/
Автор: Федорако Е.И.
Теги: математика учебные пособия и учебники по математике практикум естественные науки 11 класс точные науки
ISBN: 978-985-574-972-2
Год: 2016
Текст
ГОТОВИМСЯ К ВЫПУСКНЫМ
И ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ИСПЫТАНИЯМ
готовимся К ВЫПУСКНЫМ
1 И ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ИСПЫТАНИЯМ
«ГОТОВИМСЯ К ВЫПУСКНЫМ
И ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ИСПЫТАНИЯМ
Е. И. Федорако
Практикум
по МАТЕМАТИКЕ
класс
Пособие для учащихся учреждений общего среднего образования
с русским (белорусским) языком обучения
Рекомендовано Научно-методическим учреждением
«Национальный институт образования»
Министерства образования Республики Беларусь
2-е издание
Мозырь
«Белый Ветер»
20 1 6
УДК 51(075.2)
ББК 22.1я71
ФЗЗ
Серия основана в 2015 году
- Рецензенты:
кафедра высшей математики учреждения образования «Белорусский государственный аграрно-технический университет»
(кандидат физико-математических наук, доцент И. М. Морозова);
учитель математики высшей категории учреждения образования «Минское суворовское военное училище»
И. Г. Арефьева
Федорако, Е. И.
ФЗЗ Практикум по математике. 11 класс : пособие для учащихся учреждений общего среднего
образования с русским (белорусским) языком обучения / Е. И. Федорако. — 2-е изд. — Мо-
зырь : Белый Ветер, 2016. — 135, [1] с. : ил. — (Готовимся к выпускным и вступительным ис-
пытаниям).
ISBN 978-985-574-972-2.
Пособие предназначено для подготовки абитуриентов к выпускному экзамену по математике за курс средней школы
и вступительному экзамену в вузы в форме тестирования как на факультативах, подготовительных курсах, так и само-
стоятельно.
Издание содержит тестовые задания по основным разделам математики с кратким справочным материалом и примерами
решенных задач по каждой теме. Подбор заданий осуществлен на основании опыта преподавания на подготовительных курсах
Академии МВД РБ и в старших классах школы с учетом программы вступительных испытаний для поступающих в учреждения
высшего образования, утвержденной Министерством образования Республики Беларусь. Содержание пособия соответствует
тематике факультативных занятий «Повторяем математику» (11 класс), предложенных к реализации в учреждениях общего
среднего образования.
Адресовано учащимся, абитуриентам, а также учителям старших классов, преподавателям подготовительных курсов.
УДК 51(075.2)
ББК 22.1я71
Учебное издание
Готовимся к выпускным и вступительным испытаниям
ФЕДОРАКО Елена Ивановна
ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ
11 класс
Пособие для учащихся учреждений общего среднего образования с русским (белорусским) языком обучения
2-е издание
Главный редактор С. Е. Шумак^
Ведущий редактор И. А. Доманчук
Художники А. С. Гринич, Е. И. Фурс
Художник обложки Е. И. Фурс
Компьютерная верстка И. А. Доманчук
Подписано в печать с оригинал-макета 16.05.2016. Формат 60x84 1/8. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 15,81. Уч.-изд. л. 11,64.
Тираж 2013 экз. Заказ 238/5749722-1.
Издатель и полиграфическое исполнение:
Общество с ограниченной ответственностью «Издательский Дом «Белый Ветер». Свидетельство о государственной регистрации издателя, из-
готовителя, распространителя печатных изданий № 1/35 от 16.01.2015. Санитарно-гигиеническое заключение № 54/6.6 (до 17.04.2017). Ул. Совет-
ская, 198/4, 247760, г. Мозырь, Гомельская обл., Беларусь. Тел./факс (0236) 32-51-03, 32-51-22. Филиал: ул. Володько, 30, оф. 417, 220007, г. Минск,
Беларусь. Тел. (017) 224-66-89, 298-50-26, 298-50-27. book.belveter.by. E-mail: book@belveter.by
ISBN 978-985-574-972-2 © Федорако Е. И., 2015
© Оформление. ООО ИД «Белый Ветер», 2015
№ п/п Задания Варианты ответов
20. и - - 8у 6 9 п Найдите произведение корней уравнения —— = 0. 1)1,15; 2)-1,15; 3) 1,875; 4)1,8; 5)-1,875.
21. Найдите сумму квадратов корней уравнения — х = 11-5х . х2 -5х+8 1)17; 2)25; 3)5; 4)4; 5)100.
22. тт « w 5х +5 6х2 < ~ л Найдите произведение корней уравнения — 4-13 = 0. X2 *+1 1)1; 2)-1,5; 3)1,5; 4)2,5; 5)-2,5.
23. Найдите значение выражения S • п9 где S — сумма всех корней, а п — коли- чество натуральных корней уравнения 2* ~2*~2 + .?*..+2 4-5=0. Х+1 jc2-x-1 1)1; 2)-2,5; 3)2,5; 4)-0,5; 5)0,5.
24. Найдите значение выражения 7Р-1, где Р — произведение корней урав- / \2 . / _э\2 нения х _| -Q. \ X 4-1) X 4-1 V х ) 1)72; 2)66; 3)80; 4)17; 5) 14.
25. Найдите увеличенную в 20 раз сумму корней уравнения х2-14x4-49 г х2-10x4-21 fx-зУ п (х+2)2 x2+3x+2 lx+lj 1)0; 2)-9; 3)-4; 4)-5; 5)-2.
26. х (х 4“212 Найдите произведение корней уравнения ——-—--4—- = 45. 1)1; 2)-4,5; 3)2,5; 4)4,5; 5) 0,5.
27. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 2 л 32 х -4х = - 3-2х-х 1)2; 2)-2; 3)4; 4)6; 5)-4.
28. Найдите сумму корней (или корень, еслиюнодин) уравнения х2 + —г—5 f х ——16 = 0 . X X) 1)1; 2)-2; 3)5; 4)-5; 5)7.
29. Найдите произведение корней уравнения х2 4-х f J-4-—1=16 . х <2 х ) 1)4; 2)2; 3)-4; 4)-1; 5)1.
30. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения х4-15х2-2х3 4-12х + 36 = 0. 1)-2; 2)2; 3)3; 4)-1; 5)36.
31. тт w w 2х Зх 7 Найдите произведение корней уравнения —z 4- — = -. х -2х-3 х24-2х-3 8 1)1; 2)-3; 3)9; 4)-5; 5)7.
32. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения х2-10х+12_ Зх х2-6x4-12 х2-8x4-12 1)12; 2)-12; 3)144; 4)-21; 5)21.
33. Найдите все пары натуральных чисел х и у такие, что верно равенство х2 = 4у2 4- 13. В ответе укажите сумму всех таких чисел. 1)0; 2)6; 3)14; 4)10; 5)13.
34. Для каждой пары целых отрицательных чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х2 - 2у - ху + 2х - 4 = 0, вычислите сумму х+у, в ответе укажите наименьшую из этих сумм. 1)—17; 2)—1 6; 3)—14; 4)-10; 5)-11.
35. Найдите все пары натуральных чисел х и у такие, что верно равенство х2 - 8х + у14- 2у = -7. В ответе укажите сумму всех таких чисел. 1)5; 2)7; 3)12; 4)17; 5)20.
36. Для каждой [Пары целых положительных чисел х и у, удовлетворяющих х2+2ху + 2у2-4у-22 п уравнению = 0, вычислите произведение ху, в ответе х-2ху + у -1 укажите наибольшее из этих произведений. 1)4; 2)6; 3)12; 4)16; 5)20.
37. Для каждой пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению (х2 + у2)(х - 2у + 5) = 2ху, найдите произведение ху, в ответе укажите наи- меньшее из этих произведений. 1)-12; 2)-4; 3)-2; 4)-6; 5)0.
38. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения х2 -4х 4-8 _ 5х2 4-10х 4-8 _5х2 -40х 4-92 _ । х х-2 5(х+1) 5(х-4) ” 1)6; 2)2; 3)—2; 4)-6; 5)8.
27
№ п/п Задания Варианты ответов
39. [у-х Сумма х+у всех решений системы < равна: [х2-3х-4у =10 1)20; 2)22; 3)14; 4)12; 5) 18.
40. for3 + 3x2v =32 Максимальное произведение Зх • у решений (х;у) системы J Л ’ [2х + 3у = 8 равно: 1 л 1)12; 2)24; 3)4; 4)8; 5)18.
41. Если (х; у) — решение системы < значение выражения х2-у2 равн х2 -2ху + 4у2 = 4, , то максимальное х3+8у3 =8 о: 1)9; 2)6; 3)4; 4)8; 5)1.
42. Если (х; у) — решение системы У) +х + ^у 5, то значение выра- 1111 [i-x=4y жения |х| + |у| равно: 1)2; 2)4; 3)3; 4)1; 5)6.
43. Если (х; у) — решение системы , х2 + бу + 9 = 0, . л , то сумма х+у равна: у2 + 6х + 9 = 0 1)—12; 2)4; 3)-4; 4)6; 5)-6.
44. Если (х; у) — решение системы х • у равно: [(х-2у)2(х+у)3=16, , то произведение [(х-2_у)3(х+_у)2 = 64 1)2; 2)-2; 3>—4; 4)1; 5)8.
45. Если (х; у) — решение системы < равно: х2у3 +х3у2 =18, , то произведение х • у Ух4+х3у4=36 1)2; 2)-2; 3)-4; 4)4,5; 5)8.
46. f(x-j)2-12(х-у)+35 = 0, Если (х: у) — решение системы S , то максималь- г [(х +2у)2-2(х +2у)-8 = 0 ное значение выражения |х| + [у| равно: 1)5; 2)6; 3)7; 4)8; 5)9.
47. Найдите количество точек пересечения графиков уравнений х2 + у2 + 2ху + ху2 = 5 и ху + ху2 = 2. 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
48. Сумма всех значений у, являющихся решениями системы [х -ху-у =1, < , равна: |х + у + 2х -2у = 19 1)2; 2)-2; 3)8; 4)4; 5)16.
49. Если (х; у) — решение системы < выражения х • у равно: х2 +ху-2у2 =0, , то наибольшее значение х2+2у2=6 1)1; 2)2; 3)4; 4)6; 5)8.
50. Найдите количество точек пересечения графиков уравнений х2 -ху + у2 = 3 и Зх2 + ху - ly2 = 12. 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
51. Если (х; у) — решение системы < х4 + у4 при условии, что ху < 0, р х2-/=0, , то значение выражения х3у+у4 +х4 =48 авно: 1)45; 2)96; 3)56; 4)48; 5)32. •
52. Если (х; у) — решение системы уравнений < ние выражения 36(х2-у2) равно: —-—’+—-—=33, х-2у+1 х2+ху ’ z z , тозначе- - +— = -18 х-2у+1 х +ху 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; • 5) 5.
53. Количество пар (х; у), где (х; у) — решение системы « равно: ^-+azzi=3, у-2 X , ху-Зу + 6 = 0 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
28
№ п/п Задания Варианты ответов
54. Для каждой тройки целых положительных чисел х, у и z, удовлетворяю- |х2 +2лт + 5у2 -4yz + z2 =13, щих системе J z л л , найдите значение суммы х2 +2ху-3у2 + 4yz-z2 =5 х + у + z. В ответе укажите большую из этих сумм. 1)7;. 2)12; 3)13; 4)5; 5)9.
55. Если х, у и z — целые положительные числа, удовлетворяющие системе 4х2 + у1 + 4хул 1 + , то сумма x+y + z равна: xz - 5 + Зх - z2 - 3z = 0 1) 17; 2) 12; 3) 13; 4) 15; 5) 19.
6. Рациональные неравенства и их системы
Р(х) Р(х} Р(х} Р(х)
Рациональное неравенство — это неравенство одного из видов: ^-у>0, 0() 2()<^’ С(") ГДе
Р(х) и Q(x) — некоторые многочлены. Основным методом решения таких неравенств является метод интервалов,
суть которого состоит в выполнении следующих действий:
1. Все члены неравенства переносятся в левую часть и приводятся к общему знаменателю.
2. Определяются точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.
3. Эти точки наносятся на числовую прямую, разбивая ее на интервалы, в каждом из которых рациональная функ-
ция, находящаяся в левой части неравенства, сохраняет знак. При этом нули знаменателя всегда исключаются из про-
межутков и изображаются выколотыми точками «о».
4. Определяется знак на крайнем справа интервале: если произведение коэффициентов при старших степенях
числителя и знаменателя больше нуля, то соответствующая рациональная функция принимает на этом интервале по-
ложительные значения, а в противном случае — отрицательные значения.
5. Определяются знаки на остальных интервалах: при переходе через отмеченную точку знак меняется на проти-
воположный, если она является корйем нечетной кратности (т. е. встречается нечетное число раз среди корней числи-
теля и знаменателя); при переходе через точку четной кратности знак сохраняется.
6. Множеством решений неравенства является объединение промежутков с соответствующим знаком, при этом
в случае нестрогого неравенства к этому множеству добавляются нули числителя.
Примечание. При определении знаков функции, находящейся в левой части неравенства, вместо использования
правил, описанных в п. 4, 5, можно проверять знаки функции непосредственной подстановкой в нее значений пере-
менной из каждого промежутка. 3
Например. Решим неравенство _J_Z£A£Z_J— > 0 .
F (х +1)(х2 -Зх-4)
1) Все члены неравенства находятся в левой части.
2) Найдем нули числителя: ^=2, х2 = 3. Нули знаменателя: х3=-1, х4 = 4, х5 = -1.
3) Изобразим точки на координатной прямой:
4) Произведение коэффициентов при старших степенях каждого множителя в числителе и знаменателе равно
-1 • 1 • 1 • 1 = -1, значит на крайнем правом интервале ставим знак минус.
5) При переходе через точку х = 4 знак меняется на противоположный, так как это корень кратности 1 (нечетной).
При переходе через точку х = 3 знак также меняется, так как это корень кратности 3 (нечетной). При переходе через
точку х = 2 знак меняется, так как это корень кратности 1. При переходе через точку х = -1 знак не меняется, так как
кратность этого корня равна четному числу 2 (корень х = -1 встречается дважды среди корней знаменателя).
6) Решением исходного неравенства является объединение промежутков со знаком «+», включая нули числителя,
так как неравенство было нестрогим.
Ответ: х е(-оо;-l)u(-l;2]u[3;4).
№ п/п Задания Варианты ответов
1. Решением неравенства (х - 2)(х2 + х - 2) > 0 является множество: 1)[-2;1]и[2;+оо); 2)[-2;1]; 3) [2; +оо ); 4) (-оо; -2] и [1; 2]; 5)[1;2].
29
№ п/п Задания Варианты ответов
2. Сумма целых решений неравенства (х2 - 4х + 4)(5х + 1)(х + 4) < 0. 1)—10; 2)0; 3)1; 4)-8; 5)3.
3. Укажите количество целых чисел, не являющихся решениями неравенства (х-2)3(х+ 1)4(6-х)<0. 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.
4. Наибольшее целое решение неравенства (х - 5)2(х + 11) > (х2 - 7х + 10)(2х - 3) равно: 1)1; 2)5; 3)14; 4)6; 5)15.
5. Найдите сумму целых решений неравенства (2х2 + 7,5х - 7)2 < (х2 + 9,5х + I)2. 1)-8; 2)-5; 3)4; 4)-6; 5)-12.
6. Количество целых решений неравенства х4 - 10х2 + 9 < 0. 1)3; 2)4; 3)5; 4)6; 5)7.
7. Решением неравенства (2х2 + Зх + 3)(х2 - 9) < 0 является множество: 1)(-оо;-3]; 2) (-оо;+оо); 3) (—« ;—3)0(3;+»); 4)[-3;3]; 5)[3;+а>).
8. Наибольшее целое решение неравенства (4х - 6 - х2)(2х2 - х - 15) > 0 равно: 1)-2; 2)0; 3)1; 4)2; 5) 3.
9. Найдите количество целых решений неравенства х4 - 18х2 + 81 < 0. 1)8; 2)5; 3)7; 4)6; 5)2.
10. Найдите количество целых решений неравенства 4х4 - 37х2 + 9^0. 1)8; 2)5; 3)4; 4)6; 5)2.
11. Найдите сумму целых решений (или решение, если оно одно) неравенства (х2 - 5х + 4)2 + (х2 - 7х + 6)2 0. 1)1; 2)12; 3)11; 4)4; 5)5.
12. Количество целых решений неравенства (х2 - 2х)2 - 7х2 + 14х - 8 > 0, при- надлежащих отрезку [-2; 5], равно: 1)3; 2)4; 3)5; 4)6; 5)7.
13. Найдите сумму целых решений неравенства х4 + 6х3 + 9х2 - 14(х2 + Зх) + 40 < 0. 1)—6; 2)-9; 3)3; 4)-2; 5)-3.
14. Количество целых решений неравенства х(х + 1)2(х + 2) < 12 равно: 1)3; 2)4; 3)5; 4)6; 5)7.
15. 9 у _1 Наибольшее целое решение неравенства > 0 равно: 5-х 1)3; 2)4; 3)5; 4)6; 5)7.
16. х — 6х + 9 Найдите сумму целых решений неравенства =- > 0. 5-4х -х2 1)-7; 2)-10; 3)0; 4)-14; 5) 6.
17. з Найдите сумму целых решений неравенства — > 1. X 1)3; 2)4; 3)5; 4)6; 5)7.
18. Наибольшее целое решение неравенства х < 0 равно: X 1)—2; 2)-1; 3)0; 4)1; 5)2.
19. п х2-Зх+2. _ Решением неравенства > 0 является множество: х2-1 1)(-оо;-1]; 2) (2;+оо); 3) (—<ю ;-1) о [2; +оо ); 4) (-1; 1)0(1; 2]; 5)(-1;2].
20. (1—хУх3 —4х2 -12x1 Количество целых решений неравенства - — > 0 равно: х2-36 1)3; 2)4; 3)5; 4)6; 5)7.
21. 4 2 Наименьшее целое положительное решение неравенства + < 1 равно: Л 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
22. Наибольшее целое отрицательное решение неравенства х+1 х 2х2+5х <— равно: х+5 1-х х2+4х-5 1)—2; 2)-5; 3)-1; 4)-6; 5)-4.
23. Найдите количество целых положительных значений х, не являющихся х2 -X -2 решениями неравенства — > 1. х2 -6х +9 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
24. Найдите количество целых значений х, принадлежащих области опреде- 75 — Ют 4- т2 ления функции у = з _ М(х2 + х-12)(х-7)(9-х) 1)6; 2)7; 3)8; 4)9; 5)10.
30
№ п/п Задания Варианты ответов
25. Найдите наименьшее целое значение х, принадлежащее области опре- , \ 1б4-6х-х2 4 деления функции / (х) = J + . 3 ““ х х “1“ 2 1)-2; 2)-1; 3)0; 4)1; 5)8.
26. 2х-7 7-2х Сумма целых решений неравенства 2 - ? , принадле- х -5x4-6 х -10x4-21 жащих отрезку [0; 8], равна: 1)16; 2)14; 3)13; 4)15; 5)12.
27. Найдите сумму целых отрицательных решений неравенства 5 1 + —*±11. >р 2х2+Зх-2 х2-Зх-10 2х2-11х+5 1)-1; 2)-6; 3)—4; 4)-7; 5)-8.
28. 4х4-30л2+2 7-7х2 Найдите сумму целых решений неравенства = > . 2х-х2+15 (х+3)(х-5) 1)12; 2)6; 3)5; 4)7; 5)8.
29. Количество целых решений системы неравенств ' равно: 2 —х —х2 (>/7-3)(х+1,5)<0 1)2; 2)3; 3)4; 4)5; 5)6.
30. Сумма целых решений системы неравенств * равна: -4-х < 9 X2 4-Х 4х4-Зх2-х3 ->1 .X 1)8; 2)7; 3)6; 4)9; 5)10.
31. Сумма цел равенств < ых решений (или целое решение, если оно одно) системы не- 1 2 > Зх-1 х-1 х2 +х +1 х3-1’ 9>х2 равна: (х-2)<(х-2)(х+1) 1)2; 2)3; 3)5; 4)10; 5)12.
32. тт 2 4 х-2 Наименьшее целое решение неравенства у—равно: 1)6; 2)7; 3)8; 4)9; 5)10.
7. Текстовые и практико-ориентированные задачи
Все текстовые задачи можно условно разбить на типы: а) задачи на проценты; б) на движение; в) на работу; г) на
концентрацию смесей и сплавов; д) на числовые зависимости и т. д.
Схема решения текстовой задачи, как правило, состоит из следующих этапов:
1. Выбор неизвестных (как правило, это те величины, которые требуется найти в условии задачи).
2. Составление уравнений или систем уравнений, а иногда и систем неравенств.
3. Нахождение неизвестных или некоторой их комбинации.
4. Отбор решений, подходящих по смыслу задачи.
7.1. Задачи на проценты
Понятие процента и основные приемы работы с ними перечислены в п. 1. При решении текстовых задач на про-
центы полезно иметь на вооружении следующие правила:
• При многократном повышении (или понижении) величины каждое следующее повышение (или понижение) вы-
числяется от предыдущей полученной величины, а не от первоначальной.
• Если первоначальный и конечный размеры изменяемой величины не указаны, удобно взять ее за 100.
• Если число Л увеличить на р%, то получим новое значение, равное а при уменьшении на р% его
значение будет равно А11—— I.
I 100J
31
7.2. Задачи на движение
Основными величинами при решении задач на движение являются: расстояние, скорость и время (как правило,
в школьном курсе математики имеют дело с равномерным движением), связь между которыми выражается формулой
S = v • t.
При движении, которому «помогает» или «мешает» посторонний движущийся объект (течение реки или движе-
ние эскалатора), необходимо учитывать и скорость движения данного объекта: при движении по течению скорость
движения катера равна v = vc + v/, а при движении по реке против течения — v = vc-vz, где v. — собственная скорость
катера, a vt — скорость течения реки.
При движении друг навстречу другу скорость сближения равна сумме скоростей движения каждого из движу-
щихся объектов. Если один объект догоняет второй, то скорость, с которой он это делает, равна разности их скоростей
(от большей вычитают меньшую).
При движении по окружности необходимо понимать, что если одно тело через некоторое время догоняет второе,
то за период между их встречами первое тело проходит ровно на один круг больше, чем второе.
7.3. Задачи на работу
Основными величинами при решении таких задач являются: объем выполняемой работы, производительность
труда (другими словами, скорость работы), время выполнения работы. Все эти величины связаны соотношением:
А = р • t, где А — объем работы, р — производительность, t — время. Если объем работы неизвестен, то его часто
принимают за 1.
В задачах на совместную работу (когда одной и той же работой занято несколько объектов одновременно) произ-
водительности всех работающих объектов складываются.
7.4. Задачи на концентрацию смесей и сплавов
Под концентрацией вещества в растворе (смеси, сплаве) понимают отношение количества данного вещества
к количеству всего раствора (смеси, сплава): с = . Часто концентрацию выражают в процентах, тогда она равна
м
данному отношению, умноженному на 100 %: с % == -^-400 % .
м
Если в условии задачи сказано, что растворы одного и того же вещества массами тх и т2 с концентрациями с}
и с2 слили вместе (или два сплава сплавили вместе), то концентрация данного вещества в новом растворе (сплаве)
- т. • а + т, • с,
будет равна с = -L-J.
тх + т2
№ п/п Задания Варианты ответов
1. Андрей оплатил израсходованную за месяц электроэнергию, потратив 53600 рублей. Электросчетчик в квартире Андрея работает по двум раз- личным тарифам: «тариф 1» и «тариф 2». Известно, что по 1-му тарифу расход составил 120 кВт/ч, а стоимость 1 кВт/ч составляет 230 рублей. Суммарный расход электроэнергии по двум тарифам равен 160 кВт/ч. Ка- кова стоимость (в рублях) 1 кВт/ч электроэнергии по 2-му тарифу? 1)500; 2)650; 3)720; 4)680; 5) 590.
2. При ежемесячном потреблении до 250 кВт/ч электроэнергии оплата про- изводится по одному тарифу, а при расходе более 250 кВт/ч тариф за пере- расходованную электроэнергию увеличивается в 1,3 раза и составляет 325 рублей за 1 кВт/ч. Владельцы квартиры потратили на оплату элек- троэнергии 69000 рублей. Какое количество электроэнергии (в кВт/ч) они потребили за этот месяц? 1)240; 2)290; 3)270; 4)275; 5) 285.
3. Автомобиль проехал некоторое расстояние, израсходовав 1,8 л топлива. Расход топлива при этом составил 6 л на 100 км. Затем автомобиль на- чал движение по городу, вследствие чего расход топлива вырос до 8 л на 100 км. Сколько литров топлива необходимо автомобилю, чтобы проехать по городу такое же расстояние? 1)2,4; 2)2,6; 3)2,7; 4)1,9; ’ 5) 2,2.
32
№ п/п Задания Варианты ответов
4. Автомобиль проехал 120 км, израсходовав 8,4 л бензина. Следующие 150 км автомобиль проехал с другой скоростью, израсходовав 12,6 л бензи- на. На сколько процентов при этом изменился расход бензина на 100 км? 1) увеличился на 15 %; 2) увеличился на 18 %; 3) увеличился на 20 %; 4) уменьшился на 5 %; 5) уменьшился на 10 %.
5. Какое количество шпаклевки (в кг) необходимо, чтобы ошпаклевать стены прямоугольной комнаты размером 3,5 м х 4 м и высотой 2,5 м, если извест- но, что размеры дверного проема — 0,6 м х 2 м, а оконного — 1,5 м х 1,2 м, и на 1 м2 стены в среднем необходимо использовать 220 г шпаклевки? 1)12,4; 2)10,6; 3)8,72; 4)6,96; 5)7,59.
6. Жилой дом имеет форму прямоугольного параллелепипеда с основанием 15 м х 4 м и высотой 7,5 м. Решено утеплить фасад здания по всему пери- метру. Сколько квадратных метров материала потребуется, если извест- но, что в доме 25 окон размером 1,5 м х 0,8 м и входная дверь размером 2,5 м х 0,8 м? 1)244; 2)268; 3)270; 4)253; 5)252.
7. В супермаркете имеется в продаже рис одного и того же сорта, расфасо- ванный в пакеты по 800 г, 950 г и 1 кг по цене 12800, 14250 и 15500 рублей соответственно. Расположите варианты фасовок от наиболее к наименее выгодной для покупателя. 1) 950 г, 1 кг, 800 г; 2) 1 кг, 950 г, 800 г; 3) 950 г, 800 г, 1 кг; 4) 800 г, 950 г, 1 кг; 5) 800 г, 1 кг, 950 г.
8. Известно, что сумма квадратов двух натуральных чисел равна 117, а одно из чисел в 1,5 раза больше второго. Найдите большее из этих чисел. 1)5; 2)6; 3)7; 4)8; 5)9.
9. Первое число составляет 18 % второго, а третье относится к первому как 2 : 3. Сумма трех чисел равна 65. Найдите первое число. 1)4; 2)9; 3)50; 4)6; 5)7.
10. Если поменять местами цифры некоторого двузначного числа, то вновь по- лученное число будет больше исходного на 45. Найдите исходное число, если известно, что сумма квадратов его цифр равна 97. В ответ запишите сумму его цифр. 1)13; 2)9; 3)14; 4)15; 5) 16.
11. О некотором трехзначном числе известно, что число его десятков на 3 больше числа сотен, а произведение числа десятков и единиц равно 30. Если поменять местами первую и последнюю цифры числа, то получится число, превышающее исходное на 396. Найдите корень квадратный из ис- ходного числа. 1)13; 2)17; 3)14; 4)15; 5) 16.
12. Найдите натуральное число, которое при делении с остатком на 6 дает не- полное частное на 2 больше остатка, если известно, что остаток от деле- ния при этом в 13 раз меньше самого числа. В ответе укажите сумму цифр числа. 1)10; 2)8; 3)12; 4)13; 5) 14.
13. Сумма четырех натуральных чисел равна 95. Первое число при делении на второе дает в частном 2 и в остатке 1. Второе при делении на третье дает в частном 4 и в остатке 4; третье при делении на четвертое — в частном 1 и в остатке 2. Найдите первое число. 1)4; 2)6; 3)64; 4)57; 5)28.
14. Средний балл Антона за 1 четверть составил 6,0. В результате напряжен- ной работы во 2-й четверти его средний балл вырос до 6,6. На сколько процентов выросла успеваемость Антона во 2-й четверти по сравнению с первой? 1)7; 2)8; 3)9; 4)10; 5)11.
15. После подорожания на 25 % пакет молока стал стоить 15 рублей. Сколько рублей стоил пакет молока до подорожания? 1)10; 2)11; 3)12; 4)13; 5) 13,5.
16. Мама дала Мише на карманные расходы 50000 рублей. После покупки но- вой книги для себя и музыкального диска в подарок другу. Миша насчитал у себя 19 % от первоначальной суммы. Сколько стоил подарок другу, если известно, что отношение цены книги к цене диска равно 17 : 10? 1) 10000; 2)25500; 3) 12500; 4) 15000; 5) 11500.
17. Из 120 покупателей автосалона 35 % приобрели французские автомобили. Из них 7 человек купили машины марки «Рено». Сколько процентов состав- ляют покупатели автомобилей марки «Рено» от количества покупателей французских автомобилей? 1) 1б|; 2) 16; 3) 13; 4) 14; 5) 18.
33
№ п/п Задания Варианты ответов
18. При опросе автолюбителей 37,5 % опрошенных ответили, что предпочита- ют ездить на машинах французских марок, 12,5 % — на машинах японских марок. Из числа всех остальных автолюбителей 80 % предпочитают не- мецкие автомобили, а оставшиеся 24 человека отдали предпочтение рос- сийским производителям. Сколько человек было опрошено? 1)480; 2)280; 3)270; 4)320; 5) 240.
19. Для поездки на работу папе пришлось выбирать наиболее экономичный маршрут. Он подсчитал, что при поездке по одной дороге он расходует на 12 % денег больше, а при поездке по другой — в 1,2 раза больше, чем при поездке на общественном транспорте. Сколько денег (в рублях) тра- тит папа, добираясь на работу на общественном транспорте, если разница между стоимостью его поездки по двум различным дорогам на автомобиле составляет 192 рубля? 1) 1000; 2)2500; 3) 1200; 4)2400; 5)3200.
20. В результате внедрения новых технологий производительность тру- да на заводе в январе выросла на 10 % по сравнению с прошлогодней, а в феврале — на 5 % по сравнению с январской. На сколько процентов выросла производительность труда на заводе в феврале по сравнению с прошлогодней? 1)17; 2)16; 3)14,5; 4)15; 5) 15,5.
21. В период предновогодней распродажи товар уценили сначала на 16 %, а через некоторое время еще на 15 %, в результате чего стоимость товара составила 357 тысяч рублей. Сколько тысяч рублей составляла первона- чальная стоимость товара? 1)560; 2)500; 3)480; 4)520; 5)420.
22. Концентрация соли в 5 л раствора была равна 16 %. Какой станет концен- трация соли (в процентах), если в раствор добавить 3 л воды? 1)10; 2)8; 3)12; 4)13; 5) 14.
23. Слили вместе 4 л 5 %-ного и 6 л 10 %-ного растворов кислоты. Какова кон- центрация (в процентах) кислоты в новом растворе? 1) 6; 2) 7; 3) 7,5; 4) 8; 5) 9.
24. Два раствора кислоты одинаковой массы с различной концентрацией кис- лоты слили вместе и получили 12 %-ный раствор кислоты. Если слить по- ловину массы одного раствора и весь второй раствор, то получится 9 %-ный раствор кислоты. Найдите концентрацию (в процентах) второго раствора. 1)2; 2)3; 3)4; 4)5; 5)6.
25. Кусок, содержащий серебро и никель в отношении 1 : 4, сплавили с куском серебра массой 50 г. При этом получился сплав, содержащий серебро и ни- кель в отношении 9 : 16. Какова была масса первого сплава в граммах? 1)180; 2)240; 3)190; 4)200; 5) 225.
26. Имеется два сплава меди и цинка различной массы. В первом сплаве от- ношение этих металлов равно 5 : 6, а во втором — 2:3. После того как их сплавили вместе, получился новый сплав массой 240 г с отношением меди и цинка 17 : 23. Какова была масса второго сплава? 1)100; 2)110; 3)120; 4)125; 5) 130.
27. Смесь содержит элементы типов А, В и С в отношении 2:3:7. Если бы смесь той же массы содержала те же элементы в отношении 3 :4 : 8, то мас- са одного из элементов уменьшилась бы по сравнению с первоначальной на 60 г. Найдите массу смеси в килограммах. 1) 1,2; 2) 1,3; 3) 1,4; 4) 1,5; 5) 1,6.
28. Два автомобиля выехали одновременно друг навстречу другу из населен- ных пунктов, расстояние между которыми равно 120 км. Известно, что один из автомобилей движется со скоростью 75 км/ч, а встреча автомо- билей в пути произошла через 45 минут после начала движения. Найдите скорость (в км/ч) второго автомобиля. 1)100; 2)95; 3)85; 4)82; 5) 80.
29. 1-й велосипедист находится в пункте А, а 2-й — в пункте В на расстоянии 20 км друг от друга и одновременно начинают движение в одном направле- нии, причем скорость 1-го на 10 км/ч больше скорости 2-го. Известно, что 1-й велосипедист догнал второго в 45 километрах от пункта В. Найдите скорость (в км/ч) 2-го велосипедиста. 1)10; 2)15; 3)17,5; 4)22,5; 5) 25.
30. Товарный поезд проходит мост длиной 300 м за 50 с, а туннель длиной 600 м — за 1 мин 10 с. Найдите длину поезда в метрах. 1)560; 2)500; 3) 45J); 4)520; 5) 420.
34
№ п/п Задания Варианты ответов
31. Скорый поезд проходит мост длиной 300 м за 24 с, а мимо стоящего стре- лочника— за 12 с. Найдите скорость поезда (в км/ч). 1) 90; . 2) 100; 3) 95; 4) 85; 5) 80.
32. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 42 км, вышли на- встречу друг другу два пешехода и встретились в некоторый момент вре- мени. Если бы они оба шли с одинаковой скоростью, равной скорости 2-го пешехода, то их встреча произошла бы на 30 минут раньше. Если бы они оба шли со скоростью, равной скорости 1-го пешехода, то их встреча прои- зошла бы на 42 минуты позже. Найдите скорость (в км/ч) 1-го пешехода. 1)9; 2)8; 3)7; 4)6; 5)5.
33. Из пунктов А и В выехали навстречу друг другу два автомобиля и встре- тились в тот момент, когда 2-й автомобиль проехал | расстояния от А до В. Если бы скорость 2-го автомобиля была на 10 км/ч больше, а 1-го — на 10 км/ч меньше первоначальной, то в момент встречи 2-й автомобиль 5 проехал бы — всего пути от А до В. Найдите скорость (в км/ч) 1-го авто- мобиля. 1)75; 2)95; 3)90; 4)85; 5)80.
34. Теплоход затратил на прохождение пути в 90 км вниз по течению реки, скорость которого равна 5 км/ч, 3 часа. За сколько часов он пройдет тот же путь, двигаясь против течения с такой же собственной скоростью? 1)3; 2)4; 3)3,5; 4)4,5; 5)4,8.
35. Собственная скорость катера равна 46 км/ч. Найдите скорость течения реки (в км/ч), если известно, что на весь путь от А до В и обратно катер затратил 5 ч 45 мин, а расстояние между пунктами А и В по реке равно 132 км. 1)3; 2)2; 3)2,5; 4)1,5; 5)1,8.
36. Из пункта А со скоростью 42 км/ч выехал мотоциклист, а через 40 минут в том же направлении из пункта А выехал автомобиль со скоростью 80 км/ч. Через какое время (в минутах) после выезда автомобиля расстояние между ними составит 67 км? 1)160; 2)100; 3)150; 4)180; 5) 120.
37. Два велосипедиста двигаются по кругу в одном направлении: 1-й со ско- ростью 400 м/мин, 2-й — со скоростью 300 м/мин, встречаясь каждые 15 минут. Найдите длину окружности стадиона в метрах. 1) 1200; 2) 1500; 3) 1600; 4) 1800; 5)2000.
38. Две точки движутся в одном и том же направлении по кругу радиусом 120 • л"1 м, причем 2-я точка догоняет 1-ю каждые 3 минуты. Если они нач- нут двигаться одновременно из одной и той же точки навстречу друг другу, то их встреча произойдет через 1,5 минуты после начала движения. Найди- те скорость (в м/мин) 1-й точки. 1)55; 2)50; 3)45; 4)40; 5)35.
39. Возраст дочери в 3 раза меньше возраста матери, а через 7 лет мать будет старше дочери в 2,3 раза. Сколько лет матери сейчас? 1)33; 2)35; 3)36; 4)39; 5)42.
40. Путь, пройденный материальной точкой, подчиняется закону S(t) = t2-6t + + 13, где t—время в секундах, S— путь в метрах. Найдите момент времени Гют, в который путь, пройденный точкой, будет минимальным, и значение пути Sm.n в этот момент. В ответ запишите сумму этих величин. 1) 5; 2) 7; 3) 13; 4) 1; 5) 0.
41. Прибыль предприятия по выпуску единицы изделия равна разности цены изделия при продаже Xу.е. и количества издержек на производство изделия У у.е. Известно, что величина издержек на производство изделия равна ква- драту его цены, деленной на 4. Какой должна быть цена 1 изделия (в у.е.), чтобы прибыль от продажи была максимальной? 1)0,5; 2)1; 3)1,5; 4)2; 5)2,4.
42. Рабочий должен был изготовить 360 деталей за определенный срок, но так как рабочий перевыполнял дневную норму на 20 деталей, то выполнил всю работу на 1,5 дня раньше срока. Сколько деталей изготавливал рабочий в день? 1)55; 2)60; 3)65; 4)70; 5)80.
35
№ п/п Задания Варианты ответов
43. Бригада каменщиков должна была выложить стену в строящемся доме 2 за определенный срок. Выполнив - всей работы, бригада вынуждена была остановить работу по причине нехватки кирпича. После двух дней вынуж- денного простоя каменщики возобновили работу и, увеличив дневной объ- ем работы на 20 % по сравнению с первоначальным, справились с работой с отставанием от графика на 1 день. За сколько дней должна была спра- виться с работой бригада? 1) 10; 2) 12; 3) 9; 4) 7; 5) 8.
44. Двое рабочих, работая вместе 36 минут, выполнили часть работы. За- тем 2-й рабочий был переведен в другой цех, и первый рабочий закончил выполнение всей работы за 4,5 часа. Сколько часов понадобится для вы- полнения всей работы 2-му рабочему? 1)3; 2)4; 3)3,5; 4)4,5; 5)5.
45. Для наполнения бассейна водой используют два крана. Если открыть их одновременно, то бассейн заполнится за 2- часа. За сколько часов запол- нит бассейн 2-й кран, работая отдельно, если 1-й кран заполняет бассейн за 5 часов? 1)3; 2)4; 3)3,5; 4)4,5; 5)5.
46. Резервуар заполняется водой через три трубы. Через 1-ю трубу резервуар заполняется на 4 часа медленнее, чем через 3-ю, и на 9 часов медленнее, чем через 2-ю. Известно также, что пропускная способность 3-й трубы в 1,5 раза больше пропускной способности 1-й трубы и на 6 м3/ч меньше пропускной способности 2-й трубы. Найдите пропускную способность (в м3/ч) 2-й трубы. 1)8,4; 2)28,8; 3)9,6; 4)14,4; 5) 12,6.
47. Три трубы наполняют бассейн. Через первую трубу в бассейн вливается 150 л воды в час, через вторую — на х литров меньше, а через третью — на Зх больше, чем через первую. Сначала были открыты первая и вторая трубы. При этом бассейн наполнился на 1/3 часть. Затем все три трубы, от- крытые одновременно, наполнили оставшуюся часть бассейна. При каком значении х весь бассейн будет заполнен за минимальное время? 1)24,5; 2)37,5; 3)56; 4)27,8; 5)75.
48. Из пункта А в направлении пункта В выехал грузовик со скоростью v км/ч. Через час вслед за ним из пункта А в том же направлении выехал легковой автомобиль со скоростью 60 + v км/ч. Догнав грузовик, легковой автомо- биль развернулся и поехал обратно в пункт А со скоростью 60 - v км/ч. Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых значений скорости v (в км/ч), при которых к моменту возвращения легкового автомобиля в пункт А грузовик пройдет более 90 км. 1)69; 2)110; 3)90; 4)78; 5) 120.
8. Иррациональные уравнения и их системы
Иррациональные уравнения — это уравнения, содержащие переменную под знаком корня. Таким образом, урав-
нение х2 +2л/3х -3=0 не является иррациональным, а уравнение 2х-Зл/х2 -1 = 1 — иррациональное.
Основными методалш решения иррациональных уравнений являются:
1) возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
2) введение новых переменных;
3) разложение на множители;
4) умножение обеих частей уравнения или числителя и знаменателя дроби, входящей в состав уравнения, на вы-
ражение, сопряженное данному иррациональному;
5) сведение иррационального уравнения к уравнению, содержащему модуль;
6) функциональные методы решения: использование монотонности, ограниченности, нахождение области опре-
деления функций, входящих в состав уравнения.
36
Рассмотрим некоторые из данных методов решения подробнее.
Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень
При использовании этого метода необходимо помнить о том, что при возведении обеих частей уравнения в чет-
ную степень мы приходим к уравнению-следствию, которое может содержать посторонние корни. Неотъемлимой
частью такого решения является проверка подстановкой полученных значений переменной в исходное уравнение.
Другой способ избавления от посторонних корней — это использование равносильных переходов, которые по-
зволяют не опасаться как потери корней, так и появления посторонних решений. К примеру, уравнение вида
.--- [А(х) = В2(х)
у1А(х)=В(х) равносильно системе: | ’ Неравенство В(х)>0 этой системы отсекает посторонние ре-
шения и позволяет обходиться без проверки.
Введение новых переменных
Суть метода состоит в том, что он позволяет свести иррациональное уравнение к алгебраическому, алгоритм ре-
шения которого известен.
Пример 1. Решить уравнение 2\Jx + 1 + а/х +1=3 .
Решение. Обозначим у = vx +1 (у > 0). Получим квадратное уравнение: 2у2 + у - 3 = 0, корни которого равны:
у1=-|,у2=1. Значение У1=-^ не удовлетворяет условию у >0. Выполним обратную замену: а/х +1 =1. Воз-
ведем обе части полученного уравнения в шестую степень и получим значение х = 0, которое является корнем ис-
ходного уравнения (проверка не нужна, так как все преобразования были равносильными).
Ответ: 0.
Пример 2. Решить уравнение 2х2 + 54х - 270-2 1ха/х -5=0 .
