Текст
                    ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕ КТОР
Георrий Хромов
ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР
Мориом Аксен ова
ГЛАВНЫЙ ХУДОЖНИК
Е11ено Дукельскоя
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ И ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР ТОМА
Виктор Володин
НАУЧНЫЕ РЕДАКТОРЫ РАЗДЕЛОВ ТОМА
[Анатолий Савин~ Изабелла Башмакова, Владимир Болн1нский,
Николай Долбили11, Владимир Дубровский, Владимир Тихомиров


МАТЕМАТИКА
УДl< 087.5:51(031) 1ШК 22. lя2 э68 ISBN 5-94623-072-7 ('r. 11) rSBN 5-94623-001-8 I СЕS -,-N-т-ЕR-N-л-т1-о-,-л-L_c_E_-.;т_R_E_o_F_E_Du_c_л_т_1o_N_л_L_s_v-sт-E-~,-s-11e-rs-1 ••~ :иr.,, МЕЖnУ Н АРО!\Н ЫЙ UЕНТР ОБУЧЛЮШИХ СИСТЕМ 1 ЩОСI .~~f.~~:'" CENTRE PHERNAТIONЛL OES SYSTEMCS D' LDUCATION 1CISf1 ••~::0'~3" . _1v_т_н_н_Nr1_т_1_o_v_л1_E_s_z_i:_N_r_н_t_.~1_F_u_R_л_u_~_в1_1_D_11_N_a_s5_Y_s_т_E.1_1E_11z_л_s1 .__•·_•u_.~_д_:'._"_, ~ О IESCO МЕЖДУНАРОДНАЯ КА.ФЕдРА- СЕ"JЪ UNESCO/JCES "TILY.HИЧRCKO.li' И ГТРОФl!СС:ИОНА/ТЬНО.Е 06РА30МНИЕ и лодrо1 ·овт« I«ЛРОВ'· Рекол~еидовшю Ali!Ж<h111ajюд11ы/vt це1тц1ш1 иб1·чшищ11х ~11~mt'..1t (МЦОС) 11,1w.:11а)рю/юд1юй 1.;афейриi1 tt'fflЫ(J ЮНЕСКО/!IЩОС а ка11(!01·1ос· . J' 'lt'mllNU IIOCUбUЛ Сер ия «Эпц.uю&011едил dlUI дenU'l/л реКf.J.1t1е11доваиаДеппрта.меи- 1110.м обj?свпватш1ы·1ы.х 11рогрс.1.лt~r" стrшдt.1{!111(111 оfi1цего nfipr1,юr1a111rл .1111 - нистерстеа пбра10пания. l'occulrc'!<:oi1. r/>f!6e;xщu11. JI К'Oll'J91)C(' JIUЛ)'ЧU1J'Ю 1.7 -lli?:J' Юда Ш(')ЩJЩЮ,(;Л'IХ! om·,щ)11Netl/U! //fJaf{йia-f нtЩ>а:)Jсдrто диrию.мо.;11 0111 :!':J.()3.99 .1t1.11учrиий 1-1.1дame.;1ы,"Kllll ,фое-J..'111 год(1 для детей и юно~иестtш. Оргко..111и1rи:т Х1 i\1JQc-л:vвcl(Qf1 Ме Ji{·u1111ap()mюil 1>.·11и >и.11тi я/мтрл:11, l е 11ералы1ая дupe11.1{UJ1.межi>J11шр1х)пы,\1,1щж ''-7'·"' аып11аао11: 11я;.нщjхж11п­ грааили uздcrmc.nw:1;oe обr..ёд111п111/.U' //(Jafиfi,a, · 1)11ш1rнщ11 r11110.:.'.00.9R1.;с1л· t10бед11 111 Ш1Я в 1111м1гНU1{ШI «Ca11iьth •.ttaccoвый иознавате..r~ы1ый 1tро ­ ект. 1998». : ~а ptL'ljJafim пху нq) 1ч1щ~.иш11оr>11 чео·ой i\'OI ц(l:'l11 <''и 11:и11ж ·ш1шt уцl!бн111.."<: ,ШlJ'lliJ}Jlltl 'Шfl фJ'НOtlЩ11iJ/JtlЛЫltl}l Ji"IJOl/.1f/.I)/ Lli/)11)1 •• }нz/1/h.' 'lШIL'йШI rlФI rlt:mvй·· нt1 гра:ж:дена 1zpe..t1ueii ЛреJ 11 денп111 Рисси йf.:кой Фе<)еjJац~ш в (.IOЛQC11lll обра_ювтт.11 .J(I 200 1 год. Энциююпедия для детей. Т 11. М:rтсмат\'ОСJ / Гл:~в. peri.. ~6Н М . Д Аксё~-юв~l ; м.сrод. и отв (X'.n;. В. А l3оn<щи11. - М.: А.ванта+, 2003. - 6НН с.: ил. ISBN 5-Ч-·Н>25-07 2-7 (т 1 1) {:,BN 5-9 1613 -001 -8 Н '1'с)ме • Ма 1емати:~\<1• t't:рин •<:)нц111u1опс:дшJ щ1я детей• t:OJ\<::pжa-rcя сведения 1н.1 с;1м.ым раз ным раздс11ам соuреме111 юй м;11·ема1ню1 - как ш<..'Тючё 1-1111.1м в Шl(()J1 ь11ую про1·рамму. так и 13ыхо11.ящ1~ !\t з:~ сё р:~мки. ~~то и спраnоч 1юе ПО('СJбие JVl fl lLПЮЛЫ·I ИIЮВ, и популя1:тая KH llГ:I JVlfl ЧTCfl llfJ_ которую отт1чJют полн()та с<щсржаню1идскту1111 ост 1,11~i1южсн1н1 . Ав­ тnrы статей - RС/\)'lЦИс учёныс, СJnытн ыt: 1 ю11}·лир11 :1аторы и 11rх; 1 щд;1- ватели. Я ркие и красочные: 1m11 юсrр:.1 11ии. схемы. rраф11ки пробуждают ин·1уиц11ю и вообр:.tже 11 иt:. 1 1<.:стр:.~я мозаика щшмсроu, зад.1ч 11 формул сю1ан ыв:.tется в единую к:1 рт111-1 у неликонеп11оi1 , с1тюй 1юй и 11еисчерпа­ е.•юй ll:l )'KИ Матем'!тшсн. УДК 087.5:51(031) ББК 22.1я2 ~Нз;щ·1·СJ 1 1,с кий 11е1 п·р "А n.шта+" • 1111JJЯето1 11 р:1 nообл .щ.1 1слсм н:1 CТ()fl щl'­ го н11~.1111-1я Использом111 ·1с 11:щ:~11 ия 1111слом irn11 mof>nli его ч:1сти бс;1 r;1з­ ретпе111ш ~ и·щатсл1,скоrо нснтр;:~ ,.Ав:нпа +"• мсчёт 0·1·нетственнuсть R С{)()ТJ3СТС1"С\Ш С ДС:ЙСТRУIОЩНМ '! ;il<OHO/\a' l'f'Лl>Пl\0~1.
К ЧИТАТЕЛЮ Чтu даж1 матема·1·нка людям' Заче,"1 её н:ч.rчать? Когда она родИJ 1 ась и что явизюсь пр11чи1ю 1:-r t:ё 1ю1 1-1икновения? Д3лайтt; гюrоАuрим обо 11сём этом. Часто можно пrючесть, что математит<:а 1юз­ пшшаnглубокойдревностииз практиче- с к их потребностей людей. 110 поводу древ­ ности математ~шн 11иicru спорить нс будет, а вот о том, что же 11обудило тод<:>й с:ю заниматься, сущестRуt~т и друl'Ос мнение. Согласно ему, ма­ тематика , так жt как поэзия, живuш1сь , музык::~ , театр и вообще - 11скусство, б1,1 ла вызвана к жизни д у х n в н ы м J1 потреfiностям11 чело­ пека. его, быть может 11е до конца осознанным ещё, стремлением 1< познанию и красоте. В 11с-гории науки пр1111ято наз ывать первым математиком Фалеса - гречес1юго h'J'ПЦа , пу­ тешестве1шию.1 'И фшюсофа (он родился n VII в. до 11. э.). Конечно. существуют более рашше египетские н вавилонские псточrrики. содер ­ жаuще р<t::~нообразные <~рифметичс::скис и гео­ "1етрич ес кнс снеденю1. но в них 1-н:"1 · даже намЕка на доказатсльстна. Ф:Jлtсу же прнписы­ АШОТ 11ервые матема1 · нч<.;с1:<11е т с о р е м ы. Кстати, Фалес 1-1с б~.~л толысо ~ ч1.-tс1ъ1м ~ матема­ тиком, 011 реша11 ~1 прикладные эадачи. Изме­ рив тент, от е!'иnетской пирамид1)1 и тен 11 от ш еста н нримснин свои теоремы о 1101~обиrr, он ВЫЧ11СJIНЛ ИЫСU'lу 11ирамщ.1,ы . Так, по Л(Тен,щ.:. родю1ась наша наука. В 11режние времена , вnло1ъ до конца XlX сто­ летия, Ntатематнкой занималио. немногие. Сей ­ час ей IЮ('RЯЩаЮ'!'ЖИЗ!Тl1) \ССЯТl<J.1,;] IЮ:1М()Жl-Ю, 11 сот н и тысяч людей. Одних 1щол'нош~яст nрн ­ кладпой аспект математики, других - её пнуг­ решIЯЯ кра<:ота 11 гарМОilНЯ , а Тf)еТЬИХ nриnле ­ кает и то и другое. Связь матРмПИКИ и кr<кnты nO-ttonnмy пrояв11л~сь в хх в" щrдi! f\ыл11 открыть~ 11ес.Юычны~ м~ t\:MJ 1нческие обь~кты - фрд ктал~,1 . 5
К читателю Геометрия е<.ть поз нание всего суш1:~го. Платон Маrематика... выявляет порядок, симметрию и 011ре.t.еl\ённость, а это - важнейшl-'е виль~ r1рекрас­ ноrо. Аристотель В огромном саду 1 еометрии каждый 11айдет букет себе по вкусу. Лавил Гильберт Математик, который не есть отчасти поэт, не будет 11икогла подль111ным математиком. Карл Вейерштрасс Числа 11е управляют миром , 110 показывают , как управляется мир. Иоганн Вольфганг Гете Вдохновение нужнп в геометрии, как и в поэзии. Алехсанлр Сергеевич Пушкин •·Красотй? К;шая может быn, t<расота в м::пе­ мапшс? - недоумёшю с11рuс11т учс11111<, 11е пu­ люби1:1шш'1 сщ(.· ::~тuт прсдмL01·. - Искусстr.ю - совсем лру1ое дело!" И ,цейе1·ви·.1·сл~,но, нспом­ ннм шекслирояско1т> l'э млста, е1·п потрясен11е и1·рой актёра, кuторый ~н А 1 .1мыпи~с 1 111оl1 (."r·рз­ ст 1 1 так rюf(пял 11'УХ свО1'1 ло стюе1'i мечты". l I всё из -:'lа чет? Из-:1а Ге 1<убы! Что ему Гекуба. что 011 Гекубе, чтоб о ней рыл:пъ?». Мы не удивля­ емся, •по чслпnека заставляет nосхнщатися п рыдатL волшебная с1rла 11с1<усства . Но послу1 11аем рассказ Тtру1·ого чслоnе1<а, со­ време111 шка llleкc1rнpa . об 11стор 1 1н с1юс1·0 от­ крытия: «Восемь мссяцсJJ тому 11азад ПCJX:J(O .\lной fiлt'снул псрныl1 луч <:1кvга, з;1 тр 1 1 месsщ:1 ующсл }1 /\C lll"11, 1l~llIOHCJ \. coиcc:vt IJl'/PUIIO я смог увтщеть луче:iарт юе сот 11 \С". Я пох~1т11л золо-г1.1 е сосу;1ы е 1 ·иптш 1, чтобы со:щать из 1111х хр<1м мо­ е.м:у божеству вщ1.rш от 11ределов Errinтa ... Жрс- 61111 брошен . Я нншу оюю к11111)·. Прочтёто1 ли она мои,чи соnрсме1шикам1111лт1 по·1·омством - мне всё р~1нно - опа п~1 йдt'·1· своего ч11татеJШ . PaJl:JC Госпо;1ь 1)01· нс ждал 1 11 ссtъ тысяч лет со­ :J<:р1 щтеш1 С1:ю<:1·u ·1·1.юренюl? ~ . 1\то пишст это восторжен ноl' 11ш·ж11111е' 11 с1·1·0 n po11 :io111лu? П111uет нслию1l1 учё111>111, которFМ1 всю ж11·J111, характери:ювал ссбн тш1ьк<1 одним слшюм - ,\1атем:1тнк: «Ma1l1ema1ikl1" Jol1a1111es Kcplc1- .; - «Ма темэ·1·r1к Иол11111 1<е11ж:р». :~rели11(е, пред­ ставшее перед ш1м, - пе те:пралытые пrщж1ст ­ кн, а сама Rселе1шая. храпящан м11ожес11ю тайн . И однэ иэ них 11 результате тнта11нческ11х уси­ лиr1 Кеплера вдруг отr<рылэсь ему. Тс11срь 011а изнестна всему культурному мнру как трсп1l1 :~:шо11 Ке11лсра· к11:щрат отношсш 1я 1rсрнодон обраще11ия д11ух ш1:111ет ранен 1-.--у()у отношс НJ1я ; 1л 1 1н бш1 ы1111х пш 1 уоссл их орб1п. J\i!oж1ro с11ро­ <.:итп, 11торя Гамлету: «Ч то e. -. - ry ор61 пы . чтобы так 1111копа1ъ:.-·>. 011ie1 1 1аходим у 11ру1·01·0 вст 1ко1·0 мысJ 111т~щ Алuбt:рта Э1'111111тсй11а: «Ощущенне тайны - наиболее прекрасное 11з доступных н;:~м переж1 mа~п1i1. l"l мешю это чунстnо стоит у колыбели 11с'Гпmюrо нскусстnа 11 настоящс~"1 11аую1». lle H<.:t'JЧ /l.атю 11с11ытать это счасrъе. э1·от 1юстоrr 3r11тtJ1я .\111роздаrrня а страсть тяорца, но 11х 11 ро11схож;(сн1к· то Жl.', 11·1·0 у актёра , ры1 (а1ощс1'0 о Гt:кубt:: нспос1·1 LЖиJ\10е с1ю 1'1с1'тю чсловска - с1 ремж:н~1с к 1ю;~11~111ию ~1 1юсх11ще- 11иl' 1·jpмo111 1eli. Н() матсмат1 11<:1 - ::J'J'O не тnJ11>1<0 1:1дохнове- 1 11 rе т1юр 1 юв 11 nосх11ще11не тех. к·1·0 спщ·оfiс11 оце1111 ·1 ь1\,\ ДОСТНЖСШ1Н. F.:f 1 1cтopll)I \[;IПOЛtlella
. ' "_ - Cuop!!'Vll:' ft11 J s1 мJП' 'Уlапн.~ 1 фоrм~1ruвJл.1с ь 11p11'Yl('f)1tu ·IOU (1(•· 1 ТО\i У к.НdЛ в rm'Лd\ r.~.1<111ея, Кеплера , (Юйrен(",l, 1IЫ<П()К.3 , Л1:nб11<ш.1. мл оры(• с tр1!'1или сь попнчь J<1кu ны д~>1А<t:f1и1111С!бt.•от' rел А в 1846 г уже 6ла rnдdрЯ мнем,т1кЕ' fiыла nткrыта nл.1нt>т~ Н~111у11 , КО!Ор ую tllclЧdЛd ~bl Чlit.,ИЛll. d fl()T O \i об 11 <1ру>КИЛl l ilcl Гll'fk• и Т(рамат1rчсскими событнями. 1lередт<о псрnо ­ открыватсшr опереж;u1и сnоё время и нс встре­ чали rюнима11ш1 у совреме11н11кон. Так было с открьп·исм в ХГХ 1:1. нсснклидо1юЛ 1·еомt:трии - од1111м из фун11.амснталы 1ых дос1нжег1и~l 11ауки, которое стшю ос1 ю1юй 1v1я всей соврсмс1 n юй физнки; вьщающ11йся русски11 уqё 1п)rй Николай Иш111онич Лобачевский умер 11 е 11рнз 11а 1н1ым и 11еоценё111IЬL"1. Боязrн, быть пепо1шты:N1 остапо­ вила rтеро nсли1<ого Г:.~.усса, который 11е рискнул прс/\ать глас~ юсти свои ш::следо.ва11ия; гепналъ ­ ный нен1·ерский м:~тс.\1 l1°1 ·ик Янош Больяй 1ш ­ ш 11 ; ю1 рассунка от тнжёлых пережннан11й. ТL'псрь nрI1шло нремн сказать о том, что же дзла матсма· г r1к:~ ч1::1Ю1iечеству . Мно1·и<:' круп ­ не1~пш 1 е учё11 ы е (сренн них Жо:~еф Фур1.t: 11 Лll[JH Пуан~<аре) видели с.:ё гщ1ш1ую 3адачу 11 С'()f1.Сйст1ши обыгспепию :1а1<01 Юli 11р 1 ~роды . Га ­ шrлсю при11адлежат замечателы 1ы е слоRа: "вс­ л11кая юш1·а 1 1рнроды наткана я:1ыком .\1ате­ ~1атиюr». Uдох11оnс:ш-1ы ."1 сторо11ни1<ом этой к01ще11ц11и н1tilяется оли11 нз I<руnнейшнх ма- Нщ"ол.Jи Ие.~но~;и •1 Лnna• t(:IUf кии К читателю · 1·емз·1·111<01i соnреме1 нюсти - Вл:щпмир Игорс­ Rич Артюльд. Он даже как-то написал, что «,чз ­ тематика - часть физиюн. С01~ремеппая м.~тсиатиl<а сформнровал:кь прпмерно ·100 ле-1 тому наза;1 Rтру;\ах Г:.u1и11ся , Кеплера, Гюйгенса , Н1,ютuна, Jlсйб 11 и~1а , nд1 1нм 11з осно1111ых стимулов для которых было по­ стичь ЗаКОНl>I f\RllЖCHl lH П.:Л. В тrуд::tХ ЭТИХ уч ёных '11~\Тем:пнка 11фи:зн~<:а ка1< бы сливалис1, rюедт ю. Сою:1 математпкн и 11ау1< о природе припёс самые яркие плоды в начале ХХ n. Тогда родилнсь 1еория от11ос1rrелыюсrн п t<n~штовая меха1 шка. Математичсt:кие кор~-ш 01с:цнал ы-ю~'1 тео­ рии от110сительности вскрыл НЫ/\::ttuщийся немецкий J\1 u·1·см;1 '111 к Гсрма11 Мш1ковскr·1i1 , уl'та1юнин11111й сё 1 ·лубоча 1!л 1 ую свя:~ь с гсо­ мстрис i1 Лобачепского. Это стало тр11умфО.\1\ матсмати1си: чисто теоре1 · 11ческне построеIJия мзтематик;:~ 1 1е~: 1 ст111 1те11ы ю 01<а:'lалпсь язьп\ом, на 1<отором написана юrига Природы. Имена Гаусса. Gольяя r1 Лобаченского произносятся тепер1, кан: нмена героев. Квантован мсх;11111ка базировалась 11а родившемсs1 н начаJ1е ХХ 1~ . фушщиоштьном ана1шзt:, что стало ещё 011.ной победой ма ·1'ематическо1~1 на ую 1 . R н:1111с нремн м:1тем •1т11 ка 11 тсоретнческ:l}I физ11ка в1юнь пt:­ режнн~1ют 11ermo)\ интенпrвно1·0 t:блнжtн11я. О11на1<0 11р11ложе1 mн матем::1·1·111<1 1 11е- rнра 1 11-1 - чиваются 11и1111) фн:ш1юй. С Л'VШ п" со премён :?йлера п Лагранжа, мате\.1аn11\а служит ба:юй л:ля тнтжсттсртrьrх паук. Все крупные тех1ш•1е­ скне ,rщстижешш - от строительства зданий 11 мостоu до расl\репощс11ия атомной энсрпш, сверхзвуковой авнацин н косм 1 NССТ<их 1ю.11ё­ тов - были бы нснозможны бс:J м;:псмат11кн . Гер\.\с1Н М1 IHM!6( ~111~ . 7
К читателю 8 .•.Внешний мир навязывает нам своими ре<1льными фактами новые вопросы и открывает 11ам новые области математического знания И в npouecce включения этих 1ювых обласrей знания в uapcrвo чистой мысли мы часто нахолим ответы на с.тарые нере1J.Jt'нные проблемы и таким путем наилучшим образом продвигаем вnер~лсrарыетеории . На этой постоянно nовторяюwейся и сменяюшейся и гре межлу мышt1ением и опытом, мне кажется, и осно­ ваны те много•1исленные и поражаюшие аналогии и та кажушаяся nредусrановленная гармония. ко­ торые математик так часто обнаруживает в задс;~чах, методах и понятиях различных областей зн ания . Лавиd Гильберт Стрм1~ша одного 1н nерв1.о1х учеб11иков по 1.1атема тике Hd руге кпм яо~ык е - •Арифмеrи"и • /\ . Ф Маrн~шщrо 170 J r . !1отре6 1 юс1ъ рсш::1ть эти rрандио:шые задачи привела к созданию комш,ютерuв, и на наших глазах лроисходит новш1 техническая н и1-1фор­ мацнон 1 1ая революция Наше нремя - t~ериод 11ени!{а11н() 1'0 расцве-1·а математики Достwже­ rтпя ХХ века 1ю меш, 111 ей ;\1ере спnост~н1имы с результатами нсеr() преншествующеrо 11ернода её раз1щтил - отФалесадо11::1чала хх: столетня. А чнсло ещё не раскрытых тайн неисчерпаемо. Людей, для котuрых знание матем;~тикн явпяется прuфессиональ~ юй nотрсб11ос·1 ью, с каждым годом С1jнОJштся нсё больше. Но нуж­ но ли )1'./ IЛЪ м:псм;~тнке всех? Сомне111rя в не­ обход11мостн 1 1 е тOJJ 1~кu ма1е м а1 1 1 ческого, 1 1и И.. более ПJIJrOKO, 11ауч110ГО ОбраЗОНЭНИЯ UОО6- Ще время от t1ремени к~.сска ~зыn~нотся н разно - •.. Я преЖде всего хочу говорить об истине на.уч ­ ной; но вместе с тем я хочу говорить и об истине моральной, no отношенVlю к которой то, 1.\10 зовётся сnравелливостью, есть только один из видов ... я не могу отделять их, и те, которые любят олну, не могут не любить другую. Лля того чтобы найти од11у, так же как и лля того, чтобы найти другую, нужно постаратьо1 полностью освоболить душу от r1релубежления и присrрастия. нужно ло­ СТ\1\r11уть абсолютной истинности. Эти оба рода 1-1с­ ти~1ы, однажлы открытые, nриволят нас в олинако ­ вое восхишение; и та и другая, лишь только их усмотре/\и, сиs:~ют одним и тем же светом, так что нужно или вилеть их, или закрыть глаза. 1Нако1 reu, обе они и привлек ают нас, и уско/\ьзают от на с; они никогла не фиксирова11ы жестко : К<>rда кто­ ~111будь подумает, •1то достиг ~1х, - сейчас же уви­ дит, что еше нужно илти, и тот, кто стремится по­ стичь их, осуЖАён никогда не знать п окоя. Анри Пуанкаре Математика играет весь.\i1а сушествен н ую роль в формировании нашего духовного облика. Занятие математикой - полобно мифотворчеству. литера­ туре или музыке - :по Од1-1а ю H.lt.tбoлce nрис.уwих человеку областей его творческой деятел.ьности, в которой проявляется его человеческая суw11ость, стремление к интеллектуальной сфере жи":Jни, явля­ юшейся олн им из проявлений мировой гармо1111и. Герман Вейль
об раз 11ых дис1сусонхх как в России. так и за её rrреf(елами. При этом считаете}\. что обнзателп- 1-гым для всех должно быть 1 1ишь гуманитарное образование. Один известный журналист, на­ прнмср, как-то сказал: «Каким только мусором нс забивали нам 1 ·о;юf}у учителя! Что, какая часть того, чем мучюш нас учнт<.:ля и мучают теnер1, наших детей , с1·одилась нам в жизнн , для /~ела, Д.НЯ JIЮбви?". Нетру;~но ло1·ал:.11ъся, ЧТ() 11од ~м учи1тлямн ~ 0 11 подразумевVJ прежде nсего учитепе~I математики . Но нет отдельной rуманитар1юй ку11мур1.1 . Есть общечеловеческая кулы·ура, и с,rща ли не основ11ым звеном в ней являются достижен ия пауки. II свозмож1 ю рассматриnать историю человечества только как историю царей и пол­ ко ною tев, войн, рсволюцю1 и реформ , Ht' зuт­ раrивзя истории Культуры , нстuрнп Илей , высших взлётов Разума. H:i вопрuс «ддя че1·0 11 зучают математику?• замечателы ю от ветил ещё в хпr н. английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкnн: .-тот, кто не знает математики , не может ус~пать никакой другой науки и 71аже не может обнару­ жип, с1юсго невежества». Отметим и ещt: одну, особую роль мзтсма­ тики как дисцю ~; 1 ин ы, развивающей и 1rтсллск­ '1уал hн ые и творчесю.1е способности человека. Лучшего средства дня цх совершенстнона н ия пока не найдено. к с1итателю Математический язык удивитель но хоро шо приспо­ соблен АЛЯ формулировки ф изи ческих законов. Это чудесный дар, который мы не п он имаем и ко­ торого не зас.'\уживаем. Нам остается ли шь благо­ дарить за него судьбу и надеяться, что и в своих будуших исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им. Мы думаем, что сфера его при ­ менимости (хорошо это или плохо) будет неп рерыв­ но возрастать, при нося нам не только радость, 1 ю и новые rолоrюлом ные проблемы .. . . ..Вел и кий математи к rюлностью владеет всем арсе­ налом лоп устнмых приёмов мышления и, действуя подчас весьма рискован но, балансирует на самой грани допустимого. Уже одно то, с1то его безрас­ судсrво не завело его в пучину противореч ий, само по себе чудо. Трудно поверить, что дарви новский проuесс естесrвешюго отбора довел 1-1 аше мышле­ н и е до такой степен и совершенсrва , которой о но, суля no всему, обладает . Юджин Вигнер, лауреат Нобелевско/1 премии по физике Этот том <;ЭJIЦJ·1 клоnсдии для детей., призв:u 1 внести вас в таинственный и прекрасный мир математики. Хотим 11ожелать нашим ч.итате­ ;rям, чтобы они научились н е только нзвлекать 11()} 1ь:зу из заннти й математикой, но 11 носхн­ щаться сё красотой.
История математики г--- СТАРИННЫЕ СИСТЕМЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ 12 Памят1, чеповечестна не сохранила. недо1 1есла до ш~с ИJ\l(Я изобретателя 1<олеса или гончар­ ного крута. Это и нсуд11вителыто: более J О тыс. лет прошло с тех пор. ю1к .rrтодн вссрьёз завя ­ JIИсь землелслием, скотоводством и производ ­ ством простейших товаров. Назвать же имя 1·енил, нпсрныс з~щавше1·об1 вопросом "скол~­ ко7 •>, тем более неnозможнu. В каменном веке, коrда люди собнра11и плоды' ЛОНI IJJИ рыбу и охотились [ 1а жи ВО'П lblX, потреб~ юсть в счёте 1ю~i1 нrкла так же естествен ­ но, ю1к н потребность в добьrnаrши оr11я. Об этом свилстельствуют находки археологов на стояrшах первобытных людей. 1-Jапример, n 19:)7 r. в Вестонице (Моравия) на У~есте одной нз т:н<Их стоянок ш1 йден<1. волчы1 кость с 55 глубокими зарубками . Позже в других мсст~L'I. учёные 11ахо11.илн стоJlь же древние к:~ме1-111ые 1 1 редметы сточками и чёрточками~ с 1 ·рупплро­ ванr1ымп по три 1 ~ли по 1rя·1ъ. Т<tкая система записи чнсе.11 называете>~ еди1-tuчиой, та 1< как любое чнсло в 1rеИ образуется путём повторе­ ' 1ия одного з1 1 ака, симнолизирующего е;"(ини­ цу. Груш 1 ировкн и вспомогательные зна,1ки нспользуrо·тся лишь для облеrче 1 1ия восприя­ тия больших чисС'л. Едиюrч.ная система с ч исления пср1юбыт­ l1ЫХ лю11,ей, рнсоватuнх палочки на стсн;1х neщcpht нли дела1:нш1х зарубкн н::~ костях жн- 1ют11ых н нстк<lх деревьев, rrc :забыта и в наш.и /\Н.И. К::~ к узнать, на каком курсе учнтсн курсант военнш ·о училища? Сосч11тайте, сколько по ­ лосок 11аш1 1то на рукаве ero му 1 тл.ира. О l{ОЛИ­ честве самопётоu протrшника, сбитых асом n во:1дуuшых боях, говорит число звё:щочек, па­ рнсованных на фюзеляже его самолёта. llоmтучпо сч11тать предметы удобно то1да, ко 1 ·ла их не очень м1101·0. Псресчитынать же такнм образом бoJJьULиe соно/\упности с~<учно и утомнп:J1ьнu, Lюэтому 1ю:~никла иде}I объ­ t;-1,иня1ъ <::диницы н группы. Появился счёт пя­ тёрками, дес}lтками, двадщ.1тками - по коли­ чесrву nальцеu рук н но1· ~cчei·ofIOJ(:H. ИЕРОГЛИФИ Ч ЕСКАЯ СИСТЕМА ЛРЕВНИХ ЕГИПТЯН Около .3 - 2,5 тыс. лет до 1ю1юi1 эры ;~ревн11с е1·и11тяне 11р11думали свою числону10 систсму. В ней ключевые числа: 1, 10, 100 и т. д. - 11зобра­ жалис1, спе1~иальными :1нач 1<а ми - 11ерогm·1- ф:н.ш. Еги11тяне nысеюшн их щ1 сте1 tах но1ре­ балы 1ых ~<амер, m1 салнтросrнико13ым пером 1 1 а с 1ш·1·ках 1raшrpyca. Д;ш затки чнсел онн утютребюти следую­ щ:ие иероrл 11ф 1,1 : rr1~11)._ \!' :О 1() Вес остальные числ:.~ состанлял 11 с ь и з этнх ю1ю­ чсuых при помrнц11 опеrщш1 сложе1шя. IIа­ пrнмер, :запис1 . расшифровьшалась так: две тыся'-IН. трн сотни, два деснтка 11 L11 ссть единит~. l.3елищ1н<~ числа, занис;ш1-ю.1·0ни<:'рогт1ф11- ческой системе . нс :зависит от ·1·01·0, fl каком норя/11<е расrтоложены состан;тнющне с1·п :1на­ ю1. Д~1же если зап 11сать их с11р:.1к<1 11алс110, один под друпrм ю11 1 вперемешку - число от этоr 'u не н:..-1 ."1ен11тся. В рез~·льi"ате упро 1 цешнr и стнлизаций от пероrлифов поз)l.нее щювэошт1 условные зна­ ки, облегчающие письмо от рука. Они легли 13 ocrroвy так пазьmаемш·о 11ератичс<.:кого письма (от греч. « ИСратш<ОС? - •·сnяще11ны1·н). Эту с 1 1- стему :..-iaпиCJI ч11сел моЖJ-ю uбt 1ар)')1шть в более по3дн. 1tх с1 ·1шетскнх п~1 пнрусах. Уцслелн два м:1тсматнческих папируса, 11ас­ крывающис тайну древю..:египстского счёта. Один И3 11их 11азва11 <- Г1а11 1,1русом Pai1t1/1,a~, 11py- rm"i - ~москопским» (1 ю,1tpon1 ice ()6 этим 1 ·t>1ю ­ ри.·1·ся н ста·1ъе ~древшui Ег~mе'Т'»).
РИ МСКИЕ UИФРЫ Среди м н ожества нероrлиф11чесю 1х систем сч11с11е 1 пш, которые сущестrюnали n раз11ыс време 1 1а у разных пародов, только одна 1rсполь­ зуется до пrх nor. Её цифры знакомы всем, хотя им уже окОJю :г. '5 тысячедетий. Эти цифры всrреч:~ются ш1 циферблатах часов, фронтонах е1·ари1:1ных 11 современных зданий, Ш!NtяТ- Старинные системы записи чисел ~ EU.l(!J н 11 ках, е1гани1цх книг. Ну IOJllCYHO же, rсч1. идёт о р1 IMCKOIJ CI ICl'CMC C'-lHCJleпviя. Нелr.зя ска:3ать, ч~ ·о лремя совсем не косну­ лось of1111-11<a римских цифр. Еслн б ы жлтель Древнс::го Рима захотел прочитать число, обо­ значающее дату открытия ста1щ 1 щ метро «Рим­ с 1<ан·> н Москве, то 011 оказался 6hl n нснмонср­ ном затруднении. Причина R том, Ч'IО тол1,ко зн аки l, У , Х с течением нрсмепи не претерпе­ ли какнх-либо изменений . Друп 1 е же цr1фры в дрt 1 11 юсти 1 1:юбраж;u111с1, н1 ia че. Учёныс 11 rедnола1·ают, что пер1ю 11 ачwыю иерог11иф для числа 1()() имел н1 1л пучка из трёх чёрточек наnо!(обие русской б),СВЫ Ж а для числа 50 - шщ верхней ПОЛО!ШIIЮI ЭТОЙ буквы: '\V. 13 далыrсйшем nослсд11 ю'1 11ерогm1ф nостепеш ю трапсформировался n з1 rак L: '\V -7 -4 \J.J -7 .. .L --) L. А <щсло 100 ст:.1щ1 060::1нач.1·1ъ буююй С (от начальн ой букны шLтинскu1·u оюн;1 сепtшn - <.с_~го" ). Симиол ы μ,;ш ч1ке1 1 500 1·1 1OOU тdкжс про­ шт 1;v1и · 1 ·сJ1 ьнvю энолюц11ю. В 1 1ачаж: для ч 1 ru1<1 1ООО 11рименя~п 1сь значю 1 Ф, <О, 0), -h . На1rр11мср , 1 1 а титулuном листе ю-1ип1«Рассужде1 1 11е оме­ ТО!\С» нзвестrrого фра11цузскоrо математика и философа Рене ДСJ\арта , издаи ной в 16.17 r" указана дата ФРсхххv 1 1. il этой загшси наряду с уже известными п:.tм цифрам 11 l, V, Х. С исподь­ зонаны старинные римскне иероглифы. Ф = = l ООО, Р = 500. 1IришсдJНнt'1 1 м на сме н у ::111ак~1 М и О нро11:ю 1 шш uт нач:шьньrл. букн л::~т1 1н­ скнх слон 111i1Je - .;·1·ыся •1:н и der1нmille - <-ПО­ лон 1 11-1:~ ты сячи~, <· ПЯ"I ьсот». Древниt: римюr 1 1 t: ,\1or·m1 ныр:1:~1пъ од11 1 1м знаком 11 ч11сла болыJJе тыотчи. Та!\, ллл числа 1О ООО omf приме11ящ1 :тачок r.4-\ а для ч11сла l 00 0()0 - rll~ . Крайrше дужки в последнем иеро1·лнфе со nремснем сомкнулись в «арку» @, с..-1·аншую прообразом спсци;и1ьной рамоч­ ки: П. Цифра, 1 юмсщёш 1 :ш 1:1 такую рамuчку, ум 1 южаласh 11:1 НЮ UUO. Заш1съ 1Х1, т;~ю1м обра­ :юм, пpt'/J.C'I :1нлнла число 1 ООО ООО. В СрL'д11ис века эта тр:щиция лолучил;з свое­ образное продолже11 11с Для то1·0 чтобы указат1" что чJ 1 сло следует ум11ожа1ъ 11а 1ООО, сверл}' над 11 им сганш111 чёрточку. На 1 1р11 мер, за111к 1, iVv1 обозначала число 4 1()()() + 6 = 4006. К;щ ЧJ1r.~ть римские ц11фры? О111ю из правил записи римских чисел гласит: «Если боль­ шая цифра стоит перед ;\1С r rьшсй. то ош 1 скла­ дьш~1ются, CCJI H Жt MCl!Ь Ш :UI C'J 'OllT перед бOJlh­ шtй (в этом случае ме1.-1ьшан ц11фра нс мuжет [_)
l.;.f История м.:11 сматики IJOl:!'l'()J1ЯTl;(.'fl), Т() MC.:lfbltlaн 13ЫЧI!Тается И:'! 60111,- WC.:lt» кпrнмсру,Vll= '> +l+1=7;lX=1о -1= = t) 1lот.;,~у н сь э·111м нранююм. можно рассч11 - 1 ·а 1ъ. н 1.:1 ком 1оду u·1·щ)ыщ1с1> ст,шция метр о "r 11жl\a)! ·.>' МСМХ С\1 = 1()()\) + ( 1()()() - 100) + +(1()()- 1о)+') =199'>. R 11:111111 11 1111 любую 1 1::1 рr1м сю 1л цифр 3<tнрt:­ щаетсн 1:1111 1 lъ1 н:пъ в 0;11юм ч11сле бо.:~ес.: трс:.'х р.1 з ПOi\f)HJ!. R с11я.i11 с э 111 м выраженш1 \.' Ll l l, ХХХХ 11 ·1 п сч 11 тзютсн некорре1<111Ы .\.1J1 Одна­ ко дрс11111 н: р11мляr rc о nодоб1 юм оrран 1 1 че-111 11 1 н11чс.:1'0 11с nc;1a. 111 11 чпс;ю 199'5 скорее всего :за11 1 ка.t111 бы так .\Ш CCCCLX..XXXV. l 'uлпкu что .\IЫ столю 1у:шс ь с любоnыт11ь1:11 фl·но,н:11оч 11 •·общl·ствс» рнмсюrх чпссл. раз- рс.· 11111н цифрач 1шр111 1 чикам прн ~сборке-• нu- 1.l hLЛ ч11 сl"1 нс тол 1.ко складыnатъс1L, 110 11 выч 1 1 - та·1 hCH, мы 'l'C .:\\ С:!МЫ~\ Jl lllШ L'lli р11мсы1е ЧJIСЛЭ <>ННО/'() l l:i 11ажн1,1'\ \\,l'l'C\1,ITl l'I CCКIIX СВО J)СТН - е, 11 1 11<.-11 1с.· 11н ос.-111 1 1рс.:1(сгзнлс1111я Что теперь ~tе­ шает, 11 з1 1р11,1 ср. ~:11 11 кt1т 1, да·1у отк рытня <.-га11 - 1~1-rи м с-1 ро • Р11чска.и» как /'V1Y~1, 11т1 как \11)\'[), 111111 ещЕ11сr 1юлы.;11м 1 r ,"(ру 1'11\111 спосо6а~111 ;. Ес111 1 11ро<1н;1л 11 з 11ровз т1, м1южество ст:~­ ршшых 1t CO ll\)tMC I П llo!X 11адп11се(t \)ll\\CKl\~111 1~'1фраr.ш, 1о можt ю v6сд1111,ся, что авторы, cт::i­ p:t't'<.:JI 1 . 1 10СК(),\1П()!101141 КШI I C этн цнфры в ЧI кла. 11р11 ; ~с рж1 1наm кh к:1ю 1 х-то т 1 егт1 спых ттр;~т1л . Н о с.:д 111 lhl X 11 1 1t"J'1<11x 11р11нц11п ов :;1;im1c11 р11м ­ сю1х ЧJtl't:J 1 ; ~о с 11х 1юr т:ж 11 нt.: выработаrю. Су щес·1· 11у11 >· 1 1111111 п 1111 тсрссныt 11ре;(1южен11я Тш<, сопрсмс-11 111.111 :1~1 cpr11<a11 cк 11 r'1 учё ный Ст 11 - nе11 Шн а р11ма11 11рсJ ~Л~11·ает Междуна rо;\ 11ыl1 ста 1 щарт р11м(ю1х ч11сел (ISRN - T111em:.1Lioпal Stan<.tart J{o 111an NL1111 c r 41ls), в ocrro ne 1.;оторо 1 ·u ДUJIЖC.: 11 ЛСЖ:.11Ъ СIЮД H~J спец11альпо ПO,'l,Oopa11 - l lhlX 11\1 IJJ<:CTll ПpJ11ТIJI l:.tlll l в 1.1 ;>..OTllТ{.' :J< lfllll'ЫH.l 'l'b р11мсю1е 'ШCJia ··~·К, Ч 'I о()ы он 11 1ю:ш< к 1hIO COUTl.!CTCTIIOB:.tЛ ll 11ока с.:щс.: н с.: )~1·нс.:рждt 1 11ю~1 у мсжду11аrод1юму CT:ll 1/~.1р1~, '1'0 11 '- ) ·10\1 l l0\10ЖC' I llpl IВCДCllJl:IЯ :~,1~с1, ~;1бт 111:1. Ol>U~l l.\Ч.Ш IНЕ ЧПСЕЛ Pl LЧСЮ 1~11 1 Цl IФРЛ:'- IИ 1 •д111uщы / ~С'СЯ'I IOI 1 1 1() х 211 2() 'СХ ,) 111 ю ххх 4IV 1() XI. ')\ ')() L () YI ()() 1.Х 7 \111 70 LXX н \.'111 fIO r.xx:x 9lX ~ю хе COTlll f Тысяч1 1 100с1000м 2()() се 2()()() 1Y\ l\I 500 ссс ~()()() ммм !()() СО ' )(j() L) ()()() Т1С 7UO JJCC R<IO ПС:СС 1)()() см 1 ()на 11() i!IOJIЖ"I u6o:m;IЧll'I h 1 юбuс Ч11С!IО от 1 /\О ~<)<)() С11ач.1. 1:1 .1.1111111111 ic ч 11 ию ка к uб1>1 'НЮ. в ;:t~OllllЧI IOJ I C lll ll'\ll' . ~а1 с:ч :~:1я 1~11фр l 10- HЩll.X н paJpя, t.1\: 1ЫL>IЧ, lO'lt"ll. 1 !С'lЯТКОН IJ l":t11- llJIЦ, по таолr щt· 11щ1'1с:рптс соо 1 нетсгнующу10 кодоn)1О 1р\•1111у. Н.1пр1шеr>. вот 1.;:щ fiy:te-1 вы- 1шщt1'1, ч11с:ю ~i)t)<) 1'1J\l.\KMXC:lX.
О ЧЁМ МОГУТ РАССКАЗАТЬ ЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ Числительные - слова, обозначаюшис количествu или порядок предметов при счете, - появились в те 11е за памяп1ы е времена, когда числам на•1али давать назв ани я. Прислушайтесь к числительным русского языка - они могут расска1а1 ь о себе мно­ го интересного . По-вилимuму, число 4 когда -то игра ло осuбую роль . Спе1Jиалисты полdГают, что в глубокой лрРвно­ сти 01 ю служило своеобразн ым рубежом, отделяюшим числа, у которых уже имелись собствен~1ые на"Jв<111ия (олин, лва, три, четыре), от безликого и безымя~нюго м1южества чисел, скрывавш11хся пол понятием «м~ю- lic1111 же гrонадоб11·1-01 :1:mисатr. число в ript: - /\t:лax MИЛJll!O l l<I, '1'0 ДJ I Я R l .ЩСЛСНИЯ ЗН<JК()ВОЙ rруппы тыснч можно иоспольаовап.ся 1 1ад­ счюч1ю й чёрточкой или же пометит~, группу тысяч маленькой подстрочной буквоИ т , rra - 11pн:viep, 273 847 = CCLXXlll1111JCCCXl.VL1 (наrю­ мним, что т - нерван буква л:п ш 1ско1·0 CJIORa 11ullt: - <- тыаrча" ). Так тuжt: nрш-1ято былu запи­ сыва 1ь римские:: числа fl сгарш-rу. ЛРУГИЕ ИЕРОГЛИФИЧЕС КИЕ СИСТЕМЫ Кроме спrпстскоii и rшмс1сой к пероглифиче:­ скпм системам чисел опюсятся фш шкийская, nальм11рс 1<ая, критская, сиршlск:u~, 1 ·рсчесю1я :tтпIЧсская, шш Герuц и а н uна (нме1111( 1 нз сооб­ щешш J'P:.!MM;l'1 '11Ka l"<::rюд11ан;J, ЖllIOllC l'O IIO Ll - ПL .в1:1.• залаююt:нро11еt1скнс ш:тuр11ки к1н~рныс узнаш 1 о её сущестиок;u;ии). Известны также с·1 арnк~па liская , rт:1 ро111 щ11 ЙС'I<ая, ~щтекска>J r1срuглифиче:с1<11е с~1с 1 е,"1ы. В них, как и в е1 н - Старинныi:' <ист~мы {,·1 ПИ( 11 ч1кt>л ГО•. Вероятно, у наших дам•ких предков «мно1 о» обо­ знач ало любое кпличество больше чет1>1рёх. Посмот­ рите, какие окончания у сущеспsительных в сочета ­ нии с лрев11сйшими чиt.лительными: две коровы, три коровы, четыр!:' кopntJы . Но уже начиная с пяти и далее сушествителы1ы е меняют окончания: пять коров, шесть коров. Особняком в ряду числит/i'лhных rго ит и «сорок » . Оно явнп не похоже на слова, обозначаюшие назва­ ния десятков: «двалuать•, "тридuать•, " пятьдесят•. По всей ВИдИl\1\ОСПI, слово !<СО РОК» дошло ло l ldC как ПJ­ MflТb о бытовавшей в стар ину системе счисления с ос1 юв;шиС'м 40. Теперь о ней 11апоми11ает лишь рус­ ское устаревшее числи тельн ое «сорок сороков•: со­ рок сороков uерквей, с,орок со1.юков Вt"яких небылиu... 11етс1юй 11 p11мCI<(Jf1 снстем:1х, 111ю1~ятся ключе ­ вые числа, для обозначеr~ия 1юторых прпме­ rтяrотся спецшты1ыс исро 1 ·л11фы. llce О<.J.аль­ ные числа обра:~уются приттисыnа1шем с той ИЛ ! ! ннuй ("f'O/)Uflbl КЛIОЧС.ЕЮl'О ЧIKJ!:I друп1х ю 1 ючсв1.1х ч1 1с1:11 , нозможнu t' нскотuрым11 по­ вторе111tям11 Jlюnопытнu ОТМСТJПЪ, что у MIЮГIIX наро­ доnдпя C)003 1IaЧt:IJllЯ ЧllCJ1:1 1 Пр 1 1J\1СНЯЛСЯ OДIIH 11тот же с11м1юл - вертикальн:нr чёрточка. Это ClMOt /~ре 1111 ее '"1И('JIO в 11CJ пр11 1 1 ЧCJIO llC'ЧCC'l li::I. ()1ю 1юз1 11 1юю 1 1 з простоl1 ч ср'11,1 11а земле, 11з ~1арубю1 на дереве илн тюс'п1. АЛФАВИТНЫЕ СИСТЕМ Ы 1l арщ~у с 1н:ро1 J 111tj:шчсскнм11 н ;~рt:ш юст1 1 ш1 1 - роко пр11мс11ял1къ <:11сн:мh1, 1:1 юнорых ч11 01 а н:юGражаткъ бую1ам11 :1лф;ншт~1 . Имt:111 ю т;1- кой быпа 1 · речес1<ая алф~1ннтна11 нум~рац1 1 я, nrтучттmая название 1юн11чсской Ола смt:­ шша аттическую систему в IП в. ~о 11 э. в~1есте 1')
1(1 Ис-rори~ матеман1ки с хрие1·1 r<i нст1юм 1·1 т 1 с1,меrнюстыо эта нуме­ рацю1 пришла к славюrам - сначала к южным, а потом и 1( rЮСТ()ЧНЫМ . Ниже 1 1рт.ше!(ены изображения 27 бую~ сла­ uю1скоrо алфавита с их число~ыми зн3чения­ ми. ,Dщ1 обозначення чисел н~щ буквами сверху стаRr 1лся специаль11ый значок ... - титло. (Сам алф~1вJ1т здесь лредставлеп нс 1ют-юстью, 1 1 а­ пример, отсутстuуют буква Б - «бую1" 11 неко ­ торые другие .) Едиrrицы Десятки Сот1 rи ... r ~ 1G\ 10[ !00 р " ... f, 2G 20к 200 3f .)О .. л .)00 f д •' " 4 40 Л\. 400 у в .- 5 50н 500 ф .. ~ 6$ 60а 600 х 7j 70" 70() w о вй 80 ri 800 w 9 .$. 90 ... 900 ft ч С помощыо этой таблицы можно ле1·ко за­ mкатьлюбuс Цt'JIOe число 0·1· 1до999 включи­ тслыю , например: н~ Ы'rИ а '5 '5 .288 уЧй 49R Числа 100(), 200() и т. д. наши пре,~ки заnи­ сынали теми же буквами, что 1, 2, "" но слена 1шизу с1·авнл11 опознавательный з11<.ш тысяч: ). = 1ООО, "G == 2000, ". ·j'- =9000. ДесятJ<И тысяч т;u(ЖС отмеч:~т1сь первыми бук­ вами алфав11та, но уже без т11тл:.1, 11 букnы обtю­ диJшсь кружком: @=1О00(),@ =20ООО,." @ =9()ООО. Сотни 1ысяч кюбражались 1 юхо.жим обр~1 зо1v1, но кружок сюrадыва1 1 и из точек А= lUOООО, 6 =200ООО,." .О· =900ООО Наконец, ,"1ишп1uны отмеч.а.J шс 1~ кр}?Кочком ~1э чср п JЧt:h. {А}= 10()0()00,{с) =2 ООО ООО, ." ''•"" f /11 {~;~ = С) ()()() ()()(), Чнсл:-1, которые обuзн;.rч~111сh букnамл в кру­ жочках, точках н чёрточках, 11мст1 <.'11<.:циат.- 111,1~ 11<431\:.tl H·LЯ: @ - ~тьм~1,>, А - «ЛС 1'нО11о); (i•.'J - «JТеодр" ~"... Кзк бvдст Вh11·лн;~ст1, 'П 1 сло 4 210 ООО n ста­ рославя~ско1"1 нумсрац~ ш? Поскольку 4 l О" = ,,",,, ~ ,.\ ® ""~.А},2· 1О = Е,1 1О = А.следовательно, 421оouo- это~I!.в@. '• •·' Олнсаrшая выше нумсрацин rюлучюш на- зnан11е 'малое 'ШСЛО?. В 1н~й uтчётливu 11росту· 11аю·1· зачатки lЮЗШ ~HOHL-Юi"L С И СТt'МЫ , посколь­ ку ДШI ОбО::!ЮIЧСН l lЯ еДИНIЩ f1aЗllЬIX [)<!Зр}:[ДОА приме.1:1нютс51 одни и те же сим1юJ1 ы. 13 одной 1rз сла вянских ру1<011Т1Сетl XYlI в. упоминается и другая с11с1 ем2 - «болъшое ЧИСЛО». илн «IJeJHIKOe ЧИСЛО» . Наэваrшя боль ­ ш их ч rкt:..rr 11 ней строятся на основе любоnыт· I IOI'() nриёма - «ВОЗЬМИ С'ГОJ!ЬКО по СТОЛЬКО». весь м а uерояпю ::шrмспюн.:1111юrо у Архимеда Первоначально число l O'' объявлsк~тся тмюli . затем ·1 ьма тем, т. е. J U 1 ~, пшNчает наз13а1111е ле­ г1ю11: лепюп пегионов, ·г. е. ·1OJ4, получает н:.~- ® -''i - ... ~ l\ "l\ - - - . . ... ~ ", .,," Т1,м.1 Ле{'ио11 Ле"дf1 nщхш Ко:ю11а 10" 101~ 10~1 j()IH J о4')
- 'Т з\ ' ' "" <1щ ЕЖf сч11т11t1 с"' доrтJ ·гыс...члн 11 ~;ош7' npon.&~· ~CIHl)\J: 'l;lr.r~ ЦЫФ~j"l1\\ll • " .......... ' &TOf/,111 _?Gf4 'IHf~"Л • ~ •1 10 100 100-О 10.РОО 100000 JOCOOOO JOOQQ!)OO toaaooooo ) OQ0.,00-0 .000 ! ... . "~ C'l'O Tl,;CA\Lll?: • J. , , "•I TLl<A\ЧJW ·n .1CA .ljlrn ~ ·n,;r...цn; т1.:САЦl!Н " '• ("fO т1,;c-o.t1r1. rbl<R>ЦJfll• kJ t , ' тъ~r....цю. 1~. 1с.щ~ т~t C"'lf.101 • н,111 ТЛ\1/ • тprri11 ~"fAJ" · ' 'Х, \"'' ' ?С К\\1\Жl\!,1 '1\IC .rь ксr... €VfWt\!.t fU.\\CKH • Infl(rvуVI\'IIvшJXх "&lд€s3 11.о.1 А+ Х{ ,J) Сrр<1 1-11ш.1 1н pyccкuru уч1:'!1ника .1рифмf'1ики 1699 r знанислепдр; а лсuдр J1eo;~po1:J, т. е. 1 0·1н, имену­ t"Тся вup01-tu.м. Вороны обозначались букваJ"ш. обрамлён 1 тыми кружочком 11з крестиков: 1:~:·. Следующий рубеж, 1() 1 ' 1 • назып:шся 11;щюдий . На ней ~сrютыкаJ111сь», и счёт окончательно пре­ рывался ~ ~...и более cero несrь '-lеловеческому уму разумевати». Колода обозначалась так: Д. Похожие снстеJ.11ы счислснщ1, в которых букnы алфавита по совместительству юодра ­ батьшашr» цифрами , использок:шись в <..~1·ари ­ ну у :~рабов, еврее.в, гrуэин, армян . С'..лавянская нумерация просущестковала /\0 конца XVll столеп~я. rюка :вм<.:сте с реформа­ i\Н1 Петра Т в Россию из Европы нt пришла по ­ з и1 ~ионная лесятичная система счислсJ-1ин, ко­ торой мы поm,зуемся и сейчас. ШЕСТИЛЕСЯТЕРИЧНАЯ (ВАВИЛОНСКАЯ) СИСТЕМА Записи чисел в алфавитной нумс:рацни полу­ ч:\ются более короткими, чем в иероглифиче­ ской . Но и у той и у другой сист·tмы представ­ леr tия чисе.~1 есrь один весьма сущесгве111 1 ый неrюс-1·ато1<: арифмtтические дейстL1ия над та ­ кими ч11с!lами - занятие кесьма трудоёмкое. Этого неудобства нет у no3uцuo1mыx систем. Старинные системы записи чисел Идея nрипи:сьrnать цифрам разные вСJшч1111ы в ~ависи:мости от того, какую поз1щию они за­ нимают к ~аписи ч11сла . впервые поя.вилась в Ш ты ся челетии ;ю 11. э н Месопотамни (Между­ речье) у дрснне 1 ·0 талантли1юго наро~~1 - шуме­ ров. От 1 1их она 11ерешла к наr~илонянам - 110- вым хозяенам Мсж;..1,уречья, rючсму и 1юu 1 ла в ИСТ(}f)ИЮ как навилонска)f система счисления . До t1зс дошли сотни тыся.ч обожжёпных глиняных таб.rrич-ек с письме11ами древних вавило1 тн. Простейшими цифрами в их систе­ ме служили два знака : вертикальный K.flИLJ Т для обозначения 1 11 rорнзо11тальны 11 клин ( - ДJlЯ. l О. LJ ис; 1 а от 1 до '59 :з~111 нсы.н:urись с помощью этих ;~вух знаков, как н обыч~-юй иеро1'.l 1ифн­ ческой си стеме · rr=2,<:т = 11,<<< =30. Число 60 спона обозначалось тем же знач­ ком. '-lто и 1, т е. т . Таким же образом записы­ вались и все другие стеле1:и 60: :S6<IO = 60!, 216 О()()=6U~и т.д. На этих примерах видно, как R вавилонской системе прелстанляли раJлич 1 1ыс числ::~ : т<: п <«ТП« 72=1 •6()+12, 20()() = 33 ()() + 20. Однако из-за отсугствия нуля эта система за­ nи.сн была не()днозна41ю.й. 11 зависимости от контекста одпа 11 та же запас r , могла о:зна- чатъ ч11сло 72, илн 4 320 = 1 6<i+l2 (>0 1 , или11/., = 1 60°+12 601ит.д. Шестилссят<.:ричная снстема. широ­ ко 11рименЯJ 1 ась н астрономическн.х расчётах вплоть ло эпохи Возрождс­ н ия. Им:енно ею 1юльзовался во 11 н. 1 ·р~ческ 1-1 й матсма·1·1 1 к и аt"r·роном t(JJ нии таблицы синусов, 7\ре1шеи- t'J ~ ~ шей ИЗ [(ОШедuшх ДО нас. { . _ Кла 1щий Пт011емей при состав~е~ Г. ~."/М ...,.-= 1-..1 ......" . . -,.. ,_,,__ 17
~ а'"'{Ю Исrор~1я матема 1ики IH СЧЁТ И UИФРЫ ИНЛЕЙUЕВ МАЙЯ Индеl1сю1й 11арод маf1я. обнтающий иа т~:ррн­ т<>р1111 ЦентрЗJJьной Лмср11ю1, в т~ ачалс:: 1ю1юii эры прсдставтrл числа примерно так, как и древннt шумсры. Майя 11зобре.rтн похожую чt1 - слоную систему, по с 11рул1мн ос1 юва1-~11Яl\П:1 - шпсрич110-д13адцатср11ч1тую Лростсnшнr-1и цпфрами у н11х были чёрточки и точки, ко·1·0 - рым11 за111·1СЫf\аJ111с" ч11сла от 1 до 19. Точкам11 они обознач:шн сю11шцы пт 1 /{О 4 . чёрточ- 1ю(1 - ') К примеру, зa11irc 1, .:..:.:. пзнач~~ж1 число R, а· ··· - ч11010 19. Осr-юп11ую рот. 13 с11ст<:ме майя 11rрала «ис­ кажётша>J ·> двал1 ~атер11ч11аи с1к'Iема сч1 1 слс11шr. !:ели ва1шлонскан снстема ос1юn~ш:~ 11а разт 1ч- 11ых сп:11е 11ях числа 60, то\' майя так11мп ю110- чеnым1 1 ЧИCJl;\MII BЫCTYП<IJl;I 20. 18 20, li::i . 20! , 1 1 . • 18 2() ,18·20 ит.лПризаписr1числацифры- кир1111 ч11кн :~а1111сывал 11 сь 0J111 a 1юд друr' ой, ИЗ ИСТОРИ И UИФР Время изменило внешний облик uифр. Если в Xl l в. uифры огубар», п рименявшиеся о мавританских госу­ дарсrвах, им~ли следуюший вид: 2 345 7 89о G18?о то уже в 1480 г. в книге «Зеркало Вселенной~ аиrли­ чанина Каксто~1а 01-iи изображаются rак: 1z3 И лишь в 1 'J22 r. в книrе итальянuа Тонпалля рни принимают более-менее современныи вид: I'L)f)с7g о Л1Обопыт110, что в Индии uифры тоже видоизме­ нились и к 11ачалу ХХ в. выглядели так: 1-~~8-Ч(б т { о Начиная с XVl в., кuгла в Европ~ уже бь1ло развито книптечатание, многие хуложн11ки работали над со­ зданием раз~юобразных типографских шрифтов, 1·1а.д формой букв и uифр. Они старались придать им при­ ятный лл11 глаза вид. Но история ш1фр на этом не кон- r1р11чt;м ст:.~рше1'1 ян1 1н11ас1-> н~рхннн 1т.11фр<1. 1la- .: ..:. .: .: щ111мt:р, 3а11нсь :· · в с 11 стсмс майя 11рсдстан - - - л.ялачислоl9 JlL20-t- 13 Ш+11=7111 (IЮNН:: рю1у1ы КJIЮЧСНЫС Ч11СЖt) /l,llя обоз 1тачс1шл11ую1 мшЪ1 11 р1rмен>1Jш з11 :.ш, 11;шом11пающий полуз~Н<рытый глаз: <Ш>. Так. :~arnкh <Ы> 1-11,rражала число 2 · 20 + О = 40 ПОЗИUИОННАЯ ЛЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА Дрсш 1еС1111ая НЗRСС'1 '11'1 Я :3а1 1и сь в IЮЗНЦl!ОIПIОЙ /(еся·1 1 1ЧJюl1 системе обнаружеIIа u И11д1111 11 датируется ')()') r. ПояnлснJJе хорошо з11;~комо­ rо нам пуш1 было подготовлено системамн CЧILCJIClllIЯ , l rзд~шна Пp!u\.fCHЯJШЛI.iVIJICЯ rrc толь ­ ко в И.1:-щи11 , ~ю 11 н Дрешrем К11тае. 11 :-э111х <:та - чае rся . Например, совсем 11еда1.:111 0 в ряде Cl ра11 стали ислоль:ю~ать такую .1.~nись: Чем ·ни uифры лучше обычных? А 'Тем, •1то у четных Llифр ~хвостики " идут вверх, а у неч ётных - вниз. Теперь труднее спутать, скажем. 2 и 5 . Прс:шда, это нововведРние широко не привило с1,. А вот начерта­ ние uифр, которое знакомо кажлому · о123чs6l8g ·)Ти uифры можно видеть на микрокалькулятора х и ручных ·)Лектронных часах. С nомошью ~1аЬора из семи отрезкоо улаётся досrаточ110 « узнаваемо » изобра-~и 1ь кажду10 И3 леопи uифр. [ше одно и ·юбражение uифр, связанное с потреб- 1юстями техники, можно 11а1.1п1 на обороте почтово ­ го ко11верта: о127чs6rв9 Здесь в написании uифр участвуют уже девять от­ rезков . Uифрь1 прсдна'.\на•1 ены лля электронной ма­ шины, сортируюшей коррс с по1 1 де11uию . Жирные черто•1к11 Нdд и11дск сом 11а ко11вертс 11уж11ь1 лля того, ч гuбы машинс1 tмor ла ~очно настроюьr.я на наткан­ ный vтправителем индекс:
р111111ых сие~ емах для ;~ан иен одшта1со1ю 1 ·0 числа сд1ш1щ. десяпшв, сотсп wш тысяч 11с­ пользовались одrrи и те же сI1мnолы, по до­ ттол1mтслы то rюме<-1алос1,, n каком раэря/1,е 01111 стuят. Гlостсn<:нно Ja ,'v1t'т1ш11, ч'1·u даже ecm1 нс указынать 11м е на р:.~зрндов, то ч11сло всf rdюю можно nро1111тать, так как у каж;~о 1 ·0 разря;tа есть своё о~юсщочтюс мсс1·0" - пuз1 ·1- 1t11я . А есл11 поэ1щ11я пуста», то t:ё нужно поме- 1·1гrъ спец~ 1ал ыi ы м з1 1::1 чком - нуJ 1ём. R 11ОС$/1,НИХ nаnт~ло11сю1х текстах с тал 1ю.нв.тшться такой з нак, однако н кохще чrкла его 111шоrда не ста- 1шщ1. Лишь n ИпJ(иr1 в lX в . нуль окончателы-ю l:т.:1ри1-111ыс <. 11<. темы з;:щнсн чи<.l:'Л ,Аь. 8'.i(!J ;~а ш1J1 оюt: место 1~ нумер;щ1111, котор:н1 рас11ро­ стр:11шлас 1 , зан:·м гю nсел1у миру. И11дийская 11} мер;щия прJ1111ла crrз чала в арабс1<ие страны, а затем и в :~ападную Европу. О не11 подробно рассказал среднеазиатс101й ма­ тематик алъ-Хорсзми. Простые н удобныl' пра­ вил:_~ слож<:нш1 11выч11тан11л скот, уго,11но боль ­ JJ 1их ЧJ,н.:с.:л , З;.1 1 rисанны.х н 1юз11цишn юй с 1 1с1:ем<:. сделали её особ<.:нно 1юпут1рной. А .поскuл1>ку труд <uн,-Хорезми был написан на общем дю1 мусулыv1аn скm·о мира }J:'!ыкс.:: - ар~16ском. то ;3а инднйстюй 11умера~т;пей н Еврппс ::1акре11ш10с1, 1tеnрашшыrое 11 а:1в::шш~ - «арабск<1.н ».
20 Истприя математики МАТЕМАТИКА ЛРЕВНЕГО ВОСТОКА ЛРЕВНИЙ ЕГИПЕТ CaNiыe ранние математические тексты, извест- 11ые в наши ДJ 1и, оставили ~ве великие циви­ .rtизации древности - Еп-mет и Месопотамия, или Междуречье. l1ме11но там появились лер­ ныс матсмат.иqескне задачи, решения которых требовала rюнседненная ж11знь. Нсдь ненозмож­ но без расчётон построи1ъ зд~u-~ие, будь то ве­ л ичестве1111ы:й дворец или простой сю1ад дл.я зерна. И как гюделнть землю между родствен- 1111 кам и." прибыт, между торговцами , 11айт1-1 праnильн1,1й путь n пустын е и;ш н морс, ео1и вы не знакомы с прапилами счёта? Несколы<о тысячелетнй кул~,тура Египта развивалась бса каких бы то ни было внешних nлияний, и именно 3ТИМ обънсниетсн сё само­ бытrюсть. ~'pouer rь дpenr rсегилетской математи­ ки был дшюлыю Rысок. Дреннис греки, до ­ стижения которых лежат н основе сонрсмсн ной нзуки, считали себя ученика мн египтин. Вот как нисал об этом в V в. дон. э. знаменитый грече­ ский историк Геродот: ~,оп и [е1·иnстские жрецы] говорили, <tто 11арь разf\ели11 землю между nсемн епштянамн , ,п;ав каждому по раГ11юму прямоуt ·ол ьr-юму участку: из этого 011 со:щал себе Д()ходы, np1 rказан еже­ го11по н1юс11ть налог. Есю1 же от какоrо-н 11 будь 11адела река отнимала что-11нбудь, то владелец, приходя к r(арю, сообщал о rтроисшедшем. Царr, же посылал людей , которыедоЛЖJ-JЫ был~~ осмо­ треть учасl'Ок зсм1 1и и 11змсрнт1, , 11а скот,ко он ст~щ мены11е, чтобы вл;щелец н1 юсю 1 с остан- 111сйся 111ющз/(И н:тог, про11ор1\иО1i.:-lJ1ы 1 ый усrа­ новлснному. Мне кажется . ч1-о так и fiылз и зоб­ ретена rеоме-1 рия , кu·1-орая :.~атем из Египта бьта перевесе~ 1 а n Элл:щу» . ПЕРВЫЕ УЧЕБНИКИ Общсствсrшос устройство Древнего Епшта н:с менялось н течс1:шс дuт ·ого времени. Сохра­ ннл ись без нзменен11й и 11аучныt :ш:н-11ш, JЮ ­ этому сс rоднн учёным O' - it'Ht.> трудно точно определить /t<ITY TOl' O или ИHOl 'LI O'ГKpnlTliЯ. К тому же исто чников. no которым можно су­ ди1ъ об уровне м атема·л1чсских ~iна11ий 1tрев-
ннх с:ги1 1 тян, со нсс:м rieмнo r·o. Назовём са м ые и:щестпые пз н их. Во -первьlJ{, это nanиpyc Райщщ, назnа~-шьн1 так по 1Lvre1 ш своего первого ВJщдсльuа. Он был 11аiще11 в J858 г.. расш11фронап н нздан 13 1870 J'. Ру1<оn 1 кь пре)].ставляла собой узкую (3.3 см) н Jl.JIИH I JYIO (5,25 м:) rюлосу п::~ 1 1ируса , <.:Оде ржа­ щую H·I :{ад<1чи. Теперь одна часть п:1 пнруса хран11тся 1:1 Британско м музее п Лонлоне , а дру1'ая 11ахою 1·1·сн н Ныn-йпркс. Ro-Rтnpыx, так назыиаемый Москоrккий na1111pyc - e rn n декабрt.:: 1888 г. приобрёл в JJyкcope русткий египтолог Владимир Семё1ю - 1111ч Голсн111цсв. Сейч~с папирус при надлежат l'осу;щрствею-юму музею изобразитс.rть ных ис­ ку<.:ств имени А. С. П ушкина . Этот с:виток wrи­ нoi1 5..+4 ми rпирююй 8 см вклю ч ает 25 задач. Пщ Ptl J,~ 11олс 1 1(• 10"' кол~1че<. 1в..~ н.•рн,J Eri..1111. •1 tt<t1H п ,,тул·ка Околfl 2040- 171\'i п· дон ' М<П~матика Лревнеrо Восток;) И н~шопец, •Кожаный сnиток егип етской математики», с болъшнм трудо м распрямлён­ пый в 1927 г и во мноl'Ом проливший свет на арифметические знан11я егиr~тян. Ны11е он хра1.1 ится в Брнта 11 ском музее. Эти рукош 1 с11 относнтся к эпохе Срсдне1'0 1 \Ц>ства (XX-X\ТII вн. ло н . э.) . Московский па ­ пирус б~.111 п среtшсаr 1 11 ею·1м учепиком между 1800 н 1600 1·с. до 11. э. с более древнего текста. примерно 1900 r. до 1t. э. А п апирус Райнда пе­ рсшrсал писец Л.,'{мсс около 1650 r. до н. э. Автор ори г инала 11еизRестсн, устано влено лишь, ч·~·о тскс 1· созд~1нался во второй по1юn11 - пе XlX н. дон . э . ~кож:.~.ный <.:В иток? датирует<.:я XlX-XVlll вв. до н.:::) Пnдобн ые пап11русы, 1 ю-пн;(имому, служ11л 1 J сное гп рnда учеtlник:1 м 11 . КаТ< СJ{а::тю в руrюпи­ си Ахмсса, ока nосвюцена <-сонсрrненному н ос1-юн;пелы юму исСJrедощнтю() всех ве111ей, 1ю- 11им ани.ю их су~цr-юс1·и, шхн-1анню их тайн". Так в ы соко ценились в те далёк.1е nремена мате.ма ­ ·rнческис знания! 13 папирусах есть зад~1 чи на вы числение - образцы выпош1с 1 1ю1 арифмети ­ ческих опера ций, задас~и щ1 раздел имущества. ш1 нахождение объёма амбара или корзины, площади поля и т. д. Длs~ ко1'0 же nредна~тач.а ­ лнсь такие учебники? Папирус Ра.йн/{а з:1канч1ш:tстся такнм 11 сло­ н:1ми: •Ло 11 и r·мов, мы 111 ет\ иы r 1а.11ыва1I <.:орныс траны зэсnежо; ПOJfyчaf1 обнлы1ую пряжу. П ро- 01 у бт·а Ра ·1·епла, ветра 11 высо1<0'1 rю;{111". По­ э·сому 11 екоторые 1ксле~о11атсm 1 реш11л11, что свиток адресован зе.чледел~,цам. Однако м 1 ю- 1нс из содсржащпхсн в 11ём задач i\OIICC нс11)'Ж­ r 1ъ1 крсстьшmну. l3 с~·рапе фараоноn была особал 1'р:тпа 111Uдer'1, которой требов<111.ись 11одобные :5H3III 1 Н , - ЭТО lllK I \1.1 . Пнс< .:ц - /~OJJЖ­ H OCTh отвстстненн<1л и uесьма лривилс1 ·нро­ н;1ннам . Он обнзан был 06J1;щ~r1ъ са ."1ьш11 разно­ uбрззными ма·1 ·с:::м:.п11чесю1i"111 1 rаны1<ам1 1 , чтобы 11сэ труда рз:-1рсш11· 1·ь любую з:тачу. МЕТОЛЫ ВЫЧИСЛЕН И Й Вес пран11ла cчi..~:.t дрснптLх египтян щ:новыва­ лн<.ъ на умс:нш 1 скла/1,ы и~пъ 11 иыч 1 1·1 ·ать, удва - 11 Rать числа н ДО I ЮJJЮПЪ J(pun 11 / \U е')\ИНl l ЦЫ. Умножение [1;\с1 1 еннс: сною 1л11 к сложе1111ю 11рк по....ющ1 1 acoбolr опера11111 1 - мно1·ократ­ Е1ОГО удвоения ю11-1 раад 1юе11ня ч11сс.r1. Вы1 ·11н ­ дt:Лп т:~кис р::к·qёты ;щnол1.но громозл.J<О. 2l
22 История м;пем;з тики 1n1 \1 ~ - l 'МI! --- . 11 ~р .JlfJI 1 "\ р , ~ Er11neтcкft e 11'1фры " ч 11ела . Дш1 лробей были с11еппалы U> te обоз~ 1 ачсп ия. Е1'иnтm 1е использоnали дроби вида 1/н, где п - натуральное ч нсло. Такие л;роби наз ьшаются ал.иквотиы.лш. Едипствепная неалиюютпая л;робь, 1сото рую « признав;ши» египетские ма­ тематики, - это 2/:,. Иног)"(а вместо дсле:ння 1 т : п производили у~vшожспие т · - . Дпя этого п. прим<:: •iЯли специ~\ю,ные таблицы . Haf(o ска- з:пъ, что нейств11}1 с дrюбям и состанлнди uсо­ бе1-1 нос1ъ е~·ипстской арифметики, 1:1 которой самые rrростые 11ычис; 1 еrrия порой пf)еL1ращ::J.­ лис r, R сложt1ые задаl..fи. Сравнительно rтебольuюй круг задач в еги­ петских папирусах сводится к решению лро­ стейших уравнений с одним неизвестным, н.а ­ nример 33-я задача из шшируса Рай11да: « lleкoe колнчество, ei·o 2/3, с.1·0 l /2 и eJ 'O J /7, сложен- 1 1 1 ,тс нмс:о·е , 11.ают ~7 . Какоrю э· 1 ·0 1шm1честАо?•>. Ответ 1(> .:/.1~ ззш1снr n эщ11<1ютн1.1хдробях: 1 1 1 16+-+ - - +--. 56 679 776 П рн решении подоб11ых ]адач мя 11е11зnест­ н о1 ·0 IICI IOJIKIORaJlll CllCЦH:IЛhl-tЫil 11ер01'11Иф со :! f !~I ЧСНИ<.:М QKy•t:!». В 3;(Д~Ч'1Х nro ~K}'' t y», rкша-
CMhlX t.:JJ,ИНЫ.М Mlvl'OДOM, можнu усмотрt:1 ъ 3~1 - Ч:!'l'КН :1111·сбры к;.~к н~ую1 об ур; 111нсн11н х. R t'J 1tnt: 1 ·cю1x11 :ш11русах 1:1стрtчаются ·1акжt.: ~~а;1ач1 ·1 на :1р11фмстическую t1 J 't.;ОL\1t.:трнчсскую rrро1т>есси11. что ещё раз nодчёркинаст 11е · юль­ ко пр::11<тическrп1, 1ю11теореrпчесю1i1 характеr μperшci'1 матема1'ики. ГЕОМЕТРИЯ СТРАНЫ ПИРАМИД Пораз11тслыю, 1ю 11 рн дово11ънu 11р11м н· 1·т 1ннuй. 11 громоз1 1ко1'1 арнфмстнке е1·111rтянt: с:мш·1111 HUOllTl>CH :Ш;./ЧИТt!JЪНЫХ услtХОВ R l'еОМСТрНИ. Онн умсл11точ1ю11аходн1· ь 111юп\:ц1ь 1юля пря­ "юутлы ю~1. треу 1'01 1ы юй и · 1 ·рапе:цневнд1 юй формы. Известпо, что в серслине 1 тысячелетия до 11. э. для постросrнш прямого уг.r1а сrпптяне tю1uльзоваJн 1 вtрёвку, раздслёнпую уалаr-ш тrа 12 p:tBllhL'{ ч:.~стс.;й Ко1щы всрёвки связьш11ш н з:псм натн1·1шали t:ё на трн кuлыwка. ~ели сто­ роны 0111осились как.). "1: S, 10 гюлучала1 пря­ моутльный ч1еуголы-111к и это - едшrс:твсн­ НЫJI прямоуголы1ый треу1 uльн11к, 1ю·1орь11-1 3н~1!1и uДрl:Rнсм Епште. Е папирусах не1 :задач, как -т1fi() связютт11 ,1 х с теоремоil Пифа1·()ра , Х()'!'Я Д() расшнфроuки .математических текстон существовало мнение, что древние сги11·1.шrе были с 11сй знакомы. Важным дос1·1~же1шс:м 1·еом.стрич.еской на ­ ую1 t'1·1штян былu оче 1 rъ хuрошсе пр11ближс­ ю1t: числа тт, которое rюлучаетсн из формулhl юш площа;\11 кру1·а дна метра tl: 5 = (d-icli=(l- i)2d 2 • Этомуправплу из SО- й змачи папируса Райнла ссютветствуп значение тт = .. .J .(8/9) z "" 3,160<:/. Однако каким образом сrю 1тяпе получали саму формулу, rп ко1-rтекс1·а псяс~ ю. Матем ,н ика Лревнt:>1 о Востока ~ S!JШ :-;;:---; :-~·~··' ~~~ ~- -- - -~ -~_- ~- -~ ~··_-::.: . -~ ... "~ .... - ~----- ~1 В Московском п'1.пирусе еnъ ещё ощта 1 11tте ­ ресная :Jадача: вычисляется поnерхност1, кор­ зи111>1 «С отверстием 4 1 /J» · Исследователи толку ют сё по -рю1 юму. поскольку n текс1·с 11с укаэа~ ю. какuй формы бьuш 1<орз11на. llо nce схu,цятся ~ю м1Jсн111-1 , что 11 ::1/\lТь ;1,.11н чнсл:1 л nерёто1 ·1·u Жl' самое nрнближённuс :тачс11ис "-l(R/9)~. Замс­ п1м , что 1ш Rcё .V! Древнем Востокl' пr)lj 111,11111 - слсн~щх нсnоль'юRаJ ЮСh .~н.t•1с11~н:: тt = .~ Цаж<.: в Библии есть ука3ание 11а 11с1'0 Так что R этом OTll()ШeJllJИ CГИll 'l'ЯJJC 11ам1101 () опсредш111 11ру- 1·ие 11арщ1ы. Среди простра11стпенных тел самым (< еr11- пстским» ~южпо считаn, нирамит, ведь имен ­ но такую форму имеют :щ:.~мен11тыс усшrат, ницы фараuнuн. Так нот. сжазываl"t'СJI. кроме объёмон куба , r1араллелс 11 1нrеда . r1р11змы 11 ЦИJIННдра e1·1111ТHll<: ум<.:ли l:IЫЧllCЛ>ITb объём усечённоi1 1трам1щы, н оснокн111ях которой лежат ква~ра·11,1 со сторо11ам11 п. ~1 h , :~ нысо·1 ·~1 ран11а h. От 1 11r11 .'ll1снял11 формулу \f ::((/~+C/h+f')L)fl 3 23
История математики О ФОРМУЛЕ П ЛОШАЛИ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА В папирусе Райнла приводится такое правило для вычисления площади произвольного четырех­ угольн ика ; полу сумму лли 1-1 двух противоположных сторон ч еты ­ рехугольника умножить на полу ­ сумму длин двух других сторон. Разумеется, оно пояснял1>сь на примере, а не с помошью фор­ мулы, как на рис. 1 . Но это правило невер1-ю! Лаже для парамелограмма оно не дает игтинного значения п лощади. Ведь если изготовить шарнирный пря ­ моугольн~1к (рис. 2), а затем сжать его так, чтобы uн превратился в КАК МОГЛО ПОЯВИТЬСЯ ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕН И Е ЧИСЛА п Чтобы понять, каким обра·юм древ­ ниt! учёные получили тот или иной результат, нужно постараться пред­ ставить себя на их мсL те, т. е. по­ пытаться реши ть поставленную :1а ­ лачу, исполь•уя только знания и приемы вычислений того времени. Именно так поступают иссле1юва­ тели стариttных тек( тов. однако решения , которые им удается найти, вовсе не обя зательно не самые». ОчР.нь часто д/\Я одной задачи премагается несколько воз­ можных вариа н тов решеt 1ия - реконструкuии. Каждый внравЕ:' от­ дать прелпоспение оыюму из спо­ собов, 1ю 1111кто 11с может утверж­ дать, что име1 lllO им ~1 ПОЛЬ3\)IЫЛИСЬ в лрев11ости. По поводу формулы пло шали круга HJM кажется весьма правдо­ подоG1-юй гипотеза автора много­ чиLЛенных кни1 1ю истории мате­ матики А . Е. Раик; плошадь круга диаме гра cf Lpa вн11вается с пло- параллелограмм, то длины сторон не изменsпся, а плошаль умень ­ шитсs1. Вообше, для любого четы­ рёхугольника со стороt1амиа, Ь, с, d имеет место неравенство Рис. 1. s.;: а+с b+d 2 2 S=fJ...±. .f . .b+d 2 2 с шалью описан1юго вокруг него квадрата, из которого по очерели удаляются малые квадраты со сто- 1 1 ронами бd и gd. cf (/ В наших обозt1аче11иях вычис­ ления булут выглядеть так. Н пер­ вом приближении площадь круга 5 равна разности между плошалью квадрата со стороной d и суммар­ ной плошалью четырt:'х малых к1:1ал- 1 ратов А со стороной 6d: В равенство оно преврашается тол1,ко дЛЯ прямоугольника. Иначе гuворя, еrи11етское правило с11 ра­ велливо \и то не точно, а лишь приближенно), когда четырехуголь- 1-1 и к мало отличается от прямо ­ уголы-~ика. По-виы1мому, имен110 такую форму имело большинство земельных участков египтян, и лля 1-1их ошибка, заключённая в :пом оравиле, была нсзначителы-~а. Лалее 1н получе1111ой олошали нужно вычесть nл1)шаль вщ ьми l квадратов В со стороной 9 cf , и тогда nлошадь круга будет при­ ближен1ю рав11а LЛедуюшему 1:1ы­ раж е нию: -~[1-~)dl =[1-~yd2• В польз у излuжен~юи здесь ги­ потезы свидетельствуют аналогич­ ные вычисления в однои из 1алач Московског о папируса , где пред ­ лага1::тс~ <..осчит..~ть (1-~)-~(1-_! _)' 999
Эта формула считается высшим 11остиже1 т ем дреш-rеегнпетс 1юй математики. Подnедём итог. Математика в Дреnне.~1 Епш­ тс представляла собой совокупность знаний, между которыми ещё нс существовало четких МЕЖЛУРЕЧЬЕ Первые очаги кулътуры Дреянсй Месппотами11 (Междуре'!Ъя) 1юз11икли на берегу Персидско­ го залива. Именно здесь, в дельте Тигра а Ев­ фрата, 13 IV тысячелетии дон. э. жилп шумеры; они построили города Ур, Урук (под НJvн:щ·м Эрtх он угю мнн.~стся н Бибюн1). Л~11'а111 и Ларс<t. Севернее жили сеNшты-аккадцы, гщ11:1ны м ro- [IO/\OM которых был Аккад. Ужt> в серещ. 11-1с IV ·1ъкя чслетия лu н. ~. н Шумере сущес-1·tю1~апа nисьме1 п юст1 .. Мзтери­ алом !(ЛЯ пио,ма вначале служили каме1-н-1 ые н гmшшrые плитки. На ШIХ острым предметом вьщараnывали надписи. Затем писать стали на сырой глине бамбуковыми 11ли костяными па­ лочками, после чего плитку высуrm1щmи или обжигали При надавлннанrш палочка остав­ ш111а на 1·1niнe след в R1-ще ю1ин::1, и онредсJiён- 1-1ый набоr Т<.lКИХ КJIИJ-JЪCB служил для перС/\:1- ЧJJ того 11ЛН нноrо ПОНЯТ:ILЯ . ло.1 nш u~ llt'flCl l Иlbl!l•IКll ддНЬ ИJ IJX8d' ll:HHUI u ( СЛ('НЩI. Р(!льеф д~l•pu.1 r111 1d~<'pИf>,1 ~ f IИI Н'Ш1" Vll lj Д(I 11 э Матем.:пика Лревнеrо Востока ~ c:tl~ 1-ран1щ. Э10 были правила для реше11ня 1<()11 крстных задач, имеnших практическое значе­ ние. И лишь постепенно, o(ie1 11, и о ч е llь медлен­ но, задачи начади обобщаться и приобретап, более абстрактны~:: черты . Во II тысн челе-1 и11 ;~о 11. ::>. rюnые племена семитпв. пришедшие с занада, стали хозяева­ ми Междуречья. 31\СС~. сложилио, две мощные державы - Ассирия на севере (сё стол ицей была Н1·1нен~н1) и Ван1шония на ю1·с (с1·олиц<1 Ванилон) . Шумер()<Jккадское письмо 61,uю ::!а­ имсттюнано ванило1-1янам11 и ассир11йцамн, а также соседнпми народами - ХL'1там11 , перса­ ми н урарту (1rрею<амн армя11). JlOLЛC арХСШЮГНЧССКИХ ИЗЫСКаl 111Й 1-1 серею1- 11е X I X в. КЛИIЮПИСllЫС ГЛИILЯIIЫ<С табллчки в огромных колнчестnах стали пос1упат1, в Енро­ пу. Так, в 1849- 1850 rr. 13 развалинах l l и~1евии обнаружили дворцовую бибm10тску, а в 18Я г открыли 61 16J11ЮТСК)-' Ашmурбанип:vщ ассирий ­ ского царя, ~rраrшвшего в \ГН в. до н . э.13 Британ­ ском музее (J l oi щон) храннтсн 2U тыс. таблнчt:к н :{ этих раскопок Все1 ·0 же в 111ире насчнтынJ­ ется ()КОЛО '500 тыс. ю1111-ютк1-1111х табличек КАК ВОЗНИКЛА ШЕСТИЛЕСЯТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Шестилесятеричная система счислениs~, rю-вилим(}­ му, сложилась п ри торговых сделках между двумя древ1iими народами Месопотамии - шумерами и аккалuами. У шумеров «де~tсж11ои сди11иuей » с11у­ жим мина - кучка серебра. Это была круп н аs~ сумма, и при продаже 11едорогих товаров ее обыч ­ нu де11и11и пополам. а каЖАую половиttу - еше на три ча<-.ти, так что шестая ч<1сть мины широко ис­ пользовалась пр1~ расчётах. У .жкалuев в ходу была своя монета - шеккель. При сделках между шумера­ ми и аккалuамt1 шестая часть мины приравнивалась к 1О шеккелям, т. е. мина составляла 60 шеккелей. В результате появил11сь з11аки лля чи сел 1, 1О, bl), 600, 3600. Это произоШl\О окu110 5 тыl. лет назад. З 11 аки выдавливалиеt, тупым конuом палоч­ ки дм1 письма на глиняных табм~чках. Позл11ее онн превратились в к11инья и уголки.
26 История математики Н Навшюrн.:ком царстnс nссми рас• 1ётами за ­ нимались шкцы, кu·1 орыt прншщлt:жали 1с нысшему сослон1 1ю. Нередко сыновья uр,шитt­ лей и::1б11р:uш ~ту проф<:ссшо. Школа , ГJ\С uбу­ чалнсь шrсцы. называлась ~дом т::tбличекь ~пн­ сец должен уметь писа·1·ь понятно, хорошо :~1 1э·1 ь счёт, уме-1ьмежевал_,1емт1 , [Jримирsпъ споря~щтх», - mтсал олиn пз учстпю11 сnое ­ му друrу. Дrш таких школ прсд11а::1пачалт1сь специальные J\1атематические ·1 абличю1. Тек ­ сты па них можно раздстпъ IJa }\na класс:.1. ·1 ·аблицы и з;щачники. Широкое:: нрименен11е различных 1'абли1t - характернаи uсuбенност1, в;ншло 11 скоl1 матемзтню1. Кро,...н: таблиц умножс:ння были <:щётаб - 111щы ю1ащх1то11 llaтypam.11ыx ч1rсел , кубов, квадrат11ых кор- 11ей (в шсспще<:ятсричных дробях) и даже таб­ mщы ЧJКt:Л ю1;~а п1 +1/ 1.Jтuбы раздtшпъ <nн:ло т на 'ilICJIO 11, в:ш11лоня1-н.: IKL:ГNI брал11 ЧНСJ Ю п' = 1/п, обрзтнос дели·~ ~лю, 11 ум1 юж:~лн 1п
И1м1•рf' Н'1Е' терр11тори11 ~е"'ельноr u у~Ja( 1Kd в Умме (МС'жлуре"!Ье) Гли11я11 ая табл11чка . ш1 п'. 1юэтому бъmо много та.блиц обратных nеличин . Та кой под,\:од к делению сохраюu1сн и в современ ной мат<::матнке. на11 р11 м t: р н шн ебре м:при1l- Что к:tса~ 1 сн тскстоп-з;щачннкок . с амы м ую-1ш1тсльным оказалось ·1 ·0 , что боm.шннс·1 ·ао з;щач сноднтся к ре111 е 11ню кА :Щр:п11ы х ура1те­ нигl . Эт() 1 юразителыюс открытие 1ю:шол1.uто от1 1ес111 ртrщстrие алгебры 11е к V в. до т1. э., как полаrалн прежде, а к ХVШ n.110 п. э" т. е. 11а 11 веков н азад. Но об этом чугь п озже. КАКИЕ ЗАдАЧИ РЕШАЛИ В ВАВИЛОНЕ~ Сред и Аычиоп1тtл 1>11ых :~ад~~ч на клн 1 юnи с 1 1ых таблн чках встречаются :~ал::~ч и н а ар1 1фмет11 - чес 1ш е 11 геометрически~ про1 ·ресси н , ттред ­ стаrтения о которых у вавилонян были более раэвиты, чем у египтян. М етоды решения в ос ­ но1шом ош 1ралнсь на 1щси пропорц1 юн;:urыrоfI 1авис11мосп1 и с редн с 1 ·0 арифметичес кого. Ва­ в11лонсю1с 1111с~~ы з11 :1ли нра.вшю су мм11рuв<1- .1шя п ч1 1 ено н арифмет11чсско 1'111 ро1·рссс11и: s· _ п (а1+а") '11 - 2 . U юш1ю1111с1 1 ых текстах. содtрж:по1 11 ерные змачп rra проценты - ведь Ваннлон стоял 11:1 пересечении то рговьrх пуrсй. и :щесь рано 110- явнлис ь денежные з на кн и креди1 . Было у вавштотrн 11 пр авило д;r_я 11р11 6л ижёпно го вычислс1 111Я кв;щратных кортrсй. Математика Лр~внего ВостокJ ~ Ell.l{]] КАК ВАВИЛОНЯНЕ РЕШМИ КВАЛРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Hi!. одной из клинописных табличек Janиca1-1 a такая Задt1ча: • Множимое и м1 южитель 2; 30». Речь в 11 си ил~т u лвух Аjа и м н о обратных всличи11ах х и у (ху = 1), сумма которых равна 2; 10, т. е 2 + + 30/60 = 2,5. Таким образом, ученику для реше - 11 ия прсллагается система, кurupyю 1;1 сонременной символике можно .:1аписать к<1к гдеа=2,5, Ь =1. { Xi у= с:!, ху=Ь, Лалее в тексте табли чки ука3ывается, какие опе­ раuии нужно nрод~лать. чтобы получ ить ответ. Ниже привеле но решение вавилс1нСК()ГО F1ыч11см1- теля. Оно сопровожлается лоой 11 ым перевплом - записью да11 11ых и опера uи й ll десян1ч ~ю и по1иuи­ он ной СУJстеме и ~с\ПИlЫО дейnвий 1:1 (Оl:!ременных буквс1тых 0601 наче ниях: «На O;JO умножь: 2, 5 1 а 2= 1,25 - 1; 15». 2 «1; 11 на 1i15 1,251,21 = а ~=(~)l - умножь: = 1,5625 2 1; 33, 45». « 1 вычти отсюла: l ,S625- 1 = (1')' -ь О; 33, 45». = 0,5625 " L\то на что надо \i(), '1625 = г;--;~- ум1 южить, чтобы = 0,75 ~(~) - /} получить О; В. 4Я» r 1,25+0,75=2 1• (<О;45к1;15 .1 ") прибав~:.: 2+v(2) - h=x 2 - множимое». 110;45от 1;15 1,25 - 0,75= ~-Д~J -/J = y вычти: О; 30 - = 0,5 обратное». Очевидно, что дае тс я ре uепт для реше ния квал­ раnюrо урае11ени~1 z 1 JL + Ь = О, к которому соо­ лится с истема i•). Никаких пояснений в тексте 11е 1. а то, что этот алгоритм н осит Оfiший характt>р, ил­ люстрируется больш им ч ислом олнотипных задач.
