Н. А. Рубичев
ОЦЕНКА
И ИЗМЕРЕНИЕ
ИСКАЖЕНИЙ
РАДИОСИГНАЛОВ
071122
ffi Vv
оветское радио» 1978
t~
;
·- ·'
~il-;:t~~~:-':>-· ·: _ Г' 1
\
_, .,,,. .,.
1i
- ~L .:~f,r·,
"
/
Gl!. 3q!
/':) !)_/

ББКЗ2.842
Р82
УДК 621.391.83
Редакция радиотехнической литературы
Рубичев Н. А.
Р 82 Оценка и измерение искажений радиосигна-
лов. -М.: Советское радио, 1978. - 168 с., ил .
Цена 4'5 1с
Излагае тся еднныii по дход к И Зi\·1ере1-1ию иск аiке н111"1 непрерывных
сиr~налов в раднотехн11ческих системах. Приводятся структурные схемы
и зме рения суммарных искажений, способы расчета отд ель ных видов
искажений. Форi'l,1улируются требов ан ия к тестовы м сигналам.
Книга предназначена для широкого круга рад и ос п ец и алистов,
р аз р абаты!Зающих и исследующих характеристики систеы связи, п ри ­
см1ю-передающих н усил11тельных устройств, а также для спецналн ­
сто13 по измep!IТC JJ Ь"l-! Oi,i ТС.'<l!ИНС.
р
30405-031
046(01 )-78
©
27-78
ББ!<3 2.842
6Ф2.08
Издательс тво «Сове тск ое радио », 19 78 r.

Исследованием, измерением и нормированием иска­
жений при передаче и преобразовании сигнала в той
или иной ,степени занимаются ,специалисты всех обла­
стей радиотехники и смежных •С нею дисциплин. Преж­
де всего это ;<асается при емно -п ередающей и усилитель­
ной техники, связи, телевидения и электроакустики.
В последние годы в связи с быстрым развитием инфор­
мационно-измерительных ,систем различны е сигналы все
чаще ,становятся объектом и змере ний . Поэтому ,степень
искажений сигнала в процессе измерений начинает инте­
ресовать специалистов по метрологии и измерительной
технике, работающих в столь далеких друг от друга
областях, как, например, в области контроля радиоэлек­
тронны х комплексов, медицинской техники и диа гности­
ки неисправност ей механизмов и м ашин . Это вполне
естественно, поскольку во всех случаях носителем
информации на стадии ее обработки, как правило,
является электрический сигнал, а методы исследования
и преобразования сигналов в принципе одинаковы, хотя
частотные диапазоны этих сигналов могут быть сущест­
венно различными.
В пред,пагае:мой вниманию читателей книге иссле­
дуется метод оценки искажений сигнала, который в от­
личие от большинства традиционных методов позволяет
с единых позиций подходить к расчету и измерению
искажений различной физической приро ды. Получаемые
при этом величины более полно характеризуют степень
. искажений реальных ,сигналов, для работы с которыми
предназначена исследуемая система . Это, в свою оче­
редь, позволяет более точно оценивать качество выпол­
нения системой функций как на этапе ее проектирова­
ния, так и в процессе эксплуатации.
Значительная часть приводимых результатов публи­
ковала,сь в периодичесюrх изданиях, некоторые резуль­
таты приво дятся впервые.
Пользуясь случаем, автор выражает благодарность
В. Я. Розенбергу, многолетнее сотруд ниче ство с кото­
рым явилось одной из причин появления этой книги.
3

Автор признателен рецензентам книги заслуженному
деятелю науки и техники РСФСР докт. техн. наук, про­
фессору М. А. Сапожкову и канд . техн. наук М. У. Бан­
ку за ценные замечания, которые ,способствовали улуч­
шению книги.
Автор заранее благодарит читателей за все замеча­
ния и пожелания, которые просит направлять в изда­
тельство «Советское радио» по адресу: Москва, Глав­
почтамт, а/я 693.
Физические причины возr-rиююыс ш иска:жений ра­
диосигналов различны . Прежде вcet·u это нелинейность
и инерционность канала связи. Кроме того, искажения
происходят из-за внутренних поме х , аддитивных и муль ­
типликативных, а также из-за других факторов. В со­
ответствии ,с у,становившейся практикой искажения раз­
личной физической природы (нелинейные, линейные и
шумовые) оценивают и измеряют различными методами
и независимо друг от друга [2, 6, 34, 40, 42, 52, 55, 59,
74, 77]. Большинство этих методов мо:жно разделить на
две группы в зависимости от подхода к определению
количественной характеристики искажений, называе ­
мой оценкой искажений.
К первой группе отнесем методы, основанные на
использовании специальных тестовых ,сигналов, когда
степень ис1<ажений определяют только для этих сигна­
лов. Это методы измерения нелинейных искажений с по­
мощью однотонального или двухтонального сигналов
[2, 74, 84, 86, 104, 105] и метод полос шума [23], а так-
же оценка линейных искажений по изменению формы
тестового сигнала [18, 88] - косинус-квадратного им­
пульса [34], 'пачки прямоугольных импульсов [90], га ­
уссова импульса [8, 94], плавного перепада напряжения
в виде интеграла ошибок [81]. Достоинством такого
подхода является то, что оценка искажений, выражае­
мая числом, имеет четкий физический смысл и ее изме­
рение, r<ак правило, не представляет значительных труд­
ностей. Однако при этом остается отr<рытым вопрос
о том, в какой степени получаемая оценка характеризует
степень искажений реального сигнала, который будет
действовать на входе исследуемой системы при эксплуа-
4

тации и в общем ,случае может значительно отм1чаtься
от тестового ,сигнала . При выборе тестового сигнала
свойства реальных сигналов учитываются слабо.
Ко второй группе отнесем методы, при которых иска­
жения оценивают, основываясь только на виде характе­
ристик исследуемой системы, почти без каких-либо
предположений о виде передаваемого сигнала . Сюда
можно отнести оценку линейных искажений по неравно­
мерности частотных х арактеристик и нелинейности фа­
зовых [52, 85] или по переходным характеристикам
исследуемой ·системы; оценку нелинейности по неравно­
мерности первой производной амплитудной характери­
стики [34, 40, 95] или по максимальному отклонению
этой характеристики от линейной [25, 98], а также
большинство м етодов оценки шумовых и с кажений [41,
46, 76, 96, 97]. Получаемые при таком подходе числовые
оцеюш в какой-то степени характеризуют искажающие
свойства системы вообще, независимо от свойств пере ­
даваемого сигнала . Можно найти примеры, когда такой
подход являет,ся единственно возможным, например,
когда заранее неизвестен вид сигнала, для работы с ко­
торым предназначена исследуемая система. Нужно так­
же отметить, что знание характеристик системы (ча­
стотных, переходных или амплитудных) в принципе
позволяет при известных характеристиках передаваемо­
го сигнала определить любую числовую характери­
стику вы х одного сигнала. В этом смысле з нание этих
характеристик дает исчерпывающую картину искажений,
но метод получения меры искажений остается при этом
неопределенным.
При измерении искажений методами второй группы
оба подхода несколько сближаются, по,скольку во всех
случаях используют,ся некоторые измерительные ,сигна­
лы [89]. Например, оценить линейны е искажения по
переходным характеристикам можно ,с помощью перио­
дической последовательности прямоугольных импульсов,
т. е. ,с помощью тестового ,сигнала . Так же нелинейные
искажения могут быть измерены с помощью пилообраз­
ного тестового ,сигнала. Однако в это~1 сл учае, в отли­
чие от методов первой группы, форма тестового ,сигнала
вытекает и~ определения оценки искажений и в общем
случае не является единственной . Например, неравно­
мерность частотной характеристики можно измерять
с помощью син усоидального сигнала перем е нной часто­
ты и шумового сигнала с равномерны м спе к тром .
5

Упомянутые методы достаточно х орошо исследованы
как теоретичес1ш, так и практичео;и. В меньшей степени
исследованы методы оценки искажений реальных -сигна­
лов. Вероятно, первой попыткой предложить такой ме ­
тод является разработанный в 1937 г. А. А. Харкевичем
способ оценки линейных искажений по среднеквадратич ­
ному критерию [79]. В этой работе рассмотр е н ряд при­
меров детерминированных ,с игналов в предположении,
что исследуемая система не вносит задержки в переда­
ваемый сигнал и ее эквивалентный 1,оэ ффициент пере­
дачи независимо от вида передаваемого сигнала равен
коэффициенту п е редачи на н улевой частоте.
Дальнейшее ра зв ити е эт от метод получил в работах
Г. А. Левина и Б. Р. Л ев иIIа [37, 38], в которых также
рассмотр е н случай линейного преобразования детерми­
нированных сигналов, но эквивалентный коэффициент
передачи и эквивалентное время запаздывания опреде­
ляются таю~м образом, чтобы сигнал на выходе реаль­
ной системы и сигнал на выходе идеальной, неис1,ажаю ­
щей -системы отличались наименьшим образом по
среднеква д ратичному критерию. Это минимально воз ­
можное значение критерия ра зл ичия трактуется как ме­
ра искажения . Примеры при ме н ени я такого подх ода
к оценке линейных и-с1,ажений случайных сигналов при ­
ведены в работах [ 1, 82 , 91 1102].
Этому методу оце нки линейных ис1, ажени й аналоги ­
чен мет-од статистической линеаризации нелинейных бе ­
зынерционных элементов с ист е м автоматического регу ­
лирования, предлож е нный И. Е. Казаковым [26]. Мини­
мально возможное значение ~шадрата разности выход ­
ных -сигналов линейного и не л инейного элементов можно
было бы использовать для оценки н елинейных искаже ­
ний реальны х ,си г налов. О д на1<0 автору неизв естны рабо­
ты, в которых исследовался бы такой п одхо д к анализу
нелинейных искажений.
Из известных автору мето д ов измерения нелинейных
искажений только метод, предложенный В. М. Вольфом
[9], применим для измерения искажений реальных -сиг­
налов. (Перечень работ, содержащих теор е тичес к ое обо ­
снование этого метода и -способов его аппаратурной
реализации, можно найти в [59, 74]) . Этот метод по­
зволяет измерить спектралы~ую плотность и, -следова­
тельно, мощность продуктоn н ел ин е йных ис1, ажений.
Однако при измерении этим м ето до м в п е редаваемый
сигнал вносятся линейные искажения, которые моrут
6

оказаться недопустимыми при эксплуатации [9, 99].
Этот метод наиболее удобен для исследования многока­
нальных систем ,связи [6].
Конечный результат действия различных искажаю­
щи х факторов, несмотря на их различную физическую
природу, одина1<ов: сигнал на выходе ·системы отличает­
ся по форме от сигнала на ее входе . Поэтому было бы
целесообразно оценивать различные исЕажения с еди­
ных позиций. Однако все упомянутые методы оценки
искажений применимы к искс1жениям тоJТько одного
вида. Причиной этого, по мнению автора, являет,ся то,
что определяющим для этих методов являет,ся способ
измерения, в большинстве ,случаев связанный с тем или
иным тестовым ,сигналом, подверженным в основном
искажениям только одного вида, а оценка (мера) иска­
жений зависит от •способа изыерения.
Исключение составляет предложенный М. А. Сапож ­
ковым корреляционный метод [70], который применим
к оценке искажений всех видов независимо от их физи­
ческой приро ды. Мерой искажений в этом случае слу­
жит отличие максимума модуля коэффициента корре­
ляции между входным и выходным сигналами от едини­
цы. К этому методу многократно возвращались [24, 47,
74, 93], однако он не получил должного развития,
в частнос ти совершенно не исследовали •сь вопросы ди­
агност ики искажений.
Другим методом, применимым к оценке искажений
реальных сигналов, является метод, основанный на
сравнении автокорреляционных функций сигналов на
входе и выходе исследуемой системы [31, 51, 71, 73].
Одна1<0 п рактиs1ес1ш этот метод разр або тан слабо. Кро­
ме того, он в принцrr.1е не применим к анализу фазо ­
вых искажений.
В [ 19] искажения сигнала оцениваются величиной
искажений диаграммы неопределенности.
Большое разнообра з и е не связанны х д руг с J lpy1·oм
методов 01LеНJш ра з личных ис1<аж:е ний •Ставит зада чу
исследования эт и х методов, их возможностей и ограни­
чений . Такое исследование вполне возможно при едином
подходе 1, оценке различных искажений .
В ,связи с изложенным представляются полезной
разработка единого метода оценки искажений, приме­
нимого к искажениям любой физической природы . К это­
му методу, по мнению автора, целесообра з но предъявить
следующие требования ,
•
•
7

1. Должна быть получена оценка искажений реаль­
ного ,сигнала, для работы с которым предназначена
исследуемая система, что в принципе позволит контро­
лировать иска:жения в процессе эксплуатации.
Поскольку передаваемый сигнал, как правило,
являет,ся -случайным или почти случайным, метод дол ­
жен быть статистическим.
2. Оценка искажений должна даваться в виде одно­
го числа. Это позволит сравнивать по степени искаже­
ний различные ,системы одинакового назначения, выби­
рать оптимальные значения отдельных параметров си­
стемы, оперативно контролировать искажения, использо ­
вать результаты :контрОJlЯ для автоматичеокой подстройки
системы с целью уменьшения искажений.
Оценка искажений с помощью ОДНОГО числа оправда­
ла ,себя в существующих методах оценки нелинейных
искажений. В то же время, если искажающие свойства
системы характеризуются группой параметров (напри­
мер, при оценке линейных искажений по переходным
характеристикам), результаты измерений оказываются
трудносопоставимыми, имеется не1{0торый произвол
в нормировании различных показателей и ряд других
трудностей.
3. Желательно, чтобы получаемая оценка искаже ­
ний имела четкий физический смысл.
4. При необходимости после получения оценки иска­
жений должна иметься возможность дополнительного
исследования продуктов искажений, аналитического или
экспериментального (спектрально-корреляционный ана­
лиз, статистический и т . д.) .
5. Для выявления причин искажений должна быть
предусмотрена возможность выбора тестового сигнала,
подверженного в основном одному виду искажений. При
этом степень искажений тестового сигнала должна быть
адекватна степени искажений реального сигнала в иссле­
дуемой системе.
Тенденция приближения тестового сигнала I< реаль­
ному наглядно проявляет,ся в усложнении тестовых сиг­
налов для измерения нелинейных искажений - от одно ­
тональных сигналов переходят к двухтональным и
шумовым. При этом руководствуются в основном эври ­
стическими сообрюкениями, тогда как более обоснован ­
ным является формулирование требований к тестовому
сигналу на основе ,сравнения характеристик, обусловшr-
вающих степень искажений ,
•
8

В. Аппаратура дfiя йзмеренйя йскюi<еi-rИй liб еДйНО ·
му методу должна быть достаточно простой; ж:елатель­
но, чтобы она состояла в основном из серийно выпускае­
мых приборов.
Необходимо отметить, что в полном объеме этим тре­
бованиям не удовлетворяет ни один из традиционных
методов.
Исследовать и-скажения -сигнала необходимо в двух
тесно примьшающих друг к другу направлениях.
Первое направление - методологическое, включаю­
щее в ,себя определение понятий искаженной и н еисr< а­
женной передачи сигналов и дающее рекомендации от ­
носительно выбора числовых величин, характеризующих
степень ис1<ажений. Сюда же относится задача ра-счета
этих величин при известном виде хара1,теристик исс ле ­
дуемой системы в процессе ее прое1,тирования .
Основные понятия «неискаж: ающая ,систе м а» и «ис1, а­
жения ,сигнала», несмотря на 1,ажущуюся очевидность,
не являются про-стыми. Прежде всего н е обходимо отме­
тить, что эти понятия не во всех случаях несут одина­
ковую смысловую нагрузку. Например, в телевидении
и при некоторых видах измерений неискажающая си­
стема должна сохранять форму ,сигнала, а в монофони­
ческих электроакустических системах и при некоторых
других видах измерений достаточно сохранять форму
амплитудного или энергетического спектра. Поэтому
при корректном введении величин, характеризующих
искажения, пре жде всего необходимо дать четкое опре­
деление этих понятий.
Второе направление - измерительное, ,связанное
с экспериментальным определением величины, характе­
ризующей искажения. Очевидно, что алгоритм измере­
ния должен вытекать из опред еления оценки искажений,
Однако, как уже отмечалось, в традиционных методах
это не всегда та к.
В данной книге делается попытка предложить еди­
ный м етод оценки искажений [56-58], удовлетворяю­
щий сформулированным требованиям, и он исследуется
в упомянутых направлени ях .
Предлагаемый метод оцен ки искажений реального
сигнала основан на сравнении по некоторому критерию
выходных ,сигналов исследуемой и неискажающей си­
стем. Исходными при этом явились упомянутые работы
А. А. Харкевича, Г. А. Левина и Б . Р. Левина, И. Е. Ка­
закова и М. А. Сапожкова. Этот метод создавался
9

1-li:ifJ~iШJeJibHo с обще1~1 теорне,~1 1·оч}iости й зме μитеj1ьi01ьtх
систем, развиваемой В. Я. Розенбергом [53, 54], и
является одним из примеров приложения идей этой тео­
рии к практическим задачам.
Изложение сопровождается простейшими примерами
расчета, цель которых проиллюстрировать, по возмож ­
ности с наименее громоздкими выкладками, примени ­
мость излага ем ых и де й к реш е нию конкретных зад ач.
Этой же цели служит описание не1<0торых эксперим е н­
тов по измерению искажений.
Основным математическим аппаратом книги являет ­
ся теория ,случайных про цессов . Предполагается, что
читатель знаком с ней, например, в объеме книг
Б . Р. Левина [36] или В . И. Тихонова [78] .

Глава 1
ОБЩИИ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ИСКАЖЕНИИ
ПЕРЕДАВАЕМОГО СИГНАЛА
1.1 . Разделен'не преобразованного с,нгнала на полезный
сигнал н продукты нскаженнн
Пусть в результате преобразования входного воз­
действия х (t) исследуемой системой на ее выходе на ­
блюдает,ся реакция
у (t)=.A {х (t)},
(1.1)
где d - некоторый оператор, определяемый внутрен ­
ней структурой ,системы. Например, если исследуемая
система нелинейна и безынерционна, то у (t) =f [х (t)],
где f( ·)
-
нелинейная амплитудная характеристика си­
стемы.
Для стационарной линейной си,стемы
CXJ
у(t)= _\х(t-
't) h ('t) d't,
о
где !i - импульсная реакция системы.
Если на передаваемый сигнал накладываются адди ­
тивный н мультипликативный шум, то
у(t) =С(t)Х(,f) +z(t),
где с (t), z (,t) - случайные процессы.
Для краткости функции x(i) и y(t) будем называть
соответственно входным и выходным ,сигналами. В при­
веденных примерах это так и есть. Однако в общем слv­
чае x(t) и y(t) не обязательно будут совпадать с яимt1
сигналами. Например, при исследовании искажений
в радиоприемнике под входным воздействием х (t) ,сле­
дует понимать огибающую входного ,сигнала (при при­
еме амплитудно-модулированного сигнала) или откло­
нение мгновенной ча,стоты от частоты несущей (при
приеме частотно - модулированного ,сигнала), а под ьы­
ходной реакцией у (t) - электрический сигнал на выходе;
11

УНЧ или акустичес1шй сигнал на выходе громкоговори­
теля. При исследовании модуляторов входным воздейст­
вием является модулирующий сигнал, а у (1i) - огибаю­
щей или отклонением мгновенной ча,стоты выходного
сигнала. При исследовании смесителей х (t) и у (,t) пред­
ставляют собой огибающие входного и выходного сиг­
налов.
Говоря о разделении преобразованного сигнала у (t)
на полезный сигнал Уп (t) и продукты искажений ·~ (1t),
прежде всего необходимо определить понятие неиска­
жающей, идеальной системы, для которой y(t) =Уп(t),
т. е . весь выходной сигнал является нолезным, а про­
дукты искажений отсутствуют. Как уже отмечалось во
введении, такое определение не может быть универсаль­
ным, одинаковым для всех систем. Во многих •случаях
необходимо считать, что ис1<а:жения отсут,ствуют только
в том случае, если в процессе преобразования сигнала
изменяются его масштаб (линейное усиление или ослаб­
ление), задержка и постоянная ,составляющая, т. е.
y(t)=kx(t-'t)+a.
(1.2)
Такое определение идеальной ,системы необходимо
применять во всех ,случаях, когда интерес представляет
непосред,ственно форма передаваемого сигнала, как, на­
пример, в телевидении, импульсной технике, при пере­
даче измерительной информации. На таком представле­
нии об идеальной системе основаны существующие ме­
тоды оценки нелинейных искажений по неравномерности
первой производной амплитудной характеристики ,систе­
мы и методы оценки линейных искажений по переход­
ным характеристикам или фазовым.
Для краткости нс-следуемые системы, для которых
идеальное преобразование определяется ,соотношением
(1.2), будем условно называть видеотрактами.
Для не которых систем (например, в монофонической
электроакустике) соотношение (1.2) является чрезмерно
жестким, поскольку из - за особенностей восприятия зву­
ка человеком важно сохранение формы не ,самого сигна­
ла, а его амплитудного яли энергетического спектра
(при отсутствии сдвига по обеим осям координат в час­
тотной области) . Это обстоятельство учитывается в су­
ществующих методах оценки искажений в электроаку­
стических трактах. Например, при измерении нелиней­
ных искажений с помощью двухтонального сигнала в их
12

оценке учитывают только амплитуды гармоник ,с ком­
бинационными частотами, фазовые же сдвиги между
основными тонами на выходе системы не учитывают.
Точно так же линейные искажения в этих -спучаях оце­
нивают только по неравномерности ча.стотной характе­
ристики, фазовые характеристики при этом не рассма­
тривают, предполага я, что они не влияют на качество
передачи.
В этом 01учае неискаж:ающей можно ,считать линей­
ную систему с равномерной частотной характеристикой
и произвольной фазовой
y(t)= 2~ J{e/'"t+cp(w)J fx(t)e-j"'tdt}dш+a. (1.3)
-00
-00
Если идеальная система задана ( 1.3), то она в общем
случае будет иметь бесконечную память и ,соответствую­
щая этой системе импульсная реакция будет физически
не реализуемой . При аналитических выкладках физи­
ческая нереализуемость идеальной системы не играет
роли. Тем не менее необходимо учитывать, что если
сигнал х (.t) ,существует на конечном интервале времени
[f1; t2], то выходной ,сигнал реальной -системы может
существовать на полубесконечном интервале [1t1; оо),
а выходной ,сигнал идеальной системы - н а всей беско­
нечной оси времени.
В дальнейшем системы, для которых идеальное пре­
образование определено ( 1.3), будем условно называть
электроакустическими, хотя такое определение возмож­
но и в некоторы х других случаях (например, при ана­
лизе искажений -сигналов во входных цепях корреломет­
ров и анализаторов спектра). Для систеи же ,стереофо­
нич еского вещания важны не только амплитудные, но и
фазовые соотношения, по этому для них неискажающее
преобразование должно определяться в соответствии
с (1.2).
Поскольку возмо:жны и другие определения идеаль­
ных систем'~), будем в общем ,случае считать, что неис­
кажающие -системы преобразуют входной ,сигнал в со-
*> На.пример, при исслещ:шании систем записи и воспроизведе­
ния сигналов идеальным можно считать преобразование у (t) =
=lгх (уt-т)+а, где !г, у, т и а-,константы, т. е. в э·юм случае
может допус1<аться некоторое изменение временного масштаба и
соотвстстпс1 шо масштаба по оси частот в частотной области.
13

ответствии с некоторым оператором Sil, зависящим от
параметров а1, ... , ат:
В дальнейшем ограничимся рассмотрением операто ­
ров .si, задаваемых (1.2) или (1.3). В первом случае
параметрами идеального преобр а зования являются k, ,
иа,вовтором- k,аиер(w).
•
При определении идеальной системы в соответствии
с (1.2) или (1.3) предполагается, что требования к точ ­
ности значения коэффициента передачи существенно
ниже, чем 1, точно-сти сохранения формы передаваемого
сигнала или формы его спектра. Например, предпола ­
гается, что при проектировании или построении системы
отличие коэффициента передачи от номинального на
10% практически не влияет на ее качество, в то время
как искажения в 10% могут оказаться -существенными
или даже недопустимыми. В ряде случаев (например,
в измерительных устройствах), требования к точности
коэффициента передачи и соответственно к точности
времени задержки могут быть одного порядка ,с требо ­
ваниями к точности сохранения формы. При этом соот ­
ветствующие параметры в _ идеальных системах должны
быть оговорены и зафиксированы.
Припишем реальной -системе, описываемой операто ­
ром Sil, такие параметры оператора идеальной -системы
а;о (i= 1, т), при которых сигналы у (t) и [J (t) при одном
и том же входном воздействии отличаются наименьшим
образом. Критерием отличия может служить любой не­
отрицательный функционал F{y (t); у (t) }, обращающий­
ся в нуль при y(t) = [J(t) *). (Подробнее вопрос о выбо­
ре и представлении критериев отличия -сигналов будет
рассмотрен в § 1.2.)
''') Строго говоря, большинство применяемых ·критериев обра ­
щаются в нуль, если у (t) = у (t) почти всюду. Исключение состав­
ляет ·критерий равномерного приближения. Для реальных сигналов,
являющихся непрерывными и ограниченнымн функцнямн времен и,
равенство функций по•п11 всюду эквнвалент1ю нх тождестве1111ост11.
Однако этр замечание может быть существенным, eCJIII значения Р
определяются не н епосредственно сигналами у (t) и fj(t), а некото­
рыми операторами от 1111х (шшрнмер, энергетическими спе1<трыш ,
,1ЛОТIIОСТ51МИ вероятщJсти).
•
14

;i'аrшм образом, для определения aio имеем уравне­
ние
F {у(t); у(t;а1;...; ат)}= min.
(1.5)
ct1 ' ••• ' С1,п1
Это условие эквивалентно условию наилучшей аппро­
ксимации функции у (t) функцией [} (t; щ; ... ; ат). По­
этому исследовать ,существование и единственность ре­
шения уравнения ( 1.5) можно методами теории аппро­
ксимации (10].
Получив параметры идеальной системы, наиболее
близкой к исследуемой, сигнал у ( t) можно разделить
на полезный •сигнал, которым является сигнuл на выхо­
де идеальной системы с параметрами aio, и продукты
искажений:
(1.6)
1.2 . Кр,нтер,нн разnнчня снrнало:в
Оценка различия сигналов применительно к рассматриваемой
задаче и другим аналогичным ей - одна из сторон оценки 1{ачества
выполнения системой функuий. Поэтому для ·краткости будем упот­
реблять термины 1{ритерий различия сигналов и критерий качества
системы в одинаковом смысле, хотя второй термин в общем случае
более емкий.
Любая оценка качества имеет 11рактический смысл только в тех
случаях, когда на ее основе сравниваются различные системы оди­
накового назначения, оптимизируются значения отдельных парамет­
ров системы для получения наивысшего ·качества или проверяется,
контроларуется качество. Поэтому пр ;:-5J!ема выбора 1<ритерия тесно
связана с теорией оптимальных систем. Несмотря на различные на­
значения этих систем, подход к оценке ·качества •одинаков в различ­
ных ·областях техники: в автоматике [!, 3·0, 44], телевидении [33],
связи и радиотехнике [,12, 36, 43]. Этот подход сводится к сле­
дующему.
Пусть исследуемая система преобразует сигнал х (t) в сигнал
у (t) в соответствии с не1<оторым оператором .sl- .
Тогда различие
выходных сигналов реальной системы у (t) = .sl-{x (t)} и идеальной
y(t) =d{x(t)} (где .si'- некоторый желаемый оператор, определяе­
мый назначением системы) для конкретного сигнала x(t) оцени­
вается средним по времени от некоторой функции потерь:
~
1 st·
~
F{х:(t)}= F{у(t);у(t)}= t-=т р[у(t);у(t)]dt,
2
1
(1.7)
t,
где 1[,t1; f2] - интервал времени, на ·котором xoтit бы один из сигна­
лов у (t) и fj (t) отличен от нуля; в общем случае этот интервал
отличается от интервала существования х (t) .
15