Решение. Запишем исходное уравнение в виде 2х2 -21ха/х -5 + 54(х -5) = 0. По виду это однородное уравнение
второй степени относительно выражений х и Vx -5 . Поэтому, выполнив деление обеих частей уравнения на вы-
ражение (а/х -5)2 = х -5 (деление возможно, так как число 5 не является корнем исходного уравнения и можно
/ х2
считать, что а/х -5^0), получим уравнение: 2 -21 , ..+ 54=0. Выполним замену у-,Х и решим
Vx-5 Vx-5 .
квадратное уравнение 2у2 - 21у + 54 = 0. Получим у =6, у2 = 4,5. В результате выполнения обратной замены по-
= 6,
х2 =36(х-5),
лучим совокупность:
_1_ = 4 5-
. Решив ее, получим х =9, х = 11,25, хч = 6, х = 30.
х2 =20,25(х-5),
Ответ: 6; 9; 11,25; 30.
Пример 3. Решить уравнение а/2-х + а/х -1 = 1.
Решение. Введем новые переменные: пусть ^2-х = у, у/х -1 = z (z > 0), получим систему уравнений:
y+z = l, Jj=l-z,
у3 +z2 =1; |(l-z)3 +z2 =1.
Из второго уравнения системы: 1 -3z + 3z2-z3 = 1, z3-4z2 + 3z = 0, откуда z - 0, z2=l, z3 = 3. Обратная замена:
а/ГЛ = 0, Гх=1,
а/х -1 = 1, <=> х = 2,
а/х^1 = 3; Lx=10'
Ответ: 1; 2; 10.
Разложение на множители
При решении иррациональных уравнений данным методом необходимо знать и применять правило’, произведение
нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные
при этом имеют смысл.
37
Пример 4. Решить уравнение (х - 3 )д/х2 -5х + 4 = 2х - 6 .
Решение. Выполним перенос слагаемого в левую чйсть и разложим полученное выражение на множители:
(х - 3)>/х2-5х+4 - 2(х - 3 ) = 0, (х-3)(л/х2-5х+4 - 2) = 0, что равносильно совокупности:
>/х2—5х+4—2 = 0,
Jx—3=0,
|х2 -5х + 4 >0;
х2 -5х +4 = 4,
|х =3,
[х g(—оо; 1]и[4; + оо);
х =0,
х =5.
Ответ: 0; 5.
Умножение на выражение, сопряженное иррациональному
Данный метод решения основан на использовании формулы а2 - Ъ2 = (а - Ь)(а + Ь) и позволяет избавиться от
иррациональности в одной из частей уравнения. Дальнейший ход решения, как правило, предполагает разложение
полученного уравнения на множители. Зачастую эффективным является прием объединения полученного уравнения
в систему с исходным.
Проверка при решении уравнений такого типа необходима, так как при домножении обеих частей уравнения на
сопряженное выражение, оно могло приобрести посторонние корни, являющиеся нулями данного выражения.
Сведение иррационального уравнения к уравнению, содержащему модуль
Часто при решении иррациональных уравнений можно избавиться от знака корня четной степени и получить
уравнение, содержащее знак модуля. Например, при решении уравнения д/х2 + 6х +9 + д/х2 -6х +9 = 6 выделим
в подкоренных выражениях полные квадраты и получим: |х + 3| + |х -3| = 6 . Полученное уравнение можно решить
методом интервалов или с использованием свойств модуля.
№ п/п Задания Варианты ответов
1. Какие из уравнений: a) Vx +4 = 0 ; б) д/х -2 = -3 ; в) </1—2х = -д/2 ; г) V5x =4 ; Д) д/х +11 =1 имеют корни? 1) а, г, д; 2) б, г, д; 3) а, б, г, д; 4) г, д; 5) а, б, в, г, д.
2. Какие из уравнений: а) ’^5х +6 =2; б) ^7-4х =-17; в) Vx =-х2-1; г) д/бх +7+8 = 0; д) у/Зх +5+3 = 0 не имеют корней? 1) б, г, д; 2) б, в, д; 3) а, б, г, д; 4) в, д; 5) б, в, г, д.
3. Найдите корни уравнения 2-х = о , д/1~Х 1)х=1; 2)х = 0; 3)х = 0, х = 2; 4)х = 0, х = 1, х = 2; 5) нет корней.
4. Найдите корни уравнения х .-х 6 = 0 . д/4-х2 1)х = 2; 2)х = -3; 3)х = -3, х = 2; 4) х = -2, х = 2; 5) нет корней.
5. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения х2-4(л/х)2-12 = 0 1)6; 2)36; 3)4; 4)-2; 5)40.
6. Найдите произведение корней уравнения Зх2 - вд/х2" -3=0. 1)—1; 2)-9; 3)3; 4)9; 5)27.
7. Найдитесуммукорней(иликорень,еслионодин)уравнения Vx2 -2х -8 =2 . 1)6; 2)-2; 3)2; 4)-4; 5)24.
8. Найдите среднее арифметическое корней уравнения д/х3 -х2 -2х -1 = -1 1)0,5; 2)-0,5; 3) -|; 4)|; 5) 1.
9. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения д/х +30 =х . 1)-5; 2)5; 3)6; 4)30; 5)-30.
10. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения д/7х + 8 = -х . 1)-8; 2)8; 3)-7; 4)7; 5)-1.
38
№ п/п Задания Варианты ответов
11. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 715-7x^8 =2л/з . 1)19; 2)17; 3)35; 4)1; 5)21.
12. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения ^З-л/х+Т = -1. 1)256; 2)257; 3)15; 4)255; 5)210.
13. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения yjx2 + у/5 -4х = х -1. 1)1; 2)-1; 3)0; 4)2; 5) нет корней.
14. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения 7х2 + 1-^4х2' -х4 +16 = -х -1. 1)2; 2)-2; 3)0; 4)-4; 5) нет корней.
15. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения у}б+х-х2 =у]х2-7х -18. 1)—2; 2)-12; 3)6; 4) -4; 5) нет корней.
16. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения л/зО-х2 = V-8x. 1)8; 2)-2; 3)10; 4)-8; 5)-10.
17. Найдите среднее арифметическое корней уравнения л/х • л/1-х = х . 1)0,25; 2)-0,25; 3)0; 4)0,5; 5) 1.
18. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения Vx -1 -л/Зх +1 =х + 3 . 1)4; 2)—1; 3)1; 4)-5; 5)5.
19. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения 7х2-2х+7х2-2х-2 = 0. 1)2; 2)-2; 3)1; 4)-1; 5) 1 + 72 .
20. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения 7х2+32-27х2+32 =3. 1)0; 2)-1; 3)7; 4)-7; 5)-49.
21. Найдите произведение большего корня на количество корней уравнения Vx-1 V 16х 2 1)4; 2)-4; 3)5; 4)-5; 5)6.
22. Найдите среднее арифметическое корней уравнения х2 + 3х -6л/х2 +3х +24 + 8 = 0- 1)8; 2)-8; 3)5; 4)-5; 5)-1,5.
23. Найдите сумму различных корней (или корень, если он один) уравнения х2 -4х -д/Зх2 -8х +12 + 6 = 0 • 1)8; 2)4; 3)2; 4)-8; 5)-4.
24. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения >/х + 2 +л/х - 5 =л/2х -3 . 1)3; 2)-2; 3)5; 4)-5; 5)-3.
25. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения л/х +2 +д/2-х =х . 1)2; 2)4; 3)-2; 4)0; 5)-4.
26. Найдите произведение меньшего корня на количество корней уравнения \/16-х2(х2+4х-5) = 0. 1)—16; 2)8; 3)-20; 4)2; 5)—12.
27. Найдите среднее арифметическое корней уравнения (х + 1)716х +17 — (х +1)(8х -23). 1)1,5; 2)0,5; 3)-|; 4)|; 5)1.
28. Найдите произведение меньшего корня на количество корней уравнения 72х2 -2х -8(2х +7)+2х2 +7х = 0 . 1)—3,5; 2)-2; 3) -7; 4)2; 5)-14.
39
№ п/п Задания Варианты ответов
29. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения л/3-11х-4х+-^— = 0. >/з-ш 1)-3; 2)0,25; 3)-2,75; 4)2,75; 5)-0,25.
30. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения ^9 + 4х2 -12х +>/2х -3 =14 . 1)24; 2)14; 3)28; 4)13; 5)26.
31. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения д/бх — х2 + д/х2 -л/б-х =2д/5 . 1)-5; 2)6; 3)5; 4)1; 5)-6.
32. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения д/?х + х2 + д/х2 +14х +49 -д/=х =4\/2 . 1) —8; 2)1; 3)8; 4)-7; 5)7.
33. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения Vx2 -5х +3 — д/х2 -12х +3 =х . 1)-1; 2)1; 3)11|; 4)12|; 5)0.
34. Найдите произведение меньшего корня на количество корней уравнения л/18-Зх -У18+Зх 6 л/18 —Зх + V18 + 3x х 1)—24; 2)0; 3)8; 4)-12; 5)12.
35. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения 7(x-2)(x-4)-2V4-x -</х2-4х+4+2 = 0- 1)—2; 2)1; 3)5; 4)-6; 5)3.
36. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения (л/х+4-2)(л^З+4) = х. 1)-1; 2)1; 3)g; 4) g; 5)0.
37. Найдите сумму целых решений уравнения д/х2 -6х + 9 +д/4х2 +12х + 9 =х + 6. 1)8; 2)3; 3)5; 4)7; 5)6.
38. Найдите сумму корней уравнения д/х4 - 6х3 + 9х2 = 2 . 1)-6; 2)3; 3)5; 4)-3; 5)6.
39. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения л/х+7 — Vx-12 =1. 1)18; 2)23; 3)5; 4)20; 5)-15.
40. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения V2-X + д/х -1 =1. 1)3; 2)12; 3)13; 4)11; 5)12.
41. Если (х; у) — решение системы - д/х + д/у -5, v , то сумма х+у равна: ух = 36 1)26; 2)14; 3)13; 4)20; 5)12.
42. Если (х; у) — решение системы * д/х -Jy =2, v , то сумма х+у равна: х -у =16 1)34; 2)25; 3)43; 4)40; 5)42.
43. Если (х; у) — решение системы равна: tfx +у-dx -у = 2, . , то разность х-у y/х+у-у/х-у = 8 1)8; 2)1; 3)5; 4)2; 5)-1.
44. Максимальное произведение х • у решений (х; у) системы у]х +у +^х-у = 6, < равно: [V(*+.y)3(*->’) =8 1)134; 2)252; 3)432; 4)48; 5)42.
40
№ п/п Задания Варианты ответов
45. Сумма всех значений у, являющихся решениями системы . равна: -1- 41 + II ы | и» 1)8; 2)1; 3)5; 4)4; 5)2.
46. Найдите значеш стемы, a yQ — и мы уравнений * не выражения iryQ, где п — количество пар решений си- [аиболыпее значение у из возможных решений (х; у) систе- Jx + у+1 + д/х -у+10 =5. 1)54; 2)24; 3)32; 4)10,25; 5)21.
47. I Тайдите произведение х • у, где (х; у) — решение системы х+у + ^х +у =20, х2+у2 =136. 1)60; 2)27; 3)54; 4)48; 5)28.
48. ( ^умма всех значений у, являющихся решениями системы V* + tfy =3, зГТ ,/— , 3Г~2 ? ) равна: \1х -^/ху + \]у = 3 1) 12; 2) 9; 3) 8; 4) 3; 5) 1.
49. Если (х; у) — решение системы - равна: 3^ху-2^ху = 1, , то сумма х + у х2 + у2 -х -у+ 3ху = 3 1)16; 2)8; 3)6; 4)2; 5)1.
50. Если (х; у) — решение системы равна: а/х +2д/у =4д/ху, < v , то разность х - у 4у+х =2 1)—0,75; 2)1,25; 3)0,75; 4)-0,25; 5)-1.
51. Если (х; у; z) — решение системы . равна: yjx +у +y]y + z =3, ^y + z+jx +z =5,, ТО сумма x+y + z yjz + x + д/х +у =4 1)11; 2)7; 3)9; 4)4; 5)5.
$ 9. Иррациональные неравенства
Основные методы решения иррациональных неравенств:
1) выполнение равносильных переходов, основанных на определении корня и-й степени;
2) обобщенный метод интервалов.
Пример 1. Решить неравенство V2x-5 >-1.
С учетом свойств корня нечетной степени исходное неравенство равносильно неравенству 2х - 5 > (-1)7, откуда
2х>4, т. е. х> 2.
Ответ: (2; +со ). ’
Пример 2. Решить неравенство л/1-х2 > -a/s .
По определению арифметического корня четной степени, значения выражения л/1-х2 неотрицательны при всех
значениях х, при которых это выражение имеет смысл, т. е. при условии, что 1 - х2>0, значит при х е [-1; 1].
В правой части находится отрицательное число, а значит, исходное неравенство верно на всей области определения,
т.е.при х е [-1; 1].
Ответ: [-1; 1].
41
it ~ n V8-2x-x2 V8-2X-X2
Пример 3. Решить неравенство ——27+6— "
Перенесем слагаемые в левую часть и разложим полученное выражение на множители, получим неравенство:
78-2x-x2f—---------5—1 <0 , или 78-2х-х2--------<о.
V5x+1 2x+6j (5х+1)(2х+6)
1 способ. Последнее неравенство равносильно совокупности:
8-2х-х2>0,
------------<0;
(5х + 1)(2х + 6)
f8-2x-x2 =0,
1(5х+1)(2х + 6) * 0
5
хбГ-3;--1и
I 5J |з J ’
3
5
решением которой является множество: xe{-4}Uf-3; ““|]U 2 .
3
_ . тл тл х /v \ 78-2х-х2(5-3х)
2 способ. Решим неравенство методом интервалов. Рассмотрим функцию J\X) =—‘ °^ласть
! . Итак, об-
х Ф “рх “3
определения найдем в результате решения системы неравенств:
8-2х — х2 >0,
(5х + 1)(2х +6) * 0;
ласть определения D(f) = [-4; -3)U(-3; Функция непрерывна в каждой точке области определения.
Нули функции: х = |, х = -4, х = 2 разбивают область определения на промежутки, на которых функция /(х) со-
храняет знак. Подставим значения х из каждого промежутка и определим знаки функции /(х) на каждом из них.
5 3
Итак, f(x)< 0 при х g {-4}U -3:
Ответ: xg{-4}U|-3:
№ п/п Задания Варианты ответов
1. Решением неравенства 72х-х2>0 является множество: 1) (0; 2); 2) [0; 2]; 3)(-оо;0)и(2;+оо); 4)7?; 5) (-оо; 0)^(0; 2) и (2;+оо).
2. Решением неравенства 716-х2 > -72 является множество: 1)(-4;4); 2) [-4; 4]; 3) (_оо;-4] и [4;+оо); 4)/?; 5) (-оо ; —4) и (4; +оо)
3. Решением неравенства 73х -х2 < 0 является множество: 1)(0;3); 2) [0; 3]; 3) (-00 ; 0] и [3; +00 ); 4) /?; 5)х = 0; х = 3.
4. Найдите сумму целых решений неравенства 7-х2 -7х > TH). 1)-7; 2)-14; 3)-12; 4)-9; 5)-5.
5. Найдите сумму целых решений неравенства 7х2 + 8х < 3 . 1)-17; 2)-16; 3)1; 4)-9; 5)-18.
6. Найдите количество целых решений неравенства Тх4 -2х2 -7 >1, удо- влетворяющих условию хе [-5; 6]. 1)8; 2)9; 3)10; 4)6; 5)7.
7. Найдите сумму целых решений неравенства 72-х3 < -Тб , не превосходя- щих 7. 1)18; 2)20; 3)23; 4)25; 5) 27.
8. Найдите количество целых решений неравенства (х + 6)7х2 -12 > 0, удо- влетворяющих условию |х | < 6. 1)3; 2)4; 3)5; 4)6; 5)7.
42
№ п/п Задания Варианты ответов
9. Решением неравенства д/12х-х2 • yjx +1 < 0 является множество: 1) (12; +оо); 2) (0; 12); 3)(-ноо;0)и[12;+оо); 4) R; 5)(-1;0)и(12;+оо).
10. Найдите количество целых решений неравенства 4х-д/2-х —х2 <х2-д/2-х-х2 . 1)3; 2)4; 3)5; 4)6; 5)7.
11. Найдите произведение целых решений (или целое решение, если оно одно) неравенства у/х-3 >у/б-х . 1)30; 2)27; 3)5; 4)6; 5)24.
12. Найдите произведение целых решений (или целое решение, если оно одно) неравенства д/х2 -Зх < 73х -8 . 1) 3; 2) 4; 3) 7; 4) 12; 5) 24.
13. Найдите сумму целых решений неравенства 712-х > х , удовлетворяю- щих условию |х|<7. 1) —17; 2)-16; 3)-15; 4)-25; 5)-18.
14. Найдите количество целых решений неравенства 7х2 -8х <х-2, не превосходящих 20. 1)12; 2)13; 3)14; 4)15; 5)16.
15. Найдите сумму целых решений неравенства 73-х + 7з-х -2 < 0. 1)3; 2)7; 3)5; 4)6; 5)12.
16. Найдите сумму целых решений (или целое решение, если оно одно) не- равенства 4х -х2 -5^4х -х2 + 6<0 . 1)3; 2)4; 3)5; 4)16; 5)2.
17. Найдите количество целых решений неравенства J**1 <2 таких, что II У2х-5 1Ф6- 1)10; 2)9; 3)8; 4)7; 5)11.
18. Решением неравенства у >1 является множество: 1) (3; 3,5); 2) (3; 3,5]; 3)(-оо;3)и(3,5;+оо); 4) R; 5)(-оо;3).
19. Решением неравенства 2д/3х +2 -7бх >2 является множество: 1) (|;+оо); 2) (0; |]; 3) [0; |)и(|; +оо); 4)7?; 5) (0; |).
20. тт ~ д/бх-х2 >/4х-8 Найдите сумму целых решении неравенства —-2 < —2 . х -4 х -4 1)7; 2)9; 3)8; 4)15; 5)10.
21. Найдите сумму целых решений неравенства —+27х-1 < 5 . л/х -1+1 1)6; 2)9; 3)8; 4)15; 5)10.
22. Решением неравенства >1 является множество: 1)(-оо ; 0); 2) (1; |]; 3) [0; |); 4) (1; |); 5)7?.
43
10. Модуль числа. Его свойства
Модулем (абсолютной величиной) числа а называется расстояние от точки, изображающей данное число а на Га, если а>0,
числовой прямой, до начала отсчета. Из определения следует, что а = •
Свойства модуля: \-а, если а < 0.
1)|а|^0; 4) |а*| = |л| |*|; 8)|а| + |б| = а-6о^°’
2) И = 1-4 5)^ 9) |а + b\ = |а| + |б| <=> ab > 0;
3) |а| > а; 6) |< 7+б|<|а| + |б|; 10) |а-/>| = |а| + |б|<=> аЪ<Ъ.
7) |‘ + II ft + О 0 О ft IV IV о о
№ п/п Задания Варианты ответов
1. Вычислите |-5,2| +141 -11 - л/?|+|з - л/?|. 1)13,2- 2^7; 2)3,2; 3)11,2; 4)2^7 -7,2; 5)7,2-2л/7.
2. Найдите значение выражения |х - у | + |2у - х | - 3 |х - 4у | при х = -3, у = 8. 1) —75; 2)-81; 3)75; 4)81; 5)-87.
3. Упростите выражение |х -2| + |х + 3|-|4х -5| при хе [1,6; 1,8]. 1)—2х —4; 2)-4х+10; 3)-4х; 4)4х—6; 5)6х-4.
4. Упростите выражение |л -4| +11 - л|. 1)-3; 2)5; 3)3; 4)2л-5; 5) 5-2л.
5. Упростите выражение |х2 +1| + |4х — х2 — 41. 1)4х —3; 2)0; 3)4х + 5; 4)2х2 + 4х-5; 5)2х2-4х + 5.
6. Упростите выражение |х2+х+5| + |1-х2| прих>1. 1)2х2 + х + 4; 2)х + 6; 3)0; 4)2х2+х + 6; 5)2х2-х + 6.
7. Значение выражения 7(^7 -11)2 +7(л/7 +11)2 равно: 1)2-7?; 2)-2-77; 3)22; 4)22-2^7; 5)22+2-77.
8. Упростите выражение V16-8x +х2 +|-х|-4 при хе [-6; -5]. 1)-2х; 2)-8; 3)0; 4)2х-8; 5)8-2х.
9. Упростите выражение >]а2 -12ab + 36b2 + а при а < 6Ь. 1)2« —66; 2)-66; 3)66; 4) 2а+66; 5)-2а-66.
10. 25-/ 1 81 , Упростите выражение —з~‘J~+io" + 25 ПРИ3;<“5. 1)9(5-у); 2)3(5-^); 3)90-5); 4)30-5); 5)3.
11. 1 12 Упростите выражение (4-4/> + У)• J-^2 при 1)-26; 2)-4; 3)4; 4)26-4; 5)4-26.
12. Из перечисленных утверждений выберите верные: а) |х2 - 7| = |7 - х21 для любого действительного х; б) |&-а| = |б+а| для любых действительных а и Ь; в) выражение |а| определено только при а > 0; г) |а| > а для любого действительного числа а; д) |х2 -9| = |3-х|-|х +3| для любого действительного х. 1) а, г, д; 2) б, в, г; 3) а, в, г; 4) г, д; 5) а, д.
44
11. Уравнения с модулем
Рассмотрим схемы решения основных типов уравнений с модулем:
1. Уравнение вида |/(х )| = g(x ):
I7(x) = g(x), 1 1 1/(х)>0, /(x) =g(x)<=> ' или |-/(х) = £(*), _1/(х)<0. J7(x) = g(x), [g(x)>0, с Метод решения обычно выбирают в зависимости от 1 - f{x) = g(x), _[g(x)>0.
того, какое из неравенств /(х)>0 или g(x) > 0 решается легче.
2. |/(х)| = с«
f(x) = C,
_f(x) = -C,
если с > 0. При с < 0 уравнение не имеет корней.
з. |/(х )| = |g(x )| <=> (/(х) - g(x ))(/(х ) + g(x)) = 0.
4. Уравнение вида а, |/ (х )| + а21/2 (х )| +... + ап (х )| = g(x ), где ак — некоторые действительные числа, решают
методом интервалов, схема которого имеет вид:
• определяются точки, в которых каждая из функций f^x) = 0;
• найденными точками разбивают область допустимых значений переменной, входящей в уравнение (О.Д.З.), на
промежутки, на каждом из которых все функции f.(x) сохраняют знак;
• уравнение решается на каждом промежутке, модули раскрываются с учетом знаков функций на рассматривае-
мом промежутке;
• все полученные решения объединяются.
5. Решение некоторых уравнений основано на использовании свойств модуля (см. п. 10).
№ п/п Задания Варианты ответов
1. Какие из уравнений: а) |х -1| = 2 ; б) |х| = л/5-3 ; в) |х| = -х2; г) |х| = -х2 -2 ; д) |х -2| = |2-х| имеют решения? 1) а, в, д; 2) б, в, г; 3) а, в; 4) г, д; 5) а, г.
2. Какие из уравнений: а) |х| = 1-уЦ ; б) |х| = -х ; в) |х + 4| = |-х-4|; г) |х| = 1; д) |2х -5| = 2х -5 имеют бесконечное множество решений? 1) а, в; 2) в, г; 3) а, д ; 4) б, в, д; 5) а, г.
3. Какие из уравнений: а) |х| = 0; б) 1х1 = '^' 2 > в) |х| = “(х ~3)2; г) |б -х| = х - 6; д) |х2 + 5| = 0 не имеют решений? 1) б, в, д; 2) б, в, г; 3) а, в; 4) г, д; 5) а, г.
4. Найдите произведение меньшего корня на количество корней уравнения |х2 -2б| = 10 • 1)12; 2)8; 3) -12; 4)-24; 5)24.
5. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения |х —14| = -5. 1)19; 2)9; 3)28; 4)14; 5) нет корней.
6. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения |х2 -7х +5| = 5 . 1)7; 2)8; 3)14; 4)10; 5) нет корней.
7. Найдите разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения 4х2+7|х| = 2. 1)0,25; 2)0,5; 3)4; 4)4,25; 5) 0,0625.
8. Найдите значение выражения тп2 — р, где m — больший корень, а р — количество корней уравнения х2 -з4х^+2 = 0. 1)2; 2)-1; 3)0; 4)-2; 5)-3.
45
№ п/п Задания Варианты ответов
9. г2 +|у| — 30 Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения LJ = о. х2 - 7х +10 1)0; 2)-5;'3)5; 4)12; 5)10.
10. Найдите больший корень уравнения 4х2 -12х + 9 + 4|2х -3| = 21. 1)0; 2)6; 3)5; 4)3; 5)9.
11. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 3х2-х-3 + ^| = о”. х - 1 1)-|; 2)|; 3) -1|; 4)-1; 5) нет корней.
12. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 5х2-7х+6-^—^ = 0- 2-х 1)2; 2)1|; 3)-|; 4)0; 5) нет корней.
13. Найдите сумму квадратов корней уравнения х2+х+|х-3| = 21. 1)34; 2)32; 3)16; 4)18; 5)68.
14. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения |2х-8| + |20-5х| = 0. 1)0; 2)4; 3)5; 4)3; 5) нет корней.
15. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения |д;2+2х| + |5х2+8х-4| = 0. 1)—1,6; 2)-2; 3)1; 4)3; 5) нет корней.
16. Найдите сумму корней уравнения ||2х — 5| — 7| = 4 . 1)0; 2)13; 3)5; 4)10; 5)12.
17. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения |х|(х + 5) = 6 . 1)5; 2)1; 3)3; 4)-5; 5)-4.
18. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения |х2 -х +5|-|х +5|-3 = 0. 1)3; 2)8; 3)-3; 4)21; 5)-1.
19. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения |4х -х2 -4| + |х|-2 = 0. 1)5; 2)8; 3)3; 4)2; 5)-2.
20. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения |2х-5| = |7-х|. 1)5; 2)-8; 3)3; 4)4; 5)-2.
21. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения |х2 —х — 8| — |х2 -4х +1| = 0 • 1)5,5; 2)6,5; 3)3; 4)3,5; 5)-2.
22. Все корни уравнения |х + б| +13 + х | = 3 образуют множество: 1) (—оо ; —6]; 2)[-3;+оо); 3)(_оо;-6]и[-3; +оо); 4) [-6; -3]; 5) нет корней.
23. Найдите сумму целых корней уравнения |х-2| + |х-5| = 3. 1)12; 2)9; 3)1; 4)7; 5)14.
24. Найдите значение выражения S • п, где S — сумма, а и — количество целых корней уравнения |х2- х - 12| + |х2 - х - 30| = 18. 1) 18; 2) 24; 3) 8; 4) 6; 5) 12.
25. Найдите количество целых отрицательных корней уравнения |х3 -х2 -12х| = х3 -х2 -12х . 1)5; 2)4; 3)3; 4)2; 5)1.
26. Все корни уравнения X2-16х 16x-JT - —-—— = —г—-—— образуют множество: х2+2х-15 х2+2х-15 f j 1) (оо ; -5]; 2) (-5; 0] о(3; 16]; 3) [0; 3) и [16; +оо ); 4) [-16; -3]; 5) нет корней.
46
№ п/п Задания Варианты ответов
Найдите количество целых корней уравнения 1)13; 2)14; 3)18; 4)15;
27. |(х -4)(х2 -5х -6)| = (х -4)|х2 -5х -б|, принадлежащих отрезку [-2; 15]. 5) 16.
Найдите сумму целых корней (или корень, если он один) уравнения 1)12; 2)-42; 3)0; 4)-30;
28. |х2 —144| = (~х — 12)|х -12|, принадлежащих отрезку [-15; 15]. 5) -54.
?9- Найдите сумму целых корней (или корень, если он один) уравнения х +5 х +5 2 ' ” 2 , принадлежащих отрезку [-10; 10] . х х 2 хч — х — 2 1)-5; 2)40; 3)39; 4)0; 5) 42.
Найдите значение выражения Р • и, где Р — произведение, ан — коли- 1)124; 2)62; 3)0; 4)-62; 5)-31.
30. чество корней уравнения |16-х2| + (л/х2 -16)2 =30 .
Найдите значение выражения Р • и, где Р — произведение, а и — коли- 1)124; 2)62; 3)0; 4)-62; 5)-31.
31. чество корней уравнения |16 - х21 + л/(х2 -16)2 =30.
32. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения |х2 -2| = х. 1)3; 2)4; 3)-3; 4)-4; 5)0.
33. Найдите сумму различных корней (или корень, если он один) уравнения |х -5| = х2 -9х +20 . 1) 13; 2) 5; 3) 8; 4) 3; 5) 2.
34. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения х2 -2х -5| = х -1. 1)-6; 2)-24; 3)-4; 4)24; 5) 12.
35. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения |12-4х| = х2-Зх. 1)-1; 2)0; 3)7; 4)3; 5)6.
36. Найдите сумму целых корней (или корень, если он один) уравнения |х2-9х+18|-|9х-18| + х2 л/20-4х 1)18; 2)15; 3)12; 4)9; 5)7.
37. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения |2*-6|+|*-1|-з_0 1) 2|; 2) 1|; 3) 31; 4)5; 5)2.
38. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения (3-|х-4|)>/4-х =0. 1)4; 2)5; 3)7; 4)8; 5)12.
39. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения V16 + 6X -х2(15-|17-х|) = 0. 1)6; 2)10; 3)40; 4)8; 5)32.
40. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения (х —-6)(|х -2| + |х +4|) = |х -б|. 1)6; 2)5,5; 3)4; 4)0,5; 5)2.
Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 1)13; 2)-10; 3)-4; 4)-8;
41. |х+3| + х2-8|х| + 16 . । -х - 5 5)-5.
42. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения |5-х +|2х -7|| = х +2 . 1)3; 2)1; 3)—2; 4)-4; 5)2,5.
47
Ха п/п Задания Варианты ответов
43. Найдите произведение меньшего корня на количество корней уравнения |2х +4-|х -12|| = 3-х . 1)5; 2)2,75; 3)2,5; 4)-13; 5)-19,5.
44. Найдите количество целых решений уравнения не превосходящих 7. х-2 _|_i । х2+2х 2 1) 6; 2) 7; 3) 8; 4) 9; 5) 10.
х +1 ' ' х+1 ’
45. Найдите количество целых решений уравнения удовлетворяющих условию х>-3. х -5 + lx — 41 - ~~5~х 1) 3; 2) 4; 3) 5; 4) 6; 5) 7.
X + ' X
46. Если (х; у) — решение системы < (х2 + у2) • п, где п — количество па] 1х1+М=4’ , , . . , то значение выражения Н-2М = -5 р решений системы, равно: 1)10; 2)20; 3)30; 4)40; 5)50.
47. Если (х; у) — решение системы выражения х+Ду равно: |х +2у| = 3, . , , то наибольшее значение |х-2у| = 1 1)4; 2)5; 3)6; 4)7; 5)8.
^12. Неравенства с модулем
Рассмотрим частные случаи неравенств, содержащих знак модуля, и методы их решения.
1) Неравенство вида I/(х )| < g(x ), где fix) и g(x) — некоторые функции, равносильно системе: ] ^Х <
В частности, неравенство вида |/(х)|<а при любом а > 0 равносильно системе: или -a<f(x)<a.
При а<0 неравенство не имеет решений.
2) Неравенство вида |/(х )| > g(x ), где Дх) и g(x) — некоторые функции, равносильно совокупности:
/(x)>g(x),
./(x)<-g(x). f/(x)>a
В частности, неравенство |/(х)|> а равносильно совокупности: < ’ , если я>0. При я<0 неравенство
1/(х)<“"^-
|/(х)|> а выполняется при всех х, для которых Дх) имеет смысл. При я = 0 неравенство |/(х )| > а равносильно
неравенству Дх) 0 при условии, что Дх) имеет смысл.
3) Неравенство вида |/(х )| < |g(x )| равносильно неравенству /2(х) < g2(x), преобразуя которое, получим:
(Дх) - g(x))(/(x) + g(x)) < 0. Решим его методом интервалов.
4) Неравенство вида f (|х |)> 0 можно решить, используя замену |х | = у,у > 0 или раскрывая модуль по опреде-
лению.
5) Неравенство вида |Z (* )| + а2 |Л (х )| + • • •+ ап \fn (х )| > &(х ), где ак — некоторые действительные числа, решают
методом интервалов, схема которого аналогична схеме решения уравнения такого же типа.
№ п/п Задания Варианты ответов
1. Решением неравенства |4 - 2х | < 2 является множество: 1)(1;3); 2) (-2; 2); 3)(-оо;1); 4) (3; +оо); 5) (-оо; 1) и (3; +оо).
2. Решением неравенства |х - 3| > 11 является множество: 1) [-8; 14]; 2) [-11; 11]; 3)(_оо;-8]; 4)[14;+оо); 5) (-оо; -8] и [14; +оо).
3. Количество целых решений неравенства 0 < |х -2| < 4 равно: 1)3; 2)4; 3)5; 4)6; 5)7.
48
№ п/п Задания Варианты ответов
4. Количество целых решений неравенства 0 < |12 - 2у | < 3 равно: 1)3; 2)4; 3)5; 4)6; 5)2.
5. Решением неравенства |2х + б| > -2 является множество: 1) [-6; 0]; 2) [-6; 6]; 3)(-оо;-6]; 4) (-оо;+оо); 5) (-оо ; -6] и [0; +оо).
6. Решением неравенства у-4 > -1 является множество: 1) [-0,2; 4]; 2) [-1; 1]; 3) (—оо ; —1]; 4) (—оо ;+оо ); 5) (-оо ; 4) о (4; +оо ).
7. Найдите количество целых решений неравенства х2 - 10|х| + 16>0, принадлежащих отрезку [-10; 10]. 1)21; 2)20; 3)9; 4)7; 5)8.
8. Найдите сумму всех целых решений неравенства х2+6х+|х+3| + 3<0 1)-9; 2)-10; 3)-15; 4)-5; 5)-6.
9. Решением неравенства |2 - Зх | < х является множество: 1) (1;+оо ); 2) (-2; 2); 3) (0,5; 1); 4)(-оо;0,5); 5) (—оо; 0,5)и(1;+оо).
10. Количество целых чисел, не являющихся решениями неравенства |х2 -30|>х , равно: 1)0; 2)1; 3)2; 4)3; 5)4.
11. Найдите сумму всех целых решений неравенства х2 - Зх -1 < х + 4 . 1)3; 2)9; 3)13; 4)14; 5)20.
12. Найдите наименьшее положительное целое решение неравенства |5 — 2х| > |х -4|. 1)2; 2)3; 3)4; 4)5; 5)6.
13. Найдите количество целых решений неравенства |з -х -х2| > |1 -2х|, принадлежащих отрезку [-10; 10]. 1)21; 2)20; 3)19; 4)18; 5) 17.
14. Найдите сумму целых решений неравенства |х2 -5х +4| < 5х - х2 - 4 . 1)5; 2)10; 3)15; 4)9; 5)7.
15. Найдите сумму целых решений неравенства |5х -х2 +14|<(7-х)(х +2) 1) —25; 2)15; 3)-15; 4)5; 5) 25.
16. Решением неравенства 2 . 1-х 4х > -х— является множество: х -1 2) 3)(_оо;-1]; 4)(1;+оо); 5) (-оо; -1)U[-|; 1).
17. Решением неравенства |4 -х| +15 -2х| > 0 является множество: 1) [2,5; 4]; 2) R; 3) нет решений; 4) (4;+оо); 5) (-оо ;-2,5].
18. Решением неравенства |8 - х | + |4х +1 б| < 0 является множество: 1) [-4; 8]; 2) R; 3) нет решений; 4) (8;+оо); 5)(—оо; —4]
19. Решением неравенства |18 - 2х | + |х2 - 9х | < 0 является множество: 1) х = 9; 2) R; 3) нет решений; 4)(-оо;0]; 5)[9;+оо).
20. Найдите количество целых решений неравенства |2х-б| + |4-х|>4, принадлежащих отрезку [0; 10]. 1)8; 2)9; 3)10; 4)11; 5)12.
21. Найдите сумму всех целых решений неравенства |3х +15| -12 -х | -1 < х 1)—9; 2)-10; 3)-5; 4)-15; 5)-6.
22. Найдите количество целых решений неравенства |1-х|(х2-4)>0, принадлежащих отрезку [-20; 20]. 1)41; 2)40; 3)37; 4)38; 5) 39.
23. Решением неравенства |2х2-11х-б|(5-х)<0 является множество: 1) (5; +оо ); 2) (5; 6); 3) (-оо; 6); 4)(-оо;5); 5)(5;6)и(6;+оо).
49
№ п/п Задания Варианты ответов
24. Найдите количество целых решений неравенства • 1) 13; 2) 14; 3) 15; 4) 16; 5) 17.
25. и „ „ |3-х| + 1 Найдите сумму целых решении неравенства 1 >2 . 2|х|-4 1)8; 2)5; 3)1; 4)-2; 5)-3.
26. Найдите область определения функции у = — 121 + |3х + б| -2 . 1)(—2;+оо); 2)[-2;+оо); 3) (-2; 12); 4) R; 5) (-оо;-2) и (12; +оо).
27. Найдите количество целых значений х, принадлежащих области опре- X 1 2|х|-1 1 деления функции у = 4 —Ц—+ —— и удовлетворяющих условию vl-x-4 х -8 хе [-15; 15]. 1)31; 2)24; 3)23; 4)22; 5)21.
13. Прогрессии
13Л. Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность а2, ... ап, ..., у которой для любого
и>1 верно равенство: ап+1 = ап + d, где d—определенное для данной прогрессии число {разность арифметической
прогрессии). По определению d = ап + j -ап, где n^N, п> 1.
Если d > 0, то прогрессия является возрастающей, если d < 0, то убывающей.
Чтобы задать арифметическую прогрессию, необходимо знать ее первый член а{ и разность d.
Формула и-го члена арифметической прогрессии Сумма п первых членов арифметической прогрессии Свойство арифметической прогрессии Признак арифметической прогрессии
«„ = «1 + - 1) с _«+«. 0И — • П " 2 е _2<г,+</(и-1) Ои — • П ” 2 если т + п = р + к, то а + а = а + а, т п р к для любого п ^2: д = -1 +1 " 2
13.2. Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией со знаменателем q Ф 0 называется числовая последовательность
ъ}, ь2,... ьп,
у которой для любого п 1 верно равенство: b
= bn' q. По определению g = -^LL, где
п g N, п > 1.
Формула и-го члена геометрической прогрессии Сумма п первых членов геометрической прогрессии Свойство геометрической прогрессии Признак геометрической прогрессии
b = Ь-а"-' п 1 1 ( #1) 1-? S-n-bx (<7=1) если т + п-р + к, то b • b = b • Ь. т п р к для любого п ^2: b2n=bn_x-bn + x
Геометрическая прогрессия со знаменателем |<?| < 1 называется бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сией. Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом Ьх и знаменателем q
С Ь1
равна S = —i—.
1-^
50
№ п/п Задания Варианты ответов
1. Какая из конечных последовательностей: а) -2; 4; -8; 16; б) -3; 6; 15; 24; в) 0; 1; 3; 5; г) 24; 12; 6; 3; д) 6; 4; 5; 3 является арифметической прогрессией? 1)а; 2)6; 3)в; 4) г; 5)д.
2. Найдите первый член арифметической прогрессии, у которой 20-й член ра- вен 41, а разность равна 5. 1)—41; 2)-54; 3)-95; 4)-56; 5)-57.
3. Если задана арифметическая прогрессия: 5; 9; 13; 17..., то одним из ее членов является число; а) 248; б) 64; в) 52; г) 125; д) 212. 1)а; 2)6; 3) в; 4) г; 5)д.
4. Первый член арифметической прогрессии равен -2, третий член равен 4. Найдите сумму первых пяти членов прогрессии. 1) 10; 2) 15; 3) 20; 4) 12; 5) 14.
5. Известно, что первый член арифметической прогрессии равен 3, а 9-й член в 5 раз больше 2-го. Найдите разность прогрессии. 1)1,5; 2)2; 3)2,5; 4)3; 5)4.
6. Второй член арифметической прогрессии равен 2,1, а третий равен 2. Найди- те сумму первых восьми членов прогрессии. 1) 10; 2) 15; 3) 14,8; 4) 12,6; 5) 10,8.
7. Детали конструктора сложены так, как показано на рисунке: в 1-м ряду — 1 деталь, во 2-м — 2 детали и т. д. 1 1 г L Г 1 Г -1 1 Сколько нужно деталей, чтобы сложить треугольник из 17 рядов? 1)153; 2)136; 3)200; 4) 119; 5) 170.
8. Известно, что углы треугольника образуют арифметическую прогрессию. В ответе укажите средний из углов (в градусах). 1)30; 2)40; 3)50; 4)60; 5) 45.
9. Между числами -12 и 3 вставили 4 числа, образующих вместе с ними ариф- метическую прогрессию. Наименьшее из вставленных чисел равно: 1)-11; 2)-10; 3)-9; 4)-8; 5)-7.
10. Найдите сумму 4-го и 13-го членов арифметической прогрессии, если извест- но, что сумма ее 6-го и 11-го членов равна 96. 1)96; 2)48; 3)24; 4)64; 5) 56.
11. Сумма 3-го и 9-го членов арифметической прогрессии равна 19, а 9-й член в 4 раза больше 2-го. Найдите 3-й член прогрессии. 1) 1,5; 2) 2; 3) 3,5; 4) 5; 5) 5,5.
12. Сумма первых 13-ти членов арифметической прогрессии равна 52. Найдите 7-й член прогрессии. 1)3; 2)5; 3)2; 4)7; 5)4.
13. 14-й член арифметической прогрессии равен -2. Найдите сумму 27-и первых членов прогрессии. 1)—12; 2)-10; 3)-46; 4)-54; 5)-81.
14. Дана арифметическая прогрессия, и-й член которой задан формулой ап = -16 + 4п. Найдите разность прогрессии. 1)—3; 2)3; 3)2; 4)-4; 5)4.
15. Сумма п первых членов арифметической прогрессии задана формулой Sn = 1,05и + 0,15л2. Найдите 5-й член прогрессии. 1)1,5; 2)2,4; 3)3,5; 4)5,2; 5) 5,5.
16. Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 220. 1)25000; 2)24310; 3)24520; 4)24460; 5)26100.
17. Найдите сумму всех целых чисел от -5 до 150. 1) 10000; 2)11165; 3) 11520; 4)11310; 5)11100.
18. Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, кратных числу 3. 1) 1662; 2) 1668; 3)2412; 4)1614; 5) 1665.
19. Найдите сумму всех натуральных чисел от 20 до 98, которые при делении на 5 дают в остатке 2. 1) 962; 2)957; 3)952; 4)947; 5)942.
20. Найдите значение суммы 1 ОО2 - 982 + 962 - 942 + ... + 42 - 22. 1)5200; 2)5600; 3)5400; 4)5000; 5)5100.