28 История математики I>олыпое число зада ч снодится к ур:н111е11и­ ям ш ш системам уравпеню1 первой и второГ1 стеnе11ей. И."\': записывали без симво.1юв, в сnо ­ ей особо(r терминологии. Раз 1 ·<.шор11ым nзыком ванююнян 61,u1 аккадский , 1 ю н науке в каче ­ стве тсрмннон они упо· 1·ре6J1 яnи 111умерошс С'ЛОl:!а. КЭЖ/\ОС 11 3 таких СЛОR и:юбражаJЮСЬ од­ ннм знаком и потому н ьщел нлось в общем тек­ сте на фоне бoJJ ee по:зднеrо п о nроисхожде- 1rию CJIO l;OJIO ГO ГП·IСl>М:1. Искусство ре ш ения ура1311е1шй .n.ости 1·1ю высоко го уровня DХVШ n. .n.o н. э., u эпоху наря Х;~ммураnи. Обычно в задачах требовалосъ найти <>дли ну·> и « ширину» и;ш «м 11 ожимое» и «ш-южитслr.», дnя котор1.1х были сформулиро ­ ва1-11.1 ра:шн ч ны<:: условия. Про11·знс.:дениедлины 11 ШТ!рtЛ lbl l I MCHOB::tЛOCЬ «ПJТОЩ::tДЬЮ» . в З<J,Т\ач а х, снодящ11хся к кубическим ура rиrсн иям (а б ыл11 11 такrrс!), 1юн н1rялос1, третье 11еизnсстное - ~ 1·луб111rа », 11 nроизаедешrе nccx трёх пс:лич11н называлось ~объёмом» Хотя тсрмтюлогия указывает ш1 гсоме-1 ри ­ чеоюе пр ои схожлеJJие задач, для вавило11 я11 :;)ТО были прежде всего просто числа. вот по­ чему они свuбоднu складъшали дли ну с пло­ щадью 11 т п. В дрсю 1 е1 рсчсской м:lтсматике ( 11 с::щёдолгое времи 1t0сле) это1·uдt:.11ать было нельзи. Существовал 11 ,'\руl'Ой 1·1ш :1зщ1LJ , такжt: тр<::­ бсащвнrий разни'НLИ ангебра11•tесю11х мс:тодов. - 1 1 ео 11ределё птrые ура 1з нения (таr< 11 азыв;-11отся ypaIJнe111 щ в которых дне нm 1более 11 е .изнест­ ны<:: nелнч~шы) Вот сам 1.1l1 древний п з наме­ нитыil приме р нео11ределёштого уравнс: пшr: (*) Во мнш·нх клино писных т<::кстах речь ндёт о ре 111 е нни ЭТО\'() У\J<Н~ненин в р;.1 1\нонаньных ЧI ю1ах (.\".у, z) - ПО:'!ДI ICC нх стми 11азы 11;\'l 'h ~ 11 н­ фа гогюны ми тройками~. lle совсем ясно, знали B~1Jll I ЛO l IЯHC о()щне формулы CI о решt:ННЯ HJIH пет, rщ11ако многие таю"е троfпш и"1 Сtыли нз­ nсстны, напри.мер (.), 4 , '5), (), 12, 13), (_8 . 1'), 17) 11 др. Сохра1шлась даже табл и на р::щио11алы 1ы х ~ 11 ифагоровых трое~<", 1ю ю~ю1~1 обрJзом она быж\ получе.11а, Qnрсделёшю сказат~, нель:~я. Древние нан1111 011я11с рассматрнвалп ещё 0,111 ю неuп ре/~t"л<.'н нuе ур:шш:·1111с : Его paц1ю 11aJJLiHbl<.: rс111е1 111н (ll, l', /./')образуют "l 'a 1\ 11<1. :зынас м ы е «Н:l ВИЛОНСКI IC 'l' J)OЙ К11•1. Это урат 1е 11ие таюке пмееr 1·еометrическую природу. Оно возшшло nри ре 1 u енип за,Т\ачи, часто nстречающсйсн й вав ~ионских текстах: рассечь дашrую тр:шсцию на ,1'ne рав11овели - 1ше части 11рямu 11. 11 ар~L1IЛ<::J1ыюй· uсtювюшю ( ри с 1). Ес:J1и обоз11;~чн1 ь нижнее 01.:нон:шис буквой //, н~::рх 1 rc:c - и, а ра:1JJ,<.:ля ющую пр>1- мую - и1, то нетрудно н1щс·1·ь, что для 1111х В..-111илоtк1<J~ f \111fs;tнaя 1 1.•ЬМ•"•К'I.\, с.одср А-.dШdЯ rеuме 1 р11ч<:< кие ~dЛi!'llI 1~.1•1Jl\C>11 1щ и•1PM'Tll!1 Л() 11 ,_ 1\1ыдр.зт l<lд'1 1111lol)\ f><HмepurJ nuделен HJ р:tз~ 11•111ы(' ф1н уры. плошаль коюрых Y ' IPHHI( ЛОЛ~( ·Н ВIM 't \llC 'Л ИTt,1
и будет справедливо у'рав1 reшre (**). Вавило11ю 1е умел~ 1 паходи1ъ бескопечно много решенпй этого ураnпення. Они также знали, что решения ураnпений (~) и (**) свюаны Мl'жду собой: <::СJ 1и (х, у, .z') - корни ураш-н:н~.-01 ("), то и= .'С - у. l' = х + у, ll' = z - корни уr:ш1-1с1-1ия (**). Т<1ковы дuст11жсн1tЯ древних ванилою1н 11 а.~н·ебре. И.х успехи в геометрии быпи скром - 11ее и от11осш1ись в гrервую очереN, к измере- 1шю nростеfiши."Х фнгур. Наряду с тсю1 фигу­ рами, которые встреч<VIИС& н геометри ческкх задачах еrиnтя11, - кубом, параллелепи 11едом, 11ризмой, цилиндром - вав.~.шоrtянс изучал11 некоторые правильные многоу1·олышки, сег­ мент кру1·а, усе::чён.ный конус. lkронтно. было и з в<:стнп пр;~вило /\ЛЯ вычисленнн объё.\НI усечi::нноС1 гrирамиды. Дrшну окружности rа с­ счит111в;~ли , утр;н-JRая J(Иаметр , т. е. для тт браш-1 з 11аче1111е 3. С тем же значением п 011реде:лял11 площад•• т<руга. Одним из самых замечательных геомет­ рических открытий было появлс1 ше. и притом для общего случ<щ теоремы, которую впослед­ стш1и стал11 на~1ыватh тt:оремой Пифагора. Вщ: рт1ыс uна встречается в КJ111но11ис1-1ь~х тек­ стах кремё11 царн Хаммураш1. *** Т:ш же как и н Древнем Египте, L~ Междуречье математические тексты излагались д01 ·мати- ЛРЕВНИЙ КИТАЙ Наиболее ранние из дошедшнх до нас китай­ сю-~х мате матических текстов от н uсятсн к кон­ цуJтысячелетия т~о н.э.Во11в /Щ н о.были 1~а11исан ы математико -астро1-1ш.1ичссю1й чТрак­ тат об измерителъном шесте~ и «М<Пt'м<1тика R дсвят11 ю1и1'ах» Поаю-rее, уже н VП 11" оба сочи- 11 ения вошли R сбарш-1к «десять ютассичесю1х трактатов», который 11зучали в течение многих столетий. Сборник в1<лючал и другие труды: ~трактат о морс1<ом остроне ~ Лrо Хуэя (111 п.) с задачами на оnрсдсле1-те расстояний до r1сдо ­ СJуш1ых предметов и их размtроR; «Математи­ ческий трактат» Сунь-цзы (Ш н.), содсржа щ11й м:.~тсмат11qеские тttблицы , арифметические и 1·еометрич:сские зад~1чи , зада чи на системы 1Lи- Мс1тематика Лpco1 rcro Uостока ~ ElfJ® чески. Все 11рав11щ1 были сное1·0 ро1 1а рецепта IvlИ (дeл:ilt раз, делай два, делаfr три ) , которые пе обсуж,щишсь. ll строго нерархичсских и ;1ес­ nотичсстшх государствах rосrюдствовал аnто ­ рнт:.~рный склад мы1111 1 сн 1tя . Учёrrым 11с nрихо­ /\илось отст<'шватъ сною 11 равоту. доказыnать 11 ст1 -1111 юс1ъ резуJ1ьтатон доно;щми разума. что. конечно , сдерж11н<1ло развитие 11~1у1<11 . И ·1·tм нс менее открытня, едела 1111ы е м~пс­ мат1 1 ками Межr~урсчы1, 1 юражают аюнм разма ­ хом. Ведь 11мет 11 ю з;1есь пояшшас1, пераая 1ю:т- 1J,Ио1111ая система счисления, и в rrтore тех 1 1ика вычислений оказала<.ъ л:аже выше, чем у греков. Здесь nn epRыe быш1 разработана алгебра ли ­ нейных и 1<n<t,"tpaп1ыx уравнений и рассмот­ рены 11ервые нсопрс11слённые уравнения, воз­ никшие из 1 ·еомстр 1rчсскпх зздач Такан тtсная снязь гепметричесюrх з<!дач с ал 1'еброй н тео­ рией чнсел - одна 11:1 особенностей в:.~нююн­ скай матt:матию1. Древ11ие греки н<1чпнали сван нсс1 1t:дова.ния с тех проfiлем, кпторые занимали нан11 1ю1 rян. Наnилонские традиции можно лроследнть n работах Герона и Днофаrrта, а ещё лозд11ее - у :шь-Хорсзми и других основателей ал1·ебра­ ич<::ской ш1юлы стран арабскuго Восто1<а. ll ре­ обр:1зование: матсматик11 113 совокупности отдельных расчётов и пrавил в стройную ло- 1 · 11ческую систему, в кпторой эти nrнёмы в правила nолучилн стрn1 ·ое пбоснова1-шс , ста­ лп 1 ·лаш1ым дwом а11т11ч 11 uL'{ учёных. нtйных уравнений: анонимный «Математнчс­ скнй трактат пят11 ведомстн~ с задачами 11рш<­ тиче('ко1·0 со;~сржания . Оснонны111 IJ::l)"IHЫM тру11 ом бhlJJ;J v Матс ­ матика 1~ девяти кни1·ах;.. Она nредназнач :ш:.tс1, 29
30 История "1атематики длн всех, 1<0му трсбоватк1, м;-~тсматнческ11 с зна11ня : 1tЛЯ :;еМJ1С1\1ерон, нпженеров , чиноRни­ ков, торго1щсн. По c111tecтRy, это сборник JJ:i 246 задач без нн<щных текстов и 11рею~эрител1,1-1 1 ,1х разъяс11е11 ил. Каж/\Ы И ра~ ш 1:.1 чале фор,v1у111 1 ру ­ ется з~1нача. затем сопбщастсн отвtт и н сжатп1'1 формt: ук<1:11.1 н:зетсн сппсоf) реше11 ин. АРИФМЕТИКА С 1лубокой древ11ост11 счi.'т в Китае вели дссят­ Т«t~rи. Примерно с IV н. l\O н. э. стали счнт:пь с помощью с11t.: 1 t 1.1альных паJючск. О11и fiыл11 в ходу на 11ротнжени11 более 11плу1пр:о1 тыснч лс:т. Палuчки р:.tсюrадыв<~ли 11а счётной доске, кото­ р;~я. к<1к полагают, была ра:з111 11 юиа11а 11а строки н столfiц1)1 . ЕсJ1и как()й-то разряд н ч и сле отсу1·­ ст1юш1л. то соответствующая ячейка ос1·Jвалас1, пустой. Т~Н< что юттайская 11умерацня с по ­ мощью счёт1 1 ых п:1лочск - дрещ 1 ей'шая иэ дсся­ т1 1 ч11 ых позици01ш ь1х систем. I< lll в. дu н. э. уста ~ toв1mach и )Ч))'I Шt срорма обо:щачении ч~ а сел - исро 1 'J1ифнче'ск::~я При З~Ш.ИС\1 ч [ 1(..'Jla, СОСТОЯЩС l'О, 11апр1rмер, 1 t:~ тыснч, ситсн . леснткпв н сдт 11-rц , сначала :за11нсыпш111 ч11с1 ю тысяч, затем 01ра1:1а 1 1лн снизу иеро 1 ·­ J 11tф , обо:та ч::tющиi1 тыся чу, чнсJю сотен, :~а ним - нероп1иф, обозначающий сотню, число дtсят 1юн, знак десяти и, наконец. чнсло е1~и- 111п{. Таблицу умножения от l х 1 /{О 9 х ~) эауч11 - в::tлн 11аизусть. Ее декламироnаm1 юш даже распеват1 ш1 уроках . Был1 1 11 др)т 1 1с числовыс табшщы, нклю 1 1 ~шшнс: npu1r:>Rcl\CllJ1Я кв~щра­ ток. кубов и ·~стнёртых с1 ·с11с11сй. Лю Хvэи . И:щав11а в l<11тat· бь1 J 111 И3Rt'стны 1tp()611 J lекотuрыс имс.1111 ;рже свон н:.1Звання . По110- в11на 11а:~ыв:1л:tеь <,бан1' '" тpL"l'I• - ~ш:.ю б::~нл-> (•м~1J1::111 1 ю1ют111э » ) , /tве треп ~ - ~тай 6:.1111. " (<,бо11 1,111а.я 11олпuи11а» ). ГТо:щпее пш11111Jюо, спе­ l{Тiалы юе 1 1 а 11 ме1 юв::шпе для четвёртоl1 час­ п1 - «слабая по.'!ошп~а». I lользоnалас1. п деся­ т1 I ЧIJЬJMII дробя."JИ. При реше11нн за,11ач порой прихо/1,тmось от мс1-11,111сго колич<.:стна 0· 1 ·н11м:1· 1 ъ большее. Так IIO JJ В. ДО Н. Э. 1IOHВ11Jll'IC11t)T[)I11 ~aTCJ! Ы-11'!(;: ЧIIСЛ:1 . На счётно 1~1 NJCKC 11х ныдслялr 1 t1аJ1uчкам11 T\P)'l'v1·0 цнета 11т1 фор:-.11>1 , а 1-1 руко 1 п1си - /tру 1 ·1 1 м 1 1 чсрютам11 11; 111 косu 1\ чt:ртu1'1. 0 1р11 - цзтет,ныс чнсл;1 1 1а:з111нал11съ «фу». а 1ЮJЮЖ11 - тсль11ые - « чжэн». Постепен110 ч11 сла «фу» ста­ т ·~ 11 столковьш::tть как долг, недостаток. Вщ:дение отр11цатсльных чисел и правил их сложения 11 вычитатшя можно счнтат1, одп.им из самых круш1ы.х uткрыт1·11-1 к 1 rтайс.кнх учfных. В 1 ·речсскuй м · 1 ·1 ·смап 1 ке это с;tслал /t11nфант н ссрсю1не 111 в.. и лн1111, 11 Vll н. отrнr­ цателъю,rс чнсла поя 1iюн10, 11 111 щ11йско 1l ма­ ·1ематике . АЛ ГЕБ РА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ В трактате «М:tтемат1ша в девят11 кн~rгах-> объ­ яс1шется, как извлечь квадратный н куб11че­ ски 1'i корни с помuщыо формуJ111t квадрат:~ и куба суммы днух ч1 ю..:л. Пuсколы,~· ю1таl!скнс м:~тсм:пию 1нсю 1счi.:'1· 11::1 доске. 11.х о юсоб 11мс-л некотuры<.: осоt.11::111юсп 1 . Позжс: (HI был обоб­ щё11 лля случая тобо1·0 i<oprrя п 1юобщt: д;LЯ числсн1юго реше1111.н ура1те1шя 11-\1 с 1 ·с 1 1с1111 . Метсщ nOJ l)'ЧШJ 113 зnа11ис "тя 1 тъ-юа111," (бу1шат,­ тю - « 1 1ебео 11,111 элемент->) - так юпа!1 11,ы 060- ~шачат1 1 1ен:~nесптую вt:J1ичш 1 у. В1 10СJ 1 с::;1ствш 1 метол «тmп,-юа11 ь» р::~зш11п1 п разработ11ш 1<11 - тайские алгебраисты Xll l-XIV нв. (В Европе н XlX n. 011 ст;щ извсстсн ка1< мс· 1·0/\ Руффнни­ Гор11сра.) Дпя рсшсн11.я с1н.·тсмы /1 1 шнейных уравнt.:- 1IИЙ(.'17Ht'J1знс с~1·н ЫMll 11p11Ml'1fЯJll'H Ml"I'(.)) \ «фан LJЭH '), 1l азн~ll ШС 03HaЧ:tl'T <- НЫСГ['!<Шнаннс ЧJICCJI 1Ю l\JICTKa,\,\ » ( ra:~yмee'l'CSI, I ТЗ CЧL:T1 t0i'1 ДОС!<е) . Этот ;щ·тu;~ 11а 1 юмш1:icr дейстшrя с матр1щ:-lМ11 II опреде.r11 IТСЛЯМП . 13 Европе 11ервыт~r ПО/\ХОД 1\ реше1 1 1r10 снстсмы линей ~ 1ых ураnr1спш"1 nстре­ '-1ается: у Леонардо IIJ 1 з at 1 ci.;01·0 (1202 r.), а Э<П ем у Джероламо L<ардатю ( 1'5 ·15 1'. ) .
Из За/(ЗУ , от.носящихся к тсорпи ·спксл, сле­ дует }11Ом.»н уть кл:ксич<::скую задачу нз послсд­ нсfJ кнш·н « М~1·1·сматическо1·0 трактата·, Сунь­ цзы: «Имеются ВСЩJ!. ЧНСJЮ IJ X t-ICHЗll<.'CI HO. HCJ IИ считать 1 1х 'l'f){)ЙКам11, то остаток 2; еслн счи­ тать нх ш1тё1жзм 11 , то ос1 ·аток 3: сст1 сч 11 та ть их семёр rсзм11, то остаток 2. С1 1р :~ш и вае·1·ся : С1\011ы<0 нещей?J) . Ины:мн слоnамп, требуетсн 11айтн чнсло, кото рое при делешш 11~1 3, <) п 7 даёт соответстnсrшо остатки 2, :1 " 2. Искомое qпсло - 2J Вс;сьма возмож н о, что задача более дрсвпс- 1·0 нронсхож.це1шя [1 в «Матсмат11 ку R деннти KHl l f':IX » нс ПOШ/JI~I 1ютому, что н е IJOJ(OITTЛa Н11 к О}\1 ЮЙ теме сё rазделов. и у Сунь-цз ы задач :~ та 1ю1 п ·п 111 а - ед1111сгпст rая. Кстати , она был :~ шнрпко и:1вестна в нарrте и бла~·одарн совпа­ де1111ю нмён служила примером осоfюй муJl ­ рости n()лко1юдца Сунь-цз ы. Общее пр~шило решения подо611ых задач сформу11J.о1ро1:1 а1ю нс было. <.Jно nояnлието1 ШIШЬ ДС(;ЯТЬ t:ТUЛ<.;:'ГИЙ с1 1уст.н у Ц11нь Ц:но-шао н lTO •дс1:1ят11 кюн·ах 110 математик<.:.> (X!fl н.). Термн 11 ы, R Нсдё1-1ные 11м" заимствованы из сада·1·<.~m,1юй терми н оло1·ии конфуц11а1 1 с кu/'1 •Кн 11 г11 перемен» (УШ-VП 1ш. 1т..о н. ?!.). R ос1 ю- 11е г~щан и я леж:1J10 11редска:1а1111<:: сульбы по с1·еблн м ·1 · ысячел истппка, IШТ()рт.rе расю1ад ы ­ n.tлщъ произвольным об разом па отдслы1 ы с груды. 13 р<::зультатс .ма r-rипуляцнй с этими па­ лочкам11 .и 1юз ш1к11~1 уnомяrтутая теорети ко­ ч11словая зада ча. с 1<0тороl1 Цю11, Цзю -шао 11;\ЧИIТ:tСТ Llюё COЧl'JHt'HИt'. отдавая д;шь IICO- кoнфy циal JCTl:I~·'. (Остал 1,ные зада<ш нз теории чисt=.11 уже н е свя:iан ы с l 'аJ(3 11.и ямн; 0 11 11 ноз­ н11к;u1 н н пс1 ю 11н ом п р11 сос_~ганлсю t 11 к~1л t11- /Щ>СЙ .) В Евро11с эта же ззJ.1,ача 11р111ююпся Лсонар­ f(() П11:1',mсюrм, встречаетсн н од1101I нr1:~ан·п 111- ской рукот:rси XlV 1:1. , н н еме цких р)'1<0П1к11ых ар ифметика." ХV в. и n русских математнческнх рvко nнся...'\': Х\:'11 в. Общий метол: 1хщсн1ш так11х 'iадач был нно~ 1, разработ~tн Лсо нарл;ом Эйле­ ром в 17·IO t '" и K;i рлом l'ауссом в 1801 г. ГЕОМЕТРИЯ fс()метр11н n Древнем Китае 11 е р;1~ви11ас1, 11 са­ ~юстояте)Jы tую 11 аут(у, к:ш ::>то пр он :юшло 11 Древпеif Грец11и. J3 11ерво1t юшrс «Maтc J\l a·1 111< 11 IJДCHflTll l(!IШ ':lX? Пр!tnО,r:(ЛТСЯ ОТДСJIЬНЫС правила Ма 1ема тика Лревнего Востока 11змер<::1 rия площадей 11 рнмоу1 ·олышка, трс ­ уrолы ш1щ трапеции, кольца, круга, е1·0 сектора и ссrмс;11т;1. 13 1ш1·uй кн..ш·с рассматрrшаются объ­ ёмы нрямого п:1раю1слс111111сда с квадратным OCIIO\\<IHHCM. lljJ$\MЫe при :iМЫ с тр~.111\.:J~СИД~\JlЬ­ ным н тр~у1·ольным оснона1-111нм11 . п 1 1р:~м11 ;1 ы с ква11ратн ым и ll j)Я M OYl'OJUoHЫM OCI юна 1111 НМ11 11 дру п1~ п::ометричссюrе ф 1 11ур1·,1 Co1·Jt:J с1ю <·Трактату об тrзмеритеJt ы юr-1 шес ­ те'>, тс()рсма Пнфаt·ора для ча стного случая - nртvюу1·олыюго трсуrольшно со сторо11ами :), ..+, S - была 11звестна за 1100летдо п. э., адля общего с; 1 уч:1я - в VT н. до н э. Доказатсл~,ство осно1:1 ьша 1юс1, на ра:.1611с1-11111 ющдрат а. по ­ с11:юс нн ого на сумме 1<~1'/'t'TOB 11ря..,ю у 1 ·ольно1·0 ЗАЛАЧИ НА ТЕОРЕМУ ПИФАГОРА Вот з..~дача о и з девятои кни1 и « Математ ики в девя­ ти книгах » : « Имt>ется водоем со стороной в 1 чжан (= 1Очи). В L1ентрР его растет камыш , которыи высту ­ пает над вuдой на 1 чи . Если потянуть кам1>1ш к берt!- 1у, то он как раз кщ:нt?т< я его. СпрашивJt:тrs1: какова глубин:э волы и какова ллина камNШ<З~» . Если обозн<l'1ить глубину воды черезх. то по­ лучим прямоугольный треугольник, олин ка 1е1 ко­ торого епь х, второй равен 5, а гипптенуза х + 1. По теореме Пиф:эгор:э легко вычислить, что глубина воды составляет 12 чи, а ллина камыша - 13 ч11. Приведем 1ад3чу 13 из той же книги: «Имеется бамбук высспой в 1 чжан (=1 О чи) . Вершину его соп1ули так, что она касается земли на расстu янии 3 чи от корня. Спраш11вается: какuва высо1а после сгиба ни11? ». Применяя к прямоугольному треугольни ку те­ орему Пифагор а, получ~1м , чтu высота бамбука посл~ СГl'!ба11ия равна 4 11 / 2n чи. ;)l
История математики треуголы-rиr<а, на 1юсемr, треуголы-1 ш<о 11, рав­ ных между соб()й, н на маленький 1ша11рат со стороной, равной разности r<атетоu. Легко заметип" что большо11 квадрат на сто­ роне а + Ь составлен из кв<1драта на стороне:: с и четырех прлмо-утолы1ых треу 1·ш 1 ью1К.ОВ с ка­ тстамн а и Ь, а значит, (а+ь/-=с~+2аЬ. С другой стороны, па ::пом же чертеже нетру71- 1 ю разглядет 11 и доказательство и звестного во нсех дрс::нних цив1-1лr1з:о11\1н1х ал 1тбраическо1·0 тождеств;:~ > > ' (а +Ь)-=а-+ь- +2ah, откуда следуе-1·. ч ·r·о с.!.= с12 + /J:!.. Этот вариант реконструrщи 1 1 докааательства приrщцлс1ю1т известному математику Б. д Ван­ дер-Вардену. Замстнм, что существуют и друп1с::. *** Вплоть до xrv н. математика н Китае ра:.щи-на­ лась как сис 1·сма стrоги:х праRил , предна~1-1а­ че1шых дт:r решения :~~щач по ::1рифмет1 1 ке , алгебре и геометрии. Китайская маr~·ем:пика rre была изолирована от науюr Индии, Средней Аэии, стран Блюю-1е1 о и Среднего Востока, что подтвt:рждается сходством многи:х задач и общностью Mt:TO/\Ofl их рt:шсния . Через =~ти страны матсматию1 Кит:1я оказала влияние на мзтематику среднсвско1ю 11 Еврuпы. Однако м11оrие открытня r<итайсю 1 х учёных С1али нз­ оес~·1 1ы 11 Енроттс уже noCJ1e то r·о. как свропс~:-щы пришли к 1111м саrvюстонтелыю.
АНТИЧНАЯ МАТЕМАТИКА ФАЛЕС И ПЕРВЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПоЖ'JJtуй, }lату поя1:шс1-1ня маТС'v\атики к;1к 11:1- ~-кн МОЖШ) OTT[lL'f\CЛJITb ДОВО!IЫЮ тuчно - \! /В. /\О н. э. На 11pn·1яже1-11111 20-30 прсдыдущ11 х веков н;~роды ;1.pem 1е1 о Вое.тока сдел:1л11 нема­ ло о·nч1ы·1 нi1 n арнфмет111\е, 1 ·ео1\1стрm1 н эс~ро- 1юм1ш. тю сдшюi1 матем::пнчсской I1аук11 01111 нс создали. Грс1~а,·1 же это удапuс1, н те'-1ешrе одног о с1 олепш, что ло сил пор кажется чудом. l la полтора l"I Шlетия раньше - н ccpCi\IШe VIJI в. до н ::i. - 1 ·рск11 ш~рсж11 J 111 насн.>ЯЩ)'Ю ку11ь·1 урную pc.:t\OJll(ЩI llO. у HlL'\ llШIНI I JICSI сноi1 ;iлt.j1:iк11·1 , 11 ю 11очанп111Л глас~ 1ыс буквы . То1 J \:J Жt' ()1,1л~1 со:ц1,а1 11.1 1юЭ\ 11,1 ~ иm1.t;lЭ » 11 <·()JJ, 11ccc}J·> Гомеро1~ск11i1 :"llIOl 1ю. 1110111гл 11рLюб1_ц11л101 к ку.'11.~)ре ~кем , ;\аже 11с·1 ·рамот11ым. Re,(1, ст~1х11 11струю ю RЫ'УЧПТL r1:111зус·11,. В ту же :=юnху 110: 1- 1111юп1 Олr1м111111сю1с..: игры. На них каждыс­ чстыре 1·ода встрсчат1с1, шшболсс aкт1lli1iыe 1J 11pocncщc1111h1L' 1р,tжда11с rоро;щн <Jлла,r(ы (таrс 11:1::н,111ал11 с1~с.нu рuд11ну самп r1к·ю1). <..: ссрсд1 шы \.·11 1 11. дон. э ()ыtтро росло ЧJJLJIO 1OpOJ \011, РСО()с1 шо Н ЗЯ ~1С JpCIOJX r<OJI0- 111 IЯЛ . R !IOHCK<!X новых 'i('~ll'}ll>. пr111 ( ЩНЪIХ ДllЯ ССЛЬСК()!'() хu:ш\1С111::1 . CQ'l' H\I l'С•Н.:Й пcpcпpailJIЯ­ J lllCb ia мuрс 11 ССЛJJЛ11tъ 1ю н<:сму нобl'рсжью Срсд111смщJ1 о 11 Чср11и1·0 морсt'1 - р>щом с ~н.:­ cr11ur'v111 <·нарнар~1м11 -> ~;)Jш шrы ·шакомшшсь с кут.турnй соссд1111х 11арщtов. уч11л~1С11 у 1111х 11 сами пытат1п. уч1пr, нх. /К111е:111 горо;кюrх респубJJ 111< - П()Л11СОI3 - еЖС{\1 ICBI Ю Обсулщалн па улн.Цах 11 площ~1х uce nолноваnuше 11х rю ­ просы: от Dидов 11<.1 Урожаl1 н тн.: трое1н111 uкрсс."п 1ых варnаμон до rювосте~\ пр1 шс~ёш !bL'\ '{ас:::1ж11м11 К)-пцам1r C:-t м hl(;" 11 H 'J'(;"j)t'Cll hl(;' l l:JIН.:C l ' I ш J] р1 IXO/ (l IЛ 11 11:J l'OCYf \<I рстн Бm 1ж11tтu Восток;~ - Ji1 11п·1 :1 н Лс­ снрш 1. ;1 ПОСЛ(:' J'HOt'Jl ll Aн.:1 tp1 1йt:KU l'(J [\'1(lCTK'1 - 1-1:-111 <щt'1111н1шс\<.:10 ш1щ~.снш1Ванн, ю11r1r111 М11 - f(Ш1. 13 cepe!ll111e \/111. i \tJ r1 . .:1 . 1ке :о1· 111 3t'MJ111 r10- п.1лн П()/1. власт1. nе1ков, 1щт ор1>1t' yC'l ·a1 Юti11ю1 Г1р0L11IЫЙ ~tпр в сuоей (JГf)OMIIOil !IМПср1111 . Tcnc..:pi, м1ю111е лю6озн:пелы rыс элт.111ы 11~1 e­ J111 воз можr10ст1, бсзопас~ ro rr)- 1ешествоnать по зсмш1м llcpc11дc1<<J1'1 державы: О/\1111 - с торго - 11ы ,,111 1l(.'Jш ч11 "~ру1 ш.: - н н.1;1;с;1у;с 11prio()1r t1111 ,ciJ К VlyдpOC'J'IJ l'l 'flll IЯH 11 11aН1IJ l()l-OIH
31 Иt тория матем.пики <J);iл er 1равюрu Hd \1!>ЛИ XVlll 8 Вср 1 1уrтпкь /\омо1\ такпй 11у·1·е111ес"п~еr 1 1п11< Rcerл;a rю:~буждал Ж111юf' J1ю601щтст1ю соrраж­ ,rщн. Но не JIO 11сём ему nсрили 11а слово. ll<1 - п рш•1ер. от1 rоnорил, будто n ёпште стоят рукопюрl!Ыt' ХШJМЫ llЗ K<IJ\!JIЯ rробIIИЦЫ .Щ->t:Нl-HIX царсl1 - BbKOTOIJ в 20() 1/JШ 5UU лuк­ тсй. 1lсужt:ш1 011 сам 1вмсрил 11х выt:uту? К;:~­ ю1м пбра:юм' Пус1ъ :щкажст, что его слова - нра1ща! И сщё: он ска:.щл, •1то мудрые t:Г1tптя11с )":VICJOT nrt:,JJ.CKa:'la'l'I_, срок будуЩС l 'О ЗaTMl' I HIH Лу11ы 11111 1Спm щ::~. Пус1ъ пбъяс111 п. как от t11 этn лелатот! И 1шгда мы у111щ11м nчере,11,1юе затмс- 1ше 13 нашем 1·ородс' Ви,1п1мо. перnым нз rреков. кто научнлся убсднтслыю отвечать на подобные вопросы, был Фалес .Милетский. Фалсс (OKOJIO 625 - OKOJlO 5·17 до н. э.) роюшсн и вырос н 1uрсщс М 11лt:те (л.rенней.шем 1·речес ком цснтрt 1~ Мащ)i1А:шн),1~оэтш.1у его и на:.ihrнают Фалесом М 1 шетским. На собстнен- 1 юм корабле. rружённuм l'речсскнм11 ·1оаара ­ мн, Фалес плавал по Сре;~иземном:у моrю Осо ­ бе нпо удачно он нё.11 торгrmлю плиnковым маслом, чем нажил огромное состшшие. Бы­ вал Фалсс в Епштс, Ассирии, l3aвrrлo 11e. где по­ знакомился с м атематикой и астро rтомисй . Именно этим наукам он посnя щал с 1юё сво­ бодное время. Кроме того, он был философом. :-iакон одэтелем. Е1 ·0 считают псрRым 11 ~~ семи Rсликих мудрецон древности - оснонателей греческой 1<у11ьтур 1,1 н науки. R ')8'5 г. тr.о п. з. Фалсс пре.дсказ::~л сол11еч1юе затмение. В то nре.мя шла 1юй 1 щ 11, 1щг1~а npek сказание сбылось ( <·11.ет-11) преврап 1лся в ночь", по словам исто рю<а Геродота) , воины в страхе поброса.'ти оружие 11 ра:.iбсжал1къ . Затмt.:111 1 е быдо раl'цснснu как 11μ~:1~знамснu11анис, и 11u 1·11 щ прскр:1т11л:1<.'h J !о ttl' астро1юм11>1. а матсм<iтнка ст;uш лю- 611мым эа1~нтнсм Фалtса . ()н 6ыJ 1 11ер111,1м. кто 1тач;111 дока. J ы 11ат11 11екс1л >рые 1 ·еометр1.1ческнс 1 1 ре;tл()же1тя, ЧП) прсnраттшо rt:o:v1eтp1rю 11з свода практпческк'( праиил в nодт11-1ную 11а~1~·. J\110:,ю то СIЩЛЬЮ) угодно ра:{ убсжда'lЪСЯ П)тём нзмсрсн~J!"t, ч•1·u J(H:t 1н.:рт11~.:а ; 1 ы-1 ых у1·ла раш1ы межлу собоl1 . I::сш 1 OJ\I rн 11:-i ш 1 х со;~ерж11т 60°. то н ,i1py1лi'J 't'C >Же. CCJ\11 н OДl-IOM 12° )О', то 11 н другом стшр-.кu жс, 11 т. J\. Но 1щру1· /J.JIH очень малсны;11х углт1, которые ·1 ·руд1ю 11змер11тъ . :'JTO 1 1 е- т;:~к? 0 ;11 rако ~м():1р1пелыюе рассужлс- 11не - nьшод (шш , как "чы те11ср1~ 1·01юр11:v1 . до1сазате.11ьсшо) позJJОJJЯет у11зсрждат1,, что этот фак1 верен веста и щ1я всех утлов. J<аю1м же обра~юм проводнл Фалсс l'BOII док;t:iатеды:тиа~ Д.нл ::Jтo!t цслн он 1 1 c1ю11hJOВ:.l.'l ~движ<.::111 1 н". Есл 1 1 J(BC ф111 ·уры ПJчни со1:1мtт­ тятся дру1· с друго.'\1 rюсрс.;дсттюм /\НТ 1жс1тт1я, то :-'JTII фill~'PЫ 0/\1!1-\aIOШl>I, рав11ы Иrvt<.::1-JJJO таю1~1 П)~l't'l1 Ф:~лес дnк:~зал rя,1 псрнт.1 х ·1спрем 1·еоме-1·р1111 . F.cm 1 п;юскос1ъ по­ вер11у1·1, как тнёрдое 1~елое 1юкруг 11ското1ю!1 точrо1 О па пол-оборота (lHO"), го луч ОА nере 1'щё·1 n его продолжсrmс UC. J ! о тогда ясно. что стороны од1ю 1 ·0 и~i двух вt:ртllкальных углов как раз перейдут в стороны друсоl'О. т. е. :1ти два у1 ·;ш соимесштся Знач11т. вср·1нк;uтыrыс уты раины ( рнс. 1) . ' l't:\1 ж<: с1 юсобом Фалс:с нuка:з;ш , что днамстр дt.::.111п кrу1' попuлам, т. с:. дна полукруга р:.шн 1 ,1 м~жлу co()ofi. Ko 1 1eчJJO. те 1 1ер1,, 1.:ог/(а с ге()метрпет1 знаком каждый шко11п1 1 1 1 к, кажется-. ЧТ() nсё это абсо­ лтот1rо очсRrrд1ю. Однако до Фалеса доказа ­ тельств просто не сущеспю1:шю! Точно так же ИЫI'JIЯДl!Т совершенно еСТССТJ3СШIЫМ, ЧТО гон­ чар делает ~.;руглый сосуд, пользуясь нращаю- в Р1к. 1. Рис. 2.
щ11\1t :.1 ~ 1om11\01-1 . Но человек, котоμый первым llj)ll1I\ м.1.1 .но, 111 l t: IКЯЮ IX сом1-1енпt 1, CUBl'f)IllHJI 1e1111,1JIЫIOl' ОП<рып 1 е. Ф.1лсс д<жаз,ш раnе1ктво упюn 1tp11 ос 1юна- 111 r11 ращ юбt:дрс11нuго трс}толы-шка. А р~1ссуж­ ;1ал 011 так ра1шобс;~рс11н1,u'1 •1рсу1·олы111к c 11м ­ ML"1pir< Jl'l I OTH ()l'J ITCJI 1>1-1 0 (1 11е:сект рт1сы y 1·11:J 11р11 н1.:р111н1н.:, а з11:1чит, 11рн псре1·ибан1111 чсртt'жа rro Ci1ю:t 1\'I рщт у 1·лы 11ри оснон:111ии сон п~щут (!HI( 2) < >н ) ст:11ю 1 111л 11 оюm 11 з прпзн~шоu ра 11с1н 111.1 1 ·рс::у 1 ·ол1 .11шюn: еслл ,тша треуголыпша 11ж·ют р.1n11ую сторону и дна раrшых )Тл~1 . np11 - .1e1Jющ1 1х 1\ э·1 0 11 стороне ( рнс -~). то эт1 1 трс­ ~тuлы шю 1 p .tl!l!(,I , l lo пр~д<ШИЮ, он 11p1tMCllH.'t А11т11чн.::~я мaтe.vtd r11ка ПОI Щ/11.111.11', чтобы oпpe;\C!lllTb p:IClTOffill lC ДО IIO\X\\)JLЯ !} море 11 )' 11. 1'0 JIC'll IO. llЗДО ОТ\\СТI!ТЬ ТО yTRt'pЛ\,.'ll­ IIJIC. r.:uтopoc мы 11 сеl1ч.1с н:1зын;1см 1 1..·orc.\щi1 Ф.1:1сс:1 t.:C.'111 н.1 п, 1нu i1 <. юроне ~т;1а от.1t)Ж111ъ р:1нньн: 01·1к·~ю1 :1 3:tтсч Чl'рсз концы эт11:s от­ рс ih:OH llj)OHl'< · 1 ·11 ll:IJ>:ill!JC. lhfll>IC 11ря .\J ЫС, J u 11:1 нторо1·1 е1оронс)1 ла 1 1р11 псресечс111 111 с эт11'111 11p:.1~11>\\\ll \<'\КЖt: обра:~ую 1 ся fЩШIЪIС '\1eiK,\Y (0- f)()JI отрt":Н\11 ( р11с -4) KaI< ;щказыnал теорему Ф.tлt>с, мшыю толыю дога;1ыnаться. l \ o- nr1д11 - J\I0~1)', oir 11 здес1. 1юль:.юва11ся тем же 11р11:та- 1,ом r:ше11C1'13:l ·1рl'угол h l uшо н. "'...* Т:1ю1м 06р;1 .юм, Ф;шl'с 111х: 11ратш1 J\{lCIНllOIO 11 снящсr 11 ry10учСностr,нr1р1.:;1мет с 11оро н и ;~ока "1:1·1·с111,(."1'н l /скушё11 н 1,1е li с 11nр·пнн~ ы х сос1 ж·~а · 111\Н ~ 1j)tКll щ· .1нал11 ; 1ото 1'1 П()j)Т>! СЛОЖ IIЫХ 1111 · 1е-л, 1 t.:ктуалы11.1 '\ 11гр 11ро11е ш:~х,1ат С лёгrюf1 р) ю1 Фалес<I гс()метрня оказалась 1 1ервоt1 та 1,ой 1н·роf1. Вскоре он~1 ста.1а почl"7пым за11.и­ n1с;\1, 1<ак бы 11:н.1.1 ю11аnьным I:ШДv\t спорта -
-~ В".Lf!J История математики нараnне с ттолитико\1 или Ол~тмпнйск11м 11 ю·­ рэмr~. В геометрии rтояш111ись мастера. кото­ рые nрсвзошлн Фалеса н па'-rали открьшатъ такие математические истнны. ~юторые даж:е нс сrщтtсь их прсдшест.вснш 1 кам . ПИФАГОР И ЕГО ШКОЛА Be;i 1.1ю1l1 дрс111 1 е 1т>еческ111-1 учё11ыГ1 Пнфагор ролнлся 11а ое1poneСамое АVI в до 11. э. В ~ю­ :юдОLl'И побыnал в Еrиnте, где yчи.rrcJ1 у жре ­ цов. Говорят, что ori был допущен в сокровен­ ные свяпrт1ща Пгнnта, посстнл халдеnсюrх мудре 1 tов 11 псрсJJ,1\СТШХ магов, Ок01ю 5:$0 г до 11. э. Пифагор пcpcexa.rr н l<рото н - r-речс­ скую ко1юmnо н LОжно 1i Итал1tи , 1'дс основал так 11азь111асмыli п11ф;11·ореltекнl1 сою:з (шн1 крптонскос братство). В сферу 11 1-11еrн.~со н чле 1 юв сою:-1а нхо11нл1-1 на~rч1 1 ые исследонапня, рел 11 г r юзпо-философсю1е иска 11ия, 1юлит11 - ческа~J деятелыюС'1 1,. Онн вели суровьп1 образ П>~фагор 1 f'•IRk•p.1 11~ п~r~1нно11 •11•11и В 1юt~1· иже 1 L1-111 Вселсююл чt'rез математи­ ку п1·ром 1-1 1.1i1 ша 1· нпсрёд сделзл Пнфа 1'ор. 011 первым ;i;:~меп1 л, ЧТ<) с 11ла п tдн1 1 ст1~0 1rаую 1 ос ­ нова н ы 11а работе с идеалыrымн объе1стам11 llanpимep, прямая линня - это пе тетнва на­ тянутого лука 11 нс луч cIЗera: осдь они имеют 11сбuлыную ю11щпну, а т1ния тuл щиr 1ы не пмс:­ ет. То же относитсн к 1·сомстр 11 чеошй 1 1 1юско­ стт 1 и nоверхнос11 1 волы н споко 1'i1ю.\11 о::н.:рс илн к ч 11слу '1 [1 пят11 пальцам на руке. Илсаль- 1 1 ые nбъскты (буд1. Т() чнслз 11лн ф1 пуры) встре­ чаются тоm, rю н r.1 атема ·п 1чсском рассужд<::ни1 1 И только /~ля них верны строгие 11ауч11ые выrю ­ ды! Поэтому мзтемат1 1 1<а 5Шлястсn как бы «вто­ рым зрением" человека : она открывает раэуму идеальн ы е объеk"'ГЫ, 1огд:~ как обычные чувства 1'оворт· нам и своikтв;1х прпролных тел. ж11:~ни , rrревыше nct1'('> 11сш 1m 1са мообл:цщ11 rre . смелос 1 ъ и коллектниную лr 1 сц ш 1Jппту. Ппфа ­ rорейцы жилн вместе, у 11нх было со~месгно\ Нi\1)'Щес1 во, и даже сван открытия онн счита ­ ;т общим достолш1е.,1 . Дся'1·сльнос1 ь сою3а была u.кружс.на тайной, rюэтому ннк~1х т<:кстut1 от раш-111х 11ифаrо­ ре 1!1\ен нс остшюсь. Крощ.· ·1or·o, 110 TJ1:.lД\11(l t H. 0 1111 вес открыт 1 1н r1рн1111 <.: 1,111ат1 П1 1фдгору, () котором уже 11р11 ж113н11 XO/(llJНI 11е 1 ·ен!(ы. Кто на самом деж: я 11; 1 нстс я автором тп1·0 1111и тю­ гп реэул~,п1та, пеи:ше ст1ю. Пифзгорей~1ы 11азывал 1 1 собстnс111 1 ые исс.11е­ ~ова.~111я <· математ;н, ч·1 о 0:1пачаст <- Ш1ую 1», 1.1 делилп 11х на четыре части : арпфметику. rео­ метршо, ::1строноыню 11 гармоншо (уче1 шс и музыке). Гл;:~вrюй сч11л1л:1сь ар 1 1фметшс.1 - наук:~ о ч 1 1сш1х. 11менно 011а т:ж;и 1 а 11основе11 1·еомстр1r11, н ;,~стрт-юм 1111 , 11 1'аrмо111111. АРИ ФМЕТИКА Ilнфа('()рей11ы nредсташ1ялн ~1 1 1 сла как сово­ ~-..-у111 юстн точек образующих н:ометрнчсс 1ш~ копфш·) ращ11 1 - r1Jподоб 1н: р~JСутrка из 1<а­ \rсшкоn па зс,,тс. Т;,~ю1111 обр:1зо11·1 . 110д LШС ­ ло.ч ОIШ I IOJ(p:!З\'\11t.: Ha.'llr f,\.UНJЖ<.:CTHO t.:ДllJ-11\Ц'> (1/1(!•1 . "-ар 1 ттмt)с.») 11 11r11 ~>нан:11111 тол ы<о J(C..'lnte
Ф11гурнt.1f' •ои< Лd . 1рруruл 1,~1ые, квадратные. nрямоу1 ольныt:. пятиугольные. tюложительпые (т. е. 1tатурады1ыt:) числа. разделяя их на чётпые и нечёт11ые. (ILозже I1'1ато11 говорил, trтo арифмепша есть учение о чётнuм и нечётпом.) П11фа1·орейцы доказали псрn-у10 теорему те­ ори 11 rtелимост и: 1tроизв1:дение двух чисел чi:'THOTO l '[J.<11 1 Т'ОЛЫ<U'l'О!Ла, КОt'Да чётнопо кр:.~й­ ней чср<.: одно 11з ннх_ О11н постаннлн такжt" задачу п r1ахожденн11 совершенных чисеJ1, т. t:. члсел , ран~ rы х сумме своих 11<:.л 11т<.:л е1~1 (см с1·атыо «Соверш енн ые и дружестне111 1ь1t: чисжн). Ед11ю1щ1 с читалас ь педслимоr1, у 1 1 её 1te быпо ~доле11» . Uместо этого rrифагоре1'п1ы расс~1атрн ­ валн ОТI10шс1шя (т. е. про порции ) целых <rnccл. 1{ пр11мсру, они мопш сказать, что 2 точно так относится к 3. как ' ' к 6. Говоря современным языком. 0 111-1 построи ли теор ию раци о 11аm,нf,1х чисел как теорию пар. Её и зложе ние дошло до 1-1ас в «Началах? Евюв1;~~1 (111 в. до н. э.). ГЕОМЕТРИЯ Остаётся 1Lеизuестным, сколько и ю1ю 1е имен- 110 аксиомы положили ранние пифагорс~щы n ос нову свосl1 геомеrрип, 110 nce ою1 относи­ лись к ш1;,~1-1нм е 1 рин 11рямоли нейпых ф11tур. Изуча 1шс1> свu й стн а трtугольн111<ов, прям о­ у1·u11ьнико1:1. нараллелuграммuн 11 дру1·их шюt­ кнх ф111'ур, сравниналнсь 11х шю11(:J)\I1 . Пен ч~uю их 01с:тему зю1нv~i1 докззательст1ю з 11ам1::нитоl1 l'еорсмы П11фа1·ора, котор<UJ до этш·о 6ы11а 11.J- вест11а лишь как факт для некоторых: частных случаеn. Трудно переоцеIJ итт, з11аче 11не тео­ ремы Пнфагора (см. статью «Тr>еуголъник, nро­ стеl1шш·1 и 11 сисчерпаемый» ). J::ё обобщение и сспщня лежит в основе определения: всех ме1 р 11ч есю-1 х 1 1ростра11ств. Мож.но утверж;1~1ть. что и в стерсометрнн nифа 1·орс:1lцы дuсп11 ·m1 .ш:Jчнтелы-1ы х успехов. По сtнще1 t'ЛhСтву грсчсскот нстори ка и фн­ лософа 'i/ н. П рrжл~1 . нмt:нно uн11 Л()стr1)ю1н ш1·1ъ правилыrых м1юсо 1ранннков: тетраэдр, Анти1.1ная матем;ника куб, оr<та эдр, дсщекаэ1~р, 1 1 косаэдр (см. стат1.ю "Мrюгогра1 шию1" ). Правда , м1 юп1с соuремен ­ ны е исследователи сч.итают, что ll11фa1·opy бьuш и:шестны ли1m, куб, тетраэдр 11 додекаэдр. а uктаЭ/\Р 11 11косаэдр открыл Тсэт(;т Афш-кю1й (IV в. до 11. э.) , таю1нтливы l1 уч е ник пифаго­ рейца Феодора К11ре1 1 ско 1'0 н Плато 1 1:1. АСТРОНОМИЯ И ГАРМОНИЯ Пифагорейцы считали. что Зс~шя имеет форму шара и наход 1 пся в центре Вселенной: ведь нет нн ка.ю...L'\: оснований, чтобы uна бьmа смещена и л н R ы'шнуrа .в ка1<ую-то о;сну сторону. Сотщс же.Лу11;1и11нтh11J1анет (Меркурий , Нснсра. Марс, Юпитер и Сат~'{J н ) днажутся 1юкр ~т Земли Рж·­ стuн11ия от них до нашей rJ.1Ja11eты таковы , что т1и как бы состаяляют ссмне1·р}'11r 1 ую <1рфу, 11 при их дR и же 11ш1 11озн 11к ает прекрасна я му­ зыка - музыка сфер. Оf>ыч но люд11 нс слышат её из-за суеты жиз1-m, и лшuь после смерти не­ которы е из !Jl[X смогут шклаюпъся ею. А Пи­ фа1·ор слыш;ш се и прн жизни. llифilrop l му.1ыкальнuй шкмой. <'Ppr11 м~'н1 фpf't ~11 Р,1фнл11 • AфliH(KJll IJJKOЛ,1 •. l'i 11 Г.
Истор~1я математики ТЕЭТЕТ Теэтет, молодой афинский матl:'­ матик, имел 11еобык~юве~111ые спо­ собности и при лом был ве<.ьм..~ скромен 11 лружелюfiен. Великий философ Сократ говорил, что Те этет несо1V1нснно прослuвится , ко­ гд;:~ достигн ет возмужания. Н о его жизнь оборвалась рано. В 369 1. дон. э. ТсэтС'т был смертель110 ра­ не11 на поле брани под Коринфом. Умираюшеr о героя 11риое.ми в Афи­ ны и пели хвалебный г имн о том, как храбро он бился в сражении. Несмотря rtJ 11едоl\rую жиз11ь, Теэтет оставил глубокий Сl\ед в науке. Он развиА учение о «Соиз­ меримости• и лал •\ОказатеАьст1ю тстра:Jдр и лолека:>Лр) бым1 изу­ чены nифаrорейuам11, а два послел­ ~1их (октюлр 11 11косаэлр), nо-вили­ мому, OtKpьtA Т~.:нет. ирраuиональности чисел ~2, , 3 и других, причём как в алгt>браи­ ческой, так и в геометрическои форме. Это былu совсршен~ю но­ вое направление в математике. Теэтету при1~амежит и зас-луга завершения учения о правильных мноrогранниках. Их на3ывакл- так­ же nАатnновым11 телами , хотя их открыл не Платон. Три ю них (куб, Стро11 арфы доmксн был подчиняться 3ако- 11а.\1 арШj)~1('1 ИК.И. в чаСТН()СТИ. к~к ()ОНар~жи­ JШ п11фа 1 ·орейцы, так1tе муз1,1ка111,н1,н: нн·1 ·ср­ н::u1ы , как 01<1"-lв:-1 , ю1и 1 1'1";.i и кв;1 рта . соnтнетствуют :знучанню 11::irы од1111~1 ковn 11атяr1 утых струн , д;111нh1 кот()рых находятся в отношен11и 1 • 2, 2:.~н3. ..J. Rce :<1тн от!\рытш1 н привели rn1фarnpefщcв к ·11f{ee о том, что «Rсё есп, ч~ 1сло», т. с. :1аковы прнроды - не что шюе , как закон ы целых чисел 11 их отношений. ОТКРЫТИЕ ИРРАUИОНАЛЬНОСТИ Кпачале пифагоrейцы пол:11 ·а1ш. что отноше­ ш 1я л юбых физнчсских 1JЛJ1 гсомстр11чсск11х lleJlllЧl!ll МОЖJ 10 1З!~!ра:з11·1ъ ()'f'IIOШCliШ:l."11-111е,1 1ых ч11сел. в ЧаС"ПЮСТl f. ШПI CЧIITЗЛII, что nce от­ резки сонзмеrr 1 мы, т. е. 1с1коnы бы шr бьuш два отрс:зка .1В и CD. <...-ущестnует такой отрезок е. который целое ч11СJю раз укнадьшаетсн каr< по длиr 1 е А О, так и по длине CD, а ЗIJачит, rсомст­ р11ю можно свести к арифметике. Однако uскоре ш1фагорейцы сдеш1J11I oт­ K(JhLT11c, которое перевернуло все и.х взгляды: он 11 жжазали, что отr rошспис ,r1rтa гонат r к сто­ р(!Не к1:1адрата нельзя выра::н-п ь от1rошенпем l\CЛhl'< чисе ; 1. П<х1же fi1,uш 11а1~ще11ы н J(pyr' 11e несои :з."1ери­ мыс отрсэю1. R сщстноrтп , Ф<:одuр Ю1рснсктri1 обш1ружнл, что сторон 1,1 кн:щратон с пm 1щадя­ мн :), '),6, 7 ,R, 1О, 11, 12. 1~. 1-t, 1 '>11естrзмеримы со сторо1юй ед11 1 111ч1юrо кв:щрат:-1 Л Te:::i-reт /\Ol<(IJaл, что если nлоща71ъ кналрата выражается любым целы.ч 1Iекnадрат11ым чнСJЮ!'-'1 N , то сто­ рон а е1'0 1 тссои~1мсрн:ма с с,г1иrпще11. Нны~1и слона~1и, было усr:шовлепо: сели .'V Фа;, то \ ~ \ i нс 1:1ыр:::t;.к:н:тс.н ннкаю1м р:ш,1 ·юнат, 1 1h1 ,\1 ч 1 1с­ лом - он ирр:щ1ю11~uтс11 (см сгатыо «Ирf1:1t\1ю- 11 алы1ые ч1 ~ела ~). И тогда нре111 1 е1 ·речесю1е м 1 .1сл1 rтел11 .1:11<.• rю­ чнш1, что ар11фмет11к;:~ 11~ может служ11 1 1, ос1 ю ­ uoil для ~·еометри11. Геометр1 1ч есю1с 1iem 1ч и1 11.1, решилн ош1 , 11меют более общую прнроду. че.ч ч1rсла и 1rx отrюшешш. Jначит, в основу мате­ мат11ю·1 следует полож11т1, rеоУ1стр1по! ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ПОНЯТИЕ БЕСКОНЕЧНОСТИ Геометрическое облачеш rе придало м:пемати­ ке 11еобыююuе1шую красоту и ~101юш111юсть. У•1ение о решени:и уравтrениН ла п сама ариф­ Уlетика приобрели rсоыстричсскую фор :му Именно .!еамет/mЧl'СJШй tl.llгuбjюй назьшасм мы теперь 1 у ч;:rс1ъ а11п1ч1 юf1 математ11ки. 1<() - торан затптмалась нсч11слсrшем отрt:эков н площадей. Осrювы этой 11ауJ<и был11 изJ1оже11ы е «На­ ча11ах" ~ню1 н1щ. Там рассматр1111аются uтре:жи
и опрt.:Дl'ШlЮТСЯ арнф.Мt'ТIТЧССЮll' ()ПСр<ЩШ! шщ 1111м11. 1-lанрнмср, f\t1a uтр<.:::Н<:t складышuш, 11р11станляя 0;(111-1 к 1\rугuму, кы<1итал11 , у611рая 11:~ 60Л11!1Il'J'O ОТ[)l'З Ка Ч:1С'l1>, р:1rшую J\•\C!IЫJICMY. ПрО11зве;(е111 r ем f(вух отрс:.~ков Н d:lЫВ<!лся пo­ crpocrn rr.rlr 1rэ 1шх прямоуr·олыпrк, трёх отре1- 1шв - пpm.юyroJf ы 1ый параллеж:mmсrr,. Разумееrся, rrc 11~re110 смысла rоворитr:, о сло­ же1111н пря ,'>Ю)ТОm,rтию1 11 отре1к::1. Поэтому пс- 1 шслс:шrс. оrrрсделёнrюс 11 1 ·ео.~v1с трнчсской t.tJJ r'cбpl'. бьuю ктупе нчаты.м». Псрн~·ю с-rупL'нь (."О<."J'а кюшн u· 1·рсзк~ 1, вторую - 11лощ: 1;tн, тр<.:­ ·r ыu - с >бъ<:м ы . О 11po11.3f\tJLl' HIНI ч:<:"t' h1pi:'x 11 fiOJICl' отрезков речи нс шло, BCJL I> НСКО:З\·ЮЖJ 1О 11рс,~сгаn~пь r\m 1ypy, имеющую более трi.'х 11~­ щ:рс1111й. И11стrумс1 1 тзмн, с 1юм о 1ц1>Ю 1ш·1·ор1,1х р:1:1рсшалос1, 11 ро/\tдьrвать rюс.:троt'11ия n rсоJ1.1 е1 ·­ рнческой :lЛГсбрс, стат~ ц нрку.тл, 11 J 111ш:·йкd. J3 первом же предложении ~порой юшги • llачал·) даrто гео.четрнчсское дока3~1 тсл1,спю распрсJ1ел 1 пслыюr ·о (,1.1,истrнбут1·1нно1·0) :за ­ кона умножения: L:сл11 11 рнмоу1·ш11>1-1 1 1к 1 ю­ стросн 1-1:i отрсзках а 11 /) ( рнс. 1) 11 ()/tн r1 и::~ н11Л, скажtм а, р:1Ссечёr 1 на час 1·11 а= а, + а~+ +...+UmТО r1!1=(а,+а2+...+С111)Ь= t11h+tl2IJ+...+Cl,/J. Перехоf( к гепметр11L1tскому языку по:шолнл uперJЗые л.ою:tзать 11 некоторые алгебра~ 1чесю1с тождества, н:шримср в~см 1!зnссп-1~10,форr-1улу КR:~лрата суммы (а+ /J) " =а · 1- 2a/J + ь- (рве. 2). Oi.i~m щно, что п:юща;\h квадрата, 11остросн ­ нот 11а ,~, орсн-1с а -1 fJ. склщ\ы нас-1 сн 11 :~ шющ:t­ дс~'1 ;~ 1~ух кв:~др:П(Jll ( 11:1 сторо 11 с: п 11 e1·opo11t: !?), :J таюкt ,'\Н~'Х 11p>H•I0Yl'OЛЫlllK(JK, llOL'l'J10l'llHЫX 11:1 11их. Пр11 чём спраnеюн11юсrь тожцеС'nsа ;о·:шовлепа rr,11н нюбых а п Ь 11ез:1вист1мо о 1· 11х ко111<ретных ГКЛllЧ[Нl и ОТ того. COllЗMtpIIMЫ 01111 нт r нет. З:иачи. экшшалептные ю~адратным ~1Jанш:­ шrям , ·~·шоке: полvчпJ111 1 ·еоыстрпчt'скую форму (/ аЬ /) /1 аЬ (. /11 Ри~. 1. f't1L. 2 . Античная Mcl 1· ~матик;1 11 ~:)!X'll"" " 1fi1mtl11ш1 J~ro No1!• dladqti <:< ('IJ(ID ""'•нлшn 1npf.i fi r:t'qt1U cntl)u;,\ (1.tiUCfiJ (ltJJdt \Nufu\I~' ir.co . ФЭ1~ Lн1а,а.ь.01111 1а 111.0.с.-:.1.tl~.d b.Ot.QI;' .'йо~ q;,f11q ~i tl'lt fiX W·~a.b.111(cqot11 <:1.с .ь.f.t\\llii (l'\ lн-1qD'fщ11t (~ Фr11101 11:11 \11:11Пti!t~q; tжr;n1m p;iп1>11n qб va~:i111 PQ.tdx!.olk1w- .c .s ., ,{t.b (qщJ.1 11J11ur.:1.c.t' b .f .6!111tcrlu111<JtUf,t <~tn.;.a;.b.(tl.fQ3 p p:..:1mfT.amqь М <т«t/ • ftit.l.•111 tot111n.a.ь.щuб"qD(u q.~1"11.k .11.1 ur1•11CCJ \;t6t.•.t.иq1 tr.k .1 о.Ь . 1щJ6f1н~шшict.<1.ti 1p('C.-'6(J.,k .юo111111\ir<N ~.h qg.11u~-a.b &n011111'8' ст1d qr.k . t .. alt .IUt t'\4U3'o.~pJt« \\':1;dr( pюpo(11n1t1. 1J:>:"P"fino ". fo<r1tt111C'a tn t'IЩl~'Wt'1!0tU11~ 1Jlt1~ qt\fitiq: ~rшu t~ 001Mlt<'tntn .rrё cquit <Тltb~q<~C<Jmt dnld< p:lr 1· 1 111ulrt.wш. °1P':"poMto · - 4 Э fi.it}lf f&llt"ll~tf} VШI~ blfUC'ltOll11tlud Q"l:t:tlDCПI ron°i c1p(J f1r-.c:quu i: Ь1очcr i)C("m\1muJq; rt!Gl l~tpl:\ f11tc. r1"1al1tт;s btt! JE.-1~('( ma111fclt Uf q, i ot 4'ft 'i .1tl) \1u' IDQ rk1roQIHtG t1Шf11(1('Т ft\\\(~rncdi.11 (ш1t SПlbC quзdr>atC'. ([!:';t111<11"'J.Jl,b.t1rP1''11i ·1.ai.c~.b.t toltoq•ф11drtl11n1 rmuз 11.Ь. щrJ1t1 a!~J.Юu", qa1'!:.Jtц_'r OU4n11nli11car1nn .a.t. r.~.(.oor10 а~ q.6 f.r r:tronu • 1 11J:н-а.;: 1.11..it1л-Jш:r,,.lmoo111'°Jt~dt.ttьn1 ,11'"~' ~orr~:11шm f11q\ c.d.b.c.qtl3dn1U l1n<(.,t Ь,tщ ad&1 1r,sJn1 s;1101 11мi(~·o"id1i at1tt1i ь1r..tt1116 1111(( !i.ft11.UGf'i).ti С. q~Г:ш1111 Ьосщ6,i11qu.Юшо «fСПр!О p:Ch!ll.чam Cl!lfl'IClrU ь..<t•..:а 1'-U llC ll),] , cd11(11111pc:rpc11da..1i11r<m (1)~Jttkmr1 . a ь.i;i11Cf1.l.\'J .k ."p'1 t .k -r~IJ.mCml b.J! . , . i-. dut3nt ffq)qi10 roomjr1111нnuroJ.'t't,J p11ntto.f r:oФltJn {.~.('-11JtJ1 11Jnrc(11\.(.: .с ь.qui.f.t:i.<.Ь.11' r:od1Jt'3n' f:rq)quo tcntmтjrt рй-:rо 5.~r:od1Nj.t,d.'1iu~J h.- : : .i:.d. ffq;od k.frq;шaooolзttl'\1 ,d.(л.c.b m•1• ~~.d.r~Ь.fi111rcqnai1.1~dUfJ>CY.s p:u111 сн10 aiis!Ja.(.d.ь. 't.t.~.d.щ1itcs:-: qt 0.t1s1il1~.r.dt rмu~ <nt ~.~:..р:нn1 flctqj щr:m1-J1tto.!rL'l'ft, .f~dc 143rk псr1 ~u~:qiз11:;u!o:ai.t .d.ь.-:..c.ь.-J cщ1rщJ1aзu rct1 1.qiwLe rocбd1e1nn.~9 ~ 11tl Cl'\f WJl~\(n(q;<f.l~IUC~a!lёi'iofqm rr.n1.b.(.d.1.b.d.f.~.}i. f,d,f .k,d.J, ПК dli.1ag f(:m n'»O C·6.f'~18nt.J.j.1.S, Ь..timtЦl11:ik!I, (1m1IUCГ Cillt'I)) .f .4. 't .11 .b. pзnr6c.f.Ьл.l>.d..11(1.\\(.t\,1.k d qlШ,\"fr2rj)t'Cl:m:i(p~l(1cn1.<a.b!J f.1 .t, tf,f>.t tO ~uadr3r11.z"\~101J1~(\IJJi1r.Jruщ,'3.b.f.g.qнitqutdr~cLi ~n«:.·~.b.!011 lt'1 fй0~1"~q.цdтiЩ)q1Xr$1i)r1n1amo1!ш~~r1mt ~1dr..at:iD\1.ir1ri11 1.t1юn:1n '3.с.-:.с.ь -:«oooЬooft1Niltm(n11Sqooii v:11*~·pdoaf« .t.tJ11 ~.c.pJra p~OQQГ11uщ щ:Oni.<IЭ!ttcrt'tr lioo:1.~.b. Vt P~i o.щft t11 <1,, .t . .< .b\ ь~ [[]• ' • о .~:• < ' l~n~a'\,)Tfl ,'\bl 1нп 61tПрн6) T IHHH.I '- 1lt V'\НiОЖЕ't-ЩЯ н cJ•opr-.1)' i\til 1ш,1л рм.~ t.v~щы "''10.\ом геометр11ческст ,~л гt>оры. 1. t{KMI.\. < Нс1'1.!Лс1> И$,\,11111Р 111\.! r . ; 111ронку. Реч 1 . li 1111х 11ш;1 о f 1 1pr1Jroжe 11111 1 пло­ ща,11;е1~1 ,). Р:1со1этр11 1 1э1111 тprr п 111 а т:tю 1х :-~ад:lч: 1) преобр;.~зовать /\а1 111ыf1 прямп) 1-с>JLьшп< в кв;.щрат, т. с:. ре1111нь урзвпсrще .У2 = a[J (пара­ болпческая :iадача ); J.) пр 1 т.1ож11ть r< 1(3111ЮМУ отрезку а прямо ­ у1•олышк :1~щ;~н1 юfr rшощ:.1;l 11 S так. ч:тоб 1,1 •! 1l'до ­ с 1 ·:1ток» был l<Ba/lPCl'f "OM: x(rf - .\') = S (эю11 11 п·11- чсскам :~а;1:1ч<1.): ;1) при;юж1лъ к ;рннсщу и1рсзку tl 11pммu­ ~TOJL'1!Lll l\ :J:.If(3111Юi"l J[Jf()llla/ \11s · 1:Jl\,ч106 1,1 <' JIЭ­ быТ(Ж ·> был 1ш:1r\р:1том: .:\'(n + х) = S ( 1·1тrтepoo­ mrL1cc1~u1 :iа11ач:1). С 1 юио111ыо циркуля 11 тше1'пш можно ре­ ша11. за;tач н, :жшшале 1 1т1 rыс ю1адра·11 rьщ уран­ нl' 1-11 mм. ИМt:ЮlЩIМ дсйсТВ I ПС.'IЫIЫil ПOJIOЖll ­ l'C.'lhHЫЙ корt:н1,_ Те ж<: мс..:тu;(ы познот1ют pt:11taп, Jaд;JЧJI, CBOJl,)LЩIJt'(Я к IIOCJICД()B,l 'l'CJl l>HU­ CТll Hl'CKUJlhКllX 1ш:щрат11ых ур:1нr·1<.·1111!1, в ко ­ ., opor1 коэффr11 \llCH 'IЪI К: l Ж!\01'0 O()C.!JC/ lY1011\L'l 1) ур~11111еrп 1 я :з:ншсят от кор1161 11pt'д1.11\yr1 \е1 ·о. Очс 1 11, скоро поннт111сь 11 др) 1 · 11е :~ад:.1чтr: 06 уд1:юеrrни куба, о тр11сскщн1 уела, о тшадратуре кру1·а (см. статыо ,:1·рн:ш~1ме1111тыс :1алач~1 древ- 1юсти " ). Jдссь гсометрIJчсск;~я аш·ебр;t 01<аза ­ пась 6CCCll.'Jh1i;\. Одпак(.) уже CLMJI IЮПЫТЮJ
г История ман'ма1ики реши1 ь эт11 з:-~дач11 привели к nыдающпмся рсзут.татам. Упомянем лишь. что пр 11 1 1сслс­ дова111 ш заμаt.ш об у;~носнн11 куб:J были откры­ ты кuннчсскш.: сечс1щя - 11овые, чрезныча1~1- нu нажныс крr 1 1-1ые, нашсд ш нс бт-1 статсльное 11риме11ен J1 е н ;1стр()11ом1-111 ю1е тысячи Л(:Т спустя (см. е1 ·атью "Замеч::1 ·1е1111 1 1ые кр1нJые»). Неразреш 1rJ\10cт1) :11t:~менитых за11ач дреrн rостн смrт11-1 доказа 1·1, тnJ 1 ько в XlX в. ПОСТИЖЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОГО Нместе с открытием 11есонзмср11мьLх вел11чrш в l 'JХ'ЧСС КОЙ ма·1·с\1.ап1ке IIOЯBJ I JIOCb l lOJ-IЯTИ~ ficc- KOllCЧ! IОСП1 Трудн ости, СПЯ:1ан Hbll' с ЭTll м nо­ ня 1 ·нсм. 1Jрн вел н к 1·лубо1ю.му 1<ри:-11-1су а1пич 1 юй м<Jтема·1·11ю1 ::1тС16ыла первая большая буря, по ­ трнс 11 1ан ещё 11е окрепшее здание 11:-~ую 1. В об­ су'lrсдетше nюпочились ф11лософы всех школ 11 11алравле 11и.й: от Л11а1<с1гора н Дсмокрнта до Лрис-1 0·1·елн. Софисты (профсссиошшы1ыс учи­ теля философии), I<Отuрых Платон окрсст 1 111 МСJ1Ю11'11И тор1·01:1ц;1 мн ИCTИ I IOll, CДCJl;\JIJJ ...JТИ во­ просы оченn rюнулнрнымн. В<.:l(рыть 11,сйстн11тсnьныс тру7~;носп1, т~1ящ11- сся н поня·1 1 1>1х 1-11:: преры1ню1 ·0 11бесконеч11ого, и тем самым показать, ско111 . 11есоверте 1 н 1 1,1 ещё бытr 11rедст:-~ нлеm'1Я о них. удалось 3сно ­ пу ЭлсfrскоJ1.1у (около 49U-око.rю -J. -)0 до н. э ). сформут1rовавшсмх их n виде парадоксоn. нли cmopuii (греч. «апор 1 rя•1 - «трудпостм, «бсзыс­ ходтюст1.») Вот уже более 25 веков ош-1 при­ влск:нот внимапнс мат1:мат11 кон и ф1щософон. :Jснон был любимым учеником Лармеtш­ J\а - ~·лавы шкu1rъ1 ~ле;.~тов (no н~J ЗВ:J.нню ro- Зt•tщн -Элещ ~''"' 1р.шю1ы 1ьОЬ r рода Элея), кo-ropыff nсрnым т~ачал строить фнлософшо 11а ос11ов~ лопrческих рассу'А<f\С - 1шй Дрсв1шс счптали Парменида родо11ачаль- 1-111ком 1ю1 ·ню-1 Элсаты nостояrпю пол r,зо1-1:1- лнс 1, докаэ;1тс11ы:тна ч11 11 утём 11 р111:1ед~ 1 iИЯ к абсурду. Так 11ос1упал 11 З<.:но н , призн~нный з ;~ м <~стсрскnс нлаJ\ен не дна11ект1 1 кой •·лву­ н:-1 1 ,11нн1 ». R J(JX'R 1юr"1 11 6ы1ю 11·~вест1 f() бол~е сорока апорий 3сrюн:1, но пас же л.п 111ло всеГ'О девюъ. Самыми знамешrтым11 являются четыре а110- rии ДВИЖСIПIЯ, •ДИХОТОМИЯ», «А.хиЛЛеС 11 чере­ паха ·), <· Стрела» в •Стад1юн", rюторые форrv1 у­ л 11руст 11 11< );чю6но nбС)'Ж/\аст в сrюс:й «Ф 1 111 о<С» Ар1l(.' 1 '( >Tt::JJ />. Своим зl1орням .1е 1 1011 Пf)И/\ал ярко ныра­ же 1 11. 11.1l1 (l) 1 1Зf-ГЧCCl\Hll смысл: он l-1~1J1paв111t 1 1 Х ПрОТИВ 1ЮЗМОЖ! IOCTJ.I ДПI rже1 П I H. Н() 11едl• ДFН IЖС­ ПИС тел пpOllC'XO/HIT ежею1е 11 110 11:1 f l ~U I ИX глазах! U чЕ.м же '"ело? Очстп, остроум~ ю раз­ мышления на эту тему а:~ложил в пс()олы пом стпхотnорешш Ллеl\с:нщр Сер 1·еев11ч Пушюш. Вот как он прсдст:шил слор двух мыст1тслс~"1 /\рсmюс-11 1 - Зенона 11 J~iю r ·e н:i : Дв11же11ы1 щ•m. осазал .Л~)·дрец брадатый. Др) •юti CШJJ/ 1-/(/Jl / .( ( 111(1.7 пре(} IJU.M . \"(J('IUJ11l1. Сши~нее бы не .~юг 011 возразитъ; XlШ/tUЛU i:JC(! Ш1'/i:J(!1)] 3tlMblc;!l()(:/({1J/Ыzl. Но, госноr)(/, :шби1л11ый CJ~J' Ч(l1t Cl!1'i Дj~)1Юй 11/JШUJ/J NCI 11flAIЯ1П'h .1111-il:' 11/J/180д/1111: Ведt. к.аж:r)ь11/ f)eнt, преа налt11 сш1нце xщ)um, Ойщт:п .11( прав у11ря.мы1/ Гапl(.m!1!. Об 11 1епрннятой н 1 ·рс ческой мап.:матнке стала точю1 3рен11я, 1:1пtрвые в ы сказаннан ф11- лософом АнаксаJ'()р0~1 (V В. ДО I J. Э.) . 011 пrо­ IЮ~гл:кил. что • н >vtaJ юм Hl' существует 11 ~шмеш.- 1 1 1 е 1 ·0, гю nce1~1a естт, сщё мснпu1с<.>>. R рс~)J1hт:1те 11елення отрез1<а 11re1·; \a 1'1удут 11ОЛ)"-1<l'п,01 отре~­ ки, которые по-прсжнсчу остаютсн /\еmшы ­ м11 ВСЛИЧIП ! ;:JJ\11!, и таr<иr-1 11у1ём мы l!ИКО J ·д,1 не доlщё_r..1 ДО llCДCЛlli\.lblX •Iасттщ. ~ТО ОЗШ!Чае1 , спо 0·1 резок ш: <.:остонт 11:.i точек, а ест 1, «rеомет­ ри ческое место » точек l l oш.1c основы маТС\1:11·~·1 кн - общее учс111rс об 0'1 HOIJJCH.llJIX 11C'l'fl<H'llC методы пpcJ~l:Jlhl-lf>IX 11ереходоu - былн со:щ:~ны Ендоксом К1-11щ­ скт1м (около 40R- n1<0JIO 3'>') N> 11. э.). Еn,ТJ,окс б1.1л 1 1 е толыт 1 ·е 11 1 1 а11ы11>1\1 матсма­ тиком, по 11 вы/1.зющ11мся зсrро 1 юмом. 1ео1·ра­ фом . врачом. фшюсофnl\'1 11 ора 1ором. 011
АПОРИИ ЗЕНОНА дихотомия (рассечение n оnолам).движушееся тело t111 когда 11 е достигн ет KOtll.LJ пути, поскольку сначала оно должно дойти до середины пути, по1ом - лосе­ реди ны ост;:~тка и так далее. 3 начит, прежде чем лоити до конца, 0 110 долж1ю «отсчитать» бескон еч­ rюе число сереы1 н , а следовател ы1 0, до конца дой1и ему не удастся. И ногда этот парадокс пытаются обы1снить тем, что сумма всех пройденных расстоян и й представля ­ ет< обой хотя и бесконечный, но всё же сходяший ся ряд (с.м. статью « Чи 1ловые ряды•): Американский математик Герман Вейль, чтобы пояс 11и ть, в чём именно здесь состоит труд ность , привёл тако и 11ример. Представим себе вычислитель­ ную машину, которая выПоl\няет первую операuию за 1/2 м11н, вторую- за 1/4 м11н, третью-за 1/8 мин и т. д. Такая машина моглil бы к конuу первой ми­ нуты р~>шить, t1ап рим ер, вели кую теорему Ферма. Но ясно, что работа над построе нием подобной машины обречена на неудJчу. Так п оч ему же тогда тело смо ­ жет достигнуть конuа п ути, отсч итав бесконечное множество 1ерели н ? Ахимес и черепаха. Быстрuнuгий Ахиллес 11икогда не лоt онит черепаху, если даст ~й хоп1 бы малень­ кую фору. Ведь пока он пробежит расстояние форы, чере паха уnолзёт на другое расстояние, и пока Ахил- 1юд1~лся в Книдс (на ю r ·о-з:~паде МаJюй А3и11) и ркс н молодnст1·1 гюбr,лзал по мноп1х l~гран:~х_ tl;1 С11цит щ оп учился мещщ1111е, а п Грецт1 юучал мате.\1атику под р)'1<0Аол:с·тпом 1.;ру1111е1<1- шеrо учё1юго то1·0 времснп Архнта Таре11· 1 - скоrо И если Фещtора Кире11с1юго и Теэте·1 а \ЮЖНО было бы 11азват1. алгебраистами, то Лр­ х11т и Еnдокс :3анимались 1адачам11. 1<отор ы е ССl 'ОДНЯ прю IЯТО (JТН()СИТ'f, к "1tаТематнческо.му анализу . 1<.ндоксу было немногнм бот.нrс f\н::щцати. кшд:~ ()Н прие.:х;u1 п Афины - 1'J l :tR11ый кулh­ турный цсн·1р I'реции Г::1·0, как 11 \1но111х дру- 1 и х мо110д1>1х людей, пр11nлек;1т1 :~11аме11 1пш1 Лкаf\смия I l лато 1 ra, на дверях которой быщ1 высечена тщrтись: <Да 11е nойдёт СЮ/1,а пс зпа ­ ющ11й геометрии». В Лкадем 1 ш ш11роко обсуж­ д:~лисъ ос1ю1111ыt' проблемы ~rа\'Т<И и филосо­ фии. Именно :3/tt<.:I> Евдокс 3аиптсрссовался Ан 1ичная математика !\ее добежит до этого места, она уnолJет еше дальше , и 1.1к до беско н ечно сти. В эн; и <I пории помимо того же затрудне11ия со­ с-чита нной беско11еч1 юсти есть еше одно. Пусть н.:1- чальное расстояние форы - а, и пусть Ахиллес бежит в k раз быстрее ч е р епахи. Ко гда Ах~1Ллес пройдет р асстояни е а, черепаха отползёт 11а a/k, а когда Ахилле< п окроет 11 это расстоя н ие, череr1аха пролвинется еше наа/k~, и т. д . Предположим, что в какой-то момент Ахи ллес догонит •1ерепаху. Запи­ шем путь Ахиллеса 5 =а;-~+~+ " kk2 и путь черепахи аа а s.,=т+k1 +kl+ Кажлому отрезку пути , пройде1 11;ом у Лхиллесuм , со­ uтветпвует отрезок п ути черепахи. Поэтому к мо­ менту встречи Ахиллес долже н п ройти «СТОl\ько Же» отрезков, сколько и черепаха. С другои сгороны , к,1ж­ дому отрезку, 11ро йдеt11юму чср ст1хой, можно сопо­ ставить равный ем у по велич ине отрезок пути Ахил - 1\€\<1 Н о кроме них Ахиллесу нужно преололеть еш ё один оrрез<>к ллины а, т . с. 011 должен пробежать на оли н отрезок больше, чем черепаха. Если количео·во oтpe'IKOR, прuйленное последней, равно п, то nолу­ чаем,чтоп+1=п. Парадокс о том, что « часть равна uелому», стал в посl\едСТвии предметом ра .iмышлений Галилея, Ни­ колая Кузанского и м ногих других учё 11ы х, которые даВ<1Ли эrому парадоксу различные объясне11~1я. :3Эда ч ей, постанлсш юй Пт1тоном · скш ~струп­ rоват1, MOДCJlh, А KO'l'Oj1<JIJ С ПОМОЩЬЮ ранно­ МСрН ых i-. :py1' 0 111 .1 х днижений сфер М( JЖJ 1< >ПыЛ< > /\рх11т Тарентски11. f f liШ~lfJ<I J ()(111 1 .:.\ J
·12 И< тоrия 'vldT~MdTИKl1 6 1.1 110J1} 1 111·1ъ l:\Ct: rнщимые дш~же1111н С.отща. Лу1 1 ы 11 11т11 н.:т, - н yc11cr111 ю сё рстrпrл. Вс1шрl' F.в:tOKl Ot'H()K;Lll coбcTl:JCI 111уто 11:~учную IТТТ<О.'1)' в К11 !1 11\t:. н:1 южнu \1 1юбсрсжье М рз \\Opr ю1·п чорх Там ..ке 61.ща 11щ· 1·р< н.:на обссрватор ня , псрnзя n :~лл:це. Uдн,11<0 11:tп60J1et: 1·11убою н: 1-1сс:J1с,щн:11111я Ещ.1окс:1 0·1 J юснтсх 1< 06J1:ti.-1 ·11, котор:.J>I тс1 1 L·рь на:.н.1вастся внеде1 11 н.·м 11 ::J 11 aJ111з бесконечно м:ш ых нсщ tчш r. Ilo q.щ~стDу, or1 пос1ро11;~ 11с.:р­ В}Ю к щ: тор111 1 т1::ор11юдс1ктнн·1е:1ыю1п ч11с11а ('1еор11н 1<1·11 ioшe111 1 lr ) 11cu щал \1спщ 1rcчtpnы­ n::i1111я "0·1оры'1 1ю.r1ь Juкал о1 np11 выч1к. 1 е11111 1 П.'lOЩ:l/tl'il кp1 11IOЛllHl'ilfl l,1' ф111·ур. ~)ТОТ мето, 1 по:ш().111111 с 1 por·o с:ощ:р 111 а 1·1, 11рсдслы 1ыс П<.:)Х:­ хою.1 ~1 l- 1·a11 пс 1ю1юl1 а11т11ч 1 шl1 тсор1111 щх·д<:­ лов Надо с1<ааат1 •. что 0 ·1крr.1тыс 11а рубеже Л'\· 11 Х\1 111110. !\1e'I'()/(11I 111 IH:' l'(X1ЛЬHOI'() 1IСЧ ll('!ll '- HllSI устуnJ .1и по cтporncпr ме~ону Fкюжс.1 . С1 [10Г11t: ЖС МСТО.J,Ы ПОЯ\311Л11Сu illlllll• 11 '\IX 11. •"* Геоr-н.:тр11 1 1 cl t-;:.!» ;u11·<.:6p:1, 1ruJншrщ1ш::J) 1 11:1 r 1ер ­ вых 11Ор:1х 110JIJ'Ч1 1·1·h Gom, 11111 <.: п рсимущсстnа пере,~ ч l ICJIOIIOll :1Jll 't:'t)po1'1 B:tHI IЛOШlll. 13 опр<.:­ .J.еJ1ё11111.111 мn\1е11т стаJ1,1 1ор\юз 1п ь pa:и.il 1п re :нrrнч11oir мJтс.чат11юr . 011:1. rю,'{обнv 11;~нц11рю, сковьш::~ла её ж~шо1·1 ор1·:11111 ·з м н .\Н~ 111:1ла l'~'Y 11ра111L11>1ю расти. Н:.~чат1, хптя бы с 1·01 ·0 , ч 1·0 ур:ш11сшш чствертоi1 степе ш1 11 в1,m1t: J \:tЖ<.: нс рассм:1·1р11uалнсь. 13 1 ·<.:о.ме1 рнчес~ш1·1 :11 11 ·еб­ ре нс 61.11ю места 11ля uтpr lll~Пслы rыл c111 ccn. llt' п торн уже о м1 шмых. l lco(lxo..::rr-r.чo t)ы;ю от­ ка~а 11>(.'Я ( 1'( Гl'OMl"l'PI IЧ<.:CKOl 'O stзыка 11 ис1,;ат1, 1ювы11 , 11n. 1ee ot>щ11l1 11 l>олес п16ю 1 1! . l'Jкo1'1 язы1< ()1,1.'1 11аiщс;;т 1 то. 11.ко в 11cpRыt: нек.1 нuнui1 эры н ·юоху эт 1111111 :1,1а. ПЛАТQN AJ<A6HMIA ЭПОХА ЭЛЛИНИЗМА И ЗАКАТ АНТИЧНОСТИ Новая .-н н 1x:i :tJ 1·п1 щюi1 11сторшr - эпоха элл~1- н 1 1.1.ч:1 - 11aч:u1ach с за 1юсв:1н111'1 Ллександр:~ Ма Kt:ДOIН:KOIO В :).)2 -. 11:'> 1'1'. /(() 1-1 . Э. OI I 1101<0р11Л t1·1111ет. R::~ш 1 1ю1111ю, Пср<'1110, Со1·;.щ:шv. u:1кт ­ р1110 11 д..1.ж<.: чаt.'Тu И11н1111 П оен~ С.\t<.:рт11 А. н:к с.1ндр.1 u1 рочнан 11ч11ер11н рас11зласh. Е1 о 110!1- коиuАltЫ раздсл~1.rt11 \1<'it<;!) собоi1 ззиоёка11ны<: c1·p;.t 1rы : h1·11ncт vl<З:J:lлcя под nл:1ст1.10 Пл 1л<.:­ мс.:ск. 11 Мссо1юта:v11111 ~1 <..:11р1 1 и с 1:~л11 11р:~1111 ·1ъ С<:;1с11К11/t1.1 , н \.1,1 Kt:/(Uн1111 Л1п111·011 11 <:1011р<.:­ ем1 111 к 11 .J t: 1ж<.: в . tOJ11111c.: 1'111 ,1.1 пpanи.rr11 греческr1е ЮlЯ:11»1. 3аКОГJЧIL'l:.кь :iJ IJlllll11(.TllLll'CJ~;.ш эгюх.1 в !>О-х 1·1 :io н :с.э. юн ·, 1:1 1 • 1 · 1111с.:т - 11ослс:111ня rpCЧC C1'<UI l\OJI OllШI 11о~-;ор11,1сн (111 ч. шна \I ~1pah."lt'p1юf! чt'рто11 +1011 :-тол11 61.1.•ю llU/\- ражаннс 1ю11111сю 1"'1 ( 1·рс.:Ч<:l к~ 1\1) оi1р,1·щ:1 ~1 нu вс<.:м - 11 11с1<усстне. 11:1) i(t' , 1<у; 11.1 уре 1 ·ос~11:1р­ с·1·нс1 111 ы\·1 я:!ыком. :1:111ачт1т,11 я:1ы1<()м н:1ую1 11
культур 1.1 nо11сю11у быJJ r·pcчccrшi1. Учёные те11ерь легко об щалшъ и rюс11ршшмали тра­ д1щии. сохрашшurиесн в науке ра:-шых стран, ранее обособлен11 ых. Цар1, n·1·ш1емс1v1 1 Сотt::р 11р:1вил El'Иll'J'() M 1:\ .101-283 1т до н ::J Свuсй CT!JJ1и1 tei1 он 11збр:ш город. OCI IOHaHHhlJI к .~31 г. ДО н . э АлtкСаНДf)()Л1 ~1аке11.0Е1О< 1-1м 11 на:зн~н1 1 1ыii Ji с 1 ·0 ч1.:с1ъ Алсксан­ щ1 11 tl1. Здесь ПтоJJемсй ос 1·10нал 1v1усейо 1 1 (хр:.1.11.1 чу:1 11 окроnrпе;1ы 111ц п ау1< 11 11CJ<yccтn ). ста а­ шиii ЦСJJТром 11аучrюй мысли ЭЛОХJI ЭJIJШ IШ:1иа. 13 сос1 ан Муссйона в.ходила 11601~атсf11n ая Алек­ сuщр1tйская би блиотека, 1ха считыu:11:1шая око;ю 7U() тыс TOMOfl ( C l.ШTJ(OR) . Е~ ocrюny. 1ю преда ­ нию. tо<.:т~шнл: 1 б 116шют1.:ка дри<.:то·1·еля. Имен­ rю ею; ~;~ стрсм11 1 11 rс 1, Ж3Ж/t)'щ11 с знашrй .'vluлu ­ /IЫC JHO/ \H со нсе 1 ·0 MJJpa В IП-П 1ш. дон. э. особе11 1ю 61,1C1JX) ра:~1111- r1а.·111с1>'ючные 11;-~ укн. И :по 11еуднnнтслы1 0, пп­ сколы<у IJ Т() нремя Жl1JIII и TR()[JШ I И ГС I ПН!, 11ме1 1а 1юторы.х н:шсс-rны 1J uеках, - F.вюшд, Ар­ химед, Лполло1шй . 13сс крулпейшис учёные, за нсю1ючсн11см Архимеда, работали 1·0 1 да в Ллс1<­ сандр ш 1. Ен клид б ы J I совремt'1111иком Лтолсмеs~ 1. И это, rюж~1луr1 , всё, ч-~о досто верно о нём 11авест 11 0. Нет с1:1сдс1111й о том, uткуда 0 11 бы.11 ро,(ОМ, r·дс l I у кого уч ш101 Кос-кrо и з и сторикон 11ayic11даже11ред 1 юлагал, ч·1 о имя ЕнКJJИ/\ елу-жи­ ло nсеRдо1 111мом лля 1-руппы алекс:шдрийскнх матемаr1 1ков (подобно тому, 1~к фра 1 щузскпi'1 матемаr11к 1l икотi Gyp6~1к~r или руссю1й писа­ тель Козь.\1а Прут1<01J лвлялис1, J шшь ВЪL\11,1шлен­ ными персонажами . з~1 кuторымн скрываласr, 1 1<.:л:н1 rp)11П<I анторов ) О; 1нако у шн.: нет о<.:нu- 1!:111ю·1 сом ненат 1,01 н ·1ом, что Енкт щ peu1 ы-1 u Еuкл11д. 1 pttBfl'Jf)il ft(1 ,"едt1 П1mмРfНЮ X\lllJ в АI ПИЧНJЯ Мс1ТСматнка ~ 8'J.(]_J существо пал, как пс сом~ 1ев:~лш::ь R з'го~1 и по­ зю 1ейшне греческие учё 1 1 ые. Н оюrом нз сnоих соч1шс1 1 ш'~ r lапп Лле1,с:11т ­ дрнйсютП ( 111 1:1) изображаt:1 Еnюнщ:~ как чс­ лuнека ИCJ<ЛIOЧllTC!lЬIIO ЧС<.:'L'Н01'0, TllXOl'O н скром11оrо. чуждо1·<1 ·1 · щс::славня 11 э 1·011зма. Он­ нако R нооросах, кас1.10щ11х ся нзучснш1 ,'vt~1- · 1·е;ч:.~тню1 , 011 П 1,1 л li яысше~'1 с 1 ·L'псн11 сср 1 .ё~1<:н 1r C'l'po1·. Как coofi 111acт пстор111< 11 ф1июсоф Прокл (V 11.), одпажJ\Ы царь Птш1емс::i1 спрос~ 1J1 Нвклида, пелюs1 ли найти более коро·1 ·ю1fr 11 ме­ нее у·1·ом1пслыrы~'1 11уть к 1пучс1111ю п:<1мстр1нr. чtм шту,~ровашrс <·H::tt 1 :ш~. Учё11т.п'1 см<::Jю от­ нстил: «В гсо,н::трин пет 11а1х:кой доро 1·11!» Дру- 1·011 11сторичсск~1й :шекдuт rюв(хтвуст о том. что Oi \1 IH IOI Юllta, 11:sуч1ш первое прсДJЮЖСНJIС "J-Iaчa11~. cпpOCllJI у ПBК!lll/~3 : «А что н CMOI')' ~.1<1- JXIOO'Г~ITh. выуч11в нсё это'·• . То г.п.з Енктщ нознаJ 1 раб::~ 11 ска:зал: "ДаГ1 ему трл обола, т::1 к 1с1к бе11- 1IЯжка хочет з~1рJбота·11 • дспьг11 сноим уче11н ­ е~1». (060J1 - мелкая серебряная мо 1 1с::та.) Евкш-1д - ;штор «Наqал• - юrиги. 11ережнл - 111сй бoJJee двух ·п,rсячел<.:т1 rй. lle будет r1pe) ве­ nнчt1шсм сказать, что по нс11 уч11л 11сь матсча ­ т11к 11 нссх вр<.:мён н наро11uн. И до си.х 110μ ..:Jта у1\ 11 внтСJ 1ьн ая ю1111 ·а не ~-1ратнла с.1юсго Jначс­ ния . Со;1сржзнне et: ;1: 1J 1 еко 11с исч<:μ1 1 ынае1·сs1 :--1.rтсме1 1тар11ой 1 ·ео'v1етр11ci1 . 3/(L'l'h 1нщ 1-юд1 1 то1 1пиг болсt' ч ем .)()()-летнему разк11т11ю :111п 1ч- 1101'1~1а·1·ем~1тию 111 1 1месте с те."1 С< >:щаётся проч ­ ная ба:1а дш1 дальней шнх 11ссш~доnа111-111. Прокл ут1:1ерждал , что , составляя ··Начала", L:вкmщ "r1ю1ючнл в шrх ~шогое пз Enдoi.\ca. усоnершс11 - с:тnов;1л :vшoroc нз Теэтета и дал 11еопроr1ерж11- мыс дсжаз;~тсльсrва того, что его предшсствст1 - 1111к~111окаэал11111:строго*. И хотя матсм:1т1~1к;1 со F1ремё1 1 Е.вклиr1а IJЗMCIТ\1Jl;]Ch OЧl'lll> С\.1ЛЬНО. 1 1 а 11pcrvюжc111·1>-J ~ начал» нее послед) ющ11t матс­ ма J 'И КИ CCЫJJЭJll1CI> как на llCЧTO око11ча'J'СJТnНО уста1ю1щсн 1 rое. (Ппдробнее об ~то'v1 юаор н тся n статт,е ~ ,. Нзчал а" ЕRюшда·>.)