1:сли cиriiaJiы y(f) и y(t) им е16т !<6печную энергиiо, 1;0 M rt oЖ H-·
тель 1/ U2-t1) можно опустить. Если же эти сигналы заданы на
бесконечном или полубесконечном интервале вр е мени и им е ют ко­
нечную среднюю мощность, то F вычисляется предельным перехо­
дом при f1--+- -oo и i2--+oo .
Функция потерь р должна удовлетворять условиям: р;;,,:О, р= О
при y=fj. Большинство применяемых функций п отерь можно пред­
ставить как функцию разности e(t)=Y1(,t)-fj(t), т. е.
р(у; У) =р (у-у} =р (е) .
(1.8) .
При этом р(О)=О, р(е) не убывает при е>О и не возрастает при
е<О .
В табл. 1 приведен ряд функций потерь для неко торых часто
применяемых критериев.
Критерий
Среднеквадратич-
ный
Среднеквадратич-
ный с весом
Средне модульный
Ин т ервальный
Равномерного
приближения
Таблица 1
Физическая трактов~,;а
критерия
Энергия или сред-
няя мощность ошибки
-
Постоянная состав-
ляющая результата
двухполупери одного
выпрямления ошибки
Отно1сительное вре-
мя пребывания ошиб -
кн вне интервала [п;
т]; для стационарных
случайных процессов
совпадает с вероят-
НОСТЫО
пребывания
вне этого интервала
Пиковое значение
результата двух п олу-
ттериодного выпрямле-
ния ошибки
Ф ующня потерь р (,,)
s2
q[x(t); t] s2, q~O
]sl
!, е<п,
О, n<е<т,
1, s>m
max Js/
Аргументами функций потерь могут быть не сами сигналы,
а некоторые определяемые ими фу нкции, например спектры, авто­
корреляционные функции, плотности вер -оятности. В этом случае
,..
1•
F{х(t)}=г _ r \р[Qy(r);Q~(г)]clr,
2
1J
у
(1. 9)
г,
16

i'де Qy (f ), Q~ (r) ~ сравrш 1ЗаеМЬit xapaicfepнt•ri1kti cHfнaJid в у (t) и
у
jJ(t); 1[r1; r2] - интервал существования этих характеристик , Исходя
из физического смысла хара'Ктеристики Q(г), которая в большинстве
случаев оказывается интегрируемой функцией, нормирующий мно•
житель 1 / (r2-r1) в (1.9) можно опустить .
В § 2.3 будет показано, что сравнение по среднеквадратичному
критерию сигналов на выходе реальной и идеальной системы, опре•
деленной в соответствии с (1.3), в ряде случаев можно заменить
сравнением амплитудных или энергетических спектров сигналов у (t)
и iJ (t) на всей оси частот , за исключением точки со= О. Другими
примерами могут служить оценки нелинейных искажений по степени
различия -одномерных распределений •[7] и искажений по степени
различия автокорреляционных функций 1[31, 71, 73] .
Если необходимо оценить качество системы для множества
входных сигналов Х (что в большинстве случаев и представляет
практичес'Кий интерес), то чаще всего используют математическое
ожидание F {х (t)} на этом множестве
Fx =М [F{x (t)}].
(1.10)
Далее в основном будем предполагать, что передаваемый сигнал
является реализацией стационарного случайного процесса. Тогда для
определения критерия различия достаточно провести одно из усред•
нений по формуле (1.7) или (1 .10) и
00
Fx= F{х(t)}=Sр(е)W8 (е)de,
( 1.11)
-00
гдеw. -
плотность вер о ятности ошибки е (t).
При определении критерия качества на множеств-о реализаций
нестационарного эргодического процесса 1[80] также возможно толь­
ко одно усреднение - усреднение по времени. В этом случае можно
применить формулу (1.,11), если под w. (в) понимать результат
усреднения одномерной плотности вероятности w. (в; t) по времени:
t,
W 8 (е) =А 5w,(c; t)dt.
2-1
1.
При задании w. таким образом фор ,му ла ( 1.Н) для F х справедлива
для произвольных случайных процессов, но оказывается не приме •
1шмой для вычисления F{x(t)}.
Другим методом оценки различия сигналов на не1ютором мно­
жестве входных сигналов явлнется задание F х в виде
Fx = max F{х(t)},
х (l)EX
(1.12)
т. е. среди множества сигналов Х находится такой сигнал х (t), при
ко тором критерий различия y(t) от jJ(t) достигает максимума .
В ;:этом случае ~ля всех х (t) ЕХ различие"l! !>.IJ_{.О&!_!;L~~.:н алов реаль­
но и и идеальнои систем F {х (t)} н~ будет.-IIр.евышать 'F x. Для ста•
2-363
о7i122j •::~-~;:'(::,е;,,,<r ,-,
•,'
•
17

Uиottaptrыx случа~'r н ых .i1р<.Щессов задание Рх (i.10) и (!.! ~) являе·i· ­
ся эквиваJiентным, поскоJiьку для них средние по вре.мени совпадают
для всех реализаций .
Наиболее часто применяют среднеквадратичный критерий. Это
обусловлено двумя причинами: во-первых, этот ·критерий, представ­
JIЯЯ собою энергию или среднюю мощность ошибки, имеет четкую
физическую интерпретацию; во - вторых, вычисления, связанные с его
применением, -оказываются значительно проще и выполнимы для
более широкого класса задач, чем при других критериях. Например,
при •Оценке J1ю1ейных искажений произвольного случайного процес­
са х (t) необходимо знать выражение для .плотности вероятности
ошибки •в (t), ·которая в этом случае может трактоваться 1,ак резуль ­
тат линейного преобразования процесса х (t). Задача определения
плотности вероятности результата линейного преобразования случай­
ного процесса пока не получила исчерпывающего решения. Однако
если 1,ритерий среднеквадратичный, то его з н ачение можно опреде­
лнтr,, зная только авт01юрреляционную функцию процесса х (t). Ска­
заююе, однако, не означает, что среднеюзадратичный критерий явля­
ется универсальным. Например, если сигнал с выхода исследуемой
системы поступает на пороговое устройство, то существу задачи
в большей степени будет соответствовать оценка различия сигналов
по вероятности пребывания ошибки вне некоторого интервала
(интервальный критерий). Аналогичные примеры можно привести
и для других хритериев.
Критерий равномерного прибJiижения ( ориентируясь в некото­
ром смысле на наихудший случай) можно .использовать дш1 оцеIIЕП
сверху значений других ·кр~периев. Действительно, если функция
потерь имеет вид (1.8), то для всех критериев справедливо нера­
венств .о
где F рп - критерий рав но мерного приближения.
Эта ,оце1-ша является весьма завышенной. Например, для интер­
вал ьного критерия получаем тривиальный результат F:::;;l, если
fvп>min (lnl, т), в противном случае F=O . Для сре дне квадратич­
ного критерия F,,;;;f 2 p,п- Достоинством этой оценю-, , несмотря на ее
завышенность, является то, что для ее опр еделения необходимо ми­
ним аJi ьн ое количество информации об ошибке в( ,t), хотя объем вы­
числений для определения fрп может оказаться значительным.
Одна](о для нехоторого ·класса сигналов (например, для нормальных
случайных процессов) F р,п = со и приведенное нерав енство оказы ­
вается неинформативным.
В общем случае критерий качества систем ы не может быть по­
лучен толь·ко теоретически на основе -математичесюrх или Jiогиче ­
ских рассуждений, его следует -определять, исходя из назначения
системы, анализа условий ее эксплуатации и т. д. Это обстоятель ­
ство подчеркивается во всех упомянутых работах, в 1<0торых обсуж ­
дается вопрос выбора J( ри терия качества.
В процессе оптимизации системы, изменяя ее свойства, доби­
ваются минимального значения критерия различия сигналов, в рас­
сматриваем-ом случае минимума искажений сигнала . Вообще для
различных ,критериев опти.мальными будут различные системы . Одна­
ко для некотор.ого класса систем, сигналов и критериев система,
опти.маJiьная по одному из ·к ритериев этого KJiacca, будет оптималь­
ной и по всем другим критериям того же класса. Например, в (30]
18

показа110, что 11собходимым и достаточным условием этого при функ­
ции потерь вида ( 1.8) является одноверш и нность и симметричность
условного распределения w [х/у) . Аналогичный результат в предпо­
ложении о высокой точности системы -приведен в ,[12].
Некоторые возможности замены I<ритериев имеются при контро ­
ле годности исследуемой системы для нор.мального фушщионирова­
н ия. Действительно, пусть 'I<ачество системы оценивается по крите ­
рию F1 и она считается годной, если F1 ~F 1 доп- Тогда проверку с:.•­
стемы по кр ите рию F 1 можно заменить провер ,кой п о критерию F2,
есл и можно найти такое F2доп, что для всех сигналов x(t)EX из
условия F2~F2доп будет вытекать условие F1~Fiдoп- Например , если
F1 - интервальный критерий, а F 2 - среднеквадратичный, то из не­
равенства Чебышева · [Зб] имеем F1~F~[min (lnl; т)]- 2 . Тогда при
F2доп = F1дoп' [min ( JnJ; т)] 2 из неравенства F2 ~F2 доп будет следо ­
вать нерав енство F1~F1доп-
В соответствии со сказанным о критерии равномерного прибли­
жения 1,онтроль по любому 1<ритери10 вида ( 1.8) можно свести
к контролю по критерию равномерного приближения, если только на
множестве Х он не обращается в бесконечность.
Потерям и при такой замене критериев будет то, что часть год-
ных аи,стем, т. е . тех, дл.я кото,рых
•
F1~F1 доп, будут бр ,ююваться, 110-
скольку для них может оказаться
F2>F2доп - Таа,им обр'азам, за-м,е,на
z-f(x)
критер.иев п.ри ,в-од•ит к ужесгоче-
нию требо,ва:ний п1ри ко~п1роле.
Утвержден11е о том, что крите-
Рис. 1.1.
рий качества системы в целом не
может быrгь получен на основ1: только теоретических рассуждений,
11е отр.ицает необходимость определения ·критерия качества отдель­
I!ЬIХ устройств, входящих в эту систему, если задан ее ·к ритерий
качества. Здесь уместно привести слова академика А. А. Харкевича
[79]: ,«Следует прежде всего точно определить функцию аппарата
и установить, во - первых, предъявляемые к нему требования, во - вто­
рых, вытекающие из этих требований свойства аппарата и, в - третьих,
критерий их оцен,ки. Далее, выбирая тот или иной способ описания
свойств аппарата, надлежит установить соответствие ме)кду этим
спос-обом опи сан ия и выбранным критерием и не упускать этого со­
ответствия в течение всег.о последующего исследования». Поэтому
задание кр11териев качества отдельных устройств без уче т а Еритерня
качества системы в целом, I1езависнмо д руг от друга и без учета
стру1<туры системы 11еправилы-10, так как не позволит решить ·конеч­
ной задачи - обеспече ния требуемого качества системы при ее опти ­
мизации. Проиллюстриру ем это простейши -м примером.
Пусть исследуемая система, предназначеннап для передачи гар•
монического колебания, представляет 1<ас1<ад1-rое соединение нелиней,
иого элемента и фильтра нижних частот (ФНЧ) и ее •качество ха-,
рактеризуется мощностью высшнх гармони-к сигнала у (t) (рис. 1.1) ,
Тогда оц енка 1<ачества нелннейного элемента по мощности всех вые-.
ших гармоник сигнала z(t) будет неправильной. Н е обходимо учиты­
вать мощность толь,<о тех гармоник, которые находятся в полосе
пропускания ФНЧ. П оэтому элемент с н елинейностью тр етье го по­
рядка пpII равно ~ ~ нлн даже несколько больш ем коэффициенте гар -.
мони1< будет лучше, чем элемент с не.ттинейиостью второго порядка .
В общем случае, есл и с11стема в целом характеризуется щште ­
р11ем F 9, а между 11сследу ем ым устройс т13ом и выходом системы
2*
19

стоит оконечный каскад, характеризуемый операторо м .sl/, 0 , то кри­
терий качества этого устройства можно задать в ви де f=
= fo{do [у (,t)]; .sl/, 0 [y(t)]}. Более подробно вопрос о выборе крите­
рия качества устройства, входящего в систему, и о возможности
замены одного критерия другим рассм о трен в [60].
1.3 . Определен·не параметров исследуемой Оfстемы
Степень отличия исследуемой ,системы от идеальной,
величину вносимых искажений, можно характеризовать
минимально достюкимым зна:.~ением критерия различия
сигналов F~шп , определяемым из условия ( 1.5). Однако
в ряде случаев это может оказаться нецелесообразным.
Так, например, если F является среднеквадратичным
значением разности у (t)-!} (t), то степень искажений
удобнее описывать отношением Fмин к мощности всего
или только полезного выходного сигнала или корнем
квадратным из этого отношения, поскольку обычно инте­
ресуются относительным, а не абсолютным значением
ошибки. Поэтому в общем ,случае искажения -сигнала
исследуемой системой будем характеризовать функцио­
налом Ф{у (t); !} (.t; а10; ... ; ато) }, который связан с Fмин
и может ,совпадать с ним.
Полученная таким образом оценка будет мерой сум­
марных искажений, обусловленных -совместным дей-ст­
вием всех искажающих факторов, приводящих к разли­
чию выходных -сигналов реальной и ид еальной систем.
Идентифюс ация искажений на линейные, нелинейные и
шумовые и разложение ,суммарной оценки на ,составляю­
щие пред,ставляет самостоятельную задачу, которой кос­
немся далее (§ 2.5, гл . 3--5).
При необходимости более детального исследования
продуктов искажений это можно сделать, подвергнув
спектральному или статистическому анализу процесс
~ (t) ( 1.6) . Отметим, что здесь обсуждаются искажения
конкретно1· 0 сигнала х (-t) или сигналов некоторого кон­
кретного множества Х. Говорить об искажениях -системы
в отрыве от свойств передава ем ы х сигналов представ­
ляется нец ~.:-~есообразным.
Остановимся теперь на опр еделе нии не1<01'орых пара­
метров системы (коэффици е нт передачи, время задерж­
ки, динамичесrшй диапазон и т. д.), которые прямо или
косвенно -связаны с определени ем иска:ж е ний.
Если идеальная -система задана в соответствии
с ( 1.2) или ( 1.3), то вешРшну flo, 1юторая обеспечивает
20

минимум F и является независимым от частоты коэф­
фициентом передачи идеальной системы, наиболее близ ­
кой к исследуемой, целесообразно определить как экви­
валентный коэффициент передачи исследуемой си,стемы .
Если идеальная система определена в соответствии
с ( 1.3), величину --r 0 можно трактовать как эквивалент­
ное время задержки, а величину а0 для обоих опреде­
лений идеальной системы можно рассматривать как до­
полнительное изменение постоянной составляющей из - за
нелинейности исследуемой системы.
Очевидно, что параметры k0, ао и ,:0 будут различны­
ми для разных входных сигналов . Это не является отли­
чительной особенностью единого метода оценки иска­
жений. Так, например, коэффициент передачи ча,сто
определяют как отношение ам плитуды первой гармоники
выходного сигнала к амплитуде ,синусоидального ,сигна­
ла на входе. Тогда он оказывается зависящим от ампли­
туды и частоты входного ,сигнала и не является неизмен­
ной характери•стикой системы.
Динамический диапазон ,системы обычно определяют
следующим образом:
D= 20Jg (Хманс/Хмин),
(1.13}
где Х~шнс, Хмин- максимальное и минимальное значе­
ния входного ,сигнала (пиковое, амплитудное, действую­
щее и т . д . ); Хманс о п ределяется из условия непревыше­
ния нелинейны м и искажениями допустимого значения,
а Хмин зависит от уровня собственного аддитивного
шума.
Поскольку нелинейные и шумовые и с кажения оцени ­
вают различными методами, причем нелинейные искаже­
ния, как правило , определяют не по реальному, а по
тестовому сигналу, обоснованно выбрать динамический
диапазон сложно . При применении рассматриваемого
метода эти искажения будут характеризоваться едино­
образно и неопределенность в ра,счете динамического
диа п азона может быть устранена. Следует отметить, что
использование энергетических характеристик при опре­
делении динамического диапазона не является обяза­
тельным. В формулу ( 1.13) могут входить и некоторые
статистические харак т еристики, отражающие информа ­
ционную стр ук ту ру сигнала .
Частотны е с войст в а обычно х а рактери зу ются полосой
проп у,скания, которая определяется таким образом, что-
21,

бы неравномерность амплитудно-частотной характери­
стики или нелинейность фазовой не превышали допусти­
мого значения. Это определение имеет ряд недостатков,
поскольку оно ,совершенно не учитывает поведение ха­
рактеристик вне полосы пропускания и слабо учитывает
их поведение в пределах полосы . Кроме того, это опре­
деление, как и другие, с помощью которых пытаются
устранить его недостатки [ 14, 83, 92], базируется на
предположении, что •спектр передаваемого сигнала фи­
нитен, т. е. точно равен нулю вне некоторого интервала
частот, что невозможно для реальных ,сигналов.
Если оставить в силе предположение о финитно,сти
спектра передаваемого ,сигнала, то полосу пропускания
линейной системы можно определить следующим обра ­
зом. Пусть Х - множество всех сигналов, ,спектр
которых равен r;у~ю вне интервала ча,стот [он; (!)2] и
удовлетворяет еще некоторым ограничениям, например
равномерен в этом интервале. Введем функцию
71(00 1 ; 00 2)= max Ф{х(t)}
x(l)EXw1w,
и зададим ма~симально допу,стимую величину искаже­
ний Фдоп (аналогично заданию максимально допустимой
неравномерности частотной характеристики). Тогда ниж­
нюю (!) 1 и верхнюю (J)z границы полосы пропускания
можно определить из условий
(1.14)
Другой характеристикой частотных ,свойств ,системы,
не связанной ·С предположением о финитности -спектра,
может ,служить частотный динамический диапазон, опре­
деляемый следующим образом. Пусть форма энергети ­
ческого спектра сигнала х ( t) S ((J)) - S ((J); v) зависит от
некоторого параметра v. Например, S ((!); v) =5'·(wv), где
S ( •) - не1юторая заданная функция, или S ((!); v) =
=l/1[l+d((J)-v2)]. Тогда величина искажений Ф будет
функцией v. Из условия Ф (v)~Фдоп найдем максималь ­
но и минимально возможные значения v, и под частот­
ным динамическим диапазоном в зависимости от смыс­
ла параметра v будем понимать величину
D' f = 'Vыакс - "~-шн
или
(1. 15)
(1.16)

'I'акнм образом, все rтараметрьt исследуемо~~ •с1-iс1·емьi,
смысJI которых в той или иной •степени связан с опреде­
лением искажений сигналов и преобразованиями их
формы, 01<азываются определенными ,с единых по­
з иций.
Из изложенного в •§ 1.1 и 1 .3 видно, что ра,ссматри­
ваемый единый метод оценки искажений удовлетворяет
первым четырем требовс1ниям, ,сформулированным во
введении.
1.4. Связь рассматриваемого метода оценки искажений
с другими методами
В заключение данной главы покажем, что рассма­
триваемый метод оценки искажений, излож:енный в са­
мом общем виде, не противоречит •существующим мето­
дам, а включает в себя многие из них как частные слу­
чаи. В большинстве случаев это соответствие можно
ус тановить при ,среднеквадратичном критерии различия
сигналов, задав F и Ф ,следующим образом :
F= [У(t) - у(t)]2;
(1.1'1)
Здесь и далее черта над величиной обозначает ее
усреднение по времени в ,соответствии с (1.7), если ра,с­
сматриваются искажения конкретного сигнала, и усред­
нение по времени и по множеству в ,соответ,ствии
с ( 1.1 О), если рассматривается оценка искажений на
некотором множестве входных сигнало ,в.
· Метод
одного тона . При измерении нелинейных
искажений по методу одного тона входной сигнал пред­
полагается гармоническим х (t) =А cos (юt+ср) и иска­
жения характеризуются коэффициентом гармоник
(1.18)
где Ai - амплитуда i-й гармоники •сигнала у (t).
23

Для f-арМьническЬtо входного сигна.Jiа идеальны ~ 61-
стемы, определенные в ,соответствии с ( 1.2) и ( 1.3), ока­
зываются идентичными и в обои х случаях
F=(A0 -aJ'++ [(А1 - kA)2+ t A2 i]
1=2
(такое выражение для F получается после минимизаций
пот или по ер((!))). Отсюда
00
Fмвн=+ ~ А\;
i=2
Иногда используется иное выражение для коэффи ­
циента гармоник:
( 1.19)
При этом К'г будет совпадать с Ф, если в оценке
искажений в соответствии с (1.17) FМ!ш нормировать не
к мощности полезного ,сигнала, а к мо1цности всего пе­
ременного сигнала на выходе исследуемой •системы .
Метод полос utyмa [23]. При измерении нелинейных
искажений по методу полос шума на вход исследуемой
системы подается узкополосный шумовой ,сигнал. Иска­
жения характеризуют,ся коэффициентом
К-гр'Р
ш- V вндш/Аш'
( 1.20)
где рдш• рвндш - мощности выходного сигнала в полосе
частот тестового сигнала и вне этой полосы.
Тогда, если определить идеальную систему согласно
( 1.3) и предполо:ншть, что мощностью про ду к тов иска­
жений в полосе частот тестового сигнала можно пре ­
небречь, Кш ,совпадает с Ф.
Пренебрежение продуктами нсr{ажений в полосе тес­
тового сигнала является недостатком метода полос шу­
ма [47], который может оr<азаться существенным при
24

расширении полосы частот тестового сигнала с целью
большего приближения его к реальному ,сигналу.
(В § 3.4 будет дана количественная оценка по грешности,
обусловленной этим допущением, которая оказывает,ся
довольно значительной.)
Измерение uптермодуляцuонных искажений. В этом
случае тестовый сигнал двухтонален: х (,t) =4А cos (щt +
+cr1)+A cos (u)2t+cp2), ffi1~ 'ffi2, а искажения характери­
зуются коэффициентом
К,шт=V~-i:_/_Aw-,+-iw-
1
+-
:A-w,_, _-
. i~-~-)2 / Aw,,
(1.21)
где Aw,±i"'i - амплитуда гармоники вьtходного сигнала
частоты ffi2+i•ffi1. Практически [2] частоту ffiz выбирают
такой, чтобы продукты искажений частот pffi2±I•ffi1 (р~
~ 2) подавлялись системой. Это отражено и в ( 1.21).
Тогда в предположении малости линейных искажений
можно показать, что Ф =2Кинт/ VИ, если идеальная
система определена в соответствии с ( 1.2) или ( 1.3).
Оценка искажений разностного тона. В этом ,случае
тестовый сигнал также двухтональный: х (.f) =
=А1 cos (ffi1t+cp1) +A2cos (ffi2f+cp2), А1=А2; ffii=ffi2, а ме­
рой искажений ,служит коэффициент
Крт = ~A[i<01-/w,/(A"'1 +А(О)-
(1.22)
{!
Нетрудно показать , что значение Крт является мак ­
симально возможным значением Ф, если идеальная си­
стема определена в соответствии с ( 1.3), а ,сигналы
•сравниваются по I<ритерию равномерного приближения,
т. е . F и Ф заданы ,следующим образом:
F= max Iу(t) -у(t)[;
t
( 1.23)
Ф = f,шt1/max !Уп (t) - Уп (t)[.
t
Действительно, в этом •случае после минимизации по
ер(ffi) и а
F=max J (A"' 1 -fiAi) cos {ФJ+;о 1 ) + (А"', - kA 2):cos (Ф/+ср2)+
t
+ ~Afiw1-/"',1 cos](i(l)1 -i(l)2)t+-'Pii]I.
i,J

Значение F не может превышать значения, получае­
мого при сложении всех гармоник s (t) с одинаковыми
фазами, т. е.
F<[A -kAI l+[A - kA2\+ ~А·1·· . 1 ·
W1
002
~ jW1-L00:2
i,j
Пренебрегая линейными искажениями, что допусти­
мо, поскольку 'ffi1=ш2, получаем, что
откуда ,следует, что Ф~Крт-
Оцеflка нелинейflости импульсflЫХ устройств. Для
оценки нелинейности видеотраrпов обычно используют
неравномерность первой производной амплитудной ха ­
рактеристики [34, 40], а в качестве тестового применяют
пилообразный ,сигнал. Посколы,у в этом ,случае факти ­
чески рассматривают параметры ,системы без учета
свойств передаваемого сигнала, кроме его размаха, уста­
новить соотношения, аналогичные предыдущим, можно
только весьма искусственным путем [58].
Для тех методов оценки нелинейности импульсных
устройств, в которых делается попытка учесть свойства
передаваемого ,сигнал а и связать оценку нелинейности
•С искажениями формы ,сигнала [20, 25], установить их
связь ,с рассматриваемым методом оказывает,ся доволь­
но просто. Например, в [25] предполагается, что харак­
теристика нелинейного безынерционного элемента может
быть представлена в виде Y=f(x)=kx+ЧJ(x), а ,степень
искажений характеризуется величиной
К,.,мп = max \ ер (x)[/max I у (t)[.
(1.24)
При практичесЕом применении этой оценки имеется
некоторый произвол в разложении f(x) на линейный и
нелинейный компоненты. Этот произвол полностью
устраняется, если определить идеальное преобразование
согла,сно (1.2), а F и Ф задать в соответствии с (1.23),
тогда ,ф ,совпадает с Кимп-
Оцеflка лиflейных искажений по частотным, фазовым
и переходным характеристикам. Оценка линейных иска­
жений по неравномерности частотных характеристик и
нелинейно,сти фазовых (или, что то же самое, по нерав­
номерности группового времен11 запаздывания) являет•<::»
26

методом оце н 1ш иска:ri<а1ощ11х свойств системы почти без
учета свойств передаваемого сиг н ала. Поэтому установ­
ление взаимосвязи этих методов с ра ,ссматриваемым ме­
тодом оценюr искажений реального ,сигнала затрудни­
тельно. Например, можно показать, что, зная макси­
мальную неравномерность ча-стотной характеристики
μ.=(шах К (ш) -шiп К (ш)) / (mах К (ш) +min К(ш)),
где !( (,(J)) - частотная ха р актеристика исследуемой си ­
стемы, можно рассчитать максимально возможные иска­
жения двухтонального сигнала х(t) =А1 cos (щf + (р1) +
+А 2 cos (,(J) 2 t+cp 2 ), если и деальная система задана в со­
ответ,ствии с (1.3), а F и Ф определены (1.17). Тогда
(1.2 .5)
Аналогич н ые результаты можно получить и для не­
линейности фазовой характерйстики [58], а также для
других кр и териев различия сигналов.
При оценке качества линейной системы по переход­
ной характеристике обычно используют группу параме­
тров: время нарастания, величину выброса, частоту ос­
цилляций, наклон плоской части и т. д. Эти параметры
определяются независимо от ,свойств передаваемого ,сиг ­
нала, а качество системы хара1(теризуется не одним,
а несколькими з н ачениями. Поэтому такой подход ока­
зывается в принципе отличным от рассматриваемого.
При попыт~<е устранить некоторый произвол в задании
этих п араметров (например, уровни отсчетов задают
весьма эвристически) используют методы теории аппрок­
симации (•см., например, [42, 53]), приписывая реальной
переходной характеристике параметры некоторой функ­
циональной зависимости, для которой они определяются
однозначно. Такой подход несколы<о приближается
к р ас,сматриваемому, однако и в этом случае свойства
передаваемых ,сигналов не учитываются .
Оценка линейных искажений реального сигнала. Рас­
сма т риваемая в работах [37, 38, 79] оценка линейных
искажений реальных сигналов по ,среднеквадратичному
крит е рию полностью совпадает •С Ф, если идеальная си­
стема опред елена (1.2), а F и Ф заданы (1.17).
Ис;щженuя сигнала ~иужом . Применяемые оценки
шумовых ис~<ажсний из-за аддитивного шума прямо или
27

косвеннь вьtражают,ся через мощность шума на выходе
исслед уемо й системы . Если идеальное пр.еобразование
задано (1.2) или (1.3), а Р и Ф- (1 .17), то оценка
искажений Ф совпадает с отношением шум /сигнал на
выходе ,системы и ,связана взаи м но-однозначным ,соот­
ветствием ,с большинством применяемых шумовых ха­
рактеристик .
Мультипликативный шум, как правило, также харак­
теризуется его среднеквадратичным отклон е нием [4 Г,
46, 96]. В § 4.2 будет показано, что искажения сигнала
мультипликативным шумом при среднеквадратичном
критерии зависят ·юлько от отношения среднеквадратич­
ного отклонения шума к его среднему значению .
Корреляционный /v~етод оценки искажений. Во вве ­
дении отмечалось, что единственным известным автору
методом оценки искажений, применимым к искажениям
любой физической природы, является корреляционr-rый
метод [70], использующий коэффициент корреляции
между в х одным и выходным сигналами
R
[y(t)~) ] [x(t)~)]
(1.26)
x(t)y(t)= v-
,
[х(t)-х(t)J2[у(t)-y(t)J2
Если y(t)=kx(,t) +а, то l·Rl=l. Во всех остальных
случаях независимо от причин искажений I R 1 < 1. Не­
трудно показать, что оце1ша искажений в соответствии
с ( 1.17) однозначно определяется Rx(t)y(t), если идеальная
система задана (1.2) и предполагается отсутствие за­
держки сигнала .
Действительно, в ,соответствии с ( 1.17) значение
F= [y(t)-kx(t) - а]2=у2(t)+k2x 2 (t) +
+а2 - 2kx(t)у(t) - 2ау(t)+2kax(t)
будет минимально при
k0 = [х (t)у(t) - х(t)y(t)l/[x2(t) - х(t)2];
а0= [y(t)х2(t) - х(f)х(t)у(t)]/[x2 (t) - х(t)2] .
Тогда
,
/ [y(t)-y(t)]2[x(t)-x(t)J 2
l=V 1
_
1.
V {[y(t)-y(t)] [x(t)-x(i)]}2 -
R2
x U)y(t)
(1.27)
28

Недостатком корреляциоtiного метода, 1,ак у1,азыва­
лось в [24], является то, что коэффициент корреляции
между входным и выходным сигналами в совпадающие
моменты времени оказывается меньше единицы, если
произошла неискаженная задержка сигнала. Для устра­
нения этого недостатка достаточно рассматривать не
Rx(t)y(t), а максимум j Rx(l- ,)y(I)/ по 1:' .
Тогда при сред­
неквадратичном критерии различия сигналов ра-ссматри­
ваемый метод полностью ,совпадает с 1юрреляционным .
В [35] излагается стат.истический метод оценки иска­
жений, основанный на исследовании функции регрессии
входного и выходного -сигналов в совпадающие моменты
времени. Поскольку функция регрессии и коэффициент
корреляции взаимно-однозначно определяют друг друга,
все ,сказанное о 1<0рреляционном методе относится и
к статистическому.
Подытоживая изложенное в данном параграфе, мож­
но -сделать вывод, что большинство известных методов
оценки искажений ока з ываются частными -случаями е;щ­
ного метода, основанного на сравнении выходных сигна­
лов реальной и идеальной систем по некоторому крите­
рию. Они могут быть получены из него при определен­
ных предположениях о входном ,сигнале и виде функ­
ционалов F и Ф, которые чаще всего представляют со­
бой соответственно ,среднюю мощность разности сравни­
ваемых сигналов и отношение действующего значения
продуктов искажений к действующему значению полез­
ного -сигнала. В некоторых случаях это соответствие мо­
жет быть установлено при использовании критерия рав­
номерного приближения.
Поэтому на базе рассматриваемого метоJ.а можао
и-сследовать существующие методы, более чеп;о выявнть
их достоинства, недостатки и присущие им ограничения,
а также обобщить эти методы на различные клас-сы
сигналов.