51
№ п/п Задания Варианты ответов
21. Дана арифметическая прогрессия с разностью d > 1. Произведение 2-го и 5-го членов прогрессии равно 232, а сумма первых пяти членов равна 75. Число 106 является членом данной прогрессии. Найдите его номер. 1)10; 2)12; 3)14; 4)15; 5)16. ?
22. Сумма 4-го, 7-го, 16-го и 35-го членов арифметической прогрессии равна 40. Найдите сумму первых тридцати членов этой прогрессии. 1)600; 2)570; 3)400; 4)300; 5) 420.
23. Какая из конечных*последовательностей: а) -1; -2; 4; 8; б) 9; 3; 1; |; в) 3; 5; 7; 9; г)-3; 0; 3; 6; д)-1; 0,1;-0,11; 0,111 является геометрической прогрессией? 1)а; 2)6; 3)в; 4) г; 5)д.
24. Первый член геометрической прогрессии равен 2, а ее знаменатель равен 3. Найдите пятый член этой прогрессии. 1)486; 2)162; 3)81; 4)54; 5) 27.
25. В геометрической прогрессии с положительными членами произведение 6-го и 8-го членов равно 256. Найдите 7-й член прогрессии. 1) 12; 2) 14; 3) 16; 4) 18; 5) 128.
26. „ - 1 Сумма всех членов геометрической прогрессии со знаменателем - равна 1 2 -. Найдите первый член прогрессии. 1)|; 2)|; 3)1; 4)0,15; 5) 0,8.
27. В геометрической прогрессии произведение 3-го и 14-го членов равно 106. Найдите произведение 6-го и 11-го членов. 1)53; 2)106; 3)212; 4)318; 5) 424.
28. Озеро зарастает кувшинками так, что поверхность заросшей части каждый день удваивается по сравнению с предыдущим. Известно, что все озеро за- росло за 28 дней. За сколько дней заросла четвертая часть озера? 1)4; 2)7; 3)14; 4)26; 5)27.
29. Первый член геометрической прогрессии равен 3, а ее знаменатель равен 2. Найдите сумму десяти первых членов этой прогрессии. 1)3200; 2)3069; 3)2124; 4)3186; 5)4248.
30. В геометрической прогрессии, члены которой — отрицательные числа, сумма 1-го и 3-го членов равна -20, а произведение 1-го и 5-го членов равно 4. Найдите 2-й член прогрессии. 1)-12; 2)-10; 3)-6; 4)-4; 5)-1.
31. В геометрической прогрессии со знакочередующимися членами произве- дение 2-го, 3-го и 7-го членов равно 27, а десятый член равен 192. Найдите 6-й член прогрессии. 1)6; 2)9; 3)12; 4)15; 5)18.
32. Сумма п первых членов геометрической прогрессии задана формулой Sn = 10-3(10" - 1). Найдите 3-й член прогрессии. 1)0,09; 2)0,9; 3)9; 4)90; 5) 900.
33. Найдите значение суммы 1 + 3 + З2 + ... + З7. 1) 1093; 2)1112; 3)2048; 4)2812; 5)3280.
34. Найдите значение суммы 1 + х + х2 + ... + х9 при х = 2. 1) 1023; 2)511; 3)2047; 4)1812; 5) 1424.
35. Три числа, сумма которых равна 36, образуют арифметическую прогрес- сию. Если третье число увеличить на 6, а два первых оставить без измене- ния, то полученная тройка чисел составит убывающую геометрическую прогрессию. Найдите первое по счету число. 1)6; 2)9; 3)12; 4)18; 5)24.
36. 1-й, 10-й и 13-й члены арифметической прогрессии, взятые в данном по- рядке, образуют убывающую геометрическую прогрессию. Известно, что 5-й член арифметической прогрессии равен 38. Найдите сумму первых 15-и членов этой прогрессии. 1)390; 2)362; 3)520; 4)780; 5) 824.
37. Найдите произведение корней уравнения 2 + 4 + 6 + ... + х2 = 420. 1)20; 2)-20; 3)40; 4)-40; 5) 30.
38. Найдите корень уравнения (х + 5) + (2х + 8) + (Зх + 11) + ... + (21х + 65) = = 1659. 1)3; 2)4; 3)3,5; 4)4,5; 5)5.
52
& 14. Вычисление и преобразование тригонометрических
выражений. Свойства тригонометрических функций
14.1. Определение и свойства тригонометрических функций
На рисунке изображена единичная окружность. Точка Ро — начало отсчета углов. Точка Ра (х; у) соответствует
углу а. Определение синуса и косинуса с помощью единичной окружности: sin а = уа, cos а = ха.
х sin а cos а
Определения тангенса и котангенса: tg а =------, ctg а = ---.
cos а sin а
Соотношение между градусной и радианной мерой угла: 180° = л. Тогда если х° — градусная мера угла, а а —
г° 1ЯО°
его радианная мера, то верно равенство: — = ——.
а л
Рассмотрим свойства числовых функций, заданных формулами у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х, по следую-
щей схеме: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность (нечетность); 4) наименьший положительный
период; 5) нули; 6) промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения; 7) про-
межутки возрастания и убывания; 8) точки экстремума и экстремумы; 9) график функции.
у = sin х
1)/?; 2)Н; 1]; 3) нечетная: sin(-x) = -sin х; -4)Т=2Л; 5)х= ли, 6)(2ли; л + 2 ли); (-л + 2ли;2ли); neZ; 7) |^-у+2лп; j + 2nnj; ^ + 2лп; ^ + 2ли^ ; neZ чо 00 и з \ Е" ) ь>|а / - < а х II 1> xmin =-^+2т, ymin =-1; n^Z; к 4^—
Зл -лЧ. 2 ' 0 п х -1 2
у = COS X
1)й; 2)[-1; 1]; 3) четная: cos(-x) = cos х; 4)Т=2л; 5) х =у + ли, neZ; 6) (-у + 2ли; у + 2ли); (у+2ли; ^+2ли); hgZ; 7) [-71+2т; 2т]; [2т; л+2т]; neZ; 8) ^т„=2л», X 9) 1 _Л -л . Zr min =n + 2nn,^mill =-1; «6Z; 1
2 — 0, л х
J = tgx
1) х е R, х * у + т9 neZ ; 2)R; 3) нечетная: tg(-x) = -tg х; 4)Т= л; 5)х= ли; 6) (т; j + m); (-у + лп; т); 7) (-у + т; у + т); нет промежутков убывания; 8) нет; 9) 1 J 1 L / 1 J
/4 4 ^-2л* Х
53
У = Ctgx
1) x eR;x =£ ли; 2)7?; 3) нечетная: ctg(-x) = ~ctg x; 4)T= я; 5) x = у + Tin ; 6) (ли; j + ли); (~ + ли; ли); 7) нет промежутков убывания; (ли; л + ли) ; 8) нет; 9) У \ 1 к
'i 2 V -1 aV 2 \ X
Определение периодической функции и теоремы о нахождении периода функции см. в разделе 23.
14.2. Основные формулы тригонометрии
Основные тригонометрические тождества
1) sin2 х + cos2 х = 1, x^R;
, sin* л , ~
2)tgx =-----, х*-+ли, weZ,
cosx 2
/>4 . cosx ~
3) ctgx =---, x Tin, neZ,
sinx
Формулы сложения
1) sin(x +y) = sin x cos у ± cos x sin y;
2) cos(x ±y) = cos x cos у + sin x sin y;
Формулы двойного угла
1) sin 2x = 2sin x cos x;
2) cos 2x = cos2 x - sin2 x = 1 - 2sin2 x = 2cos2 x - 1;
Формулы половинного угла (понижения степени)
= 3)tg27
2)cos2*=1±^; 4)tg^=
2 2 2
4) tgx-ctgx =1, x^j/7, hgZ;
5)l + tg2x=—, х^у + ли, wgZ;
cos2x 2
6)l + ctg2x =—, ХФТ1П, neZ.
sin2x
3)
1+tgx tgy
3) tg2x , x±-+nn, x^—+—n, neZ.
1-tg x 2 4 2
_ 1-cosx
1 + cosx ’
sinx 1-cosx 1
1 + cosx sinx
Формулы преобразования суммы в произведение
1) sinx ± sin у =2sin^-|^cos^-^; 3) cosx-cosy = -2sin:^y^-sin^|^;
2) cosx+cosy =2cos^-i^cos^2ZZ. tgx±tgy = -s——.
2 2’ 7 cosx cosy’
Формулы преобразования произведения в сумму
1) sinxcosy =|[sin(x +y)+sin(x-у)]; 3) cosxcosy =|[cos(x-y)+cos(x+y)].
2) sinxsiny = ^-[cos(x-y)-cos(x+y)];
Формулы тройного угла
1) sin Зх = 3sin x - 4sin3 x; 2) cos 3x = 4cos3x - 3cos x.
54
Значения тригонометрических функций некоторых углов
X в радианах 0 . л 6 л 4 л 3 л 2 . л 3л 2
X в градусах 0° 30° 45° 60° 90° '180° 270°
sinx 0 1 2 л 2 л/з 2 1 0 -1
cosx 1 г/З 2 Л 2 1 2 0 -1 0
tgx 0 1 л/з 1 л/З — 0 —
ctgx — д/З 1 1 л/З 0 — 0
Формулы универсальной тригонометрической подстановки
2tgy 1) sinx = —, х ^л+2ли, hgZ ; 3) tgx =- 1+tg2I 1 g2 х л x , 2» 2 2 2
l-tgy
2) cosx =--S х^л+2ли, hgZ ;
1+tg 2
Формулы приведения
Эти формулы позволяют свести вычисления значения любой тригонометрической функции угла Р е (0; 2л)
к вычислению значения тригонометрической функции острого угла а. Для этого исходный угол Р необходимо
записать в виде: р = ~ • п + а , где а g (0; у) и применить два следующих мнемонических правила:
а) Правило знака: в правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть, при условии, что угол
принадлежит 1-й четверти.
б) Правило названий: если в левой части формулы угол равен у±а или ^±а, то название функции меняется
на сходную («sin» — на «cos», «tg» — на «ctg» и наоборот); если угол равен л±а или 2л ±а, то название функции
сохраняется.
Пример 1. Найти значение выражения 4sin + 3>/3tgl020°.
Вычислим sin и tg!020°, используя свойства периодичности тригонометрических функций и формулы при-
ведения.
• 17л . /\ 5 л । .5л . ( л ] .л 1
sm-r- = sm 2л + — =sm— = sin л— =sm —=
6 V 6 J 6 V 6j 6 2‘
tgl020° = tg(5 • 180° + 120°) = tg!20° = tg(90° + 30°) = -ctg30° = -а/з .
Найдем значение исходного выражения: 4 sin + 3а/з tg1020° = 4 • у + 3 а/з • (-а/з ) = 2 - 9 = -7.
Ответ: -7.
ГТ гл тт - 1 — cos2 2а 1 7 А л
Пример 2. Наити значение выражения -------—-----^cos 4а, если а = •
Решение. Упростим выражение, используя основные тригонометрические тождества и формулы двойного угла.
l-cos22a 1 2 а sin22a 1 2л - 2^ 1 2 Л
--------4 cos2 4a = ------yCosMa = sm22acos22a-Tcos24a =
l + tg22a 4---------------1-4 4
cos2 2a
=|(2sin2acos2a)2 --i-cos2 4a = -^-(sin2 4a -cos2 4a) = --^-cos8a.
n л 1 f o л 1 л 1 V2 V2
При a - значение выражения равно —cos 8 — = —cos — =-=---
32 4^32^ 4 4 42 8
Ответ: -
О
55
Метод введения вспомогательного аргумента
Данный метод применяется для преобразования выражения asin х + fecos х, в котором а2 + Ь2* 0. Запишем ис-
ходное выражение в виде:
asinx+Z>cosx =>/а2+У| ,--д sinx +-7=^= cosx |.
[Ja2+b2 )
( Л2 Л Л2
Так как при любых а и b верно равенство: а =1, то существует угол у такой, что
\Ja2+b2) \Ja2+b2)
COsy = -=^=, siny = -7=i=. Тогда asinx +Z>cosx =ja2 + Z>2 (cosysina + sinycosa) = л/я2 + £2 sin(a + y).
\la2+b2 yja2+b2
Пример 3. Найдите наибольшее значение выражения 5л/з sin За + 5 cos3a - 7 .
Преобразуем выражение 5л/з sin3a + 5cos3a с использованием метода введения вспомогательного аргумента.
В нашем случае а - 5 л/з, Ь = 5 . Тогда у/а2 +Ь2 = д/(5д/з )2 + 52 = ^52(3 +1) =10 и получим:
5>/з sin За + 5 cos3a = Ю^^-sin За + ~cos3a^ = 10(cosysinЗа + sin ^cos3a) = 10sin(3a + у) •
Тогда исходное выражение имеет вид: 10 sin(3a + ^) - 7. Оценим его значение: -1 < sin(3a + ^) < 1,
б б
-10<;10sm(3a + £)<10, -17<10sin(3a + £)-7<3 .
Ответ: 3.
№ п/п Задания Варианты ответов
1. Выразите в градусах угол 21. 1)105; 2)225; 3)130; 4)145; 5) 115.
2. Выразите в радианах угол 35°. 1)$; 2)J; 3)£; 4)§; 5>S-
3. Я л/3 Из данных утверждений: а) sin л = -1; б) cos 2 > 0; в) cos— = —; г) sin 3 > 0; д) tg 312° > 0 выберите верное. 1) а; 2)6; 3)в; 4) г; 5)д.
4. Из данных утверждений: а) sin 126° > 0; б) cos— = 0; в) tg 4 < 0; 7Е л/З 2 г) sin у = — ; д) ctg(-90°) = 0 выберите неверное. 1) а; 2)6; 3) в; 4) г; 5)д.
5. Расположите числа: а) sin 3°; б) sin—; в) sin 450°; г) sin 1,5; д) sin 50° в порядке возрастания. 2 1) а, б, в, г, д; 2) б, а, д, г, в; 3) б, г, а, д, в; 4) г, а, д, б, в; 5) д, г, в, б, а.
6. Расположите числа: а) cos 14°; б) cos—; в) cos 43°; г) cos л; д) cos 3 в порядке возрастания. 2 1) а, в, б, д, г; 2) г, б, в, а, д; 3) б, г, а, д, в; 4) г, д, б, в, а; 5) д, г, в, б, а.
7. Найдите наибольшее значение выражения 3sin 2 0 . 1)1; 2)3; 3)5; 4)6; 5)8.
8. Найдите наименьшее значение выражения 5cos a -4. 1)-1; 2)-5; 3)-4; 4)-9; 5)0.
9. Найдите наибольшее значение выражения 7 - |соs a|. 1)-1; 2)5; 3)6; 4)7; 5)8.
10. Найдите сумму всех целых значений (или значение, если оно одно) вы- ражения sin2 a -3,5. 1)-3; 2)-5; 3)-7; 4)-9; 5)0.
11. Упростите выражение (Vsin2 a +2sina)-|ctg a|, зная, что-180° < a <-90°. l)3cos a; 2)cos a; 3)-3cos a; 4) -cos a ; 5) sin a.
12. Упростите выражение |cosa-sina|-tg a + cos2 (-a), зная, что 3л <a<y. 1) cos 2a; 2)1; 3)-cos2a; 4)-l; 5) sin a.
56
№ п/п Задания Варианты ответов
13. Вычислите tg2 j-2cos j + cos^-sin^-. 1)1; 2)3; 3)3-*; 4)4; 5)5.
14. Вычислите >/3tg 30°4-A/2sin 135°-4cos240°. 1)4; 2)0; 3)-1; 4)2; 5)1.
15. n ctg 315°-6sm510° Вычислите -7 T--—riTz;;? » sin219° + sin2 (-71 °) 1)1; 2)4; 3)-2; 4)2; 5)-4.
16. Вычислите fcos—+tg—-cos(-—)-sin2(-—). V 6 4 J 3 4 6 1) 1; 2) 1,5; 3) Тб ; 4) 1,5 + Тб ; 5) 1 + Тб .
17. Вычислите sin2 73°(1 + tg217°)-2tgl5° • tg75°. 1)1; 2)-1; 3)-2; 4)2; 5)3.
18. Вычислите —-— +2ctg — . tg^-ctg405° 6 1)1; 2) 4>/з ; 3) -2; 4)2; 5) 4л/3 + 2.
19. d 7з Вычислите -j . 2sin—--6cos210° 3 1) 0,5; 2) 0,25; 3) -0,5; 4) -0,25; 5) 0,3.
20. Упростите выражение (1 + ctg2 a) • sin4 a -1. 1) 1; 2) -cos2 a; 3) sin2 a ; 4) -sin2 a ; 5) cos2 a .
21. ,, tgCC 1 Упростите выражение — 1. cosasin3 a + sin acos3a 1) -tg2 a ; 2) ctg2 a ; 3) sin2 a ; 4) -ctg2 a ; 5) tg2 a .
22. 2-3cos2a . 2 Упростите выражение - +tga. 3sin2a-l 1)1; 2)cos2 a; 3) Ц-; sm a 4) —!— ; 5) sin2 a . cos a
23. Вычислите 4а/з sml50cos^. 1) 1; 2) V6 ; 3) Л; 4) 2; 5) 3.
24. / • Упростите | 2 2 1 +4sin 41 cos 41 , V 2 co s2 4° - 2 sin2 4° ) 1)1; 2)4; 3)2; 4)5; 5)3.
25. n f 7л 5л Y . 7л 9л Вычислите cos cos— sin cos— . 1 8 8 8 8 J 1)-^; 2)-1; З)2^; 4) -^; 5) . 7 2
26. t 71 r. . Л 11Л lg2 Вычислите sin—cos—+ 5. 12 12 2—2tg2 — 8 l)-0,5; 2)0,25; 3)0; 4)0,5; 5) 0,75.
27. Вычислите 4cos 75°. 1) >/6+72 ; 2)2; 3) Тб->/2 ; 4)4; 5)1.
28. Вычислите T2(sm34°cos(-1 l°)+sinl69°cos34°)+73. l+tg62 -tg2 1)1; 2)4; 3)2; 4)5; 5)3.
29. Вычислите (sin19°+sin289°)(cosl09°-cos379°) 4cosl54°cos296° 1)2,5; 2)-0,25; 3)0,25; 4)0,5; 5)-0,5.
30. .. l-2sin239°-cosl8° Упростите . H sin48° 1)1; 2)-2; 3)2; 4)ctg48°; 5)-l.
31. TT » sin8a+2sin4a Найдите значение выражения - , если известно, что . _ . _ 1-cos 4a tg2a =-0,5. l)-4; 2)4; 3)0,25; 4)-0,25; 5)-l.
32. Вычислите sinl5° - cosl5°. 1)2?; 2)-T; 3)T; 4)0; 5)
57
№ п/п Задания Варианты ответов
33. Найдите значение выражения V5tg2a, если cosa = --, угол а принад- лежит III четверти. 3 1)—15; 2)-16; 3)20; 4)-4>/5 ; 5)-20. ;
34. Найдите значение выражения 50sina, если siny = |, л<а<2л. 1)—24; 2)-48; 3) —; 4)-^.; 5) 48. 25 25
35. Найдите значение выражения 10cos^y-a^, если tga = —^<а<л. 1) 4>/3 ; 2) 3 — 4а/3 ; 3)-3; 4) 4у/3 -3; 5)5.
36. Найдите значение выражения 2tg(a + p), если ctgp = p sina=-^, Зтг л <a<—. 2 1)14,5; 2)-14,5; 3)29; 4)-29; 5) 58.
37. . (п sin —a Найдите значение выражения — % если ctga = (2л/3 )-1. cos a 1)2,5; 2)-3,5; 3)-2,5; 4)3,5; 5) 0,5.
38. тт м гг a a 1 a (я Найдите значение выражения 2V2 cos—, если cos— = —, — е —; л . 8 4 4 4 ^2 ) 2>йП 3)-3; 4)-д/3 ; 5) >/3.
39. Результатом упрощения выражения ?“?22x-c°s23x является... cos 5х 1) 2cosx; 2) -2sinx; 3) -cosx; 4)2sinx; 5)1.
40. Найдите значение выражения —, если tga = -, tgP = -. sin a sin Р 3 2 1)1; 2)-I; 3) |; 4)5; 5) |.
41. Найдите значение выражения 5/2(sina-cosa)cos^-a^, если ^<a<^, tg2a =0,75. 1)0,8; 2)-0,8; 3) —0,6; 4)0,6; 5) 0,5.
42. Найдите значение выражения 25sin2(90° -3a)- 10cos3 а + 1, если sinl,5 а = 0,8. 1)20,8; 2)5,76; 3)10,6; 4)12,6; 5) 26,5.
43. тт « ~ sin3a + sin5a . л/ТЗ х л м Найдите 3 , если cos4a = -—, tg4a <0. 1 П • 2« 6 1-2 sin — 2 1)15; 2)5; 3)-5; 4)-15; 5) ЛТ.
44. тт« 4 а , 4 а . л _ _ Наидите значение выражения sin y+cos у, если sin a =0,25. 33 29 31 2)H; 4>5T 5)—. 32
45. Если известно, что 0<а<2л, tga>0 и верно равенство 2sin2a-7A/3sina-12 = 0, то угол а (в градусах) равен: 1)300; 2)240; 3)210; 4)120; 5) 60.
46. Если известно, что -360° < a <0°, cos a > 0 и верно равенство 3tg2a-2V3tga + l = 0, то угол а (в градусах) равен: 1)—30; 2)-60; 3)-120; 4)-300; 5)-330.
47. Найдите sin21— -al, если sin2a = |. \4 J 5 1)1; 2)0,5; 3) |; 4) |; 5)|.
48. тт w 2cos3pcos7p-cosl0p _ п Найдите значение выражения , , если р . 2 cos (225°-2р)-1 16 1)-1; 2)73; 3)1; 4)->/3; 5)(^3)->.
49. Найдите ctga, если ctgP =0,5; tg(a + Р) = 3. 1) 1; 2) |; 3) 0,2; 4) 5; 5) 7.
58
№ п/п Задания Варианты ответов
50. Упростите выражение sin(l 30° - a )cos(140° + а) - sin210° • sin(10° + 2 а ). 1)-0,5; 2) л/З ; 3)1; 4)0,5; 5)-1. ,
51. Найдите наименьший положительный период функции /(x) = sin2 — -cos2—. 8 8 1)2л; 2)0,125 л; 3)4л; 4)0,25л; 5) 8л.
52. Найдите наименьший положительный период функции fix) - (sin л х + cos л х)2. 1)2л; 2) л;3)4л; 4) 1; 5)2.
53. Найдите сумму чисел, принадлежащих промежутку [-8; -1] являющихся периодами функции f(x ) = sin2 1)—16; 2)-18; 3)-20; 4)-2; 5)-6.
54. Укажите множество значений функции fix) = 4cos 3xcos 5х - 2cos 2х + 11. 1) [-11; 3]; 2) [9; 11]; 3) [-2; 2]; 4) [9; 13]; 5) [-9;-7].
55. Наибольшее значение функции /(х) = 4sin2x + 4д/з cos2x равно: 1) 1; 2) 2; 3) 4; 4) 4^3 ; 5) 8.
56. Наименьшее значение функции /(х ) = 713 sin у+д/З cosy- 7 равно: 1>—11; 2)-7; 3) —Лз ; 4)-лДз-7; 5)-6.
57. Областью значений функции /(х) = является множество: 3 sinx +6 1) [3; 9]; 2) [2; 3]; 3) [2; 6]; 4) [9; 13]; 5)[1;3].
58. Областью значений функции Дх) = 4cos2 х - 4cos х + 1 является множе- ство: 1)[1;3]; 2) [0; 3]; 3)[1;9]; 4)[0;9]; 5) [-3; 1].
59. Областью значений функции Дх) = 2 + 4sinx - cos2 х является множество: 1)[1;6]; 2) [0; 9]; 3) [-3; 0]; 4) [0; 3]; 5) [-2; 6].
$ 15. Обратные тригонометрические функции
Я. 71
2 ’ 2
Арксинусом числа a (arcsin а), где называют угол а из промежутка
; arcsin(-tz) = -arcsin а.
синус которого равен
It' 71
2 ’ 2
Арккосинусом числа a (arccos а), где |а|<1, называют угол а из промежутка [0; л], косинус которого равен
числу а. Верны равенства: cos(arccos а) = а, |а|<1; arccos(cos а)= а, ае[0; л]; arccos(-a) = л -arccos а.
числу а. Верны равенства: sin(arcsin а) = а9 |а|<1; arcsin(sin а)= а, «е
Арктангенсом числа a (arctga), где a^R, называют угол а из промежутка yj, тангенс которого равен
числу а. Верны равенства: tg(arctg а) = a, a^R; arctg(tg а)= а, ае у^, arctg(-a) = -arctg а.
Арккотангенсом числа a (arcctg а), где a^R, называют угол а из промежутка (0; л), котангенс которого
равен числу а. Верны равенства: ctg(arcctg а) = a, a^R; arcctg(ctg а)= а, яе(0; л), arcctg(-tf) = л - arcctg а.
( ( 1 ) 2 1
Пример. Вычислить sinl arcctg|^-y l + arccosy-^ I.
Решение. Обозначим arcctg(-y) = Р • Тогда по определению: Р е(0; л), ctgP = -у. Так как ctgP <0, то делаем
вывод о том, что р е (j; л).
9 2
Пусть arccos уд = а. Тогда по определению: а е [0; л], cos а Так как cos а >0, то делаем вывод о том,
Гл
что ае 0;- .
k 2J
59
( Л 1 1
После введенных обозначений задача формулируется так: найти sin(a + Р), где р е I —; л , ctg Р =
f 2 )
и а е 0; — , cos a = —т=.
V 2 J
sin( a + р ) = sin a cos P + cos a sin p и необходимо найти sin a, sin P, cos P .
Для этого используем основные тригонометрические тождества:
а) sin2 a + cos2 a = 1 => sin a = л/1-cos2 a = (знак «+» перед корнем поставили потому, что a — угол I чет-
верти);
б) l+ctg2p = —4— =>sin2p = —= sinp = J—Ц-=-^ (знак «+» перед корнем поставили потому, что р —
sin р 1 + ctg р 5 yl + ctgP V5
угол II четверти);
в) cosp = -71~sin2p = —L (знак «-» перед корнем поставили потому, что Р — угол II четверти).
л/5
11 < 1 Л 2 2 7
Тогда искомая величина равна: sinacosp+cosasinp = ^^-l1+^-у=г--у= = -— .
Ответ: .
№ п/п Задания Варианты ответов
1. Какое из выражений: а) arccos(-0,8); б) arcsin ; в) arctg 2; г) arccos (д/5 - 1); д) arcsin (л/З -д/2 ) не имеет смысла? 1) а; 2)6; 3) в; 4) г; 5)д.
2. Какому из чисел: а) ; б) 1^.; в) 1pp.; г) л; д) £ не может быть равен арккосинус? 1) а; 2)6; 3) в; 4) г; 5)д.
3. Какому из чисел: а) ; б) -у; в) ; г) -у ; д) у не может быть равен арксинус? 1) а; 2)6; 3) в; 4) г; 5)д.
4. Найдите в градусах значение выражения . f я f 0 t к arcsin —— + arccos -у- + arccos j - arctg . 1)45; 2)90; 3)60; 4)-135; 5)-90.
5. Найдите в градусах значение выражения arcctg(-V3 ) + arcsin у - arccosl. 1)0; 2)-90; 3)90; 4)180; 5)-180.
6. Выберите верное утверждение: a) arccos у < arccos |; ( 1А 2 б) arcsinl + arccos(-l) = л; в) arctg(-2) < arctg4; г) arcsin — > arcsin у ; л/З \ ) д) arctg(-l) + arcsin у = 0. 1)а; 2)6; 3) в; 4) г; 5)д.
7. R • ( ’ f ( ^Tl Вычислите sin arcsin + arccos I I 2 J I 2 JJ 1)0; 2)-1; 3)-0,5; 4)0,5; 5)1.
8. Вычисл ите VItg(arcco s(-1) + arcctgV?). 1)0; 2)—1; 3)-3; 4)3; 5)1.
9. Значение выражения arcsin(sin98°) в градусах равно: 1)98; 2)8; 3)82; 4)78; 5)-82.
10. Значение выражения arcsin(sin312°) в градусах равно: 1)48; 2)-48; 3)132; 4)312; 5)-132.
11. Значение выражения arccos(cos214°) в градусах равно: 1)214; 2)34; 3)-34; 4)24; 5) 146.
12. Значение выражения arccos(cos275°) в градусах равно: 1)5; 2)95; 3)-5; 4)85; 5)-85.
13. Значение выражения arcsin(cos303°) в градусах равно: 1)57; 2)33; 3)-33; 4)-57; 5)47.
14. Значение выражения arccos(sin(-412°)) в градусах равно: 1)38; 2)52; 3)-38; 4)-52; 5) 142.
15. Вычислите sin(arcsin0,25). 1)0; 2)-1; 3)-0,25; 4)0,25; 5) 1.
60
№ п/п Задания Варианты ответов
16. Вычислите 20cos(arcsin0,6). 1)16; 2)-16; 3)12; 4)-12; 5) 10.
17. f f-2>/2Yl Вычислите 9sin arccos I I 3 JJ . 1)1; 2)3; 3)2-72; 4)-3; 5)|.
18. Вычислите 4>/2tg^arccos^-^p^J 1)1; 2)|; 3)-2^; 4)-2; 5)2.
19. Вычислите tg(y-arctg4). 1)4; 2)-4; 3)0,25; 4)-0,25; 5)-5.
20. Вычислите 8cos(2arccosд-). 1)0,4; 2)—1; 3)0,125; 4)-0,125; 5)1.
21. ( Г 8 Вычислите 85 sin 1 arcctgO +arcsin 1 1 L 1)1^; 2)-{|; 3)75; 4)-75; 5) 60.
22. Г" ( ( 4 Вычислите д/5 cost O,5arctgl-у 11 1)_Л; 2)Л; 3)2; 4)-2; 5) 0,8.
23. ( ( 4^ 5 Вычислите 130sin arccos — h-arcsin— . 1 I 5 J 13 J 1)112; 2)-112; 3)-33; 4)32; 5)-32.
24. Вычислите tg(arctg3 - arcctg(-O,5)). 1)4; 2)-l; 3)8; 4)-8; 5)1.
25. Вычислите (3-25/2)-ctg| arcsinf-2^ | + arcsin J- |. 1)3; 2)-l; 3)-2; 4)2; 5)1.
26. Вычислите sin(arctg^ + arcctg3). 1) 1; 2)0,5; 3) 2VtO 2V10 4)-l; 5) 4 V10
£ 16. Тригонометрические уравнения
16.1. Простейшие уравнения
1) sin х = а имеет решение только при |а| < 1.
sin х = а
при |я|<1,
х = (-1/ • arcsinа + лк, к eZ
или:
х = arcsinа+2лт, тeZ
х = л — arcsin <7+2 л/, I eZ
sin х = 1
х =у+ 2ли,
п е Z
sin х = О
Х=ЛН,
weZ
61
2) cos x = а имеет решение только при |а| <1.
3) tg х = а и ctg х = а имеют решения при любом действительном а и их решения определяются по формулам:
16.2. Методы решения тригонометрических уравнений
Существует много приемов решения тригонометрических уравнений. Перечислим некоторые из них:
1) Разложение на множители.
2) Замена переменной: а) в уравнениях, приводимых к квадратным; б) в однородных уравнениях второй степени
относительно выражений sin х и cos х; в) в уравнениях, содержащих выражения sin х ± cos х и sin х • cos х часто
применяют замену у = sin х ± cos х.
3) Использование различных формул тригонометрии для сведения уравнения к простейшему.
4) Введение вспомогательного аргумента.
5) Уравнения, решаемые с помощью универсальной тригонометрической подстановки.
6) Применение ограниченности тригонометрических функций.
Пример 1. Найти число решений уравнения sin2 х + l,5cos2 х = l,25sin 2х на промежутке [0°; 225°].
Решение. Используя формулу синуса двойного угла, запишем уравнение в виде: sin2 х + l,5cos2 х - 2,5sin xcos х = 0.
Это однородное уравнение второй степени, которое решается делением обеих частей уравнения на cos2 х * 0. По-
лучим tg2 х - 2,5tg х + 1,5 = 0, равносильное совокупности:
х =-г + тт, neZ,
4 ’
3
х =arctgj + 7t&, k eZ
. Изобразим найденные корни на единичной окружности и выберем те из них, которые при-
надлежат промежутку [0°; 225°].
r-ч Я , 3 Зя
Это: х, = р х2 = arctg j, х3 =
Ответ: 3.
tgx =1,
3 Решая каждое из уравнений, получим:
tgx=I.
62
Пример 2. Найти наименьший корень уравнения 4(cosx-sinx) = 4-sin2x на промежутке |_—Зтг; -у].
Решение. Выполним замену переменной по формуле у = cos х - sin х. Тогда sin 2х = 1 - (cos х - sin х)2 = 1 -у2. Тогда
уравнение примет вид: 4у = 4 - (1 -у2), у2 - 4у + 3 - 0, ух = 1, у2 = 3. Обратная замена:
cosx-sinx =1,
cosx-sinx =3;
V2 72-72
-j-cosx -ysmx = y,
72 72 . 3>/2
-y-cosx -y-smx = —;
✓л , x V2
cosQ + x) = ^-,
, л 4 3>/2
cos(^+x) = —.
Зл/2
Второе уравнение совокупности не имеет корней, так как -у- > 1. Решаем первое уравнение:
х+т = ±^ + 2ли, wgZ О
4 4 ’ д
х = 2ли, п е Z,
х =~ + 2тип, т eZ.
Найдем, при каких значениях п и т соответственно корни уравнения попадают в требуемый промежуток:
-Зп<2пт На промежутке Г-|;-у~1 одно целое число и = -1, и искомый корень хх = -2 п.
Рассмотрим вторую серию корней: —Зл < - у+2тпп < — у,<=> - у < w < 0, значит т = -1, т = 0. Получим два кор-
ня: х= , х = -у . Из трех найденных корней х = - — наименьший.
Ответ: .
№ п/п Задания Варианты ответов
1. Из чисел: а) ; б) ; в) ; г) у; Д) выберите корень уравнения cos(270°-x)= 1) а; 2)6; 3)в; 4) г; 5)д.
2. Из чисел: а) л; 6)450°; в) у; г)-^у; д) у выберите корень уравнения бш(л -х) = -1 . 1) а; 2)6; 3)в; 4) г; 5)д.
3. Из чисел: а) у ; б)-4 л; в) у; г) 450°; д) у выберите корень уравнения 4 X . 4 X cos у = sm у- 1)а; 2)6; 3) в; 4) г; 5)д.
4. Из чисел: а) 300°; б) ; в) ; г) -у; д) у выберите корень урав- . Ал хА Ал х^ 7з нения 2sin cos =-ч-« И 2) И 2 J 2 1) а; 2)6; 3) в; 4) г; 5)д.
5. Определите количество корней уравнения 4cosy.siriy = -л/з на отрезке [0;Зл]. 2 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
6. Найдите сумму корней (в градусах) уравнения 4 cos2 у = 1, принадлежа- Г Зл"1 щих отрезку -л, у . 1)180; 2)240; 3)360; 4)450; 5) 0.
7. Найдите среднее арифметическое (в градусах) корней уравнения cos2x + 2sin(y-x) + l = 0, принадлежащих промежутку (-90°; 450°). 1) 180; 2) 240; 3) 360; 4) 150; 5) 720.
8. Найдите среднее арифметическое (в градусах) корней уравнения 2 + л/з cos(270° + х ) = 2cos2 х , принадлежащих отрезку у; у j. 1)170; 2)180; 3)360; 4)450; 5) 600.
9. Определите количество корней уравнения А7л sin5xcos3x 4-sinl ——5х lsin3x=0,5 на отрезке [90°; 585°]. 1)6; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
10. Определите количество корней уравнения 2cos2 х -2 cosx 4- \l2 cosx = \j2 на отрезке [0; 5 л]. 1)5; 2)6; 3)7; 4)8; 5)9.
63
№ п/п Задания Варианты ответов
11. Найдите сумму корней (в градусах) уравнения ( 2л^ ( л^ Г Зя~1 cosl2x—— l + 5sinl х-у 1+2 = 0 на отрезке |_~л; ~yj. 1)160; 2)210; 3)270; 4) 300; 5) 320. ?
12. Определите количество корней уравнения 2cos 1 — + — l + 6cos 1 — + — 1 = 2 на отрезке [0; 12 л]. 1)6; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
13. ~ u cos(270° + x)-sin2 3-cos2 3 n Определите количество корней уравнения —* = 0 на гл о-ггт 1-2 sin2 — отрезке [0;2л]. 2 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5) нет корней.
14. Опр ке >еделите Зя, Зя 4 X . 4 X cos sin — количество корней уравнения — 2 2 = о на отрез- sin3 х + sinх cos2 х -1 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5) нет корней.
15. 2 Определите количество корней уравнения —~~—- = 0 на отрезке [0°; 360°]. 4х +Зпх~п 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5) нет корней.
16. 4 sin—cos—-1 Определите количество корней уравнения — 4—= 0 на отрезке Зл2-4ЛХ +7Г [0; 5 л ]. 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5) нет корней.
17. Найдите сумму корней (в градусах) уравнения а/лх -x2(2cos3x +cos2x -cosx) = 0 . 1)180; 2)210; 3)270; 4)330; 5)360.
18. ~ - 7з+2(sinx+cosx)2-2 л Определите количество корней уравнения ’ = 0 . А/4л2 -х2 1)4; 2)5; 3)6; 4)7; 5)8.
19. Определите наименьший корень уравнения 3sin2 х + 5sinx cosx -4 = 0 на отрезке [-180°; 0°]. 1)-л; 2)-90°; 3)-135°; 4) arctg4 - л; 5) -160°.
20. Найдите сумму корней (в градусах) уравнения 2sin22x+(1-V3)sin4x-2\/з cos22x =0 на отрезке [0°; 225°]. 1)585; 2)600; 3)570; 4)540; 5)360.
21. Найдите среднее арифметическое (в градусах) корней уравнения (cos2x -л/зsinxcosx -1)а/9-х2 =0 . 1)12; 2)24; 3)36; 4)20; 5) 18.
22. Найдите значение выражения п • х0, где п — количество, а х0 — наиболь- ший корень (в градусах) уравнения (tgx -3ctgx)Vcosx =0 из промежутка [-90°; 180°]. 1)120; 2)240; 3)480; 4)960; 5)450.
23. Определите количество корней уравнения V2sinx-l(cos5x +cos3x) = 0 на отрезке [0; 2 л ]. 1)4; 2)5; 3)6; 4)7; 5)8.
24. Найдите сумму корней (в градусах) уравнения tg2— +3 = 0, 2 • 1*__ 2£ на отрезке [~л;3л]. sm 4 cos 4 1)360; 2)450; 3)720; 4) 960; 5) 1080.
25. Найдите среднее арифметическое корней уравнения ctg2—-1+л^ + у/2 +1 = 0 г л sin — на отрезке [-5; 1]. 2 1)-4; 2)-5; 3)-1,5; 4)-7,5; 5)-1,8.
26. Определите на отрезке количество корней уравнения sin 5х - sin 7х = cos2 Зх - sin2 Зх _яя -T’2j ’ 1)4; 2)5; 3)6; 4)7; 5)8.
27. Найдите сумму корней (в радианах) уравнения sin(2x -2) = sin2x -sin2 , принадлежащих отрезку [0; 2 л ]. 1)3л -2; 2)4л +2; 3)2; 4)4; 5)2л.
64
№ п/п Задания Варианты ответов
28. Найдите сумму корней (в радианах) уравнения sin2x-2cos2sinx+cosx-cos2 =0, принадлежащих отрезку [-л; 2л]. 1)2; 2)4; 3)4л-2; 4)4л +2; 5)2jr.
29. Найдите сумму корней уравнения 48т2лхсо822лх + 1 + 8т4лх +2соб2лх =0, принадлежащих отрезку [—1; 2]. 1)4; 2)5; 3)6,5; 4)8; 5) 6,75.
30. Определите количество корней уравнения sin Зх - cos3x = (а/2 )-1 на отрез- ке [0; л]. 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
31. Найдите сумму корней (в градусах) уравнения Visin-2 sin2 ^- + 2 sin2 2+2 cos2 2 =0 , принадлежащих отрезку [0; 7]. 1) 180; 2) 210; 3) 270; 4)360; 5)960.
32. Найдите сумму корней (в радианах) уравнения sin26x + cos25x =1, при- надлежащих отрезку ^0; . ой; 2)^; з)^; 44 54 Юл } Н ’ ТГ’
33. Определите количество различных корней уравнения cos2 4х + cos2 7х + cos2 5х + cos2 2х = 2, принадлежащих отрезку [0°; 90°]. 1)4; 2)5; 3)6; 4)7; 5)8.
34. Найдите среднее арифметическое (в градусах) корней уравнения cos2x =sin(f+x)+2sin jcosf принадлежащих отрезку [-270°; 270°]. 1)7,5; 2)9; 3)15; 4)45; 5)55.
35. Найдите значение выражения п • х0, где п — количество, а х0 — наиболь- ший корень (в радианах) уравнения sin4x sinx +cos5x =0 из промежутка L 2’ 2) 1)^; 2)f; 3)f; 4)1?; 5) If.
36. Определите количество корней уравнения sin2x - (л/2 +1 )(sin х + cosx ) + а/2 +1 = 0, принадлежащих отрезку [-6; 6]. 1)4; 2)5; 3)6; 4)7; 5)8.
37. Найдите сумму корней (в градусах) уравнения 2cos2 2х - л/з sin4х + sin2х - >/з cos2x -5=0, принадлежащих отрезку [-л; л]. 1)—60; 2)-30; 3)0; 4)30; 5) 60.
38. Найдите среднее арифметическое (в градусах) корней уравнения cosx+cosl—+х I = tg^-tgf-sin2x, принадлежащих отрезку [-л; л]. \2 ) io у 1)—45; 2)-60; 3)—30; 4)30; 5)60.
39. Найдите сумму корней (в градусах) уравнения cos4(х + ^) + sin4(х -j) = i на отрезке [-2; 2]. 1)-30; 2)0; 3)30; 4)60; 5)-15.
40. Определите количество корней уравнения соз6(л-2х ) + sin6 2х = на от- резке [-45°; 45°]. 1)4; 2)5; 3)6; 4)7; 5)8.
41. Определите количество корней уравнения _ ।« л] . । _ л] . ( 7л । (5л । л 2cosl 2х + —Jsinl ЗхJ — sm 1 х - — J — cost —-11х 1 = 0, принадлежащих Г л л~| отрезку . L о о J 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
42. Найдите среднее арифметическое (в радианах) корней уравнения |sinx| + sin2x =0, принадлежащих отрезку [-л; 2 л]. Dt ; 3>Ь 4л 4) ~т; 5) л.
43. Найдите сумму корней (в градусах) уравнения cosx = Jl-cos2^- на отрезке [-2л; л]. V 1)—360; 2)-300; 3)-240; 4)-60; 5)0.