Истприя мdтематики Hu <>Н:.tчала» - нс ед11нстнен 11ый труд Eнк­ JI11Jta. Ему прнна.шrежш 1и также ~данные·>. J10- щ>m~яющис « Нач<111<1 ~; ~се ченне ка 1-ю11~1~ ('1-рак­ тат гю тсор11н музык и) ; утt:рян 1 tый труд о конических ссчсн11ях <-Геометрпческне- месrа на гюверхноеп+>; · 1 -рактат о лслс11н11 c/)l(ryp, со­ хранившийся ли1пъ n араf>ском нереrюl(с; «По­ рпзмьr·> («Следствия»), о которых свидетель­ ствуют Лрокл и Папп, а кроме тоrо, тракта1ы по оптике, механике rr ~1 стр01-юмни. Друп1м ныдающимся учё1 1 ым эпох 11 эл1111- н11Jма бьш Арх.имен, о жизн 11 которur·о сложе­ но 1rсмало J1e1·cн;t. Т 1юрчест1ю этого 1·е::ннн на доm·ис века опрс11слшю С)'/11,бу н ауки, а тем са­ мым и судьбу ЧСЛОRечсtтна. Н есмотря на r·лубо1шй интерес Архнме/tа r< 1-юпросам меха 11 ики, гидростатики, оптики, ос- 1ювн ьhVI делом его жизни была математика_ По слоnам зш1 мешпого историка Плутарха ( 1- 11 rш ). учёный был простu одержим t:ю. часто :~абывал о шrщt: н с0Rер111сшю не з.~­ боп 1 лсн о себе. Его м;псм :.1т11ческие труды - , и зме ре1-111с круг.~ ·~. «0 шаре и 1 t11лr 11 1дре?, «Ис­ • 11 1слсни<.: песчинок» н др. - 1юражают орип1- налы-юстыо мысли, мастероюй техникой вы­ чнсле11 иС1 и стро1·остыо дою1зательсп1. Кроме того. математичес 1<ие резулы а·1 ы Архимеда 11зложены в е1·0 письмах к александрийским учё ным . и 1<аждое письмо ттрсдставm1ет собой за1<01 1ч сш1ый научный мемуар. Нскuторые сочин ения Архимеда сохран11- т1сь тuлько в арабском 11ере 1ю.це ба 1 ·щщскurо учёно1'0 lX R. Сабита нбн Kypf1ЪL Это «Ле .\11 .\1\ЪI->. «0 семиу1·011ы-1нке» и <.<О касающихся кру1'ах». В ~ле ммах ·> с.:ред 1 1 1tруп1х задач 1rзла 1'аетсн реше1111е зздач 11 о ·1рисею ~нп углэ с 1юмощыо А[)Хl~МЕ'Д Ан П1'111Ыl1 рt•ль.::ф Собрм1 ие tоч11fщнии Аμхим~АJ. IHM HHOE' В Ьа <l'Лf' 11 1'>44 Г пставки (см ста·1но «Трп з 11;1меrт1ъте ~1адачu ,'J,peniюcт1 1 "). R сочш1е 11и11 «О семиутолы1111<е• расс"'1атр1 шаетсн задача, экDiшале11тпая ~611- чсскому ypa13JICillПO. В CГlHCI<C COЧИIICШIII Ap- XllMeдa, известных арабам_ упом.ш1астся таюке тра1<.1ат <'О пар:uшслы-1ых лшшJIХ~. ilозмож1ю. Архимед был Оf(ним J.IЗ ltt'pвыx уч ёных, 1 1ы тав- 1ш-1 хся ;~оказать rLЯтыl! поС"rул:п Евктща (с.м статью <-Гсомстр1 1я Лобачевского"). На116олее важе11 nклад Архимеда в ту область математики , которая тепср11 1 1:азывается интег­ ральным 11счисле 1шем. Его и сследова1шя по IЗЫЧИСЛСIППО ПЛ()Щаде 11: плоских фш) р и объ­ ёмоn тел. к сожален1110. не получили развитня в древности. Человечество дважды открьншю длн себя Архнмеда, н r1нажды учёные n 1 ,1талнсь продвинутьtя щ1лы1r<.:. В первый раз это про­ изошло в Сре;~ние века на ар:.~бско.м Впстоке. B(J второ!"1 - в Европ<:" Л'VТ-ХУl l 1щ Jlyчwt: всслJ о значении е1 ·0 pafioт с1<а:1ал од11н 11з создате­ лей ;~иф<.}х:ре1щ11 а.11ыюrо 1 1r 11 пегралыюго11с­ чиспе1111н - Готфрид llиJ1ы·елт.м Лейбшщ <·ll11J·Jмt1тeлыt0 читан соч 1 111енш1 Архимеда, перестаёmь удивлятъся всем новейшим откры­ тиям: геоме-~ pon·> . (См также статью "Арх нмед».) Третий из вслию-~х греческих математиков ЭLIOXH ЭЛЛIIIШЗМа - АПОЛЛОLIНЙ РО/lИЛСЯ R городе П ер 1':1 н M:iлol1 Азн11. О нремс1111 его ж11з­ Н11 иl\1сются прот111юречивые св 1 1детсльств;1. Некоторые иссле/1оватслн полаr:нот, что Алол­ ;ю ний ро;t1шсн uкuло 260 1' . ;юн. э .. 11 ес:т1. ос- 11011<1ния СЧll'l':пъ. Ч' I о около 170 Г. 1\0 11 . З. он ещё был жив. Расцвет деятелыюс1·11 учёпого пришёлся на копеu Ш в до 11. э .. 1<огда он работал в Алексан­ дрии. 13 э1·ом городе проuша бол~.лrая часть его ж11з1 п1. Сюда Аполлон11й приехал юнuше11. З/(есь учился у м.ате.v1:.1т11ко1:1 шкuлы Еккmщ:1, ;1
затем 11репо.~аnал ~~атсматmсу. В предисловии к ncpnoй юшгс <·Конических сеченн11 " А1ю11- 1юний сообщает, что начатh р::~боту над этим сочинением его побудил 1·еометр 1lаnкратес, которыir слушал с1·0 лсю~и1 1 в Алскс1ндрн11. По-в11;~имому, позже Лполлоний переехал 11 Гfсргам - кру1111еИ11111й куm,тур 11ы й це11тр Ма­ жн'1 Лзи11. В библиотеке Пергама храшшось до 2()0 1ыс. cnrптcon; по количеству ру1<0писей она уступала ш1шь Алеr<сандри.Иской бнблиотеt{С. Более всего Аполлотrиfr извссгсп свuи~1 тру­ дом « Котшчсскис ссчсшrя» в восьми кнш·ах. 1Jсрвыс четырt: кн111·и дошни до на11111х днt:й в оригинале.:, следующие три - в ::~рабском пе­ рсrюде Саб11та иб11 Курры, нось,v1ая же книга утерю1а. В с1юём трактате Аполлониii постро- 1111 Jакuнче111rую ' L'ео рию 1<рнвых второго по ­ рн11ка (т. е. окружности, эллипса. параболы и 1 ·1111ерб()ЛЫ~ см. также статью «За мечательные Т JC;r Q..Vl 1 X't". LLNT1$il,\(I Opmf.'<rDo<'\JfftuiPЬ.l*i:Ьun• '""""'u B•pull""' м,,...,.р,.; airiurt) Vmcwn\Marh.t,nю.;: '~1а1шакr Aшum 1n V1Ьс V nкt1 Lcl.. "tan:n РuЫ;, cum.Dt(i/uo m 1.3 "'1um Tndut1,_ .l(Nouнcrlro p<dl>. П1•ршя· 11t·ч .1 111<11' и 1ла1111f• Аn олло11ия , rnдl? pЖilWl'P л,п11нr~ии ne~IIOll К<>нИч е1 к>1х ,·е• 1ениl1 >. fkнt<u1111 1'i \ 7 г f Античн<1я математика Llертеж н3 11змн1111 «K01t111 1t:'CK •1 X ff.?Ч(! lll1\1» Аnnл лоння . Бол онь11 1~ы, г крнвыс->) , 11 зложнн её 11е ·1 ·оnы<0 без ал1 ·ебра11че ­ Сf(НХ спм1юло n. но лаже: Ek1 пспользовз11 1 rя таюrх пmштнй, как « 11олм н «Отрrщзтелы1ая величи11а», неизuес1ных то1·да 1реческ0Гr мате­ матш<с. tlcc доказательства Аполлония 1rысют чисто геометрический характер, 11 в это.v~ смысле е1 ·о работу можно сч 11та· 1·h Hh1c111<.:i'I 1·uч­ кой, кот< 1рой дос.~1· 111·ла 1 · речес1<ая 1 ·еоме·1р11- ческая :шгеfiра . И3учатr. кон11ческис ссчсюLЯ в ГpCllИll нач::t­ т1 в rv FI. до н . э Их ()ТКрып МСНСХ..\1 , учен11к Е 1щокс1, 11р11 1ю11ы· 1 ·ке рен1н · 1ъ ;~:.~дач) уд1юе 1 н1я куба. Он представил их к~ш ссчс 1шя пря.мо­ уrоль11ого, тупоу1·0:1ыюю 11остроугопы101·0 ко­ нусоn вращення плоскостью. псрттепдикуляр ­ т юй образующей. лпоmю11иi1 n своей книге дал более общ<.:с стсрсомстр11чсс1юс опрсдслс1 rис ко11нчесю1х сечен11!1. Во-1 1 ерных , uн рассм:пр11 - 11;u1 rrрш1:щолы 1ы Г1 крутоной конус. Во-вторых. уч 11тывал one его полости, что поз 1юлялп 11зу­ ч и·1ъ обе не1·1111 1·1 rперболы И l 1:i ко11е1 l, 011 про­ нолт 1л сечен11я mюскос1·ып, рас 1 юлnже111юi1 под лю(iым углом к образующе 1'1. О11ре;~елиn 11 1юстро11н тр11 1<()111 1ч <.:сю1х сс­ чеrшя. лпошюний 11сследова 11 их ос1юв~1ые свойстnа. асимптоты, касатслы1ыс. фокусы. сопряжё1111ьн:: ДИ:IМt"lрЫ 11 '1' . д . к COЖ::tJICIU1IO. методы нсследuвюiю1 кривьL\':. создаш1ыс А.!1011- лонием. в дрс.:вности не 11uJJyLJИ J Ш раз1шпш. хотя ШUIO'IЪ до H<IЧ(lJJ;\ v tl. cTU 't'p)'Цhl нзучал 11 11 KOM.\1CllTИp()t1:1 Jll·I Са~111 K()llllЧC:'CIOlt;" Ct'ЧCllllЯ ПJlll'vtt>ня1111 J 1н1111, дт1 рс111сн11я куf111чt:ск11х ур~щ11е1111Г1 . Так что теор11ю 1\01111чесю 1х се ч е 11111! Аrю1 11ю11l11! спзщ1; 1 ~ажщгп ;~п того, к;н; пщ1 оказалась пе()()ходимой. Только в XVII в. Репе Декарт. Пм:::р Ферм~. Исаак 11 ЪIOTO ll 11 1\ругие г1ёrrые обратнлr 1 с1.
46 История матсм.:1тики к rабот:1м AГIOJIJl()l lll>I , СамСJе ll lllfXЖOC' пр11ме- 1re1111e ·1·еор ин ко 1 rпческих ссчс1mй п ттучт 1ла li мехат1ке 11 астрономни. И01·аш1 Кеплс:r уста­ тюви.rr, что планеты Солнечной сr 1 сте~tы д1ш­ жутсн 110э; 1ш 111сам, в од1юи 113 фокусоn которых находится <..олтще. Галилео Г;vншей показал, что в пустоте бrошсш1n1й ю1J\н.:т, (ил н снаряд) буде~· JJeтeтh LIO 11арабо.11с А в RO-x 1·1 · Иса:н< IJыото11 СОЗ.' \:!Л CBOI·! зна \\СН 1IТЫС «М:.1 тсмз ·1 1 1ч есю I C 1-1а­ ч:v1а 11::iтyp:u1t>1roй ф11:юсс1фт111•>. 1 н;~посрс;~сrщ:н- 1ю O ГIИj):IR(.Ъ H:.t рсзу.11ътз.ты ЛТТОЛ!ТО!-1 1 1>1. ПОСЛЕЛНИЙ ПОЛЬЁМ АНТИЧНОЙ МАТЕМАТИКИ Творчс:ство Евклнд:.1 , Аrхнмс:ди 11 Аrщ: 1 1ю1-111н было вершш-1о~'J 1'р еч~с коl1 м~пем:пик11 . Ис­ слс11овання. 1 1ро1юд1rвш 11 ео1 в последу1ощ11е /\па столс:тия. не выхоJ 1ию1 11 з 1<ру1 ·а 11роблем. которые (ШП к-1учат 1. Н11 но­ вых 1 rдей, ни новых теор11 й IIC ТТОЯПЛЯЛОСI>. f l есомнен1 ю, ~то б1.1ло сRяз:1 н< >11 t' 1ю;11 1·1·1 1 чесю >й <>nст:11 ~он- 1<а1\ с 1<л а; \1.1 на11111с:1'1ся 11 м t 1пс. Уже с 1ю111l<I Tll п. дп r1. :"'>. 11ач:-1m 1с1, заноева · те:1ь11ые войны pн~L'IШI. Экшюм 1 rческан 11 куль­ тур 11 ая жиз111, 11 1-речесю1х колошIЯХ замерла . Измученные стра11,анш1м11, люди п отш rуднсь к рслш' ш1 , которая обе щала друrую, лучшую жпзнь. Абстрактное мышлеrше, лоrичсск 11 е р:Кс)'ЖЛС l ll!Я OTOЛRllHYЛИCI> Н~ нтоrой IJ!!:.tH П-l fШ. дон. э. ст:v111 нрсмс11t:м с 1·рсмl[тель- 1юсп IIO:lBl>l1Нet111Я P 1t M:1 . В :'1>0 - х 1'1. ДО 11. d . пало ПOCЛf'[\IJe e 11 :1 ЭJIJll !llJI C'l ' ИЧt"' C l<ll X l'OC)'/\:t[1CTB - Египет 11 был:~ ос1юва 11 а Р1tмск:н1 1 ш11ер11я. tl rе­ эультате жиэ11ь 6ыn ш11 х грсческ11 х коло1111И ко­ ре~ 1н ы:-..1о6разои 1. 1зме1 11 и:~.с~.. С одтюй стороны, прскратилнсь rазоритслыtыс rюi111t.1 и 11 рнмой p:1::16u1\ <:JKUHOM I I Чt:<.:кuc I IOJIOЖl'HИl' стало fioлee устойч1шh1м . Но с /\ру1·ой - эшшн1ктичсские 1 ·осуцарстна 1 ю1·t:рш 11 1 са ."1uстоя 1 ·сm,нuс.~1·ь 11 . по uбраз11ом) ныражс 11111t> 1Jл~тарха , ж1 1 ·1t:1111 по­ сгоя 111ю сознавал11. что н~щ и х 1 ·01ювам 11 за1 1 е­ сё11 «римский сап т·"· И .всё же греческая кулыура ожнвала. Ко11ец 1-11 88 . обычно называют «гречtсю 1м nозрож­ деттием~. так как в это время творит ~ такие вели ­ rшс ппсатсли, ка~< Пл)-rарх 11' Лук 11 :11 1 . ~стестRс11- ные науки таюкс испытьш:ти под1.ём. В первые нска ноноll эры АJ1ександрия оставалась науч­ ным и куль·1ур11 ым ц~ 1 t'1 ром дренн~1'0 мир;1.. Рrш НllКОГД<! не м ог ср~ШШIТЬ СЯ с не1-1 в этом ОТНОПIСН 1111. Он СЛ~IВНЛС}I CBOl IMИ поэта ­ ми, и стор 11к ам11 , юристами, но так 11 11е r 1р11общ11лс>11<1·J 1убн11:.1м :--:1ллн1rско й ш1учпоlr мысли. 1:3 1 n. n Алекс<нщртш работал пре1<рас- 11ый матс матllк 11 тал:штлт1Dый ннже­ нер-изобрt~татсль Геро н , 1<оторый 01· крьш
ГI:<)МЕТРИЯ РИМСКИХ ЗЕМЛЕМЕРОВ Согл.!< но лревн11м м ифам, окружа­ юш11й чслове~..сJ м11р вuзн11~.. 1:1 неiа ПсJ\1Ятt1ые врt·\1t• на пос ре~и бсско неч11u rо ~1 жуткого хаоса В uтл~1ч щ~ m >..юса, в котором 1н:1 ;1 акu н ов1 ~111r упuрядuс1 с11 В 1~см, во первы >., Cl.11> щ•нтрал1>НrlЯ TO'IKJ - • пуп зt•мм1 Во- вторых , в м11ре сстt. ВЫЛ('Лt' I 1 ные 11.lПрdВЛl'НИЯ. в ropи - 10 tlTJЛbHUЙ /I ЛОСКОСIИ ~то ЛИ llИ И се1.н.: р-1С1r и 1.~пал-восток. обр.1 - ~уюш11е крест 11 разби ва1ошие пло< кnсть 11а 4 чао11 Э1и дрсвнt!~ш1ие и простейшие геuметри ч еск 11 е предс:: 1 а в ле~1ия на11(Юl\Се ПОЛllО ИСПU/\Ь·Ювам1 в Лреn11е"' Р~1мс НапримРр, .\лsi га д..~1 1 ия по полету пти u ри..,ск и с ..+.рl'ш>1 '1ыслен 1ю раэб11оалн 11etio на 1части ЛИН11\.IМИ <.CBt:p-tOГ и зз n,,д оuсток Затем пар:~ллель110 ГЛi\OllblM /I Иll ИllM • ПрО ВОЫ1ЛИ » BTU- po< rt-11енные так что вс<: нt!бо 011..1 шва лпсь 110д1:лс11 ным Нс1 равные квадраты. н.1 (1люд ая за пс-реме ШCtt Иt'\o\ ппш И"! ОдtЮ ГО квадрата в \рути, онн по определе н ны"' прав и лам ИL t uлк овывал и волю Ю1111 1 с.:р,1 По тому же принuипу р11млs~не ра'iЬив;:~ли на чс1сти свои поля. На поле отмеча11и uентраль ную точ ку, чер<:з кото рую перп ендикуляр1ю друг лругу проклад ывали дее глав - ныс дорu1 ~· - kardo max1mL1'> (с CLUt'J)cl нс~ ю1 ) 11 clec um.:inus nы ­ х11щ1~ (( воспж.1 на запад), со11.ра­ шенно КМ 11 ОМ . 3.:~тсм nс~ раллель­ н о ГЛс)Ul/ЫМ дорог il\1 черЕ'i r<'IBHЬIC patt r ш1н~1я п роводим1 rp.:i 11 иuы , раlдРЛЯRШ 11Е' ПОЛ(' на СИСП.'\1У КВсlд­ р а тов . )111 кu.:~дμ.п ы 11d 'iьt 1ылись uе11тур ия\'1~1 . l dкую ЖI' сетку р~1...1 ляttt:• 1н ПО'\ЬЗовал11 при fJJ 1бив"е военнЬI'< лarcpNt и про~кп1ровс~­ ню1 1юоь1х 1upuдoo. В 1-1 1вв.1 р.1н иuь1 Р11мскои им ­ пер и и 11.олоссilльно раLш~1р~1лись. r 3Jхва• 1 с>н~1ых земель и i t оняли nр~Ж l/ ИХ BЛdд('l\ l>llHB, и гоrула р­ ственные ·~емлРмеры п р11сту 1 1ам 1 к свое~~ работе Упорно н .-.1с.:тол ич­ но разби вая nuлc.: 1ы uентур 1·111, о н~1 не п1.юrто 0Оо.т,1чали гр;111иuы влJде ю11с1 , ~ю олнпвре,1сн 1 ю ycrd HclBЛllR.lЛll на ЗС'IАЛС nорядо", ( хол­ ныи с 1«:м, что был нз небе - в оби 1с.:ли <амс 11 с) Юп итер.:~. l la колон~1 а11ыtы'< зем11ях n рак­ тич11ы с и хоэяиL твенные р11м"IЯНР ввом1л11 п1Стему коорди 11 <1т, оче11 ь похожу ю 11 а rп време11ныс.: п рямо- ,сtвюкущую силу пара. ll 1<0r-щc нск~1 ·1ам жил ма­ те,1:1·1 11 к 11 астроно;\t Ме11ела11, сuздан:Jt ь си­ стечы 1еож.·тр1111 и тр11rотюме:1 р1 111 на <.фсре - первоf1 11~:сню11 111ово~'1 rеометрнп (см с-1 ·атью ~Ф11 rvры 11:1 с фере~) Во II в. знаме1штыl1 алек­ с:шдр111fсю1!1 аст1юном 11 матсматнJ\ К,1авд1 1f1 Птолсмей соз, ~ал rс..:о цс111 ричсскую м олслh ~щр:t. просущсt-1·1юна 111 11 ую до XV- XVl 1111. В ~рудах этнх уче н ых: )ЖС н аметилась те11 - ,'1.сн1~11 я поворота к выч 11с.1нтс"'Jh 1t Оl1 ма 1е.мати ­ кс:, рас 11111рс:1ш ю п о11ят11я ч.и сл а , отказу от rео­ "lетр11чс..:скuй :.tJtгсбры. Особе11н о нрко новое напрз1111 с1 111с 11μонв1 шос~, в пюрчееmс вс..rшчай­ шего ат ·сбра1 1с 1-:.1 Д1 юфа 11та Алекса~ 1др1 11"1 ского. которы 1~1 п01южил нач ало двум наукам ал гебре лffh c:D.LfJJ _J L_J ;SL_I L_J ] ГsDll§~ rпп"I ~!~ UKI KAR UO ~ MAXIMl lS ] ГsDil:srю 1 1 f )()ll J[fuJ~~~("1 ~ ·по ш1vпп1 rю1 П(ll ~CKll С1\11 \Jl'1Пр.~лы1с111 чс1пь P""' 'nrn nu \11 < IH"HT) р11я,111. лля f<(I орых УКd33НЫ и~ коорл 1111 мы с 11cno111. 11111 .111 1>1 <''1 1н1 м( f(l1X u нфр 111 11 ( tll<IJ<lllH·H~IЯ о.з н ачDЮТ (.)(.) tclextrJ (\rcun1an 1\ t r1p.11:1.1 о т ОМ, sn •sttlt''' ·' tll'~UПIJl\il - C'\PBil ОТ n м U li. !ulнa ka rd1nt>m ·1 ш11·рх т li.M (К (с illol k,щl11\l'П\) - IJНl11 ()Т КМ уrолы1ы <: ( декарншы) коорм1 наты 11.i плuLкuст11 . Кс~жла11 uентурия 11а п ом• кол ировалась лву."1я •t иi 11,1м и. По н11м вл,1делсu мur легко 01 ыt катъ 11а плане t1ю11 участо~.. Отли чне этоГ1 с исте~1ы от лекартооо~1 со­ стоs~м.1 ЛltШЬ в том, 'ITO римЛЯНf' не знал11 отриuатt:льных чи<ел. Он11 ~1 CПOЛbJUBdM1 выражен 1111 rЛL'IЗJ от ом" - справа ()Т DM), «BllИJ uт км. - «Восрх 01 КМ». C~t''"l roptJдlKUГO ПOCl.'Лl.'fllt Я 113 рукоП 11(1 t fHIM( t<ИХ lf'M l\(''IC:f)Uf) . В11м1ы r 11.1вныt• лороrн CP/Jf'('l--l()Г " заnал-!l()(то... "-1 7
48 История матемалщи н днофапто ву апашпу. Ему суждено было стзт1, последним великим математико;у1 древ Jiости. После Д1 юфанта работалн только более или менее:: тал~штшmыс ко:ммсrгrаторы. Христиа.гК"J'l:Ю, возникшее в 11ервых веках НОIЮЙ :::>phl, ныс 1 ущию 11 ро· 1 · и в ЯJ ЫЧ ССКОЙ K}'Jlh- тypы IJ науки ВJtаст:итсли .\1Ир~1 - р 11мляне так­ же не 1юuщрнлн з:,~нятнf1 <J.бстрактной наукой. Но 11 к стот, небла~ ·о приятнnй оnстановке алtк­ сш щри йскэя ш коJ1а 11 росущест1ю 1{а11 а с:щё око­ ло трёх веков. В III- IIачале IV в. в Александрии жил и работал замечательный учёный Ilапп. Его труд « Математнческое собраll ие" rюказывает, что 011 был прскр<1спъrм знатоком к.пассичсской :шп1ч110й г<:омстрии. n КОI ЩС l'v' в. Хрисп 1 аI1 - скан Церковь начала ор 1 ·ан11:юнанное 11асту11- л1.:1111е 11а 11а)'ку. В .~91 г. была сожжена :шачи­ тельнзя ч асть Алсксандр11йской 6IIблиотсю 1 . Остав ш иt.:ся pyкo{ll JCH продолжшm ун 1 1чтож;пъ 11 а лrотяже1111н более ·1 ·рёх столети l1. « НАЧАЛА » ЕВКЛИЛА .Быть мож<..'т, Евклид и не принадлежит к числу таких но~заторон н ма·1·1.:ма·1' икt:. как Ф:!)1ес 1111и Af)XI 1Мt:Д. Но он. кне НСЯК() l 'О сом 1te l-fl1.Я, я НЮU!СЯ нспрснзоlfдённым с 1 1стt.:м:пт 1 :>атuром, ттед::1го­ гом 11 1101 1 уляриз;~тором 11аую1 . Спш1мr 1 учеб- 11111<амl1 ('J'. е. ю1111·а:v1 и, сnста11ннш1.1l\н1 ern <-На­ чзлз->) ЕиКJнщ охватщJ нrю :"IJ 1 eмt1 1 таr 11 ую ы:пематику :-эпохн Платова. «J!ача1 1 а» (др}той переnод названия - «:С:IЛе­ мспты ~) прсл.ставлнют собой з~шсршсш-1 1.: це­ лого ряда нс дошt'дшнх до нас .\1атсмат 11 чссю L~ прон:~нсдtшн1. Например, в шпой кнш·е ~·На­ чал» и~1л: 11 ·астся т1.:orm1 отно111ени/'1 по Ен)\ОК­ су, в десятш·1 кнн 1 ·с - теория иr1хщипнальных RCJll1Ч[ I H пп Тt:этсту, 13 тр11н::Щl(<IТОЙ - теоrня гt[): 1 BllJIЫ1 "1Х 'V11101 '0 1 'рЗ1111111(0 1\ · 1·з ЮКе llOCXOД}l - 11 \:1.Я 1< Теэте- 1 у. Р:пумсстсн, Тiзлагая откrытия Тсэтстз. En - ,1 10 1<c:1 и другах свошс прсдшсствспликов, Ешс­ лr щ добавнл мr ю1·0 нового, дал нол11ые дока ­ зательства того, что нс было ок01 1 L1атслыrо уста 1 ювленр pa11ct Петь в ~ началах» н 11екотu­ р1,1<.: Н :tХО/\К11, нr l/(HMU 11p11н~ljl) I CЖ<l ll \ ll C с~1 мому ~l\IOlll/\Y· 0 /\11 :.1 11 :3 11 ;.~и болсс яр1<ИХ l'al<~ I X 1I~IXO­ ДOI\ - ·1 ·copt1'-'ta о бссконсчност11 множества 11рос1ъгх ч1 1 с<:л (см. статыо « Пrостыt: числа ·>) . Из учён"'х конца lV н . ~южно назвать Теона Александрийского TI его ДОЧI> r1111атию - 11ер- 11ую n истории женщину-математика. rнпа ­ т1 1 я - ;mтор коммсн·1 арнсн к работа м Аlюшю­ ния 11 Диофшп~1 :;)т;:~ ;iамсчателы 1 ая жен 1ц ин ;1 сла н11лась умом и красноречнем. О её трап~ че­ ской су;\ьбt на11щ:аны нсторичt.:сю 1 1.: романы . В 41S 1·. Гипатня 6 ы ла рзс"l ·ер:~з 11з тол 1юй фа 11 а­ т11ков-христна11 за то, что нс хотела порыRат1, с я~ычестnом . В V в. учёныс пою1,11ал н Ллекса 1 тдр1110 н nе­ реезж<ши в Афш 1ы 3дссь работал 11 poкri (410- 485) , ксrюμы l1 оставил коммснта р11и к первой юш ге <- 1l ачал"' F.11ю11~ди и кратю 111об::~ор 1 ктu­ р1 ш геометrи11 ()Т Фзлtса до Енкп 1 ща , В VI n. 1юсл~днне 11з н1::лию1л комме 1 rтатоrоt\ - Евто­ ю~й r1С11м11лr1ю11\ 1 1з1·1 1а1111ые 11:1 Лф1111, 11ъ111уж­ дсны nылrт пересет r т~.ся в Ирз 11 Л1 1 т11 ч 11аи наука и т~71ЬТ)11:1 угасли вместе с п ~ белью ncer() а 1п·н~п юго общестна.
СОЛЕРЖАНИЕ (( НАЧАЛ » ЕВКЛИдА « Нач ала» состоs1т из три надuати кн~1г. Первы е четы­ ре посвяшены геометрии 1;а п лоскосr и. КаЖАую к11и­ гу Евклид начинает с определений, но, кроме этого, nервой книге предшеству ют пять а кс и ом и п осту­ латов, сред1<1 которых 1·1uход11тся знаменитый nsный no( тулат о па ра ллельны х линия х. Затем в 1к ниге изла гается п ланиметр и я п рямоли­ нейн ых фигур; устанавливаются основные свойства треугольни ков, параллелограммо в. тра п еuи й. Ве1;ча­ ют кн11гу теорема Пифагора и обратнuе ей преы.о­ жение - треугольник, коадрат одной и• сторон ко­ торого ра вен сумме квадратов двух дру r·и х сторон, nр я моуrол ьны й. Вп 11 к ниге изла гаются основы геометрической алгебры. К11ига 111 посвяшена свойсгвам кру1 а, его каса- 1 ельных и хо рд - воп росам, которые Gыли исследо­ ваны Гиппократом Хиосским lV в. ло н. э.) илн ранее. В IV книге строятся правильные п-уголь11ики при 11 =3, 4, 5. 1(), 15. Исключительно изяшнuе rюстрое­ ниt" пrавильногп 15-угольни ка при надлежит самому Евклиду. Кttига V сuлuржит об шую теори ю отноu.1N111 и вели­ чин no Е13дсЖ( у. Многие современt1ыс yчt:!tlыe счита­ ют ее первой теорией действител ьного числа, во мн о­ гом напоминаюше>й теорию сече11и~1 Лелекинда, CO.iдclll H YIO В XJ X В. В VIкни1 е Евклид излаrа~т уче~1ис о rюдобии. Он nриме~1яет это учение к .:1адачам. которые можно Несколько слон о ТО\1, как 1юегрое11 ы <-ll;1- ч:.1л:1». Слслун л01·ичсской системе снос1·0 уч11- теля Арщтотсля, Евк.тш;\ 1 1 ытаt:тся i\·1·1ъ :.1кснn­ ~1;п11 чсскос и:'!.lюжс:ние 1'с:Омстрн 1 1. Это \южно ПШ!l'l l lЛ h CJll'f\}'IOЩH!\1 о6р:~зом. F.слн р:ксмотрет1, /\OI01 :-i a 1 ·с::лъс1· 1ю ттекото­ ро1'1 теорем ы, т мож110 ушr,1е."1Ъ те 6олс:с про ­ r·1ые ф:н<1'ы. с nомо щ ыо которых оно п о ­ строено. Эт11 nросг ые факты, н сво ю очсрсю" вьпскают И:3 сщё более 11росты х факто11 11 т. )\. BЫ I IOЛIIllГI тако iт :lH:IЛl!J /.~JlЯ BCt: X Tt'opt:м l'l '0- . 11e1p 1111. ;v1ы 11uлуч1 1 м l'писок 11ростt:й u11 1 .\ фаr-­ ток. облад:о~ ю1 щ1х CJl{::f\y к111 lнм11 с1юl1с·1 н:1м1 1: но- 111.::рJ-1ых, u1-11 1сок~ршен1 ю «оч ев~ 11тны " 11 потому НL"1рt:бу кл 1 tо к:.1 з:~тельс1 f\3, 3 во - вто рых, 11 э 11 11х \Юil\IIO m .rпес 1·н. ил.я о()ратт1ы м путём. BL.C тео ­ ремы rеометрпн Такие r1ростсl1шне факты 1т;:~­ зы 1шотся акс 1 юмам 1r, d все осталыrыс фаюъ1 rеометр11 н явля ются теорсN1 а.ч11 . н ка.1.кдую тt ­ орему мо:;юю доказатъ с помощью аксном 11 Античная математн ка свести к решен ию различных типов квадратных урав­ нений. Книги Vll- IX посвяшены ар11фметике, т. е. тео­ рии uслых и раuиональных чисел (она была известн;:~ пифагорейuам не пщднее V в. до 11. э .). П<>мимо тео­ рем, относяшихся к сло жению и умн ожению uелы х ч11сел и их отt-юшени~, в них рассматриваются и воп­ росы теории чисел: вводится алгоритм Евк11ида, изла­ га к 1тся основы теарии делимосл~ Uf'лы х чисел, дока­ зывается знаменитая теорема Евклида о том, что просты х чисел беско11ечно много. В книге Х на основании учения о uелых и рашю­ нальн ых числах Евклид, следуя Теэтету, лает класси­ фикаuию квадратичных ирра uиональностеА, возн и­ каюших при решеi"I ИИ uепос1ек квадратных уравнении. Кн ига XI п освяшен а стереометри и . Она содержит основные теорем1,1 о прямых и nлоскLн.:тях в 1 р~хмер­ ном простра11стве, задачи на построение (например, как опустить r1ерnе11дикуляр из да ~11юй точки 11а данную nлоL кость), а та кже теnрем ы о тnм, при каких условиях параллелепипед и призма могут имегь рав1-1ые объёмы . В книге Xll с помошью метода исчерпывания Ев­ L\Окса лок .ны ваю1·ся теорем ы о том. что отношенщ~ плошалей кругов равно отноше1111ю кос1Аратоо их диа~1етров1 J отно ш ен и е объемов ша ров равно опю­ шен и ю кубов их ди аметров . В книге Xlll излагается учение о правильных мно­ гСJгр.знниках· как их мо;.t<,1-ю пострQить, как нанти д!\И llУ их ребер . зн ая радиус оn иса11111.>й сфе ры, и nо­ •1ему лμугих nрав11льн ых тf'л не сушепвует. ра 11ес уст:~1 гоклс11ных теорем. Т:~ю 1 м 061x1~JOl\1 , всё Зi\ан ис 1·сомстрш 1сто1 1т 11:1 фун/\<~ме нтс 11з не6ш1ы1ю1·0 '-!1 1сп:1 акс1 юм. F.1щm1л ра:l11 1 1'-! зл а кс1том1 .1 и посгулат1.1. Г10- сrулат:~ м11 0 11 1 1ззы 1цл требощнпrя, кото рымп слелуст рУrюn<1дстnонзться np11 гсо метр 1 r че ­ сю1х построеrrнях. H:.inp11мep. одш1 нз посп·­ :1атов 1·ласrтт, что «1 1з любого цс11тра любы."• p1t1.\II)'COM можно ош1сат1, окружность ~. Срсд11 пос·1 улаток. сформул11рuкш111 ых Нв1,л1щом. бьL11и и такие: "Lkpc:3 ДНt:' точю1 можно 11рож:с­ т1 1 нрнмую~: <1JJ,1~e 11рнмыс 11<: \101ут 3;Jк,11< 1ч 1пъ JJростр:~н стна >:> (Э'l'О можно ГЮl lЯ'IЪ l'i/I(. ЧТО l:CЛI! i \l:lt' прямыt: l1мекп дне nбщне точкr1. тn 0 1111 J\Олжны соn11асть) 11 11р. с ЛO! IHТI IЯ~IH делn 06сто11т a11aJТ O ГlJЧllO . К r1р1 1м еру, о круж1 ю('"Гr, опрелсляется как п:'о­ мстрическое место точек JI3 пл оскостн, от­ сншщrIX от панной TOЧKll () (1\<.'HT IXI) на дан­ ш.к: рассr·uннис 1-. Таю1м обра:юм . чтоб1,1 да·1·1, 49
Ипор1,1я м,11 ема ги к и [вкл11д , l't'\Ы'ф pdtютi..i J\11дрt'д 1 1 " .мно Около 1 ~34- 1341.11 г ()1 1 ре;\епеш 1с окруж1юс1· 1 1. rта,1\О :шать. что т~1 - 1<ое ,,то чка», "расстоmше», <-nлоскос·rъ» 11 т. д. 13 KOJ ще 1\ОТ!ЦОВ можно IJi.tЛeлIITЬ lICбO!LbWUe ч1тсло нз116опее 11рuсп,гх понятий. с 1ю,,·10 11 \ 1,rо котоrых 011pl'дt."JШ 1и1·ся все ос1·:uн,ю,1с 1юня ·1 'J ~я «Лсрвонач:т1,ные·• же поннт11н нас·1·011ы<о 11рос­ т1,1 11 ИCll Ы , ЧТО 1IX )'Жl' Н(' 'l'pc()ye'l'CH ОПрС{l.СЛЯТ I>. Впрочем , Енюнщ 11 1:: хи1·сл ! КТ:.Jнш11ъ fieз t н 1гк·1\<:лс 111 1н даже 11ростсl11нr 1 е 1ю11нтпя. Т<tк, он 1 1111J1ет: '·Точк~1 есть то, что 1 1е 1 тмсст частей". O,r\11ако нсяс110, что оз11ачаст ~ нс нмt'ть частей». (Скорее все 1·0 U1щлиi1хочет11росто пояст11пь. что rео."1етр1 rчсская точка не имеет р:~змсров) llеудатпслыю. что это тумашюс 0 11рсдслс н1 тс lВК!lИД 11111 '/J,t' /t;!J ll>l lН: нс l!CПOJlhЗycт 11нтерСС1 Ю Пj)rJCJLCДl1 '1'1>, Ка 1( IIr!)IIOДЯTCЯ В <' !!:~чала х» самые нервы<.: л.ок::~за·1 сльстна. П о Е11 ю 1иду.лкс ф111·уры 11азываютсн ранным11 , t'C!llJ OJJll чогут быт1. «СОВ\1\С ЩСНЫ•> HCt'Mll C IIO ИMJI точкам11 ('1'. е. 11 ерсм1::щан од11) фигуру ка!\ п1ё1щос ц<.:лос, мож1 ю ТОЧ1JО наложить её на вторую фшуру). 1lo Еnюшд не опрслслщ:т. что эш1ч11т <,совм<.:ст111ЪУ , Таким образом. его «011ре­ деле 1 rнс.:» равенеl'!~:.t фигур па с;.1"чо.м дс;1 с t:с1ъ обр;uц<:: 1ш<:: к 1L:.t11н.:rv1) IЮ13ССДН:<::J:Н-Ю МУ ()IJ Ы'l'Y· к ш.:p<::MCll\{;Hl·llO тел "К:ll{ ' l'Нё/)Д<Н'О Цt::JШ\ '0->. Да- :lt't:. l ' ШJMOIЦl,10 . -:J' l 'O l 'O HH lj)t: /\e.IJ <::l lll И'> hHКilll!l Д< )~<азыRа<.:т прн:1нак~ 1 раве11п в~1 трсуголын1ков R ПОСЛt';\)'IОЩL 1х же raccyЖJ\t:HШIX <111 ()ол i>ltl(' 11 <:: 11 {JJI 1 .эуетсн налnжс 11 11t:м ф 1 11 ·) р. ;1 ссылается на уже сформулиров~т 11ыс прrr:шаю1 равепсти~ треуrоль ш11<он. 1Iапртrмср , чтобы i\0 1\азатr, равеJ1ст1ю 1-тлоп при ос 1юв::~111111 раnrю6ед· рст шого тре~то.r1ьн rтка, Еnюшд провод1 1т бис­ с<::ктрнсу у1·11;1 11р11 всршпне и 1юказ111на е1, что IIOJl)'ЧCHl!ЫC < )JОЛС>IНН-/Ю / » р:1н 11 ы I IO пс:рно.\•1) 11р 11 :~11аку. А 11оскот,ку 1~ ран11п1 х трt')ТОJ 1ы111- к;,~х-1юJющ1111<ах 11рп·1·11н р:нн-11 11х сторо11 лежат р~ш111,1t: ут.·1ы. С'J1е1юв: 1тс;1 ы ю. )Тл ы 11р11 nc11or.:1 · 111111 11cxnJJ,1югo треу1ол1.11111<:.з р;ншы (рпс. 1) R r\слом тnореш 1 е Ен1сл1т1р веm 1<-1естве11 1 ю Со:щ:ншан 11ч с1ктсма нзложе111ш 1·со мстр1ш быт~ 11асголъко xuporтr~1. что прос.ущсо·13она.1:1 более двух тысяч лет. Впл о1ъ до ХХ стuж"1'1 1н в странах Енро1 1п1 (в том ч.1клс н l'occ1 11 1) 1·со~н:.:т­ р 1 110 н 111кол:е~х 11rL·1ю1 1a11a.1 111 11 0 псрско;1ам 11m 1 llO l l)'JJ Hp HЫM 06рабu1 K:IM rBКJllЩtll:IЫЛ <· HaчaJI -> Но 1IOCЛt:Д)'IOЩ I IC IJUK()Jll'l l l IЯ ~1атем;J'l 1 1кон l lt:: liO 1кём ClJГЛ:.1Ш~UlJ ICl1 с CI 1 стс:.юi1 а.КСПОJ\1 11 О11ре; 1елстнrf1 Евю11щ;1 11 JlblT:lЛllCb ее ул~'ЧШIЛЪ. Наттр 1 ~мер, аксиома о том. что псе прямые ~тm,1 рzшпы меж;\у coбofi, 01Gtэаласъ пе11уж1 юГ1: тго пред;южеrщ с удалnсь доказат1, т.:ак теорему исх одя п:i остат, ны х акспом Поднер 1·1111 ch с< >Мш.:шно 11н еко·1·орыt: r1py 1'11e акс1юмы 11 1шстул:~ты rнкJ111л:.1 Осоfk:нное НС:)'/ !< )J\JIC''J'B<>peн 1 IC всс1:1 1;1 1\ЫЗЪIR:Ш l IЯ'J'ЫJI П< )Cl)'- JL;J· 1, утнерж; 1ан11111l1 : tтл 11 д,Кt" 11rнu.1ыс. 11~pt"' Ce· ::>·" rNr.11;:оuь У.111гл пr.рв"JJ, l}<'~н r.rг~ri.t ),·~ ,,n щ;.1tmЪ [/111~ ·..~"Ъ 11 )'1'.-\Х}1.т. 1.11j(}'14',\fl f11t.~ \'t 11 Q0}11f1J,1-.'Ъ !·1 1 уrа'Ъ •11)M'•'\.' 1111 u·1r..1~Ъ J !.J ';il." I C <J n.t 11.\\сл•••рч•t-11:0.Ъ и11.1.ЪJ111 ., 1t11•Ъ t·:i- " .., ,, 1(\111 3o~t1 nl '· .-.~rf1 1 ~1,1 ~1м' q>,-rJfU ,..111·1() У' U/\•iH ~' l tt"l r 1_)'Mlf • 11111: Гшr~ n'mL. щ«t(A/lt .\ HЫ~l t111i•\1"y 1,.._щ 11.н.jh 11н1 tt~f-'·\.\CAЩ'f•:l\:"1.i.'81 .11\1 -1 ш.1•1)",1;с: - n\,_ cv1 Q~•l\l'•H•1l1 (ltfc''ll11 • 1q1•1)р.1Ь triнi1r11J','\111111.·";~1 "n:--.ч• n th!'il'. н~rrн "r ! JJ 1 t 1 't 1 - ivmlo Н• 1 11'1{С :. r "._ . 1 \'1 на1т"n.Л~ f (f11 nr(;r Цf\· 1tyll'I mv П Allfl){<MY rlllf('jt'~W. rн 1·1· яко;.1Ъ '1 ·rr-vr·" \l 1fr; J; 11rnмnyr" 1 1 10~1li. ""' .11,н'11 Cl\'>K' ~nто ро1 1 r.р~­ м11му у 1"у npoт1 ruA'l\ >r-пЪ p.нtril> FCT~ nрнчы, ъ ..1nухЪ fOK'JfЪ К11.1)р1"· 'IЛ~IU ЧllHO l l t'jJIIOI ' рус ('"1~ IПдJН\11:' • I 1,J•<~Л• l•ЭЛt'Mt'll!l)fl n l Е JK/\11Л<l. 17jq г.
LA+LB< 180 ' .,. .,. .,. чённNt т1х~·1·ы.:й. обра:>уют 1ю одну стuр(Jну от трt"гы:й ЩJ.И ,\1UЙ 1шутрен11не у1·J1ы. сумма кото­ рh1Х Mt:HCC Дli)'X прямых )'l'Jl(Щ '1'0 1 1рп 11р()ДОЛ ­ жс:нии ~-1'их Т(Нух 1 1рямых 0 1111 1н.:ттреметю 11е­ ресекуте>1 , причём пме111 ю с той стороны от тре-1' 1)ей 11 рдмой. 1·де сумма олносторошпrх утлон .менее 180° (рнс. 2). Об этом постулате уже нельзя сказать «ОН столь прост н очен 1-1деп, что пс требует до­ казатСJ1ьства ·>, нс праRла л 1 1~ liсть н 1·еомtтр1ш '1<.:uремы, котор 1,1с 1:1ыражают 1 ·ораз;ю болс:е пр<КТЫС и OЧCBИJ\HhlC 1·~011,1стричсски ф:!КТЫ, АРХ ИМЕЛ Нссо~шс11 1 ю, Архнмсд (О1<01ю 287-2 12 дон э.) - CIM hU1 гсниалы1ы1'1 учёный Дренней Гр<::цин . Он сто1л н 0;1ном ряду с Ныотш [(),\1, Гаус~.:ом, uйлс1х>м, Лоб<1че1:1~.:ю 1м н 11руп1мн вслича(11.11нмп м;.~·1·см<~т11ками всех нрсмi:н. E1·u Тр)'l\Ы n ос нящtны 11t тш1ько матtматш<t . Он сдеш1л замечательные спl\ры·1 ш:1 н мt:ха11шсt. хорошо знал астро110,,шю, оптику, rи;т,равлпку J1 был JIOИCTJШe легендарной ЛJ IЧI ЮСТЫО , Сь111 астронома Фпдия, написаnшет соч1ше- 11не о ниаметрах С:олнца и Луны, Архимед родился и жю1 в гре• 1 еском гoporte Сиракузы па ОЩ1mн1,1, Он б ыJ 1 11r116лижён ко двору цар>1 Г11- l'рона 11 н l:J'O CЫH<.t-HaCЛ<.:JtH11Ka. Хорuшо известен rассказ о жертвен нuм 11t:нце Гперо11:i. Арх 11 мс;~;у nпруч11л11 11poncp1 1 ·1ъ честност 1, ю11еп 11ра 11опрсJ\елнть, СJ\tлаи иенсц нз ч1 1<.то1·0 золота ит-1 с примесями друг11х ме­ талжн1 п r1e-1 · лн ю ~у тр и 11ero пуетт. О;\нажл1,1, размышляя об этом, Архимед 1101·руз11J1ся в 1ш111у и заметил, что nытссне 1 шая его телом вод;~ пролнл:~сь через край. Гсrrнал.ыюrо учёпо- 1·0 тут же осс~-шла яркая пдея, и с кр1шом «Эв­ rика. энрнка!» (Т. С, «1l :н.uёл,11<1111/::Л~») ОН, IOJK был H::l l'OJI, брос 1 JЛСЯ проАОJ~ПТ!, экспtр1 I MCH'I' , Антич~ I JЯ мат<:?матик.:~ н~11р11мt:р 'l'еl)ремз о Т()м, ч·1'() n ра1шо6е,л,ре11- 1 юм треуrолынше у1·лы пр11 пстювании равны. Неудпnит<::лы ю. что на протнже11т 1иекоn м~ю­ rие матсм::1тш01 nытаJ111С1> доказать пятый nо­ е1улат Евклида как теорему. Былп найдспы и друпк формулнровю·r это 11 i!КСIЮЯЫ, КО'!'ОрЫС выражаюто1 11\i<JЧ(' , IIO Э.l<'IШ - 1:\~VleH'l'HЫ пятом у пос.-1-ул:пу, О,цна И:3 ннл таt;шщ: чt.:ре:~ точк~. 11<.: прш 1 ;.щле.жащую 11анной пrя­ мо(r, мож1roлровесп1 'J'Om,кo одну 11рнму10, 11:i - pam1eJ1ы-ryю датюй (т. с . 1н: щ;ресекающу1ося с ней). Име111101зтакпl1 tlIOP;\1t пршюдптсн аксп ома па 1хщлеJГL1 юстп в совреме1 шых Шl\OJJЫ 1ых Уче61 шках. Но М()Ж!IО ЛI I ДОК;t:~:.~тъ ПЯTblfl постулат с помощью остальных аксно;\J? Нс1т да, то эта аю:1ю.,1а 1 1 с i-ryжiia, т. с. 11зJю.жсн11с 1·еомстрr·111 \ЮЖНО СДСЛU'I Ъ более ЩХJСl'ЫМ. А <.:CJUI 1!СТ ?" ()·1 - 1\СТИ'lЪ на ЗТО'J' IIOll[IOC VIЗTC,l\!:JTJ !КН смо1·m1 J I HШh через дне 1 ъ1ся ч 1·1 лет после Евюшда (Ct\1. ст:пъю "Геометр~ 1я Л обз чеrкко1·0~ ) . Иде.:я ЛрхнмсJ\:1 0•1снh проста. Тело, погру­ ж<::н1 юе н 1:ю11у, вытесняет стш1ько ж1111кuст11, каков объё,,1 само1'u тела . Тlоместн 1кнен, R Ц11/1111-1Дf1ИЧССКИЙ СОС)Д С BOHOJI, МОЖНО 011рС­ дели-~ъ. какuс КОЛНЧССТВ{) ЖllДl.IOC'll l uн HЫTt'C­ HJ 1т. т. t. уз1 ~ ать его объём.. А з1 i:iя объём и R~зае­ с11в ве 11 ец. леl"КО nыч1rслит~. удельную м~кс~ . Это и даст возможность установ rп·ь 11стr111у: ве,111, золото - очень тяжёлыit мет;:~лл. а более ,0,рх»М<'А Г1мnюра (" а HTllЧ t IOI О <tЗUUfJilЖCHИl'I ()коле"> "\Vll l в ')1
,Аъ. CZ'.l(]J История математики '52 лёrкис примес11 , и тем более пустоты, уrv1ень­ шают удельную массу изделия. Но Архимед на этом не остано1шлся. В тру- 1\е «О пщшающихтелах» он сформулировал за­ кон, который гласит: ~тело, rюгружёштое u· жию<0с1ъ, теряет в сноём весе столько, кm<ов вес вытесненной жидкости». Закон Архшv1е/\а являе;rся (наряду с другими, позже открытыми фаtпами) основой гидравлнки - науки, нзуча ­ ю1цей зеiконы днижения 1·r равновесия жидко ­ стей . Именно этот закон объясняет, почему стальной шар (без пустот) тонет в воl\е, тогда ЮН\. дсревя/lнос тело всплывает. В первом слу­ чае вес нытеснеr11 юй 1юды меньше веса самого urapa, т. е. архимедова « Ныталки:nающая» сил~1 педоСТ3ТОЧJ 1а для того, чтобы удержать его 1ia поверхности. А тяжело rружённый корабль, корпус которого сделан из металла, не тонет, погружаясь только до так назъшас.мой nатер­ ;ш ни и . Поскольку внутри !\Орлуса корабля много 11ространстна, заполненного воздухо.и, сре; \11яя удельная масса судна мснhlл е плотно- сrи вuды и вытал1швающая сила удерживает егu н;~ плаву. З<~кон ApX1'L"tcдa объясняет также, почему воздушный шар , заполне1-пrьui тёnлым воздухом или газом , которьпl лс1·чс воздуха (~=юдородом , гелием) , улетает ввысь. Знание пщранлию·1 rю:толнло Архимеду нзобrести вшповui1 1-1асос r~ю1 вык<1чи1:1ання воды. Такой насос (1<охля) до педащ 1 его време- 1щ применялся па испанс1шх 11 мексиканских серебряных руд11111<ах. И:> курса физики всем знакомо Архиме,цово пр:ншло рыч:н·;~. Со1·ласно пред<1нию. учёный про11 :шёс крыжн11 ю фразу: <Дайте мне то<IК)' опоры, и я подниму Землю' ~. Конечно. Архи­ ~1ед нмел в rшду пр11мене11не рыча1~а . но, nрн­ мо о<аже;ч, 011 был несколько самоу13сре11: кро­ ме точки опоры ему п rычаг понадобился бы совершенно фанl'астнче('кий - 11евеJюя·11 ю д.rrинный и прп этом 1rесrибжмый с_-герже1гь. Достонерю,1с факты п мrю1'очнсле1шыс ле­ генды тrюрят о том, ч·1·0 Архи,\tед изобрёл немаJЮ интерес11ьLх машнн и присnособл ений.
Цар11 Гиерон приказал построи1ъ огромный корабm; «Сиракосия» . Но он был так тяжёл, что множестnо вои11оn не смогmf даже сдвш·1уrь eJ ·o с места. Тогда Архимед скопсгруироRал мсха­ н1пм , который nоз1юлил сделат ь это О1' Н ОМ)' человеку. Царп сам спустил корабль на воду и в вocroprc закричал: ~01 •нынс, что бы 1 1 и сказал наш Архимед, мы всё будем сч11·1-а·1ъ ис1·и 1 шым! ». Архимед был семидеся·1·илетним стариком, 1ю1·да римт1 11е осадили ег() родной гоrод С11- ра1'"}'ЗЫ. Чтобы помочь жителям в обороне, оп изобретал военные машины. Мощные ката­ пулыъ1 метали тяжёлые камни: на римские ле­ гионы, а более лёгкие обрушивали н ;,~ враг.~ целый град ядер. Специальные береговые кpa­ HhI. 1юзвы111авшн ес51 над крепuсr:ными с1'енu"'н1 , поднимали крюка.ми корабли римлян и опро­ кидывал и 1. 1х. Р11мский тюеначальн~rк Марцс::лл, r~едоволы1ый сrюими 1юе1111ымн и11женерами, nосх1·111lался Арлvrмедом, который «черпал море римскими кораблями». А легионеры в панr-ше разбеr;шись, когда из-за r·ородской стены по ­ казывалась ка.юш-ннбудь nсрё.вка или бревно: •Архимед придумал rrо.вую машнну на нашу 11ш11бель!->. t..(тобы отразить ttаnадение болыuо1 ·0 рам­ с кого корабля, Архимед заставил 1·ре ч еск11.х 1юигюв до блеска отполировать мt:т·аJ1лические щил,1 , а затем выстро 1·пъся 1що.~1, береrа.. По е 1 ·0 указа~ 1ию воины сфокусиронали С())шечные Jiучи от щито-в в одной точке на борту корабля. Деревянная обшивка судна IIarpeлacь до высо­ r<ой температуры и вспыхнул:~ - на 1<ораблс начался пожар. Но дла само 1 ·0 учёного все эти военные изобретения были лишь н езначительными 11 рактическими приложениями его н;.~учных открытий. Кроме правила рычага и закона о ныталкивающей силе, заставляющей тела пла­ нюъ, Архимед создал уче 11 ие о центр:Iх тяжес111 'fел и с его помощью доказаJt ·1·еорему о меди­ анах треу1•ол ьника , которую теперь называют его именем. АрхИJ\'tед рассуждал ·rак Поместим три рав­ ные массы в вершинах треугольника АВС, и пусть О - центр тяжести этих масс, т. е" еслн 110;\11ере-тъ треу1·ольн ик н ~той точке, он бущ:т находиться н равновесии (рис. 1). Теперь nеренесём дне нз этих масс в середю-tу ссют­ ветствующей сто роны ВС. "! '. е. R точку, явпяю­ щуюся цеатром тяжести этих двух масс. В ре­ :~ультате положение общего центра тяжести Анти чная математика всех трёх масс не изменитсн (рис. 2). Но зато стш ювится ясным, что точка () находится н;1 медrrанс АЛ-1 и делит её в отнош<.:11ин 2 : J (сч11т~ш от нерШ1 1 ннА). Tu же рассу-жденне при­ мсю1м:о 11 к любоf1 другой меднане. А знач11т, все три медианы проходят через точt-..'У О. Так Архи мед доказал. что н любом треуrоJ1ьникс мед11а11ы пересекаются в сщноf'I точке (r \ei-rтpc т51жссти треугольника). Архимед наmёл и ряд других геометриче ­ ских nримс11е1 rнй своей тсорю 1це1 iтpun тяже­ сти: он р:!ссказал u них в труде «О равновесии тюских фигур''· Hu самые замсч;.пельныс м::~тематнчесю1С открыпнt Аrх11мед.а сн>1з:.1ны с его мстодам11 вычнсн ени.н тющадей 1·1объёмов. Эт11 мст<щы фа 1<тичссю 1 прсдносхити1111 l.'~дею ннтегриро­ вания - за 18 веков /(О того, "ак дт 1 ффере111 щ­ :шьное и 1-ште1·ралыюе исчисление 61,mo rю ­ строено liыотоном и Лейбни 1 ~ем! I lрименяя метод Евдо.кса, Архнмед nычнслил площадь 11роизволыю1·0 сегмента параболы. В CORpeMCIIHJ,JX 0ООЗН3ЧСНИЯХ ЭТИ раСС)'ЖДСНИЯ можно изJюж1пь следующим образом. Рассмотрим сс1·мент парабОJLЫ , uтсекаемьuvJ от этQ.й кривой хор;\Ой АС, и пусть 11рямая, параллелы 1ая хорде, кз саетс.» ш~раболы н точ­ ке В (рис. 3). Треу1'0льни 1< АВС ме11 ы11е 110 шю­ щади, чем рассматриRаемый сегмент тtрабол~-.1. Возьмём тепер1, на параболе ещё две точки G, Н, которые проектируются в середины отрез­ ков AD и DC. Доб:ши.в к треуголышку AJJC тре­ угольники ABG, вен, мы получим многоуголь­ пиклс;внс, который по шющади более близок к сеrмеюу параболы . Теnерп можнu на хордах AG, СВ, ВН, НС 1 юстро 1нь новые треу1 ·uльники ·А Рис.1. 53
54 Истnрия математики (с трсты:l1 нершшю~'1 нrt параболе) 11 т д. В рс:iультатс: N\Ы будс:м нсё болс:е точнu у:н~анаТh шющаr1 1 , сеrм<::нта параболы . А ;-щлыIJс Архимед лрu1юю11 сноп замеча­ тельные 11::1ыскаюrя. 011 нычнсляет плnщади тюлучающr1хся м1ю1·оуrольникпв (таких, как АСВНС и тюсз1едующтте) и фаю·11чесю r 1rахп1~1 1 т nре/(ел, к которому стремятся :=~ти площаюr. т. е. нахол;ит п1ют;а;~ь сегме11та параболы. Окюы­ вается. она составляет 2/3 от площади нарал ­ пелогр~м.ма АЕРС. ::>тот результат Архимел получае1· дпумя с110- соб:1.мн . 8 пср1юм он 11сп011к~ус:т учение о центрах 'Г>J.Жести · к;Lк бы р<1зре~:.1ет се1 ·м~:нт па­ раболы на тuнкне нертикальныс пnлоски 1r, смещая llX, 11<.IХОДНТ пе11тры TIOKCCTll IIOJIOCOK в псрно 1 1::1чал~,ном 1-1 смещённОJ\1 положе 1 rш1х, уrа111ювешиная с помощью рычага сегмент параболы н 1-1екоторый треугольник Второй способ - чпсто выч 1 клнтельный - даёт вы ­ раженле nлощаде1'1 вписанных в сегмент мно­ rоуголышков с помощью формулы 1 )2 ~-~ 1 ... 5(L+~ +...+/1)- п +11. +(J+.t.+ ...+11) РазумеС'f'ся, Архимсн пр1 rнодит её в словесной формулировке Разрез:шне на по1 юсю1 , нт1 сло1 1 , Арх11мед применнет 1·акже д1 1 я вычисле1 1 11я 06'1,ё,"та н nоnерхrюстн тара, объёма и поверх~юстп urapoвo r·o слrщ объёма параболоида nращепия и других тел (рис. .+). Архимеду пр1шадлсжит ещё много замеча­ телы 1 ых 1·еометр11чсских открытнЛ ()11 на­ учплся выч 1 1слять сторо11ы шшсанного сем11- у 1 ·от,н11ка; / (ОК;J.З:JЛ , что H<JKJIOHHOC c<:Ч<::ltl-Je конуса 11рсдста.вляст собо11 эллvrпс. Формулу Н;JХОЖ/\СНШi l IJIOIT(aДИ. ·1-реугоm,ника 110 ДЛ\.'ГН::lМ е го стuро11 : Рис. 4. S = ,/ р( р-а)(р- b)(J1- с:.) Pite. 5 . Aμx11м eлnR.i t llНj.JdЛb [ vH?fПb Архн.,.l"л .1 . Копня XVlll и. 1 римrкш1 "tн.1ик1t 11в называют фор.му.'Iой Герона, тю Архимед з11ал её раньше. Кроме то го, Арх 11МС/\ ПОС1 p01 IJI сnпрал ь, H<l- Зhl f\~1 IOЩ)'IO("}J тcncph el'(> именем (рис i) Им уст;11 юв1 1егю , что сслн JJpsi \t ~1я нр:ш.щется рав­ ном ерно нокр,11 · 11екоторо1'1 свпеlJ точю1 n, а но этоn прямо!~ раnномср1ю дR11жетсн 'ючка , то она uп 1 кывае-r спнраI11,_ )],J1я этоl1 с11щ1алн Ар­ хнме;~ nывел угалне~ш<' н полярных кппрдll ­ н:пах, 11ашёл тсасательную n произuОJ[Ы-Юй точ­ ке, вычнслил площадь между дuумя радиусами и между дnумя в11тт<амп. 011 описал т:uоке рнд мехаш1чс:ских примснсr шй такоf1 cr111pam1 ll1пt'Jx·c 110. ч10 Арх11мсд снач<lла нс даnал /(OK;J1aTCJlbCTll, T<IK как ЖCJl<JJ I , чтобы <· К:I Ж/ \hlll м.3 1 емапrк имеJ1 у11овольстние самш:тшпельно 11 олуч11ть этот рсзулъта'J ">. Более то1·0, он любил ОЗ<!./1,<1.Ч/11\аП, CROllX ·jaШ1CTHllKOI~. пр11n:11:тяя Нt'­ которые 11енсрные у1 верж;,t.:111щ •·N• бы тот, кто бу; \еТ уверЯ'JЪ беэ )\OKaЗ<lП.:Jl/)CT.R::I. ЧТО ОН все ОТ- 1\рЫЛ сам. rютталс я 6ы n 1юnvптку, утнерж; 1ая без ос11опания , что 11а111ёл то, чего 1 1 сльэя найти". Древние 1'рею1 nокрынал11 стол сухим песком и на ::JТUl-i <-rrecчaнu1·1 но<.:ке" дел;.ин1 liСртсжн За т:.~кнм столом и силе; ~ Арх1 1 ме;1, углу61 1 ённыГ1 н CB()JJ MЪICJll -1 , кпгд:1 OД I LH и;-J ГJИМСК11.Х HO l lHOA, СJюм1 11тп1х сппрт 1-1вле н1-1t' 1 ·ре1<ов , ворнался 1< нему. «Не CN1t:й 1poran, мон чертежн~ ,, - за - 1..:рнчал учё11h11'1 . Легионер вскипел. Лере;' ни:1-1 был враг, yi mчтожа.вшн(1 рнмс1ше кораблн, со-
J,. \311JllllЙ ;'ЩСЮfС MЗllllJIIЬГ. Т<о·1·орыс ;'\1е'!';.1ЛИ КЗ~l­ rrп и у6 1тщ1т 1 его тонар1шJ.сl1. И, 11еомпря 1 1~1 ·шпрет военачаJ1ы1ш<а Марцелла. 011 прон:шл старика мечом. Обтщаясь 1.:р оn ыо, Архпмед упал 1ia свои чсрп.:жи, Н<Хiможно содсржав шш.: ещt о;~.но научно<.: отк р1,r· 1·11 е... « АРИФМЕТИКА » ЛИОФАНТА Дп 11 :i tШL~ J\11e(1 дошлн два nронзведсп11н Дш) ­ фанта, оба 1 1 с 1101шостыо. :)то «Арифметика• (шес11> 1<1 11 11· нз тринадuат11) и uтрьшю 1 из тра к­ тата <· О ~шоrоуголъпых ч.ислах?. 1:-Lu о са ~юм авторе 1 1 е:: 11~~ВС(vгно 1 юЧ'!11 н11чс 1·0 Фr:н-щузский 1кторJ1к м:1тс,\1 :Т11 1ки Поль Т: 1 ннср11 , t>СНоRывз­ нсь на косвс11ныхдзш1ых, опредслr 1 J 1, чтоДио­ с!шrrжru~ k ct:re1t1 1нс lll в. n11.нa1<CJ учёные ~ r юхн Возрож11с11ня, n·1 ·к rыя11111е coч1111e 1 rrrя Д110- фанта в 6иnmютеке 8 3T~n<a 1 1а, оттюс 1 1ли время ею ж11:ши J< серед1111 с 1.1 в. Сохранило1 1·екст эm1тафи11 ( па11писи lla 11адгробrrом к~1м1н:). нз KOTOr()fT МОЖНО IIЗПЛеУ.Ь IЮС -КаКИС СRt'ДС:ШIЯ: ПрахД1тфстта г;ю6111ш,а 1101\ошп: диrшсь l!tf - и каме1tь J~) 1cJpы11 U<.'Л:J'CCIJl(JQ,;lt C!ZO Cl\(LЖY!J/1 усоптеги (U'JL. Волр1/ богои июсп~1 110 часть .11(uзни ()/-/ 11/ЮЖ'Шl jJe(iё11J\IJ.M . и )Щ111 >н1 1 ну 11/ l!CHIO(/ RCYnf.щ miu1. с 1~,1 1mх:о.м на ll(l!JCa.\". Т11.1111л-о лmн:~:'ш С(:'()U1ная, с шн)ругот mt оfiручuли1. С ·llt!IO nmJU1 лет щювсдя . cыlfa до.ждш1СJ1 .ч11дрсt(. 7'с.иы~о 1юлжиз1-tи отцовс1\оii воз.любле1111ы1/ сын его 11/JШICLlЛ - Uтнлт 011 был 11 опща pa11н&t"r _.1юг 1 и11 )li сmщ1!. Два.>1сды дtю гш)а рос)итш1ъ ш1Jшкиr:мu1 JYlЯ:J/CIШf! горl!. Тут и у1ш()ел 11/NйeJ1 .J1с11.ан11 llt!ЧtlЛЫIOzi C(l(}f!Lf. Д<Х'Т:П'() • 1н о pбltll'f'I, yp:i ш ICHI lt:' 1н:рАо й сте 11 е- 1111 с O/\flllM не11:~uсстным - 11 мы у:тасм. что Д1юфант 11rюЖ11л fЧ 1·ола. Е 1·0 ~ Ариф м е·т· ика<> стат~ rюuоротным пунк­ ·1·ом в 1х1зmп111 1 злсебры11 теорпн ч1кt:Л. Имен - А нп1 ч нd1 1 мате"1мпик<1 ~то проrtзошл(I u 212 r. до 1r. .- > ••Марцелл np1 1- каJ:.т с почссп1м11 похоро111 rт1, Лрхимедз , а на ~101плыюй плпте иэобра:нлъ цн.11и11др 11 н1ш­ сан ны11 в н<"тu шар. Такхотt:л сам учёньнl , 110- скою,ку оче 11ь 1·ор,t1 1л ся открыты \1 11м сщ>тно- 1нсн1 1 см объёмов ::>т1 1 х фигур - 3: 2. 110 :щссь nропзошсл Ol<Ol l Ч:lTCЛЫIЫ fl (УПШ:3 от rеомстрr JLJt:cкolr :-1лп::бры. Бпанщаря б) кнс111101't снмнuюшt' Д1юф~111 та ал1тбра uбрt.:ла ноныl1 ш:1ык, i ·opa.31\0 Guлct: ш1t.:р;п 1 11111ы1'1 11 у, 1,06 1-1ыl1 . •1см я::1ык гt::o,'ll1cтp1J11 (см . ста тыо "f1ткде1111с (iук­ кс шюfr с11.,шо.rттrю r ·•). «Ар11фмет11ка" -- ::>то 1н:: тсnрет1 1с~ сско~ прn- 11:шс,1е 1 11 1е, ка1' «l l aчaл::t» r:1щл11rta 1ип1 " Ке> 1111 чс­ с 1ше се че~ пш-> Лпо.11.rюrmя. :)то с6о ршп' : sадзч (nce t·o 1rx t 8<)). каж,:1::ш н:~ r.:oтopurx с1 r :.16жlт1а ОД !lИМ llJIИ llCCKOJlbКlL'\Ш рt:ШСПШI М\1 и нco6- XO,l.11Lt\1ЫMl'I II05JCIICHl151,'vllf, в н.:Nалс Сl:Ю<.:ГО ~ ·руда /~1 юфа~rт 1IOMCCTl lJI кр~ткое вве11.<.:н11с. ста 111нее 1 н: рны~1 11з.южс нн­ см ()С Н ОН алтс:бр1,1. В НёМ СТрСШТСН l IOJll' ra 1~1 I0- 1J:IJ111H ЫX ЧJ I CCJI 11 BBOДL l 'J'(' Я fiуккс 1 111:1н C l 1MПO­ Jll lK<I. Та .\1 же <lюрму1 111руюто11 1раш1ла1161сп111~1 с м1ю1'о ч ; 1 ~пам 11 11 :-1)ar111e11шr~11 1 Цх.1з:-· отnо­ р11м сл, чн-, ап:~лн;з ре111е1 шf1 ~1а1tач по. пюляет 0611аружr пь 13 •·Лр11фмст 1 1ке·• 60_1ее шнрокие тсорет11ческнt: ос 1 10uа1ш:я, чем те, 1-\ОТ()р ы е >wrю пз1южс:ны но ввсдещщ Пре)fщс всего это опюс 1 11·ся к ч н слоно1I обл:1ст1 1 . l l 3!1UMHIJ.\1, что R КJl:lCt:JIЧCCKOi'I а1 1 тr 1ч но~'r .'lll :t'ГCM:lТJIKC: ч11слам1 1 113:1ЫR:JЛ ll CI> М !-I ОЖССТВ ;] t:/\lfНJЩ, '1'. с:. ТОJ.IЫШ на тураЛh НЫ С Ч!LCJ l :l Дно­ ф~IJIТ же Х/)ТН 11 ) \:1 t ·1 cн1pe.r\CJICH I Jt: Ч11 СJ 1 ~1 [((tl{ мнnжс:стRа е; ~нннr1 , 1 ю н;J 11ротнже 1 н 1 11 всех КllНГ !1 ~1:11>111аст r<аждос l lOJIOЖllH'J lul IOC p:lЦIIO нали1ю с решение сnо их з:щач словом «ч11сло ». ()д 11 аr<о д:1я построе11ил :тгсбры Ol\IlHX толы<о полож1 пе.'1Ь1n,1х дробс~'t 11едостаточт10. 11 Цtюф:шт делает рспн пе.r1ы1ыi1 шаг Rnoд1 rт отр 1щатсJп,ные чнсла. Дrrя :о~того он выбнр:н:т Ml~I'C>/\, l IЗHCCTI IЫJI TCГIC:/)h как :1 кс 1 юмaTl·l'l t'CIO ltf: 01 1 0 1 1рс;1<:11нt:т 1юш,111 ofiъtж1·, которы i'r 1~а:зы- 1:$~1ет < НС/~<х·т~п·ком», и фор .чул11рует пран11ла 11c1lcтm 1 r1 с 1111 1>1. Диофант 1 111 шtт: « Недостаток у1V1ножс:111 rыlr 11;.i НС/1,остатоt<, д:lёт 11 :~л ичяе ; 11едоста·1·ок же:, ''м1южс 11 1 11,1 й п:.t н;.1m1ч 11е, даёт . .
56 Исrория математики Лиофант. 11 сдостuток » 3то « 11раашю з 11;.iкrm·> мы .vrожем зa11JJca ·11, так: (-)х(-) =(+), (-)х(+)=(-). Прашmа СЛОЖСНllН 1r IЗЫЧIIТан11н / (}!}1 110ВЫХ чи<.:сл Д11офu н·1· 1-r<: 1r:1ла1 ·аt:т , он просто пол ь­ зуетсн 1rм11 в с1ю11х книr·uх И. всё же отршtа­ ·1e.Jl hHl>l t: числ::~ Днофа 11 т 11р11м еняст тол~)ко 1~ nрuмс::жу·1очных выч. и слсниях . а в качест в е рс шенш1 НСt: ГД~I выб11ра е1 ПOЛOЖllTeJll>IIOC р:i ­ Ц I ЮН:!ЛЫЮе ЧИ СЛО. В 1~реf1!1оже1ш01'1 Диофантом буквешюй сим­ волике примечательно то. что кроме знака для И3д<IНИР Nлр~1фмt! I Иti.И \ Лиофанта Ба·1ель 1:i75 r 11е и::.11:1сстнuй нелн ч1111ы н1юдятсн обuз нач с::ню1 для nер кы х шести сС с1·спс нсй . к::~к пшюж и­ телhНЪLХ. т~1к н uтрю~<1телы1ых То естьлля Д1ю­ ф;~нт:.1 эти вt:личн111,1 11е 11мскл п::оме'rр11ческо ­ го см 1>1 ст1. как было ра11ы11е. С:формуm1рошш 11раrнта умтюжс.:аия с1е11е1rей п еп звестного 11 rте1щ специ::tлы1ые з 1такн для равенства - 1cr ( 11 ,1ч .~лы1ые буквы грсчес1<01·0 слова <-ПСОС " - « раu11ый ») и нсопред<::лё11тюrо квадр:.1та - О , Днофант внерные н м:1тсматикс IЮJ1учает воз­ можно с·1ъ зап 11 сыва 11> 11J;ll\ 11 c r111я н111 1 01стсмы урав11сгшй. l<ан счно, е1·0 форма заш1 с 11 1111 - скuлыш нс 1юход11т 11 ::1 сонремснную, ОД11:1 ко ~1 о настоящие уращ 1 е 11ня. щ,щt:11я10щ11еся н тексте т<1к же, ка ~< в 11ынеппшх м ;1те\1атических ра60- п1х . Собственно говоря, /\() Диофанта 1rи1<::tю1х уравнений - 1111 опредслёшrых, 1111 пеопрсдс­ лёшLЬLХ. - просто 11 е быJJо Рассматр1 шались за­ дачи, 1соторыс мы те11ерь м ожем свес.-r·и к уран- 1 1с1 1иям, и не болt'с топ) Наконец, но нвелс11111 1 Диофант форУ1ул11ру­ ет дна uснош 1ых 11 рани;1 ~1 11pt.:c >nразонан1 1 я ~·ра 11- 1rс11 и(1 1rранило 11t:ре1юса члена ура1шеr 111я 11з одной части н ;1руrую с uбратr1ым ~паком и пр;lВ ило Щ) 1113е11епия пu.п,об11ы,-.. членов Вп о­ сле,цс 1 в r1 и этп правила ста11н нзвестны п од арабскпми назв:н шями "ат,-джебр" и <«Uiь-t-ч ­ кабала -> (см статью "Страпы :-~рабского Вос­ то ка") По<.:кольку <·Арнфметнка ·, - это сбор нпк задач. можtт с.:л<Jжнп,с.:я вп еча1·;tе нн е. что Д1 ю­ ф ~шт разμаботал остроуi\1ные 11р~ 1 ё мы !J.ШJ рtшенни частны х сл~ чаен. но не создал общt- 1·u метода. Однако при 1ш1 1:м .tт1:льно м чтени11 можно у6сд1 1т1,ся· 1·щатсл1.ю,1й подбпр 11 про­ дума111юе рас положе1ш е зада ч напраnлеrrы 11:1 ·10, чтобы проиллюстрировать применение rшпm-те определённых общих .методов. В п ервой ю1нrе решаютсн определённыс у равнения п ервой u второй сте пен ей, нu все остальные кнн1· и пос вящены реше ни ю всопределtнны х ураннени 1"i 1·1 с и стем т~1ких уравкеннй Тщатсл ы-ю разб11рая решен11я Ди · офанта, можн о у1шдстh , что 0 11 фактичсск11 доказынаст слс;\ующую взж11 ую теорему · если уравнение второ1'1 сте 11ени с J\ПУ1"1я 11е11з11ес1 - ными и с ра1~11rнrалы1ым11 1<оэффитщептами имеет хотя бы одно рац1юпалыюе решение. то это уравнение имеет бесконечное м1южс­ ство таки"'1: реше1шii. Более того, зпачсш 1с нс11з­ вестных х и у можно задат~, раци ональны.мн функциями от одного пара м етра: .-х: = <p (k),
у<= ljl(k). Для уравнений оыше второй степени этu }"J 'Rержденис неверно. Диuф~11-1т 1юл. ноt.:тью nроа11ализнровш1 нсопределённые уrаннсния Rторой стспе 11н с двумя нсшmсстными .Для реше 1 1ия ураннt.:ний 11 систем более нысою-~х стспенс~'1 он р:'lз рабо­ тал ещё более тоJ 11<ие н сложные методы , 1<0- ·1·орые привлекали в11има 1 rи е м110 1 ·их сF1ропей ­ с1<их математиков Нового временн Од1п1м из этих методов решается самая извест~тая задача Д11офшпа: «Зада rшый квадрат разложит~, на дnа квадрата•). Двепадц;пь ве1<оn спустя р:1з­ мы 1 11лсню1 над ней побудишт фратщузск01·0 матСУtатика Г11,сра Фе рма сформулировап, его Античная математика знаменитую теорему (см. статью « Rели1<ая те­ орема Ферма») Труды Диофанта и.мели фу11даменталыюе значение для развития ал~·ебры и теории ч11сел. r: ил1е 11 ем это1·0 учё.но 1'0 свя::!ано rюяк11ение а развитие алгебранче::ской 1·еомстри 11. г~робж:ма­ ми которой вrюа1е;\ствю·1 занималиСh Л ео н:Jрд Эйлер, Каrл Якоби 1,1 дру гне а1поры . Н:щболее тубокое применение методы Диофанта 1-1 ашл1-1 в рабптах ~амечателы-ю 1 'О математи1<а ко1-ш.<1 ХIХ- начала Х)С n. Л11р11 Пуанкаре. На oc1rone этих методоu строится арифметиI<а ат·е6раи­ чссюIХ криDых - область, иптс1 1 сиu1ю разви­ н~нощаяся в конце ХХ столетня
История матf'ман1 к~i СРЕЛНИЕ BEl<A И ВОЗРОЖЛЕНИЕ СРЕЛНЕВЕКОВАЯ ИНЛИЯ Уже н ссредш1е 111 тысяч<..:л1.."гин .цо н. э в доли - 11с реки И нд сущсспюв~1л~1 р;1Jнитш1 цн1шли­ :~ац11н. Об уровн<.: знаний Т()Й д~~лёкой энохн MOЖl-IO судJIТЬ 11() (1<.:З)'JlhТ:пам арХСОЛ()Г11ЧС­ СJНIХ иэысканиl1 . l la11pнм.tp , пр11 расконк:ах Gы;1н 11ай;~е11ы обломок: .rн 111 eilю 1с делс:1111нми и древнейшие в мире иr рJJIЬ ные костп кубн ческой формы. На каж,f"\ОЙ стороне ямочт<ам11 обоз~ rачены ч исла от 0,11 ro1··0 до шес1 и. Тор­ гош~ы тех далёких времен ттолr.зоuал11сь ка­ мсшrыми п1ря,\111 различной вслич1111 1,1 . Архе­ оло 1 ·11 uбна р-ужили болън юс ч11с1ю прсдмстоn 1 11х1ш-rлыrо!1 1 ·сомстричсской формы Дю1 1ю­ строt.:ния сжруж1 юс-r<::1'111нд11йцы, 110-нид1 1мu- 1\.'fУ, применяли и1-1 струмент, похож1 rl1 на соврс­ ме1шый циркуль. М 1 rо 1 ·ие черты роднят 1(1 1 щ111нза1 0 11о)(ОJ1J1ны Иr ща с други.м11 J(pe1-1 11им и куль~1Jамп - Ег1"11 r- том и государствами Меж:1уречr,я. !)езде во:-1- шп<~Ши одппаковые 11роблсмьJ. приходилось делать расчL'ты ттри стронтельствс ;щорпов. XPJMOB, ЖИJIШJ..J,, складов /\JHI зерна, BOCIUILIX укrсш1с1-1нй, 01 1рсдслять r::i·Jмcpы и очертания по;1е11, учитывать кот1чест1ю матсрпалов и протlуктон - словом, решхтъ схожие матема­ п 1 чt:скнс з адас1 11. Ro 11 - 1 'J'ЫСЯЧСJIСТ!!ЯХ ДО 11 . :7. ПОЯВIIЛJIС Ь рСЛ111'НОЗНО-фшюсофск1'1С КНИПJ - ВС'/\Ы ( <iЗl-!a­ HI 1и» ). Од1111 11з раз/\СJЮВ Вt'д1 11·1скоl1т1тсратуры 1 1а:з ыnался <-illy.111,();1 -C)тp:1 » ( <·Пр;шт ита верёнr<Н,>) ?}тот 1 ракrат, сост~rще111 1 1.1l1 11 V11 - \i вn. /\() 11 э., С()держ11т праnнла и:i ,V1epe111111 (.." пом()щ1.ю 1зе­ рёню 1, 11р11ме1 шемыс пр~ 1С1-рс:1 11·1 c.1ucтne жерт­ nенпых алтаре1'i и храмов. В 11срвыс века по1ю1'! эры полш1лис1, аст­ роrюми ч сск:нс 11 м,1 тt:матичссю 1 е 1руды - cид ­ /JX:JH' I ы ( "' Y 'ICl-11 I И» ). Фаюы, IBЛOЖClll-lbll' н llt'pвыx сиддха1-пах, :{~t11м с·1 ·1юваны у дрснн 1 1х tрсков Труд •Пут 1с;1-с11ю~хаt1та -> нришкыкжтся aJl(:K- c:11 щрийtкому :ктрш-н >.">1~ ЛауJ1осу. О ~·р~чt::ском происхожде1tнн с1111дстсл1,с-1 ·ку~т 11 11::1 :танш.: «Ромака-сиддхалт:.~ " (жнтелt1~1 Восточно1' 1 Р11~1 - С1<ой империи часто назыnали ро.чеями) . 13 спд­ дх<нп·ах нспользова 1 1ы некоторые греческие термины Впрочсi\1. лаучные связн И1щ11н 111'ре­ цш1 сущсст~tша:ш сщt n ::111т11чньн.: времtпа.
