(iё11J\IJ.M .
и )Щ111 >н1 1 ну 11/ l!CHIO(/ RCYnf.щ miu1.
с 1~,1 1mх:о.м на ll(l!JCa.\".
Т11.1111л-о лmн:~:'ш С(:'()U1ная, с шн)ругот
mt оfiручuли1.
С ·llt!IO nmJU1 лет щювсдя .
cыlfa до.ждш1СJ1 .ч11дрсt(.
7'с.иы~о 1юлжиз1-tи отцовс1\оii
воз.любле1111ы1/ сын его 11/JШICLlЛ -
Uтнлт 011 был 11 опща pa11н&t"r
_.1юг 1 и11 )li сmщ1!.
Два.>1сды дtю гш)а рос)итш1ъ ш1Jшкиr:мu1
JYlЯ:J/CIШf! горl!.
Тут и у1ш()ел 11/NйeJ1 .J1с11.ан11
llt!ЧtlЛЫIOzi C(l(}f!Lf.
Д<Х'Т:П'() • 1н о pбltll'f'I, yp:i ш ICHI lt:' 1н:рАо й сте 11 е-
1111 с O/\flllM не11:~uсстным - 11 мы у:тасм. что
Д1юфант 11rюЖ11л fЧ 1·ола.
Е 1·0 ~ Ариф м е·т· ика<> стат~ rюuоротным пунк­
·1·ом в 1х1зmп111 1 злсебры11 теорпн ч1кt:Л. Имен -
А нп1 ч нd1 1 мате"1мпик<1
~то проrtзошл(I u 212 r. до 1r. .- > ••Марцелл np1 1-
каJ:.т с почссп1м11 похоро111 rт1, Лрхимедз , а на
~101плыюй плпте иэобра:нлъ цн.11и11др 11 н1ш­
сан ны11 в н<"тu шар. Такхотt:л сам учёньнl , 110-
скою,ку оче 11ь 1·ор,t1 1л ся открыты \1 11м сщ>тно-
1нсн1 1 см объёмов ::>т1 1 х фигур - 3: 2.
110 :щссь nропзошсл Ol<Ol l Ч:lTCЛЫIЫ fl (УПШ:3 от
rеомстрr JLJt:cкolr :-1лп::бры. Бпанщаря б) кнс111101't
снмнuюшt' Д1юф~111 та ал1тбра uбрt.:ла ноныl1
ш:1ык, i ·opa.31\0 Guлct: ш1t.:р;п 1 11111ы1'1 11 у, 1,06 1-1ыl1 .
•1см я::1ык гt::o,'ll1cтp1J11 (см . ста тыо "f1ткде1111с (iук­
кс шюfr с11.,шо.rттrю r ·•).
«Ар11фмет11ка" -- ::>то 1н:: тсnрет1 1с~ сско~ прn-
11:шс,1е 1 11 1е, ка1' «l l aчaл::t» r:1щл11rta 1ип1 " Ке> 1111 чс­
с 1ше се че~ пш-> Лпо.11.rюrmя. :)то с6о ршп' : sадзч
(nce t·o 1rx t 8<)). каж,:1::ш н:~ r.:oтopurx с1 r :.16жlт1а
ОД !lИМ llJIИ llCCKOJlbКlL'\Ш рt:ШСПШI М\1 и нco6-
XO,l.11Lt\1ЫMl'I II05JCIICHl151,'vllf,
в н.:Nалс Сl:Ю<.:ГО ~ ·руда /~1 юфа~rт 1IOMCCTl lJI
кр~ткое вве11.<.:н11с. ста 111нее 1 н: рны~1 11з.южс нн­
см ()С Н ОН алтс:бр1,1. В НёМ СТрСШТСН l IOJll' ra 1~1 I0-
1J:IJ111H ЫX ЧJ I CCJI 11 BBOДL l 'J'(' Я fiуккс 1 111:1н C l 1MПO­
Jll lK<I. Та .\1 же <lюрму1 111руюто11 1раш1ла1161сп111~1
с м1ю1'о ч ; 1 ~пам 11 11 :-1)ar111e11шr~11 1 Цх.1з:-· отnо­
р11м сл, чн-, ап:~лн;з ре111е1 шf1 ~1а1tач по. пюляет
0611аружr пь 13 •·Лр11фмст 1 1ке·• 60_1ее шнрокие
тсорет11ческнt: ос 1 10uа1ш:я, чем те, 1-\ОТ()р ы е
>wrю пз1южс:ны но ввсдещщ Пре)fщс всего это
опюс 1 11·ся к ч н слоно1I обл:1ст1 1 .
l l 3!1UMHIJ.\1, что R КJl:lCt:JIЧCCKOi'I а1 1 тr 1ч но~'r
.'lll :t'ГCM:lТJIKC: ч11слам1 1 113:1ЫR:JЛ ll CI> М !-I ОЖССТВ ;]
t:/\lfНJЩ, '1'. с:. ТОJ.IЫШ на тураЛh НЫ С Ч!LCJ l :l
Дно­
ф~IJIТ же Х/)ТН 11 ) \:1 t ·1 cн1pe.r\CJICH I Jt: Ч11 СJ 1 ~1 [((tl{
мнnжс:стRа е; ~нннr1 , 1 ю н;J 11ротнже 1 н 1 11 всех
КllНГ !1 ~1:11>111аст r<аждос l lOJIOЖllH'J lul IOC p:lЦIIO
нали1ю с решение сnо их з:щач словом «ч11сло ».
()д 11 аr<о д:1я построе11ил :тгсбры Ol\IlHX
толы<о полож1 пе.'1Ь1n,1х дробс~'t 11едостаточт10.
11 Цtюф:шт делает рспн пе.r1ы1ыi1 шаг Rnoд1 rт
отр 1щатсJп,ные чнсла. Дrrя :о~того он выбнр:н:т
Ml~I'C>/\, l IЗHCCTI IЫJI TCГIC:/)h как :1 кс 1 юмaTl·l'l t'CIO ltf:
01 1 0 1 1рс;1<:11нt:т 1юш,111 ofiъtж1·, которы i'r 1~а:зы-
1:$~1ет < НС/~<х·т~п·ком», и фор .чул11рует пран11ла
11c1lcтm 1 r1 с 1111 1>1. Диофант 1 111 шtт: « Недостаток
у1V1ножс:111 rыlr 11;.i НС/1,остатоt<, д:lёт 11 :~л ичяе ;
11едоста·1·ок же:, ''м1южс 11 1 11,1 й п:.t н;.1m1ч 11е, даёт
.
.


56
Исrория математики
Лиофант.
11 сдостuток » 3то « 11раашю з 11;.iкrm·> мы .vrожем
зa11JJca ·11, так:
(-)х(-) =(+),
(-)х(+)=(-).
Прашmа СЛОЖСНllН 1r IЗЫЧIIТан11н / (}!}1 110ВЫХ
чи<.:сл Д11офu н·1· 1-r<: 1r:1ла1 ·аt:т , он просто пол ь­
зуетсн 1rм11 в с1ю11х книr·uх И. всё же отршtа­
·1e.Jl hHl>l t: числ::~ Днофа 11 т 11р11м еняст тол~)ко 1~
nрuмс::жу·1очных выч. и слсниях . а в качест в е
рс шенш1 НСt: ГД~I выб11ра е1 ПOЛOЖllTeJll>IIOC р:i ­
Ц I ЮН:!ЛЫЮе ЧИ СЛО.
В 1~реf1!1оже1ш01'1 Диофантом буквешюй сим­
волике примечательно то. что кроме знака для
И3д<IНИР
Nлр~1фмt! I Иti.И \
Лиофанта
Ба·1ель 1:i75 r
11е и::.11:1сстнuй нелн ч1111ы н1юдятсн обuз нач с::ню1
для nер кы х шести сС с1·спс нсй . к::~к пшюж и­
телhНЪLХ. т~1к н uтрю~<1телы1ых То естьлля Д1ю­
ф;~нт:.1 эти вt:личн111,1 11е 11мскл п::оме'rр11ческо ­
го см 1>1 ст1. как было ра11ы11е. С:формуm1рошш
11раrнта умтюжс.:аия с1е11е1rей п еп звестного 11
rте1щ специ::tлы1ые з 1такн для равенства - 1cr
( 11 ,1ч .~лы1ые буквы грсчес1<01·0 слова <-ПСОС " -
« раu11ый ») и нсопред<::лё11тюrо квадр:.1та - О ,
Днофант внерные н м:1тсматикс IЮJ1учает воз­
можно с·1ъ зап 11 сыва 11> 11J;ll\ 11 c r111я н111 1 01стсмы
урав11сгшй. l<ан счно, е1·0 форма заш1 с 11 1111 -
скuлыш нс 1юход11т 11 ::1 сонремснную, ОД11:1 ко ~1 о
настоящие уращ 1 е 11ня. щ,щt:11я10щ11еся н тексте
т<1к же, ка ~< в 11ынеппшх м ;1те\1атических ра60-
п1х . Собственно говоря, /\() Диофанта 1rи1<::tю1х
уравнений - 1111 опредслёшrых, 1111 пеопрсдс­
лёшLЬLХ. - просто 11 е быJJо Рассматр1 шались за­
дачи, 1соторыс мы те11ерь м ожем свес.-r·и к уран-
1 1с1 1иям, и не болt'с топ)
Наконец, но нвелс11111 1 Диофант форУ1ул11ру­
ет дна uснош 1ых 11 рани;1 ~1 11pt.:c >nразонан1 1 я ~·ра 11-
1rс11 и(1 1rранило 11t:ре1юса члена ура1шеr 111я 11з
одной части н ;1руrую с uбратr1ым ~паком и
пр;lВ ило Щ) 1113е11епия пu.п,об11ы,-.. членов Вп о­
сле,цс 1 в r1 и этп правила ста11н нзвестны п од
арабскпми назв:н шями "ат,-джебр" и <«Uiь-t-ч ­
кабала -> (см статью "Страпы :-~рабского Вос­
то ка")
По<.:кольку <·Арнфметнка ·, - это сбор нпк
задач. можtт с.:л<Jжнп,с.:я вп еча1·;tе нн е. что Д1 ю­
ф ~шт разμаботал остроуi\1ные 11р~ 1 ё мы !J.ШJ
рtшенни частны х сл~ чаен. но не создал общt-
1·u метода. Однако при 1ш1 1:м .tт1:льно м чтени11
можно у6сд1 1т1,ся· 1·щатсл1.ю,1й подбпр 11 про­
дума111юе рас положе1ш е зада ч напраnлеrrы 11:1
·10, чтобы проиллюстрировать применение
rшпm-те определённых общих .методов.
В п ервой ю1нrе решаютсн определённыс
у равнения п ервой u второй сте пен ей, нu
все остальные кнн1· и пос вящены реше ни ю
всопределtнны х ураннени 1"i 1·1 с и стем т~1ких
уравкеннй Тщатсл ы-ю разб11рая решен11я Ди ·
офанта, можн о у1шдстh , что 0 11 фактичсск11
доказынаст слс;\ующую взж11 ую теорему · если
уравнение второ1'1 сте 11ени с J\ПУ1"1я 11е11з11ес1 -
ными и с ра1~11rнrалы1ым11 1<оэффитщептами
имеет хотя бы одно рац1юпалыюе решение.
то это уравнение имеет бесконечное м1южс­
ство таки"'1: реше1шii. Более того, зпачсш 1с нс11з­
вестных х и у можно задат~, раци ональны.мн
функциями от одного пара м етра: .-х: = <p (k),


у<= ljl(k). Для уравнений оыше второй степени
этu }"J 'Rержденис неверно.
Диuф~11-1т 1юл. ноt.:тью nроа11ализнровш1
нсопределённые уrаннсния Rторой стспе 11н с
двумя нсшmсстными .Для реше 1 1ия ураннt.:ний
11 систем более нысою-~х стспенс~'1 он р:'lз рабо­
тал ещё более тоJ 11<ие н сложные методы , 1<0-
·1·орые привлекали в11има 1 rи е м110 1 ·их сF1ропей ­
с1<их математиков Нового временн Од1п1м из
этих методов решается самая извест~тая задача
Д11офшпа: «Зада rшый квадрат разложит~, на
дnа квадрата•). Двепадц;пь ве1<оn спустя р:1з­
мы 1 11лсню1 над ней побудишт фратщузск01·0
матСУtатика Г11,сра Фе рма сформулировап, его
Античная математика
знаменитую теорему (см. статью « Rели1<ая те­
орема Ферма»)
Труды Диофанта и.мели фу11даменталыюе
значение для развития ал~·ебры и теории ч11сел.
r: ил1е 11 ем это1·0 учё.но 1'0 свя::!ано rюяк11ение а
развитие алгебранче::ской 1·еомстри 11. г~робж:ма­
ми которой вrюа1е;\ствю·1 занималиСh Л ео н:Jрд
Эйлер, Каrл Якоби 1,1 дру гне а1поры . Н:щболее
тубокое применение методы Диофанта 1-1 ашл1-1
в рабптах ~амечателы-ю 1 'О математи1<а ко1-ш.<1
ХIХ- начала Х)С n. Л11р11 Пуанкаре. На oc1rone
этих методоu строится арифметиI<а ат·е6раи­
чссюIХ криDых - область, иптс1 1 сиu1ю разви­
н~нощаяся в конце ХХ столетня


История матf'ман1 к~i
СРЕЛНИЕ BEl<A И ВОЗРОЖЛЕНИЕ
СРЕЛНЕВЕКОВАЯ ИНЛИЯ
Уже н ссредш1е 111 тысяч<..:л1.."гин .цо н. э в доли -
11с реки И нд сущсспюв~1л~1 р;1Jнитш1 цн1шли­
:~ац11н. Об уровн<.: знаний Т()Й д~~лёкой энохн
MOЖl-IO судJIТЬ 11() (1<.:З)'JlhТ:пам арХСОЛ()Г11ЧС­
СJНIХ иэысканиl1 . l la11pнм.tp , пр11 расконк:ах
Gы;1н 11ай;~е11ы обломок: .rн 111 eilю 1с делс:1111нми
и древнейшие в мире иr рJJIЬ ные костп кубн
ческой формы. На каж,f"\ОЙ стороне ямочт<ам11
обоз~ rачены ч исла от 0,11 ro1··0 до шес1 и. Тор­
гош~ы тех далёких времен ттолr.зоuал11сь ка­
мсшrыми п1ря,\111 различной вслич1111 1,1 . Архе­
оло 1 ·11 uбна р-ужили болън юс ч11с1ю прсдмстоn
1 11х1ш-rлыrо!1 1 ·сомстричсской формы Дю1 1ю­
строt.:ния сжруж1 юс-r<::1'111нд11йцы, 110-нид1 1мu-
1\.'fУ, применяли и1-1 струмент, похож1 rl1 на соврс­
ме1шый циркуль.
М 1 rо 1 ·ие черты роднят 1(1 1 щ111нза1 0 11о)(ОJ1J1ны
Иr ща с други.м11 J(pe1-1 11им и куль~1Jамп - Ег1"11 r-
том и государствами Меж:1уречr,я. !)езде во:-1-
шп<~Ши одппаковые 11роблсмьJ. приходилось
делать расчL'ты ттри стронтельствс ;щорпов.
XPJMOB, ЖИJIШJ..J,, складов /\JHI зерна, BOCIUILIX
укrсш1с1-1нй, 01 1рсдслять r::i·Jмcpы и очертания
по;1е11, учитывать кот1чест1ю матсрпалов и
протlуктон - словом, решхтъ схожие матема­
п 1 чt:скнс з адас1 11.
Ro 11 - 1 'J'ЫСЯЧСJIСТ!!ЯХ ДО 11 . :7. ПОЯВIIЛJIС Ь
рСЛ111'НОЗНО-фшюсофск1'1С КНИПJ - ВС'/\Ы ( <iЗl-!a­
HI 1и» ). Од1111 11з раз/\СJЮВ Вt'д1 11·1скоl1т1тсратуры
1 1а:з ыnался <-illy.111,();1 -C)тp:1 » ( <·Пр;шт ита верёнr<Н,>)
?}тот 1 ракrат, сост~rще111 1 1.1l1 11 V11 - \i вn. /\() 11 э.,
С()держ11т праnнла и:i ,V1epe111111 (.." пом()щ1.ю 1зе­
рёню 1, 11р11ме1 шемыс пр~ 1С1-рс:1 11·1 c.1ucтne жерт­
nенпых алтаре1'i и храмов.
В 11срвыс века по1ю1'! эры полш1лис1, аст­
роrюми ч сск:нс 11 м,1 тt:матичссю 1 е 1руды - cид ­
/JX:JH' I ы ( "' Y 'ICl-11 I И» ). Фаюы, IBЛOЖClll-lbll' н llt'pвыx
сиддха1-пах, :{~t11м с·1 ·1юваны у дрснн 1 1х tрсков
Труд •Пут 1с;1-с11ю~хаt1та -> нришкыкжтся aJl(:K-
c:11 щрийtкому :ктрш-н >.">1~ ЛауJ1осу. О ~·р~чt::ском
происхожде1tнн с1111дстсл1,с-1 ·ку~т 11 11::1 :танш.:
«Ромака-сиддхалт:.~ " (жнтелt1~1 Восточно1' 1 Р11~1 -
С1<ой империи часто назыnали ро.чеями) . 13 спд­
дх<нп·ах нспользова 1 1ы некоторые греческие
термины Впрочсi\1. лаучные связн И1щ11н 111'ре­
цш1 сущсст~tша:ш сщt n ::111т11чньн.: времtпа.


В Среднt r<" века рабатат 1 н1111 111у1скис мате ­
мап1ки 11 :.1стrоrюмы Лр11збх;.iта (V- Vl вв.) ,
БрахмагУnта (Vll в.), Магаш1ра (IX 11.), Шртiдхара
(lX- X вn.), I.>x:icкapa (Xll в.), Н11лака1па (XV-
XVI вв.).
Бш1ьw11непю трактатов 1111f\11йцев 11<1п1.ка-
110 н<1caнcr<pr1те - я::;ыке наую·•. ко· 1 ·uр ый абъе­
дш1ю1 ученых. 1·онорнкшнх на разных наре­
чшrх М11ог·нс труны r1з;юже111>1 FI с·rи хах, r~ я
того чтnбы пrаннла можно 61 .1110 з<1учн1:1а1ъ
наизус1ъ. Науч.11ые текоъ1 обычно сопровож ­
дались 1ю;(f"Юбн1.rми 1<омме11тариямн, где каж­
дое nraf\ПJIO ТЩЗТСЛЫЮ ОбЪЯСНЯЛОСЬ.
ИНЛИЙСКИЙ СЧЁТ
С 11peвr-rtl1111 нx 11ре,,,1ё н в И11;~ии 11римснялась
f\ССЯТИЧJ l :JЯ 01стема счнслсння. .Цля СДИJ 1111\ су­
ЩССТfЮН:.11111 спс.: 1\11~uтr.1 rые :·1н:н:и. а десятки н
сот11н заrтнс ынал и теми же 1\ифраJ\нt, 1то li
друmй rю:~vщии. Памимо цифровых у чисел
были и словесные обозначепня. Tar<. нут, обо-
111:1чали слоn:~ми «нусто1т». «нtбо» илн ~д ыра»;
ед1111ицу - н:.~зnаниями единичных предметов :
•Луна->, «Jемля->: дnойку - назв::tниями n.~рньос
пред~н:тоn: <-бди:нrс1\n1->, « глаза·>, «1юз;1ри·>.
•губы') 11 т. д.
Имс11110 01' 1шд111kкой IIOЗ!ll\llOHJ-Юii нумс­
рацшr прон :юшла прнпычнан 1~ам система
Средние BE'Kil и ВозрожлениС'
~
EDJ®
сч1 1 сле 1111я . И11,'iпГтr\111 рдра(Jп· 1·ал11 nр~11111ла
ар11фметичепшх детrсттшfi. ос1юва1111ые на
этоl! нумерацшr (первым 11х применил Ар11~1б­
хата) . Оrш умелн ск.1аf\Ы1Jать. ш.1читат1" умно­
жать, !(СJ 11 ггь, вознод11ть LНICMI в ю3:щрат н куб.
изнпекать к~адр~1т11111<.: н К)16Нчt'сю1с корни. .!3н­
rю11с:йцы ll:1З l1IH<llO'I' Цttфры ОТ() ДО q :.1paбCIOL­
Ml ·I , т:~к как 3а1 •1м с.~гвон;1лн 1 1х) арабов. Но с:1,111
арабы 1 1м еную1 ~тн цнфры ннд.ийскнм11 . :1
ар11фмст11ку, uс1юн;11111)'1О 11t1 дс:сяпrчrrой от­
стеме. - ПIТА11йошм счётом
Арифметические правила шщ11йцев м:1ло
чем отличались от 11равIJл , изучаемых соuрс ­
,"rе 1шыми школышками.13от 1car< f)хаскара от1 -
сал операцию сJюжс1шя: «Сложи ц11фры , сто­
ящнс н:t ОДН!IХ 11 тех же пo:нrttlIOШIЫX •ЧCel'~IX ,
в r1рямом 11ш1 06р:1т1-юм порню<с" (11р1111rямом
nоря;tкс сложеш 1 е нач1111;1ется с сд 1 н1н1\, пр11
обrа·1·1-юм - со с1·аршнх pa:irя/ЩR). Д6rстR 1 1е
1-11.1чнтаrrия Бх:н: к.арэ \н1ре1tслю 1 так: <· R1.1ч1п·:11: 1
ч 11сла 11 соответстшш с нх 1ю:нщ1юшu,1мп ме­
стами R прямом IIJJИ обрат-~ юм поряд1<е». А пра­
n11ла для сложешrя. вычнтапш1 и )'Мrюжещrя
дробей такuвы: «После прш:!t'flеттшr дробей к
общему знаменателю с:лож 11 Чil('JlПTCJllI»; <.По­
сле nр11не1tеюrя /tроб<::й к общему з наменап.:­
лю СJlедуст юять p:1:311UC'IЪ между ЧТICJl ft'l'C)l}l ­
MlH; (< ПpoI LЯl:!C/(CHlle ЧI ICJIHTCJlt:Й , /tСлё ш юс H~I
1 1рои3вед<::ннс з 11 амсна·1·сле~'1, с.:с1ь рсзульт:)'1·
ум1южспп>J двух 11т1 болt:с Л!Х>беl!».
59


60
История математики
Н;J.чи н ая <.: VII J:J. и1щийск1 1 е математик 11
nользов~uшсъ отрш ~атсльным11 чио1::~м11. Пшю­
ж1 1 тсльные чис;1а они 11азыпали <>дхана» или
~с13а » ( «иму1цСС1'fЮ»), а 0·1·ри ца1·елы rые - ~pm ta»
11J111 «КJJ.tайя» («долг"). 13ра.'Смагугrта, приводя
прашша арифметических действий пад отри­
цательпым:н Lrислам:и, ещё пе отмечает двузнач­
пост1, квадратного корня. но Магавпра в IX в.
уже указывает на неё.
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Индпйские математик~ 1СОЗJЩ.J111 развитую атееi­
ранческую символику. R Индии пrrepnыe nояви ­
лнсr. rкоб1.1е знаки для .мтюrнх неизпестных
величи11, свобо;щого члена ура 1ч-rення. степе­
ней, основных арнфмет1 ·rчес.:кнх дейстшrй. Болъ­
шm 1ство симrюлон предст:1влю 111 собой первые
слоги сапскритских терминов. Наnрнмер, не11з­
вестну10 величину ~11-1ди 11цы называли ~·й:.~в:~т­
тават» (<.С-Т'ОЛl>КО-СКОJIЬКО») , сё обС1Зllач~иш cлo­
l'QM «й:н. Если неизвестных было несколыш, то
11м дапали наимепова111ш разл11ч1 1 ых цне ·тв·
чёр11ый - •кал(.(IСа», голубой
-
«т-rилака», жё.:1 -
тыИ - «nита1<а о)
-
и эаписыnал11 слогами ~ка».
<НIИ», «ПН» И Т. П.
Индиl1с1ше математики достигли больших
успехов в решении задач, свя:3аш1ых с алгеб­
раичеСКИJ\оШ вычиСJ1е н ю1 ми. Ариабхата ое1·а .1шл
зад~tчи, сводящ 11есн к ре1щ:ниНJ линейного
~'ра1:1нения с одним не11звестным. У МасавирьL
Бха<:к:.~ры и /фу1 · 11х учёных есть з~щ::~чи. прино­
днщ11е к систем:1м линейных уравнений с нс­
<.:колькими нси~1.Аест11ым1 1 . Вот одна нз эадач
Ма1 ·аF1иры: «CT()J1.i'v10CTЬ 9 лимонов и 7 ЛССIIЫХ
яблок равна 107; стоимость 7 т-1монов и 9 лес­
ных яблок равна 1О l. О математик, быстро ш1-
зовн м не цепу лимона и лесного яблока».
Задача при.1ющп к системе двух линейпьrх
урав нений с п:вумя н еизнес-1· ными:
{9х +7у=107,
7х + 9)'= 101.
Метод решения, изложеш rый Магавирой, не от­
личается от современного способа решения
с помощью уравнивания коэффнциентов.
Бхаскара nрс:длш·ает т~u<ую з<щачу: «Од1ш
имеет :IOU монет и 6 лошадей; дру1·ой имеет
1О таких лошадей, но у него недостаfт l 00 мо-
нет. Оба оди11аково богаты. КаТ<оuа uена лоша­
ди?" . УСJюние ныражас::тся ур:шш:-ш1см
6х+.30()= 1Ох- 100.
Отсюда Бх~ккара нахот~ит, что JIOШ<l,L\I> стоит
100 мо11ет.
Задачи на ква~ратные ур<11..1не 1 шя ес1ъ уже в
«Ш)'Льба-сугре», где прrmедены ур:пше 11 ия п11да
а;;/ = IJ, ах
2
+х=/-;.
О;\нако их решеюш :-..1ы впервые встречае:-1 у
Ариабхаты. Этu :заJ~ачн на СJ ЮЖные проценты
п на нахождение ч1кщ1 членов арифметиче­
скuй прогрессии . Бхаск::~rа рассм~принал спс­
ц11алы ю лодобранныс ур;~внсн~rя третье!~ 11
четRёртоii сте11е11е1\ целоч11ст.:: н н ые КС1рнн
которых он ва..'i:сщнл путём неслож11ых лреоб­
разоват111й.
Итщийсюrс матемзт11ки усnеш110 решали
нсопредслё1шыс урав1rе1rня, r(оторые rюз1шка­
т1 в ::н:тpOHOJ\·HNeCКllX задачах. в OTJllJЧИC от
Диоф;1нта. искавшс1 ·1) любые рацио113Льные
корни, 1 1н;(ийцы далн способ ре111ения неопре­
деJ1ё1111ы.х ур:шнсннй в целых п01южнтеJ1ы1ых
ч11слах . Л1111ей11ое ур:шн.сн1-1 с в целых ч11слах с
[(Тlумя 1-1ензt1еС'l'l 1ы мн
ах+!:> =~} '
приnодит уже Ариабхата. но более подробно о
нё,\1 рассrGtзывают в своих сочш rешшх .l.5рах­
ма~у11та 11. Бхаскара .
1.kршин<~ достижений шщийс.:ю1Х .\ilа1·ем<Jт11 -
кон н тсоrи1 ·1 ч11сел - ретс11не в целых 1юло­
ж11тельных чнслах нсопрсi(t:JJённ01·u )'равне-
11ня второй степени с ;~нумя нt:извt'стны.м11
axl+fJ=):2,
rде а - целое число , не являющееся квадра­
том. Эт() уравнение рассматртrRалн Браы.ш­
гупта и Бхаскара , который ш1 примерах изло­
ж~;.ш метод, 11азываемый теперь циклическюt
Позже в E~pu.11e этим уравнением занимались
П. Ферм.~, JI. Эйлер, )К л. л~нранж. Метод на·
хождения nолн.01'0 ре111ен11я , открытый Лагран·
жем. в 1769 1·" близок к шщ 11 йскому.
Арнфме•п1чсскис и 1'сомстr 1 rчески.е про-
1'рес'Сии за11имали видное место R индийской
математике. Некоторые задзчи очень извест­
ны, к примеру задача о награде за изобрете­
ние шахмат, которая сводится к пахожле нию
суммы геометрической прогрессии со знаме­
нателем 2. Суммирование числовых рядов ин·


тересо11а.1ю многих индийских математнков
(см. ста1ъю ~числовые ряды»). Ар1 1 абхата при­
nодит прав~ща суммирования рядов треутоль­
ных чнсел, натуральн ых кn::~дратоu и кубов, а
Маrавира - правила сумми роnани я рядов
квадратов и кубов членов арифметической
11ро 1 рес<..:ии
БоJ 1 ыnой интерес 11н; \ 11й1\ ы проявляли к
комбин~1торнкt:. Вот, например, задача Ма1·а ­
виры: ~о /\руг, 1-ш:юв11 'fИCJIO р;!ЗJГН Ч J-fЫХ uжcpc­
Лllit. которые можно получить из брш1лнантоu,
сапф11р()1:1. изумрудов. коrх1 1 1 ;ю 11 и жемчугов».
А уШридхары 11р1 1 но1iи·1·ся такая задача: <.Повар
готовнт рззл11чпые блюда с шестью вкусовы ­
мн оттепк::~мн : острым, горьким, в.яжущпм, ютс ­
лы.'.1, солё11ы.'-1. слащшм. Друг, с1<ажи, каково
чнсло 1:1сех разноnид1 юстсй·1.
ГЕОМЕТРИЯ
311а1 tнн н открытия 1rнщп~tскнх математиКОli 11
rео~1 етрн11 скромнtе, чем 11 арнфмет1 1 ке, алгеб­
ре и теории ч11сел. Спеr~иалъныхсочт-шений по
r·еометрщ1 в Индии пе было, эти сведения со-
Инл1111rк~1й "э11уrкр1<nт XVI в.. кпш1я матРм,п 1 1ч~·<"ко 1 1
рукоnиl" Бхаск.~ры
Средние века и Возрожлен ие
общалис1, 11 ар11фN1етических тракгатах нли в
а риф.метн ч еских разделах сочипе11 и 1! по зст­
роном 1111.
Геометрические теоремы r1 р1шодил11сь без
доказательСТ13. Обычно ЭТО был только чсrтёж
со с;юном «смотри». Лшuъ в редких случанх t1·0
сопровождали кр~1 ·1 ·ю1с 1 юя<.:11е11ин. I Iо-1:11щ11мо­
му, доказате.11ы"1на учащимс51 сообщались уст­
но. В геометр11ческнх :~~щачах 1:1опросы чаще
вct."ro Сt.юд 1-1ю 1 сь к иьrчrклснням 11 гораз1ю
ре.же - к построен11нм .
СаJ1-1 ьн:: ра1111ие сведе1111н о 1юз11а1 1 115!Х н11яrrй ­
цев в обласп... геометрии содержатся n руковод­
стnс по постройке алтзрей н храмов - <·Шу111.ба ­
сутрс<> Храмы ВОЗ!ЮД11ЛИ, П ОДЧ l fl l ЯЯСЬ рл,11у
правил: здапнл должны были иметь в основа­
ниях опрсдслешrьrе фнгуры и бьпь сорнентн­
рон:шы no странам С1~ст:1. ДrLЯ :;i·r ·o1·0 требовалось
у\1енне стрuи'IЪ прямой ~1·ш1. ю~адр:п, nрнмо­
у1·оnы tые треу1·ольннки. сторон1>1 которых вы­
ражаются це.1 1 ым11 чrкламн . Н1-щпr~щы эналн. как
tюстронть ква;\р:-tт, р<11Jно11е;1 ики~1 11 рямо~1 ·олt,­
нюq:, и кнадра 'I'. 1IJ ЮЩЭДI> J(()ТО\)()Г() 1<рат11а ТТЛ()­
щади данного тrnа,11р~па. Отnравпой точ1юй м1 ю­
п r х построений служила теорема 1Iпфагора .
Пхаскара приnодпт дою1~штсльст1ю :.,~то11 тео­
ремы в виде чертежа с: 11адшкыо: <· С.\1отри·>
ТРИГОНОМЕТ РИ Я
На ра:ш11т1 1е ас1рп1юм 1 п 1 в И1 1;11111, пп- nт111нмп­
му, оказали u11 1 iя 1 111e труды Птолемся, кот()рые
1 шдийцы nреобразоnалп n спстему расчёт11ых
п1хtвш1. Глаш1ым их достнжеш 1 ем стала заме-
11 :.1 хорд синусамп. ЧТО ПОЗRОЛI I ЛО JЗ JЮДИТЪ
()1


,Аtъ.
EUL[!J
История математики
62
р;~зл11ч1tые фупю~ш1. сnя:зат1ые со сторо 1 1ам11
11 уt·лаып пряl\Ю)ТОЛЫЮl·о треугольника. Таким
образом в Иr-щш1 бьшо положено rr<tt 1 aлo три­
го 1 10метри11 как учсншо о тр11гоном<.тр 1 1чс­
ск.1-L-... ве1н1чинах.
!1нднйс1ше ученые тн11,;.юн:.1 J 111<.ъ ра:3.11ичны­
м1 1 триrонометр11ЧССК11l\11 1 COOTHOL 11 t:L 1 11Я.\'I И. 1-S
ТОМ ЧIIC!IC Н TCMIJ, "()'t'OГf• I C fl СОl!()СМСННОЙ фор­
;\-1С Rыражаются как
siп1ц +co.s~o: = 1.
c;in а= cos (90°- а).
si11 {а± Р> = .sin <.У. со-, р ±со::. п ·siп~.
l111дий1~ы тшокс знал 11 фор~1улы для rq)атн1.1х
у1лов si!i 110., cos 1ю., 1·нс 11 = 2., 3. -\, 5.
Тр111 ·ономстрин г1собход1 1м;,~ N•Я астроно­
J\Н1чссю1х μасч.ётон, которые оформляются в
н~1дс т;.~бm1ц. Псрн:нr ·1абтща с 1111усов 11мсетси
1:1 «С)Т>ЬН -сщv~х;штс» п у Лриабхаты. О11а прп ­
nеде11<'1 qерсз 3"4<>'. Позю~ее учt:11ыс состз~шли
более подробные т::~бшщы: вапрнмер, Бхасr<ара
nр1шоднт табщщу cшrycon через 1°.
10ж1ю 1111юrrк1ш~ математики в X\f l n. доби­
ш1с1, больших успе:хов в области суммнрона-
СТРАНЫ АРАБСКОГО ВОСТОКА
Kom<J. н (>22 1·. 11рор<ж Мухаммел бежал 1 1з Мск­
ю.1 И С'ТЭЛ nрОПОНедоnать ПСЛЗJ\1 (араб «ПО1Юр-
1ЮСТЬ•>), ещё ничто не нредвещало •'Рsrдущего
трнумфа IIOBOЙ реJJИl'ИИ и ИСЛ<LЫСКОЙ государ­
ствс111юс·1·11. Ilo уже к нас~алу \TlJI 11. арабские х~1-
лифы (прсс.мнню1 11ророка) покорили огром­
ную территорию от Псн11.жаба и Хорс:зм<1 H<I
щ >с1 ·оке до Геркулесовых стол бон ( Гнбралтар­
скш·о 1 1ролина) 11 а западе. Псрныс халнфы не
жалсж<utн с11е1·ску10 1<yJll>1ypv 11на\'Ку, н том ч1 кщ·
мaтe1v1<1'1'J.JJ<y. Л вот халифы нторой ;'(и 11ас-гии .
ЛГ>6ас1 щов, - a.flli- Maнcп) и Харун ар-Ра11тд (l'а­
рун аm гt>ашпд, :шакоиый всем no ска:-~ка!\1 <:Гы­
снчи и ощю11 ночи"), 1·л:убо1ю y'R3Ж<l.fl учёпость,
стал11 11ригла111атr, 1> liа 1 ·щщ ино;~емлых мудре ­
цов. В 1Х-Х нн. на щх1бскнй я:~ъrк б1,1л1111ерt:нt:­
/ (С ны ос1юm1ыс нрошшt:;(сния Енкли,тщ, Архн­
МС/Щ, Аполло1 шя, Герона, Птш1<::мс:я 11 Диоф:~нт:~.
В VL1L-1X kB. в Арабском хал11фатс уже
пользоналн<.ъ 11ндн[iско(J лссw1·1 1ч 11от'r поз11-
111ю11нuт'1 с 1 ктемот'1. Трактат «0() и11ди~'1ском
шш бес1ш печ 11ых чтrслоных ря,_1он. По-ю 111rrчо·
му, O!ll1 3:1JП IM ~IЛ11Cb ЭTlfMll l!ССЛС,Т(ОВа1шлм11,
ко1·да rтсюm11 способы 1.:1ыч1rслен11я более точ­
ных значсню1 ч11сла п. l lнлака11т~1 с110вссно
!1рt·шол11т ttpaш ша разложен~ tя аркташ·снс1 11
бсск011ечны~-1 С"1·епен11u 11 ря;1. Л в аншшмнuм
трактате ~карlНi~ш<1щ1х:п11 ,, (<.ТL"хш 1ка вn1чнСJ1с­
ннй ->) л;1ны 11p;ш1m:J раз.гюжсн11я сшJуса 11 ко·
с1-11 ryca в ()с:ско11еч1 tыt: стспе 1 1111,1е ряды. Нрю~о
ска:-~ать, ч то RЕвроnе " 1юдо611 ы м результатам
подошли JllJmJ, в Л"VН -ХУШ вв. Так ряды Д}IЯ
синуса и косинуса nыве:л И. liьюто11 около
1666 r., а ряд арктанrе1ка бьur 11a\'iдeJ-1 Дж. l'ре­
гор111.:1167] г. н Г.li.Лсi'iбн 1 щсмв 167:31·.
***
В \:JП в. учёные стран Ьл11ж1rt.то 11 Срсr1нс1·0
Вооока позна1<ом 1 m11сь с ·1 рудам11 и 1 1диlкюL'<
матем ал 1кон 11 ::~п ро1 юмоn 11 11ере::всл11 11 х на
арабсюri1 нз 1 ,1к. 13 серс;~111 1е IX fl. срсд IIеа:нrат·
ский учё11ый аль-Хорсзм11 н:~пис~ сочи11е1111е
<>Об 1п 1дш1с1ш;11 стrёте». После того как арабсю rе
трактаты 61,1m1 ш:рсвсдсны на латы11ь, многие
И/1;~11 ИlJДllЙСКИХ матем;~тнкu.в CT:.tml ДUL'ТОЯIШ ·
ем сиропейсrюй. а. затем i1 мирuвой на уки.
счётс-> - 11ервы!1 араt1с 1шй тру;1, н котором
F1С"1·речается 1ювая 111щ11l1скал нумерация. Его
наткал uыдающтпlся учtпый Мух~1мме,\ бен
Муса аль-Хорезм 11 щшмерно в 825 г. В XII в.
юп-1гу 11 сревсл1 1 на л;пынь. И 1юск<.тьку н !iнро­
ну деся·11 1ч ню1 с 11 стсма пр 1 rшл:1 чсрс' :~р:.tбов,
сё <.:тшш 11аз1"1н:пь 3(Х~бсюJй. Прав1rла деf1стню1
с /(ССЯТ l!ЧllЫМИ Чl l CJШMll IIOJJyчшrи назь<11111е
«алгоритм-> Это слоно про1 1 схо;111т от латнн­
скоfl формы пмет111 з;11)-Хорез1v111 .
Учёпые арабского 'Востока был1 1 в ос1юn·
1юм астрономами. С !Х в. n Лрабс 1юм халифа·
те начала складываться сrюеобраз 1 rал матема­
п 1 чсс1<ая культура. Здесь ~стоды 1 ·rсчсской
матсм.атшш пр1L"1ешшись для рсшс1 11 1я астро·
1юмпчс:ских за;щч.11м<:нно nотребнuстп :~стро-
1юмш1 и np1 шел и к буr1юму ра зш 1л 1ю алгебры
11'J р11гонометрш1
Ос1юRы ап!'ебры кdк 11ауки 3:1лож 11п труд
:ть-Хоrс::1м11 ·f<таб аль-лж~()р валт,- ... 1укабала1
( • Кшrга () nосстаноnле 1 11111 п пр()т1-11ю1юст:.~nле·


Средние B€:'KJ и Возрожлt'llИ~
111111 »). Сло1ю «ал1.-;ркебр>} R матем::пической
11и'rt:paтy1Je арабского lЗостоI<а означало 11ерс-
11с(е1ше отрнцателыюго члена из одной частн
ур:шнсш 1я в другую, чтобы нолучптт, н обеих
час1н.л полож1п слыrыс члены; u-1сюд<J 11 11ро-
11зо1шю н:1 ·ша11не наую1 - алr·tбра. <·А.111,-мука­
бала~ 11 сренодито1 как "сраннсннс~, "nрот11вu-
1юставлс11"н.:,,: с ·1 ·0 1 1ки зрс11 11н матсм:.1т11ю1 это
orrepJцшr 11r11всдr:ю1я по;(обных чле1юв н
оnсих частнх ) р:шнсm 1н.
J>ешение ю1адра·1'11ых, кубпчесю1х н 11еопрс
делётrых ураnr 1 ешн\ 1 1 зшн:чсrш е корнс1I ·1рс­
т1,ей, ЧL'Тflёpтofl 11 nюой сте11 с11сй сталн ос11ов-
11ьrм11 дост11жснням 1 1 арабской алгебры. llp11
рсu1<::1111и ур:шJ 1сн11i1 11с1ю1tьзонат 1 сh ар11фмс­
т1 fl-JC<..:КI1<.' 11 l 'COMCT[JI 1Чt::СЮ Н..: МСТОJ(Ы .
Алп.:6р~11·1ч ссю1й тракта·~ :шь-Хоре.1м 11 был
СОС'J ':шлсн как p~XOflOДCTll(J /1,ШI pt:lllCI !ИН пр:.11< ­
т1rчео01х :щп.ач. 1юз1п1к:н1Lш1х. 11,111ример. 11р11
разделе 11аслс1к·1· ва (М~ cyJ1 ьманс1юе право
А/\Ь-ХОРЕЗМИ
РоЖдение матем« гию1 и п ер1:1ые её
шаги 1,пра1:н:~дли1ю t вязывают с
именами учёных Лрев1·н:•й Греuии.
Но случалось и ТJк, что свет зна
ний шел ю Азии, .:1аставляя улив
ляты я Европу. Вем1к 1:1клад в срел­
невекоаую науку Мухам.... ела {)ен
Мусы аль-Хорезми (787- око.ло
85()}. Кстати, в самом t!ro име ни
содержится опрелелён ная инфор­
маuия: Мухаммед, сын Мусы из
Хорезма.
Хоре:-~м - земля древняя. За
тысячу лет до новой эры там уже
был 11 пострuены магистральн~..1е
просительны~ ка11алы и искус11ые
ирри гаuионные сооруже ния. Надо
полаr.~ть, именно потребность в
точном сельскохозяи<..-твенном ка­
лендdре, в регулирова1 1 ии стока
волы и планировани11 поливных
земель э.:ктавила хорезмuев разв и ­
вать математику и астрономию с
особым усердием.
IX век стал временем п одли 1i-
1юrо расцвета науки в Сред11ей
Азии. Именно тогда nыли состав­
ле11ы первые тригонометричесю1е
и астро 11омические табли uы, про ­
ве.ьсны и;1мерения величины
Земли, строились обс-срватор11и,
появились научные трулы по геп­
граф~1и и первые гео1·рафическне
карты. По'lтому 11 ель3я сказать,
ЧТ() rlЛb-X opeJM И был ()ЛИНОК В
своf'м отечестве, - 110 он был 11 а
ГОЛОВУ IЗl>IШC МНОГИХ.
О его детских и ю1·юшеских
rпдах, учёбе 11 учителях свелений
не сохранилось. И1вестно, •по
околп 81f)1. проrвеш/:lн11ый халиф
аль-Мамун пригласил аль-Хорезми
( коrорый к тому времени уже з<J­
воевал ttаучный авторитет и хо­
рошо знал основные 1руды уче ных
древней Греuии, Индии, Ирана) в
Багдад. Там аль-Хо резм11 возгла­
вил библиотеку Лuма Мудрости
(сеrолня мы на:1~dл11 бы его t\ка­
демl'tеи 11аук). Пол его нач алом
в библиотеке переводили трул1>1
Птuлемея, Енкм1 ла, Ар11гrотt>ля,
д1юфанта, Герона. Он работал в
окружении 1:1слуших учё11ых Вос­
тока, которых собрал у себя х;миф
аль-Мамун.
Аль-Хорезми - автор олиннал
uат~1 работ; шесть из них лошли ло
на< в арабском ори rин;;~ле, три -
в пер еводах и пересказах , а лве, к
сожале11ию, были утеряю.~. Наи­
больший ин1 ерес представляют
трактаты аль- Хоре·i."1и по ,1рифме­
тике и аr\ гебре.
Арифметически и тракта 1 13
ори1 инале не солранился. В Xll f:I.
в Испании его перевели на латынь,
~атем в XIV в перепи сали, и елин­
t твенгrый ·ж.iемпляр этой руко­
писи находится ныне в Ан1 лии, 13
библиnтt'ке Ke'vlfipилжc:кnrn у11и­
верситета. Как озаглави" тракт.:~т
ав1 ор- неиз вестн о, .:1а переводом
же 1акрепилось назва ние «06 ин­
диС1ском счете•.
Но если в арифмстиче<..ком
трактdте аль-Хоре.:1ми главным об­
р:~зом проп аг.:1нли ров ал достижf:'­
ни11 ИНДИЙ СК ИХ матемJТ11КОВ, ТО
алгебраический его трактат «К11 и­
га о восrтановлении и противо по­
ставле11ии )) - сочи нен и е совс.:р-
шенно оригиналЫJUl'. Лрев11ис 1re·
~..и шли от rеоме1·рии к алгебре,
аль -Хорсзми использует гсомет
рию для иллюстраuии с.ловес 1-1ы х
алrебраичепих правил, которые
для него первичны . Истор11к Ибн ­
Халду11 ~в Туниса писал в XIV в.,
ч то ~кн ~t га аль-Хuрсзми о шести
типах аl\ге6ра1~ческих зала<t при­
надлежит к числу лу<twих кн11г, <"о­
ста 1менныл в ::пои области».
Митематичео.ие труды алt.-Хо­
ре.,,м и высоко uuене-ны во всем
мире. В 11 45 г. алrебраическии
трактат был п~рсослен н,1 латынь,
в 1 В42 1. сделан его перевод на
франuузrкий язык, в 1Н57 - на
немеuкий, потом на Jttt м1йский , а
в ХХ в. ;пи сочи не11 ия опублико ­
ваны на русском Я '{ЫКе.
Вnрочсм, ал~..-Хорезми зани ­
мался не только матсм.пико~::-1. В
< пио:е t:-ro основных работ 1на­
чится и трактат по астрономии , в
ко1ором 0 11 иtслсдует движс1-1и е
Солнuа, Луны и пяти пла11ет, ла(!Т
пrав~1ла измер<:'ния геnrрафичР­
ских широт и долгот, оnрелсляет
размеры солнеч н о~ о лиска, рас ­
скёнывает о солнечных и лунных
1атмениял .
Лруrая раб(П;~ аль- Хорезми -
« Книга кар1 и ны Земли• - труд
географический . В нем л.1ны ко ­
орли1-1аты 2402 пу1-1кто 1з ЗС'М J·JОИ
поuсрхности и нJлuже н.1 uри 1 ~1-
Н<1льная 1ео1 рафическ.~я СИ( 1ема
с уч~>том климатическю. зон . К сп­
жалснию, эта книга не 61->jла 11з ­
вес:тна европсйuам, 1ю t?c JI 1 ачс­
н ие для развитин географии н а
Восток!:' очень велико.


История матема г и к и
п редусматривало тота сложную систему на ­
слсдова1 rнн, в соответствии с которой мно rо­
числс 1ш ыс родст~'lе н никн умерше го 11олжны
были п олучить CJ:IOI() /ЮЛЮ в ЗШ:ШСИМОСТИ ОТ
степе~ 1 и родеrва.)
Аль-Хо резм.и дал классификацию ли 1 1ейных
и кn;щр::~тных ураu 11 е11и~1 н с п особы и х реше-
1 1ия. Общее решение квал;рат1 ют ураш rеrшя он
не рассматрю1ал. Во-первых, его не шrтересо­
вали уравпе ~ шя. у которьL'с не было ни од но1·0
положительного корня. А no - nтopьi.", он ста­
рался записать уравнен ие т.~к, чтобы вес еп)
члены выс тупали н к::~честве сла гаемы х, а не ны ­
читасмых. Поэтому ;~ль-Хорсзмн рассм;~трннал
отд<.~лnнu 111 ссть R1rдou ур~шнений, к которым
путём алгебра ~ 1ческих п реобра :юJ:1а1 ~и 11 сnо­
дятся /IР}ггт 1 с уранне н ин:
1) их-= !1:х (в терминологии aJ 1ь-Хорезми -
«квал;рат,ы рзu11 ы ко рням»);
2) а:-.::-= с ( «КВадраn,1 равн ы числу»);
3) tL"< ;= с («кор ни р аnн ы числу»);
4) а.'1:- + Ь:х = с (~квадраты и корн и ран ны
ч.нслу» );
5) o:\·J +с= /JX (« кш1 драты н чнсла 1х1 в1-1ы
корням~);
,
6) lxx +с= ах- («к()рн11 н чнсJ1::t равны квад­
ратам ~).
Здесьа,fJ,с>а.
Помимо ат·ебраического способа нахож­
дения корпя уршшения аль-Хорезми обыч но
предлагал и 1·ео:мстрнческий. Нот, 11апримс р,
nссьма изя щ ное геометрическое рt'ше ни е
ур.uшс 1 шя
х2
+ lOx= 39,
(*)
ОТ'НОСЯЩСJ'ОСЯ К -1·-МУ ТИП)'.
Рисуеrся квад р:п, сторона котuрОJ'() оfi()з11а­
чаетсн неI1з1к:ст1 юй не111 1 чн110!1 х. ПJ1()Щадь та­
коr() кщ~.щхпа х.!. На сторшт::~х кnадрата стро­
mся четыре прнмоу1 ·опь1 ш ка со СТ()ронамн .\" 11
lU/ 4, а в углах - четыре квадрата со сторо11ой
IU/ 4 (рнс. 1 ). То1·да площадь каждо1 ·0 из 110-
10
строенных 11рямоусоль111rкut1 будет -:Jx , ;1
сумма 11х ПJ IOЩ::t/leJI 10.У. Пщ)Щ::t/\h каж;lо 1·0 11:J
чс-1ырёх yl'Jlo1:1ы х квадратон равна 100/ 16 = 6 ,Yi,
а 11х сумма 100/ 4 = 2'5 . Ecm-1 сложит~ . шющад11
кн:tдрата (х2) 11 четырёх 11рямоугnлт,н 1 1кuR
( 1Ох). то получнтся выражен не. стоя"ще~ в лt­
нot'r чаС'l·и ур:~ннсння (*) , т. е. суммарная 11ло­
щаДЕ, ршш:1 59 Отсtода нахою1м, что площадь
бол ьшого ква,тtрата :)9 + 2') = 64, а его сторона
соответс-rне нr ю 8. ~ то же время из ч ертежа
следует, что С1'орону больто1 ·0 к н:щрата мож­
но выразить как сумму х+ 2 10/~1. Пр11рав-
1111в::1я:х+ 2- 10/.:1 = 8, rюлучасм х = 3.
Другой ара6ски.й математик. аль-КарадЖJ 1
(? -1 016), 11ред1ю ч итал ариф м ети ч ески~ ме­
тоды решепня я1аn 11 е 11и й Его эаслуга n том,
что он ввёл бескопечпо м1 ю1·0 положителы1ъ1х
и отрицателы-1ых сте пеней неизвестных 11
арифмети ч<.:скис опсрац 1 1и над многочле1 r ами
(пращ~tt. нри делении огра ничивался лить
деленнсм мно 1 ·очлсна на одночnе н ). Однако
ал ь- Карадж11 нс б ыли чужды 11 гсометр1rческие
мето/\ Ы . ТТрнведём эле1·а 1 rтное гсомстрич<::скu­
аm'ебрзич еское дuказательстно формулы сум­
мы кубов натуралы 1 ых чисел (у аль - Кара/\ЖJt
ll = 10):
1\+2'+5'+ 1:1+...+п\=
= (1+2+.3 -j4+...+н/.
Р:ксматривается кнадрат АВСD со стороной,
равнойсумме 1+2+3+...J +...+ll (JlИC.2).
В квадрате Rьщелнетсн уто:нж BB'C'D'DC, такоi1,
ч1п DD' =В.В'= п . ТТлощ:.Iдь ~~·1·п1 ·а уголка, p~1111 1 aJ1
сумме площадей прямор· m1ы111кпн D'ПСЕ 11
R'FCB м.нпус плn 111аJ11, квадрата CFCE. пре;1с·1-ал­
ляется разностью
2r1(1+2+5+4+...+11)- 11.!..
Преобразуя этu выр<lжепиt" с 1юмuщыо фор­
мулы ДJШ суммы apиф.tv!(.'TИЧCCKU IJ 11ро1-ресс1ш
1+2+3+4+...+п=п(n+1)/2.rюлуч;н:\1
2n(l+2+:i+ 1+ .. +n)-N~ =
= ln _11_(~1_1 _
.... _
!-'-
)
2
Дзлсс рассматривается кна,цр;п , Ш'СD'.
13 нём ·1·а.кжс выделяется )TO!IOJ< B'B"C'/J"D'C',
])
Fс
D'
С'Е
х1
!Ох
-zr·
D"
С"
6 1'4
А
В"В'в
Рис. 1.
Р11 г. 2.


~
81~ История математики
66
Рнt. З.
11е n1>1JIO, :1a1111CJ1 урап11е11111'1 11 НЗЛОЖ<::l 11-Н.: re:1ym,-
TaTOR оставалпст. с1юж11r.1м11 11 11еуноб11ым11 .
Очень важны псслсдоватшя ара6сю 1х учё­
ных u 0611асти 1·еоме11)1111, в частности ра\1оты,
поснлщёш1ые док;-~з:~тельстuу пятого постулап
~Rютида о п3раллслы1ых. Разу:-.1сется, псе rюпыт­
ю 1 доказ:t1 ь пятый постулат бьин обречены на
1н:у) \<11 1у, нu 01-111 110/\1·0·1·uн111111 1ючву для 1юсл е­
дующих иссл<::/\он;11111i1 ~11ро11е1kкнх математ11-
ков 11 В К.ОНеЧ 110М 1IТОП: ДJ IЯ OTKpЫ'l'I IЯ В Х rX Н
н<.:с:ню.LИ/\ОВhl х 1·сомстр1 tit ( с,..,1. с r·атью ~ Гсо.УlеТ'­
рня Лобачевс:1ю1·0~). Kpo:vi1.: тоr·о. про11схо;\111ю
СРЕДНЕВЕКОВАЯ ЕВРОПА
r1:ш.::н<1 тнор1\<Ж антнчной ма·r·с,1:1·1·11ки - 1111-
фаt'ора, !::вю111д:1, Арх11ме1 1:1 - зте1 к:1;~..:,т1ый, l lo
11011po()yi"11 e HCIIOJIHllЛb X()l'>I ()ы ОДНОJ '() 11:~ eн­
(lUПt:ЙCКIJX .У1зтсм:~1·11ков С:rсднснсковья, tJ н~к
скорее 11eei·n пост111~ нс'1· нсу;1ач:~ А пr11ч11н .1 нот
11 чём. 11 Сре;11111е 11ек~1 (ко11е1 \ \' -
Х\'ш1)11Енрс>-
пе формируется нн:щ отлт rчтrая от а т1тич1-ют1
снстема цеш юстей. !iё основу уже не сосrавля­
ст r<улr,т паутш. 1lом1.1слы людеl1 обращены
к Богу , Цсрюш, соnсрт епстnоRанпю J\уш11
У большшк"гва в; r шпслы п,rх: богосл:оnов н ~1ыс­
J 111теле 1'1 то1 ·0 крс:-.1сн11 н с на(1т11 размышJ1ен11й
() \•1:l'!'t'Ma'J 11ке 11 ее pomL в M11(1t°. СХ()/\НЫХ 1!0
глуб111-1с с 1рсчсскr1мн образцз.v~11.
И вес же н сред~ 1енсконо1'1 Европе нс забыли
1ю111юстыо о ~11 1аче11111r м<пе..,,1ат11ю1. В VГ н. Фла­
в11(1 Кзссиоf(ор. п;.1,1111 11 з 1юсJ1е;~111 1х образо­
ва1111ых р11мт111, ос1юн:1 ·1еJ1ь хр11стиа11ско1 'О
моттастыря тта лаnшсrюм :~ападс. 1'\Срзтrул пред­
ставать Б01 ·а-Твор ца в образе 1 ·еометра В е/'О
трактате «l lастаnлст111я n науках Божсстnспнr.1х
п чсловсчссюDС» глав:~ о геометрии открыва­
ется заспшом, который в вольном псрсложениа
;тучm так: • Теперь 1н.:рейдём к нзложснию
H<llШПЛCllllt: 1 ·еоме-1р11че.сю 1 .х фat('IOH, КIПt>рЫt'
111юследстnпп быт~ осоз11а111.1ка1\11rеwюже1111я
::iIOШllaЛelITJIЫe ПЯТОМ) постулату. TaIOtMH nre,.r1 ·
ЛОЖСНТТЯМIТ JffiJIHIOTCЯ, 11::tпр11мер, утверждеш1я
о сущt("l'1:Юн~шш1 лараллс:.11огра.мма и прямоу­
rолh1-111к:.~, кuторыt' 6:t1'}.J,aдcrш r1 матсмап1к Сабит
11611 Kyrpa (8.)6-9U 1) 11снuньзоиал для доказа­
тt:J1nс·1·н:.~ 11ято1'0 1юt~1ул:1·1·:.~ А 01V1ap Xaйsl\t 111жа-
3ыаал СГU l·IC.X()/\H и;~ ~ l 'J-\C(lЖ/~CHI rя· <·ECJLll }\НС
11рн .\1ые 11rи6т1жаются 11гу1· к дру1·у, то 01-111 обя­
:1атслыю ,1ол;юrы псрсссч-1.сн·>.
Ара6с!(ие м:~тематиrш впервые rпучили rке
тр11го1 юме1 р11чесю1е фушщш1 и сосr.ш1mи н6-
лицы оптусоn углоn с промежутком u 1U', прн­
чё."'1 с пор.1:-штслыrоr'r точrrостыо - до 1/60·1
.
~ помощью тр111·ш юметричсских футrю~иr'1 они
llCCJICДOB:IJlll COOTJIOJll<..'llllН МСЖJ\У е~-оронам 11 11
у1·лам11 треугштъннков. To!tbKP ЭТJ 1тrеу1плы111юr
11;1х<щ11т1<.ъ нс на 11лоскост11 , а на повер:-.1юсти
сферы. f'<Шt:t: 1ю110611ым11 1юпрос1м11 зан1ш:~­
лно. Мевел:Н'! (1о. )11 К'1:11щ11f1 Ilтoлeмeir (lJ n.)
-
со.щатеmr сфсрнчсскоi1 тр111'0 1юметрш1.
bor-Tвopeu
к.н~ Г{•ометр


rеомстртr. Ст1детельств:.1мн 11реnп11х п ерсю1-
110, что J()шrтер в дся11нях CJIOJIX nоступас1 как
П.'О.\н.:тр. 1-k знаю. л;остойно лн это nохnалы шur
llOJJIЩШIIЩ IIO 01111 OCMCЛILJIIICb СI<; 1 зат 1., что
Ю11 1 гrср на нсu<: пюр11т no;\0{)1ro 1·<:0.\ileтpy.
р11сующем~ ф111уры 11<1 р:1<.:кра1 11 е11но1"т 11ыm1 .
11uкрын::но111с~"1 1·сомстр11ческую цоску. Так~ rc
peчLI. еслн 11Х с ДOJJЖHOII ()ГOLIO[>l<O(I о·r·нссги !(
Т1ю1щу, 1к·смо1унJ.t:'МУ Госно((у, мо1·ш1 бы, по.жа­
луй. COO'J'BC.:TC'l'ПOli:.lTI> I I CTL HTe - Bt::Лh Сшпан
Tpomta постунает, еслн доз.волепо буде-г 1·< .11<
выразпться, как геометр, ко1да пр1щ2ёт Сволм
•r ·1юрснпям оnредслё111-1ую форму 1r Rriд . Откуд<1
слсдуL"I', что всt:, что правильно р<~сполаr<.tетсн
н обтщас.:1 .зако нчснн остыо фор~1. может бь11ъ
Ш"L{aЧt' L IO ЭТОй дщ:ЦllrтJl\IHO.Й».
Уе.рберт и3 Орийака
(Папа Ci1JlЪ~ecтpJI)
о
оо
l р<?л1ще века и 1:!01ро~е1ще
По-R1~дr1мо:\\у, те же сооf>раже11 11я 1:щ(тоm<
нут 1 неr<ОтQрых cpc1ri;f1eвeт<onыx ху;~ож11и1ю11 к
rreo61,1чrroi1 m~ee: нзобраз~пъ Tuoprщ с 01-ром­
ным ЦI!рh.·улем , 2 /.НIOJД:I с HCCl.ЧII I1ЛII ПJJ(.)TlНЩ ­
IO I M )Tom.1-11rкo"'1 в рук:Jх . 1ro подобных мш111-
атюр <:СJхраю1лось uче111, м<1ло. БшIЬu1и11ст1.ю ж<.:
ж 1 1шJ1111сцt~11 нс ()ралн н :~ сс6я смслостъ ююж11'1·1,
в рую1 Твор1 ~а 1111струмсю ы - ведh 1-t}.. 11с1юль­
·ю на1111с огр:11111чи11аJю Er·o 1к-смо1ущt'ст 1ю.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТРАКТАТЫ
РАННЕГО СРЕЛНЕВЕКОВЬЯ
r;цш1·шс матбrатшш в Ра .нлем Ср~д-
11<.:t~скuнь<.: (до Xtt в.) нач~ tнююсъ с
ПОС'l 'L'Ш: Н НО!'( 1 OCtIO(.'J-НJH :1нт11ч 1-JО(1
:- . \<1 t<.:ма·1·11чс t'1<ой куn1,туры R мо-
1l:l("l'l>IJJЯX MHПl'CJКp:t'J'H(I 11ert:п11c1.1-
fl(\J1J\ 11 11:Jуч:1ли .~1щ111<т)11ед1 1ч е­
сю11! тракт:п i\1ap1111:iнa Ка;1 еллы
"о браюхочета1пш Фплтюп 111 11
Мсрю•рия" (\1 в.) , а также труды
Аш1ция Ма11111шТорю"ата Cenepн1 ra
Бо:щия (около -HI0 - )2.:J.).
И:ннщ пс1х1 lюэцш1 6лсстя-
щс1·0 (."l'I JJJllCTa, 11:.iBCC'ЛIOJ'O (.)(:нo нa­
TCJll>HhlM :н1:11111см :н-1тнчнm'1 11а­
ую1, - HЫlll!IJ 1 Л:ITIJHCIO IC пepcBO/(f1I
,п.вух фу11л:1мс111·аJ1ы1ых 1-речсск11х
\
1
1
1
J


,Аь_
~ Иr гория матt>матию1
Пер1:вuл . н ,1•1,11\0 [t1клилJ 111 •оfiр,1нн11 rn•1инен1111 Г.nэu11я.
Издание 1499 г
68
трактатов: .н1аJ\·tс111п·ых «Ha •I:tл" Евклтща и .-На­
станлешт в арr1ф,"1е1111<е» t 1 ео1111фа юреl'щ:~ 1111-
комаха пз Гсrаст.1 ( J- Jl rш.) Псрсвон "J-Jачал•,
во;~.\Юж1ю. был частнч11ы,\1. И:~ м 1 101·очш.:ле11-
н ых 1·1с1·оч ни ~..:он Бо::н tнй ·1·а кже се К"1·ан1111 _11:1'1 '1 -1 н­
ску1О KO.\.lll l JJIЯЦ IJ IO <·] laCT:JBJI Cl ll l l' 11 музыке•
(Ком1111шщ11еi1 назынастся 1 1rю 1 1анслен11с. сn­
ст;.111лt: 11н< >L' ~i;1 11t'рt:рабпта11н1>1л фра1 · ме11то11
Ч)')ЮIX СОЧ!111е111111 ) в 11е1'1 1{ COO'l 1\e'I t"1·1111и (
rреческоi1 траl\1щие1:1 i\-rу:1ыка трактовалась как
ма·1 еман·1с1ес 1<м1 д11сц 1 111.1 1н1 r::t.
В коп цс V11 1n. тю рол~, фра111<оn Карл 1 Всл11 -
ю 1Т-1 обр:.~пш шп 1~1 ~шис 11а бсдс:твсшюс поло­
жс::ш1t: с 11:1уч.<.:1шс.\1 11:1ук в варв: 1рскuм св<я:м
отt:чсствс. <..; пр11с у щl'1'1 сму энсрr11сi1 I<ap!1
11.\НЛСЯ :~:1 rс.:форму 06р:1:юн:1t111Я 11 flf)CЖ/\C BCl'! 'O
распорн ;\)!ЛСЯ !IС1Тра111т·1ъ на ПСТIС)Щ~ Л)'ЧlШL'\
текстов лttп r11скуто Б r 1 П111110 11 fio1·ocл)?KefJ11ыe
ю1111 1 1 P:.iз r,JCюm::iя т~110 1 е теl\ст1.1, :i тэюке учеб -
1 1 ию ( Л3ТИ1 I CJ(()(J 1p::t~IM:1Tl!l(JJ, i\1()JJЗX l l часто JJЗ­
талюшаЛJJСЬ 11а ру1шш 1 с11 :111н1ч11ых автороn.
01:111 были носл'lнце111.1 пронзnсдс1111ямп Всрп1-
m~я и Горащщ Овндня 11 Ц1щсрона. llач.иная с
lX u. (::~то BJJl'ИЯ [ l;.J:3ЬJHaю·1 ~кЩ.IOJ I Ш tl 'C'IOl~I IЮЗ­
рткденt l l'\1·•) 1rpOIL::!Hl'/J.C Hl!}I HCJlllKHX p r JMЩ I H
CTlJHJl l l н:1 l lOJll<:IX VIUH:1cтыpci..:11x 61t6J1110'lt.:I\
1»щом со Свнщ<.::1111ым 1111с:11111см 11 1руд.шн
Отцон Цсрюш. Трактаты J)оэл11н по ар11фмст11-
ке бы1111 1'0 1~да оче11 r, r1онут1р11 ы ~ l :шеС"1 но око­
JЮ J ')() СПИ("ТШR I>C>:~ 1 i:пc1юf1 <· Лр1fф\1СТl-ТКТI•
Л юбопытпо, что Оl\Ш1 rп богато пллюстрпро­
в.ш ньL'\ рукопнсей lX в. при11адлежала nнр<)
К.tрла llemн<o1·0 - 1<орото l<apJJy Лысому. Он
оеrаnил по~1с11ш на её полях.
Иная сую,ба ож~ 1)1<1ж1 Gоэ1tt1с11 r 1 срснод .1 1а­
ч ;.1л.} .t:ню11 1 11а З11ач11тслh11ая час~ h это1·0 тр:1к­
·rа·1·:1 'l':J ll HCTBC lllt ЫM 06ра:ю_11.1 llCЧC~Нl.l 11:1 110:1я
:1рсния сщё в Ран1-н.:м Срс;~нсвс ковьс. Ос1·авшу­
тоо1 час1ъ - определенr 1 я, пос 1 у.11аты, :скс110 .\1ьr
и формуJ1нро 1 11т r1pe; 1m>жe1111i1 11:1 11ер11ыл
чегырёх ктrпг - псполкюnал1111с как са·"lосто­
ятелыюе прои:шеде1 ше, :i юш осноо у для нк
назьшаем.ьL\: флорилео1i1 (от лат. floгilegL1s -
~со611рающ11й 1~nеточ11ый нскrар ~ ). Флорпле-
1'11SI - это нечто nродс моз:нп:л, сложс111 ю 1·1 нз
~ 11 tтсрсо Lых фрш мен·1 он текстов. Дне нанболс:е
11:шсст11ы е флорнле1н11 , сос1·аи11е111 1 ые н rx 11
Xl 1ш.. под11ис1ны 1rмснсм само го Боэц11я. хо·1~
сдна ли н;.1половину прин:.tдлt:ж зт tто 11еру
В n рочt:м. такоi1 под1ю1· - янлеt 111е обыч1 юе для
ш1т1 1УЕюстн 11 Средненекоm.я. Не 11адеясь 11::1 то.
ЧТО Ю{ детище будет СО:'Ч>апеrю ДЛЯ ПОТОМКО}j,


/..дr.\ 1 ВРлик1111, ко1юл1> фра11ко11. 11 "nepa1op
tея wt•111юй 1'11мtко11 им11<>1н111 .
lft'J\OTOp1.1c ;i llП>рьт ГЮ/ \Ш 1 сыn3111 [ cn011 'J'PY/1.J.J
llt'.'1111\И\,1\ llMC\13.i\!H. T ':lK, J\(} Ш\ШИХ )Ш~Й J\ОШJШ
сш1сю 1 соч1·1 11ешт й nсендо-Аристотели, 11ct'n.n;o -
Л.nryrn111a н др.
Rсrсr~нсксковых l't:uмcтpнs1x П('СIЩU-ЬОЭI ~' lli
ыы Bllt:pвыc CЛIJIJ<IIKacмcя со С'Lр~1111-11,1м НШI С-
11ш.:м. совср1ш:"·нно 1 1 сТ1JJ111'111ым дю1 ю 1 ж·с11чс­
скоЛ грс 1 1сскоl1 "1:rтемат11кн. Высок:н1 эллнн­
ска и на~·к:r llCOЖH/\<IHHO OK<IЗЫB:Jt:l'OJ cpt:/1.11
тсксr'Ов зсмJ1е\1t'рнп1·(' солержанпя, которые
tpt' i-\11 1Юо\1ще СКЛОННЫ (11,1 mт ВЫ 1IОС111Ъ :Ja nre-
/LeJlbl м;пем:пнк11 Гсометрт~я F.: 1нr:.11ma ·1 еряет
свою счю 1 ·ост1,, J(о1сазател 1,стnа теорем 11счез:1 -
ют. :1 trx \1есто :~ан11мают ссылюr щ1 формы
по;1сf1 (кру1·..1юс, треугоm,1юt'. квадратное 11 т. д.)
11 формулы NШ выч11слсш1я 11х шющадеЛ То.
11p()TllB чсr·о так B03(1<tЖ:tJ l ll J\[\CHIJCJ'Pl'ЧCCIOlt'
учL~ны<: - н~1ру1 1 н:: 1 111с ис:рарх1111 н ()бж1сп1 зн:-~-
1шя , - свср1н111юс1" Стро1·остh 11 ч11стота 11аую1
fiыm 1оскнс:р11снh1 .
( релние вt->к;~ и Возр0Ждt:>11ие
Последстn~ш этоrо oкa:i:JЛJ 1 с 1 , для геометрии
кат:ктрофичесю 1м11. Вот пр11мср тш·о, т<ак 110-
ш1м:~лся в гксвдо Бu:-)ЦIJCШ)L'{ 1·сол.н.?-тр11ях в·1·0-
роiт 11uстула ·1 · Евю111/1а. согщ1с110 котором у
нснкую 11рнму 10 11ин11 10 можно щ:о 1ран1 1 • 1 енно
1 1rк>;1олжа · 1 · 1,. Есл и гтрt:/\С'l'авлнть 111 rнию ка"
1ран1111у уч: 1 стка 11а пuлс , то она, сстtе1·вс:111ю.
11l' "10Жt:'I' быт1) бecr<01 1 eч1-1oli. что nrю·1·1шоре ­
ч 11'1· Rнкл идоnу 1юсrул::пу Гсоме·1·ры Ра 1111еги
Сре1 111свеrтвья ш .1ходплп r 1з з:пру/\11еrшя сле­
дующнм образом. 0 11 11 сч1пали, чтu в постула ­
те μ~чъ 1-1дё1· о nродолже11111:1 11с rю 11pяJ\Юll. а
" вбок", п n своих рукоптrсях обычно 1шюск·1·­
rнрокшш ЭТU 3 :1MIOIYTOi1 Л()М:tНОЙ
«РЕН ЕССАНС Xll ВЕКА»
И ГЕОМЕТРИ Я
f-l(m;m во1111а псрс1юдоn дре111 1егрсчесю rx ру1,о­
пнсс1'1 u ]апа,.1,1юi1 Г.::нроnе nри штю, на XJJ в.
:·}10 nрсм.н ш1зывают «ренессансом (uозрождс-
1 тпс,..1) ХН nека». vL\\сн1ю то1да во~1н 1 1ю1 1 1 пер­
вые с в ропсiтс..:ю lt' ушшеро1п:ты. t'о:танавшнссн
обычно н;1 базе крул11ы.х к:н/х:д ралы1ых ш1шл .
Как 11п 1л ьдш 1срL·д11с:в<.:кон.ы х рс:месл<.:1-1 ни1шв.
у1 11 шсрс1 1 тсты 11аход1 1 111JС1, под nuкрпш1·1·сль­
ст1юм C l:H.TCКllX 11 l(CJЖORHЫX н<.:рарх11н 11не з;1-
!1r lCCJ I И от про11:тола фсо11ало11. H:шl1oJJct: 11:i -
нecп-1r.rc 113 утtинерстrтетnн ТОГ() нr>eMCIJl.I -
Партксю1Г1 (Copi1n1111a)11 ()ксфорнсю1й. а т::rк­
жс Бплопсю1й 11 Падуа11скпй. lltpnыe два Сiы:ш
особс11110 зттаменнт1,1 Сl3011.ч11 богосл.01.кюr:vтп
факультетами и факультетами «11скусст~», на
которhl Х изуча; 11 1 ф 1 1 1юсо ф1 r ю 11 матсматнчt..:­
ск11.с: 1 1а~'1<11. в XII к. в1 1 сr11пк· 11щ1111 1 J 1 1 tc1, rюлныt:
11<1:1· щ-1.скt1е пс;рс1Ю/\Ы " tL~l'taл » Евю 1 1 ща. нntпол-
11<.:: 11н 1,1е с ар:16скш·о. Исчс~JJО "нарнаrскос• 11ро­
ЧТl'н11t..: кл:зсс1rчl'скr 1 х Тl'кстон. Ою1:11.;о сама
ндс:н общнос1 ·11 гсометр1111 11 11ра"·1·нче<.:К11х
1 1 р 11 L'vю 1i 11амсре 1 1111-1 остал:кь 11 11рrшсла t< по ­
яnле11шо пово1·0 ра:1дела матемзтпю1 т~ш тrа ­
зыnасмой nrщ11,тичес1.:.ой геи..метр1111.
n тра1<татзх но nра 1пнчсской гсометrпт~
nроблс:.ч ы ~1 змсре111rя полt:~"1 н<.:t: бсты11с ус.ту­
п:.~т-1 Мt'с.~го эа;~ач:tм 11а нахож;~енис расстош 11111
)\() 1-K'(\OC'I '} l ll JЫ X r1peд;.1cTOf\ (C:1Mll ;:)Tll :1:.~ 11ач11
ROCXO[ \lllll l [{ r11мсю 1 м llCTO ЧHJIK:lM) . Mcтo;~n l llX
решсн 11я KllOЛHC OTl:lt'Ч~1Jlll Щ)lfHJ~lJП:lм п:OJ\1e'l '­
pr111 ~BKltlЩa. H ~trlбOJICe llC!HtC'f'НhHvlll llЗ T:'llOIX
· 1р:н,та·1тш l1ыт1 тру,Г(ы мСJнахэ-l)ене,Г(т1к1 1 rт11\:1
f\1·0 Сс11 - Викторс1ют (?- 1 L ~l1 ), в1~1дато11~егосл


7()
Иrтория ,1,1атематики
Гуго (рн
В>1кrо1кки.:1
R кpvrv rr1011x
уч1е1111ков
\1 .1pи1111 ,tst
КНЮ~Нi\Я
,\1 ~ 1HJ1,J rtu p .t
11·1~1льян скп 1·0 матс.-.,1а·1·11к:1 Лt:uнар710 П11:~а1-1ск< )-
1·0 , 1 1 :шсстно 1 ·0 также 1юд 11ме11е.\1 Ф11бо1-1:1чч11.
11ар1-1жско 1"0 матсчатнка 1111р11;\rюр1ю1·u астро-
1101·а Д()ме111-11т / \е К'!аRаз 1 ю (XJV н. ) ~ 1 ба 1<:111:тра
меющш1ы Н11 1<0л~ IП1<жt~ (Лv· к), рабптан111t-1л
в Jl1юш::.
11-ужно ск;:~зать, что срелпевскоn~,тм ш1,от1-
рам премудростн нра!(Тической геометрии
дав~шись с больш11м трулом. Чертежн, сопро ­
вождающне Тt'Орсмы. IIal1,o было за1ю мншпь
Вот ::JTO и с1·анонrvюсь ю1.\1нсм пr<.·тк11онсн и н
;urя уч.ащихо.1 , которым прuщс 6ьто :~а 1вср-
Рис. 1.
С 1p.11111u.1 "J ,1льUtJ\«1 1:!нлл,1ра
t.'Оннl:' кур.1 Гпри~1)~1т"лы1~я nр11Р~ 1 111я
0.iшt'll ( оiюр,1 ll 1\11t\H{'
литт, 11аизусп, 11есколысо стр~111нц латиш.:кого
текста, щ:жсли rюспрои :шссти по паi"mти чер­
тёж. Ikдь люди тогда 1ючти Н<:' сталюшат1сь в
CBO(;'l! Ж l l:..SHl1 с таю 1 м11 nпннТННМ IJ , !(;}К lL'Jall
иm1 чсртёж. ныпоттсr 1 ныl1 н масштабt'. Как
r·пнорят 11стпршш. 0 1111 ЖIIJIИ «В м 11 рс пр116ли·
Jи·1·е111.1 юс1 "' " 11 нмс С'1'СJ 11 змеrе1 lllЯ 11 вычсрчи ·
натrют н1ч11ых 1 ·епмс-гр 11 ч<.:ск11х форм доноль­
ствоnалттс1. и-х сл СJ11ес11ым1 1 оmкапиямтf. Чтобы
11адёж11ее Зtl!IОМIППЪ ТОТ 1 1.'Ш ИllОЙ чертёж из
« ll ачал" Еnютпда. ученики прндумывалп им
с 1v1ешные . :мп оми11ающ11сся на:шашш вро,1е
« К)'р~1нuй лапы», •OCJll IH()I'() MOC'l':J. • 11Jlll <ХВОСТ:!
11аш11111а .- (р 1 1с. 1).
Остаётся :i:.Jl'~I Jtкo li , от-кудэ чсрпал11 з н:1н1tя
по гсомс.~1р1 111 с ред11енС'коныt: архr1тскторы 11
стрrн-пе.:111 1 ·0·1 ·11чt:скпх соб()rюв, вeJ tl> m11 1. по­
nидпмому, 11е 1юсе 11 tалн yr шnерсптt'Т()R, Скорее
uсего секреты зо,'('i 11 .х uереданалпсь от мастера
к учеш шу и не подлежал~ 1 раз!'J1ашеншо. 04'~·
nттдтю, поэтому от т<.:х nрсмё11 до нас лоспн
не дошло арл"1ттскrурных альбомов. которы~ч11
так богата 1юследу1тцая эrюх:1 Возрождеюrn.
Ед1шстве 1 11юе исключеннс - чулом уr (елещ11 11 й
:~льбом арх1Iтек·1урных ззрнстюк, пр 11 над.11е­
жавuп 11'i некоему Виллаrу д'()ннс:куру. 011 д:п11-
руС'1·ся np11.vrcpнo 12;is r·.
Полторы стrан 1щы
1rс 1 1ещре11ur чсrтсжамп <' по;(1 1ио1мr1 н<1 m 1кар­
.~иl!ском лш1лекте старофранпу:к1<оf'О яэ 1,1 ка,
разънсшuощимп их смысл. Расшнфровать «гсо­
'-'tстр1 1 ю" Uшшара д·оштскура нещюсто д:1же
историюм арх 1 пе1('1у11ы.
АРИФМЕТИКА НА АБАl<Е
В Срсднщ: нск:1 бор1.б~· за право называться
м::1·1·ема·11 1чl'Скоl1 н~1у 1юl1 1юнt:JШ nр;,~кт1 гка счёта.
Так, с 1<О1 ща Х 11. ост ювным рукоuодством 110
арифметике 01уж11л трактат «О пран11J1 ax аба ­
ка " учё1 юго монаха l 'ерберта нэ Орайзк:J (око-
1ю 940- 1()():) ). ст::ш щ сго 1шослс;1стn~ш Па ной
РимсюL\1 С11л1,пестрuм 11.
Абт,- - это прост<:lн 1 н::е счi:'т11ос прп способ­
!1е1 ll-l t (СМ. СТ~IТЫО <· Чe'l' hlj)(' Jtc:i'I CTIOШ :~р пф
Mt."l'JJIOJ->). L\тобы 11 1хr\с'l'анr1ть себе, к:1к о н вы ­
глядел. Д()стато ч но 1к1юмн11т1, русск11е счt:ты.
У<" 1 ·ройс:тво аnака Гcpfiep·1·;:i 1 1 ескоm)ко r1 нос Он
llCЛOЛliЗ()Щ.I JI 11 l(:lЧt:CTRC Вl1IЧJJCЛИTe'J I 111 !111.Х ЭЛС ­
МСНТОR ЖеТОl!Ы с 11ане<:'ёпны~н~ 11 а 1111х 1~нфра·
ми от 1 !\О 9. Раскла;\ывая жето11ы на а(')а\\е, Гер­
бер·1 чо1· нзображ:~ть 11ззт1ч11ые на·1-у11ал.ыrые


Пv11t1
(>tльвестр 11
1 Ге-рt1ср1
•н Ор•1>1а.ка) .
1р.1в~1р.1
на 11ep<>~t
1мfie111.1
1 l\\рв11ньяр.1
ч11СJ1а 1юч·1 11 т;ш Жl' , ка" мы 11р ед<~ 1 ·а11J1яем 1rx н
АL'ся·1·1 1 ч 1юй rю~шцнон ной c 1 icтe.v1e. Тош,кu .вм<:­
сто нули 0 11 брал п устой жетон
Ноный аб<JК н1>н:л бш 11,шое прс1f\1)'1JJ,ee1 ·щ>.11<.1
11t-м \10Ж1-f() было ум 1южат1, 11 1..1е.111п1,. (Ста ры1'1
р 11 :-.1о:нй ;t6ак бы.'1 Щ1\ ICl10l.OGЛC!1 к OCIIOl\HOM
ДТIЯ C.'IOЖellHH И BЬJLHJТaJIШl. ) Уд06СТ130 С Чсrа 11 ;1
абаке состояло n том, что ОН :.1аt<СИl\1:1ЛЫIО
':9 •
f,
~( Т1'>'> ~
c;Jf ~;
\.,J,al 1~
""fnt(
f"лr .r,.,,. ,
11
~.r 1
'f"
"
,r
'
r .,.
(8'18/' с.у~~\) 1
--~
~-· -- .xi• ii. t
...
-
...
t
~....
Cf 111
с
хJ....х
~
Б 1..
ь....- l
v
dl"/~
v
l~
--
--
_.
ь
~~ъ~ъь
-
~L 1~ 1&~
~t-
!.!\
i
:tON 11 \ сеl >.Х'1 11_,....'>
1)'
11ь
"'
-
--
»L) ~
;l.XU> IY ~
1у
с'У ,'ОС/
J(lt,
:а «\., ёёL ~~
1
1
С ~е"а ,1tы1о. ,1 Герберта
ра:11·руж;1л лачнп,· lll•IЧl l CJLCllllЯ f\L'JlllCb IJOЧТll
аnтом::tт11чtтю 1 , 11 е тр<=6011а1юс1, :1а1юм11н:пь
допол 111 1 1 е:1ыrыс: рззрню.1 11р11 у·~нюже111111 11
уидьшат1, частllое пр11 деле 111 111 llромсжу·юч ­
пыс рсзул 1.,т;~ты обычно зашкыв~1т1 на nоско-
1:1~ ю таблs1чю· (цсру) m 160 11редстаnллли D шще
кuмбшr:щшr т1льцсн Надо отмеппь, LJТO па .1а­
т1 шскuм Зшrадt: сущсс1·1юв;Uiа 1х1знн ·1·ан система
11редС'l'<ШJН.:н1т ЧШ.'LJI н:1 IJШIЬЦ<!Х и1.о 9l)99). Она
01 1 11с.1 н;1 1:1 1·ракт;..j 1 ·с Бс11ы ) tостогюч.1 ~11но1'0
(OIIOJI() (173- Ol<OJIO 7.~5) •. () счёте lipt:.\ ll'J\11 '>.
гтосnи щё111 юм р:кчёту 1щеl1 Пасх~ 1 Oчt'Jll> П()­
чоrала пр 1 1 1i1>1ЧI1c:.rseпш1 ., 11 1·а бтща ум1 южt'-
11ш1, сост:шлетпrан ещё в 4-17 1 рнмюн111ном
Ни1пор~1ем
Остаётсн за1·адкой. 1<;11< у l 'ерберта ро,Г(rrлась
tЩ(.'}1 е1 ·<.щ ь yдuri1 1ш ·o абака с мсчены,\lн жсто ­
нам 11 0 ) \I JH CpLJ\l l t:BCKUKhU~I а1:1тор. Щ1;tНДа . CU-
oбщal'J, 11'1'0 "Герберт JIOX I ITI !JI абаl< у с1ра1 \J I H ».
г. с. у арабпя ;L61стн111 елы ю . li м ш~одое111 011
11ронеJ1 некоторое нрсм? н Ис11:1нско1'1 м::~ркс
\погра11 11ч щн1 с араба.-.ш 1·е рр!1торнн) О; ~нако
не док::~:~атю. что у самих apafю1i в те вреi'1 е 1 L3
с~1.цес1 вова.1 та кой аб:ш
Пор•pt'r Ьt.'л~1 дut 1 ог111ч 1 e1111u1 о 11 1 к1111 1 " ,() t чl' 1l' 1o1μt•,1t·н~1
Пdрю+:. и~,~аниР 1r, p7 г
71


72
Имя Герберта нз Орнйака - э;шсчател ы ю 1 ·0
математика 11 11су'томимого церковно-пол11т 1 1-
'IеС1<0 1 ·u дентош - было (Жрркс110 01·ромt 1 ьнv1
KOЛI I ЧC('' l 'HOM l'Jl yXOH н J!Cl'CHД. Его даже обшп Щ ­
Jll! \{ чс.рноюt1ТiКШ I \\ <.:IIOlllCHHHX l' JJ ,bHJIOJIOM. в
н:1рнарсю·1l1 кск с у1tо1юльп·внt:м сочнн н л11 нс-
6ыш щ 111 о че11n некt, ум<:тшк:м ум1-1 ожать 11дел 1 1ть
болы1гне •1и сла, и:11·0·1·а 11тпъ <·1·онорнщ 11 с 1 ·шш-
111,1", :туrюn(')й ~ффе 1,· 1 · 1<0·1 ·np111x со:1л.:111;uкя, по­
в1111 1 1мому, силой пара, и n poчrre 11е ме 11 ее ~·;~1 1 -
вrrтелытыс вещи.
l'ербсрту 11рипщ:ыщ11от сщё одн о наж11ое
азобрс...:тс 11 нс (tшро чем, 0110 сп~ло нзnсстrю уже
поон.: c...:ru пн.:рт11). ~тu н;ктuлы1;u1 ИJ'[XI no:t 11а ­
:1в:.~шн.:м ~r11тмuмах ~.-н1 ·>, что uзнач:.~ст «бнтва
ч 1 н.:с...:л». ИгроН!JС поле ритмом~1х11н наnом 11 1-1а-
1ю шахма· 11 юе. И1· р~!, оснона н нан на з11э11ш1
npocrcй r 1111x сво l ктн чнсел 11 нх11ро1 1 зн<:.:1~ен 1 1lr .
11 TtЧ~III JC СС!VГИ l'ICJШR служrт::~ 11ре 11ОСХ()ДJJЫМ
1ше1\е~шем в арифметику, гrр111н 1 1-1 ая 11 аныю 1
работы с ЧHCJI :lMH .
С 11ач~и1а Xll в. в Европ<.: стала рас11ростра ­
rrят1.01 :Ja11м("1 ·к011:11-шая у арабов по:.шцио ппая
дс<.:ят1·11111 аи с 11 сгс\1а счнс11снш1. Однако у1111 -
всrх: 1Пt."1·сю tl' l tpoфeccopa НС 11 pOЯBJJ.ЯJlll К ней
о<.:0601 ·011нтерсс1 _11рсr~лочнт~н1 11 :и1 ;н«t'l'h 111 1фа-
1·uр<.:r~н: ку10 ар 11 фмстнку 11.11 11 1 1 раннла абака.
С ч 11таетсн, ч·1·п 1 1ерпымr 1 110-11ас 1 ·онщсму оцен11-
1111 у;(оfiст1ю ;1ра6скоl1 ц нф 1 1 рн нт:щыf 1 1сюн::
ку 11 1 1,1,J. llовая I[)'111срэ 1 ~1ш п р ижнлас1, в ку11ече­
с1<0тr среде Италии н в ремеслснпых rоролах
Ю:iк1юй l 'срмашш на 11злё·1·е С:ред 11еnекопы1, R
Xl\1 - XV nn. Коммсрсаптам бо1·зтьL\. тор 1 ·овых
crpa1J осuб<.: н1-ю часто пр1 1ходmнхъ сосrамятт,
KCKCCJI Я, С'М.С'l'Ы , НЫЧIТ<.'JIЯ 'I '/, CJIOЖl-ll> lt: 1 1роценты
Дсся1т1 ч1 rая с1 ~ стема окончателы ю vгвepJ\J 1ж1с1,
11 С:нрпне, ко 1 ·да вмс.:сто доrю 1 ·ос1·оя щс1·0 не р 1«1-
мс1па (в ыдеJJа 11 1ю1'1 ·1 ·01-1коl1 кож 1 1) 1юнн11лась
6011С'е /\е111ё11зн Г1ума 1 ·а, 1 1 а которui1 мож н о бь1 ло
прт 1 :шод1пъ ар11фмет 1 1,1еск 11 е расчёты . Но
Ntжe развнтие ю 1111 оп<: ч атюшя нс смогло пол -
1юстью nытсснитr. счёт на :~баке.
МАТЕ МАТИ КА
И НАУКА О ЛВИЖЕНИИ
Oi1t10 1 1 з 1~а11более прш ·1шалънъ1-х J1.Ост1 1 жсн11й
C[JL'/( f-ICBC t<OBO(I ммсm1 - мзтем~'l 1!Ч t:СК;\Я тсо­
рня ,~впж<:m 1 я. Начш 1 ан с XII н. н Екрnпу посп.:-
11е111 ю, через переводы с арабсrю 1'0, ст;u11 1 11ро­
rшк.1.ТЬ идеп Ар1 ~стотею1 Хоп1 са);! Аристотель
11o:ipaжt.tл протпn ITCTIOJl b :'IOl\'11111>1 ,\1:1Tt'MaT\ l "IC-
CIO!.'< ме·l'ОдО.1:! в фll3 1 1J(C, IIML'IПIO пр11 ()CMЫ CJle­
IIШI его ПJ'(с1'1 11а ла·1·ш1ском ~~ападс н nо:щнюrа
у1r11 к:l.'lь11:ш в сно61 ро!(С rrayкa о 1~н 11же11ш1
По-11~н.:тонщсму <..трьёзное ра:~витис оп:t
rюлуч1и1: 1 11 XI\' 11 :>->т: 1 наука 11 мtJ1a две uсобсн­
ноеr11. Прежде все 1 ·0, 11 Ар 1 1с1·0·1·ст,, 11 средне­
некоm.rс учi.lны<.: ПOHHM~IЛl l IH)ДДHl l ЖL'lllleм 1\СЯ­
кос 11з~1е 1 1е11 н<: m юбщ<:: 0·1 11 ;н. 1 снсннн цкет:з 11
п:~мnсратуры ло 1 юя11ле11ня 11 уr1ичтожсн1 1 н
всщсtr. r! о это1'1 11р11чине одно и то же лопrrю­
м~тсматнческое построеrше, скажем теоrпя
нро11орцш1, исnол1.зоnалос 1, д1 1 н оn11са1шя
таю1х ра:JJ11Ilшыхш1;к·ш1й. как прuстра11стnсн­
нос ПL:рсмс11 ~сн1 н:, μаснμсделснш.· <-теплоты» 11
qхшюда» 1~ орг:111и1мl' чсло вск:1 (тu1ла это была
oc110ua ·1·еореп 1 чсско(1 мсд1щ1шы), 11дажс .пля
осмыс; 1е 111 1>1 <• неликоr'1 1~<:111 1 бы·111н» , простнрав-
111сйся пт Божесл-1е 1 11 юп) со 1 1сршснсп1а через
ат 11 ·с.:лоn 11 чслоnска ло 11еж 11 11oi1 11 р 11рuды.
Дру1 ·:ш особешюст1, срс~нсnек()Jюй тепр 1111
дшDкспшr состояла в том. что 11аблrодс111ш п::~,1
прнродоn не ш ·ралн в пcrl рсmаrощей роли.
Часто о н и давалl! ШШ1Ь псрвы 1'i толчо1< к раз­
~1ьш 1лt.' 1111 }щ. а :3аТс,\1 мысJlЬ уносш1 ась в облает~,
чш..:тnl1 11ш ·11ю1. Taкofr сrюсоб ш.:слсдонапия
1-(;[:3ЫК:~лся CXOЛ:lCТI JJ-\()Й (0'1' l/JeЧ. * СХUЛасти­
КОС? - <· J[JJ\OЛl1HJ,Jli », «учёныll ·~)
Мате:1..,-3т 1 1чес~ше мо;1ел 1111н 1 1жсн 1 rя 11с1ю1!h­
.юнались !(ЛЯ ()ор1,6ы с :ктр()JЮ\'11ей. Так, фр~~н-


СР ЕЛНЕВЕКОВЫЕ
СХОЛАСТЫ П РОТИВ
АН Т ИЧНЫХ ФИЛОСОФОВ
Средневеко вы е уч ёные -схол;э< rы
использов;зл и математически е рас­
суждения лля опровержения фи110-
софс к~1 х доктrин античнuсти, и
прежде всеrо утвf'рж.ления Дем о ­
критLI о том, что uc.b состоит из
ан)мо в . Ан глийски й схоласт Томас
Бrалва рдин критиковал эту точ ку
эрс11ия слелуюшим обра зом.
10 rоч ек ди аметра 1:юсс1анов 11м
пер п ен дикуляры , которые пере­
(.скут окружность в 20 точкJХ . По­
лус1ается, что длин а окр уж 1-юс.ти
влвое больше диаметμJ, 1110 , е< rе­
ствен 1 ю, ош11боч 11 0. « Об 1том, -
т1шет Брад1:1арди11, - з11ают
не только математи ки, но и плот­
ники, каме~1шики и другие м;;~с­
тсри , опыт кото р ы х показыв ает
лож11ость подоб1-1о r<1 заклюс1е1-1ия• .
мых Оуде·т п олько ЖЕ.', Lкол1>ко 1о­
ответствуюши х перпенл11куляров
в прямоуголь11икс САГ[, а по дли­
не о ни прееосхt,ля т э ги перпе нди ­
куляры в отношенииСС: СА Если
nлощ.1ли состоя т из ли нии, то во1 -
11 икае 1 111ютивор~ч ие: 11 ардл11ело
грамм больше равного ему п рямо­
у~-t)/\hНИК:'I в се : СА р<н П рич l:'м,
выхолит , чем оrтрее угол п ир.злле­
лоrрамм.:~, тем больше 1.:1 о пло­
Ш<lдЬ, что, КОНЕ-'ЧН(), Нt'81.:'рно.
Е(.ли 11ри1·1ять, •1то всяк,н1
непrе рывнаЯ l:lеЛИЧИllд - ЛИtl И Я,
плоская фиrура Иl\И теАо - сосю-
11т из кон еч но го ч11с11а атомов-то­
чек, то н еизбежно прон1 вореч и е.
Лейп 1-1и тельно, п рЕ'.лn олuжим, что
•1и сло точек на н е котором отр~:з ке
ко11е•1но и рав1-ю, скажем, 1О. По­
строим на э1·ом отрезке как 1-1а
диаметре окружность. В каждой и-~
А ~ют ка ким Р<Н'< ужден ием он
опрове ргал кон цспUИ J(), со глас но
которои 1 1е п р ерыuная величи 11 J
состоит из бесконечtю1·0 чи< ла 1 ю ­
леi\имых точ~к .
Известно, что параллелограмм
равновелик прs1мо у rольн и ку с те
М~1 же ()( новаНИЕ-'М и ВЫСОТОЙ . П ро ­
ведем в па раллелограммеСGК[ от
всех то•1ек опюва1 1ия С[ «вес пря­
мые» к тuчкам 11ротивополож11ой
rтороны СК 11а ра ллельн о ГС. Пря-
цукю 1й схол:н:т Н11кол:I Орсо\1 (около 1.)23-
1 .)~2.) рt::юнн о пол :.~гал, Ч' НJ если ш,1fip:i · 11, лкt
C'He'J llJJ a , '1() Jlt'(lШJ'l'JJOCTb TOJ'\). ЧТt) t)' J' l-IOIГТC I l t 1 е
Н\ LКоросте11 б~'дl'Т р;1 1 ~1 rо11::1лы1ым ч11слом,
11нч-rож 1 ю мала. А коль с коро шю 1{ыр;ur.;аетса
чткло.м 11рраш-юналы1ым. то два сnспш~1 rrн -
1<0111а 11 е понторнт cnoe1·0 нач алыюJ'о n ол ожс­
шш н:~ небе. и, значит. астролоп-rя пс может
61,п ь ТОЧI ЮЙ 11аукой.
В н :111 6ол <.х: 110лr юм ющс ма тсм:1 ·1· 1r че<: к:.1я
тсuр 1 н1 /\н1-1жс11ня 11зл ожс 11 а н <- К11 1 1п.:- в ьтчнс.11с-
1 1т~, " ~~н1 11нйскr)J'() сх1 таст:1 Р11чарда Суа йно.ед~1
11 tpyna' Орсма. ИJ1ея :Jаключаl'тся 1:1 том, что61,1
•качtстна» 1rреr~мсто11, 11 в част1 юLТН скорос-11.
дш1же1 11 tн, н:101.iражат1, •~tрt:1камн прям о!~ . ко­
торыеотюrадьшаю·1 сн пер11.е1 щш<уляр11от1r rип,
06о:~т1<1ч ающе й uремя или 1х1сс'('Оя 11ис. Если на
r·opн ю r 1т~LJU,1 юй л ишш отмеч~uш nрс.чя. то по­
луч;~лся рисунок, rюхожИJ'r на соnрсмснп_ь1l1
1раф11к :шзисимосrи скорост11 от врс\1сш1. Рас­
стоян1 1с. про 1'11 1сн 1 юс телом за uн рсю:пСш11-,1 ~-1
11ptмl'1111ш't 11 ро м <.:ж~·пж, r1р<::) ~ст::штr л а ф1 r rypa,
построс 1111 ая на nc1 1нрсмс1 1н Н:шр11 м ср, к слу­
чаеДШ!ЖСНJ !Н с ПОСТОН! !!!От'! с1<0ростыо З'l'О был
t1pR\юy 1опыrш<, 11 случае р ав ноус 1ю реш ю 1 ·0 нлн
ра вr ю:~а."1ею1сш ю1·0 двнжешtя - 11рямоуt n1n., -
m,rfr трс)тол ышк и ·г. д. ПОJГ'} чшшшесп ф1 f111)Ы
исследо вали ~1атемат1 1 чссюr.
Ор<.: м дока:-iыв:ut. что тющ~щ1. r rpнмoy1·om,-
1юго T J'l"Yl' <))11-,l JПK:J. 11 pt.:дcra KJ!>I ю ЩlTtJ pa}j-
1-юycкope11rro<.: f(t111жt'1r1 re. рав11<-1 п;юща101 1tри­
МО)ТОJ 11,ш11с1 с тем же ОСПО11:-1 11ИС:'\'( и В,'\ВОе
меr 1ьшсi1 высотт"1, че.м у ·1 реуголr,r11ша. (; точ­
Кlf зреlIНЯ мел:ншют это 02начало. чтu путь,
проlще н11ы1~1 тс~ло м 11рн ра11 1 JОус r<орс 11 пом
дю1жсш1и, раnсн щn 11, которо<.: он о прошло бы
:3:1то ж<.: нремя, д1н 11·:шсь со CJк·д1 1ci"1 скоростью
Чср<::.~ 2"5 n J1<:т ·1
·0 •11 юс д1.ж:1:~а·1·ельс1·1ю /(,1 1111< >r ·o
I IO.ll OЖC l!! JЯ /(::IC'I Г:mruн:r> r~I Jll lJl!;' J\ KO' l< Jp 1, 11'1 11
11р11?v1ен1 1·1 сго к 0111ка1 111н' пю()О)\1н11 о 11<1.'tl·-
1111>1 'l'<.:Jt;J IJ l l )'L-Г<П't'
1\11.1 пр11нетr ДОС'"l :lТОЧl!О !![IOC'IOil Пj)H\ltp.
Но схоласп.1 3аш1ман11сt. 11 бощ:е t py1(1LЫ \.t11
п роблсмам11. Прсдполож11 м. что 11e1.:t) r·o μoc
·1<.:ло .щнжется в те ч е ни е отре.ша n рсме 1 ш.
рав11 оrо 1. <:о с кuрщ:тыu 1. J:tTl'M в TC'Lt' I шe
npc.\H.'IIИ 1/2 cu Cl\OpOC'lЫО !. , в п: ч сшr<.:
щх·мс1ш 1/-1 = 1/ 2! - со скоμостыu ~. 11 тсчс-
,
~
11щ· врсмс1111 1/t5 = 1/1.
-
со скорtк"11-,ю 1111 ;~.
КакоС1 11}' 1ь 11μ0 1'щё·1 'lt:JI< 1 за арс,н1 _ ра тюt: 2·1
(3;\ес1, оощеt: нрt'мя д 1ш же 11т1 CL~r r, су~-1 ,1 ;1 ()с:- с­
ко 11е ч 1то 1·0 ч 1кл:1 чле 11 он rc-n:v1eтpп чecrш lr прn
111
rp<.:c:c111 1с основа1111см 1/ 2: 1+1 +
2
!+)7+.=2.)
И ш: будет лп э·1 от путъ вообще бесконечным ?