Глава 2
ИЗМЕРЕНИЕ ИСКАЖЕНИИ СИГНАЛА
2.1. Общая структурная схема измерения
суммарньIх искажений
При измеренин суммарных искажений рассматрнвае­
мым методо'v! в соответствии с ( 1.5 ) необ х одимо по ре­
зультатам ,сравнения сигналов y(t) и !](t) найти пара ­
метры идеальной системы (ИС) а;о, обеспечивающие
минимально е значение 1, ритерия различия F. ПосJ, С это ­
го можно определить всш1чю1у ис ~,аже ний 1<JJ и при не­
обходимости, выде т1в про ,1 у1,ты IIсЕажений, нсследовать
их. Таким образом, измерение долж но выполняться в со­
ответствии со структурной схемой, 1101,аза~шой на рис. 2.1
[64]. Часть схемы, обведен ная штриховой линией начи­
нает функцион ировать толь Ео после минимизации F.
1
1
JIC
1
x(t}
+
1
~i
i----------_j
1
/j(t)
y/t)
1
1
1
L ___________ .. J
Рис. 2.1.
В большинстве случаев, как это видно, например, и з
формул ( 1.17) и ( 1.23), определить F и Ф можно с по­
мощью одних и тех же устройств. Приборная реализа­
ция этих устройств с учетом вида пр3ктически при ме ­
няемых функций потерь может быть выполнена радио­
измерительны ми средствами, средствами аналоговой
вычислит ельной техники [29, 32] или с применением
аппаратуры для определения вероятностных характери ­
стик ,случайны х процессов [45]. Например, при исгrоJiь­
зовании ·среднеЕвадратичноrо критерия (F и Ф задаРы
формулами ( 1.17)), определить F и Ф можно измерите­
лями мощности или I<Вадратичными вольтметрами, на
30

которые подает,ся разность сигналов у (t) и !} (i). Для
критерия равномерного приближения (F и Ф заданы
( 1.23)) эту разность через двухполупериодный выпрями­
тель •с ледует подавать на пиковый вольтметр. Если ис­
поль зуется среднемодульный критерий, то необходим
вольтметр постоянного тока с двух1полупериодным выпря­
мителем на входе . При интервальном критерии устрой ­
ство для определения F представляет ,собою каскадно
соединенные амплитудный дискриминатор и вольтметр
постоянного то1,а. Сигнал на выходе дттс1<римина'Т'ора
равен нулю, 1::сли входной ,сигнал ле1юа на интервале
[п; т], и равен некоторой константе в п ротивном ,случае.
Постоянные времени всех приборов должны быть
равны периоду x(t) или намного превышать его, есл и
входной ,сигнал периодический. В первом ,случае необхо­
димо предусмотреть сброс показаний после каждого
периода. Если процесс x(,t) стационарный, то постоян­
ная времени Т должна определять•ся допустимым з нач е ­
нием ди,сперсии u2p случайной ошибки усреднения, ко ­
торая равна [36, 45]
т
a2F= ~
_ ) (1- ; )KJc)d,;,
о
где К,(,;) - автокорреляционная функция проц е сса, по­
даваемого на вход усредняю :Де го устройства.
Если входной ,сигнал х ( t) является периодическим
и.ли стационарным, то про цед ура минимизации F может
выполняться вручную или автомат и чески в реальном
масштабе времени. В противном случае сигналы x(t)
и y(t) необходимо записывать, а затем периоди,1ески
вос п роизводить. СЕорость воспроизведения прн этом ыо­
жет отличаться от с1,оро,сти записи.
Обязательным в структурной ,схеме измерителя сум­
марных искажений является узел, имитирующий иде­
альную систему. Этот узел фи з нчес1,и и ,структурно мо­
жет быть постро е н иначе, чем 11сследуемая система. Так.
при изм ерении ис~,ажений огибающей в радиоприемюше
(х (t) - огибюощая входного сигнала, у (,t) - электриче ­
сюrй снгна л , подаваемый на громкоговоритель, или аку­
стичесю1ii сигнал на выходе гром 1<0 говорнтеля), имити­
рун идеальную систему, достато чно использовать высо­
кокачественный детектор, на который будет подаваться
сигнал с генератора испытательного сигнала. Этот же
31

сигнал, только ослабленный, поступает на вход иссле­
дуемого приемника . Таким образом, имитируя в данном
,случае идеальный приемник, нет необходимости строить
высококачественные У.ВЧ, смеситель, УПЧ и УНЧ, пре­
восходящие по качеству те, которые имеются в иссле­
дуемом приемнике .
Искажения сигнала в ,самом измерителе искаженчй
и в особенности в имитаторе идеальной системы приво­
дят к аппаратурным ошибкам измерения и должны
учитываться при анализе точности измерения. Одна;ю
этот анализ можно провести только для конкретной
схемы при заданных d, F и Ф. При этом необходимо
иметь в виду, что искажения полезного -сигнала и про­
дуктов искажений исследуемой ,системы, которые в боль­
шинстве случаев более широкополосны, чем передавае­
мый сигнал, •существенно различны и по-разному влия­
ют на точность измерений.
Необходимость учитывать искажения исследуемых
сигналов при измерении не является специфической о,со­
бенностью данного метода . С та1<ой же необ ходгшостью
сталкиваются, например, при измерении коэффици 1снта
гармоник измерителем нелинейных искажений, когда
точность измерения наряду ·с другими факторами зави­
·сит от ,степени нелинейных искажений во входном каск::~ ·
де и в режекторном фильтре, а также от содержания
гармоник в тестовом сигнале.
Для уменьшения искажений сигнала при его обра­
ботке и уменьшения времени измерения возможно при­
менение цифровой обработки [32]. В этом случае на
ЦВМ будут моделироваться как алг,оритмы работы иде­
альной системы, так и алгоритмы определения F и Ф.
Реализация цифровых методов, обладающих большими
достоинствами (универсальность и быстродействие, про­
стота замены критериев и определений идеальной си­
стемы), практи чесю1 может быть затруднена из - за не­
обходимости большого объема оперативной памяти, в ко­
торой должны храниться все значения сигналов х (t) и
у (t), что составляет в общей -сложности не менее
2Т(Мх+ !Лfу) чисел (Т, как и ранее, время наблюдения
сигналов, ,Лfх и Лfу - соответственно полосы частот сиг­
налов x(t) и y(t)).
Достоинством единого метода измерения искажений
является принципиаль ная возможность J{онтроля сум­
марных искажений сигнала в процессе нормальной экс-
32

плуатаций исследуемой системы без внесения: дополни­
тельных искажений в передаваемый ,сигнал. При приме­
нении тра ди ционных методов это можно обеспечить
смешиванием передавае мого ,сигнала с измерительным
[34, 100, 101]. Однако в этом случае для оперативности
контроля при ход ится резко повысить требования к мо ­
делированию идеальной •системы, ко торые в ряде ·случа ­
ев (например , для уникальных и сверхдальних систем
связи) могут оказаться н ев ыполнимыми . Если же не
требуется оперативности контроля (наприм ер, при экспе­
риментальной эJ<сплуатации этих систем), то, производя
за пись принятого и переданного ,сигналов, можно сущест­
венно ·снизить требования к имитатору идег.;;ьной си­
стемы.
2.2. К анал,нзу погрешност,н 1н змерен·ня нскаженнн
При анализе погрешности измерения суммарных ис­
кажений будем считать, что функция поте рь имеет вид
(1.8) . Тогда F~тин =F{~(t)} будет зависеть только от про­
дуктов искажений. Б удем также считать, что Ф полу­
чено нормировкой Fм~-ш относительно аналогичного фун к­
ционала от полезного сигнала на выходе исследуемой
си·стемы, т. е.
(2.2)
Постоянная составляющая входного ·сигнала х=О.
К: такому виду приво дится: Ф, задаваемая ( 1.17), если
вместо F рассматривать V F, а также Ф, определенная
( 1.23), и большинство других рассматриваемых далее
оценок.
В ря де случаев, например, для инт ерва,1Ьно го :i<рнте-.
рня, целесообра з но по ложить
(2.3)
В -соответствии •с обычным в теории ошибок пред по­
ложением о малости ошибок относительная погрешность
и змерен ия Ф, задаваемой (2.2),
ЛФ др~
ЛF~
'( Ф = -Ф ~ -F - - +--о----=-У___
~mн
,_
F {у (t; с,;10; • .. ; c,;mo)}
(2 .4)
3-363
33

гдеДФ,ЛFtиЛF~ -
соответственно абсолютные погреш­
и
о
ности измерения Ф, FМИ11 и F {у(t; а10; ... ; ат0)}.
Ограничиваясь учетом основных источников ошибок,
погрешность измерения Fмин можно представить в виде
(2.5)
где .ЛFо - аппаратурная погрешность измерения F при
и•сследовании конкретного сигнала SP (i); ЛFис1{ - по­
грешность, обусловленная искажениями ,сигналов в са­
мом измерителе искажений и неточным совпадением а;
с а;о.
Аппаратурная погрешность ЛF0 в зависимости от ви­
да F представляет собою погрешность измерения дейст­
вующего, средневыпрямленного или пикового значения
сигнала SP (,f), обусловленную неточным выполнением
необходимых нелинейных преобразований (квадрирова­
ния, выпрямления и т. д.) и конечным временем инте­
грирования (набшодения.) Задача анализа этих ошибок
является традиционной для радиоизмерений и в дан­
ном случае не имеет каких - либо особенностей. При при­
менении для измерения F соответствующих аттестоваа­
ных серийно выпускаемых приборов максимально воз­
можные значения ЛF0 можно считать известными.
Наиболее специфическим источником погрешности
измерения искажений любым методом являются иска­
жения сигналов при измерении. В данном случае это
приводит к тому, что сигнал SP (i) при измерении Fмин
отличается от действительных продуктов искажений s(t).
Учитывая эти искажения, сигналы, подаваемые на
измеритель F, можно представить в виде
Ур (f)"
'U:(t) + ~У (f)='t/(f; а 10 ; • •, ; ·ат0)·+~~~(f)-+:~вх' (tГ+~~~, (t);
(2.6)
Здесь su(t) - продукты искажений сигнала y(t) во вход­
ном каскаде измерителя искажений; sвх (t) - то же для
полезного сигнала [J(t; а10; ... ; ато); St(t)-- продукты
линейных искажений продуктов искажений s(t). Соот ­
ношение su (,t) =sвх (t) + е~ (t) записано в предположении
малой нелинейности входн9го к~скцда. Через sичс (t)
~4

обозначены nродукtьi нска:iI<еНш'i на выходе имитатора
идеальной системы . Тогда
~р(t)= Ур(t)- ур(t)=~(t)+д~(t),
(2.7)
где
Л~(l)= Лу(t)+~вх(f)+~~(f)- ~иис(f);
Лу(t) = у(t; а10;••• ; о,т0)- у(t; а1;••. ;ат).
Первое слагаемое в выражении для ,Л~(t) обусловлено
неидентичностью параметров ai имитируемой ид·еальной
системы и параметров щ 0 реальной ,системы. Далее для
сокращения записи будем опускать аргументы i у сиг­
налов, для которых определяется F.
Все критерии отличия сигналов, приведенные
в табл. 1, можно трактовать как расстояние в метриче­
ском пространстве функций [ 1О]. (Для среднеквадра­
тичного критерия в этом случае, как и делаем в данном
параграфе, следует рас-сматривать не F, а V F.) Рас­
стояния в метр.ическом пространстве удовлетворяют не- ·
равенству треугольника [10], являющемуся обобщением
аналогичного геометрического соотношения. В соответст­
вии с этим неравенством
1F{х1(t)}- F{х2(t)}13⁄4 F{х1(t)+х2(t)}3⁄4F{х1(t)}+
+ F {х2 (t)}.
(2.8)
Для -среднеквадратичного критерия, например, нера­
венство треугольника означает, что действующее значе­
ние ,суммы двух ,сигналов не превышает суммы их дей­
ствующих значений и не может быть меньше модуля
разности этих действующих значений .
В соответствии с (2.7) и (2.8) и в предположении
F{~} >F{Лs}, что эквивалентно предположению о доста­
точно высокой точности измерений,
F{~} - F{д~}<F{~р}= F{~+ЛЧ<F{~}+F{ЛЧ,
откуда следует, что погрешность ЛFиск=F{~р}-F{Ю не
превышает по абсолютному значениюF{Л~} .
Применяя к F{Л~} неравенство многоугольника (обоб­
щение неравенства треугольника), получаем
\Лfиск13⁄4 F{Л~}3⁄4F{Лу}+f {~вх}+F{~иис}+F{~~} - (2.9)
Аналогично (2 .5)
Лf~= Лf0 {у}+ Лf ~'
у
ду
3*
(2.1 О)
35

где ,Л,F0 , как и ранее, аппаратур;-1ая погрешность изме­
ренияF{g},аЛF ~-
погрешность, обусловленная отли­
лу
чием ,сигналов [j (t; а1; .. .; ат) и [J (,t; а10; ... ; ато).
С учетом определения Л[j в (2.7) из (2.8) ,следует, что
/ ЛF ~ [,;;;р {Лу}.
ду
(2.11)
Подставляя (2.9) в (2.5), (2.11) в (2.10) и получен­
ные результаты в (2 .4), имее:-,1
!УФ/< ЛFo{s} + ЛF0 1!j} +F{Лу} [-1_1 +~]+
F{s}
F{y}
F{s1 F{y}
+F {S·Jx} +F {s,шс} +F {s~}
.
F {s}
F {s}
F {s}
Два первых ,слагаемых представляют собою относи ­
тельные погрешности измерения F, и их в большинстве
случаев можно положить равными нормируемому значе­
нию относительной погрешности У1<'. Поскольку F{[J}»
»F{s}, вторым слагаемым в 1шадратных скобках можно
пренебречь. Поэтому третье ,слагаемое в формуле для
1 УФ I будет иметь вид μF=F{Л[j}/F{~}. Оценить его зна ­
чение можно следующим образом. Параметры а;о нахо­
дят, минимизируя F. При этом минимизация в окрестно ­
сти счо возможна до тех пор, пока изменения параметров
а; приводят к наблюдаемым изменениям F. Поэтому зна­
чение Р{Л[j} близко к значению абсолютной нечувстви­
тельности измерителя F, а μF не превышает максималь ­
ной относительной нечувствительности. Во многих слу ­
чаях .величиной ~LF можно лренебречL.
Домножая чи,слитель и знаменатель четвертого и пя­
того слагаемых на F{[j}, с учетом (2.2) получаем
F {sвх}
Фвх
F {sпuc}
Фиuс
F{s} =c'f?;
F {s} сГ,
где Ф, как и ранее, ис1,а:жения сигнала в исследуемой
системе; Фвх, Фиис - искажения полезного ,сигнала во
входных цепях измерителя искажений и в имитаторе
идеальной ,системы. Очевидно, что искажения Фвх и Фшrс
рассчитывают по тому же 1,ритерию, что и искажения
в иоследуемой системе.
Сопоставляя последнее слагаемое в полученной фор­
муле ,с (2.2), нетрудно увидеть, что его можно рассма-
36

тривать как оценку линейных искажений Cl\ продуктов
искажений s(t) во входном ка-с1<аде.
С учетом ,сделанных замечаний окончательно полу·
чаем
(2.12)
Для оценок Ф, задаваемы х в соответствии с (2.3),
аналогично (2.12) имеем
(2.13)
Соотношения (2.12) и (2.13) для ра,счета мак,сималь­
ной относительной погрешности получены на основе не­
равен·ства треугольнш,а, характеризующего наихудший
случай. Они приводят к линейному суммированию риз ­
личных погрешностей. Могут быть обоснованы и другие
способы суммирования, например квадрати,шый. Выбор
способа ,суммирования в данном ,случае ничем не отли­
чается от аналогичных задач в радиоизмерениях. и его
можно ,сделать в •соответствии с рекомендацнпми, изло­
женными, например, в [50]. При этом должен учиты­
ваться конкретный вид схемы измерителя, в частности
способ имитации идеальной системы, который опреде­
ляет ,способ ра,счета Ф,шс- Кроме того, при анализе по­
грешностей конкретных схGм при заданных F и Ф может
оказаться целесообразной замена критерия оценки ли­
нейных искажений продуктов искажений, поскольку в от­
личие от у (t) и fj (it) некоторые виды искажений •s (t) мо­
гут не влиять на точность измерения.
2.3 . Измерение суммарных нскаженнн
в вндеотрактах н нм подобных
При моделировании идеальной системы, определен­
ной в соответствии с ( 1.2), необходимо варьировать уси­
ление и задержку входного сигнала и его постоянную
составляющую (рис. 2.2). Если ko> 1, то для уменьше­
ния искажений при измерении вместо усиления входного
сигнала целесообразно о•слаблять сигнал у (if). Бели
уровни сигналов х (it) и у U) малы для нормальной ра­
боты измерителей F и Ф, целесообразно использовать
идентичные усилители, работающие с •сигналами одина-
37

1,овых уровнеfr, так i,ак в этом случае возюtкающие
в у силит е ля х иска ж ения частично компенсир у ются.
Наиболее ,сложным узлом ,структурной схемы являет­
ся задерживающее устройство с варьир у емой задерж­
кой , ко торо е должно вносить малые искажения . Для
выполнения этой операции можно рекомендовать широ­
к о при м еняе му ю при корреляционны х измерениях запись
сигнала на м агнитную л енту или барабан с последую­
щим в о спрои з в еде ни е м с помощью головки, положение
которой относительно за писывающей головки может ме­
нят ься .
y(t) г------- - l
1
1
1
1
1
1
j(t) L_________J
Рис. 2.2 .
Для ум еньш е ния ис1, ажений сигнала при его задерж­
ке удобно исполь з овать временную дискретизацию ,сиг­
нала, по-с к ольку реализация варьируемой задержки им­
п ульсов з аданной формы (например, прямоугол ь ных)
относительно простая инженерная за д ача . В этом сл у чае
в цепи подачи сигналов x(f) и y(t) необ ходимо вклю ­
чить специальные стробирующие устройства, которые
запоминают значения подаваемых на них сигналов в мо­
мент подачи стробир у ющих имп ульсов и выдают их
при подаче имп ульса считывания (рис. 2.3). При
этом стробир ующие импульсы Истру на время -r сдви ­
н у ты относительно стробирующих импульсов Ис трх,
а -считывающие имп ульсы под аются одновременно на оба
устройства . Тогда амплитуда имп уль-са на вы х оде ,стро­
бир ующего устройства, преобра з ующего сигнал х (i),
И с чх будет равна значению этого сигнала в некоторый
момент времени t0 , а амплитуда одновременно появляю­
щегося и м пульса на выходе пробирующего устройства,
преобразующего •сигнал y(t), Исчу б удет равна значению
этого сигнала в момент времени 1t,o+t. Время запоми­
нания стробирующих устройств должно быть больше
мак-симально во з можн о го з нач е ния to.
38

Пример упро щенной •схемы ,стробирующего устройст­
ва показан на рис. 2.4 [66]. Режимы транзисторов Т 1 .
и Т2 выбраны такими, что при подаче стробирующих ·
х
x(t0)
utтpx
t
to
t
!/
!J(fu +r)
fJcтpy
t
ис"1 to+r
п
x(to)
t
Uщl
п
y(to+r)
t
t
Рис . 2.3.
Dxotf
'>--1
Рис. 2.4.
импульсов они запираются. Транзистор Т4, наоборот,
становится проводящим при подаче ,считывающего им­
пульса. Постоянная времени СRэ (Rэ - входное сопро­
тивление qМИттерного повторителя, выполненного на
з~

транзисторе ТЗ) должна быть достаточно большой для
запоминания с заданной точностью напряжения входно­
го ,сигнала на время действия ,стробирующего ,импульса .
В то же время емкость конденсатора С должна быть
достаточно малой, чтобы не вносить линейных искаже­
ний в ,сигнал на выходе эмиттерного повторителя, обра­
зованного транзисторами Т 1 и Т2.
Другие варианты оробирующих устройств можно
найти, например, в [ 13, 22].
В ременная дискретизация х (,t) и у (t), упрощая реа­
лизацию варьируемой задерж1ш, может привести к до­
полнительным погрешностям (к увели чению YF в (2.12)),
если ,сигнал x(t) содержит периодическую составляю ­
щую с периодом, кратным периоду дискретизации. Для
устранения этой погрешности можно использовать им­
пульсы . считывания, случайные моменты появления ко­
торых равномерно ра,спределены в пределах некоторого
п ериода [63}. Здесь и далее говорится только о считы­
вающих импульсах, поск Dльку Исч, Истрх и Истру одно­
знач но ,связаны.
Действительно, пусть необходимо найти среднее по времени не­
которой функции f сигнаJ\а х (t), 'Который содержит периодическую
составляющую с пернодо-м То:
т
Л=lim 2~ Гf[x(t)]dt.
Т➔оо J-Т
При использовании дискретных отсчетов л, оценивается по фор­
муле
N
Л*=lim N+1
1 ~f[x(iд1:)].
N➔oo
i,,J
i=O
Можно показать, что, если отношение Т0 /Ат: не является рацио­
нальным числом, ,л,* = :л, , В противном слу чае (если Т0 j,Л:т: - целое
или рациональное число), л,*=f=л,. Для устранения смещения оц·е нки
будем брать отсчеты в случайные моменты времени ti = йtн+т;, где
Ti - случайные независимые величины, прнчем O~,:i <Л т .
40
Полученная таким образом оценка
N
Л**=lim N+l l \lf[x(tJ]
N➔oo
/..)
i=O

будет случаfшо,~ ве.JiиЧинМ1 с математи,iеским ожиданием
N (i+l) д,
М [Л**] =lim -- -1
-
'1 5f[х(t;)]W;(t;)dt;=
N➔OON+1i.J
i=O ;д,;
(N+l ) д,
= li111 N+ l \' f [х (1)] w(t)dt,
N➔co
Jо
где w; (,t;) - плотность вероятности t;, отличная от нуля только на
интервале ' [iЛт; (i+l) iЛт), а
N
W(f)=~W;(f).
i=O
Тогда М[~'''*] = 'л, если w (t) = ,1/Лт. Это обеспечивается, если
Т ; имеют равномерное распределение на интервале ,[О; Лт). При
этом дисперсия оценки
(N+l) д,
D,.,, = )J~oo (N+1)2д,; j {f[х(t)]- л}2dt=
о
=l imN+l l {+(~{f [ x(t)]-Л}2 dt}=o,
N➔OO
.
оJо
посжольху величина интеграла, стоящего .под знаком предела, для
реальных сигналов всегда конечна.
Таю-1м образом, оценка ,'),,,''"', полученная усреднением равномерно
распределенных случайных отсчетов, является несмещенной и со­
стоятельной.
При среднеквадратичном критерии различия сигна­
лов для определения F и Ф можно использовать изме­
ритель средней мощности или квадратичный вольтметр.
При этом, не нарушая общности, можно считать, что
средние значения х (t) и у (t) равны нулю. Действи­
тельно,
F =·[у (t) - kx(t- о:)
-
а]2= у2(t)+k'х2(t -
,;) +
+а2- 2ky(t)х(t -
,;) - 2ay(t)+ 2kax (t)
будет минимален при а0= у(t) - k0x (t -
,;0). Поскольку
в § 1.1 было сделано пр едположение, что постоянные со­
ставляющие сигналов неинформативны, вместо сигналов
х (t) и у (t) можно рассматривать центрированные сигна-
лы; (t)=х(t) - x(t) иу(t)= у(t) - у(t), средние значе-
41

юtя коtьрых равны нулю . 'ГогДа а0=0 независимо ot
значения k и необходимость поиска минимума F по а
отпадает.
С учетом всех сделанных замечаний на рис. 2.5 при­
ведена •структурная ,сх•ема измерителя искажений в ви ­
деотрактах по ,среднеквадратичному критерию. При ра­
зомкнутом ключе В калибруется уровень полезного •сиг­
нала ,с помощью аттенюатора 1, после чего при замкну­
том ключе с помощью аттенюатора 2 и изменением в р е-
. мени
задержки •стробирующего импульса Истру относи­
Рис. 2.5 .
тельно стробирующего импуль­
са ,Истрх минимизируются по­
казания ывадратичного вольт­
метра. Минимум этих показа­
ний характеризует степень
. искажений,
а значения -ro и
ko [дБ] =kx-ky, где kx и ky -
затухания аттенюаторов 1 и 2
соответственно, представляют
собой эквивалент,ное время за­
держки и эквивалентный ко­
эффициент у,силения ·исследуе­
мой системы.
Структурная схема на
рис . 2.5 совпадает со схемой
интерференционного коррелометра [45], а поиск мини-
. м ум а F эквивалентен п оиску максимума взаимно - корре­
ляционной функции. Это являет,ся следствием отмечен­
ного в § 1.4 ,соотве11ствия между единым и кор р еляцион­
ным методами измерения искажений. Поэтому для изме•
рения искажений по ,среднеквадратичному критерию
в видеотрактах применим ~юррелометр. При этом необ­
ходимо иметь в виду, что некоторые типы коррелометров
(например, знаковый) применимы для измерения корре­
ляционных функций только нормальных ,случайных про­
цеосов. Такие приборы неприменимы в общем слу11ае
для измерения искажений.
При использовании критерия рав н омерного прибли­
жения в схеме на рис 2.5 квадратич н ый .вольтметр СJ1е­
дует заменить пиковым вольтметром с двухполупериод­
ным выпрямителем на входе.
42

2.4 . 'Измерен1не суммарных искаженнн
в эnектроа,кусТ1нческих тра,ктах и им подобных
Если идеальная ,си,стема определена в соответствии
с (1.3), то лри ее моделировании необходимо иметь ли­
нейную систему ,с равномерной частотной характеристи­
кой и варьируемой фазовой . Возможность ,создания та­
кой системы вызывает ,сомнения . Положение несколько
упрощается, если используется ,среднеквадратичный кри­
терий. Тогда для ,сигналов конечной энергии имеем
00
~
ir.
F= [у(t) - у(t)]2=~ JIА.(w)J2dw,
о
где
00
A.(w)= j's(t)e-j"' 1dt
-00
-
комплексный спектр s (t) . С учетом (1.3)
А.(w)= Ау(w) - kAx(w) eN(w) - 21tao(w);
00
F = +II Ау (w) -- kAX (w) ejч,(w) -21tao(w) 1 dw.
о
Отсюда получаем, что значение У будет минимально при
cp 0 (w)=argAy(w)-argAx(w) и а0 =0,если Ау(w)и A~(w)
не имеют о-функций на нулевой частоте. В общем -слу­
чае, ИСI{лючая ТОЧI{У w= О из рассмотрения, получаем
00
f~ши·= - 1
-
S[Ау(w) - k0Ax (w)]2dw;
7t
+о
(2.14)
00
00
гдеk0=
.\ Ax(w)Ay(w)dw/ .\ A2 x(w)dw .
+о
о
43

Если сигнал x(t) является стационарнь1м случайным
процессом, различные реализации которого отличаются
только фазовым ·спектром, то, рассуждая аналогично,
можно показать, что
::х,
F,нш= ~ 5[Vsy (ш)- lг.11sx(ш)]2dш,
+о
(2 .15)
Ф~ ✓ F""'" ! ':• JS,(w)drn
приk0=
fVSx(ш)Sy(ш)dш ! SSх(ш)dш,
+о
+о
где Sx (ffi), Sy ( ffi) - энергетические спектры сигналов
x(t) и y(t) •соответственно.
Для стационарных процессов общего вида
00
F,11111 =+ J~ [Sy (ш) - 2k 0 / Sxy (ш) /+!г\Sх (ш)] dш,
+о
(2.16)
ГДё
Sxy(ffi) - взаимно-энерrетичесЕий спе1пр сигналов x(l)
иу(t).
Из формул (2.14)_:_(2.16) видно, что в процессе изме­
рения искажений необходимо измерить спектры (ампли­
тудные или энергетические) входного и выходного ,сигна­
лов , а за тем ,сравнить их. Это зна чит, что при идеальной
системе ( 1.3) непосредственное сравнение ,сигналов эr<ви­
валентно , сравнению их спектров.
44

В результате измерения спектров без применения
цифрпвых методов можно получить только их сглажен ­
ные оценки [45]
x(t)
N· (ш) ={J[А(Q)]2Q(ш; Q) dQ}
112
00
S*(ш)= \ S(Q)Q(ш;Q)dQ,
о
Е
1
1
1
.'li 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(2.17)
!J{t)
-
l
1
1
1
1
1
1
1
1
l
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Fер
L ______ J
Р11с. 2.6 .
гд е Q ~ некоторая в е сов<1я функция, например,
Q(ш;Q)= {1/дш, 1ш - Q/<Дш/2,
О, /ш- Q/>дш/2.
Учитывая это, интегрирование в (2 .14) - (2.16) мож­
но приближенно замен ить суммированием, в результате
чего при дем к структурной схеме, показанной на ри-с. 2.6 ..
Частоты полосовы х фильтров w; и w н 1 отстоят друг от
друга на величину ,Лw , равную полосе пропускания, в ре­
зультате чего эти фильтры перекрывают всю полосу ча­
стот . исследуемых сигналов .