44. Найдите сумму корней (в градусах) уравнения a/2cosx =a/1-cosx , при- надлежащих отрезку [-90°; 360°]. 1)360; 2)180; 3)240; 4)210; 5)300.
45. Найдите сумму (в градусах) корней уравнения ^2sinyC0Sy+ 1 = A/6ctg4^cos(270o-x), принадлежащих отрезку [-л; 2 л ]. 1)360; 2)300; 3)240; 4)450; 5)510.
65
^17. Преобразование показательных и логарифмических
выражений. Свойства показательной и логарифмической
функций
17.1. Показательная функция
Функция, заданная формулой у = ах, где а > 0, а * 1, называется показательной с основанием а.
Основные свойства и график показательной функции
1) Область определения: R. 2) Область значений: (0; +оо ). 3) Не является ни четной, ни нечетной. 4) Не имеет нулей. 5) у > 0 при х g R. 6) Функция не имеет экстремумов.
7) Функция возрастает при всех xeR при а>\. 8) Если а > 1, то график функции имеет вид: 7) Функция убывает при всех х g R при 0 < а < 1. 8) Если 0 < а < 1, то график функции имеет вид:
У> I а > 1 1 У* 1 0<а<1
oi ' ’ 01 '**
17.2. Определение и свойства логарифмов
Логарифмом числа Ъ по основанию а, где я>0, а* 1, называется показатель степени, в которую нужно возве-
сти основание а, чтобы получить число Ь. Обозначение: loga& (логарифм числа Ъ по основанию а). Изопределения
log, Ъ = с,
ас=Ь,
а > 0,а Ф1, а также верно равенство: aogab = b , где а
fe>0.
следует, что *
О, а* 1, b > 0, которое назы-
вается основным логарифмическим тождеством.
Десятичным называется логарифм по основанию 10 и обозначается 1g.
Свойства логарифмов (при условии, что а > 0, а * 1, b > 0, с > 0) :
1) logal =0 — логарифм единицы равен нулю;
2) logatz = 1 — логарифм от основания равен 1;
3) loga(Z> • с) = loga6 + logac — логарифм произведения равен сумме логарифмов;
4) logfl = loga b - loga с — логарифм частного равен разности логарифмов;
5)а) logafe₽ =p-\ogab; б) loga„b = ^\ogab; в) logoi'" = -^--log„6;
6) a'°^=c,os‘a (6*1);
7) a) loga b = ~c b —формула перехода к новому основанию (с* 1);
logca
б) log„6=—— (6* 1).
log» а
Часто при упрощении выражений, содержащих логарифмы, решении логарифмических уравнений и неравенств
свойствами 3—4 надо пользоваться осторожно, так как их применение может изменить область допустимых значе-
ний переменной. Так в равенстве loga (/(х ) • g(x )) = loga f(x ) + loga g(x ) левая часть определена при тех значениях х,
при которых значения функций /(х) и g(x) имеют одинаковый знак (как положительный, так и отрицательный),
а правая часть определена только если Дх) > 0 и g(x) > 0!
66
Аналогичные проблемы могут возникнуть и при использовании формулы 5, если р — четное целое число. Поэто-
му наряду со свойствами 3—5 рассматривают также аналогичные свойства 3*—5* при условиях, что а > 0, а* 1,
/(x)-g(x)>0, b*Q:
3*) logo(f(x ) • g(x )) = loga |/(x )| + loga |g(x )|;
4*) log„ ^2 = loga |/(x )| - loga |g(x )|;
5*) log^ =2p-loga|Z>|, где p&Z.
17.3. Логарифмическая функция
Логарифмической функцией с основанием а называется функция, заданная формулой у = loga х, а > 0, а 1.
Основные свойства и график логарифмической функции
1) Область определения: (0; +оо ).
2) Область значений: R.
3) Не является ни четной, ни нечетной.
4) Нуль функции: х = 1.
5) Функция не имеет экстремумов.
6)у > 0 при х > 1, у < 0 при хе (0; 1), если а > 1.
7) Функция возрастает при всех х g R при а > 1.
8) Если а > 1, то график функции имеет вид:
6)у > 0 при хе (0; 1), у < 0 при х > 1, если 0 < а < 1.
7) Функция убывает при всех х g R при 0 < а < 1.
8) Если 0 < а < 1, то график функции имеет вид:
№ п/п Задания Варианты ответов
1. „ (2х )2+3-4Х-8-4х-1 Результатом упрощения выражения ^х является: l)22x; 2)4x+1; 3)2"; 4)2x+1; 5) 4х.
2. 4(2-32)х -3-(3^)2х +2х -8Р Результатом упрощения выражения ^х +1 является: ip21*’; 2)9x+1; 3)3'+x; 4)9*; 5)2-3x+1.
3. (з2х , 4 Результатом упрощения выражения 2 ——18-3 +—-9х является: l)2-32x-*; 2)62x-1; 3) 32x; 4)9x+1; 5)2-3x+1.
4. Результатом упрощения выражения (л/2)4х+8 - 3 • 4Х+1 + 22х является: 1)2^; 2) 5 • 4х; 3)4X; 4)4X+1; 5) 3 • 4х.
5. (^-(^-0,001х Результатом упрощения выражения 5 + 5 о 01 является: 1) 10^; 2) 1002x; 3) 106x; 4)102x+1; 5) 1000х.
6. Вычислите log4 8 - log, 3 + 2 log^ 125 . 1)11; 2)12; 3)13; 4)14; 5)15.
7. Вычислите 1 log2 +log816 - 2 log6 ^/б + log27i Л. 1)1; 2)-l; 3)3; 4)4; 5)-2.
8. Вычислите 1g 8 + 1g 5 + lg2,5 . 1)2; 2)-l; 3)3; 4)1; 5)-2.
9. Вычислите log2 9 - log2 5 + log0 51,8. 1)1; 2)-l; 3)0; 4)2; 5)-2.
10. о log2125 Вычислите ——— . log20,2 1)1; 2)-2; 3)3; 4)2; 5)-3.
67
№ п/п Задания Варианты ответов
11. n logs V2 Вычислите —. logs4 1)8; 2)0,125; 3)4; 4)0,25; 5)-2.;
12. Вычислите 2-^-5 . Ig8 1)1,5; 2)0,5; 3)1; 4)1 + 5)-0,25. 3 3
13. Вычислите —1— + log4 0, (4 ). log, 2 1)1; 2)-1; 3)0; 4)2; 5)-2.
14. Вычислите 1g 2 • log8100 • log^ ^8 . 1) 1000; 2) 1; 3) 10; 4) 0,001; 5) 0,25.
15. Вычислите 2log224-3 + 36,oge2 -з"2,°8з2 1)7,75; 2)7; 3)6; 4)7,25; 5) 6,75.
16. Вычислите 7log?5-221og23+л/з 83 . 1)1; 2)-1; 3)0; 4)2; 5)-2.
17. Вычислите logi log3/- 8+ -31+log94 . v2 lg4 3 1)—4; 2)-5; 3)1; 4)0; 5)-6.
18. 2 t log^ 1 Вычислите 0,llg5 -3log23 36 -(л/9)4’5 +23 -logu>/л/П . 1)-9; 2)-9,5; 3)12; 4)-10,5; 5)-8.
19. logooi 324 + log^ 3/2^2 - 1g 27^ Вычислите г— Igl5-lg5+21g^+ 0-5,5; 2)-5; 3)-4; 4)-3; 5)-1.
20. Вычислите log25 (2 - ^5 )2 + 3 log125 (>/5 + 2 )+log^ (-5 )4. 1)-8; 2)9; 3)12; 4)10; 5)8.
21. Вычислите log^(>/2 >/3) +10’()g 1)-8; 2)-9; 3)-2; 4)-4; 5)-1.
22. Вычисли» (l„g,’+321og.3) ; - log‘ 1)4; 2)2,5; 3)3,75; 4)6; 5)1.
23. 2 _ 2 Вычислите 5lg15 -2lg15 -0,8log6°’5 -0,625 log62 . 1)-21; 2)-9; 3)-12; 4)-10; 5)-14.
24. Вычислите 1g 0,03 • 1g 300 - 1g2 3 . 1)-3; 2)-5; 3)-4; 4)-6; 5)-1.
25. Вычислите 25°’510g’(5+2^)+210g^2^-5)2. 1) 10 - 4>/б ; 2) 5; 3) -4>/б ; 4) 4>/б ; 5) 10.
26. 2 1 Вычислите 31O8^+a^3-2>/2-7 1)9-45/6; 2)3; 3)-4>/б; 4)9; 5)4>/б.
27. Вычислите log2l,25, если log25 = a. 1)а — 2; 2) 2а; 3)0,5а; 4) а+ 2; 5) 2а -2.
28. Вычислите log4928, если log72 = a. 1)а-0,5; 2) 2а; 3)0,5 +а; 4) 0,1а; 5) 0,4а.
29. Вычислите log931,25, если log32 = a, log35 = b. 1)а-г>; 2)2а — Ь; 3)1,56 —а; 4)а + 2Ь; 5)ЗЬ-а.
30. Из перечисленных функций: а) у = log3x; б) у = log06x; в) у = logn х ; г) у = lognx ; д) у = log^чх выберите возрастающие на всей области 7 определения. 1) а; 2) а, в; 3) а, в, г; 4) а, в, г, д; 5) а, в, д.
31. Из перечисленных функций: а) у = (д/з )х; б) У - (у У ; в) у = (0,9)х; г) у = (л/з -1)х; д) у = (л/1,01)х выберите убывающие на R. 1) в; 2) в, г; 3) а, в, г; 4) а, в, г, д; 5) а, в, д.
68
№ п/п Задания Варианты ответов
32. 7 Среди точек А(1; 8), 5(2; 3), С(4; у), 0(1; 0), Е(-8; -1) укажите те, которые принадлежат графику функции у - log8x. 1)5, С, Д 2) С, ДЕ; 3)С,Д 4)A,B,O,D; 5)D,E.
33. Среди точек Л(-1;-1), 5(2; 0,25), С(4; + ), 0(0; 0), Е(-2; 4) укажите те, которые принадлежат графику функции у = (^-)х . V)A,B,D; 2)B,D,E; 3)C,D,E; 4)A,B,E- 5)B,E.
34. з Сравните а = log630 и b = log0 5 рг. Y)a>b; 2)a<b; 3)a = b' 4) нельзя сравнить.
35. Сравните а - log3 л/28 и b = log5 2>/2 . T)a>b; 2)a<b; 3)a = b; 4) нельзя сравнить.
36. Расположите числа: a) log3r-^V7 ; б) log0 5 0,(1); в) ; г) 21og05>/3 в порядке возрастания. 1) а, б, в, г; 2) в, г, а, б; 3) г, в, б, а; 4) а, в, г, б; 5) г, в, а, б.
37. Найдите область определения функции у = log5(x2 -8х +16) . 1) (4;+оо); 2)5; 3) (-оо ; 4) и (4; 4-оо); 4)х = 4; 5)х = -4.
38. 25—х2 Найдите область определения функции У = log3 2 _1х-. 1) (5; 4-оо); 2) (-5; 5); 3) (-оо ; -5] о [5; 4-00 ); 4) (1,5; 5); 5) (-5; 1,5).
39. Найдите множество значений функции у = log12 (х2 -4х +16). 1)[1;4-оо); 2)(0; 1); 3) (-ОО ; 1]; 4) (1; 4-оо ); 5) (-оо ; 4-со ).
40. Найдите множество значений функции у = log2 (х2 -2х +10). 3 1)[-2;+оо); 2) (0; —2); 3)(—оо;—2]; 4)(2;+оо); 5) (-°°; +°° )•
41. Найдите множество значений функции у = log025 (-х2 - 6х - 5). 1)[-1;+°о); 2)(0;4); 3)(_оо;-1]; 4)(- 1;+оо); 5) (0; +оо ).
42. Найдите множество значений функции у = 3smx. 1)(-°о;|]; 2)[1;3]; 3)[3;+оо]; 4) [—3; 3]; 5)(-3;+оо).
43. Найдите множество значений функции у=41-х . 1)(-°°;4]; 2) [0; 4]; 3)[4;+оо); 4) [0; 1]; 5)(0;4].
$ 18. Показательные уравнения
Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Уравнение вида
(f-b, где а>0, 1, называется простейшим показательным. Если Ь>0, то уравнение имеет единственное реше-
ние х = logab. Если b < 0, то уравнение не имеет корней.
Решение показательных уравнений основано на свойстве степени: две степени с одним и тем же положительным
и отличным от единицы основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
Рассмотрим некоторые типы показательных уравнений и методы их решения.
Приведение обеих частей уравнения к общему основанию
Иногда удается записать показательное уравнение в виде </(x)=ag(x). Полученное уравнение при я>0, а* 1
равносильно уравнению /(х) = g(x).
В частности, уравнение а/(х) = 1 при а > 0, а * 1 равносильно уравнению Дх) = 0, так как а° = 1.
Вынесение общего множителя за скобки
Уравнения вида А • о/(х) + В • af{x) + п = С приводятся к простейшим путем вынесения за скобку общего множи-
теля с^х\
69
Замена переменной
а) Уравнения вида А • a2f{x} + В • а/(х) + С = 0 приводятся к квадратным заменой t = с№.
б) Уравнения вида + В • а/(х} + С = 0 приводятся к квадратным после замены t = аДх) и приведения к общему
знаменателю. а
в) Уравнения вида А • я2/(х) + В -(аЬУ(х) + С • b2f(x) = 0 (однородные второй степени относительно функций
и Мх)) приводятся к квадратным, если разделить обе части уравнения на я2/(х) ф 0 и выполнить замену = t.
Пример 1. Решить уравнение (л/5+2>/б)х +^5-2у/б)х = 10.
Решете. Заметим, что числа (л/s+2>/б ) и (у]5-24б) являются взаимно обратными, так как
(л/5+2>/б Х>/5-2>/б ) = V25-24 = 1, тогда 5 -2л/б = (5 + 2V6)"1. Запишем исходное уравнение в виде:
(7з+2л/б )х + (-х/5+2л/б )~х = 10 и выполним замену переменной по формуле: у = (75+2л/б )х, у > 0 . Получим квад-
х = 2,
х = -2'
ратное уравнение: у +1 = 10 , корни которого равны: Л = 5 +2л/б и у2 = 5 -2д/б ,
(л/5 +2л/б =5+2л/б,
Обратная замена: ,---------—
|_(л/5+2л/6)х =5-2д/6;
Ответ: 2; -2.
№ п/п Задания Варианты ответов
1. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 0,125 -42x*3 = f^l . \ 8 J 1)6; 2)2; 3)5,2; 4)5; 5)-6.
2. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 2х-3-у/5 =0,01 1000х4. 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
3. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения л/?7 = 0,25 16х+3. 1)10; 2)0; 3)8; 4)-2; 5)-20.
4. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения з^25 ] =1. v V 2 1,27J 1)|; 2)-|; 3)-|; 4)0; 5)-1.
5. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 9^ =27-3^. 1)10; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
6. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 25х + 6.34х + 2.52х+1 = 3601 + 4. 1)-4; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
7. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения (0,(3))2’х-6-9~+2-Зх’6 =29- 1)6; 2)3; 3)5,4; 4)5; 5)-6.
8. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения 2^7+2 _2^+i =2'/хЧ+12 . 1)9; 2)у/3; 3)3; 4)-81; 5)-9.
9. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 15-2х -2х'1 -2х-2 = 7х + 7х4 + 7х’2. 1)6; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
10. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения дх ^х-0,5 ^х+0,5 1)0; 2)3; 3)2; 4)1,5; 5)-1,5.
11. Найдите произведение меньшего корня на количество корней уравнения 4х4-2Х+3+28 = 0. 1)6; 2)2; 3)3; 4)4; 5)1.
12. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 1-3-21-х+23-2х = 0. 1)6; 2)2; 3)3; 4)4; 5)1.
13. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения 2х2+21-х2 =4,5. 1)0; 2)-yl2; 3)2; 4)^2; 5)-2.
70
№ п/п Задания Варианты ответов
14. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 1 1_=А. 5х-1 + 5х +1 12 1)-1; 2)0; 3)2; 4)1; 5)-2. f
15. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения 23х —4— 6(2*-—) = 1. 23х 2х 1)-1; 2)0; 3)2; 4)1; 5)-2.
16. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 9.4’‘+>-2»+2.31-ж + 9-* = 0. 1)-1; 2)0; 3)2; 4)1; 5)-2.
17. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения 7(7 + л/48)х +7(7-л/48)х =14. 1)—4; 2)0; 3)2; 4)1; 5)-2.
18. Найдите произведение большего корня на количество корней уравнения 3-4Х + 2-9* = 5-6* . 1)-4; 2)0; 3)2; 4)1; 5)-2.
19. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 41+1g* =2-32+lgx2 1)0,001; 2)1; 3)0,01; 4)10; 5) 100.
20. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения lg(x + 1)-3X+4 -54-Зх+| -91g(x +1) + 18 = 0 . 1)100; 2)99; 3)2; 4)97; 5)-2.
21. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 2х-х2,2igx +3 = J + 3-2x-x2+2 . 1) 12; 2) 13; 3) 2; 4) 14; 5) 10.
22. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения (ЯЧЯ’'0'1»'' 1)2; 2)3; 3)-2; 4)-1; 5)5.
23. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 3х-5+4х-5=91 1)8; 2)2; 3)3; 4)6; 5)1.
24. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения 0,5х+3 = х+6. 1)2; 2)-3; 3)-2; 4)-4; 5)-5.
25. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 4х + 2х(4х-20) + 96-32х = 0. 1)6; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
26. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения 22х2-2х +2х2-х+2 _32 _ 1)2; 2)-3; 3)-2; 4)-4; 5)-5.
27. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 7(>/з)4х -4-Зх+2+324 = 9. 1)6; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
28. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения Ф^\Г-1-(у/зУ’) = у17х -7 . 1)8; 2)5; 3)3; 4)2; 5)1.
29. 2 2 ^Sin X _ Д + З C°S х Найдите в градусах сумму корней уравнения = 0 . V6X-X2 1)585; 2)600; 3)570; 4)540; 5) 360.
30. Найдите произведение большего корня на количество корней уравнения Ьх2-х| 1-|х-2х2| 5“ !+5 1 1=6- 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)6.
31. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения ^х2+х-6 +^(х-2)(х-1) =2.gx2-x-2 . 1)-1; 2)2; 3)-2; 4)3; 5)3,5.
71
^19. Логарифмические уравнения
Рассмотрим основные типы логарифмических уравнений и методы их решения.
1) Уравнения, решаемые по определению логарифма. Это уравнения вида loga f(x ) = b, где а > 0, а 1, fix) > О,
равносильны уравнению Дх) = аь.
/(х ) = g(x ),
2) Уравнения вида loga/(x) = logag(x) равносильны одной из следующих систем: s или
17 (Л ) > "
С f (х ) = g(x ), *
’. При этом решают какую-либо одну из указанных систем (более простую). Второй способ решения за-
[g(x)>0
ключается в переходе к уравнению /(х) = g(x) и последующей подстановке найденных корней в исходное уравнение.
3) Уравнения, в решении которых используют свойства логарифмов и преобразуют уравнение к видам 1 или 2.
В этом случае необходимо помнить о применении свойств 3*—5* логарифмов и о том, что при нахождении ОДЗ пере-
менной следует выписывать условия на переменную, опираясь на исходное условие задачи.
4) Метод подстановки чаще всего применяют при решении уравнений второй степени и выше относительно ло-
гарифма.
5) Метод логарифмирования применяют для решения уравнений, в которых переменная находится как под лога-
рифмом, так и в основании степени.
6) Уравнения, решаемые функциональным методом.
X2
Пример 1. Решить уравнение log0 5 4х + log2 -^- = 8 .
Решение. Поясним, что запись log2 b означает: (loga b)2. Поэтому, упрощая слагаемые в левой части уравнения
и учитывая область его определения (х > 0), получим:
logo,5 4х = (i°g2-l 4х )2 = (-1°ё2 4х )2 = 0°g2 4 + 1°§2 Х )2 = (2 + 10§2 Х )2 = 4 + 4 log2 X + 10g2 X
2
log2-g- = log2x2 — log2 8 = 21og2|х| — 3 = 21og2x -3 .
После этих преобразований и приведения подобных слагаемых уравнение примет вид: l + 61og2x + log2x = 8.
Выполним замену переменной: log2 х = у и решим квадратное уравнение: у2 + бу - 7 = 0: У1 = 1, У2 = “7. Тогда об-
х =2,
х = 2“7.
Ответ: 2; .
iZo
Пример 2. Решить уравнение 6log6X + х1оёбХ =12 .
Решение. Область определения уравнения: х>0. Так как б1оёбХ =(6log6X)log6X =х1оёбХ, то уравнение примет вид:
2х1о8бХ =12, x10g6X = 6. При условии, что х>0, обе части уравнения — положительны, поэтому можно прологариф-
мировать их по основанию 6. Получим: log6(xlog6X ) = log6 6; log6 х • log6 х = 1 и уравнение равносильно совокупно-
х = 6,
х = б-1.
z 1
Ответ: 6; т.
о
log2 X = 1,
log2 X = -7;
ратная замена:
log6x =1,
log6x =-1;
сти
№ п/п Задания Варианты ответов
1. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения lg(5x —x2) = lg2 + lg3. 1)6; 2)2; 3)3; 4)5; 5)-5.
2. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения log„(x -7Й)) = к^я(х -х2 +ll)-log,(x + д/10). 1)—0,5; 2)0,5; 3)3,5; 4)4; 5)-3.
3. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения log5(x2 -Зх -3)+log02(6x2 +5х -7) = lg(tg225°). 1)—2; 2)0,4; 3)0,8; 4)-0,4; 5)-0,8.
72
№ п/п Задания Варианты ответов
4. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения lg(l-3x)-l = ——‘ • logx VI0 1)—0,1; 2)-0,01; 3)0,5; 4)-0,5; 5)0,2.
5. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения log5 °Л 6 1)1; 2)-1; 3)4; 4)5; 5)-5.
6. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения lg(2x-5)-logx2_810 = 0,5. 1) у; 2)-П; 3)-11; 4)3; 5) 11.
7. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения lg(5-x) + 21g^2-x =1. 1)0; 2)2; 3)5; 4)7; 5)-7.
8. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения log* (2х) - log* (х2 - 2х + 3 ) = log^ 2°. 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)-4.
9. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения log3(3*+1-26)+х =2 . 1)-1; 2)2; 3)-3; 4)5; 5)-5.
10. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения log3(log9x + 0,5 + 9*) = 2х . 1)|; 2)-1; 3)-9; 4)3; 5)-3.
11. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения log*_1(3x2-x-5) = 41og7V7^. 1)1; 2)1,5; 3)-0,5; 4)-2; 5)-3.
12. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения log3(x2+6x-16)-6-log0(3);c + 8 • 1)4; 2)29; 3)-25; 4)25; 5)-29.
13. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения log2(3-x)(x-7) + log05jc _7-2. 1)45; 2)9; 3)-5; 4)5; 5)-9.
14. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения lg10ls(x2+2,)-l = lgx. 1)10; 2)3; 3)7; 4)-3; 5)-7.
15. Найдите значение выражения а3 - 54/?, где а и b — наибольший и наименьший корни уравнения 3 log3 х + log3 х7 = 6 соответственно. 1)9; 2)8; 3)7; 4)-8; 5)-7.
16. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения 21g4 х +2 log2 0,2 = 2,5 +1,51g2 х. 1) 1; 2) 10-°-5; 3) 100-5; 4) 10; 5)-10.
17. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения log2(2x) = log2^- + 3. 1)0; 2)2,5; 3)2; 4)0,5; 5)-0,5.
18. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения lg(10x) lg(0,lx) = lgx3-3 . 1) 1; 2) 102; 3) 104; 4) 10’; 5) 10.
19. Найдите произведение меньшего корня на количество корней уравнения log2(x +2)-31og2(x +2)-log2(l-x)+21og2(l-x) = 0. 1)0; 2)-1; 3)2; 4)-1,5; 5) 3 - >/13 .
20. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 41og2(-x)+21og4x2 =-1. 1)0; 2)1; 3)2; 4)0,5; 5)-0,5.
21. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения 721g(-x) =lgVi7. 1)100; 2)25; 3)1; 4)-100; 5)-1.
22. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения л/12-х -х2 log^(x2 -Зх -3)+2>/3-х -у/х +4 = 0. 1)2; 2)-2; 3)6; 4)0; 5)-5.
73
№ п/п Задания Варианты ответов
23. Найдите произведение меньшего корня на количество корней уравнения х‘°82Х+4 =0д25 1) 1; 2) 0,25;- 3) 2; 4) 0,5; 5) 5.
24. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения xl?x+lgx3+3 =10lgx _ 1)1,11; 2)1,1; 3)1,2; 4)0,11; 5)1.
25. Найдите значение выражения 8 а3 + Ь, где а и b — наименьший 7 и наибольший корни уравнения logx 2 - log4 х + = 0 соответственно. 1)10; 2)9; 3)11; 4)1; 5)13.
26. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения х2 logx 27-log9x =х +4 . 4 8 2 l)-j; 2) -у; 3)~з; 4)2; 5)-2.
27. Найдите произведение большего корня на количество корней уравнения iog3x|- + logjX =1. 1)2; 2)9; 3)}; 4) |; 5)3.
28. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения ^/31-2,51og2x =5-log8xVx . 1) 1024; 2) 256; 3) 0,25; 4)2048; 5)4096.
29. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения logx+1(5 + 4x -х2)-log5_x(х2 +2х +1) = 2 . 1)2-V2; 2)4; 3)3-2л/2 ; 4)5; 5)3 + 2>/2.
30. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения logi-8x21Х1 “ 4 iog3(64x4 -16х2 +1) ’ ч-z ч«✓ NJ uj| 1 UJ 401 h- 1 4O|^-
31. Найдите произведение корней уравнения f т Л ( т А ( ъ А 1g2 1+- +lg2 1-^7 l=:21g2 ——1 • \ х) V х +3) \х —1 ) 1)-3 7Г5; 2)1,5; 3)-l,5>/3; 4)-3; 5) 1,5(1 + ^).
20. Показательные неравенства
Решение простейших показательных неравенств основано на свойствах монотонности показательной функции
у = где а> 0, а* 1.
1)Если я>1, то функция у = я* является возрастающей, поэтому справедливо утверждение:
(а^>а8(х\^ |/(x)>g(x),
[я>1; [а>1.
2) Если 0 < а < 1, то функция у = а* является убывающей, следовательно справедливо утверждение:
fa7*1’>ag(x),^|/(x)<g(x),
|0<я<1; [0<а<1.
Виды показательных неравенств по способу их решения фактически совпадают с видами показательных уравне-
ний, поэтому сразу рассмотрим несколько примеров.
2(х-2)
Пример 1. Решить неравенство 4х -22(х~1) + 8 3 > 52 .
Решение. Перепишем исходное неравенство в виде 22х -22х"2 + 22х"4 >52 и вынесем за скобку множитель 22х-4.
Получим 22х"4(24 -22 +1)>52, откуда 22х’4>4; 2х-4>2; х>3.
Ответ: (3; +оо).
Пример 2. Решить неравенство 4х -2-52х +10* > 0.
Решение. Приведем неравенство к виду: 22х + 2х • 5х -2 • 52х > 0 . Заметим, что в левой части неравенства находит-
ся выражение, являющееся однородным второй степени относительно 2х и 5х. Разделив обе части неравенства на 52х,
получим: -2>0. Выполним замену У = , у>0 и получим неравенство: у2 + у-2> 0, решением
74
которого является множество е (1; +оо) (с учетом условия у > 0). Обратная замена: >1, , х <0
(не забываем о том, что функция у = убывает на R).
Ответ: (-оо; 0).
№ п/п Задания Варианты ответов
1. Найдите наименьшее целое решение неравенства (0,75/ х < 1 у! 1)1; 2)-2; 3)2; 4)0; 5)-1.
2. Найдите наименьшее целое решение неравенства у/т > ^343 . 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
3. 3-2х Найдите сумму целых решений неравенства 0,8 >1|, удовлетворя- ющих условию |х | < 4 . 1)6; 2)7; 3)8; 4)9; 5)10.
4. х2+6х+11 Найдите наибольшее целое решение неравенства 2,1 х ~3 < 1. 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
5. /^ч2х2-5х-35 Найдите сумму целых решений неравенства 1 -j-1 > . 1)9; 2)12; 3)13; 4)14; 5) 15.
6. 82 Найдите наименьшее целое решение неравенства 93+х +32(х+1) > —. 1)1; 2)-2; 3)2; 4)0; 5)-1.
7. Найдите наименьшее целое решение неравенства 52х -22х -52хЧ -22х+2 > 0. 1)1; 2)2; 3)-2; 4)0; 5)-1.
8. Найдите сумму целых решений неравенства у1ч2х+6 _^дх+2 _2Х+5 +2-22+х > 0, удовлетворяющих условию |х| < 5 . 1)9; 2)12; 3)13; 4)14; 5) 15.
9. Найдите наибольшее целое решение неравенства 0,25 -24х < 71-2х. 1)1; 2)-2; 3)2; 4)0; 5)-1.
10. Решением неравенства 52х+1 > 5х +4 является множество: 1)(-оо;0); 2)(—<ю;1); 3)(0;+оо); 4)(1;+оо); 5) (-оо ; -0,8) 0(1; +оо).
11. Решением неравенства 0,25х +23-х >9 является множество: 1)(-оо;0); 2) (—оо ; 1); 3)(0;+оо); 4)(1;+оо); 5) (-оо ; -9) 0(1; +оо).
12. 9x^+1 у2 .] Найдите количество целых решений неравенства 2 +4 <3-2 . 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
13. Найдите наименьшее целое положительное решение неравенства Зх+1+18-(0,(3))х >29. 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
14. Все решения неравенства > 10х принадлежат промежутку: 1)(-1;0); 2)(-2;-1); 3)(0;1); 4) (2; 5); 5)(1;2).
15. Решением неравенства 25 -2х -10х + 5х -25 > 0 является множество: 1)(-1;0); 2)(-со;0); 3) (0; 2); 4) (2; +оо ); 5) (-оо; 0)0(2;+оо).
16. Найдите количество натуральных решений неравенства 0,32+4+ +2х > 0,372. 1)9; 2)8; 3)7; 4)16; 5)15.
17. Найдите наибольшее целое решение неравенства 22х+2 -6х -2 -32х+2 > 0. 1)1; 2)-2; 3)-1; 4)0; 5)-3.
18. Найдите наибольшее целое решение неравенства 5Х+0,5 -9х > 32х~2 -5х"0,5. 1)1; 2)-2; 3)2; 4)0; 5)-1.
19. Решением неравенства 9lg(x-1) + < 21+1ё(1-2х-*2) является множество: 1)(-оо;2); 2)(1;+оо); 3)(0;1); 4) (2; 5); 5)(1;2).
20. Решением неравенства \?5 — 4х >2Х -1 является множество: 1) (—оо; 0); 2)(0,5;+оо); 3) (-00; 1); 4) (0; 2); 5) (0; 0,5).
21. Найдите наименьшее целое решение неравенства X2 -2^ +х +2 >2|+7х +х2 +х-2^ . 1)-1; 2)1; 3)2; 4)3; 5)0.
22. fl Найдите наименьшее целое решение неравенства 1 j 1 > 1 -1 1)-1; 2)-2; 3)-3; 4)-4; 5)0.
75
№ п/п Задания Варианты ответов
23. х-1 Решением неравенства (л/5 + 2)хЧ > (VJ -2)х+1 является множество: 1) (—оо ; —1); 2)(-1;0); 3) [-2; -1)о[1;+оо); 4)(0;+оо); 5)'[0;+оо).
24. Найдите количество целых решений неравенства < —J-j- • 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
25. 4х+5 . « Найдите наименьшее ^елое решение неравенства х+1 j J • 1)-1; 2)-2; 3)-3; 4)-4; 5)0.
26. Найдите количество целых решений неравенства х25х -5Х+2 < 0 . 1)12; 2)11; 3)10; 4)9; 5)8.
27. XX 3-22 — 7-24 —20 Найдите сумму целых решений неравенства ===== < 0. Vx -3 1)30; 2)28; 3)25; 4)19; 5) 18.
28. „ „ „ (9-Зх+1Х2х-8) „ Найдите сумму целых решении неравенства - < < о. (х 4-5)V-x 1)-12; 2)-11; 3)-10; 4)-9; 5)-8.
^21. Логарифмические неравенства
Решение логарифмических неравенств основано на свойствах монотонности логарифмической функции. Рассмот-
рим основные типы неравенств и методы их решения.
1) Неравенства вида loga f(x ) > loga g(x ) равносильно системе:
. . I7(*)>g(*), „ [f(x)<g(x),
при п>1: s При 0<п<1 имеем: < д
[g(x)>0. |/(х)>0.
2) Метод замены переменной.
3) Метод логарифмирования.
4) Обобщенный метод интервалов.
5) Неравенства вида loga(x)/(x) > loga(x) g(x) с переменным основанием можно решать по следующей схеме:
10ga(x)/(^)>10g<l(x)g(x)<»
/(x)>g(x)>0,
а(х ) > 1;
0</(x)<g(x),
О < а(х ) < 1.
или же, заменив исходное неравенство равносильным:
(a(x)-l)(/(x)-g(x)) >0 с учетом области определения входящих в состав неравенства функций.
Пример 1. Решить неравенство logx 5 +2 log5 х < 3 .
Решение. Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого, используя формулу перехода к новому осно-
ванию, приведем его к виду: —!—+2 log5 х - 3 < 0, 2- 31og5*4-l < Область определения функции
log5x log5x
f(x ) = x > 0, x * 1. Найдем нули этой функции, для этого решим уравнение 2 log* х - 3 log5 х +1 = 0.
log5x
Получим Xj =л/5, х2 =5. Изобразим найденные нули на области определения функции и определим знаки функ-
ции Дх) на каждом из полученных промежутков: —►
Ответ: (0; 1)и[^5; 5]. 0 1 V5 5 *
Пример 2. Решить неравенство log2x+3 х2 < 1.
Решение. (1 способ) Рассмотрим два случая: когда основание логарифма больше 1 и когда оно положительно, но
2х+3 >1,
2 [0<2х+3<
X < 2х 4- 3, или
, х2 >2х 4-3.
х2>0; 1
[ 3 А
Ответ: I-—; -1 lu(-l; 0)и(0; 3).
меньше Г. <
Решив
каждую из систем и объединив решения, получим ответ.
76
2х + 3>0, х>-1,5, Решение. (2 способ) Найдем ОДЗ исходного неравенства: <2х + 3^1, и перейдем к неравенству, х2 >0; [х ф 0 равносильному данному: (2х + 3 - 1)(х2 - 2х - 3) < 0 , решив которое методом интервалов, поручим: ( з \ хе (-сс;-1)о(-1;3). С учетом ОДЗ, ответом исходного неравенства будет множество -1 0)и(0; 3). Ответ: (-|; -1^и(-1; 0)и(0; 3).
Xs п/п Задания Варианты ответов
1. х~2 х-12 Найдите количество целых решений неравенства log05 —— < log0J5 —-— . 1)21; 2)20; 3)15; 4)18; 5) 19.
2. Решением неравенства log5 (3 - х ) < -1 является множество: 1) (-оо; 2,8); 2) (2,8; 3); 3) (2,8;+оо ); 4)(3;+оо); 5)(-со;3).
3. Найдите наименьшее целое решение неравенства log, < 0. х +5 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
4. Найдите длину интервала, являющегося решением неравенства Ig(13x-x2)>21g2 + 21g3 . 1)13; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
5. Найдите наименьшее целое решение неравенства log0 4 (х2 +1) < log0 4 (х + 3 ). 1)-1; 2)-2; 3)-3; 4)-4; 5)-5.
6. Найдите сумму целых решений неравенства log9(x2 -6х + 8) < 0,5 . 1) 6; 2) 8; 3) 12; 4) 10; 5) 9.
7. Найдите сумму целых решений неравенства lg(3-x)>lg(4x2 +4x) + log1 2. 2 1)-14; 2)-12; 3)-13; 4)-15; 5)-10.
8. Найдите длину интервала, являющегося решением неравенства 2 logo,5 Х > logo,5 (х +1,5 ) + logjl sin J • 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
9. Найдите количество целых решений неравенства logjX + log^x + log.x <6. 3 1) 24; 2) 25; 3) 26; 4) 27; 5) 28.
10. Найдите наибольшее целое решение неравенства log3 (х + 2 )(х + 4) + lo g^ (х + 2) < | log^ 7. 3 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
11. Найдите количество целых решений неравенства log05 log5(х2 -4) > 0 . 1)1; 2)0; 3)6; 4)7; 5)2.
12. х2+1 Найдите наименьшее целое решение неравенства log04 log2 р < 0. 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
13. Найдите сумму целых решений неравенства log05 log2 logx l 9 > 0 . 1)39; 2)49; 3)36; 4)37; 5)35.
14. Найдите количество целых решений неравенства log2(2- -1)-1оёо5(2^‘-2)>-2. 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
15. Найдите количество целых решений неравенства log4(3х -1)• log025 ” 7 ’ УдовлетвоРЯ1ОЩИХ Условию |х| < 7. 1)8; 2)4; 3)5; 4)6; 5)7.
16. Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства 1°ёо,2 (X "I) < 4 • 1)0; 2)1; 3)2; 4)26; 5) 27.
17. Решением неравенства 5 log0 5 х < 6 + log2 5 х является множество: 1)(0; |]и[1 ;+оо); о 4 2)[|;|]; 3) [!;+»>;
77
№ п/п Задания Варианты ответов
18. 4 Решением неравенства 2 log2 х < log4 — является множество: X 1)(0; 1)0(2;+оо); 2)(2;+со); 3)(1;+оо); 4)(-°о;1); 5)(1;2).
19. * 2 Найдите сумму целых решений неравенства log2 х < -. 1О§2 % 1 1)4; 2)5; 3)6; 4)7; 5)8.
20. Найдите длину интервала, являющегося решением неравенства 1 +-L_^i. l-logo.5* 1<}ё0ДЛ 1)1; 2)0,5; 3)1,5; 4)2; 5)2,5.
21. , 2 1оёз—г Найдите наименьшее целое решение неравенства 5 х + < 1. 1)—2; 2)-1; 3)0; 4)1; 5)2.
22. Найдите наибольшее целое решение неравенства log2 bg3 ^=4 < 10gl 10gl 5ПЛ • 2 3 1)-3; 2)-2; 3)0; 4)-1; 5)1.
23. Найдите количество целых решений неравенства 2 log3 log3 х + log j log3 (91/x ) > 1, удовлетворяющих условию |x | < 30. 3 1)4; 2)5; 3)6; 4)7; 5)8.
24. Найдите сумму длин интервалов, являющихся решениями неравенства log2x(x2 -5х +6)<1. 1)1; 2)0,5; 3)4,5; 4)4; 5)1,5.
25. Решением неравенства log2x+4 (х2 +1) < 1 является множество: 1)(-2;-1,5)о[-1;3]; 2)(-2;-1,5); 3)[-1;3]; 4) (—оо ; —2); 5)[3;+оо).
26. Решением неравенства — < 0 является множество: V2-6x 1) (-0,5; 0); 2) (-оо ; -0,5); 3)[-1;3]; 4)(—оо;1); 5) [-0,5;+оо).
27. Найдите сумму целых решений неравенства ^/log2 (х -1) < 1. 1)4; 2)5; 3)6; 4)7; 5)8.
28. Найдите сумму целых решений неравенства 1— >logt+4(2x2+3х-20) - 1. logx+l(*+4) 1)11; 2)15; 3)16; 4)17; 5)18.
29. Найдите сумму целых решений неравенства (2л + 4) “ 21 V 2" 10—25 ’ удовлетворяющих условию |х | < 4 . 1)1; 2)2; 3)3; 4)5; 5)6.
30. Найдите сумму целых решений неравенства 4logx+s (х2 + 2х +1) + log_.,_, (-х2 - 6х - 5) < 3. 1)—15; 2)-12; 3)-3; 4)0; 5)-8.
31. , cos2 4 лх - sin2 2тис п Найдите сумму решений неравенства lo£cos47tx 2 -2 , при- у/2 надлежащих промежутку [-6; 4]. 1)-11; 2)-16,5; 3)-10,5; 4)-21; 5)-9,5.
78
& 22. Системы показательных и логарифмических уравнений
и неравенств
№ п/п Задания Варианты ответов
1. Найдите все пары (х; у), являющиеся решением системы уравнений (2x+2J=10, < , и укажите наименьшее значение у в этих решениях. |х +у = 4 1)1; 2)-2; 3)2; 4)3; 5)0.
2. 3 ч {айдите все пары (х; у), являющиеся решением системы уравнений 2Х+3Л=5, , и укажите наиоольшее значение х в этих решениях. 4х+32-’’=4-2х -3^-11 1)1; 2)2; 3)3; 4) iog,3; 5) log32.
3. I I Зайдите все пары (х; у), являющиеся решением системы уравнений х _ Зу 4У х =16 n , и укажите сумму всех значении х и у в этих ре- V7-^ = 712-^ пениях. 1)4; 2)12; 3)8; 4)9; 5)16.
4. I Зайдите все пары (х; у), являющиеся решением системы уравнений |x-6J=5, , и укажите сумму всех значений х и у в этих решениях. |х • 6У = 6 1)6; 2)-6; 3)2; 4)4; 5)0.
5. Найдите все пары (х; у), являющиеся решением системы уравнений (2х2+у=75, , и укажите сумму всех значении х и у в этих |21gx-Igy =21g2 + lg3 решениях. 1)3; 2)18; 3)8; 4)9; 5)16.
6. Если (х0; у^ — решение системы уравнений ние выражения х^-у^ равно: 3х -2У =972, < , то значе- log^(x-^) = 2 1)—16; 2)29; 3)—21; 4)21; 5) 16.
7. Если (х0; у^ — решение системы уравнений - значение выражения х0 -y"1 равно: 1 2х •8*J = 2^2, 1 , то log, 1 + 0,5 = 0,51og3(9y) 1)3; 2)12; 3)6; 4)2; 5)-12.
8. Найдите все пары (х; у), являющиеся решением системы уравнений |lg(x2 + у2) = l + lg 8, s , и укажите сумму всех значении х и у в этих [lg(x+^)-lg(x-^) = lg3 решениях. 1)12; 2)4; 3)8; 4)9; 5)16.
9. Найдите все пары (х;у), являющиеся решением системы уравнений fxlog^=27y, < , и укажите произведение всех значений х и у в этих реше- = 81х НИЯХ. 1)81; 2)9; 3)243; 4)27-'; 5) 27.
10. Если (х0; у0) — решение системы уравнений то значение выражения х2 +у2 равно: (у]х +у 4-3)-2х =5(х + у), 2х 4-log2(x 4-у) = 4 1)10; 2)4; 3)8; 4)9; 5)14.