7~
Исrория м.:~ 1~мат11ки
Со1:1рt:мt:нныl1 \1а·1·<.:м;.1т11к ска :~;ш бы . что
пуп~, пр1 ) lI/~(.'111 /0\1)' TL~110i\1 , {:()( >TBCTl'Т R)'CT ВСJПl­
ч1111а. 11ре;к" 1<НJ.11е1111~1Я l1ескоr1еч11ым рядом
1>l
1
1
]+21+.., 2'+4.21+')21+...
Этот ряд паТJ,о спзчзлз псслс;~;оnатr. 1ra сходп ­
ыос1 Ь, J [ еслп 011 СХОДЛЩИllСЯ - ПОПЬ\1 JТЬСЯ
нa{JTlJ t:J 'O JH:ICJ(:'HIJC' .
Opt.:"1 рж:с ужнал нначс. Как 1111; 11-ю 11:.1 11рс; \­
.·1оженно1·0 11м ч ертежа (рпс. 2). сумм:J рнд:~
п рt.:7\ст:шляс:тся ка к площ:щ1, ПОТ\ бс.:сконсчнul1
Сl)'Пt:11ч~~·101'1 : 1111 mt>l-1 , 1~:щстроt:11110\i 11ад отрt::i-
1ш;ч АВ = 2. Rысот:~ каждоrr <•ступены<rr·' посто ­
янш1 11 равна 1. Ширнна ступенек убьmаст в
гео :v1етр11ческой л рогрессш1 с o cr юва1 шем l / 2
Jатсм Opc:vi рассматривжт прямоуголышк с
нькотоfl 1, 1юс-1 роенный на 1·ор11зонталыюм
отрс~кс СЛ = 2 . ПJJощ~щь ::>TOl'U 11рн\1оу 1'олышка
рав11а 2. 0 ·1 р<.::.ю1< CD разб1шастся, 11ач11ная от
точкн С, на отрсзю1, длш 1а ко1орых \'бымает по
'
'
\
1
•
закону l, 1/ 2. 1;2-, l / 2 , 1/ 2 .... расоютрсt-11-юму
111.1 11 1 е. Черt:.1 кп1111,ы :1' 11 1х 0 ·1ре:жо11 Орем 11рп ­
Fю1111т nсртmс1лып,1с .m.пнтн тэк. чтп nрямп
уг()лы шк ока:-1ьшаt:тся состамеmп,n.1 и:i ()сско ­
неч.tю1 о ч.ас11а пря~юугО.'lЫlИКОВ Е, F. с; н т. Д"
площади которых образуют nсё ту же 1 ео-
Рис 2
G
--
F
Е
.А
л
шс
1J
мстр1 ·1 чсс кую 11po 1'pL'cc:11 ю. д~1J1<:с:: он за щ: • 1ает.
чтu часть с1·упс11 ч:1·1 <)\t ф111уры. но3ны 111:1 ю111анс}I
над JICp:tIOll «CT~'llCHhKOIJ », r.остш1 ·1 111 T:JКJIX же
тuч110 прямоугольн 1 1коn Е. Р. (/ 11 т д. Поск()льку
су.ч~1:1 111юща)1е~'1 Е ...t. - Р + <7 + ." = 2, ;J 1що1ц;щ1,
псрноii ступснъкr1 тзюке раш 01стся 2, то оnщая
11лпщадь nод С'Jупенчатой mшпей будет равпа 4.
Так IТ\'Тём 11е~.:ложт1ых гео:v~етр11ческих рассуж-
1\етшй в Сре;111сnсков1.с до 1.;азт.mалн некоторые
теоре .мы ма·1ема111ческо1·0 анализа.
11 нее же срсднеRсконhlе теuр1111 д 1шжешtя
бьиш скорсс 1rо1 ·нко-ф11лософс.:кт.11 1 , 11сжслн
матс"1::1т11чссюш11. I3с11ь в тt: щк· м1..:11а, ка1< 11 н
а1 1 ·1·t1ч 1 юстн, мате.v1атнк:J t' ll \ё не (i1 ,1л;1 оторRана
nт 1<улr,1ур1.1 l')M:!lll-1'1~lp1юй и l lt'}'ДHIHГl'tЛMIO,
что сре11н мате:v1 а·1 11l{Ofl Сред~ 1 е11е 1<0вr»1 пс-1реча­
лос1, немало тсоло1 ·0 11 ({)01 ·ос1ю11011 ). Тешю1 ·ом
бr,1 л ;нт 1 иltс 1шй схоласт Томас Iiрад.nардш1
(около 12\JO - l _~._~LJ). J3 трааа:пс "о Божсстuс11-
1ю~'1 1rрич1 1 не» он первым нысказал .\IIЫСЛЬ ото~~ .
что J1рuстран<:." 1·1ю, в кuторо<: 1ю 1 ·ружён шtш
м11р, беско11е•1но. Эта нс11р11с:мл<:>v1ан длн ;.~н п1ч -
11ос1 н 11 Срс; ~ Е I Cl.JCKOHЫI J IДСЯ В1IОСJН~/К'ТНI11 1 СЫГ·
p~I J l : I ПаЖI!\ 1() ГЮЛЬ 11 paJRI I T I 111 l'RpOПCllCKOi1


'1ыслн. Она n кош:чном ито1·е npIJнcлa к uтож­
/(1.:с·1ш1сн1 1ю 6ескош:ч1ю1·0. 0;1норо; 1н о1·0 про­
стμанстн:1 с атрибуто,\1 1)01·. 1 иm1 )~ажt с с:1м11\1
Бо1 O\t. Р~1 :-1ру111 ш1 ;,tнт11ч11 ьн.: и срс;1ненсконыс
1rонят11я о Космосе, он:~ пр0Jю;ю1n:111угь }IOllЫVI
11ар,:1м - нсбесrюl1 .\1ех:~н111<е 11 мзте\1<1тнче­
СК(щу ;tнаю 1зу Л'\7111;
Е11\ё о;щп пример - теолог 11 матс;v1атнк
карднлал Ннколаft Куза11сю111 (1-Ю 1-1464),
который ттервым ввfл n матсматнку понятш~
6CC!<OJICЧIIO малой 11 01.:СК()[ IСЧН О болы11uй
1к·m1ч11н. I< ним он прншё:1. р:1зl\1ы111лян 11:щ за -
Сред11ИР l:IE:'Kil и RtН\ЮЖлt'НШ~
~
а~
дачб1 о кв;1лратурl' кру1·:1 11 н:щ ·1·солоr11чес 1<0!'1
11ро611с\ЮЙ 0·1ношен1 щ в KU'J'( 1ром rt~LXOJ(H'l'бJ
ьо1· 11 со:~лан11ыr1 Им l«JC\IOC.
Была J11f срсд11снсковая н;~~·к:~ о д1111жсн1111
1111с,т\Теч1.:l1 матtм:~т1 rчect<nг<) СС"1·есгво111:1 ния
Ноrюгп нrс),1е1111? Ил~ 1 же R XV[J CTOJl~TIПI 11/Ю­
llЗОШЛа революция:, н ходе· которой нонан
11аую1, оm1раясь на образны l'pt:чecкor1 "'fатема­
пшн, 1Т прсжле 13ССГО на труды lICПOIIЯTOГO в
Среднсвс:1<о~ьс Архимеда, отброс11л:1 за непу-А<­
ноС'rъю схож1сп1ческ11с тепри11/ Об ..,;том до
снх пор спорят 1rстор11ю1 1rаую1
ЛЕОНАРЛО ПИЗАНСКИЙ И ЕГО ВРЕМЯ
Срс,1н совремсшппюв е.му 11е было р:11шых ll в
nосле,"(ующвс трн столе·rш1 11ельзя 113зu:1т~, 1111
одного учёноrо такого ;часштзба. Тnорчестnо
Леон:1рдо Il11занскоrо (l lH0-121()) ока:{аJю рс-
11шощеt: ю1ш11111t: на ра~щи·1·11е ат·ебры l1 теu­
р1ш 1111се.r1. 11 част1юеп1 на 1ксш:~;~.uка11ня таю1х
~1атс:мат11кон. /'\:JK Франсу:~ Внст t1 Пьер Ферма
Леонардо род11ли1 и бш1ы1юм 11·1·алыu1СЮ->\1
1·ор1·оком 1 ·ородс -р<.х: 11у6.rш1\е Пн:1е. Е1·и Ч(IСТО
11а;млают Фr-1{)011ачч11. т. е. сы11 Бопачч1 1 (Доб­
рого). 1l:н:тонщая el'O фам1 uнrл. гrо-впли;-.юму,
ьш·оmю. llo кpJйL1ef1 мере так он rюнменован
в ;ште о покуш((.: :.1е;\11ш, которую совсршJL'1 гто
...1uвt:решюстн для сnосго родстнснннка.
Отс1~ Лсощ1рдо 61,щ ноп\.)llусом респуб:111-
к11 П11э;1 Ikкop(: rrocлc ртк.це111 1 я сына e r· o 1ю­
с11:1. 111 со служеб1 1ы\1 11оручсн11t:м 1:1 1:>удж11
(11ынс Ллж11р), 1'1\С' 011 ныполш1:1 t>б>1:1.о;11-11-юст1 1,
бтлю 1е 1<конL·улн:ю t,v1. Ко~ да Лсонаrщо 11сп ол -
1111J1<Хъ 12. Jteт. oтt:r\ liЫ:-J11aл er·o к себе, чтоб1,1
поз11;1ком111ъ с дещ1 м ~1. n пер в)10 очере,11, с ком­
мерчсс~<н1'1ш расс1ётамн. Вес этн сnеденшт со­
общает сам Леонардо n преднслошш I< ф)1rда ­
мснталыю.,1у труду «Книга абака».
Лсоrзардо rту1·ешсстнов;.~л r ru 1:\п 1rгry. Си р1 rи,
Грt:щш. С1щ1т1111 11 1Iрuнансу и вt:щс <.т:~рался
ПCJЗH:JKUMll'l'hO.l с fJ<l:JJlllЧllЫJ\111 с1шсоб~t\1 11 C1lL'1 ':t
1111ачш1а\111 ал1 сбры. Он убсл1тся. что техника
счС:.:та IIO ДCOl'f 'I JЧHOJI ПОЗ) ll(J ЮНJ-!ОЙ CJ 1сте:-.н:~
11::iм11oro пре1юсход11т все друп 1 е.
Нер1rуnш 1 ю, n П1 1 .зу, Лепн:~рг~:о серъёз1 ю :1а­
нллся матем:.~тшю11. Он nо:l11аком11лсл с «На<1а­
ламн» Евюш11а н. спс1111111ш эп1 з11а11ия с тем,
что уз11~1л от ар;~бских у•1Еных. состав1rл n
1202 г. «Кinrry абаr<а·> 11астонщую эт11\111сю-
1тедто ~1атс,,1ат11•11.:с1\11х :нrаtшй с1·0 :·>nохн
:37'ССЬ проян.11:~ас1, нысо1<:ш одарён1юст1, автора:
"f'P\rд Jku11;1pдu Ш' ~ЧCI-Jil'H:l'Kaя KOMll!IЛЯJtlТЯ. а
1·лубоко лро11ум:ШНОl' н К() MIIOJ'OM OJ111П!ll;]Jlf)­
нщ: пго11:шс;~сн11с. В нём рассма· 1р11н;,~ 1( н·с.я но­
rчюсы ;UIJ't:бpы, ГС<1МСТJ11111 11 'J 'C 'O{J l111 ЧI llTЛ.
Имснrю н :'>тоi1 кн1п·с rзпсрныt~ пр111нщ11тся
ре111етrне ~1звестнот1 за1t:~ч11 о K[IOJ1irкюc С11ра­
п 11 н1ается. сколыш пар кролпков ро11:т ся в год
от оюrой rrapы. t:слн кажюш ттар:1 прmюс!Iт
ежемсс~шо по паре. сrюсоб 1ю\1 н сnою очередь
через .\1ССЯЦ к р.1З)IШ()ЖСШПО. 11 сели HII OJ{H:l
пара не гrо1 ·ибпст. Ответ даi.:тсн суммой ряN1
1+1+.?.i 3+"\+н+". +111.к~1жды\'1член
;.1·1·01 ·0 f1ЯJt:I. H:JЧI 1Н:JЯ (' трС'ТЫ.'J'О, янляt~1·с.я С~'\1-
мш'j ЛН)';'\. 11pt:Jth!/t)'IЦHX:
П<ХJТС/"(Оli::1Телыюст1, {liп l в на.11>11ег·1шt~Ч C"l';'\!ЛI
на.11,шать nослсдоnатслыюст1,ю Ф116011аччл
(см. статью «Лослсло11атслыюеrr1») .
В 122:\ ·1" Леонардо пuсвятнл 13торuс изда­
нщ: ::Пой ю1 1 1гн свuс,чу другу М111<сж· Скuтто -
11μндrюрнuму :1стrоному 1 1 астrолшу11.щ1ср:1-
тuра Фр11дрнх:1 11, гому са,чому, кuтuporo 110-
гом Да11 гс уrнн1ш-1с1 в <-Ьожсствс11ноi1 кu:v1t:­
/ \1 IIH (Данте ПОМССГI L'J l'l 'O н J:IO(ЪMOJJ t<pyt ала.
в ЧС'!'Вёр·1'ыГ1 ров. f\местс с ;tруп1м1 1 пf'iма11щн -
1самr1, вr.r11анавm11м:и себя за ттрпr11г~;~1·н:~лет1:
А следую1.цт'i, .·тют худобш1тi,
811а11ся ,Нтсе:лf! Сл:оп тт 11 fiш1ы111t~t
н (Ю,11/((е()JtЫ..У llЛJ'ltlllЯX llOLflltfla'lCЯ дrЖ<Jlf)


76
История математики
Эт() посnящс 1ш с говорит о близости Лео­
пардо к с1щиm1йскоi\1у11вору Фрндр1L'Сl 11 Шт~1 -
уфе11а, перnого пз просnсщtrшых дссшу1 он
l+Т<IЛИИ, К()Торыми l!ПOCJJCДL'l'.IШ l1 бьщо Т:1К
богато Возрождснш: llo дажt' в ·ю сvронос
время Фридр 1 е{ сумел nрuслан 1.1·гnся особо~'1 Жl..'­
с· 1·окоl~1ыо. P:tC('l\:lЗЫJl<lJI J 1, бу/\Т() 011 raзpC1113JI
Щ10НО/\11Тh анатом ~IЧССКНС l·ICCЛl:J\1 )H~I н IOI 11 ~1
жн 1~1,1х 111одях - осужде11r 1ы х 11rесту1111и1<ал.
Пр11 а·1 ом 011 1 юкро11 11те;н.ст1ю1'lа;1 литературе
11 11эу1«1 м и сумел сж р~rж тпт, себя учсттымп и
философами.
Связu Леонардо с блестящим ощнлийсютм
:~вором nссьма прнмсчатслыш. Ведь через Си­
ц11т1ю 11 Исп:шшо За11адная Енро1 1 а позна­
комилась с арабской наукu11 Но. в 0·1·1111ч 11 с <J'I
J/l<.:11a11и11, H:J C! Щ l l JIH11 nЫJlll И llCllOCpeДC l 'HeJ 1-
llhH.: ко11т~11<1ъ 1 с '">JJJIH нскоlr наукой. Дело нто~•.
Ч'l'О ос1 рон с /\JJCHHCЙlllllX 11рс.чен ЯRШIЛОI l 'j)t'-
чсской KOJIOllHt:Гf С 601':.JTh \Mlt K)Jll,1)p11bl1\Jll
1·0 1ю1\<l мн. Элли~ rская тра.п;пция сохр:,шилась и
п осле Jавоеn:нпrя его ртr.млятшми (коI1ец lJl в.
.п;о 11. э. ). Сар,щrшы (арабы) иысадюшсь 11<1 Сн­
циmш в 827 1·. и к 878 1'. заnер111 1 1лн её по1\оре -
1111е. Их вытес11илн оттуда порм:шпы (1060-
1092 1'1.) . которыt' 11 uснонат 1 С 11ц1111ийскос
K()p011C HC'l'B0. K~I K : tр:.16Ы, 'l':JK И 110f1М:.!ШIЫ l]J1()-
H BШUl H ptJ l ll l 'HO.Нl}"IO ·1ep1 t11M OCTh, llOЭ'l'OM}'
11а острове ИCll<JBCДOH:.JЛHCI> XjJlll"Т'H<IHCKaя r1
мусу111,манск<1я рслнги1·1 и были n хrщу ·1 р1.1
языкз: 1 ·речесю.11!, л:п1 11 ю<ий и арабсю 1й. Учё -
Фр"др11х 11
Шт,1уф<"н
V\и 1 111.i1юpd
Xlll и
ные мо1·1 111 сноnrт 1 ю общат1,сн, обме111 1 ваться
з11атпшм11 .
Ilpff дворе Фридриха устра11ват1сь наусшые
днснуты. lla одном нз 11 1iX придворный фшю­
соф магистр И.ога1111 Г1алсрмсrшй nрсдлож11.1
Лсопар/~о !l11защ; 1<ому два вопро<.:а, 1юторыс в
со нрсменных обозначен~ 1нх н 1,11 ·1 1 1щн ·1· так:
1) н:1iп1 1 корень урав11с1111я
,.\'\ + 2.\) + 10.\' = 20.
(*)
2) 11а1:пи р:щ1 юнат.1 11.l l' rешсш 1 я с11стемы
уращ re1111й
{
:\'
2
+5=1/.
х2- '5 =1r
с··)
Леонардо прuвi::'л ·1щатсльныс 1 кслсдо1ш-шя
o6CIJX 3адач 11 наr lllCIJI ,ЦНС К11111'11 - < · [lilCTUK» JI
•K llJI!'~) KB:.l)\f1~1TOH» {llЛIJ ~ J\11н1 ·; 1 {) ю~;щр:1т11ых
ч11слах ·>) ( 122'5 1· . ). пос1н1щён 11ы с 11х рс1 1 1с11ню
Хотя обе: раб01 ы и:щаны т111 ю1т>:.1фс1<1 1 ."1 сно­
собом '1·олы.;о 1~ J 862 1·, ма 1е.1атикам сре;1 11 еве·
коиой Енро11ы 01 111 6ш11 1 лоро11ю11знес1·11ы .
В первоiI кшrге Леонардо уста11овал. что
корень уравнепня (*) 11е является ни целым
ч11сло.м, rrrr дробью Orr таюкс 11с может 11мсть
1шд , 11. 'n+,m ш111 \11 - vт. Н:11ю11ец,Лео-
1rардо ВЫЧllСЛИ.'1 сго с ТОЧН!1СТЬЮ ДО шестого
1rrе спщссятср 1тчн о1·0 :.~ттака :
,\' = 1;22.7, ..+2, .1:).4. .ю


(здсс1, TOLIK<I с запятой отдемrет пелущ часть от
npo61шi1, :1 :;;шнтыс - ШС("1•идсо1терпчныс
р;1:Jрнды). Каким сrюсобом было полуL1t1Н> это
значсн11е, 110 c~tx пор <JСТ:rётсн 1н.:11з1:1ееrным
Rт()rую '{а/1:1чу. постанлtнную ИО1 ·:н1ном
Гl:111ср1\tс101м , Леон~1 р.до нcc.r1t'J10RaJr в <·К 11нге
ккадратоА~ . В конце ко11цо11 011 r1:ш1ёJ1 ответ, 110
;~то щ· сам()е 1щ1т-юе.
Разм ышлетrия ir;щ зтой Jа11ачей nрнuелп
его к юраздо более пr1терссном:у rю11росу: ка­
ю1е значс rшя tvюжст 11ри1111м:1т1, 1:1ыраже11пс
4Jщ(f/ - </)? J!совардо заюночил , что нрн
цcJJ ых р н tJ u110 не можеr· быть кв:щратом. По
сут11 это ут11ерж11ен11е :-IKRHH:lJJCHTHO HC'Jll LКOIJ
теоrсме Феμма для Чt:'1ъёрт1'1х стсnснеi\. Таки~~
nбра:юм, ЧаСТlfЫЙ случай Ht'ЛHKOfl тсоrе~11,1
Фсrма бы11 откр1.1т :Ja 400 лег ; 1n Ферма! Ол1 щ­
ко локазат1. е1'0 Лео11ар/\О 11t' улалось.
***
В nрсднслот ш к « Кшrгс к1.1адратов,• Лео11ар110
п11сал:
•Когда, u знам<:юп't.:1'1шиf1 кювn 1 ·uсшщ11н
Фр111чJ11х, м:11·ис'1·р Доминик nр1шёл м<:ш1 в
П11зс к 1ю1·ам Ва11н: 1·u вt:J111честн~1, м:.irr1Cтp
Ио1'анн П::~лерлкки11. 11сгrt:г1ш мt:ня. 11ре~1,Jшжнл
м11е вон рос, о ко'rоро:-.1 я на 1111 шу 1111жt.: 11 кп­
торыi1 lll' Mt:JICC OTI юсип:-я к 1t:0\1CTpl Гl l , чем
Срелние ве1<d ~' Во~рожден11е
к чнслам. а именно 11айти 1.;Rадр:.пнос ·1~1CJIO.
1<оторос, будучт1 увслJ 1чс1ю шш умt:11ьп1ено
на 1 1н ·1ъ, вснк 1 1й раз 1юрождш10 бы кналратное
ЧIJСЛО
Посл е размышлсннн н~щ рt.:нте1111см .-~то го
1ю11ро<.:а, 1ттuрое я уже н;.1шё.r~ , )1 y1111l\CJ1 _ что
ИCTOЧlll!IOI Э'lОГО pt:111C I Jl l }f лежат во MHOl' l lX
вещ:L-х. которые ОТ!IОСЯТСЯ к ЮЗЗ/1,ратш,1~1 'ПJ С­
ла.ч са мн по <"еое 11 н их 0·11 юuтс1 t11и пру~· к
другу. l\роме ·гоrо, узнав нз р:1 згоно роn н Пизе
11 ;~ру1·их, которые дош11и до меня 11 з нi\mера ­
торско1'О NIOpa, что 13ащс н<::личество собла1'u­
Rоли 1ю 11рочее1ъ 1<н111·у, которую я 11anиc:u1 о
ч11с.т1:.L'<, 1-1 чтп Ему 111 ю1·д~1 ;~оставляет у;10 1ю11 ь­
ст·н1 ic слытать 11 :>я щ1 ~ыс р:1 ссуждс 1н1я . от1 юся­
щ11сся к 1 ·с()мстри11 , я нс110.ч11r111 о Rorrpocc. ко­
тnрыlf }f сформу•лпронал 11 котор 1 м'r uы.11 м11е
предложен при Нашем дnоре Ваmт1м фююсо ­
фом. Я юял этот rюпрос n качесше темы н ттред­
прпr шл состаuлс1111е 11:1стонщсi1 работы, кото­
рую рсшнл назв~п. ,,1\шт гой о к1:1адратных
числах" Тс11ерь л t1ропту B;.imc11 сшкхuдтпt..:Jrь-
1-юстн н том. <.:нуч ас, 1..:сл11 кнш ·а <.:UJ~<:rж11т чтu­
лнбо б<Jлсс 1Jл11 ме11сс 1.1срнос 11 11co(Jxtщ11,YtoC.
так как 11очн11тr, обо нсём 11 1-11 -1 н чём нс uш11-
баться оюйет'Ненно nпжt.ттвс1п-1< ):viy~·мy бuж:l'.
чсJ1·1 чел онеческо му. 11 11е·г н11ко1 ·0. к1·0 снобо­
; 1е1 r от 11t:,rtостатков 11 сrюсобен у•1естъ всi::·>.
ЭПОХА ВОЗРОЖЛЕНИЯ: СЛАВНЫЕ ОТКРЫТИЯ
Эпохо 1I По:3рож;~сюш, илн Рс11ссса11са , r1рн11я­
rо CЧH'l';l'IЪ XV-XVJ вн., К() l '/Щ но МНОl'ИХ снро­
nеЙ.СК~IХ сгра1 1 ах стаJ 1 тюзрuждатnся ·1'm nысо­
ю1й уровспь кут,1уры, KOTOj)J)I Й C)'ЩCCТ IIOR <Ul в
а1-1'r11чноl1 Грс 1 111и. Ра1-11 ,щс, чем 11 дру1'их Сl [Х1-
нах, - н XIII- XIV 1щ - Rо~~ртме1111с 11ачалос1)
в Италии, наиболее развитой и R зко1юмиче­
с1<0м, н в культуртюм оп-тоше11ии. К то,\1у же н
снду географического положения Италия была
связующим :1веном между Западом 11 Востоко.УL
НоRые всян1-ш отра~шшсь в творчестве всю 1ких
мастсрuн· н поэзии и прозе Динтt Ал1uъерн,
Джонашrи Боккаччо 11 Фрап'!сско Пстраркн, в
жнн()nнси Джотт, Лсо11ардо да Винч11 и Рафа­
эля \.а1пн. в прекрасных скулыl'lурах Мнксла 1 1-
джело Буп11арроп1 11 Бснвенутn Чеm 11 11 rи. Все
01111 верили n безrра1111чш,те возмnж.110<.:т~ 1чело­
века, его волю и разум: r:шдели в нём венец тво-
рt.:ннн . ~" 1·нt'рж;1:ш в 1-щсал !'~1р1.ю1111чноl1 i 1т1:1ор­
ческuй J JНЧНО('ТИ.
Эпоха Во:~рождсння стала 11 э11пхоl1 Вею ·1к11.х
гсогр<1с]шчесю1х открытнЛ. В 1-192 1·.
Хр11сто­
фuр Колумб rУ!'крыJ1 Амер11ку. в f ') 19 - 1')2 \ rт.
Фер11ап M:-IГCJIJl::ll! совеr ши11 К}))ТОСНСТrюе пу­
те111естш1е. Вот кзк ппс;1л об этом яркий пред­
стаrнпель Возрождения nрач, математик и фи­
лософ Джероламо Кард:ню:
«JJ роднлся n тuм веке, ко1·да бъv1 открыт
несь :3емной шар. тогда как в ;фев1юсти было
извсст1ю mш11, Нl'М1ю 1 ·ш1о1 бол<.:с uдной с1'0 трс­
т11 . " Есть ли что-лr 160 бuлсе у;,тшнтсm,ноt:, чем
nирот1::лн11ю1 11 человеческ:~н \.1ш11111я (·1 · е.
артнлJJернн. - ПptrJJ·t. ред.) , которая траздо
011acr1ce мол11нн rтeПoжrrтeJ1t:lf. f-le уJ11олчу л 11
о теnе, пет 1ки(1 м~1пп1·1·, о тебе, nс;1ущсм 1ra c П< >
беэnрежпым мор.нм n темноте 1ючп DO время
77


78
История математик~~
ужас.11сi1ших бурь в далекие неnедомые края'
Прибавим 1< ::Jтому еще четnёртое откр1,пие -
нзoбpl'TCHllt: KHI (J'Оllt:ч.папня COJД<llПIOC pvl(.1 -
M I 1 люд<:й, щ1 1 rд~N1з1111щ; 1ix 1енис'vl . Оно сош~р
н11чает с Божссг11сю 1ым11 чул.<::са.чи. 1160 чс ~·а Жl'
t:щё нед(Jстаёт нам кро.\1с tJвл::~дсш 1я 11eбoVI' »
1111е 1ресrесю1е р~кошк11 11"1е111ю учё11ые 1311
эаптип сохрJ11и:ш для ш.:сх послсдующах поrю·
лс1шfl бссцс1Шf)t' 1рсчсскос нuu1t'Д1Jt' , которо<.
н l't' Ht'CI IOKOl IHblt' нμс\\С:Н:t 1!1 ((JJIl lt: \1()1JIO p.IJ/\l'
шпь судьбу дрс1~нсюпаi1Lю1л 1рактатов по "1:1
тс'11:п икс (по повсл<.:нJJю импср;пора Ц11111, Ш1 1
Х\.111-.т~.11ш11111ыл11 L1>)10Ke111 .1п21 .~ 1 дп 11 ::i)
В Сред111 re ве1<а 01\ 1 111м 11з крупнсйш11х на
учпых rt<:r пр() в Евроrщ бш1а В и зз1 пня Сюда
съе.1жаJшс~.. ~·чёные из ра'11 r1,1x стр:н 1 чтпnы пе­
решкьшатr, , нзучат1, п rшммептирова~ъ древ
R 11011Lк1х со101 1111коn гтрот11n ·Г\11пк В11з,111
тшr сnл11:пrл:к1, с Bc11c:r(11cfr. В те времена вене
ц11а11ские корJ6Л11 борозд11ли морн. н боr;пыс
ЖИВОПИСЬ И ГЕОМЕТРИЯ
Пр11мерно с Xll l в. худож11ики (сре­
ди 11их. италья1·rеu Лжотто ди Бон­
доне) н.:tчали ~кrпериментировать с
изображением простра нства Они
·<Создавали» живописное nростран­
сню, И3М(!НЯЯ р.нмсры фи1·ур, ра< •
полагая по определ~нным прави
лам Jлемснты архнтектуры . детали
ландшафта.
В то время на латинrком Запа­
ле rтали популярными трактаты по
опп1ке и в частности труд «Пер-
спектива» польского ученоrо Uе­
лека в~1 тело (около 1225 - около
1280) В нем описание оптических
экспериментов сочеталосt. с изло
жением 11выс шей математики» 1ш1
эпохи· фрагме1~тов «l-laч;iл. Евк
Ntлa, «Ко 1-1ическ~1х. сече1-1ии » Лпол­
лония и «Гlер('пt:-к·1111:1ы» с11мбскогu
математика Х XI вв. И()н аль Хаи
сама IАльгазе>на\ Интерес к гео!'v1ет­
рии пространства в ко11еч11ом ~по­
ге привел к т крытию в живопиr11
линеи 11 0~1 перrпективы r единои
ГОЧКU~1 СХОдJ. (ТОЧI 1ее rказать "\ТОТ
прием был переоткрыт поскольку
им вла.лели ешё древние греки )
В XV в итальянскии архитектор
и скульптор Фнлиппо Брущ:ллсс­
ю1 наnи<.dл мн, к.~1пины t в~1лdми
Фl\оренни1~ при~f'НИR 1аконы пер
СПСК1ИВЫ к СОЖJl\е11ию эти рабо
ты Н!:' сохранились. Истnрики спо­
рят о тnм обладал ли Брунелле< ки
недЮА<ИНllЫМ11 ПOJI 1а1 IИЯ~И в м,1те­
матикс и других науках Если так
то е1 о картины прсдrтавляли со-
С тp.111•1uJ
11з Руковолсrва
К "1 lM~pe1 Н1Ю
А ,\н1р1>ра
Нюрнб~;-рг
1525 г
Тро1ша Фрt·~к,1
Мазаччо
вroGope
Санта Мария
Новема
Ф\Opl'HIJl1Я
1425-142611
бои <ложнеишие геометрические
поrтроРния [сть и другое мне>ние:
Брунеллески вначале писал кар
ти11ы 11а зеркале обводя и рас
краL11ивая отражения Именно по
натолкнуло Е'ГО н а мысль о пер­
спективном сокра шснии архитек
тур11ых фСJрм Вскоре у него по­
яв"'м1сь ученики 11 nослело1:1атели
В их числе - друг Брунеллески ж~1
вопип•u МJJаччо Его кисти пр~1-
наллс'жит монуме11тальнос па11~ю
< Троиuа• во флоренл1йско11 uер­
кви С.1нта Мария 1lовелла где
Х}'дUЖllИК nримt:llИЛ ед1111ую точку
сход,1 ухолиших в 1лyfi~111y м1ни11
Страстнt.1м энтузиастом перспек­
тивы был и П<.1олu У•1 челло.
Прdкп1чР< кvкJ п:ометр1·110 и.~у­
чали отложив на время кисти 11
кр.:к~-.и . вел11ча11шис художн11кн 11
теоретики искvrства Лестарло Аа
В11нчи и Алпбрех.т Люрер Они И<­
пользnflали гео"1етриче<"кую тРхн11
ку в приложении к теории п ропор
uий и перспективы в ж~11юпи<.н


r:унцы Город:~ дoжt:lr nem1 ож1шлсr~ную тор -
1·овлю с по1лоу,ым 1 1 ~·орода:--ш l>m1ж11сго Вос ­
'J(Жа. Поон.: падсн11я 1\онстаrттшюполн 13 1-iS:'> 1·.
ученые, ра6от;,tнw11с т;1м. стал11 11срсс::!жать 1 1а
З;1ria;~. Так научный мнр Екропы по~1-1а1юм 1 1 J IС){
({) M I HJГl1:'>111 IOJ;ll'CllЧt::CКll .\11-1 трудами ПIJ м:1тс­
мат1-JКl: 11<1 1 рс ч ескuм J-1.11.1кL:.
Одн:11<0 1 1 ауч 11 ыt: :ша 11 1щ р~КЩ)1>сtраш1з 1 1-1с1,
.\ IeJ1.J1t:111 ю. ма·1·t;,ч<1т1 •К) пре1 юдаnаJ/11 в ~~н 1вt:р ­
снтеrах, которые тог[(а 11~Lхо11.11 1шсь под покро­
r.итет,ст1юм ЦерК13и. Её нерзрл·н стар;.11шсь со­
хр:~rнпь срсдневсконыс предстаrшспш1 о ~шр<:
11прот1~1111л11с1,1юэраст,1 ющс~1)' wншт111ю 11аую1.
\( ·1·Gиу же уч<:ньн.: uбычнu рлбuта: ш 1'· u,цшюч-
1<.) 1lc быmJ научных об щt:стн 11 журнаJ1о н, м~1-
теs1:1111ю 1 не вс.:лл 11 ;1у чн ой щ:рсшн:ю1. Состон
11:1 жзлнван1,е у 1<<1КШ'{)·Ниб~д1> 1\\t'Het-·1<1·1 ·. 1 11 1 ю­
('ТШ11-1но 01 rасансъ апастr. 11 1r1::мююс 1 1" м;нема
тнк ренпшю oбc;:pcraJJ своr 1откры·1· 1 1я.
Хар;щтерпая нриме1· а того нрб1<.:1н1 - нdуч­
пые тур1111ры. Победа в таком турш rрс 1юроi1
стапоuш1ась реш:но щ им событие~t lJ ж11з11и .
Побсдптслю доставал:.~<.:~-. нс тонько 01ана, 110 11
кру11но<: [\<.: 1-н.:жно<.: 1юJ1 1аrражде11н<:, а ч:кто 11
весьма ны1·од1-юе пр111·лзшенис на работу.
В ссрсд11ш; XV к быJю l!:юбрстсrю ю-шrопс:­
чата111 1 l', н знання сг:uт1 1 дос1упны 6онсс uшро­
К()М} кр~ту :~юдеr'1 Хm·н 11ауч 11 ыс:: соч1111еI-mя
нс по11ал11 n ч 11 сло 11ервых 11ес1ат11ых юш1, нсё
же к копщ' Х\/ n. в Европе у-л<с полшrm 1сь "ком ­
мерчrска н ар1 1фметш\а'' (1478 г.). «H:.P·t;:iлa» Еn-
1@ща (1482 t'.) в латшн..:ком переводе Камшн1~1
!Jаваррскuго. сдслантrом в ХШ в" и " ~умма з11а-
11н l1 ~ ( 1~9-1 1·) учё1 юго мо11:оса-фраrщ11скаш \а
Лую LПаqrнш. В Х\1 1 н . напе::чатаны ·1·pyrlы А1 юп­
;юн1нt 11 Аr-~шмt:да. Кн.11п1 н~1 т1ты1ш мог про­
ч11тt1 ·1 ь /tJлско не каждый. поэтому Пачо111r,
l'шшлсlt 11 Д<..:кз р1 С(.)3!ШТСПЫЮ Пl!C<}JLlt своп
μэбтъ1 11а •·р:tзrо 11орных» яаы1шх - r 1 ' 1(1;11,я 1 1 -
с1<0:У1 11 фра 1щуэском.
«Сумма зт~а 111 1й" итзлып 1ца Паqшш сопер­
жала нсё, что тогда знаm1 по ар11фметпкс, ал геб­
ре, rco~1eтp111 r й триrономстри1L В этом труде,
R L1аспюстн, была поmюстыо вос проИЗll<:дена
•Кн111 ·а абака» Леон ардо П нза нского. В 1<0111 (е
рп:щсла, лосвящё 1 1нu 1 ·0 аJл ·ебранч<:ск11м уран­
r~енш1:v~ Пачл1ш за.\1сти11 , что /J.'I~ рсшсння ку­
бичесюtх уран н е тr й <·искусстrю алгебры сщ~
кс ;1а;ю способа , I<a к нс на 11 способ к на,!\ратур r,,
круга". Ero сл она rюспуж111111 оюеоб ра:щ ым
вызовом для следующе1·0 поколе1 щя алrебра 1 1-
сrов. Молzет бы1ъ, вперв ые после «С рсднеnеко -
С релн 11 е века и l:kнрожлсн 1н•
~
E"ll.l(IO
f\YKA ПАЧО/\И
Лука П а•юли (t>k.oлo 1445 около 1514) был круп -
11 ейшим Сfjрuпейским алгебрсtи t:тuм XV u . Он
рuлилс:я в мес. 1 ечке Бор го-Сан-Сепuль~<ро в Uент­
ральнои ИталиИI, учился в Болон с 1<ом ун иверп1те­
rе. Па•юли ста!\ профессором ма 1 ематики и пре­
nолав;1л в Риме, H eanoлt>, Миланf', <Dлорt>нш1 и,
Болонье .
В Мила н е 011 подружился с вылаюш~1мся хулож-
1-1икuм и ученым /\ео11ардо да Ви11 чи. П С' настоя­
нию Леонардо r.; 14q7 1. Пачом1 написал к ни гу «0
Божественнои про порu11 и. (её печ.:~тное излан ие
вышло в Вен еФ1и в 1509 г.) . Са.\о\ /\ео11арло 1:1ы пол­
нил иллюстра u ии лля этой книги, в том ч исле
59 изображе ний многоrра ню1ков.
Но самым --с нам('ниты м сочин е11~1 ем П ачол11
стала (< Сумм а з нан и й 1ю арифметике, геометрии.
отношс11иям и проnор uионалыюсти» (1487 г.).
Книга была напечатан;:~ в Венеции в 1494 г.
Лука П.эчuли. Карп 111.1 щ•11Jвес:т 1 ю1 о Х\'дu:>1.н11к а J 49 i; r .
rюй с11я чюf>} еоро п еiiцы осо"ша.; 1 11, qто м~1.10
только следовать класснчtс 1ш .ч образцам н
прилежно усватmать аr 1111чщ1ю 11ау1<у. пора по­
иыта1ъся создап.. что -то новое, 11epcwai-rry-п,
1'раrшrщ , )'l<аз:н ш ые ю1 ;1сс11камн. 11 это 1rм уда ­
лось. Ит:1щ,янсю1с матс.-.1ап тк11 XVl н. 1 1аш 1 ш
форму1 1n1 1шрнс 1! :.ыr·L:fip::1.11чecк11x уравнен ~ 1i1
трет ьей 11 чстн~ртоГ1 степе ~ 1~f1 11 те.\1 c1мJ1J '\1
решт11 1 зада ч у, котор;l я н~~ протяжс 111 rн мло­
п 1 х пеков rLрсr~стап11 н11ас1, учё11 ы м нсра:~рсш11-
мой. В<1т п очеУ1у Л-VТ столетне 1ю 1111ю н 11сто­
р 1110 м атемат11 1<11 как J'leк алгебры.
79


_,Аъ_
Cll.lfl!
История м<~тем.:пики
СЕ КРЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
1 1~·р1ыя 1тр.11, цu,1
,('ум\\Ы 1Н.1 Н '111 »
Л 1 1,1ч1 1л1-1 Bt•Ht! UИ>t
~l~t\.lHllP 11..! ! 1
В м ате матике то 1·0 вре мени от рнц;tтслы1ые
сrпсла е щё не ПОЛ)'ЧI1л11 <· праu 1·ражл:п 1 ства ·}. Их
нс.:пользовали при решении урашн:ш1й только
н щюмсжуточ ных рзсчётах, IIO (;'(Jlll ИCl\OMЫJl
коре нь or<:tэыв:ctJtcЯ отр пца1·сльным чнслоы, то
CЧlIТJJIOCh. что yp:lBHCl-H fl' кuр1 I СЙ l [(..' нrvtceт. Д.1 1 я
тu1 ·0 чтобы научнтьсн рсш:пьлюf>ос куб 11ч сс кш:
\'IXlllHCHl1C, MЗTtM(l'l'Hl<l ·I ДОJ lЖН1>1 fi1,L1llf :1! 1 ~1ТЬ , как
рс111а1п1пr тр 11 ра:~ных т11па ypamre11иrr:
.\'~+fJX = Cj,
х1=рх+ tf.
\
.\' + f/ =р.х,
где р, (/ - rю1южитслы1ые LШCm1. Исторшr от­
крытия qюрму11 корней эт1 rx урав 11с 1 1ий полна
драм ат11:.1м а. 11 1rтрш', коварства 11 оfiмана.
П <.:рным ус 11 еха 1 \uбилсн профессор Боло11-
ско 1 '(1 унипсrн.: 1 пста С1\1ш 1 ю11 Дал 1) Фсрро
( 1"-165- .1526). Ha,11u сказат11. что n Л'V-XVJ 1ш.
Болонскиii уmrвсрс~пет был 011;Т 1и :ч из с;.1,чых
11з1:1ест11 1 .1 х у1шверситетоn Enponы. В рз з 1юс
время его студе нтами б ыл11 Jly1<a Пачолн, Аль­
брехт Дюрер 11 Ннколай Коперник. В 1'11.:; г.
д{LЛL, Фсррu 11ашёл рсшс1ше уравн е ния вида
х +р.,. = t/, но, щ) обычаю то1'0 нремени. н<:
011ублико1шл е1·0, а хранил в тайне. Рукоп ись с
н.з1 южt:11Ие.:'.1 :'Jтo1 ·u uтк рытш1 Д~mь Фt:рр< >пе ре-
1~ш 1 с 1юсму >ят10 и nрtемни~:--у по к:.~фtдре Ан -
1-111б:Jле дt~лла J lанс. Хотя впоследс" 1·нm1 рукопись
11айт11 11е yдaJJO('I•. с он р с.:-IСПТIИЮ 1 )'Чtf IOI'() 1111·
1ю1да IJe осп:~рнnашr с1·0 пр1юр11тета, 11 во м1ю-
1 ·их матсматп ч есю 1х соч1111с111 1лх X\TJ n. rч шю ю
встрс:тить уном11на 11ис () ,,правшrс ДаJ11, Фсрро-> .
И::1щ.:сп 1ы f1нт:шы1нс ю 11'1 11 стuрт u<м~1тсмап1-
ки У. Фор 1и наJываст 11мс11а t:щё двух чt:Jюnск,
ко 1·орыс энаJ111 с п1 н:об ,Ц:ui ь Фсрро: это лnоря·
HI IH пo~Hlt:O UOJIOJll'Tl 11 11Лll 1 '0 1 11 ltJ Мар11н Дt:ЛI>
Ф 1 .()рt:, уче1-шк прш/х:ссор3 Дэ.111, Фсрро. После
смерт1 1 сrюе1"< 1учr 1·1·ею1 /\СЛ 1, Ф1,оре rюл 1,:1()11ался
С()общёrшым ему сскре-1 ом. 6. 1аго;р ря чему
r юбсждал н а r1 ауч11ьLх турнпрах.
НИККО/\О ТАРТА/\ЬЯ
Н астоя шмr его фа'v1илия - Фонт.:~на. Прозвише
ТJрталья (нJика») Никколо получ ил, когда l'Мубыло
шесть лет . 011 вместе с родственниками спасался в
11еркви от фр::~нuу ·кк и х -1авоеват('лей, осам1вш их
его ролно~1 город Брешу. Свяшен11ы ~' 1тЕч 11~ . ол11а
ко, не уберегли от несчастья : Ни кколо был тяжело
pat 1е11 в горта нь и 11 а всю жиз нь U(:TJЛ< ~1 1аи кой.
Ма/\ ьч ~1к р(К в бедной семь(;', ра но остс1лся (\€'~
()ТIJJ . Мать нс могла плат~нь 1а обуч\:' 1111е сына, П ()­
этому в школе Никк олu успел в ы учить лишь поло­
вину <IЛфсlВИ Г, \ , И ВСЕ' Жt> (,Tpl'MЛC I IИЕ' К '1 Ht~H l•IS!M И
н еоuыкнш~ен н ая твёрлость хар<1ктера проявились
>'Же в лстствl'. Тарталья нс толL>ко самостоятель~ю
11ауч ил<..я читать и писать, нu и сумt!л при обрvсти
большие П(ннания 11 ма 1 Рма 1·и ке и мf'х,1нике. Вnо­
слРлствии 011 созл<:tл 1аме ч ательныи лля свое го
времени трuктат «Новая наукJ • . в котором р ас­
е мотрел р.нлич н ые воnр0< ы меха11ики 1 в том ч исле
расчёт тrаекторий сн.зрялов.
Н11кколо
Тарталья


И вот R J ~) "> г. дедь Фьоре uызвал 11а состнза-
11 пе з11аме1111то1·0 матем.атюса 1tию<оло Тар -
1м1ью (о коло 14()()-t 557). Тарталы1, у:шаn. что
дет, Фьорс обладаеr· сt:кретuм Сцитюна д~u11,
Фсрро, за rrccкuл hKO ю 1el1 /\О ·1 урннра cyмt:J1 с1-
мuе1·онтс::лы-ю открыть (j10р .\.1улу корней и O/tcp-
ж;u1 1 юбс11у За два ч:rса он репл rл нее ~s~щ~1чи дtл1,
Фьnрс:. Протишл 1к же, nu слон;~м са .нот Т;.~рта ­
nы1. ш: спра1н111ся ни с о;~ной. дзже 11з 1·ех, кuто ­
rыс MOI' бы pCIТI! пъ по 11р<Н1илу Д;;JЛf> Фсрро
Череэ лень после тур1шра Тарталья репшл
также ураrпте.1-шt: nида х' == рх + cf. Это было
вел11ча iiшнм оп<рытисм. К учёному nр1 шша
слава, c 1·u пршж1mаш 1 прс 1 юдавать н Верону,
J.k1H.:llИIO, Пы1 чеJщу, Брешу. Но пубm1коват1,
пю11 формулы Тарталы1 не стал. Пuчсму' Во~­
можно, 11р11ч1 1 на был:-1 нот н чё.ч .
Куfiнчсскпе ура втте1111е первого т11 щ1, т. е.
уrмине1111е
_\J + px=q.
1'
'\
с 1юмощыu nпдст:11-1оню1 х = 1,U - vиТ:-~рт~1лья
(вслед за Д;:~ль Фсрро) с1юдш1 к квадратнО.'-'1)'
yp<tB !lt'I IJIIO
.!
(р)'
и-чи. -
.1
=О.
Дискрими на.1 п ::>1·{ н·о ур;нше1п 1 >1
ПОЛОЖИТСЛСН, И ПОЭТОМ)' 0110 1IMCCT 0,ЦШ I flO-
JIOЖJl'l'tJ IЫIЫЙ корень.
,Ш~х решения ур;,~внс11ш1 нщр
х1=рх+ц
~
;
'l'арталыr решил с;(слатL зэмепу .i .: = ' 11+\1 •
Со01·нс·1·ствснно ш1 JJ<)Jlyчrrл кRа;~ратное ура11-
вс1111 е
>
fJ
()
~
tГ- tjlf+ °'Т =О,
/\ llCKPHMlllJШl 'I' кuторu 1 ·0
чnжетбытr, ка1< поJюжите11ытъLч. такп отр1 11tа ­
'l'е.'lы-1ым. В 1 ·ом случае, коща 011 отрицателен
Средние века и ВозрожлРние
(т'1к 11азываемыi 1 nапршюдUt11ыt/ с.лучаil), метод
Тарт:1.11ы1 «не работад», хотя кубнческос ура11-
1-1е1шс и IIMCЛO peшt:IIИC.
Имс::н110 :,)Та 'l'РУ/tность стал::~ камнем 11рс­
·1·ю ювсн ия для rsccx учс2н ых . Т.tрталья, rю-н11/(1 1 -
мому. 11с: хотел nубт 1кок1ть свою формулу /(О
тех пор, пока окончатсJ 1 ы-ю не р<J::Jберt:тся с
11е11ривuд11мым случ;.~ем.
Тем щ1сме11ем ещё 11ри жиз11и ТЩ"Jтзльи с:1 -
мое важное cro откры·1 не у1<рас :ило юшгу
другш·о человека. А случилось это так
В l 536 г. Джероламо Ка рдан о, 1-отоnя к изг~:а ­
нию сочинение «Практика арифме 1 ·1·1ю-т», уэ1 1:.и1
о сущестнованин ~ 11 рав11ла Даль Фсрро». НJ нест­
ного /lH)'M ученым - Ннкколо Тарт~u 11,с 11 Ан­
тонио дсль Фьорс. Карл<1но 1н111нл, ч · 1 0 ~сJ ш
)/lJСтся 011убт 1 ко11а·11, этпт ре;{ул 11·1·а·1 в с1юей
юп11 ·е, то с;1а 1{а бyrte1 ему 0Пес 11ече11з Однакп
11се ПО\\ЫТКИ сзмому ПЗl~i'ПI ре111е1ше Ol<ЗЗM IKh
безуспе1ш1ы.\.1И. Тоща он задум~JЛ выuснать сст<­
рет у Тарnтьи И nот, после долл1х. )топоров и
увсщеnа1шй, в марте 1S:S9 г. Тарталья, nрсдва ­
рнтелыю нзнв с Карда.но юrнтву н с раэглашать
это 1'0 открыт1ш 11 /(:~же заншфроnать с1·0 так,
CARDANI
A H:S MAGNA
Alt l ТНМ.НТ 1~1f: .
Scu L11\<;:r ч1.1aclra1;н\t::t Cap1tulol'L1111 ,
& чu.нlra~111t.1 QQ;rllюnun1.
1'RОOLМ1VМ
AD R {) l'l/11 /i'l'l' J\1 .1J(C/lf.NТfT"'f,
l 'p[ropum ""'!' i•"tir .ltpнHrt
"1а5·:. '"'1 С) ·~" '·· !(1. /'ir1 1·, ...."
, , 1, .•.,,,1t ,.,.,.м (
.r.
а •1-. ..
•
•
-
.Jм •
.t
.....--
:t1
L
,
,Ji,
"
1
t:"
"
......
• ,.... . ::;:;:-: ". "";r;
1."" 111
'1
•
,,'".'"
1 .J,
".
1i.,1 " ~ 11~-1..11,01 ; \;111··.r•rr1 1c ' - 'I '•'"" '
... ,"
_,/,,·111tftJ'.Z:
1111rV1r"
~·._."
Первая rтра 1 111ua
тp ,l KTdTd
« В<'ЛИКОf'
Иt.t{ y(( IHtli
111 nол11ого
с оt>рани11
< t•'IИHl 'lllH1
д.,., Карыно
81


82
История математики
чтобы никто не смог прочитать напr1санн ое ,
передал ему «Стихотворный алгорити ·> ре ­
шения.
13скорс после этого самому т:1ж1нтт1н()му
уче1-1нку 1<~1 рr~ано - Лудо1шко Фсррари ( 1'1 2 2 -
1')(>')) удалое~, наfiтп с 1 юсоб реше ния ура кнс-
1111я чет11ер·1011 стt1 1 tнн. Жt11а11нt Карн<~но
оnуб.11иконат~. таю 1 е 111.щаю щ11 еси re:-iyJll)l'3 'J'bl
ЛЖЕРОЛАМО КАРЛАНО
ЛЖер оламо Кардано ( 1501 - 1576) был ~ктинным
сыном :юохи Возрожления, воплотившим как хоро­
шие, так и дурные стороны с1юе1 о времени. С юно­
пи джС>роламо пбуревала жажда славь~ « Uель, к
которой s1 стремиЛ<·я, - писал он на склоне лет в
автобио1·раф~1и, - заключалась в увековечива11ии
моего имени, поскольку я мог этого до<.тиrнуть, а
вовсе не в богатстве или п раздности , не в почестях,
lie в высоких дО/\ЖtЮСiЯХ, lie во ВЛdLТИ". »
Кардано nuлучил мелиuинское образование и
всю жизн ь занимался вра•1ебной практикои. Одна ­
ко, как многи е учёные эпохи Возрождения , он 1ю
ограничивал себя лишь од1 юй областью 1-Jауки: Кu.р­
дано вошел в историю как математик , философ,
естествои с пьпат~ль и изобретатель. Суш~ствует
леге нда, булто он составил свой гороскоп и п ред­
сказал , что умрет 21 сентября 1576 1- .
дабы под­
держать собственную славу астролога , к назначен­
НО"vlу сроку он уморил себя голодом. Лаже если этот
рассказ и вымышле 111-tый , суть характера Карда1ю
передана очень верно.
(;:~мой и з вестнои к~1игои Кард;:~ но стал трактат
1 ю ал1 eGpt: под названием • Великое иtкуtсrво 11 1
опуОликованный в 1545 г. Книга содержала фор­
мулы ре шения кубического урdвнения - секрет
Лал1, Фе рrо и Тартальи.
джерола"о Кард.~но.
стало JJpocтo I:Н:'преодолнмы.м. l< то му же в
l '542 1'. 1\Щ)/(3.Н U 11 Ферр:~ри кстрС'1' 1 IJll ICb с ДС.'U1:1
ltaвc, который охотrю пcж::t:{:!JJ 1·ос1·ям рукоn11сь
снос1 ·0 тсстн с -зансл ю Г1 фор~1у11nй. 31 1::~ч11т, сё
мож~ ю было у:111:i·11, 1 1е 1·ш11.кп пт Tapт:JJJы11 Кэр­
дано ре11111л . чтп 11'\1еет 11р:ню 11:1ру11111·1ъ Jl:ll 111ую
Тартальс клятnу, 11 RЮТЮЧllЛ RСё ему llЗBCC'Tl!Oe
11 со6стве11щ10 юш1 ·у.
Наrю отмстить. что чест1. 11е11 1 1ю1х открьJ'Тiн1
Карда1ю отд:ш нмс1шо тем mодям, которые се
заслуж111н1 011 11ис~и 1 .
•·Н 11:111н: неm1кое вр<::-н1 С1 l1 1 n1юн Jl:1JJ1, Фер­
ро откrыл rlюрмул): "Kyfi ксщ11 ш1юс вещь
р~кны чнслу". ~то был о 1юнсп11-1t: rtpt:кp.tcнoe
открытие Так 1(ак 11олоб11оt 11 с.кусс1 rю прt'вос­
ходr 1т nсё человечес1юе остро~'м 11 е 11 всю яс-
1юс1ъ ума с.мернюго. то 1::1 ·0 iryж11 0 расо1атр11·
Rэт1 , как подарок небесвого прои:схожде1шя. а
также способrюст1, силы ума. Это настолько
слашюс: открытпt, что от того, кто мог его до­
ст1 1 1'H)" I h, ,\>ЮЖНО ожнд:tть . Ч'I'() 01-1 ДUC'l'Jll'Ht'I'
всс1·0 Co1tcp111 1ч<1J1 с L111 ,- . .1 , 1111ю<0J Ю Таrталы1 11з
Г1рс1н11, наш друг, liудучн ны::1н:11-1 на сос1·и зан11с
учс:н 1 1ко .ч Даю, Фtрро 110 11м1.:н11 Ан·1он1ю Мэ­
рш1 Флоридо. ре11111л , д::11.l1.1 r1e бr.1 ·1ъ rюбt:Ж.'\tli·
НЫМ , ту же Ca/\J)'IO проб;1 е му 11 IIOCJll.. ' (\Ш\П\ 1\
просъб псрс[(а.rт её мн е. Я был внелё11 в зз блуж­
де 11 1 te словамн Луки Пзчолн, который гоuорш1.
что rrcт общего рсrпсшш т~нюrо ураnне111щ 11,
так 1<ак я обш.щ~LГI ужt MllOГHMIT, MllO IO СIМИМ
с.цел:~ш1ыи11ОТiфЫТШL\111, я11с uтч:швался ш111-
та то, ч1.:1·с1 н не cмtJt 1ккать. О;~нако ко1да 11
получ11л эту 1'л :шу 11 дtJбр:11н.:м до t:ё рt:шен1щ
то н у1ч·JДСЛ , что с сё IЮ.\10ЩЬЮ MCJЖllO }v\J юrое
е щё сделап_" 11 уже с 11стыше11тю1'1 у в ерен-
1-юсrыо n ('fiOИX СlfЛЗХ я nрн Jr('CЛe/1,0ПЗlll!JI ()Т­
крыл 11am,11cfm1 cc, чз стыо с:,1 м, ч:ктыn с Лудn·
т 1ко Феррарл, моп м бъmттшм учс1n11юи".
Т~1рТ'1.ЛЪЯ СЧёЛ Себн ОСКОрблёш I ЫМ, !! раэра­
:-!НЛСЯ ск;11r,'щл. В тсчсm 1 с тр<:х лет 011 11 Л~довн­
ко Ферраr11. вставший 11а 3ащиту с воего учи·
тсля . uб~н.' нин~иr11сь ру1·а'J'!.:11 ьн.ым11111~сьм:t,щj 11
nамфл t:там11 . И tсл 1111 1х:ж;к научнан IШJLt',\ШK:t
в<:лас ь 11:1 J1:J'1ъш11, то 1·с 1н: рь об:.~ ~штор:.~ 1·1 '3.Jt;11'~t·
JUI CJIOII МЫ СЛJI нз <- L 1 ap( ЩJIOM ~ }!;-JЬJ KC. .Вен Ита·
JН-f}J_ с 111 l'l't'j)tC()M CЛ t:/ lHJl(I 3:.J ра:.нн гп ll'M t'ОбЬI·
т11й. Сам же Карла1ю от )'Ч::~стнн н ;(11С'куссш1
отказался. <- 1<ак дворянrш отка: 1апся бы от дуэлн
с 11ростошодшюм~.
Точку n этом споре nостаннл тур1111р :-.1 ежду
Тартальсй п Фcprar11 Оп состоял ся l О аrнуста
1">4Н 1·. н Мш1ане , родн ол1 1·uроде Кардано н


Фсррарн. Gоль ш1шспю ~рнтеJit'Й, конечно же.
1ющ.1,ержива111 1 l'н.uс t·о .3t' ~u 1 нк~с Как rutctн 1юзд­
J1t:C Т<tрталь>J, «для меня стало яt:нu, что \1Оё н:~­
v1cpt1 1нt· убс,11 1те11ыю 1·rнюр1 1ть перед тшнюй
1 н::ос~·щсствимо. r1 так l\ar< я нач :u1 сн1 аса1ъо1
худ111е1·0. то 11а с.г~едующнi1 деr11" H t' ска::1а 1~ 11и ­
кт1у 1 1н слоnа, уехал 1 ю друго~'1 д()роге в Бре­
шу". Ло(Jед1 1телем был 06ъявлс:11 Фсррари. по­
скольку er () со 11е ршп; поки11 у.r1 «Поле боя».
Да.11ы 1еr'ш1ая жнз 1 11, Феррари сложиJiась удач­
но: 011 п олу• 1ил ,\НЮГО лсстньL'i. предложе ни й 11
ныбр;~л самое Hhll 'OДHOC IП них. 13ОС<..'МЬ лет он
вn:ллающл 11~1Ло 1 ·оrюс 1:1едо.мство R 11рош 1111 ~ 111Т
.'vl all'lyя. ! ЮТОМ CT:Ul профсссорш.1 \1;1 '1'С М :1ТИЮI
В nOJl()f ICKOM )'Н 1rнcrcиTCTt'.
Ннктn пз участ1-н1коR этn~1 1ктор1 111 бС>лылс
пе C,'\en:m 11шса юrх м а·1 е 1"1атнчсс 1с нх открытп!1 .
О6ъясп ит1, непр1шо1\и мыi1. случ:н'1 JСубическо­
го ураn11с11ия удзлосr, Раффаэле Бомбе.rнш.
ПОЯВЛЕ Н ИЕ МНИМЫХ ЧИСЕЛ
Рафс!ЫЭ.'J t: nO\.lбCi!ЛH ( 1'526 - 1') ..,2) б ыл IH·1жe­
lll:JJ 0\1-l 't 1ДfXIПJl1 1 K0!\1 11 прщ:ланился 11 ро,11но 1!
Итаю 1н работа >ПI по с >суше ~ 111 ю болот в ж.:с­
течке В:ть-дн-К1>я11 а (Дот п 1а Болот) в 1'549-
1')')1 11. В снобоююе н ре м я оп ::1;1111 1 малс.sт м а­
·сем;~тпч сск11 ми 11сследоnа 1ш ям п . К J '>50 1'.
lJочбеJши :1а коrrчлл нервый nзр1 1а 1п· с nосго со­
ч 1шс:11 ш1 «Алгебра,>. t lро.:~.олжая ра боту над
кнпгой, 0 11 отыскал в бибш ютске Ватик:нт а
•1·речсскос С()Ч1 1 не1 шс по этш1 дасц1н 1;11ше.
<.·ост:111л<: н нuс 11сю 1.>1 Л н uфан 1 ·0 :-.1 Ллекса J щ рн й ­
сю 1м."•. llахсщка прон:шела н:~ не1·0 с11т,ное
llllt"Ч~ITJICHlle. (."Чтобы 0601·а11-1т1) ~11 1[) 'J':lКllM
:за.,1е ч ателr,ныvt r1ро1 1 :з 1к:лсп ием, 1 1.зят 1cr> м r.1 :-ia
перевод н п ерепели шп1, юmг 11з семи, 1щтп­
рые пе б1.111н персr.е~ены до этого", - ттнсал
i)0,\10CЛJI Н.
Под nJ1ш1J11 км Диофантuвой «Лр11фмсп1ки»
Gомбслли кuре1ш ым образо м ттср сра бот<.1 л
еrюю рукош1с1" ню1ючиn н нсё lil.1 з;1д;,~ч11 Ди­
офан·1·а. Но 11с тu;1ько ;;:адачн 11 нх rс111сн1.LЯ
1 юра:.11 1лн Gомбеллн . CtюcuCi 1шсдс н11я н м атс­
\1ал1ку новых ВL:лич1111 - отриц;.1тсл1,1-1ых
'-IИCeJI - вот что бьuю важ1 IЫ М ,'1,ПЯ нсгп 1 fk;~ь
11мс111 ю ·1·аким ()аразпм, чистп акс11омапrче­
с1ш, м())ю ю определ~ 11 1, 11е толыш птрш ~а тел1,-
11ые. 1ю п 1\И'1·11е чпсл;,~ . И Боибелл1-1 перnы.м
ввёл n алгебру м 1 mмые нслиL1ш1 ы (см . статыо
«Зачем 1 1 ~ж1-1ы новые чи<.'ла? ·>)
L' .1:1\ LG E BRA
OPERA
D1 R.•нsL8онанt1da BoJosna
Diш(; >n rre LiЬri.
C•• l~i•.ltrм}iипо J..fe poi.J 'llmirttn prrfi1t11
rogmшm<d.//~1,"1<•1ltll'Ar1,,.,11<~.
C..n 1•n • T•11 0I• copi or• d<lkmi1<ri<1 cЪc
in clf• й comcngono.
1о/• hor• '*ltm ) ltntfm <f'U' ЛN"1.jii
Jm A ftlfyfttnt .
lN BOLOG NA,
l'cr G1ouann•RaG1, i\\ L> l.XXIX.
Соп l•tZti," dt' S11;щ 1et1 ,
д!1ь_
с=и~
Г11~ул1>ны11 лщ 1
BT(lf'< .11 U '1 iЛ<l>IИЯ
"ллгебr • ~·
r ь11м(>1елл•·•
Бо J.~ОНЬ\1 l 'i7<11
C 11 ;1чaJ 1 :.i он, кзк н Дrюф;шт, ,\ал 011рt'/\t:лс­
н11 е 0·1·р1 11 tатслы,1 ым чнст1м (1юторыс нее м::~­
тсм<1т1 1 ю1 ТОГО вpcivH..'llll CЧ llT:J.111 1 <')JOЖ H l>l 1\ll 1 4 ) 11
уст:нюв11л 111х1щ 1л:,~ обращt' 1 11 1 я с н1 1 м 11 Кна,п.­
р:п11 ыl1 1<0 рснь 1 1 з 0·1 р 1 щателы10 1 ·0 чrклз, к~н;
заметил Бомбелли, не J\Южет.бьгп, 1111 положп ­
тел ьны.м, нп отр1 щатепы 1 ым числом. То 1'да 01 1
пред.'lожнл назвать эти ~юные. «софнста<rе-
t:ю:1с• Ч HCJI U «ПЛЮС<JМ 11 :1 МIПТ)'С'1" ( +\'- J ). fIOl'/\3
ИХ ll'(ЖI IO 11p116ЗH;l}l'J'I>, 11 «МНТJУСОМ 11:1 i\1IПT)C3»
(-\-\ ). когд::~ 11.'( llY)IO IO BЫЧllT:t'l'l1.
В со крl' .\.\е 1111ой :.im ·e()pc, н 1юдя ,\11-11 rмy 1<J с;~11-
ш11 \у, матt:\1'1 ' 1 ~ 11<11 гово рят· 1· П yL·1·n С \'щестнуст
1re 1..;m·npoc ч 1 1с1ю, которnе 11 р1 1 тю:{ведетш в
ю~:;щр::1·1· рзвпястсн - J. Оно <1удет 11а~\ЫН~п 1,сн
:--11111.мoir еюпшце ir i. То есть i 2
=-
1, и, следова-
телы ю, по оr1 реж:лt'111 1 ю, i = ,_1 "· Т<::~к 1нщ 1 1,\:1.
опреде.11е 1 ш<.: м1 11 1моli едшп щ ы эа 11роrпедш 11е
·НЮ лет 1ю суп~ 11е 113менr~лос~,, а :,~р11фме1 11-
ч.ескпс 11е(r ств11я с 11еГ1 щюпэнодятся 11 :чет ю
та к. как эт<J делал Бомбслл 1 t в XVI в.
Н 11какш·n 1 ·еомстр11 ч еск< 11·0 обос1ю1{а Н11н
~ юным ч1 rсла:>v1 Бnмбt'11Л11 1 1е д:-tвал. ()п ~х1 ссма·1·­
р~m:-1л 1 1х к;1к формаю.1r1>1с спмrю111.1 . о котn рых
1шчсrп 11е 1 1:1весттю. кроме опреде.11ё1111 ых 1 1 м
11 рап11л. I I Jiмешю с 11 п,,ющью зт11х ч1кс:л е~1 у
у,'\аJтосъ объяс н пт1,. rючсм:у ,1\аже в том случае,


84
-
История матем<1т11ки
ко1·;~:.~ в фор"1улах 1юр11еl1 1<уб11чес1<01 о уrх11111 е-
1111я 1юд :~1 i;1 ко.:.1 квадрат~ ю1 о корпя стоит от­
ртп,ателы юе число ('1 J1\ что этот 1<0ренъ вро,'\е
бы н 11е сущсстnу<.:т). ур;шнспне нсе-·1 ак11 ИJ1-1еет
11ейстщпелыюе μtшение.
Мшrмыс ч11сла, нведённыс Бомбешш. более
двух столL·тш1 вос11р11н11м:1m 1 с1, J11нш. как ~доб-
ныс CI IMKOJIЫ. Ма 1ем:~ J IJKJI П[1ИMt'l IЯJll I llX R прu·
\1ежуто•11 rых 111,1 клщ~ках . но дю1 pe3yJt 1r1 .!'Га 1к"
П\JЛ l1ЗOliaJ I l1 ТОЛЫ(() <·1 1ас1·оя щш.: -> - 1'eЙCTl111'1'eJ1L··
ные члсла. Липть в 11::~чJле XJX в., после:: того ка~<
~ r<o/ю.riь математиков» Гаусс npc!(Jloж11n нагляд­
ную гсометрн•1ескую ш1терпретацшо комплекс-
11ых чпссл, 01111 пол:у·ч11л11 « 11pitн.11ражд.шства~.
РОЖЛЕНИЕ БУКВЕННОЙ СИМВОЛИКИ
Не1юзмож1 ю лредстаоить себе математику ()еэ
спе r,т1алы 11>1х обозначе11ий. Мы насто.rrъко пр11-
выю1и 1< 1шм. что порой нс можем 1'ОКазат1"
не прнбеган к Сl11\11юл<11v1, 11ростейшие тш1щесп3а
Соз11:~тслсм аJ11'ебра1тческо1'r снмно1шки по 11ра­
ву считается фр:НЩ)"1СК1111 математ11к Фр:.~нсуа
Ви ет. СRон нде~1(}J1 нэлтю1J1 но "нne,r1e11111-1 Rа~1з­
т1тнческос llCl<}'CCTIIO» ( J ')<) 1 t' .), которое долж­
но было с1атъ началом всео61'смлющего трак­
тата по ~u1гсбрс. Внс:т пис:-tл: «Искуtтт1ю, кuтupu<.:
<DPAHCYA ВИЕТ
Фраtку<1 Виет ( 1 'i40- I bD ~}
родился в городке Фонте1-1е-ле­
Ко1п прuвинuии Пуату, недалеко
от Jнаменитой крепuс:ти /\а-Ро-
1t1 ель. Сын прокурора, Виет полу­
чи/\ юридическпе оnра1ован11е и
начал адвокатскую практику в род­
Н()М городе . Но вскоре он стал
секретарем и домашним учитеАем
в дuме 31ытного дворя11ина-гу ге­
но rа де Партеt1ей. (Гугеtюты -
послеловатеАИ к аАьви ни1м а, одно­
го из основных течений Реформа­
uи и Uеркви.) Тогдil Виет очень
)'Влекси изучением астрономии и
триго1юметрии и м1же not\yчиt\
~1екотuрые важные резуАьтаты. На ­
примеμ, 11 н сумел представить
c,1n пх и cos 11,\ в виде многпчм•нов
отsinхиcosх.
В 1571 г. Виет переехал в Па ·
риж, где возоG 1ювил адвокатrкую
практику, а позже стал советником
nарАамснта в Gрета11и. З11;:~1<омство
с Ген рихом Наваррским, будушим
королём Франuии Генμихом JV,
помогло Виету за нять видную при­
дворную должность - То:\ЙНОГО со­
ветн ика - с начала при королс Гсн­
рихе 111, а затем 11 при Генрихе IV.
JJ 11:ш:11 ·J10, нов о шш. по кpaй!lcil \1Срс, настuль­
кu 11с1юрчснu времеш:м и искажено ш1иян11е.'1
Ол1111м 11з самых .:1<\мс•чатсльныл
достижении Виста ~1а кщюлсulкuи
Сl\ужбе UЫЛд p a:iraдK'1 шифра, R
котором на сч иты валоrь Волее
500 знаков, менявшихся врем>~ 01
1Jрсмс11и. Этим шифром п оль:юва­
лись недруги франuуккого короля
в Нидерм.1ндах для переписки с ис­
n<Н1t.ким дDuром. Хотя франuузы
часто перехватывали п1~rьм.1 из Ис­
пан ии , раrшифровать их никто 11е -
мог. И только Вист быстро нашел
Кl\ЮЧ. ПоJже И\П..tнuы обвиняли
Генриха IV в том, что у него на
rAyжfiE" состоит сам льявол.
Виет жил в :тоху кровопрu­
литных религиu.iных войн. Нет с ве­
дении о том, 1<3ТОl\ИКОМ он бЬI/\ ~il\И
гугенотом. И1веrт1~0 только, ч го
по 11апш111ию яpt,ix католиков п:>р­
uогов де Гиюв ero отар а н или от
должности в ко1ш.;- 1584 г. /\ишь
после разрыва кuрuли l де г~1Jами ,
в н..~чале 1SR9 1 ., он вновь fiыA
приглаш ё н ко двору.
Четыре года оп,\АЫ <.жа.1<1лись
11собычайtю плодотворными дмt
ВиЕ>та. МатЕ>ма rикёl аала его еди н­
ствен ной страrт1,ю, он работал са­
мо1абос 11 но. По р,ксказам Lо1:1ре­
Мt!н11икuв, Вие1 мог 11рuсиживdть ы
пис ьменным (талом по трое rуток
подряд, только иногда эабываясь
Lнu м на 11 ескuл ько минут. Именно
тor,~i\ он начал f)оАьшой труд, коп1 -
рь1 и назвал "Искусс тво анализа ,
И/\И Новая алгебра». Несмотря на
огромноt' жемние и упор11ы1~ -~аня­
тия , книгу В111н Rr·1• Жt' не завершил.
l lo ГАав1юс было написа110. И Jто
главное u11рсдем1ло р<1зЕ1и rие 1:1се11
м,1тематики Нового времени.
Фра нсуа В~1ет
Лнтnгrа•l111я 1 rr,111к1p t~ Х\1 1 t<


11<1рнарон, что н счёJJ 11ужны~1 1tр 1щ:лъ t:.\ty со­
всrшен1ю НОНЫЙ ВН[\" .». Хотя Cll.\lf\()J!1 1K:I В11ст:1
обладала 11<:кtУl'Оf1Ы.\1И н<:.цостатк:11.н1. Tt.\1 Ht'
:.-1е11(.'(.; ЭТО бhlJ I ОГ[ЮМI IЫl~J шаt' вnерёд. А 1Ю1' щх·н-
1111е ,\1атt:м:~таюr вполне обходилпrп без бу1<­
пенных обозтrаче 1шй и специалы 1ы х пр::~внл
011erшroFJa111 ш с 1 111м н. Наверное, будс:т rю11ез­
по вернуться назад и посмотреть, каt\ 1 юявилпс 1 ,
первые .\JЮ'с,чаттrческш: :шак11.
СИМВОЛ ЛЛЯ НЕИЗВЕСТНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ
Уже li rаботах Гt:рона 1'\.11екса 1 щр11йс1шго (Т Н.)
11 в М11ч11гапском 11апирусе (ll в.) можно наiiт11
с1тец11алы1ь11l зшпс для 11еиЗI3ССТI ЮЙ ВСЛИЧИI lbl.
Это бу1<11а грсчес1ш1·0 алфаnита .;
-
«кшщсв:.1л
сшжt», r1c ШJ1.свш:u1 ч11слово1 ·u :~11аченш1. Сле­
дующий н 1 а~· в со:ща 1-пщ а;н·сбранч.сс.:коr'1 с1 1м­
щ>Л11ки С/Lt'Л:щ Д11офа1 rт Ллсксu 1 1/1р111!сю11'1 -
llOl'ЛCДHllЙ BCJJJ!IOIЙ м:псматик :ll-IЛJ 1 1110CTll (Cvt.
ст~·тъю «"Лр11фмст1 1кJ" Д1юфа1 1Та») . nо;1роГ1тюс
() rшсаннс ~юных обозначсннl1 vчёпыif 11()-
месп ш в<1 вnс/1,е11и11 к cn()eii :шаме1111той «Лрпф­
мстm<е». Там 011 rrprmёл 01мвоm,т дня 11сиэ ­
веспюго. шестп cro положrпелыrых 11 шести
отр1щ1телы1h1х. степе~ ~ей. J также 11равппа г~ей­
ствш'f с 11нм~r.
Ilo тр:щнr о ш того нрсме1н 1, J\IO! ш~rно~'1 сте­
nсн11 Нt'и:т<хтной неm1чнны Д11офан ·1· 11 с пш1ь­
:юк:1Л знак;. :1 ) ~JНI ()С'l':U!ЬНЫХ C'l'C!ll'HCI\ - <:u-
кращен11н от 11.х 1· рс::чсскнх на~щ:н-шr1:
х" - t.." (81)vсхμн; - «Сила•, <-Стспе1 11·,•);
х' - к'' (кuРос;
-
«куб»);
х1
-
л"л (ouvaμoouvo.μ1.;
-
«ющtрэто­
кuадрат~ );
.л5 - ~" К (o,)vaμ ок-Uрос; - "ко;щрато-.куб» );
l)
\1
'п. '( .t
-
б
х - к К (1пJ1Juru"щ - «куоо-ку )~).
()тр111 t;!ТСЛЫ IЫС сте 1 ICI IJ 1 Д~юфа1 ('[' ОЛ\Х'ДС'­
ЛЯ!I каК1\fЮ611 с ч1тст-rгслем 1 11 знаменателем,
равным сО()'1' нетст11ующ6i 1юложптелы юй стс­
ттени. Для 0·1рицатею,11ых cтe11er- 1 cl1 был ·1·акжс
нnедё11 особый знак х, 1<0тор1,1й доfiавю1лся
спрала c1icpxy т< си~волу по1юж1пслыюй стс
nc1111 . Н :шрим.ер, х ~ в обоз11:.~чеп1 1 я.х Диофа1 п:t
fJЫFЛЯДJIT KaJ( д"~ .
Был у Днофаптз и энак юш нсизnестного n
нупевой стс 11 сни - М, в котор1.1й вошли 11срвыс
две букны l'рсчсского слова •· 1\юнаr » - <-l'/\11-
Средние векJ и Возрождение
д!1h
EU~
lllll l'1». JJ.1 1 otj1~111т нс OTOЖ/\CC'l ' BJIНJI t:J'O с: Ч11СЛОМ
1. Поско.1 11>1<.у в •· Лрифl\11.'Тt1Кt ·• нет сnе1н 1 ат.1-11.1х
:m:1 ко1i ;ин июже111 rя 1r умr юже1111.fl, оче 11 t> к1жеп
11орядок 3:.i1111cr1 стсnе1111 неи:шестrю 1«) и 1<оэф­
qнщ11е1 1·1~1: :1j энаком степени вссmа следовал
ко::>ффтщне11т, так что с11м1юл М выполнял ещё
и з 11 1коrаздел11тслыrуто ф~.1шциrо.
л вот дш1 uщ.:р:щш1 нычнтаmнr Д11офа11т
ВВёЛ 311:11< lfl. В f1C:ЗyЛbT;l'l'C Jl(HIHllЛ~I Cb BOЗVlOЖ-
1-IOL"l '/ , .)~IПI ICl1I нать [):l:ЗJ ll IЧHЪIC l\1Jl()Г{)ЧJ1Cflbl • cнa­
Ч:lJJ 3 11cpcЧllCJ IHJ11fCf, f-ICl' IIOЛOЖITTCЛl1llЫC члены ,
а после :-111ак:.1 lfl - все отrн1tа·1 ·елыrые.
Исrюm1:1уя Аместп этша ра 11еrк111а первые
щ1е (Jуквы c.iю 1ia юос; (<· нСОС·• «р:шныir» >,Д1ю ­
фаr1т заг,шсыnал r1 }1)аnнешш. Напрнмер, урав -
11е1rисх'= !.
-
х n з::шиси J~иофа 1rта ш.rглщ..tсло
бы так;
к~ сшJМ~l l\ ф
(буквам а. 11~н1·rсчсскоi1 алфав11т1-ю~'1 11умсrх1 -
цш1 отвсч:1т1 знач1.:ш 1 я 1 тr 2).
llocлe з ака·1 ·а ar 1т11ч 1,ю~'1 матс:-.1зтr 11<11 1~с;нтр
:111ш 1нй nеремсст1111сн на Востпк. 3дсс1" благо­
!l,арн тryJ1.a ~11 арабсютх учёш,rх, алсебра nьщею1-
лас1, в сампстоятелытуто об;~асп, матем~1 т111ш.
На арабском Воспже впервые стал11 1ют,зо­
ваться десятнчпоi1 поз1·щ1юшюЛ с11с:тс,чой
счн.с1!сtшя . занмстnоnа11нuй нз Н1щш1. tta араб­
сю 1f-r }131,1 к былн 11ерсвсдс1-11.1 мно1 ·11<:: 1'реч.ссю IL'
11 r1нднйсн:J1с: ·1·срм11ны , но от бу.кксн11ыл обо­
~{11а Ч<:HHJJ l ICI IЗRCCTI 111.!Л матем:tТI fl:(] 1(Уl 'Ка :Jалнсь
11 11а3ыкаш1 1\Х СЛОRЗМI\ . H:-tЩllil\\t:\l . aJ11>-Xupc:>-
l\1H все 1\СЛНЧJ lllbl. с KfYl'OpЫ.\tJ 1 l'M~ 1Гj)l ·IXOJ\ШIOCl1
н мс1ъ J\t":JI(). 1х1з 1 1ет 1л на тр 1 r ви/~:а: 11е1 1 :тсс1 -
rюе - «джп:~р·~ ( «1юрен1»>) пли « ШaiI ·> ( <· вещь» );
квадрат неи:шсстного - " '"1зл» («вмущеrтпо" );
с1юбодпыi 1 члеп - "дархе.ч» ( <- серебряная мо­
J 1 е-1·а»). Позже Абу Kaмll.'l J1:i:m:iл третью степень
<- 1с:~'б" (<-куб·>).
Отк:~зш3шис1,от аш·сбра11чсско1·1 снмвош1ю1,
арабские ~1а 'ге,\11а ·1·11 ю1 сдслал11 ur;iг 11:r~ад 110
Cf1:1Rllt:HH/O с rpt:Чl'CIOIMlf учёнЫ,\1111 .
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА
МАТЕМАТИКОВ
СРЕЛНЕВЕКОВОй ЕВРОПЫ
С дост1DКе1шлм 1 r ~1рабсrюй алгебры свроnсй­
сю1х уl1ёных гюзнаком1111 Лсон;1рдо Пrrз:111-
ск 111~1 !\суд11н11т<:=11ын; , что оснuнные ·1·срм11ны
85


~
&"®
История мLtтематики
Sб
t ювоrо ип.:тсства бшrи пеrеnсдены с арабско -
1·0 языка. Но при персrюде 11а итальянсю 11:r гю­
лучал11сь слова. Ш\LПIJ1 ;tющиеся на одну и 1у же
букву: COS:l ( ~ ВСЩI»> ), сспsо (<'ИМУЩСL"ГВО~) п CllbO
(«куб"). Внднмо, поэтuм у 11·1·;.и1ы1н<.:кие алгсбра-
11<.:ть1 uбu:>на чали сте11е1111 11 е11 зке<.:тнu1 ·о д1:1умя
11ерны м 11 бую\а ми соот1iстс 1 кующего слuна. T;tк.
в нсданно найден1-юм 1'[хtктатс Маэстро )К11т ю
«Во1~росы ~u11·сбрые> ( l 3R4 1.) х - э·r·u со" xL -
се.,.'\: - u.t.,x
1
-
и:•. cli се. (се пsо di сепsо - 1• кнал­
рато- r<валр::1т" ).
Ш колы алгебраистов воз~ ~икали 11е только n
Италии, lJO и в Гер ."'1ашrn . Ита.rтыmское слово
cosa (nроизноопся «коза·') :щссь преnрат ююс 1,
в Со~ ( «косе») , п потому нсмецю-rх алгсбраистоn
назьш,tЛI! <-КОСС ИСТ~МИ». а RRсдекныс Н.МН 060-
:щ ач с 11 ия - «косснч сскн.\ш•. l l t:p1:1ым в Гер ма­
нн11 J1t.·кцин по <tlll'c()pc ст<~л ч итатh урожс11е1 ~
Чехии Ян Вндма 1 1 (Н6()-11ач:ию XYJ R.) . В с1 о
учебнике <·Быстрый и кр.~си11ый счё·1 r~ля 1кс 1 ·0
купечества» ( 1489 r.) nперnые пш1111 111нс1•. 1 11:.~ки
оюже1-шя и выч ита1 rия , которые нсполъзрот ;~о
снх поr: вместо символар (отит. piti - «плюс»)
о п использов ал знак +, J вместо гn (от ит.
шсnо - «мн~rус»)
-
нривычIIыfr -
Наиболее изnестным коссис-rом был Адам
PIIзe ( 1489- 15'59) В сноё м) чсбннке ~со ~*, так
11 нс нап еч<~ташюм, Рt 1 зе nоместш1 болhwую
таблш~у косси чесю1л обоз начений , которы е
впослсдст1ш11 11 с11ользоuал Л. Ф. Магн111~ю1(1 в
п<:>р воri росс11йской <•Арнф метикс:» (1703 г.).
J
1
Стр:~н 1щы •Ар11 ф~1ети к11 . /\. Ф маrниuкого l 70J г.
Лла"' Рюе Гр,1вюрJ 11а дl':J<' fl~" ыноRо 01.:р~шенная 15j0 г
Нсмсuю1 е ;:~лгебр:шсты того npcJ\1c11и стре­
мились со1<ратнть ч1к;ю с нмволов и nnссти
едшюобр аз1 rыс обозпаче ш1я Большую роль в
этом сыr·μала кII11ra J\1лхсля 11lт1 н.рс:1ш ч flол ная
аrифмt:ТI IKa -> ( 154-1 1'.) .
Изоб рет~11 11с к11 .11сопсчатани}1 окззшш 01 -
ромrюt" пл 11янис на нею снрстейскую культу­
ру, 11 п частнос.тr1 на разв 11 т1tе математики.
f'укоr111<.ны>1
3К\t'\о\П/\11р
учС'61111Кд
А Р111е •Со~'