Схему можно упростить, если сравнивать по квадра­
тичному критерию энергетические спектры, а не квад­
ратные корни из них. Тогда из структурной схемы
устройства Yi можно исключить нелинейные элементы
с характеристиками f (х) = Vx . Однако получаемая та­
ким образом оценка не будет иметь четкого физического
смысла.
Измерение искажений электроакустического тракта
становится еще более простым, если входной сигнал
представляет сумму гармонических колебаний ,с извест-
/1
f,)л 6)
Рис. 2.7 .
Рис. 2.8 .
ными взаимно-простыми частотами (отношение щ/ffij
при i=I= j не является рациональным):
п
x(i)=~ Aicos(шJ+rpi).
(2. 18)
i=l
Такой сигнал можно и-спользовать 1<ак тестовый для
измерения суммарных искажений реального сигнала
с непрерывным •спектром, е-сли А 2; вписаны в кривую
Sx(ffi) (рис. 2.7). В этом случае
п
у (f) = ~ Ayi COS (ш;f +(fy;) +: ~нл1ш (f),
i=l
где ~нл ш (t) - составляющая сигнала у (i), обусловлен­
ная нелинейными искажениями и внутренним шумом
исследуемой ,си-стемы.
Последнее представление сигнала у (t) справедливо
при сделанных предположения х относительно частот ffi;,
т..ак как в этом •случае продукты нелинейных искажений
46

не могут содержа ·tь компоненты на частотах, со1Н1адаю•
щих с ча,стотами ,составляющих сигнала х (.f). Тогда, по­
лагая ао=О, имеем
/!
+ер(ш;)]}+~илш(f).
Нетрудно показать, что для всех криtериев Р будеt
минимаJrьным, если каждое слагаемое поJiученной ,сум 0
мы будет иметь минимально возможную амплитуду. Эtо
будет выполнено, если '(/) (,(J)i) =(j)yi-(j)i, t. е. фазовую ха 0
рактеристику идеальной ,системы необходимо варьиро­
вать только в точках (J)i, Тогда
/!
Е(i)= ~ (Ау; - kA;)COS(ш;f+'fuJ+~илш(f).
i=l
Структурная схема измерения ,искажений в соотвеt­
ствии ,с полученным результатом приведена на рис. 2.8.
При измерении необходимо обеспечивать минимум F,
' компенсируя ,с помощью фазовращателей фазовые ,сдви­
ги составляющих входного ,сигнала и изменяя коэффи­
циент усиления. Тип вольтметра зависит от вида крите­
рия F. Однако в данном ,случае входной ,сигнал прибли­
женно можно рассматривать как нормальный случайный
процесс. Если продукты искажений не будут ,существен­
но отличаться от нормальн,ого процесса, то окажутся
выполненными условия, при которых практически значе­
ния всех критериев однозначно определяются значением
среднеквадратичного критерия.
Наличие большого числа фазовращателей при боль­
шом чис.1е гармоник входного ,сигнала усложняет про­
цедуру измерения. Значительное упрощение возможно
при ,среднеквадратичном критерии . В этом ,случае
/!
F,шн =+~(Ау; - kA;) 2 + ~\л ш (t);
i=l
(2.19)
где
47

Тогда для измере ния исЕажений п р именима схема,
показанная на рис . 2.9 [3].
Полосовые фиJ1ьтры дJIЯ схем на рис . 2.8 и 2. 9 , на­
строенные на ча ,стоты w;, должны им е ть п олосу проп у ­
скания, намного меньшую расстояния между соседнюлr
в
Рис. 2.9.
!Jxotl 1
Рис. 2.10.
--,
1
1
1
1
1
1
1
1
L_ ___J
!Jxorl2
,частот ами Лw;, чтобы свести к ми ним уму мощность про­
дуктов нели нейных и ш ум овы х искаж ений , проникающих
через эти фильтры и вызывающих ошиб к и в измерении
(Ay;-kA;)Z. Вместо режекторных фильтров можно ис­
поль зовать цепи компенсации гармоник сигнала у (t)
с частотами w ; -сигналами с выходов соответствующих
полосовы х фильтров. Возмо;.кно также и зме р е ние полной
48

мощности сигн aJJ а у U) и нскмочение из нее мощ1-tостей
сигналов на выходах поJiосовых фильтров.
Процедура измерения по структурной схеме на
рис. 2.9 такая же, как и по ,структурной схеме на
рис. 2.5 .
На рис. 2.10 показан возможный вариант принципи­
альной схемы блока Эi. Полосовые фильтры выполнены
на двойных Т-мостах RC, функции квадратора и инте­
гратора выполняет термопреобразователь ТБГ. Блок ЭО
Рис. 2.11 .
представляет собою термопреобразователь, включенный
на выходе эмиттерного повторителя (цепочка стабили­
тронов, включенная параллельно термопреобразовате­
лю, предохраняет его от перегрузок).
На рис. 2.11 показан другой вариант ,схемы устрой­
ства Эi на базе интегральных микросхем. Полосовые
фильтры и интеграторы выполнены на основе операцион ­
ного усилителя 1УТ531 [ 13] ,или другого аналогичного,
а функции квадратора выполняет перемножитель - ба-
·
лансный модулятор 1МА401.
Прибором, выполненным по структурной схеме на рис. 2.9, изме­
рялись искажения электрического тракта радиовещательных прием­
ников ·[3]. Измеряемые суммарные искажения включали в себя ли­
нейные и нелинейные искажения, а также шумовые, обусловленные
собственным шумом приемника и помехами по соседним и зеркаль ­
ному каналам.
В качестве сигнала х (t) использовался полигармонический сиг­
нал, сформированный с помощью десяти звуковых генераторов.
Спектр этого сигнала (рис. 2.12,а) охватывает всю исследуемую
полосу частот и близок по форме спектру симфонического оркестра.
Сигналом х (t) модулировался сигнал генератора стандартных сиг­
налов (ГСС), подаваемый на антенный вход приемника в качестве
полезного сигнала.
4-363
49