и. flog3(2-x)>l, Решением системы неравенств j 2 3 является промежуток: 1)(-оо;-1); 2) (-со; 1); 3)(-1;+оо); 4)[-1,5;-1); 5) (-0° ; -1,5] и (-1; +оо).
12. Решением системы неравенств * log0S(2x +1)<-1, 1 является промежуток: 1) (—°о; —1); 2)(-оо;-3); 3)(-2;-1]; 4)[-3;-1); 5) (-00 2] и(-1; +оо).
79
№ п/п Задания Варианты ответов
13. [2х-5 =4у(у 4-2), Найдите все пары (х; у), являющиеся решением системы - 2 и укажите сумму всех значений х и у в этих решениях. 1)1; 2)-0,5; 3)0,5; 4)2; 5)0. 1
14. 4х = 4у2 4-1, Найдите все пары (х; у), являющиеся решением системы 2* 1 и укажите сумму всех значений х и у в этих решениях. ~ 1)1; 2)-0,5; 3)0,5; 4)2; 5)0.
15. Если (х0; у^ — решение системы < жения х* -yj1 равно: 161og2x 4-1 = 21og,y, , то значение выра- log2x2 >log4J> 1)0,5; 2)4; 3)8; 4)2; 5) 1.
16. Если (х0; у0) — решение системы • жения Хд -у0 равно: 91og2x +l = log2 у2, , то значение выра- log2x >log8y 1)0,5; 2)4; 3)8; 4)2; 5)1.
23. Свойства функций, их графики. Задачи в координатах.
Диаграммы
23.1. Определение функции. Свойства и графики функций
Функцией, заданной на множестве Z), называется закон, по которому каждому значению х (аргумента) из
множества D ставится в соответствие одно определенное значение у (функции). Множество D называют областью
определения функции, а множество всех значений, которые может принимать у (функция), называется областью
(множеством) значений функции.
Графиком функции у =Дх) называется множество всех точек координатной плоскости вида (х;Дх)), где xeD(f).
Функция f называется четной (нечетной), если:
1) D(f) — множество, симметричное относительно точки х = 0;
2) для любого значения х е D(f) верно равенство: Д-х) = Дх) для четной функции (и Д-х) = -Дх) для нечетной).
График четной функции симметричен относительно оси Оу, график нечетной функции симметричен относитель-
но начала координат.
Нули функции — это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох, т. е. корни уравнения Дх) = 0.
Промежутки, на которых функция принимает только положительные (или только отрицательные) значения, на-
зываются промежутками знакопостоянства функции.
Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если на этом промежутке большему значению
аргумента соответствует большее значение функции, т. е. если х2 >х , то Дх2) >Дх1).
Функция называется убывающей на некотором промежутке, если на этом промежутке большему значению аргу-
мента соответствует меньшее значение функции, т. е. если х2 > хр то Дх2) <ДхД
Точка х0 является точкой минимума (xmin) функции / если для всех х из некоторой окрестности точки х0 вы-
полнено неравенство: Дх) > ДхД
Точка х0 является точкой максимума (хтах) функции / если для всех х из некоторой окрестности точки х0 вы-
полнено неравенство: Дх) < ДхД Точки максимума и минимума имеют общее название — точки экстремума.
Значение функции в точке максимума называют максимум функции (угоах), а в точках минимума — минимум
функции (ymm). Их общее название — экстремумы функции.
Пример 1. Рассмотрим график функции у =Дх), изображенной на рисунке:
80
1) Область определения функции: [-5; 6];
2) область ее значений: [-3; 4];
3) функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее график не обладает симметрией как относительно оси
ординат, так и относительно точки (0; 0);
4) нули функции: х = -3 и х = -1;
5) функция принимает положительные значения на промежутках х е[-5;-3)и(-1;6], отрицательные — при
хе(-3;-1);
6) функция возрастает на промежутках хе [-5;-4] и хе [-2; 1], убывает при хе [-4;-2] и хе[1;6];
7) точки экстремума: х = -2, х =-4; х = 1;
экстремумы: =/(-2) =-3, утах =Д-4) = 4; утах=/(1) = 4.
Функция f называется периодической с периодом 7V 0, если для любого значения х е 1) числа х + Т
и х- Т также принадлежат области определения; 2) верно равенство: Дх + Т) - Т) =Дх).
Теорема 1. Для нахождения наименьшего положительного периода Т функции вида у- А • f(kx + b) + с необхо-
Т
димо воспользоваться формулой: Т =т4, где Д— наименьший положительный период функции у =Дх).
П
Теорема 2. Если число Т — период функции / то число вида п • Т также является периодом функции f при
любом целом п * 0.
Пример 2.
Найдем наименьший положительный период функции у = 2 sin у + 5 .
у 2п
Г = = — = 6л 5 где TQ = 2л — наименьший положительный период функции у = sin х.
3
Ответ: 6 л.
Свойства и графики линейной, квадратичной, тригонометрических, показательной и логарифмической функций
были перечислены в соответствующих разделах данного пособия. Рассмотрим графики и свойства степенных функ-
ций, которые не были рассмотрены ранее.
Степенная функция
А) С натуральным показателем степени у = х”, neN
п — нечетное п — четное
1)0(у)=Я; 2)Е(у) = Л; У‘ 3) функция нечетная; 4) у - 0 при х = 0; 5) у > 0 при х > 0, у<0прих<0; -11 6) функция возрастает 7 при хе/?; Г 7) нет экстремумов. | 0 1 X -1 1)Р(у) = Л; 2) Е(у) = [0; +оо); л 3) функция четная; 1 4) у = 0 при х = 0; 1 ]. 5)у>0 при \ х е (-оо ; 0) и (0; +оо); ] 6) функция возрастает 1 при х > 0, убывает при х < 0. 7)х =0, у = 0. 7 min ’ J min к 0 1 X
Б) С целыми отрицательными показателями степени у х'\ neN
п — нечетное п — четное
l)DO) = (-oo;0)u(0;+oo); у, 2) Е(у) = (-00 ; 0) о (0; +оо); 3) функция нечетная; 1 4) нет нулей; 5) у > 0 при х > 0, 1_| у<0 при х<0; б) функция убывает 1 при хе(-оо ; 0) ихе (0; +оо); | 7) нет экстремумов. * » 0 1 X -1 1) D(y) = (-оо ; 0) О (0; +оо); 2) Е(у) = (0; +оо); . у‘ 3) функция четная; | 4) нет нулей; / 5)у>0 при хе Z)(y); 6) функция возрастает -1 при х > 0, убывает при х < 0; 7) нет экстремумов. > 0 1 х -1
81
В) С рациональными показателями степени у = xr, reQ.
г<0 0<г<1 г> 1
1)£>(у) = (0; + 2)Е(у) = (0;+< 3) не является ной; 4) нет нулей; 5)у > 0 при л 6) функция у( 7) нет экстрек у< 1 оо); 30); ни четной ни нечет- че D(y); эываетпри хе D(y); тумов. th 1)Z?O) = [0; 2)ЕО) = [0; 3) не являез ной; 4)у = 0 прг 5)у > 0 npi 6) функция 7) нет экст{ У< 1 +оо ); +оо ); гея ни четной ни нечет- I х = 0; 1 х>0; возрастает при xeD(y); )емумов. 1 ► 1)£>О) = [0; 2)£О) = [0; 3) не являет! ной; 4)у = 0 при 5)у>0 при 6) функция 7) нет экстр У* 1 +9о); +оо ); ся ни четной ни нечет- х = 0; х > 0; возрастает при хе D(y)\ емумов.
-1 0 1 х 0 1 х о i х
Преобразования графиков функций
В таблице приведены алгоритмы основных преобразований графиков функций.
у=-Ах) У=Л-х) У =/(*) + /> y=f(x+a)
Симметрия графика функции у =f&) относительно оси Ох Симметрия графика функции у ^fix) относительно оси Оу Параллельный перенос графика функции у =Дх) вдоль оси Оу на Ъ единиц (вверх при Ъ > 0; вниз при b<ty Параллельный перенос графика функции у -fix) вдоль оси Ох на (~а) единиц (вправо при а<0; влево при а > 0)
у = кДх) J' =f(kx)
к>1 к<1 к>1 Л<1
Растяжение графика функции у =Дх) вдоль оси Оу в к раз Сжатие графика функции у ^fix) вдоль оси Оу в раз Сжатие графика функции у=Дх) вдоль оси Ох в к раз Растяжение графика функции у = Дх) вдоль оси Ох в i раз
График функции у = |/(х )| может быть получен из графика функции у =fix) следующим образом: часть графи-
ка функции у =Дх), расположенная ниже оси Ох, отражается симметрично относительно этой оси, остальная часть
остается без изменения.
График функции у = /(|х|) может быть получен из графика функции у =Дх) следующим образом: часть графика
функции у fix), расположенная в области х > О, остается без изменения, а его часть в области х < О заменяется
симметричным отражением относительно оси Оу части графика для х > 0.
Для построения графика функции у = А • f(kx+b) + B можно действовать по следующей схеме: 1) у =Дх);
2) у = Л-/(х); 3) у = Л-/(Ь); 4) y = A-f\ 5) у = A -f(kx +Ь) + В .
к V к ))
При решении задач с использованием свойств функций используют следующие теоремы:
Теорема 1. Если для всех хеХ справедливы неравенства Дх)>А и g(x)<A, где А — некоторое число, то на
f f (х) = А
множестве X уравнение Дх) = g(x) и неравенство Дх) < g(x) равносильны системе уравнений <!
[g(x) = ^.
Теорема 2. Если Дх) — возрастающая на множестве X функция, g(x) — убывающая на множестве X функция
(или g(x) = const), то уравнение Дх) = g(x) имеет на множестве X не более одного корня.
При нахождении множества значений функций, входящих в состав уравнений и неравенств, часто приходится ис-
пользовать следующие числовые неравенства:
1) (ал-bfi >'1аЪ для любых а и Ь;
82
2) ,?i+fl2 + -+^ >п]ах-а2-...-ап при > О, ... ап > О, равенство возможно только при ах = а2 = ... = ап, в частности
при а{>0 и а2>0, равенство возможно только при а{ = а2;
3)л+1>2 при условии а>0, равенство возможно только при а=1;
а+- < 2 при условии а < 0, равенство возможно только при а = -1.
23.2 . Задачи в координатах
1) Расстояние между точками координатной плоскости ^(Хр^) и В(х2;у2) можно найти по формуле:
^(х2-*1)2+(У2-У1)2 •
2)Координаты точки С — середины отрезка АВ, где А(хх, уД В(х2;у2), равны: х = у = .
3) Уравнение прямой с угловым коэффициентом к и проходящей через точку A(xQ;y^) имеет вид: у-у0 = к(х-х^.
4) Уравнение окружности с центром в точке О(а; Ь) и радиусом R имеет вид: (х - а)2 + (у - b)2 = R2.
Задания
Варианты ответов
1) а, б, в, д; 2) б, в, г, д;
3) а, в, д; 4) а, г, д; 5) б, в, д.
Какие из линий а—д могут быть графиками функций?
Функция задана графиком на отрезке [-6; 7]. Укажите область значений
функции.
1)[-6;7]; 2) [-2; 3]; 3) [-3; 3];
4)[-3; I]; 5) [-3; 2].
Функция, график которой изображен на рисунке, определена на проме-
жутке [а; 6]. Укажите количество промежутков, на которых она сохраняет
знак.
УЬ.
1)10; 2)9; 3)8; 4)7; 5)5.
83
Ко п/п Задания Варианты ответов
Укажите промежуток возрастания функции, определенной на промежутке [-6; 7], график которой изображен на рисунке: 1)[—3;2]; 2)[-2;3]; 3)[-1;4]; 4)[0;3]; 5) [-6; 2].
Из предложенных промежутков выберите промежуток, на котором функ- 1)[-6;-2]; 2)[-3;-1]; 3) [-2; 1];
ция, график которой изображен на рисунке, принимает только отрицатель- 4) [2; 3]; 5) [4; 6].
ные значения.
Укажите точку максимума функции, определенной на промежутке [-5; 5],
график которой изображен на рисунке.
Укажите нули функции, определенной на промежутке [-5; 4], график кото-
рой изображен на рисунке.
Из функций а—д выберите те, областью определения которых является
9 вся числовая прямая: а) у = sin х; б) у = 1g х; в) у = ; г) у = 4х;
д) у = л/х2 — 1 •
Из функций а—д выберите те, областью определения которых является
1 _ 5
1Q промежуток [0;+оо ): а) у = 2Х ; б) у = \[х ; в) у =х 6; г) y = log3x ;
д) У = |*1-
Из функций а—д выберите те, областью определения которых является
отрезок [-1; 1]: а) у = -х2 -1; б) у = cos х; в) у; г) у = >/1-х4 ;
д) y = lg(l-x2).
1)-4; 2)2; 3) -2; 4)0; 5)4.
1)—4; 2)2; 3) -2; 4)0; 5)4.
1)—4;—2; 1; 2)-5;-2;0;
3)—2; 1; 4)-1; 0; 4; 5)-2;0;3.
1) а, б, в, г; 2) б, в, г; 3) а, в, г;
4) а, г, д; 5)6, в, д.
1)6; 2) б, в; 3)6, в, г;
4) а, б, г; 5) б, в, д.
1)6; 2) б, г; 3)г; 4)б,г,д;
5) б, в, д.
84
№ п/п Задания Варианты ответов
12. 2 Найдите множество значений функции У~х2+2х+з' а) П» б) [1;+оо ); в) (-«>; 1]; г) (0; 1]; д) (0; 1). 1)а; 2)6; 3) в; 4) г; 5)д.
13. Найдите множество значений функции y = V-x2-6x : а) (0; 3]; б) [3; +оо ); в) (-со; 0) и (0; 3]; г) [0; 3]; д) (0; 3). 1)а; 2)6; 3)в; 4) г; 5)д.
14. Из функций а—д'выберите те, множеством значений которых является вся числовая прямая: a)y = log3x; б)у = х2-3х; в)у = ^-; r)y = ctgx; д)у = 3х + 11. 1)6; 2) а, б; 3)г; 4)а,г,д; 5) а, б, д.
15. Из функций а—д выберите те, множеством значений которых является 7 промежуток [0; +оо): а) у = 4х; б) у = д/х -1 ; в) у = -6х +х2 +9 ; г) у =х8; д) у = |х+5|. 1) а; 2) б, в, г, д; 3) в, г, д; 4) б, в, г; 5) а, б, д.
16. Из функций а—д выберите те, множеством значений которых является отрезок [1; 3]: a)y = cosx + 2; б) У = ^4х-х2-3 ; в) у = >/4-х2+1; г) У=7^-[’ Д) y = |2sinx+l|. 1) в; 2) а, в; 3) а; 4) а, в, д; 5) а, б, д.
17. Из функций а—д выберите те, которые возрастают на всей области опреде- ления: а)у = 0,6х; 6)y = log8x; в) у = |х + 5|; г)у=х 3 ; д)у = 2х-16. 1) б, д; 2) а, в, д; 3) а, г, д; 4)6, в, д; 5)6, г, д.
18. Из функций а—д выберите те, которые убывают на промежутке (0; 1): a)y = cos7tx; б)у = (х+1)6; в)у = (х-1)4; r)y = ctgx; • 1) а, г; 2) а, в, г; 3) а, в, д; 4)6, в, д; 5)6, г, д.
19. Через точку (2; 8) проходят графики функций: а) у = (2л/2 )*; б) У = 8sin^-; B)y = log4x; г)у=12-х2 + х; д)у = х3. 1) а, д; 2) а, в, г; 3) а, б, д; 4)6, в, д; 5)6, г, д.
20. 2_ Через точку (2; 1) проходят графики функций: а) у = х2 ; б) у = log2 х; X Т <4 . X . ЛХ х 4 в)у-х--2х+1; г) y=tg ; д) у = X — оХ +10 1) в, д; 2) а, в, г; 3) а, в, д; 4)6, в, д; 5)6, г, д.
21. Из функций а—д выберите четные: а) у = х2 + 2х; б) у = х • ctg х; в) у = |log2х|; г) у = 0.211; д) у- . 1) в, д; 2) а, в, г; 3) а, в, д; 4)6, в, д; 5)6, г, д.
22. Из функций а- в) у =x-log3|x| —д выберите нечетные: а) у = sin(j-3x); б) у = х3-cos2x; ; д)у = 3‘*\ 1) г, д; 2) а, 6, г; 3) а, г, д; 4) 6, в; 5) 6, г, д.
23. Из линий а—d а) у. 1 • выберите графики не’ ‘ б) у. четных функций: t в) /\ 7х 1) г, д; 2) а, 6, г; 3) а, г, д; 4) а, 6, г, д; 5) 6, г, д.
0 1 х г) У ( 1 7^ pi ’ X о i у х Д) У 1 к pi ' х
85
№
п/п
Задания
Из линий а—д выберите графики четных функций:
24.
Варианты ответов
1) в, д; 2) а, б, г; 3) б, в, д;
4) а, б, г, д; 5) б, г, д.
26.
Функция у =f(x) является четной, /(1) = 5, Д-2) = -1.
Функция у = g(x) является нечетной, g(3) == 7, g(-1) = -3.
Найдите значение выражения Д-1) + 2Д2) - g(-3) + g(l).
На рисунке изображен график некоторой периодической функции. Укажи-
те ее наименьший положительный период.
1)17; 2)13; 3)3; 4)-7; 5) -11.
1)2; 2)3; 3)5; 4)10; 5)15.
На рисунке изображен график некоторой периодической функции. Укажи- те ее наименьший положительный период. 1)2; 2)3; 3)4; 4)5; 5)6.
27. 1 |— 1 I У,*.
28. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения cos-^ + 17 + х2 = 8х. 4 1)-1; ; 2)3; 3)4; 4)6; 5)8.
29. Найдите количество корней уравнения lg(x2 + 9-6х) = 2х2 -12х +12. i)i; 2)2; 3) 3; 4)4; 5)5.
30. Найдите значение выражения — , где S'—сумма корней (или корень, если он один) уравнения arcsin^cosx + ^ = 4л(л-х) + х2 + j. 1)0; 2)2; 3)4; 4)6; 5)8.
31. Найдите количество корней уравнения ctg х = 5х на отрезке [-7 л; 12 л]. 1)5; 2) 12; 3) 7; 4)19; 5)20.
32. Найдите количество корней уравнения loglog76 х = tg2x на промежутке ( Зя СТ’Т J ’ 1) 5; 2)6; 3)7; 4)8; 5)9.
33. Найдите количество целых решений неравенства 13 + 6х > 2Х+3 + Зх2. 1)0; 2)1; 3)2; 4)3; 5)4.
34. Найдите сумму целых решений (или решение, если оно одно) неравенства 8х-44 л 2 л <4х~х +4. х -6 1)0; 2)3; 3)5; 4)6; 5)10.
35. Количество целых решений неравенства 3х + 3"х <2 cosx . 1)0; 2)1; 3)2; 4)3; 5)4.
36. Найдите сумму корней уравнения Дх) = -1, где Дх) — нечетная функция, заданная при х > 0 формулой Дх) = х2 - 2х. 1)0; 2)-V 2; 3) —2; 4)1; 5)2.
86
№ п/п Задания Варианты ответов
37. ( Зх А Найдите произведение корней уравнения /1 — 1 = 8, где Дх) — четная функция, заданная при х < 0 формулой /(х) = 2“*. 1)0; 2)-2; 3) —4; 4)4; 5)2. ;
38. Определите количество корней уравнения 4 - х2 = (2^ -З)2. 1)5; 2)1; 3)2; 4)3; 5)4.
39. Найдите количество натуральных значений аргумента из промежутков убывания функции „у = |х2 -Зх +0,25|. 1)0; 2)1; 3)2; 4)3; 5)4.
40. Найдите сумму целых значений аргумента из промежутков возрастания функции у = |log2 , удовлетворяющих условию |х|<10. 1)18; 2)13; 3)16; 4)17; 5) 23.
На рисунках а—д изображены графики функций: у = sin х -1, у = sin(x - у),
у = cos 2х, у = 0,5cos х, у = sin 0,5х (в произвольном порядке). В ответе
укажите такой порядок графиков а—д, который соответствует порядку
перечисления функций.
1) в, б, г, а, д; 2) б, г, д, а, в;
3) б, д, г, а, в; 4) б, г, а, д, в;
5) д, в, б, г, а.
На рисунке изображена диаграмма, отражающая объем выручки магазина
в течение 7 дней. На сколько процентов больше выручено прибыли за послед-
ние три дня, чем за первые четыре дня работы магазина?
1)12; 2)15; 3)20; 4)25;
5) 50.
На графике изображено изменение температуры воздуха в городе в течение
суток (измерения проводились каждые два часа).
1) [2; 6]; 2) [18; 20]; 3) [0; 4];
4)[0;2]; 5) [6; 18].
87
№ п/п Задания Варианты ответов
44. По графику, изображенному в задаче № 43, найдите промежуток времени, в течение которого температура воздуха была только отрицательной. 1) [2; 6]; 2) [18; 20]; 3) [0; 12]; 4) [4; 14]; 5) [6; 18].
45. По графику, изображенному в задаче № 43, найдите в градусах °C разность между наибольшей и наименьшей суточными температурами в этот день. 1)2,5; 2)2; 3)4; 4)5; 5) 4,5.
46. Уравнение окружности с центром в точке (-1; 2) и радиусом 4 имеет вид: а)(х-l)2 + (j + 2)2= 16; б)(х + I)2 + (у-2)2 = 4; в)(х + I)2 + (у-2)2 = 16; г) (х-1)2 +(у —2)2= 16; д)(х+ I)2 + (у-2)2 = 8. 1)а; 2)6; 3)в; 4) г; 5)д.
47. В магазин привезли фрукты четырех видов. — На рисунке изображена круговая диаграмма распределения количества привезенных фруктов. /груши Известно, что масса всех фруктов 240 кг. / 81° Тогда масса (в кг) груш равна: [ \ 135° \ яблоки абрикосы\ Л90° \ у54° ) хлерсики/ 1)54; 2)60; 3)64; 4)68; 5)72.
48. Какая из точек Л(4; л/з ), В(2;2>/2), С(0; 1), Z>(3; у/2) или Е(-1;3) принад- лежит окружности с центром в точке (1; 0) и радиусом 3? 1)Л; 2)5; 3) С; 4) D; 5)Е.
49. Одна из аллей ботанического сада засажена хвойными деревьями. Количество деревьев 1кедр/ь\ распределено следующим образом: / / \ кедры —360 штук; /сосна 1 / \ пихты — 720 штук; 1 1/ ель । лиственница — 900 штук; 1 / ель—1080 штук; \ . . л Л J ’ \пиственница\ пихта 7 сосна —1440 штук. V \ / На рисунке изображена круговая диаграмма распределения высаженных деревьев. Определите величину в градусах центрального угла кругового сектора диаграммы, соответствующего лиственнице. 1)60; 2)64; 3)72; 4)75; 5) 78.
50. Найдите расстояние между точками (х^Дх^) и (х2; g(x2)), где хх — точка максимума функции Дх) = 14х - х2 - 46, а х2 — точка минимума функции g(x) = х2 - 2х - 4. 1)10; 2)9; 3)3^2; 4) 2 л/з ; 5) 10,5.
51. Найдите расстояние между точками (х^Дх^) и (х2;Дх2)), где хг и х2 — точ- ки экстремума нечетной функции, заданной при х > 0 формулой у = 4х - х2. 1)10,2; 2)9,6; 3)5^2; 4)4^5; 5)10,5.
52. Найдите расстояние между точками (х^Дх^) и (х2;Дх2)), где х{ и х2 — точки максимума функции у = |х2 - 2 |х | - 2|. 1) >/2; 2)2,5; 3)2,4; 4)2,2; 5)2.
53. Даны точки Л(-2; 5) и 5(8; 9). Найдите координаты точки С — середины отрезка АВ: а) (6; 14); б) (-5;-2); в) (3; 7); г) (4; 8); д) (3; 6,5). 1) а; 2)6; 3) в; 4) г; 5)д.
54. Точки А(3; 11), В(1; -7) и С(5; 4) — вершины треугольника АВС. Найдите длину медианы СМ треугольника. 1) 3,5; 2) у/13 ; 3)3>f2; 4)2>/3; 5)3,6.
55. Даны точки А(6; 1) и В(-2;7). На отрезке А В как на диаметре построен круг. Найдите площадь кругового сектора данного круга с центральным углом 144°. 1) 12 л; 2) Юл; 3)25л; 4) 16л; 5) 24л.
56. Отрезок Л В является диаметром окружности, заданной уравнением х2 + (у - I)2 = 9. Найдите произведение координат точки В, если точка А имеет координаты ( л/5 ; 3). 1) —5; 2)2^5 ; 3)-д/5; 4) >/5 ; 5) 10.
88
24. Производная. Применение производной*
Производной функции у в точке х0 называется число, к которому стремится отношение при Дх -> О
и обозначается /'(х0).
24.1. Геометрический смысл производной
Производная функции Дх) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функ-
ции у в его точке с абсциссой х0: к = tga = /'(х0) > где а — угол наклона касательной к положительному на-
правлению оси абсцисс.
Уравнение касательной, проведенной к графику функции у =Дх) в его точке с абсциссой х0, имеет вид:
У = /(хо) + /Vo Xх ~хо) •
24.2. Механический смысл производной
Если тело движется прямолинейно по закону S(t)9 где S(f) — путь, пройденный телом за время /, тогда скорость
тела есть производная от пройденного пути по времени: v(t) = S'(t).
24.3. Правила вычисления производной
Если и(х) и v(x) — функции, имеющие производные, с — const, то:
1) с' = 0,
2) (cw) = с-и',
3) (w + v) =«' + /,
4) (w-v) = u'v + uv ,
( гЛ _ uv-uv'
— 2 ’
\v J v
6) (x*) = к -xk~x для любого целого k*9
7) (л/7)'=*
2vx
24.4. Применение производной к исследованию функции
Монотонность функции
Если в каждой точке х промежутка (а; Ь) /'(х)>0, то функция возрастает на промежутке (а;Ь).
Если в каждой точке х промежутка (а; Ь) Д'(х)<0, то функция убывает на промежутке (а; Л).
Экстремумы функции
Если точка х0 — точка экстремума функции Дх), то производная в ней либо равна нулю, либо не существует.
Если точка х0 — внутренняя точка области определения функции, для которой f\x) = 0 и при переходе через
точку х0 производная меняет знак с «+» на «-», то х0 является точкой максимума функции Дх).
Если точка х0 — внутренняя точка области определения функции, для которой f'(x ) = 0 и при переходе через
точку х0 производная меняет знак с «-» на «+», то х0 является точкой минимума функции Дх).
89
№ п/п Задания Варианты ответов
1. Найдите значение производной функции у = уХ5-х3+х+л/з в точке хо = у/2 . 1) л -1; 2) 1; 3)-1; 4) л +1; 5) 5.
2. Найдите значение производной функции у = (Зх2 - х )(2х +1) в точке х0=-1. 1)—14; 2)7; 3)15; 4)-15; 5)-8.
3. 3 х6 Найдите значение производной функции у = -——+2>/х в точке х0 = 1. 1)-4; 2)1; 3)-6; 4)-5; 5)5.
4. Найдите значение производной функции У = в точке хо = О,25. 1)7,25; 2)2,5; 3)6,2; 4)-7,25; 5)-2,25.
5. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = -t2 +4/ ~9 . Найдите скорость точки в момент времени t = 2. 1)18; 2)2; 3)10; 4)8; 5)16.
6. Точка движется прямолинейно по закону £(/) = 5 + 6t -12 +t3. Найдите скорость точки в момент времени / = 3. 1)18; 2)32; 3)10; 4)21; 5) 27.
7. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 5t2 -2t + 16 . В какой мо- мент времени скорость точки была равна 8? 1)2; 2)1; 3)0; 4)3; 5)4.
8. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = Зх3 - 4х2 + 2х + 7 в точке с абсциссой х0 = 1. 1)2; 2)1; 3)0; 4)-3; 5)3.
9. Зл -1 Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = - в точке с абсциссой х0 == 3. ~х 1)5; 2)6; 3)8; 4)-5; 5)1.
10. х2 Уравнение касательной к графику функции у = Зх+7 в точке с аб- сциссой х0 = 2 имеет вид: 2 l)y = —x + 5; 2)у = х + 5; 3)у = -х - 5; 4) у = -2х + 5; 5)у = -2х-5.
11. Уравнение касательной к графику функции у = х3 - 2х2 + 4х в точке с аб- сциссой х0 = -1 имеет вид: 1)у=11х + 3; 2)у=11х + 4; 3)у = 9х + 2; 4)у=10х-4; 5)у= 10х+ 1.
12. Касательная к графику функции у = х2 - х + 6 образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45°. Тогда данная касательная проходит через точку на графике с координатами: 1)(-1;8); 2)(0;6); 3)(1;0); 4)(1;6); 5) (3; 12).
13. Касательная к графику функции у = 2х2 - х - 3 образует с положительным направлением оси абсцисс угол 135°. Ордината точки касания равна: 1)0; 2)-1; 3)-2; 4)-3; 5)-4.
14. Касательная к графику функции у = 3,5х2 -4х - л2 образует с положи- тельным направлением оси абсцисс угол arctg 3. Эта касательная пересе- кает ось ординат в точке с координатой равной: 1)—3—л2; 2)-3,5-2л; 3)—3,5—л2; 4)-0,5-л2; 5)-0,5-2л.
15. 4 з 2 Касательная к графику функции У~^х ~^х +*+5 параллельна оси абсцисс. Эта касательная задана уравнением: 1)у=0; 2) у = 5|; 3)у = 9; 4)у = 4; 5)У = б|.
16. Касательная к графику функции у = Зх2 - 5х + П параллельна прямой у = 7х + 24. Сумма координат точки касания равна: 1)6; 2)12; 3)24; 4)15; 5)25.
17. Касательная к графику функции у = х2 - 2х перпендикулярна оси ординат. Сумма координат точки касания равна: 1)0; 2)— 1; 3)-2; 4)-3; 5)1.
18. Найдите уравнение касательной к графику функции у = х2 - Зх + 4, прохо- дящей через точку Л(-1; 7), если абсцисса точки касания неотрицательна. 1)у = -11х —4; 2)у==-х + 6; 3)у = 9х+16; 4)у = 10х+17; 5) у = -Зх + 4.
19. Найдите угол между касательными, проведенными к графику функции у = 2х2 - 73х +2 в точках с абсциссами Xj = и х2 = 0. 1)30°; 2)60°; 3)45°; 4)75°; 5) 90°.
20. Найдите угол между касательными, проведенными из точки Al 1—; | к графику функции у = 1,5х2 - 5х + 4. \ 6 6J 1)30°; 2)45°; 3)60°; 4)75°; 5) 90°.
90
№ п/п Задания Варианты ответов
21. Найдите площадь треугольника, образованного осями координат и каса- тельной к графику функции у = х4~2х2 в точке с абсциссой х0 = 2. 1)32; 2)3з|; 3)24; 4)35; 1 1 5) 321-.
22. X3 2 Найдите промежуток убывания функции у = ^--2х + 3х -12 : 1)[1;3]; 2) [0; 3]; 3) [2; 5]; 4)[—1;2]; 5) [-2; 3].
23. Найдите сумму целых ^значений аргумента из промежутка возрастания функции у =13 + 8х-^--х2: 1)0; 2)7; 3) —4; 4)-7; 5)12.
24. Найдите длину промежутка возрастания функции у = -т—-— . х -х + 9 1)10; 2)9; 3)8; 4)7; 5)6.
25. Найдите промежуток убывания функции у = 1 . 1)(4;+оо); 2)(-оо;4); 3)(-4;4); 4) (0; 4); 5) нет промежутков убывания.
26. Найдите точки максимума функции у = х3 - Зх2 - 9х + л: 1)х = 3; 2)х = -1; 3)х = -1их = 3; 4)х = -3их=1; 5)х = 4.
27. Найдите минимум функции у = х3 - Зх2 - 9х: 1)у = 0; 2) у = -36; 3)у = -32; 4)у = -27; 5)у = 5.
28. Найдите наибольшее значение функции у = 0,25х4+х3 - 2х2 + 10 на отрезке [-1; 2]. 1) 16; 2) 9,25; 3) 18; 4) 7,25; . 5) 14.
29. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции х3 х1 у = у+——6х + 4 на отрезке [0; 3]. 1) 1|; 2) |; 3)8; 4)5; 5)4.
30. /3 2 Точка движется прямолинейно по закону S(t) = у - 2t + It +15. Найдите наименьшее значение скорости точки. 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
31. 4/3 Точка движется прямолинейно по закону S(t) =———+6/2 + / -1. В какой момент времени из промежутка [1; 5] скорость точки будет наибольшей? 1)1,5; 2)2,5; 3)2; 4)3; 5) 3,5.
32. Функция у =Дх) задана на отрезке [-6; 6]. На рисунке изображен график ее производной. 1)1; 2)0; 3)-1; 4)-3; 5)3.
1 \yi 1 1
J 1 л i
А 1 7 ГЛ p=j/'
а , \ 1 /р у z
--- / Hr У: V/ L L - —
-чб \ ГД- L pi J - I X
i ; А 7 1 i |
' i I i i .. 1 |
Найдите точку максимума функции у =Дх).
33. Функция у =Дх) задана на отрезке [-6; 6]. На рисунке (№ 32) изображен график ее производной. Укажите промежуток убывания функции у -fix). 1)[-3;-1]; 2) [0; 3]; 3)[1;2]; 4) [—1; 2]; 5) [-2; 0].
34. Функция у = Дх) задана на отрезке [-6; 6]. На рисунке (№ 32) изобра- жен график ее производной. Количество точек минимума функции у =Дх) равно: 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
35. Функция у = Дх) з« ее производной. ад in; 1 В ia < эез же [-6 г г п ;6] Л=” . На ри cy 1 нке г -Jj ... 1 . тзображен график 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
।
1 0 1 X
1
— ---- —
i
Укажите количество промежутков, на которых функция у=Дх) убывает.
91
№ п/п Задания Варианты ответов
36. Функция у = Дх) задана на отрезке [-6; 6]. На рисунке (№ 35) изображен график ее производной. Укажите количество промежутков, на которых функция y=f(x) возрастает. 1) 1; 2) 2;. 3) 3; 4) 4; 5) 5.
37. Функция у =Дх) задана на отрезке [-6; 6]. На рисунке (№ 35) изображен график ее производной. Укажите количество точек минимума функции. 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
38. Функция у = Дх) задана на отрезке [-6; 6]. На рисунке (№ 35) изображен график ее производной. Укажите количество точек максимума функции. 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
25. Планиметрия
Углы
а) Вертикальные углы равны: Zl = Z2 (рис. 1).
б) Смежные углы составляют в сумме 180°: Zl + Z3 = Z2 + Z3 = 180° (рис. 1).
Параллельные прямые
Так называются прямые, которые не пересекаются.
Признаки и свойства параллельных прямых
а) Внутренние накрест лежащие углы равны: Z2 = Z3 (рис. 2).
б) Сумма внутренних односторонних углов равна 180°: Zl + Z2 = 180° (рис. 2).
в) Соответственные углы равны: Zl = Z4 (рис. 2).
г) Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны: если
аЦЬ, 61| с, то а If с .
д) Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны:
если ale, b 1с , то аЦЬ .
е) Теорема Фалеса. Параллельные прямые, пересекающие стороны
а b
угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки: - = —
с d
(рис. 3).
Рис. 3
Треугольники: определения, равенство и подобие
Треугольник называют:
« остроугольным, если все его углы острые;
• прямоугольным, если один из его углов — прямой;
• тупоугольным, если один из его углов тупой.
Если длина большей стороны треугольника ЛВС со сторонами а, b и с равна с, то можно определить вид тре-
угольника по его углам:
« если c2<a2 + Z>2, то треугольник ЛВС—остроугольный;
< если c2 = ^2 + Z?2, то треугольник ЛВС — прямоугольный;
ф если с2> а2 + Ь2, то треугольник ЛВС — тупоугольный.
Соотношения между сторонами и углами
а) Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше модуля их разности:
- с| < а < b + с, \a-cl<b<a + c, \a-b\<c<a + b. в
б) Сумма углов треугольника равна 180°: а + р + у = 180° (рис. 4). /$\
в) Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол. / h
г) Теорема синусов: —— = = 2R (рис. 4). А
sin a sin р sin у л b С
д) Теорема косинусов: а2 =Ь2 + с2 ~2Ьс • cosa (рис. 4). Рис. 4
92
Признаки равенства треугольников:
1) по двум сторонам и углу между ними;
2) по двум углам и прилежащей к ним стороне;
3) по трем сторонам.
Треугольники называются подобными, если их углы попарно равны, а соответствующие стороны одного пропор-
циональны сторонам другого. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия. Площади
подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Признаки подобия треугольников:
1) по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними;
2) по двум равным углам;
3) по трем пропорциональным сторонам.
Площадь треугольника:
S = у а • ha (ha — высота, проведенная к стороне a); S = у ab sin у (рис. 4);
S =у[р(р-а)(р-Ь)(р-с) , где р — полупериметр треугольника;
£=—; $=р-г, где р и г — радиусы описанной около треугольника и вписанной в треугольник окружностей
соответственно.
Замечательные линии треугольника
а ) Высота треугольника — это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольни-
ка к прямой, содержащей противоположную сторону треугольника (обозначение: ha — вы-
сота, проведенная к прямой, содержащей сторону а треугольника).
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке О, называе-
мой ортоцентром треугольника, при этом АО-ОА{ =ВО ОВХ =СО ОСХ; треугольники
АА{ВС{ и ЛАВС (рис. 5) подобны с коэффициентом подобия Л = |cosZ.B|.
Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам: ha\hb:hc--.\.-\
2S 1 а b с
ha=— —из формулы S=^a-ha.
а 2
б ) Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей
стороны (обозначение: та — медиана, проведенная из вершины А к стороне а треугольника).
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от
вершины: АО = ОА. =2:1, ВО = ОВ. =2:1, СО = ОС. =2:1 (рис. 6).
Медиана разбивает треугольник на 2 равновеликих: Л
8&4ВВх = ^ЬСВВХ = $ЬАССХ = $ЬВССХ = $ЛВААХ = ^АСАА} (РИС- 6). \
Три медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих: ^/\о1
$ЬАСХО = 8двсхо = = 8&САхО = 8&СВХО = (РИС- 6)- \
Длина медианы: (2rn )2 = 2Ь2 +2с2 -а2. ---L----Н—
А В\ С
Рис. 6
В в) Биссектриса треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника
/Д с точкой на противолежащей стороне и делящий внутренний угол пополам (обозначение:
/Т\с\ — биссектриса, проведенная из вершины А к стороне а треугольника).
/ / \ Каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.
У Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке О — центре окружности, впи-
7 \ bi санной в данный треугольник.
/ \ 1 Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим
A b С сторонам: - = (рис. 7).
С Cj
Рис-7 ПК I 26ccosy , 2jbcp(p-a) , , , . -ч
Длина биссектрисы: 1а-------la=bc-hc, (рис. 7).
Ь+с Ь + с
Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют
боковыми, а третью сторону — основанием.
93
Свойства и признаки равнобедренного треугольника
• Углы при основании равны: ЛА = ZC (рис. 8).
• Медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию,
совпадают: отрезок BD (рис. 8).
Равносторонний треугольник
Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны.
Свойства и признаки равностороннего треугольника
« Все углы равны.
♦ Каждая из медиан совпадает с биссектрисой и высотой, проведенными из той же вершины.
« Центры вписанной и описанной окружностей совпадают, их радиусы равны соответственно:
R = 2г, где а — длина стороны треугольника.
> ял/з с а24з
Высота треугольника равна л = —, его площадь Л=——.
а
Прямоугольный треугольник
Теорема Пифагора: а2 + Ь2 = с2, где с — гипотенуза, а и b — катеты треугольника (рис. 9).
Соотношения между сторонами и углами: sinZ=-, cosZ=-, tg/4=y (рис. 9).
С CD
Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на середине гипотенузы,
а ее радиус равен половине гипотенузы и медиане, проведенной к гипотенузе: R = = тс,
г== д+6-с — радиус вписанной окружности.
Высота, проведенная из вершины прямого угла, образует три подобных треугольника:
МВС ~ &АСН ~ \СВН; численно она равна: h] = АН • ВН9 hc=— (рис. 9).
с
АН и ВН — проекции катетов АС и ВС соответственно на гипотенузу,
АН = А С • cos ЛА, ВН = ВС • cos ЛВ .
Площадь прямоугольного треугольника: S =^ab, S =^c-hc, S = рг.
Г 2>/з’
л/З
Четырехугольники
Произвольный четырехугольник
а) Сумма всех внутренних углов равна 360°.
б) В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда
суммы длин его противоположных сторон равны: а + с = b + d, в этом случае
о a+b+c+d
S=pr, где р=--------.
в) Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда,
когда суммы его противоположных углов равны 180°: ЛА + ЛС = ЛВ + ЛИ = 180°.
г)Площадь: S^J^sinq); S =S^BD+S^CD =^absmA+^cdsmC \
S&BOA ' S&COD = S&BOC ’ $ MOD (РИС* 10).
Параллелограмм
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
Свойства и признаки параллелограмма
« Противоположные стороны попарно равны.
« Противоположные углы попарно равны.
ф Смежные углы в сумме дают 180°: ЛА = ЛС, ЛА + ЛВ = 180° (рис. 11).
♦ Диагонали АС и BD параллелограмма пересекаются и точкой пересечения
делятся пополам (рис. 11).
Диагонали и стороны связаны соотношением: d% + <722 =2(а2 +й2);
ЛАВС = &CDA по трем сторонам; =S^0C =5ДССЩ =S^0A.
Площадь: S = aha = Ц,; S = absmA-, S = | sinZ.COD', S = 25^-
94
Ромб
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства и признаки ромба
« Диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
« Диагонали являются биссектрисами углов ромба.
Площадь: S=ah\ 5 = 6?2sin/l.
Центр вписанной в ромб окружности есть точка пересечения диагоналей
ромба, а ее радиус: г = у (рис. 12).
Прямоугольник
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойство диагоналей
« Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
J2 = а2 + Ъ2 — длина диагонали прямоугольника, где а и b — длины
сторон прямоугольника.
Около любого прямоугольника можно описать окружность, радиус
которой равен R = у, где d — диагональ прямоугольника (рис. 13а).
Площадь прямоугольника: 5= ab\ S = ij2sincp, где ср —угол между
диагоналями (рис. 13 а).
Квадрат
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойство диагоналей
Диагонали квадрата равны и взаимно перпендикулярны.
Длина диагонали: d = аЛ , где а — длина стороны квадрата.
a d ajl
Радиусы вписанной и описанной окружностей: г = R = у = -у- (рис. 136).
Площадь: S=a2; S = ^d2,
Трапеция
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых
сторон трапеции.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусум-
ме: /||ВС||Л£)? 1 = ^^- (рис. 14).