В •111слс 11ср1:1ых опубтжонаш 1ы х матем:1т11qс­
ск11:х соч11нсн нli бьта •Сумма :шашл"r п о ар 1 1ф­
~1tтнкс, геометрии, 0· 1·ношСНl'ШМ и пропор1 \И­
<>на1 1hнос1·11 <> J!ук11 r1ачолr1, 11 <:1·0 обоз1-1аqе1111я
ГЮЛ)'Чили 1ш1рокос рас11рос1· раш~1111с. Ою 1 ако
fiылн 1rc оче11 11 удоб11 ы , н потому N1атем:пи ю r
П[Ю/Г.Шlжали rтп<2т1, более простую снсте м у
()(iQ;Щ:lЧёШ I Й.
Фр:11щуз бз1<.1.11~шр м<::диt~иr1ы Нт1кола Шюке
U - ОI\ОЛО J ')()() 1·.) предложил собстnенпы ii
вар11;1нт: пока :iатсль степени он 11ис:-1л мелкrr~
шр11фтuм ок:р~у 11 справа от коэффтщиснта.
Напр11мер, l 2x н :5а 1 1ио1 Шюке выглядело ка к
12 1. Кроме ·m1·0, Ulю ке смс1ю ннё11 н с1:1ою с11м­
кuлик-у нс толt>КО 11 у11е1юй (/ \JНI с нu бuд ных
~!JICl lOH }1ХШН<.:Н11Й). НО 11. OTpИ l\:}'J'CJIЫ lЬIЙ I IOKa-
o
8\ -1
6)
-
:~атслъ. оыраже1111е ..'С
·7Х
= ') ">.'\: - рн 11::юора-
-
8~
71 111
••
-62
зш1оытак:" . по~пюжстнюс на
,д:~е·1 ,J »,
Ту же идею иснользовал в xv1 в. италr»щец
Раффаэлс Бомбеллн н с1.юей ,A.rJгeбrt". Нсизnс ­
спюе 011 об<ннаtfал спсннальным с11МJюлом 1.
а его стсш.:ни - символаыи 1, , j_ , ." Обозначс.::­
н11я 60J\1nt:ЛЛJt ()l\;JЗ:.VIl'I Hj lИJIHl1C ir 11а алгс6р:~ 1 .r­
чсскую сrrмволику ш1дtр1 1 а11;(ско1·u i\1атсмат1 1 к~1
Снмо11<1 сп~в нн а ( 1'i...\8-1620). 011 нс TOJl11KU
ВВёЛ IJОХ()ЖИе OnO~IHaЧt:Hll>I /l,JНI L:ТelJt ll eй ()/\НО­
Г() нсн:-1Rест 1 ю1 ·0 - (D, ф, G), .."но и распрост­
р;1н1rл их па стспе11п нтпро1·0 11е~ 1 знtстноJ·о -
sec. ф, sec. @ , sec. (j), .. "а таюкс трен,ет - 1е1·. ф,
/Ш: ф, /f!1'. (3), ."
ПЕРВОЕ БУКВЕ ННО Е ИСЧИСЛЕНИЕ
Дпя соз1 1анин бук нс 1-1н о 1 '0 псчислсн 1 1.и остана­
Jюс ь с1tе11ал. еди 11ст1~енн1.1 й, но 11рш щ 1 шиал 1,­
но ~юnый 111 аг - t111еС'п1 06о::~н;.~чсн1tя нс тш111кn
;и1я 11еи:шест1 юrо и e1·n сте1 1 е11е1\ 1ю 1-1 д.rш1rapз ­
\te-гron. Это и сделал Фра11су2 Виет в т1х1кrате
• Вnеде11ие в ::шалит11ческос 11скусrтнn,>. (Виет
стрем11лся со:щатъ тюnую науку, которую назы­
вал а11<11111ти ч<.:сю1м искусством. Она должна
была обла;1а· 1ъ строюстью гсо.1\.К"Iрии и оттсра­
ти1ш<х1·ыо iш 1 ·сбры. Перед т:1кой на}1Юй, 1<ак по­
т1 1·а.11 Вист, нt: MOl'Jla бы устон·1ъ нн uдна зад<~ча.)
Сво ~о ноную сим1:1оm 1чt:скую ш 11 ·<.:бру (lugis ti -
ca speciosa) В1 1 ет 11 рот11вогтоставлнл прежней
ащебрс - чнсло1юй (logi~tica 11L1111 ею~а). Учё­
ный с ч1 1 таJ1, что только псрnая - ;по аJ11 •ебра в
собсrвсшюм смысле, т~ 1< как по:пюляет 0 1 1ер11-
ровать с цслымн кпассами вещей. llторая же есть
арифмtти.ка, о п ср11рующая просю числамн.
Средние века и Возрождение
Прежде че.'11 рассУ..ззьшзт1, ч11тателю об арпф­
М<.."п1чссю 1 х дсйстсш~х с классамн, Виет 13 пол­
ном соответс.:тв11и с rсометр:ичсской а.r1п;бро-И
,r1 рсвних rреков разделил щ.:с возможные всшr­
чнг1ы 1сш ступснн. 1\ 1rep1юlr сту11е 1 ш 0 11 0·1·н('с
«71,JПIНЫ\ ИЛИ ВеJШ4 1111Ы О/\Н ОГО ll :iMC[)l:H llЯ , K0-
'1'0p11le можно сю1ад ы1:1лъ н выч.ит~тn - 11з болh-
11161 ме11 1. шую. Й реiуmп·атс ЭTllX /ЩУХ OПCpa l \llJI
получится Re.r111ч1 111 a '1·0 11 же: ступе1ш. По ecm1
11ереы 1южити две Rcшrqи1Jы 11 ерuой ступснп, то
рсзул 1,татом будет уже ~площадr>" - ве11и•11ша
второf1 стуnсшr, или nеличнна двух 11змсрст ш й.
Следую щей ступенью , ес1·ественпо, были
юбъём ы ~. Н отли чие от греческих ма- 1·ематнкоn
в~н~т 11(.' щ:та н он н лс н 1-1:.1 первых тrёх сту 11 с нн.х,
а по111ёл 1-1;u1h1L1e - JJX у нс1·0 бесконечн о м11ого.
Вэ'1'Ом исч11слсн11и нажсн 11ршп..1,11л одноро1 1но­
стн: МОЖ IТО СКJ13ДЫtl3 '!Ъ ll nычнтатт. ЛИl lJ l1 Вt.11\1-
ЧИШ1l 0[\ПОй ступ е нн. llp11 у1ЧI ЮЖС llНТ1 Be.llllЧJН IЫ
ступеш 1 /1 на nс:тпчи11у сту11ени т получ~пся
nсличиrrа ступеrш 11 + т. Раз,r~ет 1·1ъ же их ~юж-
110, толы<о если 11 > т. Результ:.~т такого де1!ств 1 rя
бу11е1· 11р инадлtжать егупснн п - т.
:1ате м Вист обозначш1 все нст1ч 1-1ны буква­
ми алфаннт:J. Поскольку величи н ы быв~1 ют 1:1з­
нсстным11 t1 н е 11:;Неl"1 ·1-11.1м11 , то ДJJЯ обозн ачсн~н1
11tрвых он кыбрш1 сш ·ласю.t(' В. С, О. .." а ;1,.1н1
вторых - гласные А. Е, 1, .. (Сегодня м1,1 060~-~на­
час:v1 11 арзме-1ры задачJJ, как праншю, 11 ервым11
буквами л~тинскоrо алфа1~ 1-па а, fJ, с, .." а 1rе11:1 -
nестные - буквами иэ ко1-щз алфаnита
-
x ,y, z.)
IN ARTEM ANALYT TCEM
t)лfi()(,,_
'Dc Dtjmtmt &'r ullf#/llfXrA•d.Jfit.rJ <;- "''l'f'-'"'',.."
Zщ,Jt04,
tл1'v~ 1.
П•!rRilЯ пr;~н1шi1
гр.~кг.н а Ф. Ви~ 1 а
• Beo;,лt'1t>1t·
1'1 dl·t алнп1че<..кое
ИL"-YLL llIO ". lур11н
15!)1 г.
87


,Аiъ.
a'Jl{!J
История математики
НАУЧНЫЙ ВЫЗОВ ВАН 1-'ОМЕНА
С имен~м Франсуа Виета cвs1зJ1-t0 1-1есколько замеча­
тельны х истоμий. Вот одна и.з н~1х .
Оы1аЖАы в ноябре 15q4 г. при дворе Генрю"а IV
нидерландский посланник рассказал об изееснюй
задаче з 11аме нитого матемап1ка Адрисна ван Ромена
(1561-1 Ы SJ. Это был вызов математикам всего
мира. Речь шла о решении уравнс11ия 4 5-й сте пени
45х- 379')х1 +9534х~ - ". -
12300x3q + 945х• 1 -
-
45х41
+X
4
s =а,
В спиLке тех, кому слеловало направить его науч ­
н ый вызов, ван Ромен не указал 11и ол1ю го франuуза,
и посланник заметил, что , по -видимому, во Фра1шии
нет математиков. «Но ПО4ему же? - во .~ра:.ил ко­
роль. - У меня есть математик, и весьма выдаюший­
ся ». И он посла л за Виетом.
Тепе рь В1rет смог залис ын атъ ур:~нненин
нс тпл1око с кш1кретными ч11слш1ым н ~т:.~ченн ­
ям11 , но и с параметрам11, ·1 . с::. 1~с::лыс KJJaccы :~а­
лач, К<1ТОрые МОЖНО рс 111 ап, С IЮМ()ЩЫО ОД НОГО
правила, не забынаи , 1.:оне<пю, о гrрt11щи11е сщ­
нородности. Например, уравнение.\} + 5Вх = D
у 1:)11ета uы1лядсло бы так:
А c:ubus + В р!апо 3 in А aequшi 1J solido.
З.п,ес 1о А cubus означает третыо степень нси з ­
всстно1'0 А , В plano - <18 плоское», D solido -
«ТСЛО 0 1>.
Но что особе~ ню нажно, помимо ураю 1с1 rий
те J1 ер1, можно 6 1ошо :iа11исы1~а1ъ 11 формулы.
Один коренt, Вист н ашёл сразу же, а на слелую­
шее утро представил ешё 22 решения уравне11ия. Как
же ему удалось Lделать это так быстро?
Лело в том, что, занимаясь разложен~1емsin пх в
cos пх по степеням siп х и cos х, Виетустанов11л связь
некоторых алгебраических урае 1-1е 11 ий и задачи о
дслt:нии угла на ранные части. Он увидел, что прел­
лuженное з нач еж1е параметра а является сторо1юй
вписанно го в круг правильного 15 -угольника , т. е.
хордой, стягиваюшей дуrу е 24° . Коэффиuиенты nри
х45, x•J, .", х показывали, что речь идёт о делени 11
это го угла на 45 равных частей, зн ач ит, одно из реше­
ний преАЛо женнu го ураsнения
2
.
240 2.40
SIП- -
=SIП-.
2. 45
15
Остальны е п оложителы1ые решения будут иметь в~tд
2~in(120+п.360oJ· п = 1, 2, ""22.
45
Ешё 22 решения - отриuателы1ые, и, по традиL111и
то1 о времени , Виет их не У4ИТЬ18ал.
Ответ Виета был оскоре опубликован и при11ес
учёному мировую славу.
Bt:J(ь математ.иче<.:кш: форМ}'J 1ы - это нс толr.,­
ко сокр:.~щённан З:\JШСЬ теоr<:м . Гл:~ннuс :{aIOllO·
чается н том, что н:1;~ формулами М( )ЖН О 11ро-
1 1.з11одmъ (тер:~ ц1 ш 111юл учат~, ноАыl' lj юr 1v1>·, tы
и rопттю111е11ни . T:i ю 1м пбра:юм , n}·кnенн оl' Lrc-
ч11cлcrrн c тто з1юляет :'lамс1-тт1, ча с·rъ рассуждс-
1шй меха1нтч еским11 о пера11.11ям11 ( 1 11.1 ю1~щ­
ю1ми) . Как говор11л Лейбшщ, о по " Р::t з 1гуж<1 ет
воображе1 ше".
Сейчас нам трудн о 11редсташтть м;пе мат11-
ку без формуд, но 11ме1 11ю тако11 он:~ бьшt1 до
811 ета . I Iоследн11й (,штрих» з.п,есr, доба1шл уже n
Х\ТП в. Реве Дск~1рт к скосй <·Геомстр11н» - 011
отк:~зался от принц~rлэ сщнороююст11 .


НОВОЕ ВРЕМЯ
~
81~
СТАНОВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Со врсмёв <нrтичr-Ю(ТИ учёные пыт:шись н.ай­
ш методы ]{Ь1чис.11снш1 площадей кр11волн­
не11ных фн1-ур 11об·~,ёмо1{ тел враще11ш1 К КОIТ­
цу XVI 11. к ЭTllM З~IД:JЧ<1М l(Oб:ll:!И!LПCJ> l-IOBhl.C
-
110с1тюсн1 1с касзтслъных к кр1шым, разложс­
t1ие фуt1ю\11й н rнщы 11С();щани~ 1юrар 11фмон"
Замечателы ю то, что, несмотря 11а раз11006ра­
з11 е з:щач и 1юноввсr~е1111!1, все ошr оказзт 1сь
•1 резвыч:~йrю тесно сnяз:111ы меж11у собой.
АНМИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Одно 11 :~ к~1ж.нейш их дщ"1·ижент-:-1 1-lоного щх·­
\1ени - co:~f\:11-IИ.t:: ::1щv1ити.4еской 1 ·сомстрии.
С1ю 11м рожден1-1t:м OHJ. обяз:.1н;1 дRум круп 1 Jс й-
11111м фр;11-щуэсю 1м математ11ка.'vl XVТI в. - n 1)е­
ру Феrм<1 (160 l -1665) и Рс:11е Декарту (l '596-
165U). О ни леэаrшс им о друт от друг:1 н
одновреысшю начали разрабатывать ос1юt1ы
это!'i новой матема11-1чес/\ой дисщюю111ы.
В 1656 r Ферма налпсал <:татыо <-Dneдcmн~
в изуч<..·нщ· пл оских и ·1 ·tлесных l\fCCT». Говоря
о "тюо:их. и. телесных местах", 011 исходнn И:-$
античной классифик:щнн криnых , которыt'
л одразделяю1сt> на шюскне (лрямыс 11 окруж-
1юст11), тслс::с rrыс (эллипсы. пщх16олы 11 ги1н::р-
6олы) и 111л 1сй11ы с {кр1шыс, определяемые ки­
н емат11ч сс. ю1). Ферма :1.ал 1·е()месрr1чt:ское
1тре1(стаnлс11ие нх1т 1еrшя с !(Н)'МН переме1111ы ­
ми с JIOMOПJ,ЫO I<ОСО~ТОЛЫ!ЫХ rюорд1111::~·1" ()rr
Щ)()Из1ю11ыrо nыбирал начало 1<0ор,'\ш1ат и
проIЮ/\Ил от 11cro ось ::~бсцнсс Ордип:па, 11:~­
к1юпённатт 11(),11, некоторым факс11роuа1tr1ым уг­
лом, ОДlШ.М CBOJIM КОНЛ,ОМ CJ(0ffi>31IJLa 110 OCJ1
абсцисс, в то нрем.н как 1пороf1 t:ё конt:ц 0 11и­
сын;ш с1м~ кривую. Т~ншм обр::~ :.юм Ферма rю­
каза;~, что крн11·м1, котора}1 '>:!/~а\:то1 кu:-~др<~.т­
ньrм уран~ 1 е 1111 ем . ~C'J'f) KOl-JJ1Ч<.:l'KOC <..'СЧ~ НI Н.' -
эюшпс. па р<1бола ил.и гипербола . Сущсст11<.:н-
11ым r1 едостатком с:го под'\О,rJ.:.1 было то, что 011,
как н Ф. 13нет, продолжал прндерживатьсн
античного правилз ОJщ.ороююстн. Т~ш. антич­
ная N1aтeNraнrкa уста11:J вливала соответствие
между операцией сложtrшя н он<Ладъша 1rнсм
0·1рсзков - сл~1 гае.'>1ых ндоm, прямой лшнш.
89


А-=-.
&1i]J
Истор1-1 я математи1<и
Итак, желая решить какую-нибудь задачу, следует
сперва её рассматривать решенной и да гь назва­
ния всем ли11иям, которые представляются необ­
ходимыми лля ее решения, притом 1-~еиз1:1естным так
же, как известным. Затем, не проводя различия
меЖАу этими известными и неи'lвестны'Аи л11ния­
ми, нуж110 обозреть труыюсть, следуя тому поряд­
ку, который показывает наиболее естественным
образом, как они tваимно зависят друг от друга,
до тех пор, пока не будет найдено средство выра­
"lить од11у и ту же величи~1у двояким образом: :но
то, что н азывается уравнением, ибо члены, полу­
ченные одним из этих способов, равны членам, по­
лученным другим_
GГ.ОМГ:ТRrА.
il
R[1'Л1·О DГ~СЛ1~ТrS
Лnno 16J7 Galli~~odi"1nunцumn
Сuм Nотн
r ;_оR! M11Nl>J (J[ 'J,J"/fr'N f ,
l•t1oril •t.fi-Jc..,llkш'IJt~,
la ~i...ш.м.m.,&,_ct\Q_
n!sШallrlц
q.r.r ",,.. _, ,, .
111\1'11'11~'>f"11оо11N,
~i....._.. ...,...._....,.i.м..ьu...
~.~-
Lw••·~· а...,•• оа. •••
Е.х OAic1n' 1<> 'N N1 М \ 1ц,
CI~ 13С: Жl.&Х•
<)()
Ренедекарт
'
"' ~U1e1.11·"rюn .i ''- t .I
-<,•
W
"*1nltl\~1um Jc - "• ~
\.'tf1 kи и1р1t111 о:р" ztnrn' ll 1l•nr 11· (" qo.1)•1\
fLi1
•,VQl>ll tkJo1>1 1 t ,, (1)" J)(J nlt1(e( ()-111 . lll ILJ..;I !~-
C.: J &: 1IJ.:11 1tllJl1 nt N
rl) )\ н••"1..
Jt111 t: ,,,a .J11(4,," ~r1
,.,
•11111111t.\ ·e-
1.ir f111·1~ rl.t:IШI ,lcr." k
J
''' ~(1 111
d:Lmcti:J'( u ~Li'-'f-... $. ~
н11,,
JmC'жD-\ .
. i-r
r
~"
J\].t/J.1 G L. "
.l ft.t'C1•1t1L с , ,.
., -fi
Титульны11 ЛИ(Т и с тr~ниuа
•1 ~ КНИI И р Лскарт,1
"•11~
, J t;>uщ•1 /')'1R • И3дание 1u4CJ Г
Рис. 1.
ГРnмРтри<tР ( кая
11111 Cf) l lfJCTdU'1Я
vмнnж Рния
110Дt'1o.dp1y
Зл<"с 1, 1RE1 =,,/,
Умноже:ниt:' же 11ре,r~;стаRляли ка1< r юстроенне
прямо} 1·олы1икз со сторонами , р::шными со­
м пожптслкм~, ·1 . е. произnсдспне дuух длил
было uещ1с1m10й другого рода - площадью
« Введентrс» Ферма , дош·ое нрсмя остававше­
еся n р)1<оmки , 11 е нашло ·1
·01 ·0 широкого рас -
1 1ространеющ какое получш1 а « ['сuметри1н Де­
кар·1 а, 11::11~анн ан в 1637 L'. Это nр11ложе11ие к
ф 1 1лософскому тр~1ктату ~Р<1Ссуж11сн 1 1е u мето­
де•> должно было сл~')ю 1 ·1ъ матсмаrлческой ил­
Jtюстра r 1нсй 1::1·0 ,...,1етодолопrческнх 11рн1111и:пов.
На само ,ч дeJJe <- Геометрия» ОТJ(рьи1а ноиую
страш1щ 11 математике и име; 1 а фу1щал1с11таль­
L1Ое значение совершенно пе~аrшсимо O'J' ф11 -
лософш1 Фратщузсюн1 .чатема·rm< 1 т истор ик
науки Миm<:ль Шаль рuннu чr.:рез два столетня
1 1 щ:ле ооубликuнаная ~ гсометр1-ш·> 1111сщ что
представлс:нш1 , н ней р;.~:ш11·1 ые. яш1>1 ютсн «ж~rъ­
.VJH , rюяюн:шшfl НК'>J и.1 свеr 6е:3 vrатср11 ~. 11 :1столь­
ко OH l l JJt: JlOXOЖlf Н~! прс.::ж1пою MЭ 'I CJl.l ::ITHК)'.
Декарт rтреодолt:л 1 1 е;1остэток :н-1ал~1 ·1 11 че­
ской 1·ео:-1е·1р1 111 Ферма . Он 1юr\азал. что если
выбра11а едиюща дшшы, то ncc велпчш1ы вне
заннс11мости от 11х размертюстн (длiшы, nло­
щают, объёмы) ""югут бытъ прс11стаuлены оди­
ш1ковым образом, а LL.\1t'HHO с 1юмо щыо соот­
нстствующсго 0·1
.резка. Тс 11 срь умложен11с11 вес
ост;шьные ариф:-.н: 1· 11ческ11с /(Сl1ствия д~tвamt
ВСJ11,1чнну, ОJ~1Юр(ЩН)'Ю с ИCX()) \I IЬIJVLl l (рис 1).
Поэтому, 11:111рниср, к::~ждому 0·1ре:3ку .'\"и мно­
l'Очлену Р(.х) с ра111ю11:IJ1ы 1ыми кuэфф1·щнен­
· 1·зм11 можно 1 юста111 1ть n соотв~тстnие l\pyrori


отrсзоку = Р(х). Это утнерж,Т\еш н: п составля­
ет ocнvny 1·<.·омс.'ТТ)нн Дс1<щла, ю.У1·орая v.. конце
Х\'Ш н была на::.~вана аншштичf:'l..:Кuй. Интерес­
но. Ч'J'U 'l'OЧllO T;JKOt' Же UПfX~) ~C.JJeH ll<.: J J1 1 1 фMC­
Tl 14t:CК\·1X опсрац11й над u·1-резкам н ~стреч~н.:тся
1:1 J\ ' к1 11 11·t: <·Алr<:бры» Р. Бомбеттп. 1tamt c1 111 юй
JJ 1'1'50 1·. 11ire 11 убл ит юн ал п1 еii си ,110 11:Jчала ХХ '"
К(:тат11. н " Ге.омсrрни" соп,ср~u1ись ~ др~тие
IЮIЮ6ВСДе11ня. Н:~ пример, И.\1СНIЮ Декар·r СТ<IЛ
обпзш1чLт, не 11зnесш ыс тюследнпми буквами
латинс"о1·0 алфавита (х, у. z), а коэффнци­
еlJ'l'Ы - ттсрными ((.t, Ь, с, d".) . 011 т<1кже внёJ1 11ри -
v
1
'
вwчную лам заrшсь с.-1·спе н си. х· , :v и т. д.
ОТКРЫТИЕ ЛОГАРИФМОВ
Пол1..1тю 1 С0П()('1 "<1ВИТЪ МНОЖСС1'13У чисел шща
1О' м 1 южест 1ю соотnетствую щих· пок;~зателей
степенн х мы Ш\ходим 13 XVI в. у немецкого rv1а­
тематиl(а Михсш1 Штнфсля. Важ~юстr, тa_l(oro
1юдхода NJЯ uракп 1 к11 nыч 11слс пий дuст:tточно
1к11а. Есш •111сну r1.·" сuu·11'l<::теп~ует 1юказатеш,
)'
\
1
\"+ 1
х, а ЧllСЛ)' (l - у, ТО прон~ВСДСJJНЮ а· . (,{.
={(
будет отвечать сумм:~ х +у. т. <::. ум1-южсю1с
можно ззменить оюжсние~л. что было да13нсй
\1сч·1nй нссх 11 ы чнс1 111тсJ1е 1·1. Чтобы ef осущt­
стR~п1" трсбовалос1, соста 1111·1· 1 , точ 11 ыс таб­
ли1\ы, n которых содержались бы вес 1tеобхо­
димые дашrые. Этот о r·ромный труд оказался
ло сплам шоттшдско.му мате,,1атику Джону
lleнepy <1') '50 - 1617).
Работа f-l eпepa 1 юд названш:м 1·Опнсаш 1 с
\'ДШШТСJI hНОЙ таб; r HЦhl ло1·ар 1 1фмок• llOH l:!Ш/Ж' I,
н tc1t4 г В L619 1·., у-..кt' после смерти автора,
011уf!лнкона 1 ю <-ТТостrюснне уд11нJ 1 · 1 ·ел 1 ,ной таб-
Лжnн 1tеп ер.
Huuo~ вр~мя
~
~~
р
/~
,_______
'\1'(1нf\'(/[~у~[
CANO=- < IS l'JE~CRIPТTO.
."
l'Ц,-t"<:f•J.'No"f""
.,...,.,_".....
n~bf,~-::;l.t"•/dw d-
A~ x \noQЩWt
l.&r~ A.L"t\'b6'1nt Nt--
"
Apud Ba11h.Vinccn 1 iн111.
.·
Т И 1у111,11 ь11i Л11< 1
ке 11н 11Лж. 1tc.~11Qpa
"' <>nнса1 1 ~1~
улщ 1 щ'f'ЛЬ Н ()I(
la(!Л l-!UЫ
лu1-ариф,юF1•
Издание 1(,20 1
шщы лo1".1pirфi\IOU» , me объясш1Lvrся нршщт1
ло1 ·:~рифмнчсошх табш щ. 11uмt:щfн11ых 1111t:р-
11ой ю1 1 н·е. В N.:Сtс11штt:лыю<.:т11 1пор~щ юш1·а
былз 1-1ап1 1 с1нз ра!l ьше псрtюl! , r1, 1НJ- в11,111мо­
му. у-же к l 59LI r·_
Нспсr 11л~щсл ттр11нц1нюм об­
рз:Ю\"\аншt логарифмо~ (ctv1_ стз:rыо ~.3немt:11-
тарные фу11кц11и н нх свойсгвэ») Ht"зamrc11м()
от Не11ера в 1620 r. ,-~ 11 алогт1ч11ьrе , хо· 1 ·н и ме11ее
сонершс 1 шые таб !шц1.1 ЛОL щ111фмоn оnуб:шко­
шш ТТIDейцарсюп'i мате.м:tтик и астроном Иобсг
Бюр rи в юrпге «Табл11цы ар нфмстичсс1юr'1 н
rеом.етрическоit нрогрес<.:иtt»,
1lc11cp состав;mл табл~ щы мя · 1·р11го 1 ю~н::три­
чесю·L': HЫЧJi('Jl~l-\l 'IЙ, а /(JI}\ дру1· 11 л jl:JCЧt"l 'Oll ШН\
fir.щи неуr~обны Учёный хорошо пони.мал эт(),
и совершс11с.-пюF1:111 не снсгем ы JIOJ ·::~рнфмпв <~га -
1ю R дат,ней шем общt>й заfютuй Пещ·р;1 11 t'ГО
др)Та 01\СфОрL!.СК()ГО нrюфессорз Ге 1 tpH Брщ'(:;J..
В l б24 1'. Брr 1 1У осуществпл заду,1:.1111юе нмr~
улучшение. Оп оnубликовал СJЗОЮ «Лоrарнфмн­
ческую ар 1 tфмет1-tку», в которой содержа1шсь
табл нцы дсснтн:чных логарнфмок
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОШАдЕЙ
R а11п 1 чносп 1 н:ншыс 11 111х рс:~у111.>1 «1тпн о ш,тч.11с-
1 1t11ин площаде 1;-r ра:м1rчп 1 .1 х фпгуr дост11r
Архимед. В Honoe вреr..щ эта :1:1д;1ча, которую
на:1 ывали задачей лУ1аr)ратуры, привлекала
шшма11 ие мuоп 1.л учё 11ьrх. Так, 1 ·1 огаш 1 Кеплер
прн выnоде второго з::~кон:~ двvDксrпrя планет
91


~
ED.l(!j
История ма1 см.:пики
Тн ЕОRЕ МА. III.
Cyl111dri vcroad Par·allelcpipedшn colпnшa1·cre­
ll:a11gulшu xg;al шrn, ciuod Cylindп co1·pus fi:nпg1r
qu:нJraщ fim l)afibus&paraHclls larcri!Jщ, 1·at10efl:ca-
dc111, ciu:i:: сн c 1Jli ad quad.ratu11н:11'cumfcriptu111, l1oc
elreadt:mqнx 11. :id ' 4'·
f(f,. ,.,, ..
/1J.
Vrcniro CD CvHndrica ЬзGнir.
culari• •d ЛВ quad;1нum circom(cri.
ршm, 11~ Cfcorpos Cyllodrl,adЛE
c o rpus paral!clcpJpedi rcfungufi, fсц
c olumnz•
. Afclt: dcSpb:tra& Cylindro .
CyJmdcr сшm & соlшnпа ~que·
ol u!untluc vcluti quxdam plana cor-
pora1a:acc1du111igi1urill1~ cadcmqui
pJan1J,
Вз-
ТНЕ О-
(,тpatH1UJ IH КН11П1 и Кеплер,1 , н,щ,1я C l\'f>l'OMl.' 1 1)1·1~ Bl1Hllbl)(
/10•1<>11 " И1л,111и Р 1(i1 q r
попытался Rыч нслн1ъ nжщ ~;:щ r , эnn 111 1·1· 11 чес 1ю-
1·0 rе1ппра. сю1адывая радиусы-веJ(Торы, как
если t'lы шп r были «отрезка1"Ш», 1-h\1еющнм11 ·1ол ­
щпну. Профессор математшш Боло1 1 rкoro у1 ш­
верснтета, мона,'i: орден а исронимнтоn Бона ­
вентура Юшальер11 (1 '59Н-16'П) в сочшrешш
«Геометрия, изложс1-111::~н 1-юным с1юсобом нр11
помощи неделнмых не 1 1рерь11.шоrо» дал с11стс­
мат1 1 • 1 сскоt' 11з1южс1-п1с: своего 11счнслсн11я бсс­
ко1 1 сч110 м:тых ( 1lод бесконечно малы ."пr в то
В!JС:\1Я IIOHllMaJl l l не1-:ие неJ 1 11ч111 1 ы, l<O'l'Of)Ыt'
Mt:l lbНlt: любоl1 KOHt:ЧJJOJI ВСЛИЧIПIЫ, тю всё же
11е pam rы 11ул ю.) C.omacIJo Кавальерн, любую
плоскую фигуру можпо рассJ1.1атр1 mать r<ar< со­
.вокуш !ОСТЬ параю1 ельных лшшй JIЛИ COBOKyТI­
l IOCTJ, ~<СЛСJЮ13». IIOT<Jpыe 0(."J,ШJUIC'l' JLЮШЯ, пс­
рсдnигаяс1. параллсл1.нu C:.tl\I01'1 себе (рнс. 2)
Аш11ю п :rч1ю д~1t'гся лрещ:тавлсн 1 1с и телах: он 1 1
обра3уются нри двнженни плоскос:те(L 1 lеоют­
ря 11~1 ·1 о что к~ш :шьеrю вшщсл am·cnp:.н гчссю 1-
Рис. 2. l lло 11ыли ф1.1rур J:H(,r 11 AlJC. н ОТНОПIП. Я ~.;1к < ВСе ,,ИН'1'1 >1,
ПfШНJЛЛt>ЖЩIИ<' )ТИМ rj)l1гypdм . Lсм1 RS = NO, Г/-1 = ао
TV =11(.j и r л , тu nлош ,1д11 фигур равны .
Рщ·унnк 11~ ~ ()nО1тnв о G~ К.1FЧ1льt>ри
~н1 мстода\1\11 , свою «Гсомстр11ю 1 1с,Т(еJ111мых ~ он
спз11:пеm.1 ю 11 :шож11л на я3ыкс сню1идовnil
геометр11ческоi 1 ат·еnrы . сч11тан, что такnм
обра:юм до61 шастся бплы 11cr'1 строгое~ 11 И:~-1~
этого 01·р~111нчения 011 получил кnадра~1)ы сте·
псшюl! фупrщлн у= .\'
11
(т. е . шющад11 под
~·рафиком кривой) только для 11 = 1 11 11 == 2.
11оскш11,ку ужt: 11μ11 n = 2 t:му ЩJИXUДIJЛ()L h
П()ЛЬЭ(.Ш<IТЫ:~1 npeд<."l 'ttH; J(.:Hl1CM u трСх.\1ерных
н.:лах . Е 1'0 др)'I 11) чсннк Эна1щжсл1н:та Торр11 -
челm1 ( 1(10R - I () 17) Bl>IЧIIOlllЛ в 1() 1: 1 1' ТIО ж­
Т(Щу KaRaлi,ep11 ofJ·1.ё ,\1 ·1ем1, 1ю1 1уч:зющt'1 ос~
вращсппс:\-1 рат юrторп1111еi1 1·1>111epfJoJJ1,1 :\у = сг
вокруг осп (~)"
Метод Каu~шьер11 раэш1л аш т 1Лсю 1й ;\·1атема­
тик, профсс-сор Оксфорi~ского у11 1 шерситс:т:1
Джон Вал.1111с (1616-1 70 .7>). OLI псрсвёл rpo-
M<XIJ\IOJ<: l'(.'UMCTJJHЧl'CIOI(.' I IOC'l 'pOCHl l }J н:\ ШЫК
ар11ф.-.1С1 НЮ! В <ч\рнфМt:Тl l КС nt'C:KOH<.'ЧHOПJ•
( 10'5 '5 1'.) B~IJIЛllC НЫЧНСЛllЛ ШЮЩа/~Ь 1ю: 1 гр,1ф11·
ком пока~5<1Тt'Л r.г-юй фуню 1н 11 у = х
11
нс тот.1ю
llJIЯ 1 rат)ра.111.r1ых р. 1 ю таюке ;111я 1ю1 1 ожитt~'IU ­
ных и отр1щатслы1ых ра1~1ю11алы1ых 1юr<з:1:не­
лей. Рассматривая шющадь кр)та е111ш11ч1юrо
pa,1\lfyca, четнёрт;:щ час-11.> 1ю1орой па юыке со ·
врсмстюй матсматию1 Dыр:~жаетсн ю 1тегра110'1
1
f''
1t
\1-.'У' (/_\' =4'
(1
Валю н." получт1 прс,ГJ,ст:1влсн11с ч1 ICJl<I .:.J /тт в вrще
бс::ско11еч1 ю1 о 11ро11 .тс11с:1111я .
-1 -~3·5·"17799
-
-
тт !.4-Н-1(>НH-LO
Иным путё.С\1 шш1 фршщу-зсюrс матемапrк11
Фсрм;1, н,шр11.\1ер, находил площадь фттры
11сщ крнноi'1 . н1111L'ы.в:1н в неё такие nrямо1тол1~·
111 1 ю1, шющал11 KO'lupыx ссктавшuш бссконсч·
ну 1и убыи~1 1tнцун> 1·еомtтр11чс::скую 11рu1·ресе11 ю
Посколы;у сrтособ вычпсл<:нин суммы ::нoi'I
1 1ро1 ресс1111 ()1,1л уже нзнесн::11, pt:1L1eн11c :3:щачн
CR();\IOIOCl1 1{ IIOl!Ct.:~ llОДХОДНЩеl'() ():IЭtlJГt'Hll>l.
Nkтол 1ша11ра11т> и::1учал н 11ру1·ой э11аче1ш­
·1 ый фра1щу1скиf1 иа·гематr.ш и фп::1ик - Блез
Паскат. ( 162'-i - 16С)2) 13 работе 16'59 г 011
выскаэ:ш сообrажсвис, что прн nычrrсле11 1 ш
rию111:111е11 о;~ни бесконечно .\1;шы<.' могут заме·
llЯТЬСЯ ;1руг11 \111, 11 Ч:JCTH<JC'l'l'I , малую /J,)'l 'Y крн­
иой 01i сч1 rтал рашю1-1 малому отрезку касатель­
ной. Тру/ \ П:~скаля ока:ц.11 ocofioc нm1я1111е на
ЛеГ1(} 1 11ща, 1«поры~'1 прочёл с1·0 н IC)7~ '"


РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКUИЙ В РЯЛЬI
:3:щ:.tч:.t о нычисленш 1 площадс~-1 ою.1~~аш1с1. тс:-с-
1ю свюанш нl с разложенrJем функцнй 1:1 ряды.
Так, У11лы1f..1 брс')ункер ( 1620-lbl:Ч) , nервы(r
1 1 pe:m;(c 1 1т Ло 11донско1·0 королевского nбт.ест­
ва. 011 рсл1::11ял 1.11ю11 tад 1, 1юл г иt1 ербшн )lt <l) :J к·1 11 -
чесю1 как пpeдt"JJ 111ш са11 нr,1х прямоутопы·1111шв,
а т:щже К<Н• nре;1ел вписа нны х треутолnr1иков.
Дая 11epB()I'() случан ()Н Ш))I)iЧИЛ. ЧТ()
1
.
1
1
1
S= 112 =-- +-
-
+--+ .
.,
l-2
.1
4с;6
г:1е.) - искомая mющадь. Броункер н~ёл эту
фор1\1улу нс позднее Jб'i7 1·.. но опублт1конал сё
ТОЛЫ<О в 1668 1' . 3/tCCh егп oпept?JЩJI 11таЛhЯН­
СКl lЙ м~псмзт1rк Пhетро МенJ'о11и ( 1625- 1686),
кuторы1'1 11рнвёл этот ря/t в « fl:1чaл:Jx 11и;101юй
1·eoмe1'/)l'!l 1 » ( 1659 г.). В 1668 г. 11 еме 11ю 1~'r м:lтс­
матик Н111юлаус Кауфмз 11 (около 16 20 - l blP),
р:~ботаuшп!I тогда n Ло11,11011е 11 более нзвест-
11ыi1 под m1Т1ши3ироnа1шым 11ме11ем Меркатор.
шmечатал n с1юсй книге ~11огарифмотех1п1ка·>
ра:тожс1 те
х~ х' х-1
Jл(l+x) =х --+ 2 --+ . _ ('")
2;)
-t
для :ш;Jчс1111i1 х == 0. J н 0,2. При х= 1 ;~:н1ны1'1
j11Ц CUl3ПЩ~:lt:T С j)<LЗЛOЖl'J IИС,\.1 o p OyJ IKCp<t -
нt:()f1хо;(11мп , 111111ь пр1111t:ст11 к обще:-1 ~· эпамс-
11ат<:то стоящ11е в 1 1ём разнос·~ lJ.
Новоf' время
Эти дО<."rижс11 1 ш ш,1знат 1 шпрою1\1 отюш1' к
среде ан1 ·;ш1kк1JХ ~1а1'1.:мат11ков. Ват111с , н част­
ност11 , 3aмeTH.i l. Ч'!'() CXOJ~ll MOCIЪ рщ~а (*) 11:1ру­
ш:1стся, сс1111 .У > 1, 11 11ашёл р:!эложt:m 1 с ll рнд
д11и функцю r
1
111
1-.У .
Далы1ейпн1 й JJ\)OL' pecc 11 этом 11 a npauлcш1J1
сuлза1 1 с именем замечатслыю1·0 шотланнско­
го математика 11 астро1-10.м:1 /])I«.:ймса Гре1·uрн
(16.)8-16/)). В 1667 1' . 0 111-!<IJl/ I C:!JI [)аботу ()
кна;цхпурс кр у 1·а и 1н111.:рбш1ы , н 1\отороС1 щ;-
1юль:юнал 1'5<.;ско н сч 11 ыс схолн 11111сся рялы. Грс-
1·ори едва 1111 нt: псрuым устаJ 101l1 1J1 чё·1·кuе
pa:3JIHЧlle м<.:жду СХUД}IЩ l/ ,Ч/101 тr р:tСХО/\Я ЩJJ ­
мися ряд<1м11. В т~ругом своём труде. «У11ивеr­
сальн зя 1 ·еомет р11я ". 01 1 прннёл гн1/t пра1.шл
выч 1клсн1ш ллощмей под. r<р11вым11 н об·.ьё:мов
тел. обр:.~зуюпщхся !!р1 1 .вращсшш данных
I< р ивых. Рс:1ульта·1 ъ1 , ттолучс.ю1ы<.: Гр<.:1 ·ор11 , ос-
1·авал 1к1, Ht:JI3HeCJ'J-IЫMJJ HI IJ10'1'1, ДО J9 39 1'. , ко 1 ·;~:1
1111ерныс 6ыт1 о п убm1кованы е 1 ·0 п1 1t· п~1а 11
руко1111с11. Ок;.~залuсь. что ~rчQны r~1 щх~ю.юсх 11-
тш1 мн<>1'11 е открыт1 1 я в теоr1111 ч11сел 1r кана­
т1:i<.:. ТI:.inp11111ep, 011 .н 1 : 1л o\11 r\ <.:e р :1зложt:>1 111 с
днучJfен;1 ( 1 + .\:)
111
,а·1
·:1кже р:1 эло же111 re, к< rmp< ><:
1ю:1,ri;1-1et: стало 11 .тес' п 10 как fЩд Teirлopa (с~1.
статью •·Сте11е11r1ые ряд1м). н ч~1 ст1юсти рн,т~;ы
для та1rге11са, cer<at 1c:J 11 аркт;u 11·снсt.
ЗАдАЧА О ПРОВЕЛЕНИИ
КАСАТЕЛЬНОЙ К КРИВОЙ
Ro 1п·ороr'1 ч<."гнерт11 Х\ТТJ 1~. 11p11tтa111,11f;e н1-111-
маr 11 rc N1:псм:п11 кон 11ач:т:.1 п р1 t11ж:к:1т1, :~a/\:.t ча
о 11рuвсдс1 111и ка спслы 11.1 х..
О11т11ч~ск11е 1 1соrе;1ов:11 r1 1>i /l,Lf\apт:1 11р11 ве1111
его ктакоir nроGлемс: рассч1rтат1, форму J1 111пы
с да1 111ым фоК\пrым р<~сс:тт111ием . i\1J атематн­
ческ11 это требоrшше эюншале1111ю обр:пrюi1
Jад:~ чс nocтpoerrrrя касатслыrо lr - 11ахождеrп1rо
кrmюй, нормаль к которо l1 обладает 11<.:кото­
ры1.r зщ.рнны.ч сво~'н..т1юы (нсно. что норl\tаль
11 кaC:tTC:JIЫI ШJ в:~аим1ю oлpc;(L'.IOI IOTJIPYl'/ ( iJ~T:I).
ff.eк:1p·1· рсш11.1 1 ::~а1 1ач~ о m 111 :к·, а т~Н<"~С прс:;1л о­
:ж1rл пбщ1 1 П мс-m;\ 1юстрос нш1 нор ."1 :ше i1 ( 11 ка­
с~т..:; 11,11ых) к крнным. 011 быJJ )'rrpoщ<:11 r-111;~ер­
лаJ1дским м<1 ·1·е.чап 1 ко"" 11ог:н11юм ГyJ tN· 11 в
э·1 о."1ycrн1cp 1 J1e 1 1ст~ю1щ1 нюм вл;tе оrтубт11Юн:!11
11 иалашш « Гсометрнн·• Де1<,1рт:t 16'59 1·. Кл ш· а


дf!ь_
EUJ(!J
История мат~мJ.1 ню1
11ы1111 1 а н ;1атинскuм 11срс1юдс с коммсt 1 та рня­
"'11 ;1руtп1 о н~щсрлан;1скоr·о учё 1 ю1 ·с1 - Франса
нэ н Схотt.:на .
М1.:·1·щ~ Де1<аrта годился только л.ля <1л~"ебр::~и ­
чес ю1х (с1м Д1.:к:1р'J' 11а:1ынал 11.л 1 ·еометрически­
м11) r<p11nt.LX .
·1 . е. д;1н 1<р1111ых. ураnнепиямн
которых яu;rяются ~uюгочлены ко1 1 ечrюЛ сте­
пе~ ш. l lo существуют и неалrебраrтчесютс кри ­
вые, FJапрпмер цикло1ща - траскторня. кото­
рую пр11 вращет 1ни 1.:олсса описыв: 1 ет точк:1 ,
находящащ:я 11 а его ободt'. Профессор Пар11:.к­
ско1 ·0 кор011 свск01·0 кuллсжа Ж1111ь Роfiерваль
( l (')()2-1б75) ра~р',161>тал11ру1 ·с.нl мстол. рассмат­
р1 IR:J Я кр 11 ну10 юж траекн1р11ю /\ННЖСI Lll Я 'IОЧJ(И.
Еп~ё Га11илей , 1.J :~уч:о~я дннже11не с11аряла ,
бро 111 е1r1ю1 ·0 rorнr :н>r-1тал ы ю, /(О 1«1.1 ал, что
м1·1 юветтая скоросп, ч :кпщы пбусловлена её
учас ти ем u Jtli)'X ие::~аткимых двнжениях -
раnномсрном движении по горизонт;ши и
раnIТО)'СТ(Орешюм cepTПKdJТLIIOM падt:ШШ ILOД
действием сш1ы тяжсстн. И ссл11дш 1женне точ­
ю1 t:l'Tb рtзультат СЛОЖСI uш двух ДНИЖСНJ 1(1, тu
касатслы-1ш1 рас11ола1 ·аtтсн по напr:шлс111110
су.-.1 ,-.1 ;1р1юi1 скu1хкт1 1 (р 1 1с..)).Именно этn co-
nnpaжc1111e llCПOЛbЗOH;UJI I Н 0/1,1-Ю 11 ТО Жt: UJIC'MH,
н J 6-1 -1 1·" Тnрричслли 11 Роберuаль. Тпррт 1ч ел ­
: 111 11пстрптт кас1тtm .1 1ую 1< 11 apafioлc, а Р()бер-
()
J'
Рис. З. Провt>ден11е
кa( JTeЛt>HOll к Пс1рi100Л(',
коюр м1 яuл1-1 е rся
1f)cl t't\ l ()l)lt(:•й IPЛcl,
ljpoш('tlHClГO гор11 HIHlil.'\11111}
с,орость в точке л1
с кмлываt>тся 1н скорост11
p~l!HOM! :j>IIO I О д1J11Жt'111 1Я !Ю
1 1>р11 1011т.1м1 v - MN 11
скоросп 1паления Дt = MS .
Их Гf'Щ<1' 1J)11ЧС'ская сумма
л IV Л<1 С'Т IЫП[JJBЛ< 01!'1 t'
к~JL <' r<-•лt-.1н1й.
11~1J11, - к 1 \11кrю1 1/ \t: 11 некоторым J\py1·11~1 11с: 1л-
1 ·ебра1 1ч еским крнн1,1м.
С поr1стсом тако1·0 пп11оже 11ин кзсате.т,1ю1'r.
в котором 0 11 а 11араллелыта осп абсцисс, тесно
спязана задача нахождения ,..,1акснмума rrлrr
м111шмума фушщиr1. Bnep3i,1c эту сш1зь обпа·
ружил Ферма в работе « Метод отысканшr м:~к­
с~1 .\1у м ок н МИ1Шl\·1)ТМОВ». Она опублнкuнана u
1679 1·., уже после с.мсрт1 1 учС: 1-ю1 ·0, 1 ю н c p~/\t.'
фран~\узских i\1ап: м:пиков получ.нла 11 акест­
носп, 11<1 1 ю1шска раньrпс.
Реч1, 1 11ла о следующей эада ч е: 11м еется 0·1 -
ре:ю1< {{аннон ДJllfI-lbl /); треl1уе1·ся rаздетпъ его
па две част11 'r':l.f(~li\1 образом . чтобы ор1:1:1ма , ос-
11оuан11ем 1<отщюl1 служиr квадрат со сторо1 юJI
а, равной ncpвofi с1аст11 отрезка. а высотой -
втu р:ш чаL1" 1, отрезка (т. е /J - а). 11мt.r1 :1 макс11 -
l\1:tл 1,н ы й объ61 ( рнс 4). Без какuт бы 1·0 н~1
бшю /\(Ж:J:iатсльства 11;1н обоснс.т:t1 11 rя Фе рма
ll CIJOJ1Ь30BaJI 11p11i.::\>1, paBll()('llJJЫLЫil 11ЫЧIJ CJ IC­
IJJIIO 11ро 11 з кою-юй :
1
.
((.·~: + /1) - }(.'\')
"
1111 .
/
: ./ (.\;).
h->1)
,
а затеl\.~ - 11рирзF11mnатппо этой пронзвод11ой
/(нулю.
Рис 4. \,1,ыч1
Феf)мd д,н~
oтrt'~'" , \ { =/J
LГ(! надо рс1Jдсл~ щ
t l 11 ЛАС> Ч1I С-П.I
АВ=а"'ВС =Ь-а
1,\ КИ \.\ o op.1 ·IO'vL,
•1тоt>ы о6ы •м
прймо.-~ 11 Р" """·
1нofip.1>1.P.HHOll
1 ы рщу11кС', fi1н
М.1К( f1'-l~ .\ b Hhl\1
СОЗЛАНИЕ ЛИФФЕРЕНUИА/\ЬНОГО
И ИНТЕГРАЛЬНОГО И СЧИС/\ЕНИЯ.
НЬЮТОН И /\ЕЙБНИU
Несмотря на то что 11 ныч11 СJ 1 сн1tсм площ;щсй
п<щ кривымJ 1 , ti ;;~щзчам11 на провсдс1111с ююt·
'Гtл ы11.1х к кр11в1,1м учi.'11111<:" :1:.J[ J1J м :1л11Ch / (01ю1111·
по f(a rmo, 01-111 нсё ещё 11е уС' матртшалн Ш[КЗ­
кой сняз~1 межлу /(В)'?v!Я :;)TJI.'>Ш процед)'рамн
То·1 пс менее связь эта 11мсла фундамснталь·
пос :ш:~чсние , та 1.; 1<ак ~1,азыв~1 ла на общнiJ
характер анализа бссконсч110 м::tлыл. Псрl!ЫМ
Ч l.'ЛClHt'KOM, сумсвшнм это обнар)'ЖJl'IЪ, б ыл
И.с;1~1к Б::~рроу ( 1 6;IO- J б77) .


В 166.1 1. н;,~ срt"дс1·ва некоего Генрн Лукас:1
н колле/(ЖС Сю1то1) Тро111 (Ы (Тр1 ~r 1 ити-ко11лс; (ж)
в Ксмбрнджс был;~ учрсж;~е 1 1а кафедра мат<:м~J­
тики. и занял tё 33-нt1· н 11i·\ Исаак Барроу ,
весьма одарё 1Тн ы й учё 1 Th1i1. зпа:вш11й математи­
ку стол~, же хорошо, ка.к и богосл онне и дрен-
1111е языю1 . В 1670 r. Барроу 011убm1ковал cno11
•Лскцин по геометрии». где показал . что ()пе­
рац1111 ~rахш1щения площади п ттроведе r rня ка­
с;1тслыю/1 }1вляютси взаи.мпu обратным и.
н J.\;lJlЫ ICJJll lt м pa3RHT111J [·1нтс1 · рал hHOI'{) 11
д11фференщ1<1ЛhНU1'О llCЧ I !CЛel l\ J}j 1'.%\ВШl~ роль
11ршщц.1н,;:ж:нта дн)·~~ ксликим учёным - а 1-rглн ­
ч:~нrrну ИСЭ:11\')' Ныотону ( 1643-172 . 7) 11 н см.цу
Гптфр 1 11'у Rr 1111,rcл1>M)' Лейбн ицу ( 1646- 17 16).
Ныото1 1 был самоучкой в матем ат11ке, 1JO С<l­
моучкой rепиалъны м . Ког,п;а он, став с·1удентом
Кембр11джского унинсрситета, mrepnыe nрншёл
на эт<замен по математике, выяснилось. что Ев­
к.r 1 ида, по которому учили r1 ~1-IИRCJX11'1't.'Тc. OJJ
нс знает, но зато з-нако~1 с.: ~ геомстр11сй» Де­
карта. В к01 ще кокцон экзаме11 он Rьщержал -
экз;1ме11~пuр, сам Исаак Ба рроу, 1 юдосто1 11 1с·1·ву
оценил е 1'() матеv1а·1·11 ч сское нарованис. к тому
времс11н Н ыт он прn чёл нс ТОJ 11 ,ко Де1сартз, но
т:акже Ва.1mт 1са 11 Схnте 11;1 11 уже почу11ст1ювал
ПК)'С к 1\.1атематически!'.·f nроблсмам.
И<.1.JК н1.ю 1 u11 П11ртрет ИJ 111л.1ння < О1 1 тики • 1740 1,
Нuвое врt:>мя
13скоре Лш·лню ПОСТПГЛ О ('Tp:.!ШJJCJC 6ед­
СТТШе - эпидемия Ч)'i'1Ы. Ушн;ерснтст 11а врс.ми
закры-'1 01, и Н 1,ют011 почтн два года пронfл в
сrюё,\1\ 1юмсс1 ·ьс Вуле1'ор11в 1·рt1фствс Л11нкол 1,н-
1J1ир. Эти l'OJ(Ы ок:валнсь лля не1·0 уюrн11тсльно
1 1лолотвор 1 тым11. По:щнес 011 нс1юм1шал: "13 11:1-
ч:~лс 166') 1·. я открыл МСТО/( 11р11бт1жё 1111ых
JJЛ/~OFI 11 [ [раншrо /l,JIH СВt'ДСН ня тобой стспсн 11
тобоrо 6111юма т< так11м рн; 1,аl\1. 13 м:~е тш·о Жt'
ro,11,a я ОТJ(р1>1л метод 1<:1сатсл1>1 1 1,1х Гpe 1 ·np1r 11
Слюэ•l, а u ноябре - прямоi1 метод флнжо1И". и
в слс;1ующб1 гощ u !ltac я уже имел n рас 11 оря­
же11ин обрзт11ьп·1 ~tетод флюкс111r....lkё это нро­
н:ютпло в дnа чумных год:.1. 1(>6'5 11 J666. Ибо в
:-по вре!\tн н наход1щся в на1шучшсм 11,ля откры­
тшi во::iрастс и ,.'.\yм:ur о матсма ·1 ·11кс 11 ф 1 1жк·о­
ф11н бот,шt:. чс~·1 кш·да-л1160 1ю:..1жс ~.
Л рямсн'т мето11, фл 1шсс1 п'r. а которо/\ 1 1 01юр1-1т
Н ыото11. - не что 11ное. как д 1-1tj1фсрснц 1 1 р<1в:1-
11111::. соо·1 ·встст11ен rro обратн L,111 .четод фJ1101<­
сий - шпегр11рощ.11111е (см. ст:1 п,ю «Что 1·акое
математ11ческий ан~1з»). 1:3последсттпr 01 1на­
писал работу под 11азват111ем «Метод флюксий
r·1бесконечных рядов», тю пр11 ж11:3I111 ош1так11
11с бы!!а 11апеч~1 тшта: в 1756 г. онубтнюван сё
ан1·;111Оскнй щ:рt'.1щд, а opш·1rпVIыrыfr J 1ап111 -
ск11й текс1 у1ш,Ц<:Л снtт m111 1 ь н 177() 1'.
.l lepe~1e111rыc веJ 11 1чнны .~:. у, :: Ilьютон 11:о1 -
з 1 ,1нал флюснтй:11н, т. е. «текущ11 ,ч и ·> (от лат.
nll~ - «ТеКу»), ;.! « О:ОрОСТН, С КОТО/)ЫМН КЗЖ)\Шi
флюе1rта увелнчнвается в снлу пnрОЖJ"(ающе­
го J (tШЖCТll·fH ", - ф11юксиям1 1 . О1ш обп.н-1~1 1.J:.1-
лисL теми же буквам11, 110 с п;ч rшй вверху:


Ист ория матем,~тики
JJJ11m1/r.t1i~ J.r 111 ,fj,f ,ul.11.
Х t 1L 1...с' 111t1t11C1\J dct. Q1:111nщ6 fof1JCJ1t~>\ 1..'c!\-& -d3rc tai:.t
rimtia J:\.dc:!';1щш.:nt reutCJ•f .:Z r r• _ ,. _' t' . c(\ion di:(IJllCliь, t1~1111 ,jq_p11•
11с1 11.Je.linuut"tlJ '")CH•t'\ i;Li; 11.110, clk • (1111 r e o n 1111u1-IJC 'r.)l;(!t ~'-'IJ·
roc1\I~) ((ln1 ('(i•шuc: !, _ "' \f~ttG'~ dt: Jcu r Flu, o ')U Л1.i.""f1J11fc-nч:11• .
Х 1V• .i;, drinc !с prndш1d.: 1" ~lefrr.:..: ~щ мс tJ1.ш1111J U.J .:.
fi'l1.nrn1 rctнr.: " • c \.lt .н11 :.:, !i t1• rr-pr~ l\_-.~f~ 1., ; 11 1mu :11.1 d'urн:
Q-~..w.tё ~.Jcli:o1~i:\uc " ~ Lt\ ~"t1щ" 1"1; 1.1. ., ~u.~t~ : • 1
, т,.k\-w.'\
tepr~knt~ ylf ~1~1-., 11..11 1 p 1n:c q\lc:~ , р, .ot•, ;и fощ cl1~u 11.t
~OllHl.М:8 1 f 1 1·,~
.х \f. rwa ОО1к ~JU-' k' ll~.11J1cш1 trid"Щ.~ ;._ , • 1~ (о м IC$ ас"
c cft1 -> "• аи .l.'.l:\1111.111a11of1'1 1 n 1fcl11\·11к11-r 1)1. ll(t '' ~n ~ ,,~щit t. f. l l )i = Ф •
tcs ..: ~ ·"' pcm)an : k5 1л&:ti1~11n ~nt 1•tn1, 1nttrv.il.;. dr 1е1щ., 1) l'lщ
tjll<: «t Qu:inшO " N f -»1•1-U .д~ 1f'!!t.:t1J~ll11! ar.d1.li11 .11!ie 11 pi:tit &
tam., d ;:o,,-1.1.'1uн~nt x+~• & у +;-, , & p~r oauf.!°'1.l)C n• fEqu~ti("I
qa1t.n '""J!:'OWI~ ct1• r11ut iq1Ji:mf't1t IJ. ll ct:irtt•11 .ka t)uJ111u-6 f ·\ucl•
ш,-(',-1pmw:tA- I" lk li!.11(1" С'!НС ~-;.-~" 6;. r+ ; , tOU' 11dfi.tщ-ц
'1tlC:rltrC: Jt 6' J • Olnfi (Щ f~Uf fu!J6i1Ut'f" \l.\IU Ц 1~1С i::qu -a-nQl1
• -+,;• & )'+;11, .цt1t1J ii: •« у
Х V J. $ .Qir di)!'lc l'E:pr.at~U dмn.ic quc:lcьn111c .1 - .t"~+ l-lff
_
, , g;;O JC (11bllui:c ,· + U P'Y.11 ~,&y-a..ju po11".Yi .:.с1·м
Стри11иud
и 3 фра 1шу ккоrо
11JД<IШIЯ • Метод3
флюк< ~,й и
бесконечных рялов , ,
ltме ржашая
объяснение
tlJJИI I Шll lOH
д11ффt'/)! •НШt~ЛЬНОГ(I
И С '-IИt..Л Е' t-1\.IЯ ,
П<1р11ж. 1740 г.
.\:,у, z. Ныотu 1 r таюкс рассмзтр1 шал « моме1 rты
фJ1юкс11й » (в совремешюll тсрмююлогни диф­
фереrщизлы). т. с. нt1111чнны xo.yo,zo, 1де о -
бссКОllСЧЛ() M:lЛUC K<JЛllЧC<."П~<J.
Н качестве ал!'оритмз щ1фферс 1 щ 1 1рон:~нш1
Н1,ютuн 11споm,зонал ту же процедуру , ч.то 11
Ферма пр11 отыска 11 11и NJЗ 1<симумо11 н ми1111му­
\ЮR функцнlr . Нзпр11;\·1ер, выч1rсJ1>01 1 1 рm 1 :знод-
11у1n (флнжс1110) от х-, оп ттоступтrл бт.r так:
(х+i·o)t _ .\.~
()
х! + 2..'\:\:о + .\'о.\:о - х~ _ )
."
-
-\.\,
(}
причём чле1 1ы, нключающ11е:: и н C'L't:Пt:Hll выше
п<:'рвой, он просто отбр~1сы11:.1л . ~ нбо 11х "южно
считать за нич·1·n 110 сран11t.::11шо <.: 11 ру 1'1 1ми •.
Точно так же: можно IЮЛ)'Чнть формулы прu­
н :шuю1ых н /IJIЯ стс:11ен<.:й нынн.: нторuй . Дли
д 11фферс 1 щ11роuаJ1ш1 фу111щин с р:щнкалаvнr н
!\[1Обям VI Н 1 ,юто11 ИС ПОЛllЗОПЭЛ liCПOMOI а·1 ·ен1,-
11ы е 11ере,"1е1 шые, :i для не ;шгебр.нтчсских функ-
1\нi1 - раз11ожеш1е в бесконечные rяды.
В «Мето!(е флюксн11 ~ чётко сформУш1рованы
обе :}адачи нс'-пtслснпя бсскuпсчтю малых:
1. l lo 1tа11ному С<.ЮТНОШСНЮО между <..jJЛIO­
CLIТ;IMИ опрсщ:лнть COOTH() l llt.::HИ(; м ежду lj.IJIIOK-
CliЯMl'l.
1 . П о H:llНIOMY yp::ШHCHllIO , СО/\С'рЖаЩС.\1)'
фл1окс1111, 1 1 а~1т11 с оотпоше1111с ~1СЖТ\ У флю­
е нтаМLI .
Яс 1ю , что п пepnol1 за,Г\:.~чс реч1, J.Jдёт о ;1иф ­
фере111 ~111хт;1111 IИ. и мы ~гже шщели, как Н ьютон
сё рсrпзст. Что кас::~стся nтороП, то дать общ11 l 1
ме::пщ ш1тсrр11ров:нпш yp:tвпcrшir n то nрсмя
11е представшuюсь 1юзыож1 1 ым. И nсё жс llыото
нуу{(алось н;1йт1 1 формулы ;v r я большо(1 1·ру1111ы
!!НТtтрал о в , С<Щ срж~IЩI IX 11pp<11\l1UHUЛl>l-IO("l'И .
Все .~т11 открыт11я 6h1JН1 нуж11ы учёному
HL: ca.'Vlll ло сс:бе. а / 1,ЛЯ [Х'IПСН\НI ГJ laHHOJI ::1~1Д~­
ч11 - t.о~щ;11 нш 1ю1юl1 ф11 з ню1 . Е1·0 осгюшщil
1·ру;1 - «Матеl\1атичсскпс начала 11::~турат, 1ю1'1
фплософин" ( 16t{7) 1щ.ёт м•пем:~тнческое до1\;1·
зательстnо того фзrпа, что есш1 траекторня
орбиты 1шанеты есть rщппчсское сечение
(эlUIТrnc. п;~рабола ини пtпср б оJ ~а) , то сила пр11 -
тяжешш м<::ЖJtУ ш~анt:· 1·ой 11 Солнцем обр:tтrю
11ро11()рцнональна расстоя11ню меж;tу нш111
(закон все .\111р1 юrо 1·яготсн11я). 3,1'\l'Ch жt: f-l ыо­
гон прнн<.:1 1 реше 11 щ' f\.11 ю 1 ·нх з::щач , прt.:ж.тав­
люш11 LX суп ~ествс1 п rые математ11чесю 1е труд~ ю­
сти , таю1х, ка1\ о6ъясш:ш rc пр~ шн11011, ос1 юпы
теор~ ш ;,вr-1же1 ~нл JI vны, проблема притяжения
массиш1ых сфер и т. п. Uсrrошюму содерж:ншю
к11ипт предпослана н1юднш г ча<.~гь, 1дс: нзло ­
:жсна теория npcЛL'ЛUf\. Францу:кк11i1 матем:1·1·1щ
L'ийО.\1 де Jlошпалъ , 1<uторый в 16()6 1·. 011убл11-
ков:u 1 11срныii учс6н11к rш 1 1 сч11слс 1 111ю бс:скu-
11сч1ю.'v1<.1лых,11 прсд11с1юmш к нему ш1сш. •1то
R кншт Ньютп 1 1э «."есtъ 11оч·111 все, что 11ред­
с1·ат1яе·1 спбой это исчнслс1ттн.:" .
Соч1111е11ия Ньютона по матсмат11кс увн;tе·
ли сnет только н ХVШ столет1111. хотя ocrюn­
ш,rc рс:~упътаты о п получшt в ЫJ-х tт. ХVП n
Од11:1ко iюe- LIТO бьuто пзвсстпо его 1<0Jme1 ·;:iм 11з
ш 1 ссм. Так, нско·юрые свои рс:~упьтаты в а11а­
J1 11зс: Ньютон сооnщнл Ле f1 nн1щу 11 1676 1'.
ко1·да тот уже сам прнш<.:л к открыт11ю д11ффе­
рt1-щи:u11,нпго ll интсгр ~uгьнш ·о нсч11сл<:н11я
Лсйб11н11 со:тал исч11слснис бесконеч11 0
м:и1ых сонср111е111 ю 1 1 езап~кн мо от Ныо'l'Она н
аернод между 167j и 1(,7() rr. На 11em llfXJ11 :l 11e-
m1 бnJ11,11юе 1111е•~атле11ие математнчес1rnс ра­
бmъr Паскаля, в особенности то, как н од1Iой
rо<ФР"' '''~"'~' 1
l\1·H(HIИL1. j


ю ~:~дач с 11\1()1\СД(;НЩ:М касате-1 1 ыюй он 11(.' I ЮЮ,­
зовал ·1 рtугол:.ьн ик обра:ю ваю 11,1й скоm, у1 ·одно
i\laJIJ,JM l l UТ(X'ЗK~IMl l л:v, ду, лs (р 1 fl' ')) . )1,руr·~1 м
JICf'() 1 IH/,J К( >М ,\•J;JTCi\1 ат1 IЧtC/(()1'0 IЩOXHOl~Ct-J 11н
Лей6н1·11 \~~ был~~. как 01 1са,ч 11риз11:т:111. а1 1ат1-
'пf•1ес1<<tн п:оме· 1 р 11 н Де 1<аrта Н рабnт1,\ nалл~ \Cl
11 Мер1«1 торз о рндах. Уже в началt с1юей работы
Лей611и 1 ~ вnёл термин «фу11 rщю1 » и ппдуч 11л
р:1 зложе111 1 е ар1стJr 11 ·епса, а с его пом ощью - рпд
п
111
-
= 1--+- -
-+ ".
,,
.~57
11:.Jнt'c1 11 ы 1J 11ы11с !{:tк рн;t Jl616mщ:i . Тrеуп)J1ь-
1111к cu стuрш 1:1м11 ti\' . ф1, ilz (<·хаr:1ктср1tCП I' 1<.:­
сю1l1 ") 011 p :tCCMJTPI IH:IJJ как 1IJ IC'11'Y·\1CI JT но­
('Т\Ю'.:111 rn .:ас1·1 с:;11 ы юй дня :-1ад<1 ч ca!\IOI'() 06щс1·()
тщэ. С 1rомпщып :это1·0 Ж<:' треупшы11п<а Лсr'1 6-
111щ n 167:'> r. устано 1 111л для сrаспю1·0 случ~1 л
n:~аим1ю пбrат11ый характер onep;щнlf. r 1 а ­
зв;1 пных им влос11сдстrш11 диффtреrщиrова ­
ннем '1 ш-псrриро 1~:лшем.
В октнбре J675 r'. сдел;Шh! пер н ыс u1а1 ·н rJO
COЗ/\ CIHl l IO H<.'ЧllCJI CHHH - Н J1YKШll ·I CЯX JICJ16 -
ШЩa ПОННШНОТСН ОС! ЮННЫt: !IOHJ.!'l' HH , IШО/1ЯТСЯ
ш1сr;~щш 11 симнолы . Н аконс1~. летоr-1 1(i77 1'. в
от1~~те Ньют·ону на tго второе 1шс1->мо Леl161 1 ш\
СО()бщ11; 1 np:Jmrm1 щ.1ффеrс 1 ЩНJХ'J 11з r 111я прт1 з­
веде11ия (э пмешrо d(.л:у) =ycLY + .л:t{)') r1стс 11еп 11.
а ~";lюке cпocofJ, пrнме~шя которы!'r 11ет нужды
освобождаться от нрр;щи()нальпосте(f, ю1к это
1'\елалн математики прежде , а ~юж.но вро11:>.nо­
дить дифференцн:роnашrс пепосрсдс'1'всн1rо.
:3дссь же впервые понвr тся тер,"1 r-ш ~;1"иффсrен-
1111:~лhное ур~1 ннсн11е ».
Свш1 ре3уm>1·:1ты Леfrбн ин отrубт 1конал л ншь
1\ 16R41· 11<1 стра11и1~ах журнащ1 ~лс 1 <1 eп1ditoп.1111 »
(•.ТJ1}Лht учf111.1 Х») А короткой стат1)е, 1ю·1·nр<1н
1fмtла. однако, ~11Югозна ч ителыюс 1 1а:шание:
•Новый ~te-1·011 макс.имумоR и .мш rимумов. а так-
J:."'
в
HOHOI-' 8рt' .\1Я
Рнс 5.
,, Л,1р.1 ю ернt п1чеrк1 1 11
r p<'y1 11~"""""'
(l()p,\ '()[! ,НЩЩt С ~..()ЛЬ
VI IJЛI t{) !\\il.ЛM\l& i
;>TPP'lk '1M11 Л \ - t/.. ,
ЛI:['f.., ,\,= /С.
же к;~сп l'JJI,ныx. для юл орого 1 1с служат пpLI 1ят­
стн 1 1<::у1 llH щ106111,1е, ШI llf)\)al~ЩHIЗ Jl\,H\\lC \\ё:Jlll ­
ЧJllТЫ , и ncnfiы{I /\Л Н ~T()J'() рпд llCЧTfCJlё: l t llЯ ·>.
~ осоf>ый рО,'\ исч11С.'1е1 1 1rя " - это, кmrecn ю, ;п 1 ф­
фсре11циалыюе исчисле1те. Лейбт 1 1щ пр1111од1 rт
в ста·1ъс пrос1сi-1 шпе rrрав1ша ю1фферс1щ11ро­
иа11ия. устанавнива<:: 1· ра~.11ичис межну }.1:1кснмv­
,\Ю .М Н \11-!HllMY\IOM f\/)J IH0/1 JI /(:ll:T Гlj): I Bll JI(! J\]IJI
опрс:д<:ЛСННЯ TOЧKll lll'J1CI 11ба. с ЗТОГ() М()1\1СНТ(!
н;~ч111-1а1:тся <>ф111~налы 1 ая 11стор11я .мшпе.мати­
'1~(-л-ого CIHtlЛU.ЗCI .
Г1rклепукнц11е с1·0 ст;п, 1>11 . печзтаншнL~С)J в
тnм iК<:' журпа; 1с с Lbl~() по 1(><)7 1·.. бы! IН 1юсня·
щсны ра:щичным 11робле;,1ам ашu 1 н:{а. в ч:~ст­
I ЮСТ\1 нorrpoc~LM нrпerpaJir.IJ()ГO lfCЧllCJICHHЯ
(этот Тt'рмиrт также nринад.rтеж1 п Лейбшщу).
llanpнмcp. в ст~t·rъс l 6<J-1 г. уста1-~авщша;цсь
свя::Jь между 111J·1 ·<.:гр;шом п 1 1 ро н звод1ю1·1. лрн ­
чём проИЗIЮ/ \Н~lЯ p:.tCCM:J 'J'PШ\;u1:1 cь К'11-> танl'L'НС
) гла t1аклон::1 к:1с:пс.г1ы юй к пен а6С"ц11сс.
Jif lтледо11а 1111я Лсйбн1 1 1 \<! н .~нач И'l 't'лы 10!1 C'l't'·
ненн 011ре11еннли ра:щ~-ннс метож,н анал11за R
конт1111с11т<1Л ы-1 т1 Еnропе. Сре;1 1 I е1·0 1н >СЛеf(СJ11 ;1-
телей 11 ~1:юнём 6ра·п1ен Ио1юп 1<1 н Яко():~ Ikpriyn-
mт. Пьера На р и11ьошt и Гнйома l\e Лошпаля.
ИДЕАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИК - ЛЕОНАРЛ ЭЙЛЕР
XVI 11 о·ш 1е1· 11с - нCJ\OJtl' ИЙ щ;к l l pocv.l'1дcн11s1
меЖ/()' .~похамJJ жестокой 1r ~тсрпимости. Все­
го лшг11, :ia 111с:с1ъ 11е1· /\О рожления Лсон;~рн:.1
Эйжрэ ( 1707- 178.:3) u Бtр.rтн11с была пубт 1 ч-
1ю сожжст 1 ;1 П()Следшrя ве/(ЬМ~I- А ч<:ре:з ПJ tX"TTJ
лет посяе его смер1и.тю1ыл'1 1уш1 Вел нЕан фран­
цузская ревоюотt11я .
:')Й111.:ру 1ю~е\JЮ: он ро;~Ш\СЯ l~ ,Y1<1J1CllbKOЙ Т\ 1-
ХОЙ fЛн6щар11и, куд:.1 сп вcci'r Евро 1 1ы пр1 1 е:i­
жалп м~1 стс:rа lJ уч~т1ыl'. нс желаш r 111t' тр:п ·1 н1,
,'\l);]1·оцет11юе нрсмн на 1·раж/~а11с1< 1 н:: смуты 11 ; 11 1
рслнгнозные расnри. Так нересслнлась в ero
родной Базель Н'3 Гш1лшщш·1 сем~,я l)ерну;mн -
упнкалъпое соэnсз,J.ие rrаучных талантт-1 по


9Н
Ипория мэтематики
Г.~ \t", \ b 1f)cllllO('lol 17 6 1 1
главе с братьямн Якобом н Иогашюм. Вокруг
братьев Берпуллн с1юж11ло1 саь1ыl1 нр1шй ма­
те~tатичесю 111к ружок,11 на пnл1:1ска Ьазел1, ст:u1
треты•1м 1ю важности матсмат11ческ1 rм цен­
тром Европы 1 юслс ГL1р11жа 11 Лондона, где уже
11роцнстат1 акадt,\111 1 11 наук КаЖJ(ЫЙ l'O/J, J-1 кrуж ­
кс решалис~, трун11ыс 11 увJJеТ\<1телы1ыс :1адачт 1,
а 1ш смену им пст<1ш1л1 1 новые .
Поступиn n Базел~,ский утпшерситет, Эйлер
слушал лс1щни Иоганна Бер нулли н подру
жиле>~ с его сы1товьям11 - Ннколас:м н Дантш­
лом. Но когда учёнън: орлята ~юдросли, выяс11и-
1юсь, что 11 Швt"йц<1р1rи не хвап1т м<:::ста д1ш 11х
собс_;·нсш tых 1·нс~щ. З:1то н далёкой Россш1 1ю
замью1у Петра 1.и по проекту Лейбн1ща13 1724 r'
был<t учреждена Пете рбургсю:~н А:к:щемня наук
Русских учёных 11е хватало, и трое друз<::й -
Леонард Эйл<::р и братья Да111 1 нл и Н111<олай Бер­
нулт 1 отпр<1 н илт 1сь Т)'да А поис~<ах с чае1ъя и на­
учн ых подвигов.
Чем только не пришлось за11нматься Эйлеру
на ноnом месте' Он обраб:пывал данные вес-
)J\11:.0 'i))i"\..1 '. .'V\>i "'i\cf)~'1'-V1 ""-~"-~>'t:\''""' \ \'\ \\'lR:>f\~'°1':\
эrу 01 ромнvю р,1боrу в оди11очкv) . 0 1t расшнф·
ровывал перехвас1е1шые ююстра 1 111ые д1111 1юма·
111чесю1с дсш:ш11 (оказалось. что с де1ш1фрой·
кой м.атематики спр.шлmотся быстрее 11 лучше
прочи,""< С1Jе1\налистон) . Он обучал .молодых мо·
ряков вш.:ш ей м:1·1ема·1·ике, ;1с'1'роном 11н, а так·
же о<.:11сшзм 1щр ~1 блсс·1·рое 1 1ии 11 упр:~Rлен11я
гтарусным t:удном n 11п·ш1п 11 н буrю А <::щё со·
ст::~илял т:абJ 11 щы. 11еобход 11мы<.: /(ЛЯ рJсчёта
артню1ер1 rrrcrюrr стрельбы и табл rrr(Ы дmrА<еrшя
Луны (ведь 11 щ1лы1ем 11лаваш ш Луна чаоо за­
меняла часы nри 011редслеш111 долготы)
Только гс1шй мо1· 'Ja этнм11 трудам 11 не за­
быть о большой пауке Эйлер 11 был гсщ1ем З3
[ 1.J Лt.'Т сносr·о пср1ю1'0 прt:бысатu1я н Росош
(1727- 1 7~111'1 '.) 0 11 ycщ:J I l[~IЩI C:l'IЪ 11еркы11 R
мир е учеб ник 110 ·1·сщк·т11чсскоС1 механике


С.1 11~1 - flетерб)'Р' . Гравюр.1 XVlll в .
(,llL" }'Чlf'l.h Жt: cтy;leJITOK 11() CJIOЖlll>l:vl l{JlllJ':.1~1
Ныто11а!) , а также курс м:пемат1rческо~'11raR11-
1a101111 1."11 югпе нр)'ГИС труды. Пт1сал Эйлер лег­
ко 11 быстро, простым н ПО!\ЯТ11ЫМ Я'\ЫКОМ .
Сто:11.> же быстро он ouлaдc:n;v1 нопъщ11 языка­
м11. по nкуса кл11п:ратуре ш: имел. Матс~·1а11ша
по1 ·1 ш1щmа нес Cl'O нрсмя н снnы.
В 26 лет !'Э 1l лср~1 и:.~бралн росс1-11~1ски1'<1 :1каж:­
\1иком. а чсре:-1 носем1, J 1 ст 011 nсрсех:1л 11:.1 П е­
тt.:рG~·р1 ·~1 и Берт 1н. В чём /lсло? Тшr пко ч'ю за­
вt:ршшюсь [\<1рствt)В<1нrн.: Анны Иоан1-юш1ы, 11
во:юб1юн 11ла сь чсхарла днnр1ювь1 х псре1юро­
·пж n11ш1 ко Эйлера Э'l'С) вnр>1мую l(e [\:JJ.:aлoct»
('l[JIT:l'l'l>OJ v JICMцe .\.'l» fl П етербур 1 е было безо­
П:!СlЮ 11 престшкrю, а учёньLх- немцеn ценили
ш вес золот;~. 110 оп \1Же по•1увствоnал себя од-
1111,"1 пз с 1 1лънсйшrrх "'tатсматикоn Еnропы -
11 uдpyr заметил. что здесь CJ\1Y нс с ке,.-.1 па
р:шных по1·онори1ъ о cnoc1~1 науке. Пrиезжая
11НОС1 р;.11-111;,~я ,\.IQJ IOftfЖf, 1IOBЗJX>CJit'ЩI 11 !lибо nu-
IOll·ryлa д11 кую, п1 1 асную Россию, 111-1 60 погрязла
в мелкоr:1 ·1екущсlr р:1nоте Л ncpRoe nоко11епнс
уче11ых-росси~н сщё 111.: выросЛL> . (Вспомним,
чтп ЛомпносrJ11 нахо;\ило1 'H>rl(a 11::1 учёбе 11
Теrмз11нн . ) Эйнер pe111111r переелатr, туда, где
1ш<~ш науч11ых J\искусснй был шшы111е. 011
яыбр:т Пср.1п111 - там молодоf1 король Фрнд­
р11х Il рсrш JЛ созд;~ть 1тау'-111 ый центр не слабее
пар11жскоrо .
J(1лср п роuсл к licp.11ш1c чет нерп, иска
(с 17.с/ 1 по 1766 г.) и t:ЧИT<IJI э ПI ГО/\1•1 Jl}'ЧНIHM11
н своей ЖllЗllll. у 11е!'О ннонь ПOSШIUIOl'h МJЮГ()
дру:1с~'1-~11 1С::r 1ых, в IIX ч11слс прсз1щснт Бср­
:1инск(н'1 акздемтт 11 аук ТТ1,ер Лу11 М()ро ;1е Мо­
nсртю1 '1 ( l 69R- l 7"59) Физ111< 11 rет·раф, n11
проnернл r·ипоте:зу Ныпто11а п сплюс11утостн
зе,,нюгn 1u apa nn:.лe полюсоn. Л;1я этог() 011 пз ­
·'н.:рял дт11 ry градус:~ мс:р1щаапа п Jlзплаr 1;щи.
Новое время
н то вреr"l.Н как е1·и коллеги выполняли ·1у же
работу в Н1жной Амернке. Мопе1т1 юн решил
n рсf\зойтн Н ью·гона, откр r.111 1ювый мэтемзти­
чесr<иii :>а rюн прнроды - приr-щ~ш наимень­
шего дейстr~ин, которы.11 выделяет трае.к-тории
rеалыюrо [\nижепия тел (11а11ри:мср, 01<руж­
тюсть и параболу) из огромного множества
rюобра:~им1,L~ траекторий.
11/\Сн Мопертюи была хороша, но её матс­
м ат11 ческ~н~ су 1ъ ок~~зал:кь оченп сложной, и
нотрсбовалась помощь 3йж:ра. Тот понял, что
нок1,1й закон относится к област11 иарl!~Lцtюн-
1-101·0 11L ч1 кления. Эfrлер coзr~aJ1 это 11счнсле1111<::
11 1740-t 1т. Пр1шц11n М о1 к·ртюи стал пдн11м 11з
11ерnых 11рпложе11иl1 1 юnой 11аую1. К нему
·:iйJJ(~p сделал замечателr,ное добаuле1П1 е. 011
заметнл. ч'f'о естестnеrшыс мате.маттrческие
услоиия ,/'\оn.ускают траектории не только м11 -
1шма ; 1 ыюго, 110 и максималыю1 ·0 дейстuия.
Пращ\;\, в Mt'X<tliикe этн ,\ilаю.:vtмумы гючему-то
нс 11аблl(щаютос но 1З 1~руг1х 06J1астях ф11з 1 1-
ю 1- h-1·0т1ас1 ·'
Д1)1'а; 1ка П 1111ера 11()/~TRcp/~1mac1,11t11.111, в кон­
це Л'Х 11•• кот;:~ ф11з11ки н<tчз;1и нзуча ·1ъ нера11-
1юнссныt' снстем 1.1. спосо(тые 11зме11н1ъ своё
с1 тюеrше и з1ко11ы с1юеrо rюведс1111я. Ока:за­
ЛСКh, что '1 ::tкнс nерехо11.ы, nырзжаюm~н:-ся R
и:~мснеш-ш СП!'-1мс.-триi 1 спстемы..ГJ)'lJШC nсего
01 t11сьmато·1 ся траектор11ями экстрс:малыюrо
(n часпюсти, макснмалыюr ·о) дейс·1·ш1я.
Эйш~р заm1мался самым11 разными проблс­
мамн. и почт11 нcx:r;ia - ус 11 еш110. Напрпмt'р,
захотелось ему 11ере11ссти нее мет<щы м:~тема­
т1 1 чсско1·0 анат1 :i:1 на фу нкцни, за~н1сящ11с от
ком1111t 1<сны>. ncpcмer1н1i1x , 11 он создал ·1 ·ео­
рню элементарных фу11к11ттй 1юмлщ·ксrюrо
Пhtep Ау11 Мнро
д.., \\0111ер 1KJll
С)С)


Истприн м.1Т(:'МJ г и к~1
/\P(\H,1p t.
::1<t\<" P
Пщ>1рр 1
1моu1ы
) X 1-1HЛM1tllH.1
С.еред1tна
\Vlll в
ll(:peмt'H!-101 '0. l lu 11 y1·нo К Ы ЯСНJ IJIOt:b. у 1() 1юк;1 -
j;JТ(;'Jt1,н:н 1 фун1-щин (:-;кс1юн<..:нта) l l с 1 1 нусо11л:~
t.yrъ J\11<..: с."1011011ы ол.1 ro11 мt:лалн . Это пыража­
<:тся фо р .,tулой
(!
11
= ('()~t+i'>i11t.
которая гt:ок:.~зывас1 01 np11 по м ощ~( с1·ене1 шых
рядоо
llo коль скоро экспонента п сюrусоrща
•'Сёстры.- , волткает з.tысчатt'лы-шя сннзь _,1tж­
ду •шслам 11 е (ос1юв;,~н11<..:\1 с:tм 1,1:< удобных :ю­
гаршрмов) J11t (OTШ.>JJJCIJJJL:.M ДJLJ JllЫ ОК!1УЖНО-
ll\TRODUCTJO
IN ANALTSIN
1NfJN J TORu~L
1. L 01'1ПJ\ RDO rut..FRO , .
PrtfiJёn 'Rp BJ\a. OL ltffWSlt d 4lllitм1AI•
~-.ЮМ//llllfftlfJ !'J.Тa.OJ'OLIT41)tA
.
w..
r1\;
1,JlJ~'us
AVS~"i N A
~w-J Al.t.t . t "t u 11 1"11-.нн1. 8<н1н~Dt 1 i. Si. .o.a.
100
L11!11< 1'!(J~1l~
"r''г r-1~tмuц
810 1 ~' '!l<IH!lt. 1 • -
"''~
"." ....,1
,,,..
•;•
,."
.• •"
",1 ,." .." (>.
".
,,.""~,..,,~. t..lo
'f~~::-;:.1.::~:~··:~·::""""
11
1,
:~.~"" •_..__:._u.,:~.:'j . ... .
lLl t yAt·ltt..lй Л"ll
11 nРрв.1 я (' TIJ<lHlllJJ kH111 ll
Л .::1i1л1:!р,1 "Bu(!д(!ltltt!
fi dtt,J ЛIH {H"'t. K Olt t"ЧHt'>IX "·
1;-4в ,
сп·1 к ; (11 ; 1 \1С1·μ~) Т lоскольк~ нррац1ю 1 1а:1шос1ь
{;' )_(()К;1:·11,ш:1L:ТСН (. ран1-111 · 1·с; 11, н о 11pUL'1'U (уж очень
}/(OUllhli'I рнл1-11/JI+l/21+ l/jl 1- l'XO[\lllCЯ
1< :')ТОМ} Чll СТ\' ). то, нal1l'[11-10l'. 'l 'OT же 11 )'1'1> 11[)11·
вс,11ёт 11 1' /(0 1\;'JЗ3Te,11>t~I ну 1 1 ppa 1~I JO H <1Jlbl-IOCTLJ п
О,11;1 rако. " пусть '\.1ОЛОЛ111 \" м ~п ел1:1 · 1~1ю1 одо.1с11п·
эту дреш 11ою проблслrу. аЭйл(>ру cm111h1 ужедос­
таточrю ! Так рассуд1 1J 1 учёны!1 - н нс ош 11 6ся·
в 1766 1·. Иога1111 l 'c 11 p 11x Jlзмберт нашёл до1<а­
J~1·1·с~11ьст 1ю 11ррац11ш 1алы юст~ 1 л .
'!'о же бhlJIU с нсJ 111 кu!1 'l<:u p<..:мuf1 Фсрщ1
УсJ1ы111ав о 11cl1 . Эl~лср p<.:11111 J1сам носст:11юu11ть
)r1pa ч l'111Joc: дока:~а'1·t:J1ьстно Вскu рс u11 11μ 11шt:л
к ~ 1 <..:-1 оду cnyL к:с к.tк 11 Ф<.рм:1 Hl'\\lJ\1 p:1111,111t:
(С,\1. статыо <- lk.-11 1кая т<:прс:ма Фc:pvi.J») llfIOHe·
р1111 е1·0 длн п e 11t:11c-i1 ~ 11 1, ::Эi 111с:р (1бра'111лся к
следующе."1У щюс1 сшуnою.i~Пс..:лю -
'1 "1\т llCJ3·
fl\1I0111 З<t'l'ру..:~.11ешш. 11 0 1l OCT,11Jll. I ' 'JTY Tt'M~ М()·
.1(.)/\Ы~I I!LCЛC!\(Щ<ITC.1HM.
В л:омстршr Эlпсра 1штсрссошJ11 1 11е столь·
кu ноные ф.~ю ы. сколько общ 11 с тсоро1 ы
щ: ую1~1;\ ыв:11011\нссн в 1ю 1 ·ма' 1 '11ку t:нк"111;щ fl<J·
11p l·J1'v1C p. ' 1l'орсма () Cl:SH ~Ш .Чt:ЛЩу Ч ll C!l:I Mll нt:р·
l11HH , рё6t:р н 1р анс[j HЫII) KJlOI () ~ )) I Ol'Ol'paн-
111\Ka: R - Р
-1 Г - 2. :'1т~· формулу J1ш1 l:Ще
Деt<:1р·1, 110 llt'<X~1-:1 1111л L'fдoкэ :ЫTCJlhCTH:I :>111лер
легко 11 з111ё.1 1 / \<Ж:вз·1·еJ1 1,с1 ·tю. а т ютом .1а1lумш1ся·
еслп фор:v1ула t:npaвc11,.rrтrRa f\IOI 1 кел в1.111~клыл
тс11, то ч&ё же своr1ство онз nьrр,1ж.1ет·, bl()жei
б ыть. свойство сферы. в котор)1О можно 11е­
фор.м11ровать любой вытrу1<Лыi1 :многогр.uш r !К?
Т01д:~ 1 ·р,1 н11 превратятся n «стра 111,1" , а рёбра -
R «1ран1щы ». Есл 11 так. то формул,1 в 11ядш 1 <'пра-
1:1сдш 1в:1 /l.JlЯ "Ка рт·>, нансс(:н1-11,1х на дру1 ·ис ЗJ)t·
КН~'ГЫ С ГIOHl'P'<l-l()CTI 1 R роде тор:1 llЛJJ кр<.: 11) \(;, IЯ
llp0 11t'rкa Jl(Ж:1:1ала: /JЛЯ Hl'IШTOjlblX '· l\Э f' I " 1Щ
тре п 1,1р;111<е1 11tе IЗ - Р + Г пр11н1:~маl'Т :111аче·
11 ие О. ~1 11::i 1<ре11де11е - :н1::tчtm1~
-2 Но t((Ж:I·
ч ать эп1 равенств:~ ,'J/Hl всех rсзrт 1 1~111:11111111 s 1 ш­
нерх11остях ~)ИJ1ер пе су:v1ел п опят~. щ·та1111J1
рсшснпс проблс~1ы п о·юмкам . Удзча 11p11uuтa n
l 89U-c lT к А11р11 I lу:шкщх:..
В l 766 1. Лсоп:1рд Эiш<..:р покинул ficp.rш11 [J
ксрнулсSJ н Рuссшо. Новая россш1с1с1я 11мперэ·
тр1111,<1 Пк:1·1 t:р111-1а lT . не мка n u 11ро11схождс1111ю.
1tpeJ \J l <JЖllJШ У' 1 ~1 IO:VJ) 1ораЗ[\О JIY ' 11111 н.: ~ СЛОВJ IЯ
Жll Зllll, Ч (;,'v] TL', ЧТО пpL'/(OCTaHJIЯ!J CIIOJl!\I ;1 к:ще­
~1111('1М ску11011.11ы1I и к:111р1 1~н1ыl1 Фр 1 щрш: 11.
Надн италась старосп" JL()Э'I O ,\t) :)(1, 1 с-р co1·mt·
силен. Тесrюс оащс 1-11 1 с с J 1 ,1у ч1101~1 м оJЮ/\ёжью
е1·0 ~-же 11е увле1\;m о. Он хоте.'! усп"т1 , 11з1юж111ъ
rra бумаге бесч11сле1 1 t 1ы е открьп 11н 11 .10ГJ.\КН