-fioмeJtн 110 сЬседним кыiалаМ иМитировались c и!'i1a JiaM н двух
других ТСС, которы е были расстроены относительно частоты полез­
ного сигнала на ±10 кГц. Поскольку искажения из-за помехи по
соседнему ·каналу существенно зависят от закона ее модуляции, эти
сигналы также .модулировались полигармоническим сигналом, спектр
которого отлича лся о т спектра полезного сигнала (рис . 2. 12 ,6).
.
Иокаженпя и з - за помех по зерк.альному ·кана_лу обусловлены
в основном биениями между нес у щими на промежуточной частоте
полезного и ,ме шающ ег о сигналов и слабо зависят от закона моду­
ляции. Поэтом у пом ех а по соседнему каналу имитировалась с по­
мощью немо дул ированно rо с и гнала четвертого ГС С.
А/Ачоо
1
/]
А/А1;10
1
/]
~ ~% ~<:::,
"" ""'~ <,;~
~~~~~
"" ""' ">- <,; '<S
Рис .
~~
(1)
~~
о)
2.12.
s'5~~
с::,
~ <:::,
c:::s ~
--::i-
'<S
""
f,Г«
~%s'5~
~
. ..,
~~
">-
f,Гq
При испытании заведомо исправного приемника урове нь полез­
ног.о сигнала задавался равным но.м инальной чувствительности.
Уровни мешающих сигналов выбирались такими, чтобы искажения,
обусловленные различными факторами, были близкими по значению .
Результаты измерения суммарных искажений Ф двух радиопри­
емников приведены в табл. 2. Погрешность измерения Ф была не
более 20% измеряемой величины . Методика расчета погрешности
для этого час тного случая измерения искажений, иллюстрирующая
общий подход, будет прив едена далее.
Различные неисправности приемников имцтировались измене­
нием уровней сигналов на входе и с помощью . органов управления
при емн ика.
Как видно из результатов измерений , ухудшение хотя бы одного
из показателей приемника по сравнению с номинальным приводит
50

к увеличению Ф, измерение которой требует з начит ельно меньше ·
времени, чем ра здельное измерение всех параметров. Более подро.б­
но вопрос о возможности применения измерителя суммарных иска­
жений для ,ко нтроля качества радиоприемников обсуждается
в [2, 3].
Таблица 2
Состояние приемншса
Спсссб имитации ис"ажений
Исправен
.Сел-1га"
о, 15
ф
. Ригон­
да•
0,08
------
-
--
---
--
--- ---
-----
-
--- --
--
Реальная чувствитель-
ность ниже номиналь­
ной
Плохое ослабление:
одного из соседних
каналов
обоих соседних ка­
налов
зеркального канала
Значительные искажения:
нелинейные
линейные
Уровень полезного сигнала
уменьшен: в 3 раза
в6раз
Уровень сигнала одного из
соседних каналов увели­
ченв6раз
Уровни сигналов обоих со­
седних каналов увеличе­
ныв6раз
Урqвень сигнала зеркаль­
ного канала увеличен в
3 раза
Гро мкость увеличена до
паявления небольшой от­
сечки
Регулятор тембра верхних
частот выведен
0,36
0,24
о,18 О,19
0,22 0,21
О,19 О,15
0,29 О, 17
О, 16
Остановимся на анализе точности и змерения ИСJ(аже иий по
структурной схеме на рис. 2.9.
Источника ми погрешности являются неидеальный хараl(тер по­
лосовых и режекторных фильтров, искажения сигналов входными
устройства ми и модулятором ГСС, а также ошибки термопреобра­
. зователей
или заменяющих их уст ройств и милливол ьтметра. Рас­
смотр им влияние каждого из этих источников, введя предварительно
следующие обозначения:
п
Nп=LJР;,No = Ро,
i=l
.
-
:
. -~t'
где р; (i=O, п) - напряжения на выходах устройств Эi при замкну'­
том ключе В.
Неравнолtерность частотных характеристик полосовых фильтров
в пределах полосы проnуС1сания. Теоретически полосовые фильтры
должны иметь возможно более узкую полосу пропускания. Однако
4*
BI

пра,ктически ее сужение ограничено разбросом характерист их фильт­
ров и нестабильностью частот генераторов, формирующих тестовый
сигнал. Очевидно, что в пределах полосы пропускания частотная ха ­
рактеристика ·не будет равномерной и вносимую при этом погреш-
1юсть можно тра·ктовать как линейные ·искажения в и митаторе
идеальной сис т емы . Для оценки этих искажений можно воспользо­
ваться (2.19) в предположении, что нелинейные и шумовые и скаже­
ния отсутствуют, Тогда, подставляя в (2 .19) A;Kxi (COi) вместо А;
и А;Ку;(со;) вместо Ayi, получаем
-1,
где Kxi (coi) и Kyi (со;) - нормированные частотные характерис ти ки
i-го полосового фильтра в цепи подачи сигнала х (t) и в цепи сигна­
ла y(i) соответственно.
Неполное подавление сигнала полосовы,1щ фильтра,ни вне поло ­
сы пропускания. Вследствие э то го на N" будут влиять не т олько
продукты линейных искажений, но частично и продукты нелинейных
и шумовых искажений sн л ш (t), что можно рассматривать ~шк иска­
жения пр·одуктов искажений
где S~ (w) - энергет••~ческий спектр сыгнала Sнл ш (t) .
Неполное пс давление полез,юго сигнала реже1'торнылш фильтра­
лщ. Из-за неполного подавления в сигIJале y(t) гармоник с частота­
ми со; напряж ение N 0 увелич и вается. Это увеличенне можIJо тракто­
вать 1<ак и скажения ид еальной системы или искажения сигнала
y(t), чт о не юменит результатов расчета по формуле (2. 12):
где КрФ;(со) - нормнрованная частотная характеристика i-го реже1<­
торного фильтра.
Н еравнолtерность •tастотной характеристи1'и режею· орных фильт­
ров вне полосы подавления. Ее вли яние эквивалентно линейным
искажениям про дуктов искажений 5пл ш линейной системой с частот­
ной характеристнкой
/1.
п
Крф (w) = П Крф; (w):::::: 2, Крф; (w) - (п
-1)
i=I
i=I
52

(приближение за.писано в предположении высокой добротности
фильтров , что справедливо). Возникающие при этом искаж е ния обо­
значим через Ф4 .
Искажения в л-~одуляторе ГСС. В рез ул ьтате этих искажений
огибающая сигнала ' ГСС, подаваемого на исследуемый приемник,
будет отличаться по форме и спектральному составу от сигнала
(2.18), что приведет ·к появлению в сигнале у (,t) дополнительных
продуктов искажений, отличных от продуктов искажений приемни 0
ка. Эти искажения эквивалентны по свое.му действию искажению
у (t) -на входе . Эти и окюкения обозначим через Фs.
•
Искажения сигнала во входно,w каскаде. 'В еличину этих искаже­
ний обозначим через Ф 6 .
Погр е шности термопреобразован ия и милливольтметра будем
характеризовать максимально возможными относительными значе­
ниями '\'т п и '\'m v соответственно.
С учетом сказанного о действии каждого искажающего фактора
можно записать
Поскольк у показания миллив-олыметра пропо рциональны квад­
рату действующего значения, то '\'о~ ('\'тп+Vm v) /2 . Подставляя эти
значения в (2.12), имеем
]УФ1<Утп+Y111v+Ф2+Ф.+(Ф1+Фз+Ф5+Ф,)/Ф. (2.20)
Получен ная оuенка, как уже отм ечалос ь в § 2.2, является завышен­
ной. Уточнпм ее, проанализировав более подробно процесс изме­
рения.
Искажения Ф=YN !Nk, где N =N0 +N,,, Nk-показання
милливольтметра при раз1мкнутом ключе В. Тогда
1 (ЛN ЛNk)
УФ=2 ЛТ+ Nk •
Очевидно, что
1 ЛN1,/Nk 1< "lтп+ Y111v;
[ЛN/N 1< Утп+ Y11,v + 1ЛN~!N 1,
где ЛN~ - П)rрешность N, обусловленная и с к3жениями сигналов.
Изм е ренно е значение N = N 1, Ф 2 , учитывая введен ны е обозначе­
ния , можно представ ить в виде
Nμ = N,,-1 + N0μ; Nп:1 = Nk(Фл+ Ф1)2+ NkФ2нлшФ22,
(2.21)
где Ф,, - величина линейных искажений исследуемого сигнала;
Фнп ш - то же для нел1шейных и шумовых. При этом Ф =;
= УФ2л+Ф2н1ш·
При заш 1 с 11 ,(2.21) у ч11тывало с ь, что продуктьr, линеr1ных иска­
ж е 1-111й ис с лед уем ой сис т ем ы 1-1 имитат-ора идеальной системы, имеют
перекры,вающнеся спектры и их коэффициент корреляций может
53

достигать единицы. Учитывалось также, что для тестового сигнала
(2.18) продукты линейных искажений практически некоррелирова­
ны с продуктами нелинейных искажений и аддитивным шумом.
Кроме того, при записи выражения для N 0 p введением во второе
слагаемое сомножителя 1-Ф24 учтено ослабление мощности 1;нл ш (,t)
в реже-кторных фильтрах.
rВ соответствии с (2.21), -пренебрегая членами высшего порядка
малости и учитывая, что Фл<Ф и Фнл ш<Ф, получаем
откуда
(2. 22)
что дает меньшее значение , чем (2.20).
Дальнейшее уточнение оценки возможно с учетом верJятност­
ных свойств различных компонентов погрешности.
Из изложенного в предшествующих параграфах дан ­
ной главьr видно, что установки для измерения ,суммар·
ных искажений по ра,ссматриваемому методу могут быть
собраны в основном из серийно вы п ускае:мых измер;.~ ­
тельных приборов ш ирокого применения: аттенюаторов
и усилителей, импульсных генераторов, различных во.пьт ­
метров и т . д. Только некоторые узлы требуют специ ­
альной разработки и изготовления, хотя и для этого
нет каких-либо принципиальных ограничений.
2.5. Об измерении отдельных видов искаженнн
с помощью тестовых сиrналов
В § 2.3 и 2.4 была рассмотрена воз"vюжность измере­
ния суммарных искажений реальных ,сигналов, обуслов­
ленных •совместным действием всех искажающих факто­
ров. Знания ·· этой величины вполне достаточно, если
ikследуемая ,система нормально функционирует и изме ­
ренное значение искаже н ий не превышает допустимого.
Однако пр11 превышении искажениями нормы, а также
IIpи црщ,ктировании •системы и ее экспериментальном
исследовании важной задачей являе1'ся диагностика
искажений и разложение суммарных искажений на от­
дельные •составляющие, обусловленные различными фи·
зическими факторами. При этом, ставя задачу измере ­
:54

ния: искал<ений каJкдого вида (нелинейнь!х, лш-rеfшых й
шумовых), необходимо потребовать, чтобы результаты
измерения характеризовали действие искажающе1'0 фак­
тора не вообще, а применительно к тому сигналу или
множеству ,сигналов, для работы с которыми предназна­
чено исследуемое устройство.
Трудно предложить универсальные ,способы измере ­
ния отдельных видов искажений при передаче по ,систе­
ме реальных ,сигналов, т. е. пр.и эксплуатации исследуе­
мой системы. Некоторое исключение представляет ,струк­
турная ,схема на рис. 2.9. Сигнал на выходе последова­
тельно соединенных устройств Эl-Эп характеризует
мощность продуктов линейных искажений, а ,сигнал на
выходе ЭО определяется мощностью продуктов нелиней·
ных искажений и внутреннего шума. Мощность послед•
него может быть измерена в от,сутствие передаваемою
сигнала. Однако полигармонический сигнал с дискрет­
ным ,спектром, для которого разработана эта ,схема, не­
типичен для реальных сигналов. Он ,скорее пре,IJ:ст~1в.;1яет
собой тестовый сигнал.
Значительно проще решить задачу диагностики иска­
жений, применяя ,специально подобранный теетовый ,сиг­
нал, ,степень искажений которого адекватна степени 1.,с·
кажений реального •сигнала. Общий подход к .выбору
таких те,стовых ,сигналов можно ,сформулировать сле­
дующим образом.
На основании расчетов искажений определяют харак­
теристики передаваемого сигнала, от которых зависят
искажения каждого вида. Например, нетрудно .:1идеть,
что ,степень линейных искажений зависит от спектраль­
но-корреляционных свойств ,сигнала. В частности, узко­
полосный ,сигнал в широкополосных системах практиче­
сю1 не искажается. Гармонический ,сигнал вообще не
подвержен линейным искажениям. Степень нелинейных
. искажений
,сигнала в нелинейных безынерционных •си­
стемах, как будет ~показано в гл. 3, для широкого клас­
са критериев зависит только от одномерной плотности
вероятности передаваемого сигнала. При этом очевидно,
что •степень нелинейных искажений будет тем меньше,
чем меньше мощность входного ,сигнала .
У.становив, какие характеристики входного сигн'3.ла
определяют искажения каждого вида, можно выбрать
тестовый сигнал таким образом, чтобы его характери­
стики, обусловливающие исследуемые искажения, были
такими же, как и у реального ,сигнала. Другие характе-
55

ристйкй ·гёстового сигнала выбирают, исходя из tогб,
чтобы искажения :других видов или отсутствовали или
были сведены к минимуму. Результаты измерения иска­
жений такого тестового сигнала будут характеризовать
степень конкретного вида искажений реального сигнала.
В существующих методах измерения искажений пы­
таются в некоторой степени учитывать свойства гrере ,(а­
ваемых сигналов . Например, амплитуду ,сину,соидального
или пилообразного •сигналов при измерении нелинейны,
искажений •определяют в зависимости от мощности или
размаха входного ,сигнала . Точно так же полосу частот,
на которой оценивают неравномерно,сть частотной или
нелинейность фазовой характеристик, выбирают в зави ­
симости от полосы частот передаваемого ,сигнала. Одна­
ко при этом остается открытым вопрос о том, является
ли задание этих характеристик достаточным для опре­
деления степени искажений. Излагаемые далее резуль ­
таты позволяют в некоторой ~тепени устран,пь эту не­
определенность.
Измерять ис 1,ажения тестового сигнала можно теми
же ,способами, что и суммар»ые искажения. Однако, по­
скольку при выборе тестового •сигнала даже при выпол­
нении указанных требований имеется некоторый произ ­
вол, а также из-за ,специфических свойств тестовых сиг­
налов, вытекающих из предъявляемых к ним требова ­
ний, в ряде -случаев можно ,существенно упростить ,схему
измерений. Поэтому условие более простой реализации
измерения искажений каждого вида будет рассматри­
ваться как дополнительное требование, предъявляемое
к тестовому сигналу.
При измерении искажений с помощью тестового •сиг­
нала возникает •специфическая погрешность, обусJJовлен ­
ная различием соответствующих характериспн, реаJiь­
ного и тестового сигналов ,или, другими словами, реаJть ­
но применяемого тестового ,сигнала от требуемого. Эта
проблема ,существует и в традиционных методах. На­
пример, при измерении искажений по п ереходны:-,,r нли по
им п ульсным реакциям приходится исследовать ;~огреш ­
ности из-за отличия те,стового ,сигнала от прямоуголь-
1юго скачка или о-функции [87]. Однако в рассматри­
ваемом случае эта задача может оказаться бо:rее труд­
ной из - за ,сложности тестового ,сигнала.

Глава 3
НЕЛИНЕЙНЫЕ ИСКАЖЕНИЯ
Пусть исследуемая ,система выполняет нелинейное
безынерционное преобразование сигнала, т. е. такое пре­
образование, при котором значения выходного -сигнала
в любой момент времени определяются значениямн вход­
ного -сигнала только в тот же момент времени. Таким
образом, будем считать, что
(3.1)
Такое предположение об исследуемой системе делается
в большинстве работ, посвященных теоретическому ис­
следованию и ра-счету нелинейных искажений.
Отметим, что предполо:>кение о безынерционности си­
стемы включает в себя предположение об однозначности
ее характеристики f, так как
в противном случае на
интервалах неоднозначности
f (х) значения выходного
сигнала будут зави'сеть от
значений входного сигнала
в предшествующие моменты
времени. Так, в частности,
элемент с гистерезисной ха­
рактеристикой вносит фазо­
вые сдвиги в синусоидаль­
ный сигнал, что эк,вивалент­
но временньrм сдвигам. Оче­
видно, что если характери-
и
{/
х
Рис. 3.1.
стика имеет на интервале многозначности падающий
участок (рис. 3. 1), то она практически также будет тис­
терезисной, так как рабочая точка будет перемещаться
не по уча'стку ,с отрицательным 'Наклоном, а по верти-
. кальной
прямой ас или bd.
Таким образом, элемент ,с неоднозначной характери­
стикой является инерционным, хотя его инерционность
имеет иную физическую природу, иные ,свой-ства, чем
инерционность , обусловленная реактивными элементами.
Поэтому в дальнейшем будем полагать, что f(x) -одно­
значная функция.
Для безынерционных систем без особых выкладок из
физически х соображений можно ,считать 'to=0 , если иде­
альная система задана (1.2), и cp 0 (,w)=O, если идеальная
57

сист-ема задана ( 1.3) . Тогда в обоих -случаях неискажаю­
щее преобразование будет иметь вид
у(t) =kx(t) +а.
(3.2)
Все отмеченное будем предполагать выполненным
}ia протяжении данной главы.
3.1 . Расчет непнненных нскаженнн
по среднеквадратнчному крнтерню
Пусть Г и Ф заданы ( 1.17). Тогда
F= [у(t) -у(t)J2= [у(t) - kx(t) - а]2,
(3.3)
Преобразовав выражение для F, получим, что ko и ао
должны определяться из условия
F=J/+2kxy+k2x2+а2- 2ау+2kax= min.
Дифференцируя F по k и а, получаем систему уравнений
k0x
2
;- ху
-=а0х=О,}
а0 -y+k0 x-O .
Нетрудно видеть, что решен-не этой ,системы единствен­
ное и ему соответствует минимум F. Решая уравнения,
получаем
Ф= •/ (х2-(х)')~~-(у)2) - 1
.
V (ху-ху) 2
(3.4)
Полученные формулы для ko и а0 совпадают с форму­
лами для определения параметров линейной модели при
статистиче-ской линеаризац-ии нелинейных элементов си­
стем автоматического регулирования [26], где также
использовался среднеквадратичный 1<ритерий ,
58

Формулы (3.4) упрьщаюtся, если входной сигнал не
содержит постоянной ,составляющей (i=O):
k0 =xy/x2, а0 =у;
(3.5)
ф= .. / х2(у2-(if)) - 1
V (ху)2
Если x(,t) - стационарный случайный процесс, для
вычисления ,средних значений, входящих в (3.4) .и (3.5) ,
достаточно знать одномерную плотность вероятности
входного ,сигнала w (х), так как
00
z(х)= )z(х)w(х)dx,
(3.6)
-00
где z(x) равно х, х2, f(x), f2 (x) или xf(x).
Формулу (3.6) можно применять и для детерминиро­
ванных сигналов, если под w (х) понимать следующую
функцию:
w(х)=lim(Т д/Т),
дх➔О х, х
(3.7)
где Т - длина временно,го интервала, на котором иссле­
дуется входной сигнал; Тх,дх -суммарное время пре­
бывания входного •сигнала на интервале [х; х+Лх] .
Формула (3.6) применима и для нестационарных слу­
чайных процессов ,с одномерной плотностью вероятности
w (х; :t), заданных на .интервале времени [t1; ,t2], если
t,
w(х)=t- 1
- t-Sw(х;t)dt.
2-1
(3.8)
t,
Как уже отмечалось, при среднеквадратичном крите­
рии оценка нелинейных искажений синусоидального сиг­
нала по единому методу -совпадает ·С коэффициентом гар­
моник. Поэтому оц,енку искажений, определяемую (3.4),
можно рассматривать как обобщение метода одного то­
на на произвольный сигнал x(t). Из (3.4) и (3.6) вид­
но, что ,степень нелинейных искажений при безынерцион­
ном преобразовании зав исит только от одномерной плот-
59

ности вс:роятности входното сигнала . СинусОИJ_альный
сигнал имеет арккосинусное распределение (рис. 3.2)
К такой
нусоиду
-А
wc(x)={1 / 1tVA2-x
2
,
/х / _,:;;;А,
О,
/х/>А.
(3.9)
функции w (х) можно прийти, рассматривая си­
как случайный стационарный процесс с равно ­
w
(7
Рис. 3.2 .
Ах
мерно распредел е нной началь­
ной фазой или используя фор- ·
мулу (3 .7).
Реальные сигналы могут
иметь распределение, суще­
ственно отличающееся от арк­
косинусного, например нор ­
мальное. Поэтому искажения
этих сигналов будут -сущест­
венно отличаться от искажений
синусоиды. В § 3.3 вернемся
к вопросу о соотношении ис1,ажений разных сигналов,
а сейчас проиллюстрируем изложенное простейшими
примерами ра,счета искажений.
Пример 3.1 . ,Рассчитать нелинейные искаж е нIIя сигн а ла с нор­
мальным распределением
w (х) = e-x'f 2,' ;V27'а
при воздействии его на нелинейны1:r элемент с характеристикой у=
=а1х+а2х2.
Прежде чем переходить к вычислениям, отметим, что для нор-
мального распределения нечетны~ моменты x 2k+1=0, а четные ·[ 14]
С учетом этого получаем
Х=О; Х2=а2;
у= а.!х + а.2 х2 = а.2а2;
ху=а!х2+а.2Х3=а.1а2;
у'= а.\х2 + 2а.1а.2Х' + а.22 ,х;4 = а.2102 + а.223а4,
откуда
60

Пример 3.2. Решить ту же задачу для пилообра з ного сигнала
амплитудой И,.. В этом случае в соответстви и с (3.7)
и
Тогда
и
•
''
k
- :j,
\\kf
Им
,с=И,., .) х'х =k+l•
о
х= И"/2, х2 = И\,/3,
И"
И\, _
U2"
И'"
у =а12+"2 - 3- , ху =а1-3-+ "2 ·-
4-,
3.2 . Расчет нелиненных 1искаженин по методу
нескольких ординат
При расчете нелинейных .искажений ,синусо•щалыюго
сигнала иногда применяется графический метод гармо­
нического анализа - метод нескольких ординат [52].
Используя этот метод, можно на экспериментально полу­
ченной характеристике выбрать оптимальное п0Jюжс1mе
рабочей точю,, обе,спечивающее минимум нелинейных
искажений однотонального сигнала. ОднаJ<о, как уже
отмечалось, распределение различных •сигналов может
с у щественно отличаться от распределения синусоиды.
Поэтому для них положение рабочей точки может быть
иным. Очевидно, что это отличие будет наиболее зна­
чительным для ,сигналов ·с несимметричным ра,спределе ­
нием . В связи •С этим целесообразно распространить ме­
тод нескольки х ординат на ра,счет нелинейных искаже­
ний сигналов ,с произвольным одномерным распределе­
нием [67].
При применении метода нескольких ординат предпо­
лагают, что характе ри,стика нелинейного элемента мо-
61

жеt быть предсrавJiена в виде r1олиt1ома
п
У=~ aix1,
(3.lО)
i==O
где значения коэффnциентов а; можно определить йз ре­
шения ,системы уравнений
п
Yk=~а;х\, li-= O,п,
(3.11)
i=O
а отсчетные точки х,, выбирают из удобства вычи,слений.
При графическом гармоническом анализе коэффициен ­
ты а; не на х одят в явном виде . Отсчеты у1, используют
для непосредственного определения амплитуд высших
гармоник выходного сигнала.
В соответствии с (3.4) нелинейные искажения сиг­
нала с характеристикой (3.10) можно рассчитать сле­
дующим образом:
(3.12)
Согла,сно формуле (3.12) искажения будут опреде­
ляться 2n первыми начальными моментами входного
сигнала. Изменение положения рабочей точки с на харак­
теристике нелинейного элемента эквивалентно измене­
нию среднего значения входного сигнала. В общем слу­
чае
где с:- число сочетаний из k элементов по v; М,- мо­
мент входного сигнала, зависящий только от формы
w (х), инвариантный к полож е нию рабочей точки.
62

С учетом этого величина Ф, задаваемая (3.12), будет
функuией с и оптимальное положение р·абочей точки
можно найти из условия Ф (с) =min.
Для уменьшения объема вычислений целесообразно,
преобразовав систему координат, свести задачу к -слу­
чаю х=О. Тогда все моменты, входящие в (3.12), не бу­
дут зависеть от по;1ож ения рабочей точки, и функuиями
от нее будут коэффициенты а;. При этом
/пп
--
-- --
хV~~ а;(с)ai(с)[x2x1+i - х1+1xi+1] • (3.13)
i=2 /=2
Пример 3.3. Найти оптимальное положение рабочей точки на
характе ристике , приведенной на рис . 3.3, .при преобразовании сиг на­
ла с экспоненциальным распределени е м
х<-1.
При таком задании распределения х=О.
Аппроксимируя характеристику полиномом четвертой степени,
получаем
у= О:о + О:1Х + О:2Х2 + О:3Хз + О:4Х4.
Из графика на рис. 3.3 для ряда значений с определяем значения
коэффициентов а;, которые привед ены в табл . 3.
Для расчета нелинейных искажений в соответствии с (3.13) не ­
обходимо знать первые восемь моментов входно го сигнала. В дан­
ном случае
00
М;= x;i= jxiе-(х+1)dx= i!~
-1
v=O
(-1)'
v!
Тогда М2 = 1, Мз=2, М4 =9, М5 =4'4, М6 =265, М7 = 1854, Мв=
= 14 883.
Результаты расчета искажений сигнала с экспоне нциальным
распределением Фэ приведены на рис. 3.4. Оптимальное положение
рабочей точки Сэ опт=О. При этом Фэ мин~8,5%.
По формуле (3 .13) , не .прибегая к графическому гармональному
анализу, мО>l\НО определить не,лин ейн ые искажения синусоидального
63

сигнала Фе, мощность которого равна мощности снгнала с экспо­
ненциальным распределением. В этом случае
{1;..V2-x2,
w (х)=
•
о
,
[х:1 <V2,
1x1>V2.
Все нечетные моменты M21t+1 = О , а четные
-4
-2
V2
M2k= s
_V2
о
Рнс. 3.3.
2
пV2-x2
х
-2
(2k-l)!!
1ix =
k!,
о
2
Рнс. 3.4 .
с
Результаты расчетов Фе показаны на том же рисунке. Для сн-
• нусоидального
сигнала оптимальное положение рабоч е й точки
Се опт=l,8 И Фе ,шн=3%.
Таблица 3
с
-3
0,59
0,48
1, 14
- 0,016
0,0008
-2
1,22
0,76
0,095
- 0,012
0,0007
-1
2,04
0,93
0,063
- 0,009
0,0009
о
3,02
0,98
0,041
- 0,006
0,0007
1
4,04
1,07
0,027
-0,003
0,0008
2
5, 11
1,11
0,023
0,000
0,0007
3
6,26
1, 16
0,029
0,004
0,0009
4
7,46
1, 24
0,045
0,007
0,0008
Из рис . 3.4 видно, что минимумы кри вых Ф (с) довольно тупые.
Поэтому нет необходимости в особой точности определения Сопт­
Тем не менее, если выбрать оптимальное положение рабочей точки
для сииусондального сигнала , то искажении сиг н ала с экспо нен­
циальным распределением Фэ(Се опт):=:,:,12%, т. е. почти в полтора
раза больше минимально возможного значения. Из рис. 3.4 также
видно, что иск аже ния сннусоидального сигнала существенно меныuе
искажений сигнала с э11споне нци альным распр еделением .
64

3.3. Оценка неnнненных нскаженнн
реального сигнала по результатам нзмерення
коэффнциент·а гармоник
Степень искажени й реальных сигналов определяет,ся
видом их распределений, которые могут значителыю от­
личаться от ра·спределения синусоиды. Поэтому целесо ­
образно проанализировать возможность ориентиро'1оч­
ной оценки искажений реального сигнала, если известr-~ы
результаты измерения коэффициента гармони к с помо ­
щью ,серийно выпускаемых приборов [65].
Рас-смотрим некоторые типи ч ные , часто встреч:1ющi!е­
ся распределения . При этом
будем считать, что средние
значения входного сигнала
равны нулю .
1. Нормаль·ное ра,спреде­
ление (рис. 3.5,а)
WH (х) = е-х' 120' /V21ta.
(3. 14)
Такое распределение имеют
многие шумоподобные ,сиг­
налы, обусловленные совме­
стным действием большого
числа независимых факто­
ров. Сравнивая (3.9) и
(3.14), видим, что нормаль ­
ное распределение в некото­
ром смысле является проти - .
воположным аркко-синусно­
му . Первое распределение
отлично от нуля на всей
оси х и имеет единственный
максимум, второе - финит­
но и имеет единственный
минимум.
tJ)
е;
-m
t7
Рис. 3.5.
2 . Равномерное распред елен ие (рис . 3.5,6)
wP (х) = f:1/_Ь, t / ~ 1;<..Ь/;, ,
1!~О, "-)х)>Ь12.
х
(3.15)
Распределение , близкое к равномерному, могут пме rь,
например , сигналы, передающие телеметрическую ин­
формацию , о•собенно, если в не й отсутствует избыто 1 1-
5-363
65

ность, поскольку равномерное распред~леиые обладает
максимальной неопределенностью.
3. Релеевское распределение (рис. 3.5,в)
lx+pVit/2
-(x+pVit/2)2 -о- 1/--;-
Р2
ехр
2р2
' х--рr2'
Wp(x)·=
v-
0,
х<-Р т·
(3.16)
Такое ра,спределение имеют сигналы на выходе линейных
амплитудных детекторов при действии на их входе нор­
мального процес,са. Близко к нему распределение теле­
- визионного видео,сигнала.
4. Экспоненциальное распределение (рис. 3.5,г)
(
1 -(х+т)/т ::::,,,
т
-е
'.,~,;:::;;,,,,,-
'
wэ(х)= т
О,
х<-т.
(3.17)
Экспоненциальному распределению подчиняется, напри­
мер, квадрат огибающей нормального случайного про­
цесса, т. е . сигнал на выходе квадратичного амплитуд­
ного детектора.
Устанавливая взаимосвязь между искажениями сиг­
налов с перечисленными распределениями и сину,сои­
дального .сигнала, ра,осмотрим ряд типичных неюыейных
зависимостей, используемых для ап п рок·симаrши харак­
теристик нелинейных радиотехнических устройств. Иска­
жения синусоидального ,сигнала, как и ранее, буЮ.'М обо­
значать через Фе. Индексы у оценок искажений сигналов
с другими распределени_ями будут •соответствовать ин­
дексам формул (3 .14)-(3.17).
r:,,
Бино,ииальные характеристики .
А . Линейно-юзадратичная характеристика
у=а1х + а2х2.
(3.18)
Такая характеристика пригодна для аппроксимации ма­
лых несимметричных нелинейностей.
Подставляя (3.18) в (3 .5), с учетом (3.14) - (3.17)
получаем
66
Фc=Ja/a 1 JA/2; Ф,,=\а 2 !а 1 JV2o;
ФP=\a 2 /a 1 Jb/VlS; Фэ=Jа./а 1 )2V2т,
ФР= 1а 2/а 1 / V8- S1t/2p/(2 - 1t/2). (3.19)

Мпщности бtrналов с рас-сматриваемыми распреде­
лениями будут равными, если
А2/2 =02 =Ь2/12 =m2 = р2 (2 - 1t/2).
(3.20)
Считая условие (3.20) выполненным, можно вырэ.зить
искажения несину ,соидальных ,сигналов через ио:ажения
синусоиды равной мощности:
Фн=2Фс; Фр=2")/2/5Фс::::: 1,26Фс;
(3.21)
Ф9 = 2V2Фс; Фр=V16-51tФс/(2- 1t/2)312 ::::: 1,96Фс·
При сопоставлении нелинейных искажений синусои­
дального ,сигнала и сигнала с равномерным распреде­
лением удобнее приравнять размахи этих сигналов. Тог­
да, считая Ь=2А, получаем
ФР = 4Фс/VТ5::::: 1,ОЗФс·
(3.22)
Б. Линейно-кубиче,ская характеристика
у=а1х+,азх 3.
(3.23)
С помощью такой характеристики можно аппрок,сими­
ровать малые симметричные нелинейности. Для сину­
соидального ,сигнала такая аппроксимация эквивалентна
часто применяемой оценке нелинейных ис1,ажепий по
третьей гармонике.
Проде:1ав вычисления, аналогичные предыдущим,
в предположении а 1 '>>а3х2 , получим
Фе=!а1/а1/А2/4; Фн= 1a3/a1 [ -V602;
Фр= 1а,/а11 VЗ/7 b2 /IO; Фз= 1аз/а.1,6112т 2 ;
ФР= J аз/а 1 ] VI28- 121t -91t2 p2/(8 - 1t) . (3.24)
При равенстве мощностей сигналов имеем
Фн=2V6Фс::::: 4,9Фс;
Фр= 12V3/7 Фс/5::::: 1,57Фс;
Ф9 = 12V2Фс::::::: 17Фс;
(3.25)
Фp=Vl28-121t-91t2 Фc/(2-1t/2) 2 ::::: 6,7Фс•
Согла,сно (3.25) значение нелинейных искажений ,сигна ­
лов ,с ра ,ссматриваемыми ра,спредел -ениями, кроме рав­
номерного, намного превышает значение искажений •си­
нусоидального сигнала той же мощности . Чтобы значе­
ния искажений бьши более близкими, целесообразно ис-
5*
67

nользовать ,синусоидальный сигнал, мощность к6Т(фоtо
на 10 дБ больше мощности реального ,сигнала. Тогда
(3.26)
При равенстве размахов ,син усоидального и равно­
мерно распределенного си г налов
(3.27)
Идеальное ограничение. Характерной особенност~-,ю •
такого ограничения является то, что сигналы с финитны­
ми ра,спределениями (равномерным или арюшсинусным)
при малых мощностях или, что то же самое, при малых
размахах не подвергаются искажениям, тогда как сигна­
лы ,с нефинитными ра,спределениями, нормалъныы, экс­