В Среднt r<" века рабатат 1 н1111 111у1скис мате ­ мап1ки 11 :.1стrоrюмы Лр11збх;.iта (V- Vl вв.) , БрахмагУnта (Vll в.), Магаш1ра (IX 11.), Шртiдхара (lX- X вn.), I.>x:icкapa (Xll в.), Н11лака1па (XV- XVI вв.). Бш1ьw11непю трактатов 1111f\11йцев 11<1п1.ка- 110 н<1caнcr<pr1те - я::;ыке наую·•. ко· 1 ·uр ый абъе­ дш1ю1 ученых. 1·онорнкшнх на разных наре­ чшrх М11ог·нс труны r1з;юже111>1 FI с·rи хах, r~ я того чтnбы пrаннла можно 61 .1110 з<1учн1:1а1ъ наизус1ъ. Науч.11ые текоъ1 обычно сопровож ­ дались 1ю;(f"Юбн1.rми 1<омме11тариямн, где каж­ дое nraf\ПJIO ТЩЗТСЛЫЮ ОбЪЯСНЯЛОСЬ. ИНЛИЙСКИЙ СЧЁТ С 11peвr-rtl1111 нx 11ре,,,1ё н в И11;~ии 11римснялась f\ССЯТИЧJ l :JЯ 01стема счнслсння. .Цля СДИJ 1111\ су­ ЩССТfЮН:.11111 спс.: 1\11~uтr.1 rые :·1н:н:и. а десятки н сот11н заrтнс ынал и теми же 1\ифраJ\нt, 1то li друmй rю:~vщии. Памимо цифровых у чисел были и словесные обозначепня. Tar<. нут, обо- 111:1чали слоn:~ми «нусто1т». «нtбо» илн ~д ыра»; ед1111ицу - н:.~зnаниями единичных предметов : •Луна->, «Jемля->: дnойку - назв::tниями n.~рньос пред~н:тоn: <-бди:нrс1\n1->, « глаза·>, «1юз;1ри·>. •губы') 11 т. д. Имс11110 01' 1шд111kкой IIOЗ!ll\llOHJ-Юii нумс­ рацшr прон :юшла прнпычнан 1~ам система Средние BE'Kil и ВозрожлениС' ~ EDJ® сч1 1 сле 1111я . И11,'iпГтr\111 рдра(Jп· 1·ал11 nр~11111ла ар11фметичепшх детrсттшfi. ос1юва1111ые на этоl! нумерацшr (первым 11х применил Ар11~1б­ хата) . Оrш умелн ск.1аf\Ы1Jать. ш.1читат1" умно­ жать, !(СJ 11 ггь, вознод11ть LНICMI в ю3:щрат н куб. изнпекать к~адр~1т11111<.: н К)16Нчt'сю1с корни. .!3н­ rю11с:йцы ll:1З l1IH<llO'I' Цttфры ОТ() ДО q :.1paбCIOL­ Ml ·I , т:~к как 3а1 •1м с.~гвон;1лн 1 1х) арабов. Но с:1,111 арабы 1 1м еную1 ~тн цнфры ннд.ийскнм11 . :1 ар11фмст11ку, uс1юн;11111)'1О 11t1 дс:сяпrчrrой от­ стеме. - ПIТА11йошм счётом Арифметические правила шщ11йцев м:1ло чем отличались от 11равIJл , изучаемых соuрс ­ ,"rе 1шыми школышками.13от 1car< f)хаскара от1 - сал операцию сJюжс1шя: «Сложи ц11фры , сто­ ящнс н:t ОДН!IХ 11 тех же пo:нrttlIOШIЫX •ЧCel'~IX , в r1рямом 11ш1 06р:1т1-юм порню<с" (11р1111rямом nоря;tкс сложеш 1 е нач1111;1ется с сд 1 н1н1\, пр11 обrа·1·1-юм - со с1·аршнх pa:irя/ЩR). Д6rстR 1 1е 1-11.1чнтаrrия Бх:н: к.арэ \н1ре1tслю 1 так: <· R1.1ч1п·:11: 1 ч 11сла 11 соответстшш с нх 1ю:нщ1юшu,1мп ме­ стами R прямом IIJJИ обрат-~ юм поряд1<е». А пра­ n11ла для сложешrя. вычнтапш1 и )'Мrюжещrя дробей такuвы: «После прш:!t'flеттшr дробей к общему знаменателю с:лож 11 Чil('JlПTCJllI»; <.По­ сле nр11не1tеюrя /tроб<::й к общему з наменап.:­ лю СJlедуст юять p:1:311UC'IЪ между ЧТICJl ft'l'C)l}l ­ MlH; (< ПpoI LЯl:!C/(CHlle ЧI ICJIHTCJlt:Й , /tСлё ш юс H~I 1 1рои3вед<::ннс з 11 амсна·1·сле~'1, с.:с1ь рсзульт:)'1· ум1южспп>J двух 11т1 болt:с Л!Х>беl!». 59
60 История математики Н;J.чи н ая <.: VII J:J. и1щийск1 1 е математик 11 nользов~uшсъ отрш ~атсльным11 чио1::~м11. Пшю­ ж1 1 тсльные чис;1а они 11азыпали <>дхана» или ~с13а » ( «иму1цСС1'fЮ»), а 0·1·ри ца1·елы rые - ~pm ta» 11J111 «КJJ.tайя» («долг"). 13ра.'Смагугrта, приводя прашша арифметических действий пад отри­ цательпым:н Lrислам:и, ещё пе отмечает двузнач­ пост1, квадратного корня. но Магавпра в IX в. уже указывает на неё. АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Индпйские математик~ 1СОЗJЩ.J111 развитую атееi­ ранческую символику. R Индии пrrepnыe nояви ­ лнсr. rкоб1.1е знаки для .мтюrнх неизпестных величи11, свобо;щого члена ура 1ч-rення. степе­ ней, основных арнфмет1 ·rчес.:кнх дейстшrй. Болъ­ шm 1ство симrюлон предст:1влю 111 собой первые слоги сапскритских терминов. Наnрнмер, не11з­ вестну10 величину ~11-1ди 11цы называли ~·й:.~в:~т­ тават» (<.С-Т'ОЛl>КО-СКОJIЬКО») , сё обС1Зllач~иш cлo­ l'QM «й:н. Если неизвестных было несколыш, то 11м дапали наимепова111ш разл11ч1 1 ых цне ·тв· чёр11ый - •кал(.(IСа», голубой - «т-rилака», жё.:1 - тыИ - «nита1<а о) - и эаписыnал11 слогами ~ка». <НIИ», «ПН» И Т. П. Индиl1с1ше математики достигли больших успехов в решении задач, свя:3аш1ых с алгеб­ раичеСКИJ\оШ вычиСJ1е н ю1 ми. Ариабхата ое1·а .1шл зад~tчи, сводящ 11есн к ре1щ:ниНJ линейного ~'ра1:1нения с одним не11звестным. У МасавирьL Бха<:к:.~ры и /фу1 · 11х учёных есть з~щ::~чи. прино­ днщ11е к систем:1м линейных уравнений с нс­ <.:колькими нси~1.Аест11ым1 1 . Вот одна нз эадач Ма1 ·аF1иры: «CT()J1.i'v10CTЬ 9 лимонов и 7 ЛССIIЫХ яблок равна 107; стоимость 7 т-1монов и 9 лес­ ных яблок равна 1О l. О математик, быстро ш1- зовн м не цепу лимона и лесного яблока». Задача при.1ющп к системе двух линейпьrх урав нений с п:вумя н еизнес-1· ными: {9х +7у=107, 7х + 9)'= 101. Метод решения, изложеш rый Магавирой, не от­ личается от современного способа решения с помощью уравнивания коэффнциентов. Бхаскара nрс:длш·ает т~u<ую з<щачу: «Од1ш имеет :IOU монет и 6 лошадей; дру1·ой имеет 1О таких лошадей, но у него недостаfт l 00 мо- нет. Оба оди11аково богаты. КаТ<оuа uена лоша­ ди?" . УСJюние ныражас::тся ур:шш:-ш1см 6х+.30()= 1Ох- 100. Отсюда Бх~ккара нахот~ит, что JIOШ<l,L\I> стоит 100 мо11ет. Задачи на ква~ратные ур<11..1не 1 шя ес1ъ уже в «Ш)'Льба-сугре», где прrmедены ур:пше 11 ия п11да а;;/ = IJ, ах 2 +х=/-;. О;\нако их решеюш :-..1ы впервые встречае:-1 у Ариабхаты. Этu :заJ~ачн на СJ ЮЖные проценты п на нахождение ч1кщ1 членов арифметиче­ скuй прогрессии . Бхаск::~rа рассм~принал спс­ ц11алы ю лодобранныс ур;~внсн~rя третье!~ 11 четRёртоii сте11е11е1\ целоч11ст.:: н н ые КС1рнн которых он ва..'i:сщнл путём неслож11ых лреоб­ разоват111й. Итщийсюrс матемзт11ки усnеш110 решали нсопредслё1шыс урав1rе1rня, r(оторые rюз1шка­ т1 в ::н:тpOHOJ\·HNeCКllX задачах. в OTJllJЧИC от Диоф;1нта. искавшс1 ·1) любые рацио113Льные корни, 1 1н;(ийцы далн способ ре111ения неопре­ деJ1ё1111ы.х ур:шнсннй в целых п01южнтеJ1ы1ых ч11слах . Л1111ей11ое ур:шн.сн1-1 с в целых ч11слах с [(Тlумя 1-1ензt1еС'l'l 1ы мн ах+!:> =~} ' приnодит уже Ариабхата. но более подробно о нё,\1 рассrGtзывают в своих сочш rешшх .l.5рах­ ма~у11та 11. Бхаскара . 1.kршин<~ достижений шщийс.:ю1Х .\ilа1·ем<Jт11 - кон н тсоrи1 ·1 ч11сел - ретс11не в целых 1юло­ ж11тельных чнслах нсопрсi(t:JJённ01·u )'равне- 11ня второй степени с ;~нумя нt:извt'стны.м11 axl+fJ=):2, rде а - целое число , не являющееся квадра­ том. Эт() уравнение рассматртrRалн Браы.ш­ гупта и Бхаскара , который ш1 примерах изло­ ж~;.ш метод, 11азываемый теперь циклическюt Позже в E~pu.11e этим уравнением занимались П. Ферм.~, JI. Эйлер, )К л. л~нранж. Метод на· хождения nолн.01'0 ре111ен11я , открытый Лагран· жем. в 1769 1·" близок к шщ 11 йскому. Арнфме•п1чсскис и 1'сомстr 1 rчески.е про- 1'рес'Сии за11имали видное место R индийской математике. Некоторые задзчи очень извест­ ны, к примеру задача о награде за изобрете­ ние шахмат, которая сводится к пахожле нию суммы геометрической прогрессии со знаме­ нателем 2. Суммирование числовых рядов ин·
тересо11а.1ю многих индийских математнков (см. ста1ъю ~числовые ряды»). Ар1 1 абхата при­ nодит прав~ща суммирования рядов треутоль­ ных чнсел, натуральн ых кn::~дратоu и кубов, а Маrавира - правила сумми роnани я рядов квадратов и кубов членов арифметической 11ро 1 рес<..:ии БоJ 1 ыnой интерес 11н; \ 11й1\ ы проявляли к комбин~1торнкt:. Вот, например, задача Ма1·а ­ виры: ~о /\руг, 1-ш:юв11 'fИCJIO р;!ЗJГН Ч J-fЫХ uжcpc­ Лllit. которые можно получить из брш1лнантоu, сапф11р()1:1. изумрудов. коrх1 1 1 ;ю 11 и жемчугов». А уШридхары 11р1 1 но1iи·1·ся такая задача: <.Повар готовнт рззл11чпые блюда с шестью вкусовы ­ мн оттепк::~мн : острым, горьким, в.яжущпм, ютс ­ лы.'.1, солё11ы.'-1. слащшм. Друг, с1<ажи, каково чнсло 1:1сех разноnид1 юстсй·1. ГЕОМЕТРИЯ 311а1 tнн н открытия 1rнщп~tскнх математиКОli 11 rео~1 етрн11 скромнtе, чем 11 арнфмет1 1 ке, алгеб­ ре и теории ч11сел. Спеr~иалъныхсочт-шений по r·еометрщ1 в Индии пе было, эти сведения со- Инл1111rк~1й "э11уrкр1<nт XVI в.. кпш1я матРм,п 1 1ч~·<"ко 1 1 рукоnиl" Бхаск.~ры Средние века и Возрожлен ие общалис1, 11 ар11фN1етических тракгатах нли в а риф.метн ч еских разделах сочипе11 и 1! по зст­ роном 1111. Геометрические теоремы r1 р1шодил11сь без доказательСТ13. Обычно ЭТО был только чсrтёж со с;юном «смотри». Лшuъ в редких случанх t1·0 сопровождали кр~1 ·1 ·ю1с 1 юя<.:11е11ин. I Iо-1:11щ11мо­ му, доказате.11ы"1на учащимс51 сообщались уст­ но. В геометр11ческнх :~~щачах 1:1опросы чаще вct."ro Сt.юд 1-1ю 1 сь к иьrчrклснням 11 гораз1ю ре.же - к построен11нм . СаJ1-1 ьн:: ра1111ие сведе1111н о 1юз11а1 1 115!Х н11яrrй ­ цев в обласп... геометрии содержатся n руковод­ стnс по постройке алтзрей н храмов - <·Шу111.ба ­ сутрс<> Храмы ВОЗ!ЮД11ЛИ, П ОДЧ l fl l ЯЯСЬ рл,11у правил: здапнл должны были иметь в основа­ ниях опрсдслешrьrе фнгуры и бьпь сорнентн­ рон:шы no странам С1~ст:1. ДrLЯ :;i·r ·o1·0 требовалось у\1енне стрuи'IЪ прямой ~1·ш1. ю~адр:п, nрнмо­ у1·оnы tые треу1·ольннки. сторон1>1 которых вы­ ражаются це.1 1 ым11 чrкламн . Н1-щпr~щы эналн. как tюстронть ква;\р:-tт, р<11Jно11е;1 ики~1 11 рямо~1 ·олt,­ нюq:, и кнадра 'I'. 1IJ ЮЩЭДI> J(()ТО\)()Г() 1<рат11а ТТЛ()­ щади данного тrnа,11р~па. Отnравпой точ1юй м1 ю­ п r х построений служила теорема 1Iпфагора . Пхаскара приnодпт дою1~штсльст1ю :.,~то11 тео­ ремы в виде чертежа с: 11адшкыо: <· С.\1отри·> ТРИГОНОМЕТ РИ Я На ра:ш11т1 1е ас1рп1юм 1 п 1 в И1 1;11111, пп- nт111нмп­ му, оказали u11 1 iя 1 111e труды Птолемся, кот()рые 1 шдийцы nреобразоnалп n спстему расчёт11ых п1хtвш1. Глаш1ым их достнжеш 1 ем стала заме- 11 :.1 хорд синусамп. ЧТО ПОЗRОЛI I ЛО JЗ JЮДИТЪ ()1
,Аtъ. EUL[!J История математики 62 р;~зл11ч1tые фупю~ш1. сnя:зат1ые со сторо 1 1ам11 11 уt·лаып пряl\Ю)ТОЛЫЮl·о треугольника. Таким образом в Иr-щш1 бьшо положено rr<tt 1 aлo три­ го 1 10метри11 как учсншо о тр11гоном<.тр 1 1чс­ ск.1-L-... ве1н1чинах. !1нднйс1ше ученые тн11,;.юн:.1 J 111<.ъ ра:3.11ичны­ м1 1 триrонометр11ЧССК11l\11 1 COOTHOL 11 t:L 1 11Я.\'I И. 1-S ТОМ ЧIIC!IC Н TCMIJ, "()'t'OГf• I C fl СОl!()СМСННОЙ фор­ ;\-1С Rыражаются как siп1ц +co.s~o: = 1. c;in а= cos (90°- а). si11 {а± Р> = .sin <.У. со-, р ±со::. п ·siп~. l111дий1~ы тшокс знал 11 фор~1улы для rq)атн1.1х у1лов si!i 110., cos 1ю., 1·нс 11 = 2., 3. -\, 5. Тр111 ·ономстрин г1собход1 1м;,~ N•Я астроно­ J\Н1чссю1х μасч.ётон, которые оформляются в н~1дс т;.~бm1ц. Псрн:нr ·1абтща с 1111усов 11мсетси 1:1 «С)Т>ЬН -сщv~х;штс» п у Лриабхаты. О11а прп ­ nеде11<'1 qерсз 3"4<>'. Позю~ее учt:11ыс состз~шли более подробные т::~бшщы: вапрнмер, Бхасr<ара nр1шоднт табщщу cшrycon через 1°. 10ж1ю 1111юrrк1ш~ математики в X\f l n. доби­ ш1с1, больших успе:хов в области суммнрона- СТРАНЫ АРАБСКОГО ВОСТОКА Kom<J. н (>22 1·. 11рор<ж Мухаммел бежал 1 1з Мск­ ю.1 И С'ТЭЛ nрОПОНедоnать ПСЛЗJ\1 (араб «ПО1Юр- 1ЮСТЬ•>), ещё ничто не нредвещало •'Рsrдущего трнумфа IIOBOЙ реJJИl'ИИ и ИСЛ<LЫСКОЙ государ­ ствс111юс·1·11. Ilo уже к нас~алу \TlJI 11. арабские х~1- лифы (прсс.мнню1 11ророка) покорили огром­ ную территорию от Псн11.жаба и Хорс:зм<1 H<I щ >с1 ·оке до Геркулесовых стол бон ( Гнбралтар­ скш·о 1 1ролина) 11 а западе. Псрныс халнфы не жалсж<utн с11е1·ску10 1<yJll>1ypv 11на\'Ку, н том ч1 кщ· мaтe1v1<1'1'J.JJ<y. Л вот халифы нторой ;'(и 11ас-гии . ЛГ>6ас1 щов, - a.flli- Maнcп) и Харун ар-Ра11тд (l'а­ рун аm гt>ашпд, :шакоиый всем no ска:-~ка!\1 <:Гы­ снчи и ощю11 ночи"), 1·л:убо1ю y'R3Ж<l.fl учёпость, стал11 11ригла111атr, 1> liа 1 ·щщ ино;~емлых мудре ­ цов. В 1Х-Х нн. на щх1бскнй я:~ъrк б1,1л1111ерt:нt:­ / (С ны ос1юm1ыс нрошшt:;(сния Енкли,тщ, Архн­ МС/Щ, Аполло1 шя, Герона, Птш1<::мс:я 11 Диоф:~нт:~. В VL1L-1X kB. в Арабском хал11фатс уже пользоналн<.ъ 11ндн[iско(J лссw1·1 1ч 11от'r поз11- 111ю11нuт'1 с 1 ктемот'1. Трактат «0() и11ди~'1ском шш бес1ш печ 11ых чтrслоных ря,_1он. По-ю 111rrчо· му, O!ll1 3:1JП IM ~IЛ11Cb ЭTlfMll l!ССЛС,Т(ОВа1шлм11, ко1·да rтсюm11 способы 1.:1ыч1rслен11я более точ­ ных значсню1 ч11сла п. l lнлака11т~1 с110вссно !1рt·шол11т ttpaш ша разложен~ tя аркташ·снс1 11 бсск011ечны~-1 С"1·епен11u 11 ря;1. Л в аншшмнuм трактате ~карlНi~ш<1щ1х:п11 ,, (<.ТL"хш 1ка вn1чнСJ1с­ ннй ->) л;1ны 11p;ш1m:J раз.гюжсн11я сшJуса 11 ко· с1-11 ryca в ()с:ско11еч1 tыt: стспе 1 1111,1е ряды. Нрю~о ска:-~ать, ч то RЕвроnе " 1юдо611 ы м результатам подошли JllJmJ, в Л"VН -ХУШ вв. Так ряды Д}IЯ синуса и косинуса nыве:л И. liьюто11 около 1666 r., а ряд арктанrе1ка бьur 11a\'iдeJ-1 Дж. l'ре­ гор111.:1167] г. н Г.li.Лсi'iбн 1 щсмв 167:31·. *** В \:JП в. учёные стран Ьл11ж1rt.то 11 Срсr1нс1·0 Вооока позна1<ом 1 m11сь с ·1 рудам11 и 1 1диlкюL'< матем ал 1кон 11 ::~п ро1 юмоn 11 11ере::всл11 11 х на арабсюri1 нз 1 ,1к. 13 серс;~111 1е IX fl. срсд IIеа:нrат· ский учё11ый аль-Хорсзм11 н:~пис~ сочи11е1111е <>Об 1п 1дш1с1ш;11 стrёте». После того как арабсю rе трактаты 61,1m1 ш:рсвсдсны на латы11ь, многие И/1;~11 ИlJДllЙСКИХ матем;~тнкu.в CT:.tml ДUL'ТОЯIШ · ем сиропейсrюй. а. затем i1 мирuвой на уки. счётс-> - 11ервы!1 араt1с 1шй тру;1, н котором F1С"1·речается 1ювая 111щ11l1скал нумерация. Его наткал uыдающтпlся учtпый Мух~1мме,\ бен Муса аль-Хорезм 11 щшмерно в 825 г. В XII в. юп-1гу 11 сревсл1 1 на л;пынь. И 1юск<.тьку н !iнро­ ну деся·11 1ч ню1 с 11 стсма пр 1 rшл:1 чсрс' :~р:.tбов, сё <.:тшш 11аз1"1н:пь 3(Х~бсюJй. Прав1rла деf1стню1 с /(ССЯТ l!ЧllЫМИ Чl l CJШMll IIOJJyчшrи назь<11111е «алгоритм-> Это слоно про1 1 схо;111т от латнн­ скоfl формы пмет111 з;11)-Хорез1v111 . Учёпые арабского 'Востока был1 1 в ос1юn· 1юм астрономами. С !Х в. n Лрабс 1юм халифа· те начала складываться сrюеобраз 1 rал матема­ п 1 чсс1<ая культура. Здесь ~стоды 1 ·rсчсской матсм.атшш пр1L"1ешшись для рсшс1 11 1я астро· 1юмпчс:ских за;щч.11м<:нно nотребнuстп :~стро- 1юмш1 и np1 шел и к буr1юму ра зш 1л 1ю алгебры 11'J р11гонометрш1 Ос1юRы ап!'ебры кdк 11ауки 3:1лож 11п труд :ть-Хоrс::1м11 ·f<таб аль-лж~()р валт,- ... 1укабала1 ( • Кшrга () nосстаноnле 1 11111 п пр()т1-11ю1юст:.~nле·
Средние B€:'KJ и Возрожлt'llИ~ 111111 »). Сло1ю «ал1.-;ркебр>} R матем::пической 11и'rt:paтy1Je арабского lЗостоI<а означало 11ерс- 11с(е1ше отрнцателыюго члена из одной частн ур:шнсш 1я в другую, чтобы нолучптт, н обеих час1н.л полож1п слыrыс члены; u-1сюд<J 11 11ро- 11зо1шю н:1 ·ша11не наую1 - алr·tбра. <·А.111,-мука­ бала~ 11 сренодито1 как "сраннсннс~, "nрот11вu- 1юставлс11"н.:,,: с ·1 ·0 1 1ки зрс11 11н матсм:.1т11ю1 это orrepJцшr 11r11всдr:ю1я по;(обных чле1юв н оnсих частнх ) р:шнсm 1н. J>ешение ю1адра·1'11ых, кубпчесю1х н 11еопрс делётrых ураnr 1 ешн\ 1 1 зшн:чсrш е корнс1I ·1рс­ т1,ей, ЧL'Тflёpтofl 11 nюой сте11 с11сй сталн ос11ов- 11ьrм11 дост11жснням 1 1 арабской алгебры. llp11 рсu1<::1111и ур:шJ 1сн11i1 11с1ю1tьзонат 1 сh ар11фмс­ т1 fl-JC<..:КI1<.' 11 l 'COMCT[JI 1Чt::СЮ Н..: МСТОJ(Ы . Алп.:6р~11·1ч ссю1й тракта·~ :шь-Хоре.1м 11 был СОС'J ':шлсн как p~XOflOДCTll(J /1,ШI pt:lllCI !ИН пр:.11< ­ т1rчео01х :щп.ач. 1юз1п1к:н1Lш1х. 11,111ример. 11р11 разделе 11аслс1к·1· ва (М~ cyJ1 ьманс1юе право А/\Ь-ХОРЕЗМИ РоЖдение матем« гию1 и п ер1:1ые её шаги 1,пра1:н:~дли1ю t вязывают с именами учёных Лрев1·н:•й Греuии. Но случалось и ТJк, что свет зна ний шел ю Азии, .:1аставляя улив ляты я Европу. Вем1к 1:1клад в срел­ невекоаую науку Мухам.... ела {)ен Мусы аль-Хорезми (787- око.ло 85()}. Кстати, в самом t!ro име ни содержится опрелелён ная инфор­ маuия: Мухаммед, сын Мусы из Хорезма. Хоре:-~м - земля древняя. За тысячу лет до новой эры там уже был 11 пострuены магистральн~..1е просительны~ ка11алы и искус11ые ирри гаuионные сооруже ния. Надо полаr.~ть, именно потребность в точном сельскохозяи<..-твенном ка­ лендdре, в регулирова1 1 ии стока волы и планировани11 поливных земель э.:ктавила хорезмuев разв и ­ вать математику и астрономию с особым усердием. IX век стал временем п одли 1i- 1юrо расцвета науки в Сред11ей Азии. Именно тогда nыли состав­ ле11ы первые тригонометричесю1е и астро 11омические табли uы, про ­ ве.ьсны и;1мерения величины Земли, строились обс-срватор11и, появились научные трулы по геп­ граф~1и и первые гео1·рафическне карты. По'lтому 11 ель3я сказать, ЧТ() rlЛb-X opeJM И был ()ЛИНОК В своf'м отечестве, - 110 он был 11 а ГОЛОВУ IЗl>IШC МНОГИХ. О его детских и ю1·юшеских rпдах, учёбе 11 учителях свелений не сохранилось. И1вестно, •по околп 81f)1. проrвеш/:lн11ый халиф аль-Мамун пригласил аль-Хорезми ( коrорый к тому времени уже з<J­ воевал ttаучный авторитет и хо­ рошо знал основные 1руды уче ных древней Греuии, Индии, Ирана) в Багдад. Там аль-Хо резм11 возгла­ вил библиотеку Лuма Мудрости (сеrолня мы на:1~dл11 бы его t\ка­ демl'tеи 11аук). Пол его нач алом в библиотеке переводили трул1>1 Птuлемея, Енкм1 ла, Ар11гrотt>ля, д1юфанта, Герона. Он работал в окружении 1:1слуших учё11ых Вос­ тока, которых собрал у себя х;миф аль-Мамун. Аль-Хорезми - автор олиннал uат~1 работ; шесть из них лошли ло на< в арабском ори rин;;~ле, три - в пер еводах и пересказах , а лве, к сожале11ию, были утеряю.~. Наи­ больший ин1 ерес представляют трактаты аль- Хоре·i."1и по ,1рифме­ тике и аr\ гебре. Арифметически и тракта 1 13 ори1 инале не солранился. В Xll f:I. в Испании его перевели на латынь, ~атем в XIV в перепи сали, и елин­ t твенгrый ·ж.iемпляр этой руко­ писи находится ныне в Ан1 лии, 13 библиnтt'ке Ke'vlfipилжc:кnrn у11и­ верситета. Как озаглави" тракт.:~т ав1 ор- неиз вестн о, .:1а переводом же 1акрепилось назва ние «06 ин­ диС1ском счете•. Но если в арифмстиче<..ком трактdте аль-Хоре.:1ми главным об­ р:~зом проп аг.:1нли ров ал достижf:'­ ни11 ИНДИЙ СК ИХ матемJТ11КОВ, ТО алгебраический его трактат «К11 и­ га о восrтановлении и противо по­ ставле11ии )) - сочи нен и е совс.:р- шенно оригиналЫJUl'. Лрев11ис 1re· ~..и шли от rеоме1·рии к алгебре, аль -Хорсзми использует гсомет рию для иллюстраuии с.ловес 1-1ы х алrебраичепих правил, которые для него первичны . Истор11к Ибн ­ Халду11 ~в Туниса писал в XIV в., ч то ~кн ~t га аль-Хuрсзми о шести типах аl\ге6ра1~ческих зала<t при­ надлежит к числу лу<twих кн11г, <"о­ ста 1менныл в ::пои области». Митематичео.ие труды алt.-Хо­ ре.,,м и высоко uuене-ны во всем мире. В 11 45 г. алrебраическии трактат был п~рсослен н,1 латынь, в 1 В42 1. сделан его перевод на франuузrкий язык, в 1Н57 - на немеuкий, потом на Jttt м1йский , а в ХХ в. ;пи сочи не11 ия опублико ­ ваны на русском Я '{ЫКе. Вnрочсм, ал~..-Хорезми зани ­ мался не только матсм.пико~::-1. В < пио:е t:-ro основных работ 1на­ чится и трактат по астрономии , в ко1ором 0 11 иtслсдует движс1-1и е Солнuа, Луны и пяти пла11ет, ла(!Т пrав~1ла измер<:'ния геnrрафичР­ ских широт и долгот, оnрелсляет размеры солнеч н о~ о лиска, рас ­ скёнывает о солнечных и лунных 1атмениял . Лруrая раб(П;~ аль- Хорезми - « Книга кар1 и ны Земли• - труд географический . В нем л.1ны ко ­ орли1-1аты 2402 пу1-1кто 1з ЗС'М J·JОИ поuсрхности и нJлuже н.1 uри 1 ~1- Н<1льная 1ео1 рафическ.~я СИ( 1ема с уч~>том климатическю. зон . К сп­ жалснию, эта книга не 61->jла 11з ­ вес:тна европсйuам, 1ю t?c JI 1 ачс­ н ие для развитин географии н а Восток!:' очень велико.
История матема г и к и п редусматривало тота сложную систему на ­ слсдова1 rнн, в соответствии с которой мно rо­ числс 1ш ыс родст~'lе н никн умерше го 11олжны были п олучить CJ:IOI() /ЮЛЮ в ЗШ:ШСИМОСТИ ОТ степе~ 1 и родеrва.) Аль-Хо резм.и дал классификацию ли 1 1ейных и кn;щр::~тных ураu 11 е11и~1 н с п особы и х реше- 1 1ия. Общее решение квал;рат1 ют ураш rеrшя он не рассматрю1ал. Во-первых, его не шrтересо­ вали уравпе ~ шя. у которьL'с не было ни од но1·0 положительного корня. А no - nтopьi.", он ста­ рался записать уравнен ие т.~к, чтобы вес еп) члены выс тупали н к::~честве сла гаемы х, а не ны ­ читасмых. Поэтому ;~ль-Хорсзмн рассм;~трннал отд<.~лnнu 111 ссть R1rдou ур~шнений, к которым путём алгебра ~ 1ческих п реобра :юJ:1а1 ~и 11 сnо­ дятся /IР}ггт 1 с уранне н ин: 1) их-= !1:х (в терминологии aJ 1ь-Хорезми - «квал;рат,ы рзu11 ы ко рням»); 2) а:-.::-= с ( «КВадраn,1 равн ы числу»); 3) tL"< ;= с («кор ни р аnн ы числу»); 4) а.'1:- + Ь:х = с (~квадраты и корн и ран ны ч.нслу» ); 5) o:\·J +с= /JX (« кш1 драты н чнсла 1х1 в1-1ы корням~); , 6) lxx +с= ах- («к()рн11 н чнсJ1::t равны квад­ ратам ~). Здесьа,fJ,с>а. Помимо ат·ебраического способа нахож­ дения корпя уршшения аль-Хорезми обыч но предлагал и 1·ео:мстрнческий. Нот, 11апримс р, nссьма изя щ ное геометрическое рt'ше ни е ур.uшс 1 шя х2 + lOx= 39, (*) ОТ'НОСЯЩСJ'ОСЯ К -1·-МУ ТИП)'. Рисуеrся квад р:п, сторона котuрОJ'() оfi()з11а­ чаетсн неI1з1к:ст1 юй не111 1 чн110!1 х. ПJ1()Щадь та­ коr() кщ~.щхпа х.!. На сторшт::~х кnадрата стро­ mся четыре прнмоу1 ·опь1 ш ка со СТ()ронамн .\" 11 lU/ 4, а в углах - четыре квадрата со сторо11ой IU/ 4 (рнс. 1 ). То1·да площадь каждо1 ·0 из 110- 10 строенных 11рямоусоль111rкut1 будет -:Jx , ;1 сумма 11х ПJ IOЩ::t/leJI 10.У. Пщ)Щ::t/\h каж;lо 1·0 11:J чс-1ырёх yl'Jlo1:1ы х квадратон равна 100/ 16 = 6 ,Yi, а 11х сумма 100/ 4 = 2'5 . Ecm-1 сложит~ . шющад11 кн:tдрата (х2) 11 четырёх 11рямоугnлт,н 1 1кuR ( 1Ох). то получнтся выражен не. стоя"ще~ в лt­ нot'r чаС'l·и ур:~ннсння (*) , т. е. суммарная 11ло­ щаДЕ, ршш:1 59 Отсtода нахою1м, что площадь бол ьшого ква,тtрата :)9 + 2') = 64, а его сторона соответс-rне нr ю 8. ~ то же время из ч ертежа следует, что С1'орону больто1 ·0 к н:щрата мож­ но выразить как сумму х+ 2 10/~1. Пр11рав- 1111в::1я:х+ 2- 10/.:1 = 8, rюлучасм х = 3. Другой ара6ски.й математик. аль-КарадЖJ 1 (? -1 016), 11ред1ю ч итал ариф м ети ч ески~ ме­ тоды решепня я1аn 11 е 11и й Его эаслуга n том, что он ввёл бескопечпо м1 ю1·0 положителы1ъ1х и отрицателы-1ых сте пеней неизвестных 11 арифмети ч<.:скис опсрац 1 1и над многочле1 r ами (пращ~tt. нри делении огра ничивался лить деленнсм мно 1 ·очлсна на одночnе н ). Однако ал ь- Карадж11 нс б ыли чужды 11 гсометр1rческие мето/\ Ы . ТТрнведём эле1·а 1 rтное гсомстрич<::скu­ аm'ебрзич еское дuказательстно формулы сум­ мы кубов натуралы 1 ых чисел (у аль - Кара/\ЖJt ll = 10): 1\+2'+5'+ 1:1+...+п\= = (1+2+.3 -j4+...+н/. Р:ксматривается кнадрат АВСD со стороной, равнойсумме 1+2+3+...J +...+ll (JlИC.2). В квадрате Rьщелнетсн уто:нж BB'C'D'DC, такоi1, ч1п DD' =В.В'= п . ТТлощ:.Iдь ~~·1·п1 ·а уголка, p~1111 1 aJ1 сумме площадей прямор· m1ы111кпн D'ПСЕ 11 R'FCB м.нпус плn 111аJ11, квадрата CFCE. пре;1с·1-ал­ ляется разностью 2r1(1+2+5+4+...+11)- 11.!.. Преобразуя этu выр<lжепиt" с 1юмuщыо фор­ мулы ДJШ суммы apиф.tv!(.'TИЧCCKU IJ 11ро1-ресс1ш 1+2+3+4+...+п=п(n+1)/2.rюлуч;н:\1 2n(l+2+:i+ 1+ .. +n)-N~ = = ln _11_(~1_1 _ .... _ !-'- ) 2 Дзлсс рассматривается кна,цр;п , Ш'СD'. 13 нём ·1·а.кжс выделяется )TO!IOJ< B'B"C'/J"D'C', ]) Fс D' С'Е х1 !Ох -zr· D" С" 6 1'4 А В"В'в Рис. 1. Р11 г. 2.
~ 81~ История математики 66 Рнt. З. 11е n1>1JIO, :1a1111CJ1 урап11е11111'1 11 НЗЛОЖ<::l 11-Н.: re:1ym,- TaTOR оставалпст. с1юж11r.1м11 11 11еуноб11ым11 . Очень важны псслсдоватшя ара6сю 1х учё­ ных u 0611асти 1·еоме11)1111, в частности ра\1оты, поснлщёш1ые док;-~з:~тельстuу пятого постулап ~Rютида о п3раллслы1ых. Разу:-.1сется, псе rюпыт­ ю 1 доказ:t1 ь пятый постулат бьин обречены на 1н:у) \<11 1у, нu 01-111 110/\1·0·1·uн111111 1ючву для 1юсл е­ дующих иссл<::/\он;11111i1 ~11ро11е1kкнх математ11- ков 11 В К.ОНеЧ 110М 1IТОП: ДJ IЯ OTKpЫ'l'I IЯ В Х rX Н н<.:с:ню.LИ/\ОВhl х 1·сомстр1 tit ( с,..,1. с r·атью ~ Гсо.УlеТ'­ рня Лобачевс:1ю1·0~). Kpo:vi1.: тоr·о. про11схо;\111ю СРЕДНЕВЕКОВАЯ ЕВРОПА r1:ш.::н<1 тнор1\<Ж антнчной ма·r·с,1:1·1·11ки - 1111- фаt'ора, !::вю111д:1, Арх11ме1 1:1 - зте1 к:1;~..:,т1ый, l lo 11011po()yi"11 e HCIIOJIHllЛb X()l'>I ()ы ОДНОJ '() 11:~ eн­ (lUПt:ЙCКIJX .У1зтсм:~1·11ков С:rсднснсковья, tJ н~к скорее 11eei·n пост111~ нс'1· нсу;1ач:~ А пr11ч11н .1 нот 11 чём. 11 Сре;11111е 11ек~1 (ко11е1 \ \' - Х\'ш1)11Енрс>- пе формируется нн:щ отлт rчтrая от а т1тич1-ют1 снстема цеш юстей. !iё основу уже не сосrавля­ ст r<улr,т паутш. 1lом1.1слы людеl1 обращены к Богу , Цсрюш, соnсрт епстnоRанпю J\уш11 У большшк"гва в; r шпслы п,rх: богосл:оnов н ~1ыс­ J 111теле 1'1 то1 ·0 крс:-.1сн11 н с на(1т11 размышJ1ен11й () \•1:l'!'t'Ma'J 11ке 11 ее pomL в M11(1t°. СХ()/\НЫХ 1!0 глуб111-1с с 1рсчсскr1мн образцз.v~11. И вес же н сред~ 1енсконо1'1 Европе нс забыли 1ю111юстыо о ~11 1аче11111r м<пе..,,1ат11ю1. В VГ н. Фла­ в11(1 Кзссиоf(ор. п;.1,1111 11 з 1юсJ1е;~111 1х образо­ ва1111ых р11мт111, ос1юн:1 ·1еJ1ь хр11стиа11ско1 'О моттастыря тта лаnшсrюм :~ападс. 1'\Срзтrул пред­ ставать Б01 ·а-Твор ца в образе 1 ·еометра В е/'О трактате «l lастаnлст111я n науках Божсстnспнr.1х п чсловсчссюDС» глав:~ о геометрии открыва­ ется заспшом, который в вольном псрсложениа ;тучm так: • Теперь 1н.:рейдём к нзложснию H<llШПЛCllllt: 1 ·еоме-1р11че.сю 1 .х фat('IOH, КIПt>рЫt' 111юследстnпп быт~ осоз11а111.1ка1\11rеwюже1111я ::iIOШllaЛelITJIЫe ПЯТОМ) постулату. TaIOtMH nre,.r1 · ЛОЖСНТТЯМIТ JffiJIHIOTCЯ, 11::tпр11мер, утверждеш1я о сущt("l'1:Юн~шш1 лараллс:.11огра.мма и прямоу­ rолh1-111к:.~, кuторыt' 6:t1'}.J,aдcrш r1 матсмап1к Сабит 11611 Kyrpa (8.)6-9U 1) 11снuньзоиал для доказа­ тt:J1nс·1·н:.~ 11ято1'0 1юt~1ул:1·1·:.~ А 01V1ap Xaйsl\t 111жа- 3ыаал СГU l·IC.X()/\H и;~ ~ l 'J-\C(lЖ/~CHI rя· <·ECJLll }\НС 11рн .\1ые 11rи6т1жаются 11гу1· к дру1·у, то 01-111 обя­ :1атслыю ,1ол;юrы псрсссч-1.сн·>. Ара6с!(ие м:~тематиrш впервые rпучили rке тр11го1 юме1 р11чесю1е фушщш1 и сосr.ш1mи н6- лицы оптусоn углоn с промежутком u 1U', прн­ чё."'1 с пор.1:-штслыrоr'r точrrостыо - до 1/60·1 . ~ помощью тр111·ш юметричсских футrю~иr'1 они llCCJICДOB:IJlll COOTJIOJll<..'llllН МСЖJ\У е~-оронам 11 11 у1·лам11 треугштъннков. To!tbKP ЭТJ 1тrеу1плы111юr 11;1х<щ11т1<.ъ нс на 11лоскост11 , а на повер:-.1юсти сферы. f'<Шt:t: 1ю110611ым11 1юпрос1м11 зан1ш:~­ лно. Мевел:Н'! (1о. )11 К'1:11щ11f1 Ilтoлeмeir (lJ n.) - со.щатеmr сфсрнчсскоi1 тр111'0 1юметрш1. bor-Tвopeu к.н~ Г{•ометр
rеомстртr. Ст1детельств:.1мн 11реnп11х п ерсю1- 110, что J()шrтер в дся11нях CJIOJIX nоступас1 как П.'О.\н.:тр. 1-k знаю. л;остойно лн это nохnалы шur llOJJIЩШIIЩ IIO 01111 OCMCЛILJIIICb СI<; 1 зат 1., что Ю11 1 гrср на нсu<: пюр11т no;\0{)1ro 1·<:0.\ileтpy. р11сующем~ ф111уры 11<1 р:1<.:кра1 11 е11но1"т 11ыm1 . 11uкрын::но111с~"1 1·сомстр11ческую цоску. Так~ rc peчLI. еслн 11Х с ДOJJЖHOII ()ГOLIO[>l<O(I о·r·нссги !( Т1ю1щу, 1к·смо1унJ.t:'МУ Госно((у, мо1·ш1 бы, по.жа­ луй. COO'J'BC.:TC'l'ПOli:.lTI> I I CTL HTe - Bt::Лh Сшпан Tpomta постунает, еслн доз.волепо буде-г 1·< .11< выразпться, как геометр, ко1да пр1щ2ёт Сволм •r ·1юрснпям оnредслё111-1ую форму 1r Rriд . Откуд<1 слсдуL"I', что всt:, что правильно р<~сполаr<.tетсн н обтщас.:1 .зако нчснн остыо фор~1. может бь11ъ Ш"L{aЧt' L IO ЭТОй дщ:ЦllrтJl\IHO.Й». Уе.рберт и3 Орийака (Папа Ci1JlЪ~ecтpJI) о оо l р<?л1ще века и 1:!01ро~е1ще По-R1~дr1мо:\\у, те же сооf>раже11 11я 1:щ(тоm< нут 1 неr<ОтQрых cpc1ri;f1eвeт<onыx ху;~ож11и1ю11 к rreo61,1чrroi1 m~ee: нзобраз~пъ Tuoprщ с 01-ром­ ным ЦI!рh.·улем , 2 /.НIOJД:I с HCCl.ЧII I1ЛII ПJJ(.)TlНЩ ­ IO I M )Tom.1-11rкo"'1 в рук:Jх . 1ro подобных мш111- атюр <:СJхраю1лось uче111, м<1ло. БшIЬu1и11ст1.ю ж<.: ж 1 1шJ1111сцt~11 нс ()ралн н :~ сс6я смслостъ ююж11'1·1, в рую1 Твор1 ~а 1111струмсю ы - ведh 1-t}.. 11с1юль­ ·ю на1111с огр:11111чи11аJю Er·o 1к-смо1ущt'ст 1ю. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТРАКТАТЫ РАННЕГО СРЕЛНЕВЕКОВЬЯ r;цш1·шс матбrатшш в Ра .нлем Ср~д- 11<.:t~скuнь<.: (до Xtt в.) нач~ tнююсъ с ПОС'l 'L'Ш: Н НО!'( 1 OCtIO(.'J-НJH :1нт11ч 1-JО(1 :- . \<1 t<.:ма·1·11чс t'1<ой куn1,туры R мо- 1l:l("l'l>IJJЯX MHПl'CJКp:t'J'H(I 11ert:п11c1.1- fl(\J1J\ 11 11:Jуч:1ли .~1щ111<т)11ед1 1ч е­ сю11! тракт:п i\1ap1111:iнa Ка;1 еллы "о браюхочета1пш Фплтюп 111 11 Мсрю•рия" (\1 в.) , а также труды Аш1ция Ма11111шТорю"ата Cenepн1 ra Бо:щия (около -HI0 - )2.:J.). И:ннщ пс1х1 lюэцш1 6лсстя- щс1·0 (."l'I JJJllCTa, 11:.iBCC'ЛIOJ'O (.)(:нo нa­ TCJll>HhlM :н1:11111см :н-1тнчнm'1 11а­ ую1, - HЫlll!IJ 1 Л:ITIJHCIO IC пepcBO/(f1I ,п.вух фу11л:1мс111·аJ1ы1ых 1-речсск11х \ 1 1 1 J
,Аь_ ~ Иr гория матt>матию1 Пер1:вuл . н ,1•1,11\0 [t1клилJ 111 •оfiр,1нн11 rn•1инен1111 Г.nэu11я. Издание 1499 г 68 трактатов: .н1аJ\·tс111п·ых «Ha •I:tл" Евклтща и .-На­ станлешт в арr1ф,"1е1111<е» t 1 ео1111фа юреl'щ:~ 1111- комаха пз Гсrаст.1 ( J- Jl rш.) Псрсвон "J-Jачал•, во;~.\Юж1ю. был частнч11ы,\1. И:~ м 1 101·очш.:ле11- н ых 1·1с1·оч ни ~..:он Бо::н tнй ·1·а кже се К"1·ан1111 _11:1'1 '1 -1 н­ ску1О KO.\.lll l JJIЯЦ IJ IO <·] laCT:JBJI Cl ll l l' 11 музыке• (Ком1111шщ11еi1 назынастся 1 1rю 1 1анслен11с. сn­ ст;.111лt: 11н< >L' ~i;1 11t'рt:рабпта11н1>1л фра1 · ме11то11 Ч)')ЮIX СОЧ!111е111111 ) в 11е1'1 1{ COO'l 1\e'I t"1·1111и ( rреческоi1 траl\1щие1:1 i\-rу:1ыка трактовалась как ма·1 еман·1с1ес 1<м1 д11сц 1 111.1 1н1 r::t. В коп цс V11 1n. тю рол~, фра111<оn Карл 1 Всл11 - ю 1Т-1 обр:.~пш шп 1~1 ~шис 11а бсдс:твсшюс поло­ жс::ш1t: с 11:1уч.<.:1шс.\1 11:1ук в варв: 1рскuм св<я:м отt:чсствс. <..; пр11с у щl'1'1 сму энсрr11сi1 I<ap!1 11.\НЛСЯ :~:1 rс.:форму 06р:1:юн:1t111Я 11 flf)CЖ/\C BCl'! 'O распорн ;\)!ЛСЯ !IС1Тра111т·1ъ на ПСТIС)Щ~ Л)'ЧlШL'\ текстов лttп r11скуто Б r 1 П111110 11 fio1·ocл)?KefJ11ыe ю1111 1 1 P:.iз r,JCюm::iя т~110 1 е теl\ст1.1, :i тэюке учеб - 1 1 ию ( Л3ТИ1 I CJ(()(J 1p::t~IM:1Tl!l(JJ, i\1()JJЗX l l часто JJЗ­ талюшаЛJJСЬ 11а ру1шш 1 с11 :111н1ч11ых автороn. 01:111 были носл'lнце111.1 пронзnсдс1111ямп Всрп1- m~я и Горащщ Овндня 11 Ц1щсрона. llач.иная с lX u. (::~то BJJl'ИЯ [ l;.J:3ЬJHaю·1 ~кЩ.IOJ I Ш tl 'C'IOl~I IЮЗ­ рткденt l l'\1·•) 1rpOIL::!Hl'/J.C Hl!}I HCJlllKHX p r JMЩ I H CTlJHJl l l н:1 l lOJll<:IX VIUH:1cтыpci..:11x 61t6J1110'lt.:I\ 1»щом со Свнщ<.::1111ым 1111с:11111см 11 1руд.шн Отцон Цсрюш. Трактаты J)оэл11н по ар11фмст11- ке бы1111 1'0 1~да оче11 r, r1онут1р11 ы ~ l :шеС"1 но око­ JЮ J ')() СПИ("ТШR I>C>:~ 1 i:пc1юf1 <· Лр1fф\1СТl-ТКТI• Л юбопытпо, что Оl\Ш1 rп богато пллюстрпро­ в.ш ньL'\ рукопнсей lX в. при11адлежала nнр<) К.tрла llemн<o1·0 - 1<орото l<apJJy Лысому. Он оеrаnил по~1с11ш на её полях. Иная сую,ба ож~ 1)1<1ж1 Gоэ1tt1с11 r 1 срснод .1 1а­ ч ;.1л.} .t:ню11 1 11а З11ач11тслh11ая час~ h это1·0 тр:1к­ ·rа·1·:1 'l':J ll HCTBC lllt ЫM 06ра:ю_11.1 llCЧC~Нl.l 11:1 110:1я :1рсния сщё в Ран1-н.:м Срс;~нсвс ковьс. Ос1·авшу­ тоо1 час1ъ - определенr 1 я, пос 1 у.11аты, :скс110 .\1ьr и формуJ1нро 1 11т r1pe; 1m>жe1111i1 11:1 11ер11ыл чегырёх ктrпг - псполкюnал1111с как са·"lосто­ ятелыюе прои:шеде1 ше, :i юш осноо у для нк назьшаем.ьL\: флорилео1i1 (от лат. floгilegL1s - ~со611рающ11й 1~nеточ11ый нскrар ~ ). Флорпле- 1'11SI - это нечто nродс моз:нп:л, сложс111 ю 1·1 нз ~ 11 tтсрсо Lых фрш мен·1 он текстов. Дне нанболс:е 11:шсст11ы е флорнле1н11 , сос1·аи11е111 1 ые н rx 11 Xl 1ш.. под11ис1ны 1rмснсм само го Боэц11я. хо·1~ сдна ли н;.1половину прин:.tдлt:ж зт tто 11еру В n рочt:м. такоi1 под1ю1· - янлеt 111е обыч1 юе для ш1т1 1УЕюстн 11 Средненекоm.я. Не 11адеясь 11::1 то. ЧТО Ю{ детище будет СО:'Ч>апеrю ДЛЯ ПОТОМКО}j,
/..дr.\ 1 ВРлик1111, ко1юл1> фра11ко11. 11 "nepa1op tея wt•111юй 1'11мtко11 им11<>1н111 . lft'J\OTOp1.1c ;i llП>рьт ГЮ/ \Ш 1 сыn3111 [ cn011 'J'PY/1.J.J llt'.'1111\И\,1\ llMC\13.i\!H. T ':lK, J\(} Ш\ШИХ )Ш~Й J\ОШJШ сш1сю 1 соч1·1 11ешт й nсендо-Аристотели, 11ct'n.n;o - Л.nryrn111a н др. Rсrсr~нсксковых l't:uмcтpнs1x П('СIЩU-ЬОЭI ~' lli ыы Bllt:pвыc CЛIJIJ<IIKacмcя со С'Lр~1111-11,1м НШI С- 11ш.:м. совср1ш:"·нно 1 1 сТ1JJ111'111ым дю1 ю 1 ж·с11чс­ скоЛ грс 1 1сскоl1 "1:rтемат11кн. Высок:н1 эллнн­ ска и на~·к:r llCOЖH/\<IHHO OK<IЗЫB:Jt:l'OJ cpt:/1.11 тсксr'Ов зсмJ1е\1t'рнп1·(' солержанпя, которые tpt' i-\11 1Юо\1ще СКЛОННЫ (11,1 mт ВЫ 1IОС111Ъ :Ja nre- /LeJlbl м;пем:пнк11 Гсометрт~я F.: 1нr:.11ma ·1 еряет свою счю 1 ·ост1,, J(о1сазател 1,стnа теорем 11счез:1 - ют. :1 trx \1есто :~ан11мают ссылюr щ1 формы по;1сf1 (кру1·..1юс, треугоm,1юt'. квадратное 11 т. д.) 11 формулы NШ выч11слсш1я 11х шющадеЛ То. 11p()TllB чсr·о так B03(1<tЖ:tJ l ll J\[\CHIJCJ'Pl'ЧCCIOlt' учL~ны<: - н~1ру1 1 н:: 1 111с ис:рарх1111 н ()бж1сп1 зн:-~- 1шя , - свср1н111юс1" Стро1·остh 11 ч11стота 11аую1 fiыm 1оскнс:р11снh1 . ( релние вt->к;~ и Возр0Ждt:>11ие Последстn~ш этоrо oкa:i:JЛJ 1 с 1 , для геометрии кат:ктрофичесю 1м11. Вот пр11мср тш·о, т<ак 110- ш1м:~лся в гксвдо Бu:-)ЦIJCШ)L'{ 1·сол.н.?-тр11ях в·1·0- роiт 11uстула ·1 · Евю111/1а. согщ1с110 котором у нснкую 11рнму 10 11ин11 10 можно щ:о 1ран1 1 • 1 енно 1 1rк>;1олжа · 1 · 1,. Есл и гтрt:/\С'l'авлнть 111 rнию ка" 1ран1111у уч: 1 стка 11а пuлс , то она, сстtе1·вс:111ю. 11l' "10Жt:'I' быт1) бecr<01 1 eч1-1oli. что nrю·1·1шоре ­ ч 11'1· Rнкл идоnу 1юсrул::пу Гсоме·1·ры Ра 1111еги Сре1 111свеrтвья ш .1ходплп r 1з з:пру/\11еrшя сле­ дующнм образом. 0 11 11 сч1пали, чтu в постула ­ те μ~чъ 1-1дё1· о nродолже11111:1 11с rю 11pяJ\Юll. а " вбок", п n своих рукоптrсях обычно 1шюск·1·­ rнрокшш ЭТU 3 :1MIOIYTOi1 Л()М:tНОЙ «РЕН ЕССАНС Xll ВЕКА» И ГЕОМЕТРИ Я f-l(m;m во1111а псрс1юдоn дре111 1егрсчесю rx ру1,о­ пнсс1'1 u ]апа,.1,1юi1 Г.::нроnе nри штю, на XJJ в. :·}10 nрсм.н ш1зывают «ренессансом (uозрождс- 1 тпс,..1) ХН nека». vL\\сн1ю то1да во~1н 1 1ю1 1 1 пер­ вые с в ропсiтс..:ю lt' ушшеро1п:ты. t'о:танавшнссн обычно н;1 базе крул11ы.х к:н/х:д ралы1ых ш1шл . Как 11п 1л ьдш 1срL·д11с:в<.:кон.ы х рс:месл<.:1-1 ни1шв. у1 11 шсрс1 1 тсты 11аход1 1 111JС1, под nuкрпш1·1·сль­ ст1юм C l:H.TCКllX 11 l(CJЖORHЫX н<.:рарх11н 11не з;1- !1r lCCJ I И от про11:тола фсо11ало11. H:шl1oJJct: 11:i - нecп-1r.rc 113 утtинерстrтетnн ТОГ() нr>eMCIJl.I - Партксю1Г1 (Copi1n1111a)11 ()ксфорнсю1й. а т::rк­ жс Бплопсю1й 11 Падуа11скпй. lltpnыe два Сiы:ш особс11110 зттаменнт1,1 Сl3011.ч11 богосл.01.кюr:vтп факультетами и факультетами «11скусст~», на которhl Х изуча; 11 1 ф 1 1 1юсо ф1 r ю 11 матсматнчt..:­ ск11.с: 1 1а~'1<11. в XII к. в1 1 сr11пк· 11щ1111 1 J 1 1 tc1, rюлныt: 11<1:1· щ-1.скt1е пс;рс1Ю/\Ы " tL~l'taл » Евю 1 1 ща. нntпол- 11<.:: 11н 1,1е с ар:16скш·о. Исчс~JJО "нарнаrскос• 11ро­ ЧТl'н11t..: кл:зсс1rчl'скr 1 х Тl'кстон. Ою1:11.;о сама ндс:н общнос1 ·11 гсометр1111 11 11ра"·1·нче<.:К11х 1 1 р 11 L'vю 1i 11амсре 1 1111-1 остал:кь 11 11рrшсла t< по ­ яnле11шо пово1·0 ра:1дела матемзтпю1 т~ш тrа ­ зыnасмой nrщ11,тичес1.:.ой геи..метр1111. n тра1<татзх но nра 1пнчсской гсометrпт~ nроблс:.ч ы ~1 змсре111rя полt:~"1 н<.:t: бсты11с ус.ту­ п:.~т-1 Мt'с.~го эа;~ач:tм 11а нахож;~енис расстош 11111 )\() 1-K'(\OC'I '} l ll JЫ X r1peд;.1cTOf\ (C:1Mll ;:)Tll :1:.~ 11ач11 ROCXO[ \lllll l [{ r11мсю 1 м llCTO ЧHJIK:lM) . Mcтo;~n l llX решсн 11я KllOЛHC OTl:lt'Ч~1Jlll Щ)lfHJ~lJП:lм п:OJ\1e'l '­ pr111 ~BKltlЩa. H ~trlбOJICe llC!HtC'f'НhHvlll llЗ T:'llOIX · 1р:н,та·1тш l1ыт1 тру,Г(ы мСJнахэ-l)ене,Г(т1к1 1 rт11\:1 f\1·0 Сс11 - Викторс1ют (?- 1 L ~l1 ), в1~1дато11~егосл
7() Иrтория ,1,1атематики Гуго (рн В>1кrо1кки.:1 R кpvrv rr1011x уч1е1111ков \1 .1pи1111 ,tst КНЮ~Нi\Я ,\1 ~ 1HJ1,J rtu p .t 11·1~1льян скп 1·0 матс.-.,1а·1·11к:1 Лt:uнар710 П11:~а1-1ск< )- 1·0 , 1 1 :шсстно 1 ·0 также 1юд 11ме11е.\1 Ф11бо1-1:1чч11. 11ар1-1жско 1"0 матсчатнка 1111р11;\rюр1ю1·u астро- 1101·а Д()ме111-11т / \е К'!аRаз 1 ю (XJV н. ) ~ 1 ба 1<:111:тра меющш1ы Н11 1<0л~ IП1<жt~ (Лv· к), рабптан111t-1л в Jl1юш::. 11-ужно ск;:~зать, что срелпевскоn~,тм ш1,от1- рам премудростн нра!(Тической геометрии дав~шись с больш11м трулом. Чертежн, сопро ­ вождающне Тt'Орсмы. IIal1,o было за1ю мншпь Вот ::JTO и с1·анонrvюсь ю1.\1нсм пr<.·тк11онсн и н ;urя уч.ащихо.1 , которым прuщс 6ьто :~а 1вср- Рис. 1. С 1p.11111u.1 "J ,1льUtJ\«1 1:!нлл,1ра t.'Оннl:' кур.1 Гпри~1)~1т"лы1~я nр11Р~ 1 111я 0.iшt'll ( оiюр,1 ll 1\11t\H{' литт, 11аизусп, 11есколысо стр~111нц латиш.:кого текста, щ:жсли rюспрои :шссти по паi"mти чер­ тёж. Ikдь люди тогда 1ючти Н<:' сталюшат1сь в CBO(;'l! Ж l l:..SHl1 с таю 1 м11 nпннТННМ IJ , !(;}К lL'Jall иm1 чсртёж. ныпоттсr 1 ныl1 н масштабt'. Как r·пнорят 11стпршш. 0 1111 ЖIIJIИ «В м 11 рс пр116ли· Jи·1·е111.1 юс1 "' " 11 нмс С'1'СJ 11 змеrе1 lllЯ 11 вычсрчи · натrют н1ч11ых 1 ·епмс-гр 11 ч<.:ск11х форм доноль­ ствоnалттс1. и-х сл СJ11ес11ым1 1 оmкапиямтf. Чтобы 11адёж11ее Зtl!IОМIППЪ ТОТ 1 1.'Ш ИllОЙ чертёж из « ll ачал" Еnютпда. ученики прндумывалп им с 1v1ешные . :мп оми11ающ11сся на:шашш вро,1е « К)'р~1нuй лапы», •OCJll IH()I'() MOC'l':J. • 11Jlll <ХВОСТ:! 11аш11111а .- (р 1 1с. 1). Остаётся :i:.Jl'~I Jtкo li , от-кудэ чсрпал11 з н:1н1tя по гсомс.~1р1 111 с ред11енС'коныt: архr1тскторы 11 стрrн-пе.:111 1 ·0·1 ·11чt:скпх соб()rюв, вeJ tl> m11 1. по­ nидпмому, 11е 1юсе 11 tалн yr шnерсптt'Т()R, Скорее uсего секреты зо,'('i 11 .х uереданалпсь от мастера к учеш шу и не подлежал~ 1 раз!'J1ашеншо. 04'~· nттдтю, поэтому от т<.:х nрсмё11 до нас лоспн не дошло арл"1ттскrурных альбомов. которы~ч11 так богата 1юследу1тцая эrюх:1 Возрождеюrn. Ед1шстве 1 11юе исключеннс - чулом уr (елещ11 11 й :~льбом арх1Iтек·1урных ззрнстюк, пр 11 над.11е­ жавuп 11'i некоему Виллаrу д'()ннс:куру. 011 д:п11- руС'1·ся np11.vrcpнo 12;is r·. Полторы стrан 1щы 1rс 1 1ещре11ur чсrтсжамп <' по;(1 1ио1мr1 н<1 m 1кар­ .~иl!ском лш1лекте старофранпу:к1<оf'О яэ 1,1 ка, разънсшuощимп их смысл. Расшнфровать «гсо­ '-'tстр1 1 ю" Uшшара д·оштскура нещюсто д:1же историюм арх 1 пе1('1у11ы. АРИФМЕТИКА НА АБАl<Е В Срсднщ: нск:1 бор1.б~· за право называться м::1·1·ема·11 1чl'Скоl1 н~1у 1юl1 1юнt:JШ nр;,~кт1 гка счёта. Так, с 1<О1 ща Х 11. ост ювным рукоuодством 110 арифметике 01уж11л трактат «О пран11J1 ax аба ­ ка " учё1 юго монаха l 'ерберта нэ Орайзк:J (око- 1ю 940- 1()():) ). ст::ш щ сго 1шослс;1стn~ш Па ной РимсюL\1 С11л1,пестрuм 11. Абт,- - это прост<:lн 1 н::е счi:'т11ос прп способ­ !1е1 ll-l t (СМ. СТ~IТЫО <· Чe'l' hlj)(' Jtc:i'I CTIOШ :~р пф Mt."l'JJIOJ->). L\тобы 11 1хr\с'l'анr1ть себе, к:1к о н вы ­ глядел. Д()стато ч но 1к1юмн11т1, русск11е счt:ты. У<" 1 ·ройс:тво аnака Гcpfiep·1·;:i 1 1 ескоm)ко r1 нос Он llCЛOЛliЗ()Щ.I JI 11 l(:lЧt:CTRC Вl1IЧJJCЛИTe'J I 111 !111.Х ЭЛС ­ МСНТОR ЖеТОl!Ы с 11ане<:'ёпны~н~ 11 а 1111х 1~нфра· ми от 1 !\О 9. Раскла;\ывая жето11ы на а(')а\\е, Гер­ бер·1 чо1· нзображ:~ть 11ззт1ч11ые на·1-у11ал.ыrые
Пv11t1 (>tльвестр 11 1 Ге-рt1ср1 •н Ор•1>1а.ка) . 1р.1в~1р.1 на 11ep<>~t 1мfie111.1 1 l\\рв11ньяр.1 ч11СJ1а 1юч·1 11 т;ш Жl' , ка" мы 11р ед<~ 1 ·а11J1яем 1rx н АL'ся·1·1 1 ч 1юй rю~шцнон ной c 1 icтe.v1e. Тош,кu .вм<:­ сто нули 0 11 брал п устой жетон Ноный аб<JК н1>н:л бш 11,шое прс1f\1)'1JJ,ee1 ·щ>.11<.1 11t-м \10Ж1-f() было ум 1южат1, 11 1..1е.111п1,. (Ста ры1'1 р 11 :-.1о:нй ;t6ак бы.'1 Щ1\ ICl10l.OGЛC!1 к OCIIOl\HOM ДТIЯ C.'IOЖellHH И BЬJLHJТaJIШl. ) Уд06СТ130 С Чсrа 11 ;1 абаке состояло n том, что ОН :.1аt<СИl\1:1ЛЫIО ':9 • f, ~( Т1'>'> ~ c;Jf ~; \.,J,al 1~ ""fnt( f"лr .r,.,,. , 11 ~.r 1 'f" " ,r ' r .,. (8'18/' с.у~~\) 1 --~ ~-· -- .xi• ii. t ... - ... t ~.... Cf 111 с хJ....х ~ Б 1.. ь....- l v dl"/~ v l~ -- -- _. ь ~~ъ~ъь - ~L 1~ 1&~ ~t- !.!\ i :tON 11 \ сеl >.Х'1 11_,....'> 1)' 11ь "' - -- »L) ~ ;l.XU> IY ~ 1у с'У ,'ОС/ J(lt, :а «\., ёёL ~~ 1 1 С ~е"а ,1tы1о. ,1 Герберта ра:11·руж;1л лачнп,· lll•IЧl l CJLCllllЯ f\L'JlllCb IJOЧТll аnтом::tт11чtтю 1 , 11 е тр<=6011а1юс1, :1а1юм11н:пь допол 111 1 1 е:1ыrыс: рззрню.1 11р11 у·~нюже111111 11 уидьшат1, частllое пр11 деле 111 111 llромсжу·юч ­ пыс рсзул 1.,т;~ты обычно зашкыв~1т1 на nоско- 1:1~ ю таблs1чю· (цсру) m 160 11редстаnллли D шще кuмбшr:щшr т1льцсн Надо отмеппь, LJТO па .1а­ т1 шскuм Зшrадt: сущсс1·1юв;Uiа 1х1знн ·1·ан система 11редС'l'<ШJН.:н1т ЧШ.'LJI н:1 IJШIЬЦ<!Х и1.о 9l)99). Она 01 1 11с.1 н;1 1:1 1·ракт;..j 1 ·с Бс11ы ) tостогюч.1 ~11но1'0 (OIIOJI() (173- Ol<OJIO 7.~5) •. () счёте lipt:.\ ll'J\11 '>. гтосnи щё111 юм р:кчёту 1щеl1 Пасх~ 1 Oчt'Jll> П()­ чоrала пр 1 1 1i1>1ЧI1c:.rseпш1 ., 11 1·а бтща ум1 южt'- 11ш1, сост:шлетпrан ещё в 4-17 1 рнмюн111ном Ни1пор~1ем Остаётсн за1·адкой. 1<;11< у l 'ерберта ро,Г(rrлась tЩ(.'}1 е1 ·<.щ ь yдuri1 1ш ·o абака с мсчены,\lн жсто ­ нам 11 0 ) \I JH CpLJ\l l t:BCKUKhU~I а1:1тор. Щ1;tНДа . CU- oбщal'J, 11'1'0 "Герберт JIOX I ITI !JI абаl< у с1ра1 \J I H ». г. с. у арабпя ;L61стн111 елы ю . li м ш~одое111 011 11ронеJ1 некоторое нрсм? н Ис11:1нско1'1 м::~ркс \погра11 11ч щн1 с араба.-.ш 1·е рр!1торнн) О; ~нако не док::~:~атю. что у самих apafю1i в те вреi'1 е 1 L3 с~1.цес1 вова.1 та кой аб:ш Пор•pt'r Ьt.'л~1 дut 1 ог111ч 1 e1111u1 о 11 1 к1111 1 " ,() t чl' 1l' 1o1μt•,1t·н~1 Пdрю+:. и~,~аниР 1r, p7 г 71
72 Имя Герберта нз Орнйака - э;шсчател ы ю 1 ·0 математика 11 11су'томимого церковно-пол11т 1 1- 'IеС1<0 1 ·u дентош - было (Жрркс110 01·ромt 1 ьнv1 KOЛI I ЧC('' l 'HOM l'Jl yXOH н J!Cl'CHД. Его даже обшп Щ ­ Jll! \{ чс.рноюt1ТiКШ I \\ <.:IIOlllCHHHX l' JJ ,bHJIOJIOM. в н:1рнарсю·1l1 кск с у1tо1юльп·внt:м сочнн н л11 нс- 6ыш щ 111 о че11n некt, ум<:тшк:м ум1-1 ожать 11дел 1 1ть болы1гне •1и сла, и:11·0·1·а 11тпъ <·1·онорнщ 11 с 1 ·шш- 111,1", :туrюn(')й ~ффе 1,· 1 · 1<0·1 ·np111x со:1л.:111;uкя, по­ в1111 1 1мому, силой пара, и n poчrre 11е ме 11 ее ~·;~1 1 - вrrтелытыс вещи. l'ербсрту 11рипщ:ыщ11от сщё одн о наж11ое азобрс...:тс 11 нс (tшро чем, 0110 сп~ло нзnсстrю уже поон.: c...:ru пн.:рт11). ~тu н;ктuлы1;u1 ИJ'[XI no:t 11а ­ :1в:.~шн.:м ~r11тмuмах ~.-н1 ·>, что uзнач:.~ст «бнтва ч 1 н.:с...:л». ИгроН!JС поле ритмом~1х11н наnом 11 1-1а- 1ю шахма· 11 юе. И1· р~!, оснона н нан на з11э11ш1 npocrcй r 1111x сво l ктн чнсел 11 нх11ро1 1 зн<:.:1~ен 1 1lr . 11 TtЧ~III JC СС!VГИ l'ICJШR служrт::~ 11ре 11ОСХ()ДJJЫМ 1ше1\е~шем в арифметику, гrр111н 1 1-1 ая 11 аныю 1 работы с ЧHCJI :lMH . С 11ач~и1а Xll в. в Европ<.: стала рас11ростра ­ rrят1.01 :Ja11м("1 ·к011:11-шая у арабов по:.шцио ппая дс<.:ят1·11111 аи с 11 сгс\1а счнс11снш1. Однако у1111 - всrх: 1Пt."1·сю tl' l tpoфeccopa НС 11 pOЯBJJ.ЯJlll К ней о<.:0601 ·011нтерсс1 _11рсr~лочнт~н1 11 :и1 ;н«t'l'h 111 1фа- 1·uр<.:r~н: ку10 ар 11 фмстнку 11.11 11 1 1 раннла абака. С ч 11таетсн, ч·1·п 1 1ерпымr 1 110-11ас 1 ·онщсму оцен11- 1111 у;(оfiст1ю ;1ра6скоl1 ц нф 1 1 рн нт:щыf 1 1сюн:: ку 11 1 1,1,J. llовая I[)'111срэ 1 ~1ш п р ижнлас1, в ку11ече­ с1<0тr среде Италии н в ремеслснпых rоролах Ю:iк1юй l 'срмашш на 11злё·1·е С:ред 11еnекопы1, R Xl\1 - XV nn. Коммсрсаптам бо1·зтьL\. тор 1 ·овых crpa1J осuб<.: н1-ю часто пр1 1ходmнхъ сосrамятт, KCKCCJI Я, С'М.С'l'Ы , НЫЧIТ<.'JIЯ 'I '/, CJIOЖl-ll> lt: 1 1роценты Дсся1т1 ч1 rая с1 ~ стема окончателы ю vгвepJ\J 1ж1с1, 11 С:нрпне, ко 1 ·да вмс.:сто доrю 1 ·ос1·оя щс1·0 не р 1«1- мс1па (в ыдеJJа 11 1ю1'1 ·1 ·01-1коl1 кож 1 1) 1юнн11лась 6011С'е /\е111ё11зн Г1ума 1 ·а, 1 1 а которui1 мож н о бь1 ло прт 1 :шод1пъ ар11фмет 1 1,1еск 11 е расчёты . Но Ntжe развнтие ю 1111 оп<: ч атюшя нс смогло пол - 1юстью nытсснитr. счёт на :~баке. МАТЕ МАТИ КА И НАУКА О ЛВИЖЕНИИ Oi1t10 1 1 з 1~а11более прш ·1шалънъ1-х J1.Ост1 1 жсн11й C[JL'/( f-ICBC t<OBO(I ммсm1 - мзтем~'l 1!Ч t:СК;\Я тсо­ рня ,~впж<:m 1 я. Начш 1 ан с XII н. н Екрnпу посп.:- 11е111 ю, через переводы с арабсrю 1'0, ст;u11 1 11ро­ rшк.1.ТЬ идеп Ар1 ~стотею1 Хоп1 са);! Аристотель 11o:ipaжt.tл протпn ITCTIOJl b :'IOl\'11111>1 ,\1:1Tt'MaT\ l "IC- CIO!.'< ме·l'ОдО.1:! в фll3 1 1J(C, IIML'IПIO пр11 ()CMЫ CJle­ IIШI его ПJ'(с1'1 11а ла·1·ш1ском ~~ападс н nо:щнюrа у1r11 к:l.'lь11:ш в сно61 ро!(С rrayкa о 1~н 11же11ш1 По-11~н.:тонщсму <..трьёзное ра:~витис оп:t rюлуч1и1: 1 11 XI\' 11 :>->т: 1 наука 11 мtJ1a две uсобсн­ ноеr11. Прежде все 1 ·0, 11 Ар 1 1с1·0·1·ст,, 11 средне­ некоm.rс учi.lны<.: ПOHHM~IЛl l IH)ДДHl l ЖL'lllleм 1\СЯ­ кос 11з~1е 1 1е11 н<: m юбщ<:: 0·1 11 ;н. 1 снсннн цкет:з 11 п:~мnсратуры ло 1 юя11ле11ня 11 уr1ичтожсн1 1 н всщсtr. r! о это1'1 11р11чине одно и то же лопrrю­ м~тсматнческое построеrше, скажем теоrпя нро11орцш1, исnол1.зоnалос 1, д1 1 н оn11са1шя таю1х ра:JJ11Ilшыхш1;к·ш1й. как прuстра11стnсн­ нос ПL:рсмс11 ~сн1 н:, μаснμсделснш.· <-теплоты» 11 qхшюда» 1~ орг:111и1мl' чсло вск:1 (тu1ла это была oc110ua ·1·еореп 1 чсско(1 мсд1щ1шы), 11дажс .пля осмыс; 1е 111 1>1 <• неликоr'1 1~<:111 1 бы·111н» , простнрав- 111сйся пт Божесл-1е 1 11 юп) со 1 1сршснсп1а через ат 11 ·с.:лоn 11 чслоnска ло 11еж 11 11oi1 11 р 11рuды. Дру1 ·:ш особешюст1, срс~нсnек()Jюй тепр 1111 дшDкспшr состояла в том. что 11аблrодс111ш п::~,1 прнродоn не ш ·ралн в пcrl рсmаrощей роли. Часто о н и давалl! ШШ1Ь псрвы 1'i толчо1< к раз­ ~1ьш 1лt.' 1111 }щ. а :3аТс,\1 мысJlЬ уносш1 ась в облает~, чш..:тnl1 11ш ·11ю1. Taкofr сrюсоб ш.:слсдонапия 1-(;[:3ЫК:~лся CXOЛ:lCТI JJ-\()Й (0'1' l/JeЧ. * СХUЛасти­ КОС? - <· J[JJ\OЛl1HJ,Jli », «учёныll ·~) Мате:1..,-3т 1 1чес~ше мо;1ел 1111н 1 1жсн 1 rя 11с1ю1!h­ .юнались !(ЛЯ ()ор1,6ы с :ктр()JЮ\'11ей. Так, фр~~н-
СР ЕЛНЕВЕКОВЫЕ СХОЛАСТЫ П РОТИВ АН Т ИЧНЫХ ФИЛОСОФОВ Средневеко вы е уч ёные -схол;э< rы использов;зл и математически е рас­ суждения лля опровержения фи110- софс к~1 х доктrин античнuсти, и прежде всеrо утвf'рж.ления Дем о ­ критLI о том, что uc.b состоит из ан)мо в . Ан глийски й схоласт Томас Бrалва рдин критиковал эту точ ку эрс11ия слелуюшим обра зом. 10 rоч ек ди аметра 1:юсс1анов 11м пер п ен дикуляры , которые пере­ (.скут окружность в 20 точкJХ . По­ лус1ается, что длин а окр уж 1-юс.ти влвое больше диаметμJ, 1110 , е< rе­ ствен 1 ю, ош11боч 11 0. « Об 1том, - т1шет Брад1:1арди11, - з11ают не только математи ки, но и плот­ ники, каме~1шики и другие м;;~с­ тсри , опыт кото р ы х показыв ает лож11ость подоб1-1о r<1 заклюс1е1-1ия• . мых Оуде·т п олько ЖЕ.', Lкол1>ко 1о­ ответствуюши х перпенл11куляров в прямоуголь11икс САГ[, а по дли­ не о ни прееосхt,ля т э ги перпе нди ­ куляры в отношенииСС: СА Если nлощ.1ли состоя т из ли нии, то во1 - 11 икае 1 111ютивор~ч ие: 11 ардл11ело грамм больше равного ему п рямо­ у~-t)/\hНИК:'I в се : СА р<н П рич l:'м, выхолит , чем оrтрее угол п ир.злле­ лоrрамм.:~, тем больше 1.:1 о пло­ Ш<lдЬ, что, КОНЕ-'ЧН(), Нt'81.:'рно. Е(.ли 11ри1·1ять, •1то всяк,н1 непrе рывнаЯ l:lеЛИЧИllд - ЛИtl И Я, плоская фиrура Иl\И теАо - сосю- 11т из кон еч но го ч11с11а атомов-то­ чек, то н еизбежно прон1 вореч и е. Лейп 1-1и тельно, п рЕ'.лn олuжим, что •1и сло точек на н е котором отр~:з ке ко11е•1но и рав1-ю, скажем, 1О. По­ строим на э1·ом отрезке как 1-1а диаметре окружность. В каждой и-~ А ~ют ка ким Р<Н'< ужден ием он опрове ргал кон цспUИ J(), со глас но которои 1 1е п р ерыuная величи 11 J состоит из бесконечtю1·0 чи< ла 1 ю ­ леi\имых точ~к . Известно, что параллелограмм равновелик прs1мо у rольн и ку с те М~1 же ()( новаНИЕ-'М и ВЫСОТОЙ . П ро ­ ведем в па раллелограммеСGК[ от всех то•1ек опюва1 1ия С[ «вес пря­ мые» к тuчкам 11ротивополож11ой rтороны СК 11а ра ллельн о ГС. Пря- цукю 1й схол:н:т Н11кол:I Орсо\1 (около 1.)23- 1 .)~2.) рt::юнн о пол :.~гал, Ч' НJ если ш,1fip:i · 11, лкt C'He'J llJJ a , '1() Jlt'(lШJ'l'JJOCTb TOJ'\). ЧТt) t)' J' l-IOIГТC I l t 1 е Н\ LКоросте11 б~'дl'Т р;1 1 ~1 rо11::1лы1ым ч11слом, 11нч-rож 1 ю мала. А коль с коро шю 1{ыр;ur.;аетса чткло.м 11рраш-юналы1ым. то два сnспш~1 rrн - 1<0111а 11 е понторнт cnoe1·0 нач алыюJ'о n ол ожс­ шш н:~ небе. и, значит. астролоп-rя пс может 61,п ь ТОЧI ЮЙ 11аукой. В н :111 6ол <.х: 110лr юм ющс ма тсм:1 ·1· 1r че<: к:.1я тсuр 1 н1 /\н1-1жс11ня 11зл ожс 11 а н <- К11 1 1п.:- в ьтчнс.11с- 1 1т~, " ~~н1 11нйскr)J'() сх1 таст:1 Р11чарда Суа йно.ед~1 11 tpyna' Орсма. ИJ1ея :Jаключаl'тся 1:1 том, что61,1 •качtстна» 1rреr~мсто11, 11 в част1 юLТН скорос-11. дш1же1 11 tн, н:101.iражат1, •~tрt:1камн прям о!~ . ко­ торыеотюrадьшаю·1 сн пер11.е1 щш<уляр11от1r rип, 06о:~т1<1ч ающе й uремя или 1х1сс'('Оя 11ис. Если на r·opн ю r 1т~LJU,1 юй л ишш отмеч~uш nрс.чя. то по­ луч;~лся рисунок, rюхожИJ'r на соnрсмснп_ь1l1 1раф11к :шзисимосrи скорост11 от врс\1сш1. Рас­ стоян1 1с. про 1'11 1сн 1 юс телом за uн рсю:пСш11-,1 ~-1 11ptмl'1111ш't 11 ро м <.:ж~·пж, r1р<::) ~ст::штr л а ф1 r rypa, построс 1111 ая на nc1 1нрсмс1 1н Н:шр11 м ср, к слу­ чаеДШ!ЖСНJ !Н с ПОСТОН! !!!От'! с1<0ростыо З'l'О был t1pR\юy 1опыrш<, 11 случае р ав ноус 1ю реш ю 1 ·0 нлн ра вr ю:~а."1ею1сш ю1·0 двнжешtя - 11рямоуt n1n., - m,rfr трс)тол ышк и ·г. д. ПОJГ'} чшшшесп ф1 f111)Ы исследо вали ~1атемат1 1 чссюr. Ор<.: м дока:-iыв:ut. что тющ~щ1. r rpнмoy1·om,- 1юго T J'l"Yl' <))11-,l JПK:J. 11 pt.:дcra KJ!>I ю ЩlTtJ pa}j- 1-юycкope11rro<.: f(t111жt'1r1 re. рав11<-1 п;юща101 1tри­ МО)ТОJ 11,ш11с1 с тем же ОСПО11:-1 11ИС:'\'( и В,'\ВОе меr 1ьшсi1 высотт"1, че.м у ·1 реуголr,r11ша. (; точ­ Кlf зреlIНЯ мел:ншют это 02начало. чтu путь, проlще н11ы1~1 тс~ло м 11рн ра11 1 JОус r<орс 11 пом дю1жсш1и, раnсн щn 11, которо<.: он о прошло бы :3:1то ж<.: нремя, д1н 11·:шсь со CJк·д1 1ci"1 скоростью Чср<::.~ 2"5 n J1<:т ·1 ·0 •11 юс д1.ж:1:~а·1·ельс1·1ю /(,1 1111< >r ·o I IO.ll OЖC l!! JЯ /(::IC'I Г:mruн:r> r~I Jll lJl!;' J\ KO' l< Jp 1, 11'1 11 11р11?v1ен1 1·1 сго к 0111ка1 111н' пю()О)\1н11 о 11<1.'tl·- 1111>1 'l'<.:Jt;J IJ l l )'L-Г<П't' 1\11.1 пр11нетr ДОС'"l :lТОЧl!О !![IOC'IOil Пj)H\ltp. Но схоласп.1 3аш1ман11сt. 11 бощ:е t py1(1LЫ \.t11 п роблсмам11. Прсдполож11 м. что 11e1.:t) r·o μoc ·1<.:ло .щнжется в те ч е ни е отре.ша n рсме 1 ш. рав11 оrо 1. <:о с кuрщ:тыu 1. J:tTl'M в TC'Lt' I шe npc.\H.'IIИ 1/2 cu Cl\OpOC'lЫО !. , в п: ч сшr<.: щх·мс1ш 1/-1 = 1/ 2! - со скоμостыu ~. 11 тсчс- , ~ 11щ· врсмс1111 1/t5 = 1/1. - со скорtк"11-,ю 1111 ;~. КакоС1 11}' 1ь 11μ0 1'щё·1 'lt:JI< 1 за арс,н1 _ ра тюt: 2·1 (3;\ес1, оощеt: нрt'мя д 1ш же 11т1 CL~r r, су~-1 ,1 ;1 ()с:- с­ ко 11е ч 1то 1·0 ч 1кл:1 чле 11 он rc-n:v1eтpп чecrш lr прn 111 rp<.:c:c111 1с основа1111см 1/ 2: 1+1 + 2 !+)7+.=2.) И ш: будет лп э·1 от путъ вообще бесконечным ?