Треугольники ВОС и DOA — подобны по двум углам, откуда следует
ВС ВО СО ,
равенство: — = — = — (рис. 14).
r AD OD ОА 7
Площадь трапеции: = S =^АС BD sincp, где ср—угол
в
D
Рис. 12
Рис. 136
между диагоналями (рис. 14). а
Правильный шестиугольник / \ d / \
Лл/з / \ /
Радиусы вписанной и описанной окружностей: г = Дг—, R = а. v-----Д’-----7
г г- 2 \ /О\ /
„ с r a2d3 Зл/За2 \ / \ /
Площадь: 5 = 6------------. \ / \ /
4 2 V______V
„ Рис. 15
Окружности, углы, хорды, касательные
1) Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: а = £ (рис. 16).
2) Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
3) Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой
хорды, равны (рис. 16).
4) Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны от этой
хорды, составляют в сумме 180°: а + у = 180° (рис. 17).
5) Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, — прямые.
95
6) Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны: АВ = АС (рис. 18).
7) Если касательная АВ и секущая АЕ проведены из одной и той же точки, то АВ2 ^AD'AE (рис. 18).
8) Если две секущие проведены из одной точки, то AD ’ АЕ = AF • АК (рис. 18).
9) Если две хорды окружности пересекаются, то АЕ • ЕВ = СЕ • ED (рис. 19).
Длина дуги и окружности
Длина окружности: L = 2tiR , где R — радиус окружности.
-ГТ 7 nR
Длина дуги: / = ’ а> где а — величина центрального угла,
loU
опирающегося на эту дугу (рис. 20).
Площадь круга, кругового сектора, кругового сегмента
Площадь круга S=nR29 где R — радиус круга.
тт с nR
Площадь кругового сектора: 5=-----а, где а—величина соответствующего центрального
360
угла (рис. 21).
Площадь кругового сегмента: S=i(a-sina)7?2 (рис. 22).
№ п/п Задания Варианты ответов
Углы при параллельных прямых и секущей, треугольник
1. Известно, что прямые а и Ь, изображенные / на рисунке, параллельны и Zl - Z2 = 30°. ~ Укажите значение выражения Z3 + Z2 (в градусах). / 1/3 Ь_ 1)75; 2)180; 3)120; 4)170; 5) 150.
2. Используя данные, приведенные на чертеже, d выберите верные утверждения: а) прямые а и b параллельны; б) прямые а и с параллельны; в) прямые Ъ и с параллельны; г) прямые а и d перпендикулярны; д) прямые с и d перпендикулярны. 91 ° д89° д ь_ z89° с_ 1) а; 2) б; 3) в; 4) а, г; 5) в, д.
3. Треугольник АВС нельзя построить, если длины его сторон равны: а) 3; 15; 12; б) 7; 9; 15; в) 5; 11; д/зо ; г) 7; 15; д/70 ; д) &; 1; 4. 1) а; 2)6; 3)6, в; 4) а, в; 5) а, в, д.
4. Величины углов треугольника составляют арифметическую прогрессию. Найдите в градусах меньший из углов, если больший угол равен 105°. 1)10; 2)20; 3)25; 4)15; 5)16.
5. Найдите в градусах угол между биссектрисами внутреннего угла А и внеш- него угла Л треугольника АВС. 1)90; 2)70; 3)60; 4)45; 5)30.
96
№ п/п Задания Варианты ответов
6. Треугольники с длинами сторон: а) 5,7,11; 6)4,5,6; в) 5,12,13 расположить в следующем порядке: остроугольный; прямоугольный; тупоугольный. 1) а, в, б; -2) а, б, в; 3) б, в, а; 4) в, б, а; 5) в, а, б.
7. Дан треугольник с длинами сторон 5, 3 и V19 . Определите в радианах сред- ний по величине угол треугольника. 1)|; 2)}; 3)|; 4) 5)g.
8. Найдите в градусах* наибольший угол треугольника со сторонами V17 , 7^2 и9. 1) 60; 2) 90; 3) 120; 4) 150; 5) 160.
9. з В прямоугольном треугольнике ABC АС = 90°, ВС = 6, cos ZA = -. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника. 1)3,5; 2)10; 3)3,6; 4)7,5; 5) 3,75.
10. В прямоугольном треугольнике ABC ZC = 90°, АС = 6, SMBC = 27. Найдите длину гипотенузы. 1)9; 2)ЗаЛЗ; 3)7; 4)8; 5) 12.
11. В прямоугольном треугольнике ABC ZC = 90°, АС = 2, ВС = 4 у/2 . Найдите длину высоты треугольника, проведенной к гипотенузе. 1) 2)8^2; 3)2>/з ; 4)4>/3; 5)2.
12. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна 8 л/з и делит гипотенузу на отрезки, разность длин которых равна 16. Най- дите площадь треугольника. 1)232; 2)236; 3) 128 л/з ; 4)124л/3; 5)188>/з.
13. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6, а проекция другого катета на гипотенузу равна 9. Найдите площадь треугольника. 1)32; 2)36; 3)12>/3; 4)21-ТЗ; 5) 18а/з.
14. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) проведена высота СН. 7 Найдите площадь треугольника, если cos ZA = а площадь треугольника ЛСЯ равна 9,8. 1)62,5; 2)135; 3)128; 4)125; 5)124.
15. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 150°. Найдите наиболь- ший внешний угол треугольника (в градусах). 1)125; 2)130; 3)160; 4)165; 5) 170.
16. В равнобедренном треугольнике основание равно 6, а угол при основании — 45°. Найдите длину биссектрисы, проведенной к основанию. 1)2,5; 2)3; 3)6; 4)3 л/2 ; 5)3д/з .
17. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 4, а биссектриса угла при основании перпендикулярна боковой стороне. Найдите периметр треу- гольника. 1)15; 2)13; 3)12; 4)16; 5)10.
18. Один из углов равнобедренного треугольника равен 130°. Найдите угол (в градусах), который образует высота, проведенная к боковой стороне с другой боковой стороной. 1)20; 2)30; 3)60; 4)5; 5) 40.
19. Угол при основании равнобедренного треугольника АВС равен 30°, АВ = = ВС = 5 >/з . Найдите длину высоты СН треугольника. 1)2,5; 2)10; 3)7,5; 4)5>/3; 5)^1. 7 2
20. Угол при основании равнобедренного треугольника ЛВС (АВ = ВС) равен 15°, а боковая сторона — 8. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ. 1)5; 2)8; 3)4; 4)4>/3; 5)2л/з .
21. В правильном треугольнике АВС точка О — точка пересечения высот, АО = = 6 >/з . Найдите площадь треугольника. 1)80; 2)36; 3)60; 4)36>/3; 5) 81 >/з.
22. В правильный треугольник вписан круг площадью 4л. Найдите длину окружности, описанной около треугольника. 1)4; 2)4л; 3)8; 4) 8 л; 5) 16 л.
23. В правильном треугольнике АВС со стороной 8 проведена биссектриса AL. Найдите расстояние от точки L до стороны АС. 1)5; 2)8; 3)4; 4)4л/3; 5)2>/з .
24. Через центр окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 12, проведена прямая, параллельная одной из сторон треугольника. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между двумя другими сторонами треугольника. 1)5; 2)8; 3)4; 4)4>/3; 5) 6.
97
№ п/п Задания Варианты ответов
25. На стороне АВ треугольника АВС взята точка Р так, что АР :РВ = 3:4. Через точку Р проведена прямая РК (Ке ВС), параллельная стороне АС. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что площадь треугольника ВРК равна 32. 1)64; 2)98; 3)56; 4)42 73; 5) 68.
26. На стороне АВ треугольника АВС взята точка Р так, что АР : РВ = 3 :5. Через точку Р проведена прямая РК (КеВС), параллельная стороне АС. Найдите площадь полученной трапеции, если известно, что площадь треугольника ВРК равна 50. „ 1)78; 2)128; 3)56; 4)110; 5) 124.
27. /21 В остроугольном треугольнике АВС АВ = 5, ВС = 4, sinZB = ——. Найдите АС. 5 1)5; 2)8; 3)4; 4) 4 Тз ; 5) 6.
28. Найдите высоту, проведенную к большей стороне АС тупоугольного тре- угольника Л ВС, если известно, что ЛВ = 3, ВС = 4, sinZB = 1) 739 2) 8; 3) ; 4) 1^; 5) 741 7 41 7
29. Найдите сторону ВС треугольника ЛВС, если известно, что ЛВ = 4, cosZC = = гл = зо°. 1)2,5; 2)5; 3)6; 4)4; 5) -4=. 273
30. Найдите сторону ЛС треугольника ЛВС, если известно, что ЛВ = 2, ВС = 4, ZC -ХА = 36° и угол С в 4 раза больше угла Л. 1)2>/3; 2)8; 3)6; 4) 730; 5)277.
31. В равнобедренном треугольнике ЛВС ЛВ = ВС = 6, ЛС = 4, АР — биссектри- са угла Л. Найдите расстояние от точки Р до стороны АС треугольника. 1)2,4; 2) 1,6 72; 3) 1,3 7з ; 4)2; 5)4.
32. В треугольнике ЛВС ЛВ = 10, ЛС = 6, ZC = 90°. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АРВ, где АР — биссектриса угла А. 1)3 7з ; 2)6; 3)4; 4)2,5 75; 5)1,6.
33. Найдите радиус круга, имеющего равную с треугольником АВС площадь, если АВ = 6, АС = 5, cosZ4 = -31. 25 3>6"; 4)2' 5)4.
34. Площадь треугольника ЛВС равна 30. На стороне ЛС взята точка Р так, что АР : PC = 3 : 7. Найдите длину стороны квадрата, равновеликого треуголь- нику Л ВР. 1)25; 2)5; 3)9; 4)3; 5)2.
35. Площадь треугольника ЛВС равна 18. На стороне ЛВ взята точка Р так, что АР : РВ = 7 : 2, а на стороне ВС — точка М так, что ВМ: МС = 2:1. Найдите площадь треугольника ВРМ. 1)6,4; 2)6; 3)9; 4)з|; 5)2|.
36. В треугольнике ЛВС проведены средние линии MP, PN и NM. Найдите пло- щадь треугольника MPN, если площадь треугольника ЛВС равна 36. 1)6; 2)9; 3)12; 4) 4 7з ; 5) 8.
37. Длины сторон треугольника ЛВС относятся как 5:5:6. Точки M,PnN — середины сторон треугольника. Площадь треугольника NMP равна 48. Най- дите периметр треугольника ЛВС. 1)15; 2)36; 3)32; 4)64; 5)96.
38. Найдите длину высоты АН треугольника АВС, если АВ = 5, ВС = 6, ЛС = 7. 1)4; 2)2л/б; 3)3; 4)6; 5)5.
39. Длины медиан, проведенных к катетам прямоугольного треугольника, рав- ны V601 и 2 л/б1. Найдите периметр треугольника. 1)56; 2)62; 3)58; 4)60; 5)65.
40. В остроугольном треугольнике ЛВС с углом ZB = 45° и радиусом описанной окружности, равным 6 л/2 , проведены высоты AM и СН. Найдите длину от- резка, соединяющего центры окружностей, описанных около треугольников ВСНъАВМ. 1)4; 2)2>/3; 3)6; 4)3; 5)3 77.
41. В остроугольном треугольнике ЛВС проведены высоты AM и СН, причем AM: СН^З : 4. Найдите меньшую сторону треугольника, если ЛС = 8, • /о 755 sin ZB = . 8 1)4; 2)2>/б; 3)6; 4)8; 5) 5.
42. В равнобедренном треугольнике ЛВС с углом 120° радиус описанной окружности равен 6 у/2 . Найдите расстояние между центрами вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей. 1)б7б; 2)6(76+77); З)4(7б-73); 4)6(76 -77); 5)4(Т6+ТЗ).
98
№ п/п Задания Варианты ответов
43. Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке Р. Найдите длину от- резка СР, если АВ = АС = 5, ВС = 8. 1)1,5; 2)2; 3)1; 4) 2 72; 5)4^0 ••
Параллелограмм, ромб
44. В параллелограмме ABCD с площадью 6 АВ = 2, Z4 = 30°. Найдите периметр параллелограмма. 1)16; 2)21; 3)18; 4)20; 5)22.
45. В параллелограмме ABCD АВ = 3, ВМ— биссектриса угла В, где точка М— середина стороны AD. Найдите периметр параллелограмма. 1) 10; 2) 8; 3) 9; 4) 18; 5) 20.
46. В параллелограмме ABCD сторона АВ = 6, ABAD = ACBD = 45°. Найдите диагональ АС. 1)5; 2)8; 3)9; 4)бТ5; 5)6.
47. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О и образуют со стороной CD углы 62° и 58°, АО = 4, DO = 6. Найдите длину высоты, про- веденной к большей стороне параллелограмма. 1)1^1; 2)^^; 3)68; 19 3 4)12>/3; 5)72.
48. Стороны параллелограмма равны 2 и 4, а диагонали относятся как 7з : 7?. Найдите площадь параллелограмма. 1)2>/3; 2) 4 Тз ; 3)8; 4)6; 5)бТ2.
49. В параллелограмме ABCD стороны АВ = 3, ВС = 4, диагональ АС = Тз4 . Найдите большую высоту параллелограмма. 1)2,4; 2)3,6; 3)^; 4)^; 5)4.
50. Точка М— середина стороны AD параллелограмма Л BCD. Высота ВН равна 2л/з , АА = 60°, НМ= 1. Найдите площадь параллелограмма. 1)16; 2) 12>/3; 3)32; 4) 18>?3; 5) 20.
51. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, точка М— се- редина отрезка Л О. Найдите площадь параллелограмма Л BCD, если площадь треугольника АВМравна 2. 1)10; 2)8; 3)12; 4)16; 5) 20.
52. ABCD — параллелограмм с меньшей стороной JD = 8 и углом ABAD = = arccos 0,8. Известно, что вершины Л, В и D параллелограмма принадлежат окружности радиуса 5. Найдите площадь параллелограмма. 1)30; 2)48; 3)24; 4)46; 5)50.
53. Биссектрисы внутренних углов Л и В параллелограмма ABCD пересекают- ся в точке М. Найдите площадь параллелограмма, если ВМ = 3, AM = 4, AD = 6. 1)28,8; 2)30,6; 3)32,4; 4)26,8; 5) 28,6.
54. На диагонали BD параллелограмма ABCD взята точка О. Прямая АО пересе- кает отрезок ВС в точке М, а прямую CD—в точке Р. Найдите длину отрезка АО, если ОМ =6, РМ=2. 1)4,2; 2)6; 3)5; 4) 4 Тз ; 5) 5,6.
55. Биссектрисы углов В и С параллелограмма Л BCD пересекаются в точке М на стороне AD. Найдите площадь параллелограмма, если ВМ= 8, ВС = 4 75 . 1)48; 2)54; 3)42; 4)35; 5)32.
56. Точка М — середина стороны Л D параллелограмма ABCD со сторонами АВ = 7, ^D = 8 и диагональю BD = 757 . Найдите расстояние от точки М до диагонали BD. 1) 3,5; 2) 4; 3) 4,5; 4) 1,5719 ; 5)^'
57. Высота ромба равна 4л/з , а один из углов — 120°. Найдите периметр ромба. 1)32; 2)48; 3)28; 4)36; 5)44.
58. Диагонали ромба с площадью относятся как 1 : 7з . Найдите высоту ромба. 1)2ТЗ; 2)6; 3)2; 4)3; 5)1,5.
59. Сторона ромба равна 30. Соединив последовательно середины его сторон, получили прямоугольник с периметром 84. Найдите площадь прямоуголь- ника. 1)384; 2)432; 3)620; 4)614; 5) 584.
60. В ромб ABCD с площадью 16 77 и стороной 8 вписана окружность, которая касается стороны ВС в точке М. Найдите \ВМ -МС|. 1)6; 2)2,5; 3)2; 4)3; 5)4.
61. Сторона ромба равна 8 72 , а острый угол — 45°. Найдите площадь круга, вписанного в ромб. 1) Юл; 2)8л; 3)12л; 4) 16л; 5) 20л.
62. Окружность радиуса 2 вписана в ромб ABCD и касается стороны ВС в точке М, причем ВМ= 4. Найдите площадь ромба. 1)10; 2)5; 3)12; 4)16; 5)20.
49
№ п/п Задания Варианты ответов
Трапеция
63. В равнобедренной трапеции ABCD (ВС ||Л D ): АВ = 12, ZB = 120°, AD = 16. Найдите площадь трапеции. 1)16Л’; 2)60л/3; 3)16; 4)32; 5)35.
64. В равнобедренной трапеции ABCD (ВС ||ЛD, ВС <AD) диагональ АС яв- ляется биссектрисой угла С, ВС = 4, AD = 16. Найдите площадь трапеции. 1) 1б730; 2)32л/33; 3)220; 4)20755 ; 5)350.
65. Большее основание и большая боковая сторона прямоугольной трапеции равны 12 и 6 соответственно, а ее острый угол — 60°. Найдите длину сред- ней линии трапеции. 1)10; 2)9,5; 3)10,5; 4)11; 5) 11,5.
66. Длина большей диагонали прямоугольной трапеции равна >/29 , средняя линия равна 4, а площадь трапеции — 8. Найдите острый угол трапеции в градусах. 1)30; 2)45; 3)15; 4)60; 5)75.
67. О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (ВС||Л D, ВС <AD). Найдите площадь трапеции, если ВС = 4, длина отрезка ВО составля- ет 40 % от длины отрезка BD, а высота ОН треугольника ВОС равна 10. 1)125; 2)150; 3)212; 4)216; 5) 208.
68. Точка О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (ВС||Л£>, ВС <AD). Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника ВОС равна 6, ВО : OD = 2:5. 1)78; 2)73,5; 3)76,5; 4)72; 5)75.
69. О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (ВС ||Л D ). Через точку О проведен отрезок MN, параллельный основаниям. Если AD = 12, ВС = 20, то длина отрезка MN равна: 1)13; 2)14; 3)15; 4)16; 5)18.
70. Меньшее основание трапеции ABCD (ВС||Л1>, ВС <AD) равно 5, а ее бо- ковые стороны равны 8 и 6. Продолжения боковых сторон трапеции пере- секаются под прямым углом в точке Р. Найдите длину средней линии тре- угольника APD. 1)7; 2)7,5; 3)15; 4)12; 5)5,6.
Окружность, вписанные и описанные многоугольники
71. Длина окружности равна 8 л, а длина ее дуги — 2л. Найдите величину (в градусах) вписанного угла, который опирается на эту дугу. 1)30; 2)45; 3)90; 4)60; 5)120.
72. Дан круг площадью 36 л. Площадь его кругового сектора, ограниченного дугой АВ, равна 4 л . Найдите величину (в градусах) вписанного угла, кото- рый опирается на дугу АВ. 1)10; 2)35; 3)20; 4)40; 5)60.
73. Расстояние от точки А, лежащей вне окружности, до ее ближайшей точки равно 2. Из точки Л к окружности проведена касательная, расстояние от точ- ки А до точки касания — 6. Найдите диаметр окружности. 1)4; 2)8; 3)10; 4)16; 5)20.
74. Из точки Л, лежащей вне окружности радиуса 10 и удаленной от ее центра на расстоянии 10 л/2 , проведены две касательные к данной окружности. Най- дите расстояние между точками касания. 1)10>/2; 2)10>/3; 3)10; 4)12; 5)15.
75. Остроугольный треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О. Найдите угол В треугольника (в градусах), если известно, что АОСА = 23°. 1)30; 2)45; 3)80; 4)60; 5)67.
76. Точки Л, В, С и D принадлежат окружности с центром в точке О и радиусом 6 так, что точки С и D лежат по разные стороны от хорды АВ. Найдите вели- чину угла CDB (в градусах), если АВ = 12, ВС = 6. 1)30; 2)45; 3)80; 4)60; 5)90.
77. В окружность радиусом 4 вписан треугольник АВС, причем АВ = 8, ВС=АС. Точка D принадлежит окружности и расположена с точкой С по одну сторо- ну от хорды Л В. Найдите величину угла BDC (в градусах). 1)120; 2)45; 3)60; 4)90; 5) 135.
78. Хорда .АВ и диаметр CD окружности с центром в точке О пересекаются в точке К, причем ОК = 2, АК = 3, АВ = 7. Найдите диаметр окружности. 1)3; 2)5; 3)4; 4)6; 5)8.
79. Вершины Л, В и С четырехугольника Л BCD принадлежат окружности, а вер- шина В находится вне ее, причем сторона ВС касается окружности в точке С. Окружность делит сторону АВ на отрезки длиной 2 и 6, считая от вершины В. Найдите длину стороны ВС. 1)3; 2)5; 3)4; 4)6; 5)8.
100
№ п/п Задания Варианты ответов
80. Равнобедренная трапеция с боковой стороной 5 описана вокруг окружно- сти радиуса 1,5. Найдите площадь трапеции. 1)30; 2)45; 3)20; 4)40; 5)15. ?
81. Около трапеции с основаниями 10 и 22 описана окружность. Найдите пло- щадь трапеции, если сумма ее боковых сторон равна 20. 1)128; 2)64; 3)256; 4)90; 5) 136.
82. Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию, делит точкой каса- ния ее боковую сторону длиной 15 в отношении 2:1. Найдите площадь трапеции. 1)130^; 2)45; 3)150л/2; 4)40; 5)72>/з.
83. Четырехугольник ABCD со сторонами AD = 4, DC = 3, диагональю BD = 5 и равными углами ZA = Z.C вписан в окружность. Найдите площадь четы- рехугольника. * 1) 6; 2) 8; 3) 12; 4) 20; 5) 15.
84. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 4. Точка касания делит гипотенузу на отрезки длиной 12 и 8. Найдите пло- щадь треугольника. 1)128; 2)64; 3)156; 4)96; 5) 136.
85. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой, равной 13, радиус вписан- ной окружности равен 2. Найдите синус меньшего острого угла треуголь- ника. 1)||; 2)^; 3)1; 4)0,4; 5)0,6.
86. Отношение длин катетов прямоугольного треугольника равно 0,75. Длина большего из отрезков, на которые точка касания вписанной в треугольник окружности делит гипотенузу, равна 3. Найдите радиус вписанной окруж- ности. 1)0,5; 2)1; 3)2; 4)3; 5)4.
Центрально-симметричные и осесимметричные фигуры
87. Из фигур а—д, изображенных симметричные. А X на рисунке, выберите все центрально- । ✓ i 1) а, б, в, г, д; 2) б, в, г, д; 3) в, г, д; 4) б, г, д; 5) б, в, д.
А X Z z/\ S X
г | S z г) . Д) \ / А- - ✓ \ 1 / 1 \ / _j \ у! у / X. 1 У 1
88. Сколько осей симметрии имеет правильный шестиугольник? 1)3; 2)4; 3)5; 4)6; 5)8.
89. Сколько осей симметрии имеет квадрат? 1)3; 2)4; 3)5; 4)6; 5)8.
26. Стереометрия
26Л. Параллельность прямых и плоскостей. Скрещивающиеся прямые
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Признак параллельности прямых. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая, не принадлежащая данной плоскости, параллель-
на какой-нибудь прямой этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно па-
раллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
101
Свойства параллельных прямых и плоскостей
1. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия
пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
2. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны.
3. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
Две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой они обе лежат.
Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а вторая прямая пересекает
эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная второй прямой,
и притом только одна.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно
параллельными данцым прямым.
26-2- Перпендикулярность прямых и плоскостей
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой
прямой, лежащей в этой плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся пря-
мым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая а, проведенная в плоскости а и перпендикулярная проекции
НМ наклонной AM на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной
(рис. 1)..
Верно и обратное: прямая, проведенная в плоскости и перпендикуляр-
ная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость.
Углом между плоскостью и прямой, пересекающей данную плоскость
и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проек-
цией на данную плоскость.
Двуграннымуглом называется фигура, образованная двумя полуплоско-
стями с общей границей. Для измерения двугранного угла, образованного
полуплоскостями ф и р, пересекающимися по прямой I, необходимо
провести через любую точку М прямой I прямые МК и МН, перпендику-
лярные прямой / в полуплоскостях аир соответственно.
Градусная мера полученного при этом угла КМН (линейного угла дан-
ного двугранного угла) называется градусной мерой данного двугранного
угла (рис. 2).
Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними
равен 90°.
Признак перпендикулярности плоскостей. Если одна из двух пло-
скостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то
эти плоскости перпендикулярны.
Свойства перпендикулярных прямых и плоскостей
1. Если две прямые перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.
2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна
этой плоскости.
3. Прямая, проведенная в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно прямой, по которой они
пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.
Измерение расстояний между объектами в пространстве
♦ Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной
плоскости.
♦ Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из пло-
скостей до другой плоскости.
♦ Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки пря-
мой до плоскости.
♦ Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из прямых до плоскости,
проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой.
102
26.3. Многогранники
Призма
V = S • h — объем любой призмы:
ОСН А ’
5сеч • I — объем наклонной призмы, где 5сеч — площадь сечения призмы пло-
скостью, перпендикулярной боковым ребрам и пересекающей каждое из них;
£бок= Лен * h — площадь боковой поверхности прямой призмы (у прямой призмы
высота равна боковому ребру);
S = S, + 2S — площадь полной поверхности любой призмы.
ПОЛИ бок ОСН г Г
Диагональное сечение призмы — это сечение призмы плоскостью, проходящей
через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.
У прямой призмы диагональное сечение — прямоугольник, у наклонной — па-
раллелограмм. На рис. 3 изображено одно из диагональных сечений прямой при-
змы — прямоугольник А5В5В3А3.
Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.
« Все грани параллелепипеда — параллелограммы.
« Противолежащие грани равны и лежат в параллельных плоскостях.
♦ Все диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
« Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех ребер:
d^ + d^ + df + d* =4а2+462+4с2
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого — пря-
моугольники, а основания — параллелограммы.
Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, основаниями кото-
рого являются прямоугольники.
V ^abc, где а, Ь, с — измерения прямоугольного параллелепипеда;
сР = а2 + Ь2 + с2, где d — диагональ параллелепипеда.
S = 2(аЬ + Ьс + ас)
Куб — это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны.
Диагональ куба: сР = За2, где а — длина ребра куба.
Площадь поверхности: 5поян = 6а2.
Объем куба: V=a3.
Пирамида (рис. 6)
V = jS0CH • h — объем любой пирамиды;
V = |5П0ЛН • г , где г — радиус сферы, вписанной в пирамиду, 5полн — площадь
полной поверхности пирамиды;
Лолн ~ Лок+ Лен — площадь полной поверхности любой пирамиды;
Лок = ^Лсн — площадь боковой поверхности правильной пирамиды, где I —
апофема (высота боковой грани).
Рис. 5
Если все боковые ребра пирамиды равны (или все боковые ребра образуют равные углы с основанием), то основа-
ние высоты пирамиды — это центр окружности, описанной около основания.
Если все боковые грани пирамиды образуют с основанием равные двугранные углы (или апофемы всех боковых
граней пирамиды равны), то основание высоты пирамиды — это центр окружности, вписанной в основание.
Усеченная пирамида (рис. 7)
к = |л(51+52+Л/ад), где h — высота, 5, и S2 — площади оснований усечен-
ной пирамиды;
5'бок =^(Л + P2W> где Л и Л — периметры оснований, I— апофема усечен-
ной пирамиды.
103
26.4. Тела вращения
Цилиндр (рис. 8)
— ось цилиндра, ОХО2 = h — его высота;
R = ОХВ — радиус цилиндра;
прямоугольник ABCD — осевое сечение.
Если осевое сечение — квадрат, то цилиндр называют равносторонним.
V = S0CH • h = tiR2 • h — объем цилиндра;
S6oK = 2лЛ • h — площадь боковой поверхности цилиндра;
5полн = ^бок +2лТ?2 = 2л7?(Я + h) — площадь полной поверхности цилиндра.
Конус (рис. 9)
SO — ось конуса, SO = h — высота конуса; АО — его радиус;
AS = 1 — образующая; равнобедренный треугольник ASB — осевое сечение.
Если осевое сечение конуса — равносторонний треугольник, то конус называет-
ся равносторонним.
у = |socH • h = |nR2 • h — объем конуса;
S6oK = nR • I — площадь боковой поверхности конуса;
5полн ~ *$бок + = + /) — площадь полной поверхности конуса.
Усеченный конус (рис. 10)
V =^7ih(R2+Rr + r2)9 где R и г — радиусы оснований;
S6oK = +r)l, где I — образующая усеченного конуса.
Шар, сфера (рис. 11)
4 з
V = у tiR — объем шара, где ОА = R — радиус шара;
S = 4л7?2 — площадь сферы, где R — радиус сферы.
Сечение шара плоскостью — круг, центр которого есть основание перпен-
дикуляра ОХО2, проведенного из центра шара — точки О к секущей плоскости,
О}А -г — радиус данного круга.
Сечение сферы плоскостью — окружность.
Рис. 8
Рис. 11
№ п/п Задания Варианты ответов
1. ABCDAXBXCXDX — куб. Площадь треугольника АВ}С равна 8>/з . Найдите площадь поверхности куба. 1)48; 2)96; 3)52; 4)84; 5)98.
2. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, если ее боковое ребро равно 5, а радиус окружности, описанной около осно- вания призмы, равен >/з . 1)15>/3; 2)90; 3)50; 4)45; 5) 60.
3. Радиус окружности, вписанной в одну из граней правильного тетраэдра, равен \[з . Найдите площадь поверхности тетраэдра. 1)18 >/3; 2)104; 3)72; 4)72>/3; 5)36-7з.
4. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды в 3 раза больше ребра основания, а сумма длин всех ребер пирамиды равна 36. Найдите длину апофемы пирамиды. 1) л/35 ; 2)8; 3) 1,5^35 ; 4)3л/35; 5)9.
5. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с радиу- сом описанной окружности, равным 5, и радиусом вписанной в него окруж- ности, равным 2. Боковое ребро призмы равно 9. Найдите боковую поверх- ность призмы. 1)148; 2)196; 3)216; 4)184; 5) 198.
104
№ п/п Задания Варианты ответов
6. АВСАХВХСХ — правильная треугольная призма. О — точка пересечения меди- ан грани АХВХСХ. Прямая 1 проходит через середину ребра ААХ и параллельна прямой ОА. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри при- змы, если АВ = 6, ВВХ = 4. 1)2л/3'; 2)3,5; 3)2^7; 4)л/74 5)1,5-77.
7. SABC — правильная пирамида. Через точку М, принадлежащую ребру SA так, что SM: МА = 1:2, проведена прямая /, параллельная апофеме SK гра- ни SBC. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если известно, что длина отрезка прямой /, расположенного внутри пирамиды, равна а боковое ребро пирамиды равно 3. 3 1)6л/2; 2)15; 3)12л/2; 4)5^3; 5)1,5-Тз.
8. Через вершину угла С треугольника АВС (АВ = ВС = 5, АС = 8) проведена плоскость а; параллельная стороне АВ. Биссектриса угла А треугольника пересекает плоскость а в точке О. Найдите длину отрезка СО. 1)4^; 2)8; 3)5; 4)6; 5) 9.
9. Через вершину прямого угла С треугольника АВС проведена плоскость а , параллельная гипотенузе АВ. Биссектриса угла А треугольника пересекает плоскость а в точке О. Найдите длину отрезка АО, если АВ =10, ВС = 8. 1)5ч/5; 2)5; 3)4л/б ; 4)4,8л/5; 5)6^5.
10. Отрезок АВ не пересекает плоскость а. Точка С лежит на отрезке АВ так, что ВС : СА = 1 : 5. Через точки А, В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках Лр Вх и Сх соответственно. Найдите длину отрезка ССр если ВВХ = 14, ААХ = 2. 1)11; 2)10; 3)12; 4)13; 5) 9.
11. В тетраэдре DABC СО — медиана грани DAC, DF — биссектриса треуголь- ника DBC. Укажите взаимное расположение прямых ОС и DF. 1) пересекаются; 2) скрещиваются; 3) параллельны.
12. В тетраэдре DABC точка F— середина ВС, точка О — середина AD. Прямая т проходит через точку О и середину отрезка AF, прямая 1 — через середи- ны отрезков CD и FC. Укажите взаимное расположение прямых т и 1. 1) пересекаются; 2) скрещиваются; 3) параллельны.
13. В тетраэдре DABC точка О — середина ребра AD, точкиFuM — середины ребер ВС и CD соответственно. Укажите взаимное расположение прямых ОВ к FM. 1) пересекаются; 2) скрещиваются; 3) параллельны.
14. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед. Точка М— середина ребра ВХСХ. Укажите взаимное расположение прямых АМ и DCX. 1) пересекаются; 2) скрещиваются; 3) параллельны.
15. В правильном тетраэдре DABC точки О и Е — середины ребер AD и DC, а точки Т и К — середины ребер АС и АВ соответственно. Найдите угол (в градусах) между прямыми ОЕ и ТК. 1)30; 2)90; 3)75; 4)45; 5) 60.
16. В кубе ABCDAXBXCXDX точки Л/и Т — середины ребер AD и CD соответствен- но. Найдите угол (в градусах) между прямыми МТ и ВХАХ. 1)30; 2)90; 3)75; 4)45; 5) 60.
17. В кубе ABCDAXBXCXDX найдите угол (в градусах) между прямыми ВХА и CVAV 1)30; 2)90; 3)75; 4)45; 5) 60.
18. ABCDAXBXCXDX — куб. Точки F и К — середины ребер CJ\ и ВА соответ- ственно. Найдите косинус угла между прямыми FD и КА 1)0,5; 2)0,9; 3)0,6; 4)0,8; 5) 0,3.
19. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны, точка М — середина ребра SB. Найдите косинус угла между прямыми AM и BD. 1)0,6; 2)0,8; 3)0,7; 4)71; 5)-.
20. SABCD — правильная пирамида. Точка Р принадлежит ребру SD так, что SP : PD =1:2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходя- щей через точку Р и параллельной прямым AS и CD, если SD = 6, AD = 3. 1)2-715; 2)15; 3)2714; 4)5>/3; 5)4^5.
21. ABCDAXBXCXDX — куб. Через точку М, лежащую на ребре АВ (AM : МВ = = 3:1), проведено сечение, параллельное плоскости А Вх С. Найдите площадь сечения, если радиус окружности, описанной около грани куба, равен 4 л/2 . 1) 715; 2)9; 3)2>/3 ; 4)3л/з ; 5)4л/з.
22. АВСАХВХСХ — правильная треугольная призма со стороной основания АВ = 12 и боковым ребром ААХ = 16. Точка О — центр треугольника АВС. Найдите периметр сечения призмы плоскостью, проходящей через прямую / (О el, /ЦвС) и параллельной прямой АВХ. 1)36; 2)38; 3)33; 4) 331; 2 5)33|.
105
№ п/п Задания Варианты ответов
23. В пирамиде DABC через точку Р, делящую высоту пирамиды DO в отноше- нии DP: РО = 2:7, проведено сечение плоскостью, параллельной основанию. Найдите площадь основания, если площадь полученного сечения равна 4. 1)30; 2)18; 3)81; 4)36; 5) 14. ?
24. ABCDApyCJ\ — прямоугольный параллелепипед. Найдите площадь осно- вания параллелепипеда, если ААХ = 4, АВ = 2, BDX = 6. 1)8; 2)9; 3)15; 4)16; 5)6.
25. АВСАХВХСХ — прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник АВС (ААСВ = 90°, АС = 6, ВС = 4). Высота призмы равна 10. Найдите V13 So, где Во — площадь сечения призмы плоскостью, проходя- щей через середину ребра АВ и перпендикулярной этому ребру. 1)120; 2)138; 3)195; 1 2 4)82|; 5)86j.
26. SABC — пирамида, ребро SA которой перпендикулярно плоскости грани АВС, АСА В = 90°, АВ = 4 >/з , АС = 4 л/2 . Найдите угол (в градусах) наклона ребра SC к плоскости АВС, если площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую SA и перпендикулярной ребру ВС, равна 3,2 J15 . 1)30; 2)90; 3)75; 4)45; 5) 60.
27. Из вершины В треугольника ЛВС восстановлен перпендикуляр ВР к плоско- сти треугольника. Найдите длину отрезка ВР, если ВС = 6 л/2 , АВ = 3 д/26 , ар-рс=зЛ. 1)6л/2 ; 2)15; 3) 6 >/б ; 4)5>/3; 5) 1,5-Уз .
28. Основанием пирамиды SABCD является квадрат, а боковое ребро SA пер- пендикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания BD и перпендикуляр- ной ребру SC, если двугранный угол при ребре CD равен 60°, BD = 6 . 1)3,2>/15; 2)16; 3)4>/15 ; 4)5>?2; 5)3,6>/15.
29. ABCDA}B{CyDx — куб. Известно, что А}С = 12 Тб . Найдите длину проекции диагонали Bfi на плоскость грани AXBXCXDX. 1)30; 2)24; 3)25; 4)28; 5) 12.
30. АВСАХВХСХ — правильная призма, АВ = 4, ВВХ = 3. Найдите синус угла между прямой ВХС и плоскостью ААХСХ. 1) 0,6; 2) 0,8; 3) 0,7; 4) ;
31. АВСА1В1С1 — прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник АВС (ААСВ = 90°, ВС = 8). Высота призмы равна 6. Найдите расстояние между прямыми А1С1 и ВХС. 1) 3,2; 2) 4,8; 3) 2,5; 4) 3,8; 5) 5,6.
32. ABCAiBlCi — правильная призма. Найдите расстояние от прямой АХСХ до плоскости А ВХС, если ВВХ = 12, ВС = 4. 1) >/13 ; 2) 3,8; 3) 4,2; 4)^: S)^.
33. Точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС. Из точ- ки О восстановлен перпендикуляр ОН = 4 л/2 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки Н до прямой АС, если известно, что АВ = = ВС=8, ЛВЛС= 30°. 1)4>/3; 2)8; 3) 4 >/2 ; 4)3-72; 5)5>/з.
34. В пирамиде DABC ребро AD перпендикулярно плоскости ЛВС Найдите рас- стояние от вершины D до прямой ВС, если известно, что АВ = 9, ВС = 10, ЛС= 11, Л£> = 3. 1)13; 2)9; 3)12; 4)15; 5) 6.
35. Ребро AD тетраэдра DABC перпендикулярно плоскости АВС. Известно, что АВ = 12, ААВС = 30°, ААСВ = 90°. Угол между плоскостями DBC и АВС равен 45°. Найдите расстояние от точки Л до плоскости грани DBC. 1)3>/2; 2)8; 3)4^2; 4)4>/3; 5)5>/з.
36. 5у/3 ABCDAXBXCXDX — прямоугольный параллелепипед. Найдите где Вбок — площадь боковой поверхности параллелепипеда, если известно, что АВ = 6, ВС = 8, а плоскость АВХС образует с основанием параллелепипеда угол 60°. 1)648; 2)564; 3)672; 4)684; 5)698.
37. В основании пирамиды SABCD лежит ромб со стороной 16 и углом ААВС = = 135°. Грани ASB и SBC перпендикулярны основанию, а две другие боковые грани образуют с основанием углы, равные arccos ^2^.. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3 1)248; 2)256; 3)272; 4)284; 5)238.
106
№ п/п Задания Варианты ответов
38. Сторона AD параллелограмма ABCD лежит в плоскости а, а плоскость параллелограмма образует с плоскостью а угол 60°. Найдите синус угла наклона прямой АВ к плоскости а, если ЛВ=16, ВС =9, ABCD = 135°. 1)#; 2) q-; 3)0,2; 4)0,6; 4 5)^’
39. Найдите площадь поверхности тела, получен- ного из прямоугольного параллелепипеда 1)52; 2)53; 3)54; 4)55; 5) 56.
А А
с измерениями 2, 3 и 4 выпиливанием кубика с ребром 1 так, как показано на рисунке. !Г 9
А
40. Найдите объем тела, описанного в задаче № 39. 1)24; 2)23; 3)25; 4)22; 5) 26.
41. Диагональное сечение наклонного параллелепипеда, проходящее через большую диагональ основания, перпендикулярно основанию. Найдите пло- щадь этого сечения, если основание параллелепипеда — параллелограмм со сторонами 2 и 5 и площадью 5 >/з , а боковое ребро равно 8 и наклонено к основанию под углом 60°. 1)13>/2; 2)28; 3)20>/2; 4) 12 >/13; 5) 15л/13 .
42. На рисунке изображена прямая шестиугольная призма, полученная из прямоугольного параллелепипеда выпиливанием меньшего прямоугольного параллелепипеда с указанием Ai Bi 8 Ci 1)32; 2)35; 3)34; 4)36; 5) 36,5.
6/! ,/ Fy Ei Di Jc
ее размеров. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, 4 проходящей через ребро ВВ1 и точку пересече- ния диагоналей АГС и АСХ призмы. ' в)
s'' 1 V Ц? 1 Э
1 F
43. В наклонной треугольной призме площади двух боковых граней равны 8 и 12, а угол между ними — 60°. Боковое ребро призмы равно 4. Найдите боковую поверхность призмы. 1)25>/3; 2)42; 3)4(5+ >/7); 4)128>/3; 5)40.
44. Основание наклонной призмы — равнобедренный треугольник с основа- нием 6 и углом при вершине 120°. Одна из вершин верхнего основания при- змы равноудалена от каждой вершины нижнего основания. Боковое ребро составляет угол 60° с основанием. Найдите объем призмы. 1)56; 2)48; 3) 12>/3; 4) 18>/3; 5) 36.
45. Площадь основания правильной треугольной пирамиды равна 4 >/з , а пло- ский угол при вершине пирамиды равен 60°. Найдите площадь боковой по- верхности пирамиды. 1) 12 V3 ; 2)24; 3) 15 41; 4) 12-Тб; 5)26.
46. Боковая грань правильной треугольной пирамиды наклонена к основанию под углом 60°, а высота пирамиды равна 3. Найдите площадь боковой по- верхности пирамиды. 1)18>/3; 2)18; 3)36ч?3; 4) 48 4з ; 5)36.
47. Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды равен 120°, а сторона основания равна 3 ^2 . Найдите боковую поверхность пирамиды. 1)4,2>/3; 2)8,8; 3)12,4; 4)4,5-А; 5) 6,7541.
48. Боковая грань правильной треугольной пирамиды наклонена к основанию под углом, равным arccos , а апофема равна 6. Найдите ее объем. 1)8>/3; 2)18; 3)9>/Й; 4) 27 >/11; 5)16.
49. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 10 и образу- ет с плоскостью диагонального сечения, пересекающей данное ребро, угол 30°. Найдите объем пирамиды. 1) 62,5 Тз ; 2) 124; 3) 160; д\ 123-Тб . 250ч/3 7 4 ’ 3
50. Все ребра правильной четырехуголной пирамиды равны, а диагональ осно- вания равна 8 ^2 . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 1) 64 >/з ; 2)96; 3) 192 4з ; 4)57^3; 5)128.