кото р1.1е осеш rлн с 1 ·0 в <-Золо'l}'ТО•> 6ерлшrску10
нору. Тружкnосuбность 11 1щох1 юnст 111 е э'Гоrо
че.rювека поrа:m' 1 ·сльны: вес п:!уч1tыс жyr11::111h 1
Евро11ы 1юст<нн1 11 0 1н:ча· 1 · алJ 1 н оRые сп1·1ъ11
~)йлсра, 11тем н t: менее.: м1 ro1·1rc t.:I' () труды так 11
1 1е ~1{11дсm 1 свет прн жнз111J :штора.
Rc кopt· rroCJ tc 11t:pct':Щa в Пе-1 ·с:рбур1' учё 1 ют
1ю1х1:~11; 1а слt:потэ . liеукрот1 1 мый старс 1 ~ про­
;1олж:~11 раб(У\':пь - J\11IO'OH3'\'n C'TaThll \'\ КННПI.
Н так до caмolr смерти, rюторая пост1 т1а el'O
т 77- м году жи:щп и 11а 16-м го:1у слепоты.
За rою.1 пребьша ш ш Эйлера в россиi 1ской
CI ОJШЦС вокруг HtTO выросла Ш::Т<.:рбур 1'СКШJ
ма·1·с.•-~:-~т11чсская 1шшш1 , более ч с:.:м на п олот 1 ну
сщто}jвшая ~в русею 1х учёных. Тогла ЖС' :~авс.::r­
uшлась 11)•6J11 1к;щ11я 1'J1ан1 юй с1·0 тrшлоr1 1 1 1 об
1 l овое врt>мя
OCIJOB~IX диффсрС!П~lt<lJIЫЮ ГО н н11те 1 ·1х1лыю1 ·0
нсчисж:пия (no 11ей почт~ 1столетне уч11m 1сь ncc
свро1н::йскис матем.:1тню1) . О11а выгодно от1ш­
чалась 11 от -. IJa<-1;ш,> Е11кл 1 ща.11 от <·М:.пе,\1:.1т11чс­
ск1 1х нач~ш шJ·1урат,ной фrmucuф 1 111 ~ 1 ! 1 .к>тона.
Воз 11с; (я tw1poй 1юс зда н не ма·1·с.:ма· 1 ·11чес1<О1'0 аны-
1 1 11 з :1 от самого фущщмснта , nluн:p нс y6r~u1 т<.:
леса н .11есп111цы , по кспорым <)Н сам 11:16нр~u1ся
1< с 1юнм О'l' l<j">ытиям. М 1 юп 1 е крас11ные н1>1·:щкн
н 1 1~1чалы1ые r 1ле11 дока:1атсm,0·11 coxpa1Je11 1.1 11
тексте. несмотря 1 ra СО/l;Сржащ 11еся n т 1х ош116 -
ю:1, - u поучение все.ч 1 1 аследш1кам Эйлеровой
мыслн. lkрвый учебник, алрссова1шыf1 нс rю­
слс;~оnа·1·слям, а псслсдuliатсдям - тако1ю :.1аrк ­
щаш1с Лсuнарда ~)йт: ра и нссй :-:111охт1 Прuсвс ­
щсн1111 1 ·рядущим Нt'Ка .ч 11 11 арuд:.1м.
XIX ВЕК: ОСВОЕНИЕ АБСТРАКТНОГО
ОТКРЫТИЯ ГАУССА, АБЕJ\Я И ГAJ\УА
Есл11 н ·1 ·еч.е1 шс 1\1НОп1х столетий алгебра за­
ннм;.~.11 ~н.ъ рсшеннс~1 уравнсш1 !'i , то в XL'\. в. ct
l \l'JIЫO е1·алu 1 1зуче 1 1щ: <1JJL'<:6p:111ч<.:c1<11x струк­
тур. Этпт 1-ювый ур< >нt:нь аборак 1 ( 1 1и сш1 зан н
нсрвую очередь с работам~ 1 1:1ет нщ1·0 нсмс:1 t-
1ш1·0 ,\1 а·1·с: •-:~:.~тrп<з К1 рла Фрнл. rн :-<а Г<t усе а
( 1777 - 1~')')).Его заJ1.1ечательныf1 тру;( "Лрнф­
щ:·шчссю"!с исс;1едон<tпия~. ()11у6лП\\()11<.1ш1ый n
1iIO1 l '. , ознаменовзл рожле 1 1 1 1е соnрсме111 юй
•\l<l'fC,\.laTI 1КН.
Га\·сс L1сслсдо 11ал зада~r, 11а;\ котороiТ труд11 -
.11 ш.ъ
1.: щС ма·1·t ,чат11к11 Дре1шсl1 Грсц1ш: ка1<0с
Кар., Фр..,дри\ Гаусс.
ЧllCJIO стор он ,~ОЛЖС:Il ИМСТJ, 11рав1 IЛ Ы rыi1 Иl IО ­
ГО)ТОЛЬНJП;, чтобы el'O м ожпо бь1J10 п остр оить
с помощью цнркулн и 1ш 1 1сйюL? Древние грск11
умели строttтъ М!ЮГОУL'ОJLЫШКН с чи.сно м сто­
рон 1.
-1
.
5. 6, 8. 1О. 1). Uнн :шат 1также. спо.
l l MCH 11ран1шы1ы1'1 MH< ) l'O)'ГOЛЫ 111K, Jlt.:l'K() уююн·1·1,
ч11с1ю е1 о стnрон. А но:3 .ч ожно ш 1 пострш:111к·
r(ирку:1ем 11 JIHllCl-fKOJI Mll(JJ 'O)TOЛЬI 11 11\ОН с 7. 9 ,
1 l , 13 rтopnнa'Vlir' БОJ1ее ;tв:'х тыс}JсL л ет \1атс­
i\1:1 ·п1ю1 пс 111()\'Л\1 (Y\'\\CTHTl1 Щ) ЭТlУГ Т\011\)ОС.
:Ю марта j7C)() 1'. , за МС СЯI UlO CllOCГO 19-J1 ет11Я,
Г;~усс сл:сJ1ал о чеш. n;iж11)10 :~аш1с1 . 11 /(11ешшкс.
Е.\1)" 'm:1Jюсь дсжаза·1ъ . что с по~ющыо цнрку11 я
11 лш1с~'1 ю1 строJiтся 11ранш1ы 1 ыiт 1 7 -у1·олы1ш;:.
в '1'0 врС\1 Я юноша ГIOC'J')'llaJI R l 'ё'l"l 'llНl"CIJ CIOllf
ун11нс1х1 1Т<."l' 11 tщ~ 11t рс11111;1, чс~1у 1юсннппъ
ж11знr, - "1:1·1·смат11кс 11л11 ф11лшю11111 Uткры ­
т11с:, сня :!аннос с rrр:т11л1>11ым 1 7-у1 ·011 ы1111<ом ,
Oll[)CДC!IJ IJI() t: l'O RЫ6Ор 11 п щ н.:3у м:1тe'l1 : Пll l\l I.
В "Лр11фме' 1· 11чt'сю1х 11СС.!1 елоR:11п1ях " Г: 1усс
сформу.rтирон;-1 1 1 теорсJ1.1у: ес1111 /1 - 11р остос
ч11с.11п 1111 - 1 = р,р2 ."р,. сст1, ра:~11ожс11J1е ч11сJ1а
11 - 1 11а простые м1юж11тсm1 , то рсшсr 1 1 1с ypJn
нения х " - 1 = () своюттсл к рсшсттю /..~ урав­
нс1птr1 сп::ш~ш:й fJ 1, р:.· ".. Р1.:· В частностн , ссл11
1l - 1 = l"', уран~ ICIII!l' .'>.'
11
-
1 = uCBO/~ll'l'Cll к це­
почке кваJ1.rатных. ура1111сни~"t.
/1,лн на1·ш1; 11юст1 1 11ринс1tём такоl1 11р11мср:
5
.
,j
\
'
х - 1=(.У- l)(X +х +х-+х+1)=0.
10~


Ип·ория м<~т~матики
IJIS•zl' IH1·10NH$
ARTTHMETICAE
Ll,StAE
ОТh'уда
Х-\=()llЛH
·1>11у~ы1ы~1 \>11 1
nepвnro 111л.1ния
~11111 И К Ф l,tyll,I
~ Ap11cf>м~л 1чert1.11E--
11tt л~·л/нs.111ия)
Ле11щ111г l IIO 1 г.
х1+х'+х!+х+ 1=О.
Последнее ур:~ннснис ра:3J\с..:J1нм на х!·
'
11о
x~+x+I+-+-~
х .,.~
Прои:теля- замену
11 3:tMCTИl'I, ЧТО
1
z=.:'(+-
\:'
'
'
1
z-= x- +-,+1.
~·-
""
nолучпм N!Я z ураu11е11ие
z!+z- 1=О.
;\ /\ЛЯ .\' ИЗ (*) уравнснпс
х~- z:\·+1=U.
(*)
Реше1111е уршше1шя х5
-
1 = () сксдснu к решс­
ш 1ю дnух квадрат1 1 ьLх ура1шсш 1 1-1 и o,1нu1·u m1-
11сt"пюго.
Ypallнcю1t:х1-- 1=О('!'. с. 11- 1 = 2'
1
) oю­
J\t 1тся к чстырl:м кн~щратным ур::т1 1 е11ням. и, слс­
донателыю, 1 1 rан1 1 1 1 ы1ыf1 1 7 -у(олы111к можно
посчю 1 IТL с 1ю.vющью 1\1 1 ркулп 11 mrнсйю1. Гаусс
дuкаэал. что в том случае, кut /\a ра зложснщ:
ч11с: 1;L ll - 1 содержнт множ11тсл 1 1 , отличные
от 2, ураnнс1-111сх" - 1 =О 1-н::m,Jя скесп 1 к1\епuч-
102
К<: квадратных урав11с.:ннi1. Л з11ачнт. 1 тевозмож­
r ю /l<.:J 1 <:1шe окружнuсти 11а 7. 1 1, l .l, 19 частеiJ.
~лр 1 1фмет11чссю н..: 1кслсдоn:.1 т1я" стат~ на­
сгш1 ы ю!1 KHI ll'UiJ M:1T<:M:JTI lKUll XlX 13. lkнь :щссь
cn;~epжaЛIICb l l t: ТОЛl>КО }/рюн; pt::.iyJ IL>T3T bl , но 11
rю111,1!1 матс,1ат11чесю 1!1 ш 111ар:1 г нля нсслеяо­
nат 1 ия ат·еnра 1 1чсс~<11х урат-1с1шr1
llапомl!нм , ч ·1 ·0 сщё матема·1·11юt Дрепнего
Междуречья р1ел11 решат~ , Юi:.tЩJ;tт11ые ур::11111е-
11ия, а в XVl н. n ИТ'JЛIJИ были 11::11\~е1 1 ы фор;ч~лы
дт1 корней урш.з11е::1111й трс1ъеi1 н четвёрто1· 1 l-гt-
1 1 снt:1I. Пuщ:ю1 фор.,1ул /\ЛЯ ура1шеш 1 lr пятой
< "l 'l'П<:н1 1 11 ньнщ; уснеха 11с нме;ш В l 77() г.
фр:.1111tу:.кю111 .ча1·см;1т111< >Кспс.:ф Лу 11 Jlа1р;шж
( 1756-JRJ.)) к р:16оте •P:t:Jмыш;1еш1>1 об ;1л1·е6-
ра 11 чl'с ком p<:LIJt: 1 1н1r у1х1 к11е1-1 1 1l1-> кр11т11 1 1t:.'ск11
псресмсп 'рел 1к<.: су11tеств) 1011t11t: мс.:тод1.1 [1<.:111t:-
1шя )1Xtm1e 1111!1 11ерnых че·1·ырfх c1·L:пe-11e1't, что­
бы ПOILЯTu, поче.v1у l lll o;t11 11 11.3 lll!X 11(; Г()/lllTOJ
мя ур:.11ше1шй плтоi1 стеn~.;нн. Ла 1 р~шж н11ер­
выс рассматривал rруп11у подста110110 1-: корпсй
ура.1шсrпн1 (см. статью ,, 1·ру1 1 nы » ), указа ~\, lJTO
т~uрин IIOДCT;JJIO I IOK ЯНilЯСТСЯ <- l!C'l'l l НLIOiI ~ICT::t ­
фн:ШJ<OCI рсшсшrя ураннс1-111й».
В J А24-1826 1·1 · молодой 11орnсжск111! учс-
11ыl1 Нш1ы: Хснр1 1 к Абст, ( 180l-ltiL9) .:~.uка­
:1ал, чтu 06щt:t'1 формуJ1ы J1,J1я р<:шсн11я ура11не-
11иl1 степсн11 11 :;;,. :; 11t сущсс·1·кует Лр11 это.\1
11екотпрые ур::ннrснпя \Ю1·р· бытh ре11н::111,1 11
радикалах.. а друп1е нет, n 182С) \',. 11<:::'\адолгп до
свое i1 бе:шречс111ю1'1 смсртТI. Лnелr1 опуf>л111ю­
nал •Мемуа.р об ою-юм особом классе алrс6ра­
нчески разреuшмых ~'ра13не 1 шf1» . Н ьше 11х ва­
·.~ываю1 :lf)слсны1,ш ур;ш11сшшм11.
l louыe круш1ые отт<рыт1 ш u :.tJU"c6pc С/tелал
моло:~;от·1 фр;шцузсю1й уч<.: 1 rы1'1 Эuарш"г Г;шуз


Нилы. Хенр11к Лоель .
Memoir в
l c t 6qr1ationJ at s~briques
. , , ,. 6./ofi•\11!1'0 1 "roшi""'81• i•" 1tнt1.t." 4• rеч..-111.-.. ьblta'lir
ф,, 01111(11!f11t•~<tl
Ga r1•11tt\1&
O• lir-1,,,., .1•" tlt••_ . l"H
lftt,.
« Ме"1уар об uл1 ю"'
oco6o\t tUн-lrCP
алг~орм 1ч<"ски
f) rl iiJt'Шll\llol X
YJJ~ 8H E'Hl111
Н Х: Аб"""
И1л,1ние 1R24 г
(1811- 1 ~ ."il) Развивая lЩCII лагра rrжа, Гаусса
нАбt'!IЯ. 0 11 1юстаниJ1 и блесп1ще решил :заf(ачу
о 'l'OM, KdK по ннл;у yp:iю-t('H l l}I .\·
11
+a1Xl/-I+."+
+{/" 1-' + а"= о 0 11рС/\СЛИТЬ, pcш~lC'f'CJI ЛJI оно н
ра;1ю<ш 1::~х ('1. t . существует т1 форr-.1у;1~1 кор11tй
да1 llIOГ() )1)аf111е11ш1 ). Д11н знm> 011 JШtЛ ГЮПЯ-ПIН
лшш 11 rр~тmы по/~;ста1101ю1< 1юр 11е1:1 ура1111сrшя,
те мешнощнх прав11лыю сп1р::щ1ю11алы1ьrх со­
отrюше1шi 1 между корнями~. cтanrmtt." oci юш rы­
ми в теории l 'алуа. Dнар11с1 Галуа пог11б н;~ ;~;уэл 11
n .Ю ж:'l. Свои рс:1ут.таты оп очень I<P<.11 ко из­
ложиJ1 11 ;1нух м с чуарах 1~ .-юг. и в mtеьмс. н ;111и­
rа1111ом н 1юч1, nc rк·1\ 1юс; 11шкuм.
Потрсбонашкь дсопнJ 1 е1 · 11и , • 1 · 1·uбы тсорш1
Гал~'а ст:u1а 1юняп1 а м:пt::матш<ам. О нt.:й рас­
rказ;v1 в 187() 1· фран11узск~ нl уч~11ы~'1 Кам11m>
Н овое время
Жuрдан в «Трактате о 11 0/\С'rанов ка х 11 алгеб рз -
11чсс1шх ур:1внснш1х->. 1Jo м~рс то1·0 как н ;m1·сб­
ре происхо,п;r 11ги нзмснсн11J-1 . с11з 1iа Г:туз росла.
В 18SЧ 1 а111 m1i1cю п'i мзте м атик Лрту[> Кэли
( 1821 - 189'5) ; 1ш1 общtt' опредслсшн.: 1·руппы
как конечного м 1 10жес·1 ва объе ктов пр оиз -
1юлыюй природы с :-iaj\a1 11 1ым за ко 11ом 1<ом­
nо:J1щ1нт, который удовл етво ря ет услониям
ассоц~rат1rnностн, С) ществоваr шя е;пrю1цы 11
од11о:шач11 ой ра з ре11111мости уравш.'11нй а.\= /J,
J'CI. = /? ДдЯ ЛЮбЬL'{ С/ И lJ. [-{ 18<)8 1' l!С.МеЦI<НЙ
учёнш'1 Генр11х Вебер (1842 - 1 У 1 5) ссl.ЮРМ)'ЛИ­
rюкзл :JКСИШ,\:JТl-1 Чt'CKU{; 01 1() l'ДеЛСН1 lC 1'/)УП IJ Ы ,
Создатсл "1 теор~ 111 гру пп исходиш1 из про­
блемы раэреш1 ~мости в ради кал.ах ат·сnранчс­
с1ю1 -с> урав11<::ННЯ 11 1•1 :ЗУЧ~IЛ11 J'Л;HlllЫM оnр<~:юм
rpy11111.1 1юд<.та11()пок еп) кор11сй. Те 11 е р1) же
группы 11грают ~цжr1е1~1шую роль тю ч1ю 1 ·н х
областн.х Шl)lШ: fl тепр 11н /Щ ффереrщнальных
уравнений (rpynпi...i Jlи). н фи:щкс (группа Л о­
ре~-ща), в геометрии (rр-у 1шы прсобразонаt111fi).
«ВООБРАЖАЕМ ЫЕ » ГЕОМЕТРИИ
И·1ак. в x rx Г!. ~1лп.:бр<1 нес 60JIЫ lle ;1 бс грап1ро­
наJ 1 :1СI> от 1 1р11 г:нщ1,1 н:.!учз см ых оnъе1пов. CтoJrh
же p eu<>JllOl\l lOJ ll l l1IC ll:iMCHC!ll IH llj)Ol ICXOДJtJll 111
n гсомстрт1. 0 1111 с11я:з:-~1-11,1 с JТ\1er1:iм11 К Ф. Га­
уссз, Н. И. Ло6ачеrsсJ<сн о, Я БолLяя 11 Б. Р11ма 1 1:1
(см. статыо « Гео.метрIIя Лобачсвс~со1 о").
Jlocлc того ка1< n 111 в. до 1r. .:> Евю1нл т1зло ­
жи 11 CIJC'I сму ;!!\СНОМ rеомстр11 11 , Hl11 1.\1:tl1Ht:
учi..' ны х 1~ '1 '(.' ЧСI ШС MHOГllX CTOJ I C'J.'llЙ было 11~1
111хшлс1-rо на : 1кс110м у о 11араJUlслы-н,1х , кuторую
назhrваю·1таюке1шт1>Jл.t 1rос1ула·tом. 01.1 ,11:J 11 :J et.'


И<..тор11я мdТt'мд ·1 ики
фор_муm1ронок зnучнт так через точку Al, лежа­
щую J:\1-H: прнмол АВ, н 11лоскос'1·и АВМ можно
пронсс1·н толыш одну нрямую, параллелы 1 уюА.Н
Ма·1·с.\1а· 1·11 ю·1 е~ремндись либо за_11>1снить акс1ю­
_\1у () пaraлЛt'Jll,HЫX ООЛС:С 11рОСТОЙ , И11'1 ')'ИТНА I Ю
яс1 юй , ли()о /(01<a:Jaтr> её как теорему, 011и р:шсп
H;J ЛРУ l 'Иt аКСИО :\1 1 >( <- НЗЧЭJI·>, nри этом 1шлот1, до
Х1Х к 11икrо пе С()М11енался 1 ш r. \К' 1·и~шост11
П>fТОГО постулат~~ . ни в том , <ПО СlЗЮlИДОRа
геометрия C}\ИllCTUeIIIIO UO:ЗMOЖii<lH. JIИ п том,
<по orra ошкьшает реалы 1 ыi1 фи:шчсский мпр.
Гаусс обратился к теорш1 rrа раллеJ 1ьн ых в
1792 1'. С11а•1щ 1 а он напе suн:я 1\(Жазать 1 ш 1нй
тюстулат. но зэтсм нrи111ёJ1кмыСJ11 1 о1юсr· рос­
н 1 111 11овuй 1 ·соме;:тр1111. которую на:тал Нt'ев­
кл1щово.й. Н 18 ! 7 1· в щ1ном и:r гrнсем учfныl1
11р11:.шался : «Я 11 рнхожу всё 60J1et к убсж;\е1н110,
что пеобходимосJЪ пашсr:-1 1 ·еомстр 11и нс мо ­
жет быть доказана». Во обнародоватъ эти идеи
он не репптся и:! боязни быт ь петтонятым.
l·aycc не опублнхонал ш-1 один из сuои:х резуль­
татов. хо·1·н 11:{ его n11ct.\t и личных бума~· нпДiю,
что он ра:чх1бо·1·ал оснонныt: положения нt:ен ­
юш;.1овой 1·ео метr 1 1 и.
Т1юр 1 ~ам1·1 новой п.:ометрнн ст:ши также 11ро­
фсссор Ю1з:1нск01 ·0yr 11-rнсрс~п·t:та Н нкощ1:й Ивэ­
но1mч Лобзчt:пскш'r ( 1792- 18">(>) п Нt:t·11 ·ерский
мате1щ1 тик Я-110 11 1 Болынl (Бой~ш) ( 1802- 186()).
R отш1-с.11 1 е от Гаусса они стремились рзсnро­
стра11нт1, свои идеи, 110 болы 11 ннство матема -
111ков тогда сщё не были Ротоны irx воспритшть.
Рсзудьтаты Я нош~1 Болыrя бьши сжато изло ­
жены в 18.52 г. Е пршюжснии к ю.шгс с1·0 отца,
Ф;1ркаш;1 Болыш. Тру;\ Н. Бол.ьш1 " Гlршюж.снис,
содсрж:~щеt: науку о 11ространстrк: , абсо;uотно
l l("ITll-11l)'IO, НС З:llШCЯll\)'IO O'L' IКТИННРСТГI llJlll
:южности X l акс 1 юм1>1 FRКJ1нда ( ч тп а p1·iu1·i
н1 L1'n1лa рс:ше1 1 0 OhlТ I > 11t: может)» обыч1 ю KPJ'l-
кo 11:ззы11ают «Аnпе 1 щш<с,, (.1шт. <·прш1ожстr11е»).
Прочпт;~н это соч1 1 1 1е1шс, Г;~усс натп r сал cnoe-
" f)' учешrку. мат<::мат~rку Герли:шу: "Я считаю
MOJIOДOI о r<::OMe'I ра фон UOflbllЯ ГСI 111ем псрно1'1
nеш 1чины». О1111а 1ю н шк1.ме к Ф. БоJ1ьшо оп
ото:шался о соч1шс111ш Яноша l'оразлu сдt:р ­
жанн<:t>: <ТСГlt'рь кос- 1 1 то о работе Tl:IOCJ'() <.'ЬLIOJ..
Есю1 Jr начну с того, 11то ;j'r ·y ра6оту нс д01 1жсн
XH:tЛllTh, ТО ТЫ. КСН-IСЧНО, Jl:t Ml'HOl:Sl:ll l fC 11О[><l­
ЗJIШЬСЯ, ни /Jl l aчe н не М(IГ)'; XH::tJlll'IЪ сё 3 11 ач111ю
бы хнал~пь с:11vю1·0 с.:сбн· uсё t:ОJ\ержа11нс сочи -
11еtл1я. н уть, по l(CYIO[)OMY 'ПЮЙ Cbll l 1 юmёл, 11
ре:-1ульта1ъ1. которые 01 1получил, п очтн сплоm1,
со впадают с моими собст13е 1 п л .1м11 достнжени-
1()4
ЯM l l, которые ЧЖ"ПIЧНО нмсют ДШ31ЮСТЬ 30-
~') Л<:'! "'· l le IJ;JЙ)\Я IIOДf\Cj)ЖКll у СОRрс:мс 1 !H l lKOB,
Я. Больяй 11ерсстал эа 111t,\~аться м: 1 ·1·ем:УJ 1rкul1 .
Оп ) J\1cp н СОС'l'ОШ 11111 1 ·лубок<11'1 / (спрс.:ссн11 ;;1
несколько лет д< >TO l'O, как нсевr<.rrндона 1·еомст­
р1 1 я nо.1 1 у'Ч1 1ла 1кео!1щсе t1рнзнз 1 11rе.
Лобаче11ский н~ 1ерные 011убт1кп11а11 рс:1ут,­
таты своих 1·еомстрнческих 1кслсдоиаш1й 11
1829 г. в работе «О 11ачалах геометрии» . Зате~1
0 11 ра:ш 1 ш;v1 ::>111 ИftCH во M I IOJ'ШC трудах, IIЗДll ­
вan u11 rхся нс только rш русском . но 11 н~1 фран­
цу:кком 11 11t'мсцком я::~ыках. Учены~-1 смс1ю
11ис1л о тuм, что тrарн/\У с 1·сомстр 1 1с(r Е1:1юп1;(;.1
cyr1(cL~r· кyt'т нру1 ·ая 1 ·t'uмстр1 1 я. кm·оrую он 11э­
з.1:1ал вuображаt'мой . Jl11шь 01 1 ыт, счнтал 0 11. ~ю­
жст rеш HTl1. Ка К;lЯ 113 1·еомеrри 11 J HvJC:tT MeC"IO В
ре:.tльном 1 ~ростра1 1 c1·uc.
Птъ1й пооу.1 1 ат Евклида Лобачево:11й аа­
мt>шщ следу10щ11м: сели дана прнмая AIJ н
LLe лежащая ШI IICЙ ТОЧI<а Ji, '!'О LJCpcз точку .ни
плоскости AH,\J можн о провести две nряь·LЫС.
пара1 111слы1ьн.:АВ. Ilринсдf.м 1 1ссколько тсuрсм
1 ·сометр1н 1 J10\1ачснсю..J1·{):
Сумма у1·1юн трсу1 ·олы-1 1 1ка меJ 1 ы11с J8()0 Она
11ЗМl'1 1 я<::тся пр11 псрсхо;~е от од1юго тр~уголь-
11ика 1с другому
Не существует 1111 o,r\rюi"i нaphl 1юдо61щх
треуr·олы п1 ков.
Нс через каждые три то<1ю1. 11с лежащпе 11а
прям.ой, можно провести окрулшостъ.
Не Сущсст~ует IIИ одного ттрш,юуголышка.
DOOBPд,/ltAI:M A.Я
:1!}
Г Е О МЕТРlЯ.
\'/
Т11Тум.нt.1 и
\~IL-Г Ktllll JI
1-1 И. Л<!б,JЧt-'R • 1,111< 1
, Воо бр.:~ж.1t· ,4,151
1etJMl'l р11я ' K<13d1t1,
1835 г.


:7 ·1
·11 у·1·ш·рж;1сню1 к:.~ :~ат1сп сощJсмс::н 1 111кам
ст11~ш1тыми , Не",Jн.:п 1.1ми Круr1не 1~ш1ие "1й.Тt:М<Уп1-
ки Росс1111 - М. R. Оt-1ро1радсю1й и В. Я f)ут1-
к<>nскнй выс1·}"Пи;1п нрот~.ш 1ю 1юй rе()ме·1 р 1111 .
Кр11п1 •1еоюе (1Т1 юнн::1111е r<o1mcr несщ),,1ило Ло­
баrrенского. J kнзирая на отрицатею,11ыс per(e11 -
з111i , 11жмешк11 , о н продо11жал и<.:сж:,!\оваш1я .
LJoc;1c С\1ерп1 Гаусса были 11зданы n11сьма, в
которых 011 н:;лагзл с 1юн нз1·яяr~ы н а нсевюн r-
дову гео метрию 11 тюсторжсн1ш п1зын;11 1 ся о
со ч1111сюшхЛ06ачснско1 ·0. Н:.~лрнмср, н I R·16 1'.
Г'~l)'С:.:С' 111 ICШI OДf I01\.l)' И:1 ЩJузс 1'1: «Ло()аче 11L1\J 11'1
тш1кус·1 · о 11редм сте r<ак :н1атrж , в 1rст1 1 1 11 ю
1·ео:v~етричсошм ;1уле. Я с ч11'1:но ссб>1 of> >1 :1a11-
111.r :v1 06рапп1, Uавн.: в 1 rима1111е ш1 юш 1у "Гео ­
метр11чесю 1 е нсследоnаrшл rю теор1п 1 парал ­
лелы1ых 1ш1111i1 ", чтс11 1 к· которой нспремсшю
при11еl'fт ~ам бол1>111ос )'ДOIIOЛl>C.'TBHt"» .
!jш1ч '.нн; 11е<::1Sкп~щока !'<.:'Оме1·р 1щ ю1 зан:1сь
<.:IOIJ IIO!I. к ко·1·оrо11 ОПl'LС:!Н фа Н'J'~I СТИЧ<.:С.КI 1й м 11 р.
Где 11р11мсюн:тси эта 1 ·<.:u мстрин?Нt: содt.:ржнт ли
0 11:~ nро·1· 11 rюрtчи11? Творцы нoun il t·сомt:три11
счm ·<1т1, что ма·1ема1't1чесю1 е :1 бс1·ракцт111олж-
1 tьr выражать реалып,те свойства окружающего
'111ра. 11 на ()стющ11ша опытов 11ал.еялись отв<:>
11-пъ на ноnрос. к:шона rеометрш1 фн:шческоп)
простр;111С'111а. Лобачевский, н.нтример, запялся
неnосрс11ствс 1111ым измерением «космУ1 чссю1х
трсугольн 1 ткоn», раL'сч11тьшан с: IГО.\Ющr,ю дан ­
f{ЬJХ ;1стршюм11н 1 юказа ·1 ъ, что cy~'<ta 11х уиюн
не р:шн~1 18()0
,
0;\н~ко вп;: сп·юю11с1·111 я 1У1 1R0°
окд;1J11 1 сь R J1рсдслах точнпст11 11<1блюде н11й .
Toma учё1:-1h1й выска :1;u r пре11полож<.:1111е, чтn tто
1сометр11я ()JJ11c1,inae1 · м 11 кром1 1р.
Впоследст1шп мате,,,.1а·1·r 1 rп1 рс1111rm1 11р<1бле­
му 1штерттре:тацш1 t1еевюп1д01кн't rеометр1-1 11 , а
ф11зr r ю1 ш: попыовали сё рсзулы·аты в своих
псслсдоnа11инх. И что примсчатслыю, н осно­
ве ~ювых ндс~: 1 лежал;~ теория повсрхrюстсf 1,
сuзда11 11ая Гауссом.
l'aycC .\ltfl(JГU JICT :;al-IIJMaЛCH l 'l'OДC:J ! l <:'(J: пro­
JIO/(llЛ 1'соr~с.ш ч ескую съёмку Ганновt.:rско1·0
корош:rктн:.1, 11:~м<2рял )~у!')' мL:р1щи:111:1. ()1-1 прга -
1111зовh шал rюлспыс 11змерс11ня. сам и 11ох ~rча­
ствоu:lл, выrют1ял трудоёмюrе иыч11слtю1я.
В рс:-~улптатс 0 11 ()'r·крыл 1ювыl1 ра~щсл мэ·1 ·сJ\1:1 -
ш 1ш - шrу~рс11111ою гсо.-.-rстршо понерл1 юстей.
l\ 1828 1'. Гаусс оtrубюпювал «Об щие нссле7'О­
вання о кривых nоверхлостях~ . где 1.1 11срвые
бьuю введено п о11ятис 1·ауссовой криnн:шы .
Исслсдо ванил ravcca нротщлжилФсрдш rанд
Гu1·;1н601щч М11ню~111, ( 1H06-1RH5). ро<тн~1-
Houoc uрсмн
,Аь_
EDJ(!!
J\111 хаил Н;н 11лы11-нtч
()п рогралс ~•111 .
cюrfr м;1тсматн1< , нс:мец по пронсхождешно.
работ;~вшю1 вДсрnт<.' (пы1 1 е Та рту). Оп 11эучил
IIOIIHTИ<.: К\)ИВИ:3НЫ П()BCpxrIOl."IЪ , крини::.ш',l К()­
торо 1'1 р:шн;~ н~·лю, сс· 1 ъ простая 111111 11Jо 1 ·нутан
НJIC)CKUC'l'I>. Jloнt.:pXHOC'IЪ. KJ1 J I HJ 1 :н1;.1 KU'l' l )j.)OЙ
ПL>CJ 'O}l l IJ l a J 1 ПOJIOЖ1ITC:J!l1H:! , МС)ЖС'I' nЫ'ГЬ H;JJl(J-
Жt:H:.1 11<1 111:.ip. М1 1 н;(111 11" рассмотрсJ1 по11tрл ­
ЕЮС'LЪ 11oc1·mr~11 юй отр11ttа'L'е; 1 ы1ой крr-11шз1н.1 -
так щ1зыnаемую псс: н,~осферу - 11 11 а1 11 ел трп -
1·01ю:мс·1·р11чеl.'ю1<.: соотщ)111сн11я н т р еу гол:u­
r 1 ию1х на этой поверхностн.
Юtк сжазалось, Лобачсвскrrй в юшге f Нооб­
р:,~жас .м ;:~.я геометрия " вынел ,~ля чху1·ол ы шков
те же с:tмыс трагиномстрr :1 ческис формулы , что
11 Ми1-1днв1 · д;1s1 треу 1·0J 1ы~нксщ на 11сt1»дщ:фсре.
tlo <:JJ aчa11:i \'Чtныс не Jа.щ~н1л11 Э'1 ш·о сон11аде­
ння . Чсрс:~ ~·;1-юr·о Jll"I . н 1!'36R 1·, н:1 11<.:1·0 1 >6рат11л
11н нман 11с 11·1·а,1ыrнск11 !'1 мзтсматнк Э\·дж<.:111 ю
Rem»r'J):iмн ( 1R~-1- 1900) 11 /(O /\a :1aJJ . чтn l'COM e"l -
pr1н orpa11 11 ч<.:111 ю lr ч:~п· н 11лоскос"1· 11 Лоб;~ч<.:1{·
оюго спраиедт 1щ1 ;~ля rю::n;1осфер1 ,, Р:1:тык11с ·
~шя , да11 11ыс Белътра;ч 1 1, помоr'JIП поr1~п 1. п
лрн :нr:пъ 11есuктпщоR\' J ·ео метршо.
fkp11xapд Рт'rматr ( 1826- 1Н66), матс\1а1т1к 1 1 з
Гt'рм;шлт1 , перстёл от IJ зучс:r шл 1юверх1юстеi1
l\ JI C:.:CЛCД(JВ:Шl l IO rrpocтp a!ICTB. В J IIOJH: Н)-1 1 1'. ~
['ёт 1·1н 1 н~1кком у 111н~чхнтt"1·1;: 13 r1 р 1 к~"1·с1·1ш11
Гаусса он лроч11·гал л<.:кц 11ю ,. о 1·111ю·1 <.::JаХ, 1 1 с­
жащ JJ х в ос111 >ва1 1 1111 1т uмtтр 1111". Глу6окис 11
смел ые \llЫCJ llJ P 1 1мat-1:t. 1 1зложенн ы е очt.:1-1ь сж:~­
тп, соврt'ме11J1ию1HnL·np 1 п 1н 1111 11 е сра:зу. Лскц11н
была опубл11ков:.ша 11ш111, в l~bl~ г" 1юсж~ с1 0
смер·1' 11 . 1lонят11е кр1ш 1 1:111 1 .1 пр оп· ра 11 ст11а
у Рнма11а - это обобщсшн: л.1уссо 1юlr кри­
в 11 3ньr д.11я п о uсрх.rюсти. Обращепне кr 1 in11зr1ы
в .н ут, во нсех точ:ках характсрн:3ует е 13кл11до11u
1()5


л!Jъ.
& l(!J
Исrория математ ики
простр:.~н<:тво. Гt:OJ\tC'tp11я двущ.·р 11 01·r> 11110стра 11 -
сг к ,1 <.: rюt•1·о н111 юй п олож .1-пе11 ы ю11 крнпн з 1 юi'i
сов1 [;1;щt"J' с 1 ·eaмt.:·rr11eil 11а сфере, а гео .v~етрrтя
111юс1 р:11тс тn:1 с 1юстояшюй отриr~ател ы юй
1<р11щп1юй - с 1·епмстrией. Лоба ,1 евс1ш rо.
Открытня Гаусса,Лобачеnскоrо. Рамана з 11а­
ме 1 юкш11 собой реuолю11ию в о6ш~стн чсловс­
ческоr1 мъкли - nрсобраэованн<.: ф11знчесю 1 х
воззрс1111й на 11ространство и нрс~tя Уже R н а­
чале хх: в. в · 1рула,'< А. Эйнштейна, А Пуанкаре,
1'. М111-1ковско 1 ·0 6ь1J1а со:щ:ша с r1сц~1ат,ная тео­
рш1 O'l'llOCI LTCJI 1.11ости, а та кжс уст:н IOBJJCHa сё
с кюь с 1 ·с< >:-..1стрl1сй Лобачснскою. R 191 6 1·. ~й 11 -
ппсй 11 1юс1·ронл ОU Щ)'Ю теорию OTI IOCI ITCЛ!J ­
HOCTl I, OCIIORЫЩlЯCI• 11(1 работах Гауссl! о югут ­
ре 111 1ei"i гео!'vlетрин nоF1срх11остей п нсполь:зун
'1 ;-~тем:~.т11ческшl :1 пттар:п 1 ·еоV[етрш1 P11Jv1ai1:1 .
« ЭР/\АНГЕНСКАЯ ПРОГРАММА »
К/\ЕЙНА
Ещi:: 11 f~ре1шс!1 Грс1~1111 была 11:3 11сст11а сфср11-
чсо-:~н11·coмC'lptiя, к юлороr1 пр111Ю)\m1и з;.ща ­
ЧIJ астро 1 юм1 1н . Состаuле11ие 1·еографичtс1<11л
кзрт трсбоn;uто 11а~'1т1 1 сnосо6ы о·~оnражсшп'1
,-.Jm 1и11 соп1'а [ l a JJJюскость. Художшпш. архнтек­
·юр 1.1. 1шже1 rеры ра:~рабатын<lЛи правш1а 11ер­
спскпrны. II 1822 г. Жа1 [ l31 жrop По11сс:ле ( 1788-
t 867). фрапцузскш'1 матс~1атпк 11 1шжс11 ер ,
опубшшовап •Тра ктат о t 1 μ0<.:к· 11 ш 1т ых сно1'1-
ств,1х фи1 ·ур;; Он 11сслсно1~ал сtю iкт ва , • 11сна­
ру111:1см ы с 11р1 -1 11роскт11rонанr ги ~ . Нс1ю. что
;\J llJНЫ IJ )'l 'Jrh1 н 11роскц нн ,\ Hl' COX (X!IНllOTCЯ , но
'l'ОЧКН , ЛСЖ~Ш\И (.' на OДHOII примой. Ta t-. :OH1>1'\1( 1 1-1
(1ста10тся . t 1 ересекающ11 ео1 1 1рямыс ос'1·аюто1
1U6
нсрссскаю щимис:я . Та.к во::!н11кла 11дс:я щх:ледо·
наТh с войс:тва ф111ур. 1111 на р11а11тньк: (Нl'llЗ\\СН­
ные) опюс11п:л 1t110 проскт11ров:11-1 11н.
После та1·0 ка1< fi ыло rюказ:шп. что rt.:омст·
р111'1 Е11кл 11да 11 Лоfiаче11оюгп ран ~ 10nр<11111ы, на·
:1рел:1 псобход1 l\IOC'l 'I• }\:1т1 , кл:1сс 11 ф1 11<ац1 1ю всех
сущсствующ11 х 1 ·ет.,1С1]1Ичесю 1 х 01Стем. Эту за·
да ч у реш 11л 11еме1 1 1сий матсма1r1к Фел11кс l<лей11
(18-J.9 - 192')) _
Сво 1 J иыс1ш l{лci-111 выск~1:1ал в 1872 г Вету·
нан н должпость 11рофессора Эрла н1 ·l' 11 с:кого
ун11ш:рс11тс..:та. о н 1 1рочнт:ш J [скц11ю •Cpaнш1-
't'l'J1hl юс обu::!рс..:1-1 11 (:' 11онейш11х J 'COM t"Г(1 11ЧCCIO-L\
1 н:слс1tован1 11~1Q. н з:нестн~·ю п о; ~ 11а~{н~11111ем ~?1р­
т1н1 ·с1 1 ск:н1 11р о1·рамма-> .
По Клс1111у, ;1л н 11ос1рпеп1 1я ·1иi1 11J111 1111oi'I
r·ео метр1111 1 1уж1ю1адзть м11ожесmо эле~1е 11тов
11 I 'py1111y прео6 разон:~. 1 1нi1. Задач:J I·еометр1ш
состоит в пзучеш ш тех от11 оше1111i1 чежду эле­
мепта.ч11, которые остаютс.н 1111 nариа11т11ы\111
np11 всех прсобразован1 шх J \анно~'1 групны. lla·
нр11м1:·р. rCO);It~тp11111i НЮ\Н/\а нзучае1"t l' l'JIOf1erna
фн1ур. которы<.' остаются н с:: 11 :1мс111 1 ы,ч1 1 11р11
ДKHЖCHllИ. llo CCTh 11 друтне НllДЫ ll'(),\lll'Tp11чe­
CKИ X rrpcofipa ~ю.1:1:11-11 111. ко1 1фоrмны<.:, нt:прерын·
Н111t:. т 111сr1ныс 11 т. д В 1<n11формно11 1 ·еомет·
rнн1 н сслс1tуются 11реоб ра:юпа 1111я , которые
11ерсВОf1.ЯТ кру1 ·11 н "РУПI и сохрт 1я ют~тт,1. То­
поло 1·ия ~1 зучаст вепрерыn11ыс преобразооа-
11ш1, аффшш:~.я 1·еомстр11я - m 111cf1m,1c nрсоб·
разоn анин. Клс1'i1 1 :i:tмcпur. чта свюшдовы
дш1жс1-U 1я, nрсо6р:t:юван 1 rн ПО/\О61щ аффuн-
11ые . 11роскпшньн:.:. кuнформ11ыс врсuбра:юва·
1-11 Ш 11 1 IC<::HIO ll1/\UllЫ /\ Ш IЖC HJ IЯ оnр~1:1уют 1руr111ы,
eCЛL I C ЧlfT;ITh 11\)0ll ЗKl:[\Clllll'M нвух 11рсuбра:Ю·
в;~ ннi1 результат п ос11е,.ща::~т~.:лыю1·СJ 111.ню1111е·
11ня да1-Jных пр~::обrазонат1й.
Про 1рамl\1а Клей11а осущсс1111 1J1а 1ю1Jыi1с1111·
1·е;1 l!Л гсбры. 111·еометрпп. та1< ч·1·0 в ХХ в. 11за11·
!IIOЩIOI 111 IOIOllelП l l: этих ДlJСl\1111ЛИ11 стало ещё
более ГЛУбОI<ИМ.
Ра3работанпая Кле.\1 нам 1'лас:с 11фнкацил
1 ·со.метрщl пс BКJIIOY.:IJI;.! в l't:бя ф\'Н)J.:t~IСН'1'<1ЛЪ·
ные и11еи Римана. Кле йн 11:.1~ LitlJl 1·pyt1 11f,1 1 1 рсо~
ра~юн:н шй . Рнма н же в1 це.1 1 цс; 1 h 1·со,1етrю11 в
н :{уЧtННН 11 po<.T(1:llfCTll. 1-l :! ОС Н< ШС Cl'O щ:следО·
ван11й в хх li . н 1\1атс:щ1•пщу l lOШJll 1M<:'l'p l·I Чl'C KllC
и·1
·n1 ю1юп-1чсс 1<не 11 рпстра11ства, l1ш 1 C()1Jtan
фу11ю1т1011:1111.11ыil ан ;.1л11.1 - ра;щел мат~ чаш­
ю1. n 1<0торn,,1 о(i()(>щаются ос 1 юн~тые операцmJ
;\1 атема ти чсского анализа: прсf(сльпые пере­
хо,11ы, д11ффере 1 ЩfJ ponaп11с. ш 1те 1·р 11ро11анrr~


Новое оремя
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ
!lтшлай Ип:11rо~пч Ло6;;1че13с1щi1 родrшся п
l 7<)2 1'. 1 iнж1т~м ! lон1·ородс. Ко1·да .м;шъч1 шу
б1>uю дс: 1ш·1ъ лет. <..:с м ьн лерL'ехала в K:1Ja1Ih.
Здt.:сJ, ll1 1 кo11a>J u 1 1pe;te_1 11 1л1 r в r ·11м 1r :1:н1ю <·На
ка~Снныr'1 сч<:т··
R 1R07 г. \ L\-, 1t:'1·1 11 н1 1-\ 1 1коJ1:1й Ло(')~1чснсю1i1
rт:1л ст~дt.:нтом КазанскС>1·0 ун1rнcpc t 1те1«1 .. кото­
ры!1 открылсн т11111. ;щумя 1 ·олам11 pairee. Т:1м
rtpcпoдan;vщ nчспь хороттшс м::~тем:~ттнш, сре­
д1 1 ш1х - профессор Маμтин Фё1101 юв 1-1ч:
(Нога1ш М;1 рт1 ш Кр11стна11) Партельс, бт тзко
зн:1кочы11 с сам.нм L'ауссом. Прс11одаватсю1
nыде11.ял~ 1 на 1\урсе двух студентов. .Иrшrа Сн­
'юн.она (нnослt.:дстю 11 1 он стал J 1 рофс-ссором
Каэанско1 ·о у1ШHl'\ll'I1тст:1) н 1tJ.н<o!faЯ Лоб а ч<.:в­
скш·о. в ОТ'1ЫВl' Дl'Ка11а, ЩJC,ЦCTaШICHIJOl\1 R
IRl2 1'., 1 ·0 1юр1щосh: "хотн Снмонон хоро 1 1ю
ос11едr1;1.1лё1-1 R м:1темаn 1 чtтк 1 1х на~гк:~х, щ1нако
Лоб:1че1кю 1 1t нрсrюсходнт. особенlю R 1ю 11 -
росах то11юtх».Дска11 ут 11 шсрснте1·а с<штал. что
Лобачеосю r i! «П будущем пе сможет ост;~ться
неnрослаnлс111 rыи».
Кар1,ера Jlоб~ · 1евско1·0 разшшалас~, стреми­
тслыю В НН-1- г. по рскоме~rд:щ1111 13артсльса
его утнер;щл 11 <IДЪIOJIKTOM ( t ЮМОЩ НИКОМ про­
фессора). а чс.:рс::.~ дна 1·о;р. R нозрастr; 2.) ж:т,
\\Ыбр~IJШ экстраор,л;и 11 :.1рным 11rюt\х:е<.:ором (со­
от1:1стстну1:т /lOJJЖI юсти дшtt:нта) . В J 822 t. Ло­
бачевсю 1 (1 п·~т ор;о-1нар11ы .v~ прuфt:ссо рuм.
С1111сок курсов. которыt: 0 11 1 1 рочнтал н пер ­
вые 10 - 12 . Jtcт сrюей ПСJ\~rог' 1 ческо~1 /°'\б1Тель­
носп1. со~ерж1п более десm'ка 11ан."1е1 юнаний.
н"~•Jл<н• ив.нюии,,
ЛorJa 1ct о(м10
~">то теория ч11сс:.'Т (по ! 'ауссу). тюск~ш 11 сфе­
р11ческая тр1н·оном<::трня. ~111~1л~1т11чсская и 11а ­
чч)'J'атс:льная J '<;U,МС'Гр11Я, :н::трОНОМIIЯ, диффс­
р<:НЦИ:lJI ЬНОС Н llJ-l'l'l'l'/);!Jt bHO(.' ПCЧllCJil'fJ I IC: .
ф1·13НК:J . C'l :l'l 'l t Ka 11 Дl lH:tl\.1ИK;J 11 )!р. К~Н< ВJЩНМ.
,\\\)Jl\ЩОЙ профtТСt)р 1\ \ 1'\ 'ШI леющ11 llC 'l 'OJl1>KO
11() разЛТ!Чlff>l .\1 оСiJJЖ'ТИ\ 1 M:J 'J't 'M<!Tl·fK l l , fJO 11 по
ф1 1:1111<t: 11 <1стро1юм 1 111 Он 61,1J1 оч.с 1 11, прш1 еж-
11 ым .' l eI\l'opo,1.
ОД1 1 аЖ,J\Ы н кх~э1ккпi1 ),Шперс11Те'I лр11111ЛЭ
~rнструкцrш. утпсрж/.1,ёr 1 шн1 нмператором Алек­
сандром 1: <·llpoфeccop теорет~ 1ч ескоii н 011ыт-
11о l1 фн :шкн обнэ,1н во псt ГIPO'l'f!Жl'I ll JC кпха
оюс1 '0 укаэыв:1·1ъ 11а 11ремудрое1ъ Пожню 11 01 ·ра­
н11 ч е 11 нлсть на1ш1х ч у1:1ст1:1 11 оруднй 1vrя нозt1а­
н11я нспрсст;1юю окр)!",кающ11х 11ас чуд<:с~. J:lpя_.t
лr1 Ji116.1чс1кю1й, которы !'1ч11·1·ш1 в то крсмн курс
~тспrетческая 11практ1 rчесrшя ф1 rянка», c11c;~o-
11:u1 :3ТС1М~ rтpt;'l,l lИ:C:iH\.110.
К ТО'\1.)' 11ре."1сш1 011 уже тр11 года. 11ачттая с
1Hl7-1·0. работал 1 1:.iлo11110i1 11~:1·1рудней11 1 1 1х про ­
бле.\f - доrса:1атсльспюм пятого постулата Ен­
клнда о параллелы~ыл. ! l-a ле 1щня:х 01 1 расскз­
зывад студентам о попытках жжа:1ать, что Lrcpcз
точ ку 1:111 е прямой можно лронест1 1 сдm tС."!'нс:н­
ную 11 рнмую, 11ap:11111c:J1 ьную Ci i. 1\.11 IOJ'l le 11 :.!НССТ­
\l Ые математики исслс;\ощu11111ро611с .му11и·1 ()1 't)
1юстулат:1 . но но нес врс.\Jс11а немало было н
;.1мби 1 (JJоз11ых невежд, которые хи:1т:1л11с1. :!<1 .'IT~
Э~l/\:1Ч) ТОЛhКО гю·r ому. что сЕ форм~·mrронк;r
бьm:1 ;~:ост) н11а каж,ному. Лобач.е1ккнi~ 11р11;\<111а;1
ei1особое:: :з1rачетн:. 0 11 ш1с::.1л, ч·1·0 :3;щача о nз­
ралдслытых предст:mляет собой •ч1уд1юсть. J\t>
ci 1x: пор 11еnо6едш.1ую. 110 ~~ежду 1см заключ::~­
ющую 13 себе 1-н.1·ш1ы Ощ)•1·1 ~тель11ые. вне ucmzo -
1·0 сом пешш. н столь важные !ИН! пеJ1ей наую1.
что н1 1 как н е могут быт1, обоfr;1с11ы".
В н ~1чалt: J1обачевскн{J 11 ос1у 1 1ал к;~к t l 6011ь­
t1J1ш L~пю J\py1·11x матсматнюж, ·1· е. нскаJ1 ;юка­
за· 1·сл1,стRn CYI пр<Н IГIШпt о. '1\IЮ LM путём 01 l
НЫНL'Л МIЮЖССТНО утнерЖДL'НI 1(1, l ICJ<O'l'0[1ЫC 1rэ
I JJIX Н Ы l'ШЩСЛН . MUf 'h:() 1·онорн. Lvгр:11-11ю, Н() rн...­
КП1\.\Оi 'О 1 1рот1. 1 Н<Jrн::~ннt 1''аК 11 Н<: 1IOJ1\''-ll IJH 1(.]J.
U l~lj r. 011 пршнС:л к ~tыс1ш о педсжазуе.юс­
т11 1штu1·0 постулат;~ 11 о нозможност11 1ю1юfJ
1·со1Ч<:"Трин. Болt.:с тш·о. J!оба чеnсю 111 понял, '1то
:.:~та •·!:юображасмая" 1·со"1стр11я, 1. 1есмотрн на
11с11 1·)и1~ыч1юеп, се сонсржан11я. к пр11н1\11п с
нс может бытп 0 11ровср1 ·11ута 11~1ш 11 :- .1 01 1ытом
107


Истор~1s~ матсм;пию1
0\1111.1 '. 1 TO P CI O \1 О li\.l IВCii \l'O YHJI-
ШWC!lTJ:..TI
18З~
1. DAYJ:U
UC]')'П.t EIOX.
JJ,~fi'!f.I 1t~1.J.c:-st1.G '1 11н1 ''" Гco"«mrl" 111 rог" n :r·
r:i ~>l>i\U J('\o. f<,V 1•t1 :ir. •
111•! •1• IМ.1 1!!&11 1Н." l>t~ 1Jl'l.<>L+.-~1t·
""''' 11. 1~щ('1М1'1 " "'_ .l , . 1a;11 \:f• ,P•'~'ri. L.t.11.111.1•, v:;,. 111• ,.
!l•••t"JU),•• 1 _...,,1,.1.i. . 1t.1111.,
"'-''•1.i...11J,1 "'-"'"" '"Ч"J•
) 't:.1111щ,, •н11<1 lo'l.(l.c ,JllJJ . ,C . llнl.lli"l1':'t'J. сЩ" l.ltJi'!r.. \10 -
"
с•1.1с11 1110.1 S1~11111ro1, ll"liloVl')lt/ :ir. ,;i.111•1-ta jj<Jo.1& .lo.Mf:tl:I
tl ILOllllll!} r.I шн.J.~11..)11 1•11~<1\l loO ~p,r1i~r. "Qil ll'l t<1foIOl'I.
"
1lt•fJll<lll 1 1 j)<IHl\U,\
p.Jl><>I hl
11 И 1\ОбдЧРВtКОГО
« Нош.•1 с 1t.JЧdлL1
гео"етрнн •,
LJГIVUЛllKШ!.1H I IUЙ
в ·«Учены>. запио(,1>.
K.1 {.illt Kuto
униRРf)( IПPTil .
1835 1
13 ф<:врале 1R2()1 ·" ко 1 ·цз Лоба•1е- 11с~о1й 1 1 ;~1 1н ­
сал псрnую работу об открытии 11овоf1 гсо­
мстр 1ш и передал её 11ес1<0льюL~'1 профессорам
)1пшерс1пет::t, ответа от колле1· не последоuз ­
ло. А сама работа вскоре был;:~ утеря11а.
В l 82t) г. журнал <·К:~.запсrшй всспшю> опуб­
ликовал сочш 1с:11ие Лобачевского о неевю11що-
1юl1 l'COMC'l'()I 111. в ОТ:JЫНС H ~l H C l 'O 11 31\C:(" J'f-IЫl'J ма­
тсм:1т11к :.J 1<адс1vшк М. В. Остроградсю1!1 1 111с111:
«А нтор, 1ю-в1щнмом1. з;щ:шо1целью 1 111с:пъта­
ю1м обр~1зом. чтобы его нст,зя 6 1,~ло понн•1ъ.
0JI i \OCTI 11 ' CIIOCil 1\tJ1 Н: nOJJЫHa>J Ч:lСIЪ Ю !lll'IJ
ос- 1·з;1:.1с 1 , сто1 11, же 11 е 1 fз1-1ес1· 1·ю1·1 11/ IH ме11н. ка1<
cCJUI бы я ш 1коr·да ие видел её».
1·е1шi 1 все1 ·.ца 011ережает сноё время. Через
~U --IO лет пояRятся работы, н н:оторых бущ.-т
док~1:{а110, что l'сомстрия Лобачснс 1щ 1 ·0 <.:толь
же пр:~во •\1ср~ 1а, как и 1·еометр 11я tню1 1 111а, 11 t:i..;
О'1·крf,1 ·1 ·1 1<.: - важный 111а 1 · 1-1<1П}"l'lf1\ nо1-111 .,1а1-1 11 ю
<>Kj)}'}K:J10 11~e1п 11 ас мнра. Jll> в ко1ще 20-х 1·1 .
XIX к. Лобаче1кк11r1 ока:J:mсн н очсн 1, сложном
llO:J()ЖCJ-11111. f.1 ·0 НС Гl()lil'IM:.JJ111 11 fl;lЖ{:' ocyжr\<1JП I
луч11111е м;1 '1 't:\1:Jт 11 к и ·1 ·() 1'0 11 реме111 1 , ~;:ол 11е1·1 1
ЩIП.~Jl l l 113('.Vle' lllЛl lll Ыe, а 1I0p()l1 ос 1<ор611те;1ы 1 ые
от.1ывы о его работе. Это было настоящее тrс-
11ьпа1ше х;1ра1пера учё1ю1·0 . Лобаченсю 1 (1 е
чсстыо его nьщсржал. э~1 ncpnoli: бол ьшой
ста1ъ~й псклсдоваrш новые работы на ту же
тему. н этом он pCWJITCJlbHO OTJIИЧ::IJl<..'Я от дру -
1'01 '0 пср1юо·1 · крыт1атсля 1 1ccnклr 1 j\onof1 гco­
J\•t<: 1p111 1- Га усс:1 (< Кородь мaTC.\1.l'l'J 1КОВ» OKOJIO
108
_1 0 лет з~11111малс>1 ·1enp11ei1 11ара11!Телы1ых п
прпшёл к выводу о праnомсрпост1 1 11ссRкющо­
uоl! 1·еометр1ш. 110 так 11 не 011Убт1кt1в~л с1ю11
рсзулr,таты.
Однако Гаусс сы1 рал важную роль н сд1111-
с1 ·кснном 11р11 :ж.и~ненно:.1 1 1р11:таю111 научных
э:н:11 у1 · Лuбач~нско 1 ·u. в 1 l:Ц2 1·. 11 ~·•кuJtaй 11вано­
н~ 1ч iiыл 11 :~6ра1 1 ч11с11\)М-К( )ррt>СПl}IЩ~1 1том Гё'1·
T I IH l' CHCKOI '() учёно1 ·о 06.щеL·1·ва (ак:JДС~1J IJ 1 н:~у к)
Реше11ие n() нзбра1 1 r 1и 1 1дн 111юм 1юд1 11 1 с:1ныt·~1·
'vПIM Гауссом.
Обра т~ 1м ш шжнше 11:1 ответ Лобаче1юi0ГС
Га уссу· <Лроснпе мле. '-По я так доЛl'о 1<0ле·
баJJсн с ответом. :зJIOJ ю; 1 уч 11ш'1 1юж.1р ~·орода
отnстсгвсп :.1а это: этот послс1щ 11й расстроил
мш: :щорон ье ". обрсменrш ,vн.:нн сщt массой
особых <.:1rужсl>1 1 ых :3абот-> Учс11ом\1 сообщаю~
об нзб раннн с1 ·0 члсно,ч ан·1·щштс'1 11с 1\111е1·0
н<1учно1·0 сообщссJ на. ;1 ему нско 1 ·1\:1 O'I ~сп1·r·ь
и:{-за п<~жара 11 1 ·ор1щ<: В 11111·1,мt' р:ккрыкается
Па\.\яr 1 щк Aofi.J'lt?HtKOмy в К.-1 ы11и


ещё 01111а с1 ·о~нш;11111L111oc 1 ·11 ЛобачснскuпJ. Jl.с1~1-
стн11тсл1.1 ш. м: 1тсм:.1т~ 1ч<.:с1<1 11'1талант 11 нсобык -
1 1оrк1 11 l:l}I crp:iC'l'lfOC' I ,, н OTI f() lllCI 11111 к 1 1:1 укс co-
ЧC"J ;JJIHCI> у JILTO (.' Иh l COIO l 1\I 1 1рс/\(.~1 · анлс н1н.·м об
общеС'ПSС I 1l юм /\OЛJ't.
Уже112<. -
~О-лст11ем 1Ю:1расте Jl~)6aчt:11Cю1iJ
.1:н1t:дова11 0Gс1.;рнатор 1 iсй. был лек;нюм l\ШТс: ­
ж1т11ческоr·о факу11ьтста. Многие годы 0 11 во:1-
г;1мшлл ут 1 111>срси '1·с1·с:к,·ю бнбшюте к у. 11 0 -
нш.1:1я. J\ah'YIO нажную r>оль u 06разон;ши11
ш·рас·1· бr16тютска. Лuбачетккиfl с:щш1 R Гl с­
·1·ч')бур1', чтобы Jшч нu от6 1 ·1 рат1, 11 зак;т1 атъ кнн­
r 11 К:1к пренсс,1атсm, стгннrте;1ыю 1 ·0 КОJ\1Итtта
у1111Rс 1х·11тста . т 1 ру1-юrю;щ.11 с1·р01 1 тсл1,с1·щ ) i\1
ноных учсf)ных кор11усо11.
В 1К1 7 1'. Ло6~1чc: 1KK(JJ'<1 11 :с1\lр;1лт 1 рс:1-;тором
K1;iarrc1<01 пу1111нсрс 11·1 t"1·a . R1 юследстш11 1 m r пс­
rе11 ;161 11х1 лся Ш1 ЭТ)' [\ОЛЖ I ЮСТЬ 111 естr, раз JI
oc'l<1IOJ1Cя ректором в тсчен11с lO ле1'. На этом
посту J lобачсвсю1l1 э11ерr1 1ч1 rо 11 коипетеr 1ттю
з:11ш,v1 ~L1СЯ 6yкnaJJЪLIO всем: учt:бно i'! н лауч1юй
работu 1\ фт 1н:шса мн. стрu11тс!lы·1 ·во.\·t. Осоnсн-
ХХ ВЕК
НА РУБЕЖЕ ВЕКОВ
8 августа 1900 г. па Втором Между11аро,тl1юм
мате;чатн че:ском кош·р~ссс u Ларшю.: nыcтynaJI
Датщ Гильберт - 0111ш из вет1чаi1щ1 rх матс­
ч:тrков всех времен. а то 1 ·1"щ молодой профt.т­
сор 11 ~~ Гё'1·1·и .111 ·t.:на. Сной :311·,1мб111'1ъ1(1 J\1жл:17\,
11001ящё нный м ;1 тсмат 11чссю 1 м проблс.\1:1,v1, 011
нач:L'J CIOB;tM l t: ~ К'I\) 113 11:1 с tн: XOTt' . JI бы 1 1р нот­
крьп 11 ;1анссу. :{:. -t кин1рой скр ы·1 о наше ()уд} 1цес
чтобы хоть 0,1.J.JI ГIM IJ;Jj 'Jl}J;~()M про111 IKH)'TIJв 11 pt:J\­
CTOЯЩl lt: усгrехн на 111с:го :J 1lаН11>1 и таl111 ы е 1 -о
разщ1тш1 li ближайшт 1 е с1·оле-тя?».
Тогда. на 1юроге ХХ в" оглядывансъ на ве~<
~11111ув11н 1 й, ;vюж110 бЫЛО пrсдС'l'<l13JШТЬ t: ебе
бу~1це<.' Je~1111 прскр~1 с11ым. Казал()СJ,, что па ­
стущет эра блз годсrктння 11 pa~i~r;o.1a . А ссгод1 вт
мы, к;1к 1·1 lf:JJlll г прс:;\11.1ССТНСН1П ·I КИ сто Jll'T па:1 :1Д,
брщ:Jем в:5 1 'JIНi\ 1-1:1 11р01J1ею 11 ее t" 1·oлt.: · 1 ·11e . Ч то
tЩДll.\ol М hl T\l f\\?
НJдt:Ж/\Ы н а !)л;11л1 1 е11ств11t не оt 1р ;11щ~1-
т 1п, - н хх неке быт) MJ юго '/'(l;./ l'~IY.CCKOIO: Н11
сче.ч 11с ср:-11ш1 ~ мое взр11;1рс1'по. оскупе шrс 11р 1 r-
РО/\Ы. отр:~11лс11 111,1е рек11 1-r 11ы сох11тн~~ \1О рн .
Нот 1е. вр~мя
но ·r ру;11 ю 11р1ш1лось во 1:1рсл111 xo:rcp1юi1 эшr-
11см1111 1~.)-) )'. 1 1}'IIO~U Jll~ ' l 'OЛ> 1 южа 1 >:1 lH12 1'.
В lК-1(> 1·.
11:1аLт11 укол 11111 1 Лоб;тчснскоr о с
11ш1ж 1 1ост11 рсктр:~. U ян юре 18'12 1°. ~мер L'J 'o
стар11 111!1 сы11 . ,\·l:1·1·tp11:u 1ы юс 11 0,юже11 11с се: мы 1
с1:р1.ё.1110 ух~ i\11111тюс1" Нез~ЩО.'11 ·0 J\O 01tрт11 Нн­
колаir 1111~1110111-1<1 гю· 1 с:ря.11 . 1рст 1 е. Послс:~11юю
работу « П а11гс()Ме1рт1н -> (греч.сскзя пр 1. 1стаnка
"11ari-" озт 1 ачает <- всё». , nсеоб щш'1 "). нриурочсн­
вую к '50-лстню Казанпюr·о уш1не1х1 1 · 1·ета . 011
про;111кто11а ;1 ою 11 ,ч <.:1'удс11та .ч буд)ЧlJ у,кс со
1:1<.'с,,·1 слt:п ы .\1 . У м<:р Лоn:tчевсю 11~1 в 1i:S"i6 1' .
в lf;.28 l' f!( ) C'l~Ч:llO 1 1<:-рной ( '()j\() J~ ЩllHЫ СВ()С[ '(!
рскторстна Лоnа чсвсю11'1 про11:111ёс ст:111111~ н1
гю·1·ом з11:1мст 11но~т реч~.. "() важ 1r eйm11" ттре/\­
мстах TIOCJJIП'<IYIШI-' . н 1 1 ет1 0 11 . fl Ч~KTIJOCTl l . сrс1 -
зап: чПр11rv1еры научают нуч111е. нсжеnп 1·0:1ко
ваш тя н ю111п1 ". )1(11:JJ11, ll11 ко:1ан l! нз11<)tн 1 ч.а
J Jобачсnск.ого са .ч ,1 н1шястсн : 1з~1 с.'L1ателъным
11 р11 мсром спужсн 1IЯ O'l'l"ЧC'CTBY ll [ 1 ~1 yicc .
rт:~нержеш1с мор;иш , чудошrщ111.1t: лр сс1упле ­
шrя, 1·еrютшд. rрнбы :п·омт,тх п:;рыuоn. 11епре­
кратц:нощт1еся rюС шы." 13сё 61.ию. :-по пра1щ;-~. Но
11е вся нр:Ш/\:t. ЭТ()Т nет< - Jt чудо1111щ ны r'1 н
вслнкпй од 1 юnрr:мс1 11 rо.
ДJ1н на\'1<1·1 Х,'{ нск бы11 нст1ю1м. Д<хт1 1же1 шя
м ~пем:п11ю1 11 ;;э· 1 ом l"'l'\ .)Jlt'Ti111 . нож:шу\1 . 11pt:11ot'-
xo/\}1T нсС ТО, Ч 'l'U CCJ ~/\ ;\Ht 1 :1<1 111 Jt') \lllCl-l'НYKHЦJll'
Дll<:: Тl1I СИЧТI Лt'Т .
RоС1можпы ра:.н·I Ыt' точю r :чх: 111 1я 11;1 c,'v1hr cл
~3:н-1нтvн1 матсм:1·1·1 1 коi1. Н ХlЛ н . 1ю:{1 1 11к снор
между N~у~1н : н-1<1ме 1. 11пым11 уч~ны~ш - фран­
Щ':'!сю 1 м м~1 тем:1' L'Т11<0 .v1 >Кn:~сфом Ф)р1 .е 11 11с­
м.с 1 \тшм - К:.tр1ю11-1 Якоби. Фур11е счнт:1J 1, ч·1 ·0
цt:зть матсм.::п11кт 1- се щеiiсnюла11, объяс- 11с111 110
лрнроды . Якоби о·r·всча.01. Ч'Н) сё rtел1, - щю­
славлять LJ<:лoвeчecюftl ра:1уи. l3 nр.нrщ11 ш:,
МОЖНО прн :шат1, лp;-irlOlT О6ОТI.\, 11 0 . кrюме
то 1 ·0, 1tt'JJЬIO матемаТIIЧl'СКНХ 11<.:С.'1С) \ОВ::111111·1 л
ПОСJIСД\111 (' тр 11 СТШ!i.."1'1\Н fн,JП!I 11 p<tl<T\IЧC(.' K \ !C
лр нл оже н нн - 11нженср.ныс.: . 1\011 1.." 1·μ~ ктuμсю1с .
::JK() l·J0\111Ч e<.:Юl(' 11 ИllЫ<.:. H~JJШJ-I C I (. l\l:l'l 'l'~l :I TJIK,I
во нее Rрсме1 ш ока:1ы нала нJ 11 ш11 rIL' t 1:1ф11лосr >ф­
C'l\()t" ОСJ\ 1 1.тсле1111с мнра .
1()l)


Иггория математики
Матсматнчсск;tя 11:1у1'а ХХ <."1·олt:1· 11я 111x>cл:.i-
1шJJ ~1 c 1, 11:.i всех :-:Jт11х 11а 11равле1 шях .
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ШКО/\Ы
13 первой половине ХХ n. м;~те.матшса разшша­
лась ~·11ан11ым образом п 1r ;щио11алы-1ых рамках.
Ве,1}'щую ролт" как и в предыдущем столст1ш"
11гралн фршщу:ккая 11 немецкая математиче­
<..:кнс UJKUJJЫ, JIO в м1 1pu11u<.: <.:UOOЩ<..:CTHU м;1Т<..:­
м;п 1 1ков уж<..: акт11111ю включаm1сь t1'1-;ыья11ск11е.
не ш·t:рсю1 е, :1встр11йсю1с. шксдск 1 1с учёныс
Ещё tl сt:рсд111-1с xrx Н. обра:юв:urась росс11(1ская ,
в nсновном петербурr·ская, школа Птшrшись
первые кру1111 1.1 е математики 11а А!'.1 ер11ка11с1<nм
1ю1тт1птсптс, формировалась польская мюсма­
т11чс.-ская ш1ю1ш .
I3 д:mьнейшем :v~атемат111са стала nр11обрс­
т:~ть черты иптс:ртщпон:шыюй 11аую1 Н:.~чала
осущссгnляться :v~ыс1ь Гш1ьбtрта о том , Ч'!u .шш
M:.1'1'(.',\1aП JK<t R(;'(:t, куm,турны(r ,\111[> пrt) \СТ:ШЛЯ­
t.:'1' собо11 с:щ11 rую с1рану.
ЭнnJI IO l lJ 110 наую 1 НСIЮЗ \ЮЖНО 11fЮСЛС.-ЛI IT!>,
нс коснун11111с1, · г1юrчt:(" 1 к1 кр~тr1н.:й1 1н1 х, наи­
болl'1.: F1m1ятt::лы 1r.1х учё111.1 >.. Н:~:зонём 11ме 1 1а
ма 1t"м:1л1ко1-1, 1 11ра 1т11 1 х н111111ую рот> 1:1 nep1юl1
1ю, 1 ов~ Пlе ХХ столетия.
Особым авторнтето.м польз оuался Даrшд
Гш1ьберт ( 1862- J94:)). 1lсмстn<ую матсщ1ти ­
чсску10 rтn<олу прсдсr..1впяли и такие выд;нощие ­
ся учёныс, как Гер.чан Вейль ( 1885-1955), Фl'­
ликс Кпt::йн (1849- '19 2')), Герман 1\!l инкuвскн1I
( 186~J-J 90CJ), :;"Jммн !!Етеr (lR82- lC).- 1'1), Фс ­
л11кс Х~)'С/lОрф ( 1SбЯ-1942).
Ф[1<1Н1lуз Жrот. Лr1р11 П у:ткаре ( 1854 -
l C) l 2) - одн1111:> ue1нi ч эi'i1_1_11 tx 11ауч11ых 1е11иен
ucex 11ремё11 . После ТТуа1н;аре 11анбплт.rннм
ант()рнтетом среди математпков Фраrщrш
полr..:ктался Ж:Н< Адамар ( 11565-1<)63). 13 чнсле
.выдаюЩJ1хо1 фра 1 щузсю 1 х матсматrнюв нужно
11а зnатr, Эмиля Борс:ля ( 1871 - 1956), Жш1а Гас­
тон;~ Дарбу ( 18Ll2 -l<Jl 7). Эл11 Жозефа Картана
( lR(')<)-1951),АнриЛеона Лебс1·а ( 1ю::;-1941 ).
ПолSJ Монтслн ( 1t376-l У75), Э,\ 111Лн П1 1 к:1р:1
( 1856-1 У-11 )
И1:11 1h>1НLкую м~1тсмат11чt:скую 111колу пpt:/\­
l-1 :.~нлялн В нто 8()m»1·epp~1 ( 1860 - 19-Ю) 11 Тул -
ЛllO Ле1111-Ч1111~1та (187:)- 19-J .1). IТIRC[\C KV"IO
-
М:11'1 1 ус l'ёст::~ М 1-1паr-Лёффлср (18..J.6 - l<J27) п
:-Эp rrr< Ив~1r Фредголь;ч ( 18(J6- l 927). а11пш!1-
скую - 1·одфр 1 1 Л:~ролд Хардн ( 18 77- 19..J.7),
110
л,1 111 ри•i Федоров "0 1l1ороR.
Джон Иден:юr Лнтлuуд ( 1RR)-1 С)77), Бtртран
Р<1ссел ( 187 2- 1970), русскую - Ллексстдр
Мих:li11ювнч Ляrrутюв (18')7- 191R) т 1 Л1т,~реf1
Лrтдрссnич Маркпn ( 18'56 - 1<)22), амсрпк:ш­
скуто - Джордж Дейшщ Бирю ·оф ( 188'-i - l ()+!)
11 Осн:11 1 ;\ В~блсп ( J88/J J \.)()()) .
Слtдует с:ка:за·1ь. что и н 1н.:рвuй 11олu.1шш·
СТО.!ГСТ~IЯ Мl)ЖН() KhЩC:ll J'J 'I> дна 11ер1ю.ца - ДО 11
ПОСЛ(.' 11с.-рпо1'1 м11ронuй H()JI Hbl 191-1-1918 1'1'
Лосле войн 1 .1 прощ·лол11 .. 1а смена поколt:н1н1.
1щ·1·01х1н :~;пронул.1 11рсж;..1.с нсс1·0 фр: 11 щу.il'К)'Ю
пп<0лу. Фаптисты. прнr11с1111111с.- к нл:ктн в Гср\1а­
шш, ра:з1ром1 1 m 1 11емец1\)1011аук1. J\.11 кн·о т<1ю11 1·­
тшых молол:т.тх )1.ЦТСМ<IТПКОП пз Еnротты псrе­
схали n Америку, п там 11ачалн формироnат1,ся
rювыс матсматичесю1е ШI(Олы и 11аrтравлt1шя .
llеобыч:ti11ю1·0 расц11е·1·а достt 11 ·nа москов­
ск:нt м:1тем:.rnrчсская школа 13 .1>0-с 1т. она.
nС:З)1СЛОН l-Ю, 3<1 НЮ1а J lll/(11p)'IOЩtC I IOЛOЖCHllt Ji
~шрс. Её ос1юн;пслям11 Gы1111 Д.1\.111·1·р11~'1 Фёдо-
ни~о"i111 Hll~O.\aC'OllЧ 1\VЗllfl


f)()1щч f. 1 ·арш1 ( 18()9-193 1) и Нн1<опаИ Нн1<а ­
лаен11ч Лузнr1 ( I R8~-19')0).
НАУЧНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
В МАТЕМАТИКЕ ХХ ВЕ КА
Г l рс11ст~шлс:н11<..: о том , .каки е на11равл сн ия 11рсоб­
тщ;~л и к матсм;пикс 11ач:;~ла )(Х в.. ,да(,;т сr1и сок
ссю~и й на нсторичсском Парижс ком кош·рсс­
сt. ~:Это чет ыре основные се ю ~111 1~ ар11ti>мст1н~а и
а.; 11·ебра: анал11з; 1·еомеrр11я; механпка 11 матс:м;1 -
п1чсс1са н фпз r ша, а т;нокс сщё дnс: история п
611блиоrраф11я: преподавание и методол огия.
Об п:!ме 11еш 1лх, произошедпrнх с тех лор
n 11ауке, с1шдстет,стuует псрс• 1 е1 1и сс1щиi1 сов рl'
ж.·1пrых тю ш:рсссов: ма·1·с:матиqсt:к;н1 ;ю1·ика 11
uс.: н ования м;.1 ·1·ематию1 ; а;11 ·сбра: тt:ор11н чис<::л:
1·ео1--11.:трин; топu1юt·ин; аю·<..:браис1t:скан 1 ·<.:u:..1ет­
р11}1 : ком11лсксный анuлн з: r · ryп111,1 Ли и · 1·со р11н
ГIГJCl LCT::ш11c 1111i'1 ; ВСЩtТТАСННЫй н фyню1110LJ:.tJ l l1-
{11>1Й ан:т и з; теорш1 в<..:рою·щ 1c1·cr1 н м;1:п.:м:~т11 -
чес1<ан ст:1т1кттrка: ; 111ффсрс1 11 tи ..-.лы rыс п)а 1111е-
1шя с частr1 ыr.ш про 11 зuод11ымн; обыкновстпrые
д11фференп11алы 1 ы е у1Хшнения; математическая
фнзнr<а; ч.ислетшые иетощ,1 и теория о ычпсл е-
1 пrif: дискретная м:пем.атика п кш.1бит1аториrс.1:
~1атсматичес кш.: :~спскты ш1фор ~tа'L'НКН; принu­
же н ю1 матсма · 1· 11ки к ш.:'ф11зичесю.1Nt н:~укам; н с-
1 щ111н математ11к11; 11ре1юдаван ис ,,1:~тем:1т~1ю1.
Мно 1 · 11<..: 1 1 з 1-1азн:J11ных pa·щt'JIOR м ~пемат 1·1 К11
fЮЗ н11ю11 1 1шн офuрм11т 1сь F\ ХХ в. На рубсжс­
ХIХ-ХХ Htl. rюдл1111 сь 'J'РИ тшпра11J1е1 1 11я , KO' l'O-
[Шl\1 суж;~t'НО fi1.IЛ() с 1,1ГJХIТЪ flЫ)ЩЮЩуюси рот,
11 истор ии матемап1ю1: фуню~rю11алы r ый а 11а­
лиз. тополоrия 11 теория функцпi'I.
Фун1щион альны:й анализ. I:::щi: в ХУШ в.
были разработаны методы рснн:н ия систем
л111н: l111ых ураш-н.: н11й . В 1(0 1 щс Х!Х 11. обн ару­
жс1-1 ы :.111:1 лоп 1и мt'ж,11у тспр11t:1'1 с1 1 стсм 111 1-
нrйных ур:нн-1сн11С1 ко11счно1·0 ч1 1сла 11ере­
ме1111ых и 11х бссконс ч1юм<.:р11ых ~1н:1лu1тнs -
т111с i111ы х 1 11п·е1·р:mы-1ых уравнс1111i 1 .
Рс 111:11ощ11й 111;,~г сдсл:111 wв<::дскн~'i ма·1·~ма1·1·11'
Нвар Фре11,1 ·ол и~1 в 1900 г. Пр 1 1мешш метпды
rе111е111ш с и стем шшеfшых ураrнrсш1й н пе­
рейдя к нредl'Л)'. 0 11 11аш<:л ус1101шя разреш11-
мuстн 1r алгоритмы решений уранш: 1шй шща
11
.\"(/)-АfJ((t, t )X('t' )C/1' =у(!),
({
Новое время
д!Jh
С?О4Ш
Это послуА<ИJЮ (~П IMYJJOJV\ 1< raз raf'O'!'Kl: тсори1 {,
1ю·гор:н1 соч L-та.11 :1 11 <.:l'бС ~J 1емt:нты аm·ебры 11
>'еометри11 , 1ю u бсс1сп1 1 еч11омер J rых пр остр:.1 н­
ствах. Так пш1~н1пся лu1-1rJй11ы1/ ф)111л.·ц~m1Lш1ь ­
ны1! т1ализ.
Rажны:ч разделом фушщ1то11аJ1ыюrо ан;:~ ­
лп:;а стала теория квад11:1тнчных форм. начала
которо~-т З<1Jrожш1 l'1щь6срт. Со нокуш юсть всех
функцнlr с н1-1·1·с1 ·рирусм ы м ю~~щратом
/1
Jx~(t)dt <=
tl
получ ш1а 11а :;ваш 1е гил ьберт оrю Щюстра11-
с11uю (ci.( обозначают /.~). Нш,с; 1 сдстнш1 теор11я
юз:tJ \р: 1· 1 11чпыл ф{)рм в п1m,fk:ртовых 11 μос-1р~т­
ст13ах П()СJ1ужнл;.1 M:t'l'CM~ITI IЧl' CKOt'I ба зой д.'Jjj
к1:1а1tтснюй мехаt1нкн.
Тоrю;1огия . T~ fl.\H-IH «'l'Ol lOJ' O l 'l ljj" можt:т бы ·1·1,
отнссё11 к д11ум р;1:·щела-. 1 м:1темат1 1~-;и. От ry то­
п о;ю гшо, ро1юш1 ч<и1ыm ко.ч которой был Пр11 -
каре, долгое время 11азыо;vш мJ..мби11стшр;т/1.
]а дру1·ой . у псто ков которой стоял 11емец1..:11~'1
учё1 п,1(1 Георг К:;~нтор ( 1845 - P)J S), закреm r ­
лось назnа1 1 и е общей 11лн mt!орет11ко-"111юJ1се­
ствен нтi .
1\омб 11натор11 :1jj ·1·опо1ю1·ш1 - ра:щс;r 1·со ­
мс:тр1 t1 1. О1 1 а 1t:'!уч а ет с во1kтна 1 ·со:\1С"1'р 1 1чссю ·1.х
ф111ур , ос·1 ·3ющисся 11 ен зм сн11ым11 npt1 1:1.з:1нм­
но О/( 1 Ю:'j1-13ч 1 1 1,1х 11 ~-1 с 11рсрыв ны х о'l·оn ра жс­
н 11я х. /'1,t)JIГ'oc нремя то n01ю 111я 1юспр 1 11111мш1:1с1,
1.;;н..; п<~уТ\а , далёкая от жн ;ш11, пр11:111:-1ш1ая m11ш.
" пр ославшrт1, человсчесю1й рз~\1111 " . Но н
11ашс время выяс11шюсь, что она имеет с:.11110е
lt•op1 К.1111ор .
111


Истори я ,.,,1атсм;~л 1 к 11
rIJBel\ ( Ppr <' !'!JllЧ
Л'\РКС it111~po в.
НС! юcpt:/~CTBCll ( Юt: оттю 111 е1 111е (( OnЪHC'llt'JJllIO
устройства МНJЮ:'!~а11 1 ш.
~)(Jщая ·1·01юлопнr лр11м1,псtст к теор1111 м но­
жеств 11 ,1сжи· 1 в ucпon:i r н ш .чатсма·лоо 1. Это
:11.:стюм:п 11'-н::с к:нг теорIIя . прнзнаш r~ш 1J <-'l'!lcдo
н;пъ такп с 1юняпrя. I(;JK - 1 1рсдсл ", «CXUД1Lмoc·1 ·h·'·
" 1к· 11рерывнос·1·1", 11 ·1
·.
11. Оснсж ы :11<с1юмат1 1ю1
TOПOJ IOl 'I [L[('CK(}l'O 1 1pucтra1 l l"11!a б hlЛН ЗJЛОЖСНЫ
Фс; шксом Хаус;tорфuм 11 ~-1::~ 11t'р 1 11<:ны роо: 111'1-
ск~ 1 м м:1· 1 ·с;;1ат1 r к<>м J! ;нuюм Cerm: eвi1чc:v1 AJtt'K-
c:11 IH[J< IНhlM ( J 8t)(1- I C)ii2).
Теория функций. U ШlLJaлc века фра1щу:1
А11р>1 JJ e6cr :1аверши.11 п остроеш 1 с тсор1ш ме ры
н пттте1·рщюшr1 11 1я. 13 Xl.X n. 1кл<::д за О. Коши п
.LJ. 1:'11ма11о м ш 1тсrрал
,,
f/(.\' )CL\·
(/
щ.1н11м:ш 1 1 как 1 1ре;~ел р н м:.t1юш,1х су'\1 ~. За
11р11f>J111жё 1 111ое :-1 наче11 11е 11 нте1 '[)ал:1 бра11н 111,1-
р;.~же11ш1 R1 1да
11
I,лс,,н.v, - .У,_ 1 ).
1дс.\'1 -
11екоторая точка отрезка /х, 1. x, I, о =
= .\',, < х1 < ... <. .У,, 1 <.1:11 = /J - раз611е1111с отрезка
11нте1·рщюш11 1 ия \а, tJ \.
Лl:бtт ст: 1л rюсту1шт 1 , нн:~ чс. Он p~i:j611вa 11
irл: ''"YL'r.1 ·~ifY~ 1•1.},.t,/,'.'L ~ ·ь. 1\"1'-}tJ '\Y\'.//\•-'1_t1'a{1\ ' '\ f\'J ..!"\_'<'2''.4'\1\'' 4• • < . .
<. 1', 1 < у, < .... MOTIIl\l·IPYЯ Э'l'О тем. Ч'l'О ДЛЯ рзз­
rывпоiI ф)•llKЦill I,{HeHOЗMOЖ!IO l\Ыб\Х.\\\, ТОЧКУ
.\',. кuто рая а;tс1<ва-11. ю <-Предст~шюrла» аы фу1 ш­
ц11ю 11а 0 ·1р<::л-.:е jx1 1. х,). Jlo если фунющя ;~о­
е1·аточтю сложна. то .v1 1южества Е, нз ос1 1 :16с
ПIн.:с. ДЛЯ ~LYП.>pbL'< Yr- I <, ./\.\:) <у,. MO!') ' I' бh!ТЬ
112
yc· 1poc11hl H(>ChM::J 11p11 •1 y;l.)ll llIO. 1т ч ·1 п()1, 1 JIOC'll)O-
IПЪ ·1·сор1110 1J 1 1тс1·р1 tpo11:11 11 1н 1·1t:об.хою 1мо ()ыло
НЭЧ.:1.'LЪ ( meo/Jl.111 Ш!jJЫ. '1' t'. Jl;.!)'Ч lf 'J ы·н 11 :1 \J CJЖIЪ
r':iкr1c м11ижсстна. ::)·1
·0 c;~~J1ЭJ111 l)opc. 11 , 11JlL:()e1
М ера мrюжесл~а Е (с~с1жем.. 11 а отре:ше 10. Jj)
опрслеляется следующ11 м о6рззом. Н 1 rж 111ою
грань сумм щшн н11тtтр:L'ЮТ\ 1юкры11ающ11х Е.
rтазо..uём вl!jJ.Y1-t01! .мcpotl Н. J:kpx1 1ю1 мер;~ ощх~­
дслсна .ЦjШ шобо1 ·u 11-uюжсс1·на.1'1пожt:ешо Е 11а­
зы н а<:то1 lf3..~юри.мьн1 по Jil!бe?_J '. t:сл11 сум ~1 а
lll'(1X 1-н.: й Мt:ры :"!ТО!'( ) м 1I OЖCC'l ШI 11 Rt:px11 c1' 1
меры Cl'() i \O/IOЛllCHШ! (!Ю OTl-!OllJCllJIIO" огрl':l­
ку (U, ll) раы1а C/\J 1111щс. 1'(JJ'дa вс.:рх11ю10 меру Е
11a:J1,1 в:нот .мероi1 Лебеиt 11,1 11ожес1 ·н~ Е 11 п\10:111;-~ ­
ч:1 ЮТ П1(:S Е.
Ри .v1:шоnы су.чмы для вы • 1 ис 1е111ш 111гr<:rp;:iлa
1kбе1 · :~aMClШ.JJ C)ГMM:JMl1 НJЦа
I Т\,шс:-.А,,
1·де т~, - lll'K(Yl'Up:1н точю1 0·1·р<':ща [ J', 1
• l',l Он
кссhм :1 ныра:-1 1 1п:1 1 ы10о х:1рактср1 1:ю11ап 11 рс: 1 1му­
щсстни сщ ,с1п ме-1·ода. ~в мет1щl' Ко1 1111. - 11 11
ст Лсбе1. - оперируrот т;.11, , 1<:i 1< [(ел:-tет :~Т()
l l t'() I J l 1l'ГПЫЙ ю1е::рк, J<()'l'Opblfl IIO/ ~(' Чl lТЫB:'l e'I' М(] ·
11е·1 1.1 11 крl:д~ п 1 1ыс 6иле 11,1 ссюбра:шо ТО1\1 у, ка1<
0 1111 1юпадаются 1юд ру1<у. Тогда ка!\ мы опери­
руем, ка к опыт11ы:i 1 н иетол.пчоый клерк l'OHO ·
ря щиi1 : у мсIJ я rпes Е 1 монс:.т по 01tтюму фрашт.
сп)ящнх 1хшс~F1, у ,чспя 111ск Е~ монет но д~3
фpaI1 1<:.t, стоящнх 2 х mcs Е!. у меня 1щ.:s п, мо­
нс:т но 1IН' l'h ф\)аL 1 кон, с:.vrо н щш< '5 х mc~ ,";. Ltтo-
1·<>,у мс:.:нн1хшс"f,1+2 х111с:-.1~':.+'iхпк·-,Е;+
фра1-1 ко11. Конечн о, r1тот и 11 р)то 11 ю1ерю 1 111т ­
дут к 0;(1 юму п тrJ~·1 y же pcэy.r11>1<J·1 у. HrJ в случае
сумм 11сдсm1м 1.1х, чпсло которых 6ес коне<11Ю.
раз~ 11щ~ 1lB}:\ ~1 tт(щов ка111 rт~mы1э·), llа ба:1е 1 ео­
рпи меры ро,rщ.rюсь 11 оное пащхтлепие в тео­
рн н фушщш'1 - лum~рl!цесл:ал теория фу111щшi
Тр а1 1сформ11роваласJ, в тсорпs1 м1южссн1
Трп фр~111цу:кю1х учi.;ныл - Борет,, Лсбс1· 11
Ре не Лу и J-;1::1p - :зэложш 1 1J ос1 ю 11:1н1 ш r)l!оф1т­
т11вной IШIO/JllUЛ1.IIO)l((!C11 Ж 'L '. с . теор1 1 11 ЧJ IC J[ O ·
l~ Ы Х Мl·!ОЖ.е\Т\~.
R 20-с п·. нсдущан рш1u в тсор1111 ф~ ню 1 111'1
?<..::'iY.::u·1д~t ·L'. 'fJ~''-'-·6.~J'ii1 ·шк\.>nс. 1,0 l\ J\IYIO 11ptдl 1·а11·
тrлп Н. ll. Лу:нш 11 его уче1111юr: П. С. Ллt:кс:111-
1\РО'<'•, Н . К. Пaplt:\. А. Н. Конмоrорсн~. Д. ~- Ме11ь·
шоn, М. Я . Суст-ш, А Я. Хт1чш1.
Раз.вптис а бстрактных разделов матем:~·
тики Стрс:.\щ:1шс 11р1к.л аtш 1· ь чt.:. IO\\l' 'lt:t:ю11'