7~ Исrория м.:~ 1~мат11ки Со1:1рt:мt:нныl1 \1а·1·<.:м;.1т11к ска :~;ш бы . что пуп~, пр1 ) lI/~(.'111 /0\1)' TL~110i\1 , {:()( >TBCTl'Т R)'CT ВСJПl­ ч1111а. 11ре;к" 1<НJ.11е1111~1Я l1ескоr1еч11ым рядом 1>l 1 1 ]+21+.., 2'+4.21+')21+... Этот ряд паТJ,о спзчзлз псслс;~;оnатr. 1ra сходп ­ ыос1 Ь, J [ еслп 011 СХОДЛЩИllСЯ - ПОПЬ\1 JТЬСЯ нa{JTlJ t:J 'O JH:ICJ(:'HIJC' . Opt.:"1 рж:с ужнал нначс. Как 1111; 11-ю 11:.1 11рс; \­ .·1оженно1·0 11м ч ертежа (рпс. 2). сумм:J рнд:~ п рt.:7\ст:шляс:тся ка к площ:щ1, ПОТ\ бс.:сконсчнul1 Сl)'Пt:11ч~~·101'1 : 1111 mt>l-1 , 1~:щстроt:11110\i 11ад отрt::i- 1ш;ч АВ = 2. Rысот:~ каждоrr <•ступены<rr·' посто ­ янш1 11 равна 1. Ширнна ступенек убьmаст в гео :v1етр11ческой л рогрессш1 с o cr юва1 шем l / 2 Jатсм Opc:vi рассматривжт прямоуголышк с нькотоfl 1, 1юс-1 роенный на 1·ор11зонталыюм отрс~кс СЛ = 2 . ПJJощ~щь ::>TOl'U 11рн\1оу 1'олышка рав11а 2. 0 ·1 р<.::.ю1< CD разб1шастся, 11ач11ная от точкн С, на отрсзю1, длш 1а ко1орых \'бымает по ' ' \ 1 • закону l, 1/ 2. 1;2-, l / 2 , 1/ 2 .... расоютрсt-11-юму 111.1 11 1 е. Черt:.1 кп1111,ы :1' 11 1х 0 ·1ре:жо11 Орем 11рп ­ Fю1111т nсртmс1лып,1с .m.пнтн тэк. чтп nрямп уг()лы шк ока:-1ьшаt:тся состамеmп,n.1 и:i ()сско ­ неч.tю1 о ч.ас11а пря~юугО.'lЫlИКОВ Е, F. с; н т. Д" площади которых образуют nсё ту же 1 ео- Рис 2 G -- F Е .А л шс 1J мстр1 ·1 чсс кую 11po 1'pL'cc:11 ю. д~1J1<:с:: он за щ: • 1ает. чтu часть с1·упс11 ч:1·1 <)\t ф111уры. но3ны 111:1 ю111анс}I над JICp:tIOll «CT~'llCHhKOIJ », r.остш1 ·1 111 T:JКJIX же тuч110 прямоугольн 1 1коn Е. Р. (/ 11 т д. Поск()льку су.ч~1:1 111юща)1е~'1 Е ...t. - Р + <7 + ." = 2, ;J 1що1ц;щ1, псрноii ступснъкr1 тзюке раш 01стся 2, то оnщая 11лпщадь nод С'Jупенчатой mшпей будет равпа 4. Так IТ\'Тём 11е~.:ложт1ых гео:v~етр11ческих рассуж- 1\етшй в Сре;111сnсков1.с до 1.;азт.mалн некоторые теоре .мы ма·1ема111ческо1·0 анализа. 11 нее же срсднеRсконhlе теuр1111 д 1шжешtя бьиш скорсс 1rо1 ·нко-ф11лософс.:кт.11 1 , 11сжслн матс"1::1т11чссюш11. I3с11ь в тt: щк· м1..:11а, ка1< 11 н а1 1 ·1·t1ч 1 юстн, мате.v1атнк:J t' ll \ё не (i1 ,1л;1 оторRана nт 1<улr,1ур1.1 l')M:!lll-1'1~lp1юй и l lt'}'ДHIHГl'tЛMIO, что сре11н мате:v1 а·1 11l{Ofl Сред~ 1 е11е 1<0вr»1 пс-1реча­ лос1, немало тсоло1 ·0 11 ({)01 ·ос1ю11011 ). Тешю1 ·ом бr,1 л ;нт 1 иltс 1шй схоласт Томас Iiрад.nардш1 (около 12\JO - l _~._~LJ). J3 трааа:пс "о Божсстuс11- 1ю~'1 1rрич1 1 не» он первым нысказал .\IIЫСЛЬ ото~~ . что J1рuстран<:." 1·1ю, в кuторо<: 1ю 1 ·ружён шtш м11р, беско11е•1но. Эта нс11р11с:мл<:>v1ан длн ;.~н п1ч - 11ос1 н 11 Срс; ~ Е I Cl.JCKOHЫI J IДСЯ В1IОСJН~/К'ТНI11 1 СЫГ· p~I J l : I ПаЖI!\ 1() ГЮЛЬ 11 paJRI I T I 111 l'RpOПCllCKOi1
'1ыслн. Она n кош:чном ито1·е npIJнcлa к uтож­ /(1.:с·1ш1сн1 1ю 6ескош:ч1ю1·0. 0;1норо; 1н о1·0 про­ стμанстн:1 с атрибуто,\1 1)01·. 1 иm1 )~ажt с с:1м11\1 Бо1 O\t. Р~1 :-1ру111 ш1 ;,tнт11ч11 ьн.: и срс;1ненсконыс 1rонят11я о Космосе, он:~ пр0Jю;ю1n:111угь }IOllЫVI 11ар,:1м - нсбесrюl1 .\1ех:~н111<е 11 мзте\1<1тнче­ СК(щу ;tнаю 1зу Л'\7111; Е11\ё о;щп пример - теолог 11 матс;v1атнк карднлал Ннколаft Куза11сю111 (1-Ю 1-1464), который ттервым ввfл n матсматнку понятш~ 6CC!<OJICЧIIO малой 11 01.:СК()[ IСЧН О болы11uй 1к·m1ч11н. I< ним он прншё:1. р:1зl\1ы111лян 11:щ за - Сред11ИР l:IE:'Kil и RtН\ЮЖлt'НШ~ ~ а~ дачб1 о кв;1лратурl' кру1·:1 11 н:щ ·1·солоr11чес 1<0!'1 11ро611с\ЮЙ 0·1ношен1 щ в KU'J'( 1ром rt~LXOJ(H'l'бJ ьо1· 11 со:~лан11ыr1 Им l«JC\IOC. Была J11f срсд11снсковая н;~~·к:~ о д1111жсн1111 1111с,т\Теч1.:l1 матtм:~т1 rчect<nг<) СС"1·есгво111:1 ния Ноrюгп нrс),1е1111? Ил~ 1 же R XV[J CTOJl~TIПI 11/Ю­ llЗОШЛа революция:, н ходе· которой нонан 11аую1, оm1раясь на образны l'pt:чecкor1 "'fатема­ пшн, 1Т прсжле 13ССГО на труды lICПOIIЯTOГO в Среднсвс:1<о~ьс Архимеда, отброс11л:1 за непу-А<­ ноС'rъю схож1сп1ческ11с тепри11/ Об ..,;том до снх пор спорят 1rстор11ю1 1rаую1 ЛЕОНАРЛО ПИЗАНСКИЙ И ЕГО ВРЕМЯ Срс,1н совремсшппюв е.му 11е было р:11шых ll в nосле,"(ующвс трн столе·rш1 11ельзя 113зu:1т~, 1111 одного учёноrо такого ;часштзба. Тnорчестnо Леон:1рдо Il11занскоrо (l lH0-121()) ока:{аJю рс- 11шощеt: ю1ш11111t: на ра~щи·1·11е ат·ебры l1 теu­ р1ш 1111се.r1. 11 част1юеп1 на 1ксш:~;~.uка11ня таю1х ~1атс:мат11кон. /'\:JK Франсу:~ Внст t1 Пьер Ферма Леонардо род11ли1 и бш1ы1юм 11·1·алыu1СЮ->\1 1·ор1·оком 1 ·ородс -р<.х: 11у6.rш1\е Пн:1е. Е1·и Ч(IСТО 11а;млают Фr-1{)011ачч11. т. е. сы11 Бопачч1 1 (Доб­ рого). 1l:н:тонщая el'O фам1 uнrл. гrо-впли;-.юму, ьш·оmю. llo кpJйL1ef1 мере так он rюнменован в ;ште о покуш((.: :.1е;\11ш, которую совсршJL'1 гто ...1uвt:решюстн для сnосго родстнснннка. Отс1~ Лсощ1рдо 61,щ ноп\.)llусом респуб:111- к11 П11э;1 Ikкop(: rrocлc ртк.це111 1 я сына e r· o 1ю­ с11:1. 111 со служеб1 1ы\1 11оручсн11t:м 1:1 1:>удж11 (11ынс Ллж11р), 1'1\С' 011 ныполш1:1 t>б>1:1.о;11-11-юст1 1, бтлю 1е 1<конL·улн:ю t,v1. Ко~ да Лсонаrщо 11сп ол - 1111J1<Хъ 12. Jteт. oтt:r\ liЫ:-J11aл er·o к себе, чтоб1,1 поз11;1ком111ъ с дещ1 м ~1. n пер в)10 очере,11, с ком­ мерчсс~<н1'1ш расс1ётамн. Вес этн сnеденшт со­ общает сам Леонардо n преднслошш I< ф)1rда ­ мснталыю.,1у труду «Книга абака». Лсоrзардо rту1·ешсстнов;.~л r ru 1:\п 1rгry. Си р1 rи, Грt:щш. С1щ1т1111 11 1Iрuнансу и вt:щс <.т:~рался ПCJЗH:JKUMll'l'hO.l с fJ<l:JJlllЧllЫJ\111 с1шсоб~t\1 11 C1lL'1 ':t 1111ачш1а\111 ал1 сбры. Он убсл1тся. что техника счС:.:та IIO ДCOl'f 'I JЧHOJI ПОЗ) ll(J ЮНJ-!ОЙ CJ 1сте:-.н:~ 11::iм11oro пре1юсход11т все друп 1 е. Нер1rуnш 1 ю, n П1 1 .зу, Лепн:~рг~:о серъёз1 ю :1а­ нллся матем:.~тшю11. Он nо:l11аком11лсл с «На<1а­ ламн» Евюш11а н. спс1111111ш эп1 з11а11ия с тем, что уз11~1л от ар;~бских у•1Еных. состав1rл n 1202 г. «Кinrry абаr<а·> 11астонщую эт11\111сю- 1тедто ~1атс,,1ат11•11.:с1\11х :нrаtшй с1·0 :·>nохн :37'ССЬ проян.11:~ас1, нысо1<:ш одарён1юст1, автора: "f'P\rд Jku11;1pдu Ш' ~ЧCI-Jil'H:l'Kaя KOMll!IЛЯJtlТЯ. а 1·лубоко лро11ум:ШНОl' н К() MIIOJ'OM OJ111П!ll;]Jlf)­ нщ: пго11:шс;~сн11с. В нём рассма· 1р11н;,~ 1( н·с.я но­ rчюсы ;UIJ't:бpы, ГС<1МСТJ11111 11 'J 'C 'O{J l111 ЧI llTЛ. Имснrю н :'>тоi1 кн1п·с rзпсрныt~ пр111нщ11тся ре111етrне ~1звестнот1 за1t:~ч11 о K[IOJ1irкюc С11ра­ п 11 н1ается. сколыш пар кролпков ро11:т ся в год от оюrой rrapы. t:слн кажюш ттар:1 прmюс!Iт ежемсс~шо по паре. сrюсоб 1ю\1 н сnою очередь через .\1ССЯЦ к р.1З)IШ()ЖСШПО. 11 сели HII OJ{H:l пара не гrо1 ·ибпст. Ответ даi.:тсн суммой ряN1 1+1+.?.i 3+"\+н+". +111.к~1жды\'1член ;.1·1·01 ·0 f1ЯJt:I. H:JЧI 1Н:JЯ (' трС'ТЫ.'J'О, янляt~1·с.я С~'\1- мш'j ЛН)';'\. 11pt:Jth!/t)'IЦHX: П<ХJТС/"(Оli::1Телыюст1, {liп l в на.11>11ег·1шt~Ч C"l';'\!ЛI на.11,шать nослсдоnатслыюст1,ю Ф116011аччл (см. статью «Лослсло11атслыюеrr1») . В 122:\ ·1" Леонардо пuсвятнл 13торuс изда­ нщ: ::Пой ю1 1 1гн свuс,чу другу М111<сж· Скuтто - 11μндrюрнuму :1стrоному 1 1 астrолшу11.щ1ср:1- тuра Фр11дрнх:1 11, гому са,чому, кuтuporo 110- гом Да11 гс уrнн1ш-1с1 в <-Ьожсствс11ноi1 кu:v1t:­ / \1 IIH (Данте ПОМССГI L'J l'l 'O н J:IO(ЪMOJJ t<pyt ала. в ЧС'!'Вёр·1'ыГ1 ров. f\местс с ;tруп1м1 1 пf'iма11щн - 1самr1, вr.r11анавm11м:и себя за ттрпr11г~;~1·н:~лет1: А следую1.цт'i, .·тют худобш1тi, 811а11ся ,Нтсе:лf! Сл:оп тт 11 fiш1ы111t~t н (Ю,11/((е()JtЫ..У llЛJ'ltlllЯX llOLflltfla'lCЯ дrЖ<Jlf)
76 История математики Эт() посnящс 1ш с говорит о близости Лео­ пардо к с1щиm1йскоi\1у11вору Фрндр1L'Сl 11 Шт~1 - уфе11а, перnого пз просnсщtrшых дссшу1 он l+Т<IЛИИ, К()Торыми l!ПOCJJCДL'l'.IШ l1 бьщо Т:1К богато Возрождснш: llo дажt' в ·ю сvронос время Фридр 1 е{ сумел nрuслан 1.1·гnся особо~'1 Жl..'­ с· 1·окоl~1ыо. P:tC('l\:lЗЫJl<lJI J 1, бу/\Т() 011 raзpC1113JI Щ10НО/\11Тh анатом ~IЧССКНС l·ICCЛl:J\1 )H~I н IOI 11 ~1 жн 1~1,1х 111одях - осужде11r 1ы х 11rесту1111и1<ал. Пр11 а·1 ом 011 1 юкро11 11те;н.ст1ю1'lа;1 литературе 11 11эу1«1 м и сумел сж р~rж тпт, себя учсттымп и философами. Связu Леонардо с блестящим ощнлийсютм :~вором nссьма прнмсчатслыш. Ведь через Си­ ц11т1ю 11 Исп:шшо За11адная Енро1 1 а позна­ комилась с арабской наукu11 Но. в 0·1·1111ч 11 с <J'I J/l<.:11a11и11, H:J C! Щ l l JIH11 nЫJlll И llCllOCpeДC l 'HeJ 1- llhH.: ко11т~11<1ъ 1 с '">JJJIH нскоlr наукой. Дело нто~•. Ч'l'О ос1 рон с /\JJCHHCЙlllllX 11рс.чен ЯRШIЛОI l 'j)t'- чсской KOJIOllHt:Гf С 601':.JTh \Mlt K)Jll,1)p11bl1\Jll 1·0 1ю1\<l мн. Элли~ rская тра.п;пция сохр:,шилась и п осле Jавоеn:нпrя его ртr.млятшми (коI1ец lJl в. .п;о 11. э. ). Сар,щrшы (арабы) иысадюшсь 11<1 Сн­ циmш в 827 1·. и к 878 1'. заnер111 1 1лн её по1\оре - 1111е. Их вытес11илн оттуда порм:шпы (1060- 1092 1'1.) . которыt' 11 uснонат 1 С 11ц1111ийскос K()p011C HC'l'B0. K~I K : tр:.16Ы, 'l':JK И 110f1М:.!ШIЫ l]J1()- H BШUl H ptJ l ll l 'HO.Нl}"IO ·1ep1 t11M OCTh, llOЭ'l'OM}' 11а острове ИCll<JBCДOH:.JЛHCI> XjJlll"Т'H<IHCKaя r1 мусу111,манск<1я рслнги1·1 и были n хrщу ·1 р1.1 языкз: 1 ·речесю.11!, л:п1 11 ю<ий и арабсю 1й. Учё - Фр"др11х 11 Шт,1уф<"н V\и 1 111.i1юpd Xlll и ные мо1·1 111 сноnrт 1 ю общат1,сн, обме111 1 ваться з11атпшм11 . Ilpff дворе Фридриха устра11ват1сь наусшые днснуты. lla одном нз 11 1iX придворный фшю­ соф магистр И.ога1111 Г1алсрмсrшй nрсдлож11.1 Лсопар/~о !l11защ; 1<ому два вопро<.:а, 1юторыс в со нрсменных обозначен~ 1нх н 1,11 ·1 1 1щн ·1· так: 1) н:1iп1 1 корень урав11с1111я ,.\'\ + 2.\) + 10.\' = 20. (*) 2) 11а1:пи р:щ1 юнат.1 11.l l' rешсш 1 я с11стемы уращ re1111й { :\' 2 +5=1/. х2- '5 =1r с··) Леонардо прuвi::'л ·1щатсльныс 1 кслсдо1ш-шя o6CIJX 3адач 11 наr lllCIJI ,ЦНС К11111'11 - < · [lilCTUK» JI •K llJI!'~) KB:.l)\f1~1TOH» {llЛIJ ~ J\11н1 ·; 1 {) ю~;щр:1т11ых ч11слах ·>) ( 122'5 1· . ). пос1н1щён 11ы с 11х рс1 1 1с11ню Хотя обе: раб01 ы и:щаны т111 ю1т>:.1фс1<1 1 ."1 сно­ собом '1·олы.;о 1~ J 862 1·, ма 1е.1атикам сре;1 11 еве· коиой Енро11ы 01 111 6ш11 1 лоро11ю11знес1·11ы . В первоiI кшrге Леонардо уста11овал. что корень уравнепня (*) 11е является ни целым ч11сло.м, rrrr дробью Orr таюкс 11с может 11мсть 1шд , 11. 'n+,m ш111 \11 - vт. Н:11ю11ец,Лео- 1rардо ВЫЧllСЛИ.'1 сго с ТОЧН!1СТЬЮ ДО шестого 1rrе спщссятср 1тчн о1·0 :.~ттака : ,\' = 1;22.7, ..+2, .1:).4. .ю
(здсс1, TOLIK<I с запятой отдемrет пелущ часть от npo61шi1, :1 :;;шнтыс - ШС("1•идсо1терпчныс р;1:Jрнды). Каким сrюсобом было полуL1t1Н> это значсн11е, 110 c~tx пор <JСТ:rётсн 1н.:11з1:1ееrным Rт()rую '{а/1:1чу. постанлtнную ИО1 ·:н1ном Гl:111ср1\tс101м , Леон~1 р.до нcc.r1t'J10RaJr в <·К 11нге ккадратоА~ . В конце ко11цо11 011 r1:ш1ёJ1 ответ, 110 ;~то щ· сам()е 1щ1т-юе. Разм ышлетrия ir;щ зтой Jа11ачей nрнuелп его к юраздо более пr1терссном:у rю11росу: ка­ ю1е значс rшя tvюжст 11ри1111м:1т1, 1:1ыраже11пс 4Jщ(f/ - </)? J!совардо заюночил , что нрн цcJJ ых р н tJ u110 не можеr· быть кв:щратом. По сут11 это ут11ерж11ен11е :-IKRHH:lJJCHTHO HC'Jll LКOIJ теоrсме Феμма для Чt:'1ъёрт1'1х стсnснеi\. Таки~~ nбра:юм, ЧаСТlfЫЙ случай Ht'ЛHKOfl тсоrе~11,1 Фсrма бы11 откр1.1т :Ja 400 лег ; 1n Ферма! Ол1 щ­ ко локазат1. е1'0 Лео11ар/\О 11t' улалось. *** В nрсднслот ш к « Кшrгс к1.1адратов,• Лео11ар110 п11сал: •Когда, u знам<:юп't.:1'1шиf1 кювn 1 ·uсшщ11н Фр111чJ11х, м:11·ис'1·р Доминик nр1шёл м<:ш1 в П11зс к 1ю1·ам Ва11н: 1·u вt:J111честн~1, м:.irr1Cтp Ио1'анн П::~лерлкки11. 11сгrt:г1ш мt:ня. 11ре~1,Jшжнл м11е вон рос, о ко'rоро:-.1 я на 1111 шу 1111жt.: 11 кп­ торыi1 lll' Mt:JICC OTI юсип:-я к 1t:0\1CTpl Гl l , чем Срелние ве1<d ~' Во~рожден11е к чнслам. а именно 11айти 1.;Rадр:.пнос ·1~1CJIO. 1<оторос, будучт1 увслJ 1чс1ю шш умt:11ьп1ено на 1 1н ·1ъ, вснк 1 1й раз 1юрождш10 бы кналратное ЧIJСЛО Посл е размышлсннн н~щ рt.:нте1111см .-~то го 1ю11ро<.:а, 1ттuрое я уже н;.1шё.r~ , )1 y1111l\CJ1 _ что ИCTOЧlll!IOI Э'lОГО pt:111C I Jl l }f лежат во MHOl' l lX вещ:L-х. которые ОТ!IОСЯТСЯ к ЮЗЗ/1,ратш,1~1 'ПJ С­ ла.ч са мн по <"еое 11 н их 0·11 юuтс1 t11и пру~· к другу. l\роме ·гоrо, узнав нз р:1 згоно роn н Пизе 11 ;~ру1·их, которые дош11и до меня 11 з нi\mера ­ торско1'О NIOpa, что 13ащс н<::личество собла1'u­ Rоли 1ю 11рочее1ъ 1<н111·у, которую я 11anиc:u1 о ч11с.т1:.L'<, 1-1 чтп Ему 111 ю1·д~1 ;~оставляет у;10 1ю11 ь­ ст·н1 ic слытать 11 :>я щ1 ~ыс р:1 ссуждс 1н1я . от1 юся­ щ11сся к 1 ·с()мстри11 , я нс110.ч11r111 о Rorrpocc. ко­ тnрыlf }f сформу•лпронал 11 котор 1 м'r uы.11 м11е предложен при Нашем дnоре Ваmт1м фююсо ­ фом. Я юял этот rюпрос n качесше темы н ттред­ прпr шл состаuлс1111е 11:1стонщсi1 работы, кото­ рую рсшнл назв~п. ,,1\шт гой о к1:1адратных числах" Тс11ерь л t1ропту B;.imc11 сшкхuдтпt..:Jrь- 1-юстн н том. <.:нуч ас, 1..:сл11 кнш ·а <.:UJ~<:rж11т чтu­ лнбо б<Jлсс 1Jл11 ме11сс 1.1срнос 11 11co(Jxtщ11,YtoC. так как 11очн11тr, обо нсём 11 1-11 -1 н чём нс uш11- баться оюйет'Ненно nпжt.ттвс1п-1< ):viy~·мy бuж:l'. чсJ1·1 чел онеческо му. 11 11е·г н11ко1 ·0. к1·0 снобо­ ; 1е1 r от 11t:,rtостатков 11 сrюсобен у•1естъ всi::·>. ЭПОХА ВОЗРОЖЛЕНИЯ: СЛАВНЫЕ ОТКРЫТИЯ Эпохо 1I По:3рож;~сюш, илн Рс11ссса11са , r1рн11я­ rо CЧH'l';l'IЪ XV-XVJ вн., К() l '/Щ но МНОl'ИХ снро­ nеЙ.СК~IХ сгра1 1 ах стаJ 1 тюзрuждатnся ·1'm nысо­ ю1й уровспь кут,1уры, KOTOj)J)I Й C)'ЩCCТ IIOR <Ul в а1-1'r11чноl1 Грс 1 111и. Ра1-11 ,щс, чем 11 дру1'их Сl [Х1- нах, - н XIII- XIV 1щ - Rо~~ртме1111с 11ачалос1) в Италии, наиболее развитой и R зко1юмиче­ с1<0м, н в культуртюм оп-тоше11ии. К то,\1у же н снду географического положения Италия была связующим :1веном между Западом 11 Востоко.УL НоRые всян1-ш отра~шшсь в творчестве всю 1ких мастсрuн· н поэзии и прозе Динтt Ал1uъерн, Джонашrи Боккаччо 11 Фрап'!сско Пстраркн, в жнн()nнси Джотт, Лсо11ардо да Винч11 и Рафа­ эля \.а1пн. в прекрасных скулыl'lурах Мнксла 1 1- джело Буп11арроп1 11 Бснвенутn Чеm 11 11 rи. Все 01111 верили n безrра1111чш,те возмnж.110<.:т~ 1чело­ века, его волю и разум: r:шдели в нём венец тво- рt.:ннн . ~" 1·нt'рж;1:ш в 1-щсал !'~1р1.ю1111чноl1 i 1т1:1ор­ ческuй J JНЧНО('ТИ. Эпоха Во:~рождсння стала 11 э11пхоl1 Вею ·1к11.х гсогр<1с]шчесю1х открытнЛ. В 1-192 1·. Хр11сто­ фuр Колумб rУ!'крыJ1 Амер11ку. в f ') 19 - 1')2 \ rт. Фер11ап M:-IГCJIJl::ll! совеr ши11 К}))ТОСНСТrюе пу­ те111естш1е. Вот кзк ппс;1л об этом яркий пред­ стаrнпель Возрождения nрач, математик и фи­ лософ Джероламо Кард:ню: «JJ роднлся n тuм веке, ко1·да бъv1 открыт несь :3емной шар. тогда как в ;фев1юсти было извсст1ю mш11, Нl'М1ю 1 ·ш1о1 бол<.:с uдной с1'0 трс­ т11 . " Есть ли что-лr 160 бuлсе у;,тшнтсm,ноt:, чем nирот1::лн11ю1 11 человеческ:~н \.1ш11111я (·1 · е. артнлJJернн. - ПptrJJ·t. ред.) , которая траздо 011acr1ce мол11нн rтeПoжrrтeJ1t:lf. f-le уJ11олчу л 11 о теnе, пет 1ки(1 м~1пп1·1·, о тебе, nс;1ущсм 1ra c П< > беэnрежпым мор.нм n темноте 1ючп DO время 77
78 История математик~~ ужас.11сi1ших бурь в далекие неnедомые края' Прибавим 1< ::Jтому еще четnёртое откр1,пие - нзoбpl'TCHllt: KHI (J'Оllt:ч.папня COJД<llПIOC pvl(.1 - M I 1 люд<:й, щ1 1 rд~N1з1111щ; 1ix 1енис'vl . Оно сош~р н11чает с Божссг11сю 1ым11 чул.<::са.чи. 1160 чс ~·а Жl' t:щё нед(Jстаёт нам кро.\1с tJвл::~дсш 1я 11eбoVI' » 1111е 1ресrесю1е р~кошк11 11"1е111ю учё11ые 1311 эаптип сохрJ11и:ш для ш.:сх послсдующах поrю· лс1шfl бссцс1Шf)t' 1рсчсскос нuu1t'Д1Jt' , которо<. н l't' Ht'CI IOKOl IHblt' нμс\\С:Н:t 1!1 ((JJIl lt: \1()1JIO p.IJ/\l' шпь судьбу дрс1~нсюпаi1Lю1л 1рактатов по "1:1 тс'11:п икс (по повсл<.:нJJю импср;пора Ц11111, Ш1 1 Х\.111-.т~.11ш11111ыл11 L1>)10Ke111 .1п21 .~ 1 дп 11 ::i) В Сред111 re ве1<а 01\ 1 111м 11з крупнсйш11х на учпых rt<:r пр() в Евроrщ бш1а В и зз1 пня Сюда съе.1жаJшс~.. ~·чёные из ра'11 r1,1x стр:н 1 чтпnы пе­ решкьшатr, , нзучат1, п rшммептирова~ъ древ R 11011Lк1х со101 1111коn гтрот11n ·Г\11пк В11з,111 тшr сnл11:пrл:к1, с Bc11c:r(11cfr. В те времена вене ц11а11ские корJ6Л11 борозд11ли морн. н боr;пыс ЖИВОПИСЬ И ГЕОМЕТРИЯ Пр11мерно с Xll l в. худож11ики (сре­ ди 11их. италья1·rеu Лжотто ди Бон­ доне) н.:tчали ~кrпериментировать с изображением простра нства Они ·<Создавали» живописное nростран­ сню, И3М(!НЯЯ р.нмсры фи1·ур, ра< • полагая по определ~нным прави лам Jлемснты архнтектуры . детали ландшафта. В то время на латинrком Запа­ ле rтали популярными трактаты по опп1ке и в частности труд «Пер- спектива» польского ученоrо Uе­ лека в~1 тело (около 1225 - около 1280) В нем описание оптических экспериментов сочеталосt. с изло жением 11выс шей математики» 1ш1 эпохи· фрагме1~тов «l-laч;iл. Евк Ntлa, «Ко 1-1ическ~1х. сече1-1ии » Лпол­ лония и «Гlер('пt:-к·1111:1ы» с11мбскогu математика Х XI вв. И()н аль Хаи сама IАльгазе>на\ Интерес к гео!'v1ет­ рии пространства в ко11еч11ом ~по­ ге привел к т крытию в живопиr11 линеи 11 0~1 перrпективы r единои ГОЧКU~1 СХОдJ. (ТОЧI 1ее rказать "\ТОТ прием был переоткрыт поскольку им вла.лели ешё древние греки ) В XV в итальянскии архитектор и скульптор Фнлиппо Брущ:ллсс­ ю1 наnи<.dл мн, к.~1пины t в~1лdми Фl\оренни1~ при~f'НИR 1аконы пер СПСК1ИВЫ к СОЖJl\е11ию эти рабо ты Н!:' сохранились. Истnрики спо­ рят о тnм обладал ли Брунелле< ки недЮА<ИНllЫМ11 ПOJI 1а1 IИЯ~И в м,1те­ матикс и других науках Если так то е1 о картины прсдrтавляли со- С тp.111•1uJ 11з Руковолсrва К "1 lM~pe1 Н1Ю А ,\н1р1>ра Нюрнб~;-рг 1525 г Тро1ша Фрt·~к,1 Мазаччо вroGope Санта Мария Новема Ф\Opl'HIJl1Я 1425-142611 бои <ложнеишие геометрические поrтроРния [сть и другое мне>ние: Брунеллески вначале писал кар ти11ы 11а зеркале обводя и рас краL11ивая отражения Именно по натолкнуло Е'ГО н а мысль о пер­ спективном сокра шснии архитек тур11ых фСJрм Вскоре у него по­ яв"'м1сь ученики 11 nослело1:1атели В их числе - друг Брунеллески ж~1 вопип•u МJJаччо Его кисти пр~1- наллс'жит монуме11тальнос па11~ю < Троиuа• во флоренл1йско11 uер­ кви С.1нта Мария 1lовелла где Х}'дUЖllИК nримt:llИЛ ед1111ую точку сход,1 ухолиших в 1лyfi~111y м1ни11 Страстнt.1м энтузиастом перспек­ тивы был и П<.1олu У•1 челло. Прdкп1чР< кvкJ п:ометр1·110 и.~у­ чали отложив на время кисти 11 кр.:к~-.и . вел11ча11шис художн11кн 11 теоретики искvrства Лестарло Аа В11нчи и Алпбрех.т Люрер Они И<­ пользnflали гео"1етриче<"кую тРхн11 ку в приложении к теории п ропор uий и перспективы в ж~11юпи<.н
r:унцы Город:~ дoжt:lr nem1 ож1шлсr~ную тор - 1·овлю с по1лоу,ым 1 1 ~·орода:--ш l>m1ж11сго Вос ­ 'J(Жа. Поон.: падсн11я 1\онстаrттшюполн 13 1-iS:'> 1·. ученые, ра6от;,tнw11с т;1м. стал11 11срсс::!жать 1 1а З;1ria;~. Так научный мнр Екропы по~1-1а1юм 1 1 J IС){ ({) M I HJГl1:'>111 IOJ;ll'CllЧt::CКll .\11-1 трудами ПIJ м:1тс­ мат1-JКl: 11<1 1 рс ч ескuм J-1.11.1кL:. Одн:11<0 1 1 ауч 11 ыt: :ша 11 1щ р~КЩ)1>сtраш1з 1 1-1с1, .\ IeJ1.J1t:111 ю. ма·1·t;,ч<1т1 •К) пре1 юдаnаJ/11 в ~~н 1вt:р ­ снтеrах, которые тог[(а 11~Lхо11.11 1шсь под покро­ r.итет,ст1юм ЦерК13и. Её нерзрл·н стар;.11шсь со­ хр:~rнпь срсдневсконыс предстаrшспш1 о ~шр<: 11прот1~1111л11с1,1юэраст,1 ющс~1)' wншт111ю 11аую1. \( ·1·Gиу же уч<:ньн.: uбычнu рлбuта: ш 1'· u,цшюч- 1<.) 1lc быmJ научных об щt:стн 11 журнаJ1о н, м~1- теs1:1111ю 1 не вс.:лл 11 ;1у чн ой щ:рсшн:ю1. Состон 11:1 жзлнван1,е у 1<<1КШ'{)·Ниб~д1> 1\\t'Het-·1<1·1 ·. 1 11 1 ю­ ('ТШ11-1но 01 rасансъ апастr. 11 1r1::мююс 1 1" м;нема тнк ренпшю oбc;:pcraJJ своr 1откры·1· 1 1я. Хар;щтерпая нриме1· а того нрб1<.:1н1 - нdуч­ пые тур1111ры. Победа в таком турш rрс 1юроi1 стапоuш1ась реш:но щ им событие~t lJ ж11з11и . Побсдптслю доставал:.~<.:~-. нс тонько 01ана, 110 11 кру11но<: [\<.: 1-н.:жно<.: 1юJ1 1аrражде11н<:, а ч:кто 11 весьма ны1·од1-юе пр111·лзшенис на работу. В ссрсд11ш; XV к быJю l!:юбрстсrю ю-шrопс:­ чата111 1 l', н знання сг:uт1 1 дос1упны 6онсс uшро­ К()М} кр~ту :~юдеr'1 Хm·н 11ауч 11 ыс:: соч1111еI-mя нс по11ал11 n ч 11 сло 11ервых 11ес1ат11ых юш1, нсё же к копщ' Х\/ n. в Европе у-л<с полшrm 1сь "ком ­ мерчrска н ар1 1фметш\а'' (1478 г.). «H:.P·t;:iлa» Еn- 1@ща (1482 t'.) в латшн..:ком переводе Камшн1~1 !Jаваррскuго. сдслантrом в ХШ в" и " ~умма з11а- 11н l1 ~ ( 1~9-1 1·) учё1 юго мо11:оса-фраrщ11скаш \а Лую LПаqrнш. В Х\1 1 н . напе::чатаны ·1·pyrlы А1 юп­ ;юн1нt 11 Аr-~шмt:да. Кн.11п1 н~1 т1ты1ш мог про­ ч11тt1 ·1 ь /tJлско не каждый. поэтому Пачо111r, l'шшлсlt 11 Д<..:кз р1 С(.)3!ШТСПЫЮ Пl!C<}JLlt своп μэбтъ1 11а •·р:tзrо 11орных» яаы1шх - r 1 ' 1(1;11,я 1 1 - с1<0:У1 11 фра 1щуэском. «Сумма зт~а 111 1й" итзлып 1ца Паqшш сопер­ жала нсё, что тогда знаm1 по ар11фметпкс, ал геб­ ре, rco~1eтp111 r й триrономстри1L В этом труде, R L1аспюстн, была поmюстыо вос проИЗll<:дена •Кн111 ·а абака» Леон ардо П нза нского. В 1<0111 (е рп:щсла, лосвящё 1 1нu 1 ·0 аJл ·ебранч<:ск11м уран­ r~енш1:v~ Пачл1ш за.\1сти11 , что /J.'I~ рсшсння ку­ бичесюtх уран н е тr й <·искусстrю алгебры сщ~ кс ;1а;ю способа , I<a к нс на 11 способ к на,!\ратур r,, круга". Ero сл она rюспуж111111 оюеоб ра:щ ым вызовом для следующе1·0 поколе1 щя алrебра 1 1- сrов. Молzет бы1ъ, вперв ые после «С рсднеnеко - С релн 11 е века и l:kнрожлсн 1н• ~ E"ll.l(IO f\YKA ПАЧО/\И Лука П а•юли (t>k.oлo 1445 около 1514) был круп - 11 ейшим Сfjрuпейским алгебрсtи t:тuм XV u . Он рuлилс:я в мес. 1 ечке Бор го-Сан-Сепuль~<ро в Uент­ ральнои ИталиИI, учился в Болон с 1<ом ун иверп1те­ rе. Па•юли ста!\ профессором ма 1 ематики и пре­ nолав;1л в Риме, H eanoлt>, Миланf', <Dлорt>нш1 и, Болонье . В Мила н е 011 подружился с вылаюш~1мся хулож- 1-1икuм и ученым /\ео11ардо да Ви11 чи. П С' настоя­ нию Леонардо r.; 14q7 1. Пачом1 написал к ни гу «0 Божественнои про порu11 и. (её печ.:~тное излан ие вышло в Вен еФ1и в 1509 г.) . Са.\о\ /\ео11арло 1:1ы пол­ нил иллюстра u ии лля этой книги, в том ч исле 59 изображе ний многоrра ню1ков. Но самым --с нам('ниты м сочин е11~1 ем П ачол11 стала (< Сумм а з нан и й 1ю арифметике, геометрии. отношс11иям и проnор uионалыюсти» (1487 г.). Книга была напечатан;:~ в Венеции в 1494 г. Лука П.эчuли. Карп 111.1 щ•11Jвес:т 1 ю1 о Х\'дu:>1.н11к а J 49 i; r . rюй с11я чюf>} еоро п еiiцы осо"ша.; 1 11, qто м~1.10 только следовать класснчtс 1ш .ч образцам н прилежно усватmать аr 1111чщ1ю 11ау1<у. пора по­ иыта1ъся создап.. что -то новое, 11epcwai-rry-п, 1'раrшrщ , )'l<аз:н ш ые ю1 ;1сс11камн. 11 это 1rм уда ­ лось. Ит:1щ,янсю1с матс.-.1ап тк11 XVl н. 1 1аш 1 ш форму1 1n1 1шрнс 1! :.ыr·L:fip::1.11чecк11x уравнен ~ 1i1 трет ьей 11 чстн~ртоГ1 степе ~ 1~f1 11 те.\1 c1мJ1J '\1 решт11 1 зада ч у, котор;l я н~~ протяжс 111 rн мло­ п 1 х пеков rLрсr~стап11 н11ас1, учё11 ы м нсра:~рсш11- мой. В<1т п очеУ1у Л-VТ столетне 1ю 1111ю н 11сто­ р 1110 м атемат11 1<11 как J'leк алгебры. 79
_,Аъ_ Cll.lfl! История м<~тем.:пики СЕ КРЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ 1 1~·р1ыя 1тр.11, цu,1 ,('ум\\Ы 1Н.1 Н '111 » Л 1 1,1ч1 1л1-1 Bt•Ht! UИ>t ~l~t\.lHllP 11..! ! 1 В м ате матике то 1·0 вре мени от рнц;tтслы1ые сrпсла е щё не ПОЛ)'ЧI1л11 <· праu 1·ражл:п 1 ства ·}. Их нс.:пользовали при решении урашн:ш1й только н щюмсжуточ ных рзсчётах, IIO (;'(Jlll ИCl\OMЫJl коре нь or<:tэыв:ctJtcЯ отр пца1·сльным чнслоы, то CЧlIТJJIOCh. что yp:lBHCl-H fl' кuр1 I СЙ l [(..' нrvtceт. Д.1 1 я тu1 ·0 чтобы научнтьсн рсш:пьлюf>ос куб 11ч сс кш: \'IXlllHCHl1C, MЗTtM(l'l'Hl<l ·I ДОJ lЖН1>1 fi1,L1llf :1! 1 ~1ТЬ , как рс111а1п1пr тр 11 ра:~ных т11па ypamre11иrr: .\'~+fJX = Cj, х1=рх+ tf. \ .\' + f/ =р.х, где р, (/ - rю1южитслы1ые LШCm1. Исторшr от­ крытия qюрму11 корней эт1 rx урав 11с 1 1ий полна драм ат11:.1м а. 11 1rтрш', коварства 11 оfiмана. П <.:рным ус 11 еха 1 \uбилсн профессор Боло11- ско 1 '(1 унипсrн.: 1 пста С1\1ш 1 ю11 Дал 1) Фсрро ( 1"-165- .1526). Ha,11u сказат11. что n Л'V-XVJ 1ш. Болонскиii уmrвсрс~пет был 011;Т 1и :ч из с;.1,чых 11з1:1ест11 1 .1 х у1шверситетоn Enponы. В рз з 1юс время его студе нтами б ыл11 Jly1<a Пачолн, Аль­ брехт Дюрер 11 Ннколай Коперник. В 1'11.:; г. д{LЛL, Фсррu 11ашёл рсшс1ше уравн е ния вида х +р.,. = t/, но, щ) обычаю то1'0 нремени. н<: 011ублико1шл е1·0, а хранил в тайне. Рукоп ись с н.з1 южt:11Ие.:'.1 :'Jтo1 ·u uтк рытш1 Д~mь Фt:рр< >пе ре- 1~ш 1 с 1юсму >ят10 и nрtемни~:--у по к:.~фtдре Ан - 1-111б:Jле дt~лла J lанс. Хотя впоследс" 1·нm1 рукопись 11айт11 11е yдaJJO('I•. с он р с.:-IСПТIИЮ 1 )'Чtf IOI'() 1111· 1ю1да IJe осп:~рнnашr с1·0 пр1юр11тета, 11 во м1ю- 1 ·их матсматп ч есю 1х соч1111с111 1лх X\TJ n. rч шю ю встрс:тить уном11на 11ис () ,,правшrс ДаJ11, Фсрро-> . И::1щ.:сп 1ы f1нт:шы1нс ю 11'1 11 стuрт u<м~1тсмап1- ки У. Фор 1и наJываст 11мс11а t:щё двух чt:Jюnск, ко 1·орыс энаJ111 с п1 н:об ,Ц:ui ь Фсрро: это лnоря· HI IH пo~Hlt:O UOJIOJll'Tl 11 11Лll 1 '0 1 11 ltJ Мар11н Дt:ЛI> Ф 1 .()рt:, уче1-шк прш/х:ссор3 Дэ.111, Фсрро. После смерт1 1 сrюе1"< 1учr 1·1·ею1 /\СЛ 1, Ф1,оре rюл 1,:1()11ался С()общёrшым ему сскре-1 ом. 6. 1аго;р ря чему r юбсждал н а r1 ауч11ьLх турнпрах. НИККО/\О ТАРТА/\ЬЯ Н астоя шмr его фа'v1илия - Фонт.:~на. Прозвише ТJрталья (нJика») Никколо получ ил, когда l'Мубыло шесть лет . 011 вместе с родственниками спасался в 11еркви от фр::~нuу ·кк и х -1авоеват('лей, осам1вш их его ролно~1 город Брешу. Свяшен11ы ~' 1тЕч 11~ . ол11а ко, не уберегли от несчастья : Ни кколо был тяжело pat 1е11 в горта нь и 11 а всю жиз нь U(:TJЛ< ~1 1аи кой. Ма/\ ьч ~1к р(К в бедной семь(;', ра но остс1лся (\€'~ ()ТIJJ . Мать нс могла плат~нь 1а обуч\:' 1111е сына, П ()­ этому в школе Никк олu успел в ы учить лишь поло­ вину <IЛфсlВИ Г, \ , И ВСЕ' Жt> (,Tpl'MЛC I IИЕ' К '1 Ht~H l•IS!M И н еоuыкнш~ен н ая твёрлость хар<1ктера проявились >'Же в лстствl'. Тарталья нс толL>ко самостоятель~ю 11ауч ил<..я читать и писать, нu и сумt!л при обрvсти большие П(ннания 11 ма 1 Рма 1·и ке и мf'х,1нике. Вnо­ слРлствии 011 созл<:tл 1аме ч ательныи лля свое го времени трuктат «Новая наукJ • . в котором р ас­ е мотрел р.нлич н ые воnр0< ы меха11ики 1 в том ч исле расчёт тrаекторий сн.зрялов. Н11кколо Тарталья
И вот R J ~) "> г. дедь Фьоре uызвал 11а состнза- 11 пе з11аме1111то1·0 матем.атюса 1tию<оло Тар - 1м1ью (о коло 14()()-t 557). Тарталы1, у:шаn. что дет, Фьорс обладаеr· сt:кретuм Сцитюна д~u11, Фсрро, за rrccкuл hKO ю 1el1 /\О ·1 урннра cyмt:J1 с1- мuе1·онтс::лы-ю открыть (j10р .\.1улу корней и O/tcp- ж;u1 1 юбс11у За два ч:rса он репл rл нее ~s~щ~1чи дtл1, Фьnрс:. Протишл 1к же, nu слон;~м са .нот Т;.~рта ­ nы1. ш: спра1н111ся ни с о;~ной. дзже 11з 1·ех, кuто ­ rыс MOI' бы pCIТI! пъ по 11р<Н1илу Д;;JЛf> Фсрро Череэ лень после тур1шра Тарталья репшл также ураrпте.1-шt: nида х' == рх + cf. Это было вел11ча iiшнм оп<рытисм. К учёному nр1 шша слава, c 1·u пршж1mаш 1 прс 1 юдавать н Верону, J.k1H.:llИIO, Пы1 чеJщу, Брешу. Но пубm1коват1, пю11 формулы Тарталы1 не стал. Пuчсму' Во~­ можно, 11р11ч1 1 на был:-1 нот н чё.ч . Куfiнчсскпе ура втте1111е первого т11 щ1, т. е. уrмине1111е _\J + px=q. 1' '\ с 1юмощыu nпдст:11-1оню1 х = 1,U - vиТ:-~рт~1лья (вслед за Д;:~ль Фсрро) с1юдш1 к квадратнО.'-'1)' yp<tB !lt'I IJIIO .! (р)' и-чи. - .1 =О. Дискрими на.1 п ::>1·{ н·о ур;нше1п 1 >1 ПОЛОЖИТСЛСН, И ПОЭТОМ)' 0110 1IMCCT 0,ЦШ I flO- JIOЖJl'l'tJ IЫIЫЙ корень. ,Ш~х решения ур;,~внс11ш1 нщр х1=рх+ц ~ ; 'l'арталыr решил с;(слатL зэмепу .i .: = ' 11+\1 • Со01·нс·1·ствснно ш1 JJ<)Jlyчrrл кRа;~ратное ура11- вс1111 е > fJ () ~ tГ- tjlf+ °'Т =О, /\ llCKPHMlllJШl 'I' кuторu 1 ·0 чnжетбытr, ка1< поJюжите11ытъLч. такп отр1 11tа ­ 'l'е.'lы-1ым. В 1 ·ом случае, коща 011 отрицателен Средние века и ВозрожлРние (т'1к 11азываемыi 1 nапршюдUt11ыt/ с.лучаil), метод Тарт:1.11ы1 «не работад», хотя кубнческос ура11- 1-1е1шс и IIMCЛO peшt:IIИC. Имс::н110 :,)Та 'l'РУ/tность стал::~ камнем 11рс­ ·1·ю ювсн ия для rsccx учс2н ых . Т.tрталья, rю-н11/(1 1 - мому. 11с: хотел nубт 1кок1ть свою формулу /(О тех пор, пока окончатсJ 1 ы-ю не р<J::Jберt:тся с 11е11ривuд11мым случ;.~ем. Тем щ1сме11ем ещё 11ри жиз11и ТЩ"Jтзльи с:1 - мое важное cro откры·1 не у1<рас :ило юшгу другш·о человека. А случилось это так В l 536 г. Джероламо Ка рдан о, 1-отоnя к изг~:а ­ нию сочинение «Практика арифме 1 ·1·1ю-т», уэ1 1:.и1 о сущестнованин ~ 11 рав11ла Даль Фсрро». НJ нест­ ного /lH)'M ученым - Ннкколо Тарт~u 11,с 11 Ан­ тонио дсль Фьорс. Карл<1но 1н111нл, ч · 1 0 ~сJ ш )/lJСтся 011убт 1 ко11а·11, этпт ре;{ул 11·1·а·1 в с1юей юп11 ·е, то с;1а 1{а бyrte1 ему 0Пес 11ече11з Однакп 11се ПО\\ЫТКИ сзмому ПЗl~i'ПI ре111е1ше Ol<ЗЗM IKh безуспе1ш1ы.\.1И. Тоща он задум~JЛ выuснать сст<­ рет у Тарnтьи И nот, после долл1х. )топоров и увсщеnа1шй, в марте 1S:S9 г. Тарталья, nрсдва ­ рнтелыю нзнв с Карда.но юrнтву н с раэглашать это 1'0 открыт1ш 11 /(:~же заншфроnать с1·0 так, CARDANI A H:S MAGNA Alt l ТНМ.НТ 1~1f: . Scu L11\<;:r ч1.1aclra1;н\t::t Cap1tulol'L1111 , & чu.нlra~111t.1 QQ;rllюnun1. 1'RОOLМ1VМ AD R {) l'l/11 /i'l'l' J\1 .1J(C/lf.NТfT"'f, l 'p[ropum ""'!' i•"tir .ltpнHrt "1а5·:. '"'1 С) ·~" '·· !(1. /'ir1 1·, ...." , , 1, .•.,,,1t ,.,.,.м ( .r. а •1-. .. • • - .Jм • .t .....-- :t1 L , ,Ji, " 1 t:" " ...... • ,.... . ::;:;:-: ". "";r; 1."" 111 '1 • ,,'".'" 1 .J, ". 1i.,1 " ~ 11~-1..11,01 ; \;111··.r•rr1 1c ' - 'I '•'"" ' ... ," _,/,,·111tftJ'.Z: 1111rV1r" ~·._." Первая rтра 1 111ua тp ,l KTdTd « В<'ЛИКОf' Иt.t{ y(( IHtli 111 nол11ого с оt>рани11 < t•'IИHl 'lllH1 д.,., Карыно 81
82 История математики чтобы никто не смог прочитать напr1санн ое , передал ему «Стихотворный алгорити ·> ре ­ шения. 13скорс после этого самому т:1ж1нтт1н()му уче1-1нку 1<~1 рr~ано - Лудо1шко Фсррари ( 1'1 2 2 - 1')(>')) удалое~, наfiтп с 1 юсоб реше ния ура кнс- 1111я чет11ер·1011 стt1 1 tнн. Жt11а11нt Карн<~но оnуб.11иконат~. таю 1 е 111.щаю щ11 еси re:-iyJll)l'3 'J'bl ЛЖЕРОЛАМО КАРЛАНО ЛЖер оламо Кардано ( 1501 - 1576) был ~ктинным сыном :юохи Возрожления, воплотившим как хоро­ шие, так и дурные стороны с1юе1 о времени. С юно­ пи джС>роламо пбуревала жажда славь~ « Uель, к которой s1 стремиЛ<·я, - писал он на склоне лет в автобио1·раф~1и, - заключалась в увековечива11ии моего имени, поскольку я мог этого до<.тиrнуть, а вовсе не в богатстве или п раздности , не в почестях, lie в высоких дО/\ЖtЮСiЯХ, lie во ВЛdLТИ". » Кардано nuлучил мелиuинское образование и всю жизн ь занимался вра•1ебной практикои. Одна ­ ко, как многи е учёные эпохи Возрождения , он 1ю ограничивал себя лишь од1 юй областью 1-Jауки: Кu.р­ дано вошел в историю как математик , философ, естествои с пьпат~ль и изобретатель. Суш~ствует леге нда, булто он составил свой гороскоп и п ред­ сказал , что умрет 21 сентября 1576 1- . дабы под­ держать собственную славу астролога , к назначен­ НО"vlу сроку он уморил себя голодом. Лаже если этот рассказ и вымышле 111-tый , суть характера Карда1ю передана очень верно. (;:~мой и з вестнои к~1игои Кард;:~ но стал трактат 1 ю ал1 eGpt: под названием • Великое иtкуtсrво 11 1 опуОликованный в 1545 г. Книга содержала фор­ мулы ре шения кубического урdвнения - секрет Лал1, Фе рrо и Тартальи. джерола"о Кард.~но. стало JJpocтo I:Н:'преодолнмы.м. l< то му же в l '542 1'. 1\Щ)/(3.Н U 11 Ферр:~ри кстрС'1' 1 IJll ICb с ДС.'U1:1 ltaвc, который охотrю пcж::t:{:!JJ 1·ос1·ям рукоn11сь снос1 ·0 тсстн с -зансл ю Г1 фор~1у11nй. 31 1::~ч11т, сё мож~ ю было у:111:i·11, 1 1е 1·ш11.кп пт Tapт:JJJы11 Кэр­ дано ре11111л . чтп 11'\1еет 11р:ню 11:1ру11111·1ъ Jl:ll 111ую Тартальс клятnу, 11 RЮТЮЧllЛ RСё ему llЗBCC'Tl!Oe 11 со6стве11щ10 юш1 ·у. Наrю отмстить. что чест1. 11е11 1 1ю1х открьJ'Тiн1 Карда1ю отд:ш нмс1шо тем mодям, которые се заслуж111н1 011 11ис~и 1 . •·Н 11:111н: неm1кое вр<::-н1 С1 l1 1 n1юн Jl:1JJ1, Фер­ ро откrыл rlюрмул): "Kyfi ксщ11 ш1юс вещь р~кны чнслу". ~то был о 1юнсп11-1t: rtpt:кp.tcнoe открытие Так 1(ак 11олоб11оt 11 с.кусс1 rю прt'вос­ ходr 1т nсё человечес1юе остро~'м 11 е 11 всю яс- 1юс1ъ ума с.мернюго. то 1::1 ·0 iryж11 0 расо1атр11· Rэт1 , как подарок небесвого прои:схожде1шя. а также способrюст1, силы ума. Это настолько слашюс: открытпt, что от того, кто мог его до­ ст1 1 1'H)" I h, ,\>ЮЖНО ожнд:tть . Ч'I'() 01-1 ДUC'l'Jll'Ht'I' всс1·0 Co1tcp111 1ч<1J1 с L111 ,- . .1 , 1111ю<0J Ю Таrталы1 11з Г1рс1н11, наш друг, liудучн ны::1н:11-1 на сос1·и зан11с учс:н 1 1ко .ч Даю, Фtрро 110 11м1.:н11 Ан·1он1ю Мэ­ рш1 Флоридо. ре11111л , д::11.l1.1 r1e бr.1 ·1ъ rюбt:Ж.'\tli· НЫМ , ту же Ca/\J)'IO проб;1 е му 11 IIOCJll.. ' (\Ш\П\ 1\ просъб псрс[(а.rт её мн е. Я был внелё11 в зз блуж­ де 11 1 te словамн Луки Пзчолн, который гоuорш1. что rrcт общего рсrпсшш т~нюrо ураnне111щ 11, так 1<ак я обш.щ~LГI ужt MllOГHMIT, MllO IO СIМИМ с.цел:~ш1ыи11ОТiфЫТШL\111, я11с uтч:швался ш111- та то, ч1.:1·с1 н не cмtJt 1ккать. О;~нако ко1да 11 получ11л эту 1'л :шу 11 дtJбр:11н.:м до t:ё рt:шен1щ то н у1ч·JДСЛ , что с сё IЮ.\10ЩЬЮ MCJЖllO }v\J юrое е щё сделап_" 11 уже с 11стыше11тю1'1 у в ерен- 1-юсrыо n ('fiOИX СlfЛЗХ я nрн Jr('CЛe/1,0ПЗlll!JI ()Т­ крыл 11am,11cfm1 cc, чз стыо с:,1 м, ч:ктыn с Лудn· т 1ко Феррарл, моп м бъmттшм учс1n11юи". Т~1рТ'1.ЛЪЯ СЧёЛ Себн ОСКОрблёш I ЫМ, !! раэра­ :-!НЛСЯ ск;11r,'щл. В тсчсm 1 с тр<:х лет 011 11 Л~довн­ ко Ферраr11. вставший 11а 3ащиту с воего учи· тсля . uб~н.' нин~иr11сь ру1·а'J'!.:11 ьн.ым11111~сьм:t,щj 11 nамфл t:там11 . И tсл 1111 1х:ж;к научнан IШJLt',\ШK:t в<:лас ь 11:1 J1:J'1ъш11, то 1·с 1н: рь об:.~ ~штор:.~ 1·1 '3.Jt;11'~t· JUI CJIOII МЫ СЛJI нз <- L 1 ap( ЩJIOM ~ }!;-JЬJ KC. .Вен Ита· JН-f}J_ с 111 l'l't'j)tC()M CЛ t:/ lHJl(I 3:.J ра:.нн гп ll'M t'ОбЬI· т11й. Сам же Карла1ю от )'Ч::~стнн н ;(11С'куссш1 отказался. <- 1<ак дворянrш отка: 1апся бы от дуэлн с 11ростошодшюм~. Точку n этом споре nостаннл тур1111р :-.1 ежду Тартальсй п Фcprar11 Оп состоял ся l О аrнуста 1">4Н 1·. н Мш1ане , родн ол1 1·uроде Кардано н
Фсррарн. Gоль ш1шспю ~рнтеJit'Й, конечно же. 1ющ.1,ержива111 1 l'н.uс t·о .3t' ~u 1 нк~с Как rutctн 1юзд­ J1t:C Т<tрталь>J, «для меня стало яt:нu, что \1Оё н:~­ v1cpt1 1нt· убс,11 1те11ыю 1·rнюр1 1ть перед тшнюй 1 н::ос~·щсствимо. r1 так l\ar< я нач :u1 сн1 аса1ъо1 худ111е1·0. то 11а с.г~едующнi1 деr11" H t' ска::1а 1~ 11и ­ кт1у 1 1н слоnа, уехал 1 ю друго~'1 д()роге в Бре­ шу". Ло(Jед1 1телем был 06ъявлс:11 Фсррари. по­ скольку er () со 11е ршп; поки11 у.r1 «Поле боя». Да.11ы 1еr'ш1ая жнз 1 11, Феррари сложиJiась удач­ но: 011 п олу• 1ил ,\НЮГО лсстньL'i. предложе ни й 11 ныбр;~л самое Hhll 'OДHOC IП них. 13ОС<..'МЬ лет он вn:ллающл 11~1Ло 1 ·оrюс 1:1едо.мство R 11рош 1111 ~ 111Т .'vl all'lyя. ! ЮТОМ CT:Ul профсссорш.1 \1;1 '1'С М :1ТИЮI В nOJl()f ICKOM )'Н 1rнcrcиTCTt'. Ннктn пз участ1-н1коR этn~1 1ктор1 111 бС>лылс пе C,'\en:m 11шса юrх м а·1 е 1"1атнчсс 1с нх открытп!1 . О6ъясп ит1, непр1шо1\и мыi1. случ:н'1 JСубическо­ го ураn11с11ия удзлосr, Раффаэле Бомбе.rнш. ПОЯВЛЕ Н ИЕ МНИМЫХ ЧИСЕЛ Рафс!ЫЭ.'J t: nO\.lбCi!ЛH ( 1'526 - 1') ..,2) б ыл IH·1жe­ lll:JJ 0\1-l 't 1ДfXIПJl1 1 K0!\1 11 прщ:ланился 11 ро,11но 1! Итаю 1н работа >ПI по с >суше ~ 111 ю болот в ж.:с­ течке В:ть-дн-К1>я11 а (Дот п 1а Болот) в 1'549- 1')')1 11. В снобоююе н ре м я оп ::1;1111 1 малс.sт м а­ ·сем;~тпч сск11 ми 11сследоnа 1ш ям п . К J '>50 1'. lJочбеJши :1а коrrчлл нервый nзр1 1а 1п· с nосго со­ ч 1шс:11 ш1 «Алгебра,>. t lро.:~.олжая ра боту над кнпгой, 0 11 отыскал в бибш ютске Ватик:нт а •1·речсскос С()Ч1 1 не1 шс по этш1 дасц1н 1;11ше. <.·ост:111л<: н нuс 11сю 1.>1 Л н uфан 1 ·0 :-.1 Ллекса J щ рн й ­ сю 1м."•. llахсщка прон:шела н:~ не1·0 с11т,ное llllt"Ч~ITJICHlle. (."Чтобы 0601·а11-1т1) ~11 1[) 'J':lКllM :за.,1е ч ателr,ныvt r1ро1 1 :з 1к:лсп ием, 1 1.зят 1cr> м r.1 :-ia перевод н п ерепели шп1, юmг 11з семи, 1щтп­ рые пе б1.111н персr.е~ены до этого", - ттнсал i)0,\10CЛJI Н. Под nJ1ш1J11 км Диофантuвой «Лр11фмсп1ки» Gомбслли кuре1ш ым образо м ттср сра бот<.1 л еrюю рукош1с1" ню1ючиn н нсё lil.1 з;1д;,~ч11 Ди­ офан·1·а. Но 11с тu;1ько ;;:адачн 11 нх rс111сн1.LЯ 1 юра:.11 1лн Gомбеллн . CtюcuCi 1шсдс н11я н м атс­ \1ал1ку новых ВL:лич1111 - отриц;.1тсл1,1-1ых '-IИCeJI - вот что бьuю важ1 IЫ М ,'1,ПЯ нсгп 1 fk;~ь 11мс111 ю ·1·аким ()аразпм, чистп акс11омапrче­ с1ш, м())ю ю определ~ 11 1, 11е толыш птрш ~а тел1,- 11ые. 1ю п 1\И'1·11е чпсл;,~ . И Боибелл1-1 перnы.м ввёл n алгебру м 1 mмые нслиL1ш1 ы (см . статыо «Зачем 1 1 ~ж1-1ы новые чи<.'ла? ·>) L' .1:1\ LG E BRA OPERA D1 R.•нsL8онанt1da BoJosna Diш(; >n rre LiЬri. C•• l~i•.ltrм}iипо J..fe poi.J 'llmirttn prrfi1t11 rogmшm<d.//~1,"1<•1ltll'Ar1,,.,11<~. C..n 1•n • T•11 0I• copi or• d<lkmi1<ri<1 cЪc in clf• й comcngono. 1о/• hor• '*ltm ) ltntfm <f'U' ЛN"1.jii Jm A ftlfyfttnt . lN BOLOG NA, l'cr G1ouann•RaG1, i\\ L> l.XXIX. Соп l•tZti," dt' S11;щ 1et1 , д!1ь_ с=и~ Г11~ул1>ны11 лщ 1 BT(lf'< .11 U '1 iЛ<l>IИЯ "ллгебr • ~· r ь11м(>1елл•·• Бо J.~ОНЬ\1 l 'i7<11 C 11 ;1чaJ 1 :.i он, кзк н Дrюф;шт, ,\ал 011рt'/\t:лс­ н11 е 0·1·р1 11 tатслы,1 ым чнст1м (1юторыс нее м::~­ тсм<1т1 1 ю1 ТОГО вpcivH..'llll CЧ llT:J.111 1 <')JOЖ H l>l 1\ll 1 4 ) 11 уст:нюв11л 111х1щ 1л:,~ обращt' 1 11 1 я с н1 1 м 11 Кна,п.­ р:п11 ыl1 1<0 рснь 1 1 з 0·1 р 1 щателы10 1 ·0 чrклз, к~н; заметил Бомбелли, не J\Южет.бьгп, 1111 положп ­ тел ьны.м, нп отр1 щатепы 1 ым числом. То 1'да 01 1 пред.'lожнл назвать эти ~юные. «софнста<rе- t:ю:1с• Ч HCJI U «ПЛЮС<JМ 11 :1 МIПТ)'С'1" ( +\'- J ). fIOl'/\3 ИХ ll'(ЖI IO 11p116ЗH;l}l'J'I>, 11 «МНТJУСОМ 11:1 i\1IПT)C3» (-\-\ ). когд::~ 11.'( llY)IO IO BЫЧllT:t'l'l1. В со крl' .\.\е 1111ой :.im ·e()pc, н 1юдя ,\11-11 rмy 1<J с;~11- ш11 \у, матt:\1'1 ' 1 ~ 11<11 гово рят· 1· П yL·1·n С \'щестнуст 1re 1..;m·npoc ч 1 1с1ю, которnе 11 р1 1 тю:{ведетш в ю~:;щр::1·1· рзвпястсн - J. Оно <1удет 11а~\ЫН~п 1,сн :--11111.мoir еюпшце ir i. То есть i 2 =- 1, и, следова- телы ю, по оr1 реж:лt'111 1 ю, i = ,_1 "· Т<::~к 1нщ 1 1,\:1. опреде.11е 1 ш<.: м1 11 1моli едшп щ ы эа 11роrпедш 11е ·НЮ лет 1ю суп~ 11е 113менr~лос~,, а :,~р11фме1 11- ч.ескпс 11е(r ств11я с 11еГ1 щюпэнодятся 11 :чет ю та к. как эт<J делал Бомбслл 1 t в XVI в. Н 11какш·n 1 ·еомстр11 ч еск< 11·0 обос1ю1{а Н11н ~ юным ч1 rсла:>v1 Бnмбt'11Л11 1 1е д:-tвал. ()п ~х1 ссма·1·­ р~m:-1л 1 1х к;1к формаю.1r1>1с спмrю111.1 . о котn рых 1шчсrп 11е 1 1:1весттю. кроме опреде.11ё1111 ых 1 1 м 11 рап11л. I I Jiмешю с 11 п,,ющью зт11х ч1кс:л е~1 у у,'\аJтосъ объяс н пт1,. rючсм:у ,1\аже в том случае,
84 - История матем<1т11ки ко1·;~:.~ в фор"1улах 1юр11еl1 1<уб11чес1<01 о уrх11111 е- 1111я 1юд :~1 i;1 ко.:.1 квадрат~ ю1 о корпя стоит от­ ртп,ателы юе число ('1 J1\ что этот 1<0ренъ вро,'\е бы н 11е сущсстnу<.:т). ур;шнспне нсе-·1 ак11 ИJ1-1еет 11ейстщпелыюе μtшение. Мшrмыс ч11сла, нведённыс Бомбешш. более двух столL·тш1 вос11р11н11м:1m 1 с1, J11нш. как ~доб- ныс CI IMKOJIЫ. Ма 1ем:~ J IJKJI П[1ИMt'l IЯJll I llX R прu· \1ежуто•11 rых 111,1 клщ~ках . но дю1 pe3yJt 1r1 .!'Га 1к" П\JЛ l1ЗOliaJ I l1 ТОЛЫ(() <·1 1ас1·оя щш.: -> - 1'eЙCTl111'1'eJ1L·· ные члсла. Липть в 11::~чJле XJX в., после:: того ка~< ~ r<o/ю.riь математиков» Гаусс npc!(Jloж11n нагляд­ ную гсометрн•1ескую ш1терпретацшо комплекс- 11ых чпссл, 01111 пол:у·ч11л11 « 11pitн.11ражд.шства~. РОЖЛЕНИЕ БУКВЕННОЙ СИМВОЛИКИ Не1юзмож1 ю лредстаоить себе математику ()еэ спе r,т1алы 11>1х обозначе11ий. Мы насто.rrъко пр11- выю1и 1< 1шм. что порой нс можем 1'ОКазат1" не прнбеган к Сl11\11юл<11v1, 11ростейшие тш1щесп3а Соз11:~тслсм аJ11'ебра1тческо1'r снмно1шки по 11ра­ ву считается фр:НЩ)"1СК1111 математ11к Фр:.~нсуа Ви ет. СRон нде~1(}J1 нэлтю1J1 но "нne,r1e11111-1 Rа~1з­ т1тнческос llCl<}'CCTIIO» ( J ')<) 1 t' .), которое долж­ но было с1атъ началом всео61'смлющего трак­ тата по ~u1гсбрс. Внс:т пис:-tл: «Искуtтт1ю, кuтupu<.: <DPAHCYA ВИЕТ Фраtку<1 Виет ( 1 'i40- I bD ~} родился в городке Фонте1-1е-ле­ Ко1п прuвинuии Пуату, недалеко от Jнаменитой крепuс:ти /\а-Ро- 1t1 ель. Сын прокурора, Виет полу­ чи/\ юридическпе оnра1ован11е и начал адвокатскую практику в род­ Н()М городе . Но вскоре он стал секретарем и домашним учитеАем в дuме 31ытного дворя11ина-гу ге­ но rа де Партеt1ей. (Гугеtюты - послеловатеАИ к аАьви ни1м а, одно­ го из основных течений Реформа­ uи и Uеркви.) Тогдil Виет очень )'Влекси изучением астрономии и триго1юметрии и м1же not\yчиt\ ~1екотuрые важные резуАьтаты. На ­ примеμ, 11 н сумел представить c,1n пх и cos 11,\ в виде многпчм•нов отsinхиcosх. В 1571 г. Виет переехал в Па · риж, где возоG 1ювил адвокатrкую практику, а позже стал советником nарАамснта в Gрета11и. З11;:~1<омство с Ген рихом Наваррским, будушим королём Франuии Генμихом JV, помогло Виету за нять видную при­ дворную должность - То:\ЙНОГО со­ ветн ика - с начала при королс Гсн­ рихе 111, а затем 11 при Генрихе IV. JJ 11:ш:11 ·J10, нов о шш. по кpaй!lcil \1Срс, настuль­ кu 11с1юрчснu времеш:м и искажено ш1иян11е.'1 Ол1111м 11з самых .:1<\мс•чатсльныл достижении Виста ~1а кщюлсulкuи Сl\ужбе UЫЛд p a:iraдK'1 шифра, R котором на сч иты валоrь Волее 500 знаков, менявшихся врем>~ 01 1Jрсмс11и. Этим шифром п оль:юва­ лись недруги франuуккого короля в Нидерм.1ндах для переписки с ис­ n<Н1t.ким дDuром. Хотя франuузы часто перехватывали п1~rьм.1 из Ис­ пан ии , раrшифровать их никто 11е - мог. И только Вист быстро нашел Кl\ЮЧ. ПоJже И\П..tнuы обвиняли Генриха IV в том, что у него на rAyжfiE" состоит сам льявол. Виет жил в :тоху кровопрu­ литных религиu.iных войн. Нет с ве­ дении о том, 1<3ТОl\ИКОМ он бЬI/\ ~il\И гугенотом. И1веrт1~0 только, ч го по 11апш111ию яpt,ix католиков п:>р­ uогов де Гиюв ero отар а н или от должности в ко1ш.;- 1584 г. /\ишь после разрыва кuрuли l де г~1Jами , в н..~чале 1SR9 1 ., он вновь fiыA приглаш ё н ко двору. Четыре года оп,\АЫ <.жа.1<1лись 11собычайtю плодотворными дмt ВиЕ>та. МатЕ>ма rикёl аала его еди н­ ствен ной страrт1,ю, он работал са­ мо1абос 11 но. По р,ксказам Lо1:1ре­ Мt!н11икuв, Вие1 мог 11рuсиживdть ы пис ьменным (талом по трое rуток подряд, только иногда эабываясь Lнu м на 11 ескuл ько минут. Именно тor,~i\ он начал f)оАьшой труд, коп1 - рь1 и назвал "Искусс тво анализа , И/\И Новая алгебра». Несмотря на огромноt' жемние и упор11ы1~ -~аня­ тия , книгу В111н Rr·1• Жt' не завершил. l lo ГАав1юс было написа110. И Jто главное u11рсдем1ло р<1зЕ1и rие 1:1се11 м,1тематики Нового времени. Фра нсуа В~1ет Лнтnгrа•l111я 1 rr,111к1p t~ Х\1 1 t<
11<1рнарон, что н счёJJ 11ужны~1 1tр 1щ:лъ t:.\ty со­ всrшен1ю НОНЫЙ ВН[\" .». Хотя Cll.\lf\()J!1 1K:I В11ст:1 обладала 11<:кtУl'Оf1Ы.\1И н<:.цостатк:11.н1. Tt.\1 Ht' :.-1е11(.'(.; ЭТО бhlJ I ОГ[ЮМI IЫl~J шаt' вnерёд. А 1Ю1' щх·н- 1111е ,\1атt:м:~таюr вполне обходилпrп без бу1<­ пенных обозтrаче 1шй и специалы 1ы х пр::~внл 011erшroFJa111 ш с 1 111м н. Наверное, будс:т rю11ез­ по вернуться назад и посмотреть, каt\ 1 юявилпс 1 , первые .\JЮ'с,чаттrческш: :шак11. СИМВОЛ ЛЛЯ НЕИЗВЕСТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Уже li rаботах Гt:рона 1'\.11екса 1 щр11йс1шго (Т Н.) 11 в М11ч11гапском 11апирусе (ll в.) можно наiiт11 с1тец11алы1ь11l зшпс для 11еиЗI3ССТI ЮЙ ВСЛИЧИI lbl. Это бу1<11а грсчес1ш1·0 алфаnита .; - «кшщсв:.1л сшжt», r1c ШJ1.свш:u1 ч11слово1 ·u :~11аченш1. Сле­ дующий н 1 а~· в со:ща 1-пщ а;н·сбранч.сс.:коr'1 с1 1м­ щ>Л11ки С/Lt'Л:щ Д11офа1 rт Ллсксu 1 1/1р111!сю11'1 - llOl'ЛCДHllЙ BCJJJ!IOIЙ м:псматик :ll-IЛJ 1 1110CTll (Cvt. ст~·тъю «"Лр11фмст1 1кJ" Д1юфа1 1Та») . nо;1роГ1тюс () rшсаннс ~юных обозначсннl1 vчёпыif 11()- месп ш в<1 вnс/1,е11и11 к cn()eii :шаме1111той «Лрпф­ мстm<е». Там 011 rrprmёл 01мвоm,т дня 11сиэ ­ веспюго. шестп cro положrпелыrых 11 шести отр1щ1телы1h1х. степе~ ~ей. J также 11равппа г~ей­ ствш'f с 11нм~r. Ilo тр:щнr о ш того нрсме1н 1, J\IO! ш~rно~'1 сте­ nсн11 Нt'и:т<хтной неm1чнны Д11офан ·1· 11 с пш1ь­ :юк:1Л знак;. :1 ) ~JНI ()С'l':U!ЬНЫХ C'l'C!ll'HCI\ - <:u- кращен11н от 11.х 1· рс::чсскнх на~щ:н-шr1: х" - t.." (81)vсхμн; - «Сила•, <-Стспе1 11·,•); х' - к'' (кuРос; - «куб»); х1 - л"л (ouvaμoouvo.μ1.; - «ющtрэто­ кuадрат~ ); .л5 - ~" К (o,)vaμ ок-Uрос; - "ко;щрато-.куб» ); l) \1 'п. '( .t - б х - к К (1пJ1Juru"щ - «куоо-ку )~). ()тр111 t;!ТСЛЫ IЫС сте 1 ICI IJ 1 Д~юфа1 ('[' ОЛ\Х'ДС'­ ЛЯ!I каК1\fЮ611 с ч1тст-rгслем 1 11 знаменателем, равным сО()'1' нетст11ующ6i 1юложптелы юй стс­ ттени. Для 0·1рицатею,11ых cтe11er- 1 cl1 был ·1·акжс нnедё11 особый знак х, 1<0тор1,1й доfiавю1лся спрала c1icpxy т< си~волу по1юж1пслыюй стс nc1111 . Н :шрим.ер, х ~ в обоз11:.~чеп1 1 я.х Диофа1 п:t fJЫFЛЯДJIT KaJ( д"~ . Был у Днофаптз и энак юш нсизnестного n нупевой стс 11 сни - М, в котор1.1й вошли 11срвыс две букны l'рсчсского слова •· 1\юнаr » - <-l'/\11- Средние векJ и Возрождение д!1h EU~ lllll l'1». JJ.1 1 otj1~111т нс OTOЖ/\CC'l ' BJIНJI t:J'O с: Ч11СЛОМ 1. Поско.1 11>1<.у в •· Лрифl\11.'Тt1Кt ·• нет сnе1н 1 ат.1-11.1х :m:1 ко1i ;ин июже111 rя 1r умr юже1111.fl, оче 11 t> к1жеп 11орядок 3:.i1111cr1 стсnе1111 неи:шестrю 1«) и 1<оэф­ qнщ11е1 1·1~1: :1j энаком степени вссmа следовал ко::>ффтщне11т, так что с11м1юл М выполнял ещё и з 11 1коrаздел11тслыrуто ф~.1шциrо. л вот дш1 uщ.:р:щш1 нычнтаmнr Д11офа11т ВВёЛ 311:11< lfl. В f1C:ЗyЛbT;l'l'C Jl(HIHllЛ~I Cb BOЗVlOЖ- 1-IOL"l '/ , .)~IПI ICl1I нать [):l:ЗJ ll IЧHЪIC l\1Jl()Г{)ЧJ1Cflbl • cнa­ Ч:lJJ 3 11cpcЧllCJ IHJ11fCf, f-ICl' IIOЛOЖITTCЛl1llЫC члены , а после :-111ак:.1 lfl - все отrн1tа·1 ·елыrые. Исrюm1:1уя Аместп этша ра 11еrк111а первые щ1е (Jуквы c.iю 1ia юос; (<· нСОС·• «р:шныir» >,Д1ю ­ фаr1т заг,шсыnал r1 }1)аnнешш. Напрнмер, урав - 11е1rисх'= !. - х n з::шиси J~иофа 1rта ш.rглщ..tсло бы так; к~ сшJМ~l l\ ф (буквам а. 11~н1·rсчсскоi1 алфав11т1-ю~'1 11умсrх1 - цш1 отвсч:1т1 знач1.:ш 1 я 1 тr 2). llocлe з ака·1 ·а ar 1т11ч 1,ю~'1 матс:-.1зтr 11<11 1~с;нтр :111ш 1нй nеремсст1111сн на Востпк. 3дсс1" благо­ !l,арн тryJ1.a ~11 арабсютх учёш,rх, алсебра nьщею1- лас1, в сампстоятелытуто об;~асп, матем~1 т111ш. На арабском Воспже впервые стал11 1ют,зо­ ваться десятнчпоi1 поз1·щ1юшюЛ с11с:тс,чой счн.с1!сtшя . занмстnоnа11нuй нз Н1щш1. tta араб­ сю 1f-r }131,1 к былн 11ерсвсдс1-11.1 мно1 ·11<:: 1'реч.ссю IL' 11 r1нднйсн:J1с: ·1·срм11ны , но от бу.кксн11ыл обо­ ~{11а Ч<:HHJJ l ICI IЗRCCTI 111.!Л матем:tТI fl:(] 1(Уl 'Ка :Jалнсь 11 11а3ыкаш1 1\Х СЛОRЗМI\ . H:-tЩllil\\t:\l . aJ11>-Xupc:>- l\1H все 1\СЛНЧJ lllbl. с KfYl'OpЫ.\tJ 1 l'M~ 1Гj)l ·IXOJ\ШIOCl1 н мс1ъ J\t":JI(). 1х1з 1 1ет 1л на тр 1 r ви/~:а: 11е1 1 :тсс1 - rюе - «джп:~р·~ ( «1юрен1»>) пли « ШaiI ·> ( <· вещь» ); квадрат неи:шсстного - " '"1зл» («вмущеrтпо" ); с1юбодпыi 1 члеп - "дархе.ч» ( <- серебряная мо­ J 1 е-1·а»). Позже Абу Kaмll.'l J1:i:m:iл третью степень <- 1с:~'б" (<-куб·>). Отк:~зш3шис1,от аш·сбра11чсско1·1 снмвош1ю1, арабские ~1а 'ге,\11а ·1·11 ю1 сдслал11 ur;iг 11:r~ад 110 Cf1:1Rllt:HH/O с rpt:Чl'CIOIMlf учёнЫ,\1111 . АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА МАТЕМАТИКОВ СРЕЛНЕВЕКОВОй ЕВРОПЫ С дост1DКе1шлм 1 r ~1рабсrюй алгебры свроnсй­ сю1х уl1ёных гюзнаком1111 Лсон;1рдо Пrrз:111- ск 111~1 !\суд11н11т<:=11ын; , что оснuнные ·1·срм11ны 85
~ &"® История мLtтематики Sб t ювоrо ип.:тсства бшrи пеrеnсдены с арабско - 1·0 языка. Но при персrюде 11а итальянсю 11:r гю­ лучал11сь слова. Ш\LПIJ1 ;tющиеся на одну и 1у же букву: COS:l ( ~ ВСЩI»> ), сспsо (<'ИМУЩСL"ГВО~) п CllbO («куб"). Внднмо, поэтuм у 11·1·;.и1ы1н<.:кие алгсбра- 11<.:ть1 uбu:>на чали сте11е1111 11 е11 зке<.:тнu1 ·о д1:1умя 11ерны м 11 бую\а ми соот1iстс 1 кующего слuна. T;tк. в нсданно найден1-юм 1'[хtктатс Маэстро )К11т ю «Во1~росы ~u11·сбрые> ( l 3R4 1.) х - э·r·u со" xL - се.,.'\: - u.t.,x 1 - и:•. cli се. (се пsо di сепsо - 1• кнал­ рато- r<валр::1т" ). Ш колы алгебраистов воз~ ~икали 11е только n Италии, lJO и в Гер ."'1ашrn . Ита.rтыmское слово cosa (nроизноопся «коза·') :щссь преnрат ююс 1, в Со~ ( «косе») , п потому нсмецю-rх алгсбраистоn назьш,tЛI! <-КОСС ИСТ~МИ». а RRсдекныс Н.МН 060- :щ ач с 11 ия - «косснч сскн.\ш•. l l t:p1:1ым в Гер ма­ нн11 J1t.·кцин по <tlll'c()pc ст<~л ч итатh урожс11е1 ~ Чехии Ян Вндма 1 1 (Н6()-11ач:ию XYJ R.) . В с1 о учебнике <·Быстрый и кр.~си11ый счё·1 r~ля 1кс 1 ·0 купечества» ( 1489 r.) nперnые пш1111 111нс1•. 1 11:.~ки оюже1-шя и выч ита1 rия , которые нсполъзрот ;~о снх поr: вместо символар (отит. piti - «плюс») о п использов ал знак +, J вместо гn (от ит. шсnо - «мн~rус») - нривычIIыfr - Наиболее изnестным коссис-rом был Адам PIIзe ( 1489- 15'59) В сноё м) чсбннке ~со ~*, так 11 нс нап еч<~ташюм, Рt 1 зе nоместш1 болhwую таблш~у косси чесю1л обоз начений , которы е впослсдст1ш11 11 с11ользоuал Л. Ф. Магн111~ю1(1 в п<:>р воri росс11йской <•Арнф метикс:» (1703 г.). J 1 Стр:~н 1щы •Ар11 ф~1ети к11 . /\. Ф маrниuкого l 70J г. Лла"' Рюе Гр,1вюрJ 11а дl':J<' fl~" ыноRо 01.:р~шенная 15j0 г Нсмсuю1 е ;:~лгебр:шсты того npcJ\1c11и стре­ мились со1<ратнть ч1к;ю с нмволов и nnссти едшюобр аз1 rыс обозпаче ш1я Большую роль в этом сыr·μала кII11ra J\1лхсля 11lт1 н.рс:1ш ч flол ная аrифмt:ТI IKa -> ( 154-1 1'.) . Изоб рет~11 11с к11 .11сопсчатани}1 окззшш 01 - ромrюt" пл 11янис на нею снрстейскую культу­ ру, 11 п частнос.тr1 на разв 11 т1tе математики. f'укоr111<.ны>1 3К\t'\о\П/\11р учС'61111Кд А Р111е •Со~'
В •111слс 11ср1:1ых опубтжонаш 1ы х матем:1т11qс­ ск11:х соч11нсн нli бьта •Сумма :шашл"r п о ар 1 1ф­ ~1tтнкс, геометрии, 0· 1·ношСНl'ШМ и пропор1 \И­ <>на1 1hнос1·11 <> J!ук11 r1ачолr1, 11 <:1·0 обоз1-1аqе1111я ГЮЛ)'Чили 1ш1рокос рас11рос1· раш~1111с. Ою 1 ако fiылн 1rc оче11 11 удоб11 ы , н потому N1атем:пи ю r П[Ю/Г.Шlжали rтп<2т1, более простую снсте м у ()(iQ;Щ:lЧёШ I Й. Фр:11щуз бз1<.1.11~шр м<::диt~иr1ы Нт1кола Шюке U - ОI\ОЛО J ')()() 1·.) предложил собстnенпы ii вар11;1нт: пока :iатсль степени он 11ис:-1л мелкrr~ шр11фтuм ок:р~у 11 справа от коэффтщиснта. Напр11мер, l 2x н :5а 1 1ио1 Шюке выглядело ка к 12 1. Кроме ·m1·0, Ulю ке смс1ю ннё11 н с1:1ою с11м­ кuлик-у нс толt>КО 11 у11е1юй (/ \JНI с нu бuд ных ~!JICl lOH }1ХШН<.:Н11Й). НО 11. OTpИ l\:}'J'CJIЫ lЬIЙ I IOKa- o 8\ -1 6) - :~атслъ. оыраже1111е ..'С ·7Х = ') ">.'\: - рн 11::юора- - 8~ 71 111 •• -62 зш1оытак:" . по~пюжстнюс на ,д:~е·1 ,J », Ту же идею иснользовал в xv1 в. италr»щец Раффаэлс Бомбеллн н с1.юей ,A.rJгeбrt". Нсизnс ­ спюе 011 об<ннаtfал спсннальным с11МJюлом 1. а его стсш.:ни - символаыи 1, , j_ , ." Обозначс.::­ н11я 60J\1nt:ЛЛJt ()l\;JЗ:.VIl'I Hj lИJIHl1C ir 11а алгс6р:~ 1 .r­ чсскую сrrмволику ш1дtр1 1 а11;(ско1·u i\1атсмат1 1 к~1 Снмо11<1 сп~в нн а ( 1'i...\8-1620). 011 нс TOJl11KU ВВёЛ IJОХ()ЖИе OnO~IHaЧt:Hll>I /l,JНI L:ТelJt ll eй ()/\НО­ Г() нсн:-1Rест 1 ю1 ·0 - (D, ф, G), .."но и распрост­ р;1н1rл их па стспе11п нтпро1·0 11е~ 1 знtстноJ·о - sec. ф, sec. @ , sec. (j), .. "а таюкс трен,ет - 1е1·. ф, /Ш: ф, /f!1'. (3), ." ПЕРВОЕ БУКВЕ ННО Е ИСЧИСЛЕНИЕ Дпя соз1 1анин бук нс 1-1н о 1 '0 псчислсн 1 1.и остана­ Jюс ь с1tе11ал. еди 11ст1~енн1.1 й, но 11рш щ 1 шиал 1,­ но ~юnый 111 аг - t111еС'п1 06о::~н;.~чсн1tя нс тш111кn ;и1я 11еи:шест1 юrо и e1·n сте1 1 е11е1\ 1ю 1-1 д.rш1rapз ­ \te-гron. Это и сделал Фра11су2 Виет в т1х1кrате • Вnеде11ие в ::шалит11ческос 11скусrтнn,>. (Виет стрем11лся со:щатъ тюnую науку, которую назы­ вал а11<11111ти ч<.:сю1м искусством. Она должна была обла;1а· 1ъ строюстью гсо.1\.К"Iрии и оттсра­ ти1ш<х1·ыо iш 1 ·сбры. Перед т:1кой на}1Юй, 1<ак по­ т1 1·а.11 Вист, нt: MOl'Jla бы устон·1ъ нн uдна зад<~ча.) Сво ~о ноную сим1:1оm 1чt:скую ш 11 ·<.:бру (lugis ti - ca speciosa) В1 1 ет 11 рот11вогтоставлнл прежней ащебрс - чнсло1юй (logi~tica 11L1111 ею~а). Учё­ ный с ч1 1 таJ1, что только псрnая - ;по аJ11 •ебра в собсrвсшюм смысле, т~ 1< как по:пюляет 0 1 1ер11- ровать с цслымн кпассами вещей. llторая же есть арифмtти.ка, о п ср11рующая просю числамн. Средние века и Возрождение Прежде че.'11 рассУ..ззьшзт1, ч11тателю об арпф­ М<.."п1чссю 1 х дсйстсш~х с классамн, Виет 13 пол­ ном соответс.:тв11и с rсометр:ичсской а.r1п;бро-И ,r1 рсвних rреков разделил щ.:с возможные всшr­ чнг1ы 1сш ступснн. 1\ 1rep1юlr сту11е 1 ш 0 11 0·1·н('с «71,JПIНЫ\ ИЛИ ВеJШ4 1111Ы О/\Н ОГО ll :iMC[)l:H llЯ , K0- '1'0p11le можно сю1ад ы1:1лъ н выч.ит~тn - 11з болh- 11161 ме11 1. шую. Й реiуmп·атс ЭTllX /ЩУХ OПCpa l \llJI получится Re.r111ч1 111 a '1·0 11 же: ступе1ш. По ecm1 11ереы 1южити две Rcшrqи1Jы 11 ерuой ступснп, то рсзул 1,татом будет уже ~площадr>" - ве11и•11ша второf1 стуnсшr, или nеличнна двух 11змсрст ш й. Следую щей ступенью , ес1·ественпо, были юбъём ы ~. Н отли чие от греческих ма- 1·ематнкоn в~н~т 11(.' щ:та н он н лс н 1-1:.1 первых тrёх сту 11 с нн.х, а по111ёл 1-1;u1h1L1e - JJX у нс1·0 бесконечн о м11ого. Вэ'1'Ом исч11слсн11и нажсн 11ршп..1,11л одноро1 1но­ стн: МОЖ IТО СКJ13ДЫtl3 '!Ъ ll nычнтатт. ЛИl lJ l1 Вt.11\1- ЧИШ1l 0[\ПОй ступ е нн. llp11 у1ЧI ЮЖС llНТ1 Be.llllЧJН IЫ ступеш 1 /1 на nс:тпчи11у сту11ени т получ~пся nсличиrrа ступеrш 11 + т. Раз,r~ет 1·1ъ же их ~юж- 110, толы<о если 11 > т. Результ:.~т такого де1!ств 1 rя бу11е1· 11р инадлtжать егупснн п - т. :1ате м Вист обозначш1 все нст1ч 1-1ны буква­ ми алфаннт:J. Поскольку величи н ы быв~1 ют 1:1з­ нсстным11 t1 н е 11:;Неl"1 ·1-11.1м11 , то ДJJЯ обозн ачсн~н1 11tрвых он кыбрш1 сш ·ласю.t(' В. С, О. .." а ;1,.1н1 вторых - гласные А. Е, 1, .. (Сегодня м1,1 060~-~на­ час:v1 11 арзме-1ры задачJJ, как праншю, 11 ервым11 буквами л~тинскоrо алфа1~ 1-па а, fJ, с, .." а 1rе11:1 - nестные - буквами иэ ко1-щз алфаnита - x ,y, z.) IN ARTEM ANALYT TCEM t)лfi()(,,_ 'Dc Dtjmtmt &'r ullf#/llfXrA•d.Jfit.rJ <;- "''l'f'-'"'',.." Zщ,Jt04, tл1'v~ 1. П•!rRilЯ пr;~н1шi1 гр.~кг.н а Ф. Ви~ 1 а • Beo;,лt'1t>1t· 1'1 dl·t алнп1че<..кое ИL"-YLL llIO ". lур11н 15!)1 г. 87
,Аiъ. a'Jl{!J История математики НАУЧНЫЙ ВЫЗОВ ВАН 1-'ОМЕНА С имен~м Франсуа Виета cвs1зJ1-t0 1-1есколько замеча­ тельны х истоμий. Вот одна и.з н~1х . Оы1аЖАы в ноябре 15q4 г. при дворе Генрю"а IV нидерландский посланник рассказал об изееснюй задаче з 11аме нитого матемап1ка Адрисна ван Ромена (1561-1 Ы SJ. Это был вызов математикам всего мира. Речь шла о решении уравнс11ия 4 5-й сте пени 45х- 379')х1 +9534х~ - ". - 12300x3q + 945х• 1 - - 45х41 +X 4 s =а, В спиLке тех, кому слеловало направить его науч ­ н ый вызов, ван Ромен не указал 11и ол1ю го франuуза, и посланник заметил, что , по -видимому, во Фра1шии нет математиков. «Но ПО4ему же? - во .~ра:.ил ко­ роль. - У меня есть математик, и весьма выдаюший­ ся ». И он посла л за Виетом. Тепе рь В1rет смог залис ын атъ ур:~нненин нс тпл1око с кш1кретными ч11слш1ым н ~т:.~ченн ­ ям11 , но и с параметрам11, ·1 . с::. 1~с::лыс KJJaccы :~а­ лач, К<1ТОрые МОЖНО рс 111 ап, С IЮМ()ЩЫО ОД НОГО правила, не забынаи , 1.:оне<пю, о гrрt11щи11е сщ­ нородности. Например, уравнение.\} + 5Вх = D у 1:)11ета uы1лядсло бы так: А c:ubus + В р!апо 3 in А aequшi 1J solido. З.п,ес 1о А cubus означает третыо степень нси з ­ всстно1'0 А , В plano - <18 плоское», D solido - «ТСЛО 0 1>. Но что особе~ ню нажно, помимо ураю 1с1 rий те J1 ер1, можно 6 1ошо :iа11исы1~а1ъ 11 формулы. Один коренt, Вист н ашёл сразу же, а на слелую­ шее утро представил ешё 22 решения уравне11ия. Как же ему удалось Lделать это так быстро? Лело в том, что, занимаясь разложен~1емsin пх в cos пх по степеням siп х и cos х, Виетустанов11л связь некоторых алгебраических урае 1-1е 11 ий и задачи о дслt:нии угла на ранные части. Он увидел, что прел­ лuженное з нач еж1е параметра а является сторо1юй вписанно го в круг правильного 15 -угольника , т. е. хордой, стягиваюшей дуrу е 24° . Коэффиuиенты nри х45, x•J, .", х показывали, что речь идёт о делени 11 это го угла на 45 равных частей, зн ач ит, одно из реше­ ний преАЛо женнu го ураsнения 2 . 240 2.40 SIП- - =SIП-. 2. 45 15 Остальны е п оложителы1ые решения будут иметь в~tд 2~in(120+п.360oJ· п = 1, 2, ""22. 45 Ешё 22 решения - отриuателы1ые, и, по традиL111и то1 о времени , Виет их не У4ИТЬ18ал. Ответ Виета был оскоре опубликован и при11ес учёному мировую славу. Bt:J(ь математ.иче<.:кш: форМ}'J 1ы - это нс толr.,­ ко сокр:.~щённан З:\JШСЬ теоr<:м . Гл:~ннuс :{aIOllO· чается н том, что н:1;~ формулами М( )ЖН О 11ро- 1 1.з11одmъ (тер:~ ц1 ш 111юл учат~, ноАыl' lj юr 1v1>·, tы и rопттю111е11ни . T:i ю 1м пбра:юм , n}·кnенн оl' Lrc- ч11cлcrrн c тто з1юляет :'lамс1-тт1, ча с·rъ рассуждс- 1шй меха1нтч еским11 о пера11.11ям11 ( 1 11.1 ю1~щ­ ю1ми) . Как говор11л Лейбшщ, о по " Р::t з 1гуж<1 ет воображе1 ше". Сейчас нам трудн о 11редсташтть м;пе мат11- ку без формуд, но 11ме1 11ю тако11 он:~ бьшt1 до 811 ета . I Iоследн11й (,штрих» з.п,есr, доба1шл уже n Х\ТП в. Реве Дск~1рт к скосй <·Геомстр11н» - 011 отк:~зался от принц~rлэ сщнороююст11 .