поненциальным или релеевским, искажаются всегда. По­
этому практически интересно установить взаююсвязь
между нелинейными искажениями только синусоидаль­
ного и равномерно распределенного сигналов при равен­
стве их размахов.
А. Одностороннее ограничение
{-cd, x < -d,
{сх, x<d,
У=
или у=
сх , x>-d,
cd, x>d.
(3.28)
Результаты вычислений приведены на рис. 3.6 (кри­
вая 1) . На этом же ри-сунке показана зависимость не­
линейных искажений ,сигнала с нормальным и экспонен­
циальным распределениями от Фе. Из этих кривых вид­
но, что малые искажения таки х сигналов (при нормаль­
ном распределении менее 12%, при экспоненциальном
распределении менее 7%) вообще нельзя оценить по ре­
зультатам измерения коэффициента гармоник.
Б . Двустороннее ограничение
,-cd,
x<-d,
У=! сх, -d<,x<,d,
l cd,
x>d.
(3 .29)
Взаимосвязь Фе и Фр показана на рис. 3.6 (кривая 2)
для случая равенства ра з ма хов. Результаты расчетов
для других распределений не приводятся. На основе
рис. 3.6 можно записать, что при идеалы-rом ог1чниче­
нии как одностороннем, так и двустороннем
(3.30)
68

Сглаженное ограничение. Рассмотрим характеристику
(3.31)
которую можно применять , например, для аппроксима­
ции ха,рактери,стик усилителей, модуляторов.
Ф,%
Ф,%
15 ~-+ --Hrr--=--- -t-- --1
5
10
15 Фе, '/4
5
10 Фе,%
Рис . 3.6.
Рис. 3.7 .
Результаты расчетов при одинаковой мощности сиг­
налов показаны на рис. 3.7 сплошными линиями · (Фн=
=Фр) . На основании этих данных можно з аписать
(3.32)
Поскольку нелинейные искажения -снrна.1а с экс по­
ненциальным ра-спределением намного больше пскаже­
ний синусоиды той же мощности, на рис. 3.7 штриховой
линией показана зави-симость Фа от искажений -синусои­
ды, мощность которой на 1О дБ больше. В этом ,случае
Фэ=(2 ... 2,5) Фе.
(3.33)
На рис. 3.8 показана взаимосвязь Фр и Фе при ра­
венстве размахов (кривая 1), откуда следует
(3.34)
69

S-образная характеристика
(3.35)
Нелинейность такого вида имеет, например, частотный
детектор.
Результаты расчетов при одинаковых мощностях при­
ведены на рис. 3.9 сплошными линиями . Приближеано
можно считать
(3 .36)
J
Ш Фе,%
Рис. 3.8 .
Рис. 3.9 .
Штриховой линией на рис . 3.9 показана зависимость
для -случая, когда мощность эк-споненциального -сигнала
на 10 дБ меньше мощности синусоиды . При этом
Фэ=(2 . .. 2,3)Фс .
(3.37)
На рис . 3.8 (кривая 2) отображен случай равенства
размахов синусоидального и равномерно распределен­
ного сигналов, когда
(3.38)
Приведенные в данном параграфе графики и фор­
мулы позволяют решить задачу приближенного опреде­
ления оценки нелинейных искажений несинусоидальных
сигналов по ре~ультатам измерения коэффициента гар-
70

моник, если ориентировочно известен хара1пер нелт;ней­
ности исследуе~юго устройства. Измерение Фе в '•том
случае заменяет и з мерение параметра функциоАальиой
зависимости, определяюще г о степень искажений ( 1 a2/atl,
1 аз/а11, d, а или μ), знать который необходимо для
расчета искажений.
Ра,ссмотренные примеры позволяют сделать следую ­
щие ВЫВОДЫ.
1. Результаты расчетов по дт верждают значительную
зависимость степени ис 1<ажений от вида одномерного
распре д еления входного сигнала. Поэтому для повыше­
ния достов е рности оценок нелинейных искажений глав­
ным является не повышение точности измерения rюэффи­
циента гармоник, J<оторая в ,с у щ ествующей аппаратуре
достаточно высока, а приближение тестового •сигнала
к реальному.
2. При равенстве размахов ,синусоидального ,сигн:нта
и •сигнала •С равномерным распределением их искажеnия
отличаются не более чем на 10%. При равенсгве мощ­
ностей этих сигналов нелинейные искажения равномер­
но ра,спределенного •сигнала превышают ис1<юкеи•1я си­
нусоиды в 1,25 ... 1,6 раза.
3. Оценка нелинейных ис~<ажений сигна,;rов с нефи­
нитным ра·спределени ем (нормальным, рел е евсюrм или
экспоненциальным) затруднена, если в исследуе~юм
устройстве ограничение сигнала близко к идеальному.
4. Наиболее подвержен искажениям ,сигна,1 с экспо­
ненциальным ра ,сттределением. Его искажения в 5 ... 17
ра з превышают ис к ажения -син усоиды одинакосой ,rощ­
ности. Это является •следствием того, что Wэ опюситель­
но мед ленно по ·сравнению с други м и ра,спределеr-1п1IМИ
убывает с ростом х. Поэтому для оценки искажений
такого сигнала по рез у льтатам измерения коэффипиента
гармоник целесообразно прим е нять гармоничес 1~ое ко­
J1 еба ни е, мощность которого на I О д Б больш е мощно-сти
реального -сигнала. Тогда Фэ будет в 1,7 ... 2,5 раза
больше коэффициента гармоник.
Сигналы с нормальным и релеевским распределениями
искажаю'l'ся примерно в одинаково~"! -степени. Это являет­
ся еще о дн им подтверждением того, что -степень нели­
н е йны х искюкений за висит от скорости у бывания w (х)
с ростом абсолютны х з нач е ний аргумента. Иска .женю~
этих,сигналов в 2...6раз (в основном в 2 ...4 раза)
превыша ет искюкения синусоиды равной мощности. По­
ск ольку нормальное распределение является одним из
71

наиболее распространенных, использование коэффициен­
та гармоник для непосредственной оценки искажений
реальных ,сигналов приводит к существенному заниже­
нию оценки искажений .
3.4 . ИзмереН"не неnнненных искаженин
с помощью поп ос wyма
При измер е нии нелинейных искажений ,с помощью
полос шума на вход нс-следуемой системы (ИС) подает­
,ся шумовой ,сигнал с равномерным спектром в полосе
частот [ шо-.Лш ; шо +,Л,ш]. Структурная схема измерения
приведена на рис. 3.10. Поскольку тестовый ,сигнал фор­
мирует,ся из широкополосного ,сигнала, выдаваемого ге­
нератором шума (ГШ), ,с помощью полосового фильтра,
его распределение .вследствие нормализации шума в уз­
кополосных ,системах [36] будет близко к нормальному.
С тепень и,с к ажений характеризуется коэффициентом Кш
Рис. 3.10.
(1.20), представляющим отношение действующего зн1:1-
чения выходного ,сигнала вне полосы частот тестового
сигнала, для выделения которого используется режек­
торный фильтр, к действующему значению ,сигнала
в этой полосе, выделяемому с помощью второго полосо­
вого фильтра. Иногда мощность продуктов искажений
нормируется к мощности всего выходного ,сигнала.
В этом ,случае из ,сх емы на рис. 3.10 можно исключить
поло,совой фильтр на выходе ИС. Различие между эти­
ми оценками невелико, оно имеет тот же порядок, что
и отличие между коэффициентами гармоник , задавае­
мыми (1.18) и (1.19).
Как уже отмечалось в § 1.4, из определения коэф­
фициента шума видно, что в нем не учитывает,ся моще
н ость продуктов искажений в полосе частот тестового
сигнала . Это можно об1;,яснить ,сложностью как теоре-
72

тического, так и эк,спериментального разделения полез­
ного сигнала и продуктов искажений, имеющих перекры ­
вающиеся •спектры. Использование единого метода оцен ­
ки искажений упрощает эту задачу и позволяет оценить
,степень занижения оценки нелинейных искажений при
измерении методом полос шума, ,сравнивая К.ш с вели­
чиной Ф, задаваемой (3.4), в предположении , что x(t)
является нормальным узкополосным ,случайным процес­
сом [61].
Полагая среднее значение входного ,сигнала равным
нулю, что соответствует методу полос шума , продукты
нелинейных искажений можно представить в виде
~(t)=у(t) - ,k0x (t)---a0 = f_[x(t)] - ; х(t)-y. (3.39)
l
Найд1ем энергетический спектр продуктов искажений
S~ (w). В соответствииJiс ~теор ~ мой Винера-Хинчина
[36,78]
cxi'
St (w) = SК.t (,:) cos:w,:d,: ,
- -00
где К.t (,:)- автокорреляционная функция продуктов иска-
жений.
•
Учитывая ·нормальность х (t), К.t (,:) :можно предста­
вить в виде [36, 78]
(3 .41)
где К.х(,:) - автокорреляционная функция процесса
x(li), а
,:i = [d16(t) ] 2
_l;;;;,, О.
1'1
dx,i (t) i!
Нетрудно показать, что ~.=О . Действительно , с уч е­
том того, что х2 = о2,
~. ={ Н/' (х)- :t ] v:., е~"1"dx}' -
--00
={ s°" f,(х) __!__е-х•12а•dx- х.;}2
У2па
а
-
73

Вычисляя интеtр1:1л rю частям, имеем
~. = (:t-:tу=0.
Приi;?2
и
~i = [f<tJ (x)]2/i!
Подставляя (3.40) в (3.39), получаем
со
(3.42)
i=2
где Si(ffi) =Sx(ffi) *Sx(ffi) * ... *Sx(@) представляет
(i-1 )-кратную свертку спектра входного сигнала с со­
бою.
При прохождении сигнала у (.f) через режекторный
фильтр неучитываемая мощность продуктов искажений
1~
fjt.<. !со
°'о+дw •
Pн=+IJ~!- s ;si(w)dw.
(3.43)
. i=2 Wо-до,
При ,Лro~<ui составляющие S; с четными i практически
не дадут вклада в окрестности ша. Поэтому можно счи­
тать, что
~оо
w0+Aw
Рн=:~~: ~~2/+\ S S 2 i+1 (w)dw.
/=J
Фо-до,
(3.44)
Для реальных ,схем режекторный фильтр подавляет
все составляющие выходного сигнала ,с ча,стотами, близ­
кими @о, что и предполагается, например, в [ 4]. Тогда
неучитываемая мощность продуктов искажений будет
больше
со
w0 +(2/+l)дw
Рн=+ ~~ 2 /+•
5 S21+ 1 (w)dw.
(3.45)
/=1
w0- (2/+l)дw
Учитывая некоррелированность продуктов искаже­
ний на неперекрывающихся интервалах частот, можно
определить занижение Кш относительно Ф:
/ рвндw
V--·
(3.46)
Рд.,,
74

Из (3.43) видно, что, если характеристика f (х) =
=kx+cp(x), где ср(х) -четная функция, и тестовый
сигнал достаточно узкополо-сен, Кш и Ф ,совпадают, по­
скольку в этом случае спектр полезного •сигнала не пе­
рекрывается -со спектром продуктов искажений и Кш
учитывает мощность всех продуктов искажений. В ос­
тальных ,случаях метод полос шума в том виде, в кото­
ром он описывается в работах, например [ 4, 23], дает
заниженную оценку. Как будет показано в примере, за­
нижение может быть весьма значительным. Согла,сно
(3.43) при уменьшении .Лu> соотношение между Ф и Кш
не изменяется . Оно также не зависит от формы Sx ( u>) .
Важно лишь, чтобы спектр входного сигнала был равен
н улю вне полосы частот [u>o-1Лu>; 1u>o+Лu>]. Поэтому
уменьшение полосы частот тестового -сигнала не умень­
шает степени занижения оценки искажений.
'Пример 3.4. Пусть нелинейное устройство имеет линейно-1<уби­
ческую характе ристи ку (3.23). Тогда в соответствии с (3.24)
Ф= la3/et1\ Vба2•
Величину ' рвн д,,, можно рассчитать как
Рвн д,,, = +{1 Sy (ro) -dro - "'os3д"'[Sy(ro) dro}.
О
"' 0-Зд,,,
Результаты такого расчета приведены в [4], где показано, что
Kш=let3 /et1 \V3/2a 2 . Таким образом, Ф=2Кш, а неучитываемая
мощность продуктов искажений в три раза больше учитываемой.
3.5. Расчет нелнненных нскаженнн
по другнм критериям.
Интегральные критерии вида (1.7). Сформулирован­
ный в § 3.1 вывод о том, что степень нелинейных иска­
женю1 полностью определяется одномерным распреде­
лением входного сигнала, остается справедливым для
всех критериев различия сигналов вида ( 1.7). Действи­
тельно, в общем случае
---~--
[оо
F = р [у (t); у (t)] = 5p:(f (х); kx +а] w:(x) dx, (3.47)
-00
и для расчета F, следовательно, достаточно знать ха­
рактеристику нелинейного элемента ,f (х) и плотность
75

вероятности w (х). Однако объем и сложность вычисле­
ний в зависимости от вида функции потерь могут су­
щественно возрасти. Проиллюстрируем это на примере
интервального критерия.
Интервальный критерий. Пусть
F= t -P[n,s;;;;y(t)--'y(t) ,s;;;; m];
Ф=Fмив·
(3.48)
Здесь интервальный критерий задан в вероятностной
форме . Такое задание возможно и дл я детерминирован ­
ных сигналов , если под w (х) понимать функцию, опре­
де.1Iенную в соответствии с (3.7).
Величину F удобно представить в виде
т
F__:_ t
-
rw (в) dв
J•
'
(3.49)
п
гдеw1-
одномерная плотность вероятности ошибки
е=у-у. Рассматривая 'e=f(x) --kx-'a ·как·функцию
х, w: (в) можно: выразить через· w (х) [35]:
'
w. (в)=~ ( W (x)'j Idfd~)
-'klx=xJ·
i
(3.50)
Суммирование (3 .50) ведется по всем значениям xi, яв­
ляющимся решением уравнения в=.f(x) -rkx-a. Иссле­
дование (3 .50) в общем виде затруднительно, так как
число слагаемых в (3.50), которое зависит от ·в и от
параметров k и а, переменно и границы интервалов
с разным числом слагаемых определяются из решения
трансцедентных уравнений. Поэтому сделаем некото­
рые упрощающие предположения относительно f (х) .
1. При х>О lf'I не возрастает, а при х<О не убы­
вает . Это условие эквивалентно предположению о един­
ственности максимума If' (х) 1- Очевидно, что при этом
условии любая прямая имеет не более трех пересечений
с характеристикой y=1f (х) и, следовательно, кривая
в (х) с прямой в= const также имеет не более трех пере­
сечений (рис. 3.11) .
2. Единственный максимум If' (х) 1 достигается при
х=О. Это предположение не сужает класса расс;матри­
ваемых характеристик f (х), так как преобразованием
76

системы координат оно может быть обеспечено всегда.
Тогда (3.49) с учетом (3 .50) приобретает вид
~
~
~
00
F= S w(x)dx+ .\· w(x)dx+Jw(х)dx + .\ w(x)dx,
-оо
(3.5!)
где х,, Х1, Хs - корни уравнения f(x)-kx-a=n; Х2,,. Хз
и xs -- корни уравнения f (x)-,kx-a=m .
х
х
Рис. 3.11.
Учитывая , что прямые e=rm и e=n могут касаться
е(х) или иметь с ней только одно пересечение, рассмот­
рим далее частные сл у чаи .
1. Плотность вероятности w (х) имеет при х = О един­
ственный максим у м. Покажем , что в этом сл учае значе­
ние F будет минимально, если е (х) касается прямых
e=m и в=n (рис. 3.12 , кривая 1). Очевидно, что такая
функция в (х) будет единственной .
Уменьшение k деформирует функцию в (х) так, как
это показано на рис . 3.12 кривой 3. Тогда изменение F
определится следующим образом :
дF::::::: w (В) Ьd +tSJ(D)hq-w(A)ef- w(C) pg ;;. о,
77

поскольку w(B);;;;,,w(A), w(D)>w(C) (w(x) -имеет
единственный максимум при х=О), а bd>ef, hq>pg·
в силу предположения 1 об f (х).
Так же можно показать, что и увеличе ние k приводит
к увеличению F (кривая 2 на рис. 3.12).
е
Рис. 3.12 .
k0 x+f10
Рис. 3.13.
При увеличении а е (х) приобретает вид, показанный
на рис . 3.12 кривой 4. Тогда
'ЛF=w (D)zt+w (A)se-w (С) ар?::::-0,
поскольку w (D) ?:,::w (С), zl;?ap. Уменьшение а также
приводит к увеличению F.
•
Таким образом, значение F будет минимально, если
кривая е(х) касается прямых e=n и e=m. Построение
78

прямой y= ,kox+ao, обеспечивающей это условие, видно
из рис. 3.13. Эта прямая должна касаться кривых
y=f(x)-n и y=f(x)--m. При сделанных предположе­
ниях об f (х) такая прямая будет единственной.
Окончательно пол у чаем
х,
00
Ф_=_Fмин= Sw (х) dx + Sw (х) dx.
(3.52)
-оо
Согласно (3.52) Ф=О, если х 1 <х(t)<хв. При этом,
если выполняются оба неравенства, Ф остается равным
нулю 'В некоторой обла,сти
изменения k0 и а0 . В этом 1слу-
t
чае их целесообразно ·выбрать
такими, чтобы модули экстре­
мумов 1:, (х) были минимальны­
ми, поскольку тогда можно
обеспечить Ф=О, задав мень-
Рис. 3.14.
шие Iп I и т. В частности,
при этом необходимо взять максимально возмож­
ный lkaJ.
В заключение отметим, что k0 и а0 не зависят от вида
w (х), а определяются только f (х), п и т.
2. Плотность вероятности w (х) имеет единственный
максимум при ха>О. причем Jf(xa)l~JnJ, т. В этом
случае значение F будет минимально, если 1:,(х) касает­
ся прямой e=m в окрестности точки х0 . Из рис. 3.14
видно, что, если максимум w (х) лежит на интервале
[хз; хв], изменения k и а приводят к увеличению F. До­
казательство этого аналогично предыдущему.
Уравнение прямой, касающейся кривой y=f (х)-т,
Y=f'(х)(х-х) + f(~)-т
содержит параметр х, который должен быть определен
из условия минимума F. Поскольку х 1 =х2, можно пре­
небречь значением интеграла от w (х) на интервале [х1;
х2] и считать
Ха
00
F= Sw (х) dx+ Sw(x) dx.
-оо
Если J ,f (хо) 1=m, то пренебрегать значением упомяну­
того интеграла нельзя и следует использовать формулу
(3.51), в которой будет отсутствовать третье слагаемое.
79

3. Плотность вероятности w (х) имеет единственный
минимум при ха<О. Этот случай аналогичен рассмотрен­
ному при замене т на п.
В остальных случаях, особенно когда w (х) имеет
несколько максимумов , необходимо исследовать все воз­
можные варианты: все корни х 1 , . .. ,
х6 существуют и
·разные, совпадают х2 и х3, х4 и х5 и т. д.·
!/
Рис. 3.15.
Прежде чем переходить к рассмотрению примера,
отметим следующее. Получение оценки искажений по
интервальному критерию отличия сигналов приводит
в общем случае к трансцедентным уравнениям, которые
мо1ут быть решены только приближенно, например гра­
фически. Графическое определение степени искажений
сводится к такому размещению прямой [J= ,kox+ ао, при
котором вероятность пребывания х (t) на интервалах,
расположенных под отрезками этой прямой, заключен­
ными между кривыми !)=f (х)-п и y=f (х) -т макси­
мальна . Графическая интерпретация полезна и в тех
случаях, когда возможно аналитическое решение.
Пример 3.5 . Определить искажения нормального сигнала с ну ­
левым средним при прохождении его через идеальный двусторонний
ограничитель (3 .29), если критерий отличия сигналов интервальный.
Условия примера соответствуют случаю, когда w (х) имеет един­
ственный максимум при х=О . Поэтому прямая y=kox+ao должна
касаться кривых y=f(x)-n и y=f(x)-m (рис. 3.15). Вычисляя,
получаем
k0 = [2cd- (т - п)] /2d:::::::: с; а0 = (т +n)/2,
ф_ 21(--d
-
2cd+(т- п))
-
а-2
~c_d_
_
_
(_m_- - n~)-
•
80

где
1
J(z} = •/-
У 21t
-
интеграл вероятности.
Рассмотрение интервального критерия показывает ,
что при функции потерь р, отличной от квадратичной ,
характер вычислений значительно усложняется, особен­
но из-за недифференцируемости р (в).
Критерий равномерного приближения , который фор­
мально и может быть представлен в интегральной форме
(1.7), более удобно записать в виде
F=maxjs(t)1=maxIf(x)-kx- аJ.
(3.53)
.
t
х
.
До сих пор при рассмотрении сигналов с нефинитными
распределениями (например, нормальным, экспоненци­
альным или релеевским) не принималось во внимание,
что такие сигналы, хотя и с малыми вероятностями ,
могут принимать значения сколь угодно большие по мо­
дулю. Реальные сигналы всегда ограничены по модулю .
Однако отличие нефинитных распределений от физиче­
ски возможных в подавляющем большинстве расчетов
приводит к столь незначительным расхождениям в ре­
зультатах , что ими можно пренебречь . Поэтому , в част­
ности, чрезвычайно широко используется нормальное
распределение , хот:Я очевидно, что реальные сигналы не
могут иметь точно такое распределение . Здесь останав ­
ливаемся на этом факте потому, что при кр итерии рав­
номерного приближения пренебрегать эти м различием
нельзя .
Действительно, все реальные характеристики f ( х)
являются ограниченными по модулю функциями . Поэто­
му, если допустить, что абсолютные значения входного
сигнала могут быть сколь угодно большими, значения
выходного сигнала все равно не будут превышать неко­
торого значения и F=max I в (t) 1=оо. То, что большие
значения Iв I маловероятны , не учитывается в критерии
равномерного приближения в отличие от других крите­
риев (например , среднеквадратичного или интерваль­
ного). Поэтому для получения оценок искажений , имею ­
щих практический смысл и отражающих реально имею­
щиеся физические ограничения, . при применении
критерия равномерного приближения необходимо сра-
6-363
81

зу же оговорить, что входной сигнал находится на неко­
тором интервале [х1; х2] 1 и его одномерная плотность
вероятности равна нулю вне этого интервала. Тогда не­
трудно увидеть, что значение f, определяемое (3.53),
и соответственно .Fмин и Ф не будут зависеть от вида
распределения входного сигнала . Оценку искажений
в этом случае можно задать согласно ( 1.23) ИJIИ n не­
с1юлько ином виде
Ф=FмшJk0 с2•-;х 1 }
(3.54)
что обеспечивает полную независимость Ф от формы
w (х). При симметричности w относительно математиче­
ского ожидания (3.54) совпадаете (1.23).
!!
о
Независимость оценки не.11инейных искажений по
Рис. 3.16 .
критерию равномерного прибли­
жения от вида распределения
входного сигнала является опре­
деленным ДО·СТОИНС'ГВОМ этого
критерия и позволяет выразить
оценку искажений любого сигна,
ла только через характери ,стики
системьr. Поэтому способ оценки
!lм х нелинейности с помощью Кимп
( 1.24), предложенный в [2,5],
можно ра,ссматривать как способ
оценки нелинейных искажений
любого сигнала. При этом, как уже отмечалось в § 1.4,
использование (3.53) устраняет неопределенность в раз­
делении f (х) на линейный и нелинейный ком п онен т ы.
В § 1.2 отмечалось, что значение критерия равно­
мерного приближения можно ис п ользовать для оценки
сверху значений других критериев. Применительно к не­
линейным искажениям эта оценка оказывается почти
не зависящей от свойств передаваемого сигнала.
'Пример 3.6. Определить искажения сигнала х (t), значения кото­
рого не выходят за интервал [О, Им] пр и воздействии его на эле ­
мент с линейно•квадратичной харахтеристикой (3.18), при оценке
различия сигналов .по хритерию равномерного п р и ближения.
В этом случаеимеем ,в(х) = а2х2+(а 1-k)х + а. Максимум !в(х)!
может достига т.ься или в точке x0=- (ai - k) /2а2, в ко торой про­
изводная dв/dx обращается в н уль, или на границах интервала:
F = max{la!; \a-(a.1
~
2k) 2 j: \а.2И2м+(а.1 - k)Им-а!}.
Нетрудно видеть, что значение F будет минимально (рис. 3.16),
если знаки е в точке х0 и на границах интервала будут различны.
82

При этом миш1мум будет достигаться [i O] при е(О) =-е{х0)· =
= е (Им) . IЪ этого условия получаем
•
k0 = сх1 "-1- схРм; а0 = - (сх1~- k0) 2 /8сх2::= сх2И\1/8;
Fмm; = /aolJ=:lcx2/P 2 м,l8 ;
/cx2 J И2м
JIСХ21 .
Ф=41 И+ U21:::::::-4
-
Им.
сх,МСХ2М
_
СХ1
При оценке искажений по среднеквадратичному критерию
F,шн,;;;;;; [сх~И2м/8]2;
J IСХ2
и2М
ф,;;;;;;- -;
---
8 а.. Vх2-<хУ
Рис. 3.17.
Определим степень завышения этой оценки .при равномерном
распределен,ш х на интервале · [О; Им]. В этом случае в формуле
(3. :15) Ь=Им и из (3.19) имеем Фp =l a2/a1IИJ VТ5 . Оценка свер­
ху дает значение Фр~ )r'ЗI а2/а11 Им/4, которое примерно в 1,7 раза
больше действительного значения искажений.
Результаты примера 3.6 можно сформулировать сле­
дую щим образом. Прямая f}=k 0x+a0 проходит посре ~
дине между прямыми , одна из которых соединяет точки
[х1; f(x1)], [х2; f(x2)], а другая параллельна первой и
касается кривой y=f(x). Этот результат можно обоб­
щить для любых выпуклых или вогнутых характеристик,
т. е. характеристик с монотонной первой производной.
Действительно, из рис. 3.17 видно, что при k=,ko изме­
нение а увеличивает или jf(xo) - jj(xo)I, или lf(x,)-
6•

-j] (x1) l=lf(x2)-j](x2) 1- Совместное изменение k и а
эквивалентно повороту прямой ,k0 x + а0 вокруг некото­
рой точки М. Если абсцисса точки М меньше х 1 , то поворот
прямой в отрицательном направлении (прямая 1) при­
водит к увеличению lf(x1)-j](x1) 1 и lf(x2)-j](x2) !-
Поворот прямой вокруг точки М в положительном на­
правлении (прямая 2) приводит к увеличению lf (хо) ­
-у (х0 ) 1- Аналогичные результаты можно получить, если
хм>х2 или х 1 <хм<х2.
Таким образом, для характеристик с монотонными
производными имеем
k=f(Х2)- f(Х1)•
о
Х2-
°'1
,
а .....:. . ._
1 [t(x)--x
. x2'(x2)-x1f(x1) ]·
о
2
о
о
Х2 -Х1
'
(3.55)
F МЮ\= 1ао 1,
где хо определяется из условия f' (х0 ) =ko.
Максимальное значение критерия равномерного при­
ближения, дающего оценку сверху для всех интеграль­
ных критериев, в свою очередь, можно оценить, зная
максимальную неравномерность первой производной
характеристики
К _ max (dy/dx) - min(dy/dx)
пр- max (dy/dx) + _min (dy/dx) •
Введем обозначения k 1=max(dy/dx) и k2=
=min (dy/dx). Тогда F будет максимально, если
{С+k1x, Х1<Х<=Х0;
У= c+k1x 0 +k2 (x-x0 ), х0 <х<х2,
или
{С+k2x, Х1<Х<Х0,
У=
С+k2x0+k1(х - Х0), Х0<Х<Х2•
В первом случае характеристика f (х) будет выпук­
лой, а во втором - вогнутой . Поэтому в соответствии
с (3.55) J3 первом случае
F ,,__
1 lk ( _ )- Xo[k1(1'0 -X1)-k2(X2 -X0)]1
МЮ1- 2
tХо
Х1
•
'
LX2,- Х1
а во втором-
F __1lk(-_
)·-Хо [k1 (X 0 -X1)-k1· (X2-X0)] 1
МJ111 - 2
•Хо
Х1 ~---------~
•
•
Х■ -Х1
а.

В обоих случаях Fмин имеет наибольшее значение
при Хо= (х1 +х2) /2. Тогда
Fмин= [(k, -k2)/8] [(х2 -:- х1)/2];
Ф=Кпр/8.
Используя полученное соотношение и свойства кри­
терия равномерного приближения по Кпр можно оценить
степень нелинейных искажений, исходя также из других
критериев, аналогично тому, как это сделано в [28] для
коэффициента гармоник.
Среднеквадратичный критерий различия сигналов
с весовой функцией в частотной области. Зададим F и
Ф следующим образом :
00
' F. :+ sS~(o{Q (wYdw ;
~о
(3.56)
гдеS1-
энергетический спектр ошибки~:<(t);~Q (w):- за­
данная неотрицательная функция.
Из задания F видно, что мощность различных ком­
понентов e(t) учитывается в различной степени в за­
висимости от их частот. Такое задание критерия отличия
сигналов целесообразно, например, когда сигнал с не­
линейного безынерционного элемента поступает на око-
нечное линейное устройство с характеристикой К (ffi) и
качество системы в целом характеризуется по средне­
квадратичному критерию. В этом случае Q(ro) =K2 ((J)) .
При определении F в соответствии с (3 .56) необхо­
димо определить энергетический спектр сигнала e(t) =
• =f[x(t) ]-kx(t)-a, являющегося результатом нелиней­
ного безынерционного преобразования процесс.а х (t) .
Решение этой задачи в общем случае возможнt, если
х (t) - нормальный или почти нормальный случайный
процесс [36] . В первом случае можно использовать,
например, формулу (3.42), которая примет вид
00
S1 (to{=21t ГУ-а) 2 о(tо):+ ~ ~1S 1 (to) ,
1-1
85

где S;(w), как и ранее (i-1)-кратная свертка спектра
входного сигнала с собою,
~1= [f'(х) - k]2;
~i = [f<1>(х)]2/i! i~2.
Тогда, полагая для краткости х=О, получаем
00
F=(y--a) 2Q:(o)+ ~ _\Sx(u{Q(ш)dш+
о
00
00
++~ ~i .r S; (ш) Q(ш):dш.
i=2 О
Поскольку от а зависит толыю первое слагаемое,
а от k только второе и оба эти слагаемые неотрицатель­
ные, то
00
00
Fмин= -k- }~}~;) Si (ш) Q (ш) dш
(3.57)
i=2 О
при а0-=у; ko'-~f' (х)= ху/х2•
• Полученные эквивалентный коэффициент передачи и
изменение постоянной составляющей не зависят от ве­
совой функции Q (w) и остаются такими же, как при
среднеrшадратичном критерии, rшгда Q (w) = 1.
Представление s. (ш) в виде ряда по S; (ш) было удоб­
ным при получении выражений для а0 и k0 . При практи­
ческих расчетах, если можно получить в замкнутом виде
выражение для спектра Sy(w) сигнала y(t), удобно ис­
пользовать формулу
00
l•
"
F~шн.=-;- .\ [Sy(ш)-k-0Sx(ш)]Q(ш)dш, (3.58)
+о
которая ~ледует из соотношения
00
Sy (ш)= }J [f(i) (Х)] 2 Si (w) ~i7 -:21ty6 {Ф) +
i=O
00
+ k\SJ!. (w)~+ ~ ~1S1 (w).
1=2
86

Таким образом, для нормальных x(t) _ оценка нели­
нейных искажений по критерию (3.56) зависит только
от энергетического спектра .
Пример 3.7. Определим нелинейные искажения нормального слу­
чайного стационарного процесса с энергетическим спектром S (ro) =
=2Ta2 /(l+Pro2 ) при воздействии его на элемент с линейно-кубиче­
ской характеристикой (3.23). Весовая функция Q(ro) =1/(l+Т2oro2 ),
ТO4:. Т, что соответствует оконечному каскаду на рис. 1.1 в виде апе ­
риодического звена первого порядка.
В соответствии с (3.57) имеем
k0 = сх1 +3сх1а2 :::::: сх1;
~2 = lf" (х)]2/2! = (6cxi)2/2! = О;
~~з= [!"' (х)]2/3! = (6ci3) 2/6 = 6ci3;
~;=0, i~4;
00
Fмш1 = ~ •~ S, ((!)) Q ((!)) d(J);
о
l2Ta 2
2Та 2
S,((!))=1+р<,)2*1+Т2002 *
12Та2
10Та 6
*1+ Т2rо2 1+ (Tro/3)2 ;
FМШ1=6с~23а2 / ( ~+ 1}
Ф=l:: la2 v6( ; 0
+1)/( 3Jo +1)::::::
::::::j :: Jа2 У6(1-2Т0/Т} .
При •То=О, когда Q(roj:= !, критерий (3.55) переходит в обыч­
ный среднеквадратичный критерий и полученный результат для Ф
совпадает с (3.24).
Решение в общем виде возможно также, если х (t)
есть результат известного (например, нелинейного
безынерционного) преобразования нормального процес­
са ri(t). В этом случае
x(t)=tj1[1J(f)]; -ry'_(f)=f[x(t)]=ф[7J(f)],
а ошибка е (t) по-прежнему есть результат нелинейного
безынерционного преобразования нормального случай­
ного процесса
s(t)=ф['YJ(t)]- kf['YJ(t)]-а.
87

Тогда F можно представить в виде
о:,
F=(y-k0x-a0 ) 2Q0(0)++ ~ [ip< 1> (7i)-: _
i=I
о:,
- k.~(I) (1i)]2 J S; (ro) Qi!(ro) d (ro)
о
В этом случае Si(w) получается в результате ·
(i-1 )-кратного свертывания спектра S"f/ (w) процесса
11(t).
Значение F будет минимальным при
ao=Y-kox;
00
00
~ <J,(iJ ("YJ) 'f(i> ("YJ) J~si (ro) Q_(ro) dro/i!
k
i=I
()
о =---------------
0:,
00
~
1
['f(i) ("YJ)J2 JS 1 (ro) Q (ro) dro/i!
= jSxy (Ф) Q_(Ф) dФ!Js.r (w) Q(Ф)dw,
о
о
где Sx(w), как и ранее, спектр сигнала x(t); Sxy(w) -
взаимный энергетический спектр сигналов х (t) и у (t).
Подставляя полученные k0 и а0 в выражение для F,
а полученное значение Fмин в (3.56), после аналогичных
преобразований получаем
-
1. (3.59)
Энергетические спектры сигналов Sx и Sy и их взаим­
ный спектр Sxv можно выразить через энергетический
спектр процесса 1J (t) и функции q> и 'Ф или при необхо­
димости через Sx и f. Для установления этих зависимо­
стей применим любой из методов, изложенных, напри­
мер, в [16, 36, 78]~
Наряду с рассмотренными критериями, аргументами
которых являются непосредственно сравниваемые сиг-
88

налы, нелинейные искажения можно оценивать по сте­
пени отличия одномерных распределений выходного и
входного сигналов . Такой подход к оценке нелинейных