разу,,1 ,\lf;1f)п11н,wн:1ло усилия .~ti'i'O.' liX,., м1.·о,• их
j'чё111.1х . Внрочем, 1н.:рС!'•СО 0110 утю;tшю их 11
rакпс ,"\ебр11. которые почт~ 1 11 е н.мст1 сопрп-
1\uс11ове~шlт с реальностью.
н ПС'рной П()ЛОНИl!t' хх н. нo:ШJJК.'I~I концсл
ЦJIЯ аксио~1атнчсскогu ностроt'нш1 всей матс­
щ1·шки. Со1'л;ю-ю этой концеп1tнi1. lJ<.) с1ю 11а"'
ак;111<::.ш ка А11/\Рl'Я l-11 1кол ;н:кн чэ Кол мu1 орона
(190:\ - l987), '< Н OCl-IOHC t .K<.:it 1' 1;,l"J l'.\.la'J'Ш<ll ЛСЖJ l'J'
Yl lLT:JH 'l't:Ория МНОЖt.:СТ!З» - духовно<:: / \C'J 'IJ J(lt;
1«:ор1 ·~1 Кантора. J\11ю1·11м 1<а ::J :~лось, что 61 1аг0/\~1ря
11сиедо11а1О1яl\1 Ка1 1тора математ1ша 1 1олж11а
61.i .r1,1с t:п п f"юлсс стройной н с~ю юй - состоя-
1ше. которпе Г11льберт 11аэк1л «раем». Koi; ta 06-
11 аруж11лщъ пр отшюр~::чнн u теории мtюжссгn
~1 мат<:м.~тнки C1':v111 выражат1, COJ' - 'J 11е11ия R c:1м1L'i:
et 1к1юват1нх . Г1rльбср·1· 1юскл11кнул : « !1111шму
11с д,1нu 1п1·11а·1ъ нас 11.> кантuрu.нсю}J'(.> рая~ ~-
Раэ 1111 · 1 · нt: аксиом:~т11 чес ко1 ·u мстсщз 1ю1 ·рt:60-
1шю кр1r·1· 1 1чс.с ю 1 11с:рсс"ю' 1·рl"ть оснон-а1-11, щ на
которы е оп11рал:.1с ь мате1ч :пн1<:1 K1)JI •\.1UJ ' OP<J11
JlllC':-t!1 : «\lp11 IHК:TJ10l'llШI 061ш 1р11ых 11 Н110ГЩ1
11ес1,"1:1 a6C'rpaкr 1 11.1x теорий, охватывающих,
rюии.чо тех ча стных случаен, которые п.rнте1111
Г\ 11л со:~,"\;пrню, 01тюм111.1й матсрнаJ 1, получаю -
1щ1й КОВК\)i;;ТПЫС lф\!МСНС1НШ JIИШ\," 11ерсш.:1'-
11шс десяп1ж.:тнi1, ждать пспосредст1к:111тых сн1·-
1ылuв о 11сдuстаточ1 ю\1 коррс1пнuст11 теор и 11
ПС'ЛhЗ!I . ВМСС]'(} ~ТОП.) llj)HXU[(ИTCЯ оnр<1ща IЪСЯ КО
1ю.: \\у llaKOПЛCJJJ[()l\;\Y uпьпу работы Yt'JIUllCЧC­
cкol1 ~1ы с, 111, котС)рый как p:t3 11 суммнрустся R
ныраб:пын:н:: мых 1н>сгr::псr1но науюн't трсnо11а-
11шrх к " L"1 р< н·ос1·1 !'. доrса:1атс::m,с1 'Г1».
Гr1.11.берт СО:iJЦЛ ;1J(C I IO i\1;) ' 1'f IKY ЭЛСМСI п ap1юir
1·с::омстр1111 , ;i Колмогоров - тсор1111. веронт110-
стс l1 Ст:11ш р:.1зшша1ъсп мног11е др5т11с Jкс1ю ­
матпчесю1е п.:uрпн.
ll коrще 5U -x гг. гру1ш;~ фран1~узсютх .мате ­
машкuв. вые 1 '\1 111шшн:< н 11ечатн 1ю,~ 11сt:в1101-11 ·1-
мо:-.-1 Н11кол:i 1->°урбаю'1, оf1ъс;1 1·1н1rщ11_:ь 11 жстнш11
l lUC' l'PO l lTЬ KCfO ~1:1'L'(;' .\'1:ITI1 ку 1[;1 а K~HOM<l 'J'l I чсско 1"1
оо ювt.:. Ф)о 1~даl\1ентом с.11уж1111:-1 тсорня множесп1 .
3л 1::;-. 1 сгр0111101
пср~ыJ·1 этаж у1юрядоч~.:1111 ые
с·1·ру1<тур1>1, '1! 11·е\1ра. общая ·1 ·ополnпщ теор~ rн
11сры. По-1 ом сле; щваJЮ ноз1н:·сги nтCJpCJ1i эт:1Ж,
r.·1e ('OC/tltllЯЛПCЬ бы струКТ)1JЫ - :шгсбр:.111•1е­
:к11е, 1·еомс-rрическш: и 1'. н"
-
состашшющие
ntр1ш й этаж. :·)та по11ытка осталась 11сзавершL·н­
иО1\ так каr< сама цст" 1 10-вrщимому, бъша ую­
m1чн~1.
R 2U-<:: IТ. JIL'U6ЫIOIOKtlll-I01'0 \):IЗBll'l'lfИ до­
=т111ж1 ;;m ·сбра , нрои :щ шла :ш 1 ·сбранз<11 щя ма-
1 loooc орсмя
Лн11рt·i1111щм ,11·ш1•<
Колмоrо роs
'J 'CM:t'l'llIOI . C:p<:J\11 тех, K'J'() н :{H ;IЧl'l'l 'CJll>HOO м<:рl'
с11особс1·кока.11 :-~тому 111хщсссу , t 1 :що н:1.:~на · 1ъ
нсмсц1«J1'<J матt:мt1·1 · 1·1к::1 Змм11 Нёп:р 11 ее учс-
1111к::1 1·01u1:1 t t/ tl (:1 fia 1т1 '(;'Jl<I Л<.:1 l / \t:рт~1Ra11-,tt:p-Bap­
/ (t:Jta ( 19();1 - 1996).
МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА
В конц<:: Xl.X n. каза:юсь, что фи зика
-
:1аuер-
1ш:~1mая облает~, з11ш111й. Р~1сска::~ываrот. что
некай ющ.>llL:t обрат~ u1сн к мэтру (на стан~ в 1ку)
с пrосьбuй о 11а11утстн1111 - он хоп.:л стать ф1J­
з11ко,ч. //о мэтr OTBC'l 'HJI , Ч'JО у t\Jl!ЗJIКI 1 1н:т гrcr­
(ПCl<TIJВ: 11а почт11бс:юблач1шм11сбс 0·1·крыт1,1х
llC'I llH HIЩllJ,I ЛllШЬ / \Ua [ I CбOJIЫUIIX обл :~чка -
0111,1 ·1
· 1'v1а ~'1 1<сл псо 11а ((Jtl 1tока:~ал 11с:-.1;1в11с1шост1,
скорост11 света ()·1· /(Виже11ю1 :kмт1 . Пр1Lм.
ред.) 11:-~а1ю 1 1ы11:1.11учсния. Скоро 01111 рассеются,
н в фпз111<е нечего 6)7\СТ делать.
Через нс.:сколько лет 1 1з ~1срво1·0 об11ач1<а
рuдиласт, с11~цнал~.11:ш тсор11н uт1юс11тслыю ­
стн, а 11.:~ втuро1·0 - ккантован мt:хаtшка .
Ct 1 сц11а : 1ы1ан 1с.;орня 0·1 ·нос11тсл ы-юс 1 11 cu-
:3:\<tнa к 1905-1906 rт. усшшнм1·1 Альсk:rта ?Юн -
111· 1-еl1на ( 1А7С)-19'55) 11 Пуанкаре. Устроl1стно
ф11 :111чсощ1 ·0 :v1ира, 011исы~асм о1 о .- f1 011 те1)р11-
tl1, Gы1 10 оче111, 11 t:пр1н11,1ч11 ы VJ . 01 ю r1ротинорс:­
ч11Jю · 1.·с:м 11 pt:ДC'l'~lliJH; IПIHJl.I, /..0'1ЛрЫt" 11ыр;1б:п1.1
валпс1, па nротяже11ш1 пос1 1t:t1шх тrёх ueкon.
Чct·u стон·~, нанрнмер, ч1арадокс 61111:~ш: цо в+ .
Один и з 1шх жиnёт 11;1 Земле, а другой отправ­
ш1<:тсл в тщошчсскос путешествие па свt'рх ­
скоростной ракt.:тс. l3ер1 1 уш 111 1с 1, 11а:~а/\ 1ючти
11с 11:з1v1<:1-~нuш11мсн, всС:· так11м же Н)НЫ~t. ка1\ в мo­
Mt:H'I' ст;~рта, 011 :~:1 ст;1ёт с воt1·0 (1рат;:~ 1 ·nубою1м
lH


История математики
ЖюАь Анри Пу~ н карр
l~1·ари ком - ведь nрсм:я на Земл е и в космиче­
ской ракете текло по-ра:шо му.
1! о коr.п. а 061-1аруж.илась снязь спе циальнuй
тсо рнн относитt:ль 1-юсти с 1·сомстрпt:й Лuба­
ченскоrо, это кдох1 ювилu м<1тема11,1 ков: теория,
1 1 редс1 авляншаяся многим абсурдной заумью,
Bfl.pyr оI<азалась пежа щей в основа 111 111 uсего
мнро :ща тrя.
Через десять лет :7йmuтей11 создал общую
теорию относителыю сти , 1<ото рая полностью
разрушила представл е1ше о « Плос 1<0м» мире .
Геометрия мира предсгала «искрнвлёпrюй» и
снН::!<1нной с: тя 1 ·отен11см . Пок:~ з:шия 11риборов,
сонер шнв111и х rтуть от одной точки н дру 1 ую,
как ныясн.илuсь, тюлжн1,1 завн сеть от траекто­
rни J\f\ИЖС ННЯ Паралле.11ы-ше пс.rе н есе 1 IИ<:' на
1-1 ск rнил Е ннn~ х поверхностях опре11 еляето1
одннм н з tJаж11ейших понятнй 1·еоме1rни -
свл:тостью. 0110 было п 1х:дметом изучения
геш.1етров итальm·1ской тттколы - Леви-Чивита
и др. Всё это повлекло за собой интенсишюе
развитие 1-еоl\1етрии в 20-е и 30-е rr.
Тогда же научны й мир ожидал и другой
« 11ruк ~ - рuждсние квантовой механики. Ру­
шился сщн н 1·13 H <:З hl бЛC MhLXДOT(}JJ поры баС'l'И­
о н он на уч ног о мнровпззрсния - прю-щ1 1 11
детерм1 1низм::1, т. е. nредск:~зуемости будущею
по пр ошлому. Выяснилось, что мнкром11р
неnрелсказуем . В ссютвстствии с при1щmюм
неопределёштост и мы 11 е можем точно уз1 1 э·1ъ
од11оnреме11110 н пол ожение элеме нтарп о f\
частн!(ы и сё скорость. Это казалос1, неnероят­
ным даже такому rcr rнro, как Эйнштейн, - од­
ному из ОСНОВОПОЛОЖIIИI<ОD квантовой теории.
~ я нс нер ю .в Бо1·а, иrрающе1·0 н кост~», -
н с уставал п о вторять он.
114
т~1к случн 1 юсь. чт11ма· 1·с мат11ческис основа­
нш1 к1:1а1п·о вой мсханюш были с:озданы Гнль­
бертом и е 1·0 ПОСЛС.:/\01'\аТСJl>IМ И ll C.::.J;Jll;OJIГO ДО
рожде 11ня само~! t 1 аук11 . В ч<1сп-юст11 . Г11т.бt:р­
тоnа теория бесконс чrтомер11ьLх кпадrаптч11ых
фо рм помогла установитъ рав1t0с 1rлыrость
двух 1юдходов к о rтнса нию микр омира - ма­
тричной механики Гейзенберга и вотю1юlr ме­
хашш:и Wpi.:1~11н1·t'pa .
в 190'5 1' :;)r1 нш ·1·е йн uпубликовал тrи рабu­
ты . Ою1а была посвящен~• спе r tи ал ы-ю й теор1111
от1-юс11теJJы-1ос_-г и. !\ругая - кна11·1·01ю1'1 механ11 -
к<::, ЧХ0Тl>Я -
'1еОр1·111 броуН<.>RСКОГО /~111-IЖ<::HJ 1Я
О первых ,11вух пробпемах уже rr>1юр 1-1лос1"
тепер1,, peLJЬ пойдёт о трет1.е н .
Математическую теорию б роу 1 ~овского
дnижет-п-ш построил Колмогоров. 13 пей nоссо­
t'ди11илт 1 сь тео рия теплоты, пачат~u1 11 сслс1ю ­
кшия.ми Фурье, Т(;орю1 броут10Rско 1'u дш1.же­
н11н Эйнштейна - с~юлухuвс:кого, со;9щ11нш1
ими на фн::sичсском уровне, и ре::iульт:пы тео­
рии вероят1юстсl1 , нач:.11ю которым положи­
Jllt M<tfЖOn и Rи1 1ер.
Высокого ~1Jоnня достит ·л<t теория урав 11е­
ний с частнымн гrрон:1tю; 11 11 .1ми. Пуант<а ре 1111-
сал: «Каждая физическая тео р1ш . п<нюnа~1у
освещает уравне ния. Без ;:,ти х теорий мы
н е зналн бы, что та кое ураu11ения в ч астных
проиэво; tны х•. Прониюювспис мз тематики в
различные обласvr'и мс::ханики и физнки шло
широким фронтом . Уч ёные-ма тсматики 11ри­
нимал11 активное уч<1стие 1:! р;вработке м но­
гих фн з ичt:t:КИХ тсо р11й - турбуJ 1 t:нт н ост11
с nерх прОВО,!\ИМОСТИ 11 др.
МАТЕМАТИКА
И ВОЕН НО-ПРОМЫШЛЕН Н ЫЙ
КОМ ПЛЕКС
Матсм~1 тнка }"Jастновал:~ ин т;.~ю 1х дб1 н1 шх нека
котоrые п о11нсли человечество к rранн всем11р·
ной катастрr>фы. О1·ром1юс ч1 1 слn учёных я
разных п·ра 1 1 ах 11ринюш учасп-t~ R11рu 1 раммах
110 СОЗД:.111ИЮ IIOFleЙt llllX сrедСТП 1юоруже 1 1 11.я 11
веде1 1 ия военных дейстnиi1 .
Потреб11осп 1 самолётостроспия пр иоел н li
развитшо аэродинамrпси и появле11и ю n m<ra-
лc всI<а теорин полёта. Среди ю1а сси 1юn это11
науки - «0тс1 1 русской :~виаци 11 » 11. I::. ЖуТ<ов·
ский и его 11осле;1он ап::ли - С. А Ча 1 1лыt·1 щ


1.1 . 13. Голубев и др. Длн создання те:орш1 rюлёта
ош1 прнмс н яли н шттенснв1ю разnивзлп тсо ­
р11ю фу11кц11Г1 ком1~лс1,сного переменного.
С..:о стропп.'ЛЬСТJЮМ IЩЦВОДНОГО 11 ПОДIЮДJЮ­
\'U t\11ют~ были с.вя :>.:11-1ы фу1 1J\аме11т;u~ъные до­
ст1гжсt 111я н обп:к~1·1 1 теор1111 кор~1бля (А. 1-1 Кры­
лов), гироскошн1 (А. Ю И1 11 тшскнй), ра:тнт11с
г·сnрин )'C'l'OЙЧ l·IJIOC"ПI , ме'J'ОД()В RЫЧНСJ1ени1I .
Н1111ер и Копмогорт1 :1ан 1-1 ~1ат rс1, ,\11rог11мн
пр 11ложепннми теор 11 н нероят1юстей, R ч :кт-
1юстн утtранлением ар·r·илперийсrшм с>п1ём и
nроблема ,\1и бомбометания. Из nотрсf1 1 юсте 1'1
11шфроnк11 секретных сообщений 11 эффск-пт
1юi 1 псрсд:.~чи их по как~Uiам сш1зи nырос со­
вер 1 uешrо новы 11 ра~дсл матс~1атики - meoprm
11нфор.мmр1U (К \Uе нно11). сонсршс1-1стnоuалась
11 1·сорин конирона 11 ин . КО11с·1·руи рова ние раке· r·
{\а11ы-1с1·0 дсйстния с1·имуниrокало развит11е
оп·п1м:.~лh1юго ут1ранлс11ия (Л . С. Понтряги11 .
Р Бt:.ш r ;11:.1 1 Т) и мнопrх друтнх p<1З/\t:JIOB прш<Ла/t-
11ой п ч1к·тоИ м::~те,,1атнюr. Г1рЛ1<.1!<1/1,t1ая м:.<тема ­
тпка обслужнн;vrа и ~томную про 1·рам .v1у.
Лроп~rюстоя 1 ше дnух со1tиалы 1 ых систем
привело к невилашюму развитию техпнки и в
конt:чном ито1 ·с - к и11форм;щионному взры­
ву, выз нш 11-юму коиrrhlотернз:щисй . Роль матс­
,\lатикон к pa~raбu·r·кc 11 сuзданн11 n l'рных ком­
пыотсрuн н1.::сьма 11(.'лнка.
МАТЕМАТИКА И НАУЧНОЕ
МИРОВОЗЗРЕНИЕ
Неличие ХХ столетrщ в часn-юсти, 1:1 том, что
01ю нарушило, изме1шло, преобразовало п очти
нес 11редставлсния челоне ч сства об окружаю-
Новое орсмя
Щс\1 мире. И здесJ, л1атсмат111ш сы 1 ·ра;1.~ вы,rр­
ющуюся роль .
В 11 ачалt: века казалос~. - 11ау1<а fi.rшзка к
оn'Ьлс11е1mю картт1 1.r мирозда 1 ннr . Учё11ые
были Уflерепы в том, что м1tр nпзнаnаем , что
.l:k-cJ 1 e1111aн суrцествует вечrrо. что она пе имеет
ни начала, /Н I l\OtlЦ<l 11.И во Bj)CMCIIJt. ШI u 11ро­
стра 11 ст~е . Земля, счпт:~ли они, образоnа;1 ась
естественным 11утём. естественным путем во3-
н111.<л:t на нсй жизнь 11 н ходе естест1к:нноrо
р: 1 :.т11т1 1я она ,r\ост1 н·ла щ.:сго то1·0, что открыто
пер<::/\ нашнм llЗ()ром.
Однакп 0()11(:1 н ·rтпрт1 относнтст.1-1остн
Зйнr11те1"111а пr1 1 11слз к развитию .космологии. к
теорн1 1 Болr,шого В:1рыва - пачэль11оli точки
отсчёт:1 ж11 31111 lkелеш rой . Лростраrк1'во Rсе­
лешю11 О1<азалось ограниче11 ным, хотя и рас­
пrпртощимся.
В больш1111сrне теорий о происхождешш
Солнечной с11стсмh1 обнаружилпсь глубоюrс
ИЗЪЯНЫ. \.':щ{: f>OJJCC ' \'~\HllC'TBCHHhlM ~Ыl'JIЯДl'\T
IЮЯllJJ(.'ltHC ЖИЗt-111 на Зt:,\.1ЛС н сё ЭВ{)ЛЮJ \1 !Я , 11ро­
исхождс 1 r нс чел о нека. Нз месте пошатну11-
uн1хо1 TI pyXH)'llllLllX П[)CДCT::JRJICHHJI Об }'C 'Tr>OJ1-
Cl'HC Rce;1e-11нoi1 сонреме1111ыс учсныt' пытаются
соэ7(;.п11 р<щиоrrат rстнч ескую версию мирозда­
шщ хотя уnереmюсти в ус 11ехе у 11их 1 ·ора :то
менъше, ч ем быJ ю у 1юr<олс11ия 11х уч11те.11~й .
l3cp11ёмся к вопросу о дстерм11ш1зме. Оо юn­
но11 тезис постн ыотоноnской н:~турф 1 rлосо ­
фш1 состшm D том. <rто мир управляется диф ­
ференцш1 лы-1ы мн урав111.:н1шм11, 1111ачс 1·01юря ,
01 1 rюлнос·1·ыо пред с казусм . Гlослу111айте:: , на­
пр11мср, t1ьср;.1 Симона JТанпаса: .-,Ум , кт·орому
fiЬJJll.J nы 1I Э llCCТ.l I Ы ДЛЯ КС!ЖДОГО /\aHHOl'O МО­
ме11 ·га вес с11лы _ ОЛ}Wевляю 11п 1 е пр 11[Ю!\У, 11 от-
1юс11телыюе 11оложеш 1 е 1ксх tё составных
частеf1, еслп бы n11.обаrюк 011 оказался / \r JСТатuч ­
но обш 11рпым. чтобы подчш1иТh эти да11 11 ые
анализу. - он обнял бы в одпой фopl\-ty.rte
дш1жс11ю1 вслнчай1uихтел l3селс11 н ой наряду с
движениями лс1 ·чаftших атомов: 1rc щ_'ТаJЮ<.:1> бы
н1 1 <1егu, ч'1·0 бызю бы для него недостunср110, и
будущее 'J'~ll< же, каr< 1-1 прошс.:ю 11 ес. 1 1рС/(Ст~1л о
бы \IC}ll:;'/\ CJ'O ВЗО[ЮМ ».
Ro npcмtн:.i Ла11J 1 aca Ш'ром1 1 ыlr мнр представ­
лялся 1щрст1юм Поря11.ка, 1~ нём всё нр~дt:к<tзус­
мо, nrСД()ПрсдеЛСllО, И ТОЛЬКО ШIЧ 'l'ОЖllЫЙ J(ЛО­
ЧОК этого мнра зашrмала « прот11 1юпр:ав 1 1ая ->
область, где утверждал себя Хаос, - азартные
1rгры Пасr<аль, Ферма, Я . Бернулли н сам Лаплас
uписади первые законы случая.
115


Иrrория матt>митики
Жюль Анр11 1 1 у.111к ,1рt•
стаrтпюм - ведь время 11а Земле и в космнче­
ской ракете текло 1ю -раэ1 юму.
1Jo кота обнаружилась связь специалr..rюй
теории относит<:лыюсти с геометрией Лоба ­
чевского. это ндою-ютmо математиков: теория,
1 1рсдставлянrш1яся мJ-ю1·им абсурдной зау м1,10,
BJtpyг ОК:133Л3.СЬ m::ж:1111сй R OCJJOBЭllИИ всего
м11роздан11я .
Черсз десять лет ЭйнштсЛн создал общую
теор~ 1ю от1юс1 1'1·елы-юст11 , которая поm юстъю
ра:зруш11ла представление о ~ 1 тлоскnм» мире.
Геометрия мира 11редс1·ала «тrскривлёпной~ и
свлэаш-юИ с тя готением. Показа ния приборов.
совершивших путь от од1 юй точю1 в другую,
к;щ выяснилось, доджны зависеть от траекго ­
рии движения . Параллельное перенесение на
нскривJ 1 ённых nовсрх 1 юстях 01 1р едет1етсн
олннм и :~ важнейших 1юнн·1·ю) 1·еометр1ш -
сн~зностыо. Оно было 11ред м етом изучения
геометро 11 ит:з11ыrнской школы - Ле1т-Чивнта
[r др Всё э·1·0 1ювлекло з(! соб()й 1111те11сн ш юе
ра::mитне геомеrрш1 11 20-е 11 30-е п.
Tor,1,a же 11 ауч 11 ый мнр ожидал 1-1 другой
« ШО!\ •> - рождение квантовой механики. Ру­
шился одm 1 и:з незыблемых до той поры басти ­
онов научного мировоззре ния - принцип
детер.м11низ ма, т. с. предс казуемости будущс1'0
по 11 ро1111юму 13ыясншюсь , что мокром1 1 р
11сnрСf(СКазусм. в COO'l'RCTCTl\llИ с пpHHl(ИflOM
нсопрсделё нтюстн мы не можем точн о узнат1.
од11овреме1 11 ю н положение элементарной
части~ (Ы и сё скорое1ъ. Это казалос~. певеронт­
ным даже такому r·етпо. как Эйн штейн , - од-
1юму из ОСНОВОПОЛОЖ l lИКОВ квантовой теори и.
«Я 11е ве рю й Бога, играющего в кости•>, -
не уставdЛ повторять о н .
114
Так l'J IYЧ.11JLOCI>. ЧТ<J матсм;~т 1 IЧ {:(.'!{НС ОС НОН3-
НШI квантmюй механ 11 ю1 были со.:щаны Г11J1 ь­
бt:ртом 11 ето после11m1а · 1 ·е11>1мн нсза,r~,ш11'0 до
рож,це1111я са моl 1 1-1аую r . Н час·тност11. Г11J11,бер­
това теорпя бесконечномерных r<naдpaтrrЧ1rыx
форм помоJ ·ла устанонип, рав11осплыюст1,
ДRух 110,ri,xoл:on r< опи сашпо микромира - ма­
трично й м<.:ханню1 Геl1з<.:нбсрга и тюm юnof1 мс­
хаш 1ки Шр~д11н 1 ·ср:~ .
В 1905 1·. :;1r1ш1y1·1.::i:-111 tшубл 11.конап тр 11 р:160-
ты Одна была посня Щl"На спе1 ~11 ~u 11,1 юit теор111 1
ОТН(1ситс.rгьносп 1 ,дру 1 ·;:~}! - квантшюй м ехан и­
ке, 1т>еты1 - ·1·еор1 1 и броу110 1ккого ;~н11жrн11я.
() nepnr.1x двух проблемах уже 1'0 1 1орнлос1"
теперь реЧ1, пойдёт о третьей .
Математи<-1ес1сую теорию броуновского
дшfжсшrя построш1 Кuлмо1·ороn. 13 ней nоссо­
едш1шшtъ теорня те1шuты , начатая исслсдо ­
вш шями Фурье, тсор11я брuутювского дв11жс­
н ш1 Эй н111тс:й 11 а - С"юлуховскш·о, сu:.ща111 r ая
имн на фи :шчссr<ом уроRнс, t1 резу111.т:1ты т~:о­
р1111 вероятностей. начало которым положи­
ли Мар1ю11 и Rи1 1ер.
Высо1<ого уроrнrя досп1гла '1 ·еорШ1 yraD11e -
1rи:й с частными проиэnодт1ыми . 1lуа11каре1111-
с:зл: <- Каждая физичес1<зя теория... п о - 1ю1юму
освещает ура!311ения. Без ;:,тих теорий мы
н е з нали бы. '-ПО такое уравнения в частных
произ1юдных~ . Про н11ю-ювс rrие матсмап1ю1 в
различные области мех;1ш1ки и физики шло
ши роким фрuнтом . Уч ё ны е-математики 11 ри­
нимаJ1и активнuе участие н разрабuткс м 1-ю­
t'ИХ фн з 11чсских тсорпй - турбулент1 юс·1 11.
снерхnрО!'IО/~имлс-п1 н д р.
МАТЕМАТИКА
И ВОЕННО-ПРОМЫ ШЛЕНН ЫЙ
КОМПЛ ЕКС
Математика участвонала н Rтаких r1е>1н пях века.
котор ы е подвели челuвечестнu к 1'ра1 ш ш::ем 1 1р·
ной катастрофы. О1 · р()м1юе ч-1 1 сло учёr11,1 х н
раз1rыхе1-р;н1<1х при 1 rю111 уч аст11е н [ 1 роtраммах
1ю со:1да 1 тию 11 овей ш11х сре11сп~ нооружt11ия ~1
Rсдс11ия военных действий .
llотребпостп самолётостроешш прилел11 к
paзDlfTllIO аэродипамm<и и rюявлешuо u 1~а•1а­
лс пека теории полёта. Среди класс11коn этой
пауки - «0те1 ~ русской а ни ац1ш,) Н. Е. Жу}{ОВ·
с ки й и е1 ·0 1 юс.:11едо 1~~1тели - С. А. Ч.аплыnщ


13. В l'олубсв и др. Длн со:щан~m тсорш1 попtта
0111·1 11р1 ·1мснял 11 п шrтсш..:1 шно разн 1 ш;JJш тео­
рию фуr llЩI JJJ KO,\l!ПJICl<CI (()!'() 11еремt:н H()J 'О.
Со строJ JTl'Jlьcтвuм 1 1 ~щ1юд1 ю1·0 о лоднuдно­
го флота быт 1 свнз~н 1 ы фу11дамснт;lЛьНые до­
с~·ижсrшя и област11 тсорнн кор:.rблн (А. К. Кры­
жш), 1·ирnс 1юпr 11 1 (Л. 1-0. Итлт rсr<ий), разuнтие
теор1111 устойчиnос-·ги, мепщов JЗычпсленr 1r'f.
Uиттеr 11 К()nмог()роn ~аннмзлнсь м1ю 1·има
nр111южешшмн теории вероят11остей, в част-
1юст11 уnраnление м артиллери-йсrшм оrнём н
пробпем:н.~н бо.мбометзшrn. Из по1·rкбно(тсй.
шнфро.кю-1 секретных сообщt' 1-ги 1"1 и эффектив­
но11 псrсда4Н JIX ПО K:lH:lЛ:ti\1 СВНЗИ вырос CO-
кep111Cl-\llO ноный р:щц~1 М<IТСМ~IТИКИ - 1·neo/ЩJJ
инфо(J.лш111111 (К Ulc 1 1нш 1). соRерmенствонал~н.:f,
и теорнн kл;111ронан1нс Конструир0Rан1·1<:: р:~кс.·т
д;1ш.11\:\'() дейt"r1~115\ сти м уJI 11 ров~ло развитие
оптнмалы юго )r11раш1ен 11я (Л. С. Понтря rин,
Р. Пеллмап) и м 1 юги.х[(р-~тнх раз;tелов прнклап:­
ной 11 чнС'10\1м:псмати1ш. 1 Iр11кладп~я матема­
тнка обаrул~11в:иа г1 атш.нrую програМ).f}'.
1Iропmостолr шс: двух соцпалыu)rх С1 ~стем
11р11uсло к нсш щанному ра:.1внтшо тсхш~кп ин
конечном rrт01·c - к ш-1фоrм:щ1юНiюму ВЗ[>hl ­
иу. вызванному компh}tУJ'ер1 1 за1щеЛ. Ро11.ь м;1тс­
мат1-1ков к разработке 11созд;1нии 11ерRых ком-
1тыотtра11 Ht:ChMЗ BCJI 111<3.
МАТЕМАТИКА И НАУЧНОЕ
МИРОВОЗЗРЕН ИЕ
Всm~чис ХХ сталс.тия , в часпюС1'11, в том, что
оно 11арушило, 1 1змсюr1ю, nрсобразовало почти
все прсд(~r:шления чслонс:чества об окружаю-
1-fовое орещ1
-~
~L(!J
щсм м 11ре. И здесь мате,vr<1'1'1'П<'1 сы1·ра1 1а 11ы;tа­
ющуюс}j роль.
В начапс век:~ ка:~алосъ - наука блнзка 1<
объяснению картш 1 ы мирu:щ:нrпя . У ч еные
были уверены н том, ч.то мир лоз 11авасм, что
Вс<"·л1.::1-ш~ш сущесшует 1~еч1-ю, ч·1·0 она не им1::ст
н11 начшш, 1·11 -1 конца 1 1н tю нрсi\1<.:11и , 11и н 11ро­
странстве. Зе111ля, счнталн они, образuвалзсr,
естественным путём, естест1:1ен111,1м П)rt·ём nоз­
ннкла на не~1 ж11э 1 11. и 1~ хсте естестве ~ 11ю1·0
ра::~11J1тня она /\Ост1гг11а всего ·roro. ч·ю открытп
перед нашнм. н:юром.
Однако общая тсорт~я отпосителыюсти
Эfi 1 шпеfщ;1 nриnеда к разnиnно ~юсмо;югии, 1<
теории Нолыпого Вэр.ыва - началън оil точю-t
отсчёта ж 1 rзнн Вссл<.;Ш-юi1. l Ipoc1·p:111cтнu Все­
лс-нной OJ\;.iз::uюc1, огра1111чснт1ым, хотя 11 рас-
1 r 1иряю 1ц имся
В большинстве теорий о про11схожJJ.сI11ш
Сот-1ечной с11сп::мы обн:1руж1uнкъ глубою1с
1п r .яны . Ещё более ·1·~111нсп~еrrнъrм выr·ляJ\и ·г
1юн1111с11 1 1е жrr:JJ(H на 3eмJre н её ~нолюцня, 11ро ­
исхож.дешrс челоnека. На месте noшaт11yn­
rn11xo1 и рухнувших представлеш1ii об устрой­
сnзе Вселешюй соuрем:снвыеуч.6тые пытаютсн
создат1, р;.~ 1.1,Ионалнстнчсскую .версию мирозда ­
ния, хотя уnерснrюсти в успехе у ш 1х гораздо
меньше, чем бьJJю у п<ж<.mсния 11х у чнтелей..
Вернёмо1 к вопросуощ:т~рмнннз м с. Оснон-
1 юй тез 1к 1юс.:тныlУ1'uнонс1юi1 натурфщюсо­
фин сое1·ш1J 1 в том что м11р управляется днф­
ферсн1tн:1лhным11 уравне111,1 ямн, нн:1чс го1юря,
он 11от юс1ыо прt'лска:зуt'М. TTocлy11 ra ilтe, 11а ­
пример, Пьера Симощ1 Лапласа· «Ум, которому
быт1 бы аэnсстны длJ/ каждого щшrю1·0 мо­
мента все: сиJТы, одушевляющие прщюду. н от­
ноо пслы юе rюJюжсние всех её состаnных
частей, еслп бы uдобавок он оказаJ1ся дос1·~точ -
1ю обшнрным, чтобы 1юдчш11пъ эти даю 1 ыс
:ш:1т-гзу, - он об11яп бы 11 одной фopмyJJt:
дrн 1 жс.:1шн1:1t:1111ч;1Л111нх тел Rссл енной 11:1рялу с
дв 1 rмсниям11 лс1чай111их атомоо; 11е ост~шось бы
н11чс1 ·0, что было бы для 1-tcro 11с;щстонеrно , н
будущее так Жt', как 1r прnшс]\шсе, предсr:тп
бr.r перед с1·0 в:юром».
Во врсме11а Лапласа огромны.И мир предста u-
ляло1 Ilарством Порядка, в нём всё nрсдсI\азус ­
мо, пре;юnредслеrю. И только нпчтоЖJrr.rй юю ­
чок этого .мира :~анимала <•противонравmtя?
uбпасть, где уr·нсржд:т себя. Х:юс, - азартные
И1ры . Ласк:'.lль, Ферма, Я. Бер11ую1и н сам Ла111шс
опие:u1и 11~рвые законы сJJучая.
11 ')


Иtтория математики
ЛлеКСi\Ндр м1,1хм1лов11ч
л~тунсщ,
Но." облас1ъ Х:.юса расш11рял:~с1" 1fау1<з а слу­
ч:н11 ю:vi - теория 1~e/юяm1LrJu11uй
-
ра: ш1mалась
11 кре11лJ. В ХХ n. 1ю J\IJl(m"Jм 6лаr()д.tря усншшм
П. Л . Чсf>ыm~ва, л. М. Л~rл ,·1юва, Л . л. Маркоuа.
С. Н. .Dtрнштейн:-t и А. 11. r<:олмоrороАа от око 11 -
чатсл 1 , н о оформил.tсь 11 стал.t :1 ,шимать всf
6ольшсl' M(X'l'U !:) 'j'UJIKU.В<IHИH 11р11р01~ы . I::щС I ТU.IJ­
BL'K:l назад казаJlо(.ъ, чтu 1~<1рс·1 1 10 Х:юс: 1 11 1t:~р­
спю Пuр sщка п u край 11 ti1 o\lt'pt <.:О И. {J\\t'р11мы
лру1·(.' лру 1 ом. Но к llЭШt: время 1\] Jj()J 'ИC учёныс
11сповс.:.:дую· 1 но:13ренr t l'. Y", j {l' 11 ря мо 11ротн нопо­
:южнос н1,н >Т< >I-H >-ла пласопскому, Y"l 'Пt[lЖ/Laя, •по
1ке eC'I ь Х<юс. и у 1111!1. 1tm1э·1·01·0 епъ м11оrо oc-
1ю1ia11r1!1.
R -Ю-с п·. родилос 1, [f0130e направление н
;11~1т~матике - теория ~шформацин . Амер11ю111 -
скш·1 учёный IJ орберт tlнщ:р ( 18()4 196 1)
nклточпл тсоршо 1шфо рJ.1:щ1 111 в божт общ) ю
научную д1кц1- 1ru111ну. ко·1·орую он н.1;.1в:1 11 1m-
бejmenm~o{1 (г/Jеч. " 1 ~скус<." 11ю yнp::iв1Lt.'111lЯ")
116
Рож; tс.:1111с этой пауки т:шжс спя :~:шо с ооrы<. ­
ж: 1111 с.:м J\ш01·11х фшюсофсю1х 1<01щс 1 щнй. н
lf{ll'Ж/\L' HCC l 'U С l l(JH~ITl l CJ\ I COJHilHШI hЫJl,1 111,1-
CKa.~;.i 11<1 ~1/\бl -" 10/(l'JIJ 1рш~а1111}1 чеJН HIC'lt:Cl{()l 'O
Cn:1 1r:i 1г11я _ Но:iможностh со:щан11я 11екусс1 нс.:н-
11ых t'YЩl'CTH, o6J l 3/\alOЩHX MЫlllJ\Clllll:~1. -
одш1 из r1 робщ·м 1I01io1:1 филосафии. 1 ю:-1 1 1111< ­
шейnко1щеХХн.
И JТаконец, оди 11 11:1 кр::tеуголы 1ых кампtir
фшюсофш1 начала не1<а - сама 1щея Jюз11.1 -
н;~с.: ,,юсп1 м11ра. по - ш l/llL\1 0мy, тожt: разруш<.:11а
Uo всяко.;1 ст·час, uршщшш:u1ьн;т ш~ р:t3ре-
1ш1мос1ъ 11μ06J1t'\IЫ "разрс 11111 ..,,юсп 1 ВС(.'Х 11ро­
блt:'vР nыла ус1 :IHOШ lt'Jl :l В :Ю -1..· 11 ' l\)l'YllJ!\I
Гtд<:Jlt'l\I ( 1906 - 197Н). :1кс 1р11Г1сю l:\'l м:1 1·сл1::~ 111 -
1юм. :'11\1 111 ·р1 1 р(нi;1Нш11.\t 11оз;t11сс 11 CUTA
НЕКОТО РЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ПРОБЛЕМl::~I И ИХ j-JfWEHИE
« Нt:нu:.;1\1ож1то отри~ lа1ъ глубокое :~1 rачсшrс. ко­
l'Орое l lMt'IO'I OIJj.Jl'Дt'Jlt:HHhlt: 11po6J1C\1J,I Д.1111 11pu-
1'1:R IJЖCH[I!/ матема·1·11чс:.:ско1'1 11аук11 1юобr 1 ~<.:. 11
важную рот" кuтuрую 01 111 1 11 ·р~щл к paб<Yl 'l'
()1:дcЛbll()l(J l l CCJ l (. 'Jl()l\;1•1t:JI H » -
Э'l ll tJl()К:I ['11Jlb-
l)ep·1 llj)OI r:{н(;с ко HC'I у1lll'J'CJIbllOll Ч.ll 111 CHOL:J'()
; (ОI<Л;Ща, тюсвн щё111 IOIЛ формут lj)OJ\l\~IM .матt:­
ма гичесю 1х 11робJ1ем.
ХХ век }'H<tcлt.:,'l.O fiil!l от n рошл i.rx 11ремс11
11сс1<олъко ncm 1к1 rx проблс\1. С:1м;u1 сгар.1я 11.1
лпх, поставлешrан в XVll в., ~ тсо1х:ма <l>ep:--1.1 о
11t'pa3pt'1Шli\1 0CTИ 11 1raтypaJJ 1,1 !ЫХ ЧllСЛах Д llO­
ф<l l l'l'Ol!:t НХШ ll С 1111Я .\'
11
+)'
11
-z''прпJJ>2Двt
3На .чснНТhl С г1роблс,11,1 - ГonhJ\6,1x.1 11 ~!'1.11<.:р,1 -
н TL'op1111 ч11се:r 11р1 1111л1 1 11.~ Х\' 111 11 Rср1 ю J111,
дd1:111л Гильоt-μ1 .


что К:tЖДОt: на·Г)1Х11ГЫ·Юt: Ч\/СJЮ, 60J 1ы 11et 6, t:CTb
сумм;:~ ·~-рёх npocтr.tx ? С этим во11росом в 1742 г.
Х. 1·от,дбах обрэтился к Л. !)йлеру. Эйлер же
за.•1етил. что длн o-rneт:i на nоста1шс1шый во­
пр()с досгаточ1-ю ,~юказать, что каждое чётное
ЧJICJIO является су.:v~мой двух J1poc.rыx.
И:1 пробл<:"1 X JX н. нанболсе 11звестна 11ро-
6лсма ко1 1т1JJ1уума, 110с1·аю1е1-mаи l<антором : су­
ществ>'<.:'!' ли такое множсстно, которое можно
ю:1ш.11 ю ол1 юз1 tачно отобра:тть в сдr 1ннчный
OT[>e:\<JK , НО пр11 ЭТОМ еЮ·11 1 11ЧНЫЙ отре:Ю.К
11сm,зн f13;m~пю однпз11ач110 0·1·06ра:нлъ fl это
м~южесттю?
('и.rп.берт сформулировШl 2) проблемы, ко­
торые, rю ei-o м11е11и10, доюю1ы быm1 опреде ­
лш·1, nерс11ективы матсматшш в ХХ 11. Во мrю­
пrх нопросах оп окаэ:шся хорошшv1 прnвщщсм,
но в нескот,ких снучанх r1н·1у1 щr~н нз мет ша
С,\1у. Как лрантю, это быJJо напрJJмую с1:.шзано
с Т<.: .м ~Ql l'l'llMlfC'f 'llЧCCIOTM» RЗ l'JUЩOM н ;1 М~!р. о
котором уже твор111юсr" Сною убсж.;~ённ остh
111 rerJl'pa1 шчснных Rоэможностях ч..еловсчс ско­
rо разум:.~ Г~rт,бсрт выразил н афор11зме «Мы
XOT\tM Зlll1.T I>, мы бу!\еМ з11а1ъ" .
Оста1юш1мсл лш нь па некоторых пробле­
мах l'шн.берт:~. На первом месте в его списке
стояла проблема ковтrшуума. Обращаясь к 11ei'1,
Ги.%6<.:р"J псход11л нз возможr rестн её разрсше­
н~ш н ту 11лн 1шую сторону: да или не:т. llo
к1,1нс1111sюс1" ч· 1·0 она нс может бы·1 ъ J:-111 дока­
:1:~щ1 , 11и т1ровtрп1 уrа мстuдамvt д1ат~матнч<.: ­
ско i'r 1ю1·11ю1 н r1дной общспр11нято11 акс1Lома­
тичес 1·;0\·1 ·1·соrшей 'шожсс.:тв. То, 1..1то еС: н1::ль:1я
011 ронер п ryтr" лпкаэал п 19 ~() 1- . Гё;1ел ь. а обрат­
ную 'reorcмy - 11 19(1:1> 1·. 3мер11к;-~псю111 ма"1•е­
,\1:111ш Пол Коэrт (родился n 1Q34 J• ) .
Уверсшюсть n том, что I<аJКДая опrеделёп­
пая м~1тс~атJJческ::~я вроблсма flепремснно
должна нмеп> решеrл re, лоб)'днла Гал ьбер·1·;~
1юсп1щ11"h п 10- ю проблему .-УJ(азат1, способ.
llf>JI I Ю\ЮЩ r r которого 1юзможr ю после кuпеч-
1ю1'u числ:.~ оr1еращ1й усrа1юв11·1ъ, разре1uимо
.1Н ЩIHll<Jl' ypaBllCHl!e 13 ltСЛЫХ f1aЦ110lf;JJlbl!ЫX
ч11ст1х» . Иначе 1()-я 11робл~м:r формут1rуется
Новое время
так: дока:3ат1.., что С}'l.Цсствуе·r аm ·ор ит.1v1, кото­
рый 110 данному мн огочлену ;; от п г~ере­
м.енных с целым~ r коэфф~ щ11ентаJ\·Ш рнспозIIа ­
вал 6ы, имеет ур:11ше,н11с Р =О целоч1к'J1<.: 1 1ныс
корн.и 11m1 нет. U 1970 r· .
IОрн1'1 Вл;щнм11ров1·1ч
МатннсеmР 1 (роютсн в 19-1
.7
1· .) устаtювш1, что
требуемОl'О ;u 11 ·орнтма нс существует.
rнльберт 6ш1 настсжыю у1~ерс11, ч·1·0 фу11к-
1tю1 трёх nерсме:нных устроены слож 11 ее, чем
фут11щи1 rлnух нереме1шых. что 111>1С1<З :з:lJ1 таr<у ю
гнпотезу: нскоторзя ко11J(рет11ая фупкцнл 1рёх
nере:мешrых 11епредставима в rнщс суnерпозrт­
ции непрерывных фупкцш'1 ДВ)"'Х псремешп,1х
(13-я 11роблсма). Её онроверrли в 195 7 г. Кол­
м<хоров н В1t:~дп~шр Игорс:nич Л.р~юнь/l, (ро­
д11лся :в J 9.)7 1'. ) . Ок;:~~алосъ, что с помо щью
'1OJIhK() ОД! \ОЙ, 11 1lp11TOM 11ростей шей , фуню \1 \И
;tвух ПCfXM t lfHЫ X с:).·,у) ~.\"+у 11 Нt:Прерыиных
фр1кцнй о.п:ноi1 персмсн1-юl1 .мuж1ю носстано­
АИ'IЪ любую ф)'lfЮА 1 1ю 11 пС[)(:,ченных.
Пробл ем:~ Фе:рма б ьи1а разрешена н 199') '"
(см. статыо <·Вет 1кан ·1·еu рем<1 Фt'рма·>) . Проб­
лема Гоm,.п:бзхз ок:lзалас1. <· почт~,,, ре1u ё1 нюi1
в 19:Р L'. Ива.1ТО~1. 1\1атвееnтtчем Urп югра.д()ным
( l891 - 198:)), кuторыfr доказал, что J1юбое до­
статочно l><шьшос на1)11хu1ыюе чпсло предста­
в ~ 1м о сум...мой трёх прсктых. П роблсма Эflllcp;i
1ктал:1съ 1н::ра:.1рсurёююl1 и 11 1шш1с ХХ в.


Числа
АЗБУКА СЧЕТА
ПОЗИUИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
ПокуттатеJ1JJ. нриходя в иа 1 ·а:шп . видит товары
самой разной стоимостн - есть о~rеаь дешё­
вые, есть неrrо.мсрrю дороr11с. Чтоб ы у11рос111ть
расчёты пр11 покупке, Цс: нтралытый баr-11< вы­
пускает дtш.:жныс зн;ак11 различ1-ю1·u достоин ­
ства. Кu 1 ·да фото1·р:зф J1ш1 ап·1·tк:Jр1, / LJIЯ r~р1л·о­
тпнл е н 1111 нтжного ему р<1стнор.1 нзнешив::tет
порош кн , он 1 1 сгют,зуст спt:ци:~льные ап1ек:~р­
ск1-1е весы 11 11а(юр 1 '11рек р:вной "'ассы То ч но
тз к же Т1З базов1.1 х ::JJ1eмe1 1'1 ()П, НЛI 1 КЛJОЧt:ВЫХ
ч11сел, с1тюнтся любая числовая с11стема .
Если пrи взвеш1ша1шн порош1<а ~ттекаръ
положил 11::1 ч~1 шу nccon дnе rиpLкr1 по 'Ю 1 , одну
ПфьJ<у в ') 1· r1 одну гирьку в 2 г, то nec порошка
составил2 '501·+1 '51·+1·21=107г.Iloи
сама запись ч 1 1 сла 107 сш1зана со спt:циалыюй
ч11ою1.юй б::t:юй, а имен~ ю 1, 1О, 100, ." Так,
1~ифр: 1 1 3:1) \аёт ЧllCJIO COTCJ-1, () - ЧllCJIO J~есят­
ков. 7 - чнс;ю ени 11111 \. Эт.:м1,;нты ч ислоноГ1
f)аз ы. 11лн кпючеnые ч11сJ1а, u l((llнюм случае
11рс:1,с.-1·;шля ют собой степе~ 111 д.есн· 1 1 1
1=10°, 1о=н)', 1()()= н/1ООО=1()'ит.д.
120
В JLеоп ·н,шой системе всего лесят1, цнфr; О,
1, 2, :'), 4, S, 6, 7, 8, 9. Говорят также. что эти
цифры представляют coбofi коэфф1щ11енты
разпоже1шя :!;ща11110rо числа по степеня.ч 10. а
само число 10 н.t~{wвакп ос1ю(iа!ШС.М системы
СЧИСЛСНIШ. ~ tkc» цнфры R i(eCHTI ILHIOЙ заш1сн
числа 011рслеляется её П< )з1щис1!. ч t:м дш1ьшl
отстоrrт .п.;.~нная поз1щ1tя т крайне1 '0 11р~1нш·о
ра:~ряд~1 ед111-1тщ, тем большую ч·0111щ н ос1ъ~ 11
<· АСС» она нмее1 Поэт()му пр 1 н-1 ятзя снстсж1
.3агшс1 1 чн сел пазываето1 Оесятич11ий 111л1111,11-
тию1i с"сте.мой счиспе1111я.
Пытлrmый читатель ~шраве спросит~,: а поче­
му u качестnс ба зоnых LJ11Ce11 выбираются сте ­
пе1-11 1 11ме11110 числа 1Ut 1l елъзя лн воспот,зо­
n;пr,ся сте11сш1ми друго 1 ·0 числа, наnрлмер
пятёрки или ;щойкн?
,'vl ожно. 1{ 11р11мсру, р~1:тожс н1 1с ч 1 1сла I U7
ло степеням пятерки Rhll 'ЛЯ/\11·1 · ·1 ак:
107=4 52
+15
1
+2.5°,
а по степе11.ям двойкII следующим о6р::~:юм :


JU7=1.i'+1.1'+lJ 21+J 1.' +() 2L+
+1 11
+12'
1
В 11~р1ю.м <-.:луч',н.· множ1·пс:1 им 11 1 1 р11 <.:1'(.:11е 1. 1и х
1~1.к1упают11,11фрr.т из 11абора О, 1,2, 5, 4, 110 вто­
ром - 1·~1ю1х ц11фр всего пне: О п 1.
6.ВО ИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛ ЕНИЯ
Прuч11таr'r· 1·с шуточное c:1 ·11XO'J'1101x~1 r 11t' А. Lj. Ст:1-
рJ1 ков;1 <Л<.::oбыJ<J HJl!C H H:нr /~СJ:!ОЧКа •:
Ezi бы.по тысяча сто лет.
Она в сто rrf!/жый ;..:ласе :'(.одила,
Н пор11и/юлС' 110 сто юн 1г 1юс11.11t1 -
Во! -тт 11рши)а. с1 11 е fi/ }l:'(1.
К()гr)а, пычя f)есят11п:11 ног.
О11а 111{1гапа 1 ю йо;югс,
3а 11111/ асегда t7С'.>1шл 1це11т1
С m)1ш·11 х1юсто...н, 3а11ю сто1югиt't.
О11а ловила 11дJ1ц)ы1/ з~1·1,·
Сво1Lми (>1?слтыо yzuaмu.
11 дr:сять загирелы:~: PJ 'h.'
Портфель и пиводт.;, дер;1сшти.
lt деот1.ь mёiN1ю -cu11ux гл<.t.1
Расс.мтn/н1.8алli .м1 1р 1фивыч1-ю."
Но cmmtf!m всё С(Jщ:е.111 обычньнt,
Кигда ппit.мёп~е н:аm fюсскаJ
Ра::11·;щ;пъ :~агадку поэта IJ aм номожет слсдую­
щс:с: 11 ,16люде111 1с:. Uыш1 шt: м уnшмшутыс в l"J11-
хuтвuре111111 числ:~: 1, 10. IUO, IOL, l l OU. Легко
1:1 \1C'J 111'h. • по нес OH!l 3:1 ПI [CЫB:.JIOTCJI с 110-
\HlЩl>IO JJИlllh двух цJiфр: О 11 \ . Может б1.п1,_
здсс 11 Jаш1 1 фронано pa:11roжcr 1 иt" ч11сел по сп:~ -
11е11я~1 днот1 1<1-1? Пр()иери'''
1-Етr бы.1() 1100 лет»: 1 21
+122+О21
+
+О i' = 12 . :~1 1 а<л11, e1-f t)ы1ю 12 ле-1-.
«Онз в 101-й 1<ласс ходш1:1»: 1 1-!. +О 21+
+ 1 2'' = S. З11ачнт, она хоюта fl ') -11 класс Н
т:н< далее. Дс ikтннтслмю , IТOJJ}'Ч a(."1'01 со всем
обычная 1<:1μпша . А помо1·ш1 11:.tr.·1дво11ч11ая с11 -
<.:тем:1 СЧ.НСJ I СНИЛ.
Итак.1 1 о:щц1 ю1 11 1ш1 с11с 1 ·с масч1 1 слс111т. н ко­
торо1! н качсегнс 6;1~он~,1 х ч1 JCCJ1 в1.1i111ранпс}1
cтi.: 1rt 11 11 ч 11 сла 2, 11а: 1ынаето1 ()rю11чГ10[1 гю3 11ц11 -
m11ю(i п1ппе.~юй cчuc;1J:!ll11Я. Чтобы рi1-v1и ч пт1 ,
ч11сла. :-~а1шса111 1ыс в р;~:тых спстемах сч11сле-
111щ IJX :J;I J(JП()Ч:JIOT в с 1юбю1, а в11и:~у СПJХ! Щl )1\3.-
зьгваю·1 ос1 юuаш·1е системы сч1 1 слс.:IПIЯ. H:mpL 1-
мep, з~п1rсь ( 1HI0)2 озп;tчае1'"rо же са .чос •нкло.
чтп 11 ;{;,1.1 1 1 1 с11 ( 12) 11). Поскольку все м1,1 110 ; 11 ,:{у­
tмсн J\t:OП'l\Ч.HOll CIK'\'t:MO~\ СЧllСЛС'Ю !Я, '\'О J\t:CИ­
ТJ IЧHOe ос1 ю11ан~:1е 061,1 ч1ю r1e ук:1:~ы r1асто1·
(1100)! = 12.
Чтобы rю1шти с1 ихотrюрсrте u 1 1собьпаю­
пеш ю 1) деночке, п ришлосr, перс.:nссп 1 ч11сла 1 1з
двонч r юй с.:исте~ы в дс.:сятичную. 1lссложrю
п роиз вс.:ст11 и обратную uпср:щ шо: :{;щ~шнос
Дl'CЯ 'l 'l·J Чl! OC Чl!СЛU i1pC:IO""l aВJ ITl1 13 /~ПU! I Ч J Ю\1
ш1 ;~е. Пустп трсбуtтсн Нt'р<.:1.1сстн н ;~1ю 1 1ч11~'н1
с 11стсму ч11с110 HJO. Вообраз 11 м, что :за пш-:упку
н ма1 ·::1:111не 11)rж1-ю уплатит~, 1О() дснсж111,1 х с;11 1-
11 11ц, :i н нашt:м рас 1 юряже1ш11 1 1 мсс·1с}1 слсду­
ющ111'iнаборК}11Юр· l.2, -! .А, IC), Ч.(>...J , l2S, ...
F.стестnеr 11 ю, отсчёт y;~ofi11ee 11;з.ч;пъ с сампr'1
кру111 юi'! к~ пюр1.1 u Щ)С/'\елах 100. :~атем 1юз1,мЬ1
CJ I CД}'IOШ,)10 ПО,.J.ХО/\Я Щ)'Ю ДJIЯ 11а6о р;1 1 1уж110!1
ср.1мы lI т. д. В m ·o 1·c .: паша "бухг алтер1ш » 11р11-
ыст 1шд: 64 + 32 + .cJ = 1OU. l lo лоскот.К) вес.: c11:t -
1·:ic .v1 1,1c - ! 1(' что l IHOC. как CTCl!t:III! /{l:IO IJIO I . ' 1'()
(1
;
i
Mn1T~IKЖCl1MCC.:~I ] ()U=2 + 2 + 2 -= (J1001()0) 1 .
на 11 р: 1 KTJLI(~ 11срс1ю;t Чl-JC('JI 11.{ ) \l'OJTJ 1'1JН>il
C' ll l~1 ·cмы CЧllCJICllHЯ н ,tl"IO l lЧll}H) удибщ:с 11 ро-
11:,110J \1лъ методом 1\елен 1 1 я Бу;\ем J\t:..:11 п ·1,, 1кх~ )Д-
1юt: ч исло, а ·1 ·акж е 1 юлучаю 11 1 1 1ес-я н r1po1 tl'CCt'
J teлcrrин частные:- 1 1а 2. 110 тех 1юр. 11 ока в 11'1 ·ore
пс 1 юлу·ч11 м 1 Прr1 это~1 от,це.1 1ыю бу;1,е;-.1 он1е­
ч:пь 1 1р()МСЖуто чт1ыс остатк1 1 , ка к J](Ж;1 .J;1 r ю
121


Чщлt.1
1111жс Ч11 и 10 о()р:~ ·юн.1111 tO(' 1JOU lt:)tl11 ш ч~r с 11 1ы ч
1 11 ос1 ;п K; lf\'111 . l l C[X'ЧltCJ ll'HH l,J;\111 Lll[l.IH. I Н.IЛС-
1\\\, \>~ ;\\.:'\' IKKO\\IM•\
lL
'50 l1
'50 2')
о 2·1
1
1()() = ( 1100 1()()),
Л,1ю11ч11ан. LHC'I емJ СЧI 1 сле11ия CTJ.'Тd ОДПТIVJ !Н
l IL'TOKOB rтро 11.юше,1шt;й u ~х в. 1·pal11lIIOЗ!LOlf
1ю мпьютер11ой ренолюшш . Тех1111 1 1сс101 ri;вc
122
ЗАЛАЧА О РАЗ Н ОВ ЕСАХ
Соврем1;:нныС;: продав u ы уже ttастолько пр1шыкм1 к
элек трон 11 ым несам ч10 ~t e пред< т;1 вл11к)т 1 ef>t-> , как
бы Oll И ВЗВЕ'ШИВJЛИ ТОВар r ПОМОШЬЮ Пif1b piHHOBe
сов. Тем 11е менее Htl μы~1кJх и t1 небольших маг.э ­
~инах лосих rюр можно Астретиrь Rt'CЫ простеише~t
ко 11струкuи11 ГJк что ст;~ри н ная задача о р;вновесах
l'ШС' 11<: совtt:м пuн:р~1ла .:~к;уJльность А история её
ГdКОНд .
Почти 400 лет н.1зал но Франuии жил Клод Гаспар
Б.:~ше де МсJири <lК с11искавшии rебс славу позтJ и
тш1коrо ш:•11 ителя мате.\ытики . Bu 1.пuром изда11~1и его
cбop t tttKd « ПрИЯIНЫt' и lа н им,1ТРЛhН Ые 3<:1Лс:JЧ11 * есть
и тако:~я какое 11 .:~именьшее чиrло гирь потребуется
для ювсшив<lния любого прсд1v1ета. масса которого
равна uслому числу фу11тов от 1 до 40~
Ок<ПЫR<l ется , Е:'l'ЛИ гирьки r;:11реш;:~етп1 склалы ­
ват~, только 11а од11у ч<1 111 у RecnA, тп достаточно за па
стись шестью раJ11uвес<1ми , масс.ы ко1орых чщлен 110
ра1:1ны uелым rтепЕ:'ням лвоики : ·1, 2, 4, R, 1n, 12. Бо­
лее того, тех же гирек хвати т для взвеш и ва н ия всех
пр!:'д1v1СЮ1;i MJ( rои до f)-1 фунтов . По•1 ему(
Лd по тои ..+.t · прич 11 н1::, по которои шссrи таков
достаточно лля ~dnиси люГ>о го 11 а 1 ур<~льного чи( ·ла о 1
1 до 63 о лвоич1юи с.истс'vlе счислt:·ttшt . Аtt ,)ЛОГИЯ
J/ШСЬ ПOЛlliHI . Mi.lC.C.e п1рьки отвсчас ·r «ПUЗ~t Шl()llllЫИ
l:!t:'C » шнμры в Лl:IОИЧН()И ЫГIИСИ ЧИ! ла, fJt:'ll1€HИIO по­
ложи ть гир1>ку н.:~ Аеrы - 11ифра 1 в rоответrтвую­
шси 110зиuщ 1 реше11ию нс ~1спользов'1ть гирьку -
uифрс1 О . Например двоичная зап ись числа 6 - это
11 О З н а 1 1ит, для уравновеши1:1ания 1 ру~,1 VlclCToй
6 фунтов liJ другую чашу в<:>со11 11уж110 положить гирь­
ки о 4 н 2 фут а. Наибольшее Ж\:' 'tи<.лu, кu 1opuc
о+о=о
охо=о
о+1
1
о)(1=о
\ ,\Q\\1 UЬ'
1+о=1
1хо=о
t .\ O ..+ilЧ lllЯ
11 \'V.HO:».eHllЯ
1+1=10
1х1=1
l\ЕИ1н~1ных
4111 (: \
1~11фры 1юс11рт1 .1 11ес·1 1 1 11ростп: 1 прпхо1 11 1 1
101< n поm.ттро 1ю,7111 1 шотюм ·~ж: мс11п.• О - 1ок
нс прохо,.(IП . Сtк 10J111ш1 -темt:н1·а <- 11rюхо4ш
'l 'OK • 11 · 11 1: 1l j)OXOIOIТ ТОК > .ЧОIТТ С~Н~!IЯТЬ др)Т
/\Р) 1·:1 :~а OYl'ttЬ коро1 кис11ро~·н.::жу1·ю r нрсмснн -
Ml l JJJJllOHHЫC' 1-10, 111 CCК: I JДhl ~)r ·u 110:.!IIOJlllCT 1rро-
11:шол11т1, ~1р1 rфмст1l'll'Cю1с ; ~<:l1 t-т1 ш н:I/ \ ;~вш 1ч -
111 .1м11 чtн:л.l\JJI с lll' l [\IOH~p11ol1 (1\ОрОС'IЫО .
Тl() сра11rн.'н11ю l 1ромо:-111,к11~111 г.1.6т11 tам1 1
, .ЧП(JЖ<:ПШI ll L.'IOЖt:Jflf}J ЧtlleJJ 11 / \t:C >i 1 1 1ч1101'1 C'll -
C'I ече 1 ·аб,11щы ОIОЖС111 1 Н 11" ~ MllOЖCllШI /ПЮ
в дВШIЧllОИ СИСТС'Мl' l<JflИlbllJt.l\:'TCЯ l помuшыо LUec н1
.{llCIMJU, -
)ТО\11·1111)=6.3
А тuпt'рь предположим, •1то п1рьки р;нрешJеТ<'R
кло:~сть Н<1 обе чаши uer oв Любопыпю . что в такои
llULтJно1:1к е 1алача о pa:i t ювссах встречается еше у
италын1< ко1 о 'vtа тематика Леонардо Пи.:1анского (Фи­
Ьона11чиJ - 1а •1етыре столсп1я до Ме1ири.жа 1
Понj') п ю, ' I TO в 1тuм случае можr ю uбuитись лажи
ме~н,ши"1 шбором разновесов· 1r , , q и 27 фунтов .
Так, в<1вешина$1 тово:~р в ''° фу 11 т()в, все эт11 гир~,ки по­
ложим 11;:1 вторую •1ашу весов, '1 для взвеш~ 1 ва11ия
11рслм1:т,1 u 25 фу11тоu гирьку Mil<Loи J фунта ~тус­
rимнаоднуснимчашувеrовидвегирьки- в1и27
фунтов - HJ другую
Н Пi1f1'111V п1р11 11М<1~1 1 фt1рчу ' IJШIЖ '1 6i<.ЛсlдЬl13i.1ЛЩ \,
друг в друга . ка" ..,,преш к11


ПОЧЁМ КИ/\0 БАЙТОВ?
Ссrолня комnьютероV1 никс1го не уд11R11шh. Прш1лёт
ешt' 11смного t:sрt>мени, и для вrе>-. п,111ут привыч­
ным~• такие слов.:~, как «килuб,1йт», « ,-.1сгабайт»,
« п1га6,1йТ» ... Что они 03начают{
В соАрем енноИ мате.,,1атике С'\ТЬ такпи ра~дел -
1еор1 1я информ;ш~~11. Эта ICO\)\l\S\, в ч1.1с11юсти, опре
леляе1 с11оспб Иiмерения ком1чества информа1J 1 1и
11 Ры111иuу и1мерения н;э1ывэет « hИТ». А fiаит - это
1JULl'\•1 ь б11тов. Терминами « 611т" и « б,1йн широа<<1
1юль1укпся npor р.1мм~1пъ1 и Lnl'ш1aлиL 1ы по ш1ф ­
рпв1т тех11ике. У н их даже е< 11, шутмшая no1тюр~.;<1
., з.:1 од1111 ба нт восе"~ 1, б~нов л;эют ".
ПриL тавка же • кило- " tзCC'vl хuрошо 1нJкuм<1.
Он..~ ш1 t<tЧ ,lt'T 1ысячу: кщоrрамм - тыо1ча rр<ш­
'юв, 1<илометр - тысячJ метров. Учёные и инже -
11еры, имеюшие дt'ло с болы11им11 велич1111ами, иС·
поль;1укн также пристс.1uк н «ме г а- » (миллион) ,
" rиril-» (миллиарл) и 1. л.
Проrр;:щмисты тоже оперируют большими ' 1 И( -
лами . И он и использую ~ прист,10ки « Кило -», • Mt:'-
ra -», «1иrd-», но, как 11и cтp<t t11 101 в другим ~ 11ачении.
Программ 1ктское «К11ло- » чуть 6ольше об ы• 1ного.
Пр11 •1и1юи тому двоичнdЯ систе1v1а счисле 1111я. Всм.
в ней «круглыми» числами являются не сrспсн11
лес ятки, а стеnен и лвойки. Аот и поы>Врали Т;.'lкие
пеnt:' 11 и 1 1 исл,1 2, которые лу• 1 ше всего соотвf'тству­
ют обшеnри нятому смыслу JПI >-. приставок. Поэто­
\\У nр11мс н ительно к компьютерам н с~ш и приставк 11
означают·
кило- 2 111 = 1024,
мf'ra- 2ш =1024! = 1 048 '>7f"
ГИГJ- zin =10241 = 1 07\ 741 824.
11чных чнсел .ч1 ~пиа·1 rop 1 11>1. Бш 1 t<=' тон), У·"" ю­
же111н:: на 1 1юоf> 11•с не 1\1е1шст ч1 1 сж1 . По~то~1у,
ч1оfн,1 щ:рем 1 южJпь лва :-шогораэрндr 1 ых /'(ВО-
1\ч111>rл. ч 1 1сна, дост;нuчпо 11сс~юны<0 раз сдш1
Н)"l 1· верхшri 1 (()И!IОЖПТель на СООТНСТСТВу10-
ЩСС l\OЛl l ЧCC.-lBO ра .фЯДОВ [IJICIIO и cyM .\'11 1pOH.t'l I>
L{CC rюлучснныс ч1кла
Uш.:ра 1 ~1 11 111ростс\1 11111 е , и KOM l\bl(.)'ICj) HЫIIOJl­
rrщ.:·1 llX бt.:{)'ITPCЧllO. l lu ll f-IOГ/\,I в ~ 1 .lllll ll Jl' 11ро-
11СЛО/l1П какой- 11 116"~ / lЬ cбolt 11m1 1 1 роrр~1 _11;1 ма -
:1:щанис комныотt:ру 11а li1>tl 1t )J1 11 c11 11 t: расчё ­
юи - сО/\ерж11' 1' РIП1 1 6ку Тог,'\а 11ро1ра.\1~111ст;.t1'1
nр1 1 лон1по1 1 1ept:rrponepiпь себя и 1ш,чm,ютер.
позтому бсэ :111а1 IНЯ IЗCCJI КОМ! 1 ыотсрной K)'XIТJ I,
· с1ряп:11ощеl 1 " л1ю11ч~rые чнсла, хорошс .ч\ сш:
1lH:lilllC'1"\' 1 1 111{ак нс 0601'пш:ь.
СЧЁТ ЛЮЖИНАМИ
Г< Лll /'J()l\ЬltJ111\1 П3ЛЫ.t('М рую1 COCЧ llTJTI, •111сло ф.1
л,111r на други х пальu .~х ·ло11 руки , то мы щ1лучим
·12 - JсlМl'Чспслыюt• ЧИlЛU, столп же пuпуляр11о с в
н!:'которых !:'нропеиских стрJнах , к,1к и •111•ло 1О.
Можс•т быть, ')Тои поnуляр1 юсп1 11С>м.~лп c11ocofi-
<тuовалu сuои с твu чи с "а 12 бс~ осн1 KJ л<•м1 rься
11а2,l,411Ы
Группы no 12 nрt>дметnв име11овались дюжин;:~
м11 (лат. duuclt:c1m , фр. rlouzai11c , 11т . clozzi11a , <1нг;1.
(i uд:п). Люжи11а дюжю 1 с щ тавляла грщ с lt:1 u/3 м
lll:'pl:'tiOдt' t H1:'"1t:'Ul<OГ() - « UОЛЬWОЙ » ) , <1 ЛК)Ж11Нс1
гроссов
м.ксу.
Лtс1с 1 1алuап,ричными дрс;бями n uльiU!}аЛиLь
t>Wt' др1-1нниt.: рн.\.\Мlнf' Лроf1ь 1/ 12 ри>v1лян~> на :{nt­
В<IЛИ унL1ие~1. У{а1<они1ъ лвеналL1.нер11чную с 1кте
му - сс1ёт ДЮ:.+.1111.JМИ И rro cCiJ.\IИ - П l,IТёlЛСЯ ШАС'Л­
( кии корпл1, K<lfJЛ Xll ( rот сам1.>1й, коruрогп py<-t к11с
воИ(к,1ра1гром11л1111ол 1 lолг.щои в 170'1 г.1 . В 8'.0 H-
ue XV\1 1 8 . 11лея 11С'ре>ход::111d двс-11алl1,пернч11ую сн­
стему всерьёз обt ужлс1ла(ь r?U Фр<шuи и .
Влияю1 е Lf~H л,1 12 щцушаl'ГО1ва 1 1гло-<1мt>JJИ8'..1н­
ской системt;' линеиных мер, в которои 1 фут
(10,48 см) р;~Аен 12 дюи~1<1м, 1 лю11м - 12 л~111иям,
а 1ли1 1~1я - 6 тuчкам. Миu1-ис пр(:-'дметы пугови uw,
платки, куриные яиuа и 1. п. - в .~апал1юевроnеА­
ских странах ло сих п ор n род<Jются люжи11ам 11 .
12~


Числ<1
ПОЗ ИUИОННЫЕ СИСТЕМЫ
С ПРОИЗВО/\L-:>НЫМ ОСНОВАНИЕМ
лнnп, сТ :тачеmrт'1. О. 1rл11 1. 11m 1 2, -· ·
11л11(/-1
:1аыстиr>1 . ч1 о u случае d > 1(} пр111'ё 101 11 р1 щу­
\11,шат1, 1.ювые с1 1 .vнюлы д.1я 1~11фр.
мы 11р11ш,1к.;111 к .'J,(::l'Я'l'l \LUJl)iJ снс~н:мt: l'ЧI l (.'Лt:Ш IJ.I .
Компыот<.:ру как 11 L'J 11,:3~1 лучнн.: 1 ю;\ход1 п· дно-
1J ЧJ 1.tя CHCT<.;M:.i. l l o 111 1()1}\;1 мо1ут<>К:t3<!ТЬ01 yдufi­
HЫMll c1 1 cтt::\1hl с дру1 · 1 1м11 nc 1ю11a11 1tJ.1\111 . С ч ет
на ЛЮЖIГНЫ rtpl'K[J<It'Hhll:I ТОМ) 11рнмер. ~дес1.
ч1к,ю 11;·J J.1 f)а·~з - l~1e 11e1111 -сшсла 12.
)L'IЯ ШlХОЖДСПIIЯ llH фp 'lllCJl ::J. llO задаrшому
ч1rслуN 1 J uснuнан шо с/ мшюю к<Jспол1,:юn:1тьсл
l '<:'M Жl' C I I UL'U601'1, Ч'l'U 11 11рн у1 IJI:!T<:: сум.:v~ы ДClltl'
К [Xl3. "1<:' f K' i\' p y (')лc:lt . О h'O 'l'UfJUM l 'lHIOp11ЛOCb
p;i н1,111с Сна ч:т: 1 н:1л.0) 1ят с~1мос: ()( >J1ы 1 ю<.: ба:ю­
нос: ЧНСЛО с/11, НС 11 рl'НОСХОДНЩ<:'<:' ,\.' . ~;J ' l <: 'M Ч I ЮЮ
''
f'I
/ v :1ет1·1 11а r; , li ре:~ут,т~1 ·1 ·t" Ч l..'1 о rюлуч:нот 11с-
В о6щс;ч же случае nрсдС'1а1111'1ъ 11ро11зuот,-
1юс: <шою "\ в снстеме сч11слст111я с з:щат 1 ым
ос 1 юн:.~1111ем du311aчae· 1 :sаш ~сагь <::10 в штде
полrюе чж·ттюс а,, п остаток 1~1 1• т. е.
,\'= а11d"+г"1•
\,
1"
//1
11
1
,
=n11 t +а11 1с/ +".+a~r, +п1 с +п,1•
Остаток 1·11 1 уже :- .1c111.rrJC ба.ю1ю1·0 ~шсл.t ci'.
поэтому дсл11м 1·11 1 на с/'
11
п получ:tс\1 не1ю"1-
1·,щ: с/ - любое целое ч11с1ю, боn ынес tJ\J 111и 1 \Ы .
Коэфф~ 11 \llL'I rты t10, с1 1 , • , tt" на:{hlflаютсн r 11·1фра­
~111 в c/-11ч1-1< >fr :~а1 111 с 11 ,\' 0111 1 \101·~т пр111т11мат1.
нос час1·нос п11 1 11 остаток г" !·
ИГРА «UЗЯНЬШИUЗЬ11}
И ЧИСЛА ФИБОНАЧЧVI
в П ()ЗИ UИ()Н НЫ Х СИ\Т~мах счисле­
ния ~1Ы фиксируем некоторпе ос­
нu1;1 а 11и ~ - uелос пuложи1ельное
чи< ло 1/ - и раtсм;прива ем базис,
составленный из с тепенеи qтoro
числа: d 0
,
d1, d
2
,
••"
d", ... А ЧП)
будет, е<.:ли в кач естве базиса вы­
брать не геометриче1 кую прогрес­
\ИЮ, а любую nоследооат('льность
ВОЗрастаЮЩИХ HJTyp.ЭAb Hl,J J( "IИСеЛ
1/о=l <q1<(/~< ...< ч11< ...{Име~1-
но таким обпбшё н н ым базисом
поi\1.,зовались, 11апри"'ер, инлейuы
ма йя (1...м. с.татью ~ стuрин~1ые си­
стемы 'апи< и чисел»). В их t иrтe'l!lc
\ЧИСЛС1111Яq 11 = 1, (/1 =20,q]= 1Bq,,
q,=20q!.q"=20с7,ит.л.
Люuопытным r1римером t.исте­
мы сч ислt-ния < обобшенным ба­
J 1ком явмюто1 Фибона•1чиева си ­
с-1 ~мс1 Lчис.лс:ния. В tieи в качестве
fi;ни< ных ч11п:•л бi>pyi ('Я чиt .ла по­
rлеловатеАь~юсти Фибоначчи : 1, 2,
) , 5, 13. 13, 21 ...., IJ KOГUJJOl·I каж­
дЫИ член, н ач ин ая с треть!!го, ра­
вен суммt> лвух прелылу ши х члРнов
(см. стат~..ю « П ослсдовательносп1 ») .
При октеме lЧИLЛе 11 ия с б.ви­
tом1,2,З, 'i,а,1'3, "вкачегпщ
11ифр дпст;~точно иметь то.л.ыю О
и 1. Еы1ниu.:1 в rе ервом (кр;:щ 1юм
пр,нюм) ра:1рнле 06<>'1начаст 1, во
ВТt)ром - 2 , в трЕ>тм,•м - ~. в чет­
вертом- 5,впятом - 8ит.д.
Правла, за пис~.. числа в тако11 систе­
ме булет неоднозна чной . Н а при ­
мер, ч1кло 5 =2 + 3 может быть
Jап~ка1 ю как 1 1О и 1ООО. Чтобы ю­
Ьежа 1ь та кой нtюлнознач ности,
достаточно лс1говор ит ьо1 ~1е стu­
в и т ь рялом л1:1е ели11и uы. Тuгла
кажлое натураль н о<' число в Фи6о­
наччиевои системе счисления 1апи ­
сывается еы1нстве11 11ым обрюом.
0=0
1=1
:.1 =1U
3=100
4=l01
'i = 1ООО
6=1001
7=1010
н = 10000
9 = 10001
10 =1()()1(')
11=101uo
12 = 10101
1i =100000
14 = 10()()01
15 = 100010
1б = 100100
и1.л.
рill.( мотrим />Л НУ КИТ(IЙС КУК)
игру - «UЗЯНЬШИШЫ» в qтой игре
два игрока по очереди бl'рут кJм-
11и ю лвух куч<::к 1а один ра::1 мож­
но А'IЯ ТЬ 11 1ofioe ЧИС'ЛО К'1МНС'Й и i
однои кучки ил 11 noponнy и з обе­
их. ВыигрываN тот, кто з<1бираС'т
по' лелние ка мни , тем с..~мым ли­
шая партнер а возможно\ти rде­
Аат~.. ход.
/.
-
с· 1111+1·
11- I
-
111-I G
11
[сАИ проанал11зировать эту игру
лля небольших зна• 1ени й ч исла ка~1-
~1ей в кучках, то получим, что начи­
наю ший ее п рои грывае1, есл11 в
кучк<1х будут та кие колиL~ества кам ­
неи: О и О (:это uчсвилно\; 1 и 2,
1и5;4и7;6и10;8и·11;9и15.
В этой последов;пель 1ю\ти n.1p
ч исел кажлос мс 11 ьшее ч ~кло 11dры
является наим!:'н ьши м число."' ' сшt:>
н е ПОЯАИВ111ИМСН В пrелылушю,
п арах. А вот закu 11 образован 11 я
бuльшсrо чи сла со верше11110 11eno·
н ятен. Н о л<1вай1f' ~.т ишем ·ни
п ары чиrел в Фибоначч1~е1юи t1к ­
теме С"IИСЛС llИЯ .
Пdре <0; 11> соответсrвует <0; 0>,
< 1;2>
< 1;10>,
<3;5> -
< 100; 1000>,
<4;7> -<101;1010>,
<б; 10> -
< 1()() 1 ; 10010>,
<3; 13> - < 10000, 100000>,
<9; 15> - < 10001; 100010>
Теп ерь уже виыю, что большее
Ч IКЛО п олучаете я из MC'llbWCГO ДО·
баАЛ!:! Н ИеМ н уля в KO HIJE' ч~1rл~ .
Попробуите само\Т()Ятельно выяс:-
111пь, почему имс11110 ')Пi п,1ры •1и ­
lСА ЯIЗЛЮОТlЯ п роиг рыш 11ы м11 лля
НIГО, К1 О Н.-1ЧИ11<1СТ ИI ру, а :ЫОЛНО
06ос н ов,1ть их свя.:1ь с ФибонJ11ч11
СВОИ O ll ТСМОИ СЧ ИСЛС ll ИЯ.


Пос.-1·~1 1 ,ш 1ю;106ным об ра:ю:-1 11 ; ~алее , в ко11 11с
KOIЩОI\ " l!hlOL'pC.:M • '11 ICJIO /\О K{Jf! l(;J, l IOJJ) Ч1113 110-
llYTlIO 11абоr ц11фр а11• с111_1•••, а1• 011
Н_а 11р.t 1\1 1 1кс ш1 1х·;\с1 1я ·11, с/- 11чные 1 1>1фр1 .1
Чlll'! l ~1N. 1 1 ач111 IШI С() CJ арте 1 ()р<.1Эj)Я/\;\.1 1е О Ч С I 11>
удоб1 rо. ДIЯ .Э'J'O(J ЦC.:Jll I обыч 1 ю пр1IМt:ПЯ1-0 1' i \P} -
r oi1 способ. IТре;1стаrн r.м число ,'v в н1rдс 11щх1 -
же11ия. пс содержащ<:: го сн~пс11 е1'1:
,\ ~По+ с/((11 + с/(а2 +с/(". +ct(a11 1 + da,,) ..)))
Отсю,1.1 нm11 ю, что 1111фр1,1 а,1, f/ 1, r1~·" ,а" .' -'IOl'\"I'
быт~. 11:11\:-11 .:111,1 1 н1t:J1t:до 1\а· 1т.11ыю, н.ач1 1 1-1,1>1 с
мJ1ад111е1·0 р~1 .iрн ; 1.1 , в рсзуш,т;11 с <.' J IL'J\) 1ощ~ 1 ·u
MIIOI T )IЩll UK! ! l'O 11 /)ОЦt' ССа:
НАЗВАНИЯ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Чнс.rю ~ нем<:1 ( пpo11 Jr 1 ссё·1 ка.~-: «цвай" (пш11ета1
Z\YCt) . а111 Jll lЧ:llllI!I
-
K~ll< «ТУ" (f'VU) . Л НОТ ЧJICJIO
1ООО \\(jU и русский. 11нt:мсн.1 _1 ·.11н ·я1 1 ча1 1111-11-1:.1-
эовут 0/1,llH;.JKOHO
-
MllJJJll IO l I.
Лю(iо1 ll>ITH:J 11стор1 ш ч 1ICJI ИTCJlhl 1()1'О "/\'lllJl-
Лl IO l I» R 12711· 11<.:11с111,1:1нс1шi1 ку11с11 ;\t\арко
Поло о·п 1р;1111 що1 н 11ал i: 1<и i1 и :-1.11 ·а;1о ч 1rr,r11 Кн-
1·1111 П\'1 1, в Кн·1·а11 лсжзл чсре-1 мнсн·не п р.11 rы
Всрнуnшип, домоi1 поч·1·и чсрt>З чствср1ъ нск.1.
он нс персс-1 аuал оосторгзт~,сн ) ш 1;~е 1 шым11
чудеса.\1!l. 13 Cl' O рсч11 10 »L дело слыmалос1,;
•Мш1лиот 1 е _ .\ПJJIJНIOfle -> Слово «mille" ( «ты ­
сяча ~) было 11звсстно еще• в Дрен ~ 1е.'\1 J->11мс. Сло-
11t.:\.\1ю <м1шн1юнс". которы\\ отн: 1жны 1·1 1 1у1'\:­
шес1нс1 11111к H:J :.$nJKa.IJ тыс нч у ' IЪI О!Ч, JIPUЧH()
r1р11с1мю к Мар1щ Пот) С:онрс:чсн1 1ню 1 t1рu­
·шал11 е1 о J\'\Щжо 1\1lилmюr1<:.
( JJOIIO • .\1 1-IЛЛ ll :IPJ\> ; И}I H ::l. -\1\ JJ -IJJ)J Ч l lCJla
1ООО ООО ООО 11мс<.:т фрат 1у:зское 11ро 1 к;-.;ожле­
шн:· Е1·ос1 11 юш1 ,,1 - •'O llJJJШOП ·> Ilр11сташ«1 <·бн-»
nо-ла1ъ11111 оз 11 ,1ч;Jст «ДJюйrюИ » - к тыснче 1\а1<
бы присоСJu111нюrся л.ва .-ва1·о нч 11ка-> п о три
нуля. Далее на:ш:ш11я чисел обраэуюн:я от ;1 а­
п шск11 х нан'v!с1юнш111!1 кuш1ч~сша т; 1ких 1· на-
1·онq111юн..,, ЛJ' l•ЩLП ШН.'МЫХ c11paR: 1:
1 ООО ООО noo 00() - тр1111.'111(111,
1 ()()() ()()() 00() ООО()()() - IO:laJ\ГИЛJ IH OH,
1 0()0 ООО ООО О()() ()ОО ООО - кв11н·r·11лт 11 11 1
На:1ват1я ч 11се;1 в11лот1, /(() 1()('
1
с 21 •nа1·оr1чн-
1юм » пpr11ieдcr11,1 11 тafi11иr1c li К(J!Ще сr·аты·r. Ja-
_,1eт1;re . что количестrю "ваго1 rlШJ<aв " 11а е11н-
111щу больше л;~ тнн ского числ:.~, звучащего н
(/11 р;.ш1ю ос·1 ;\Tl\Y () r Дl'ЛLНИЯ ,\ н:1 [.(,
а 1 рав1-юос1 ·:1ткуо·1дсл<.:1 r11н11 ; 1 с/11t.: 1 юmю1 ·0
Ч:IC'TIJOJ 'O, l l ШIY 'll:llHO l 'O ll;t llJX~Дbl /\YЩ<.: .\f ll l :t l t:,
0 11 равr ю ос1 :~тку t!'1J\t:Jlt't11rн 11;1 c/ 11er1{)JI1ю1 о
Ч .J C" l lIOJ 'O. fl()Jl~Чt°lllIOJO на ltpt.:/.\Ы, \}'11\C:M ш:11е
Тп. ЧП) чr1с.1ю ,\' в d- 1r l11юfr с1ктt:\1е счнс:1е ­
пт1н выр,tжастсн цнфр;1ми а11, с1,1 1• ", с111• з:шп ­
сыв. 1 ется так -
1\' = (tf" {{" 1 " tl1Clo),1 ·
11,шμrнн: р . 26 700 = ( l LOlO()<J()JO()J 100)2
= (1 .~l.:i300)~.
1Jа зна 11111r. l.kдь "состав" 11;1ча; 1 фор.чироnа 1ьсл
llC с «T<.:llJ!OBO:Зa » - С,Щ IIИЧЮ I , а ()'1 CЦCflКI 1i-Т(,'11-
JН\1\О:З,\» С ОДГ\ll\\ « 1-1<1\ '0llЧ l lK0 \1 '> - Тl>IО!ЧИ


126
Числil
СКОЛЬКО ПЕСЧИНОК ВО ВСЕЛЕННОЙ~
Стои1 М'<.1З 11<1я ropa вь1 ( GTo l>I в тысячу локтен. Раз в
lЫ<"яч у l\E' I nрнлет,1l'т k ней м,1ле111.>к<1я 111 11чка и ТР'tит
l t\Uй Kl\1<18 о ~е вершину Kor/\.! 1IH<I LTUЧИl" t\LIO 1ору Д\)
Ol1t01ы111111, nрРi1лет пер1ыя rекунлJ Bl''lll<JCl"и
6опоч11ая му.цюсть
Песчинка и lkеленная. Крупиuа мироздания на ми­
зи1 ше ребе~ 1ка и бездо111 tыс, беспредельные пр()сторы
Ku<.мucd ... Можно ли одно измерять другим?
«н~т! » -
OTOC"lilЛИ древние. Ottи считали, ЧТО
размеры Вселс1111ой неимоверно огромны и никаки­
ми доrrупными 1110с.0Gами их не оuенить и не и.-1ме­
рить. Это и 11 е мудрено, ведь лля практиче1. ких 11ужл
они вполне обходились небольшими числами. Все­
ленная же - нечт() 11еобъятное, 1-1 еиз мер~1мо е, гюrло ­
wаюwее в себе все и вся. Разве можно к неи подхо­
дить с обычными мерками?
«Л<l !• -
раздался гол uг Арх имела, 1ениальноrо
ученого лревнопи. В его сочинении « Псаммит • (•Ис­
числение песчинок») есть описание чисел, которые
позволяют оuенить фантастиче с ю1 огромную вели ­
чину - ч~кло мельчайших песчинок, какое п отребо
оалос~. бы, чтобы заполнить все простра1-1ство Все ­
ленной, весь мир, представляемый древними греками.
Архимед начал « П саммит» с краткого астрономи­
ческого экскурса. Ин заметил, что, по мнению боль­
шинств.:~ астрономов, Вселенная имеет форму шара, в
uентре которого находится iемля, а ралнус его равен
расстоянию между uентрами Земли и Солнuа. Арис­
тарх же Самосский, по свидетельству Архимеда, при­
держив<1лся другой гипотезы: 0 11 предполагал, что « Не­
подвижные 111езлы и Солнuе находятся в покое , а
Земля обрашается вокруг СолнLtа по окружности кру­
га, rа<П()ложенного посередине между Солнuем и 11('-
ПОдОИЖl·IЫМИ звездами». При этом расстояние от
Сол1ша ло неподвижных звезд оче11ь велико. Хотя Ар­
химед не говорил, какои модели мира придерживался
( ам, но л<tнные о размерах Вселенной он fipaл у Лрис­
тарха, потому что у того « мир 1-uра3до (юльше, чем
пnлаrают обы чно • . Лиаметр Вселеннои Архимед по­
ложил равнь1м 10 11стадиям, что составляет примерно
2 световых гола. А песчинки, пu Лрхимеду, таки е ми­
ниатюр1-1ые, что в одном маковом зернышке их помес­
тилас~, бы uелая мириада - ю•. Результат оказался
не столь уж запрелелы1ым лля человеческого понима­
ния. Наш совремt:'нник Jаписал бы его как единицу
с бJ нулями.
Но как обозначить это число? Ведь ни деопич­
ной позиuионноИ системы , ни 1акой улобной формы
записи с помошью степеней во времена Архимеда не
было. Тогда 011 разрабо1ал систему 11аиме1юва11ий
больших чисел, отправляясь от мириало-мириалы -
числа 106
= l<IO ООО ООО. Числа от l до 108
-1 он на-
1вал •Первыми»>. Мириало-мирнала стала единиuей
«чисел вторых». 1016 - ед11ниuей «чисел тре1 ьих~
и т. д. вплоть до чи<.ла 1ofl
111 1
'
10011 1
"'
111
' - ели11 иuы • чисел
мириадо-мири.:1лныхu. Так удалось поим е 1юв ать
числа в диапаJоt1е 01 1 ло IО 11111"
111
t1<мю - 1. Но Лрхиме­
<\У и этого пока:~ало1 ь мало. Нее эти числа nн обьели­
нил в «Первый период» и далее переш ёл ко второму,
третьему ... м11р~1ало -мириалному периодам . Такю.1
образом. названия получили числа 13 огромном д11апа ­
зоне - о г 1до1oм nnnnnl1 oм 04' 0 11"" - 1. Если за11и1ать
верениuу uифр последнего числа н<1 Gумажнuй лен­
те, отволя на каждую u~1фру по 5 мм, то мина этой
ленты~ несколько ра.з превы сит ра1меры н аше й 11ла­
ttетно й системы! (Сс1ма11 отдаленная от Сол нца пла­
нета - Плутон - име:.>-ет средний радиус орбиты око­
ло G млрд км.) Лля сравнения <кажем , что лля записи
ч1кл.:1. выражаюwего количество пес•1инок 1J Архиме­
дu1юи Вссле11ной, хватило бы 32 см.
J\юбо11ытнu срав11ить оuснку Арх11меда с данными
tuвременной астрофи-1ики . С~.>.rолня ученые полагакп.
•по во Вселенной количf'сrво ·мементарных ча стиu ,
из которых состоят ато"1ы вешеств<>, н е больше, чем
1083• Известная н;~м часть В селе 111 юй может быть по ­
мешена в куб с ребром длиной 40 млрд светов ых лет.
Если заполн~1ть его кубиками с ребром 10 - 11 мм (каж­
лыИ такой кубик ме1 tьше прптова или нейтрона - jЛе­
ментарной частиuы вешепва), то обшее число этих
крохотных кубиков окаж ~тся меньше юн; .