НОВОЕ ВРЕМЯ ~ 81~ СТАНОВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Со врсмёв <нrтичr-Ю(ТИ учёные пыт:шись н.ай­ ш методы ]{Ь1чис.11снш1 площадей кр11волн­ не11ных фн1-ур 11об·~,ёмо1{ тел враще11ш1 К КОIТ­ цу XVI 11. к ЭTllM З~IД:JЧ<1М l(Oб:ll:!И!LПCJ> l-IOBhl.C - 110с1тюсн1 1с касзтслъных к кр1шым, разложс­ t1ие фуt1ю\11й н rнщы 11С();щани~ 1юrар 11фмон" Замечателы ю то, что, несмотря 11а раз11006ра­ з11 е з:щач и 1юноввсr~е1111!1, все ошr оказзт 1сь •1 резвыч:~йrю тесно сnяз:111ы меж11у собой. АНМИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Одно 11 :~ к~1ж.нейш их дщ"1·ижент-:-1 1-lоного щх·­ \1ени - co:~f\:11-IИ.t:: ::1щv1ити.4еской 1 ·сомстрии. С1ю 11м рожден1-1t:м OHJ. обяз:.1н;1 дRум круп 1 Jс й- 11111м фр;11-щуэсю 1м математ11ка.'vl XVТI в. - n 1)е­ ру Феrм<1 (160 l -1665) и Рс:11е Декарту (l '596- 165U). О ни леэаrшс им о друт от друг:1 н одновреысшю начали разрабатывать ос1юt1ы это!'i новой матема11-1чес/\ой дисщюю111ы. В 1656 r Ферма налпсал <:татыо <-Dneдcmн~ в изуч<..·нщ· пл оских и ·1 ·tлесных l\fCCT». Говоря о "тюо:их. и. телесных местах", 011 исходнn И:-$ античной классифик:щнн криnых , которыt' л одразделяю1сt> на шюскне (лрямыс 11 окруж- 1юст11), тслс::с rrыс (эллипсы. пщх16олы 11 ги1н::р- 6олы) и 111л 1сй11ы с {кр1шыс, определяемые ки­ н емат11ч сс. ю1). Ферма :1.ал 1·е()месрr1чt:ское 1тре1(стаnлс11ие нх1т 1еrшя с !(Н)'МН переме1111ы ­ ми с JIOMOПJ,ЫO I<ОСО~ТОЛЫ!ЫХ rюорд1111::~·1" ()rr Щ)()Из1ю11ыrо nыбирал начало 1<0ор,'\ш1ат и проIЮ/\Ил от 11cro ось ::~бсцнсс Ордип:па, 11:~­ к1юпённатт 11(),11, некоторым факс11роuа1tr1ым уг­ лом, ОДlШ.М CBOJIM КОНЛ,ОМ CJ(0ffi>31IJLa 110 OCJ1 абсцисс, в то нрем.н как 1пороf1 t:ё конt:ц 0 11и­ сын;ш с1м~ кривую. Т~ншм обр::~ :.юм Ферма rю­ каза;~, что крн11·м1, котора}1 '>:!/~а\:то1 кu:-~др<~.т­ ньrм уран~ 1 е 1111 ем . ~C'J'f) KOl-JJ1Ч<.:l'KOC <..'СЧ~ НI Н.' - эюшпс. па р<1бола ил.и гипербола . Сущсст11<.:н- 11ым r1 едостатком с:го под'\О,rJ.:.1 было то, что 011, как н Ф. 13нет, продолжал прндерживатьсн античного правилз ОJщ.ороююстн. Т~ш. антич­ ная N1aтeNraнrкa уста11:J вливала соответствие между операцией сложtrшя н он<Ладъша 1rнсм 0·1рсзков - сл~1 гае.'>1ых ндоm, прямой лшнш. 89
А-=-. &1i]J Истор1-1 я математи1<и Итак, желая решить какую-нибудь задачу, следует сперва её рассматривать решенной и да гь назва­ ния всем ли11иям, которые представляются необ­ ходимыми лля ее решения, притом 1-~еиз1:1естным так же, как известным. Затем, не проводя различия меЖАу этими известными и неи'lвестны'Аи л11ния­ ми, нуж110 обозреть труыюсть, следуя тому поряд­ ку, который показывает наиболее естественным образом, как они tваимно зависят друг от друга, до тех пор, пока не будет найдено средство выра­ "lить од11у и ту же величи~1у двояким образом: :но то, что н азывается уравнением, ибо члены, полу­ ченные одним из этих способов, равны членам, по­ лученным другим_ GГ.ОМГ:ТRrА. il R[1'Л1·О DГ~СЛ1~ТrS Лnno 16J7 Galli~~odi"1nunцumn Сuм Nотн r ;_оR! M11Nl>J (J[ 'J,J"/fr'N f , l•t1oril •t.fi-Jc..,llkш'IJt~, la ~i...ш.м.m.,&,_ct\Q_ n!sШallrlц q.r.r ",,.. _, ,, . 111\1'11'11~'>f"11оо11N, ~i....._.. ...,...._....,.i.м..ьu... ~.~- Lw••·~· а...,•• оа. ••• Е.х OAic1n' 1<> 'N N1 М \ 1ц, CI~ 13С: Жl.&Х• <)() Ренедекарт ' "' ~U1e1.11·"rюn .i ''- t .I -<,• W "*1nltl\~1um Jc - "• ~ \.'tf1 kи и1р1t111 о:р" ztnrn' ll 1l•nr 11· (" qo.1)•1\ fLi1 •,VQl>ll tkJo1>1 1 t ,, (1)" J)(J nlt1(e( ()-111 . lll ILJ..;I !~- C.: J &: 1IJ.:11 1tllJl1 nt N rl) )\ н••"1.. Jt111 t: ,,,a .J11(4,," ~r1 ,., •11111111t.\ ·e- 1.ir f111·1~ rl.t:IШI ,lcr." k J ''' ~(1 111 d:Lmcti:J'( u ~Li'-'f-... $. ~ н11,, JmC'жD-\ . . i-r r ~" J\].t/J.1 G L. " .l ft.t'C1•1t1L с , ,. ., -fi Титульны11 ЛИ(Т и с тr~ниuа •1 ~ КНИI И р Лскарт,1 "•11~ , J t;>uщ•1 /')'1R • И3дание 1u4CJ Г Рис. 1. ГРnмРтри<tР ( кая 11111 Cf) l lfJCTdU'1Я vмнnж Рния 110Дt'1o.dp1y Зл<"с 1, 1RE1 =,,/, Умноже:ниt:' же 11ре,r~;стаRляли ка1< r юстроенне прямо} 1·олы1икз со сторонами , р::шными со­ м пожптслкм~, ·1 . е. произnсдспне дuух длил было uещ1с1m10й другого рода - площадью « Введентrс» Ферма , дош·ое нрсмя остававше­ еся n р)1<оmки , 11 е нашло ·1 ·01 ·0 широкого рас - 1 1ространеющ какое получш1 а « ['сuметри1н Де­ кар·1 а, 11::11~анн ан в 1637 L'. Это nр11ложе11ие к ф 1 1лософскому тр~1ктату ~Р<1Ссуж11сн 1 1е u мето­ де•> должно было сл~')ю 1 ·1ъ матсмаrлческой ил­ Jtюстра r 1нсй 1::1·0 ,...,1етодолопrческнх 11рн1111и:пов. На само ,ч дeJJe <- Геометрия» ОТJ(рьи1а ноиую страш1щ 11 математике и име; 1 а фу1щал1с11таль­ L1Ое значение совершенно пе~аrшсимо O'J' ф11 - лософш1 Фратщузсюн1 .чатема·rm< 1 т истор ик науки Миm<:ль Шаль рuннu чr.:рез два столетня 1 1 щ:ле ооубликuнаная ~ гсометр1-ш·> 1111сщ что представлс:нш1 , н ней р;.~:ш11·1 ые. яш1>1 ютсн «ж~rъ­ .VJH , rюяюн:шшfl НК'>J и.1 свеr 6е:3 vrатср11 ~. 11 :1столь­ ко OH l l JJt: JlOXOЖlf Н~! прс.::ж1пою MЭ 'I CJl.l ::ITHК)'. Декарт rтреодолt:л 1 1 е;1остэток :н-1ал~1 ·1 11 че­ ской 1·ео:-1е·1р1 111 Ферма . Он 1юr\азал. что если выбра11а едиюща дшшы, то ncc велпчш1ы вне заннс11мости от 11х размертюстн (длiшы, nло­ щают, объёмы) ""югут бытъ прс11стаuлены оди­ ш1ковым образом, а LL.\1t'HHO с 1юмо щыо соот­ нстствующсго 0·1 .резка. Тс 11 срь умложен11с11 вес ост;шьные ариф:-.н: 1· 11ческ11с /(Сl1ствия д~tвamt ВСJ11,1чнну, ОJ~1Юр(ЩН)'Ю с ИCX()) \I IЬIJVLl l (рис 1). Поэтому, 11:111рниср, к::~ждому 0·1ре:3ку .'\"и мно­ l'Очлену Р(.х) с ра111ю11:IJ1ы 1ыми кuэфф1·щнен­ · 1·зм11 можно 1 юста111 1ть n соотв~тстnие l\pyrori
отrсзоку = Р(х). Это утнерж,Т\еш н: п составля­ ет ocнvny 1·<.·омс.'ТТ)нн Дс1<щла, ю.У1·орая v.. конце Х\'Ш н была на::.~вана аншштичf:'l..:Кuй. Интерес­ но. Ч'J'U 'l'OЧllO T;JKOt' Же UПfX~) ~C.JJeH ll<.: J J1 1 1 фMC­ Tl 14t:CК\·1X опсрац11й над u·1-резкам н ~стреч~н.:тся 1:1 J\ ' к1 11 11·t: <·Алr<:бры» Р. Бомбеттп. 1tamt c1 111 юй JJ 1'1'50 1·. 11ire 11 убл ит юн ал п1 еii си ,110 11:Jчала ХХ '" К(:тат11. н " Ге.омсrрни" соп,ср~u1ись ~ др~тие IЮIЮ6ВСДе11ня. Н:~ пример, И.\1СНIЮ Декар·r СТ<IЛ обпзш1чLт, не 11зnесш ыс тюследнпми буквами латинс"о1·0 алфавита (х, у. z), а коэффнци­ еlJ'l'Ы - ттсрными ((.t, Ь, с, d".) . 011 т<1кже внёJ1 11ри - v 1 ' вwчную лам заrшсь с.-1·спе н си. х· , :v и т. д. ОТКРЫТИЕ ЛОГАРИФМОВ Пол1..1тю 1 С0П()('1 "<1ВИТЪ МНОЖСС1'13У чисел шща 1О' м 1 южест 1ю соотnетствую щих· пок;~зателей степенн х мы Ш\ходим 13 XVI в. у немецкого rv1а­ тематиl(а Михсш1 Штнфсля. Важ~юстr, тa_l(oro 1юдхода NJЯ uракп 1 к11 nыч 11слс пий дuст:tточно 1к11а. Есш •111сну r1.·" сuu·11'l<::теп~ует 1юказатеш, )' \ 1 \"+ 1 х, а ЧllСЛ)' (l - у, ТО прон~ВСДСJJНЮ а· . (,{. ={( будет отвечать сумм:~ х +у. т. <::. ум1-южсю1с можно ззменить оюжсние~л. что было да13нсй \1сч·1nй нссх 11 ы чнс1 111тсJ1е 1·1. Чтобы ef осущt­ стR~п1" трсбовалос1, соста 1111·1· 1 , точ 11 ыс таб­ ли1\ы, n которых содержались бы вес 1tеобхо­ димые дашrые. Этот о r·ромный труд оказался ло сплам шоттшдско.му мате,,1атику Джону lleнepy <1') '50 - 1617). Работа f-l eпepa 1 юд названш:м 1·Опнсаш 1 с \'ДШШТСJI hНОЙ таб; r HЦhl ло1·ар 1 1фмок• llOH l:!Ш/Ж' I, н tc1t4 г В L619 1·., у-..кt' после смерти автора, 011уf!лнкона 1 ю <-ТТостrюснне уд11нJ 1 · 1 ·ел 1 ,ной таб- Лжnн 1tеп ер. Huuo~ вр~мя ~ ~~ р /~ ,_______ '\1'(1нf\'(/[~у~[ CANO=- < IS l'JE~CRIPТTO. ." l'Ц,-t"<:f•J.'No"f"" .,...,.,_"..... n~bf,~-::;l.t"•/dw d- A~ x \noQЩWt l.&r~ A.L"t\'b6'1nt Nt-- " Apud Ba11h.Vinccn 1 iн111. .· Т И 1у111,11 ь11i Л11< 1 ке 11н 11Лж. 1tc.~11Qpa "' <>nнса1 1 ~1~ улщ 1 щ'f'ЛЬ Н ()I( la(!Л l-!UЫ лu1-ариф,юF1• Издание 1(,20 1 шщы лo1".1pirфi\IOU» , me объясш1Lvrся нршщт1 ло1 ·:~рифмнчсошх табш щ. 11uмt:щfн11ых 1111t:р- 11ой ю1 1 н·е. В N.:Сtс11штt:лыю<.:т11 1пор~щ юш1·а былз 1-1ап1 1 с1нз ра!l ьше псрtюl! , r1, 1НJ- в11,111мо­ му. у-же к l 59LI r·_ Нспсr 11л~щсл ттр11нц1нюм об­ рз:Ю\"\аншt логарифмо~ (ctv1_ стз:rыо ~.3немt:11- тарные фу11кц11и н нх свойсгвэ») Ht"зamrc11м() от Не11ера в 1620 r. ,-~ 11 алогт1ч11ьrе , хо· 1 ·н и ме11ее сонершс 1 шые таб !шц1.1 ЛОL щ111фмоn оnуб:шко­ шш ТТIDейцарсюп'i мате.м:tтик и астроном Иобсг Бюр rи в юrпге «Табл11цы ар нфмстичсс1юr'1 н rеом.етрическоit нрогрес<.:иtt», 1lc11cp состав;mл табл~ щы мя · 1·р11го 1 ю~н::три­ чесю·L': HЫЧJi('Jl~l-\l 'IЙ, а /(JI}\ дру1· 11 л jl:JCЧt"l 'Oll ШН\ fir.щи неуr~обны Учёный хорошо пони.мал эт(), и совершс11с.-пюF1:111 не снсгем ы JIOJ ·::~рнфмпв <~га - 1ю R дат,ней шем общt>й заfютuй Пещ·р;1 11 t'ГО др)Та 01\СфОрL!.СК()ГО нrюфессорз Ге 1 tpH Брщ'(:;J.. В l б24 1'. Брr 1 1У осуществпл заду,1:.1111юе нмr~ улучшение. Оп оnубликовал СJЗОЮ «Лоrарнфмн­ ческую ар 1 tфмет1-tку», в которой содержа1шсь табл нцы дсснтн:чных логарнфмок ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОШАдЕЙ R а11п 1 чносп 1 н:ншыс 11 111х рс:~у111.>1 «1тпн о ш,тч.11с- 1 1t11ин площаде 1;-r ра:м1rчп 1 .1 х фпгуr дост11r Архимед. В Honoe вреr..щ эта :1:1д;1ча, которую на:1 ывали задачей лУ1аr)ратуры, привлекала шшма11 ие мuоп 1.л учё 11ьrх. Так, 1 ·1 огаш 1 Кеплер прн выnоде второго з::~кон:~ двvDксrпrя планет 91
~ ED.l(!j История ма1 см.:пики Тн ЕОRЕ МА. III. Cyl111dri vcroad Par·allelcpipedшn colпnшa1·cre­ ll:a11gulшu xg;al шrn, ciuod Cylindп co1·pus fi:nпg1r qu:нJraщ fim l)afibus&paraHclls larcri!Jщ, 1·at10efl:ca- dc111, ciu:i:: сн c 1Jli ad quad.ratu11н:11'cumfcriptu111, l1oc elreadt:mqнx 11. :id ' 4'· f(f,. ,.,, .. /1J. Vrcniro CD CvHndrica ЬзGнir. culari• •d ЛВ quad;1нum circom(cri. ршm, 11~ Cfcorpos Cyllodrl,adЛE c o rpus paral!clcpJpedi rcfungufi, fсц c olumnz• . Afclt: dcSpb:tra& Cylindro . CyJmdcr сшm & соlшnпа ~que· ol u!untluc vcluti quxdam plana cor- pora1a:acc1du111igi1urill1~ cadcmqui pJan1J, Вз- ТНЕ О- (,тpatH1UJ IH КН11П1 и Кеплер,1 , н,щ,1я C l\'f>l'OMl.' 1 1)1·1~ Bl1Hllbl)( /10•1<>11 " И1л,111и Р 1(i1 q r попытался Rыч нслн1ъ nжщ ~;:щ r , эnn 111 1·1· 11 чес 1ю- 1·0 rе1ппра. сю1адывая радиусы-веJ(Торы, как если t'lы шп r были «отрезка1"Ш», 1-h\1еющнм11 ·1ол ­ щпну. Профессор математшш Боло1 1 rкoro у1 ш­ верснтета, мона,'i: орден а исронимнтоn Бона ­ вентура Юшальер11 (1 '59Н-16'П) в сочшrешш «Геометрия, изложс1-111::~н 1-юным с1юсобом нр11 помощи неделнмых не 1 1рерь11.шоrо» дал с11стс­ мат1 1 • 1 сскоt' 11з1южс1-п1с: своего 11счнслсн11я бсс­ ко1 1 сч110 м:тых ( 1lод бесконечно малы ."пr в то В!JС:\1Я IIOHllMaJl l l не1-:ие неJ 1 11ч111 1 ы, l<O'l'Of)Ыt' Mt:l lbНlt: любоl1 KOHt:ЧJJOJI ВСЛИЧIПIЫ, тю всё же 11е pam rы 11ул ю.) C.omacIJo Кавальерн, любую плоскую фигуру можпо рассJ1.1атр1 mать r<ar< со­ .вокуш !ОСТЬ параю1 ельных лшшй JIЛИ COBOKyТI­ l IOCTJ, ~<СЛСJЮ13». IIOT<Jpыe 0(."J,ШJUIC'l' JLЮШЯ, пс­ рсдnигаяс1. параллсл1.нu C:.tl\I01'1 себе (рнс. 2) Аш11ю п :rч1ю д~1t'гся лрещ:тавлсн 1 1с и телах: он 1 1 обра3уются нри двнженни плоскос:те(L 1 lеоют­ ря 11~1 ·1 о что к~ш :шьеrю вшщсл am·cnp:.н гчссю 1- Рис. 2. l lло 11ыли ф1.1rур J:H(,r 11 AlJC. н ОТНОПIП. Я ~.;1к < ВСе ,,ИН'1'1 >1, ПfШНJЛЛt>ЖЩIИ<' )ТИМ rj)l1гypdм . Lсм1 RS = NO, Г/-1 = ао TV =11(.j и r л , тu nлош ,1д11 фигур равны . Рщ·унnк 11~ ~ ()nО1тnв о G~ К.1FЧ1льt>ри ~н1 мстода\1\11 , свою «Гсомстр11ю 1 1с,Т(еJ111мых ~ он спз11:пеm.1 ю 11 :шож11л на я3ыкс сню1идовnil геометр11ческоi 1 ат·еnrы . сч11тан, что такnм обра:юм до61 шастся бплы 11cr'1 строгое~ 11 И:~-1~ этого 01·р~111нчения 011 получил кnадра~1)ы сте· псшюl! фупrщлн у= .\' 11 (т. е . шющад11 под ~·рафиком кривой) только для 11 = 1 11 11 == 2. 11оскш11,ку ужt: 11μ11 n = 2 t:му ЩJИXUДIJЛ()L h П()ЛЬЭ(.Ш<IТЫ:~1 npeд<."l 'ttH; J(.:Hl1CM u трСх.\1ерных н.:лах . Е 1'0 др)'I 11) чсннк Эна1щжсл1н:та Торр11 - челm1 ( 1(10R - I () 17) Bl>IЧIIOlllЛ в 1() 1: 1 1' ТIО ж­ Т(Щу KaRaлi,ep11 ofJ·1.ё ,\1 ·1ем1, 1ю1 1уч:зющt'1 ос~ вращсппс:\-1 рат юrторп1111еi1 1·1>111epfJoJJ1,1 :\у = сг вокруг осп (~)" Метод Каu~шьер11 раэш1л аш т 1Лсю 1й ;\·1атема­ тик, профсс-сор Оксфорi~ского у11 1 шерситс:т:1 Джон Вал.1111с (1616-1 70 .7>). OLI псрсвёл rpo- M<XIJ\IOJ<: l'(.'UMCTJJHЧl'CIOI(.' I IOC'l 'pOCHl l }J н:\ ШЫК ар11ф.-.1С1 НЮ! В <ч\рнфМt:Тl l КС nt'C:KOH<.'ЧHOПJ• ( 10'5 '5 1'.) B~IJIЛllC НЫЧНСЛllЛ ШЮЩа/~Ь 1ю: 1 гр,1ф11· ком пока~5<1Тt'Л r.г-юй фуню 1н 11 у = х 11 нс тот.1ю llJIЯ 1 rат)ра.111.r1ых р. 1 ю таюке ;111я 1ю1 1 ожитt~'IU ­ ных и отр1щатслы1ых ра1~1ю11алы1ых 1юr<з:1:не­ лей. Рассматривая шющадь кр)та е111ш11ч1юrо pa,1\lfyca, четнёрт;:щ час-11.> 1ю1орой па юыке со · врсмстюй матсматию1 Dыр:~жаетсн ю 1тегра110'1 1 f'' 1t \1-.'У' (/_\' =4' (1 Валю н." получт1 прс,ГJ,ст:1влсн11с ч1 ICJl<I .:.J /тт в вrще бс::ско11еч1 ю1 о 11ро11 .тс11с:1111я . -1 -~3·5·"17799 - - тт !.4-Н-1(>НH-LO Иным путё.С\1 шш1 фршщу-зсюrс матемапrк11 Фсрм;1, н,шр11.\1ер, находил площадь фттры 11сщ крнноi'1 . н1111L'ы.в:1н в неё такие nrямо1тол1~· 111 1 ю1, шющал11 KO'lupыx ссктавшuш бссконсч· ну 1и убыи~1 1tнцун> 1·еомtтр11чс::скую 11рu1·ресе11 ю Посколы;у сrтособ вычпсл<:нин суммы ::нoi'I 1 1ро1 ресс1111 ()1,1л уже нзнесн::11, pt:1L1eн11c :3:щачн CR();\IOIOCl1 1{ IIOl!Ct.:~ llОДХОДНЩеl'() ():IЭtlJГt'Hll>l. Nkтол 1ша11ра11т> и::1учал н 11ру1·ой э11аче1ш­ ·1 ый фра1щу1скиf1 иа·гематr.ш и фп::1ик - Блез Паскат. ( 162'-i - 16С)2) 13 работе 16'59 г 011 выскаэ:ш сообrажсвис, что прн nычrrсле11 1 ш rию111:111е11 о;~ни бесконечно .\1;шы<.' могут заме· llЯТЬСЯ ;1руг11 \111, 11 Ч:JCTH<JC'l'l'I , малую /J,)'l 'Y крн­ иой 01i сч1 rтал рашю1-1 малому отрезку касатель­ ной. Тру/ \ П:~скаля ока:ц.11 ocofioc нm1я1111е на ЛеГ1(} 1 11ща, 1«поры~'1 прочёл с1·0 н IC)7~ '"
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКUИЙ В РЯЛЬI :3:щ:.tч:.t о нычисленш 1 площадс~-1 ою.1~~аш1с1. тс:-с- 1ю свюанш нl с разложенrJем функцнй 1:1 ряды. Так, У11лы1f..1 брс')ункер ( 1620-lbl:Ч) , nервы(r 1 1 pe:m;(c 1 1т Ло 11донско1·0 королевского nбт.ест­ ва. 011 рсл1::11ял 1.11ю11 tад 1, 1юл г иt1 ербшн )lt <l) :J к·1 11 - чесю1 как пpeдt"JJ 111ш са11 нr,1х прямоутопы·1111шв, а т:щже К<Н• nре;1ел вписа нны х треутолnr1иков. Дая 11epB()I'() случан ()Н Ш))I)iЧИЛ. ЧТ() 1 . 1 1 1 S= 112 =-- +- - +--+ . ., l-2 .1 4с;6 г:1е.) - искомая mющадь. Броункер н~ёл эту фор1\1улу нс позднее Jб'i7 1·.. но опублт1конал сё ТОЛЫ<О в 1668 1' . 3/tCCh егп oпept?JЩJI 11таЛhЯН­ СКl lЙ м~псмзт1rк Пhетро МенJ'о11и ( 1625- 1686), кuторы1'1 11рнвёл этот ря/t в « fl:1чaл:Jx 11и;101юй 1·eoмe1'/)l'!l 1 » ( 1659 г.). В 1668 г. 11 еме 11ю 1~'r м:lтс­ матик Н111юлаус Кауфмз 11 (около 16 20 - l blP), р:~ботаuшп!I тогда n Ло11,11011е 11 более нзвест- 11ыi1 под m1Т1ши3ироnа1шым 11ме11ем Меркатор. шmечатал n с1юсй книге ~11огарифмотех1п1ка·> ра:тожс1 те х~ х' х-1 Jл(l+x) =х --+ 2 --+ . _ ('") 2;) -t для :ш;Jчс1111i1 х == 0. J н 0,2. При х= 1 ;~:н1ны1'1 j11Ц CUl3ПЩ~:lt:T С j)<LЗЛOЖl'J IИС,\.1 o p OyJ IKCp<t - нt:()f1хо;(11мп , 111111ь пр1111t:ст11 к обще:-1 ~· эпамс- 11ат<:то стоящ11е в 1 1ём разнос·~ lJ. Новоf' время Эти дО<."rижс11 1 ш ш,1знат 1 шпрою1\1 отюш1' к среде ан1 ·;ш1kк1JХ ~1а1'1.:мат11ков. Ват111с , н част­ ност11 , 3aмeTH.i l. Ч'!'() CXOJ~ll MOCIЪ рщ~а (*) 11:1ру­ ш:1стся, сс1111 .У > 1, 11 11ашёл р:!эложt:m 1 с ll рнд д11и функцю r 1 111 1-.У . Далы1ейпн1 й JJ\)OL' pecc 11 этом 11 a npauлcш1J1 сuлза1 1 с именем замечатслыю1·0 шотланнско­ го математика 11 астро1-10.м:1 /])I«.:ймса Гре1·uрн (16.)8-16/)). В 1667 1' . 0 111-!<IJl/ I C:!JI [)аботу () кна;цхпурс кр у 1·а и 1н111.:рбш1ы , н 1\отороС1 щ;- 1юль:юнал 1'5<.;ско н сч 11 ыс схолн 11111сся рялы. Грс- 1·ори едва 1111 нt: псрuым устаJ 101l1 1J1 чё·1·кuе pa:3JIHЧlle м<.:жду СХUД}IЩ l/ ,Ч/101 тr р:tСХО/\Я ЩJJ ­ мися ряд<1м11. В т~ругом своём труде. «У11ивеr­ сальн зя 1 ·еомет р11я ". 01 1 прннёл гн1/t пра1.шл выч 1клсн1ш ллощмей под. r<р11вым11 н об·.ьё:мов тел. обр:.~зуюпщхся !!р1 1 .вращсшш данных I< р ивых. Рс:1ульта·1 ъ1 , ттолучс.ю1ы<.: Гр<.:1 ·ор11 , ос- 1·авал 1к1, Ht:JI3HeCJ'J-IЫMJJ HI IJ10'1'1, ДО J9 39 1'. , ко 1 ·;~:1 1111ерныс 6ыт1 о п убm1кованы е 1 ·0 п1 1t· п~1а 11 руко1111с11. Ок;.~залuсь. что ~rчQны r~1 щх~ю.юсх 11- тш1 мн<>1'11 е открыт1 1 я в теоr1111 ч11сел 1r кана­ т1:i<.:. ТI:.inp11111ep, 011 .н 1 : 1л o\11 r\ <.:e р :1зложt:>1 111 с днучJfен;1 ( 1 + .\:) 111 ,а·1 ·:1кже р:1 эло же111 re, к< rmp< ><: 1ю:1,ri;1-1et: стало 11 .тес' п 10 как fЩд Teirлopa (с~1. статью •·Сте11е11r1ые ряд1м). н ч~1 ст1юсти рн,т~;ы для та1rге11са, cer<at 1c:J 11 аркт;u 11·снсt. ЗАдАЧА О ПРОВЕЛЕНИИ КАСАТЕЛЬНОЙ К КРИВОЙ Ro 1п·ороr'1 ч<."гнерт11 Х\ТТJ 1~. 11p11tтa111,11f;e н1-111- маr 11 rc N1:псм:п11 кон 11ач:т:.1 п р1 t11ж:к:1т1, :~a/\:.t ча о 11рuвсдс1 111и ка спслы 11.1 х.. О11т11ч~ск11е 1 1соrе;1ов:11 r1 1>i /l,Lf\apт:1 11р11 ве1111 его ктакоir nроGлемс: рассч1rтат1, форму J1 111пы с да1 111ым фоК\пrым р<~сс:тт111ием . i\1J атематн­ ческ11 это требоrшше эюншале1111ю обр:пrюi1 Jад:~ чс nocтpoerrrrя касатслыrо lr - 11ахождеrп1rо кrmюй, нормаль к которо l1 обладает 11<.:кото­ ры1.r зщ.рнны.ч сво~'н..т1юы (нсно. что норl\tаль 11 кaC:tTC:JIЫI ШJ в:~аим1ю oлpc;(L'.IOI IOTJIPYl'/ ( iJ~T:I). ff.eк:1p·1· рсш11.1 1 ::~а1 1ач~ о m 111 :к·, а т~Н<"~С прс:;1л о­ :ж1rл пбщ1 1 П мс-m;\ 1юстрос нш1 нор ."1 :ше i1 ( 11 ка­ с~т..:; 11,11ых) к крнным. 011 быJJ )'rrpoщ<:11 r-111;~ер­ лаJ1дским м<1 ·1·е.чап 1 ко"" 11ог:н11юм ГyJ tN· 11 в э·1 о."1ycrн1cp 1 J1e 1 1ст~ю1щ1 нюм вл;tе оrтубт11Юн:!11 11 иалашш « Гсометрнн·• Де1<,1рт:t 16'59 1·. Кл ш· а
дf!ь_ EUJ(!J История мат~мJ.1 ню1 11ы1111 1 а н ;1атинскuм 11срс1юдс с коммсt 1 та рня­ "'11 ;1руtп1 о н~щсрлан;1скоr·о учё 1 ю1 ·с1 - Франса нэ н Схотt.:на . М1.:·1·щ~ Де1<аrта годился только л.ля <1л~"ебр::~и ­ чес ю1х (с1м Д1.:к:1р'J' 11а:1ынал 11.л 1 ·еометрически­ м11) r<p11nt.LX . ·1 . е. д;1н 1<р1111ых. ураnнепиямн которых яu;rяются ~uюгочлены ко1 1 ечrюЛ сте­ пе~ ш. l lo существуют и неалrебраrтчесютс кри ­ вые, FJапрпмер цикло1ща - траскторня. кото­ рую пр11 вращет 1ни 1.:олсса описыв: 1 ет точк:1 , находящащ:я 11 а его ободt'. Профессор Пар11:.к­ ско1 ·0 кор011 свск01·0 кuллсжа Ж1111ь Роfiерваль ( l (')()2-1б75) ра~р',161>тал11ру1 ·с.нl мстол. рассмат­ р1 IR:J Я кр 11 ну10 юж траекн1р11ю /\ННЖСI Lll Я 'IОЧJ(И. Еп~ё Га11илей , 1.J :~уч:о~я дннже11не с11аряла , бро 111 е1r1ю1 ·0 rorнr :н>r-1тал ы ю, /(О 1«1.1 ал, что м1·1 юветтая скоросп, ч :кпщы пбусловлена её учас ти ем u Jtli)'X ие::~аткимых двнжениях - раnномсрном движении по горизонт;ши и раnIТО)'СТ(Орешюм cepTПKdJТLIIOM падt:ШШ ILOД действием сш1ы тяжсстн. И ссл11дш 1женне точ­ ю1 t:l'Tb рtзультат СЛОЖСI uш двух ДНИЖСНJ 1(1, тu касатслы-1ш1 рас11ола1 ·аtтсн по напr:шлс111110 су.-.1 ,-.1 ;1р1юi1 скu1хкт1 1 (р 1 1с..)).Именно этn co- nnpaжc1111e llCПOЛbЗOH;UJI I Н 0/1,1-Ю 11 ТО Жt: UJIC'MH, н J 6-1 -1 1·" Тnрричслли 11 Роберuаль. Тпррт 1ч ел ­ : 111 11пстрптт кас1тtm .1 1ую 1< 11 apafioлc, а Р()бер- () J' Рис. З. Провt>ден11е кa( JTeЛt>HOll к Пс1рi100Л(', коюр м1 яuл1-1 е rся 1f)cl t't\ l ()l)lt(:•й IPЛcl, ljpoш('tlHClГO гор11 HIHlil.'\11111} с,орость в точке л1 с кмлываt>тся 1н скорост11 p~l!HOM! :j>IIO I О д1J11Жt'111 1Я !Ю 1 1>р11 1011т.1м1 v - MN 11 скоросп 1паления Дt = MS . Их Гf'Щ<1' 1J)11ЧС'ская сумма л IV Л<1 С'Т IЫП[JJBЛ< 01!'1 t' к~JL <' r<-•лt-.1н1й. 11~1J11, - к 1 \11кrю1 1/ \t: 11 некоторым J\py1·11~1 11с: 1л- 1 ·ебра1 1ч еским крнн1,1м. С поr1стсом тако1·0 пп11оже 11ин кзсате.т,1ю1'r. в котором 0 11 а 11араллелыта осп абсцисс, тесно спязана задача нахождения ,..,1акснмума rrлrr м111шмума фушщиr1. Bnep3i,1c эту сш1зь обпа· ружил Ферма в работе « Метод отысканшr м:~к­ с~1 .\1у м ок н МИ1Шl\·1)ТМОВ». Она опублнкuнана u 1679 1·., уже после с.мсрт1 1 учС: 1-ю1 ·0, 1 ю н c p~/\t.' фран~\узских i\1ап: м:пиков получ.нла 11 акест­ носп, 11<1 1 ю1шска раньrпс. Реч1, 1 11ла о следующей эада ч е: 11м еется 0·1 - ре:ю1< {{аннон ДJllfI-lbl /); треl1уе1·ся rаздетпъ его па две част11 'r':l.f(~li\1 образом . чтобы ор1:1:1ма , ос- 11оuан11ем 1<отщюl1 служиr квадрат со сторо1 юJI а, равной ncpвofi с1аст11 отрезка. а высотой - втu р:ш чаL1" 1, отрезка (т. е /J - а). 11мt.r1 :1 макс11 - l\1:tл 1,н ы й объ61 ( рнс 4). Без какuт бы 1·0 н~1 бшю /\(Ж:J:iатсльства 11;1н обоснс.т:t1 11 rя Фе рма ll CIJOJ1Ь30BaJI 11p11i.::\>1, paBll()('llJJЫLЫil 11ЫЧIJ CJ IC­ IJJIIO 11ро 11 з кою-юй : 1 . ((.·~: + /1) - }(.'\') " 1111 . / : ./ (.\;). h->1) , а затеl\.~ - 11рирзF11mnатппо этой пронзвод11ой /(нулю. Рис 4. \,1,ыч1 Феf)мd д,н~ oтrt'~'" , \ { =/J LГ(! надо рс1Jдсл~ щ t l 11 ЛАС> Ч1I С-П.I АВ=а"'ВС =Ь-а 1,\ КИ \.\ o op.1 ·IO'vL, •1тоt>ы о6ы •м прймо.-~ 11 Р" """· 1нofip.1>1.P.HHOll 1 ы рщу11кС', fi1н М.1К( f1'-l~ .\ b Hhl\1 СОЗЛАНИЕ ЛИФФЕРЕНUИА/\ЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО И СЧИС/\ЕНИЯ. НЬЮТОН И /\ЕЙБНИU Несмотря на то что 11 ныч11 СJ 1 сн1tсм площ;щсй п<щ кривымJ 1 , ti ;;~щзчам11 на провсдс1111с ююt· 'Гtл ы11.1х к кр11в1,1м учi.'11111<:" :1:.J[ J1J м :1л11Ch / (01ю1111· по f(a rmo, 01-111 нсё ещё 11е уС' матртшалн Ш[КЗ­ кой сняз~1 межлу /(В)'?v!Я :;)TJI.'>Ш процед)'рамн То·1 пс менее связь эта 11мсла фундамснталь· пос :ш:~чсние , та 1.; 1<ак ~1,азыв~1 ла на общнiJ характер анализа бссконсч110 м::tлыл. Псрl!ЫМ Ч l.'ЛClHt'KOM, сумсвшнм это обнар)'ЖJl'IЪ, б ыл И.с;1~1к Б::~рроу ( 1 6;IO- J б77) .
В 166.1 1. н;,~ срt"дс1·ва некоего Генрн Лукас:1 н колле/(ЖС Сю1то1) Тро111 (Ы (Тр1 ~r 1 ити-ко11лс; (ж) в Ксмбрнджс был;~ учрсж;~е 1 1а кафедра мат<:м~J­ тики. и занял tё 33-нt1· н 11i·\ Исаак Барроу , весьма одарё 1Тн ы й учё 1 Th1i1. зпа:вш11й математи­ ку стол~, же хорошо, ка.к и богосл онне и дрен- 1111е языю1 . В 1670 r. Барроу 011убm1ковал cno11 •Лскцин по геометрии». где показал . что ()пе­ рац1111 ~rахш1щения площади п ттроведе r rня ка­ с;1тслыю/1 }1вляютси взаи.мпu обратным и. н J.\;lJlЫ ICJJll lt м pa3RHT111J [·1нтс1 · рал hHOI'{) 11 д11фференщ1<1ЛhНU1'О llCЧ I !CЛel l\ J}j 1'.%\ВШl~ роль 11ршщц.1н,;:ж:нта дн)·~~ ксликим учёным - а 1-rглн ­ ч:~нrrну ИСЭ:11\')' Ныотону ( 1643-172 . 7) 11 н см.цу Гптфр 1 11'у Rr 1111,rcл1>M)' Лейбн ицу ( 1646- 17 16). Ныото1 1 был самоучкой в матем ат11ке, 1JO С<l­ моучкой rепиалъны м . Ког,п;а он, став с·1удентом Кембр11джского унинсрситета, mrepnыe nрншёл на эт<замен по математике, выяснилось. что Ев­ к.r 1 ида, по которому учили r1 ~1-IИRCJX11'1't.'Тc. OJJ нс знает, но зато з-нако~1 с.: ~ геомстр11сй» Де­ карта. В к01 ще кокцон экзаме11 он Rьщержал - экз;1ме11~пuр, сам Исаак Ба рроу, 1 юдосто1 11 1с·1·ву оценил е 1'() матеv1а·1·11 ч сское нарованис. к тому времс11н Н ыт он прn чёл нс ТОJ 11 ,ко Де1сартз, но т:акже Ва.1mт 1са 11 Схnте 11;1 11 уже почу11ст1ювал ПК)'С к 1\.1атематически!'.·f nроблсмам. И<.1.JК н1.ю 1 u11 П11ртрет ИJ 111л.1ння < О1 1 тики • 1740 1, Нuвое врt:>мя 13скоре Лш·лню ПОСТПГЛ О ('Tp:.!ШJJCJC 6ед­ СТТШе - эпидемия Ч)'i'1Ы. Ушн;ерснтст 11а врс.ми закры-'1 01, и Н 1,ют011 почтн два года пронfл в сrюё,\1\ 1юмсс1 ·ьс Вуле1'ор11в 1·рt1фствс Л11нкол 1,н- 1J1ир. Эти l'OJ(Ы ок:валнсь лля не1·0 уюrн11тсльно 1 1лолотвор 1 тым11. По:щнес 011 нс1юм1шал: "13 11:1- ч:~лс 166') 1·. я открыл МСТО/( 11р11бт1жё 1111ых JJЛ/~OFI 11 [ [раншrо /l,JIH СВt'ДСН ня тобой стспсн 11 тобоrо 6111юма т< так11м рн; 1,аl\1. 13 м:~е тш·о Жt' ro,11,a я ОТJ(р1>1л метод 1<:1сатсл1>1 1 1,1х Гpe 1 ·np1r 11 Слюэ•l, а u ноябре - прямоi1 метод флнжо1И". и в слс;1ующб1 гощ u !ltac я уже имел n рас 11 оря­ же11ин обрзт11ьп·1 ~tетод флюкс111r....lkё это нро­ н:ютпло в дnа чумных год:.1. 1(>6'5 11 J666. Ибо в :-по вре!\tн н наход1щся в на1шучшсм 11,ля откры­ тшi во::iрастс и ,.'.\yм:ur о матсма ·1 ·11кс 11 ф 1 1жк·о­ ф11н бот,шt:. чс~·1 кш·да-л1160 1ю:..1жс ~. Л рямсн'т мето11, фл 1шсс1 п'r. а которо/\ 1 1 01юр1-1т Н ыото11. - не что 11ное. как д 1-1tj1фсрснц 1 1 р<1в:1- 11111::. соо·1 ·встст11ен rro обратн L,111 .четод фJ1101<­ сий - шпегр11рощ.11111е (см. ст:1 п,ю «Что 1·акое математ11ческий ан~1з»). 1:3последсттпr 01 1на­ писал работу под 11азват111ем «Метод флюксий r·1бесконечных рядов», тю пр11 ж11:3I111 ош1так11 11с бы!!а 11апеч~1 тшта: в 1756 г. онубтнюван сё ан1·;111Оскнй щ:рt'.1щд, а opш·1rпVIыrыfr J 1ап111 - ск11й текс1 у1ш,Ц<:Л снtт m111 1 ь н 177() 1'. .l lepe~1e111rыc веJ 11 1чнны .~:. у, :: Ilьютон 11:о1 - з 1 ,1нал флюснтй:11н, т. е. «текущ11 ,ч и ·> (от лат. nll~ - «ТеКу»), ;.! « О:ОрОСТН, С КОТО/)ЫМН КЗЖ)\Шi флюе1rта увелнчнвается в снлу пnрОЖJ"(ающе­ го J (tШЖCТll·fH ", - ф11юксиям1 1 . О1ш обп.н-1~1 1.J:.1- лисL теми же буквам11, 110 с п;ч rшй вверху:
Ист ория матем,~тики JJJ11m1/r.t1i~ J.r 111 ,fj,f ,ul.11. Х t 1L 1...с' 111t1t11C1\J dct. Q1:111nщ6 fof1JCJ1t~>\ 1..'c!\-& -d3rc tai:.t rimtia J:\.dc:!';1щш.:nt reutCJ•f .:Z r r• _ ,. _' t' . c(\ion di:(IJllCliь, t1~1111 ,jq_p11• 11с1 11.Je.linuut"tlJ '")CH•t'\ i;Li; 11.110, clk • (1111 r e o n 1111u1-IJC 'r.)l;(!t ~'-'IJ· roc1\I~) ((ln1 ('(i•шuc: !, _ "' \f~ttG'~ dt: Jcu r Flu, o ')U Л1.i.""f1J11fc-nч:11• . Х 1V• .i;, drinc !с prndш1d.: 1" ~lefrr.:..: ~щ мс tJ1.ш1111J U.J .:. fi'l1.nrn1 rctнr.: " • c \.lt .н11 :.:, !i t1• rr-pr~ l\_-.~f~ 1., ; 11 1mu :11.1 d'urн: Q-~..w.tё ~.Jcli:o1~i:\uc " ~ Lt\ ~"t1щ" 1"1; 1.1. ., ~u.~t~ : • 1 , т,.k\-w.'\ tepr~knt~ ylf ~1~1-., 11..11 1 p 1n:c q\lc:~ , р, .ot•, ;и fощ cl1~u 11.t ~OllHl.М:8 1 f 1 1·,~ .х \f. rwa ОО1к ~JU-' k' ll~.11J1cш1 trid"Щ.~ ;._ , • 1~ (о м IC$ ас" c cft1 -> "• аи .l.'.l:\1111.111a11of1'1 1 n 1fcl11\·11к11-r 1)1. ll(t '' ~n ~ ,,~щit t. f. l l )i = Ф • tcs ..: ~ ·"' pcm)an : k5 1л&:ti1~11n ~nt 1•tn1, 1nttrv.il.;. dr 1е1щ., 1) l'lщ tjll<: «t Qu:inшO " N f -»1•1-U .д~ 1f'!!t.:t1J~ll11! ar.d1.li11 .11!ie 11 pi:tit & tam., d ;:o,,-1.1.'1uн~nt x+~• & у +;-, , & p~r oauf.!°'1.l)C n• fEqu~ti("I qa1t.n '""J!:'OWI~ ct1• r11ut iq1Ji:mf't1t IJ. ll ct:irtt•11 .ka t)uJ111u-6 f ·\ucl• ш,-(',-1pmw:tA- I" lk li!.11(1" С'!НС ~-;.-~" 6;. r+ ; , tOU' 11dfi.tщ-ц '1tlC:rltrC: Jt 6' J • Olnfi (Щ f~Uf fu!J6i1Ut'f" \l.\IU Ц 1~1С i::qu -a-nQl1 • -+,;• & )'+;11, .цt1t1J ii: •« у Х V J. $ .Qir di)!'lc l'E:pr.at~U dмn.ic quc:lcьn111c .1 - .t"~+ l-lff _ , , g;;O JC (11bllui:c ,· + U P'Y.11 ~,&y-a..ju po11".Yi .:.с1·м Стри11иud и 3 фра 1шу ккоrо 11JД<IШIЯ • Метод3 флюк< ~,й и бесконечных рялов , , ltме ржашая объяснение tlJJИI I Шll lOH д11ффt'/)! •НШt~ЛЬНОГ(I И С '-IИt..Л Е' t-1\.IЯ , П<1р11ж. 1740 г. .\:,у, z. Ныотu 1 r таюкс рассмзтр1 шал « моме1 rты фJ1юкс11й » (в совремешюll тсрмююлогни диф­ фереrщизлы). т. с. нt1111чнны xo.yo,zo, 1де о - бссКОllСЧЛ() M:lЛUC K<JЛllЧC<."П~<J. Н качестве ал!'оритмз щ1фферс 1 щ 1 1рон:~нш1 Н1,ютuн 11споm,зонал ту же процедуру , ч.то 11 Ферма пр11 отыска 11 11и NJЗ 1<симумо11 н ми1111му­ \ЮR функцнlr . Нзпр11;\·1ер, выч1rсJ1>01 1 1 рm 1 :знод- 11у1n (флнжс1110) от х-, оп ттоступтrл бт.r так: (х+i·o)t _ .\.~ () х! + 2..'\:\:о + .\'о.\:о - х~ _ ) ." - -\.\, (} причём чле1 1ы, нключающ11е:: и н C'L't:Пt:Hll выше п<:'рвой, он просто отбр~1сы11:.1л . ~ нбо 11х "южно считать за нич·1·n 110 сран11t.::11шо <.: 11 ру 1'1 1ми •. Точно так же: можно IЮЛ)'Чнть формулы прu­ н :шuю1ых н /IJIЯ стс:11ен<.:й нынн.: нторuй . Дли д 11фферс 1 щ11роuаJ1ш1 фу111щин с р:щнкалаvнr н !\[1Обям VI Н 1 ,юто11 ИС ПОЛllЗОПЭЛ liCПOMOI а·1 ·ен1,- 11ы е 11ере,"1е1 шые, :i для не ;шгебр.нтчсских функ- 1\нi1 - раз11ожеш1е в бесконечные rяды. В «Мето!(е флюксн11 ~ чётко сформУш1рованы обе :}адачи нс'-пtслснпя бсскuпсчтю малых: 1. l lo 1tа11ному С<.ЮТНОШСНЮО между <..jJЛIO­ CLIТ;IMИ опрсщ:лнть COOTH() l llt.::HИ(; м ежду lj.IJIIOK- CliЯMl'l. 1 . П о H:llНIOMY yp::ШHCHllIO , СО/\С'рЖаЩС.\1)' фл1окс1111, 1 1 а~1т11 с оотпоше1111с ~1СЖТ\ У флю­ е нтаМLI . Яс 1ю , что п пepnol1 за,Г\:.~чс реч1, J.Jдёт о ;1иф ­ фере111 ~111хт;1111 IИ. и мы ~гже шщели, как Н ьютон сё рсrпзст. Что кас::~стся nтороП, то дать общ11 l 1 ме::пщ ш1тсrр11ров:нпш yp:tвпcrшir n то nрсмя 11е представшuюсь 1юзыож1 1 ым. И nсё жс llыото нуу{(алось н;1йт1 1 формулы ;v r я большо(1 1·ру1111ы !!НТtтрал о в , С<Щ срж~IЩI IX 11pp<11\l1UHUЛl>l-IO("l'И . Все .~т11 открыт11я 6h1JН1 нуж11ы учёному HL: ca.'Vlll ло сс:бе. а / 1,ЛЯ [Х'IПСН\НI ГJ laHHOJI ::1~1Д~­ ч11 - t.о~щ;11 нш 1ю1юl1 ф11 з ню1 . Е1·0 осгюшщil 1·ру;1 - «Матеl\1атичсскпс начала 11::~турат, 1ю1'1 фплософин" ( 16t{7) 1щ.ёт м•пем:~тнческое до1\;1· зательстnо того фзrпа, что есш1 траекторня орбиты 1шанеты есть rщппчсское сечение (эlUIТrnc. п;~рабола ини пtпср б оJ ~а) , то сила пр11 - тяжешш м<::ЖJtУ ш~анt:· 1·ой 11 Солнцем обр:tтrю 11ро11()рцнональна расстоя11ню меж;tу нш111 (закон все .\111р1 юrо 1·яготсн11я). 3,1'\l'Ch жt: f-l ыо­ гон прнн<.:1 1 реше 11 щ' f\.11 ю 1 ·нх з::щач , прt.:ж.тав­ люш11 LX суп ~ествс1 п rые математ11чесю 1е труд~ ю­ сти , таю1х, ка1\ о6ъясш:ш rc пр~ шн11011, ос1 юпы теор~ ш ;,вr-1же1 ~нл JI vны, проблема притяжения массиш1ых сфер и т. п. Uсrrошюму содерж:ншю к11ипт предпослана н1юднш г ча<.~гь, 1дс: нзло ­ :жсна теория npcЛL'ЛUf\. Францу:кк11i1 матем:1·1·1щ L'ийО.\1 де Jlошпалъ , 1<uторый в 16()6 1·. 011убл11- ков:u 1 11срныii учс6н11к rш 1 1 сч11слс 1 111ю бс:скu- 11сч1ю.'v1<.1лых,11 прсд11с1юmш к нему ш1сш. •1то R кншт Ньютп 1 1э «."есtъ 11оч·111 все, что 11ред­ с1·ат1яе·1 спбой это исчнслс1ттн.:" . Соч1111е11ия Ньютона по матсмат11кс увн;tе· ли сnет только н ХVШ столет1111. хотя ocrюn­ ш,rc рс:~упътаты о п получшt в ЫJ-х tт. ХVП n Од11:1ко iюe- LIТO бьuто пзвсстпо его 1<0Jme1 ·;:iм 11з ш 1 ссм. Так, нско·юрые свои рс:~упьтаты в а11а­ J1 11зс: Ньютон сооnщнл Ле f1 nн1щу 11 1676 1'. ко1·да тот уже сам прнш<.:л к открыт11ю д11ффе­ рt1-щи:u11,нпго ll интсгр ~uгьнш ·о нсч11сл<:н11я Лсйб11н11 со:тал исч11слснис бесконеч11 0 м:и1ых сонср111е111 ю 1 1 езап~кн мо от Ныо'l'Она н аернод между 167j и 1(,7() rr. На 11em llfXJ11 :l 11e- m1 бnJ11,11юе 1111е•~атле11ие математнчес1rnс ра­ бmъr Паскаля, в особенности то, как н од1Iой rо<ФР"' '''~"'~' 1 l\1·H(HIИL1. j
ю ~:~дач с 11\1()1\СД(;НЩ:М касате-1 1 ыюй он 11(.' I ЮЮ,­ зовал ·1 рtугол:.ьн ик обра:ю ваю 11,1й скоm, у1 ·одно i\laJIJ,JM l l UТ(X'ЗK~IMl l л:v, ду, лs (р 1 fl' ')) . )1,руr·~1 м JICf'() 1 IH/,J К( >М ,\•J;JTCi\1 ат1 IЧtC/(()1'0 IЩOXHOl~Ct-J 11н Лей6н1·11 \~~ был~~. как 01 1са,ч 11риз11:т:111. а1 1ат1- 'пf•1ес1<<tн п:оме· 1 р 11 н Де 1<аrта Н рабnт1,\ nалл~ \Cl 11 Мер1«1 торз о рндах. Уже в началt с1юей работы Лей611и 1 ~ вnёл термин «фу11 rщю1 » и ппдуч 11л р:1 зложе111 1 е ар1стJr 11 ·епса, а с его пом ощью - рпд п 111 - = 1--+- - -+ ". ,, .~57 11:.Jнt'c1 11 ы 1J 11ы11с !{:tк рн;t Jl616mщ:i . Тrеуп)J1ь- 1111к cu стuрш 1:1м11 ti\' . ф1, ilz (<·хаr:1ктср1tCП I' 1<.:­ сю1l1 ") 011 p :tCCMJTPI IH:IJJ как 1IJ IC'11'Y·\1CI JT но­ ('Т\Ю'.:111 rn .:ас1·1 с:;11 ы юй дня :-1ад<1 ч ca!\IOI'() 06щс1·() тщэ. С 1rомпщып :это1·0 Ж<:' треупшы11п<а Лсr'1 6- 111щ n 167:'> r. устано 1 111л для сrаспю1·0 случ~1 л n:~аим1ю пбrат11ый характер onep;щнlf. r 1 а ­ зв;1 пных им влос11сдстrш11 диффtреrщиrова ­ ннем '1 ш-псrриро 1~:лшем. В октнбре J675 r'. сдел;Шh! пер н ыс u1а1 ·н rJO COЗ/\ CIHl l IO H<.'ЧllCJI CHHH - Н J1YKШll ·I CЯX JICJ16 - ШЩa ПОННШНОТСН ОС! ЮННЫt: !IOHJ.!'l' HH , IШО/1ЯТСЯ ш1сr;~щш 11 симнолы . Н аконс1~. летоr-1 1(i77 1'. в от1~~те Ньют·ону на tго второе 1шс1->мо Леl161 1 ш\ СО()бщ11; 1 np:Jmrm1 щ.1ффеrс 1 ЩНJХ'J 11з r 111я прт1 з­ веде11ия (э пмешrо d(.л:у) =ycLY + .л:t{)') r1стс 11еп 11. а ~";lюке cпocofJ, пrнме~шя которы!'r 11ет нужды освобождаться от нрр;щи()нальпосте(f, ю1к это 1'\елалн математики прежде , а ~юж.но вро11:>.nо­ дить дифференцн:роnашrс пепосрсдс'1'всн1rо. :3дссь же впервые понвr тся тер,"1 r-ш ~;1"иффсrен- 1111:~лhное ур~1 ннсн11е ». Свш1 ре3уm>1·:1ты Леfrбн ин отrубт 1конал л ншь 1\ 16R41· 11<1 стра11и1~ах журнащ1 ~лс 1 <1 eп1ditoп.1111 » (•.ТJ1}Лht учf111.1 Х») А короткой стат1)е, 1ю·1·nр<1н 1fмtла. однако, ~11Югозна ч ителыюс 1 1а:шание: •Новый ~te-1·011 макс.имумоR и .мш rимумов. а так- J:."' в HOHOI-' 8рt' .\1Я Рнс 5. ,, Л,1р.1 ю ернt п1чеrк1 1 11 r p<'y1 11~"""""' (l()p,\ '()[! ,НЩЩt С ~..()ЛЬ VI IJЛI t{) !\\il.ЛM\l& i ;>TPP'lk '1M11 Л \ - t/.. , ЛI:['f.., ,\,= /С. же к;~сп l'JJI,ныx. для юл орого 1 1с служат пpLI 1ят­ стн 1 1<::у1 llH щ106111,1е, ШI llf)\)al~ЩHIЗ Jl\,H\\lC \\ё:Jlll ­ ЧJllТЫ , и ncnfiы{I /\Л Н ~T()J'() рпд llCЧTfCJlё: l t llЯ ·>. ~ осоf>ый рО,'\ исч11С.'1е1 1 1rя " - это, кmrecn ю, ;п 1 ф­ фсре11циалыюе исчисле1те. Лейбт 1 1щ пр1111од1 rт в ста·1ъс пrос1сi-1 шпе rrрав1ша ю1фферс1щ11ро­ иа11ия. устанавнива<:: 1· ра~.11ичис межну }.1:1кснмv­ ,\Ю .М Н \11-!HllMY\IOM f\/)J IH0/1 JI /(:ll:T Гlj): I Bll JI(! J\]IJI опрс:д<:ЛСННЯ TOЧKll lll'J1CI 11ба. с ЗТОГ() М()1\1СНТ(! н;~ч111-1а1:тся <>ф111~налы 1 ая 11стор11я .мшпе.мати­ '1~(-л-ого CIHtlЛU.ЗCI . Г1rклепукнц11е с1·0 ст;п, 1>11 . печзтаншнL~С)J в тnм iК<:' журпа; 1с с Lbl~() по 1(><)7 1·.. бы! IН 1юсня· щсны ра:щичным 11робле;,1ам ашu 1 н:{а. в ч:~ст­ I ЮСТ\1 нorrpoc~LM нrпerpaJir.IJ()ГO lfCЧllCJICHHЯ (этот Тt'рмиrт также nринад.rтеж1 п Лейбшщу). llanpнмcp. в ст~t·rъс l 6<J-1 г. уста1-~авщша;цсь свя::Jь между 111J·1 ·<.:гр;шом п 1 1 ро н звод1ю1·1. лрн ­ чём проИЗIЮ/ \Н~lЯ p:.tCCM:J 'J'PШ\;u1:1 cь К'11-> танl'L'НС ) гла t1аклон::1 к:1с:пс.г1ы юй к пен а6С"ц11сс. Jif lтледо11а 1111я Лсйбн1 1 1 \<! н .~нач И'l 't'лы 10!1 C'l't'· ненн 011ре11еннли ра:щ~-ннс метож,н анал11за R конт1111с11т<1Л ы-1 т1 Еnропе. Сре;1 1 I е1·0 1н >СЛеf(СJ11 ;1- телей 11 ~1:юнём 6ра·п1ен Ио1юп 1<1 н Яко():~ Ikpriyn- mт. Пьера На р и11ьошt и Гнйома l\e Лошпаля. ИДЕАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИК - ЛЕОНАРЛ ЭЙЛЕР XVI 11 о·ш 1е1· 11с - нCJ\OJtl' ИЙ щ;к l l pocv.l'1дcн11s1 меЖ/()' .~похамJJ жестокой 1r ~тсрпимости. Все­ го лшг11, :ia 111с:с1ъ 11е1· /\О рожления Лсон;~рн:.1 Эйжрэ ( 1707- 178.:3) u Бtр.rтн11с была пубт 1 ч- 1ю сожжст 1 ;1 П()Следшrя ве/(ЬМ~I- А ч<:ре:з ПJ tX"TTJ лет посяе его смер1и.тю1ыл'1 1уш1 Вел нЕан фран­ цузская ревоюотt11я . :')Й111.:ру 1ю~е\JЮ: он ро;~Ш\СЯ l~ ,Y1<1J1CllbKOЙ Т\ 1- ХОЙ fЛн6щар11и, куд:.1 сп вcci'r Евро 1 1ы пр1 1 е:i­ жалп м~1 стс:rа lJ уч~т1ыl'. нс желаш r 111t' тр:п ·1 н1, ,'\l);]1·оцет11юе нрсмн на 1·раж/~а11с1< 1 н:: смуты 11 ; 11 1 рслнгнозные расnри. Так нересслнлась в ero родной Базель Н'3 Гш1лшщш·1 сем~,я l)ерну;mн - упнкалъпое соэnсз,J.ие rrаучных талантт-1 по
9Н Ипория мэтематики Г.~ \t", \ b 1f)cllllO('lol 17 6 1 1 главе с братьямн Якобом н Иогашюм. Вокруг братьев Берпуллн с1юж11ло1 саь1ыl1 нр1шй ма­ те~tатичесю 111к ружок,11 на пnл1:1ска Ьазел1, ст:u1 треты•1м 1ю важности матсмат11ческ1 rм цен­ тром Европы 1 юслс ГL1р11жа 11 Лондона, где уже 11роцнстат1 акадt,\111 1 11 наук КаЖJ(ЫЙ l'O/J, J-1 кrуж ­ кс решалис~, трун11ыс 11 увJJеТ\<1телы1ыс :1адачт 1, а 1ш смену им пст<1ш1л1 1 новые . Поступиn n Базел~,ский утпшерситет, Эйлер слушал лс1щни Иоганна Бер нулли н подру жиле>~ с его сы1товьям11 - Ннколас:м н Дантш­ лом. Но когда учёнън: орлята ~юдросли, выяс11и- 1юсь, что 11 Швt"йц<1р1rи не хвап1т м<:::ста д1ш 11х собс_;·нсш tых 1·нс~щ. З:1то н далёкой Россш1 1ю замью1у Петра 1.и по проекту Лейбн1ща13 1724 r' был<t учреждена Пете рбургсю:~н А:к:щемня наук Русских учёных 11е хватало, и трое друз<::й - Леонард Эйл<::р и братья Да111 1 нл и Н111<олай Бер­ нулт 1 отпр<1 н илт 1сь Т)'да А поис~<ах с чае1ъя и на­ учн ых подвигов. Чем только не пришлось за11нматься Эйлеру на ноnом месте' Он обраб:пывал данные вес- )J\11:.0 'i))i"\..1 '. .'V\>i "'i\cf)~'1'-V1 ""-~"-~>'t:\''""' \ \'\ \\'lR:>f\~'°1':\ эrу 01 ромнvю р,1боrу в оди11очкv) . 0 1t расшнф· ровывал перехвас1е1шые ююстра 1 111ые д1111 1юма· 111чесю1с дсш:ш11 (оказалось. что с де1ш1фрой· кой м.атематики спр.шлmотся быстрее 11 лучше прочи,""< С1Jе1\налистон) . Он обучал .молодых мо· ряков вш.:ш ей м:1·1ема·1·ике, ;1с'1'роном 11н, а так· же о<.:11сшзм 1щр ~1 блсс·1·рое 1 1ии 11 упр:~Rлен11я гтарусным t:удном n 11п·ш1п 11 н буrю А <::щё со· ст::~илял т:абJ 11 щы. 11еобход 11мы<.: /(ЛЯ рJсчёта артню1ер1 rrrcrюrr стрельбы и табл rrr(Ы дmrА<еrшя Луны (ведь 11 щ1лы1ем 11лаваш ш Луна чаоо за­ меняла часы nри 011редслеш111 долготы) Только гс1шй мо1· 'Ja этнм11 трудам 11 не за­ быть о большой пауке Эйлер 11 был гсщ1ем З3 [ 1.J Лt.'Т сносr·о пср1ю1'0 прt:бысатu1я н Росош (1727- 1 7~111'1 '.) 0 11 ycщ:J I l[~IЩI C:l'IЪ 11еркы11 R мир е учеб ник 110 ·1·сщк·т11чсскоС1 механике
С.1 11~1 - flетерб)'Р' . Гравюр.1 XVlll в . (,llL" }'Чlf'l.h Жt: cтy;leJITOK 11() CJIOЖlll>l:vl l{JlllJ':.1~1 Ныто11а!) , а также курс м:пемат1rческо~'11raR11- 1a101111 1."11 югпе нр)'ГИС труды. Пт1сал Эйлер лег­ ко 11 быстро, простым н ПО!\ЯТ11ЫМ Я'\ЫКОМ . Сто:11.> же быстро он ouлaдc:n;v1 нопъщ11 языка­ м11. по nкуса кл11п:ратуре ш: имел. Матс~·1а11ша по1 ·1 ш1щmа нес Cl'O нрсмя н снnы. В 26 лет !'Э 1l лср~1 и:.~бралн росс1-11~1ски1'<1 :1каж:­ \1иком. а чсре:-1 носем1, J 1 ст 011 nсрсех:1л 11:.1 П е­ тt.:рG~·р1 ·~1 и Берт 1н. В чём /lсло? Тшr пко ч'ю за­ вt:ршшюсь [\<1рствt)В<1нrн.: Анны Иоан1-юш1ы, 11 во:юб1юн 11ла сь чсхарла днnр1ювь1 х псре1юро­ ·пж n11ш1 ко Эйлера Э'l'С) вnр>1мую l(e [\:JJ.:aлoct» ('l[JIT:l'l'l>OJ v JICMцe .\.'l» fl П етербур 1 е было безо­ П:!СlЮ 11 престшкrю, а учёньLх- немцеn ценили ш вес золот;~. 110 оп \1Же по•1увствоnал себя од- 1111,"1 пз с 1 1лънсйшrrх "'tатсматикоn Еnропы - 11 uдpyr заметил. что здесь CJ\1Y нс с ке,.-.1 па р:шных по1·онори1ъ о cnoc1~1 науке. Пrиезжая 11НОС1 р;.11-111;,~я ,\.IQJ IOftfЖf, 1IOBЗJX>CJit'ЩI 11 !lибо nu- IOll·ryлa д11 кую, п1 1 асную Россию, 111-1 60 погрязла в мелкоr:1 ·1екущсlr р:1nоте Л ncpRoe nоко11епнс уче11ых-росси~н сщё 111.: выросЛL> . (Вспомним, чтп ЛомпносrJ11 нахо;\ило1 'H>rl(a 11::1 учёбе 11 Теrмз11нн . ) Эйнер pe111111r переелатr, туда, где 1ш<~ш науч11ых J\искусснй был шшы111е. 011 яыбр:т Пср.1п111 - там молодоf1 король Фрнд­ р11х Il рсrш JЛ созд;~ть 1тау'-111 ый центр не слабее пар11жскоrо . J(1лср п роuсл к licp.11ш1c чет нерп, иска (с 17.с/ 1 по 1766 г.) и t:ЧИT<IJI э ПI ГО/\1•1 Jl}'ЧНIHM11 н своей ЖllЗllll. у 11е!'О ннонь ПOSШIUIOl'h МJЮГ() дру:1с~'1-~11 1С::r 1ых, в IIX ч11слс прсз1щснт Бср­ :1инск(н'1 акздемтт 11 аук ТТ1,ер Лу11 М()ро ;1е Мо­ nсртю1 '1 ( l 69R- l 7"59) Физ111< 11 rет·раф, n11 проnернл r·ипоте:зу Ныпто11а п сплюс11утостн зе,,нюгn 1u apa nn:.лe полюсоn. Л;1я этог() 011 пз ­ ·'н.:рял дт11 ry градус:~ мс:р1щаапа п Jlзплаr 1;щи. Новое время н то вреr"l.Н как е1·и коллеги выполняли ·1у же работу в Н1жной Амернке. Мопе1т1 юн решил n рсf\зойтн Н ью·гона, откр r.111 1ювый мэтемзти­ чесr<иii :>а rюн прнроды - приr-щ~ш наимень­ шего дейстr~ин, которы.11 выделяет трае.к-тории rеалыюrо [\nижепия тел (11а11ри:мср, 01<руж­ тюсть и параболу) из огромного множества rюобра:~им1,L~ траекторий. 11/\Сн Мопертюи была хороша, но её матс­ м ат11 ческ~н~ су 1ъ ок~~зал:кь оченп сложной, и нотрсбовалась помощь 3йж:ра. Тот понял, что нок1,1й закон относится к област11 иарl!~Lцtюн- 1-101·0 11L ч1 кления. Эfrлер coзr~aJ1 это 11счнсле1111<:: 11 1740-t 1т. Пр1шц11n М о1 к·ртюи стал пдн11м 11з 11ерnых 11рпложе11иl1 1 юnой 11аую1. К нему ·:iйJJ(~p сделал замечателr,ное добаuле1П1 е. 011 заметнл. ч'f'о естестnеrшыс мате.маттrческие услоиия ,/'\оn.ускают траектории не только м11 - 1шма ; 1 ыюго, 110 и максималыю1 ·0 дейстuия. Пращ\;\, в Mt'X<tliикe этн ,\ilаю.:vtмумы гючему-то нс 11аблl(щаютос но 1З 1~руг1х 06J1астях ф11з 1 1- ю 1- h-1·0т1ас1 ·' Д1)1'а; 1ка П 1111ера 11()/~TRcp/~1mac1,11t11.111, в кон­ це Л'Х 11•• кот;:~ ф11з11ки н<tчз;1и нзуча ·1ъ нера11- 1юнссныt' снстем 1.1. спосо(тые 11зме11н1ъ своё с1 тюеrше и з1ко11ы с1юеrо rюведс1111я. Ока:за­ ЛСКh, что '1 ::tкнс nерехо11.ы, nырзжаюm~н:-ся R и:~мснеш-ш СП!'-1мс.-триi 1 спстемы..ГJ)'lJШC nсего 01 t11сьmато·1 ся траектор11ями экстрс:малыюrо (n часпюсти, макснмалыюr ·о) дейс·1·ш1я. Эйш~р заm1мался самым11 разными проблс­ мамн. и почт11 нcx:r;ia - ус 11 еш110. Напрпмt'р, захотелось ему 11ере11ссти нее мет<щы м:~тема­ т1 1 чсско1·0 анат1 :i:1 на фу нкцни, за~н1сящ11с от ком1111t 1<сны>. ncpcмer1н1i1x , 11 он создал ·1 ·ео­ рню элементарных фу11к11ттй 1юмлщ·ксrюrо Пhtep Ау11 Мнро д.., \\0111ер 1KJll С)С)
Истприн м.1Т(:'МJ г и к~1 /\P(\H,1p t. ::1<t\<" P Пщ>1рр 1 1моu1ы ) X 1-1HЛM1tllH.1 С.еред1tна \Vlll в ll(:peмt'H!-101 '0. l lu 11 y1·нo К Ы ЯСНJ IJIOt:b. у 1() 1юк;1 - j;JТ(;'Jt1,н:н 1 фун1-щин (:-;кс1юн<..:нта) l l с 1 1 нусо11л:~ t.yrъ J\11<..: с."1011011ы ол.1 ro11 мt:лалн . Это пыража­ <:тся фо р .,tулой (! 11 = ('()~t+i'>i11t. которая гt:ок:.~зывас1 01 np11 по м ощ~( с1·ене1 шых рядоо llo коль скоро экспонента п сюrусоrща •'Сёстры.- , волткает з.tысчатt'лы-шя сннзь _,1tж­ ду •шслам 11 е (ос1юв;,~н11<..:\1 с:tм 1,1:< удобных :ю­ гаршрмов) J11t (OTШ.>JJJCIJJJL:.M ДJLJ JllЫ ОК!1УЖНО- ll\TRODUCTJO IN ANALTSIN 1NfJN J TORu~L 1. L 01'1ПJ\ RDO rut..FRO , . PrtfiJёn 'Rp BJ\a. OL ltffWSlt d 4lllitм1AI• ~-.ЮМ//llllfftlfJ !'J.Тa.OJ'OLIT41)tA . w.. r1\; 1,JlJ~'us AVS~"i N A ~w-J Al.t.t . t "t u 11 1"11-.нн1. 8<н1н~Dt 1 i. Si. .o.a. 100 L11!11< 1'!(J~1l~ "r''г r-1~tмuц 810 1 ~' '!l<IH!lt. 1 • - "''~ "." ....,1 ,,,.. •;• ,." .• •" ",1 ,." .." (>. ". ,,.""~,..,,~. t..lo 'f~~::-;:.1.::~:~··:~·::"""" 11 1, :~.~"" •_..__:._u.,:~.:'j . ... . lLl t yAt·ltt..lй Л"ll 11 nРрв.1 я (' TIJ<lHlllJJ kH111 ll Л .::1i1л1:!р,1 "Bu(!д(!ltltt! fi dtt,J ЛIH {H"'t. K Olt t"ЧHt'>IX "· 1;-4в , сп·1 к ; (11 ; 1 \1С1·μ~) Т lоскольк~ нррац1ю 1 1а:1шос1ь {;' )_(()К;1:·11,ш:1L:ТСН (. ран1-111 · 1·с; 11, н о 11pUL'1'U (уж очень }/(OUllhli'I рнл1-11/JI+l/21+ l/jl 1- l'XO[\lllCЯ 1< :')ТОМ} Чll СТ\' ). то, нal1l'[11-10l'. 'l 'OT же 11 )'1'1> 11[)11· вс,11ёт 11 1' /(0 1\;'JЗ3Te,11>t~I ну 1 1 ppa 1~I JO H <1Jlbl-IOCTLJ п О,11;1 rако. " пусть '\.1ОЛОЛ111 \" м ~п ел1:1 · 1~1ю1 одо.1с11п· эту дреш 11ою проблслrу. аЭйл(>ру cm111h1 ужедос­ таточrю ! Так рассуд1 1J 1 учёны!1 - н нс ош 11 6ся· в 1766 1·. Иога1111 l 'c 11 p 11x Jlзмберт нашёл до1<а­ J~1·1·с~11ьст 1ю 11ррац11ш 1алы юст~ 1 л . '!'о же бhlJIU с нсJ 111 кu!1 'l<:u p<..:мuf1 Фсрщ1 УсJ1ы111ав о 11cl1 . Эl~лср p<.:11111 J1сам носст:11юu11ть )r1pa ч l'111Joc: дока:~а'1·t:J1ьстно Вскu рс u11 11μ 11шt:л к ~ 1 <..:-1 оду cnyL к:с к.tк 11 Ф<.рм:1 Hl'\\lJ\1 p:1111,111t: (С,\1. статыо <- lk.-11 1кая т<:прс:ма Фc:pvi.J») llfIOHe· р1111 е1·0 длн п e 11t:11c-i1 ~ 11 1, ::Эi 111с:р (1бра'111лся к следующе."1У щюс1 сшуnою.i~Пс..:лю - '1 "1\т llCJ3· fl\1I0111 З<t'l'ру..:~.11ешш. 11 0 1l OCT,11Jll. I ' 'JTY Tt'M~ М()· .1(.)/\Ы~I I!LCЛC!\(Щ<ITC.1HM. В л:омстршr Эlпсра 1штсрссошJ11 1 11е столь· кu ноные ф.~ю ы. сколько общ 11 с тсоро1 ы щ: ую1~1;\ ыв:11011\нссн в 1ю 1 ·ма' 1 '11ку t:нк"111;щ fl<J· 11p l·J1'v1C p. ' 1l'орсма () Cl:SH ~Ш .Чt:ЛЩу Ч ll C!l:I Mll нt:р· l11HH , рё6t:р н 1р анс[j HЫII) KJlOI () ~ )) I Ol'Ol'paн- 111\Ka: R - Р -1 Г - 2. :'1т~· формулу J1ш1 l:Ще Деt<:1р·1, 110 llt'<X~1-:1 1111л L'fдoкэ :ЫTCJlhCTH:I :>111лер легко 11 з111ё.1 1 / \<Ж:вз·1·еJ1 1,с1 ·tю. а т ютом .1а1lумш1ся· еслп фор:v1ула t:npaвc11,.rrтrRa f\IOI 1 кел в1.111~клыл тс11, то ч&ё же своr1ство онз nьrр,1ж.1ет·, bl()жei б ыть. свойство сферы. в котор)1О можно 11е­ фор.м11ровать любой вытrу1<Лыi1 :многогр.uш r !К? Т01д:~ 1 ·р,1 н11 превратятся n «стра 111,1" , а рёбра - R «1ран1щы ». Есл 11 так. то формул,1 в 11ядш 1 <'пра- 1:1сдш 1в:1 /l.JlЯ "Ка рт·>, нансс(:н1-11,1х на дру1 ·ис ЗJ)t· КН~'ГЫ С ГIOHl'P'<l-l()CTI 1 R роде тор:1 llЛJJ кр<.: 11) \(;, IЯ llp0 11t'rкa Jl(Ж:1:1ала: /JЛЯ Hl'IШTOjlblX '· l\Э f' I " 1Щ тре п 1,1р;111<е1 11tе IЗ - Р + Г пр11н1:~маl'Т :111аче· 11 ие О. ~1 11::i 1<ре11де11е - :н1::tчtm1~ -2 Но t((Ж:I· ч ать эп1 равенств:~ ,'J/Hl всех rсзrт 1 1~111:11111111 s 1 ш­ нерх11остях ~)ИJ1ер пе су:v1ел п опят~. щ·та1111J1 рсшснпс проблс~1ы п о·юмкам . Удзча 11p11uuтa n l 89U-c lT к А11р11 I lу:шкщх:.. В l 766 1. Лсоп:1рд Эiш<..:р покинул ficp.rш11 [J ксрнулсSJ н Рuссшо. Новая россш1с1с1я 11мперэ· тр1111,<1 Пк:1·1 t:р111-1а lT . не мка n u 11ро11схождс1111ю. 1tpeJ \J l <JЖllJШ У' 1 ~1 IO:VJ) 1ораЗ[\О JIY ' 11111 н.: ~ СЛОВJ IЯ Жll Зllll, Ч (;,'v] TL', ЧТО пpL'/(OCTaHJIЯ!J CIIOJl!\I ;1 к:ще­ ~1111('1М ску11011.11ы1I и к:111р1 1~н1ыl1 Фр 1 щрш: 11. Надн италась старосп" JL()Э'I O ,\t) :)(1, 1 с-р co1·mt· силен. Тесrюс оащс 1-11 1 с с J 1 ,1у ч1101~1 м оJЮ/\ёжью е1·0 ~-же 11е увле1\;m о. Он хоте.'! усп"т1 , 11з1юж111ъ rra бумаге бесч11сле1 1 t 1ы е открьп 11н 11 .10ГJ.\КН
кото р1.1е осеш rлн с 1 ·0 в <-Золо'l}'ТО•> 6ерлшrску10 нору. Тружкnосuбность 11 1щох1 юnст 111 е э'Гоrо че.rювека поrа:m' 1 ·сльны: вес п:!уч1tыс жyr11::111h 1 Евро11ы 1юст<нн1 11 0 1н:ча· 1 · алJ 1 н оRые сп1·1ъ11 ~)йлсра, 11тем н t: менее.: м1 ro1·1rc t.:I' () труды так 11 1 1е ~1{11дсm 1 свет прн жнз111J :штора. Rc кopt· rroCJ tc 11t:pct':Щa в Пе-1 ·с:рбур1' учё 1 ют 1ю1х1:~11; 1а слt:потэ . liеукрот1 1 мый старс 1 ~ про­ ;1олж:~11 раб(У\':пь - J\11IO'OH3'\'n C'TaThll \'\ КННПI. Н так до caмolr смерти, rюторая пост1 т1а el'O т 77- м году жи:щп и 11а 16-м го:1у слепоты. За rою.1 пребьша ш ш Эйлера в россиi 1ской CI ОJШЦС вокруг HtTO выросла Ш::Т<.:рбур 1'СКШJ ма·1·с.•-~:-~т11чсская 1шшш1 , более ч с:.:м на п олот 1 ну сщто}jвшая ~в русею 1х учёных. Тогла ЖС' :~авс.::r­ uшлась 11)•6J11 1к;щ11я 1'J1ан1 юй с1·0 тrшлоr1 1 1 1 об 1 l овое врt>мя OCIJOB~IX диффсрС!П~lt<lJIЫЮ ГО н н11те 1 ·1х1лыю1 ·0 нсчисж:пия (no 11ей почт~ 1столетне уч11m 1сь ncc свро1н::йскис матем.:1тню1) . О11а выгодно от1ш­ чалась 11 от -. IJa<-1;ш,> Е11кл 1 ща.11 от <·М:.пе,\1:.1т11чс­ ск1 1х нач~ш шJ·1урат,ной фrmucuф 1 111 ~ 1 ! 1 .к>тона. Воз 11с; (я tw1poй 1юс зда н не ма·1·с.:ма· 1 ·11чес1<О1'0 аны- 1 1 11 з :1 от самого фущщмснта , nluн:p нс y6r~u1 т<.: леса н .11есп111цы , по кспорым <)Н сам 11:16нр~u1ся 1< с 1юнм О'l' l<j">ытиям. М 1 юп 1 е крас11ные н1>1·:щкн н 1 1~1чалы1ые r 1ле11 дока:1атсm,0·11 coxpa1Je11 1.1 11 тексте. несмотря 1 ra СО/l;Сржащ 11еся n т 1х ош116 - ю:1, - u поучение все.ч 1 1 аследш1кам Эйлеровой мыслн. lkрвый учебник, алрссова1шыf1 нс rю­ слс;~оnа·1·слям, а псслсдuliатсдям - тако1ю :.1аrк ­ щаш1с Лсuнарда ~)йт: ра и нссй :-:111охт1 Прuсвс ­ щсн1111 1 ·рядущим Нt'Ка .ч 11 11 арuд:.1м. XIX ВЕК: ОСВОЕНИЕ АБСТРАКТНОГО ОТКРЫТИЯ ГАУССА, АБЕJ\Я И ГAJ\УА Есл11 н ·1 ·еч.е1 шс 1\1НОп1х столетий алгебра за­ ннм;.~.11 ~н.ъ рсшеннс~1 уравнсш1 !'i , то в XL'\. в. ct l \l'JIЫO е1·алu 1 1зуче 1 1щ: <1JJL'<:6p:111ч<.:c1<11x струк­ тур. Этпт 1-ювый ур< >нt:нь аборак 1 ( 1 1и сш1 зан н нсрвую очередь с работам~ 1 1:1ет нщ1·0 нсмс:1 t- 1ш1·0 ,\1 а·1·с: •-:~:.~тrп<з К1 рла Фрнл. rн :-<а Г<t усе а ( 1777 - 1~')')).Его заJ1.1ечательныf1 тру;( "Лрнф­ щ:·шчссю"!с исс;1едон<tпия~. ()11у6лП\\()11<.1ш1ый n 1iIO1 l '. , ознаменовзл рожле 1 1 1 1е соnрсме111 юй •\l<l'fC,\.laTI 1КН. Га\·сс L1сслсдо 11ал зада~r, 11а;\ котороiТ труд11 - .11 ш.ъ 1.: щС ма·1·t ,чат11к11 Дре1шсl1 Грсц1ш: ка1<0с Кар., Фр..,дри\ Гаусс. ЧllCJIO стор он ,~ОЛЖС:Il ИМСТJ, 11рав1 IЛ Ы rыi1 Иl IО ­ ГО)ТОЛЬНJП;, чтобы el'O м ожпо бь1J10 п остр оить с помощью цнркулн и 1ш 1 1сйюL? Древние грск11 умели строttтъ М!ЮГОУL'ОJLЫШКН с чи.сно м сто­ рон 1. -1 . 5. 6, 8. 1О. 1). Uнн :шат 1также. спо. l l MCH 11ран1шы1ы1'1 MH< ) l'O)'ГOЛЫ 111K, Jlt.:l'K() уююн·1·1, ч11с1ю е1 о стnрон. А но:3 .ч ожно ш 1 пострш:111к· r(ирку:1ем 11 JIHllCl-fKOJI Mll(JJ 'O)TOЛЬI 11 11\ОН с 7. 9 , 1 l , 13 rтopnнa'Vlir' БОJ1ее ;tв:'х тыс}JсL л ет \1атс­ i\1:1 ·п1ю1 пс 111()\'Л\1 (Y\'\\CTHTl1 Щ) ЭТlУГ Т\011\)ОС. :Ю марта j7C)() 1'. , за МС СЯI UlO CllOCГO 19-J1 ет11Я, Г;~усс сл:сJ1ал о чеш. n;iж11)10 :~аш1с1 . 11 /(11ешшкс. Е.\1)" 'm:1Jюсь дсжаза·1ъ . что с по~ющыо цнрку11 я 11 лш1с~'1 ю1 строJiтся 11ранш1ы 1 ыiт 1 7 -у1·олы1ш;:. в '1'0 врС\1 Я юноша ГIOC'J')'llaJI R l 'ё'l"l 'llНl"CIJ CIOllf ун11нс1х1 1Т<."l' 11 tщ~ 11t рс11111;1, чс~1у 1юсннппъ ж11знr, - "1:1·1·смат11кс 11л11 ф11лшю11111 Uткры ­ т11с:, сня :!аннос с rrр:т11л1>11ым 1 7-у1 ·011 ы1111<ом , Oll[)CДC!IJ IJI() t: l'O RЫ6Ор 11 п щ н.:3у м:1тe'l1 : Пll l\l I. В "Лр11фме' 1· 11чt'сю1х 11СС.!1 елоR:11п1ях " Г: 1усс сформу.rтирон;-1 1 1 теорсJ1.1у: ес1111 /1 - 11р остос ч11с.11п 1111 - 1 = р,р2 ."р,. сст1, ра:~11ожс11J1е ч11сJ1а 11 - 1 11а простые м1юж11тсm1 , то рсшсr 1 1 1с ypJn нения х " - 1 = () своюттсл к рсшсттю /..~ урав­ нс1птr1 сп::ш~ш:й fJ 1, р:.· ".. Р1.:· В частностн , ссл11 1l - 1 = l"', уран~ ICIII!l' .'>.' 11 - 1 = uCBO/~ll'l'Cll к це­ почке кваJ1.rатных. ура1111сни~"t. /1,лн на1·ш1; 11юст1 1 11ринс1tём такоl1 11р11мср: 5 . ,j \ ' х - 1=(.У- l)(X +х +х-+х+1)=0. 10~
Ип·ория м<~т~матики IJIS•zl' IH1·10NH$ ARTTHMETICAE Ll,StAE ОТh'уда Х-\=()llЛH ·1>11у~ы1ы~1 \>11 1 nepвnro 111л.1ния ~11111 И К Ф l,tyll,I ~ Ap11cf>м~л 1чert1.11E-- 11tt л~·л/нs.111ия) Ле11щ111г l IIO 1 г. х1+х'+х!+х+ 1=О. Последнее ур:~ннснис ра:3J\с..:J1нм на х!· ' 11о x~+x+I+-+-~ х .,.~ Прои:теля- замену 11 3:tMCTИl'I, ЧТО 1 z=.:'(+- \:' ' ' 1 z-= x- +-,+1. ~·- "" nолучпм N!Я z ураu11е11ие z!+z- 1=О. ;\ /\ЛЯ .\' ИЗ (*) уравнснпс х~- z:\·+1=U. (*) Реше1111е уршше1шя х5 - 1 = () сксдснu к решс­ ш 1ю дnух квадрат1 1 ьLх ура1шсш 1 1-1 и o,1нu1·u m1- 11сt"пюго. Ypallнcю1t:х1-- 1=О('!'. с. 11- 1 = 2' 1 ) oю­ J\t 1тся к чстырl:м кн~щратным ур::т1 1 е11ням. и, слс­ донателыю, 1 1 rан1 1 1 1 ы1ыf1 1 7 -у(олы111к можно посчю 1 IТL с 1ю.vющью 1\1 1 ркулп 11 mrнсйю1. Гаусс дuкаэал. что в том случае, кut /\a ра зложснщ: ч11с: 1;L ll - 1 содержнт множ11тсл 1 1 , отличные от 2, ураnнс1-111сх" - 1 =О 1-н::m,Jя скесп 1 к1\епuч- 102 К<: квадратных урав11с.:ннi1. Л з11ачнт. 1 тевозмож­ r ю /l<.:J 1 <:1шe окружнuсти 11а 7. 1 1, l .l, 19 частеiJ. ~лр 1 1фмет11чссю н..: 1кслсдоn:.1 т1я" стат~ на­ сгш1 ы ю!1 KHI ll'UiJ M:1T<:M:JTI lKUll XlX 13. lkнь :щссь cn;~epжaЛIICb l l t: ТОЛl>КО }/рюн; pt::.iyJ IL>T3T bl , но 11 rю111,1!1 матс,1ат11чесю 1!1 ш 111ар:1 г нля нсслеяо­ nат 1 ия ат·еnра 1 1чсс~<11х урат-1с1шr1 llапомl!нм , ч ·1 ·0 сщё матема·1·11юt Дрепнего Междуречья р1ел11 решат~ , Юi:.tЩJ;tт11ые ур::11111е- 11ия, а в XVl н. n ИТ'JЛIJИ были 11::11\~е1 1 ы фор;ч~лы дт1 корней урш.з11е::1111й трс1ъеi1 н четвёрто1· 1 l-гt- 1 1 снt:1I. Пuщ:ю1 фор.,1ул /\ЛЯ ура1шеш 1 lr пятой < "l 'l'П<:н1 1 11 ньнщ; уснеха 11с нме;ш В l 77() г. фр:.1111tу:.кю111 .ча1·см;1т111< >Кспс.:ф Лу 11 Jlа1р;шж ( 1756-JRJ.)) к р:16оте •P:t:Jмыш;1еш1>1 об ;1л1·е6- ра 11 чl'с ком p<:LIJt: 1 1н1r у1х1 к11е1-1 1 1l1-> кр11т11 1 1t:.'ск11 псресмсп 'рел 1к<.: су11tеств) 1011t11t: мс.:тод1.1 [1<.:111t:- 1шя )1Xtm1e 1111!1 11ерnых че·1·ырfх c1·L:пe-11e1't, что­ бы ПOILЯTu, поче.v1у l lll o;t11 11 11.3 lll!X 11(; Г()/lllTOJ мя ур:.11ше1шй плтоi1 стеn~.;нн. Ла 1 р~шж н11ер­ выс рассматривал rруп11у подста110110 1-: корпсй ура.1шсrпн1 (см. статью ,, 1·ру1 1 nы » ), указа ~\, lJTO т~uрин IIOДCT;JJIO I IOK ЯНilЯСТСЯ <- l!C'l'l l НLIOiI ~ICT::t ­ фн:ШJ<OCI рсшсшrя ураннс1-111й». В J А24-1826 1·1 · молодой 11орnсжск111! учс- 11ыl1 Нш1ы: Хснр1 1 к Абст, ( 180l-ltiL9) .:~.uка­ :1ал, чтu 06щt:t'1 формуJ1ы J1,J1я р<:шсн11я ура11не- 11иl1 степсн11 11 :;;,. :; 11t сущсс·1·кует Лр11 это.\1 11екотпрые ур::ннrснпя \Ю1·р· бытh ре11н::111,1 11 радикалах.. а друп1е нет, n 182С) \',. 11<:::'\адолгп до свое i1 бе:шречс111ю1'1 смсртТI. Лnелr1 опуf>л111ю­ nал •Мемуа.р об ою-юм особом классе алrс6ра­ нчески разреuшмых ~'ра13не 1 шf1» . Н ьше 11х ва­ ·.~ываю1 :lf)слсны1,ш ур;ш11сшшм11. l louыe круш1ые отт<рыт1 ш u :.tJU"c6pc С/tелал моло:~;от·1 фр;шцузсю1й уч<.: 1 rы1'1 Эuарш"г Г;шуз
Нилы. Хенр11к Лоель . Memoir в l c t 6qr1ationJ at s~briques . , , ,. 6./ofi•\11!1'0 1 "roшi""'81• i•" 1tнt1.t." 4• rеч..-111.-.. ьblta'lir ф,, 01111(11!f11t•~<tl Ga r1•11tt\1& O• lir-1,,,., .1•" tlt••_ . l"H lftt,. « Ме"1уар об uл1 ю"' oco6o\t tUн-lrCP алг~орм 1ч<"ски f) rl iiJt'Шll\llol X YJJ~ 8H E'Hl111 Н Х: Аб""" И1л,1ние 1R24 г (1811- 1 ~ ."il) Развивая lЩCII лагра rrжа, Гаусса нАбt'!IЯ. 0 11 1юстаниJ1 и блесп1ще решил :заf(ачу о 'l'OM, KdK по ннл;у yp:iю-t('H l l}I .\· 11 +a1Xl/-I+."+ +{/" 1-' + а"= о 0 11рС/\СЛИТЬ, pcш~lC'f'CJI ЛJI оно н ра;1ю<ш 1::~х ('1. t . существует т1 форr-.1у;1~1 кор11tй да1 llIOГ() )1)аf111е11ш1 ). Д11н знm> 011 JШtЛ ГЮПЯ-ПIН лшш 11 rр~тmы по/~;ста1101ю1< 1юр 11е1:1 ура1111сrшя, те мешнощнх прав11лыю сп1р::щ1ю11алы1ьrх со­ отrюше1шi 1 между корнями~. cтanrmtt." oci юш rы­ ми в теории l 'алуа. Dнар11с1 Галуа пог11б н;~ ;~;уэл 11 n .Ю ж:'l. Свои рс:1ут.таты оп очень I<P<.11 ко из­ ложиJ1 11 ;1нух м с чуарах 1~ .-юг. и в mtеьмс. н ;111и­ rа1111ом н 1юч1, nc rк·1\ 1юс; 11шкuм. Потрсбонашкь дсопнJ 1 е1 · 11и , • 1 · 1·uбы тсорш1 Гал~'а ст:u1а 1юняп1 а м:пt::матш<ам. О нt.:й рас­ rказ;v1 в 187() 1· фран11узск~ нl уч~11ы~'1 Кам11m> Н овое время Жuрдан в «Трактате о 11 0/\С'rанов ка х 11 алгеб рз - 11чсс1шх ур:1внснш1х->. 1Jo м~рс то1·0 как н ;m1·сб­ ре происхо,п;r 11ги нзмснсн11J-1 . с11з 1iа Г:туз росла. В 18SЧ 1 а111 m1i1cю п'i мзте м атик Лрту[> Кэли ( 1821 - 189'5) ; 1ш1 общtt' опредслсшн.: 1·руппы как конечного м 1 10жес·1 ва объе ктов пр оиз - 1юлыюй природы с :-iaj\a1 11 1ым за ко 11ом 1<ом­ nо:J1щ1нт, который удовл етво ря ет услониям ассоц~rат1rnностн, С) ществоваr шя е;пrю1цы 11 од11о:шач11 ой ра з ре11111мости уравш.'11нй а.\= /J, J'CI. = /? ДдЯ ЛЮбЬL'{ С/ И lJ. [-{ 18<)8 1' l!С.МеЦI<НЙ учёнш'1 Генр11х Вебер (1842 - 1 У 1 5) ссl.ЮРМ)'ЛИ­ rюкзл :JКСИШ,\:JТl-1 Чt'CKU{; 01 1() l'ДеЛСН1 lC 1'/)УП IJ Ы , Создатсл "1 теор~ 111 гру пп исходиш1 из про­ блемы раэреш1 ~мости в ради кал.ах ат·сnранчс­ с1ю1 -с> урав11<::ННЯ 11 1•1 :ЗУЧ~IЛ11 J'Л;HlllЫM оnр<~:юм rpy11111.1 1юд<.та11()пок еп) кор11сй. Те 11 е р1) же группы 11грают ~цжr1е1~1шую роль тю ч1ю 1 ·н х областн.х Шl)lШ: fl тепр 11н /Щ ффереrщнальных уравнений (rpynпi...i Jlи). н фи:щкс (группа Л о­ ре~-ща), в геометрии (rр-у 1шы прсобразонаt111fi). «ВООБРАЖАЕМ ЫЕ » ГЕОМЕТРИИ И·1ак. в x rx Г!. ~1лп.:бр<1 нес 60JIЫ lle ;1 бс грап1ро­ наJ 1 :1СI> от 1 1р11 г:нщ1,1 н:.!учз см ых оnъе1пов. CтoJrh же p eu<>JllOl\l lOJ ll l l1IC ll:iMCHC!ll IH llj)Ol ICXOДJtJll 111 n гсомстрт1. 0 1111 с11я:з:-~1-11,1 с JТ\1er1:iм11 К Ф. Га­ уссз, Н. И. Ло6ачеrsсJ<сн о, Я БолLяя 11 Б. Р11ма 1 1:1 (см. статыо « Гео.метрIIя Лобачсвс~со1 о"). Jlocлc того ка1< n 111 в. до 1r. .:> Евю1нл т1зло ­ жи 11 CIJC'I сму ;!!\СНОМ rеомстр11 11 , Hl11 1.\1:tl1Ht: учi..' ны х 1~ '1 '(.' ЧСI ШС MHOГllX CTOJ I C'J.'llЙ было 11~1 111хшлс1-rо на : 1кс110м у о 11араJUlслы-н,1х , кuторую назhrваю·1таюке1шт1>Jл.t 1rос1ула·tом. 01.1 ,11:J 11 :J et.'