искажений рассмотрен в работе [7], в которой для
сравнения одномерных плотностей вероятности исполь­
зуются среднемодульный , среднеквадратичный и энтро­
пийный крите рии и приводятся примеры расчета по по­
следнему критерию . Использование отличия одномерных
плотностей вероятности для исследования безынерцион ­
ных систем вполне оправдано, поскольку одномерные
законы описывают амплитудную структуру сигнала,
которая ~по двержена искажениям при нелинейном
безынерционном преобразовании . Однако такая оценка
нелинейных искажений в отличие от других не имеет
достаточно четкой физической интерпретации.
3.6 . Тест о,вын снгнаn дnя нзмерення
неn,нненных искажений
в w,нрокопоnосных системах
Из результатов § 3.1 и 3.5 видно, что степень нели­
нейных искажений в нелинейном безынерционном
устройстве зависит только от одномерной плотности
вероятности в х одного сигнала . В соответствии с этим
нетрудно определить вид сигнала, не подверженного
нелинейным искажениям . Действительно, пусть
w(х)=р8(х- х1)+ (1- р)8(х- х2),
где р -любое число, лежащее на интервале '[О; 1]1; б ( •),
как и ране е, импульсная функция или б - функция .
В этом случае входной сигнал может принимать
только значения х 1 или х2 , некоторым образом переходя
от одного значения к другому (рис. 3.18) . Тогда, взяв
получим, что ; (t) =О , т . е . независимо от вида крите ­
рия F продукты искажений отсутствуют и Ф=О .
Чтобы с тепень иска ж ений сигнала соответствовала
степени искажений реального сигнала, необходимо обес-
89

печить совпадение их одномерных распределений. Спо­
со .бы формирования случайных или почти случайных
процессов с заданными одномерными плотностями веро­
ятности рассмотрены , например, в [5, 21]. Наиболее
просто получить пронесс х (t) с требуемым одномерным
распределением w (х), подвергнув нелинейному безынер­
ционному преобразованию процесс ri (t) с некоторым
распределением w~ (ri). Вид преобразования x = 'ljJ (ri)
можно найти из уравнения
w~(1J)d1J=w(х)clx.
(3.60)
Формула (3.60) записана в предположении, что фун 1щия
'Ф (ri) монотонно воврастает
и, следовательно, взаим-но­
однозначна.
В качестве процесса ri{t)
обычно берут процессы
:::!!~[Jc==~-=-= --=-~~=-= -= -=- -:::;.. с нормальным ил и равном ер­
Х1
Xzх
t' ным распределением. Это
объясняется тем, что мето­
ды их формирования доста­
точно просты. Процессы пер-
f
Рис. 3. 18.
вого
типа
генерируются
многими физическими датчи­
ками. К:роме того, нормаль­
ный сл~учайный процесс мож -
но получить, пропуская ши­
рокополосный шум с любым распределением через узко­
полосную линейную систему. Равномерное распределе­
ние имеет периодический пилообразный сигнал. При
этом, чтобы сигнал х (t) не имел крутых фронта и спада,
был наименее широкополосным, время обратного хода
Должно быть соизмеримым со nременем прямого хода.
В принципе, наиJiучшим будет сигнал , у 1,оторого дJ1и­
тельности падающего и нарастающего учас тков равны
между собой. Следует также отметить, что числа с рав­
номерным распределением наиболее просто генерируют­
ся цифровыми устройствами.
Получить сигналы с равномерным распределением
несколько проще, чем с нормальным. Однако в этом
случае функция 'Ф (ri), получаемая в соответствии
с (3.60) будет более крутой, чем при преобразовании
нормального процесса. Прим е ры функций 'Ф (ri) для не­
скольких распределений приведены в табл . 4. Функция
90

-фр ('YJ) соответствует преобразованию процесса 11 (t)
с равномерным распределением, а функция 'Фн(r:J) - пре~
образованию процесса с нормальным ррспределением.
С р едние значения, соответствующие распределениям,
фигурирующим в таблице, положены равными нулю.
Функциональный вид распределений задается форму­
лами (3 .14)-(3.17).
Распределение
w(x)
Н о рмальное (3 . 14)
Равномерное
(3 . 15),
ь
ь
-- 2-<'fl<2
Релеевск ое (3. 16),
-рv;<х
Эксп1 н ен11иаль н nе
(3. I7) , -111 ,,;;; х
Таблица 4
(1
'fj )*
aJ-1 т+ -ь-
·q
'fj
ь[1(+)-+]
{/
,I
'1/)
?{v
/
2 lry l i-1(}JJ:-
?V2ln\2-Ь-
- V;}
- i;}
-т[1n (+--}J+1] -т{ln [1-
-1(+)]+1}
*J-1
-
функция, обратная и н тегралу вероятности.
Если распределение w(x) близко к арккосинусному
(3.9), то в качестве тестового сигнала следует в-зять
1 армоническое колебание . Этот же сигнал можно бьi~
ло бы исполь з овать в качестве исходного процесса· 'У] (t)
для формирования тестового сигнала с произвольным
распределением. Однако из-за финитности его распре­
деления получа ем ые функции '\jJ (ri) будут столь же кру­
тыми, как и для равномерного распределения 'У] (t), а· вид
функций 1p(ri) будет еще сложнее .
•
91

Струкtурна.я схема измерения искажений приведена
на рис. 3.19. Она практически совпадает со структурной
схемой измерителя суммарных искажений (рис. 2.2),
отличаясь от нее только отсутствием линии задержки .
Предположение о безынерционности для реальной
системы может выполняться лишь приближенно . Поэто­
му спектр сигнала х (t) должен находиться в диапазоне
частот, для которого предположение об отсутствии ли­
нейных искажений выполняется достаточно строго. Наи­
более просто обеспечить это условие, если исследуемая
система пропускает постоянную составляющую, так как
в этом случае сигнал х (t) можно взять сколь угодно
медленным, и это обеспечит сколь
угодно малые линейные искаже­
ния. Если исследуемая система
имеет К (О) =0 , но достаточно ши­
рокополосна, что типично для ви­
деотрактов, то полооу частот нор-
Рис. 3.19.
мального сигнала или период пи-
лообразного 11 (t) нужно выби­
рать из условия минимума линейных искажений х (t)
в исследуемой системе, оцениваемых по тому же крите­
рию, что и измеряемые нелинейные искажения. Если
этот минимум оказывается одного порядка с измеряе­
мыми искажениями, то структурная схема на рис. 3. 18
не применима и необходимо переходить к схемам, рас­
сматриваемым в § 3.7.
При расчете суммарной погрешности измерения в со­
ответствии с (2.12) линейные искажения тестового сиг­
нала можно отнести к Фвх- Это можно сделать, условно
представив исследуемую систему в виде каскадно со­
единенных нелинейного безынерционного звена и линей­
ного каскада и объединив последний с входным каска­
дом измерителя искажений. При этом из-за малости не­
линейных искажений несущественно, отражает такое
разбиение реальную структуру системы или нет.
Все сказанное о линейных искажениях применимо
и к учету влияния внутреннего шума на достоверность
результата измерения нелинейных искажений . Правда,
в этом случае в отличие от продуктов линейных искаже­
ний внутренний шум, как правило, независим от сиг­
нала и, следовательно, от продуктов его искажений. Это
позволяет довольно просто скорректировать окончатель­
ный результат, зная, например, действующее значение
шума на выходе системы.
92

Измерение нелинейных искажений сущесtвенно упро­
щается , если сигналы сравнивают по критерию равно­
мерного приближения. В этом случае в качестве тесто­
вого сигнала можно использовать любой сигнал, лучше
периодический, например гармонический или пилооб­
разный, размах которого совпадает с размахом реаль­
ного сигнала. Устройство для измерения F и Ф пред­
ставляет собою пиковый вольтметр с двухполупериод­
ным выпрямителем на входе . При этом, как и во всех
случаях, F минимизируют изменением коэффициента
передачи k и постоянной составляющей а.
Рис. 3.20.
Дальнейшее упрощение возможно, если заведомо
известно, что исследуемая система имеет характеристи­
ку с монотонной производной. В этом случае (рис. 3.20)
с помощью аттенюаторов при поочередно замыкаемых
ключах В1 и В2 уравнивают и нормируют размахи сиг­
налов x(t) и y(t). Величина искажений оказывается
равной половине показаний вольтметра при одновремен­
но замкнутых ключах. Минимизация в процессе измере­
ний в этом случае не нужна.
3.7 . Тестовый снrнал для нзмерення
нелинейных искажений в с·нстемах с оrраннченной
полосой пропускания
Если исследуемая система недостаточно широкопо:
лосна, то для устранения влияния линейных искажении
на результат измерения нелинейных искажений, необхо­
димо использовать узкополосный тестовый сигнал, кото­
рый практически не подвержен линейным искажениям.
В этом случае предъявляют требования как к одномер­
ному распределению тестового сигнала, так и к его
спектрально-корреляционным свойствам.
93

Известен только один способ формирования случай•
ного процесса с заданной одномерной плотностью веро ~
ят1-rости ·и с заданной автокорреляционной · функцией­
нелинейное безынерционное преобразование случайного
процесса [5] . Вид нелинейного преобразования · выби­
рают в соответствии с (3.60), чем обеспечивают требуе­
мое одномерное распределение. Корреляционную функ­
цию преобразованного процесса Кх (-с) выражают через
корреляционную ФУf!Кцию преобразуемого процесса K-ri('C)
где вид функции Н ( •) зависит только 'от •в11да функции
ф (7j) . Подставляя в это соотношение требуемую Кх, мож­
но определить, какая K-ri обеспечивает это условие. Од­
нако не всегда полученная таким образом K,/r;) является
физич.ески реализуемой автокорреляционной функцией.
Чтобы КТ/ ('С) была корреляционной функцией некоторого
процесса 'У] (t), она доткна быть положительно опреде ­
ленной [35, 74], т. е. преобразование Фурье от нее, я в­
ляющееся энергетическим спектром, для всех частот
должно быть неотрицательным. Если рассчитывать
К.,/-r) для Кх (-с), соответствующих узкополосным п ро­
цессам х (t), то всегда будут получаться функции, не
являющиеся положительно определенными.
Невозмож ность получения таким способом узкопо­
лосного процесса с распределением, отличным от но р ­
мального, можно проиллюстрировать следующим обра­
зом. Из (3.42) видно, что спектр результата нелинейного
безынерционного преобразова н ия нормального про цесса
п олучается суммированием с неотрицательными коэф ­
фициентами результатов многократного свертывания
спектра преобразуемого процесса. В результате свертки
спектр может только расшириться. Поэтому результат
нелинейного безынерционного преобразования будет бо­
лее широкополосным, чем преобразуемый нормальный
процесс.
Для формирования тестового сигнала с симметрич ­
ным распределением можно использовать амплитудную
модуляцию синусоидального сигнала [56], тогда тес то ­
вый сигнал будет иметь вид
х (t)·= А (t) cos (wof +ер), А(t)?, О,
(3.61)
94

где А (t) - модулирующая функция, наивысшая частота
которой намного меньше частотьr несу щей (1) 0 ; ер - про:
извольная начальная фа з а .
Распределение такого сигнала w (х) связано с рас­
пределением огибающей wA (А) следующим обра з ом :
00
w (х) =+JwA (xchA) dA.
о
(3.62)
Отсюда [69) для обеспечения требуемой w (х) необходи­
мо, чтобы плотность вероятности огибающей имела вид
00
wA(A)=A sex(u)J.:(Aи)udu,
(3.63)
о
где ! 0( •) - функция •Бесселя первого рода нулевого по­
рядка, а
00
.
00
Ох(и)= Seiuxw(x)dx= Jcosuxw(x)dx
-00
-00
-
х арактеристическая функция x(t) .
Таблица 5
w(x )
l.\/,cVA20- x',/х!3⁄4Ао
с! (А- А0)
л.
1
2.
21tA0 Х
tА0
!
т
А+VA2 - х2
~
'
XIо
о•
пА0-Vл20-х2 .
А3⁄4Ао
[хJ3⁄4Ao
1
А -A 'f2,•
3.
__ е-х'/2,•
аV~21п(!-+ -)
V 27ta
-;;т- е
А
1
л.V1-(1-+-)'
4.
2л0 , 1хi3⁄4Ao
А0VA20- А' '
А3⁄4Ао
95

Преобразование вида (3.63) является преобразова­
нием Ханкеля, описание свойств которого и таблицы
имеются, например, в [ 17] ,.
Для формирования А (t) можно использовать в со-
ответствии с (3 .60) нелинейное безынерционное преоб-
г-------------
1
.-...-~ l
1
1
1
1
г
1
v"
L_ _ _________,;
Рис. 3.21 .
разование нормального или пилообразного сигнала,
частота которого намного меньше частоты модулируе­
мого синусоидального сигнала. В табл . 5 для ряда рас­
пределений w (х) приведен вид распределений WA и
Рис. 3.22 .
9Ei

модулирующих ф у нкций А (t) при ф ормировании их из
пилообр аз ного сигнала с длительностью прямого хода Т .
СтрJппурная схема измерения искаже ний с помощью
такого т ес тового сигнала при ср ед н екв а д ратичном кри­
тери11 пр иведе на на рис. 3.21 . Н ели н е йный элемент (НЭ)
обеспечивает требуемое распределение модулирующего
сигнала . При исследовании н ел ин ей ны х и скажений пре д ­
полаг алось, что система безы нерционн а, но тем н е менее
при и зме р е нии необ х оди мо у читыват ь фазовые сдвиги
выходного сигнала относительно входно г о . Для их ком­
п е нсации применен фа зов ращат ел ь , выполняющий роль
задерживаю щ е го ус тройства. Во всем осталь но м э та
схема аналогична структурной схеме на рис. 2 .2 .
Ст р уюу рная схема на рис. 3.21 при постоянном мо­
дулирующем сигнале А (t) совпадает со струк тур ной
схемо й измерителя коэффициента гар мон ик [27], в ко­
тором первая гармоника выходного сиг на ла н е подав­
.r1я ет с я с по мо щью р ежек торного фильтра, а компенси­
руется с помощью тестового сигнала. Это совпадение -
следствие то го , что пр11 среднеквадратичном критерии
и синусоидальном входном сигнале единый метод п е ре-
К2
- - - +- - - -i ~ /111 к6шl,шrmt1'r'liЫri
6ольт11етр
7-363
97

ходит в метод одного тона. Поэтому измеритель нелиней­
ных искажений с помощью тестового сигнала с симме­
тричным распределением можно рассматривать как
обобщение измерителя коэффициента гармоник на более
широкий класс сигналов.
Тестовый сигнал (3.61) аналогичен тестовому сигна­
лу при измерении нелинейных искажений с помощью
полос шума, а при нормальном распределении x(t)
совпадает с ним ~ Однако, как уже отмечалось, при из­
мерении нелинейных искажений с помощью полос ш ума
Ф, "1.
15 ,---i--cf.::-c:;,н---f-4...V--,'----I
продукты нелинейных искаже­
ний в полосе тестового сигнала
не учитываются. При измере­
нии же по структурной схеме
на рис. 3.Q l учитывается вся
мощность продуктов нелиней­
ных и,скажений.
На рис. 3.22 приведена упро­
щенная принципиальная схема
0 ~- ~- ~-- '- - .. ... 1 рассматриваемого измерителя
!J,f75 !J,t 0,15 ~хэфф,!l нелинейных искажений. На
Рис. 3.23.
транзисторах Т 1 - ТЗ выполнен
генератор пилообразного на­
пряжения фанта:стронного ти­
па. Нелинейные характеристики аппроксимируются с по-
мощью диодно-резисторных ячеек, подстраиваемых соот­
ветствующими потенциометрами. Сигнал с функциональ­
ного пр еобразователя 'Поступает на амплитудный модуля­
тор Т4, Т5, на второй вход которого поступает ,сигнал с ге­
нератора синусоидального сигнала Тб. Фазовращатель
выполнен на 1<0нденсаторе С и резисторе R. Сигналы
с гнезд Kl и К2 служат для контроля формы модули­
рующего сигнала и огибающей тестового сигнала при
формировании необходимого распределения w (х).
На рис. 3.23 сплошными линиями показаны резуль­
таты измерения нелинейных искажений сигнала в лам­
повом двухкаскадном усилителе. Номера кривых соот­
ветствуют номерам распределений тестового сигнала
в табл. 5. Результаты измерений, как и приведенные
в предыдущих параграфах результаты расчетов, под­
тверждают существенную зависим ость степени искаже­
ний сигнала от его одномерного распределения. Напри­
мер, при равенстве мощностей входных сигналов иска­
жения сигнала с нормальным распределением больше
чем в три раза превышают искюкения синусоищ,т. Ис-

1<11Жеl-iия сигнала с равномеrJНым распределением превы­
шают искажения синусоиды примерно в полтора раза.
Если же приравнять их размахи, то отличие станет еще
меньшим.
Штриховыми линиями на рис. 3.23 показаны резуль­
таты измерений с помощью тех же тестовых сигналов,
но при полном подавлении составляющих выходного сиг­
нала в полосе тестового сигнала, т. е. результаты из­
мерений методом полос шума. Они оказываются значи­
тельно меньше, чем оценки искажений, учитывающие
всю мощность продуктов искажений . Это занижение,
неизбежность которого показана в § 3.4, в данном слу­
чае равно 20 ... 30% .
x(t)
Рис. 3.24 .
Другим способом формирования узкополосного тес­
тового сигнала с распределением, отличным от нор­
мального, может служить н ел инейное безынерционное
преобразование узкополосного нормального процесса
11 (t) с последующей фильтрацией результата преобразо­
вания [59] (рис. 3.24).
Нормальный узкополосный случайный процесс мож­
но представить в виде [36, 78]:
1J(t)= А(t) sin [ш/+ер(t)],
где А (t), (j) (t) - функции , изменяющиеся намного мед­
леннее, чем siп ш 0 t, причем фаза (j) (t) распределена
равномерно, а огибающая А (t) имеет распределение
Релея :
(А) -А -А2/2а'/ 2
WA
-
е
о.
Если 'У] (t) достаточно узкополосен, то, используя квази­
стационарный метод, z(t) ='Ф[11(t)] можно представить
в виде
со
z(t)= д А;[А(t)]siп{i[шi+ер(t)]},
i=I
7*
99

где
п/2
А;(А)=~ Sljl(Аsiпt)siпitdt
-п /2
-
коэф фици е нт разложения сигнала z (t) в ряд Фурье
в пр ед по ложени и , что сигнал ТJ (t) имеет постоянн ую
амплитуду А. Поскольку полосовой фильтр по да вляет
составляющие высших часто т сигнала z (t) , и меем
х(t) = А, [А(t)] sin[шi+<р(f)].
Полученное выражение для сигнала х (1) совпадает
с (3.61). Наличие флуктуирующей фа з ы ер (t ) , и мею щей
равномерное распределение, н е влияет на вид распре­
деления w (х), 1<0торое и в этом случае определяется
(3 .62).
Пр едставляя 'ljJ (11) как сумму ч етно й и н ечет ной
функций, получаем , что А 1 (А) определяется видом тол ь ­
ко нечетной. Поэтому далее будем считать , что 'ljJ (ri) -
не'l етная функция, тог да
п/2
А1 (А)= ~ j' ljl(Asiпt)sintdt.
(3.64)
о
Для получения тре буемо го распределения т ес тового
сигнала распределение А 1 wл 1 должно удовле творять
(3.63). В свою очередь, распределение wл 1 можно вы­
разить через wл:
откуда
(3.65)
где
А,
WA, (А,)=.\ wA, (q) dq
о
-
интегральное распределение А 1 .
Из (3.65) мож но найти А 1 (А), обеспечивающе е тре­
буемое w (х), затем по известном у А 1 (А) из у равнения
(3.64) 11айтн 1jJ (11), обес печивающ у ю тр ебуемое распре-
100

деление w (х). Не п осредственной подстановкой в (3.64)
можно показать, что это интеграль н ое уравнение имеет
решение
(З.66)
Таким образом, с помо щью нел и нейного элемента с ха­
рактеристикой 'Ф (1']) и полосового фильтра из узкополос­
ного нормального процесса можно сформировать сигнал
с заданным симметричным одномерным распределением.
При измерении нелинейных искажений с помощью
такого тестового сигнала применима структурная схема
на рис. 3.21, но ее часть, обведенная штриховой линией,
следует заменить в соответствии с рис. 3 .24 .
Пример 3.8. Определить характеристику '\jJ ( 11 ), обеспечивающую
равномерное распределение тестового сигнала. Для простоты п оло­
жим l(J'= 1, Ь=2.
Из (3.63) имеем - (см. также табл. 5)
Тогда из (3.65)
и из (3.66)
wA,(A,)={A,;V10, А\, A,,s:;;;; 1,
A,>l.
у
-А'
А,(А)= 1-е
Получить '\jJ в явном виде не удалось. Результаты приближен­
ных вычислений приведены, на рис . 3.25 (кривая 1).
Пример 3.9. Решить ту же задачу для
{
1
1 + Vт-=?
w(х)= 2"Jn1- Vt-,х;2'
' xl,;;;; 1,
О,
\xl> l.
Производя вычисления, аналогичпые предыдущим, получаем
A,,<t,
А,>1,
101

где /, (-)
-
фун1щия Бесселя первого рода мнимого аргумента.
Полученная характеристика локазана на рис. 3.25 кривой 2.
Рассмотренные методы позволяют получить узкопо­
2
1,,
Рис . 3.25.
лосный сигнал только с симме­
тричным распределением. Не­
сколько 1сложнее задача фор ­
мирования тестового сигнала
с несимметричным распределе ­
нием и ограниченной поло,сой
частот. Прежде всего покажем,
что ,сигнал с несимметричным
распределением
не
может
f иметь сколь угодно малую ши­
рину спектра.
Действительно, представим сигнал с амплитудным или энергети­
ческим спектром, отличным от нуля только на ,ко н ечном интервале
частот [Q1; Q2], в виде
где А (ro) - односторонний комплексный спектр сигнала х (t). Опе­
ратор ,Re {·} обозначает действительную часть своего аргу.мента.
Очевидно, что х =0. Тогда третий центральный ,момент этого
сигнала
'
Х.А(w2) А (w3) ej (w,+w,+w,) tdw1dw2dw3 }.
Поскольку
102

получаем
М, ~ (':)' Rc {!rА (оо,) А (оо,) А• (оо,+оо,) doo,doo,},
где А* (ffi) -функция, комплексно-сопряженная с А (ffi).
Произведение A(ffir)A,(,w 2) отличается от нуля, если w 1 и ffi2 лежат
в 'Квадрате Q1:;s;;ffi1:;s;;Q2, Q1:;s;;ffi2:;s;;Q2 (рис. 3.26), а функция A*(ffi r +
+ffi2) отлична от нуля при изм енении ffir и (!) 2 в области между пря­
мыми ffi1+w2=Q1 и ffi1+ffi2=Q2. Поэтому подынтегральное выраже­
ние тождественно равно нулю в области интегрирования и, следова­
тельно, Мз=О, если выделенные на рисунке
обла,сти не пере:кры1Ваются , т. е. если
R2<2Rr.
(3.67)
Таюиrм обр ,азом, си11на·л, у к,о·юрого т,ре­
тий цент.ральный момент и коэффициент
асимметрии [36]
(3.68)
отличаются от нуля, не может занимать по-
лосу уже одJной окта,вы.
IJ ~--- :~CLLLLCL..t .~--
.AIНaлoгичнo можно показать, что,
П2 {,jt
если
!Рис. 3.26 .
(3.69)
то все центральные моменты сигнала х (t) М2н1·=О при i:;s;;n.
Получить общее решение задачи формировании сиг­
нала с несимметричным . одномерным распределением и
минимально возможной полосой частот не удалось.
Ограничимся рассмотрением формирования тестового
сигнала с заданным коэффициентом асимметрии (3.68).
Исследуем сигнал
р-1
2 (р-1)
Х(t) = ~ Ат-;-. cos[(т + v) Дшt]+ ~ А2т+μ.cos[2m +
+μ,) Дшf].
(3. 70)
При р~т ширина спектра этого сигнала незначительно
превышает одну октаву, и это превышение может быть
сделано сколь угодно малым. Спектр такого сигнала
состоит из двух полос; одна на интервале частот
[mЛro; (m+p-l)ЛwJ, другая на интервале [2mЛ,w;
2(m-p-l)Лw] .
Производя выкладки, аналогичные приведенным ра­
нее, получаем
(3.71)
103

Дляупрощения положимAi=А!' т<i<т+р- 1'
Ai=A2,2m< i<2(m+р- 1).Тогда
М,=3р(р+ l)A2,A, / 8,
Зр (Р+ !) А21А2
р+1
Кас= V
< vcc::::::===-
4 [рА21+(2р- 1)А\]'
б(2р- !)
Равенство выполня е тся при
А1,· aV 4/3p, A2 =0V2/3(2p- l)
юtВ2
tl)
tf)
Рис. 3.27 .
(3,72)
Из (3 .72) видно, что, взяв достаточно большое р, можно
обеспечить сколь угодно большое значение коэффициен­
та асимметрии.
Одним из возможных способов формирования сигна ­
ла (3.70) является узкополосная фильтрация периоди­
ческой последовательности коротких им п ульсов, напри­
мер, прямоугольных, следующих с периодом Т=2л/Л(f),
104

Этот снrнал подается на два t1олосовь1х фильтра, один
из которых имеет полосу пропускания [ mЛw; (т +
+р-1) Лw] и комплексный коэффициент передачи К1( w),
а второй-полосу пропускания [2тЛw; 2(m+p-l)Лw]
и коэффициент передачи 1(2 (w). Два варианта схемы
для измерения нелинейны х искажений с помощью та­
кого сигнала показаны на рис. 3.27.
Схема на рис. 3.27,а применима, если можно прене­
бречь линейн ы ми искажениями сигнала исследуемой си­
стемой в полосе частот [тЛw; 2mЛw] 1. В этом случае
при измерении минимизируют F, изменяя задержку им­
п ульсов, используемых для формирования тестового
сигнала, и коэффициент усиления.
Если линейные искажения знач ительны , то можно
применить схему, пока занную на рис. 3.27,6. В этом слу ­
чае значение F минимизируют, изменяя коэффициент
усиления усилителя и фазовый сдвиг фазовращателей:
qJl, который компенсирует фа зовые сдвиги первой по­
лосы тестового сигнала, и qJ2, который компенсирует
фазовые сдвиги второй полосы. Предварительно с по ­
мощью аттенюаторов при поочередно замыкаемых клю­
чах Bl и В2 компенсируют различие коэффициентов
передачи исследуемой системы на частотах mЛw и
2mЛw.
При за писи тестового сигнала в виде (3.70), предпо­
лагалось, что все его составляющие имеют одинаковые
фазы. Для реальных полосовых фильтров это будет не
так . Поэтому следует считать, что
+v)Лш}К.1[(т+fL)Лш]К\[(2m+ v+fL)Лш]},
где А; - амплитуда i-й гармоники периодической после­
довательности импульсов.
Требуемое значение коэффициента асимметрии сиг­
нала х (t) ,подбирают экспериментально, регулируя
полосы пропускания фильтров или частоту повторения
импульсов .

fnaвa 4
ШУМОВЫЕ ИСКАЖЕНИЯ
Внутренний шум, накладывающийся на сигнал при
его прохождении через систему, бывает двух видов:
аддитивный и мультипликативный. При анализе шумо­
вых искажений обычно считают, что другие виды иска­
жений отсутствуют. Однако при решении некоторых за ­
дач (например, при расчете динамического диапазона)
следует учитывать и другие искажающие факторы.
Внутренний шум, как правило, следует рассматривать
как случайный процесс, статистически независимый от
передаваемого сигнала.
4.1. Расчет нскажен,нй,
вызванных адднтнвным шумом
При наличии аддитивного шума выходной сигнал
у (t) является суммой входного сигнала х (t) и шума *)
z(t):
y(t) =x(t) +z(t).
(4.1)
Аддитивный шум обь~чно считают стационарным слу­
чайным процессом со средним, равным нулю, имеющим
чаще всего нормальное распределение, хотя могут
встретиться и другие распределения . Например, фон
переменного тока имеет распределение, близкое к арк­
косинусному.
Поскольку существующие методы оценки шумовых
искажений имеют в основном статистический характер,
то, как уже отмечалось в § 1.4, значительного различия
между ними и единым методом нет. Учитывая это,
а также простой характер взаимосвязи входного и вы­
ходного сигналов (4.1), приведем без особых пояснений
выражения для оценки шумовых искажений по неко­
торым критериям.
Очевидно, что в силу безынерционности преобразова­
ния (4.1) идеальные системы, определенные в соответ­
ствии с ( 1.2) и ( 1.3), будут идентичными, и для всех
критериев следует положить ko= 1, a 0 =--ro=i(jJo(w) =О.
*) Здесь и далее, употребляя термин «шум», подразумеваем
одновременно шум и помехи, поскольку они одина,ково влияют на
искажение формы сигнала.
106

При этом продукты искажений s(t) совпадают с шумом
z (t), и исследование продуктов искажений сводится
к исследованию самого шума.
Среднеквадратичный критерий. Если F и Ф заданы
(1.17), то
(4.2)
и полученная оценка искажений совпадает с отноше­
нием шум/сигнал. Для определения этой оценки нужно
знать единственную характеристику шума - его мощ­
ность или действующее значение на выходе, которые
могут быть выражены и через другие при меняемые ха­
рактеристики шума. Необходимая информация о пере­
даваемом сигнале также минимальна и сводится к дей­
ствующему значению п еременной составляющей, необ­
ходимому для нормировки Fмин-
Интегральные критерии. Для всех интегральных
критериев (1.7) с функцией потерь ( 1.8)
00
F,шн= Sр(z) Wz (z) dz,
(4.3)
-00
где Wz (z) - одномерная плотность вероятности шу­
ма z(t).
Длн интервального критерия, например,
т
Ф=Fмш,=1-s Wz(z)dz,
1!
для среднемодульного
00
F,111н= SI Z l :vz (z) dz
-00
ит.д.
Из (4.3) видно, что в общем случае для расчета зна­
чения критерия разли~чия сигналов при анализе шумо­
вых искаж:ений достаточно знать одномерное распре­
деление помехи на выходе системы .
При использовании критерия различия ( 1.7) при
произвольной функции потерь
00 00
F,шн= S Sp(x+z; x)wz(z)w(x)dzdx.
(4.4)
--0 0
-оо
107

В этом случаt, кроме распределения шума необходимо
знать одномерное распределение передаваемого сигнала.
Критерий равнол1ерного приближения. Для этого
критерия
F~шн=mахIz(t) 1-
(4.5)
Для шумовых искажений остается в силе все сказан ­
ное на с. 81 о необходимости учитывать лри расчете
иска :ж:с ний финитность распределений реальных сигна­
лов. Поэтому применение критерия равномерного при ­
ближения целесообразно, например, для описания шу­
мовых искажений , вызванных фоном переменного тока,
питающего исследуемую систему. В то :же время реко ­
мендовать этот критерий при исследовании теплового
или дробового шума нельзя, поскольку для их описания
вполне оправдано применение нормального распределе­
ния, но в этом случае, даже рассматривая усеченное
нормальное распределение, можно прийти только к три ­
виальным результатам: Fмин,;;;;;max l y(t) 1-
При расчете динамического диапазона исследуемой
системы, который определяют из условия непревышения
искажениями допустимого значения, необходимо учиты­
вать как шумовые, так и нелинейные искажения сигна ­
ла. В этом случае оператор реальной системы может
быть представлен двумя вариантами
y(t)=f[x(t)J+z(t)
(4.6)
или
у(t) = f[х(t)+z(t)].
(4.7)
Первая запись является более простой , а продукты
нелинейных искажений при таком представлении оказы ­
ваются не зависящими от шума, что существенно упро ­
щает расчет суммарной оценки искажений. Например,
при с реднеквадратичном критерии
ф = VФ2нл-f- Ф2ш,
(4.8)
где Фнл, Фш- величины нелинейных и шумовых иска ­
жений.
В общем случае необходимая для расч е та интеграль­
ного 1сритерия плотность вероятности продуктов искаже­
ний w~ пр с дставля~т собой св ~ ртку плотности вероятно-
сти продуктов нелинейных искажений w~н' задаваемой,
например, (3.50), и плотности в е роятности шума w2 : w~=
=Wz *Wtн·
]08

Более соответствует р е альным условиям формула
(4.7) , по скол ь ку наиболе е ощутимый в1,лад в суммар ­
ный ш ум вносит собственный ш ум входных каскадов ,
нроходящий за т е м вместе с сигналом через п оследующ и е
линейные и нелинейные каскады. В этом случае вычис­
ле ни я существе нно усложняются. Н а при мер, при сред­
неквадратичном крит ер ии остаются в с и ле формулы