Такая с истем:~ 1~аз ва11ш1 бол~,шнх чнсел
пришrт;:~ 110чти rю всех сnрс>пtйских cтpaIIax
11 в Сослинfнных JUтатах Лмерию r А жл во
Фр;1нцни 11 XV н. посчит;иrн, что <-ва1·он•11tК» и :i
1рёх 11улей 01ишко ."1 мзл. и помест11ли FI одн11
•t.1a/'OJIЧИK>1 ШСС'IЪ JIYJJCЙ. В rУКОПИСlЮМ l:ОЧИ ­
НСНJТ!f 110 эprrфмt"J ' HKe JIJIOI ICl\OГO нр:.~ча Нн ­
ко:r<i JПюке м 1.1 наход1-н"1 слона «6ию111сн 1 " ,
"'1рилл~ЮН " И 'J'. Д ., KOTOpl>! ,"ПI 011 06О~!Нача;1
втору1п, ·1·ретыо н 11оследующие степени ,_\fИЛ ­
mюна, т. е. чиспа 1 ooouuu 2
= t 000000 пооооо,
l OUUUOO ~ = 1 000000 OOUUOU 000000 11 т. д. Эта
тради1~ия до сих пор сохраrrилась в Гсрма1111и
11 Ангтrн. Сами же фра1щузы с серсд riны
XVH в. ст~u1и 1х1з.це)15ПЪ ч1кла на периоды по
1·ри ЦI rфphl в r<:IЖ/(OM вместо WCCTJ 1. J .I СЛОН()
<-611ЛЛТЮН • Г!ОЛУЧИJЮ \' НИХ :m;lЧtllJIC:: 1()'1_
,
'
Наэнания бплыпнх ч11сел привлекают 1111н­
~1аш1е м атематиков ин 11а111и дни. Лрофсссор
Стзr1сjюrщс1юrа у11иnерсптета (США) До11аль11
Э Кнут посч11тал, ч10 в траднциошп,1 х сис­
темах наэва11ия щш чисел <· р~кходу10тся» сm1ш­
ком расточитслыю. Предстаним на м1шуш:у.
что мы у.мtсм н;.~зынать тою,кu числа н пpt­
ДCJ tax от 1 ;~u .100 . Уже это1·0 небш11,11ю1·0
ЧИСМ-«ВЕ/\ИКАНЫ»
Математикам приходится иметь дело с гораздо
большими числами, чем физикам и астрономам.
В науке (J числе различных комбинаuий - комби­
наторике - числа-«великаны» вс~речаются бук-
13ально 11а кажлом шагу.
Огром1-1 ые •1исла возн~1 кают и при оuенке веро­
ятностеи редких событий. Например, всрояпю\ть
rого, что обезьяна, бессистемно nарабаняшая по
клавишuм nишушей Мi:lшинки , случайно напечата­
ет шекспировского « Гамлета», можно оuени1ь при­
мерно как один шанс из Jl)m.xю = 10 41 1'8~ (~лесь прt"д­
полаrается , что на машинке 35 клавиш, а текст
- Гамлета» с:остоит из 27 тыс. символов}.
Большие числа - •1асгые гости в таком раJделе
vtатематики, как теория ч и сел. Известно, что любое
чиrло, nревышаюшее величину N =3
3
" ' >1Ol11>J~;~ю,
может быть выражено в вид!' rуммы трех простых
чисел. Сра3у же возникает вопрос: обl\адают ли
этим свuйством все числil, меньшие No Увы. мош­
нейшей электронно-вычислителы1ой машине 1ы
проверку э1ого свойс1ва лля кажлого натуральнот
числа от 1 до N потребуется время, во много раз
превосхоляшее предполагаемый 1юзраст Вселен­
ной, котuрый оuенивается менее чем в 10 16 секунд.
Л.1fivк,1 < чti 1а
1\АТИ Н СКИ[
КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ЧИCl\ИTEJ\bHIJIE
Число НаJва11и(•
Прои.тuш1..:11иt·
1
LIПLl'i
унус
"
dщJ
луо
"'
tre~, lr1a
тре r, ; rm<i
IV
qual\Lюr
кв,птуор
v
qL1t11(1ue
KBИ l llФ~
VI
~ех
<РКС
Vll
o::ept en1
Сf>ПТем
V lll
octo
ОКН)
IX
11ovem
HUl:H-.' M
х
de-rem
'
деu ем
XI
uпclt->< 1111
у11деш1м
Xll
duodc cim
дуодеuим
Xlll
trerlccim
трt·леuим
XIV
qu.illuorde\I m кватту?рлеuим
xv
quiпclecim
KB11Hдt'Ul1M
XVI
~etJec1m
(('Дt:UИМ
XVll 1,ept en<i e( im
СЕ'птенл~uим
Х\1111 dLюdev1g i пti
'
луодсОИГl>IН ТИ
Х!Х
undevig111t1
у11дсв~1гинти
хх
v1gi11 t i
8VHIHTl1
6J1'ажа з 11а1111~'1 ) ~ост:почно, чтобы 11щ1 ,'11сн о­
в:.~ 1·ь все ч11сJ1з от 1 11.0 9999 После;1нее ч 11ою
можrю назвать "/tевя посто /~сnять co·1"eIJ де­
ВЯН(}СТО l\СШ:1Ть•) . Точно так же. если вслед ~а
л.ре1:1 1шмн грека.мн число 1О ООО 11азва1ъ ''-~ш ­
рпа11ой-1, далее ~же можно поиме11оватъ все
ч.11сла от 1 до 10' . 1l аnрнмер, чнс..rrо 9l)l)9 <) 1)t)9
назо1:1t'м «дс 1шносто левнть сотС:'н девяносто
ДСIШ1Ъ \1Нри:щ )tCШIHOCT() /\СННТЬ сотсн деюню­
стu ДСl:IЯ'IЪ ».
ОБШЕПРИНЯТЫЕ НАЗВАНИЯ
БОЛЬШИХ ЧИСЕ/\
103
тысяча
10"'
у1·1леuимио11
106
МИl\ЛИОН
\ ()JЧ луолеuилл11011
10• ·'
109 миллиаrл, биллион
тредеuилли о н
10 1~ триллиuн
i о• · кв,1ттуордсш1лл1 ю11
1() 1;
квалрИl\ЛИ(Н\
1о•• КtlИНД('l.IИЛl\ИО\ \
1013 КВИНТИЛl\ИОН
1(1 11 rедЕ'Ш IЛЛИОН
10~ 1
секстилл1101-1
10·•
сеп1 леuиллиu 1 1
1014 сеrПИЛNЮН
·1О"' дyUдt'IJИI 11Н ТИЛЛ11U11
102 7 о ктиллион
1 uы> у11леви 1-ин rнллион
101n 1IОllИЛЛИОН
10" 1 вип111т11лли о 11
1OJJ леuилмюн
127


Слсдую щ1 J "' 1ю 11coбxoJ \l l O\IOC111 н;.~:ш анным
ч11сж>м N)JlЖH< >быть 1О>!. Д :;:)_ К1ry· 1·111х·11;1ш·аст
/l,. l !JI llCI'() 11:.l 'iH:tHlll' « Mll.'lbIOIJ" '·Од1нжор1;·нн 1 ,1с
C.'IOKa. L1:1J lр11.чtр .,NI l IJI r,ю1н.-р·' - обЛ:1/\:1Те11h Mll-
itl1l! J!ll\()ГO состошпш, также (1ы111 1 бы удобны н
о\-iраще1111 IJ ·>,
ОП1СЧ~IСТ ()J I , Л,61 ст11~ )-1 'l'ОЧ 1IП
так же н J \il.rтee. мы 1<аждый pa:i 6~·;\<..:"1 1tэна· 1 1,
1ювос 11а:таrп1с чнс; 1 у, 1 1редстаuляющl'N1у co6of1
1.;11:i,i.paт прсдылущс1·0 п;че 1юна111юго LlJtcлa .
.'Гю60 11ыт110, •по 6m13кал 1цс.sт пр11 образо-
1щ111ш llOJl(H'O llJ\ll'HUl\:111 HUl'U ЧIJCJJa vб рать
Cl'())lhKO 1]() Cl'( Jclbl{O» -
вt- l'P l'Ч:tl'TCH н старш1-
1ю~'1 1 1 у.,,н:р:щ 1 01 славян (см. е1·:1·1·ыо •Ст:1р 111111ы с
Clll''l'l ' Mbl :~:tl lllCJ I ЧIJCLJI" ). ;J l'Щё p:111t>llLC - 11
:1ршl1,1с·1 1 1чесю1л 11 сс1 1едою1111ях Лрх11мс1р.
ra'{ \1 ы111лян о с 1 юсоi1а х 0()0:~11ачс1111я бот.-
11111 х чr1сел. Кщт в 1<)77 r. nостронл п rстсму ,,1;1 -
тс~ 1а111ЧСС!О1Х CH ,\HIO!Юll, с помощью котороf1
шюс.•1едст1ш11 была ш1спспа са)11~ш 60.1[1,шая и:1
I<ОГЛ<НI ~ 1 00 нс.трСLЫJ3ШIIХСН n ~1атем;1'1' 11 чесюrх
,цою1~i;~тсm.стн:1-: констант - так 11аJыn;1~~-юе
ч 11 сло l'рэ,,сма И.1-:;;1 сно<..:f'1 нсобыюювеrшой
1 ·ro~10:;1tK< )cr 11 (>нn 11е може 1 6ы·11, ныр:1;кено
11нач.t.' к:1к 11осре1~<."1 ном особ 1,1 х от1спt.:,1ы1ых
К< )нстр~'кrt1 11'т. Rот :~ж·с1. 11 1 1р 11 гщ1,11л:н.:п <1~1 -ню11-
11t"ван с1ктсча С'l l \Нюлов, 11редложе1111;1я Кну­
то ,,1. :?·~от ре:1)лuтат :1:Jm1~1;icт no;tofJ:1ro11(ee ему
nочётт юс мес·1 ·0 н К1111н.- ре1.:ордов Гm 111ecr;1.
./) :}:JIOJ[(\ЧCI lllC llCЛl,:1}1 11е) гюмянут:u () таю1л
•ВI fCOI CTCMJ 1ыл ~ 11а :3н а1111нх 'lL ICCЛ" J(:IJ..: " l 'VГОЛ»
JtJ' •
"
Д'1Я ЧllC.'1:.1 ) () 11 <- 1 'у 1 "OJl l IJI CKC •) - "!.1,JШ сшс.11;1 \ (j n
(11'111
...
сте11е1111 Г)ТUЛ: 1О' . О; 11. 1а~1щи1 а.чер11к;шсю111
1\1атс"'1ат 1 1к ~ю1арл К:1снср ста :~ 1ш11ысю ш:т.
корп 1КОС 11 .l:~i'
1111
0 Mllll ;llOlll,<:TCЯ CJ [()H!) Jt;IЯ !1.lЗB:l-
1 111я ч11 сл:t 1О . 011 сnроп 1л сноеrл /\еюп 1и1с1-
1 1сгп П!lе\1Яl шик,1, как ()ы 011на:т~uт ::Jтn ч1к,10,
11 то1 ответил: "L 'у1·011 " .
ЧЕТЫРЕ ДЕЙСТВИЯ АРИФМЕТИКИ
С/\ОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
Ч11сла 61,1111 r rтр1щума111.1 , 1ю; 11.м11. ч·1 0()1.1 0()0:11tа­
ч ат1 . коm 1ч есr·но 11ред;-.1етов: о ре.'1 fl 1шлча 1 rt:,
мtm1<c>n :1t:р 1 та п амбаре. 011е ц u стадt. Но этн
вел11ч1 шы 11с ппстоя11111.1 - 1ют 1чеспю 11редме­
тов то уnет 1ч1 шалось, то у:v1с1 1ы11алос1" поэто ­
му nажпо 6ыщ1 уметь скнадьшлъ 11 вычптатъ.
Ко1 ·1.1,;1 ч11с:л:1 6ыл1 1 1н:n<ш1,11111м11. ::>то / \<:! 1;июсъ
11 J1< IC 1'( > pt lC<Нl:!Л Н Чё.:р·1 ОЧ КН на /J.l:j)CHt:, i;tВЯ3 Ы ­
на1111 \.it:.•11<11 11а 1н.: рt11к<::. Пас:\.:т пас1 ·ул стадо
< н1сr\, 11:1 ~юнее" у 1 1е1·11 нt:р(:пка , а 1-1:1 всμС::нкс
tтолпко у~стщн, с 1<0!1ыю овец н cт:tf\l'. Р<щ11 лсн
~т 1 L~ 11 ок - пастух завязал е11\ё од1111 у:-~с.:тж. У'1<1 -
щш н1 1ю.1 1ю1 д.uух оuс:ц - ра:тsт:~ал 11n;1 узеm,;1.
Вмссю 11срёню1 часто нспuпь:.ю11;,~1ш жпвоir
«nыч1 1 сл 11тельныir прибор" - nалы1ы. Об ы•11 ю
11мсшю тt1к считают .малы шJI. Большого тру;1а
сто 1 п пpcilO/tJ R<iTC ! IH\1 отуч1 пь ш.:рвоклассrт ­
кон от тако1·0 счt:-1 ·:1 11 11р11уч 11ть к усп юму счi..~'Г)'
•н y\t<..:• О;t11::1ко на116шн.:с стоГ1ю1 е 11р(х\011ж; 1-
н1т сч1 1т~т1-> 11:.1 1 шлы \:.tХ.1'Срж: 1 рую 1 н карJ\\: 1нах ,
ч тобы Н<.: BllДeJI учи·1ет1 с\ 0/\1111 llt"]lBOIVL:.tCCllllK
склаr1,ын:11r ч1кла, тщ1,я 11 а ц11фер()Jшт часо 11.
с р::!:тнтнем ЦИВПЛ.ПЗЭI\1-Н-1 1fQ}J li)J}IJll ICl1 1x 1:s-
ЛIIЧT1l,JC nриёмы с чёта. 0 1111 6ыл.J1 нсобхоюrмы
11 к~тщам, и р<.:.месле11111.11<ам, 11 тоrд:~шним
128
<- б:J l·Л<llp;tM " - j)()C' I OHll l llK: l1\\. 0/1.H:tKO 11 1.. 'K\'t:C'l '-
H\}.\1 счёт:1 1v1:1;1,C ' , 11 r 11<: 1ч1юп 1с ДJш pacчf· r 011 11 р11-
пж:к:!Л11 с пе11.11 ;элы ю оf>учс-11111,1х лн >11cl1 - счi..;· 1 -
ч1 1 кn11 . Прс:дстаnьте. что rш 0 1.::13:i;1 11c1, 11 Дрс11нс~1
Рпмс 1 т 11~1:.1 с.r1едует с;юж1Lп" 11 аттр11~1ер. ч11 сщ1
cxxxrx 1( CCCXLlV. ЧТ() вы ()у71,стс ЛСЖI 1ъ? 1\11-
несню. сrтачала гrсрспншете r1 x пр1rвычттым11
/\ЛЯ себн ц~1фрамп: 1_~ч 11 -1++. ~ 1 ю·1·о м 6у;~ете
СЮl~!ДЫНа·11, так, как учt l.JlJI н lUKOЛt .
Л как это l'/\l'J 1 :1л f>ы р 1 1мсю111 счСтч11к~ 'J'oч­
llO т:1 к же. хотя 11H/\r 1l1ск.1я 1to~-1 1.11 t1101111:1 я с1 1 стс­
,\.1 а сч11с 1 t:111 rн 11р11111ла к Е11рш1~ 11 ;1мщ) 1 •0 1юз­
жс. ;'1.с110 11 том, что т:1ко(1 11с1к1ш:.1, с• 1Стч11к
< 'Ч'lf~l'l'Tlll"IT 1 1е ~:H lllCl>ll\:НI ЧllC.rl: I , ~1 < 11')M0Щhl0
C llOC:l'O cчtTI IOl 'O 1111С'1руме 11 т:1 ;1(i:11<:1.
1 Jt)aл· - это i\Oc1c 1 с 11роре:1:11111ы ,,111 11 1 н:1'1
же11обам11. Чтобы слож 1 п t, l _)() 11 :)-1 -1, счётчтrк
с11а~1ала обо:шачаст н;~ аб;:ше 't11с.гю 1:)9. Для
этого 011 укладывает па ш1ж 11см жёлобе <) 1<;1-
мс шков. 11а следующем - ) камспп<а 11 од 1 111
камешскю1 ~щt..,,1· н трс·1·11 1'1 жё;юб. (•Ка.м<..:шск·} по­
л:.1ты1 111 c .1lct1!t11'; отсю;1:1и11рш1зо 1111ю на:знаюн:
сонр<..:МС I 11 IOl'O ЭJ l (.'[(TPOJ 11 IОГ'О счётч1ш~1 - <1\;~Л11-
кулнтор". ) F.сю1 как1J1·0-то р;1;зрщ\а н ч11елс 11с1,
то пустует н COOTIJt:TC'l'll}'IOЩllfl Жt.'JI060 1(. Н<:
1 1р:нща ЛII. это ПОШЮСТl1Ю COl!Jla/ pt'I с CORpl'-
:'.•1CППltf:Ч нр 1 шцшюм зamrcrr ч11сс11?


А 11зльше? Дальше счётч.ик кладё·1 1:1 послед­
ний желобак к името111,имся там 9 каметкам ещё
4, затем снимэет orry.n .a t О камешков, оставляя
лишь 3. и t каме шек кла}\ёт во второй жёлоб.
Потом до6<1wrяет ещё 4 кJмt:шка (в рсзул hтатс
та~t оказывается. 8 камешков) и заканчикает
вычисщ:11ин, доб<шляя в третий жёJ106 3 ка­
мешк<1. Тсщ:р1) каме111кн 1-1;.1 /tоскс ппказывают
чнсло 483.
Этот ~вы чиСJ1и·1·елы-1ый прибпр" вам что-·го
11апомннает? Ну ка11ечно же, добрые с1·арые
С'l(ёт1.1 Только в счётах вместо камешк<.т - дере­
вюшые 111ари1ш, на11иза11ные на пrоволоку. Рус­
сю1е счёты отличаются. от западноевропейских
тем, что па первых по десять шариков n рнду, а
Шt вторЬL'Х - по де13ять. Любопытно, что в Евро­
пе их и по ce1"i день 1 1 азы.1:1:нот ~абак·>.
Счёт ы использовались :и ш1 Востоке - в
К11тас и Япш-шн. У китайских счётов суан-т.1н
щ1 каждо1) проволочке не по дсся'rъ шар111<оu и
нс по девт ь. а по семь, причём дnе 1юсточrси
отделены от остальных 11яти . Каждая из ЭTIIX
доух косточек ():'\начает пять единиц дашюго
разряда. Такое усо.всршенствоnаннс позnо1rnст
уменьшить t~исло .косточек в счётах.
Ещё совсем неданно в бух.1·алтсрннх учреж­
ден11й и лредприятий нt:прерынно знуч<tли
щелчки 11ерt:брасываемых на сч~т:п' косточек.
Au Яnонни 11 н Н<lШИ днн J1ровuдятся сорса1ю-
1:ш111я 110 скоростн счёта мс:жду людьми, 11оору­
же11111.1ми srпо11скнми счётамн соро6а11, и опе­
раторам.и вычислительных мапшп. Причём,
1<ак правило, nобе11щают вычиспители на счё­
Т-JХ. Ведь чтобы машина начала считать, для нсё
надо состакнть nрограм,"1у!
С:чстh1 суа1 1 -пан как будто с1кцналыю 11rш­
сrюсоблены к римской записн чисел. Это не­
уднвнтел1>но. ведь и то и друJ·ое rюзннкло r1з
«ГJаJн,цевой системы»: пять палыtеR - кос1 ·о чка
слева или uифра V, ещё пять пальцев - 11торая
косточка слсяа и затем пеrехо/~ 11 единицу сле­
т1ощего разряда - 1:\Сё K<IJ( В pИMCKOii ЗаТТИС11 .
Мож110 даже усовершенстnоn:пь суан-пан по
аналогии с западноевропейскими счётами: вме­
сто r~яти 1<осточск с11рава ocтaвi-rrr, только четы­
ре. ;,i вместо / ~кух косточек слека - ли1uь u.цну
Псрехон 11а поз111.1,ионную 1tссяти 1 111ую си­
стему счисления 11озвш 11;ш сqита·1ъ б~з абак::~.
Такая запис1) чисел получила назван11е «и ндий­
сю1й счёт», поскольку и цифры, и r1ра1:1ила дей ­
СТJJИЙ поя~шткъ впервые t3 Ин,тrии. Изменения
коснулись и абака: вместо камешков в желоба
Азбука счета
AiJaк lвверху ! . русские счеты . сущ-пан .
АЛЬ-ХОРЕЗМИ ОБ И НДИЙСКОМ СЧЁТЕ
Если ты хочешь прибавить число к числу или отнять
число от числа, поставь оба числа в два ряда, т. е.
одно пол другим, и пусть будет разряд елиниu пол
разрядом единиu и разряд десятков под разрядом
десятков. Если захочешь сложить оба числа, т. е.
прибавить омю к другому, то прибавь каждый
разряд к разряду тоrо же рода, который нал ним,
т. е. елиниuы к единиuам, десятки к десяткам. Если
в каком-нибудь из разрядов, т. е. в разряде единиu,
или десятков, или каком-нибудь другом, соберется
десять, ставь вместо ttиx еди 11 и uу и выдвигай ее в
верхний рял, т. е. если ты имеешь в первом разря­
де, который есть разряд единиL1, десять, еделай из
н~1х ~диниuу и rюлн1>1ми ее в разряд десятков, и там
она будет означать десять. Если от числа осталось
что-нибудь, что ниже десяти, или если само число
ниже десяти, оставь его в том же разряде. А если
11ичего не осганется, поставь кружок. чтобы разряд
не был пуст; но пусть будет в нем кружок, который
займёт его, чтобы не случилось так, что, если он
будет nуст, разряды уменьшатся и второй будет
принят за первый, и так ты обманешься в своем
числе. То же самое ты сделаешь во всех разрядах.
129


Числа
\тapLIHHhlrt f11tMI ''"'" ·1() ,;~
<.:тш1и у1vтады в:.1ть жеюны с 11:1mк~1нным11 н:~
н11х н11фрами. Эт1 1 жето11 ~-.1 на1ынзлlf(Ъ •·апек­
сы·, Но абак с ;11 1 t'ксзм11 нс вылсржал 11с111,1 ·1 ·а ­
нш1 временем tJ был Jабыт.
УМНОЖЕНИЕ
Умножсrтпе ч11сеJ1 сейчас и :3}rча 1т 1:1 ш:·рнuм
1<лассс школы А 1ют в Средние 1:1ск:1 совсем
не.мнu1·ие владст1 нскусспюм ум 1 юж<:1 шя . Рс.J\­
ю 1С1 а р1-н.:тuкра·1 мо1· пох Rа статьоr зна н нем та()­
л1 щы ум 1-rожс11 ия, д:~жс ccm r он щю11 ч11J1 евро-
11сfiскнt'1 у11нверс11тст.
~а тыо1чслст1 1 я раз1'111т11 н м:псматию 1 было
1 1 11 111 1уман о м1южес·1 · 1ю сппсобов рнюже1111н
чисел . Нталы111сю1й математн к Лука Ilачоли 11
своём трактате «Сумма з напш1 по ар11фмет11ке,
оттю шсш~ям и пропорц11011алы-юс1' 11 » ( I'-19LJ 1· )
прнводит rюссмь ра:-1Jшчны.х мсто1юn ум 1 юже-
1шя. Uди11 IП них IIOC ll'I' H<J ЗR3111tC ~ рсвно с1 ъ.
ю 1и решет чат ое умноже ние~
CJ1a•1aJ1a р11сустся 1 1рнмоу1 ·оm,ник. ра:зде.11ё 1 1-
нhп-1 н <1. квадраты , 1 1р1 1чСм р<tзмеры сторо11 пря­
мо;.1т111ышка соотнетствуrот чнслу десяп 1L111ы~
з11а1<011 у множl 1 мо1·0 11 ,\111 южrпеля. Затем квад­
ратпы<:: ю1 е-1 ки пелятся по дш11· она11и, 11 «" п о­
лучае-1 с н ~<артин ка , п охожая ш1 ретётчатые
ставн1 1 -жалю:ш. - 1111шст Пачоли
-
Таю1с
ставш 1 вешались 11а окна всне11нанск 1 1х / \омон.
мсшан ут-1•п 1ьu"1 прuхuжим в 1 1деть с1 щнщих у
окон ;1а .м н MOH~IXHHh ~.
11еrемножнм эн1 -"1 сносоnо м чпсл~1 l 99R 11
987. Дл11 Э1'01 'l) З;JIШШСМ нвер:ку ·габ111 щ1.1 число
9fP, а СJ 1 ева - J998, как 1ю1<а:1аrю на рпс. 1.
но
Т<.' 1 н.:-р1, в "аж; \ 1,в'1 ква/1ратик nп11111e .\i1 111х) 11з·
1iCJ\t..:1 шc 1 111фр-с.:о.\н1шю 1 телеИ, расnоложе1111ых
п од1юi1строке 1 1 н одном столбце с этим кнад­
ратшюм.Дссятки распола1 ·;uшся в ннжнемтре·
угuлышкс, а сдш-111111.1 - в верю н.: м. ЛoL'JJt: то1·0
~"ш нее 1·реу1 ·ш 1hн11 ю1 ::;апол11е11ы. цнфры н ю~х
сю1а;\ы ваютс..я вдоль каждоf1д11~11 ·онат 1. Р<.;зуль­
тзты з:зш 1 сываются L'Пp:tп:t н с11 11 :~~ от таб­
шщы - 111.туч;н.:"J <..Я 1 97 2 ()2()
3то·1 с1юсоf} 1 111чу1ъ ттt xyA\t. чем оnщеnr11-
ш1тыс1. 011 даже: проще. 1юс1<оm,ку n клетк11
таf>.rп1цы З<ШОСЯ'1СЯ •шсла прям о нз габлицы
умноженш1 без 0,1~.поврсмс 1 11ю1·0 сложения,
прнсутсrнующс 1 о в о J1-щар·1 ном м етоде Затем
остаL"тL'я 1олько нрш 1з н<х.·п 1 С.:Jюже нис.
Дpy1 ·ui'I с 1 юсuб 11 :1:iы на~· 1 с.:н ~ ма;11:1-1 ьк111·1 ~1a­
I\IШ«> Сн: 1ч :зла, как \111>1 11 гтрнт,1t<.' 1 ~1. одно ч11сло
::1а 1111с 1 м1ж·тся по11дру11щ. 1ю ::1ате'V1цнфр1.111rrx­
нc1 ·0 ч11сла п ооч.ерё;\J ю ~ м 1 южаются 11~1 1 111ж1 1ее
ч11сло. r1р11ч ё м 11ач1шают с цпфр 1.1 ст:~ршеJ'()
ра зр»/\а н н:а:лтый р:зз добаuшr ют 1 1уж1ю<: чнсл()
пулсir
На p 1rc. L пока:~аtю у\1t-южсн11е чассл 1tJЧ8 11
t)t\7 ЭТН.\·1 способu \1 l~ 1 ·0 прсt 1м ущес11ю в ·1·0,,·1 ,
что уже с ctмu1 ·0 начала 01tре;1с1~яютсн щ1 фры
старшнх разря;юв. <1 это ()ыв:н."т нажно. сст111
трсбvстся fiыcтro оцсн 1 п 1, 11<:J 111ч1-111у Ос 1-:u1ь-
11ые шест~-. приё,\101\ пп11с~11 1111>1х Пачпт1 , также
оr1нр~1ются 11 ;:1 :з11а11ие табтщы ум1юже1 1ия
От 1ако n Рпссr ш среди крестьm 1некоторых
1·уберн11iт б ыл распрос1 ра11ё!I способ, котоrьu'1
нс требовал знания всей таблицы умножения
0 11 получ11л 11 азва 1 rис ~ русошй крес-1 ы111 с1шй
способ умrюжешш~. Здt'с1, нсобход11мо бьL'Jо
m 1шь умен~ 1е умножа·1ъ 11дсл1 1·1ъ ч1 ~ела на 2 Пе-
ЗАКОНЫ С/\ОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
Переместительный (коммутативный):
а+Ь=Ь+а,
аЬ =Ьа.
Сочетс1тельный (ассош1ативныйi:
(а+Ь)+с=а+(Ь+с),
(аЬ)с=а(Ьс).
Распределительн ый (дистрибупшныi'\):
а(Ь+с)=аЬ+ас,
(Ь+с)а =Ьа+са.
Правила Л/\1'1 11ум1:
а+О=а,
а+ (-а)= О.
Правилu ЛJ\Я елини uы : а 1 =а.


Азбука счета
9~РООО
9
888~00
Рис. 1. У'1Н1Jже11щ• • 1>1t:ел 911 7 11 1'198 мР1 олuм • Jll 'IJH U< 11> •
ре,..шожим сщt ра~ числа 987 11 1998 Э'I'I 1м пю­
собом
Н:ш 1 1шем одно 1 1:~ ч11сеJ1 сJ1ещ1. а н·1 uрое -
справа rта од 1 юй егрочке Ле вuс чнслп будем
пе.rщ·п> 1 1 а 2, з 1 1 rа1юе - ум1-южа·г1. 1ra 2 н резут,­
татhl зат1сынат1. в еюлб 1 1к (рлс.:'>)
Ест~ 11 ри ]\елешш 13оэ1 t1 11ше·1· uстз·1·ок (· 1
-.
е.
дет1м:ое окажетсн нсчётпым числом), то он
987
1998
- 193
3~)96
246
79q2
123
1'59R4
61
:) 1G68
50-
6 :N36-
1')
127872
7
2')'5744
~
51148~
1022()76
1972026
Рис. 3. Умножег1 ие чисел <J8 7
11 19'11.\ • русLк "м кр«пьянск'щ
с11псобо" '.
88830
7896
}<)12026
Рис. 2. У'lнс>.+;ег111r ч•Кf'\ 1'J98 11 '1 8 7
·\.\eTOЛf),,i « V1dЛ< 1HbKJ.1~f l rl \1U1'»
0·1·брасыв~1е1ся Ум1южсш 1 с 11дслс:нис н<~ 1. лро ­
АОllЖаt:м дn тс:х LLop, по~t слсна не uстанt:н: н l
Затем нычсрк 1 н:м те стрuчю1 столб11 1<он. н
кuтпрых слена стоят чётные ч11сж1 . Те1 ~ерь сло­
ж 1 1~1 остаR 1ш1<.:ся ч11сnа в 11раном с1•олfiце -
11C)Jlyчr 1 м 1 CJ72 02(). Это 11 есть щю 1 1звс;\с1111с
nереМJ10жае~1ых чисел.
Почему да 1 ш ый способ даёт верный резуль­
т·Jт' Оказывается, oir нспосре~стве 1 шо сюrзан
с прсдставлеrпrем оf(ного нз сомножителей, а
именно первого. в д1ю 1 rч1юй системе счисле ­
ния (см. с1 ·;пъю fПОз{·Щиuнныс снсте.мы сч1 1 -
слсн11я»):9~7=J z''+1.2н+1·2-+J i'+
+()·2;t}2'
1
+1·2'+()·2~+l 2.
1
+1 i'Есл11
тс::пср r. ум 1 южнт1. этu ныраж<.:н11е на l 99R, то
nолуч11м 1·102297()+1 511 ЧВR+1·2')5 74-t +
+1·127R71+()·С>:1936+1 3196S+1·159R4+
+О 7991+1 599(1+ 1 19'Ж~аметьте,что
м ножнтелъ О стопт как раз 11ерtд 1·ем 1 1 ч11сш1 -
t'v1и, которые были uычеркнуты в правом стол­
бике!
~крестьянсю11'1 способ~ ....юж<:т 1ющхшнп,ся
тем , кто нс м ла/J,ах с табл11цt:~"1 ум 1 южс1r1ш ,
п ра нд:~. З/tССЬ прнхою ITCH JJPO J !ЗlЮДН'J'Ь больше
сложснн rl. nf(1 1 aкo таnm,щу ум1юж<.:ння все же
стп11·1· выучить. Ну 11е хвата·1ъся же за ю1ршщ::н11
13J


• Числа
и бумагу, чтобы выяснить, сколько будуr сто­
ить 7 пирожков ло 80 копеек за ш·rуку!
ДЕЛЕНИЕ
Хотя умножен ие в старину и считалось нелёr­
ким делом, однако деление бьmо ещё сложнее.
В Италии до сих пор сохранилась поговорка
«Трудное дело деление,}. Так обычно говорят,
когда оказываются 11ерс::д почти неразрешимой
проблемой . В Сре}lние века шодей, умевших
произ.1юдить деление, можно было пересчитать
чуть ли не по пальцам. Их уважительно назы­
вали ~магистрами деления». Они переезжали из
города в город по 1 .1риглашениям куп цов, же­
лавших 11ривести n порядrж СRОИ счета .
Методов деления было придумано немало.
Монах-математик Герберт, будущий Папа Рим­
ский Снлызестр II, привёл в с1юих сочинениях
несколъко способов деления на абаке. При
:=пом он придерживался таких принципов:
-
как мшю-ю меньше применЯ1ъ таблицу
умножения, в частности не использова1ъ умно­
жение в у~1е двузначных чисел на uднозн::~чные;
-
избе 1'ать вычитаниr1. заменяя их сложе­
ния.мн ;
-
работа должна вы 1юлняться ~штом:пичес­
ки, без nporiepo1< , при которых тоже могут по­
явит1,ся ошиб1<и.
Такие строгие ограничения он ввёл, учиты­
вая, скоm, неграмотны были мо Liахи, произво­
/\](НШrие вычисления. Почти ш1кrо из них не
знал таблицы умпожt:ния. Но в итоге пр:шю1а
Герберта оказались настолько с;южнымн, что
пе были понятны тщже самым при ле жным
счётчикам-аб;111истам . Ко1·да R Европе по ­
я.вю~ся арабский способ деления , основа1-н-11,1й
на 1 1 ринятой сейчас позиционной дссятнчной
системе сч.исле 1 rия, он получил 11азва11ие «зо­
лотое деJ1е11ие". Им мы гюлuзуемся и по сей
деш" Л метод Герберта стали па.:~ьша.ть «желсз -
1 1ы м ;~елепием». Кроме этих способов были и
!(ругне. Например, рзс1mадывалн делитель ш1
множители, а затем последовательно делили
делимое на эти числа . При этом дш1 деле ния
на однознtt 'Jн ы е числа сущесттювал специаль­
ный метод.
Долгое время в Европе конкурировал11, два
способа деления: «Золотое деление-> и (•1'алера~.
Прежде всего напомним npaвиJta «золотого
деления» . Разделим 987 654 1-1а 346 (рис. 4).
132
Сначала нахuднм наибольшее целое чнсло,
которое, будучи умноженным на 346, окажется
меньше, чем 987. Такое число - 2 , оно и будет
первой цифрой час 1·ного Затем в ум ~ умножа­
ем 34(> 1·1а 2, результат записьтаем псщ первы­
ми тремя цифрами депимоrо и производим
вычитание. Потом к получе1-пюму чис.лу при­
m1сываем следующую цифру делимого и про ·
должаем процесс, повторяя те же деr1ствия .
Второй способ итаm,я~щы ш1эы1шш1 «Гале­
ра» из-за того , что после окuнчания иыч11слс­
ннй цифры располагаются в ввж· фигуры, на­
поминающей это гребное судно. Уангт1чан он
известен как «метод зачерю1ваю-~й·>, r юскuльку
здесь посгояmю приходится зачёркиuать циф­
ры. Лу1<а Пачоли счи1ал этот способ са мым
быстрым. Может быть, кто-то из читателей
решит пользоваться именно им.
Метод « галера-> отли•1ается от «Золотого
делення·~ тем, что в нём нет ум1южсш1я в уме
многозначного числа на однозначное. Оно за­
меняется нескольким.и у.множеншrми однп­
знач.ных чисел на однозначные и вычитания­
ми получ енных результатов по очереди.
Итак, тrсбустся р~1~·mел~пь 987 654 на 346
З::~пишем J1~Jн1мое, а 11од н11м дет,1тет•. Спра6з
01 ДCJIИMO l'O ПОС'l'аRИМ скобку, за l(()TOJ10Й 6у,71ем
nоснедоиателыю з<1пнсывать цифры частпоrо.
Как и при обычном делен ии. подбором нахо­
дим первую цифру частного, 13 дашюм сл~чае
2. 3аписываем её (рис. '5, а).
Теперь умножаем первую цифру де;штел.я,
3, 11а 2 и результат нычптаем из перво~"r 1~ифры
дслим01·0. РаЗН()СТь 9 - 5 2 = .) за~rисыв:~ем
сверху, над цифрой 9, после чего зачёркнш~см
Рис. 4. делен11е
числ~ YIP 654 ~•а >46
Ml;'Tn/\OM •Зn/\ОЩГ()
дeЛl'l'llts-4 ~


3
;Ю
987654 (2
987654 (2
987614 (2
346
346
346
а
б
в
]
'/.
.38
2<)
29
'/.9~
;)05
Ы15
3рsв
~'~7654 (2
987654 (28 9§"П954 (28
346
3466
М66
:$4
г
.4
34е
11
п
)'
Цl
_,,..
!Л~
$$"1
Z9РЛ
~051'\
30~~0
9~7654 (285 98 654 (2854 170
346Ц)
34~~~(')
~16
Рис. 5. Леленне
H:J
3444
числа С)87 654
.'{
1fi
на 346 методом
)#(
3
•r31\E~f'3> .
о"<t\О
,.... _
С]\ \Г\ \D
~.\('00\О\О
"<""> 00 N") V°', r-- '.0
......
N\/")С]\о00~
N ;.,-, С\
""
'
"
Лзбука счета
цифру 9 и цифру 3 в делителе - они уже
«вышли нз игры ~ (рис. 5, б)
Переходим конторой r\ифрс делителя - 4 .
Умножаем сё на 2 и полученное произве11е1-ше
8 вычитаем из числа 38, которое сто11т над этой
цнфроlr делителя . В данном случае достатuч­
но зачерю 1у1ъ цифру 8 и над ней 11а111 1сат11 О.
Tenep1, можно зачерю rу1ъ п r\11фру 4 в дел11Те­
ле (рис. '), в).
Переходим к rrоследней цифре делателя -
6 . Умножаем её на 2 и вычитаем из числа 307,
образовавшегося свер:лrу 1юслс предыдущего
~таrш. Так как :Ю7 - 6 2 = 295, то зачёркиваем
307 и пишем над 11им 295 (р11с. 5, г)
После всех этих опер:ш.ий 1~ифры ш:~ерху
рис. 5, г можно прочитат1, как ЧИСJIО 295 654,
К()Торое получает ся нри «ЗОЛ()ТОМ делешш»
после первого вычитанv~я.
Теперь снова пишем внизу число 346 1tu<,
как это нзображс:но на рrн.:. 5, д, н подбираем
вторую цифру частного. Эт<' цифра 8. Записы­
ваем сё 11 11оследов:~телыrо вычитаем из числа
2956 цифры '-ШCJla ,)46, ум11оженные на 8 11
"1""
~ Н'1
~ «"'>
("<"")
"
'
Рис. 6. В результате делен~1я
\Н:ОТС)Д()М •Галt'ра " nr)paзyeтrsi
фигура, наnо'1ннакнuая лолку,
а черточки г1ревр<1u1аю rcsi в весла
133


ЧИС/\i)
соотuстстнующ11м обр:азом С/\НI 111у1 ые. Получа­
ем Т(), ЧТО f!:З<JбражtНО На ()ИС. ') , е.
В зто"1случае1 1 езачёркнугые цифры вверху
состаплmот Ч11сло 1Н R'5~. Это же число полу­
чилось после второго nычнта1 Lия прн «:юлотом
дсл~юш". что и нсудишпельно .
Продолжая этот пронссс (р11с. 5, ж:. з), по­
лучаем окончатель ный рt:зульт~1·1·; 28">-1 и 170 н
ос.~1·:1ткt: .
Ес1111 nонерн)r1ъ 11ос11еднт1й рнсунок на 90•.
то 1 111фры обра3уют ф11rуру, 11 ;нюм1111ающую
ДЕЛИТСЯ ИЛИ НЕ ДЕЛИТСЯ?
Иногда возш-шаст сптуа11 ия , ко1·да нужно
быс 1· ро определить, делится 0;1 1 ю ч11с1ю на
;1ру1·ос irm1 н ет. Пред1юложим. яы ку11ш1н в м;1-
1·аз1шс .i 1 tастика , 6 каран11анн.:~'1 r,1 9 0;1ина ­
ксжh1х тстра/\Сf\ а 11ро11зпец 1 ·0 11орит: ,,с нас ;1а
покупку дсся'rъ рублей », Даже нс :нrая точ ной
1т,е111,1 ncжynr<н, мпж1 ю сразу по1шти, что прп-
1\анец rт1116ся. Вед r> нто1·011ая стои_\ЮСть обя­
:зательно доmкпа /\елиться п а :), r ю ш1 1О руб­
леfr , 1ш 1000 копеек на 3 нс делятся.
К~11< у:щ:пь, делится m1 одно щкло на другое ,
нс прибегая к трад1щ 1 ю111юму ,r~.слс 1 1 и ю «у1·011 -
ком»? Дпя нс:большнх дсm 1.те11еl1 С) щ~ствуют
11рос1ъ1 е, леr·ко за1юм 11 нi1ющ11сся 11 р1вн:~кн.
Признак делимости на 2. Ч1 rсло н лс:1111·1·01
нз 2 в l'O!vl н только А Т() ,\1\ CJ 1yч.;.ie, t:CЛll t:l'O 110-
СJН:'Д/LЯЯ цифра Дt:ЛИТСЯ па 2.
Признак делямостн на 4. Число /7 ,дешпся
на 4 в то.ми только в том случае, если на 4
делится ч11ою, обра:юв~1шюс 113 двух после]\­
'ШХ ц11фр ЧHCJia f1 .
Призна1' делимосп~ на 8. Ч 1 к1ю п де;н 1то1
на8втоиитольковтомслучае,еслина8
дслнтоr трехзнаLJнuе чнсло, обра,юв~нп·rtх: 11з
трёх гюслепн нх 1 1,11 фр чr 1 сл~1 п
llр1 ше1~ ём при мер: делимосп. ч1rсла
199 6J 9 971 998 на 2 определнется 11111J1r-. по од­
ной e r"o последней щ1фре Я (11а 2 1~е.~t11тсн); 11 а
4 - rю,щ1ум 1юследним 1.1,нфра?>11 (9Н н е делится
тrа 4): на Я - по чнслу <)98 (11а 8 не делнтся;
впроче"'1, это уже следует rrз того факта, что
1.JИСЛО 199 619 l)71 998 нс дслuтся на - ~).
Есл н вниматслыю pacL \Ютрстh 11ризна1ш
деш·L.\ЮСт11 на 2, 4, 8, то мож1 ю 11а1·п11 признак
делиJ\1ос·1·и на 2"' (ni = 1 , 2, 3, 4 , .. .). Ч11сло 11
1.Ч
лодку 11лн корабль. а 11а11111 ч ёрточю1 сл r шаются
в сплош1 1ые т 1н1111. похож~1с на длншrыс нёсла
r-алер1.1 (рис 6).
Этот меТ<J/1, J)()i \llЛC» н И 1 щи11, orгyr1a через
;~рабские страны ов 11протпш n Enrorтy. Пrзвда,
у 1-щдий.цен в результате делеmrя тпшаю 1 х !{()·
р<~блrшов пс получалось. Ведь u то время on11
нс 1юльзо1:1а;шсь для вычпслсmп1 бумагой . а
1 r11салн на дощечках. которые былп по1<рыты
1IЫЛЫО НЛI 1 песком. ll,\lfCCTO 'f'UI'{) чтобы :-i:tчёp­
IO·lllaTu т111фры , онн 1rx прос1 ·0 стира111 1 .
делнтся на 2"' u том 11 только n том случае, еслп
на .!.
111
дс1штся т-:шаLшос число, которое обра­
зую·~· т 1 юслс;1н11х 1111фр ч11сла п.
Дсйствителы IO, }ICXO/\HOC ч И('JIO п MUiКllO
прсдст:ши1ъ 111-11 1;1с сум мы двух сл:н·аемых О/\НО-
1·0, O l<:lJ IЧ l lП3IOШ,<:: l 'OCЯ 1ll ll )'JНI Mll, 11 друТ'Оl'О, Q(i-
paзonaнrюm тrэ т после,:J.11 н_~ 1 1нфр ч11сла 11. llt:p-
noe слагаемое ,1е.rrится 11:i 10 111
• ::i :'lltaч1п . 11:1 2"'.
1юск011Ьку 101
"
='5т1.
111
• Т:жим обра:юм . 11011r<1c
о ДCJIИMUCJ'l I на 2"' ИСХОДllОГО чпсла вссщ:ло за­
ВIIСИТ от ДСЛИМОСТТI 11а 2"' B'f 'OPOl'O сл:.н·аемого.
Признак деЛИ!\tО<-"ТИ на 5. Ч нсло 11 ,11ет1тся
11:.1 5 н том и толr,кu R том слу'Iае. если его по­
следr 1яя 11,ифра О 1 1ли ')_
Признак делимости чисда 1l на степе1IЬ
шrтёрки 5"' (т = 1 , 2, 3, ... ) схож с 11р11:.тако.ч
; ~eJ IНMOCll l Ч[JСJШ /1 Н:.1 степень ДFЮЙКН 2111
• ::Jто
вполпе естестве11110, tieJ\1>J \e.J111тem1 2 н 5 1 1 1·р:~­
ют соuершеш ю од 11ш1ко в)1О рою, n 06разоиа-
11ин оснонашLЯ десяти чIJОй сnстсмы счио 1е­
юш- •-шсла10=2 ).
.Возь:мём какос - rrибудь крупюс числ о. 11 а-
11р11 мер 20. Еслн от ЧIIСЛа 20 ОТНЯТЬ цнфру его
несяткun - 1. , то в реJуJJьтате rюлучнтсл чпс:ю
18, дсшrщсеся на 9 Jlc 1 ·кo проверrлъ. что ::~то
Cf\O(lCТIIO BЬJЛOJll-Шe'I'(..'}f 11 /\ЛЯ др~т11х ЧI ICl'JI: 10,
.~(), . 1(), .. " 90. Е 1'0 такжt: можно р:.1спростран11ть
и 11а бопее 1<рупны<.: круr·лые чнсла. ).1,еГ1<.v1·щ1-
тслы·ю, еслп от ч 11сл:1 т r<i' (:щ1::с1, /11 11 k -
натуральные) отнять qисло т, то JЮJ 1 уч1rтсп
/;!
(•
т1U-т =т ·(JО-1),1.е.чиою,завс,1nмо
делящееся на 9. ncдr> сомножитель 1Ok - l в
десятичной по;;~1щ1юr11юй системе заn11сывает­
сн од н11мн дсвнткам11 Это наблюлсннс пшю­
жет пам обпс 1 юнат1, пр11 з нак дс; ш.мосп1 на 9.


СТАР И Н НАЯ ВОСТОЧ НАЯ ПРИ ТЧА
давным-дав н о жил-был старик, который,
умирая, оставил своим трем сыновьям 1 9 вср­
бл~олов. Он з;:~nешал сt<1ршему сыну поло­
еину, среднему - четв<:i ртую •1асть , а мл<1д­
шему - пятую. Не суме в найти решени s~
самостоятельно (ведь зада •1 а в «uелых вер­
блюдах • реше~1ия не 11меет), братья обрати­
лись к мулрtш у.
- О мудреu! - ска~ал старший брат.
-
Отеu остilвил нам 19 вербl\юдов и вel\el\
разделить между собой: старш ему- полови­
ну, сред нему - четве рть, младшему - пятую
часть. Но 19 не делится ни на 2, н11 на 4, ни
на 'i. Можешь ли ты, о лостопочтенный,
помочь нашему горю, ибо мы хотим выпол­
нить волю отuа?
-
Нет ничего npowe, -
ответил им мул­
реu. - Возьмите моего верблюда 11 ~•ыне
дQМОЙ.
Братья дома легко разделили 20 верблю­
лов пополам, на 4 и ~1а 5. С1арши и брат rюl\у­
ч11Л 10, средний - 5, а младший- 4 верnлю­
м. При этом олин верблюд остался (1О + 5 +
+4 = 19) . Раздосадова нн ые, брат1>я вернулись
к мулреuу 11 nожаловалщ ь:
-
О мулреu, оп ять мы не выполнили волю
01ua~ Вот лот вербl\ЮА - 1\ИUJНиИ .
-
Это не ли w tщй, - сказал мулреu,
-
это мой верОлюд. Верните ег() и иди тf' ламой.
[Jризнак делимости на 9. Ч r~ ело 11 дс::т rтся
на 9 n том r1 Т()11пко в том случае, есл 1 1 су.,1м:.~
ет ц11фр делнто1 1 1 ~ С)
/L1я докз:ытелъст13;.~ этого 11рн :m:1ка вспl)м­
шш. что mобое н~1 1111аm,нnе LПJСло /1 мшюю
оредс1·авнтъ u nirдe С\'ММЫ f !ССКО!ТЪКТ l.Х 1(руг.'1ЪТЛ
чисел - дсся'Т1Ю11, сотен и т. l\.
-
н, nо:1~юж1 то.
какого-то КОJ\ИЧ<:С'l'ЩI С/\ШШЦ. Например, ЧИС!IО
'iU - это 5 сотен, 2. десю'ка н 2. <.:диннцы. Со­
с-1·:1nляющж.: этого числ~r можно с1·ру1111нро1.-1ать
rr по-друl'Ому. Выделим в отделы rую 1·pytmy сум­
чу нссх ц11фр ч11с11::~ ).12 () + !. + 2"" С>) То1'д;1
срс:д11 оставшихся сл:н·аемых окаж~" J'СЯ кру1 ·111,rе
Ч I ICJl:t С ВЫЧt::'ГОМ «/!:111И » ( ')i}() -
.:; =-J.9'5:.Ш - 2 =
= 18), уплаrа кото1к>1u1 .пелает rrx кр:.~т 11 ым11 О.
i\от более форм<.tЛьпос обопюв~ш 1 1е это1 о
рзссуждеш~я. L\нcJ1o
11 "" Hi'nл.+ 1</ 1
nk. 1+ +10111+111).
l'/tCllo, 11 L•/1;·...• 171• -
Ц1 1 фрЫ В Д(.'01'1'1 IЧll0,\1 rrrt-; \-
CT:Jl\ЛCHl ll I ЧlllЛ;/ JI. З~IЛIJШС1\\ Н HJ ЩС С}"\1МЬI
ll =[llk+ f/k 1+ .. +111 1-1111] +[( 10.11- l)ll1c +
t-L
+(]() - 1)111--1+ ... + (1() - l)ll,]
Перна~ Ю},щратная скобка u щ1:1в01'1 час1 п
это1 ·0 раве11стн::1 - нс с~то 11но е, к<~к сумма
r~11фр Ll[IC'l'~I IZ , а вторая - всё, что O('T~l!l.CTCf).
после вычета су~·1м ы цифр~ это чпсло занеr~,о
\Юдетrтся 11а l).
1'~1ю1,., образu.,1 дею 1 мос ·1ъ на 9 ч1к11а 11 всс­
цсJ10 :iaHH Cl lT ()'J /(С Лl!МОСПI ll:J <) суммы е!'О
1111фр. 1<:11'01"1ос1·атuк 11р1 1 дс..:J1с 1 11111 на 9 / \:Jёт э·1 :1
С~'мма. •1·ако(1 ост;l'lок 11р11 ;1еле11 1 111 на 9 /\;J ~· r
ч1к1ю11, 11 1 1:юfiорот. :1амет11 м. ч ю мы гюл~ ч1u111
;рже более сш 1 ыюе. че1v1 трсбо1щщ)С'1 ,, утвt:рж­
дс ш 1е, н:-1 которt)Н> вытскаL"'l' сформу.1шро11ю 1-
ный nы1uc признак 11ел11мост11 а:л 9 (11р113на~<
13')


Числа
соответствует t.:лучаю, кu 1 да указаrшые остат­
ки равны нулю). Бuлее тuro, из не1·0 же вып;ка ­
ет 11 признак дсл~1мосп1 на .) .
Признак делимо сти на 3. Число п делится
на 3 в том и толыю А том случае, если сумма
е 1·0 цифр дели•rся па 3.
У пр11знаков делимости па .3 п па 9 есп. np11 -
мечателыu,1е особенности. Они могут приме­
няться многократно: спасrала к самому числу,
потом к сумме е1·0 цифр. зате:м к сумме цифр
1юлуч<::ШJО['О числа и т. д" 11ока нач::шыюс,
скоJiь бы ни было оrрuмное, чш..:Jю посте11ен­
но н е «снернt.:,·ся » в одну-едю IC.V['Beн ную цифру.
Лус..ть, 11апрнмер, нуА<но уз нать, де.11 итс я ли
на 9 число, соста нл е ннос 1:1:; 1998 сднннц:
11 ... J 1. Сумма его r~ифр рав11а 1998. Послетн::е
число /\елнтся ш1 9, поскольку сумма его цифr
1+9+9 +8 =27делитсяна9.Значит,11исход­
ное чнсло также делится па 9.
Заметнм, что в процtссс подсчёта суммы
цифр девятки можно не учитывать, так что
делнмость числа 1998 на 9 своднтсн к вонросу
о деш1мuсти на 9 чи сла 1 + 8. отнет 11:i кото­
рый очсвиде 11 .
Коl\l\бинируя уже изtJест11ые признаки дели­
мости, можно уэнать, f\елится ; 1 и ,ца~ 11 юе число
на 6. Дш1 этоrо ашJ одповремешю 11.отк1 ю
делиться 11 на 2, и на :) . СJJедоватепыю, IIaдo
пр11Nенить два при :.шака: признат< делимости
ш1 2 и признак ,целимостн на :). Ашиюп1ч1Iо
выводятся 1 1 рИЗНС!Кll ДеJIИМОС!'И на 12, 15, 18 и
друп 1с состав1 1 ые чис11а.
Признак Пас.каля. Ф1х11-щузски~'1 матtма ­
тик, фи зик и философ :ХVП в. Блс:с~ Паскаль он­
Н<!ЖДЫ :Jадало1 1ю1 1росом: ч·ю будt=т, t=сли в деся-
1.36
Блез Пагкаль. ГравюрJ
ИJ 1- 1u юма cot>paнщ~
C'O'IИHel<>IЙ . 177q r.
тичном разложсIIИИ на·турального числа 11 =
k
k1
= lUnk+10 n1.-.-~+". + Н)111+п0всестепени
десят1ш - 1() 1
, 1IY, .. " 1О'"' - в:шть и заме~штr. на
остатки m 1, m J, .", m k, пuлучающн<::ся нрн Д(;Ле­
нюr эпrх степеней на нското рос ф11ксиро~ан­
нос число rn? ()казьшается, в рсзульт:1Тl' такой
замены образуется ЧJ 1 слп р = m knk + т1г 1nk-t +
+ ... + т1111 + п0, которое даёт точно такой же
остаток при делении на т , ЧТ(J и '-П rСЛ() 11. В этом
и состоит сутъ приз11аI<а, описа1111ого Паскалб1
в работе «Особенности делимости чисел'"
Убедимся ll tГ() CЩXШ<.:)J,JШ.IIO<.:Tl l. Для этого
каждую стt:п е1 11, нес11тк11 1О' в дсслти'-шом
ра :ы uженнн ч11стt 11 прt/tстаним в .1:11щt 10' =
= q,nz + ni,, J'J(C: q, -
неL1шшое час·п-юс 0·1 · дt:ле­
нпя 1О'нзт(i= 1, 2..". k).Мы гrолучнм
п= (lf;гm+mk)n1г+(q,нnt +mk 1)н,._1+." +
+ (q1m+ n·t,)1l1 +llo= mk1tk+ mk-11l1н +." +
+m11l1+по+(q1n1+q2n!+". +qk11k)m=
= Р+(q1n1+cu12+". +q,;2")m.
Отсюда н~щно, что чна1а "· и р r1p1 1 делен.ни11:1
т дают с_щ11н и тот же остаток
На 11ракп-1кс.: r1но1·да бывает удо611 ес неко­
торые н с~ пстаткоп т ,, 1п 1, "" m k 3амснять соот­
петствующими <-r 1е1щс1·а· 1·1<ам1r » 11рн ;эрн.: нш11;а
т - 1 1риз11ак Паск~1ля и в этом C'J1yч;ie остаётся
в силе. Замстпм также, что если о процессе 110-
следоnателы нн·о дслсшrя чисел 10, 102, 10.1
и т. д. на т на очередном, i-м шаге уже 11айдс11
остато1< т, uт деж:ния 1О' на т, то для нахож­
дения слслующ<.:1'0 остатка 111 11 1 им можно
чу;\ес н ым 06pa:~oN1 вuсrют,зuкаться . И3ба ­
внться от 1 шш11их громоздких выкладоl\ 1юз1ю­
ляе-г такое полез~ юе ·1ождество:
10"
1
= JO·10' = 10·(q,tn+"п,)=IOq,m+10т,.
/·Ч
Из 11ero видно, что числа 1О н 1От, имеют
одн11ако.1;1ые оспrп<и от деления IJa т. А по ­
скольку чиСJю 1Um, нри большом i и пе очеJJь
бОЛЬШОМ 1n l'ОраЗДО fvltHЬШe <ШСЛа 10'-I, ЯСНО.
что следующий остатuк т,+ 1 следует опрсдсля1ъ
именно ло числу 1От,.
Признак дели мост.и на 7 . Llиain /1 делт·tя
Fla 7 1~ том и тол~,ко 1} том случае, если 11 :1 7
делитсячислор=п0+3n1+2п.!.- (п:. +.3п.1+
+ 2п,) + ... (здесь, как и ранее, nU> 111, n2, ."
-
цифры едюпщ, десятков, сотен" . ЧJ rсла п).
Убедиться в этом нам поможет униnерсат,­
ный признак Гlаскаля. Последователы-ю находя


ост;r1·ю1 1 111и недостатки при делении Ч!fСсл 1О,
10!. IO s.."пат = 7. имеем
1о
7+3,т1=
.1;
Н)m1=
-J. 7+2,т2= 2;
1()111!= ) ·7- 1, т~= -1;
1()1/'f1 = -1 '7-.~.т, = -.1;
10т1 = -..J
.7
-
2,JJ15= - 2;
10т,=-3 ·7+1,т(,= 1;
1От1,= J
·7+3,т7=3
:и т. /~.
С11с11<mа·1·елыю, Lt'Yt cлn п ;~аёт ·га кой же остаток
пр11 делеr-ши на 7. что и число р.
Так, например, ч и:сло 1999 не делится на 7,
посколъкуна7 неделитсяч.ислор= 9 +:1> 9+
+21)-1= ").1.
Признакделимостина 11. Ч 11с1юпдслит­
ся н:1 11 в том и только в том случае. если сумма
<.:Гu цнфр, СТО}IЩИх на нечётных местах, отли­
ча t.'тся от суммы цифр. стоящих на ч ётн ы х
мссrах , 1ra пелнчину. кратную 11.
Дтr 11оказате11ьстnа :-ia мет~ 1м, что чнсJ1а 1О,
102
, 1()\ .", ]ok при делепип 1та ll дают 1re110-
k ...
cn1Th1·1н остатки - 1, 1, - 1, 1, "" (- 1).Следова-
телыю, ло признаку Пасr<аля, оронзвольное
натуральное число п при делешш на 11 даёт
т:1.ко1"1жеостаток,Ч'l'О ичисло 111) - n1+п, - 11~+
.
-
+." + (- 1) 11"' . Те11ерь ост;~лось толькu з амегить.
что 1юс; 1с:д rн:с выражен не лре;1ег~1 Rлнtт собой
p:JЗllO<."JЪ двух cy/' .l\J\,\ ц11фр ЧliCJ l a 1'l , С'l'ОЯЩИХ на
чётных 11 1 1еч<::тных местах:
(п0+п~+n-J+".)
-
(n1 +111 +11~ + .").
На11р11мер, чпс.тю 1969 делитсн на 11, п отому
чтодля 11ero эта разпост1" а именно 18 - 7 = 11 ,
делится на J 1.
Првзнак делимости на 13. Число 11 ,целит­
сн на 13 в тuм и только н том случ11е, когда на 1:)
/\елнтся число l, 1101rучсrшое нз него :~а ч ёрки­
F1а11исм последней 1 1 ифры и 11рибавлением к по­
лучснrюму числу учет1к:рённо1·0 :тачt;ния этой
цнфры. Напри111 ер, число п = ">2 деJ1ится на 13,
таккак~шслоl=5+4·2 = 13/J,елитсяrra13.
ОТРИUАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Об отр~-щатепы-tых числах, т. е. числах, мень­
ших , чем О, математики знали ещё 2 тыс. лет
назад. Уrюминание об отрицателы-1 ы х числах
встречается. 13 восьмой книге древнекитайского
Азбука счётJ
Предс'1·ави·м чисJю tl 11 виде 1Оа + Ь. Заметим,
что11= IОа+Ь = l0(a + ~h) - 39h= 10/ - 13·.:)Ь,
L"де l = с( + 4Ь. Отсюца следует. что ч.нсла п н l 11а
Н делятся шш не делятся од11оnремеrшо.
За немногочислеlшыми и простыми исклю­
чепиями . число / в несколько раз .мtныпе 1Iс­
хuд1ю 1'0 чнс){а п. Число 11 как бы псреда ёт эста­
фетную 11 а1ючку с1ю<.::му меньшему сuбрату:
мш1 , узнайте, дсли·1·01 л~ 11::1 t;!> м ой r-.ш:1)\111нй
бр;п, ;1 тоr·да уж у:тастс н о()о мне. Понторня
;1,.1 1н ч нсл:t / процещrру с зачёрю шание1'-1 1юсп~/(­
нсй ннфрьJ п прибавлением уче-rnсрё111юй
этой 1~rrфры к ре~-~улътату, мож1ю перейти к en tё
ме11ьшсму числу н т. /t. В конце концоD п олу­
чится такое м~1ленькое число, делнмосп, кото­
ро1 ·u 11а Jj очевидна. Так, проделав эту опера ­
цию над Ч J JCЛUM 1.()02, получим
2()02-7208-752-7]3.
31Jач11т, чнсло 2on2 дсm п•ся 11а 1.) .
Существует со нершс 111 tn :.Jамечательный
призr 1а1< делимост11, кnтnрыi1 n ра1111ой мере n·r -
11осится 11 •< ч.нслу 7, и к числу L1. Г,олее того,
его с таким же уснехом можно пр11мснить и 1<
ч ислу 13! Эти чудеса лод стать nолшебствам.
ОПИСJ.ННЫМ в сказках .:гыснчн н ОДНОЙ НОЧИ»,
Это и нcyJ\l'J нительно, нс.ц ь 1001 = 7 · 11
· 13.
НаСщём OCT<JTКl ·J ( шrн lfC/ \UCTaтю1) ОТ .ЦeJJe­
HY!H "4исел IOs. !(/', .", 10 1k н~~ 1001 :
1о\ =1'l001-1
т=-1.
\
~
'
1
'
1()т=1о.(-1)=-1 .1001+l,тJ= 1;
11
~.
-
1От1=1О·1=1·1()()1-1,
m,=-1
Поэтому лрп делении на l 00 l число п даёт
такойжеостаток,что пЧJtслоС/= 110 - п, +п~ -
( j)~·
"
-
п~+." + -
11~" где 111), п,. п2, ." -
трехзначные
ч исла, обознач~нощне еди н ицы, тысяч11 , мнл-
1шоr 1 ы 11 т. д. в числе п. Следовательно, число
п ДЕ/lИТСН 1-1::! 7, 11 Ш!И l.3 , CCJJl l на 7. 1 j ИJllJ
1;, ; ~слитен q . Напрнмер , 11;1 7 дели·1·ся чис;ю
п=2016,таккаквэтомслучаеq=14.
трактата <-Математнка в r~еняти книгах->, Их рас ­
сматривал Д11офант, живший в Греции в ПI в. Их
зн~ши индийцы (Брахмагупта, VП н.), ими поль­
зовались арз.бские математики (Абу-л-Вафа,
137


Числа
г
1
____.
Береж"'шый хозянн лолА<е t1 хорошо ~нать 1«1к раJмер своего
И\1)'Шеrrва. т.зк ~· ( оои ЛОЛР-1 . J 1,1 (1 дВОЙllU~1 tty x1 ...~л 1 ~рИЯ ·•
СЛVЖ11Т XOJIOlllPll llЛ\ЮСТр.111111:>11 /)ЛЯ nоложитf:льных
и u т риu,н елы1ых чис~л
J
Х в.). Нес 01 11 1называли их с;ю.ном, которос о:ш~1 -
ча.rю ~дош·~. чiсдостатсж» , н отJ 111 ч 11е u·1 ~ нму­
щ<:ств~1 » -
rю1 юж11те;1 h1-1or·o ч 1 1 сл а . 1JpJJ этом
речь 11е 1кс1да шла о /\l'Hr1гax нт 1 товаре.
В пракп 1ку отр11щ1телы 1ые ч1-1CJI<1 BXOi\Hm 1с
бuлr11111 1м тру11ом, чере~с1 ·1 абу - « 1 1еш,:3и». С н t>­
з аr r амятн 1 ,1 х нрс:мен сущсспюnало 11р~ннr1ю ·
пет.~я Аl>ГЧI I Тй' IЪ бот,шее L!ИСЛО 1-CJ MCHIJ UJCГO.
Это npanmю вос nритrим алось rсак 1шо1ше есте­
стnешюе и разум11ое: 11у р:.tзвс можтrо щюисаТL
nыраже111 1е а - Ь. есни 1.11:>1 :шас тс, что а мсrп, ­
шс, чем Ь? 01(rтзт<0 пасталu вре~щ когда подоб­
ный :~~шрст стал обрсмс111 1те1 1 1,1-11,1м , а 11отом 11
npucтu нс:11р11е1\IJ1смыи. Пш1 нлс:111 1 с о 1 ·р 1-н~а-
1·е; 1ьных ч1 r сс.:11 отк ры ло J\O [IO l'Y к соз1~:11-н 1 ю
~u1 п:бры.
rассмотрю...1 . наггримс.:р, та 1<ую зада чу: "ябло-
1<0нлимш1 вмсстс стоят 3 рублн. а ?! нблока и 2
л11~ю11а о·оят 7 py611t:i 1 Н а о:олъко н блоко
дороже лимона?~. Ео 1 и обозшt<п гrь искомую
вет ~чину через х, а сто им ость 111 1111 0 1ia через у.
то rюлу'-шм дnз уравнения.:
{(Х+)')+)' = _\
_)(х+у)+2у = 7 .
Рl'шив эту снс~·е::му, н айдtм , что х = - 1 рубт1, а
.-по :1н<~ч1 1 т, ч'п> яfiлоко не i\Ороже, ;,i дешенJ1е
н::~ l рубJLь. Точно так же, есл и np1r ре111етн 1
;за:~а ч и, скажем, о днух тrутннка.х получается, что
первый пr1-п11ёл из ттупrпа А в пункт В на -2 часа
раньше, че м второй, п онятн о, что 011 nришё.11
на 2 часа 1 юJж<.: второго. Если бы мы 1 1е 11ользо­
н:11111сь отр 111 ~:.1телht-1 ыми щ 1 с1~1 .мн, то пр11utгюсь
бы uмссто 0111ю1I :3Щ\а ч1 1 решать две: в од 11оi1
м1.r прсдпола1·:vш бы. 'r то nt.:rныil nут11 11к 11р11-
111 ё11 ра r11,ше, а но нтпроЛ - что раньше nr1ш1сл
nтпрп{1 тту'1'1111к
П олnлеттп с отр11 11,ател ы11>1 х ч1 1 сt:л пр 1~нод11-
;ю и к довольно nарадоксалы1ым с11ту:щ ш1 м
Скажите, пожа!I\· йста. какое ч11сло вююе бnт,­
шс, чс:м - . .+? М1юпн.: ;v1 пювешю отuечают: «J\1 11 -
нус восемь». А разве -Н больше. че.1 -·Р l3 от-
11t"1' н а это ВUJ[Хtж<:ни<.: об ычно r·оворят: ц"J'оrда
м1 шу<: дна->. J lu, пот~ум:.ш , откюываются и от та­
ко1 ·о 0·1 кета I<акс..> 1~1 Жt: uт1к··1 кс1.х:н? 1Jшс:uщ1·1 1
Вс~ дело в тпм , что ПОНЯТI 1е ~ н11ное \Jол ЫllC~ ОJ1-
реде: 1 ялось llИJlll> ДJIЯ ПОJIОЖJrТСЛЬНЫХ ЧllCCJI, :1
для ОТ)ТИТ\аТе.'ТЫ IЫХ ero 1 1уж 11 011 11 60 011р еделтъ
заново, либо вообще нс 1 кпот,зппат1"
Конечно же, отр1щателы п,1е ч11сла 11р116.нщ­
лн забот :-..1:пемат11кам. Прн11пос1.,, вnод1 1 т~, 1ю­
Rыс огра1шчсш 1я. Так, запре щалнсь отрнца ­
Т<.::11 hH hlt" ч11с1ш под энака.VJJ r кв~1драт1 юго корllЯ
11лш· :чшфма . :•)'1 ·0нсу)(l1н 1 1те.1ы-ю. Ведь, 11апр11 -
мср, н звле чь кв:1,црат11ыi1 корень H:.i ч 11с1 1а -J
-
ЭН:! Ч 11Т найТJJ такое ЧИСЛ() .У, КЩ1/ЧХIТ которо1·0
равс-н -1 : х: = -1 . А квадр:л :\CilCTH I ITCJll>l-IOl·o
Чll CJJa l l t' может (J 1.r т 1 . отr1щатсльнЫ .\1 . А11::1 ло­
пrчrю, найти J101-а р11фм 110 ос1-1овэю 1 ю а ч11сm
- 1 означает найп r т:шое ч1 ~ело .х·, что
а'=-1.прн~Jёма>О.
Но ct' > О для любого де!1стшпелыю го ч11 сла .\'.
И всё же. когда говорят. • по 11 еJ1ьзя извлечь
кна; 1рат11ыrl кuрень 11:3 отрицатслыюго числа,
а Таf(ЖС н:.IЙTll ло1·:1р 11 фм uтp 1 1 r\;ITeJlh l IO!'O YllC·
ла. /\елают бол ь111ую 011ш бку. Выс111 аи ·"' атс­
м:ника уч11т, что таю 1е кор1111 11 ло 1 ; 1 р11фмы
су щес•1·11уют. Пj)~Щ'\а. ОНИ ЯВЛНЮТСЯ уже.: JJC J\eil-
CTB llTCЛ ЫJЫ ML I , ~t ком111н::ксн~.1м11 ч11слам11 (см
статью <>Зачем irpю-L ьr 1ювые числ::~ ? ») .
ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИ Я
ОТРИ UАТЕЛЬНЫХ ЧИ С ЕЛ
Правила сложения: а+ (-Ь) =а - Ь,
а-(-Ь)=а+Ь,
а-а= О.
Правила умножения: а (-Ь) = (-а)Ь = -аЬ,
(-а) (-Ь) = аЬ.


ПРОUЕНТЫ
Мrюго ли соли н ,\щрскоfl воле? Этот во11рос
мож1ю понпмать по-р а:3тюму. НапрИ:\1Ср, сколт,­
t'О 1>есит RСЯ соль, растворён11ая в морях 11 окс­
:~нах? А можно 11 так: сколr,ко соли прихо;\нтся
11а ведро z-юрской воды? Чтобы С>ТР.СТИ'\Ъ н~ пер­
вый вопрос, ;щстаточ1 ю ю11'1т 1 1 ответ 1-1а нторой
11 ещё уз11атh, скш1ько кёдср тю1~ы содержится 1\
.v10рю: н океанах.
Жителю nриморст<оr'о города или посёлr<а
на второй nопрос отnет1 1 ть С()ВСе;ч нетрудно.
АзбукJ счёта
Для ;поrо 1rу:;юю пабрать ведро морской воды ,
поставить его на ОJ'Онь и греть. пок;1 вся вода
не nыкипит , а затем !3:3I1есит1 , останшуюся на
дне сопь. J lo можно ли у1·нержлать, что у С()СС,д~1
1юлучнтся столько же? Веронтнес все1'<\ нет. А
клруг с1·0 ксдро окажется fioлt>we И Jl!f мсныт1с
либ() налито 01ю будет более иm1 менее пол -
110' В резул1.-1·ате сосед буде-1· вы11ар 1 111:п1. /(ру­
готl объём nоды, а потому у него ос-1·а11ется
другое КОШIЧССl'ВО соли.
229
11эСJ1tдопмiл ,1r·ь, со.1с­
\ J!ИПIЬ пебо.!lъш.iя: 1шлебавiu, on, 3 ,oo/G
'НОСТЬ ХО'J'Оры.хъ ~OC'J'.llracrъ ТQДJ,Г.Q 3,30/G
.<\ЩС :ыевьше. BвyтP6ЯUiJJ щ1рн Go.11.e
~~ft.•Jзe)ШOB море aoдep:i:..u'l"ь оть 3.8
(uъ rорышх-ъ бacceiiuaxъ 00.11:-


Числа
Такffм оfiразом, наша мера солёности - ко ­
личество соли на fle~po воды - окаэалась не­
удачной. Нозьмём друrуто меру - кош~чt::ство
сош1 на 1<Илограмм расшора. То есть ~о кипя­
чения раствор нужно взnссип,, а потом нес ло­
лучен:н0.й соли рn:.щелить rr~t ncc раствора.
Пусть 1к:с pa<..~rrюp:l 8,4 ю', а нес соли 1.1 г. Вы­
чнсляем : 21/8,4 = 5/2 1' р~1мм:с1 соли на кило­
грамм раствора . Если опыт повторитh, то ошпъ
получнто~ ПО Ч'ГИ ТdКая же ВСЛИЧIШ3.
Но почему rрамм1.1 на кило1·рамм, ::l нс 1~с 1 тт­
неры 11а тонну или фунты па пуд? Давай·1·е-ка
будем с ч итати в ~·раммах па грамм. flocr{()111~кy
в 1шлоrрамме 1ООО 1· , то и ре:.~улътат nудет в
1ООО раз .11.1сньшс: 5 / 2000 = l /400. Тот же ответ
получится, если мы буд<:м сч итати число тонн
соли в тонне р;н::т1юра ю 11 1 11удов в пуде.
Подходящ:u~ мера н:.1й11ена, но вот за11ись...
Скажите, какое число nольше; 11 / 1002 ил и
12/1090? Сразу и не гюймёшь, нужно считатr"
Куд:t легче срав1шнат1, десятнчн ы с дробн!
Дроб1.О,010~)7 меньше, че.v1 (),01 JOl, fl(rтму что
число С/1.ИllИЦ, десятых и сотых у 1:-IИХ Of\ИJ!a ­
кono, а число тысячных у uторой больше. Удоб­
но? Конечно. Решено: буJI.ем записывать резуль­
тат не uбыкновснной, а дсся-тичной дробью.
Каза1юс1, бы, зачем столько премудростей
ради к<1кой-то мпрской во;1ы? 1ly а если вужt ю
точно зна1ъ содержание металла в ру11с, жира R
молоке , химических веществ в }[екарстве? Ведь
задача та же сам.ая.
Ит:tк, мы доrоворилис 1, заnисынатr, ответ в
1111де десятичной дроби. А с какой ·1·очно~..."'1ъю?
С nомnщью каранд:ш 1~1 и бума!'и J\IIОЖllО/\елить
даже ;ю м~rллнардных дш1ей , но отhуда беруп:и
сам~1 нсхо11111.1 с:: числа? Есл11 весы в маrаанне
поназьш:нот ">20 r, то в дейстн 1не21-юсти 11ред ­
мст может uесить 11 S1S, и )24 r, а двести-триста
лет назад точность necon была ещё меньше.
Поэтому и всличиrrу содержания одного ве­
ще<.."Тн:.1 !:{ дру1·ом имело смысл рассм:~триnап, с
то• 11 юстью ло nерных двух цпфр после J;:шятоli:
0 ,27; 0 ,64; OJ7, 1. е, 27 l'uтых, 64 сотых, .~7 сu1ых.
Rnт мы и прнптл11 к nfIOZ{eJtma.м. потuму • по
n rтере1юде с ла·1ъ11111 pro ccntl1m - « Сотая
час'Тъ». С.ущестuует и специ3Ль11ая заш 1 сь: 27 ~"
б4 9\,, ~7 9<,. ГоRорят , кm'да-то у 11аборщ1 1 ка сло­
малась литера, n рсзул~,тате чего 1юз пю< этот
причудливый знак %, призш1н11ый затем во
н<..:tм м_и ре. Запись оттrотений стала удобнее,
нсчезлн нуJJь и заrшт<u1. а символ % сразу у:ка­
зыв~1 tт, ЧТО псрсд Н:1МИ ОТIЮСИ 'l'еJ.1ь н ;н1 Вt'JШ­
ЧН/-1<1, а н.е 1 р:.1ммы, т 1тры, рубJ ш ш1и метр 1.1 .
flро 1 ~снты fiыш1 r 1 звестны r-1 ндийц::~м ещё t!
V сто11е 1 ·ии. Это нсудивитеJ1ыю, потому что в
И ндии с давних 1юр счёт в~:лся n десят11ч1юй
системе. В Еврсте десятич111~1е дроби n ояnн­
щ1сь толы<о спустя тысячелетне, их вnёл шщер­
лапдский учёный Симон Стетнш .
Со временем люди научшшсъ извлекать из
всщее1 · ва комш..>щ.: 1 пъ1, состаuю1ющис n,кяч-
1-JЬtе ~от 1 от неса с:1м01·0 ве::щес'ГН<! . 1'0 1 ·д;1. чтобы
не вводить нули н запятую, т. е. не t 1ис1тh 0,6 ~'6.
•
1
п р н думали новую 1 1сл11чнну - 11роми11ле
-
тысячную долю, которую обо:тачилн 1У.111, а 1Jме­
сто (),6 % ст::~ли п 1ка1ъ 6 1Yr111 .
ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ
Первыми в списке:; арифjv1етw1еских действий
иду1· сложение , вы чнтание , умножение и неле­
ние. Во:теде11ие tl сте11t11ь и извлечен ие кор 11 }1
иногда называют пятой и ш естой оnерат ~иямн.
Представление о вознедении r-1 с1·слень как
о самостоятельной опера 1 ~и и у м атемап1ков
сложилос1, не сразу, хотя зада ч и па вычисле­
ние степеней всгречаются n са мых древних ма ­
тематических текстах (см. статьи «Дреnннй
Египет~, ~междуречье»).
14U
Своеобrазно онисывает первые на1У})алъ­
ные степени чисел Диоф<1нт Александрийский
в своей зж1 м е н итой «Арифмет11 ке,>:
« В се числа , 1~к ты зпасш1" состоят из 11еко ­
торо 1 '0 количества ед11н1щ; ясн о, что 0 11 и про­
должаются, увст1чнная.с1. до бесконсч1юст11.
Так пот, среди них находятся :
квадраты, получающиеся от умножсн11я 1-1е­
которо1·0 ч11ст1 само 1'0 н:~ себя; это же •mс1ю
наз ы вается стороной квадрата,
затем кубы, получающиеся: от умножения
квадратов на их сторону.
далее квад рата-квадраты - от уJ1.шоже 1 111я
квадратов С<lмих на себя.,
/\алее кв~щрато-кубы, nолучаIОщиеся от умно­
жения ква/\рата на куб его сторu н ы,


далее куб о -кубы - от умноже ния куб()11
самих на L'Сбя».
Одним из первых, J('f0 о I<ОНЦС xvr - начале
XVU 11. предприннл ша ги к построению совре ­
менной теории степеней, был нидерландский
математик Си мон Стевин. Он обо:шачал неиз­
вестную величину кружком О , а внуrри его ука­
зы ва;т n оказате;1и с-гепени . IJanpимep, Ф, Ф , Ф в
ет за писи обоз rта•rади х, х , х. Сте 1ч111 отверг
Дипфа11товы составные выражения «к вадра то­
кnадрат», " квадрато -куб» и предложил называтr,
степени по их показателям - чствёртой , пятой
и т. д. Современное обозначение степеней а2,
~
r1, ... мы ш.1ходнм у Ре не Декарта.
***
Опер:ш.ию во:1оеденнн в с.·те11<::11ь естественн о
0 11 редел1-пъ по ана;юr·и и <.:операцией умноже­
ню1. В с::~мом деле, если многократ11ое сложе­
ние СJТ\Н1-1аковых чисел заме няется пдним i~ей­
ствием -умножен ием:
а+а+". +а =а·п,
~
11 j1J'i
то гтодобным же образом можr ю объеднни·гь
J.I умноже ние одинаковых сшсел :
а·а· ... ·а= al/.
~
11(1.11
П()следнее раnенство - пе что ш юе. K'.aI< опре­
деление п-й степетш числа а. При этом а на ­
зывается ос11.ова1-1ие,;~1 cmeneтtu, а п - её потса­
.'lаmеле.м.
Степени с натуральными 11 оказ;пелям 11 об­
Л<t/\ают свойствами , которые л еr'ко 11ро верить:
при перемножении двух степеней
одного и того же числа .кх показате­
ли с:кладываJ01·ся:
(*)
~ при деле1ши двух степеней одного
\.( и то1·0 же числа а # О их показатели
вычитаются:
11
!!:__= а" -"'
а"'
("*)
Во нторо,'111 с1юйст1-1е JJрел.полаrаетсн, что п > т.
Д11н 1 1раверки Jщста·r«">чн u кажд~'Ю степе н.ь
записать 1'1 виде произRеде1 1ня одтrа1ювы х со­
множителей. Появление условия а --F О лcrl\o
Азбука с•1ёта
ФОРМУЛЫ ВОЗВЕдЕНИЯ В СТЕ П ЕНЬ
Определения:
а0
=1
а"=а·а·
1пР"
а"":;-
а"
п
д"'=~
Свойства:
а
(n>О);
(а~О,п>О);
(т;1: О, а> О).
(!\ГаJ =а;~ = а (а>О).
объя с11ит1·.: 11а rrуль л.еmп1, 11ельзл . Л tKYI' огр;1-
ш1че1rие п > т вызы вает Ч}"11спю неудовле·1·1ю­
рённост11, не правда ли? Нельзн ли без пего
обойтись?
Заметим, что при т ~ п u левой части ра­
венства (**) получается nполне осмысленное
Rыражсннс:
11 11·' ·1
__ .......____
(./,
11
аа'"
(/
=
=
l
=_1
_
, CCJlИ l/'l > rl,
ат а·а·... а а·а·.., а
а'" -11
'---v- - --'
щ р.1J
т //[)';l 't
и
и"--;;; = 1,еслн т = /1.
а
Это позволнеt· н а м расrrтирить опер:.щию 1:1оз­
Rсдсн 1н1 н стс1 1 снь нз спучай н улСiю1·0 1-11111 uт­
рнц:зтслhНОJ 'О 1 юка:!атслл . !<стати , расnрос1'р~1 -
не1111е привычных 0 11 ерац11й на 11ct новые 11
нов ые област11 - очень удоб 11 ый приём, r юзnо­
ляющий расшнрить сферу nр11ме11ения разра­
ботанных рат ree методов.
Итак по о прелеле11шо, полож11м
ан= l (а:;t: О);
1
и11
=-
(а*(),11 >О).
а"
Таю1м обра зом, оnерацин во:щенс::ння н сте 11 ен ь
()lfределе на для нсех 1~СJ1ых пок::~::1атt:.11ей . Пр11
это м ра1-1е 11 сrпа (*)и(**) rкталr rсь в силе 11 бе:з
Hl


Числа
дос~дного orpa1-11JL1eн11я п > т. L<расшю, про­
сто 11 удобно!
А что буде~, если выраж<.:1-111е а", в свою очс ­
рс;~ь, 1~ознс<.-г11 n степень т? Воспользовзвш11сь
0 11 ре.целе1-те: ,"1 сте щ;11 11
(а")'"=с1"·с~" ·". ·а" ,
-v-
11/ Р·"
11р11меrш м формулу(''):
ll!Jlt --1 11
а'1•(lJ} "• • а" =а //•1'·•
1
= а"т_
nJ p.t of
То сс·1 ъ
при возведении степени в степень
показатели перемножаются:
(***)
Извлечение корпя определяют ка1< опера­
цшо, об ратную 1юзвсдени10 н степень. qто это
Jн~1ч1п - «обратн)11О~f 1<01щ1 требуется нозвес­
т11 ЧllСЛ<) tl R(.'TCILCltЫl, 1'() само чн сло 11 покаЗ<l­
телh С1'епс1111 считаются ю1нными, а х = а" -
11скомой келичлноfl. Обrхзт11ан З::!дача - Е1 ай­
·1 · 11 такое ч11сло х, Jt-я t'тс 1 1снь которого равна
да111 юму ч1 1 с.гrу а:
t'сшепне этоr'i з:~дачи 11 называется иза.лача1tи ­
L~м коршz п- 11 степени 1rз чпсла а:
_.,,,. ='Z.a.
1Iоскu111,к\' '""tl 1нус 11а м11нус /(аёт 11люс» , то
'
11
'
11 ·с
·
о
х- = (-х)- ~ J. Гlоэ1·ому 1 1р 11 (,/ < 11ЗRЛСЧЬ ко-
реш) чt:тно(r степени 11с удаё'1'ся., ::i при а >О
1 1м еются сраэу il,fla l<opшt. от:rrи чаю щнеся толь­
ко знаком. Д;r я ОП[1СJtслёшюстн полагают, что
..~апись 21{1 а обоэначзст лuлuжнтельный корень
(cro <.:щё н:вынают ар11фмстичсск им). Второй
1.J• '
кореш, - зто
-
<Jа.
Е<.'1111 01 ·1х111нч 1 1ть рассмотрение только по ­
_110Жl1т1.:л ы~ым11 оенона н~н1 м.н, то опер~щии воз ­
нс11,енш1 R·11-10 стс11<::11ь и н~ш1сч.ення корня п- й
стt::пс1 rи становн·1·сн вза нмно <>бр<J ТН 1.1м 11 . T<iK,
возие;~н чи<.'ло !i во nтпрую ст~пснъ, получил1 9,
а если нз 9 1 ·1звлечь юзадр:1п1ый коре11 1 " ·1 ·0
снова получптся :) . 13 общем случае
il,
U•'
J1
( г-)''
-
\et =а н \(,/ =а.
142
КАК ПОЯВИ ЛСЯ ЗНАЧОК КОРН Я
Вначале погuвuрим о самом tлове ,,корень•. Кро­
ме прям о го , биuлогическо гu значения: «кuре~tп
дерева», « корень зуба» - у него имеется и мета ­
форический, иносказат12ль1-1ый смысl\: «коре нь Зl\3»,
"РОдов ы ~ корttи » . Крылатое 1нречение Ко1ьмы
Пrуткова «Зри в корень!» пр и зывает к 1юстиже­
н11ю сут11 , первоосновы, пер13опричины проблемы.
В древней И~tL\ИИ неизвестное имсновалос.:ь
<< мула », что оз начает «начало», «о<· нов а 11 Иt?», «ко­
рень (дере ва) )) . Арабы дм1 эти х uелей использова­
ли слово «джизр " с тем же значен ием. Евроnсйuы
1-1еревели его 1ш ла1ынь как radix - •Ко ре11ь ». Та11.
воз н ик математическ и й термин • радикал ». С этим
назва нием связан и пр11выч 11ый н ам значок кор11я
J.А история его такова.
На протяжен ии нескольк11 х веков математики
вслед за Леонардо Пи:~а1 кким 1<вадра 1ный корень
обозначали знаком~ (сокрашенис от смJва radix).
Постепе нн о R. превратилось в стrоч ную букву r.
IJ книге по алгебре Кристпфа Рудольфа - первом
руководстве подобного рода, наnиса11 1 юм на н е­
меuком языке (1525 г.), - вместо r исоолыуеп я
значок У. Этот символ уже похож на тот, которым
nпль"lуемся и мы. С9вр~менную 3апись корней
'
1
J1 "р
разныхстеnе1·1ей- ~ ,~ , ". -
мы находим у гол-
ландского математикс~ Альбера Жирара. А горизон­
rалы 1ую черту над выр ажен и ем под радикалом ввёл
в 1&37 r. Рене Лекар•.
Изnлече1111е корпя служнт как 61,1 зерк111Ь­
ным отражс 1ш ем возведения n с·1-епень . и 1 1~­
t>борот. Но великое чу;10 математию"' состо11т
в ТО,\1, 11'1'0 оба ЭТIIХ /\<:ЙСТННS! МОЖI!<) тракто­
в;пh". как 01(1 ю. Для это1 '0 1 1 уж1-10 сдс11;&·1 ъ 1.:щё
'mлъко од1 1н ш~н·: расrтространит1, опер:11 ~11ю
11озt1едс:1 п ~я в стс 11 с11 1, 11:1 ;:i,po61 1ыс показ<1теш 1.
11
Что такое а"'? )J.a11ai-iтc r1<н1робус."1 форм~u1ь-
1ю воз1:1ее1·н ~т<J выраже 1 п1с в стс11е1 11. т, нос­
поль:юnа1н11н с 1. раненст1ю.111 (***):
З1ш ч11т, ЧllCJIO а"' <::стссгвен1-ю пон 1 1м~пъ как
J<Орень 111-й стспснн из ч1 1 сла с/':
11
am = '~а".