51. В правильной пирамиде SABC сторона основания равна 12, а радиус окруж- ности, описанной около боковой грани пирамиды, равен 6. Найдите объем пирамиды DABC, где точка D принадлежит ребру SB и делит его в отноше- нии 2 : 3, считая от вершины S’. 1)42,3 >5; 2) 43,2 42-, 3)124; 4)45,2>/3; 5)98.
107
№ п/п Задания Варианты ответов
52. В треугольной пирамиде SABC углы СВА, SBC и SBA — прямые, AS = АС = = 3 ^2 , SC = 4. Найдите длину высоты пирамиды, проведенной из верши- ны В. 1) 2,5; 2) 2,4; 3) 2; 4) ; 5) 3. '
53. В треугольной пирамиде все боковые ребра равны по 8,25, а ребра основа- ния — 9, 10 и 11. Найдите объем пирамиды. 1)82,8; 2)85,6; 3)82,5; 4)86; 5) 86,5.
54. Основание пирамиды — прямоугольник, одна из сторон которого в 2 раза больше другой» а все боковые ребра наклонены к основанию под углом 60°. Высота пирамиды равна V15 . Найдите Зл/Г? И, где V— объем пирамиды. 1)12; 2)15; 3)10; 4)8; 5)6.
55. Основанием четырехугольной пирамиды является ромб с острым углом 30°, а все боковое грани пирамиды наклонены к основанию под углом 60°. Най- дите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна 12 >/з . 1)2120; 2) 1580; 3)2304; 4)2028; 5)2156.
56. Боковые грани пирамиды SABC наклонены к основанию под углом 45°, а в основании лежит прямоугольный треугольник АВС с катетом АС = 5 и острым углом arctg 2,4. Найдите объем пирамиды. 1)12; 2)20; 3)24; 4)28; 5) 56.
57. Основанием пирамиды SABCD является равнобедренная трапеция с осно- ваниями AD и ВС (AD = 30, DC = 18). Все высоты боковых граней пирамиды равны 15. Найдите объем пирамиды. 1) 1420; 2) 1250; 3) 1240; 4) 1380; 5) 1080.
58. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 60°. В осно- вании пирамиды лежит трапеция с острым углом 30° и высотой 3, одно из у оснований которой в 2 раза больше другого. Найдите -ту, где V — объем пирамиды. 1)162; 2)165; 3)224; 4)220; 5) 168.
59. В правильной треугольной усеченной пирамиде со сторонами оснований 3 и 6 и боковым ребром 2 л/з проведено сечение через боковое ребро перпен- дикулярно скрещивающейся с этим ребром стороне основания. Найдите площадь сечения. 1) 4,5 >/з ; 2)8-72; 3)12; 4)6,75^3; 5)9,8.
60. Боковая грань правильной треугольной усеченной пирамиды наклонена к основанию под углом 45°, а апофема пирамиды равна 8. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если сторона ее верхнего основания в 2 раза меньше стороны нижнего основания. 1)288л/б; 2)496; 3) 192л/10; 4)157-715; 5)528.
61. Сторона верхнего основания правильной четырехугольной усеченной пи- рамиды равна 2 д/2 , а в диагональное сечение пирамиды можно вписать окружность радиуса 3. Найдите объем пирамиды. 1)162; 2)165; 3)124; 4)120; 5) 133.
62. Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды накло- нено к ее основанию под углом 45°, расстояние между плоскостями осно- ваний пирамиды равно 4, а сумма площадей оснований равна 116. Найдите отношение длин сторон оснований пирамиды. 1) 1 : 2; 2) 1 : 5; 3) 3 : 4; 4)3:7; 5)3:5.
63. Длина окружности основания цилиндра равна 8 л, а радиус окружности, описанной около осевого сечения цилиндра, равен 5. Найдите объем ци- линдра. 1) 106л; 2) 84л; 3)96л; 4) 102 л; 5) 92 л.
64. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник с диагональю 12 и углом 60° между диагоналями. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 1)36-73 л; 2)54л; 3)36л/2 л; 4) 72л; 5) 62л.
65. Отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади его ос- нования равно 4 >/з . Найдите угол наклона диагонали осевого сечения к основанию цилиндра. 1)60°; 2)45°; 3)30°; 4)75°; 5) arctg2.
66. Треугольник АВС со стороной АВ = 12 и углом Z.CAB = 30° вписан в ос- нование цилиндра с радиусом 6 и высотой 3. Найдите угол между пло- скостью АВСХ и плоскостью основания цилиндра, где ССХ — образующая цилиндра. • 1)60°; 2)45°; 3)30°; 4)75°; 5) arctgl,5.
67. Цилиндр с высотой - и диаметром основания 4 д/2 переплавили в куб. л Найдите площадь поверхности куба. 1)64; 2)96; 3)124; 4)120; 5) 104.
68. Сечение цилиндра, параллельное его оси, имеет форму квадрата с диагона- лью 8 л/2 и отсекает от окружности основания дугу в 60°. Найдите пло- щадь осевого сечения цилиндра. 1)164; 2)196; 3)128; 4)256; 5) 254.
108
№ п/п Задания Варианты ответов
69. Сечение цилиндра, параллельное его оси, имеет площадь 16 ^/з и отсека- ет от окружности основания дугу в 120°. Найдите площадь боковой по- верхности цилиндра. 1)64л; 2)32л; 3) 16л; 4) 36л; 5) 24л.
70. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник с катетом 4. Най- дите площадь боковой поверхности конуса. 1) 6 V3 л; 2) 14л; 3)8-72 л; 4)6-72 л; 5) 12л.
71. Отношение плошади боковой поверхности к площади основания конуса равно у[2^5 , а высота конуса равна 2 >/з . Найдите площадь осевого сече- ния конуса. 1)6-73; 2)8; 3)3л/б; 4)4>/б; 5)12.
72. Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольни- ка с катетом 2 л/б и высотой, проведенной к гипотенузе, равной 0,4 д/б , вокруг меньшего катета. 1)6л; 2)8л; 3)5л; 4)9л; 5) 12л.
73. Параллельно основанию конуса проведено сечение, которое делит высоту конуса в отношении 1 : 3, считая от вершины. Найдите площадь сечения, если длина окружности основания конуса равна 16 л. 1) 6 л; 2)8л; 3)4л; 4)9л; 5) 12 л.
74. Параллельно основанию конуса проведено сечение, площадь которого в 9 раз меньше площади основания конуса. Известно, что в основание конуса можно вписать правильный треугольник площадью 20,25 л/з . Найдите площадь квадрата, вписанного в сечение конуса. 1)6; 2)8; 3)12; 4)10; 5)14.
75. Точка S—вершина конуса, а точки АиВ лежат на окружности основания конуса. Хорда А В основания имеет градусную меру 120°. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если площадь треугольника ASB равна 72, а образующая конуса равна 12. 1)60-72 л; 2)98л; 3)40>/б л; 4)90л; 5)4вТб л.
76. Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 и 6, а образующая — 5. Найдите объем тела. 1)60л; 2)52л; 3)48л; 4)54л; 5)56л.
77. Осевым сечением усеченного конуса является трапеция, в которую можно вписать окружность радиуса 5 л/з . Образующая усеченного конуса в 2 раза больше меньшего из оснований этой трапеции. Найдите площадь бо- ковой поверхности тела. 1)400л; 2)382л; 3)186л; 4) 190л; 5)200л.
78. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор с цен- тральным углом 150° и радиусом 8. Найдите радиус конуса. 1)4; 2)2,6; 3)^; 4) |; 5)3.
79. Развертка боковой поверхности конуса имеет площадь 24 л, а ее централь- ный угол равен 240°. Найдите , где V— объем конуса. 1)42л; 2)36л; 3)48л; 4)32л; 5)38л.
80. Разверткой боковой поверхности усеченного конуса является часть кольца с длинами 20л внутренней и внешней дуг 20 л и 8 л \ 7 соответственно и центральным углом 60°. Найдите образующую данного усеченного конуса. 1)34; 2)36; 3)24; 4)30; 5) 32.
81. Площадь сечения шара плоскостью равна 144 л, а площадь большого кру- га шара — 169л. Найдите расстояние от плоскости сечения до центра шара. 1)3; 2)4; 3)5; 4)6; 5)7.
82. Длина линии пересечения сферы и плоскости равна 12 л, а расстояние от центра шара до секущей плоскости равно 8. Найдите площадь правильно- го треугольника, вписанного в большую окружность сферы. 1)75>/з ; 2)104; 3)36л/б; 4)42^6; 5)64-73.
83. Шар с площадью поверхности 64 л переплавили в цилиндр с радиусом основания 8. Найдите высоту цилиндра. 1)1,3; 2)2,6; 3) f; 4) 5) 3.
84. Через точку Л, лежащую на поверхности шара, провели сечение шара плоскостью под углом 30° к радиусу шара АО. Найдите площадь сечения шара плоскостью, если радиус шара равен 10. 1) 60 л; 2)75л; 3)68л; 4) 84 л; 5) 76 л.
85. Вершины прямоугольного треугольника А ВС (ZACB = 90°, АС = 9, sinAABC = 0,75) лежат на поверхности сферы диаметром 20. Найдите рас- стояние от центра сферы до плоскости треугольника. 1)5; 2)6; 3)7; 4)8; 5)10.
109
№ п/п Задания Варианты ответов
86. Сфера касается всех сторон ромба, сторона которого равна одной из диаго- налей и равна 4 л/з . Плоскость ромба удалена от центра сферы на расстояние втрое меньшее диаметра сферы. Найдите это расстояние. 1)1,54/5; 2)4; 3)2л/б; 4)1,2-75; 5)1,4-75.
87. Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как 1 : 3 : 5, а ра- диус сферы, описанной около параллелепипеда, равен >/35 . Найдите пло- щадь полной поверхности параллелепипеда. 1)234; 2)136; 3)224; 4)230; 5)184.
88. Прямая призма, *в основании которой лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной 5 и основанием 6, вписана в сферу радиуса 5 ^29 . Най- дите объем призмы. ♦ 8 1)37; 2)28; 3)32; 4)30; 5) 34.
89. В правильную четырехугольную пирамиду с высотой 6 и плоским углом при вершине 60° вписана сфера. Найдите (л/з + 1)7?, где R — радиус сферы. 1)9; 2)6; 3)12; 4)8; 5)10.
90. Около равностороннего конуса с площадью боковой поверхности 72 описана сфера. Найдите площадь поверхности сферы. 1)196; 2)168; 3)192; 4)184; 5)180.
91. В цилиндр с диагональю осевого сечения 18 л/2 вписан шар. Найдите объем части цилиндра, находящейся вне шара. 1)460л; 2)475л; 3)468л; 4)484л; 5)486л.
92. В правильную треугольную пирамиду, боковая грань которой наклонена к основанию под углом 60°, вписан шар радиуса 2. Найдите объем пира- миды. 1)72л/3; 2)144-73 ; 3)36 V3; 4142л/З: 5164 73.
93. Сфера радиуса 8 проходит через вершины S и В правильной треугольной пирамиды SABC. Известно, что сторона основания пирамиды равна 8>/з , а боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 30°. В каком отношении точка пересечения сферы и апофемы грани ASC делит эту апофему? 1)3:4; 2)3:7; 3)2:5; 4) 3 : 10; 5) 3 : 12.
94. В треугольной пирамиде SABC ребро SA перпендикулярно плоскости грани ABC, ABAC = 90°, AS = 2, AC = 3, ВС = 3 Js . Найдите радиус сферы, описан- ной около Пирамиды. 1)7; 2)3,5; 3)4; 4)8; 5) 7,5.
95. В цилиндр вписана призма, в основании которой лежит трапеция с взаимно перпендикулярными диагоналями и основаниями 2 и 8. Найдите объем ци- линдра, если боковое ребро призмы равно 8. 1)132л; 2) 136л; 3) 140л; 4) 164л; 5) 126л.
96. В четырехугольную пирамиду с объемом 40 и высотой 15, основание кото- рой — ромб с острым углом 30°, вписан конус. Найдите объем конуса. 1)6л; 2)5,2л; 3)8л; 4)4л; 5)5л.
97. В конус с высотой 6 и радиусом основания 3 л/2 помещен куб так, что одна его грань лежит в основании конуса, а все вершины противоположной грани лежат на боковой поверхности конуса. Найдите объем куба. 1)9; 2)3; 3)27; 4)3л/3; 5)9>/з .
98. В конус объемом 96 л и углом при вершине осевого сечения, равным 24 arctgy, вписан шар. Найдите длину линии пересечения поверхности шара с боковой поверхностью конуса. 1)3,6л; 2)5л; 3)3,2л; 4)4,8л; 5) 1,6л.
Раздел ИЖ —... =
Гпарыднты^ тсгтпр
Инструкция по выполнению теста:
Каждый вариант содержит 30 заданий и состоит из части А (18 заданий) и части В (12 заданий). На выполнение всех
заданий отводится 180 минут. Задания рекомендуется выполнять по порядку. Если какое-либо из них вызовет затруднение,
перейдите к следующему. После выполнения всех заданий вернитесь к пропущенным. Не разрешается пользоваться каль-
кулятором.
Часть А. В каждом задании части А только один из предложенных ответов является верным.
Часть В. Ответом, полученным при выполнении каждого из заданий части В, является некоторое целое число.
Teem 1
Часть А
А1. Простым является число: 1)6; 2)15; 3)29; 4)33; 5)45.
А2. Периметр правильного треугольника равен 12. Найдите площадь круга, вписанного в данный треугольник. 1)^ л; 2) | л; 3) л; 4)2л; 5) 1,5 л.
АЗ. Сечение сферы плоскостью имеет длину 6 л и удалено от центра сферы на 4. Найдите диаметр сферы. 1) 8; 2) 5; 3) 9; 4) 13; 5) 10.
А4. На рисунке изображен график функции, заданной на отрезке [-6; 5]. 1)11; 2)9; 3)7; 4)4; 5)2.
rj У к i .1
г (1 --- —
XX 1 —
/ / \ 1
/,
0 |\ / X
Найдите сумму длин промежутков убывания функции.
А5. Вычислите .. Аз2..+2’6‘2’7+2’72 ( -•0,8-—:—+0,6-19— ' 5 7 3 35 3-Y- з) 1)0,4; 2)0,5; 3)10; 4)1,3; 5) 0,1.
А6. Найдите значение выражения ——при а = ^32, Ь = {fl . а Ь—2а3 1)2; 2)6^2; 3)^2;.4^/16; 5) V32.
А7. Укажите количество целых значений аргумента, принадлежащих обла- , V24-2x сти определения функции у = 1)11; 2)12; 3)13; 4)10; 5)9.
А8. Планку распилили в отношении 2:1:4. Если от большей из полученных частей отпилить кусок длиной 8 см, то ее длина будет равна длине средней из полученных частей. Найдите длину планки до распиливания в сантиметрах. 1)24; 2)38; 3)16; 4)20; 5) 28.
А9. Решите уравнение (х3-4х)(5-х) = (х2-Зх-10)(х2+3х-1). В ответе укажите произведение большего корня уравнения на количество корней. 1)25; 2)-6; 3)2; 4)12; 5)20.
А10. Найдите большую диагональ параллелограмма со сторонами 3 и 6 и площадью 9 >/з . 1)5; 2)12; 3) 3 л/з ; 4)3 #7; 5)9.
АП. Диагонали трапеции ABCD (ВС||Л2), ВС < AD) пересекаются в точке О. Найдите площадь трапеции, если ВС = 4, AD = 9, а площадь треугольника ВОС равна 32. 1)318; 2)325; 3)394; 4)338; 5) 410.
А12. В арифметической прогрессии, первый член которой отрицательный, сумма 2-го и 6-го членов равна 14, а произведение 3-го и 8-го членов равно 76. Найдите 10-й член прогрессии. 1)25; 2)16; 3)22; 4)32; 5)20.
ill
(4 Эх V х +1) А13. Найдите сумму целых решений неравенства —^->0. 1)—13; 2)-12; 3)-14; 4)-9; 5) -10.
А14. Вычислите log327V3-3 . 1)1,5; 2)3; 3)4,5; 4)5; 5)6.
А15. Упростите выражение (sin2310 + sm259° + tg23a)-4sm2^cos2^ инай- л дите его значение при a = . 1о 1)9; 2)3; 3)1; 4)^; 5)|.
А16. Два приятеля отправились на велосипедах из пункта А в пункт В, рас- стояние между которыми 24 км. Первый выехал на 15 минут раньше второго, а второй догнал его в 12 км от пункта В. Найдите скорость 1-го велосипедиста (в км/ч), если известно, что она на 4 км/ч меньше скорости второго. 1)8; 2)10; 3)12; 4)15; 5)16.
А17. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к основанию под углом 60°. Найдите синус угла наклона диагонали параллелепипеда к пло- скости боковой грани. 1)0,5; 2)0,2; 3) ; 4)^; 5>Г
А18. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения (^2)2*-4 =25"* . 1)—6; 2)3; 3)-2; 4)4; 5)2.
Часть В
Bl. Найдите сумму целых решений неравенства log 5я(х2-4х+4)>0.
В2. Четырехугольник A BCD вписан в окружность. Известно, что ААВС = 106°, ZBDC = 50°. Найдите величину угла ВСА в градусах.
ВЗ. Найдите в градусах сумму корней уравнения sinx -2cos2 х = sin3x -1 на отрезке _пЗп
5 3 г4 — Л4 В4. Найдите значение выражения —- : М-1 Г 1 к ) +2М+1 при Ь = 256.
В5. Треугольная пирамида со сторонами основания 5, 9 и 12, боковые грани которой наклонены к основанию под углом 45°, описана около конуса. Найдите значение величины 13 ? где 5^ — площадь боковой поверхности конуса. 71
В6. Найдите наименьшее значение функции у = 2л/3 8т6х -2cos6x -3 .
В7. Найдите сумму целых корней (или корень, если он один) уравнения
В8. Если разделить некоторое двузначное число на сумму его цифр, то в частном получится 6, а в остатке 2. Если
разделить это число на произведение его цифр, то в частном получится 1, а в остатке 38. Найдите данное число.
В9. Найдите произведение корней уравнения х2 - 4 - ^/х3(х +6)3 + 6х = 2^х2 +6х .
|log2y=x, г
В10. Решите систему < 2 Зх В ответе укажите значение выражения , где (х0; — решение
системы. 1У “16 + 4 х<0.
( 25 A21og5X“log5(2x+48)
В11. Найдите наименьшее целое решение неравенства 5х”2 +— > 1.
________________________________________________________I 5х )___________________________________________________
В12. В основании пирамиды SABCD лежит трапеция с основаниями ВС = 4 и AD = 8. Высота пирамиды равна 4 л/з ,
а все боковые ребра наклонены к основанию под углом 60°. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, про-
ходящей через вершину С перпендикулярно ребру A D.
112
Teem 2
Часть A
аь - Al. Укажите верное равенство: 1) аь + cf = аъ+с\ 2) (л*)с = аА+с; 3) — = ас; 4) • cf' = ah+c; 5) ah-cf = аь~с. 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
А2. Если диаметр окружности равен 24, то длина дуги этой окружности с центральным углом 150° равна: 1)12; 2)10; 3) 10 л; 4) 12л; 5) 15л.
АЗ. На графике изображено изменение температуры воздуха в городе в тече- ние суток (измерения проводились каждые два часа). 1)2 °C; 2) 1,5 °C; 3) 1 °C; 4) 16 °C; 5)0 °C.
’С\ j 5 :
i I i ; 1 ।
Какой была темпера Z 1 1 । j
Т i | ! емя, ч
ту ра -2 вс > L )ЗД ! к —„ j... уха] И -- з 1 0 1’2 14 1 — —।— 6 1820 2 22 4 Bf
6ч? . .1... i ...
А4. Найдите значение выражения 5,2 5,2)4-1,375-5j. 1)1,4; 2)5,2; 3)7,8; 4)2,6; 5) 10,4.
А5. Сократите дробь а +9~6g— . F F a2+ab-3a-3b 1) £713. 2) 3)3-а; а — Ь а — b 4)is2; 5)iz2. ab а + b
A6. Площадь треугольника АВС со стороной ВС = 8 равна 40. Из точки М, принадлежащей стороне АВ так, что AM: МВ = 7:3, проведен перпендикуляр МН к стороне ВС. Найдите длину отрезка МН. 1)5; 2)3; 3)7; 4) 4 у; 5)6.
А7. Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник с катетом 6 Л . Найдите объем конуса. 1)72л; 2)216л; 3)36л/2 л; 4)36л; 5)72>/2 л.
log215 А8. Найдите значение выражения 5log425 _ log312 + log3 36. 1)14; 2)15; 3)16; 4)17; 5) 12-21og34.
А9. Результатом упрощения выражения —2^(8-6л/2) является: 3--JY3 65/2-8 1)-1; 2)3; 3)-3; 4)2; 5)1.
А10. Вычислите sin2 585° 4-tg^. 1)1,5; 2)-0,5;-3)-0,75; 4)1,25; 5) -1.
All. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 9х 8л л-12 л2-9 х2+2х-3 х2-4х+3 1)-3; 2)3; 3) —6; 4)6; 5)1.
А12. Найдите сумму целых значений аргумента, принадлежащих области определения функции у = ——1. V 6-х-х2 1)-2; 2)3; 3)-3; 4)-1; 5)1.
А13. После выпаривания из 12 %-ного раствора соли 10 г воды концентрация соли в растворе оказалась равной 20 %. Найдите массу раствора соли до вы- паривания. 1)60; 2)50; 3)40; 4)25; 5) 20.
А14. Сумма 3-го и 6-го членов геометрической прогрессии равна -4, а раз- ность 9-го и 3-го членов равна 36. Найдите первый член прогрессии. 1) 2)|; 3)|; 4)1; 5)2.
113
А15. Найдите период функции у = 5 + 7sinl2x. l)y;2)J;3)J;4)^;5)£.
А16. Высота правильной четырехугольной пирамиды образует с плоскостью боковой грани угол 60°. Площадь боковой поверхности пирамиды равна 32 л/з . Найдите объем пирамиды. 1)64; 2)96; 3)48; 4)36; 5)32.
А17. Большая диагональ ромба относится к его высоте как д/Го : 1. Площадь ромба равна 600. Найдите длину стороны ромба. 1)24; 2)20; 3)10л/10; 4)6л/10; 5)12.
А18. Найдите в градусах сумму корней уравнения 3(1 - sinx) = 1 + cos2x на отрезке [2 л; 3 л ]. 1)540; 2)860; 3)930; 4)1280; 5) 1350.
Часть В
х2_д x2-5 x2~6 x2-5
Bl. Найдите сумму квадратов корней уравнения 2 -3 =3 -2
В2. Вычислите arccos—1.
6 I 5 J
ВЗ. Длина линии пересечения сферы и плоскости равна 4 л/л . Расстояние от центра сферы до данной плоскости
2
равно -т-. Найдите площадь поверхности сферы.
В4. Расстояние от вершины параболы у = х2 + 14х + 73 до начала координат равно...
х2-2х х2-х+6
В5. Найдите сумму целых отрицательных решений неравенства 3 х+6 +3 х+6 >4.
В6. Найдите сумму целых чисел, не являющихся решениями неравенства ||3х -11| -15| > 5 .
В7. Некоторое количество деталей было разложено по 4 ящикам. Затем из первого ящика переложили во второй
четверть деталей, находящихся в первом ящике. После этого из второго ящика переложили четверть оказавших-
ся там деталей в третий ящик. Наконец, из четвертого ящика переложили четверть оказавшихся там деталей
в первый ящик. После этого в каждом из ящиков оказалось по 27 деталей. Сколько деталей было во втором ящике
первоначально?
В8. Найдите удвоенное произведение корней (или удвоенный корень, если он один) уравнения
log4(2x2 -х ) • log4(x2 -2) = •
В9. Найдите сумму целых решений неравенства
В10. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор с радиусом 8 и центральным углом 270°.
у
Найдите значение выражения , где V — объем конуса.
В11. В трапеции длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 8. Если диагонали трапеции равны 30
и 34, то ее площадь равна...
В12. Для каждой пары целых чисел (х; у), удовлетворяющих уравнению у2-2ху-2х = 6, вычислите сумму х+у.
В ответ запишите наименьшую из этих сумм.
114
Teem 3
Часть A
Al. О — точка пересечения медиан треуголь- ника ЛВС. Выберите верное утверждение: /к а)АО : ОМ3 = 3 : 1; /1 \ б)АО: ОМ3 = 3: 2; Мг/ \<Из в) АО: АМ3 = 2:1; / г) А О : А М3 = 2 : 3; 1 д)ЛО:ЛЦ = 3:4. С 1) а; 2)6; 3)в; 4) г; 5)д.
А2. Две концентрические окружности хтч (т. е. окружности с общим центром) ограничивают кольцо. Найдите площадь Ej ||| данного кольца, если радиусы окружностей равны 4 и 6. 1) 4 л; 2)20л; 3)26л; 4)24л; 5) 18л.
АЗ. Функция задана графиком. у. Укажите область значений функции. 4 -Н 1)[-2;4]; 2)[-3;4]; 3) [-3; 5]; 4) [4; 5]; 5) [-2; 5].
.. — + 0,46 А 4 TJ - И 5 А4. Найдите х из пропорции: — = -—5 . X _1_ 25 1)1,5; 2)|; 3)^;4)±; 5)15.
А5. Вычислите log3^log2^ + 61og2>^ + 5^. 1)3; 2)-1; 3)2; 4)4; 5)0,5.
~ 2-5р-2к + 5рк А6. Сократите дробь - -- 2 - -у- . .ч к 1 «\ к +1 к +1 в 7 р-0,5 ’ 2р + Г 7 2р — 1 ’ 4) ~ • 5) А ~1 47 2р + 1 ’ 37 2р-Г
А7. В окружность радиуса 2 л/б вписан равносторонний треугольник. Прямая, параллельная стороне треугольника, делит высоту, проведенную к этой сторо- не, в отношении 3:1, считая от основания. Длина отрезка этой прямой, заклю- ченной между сторонами треугольника, равна: СП сч |сп
А8. Результат упрощения выражения Аг.?0.8..4* + 1+^os4?r. равен: cos 2х-1 sin 2х-1 1)1; 2)3; 3)2; 4)-1; 5)0.
14+х2 А9. Наименьшее целое число из области определения функции у = < 2 равно: V16“* 1)-5; 2)-4; 3)-3; 4)4; 5)3.
А10. Найдите значение выражения (j]a2 + 27-6л/Зя +4^3л/з -а) • у]3л/з+а при а = у[\ \. 1)10; 2)—10; 3)5; 4)4; 5)3л/з.
АП. Отрезок AN является медианой треугольника АВС, где В(5; 2) и N(9; 5). Найдите длину стороны ВС треугольника. 1)10; 2)9; 3)8; 4)6; 5)5.
А12. Сумма корней (или корень, если он один) уравнения 4х - 3 • 2х+1 - 16 = 0 равна: 1)1; 2)2; 3)0; 4)3; 5)4.
[х2 >1, А13. Найдите сумму целых решений системы неравенств < 1 2<±Ll1<o. 1)1; 2)2; 3)0; 4)-5; 5)4.
115
А14. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона равна 60. Если центр вписанной окружности делит высоту BD в отношении 12:5, то основание треугольника равно: 1)50; 2)40; 3)30; 4)25; 5)20.
А15. Найдите середину отрезка, который образуют решения неравенства |2х -1| <|х +3|. 1)1; 2)^; 3) |; 4)3; 5)0.
А16. Сумма корней (или корень, если он один) уравнения х + 6'х+8=х2-3х-3 4+х равна: 1)7; 2)4; 3)-5; 4)14; 5)-6.
А17. Осевым сечением конуса является треугольник со сторонами 12 и 48. Най- дите объем конуса. 1)931 л; 2) 1029л; 3)864-72 л; 4) 570л; 5)216-77 л.
А18. Среднее арифметическое корней уравнения 2sinxcosx +sin4x-cos4x =0 на отрезке [-л; л ] равно: 1)-^; 2)0; 3)^; 4)-Ь о о о 5)Т-
Часть В
Bl. Найдите сумму корней уравнения х2 +у](х + 3)2 =9.
В2. Вычислите 3л/3соз| arccosO + arcsin-U j.
k V3 7
x+1 J_
ВЗ. Разность между наибольшим и наименьшим решениями неравенства 4 х -17 - 2х + 4 > О равна...
В4. Седьмой член геометрической прогрессии равен 2, тогда произведение первых ее тринадцати членов равно...
В5. Через точку, не лежащую да сфере, проведены две плоскости, касающиеся сферы. Угол между плоскостями —
60°, площадь сферы — 32 л. Значение выражения , где d—расстояние от центра сферы до линии пересечения
плоскостей, равно...
В6. Найдите наименьший положительный период функции у = 13—cos2Г-^-^y-j+sm2(
В7. Продолжение общей хорды АВ двух окружностей пересекает их общую касательную MN точке К. Если КА = 3,
АВ = 9, то расстояние MN между точками касания равно...
|х-ху +у =1,
В8. Для каждой пары чисел (х; у), удовлетворяющих системе: < , найдите значение суммы
[х2+у2+2х+2у =11
(х2+у2). В ответ запишите значение выражения пгп, где т — наименьшая из полученных сумм, а п— количество
решений системы.
В9. Расстояние от центра основания правильной треугольной пирамиды до ее боковой грани равно 2. Двугранный
угол при основании равен 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
В10. Найдите произведение корней уравнения log2 (4х) + log2 ^- + 7 = 0. В ответ записать число, обратное данному.
2
ВИ. Заказ по изготовлению деталей должен был быть выполнен по графику за 25 часов. После выполнения j
части заказа количество рабочих было увеличено на 6 человек, в результате чего весь заказ был выполнен за 21 ч.
Известно, что один рабочий изготавливает 8 деталей в час. Найдите значение выражения S+p, где S— количество
деталей в заказе, а р — первоначальное количество рабочих.
В12. Найдите наименьшее т и наибольшее Мзначения выражения х2+у2, если х2-4ху + 7у2= 1. В ответ запи-
шите значение выражения 3(ш + М).
116
Teem 4
Часть A
Al. На рисунке изображен треугольник АВС, в в котором АМ= MB, CN = NB. Выберите верные Л утверждения: V a)MN = AC; 6)WVpC; a)MN±AC; м/- Yv y)MN=\aC\ p)MN=±AC. / \ 2 3 aL \с 1) а, б; 2) в, г; 3) б, д; 4) б, г; 5) в, г.
А2. Используя данные рисунка, найдите градусную меру угла а . Точка О — центр f окружности. /к о \ 1)18; 2)36; 3)45; 4)27; 5) 20.
2 5 5 5 АЗ. Найдите значение выражения 1)0; 2)-^; 3)|; 4)-|; 5) 1.
А4. Функция /(х) задана графиком на отрезке [-6; 6]. 1) а, г; 2) в, г; 3) б, д; 4) б, г; 5) в, д.
1 ---
/
— / \ 4 >—> 7
7 4_\ 0 ft; 7 57 *
/ V /
1
Выберите верные утверждения: а) Дх) — четная функция; б)Дх) — нечетная функция; в) функция Дх) имеет ровно 4 нуля; г) функция Дх) принимает только положительные значения на отрезке [-2; 2]; д) функция убывает на промежутке (-4; -3).
т, „ 9а2 + 25 А2-ЗОай 5,4 А5. Найдите значение выражения ———— при п = у, о=-. 1)0; 2)-^; 3)-1; 4)1; 5)1.
А6. Найдите периметр прямоугольника A BCD, если А(-2;-2), В(-2; 2), С(6; 2). 1)24; 2)12; 3)13; 4)10; 5) 14.
А7. Значение выражения ^9^-~21og310 равно: 1)4; 2)2; 3)100; 4)1; 5) 280.
А8. Найдите сумму целых решений неравенства 1,5 + 0,2х -0,1х2 > 0 . 1)—9; 2)11; 3)-11; 4)10; 5)9.
А9. Основание равнобедренного треугольника равно 16, а высота, проведен- ная к основанию, равна 15. Найдите высоту треугольника, проведенную к бо- ковой стороне. эдп 225 256 1)17; 2)^; 3)р-; 4) р-; 5) 16^5 .
А10. Разверткой боковой поверхности цилиндра с высотой 8 является пря- моугольник с диагональю 10. Найдите объем цилиндра. 1) 11; 2)36л; 3)72л; 4) 5) 144 л.
АП. Найдите длину промежутка, являющегося решением системы неравенств Jx2 >-8х, [37<4(2-х)<57. 1)11; 2)201; 3)4|; 4)3. 5) нет решений.
117
. „ V(5^+7)4 , с А12. Найдите значение выражения -^====-+8. v7-5v2 1)15 + 5-72; 2)15; 3)-15; 4)1-5^; 5)8.
А13. Третий член геометрической прогрессии равен 2, а шестой ее член равен 54. Найдите сумму первых четырех членов прогрессии. 1)27; 2)f8|; 3) 7}; 4)в|; 5)9.
А14. Дх) — нечетная, периодическая функция с периодом Т = 8, заданная при хе[0;4] формулой Дх) = 4х-х2. Найдите Д-18). 1)0; 2)-2; 3)2; 4)-4; 5)4.
А15. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения |х2 -х -4| = х -2 . 1) s/б + зЛ; 2) 12; 3)-12; 4)-2; 5)-6.
А16. Задумано целое положительное число. К его записи приписали справа цифру 8 и полученное число уменьшили на 25 %. В результате получили 126. Найдите задуманное число. 1)14; 2)16; 3)10; 4)18; 5)20.
А17. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения Зх+1+1 3х+27 1 _0 9х -4-Зх +3 9х-9 3х+3 1)9; 2)0; 3)1; 4)-2; 5)2.
А18. Найдите ctg ос -tg ос, если ctg2cc +tg2cc = 18, 1)3; 2)-3; 3)1; 4)-4; 5)4.
Часть В
Bl. Найдите в градусах значение выражения arccos cos—-
В2. Найдите наименьшее целое положительное решение неравенства 2х2 -9х +15 >20 .
ВЗ. Основанием прямой призмы является треугольник со сторонами 3 и 5 и углом 120° между ними. Диагональ
большей боковой грани призмы наклонена к основанию под углом 30°. Найдите значение выражения 4V, где V—
объем призмы.
В4. Найдите в градусах сумму корней уравнения sin2x + sin6x = 2sin2x-2cos2x , принадлежащих отрезку [0; л].
7 8 2
В5. Найдите сумму целых решений неравенства ~ ’
В6. Биссектриса острого угла равнобедренной трапеции делит боковую сторону длиной 25 в отношении 49 : 24,
считая от большего основания. Если меньшее основание равно 1, то площадь трапеции равна...
В7. Найдите увеличенную в 24 раза сумму корней (или корень, если он один) уравнения
log2_3x(6x2 -7х +2)-logj_2x(9x2 -12х + 4) = 2.
В8. Радиусы шаров равны 8 и 10. Если расстояние между их центрами равно 12, то значение выражения , где
I — длина линии, по которой пересекаются их поверхности, равно... л
В9. Найдите наибольшее значение функции у = 6sin3xcos3x-5cos23x-13sin23x .
В10. Из города Л в город В со скоростью 18 км/ч выехал велосипедист. Через 20 минут в том же направлении выехал
мотоциклист со скоростью 30 км/ч. Мотоциклист доехал до В, повернул обратно и встретил велосипедиста через
30 минут после того, как он обогнал велосипедиста. Чему равно расстояние от А до В в километрах?
ВИ. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения V*2 -8х +12 +4х -хл/2-х = 4л/б-х .
В12. Найдите сумму целых решений неравенства 2х *3 > |log2 х
118
Teem 5
Часть A
Al. Если а и b — натуральные числа такие, что ^ = 7 , то верным является утверждение: а) b — делитель числа 7; б) b = 7а; в) а — делитель числа 7; г) числа а и b разной четности; д) а кратно семи. 1)а; 2)6; 3)в; 4) г; 5)д.
А2. Сторона ромба равна одной из его диагоналей. Высота ромба равна 3 V3 . Найдите длину стороны ромба. 1)6; 2)3^6; 3)4; 4)12; 5)6>/з .
АЗ. В магазин привезли фрукты и ягоды. На рисунке изображена круговая диаграмма S груши\ распределения количества привезенных / \ плодов. Известно, что слив привезли 600 кг. /яблоки z* "X Тогда масса (в кг) груш равна: I Иоо ( I । ио \/\J 90° / \ / \ сливы / \ / 60° \ / \ / вишни \ У 1)400; 2)480; 3)560; 4)920; 5) 540.
А4. Укажите рисунок, на котором изображен график линейной функции с угло- вым коэффициентом к = 3 и проходящей через точку (0; -3). 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
1) У> к 2) У i 3)
o' ' ' *х о' J/з
/ -3 <-3 5) 0 ' '
-3 4) к
о/l л У 'х ч3
1 7 А5. Найдите значение выражения 5,125 :4,1: yj-l--2,25 . 1)12; 2) ю|; 3)9,4; 4)11; 5) 10,25.
5,4 Д4 d — U 1— А6. Упростите выражение 3 4 14 и найдите его значение при а - Зл/5 . а ’ + а’ 1)22; 2)g; 3)44; 4)45; 5)15.
1OS123 А7. Значение выражения gl-lo^i26 равН0: 1)16; 2)24; 3)8; 4)16>/2; 5) 27.
А8. Результатом упрощения выражения -tg4a+sin является: 2tg4a 1) cos2 2a; 2)1; 3) sin2 2a; 4)0; 5)tg2a.
А9. Осевым сечением цилиндра является квадрат с диагональю 6 л/2. Найдите объем цилиндра. 1)486л; 2)64л; 3)54л; 4)27л; 5) 108л.
А10. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 2л/2 , а проекция 2 другого катета на гипотенузу — 4 j. Найдите длину гипотенузы треугольника. 1)б|; 2)6; 3)Зл/2; 4)5,6; 5)2^5 .
АП. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения л2 +4х -8 _ 5-6х х2-8х+15 (5-х)(х-3) 1)4; 2)2; 3)3; 4)1; 5)-1.
119
l772 - 562 ,, 3 2 А12. Найдите значение выражения ? -11- /- + г-. V 1ээ‘/ у// —2 3 —v7 1)-2; 2)-1; 3)2; 4)1; 5) >/7 -1.
А13*. Касательная, проведенная к графику функции у = х2-4х + 3, параллель- на прямой у = 2х + 1. Найдите ординату точки касания. 1)0; 2)2; 3)3; 4)1; 5)-1.
А14. Найдите количество целых значений х, при которых выражение (4 —х)(х% 4*6х 4*9) 1 А / принимает неотрицательные значения. X 1)4; 2)5; 3)3; 4)7; 5)6.
А15. Между числами -4 и 26 вставили 9 чисел, образующих вместе с ними арифметическую прогрессию. Найдите сумму первых шести членов данной прогрессии. 1)10; 2)35; 3)21; 4)31; 5)26.
А16. Найдите сумму целых значений аргумента, принадлежащих области . л/9-х2 определения функции у = . 1)-1; 2)0; 3)2; 4)1; 5)-2.
х — 2 А17. Найдите количество целых решений неравенства 2д-+4 >^' 1)5; 2)4; 3)3; 4)6; 5)1.
А18. Найдите среднее арифметическое корней уравнения - —-у = 0 , [sin —-cos—| принадлежащих отрезку [- л ; 4 л ]. к 2 2) 1)540°; 2)360°; 3)270°; 4)240°; 5)210°.
Часть В
В1. Найдите произведение корней уравнения |х 4- 5|(х -7) = Зх -21.
В2. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 4, а угол между боковой сто ем — 60°. Найдите значение выражения где S—площадь трапеции, если извест окружность. v роной и большим основани- но, что в нее можно вписать
ВЗ. Найдите значение выражения 2л/10 sin^~arctg3^cos^~arctg3^.
7 A7Y <7Y /7Y В4. Найдите значение суммы 14—4- - + - + - +... О \ О J \ о J
В5. Числитель правильной несократимой дроби на 7 меньше знаменателя. Если к числ 2 прибавить число 3, а затем дробь, обратную полученной, умножить на то в рез^ дробь. Найдите сумму числителя и знаменателя исходной дроби. ителю и знаменателю дроби лпьтате получится исходная
В6. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 3 и ( 4 с основанием угол 30°. Найдите значение выражения , где 5бок — площадь боко л/7 ок 5, а боковое ребро образует вой поверхности пирамиды.
В7. Точки А(5; 3), В(7; 1) и С(9; -2) — вершины параллелограмма A BCD. Найдите с; параллелограмма. умму квадратов диагоналей
В8. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения Зх2 4-х 4-2ха/2х2 4-л -6=6.
1 1 В9. Найдите сумму целых решений неравенства log5_^у(х -6х +9)-- — uyjir ->0. )
В10. Найдите наименьшее значение х+у, где (х;у) — решение системы уравнений * ^5х2 -у2 =х2 +2у, 2х2 = 3ху-у2.
В11. Найдите сумму всех решений неравенства 2cos2 +sin2 +tg2 < 2cos3id Н;5]. 1, принадлежащих отрезку
В12. Разверткой боковой поверхности конуса является полукруг. Конус вписан в c<J площадь полной поверхности конуса. >еру радиуса 2 . Найдите
120
Teem 6
Часть A
Al. На рисунке изображен треугольник А ВС (А В Ф А С), в котором /.ВАР = Z.CAP. л Тогда для треугольника АВС отрезок А Р / \ является: / У\Р А^— 1) биссектрисой; 2) высотой; 3) средней линией; 4) медианой; 5) стороной треугольника.
А2. Вычислите ^1 + 2:-^+-|*7. 1)35; 2)23; 3)24; 4)18; 5)15.
АЗ. Функция у = tg х не определена в точке: Л 71 l)z; 2)з; 3)-л; 4)0; 5)т-
А4. Найдите значение выражения - — при а = у/5 . а —а 1)5; 2)25; 3)10; 4)-5; 5)-25.
А5. Артем купил 2 шариковых ручки и 5 тетрадей за 26000 рублей, а Влад купил 5 таких же ручек и 2 таких же тетради, как и Артем, и заплатил на 3000 рублей меньше. Найдите стоимость одной ручки. 1)4500; 2)3000; 3)5000; 4)4000; 5)3500.
А6. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, рав- на 8, а один из отрезков, на которые она делит гипотенузу, имеет длину 16. Найдите площадь треугольника. 1)180; 2)160; 3)80; 4)60; 5) 90.
А7. Вычислите 1оёз^25~“!°.ёз5. 21og,l,(6)+l 1)5; 2)0,5; 3)2; 4)1; 5)3.
17 А8. Найдите sin 2а, если известно, что sma + cosa = jj. 1) 18 . 2) — 3) — ’ 4) — • } 13 ’ ’ 169 ’ ’ 169 ’ ’ 13 ’ 5) 1.
А9. В первой четверти школьный факультатив по математике посещало 10 человек, 40 % из числа которых составляли девочки. Во второй четверти к ним добавилось еще 6 мальчиков. Какой процент составляет количество девочек, посещающих факультатив во второй четверти? 1) 25; 2) 35; 3) 20; 4) 15; 5)10.