И<..тор11я мdТt'мд ·1 ики фор_муm1ронок зnучнт так через точку Al, лежа­ щую J:\1-H: прнмол АВ, н 11лоскос'1·и АВМ можно пронсс1·н толыш одну нрямую, параллелы 1 уюА.Н Ма·1·с.\1а· 1·11 ю·1 е~ремндись либо за_11>1снить акс1ю­ _\1у () пaraлЛt'Jll,HЫX ООЛС:С 11рОСТОЙ , И11'1 ')'ИТНА I Ю яс1 юй , ли()о /(01<a:Jaтr> её как теорему, 011и р:шсп H;J ЛРУ l 'Иt аКСИО :\1 1 >( <- НЗЧЭJI·>, nри этом 1шлот1, до Х1Х к 11икrо пе С()М11енался 1 ш r. \К' 1·и~шост11 П>fТОГО постулат~~ . ни в том , <ПО СlЗЮlИДОRа геометрия C}\ИllCTUeIIIIO UO:ЗMOЖii<lH. JIИ п том, <по orra ошкьшает реалы 1 ыi1 фи:шчсский мпр. Гаусс обратился к теорш1 rrа раллеJ 1ьн ых в 1792 1'. С11а•1щ 1 а он напе suн:я 1\(Жазать 1 ш 1нй тюстулат. но зэтсм нrи111ёJ1кмыСJ11 1 о1юсr· рос­ н 1 111 11овuй 1 ·соме;:тр1111. которую на:тал Нt'ев­ кл1щово.й. Н 18 ! 7 1· в щ1ном и:r гrнсем учfныl1 11р11:.шался : «Я 11 рнхожу всё 60J1et к убсж;\е1н110, что пеобходимосJЪ пашсr:-1 1 ·еомстр 11и нс мо ­ жет быть доказана». Во обнародоватъ эти идеи он не репптся и:! боязни быт ь петтонятым. l·aycc не опублнхонал ш-1 один из сuои:х резуль­ татов. хо·1·н 11:{ его n11ct.\t и личных бума~· нпДiю, что он ра:чх1бо·1·ал оснонныt: положения нt:ен ­ юш;.1овой 1·ео метr 1 1 и. Т1юр 1 ~ам1·1 новой п.:ометрнн ст:ши также 11ро­ фсссор Ю1з:1нск01 ·0yr 11-rнсрс~п·t:та Н нкощ1:й Ивэ­ но1mч Лобзчt:пскш'r ( 1792- 18">(>) п Нt:t·11 ·ерский мате1щ1 тик Я-110 11 1 Болынl (Бой~ш) ( 1802- 186()). R отш1-с.11 1 е от Гаусса они стремились рзсnро­ стра11нт1, свои идеи, 110 болы 11 ннство матема - 111ков тогда сщё не были Ротоны irx воспритшть. Рсзудьтаты Я нош~1 Болыrя бьши сжато изло ­ жены в 18.52 г. Е пршюжснии к ю.шгс с1·0 отца, Ф;1ркаш;1 Болыш. Тру;\ Н. Бол.ьш1 " Гlршюж.снис, содсрж:~щеt: науку о 11ространстrк: , абсо;uотно l l("ITll-11l)'IO, НС З:llШCЯll\)'IO O'L' IКТИННРСТГI llJlll :южности X l акс 1 юм1>1 FRКJ1нда ( ч тп а p1·iu1·i н1 L1'n1лa рс:ше1 1 0 OhlТ I > 11t: может)» обыч1 ю KPJ'l- кo 11:ззы11ают «Аnпе 1 щш<с,, (.1шт. <·прш1ожстr11е»). Прочпт;~н это соч1 1 1 1е1шс, Г;~усс натп r сал cnoe- " f)' учешrку. мат<::мат~rку Герли:шу: "Я считаю MOJIOДOI о r<::OMe'I ра фон UOflbllЯ ГСI 111ем псрно1'1 nеш 1чины». О1111а 1ю н шк1.ме к Ф. БоJ1ьшо оп ото:шался о соч1шс111ш Яноша l'оразлu сдt:р ­ жанн<:t>: <ТСГlt'рь кос- 1 1 то о работе Tl:IOCJ'() <.'ЬLIOJ.. Есю1 Jr начну с того, 11то ;j'r ·y ра6оту нс д01 1жсн XH:tЛllTh, ТО ТЫ. КСН-IСЧНО, Jl:t Ml'HOl:Sl:ll l fC 11О[><l­ ЗJIШЬСЯ, ни /Jl l aчe н не М(IГ)'; XH::tJlll'IЪ сё 3 11 ач111ю бы хнал~пь с:11vю1·0 с.:сбн· uсё t:ОJ\ержа11нс сочи - 11еtл1я. н уть, по l(CYIO[)OMY 'ПЮЙ Cbll l 1 юmёл, 11 ре:-1ульта1ъ1. которые 01 1получил, п очтн сплоm1, со впадают с моими собст13е 1 п л .1м11 достнжени- 1()4 ЯM l l, которые ЧЖ"ПIЧНО нмсют ДШ31ЮСТЬ 30- ~') Л<:'! "'· l le IJ;JЙ)\Я IIOДf\Cj)ЖКll у СОRрс:мс 1 !H l lKOB, Я. Больяй 11ерсстал эа 111t,\~аться м: 1 ·1·ем:УJ 1rкul1 . Оп ) J\1cp н СОС'l'ОШ 11111 1 ·лубок<11'1 / (спрс.:ссн11 ;;1 несколько лет д< >TO l'O, как нсевr<.rrндона 1·еомст­ р1 1 я nо.1 1 у'Ч1 1ла 1кео!1щсе t1рнзнз 1 11rе. Лобаче11ский н~ 1ерные 011убт1кп11а11 рс:1ут,­ таты своих 1·еомстрнческих 1кслсдоиаш1й 11 1829 г. в работе «О 11ачалах геометрии» . Зате~1 0 11 ра:ш 1 ш;v1 ::>111 ИftCH во M I IOJ'ШC трудах, IIЗДll ­ вan u11 rхся нс только rш русском . но 11 н~1 фран­ цу:кком 11 11t'мсцком я::~ыках. Учены~-1 смс1ю 11ис1л о тuм, что тrарн/\У с 1·сомстр 1 1с(r Е1:1юп1;(;.1 cyr1(cL~r· кyt'т нру1 ·ая 1 ·t'uмстр1 1 я. кm·оrую он 11э­ з.1:1ал вuображаt'мой . Jl11шь 01 1 ыт, счнтал 0 11. ~ю­ жст rеш HTl1. Ка К;lЯ 113 1·еомеrри 11 J HvJC:tT MeC"IO В ре:.tльном 1 ~ростра1 1 c1·uc. Птъ1й пооу.1 1 ат Евклида Лобачево:11й аа­ мt>шщ следу10щ11м: сели дана прнмая AIJ н LLe лежащая ШI IICЙ ТОЧI<а Ji, '!'О LJCpcз точку .ни плоскости AH,\J можн о провести две nряь·LЫС. пара1 111слы1ьн.:АВ. Ilринсдf.м 1 1ссколько тсuрсм 1 ·сометр1н 1 J10\1ачснсю..J1·{): Сумма у1·1юн трсу1 ·олы-1 1 1ка меJ 1 ы11с J8()0 Она 11ЗМl'1 1 я<::тся пр11 псрсхо;~е от од1юго тр~уголь- 11ика 1с другому Не существует 1111 o,r\rюi"i нaphl 1юдо61щх треуr·олы п1 ков. Нс через каждые три то<1ю1. 11с лежащпе 11а прям.ой, можно провести окрулшостъ. Не Сущсст~ует IIИ одного ттрш,юуголышка. DOOBPд,/ltAI:M A.Я :1!} Г Е О МЕТРlЯ. \'/ Т11Тум.нt.1 и \~IL-Г Ktllll JI 1-1 И. Л<!б,JЧt-'R • 1,111< 1 , Воо бр.:~ж.1t· ,4,151 1etJMl'l р11я ' K<13d1t1, 1835 г.
:7 ·1 ·11 у·1·ш·рж;1сню1 к:.~ :~ат1сп сощJсмс::н 1 111кам ст11~ш1тыми , Не",Jн.:п 1.1ми Круr1не 1~ш1ие "1й.Тt:М<Уп1- ки Росс1111 - М. R. Оt-1ро1радсю1й и В. Я f)ут1- к<>nскнй выс1·}"Пи;1п нрот~.ш 1ю 1юй rе()ме·1 р 1111 . Кр11п1 •1еоюе (1Т1 юнн::1111е r<o1mcr несщ),,1ило Ло­ баrrенского. J kнзирая на отрицатею,11ыс per(e11 - з111i , 11жмешк11 , о н продо11жал и<.:сж:,!\оваш1я . LJoc;1c С\1ерп1 Гаусса были 11зданы n11сьма, в которых 011 н:;лагзл с 1юн нз1·яяr~ы н а нсевюн r- дову гео метрию 11 тюсторжсн1ш п1зын;11 1 ся о со ч1111сюшхЛ06ачснско1 ·0. Н:.~лрнмср, н I R·16 1'. Г'~l)'С:.:С' 111 ICШI OДf I01\.l)' И:1 ЩJузс 1'1: «Ло()аче 11L1\J 11'1 тш1кус·1 · о 11редм сте r<ак :н1атrж , в 1rст1 1 1 11 ю 1·ео:v~етричсошм ;1уле. Я с ч11'1:но ссб>1 of> >1 :1a11- 111.r :v1 06рапп1, Uавн.: в 1 rима1111е ш1 юш 1у "Гео ­ метр11чесю 1 е нсследоnаrшл rю теор1п 1 парал ­ лелы1ых 1ш1111i1 ", чтс11 1 к· которой нспремсшю при11еl'fт ~ам бол1>111ос )'ДOIIOЛl>C.'TBHt"» . !jш1ч '.нн; 11е<::1Sкп~щока !'<.:'Оме1·р 1щ ю1 зан:1сь <.:IOIJ IIO!I. к ко·1·оrо11 ОПl'LС:!Н фа Н'J'~I СТИЧ<.:С.КI 1й м 11 р. Где 11р11мсюн:тси эта 1 ·<.:u мстрин?Нt: содt.:ржнт ли 0 11:~ nро·1· 11 rюрtчи11? Творцы нoun il t·сомt:три11 счm ·<1т1, что ма·1ема1't1чесю1 е :1 бс1·ракцт111олж- 1 tьr выражать реалып,те свойства окружающего '111ра. 11 на ()стющ11ша опытов 11ал.еялись отв<:> 11-пъ на ноnрос. к:шона rеометрш1 фн:шческоп) простр;111С'111а. Лобачевский, н.нтример, запялся неnосрс11ствс 1111ым измерением «космУ1 чссю1х трсугольн 1 ткоn», раL'сч11тьшан с: IГО.\Ющr,ю дан ­ f{ЬJХ ;1стршюм11н 1 юказа ·1 ъ, что cy~'<ta 11х уиюн не р:шн~1 18()0 , 0;\н~ко вп;: сп·юю11с1·111 я 1У1 1R0° окд;1J11 1 сь R J1рсдслах точнпст11 11<1блюде н11й . Toma учё1:-1h1й выска :1;u r пре11полож<.:1111е, чтn tто 1сометр11я ()JJ11c1,inae1 · м 11 кром1 1р. Впоследст1шп мате,,,.1а·1·r 1 rп1 рс1111rm1 11р<1бле­ му 1штерттре:тацш1 t1еевюп1д01кн't rеометр1-1 11 , а ф11зr r ю1 ш: попыовали сё рсзулы·аты в своих псслсдоnа11инх. И что примсчатслыю, н осно­ ве ~ювых ндс~: 1 лежал;~ теория повсрхrюстсf 1, сuзда11 11ая Гауссом. l'aycC .\ltfl(JГU JICT :;al-IIJMaЛCH l 'l'OДC:J ! l <:'(J: пro­ JIO/(llЛ 1'соr~с.ш ч ескую съёмку Ганновt.:rско1·0 корош:rктн:.1, 11:~м<2рял )~у!')' мL:р1щи:111:1. ()1-1 прга - 1111зовh шал rюлспыс 11змерс11ня. сам и 11ох ~rча­ ствоu:lл, выrют1ял трудоёмюrе иыч11слtю1я. В рс:-~улптатс 0 11 ()'r·крыл 1ювыl1 ра~щсл мэ·1 ·сJ\1:1 - ш 1ш - шrу~рс11111ою гсо.-.-rстршо понерл1 юстей. l\ 1828 1'. Гаусс оtrубюпювал «Об щие нссле7'О­ вання о кривых nоверхлостях~ . где 1.1 11срвые бьuю введено п о11ятис 1·ауссовой криnн:шы . Исслсдо ванил ravcca нротщлжилФсрдш rанд Гu1·;1н601щч М11ню~111, ( 1H06-1RH5). ро<тн~1- Houoc uрсмн ,Аь_ EDJ(!! J\111 хаил Н;н 11лы11-нtч ()п рогралс ~•111 . cюrfr м;1тсматн1< , нс:мец по пронсхождешно. работ;~вшю1 вДсрnт<.' (пы1 1 е Та рту). Оп 11эучил IIOIIHTИ<.: К\)ИВИ:3НЫ П()BCpxrIOl."IЪ , крини::.ш',l К()­ торо 1'1 р:шн;~ н~·лю, сс· 1 ъ простая 111111 11Jо 1 ·нутан НJIC)CKUC'l'I>. Jloнt.:pXHOC'IЪ. KJ1 J I HJ 1 :н1;.1 KU'l' l )j.)OЙ ПL>CJ 'O}l l IJ l a J 1 ПOJIOЖ1ITC:J!l1H:! , МС)ЖС'I' nЫ'ГЬ H;JJl(J- Жt:H:.1 11<1 111:.ip. М1 1 н;(111 11" рассмотрсJ1 по11tрл ­ ЕЮС'LЪ 11oc1·mr~11 юй отр11ttа'L'е; 1 ы1ой крr-11шз1н.1 - так щ1зыnаемую псс: н,~осферу - 11 11 а1 11 ел трп - 1·01ю:мс·1·р11чеl.'ю1<.: соотщ)111сн11я н т р еу гол:u­ r 1 ию1х на этой поверхностн. Юtк сжазалось, Лобачсвскrrй в юшге f Нооб­ р:,~жас .м ;:~.я геометрия " вынел ,~ля чху1·ол ы шков те же с:tмыс трагиномстрr :1 ческис формулы , что 11 Ми1-1днв1 · д;1s1 треу 1·0J 1ы~нксщ на 11сt1»дщ:фсре. tlo <:JJ aчa11:i \'Чtныс не Jа.щ~н1л11 Э'1 ш·о сон11аде­ ння . Чсрс:~ ~·;1-юr·о Jll"I . н 1!'36R 1·, н:1 11<.:1·0 1 >6рат11л 11н нман 11с 11·1·а,1ыrнск11 !'1 мзтсматнк Э\·дж<.:111 ю Rem»r'J):iмн ( 1R~-1- 1900) 11 /(O /\a :1aJJ . чтn l'COM e"l - pr1н orpa11 11 ч<.:111 ю lr ч:~п· н 11лоскос"1· 11 Лоб;~ч<.:1{· оюго спраиедт 1щ1 ;~ля rю::n;1осфер1 ,, Р:1:тык11с · ~шя , да11 11ыс Белътра;ч 1 1, помоr'JIП поr1~п 1. п лрн :нr:пъ 11есuктпщоR\' J ·ео метршо. fkp11xapд Рт'rматr ( 1826- 1Н66), матс\1а1т1к 1 1 з Гt'рм;шлт1 , перстёл от IJ зучс:r шл 1юверх1юстеi1 l\ JI C:.:CЛCД(JВ:Шl l IO rrpocтp a!ICTB. В J IIOJH: Н)-1 1 1'. ~ ['ёт 1·1н 1 н~1кком у 111н~чхнтt"1·1;: 13 r1 р 1 к~"1·с1·1ш11 Гаусса он лроч11·гал л<.:кц 11ю ,. о 1·111ю·1 <.::JаХ, 1 1 с­ жащ JJ х в ос111 >ва1 1 1111 1т uмtтр 1111". Глу6окис 11 смел ые \llЫCJ llJ P 1 1мat-1:t. 1 1зложенн ы е очt.:1-1ь сж:~­ тп, соврt'ме11J1ию1HnL·np 1 п 1н 1111 11 е сра:зу. Лскц11н была опубл11ков:.ша 11ш111, в l~bl~ г" 1юсж~ с1 0 смер·1' 11 . 1lонят11е кр1ш 1 1:111 1 .1 пр оп· ра 11 ст11а у Рнма11а - это обобщсшн: л.1уссо 1юlr кри­ в 11 3ньr д.11я п о uсрх.rюсти. Обращепне кr 1 in11зr1ы в .н ут, во нсех точ:ках характсрн:3ует е 13кл11до11u 1()5
л!Jъ. & l(!J Исrория математ ики простр:.~н<:тво. Гt:OJ\tC'tp11я двущ.·р 11 01·r> 11110стра 11 - сг к ,1 <.: rюt•1·о н111 юй п олож .1-пе11 ы ю11 крнпн з 1 юi'i сов1 [;1;щt"J' с 1 ·eaмt.:·rr11eil 11а сфере, а гео .v~етрrтя 111юс1 р:11тс тn:1 с 1юстояшюй отриr~ател ы юй 1<р11щп1юй - с 1·епмстrией. Лоба ,1 евс1ш rо. Открытня Гаусса,Лобачеnскоrо. Рамана з 11а­ ме 1 юкш11 собой реuолю11ию в о6ш~стн чсловс­ ческоr1 мъкли - nрсобраэованн<.: ф11знчесю 1 х воззрс1111й на 11ространство и нрс~tя Уже R н а­ чале хх: в. в · 1рула,'< А. Эйнштейна, А Пуанкаре, 1'. М111-1ковско 1 ·0 6ь1J1а со:щ:ша с r1сц~1ат,ная тео­ рш1 O'l'llOCI LTCJI 1.11ости, а та кжс уст:н IOBJJCHa сё с кюь с 1 ·с< >:-..1стрl1сй Лобачснскою. R 191 6 1·. ~й 11 - ппсй 11 1юс1·ронл ОU Щ)'Ю теорию OTI IOCI ITCЛ!J ­ HOCTl I, OCIIORЫЩlЯCI• 11(1 работах Гауссl! о югут ­ ре 111 1ei"i гео!'vlетрин nоF1срх11остей п нсполь:зун '1 ;-~тем:~.т11ческшl :1 пттар:п 1 ·еоV[етрш1 P11Jv1ai1:1 . « ЭР/\АНГЕНСКАЯ ПРОГРАММА » К/\ЕЙНА Ещi:: 11 f~ре1шс!1 Грс1~1111 была 11:3 11сст11а сфср11- чсо-:~н11·coмC'lptiя, к юлороr1 пр111Ю)\m1и з;.ща ­ ЧIJ астро 1 юм1 1н . Состаuле11ие 1·еографичtс1<11л кзрт трсбоn;uто 11а~'1т1 1 сnосо6ы о·~оnражсшп'1 ,-.Jm 1и11 соп1'а [ l a JJJюскость. Художшпш. архнтек­ ·юр 1.1. 1шже1 rеры ра:~рабатын<lЛи правш1а 11ер­ спскпrны. II 1822 г. Жа1 [ l31 жrop По11сс:ле ( 1788- t 867). фрапцузскш'1 матс~1атпк 11 1шжс11 ер , опубшшовап •Тра ктат о t 1 μ0<.:к· 11 ш 1т ых сно1'1- ств,1х фи1 ·ур;; Он 11сслсно1~ал сtю iкт ва , • 11сна­ ру111:1см ы с 11р1 -1 11роскт11rонанr ги ~ . Нс1ю. что ;\J llJНЫ IJ )'l 'Jrh1 н 11роскц нн ,\ Hl' COX (X!IНllOTCЯ , но 'l'ОЧКН , ЛСЖ~Ш\И (.' на OДHOII примой. Ta t-. :OH1>1'\1( 1 1-1 (1ста10тся . t 1 ересекающ11 ео1 1 1рямыс ос'1·аюто1 1U6 нсрссскаю щимис:я . Та.к во::!н11кла 11дс:я щх:ледо· наТh с войс:тва ф111ур. 1111 на р11а11тньк: (Нl'llЗ\\СН­ ные) опюс11п:л 1t110 проскт11ров:11-1 11н. После та1·0 ка1< fi ыло rюказ:шп. что rt.:омст· р111'1 Е11кл 11да 11 Лоfiаче11оюгп ран ~ 10nр<11111ы, на· :1рел:1 псобход1 l\IOC'l 'I• }\:1т1 , кл:1сс 11 ф1 11<ац1 1ю всех сущсствующ11 х 1 ·ет.,1С1]1Ичесю 1 х 01Стем. Эту за· да ч у реш 11л 11еме1 1 1сий матсма1r1к Фел11кс l<лей11 (18-J.9 - 192')) _ Сво 1 J иыс1ш l{лci-111 выск~1:1ал в 1872 г Вету· нан н должпость 11рофессора Эрла н1 ·l' 11 с:кого ун11ш:рс11тс..:та. о н 1 1рочнт:ш J [скц11ю •Cpaнш1- 't'l'J1hl юс обu::!рс..:1-1 11 (:' 11онейш11х J 'COM t"Г(1 11ЧCCIO-L\ 1 н:слс1tован1 11~1Q. н з:нестн~·ю п о; ~ 11а~{н~11111ем ~?1р­ т1н1 ·с1 1 ск:н1 11р о1·рамма-> . По Клс1111у, ;1л н 11ос1рпеп1 1я ·1иi1 11J111 1111oi'I r·ео метр1111 1 1уж1ю1адзть м11ожесmо эле~1е 11тов 11 I 'py1111y прео6 разон:~. 1 1нi1. Задач:J I·еометр1ш состоит в пзучеш ш тех от11 оше1111i1 чежду эле­ мепта.ч11, которые остаютс.н 1111 nариа11т11ы\111 np11 всех прсобразован1 шх J \анно~'1 групны. lla· нр11м1:·р. rCO);It~тp11111i НЮ\Н/\а нзучае1"t l' l'JIOf1erna фн1ур. которы<.' остаются н с:: 11 :1мс111 1 ы,ч1 1 11р11 ДKHЖCHllИ. llo CCTh 11 друтне НllДЫ ll'(),\lll'Tp11чe­ CKИ X rrpcofipa ~ю.1:1:11-11 111. ко1 1фоrмны<.:, нt:прерын· Н111t:. т 111сr1ныс 11 т. д В 1<n11формно11 1 ·еомет· rнн1 н сслс1tуются 11реоб ра:юпа 1111я , которые 11ерсВОf1.ЯТ кру1 ·11 н "РУПI и сохрт 1я ют~тт,1. То­ поло 1·ия ~1 зучаст вепрерыn11ыс преобразооа- 11ш1, аффшш:~.я 1·еомстр11я - m 111cf1m,1c nрсоб· разоn анин. Клс1'i1 1 :i:tмcпur. чта свюшдовы дш1жс1-U 1я, nрсо6р:t:юван 1 rн ПО/\О61щ аффuн- 11ые . 11роскпшньн:.:. кuнформ11ыс врсuбра:юва· 1-11 Ш 11 1 IC<::HIO ll1/\UllЫ /\ Ш IЖC HJ IЯ оnр~1:1уют 1руr111ы, eCЛL I C ЧlfT;ITh 11\)0ll ЗKl:[\Clllll'M нвух 11рсuбра:Ю· в;~ ннi1 результат п ос11е,.ща::~т~.:лыю1·СJ 111.ню1111е· 11ня да1-Jных пр~::обrазонат1й. Про 1рамl\1а Клей11а осущсс1111 1J1а 1ю1Jыi1с1111· 1·е;1 l!Л гсбры. 111·еометрпп. та1< ч·1·0 в ХХ в. 11за11· !IIOЩIOI 111 IOIOllelП l l: этих ДlJСl\1111ЛИ11 стало ещё более ГЛУбОI<ИМ. Ра3работанпая Кле.\1 нам 1'лас:с 11фнкацил 1 ·со.метрщl пс BКJIIOY.:IJI;.! в l't:бя ф\'Н)J.:t~IСН'1'<1ЛЪ· ные и11еи Римана. Кле йн 11:.1~ LitlJl 1·pyt1 11f,1 1 1 рсо~ ра~юн:н шй . Рнма н же в1 це.1 1 цс; 1 h 1·со,1етrю11 в н :{уЧtННН 11 po<.T(1:llfCTll. 1-l :! ОС Н< ШС Cl'O щ:следО· ван11й в хх li . н 1\1атс:щ1•пщу l lOШJll 1M<:'l'p l·I Чl'C KllC и·1 ·n1 ю1юп-1чсс 1<не 11 рпстра11ства, l1ш 1 C()1Jtan фу11ю1т1011:1111.11ыil ан ;.1л11.1 - ра;щел мат~ чаш­ ю1. n 1<0торn,,1 о(i()(>щаются ос 1 юн~тые операцmJ ;\1 атема ти чсского анализа: прсf(сльпые пере­ хо,11ы, д11ффере 1 ЩfJ ponaп11с. ш 1те 1·р 11ро11анrr~
Новое оремя НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ !lтшлай Ип:11rо~пч Ло6;;1че13с1щi1 родrшся п l 7<)2 1'. 1 iнж1т~м ! lон1·ородс. Ко1·да .м;шъч1 шу б1>uю дс: 1ш·1ъ лет. <..:с м ьн лерL'ехала в K:1Ja1Ih. Здt.:сJ, ll1 1 кo11a>J u 1 1pe;te_1 11 1л1 r в r ·11м 1r :1:н1ю <·На ка~Снныr'1 сч<:т·· R 1R07 г. \ L\-, 1t:'1·1 11 н1 1-\ 1 1коJ1:1й Ло(')~1чснсю1i1 rт:1л ст~дt.:нтом КазанскС>1·0 ун1rнcpc t 1те1«1 .. кото­ ры!1 открылсн т11111. ;щумя 1 ·олам11 pairee. Т:1м rtpcпoдan;vщ nчспь хороттшс м::~тем:~ттнш, сре­ д1 1 ш1х - профессор Маμтин Фё1101 юв 1-1ч: (Нога1ш М;1 рт1 ш Кр11стна11) Партельс, бт тзко зн:1кочы11 с сам.нм L'ауссом. Прс11одаватсю1 nыде11.ял~ 1 на 1\урсе двух студентов. .Иrшrа Сн­ 'юн.она (нnослt.:дстю 11 1 он стал J 1 рофс-ссором Каэанско1 ·о у1ШHl'\ll'I1тст:1) н 1tJ.н<o!faЯ Лоб а ч<.:в­ скш·о. в ОТ'1ЫВl' Дl'Ка11а, ЩJC,ЦCTaШICHIJOl\1 R IRl2 1'., 1 ·0 1юр1щосh: "хотн Снмонон хоро 1 1ю ос11едr1;1.1лё1-1 R м:1темаn 1 чtтк 1 1х на~гк:~х, щ1нако Лоб:1че1кю 1 1t нрсrюсходнт. особенlю R 1ю 11 - росах то11юtх».Дска11 ут 11 шсрснте1·а с<штал. что Лобачеосю r i! «П будущем пе сможет ост;~ться неnрослаnлс111 rыи». Кар1,ера Jlоб~ · 1евско1·0 разшшалас~, стреми­ тслыю В НН-1- г. по рскоме~rд:щ1111 13артсльса его утнер;щл 11 <IДЪIOJIKTOM ( t ЮМОЩ НИКОМ про­ фессора). а чс.:рс::.~ дна 1·о;р. R нозрастr; 2.) ж:т, \\Ыбр~IJШ экстраор,л;и 11 :.1рным 11rюt\х:е<.:ором (со­ от1:1стстну1:т /lOJJЖI юсти дшtt:нта) . В J 822 t. Ло­ бачевсю 1 (1 п·~т ор;о-1нар11ы .v~ прuфt:ссо рuм. С1111сок курсов. которыt: 0 11 1 1 рочнтал н пер ­ вые 10 - 12 . Jtcт сrюей ПСJ\~rог' 1 ческо~1 /°'\б1Тель­ носп1. со~ерж1п более десm'ка 11ан."1е1 юнаний. н"~•Jл<н• ив.нюии,, ЛorJa 1ct о(м10 ~">то теория ч11сс:.'Т (по ! 'ауссу). тюск~ш 11 сфе­ р11ческая тр1н·оном<::трня. ~111~1л~1т11чсская и 11а ­ чч)'J'атс:льная J '<;U,МС'Гр11Я, :н::трОНОМIIЯ, диффс­ р<:НЦИ:lJI ЬНОС Н llJ-l'l'l'l'/);!Jt bHO(.' ПCЧllCJil'fJ I IC: . ф1·13НК:J . C'l :l'l 'l t Ka 11 Дl lH:tl\.1ИK;J 11 )!р. К~Н< ВJЩНМ. ,\\\)Jl\ЩОЙ профtТСt)р 1\ \ 1'\ 'ШI леющ11 llC 'l 'OJl1>KO 11() разЛТ!Чlff>l .\1 оСiJJЖ'ТИ\ 1 M:J 'J't 'M<!Tl·fK l l , fJO 11 по ф1 1:1111<t: 11 <1стро1юм 1 111 Он 61,1J1 оч.с 1 11, прш1 еж- 11 ым .' l eI\l'opo,1. ОД1 1 аЖ,J\Ы н кх~э1ккпi1 ),Шперс11Те'I лр11111ЛЭ ~rнструкцrш. утпсрж/.1,ёr 1 шн1 нмператором Алек­ сандром 1: <·llpoфeccop теорет~ 1ч ескоii н 011ыт- 11о l1 фн :шкн обнэ,1н во псt ГIPO'l'f!Жl'I ll JC кпха оюс1 '0 укаэыв:1·1ъ 11а 11ремудрое1ъ Пожню 11 01 ·ра­ н11 ч е 11 нлсть на1ш1х ч у1:1ст1:1 11 оруднй 1vrя нозt1а­ н11я нспрсст;1юю окр)!",кающ11х 11ас чуд<:с~. J:lpя_.t лr1 Ji116.1чс1кю1й, которы !'1ч11·1·ш1 в то крсмн курс ~тспrетческая 11практ1 rчесrшя ф1 rянка», c11c;~o- 11:u1 :3ТС1М~ rтpt;'l,l lИ:C:iH\.110. К ТО'\1.)' 11ре."1сш1 011 уже тр11 года. 11ачттая с 1Hl7-1·0. работал 1 1:.iлo11110i1 11~:1·1рудней11 1 1 1х про ­ бле.\f - доrса:1атсльспюм пятого постулата Ен­ клнда о параллелы~ыл. ! l-a ле 1щня:х 01 1 расскз­ зывад студентам о попытках жжа:1ать, что Lrcpcз точ ку 1:111 е прямой можно лронест1 1 сдm tС."!'нс:н­ ную 11 рнмую, 11ap:11111c:J1 ьную Ci i. 1\.11 IOJ'l le 11 :.!НССТ­ \l Ые математики исслс;\ощu11111ро611с .му11и·1 ()1 't) 1юстулат:1 . но но нес врс.\Jс11а немало было н ;.1мби 1 (JJоз11ых невежд, которые хи:1т:1л11с1. :!<1 .'IT~ Э~l/\:1Ч) ТОЛhКО гю·r ому. что сЕ форм~·mrронк;r бьm:1 ;~:ост) н11а каж,ному. Лобач.е1ккнi~ 11р11;\<111а;1 ei1особое:: :з1rачетн:. 0 11 ш1с::.1л, ч·1·0 :3;щача о nз­ ралдслытых предст:mляет собой •ч1уд1юсть. J\t> ci 1x: пор 11еnо6едш.1ую. 110 ~~ежду 1см заключ::~­ ющую 13 себе 1-н.1·ш1ы Ощ)•1·1 ~тель11ые. вне ucmzo - 1·0 сом пешш. н столь важные !ИН! пеJ1ей наую1. что н1 1 как н е могут быт1, обоfr;1с11ы". В н ~1чалt: J1обачевскн{J 11 ос1у 1 1ал к;~к t l 6011ь­ t1J1ш L~пю J\py1·11x матсматнюж, ·1· е. нскаJ1 ;юка­ за· 1·сл1,стRn CYI пр<Н IГIШпt о. '1\IЮ LM путём 01 l НЫНL'Л МIЮЖССТНО утнерЖДL'НI 1(1, l ICJ<O'l'0[1ЫC 1rэ I JJIX Н Ы l'ШЩСЛН . MUf 'h:() 1·онорн. Lvгр:11-11ю, Н() rн...­ КП1\.\Оi 'О 1 1рот1. 1 Н<Jrн::~ннt 1''аК 11 Н<: 1IOJ1\''-ll IJH 1(.]J. U l~lj r. 011 пршнС:л к ~tыс1ш о педсжазуе.юс­ т11 1штu1·0 постулат;~ 11 о нозможност11 1ю1юfJ 1·со1Ч<:"Трин. Болt.:с тш·о. J!оба чеnсю 111 понял, '1то :.:~та •·!:юображасмая" 1·со"1стр11я, 1. 1есмотрн на 11с11 1·)и1~ыч1юеп, се сонсржан11я. к пр11н1\11п с нс может бытп 0 11ровср1 ·11ута 11~1ш 11 :- .1 01 1ытом 107
Истор~1s~ матсм;пию1 0\1111.1 '. 1 TO P CI O \1 О li\.l IВCii \l'O YHJI- ШWC!lTJ:..TI 18З~ 1. DAYJ:U UC]')'П.t EIOX. JJ,~fi'!f.I 1t~1.J.c:-st1.G '1 11н1 ''" Гco"«mrl" 111 rог" n :r· r:i ~>l>i\U J('\o. f<,V 1•t1 :ir. • 111•! •1• IМ.1 1!!&11 1Н." l>t~ 1Jl'l.<>L+.-~1t· ""''' 11. 1~щ('1М1'1 " "'_ .l , . 1a;11 \:f• ,P•'~'ri. L.t.11.111.1•, v:;,. 111• ,. !l•••t"JU),•• 1 _...,,1,.1.i. . 1t.1111., "'-''•1.i...11J,1 "'-"'"" '"Ч"J• ) 't:.1111щ,, •н11<1 lo'l.(l.c ,JllJJ . ,C . llнl.lli"l1':'t'J. сЩ" l.ltJi'!r.. \10 - " с•1.1с11 1110.1 S1~11111ro1, ll"liloVl')lt/ :ir. ,;i.111•1-ta jj<Jo.1& .lo.Mf:tl:I tl ILOllllll!} r.I шн.J.~11..)11 1•11~<1\l loO ~p,r1i~r. "Qil ll'l t<1foIOl'I. " 1lt•fJll<lll 1 1 j)<IHl\U,\ p.Jl><>I hl 11 И 1\ОбдЧРВtКОГО « Нош.•1 с 1t.JЧdлL1 гео"етрнн •, LJГIVUЛllKШ!.1H I IUЙ в ·«Учены>. запио(,1>. K.1 {.illt Kuto униRРf)( IПPTil . 1835 1 13 ф<:врале 1R2()1 ·" ко 1 ·цз Лоба•1е- 11с~о1й 1 1 ;~1 1н ­ сал псрnую работу об открытии 11овоf1 гсо­ мстр 1ш и передал её 11ес1<0льюL~'1 профессорам )1пшерс1пет::t, ответа от колле1· не последоuз ­ ло. А сама работа вскоре был;:~ утеря11а. В l 82t) г. журнал <·К:~.запсrшй всспшю> опуб­ ликовал сочш 1с:11ие Лобачевского о неевю11що- 1юl1 l'COMC'l'()I 111. в ОТ:JЫНС H ~l H C l 'O 11 31\C:(" J'f-IЫl'J ма­ тсм:1т11к :.J 1<адс1vшк М. В. Остроградсю1!1 1 111с111: «А нтор, 1ю-в1щнмом1. з;щ:шо1целью 1 111с:пъта­ ю1м обр~1зом. чтобы его нст,зя 6 1,~ло понн•1ъ. 0JI i \OCTI 11 ' CIIOCil 1\tJ1 Н: nOJJЫHa>J Ч:lСIЪ Ю !lll'IJ ос- 1·з;1:.1с 1 , сто1 11, же 11 е 1 fз1-1ес1· 1·ю1·1 11/ IH ме11н. ка1< cCJUI бы я ш 1коr·да ие видел её». 1·е1шi 1 все1 ·.ца 011ережает сноё время. Через ~U --IO лет пояRятся работы, н н:оторых бущ.-т док~1:{а110, что l'сомстрия Лобачснс 1щ 1 ·0 <.:толь же пр:~во •\1ср~ 1а, как и 1·еометр 11я tню1 1 111а, 11 t:i..; О'1·крf,1 ·1 ·1 1<.: - важный 111а 1 · 1-1<1П}"l'lf1\ nо1-111 .,1а1-1 11 ю <>Kj)}'}K:J10 11~e1п 11 ас мнра. Jll> в ко1ще 20-х 1·1 . XIX к. Лобаче1кк11r1 ока:J:mсн н очсн 1, сложном llO:J()ЖCJ-11111. f.1 ·0 НС Гl()lil'IM:.JJ111 11 fl;lЖ{:' ocyжr\<1JП I луч11111е м;1 '1 't:\1:Jт 11 к и ·1 ·() 1'0 11 реме111 1 , ~;:ол 11е1·1 1 ЩIП.~Jl l l 113('.Vle' lllЛl lll Ыe, а 1I0p()l1 ос 1<ор611те;1ы 1 ые от.1ывы о его работе. Это было настоящее тrс- 11ьпа1ше х;1ра1пера учё1ю1·0 . Лобаченсю 1 (1 е чсстыо его nьщсржал. э~1 ncpnoli: бол ьшой ста1ъ~й псклсдоваrш новые работы на ту же тему. н этом он pCWJITCJlbHO OTJIИЧ::IJl<..'Я от дру - 1'01 '0 пср1юо·1 · крыт1атсля 1 1ccnклr 1 j\onof1 гco­ J\•t<: 1p111 1- Га усс:1 (< Кородь мaTC.\1.l'l'J 1КОВ» OKOJIO 108 _1 0 лет з~11111малс>1 ·1enp11ei1 11ара11!Телы1ых п прпшёл к выводу о праnомсрпост1 1 11ссRкющо­ uоl! 1·еометр1ш. 110 так 11 не 011Убт1кt1в~л с1ю11 рсзулr,таты. Однако Гаусс сы1 рал важную роль н сд1111- с1 ·кснном 11р11 :ж.и~ненно:.1 1 1р11:таю111 научных э:н:11 у1 · Лuбач~нско 1 ·u. в 1 l:Ц2 1·. 11 ~·•кuJtaй 11вано­ н~ 1ч iiыл 11 :~6ра1 1 ч11с11\)М-К( )ррt>СПl}IЩ~1 1том Гё'1· T I IH l' CHCKOI '() учёно1 ·о 06.щеL·1·ва (ак:JДС~1J IJ 1 н:~у к) Реше11ие n() нзбра1 1 r 1и 1 1дн 111юм 1юд1 11 1 с:1ныt·~1· 'vПIM Гауссом. Обра т~ 1м ш шжнше 11:1 ответ Лобаче1юi0ГС Га уссу· <Лроснпе мле. '-По я так доЛl'о 1<0ле· баJJсн с ответом. :зJIOJ ю; 1 уч 11ш'1 1юж.1р ~·орода отnстсгвсп :.1а это: этот послс1щ 11й расстроил мш: :щорон ье ". обрсменrш ,vн.:нн сщt массой особых <.:1rужсl>1 1 ых :3абот-> Учс11ом\1 сообщаю~ об нзб раннн с1 ·0 члсно,ч ан·1·щштс'1 11с 1\111е1·0 н<1учно1·0 сообщссJ на. ;1 ему нско 1 ·1\:1 O'I ~сп1·r·ь и:{-за п<~жара 11 1 ·ор1щ<: В 11111·1,мt' р:ккрыкается Па\.\яr 1 щк Aofi.J'lt?HtKOмy в К.-1 ы11и
ещё 01111а с1 ·о~нш;11111L111oc 1 ·11 ЛобачснскuпJ. Jl.с1~1- стн11тсл1.1 ш. м: 1тсм:.1т~ 1ч<.:с1<1 11'1талант 11 нсобык - 1 1оrк1 11 l:l}I crp:iC'l'lfOC' I ,, н OTI f() lllCI 11111 к 1 1:1 укс co- ЧC"J ;JJIHCI> у JILTO (.' Иh l COIO l 1\I 1 1рс/\(.~1 · анлс н1н.·м об общеС'ПSС I 1l юм /\OЛJ't. Уже112<. - ~О-лст11ем 1Ю:1расте Jl~)6aчt:11Cю1iJ .1:н1t:дова11 0Gс1.;рнатор 1 iсй. был лек;нюм l\ШТс: ­ ж1т11ческоr·о факу11ьтста. Многие годы 0 11 во:1- г;1мшлл ут 1 111>срси '1·с1·с:к,·ю бнбшюте к у. 11 0 - нш.1:1я. J\ah'YIO нажную r>оль u 06разон;ши11 ш·рас·1· бr16тютска. Лuбачетккиfl с:щш1 R Гl с­ ·1·ч')бур1', чтобы Jшч нu от6 1 ·1 рат1, 11 зак;т1 атъ кнн­ r 11 К:1к пренсс,1атсm, стгннrте;1ыю 1 ·0 КОJ\1Итtта у1111Rс 1х·11тста . т 1 ру1-юrю;щ.11 с1·р01 1 тсл1,с1·щ ) i\1 ноных учсf)ных кор11усо11. В 1К1 7 1'. Ло6~1чc: 1KK(JJ'<1 11 :с1\lр;1лт 1 рс:1-;тором K1;iarrc1<01 пу1111нсрс 11·1 t"1·a . R1 юследстш11 1 m r пс­ rе11 ;161 11х1 лся Ш1 ЭТ)' [\ОЛЖ I ЮСТЬ 111 естr, раз JI oc'l<1IOJ1Cя ректором в тсчен11с lO ле1'. На этом посту J lобачсвсю1l1 э11ерr1 1ч1 rо 11 коипетеr 1ттю з:11ш,v1 ~L1СЯ 6yкnaJJЪLIO всем: учt:бно i'! н лауч1юй работu 1\ фт 1н:шса мн. стрu11тс!lы·1 ·во.\·t. Осоnсн- ХХ ВЕК НА РУБЕЖЕ ВЕКОВ 8 августа 1900 г. па Втором Между11аро,тl1юм мате;чатн че:ском кош·р~ссс u Ларшю.: nыcтynaJI Датщ Гильберт - 0111ш из вет1чаi1щ1 rх матс­ ч:тrков всех времен. а то 1 ·1"щ молодой профt.т­ сор 11 ~~ Гё'1·1·и .111 ·t.:на. Сной :311·,1мб111'1ъ1(1 J\1жл:17\, 11001ящё нный м ;1 тсмат 11чссю 1 м проблс.\1:1,v1, 011 нач:L'J CIOB;tM l t: ~ К'I\) 113 11:1 с tн: XOTt' . JI бы 1 1р нот­ крьп 11 ;1анссу. :{:. -t кин1рой скр ы·1 о наше ()уд} 1цес чтобы хоть 0,1.J.JI ГIM IJ;Jj 'Jl}J;~()M про111 IKH)'TIJв 11 pt:J\­ CTOЯЩl lt: усгrехн на 111с:го :J 1lаН11>1 и таl111 ы е 1 -о разщ1тш1 li ближайшт 1 е с1·оле-тя?». Тогда. на 1юроге ХХ в" оглядывансъ на ве~< ~11111ув11н 1 й, ;vюж110 бЫЛО пrсдС'l'<l13JШТЬ t: ебе бу~1це<.' Je~1111 прскр~1 с11ым. Казал()СJ,, что па ­ стущет эра блз годсrктння 11 pa~i~r;o.1a . А ссгод1 вт мы, к;1к 1·1 lf:JJlll г прс:;\11.1ССТНСН1П ·I КИ сто Jll'T па:1 :1Д, брщ:Jем в:5 1 'JIНi\ 1-1:1 11р01J1ею 11 ее t" 1·oлt.: · 1 ·11e . Ч то tЩДll.\ol М hl T\l f\\? НJдt:Ж/\Ы н а !)л;11л1 1 е11ств11t не оt 1р ;11щ~1- т 1п, - н хх неке быт) MJ юго '/'(l;./ l'~IY.CCKOIO: Н11 сче.ч 11с ср:-11ш1 ~ мое взр11;1рс1'по. оскупе шrс 11р 1 r- РО/\Ы. отр:~11лс11 111,1е рек11 1-r 11ы сох11тн~~ \1О рн . Нот 1е. вр~мя но ·r ру;11 ю 11р1ш1лось во 1:1рсл111 xo:rcp1юi1 эшr- 11см1111 1~.)-) )'. 1 1}'IIO~U Jll~ ' l 'OЛ> 1 южа 1 >:1 lH12 1'. В lК-1(> 1·. 11:1аLт11 укол 11111 1 Лоб;тчснскоr о с 11ш1ж 1 1ост11 рсктр:~. U ян юре 18'12 1°. ~мер L'J 'o стар11 111!1 сы11 . ,\·l:1·1·tp11:u 1ы юс 11 0,юже11 11с се: мы 1 с1:р1.ё.1110 ух~ i\11111тюс1" Нез~ЩО.'11 ·0 J\O 01tрт11 Нн­ колаir 1111~1110111-1<1 гю· 1 с:ря.11 . 1рст 1 е. Послс:~11юю работу « П а11гс()Ме1рт1н -> (греч.сскзя пр 1. 1стаnка "11ari-" озт 1 ачает <- всё». , nсеоб щш'1 "). нриурочсн­ вую к '50-лстню Казанпюr·о уш1не1х1 1 · 1·ета . 011 про;111кто11а ;1 ою 11 ,ч <.:1'удс11та .ч буд)ЧlJ у,кс со 1:1<.'с,,·1 слt:п ы .\1 . У м<:р Лоn:tчевсю 11~1 в 1i:S"i6 1' . в lf;.28 l' f!( ) C'l~Ч:llO 1 1<:-рной ( '()j\() J~ ЩllHЫ СВ()С[ '(! рскторстна Лоnа чсвсю11'1 про11:111ёс ст:111111~ н1 гю·1·ом з11:1мст 11но~т реч~.. "() важ 1r eйm11" ттре/\­ мстах TIOCJJIП'<IYIШI-' . н 1 1 ет1 0 11 . fl Ч~KTIJOCTl l . сrс1 - зап: чПр11rv1еры научают нуч111е. нсжеnп 1·0:1ко ваш тя н ю111п1 ". )1(11:JJ11, ll11 ко:1ан l! нз11<)tн 1 ч.а J Jобачсnск.ого са .ч ,1 н1шястсн : 1з~1 с.'L1ателъным 11 р11 мсром спужсн 1IЯ O'l'l"ЧC'CTBY ll [ 1 ~1 yicc . rт:~нержеш1с мор;иш , чудошrщ111.1t: лр сс1упле ­ шrя, 1·еrютшд. rрнбы :п·омт,тх п:;рыuоn. 11епре­ кратц:нощт1еся rюС шы." 13сё 61.ию. :-по пра1щ;-~. Но 11е вся нр:Ш/\:t. ЭТ()Т nет< - Jt чудо1111щ ны r'1 н вслнкпй од 1 юnрr:мс1 11 rо. ДJ1н на\'1<1·1 Х,'{ нск бы11 нст1ю1м. Д<хт1 1же1 шя м ~пем:п11ю1 11 ;;э· 1 ом l"'l'\ .)Jlt'Ti111 . нож:шу\1 . 11pt:11ot'- xo/\}1T нсС ТО, Ч 'l'U CCJ ~/\ ;\Ht 1 :1<1 111 Jt') \lllCl-l'НYKHЦJll' Дll<:: Тl1I СИЧТI Лt'Т . RоС1можпы ра:.н·I Ыt' точю r :чх: 111 1я 11;1 c,'v1hr cл ~3:н-1нтvн1 матсм:1·1·1 1 коi1. Н ХlЛ н . 1ю:{1 1 11к снор между N~у~1н : н-1<1ме 1. 11пым11 уч~ны~ш - фран­ Щ':'!сю 1 м м~1 тем:1' L'Т11<0 .v1 >Кn:~сфом Ф)р1 .е 11 11с­ м.с 1 \тшм - К:.tр1ю11-1 Якоби. Фур11е счнт:1J 1, ч·1 ·0 цt:зть матсм.::п11кт 1- се щеiiсnюла11, объяс- 11с111 110 лрнроды . Якоби о·r·всча.01. Ч'Н) сё rtел1, - щю­ славлять LJ<:лoвeчecюftl ра:1уи. l3 nр.нrщ11 ш:, МОЖНО прн :шат1, лp;-irlOlT О6ОТI.\, 11 0 . кrюме то 1 ·0, 1tt'JJЬIO матемаТIIЧl'СКНХ 11<.:С.'1С) \ОВ::111111·1 л ПОСJIСД\111 (' тр 11 СТШ!i.."1'1\Н fн,JП!I 11 p<tl<T\IЧC(.' K \ !C лр нл оже н нн - 11нженср.ныс.: . 1\011 1.." 1·μ~ ктuμсю1с . ::JK() l·J0\111Ч e<.:Юl(' 11 ИllЫ<.:. H~JJШJ-I C I (. l\l:l'l 'l'~l :I TJIK,I во нее Rрсме1 ш ока:1ы нала нJ 11 ш11 rIL' t 1:1ф11лосr >ф­ C'l\()t" ОСJ\ 1 1.тсле1111с мнра . 1()l)
Иггория математики Матсматнчсск;tя 11:1у1'а ХХ <."1·олt:1· 11я 111x>cл:.i- 1шJJ ~1 c 1, 11:.i всех :-:Jт11х 11а 11равле1 шях . МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ШКО/\Ы 13 первой половине ХХ n. м;~те.матшса разшша­ лась ~·11ан11ым образом п 1r ;щио11алы-1ых рамках. Ве,1}'щую ролт" как и в предыдущем столст1ш" 11гралн фршщу:ккая 11 немецкая математиче­ <..:кнс UJKUJJЫ, JIO в м1 1pu11u<.: <.:UOOЩ<..:CTHU м;1Т<..:­ м;п 1 1ков уж<..: акт11111ю включаm1сь t1'1-;ыья11ск11е. не ш·t:рсю1 е, :1встр11йсю1с. шксдск 1 1с учёныс Ещё tl сt:рсд111-1с xrx Н. обра:юв:urась росс11(1ская , в nсновном петербурr·ская, школа Птшrшись первые кру1111 1.1 е математики 11а А!'.1 ер11ка11с1<nм 1ю1тт1птсптс, формировалась польская мюсма­ т11чс.-ская ш1ю1ш . I3 д:mьнейшем :v~атемат111са стала nр11обрс­ т:~ть черты иптс:ртщпон:шыюй 11аую1 Н:.~чала осущссгnляться :v~ыс1ь Гш1ьбtрта о том , Ч'!u .шш M:.1'1'(.',\1aП JK<t R(;'(:t, куm,турны(r ,\111[> пrt) \СТ:ШЛЯ­ t.:'1' собо11 с:щ11 rую с1рану. ЭнnJI IO l lJ 110 наую 1 НСIЮЗ \ЮЖНО 11fЮСЛС.-ЛI IT!>, нс коснун11111с1, · г1юrчt:(" 1 к1 кр~тr1н.:й1 1н1 х, наи­ болl'1.: F1m1ятt::лы 1r.1х учё111.1 >.. Н:~:зонём 11ме 1 1а ма 1t"м:1л1ко1-1, 1 11ра 1т11 1 х н111111ую рот> 1:1 nep1юl1 1ю, 1 ов~ Пlе ХХ столетия. Особым авторнтето.м польз оuался Даrшд Гш1ьберт ( 1862- J94:)). 1lсмстn<ую матсщ1ти ­ чсску10 rтn<олу прсдсr..1впяли и такие выд;нощие ­ ся учёныс, как Гер.чан Вейль ( 1885-1955), Фl'­ ликс Кпt::йн (1849- '19 2')), Герман 1\!l инкuвскн1I ( 186~J-J 90CJ), :;"Jммн !!Етеr (lR82- lC).- 1'1), Фс ­ л11кс Х~)'С/lОрф ( 1SбЯ-1942). Ф[1<1Н1lуз Жrот. Лr1р11 П у:ткаре ( 1854 - l C) l 2) - одн1111:> ue1нi ч эi'i1_1_11 tx 11ауч11ых 1е11иен ucex 11ремё11 . После ТТуа1н;аре 11анбплт.rннм ант()рнтетом среди математпков Фраrщrш полr..:ктался Ж:Н< Адамар ( 11565-1<)63). 13 чнсле .выдаюЩJ1хо1 фра 1 щузсю 1 х матсматrнюв нужно 11а зnатr, Эмиля Борс:ля ( 1871 - 1956), Жш1а Гас­ тон;~ Дарбу ( 18Ll2 -l<Jl 7). Эл11 Жозефа Картана ( lR(')<)-1951),АнриЛеона Лебс1·а ( 1ю::;-1941 ). ПолSJ Монтслн ( 1t376-l У75), Э,\ 111Лн П1 1 к:1р:1 ( 1856-1 У-11 ) И1:11 1h>1НLкую м~1тсмат11чt:скую 111колу пpt:/\­ l-1 :.~нлялн В нто 8()m»1·epp~1 ( 1860 - 19-Ю) 11 Тул - ЛllO Ле1111-Ч1111~1та (187:)- 19-J .1). IТIRC[\C KV"IO - М:11'1 1 ус l'ёст::~ М 1-1паr-Лёффлср (18..J.6 - l<J27) п :-Эp rrr< Ив~1r Фредголь;ч ( 18(J6- l 927). а11пш!1- скую - 1·одфр 1 1 Л:~ролд Хардн ( 18 77- 19..J.7), 110 л,1 111 ри•i Федоров "0 1l1ороR. Джон Иден:юr Лнтлuуд ( 1RR)-1 С)77), Бtртран Р<1ссел ( 187 2- 1970), русскую - Ллексстдр Мих:li11ювнч Ляrrутюв (18')7- 191R) т 1 Л1т,~реf1 Лrтдрссnич Маркпn ( 18'56 - 1<)22), амсрпк:ш­ скуто - Джордж Дейшщ Бирю ·оф ( 188'-i - l ()+!) 11 Осн:11 1 ;\ В~блсп ( J88/J J \.)()()) . Слtдует с:ка:за·1ь. что и н 1н.:рвuй 11олu.1шш· СТО.!ГСТ~IЯ Мl)ЖН() KhЩC:ll J'J 'I> дна 11ер1ю.ца - ДО 11 ПОСЛ(.' 11с.-рпо1'1 м11ронuй H()JI Hbl 191-1-1918 1'1' Лосле войн 1 .1 прощ·лол11 .. 1а смена поколt:н1н1. 1щ·1·01х1н :~;пронул.1 11рсж;..1.с нсс1·0 фр: 11 щу.il'К)'Ю пп<0лу. Фаптисты. прнr11с1111111с.- к нл:ктн в Гср\1а­ шш, ра:з1ром1 1 m 1 11емец1\)1011аук1. J\.11 кн·о т<1ю11 1·­ тшых молол:т.тх )1.ЦТСМ<IТПКОП пз Еnротты псrе­ схали n Америку, п там 11ачалн формироnат1,ся rювыс матсматичесю1е ШI(Олы и 11аrтравлt1шя . llеобыч:ti11ю1·0 расц11е·1·а достt 11 ·nа москов­ ск:нt м:1тем:.rnrчсская школа 13 .1>0-с 1т. она. nС:З)1СЛОН l-Ю, 3<1 НЮ1а J lll/(11p)'IOЩtC I IOЛOЖCHllt Ji ~шрс. Её ос1юн;пслям11 Gы1111 Д.1\.111·1·р11~'1 Фёдо- ни~о"i111 Hll~O.\aC'OllЧ 1\VЗllfl
f)()1щч f. 1 ·арш1 ( 18()9-193 1) и Нн1<опаИ Нн1<а ­ лаен11ч Лузнr1 ( I R8~-19')0). НАУЧНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ ХХ ВЕ КА Г l рс11ст~шлс:н11<..: о том , .каки е на11равл сн ия 11рсоб­ тщ;~л и к матсм;пикс 11ач:;~ла )(Х в.. ,да(,;т сr1и сок ссю~и й на нсторичсском Парижс ком кош·рсс­ сt. ~:Это чет ыре основные се ю ~111 1~ ар11ti>мст1н~а и а.; 11·ебра: анал11з; 1·еомеrр11я; механпка 11 матс:м;1 - п1чсс1са н фпз r ша, а т;нокс сщё дnс: история п 611блиоrраф11я: преподавание и методол огия. Об п:!ме 11еш 1лх, произошедпrнх с тех лор n 11ауке, с1шдстет,стuует псрс• 1 е1 1и сс1щиi1 сов рl' ж.·1пrых тю ш:рсссов: ма·1·с:матиqсt:к;н1 ;ю1·ика 11 uс.: н ования м;.1 ·1·ематию1 ; а;11 ·сбра: тt:ор11н чис<::л: 1·ео1--11.:трин; топu1юt·ин; аю·<..:браис1t:скан 1 ·<.:u:..1ет­ р11}1 : ком11лсксный анuлн з: r · ryп111,1 Ли и · 1·со р11н ГIГJCl LCT::ш11c 1111i'1 ; ВСЩtТТАСННЫй н фyню1110LJ:.tJ l l1- {11>1Й ан:т и з; теорш1 в<..:рою·щ 1c1·cr1 н м;1:п.:м:~т11 - чес1<ан ст:1т1кттrка: ; 111ффсрс1 11 tи ..-.лы rыс п)а 1111е- 1шя с частr1 ыr.ш про 11 зuод11ымн; обыкновстпrые д11фференп11алы 1 ы е у1Хшнения; математическая фнзнr<а; ч.ислетшые иетощ,1 и теория о ычпсл е- 1 пrif: дискретная м:пем.атика п кш.1бит1аториrс.1: ~1атсматичес кш.: :~спскты ш1фор ~tа'L'НКН; принu­ же н ю1 матсма · 1· 11ки к ш.:'ф11зичесю.1Nt н:~укам; н с- 1 щ111н математ11к11; 11ре1юдаван ис ,,1:~тем:1т~1ю1. Мно 1 · 11<..: 1 1 з 1-1азн:J11ных pa·щt'JIOR м ~пемат 1·1 К11 fЮЗ н11ю11 1 1шн офuрм11т 1сь F\ ХХ в. На рубсжс­ ХIХ-ХХ Htl. rюдл1111 сь 'J'РИ тшпра11J1е1 1 11я , KO' l'O- [Шl\1 суж;~t'НО fi1.IЛ() с 1,1ГJХIТЪ flЫ)ЩЮЩуюси рот, 11 истор ии матемап1ю1: фуню~rю11алы r ый а 11а­ лиз. тополоrия 11 теория функцпi'I. Фун1щион альны:й анализ. I:::щi: в ХУШ в. были разработаны методы рснн:н ия систем л111н: l111ых ураш-н.: н11й . В 1(0 1 щс Х!Х 11. обн ару­ жс1-1 ы :.111:1 лоп 1и мt'ж,11у тспр11t:1'1 с1 1 стсм 111 1- нrйных ур:нн-1сн11С1 ко11счно1·0 ч1 1сла 11ере­ ме1111ых и 11х бссконс ч1юм<.:р11ых ~1н:1лu1тнs - т111с i111ы х 1 11п·е1·р:mы-1ых уравнс1111i 1 . Рс 111:11ощ11й 111;,~г сдсл:111 wв<::дскн~'i ма·1·~ма1·1·11' Нвар Фре11,1 ·ол и~1 в 1900 г. Пр 1 1мешш метпды rе111е111ш с и стем шшеfшых ураrнrсш1й н пе­ рейдя к нредl'Л)'. 0 11 11аш<:л ус1101шя разреш11- мuстн 1r алгоритмы решений уранш: 1шй шща 11 .\"(/)-АfJ((t, t )X('t' )C/1' =у(!), ({ Новое время д!Jh С?О4Ш Это послуА<ИJЮ (~П IMYJJOJV\ 1< raз raf'O'!'Kl: тсори1 {, 1ю·гор:н1 соч L-та.11 :1 11 <.:l'бС ~J 1емt:нты аm·ебры 11 >'еометри11 , 1ю u бсс1сп1 1 еч11омер J rых пр остр:.1 н­ ствах. Так пш1~н1пся лu1-1rJй11ы1/ ф)111л.·ц~m1Lш1ь ­ ны1! т1ализ. Rажны:ч разделом фушщ1то11аJ1ыюrо ан;:~ ­ лп:;а стала теория квад11:1тнчных форм. начала которо~-т З<1Jrожш1 l'1щь6срт. Со нокуш юсть всех функцнlr с н1-1·1·с1 ·рирусм ы м ю~~щратом /1 Jx~(t)dt <= tl получ ш1а 11а :;ваш 1е гил ьберт оrю Щюстра11- с11uю (ci.( обозначают /.~). Нш,с; 1 сдстнш1 теор11я юз:tJ \р: 1· 1 11чпыл ф{)рм в п1m,fk:ртовых 11 μос-1р~т­ ст13ах П()СJ1ужнл;.1 M:t'l'CM~ITI IЧl' CKOt'I ба зой д.'Jjj к1:1а1tтснюй мехаt1нкн. Тоrю;1огия . T~ fl.\H-IH «'l'Ol lOJ' O l 'l ljj" можt:т бы ·1·1, отнссё11 к д11ум р;1:·щела-. 1 м:1темат1 1~-;и. От ry то­ п о;ю гшо, ро1юш1 ч<и1ыm ко.ч которой был Пр11 - каре, долгое время 11азыо;vш мJ..мби11стшр;т/1. ]а дру1·ой . у псто ков которой стоял 11емец1..:11~'1 учё1 п,1(1 Георг К:;~нтор ( 1845 - P)J S), закреm r ­ лось назnа1 1 и е общей 11лн mt!орет11ко-"111юJ1се­ ствен нтi . 1\омб 11натор11 :1jj ·1·опо1ю1·ш1 - ра:щс;r 1·со ­ мс:тр1 t1 1. О1 1 а 1t:'!уч а ет с во1kтна 1 ·со:\1С"1'р 1 1чссю ·1.х ф111ур , ос·1 ·3ющисся 11 ен зм сн11ым11 npt1 1:1.з:1нм­ но О/( 1 Ю:'j1-13ч 1 1 1,1х 11 ~-1 с 11рсрыв ны х о'l·оn ра жс­ н 11я х. /'1,t)JIГ'oc нремя то n01ю 111я 1юспр 1 11111мш1:1с1, 1.;;н..; п<~уТ\а , далёкая от жн ;ш11, пр11:111:-1ш1ая m11ш. " пр ославшrт1, человсчесю1й рз~\1111 " . Но н 11ашс время выяс11шюсь, что она имеет с:.11110е lt•op1 К.1111ор . 111
Истори я ,.,,1атсм;~л 1 к 11 rIJBel\ ( Ppr <' !'!JllЧ Л'\РКС it111~po в. НС! юcpt:/~CTBCll ( Юt: оттю 111 е1 111е (( OnЪHC'llt'JJllIO устройства МНJЮ:'!~а11 1 ш. ~)(Jщая ·1·01юлопнr лр11м1,псtст к теор1111 м но­ жеств 11 ,1сжи· 1 в ucпon:i r н ш .чатсма·лоо 1. Это :11.:стюм:п 11'-н::с к:нг теорIIя . прнзнаш r~ш 1J <-'l'!lcдo н;пъ такп с 1юняпrя. I(;JK - 1 1рсдсл ", «CXUД1Lмoc·1 ·h·'· " 1к· 11рерывнос·1·1", 11 ·1 ·. 11. Оснсж ы :11<с1юмат1 1ю1 TOПOJ IOl 'I [L[('CK(}l'O 1 1pucтra1 l l"11!a б hlЛН ЗJЛОЖСНЫ Фс; шксом Хаус;tорфuм 11 ~-1::~ 11t'р 1 11<:ны роо: 111'1- ск~ 1 м м:1· 1 ·с;;1ат1 r к<>м J! ;нuюм Cerm: eвi1чc:v1 AJtt'K- c:11 IH[J< IНhlM ( J 8t)(1- I C)ii2). Теория функций. U ШlLJaлc века фра1щу:1 А11р>1 JJ e6cr :1аверши.11 п остроеш 1 с тсор1ш ме ры н пттте1·рщюшr1 11 1я. 13 Xl.X n. 1кл<::д за О. Коши п .LJ. 1:'11ма11о м ш 1тсrрал ,, f/(.\' )CL\· (/ щ.1н11м:ш 1 1 как 1 1ре;~ел р н м:.t1юш,1х су'\1 ~. За 11р11f>J111жё 1 111ое :-1 наче11 11е 11 нте1 '[)ал:1 бра11н 111,1- р;.~же11ш1 R1 1да 11 I,лс,,н.v, - .У,_ 1 ). 1дс.\'1 - 11екоторая точка отрезка /х, 1. x, I, о = = .\',, < х1 < ... <. .У,, 1 <.1:11 = /J - раз611е1111с отрезка 11нте1·рщюш11 1 ия \а, tJ \. Лl:бtт ст: 1л rюсту1шт 1 , нн:~ чс. Он p~i:j611вa 11 irл: ''"YL'r.1 ·~ifY~ 1•1.},.t,/,'.'L ~ ·ь. 1\"1'-}tJ '\Y\'.//\•-'1_t1'a{1\ ' '\ f\'J ..!"\_'<'2''.4'\1\'' 4• • < . . <. 1', 1 < у, < .... MOTIIl\l·IPYЯ Э'l'О тем. Ч'l'О ДЛЯ рзз­ rывпоiI ф)•llKЦill I,{HeHOЗMOЖ!IO l\Ыб\Х.\\\, ТОЧКУ .\',. кuто рая а;tс1<ва-11. ю <-Предст~шюrла» аы фу1 ш­ ц11ю 11а 0 ·1р<::л-.:е jx1 1. х,). Jlo если фунющя ;~о­ е1·аточтю сложна. то .v1 1южества Е, нз ос1 1 :16с ПIн.:с. ДЛЯ ~LYП.>pbL'< Yr- I <, ./\.\:) <у,. MO!') ' I' бh!ТЬ 112 yc· 1poc11hl H(>ChM::J 11p11 •1 y;l.)ll llIO. 1т ч ·1 п()1, 1 JIOC'll)O- IПЪ ·1·сор1110 1J 1 1тс1·р1 tpo11:11 11 1н 1·1t:об.хою 1мо ()ыло НЭЧ.:1.'LЪ ( meo/Jl.111 Ш!jJЫ. '1' t'. Jl;.!)'Ч lf 'J ы·н 11 :1 \J CJЖIЪ r':iкr1c м11ижсстна. ::)·1 ·0 c;~~J1ЭJ111 l)opc. 11 , 11JlL:()e1 М ера мrюжесл~а Е (с~с1жем.. 11 а отре:ше 10. Jj) опрслеляется следующ11 м о6рззом. Н 1 rж 111ою грань сумм щшн н11тtтр:L'ЮТ\ 1юкры11ающ11х Е. rтазо..uём вl!jJ.Y1-t01! .мcpotl Н. J:kpx1 1ю1 мер;~ ощх~­ дслсна .ЦjШ шобо1 ·u 11-uюжсс1·на.1'1пожt:ешо Е 11а­ зы н а<:то1 lf3..~юри.мьн1 по Jil!бe?_J '. t:сл11 сум ~1 а lll'(1X 1-н.: й Мt:ры :"!ТО!'( ) м 1I OЖCC'l ШI 11 Rt:px11 c1' 1 меры Cl'() i \O/IOЛllCHШ! (!Ю OTl-!OllJCllJIIO" огрl':l­ ку (U, ll) раы1а C/\J 1111щс. 1'(JJ'дa вс.:рх11ю10 меру Е 11a:J1,1 в:нот .мероi1 Лебеиt 11,1 11ожес1 ·н~ Е 11 п\10:111;-~ ­ ч:1 ЮТ П1(:S Е. Ри .v1:шоnы су.чмы для вы • 1 ис 1е111ш 111гr<:rp;:iлa 1kбе1 · :~aMClШ.JJ C)ГMM:JMl1 НJЦа I Т\,шс:-.А,, 1·де т~, - lll'K(Yl'Up:1н точю1 0·1·р<':ща [ J', 1 • l',l Он кссhм :1 ныра:-1 1 1п:1 1 ы10о х:1рактср1 1:ю11ап 11 рс: 1 1му­ щсстни сщ ,с1п ме-1·ода. ~в мет1щl' Ко1 1111. - 11 11 ст Лсбе1. - оперируrот т;.11, , 1<:i 1< [(ел:-tет :~Т() l l t'() I J l 1l'ГПЫЙ ю1е::рк, J<()'l'Opblfl IIO/ ~(' Чl lТЫB:'l e'I' М(] · 11е·1 1.1 11 крl:д~ п 1 1ыс 6иле 11,1 ссюбра:шо ТО1\1 у, ка1< 0 1111 1юпадаются 1юд ру1<у. Тогда ка!\ мы опери­ руем, ка к опыт11ы:i 1 н иетол.пчоый клерк l'OHO · ря щиi1 : у мсIJ я rпes Е 1 монс:.т по 01tтюму фрашт. сп)ящнх 1хшс~F1, у ,чспя 111ск Е~ монет но д~3 фpaI1 1<:.t, стоящнх 2 х mcs Е!. у меня 1щ.:s п, мо­ нс:т но 1IН' l'h ф\)аL 1 кон, с:.vrо н щш< '5 х mc~ ,";. Ltтo- 1·<>,у мс:.:нн1хшс"f,1+2 х111с:-.1~':.+'iхпк·-,Е;+ фра1-1 ко11. Конечн о, r1тот и 11 р)то 11 ю1ерю 1 111т ­ дут к 0;(1 юму п тrJ~·1 y же pcэy.r11>1<J·1 у. HrJ в случае сумм 11сдсm1м 1.1х, чпсло которых 6ес коне<11Ю. раз~ 11щ~ 1lB}:\ ~1 tт(щов ка111 rт~mы1э·), llа ба:1е 1 ео­ рпи меры ро,rщ.rюсь 11 оное пащхтлепие в тео­ рн н фушщш'1 - лum~рl!цесл:ал теория фу111щшi Тр а1 1сформ11роваласJ, в тсорпs1 м1южссн1 Трп фр~111цу:кю1х учi.;ныл - Борет,, Лсбс1· 11 Ре не Лу и J-;1::1p - :зэложш 1 1J ос1 ю 11:1н1 ш r)l!оф1т­ т11вной IШIO/JllUЛ1.IIO)l((!C11 Ж 'L '. с . теор1 1 11 ЧJ IC J[ O · l~ Ы Х Мl·!ОЖ.е\Т\~. R 20-с п·. нсдущан рш1u в тсор1111 ф~ ню 1 111'1 ?<..::'iY.::u·1д~t ·L'. 'fJ~''-'-·6.~J'ii1 ·шк\.>nс. 1,0 l\ J\IYIO 11ptдl 1·а11· тrлп Н. ll. Лу:нш 11 его уче1111юr: П. С. Ллt:кс:111- 1\РО'<'•, Н . К. Пaplt:\. А. Н. Конмоrорсн~. Д. ~- Ме11ь· шоn, М. Я . Суст-ш, А Я. Хт1чш1. Раз.вптис а бстрактных разделов матем:~· тики Стрс:.\щ:1шс 11р1к.л аtш 1· ь чt.:. IO\\l' 'lt:t:ю11'
разу,,1 ,\lf;1f)п11н,wн:1ло усилия .~ti'i'O.' liX,., м1.·о,• их j'чё111.1х . Внрочем, 1н.:рС!'•СО 0110 утю;tшю их 11 rакпс ,"\ебр11. которые почт~ 1 11 е н.мст1 сопрп- 1\uс11ове~шlт с реальностью. н ПС'рной П()ЛОНИl!t' хх н. нo:ШJJК.'I~I концсл ЦJIЯ аксио~1атнчсскогu ностроt'нш1 всей матс­ щ1·шки. Со1'л;ю-ю этой концеп1tнi1. lJ<.) с1ю 11а"' ак;111<::.ш ка А11/\Рl'Я l-11 1кол ;н:кн чэ Кол мu1 орона (190:\ - l987), '< Н OCl-IOHC t .K<.:it 1' 1;,l"J l'.\.la'J'Ш<ll ЛСЖJ l'J' Yl lLT:JH 'l't:Ория МНОЖt.:СТ!З» - духовно<:: / \C'J 'IJ J(lt; 1«:ор1 ·~1 Кантора. J\11ю1·11м 1<а ::J :~лось, что 61 1аг0/\~1ря 11сиедо11а1О1яl\1 Ка1 1тора математ1ша 1 1олж11а 61.i .r1,1с t:п п f"юлсс стройной н с~ю юй - состоя- 1ше. которпе Г11льберт 11аэк1л «раем». Koi; ta 06- 11 аруж11лщъ пр отшюр~::чнн u теории мtюжссгn ~1 мат<:м.~тнки C1':v111 выражат1, COJ' - 'J 11е11ия R c:1м1L'i: et 1к1юват1нх . Г1rльбср·1· 1юскл11кнул : « !1111шму 11с д,1нu 1п1·11а·1ъ нас 11.> кантuрu.нсю}J'(.> рая~ ~- Раэ 1111 · 1 · нt: аксиом:~т11 чес ко1 ·u мстсщз 1ю1 ·рt:60- 1шю кр1r·1· 1 1чс.с ю 1 11с:рсс"ю' 1·рl"ть оснон-а1-11, щ на которы е оп11рал:.1с ь мате1ч :пн1<:1 K1)JI •\.1UJ ' OP<J11 JlllC':-t!1 : «\lp11 IHК:TJ10l'llШI 061ш 1р11ых 11 Н110ГЩ1 11ес1,"1:1 a6C'rpaкr 1 11.1x теорий, охватывающих, rюии.чо тех ча стных случаен, которые п.rнте1111 Г\ 11л со:~,"\;пrню, 01тюм111.1й матсрнаJ 1, получаю - 1щ1й КОВК\)i;;ТПЫС lф\!МСНС1НШ JIИШ\," 11ерсш.:1'- 11шс десяп1ж.:тнi1, ждать пспосредст1к:111тых сн1·- 1ылuв о 11сдuстаточ1 ю\1 коррс1пнuст11 теор и 11 ПС'ЛhЗ!I . ВМСС]'(} ~ТОП.) llj)HXU[(ИTCЯ оnр<1ща IЪСЯ КО 1ю.: \\у llaKOПЛCJJJ[()l\;\Y uпьпу работы Yt'JIUllCЧC­ cкol1 ~1ы с, 111, котС)рый как p:t3 11 суммнрустся R ныраб:пын:н:: мых 1н>сгr::псr1но науюн't трсnо11а- 11шrх к " L"1 р< н·ос1·1 !'. доrса:1атс::m,с1 'Г1». Гr1.11.берт СО:iJЦЛ ;1J(C I IO i\1;) ' 1'f IKY ЭЛСМСI п ap1юir 1·с::омстр1111 , ;i Колмогоров - тсор1111. веронт110- стс l1 Ст:11ш р:.1зшша1ъсп мног11е др5т11с Jкс1ю ­ матпчесю1е п.:uрпн. ll коrще 5U -x гг. гру1ш;~ фран1~узсютх .мате ­ машкuв. вые 1 '\1 111шшн:< н 11ечатн 1ю,~ 11сt:в1101-11 ·1- мо:-.-1 Н11кол:i 1->°урбаю'1, оf1ъс;1 1·1н1rщ11_:ь 11 жстнш11 l lUC' l'PO l lTЬ KCfO ~1:1'L'(;' .\'1:ITI1 ку 1[;1 а K~HOM<l 'J'l I чсско 1"1 оо ювt.:. Ф)о 1~даl\1ентом с.11уж1111:-1 тсорня множесп1 . 3л 1::;-. 1 сгр0111101 пср~ыJ·1 этаж у1юрядоч~.:1111 ые с·1·ру1<тур1>1, '1! 11·е\1ра. общая ·1 ·ополnпщ теор~ rн 11сры. По-1 ом сле; щваJЮ ноз1н:·сги nтCJpCJ1i эт:1Ж, r.·1e ('OC/tltllЯЛПCЬ бы струКТ)1JЫ - :шгсбр:.111•1е­ :к11е, 1·еомс-rрическш: и 1'. н" - состашшющие ntр1ш й этаж. :·)та по11ытка осталась 11сзавершL·н­ иО1\ так каr< сама цст" 1 10-вrщимому, бъша ую­ m1чн~1. R 2U-<:: IТ. JIL'U6ЫIOIOKtlll-I01'0 \):IЗBll'l'lfИ до­ =т111ж1 ;;m ·сбра , нрои :щ шла :ш 1 ·сбранз<11 щя ма- 1 loooc орсмя Лн11рt·i1111щм ,11·ш1•< Колмоrо роs 'J 'CM:t'l'llIOI . C:p<:J\11 тех, K'J'() н :{H ;IЧl'l'l 'CJll>HOO м<:рl' с11особс1·кока.11 :-~тому 111хщсссу , t 1 :що н:1.:~на · 1ъ нсмсц1«J1'<J матt:мt1·1 · 1·1к::1 Змм11 Нёп:р 11 ее учс- 1111к::1 1·01u1:1 t t/ tl (:1 fia 1т1 '(;'Jl<I Л<.:1 l / \t:рт~1Ra11-,tt:p-Bap­ / (t:Jta ( 19();1 - 1996). МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В конц<:: Xl.X n. каза:юсь, что фи зика - :1аuер- 1ш:~1mая облает~, з11ш111й. Р~1сска::~ываrот. что некай ющ.>llL:t обрат~ u1сн к мэтру (на стан~ в 1ку) с пrосьбuй о 11а11утстн1111 - он хоп.:л стать ф1J­ з11ко,ч. //о мэтr OTBC'l 'HJI , Ч'JО у t\Jl!ЗJIКI 1 1н:т гrcr­ (ПCl<TIJВ: 11а почт11бс:юблач1шм11сбс 0·1·крыт1,1х llC'I llH HIЩllJ,I ЛllШЬ / \Ua [ I CбOJIЫUIIX обл :~чка - 0111,1 ·1 · 1'v1а ~'1 1<сл псо 11а ((Jtl 1tока:~ал 11с:-.1;1в11с1шост1, скорост11 света ()·1· /(Виже11ю1 :kмт1 . Пр1Lм. ред.) 11:-~а1ю 1 1ы11:1.11учсния. Скоро 01111 рассеются, н в фпз111<е нечего 6)7\СТ делать. Через нс.:сколько лет 1 1з ~1срво1·0 об11ач1<а рuдиласт, с11~цнал~.11:ш тсор11н uт1юс11тслыю ­ стн, а 11.:~ втuро1·0 - ккантован мt:хаtшка . Ct 1 сц11а : 1ы1ан 1с.;орня 0·1 ·нос11тсл ы-юс 1 11 cu- :3:\<tнa к 1905-1906 rт. усшшнм1·1 Альсk:rта ?Юн - 111· 1-еl1на ( 1А7С)-19'55) 11 Пуанкаре. Устроl1стно ф11 :111чсощ1 ·0 :v1ира, 011исы~асм о1 о .- f1 011 те1)р11- tl1, Gы1 10 оче111, 11 t:пр1н11,1ч11 ы VJ . 01 ю r1ротинорс:­ ч11Jю · 1.·с:м 11 pt:ДC'l'~lliJH; IПIHJl.I, /..0'1ЛрЫt" 11ыр;1б:п1.1 валпс1, па nротяже11ш1 пос1 1t:t1шх тrёх ueкon. Чct·u стон·~, нанрнмер, ч1арадокс 61111:~ш: цо в+ . Один и з 1шх жиnёт 11;1 Земле, а другой отправ­ ш1<:тсл в тщошчсскос путешествие па свt'рх ­ скоростной ракt.:тс. l3ер1 1 уш 111 1с 1, 11а:~а/\ 1ючти 11с 11:з1v1<:1-~нuш11мсн, всС:· так11м же Н)НЫ~t. ка1\ в мo­ Mt:H'I' ст;~рта, 011 :~:1 ст;1ёт с воt1·0 (1рат;:~ 1 ·nубою1м lH
История математики ЖюАь Анри Пу~ н карр l~1·ари ком - ведь nрсм:я на Земл е и в космиче­ ской ракете текло по-ра:шо му. 1! о коr.п. а 061-1аруж.илась снязь спе циальнuй тсо рнн относитt:ль 1-юсти с 1·сомстрпt:й Лuба­ ченскоrо, это кдох1 ювилu м<1тема11,1 ков: теория, 1 1 редс1 авляншаяся многим абсурдной заумью, Bfl.pyr оI<азалась пежа щей в основа 111 111 uсего мнро :ща тrя. Через десять лет :7йmuтей11 создал общую теорию относителыю сти , 1<ото рая полностью разрушила представл е1ше о « Плос 1<0м» мире . Геометрия мира предсгала «искрнвлёпrюй» и снН::!<1нной с: тя 1 ·отен11см . Пок:~ з:шия 11риборов, сонер шнв111и х rтуть от одной точки н дру 1 ую, как ныясн.илuсь, тюлжн1,1 завн сеть от траекто­ rни J\f\ИЖС ННЯ Паралле.11ы-ше пс.rе н есе 1 IИ<:' на 1-1 ск rнил Е ннn~ х поверхностях опре11 еляето1 одннм н з tJаж11ейших понятнй 1·еоме1rни - свл:тостью. 0110 было п 1х:дметом изучения геш.1етров итальm·1ской тттколы - Леви-Чивита и др. Всё это повлекло за собой интенсишюе развитие 1-еоl\1етрии в 20-е и 30-е rr. Тогда же научны й мир ожидал и другой « 11ruк ~ - рuждсние квантовой механики. Ру­ шился сщн н 1·13 H <:З hl бЛC MhLXДOT(}JJ поры баС'l'И­ о н он на уч ног о мнровпззрсния - прю-щ1 1 11 детерм1 1низм::1, т. е. nредск:~зуемости будущею по пр ошлому. Выяснилось, что мнкром11р неnрелсказуем . В ссютвстствии с при1щmюм неопределёштост и мы 11 е можем точно уз1 1 э·1ъ од11оnреме11110 н пол ожение элеме нтарп о f\ частн!(ы и сё скорость. Это казалос1, неnероят­ ным даже такому rcr rнro, как Эйнштейн, - од­ ному из ОСНОВОПОЛОЖIIИI<ОD квантовой теории. ~ я нс нер ю .в Бо1·а, иrрающе1·0 н кост~», - н с уставал п о вторять он. 114 т~1к случн 1 юсь. чт11ма· 1·с мат11ческис основа­ нш1 к1:1а1п·о вой мсханюш были с:озданы Гнль­ бертом и е 1·0 ПОСЛС.:/\01'\аТСJl>IМ И ll C.::.J;Jll;OJIГO ДО рожде 11ня само~! t 1 аук11 . В ч<1сп-юст11 . Г11т.бt:р­ тоnа теория бесконс чrтомер11ьLх кпадrаптч11ых фо рм помогла установитъ рав1t0с 1rлыrость двух 1юдходов к о rтнса нию микр омира - ма­ тричной механики Гейзенберга и вотю1юlr ме­ хашш:и Wpi.:1~11н1·t'pa . в 190'5 1' :;)r1 нш ·1·е йн uпубликовал тrи рабu­ ты . Ою1а была посвящен~• спе r tи ал ы-ю й теор1111 от1-юс11теJJы-1ос_-г и. !\ругая - кна11·1·01ю1'1 механ11 - к<::, ЧХ0Тl>Я - '1еОр1·111 броуН<.>RСКОГО /~111-IЖ<::HJ 1Я О первых ,11вух пробпемах уже rr>1юр 1-1лос1" тепер1,, peLJЬ пойдёт о трет1.е н . Математическую теорию б роу 1 ~овского дnижет-п-ш построил Колмогоров. 13 пей nоссо­ t'ди11илт 1 сь тео рия теплоты, пачат~u1 11 сслс1ю ­ кшия.ми Фурье, Т(;орю1 броут10Rско 1'u дш1.же­ н11н Эйнштейна - с~юлухuвс:кого, со;9щ11нш1 ими на фн::sичсском уровне, и ре::iульт:пы тео­ рии вероят1юстсl1 , нач:.11ю которым положи­ Jllt M<tfЖOn и Rи1 1ер. Высокого ~1Jоnня достит ·л<t теория урав 11е­ ний с частнымн гrрон:1tю; 11 11 .1ми. Пуант<а ре 1111- сал: «Каждая физическая тео р1ш . п<нюnа~1у освещает уравне ния. Без ;:,ти х теорий мы н е зналн бы, что та кое ураu11ения в ч астных проиэво; tны х•. Прониюювспис мз тематики в различные обласvr'и мс::ханики и физнки шло широким фронтом . Уч ёные-ма тсматики 11ри­ нимал11 активное уч<1стие 1:! р;вработке м но­ гих фн з ичt:t:КИХ тсо р11й - турбуJ 1 t:нт н ост11 с nерх прОВО,!\ИМОСТИ 11 др. МАТЕМАТИКА И ВОЕН НО-ПРОМЫШЛЕН Н ЫЙ КОМ ПЛЕКС Матсм~1 тнка }"Jастновал:~ ин т;.~ю 1х дб1 н1 шх нека котоrые п о11нсли человечество к rранн всем11р· ной катастрr>фы. О1·ром1юс ч1 1 слn учёных я разных п·ра 1 1 ах 11ринюш учасп-t~ R11рu 1 раммах 110 СОЗД:.111ИЮ IIOFleЙt llllX сrедСТП 1юоруже 1 1 11.я 11 веде1 1 ия военных дейстnиi1 . Потреб11осп 1 самолётостроспия пр иоел н li развитшо аэродинамrпси и появле11и ю n m<ra- лc всI<а теорин полёта. Среди ю1а сси 1юn это11 науки - «0тс1 1 русской :~виаци 11 » 11. I::. ЖуТ<ов· ский и его 11осле;1он ап::ли - С. А Ча 1 1лыt·1 щ
1.1 . 13. Голубев и др. Длн создання те:орш1 rюлёта ош1 прнмс н яли н шттенснв1ю разnивзлп тсо ­ р11ю фу11кц11Г1 ком1~лс1,сного переменного. С..:о стропп.'ЛЬСТJЮМ IЩЦВОДНОГО 11 ПОДIЮДJЮ­ \'U t\11ют~ были с.вя :>.:11-1ы фу1 1J\аме11т;u~ъные до­ ст1гжсt 111я н обп:к~1·1 1 теор1111 кор~1бля (А. 1-1 Кры­ лов), гироскошн1 (А. Ю И1 11 тшскнй), ра:тнт11с г·сnрин )'C'l'OЙЧ l·IJIOC"ПI , ме'J'ОД()В RЫЧНСJ1ени1I . Н1111ер и Копмогорт1 :1ан 1-1 ~1ат rс1, ,\11rог11мн пр 11ложепннми теор 11 н нероят1юстей, R ч :кт- 1юстн утtранлением ар·r·илперийсrшм с>п1ём и nроблема ,\1и бомбометания. Из nотрсf1 1 юсте 1'1 11шфроnк11 секретных сообщений 11 эффск-пт 1юi 1 псрсд:.~чи их по как~Uiам сш1зи nырос со­ вер 1 uешrо новы 11 ра~дсл матс~1атики - meoprm 11нфор.мmр1U (К \Uе нно11). сонсршс1-1стnоuалась 11 1·сорин конирона 11 ин . КО11с·1·руи рова ние раке· r· {\а11ы-1с1·0 дсйстния с1·имуниrокало развит11е оп·п1м:.~лh1юго ут1ранлс11ия (Л . С. Понтряги11 . Р Бt:.ш r ;11:.1 1 Т) и мнопrх друтнх p<1З/\t:JIOB прш<Ла/t- 11ой п ч1к·тоИ м::~те,,1атнюr. Г1рЛ1<.1!<1/1,t1ая м:.<тема ­ тпка обслужнн;vrа и ~томную про 1·рам .v1у. Лроп~rюстоя 1 ше дnух со1tиалы 1 ых систем привело к невилашюму развитию техпнки и в конt:чном ито1 ·с - к и11форм;щионному взры­ ву, выз нш 11-юму коиrrhlотернз:щисй . Роль матс­ ,\lатикон к pa~raбu·r·кc 11 сuзданн11 n l'рных ком­ пыотсрuн н1.::сьма 11(.'лнка. МАТЕМАТИКА И НАУЧНОЕ МИРОВОЗЗРЕНИЕ Неличие ХХ столетrщ в часn-юсти, 1:1 том, что 01ю нарушило, изме1шло, преобразовало п очти нес 11редставлсния челоне ч сства об окружаю- Новое орсмя Щс\1 мире. И здесJ, л1атсмат111ш сы 1 ·ра;1.~ вы,rр­ ющуюся роль . В 11 ачалt: века казалос~. - 11ау1<а fi.rшзка к оn'Ьлс11е1mю картт1 1.r мирозда 1 ннr . Учё11ые были Уflерепы в том, что м1tр nпзнаnаем , что .l:k-cJ 1 e1111aн суrцествует вечrrо. что она пе имеет ни начала, /Н I l\OtlЦ<l 11.И во Bj)CMCIIJt. ШI u 11ро­ стра 11 ст~е . Земля, счпт:~ли они, образоnа;1 ась естественным 11утём. естественным путем во3- н111.<л:t на нсй жизнь 11 н ходе естест1к:нноrо р: 1 :.т11т1 1я она ,r\ост1 н·ла щ.:сго то1·0, что открыто пер<::/\ нашнм llЗ()ром. Однакп 0()11(:1 н ·rтпрт1 относнтст.1-1остн Зйнr11те1"111а пr1 1 11слз к развитию .космологии. к теорн1 1 Болr,шого В:1рыва - пачэль11оli точки отсчёт:1 ж11 31111 lkелеш rой . Лростраrк1'во Rсе­ лешю11 О1<азалось ограниче11 ным, хотя и рас­ пrпртощимся. В больш1111сrне теорий о происхождешш Солнечной с11стсмh1 обнаружилпсь глубоюrс ИЗЪЯНЫ. \.':щ{: f>OJJCC ' \'~\HllC'TBCHHhlM ~Ыl'JIЯДl'\T IЮЯllJJ(.'ltHC ЖИЗt-111 на Зt:,\.1ЛС н сё ЭВ{)ЛЮJ \1 !Я , 11ро­ исхождс 1 r нс чел о нека. Нз месте пошатну11- uн1хо1 TI pyXH)'llllLllX П[)CДCT::JRJICHHJI Об }'C 'Tr>OJ1- Cl'HC Rce;1e-11нoi1 сонреме1111ыс учсныt' пытаются соэ7(;.п11 р<щиоrrат rстнч ескую версию мирозда­ шщ хотя уnереmюсти в ус 11ехе у 11их 1 ·ора :то менъше, ч ем быJ ю у 1юr<олс11ия 11х уч11те.11~й . l3cp11ёмся к вопросу о дстерм11ш1зме. Оо юn­ но11 тезис постн ыотоноnской н:~турф 1 rлосо ­ фш1 состшm D том. <rто мир управляется диф ­ ференцш1 лы-1ы мн урав111.:н1шм11, 1111ачс 1·01юря , 01 1 rюлнос·1·ыо пред с казусм . Гlослу111айте:: , на­ пр11мср, t1ьср;.1 Симона JТанпаса: .-,Ум , кт·орому fiЬJJll.J nы 1I Э llCCТ.l I Ы ДЛЯ КС!ЖДОГО /\aHHOl'O МО­ ме11 ·га вес с11лы _ ОЛ}Wевляю 11п 1 е пр 11[Ю!\У, 11 от- 1юс11телыюе 11оложеш 1 е 1ксх tё составных частеf1, еслп бы n11.обаrюк 011 оказался / \r JСТатuч ­ но обш 11рпым. чтобы подчш1иТh эти да11 11 ые анализу. - он обнял бы в одпой фopl\-ty.rte дш1жс11ю1 вслнчай1uихтел l3селс11 н ой наряду с движениями лс1 ·чаftших атомов: 1rc щ_'ТаJЮ<.:1> бы н1 1 <1егu, ч'1·0 бызю бы для него недостunср110, и будущее 'J'~ll< же, каr< 1-1 прошс.:ю 11 ес. 1 1рС/(Ст~1л о бы \IC}ll:;'/\ CJ'O ВЗО[ЮМ ». Ro npcмtн:.i Ла11J 1 aca Ш'ром1 1 ыlr мнр представ­ лялся 1щрст1юм Поря11.ка, 1~ нём всё нр~дt:к<tзус­ мо, nrСД()ПрсдеЛСllО, И ТОЛЬКО ШIЧ 'l'ОЖllЫЙ J(ЛО­ ЧОК этого мнра зашrмала « прот11 1юпр:ав 1 1ая -> область, где утверждал себя Хаос, - азартные 1rгры Пасr<аль, Ферма, Я . Бернулли н сам Лаплас uписади первые законы случая. 115
Иrrория матt>митики Жюль Анр11 1 1 у.111к ,1рt• стаrтпюм - ведь время 11а Земле и в космнче­ ской ракете текло 1ю -раэ1 юму. 1Jo кота обнаружилась связь специалr..rюй теории относит<:лыюсти с геометрией Лоба ­ чевского. это ндою-ютmо математиков: теория, 1 1рсдставлянrш1яся мJ-ю1·им абсурдной зау м1,10, BJtpyг ОК:133Л3.СЬ m::ж:1111сй R OCJJOBЭllИИ всего м11роздан11я . Черсз десять лет ЭйнштсЛн создал общую теор~ 1ю от1юс1 1'1·елы-юст11 , которая поm юстъю ра:зруш11ла представление о ~ 1 тлоскnм» мире. Геометрия мира 11редс1·ала «тrскривлёпной~ и свлэаш-юИ с тя готением. Показа ния приборов. совершивших путь от од1 юй точю1 в другую, к;щ выяснилось, доджны зависеть от траекго ­ рии движения . Параллельное перенесение на нскривJ 1 ённых nовсрх 1 юстях 01 1р едет1етсн олннм и :~ важнейших 1юнн·1·ю) 1·еометр1ш - сн~зностыо. Оно было 11ред м етом изучения геометро 11 ит:з11ыrнской школы - Ле1т-Чивнта [r др Всё э·1·0 1ювлекло з(! соб()й 1111те11сн ш юе ра::mитне геомеrрш1 11 20-е 11 30-е п. Tor,1,a же 11 ауч 11 ый мнр ожидал 1-1 другой « ШО!\ •> - рождение квантовой механики. Ру­ шился одm 1 и:з незыблемых до той поры басти ­ онов научного мировоззре ния - принцип детер.м11низ ма, т. с. предс казуемости будущс1'0 по 11 ро1111юму 13ыясншюсь , что мокром1 1 р 11сnрСf(СКазусм. в COO'l'RCTCTl\llИ с пpHHl(ИflOM нсопрсделё нтюстн мы не можем точн о узнат1. од11овреме1 11 ю н положение элементарной части~ (Ы и сё скорое1ъ. Это казалос~. певеронт­ ным даже такому r·етпо. как Эйн штейн , - од- 1юму из ОСНОВОПОЛОЖ l lИКОВ квантовой теори и. «Я 11е ве рю й Бога, играющего в кости•>, - не уставdЛ повторять о н . 114 Так l'J IYЧ.11JLOCI>. ЧТ<J матсм;~т 1 IЧ {:(.'!{НС ОС НОН3- НШI квантmюй механ 11 ю1 были со.:щаны Г11J1 ь­ бt:ртом 11 ето после11m1а · 1 ·е11>1мн нсза,r~,ш11'0 до рож,це1111я са моl 1 1-1аую r . Н час·тност11. Г11J11,бер­ това теорпя бесконечномерных r<naдpaтrrЧ1rыx форм помоJ ·ла устанонип, рав11осплыюст1, ДRух 110,ri,xoл:on r< опи сашпо микромира - ма­ трично й м<.:ханню1 Геl1з<.:нбсрга и тюm юnof1 мс­ хаш 1ки Шр~д11н 1 ·ср:~ . В 1905 1·. :;1r1ш1y1·1.::i:-111 tшубл 11.конап тр 11 р:160- ты Одна была посня Щl"На спе1 ~11 ~u 11,1 юit теор111 1 ОТН(1ситс.rгьносп 1 ,дру 1 ·;:~}! - квантшюй м ехан и­ ке, 1т>еты1 - ·1·еор1 1 и броу110 1ккого ;~н11жrн11я. () nepnr.1x двух проблемах уже 1'0 1 1орнлос1" теперь реЧ1, пойдёт о третьей . Математи<-1ес1сую теорию броуновского дшfжсшrя построш1 Кuлмо1·ороn. 13 ней nоссо­ едш1шшtъ теорня те1шuты , начатая исслсдо ­ вш шями Фурье, тсор11я брuутювского дв11жс­ н ш1 Эй н111тс:й 11 а - С"юлуховскш·о, сu:.ща111 r ая имн на фи :шчссr<ом уроRнс, t1 резу111.т:1ты т~:о­ р1111 вероятностей. начало которым положи­ ли Мар1ю11 и Rи1 1ер. Высо1<ого уроrнrя досп1гла '1 ·еорШ1 yraD11e - 1rи:й с частными проиэnодт1ыми . 1lуа11каре1111- с:зл: <- Каждая физичес1<зя теория... п о - 1ю1юму освещает ура!311ения. Без ;:,тих теорий мы н е з нали бы. '-ПО такое уравнения в частных произ1юдных~ . Про н11ю-ювс rrие матсмап1ю1 в различные области мех;1ш1ки и физики шло ши роким фрuнтом . Уч ё ны е-математики 11 ри­ нимаJ1и активнuе участие н разрабuткс м 1-ю­ t'ИХ фн з 11чсских тсорпй - турбулент1 юс·1 11. снерхnрО!'IО/~имлс-п1 н д р. МАТЕМАТИКА И ВОЕННО-ПРОМЫ ШЛЕНН ЫЙ КОМПЛ ЕКС Математика участвонала н Rтаких r1е>1н пях века. котор ы е подвели челuвечестнu к 1'ра1 ш ш::ем 1 1р· ной катастрофы. О1 · р()м1юе ч-1 1 сло учёr11,1 х н раз1rыхе1-р;н1<1х при 1 rю111 уч аст11е н [ 1 роtраммах 1ю со:1да 1 тию 11 овей ш11х сре11сп~ нооружt11ия ~1 Rсдс11ия военных действий . llотребпостп самолётостроешш прилел11 к paзDlfTllIO аэродипамm<и и rюявлешuо u 1~а•1а­ лс пека теории полёта. Среди класс11коn этой пауки - «0те1 ~ русской а ни ац1ш,) Н. Е. Жу}{ОВ· с ки й и е1 ·0 1 юс.:11едо 1~~1тели - С. А. Ч.аплыnщ
13. В l'олубсв и др. Длн со:щан~m тсорш1 попtта 0111·1 11р1 ·1мснял 11 п шrтсш..:1 шно разн 1 ш;JJш тео­ рию фуr llЩI JJJ KO,\l!ПJICl<CI (()!'() 11еремt:н H()J 'О. Со строJ JTl'Jlьcтвuм 1 1 ~щ1юд1 ю1·0 о лоднuдно­ го флота быт 1 свнз~н 1 ы фу11дамснт;lЛьНые до­ с~·ижсrшя и област11 тсорнн кор:.rблн (А. К. Кры­ жш), 1·ирnс 1юпr 11 1 (Л. 1-0. Итлт rсr<ий), разuнтие теор1111 устойчиnос-·ги, мепщов JЗычпсленr 1r'f. Uиттеr 11 К()nмог()роn ~аннмзлнсь м1ю 1·има nр111южешшмн теории вероят11остей, в част- 1юст11 уnраnление м артиллери-йсrшм оrнём н пробпем:н.~н бо.мбометзшrn. Из по1·rкбно(тсй. шнфро.кю-1 секретных сообщt' 1-ги 1"1 и эффектив­ но11 псrсда4Н JIX ПО K:lH:lЛ:ti\1 СВНЗИ вырос CO- кep111Cl-\llO ноный р:щц~1 М<IТСМ~IТИКИ - 1·neo/ЩJJ инфо(J.лш111111 (К Ulc 1 1нш 1). соRерmенствонал~н.:f, и теорнн kл;111ронан1нс Конструир0Rан1·1<:: р:~кс.·т д;1ш.11\:\'() дейt"r1~115\ сти м уJI 11 ров~ло развитие оптнмалы юго )r11раш1ен 11я (Л. С. Понтря rин, Р. Пеллмап) и м 1 юги.х[(р-~тнх раз;tелов прнклап:­ ной 11 чнС'10\1м:псмати1ш. 1 Iр11кладп~я матема­ тнка обаrул~11в:иа г1 атш.нrую програМ).f}'. 1Iропmостолr шс: двух соцпалыu)rх С1 ~стем 11р11uсло к нсш щанному ра:.1внтшо тсхш~кп ин конечном rrт01·c - к ш-1фоrм:щ1юНiюму ВЗ[>hl ­ иу. вызванному компh}tУJ'ер1 1 за1щеЛ. Ро11.ь м;1тс­ мат1-1ков к разработке 11созд;1нии 11ерRых ком- 1тыотtра11 Ht:ChMЗ BCJI 111<3. МАТЕМАТИКА И НАУЧНОЕ МИРОВОЗЗРЕН ИЕ Всm~чис ХХ сталс.тия , в часпюС1'11, в том, что оно 11арушило, 1 1змсюr1ю, nрсобразовало почти все прсд(~r:шления чслонс:чества об окружаю- 1-fовое орещ1 -~ ~L(!J щсм м 11ре. И здесь мате,vr<1'1'1'П<'1 сы1·ра1 1а 11ы;tа­ ющуюс}j роль. В начапс век:~ ка:~алосъ - наука блнзка 1< объяснению картш 1 ы мирu:щ:нrпя . У ч еные были уверены н том, ч.то мир лоз 11авасм, что Вс<"·л1.::1-ш~ш сущесшует 1~еч1-ю, ч·1·0 она не им1::ст н11 начшш, 1·11 -1 конца 1 1н tю нрсi\1<.:11и , 11и н 11ро­ странстве. Зе111ля, счнталн они, образuвалзсr, естественным путём, естест1:1ен111,1м П)rt·ём nоз­ ннкла на не~1 ж11э 1 11. и 1~ хсте естестве ~ 11ю1·0 ра::~11J1тня она /\Ост1гг11а всего ·roro. ч·ю открытп перед нашнм. н:юром. Однако общая тсорт~я отпосителыюсти Эfi 1 шпеfщ;1 nриnеда к разnиnно ~юсмо;югии, 1< теории Нолыпого Вэр.ыва - началън оil точю-t отсчёта ж 1 rзнн Вссл<.;Ш-юi1. l Ipoc1·p:111cтнu Все­ лс-нной OJ\;.iз::uюc1, огра1111чснт1ым, хотя 11 рас- 1 r 1иряю 1ц имся В большинстве теорий о про11схожJJ.сI11ш Сот-1ечной с11сп::мы обн:1руж1uнкъ глубою1с 1п r .яны . Ещё более ·1·~111нсп~еrrнъrм выr·ляJ\и ·г 1юн1111с11 1 1е жrr:JJ(H на 3eмJre н её ~нолюцня, 11ро ­ исхож.дешrс челоnека. На месте noшaт11yn­ rn11xo1 и рухнувших представлеш1ii об устрой­ сnзе Вселешюй соuрем:снвыеуч.6тые пытаютсн создат1, р;.~ 1.1,Ионалнстнчсскую .версию мирозда ­ ния, хотя уnерснrюсти в успехе у ш 1х гораздо меньше, чем бьJJю у п<ж<.mсния 11х у чнтелей.. Вернёмо1 к вопросуощ:т~рмнннз м с. Оснон- 1 юй тез 1к 1юс.:тныlУ1'uнонс1юi1 натурфщюсо­ фин сое1·ш1J 1 в том что м11р управляется днф­ ферсн1tн:1лhным11 уравне111,1 ямн, нн:1чс го1юря, он 11от юс1ыо прt'лска:зуt'М. TTocлy11 ra ilтe, 11а ­ пример, Пьера Симощ1 Лапласа· «Ум, которому быт1 бы аэnсстны длJ/ каждого щшrю1·0 мо­ мента все: сиJТы, одушевляющие прщюду. н от­ ноо пслы юе rюJюжсние всех её состаnных частей, еслп бы uдобавок он оказаJ1ся дос1·~точ - 1ю обшнрным, чтобы 1юдчш11пъ эти даю 1 ыс :ш:1т-гзу, - он об11яп бы 11 одной фopмyJJt: дrн 1 жс.:1шн1:1t:1111ч;1Л111нх тел Rссл енной 11:1рялу с дв 1 rмсниям11 лс1чай111их атомоо; 11е ост~шось бы н11чс1 ·0, что было бы для 1-tcro 11с;щстонеrно , н будущее так Жt', как 1r прnшс]\шсе, предсr:тп бr.r перед с1·0 в:юром». Во врсме11а Лапласа огромны.И мир предста u- ляло1 Ilарством Порядка, в нём всё nрсдсI\азус ­ мо, пре;юnредслеrю. И только нпчтоЖJrr.rй юю ­ чок этого .мира :~анимала <•противонравmtя? uбпасть, где уr·нсржд:т себя. Х:юс, - азартные И1ры . Ласк:'.lль, Ферма, Я. Бер11ую1и н сам Ла111шс опие:u1и 11~рвые законы сJJучая. 11 ')
Иtтория математики ЛлеКСi\Ндр м1,1хм1лов11ч л~тунсщ, Но." облас1ъ Х:.юса расш11рял:~с1" 1fау1<з а слу­ ч:н11 ю:vi - теория 1~e/юяm1LrJu11uй - ра: ш1mалась 11 кре11лJ. В ХХ n. 1ю J\IJl(m"Jм 6лаr()д.tря усншшм П. Л . Чсf>ыm~ва, л. М. Л~rл ,·1юва, Л . л. Маркоuа. С. Н. .Dtрнштейн:-t и А. 11. r<:олмоrороАа от око 11 - чатсл 1 , н о оформил.tсь 11 стал.t :1 ,шимать всf 6ольшсl' M(X'l'U !:) 'j'UJIKU.В<IHИH 11р11р01~ы . I::щС I ТU.IJ­ BL'K:l назад казаJlо(.ъ, чтu 1~<1рс·1 1 10 Х:юс: 1 11 1t:~р­ спю Пuр sщка п u край 11 ti1 o\lt'pt <.:О И. {J\\t'р11мы лру1·(.' лру 1 ом. Но к llЭШt: время 1\] Jj()J 'ИC учёныс 11сповс.:.:дую· 1 но:13ренr t l'. Y", j {l' 11 ря мо 11ротн нопо­ :южнос н1,н >Т< >I-H >-ла пласопскому, Y"l 'Пt[lЖ/Laя, •по 1ке eC'I ь Х<юс. и у 1111!1. 1tm1э·1·01·0 епъ м11оrо oc- 1ю1ia11r1!1. R -Ю-с п·. родилос 1, [f0130e направление н ;11~1т~матике - теория ~шформацин . Амер11ю111 - скш·1 учёный IJ орберт tlнщ:р ( 18()4 196 1) nклточпл тсоршо 1шфо рJ.1:щ1 111 в божт общ) ю научную д1кц1- 1ru111ну. ко·1·орую он н.1;.1в:1 11 1m- бejmenm~o{1 (г/Jеч. " 1 ~скус<." 11ю yнp::iв1Lt.'111lЯ") 116 Рож; tс.:1111с этой пауки т:шжс спя :~:шо с ооrы<. ­ ж: 1111 с.:м J\ш01·11х фшюсофсю1х 1<01щс 1 щнй. н lf{ll'Ж/\L' HCC l 'U С l l(JH~ITl l CJ\ I COJHilHШI hЫJl,1 111,1- CKa.~;.i 11<1 ~1/\бl -" 10/(l'JIJ 1рш~а1111}1 чеJН HIC'lt:Cl{()l 'O Cn:1 1r:i 1г11я _ Но:iможностh со:щан11я 11екусс1 нс.:н- 11ых t'YЩl'CTH, o6J l 3/\alOЩHX MЫlllJ\Clllll:~1. - одш1 из r1 робщ·м 1I01io1:1 филосафии. 1 ю:-1 1 1111< ­ шейnко1щеХХн. И JТаконец, оди 11 11:1 кр::tеуголы 1ых кампtir фшюсофш1 начала не1<а - сама 1щея Jюз11.1 - н;~с.: ,,юсп1 м11ра. по - ш l/llL\1 0мy, тожt: разруш<.:11а Uo всяко.;1 ст·час, uршщшш:u1ьн;т ш~ р:t3ре- 1ш1мос1ъ 11μ06J1t'\IЫ "разрс 11111 ..,,юсп 1 ВС(.'Х 11ро­ блt:'vР nыла ус1 :IHOШ lt'Jl :l В :Ю -1..· 11 ' l\)l'YllJ!\I Гtд<:Jlt'l\I ( 1906 - 197Н). :1кс 1р11Г1сю l:\'l м:1 1·сл1::~ 111 - 1юм. :'11\1 111 ·р1 1 р(нi;1Нш11.\t 11оз;t11сс 11 CUTA НЕКОТО РЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМl::~I И ИХ j-JfWEHИE « Нt:нu:.;1\1ож1то отри~ lа1ъ глубокое :~1 rачсшrс. ко­ l'Орое l lMt'IO'I OIJj.Jl'Дt'Jlt:HHhlt: 11po6J1C\1J,I Д.1111 11pu- 1'1:R IJЖCH[I!/ матема·1·11чс:.:ско1'1 11аук11 1юобr 1 ~<.:. 11 важную рот" кuтuрую 01 111 1 11 ·р~щл к paб<Yl 'l' ()1:дcЛbll()l(J l l CCJ l (. 'Jl()l\;1•1t:JI H » - Э'l ll tJl()К:I ['11Jlb- l)ep·1 llj)OI r:{н(;с ко HC'I у1lll'J'CJIbllOll Ч.ll 111 CHOL:J'() ; (ОI<Л;Ща, тюсвн щё111 IOIЛ формут lj)OJ\l\~IM .матt:­ ма гичесю 1х 11робJ1ем. ХХ век }'H<tcлt.:,'l.O fiil!l от n рошл i.rx 11ремс11 11сс1<олъко ncm 1к1 rx проблс\1. С:1м;u1 сгар.1я 11.1 лпх, поставлешrан в XVll в., ~ тсо1х:ма <l>ep:--1.1 о 11t'pa3pt'1Шli\1 0CTИ 11 1raтypaJJ 1,1 !ЫХ ЧllСЛах Д llO­ ф<l l l'l'Ol!:t НХШ ll С 1111Я .\' 11 +)' 11 -z''прпJJ>2Двt 3На .чснНТhl С г1роблс,11,1 - ГonhJ\6,1x.1 11 ~!'1.11<.:р,1 - н TL'op1111 ч11се:r 11р1 1111л1 1 11.~ Х\' 111 11 Rср1 ю J111, дd1:111л Гильоt-μ1 .