Это н t:с1ъ 011ре;~1::лсние дробно~'~ степе~ 111. Так
иы 111cC'lyt0 01н.:рзц1110-нзнпечеrше корни rюл -
1юс·п)1u свеп 11 к пятоi1 - nозве; tепию 11степе~ 11.:
СРЕЛНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
Ко1да 1 ·mюр>1·1· <'срслн~ 1 (i 1.юзрас1-. , ~сrедн111'1
rюс1' ·1, "cpc111111f1 ааработок" , всем поня·1· 1 ю, о
чём 11дёт рtчъ. В матсмат 1 11се же рассматринз ­
ется м1южеС'11щ разлн•пiых «срет1нх», поэтr>­
чу все1 ·ла нуж1 ro угпч1 ~ять. какое 11 мсJ 11 ю «C'pcrt -
11ee" 11,\·tCIOT А 1111ду.
В са~юм общем смысл.с среднее значенне
11ес1юльюхх ч1Kt'J1 - это 11скоторuс ч.исло, :{а­
к1110чённоt' МСЖ/tу нa~'VJCHl>Ш l l.J\oJ и H3И60Лl>IHIIM:
113 них.
Для /\НУХ 11(.)ЛОЖllТСЛЬНЫХ ЧIIССЛ а 11 /J ЧJЩL'
всс1'0 рассм::~тр11нают
среднее ориф.~zетичеоте
а+Ь
111= - -.
2
средuС'е гao.i\tempu •1еское
1
g=vаь.
среднее ?t1j1люн11чf!сл·vе
2
2а!;
//::::-- = -
-
]1a+/J
-
+-
(/ /?
Можно 1нж:1:i:пъ. что :-пн срС/\НИе :.sначения
удnRлtтноря f()'I' 1-rtp:нн:1-tc1·!'a "''
'
2afJ
1
а+Ь " 'а.!. +lэ
2
-
-
~ 'VCllJ~ -- "'
1
,
и.rтн
a+fJ
.2
~2
пр11чс~ы :{1 1:1 к ранс1 н.:тна дос-1·1н·астся 1111ш 1, в с1 1 у­
ч:н.: а= tJ.
С рс.:; (1111с значсння ч зсто встречаются в
гс:омстр1t11 11 ал 1 ·ебрс. На~1римср. катет прямо­
}ТОJ1ыюrо ·1 рt:у1'оm,11ика ранt:11 срt:д11сму 1·с:о-
А3букJ с чет ц
~сrкэлы r< )С отражс1111t: c1111m )С 1. <.: 0'1р:1л<;н:, 11.щ
объскгом. J.1, ны ходит, нсt:го у 11::tc не 11Jt:cт1" ;i
пнть ар11ф.v1етпчесю1х J\Cf1 cтm11~1 .
метрнческому 1 •1-нютснры 11 nросю~ 1 111 :')T()J'O
K<ITL'TЗ 1r::i 1 ' 1IПO'l'el1y:-iy. л 1-\i>! COTa 11рn~юу1 ·011ы 1 (1-
1·0 треуrоl)ыпr1<з JJроведёттая к rнпоте~rузе ,
сст1, cpeJ1.1 1ee rеометричес1юе прое1щий нате­
тоn 11а пшотенуэу ( р11с. 1).
Рис.1. " = ~1а,;/1=/:;,. /J
.
с
/1
В люfюй трапс1~1111с<к 1 юнапш1мна11 /?от­
ре:юк. параллелыrый осtюnапаям. копцы като­
р()rО лежат па боковых сторо11ах.
-
раnен среднему арифмстпческом~ оспо­
в:н-шй . сслн он соединяет серсд11ны боко.l:!ых
сторон (рнс. 2):
MN "' а+/>:
1.
Рис. 2.
/\П КО ПК /\1\
-+-=-1
-
:
оll'\6!\В
А/3
= АН = 1, ('l\ЬlUBdП'ЛbllU,
1'0 =~
,1)11.
-
parie11 срс1111ему rармот rчес1юму ос11онэ -
11У1i1, tcm1 1 1 рохсщит через точку перссече1тя
дпаголалеИ (рис 2):
Ю,= 2ufJ ;
а1-Ь
раnсн срс.:ннему 1·сом с:тр1 1ч сскому ос1 ю­
на н1 1й, ест ~ ;~слит тр:э 11 е1\ 11ю lia /\ВС тр ;нн.:ц1111.
110;\обн ые r.н.'ЖJtY coбolr (рис. 3 ):
'
Е!:=\п/J.
1-1 :\


14'-1
Числа
в
ь
а
A---------' D
Рнt:. З. .i!_ = EF.
[[ь
следов.~ rсльно,
EF = ../аЬ.
-
раnен среднему квадрати•шому основа­
ний, сели делит трапецию на две трапе ци.и
р:ншой площади (рис. 4 ) :
Отрезки а. s, т, g, 11, Ь при а > Ь ~кета бу,11ут
располагаться 1J том порядке, я каком здесь :1а-
11исаны. Ко11счrю, это следуе1 · 11~ нсраве11стн
между средними. Но гораздо и11терес11ее уста -
1юшпп, что nорядок име1шо пu<ов, из 1 ·ео мет­
р11ческих соображсIIий (полробуйте, это лег­
ко!) и тt:м самым доказать ~1л геб ранческие
нера вен<.~1'щ1.
А fIOT несколько примерон .из алгебrы. Ос-
1 ювное снойство, которое определяет арифме­
тн ческую 11ро1рессию и объя сняетеё на:.ш:тн<::,
с:остонт в том. что 1<аждый члеп nporpecc1 111 ,
пачш1ая со второго, равен среднему арифме­
тичес1<0му соседних членов. Аналогично, в
геометрической прогрессии с положител 1,ны­
ми членами каждый члс11 прогрессии, начиная
со нторо r ·о, равен среднему гсомстрическо...,1у
'
'
'
'
'
'
,,
1
'•
'
1
1
'
So
ь
s
s
а
1
Р11 с. 4.
'
'
1
50 +25 =(~)~
1
1
5(1
/)
51~:5 =(Р~/):
'
t.ледов1(_1 1- елы-1(J ,
2(pt~' )l -1=Ы)'
'
1'
,,РО2=,i·-
>-
'
2
сuс:едних чле1Ю1i (С;\-! . ст:пъю «Арифмет1 1ч сскЗJ1
и геометрическая пр0t·рессни»). ТТоследоu:.~­
телы-юс1ъ чисел 1, J/2. 1/3, ... , l / n , ... обрjзова11:1
так, что каждый её Lшен, начиная Ct1 uтoporo,
равен сре;, н ему гармоническому сосед 1111 х
членов. Эта последоватслыrость и составлен ­
н ый изеёчле1ювря;t 1+1/2 -+ 1/3+ ... + 1/11 +".
на зываются гармсшнчесю:.1ми (см. статью •По­
следов:о~тельности .~).
Арифметическое, геометрическое и 1·армо­
г1ическое средние ;~нзче 1r11 я были ~1з1зест11ы
ещё античL1Ьuv1 матем.~ти1G.1м. Эти сред11ие свя­
заны с теорией пропорций, котор<i}J лежала в
осноDе дрсвпеrреческого учения о музыке,
геометрической теории чисел, а 110:1же - тео­
рии площа11ей и конических ссчеIIИ Й.
И з неракенства м<.:ж.ду средннм геометр11-
ч ес ким н средн11м арифметичесю r м
г- Cl+ь
;Jab<.
2
следует теорема:
Произведение двух положитеJIЪнъrх
велwrин при постоmmой сумме при·
ни.мает наибольшее значение в слу·
чае равенства этих величин ; сумма
двух положительных величин при
постоянном произведеоии прини ­
мает наимены11ее з начени е, ко1·да
слаrаемые равны.
Применив эту теорел-rу, мож1iо, п::11 rримср,
доказать, что из всех прнмоуголышков с задан­
ным щ:рl'•.метром н:шболыпую площадь 1rмсст
квадрат и 11з всех прямоу1 ·ол ьннков с :зад;~:нноil
шю1щ11t 1,ю наиме11ьши1'1 псрнметр таюl(е 1ше­
ет кнатtр:н.
Ддя п пС11ю.ж1пс.r11,ных чис~л а 1 , а~...., а" 11х
срt:д1111м арифме·1·11чс:ски;v1 называется число
П1+а.,+". +(/11
п1=
-
11
средшu.1 ~·еомстричссю L\11 - число
средним l'ЗРМОНИЧL:СК11М - число
l:J = ____1
_1_
_
_
11
1•
-
+- + ...+
а1 t.ll
а"


КАК ПОСТРОИТЬ СРЕЛНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
В антич н ой математи ке, по преимушеству геометри­
ческой , большое внимание уделялось построен иям с
помощью uиркуля и ли11ейки. Было принято несколь­
ко с пособов построения средних по двум да н ны м от­
резкам а и Ь. В « Математ ическом собрании» Пап па
Александрийского (111 вJ - своде достижени й древ­
негреческой математики - при ведены различн ы е по­
строен~1я средн их зна,1ений no методам его п редще ­
ственн иков, дано также описание построени я трёх
средних на оыюй фигуре.
Вот одн(J и :3 возмож ны х построений всех ч еты рёх
средних значений. На прямой отложим смежные 01' -
резки АМ"' а и МВ= Ь. Н а О1'резке АВ как н а диамет­
рt• построим окруж ность с uентром О; ~ё радиус
а+Ь
-
2
-
равен среднему арифметическuму отрезков.
В точке М п роведём перпенди куляр МС к п ря­
мой АВ. Треугольн ик ОСМ прямоугольный . По ню­
ремеПифагора,СМ1 = ОС2 - ОМ1,ноОС=ОА,
значит,СМ1=ОА2- ОМ1=(ОА+ОМ)(ОА-ОМ) =
""ЛМ МВ= аЬ . Отсюда СМ= .Jab - среднее геu­
метрическое.
К ОС 1юстроим nерпеНАикуляр MN. Из п одобия
треу1 ольн икuв CMN и СОМ следует, что CN : СМ =
СМ1 2аЬ
=СМ:ОС,01к,удаCN= СС = --
l - среднее rap-
J
а+J
моническое.
l'редннм кн~щратнчным - 4ИС!Ю
~·
}
1
Cli+Cli+".+а.~
s;:: \'
1
2
Как 11 в случае двух чисел, эти среднне зна­
ч:ення удовлетворmот нераве1IСтuам
h<g~т~s,
н кo·t·up1->Lx. знак равсн.стна досnн·астса тогд:t н
только ·1·огда, ког11а а1 = а2 = ... =а" .
Рассматр1шаю·1·ся также ювеишн:нъи1 средние
чисел и1.al, "" tt11 с Rесами р,, р1, .." р11, оnреде-
1шем1,1е формулой
Р1а1 +P2al +". +Рпа"
р,+Р1+". +.р"
(*)
Азбука счёт<J
Из прямоугольtюrо треугольн ика DMO, в кото-
а+Ь
а-Ь
ромOD= -
2
-
иОМ=-
2
-, находим ОМ: DM=
t
/аl+Ь2
= vOlY+OM ,т.е. ОМ= ~--
2- - срелнееквал-
рати ч ное.
В прямоуголь ном треугольнике катет мен ьше гиnо­
Г а+Ь
тенузы, поэтомуСМ< ОС, т. е. vab < -
2
-; CN <СМ,
2аЬ Гяhь
а+Ь ~а1+ь2
т.е. --Ь<~а ;00<ОМ,т.е.__< .
_
_
_
.
а+
2
2
Если длины отрезков а и Ь равны, то точки О и М
сов п адают и все нерав~ttства переходят в равенсгва.
А
..
.
D
в
Такое r 1 а:3нани:с объяснне1·сн п1х.1с·1·ой м<..:ха­
нической моделью: если а 1 , tll, ." , а11 - .коорди­
наты к<Jких-тu п материзльных то ч ек, а /1 1,jJl· ""
р11 - их массы , то среднее взвеше 1 1ное (*)есть
коорд1,шатз нх 1\ентра масс
Можно привести н другой пример. Пусть а 1 ,
а2 , .. " а,1 - экспертные оценки 11е~<оторой вели­
чины, ар 1 , р,!., ""р" - степени нашегодонеrшл
к соотве"J'Ствующим оце1щам (или экспертам,
и,.;, выс~~завшим) . Тогда среднее взвешенное -
это сумм:lрная оценк;э, нычнсленнан таю1м об­
разом , чтобhl мнення более надёжных ~кснер­
тов «nереве111нвали ~ .мнения менее надёжных.
ВзRсше:нные средние э11:1чс1111я. ш1tроко 11рн­
меняются в теории вершrr· 1-юстей, 11матсмат1·J­
ческой С1·атнстнке при обр<~ботке результатон
набmодений или измерений.


Числ.:1
UЕ/\ЫЕ ЧИ СЛА
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
КJж,цос тпуралыюе ч11 ою, большее е;111н1щ1.1,
делнтся 1ю кrюй11еr1 мере н.1 1 111а ч11сщ1· на 1 11
11:.i самп се() н F.сли mr 11;1 1<а1ю<' /tр~тос нату­
ралыюе т.нкло 0 1ю наце.rю не делится, ·ю на­
зыnается просmь1А1, а если у 11ero имею·1-ся ещё
юнще-то целые дешrтсли, то состсюны111. Eл1r-
1111Y.i<a же нс сч11тается ни пр<ктым чнслом. 1ш
сос1ав11ым. ilOL\t:мy?" Об этом рt:Ч.1> впсрс]lи (см.
<..~r;пью ~осноRная теор<..·,,,,rа арнф,..,1етнки,> ).
Не большу ю <·коллекц 1 1Ю? простых чисел
нам поможет сос1 авить стзр1111ный способ.
придум:тный ещё R Ш 11. до 11. : =! . Эратnсфсно,"1
Кпре11ским, храпнте.rтем э11амс1111·1 ·0Г1 Алексап­
др11Г1с1<0й библио·гек11.
Вhm11шем нескплько rюлрлд 1111,уЩнх чнсел ,
начшrая с 1. (рнс. 1). Двойку О'Т'берём n свою
коллекцию, а остальные числа, кратные 2,
з;1черкнём. Ближайшим нсзачёрк:пуrым числом
бутr.ет :). Возьмём в коллекцию и e1·u, а все uс­
тальныс ч1-1с11а. кратные.\ зачсрЮ:itМ. Прн этом
окажется, что некоторые чнсл~1 }'Же Выли ны­
qеркн~rъ1 раньше. к:-~к, н:шрнмер, 6, 12 н др .
Слсду1:ощеt: 1tзнмс11ы11ее неза чёркнутщ.: чrк-
1-46
Jю - зтu ') Бсрi.:м щ1тСрку . :э ое1 ·:1л111-Jыс: ч11сJщ
кр:и·н1,1t' '5 . 1а чёркJ1наt.:м Пон1·о ряя :'.11') 11 1ю­
I\С/()р~ · CIIO/!a 11 СНОВ~4, 1\\Ы в коrщс КОl·ЩОВ ,(О-
6исмсн Т()п1 ч то 11 е.1<1чёr к11 у1ыУ111 ос.:та нутси
ОДllИ Jlllilll> прос1ъ1е ЧИС'JJЗ - OH JI CJIOH H() про­
ССЯЛНСI> сквозь решето. Поэтом~· таl(ОЙ способ
и 11олучш1 назnа rше .-решето Эратосфеп<1"
Можно лл. nторя поэту, сказать, что простых
ч11ссл столько, ~о..:олько звё:.щ 11а rrcб<.:, сколько
рыб в воде•? Отu<:"1 н;~хо,цнм н дсш1тоf1 юшгс
знаменнто1'0 соч11 не1111я Енкл 11да «1lач:~ла• -
11еmенно1·0 памятника /1,рсннсrо мира. Д1цд­
ца·гая теорема н этni1 ю-шге уr·всрждает· ~пер·
nых (Щ)()С1'1,1 х) чисеJJ cyщt.:c11.1yci больше лю·
fю.r ·n ~:казатюrо ч1кла нх•>
Рис. 1. Pewf'Тo ")ратпrфt• н,1


Hor 1нжа:1а·1ельоnо этоr1 теоремы Предпо­
ложим , что существует некое нанбольшсс про­
стое чпсло Р. Torд:i nерсм .1 юж11м вес 11рос1ыс
•1нсла, н~1•11ш ан с 2. 111\011ч:.~нР, 11 увелич1 1м тю­
луче::шюе 11ро11:>11ед~.:11 11е на е1111н1щу: 2 · ~ · ') · 7 х
х f1+ 1= М Ест1 •111с1юМсоставно<:. гu оно
ДOJJЖI ro l I MC'I 1> 1ю краr"11-н.~ r1 ~1сре однн ЩIOLTOJJ
/\<.:Л111 <.:ль. Н о :-эт11м f\<::тп елсм нt: можtт 61.11ъ 1111
одно 11J прос~ых чисел 2, 3. 5.
. . Р, 1IOC1\0J!i>K\1
пр11 1~t.:л е11rш J1l ~1 :1 каждое нз 11их получаем в
U !!лые числа
БЛИЗНЕUЫ
двс;1 nрость1х числ'1, кuтоμые отл11ч<1ютс~ 11а 2, ка"
5 и 7, 11 и l !, 17 ~1 191 получ11Ли образное назва­
ние 11 близнеuы». Любоnьтю, что в на-туральном
ряду имеется даже •тройня » - :~то числJ З , 5, 7.
Ну а t'колt.ко вссгu С'ушеrтвуст близнеuuв - со­
време 1 ~ной науке неизвестно
Ч11с-"а близнеuы 11з з<:~дан н ой таблиuы чиt ел
можно прщ:(;'ив.нь, слегка «Подправив )> решето
Эратосфена. Если лля к<.1.жлого вычеркнуто~ о спо­
собом Эратоrфена чиrлdn вычеркнуть также число
п - 2, то в таблиuе ост;~нутся л11шь такие чием р.
лля которых число р + 2 тоже простое. В пределах
перFюй сотни близнеuы - это {Лелуюшие пары
чисел: (3, 'i), (5, i), (11, 1 З), (17. 19), (29, 31), (41 ,
4 3), (,)9, б1), (71 , 73).
По мере улален11я от нуля бли 'IHCuoв становится
6<:е меньше и меньше, хоп~ исследован11я, прuво­
t.11мые •в глубоком ч 11слщюм космосе», продолжа­
ю~ выявлять эн1 замечателы~ые11 загадочные пары.
Н а 19q11 г. рекордсме11ам11 С"ч1нались бl\И3н~uы
242 20С1 083 2J8 880 ± 1, найден н ые, естественно, с
помощью эвм.
Бм1Знеuы могут соб11раться в скопления, обра­
зуячетверки вила (n-4,п - 'l,п +2, п +4),напри­
мер(5,7,11,13)или(11,13,17,19).Какмного
таких ско пле~1нй - тоже пока неизвестно.
OC'Lv..tтт<:c 1. Слсдов;.1.тtлън.о, ч LICJIO М JLибu С!МО
простuе, т160 ю::лится на лростuе чнсло. боль­
шее Р. Значит, прс.n.nолож~;ниt'. ч•1•0 существует
1-1;.~нбuльшее 11ростое число Р. некерно и мнл­
жееrно простых чисел бсс 1<0нсчно
ПРОСТОЕ ИЛИ СОСТАВНОЫ
Не о всs~ком числе моЖJю сразу сказать, простое
оно или составное. Во:;ьмём, паuрнмер, число
1999. Е<.:ли нет 11од рукой спе циаль ных слра­
вочныхтабли.ц ~Ull1 ll ()MOЩHИK<!-KO MПl>JOTepa. Т()
11ридётся вспомнить о старом, но надёжном
рсщет<.: Эратосфена Однакп не рспектнва ~~а-
1-J.Яться одн ообр<~з 1ю- скучн ым выч<::ркнн:~ниt'м
длннно1·0 ряда чисел нескопько удручает I<o-
1-reqнo , число 1999 ещё н е стоЛL1 вел ико, чтоб1.1
с трудом nросетъся сквозь это решето, по на
его примере поучительно рассмотреть дей­
ствие другого инструмента
Итю<, в качестве лредлолагаемых дслител~11
1999 <- приглашаются? 1rач:альные простые числа.
147


Числа
г:=-----
При этом чнс110 2 можно не брать - яс1 ю, что
1999 на него нс делится. Простейшие призна­
ю·• дели.1>юстн (см. статью (;Делится или IJe де ­
лится?») позволяют сранкитсльно быстро от­
вергнуть н другие ~кандидатуры»::>, 5, 7, l l, l:).
Проверяем следующее просгое число, 17, -
не
подходит. Проверяем 19 - тоже не годится .
Л 23?.. С каждой fювой попыткой надежда на
быстрый успех иtчезает. Скоды'о же чисел­
ка1 щндатон 11ам нуж1 ю перебрать, чтобы дой·1·н
до 1999?!
Стоп! А зачем, собственно, доходить до са­
мой вершины? Заl3етной цели можно достичь
и пройдя через межгорный перевал, ведь если
чнсло п р;шво лрои~недению двух натураль­
ных чисел, то по крайней мере одно нз ннх нс:
больше, чем {п . Ст:шо быть, .на числа-ка1rд11-
латы. бuльшие , rz , .можно просто не обращатn
внимания. Пос1<0льку 44 < .,.
11999< 45, то про-
148
аер1пь осrалос1, сп всем нем 1юrоч11сел - нсе1·0
лишь 2.3, 29, ~1 . 37, 41 , 43. Как по~<азывает про·
верка, ни одно из них не подходит. СлеJ1ова·
телыю, число 1999 - простое.
Этот приём, отме ченный сщё Леонардо
Пизанским , хотя и ~·скоряет поиск воз.можны.х
делителей данного ЧJ-tела п, всё же оставляет
много ругинной работh1, если число ДОВОJ{ьно
большое. Такую работу лучше всего п ерело·
ж:~ 1ть на плечи компьютера.
Если мы воз1,мём 11ауrад какое-нибу/\Ъ до­
статочно большое нюуралы-юе число, то с боль·
шой nероятностыо оно окажется составным.
Это 11~удивителыю. Ведь по мере уд<1Ления 11
бескон.ечность решето Эратосфена становится
ч.аще. а значит, простые чисщ1 встречаются всё
реже и реже А нельзя ли придумать такой. метод,
который для под<1вляющего большинства со­
ставш~tх чисеJt сравнительно просто п озволял
бы уста1-юви1ъ, что 01111 составные? Toma в ос-


U~л ьrе Ч ~IС:Ла
-1
ПЕРВЫЕ 320 ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ И 6/\ИЗНЕUЫ СРЕЛИ НИХ
2
ф
Щ)
©23
®37
®47
53
©
@7q
83
211
223
aEJ233
~257
~GID293
307
~331
337
©353
359
367
373
379
383
389
397
401
409
419
421
31
433
439
443
449
457
~467
479
487
491
499
503
509
GlD541
547
557
563
@577
587
593
(ill)607
6'13
СШ)
631
©647
~673
677
683
691
701
709
719
727
733
739
743
751
757
761
769
773
та11шихся со мнительны х случаю' мы могли бы
воспользоваться трудоёмким с пособом, рас­
смотренным выше. Всё равно в среднем noлy­
LJ>UJacь бы значителъ.н:~я эконо мия сил.
К с частью, такой способ существует. Пусть
п > 2 - на1ураль ное числ о, 11ростоту которо-
1·0 требуется уст;шов и ть. Последовзтt:J1ьно
выч ислим з1-1ач ен11я ku, k 1, "" k,н по следую­
щей схеме:
k(1 =l,
k -{2k1, если2k, < п,
1
+
1- 2k, - п н 11рот11вном случае ,
rдсi=О.l,2,.."п - 2.Теперь,еслиk".1~1,ч1к1ю
'11 точно составное. Если же k 11_, = 1, то вопрос
uс·1·аётся открытым: чнсло п может оказаться
как 11ро стым , т;~к н состанны м .
Секрет это1·0 метода впт в ч ём. Оказывается ,
ЧИСЛ() k"_, будет ~1а 111-ю 1 в том н T()JJЬKO 11 том
случае, кnг!(а 2"
-
1 делится на п. Согласно
же малой теореме ФерJ\11а, ecm1 п > 2 простое,
то 211
-
1
-
1 делится на п. Но нс нсеrда наобо­
рот. 1la этот счет даже ~1звестна одна поуч11 -
тсльная история.
1549
1553
1559
1567
1571
1579
1583
1597
1777
1783
~1801
1811
1823
, 831
1847
186 1
1867
1973
1979
1987
1993
@;)
2003
2011
20 17
Экспериментиру>~ с числамн вида 211
-
2,
древнекитайские математики заметали: если
11 простое, то 2'
1
-
2 дсmпся на п, а если со­
стаонос - то не делится , и таI< для всех 11 о·г 2
до .100. Они по<.:читали, что это1·0 достаточ­
но - кедь число 2~
1
ю действительно впечатля ­
ет оюей величнной: для е1·0 записи требуется
90 цифр! И они сдел;.1J11 1 вывод, что это прави­
JЮ вы полняется всегда. На са м ом деле }"А<С
число 34 1 = 11 · 3 1 наруmает его. Древне­
китайским математикам не хв:пипо совсем
н емного терпения, чтобы в своих экспери­
ме1-ттах дойти 1'0 это rо числа.
ОХОТА ЗА П РОСТ Ы МИ ЧИСММИ
Первую 11звес1·ную нам таблнцу простых чисел
составил нта11ьянский матем ~1 тш< Пы:тrю Ан­
тонио Катальд11 в 160) r. Она охва'Jынала все
простые числа от 2 до 74.- 1.
В 1770 r. немецкий мате м атик Ио1 ·а 111 т Ген ­
рих Ламберт опубликовал таnлн11.у 11аимен11-
ших делителей всех чисел, не превосходящ1 ix
102 ООО и не делящ11хся на 1., .:$, 5. Rлож11u в этот
труд поистине колоссальные усил ия, Ламберт
1-19


Числа
гара11т11ровал: бессмертие то.му, кто доведёт таб­
лину делителей до милm1011а. На е 1·0 призыв от-
1ши~шулись многие вычислители.
К середине XIX в. у-лес былтr составлены таб­
тщы на11меньших деru·rтеней нt: только 11ер­
воrо миллиона. нn и следующ11х. вплоть до
девятою. В это же время в прессе появились
сСJобщения, которые предс1·авлялись :..Jбсолют­
но ф:-1нтастичесю 1 ми: в Венскую академию по­
ступило сем~, болыннх томо1~ ру1юписньLх таб-
111щ ~ Велиюrй канон делителей всех •mсел,
которые не делятся па 2, 3 и '5, и простых чисел
между ними до 100 330 201». Автором это го
труда был Якуб Филипп Кулик. профессор
высшей матсмати.1ш Пражсr<оrо уни.верснтета.
В дальнейшем поиски простых чисел уже н<:
носили характера массоной охоты, с которой
можно с равнить состав11е1 1 нс табли1 ~. а пренра­
тились в целенапр;:нv1е1111ый отбор отделt.11ых
предстаюпелей. У охопппюн за числами болr,­
шt: все1·0 поnуJJярны простЬtе чнсла Мерсеr-ша .
О11и названы в честь французского учёноrо
Марена Мерсенна, сыгравшего 13 X\t lll в. видную
роль 13 становлении свронейской пауки (см. еiа­
тьи "Совершенные и дружественные числа»,
"Ч нсж1 Мсрсснн:1: заблужле1rия и рекор;~ы.,.).
ЗАКОН РАСП РЕЛЕЛЕ Н ИЯ
ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Некоторые 11редсrавле11ия о распределении
простых чrкел имели уже дrеюrие греки. Из
1101<азательства r:вклида следует, например, что
они не собраны вм<::сте, а разбросаны no всей
числовой оси. Но как чж:то?
В l 84 5 г. французский математик Жозеф
Бертран, исследуя таблицу прuстых ч11сел в
промежуl'ке от l дu 6 ООО ООО. 0611::~ружил, что
М<::ЖJ~У ЧJICЛ:JJ\<НI п 11 2п - 2, щеп > 3, содержится
110 кр<~йнсй мереод1ю г1ростое число. В1юслел­
ств 1ш э·го сt1ойство получюю 11 аз"Аание nocnzi• -
лmna Бертрана. хотя самому Бертрану обос­
но 11ат1> его та1< и не удалось. Доказал его в
1852 r. русский математик Пафнуrш1 Львович
Чебышёв. Из результатов Ч:ебышёnа следовала
н более точная оценка. Таким образом, даже
среди очень больших чи сел простые числа не
так уж редки .
С другой стороны" существуют nромсжутки,
1н<J1юч ающне тысячи. милпионы, миллиарды и
Lб ще какое у 1 ·од~ю большое 1юли. чеспю
1')0
подряд стоятr\их натуралъных чисел , среди
котор.ьrх 11ел1,зя найти ни одно1·0 простого'
В самом деле, зад~шшись 11ро11 ::нюлh11ьrм боль­
шнм 11:.tтуральным ч 1 1сrюм k, постро11м ряд
ч1кслk!+2,k! +3..", k!+k(здесьk!=1·2·3
.
k).
Каждое из эт11х ч 11сt:л состаш юе. Н:тример,
число k! + т l\!:ЛИ'ГСЯ 11а т. поскольку k! 1~ел 11тся
на nz п са.мо 1п дел11тся на ш.
Если рассматр1-mать фушщию тт(х), -выража­
ющую кот1чество простых чисел, ме11ьшнх
или рав11ых х, то пр11 псбОJ 1ь шнх значснияхх
бросается в глаза её нере1у.rшрностъ. Од11ако
стоит только уменьшнть мас111таб графика в
нескоmко тыс.s1ч раз, н нашему в:~ору 11ред<.1· а-
11ет кр;н:ивал 1шавн:.~я линю~ (рис. 2). Это сле­
Т(уе>г отнести к числу YJ'HBИ'l 'eJrг, 1 tейшнх фак­
тпв математики .
Пятнадцатилетний Карл Гаусс зан~ 1теrесо­
вался ·1 ·абJ 1 11цаi\1и простых чисел, помещённы­
ми В fЮТ\ареrпюй ему «Таблице лorarиф,\1QB•J.
1lытт нюму уму открылся замечатслы 1ый ,~ште­
матический закон: ф)'111щия тс(х) с ростом apry-
20
15
10
5
. "\'
Рис. 2. Г1ы фики
о
50
100
фу11кш111 Jri~·)
в р.н11ых
.-...кшт~бах.
6000
5000
4000
~ООО
2000
1ООО
20000
40000
х
о 10000
30000
50000


че11та х ПjХll<Т1ТЧески не О'lJШЧ~К"ТСЯ от фр11<­
ЦJ111 х/ 111 х Ссйч<tс этu·1 ф<tкr носит 11азuа1111с
ЗCIК.Ofla рас11редши!11uя простых ц11сШl Сосной­
С1'11t:ннш1 J'L:HllH,\IJ прозорлшю<.vIЫО Гаусс у111щ<::.1 1
Э'J'UT ~{:.IKUH, но найти 1к:ские ap1y;-.-1t.' l-\TЫ ) \JIЯ Cl'O
06ос1-1он:11111я ему было нс суж11сно.
В 181 2 1 Гlаф11ут11й Лыюв11ч Чебышев rюк:а ­
зал, что 11ре; 1ел от1ю 111 ет1 1 ~н тт(х): "v/lп х r1p11 х --+ <)()
1н.: маже·1 0·1·т 1ч ~tтhСЯ от еnн1 1н~ .t.ы. Останалосr,
только доказать, что такой пре,rtел действите; 1ь-
но с.:у:rт\ествуст. Э·ю сделали в 1Н96 r Жзк Адамар
11 нt:зав11с 1 rмо от него Ла Валлс Пуссен . В с.ноё.\1
;~оказатслъс·1·не ~·чё11ы<: uшrра111къ н:1 р<::.iуль­
таты нt·мсц1ш1·0 ма · 1·с.мат111<а l:i t:pнx:1p/\:t Р11ма11а ,
11олучсш1ые 11м 1:1 , к;1 ~~алось бы. очень ;1ал~ко\1
от T<.:Up J111 ЧI J('С:Л обл3С'1' Н матсм аТIIЮ·I - IJ 'l'<::O-
p 1111 функцп'1 К()м11.гн..: кс~ют nсреме111ю1·0 . BO'I ·
так yc 11J1 юrм1r м1ю1· их мате .V1атикоR 11 хаос е
рзспрс"-елеш1я простых чнссл была обнару­
:>J.:сна с 1<рытая rарJЧонш1.
СОВЕРШЕННЫЕ И ЛРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
СТРОГИЕ КАНОНЫ СОВЕРШЕН СТВА
О юерш<'1t1-1ыми 1 1а з 1.1 в~1юто1 чнсла, рав1 rые сум­
ме сrюнх собстве1111ых делителей (т. е. ucex
делителе й , включая e,r(muщy и нсюпочм само
ч1~сло) . Та1ювы , напрю,1ср, числа 6 п 18, по­
с1<О:1Ькуv=1+2+j,28=l+2+4~7+1-1.
Jlюд11 обрат11 т1 н а НIIX п1111ма.нш: оч<.:ньдашю.
дrе111 1 с1.:т1.шетская мера дл11ны локо1ъ содер­
жала 28 н:шьцск В Древнем Рнмс сущестrювал
обычай отнодить ш1 пира х шеста<.: место са­
мьL"' знатным 11 почё-111ым гостям. С()нсрте11 -
На руке Святого { и~< r.i
шесть nэльuев, Фрагмент
карп111ы Р,1фа)11Я
• СИl(С"'Н1Н<'К3!1 M<ll'>QHH<I•
11515-l'il'Jrг!
нымн чис;1 ами унJ1екали с 1, 11нфаrоре~:щы -
rюслсr1она ·1 ·е.rrи ппюл ы дреrнr егречс скоrо ма!'е­
м~п нка Пнф~н·оrа.
Одна нэ теорем n дсвят011 кн 11 гс Нвклидовых
,.Jlачал" гюсвящс1rа замсчате; 1ыюму с1юl1ству
сu13сршс::1111ы.х чш.:с::л. открытому . как пола1·аюt ,
уче1111к: 1м11ll иф:11'uра: 1::сл11ч 11с;юр=1 + 2 + i +
211 2птl l
)"
+ ..+
=
-
r1pucтoc, 'ГО чт IСЛО ~ /J COBt:p-
IUCHHoe П сnраве,цлнRости "J ю го утнсrжденш1
можно уб~д1 пъся , расс мотрек l'CC собс1 ~:;с11ны е
'.
>"р·1)1 )">"'J
l
дел111ел11 чнсJ1.1 _
.
.
,~.
,.."~,_
-
,
l (211
i
1
-
I).
.:.j (211
•
1
-
1), .." 2"-I (21111
-
[)-Н
11 одсч:итаn их сумму. Jlравнло .tвКJ11 ща nозво­
muю древнегреческому математику 1l ико.ч<~л-у
п з Герасы (l- 11 вв. ) найти такие совершенные
~тела, I<ак 6, 28, 496. 8128 (при п = 1. 2, LI. 6).
ПосJ1едующ11с С'tолстн}j uка::J:uпкъ не столп уро­
жай11ымн на нaXOJ\кlt Оч ерс/\НUе, ш1•1·о е п u
счt:ту совеrшснное ч1кло .1 ., 5 '1 0 3.)6 (11 = 12)
было обнаруже1 ют н111, н XV R.
Яркая ст ра 1 tJщa н п сторин С()вер 111 <.:1111ых
чнсел Сtiнзапа с 11ме11ем фра 1 щузс ко т про п()­
liедникз н учёrюГ() Марена Мерсепна . 1\1~nучая
обществеш rая деят<::JТЫ юс1 ь не ме шаJiа патеру
заниматься математикой. Н е1·0 сrесть про<.:тыс
<nкла шщаМ" = 21' -
1 nрн прос1·1,1хр былн на­
:шаны нростымн числам11 Мерсс:нна . По 11р~1-
1ншу ЕRю1нщ1 , каждое: 11 рос·1 ·ое чнсл о м1, 011ре­
деляс:т со11ср1t1сн1101: число .1!1, • 21'
1
Сам McpC<::HJ-1 заяв11л , что очеrедныс flrt:'l~ r· 1.
ст1ер111енных чнсел после 33 5'10 3 36 соотnет­
ствуют чнсла.м,\117, м1", м,,, /\11,-. 1VJ11~ и МJ'Р·до
сих пор остаётся ~1аrздкой. чем 011 рукооод­
стnовался, называя этот ряд. Оказалось. что
Мсрсенн ошибся в двух случаях нз шести.
Числа Л11,- и М1 " - со(1<1нные, п, следоватеJ1ыю,
1') 1


1~)
)~
Числа
ШЕСТЬСОТ ШЕСТЬДЕСЯТ ШЕСТЬ
Здесь мудрость. Кто "мее1 ум, тот сочти число
зверя , ибо это чиt:/\О человеческое, число i:>ro ш е{ТЬ·
сот шестьдесят wесть.
Откровение V/оJнна Богоrлова (AmЖJ/\иncнr)
1J. 18
П « Вой не и мире» Л. Н . Толстого есть эпизод, когда
Пьер счел «uифир~1 ый вее» Наполеона равным
числу зверя - 666, подогнал наn1о1сание свое1·0
имени под такой же, увидел в том знамение и
решился идти убивать Бонапарта. Не поленитесь
перепроверить арифметику Пьера - возможно,
это подскажет прич ину его 11еудачи.
Число же и в самом леле необычное. Вот лишь
некоторые из его удивительных арифмети ческих
свойств:
-
чи сло зверя есть сумма квадратов первых
семи простых:
ббб=2l+у+51+7
2
+11
2
+1у+172
;
-
число зверя есть сумма первых 36 нату­
ральных:
-
число зверя есть разность и сумма шестых
сте п еней первы х трех натуральных:
666=1
6
-
2°+з~;
-
число зверя можно записать девятью uифра­
ми двумя способами в их возрастаюшем порядке и
лишь одним - в убываюшем порялке:
666=1+2+3+4+567+89=123+456+78+9,
666=9+87+6+543+21.
Число вида 2', содержашее в своей зап~1 си число
666, называется апокалиптическим , а чиrло, имею­
шее в своей записи ровно 666 з наков, - числом
Апокалипсиса.
соответств'·1ощие нм числа Л1 · 2..'
1 111еямя·
J
/'
ются со11срш с:rшыми .
Все совершенные числа, которые можно
1-:1айти rю правилу Енкли;щ чё·1'ные. А существу­
ют ли нечётныс совеrшенные чнсжl? До сих пор
это некзнсстно , хотя мнш·очисле1111ые исследо­
ваш1я , uы 1 ю11ненны е R Х:Х в" свидетельствуют·
если такие числа и сущестиуют, то они должны
подчиняться многочислеппым «хи·rрым » ус~о­
nиям. Совреме11ный немец~<ий математик Валь­
тер Боро как-то сrсазал: «Работы, nосuящёпные
нечётньн.1 совершснаым числам , наnомипают
охоту за призр аком: нш<.то никогда его не видел ,
110 npuвt:дt:нu много остроумных ис.:сл<:Дов:uпm
того , как он не может вы 1'ЛЯl\t:Т I»>.
УЗЫ ЛРУЖБЫ В МИРЕ ЧИСЕЛ
Два натуральных числа т и п наз ываются
дру.жеспюениы~wи , если сумма собстuе1111ых
делителей т ранна п , а сумма собственных
дел11телей п р авна т.
И стория /~ру--местне нных чнсел теря ется в
глубине векш~ По св1щетельству аю· 11чно1·0
философа Ямнлихз (ПI - lV нн ) , Rелию rr:\ Пи­
фа 1 ·ор на вопрос, кою сл едует с читать свон м
1(1Jугом, ОТАетил: «TO I '(), кто ЯJ3ЛЯt'ТСЯ MUl lM ВТО·
рымЯ, как ~шсла 220 н 28Ф>. ПpnRep111·e, 11 ожа·
луйста, что числа 220 н 284 дружественные.
Для нахождения дружественных ч исел
арабский учё1rъпi Сабит ибн Курра (IX в.) пред­
;южил хитроум11ый с пособ. задавшись на1)•·
ра J 1 ьнn1м числом п , tюдсчитать вспомо га ­
тельные ВСЛИЧIН·lЫ р = 5 . 2
11
-
1
-1.q =3.2
11
-
1
9 2)11-1
нt·=
-
-
1. Если окажется, что числа р, q,
r 11ростые, то1·да числа А =2
11
/Щ11В=211
1· дру­
жестnев 11 ые.


Ilифа1·орощ1 пара 220 и 284 получается. 110
этому методу при п = 2 . С..JJедую щую пару чи­
сел - 17 296 и 18 416 - обнаружили нсз:rnи­
симо друг от друга марокканский учёный Ибн
апь-БаJJна и три С!'олетия cnycпr француз Пьер
Ферма. R этом слу1.-1ае п = 4 . Третью nзру
-
<.)363584и9437056(прип=7) - указал n
1638 г. Рене Декарт. Дальнейшие попытки най ­
ти дружественные пары при небольших зна­
с1сния..~ ·п к успеху не прmюдят. Более ТОТ'О, спо­
соб Сабпта 116н Курры не nыя1vmет н11 011ной
ноной п<~ры нружсственных ч.исел, есш1 п уве­
личивать до 20 ООО! Нс)'"'..кели дружественные
-г11сла - алмазы-самородки и для подсчёта нх
пар м11огонато даже пальцев од11ой руки?
В l 747-1750 rт. Леоr 1 ард Эйлер пропёл у11и­
каm,11ы е числовые «расколки» . 01-1 при;~умаJI
Uелы е •1 иtла
ор11гт-~алы-1ыt методы поис1<а r1 обнаружш1 сра ­
:1у 6 1 но вую пару /1,р~.r,кес-1·всrшых чис~11 . Примt­
чатс.~1ыю, что среди 1111х оказа.11нс1, и 11ечётные
числа:696J5и 114983'15; 8763.J и 12024045.
Сейчас из.Rесттю около 1100 пар др~жествеш1ьL"\
чисел . Любопытно, что в 1866 '" италыrnсJ<ИЙ
L1tкольннк 1J. Паг :1юшн (однофам11лсн велико-
1·0 скр11п ~1сlа) 11 :ш1ёл 11ару др)'"'А<ественных чисел
1184 н 12 10, которую 1ке, н том числ е и 1::1ьщаю­
щисся математики. проrлядtли !
Rот пары дружестве1111ых чнсен и 11редслзх
100 ОСЮ:
220
l 184
2 620
5 020
6 232
10 744
12 285
17 296
63 020
66 928
67 ()t)')
6() 61 ')
79 750
284,
1 210.
2 924,
5 564,
6 ?>68,
10 856,
14 '195 ,
18416,
76 084,
66 <)92,
71 14'5,
87 633,
88 730.
Дружественные числ<.1 прu;щлж.~ют скр1,1-
вать м1южt:стнu тайн. Jiс1ъ ли смсшанныt: 11;,~ры
у которых О/\НО чи сло ч ётное, ~~ дру1·ое -
нечётное? Существуе·1· ли общая формула ,
огr1 1 сы Rающ::~я все дружестnенные ш1ры? Ко-
11ечпо нли беско11еч1ю число такнх 11ар? На эти
и другие во11росы ответы пока нс 11аГщены.
ЧИСЛА МЕРСЕННА : ЗАБЛУЖЛЕНИЯ И РЕКОРЛЫ
Леrк() убед иться, gтn еслн число п сост:шное,
то чнс;ю 211
-
1 тпже состаr111ос . В сам ом деле,
2"- l=2'''-1=(2k)/-1=
= (lk- l)(i~<f-1)+2"(/l) + ". +l).
llr111oть до 1S36 J'. было распространено
мнс1111е, чтu верно н обратное, т. е. простота 11
влсчёт ::1а собой простоту 2 11
-
1, покJ У11/\;ш ­
р11кус Per11yc нс отмет11л, что 2 11 - 1 = 20L17 =
= 2:7> 89. Ою-1:1ко длительный псрно11; лрамап1 -
чесю 1х ::1абл~ж,l\ею1й был ещё впереди . Нз по-
роге ХVП С"t't>Летия Пы:тро Антuн1ю Ката11ьд1r
[ '1'
.
1L)
проRсрнл , что 2 ·
-
1н2 -Jс~р1ъпростые
ЧНСШI, н ГЮЗIЮЛ:ИJ/ себе утверж,1:~а·1ъ, что 2'
1
-
1
простотаюке при п= 2:\ 29, 31, 37. В 16401'.
П ьер Ферма уста1101ш:1, что д!lя 23 и :) 7 это
утвержде ние II e веrню, <• в 17 38 r . Ле()11ард
uйлср показал его ошибочность дпя 29, но под­
тnерднл ИСТJШIЮСТЬ длн 3 1.
Тем nремснсм ri 1644 I'. французскиfr монах ­
учёный Мар~н Мерсен11 заяnил , что L1исла 2" -
-
1просты11р1111 = 2, ."\, 5,7. 1.3, 17, 19, .'Sl,67.
127 , 257 11 не лросты Пf1 11 ОСТ:lЛЬl!Ы Х ~14 проСТh!Х


Llи сла
н. мt11ы11 1 1х 257. Но 11с этнм 11ред1ю11ткением
11 е 060ШJIOC I) бt:З КОЛЛIIЗИЙ. Хотя кое- чего
монах АС'ё-таки ;к1стн1" eC.'I II число 2 11
-
1 прос­
тое, его называют числам Мерсетш.
Заблуждение Ме1хспна продержалось до
188:) r " когда русскнй священник Иван М11хсс­
ю 1 ч Пt:р вуш1ш дока:3ал, что чнСJю i'
1
-
J прос­
тое, <t не::нь 6 1 нt зн ::~ч_илось в сп иске М срсснн а.
С дру1·ой r..-l'Орон ы, уже я ХХ н. было 11<1й/\t:1 ю,
что ЧIJCШI i'" - l и 26~ - 1СОСТ~1RНЫе П01с1 11е­
и:..~ всстн о, бескон е чн о m 1 кол ичестяо ч~1 сел
Mep cerr1ra, а ясt, что 11 айдены, приве,це 1 1ы 11и жt.
ЧИСЛА МЕРСЕННА. ТАБЛИUА РЕКОРЛОВ
Номер п
Год
Номер
п
Год
числа
числа
1
2-
19
4253 1961
2
3-
20
4423 1961
3
5-
21
9689 1963
4
7-
22
9941 1963
5
13 1456
23
11213 1963
6
17 1588
24
19937 1971
7
19 1588
25
21701 1978
8
31 1772
26
23209 1979
9
61 1883
27
44497 1979
10
89 1911
28
86243 1982
11
107 1914
29
110503 1988
12
127 1876
30
132049 1983
13 521 1952
31
216091 1985
14
607 1952
32
7568 39 1992
15 1279 1952
33
859433 1994
16 2203 195 2
34
1257787 1996
17 2281 1952
35
1398269 1996
18 3217 1957
?
2976221 1997
154
Табю.11 \3 шжа:~ы вае-1, скол 1. 1
·11 }'боко :'l:t6луж­
да.r1 с.н •·кrёст1 1 ьп'1 оте 1 1, ~ ?!тих з;1м еч~1тt"льных
1-uксл .
И::~ uбщстсu рстичссю 1х фа ктов о чнслах
Mc r ce1ша (IЗKCCTHU HCMHUl'UC. Напри мер, если
11=3 (inod '~)простое, тu 2
11
-
l делнтся r щ 211+
+ l тогда 11 только то1")1.а, кuгда 2. 11 + l 11росто.
И мееrся также общ11ir кр11тср 11 й - 1·ак на·
:i ы naeм ыlJ тес~ Люка - Лсмсра: для не ч ё·пюrо
11 числ о 2" - 1 просто тm ·Jщ 1r только тor;ia,
т<аrда S(n - 1) делится 11а 2..
11
-
1. r,r1,e
S(l) = 4,
S(n+l)=S(11)J- !..
Реко рды в по11ске ч11сел Мерсенна теnсрь
ста т1·г ком пыuтсры. r1 га к бу;.(С'J ;ю ·1 ех пор. 1 юк;1
п е появятся теоре- 1 11ческ и с рсзул ьтаты об об·
щих :~ако 1 юмер1 юеt'ЯХ /tJTЯ :-JTJIX Ч НСС'Л
Кто (1ьнтрееl


ЧИСМФЕРМА
В одном и1 своих писем к Марену Мерсе нн у Пьер
Ферма высказал предположе~н1е, чтn числа вида 2n + 1
обязательно простые, если п - степень двойки. Он
проверил это лляп = 1, 2, 4, 8 и 1Ь. Ф~:рмс1 также :тал,
что если пне степе11ь двойки, то чиrло2" + 1 НЕ' прос­
тое. Числа вила 'f" + 1стали на:.~ ыватьчи<.Лами Ферма.
Гипотеза Ферма прожила более ста лет - до тех
пор, пока в 1732 г . /\еонард Эйлер не nпказал, что
2л+1=4294967297=641 67СЮ417.
Все дальней ш ие проверенные числа Ферма тuже
ока:iались состав н ыми, так что естественно возникает
***
По формуле <..уммы 11 членов rеоv~етрической
нро1 ·ресси11 ,
')" -1
1+2+". + 21t-!. +zu-J = .:;--- = 2
11
-
1.
2-1
(}1скща 1нщ11n : чисщ.1 Мерсенна естъ не •пп
н1-юе, к;щ прос1·1-.1е суммы <-шенов геометриче ­
ской п рогресспи с основанием 2. Но почему
б ы нам не обратнтъся к прогрессиям с иным
основап1 1ем?
Обобщёtmы.м •щс.ла.м Мерс.:енна будем назы­
нать пр<к~1ое значt'ние суммы членов 1 ·со~1 ет­
рической 11ро1·рессии с оснон~1 ние м а·
)
t.i''- 1
1+а+а- +... +а"-
1
= ---
а-1
Яс110, что м 1 южест1ю 11сех обобщёш rых чисел
Мерсешта совпадает со м 1 южестnом ucex не-
UелыР числа
прелположе~1ие, п ря'vlо противоположное исхоыюму:
а не ко нечно ли коли чес тво п ростых среди чисел
Ферма'
Известны достаточно обшие свойпва чи<.ел Фер­
ма . Н апример, любые два числсl Феμма в~аим110
просты. Карл Гаусс доказал, что п равильныйп-уrоль­
ник строится при помо ши uиркуля f1 м11-1 ейкf1 тогда 11
только тогда, когдd число его сторонn = 2" р1 р1 ." р,,
где все простые числа р, имеют вид i ' + 1. Среди
первых 1ООО значений таких п всего 54.
Обшетеоретическую значимость чисел Ферма для
и'\учения простых обусловливает слелуюшая теорема:
Если а ~ 2 и числоаn + 1 простое, тоа чётно и
n=2т.
ч<::n 1 ых простых, посколы<у если р простое 11
р>2,то
(р-2)р (jJ- 1/-1
jJ=
=
.
р-2
(/J- 1)- 1
Te11epL1 каждый может самостоятель но 11с­
сле110J'lать и 11ычисю1·1 1-. новые, свон собстне 1 т­
ные числа Мерсе1111а. Rот 1 1 ~ч::uю табJ1 1 щы, а
продолжение - :за вами.
а"-1
а п, прн которых чнсл;з --- пр()ст 1,1
a-l
3 :),7,15.71,."
42.
'5 3.7, 11, 15.-П, ...
() 2,3,7,29, ."
7 5.].),,
83.
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ
Почему простые числа иногд::~ имскуют ч 1 к­
л:ами-~кирnичи-ками»? Потому. что любое со­
став н ое чJкло Jlcrкo строитсн из 11рос1ъ1х <:
110м о щыо ум 1южt 111-1я. Напрн ,"rер , составное
число 1998 можно соорудить из чисел-«кир­
ПИ\.IИКОВ» 2, 3, 37 таким об ра:3UМ:
1998= 2
.1>
.1..3..)7.
Тенерь легко объяснить. почему l н е с ч нт:1-
ется прост 1.1 м число м . Единицз ш ·рает точно
такую же роль при ум 1южt:н~1и , как нулh - пrи
<.:!Южснии: сколько нн ум11ожай 11а едини1\у, ни­
чего не изменится. Раскладывая чи сло 1998 11а
простые множители , м ожно было бы з:ти сат1,
1998=1 2 .:.)
.3
.
3.
-1>7.или1998= J .1 2х
х3·j
·3
37, или ещё бесчислеrшым мт-юже­
стном стюсобоn. Какой из 1шх правильный? Да
любой Ведь по суп1 оrти ни чем 11е 01личаются
По:::>тому лучше до 1 ·овориться раз и навсегла . что
единнца нахсщнтсн на особом положеш111
1'5'5


Чи сла
Ci 1rавеN11ша теорема, 1ю1<аза·1 ел1,ство кото­
рой, несмотрн 11 а 1Jсю её естестRе1 шость, тре­
бует определёнпой изобретатслы-юсп1:
Любое Jiатуральное число ", > 1 либо
само является простым, либо пред­
ставляется в виде произведения
простых чисел. Разложение числа
на простые множители единствен­
но, если не обращать вни~1ания ка
порядок следования сомножителей.
Это уrверж;\ение 1ЮJ!"учило название ОС/ юв1юi1
теоре.J11ы apuifJ.Мemщru.
Воспользовавшись обозначением степени,
разложс11ис числа 1998 на простые множите-
i\юuue чиtлu л~160 LaVlo являетrя 1 1 рос1ы"•
лиf10 nрРлrга вляе т(·я в в~1де r1р(н-t Зl:l~дt!1н1я простых ч"tсел.
156
т1 можно записать как 21· 3' · 371. То•1но так
же nри разложении 11ро11зuолы-юго натураль­
ного числа 11 один аков ые простые множюелн
можно собирать н R1ще степеней и запнс ы11ат1"
(*)
l"дt Р1,Р2 • ".,jJ~. - различные простые м1южите­
ли числа п, r1ричём числu р 1 нходит а.1 раз, p1 -
a.i раз 11T . fl. Если все простые qислар 1 ,р~. .-, р1
н этой формуле ныс-1раиваются в порядке воз­
раста 1тия:р1 <р2 < ". <Р1г. то '1·акое р:!зложен11с
назыяается к,а1 юничеСl\.U.М.
Ка~-юниqестюе разложение чнсла - сноеоб­
разное «досье», из кптороrо мnжт-ю извлечь
массу любопытных сRедений об этом числе.
СКОЛЬКО ЛЕЛИТЕ/\ЕЙ У ЧИС/\Ап (
Подсчитывать котrчt:ство де.r11 псле r1 у неболь·
ших ч11сел не соста13J!Яет особого труд:~ Так, ~­
чнсла 2 nсего два дt~шrтелн: 1 11 2; у числа 6 по­
больше: J, 2, 3, 6; а uo"I", скажем, у числа 180 11х
уже18:1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,1R,20,30.36,
4 5, 60 , 90, НЮ. А если исследуемое число 12 ещё
боm,ше? Выписывать все его делители не оче111>
привлекательное занятие . Этот кропотливый
труд можн о облегчить. если uбратпть внн­
ма1ше 11а кано1-1нческое раз~uжс:ние числа п.
Например. запись 180 = 2- · .1 -
· 5 на блюдатель-
1-юму 1кследонателю показывает. что нроиз­
tЮJ 1uны й дслитvrь чн.сла 180 может бытn обра­
зона JJ JIИШI> следvющ1-1ми СОМНОЖ ИТСШ/М[l: i',
21
,2
2
, 3u.3
1
,3
1
,'5
11
:s1
• Пр и этом каж ;~ый изтрёх
nариантов степеней 2 может сочетаться с 11ю­
бым из трёх вариантов степе ней .~ и с любым
из двух nариантов степеней 5. Всего разшrчпых
комбинаций может быть 3 · 3 · 2 = 18. Имеrшо
это чнсло и было ранее получено другим, .'1е­
нее эко н о мичным способом.
Итак, если в 1<:1но ническое ра зложен11е (•)
11ei:<o·ropoc nростое число р нход11Jт в с1 с11сш1
о:, то п делится на все сте 11еLI.и f> от О ;~о а_ р°,
р 1 , ""p(J.. Поэтому делителей. н которых учасгRу·
ет только OДJJO ЭТ() ПfЮСТОе ЧИСJ Ю р, име~тся
ровно а+ 1.
В делителях п IIa r<аждое из а 1 + 1 значений
степеней числа р 1 может прнходитъся любое
ИJ а1 + 1 значеII пй стененей р4, на к:~ждое 11з
которых , н свою uчepe/th. может прих.од1пь ся
любое 11 :з а~+ 1 нозмпж11ых :~нач е н 111I степе­
ней числа Р~ 11 т. Jt. Поэтому •(n) - ofiщt:c ко-


11ичс::ст1ю ;~слителсй числа /1 - зада ётся фuр­
М\'JЮй:
t(н) = (о: ,+ 1)(о:! + l)."(o:k+ 1).
Фу11кщт 't (n) имеет характер неоnъезжен-
1юго мустанга. Она может скол ь yroДI ю высоко
вздыматься- вверх, при этом всякий раз, когда
11 СТСIН.Оf\ИТСЯ простым числом, функция воз­
вра1щ1 ется к двойке. Однако при всех стран -
1-юеr·ях и причу1'ах • (n) её <>близкая родстнен­
н rща ~, функция
't~Р (п) = _!_ ('t(l) + 1:(2) + ... + -т:(п)).
п
ведёт себя впол не «блаrообра;то и чишю». Не­
меню r й математик Петер Густав Лежён Дн рих­
ле показал, ~по •ч, (n) с хорошей ·1·о ч11остью
можно нриблизить н~пурал ьным логарифмом
от числа п, а точнее:
•cp(n)=Jnп+(2С- 1)+е,,,
ще С= 0,577216... -
постоянная Эйлеrа и сла­
гаемое е" бысr~ро стремится к нулю с рос1·ом п.
15
J2
9
G
3
о
20406080JOO120140
Функш1я ~(n) и ei! • ближая родственниuа • t q,(n).
ЧЕМУ РАВНА
СУММА ЛЕЛИТЕЛЕЙ ЧИСЛА п?
Для nодсчёта суммы [IСJrитслей числа, предстаn­
лею ЮГО В КаНОНИЧеСКОМ разложении (•), ВКJ IЮ­
чая 1 и само число п, можно ВОСПОЛl>ЗОН~IТЬСЯ
формулой
р«•,,_
1Р~'т1_1
а(11)= .;...;.
1
---
----
р,-1 !~-l
установленной за.\fеqателъным а11глийск:им ма­
тсма·r·иком ХУП в. Джоном Валлнсом. Дтш вывода
её заметим, что делителями п будут все чис­
JШ ннда р: 1 Pl2 ... р~" 1·де 1 юказатель степе ни t 1
Ut:лыt• числа
КАНОНИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
ПЕРВЫХ 150 ЧИСЕЛ
1
1
51 з.17
2
2
52 22
•13
3
3
53 53
4
2!
54 2.33
5
5
55 5.11
6
2·3
56 21
·7
7
7
57 3.19
8
2j
58 2.29
9
32
59 59
10 2·5
60 zi.з.5
11 11
61 61
12 22·3
62 2.31
13 13
63 32.7
14 2-7
64 2&
15 3.5
65 5·13
16 24
66 2·J 11
17 17
67 67
18 2.32
68 21.17
19 19
69 3.23
20 22•5
70 2·5 ·7
21 3.7
71
71
22 2.11
72 2~.32
23 23
73 73
24 21
·3
74 2.37
25 52
75 J.51
26 2.13
76 2~.19
27 31
77 7.11
28 22
·7
78 2.3 .13
29 29
79 79
30 2·3·5
80 2~.5
31 31
81 3~
32 25
82 2.41
33 3.11
83 83
34 2.17
84 21•з.7
35 5.7
85 5.17
36 22. 32
86 2.43
37 37
87 3.29
38 2.19
88 21
•11
39 313
89 89
40 23
•5
90 2.З2.5
41 41
91 7.13
42 2 ·3·7
92 22•23
43 43
93 3.31
44 22•11
94 2.47
45 31
·5
95 519
46 2.23
96 25.з
47 47
97 97
48 2~.3
98 272
49 72
99 У·11
50 2.5i
100 22.52
101
102
103
104
105
106
107
106
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
12&
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
101
2.3 .17
103
23
·
13
3.5.7
2.53
107
22.31
109
2511
3. 37
247
113
2 3.19
5. 23
22 29
31
•13
2. 59
7.17
2J 3.5
111
2. 61
341
21.31
5з
232•7
127
21
з. 43
2.5 13
131
22•3 .11
7.19
267
з3.5
23•17
137
2.3 .23
139
22
•5·7
3.47
2.71
11 13
24.31
5. 29
2. 73
з.72
2l-37
149
2.з.52
157


Числа
Из всех п рпблем, рассматриваемых в математике,
J 1ет т.:~к их, котарые сч итались бы в н.:~стояшее время
более бесплодными и лишён 1iыми прелложен~1 й,
чем проблемы, кас.аю шиесS\ природы чисел 1~ их
лелителей." В этом отношении нынешние матема­
тики сильно отлиLtаются от древ н их, прилававших
горазлu большее ;на ч е11ие исслелова11 иям такого
рола ... Кроме то го, что отыС"к<1 н ие истины само по
себе казалось им nохваль~1ым и достойным челове­
ческого nоэнаню1 , древние хорошо чувствовали,
ч10 при этом замечатель н ым обр,tзом развивается
изобретательность и перед челnвечt-ским разумом
рilскрываю тся новые возможности решать сложные
з.tдачи ... Математика, верояnю, никогда 11е до­
стигла бы такой стеnе н ~1 соверш енсп1а, есл и бы
древн ие не п освят1>1ли столько сил развити ю во­
просов, кuторь~м1-1 сеrолня бо"ьwинство пренебре­
гает из-за их м н имой бесплол1юсти.
Леонард Эt::tЛер
пробегает вес з11ачсrн1Я от О rr.o а, , пою1за· 1 ·ель
степени t ! - t1CC зн.1чс1шя 0·1 · О до а~ 11т д Сум­
му ВССХ Т:JКИХ ЧИСl'.11 Ml1J IЮЛУЧИМ , CCJ!H p3CK[JO-
<..:M скобки 11 прои~не; 1еню1
(1+р,+...+р~')(1+р~ +.+J1;)".
." (1+Pk+...+Pl'),
а саму формулу Валлнса - если зашIШем каж­
дое нз ныражсJп rй в круглых скобках по фор­
муле суммы копеч 1 юrо чпсла члсrюn геомет­
рической прогрессин,
Для п римера найдём сумму делителей ч 11сла
20()0=21 5~:
J' -1 5.J
-
1
cr(20UU):::: -- -
-
-
= :) l 1'56:::: -t836.
2-15-1
.
-
Получит~, это з начение неrюсредст11е111-ю, т. е.
опре11.ел.нв с11ача1 1 а все ,11;елители чн СJ1з 2000, а
затем подсчитав их cyМl'llfy, было бы гораздо
сложнее.
СКО/\ЬКО НАТУРА/\ЬНЫХ ЧИСЕ/\,
НЕ ПРЕВОСХОЛЯШИХ п ,
ВЗАИМНО ПРОСТЫ С n (
Чтобы 0 11 ределит1, кол ичество таких чисел -
обозначим его через <p(n), -
можно восп оль­
зо паться уже :ш акомым нам математи ческим
инструментом - реn1етом Э ратосфена. t>a c-
158
/\еонард
)/оtлер.
Портр~т
rпбоn,1
Э Хандманна.
17% r
Сf\ЮТрим 1ЮСЛСДQR:t'l'елы f()i.. "l'h нaтyp:lJI hНЬIХ чи­
сел от 1до п = р;'1J1; ".р;:•. Вычеркнем 11з нее
f\CC ч 11сла , KOTOf)bll: /~СJIЯТСЯ на /J 1 T:i кнх Чl!ССЛ
будет ро11нu 11/fJ 1 Ос1·анстся /1 - 11/р, чисел, 11е
дtлнщн.хся нар , Теперь из оставншхся ч_11сел
вычt:ркне"1 псt: дслящ11е<:я 11зр~, - их G)/~ст
Остапетсн
11
Jl- -
/J1
---·
Продол:жая ТЗJ<1 1 м же образо,\1 <·nросеиu:пы
числа, кратные р,, р 1••••• Pk· в конце концов
прrщём к формуле
q>(n)=n ( i --
1
)(1-.2._J ... (1--
1
J·
р,
Pz
/Jk
Н аr 1 рнмер, дли нзхож.;\еш~я количества на­
тур<~льных чнсел, мсныJ11-1х 2000 н в~анмно
11рпстых (" 2()()() = 2 1 5 1
, /\ЫЧИСЛЯСМ
<р(2000) = 2000( l -n( 1-* J;:; 800.
Фу,rкция <р(п) называется функцпей Эйлера.
Именно OII открът ее в 1763 г.


U f'Лbl l-' Ч~lt'Лс1
АРИФМЕТИКА ОСТАТКОВ И ТЕОРИЯ СРАВНЕНИЙ
н ОД! юй 1r3 С ЦСI/ С:К:IЗЮ' «AJ111 Ca н с_:тра 1-1 (.' Ч)'/ \l'С»
з:~м<.:чатl'l1hHOI'<> ан 1 ·д11 1'к:ко1·0 1 111са·1 с:11я 11 ма·1·с­
чат11 к<1 J lыш 1с:1 l("1ppo. 1,1a (ЗТО ЛНТС'{Х!Т)Т>Нl>I Й
1 1сс1щ01 rнм Чаrлза Лату1 щжа Дlщжсо11: 1 ) t:С"П•
3:~банн ыl1 :71111зо;\. Лл нс:~. М арто11с 10 1 i1 1ая ц 11
nолна н щ11 к ведут све"1·ск~·ю 6ece1iY :13 ч аем :
<·Пе р111 ,1\1 :--1a ronop11л Болвапщ11к
К:шос Сt:ГОДШI Чl!СЛО~ - CI J POCllЛ 0 11 , ТЮ
Dорачиuаясь к Лл 11сс 11 ш,rшrмая 1 в кармана
часы Он с: тр<.:1101•с н'1 1JOl'JJЯ/l<.'JI 1 1а 1 11 1х, 1ю·1 рнt 11
11 р11лож11л к у·ху.
i\т1сз П! )Д~"'1 а, ~;1 11 l>ТНt~п1л а.
-
Ч е-111ёртое.
-
Отст::нот 11:1 .~ва ю н1 . - IO/\OXJ rул Г>ол в;ш-
ЩJШ:>.
Может б ыть, н:~ ш со uре.че 111111 к. 11 збало u:ш -
1rы1'i чудссамп :1лсктрош rю 1, в rсплнкс Бо..'ш;~11-
щнка 11 1к· наlщё·1 1111чс1·0 стра1 нюr·о. 0;\нако
ФОРМУЛА ВЕЧНОГО КАЛЕНЛАРЯ
Ka~Ot:, Mfll\blf:, }' lldC ТЫСЯЧе 1eTbt: t /iJ дВОр!i'l
Б Пдстернак
Можете: ли в ы отв ет ить, 11а ка кой день недели придетс я
день BdШer o рождения, скажем, черf':1 пять лет~ Jто
несложно вычислить. Тут, f..aK и во многю. других
слу•~аях , п ригодится умен ие рассчитыва ть остат ки .
М ы приведём универсальн ую формулу . пригс1дн ую
длs~ определения дня недели люfJой даты в любом сто
летии . Пусть п - 11омер дня недели в следую щем по­
рялке: О - воскресе~1ье. 1 - понедельник, 2 - втор­
ник, -~ - среда, 4 - четверг, 5 - пятниuа, 6 -
суббота; d - число месяна (дата); т - номер меrяuа,
если 1 1ач11нать счет с марта: 1 - март, 2 - апрель".
12 - февраль (такая нумсраuия помогает при вывод~>
формулы уrтранить неудобство, с вsпанное с п еремен
ным количест13ОМ дней в феврале). далее, пусть у -
это номер гола о столетии , с - колич ество стuлетий с
учётом то1 о, что ин1:1арь считаетси 1 1-м, а февраль -
12-м меся uем предыдушего года . ( К при меру, если речь
идёт о 2000 г., то лля даты, прихолящейся на январь
или февраль, следует счи тать у = 99, с= 19, а дМI даты ,
прихоля шейся на другие месяuы, у= О. с= 20.)
В этих обоз начени ях формула мя нахожлен ия дня
недел и такова: п - остаток от деле11ия 11а 7 числа W,
где
w=d+[
1~-lJ+у+[~]+[%]-2с.
Квадратн ы е скобки здесь обозн;~чают так н азы ваемую
uелую часть числа, i .e. на~1большее ueлue число, 11е
превuс:ходя wее данное число . Например, [3,4] = 3,
1-З,14] =- 4, IЗI = з.
даже если W принимает отриuателы·юе з 1-1ач ен ие,
остаток 11 от его делени я н а 7 всё равно должен быть
больше или равен нулю. Например, лля В марта 2000 г.
W=-25=7 (-4)+3.Поэтому11=3,т.е.этосреда.
1~9


щ; следует забывать, ЧТО R XfX В" КОГ/\а была
написана эта юш 1 ·а. часы в большинстве своём
1ююшына 1111 лиш1, доJ1и суток, выраженные в
часах 11 минутах
Ситу~~ ция с repoя ,vm R Стране чу;~сс В/\руг
cтaJta .действи· r·еm, 1 ю актуалыюй 11 а поро1·е
XXI 1-s · мы 11е знаем, 1<a r< nере:нести на круг
ПI тыоrчелетия внутреютие хронометры мил­
лионов компьютеров.
*"*
Представьте себе такую С1-11уацию. Однажды
утром вам звонит дру1· и <:ообщает: «Сегодня н
десят 1, ноль-1юль я выезжаю , встречай мой
поезд через /lеня 1-юсто восемь часов». Когда вам
нужн о прийти ю1 вокз<1Л? В 98 часо'В укладыRа­
е·1·ся тюm ю1~е1111ых 4 C)r m 1<, да сщё 2 часа будет
в оста11<е. Rот и получается, что ны встрстнтсс1,
спустя 4 сут()к в 12 ч:~сов.
В другой раз 13Ы сами 11адумаете 11аnестить
старого друга и предварительно, 3а 45 суток,
закажете билет В какой день недели состоится
11ред1ю11а1·•н::мый ныез;\, если бнлет за1<азыва­
сто1 н нон еделышк' Неделя - это 7 суток. Раз­
делив 4 5 11а 7, получим в остатке 3 - ноэтому
ны отбываете в четвер1 '.
Н;1родная мущххтъ 1·ласит ~остат1<и сл:1rt-
1<и ·~. llрr 1 ведёшrые примеры показьшают, •-по
остатки, nош1маемыс в матtматичсском смыс­
ле, nорой иl'рают весьма важ11ую poJJь, t1ыяf!J 1 я~
закономерности повтортощихся, перно~иче ­
ских процессов.
«КЛАССОВОЕ РАССЛО ЕНИЕ »
Если юят1, какое-либо натур;~льное чиою 111, то
при делtнш1 на нег() других целых чисел воз­
можно т раз11кчr1ых остатков: О, l, 2, .., т - J .
Те числа, которые при делении на т дают оди-
11а1ювые остатt<и , объединим в оди11 ю1асс- Ита1<,
«С точки зрения числа m » все целые числа
разбиваются на т различных классов. Очевид­
но, что чем больше само т, тем обширнее набор
классов. Так, при т = 1 получаем всего О/'\ИП
IOJacc - класс целых чисел; при т = 2 - дnа
класса: чётные и нечётные cu-1c11::1 и т. д.
Учёт ~1<J1ассовой структуры общества» целых
чисел бьшает полезен nrи решении некоторых
задач, 1rапример такой: требуется док:Iзать, что
п~и прОИЗ130JIЫ-ЮМ целом OCIIOL1a1r1 1 н п ЧИСJЮ
п: - 11 делится 1ra 6.
160
В этос~ беrконечной tr111рали два ч11сла ра с11uложе11ы о~а uлоюи
оr;: рн1кальной nрямои тогл11 и только тогда, когл.1 t)н11 л.1 001
одинаковые остатки nри .•елt>нии н.1 11


о
'
-
п Rыраже н11и п - 1z, вынесем 11 за скоnки, а
то, чтu останется, ~аз1южим ,11 0 формудс ра~-1-
1 юсти кr1::\лратов: п - п ; n\п- - 1) ; r1(n.
-
1)х
х (11 + L), ~111и (ll - 1)11(11 + 1). Это произведе11не
трех послсдоватсль11ых 1\eJIJ,JX с1исел , которые
при де.'lени11 ш1 ) дают различны е ос1·атю1. Сле­
,\оватслыю, одно из них обязательно делится
ш1 :) 11 по крайней мере одно - на 1.. Зrтачнт, nсё
лрощвсдеш1с делится на 6 = 2 :) (ведь чнсла 2
и :S между собой юаимпо просr1.1 ) .
Имея о ч исле 11 дополюпель 1 rу~о информ а­
цшо, к пр11меrу з11ая , что 1z, нечётн ое. мы мuг·­
ш1 бы \1твсржцать нс: что бuл ынеt:, а именно что
.
"
ч11сло п - п делится н~1 12 11 даже H<J 24. (Пo-
11roбyliтt: uбос.н овать это самостоятель н о.)
Дпн ·1·01·0 ч.тоб1>1 сформировать отряд чисел
нз 11редставитслей всех KJJaccoн. п о рож,цёштых
11 етюторы м числом т. соверrпепно 11еобя ­
затсш.rю брать т носледоватет,ных целых
чисел. Для этой цели MOl')'T под о йтп и по­
следонательныс члены <~рифметнческой про ­
rрссс 1т
п.п+d,п+2d,"., п+(т- l)d.
(")
еСJ 1 и только cl взаимно пrосто с т. Де.йст1:1и­
теm.1 ю, расе м отрнм ра::~ность k-го и /-r ·o чи сел
11осле1\011з·1·еJ1 ы 10с1·и (*): cl(k - l ). Поскольку с/
113<1ш.шо просто с т, :i 11г - t I<т, то d(k - !)
11е делится на 111. :1ш1чит, сре; 1и чле нон :п()й
после,11о nателы-юсти нет двух, дающих пдина­
коnыс остатки при делении на т. Татшм обра­
за~~, послсдователы юсть включает пре)1стави­
телсй нсех классов, порождё н.ных Lшслом т.
Иэ 11оказа ннш·о утвtрждсння следует, в
Ч:1С'IHUCTll, что ССЛIТ числа т. 11 п JЗЗЮIМНО
проеп.1 , то чл е ны 1юсле)1ов~1тельностн
ll, 2п. 3п..", (т - 1)11. т11
;~ают полны!~ 11збор остатков 11р11 дслсни11 на
т: от О TI.O т - 1 . Чтпбы в :;этом убс1~1ттьсн , до­
rтаточ1 ю u последователыюст11 (*) положит~,
с/= 11.
Этот результат можно проиллюстрировать
гео~1ст рнчсски, как это сделал француэски й
мап:матш< н физик Лу11 Пуансо. Пронумеруем
вср1111 1ны вьшуююrо т- уголъrнп<а •шс;~ами от
U до т - 1. Отnр:.1~v 1ш1сь от 1саr<0й -либо вср­
ши1 1ы . будем переход 1r1·1ъ к 11ру1·им. его верш 11-
на.м, 110 11<:: JI07'JJЯ/t, ;,i с Ш:J J 'O M п , т. t:. 11р011у с каи
llO /1 - ] 'J'()Чt:K. в том cJJy чae, КОГ/\<1 11 RЭ:!ИМ-
1 Ю 11росго с т. будут пройдены нее н<:ршины:
О.1.2, "" т - i ,прежд,ечеммысновапопадём
Uелые числа
н исходную точку (рис. 1). А ecm r 11ит11е nза-
11мн о 11росты, то мы прой.дём только через
m./n из них, ~·деD - 11апбояь111нй общий дсли­
телh чисел 11 и т. (рис. 2).
Р•1с. 1. Прu 11ущ•руl!м sерш11ны ч11rлами 0 1 О дот - 1
11, nтправлЯЯ( 1. r) 'I ~.JКОЙ-ЛL\00 верш ИНhl h\rдe\.\ 111.'рl!ХОдИl ь к
лμу1 им еершина\1 t шэго,1п Er1111п11 т вза имно пропь~, 10
t1улу• про йдены вrе вРрш ~il"iЫ, прt•ждt• Ч(.>М +\1ы 1:ншАь пe1 n"1.дl!"--t в
ИСХОЛНУЮ ТОЧКУ !Зд('(Ь m = (/, /1 = 4 1.
г
Рис. 2. [{ли чиtJ\а п н т не ~:ваимно прпс 1ы{т ='!, n =J), тu мы
nро~:м.ём толь ко через m / D верu1L1н. глt! О - на 1·1бо11 ьш11и об111и й
Д(~Л~IТР.ЛЬ 11 И nl


Ч~н Л.l
СРАВНЕНИЯ ПО МОЛУ!\Ю
И ИХ СВОЙСТВА
T(J' I ф:1кт. что чнсл;1 а и /J 1r:.1CHJ'I' 01 \1111~11\ОКЫL'
остатк11 11р11 деле111н1 11а натур<1лr,нос ч11ию т.
нс:\1сr1ю1й м::~темат111< Карл Фр11лр11х Г<1усс
11 pe;\J10Жl!J1 :~аmкывзп. так: а = f-J (mocl m)
(ч 11тае-1·ся: «а сраш шмо с IJ по молулю т"). :')Та
:1::~ш1с1, 1~азыuаетс;1 cpamu11ш<.1.Jt.f. Вот nрпмсры
ср:ншеш1й: -LI =1 (тое! 7): 1{)97 =l (шоd -~):
t>k + 1 =1 (rнocl 8), ~·дс: k - целое.
) 1,ля то1 ·0 чтобы убсд11ты:я в с равrшмостп
двух ЧI!СС.'1 ({ 11 /J 11() .vюдулю 1/J , COBC<:'.)'l нс обя ­
затслыrо lJ;I XOi \1 l'lЪ O C'l ':JTIOI () 1 /\CJ 1L'H1 lЛ на т
К:tЖ) \01'0 11 3 HllX. ДOCl:JTOЧJIO pacc,'v\OTpl'Th llX
[):!:Л \ОС'IЪ:
,1'.; а"'Ь(n1odт)втомитольков'l'Ом
l~' случае, когда а - IJ делится па т.
СраВI 1е1 IПЯ: обт 1аруж11 на ют CUOJICl'ШI, во MI ю -
1·ом похож.нс на свойс,.-тn~1 раненстн. Раненслш
можно сю1~1ды13:1ть дру1· с другом. умпожать,
1\ЫЧlГТ:IТI> U)\HU И~ J\μy1'0L'O - 1:\ pe:{yJIЪT;tTC ПОЛ)' ­
ЧIIТСЯ вL:rнос р:.1ксне1· 1ю. То же саl>юс сорансд­
ш 1но 11 Д)l}I cr:1Bl l l:HHЙ.
.~. Если nрон:звоm.иыс целые числа tt,
1~1 Ь, с, d TЗJ(OBI>J , что tl сраnниl\1'0 с Ь, а с
сраDИИМО с d по модулю т, 'J'O по
:"Jтому же модушо сравпимы чис;1а
и-t-сиЬ
-t-d,а-сиЬ
-
d,асиIJd.
Эп r сrюйстnа легко ;щк:\зать, ес1111 1:1место
cp;i rч 1 е1 11 111 расс.,,,ютрсть соопк"Гств~'1ощис раз ­
rюстr1 . Дuкажсм , на11р11мср , пос.rн:ю1сс свой ­
ство. Пусп, п =/J (m<xl 111) н с= cl (incк! m). Тогда
п - /? дс1111тсfl 11а /11 11 с - с/ лс11 ~п·с;1 на т. По­
ско;1ьку же си; - /){/::. а(с - d) +tl(a - IJ). то 11
ttC - fJcf 1~сmпп1 11:1т. Зн:1 ч11т, ис = htl (пюс.1 m).
что 11 треоС>11а 1 юс 1. ;1ока:3ат1"
О11срацr 1я нС>.111ене1111н н 1штураm,11 ую с.тс­
т::н 1, снодrrтся r' м11оrо~ср:п1юму уо\11южению,
i IOЭT()MY
ьd
k
k
Еслиа s (mo т) , тоиа = Ь (modm).
.lleDyю 11 нравую част11 равснстnа мож110
paз,ri;emnъ на сщну 11 ту же вс:ш1чш~у, отличную
от пуля Cu сран11сн 1в1м11 так 11осгу11атъ. 1юоб­
щс 1 '01Юр>J , Нt::ЛЬЭН 0ДJl:JK()
lbl
:f.._ .
Если числа с и т взаЮ\-tно прост1)} и
·k~ ас= Ьс (mo(f т), то fl =Ь (mod т).
С дry1·<1f1 cтurur·thl , Обе Ч~ICTJI cpanrrCIШЯ
1\,·юж1 1 0раз, ~сJ1r1·1 h на од110 11 то же ч 11с1 ю одно­
нrеме11 1 ю С MUДYJil'M :
.~~ ЕСJШ ас = /Jc (шоd те), •1·0 а= Ь (шоd 111).
~[
:-311аЯ CJ:IO{IC'Ш'1 cramICTПIЙ, :VТ())Кf Ю Cy11.1,eC' 1'Re1t-
lIO упрощатr. сложные ар11фчетичесю1с nы ·
кпадю 1. ко1да 1rac 1п1тсрссует толъI<о остаток от
,r~;еле 1111н на нсrшторос число т. Неди u это~
случае н любо~~ ш 11 ·сбравчсском nыраже1 11 ш.
получс1111ом HJ 1~с:лых ч11сел с помощью опс­
р;11 ~н~'1 l'JIOЖ~JlllH. BЫЧlf'f':lllШf 11 ум 11 uжсшщ
·"'IOЖ l lO Э:li\1l'li l lTI> ЭTll Чlll'Jla 1LX ост:1 тк: 1мн 0'1 '
;~t:лс.:ннн 11::1 111 . не 1 1 змt:11яя рl'эут,тата.
Н:111рнмер, 1" с1ъ 1 1 eofixo1 111м.u \1:н-1ать , к:iкoi"i
"
;
" ) 1t1t)""'
•
осга пJ.К даст число _ 11р11 /\t:: 1t:.111111 на 7 . Ре-
1111п1, э·1у задачу "в лоб·· лоrюлыю тру; \1Ю. Вы­
руч;1ст теорая сраннешrй:
2'. ,.,- =(2~)0('5 · 2~ = 1°''~ 4 =4(1ПОСI 7).
Отnет: -~.
дитан J :iдac1a: требуется рсплпr. в ценю;
LJИCШtX .~·.у ур:1ннсн1 1 t
7.х: - 2 ~)'::. ] (')() 7
Ч тоf) ы н:~б<J1111ТЫ" Я от слаг: 1 смо 1·0 7.У, сr:ш­
НН.\\ ЛС11~'10 н llJXll!yIO Lf<ICTll этого уранне1t1 1 f! IJO
,\10/1.)"ЛЮ 7 :
- 2у =.!. (inod 7).
так как 7х=О (111od 7). -2>,у=-.!.у (nюd 7),а
l <)<)7 =2 ( 111ocl 7 ) Ilocкo.rrы;y .1 J1 7 наашш о
п.рост~..1, .v1ъr можем домrюжтпъ обе част1111олу·
чешюrо сраннснш1 на ;):
-~1 · =6 (mutl 7).
л ОТСЮ/\~1 . )'ЧlfThlH,IH , Ч'IО -6_1' =у (mod 7), 110 ·
J l \'Чae.\1
.J' :: (1 (IШKI 7).
~Ha Ч\IT,J' ::. 6 + 7А>, !'/lC' k - люfiос l\CJIOC ЧJIC:IO.
l lодст:113ИВ шн"щсшюс nыраже 1111 е щ 1н у 1111с:ход·
rюс yp::inr 1e1111 e. rюлучаем 7х - 2:)(71? + 6) = l9m
н ваходп~1. что х ::. :Ю'5 + .!.5k. Отвеr :
{х ::. 30~+ 2,)k.
у=()+ 7k,
l'Дt: k - JIIOnOt: J~l'.'Юt: Ч11С:J Ю.


КАК СОСТАВ ИТЬ РАСПИСАНИЕ ТУРНИРN
Пр~поло:>ким, в LПорти в1юм соревновании учJс1ву­
ют N кома11д и лля выявлен ия поОслит1::ля кажлая и 1
них должна сыгр.пь по одной игре с кажлой другои
командпи. Жел,пельнn составить расnи с;:~ ние тур1 1 ира
т<1к, ч тобы у команд не было лиш1-1~1х и простоев ~> . И в
'!Том нам поможет теория сrавнен 11й .
Лотвор11мся считать ч исло N четным . Если ")то
нt так, то лобав 11м олну фиктиuную ком<111ду -
«HГPil " L ~1 ей будет прирt1в1-1иваться для когu к вы11уж­
ленному, а лля кu1 о к ~а< луженному отдыху . Кажлои
команд!' присвоим 1юмер в турнирнш1 т.-~бл иuс:х = l 1
}, .."N
1, N.
Р;н <мо1 рим 11t"1н11>1t' N - 1 команл . В l<CJ l.\t'(IBe
nарт11ера кома нды с номером л наз11ачим в r-м туре
(r=1, .2, ..., N
1) кuма11ду с номером у, удовлепю­
р11кнuнм УLЛОВНЯМ
{х+у=r(mocl (N- 1)),
,\:Fу.
(овnмение номеров х 11у п р11 выполнени11 ср:1вне­
ниs1 >. +у= r (mocl !N 1}) IЮЗ'V\ОЖНО только в том слу­
чае, еLли 2'< "' r (111щJ (N - 1)) . А ло, в свою очср~дь,
ВСН\ЮЖНО, когда
Тl'о р11ю с р:~ш 1сн11!1 чож 11 0 11 р11 '1снк1 h 11 ;~юr
11(10HCJЖI 1слож ны' J рнфме1 ·11ЧС(. 1..:11 х p:tL чi."J '(JН.
Лрс, tпо.rюж 11 м , 111.1гюлr1е1ю умножс1 11 1е-; J <.)()7 х
Х 19<)9 = :) t)<) 1 00:). Ср~lПТ П IM обе ЧаС.~ГIJ 1ЮЛ)'Чt' Н-
110\'О p3H<::!l<.TI\~\ IIO модулю 9. З·1·0 ЛСП\О C1\eJ1:1'\ \, ,
по:ш1)ЯС.ь тем, что само чr1с1ю и сумма е 1 п
цнфр ГJСсца срашшмы 1 ю ~ю;\улю <) (См . ста­
тыо <Дt'mпся н.111 11 е дсл r rтсн~ " ). 13 даш ю111 слу-
НЕОПРЕЛЕЛЁННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Обд}мыnа>t ре 1щ:ш н:· лю60 1'1 эа1 1:1чп, tKt:'J /ta по­
.1ез1ю обращ:лъ 11 11 1 1мапие 11а то. какн е 11 11et'1
пспn,1ьзуются ве; 111 ч.rшы. МО Г}'I 1111 om1 6 1л ·1)
11ещ::11М•ш ? Полож1 1 ·1 е11ы1ы.\ш1 1л11 отрrщат~т.­
ны.ч1е До11ускается ли н 0·1·ветt' оrром11ое чною
11m1, 11аобоrют. чересчур :чаленькос? Даже ма­
лu:ща<111т<.:; 1 ы:1 ая дст:1.11 1, 1юмогаст 1tc ·t·о:IЬко 11с­
ю1юч11·1 1, 01111 1 6ку в р<.:111t:н1ш ::J:щач11. но 11 ш1f1 -
т1 1 с:tщ> рс:uн.· 1-11 1 t.:. Убс11 11 J\1(.'}1 н::Jтом 11а пр1 шер<:
Дсн1устнм, в акв:1r11}"'.Н-' ЖllB)"I ' о<.: 1, :-.1111-1 01 · 11 11
~юrо;щ· :1111:3/(hl. у ()(Ъ,\.lllHO l 'Ot\
-
по 8 lIOl', ;.i у
UелыР чsкла
r
rtN- 1
х =2 при че:>тно"1 r, >. =
2
при ll(!ч ётном r.
В таком <..лучас лля комilндыл в качесrве партне­
ра н.нна•111.v1 команду с но""ерuмN.
ТJк будут выполнены вrе 11еобхолимы<:> условия
1ур1-1ира:
1. В nдном туrе ра 1ны1· команды имею·r ра ·{н ы"
партн ёров.
2. Любая комJ.11дJ в р.1 .с1ныл тур,1х игр,1е т с р.1;!НЫ­
м и п арт11<'рами.
3. По завершении N - 1 тур.э кажлая ко\<а1;Лd сыг
рает (. К<!ЖдО И.
Вот как выr лямп туμ11ир11,1я Tc\(JM1UJ для Ше( ти
уча{'ТНИ!'()\) .
r?~l 1 2#'} 1 4 .".)~~
15+4б21.{
265432~1
3215634
-
4.
4 116r15j42
1
15.4 32_~5
H t1 пересечrти и г-й <троки ил-го croлl>11<1 < гощ 11омер
шртн ера, с которым ксщ,1нла .\ играет в r-м туре.
ч:1с сран н с:1111<.: о ка :3аJ1 <КЪ н снсрны:-1. 199 ~ х
х 19CJC):X 1=~(111щl9) а:) t)<) J ()(J:\= ""' (motl lJ).
111ач 1 п, н 111 ,1 ч1rс1сн1шх ест~. ш111 1 \)к:1 Дс1· 1с1 н11 -
телыю, 1 1рэ11 11.•11,11ы~'1 отнет - :) L)L)2 00.i.
1! о1к:~ же \~<l"v1с:1~нуе1·11мl.:'1· 1, 1> ннду: 110; \06н-.~я
проверr(Э хотя 11 llПМОЖСТ 110 \11 IOП I X с. 1уч:1н'
uб11а ружнт~., ош116 1<)-, сщнако пе 1 ·:1ра11п1рует t:f
OTC~'I СТШ lЯ.
\:IOPCKllX :~нёзд - l lO с.;, 'fkt'l'O l<OHL'ЧHtll tt'll 11;/-
СЧТ!ТЫIJаt'ТСЯ 59. Ско.11 1 , 1<0 в :1 ю1а р11~ \1С 1\JOj)l к11.\.
ЖНIКП I 1ых?
На 1 1cpl3ыlr взuш;\ 1-::1 жс.:·J·о1. что в .1,1;1.tчt" 11t:
лватаст ,'\~1111LЬL'<. Еслн. 11а11р11мr.:р. чс:рез :\· u\10
:тач1пъ количество :\юрсю1х звё:~д. :1 через!' -
uсь,\ш 1 юrон, тu у<.:лонне з:1д:~ч11поз воляет1rаш1 -
с: 1· 1ъ O..'J,J ю 1,.'/1.ll не1·1к·ш юс) ра IШСШН.:: ')_у + ку -
.N.
Такие:: ур.шн сннл 11 спс.1<:1\IЫ уравш.:т111й , н кото
рых чнс:по 11t:н :mL:стных 11рсн1,1111:1с·1 ч11с, н1 уран
HClll J{J , lla:31>1:К~l IO'l 'L 'H l/('(Jll/)(:'{)f~'li!Jlllbl.'1111


ЧИС/\J
У t>с ьми11uнщ -11U В 1ю1 . у мuрс.ких звезд - по 5 Сколько
в .:ноыr11у\1(' ,юрских "'"'вnт н ых. 1?с1111 вrern коне•11юстей - i9'
3а;четп.-.1. что кот 1 честно >к 11 1-10· 1 ·111.1х 11е мо­
жет измеряться т-1ецеm,тм1r ипи отр 1 щателы r ы­
м11 веm 1чтrа~rи. СлсJ1оватслыю, ecm1х - целое
нсотрицатслыюс число, то и
.39- 5х
у= ---
8
,ГJ;ОJГЛ<НО 6ЫТI• Цt'ЛЫМ 1 1 неОТf)НЦ::педЫ1ым. Аз11а­
ЧI 1т. ну-мно, чтобы выражение .~9 - Sx lieз ост::~т­
ка де:н11юс11 1 1а 8. Простой перебор нарна~-ггоR
показывает, что это всх1моЖJ ю толыю при.\·= 3.
Отсюда у = 1.
Перебор nа р иантоn. ттриме т 1ё 1 ть111 ш1м1 1
здес1" пс очень удобен в задачах с большими
ч1 1словым11 д:l1111ым11. Гораздо луо.1ше 1юс1юль­
зоваться общ1 L'\1 методом, rюторьп1 древrтсю 1-
;~и 1lскис м<1то1 :.1тики J 1 а:iыв~ш11.методйм pacce-
lttJaJtuя шш .1ие11юдо.111 cr~J 'C'fCCl.
КАК РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВ О Й СТЕПЕНИ
Дpeurшfr реце11т решео~1 я в 1\елых ч 11 слах
нео11ределё11но го ураnненпя 11ер rю11 степен и
ах+Ьу==с
(*)
с иэвестными целым 1 1 коэффиц11ентамн а, Ь и
с р::~зберсм на nrим<.:rc уже знакомого нам
уrа 1ше11ия
16-1
Sx+8у=39.
Bt,J\1e rк~м не11;111еепюе, 11меющее 1 1 :1име1 1 ьшнй
К()Эфф1щие 11 '1 '. И ПЫf)а~НМ его через дf)УТ'ОС
1 1 е1-1~.11ес~·1 юе:
39-RJ'
~-
.
.
-
5
Тепсrь ~ыделим целую час·rъ:
.+ -:) )'
.х=7 - 1 •+-----
-
')
Всё число f1у11ет 1\ел.ым, ecmr целым окажется
з11ачеп:ие (-t
-
3, 11)/ 5. :~то возмож~ юлишь тоJДа,
коrда число 4 - -~У без ОСТЗТJ\а j\eJП I TCЯ llЭ 5
Внодя дuполю1Т<..'JIЫJУЮ цслоч11слешrу10 пере­
менную z. rюследнес ус;ю1ше запишем в внде
4 - :\у= 5z. Мы нр11шли к уранненшо т;:шого же
п1па , как и исходное, н u уж<.: с мспьшими ко­
эффиц1 1 1;:11т: 1 мtt. Решать ~1 ·0 теперь нужно от­
tюс 1 1тt.:.1тьнr> 11ерсмс нн ы.х у и z.
П рощ)!lжаем дейе1·1ю13::1ть нсё П<J тому жt:
пршщиnу:
~1-Sz
1- 2z
J'=---= 1 -z + --
-
~
:1
11,ля того чтобы у 01<.азалос 1, целым, пеобходп­
мо, чтобы число 1 - lz бс:-1 остатка делr1лось
на j: 1 - 2z = ,71-1 ( т-шRь янсдена допол1111тель­
ная nсрс"-'н..: 11 н"'я и, гтр1 1 нимающая тот-.ко пелые
;1н~1чсння) . ОтсюJ1:1 по уже: uтraбoтarшofI схе­
ме 1юлучаем
1-511 1 -и
Z=---=- - - ll
2
1.
.
Пр()должпм". Чиспо z f>удст 1~СJ1ым, если ч11сло
1- и бе:> остатк,1 делнтся на 2: 1 - и= 21>, 1·дс
z; - пронзuолыюе целое. Отсю;\а и = 1 - 21 1
Дробей бол~,птс нет. спуск закопчен.
Осталось теперь 6лаl"ополуч1ю •rюμняться
вверх ». Выр~1 :.тм 1 1ерсз псрсмсш rую 11 сначала
Z, ПОТОМ _1' И , H<JK(J l-H:~ I \, .У:
z=31•- l,
у=:) - )/',
:\'= .)+81'.
Фор~;rы х = : .) + 8и. у= :3 - 51' прс11.ст::1нт1ют
общее реше1ше исходпого ')'[):Jн11ею 1я в щ:лых
чпсла,"·
А если нас ннтересутот только неотрица­
тtльные целые числа, то среди всех целы.\
решений нужно выбрать т;,~кне. для которых
Х ~ IJ,J ~ () 11, C'l'aJIO 6h1Th,
{
_)+8L1~0,
:)-)l'), о.