А10. Пирамиду с высотой 18, в основании которой лежит прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой 6, переплавили в куб. Найдите длину ребра куба. 1) 3; 2) 4; 3) 3^4 ; 4) 2^/з ; 5) 3^2 .
АП. Результатом упрощения выражения V4cos2a + 4cosa + l+2-4sm2y при ,8л о \ a е (-у; 3 л) является: 1)1; 2)4cosa+l; 3)-4cosa + 1; 4)-1; 5)-4cosa - 1.
А12. Найдите сумму всех натуральных значений х, при которых выражение ~3^-1^ принимает значения меньше 4. 1)3; 2)5; 3)6; 4)15; 5)21.
А13. Найдите произведение корней уравнения х4-144 + 7х(х2-12) = 0. 1)144; 2)-144; 3)12; 4)-12; 5)->/12.
А14. На рисунке изображен фрагмент графика некоторой периодической функции. Укажите число, которое является периодом данной функции. 1)27; 2)25; 3)16; 4)15; 5) 11.
уь к —
—
— 1 —- — 1
— — —
i
0 X
121
А15. Треугольник АВС со сторонами ВС = 18; АС = 6 л/з и АВ = 12л/з вписан в окружность с центром в точке О. Найдите величину угла ВОС. 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°; 4) 90°; 5) 120°.
А16. Решите неравенство 2 1 В ответе укажите произведение х2-4 х2+Зх-10 наименьшего решения на количество целых решений. 1)-5; 2)5; 3)-24; 4)-35; 5)-48. '
А17. Найдите произведение корней уравнения (л/2 - 1)х + (л/2 + 1)х = 6. 1)—1; 2)1; 3)—4; 4)-2; 5)-8.
А18. В основании прямой призмы лежит ромб со стороной 8 и острым уг- лом 60°. Боковое ребро призмы равно 4. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противолежащую сторону другого основания. 1)32л/3; 2)64>/3; 3)64; 4)32; 5) 32 75.
Часть В
В1. Найдите сумму целых корней уравнения л/х2 - 14х + 49 + Vx2 + 6х + 9 = 10 .
В2. Диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к основанию под углом а = arcsin0,6, а площадь боковой по- верхности цилиндра равна 48 л. Найдите периметр осевого сечения цилиндра.
ВЗ. Найдите в градусах среднее арифметическое корней уравнения sin х + 1 + sin 5х = 2cos2 х на отрезке [0; 90°].
В4. Найдите произведение целых решений неравенства log0 25 log4 (х4 - 2х3 + х2) > 0.
В5. Найдите произведение корней уравнения (х2 -х +1) + (х2 -х +3) + (х2 -х + 5) + ... + (х2 -х +15) = 304 .
В6. На рисунке изображен график функции у = log2(ax). Найдите увеличенное в 27 раз произведение корней уравнения log2|ax| = --l. 0 / 4 / 3
В7. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Одна из них равна 13, а высота трапеции равна 5. Найдите значение выражения 24S, где S—площадь трапеции.
В8. Вычислите 9V5tg^0,5arcsin•
В9. Найдите увелйченную в 4 раза сумму корней уравнения 2x-2-3V13-3x = 3x13 . х-1
В10. Найдите наибольшее значение выражения х2 + 3у2, если х2+у2=1.
ВП. Два автомобиля и мотоцикл движутся по трассе в одном направлении с постоянными скоростями. Когда автомобили находились в одной точке, мотоцикл отставал от них на 24 км. Когда первый автомобиль и мотоцикл поравнялись, второй автомобиль был впереди них на 6 км. Найдите расстояние в километрах между автомобилями в тот момент, когда мотоцикл и второй автомобиль находились в одной точке трассы.
В12. Найдите сумму корней уравнения sin— = log, Icosтех 1 +-=—J—г , принадлежащих отрезку [-20; 20]. 2 “(J |cOS7tx|J
122
Teem 7
Часть A
Al. Какая из данных последовательностей является арифметической прогрес- сией? 1)—3;—5;5;3; 2) 0,1; 1; 10; 100; 3) 5; 8; 12; 17; 4) -8; -6; -4; -2; 5)-’ 3 ’ 4 ’ 5 ’ 6 •
А2. В треугольнике АВС АВ = 62°, АА = 48°, CL — биссектриса угла С. Найдите величину угла BLC. 1)83°; 2)97°; 3)63°; 4)72°; 5) 64°.
АЗ. Результатом упрощения выражения —-—+ является: а2 -4а а(4-а) а+4 а —4 1)—; 2)—; 3)а + 4; а а 4)а-4; 5) 1.
А4. Одна из сторон треугольника равна 9, а вторая — 6. Какие значения может принимать третья сторона треугольника? 1)5<я<17; 2)4<а<16; 3)1<а<13; 4)2<а<14; 5)3 <а< 15.
А5. На рисунке изображена диаграмма выпуска продукции заводом за полгода. 1)10; 2)15; 3)20; 4)25; 5) 30.
JV 40- 30- 20- 10-
— — — — <= —
Un На сколько процентов 6i ну необходимо было изг 1,2,3,4,5,б' >тл перевыполнен план выпуска продукции, если по пла- отовить 200 единиц за 6 месяцев?
А6. Вычислите sin2700 + tg315°-2sm2100 + >/3tgl20°-cos60°. 1)—2,5; 2)-1,5; 3)0,5; 4)1,5; 5)1.
А7. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения z г—<2х2-6х-32 W =9- 1)3; 2)-3; 3)6; 4)-2; 5)1.
А8. Сумма 5-го и 9-го членов геометрической прогрессии равна 130, а частное от деления 16-го члена прогрессии на ее 14-й член равно 5. Найдите 1-й член прогрессии. 1)5; 2)0,2; 3)2; 4)1; 5)0,5.
А9. Куб объемом 8 пересечен плоскостью, проходящей через диагонали двух смежных граней куба. Найдите площадь сечения. 1)2^2; 2)4; 3)2л/з ; 4)4,5; 5)2>/б.
А10. Найдите сумму целых решений системы неравенств * |’(2-х)(5>/2-7)>0, |х2 +х-12 <0. 1)3; 2)6; 3)-5; 4)-9; 5)-7.
АП. Задумано некоторое натуральное число. Если из квадрата данного числа вычесть 323, то получится число, которое на 100 % больше задуманного. Найди- те сумму цифр данного числа. 1)19; 2)17; 3)15; 4)13; 5)10.
А12. Найдите значение выражения log^fe3--—-— + ao,5+2iogaz» ПрИ д = 255 b — л/5 . аЬ 1) 19; 2) 22; 3) 24; 4) 28; 5) 26.
А13. Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды наклонена к осно- ванию под углом 60°, а объем пирамиды равен 12. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 1) 12; 2) 20; 3) 24; 4) 48; 5) 12>/з .
9I6 q19 9I7 А14. Вычислите —'—‘ *— . З18-217+616-30 1)3; 2)0,75; 3)0,5; 4) З18; 5)2.
123
А15. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения log2x + l log2x-l 1)16; 2)32; 3)5; 4)0,5; 5)-5.
А16. Результатом упрощения выражения yj^a + J&a + 2 - 21/1а при а е (1; 2) является: 1) tfl+tfa ; 2) 1/а; 3) tfa — tfl ; 4) ; 5) 1 - Va •
А17. Найдите количество корней уравнения sinx + cosx=l на отрезке [-2л;4л]. 1)8; 2)7; 3)6; 4)5; 5)4.
А18. Диагонали ромба относятся как 3 : 4, а его высота равна 3,6. Найдите пе- риметр ромба. 1)15; 2)8д/2; 3)30; 4)12; 5)24.
Часть В
Bl. Найдите сумму корней уравнения х|Зх-18|-15|б-х| = 6х-ЗО.
2-2х 1-х 1
---- ------+1
В2. Найдите наибольшее целое решение неравенства 2 *~5 + 2*~5 - 8 > 0.
ВЗ. Найдите 13sin2a, если известно, что ^^-^sina + l,25tg а-^- = 0 .
ctga 3 ° 6
В4. Найдите значение выражения
Г А 1 1 A Y
26 -56 +21’5-50,5+ 26 -56
(^2 + W
В5. Вершины A, D и С четырехугольника ABCD принадлежат окружности, а вершина В находится вне ее, причем
сторона ВС касается окружности в точке С. Окружность делит сторону Л В на отрезки длиной 3 и 9, считая от вер-
шины В. Найдите длину стороны ВС.
В6. Найдите сумму целых решений (или решение, если оно одно) неравенства
i logx+7 (х2 - 2х +1) + log^ (-х2 - 6х + 7) < 3 .
В7. Две стороны треугольника равны 6 и 12, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна
значение выражения 4 л/Г5 S, где £ — площадь треугольника.
В8. Найдите длину промежутка, являющегося множеством значений функции
у = 76,4sin2x + 9,6sinxcosx + 13,6cos2x .
В9. Поле засевается тракторами типов А и Б. Сначала в течение двух часов работали два трактора типа А, затем
в течение еще двух часов работали вместе один трактор типа А и один типа Б, в результате чего было засеяно все
поле. Если бы на поле работали один трактор типа А и два трактора типа Б, то поле было бы засеяно за 4 часа. Какое
количество часов необходимо одному трактору типа Б для того, чтобы засеять поле?
В10. Для всех пар чисел (х; у), удовлетворяющих уравнению
у]х2 +2ху + у2 -4 = 2х2 + 7ху + бу2 -^/(2 - х -у)(2 + х + у) , найдите произведение х • у. В ответ запишите наиболь-
шее из этих произведений.
ВП. В конус с центральным углом развертки боковой поверхности 120° и объемом Ч8^71. вписана правильная
четырехугольная призма так, что одно из оснований призмы лежит в плоскости основания конуса. Вершины второ-
го основания лежат на боковой поверхности конуса, а плоскость этого основания делит высоту конуса в отношении
1 : 3, считая от вершины. Найдите значение выражения y[2V, где V— объем призмы.
В12. Найдите все пары целых чисел (х; у), удовлетворяющих уравнению 12х - Зх2-у2 + 4ху + 19 = 0. В ответе ука-
жите наименьшее из найденных значений у.
124
Teem 8
Часть A
Al. Сечением шара плоскостью является: 1) квадрат; 2) трапеция; 3) окружность; 4) круг; 5) треугольник.
А2. Сумма наименьшего составного однозначн двузначного натуральных чисел равна: ого и наименьшего простого 1) 11; 2) 12; 3) 13; 4) 14; 5) 15.
АЗ. Используя'данные, приведенные на рисун утверждений верное: а) точки Си!) симметричны относительно 1 оси ординат; б) координаты точки А — (4; -4); в) четырехугольник ABDC — трапеция; : ке , I — выберите iXIX . .;....; 1.. из следую! k 1 tT-\, 1J : L ' ЦЙ [X 1) а; 2)6; 3)в; 4) г; 5)д.
с ! 1 1
-*4- -3П2П1 0 j 1 -- 5 1 5 X
д) треугольник ACD — остроугольный. [ ..... ----- .-..44.-. 4 \е< —2 F— .11 . .1 .J.... --- ...... --
1... 1.. ।
А4. Вычислите (5,62 •0,2 + 5|:||):5,6-2,6 . 1)1,4; 2) 1|; 3)2,8; 4)0,8; 5) 2,4.
5 2 А5. Представить выражение 075^2 ввиДе степени. 1) сг1-5; 2) а1-2; 3) а3-5; 4) а7; 5) а2-5.
А6. Найдите значение*выражения х2х2 4-Xjxf -Зх нения 2х2 - х - 5 = 0. \х2, где хг и х2—корни урав- 1)—2,5; 2)-1,5; 3)6,25; 4)1,25; 5)1.
А7. Диагонали трапеции ABCD (ВС || AD, AD = О. Найдите отношение ВО : BD. ^ВС) пересекаются в точке 1) 2 : 3; 2) 2 : 5; 3) 3 : 2; 4) 5 : 2; 5) 1 : 3.
А8. Найдите значение выражения —1=- + 6 • х л/3 /2+728-63 . 1)35; 2)40; 3)41; 4)43; 5)46.
А9. Результатом упрощения выражения (sin2as является: in a 4-2cos3 a)cosa- l-tg215° 1) sin а; 2) cos 2а; 3) sin 2 а; 4) sin 15°; 5)tga.
А10. Произведение корней (или корень, если он < З2*2 _ 2 • 3*2+1 = З3 равно: □дин) уравнения 1)2; 2)4; 3)-4; 4)-2; 5)-27.
АН. Основанием прямой призмы АВСА]В[С] яь гольник АВС с гипотенузой ВС = 8 и острым угле призмы, если угол между плоскостью (АВ{С) и о< шяется прямоугольный треу- м Z.CBA = 60°. Найдите объем снованием призмы равен 30°. 1) 1б73; 2)32; 3) 1бХ; 4)16; 5)36.
А12. Найдите сумму целых значений аргумента, г б/^ ж деления функции у = —~. л 4х-2+22х-5-24 гринадлежащих области опре- 1)3; 2)6; 3)-5; 4)-4; 5)-7.
А13. Найдите сумму корней (или корень, если о] х2 4-4х +4 х2-8x4-16 ~ о п + = 2х-7х4-2« х4-2 х-4 I один) уравнения 1)0,5; 2)-3,5; 3)4,5; 4)-4,5; 5)-0,5.
А14. Найдите сумму целых решений неравенств а log j (х2 - 2х) > -2. 2?2 1)2; 2)5; 3)-3; 4)3; 5)4.
125
х3 2 А15*. Касательная к графику функции у = -^- + 2х +3 наклонена к оси Ох под углом а = arctg 4. Тогда уравнение касательной имеет вид: 1)У=|^+1; 2)у = -4х; 3)у = 4х + 4)у = 4х+1; 5)у = 4х-|.
А16. Найдите сумму целых значений *х, не являющихся решениями неравен- 1 к ства - > х2-2х-3 (х2+х)(х-^3) 1)24; 2)32; 3)25; 4)21; 5) 27.
А17. Найдите сумму корней уравнения tg х - V3ctg х + л/з -1 = 0, принадлежа- щих отрезку [-2 л; л ]. 1)-л; 2)-^; 3)-^; 4)~; 5)-!£.
А18. В треугольнике АВС со сторонами АВ = 7, ВС = 6, АС = 5 проведена биссек- триса AL. Найдите площадь треугольника ALC. 1)2л/б; 2)6>/б; 3) 3 >/б ; 4)4; 5)^.
Часть В
В1. Найдите произведение корней уравнения ||3х -17|+x| = 2x-l.
/ Л 36 36 В2. Найдите значение выражения i 1 f a2-b2 (ab)~Q>5 при a = 128, b = 8 *
ВЗ. Дх) — нечетная функция, заданная при х 0 формулой f (х) = -|х2 - 2х|. Найдите значение выражения /(1) + 8/(-0,5)-/(-1).
В4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что AD = 14, CD = 4, диагональ BD является биссек- трисой угла CD А, а точка пересечения диагоналей четырехугольника — точка О — делит диагональ BD на отрезки ВО = 7, OD = 8. Найдите длину диагонали АС.
В5. Найдите в градусах значение выражения arccos(sin 622°).
В6. В основании пирамиды лежит ромб со стороной 8 и острым углом 30°. Высота пирамиды проходит через точку пересечения ее диагоналей, а боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Найдите площадь боковой по- верхности пирамиды.
В7. Найдите произведение корней уравнения log7 |i| + log7(x2 +7x + 6) = 2.
В8. Найдите сумму целых решений неравенства Vx2 -6х-5у/х2 -6x + 6<0 .
В9. Площадь боковой поверхности конуса равна 24 В конус вписан шар. Найдите значение выражения верхность конуса и поверхность шара. л, а его образующая наклонена к основанию под углом arctg . з/ 2 —, где 1 — длина линии, по которой пересекаются боковая по-
В10. Катер плывет от Витебска до Полоцка 3 часа, от Витебска до Полоцка? а обратно — 4 часа. Найдите, какое время (в ч) будет плыть плот
ВИ. Найдите увеличенное в 16 раз произведение корней уравнения (х8 + х4 +1) + (Зх8 + 2х4 +1) + (5х8 + Зх4 +1) +... + (15х8 + 8х4 +1) = 6 .
В12. Найдите произведение всех решений неравенства costix +cos2tix + cos3hx >^19-10sin2^, на проме- жутке [-3; 10].
126
Teem 9
Часть A
Al. Наименьшим общим знаменателем для дробей -L и является число: 1)30; 2)48; 3)60; 4)90; 5) 120.
А2. В параллелограмме ABCD с тупым g L С углом 110° проведена биссектриса AL /X / / острого угла А. Найдите величину угла ALC. / / А^— 1) 125°; 2) 130°; 3) 135°; 4)140°; 5)145°.
АЗ. Какое из данных чисел является отрицательным? I)sin372°; 2) cos275°; 3)125-5”; 4)4-5-2; 5)log^5.
А4. Найдите сумму абсцисс точек пересечения прямой у = у - 2 и параболы х2 5 , п у = — х + 2. Л 2 2 1)4; 2)6; 3)-6; 4)8; 5)-8.
1М:2 А5. Найдите х из пропорции 2^5 = И—7_^ 0,19.20-Ц^ [49-^-Зз||:3,85 1)1; 2)1,2; 3)0,2; 4)2,5; 5) 3,5.
°,65 А6. Найдите число, обратное значению выражения / . f-Y Y-Y 2 7 1)0,6; 2)lj; 3)0,36; 4)2^; 5)1.
А7. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) с углом 60° и гипотенузой 14 проведена медиана СМ. Найдите расстояние от точки М до большего катета треугольника А ВС. 1)3,5; 2) 7 \/з ; 3)3,5^3; 4)7; 5)4.
А8. Результатом упрощения выражения +_2:х.+_3 является: 5х2+х-4 х + 1 ъАп’ 3>2; 4>7; х+1 5х+4 5) 5.
А9. Найдите значение выражения log6150-21og6 5 + 62"log69 . 1)15; 2)130; 3)25; 4)5; 5) 41.
А10. Три числа составляют арифметическую прогрессию. Первое число в 5 раз больше третьего, а второе на 1 больше третьего. Найдите первое число. 1)3; 2)2,5; 3)2; 4)1,5; 5)1.
АП. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной 4 и ост- рым углом 60°. Диагональ боковой грани параллелепипеда наклонена к основа- нию под углом 45°. Найдите площадь его большего диагонального сечения. 1)32; 2)24; 3)24 >/5; 4)16>/з ; 5)16>/2.
А12. Окружность задана уравнением (х-5)2 + (у + 7)2= 120. Найдите расстоя- ние от центра окружности до точки Л(10; 5). 1)13; 2)16; 3)5; 4)8; 5)12.
Г~ 2 А13. Из функций y2 = log3x, у3=-^, у4 = 71 *’ У$ = х2 выберите все те, областью определения которых является множество [0; + <х>). 2)j^2,^3; 3)у4,^5; 4)7р 5)у2-
А14. Две бригады, работая вместе, изготовили 240 деталей за 3 часа, причем первая бригада изготавливала на 10 деталей в час больше, чем вторая. За сколь- ко минут может изготовить 240 деталей первая бригада, работая отдельно? 1)320; 2)310; 3)280; 4)240; 5) 210.
А15*. Найдите значение производной функции /(х) = 4>/х - ^| + л2 в точке х0, где х0 — точка, в которой функция g(x) = 8х-х2-19 принимает наибольшее значение. 1)2 + 2л; 2)2; 3)2+ л2; 4)4; 5)3.
127
А16. Из точки А, лежащей вне окружности радиуса 6, проведены к этой окруж- ности две касательные. Найдите расстояние от точки А до центра окружности, если длина дуги окружности, заключенной между точками касания, равна 2 л. 1)12; 2)6>/2; 3)4^3; 4)4; 5)3>/2. .
А17. Найдите сумь стемы неравенств • <у натуральных простых чисел, являющихся решением си- 3 (х2-19х + 34)(х2-11х-102) > о (х-13)(х-20) 1)34; 2)40; 3)17; 4)51; 5) 64.
А18. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения log9(x2 - 6х + 9) = log3<(x + 6) - log3 (х2 + 4х -12) . 1)3; 2)-Ц^; 3)5; 4)-5; 5) 7 2
Часть В
В1. Найдите количество целых решений неравенства 16 - х2 > х2 -16
В2. Найдите Произведение корней (или корень, если он один) уравнения З^х4 -5х2 +5 + Vx4 -5х2 +5 -4 = 0.
ВЗ. Диагональ осевого сечения цилиндра равна , а длина окружности основания — 6л/5л . Найдите площадь
- л/я
боковой поверхности цилиндра.
В4. Найдите произведение корней уравнения х2 + х - 6 = —— -.
В5. Найдите сумму чисел, принадлежащих промежутку [-17; -2] и являющихся периодами функции
. пх лх )
sin---cos— —4.
4 4 )
В6. Найдите значение выражения 25cos 4arccos—^ + 4arctg(-3) .
k J
B7. Продолжения боковых сторон трапеции ABCD (ВС || AD, ВС < AD) пересекаются в точке О под углом 60°.
Известно, что АВ = 4л/2(л/З -1), /.CDA = 45°, а точка О удалена от стороны AD на 12. Найдите увеличенное в 10
раз отношение площади треугольника AOD к площади трапеции.
В8. Найдите сумму целых решений неравенства 0,25 log4 (4х - 2Х+5 + 256) +11 < 5 log4 (2Х+2 - 64).
В9. К раствору соли массой 500 г трижды доливали различное количество воды, в результате чего концентрация
соли каждый раз снижалась в 2 раза и в итоге стала равной 4 %. Найдите массу соли в растворе в граммах.
В10. Дана правильная четырехугольная усеченная пирамида со сторонами оснований 3 и 6 и боковым ребром 6.
Найдите объем пирамиды, вершиной которой является одна из вершин верхнего основания, а основанием — боко-
вая грань исходной пирамиды, не содержащая данную вершину. В ответ запишите 2y/l4V.
ВП. Дх) — нечетная функция, заданная при х < 0 формулой g(x) = 2sin2 лх - sin лх - 2. Найдите сумму корней
уравнения Дх) = 1, принадлежащих отрезку [-2; 2].
2х — 2
В12. Найдите сумму целых решений неравенства —— < 6х - х2 - 5.
128
Teem 10
Часть A
Al. Точки Ли В принадлежат окружности с центром в точке О, причем точка О не при- А В надлежит прямой АВ. Тогда отрезок АВ 1 * \ является для данной'окружности: у О 1 1) радиусом; 2) диаметром; 3) хордой; 4) касательной; 5) диагональю.
А2. Из функций ’=-, у>=х2-4, Тз“1“р у4 = 2х, у5 = 6х- 8 линейными являются: 1)УРУ5; 2) у,, у,; З)у3,у4,.у5; 4)у2,у3; 5)^,у3,у5.
АЗ. Вычислите | 3:3—+ —рЗО-О,^:-^. V 3 3J 250 1)37; 2)12,5; 3)24; 4)31; 5) 17.
А4. Один из смежных углов в 4 раза больше другого. Найдите величину боль- шего угла в градусах. 1) 124°; 2) 140°; 3) 135°; 4) 108°; 5) 144°.
л/з А5. Если cos и а —угол второй четверти, то tga равен: 1)-1; 2)- ‘ ; 3)-^3; 4)-1; 2 V3
А6. Результатом упрощения выражения |—— —+—-——2— Нл+15 5х2-45 5jc-15J 25х + 75 является: 4 4 х 1)—2) -4; 3)5; 4) у; 7 х+5 ' х-5 5 5) 20.
А7. Найдите значение выражения log3 2 • log2 9 • log0 5 8. 1)—6; 2)4; 3) -2; 4)3; 5)-3.
А8. Из точки А, не лежащей в плоскости a, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные. Найдите расстояние от точки Л до плоскости a, если известно, что проекции наклонных на плоскость а равны 3 и 4 >/з , а одна из наклонных на 3 больше другой. 1)5; 2)4>/3; 3)6; 4)4; 5)3.
А9. Результатом сокращения дроби fiV^"^2*2^ является: 2V3 — 3 + Зл/б 1) 7з; 2)2>/з ; 3) л/2 ; 4) 3 xll ; 5) >/б .
Зх + 2 А10*. Найдите значение производной функции у = в точке хп = 2. 1-х и 1)3,5; 2)-2; 3)2,5; 4)5; 5)-5.
АН. Найдите периметр прямоугольника ABCD с диагональю длиной 10 и вершинами в точках Л(-2; 3) и Z)(6; 3). 1)32; 2) 16; 3)4x121 +8; 4)20; 5)28.
А12. Если сумма первых п членов геометрической прогрессии выражается формулой Sn = 8(1 - 2_"), то второй член прогрессии равен: 1) 8; 2) 16; 3) 1; 4) 0,5; 5) 2.
А13. Найдите сумму целых решений неравенства (0,(3))'2х'5' > ~. 1)13; 2)10; 3)8; 4)15; 5)14.
А14. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения х log^ (х2 + 2х - 2) = log3 (х2 + 2х - 2). 1)—3; 2)0,5; 3) —1,5; 4)1; 5)2.
А15. В треугольной пирамиде с высотой 8 и объемом 216 проведено сечение, параллельное основанию и делящее высоту пирамиды в отношении 2 : 7, счи- тая от вершины. Найдите площадь полученного сечения. 1)18; 2)^-; 3)49; 4)4; 5)9.
А16. Найдите сумму целых решений системы неравенств [4jcT^-4>0, х + 4 [(х+6)(ТЗ-2)(х2+4)<0. 1)-10; 2)-11; 3)—9; 4)-13; 5)-15.
129
А17. Вычислите ^1»У<^277-ы,172--с.,7-,т82-) (2V2)-2 1)4; 2)2у12; 3)2; 4) у/2 ; 5)1.
А18. Биссектриса тупого угла В трапеции ABCD делит большее основание AD на отрезки AF = 5 и FD = 3 и равна этому основанию. Найдите площадь тра- пеции, если известно, что диагональ АС и биссектриса BF пересекаются в точке О так, что OF = AF. 1)26,4; 2)28,2; 3)32; 4)32,6; 5) 35,4.
Часть В
В1. Используя эскиз'графика функции нения fix) = lgO,l. у = fix), определенной на промежутке [-6; 6], найдите сумму корней урав-
i 1. \у1 : ।
- \ ! ! 4
\| а О Л 71
Г*) А- Л 'П 11 " t
-2^ 1 “V 1 к- 5 X
-Г JI 1
л . 1.!
1 ! 1 i !
В2. Наибольшее значение функции у = -9cos2x - 6sinx - 11 равно...
ВЗ. Из дачного поселка со скоростью 4 км/ч вышел пешеход. Через 45 минут из поселка в том же направлении выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Через сколько минут после выезда велосипедиста расстояние между ним и пешеходом будет равным 6 км?
В4. Стороны прямоугольного треугольника касаются сферы радиусом 10, а плоскость треугольника удалена от центра сферы на 6. Найдите площадь треугольника, если его периметр равен 96.
тя 2д2-6ab + 2b2 ~ 46-2д В5. Известно, что —х т- = 2 и ab<0. Найдите значение выражения . 2a2 + ab-4b2 а + ЗЬ
г^^ тт - - 2sinx(cosx + >/3sinx) - л/з Л В6. Найдите в градусах сумму корней уравнения 1 = 0, принадлежащих отрезку [0; 3 л ]. 2tgx + 2V3
В7. Дан треугольник со сторонами 8, 10 и углом a =arccos0,125 между ними. На меньшей стороне треугольника, как на диаметре, построена окружность. Найдите модуль разности длин отрезков, на которые делится большая сторона точкой пересечения с данной окружностью.
В8. Найдите сумму целых решений неравенства х—1) > о. 41og2 (х - 2) - 21og3(x2 - 4х + 4) + 4 v3
В9. Если (х0; у() — решение системы уравнений - х2 +|у-2х| = 12, , то значение выражения х равно... 5Х"”^+5 — 105-5х""^+2 = 500
В10. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения х2 -5х-30-12л/х-2 = 0 .
ВИ. АВСА[В}С1 — правильная треугольная призма с объемом 96. Через середину ребра АА} проведено сечение призмы плоскостью, параллельной прямым АС и CBV Найдите объем меньшей из частей, полученных в результате деления призмы данной плоскостью.
В12. Нечетная функция у =fix) определена при всех х 0 и при всех х > 0 задана формулой g(x) = х2 - 5х - 12. Найдите произведение корней уравнения fix) - -12.
ОТВЕТЫ К РАЗДЕЛУ 1
1. Рациональные числа и вычисления. Пропорция. Проценты. Иррациональные числа
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Номер правильного ответа 2 4 5 2 4 3 1 4 2 5 5 4 1 2 3 2 4 5 2
Номер задания 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
Номер правильного ответа 3 5 2 4 1 4 3 3 4 4 1 5 1 3 4 1 5 2 3
2. Тождественные преобразования алгебраических выражений. Вычисления
с использованием формул сокращенного умножения
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Номер правильного ответа 1 4 1 3 4 2 2 5 1 1 3 1 4 3 5 4 2 5 1 5 2
Номер задания 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
Номер правильного ответа 1 3 5 3 2 5 3 4 3 2 1 5 2 3 5 2 2 2 5 3 1
Номер задания 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
Номер правильного ответа 2 5 5 3 4 3 4 3 1 3 5 4 5 3 1 2 3 2 3 4 5
3. Линейные уравнения, неравенства и их системы. Линейная функция
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Номер правильного ответа 5 4 5 2 3 5 1 3 2 5 5 2 5 2 1 1 5
Номер задания 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Номер правильного ответа 3 1 3 2 3 4 4 5 4 5 3 2 3 4 4 1 3
Номер задания 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
Номер правильного ответа 4 1 4 5 4 5 1 3 3 2 1 4 5 2 5 2 5 2
4. Квадратные уравнения и неравенства. Теорема Виета. Квадратичная функция
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Номер правильного ответа 2 4 2 5 5 4 2 2 1 2 4 2 4 3 4 1 3
Номер задания 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Номер правильного ответа 1 3 1 4 5 2 1 2 5 4 2 1 3 1 2 4 3
Номер задания 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Номер правильного ответа 2 1 3 2 4 5 3 4 5 4 2 1 5 2 1 3
5. Рациональные уравнения и системы уравнений
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Номер правильного ответа 1 2 4 2 1 4 2 5 5 3 3 5 5 1 4 2 5 1 2
Номер задания 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
Номер правильного ответа 5 1 5 5 3 2 4 1 3 1 2 3 5 4 5 3 1 2 1
Номер задания 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
Номер правильного ответа 5 4 3 1 5 2 1 3 5 4 2 4 2 3 2 5 3
131
6. Рациональные неравенства и их системы
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . 13 14 15 16
Номер правильного ответа 1 4 3 2 4 4 4 4 5 4 1 2 1 1 2 1
Номер задания 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Номер правильного ответа 1 4 3 4 2 4 3 3 2 5 3 4 1 3 1 4
7. Текстовые и практико-ориентированные задачи
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Номер правильного ответа 2 3 1 3 5 4 1 5 2 1 5 2 4 4 3 4
з Номер задания 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Номер правильного ответа 1 5 4 5 2 1 4 2 4 5 1 3 4 3 1 5
Номер задания 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
Номер правильного ответа 5 4 2 3 2 4 4 2 4 5 1 2 2 3 2 3
8. Иррациональные уравнения и их системы
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Номер правильного ответа 3 4 2 5 1 2 3 4 3 5 3 4 5 2 1 2 1
Номер задания 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Номер правильного ответа 5 4 5 1 5 3 3 1 5 1 3 2 5 2 1 1 4
Номер задания 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
Номер правильного ответа 1 4 3 5 3 3 3 1 2 4 3 5 1 2 4 3 2
9. Иррациональные неравенства
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Номер правильного ответа 1 2 5 1 2 5 4 2 5 2 1 4 5 2 3 5 2 1 3 4 5 4
10. Модуль числа. Его свойства
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Номер правильного ответа 1 1 2 3 5 1 3 1 3 4 2 5
11. Уравнения с модулем
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Номер правильного ответа 1 4 1 4 5 3 2 3 2 4 4 5 1 2 2 4
Номер задания 17 18 19 20 ч 22 23 24 25 26 '27 28 29 30 31 32
Номер правильного ответа 5 3 3 2 1 - 4 5 1 3 2 1 2 3 4 1 1
Номер задания 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
Номер правильного ответа 3 5 4 5 5 2 4 1 4 5 1 2 3 4 2
12. Неравенства с модулем
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Номер правильного ответа 1 5 4 1 4 5 4 3 3 1 4 3 3 2
Номер задания 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Номер правильного ответа 5 2 2 3 1 2 4 5 5 4 5 4 5
13. Прогрессии
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Номер правильного ответа 2 2 4 3 5 3 1 4 3 1 4 5 4 5 2 2 4 5 3
132
Номер задания 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
Номер правильного ответа 5 5 4 2 2 3 2 2 4 2 3 3 2 5 1 5 1 4 2
14. Вычисление и преобразование тригонометрических выражений. Свойства
тригонометрических функций
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Номер правильного ответа 1 2 4 3 2 4 2 4 4 1 2 2 2 1 5 1 2 4 1
Номер задания 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
Номер правильного ответа 2 5 4 3 1 4 3 3 2 5 5 1 5 5 2 4 3 3 5 3
Номер задания 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
Номер правильного ответа 4 1 2 3 4 2 5 4 3 5 1 5 4 3 4 5 1 3 4 5
15. Обратные тригонометрические функции
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Номер правильного ответа 4 3 2 1 4 3 5 5 3 2 5 4 2
Номер задания 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Номер правильного ответа 5 4 1 2 4 3 5 3 3 4 2 2 1
16. Тригонометрические уравнения
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Номер правильного ответа 3 5 4 2 2 2 1 1 5 4 2 5 5 2 3
Номер задания 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Номер правильного ответа 2 4 5 3 1 1 1 2 5 3 4 2 3 5 3
Номер задания 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Номер правильного ответа 4 3 3 1 5 2 2 1 5 1 3 4 2 5 1
17. Преобразование показательных и логарифмических выражений. Свойства
показательной и логарифмической функций
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Номер правильного ответа 4 4 1 2 1 3 2 1 3 5 2 3 1 2 5
Номер задания 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Номер правильного ответа 3 5 2 4 5 4 1 1 3 5 4 1 3 3 4
Номер задания 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
Номер правильного ответа 2 3 5 2 1 5 3 4 1 3 1 2 5
18. Показательные уравнения
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Номер правильного ответа 1 3 5 2 5 3 1 1 2 4 4 3 5 4 4 1
Номер задания 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Номер правильного ответа 1 3 3 2 4 3 1 4 5 3 5 5 4 4 2
19. Логарифмические уравнения
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Номер правильного ответа 4 3 1 5 4 1 1 3 2 1 2 1 4 1 3 1
Номер задания 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Номер правильного ответа 2 4 2 5 1 5 2 1 1 3 2 3 4 4 5
133
20. Показательные неравенства
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Номер правильного ответа 4 3 4 2 2 5 1 4 4 3 1 3 3 3
Номер задания 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Номер правильного ответа 3 3 5 1 5 3 4 4 3 1 5 4 1 3
21. Логарифмические неравенства
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Номер правильного ответа 5 2 4 5 2 1 3 3 3 2 5 2 5 1 4 5
Номер задания 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Номер правильного ответа 1 5 4 2 3 1 1 3 1 1 2 5 5 3 4
22. Системы показательных и логарифмических уравнений и неравенств
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Номер правильного ответа 1 4 5 1 4 4 2 1 2 1 4 3 3 1 5 2
23. Свойства функций, их графики. Задачи в координатах. Диаграммы
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Номер правильного ответа 5 3 4 1 2 3 5 1 3 1 3 4 4 4 2 2 1 2 3
Номер задания 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
Номер правильного ответа 4 5 4 3 1 2 3 2 3 4 2 4 2 4 3 2 2 3 4
Номер задания 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
Номер правильного ответа 2 5 2 5 5 1 5 3 1 2 3 1 4 5 3 2 2 5
24. Производная. Применение производной
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Номер правильного ответа 3 3 1 1 4 5 2 5 1 1 2 4 4 3 2 4 1 5 3
Номер задания 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
Номер правильного ответа 2 2 1 4 5 1 2 4 5 2 3 3 4 1 1 2 2 1 2
25. Планиметрия
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Номер правильного ответа 5 3 5 4 1 3 3 2 5 2 1 3 5 4 4 2 3 5 3 3 5 4 5
Номер задания 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
Номер правильного ответа 2 2 1 1 4 1 - 5 2 4 2 4 5 2 4 2 4 3 3 4 5 1 4 4
Номер задания 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
Номер правильного ответа 1 2 3 2 4 2 1 4 5 5 1 3 2 1 4 5 2 4 3 2 1 2 3
Номер задания 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
Номер правильного ответа 2 2 3 4 1 5 1 5 5 3 5 1 3 3 4 2 2 4 4 2
26. Стереометрия
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Номер правильного ответа 2 4 5 3 3 4 1 2 4 3 2 3 2 1 5 4 5 3 4 1
Номер задания 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Номер правильного ответа 3 4 3 1 5 4 3 5 2 4 2 5 1 2 1 3 2 2 5 2
Номер задания 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Номер правильного ответа 4 2 3 4 1 1 5 3 5 1 2 4 3 4 3 2 5 1 4 1
134
Номер задания 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
Номер правильного ответа 5 4 3 1 1 3 2 3 2 3 4 2 3 1 5 2 1 3 4
Номер задания 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98
Номер правильного ответа 2 3 1 4 2 4 4 5 4 2 3 5 1 41 2 2 5 3 4
ОТВЕТЫ К РАЗДЕЛУ 2
Teem 1
Номер задания А1 А2 АЗ А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10 АП А12 А13 А14 А15 А16 А17 А18
Номер правильного ответа 3 2 5 3 1 2 1 5 5 4 4 1 5 2 5 3 4 2
Номер задания В1 В2 ВЗ В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 ВИ В12
Правильный ответ 4 24 540 25 64 -7 27 86 -16 6 9 6
Тест 2
Номер задания А1 А2 АЗ А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10 АП А12 А13 А14 А15 А16 А17 А18
Номер правильного ответа 4 3 1 5 5 2 1 3 5 2 3 2 4 4 1 5 3 5
Номер задания В1 В2 ВЗ В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 ВИ В12
Правильный ответ 14 10 32 25 -15 28 30 27 -12 24 240 -9
Тест 3
Номер задания А1 А2 АЗ А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10 АП А12 А13 А14 А15 А16 А17 А18
Номер правильного ответа 4 2 1 2 3 5 3 3 3 1 1 4 4 1 3 2 5 4
Номер задания В1 В2 ВЗ В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 ВП В12
Правильный ответ -1 -3 1 8192 8 5 12 20 96 64 4824 8
Тест 4
Номер задания А1 А2 АЗ А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10 АП А12 А13 А14 А15 А16 А17 А18
Номер правильного ответа 4 1 4 3 4 1 2 5 2 1 3 4 2 4 1 2 5 4
Номер задания В1 В2 ВЗ В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 ВП В12
Правильный ответ 20 5 105 405 5 175 4 35 -4 27 -12 15
Тест 5
Номер задания А1 А2 АЗ А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10 АП А12 А13 А14 А15 А16 А17 А18
Номер правильного ответа 5 1 2 4 4 3 5 1 3 2 5 2 1 2 3 4 2 3
Номер задания В1 В2 ВЗ В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 ВП В12
Правильный ответ 112 32 3 8 17 27 42 -3 12 -15 18 27
Тест 6
Номер задания А1 А2 АЗ А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10 АП А12 А13 А14 А15 А16 А17 А18
Номер правильного ответа 1 5 5 4 2 3 3 2 1 5 4 4 2 1 5 5 3 3
Номер задания В1 В2 ВЗ В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 ВП В12
Правильный ответ 22 28 35 -2 -30 -3 845 15 21 3 8 -10
135
Teem 7
Номер задания А1 А2 АЗ А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10 АП А12 А13 А14 А15 А16 А17 А18
Номер правильного ответа 4 1 3 5 2 1 1 2 3 4 5 5 3 2 2 4 2 1
Номер задания В1 В2 ВЗ В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 В11 В12
Правильный ответ 17 4 12 10 6 -3 405 2 20 8 12 -38
Teem 8
Номер задания А1 А2 АЗ А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10 АП А12 А13 А14 А15 А16 А17 А18
Номер правильного ответа 4 5 4 1 5 3 2 3 2 4 2 4 1 5 3 1 5 5
Номер задания В1 В2 ВЗ В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 ВП В12
Правильный ответ 36 -2 4 18 172 64 -13 12 8 24 -4 -240
Teem 9
Номер задания А1 А2 АЗ А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10 АП А12 А13 А14 А15 А16 А17 А18
Номер правильного ответа 3 5 3 2 2 1 1 4 4 2 4 1 4 1 2 3 4 5
Номер задания В1 В2 ВЗ В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 ВП В12
Правильный ответ 9 4 180 18 -40 -7 18 11 160 189 2 8
Teem 10
Номер задания А1 А2 АЗ А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10 АП А12 А13 А14 А15 А16 А17 А18
Номер правильного ответа 3 2 1 5 2 5 1 4 3 4 5 5 2 1 4 3 3 1
Номер задания В1 В2 ВЗ В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 ВП В12
Правильный ответ -3 -4 90 384 -7 630 3 64 9 11 20 -40
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Готовимся к централизованному тестированию. Математика / УО «Республиканский институт контроля знаний» Ми-
нистерства образования РБ. Мн., 2009.
2. Действующие учебники по математике для средней школы.
3. Азаров, А. И. Математика. Текстовые задачи. Школьный курс / А. И. Азаров, С. А. Барвенов, В. С. Федосенко. Мн.,
2005.
4. Азаров, А. И. Методы решения алгебраических уравнений, неравенств и систем / А. И. Азаров, С. А. Барвенов. Мн.,
2004.
5. Азаров, А. И. Методы решения планиметрических задач / А. И. Азаров, В. В. Казаков, Ю. Д. Чурбанов. Мн., 2005.
6. Азаров, А. И. Методы решения показательных и логарифмических уравнений, неравенств, систем / А. И. Азаров,
С. А. Барвенов. Мн., 2005.
7. Азаров, А. И. Серия «Тематический тренажер» / А. И. Азаров. Мн., 2008.
8. Азаров, А. И. Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач / А. И. Азаров, С. А. Барвенов.
Мн., 2004.
9. Ггнденштейн, Л<Э. Математика. Наглядный справочник с примерами / Л. Э. Генденштейн, А. П. Ершова, А. С. Ершова.
М., 2005.
10. Лисова, М. И. Планиметрия. Итоговое повторение / М. И. Лисова, О. Н. Пирютко. Мн., 2004.
11. Мерзляк, А. Г. Алгебраический тренажер / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. М., 2003.
12. Методы решения тригонометрических задач / А. И. Азаров [и др.]. Мн., 2005.
13. Централизованное тестирование. Математика: Сборник тестов / УО «Республиканский институт контроля знаний»
Министерства образования РБ. Мн., 2005—2009.