что К:tЖДОt: на·Г)1Х11ГЫ·Юt: Ч\/СJЮ, 60J 1ы 11et 6, t:CTb сумм;:~ ·~-рёх npocтr.tx ? С этим во11росом в 1742 г. Х. 1·от,дбах обрэтился к Л. !)йлеру. Эйлер же за.•1етил. что длн o-rneт:i на nоста1шс1шый во­ пр()с досгаточ1-ю ,~юказать, что каждое чётное ЧJICJIO является су.:v~мой двух J1poc.rыx. И:1 пробл<:"1 X JX н. нанболсе 11звестна 11ро- 6лсма ко1 1т1JJ1уума, 110с1·аю1е1-mаи l<антором : су­ ществ>'<.:'!' ли такое множсстно, которое можно ю:1ш.11 ю ол1 юз1 tачно отобра:тть в сдr 1ннчный OT[>e:\<JK , НО пр11 ЭТОМ еЮ·11 1 11ЧНЫЙ отре:Ю.К 11сm,зн f13;m~пю однпз11ач110 0·1·06ра:нлъ fl это м~южесттю? ('и.rп.берт сформулировШl 2) проблемы, ко­ торые, rю ei-o м11е11и10, доюю1ы быm1 опреде ­ лш·1, nерс11ективы матсматшш в ХХ 11. Во мrю­ пrх нопросах оп окаэ:шся хорошшv1 прnвщщсм, но в нескот,ких снучанх r1н·1у1 щr~н нз мет ша С,\1у. Как лрантю, это быJJо напрJJмую с1:.шзано с Т<.: .м ~Ql l'l'llMlfC'f 'llЧCCIOTM» RЗ l'JUЩOM н ;1 М~!р. о котором уже твор111юсr" Сною убсж.;~ённ остh 111 rerJl'pa1 шчснных Rоэможностях ч..еловсчс ско­ rо разум:.~ Г~rт,бсрт выразил н афор11зме «Мы XOT\tM Зlll1.T I>, мы бу!\еМ з11а1ъ" . Оста1юш1мсл лш нь па некоторых пробле­ мах l'шн.берт:~. На первом месте в его списке стояла проблема ковтrшуума. Обращаясь к 11ei'1, Ги.%6<.:р"J псход11л нз возможr rестн её разрсше­ н~ш н ту 11лн 1шую сторону: да или не:т. llo к1,1нс1111sюс1" ч· 1·0 она нс может бы·1 ъ J:-111 дока­ :1:~щ1 , 11и т1ровtрп1 уrа мстuдамvt д1ат~матнч<.: ­ ско i'r 1ю1·11ю1 н r1дной общспр11нято11 акс1Lома­ тичес 1·;0\·1 ·1·соrшей 'шожсс.:тв. То, 1..1то еС: н1::ль:1я 011 ронер п ryтr" лпкаэал п 19 ~() 1- . Гё;1ел ь. а обрат­ ную 'reorcмy - 11 19(1:1> 1·. 3мер11к;-~псю111 ма"1•е­ ,\1:111ш Пол Коэrт (родился n 1Q34 J• ) . Уверсшюсть n том, что I<аJКДая опrеделёп­ пая м~1тс~атJJческ::~я вроблсма flепремснно должна нмеп> решеrл re, лоб)'днла Гал ьбер·1·;~ 1юсп1щ11"h п 10- ю проблему .-УJ(азат1, способ. llf>JI I Ю\ЮЩ r r которого 1юзможr ю после кuпеч- 1ю1'u числ:.~ оr1еращ1й усrа1юв11·1ъ, разре1uимо .1Н ЩIHll<Jl' ypaBllCHl!e 13 ltСЛЫХ f1aЦ110lf;JJlbl!ЫX ч11ст1х» . Иначе 1()-я 11робл~м:r формут1rуется Новое время так: дока:3ат1.., что С}'l.Цсствуе·r аm ·ор ит.1v1, кото­ рый 110 данному мн огочлену ;; от п г~ере­ м.енных с целым~ r коэфф~ щ11ентаJ\·Ш рнспозIIа ­ вал 6ы, имеет ур:11ше,н11с Р =О целоч1к'J1<.: 1 1ныс корн.и 11m1 нет. U 1970 r· . IОрн1'1 Вл;щнм11ров1·1ч МатннсеmР 1 (роютсн в 19-1 .7 1· .) устаtювш1, что требуемОl'О ;u 11 ·орнтма нс существует. rнльберт 6ш1 настсжыю у1~ерс11, ч·1·0 фу11к- 1tю1 трёх nерсме:нных устроены слож 11 ее, чем фут11щи1 rлnух нереме1шых. что 111>1С1<З :з:lJ1 таr<у ю гнпотезу: нскоторзя ко11J(рет11ая фупкцнл 1рёх nере:мешrых 11епредставима в rнщс суnерпозrт­ ции непрерывных фупкцш'1 ДВ)"'Х псремешп,1х (13-я 11роблсма). Её онроверrли в 195 7 г. Кол­ м<хоров н В1t:~дп~шр Игорс:nич Л.р~юнь/l, (ро­ д11лся :в J 9.)7 1'. ) . Ок;:~~алосъ, что с помо щью '1OJIhK() ОД! \ОЙ, 11 1lp11TOM 11ростей шей , фуню \1 \И ;tвух ПCfXM t lfHЫ X с:).·,у) ~.\"+у 11 Нt:Прерыиных фр1кцнй о.п:ноi1 персмсн1-юl1 .мuж1ю носстано­ АИ'IЪ любую ф)'lfЮА 1 1ю 11 пС[)(:,ченных. Пробл ем:~ Фе:рма б ьи1а разрешена н 199') '" (см. статыо <·Вет 1кан ·1·еu рем<1 Фt'рма·>) . Проб­ лема Гоm,.п:бзхз ок:lзалас1. <· почт~,,, ре1u ё1 нюi1 в 19:Р L'. Ива.1ТО~1. 1\1атвееnтtчем Urп югра.д()ным ( l891 - 198:)), кuторыfr доказал, что J1юбое до­ статочно l><шьшос на1)11хu1ыюе чпсло предста­ в ~ 1м о сум...мой трёх прсктых. П роблсма Эflllcp;i 1ктал:1съ 1н::ра:.1рсurёююl1 и 11 1шш1с ХХ в.
Числа АЗБУКА СЧЕТА ПОЗИUИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПокуттатеJ1JJ. нриходя в иа 1 ·а:шп . видит товары самой разной стоимостн - есть о~rеаь дешё­ вые, есть неrrо.мсрrю дороr11с. Чтоб ы у11рос111ть расчёты пр11 покупке, Цс: нтралытый баr-11< вы­ пускает дtш.:жныс зн;ак11 различ1-ю1·u достоин ­ ства. Кu 1 ·да фото1·р:зф J1ш1 ап·1·tк:Jр1, / LJIЯ r~р1л·о­ тпнл е н 1111 нтжного ему р<1стнор.1 нзнешив::tет порош кн , он 1 1 сгют,зуст спt:ци:~льные ап1ек:~р­ ск1-1е весы 11 11а(юр 1 '11рек р:вной "'ассы То ч но тз к же Т1З базов1.1 х ::JJ1eмe1 1'1 ()П, НЛI 1 КЛJОЧt:ВЫХ ч11сел, с1тюнтся любая числовая с11стема . Если пrи взвеш1ша1шн порош1<а ~ттекаръ положил 11::1 ч~1 шу nccon дnе rиpLкr1 по 'Ю 1 , одну ПфьJ<у в ') 1· r1 одну гирьку в 2 г, то nec порошка составил2 '501·+1 '51·+1·21=107г.Iloи сама запись ч 1 1 сла 107 сш1зана со спt:циалыюй ч11ою1.юй б::t:юй, а имен~ ю 1, 1О, 100, ." Так, 1~ифр: 1 1 3:1) \аёт ЧllCJIO COTCJ-1, () - ЧllCJIO J~есят­ ков. 7 - чнс;ю ени 11111 \. Эт.:м1,;нты ч ислоноГ1 f)аз ы. 11лн кпючеnые ч11сJ1а, u l((llнюм случае 11рс:1,с.-1·;шля ют собой степе~ 111 д.есн· 1 1 1 1=10°, 1о=н)', 1()()= н/1ООО=1()'ит.д. 120 В JLеоп ·н,шой системе всего лесят1, цнфr; О, 1, 2, :'), 4, S, 6, 7, 8, 9. Говорят также. что эти цифры представляют coбofi коэфф1щ11енты разпоже1шя :!;ща11110rо числа по степеня.ч 10. а само число 10 н.t~{wвакп ос1ю(iа!ШС.М системы СЧИСЛСНIШ. ~ tkc» цнфры R i(eCHTI ILHIOЙ заш1сн числа 011рслеляется её П< )з1щис1!. ч t:м дш1ьшl отстоrrт .п.;.~нная поз1щ1tя т крайне1 '0 11р~1нш·о ра:~ряд~1 ед111-1тщ, тем большую ч·0111щ н ос1ъ~ 11 <· АСС» она нмее1 Поэт()му пр 1 н-1 ятзя снстсж1 .3агшс1 1 чн сел пазываето1 Оесятич11ий 111л1111,11- тию1i с"сте.мой счиспе1111я. Пытлrmый читатель ~шраве спросит~,: а поче­ му u качестnс ба зоnых LJ11Ce11 выбираются сте ­ пе1-11 1 11ме11110 числа 1Ut 1l елъзя лн воспот,зо­ n;пr,ся сте11сш1ми друго 1 ·0 числа, наnрлмер пятёрки или ;щойкн? ,'vl ожно. 1{ 11р11мсру, р~1:тожс н1 1с ч 1 1сла I U7 ло степеням пятерки Rhll 'ЛЯ/\11·1 · ·1 ак: 107=4 52 +15 1 +2.5°, а по степе11.ям двойкII следующим о6р::~:юм :
JU7=1.i'+1.1'+lJ 21+J 1.' +() 2L+ +1 11 +12' 1 В 11~р1ю.м <-.:луч',н.· множ1·пс:1 им 11 1 1 р11 <.:1'(.:11е 1. 1и х 1~1.к1упают11,11фрr.т из 11абора О, 1,2, 5, 4, 110 вто­ ром - 1·~1ю1х ц11фр всего пне: О п 1. 6.ВО ИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛ ЕНИЯ Прuч11таr'r· 1·с шуточное c:1 ·11XO'J'1101x~1 r 11t' А. Lj. Ст:1- рJ1 ков;1 <Л<.::oбыJ<J HJl!C H H:нr /~СJ:!ОЧКа •: Ezi бы.по тысяча сто лет. Она в сто rrf!/жый ;..:ласе :'(.одила, Н пор11и/юлС' 110 сто юн 1г 1юс11.11t1 - Во! -тт 11рши)а. с1 11 е fi/ }l:'(1. К()гr)а, пычя f)есят11п:11 ног. О11а 111{1гапа 1 ю йо;югс, 3а 11111/ асегда t7С'.>1шл 1це11т1 С m)1ш·11 х1юсто...н, 3а11ю сто1югиt't. О11а ловила 11дJ1ц)ы1/ з~1·1,· Сво1Lми (>1?слтыо yzuaмu. 11 дr:сять загирелы:~: PJ 'h.' Портфель и пиводт.;, дер;1сшти. lt деот1.ь mёiN1ю -cu11ux гл<.t.1 Расс.мтn/н1.8алli .м1 1р 1фивыч1-ю." Но cmmtf!m всё С(Jщ:е.111 обычньнt, Кигда ппit.мёп~е н:аm fюсскаJ Ра::11·;щ;пъ :~агадку поэта IJ aм номожет слсдую­ щс:с: 11 ,16люде111 1с:. Uыш1 шt: м уnшмшутыс в l"J11- хuтвuре111111 числ:~: 1, 10. IUO, IOL, l l OU. Легко 1:1 \1C'J 111'h. • по нес OH!l 3:1 ПI [CЫB:.JIOTCJI с 110- \HlЩl>IO JJИlllh двух цJiфр: О 11 \ . Может б1.п1,_ здсс 11 Jаш1 1 фронано pa:11roжcr 1 иt" ч11сел по сп:~ - 11е11я~1 днот1 1<1-1? Пр()иери''' 1-Етr бы.1() 1100 лет»: 1 21 +122+О21 + +О i' = 12 . :~1 1 а<л11, e1-f t)ы1ю 12 ле-1-. «Онз в 101-й 1<ласс ходш1:1»: 1 1-!. +О 21+ + 1 2'' = S. З11ачнт, она хоюта fl ') -11 класс Н т:н< далее. Дс ikтннтслмю , IТOJJ}'Ч a(."1'01 со всем обычная 1<:1μпша . А помо1·ш1 11:.tr.·1дво11ч11ая с11 - <.:тем:1 СЧ.НСJ I СНИЛ. Итак.1 1 о:щц1 ю1 11 1ш1 с11с 1 ·с масч1 1 слс111т. н ко­ торо1! н качсегнс 6;1~он~,1 х ч1 JCCJ1 в1.1i111ранпс}1 cтi.: 1rt 11 11 ч 11 сла 2, 11а: 1ынаето1 ()rю11чГ10[1 гю3 11ц11 - m11ю(i п1ппе.~юй cчuc;1J:!ll11Я. Чтобы рi1-v1и ч пт1 , ч11сла. :-~а1шса111 1ыс в р;~:тых спстемах сч11сле- 111щ IJX :J;I J(JП()Ч:JIOT в с 1юбю1, а в11и:~у СПJХ! Щl )1\3.- зьгваю·1 ос1 юuаш·1е системы сч1 1 слс.:IПIЯ. H:mpL 1- мep, з~п1rсь ( 1HI0)2 озп;tчае1'"rо же са .чос •нкло. чтп 11 ;{;,1.1 1 1 1 с11 ( 12) 11). Поскольку все м1,1 110 ; 11 ,:{у­ tмсн J\t:OП'l\Ч.HOll CIK'\'t:MO~\ СЧllСЛС'Ю !Я, '\'О J\t:CИ­ ТJ IЧHOe ос1 ю11ан~:1е 061,1 ч1ю r1e ук:1:~ы r1асто1· (1100)! = 12. Чтобы rю1шти с1 ихотrюрсrте u 1 1собьпаю­ пеш ю 1) деночке, п ришлосr, перс.:nссп 1 ч11сла 1 1з двонч r юй с.:исте~ы в дс.:сятичную. 1lссложrю п роиз вс.:ст11 и обратную uпср:щ шо: :{;щ~шнос Дl'CЯ 'l 'l·J Чl! OC Чl!СЛU i1pC:IO""l aВJ ITl1 13 /~ПU! I Ч J Ю\1 ш1 ;~е. Пустп трсбуtтсн Нt'р<.:1.1сстн н ;~1ю 1 1ч11~'н1 с 11стсму ч11с110 HJO. Вообраз 11 м, что :за пш-:упку н ма1 ·::1:111не 11)rж1-ю уплатит~, 1О() дснсж111,1 х с;11 1- 11 11ц, :i н нашt:м рас 1 юряже1ш11 1 1 мсс·1с}1 слсду­ ющ111'iнаборК}11Юр· l.2, -! .А, IC), Ч.(>...J , l2S, ... F.стестnеr 11 ю, отсчёт y;~ofi11ee 11;з.ч;пъ с сампr'1 кру111 юi'! к~ пюр1.1 u Щ)С/'\елах 100. :~атем 1юз1,мЬ1 CJ I CД}'IOШ,)10 ПО,.J.ХО/\Я Щ)'Ю ДJIЯ 11а6о р;1 1 1уж110!1 ср.1мы lI т. д. В m ·o 1·c .: паша "бухг алтер1ш » 11р11- ыст 1шд: 64 + 32 + .cJ = 1OU. l lo лоскот.К) вес.: c11:t - 1·:ic .v1 1,1c - ! 1(' что l IHOC. как CTCl!t:III! /{l:IO IJIO I . ' 1'() (1 ; i Mn1T~IKЖCl1MCC.:~I ] ()U=2 + 2 + 2 -= (J1001()0) 1 . на 11 р: 1 KTJLI(~ 11срс1ю;t Чl-JC('JI 11.{ ) \l'OJTJ 1'1JН>il C' ll l~1 ·cмы CЧllCJICllHЯ н ,tl"IO l lЧll}H) удибщ:с 11 ро- 11:,110J \1лъ методом 1\елен 1 1 я Бу;\ем J\t:..:11 п ·1,, 1кх~ )Д- 1юt: ч исло, а ·1 ·акж е 1 юлучаю 11 1 1 1ес-я н r1po1 tl'CCt' J teлcrrин частные:- 1 1а 2. 110 тех 1юр. 11 ока в 11'1 ·ore пс 1 юлу·ч11 м 1 Прr1 это~1 от,це.1 1ыю бу;1,е;-.1 он1е­ ч:пь 1 1р()МСЖуто чт1ыс остатк1 1 , ка к J](Ж;1 .J;1 r ю 121
Чщлt.1 1111жс Ч11 и 10 о()р:~ ·юн.1111 tO(' 1JOU lt:)tl11 ш ч~r с 11 1ы ч 1 11 ос1 ;п K; lf\'111 . l l C[X'ЧltCJ ll'HH l,J;\111 Lll[l.IH. I Н.IЛС- 1\\\, \>~ ;\\.:'\' IKKO\\IM•\ lL '50 l1 '50 2') о 2·1 1 1()() = ( 1100 1()()), Л,1ю11ч11ан. LHC'I емJ СЧI 1 сле11ия CTJ.'Тd ОДПТIVJ !Н l IL'TOKOB rтро 11.юше,1шt;й u ~х в. 1·pal11lIIOЗ!LOlf 1ю мпьютер11ой ренолюшш . Тех1111 1 1сс101 ri;вc 122 ЗАЛАЧА О РАЗ Н ОВ ЕСАХ Соврем1;:нныС;: продав u ы уже ttастолько пр1шыкм1 к элек трон 11 ым несам ч10 ~t e пред< т;1 вл11к)т 1 ef>t-> , как бы Oll И ВЗВЕ'ШИВJЛИ ТОВар r ПОМОШЬЮ Пif1b piHHOBe сов. Тем 11е менее Htl μы~1кJх и t1 небольших маг.э ­ ~инах лосих rюр можно Астретиrь Rt'CЫ простеише~t ко 11струкuи11 ГJк что ст;~ри н ная задача о р;вновесах l'ШС' 11<: совtt:м пuн:р~1ла .:~к;уJльность А история её ГdКОНд . Почти 400 лет н.1зал но Франuии жил Клод Гаспар Б.:~ше де МсJири <lК с11искавшии rебс славу позтJ и тш1коrо ш:•11 ителя мате.\ытики . Bu 1.пuром изда11~1и его cбop t tttKd « ПрИЯIНЫt' и lа н им,1ТРЛhН Ые 3<:1Лс:JЧ11 * есть и тако:~я какое 11 .:~именьшее чиrло гирь потребуется для ювсшив<lния любого прсд1v1ета. масса которого равна uслому числу фу11тов от 1 до 40~ Ок<ПЫR<l ется , Е:'l'ЛИ гирьки r;:11реш;:~етп1 склалы ­ ват~, только 11а од11у ч<1 111 у RecnA, тп достаточно за па стись шестью раJ11uвес<1ми , масс.ы ко1орых чщлен 110 ра1:1ны uелым rтепЕ:'ням лвоики : ·1, 2, 4, R, 1n, 12. Бо­ лее того, тех же гирек хвати т для взвеш и ва н ия всех пр!:'д1v1СЮ1;i MJ( rои до f)-1 фунтов . По•1 ему( Лd по тои ..+.t · прич 11 н1::, по которои шссrи таков достаточно лля ~dnиси люГ>о го 11 а 1 ур<~льного чи( ·ла о 1 1 до 63 о лвоич1юи с.истс'vlе счислt:·ttшt . Аtt ,)ЛОГИЯ J/ШСЬ ПOЛlliHI . Mi.lC.C.e п1рьки отвсчас ·r «ПUЗ~t Шl()llllЫИ l:!t:'C » шнμры в Лl:IОИЧН()И ЫГIИСИ ЧИ! ла, fJt:'ll1€HИIO по­ ложи ть гир1>ку н.:~ Аеrы - 11ифра 1 в rоответrтвую­ шси 110зиuщ 1 реше11ию нс ~1спользов'1ть гирьку - uифрс1 О . Например двоичная зап ись числа 6 - это 11 О З н а 1 1ит, для уравновеши1:1ания 1 ру~,1 VlclCToй 6 фунтов liJ другую чашу в<:>со11 11уж110 положить гирь­ ки о 4 н 2 фут а. Наибольшее Ж\:' 'tи<.лu, кu 1opuc о+о=о охо=о о+1 1 о)(1=о \ ,\Q\\1 UЬ' 1+о=1 1хо=о t .\ O ..+ilЧ lllЯ 11 \'V.HO:».eHllЯ 1+1=10 1х1=1 l\ЕИ1н~1ных 4111 (: \ 1~11фры 1юс11рт1 .1 11ес·1 1 1 11ростп: 1 прпхо1 11 1 1 101< n поm.ттро 1ю,7111 1 шотюм ·~ж: мс11п.• О - 1ок нс прохо,.(IП . Сtк 10J111ш1 -темt:н1·а <- 11rюхо4ш 'l 'OK • 11 · 11 1: 1l j)OXOIOIТ ТОК > .ЧОIТТ С~Н~!IЯТЬ др)Т /\Р) 1·:1 :~а OYl'ttЬ коро1 кис11ро~·н.::жу1·ю r нрсмснн - Ml l JJJJllOHHЫC' 1-10, 111 CCК: I JДhl ~)r ·u 110:.!IIOJlllCT 1rро- 11:шол11т1, ~1р1 rфмст1l'll'Cю1с ; ~<:l1 t-т1 ш н:I/ \ ;~вш 1ч - 111 .1м11 чtн:л.l\JJI с lll' l [\IOH~p11ol1 (1\ОрОС'IЫО . Тl() сра11rн.'н11ю l 1ромо:-111,к11~111 г.1.6т11 tам1 1 , .ЧП(JЖ<:ПШI ll L.'IOЖt:Jflf}J ЧtlleJJ 11 / \t:C >i 1 1 1ч1101'1 C'll - C'I ече 1 ·аб,11щы ОIОЖС111 1 Н 11" ~ MllOЖCllШI /ПЮ в дВШIЧllОИ СИСТС'Мl' l<JflИlbllJt.l\:'TCЯ l помuшыо LUec н1 .{llCIMJU, - )ТО\11·1111)=6.3 А тuпt'рь предположим, •1то п1рьки р;нрешJеТ<'R кло:~сть Н<1 обе чаши uer oв Любопыпю . что в такои llULтJно1:1к е 1алача о pa:i t ювссах встречается еше у италын1< ко1 о 'vtа тематика Леонардо Пи.:1анского (Фи­ Ьона11чиJ - 1а •1етыре столсп1я до Ме1ири.жа 1 Понj') п ю, ' I TO в 1тuм случае можr ю uбuитись лажи ме~н,ши"1 шбором разновесов· 1r , , q и 27 фунтов . Так, в<1вешина$1 тово:~р в ''° фу 11 т()в, все эт11 гир~,ки по­ ложим 11;:1 вторую •1ашу весов, '1 для взвеш~ 1 ва11ия 11рслм1:т,1 u 25 фу11тоu гирьку Mil<Loи J фунта ~тус­ rимнаоднуснимчашувеrовидвегирьки- в1и27 фунтов - HJ другую Н Пi1f1'111V п1р11 11М<1~1 1 фt1рчу ' IJШIЖ '1 6i<.ЛсlдЬl13i.1ЛЩ \, друг в друга . ка" ..,,преш к11
ПОЧЁМ КИ/\0 БАЙТОВ? Ссrолня комnьютероV1 никс1го не уд11R11шh. Прш1лёт ешt' 11смного t:sрt>мени, и для вrе>-. п,111ут привыч­ ным~• такие слов.:~, как «килuб,1йт», « ,-.1сгабайт», « п1га6,1йТ» ... Что они 03начают{ В соАрем енноИ мате.,,1атике С'\ТЬ такпи ра~дел - 1еор1 1я информ;ш~~11. Эта ICO\)\l\S\, в ч1.1с11юсти, опре леляе1 с11оспб Иiмерения ком1чества информа1J 1 1и 11 Ры111иuу и1мерения н;э1ывэет « hИТ». А fiаит - это 1JULl'\•1 ь б11тов. Терминами « 611т" и « б,1йн широа<<1 1юль1укпся npor р.1мм~1пъ1 и Lnl'ш1aлиL 1ы по ш1ф ­ рпв1т тех11ике. У н их даже е< 11, шутмшая no1тюр~.;<1 ., з.:1 од1111 ба нт восе"~ 1, б~нов л;эют ". ПриL тавка же • кило- " tзCC'vl хuрошо 1нJкuм<1. Он..~ ш1 t<tЧ ,lt'T 1ысячу: кщоrрамм - тыо1ча rр<ш­ 'юв, 1<илометр - тысячJ метров. Учёные и инже - 11еры, имеюшие дt'ло с болы11им11 велич1111ами, иС· поль;1укн также пристс.1uк н «ме г а- » (миллион) , " rиril-» (миллиарл) и 1. л. Проrр;:щмисты тоже оперируют большими ' 1 И( - лами . И он и использую ~ прист,10ки « Кило -», • Mt:'- ra -», «1иrd-», но, как 11и cтp<t t11 101 в другим ~ 11ачении. Программ 1ктское «К11ло- » чуть 6ольше об ы• 1ного. Пр11 •1и1юи тому двоичнdЯ систе1v1а счисле 1111я. Всм. в ней «круглыми» числами являются не сrспсн11 лес ятки, а стеnен и лвойки. Аот и поы>Врали Т;.'lкие пеnt:' 11 и 1 1 исл,1 2, которые лу• 1 ше всего соотвf'тству­ ют обшеnри нятому смыслу JПI >-. приставок. Поэто­ \\У nр11мс н ительно к компьютерам н с~ш и приставк 11 означают· кило- 2 111 = 1024, мf'ra- 2ш =1024! = 1 048 '>7f" ГИГJ- zin =10241 = 1 07\ 741 824. 11чных чнсел .ч1 ~пиа·1 rop 1 11>1. Бш 1 t<=' тон), У·"" ю­ же111н:: на 1 1юоf> 11•с не 1\1е1шст ч1 1 сж1 . По~то~1у, ч1оfн,1 щ:рем 1 южJпь лва :-шогораэрндr 1 ых /'(ВО- 1\ч111>rл. ч 1 1сна, дост;нuчпо 11сс~юны<0 раз сдш1 Н)"l 1· верхшri 1 (()И!IОЖПТель на СООТНСТСТВу10- ЩСС l\OЛl l ЧCC.-lBO ра .фЯДОВ [IJICIIO и cyM .\'11 1pOH.t'l I> L{CC rюлучснныс ч1кла Uш.:ра 1 ~1 11 111ростс\1 11111 е , и KOM l\bl(.)'ICj) HЫIIOJl­ rrщ.:·1 llX бt.:{)'ITPCЧllO. l lu ll f-IOГ/\,I в ~ 1 .lllll ll Jl' 11ро- 11СЛО/l1П какой- 11 116"~ / lЬ cбolt 11m1 1 1 роrр~1 _11;1 ма - :1:щанис комныотt:ру 11а li1>tl 1t )J1 11 c11 11 t: расчё ­ юи - сО/\ерж11' 1' РIП1 1 6ку Тог,'\а 11ро1ра.\1~111ст;.t1'1 nр1 1 лон1по1 1 1ept:rrponepiпь себя и 1ш,чm,ютер. позтому бсэ :111а1 IНЯ IЗCCJI КОМ! 1 ыотсрной K)'XIТJ I, · с1ряп:11ощеl 1 " л1ю11ч~rые чнсла, хорошс .ч\ сш: 1lH:lilllC'1"\' 1 1 111{ак нс 0601'пш:ь. СЧЁТ ЛЮЖИНАМИ Г< Лll /'J()l\ЬltJ111\1 П3ЛЫ.t('М рую1 COCЧ llTJTI, •111сло ф.1 л,111r на други х пальu .~х ·ло11 руки , то мы щ1лучим ·12 - JсlМl'Чспслыюt• ЧИlЛU, столп же пuпуляр11о с в н!:'которых !:'нропеиских стрJнах , к,1к и •111•ло 1О. Можс•т быть, ')Тои поnуляр1 юсп1 11С>м.~лп c11ocofi- <тuовалu сuои с твu чи с "а 12 бс~ осн1 KJ л<•м1 rься 11а2,l,411Ы Группы no 12 nрt>дметnв име11овались дюжин;:~ м11 (лат. duuclt:c1m , фр. rlouzai11c , 11т . clozzi11a , <1нг;1. (i uд:п). Люжи11а дюжю 1 с щ тавляла грщ с lt:1 u/3 м lll:'pl:'tiOдt' t H1:'"1t:'Ul<OГ() - « UОЛЬWОЙ » ) , <1 ЛК)Ж11Нс1 гроссов м.ксу. Лtс1с 1 1алuап,ричными дрс;бями n uльiU!}аЛиLь t>Wt' др1-1нниt.: рн.\.\Мlнf' Лроf1ь 1/ 12 ри>v1лян~> на :{nt­ В<IЛИ унL1ие~1. У{а1<они1ъ лвеналL1.нер11чную с 1кте му - сс1ёт ДЮ:.+.1111.JМИ И rro cCiJ.\IИ - П l,IТёlЛСЯ ШАС'Л­ ( кии корпл1, K<lfJЛ Xll ( rот сам1.>1й, коruрогп py<-t к11с воИ(к,1ра1гром11л1111ол 1 lолг.щои в 170'1 г.1 . В 8'.0 H- ue XV\1 1 8 . 11лея 11С'ре>ход::111d двс-11алl1,пернч11ую сн­ стему всерьёз обt ужлс1ла(ь r?U Фр<шuи и . Влияю1 е Lf~H л,1 12 щцушаl'ГО1ва 1 1гло-<1мt>JJИ8'..1н­ ской системt;' линеиных мер, в которои 1 фут (10,48 см) р;~Аен 12 дюи~1<1м, 1 лю11м - 12 л~111иям, а 1ли1 1~1я - 6 тuчкам. Миu1-ис пр(:-'дметы пугови uw, платки, куриные яиuа и 1. п. - в .~апал1юевроnеА­ ских странах ло сих п ор n род<Jются люжи11ам 11 . 12~
Числ<1 ПОЗ ИUИОННЫЕ СИСТЕМЫ С ПРОИЗВО/\L-:>НЫМ ОСНОВАНИЕМ лнnп, сТ :тачеmrт'1. О. 1rл11 1. 11m 1 2, -· · 11л11(/-1 :1аыстиr>1 . ч1 о u случае d > 1(} пр111'ё 101 11 р1 щу­ \11,шат1, 1.ювые с1 1 .vнюлы д.1я 1~11фр. мы 11р11ш,1к.;111 к .'J,(::l'Я'l'l \LUJl)iJ снс~н:мt: l'ЧI l (.'Лt:Ш IJ.I . Компыот<.:ру как 11 L'J 11,:3~1 лучнн.: 1 ю;\ход1 п· дно- 1J ЧJ 1.tя CHCT<.;M:.i. l l o 111 1()1}\;1 мо1ут<>К:t3<!ТЬ01 yдufi­ HЫMll c1 1 cтt::\1hl с дру1 · 1 1м11 nc 1ю11a11 1tJ.1\111 . С ч ет на ЛЮЖIГНЫ rtpl'K[J<It'Hhll:I ТОМ) 11рнмер. ~дес1. ч1к,ю 11;·J J.1 f)а·~з - l~1e 11e1111 -сшсла 12. )L'IЯ ШlХОЖДСПIIЯ llH фp 'lllCJl ::J. llO задаrшому ч1rслуN 1 J uснuнан шо с/ мшюю к<Jспол1,:юn:1тьсл l '<:'M Жl' C I I UL'U601'1, Ч'l'U 11 11рн у1 IJI:!T<:: сум.:v~ы ДClltl' К [Xl3. "1<:' f K' i\' p y (')лc:lt . О h'O 'l'UfJUM l 'lHIOp11ЛOCb p;i н1,111с Сна ч:т: 1 н:1л.0) 1ят с~1мос: ()( >J1ы 1 ю<.: ба:ю­ нос: ЧНСЛО с/11, НС 11 рl'НОСХОДНЩ<:'<:' ,\.' . ~;J ' l <: 'M Ч I ЮЮ '' f'I / v :1ет1·1 11а r; , li ре:~ут,т~1 ·1 ·t" Ч l..'1 о rюлуч:нот 11с- В о6щс;ч же случае nрсдС'1а1111'1ъ 11ро11зuот,- 1юс: <шою "\ в снстеме сч11слст111я с з:щат 1 ым ос 1 юн:.~1111ем du311aчae· 1 :sаш ~сагь <::10 в штде полrюе чж·ттюс а,, п остаток 1~1 1• т. е. ,\'= а11d"+г"1• \, 1" //1 11 1 , =n11 t +а11 1с/ +".+a~r, +п1 с +п,1• Остаток 1·11 1 уже :- .1c111.rrJC ба.ю1ю1·0 ~шсл.t ci'. поэтому дсл11м 1·11 1 на с/' 11 п получ:tс\1 не1ю"1- 1·,щ: с/ - любое целое ч11с1ю, боn ынес tJ\J 111и 1 \Ы . Коэфф~ 11 \llL'I rты t10, с1 1 , • , tt" на:{hlflаютсн r 11·1фра­ ~111 в c/-11ч1-1< >fr :~а1 111 с 11 ,\' 0111 1 \101·~т пр111т11мат1. нос час1·нос п11 1 11 остаток г" !· ИГРА «UЗЯНЬШИUЗЬ11} И ЧИСЛА ФИБОНАЧЧVI в П ()ЗИ UИ()Н НЫ Х СИ\Т~мах счисле­ ния ~1Ы фиксируем некоторпе ос­ нu1;1 а 11и ~ - uелос пuложи1ельное чи< ло 1/ - и раtсм;прива ем базис, составленный из с тепенеи qтoro числа: d 0 , d1, d 2 , ••" d", ... А ЧП) будет, е<.:ли в кач естве базиса вы­ брать не геометриче1 кую прогрес­ \ИЮ, а любую nоследооат('льность ВОЗрастаЮЩИХ HJTyp.ЭAb Hl,J J( "IИСеЛ 1/о=l <q1<(/~< ...< ч11< ...{Име~1- но таким обпбшё н н ым базисом поi\1.,зовались, 11апри"'ер, инлейuы ма йя (1...м. с.татью ~ стuрин~1ые си­ стемы 'апи< и чисел»). В их t иrтe'l!lc \ЧИСЛС1111Яq 11 = 1, (/1 =20,q]= 1Bq,, q,=20q!.q"=20с7,ит.л. Люuопытным r1римером t.исте­ мы сч ислt-ния < обобшенным ба­ J 1ком явмюто1 Фибона•1чиева си ­ с-1 ~мс1 Lчис.лс:ния. В tieи в качестве fi;ни< ных ч11п:•л бi>pyi ('Я чиt .ла по­ rлеловатеАь~юсти Фибоначчи : 1, 2, ) , 5, 13. 13, 21 ...., IJ KOГUJJOl·I каж­ дЫИ член, н ач ин ая с треть!!го, ра­ вен суммt> лвух прелылу ши х члРнов (см. стат~..ю « П ослсдовательносп1 ») . При октеме lЧИLЛе 11 ия с б.ви­ tом1,2,З, 'i,а,1'3, "вкачегпщ 11ифр дпст;~точно иметь то.л.ыю О и 1. Еы1ниu.:1 в rе ервом (кр;:щ 1юм пр,нюм) ра:1рнле 06<>'1начаст 1, во ВТt)ром - 2 , в трЕ>тм,•м - ~. в чет­ вертом- 5,впятом - 8ит.д. Правла, за пис~.. числа в тако11 систе­ ме булет неоднозна чной . Н а при ­ мер, ч1кло 5 =2 + 3 может быть Jап~ка1 ю как 1 1О и 1ООО. Чтобы ю­ Ьежа 1ь та кой нtюлнознач ности, достаточно лс1говор ит ьо1 ~1е стu­ в и т ь рялом л1:1е ели11и uы. Тuгла кажлое натураль н о<' число в Фи6о­ наччиевои системе счисления 1апи ­ сывается еы1нстве11 11ым обрюом. 0=0 1=1 :.1 =1U 3=100 4=l01 'i = 1ООО 6=1001 7=1010 н = 10000 9 = 10001 10 =1()()1(') 11=101uo 12 = 10101 1i =100000 14 = 10()()01 15 = 100010 1б = 100100 и1.л. рill.( мотrим />Л НУ КИТ(IЙС КУК) игру - «UЗЯНЬШИШЫ» в qтой игре два игрока по очереди бl'рут кJм- 11и ю лвух куч<::к 1а один ра::1 мож­ но А'IЯ ТЬ 11 1ofioe ЧИС'ЛО К'1МНС'Й и i однои кучки ил 11 noponнy и з обе­ их. ВыигрываN тот, кто з<1бираС'т по' лелние ка мни , тем с..~мым ли­ шая партнер а возможно\ти rде­ Аат~.. ход. /. - с· 1111+1· 11- I - 111-I G 11 [сАИ проанал11зировать эту игру лля небольших зна• 1ени й ч исла ка~1- ~1ей в кучках, то получим, что начи­ наю ший ее п рои грывае1, есл11 в кучк<1х будут та кие колиL~ества кам ­ неи: О и О (:это uчсвилно\; 1 и 2, 1и5;4и7;6и10;8и·11;9и15. В этой последов;пель 1ю\ти n.1p ч исел кажлос мс 11 ьшее ч ~кло 11dры является наим!:'н ьши м число."' ' сшt:> н е ПОЯАИВ111ИМСН В пrелылушю, п арах. А вот закu 11 образован 11 я бuльшсrо чи сла со верше11110 11eno· н ятен. Н о л<1вай1f' ~.т ишем ·ни п ары чиrел в Фибоначч1~е1юи t1к ­ теме С"IИСЛС llИЯ . Пdре <0; 11> соответсrвует <0; 0>, < 1;2> < 1;10>, <3;5> - < 100; 1000>, <4;7> -<101;1010>, <б; 10> - < 1()() 1 ; 10010>, <3; 13> - < 10000, 100000>, <9; 15> - < 10001; 100010> Теп ерь уже виыю, что большее Ч IКЛО п олучаете я из MC'llbWCГO ДО· баАЛ!:! Н ИеМ н уля в KO HIJE' ч~1rл~ . Попробуите само\Т()Ятельно выяс:- 111пь, почему имс11110 ')Пi п,1ры •1и ­ lСА ЯIЗЛЮОТlЯ п роиг рыш 11ы м11 лля НIГО, К1 О Н.-1ЧИ11<1СТ ИI ру, а :ЫОЛНО 06ос н ов,1ть их свя.:1ь с ФибонJ11ч11 СВОИ O ll ТСМОИ СЧ ИСЛС ll ИЯ.
Пос.-1·~1 1 ,ш 1ю;106ным об ра:ю:-1 11 ; ~алее , в ко11 11с KOIЩОI\ " l!hlOL'pC.:M • '11 ICJIO /\О K{Jf! l(;J, l IOJJ) Ч1113 110- llYTlIO 11абоr ц11фр а11• с111_1•••, а1• 011 Н_а 11р.t 1\1 1 1кс ш1 1х·;\с1 1я ·11, с/- 11чные 1 1>1фр1 .1 Чlll'! l ~1N. 1 1 ач111 IШI С() CJ арте 1 ()р<.1Эj)Я/\;\.1 1е О Ч С I 11> удоб1 rо. ДIЯ .Э'J'O(J ЦC.:Jll I обыч 1 ю пр1IМt:ПЯ1-0 1' i \P} - r oi1 способ. IТре;1стаrн r.м число ,'v в н1rдс 11щх1 - же11ия. пс содержащ<:: го сн~пс11 е1'1: ,\ ~По+ с/((11 + с/(а2 +с/(". +ct(a11 1 + da,,) ..))) Отсю,1.1 нm11 ю, что 1111фр1,1 а,1, f/ 1, r1~·" ,а" .' -'IOl'\"I' быт~. 11:11\:-11 .:111,1 1 н1t:J1t:до 1\а· 1т.11ыю, н.ач1 1 1-1,1>1 с мJ1ад111е1·0 р~1 .iрн ; 1.1 , в рсзуш,т;11 с <.' J IL'J\) 1ощ~ 1 ·u MIIOI T )IЩll UK! ! l'O 11 /)ОЦt' ССа: НАЗВАНИЯ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Чнс.rю ~ нем<:1 ( пpo11 Jr 1 ссё·1 ка.~-: «цвай" (пш11ета1 Z\YCt) . а111 Jll lЧ:llllI!I - K~ll< «ТУ" (f'VU) . Л НОТ ЧJICJIO 1ООО \\(jU и русский. 11нt:мсн.1 _1 ·.11н ·я1 1 ча1 1111-11-1:.1- эовут 0/1,llH;.JKOHO - MllJJJll IO l I. Лю(iо1 ll>ITH:J 11стор1 ш ч 1ICJI ИTCJlhl 1()1'О "/\'lllJl- Лl IO l I» R 12711· 11<.:11с111,1:1нс1шi1 ку11с11 ;\t\арко Поло о·п 1р;1111 що1 н 11ал i: 1<и i1 и :-1.11 ·а;1о ч 1rr,r11 Кн- 1·1111 П\'1 1, в Кн·1·а11 лсжзл чсре-1 мнсн·не п р.11 rы Всрнуnшип, домоi1 поч·1·и чсрt>З чствср1ъ нск.1. он нс персс-1 аuал оосторгзт~,сн ) ш 1;~е 1 шым11 чудеса.\1!l. 13 Cl' O рсч11 10 »L дело слыmалос1,; •Мш1лиот 1 е _ .\ПJJIJНIOfle -> Слово «mille" ( «ты ­ сяча ~) было 11звсстно еще• в Дрен ~ 1е.'\1 J->11мс. Сло- 11t.:\.\1ю <м1шн1юнс". которы\\ отн: 1жны 1·1 1 1у1'\:­ шес1нс1 11111к H:J :.$nJKa.IJ тыс нч у ' IЪI О!Ч, JIPUЧH() r1р11с1мю к Мар1щ Пот) С:онрс:чсн1 1ню 1 t1рu­ ·шал11 е1 о J\'\Щжо 1\1lилmюr1<:. ( JJOIIO • .\1 1-IЛЛ ll :IPJ\> ; И}I H ::l. -\1\ JJ -IJJ)J Ч l lCJla 1ООО ООО ООО 11мс<.:т фрат 1у:зское 11ро 1 к;-.;ожле­ шн:· Е1·ос1 11 юш1 ,,1 - •'O llJJJШOП ·> Ilр11сташ«1 <·бн-» nо-ла1ъ11111 оз 11 ,1ч;Jст «ДJюйrюИ » - к тыснче 1\а1< бы присоСJu111нюrся л.ва .-ва1·о нч 11ка-> п о три нуля. Далее на:ш:ш11я чисел обраэуюн:я от ;1 а­ п шск11 х нан'v!с1юнш111!1 кuш1ч~сша т; 1ких 1· на- 1·онq111юн..,, ЛJ' l•ЩLП ШН.'МЫХ c11paR: 1: 1 ООО ООО noo 00() - тр1111.'111(111, 1 ()()() ()()() 00() ООО()()() - IO:laJ\ГИЛJ IH OH, 1 0()0 ООО ООО О()() ()ОО ООО - кв11н·r·11лт 11 11 1 На:1ват1я ч 11се;1 в11лот1, /(() 1()(' 1 с 21 •nа1·оr1чн- 1юм » пpr11ieдcr11,1 11 тafi11иr1c li К(J!Ще сr·аты·r. Ja- _,1eт1;re . что количестrю "ваго1 rlШJ<aв " 11а е11н- 111щу больше л;~ тнн ского числ:.~, звучащего н (/11 р;.ш1ю ос·1 ;\Tl\Y () r Дl'ЛLНИЯ ,\ н:1 [.(, а 1 рав1-юос1 ·:1ткуо·1дсл<.:1 r11н11 ; 1 с/11t.: 1 юmю1 ·0 Ч:IC'TIJOJ 'O, l l ШIY 'll:llHO l 'O ll;t llJX~Дbl /\YЩ<.: .\f ll l :t l t:, 0 11 равr ю ос1 :~тку t!'1J\t:Jlt't11rн 11;1 c/ 11er1{)JI1ю1 о Ч .J C" l lIOJ 'O. fl()Jl~Чt°lllIOJO на ltpt.:/.\Ы, \}'11\C:M ш:11е Тп. ЧП) чr1с.1ю ,\' в d- 1r l11юfr с1ктt:\1е счнс:1е ­ пт1н выр,tжастсн цнфр;1ми а11, с1,1 1• ", с111• з:шп ­ сыв. 1 ется так - 1\' = (tf" {{" 1 " tl1Clo),1 · 11,шμrнн: р . 26 700 = ( l LOlO()<J()JO()J 100)2 = (1 .~l.:i300)~. 1Jа зна 11111r. l.kдь "состав" 11;1ча; 1 фор.чироnа 1ьсл llC с «T<.:llJ!OBO:Зa » - С,Щ IIИЧЮ I , а ()'1 CЦCflКI 1i-Т(,'11- JН\1\О:З,\» С ОДГ\ll\\ « 1-1<1\ '0llЧ l lK0 \1 '> - Тl>IО!ЧИ
126 Числil СКОЛЬКО ПЕСЧИНОК ВО ВСЕЛЕННОЙ~ Стои1 М'<.1З 11<1я ropa вь1 ( GTo l>I в тысячу локтен. Раз в lЫ<"яч у l\E' I nрнлет,1l'т k ней м,1ле111.>к<1я 111 11чка и ТР'tит l t\Uй Kl\1<18 о ~е вершину Kor/\.! 1IH<I LTUЧИl" t\LIO 1ору Д\) Ol1t01ы111111, nрРi1лет пер1ыя rекунлJ Bl''lll<JCl"и 6опоч11ая му.цюсть Песчинка и lkеленная. Крупиuа мироздания на ми­ зи1 ше ребе~ 1ка и бездо111 tыс, беспредельные пр()сторы Ku<.мucd ... Можно ли одно измерять другим? «н~т! » - OTOC"lilЛИ древние. Ottи считали, ЧТО размеры Вселс1111ой неимоверно огромны и никаки­ ми доrrупными 1110с.0Gами их не оuенить и не и.-1ме­ рить. Это и 11 е мудрено, ведь лля практиче1. ких 11ужл они вполне обходились небольшими числами. Все­ ленная же - нечт() 11еобъятное, 1-1 еиз мер~1мо е, гюrло ­ wаюwее в себе все и вся. Разве можно к неи подхо­ дить с обычными мерками? «Л<l !• - раздался гол uг Арх имела, 1ениальноrо ученого лревнопи. В его сочинении « Псаммит • (•Ис­ числение песчинок») есть описание чисел, которые позволяют оuенить фантастиче с ю1 огромную вели ­ чину - ч~кло мельчайших песчинок, какое п отребо оалос~. бы, чтобы заполнить все простра1-1ство Все ­ ленной, весь мир, представляемый древними греками. Архимед начал « П саммит» с краткого астрономи­ ческого экскурса. Ин заметил, что, по мнению боль­ шинств.:~ астрономов, Вселенная имеет форму шара, в uентре которого находится iемля, а ралнус его равен расстоянию между uентрами Земли и Солнuа. Арис­ тарх же Самосский, по свидетельству Архимеда, при­ держив<1лся другой гипотезы: 0 11 предполагал, что « Не­ подвижные 111езлы и Солнuе находятся в покое , а Земля обрашается вокруг СолнLtа по окружности кру­ га, rа<П()ложенного посередине между Солнuем и 11('- ПОдОИЖl·IЫМИ звездами». При этом расстояние от Сол1ша ло неподвижных звезд оче11ь велико. Хотя Ар­ химед не говорил, какои модели мира придерживался ( ам, но л<tнные о размерах Вселенной он fipaл у Лрис­ тарха, потому что у того « мир 1-uра3до (юльше, чем пnлаrают обы чно • . Лиаметр Вселеннои Архимед по­ ложил равнь1м 10 11стадиям, что составляет примерно 2 световых гола. А песчинки, пu Лрхимеду, таки е ми­ ниатюр1-1ые, что в одном маковом зернышке их помес­ тилас~, бы uелая мириада - ю•. Результат оказался не столь уж запрелелы1ым лля человеческого понима­ ния. Наш совремt:'нник Jаписал бы его как единицу с бJ нулями. Но как обозначить это число? Ведь ни деопич­ ной позиuионноИ системы , ни 1акой улобной формы записи с помошью степеней во времена Архимеда не было. Тогда 011 разрабо1ал систему 11аиме1юва11ий больших чисел, отправляясь от мириало-мириалы - числа 106 = l<IO ООО ООО. Числа от l до 108 -1 он на- 1вал •Первыми»>. Мириало-мирнала стала единиuей «чисел вторых». 1016 - ед11ниuей «чисел тре1 ьих~ и т. д. вплоть до чи<.ла 1ofl 111 1 ' 10011 1 "' 111 ' - ели11 иuы • чисел мириадо-мири.:1лныхu. Так удалось поим е 1юв ать числа в диапаJоt1е 01 1 ло IО 11111" 111 t1<мю - 1. Но Лрхиме­ <\У и этого пока:~ало1 ь мало. Нее эти числа nн обьели­ нил в «Первый период» и далее переш ёл ко второму, третьему ... м11р~1ало -мириалному периодам . Такю.1 образом. названия получили числа 13 огромном д11апа ­ зоне - о г 1до1oм nnnnnl1 oм 04' 0 11"" - 1. Если за11и1ать верениuу uифр последнего числа н<1 Gумажнuй лен­ те, отволя на каждую u~1фру по 5 мм, то мина этой ленты~ несколько ра.з превы сит ра1меры н аше й 11ла­ ttетно й системы! (Сс1ма11 отдаленная от Сол нца пла­ нета - Плутон - име:.>-ет средний радиус орбиты око­ ло G млрд км.) Лля сравнения <кажем , что лля записи ч1кл.:1. выражаюwего количество пес•1инок 1J Архиме­ дu1юи Вссле11ной, хватило бы 32 см. J\юбо11ытнu срав11ить оuснку Арх11меда с данными tuвременной астрофи-1ики . С~.>.rолня ученые полагакп. •по во Вселенной количf'сrво ·мементарных ча стиu , из которых состоят ато"1ы вешеств<>, н е больше, чем 1083• Известная н;~м часть В селе 111 юй может быть по ­ мешена в куб с ребром длиной 40 млрд светов ых лет. Если заполн~1ть его кубиками с ребром 10 - 11 мм (каж­ лыИ такой кубик ме1 tьше прптова или нейтрона - jЛе­ ментарной частиuы вешепва), то обшее число этих крохотных кубиков окаж ~тся меньше юн; .
Такая с истем:~ 1~аз ва11ш1 бол~,шнх чнсел пришrт;:~ 110чти rю всех сnрс>пtйских cтpaIIax 11 в Сослинfнных JUтатах Лмерию r А жл во Фр;1нцни 11 XV н. посчит;иrн, что <-ва1·он•11tК» и :i 1рёх 11улей 01ишко ."1 мзл. и помест11ли FI одн11 •t.1a/'OJIЧИK>1 ШСС'IЪ JIYJJCЙ. В rУКОПИСlЮМ l:ОЧИ ­ НСНJТ!f 110 эprrфмt"J ' HKe JIJIOI ICl\OГO нр:.~ча Нн ­ ко:r<i JПюке м 1.1 наход1-н"1 слона «6ию111сн 1 " , "'1рилл~ЮН " И 'J'. Д ., KOTOpl>! ,"ПI 011 06О~!Нача;1 втору1п, ·1·ретыо н 11оследующие степени ,_\fИЛ ­ mюна, т. е. чиспа 1 ooouuu 2 = t 000000 пооооо, l OUUUOO ~ = 1 000000 OOUUOU 000000 11 т. д. Эта тради1~ия до сих пор сохраrrилась в Гсрма1111и 11 Ангтrн. Сами же фра1щузы с серсд riны XVH в. ст~u1и 1х1з.це)15ПЪ ч1кла на периоды по 1·ри ЦI rфphl в r<:IЖ/(OM вместо WCCTJ 1. J .I СЛОН() <-611ЛЛТЮН • Г!ОЛУЧИJЮ \' НИХ :m;lЧtllJIC:: 1()'1_ , ' Наэнания бплыпнх ч11сел привлекают 1111н­ ~1аш1е м атематиков ин 11а111и дни. Лрофсссор Стзr1сjюrщс1юrа у11иnерсптета (США) До11аль11 Э Кнут посч11тал, ч10 в траднциошп,1 х сис­ темах наэва11ия щш чисел <· р~кходу10тся» сm1ш­ ком расточитслыю. Предстаним на м1шуш:у. что мы у.мtсм н;.~зынать тою,кu числа н пpt­ ДCJ tax от 1 ;~u .100 . Уже это1·0 небш11,11ю1·0 ЧИСМ-«ВЕ/\ИКАНЫ» Математикам приходится иметь дело с гораздо большими числами, чем физикам и астрономам. В науке (J числе различных комбинаuий - комби­ наторике - числа-«великаны» вс~речаются бук- 13ально 11а кажлом шагу. Огром1-1 ые •1исла возн~1 кают и при оuенке веро­ ятностеи редких событий. Например, всрояпю\ть rого, что обезьяна, бессистемно nарабаняшая по клавишuм nишушей Мi:lшинки , случайно напечата­ ет шекспировского « Гамлета», можно оuени1ь при­ мерно как один шанс из Jl)m.xю = 10 41 1'8~ (~лесь прt"д­ полаrается , что на машинке 35 клавиш, а текст - Гамлета» с:остоит из 27 тыс. символов}. Большие числа - •1асгые гости в таком раJделе vtатематики, как теория ч и сел. Известно, что любое чиrло, nревышаюшее величину N =3 3 " ' >1Ol11>J~;~ю, может быть выражено в вид!' rуммы трех простых чисел. Сра3у же возникает вопрос: обl\адают ли этим свuйством все числil, меньшие No Увы. мош­ нейшей электронно-вычислителы1ой машине 1ы проверку э1ого свойс1ва лля кажлого натуральнот числа от 1 до N потребуется время, во много раз превосхоляшее предполагаемый 1юзраст Вселен­ ной, котuрый оuенивается менее чем в 10 16 секунд. Л.1fivк,1 < чti 1а 1\АТИ Н СКИ[ КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ЧИCl\ИTEJ\bHIJIE Число НаJва11и(• Прои.тuш1..:11иt· 1 LIПLl'i унус " dщJ луо "' tre~, lr1a тре r, ; rm<i IV qual\Lюr кв,птуор v qL1t11(1ue KBИ l llФ~ VI ~ех <РКС Vll o::ept en1 Сf>ПТем V lll octo ОКН) IX 11ovem HUl:H-.' M х de-rem ' деu ем XI uпclt->< 1111 у11деш1м Xll duodc cim дуодеuим Xlll trerlccim трt·леuим XIV qu.illuorde\I m кватту?рлеuим xv quiпclecim KB11Hдt'Ul1M XVI ~etJec1m (('Дt:UИМ XVll 1,ept en<i e( im СЕ'птенл~uим Х\1111 dLюdev1g i пti ' луодсОИГl>IН ТИ Х!Х undevig111t1 у11дсв~1гинти хх v1gi11 t i 8VHIHTl1 6J1'ажа з 11а1111~'1 ) ~ост:почно, чтобы 11щ1 ,'11сн о­ в:.~ 1·ь все ч11сJ1з от 1 11.0 9999 После;1нее ч 11ою можrю назвать "/tевя посто /~сnять co·1"eIJ де­ ВЯН(}СТО l\СШ:1Ть•) . Точно так же. если вслед ~а л.ре1:1 1шмн грека.мн число 1О ООО 11азва1ъ ''-~ш ­ рпа11ой-1, далее ~же можно поиме11оватъ все ч.11сла от 1 до 10' . 1l аnрнмер, чнс..rrо 9l)l)9 <) 1)t)9 назо1:1t'м «дс 1шносто левнть сотС:'н девяносто ДСIШ1Ъ \1Нри:щ )tCШIHOCT() /\СННТЬ сотсн деюню­ стu ДСl:IЯ'IЪ ». ОБШЕПРИНЯТЫЕ НАЗВАНИЯ БОЛЬШИХ ЧИСЕ/\ 103 тысяча 10"' у1·1леuимио11 106 МИl\ЛИОН \ ()JЧ луолеuилл11011 10• ·' 109 миллиаrл, биллион тредеuилли о н 10 1~ триллиuн i о• · кв,1ттуордсш1лл1 ю11 1() 1; квалрИl\ЛИ(Н\ 1о•• КtlИНД('l.IИЛl\ИО\ \ 1013 КВИНТИЛl\ИОН 1(1 11 rедЕ'Ш IЛЛИОН 10~ 1 секстилл1101-1 10·• сеп1 леuиллиu 1 1 1014 сеrПИЛNЮН ·1О"' дyUдt'IJИI 11Н ТИЛЛ11U11 102 7 о ктиллион 1 uы> у11леви 1-ин rнллион 101n 1IОllИЛЛИОН 10" 1 вип111т11лли о 11 1OJJ леuилмюн 127
Слсдую щ1 J "' 1ю 11coбxoJ \l l O\IOC111 н;.~:ш анным ч11сж>м N)JlЖH< >быть 1О>!. Д :;:)_ К1ry· 1·111х·11;1ш·аст /l,. l !JI llCI'() 11:.l 'iH:tHlll' « Mll.'lbIOIJ" '·Од1нжор1;·нн 1 ,1с C.'IOKa. L1:1J lр11.чtр .,NI l IJI r,ю1н.-р·' - обЛ:1/\:1Те11h Mll- itl1l! J!ll\()ГO состошпш, также (1ы111 1 бы удобны н о\-iраще1111 IJ ·>, ОП1СЧ~IСТ ()J I , Л,61 ст11~ )-1 'l'ОЧ 1IП так же н J \il.rтee. мы 1<аждый pa:i 6~·;\<..:"1 1tэна· 1 1, 1ювос 11а:таrп1с чнс; 1 у, 1 1редстаuляющl'N1у co6of1 1.;11:i,i.paт прсдылущс1·0 п;че 1юна111юго LlJtcлa . .'Гю60 11ыт110, •по 6m13кал 1цс.sт пр11 образо- 1щ111ш llOJl(H'O llJ\ll'HUl\:111 HUl'U ЧIJCJJa vб рать Cl'())lhKO 1]() Cl'( Jclbl{O» - вt- l'P l'Ч:tl'TCH н старш1- 1ю~'1 1 1 у.,,н:р:щ 1 01 славян (см. е1·:1·1·ыо •Ст:1р 111111ы с Clll''l'l ' Mbl :~:tl lllCJ I ЧIJCLJI" ). ;J l'Щё p:111t>llLC - 11 :1ршl1,1с·1 1 1чесю1л 11 сс1 1едою1111ях Лрх11мс1р. ra'{ \1 ы111лян о с 1 юсоi1а х 0()0:~11ачс1111я бот.- 11111 х чr1сел. Кщт в 1<)77 r. nостронл п rстсму ,,1;1 - тс~ 1а111ЧСС!О1Х CH ,\HIO!Юll, с помощью котороf1 шюс.•1едст1ш11 была ш1спспа са)11~ш 60.1[1,шая и:1 I<ОГЛ<НI ~ 1 00 нс.трСLЫJ3ШIIХСН n ~1атем;1'1' 11 чесюrх ,цою1~i;~тсm.стн:1-: констант - так 11аJыn;1~~-юе ч 11 сло l'рэ,,сма И.1-:;;1 сно<..:f'1 нсобыюювеrшой 1 ·ro~10:;1tK< )cr 11 (>нn 11е може 1 6ы·11, ныр:1;кено 11нач.t.' к:1к 11осре1~<."1 ном особ 1,1 х от1спt.:,1ы1ых К< )нстр~'кrt1 11'т. Rот :~ж·с1. 11 1 1р 11 гщ1,11л:н.:п <1~1 -ню11- 11t"ван с1ктсча С'l l \Нюлов, 11редложе1111;1я Кну­ то ,,1. :?·~от ре:1)лuтат :1:Jm1~1;icт no;tofJ:1ro11(ee ему nочётт юс мес·1 ·0 н К1111н.- ре1.:ордов Гm 111ecr;1. ./) :}:JIOJ[(\ЧCI lllC llCЛl,:1}1 11е) гюмянут:u () таю1л •ВI fCOI CTCMJ 1ыл ~ 11а :3н а1111нх 'lL ICCЛ" J(:IJ..: " l 'VГОЛ» JtJ' • " Д'1Я ЧllC.'1:.1 ) () 11 <- 1 'у 1 "OJl l IJI CKC •) - "!.1,JШ сшс.11;1 \ (j n (11'111 ... сте11е1111 Г)ТUЛ: 1О' . О; 11. 1а~1щи1 а.чер11к;шсю111 1\1атс"'1ат 1 1к ~ю1арл К:1снср ста :~ 1ш11ысю ш:т. корп 1КОС 11 .l:~i' 1111 0 Mllll ;llOlll,<:TCЯ CJ [()H!) Jt;IЯ !1.lЗB:l- 1 111я ч11 сл:t 1О . 011 сnроп 1л сноеrл /\еюп 1и1с1- 1 1сгп П!lе\1Яl шик,1, как ()ы 011на:т~uт ::Jтn ч1к,10, 11 то1 ответил: "L 'у1·011 " . ЧЕТЫРЕ ДЕЙСТВИЯ АРИФМЕТИКИ С/\ОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ Ч11сла 61,1111 r rтр1щума111.1 , 1ю; 11.м11. ч·1 0()1.1 0()0:11tа­ ч ат1 . коm 1ч есr·но 11ред;-.1етов: о ре.'1 fl 1шлча 1 rt:, мtm1<c>n :1t:р 1 та п амбаре. 011е ц u стадt. Но этн вел11ч1 шы 11с ппстоя11111.1 - 1ют 1чеспю 11редме­ тов то уnет 1ч1 шалось, то у:v1с1 1ы11алос1" поэто ­ му nажпо 6ыщ1 уметь скнадьшлъ 11 вычптатъ. Ко1 ·1.1,;1 ч11с:л:1 6ыл1 1 1н:n<ш1,11111м11. ::>то / \<:! 1;июсъ 11 J1< IC 1'( > pt lC<Нl:!Л Н Чё.:р·1 ОЧ КН на /J.l:j)CHt:, i;tВЯ3 Ы ­ на1111 \.it:.•11<11 11а 1н.: рt11к<::. Пас:\.:т пас1 ·ул стадо < н1сr\, 11:1 ~юнее" у 1 1е1·11 нt:р(:пка , а 1-1:1 всμС::нкс tтолпко у~стщн, с 1<0!1ыю овец н cт:tf\l'. Р<щ11 лсн ~т 1 L~ 11 ок - пастух завязал е11\ё од1111 у:-~с.:тж. У'1<1 - щш н1 1ю.1 1ю1 д.uух оuс:ц - ра:тsт:~ал 11n;1 узеm,;1. Вмссю 11срёню1 часто нспuпь:.ю11;,~1ш жпвоir «nыч1 1 сл 11тельныir прибор" - nалы1ы. Об ы•11 ю 11мсшю тt1к считают .малы шJI. Большого тру;1а сто 1 п пpcilO/tJ R<iTC ! IH\1 отуч1 пь ш.:рвоклассrт ­ кон от тако1·0 счt:-1 ·:1 11 11р11уч 11ть к усп юму счi..~'Г)' •н y\t<..:• О;t11::1ко на116шн.:с стоГ1ю1 е 11р(х\011ж; 1- н1т сч1 1т~т1-> 11:.1 1 шлы \:.tХ.1'Срж: 1 рую 1 н карJ\\: 1нах , ч тобы Н<.: BllДeJI учи·1ет1 с\ 0/\1111 llt"]lBOIVL:.tCCllllK склаr1,ын:11r ч1кла, тщ1,я 11 а ц11фер()Jшт часо 11. с р::!:тнтнем ЦИВПЛ.ПЗЭI\1-Н-1 1fQ}J li)J}IJll ICl1 1x 1:s- ЛIIЧT1l,JC nриёмы с чёта. 0 1111 6ыл.J1 нсобхоюrмы 11 к~тщам, и р<.:.месле11111.11<ам, 11 тоrд:~шним 128 <- б:J l·Л<llp;tM " - j)()C' I OHll l llK: l1\\. 0/1.H:tKO 11 1.. 'K\'t:C'l '- H\}.\1 счёт:1 1v1:1;1,C ' , 11 r 11<: 1ч1юп 1с ДJш pacчf· r 011 11 р11- пж:к:!Л11 с пе11.11 ;элы ю оf>учс-11111,1х лн >11cl1 - счi..;· 1 - ч1 1 кn11 . Прс:дстаnьте. что rш 0 1.::13:i;1 11c1, 11 Дрс11нс~1 Рпмс 1 т 11~1:.1 с.r1едует с;юж1Lп" 11 аттр11~1ер. ч11 сщ1 cxxxrx 1( CCCXLlV. ЧТ() вы ()у71,стс ЛСЖI 1ъ? 1\11- несню. сrтачала гrсрспншете r1 x пр1rвычттым11 /\ЛЯ себн ц~1фрамп: 1_~ч 11 -1++. ~ 1 ю·1·о м 6у;~ете СЮl~!ДЫНа·11, так, как учt l.JlJI н lUKOЛt . Л как это l'/\l'J 1 :1л f>ы р 1 1мсю111 счСтч11к~ 'J'oч­ llO т:1 к же. хотя 11H/\r 1l1ск.1я 1to~-1 1.11 t1101111:1 я с1 1 стс­ ,\.1 а сч11с 1 t:111 rн 11р11111ла к Е11рш1~ 11 ;1мщ) 1 •0 1юз­ жс. ;'1.с110 11 том, что т:1ко(1 11с1к1ш:.1, с• 1Стч11к < 'Ч'lf~l'l'Tlll"IT 1 1е ~:H lllCl>ll\:НI ЧllC.rl: I , ~1 < 11')M0Щhl0 C llOC:l'O cчtTI IOl 'O 1111С'1руме 11 т:1 ;1(i:11<:1. 1 Jt)aл· - это i\Oc1c 1 с 11роре:1:11111ы ,,111 11 1 н:1'1 же11обам11. Чтобы слож 1 п t, l _)() 11 :)-1 -1, счётчтrк с11а~1ала обо:шачаст н;~ аб;:ше 't11с.гю 1:)9. Для этого 011 укладывает па ш1ж 11см жёлобе <) 1<;1- мс шков. 11а следующем - ) камспп<а 11 од 1 111 камешскю1 ~щt..,,1· н трс·1·11 1'1 жё;юб. (•Ка.м<..:шск·} по­ л:.1ты1 111 c .1lct1!t11'; отсю;1:1и11рш1зо 1111ю на:знаюн: сонр<..:МС I 11 IOl'O ЭJ l (.'[(TPOJ 11 IОГ'О счётч1ш~1 - <1\;~Л11- кулнтор". ) F.сю1 как1J1·0-то р;1;зрщ\а н ч11елс 11с1, то пустует н COOTIJt:TC'l'll}'IOЩllfl Жt.'JI060 1(. Н<: 1 1р:нща ЛII. это ПОШЮСТl1Ю COl!Jla/ pt'I с CORpl'- :'.•1CППltf:Ч нр 1 шцшюм зamrcrr ч11сс11?
А 11зльше? Дальше счётч.ик кладё·1 1:1 послед­ ний желобак к името111,имся там 9 каметкам ещё 4, затем снимэет orry.n .a t О камешков, оставляя лишь 3. и t каме шек кла}\ёт во второй жёлоб. Потом до6<1wrяет ещё 4 кJмt:шка (в рсзул hтатс та~t оказывается. 8 камешков) и заканчикает вычисщ:11ин, доб<шляя в третий жёJ106 3 ка­ мешк<1. Тсщ:р1) каме111кн 1-1;.1 /tоскс ппказывают чнсло 483. Этот ~вы чиСJ1и·1·елы-1ый прибпр" вам что-·го 11апомннает? Ну ка11ечно же, добрые с1·арые С'l(ёт1.1 Только в счётах вместо камешк<.т - дере­ вюшые 111ари1ш, на11иза11ные на пrоволоку. Рус­ сю1е счёты отличаются. от западноевропейских тем, что па первых по десять шариков n рнду, а Шt вторЬL'Х - по де13ять. Любопытно, что в Евро­ пе их и по ce1"i день 1 1 азы.1:1:нот ~абак·>. Счёт ы использовались :и ш1 Востоке - в К11тас и Япш-шн. У китайских счётов суан-т.1н щ1 каждо1) проволочке не по дсся'rъ шар111<оu и нс по девт ь. а по семь, причём дnе 1юсточrси отделены от остальных 11