-;:c-
2z+3и=1
J
~11:'ТUд lПу<.ка
((щ~1естно ~пп тrеране11стна .11.юryr nыпт11 ~яться
лиш1. при u = (). В этом случае х = :'>,у= ;).
Пршнщаясь за ттm1сю1 решения нео11редt"­
лёшюго ура1Знення (*), мы предполагали, что
целочнсленнос реше1ше у нсrо непремешю
есть. А rкег,ца ли это т<~к? Если коэфф1щиснты
а, /J. с т:1 ковы, чтu лев;:ш чаоъ уравненю1 делит­
<.:я на некоторое чисJю, а 11равая - нет. то решс­
ю1l1 данноt" ураннсн11с не нмеет. Более точно·
11сопрет1с11ённое урз1шс1 rис пср1юй степе ни ('")
с целым1 1 коэфф 1щ11снтами а, Ь, с разрсrш1мо
n целых ч11СJ1ах то1да и только то 1 да, ко 1 ·да сво­
бод11ыИ ЧЛt:Il С ДCJlVITCЯ lia 11а116ОЛЪППП"1 оnщнi 1
делителn чнсел а и f).
УРАВН ЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
Неопрtдслённые уравнсн:юr ч астu называют
диофtщтовы.м11 уравненuн.ми - по имени no-
l'ж·:1нc1·u J:1елико 1 ·0 мат<:матнка а11·1·ичнос·1·и Дио­
фант<t Алсксандрнйскоr·u (JII в.). В дошед111 1 1х до
нас шести КНИl'ах <-А рнфм етнки » Л:нофанта сu-
1 lеrжится 18<) задач с рсшснияrvщ н пояснения­
ми. П.озн<1КОМИМСЯ с CJДJIO!r из НИХ: <~адз1 111ый
Kliai1paт разложит~, на }l.Ra квадрата».
Эта задача эквивалентна урашrетrю Rторой
степени x t +у~ = aL с пеи:~несrными х н у nрн
задан ном з нзче1тии параметра а (у Диофап-
Uелые числ<.'1
T(I - целпм или р::щио 11 алы-ГО\1). Просте1:11нщ:
ретпе11ня данrтоrо ур;1в11ен11я n олуч ::н(пся прн
нулевом :~11ачепии OJl. 1ro1 ·n 11.1 11с 11 ~ 1iес1 · 11ых.
Другие решения Диофапт пщет. вьmолняя щщ­
становку
у=lгх-а.
1дс /г - произвольное рацион:иы-I uс число.
в рt:З\1Льт:пс ) fCXO)l, HUe ура11 1 1с11ие:= пр1 llЮДПТСЯ
к нитt)• (lгх - а)
2
+х
2
= t/, откуда после 11реоб­
разоьзн11й получаются рзциm-1 ;JJ1ьныс вырзже-
1-1 ш1 для 11е11звест11ых х и у
2k
k2
-
1
"Х' =а--- 1' =а --­
.
k1+1' -
k~+'1•
Способ ,ll.иофанта позволяет находиТl, так
пазыв;:~емые пифагоровы mpoi-1~u чисел -
наборы целых чисел х. у, z, .выражающих
длины стороt1 nрямоу1 ·ол ыюrо треугольника.
т. е. удо.влствоrнющнх уравнению х! + у1 = z~.
llрвмер такой трu~ки - числа 3. 4 . 5.
З:нrн 1 uем неопре,г~;е; 1 ённос )rрав 1 1с1-те x i +
+ )'2
= z2 В BJIJIC
приме1шм 1< нему приве)1.ё1-111ые выше расс)"л<­
деш·tя Диофанта и получим выrажешш
165


DIOPHANTI
АL!!ХАN11R1N1
Rcruin A11rlinн:11 carur11
Ulmfrx.
tpюrt11юm 1 tluu .1tltr(r .1 111111.. _nr Sr 11а1.1~
J.IAXJЯI , :' 1 1( t:(JPl({\ЩJ cl\ J
111#.tl'l tH t
Itcн't t.нir ' fll! t1'1 11c11.11 P dt.1tJ(1 ),J>
Jш 4\~~il1'mt;,~J1·
о;". ",o,-1uЛ~t1,rr"4 uf11::... , ," lf. " lAf..j/Jup:-' . J?".
#a'~·-•l•tll•;l'o>'•··~·~.;м..
А (.t1~ Vн. " -.r."'o Л<•Jt~"'"i"r"<l !•M1Ь 01r­
L<111 •(1(.f..lctt •n 6.С:<.1111'1 ,.., .1111 lot••
1·1.J"нi,".' "~11"",, .tol ,,' '·
..
flJt~,.J ,""('frL.• 11 ov1•t"; . ,, -,""'1•.rr1o:t.*'
11А<1L(!..Е
l't" J."~j,_ 1 1 \' ,'1 (,,,f.;(1:-1v" ,
«)/l <o.IJt. Alf !l'l"tt . "
;~ Тt LXXY
х l.k
1' 1?.
2
-
1
-= ---·
..:.,_ =---·
Zk1
+1
1и1 улыtы1.1 л11п
.,дрнфмРrики"
Лиоф.~111d
157\1
1 1 ·ю(iы 11~н1111 ре111е11нс n целых ч11 слах. nOJJO-
ж1 r.ч /? = т/11, rJ(c т. 11 - 11ро11зnолы1ые целые,
11 ?" о ToГJ(~I
.У
.!.т11 ·1·
'
}
JIГ-п-
;__ =
---
-
-
:::: --, ---, .
z т-+11· z
'
'
llГ + 11-
11 можно н:1ять х = !.11111,у = т
2
-
n
2
,z=т
2
+11
2
.
0/\оло 1б.10 r'. ш:ревод "Арнфмеr trкrl" поп:т
в p)IOI 1:1ыда1u11t<:мусн французскому м:1тс .ча· 111 -
1\У Пьер~ Фt:р ."1.:1 Бессмс.:р'1 ный ' t'PYlt Дr1офа11та
1цохн(1нг1; 1 Ферма на оче-111. то~п.;ис н глубокне
теорс-· 1 ·11 1ю-чнсловые 11ccлc,ri;on:ш1 LН . R ч;~стпо с-
111, 1tJ(Я тто сто11ам Дтюфапта, Ферма доказш1.
что н::~туралыюе чнсло а тorJ(a н только тor,ri;a
предстаnн'ю n uиде суммы двух кщщратов
х: +у с 1к1IЬ1.,111 х II.J'. когда вес uμостыс :ц:лн­
тслr1 а. д:нощи:е npr-r лс:псшш на 4 остаток .$,
nходят в с-1 в 'fёт11ой сп:ш.:1-111. Он таюкс нaw<.:JJ
фuμмулу [1,ЛЯ KOJlllЧl'CTBa р:1 3Л11Ч НЫХ 11ар (Х, _)')
таю1х 1 111ссл
111:11111с.:1111то\1 стал;~ 11 :1алача Фt:р\1а . 1111!\1t -
щt1111ан !IM К3К KOM\ICHTap11)1 1!;1 тюлях l(l l lJl .11
Д1юф;!J1·1·а: <·Н:11'11•11 примоуголыn.n~i ·трt'у1·0.111.1 1 1тк
н чт 1с1тзх, г11пт е11уза которого была Пы кn:1f(­
рл о м , а также 1т cy>vrмa сюрон rтрп щжмо1ч
166
у1 ·, 1 е·>. ~'1т:1 : 1ад:~ч:1 ofi и11.1ск:~111111 т.1ю ' ·" 1111ф аrо­
роnых 1рое!\ х, у. z. что дл1111~1 п шотепузы z и
cy,\L\1tt JtJ 11Л1 т.;атетов .\· + \' щк~,1с:ташшю1 собой
пол11ыс кuадр;пы , имсс1 6есr:о11сч1щ м11ОJО
рсшс1н1l1 . М111111ма.r1ьныс 11э ШL~ - это чнс.~:t,
найдс1111ыс Фсrша. х = ~1 56'5 1Н6 017 76 1, у=
= 1 U616'52 .!.~); ')20. z =Ч 6R7 JL>86 10 lH9(3,'\eCh
z=216-'5О17'riх+у=2:П.2 1592).
n·p11\н.:ч:~тt'лы 1:1 сую.ба сщi.; од1101·0 нсш1ре­
; 1слt:111101 ·11 ур:111не1111я .
ФИГУРЫ С UЕЛОЧИСЛЕННЫМИ
МИНАМИ )ЛСМЕНТОВ
Сушепвуют nрямоу1ольнь11~ треугольн11ки с 1щл о·
1 нкле1111ыми дли нами сторон . А есть ли лруrне
фигуры(. dНJЛОП1ЧllЫМИ С!JОИСТ Вами?
Ока '{ЫВfl~Т< я, tiыоакп г~рямоуrольныс паралле­
лепипеды , у которых 11 ллины рi>бер , и лли11d д11аrо­
нал11 выражаются ц~лL,i'Vlи числами. Uл1111 и11н1х -
Г1i1p<1Ml:'Л<~n~1r1eл с рёбрJми 4, 6 н 12, El п" 1,1кжс
r1рямоуголы1ые nаралл!-'лf'n11пt>лы, у котор ы х ребра
и лиnго11<1м1 бокавых гран<:'й имеют ueлoч иrлt'tiH}'IO
длину. Этому условию, например, удовлетворяет
ПCIJ1<!Mt-'Лf'ПИllt'д < длИНс1МИ f)ef>E'p 44, 11 7 И 240 .
Олн,1ко 11е111нРстно, сушеству('т ли прялюуrольный
пар.:~мел~пипед . у которого дли11ы и ребер, и соб­
ст-венной дИ<\Г()ltdЛИ , и дИдl UНdЛСЙ ГJJdltCЙ вырi1)1..с1 ·
,\l lCb бы Ш:' /\ЫМI\ ЧИ( Лс1М•1.
Уt>11611тl.'лЫоы11 чРт1>1рехуr()ль1шк , nо"у• 1енны1 1 11з с л()А( l'ННЬ'~
u~ll'lTe п1noн•11yJ,l·\t" д1.1ух ол•111,1коuых 11ps.мuytul\ы1ыx
тpt•vгoлl>Ш•KOFJ с лл1111.1~111t10po11 ~ 10, 11\11. \ ЯJ. В<<' (•го
t 10ро111,1 , лн.зго11.1л11, рJЛ1 1 уп.1 р.1~.\'1•1н1.о1х un11с.1нных 11
nnиc .JШfbl)\ ""РУ'А(Н (]..-ТЕ'И , ра1 \ТО Я1111R \1Е'1hду llf'НТfbl\1 11 ~тщ
щ,румностРi1 . м!':>1;ду Т()Чкам11 ка lдн11~1 о~-.ружностеи to
стор() 11амн 11 д11~гонdЛЯ\.\11- uслые чи сла


13 с1щё 1~рсмя Ар.х.1·1:-.1сд сост~шнл :~ад~1чу u
быках четырёх ,..,1:о1стс1\ которые: пасл11с1, н
ЧСТЫрt:Х LТадал. ПDПН:IДJIС'ЖЗIНШtХ 6огу COJJHЩ1
Ге:тосу. R AI 1де с·1·нхот1юр1 юго постш 11я 011
отпр;1f\ил её Эратосфену К11ре11с1юму. Защ1ча
с1юд11тсл к урав11ешrю х~ -
..+ 72') 4<J4 у1 == 1.
Общее; тюш1честrю быко11 выр:~ж:н.:тся числом
поряl{Ка 7 7()(J 1()· щ,, 11 . Та кос стадо стари к l'с­
тюс нс смог бы разместить пе тоm,ко n пре ­
дет1х с.1юсi1: nотlшны - Com 1сч1 юl1 с1ктсl\1ы,
IIO и в rра1-111щ1х вссй y,\1(J:.:ip1I Tt'JlЬJ юli 13Ct'Щ;'I l -
11un. По-шщ111\1ому, лукан11л АрхJiмсл" посыла}]
свщ:,\1)' UШIOJ lt:llTY npaKTJJЧl:CIO 1Нt:разрсш11мую
зад:~ чу 11 обращано, к rн:му со cлoи:lYIII:
J!(Л/.111/Ы .91110 llClltд('JIUЬ. t~)'.Jl(rJCll1/JCIЖ!Ц.
умом IIO/ШCl\111-/)'H,
11 (;M0.110!11/'h tl70ЧHU llCl,IНClll'l11
КU)f(с)пго (;/J1(1дП ЧllCJIO.
То yxm)u, 1юзzоfн)иншись побеr)пi1,
11 ~J'l)em считаться.
Что rl .=тюй л~1·1)(юо1111 ты
исё до л·mщr-111ревао111ёл.
З;1 ур:шнешк·м ннда
.Х2
-
С~)'~= /
UC'i\bll' Ч11Сi\.)
:·1·1\ер;1ююс1> 11:13в~1нне <·ур:шн<·1 111е П<:: 1л51 " 110
11 -"1е1 111 >v1э ·1·с-\1атнк;1 Джона Пе11т1 , i-;o 1оро .ч~·
Эl1J 1 ep ОШI 1боч110 ПDI 111 l tCa.il 0/\1 f l t 11.1 СПО('О(/011
t:г() решен ш1. Ферч::~ у1'1сл решать ,Г\аl 11н1с )·р~111
11енне в l~елых чнслзл. Л по:~л;нсе 1:1ыя\1ш_~ юсь,
что с этоl1 :i:.1/1:1чei1 спраnлн:кя сщё н XIJ в. 1тт1 -
д1 нkкий математик ьхаскар:~. од.~ 1:1ко его мспщ
ост;uтся п:-~укс 1rсизвестсн.
lkonpcj\t:J1~1шыc ура~:нн~11ш1 второi1 С'П.'
ПС! 111 С ДВ)'МЯ HCИЗBC.:CTJ-IJ,J\Ш В 11:111111 Дllll llC-
CJIC/J.Oll:1HЫ пол1юстыо. Соврсмс1 11 1ыс ,,1стоды
позво11яют ппрсдслнть все рс:шсн11я такнх
уратн~внfi. если он11 сущсствуют, т1бn nбо­
с1-юва1•1, отС)ТС'1·в11с решс:1111!1. Од11ако с уран­
нс1111нми выше второlr степени дело п()стт11
1 ·ораз;10 сложнее.
Одпа 11:-1 :знаметn rтых проnлем Д::in11;p Гат,­
бсрта, сформршров~шпых ш1 11 Меж.1()'Народ-
1юм конгрессе ч:~тем,гпrкuн в llарижс u 19()() r"
заюпочалась в слсду~ощсм: пус1ъ лапо 11ропз -
00J1ыюс ююфш1тоnо уравпс111 IL'; требуется у1<а ­
зать общий .\fС"1·од, <..'J 1 сдуя 1<oтopo.rv1y можно
было бhl за кш 1 с:чнос ч11с1ю ша 1 ·ок у:Jнать, 11 \·1с­
ст ОНО f)CUICHHe Н Ц(.'ЛЫХ YHCJJ:IX IUlll llL'T.
R 1970 1'. лсн1rн 1р:щсю1т'1 м : 1·1смат1tк Юр11l1
Вл:щнм1·1ршшч Матн>1сеш 1ч дсжа.зэл. что ·1'.1ко-
1·0 общего .ме"1'ода нс су 1цс;СтАуег.
167


Чи сла
ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА
ЗА ГАЛОЧ Н ОЕ УТВЕРЖЛЕНИЕ
Эту тeopCJ\.fY Пr,ep Ферма записал т ra поля х вто­
рой ю1игн «Арифметики» Диофапт~ напротив
задачи 8, которая гласит: «Заданный кнадрат
разложить на два квадрата». И н аче ronopя, нри
данном t l требуется решить в р:щиональных
числа,-х ур~t вненне
)'
l
Х-+JГ=Cl.
Ферма заметил: <· Н ельзя разложить ни куб на два
куба, ни ющт1рато-кнадрат 11 а два кнадр~tто - квад­
рат::t, 11 вообще нmсакую сгепент, m.1111e квадрата
и до бесконечности нельзя разложип. на две
сгепе 11и с тем же показателе м. Я открыл этому
поистине чудесное до1\азателъспю, но поля эти
для не1'0 слишком узки ·>.
168
Др)'тими слu вам11 ,
Неоnр сделённое уравнение
Х"+у"=Z"
при п ~ 3 не и меет рациональных
решенийх,у,z,таких,чтох,у,z*О.
Быть может, потомство будет признательно мне за
то, что я доказал ему, что древние не всё знали, и
это может проникнуть в соз на ние тех, которы е п ри­
лут после ме1iя АЛЯ передачи факела сыновьям...
Пьер Ферма
Это утtрЖJtенис 11 сс1 ь неJrи1«1я. ил и по­
след няя, теоре).13 Ф ерма, ;~оказателъсттю 1<()ТО­
рой математики- н е кали nолее :)50 лет.
Сам Ферма оста1шл / (оказательство всл~шоf1
теоремы только для п = 4. 1:3 J7 _18 г_ это1 случаfl
теоремы nновь доказал Jl eot 1ард Э 11лер, 110 про­
шл о е щё 30 лет, прежде чем он сумслдатьдо1<а­
:~ателье1 ·1ю /VIЯ /1 = . 3. Поэн~1ком1 1 в11rись с ндся­
ми этих J(оказательств, мы увrщ н м, 1rочему
д<жаз~1 1·е.ньство ;1,ля ч стнёртых степепеi! было
намного легче, че."1 для кубо в.
МЕТОЛ БЕСКОНЕЧНОГО СПУСКА
J-Jачнём со случая п = 2, так как он nонадобнтся
в далы1сйшсм. П ост<олъку любую тро 1lку рацио­
налы1ьL':. чисел, удоnлстnорнющих урав11ешпо
'
}
J
х- +у- =z,
можно преврат11ть в 11ел ыс:.: числа умножением
на их общи й зн аменател ь, достаточно petШJТJ,
данное уравнение 11 цсльгх числах. О том, как
::JT() делае-1 ся, расск:1зано в о атье <,Неоттрсдс­
лёппъте ура111-rе11 1 1 я <>. Напомним рс;~ут. 1 ат: вся­
кое целочислетп-rос реmеш1е уравнения Ферма
для п = 2 ."-Южно заm 1сатъ R в~ще
х=Р
2
-
с/,у=2.pcj, z =;/ +q
2
,
~дер и q - произrюлъные целые ч 1 rсла. пrшчЬ1
при всенозмо:жных в:~<1имло 11рuстых р и Cf по-
МАЛАЯ ТЕОР Е МА ФЕРМА
Малой теоремой Ф ерма н аз ывают слслуюшее
утвержление:
Если число а не лелится на простое число
р, то суwествует такой показатель Л, что
а1· - 1 делится нар, причём Л. является лели·
телем р - 1 . В частности, аР-
1
- 1 всегда де­
лится на р.
Эта теорема - основная во всей элементарноj.i
теори и чисел. /\ео1-1 арл Эйлер 1-1 аше/\ для нее не­
скол ько раз/\и ч ных доказательств. Кроме того, он
обоб шил малую теорему для случа я , когдар пред­
ставляет собо~1 не простое, а любое uелое числu,
вз аим но простое с а.


луч;1то1 нес реше11ю1 ураннення с »~:шмно про­
с1ъ1ма х н у.
::Jти фоj1мулы былн 11з13есгн ы ещё пифа1 ·о­
рей ца м. н tю1·о м у за11 :-1на е."rые rrмн тройки
чиселnбhlч1ю на:1ьmают т1фаrоро 1~ымп . Сама>1
1гз всстная нз 11нх (:), 4, S) nолучаето1 11ри р = 2,
q=1.Ест,~жеположитьр = .1,q = 2,то 11айдём
ещё одtю логrулярrюе в дреnт-юсrи ~1сшение -
(S,12,J:J).
Тж11м образом, при 11 = 2 . уравнснне Ферма
имеет беско11сч11 0 11.1ного решений, а при 11 > 2,
как он угве рждал, - ни одного!
Вею1кая теорем а Фе рма связа на со многи­
ми матем:1тич ескпии теориями , о которых речь
впеrеди . Сейчас с кажем только, что сам Ферма
знал о её свя:ш с задачей о площади цслочис-
11ен~юго прнмоу1 ·олы-юrо тре}толъни 1<а. Одно
изеrозамеча~тий к,Циофа1п()вой «Арифметике»
гла сит: «Площа1'l• прямоуrолыюго треуголь­
ника n tшслах (т. е. со сторонами, длш1ы кото­
рых - целые числа.
-
llpu.м. ред. ) не может
быть квадратом (це.1101·0 числа) ?. Ферма пока­
зал з;т:м. Ч'I'О это уrнсрждение э книвале1пно
великой теореме для п = L~, и дсжаз:т с1·0.
Дсй ствитет,но, пусть дан прямоуrоль11ый
треутоль ник, к:петы х, у и 1·илотенуза z кото­
ро1rJ 1~ело числс 1 r11 1 .1е. И пусть его площадь
l
s=-
.'\1'
2.
-
кпадрзт цел оrо числа. Предположим, что х и
у вэаимно просты (иначе можно со.кратить чис­
ла .\у. а в;честе с ними и z на наибольший об­
щиi1 делительхи у) . Тогда с учётои формул для
Пифагоровы троики
Uелые числа
Ме1 uл беrконР•1но1 о • nvrкa
169


11
пиф:11·оровых троек S = /НJ(JJ ' - с/), где р, ц и
pl-с/
-
вза1t"11ю простые: числа. 110 ccлrr
пр о 1пнсдспис пссколью1 х l{J:111мно 11ро<.:тых
MHUЖllTCJICЙ ракно к1:1;щр<1'IУ, ТО 11 кажды 1I f·l :3
'"l 't·11x м 110ж11 · 1· слей /\олжен бы1ъ кн:1дратол1 :
jJ=1/ .ц=~~,;/-r/= ·/,г.е.а·
1
-
~·1 =у-. Итак,
сст 1 Г1п1 п римо~толъны й треvтлы 1и к, рассмат­
р 1 1наем1,1 !'1 в зад<1 ч с, сущtеmовал. то мож1 ю 6шю
f>ы ~гка :~а · 1· 1, ;\ве четнёр·1·1,1е степени (целых чи ­
сел), раз 1 юсть 1<отор1~1х равнялась бы кnадрату.
Ферма доказал , что это невозможно. И, ~mач1п,
тем более не1ЮЗ;\Ю)ЮЮ, чтобы такая разность
была р :нша четnёртой стенени, а ::1то 11 е<.:ть
)-Тв<.:рждс1 rис нсл111ю1'1 тсорt:мы fVlH 11 = LI. Ею дu-
1<а ::1атсJ1ьст1:10 - с.ц1 шственное rютюе теорстн­
ко-ч 1 1СJ ювuс /\01,аз;п<:J11,стно Ферма , которос
доuvю до н:1ш1 1 х д нсl1. Здео. ()11 щ111;\·1е 1 111л 110-
кый мощны(~ м~год - .м!!mад бесл·тщч1 югп ( 11т 1
щущреде.пё1аюю) 1.:nyCJca. Псшснпм н.г1сю :ппт
метn[(а на rтр 1 1мере 11:н11е i1 задачи.
H:tf(O л()ка;~ать пснпзможность раuе11ства
.\' 1
+ )'1
= z2 .Предполш·аем обрат~юс: оrю вr,mол­
няется /lllЯ 1\СЛЫХ rт01юж 1 1те.11ьных LJJ K'C:'Л х 1 , у 1 .
.z-1
.
Что бы провести спуск , до'Ка:Jьш а <..:.\1 , ч ·1 ·0
расс:чатр 1 ш:~емо.чу ура ннен 11 ю oбн:JaT<.:JlhHU
будет у,1.юю 1 <::твu рять 11 д rулн1 тро11 ка 1\CJtыx
ГТОЛОЖИ'l'С)) ьн ых чl !Cl'Jl Х2. J' L• z ~· на11f)ол ьшсе 11З
которых (z~) мс11ыJ1l' 11а116олыrr<..:го lt З чнссл
пср1юl1 тро1lкн (z 1) . От1юс11те111) 1 ю 1 101ю 1 ·0
реше 1 111я можно пронt"сти то же рассужлснпс
11 о·п,1 ска·1 ·1, тре·гhЮ трuйку ~шсел х.1.у,, z ,, глс
z, < z 2• Н, 1<ат< m 1сал Ферма, «так 1юстоm11ю до
6еою 1rсчтюстr1 Gу[(ем ТJаходить целые •шсла,
~1еrIЬш11е предыдущих. Но :~то псвозмшкrю, так
к::11~ ccлrr дало r<аtюе -либо целое чнсJЮ (Ферма
подра::~умсвал, что O IIO П()Jl<)ЖT l1't:JTЫIOC. - ! !ри.'11.
ред.) , то не сущr::стнуст ()сскпщ: ч1юстr1 1\с.:лых
ЧllССЛ, MCHbШllX СГО ».
Ферма }'l' Асрж;1:1л , что псе сnш1 ,заJ\1счатсль ­
ные теоремы относ11'J'ел ы ю чнсел 0 11 доказал
1-1 ~ 1 ен1 ю ::7Т 11 м мет()дом . Мс.-гол; спуска и сеrпдт 1я
нrр~ет fю11ьшую рот. 1~ те()рии ч.исел.
ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА дJ\Я п = 4
Ферма дал бс:1упрсчпое f\Оказатею,ство с1юе11
Tt'Opt'MЫ ДJШ П = 4, НО ДОК~1 :1:1Т<:ЛЬС1ТЮ Э frл с р<.1
исн<:е 11 короче . Поэтому рассмптрнм здесь
I IMCH!IO Cl'O .
Пус-1ъ мы 1 1з111ли т11ml1<v чисел х. 1', z , ;~ля
1
1
,
•)l
'
,
-
'
которыхх +у = z-. 1m11 (х-) +Су')- =z-. Вое-
170
1 Ю.'JIJЗ уемся фор:v1уламп для шrфагпро11ых тро­
ек. ПО.'Т)'Чтrм
х2
= pJ. - (/.у.: =2Jщ,z=;/ +с/.
Можно сч1л:лъ. что чr1cJ1~1 .\· 11 у, :1 :Jначнт. u
ч11слар 11 tf t:1за11."1ш111росты с. Тснла, 1юскодьК\'
1·
2
= 2.рц
чt:тно, .У2 J\ш1ж110 быть J н.:чl'тны~1 Но
:\...! = р
2
-
с/, CЛt'ДOH;J.'J'l'JlЬHO. fJ 11 {/ - ЧI JСЛ~
раз 1 юl 1 <.Jёт1 юс1 · 11. 11р11чёJ\1 р должно 6ытг, Нl'­
чёпrыl\I, а cz чёт11ым. Дейстnнтел ы ю. ю1:щр:п
•rётного числа деш1тся на 4, а юзадрат t1ечёт-
1roro пр11 1'·1слс 1 ПIJТ на -J . даёт остаток 1 (та1< 1<ai<
(21 i 1)2
= 4/J. + 41 + 1). llоэтому если быр бьшо
..
"
)
четным LIИ<.:110.:-.1, а С/ нечетным, то разностьр· -
-
(./11л.н.>лабы н1щ4k- l,т,t:.ш:могла бы быт1,
квадратом ( вt:;~ь кн:щраты np11 f\<:Лсн1111 н:1 ·1
д:.tют в остатке ТОЛl>КО О 1 11ш l ) . Мы ЮЮtiь тюлv-
J
'
·'
4
ЧНЛII "111lф:lJ'Op0110» )'l):IП l-ICHl!C:X- + ч-= fi " -
11
с учёто,1 T()J'O . чт() q чёпю, можем 3аш 1 с:пь его
рстс111ш n niщc
)1
))
х=,.--
s.q=2п;,р= ,.-
+.с
1J осколькух 11 (/ вз;~имно просты ( ш~аче х 11
)
)'- = 2.JЩ llMtJШ бы общий ~ШОЖIJТСЛЬ) , LJИСЛа }'
.
)
,
11sтакже нзаимно п росты. l lр 11 этом J'S (1~ +s·) =
= /-Ji// !. = 1,! / 4 - кнадрат, следоватс:rь1rо. оба эт11х
ч11с11<1 11 .11нсло У2 + s! дш 1жны быть кн:щратаюt
1·= <i.s=~
2
•,.!+s
2
= у. l l:1й1~r::нa 1rон<1 и трш1ка
ч н сел - .Г1.. р. у. удон~rепюряющ~~я тш1~ же урав­
~rе11ию С( + р"' = у-. Ее 11aJ1()cmы11ee ч11 ою ркнь­
птеZ:/' = / +s
2
= р<р.!+(i=z<z.!..
Тем еамы:v~ мы осущест 1:1111111 с 1 1ус1( и нсле,'\
ЗJ Ферма н Эйлером .:11ожем :1аю1юч 111 1), ч·1·0
тcopcvra доказана.
ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА
дJ\Я п = 3: ПРОРЫВ ЭЙЛЕРА
Т1..:орсму Ферма тин 11 =
. 3 з~-1лер ;юкaJ:J JJ в
l 76R !'. Д,т1 ЭТО('() потре6lm:1лас г , CORCJ1ШCll HO
НОRЗЯ Н)'\Сй. и C0("\'0:.IJ I;:\ 011 <1 н том . чтоб1,1 11р11
ИССЛС,Т'{ОRаrrии f\ОПр()С()Н of! об 1,1ч111,1х 1\t'ЛЫХ
чпслах прпмсrтятr, :- .1 1 11 1rv11>1e 11ыраже1111я rшда
п+/Jv
0
-
n, 1·де а. IJ - 11t:J1ыc, а 11>О.(Ото\.f,ка­
кой. смысл 1:1юшдьш:1стся в nыражс1 шя с коршr·
Mll Н3 oтp rtl \(l'l'CJl bHbL'{ ЧllCCJI . см. главу <•КОМТТ·
ле 1<с 11ыс числа·> . ) Э 1lлер так пнсал об этом
Ж. л. л~11ра11жу: . я был ВОС ХllГl\ён l3:1ш11м Мс·
'l'O/ \OM 11р11менсн11и 11рр:11\1ю 11:1лы 1ы. х 11 даже
MllllMЫX ЧllC~JI 11 T O ll ЧЭСП I :!H:JJll l Зa, кoтop<lJI


ИЛЕЯ дОКАЗАТЕ/\ЬСТВА НЕ/\ИКОЙ
ТЕОРЕМЫ ФЕРМА д/\Я 11=3
Требустrя дока~,1ть, что нсопрел\"лс111 Ю!' уμа внf:'нис
(*}
не 11меет uслых пилuжительных pt:>we 11 ий. Лока.-~а­
тельспю булем пронолить метоло'vl сnуск.-1.
Предположим , что урJвне1111е (*) ~1мес т рсше -
11ие (.\,у, zJ. докажем 1uгла. что 0110 имt'ет и другое
pewL'H11~ (х,, у,, L 1), ме11ьwее nep1юro (т. "'· н,1иGоль­
wсе нз чисел х,, у,, 7 1 \1еньше наибольшего из х, у,
LI. От (х 1 , у,, z ,) тем же рассуждс11ием переидсм к
tx1. У2. Zz) и т. л. Но сушt::ствует лишь конечнuе число
uелых положительных ч11(ел, мРньших данного.
311ач11т, 11ачальное предположение не вер 1 ю.
Итак, nycтt.. сушествует рсшеш1е(х, у. z). Чис.ла
!(, у, z будем полагать взаи'vlно простыми. Тогда
яrно, что два 1н ни>< лолжны быть нечl:'тными, а одно
чепшм. Пусть х и у будут нечетными, а z чётным
(иf1<1че, сели чt~тно х, будем вести р<1ссужде11 ие 01-
нос итРльно разности куfiов х3 = z
1
-
у' ил11, есм1
с1етно у, - урав11ения у1 = z 1 - х1). Положим р "'
=(х+у)/2,q =(х-у)/2,откуда '1::;р+q,у =р -q.
Чи< ла μ и ч должны быть разной челюrти. После
nоытановки в уравнение ("') имеем
'(!+у1
= 2р(р1 + 1q2):: L'.
Тс~к KdK L - четное, а pJ + Jq~ - Нt'чётное число,
то z' делится 11а 8 11 р должно быть чётным. Слслов.:~ ­
тсflьно, cr - нсчётнос. З.1мст•1м также, что числuμ ~1
р1 + Jq 1 мuгут иметь только олин обwий множитель -
чнсло З. Эйлер расrматривает nС>этому лв<~ случая:
1) р не делитсн 11<1 З,
2) р делится на 3.
Мы остановимся только на первом< лучае, так как
второй легко к 1~сму свод ится.
относится t< UДШL\11 TI >ЛЬК<J рац1 юr l :lЛbHbL\I\ чис­
л:~м. Вuт у-,,к<;: несколько лет, как у мt:11н 11ш1 в11-
л 11сь сходные 11де11". опублшщпан здесь (в Poc-
шrr. - При.м.. /11::д.) r юлную алгеnру 11а русскоl\1
яз1.1r<с, я rюдробнп излт10 m н не й зтот спос?б,
н я показал, ч:ю для ре111е1ши Ураnне11ин ~\·- +
'
'J
'
л
.
+ 11у- = (р- + nq· ) достаточ 1 ю реши1ъ следую -
щее уравнение: х + у~п = (р +<J\
1
-11 )А».
13 своём доказ~тсльстне Эйлер рассмотрел
выражения ви11,а а = а+ l7 J-3 . И ·1ут он сJ1,ел~1л
е ще одш1 шаr· чре:шыч:н1но1I н:1Ж.1-юст1 1: 11ере-
11ёс на этн кыражснан с1юйст1:1а целых ч 11ссл.
Что :'~то :1н:1чнт? Д~1я 061,rчныл 11t.11ыл ч11 се11 су-
Итак, Ч11('Ла р и q В'i,1имно просты, кроме того,
р •tётное, а q нечёт 11ое , 1ю rюскольку р нс делитсS1
Hd 3, з11ачи1 , числuμ и ре+ 3q ' в.~аимнu 11росты.
Лля проведения лалы1ейшего лока~тельств<~ Jй­
лер делает смелый шаг - р.нмгаст р 1 + 3q: на
м1юж11тели : р' +3Cf ! = (p+Cf\1- 3)(p - C/\' -3). И ли
м1юж1пели 011 рассматривас:-т, к<1к если бы они
Gыли UCflЫMll числами . В част~ юсти, пuсколь11.у
(
1
'
2pf>+qv ~){μ-ч\-3)=L ивсемножителивзаим-
110 просrы, Эилер пол.~гает
·~
~
г-
2р=1, pH/\-3=(r+s., .- J J
1
1
'
p-qv-З=(r-.s-V-3) ·
Возведя / ±_.,, - 3 в куб и принимuя, •1то (J-3)·' =-J,
UH ПО/\ yчdel
р =r(r - 3s)(1 + 3s),
q=J~(r+~нr-s).
Зде<..ь r, s - числа ра.з1юи •1ет1юс1 11 , пр11• 1i:'м, как
нетf)удно видеть, число r должно быть ч ётн ым, d s
нечёт11ым .
С другой сrороны, 2р: f\ Т.1.!. 21·(1 - Зs\ (1+3s) =
= f! . BLe множители в.:1аим1ю просты, тогда Кilжды1-1
И '{ н11х об~нан ()ыть кубом:
r+Зs=g J .r-Ъ=h J .
Азначит.2r=/1J+S' = /
3
•
Мы получ11л1-1 HOF.\01:' решение и; _t .: , 1) уравнен11я
(*).меньшее первого~, у, z). Спуск ОLушеGвлен, и
случай 1 дока'!а11. Тс1ким образом, можно утверж­
дать, •по уравнен11е Ферма лля п = 1 н е имеет
IJE'Лl>l)I. ПОЛОЖИТt"ЛЬНЬIХ реше>нии.
щ<xтnyl''J' бш·атая арнф.мсппсt: н.х можн о не
только складьшать. вы • 11 пать 11 )'1\11 JU:ж:~ть, ере
/ 1,11 H I JX .МОЖJЮ НhЩСЛ11 '1Ъ t.:ДllH l lHY. прос тые
Чl 1сл:1. В:{al!MI !() пrостыс HaI<Olll:I ~. cпp:iut.:ДJl l IН;t
фу'Н1~аме11талы-1:1я тсuрема об с щ rю:3Н ач1юст11
ра:ш оже 11ня лю601·0 чщ: на R щ1()11 з нс1~сш1с
r1ростых м 1 южн·1·слсr'1. Пола!'а.1 11 , ч· 1 о )~а11ньн:
cnor1 cт11t1 nрнсущ11 толысо ч 1 1слам 11:~туралы н 1-
го [)ЯДа 1. 2, :). ".И Ч'l'О ПОНЯ'Пtе « 1\СЛОС Чl lC.'IO"
не допускает шш:н-\оrо обобще1 шя. 31!лер щ1с/\-
11оложи .•1. что чпслз m1да а= а + /J v-5 обла,~а­
ют таюIИI 1же СНОЙСТН:l:\'1( 1 : срсд 1 r ШIХ тоже (;'(. 'T I>
лp<X:'l 'hlC, ДJIH l!JIX с11р:1нс::д1111н :5aKUJ-I ()Jl НU:3Нач ­
ности ра:тожс1111я на пpo c 1· t-.1l' мно;ю1тс11н .
171


Числа
Исходя из этого, оп 11 доказал велнкуrо теоре ­
му ЯТIЯ 11 = 5. Однако обос11овьшат1, сrюи nред­
положс111н1 Эйлер не стал. Эти вопrюсы nнош.
нст:u1и 11ере11 м~1 темат11камн RX IX н. - и опять
в свюн с Д(Ж.азательстRом 'rеоремы Ферма.
ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА И ТЕОРИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
1 марта 1847 i·. и~шсспrый фра11пузский мате­
матик и физик Габриель Ламе доложил на за­
ссдашш Пар11жской академ.и1111аук новое лока­
:i~tтслы.:тво вс:ликой теоремы. Пр.и :·пом он
011с:рнровал числами вцпа
/Jo + bt~ +/)2~l+ ." +/J,__lc,л-I,
(*)
где /71 -
''елые, ::t ~ - n·!·1111ч 1 юе 0·1 1 комплскс-
1юе ч11с1ю, такое, что ~· = 1 . Отмет11м. что при
Л. = 3 ч1~сла Ламе содержат те, котпрые приме­
нил: Эйлер. Действительно, ~ ~ - 1 = (~ - 1) х
х (~2
+~+1),но~*1,значит.~l+~+1=О,
откуда
-
l±v-3
~1,2= 2
.
В своём доказ:~тельстве Ламе исхоr1ил из ·1 ·01·0.
что для чисел вид<J (*) спранещ1 ины нее :~ако11ы
обычной арифме·1 ·11ки, в чае1 ·нос'1·11 :-~акон одно­
:~начности rазложения t ia пrппъ1е множители .
Л.р)'ГОЙ И:1всстпый францу:~скнй м.<пематик.
Жозеф Лиу.вилль, за.четил: «".сделанные по111,1т­
ки (т. е. до1<азатсльст130 Ламе. - При.м. ред.) по­
казали мне, ~1то сначала нужно было установить
для ко}.lmлексных чисел теорему, аналогичную
элементарному предположению о том, что
нроизнедение может бnl'IЪ тоnько одним спо­
собом разложено на простые м 1 южите11и. Ана­
шrз Ламе то111,ко yтncpдJJJI меня в этом мнении.
Нет ли туг лаку 11 ы, котор)'Ю н:.tдо за1ю11ни·1 ъ1».
Затронутые 1юnрпсы от1юсятся к :~рифмt:­
тике алгебраических чисел , т е. чисел , яnтт­
юrцихся корнями уравнснпй с целыми коэф­
фи11ие1тгами (см. статью «Транспетщентпые
числа» ). Благодаря замеча11ию Лиуuилля этот
раздел матсматик11 почтп год находился в
центре нн 1н"1 ан11я французских ученых. Им
усиленно з: 1н11ма1111сh 11 сам Ламе. и Пьер Вант­
цет" и д:~же вел нки й Оrюстен Коши. Нпо­
слс111.~r·тш 11 их исследования. r1р11нс.111 r к форми­
рованию пu11я·п1я кольца - мзте ,\.1~пическо1'0
172
пбъе1\1·а. в котором в самом пбщем 1111де отра­
жены сnойстоа целых чпсел по от110111е11ию
к сложению и умножению.
Uюrако вернёмся в 1847 г. Той же весrюй
немецкий математ11к Эрнст Кум.мер СQОбщил
в 11исы11с к Л11>'вш1лю u свuём удив1пСJ1ыюм
откrы·1·11н. Оказалось, что ~{~1 кон ол.нuз начно­
сп1 (1а:ЗЛОЖСНllЯ на простые MIIOЖ I TTCJIJI /t!lJI
ЧИССЛ !:!НДЭ е). ПООбще l'ОНОрЯ, НС НМеет мест::~.
Пr>н этом Куммер у!'Очшт само поннт11с про­
стого числа .
Натуральные простые числа можно охарак·
теризоват1, любым аз двух свойс.."Тв:
1) шш неразложимы о произведение дnух
множи·rелей, OTJШLUJЫX ОТ СДИllИНЫ;
1) если проrrзнеденl'lе аЬ дC'JIИTUJ на простое
число р, то по кpa rlнcfl мере пдш1 из сомнож11-
телей лопжен [\елиться нз р.
Обычно нерuое из этих свойств прш1имают
за опрслелепие 11росто1·0 ч11сла , а нторос дока­
зьшают.
Кум мер уст:шовил. что чпсла тщца (*) мо1уr
обладать свойством 1. но 11е иметь с1юйстш1 2.
Как же такое rюзможно? Пр:инедём nrocтoil
пример. nричtм с самыми обычными цеm,1ми
qисламн.
Предста1шм, что у нас сеть только чё111ые
числа Тогда числа 2, 6. 1О. Н, ". будут « про­
стым и» на основании с1юйстщ1 1 (О/tин н~ их
делнтеле~-1 нечетный, и мы ei·n 11е рассматри­
ваем). Н() СIЮЙСТIЮ 2 для них не HЫIIOJIHIJtTCJ!.
Например, 6() = 2 3() = 6 · 1О, J'. е. 1 1 роиз1:1еж-
11ис: 6 · 10 делится на * t•ростое» чнсло 30, но
)f)нrт Кум"rр


Uелые ч1-1сла
ш 1 оди11 нз сомнож11телеГ1 11а не::го не дсл11тся .
Чиаю 60 здесь разложеrю 11а «простые» мно­
ж1гrелт1 двумя раз 1 1ым11 спасобам и. Д11н ч исел
в1ща (*):заметить псодноз11ач11остъ ра:11южс 1 111>1
11а простые быдо 'fl)}'д IIO. так как она впервые
06 11 аружищ1 стся толы<О при Л. = 23.
бы дuбавить нeюrir аналог нсчёт11ых чис<.:J 1 . то
о.ц 1 юз начность разложе11I1я на простые мноЖJ 1-
тели nыла бы посстанонле11а. :;:эрнст Т<уммер так
и пос~угтил. В L1е.цё111 n,rc rrм 11оuые пnъскты 01 1
1 1азш1Л идеалыrымп множителями 11 с ~'\ 11п­
мощью дока:-~ал великую теорему для обшир1 ю­
го юrасса простых показателей п. Од11:11<0 дт;э­
зать теор<.:~fУ n обще."• виде не смог. Зато его
Прпмср с чёттп,~ми сll1сдами подсказывает
l':Jкую идею: если к чйслам вид;-1 (*) .мы сумели
«ПОС/\ЕдНИЙ ШТУРМ»
ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
ФЕРМА
Конеu ХХ в. ознаменовался для
математиков настояшей сенсаu и­
ей: попытки доказать великую те­
орему Ферма нако неu-то уве11ча­
лись усп ехом!
Летом 1995 г. в одном из веду­
ш~1 х математических журналuв -
«Анналы математики ~ - было
опубликова но полное до казатель­
ство теоремы. Разбитое на две ста­
тьи, 0110 за н яло весь номер - в
обшей сложности более 1 00 стра­
ниu. Основная часть доказатель­
ства п ри н адлежала 42-леп1 ему
английскому математику Эндрю
Уайлсу, профессору П ри нсто н ско­
го универсюета (С Ш А}, « штурмо­
вавшему» з н аменитую п роблему
почти десять лет. На последнем
лапе к рабые подключился Ричард
Тейлор, профессор Оксфордского
Эндрю Уайлс .
у н1-1верситета. 0~1 noмor устранить
пробеt\Ы, 1-1мевшиеся в первона ­
чал ыюм доказотельстве Уайлса.
Это первоначал ь ное доказа­
тельство Уайt\С 1нложил 23 июня
1993 г. в uикле лекuий, прочи­
танных им в Институте мJтем;пи­
ческих наук имен и Исаака Нью­
тона в Кембридже. Оно явилось
п лодом нап ряженной затворниче ­
ской работы . По пр изнанию Уайл­
са, никто, кроме его жены, не знал,
что он работает в этой области.
Идеи Уайлса от1рал1-1сь на за­
мечатель н ую связь межлу уравне­
нием Фермах"+ у"= Ln и элли пти­
ческ и м и кривыми, задаваемыми
уравнени ем
у2=х(х -а")(х
-
с")
("')
(впервые на не!? обратил внимание
франuузскии математик Ив Элле­
гарш в 1970 г.J. Ранее, в 1955 г"
яrюнский математик Ютака Тани­
яма сформулировал в виде гипо­
тезы одно свойство множества
элли птических кривых -так 11азы­
ваему ю модуляр ность. В 1 qв5 г.
немеuкий учёный Герхард Фрей
п редположил, что и з справедливо­
сти этой гипотезы для кри вых ("')
можно вы вести теорему Ферма, а
в 1986 г. американеu Кеннет Ри­
бет дока3ал предположен ие Фрея.
Таким образом, чтоб ы доказать те­
орему Ферма, оставалось толь ко
найти доказательство гипотезы
Тани~мы . Имен но оно и было из­
ложе н о Уайлсом в кембриАЖских
лекuиях.
Н и кто не ожидал такой смело­
сти от малоизвестного матема­
ти ка. Сп еu 1-1алисты взял ись за тша­
тельную п росерку доказательства
Уайлс<1. И ч ере3 н есколько меся-
uев \как не ра:> уже бывало в исто­
ри и доказательства вел и кой тео­
ремы) он и обнаруж ~1ЛИ в работе
Уайлса пробелы. Но в uелом его
идеи были признаны глубокими,
красивым и и современными.
Уаилс пр ин ялся исправлять до­
казательство. П рошел почти тл, и
в августе 1<J94-гn о н был nриглс:~­
ш ен на 0•1ерелной МеЖдуН<1род­
ныи математический кuн1· ресс в
Uюрихе. Матемап~ческий мир с
нетер п ением ждал его доклада.
Уайлс, конечно же, хотел завер­
шить доказательство к моменту
своего высту плен и я, но не успе­
вал. Коллеги видели, как д.:~же Пf:'­
ред самым докладом о н продолжал
работать, сидя на ступеньках ря­
дом с ,1удиторией. И когда, подняв­
шись 11а кафедру, Уайлt пюбшил
замершему в ожидании залу, что
пока не обладает полным дОКд ­
зательстеом, ему друж но ~аа пло­
дировали.
Однако уже 19 сентября
1994 г., всего через месяu после
к0t1 гресса, Уайлса, по его словам,
озарила ключевая 11дея, которая
и позволила ему (вместе с при ­
глашён н ым к сотруы1и•1еству
Тейлором) 1эосnол 1iить нако н еu
имевшийся пробел. На этот раз
доказа тельство выдержало все са­
м ые <.кру п улез 11 ые проверки и
было опубликовано. Так заверши­
лась 350-летняя история доказа­
тельства вели кой теоремы.
А мо1 ло ли дока мтельство са ­
мого Ферма (если таковое суше­
ствовJло} быть аналогично уа йл­
совскому{ Вот мнение Уi!йлса на
этот счет: «Ферма не мог распо­
лагать таким доказательством. Это
доказательство двадuатого векJ».
17~


ЧислСJ
11у 1 ъ 1юс·1 · р()е1111н ар 11ф мет 1 1к11 члсел mI ,'1,3. (*)
llОЛУЧИЛ R XrX (Т()ЛСТ1111 ПЛ(){J,0Т1Юр r юе rаэви ­
ТТ!С. Лрнф:v~стнку самых общих колец аЛ1·ебра11 -
ческ11х ч 11 се11 11ез:11.нк 1 1.чо друг от 11 рут<1 ТТ<>
стро11л11 руссю tf1 .>1аТ(.:мат11к К И. Золотарёв IJ
11t'мсцкис:: :v1ат~ма·1·11ю1 Л . Кронсю:р ll Ю. В. Р. л:с­
ш.:кш щ l !OCJll'ДH ~ 111 н нёл н ;IJIJ'<.:бpy 1IOIШ(;' н:~ж­
НЬIС 06·1.скты - 11,'(('<!ЛЪI.
И ВСЁ-ТАКИ О НА ЛОl<АЗА НА!
R ХХ 1-1 . 6ыла ()611аружепа связь вешшоir тео­
ремы с быстро раз1шнающейся .чатем:~т1 J<1 е ­
ской тt:орпей - аю·ебра 11чес((оi1 геометр~ 1сfт.
И.>н:нно н ра.,,1ках :·ппй тсор1111 11 1'1ы. 1 NК:ТIП'·
11~т ) с11ех . Rкл:щ 11 дnr<J1:пem.cr 1ю теnре'ш
Ферм:~ 111 rесп и r1ескпт,1ш м:~тематr 11ю11. rю Т()Ч·
](\' ПОСТ~ННIЛ u 19')'1 1-.
а11ГЛIIЙСЮIir ученый
Зндрю Yaiiлc. Доказ~1тст,стно У:1iшса чрезвы-
11:11' 1110 С.:Л ОЖ!IОС. ()110 CBON ITCЯ (( рс11н::11и10 ОД­
llОЙ з ада'-11 1 об :-.шшrnТIILI<.:cю1x кр11вых, т с
aлt·cбp;ШLICCIOJX кр111:1ых трсты.:fl ("J'C ГIC'HH.
lkлr 1 кJя т<:орt'\1а Фt'рма 11ос11т 1,.н< 6~д·1·() бы
част1 11,1 i1 харз1пер. Н а 11 nп 1,1п.:1 1 её /1,01.:аза·
тет.с·1 · 1iа о\1()1 ·:~ 1 ш1 11 ,\1атем:1тr11.;) 1 юны\111 r11teя·
MIJ. Mt:TOll.;l\Ш. тco pШIMII. в :-пом IJ состопт
лсnреходящt'<:: :Ш'1ЧС:JIШ: Bt'ЛllKOJI 1't'Opt:.\.JЬJ .


Леис 1в11rЕ>лы1ые •1исла
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
РАUИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
R со 1<ровr1щ 1 н 11\с эа11н.м;1 · 1е;11,1-ю 1 о м~1темаТ1 1 -
ческо1 о фо111>1<1юра ес1 · 1, так;~я за/\;~ча · <1Бут1 ,1лка
С ПfЮбt<ОJГ С'Г()1 1'1 ' 11 МОПtТ, 11р11ч ёМ бу1'ЫЛl(;J f Г~I
1()монет, ~< >роже 1 1 rюf>ю1 . <:кол ы<0 стn1 1 1· прnб­
к:1?• Прелесть этоff задачн в том. что, 11е долго
ду~1ая. f\Ce даю·1 0113СТ: « Пробка СТО!ТТ OД II)' мо­
нету~. И, к01 1сч1 ro же, 0111116аются! 1lст<о·1 орыс,
сделав пройерку н убеднnшисъ 13 сносй 011шб­
ке, '1)'1' же i:tЯRJUUoт , что з:щача вnйсе rr t 11мес1 ·
рс::шс1111н. Дсйt:'I't:ШТ(.'J IЫ-ю, эта з:щ:1ча н<: р<::ша­
стсJ1 н целых ч л слах. 110 за 1о существуют дроб­
ные Чf'ICЛ:l, ПОJl,ХUДЯl.ЦИ С /~ЛЯ с:ё ре111сн1нt: Дl:СЯТI>
С Щ)J\()11\IHO\.t МОНС.:1' С'П)\1'\' б)"ГЫJ\1\<1, И П()Jl:VЩ··
11r-rы - 1 1робка
А дре11 1 юстн к г, ет,1м и /\робн1,щ ч1 rс.r1 :01м
()ТJJOC 11m1c1 , nо-ра:щому: 11рс,r~,nпчтс1 11 1н быю1 11а
стороне целых чпсел. <•ЕСJш ты з :~хочешь ,'\С­
л11ть ед11ш11.w. математшш nысмсю·1 тебя 11 ш:
поз волят это делать», - ппсал осповатсл1,
афшrскоfJ Акадс.ми11 1lлатон. llo НС вес нрс1шс-
1·рсt1ссю1е математ11кн со1·лашал11сь с П1 1 ,1·1 о ­
ном. С /\po6J-Jм 11 свободно обращ:tлись Лр:ш ­
~·IС/\ 11 ГLро11 Алскса1щрийсю11·1. ftaжc П11ф:11ор,
C<J с11нще1111 1 .1ч тр<::псТ()м олюс11вr111 1lr си r-: 11:1 -
T}1XIJ11,111 .1м ч11слам, cu:1;i,a11aи теор 1 по i\tуэыкаm.-
1юf1 1111(;urы. сн>~эал nС 1Г( JП111,1 е му:l 1.1 1->ал1>111.1с 1111 -
терnалы с дробш,п1. Лраrща , сам 11 ,, по ш1 п1с::~1
дро611 П1rфагор1 1 е1 о учешлш не по.%ЗОJJJд1Кь
011!1 ЛОЗIЮЛЯЛIJ себе l 'OВ(>pll'IЬ ЛllШЬ 06 O'l'llO-
ПICl-ШЯX целых чш.:с::1.
Л106011ьп1rо, что но .шюJ 11л снр01 1 сlкю1х
)'ЧС6ннк;1х ар11фмtтш.т1 X\!lJI н. ра:-:,г1сл с ; 1ро­
бнм11 IIOMC Щ,\Лll ({ K<.HH.:tt К11111 '\1 . Ан1·1 111С1 сю 11'1
1 1\tlTOH tll 11()380ЛНР1 Л~l\11ТЬ ( 't\~IHlllJ\
17)


Числа
~АВИМдЕЙСТВИЙ СдРОБЯМИ
Сокраше1-1 ие:
таа
m·Ь =Ь,еслит;tО.
а с ad+cb
Сложение и вычитание: Ь+d = Ь d
асаd-c·b
b-d=ьd
Умножение и деление:
асс1с
ь·""d=ьd'
асa·d
:-
=--
ьdьс.
nрос11ет1 1тет, }1,жо11 Керсн н 1 1 редис1 юш 1 н 1<
16 - му и зrr.апию «Арнфмен11<и» У11111 ета (Ло11-
доп, 17 :35 г.) объясняет этот обычай та1<: «Дня
удобства и в ш 1тересах тех уч:1щнхся, которые
х:отят ознакомитr,ся с ар11ф»•1етиl{ОЙ лишь на­
столько, насколько опа полезна при дснежпых
расчетах. .:.J.ю1 тор1 ·uвли 11 др~т11х подобных
11р 1 11южсн11й ... ·1 ·с 11 срь даётсн 11pucтue н щ)л<:з-
1юе н~1Jюженнс ар 1 1фмст1 1ю1 1 ~СJ1ы:< чисе; 1 рань­
Шt:, чем ( )'t'Kpын:IC'I ся ) \ОС!) 11 к Kf))'TЪJM путям
дfюП<.:11, пr11 RI1дс которhlх некоторые ) чащ11-
еся гrрl(ходя·1· n такое:: унын1н::. что останав­
ливаются и fюсклицают: "No)1) plL1s Llltгa (лтп
"rшчсrо более сверх··. - Пр11.м.ред.), ;1а;н.ше м1,1
!!<:: пойдём! ''».
Тем примечательнее, что одн11 и:} первых
известных нам математических трудов наqа­
нался Шvl CHHO с упражш::пий II::t ДСIIСТВНЯ с
J\робям11.
АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИ
Так 11 а:-~ываемый па~ 111рус Рай11да - :·1то 11rе::нн:с­
сгипстскиt'1 матсматичесюrй теl(СТ, 11 ере1 1и сз1 1 -
11ый около 1650 г. тю н. э. ппсrщм Ахмесом (сч.
статью «Древний Египет») . Н пём расс матрина ­
лис~, лишь дроби, ~шслители которых раш 1и1 1.
Исключение сделано только для д роби. 2/3.
Дроби вида 1/п (где 11 - патуральнос число),
которп1м с 1 ·и11·п1нс отдавали предпочтение,
1:1 со крсмсн 1 юй матемитикс им.е нуЮ'J'СЯ ат1~­
вопты.м.и (cYI .llt/.'IU. al i чLюt
-
«НееколhК()<) ) .
Чтобы прсдста1:1ить какое-либо число н 1шдl'
суммы <11mюю·1·ны х дрuб<.:й, порой 11р11хuд11-
176
лосъ 11рш1R1шть незаурядную изоб рстатель­
ноt'ТЪ. Скажс,·1 , ч11сло 2/4:) в 11аш1русс выра·
жснu так:
2
11
]1
-=-+-+- -+ --.
·15 42 Н6 12<) :Ю1
Лроиз1юди1ъ арифметичесю. 1е дейстш1я 11ад
члсламп, nсякиtr раз раскпадьшая их в сумм}
долей сд11111щы , очень пеудобно. Имеет л11 при·
страст11е е::1 ·1шп1н к алнюютным дробям какое·
либо объяс 1н: 1111е:> Р<.1сс.:мотри11 1 такую задачу:
«Ра:щст1ть 7 хщ:бов меЖ/\У 8 mодьм 1 ·1».
Сuнрсмснны~"1 школышк скорее нсс1·() ре·
п 11111 бы за;р чу так: на[(о ра~-1резать каж,r1ый хлеб
на 8 рэн 111,1.х частей 11 1«1ждому ч<::лонtку дать
по одпой части 1>Т кaжll;oro хлеба. А 1ю·1 к:J1< Э1';1
зал,ача реше11а у Ахмеса ПоскОJlЬК")'
7111
-=-+-+-·
н1.1н
К.ж р.пле111н1, 7 хлебов 11,1 8 р.ш 11u1х чс11 1(•11 ?


Т() каждому 11(.'Jl()U(.'Ky н ужно Nl'l'Ь по П OJIOl:ШJ IC.
четнерт11 11 носhму 111кl" XJ1e::na. И ест·1 11:1111 ему
школ1.11 1 1ку пр11шлс )с ь б hl сделать 49 ра зре:юн.
ТО AXMt'CY
-
11<.: t:J 'O J 7. "1'. С . t'l 'llПC'l 'CIO IJI СПОL'ОО
ПОЧТ I 1 11 !> раэа ЭKOltOMl!Ч 11ес.
Ш ЕСТИЛЕСЯТЕРИЧ Н Ы Е
И ЛВ ЕНАЛUАТЕРИЧНЫЕ ЛРОБИ
Вссь.'-1:1 11скус ны в обр:~щснн1 1 с дробнми 6 ыт1
КШНJЮllЯНС' . llСnолъ:ю~ан 1 ш 1 с llll'C'l 'HJ\CCЯTCPll'l­
нyю с11стс '"} сч 11слс 11 ин. 1 JоСJ 1е;\0Rателы·юс-rъ 11
OC I !()B:J.TCJ ll>HOCTn , с которым l L ЖI ITCJ!l l j"f_peв нc­
l'U Меж:1урсч bll СОЗ/\а B:J.Jll I свпю ЧJ ICJIOвyro C I 1('-
те.\1у, вы з1 .r вают 1юсх 11111е11 щ:: 111~ст11десятер1 rч ­
ное освопаш1е 0 1111рзспро страт1т1 11 е толыю
11:1 цсльн:: натур3Ль11ыс чнсла, 110 и 113 лробп.
Дпс11:щца1 ервч 11ы с ,цро611 по~·чнлн рас­
простра11е11ис u Дрсш1см Рнмс. М<:л11ую J\Юнс ­
ту, а uпоследсrnю1 единицу веса - асс p1tNUlЯ­
нt дстши на 12 равных частей - унцнй.
В 111 ко;1:1х Дрt:Ннt.'1·0 Р11м;.1 11ы•шсле ш1н 1\1 с l(!)О­
бями у; к·1ш1 юс ь ocofiuc в1-u-1мэнн е. В<· 1Jаук<: по­
эз1ш" Гор~ш.юl 1trиво/\ 11 тта1шй .ц11<1 ло1 · учJ 1т<:Jш
l учс1111коJ11 :
~си11 Альбшю.' ch:t.u1cu _м не: есл11 А·rы. tмнвши
llЯlilb J'l·tЦШI,
В111ЧmеJн ой11у, чти осmанется/" - ·1'рt:>т1,я
чисm1) асса·>. - <- / !релjюсно.'
П11 1 -асс({
1/ 1.! (/('( '(/,
1( ../ - ((l..UI
1/; l/t(,{/
1~1 '. ты и.м.е11ы! сво{J 11<: fJacm/)(fm11111ь!
А l!C'IU Щm(iови..11
}{ 11/Jl.!.>IO·U/J\/ !/}t/}lfl :1/Ы OUfl;I '. Чll/() бyйl:! lll
11с1Сго?~ -
'"Jf(J. 'mm11N1 ·•.
~к ннди :--1. юньrй р11млш11111 у11.~ело 1 1ьmо1шш1
,'\еlrстrнш с ,1 11ена,1щ1те р11ч11ыМJ r Jфобячн:
')11:;
J
1
12-12 =3: l2+12;l
ПОНЯТИЕ РАUИОНА/\l~ного ЧИСЛА
С 1,1 н Лm,61111:.1 м о1 · () 1,1 11001~~л<11т1, ;1остоl1 н 1,1м
n ри ;v1ером епропl:l11 t:IM Сре;l,11 евеков ья, 1.;< 'то ·
рыс даже rюлтора тысячелетття сrтус 1 ·я n 11el!
С'ПJJШХ с дрООЯ;\-111 усматр1шат 1 11 С33)'ГШ/\ l lОС'
11скусстuо. 1Iапр11 ме р, Jl)'KY J l ачош 1, пpenoд;i­
вanшet·v м:.tтс~1атш<у в Перудже, 1l еаполе. M1t-
J 1;шc, Флорснцш 1, Р11м t' 11 !kнецr ш. птыю с,v1у­
щ:.uю упuтрсблt"111 1с: cJJOJ3З ~у мн ожс: 1111с " 110
(у1·1 шше1 н1ю к 11робям , 1ю1 д<1 11ро11:~нсдt'1111с ока -
3ы налос1, !llCJ IЫJJ t' J\1HOЖ H"l '{.'Лt,>tl.
С умножс1 1 11с::\1 щю6е\1 с вя::1а11а ~1 дру1 · зя
СМ Ы СJI ОВ:н1 'l'[l)'l~llOCTb Умнож11ть ЧИСЛ() н.;1 на­
турат,1 юt: n о, н ra чаt:т взнть е1 ·о н 1<::tчс:с 1 ·1 11.: спа­
п.1емого 11pa :i.1ю11 с·1 1111ка1щго 01ыс1 1 ~1 с.:к.r 1 ~1;(ы ­
ва1 ь ЧТ()-ТО, ш1nршv1ср. . 2 /5 ра:1а. Как же следует
пошrма 1ъ слова •·У·"пrожнт1, 1ы .!. /'!'1» ? Сов рt;~1 сн ­
пыi'i ш1юлынш с.:кажС1'': ··Ум 1южr 1 т1, на 2/5 оз 1 rа­
част t~:нпъ два ра 3~1 третью часть" .
с H::IMCIICl:-IИCM 11 p:t CШ l lj)C:IIHt',\1 значст 111fl
1 ·с рм111ю11 м ы tталю1ваl"\1l'н. r1 н дру1·11хслучан'. ,
нa .IJ р11м ер BBONI ( >Tpl 1ц;,l'J'CJl .bl lbll' ЧI I CJJ:J. l l OH)'! 'l '-
нn . что от 2 >1 б11ок 11 сль:jн от 11ят1; ;1нблсжа.1ю
f\M e(. "l'c:' l ' Т<.::\1 тс:мпср:-1т~11а МОЖt'Т yMl'HhlШ l'f 'l1CH
с .2 1'ра;1:·со 11 на ~ 1 'ра11.уса. !7то мы носпр 111111-
м:~ ем сстс::с·1·11е-1 111 0.
rt·1 ·aк. j)UЦll()Jt(Иblfbl.Шf Ч71СЛС!41/t ll:l ~ulВ<1 10"ITSI
<шсла шща т (п , r;t.e т, 11целы<.:: 1111 ;to О. Ес11.1111 = 1.
рациоr1алыюе qнс110 т/11 ЯRJшется 1\елыи.
llo,1'(061ro то~;у каr< u 06ласт 1 1 все.х це.'Тых
чисел оnераrлщ u ычJtт:11п~я nр1юб рстаст LВ\111 -
ство JJt:oгpaн..ИLJCHl-J()J) ~~ЫПОJШI IМOCTI r: 1):! любо­
\'!) 1\t:ЛШ'(.) ЧllCJ\a М(.)Жl \(.) !3ЫЧС<..:ТЬ J tю бо<..: Цl'JIOL'
ЧJJ CЛU - в обл;1ст11 paЦ!IUH:lЛhl-I ЬJX Ч11Ct:JI Нt:О-
1 ·рзш 1ч с111 1ую нып ол111 1мость 11 р1 ю6 рст;н:т 01Jt"-
r~щ11я /\CJJt: l IШJ ВС,1'\Ь П()Дt:ЛI ш одну дроб 1. Ш1
друтую. мы ош1л, nол~'ч11м 11роб1•. ЕJ111нствс11-
тrое тн.:ю1юч е 1111е - 11 у:11.: 1 1а не1'0 лел11тh 11ельзн


Числ.з
Так~ 1м обр~1:юм, coR<::pшa>i тобь1е:: :ч1нфме::­
·1·11чссю 1 е дt:l1спmя (СJюжt:нr1е. вычи· 1~11н<:, ум-
1юже1 гне 11 /(Слtпие) на11 р:11 t~юналы1ы~1н чнс­
л:-1м 1 1, .чы пе liЫХ()ДИ.ч эа npcдt:Jrы :'>тнх ч1н::еrr.
Т~1 кое множество чнссл, 11а кот()ром :1аданы ncc
четыре арнфметнчсские оnерацин и 01 ш пе
uьшодят эа нредсm,1 этого мrюжестnа, ш1зы ­
нается пола.114.
Почс~1у же II)'Лh находптся ~ra особо."'1 поло­
жоши? Дело н то~1 . что, хоп1 бы однажды разр<:­
щ11н /\е.J1сн1 1с 11~1 1 1у.111,, мы f\ПOCJICДeJ ' RИII /(01\Жf-IЫ
б1,11ъ 1 ·0·1·опы к разт1ч1Lым ~ чу;tссам» . С t'l."ажсм,
сократ11в в обс 1 rx ч астях 1н:р1 юго равенства
() 1=О· 2 11уJ1ь, 1юлу~нм 1= 2, 11 так можно
бу/\е'f' «,;J.(Ж;J3"111G 1"1»' ncf что угО,'1,1 IO.
ЛЕСЯТИЧНЫЕ ЛРОБИ
Н 11.irm1 дю1 pC,'\IIO rют,з~1отся обытшоненпыю 1
,\ро6я.ч11 , 11рсдпочнтают дtcя·1·11щп,1t. llu нсдь ш.'
1кякую обыкно в~.:1-111ую дробг. ~южно 11 рслставтъ
fl к1ще 1шнt:чно1J 11есятнчно~"1 дрu61 ·1 Т;;~к. чтобы н
в1111t лссятн 1 1ноr't дроби 3:11111с;;~ть 1/7. понащ>-
611тся 6сско11счнос число знакnв: О. J-128671
Почему же тодн 1rcpt:rrrлr1 <ТГ обыкr-ю11е11ных
Л,ро661 1( /K'CЯTlfCJ llbl;l-1 ? Да ПОТОМ}'. Ч"'J'() /\еЙС 'ПН IЯ
с 1111мн бопее простые. oco\1cJ 111 0 сложt:111 1 е 11
вычнта1ше. Сложи.ч дроби .1/ '>0 п 7/ 40. С..:11 <~чала
11уж110 найтп 11анмепьшее обrпс:е i-.:paтrioe их
3113.'vleIТaTCJitfl (ЭТО Чl!ОЮ 200), потом раз.11е;ш1ъ
ею па 50 11 результат (чпсло -4) умножить JТа
LfПCЛIIT<:'.'J h 1-1 знаме натель первой дробн. Полу-
178
чае1 ·ся 12/lUO. По·r ·ом 11ано ра:щсm1т1, .ЩОна40
11 частнnL· (ч1 1 с110 '1) Y"IJIOЖll'l'h н;1 чн с.r11m::лы1
~{На чt:нате11ь нторой :ч-щ611 . ТТОll}'Чаt:тся 35/200
i\•1ы П!) 1 1ВСЛ11 дро()н К оnщем~ :ЗH<IM eH:lTC!IIO
Тш1ы<о ·1·е1 ~ ерь мы мnжс~1 слож11·1ъ чтю111те.111
и получн1ъ отnет· -47 / 200 А еслrт зтп дроби
представ11-гь в десят11ч1101'1 за n11сн: -~/ 50 = 0 .06
7 / 40 =О, L7"), cyмtv1 a находится мпюuе11110 -эrс
O.J5S. l(o oe<Irro же, ~111сло 1/ 7 приходится за,
m1сынат1, ш 1шь с нскоторо~1 точностью.11аnри·
мер 0, 1 1.) JIJfll O,J cll87. но ведь 1-\ жи:т и все
l1\.1ее::т пюн пpe;1eJlh l TOЧJIOCTIJ,
Сс1·0;111я мni 1ют,~tус·"кя дссят11ч11ым11 дробя·
ми сс1те1·нснно 11 С1ю1)одно. Ою 1 ::~ко то. что к:J·
жегся естсстне1 111 ым нам, служ1шо 1-1ас1·оящш1
1<змне;\1 пре1· 1<1юnст11 1н 11ля y'-lf111,1x Сред11еве·
коnья . В :J;шад1юi1 Нnропе XVl в. nместе с широ·
ко расnростр~шённой део1 т11 q110 1'1 систем0!1
предстаnленш1 целых чисел n расчётах nовсю­
/JУ rrp11мt1 tя.тmс1, шсепщссятср11чныс .rJ.роби. DOC·
ХО~ЯЩllС сщi: к дрс:ш тс:й трад1ЩИ1 1 В~IВНЛОПШ I
llош1; 106 1 шо1 с в<:т:щй ум н11/\L'рл:шдско1·01-1:1те­
матика Симuна Стt:н111-1а . 1 1тобы 11р 111к~е1·11 з~ш1сБ
11 1\ел ых . 11 ;ц10бных ч 11 ceJ1 н 1::д1 Jну10 с и стему llo·
HH) \ l lMOMy. 'l'ОЛЧКОМ к открыт 1-110 )\t'б!ТJIЧНЫХ
дpuut:r'r дш1 Стс:нrлrа rюсп)жr11 111 t·ot·r·;шntнныe
им таi1л1щъ1 слож11ых 11 rт1е11тон. R J 585 1'. о н
о нуб11 нкоR:ш ю 11 1Г)' «Л.t:оп 1111 а". в l\C>' f'OJIOll объяс-
1111л десн·1·11чпыс дробп. Обо.111аченшr Стешша
нс от.rш ч::1Л11съ сонертс11с·1·uо,ч. так же как 11 обо­
з rrа чеш 1я его коллег п после1"юн:~те.1е11 Вот ка!\
01111 зап нсат1 бы •щсло 3.1 -41 '>:
_1,®I Ф-\ Ф J Ф')@
()111Ill(\'
}11l')
. ) Ll.±l2
(С <..:тсвшr),
(Й. Х. Бс~'1<.:р),
(А. Жирар).
Л11ш1, в 11cpвoii чстнt:рт11 Л'VШ н. дробны~
ч11с11а стал11 за 11 1кыпат1. с 11 омuщъю nrocтoii
11есятичпо 11 тоЧ1ш. R 11е1штоrr, 1 х страна.'<, u в
ч асnюстн н Росснн. вместо точ1<и 11с пОJIЬЗ)~О11
эапятую. Её вnёл 1 1 смецк11й математ111< Георг
Андреас Бёк;1ер n lbl>l г.
КОН Е ЧНЫЕ И ПЕРИОДИЧ ЕСКИЕ
ЛЕСЯТИЧНЫЕ ЛРОБИ
Д.rн1 "1 ого чтобы какую-ш rбо обыкнщеннуt0
дроб1. m / n :J~IП!IC;)'J Ъ н Н!Щt" 1\L'C>ITJ!YHOЙ, ДОст:f
TOЧllO HOCЛO.'JJ,ЗOli:JTI>t.:я школыrым (110СО6())!


деления "у1 ·олко,·м. U одних случая..х та1\ое де;1е­
rше заnсршнтся за кош:'ч1юе чнс;ю операци й.
и мы получнм конечную десят11чную д.роб 1,:
5/25::::: 0 . 12; н друт11х - 11роцс:с.:с деления бу;\СТ
f\eCKOHt'Чl:'fl : l/j =' 0 , .-1:)j;)" . IV10Жtf0 ЛИ l1pt:/J.CK3-
:J:ITb ::rт з~1ра нсе пu н11;n· 1~роб11 111/ 11? Ока:.~ына­
стся , t:слн н раз1южснни чнст1 /1 на простые
мнuжнт<2ш встрсчаютсн только чнсла 2 н 5, то
ДtCWП I ч Hd}I дробь будt"I 1\01lt'ЧIТ()(t; f\ Пj10THFll I O M
С'J1учас в деся'пrч 1 юм разлпже1пn 1 обяэателыю
воз~ 111ю1ет пер1 юд~-Nески поn'Горmощаяся ГР)·ТJ­
па ц11фр - гrс111юд.
llyc-rъ t1:-1сется перисщпческан дссятнчпан
дробь U, J l)l)819t)8l998." El' за1шсывают сщё п
так Щ 1998). указывая нифрьr ш::р11ода в круг­
лых скобках. М.шrаю 1111 представить сё н юще
1н: которо 1'1 обыкноне1 rнoll ;1роб1 r? Замет~ 1.\1. что
сс;111 ~1ы умножим д~1н11у ю 1~роб1, на 10000 (т. с.
11 срс11ссi.:м з:шятую н:1 LJ :1н:1к::1 1щр:ню) 11 от1ш ­
мсм l 99R. то у H~IC ()ПЯ1Ъ обр;~зу<:-тся /(l)Oб J, та-
1\()ПJ Жf' 1111;\а. Обоз11ачнn et: чере:1 х. поJ 1 ~rч11м
:1)а1шение 10000.У - 1')CJ8 = х, OТIC)'f\a
1998 222
.У=-- =--.
999') l 111
То·1· же самыi1 рсзут,тат получится. сс11и па
щ:ходную [(робь n~1·1ш11у1ъ 1<ar< на сумму бсско ­
нt:чно убh1в:.~ющеi! 1 ·сuме1рнчt"скuй лрu1·рессн11
с 11 ;1ч:шы1ым ч11сном U. 1998 11 J11а,.,,1е 11атслсм
1/ 100011 (C\t . CI'::JTl>J{j ~Ар нфМС."1'1t4t't:Кая н J't 'O -
i\1C'1р1 1 чсск:н1 пр<л11ссс111-1 ·>).
Ещё 11 <: HO ll ШКОЛ l1НЫС J 'U/\Ы 1lt'M<..:J \Кlll[ А1~1 'Гt:­
манrк Т<арл Фр11;1р1 1 х Г<~усс эа,г1.а.r 1 ся вопросом :
че:\1) рав11а ;(лн1 1 а пср1юда лро6н 1/р, ccJrH р -
11ростое чпсло, о·ошчrтое от 2 н ')? В теории
чнсел сеть тcopezv1a (мал-ан тсоре:1ш Ферм-а),
которая утнсрждаст, 'IТО для тако1·0 простого
ЧПСЛа fJ раЗНОСТJ, 101'
1
-
1 ДСЩIТСЯ 11;1 j}, ПОЭТО-
ИРРАUИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Мы :ш~1e'vl, что 1н.:которые 1хщ11 01 1 ~u1ы 11лс ч1н.:ла
выраж;.1юто1 беС' r<0 не ч11ыми пер1юпичесюrмн
деопич11ы:v111 дробя.ми, как, 11 а прнмер. ч11сло
l/ l99H = О, 000'500'500';00." Но ничто не мешает
rюобразит1, и чпсло, u десятислюм разложенни
"оторого не обнаружщ~ается ннкако1·0 псрнода.
Такие •шел::~ 1-1юыnаются 1rррац1юuш1ы-1.ыл'111.
Дейt.ТВИl С:'ЛЬНЫt' чиrл.:~
му можно запнсатL 1о 1' 1
= fJ/..?+l,гдеk- ~rе1ю­
торое натуралпное ч11с;ю. 0·1·с1011а l //J 1о'' 1
=
= k + 1/р. :J это (Уiнач:1е'l', что CCЛll в ДC<:ЯTIJ'l­
J юlr /1,роб1 1 1/jJ t1е1х·мсст11ть ·за11ятую к:1 jJ - 1
Зll:LJ.\0 1~ вправо,'!'() l/OJIYЧllTCЯ LJllCJIO с TOJI Жl'
c::iмoi'i ;1робноl1 "Чае1·ыо. Сле;нш:пель110. ч11с!ю
.fJ - 1 кр:п1 ю : \:11111е 11errю/ \:1. Пр11 ~н:юн1 п.: же
р<1ссужденrrя, \ЮЖ1 ю уточ1шт1,· ) \Лill t:l ncp1 ю/~а
pan11::i trarrмeнъшer.ry з11 аче rшю 1-, такому. "ЧТО
1о'· - 1 дслrпбr нар.
ссл11 мы рассмотрим такпе числ::~, как 1/ 6 =
= 0 ,1666.", 7/!>О= 0,2.:'>.:'>.~"" то 0611аруж1 rм. что
псрно1' 11а1.Jи~тается 11е сраз~ после зa1mтot'r.1Io
чему это щю1rсходит! Ока:Jьшастсн, LJJICTO т:­
р1ющ1 ческис ДССЯТ I LЧl lЫС р:1:.! ! ЮЖL'НШ1, Т. с. та ­
юн: , н кu·1·оrых пер110,111:1ч 1 шастся сраз~ 110с.'Н:
:iiHIЯ' I O!"t. llШШJlllIO'l'CИ Jlllllll> 11 Tt:X CJ l}nl~ШX. KOL'Д<I
:JIJ:JMCH::IT(:Лh п ITCCOKfXl 'l 11 .'IH )(1дроn11 //l /11 Ht: нс ­
ЛJl'J'CЯ ШI .2 Т1 H:J ">.
JVf Ы KOCI l)'JШCI, JШlll Ь 1Jl[ЧTOЖllU M<!JIOil Ч-;Jl"l 11
раз11ообраэ1-1еi11rп1х своJ°1с тв рзцно 11а л 1,1 1 1,1 х
чщ:ел MlIOl'Jf<: 1L'\ :JjГадюt в С ОСТО>1 1 11111 рас ­
крыть вы самп . Для этогп вам потребуются
шшть ручка, бумага и 11е.маого у11орстnа .
ИСТОРИЯ « НЕРАЗУМНЫХ » ЧИСЕЛ
Ис-1·орпя 11рра1 що11<1 ; 11.~ны х ЧJКС"д восхО/(НТ t(
уд1 1 витслыюму отщл.rт1 rю rшф::11'орейнев е1 цс
u \Т] н. до JТ. э. А 11ачалось всё с npocтoro, к:1:~'1 -
нос 1~ 61 .1, 1.юnро<.:а. какнм числом н1,1р.1жае1 ся
д:нrна дна1·ш 1 ал11 квадрата со сторо1rой l?
17<.)


Числа
Дш11·01 1 ат. раз61шает кна/1,рат 11а дnа О/\IПJа­
коnых Щ)ШvЮ}ТОлы1ых ·грсуголы нша. n каждом
нз которых 011а выполняет рот, ттшотенузы.
Поэтому, как следует 1 1 з теоремы П1 1 фагора ,
:
J
)
'
щн 11-1;1 диа1·онаJ 111 кв;щрата равна vl- +1 - =112 .
Сра:~у же rюэникает соблазн достать микрокаль­
кулятор 11 нажать r<..ТJаnпшу изнлечения квадрат -
1юго корнн. Н а табло мы увидим 1.- 11 12 1
_) ) .Бо­
лее (.'0Вершсш1ый IOIJI hl<)'ЛЯТОр, Hbl 1IOJll IПIOЩIO~I
ныч1н.:лс1111я с высокой точностью, 1 1с.н:ажет
1,414213562 .~7} А с 1ю~ющыи мощ н ого соврс-
,-
МСН I ЮГО ко~шью·1·ср;.1 -v2 МОЖJЮ Hh!Ч!-ICJUl1Ъ с
точ1юстью /l.O сотен, ·1ъ1о~ч, мнллионоn :1наков
лослс эапятпй. Но даж!:' с.:амьтй nыс(жn 11 ронзно­
,11ггелы1ый KOMllnIO'J'ep, CKO!ll> б ы , \ОЛГО ()11 1111
rх1бота11, 1111коr.п;а пе сможе; 11и рассчитат1, nce
,..1еопич1 rыt цнфры ч1 1Сn'1 \'1, тш обнаружнть в
1mx какой-11 иf>о период.
и ХОП! у Пи фа /'011<1 1-1 его учен 11 IIOR ком 111>10 -
Гt()<l 1 1е было. обас11оват 1 этат факт юv1е 1 1но
0111 1. Пифатрей11;ъ1 ДОI\а:1ал тт, что у диаго на ли
1.;вал;рата и cro t.·то1ю11ы общей 1черы (т. t. т:U<o ­
ro отреэ"а, JСоторый целое число раз отклады ­
nалсн бы н на диагонали, 11 на стороне) не ст­
ществуст. Следовательно, отноптснш:' их дли11 -
число "' 2 - пспь:ш выразить ОТIЮШСН llС.М ш:­
которь1 х [\СЛЬL'{ ЧИССJ / 111 IJ 17. А КО.% скоро это
так добаnнм мы, дссят11ч1юс р:1ЗJюже11не УJ[СЛа
\ i 2 не 0611аrУ'лш1:шtт 1111какой p<.:тy.riнr)J)oii зако­
но.V1ср1юсп 1.
()ткrыв 1-ю1:11>1i 1 матсN1:-tтJ1 чесю1й объt:кт, 1111
фаrорt1щы 1 1рт 1 rнт 1 в rюл 1юе :1амешатет,ство.
В ос r юне осеоf; щей 1·армотп ш м11ра. сч11 тали
опи, должны лежать целые числа н их отно­
ше11ш1. Нтп(аких друr11х чисел они 1 1 е знали.
../2
18()
Длнн а л~1~11 UHtlЛt.1
._Bdдpc:} l c:I
tu LГt1р11но•1 1 -
Ч'1(i\0
иμр,шиональн()(·
П О СЛЕДАМ
ОТКРЫТИЯ ПИФАГОРЕЙUЕВ
Как Л0Кс1Зать, что ЧИLЛV v2 иррашюналыю? Пред. ­
положим, су ш ествует rаu иональное чисАо m/n,
такое, что m/ п = f2 . Лробь т/п будем считать не­
сократимо(-1 (ведь сократимую дробь всегда можно
привести к несократимому виду). Возвеля обе части
равен ства в квадра т, 11олучим ml = 2п•. Отсюда
заключаем, чтn т - ч исло чётноf', т. е. т = 2k.
П оэтому т ! = 4k· 11, следовательно, 4k2 =ln1, им1
2k2 = nl. Но тоrла получается, что и п также число
четное, а этого быть не может, поrкоАьку дробь
т/п несократима. Воз1-1икает п ротиворечие.
Остаётся сделать ВЬ!вод, •1то 11аше предположе­
ние 11евер1-ю и раuион01лы-юго чи сла т/11, paвttoro
..J2, не сушес-твует.
И вдруt' :па гармония рv1пнтся - cyщecrn;1CYr
uеличт шы, которые отпошеш 1см 1 клых чисел
о при11цнае нс являются!
() пережитом учсrшка,\1И П11фагора смяте-
1ши свидетсльстврот дрстшс легенды. Он11
дср:жали пюё открытие n <.:tкрстс. U,ц н ако Гrш-
1 1.а с и з J\!tет:нюнта р:.1З1'ласш1 nю,r~нм ~у-'ж:кную1
тзй 1 1у сутл,<..:ствов:шшr нссuJ1змеrш.1ых вt::лн­
ч11н, и 1l t:бo пок<1рало сн •: 0 1-1 утонул п морс во
время rптurма.
Пn дrугоl1 л1:те1 ще, наклнк::~н 11а ~ ·плову Г1m­
ш1са нссчжтhя, т1ф::~горсйцы сам11 nыршшещ
Сlfi\Ш<m 11 ческую l\tOГJ 1 лу, «1<ак будто 11 екогдз
бьш ш иr'r пх товарищ н самом деле у111ёл из зем­
ноrl жи~ши», - тах т кал античный фнлософ
Ямnлих. Впрочем. n это трудно повср1пъ. nедъ
члс пы ш1фагорсйскu 1 ·0 союза всегда слав~ишсь
вз~шмоuы ручкой н креnю1 м11 у3ами др)жбы.
По11ятия ~ р;11~1-юн:.JЛы1ыil• 11 <·нрр:.щнон;и1ь-
1-1ый • I LC I Ю.'11,:.юн~ш )Ж(' П латон н JtJIЭЛO l 'C (• Гоq­
) \ арстно·>. р~1 с.:суждая u с.:швмср11мост11 д11а­
rонат1 Ю3:1драта 11 e1 ·u стороны. Rстречаются
ОН/ r 11 н Д~CHTL}l~I KH I 11 е ··Начап ~ RBКJll l/ (;l. в пере­
т ще с л~1тh1н11 слово <-iп:11io1 1 ali :-." tJЗ11зчаеr~не­
ра;~умншl». Jlюfiопытно, ч·1·0 11 срс11.11енекоuой
Европе 11а 1щчу с jпari o 11a li.'> в ходу был еще 11
другой термин - st1tdнs
-
« l".'1)'Xoi1" вл 11 те­
мой~. Судя по тако:-.1)· 11аз 1,шmю, матсмаn~кам
С ред11еве1<ооья 11ррацно11альпыс чпсла пред­
ставт1л11съ чем-то настолькu 1н.:сураз11ым, 'fГО
букналыю «HIL RЫСК:1::Sать. HIJ H"1 C.ll)'lll3Tb>.


Г1юn.ir pa1rл,jr 11л люд11~1 vж,1< ную таину cyшerTBQf!d H11я
1 1сtоИJ"1 t.: р11мых uрм1 •щ11 - 11 Hf'\)t) nuкарало Р1 о
Лс-иствителы I Ы<' ч исла
РАUИОНМЬНО
ИЛИ ИРРАUИОНМЬНО~
Если числа а и /) раuиональны иЬ не uелое, то аь-
в бол17ш11нстве случаев число ирраuионалыюе. lia-
'
пример, а= 2, Ь = 1/2, тогда а"= 21 ~ J2 .А 1-~аобо-
рот! Сушествуют ли такие и рраu ион альн ые числа
а и Ь, что число а"раuио11ально?
докажем , •1то он и суwествуют. Возьмем •1 11сло
(,!2)" . Рашюнально ли оно~ Сразу и не скажешь,
неп r~н ятно лаже, как выясню ь природу этот числа.
Однако да ва й те ра ссмотр и м об~> возможности.
Если 11аше ч11<..ло t = (\ 2}'
2
раuиОН<lльно, зна ­
чит, оно и есть ~1скомое. Ну а если число с ирра-
ц110~1 ально ? Тогда во'!велём его в сте п ень v2 и по ­
лучим числu d:
гl = с'1 =((,2)'!( =( \2r =2 .
Выходит, числоd llC' только rаuио н аль~юс. 1 ю даже
uелое. Поэтому если с ирраuионалыю. ro искомы­
ми Ч11(Л(IМИ ()удут
а=С,Ь=\
0
2.
Итак. мы 11е 11ашли ирраuионалt>llЫХ •1исел а и
/,, дЛЯ которых ч исло а0 является раuио11альным,
но доl'а"!ал и , что 1акие 'i И(ла сушествуют. Лля ма ­
тематики подобное положен ие ти п ич н о Очень
•1асто бывает важно убелиться в tу шсствовани1-1
обьекта с нужными Lвой ст1:1ами, Ht:> и нтересуясь при
этом ко н кретными примерам и .
Но 1~ер1 1 Ь101 к 11.ре1111 п.11,r rpe1<:iм . У11 и111 1е1ш~
н 11,осща. с которыми оп11 1шачалс 1.юспр1п шли
нрраI\Иональные числа, тшоследстшш смспн ­
лись интересом и пристальным щrnмaJ m<:м J(
JJOBЬJ.м .матсмат.нчссю1м объсrпа.м. Фсщюр Кн­
рснсю·нi н IV n. до JL э. l\UIOt3:.iл прр;щиu1 ~ал ь-
Г.1
'
'
;
ностьчисел \3. vS, v6, \7. \8, v1U, ,.11 ,
\12, \13. , 1Ч, ,15.аегuучс1ткТсэтстuбо­
снонал нррациощ1л 1,носТh rкt::x ч нсt.J 1 111-щ;~ \ N ,
1·де N - целое ч и сло, нс ннлs1 ющсесн точ11ым
кн;щратом Те::Jтст 11 ;1 ~том 11 е ост::~ 1 ювн 11 ся,
ПОЗД/lt:t: ОН докаЗ:lЛ , ЧН) ирр::щ1 IO I l<!Jtl>J-!Ы вес
'\r
чипrа в1 ща ,.N , 1 ·,цс N - целое, нс яшIЯющсеся
то чн ым кубом , а также рассмотрел ир)l<11t1-1 0-
н:шьностн нн1щ \ J\f+N . v Af+\1\', ..,, ,н,;v .
181


ЧИ('ЛJ
ПoJLh:Jyяc1, 011реле11е1 1и ем, 11р1х11 ~1ю11ал"'1ыt'
ЧI н.:ла MOЖllO соl111рат1, из T\l'CЯ'l'llЧI ll>IX цнфр,
как н1·рушю1 11 з !(Сталей дето<n 1'() 1ю11С'трук-
1·ор:1. Нужпо эаботнться m11111, о тоi\·1. чтобы
появле11не ц11фр 11с плдчтпrялоо" шшако1"'r пс
риод11ч1юс'Г11. Так. 11ррацио11ат,~rым 6удст
чнс1ю , 11зо6ражёшюе дlтяп1ч110(1 дробью
U,1О1001()()()1 О"" .1:1 ко·1·орuй сд1 ш1щ:.1 шкж:ж>­
nатслыю вcтpc'-1at"1 'csi чt=pt::~ одну. днс. тр11 по­
Jиц1в1 и '1 './\. , IU IИ YJ IC:JIO О, 12.Ч56789 L011l2 .1 !У ""
11 .'~Cl'SП 11чной 3;1111к11 которо1 ·0 1юслс :3<!ПЯТО(t
тщr}щ 1юмс1г~~1ются псе 11атуrальныс ч1tела
Г<JраJ; ю слож11ее 6 1.~нает )'\ок:1эа· 1 '" что 11е1ю­
тор:.~н эа11а1111ая ч11сювэ.я 1<0пстру 1щ11н 11реrtста11 -
лж··1 собой 11мс11110 нррац~ю11алытос ч1rс1ю
Бш1111шfх трудов, 11апрпмср, сто1rло обосно ­
п:1·п, ~1ррац1ю11алыюсть таких з1ш\!еmпых по­
стоянных, ~<ат< ЧllСЛО 1t = 5, 14 l '5927"" ЧHCJlO
с-
.! . ..7 182818." А 1ют u кuпс·т;11пе ~·:>йлсра
С= lim(l+ 1/2+ 1/:1+."+1/n - Jлn), прпбли-
11 ••"
ЖСШf() ра.ннuГ10,577216. ПОК:1 (на l l)97 1.) Jl('Jlb3}1
ска:3аТh 1111ч 1.:1·<1 011рсдслён1~uсu. Рац1юналы1~1
011а 11 л11 11~.:т - это сщё лрс1к-1uнт ныясюлъ.
ПРИБЛИЖЕНИЕ
ИРРАUИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
РАUИОНАЛЬНЫМИ
LL:i [Ючто1ю1'1 коррсс11онде111(11П адрес ука:3ына­
ется послсдоватt'J1ьнu: снач;ш:~ с1·рана , потом
кpail (обл:ктh), 1'uрод, ушща,;~ul\1, квщл11ра Т:-~к
Жt' 11 MtTTOlIOJIOЖCH l IC ЛJОО( )J ' () нррац1 юнаЛЫТ( , _
Ht\ llt••f f OHIH'1 to.1;pflt-'t.ГliH(Лt:-'ltUJtИ ~1лр' '(
ук.1lь1в.1~>тся nncлсловательно. ..
1l)2
1'0 ЧI l('Л~J J1:1 ЧI 1ию1ю1"1 OCI1можтю у:ш~п J; с нро·
н:шолы юi1 точ1 юстыо . рассматр1шан ра з ное
кол11чество [tифр после запятой у 11ре;~стаnля­
ющеti его д<::ся·1·ич1ю1'1 11ро611. Т;ш. д1юбн 1..+ .
l.41 ; 1,-11-1: ."п озволяют u прсдсшпъ , ·2 с точ-
1юстыо до десятых, СО1ЪIХ, ТЫСНЧllЬL'\. 11 т. д. К:vк­
дое 113 ЭTIIX Ч!IССЛ рац1ю11а.11h l ЮС. 11 мы. таю1м
образо,-.1 , получаl'м 11р116.111ж~1111е 11рр:щ110-
налы J()J'O '- l llCJ ia \ 2 flOCJJ (',{OKa f 'eJI Ы·ЮС'l'ЫО ра-
1\l !ОНаЛЫ-IЫ Х.
Лтобоt" 11рра1111011:~л~.нос ч11сло ~южно с
про1 I3В<)JI ы юli TOЧIIO(Tbl() n р! I OJШ:il 1т1, 1юсле­
довател 1) 1юсrыо рацао 1 1:1ль11ых, nо с колы~·
1юсле.rцше •·весьма шют1 ю ... р:.1сш)ш11·:~ются на
CJIICЛOHOЙ OCll: между каждЫМ\1 /\Hy .чst f1:ЩИ()·
НШlhНЫМИ ЧllCJia.'vlll IК't'l'/\a 1rм.е10 ·1с>1 11 дру1 ·ие
ра1 \1 юнальныt' ч.ш.:л а . Ест 1 нзн·1ъ, к нрн ~1еру,
ере, \11ес щшф,~с·111 чсскоt' /tнух 11р<н1 :; нш11,ных
p:ЩLIOН.aJIЫ·I Ы '- ЧI JCCJI, 1\IОЖН() ПШl~'Чll 'l 1> (1:!ЦIЮ·
налы-юс ч1 ~ело , р~кпол;1г:1 ющеt·си ,,1ежду ннч11.
11 ОЭТ()\1У «C:JM< >1 '() \).'JI J Зl<.01'0» p:lltJIOH:IJ111ll ()l'O
чиС'ла I< да11 1 юм~ иррационально .чу ire с~ще­
ствует
l l ах<щнт1, тrскоторые пр11ближстr11я ква1~­
рат11ых кпрнсй нз про11зrюлыrых чнс<:.'1 р1ел11
уже дрст ше nавшюняне - 06 этом сш щетель­
ств~1от к:шrюппс11ыс та6л11<-uш. составлснrn.1с за
н~.:скuлько столс·1·111'1 щJ новой эры С1юсuб на ·
ХОЖ!(С I IИЯ 11р11блнжс111111 \ 2 ( 11 р1 IТ( )М Н