(3.4), но для определения у-: ху или уТ: котор ы е ока з ы­
В3ются функциями двух с:1учайных аргументов, их н е­
обходимо усред нять как по х, так и по z, т. е.
00 00
lj;(х; z) __: JS'f(х;z)w(х)Wz(z)dxdz,
(4. 9)
-::ю-::ю
где lj;(x;z) равно либо )'(x+z), либо f'(x+z), либо
х/ (x+z).
Для произвольного и нтег рального критерия
СО 00
F = S Jr lf(x+z);kx+a] w(x)wz(z)clxdz. (4. 10)
--0 0 -:.о
П оэтому при ха ра1,те ристн ке нелинейного элемента
об щ е1·0 ви да даже при среднеква д ратичном критерии
необходимо зна т ь одномерные распр еделення шума и
сиг на ла . Од нако пр акт ич ес ,шй интер ес представляют
слу ч аи относительно малых исi,ажений , 1юторые приво­
дят, например , к з нач е ниям среднеквадратич н ого крите­
рия, не пр евы шающи м 20-30% . Тогда (4.7) можно при­
ближенно записать в виде
у(t)~f[х(t)]+f'[х(t)]z(t).
В этом случае составляющая вы ходного сигнала, обус­
JJовленная ш умо м, хо тя и зав нсит от входного си гна ла,
одна,,о и з-з а ма лости в с р ед нем 1юлебаний производ ной
f1 относительно k (4.7) мож н о свести к (4.6), за писав
у(t)""f[х(t)]+k0z(t),
где k0 - экв и валентный коэффициент пер еда чи нелиней ­
ног о устройства с характерист и кой f (х) при п ереда ч е
сигнала x(t).
Пример 4.1. Определить минимально возможные искаже1111я сиг ­
нала с нормальным распредел е ние:-1, имеющи~, нулевое среднее, при
его прохождении через элемент с линейно-квадратич11ой характери­
стикой (3.18) и динами ч еС](И Й диапазон этого эле,1с11тс1 при 11~л1 1чин
аJ,:-t1-1т11вн ого шума с приведенной ·ко входу дисперс 11 ей а 2 ,. Кр11те -
109

рий отличия сигналов ср е днеквадратичный. Динамический д и апазон
определяетсн в с-оответствии с ( 1. 13), где Х манс и Х мин - максималь ­
но . и минимально в6зможны€ действующие значения входного сиг­
нала 'О"манс и О"мин, при которых искажения не превышают до п у­
стимого значения Фдоп-
По условиям примера имеем
у (t) = а1х (t) +а2х2 (t) +z (t).
Тогда в соответствии с (4.8) и с учетом (3. 19)
Ф=V2(а2/а1)2cr2+ cr22/cr2 .
Минимально возможное значение искажений
Ф,,ин = 112 V2 /а2 /а.1! "z
достигается при дисперсии входного сигнала
"
2 = "z/V2ia2 / o:1I,
(4.11)
Очевидно, что динамический диапазон может быть определе н
только при Фдоп>Ф,шп- Из условия Ф<Фдоп находим
Ф2доп ± V Ф•доп-4".2z (а2/а1) 2
сr2макс = -~---~~-~--
---
мин
2 (а2/о:1) 2
Тогда
Ф2доп + V Ф4доп -4Cl2 z (а2/а1) 2
D=10lg
V
Ф2доп - Ф4доп - 4cr 2 z (0:2/0:1) 2
Ф2 доп
:::::: 20 lg ,r
r 2crz lo:2_/o:1!
Приближенное соотношение тем точнее, чем больше Фцоп пре­
вышает Фмип- Практически оно справедливо при Фдоп> 1,5Ф,шн и
соответствует тому, что а мин определяется из условия Фш = Фцоп,
а О"ма1<с ИЗ условия Фп = Фдоп,
Если считать, что источник шума включен на входе, то
у(t)= 0:1[х(t)+ z(t)]+а2[х(t)+ z(t)]2.
Тогда в соответствии с (4 .10) в предположен и и о нормальности
шума
У= О:2 (cr2 + cr2z); ху = o:1cr2;
у2=о:\ (cr2+cr2z) +3а22 (cr2+cr2z)2
и из (3.4) получаем
Данное выражение для Ф отличается от (4. 11), однак о р еа льно
O"z/a<0,2 . . . 0,3 и Iа2/а11 а<О,2 ... 0,3 и справедливы неравен ств а
(а2/а1 ) 2а2,« (а2/а1) 2а2 « 1. Поэтому различием полученных выраже­
ний для Ф можно пренебречь. Аналогичный вывод может быть по­
лучен и длн других примеров.
1!О

4.2. Расчет нскаженнй, вызванньiх МуriьтнrtлнкативньiМ
шумом
При мультипликативном шуме выходной сигнал
представляет собой произведение передаваемого сигнала
и случайного сомножителя с (t), который обычно являет­
ся более медленной функцией , чем передаваемый сиг­
нал
y(t)=c(t)x(t).
(4.12)
Мультипликативный шум, как и аддитивный, будем счи­
тать стационарным случайным процессом. В большин­
стве случаев с (t) не меняет своего з нака, поэтому, не
нарушая общности, можно положить c(t) ;;;,.о и, следо­
вательно, с>О.
Преобразование (4.12) безынерционно, поэтому нет
необходимости раздельно рассматривать электроакусти­
ческие системы и видеотракты. Как и для всех безынер­
ционных преобразований, положим i:0 =cp0 (w) = 1.
Рассмотрим для некоторых критериев результаты
расчета искажений из-за мультипликативного шума.
Среднеквадратичный критерий. В этом случае
F= [с(t)х(t) - kx(t) - а]2-:-с2х2+k2х2+
;_ +а2 -2kcx2 -2acx+2kax
будет минимально при k0 и а0 , удовлетворяющих системе
уравнений
откуда
а0 =0; k0 =c;
(4.13)
...
; ё2-(с)2
х2
Ф=V (с)2 Х2 (х)'•
Из полученной формулы видно, что величина ис­
кажений зависит только от отношения среднеквадратич-
ного отклонения мультипликативного шума ас= -V с2 (с} 2
к ее среднему значению. На величину искажений влияет
также соотношение мощностей постоянной и переменной
составляющих передаваемого сигнала. Постоянную со-
111

с'гавляющую входного сйгнала предполагаем неинфор­
мативной. Однако, проходя через систему с мультипли­
кативным шумом, постоянная составляющая пр евра­
щается в функцию времени xc(t), вклад которой в про­
ду 1,ты н с 1,аж е ний тем больше, чем больше I х 1 - Минимум
искажений будет при х=О. В этом случае
(4.14)
не зависит от свойств п ередаваемого сигнала. Этот ре- .
зуJ1ьтат в не1<0тором роде уникале н. Ранее (§ 3.5) анало­
гичные результаты были пол у чены при расчете нелиней­
ных искажений по I<ритерию равномерного приближе­
ния. Однако там все же нужно было з нать разма х
передаваемого сиг нала.
Интегральные крите рии . Как и в случае аддитивного
ш ума, при расчете мультипликативных и скажений н е­
обходимо усреднение как по сигналу х (t), та к и по
помехе с (i):
(Х)(Х)
F= JJp(cx; kx+a)wc(c)w(x)dcdx,
- roO
где Wc - одномерная плотность вероятности с (t).
В общем случае, · как и при расчете н елинейных ис­
J<ажений, объем вычислений, особенно при минимизации
F по /~ и а, существе нно возрастает по сравнению с та­
ковым при среднеквадратичном 1,ритерии. Проиллюстри­
р уем это на прим ере интервального критерия.
Интервалы-~ый критерий. Аналогично (3.49)
т
F=1- Sw.(в)dв,
"
где w. -- одномерная
плотность вероятности ошибки, ко­
торая в этом случае есть функция д вух случайных аргу­
ментов х и с, т. е. е=cx-kx-a.
Тогда (39]
w. (в)=d~ ,\,~ w(x)wc (c)dxdc,
(4.15)
D
1~е область интегрирования D определяется из условия
cx-kx-a< ;e,
112

Производя преобразова1-1ия, получаем
w,(в)=1[fw(x) J wc(c)dcdx+
-оо
•+а+k
х
Выражение (4. 16) позволяет в соответствии с (1.11)
рассчитать значение любо г о критер и я различия сигна­
лов с функцией потерь (1.8) . Для интервального кри­
терия
111 00
F.= 1 --5)~~'?WcС~а+k)dxdв=
/7,
-00
т+а+k
сох
00
=1-
5 5 wc(c)w(x)signxdcdx= 1- 5w(x)X
-oon+a+ k
х
-оо
Х[W'c С1~а+k)- Wc ('1tа+k)]signхdx,
!1, х<О,
где signx= О, х_ О,
1, х>О;
Wc -- интегральное распределение с (t).
Дифференцируя F по k и а, получаем систему урав­
нений для определения k0 и а 0 :
00
5w(x) [wc(~ao +k0 )-wcC;a0 +k0 )]sig-nxdx,
-се
-00
Наиболее просто решить эту систему уравнений для
Wc (с), симметричных относительно математического
8-363
113

ЬЖйданйя с. Действительно, обойм уравнеi-Iйям будуi
удовлетворять значения k 0 и а 0 , для которых выражения,
стоящие в квадратных скобках, тождественно ра в ны
нулю, т. е. для всех х
W .(т+а0+k)= W (п+а0+k)
С
Х
О
С
Х
О•
При сделанном предположении о Wc это можно обес п е­
чить при k0 и· а0, для которых
(т+а0)/х+k0 -С: -_[(п+а0)/х+k0 - ё].
Отсюда получаем k0 =ё, a0=-(m+n)/2. Для симмет­
ричных интервалов [п; т] а0 =0. Таким образом, для
симметричных w,,
а0=- (т+п)/2;
00
Ф=Fмии=l- Sw(x)[w; ·(m2xn+c)-
-oo
-
Wc ( п2хт +с)]sign хdx.
(4.18)
· Пример 4.2 . Определить искажения нормального си г нала с ну­
левым средяим , если мультипликативный шум распределен рав нu ­
мерно, при интервальном критерии различия сигналов.
Имеем
•
{ 1/Ь, jc -1},;;;;; Ь/2,
Wc(с)=
_
О, jc-cj>b/2.
Распределение Wc симметрично. Поэтому можно воспол ьзо в а ть ся
формулой (4 .18), из которой после вычислений
[ : Ф=2{-1( т;;:п )+ ~2-::ап) Ei [-(т2~Ь~)2 ]},
где Ei { •} - интегральная показательная функция.
Критерий равномерного приближения. Этот критерий
применим, если х (t) и с (t) ограничены по модулю. Тог­
да значение
F=max / cx- kx-a/,;;;;, /c-k llxl+la l
будет минимально при а0 =0 и ko= (Смакс + Смин)/2. При
этом Fмин<: (смакс-Смин)mахlхl/2 и, если Ф определено
в соответствии с (3.54),
Ф3⁄42Смакс-Смин max [ lx1I; I X2 I]
Смаке+ Смnи
Х2- х,
(4. 19)
114

где, как и ранее, [х 1 ; х2 ] > - интервал возможных значе­
ний входного сигнала. Если х 1 =-xz, то
(4.20)
ка1{ оценка, даваемая (4.14), не зависит от вида пере­
даваемого сигнала
4.3. Об измерении шумовых искажений
Поскольку степень искажений сигнала аддитивным
шумом зависит только от свойств этого шума, которые
могут быть определены в отсутствие сигнала, необхо­
димость в специальном тестовом сигнале для измерения
этих искажений отсутствует .
Несколько иное положение с мультипликативным
шумом. Из (4.13) и особенно из (4.14) следует, что "сте­
пень искажений практически не зависит от своиств
передаваемого сигнала. Однако измерение среднего зна­
чения и среднеквадратичного уклонения мультиплика­
тивной помехи возможно только при наличии передавае­
мого сигнала. Если исследуемая система пропускает
постоянную составляющую входного сигнала, то наибо­
лее просто измерить необходимые характеристики с по­
мощью постоянного сигнала х (t) = Хо, который не под­
вергается линейным и нелинейным искажениям. Поэто­
му результат измерения будет искажен только адди­
тивным шумом.
Если К (О) =0, то можно использовать меандр или
гармоническое колебание . Первый сигнал применим для
широкополосных систем, когда можно пренебречь линей­
ными искажениями и форму сигнала выбирают так,
чтобы свести к минимуму нелинейные искажения. Вто­
рой сигнал удобен для систем с ограниченной полосой
пропускания, когда нужно устранить ли нейные искаже­
ния . Уровень этих сигналов _ выбирают таким, чтобы он
соответствовал середине динамического диапазона ис­
следуемой системы в окрестности минимума суммарных
искажений из-за нелинейности и аддитивного шума .
В общем случае согласно (4.15) степень искажений
из - за мультипликативного шума будет зависеть от одно­
мерного распределения пер едаваемого сигнала . Поэтому
для их измерения применимы те же тестовые сигналы
и те >ке структурные схемы, что и для измерения нели-
8*
115

нейных искажений. ОтJJичие здесь состоит тоJJько в том,
что при и з мерении неJJинейны х искажений важна как
форма распредеJJения тестового сигнаJJа, так и его мощ­
ность. При и зме рении же искажений и з - за муJJ ьтипJJи­
кат ивного ш ума гJJавны м явJJя етс я фор ма распредеJJе­
ния, пото му что для боJJьшинства оценок ис1,ажений Ф
поJJучается в р езуJJ ьтате нормирования F,ш,r и 01,онча­
теJJьный резуJJьтат не будет зависеть от уровня входного
сигнаJJа. Поэтом у мощ н ость тестового сигнаJJа можно
варьировать дJJ я об ес п е чения минимума ошибок измере ­
ния.
Измерение искажений можно з аменить и зме рени ем
одномерного распредеJJения муJJьтипли1<ативного шума,
зна ни е Еоторого по з воляет рассчитать иск аже ния при
J1106ом 1, рит е рии ра з JJичия сигналов. В этом cJJy чae не­
обходимо и зме рять пJJотность вероятности выходного
сиr; нала у (t), подавая на вход по с тоянный c иrнa JJ х0 ,
меандр со з нач е ниями х 1 и х 2 ИJJИ гармоническое коJJе ­
бание. В первом cJJyчae wy(y)=w c( y /xo)/ l xo l и опре­
деJJение Wc по Wu очевидно . Во втором cJJyчae
( )- PWc (Y/X,) +(l-p) wc(Y/X2)
Wyу- 1.х,1
1Х2 \
•
ПоскоJJьку Wc отJJична от н у JJя то JJ ько для з начений
аргументов одного знака, при х 1 и х 2 ра зл ичны х з наков
определение Wc по Wy тоже просто, так как cJJa r aeмыe
в выражении ДJJЯ Wy отJJичны от нуля на разных по­
луосях.
При гармоническом сигнаJJе Wy свя з ана с W c соотно ­
ШР.ние м (3.62). Поэтом у для определения Wc по Wy при­
меним :, форм ула (3 .63) .
Глава S
ЛИНЕИНЫЕ ИСКАЖЕНИЯ
Свойства линейной системы полностью описываются
ее пер еход ной характеристикой или имп уJJьсной р еак ­
цией h(t; 8). При этом
00
у(t)=~х(t- 0)h(t;0)d0.
(5.1)
о
116

Если параметры системы постоянны, то h (t; 0) является
функцией только одного аргумента 0. Такие линейные
системы обычно называют стационарными или непара ­
метрическими. В противном случае линейная система
будет нестационарной или параметрической. Далее, если
не будет сделано особых оговорок , будем рассматривать
непараметрические системы .
Наряду с импульсной реакцией для описания стацио­
нарных систем используется комплексный коэффициент
передачи 1( ( (J)), представляющий преобразование Фурье
от h (0):
со
К(ш)=К(ш)еjф(щ),_:_ \ h(0)e -j"'8d0,
(5.2)
о
где !( ((J)) = 1/(((J)) 1 - амплитудно-частотная характери­
стика (сокращенно частотная характеристика); 'Ф (ш) =
=arg l(((J)) -фазочастотная характеристика (кратко
фазовая ха рактеристика).
Линейное преобразование (5.1) является инерцион­
ным , поскольку значения выходного сигнала в любой
момент времени в общем случае зависят от поведения
входного сигнала во все предыдущие моменты времени.
Из-за нелинейности фазовых характеристик различные
частотные компоненты входного сигнала будут получать
различные фазовые сдвиги, что приведет к различным
задержкам различных сигналов. Поэтому идеальные
системы, определенные в соответствии с ( 1.2) и ( 1.3),
будут существенно отличаться одна от другой и необ­
ходимо раздельно рассматривать линейные искажения
в электроакустических системах и видеотрактах.
5.1. Расчет лннейных "скажений ло
среднеквадратнчному кр,нтерню
Пусть F и Ф заданы ( 1.17) и известны х арактери­
стики исследуем ой системы h ('0) или 1( ( ш).
Л uнейные искажения в вuдеотракте. Если идеальное
преобразование задано ( 1.2), то ошибка Е (,t) может
быть представлена в виде
00
z(t)=у(t)-у(t)=\x(t- 0)h(0)d0- !ix(t-
't)-а.
о
117

Тогда
Fл=••(t) = а2 +k2x 2 (t - 't) +2kx(t -
't) +
0000
+Ss -x ~(t -- ~0.-) x- (-t
-
~ 62) h(61) h(62) d61d62 -
оо
00~ -~
00-----,--,-----,------,-,-~
-
2а~х(t- 0)h(0)dб- 2k Sх(t- 1:)х(t- 0)h(0)dб.
о
о
Под усреднением, как и ранее, понимаем усреднение
по времени, если x(t) - детерминированный сигнал, и
усреднение по времени и по множеству, если рассмат­
риваются искажения случайного процесса. Поэтому
средние значения х(t-т) и х2 (t-т) не будут зависеть
от т, а средние вида
х(t -61)х(t- 62)=;~~М{2~ Jх(t - 01)х(t - · 02)dt}=
-Т
{
Т-В,
1
=limМ 9~ s х(t)х[t- (02-
0.)]dt1=
т➔оо
-
)
-Т-В,
= limМ{2~ rх(t)х[t- (02 -
01 )] dt}+
Т4оо
J-Т
+lim (2~ rr [.] dt}- lim {9~
С[.](it}=
т➔00
1
т➔00- J
-Т-8,
Т-0,
= ~~!1{2~ sx _(t)х[t - (02- 01)]dt} = х(t)х[t-(02-01)],
-Т
где оператор М{ •} означает среднее по множеству, будут
функцией разности 82-81.
Тогда, вводя обозначение Q (0) = х (t) х (t - 0), полу­
чаем
Fл=а2+k2Q(О)+2kax - 2аК (О)х -
00
00 00
-
2k .\ Q(..
-
0)h(0)d0+.\ ,\Q(0, -
02) h(0,)h(02) d0,d02•
о
оо

Для деtерминировашiьtх cи ri-ta.it oв
т
Q
(0)= lim2~ rх(t)х(t- б)dt
(5.3)
Т➔ОО J-Т
представляет собою временную автокорреля11,ионную
функцию.
Для стационарного случайного процесса
Q(0)=B(8),
(5.4)
а для нестационарного
т
Q
(0)=lim2~. ГВ(t;t- б)dt,
Т➔00 J-Т
(5.5)
где В - автокова риационна-я функция процесса х (t).
Формулы (5.3), (5.5) применимы для сигналов со
средней по времени мощностью, отличной от нуля. Если
х (t) является функцией, интегрируемой в квадрате, то
в этих формулах необходимо исключить операцию вы­
числения пределов и рассматривать соответствующие
интегралы в пределах от -оо до оо. Таким образом, для
расчета линейных искажений по квадратичному крите­
рию достаточно знать спектрально-корреляционные
свойства передаваемых сигналов. Фазовая структура
сигналов не влияет на величину искажений.
Минимизируя F по k и а, получаем
а0 ~х[К (О) - kO);
100
k
0 =-.- ('Q('t - 0)h(б)dб;
Q(О)Jо
0000 6
•
Fл=ssQ (61 - 62)h (61)h (ба)dбldб2 -
k\Q (О), (5.6)
оо
8
-
1
-
2
где Q (О)= Q (0)-(х)
. Для
стационарных процессов (х) =
=Q (оо).
Формулы (5.6) получены в результате минимизации
F л только по k и а, поэтому необходимо найти минимум
Fл по i-.
Из (5.6) видно, что минимально возможное зна­
чение критерия различия будет достигаться при -ro, обес ­
печивающем максимум Iko \, которое в записанном виде
!Н)

является функцией 't', t. е. для определения t 0 имеем
условие
IJQ('t-6)h(6)d6 l=max,
для выполнения которого необходимо, чтобы -ro у довле­
творяло урав нению
00о
SQ' ('t-6)h(6)d6=0.
(5.7)
о
Для упрощения формул (5.6) целесообразно ввести
в рассмотрение энергетический спектр сигнала х (t), ко­
торый определим следующим образом'''):
00
00
S (w)= SQ(6) cosw6 d6 = SQ (6) cosw6d6-2rcxo (w).
-00
-00
Исключая из рассмотрения постоянные составляю­
щие сигналов, что можно сделать с учетом значения а 0 ,
задаваемого (5.6), ошибку f, (t) можно трактовать как
результат прохождения центрированного сигнала ; (t) =
=Х (t)-x через линейную систему с импульсной реак­
цией h (,8)-kб (·t --r), которой соответствует комплекс-
ный коэффициент передачи K(w)- ke-j"''.
Тогда (5.6)
можно записать в виде
а0 =х [К (О)- k0];
k0 = SS(w)К(w) COS[t(w)+W't0] dw/JS(w)d~,
о
о
00
Fлмин=+ JS(w)IK(w)-k0 e-J"''0 l2 dw,
(5.8)
о
1JS(w)К(w) cos[о/(w)+ w't]dw 1=max.
Уравнение (5.7) примет вид
00
SwK(w)S(w)sin[о/(w)+W't0]dw= О.
(5.9)
о
*> Для нестационарных случайных процессов существуют раз•
личные определения энергетического спектра •[80]. Однако существу
решаемой задачи, ко гда рассматривается совмест н ое усреднение по
времени и множеству, отвечает именно такое определение .
120

Если при решении уравне ния (5 .7) или (5 .9) полу­
чают несколько корней, что в особенности возможно при
колебательном характере Q или h, то следует брать 'to,
обеспечивающее абсолютный максимум I k0 1- При ре­
шении этого уравнения 'to может оказаться отрицатель­
ным, т. е. идеальная система, наиболее близкая к ре­
альной, не задерживает сигнал, а «предсказывает» его,
прогнозирует . Это решение не должно отбрасываться
I<ак противоречащее здравому смыслу, поскольку струк­
тура линейной системы может быть такой, что она поз­
воляет прогнозировать некоторые типы сигналов. Воз­
можность прогнозирования довольно широко используют
при обнару:жении сигнала на фоне помех и в системах
автоматического регулирования для компенсации за­
держек сигналов в процессе их обработки.
Окончательно формулу для оценки линейных иска­
жений сигнала в видеотракте можно за писать в виде
.!
00
00
- _v JS(ш)dшJS(ш)К'(ш)dш
{JS(оо)К(оо) cos (<J, (оо) + oo-r0] doo}
2
-1, (5.1О)
что совпадает с результатами, привод имыми в [1, 91,
94, 103].
Соотношение (5.10) можно рассматривать как ре­
зультат сравнения по среднеквадратичному критерию
комплексных частотных характеристик исследуемой си­
стемы и идеальной системы с весовой функцией S (ш) .
Из этой формулы видно, что синусоидальный сигнал,
1,ак и следовало ожидать, не подвержен линейным ис­
ка :жениям. Действительно, если x(t) = А cos ш 0 t, то
S(ш)=пА 2 8(ш± 'ш 0 ) и k0 достигает максимума при
•о= [±nn+'lj)(ш 0 )]/ш 0 . При этом Ф=О. Значение 'to
в этом случае не является единственным, поскольку для
периодических сигналов задержки, кратные периоду, не
имеют смысла . Точно так же для таких сигналов нет
121

принципиального отличия между задержкой и прогнози­
рованием.
Из (5.1 О) также видно, что степень линейных иска­
жений, как и следовало ожидать, не зависит от мощно­
сти входного сигнала .
При расчете нелинейных искажений произвольного
сигнала по среднеквадратичному критерию отмечалось,
что полученную оценку можно рассматривать как обоб­
щение коэффициента гармоник нn более широкий класс
сигналов. Формула (5.10), полученная исходя из тех же
предпосылок, дает оценку линейных искажений, смысл
которой тот же, что и оценки нелинейных искажений
(3.4). Поэтому, если при традиционных методах оценки
различных искажений постановка вопроса о том, что
приводит к большим искажениям сигнала - коэффи­
циент гармоник в 5% или неравномерность частотной
характеристики в 5 дБ, была бессмысленной, то при ис­
пользовании оценок (3.4) и (5.1 О) количественное срав­
нение действия различных факторов вполне правомерно.
Это, в частности, позволяет согласованно задавать нор­
мы на различные виды искажений без предъявления
чрезмерно жестких требований к искажениям одного
вида, если при этом допускаются значительные искаже­
ния других видов. При этом подразумевается, что при­
меняемый критерий различия сигналов, в данном случае
среднеквадратичный, соответствует специфике примене­
ния исследуемой системы. Например, его применение
достаточно оправдано при исследовании искажений сиг­
налов в информационно-измерительных системах. В ря­
де же случаев (например, в электроакустике), примене­
ние среднеквадратичного критерия может оказаться не­
целесообразным, поскольку субъективное восприятие
будет зависеть не только от мощности продуктов ис­
кажений, но и от их спектрального состава. В этих слу­
чаях, прежде чем сравнивать оценки различных искаже­
ний, необходимо правильно выбрать критерий.
Пример 5.1 . Определить линейные искажения стациона рног о
случайного процесса с автокорреляционной функцией К (0) =
= е-" 181
при его прохождении через переходную RС-цепочку
с импульсной реакцией
h (8) = fj (8) - е-в;т/Т,
где T=RC- постоянная времени цепочки.
Очевидно, что практический интерес может представлять только
случай аТА> 1, когда степень искажения относительно мала. По-
скольку х=О, а9 =0, ,Q=K(0). Рвцмотрим два сл уча51 ,
122

а) i-;;;,,0. Тогда согласно (5.6)
00
k0 = -о--
е-"\'-61 rЗ(8)-т d8=
1~•
r · -6/Т]
Q (О)
..
о
= аТ [ 12~-~:;2. -
1~~:;] •
Уравнение (5.7) в этом случае принимает вид
00
-6/Т
jе-" l'o-61 sign (i- 0
-
8)[rЗ(8)-Т]d8=
о
2
е-,.1т___! _ е- "'• -0
1- а2Т2
1- аТ
·-
'
откуда при аТ .::f: 1
't0= Тln(!+2аТ) /(аТ-!).
Дополнительное исследование экстремума показывает, что при
этом значении i- 0 k 0 достигает не максимума, а минимума. Макси­
мум достигается иа границе области исследуемых значений i- при
't "o=0. При этом lг0 =аТ/(!+аТ).
б) i- o~0 . В этом случае
k0 = ате-"'/ (1 + а.Г)
и максимум k 0 достигается также при i- 0 =0.
Окончательно получаем
а0=О;k0= а.Т/(1+а.Т);;с:::1;'to = О;
оо оо
е -62/Т
Fмии = s fе-" 16. -6,1 [rЗ (82)- Т ]х
оо
Х[rЗ(81 )
-
e-T
611
r]d81d82
-
а2Т2/ (1 + а.Т)2 = _,,..,_а_Т-=--=--
(1+а.Т)2
1
ф= Vа.Т •
Та1шм образом, переходная RС-цепочка не вносит временных
сдвигов в сигнал с э·кспоненциальной корреляционной функцией,
а степень вносимых ею искажений обратно пропорциональна корню
квадратному из ее постоянной времени .
Пример 5.2 . Рассмотрим воздействие сигнала с энергетическим
спектром
S(оо)= v/[1+v2 (оо-O)2]+v/[l+v2 (оо+0)2
]
на резонансный ко нтур с частотной характер истикой
К.(оо)= 1/[1 +jЛ(00-000)].
В данном слу,rае также х=а 0 =0, х2= !.
123

Решение будем проводить в частотной области. Из (5.8) по·
лучаем
2Dv
1
k0 = -Л.- е-•о/' COS (W 0"C) +
+С(1-+)e-•o/vcosQ,: +ел. (Q-wo) e-•o/v sin 't(i)o,
где
D= [Л.2- v2+v2Л.2(Q2- w'o)+4Л.2v2w0(w0- Q)]/Л;
С=v2 [v2- Л.2+v2л'(w20- Q2) +4Л.2v2Q(Q- w0)j/Л;
Л=[Л.2(!+v2Q2) - v2 (!+Л.2w20)]2+4Л.2v2(w0- О) Х
Х[(Л.2- v
2
)
+v2л'Qw0 (Q- w
0
)].
Поиск максимума F по т приводит к трансцедентному урав•
нению вида
е-си, sin (w 0
,:
0
+Ч'J) = Rsin(01:0 + Ф2),
решение которого в общем случае получить не удалось. Поэтому
в дальнейшем сделаем некоторые упрощающие предположения:
1) Wo= ,Q, что соответствует точной настройке контура на частоту
передаваемого сигнала; 2) . v>!л, что эквивалентно практически ре ­
альному предположению о малости искажений; 3) 1/ Q<'A , что озна­
чает достаточно высокую добротность "Контура и с учетом предполо­
жения 2 уз·кополосность х ( t).
Согласно предположению 1
В соответствии с предположениями 2 и 3 можно пренебречь из­
менениями е-•о/• и тем более е-,,/л при изменении ,: 0 на период
2л/Q. Поэтому поиск ма"Ксимума Iko I можно свести к пm1CJ<y макси­
мума выражения, стоящего в квадратных скобках. Тогда для опре­
деления То получаем уравнение
(v+Л.)e-,,/v= 2vе-•о/л,
откуда с учетом предположения 2
(1 1)
2v
ln2
'о= т--'1- ln V +л. ::::::-л.-;
1
[
( 2v )л/(•-л)
ko= v'-л'
'1(v- Л)
V+л
-
( 2v )'/(•-л)]
-2vл v+Л
:::::: l -Л.ln2 / v:::::: !;
Ф::::::V(2ln2-l)Л/v~0,63YЛ. /v.
Линейные искажения в электроакустических систе­
мах. Учитывая вид идеальной системы задаваемой
124

( 1.3), искажения цеJiесообразно исследовать только
в частотной области. В этом случае, исключая из рас­
смотрения нулевую частоту или, что то же самое, пред­
полагая х=О, ошибку e(t) можно рассматривать как
рез ультат преобразования входного сигнала линейной
системой с комплексным коэффициентом передачи
К. (ffi)- kej"I (wJ. Тогда
00
F4 =+JS(ш) //((ш) - kej<J/ (ш)/ 2dш.
о
Нетрудно видеть, что минимум f 4 будет достигаться
при ср0 (ш) =f (ш). Тогда
00
1('
Fч ==--; -.) S (ш) [К (ш)-k0]2 dш
о
достиrает максимума при
k0 = SS (ш) К (ш)dш!SS (ш) dш
о
о
и
(5.11)
(5.12)
Для электроакустических систем, как и следовало
ожидать, степень линейных искажений зависит только
от вида частотной характе ристики исследуемой системы
и инвариантна по отношению к фазовой . Поэтому вели­
чину Ф,1 , задаваемую (5.12), можно рассматривать как
оценку частотных искажений, что и отражено в индексе.
Учитывая выражение для Fч при ср0-ф(ш), оценку
линейных искаже ний в электроакустических системах
при среднеквадратич ном критерии различия сигналов
можно трактовать как результат сравнения частотной
характеристики реальной системы с равномерной частот­
ной характеристикой по среднеквадратичному критерию
с весовой функцией, равной энергетическому спектру
с и гнала. Аналогичный вывод был получен и для видео­
трактов. Точно так же можно трактовать формулу (3.4)
125

для расчета нелинейных искажений . Во всех случаях
сравниваются по среднеквадратичному критерию с ве­
совой функцией характеристики реальной и идеальной
систем, от вида которых зависят искажения каждого
типа (комплексные частотные характеристики, их моду­
ли или амплитудные характеристики), а весовая функ­
ция определяется видом передаваемого сигнала. Для
нелинейных систем ею является одномерная плотность
вероятности, а для линейных - энергетический спектр. •
Пример 5.3 . Определить степень линейных искажений электро­
акустической системы, представляющей собой апериодическое звено
первого порядка, с ,комплексн ым коэффициентом передачи К (ffi) =
= 1/ (1 +jffiT) при воздействии на нее того же сигнала, что и в при­
мере 5.1, т. е. сигнала с энергетическим спектром S(ffi) =2а/( а2 +
+(J)2).
В соответствии с (5.11)
k,
-
J ---:-(a.
- : -2-:-+- w-=2-: -/-; -;v=1=+= w
= 2;::::r:;:-2-п S (оо)
doo
-
- - =-v==2
===--arctg Vа..17.2 -1
7t
1 - а.27'2
и в соответствии с (5 .12)
Ф, -{
[
1
-;
]-1~
-f arctg
а.2~2 - 1
~v(~ -1) а.Т:::::О,52Vа.т.
Приближенное соотношение записано в предположении аТ ~ 1,
что соответствуе r .предположению малости искажений.
Результаты вычисления линейных искажений по формуле (5.10)
дают большую величину:
Фл=V(21п2-1) а.Т:::::О,63VаТ
при
т
"о= 1-а.Т
2
ln I+а.Т :::::Т1n2.
5.2. Расчет частотных н фазовых искажений
При сложившейся практике исследования линейных
искажений разд@льно изучают частотные искажения,
обусловленные неравномерностью частотной характери­
стики, и фазовые искажения, обусловленные нелинейно-
126

стыо фазовой характеристики или неравномерностью
группового времени запаздывания, являющегося произ­
водной от фазовой характеристики . Эту задачу можно
решать и в рамках единого метода оценки искажений .
Как уже отмечалось, величину Фч, определяемую
(5.12), можно рассматривать как меру частотных иска­
жений. Если известна максимальная относительная не­
равномерность частотной характеристики
f1,
max К (оо)-minК(оо) = 1ОМ/20_ 1
mnx К(оо) + min К (оо)
'
где М - неравномерность частотной характеристики
в децибелах, то 1 [K(ffi)-ko]/kol~μ и из (5.12) получаем
(5.13)
Поэтому обычно применяемая оценка частотных ис­
кажений по неравномерности частотной характеристики
может служить оценкой сверху для частотных искаже­
ний любого сигнала с финитным спектром. Завышение
этой оценки значительно, поскольку знак равенства
в (5.13) возможен только в случае, если K(w) не прини­
мает других значений , кроме minK(w) и maxK(ffi). При
этом интегралы от S (ffi) по множеству частот, на кото­
рых К(Ф) принимает одно из значений, должны быть
равны. Очевидно, что для реальных систем Фч будет
меньше μ. Проиллюстрируем это простейшим примером.
Пример 5.4. Пусть на интегрирующую RС-цепочку с постоянной
времени Т действует сигнал с равномерным спектром в полосе час-
тот i[O; Q]. Тогда К (оо) = 1/ V 1+ffi2 Т2 и в пределах полосы частот
сигнала
Полученное точное значение Фч меньше μ почти в два раза .
Из (5.11) и (5.12) получаем
Ф-v
arctgOT
ч-
ln2 (ОТ+ VО2Т2 + !)
Полученное точное значение Фч меньше ,μ почти в два раза.
При расчете фазовых искажений возможны два под­
хода . Первыfr из 1-щх заI<лючается в след у ющем.
127

Оценку частотных искажений (5. 12) посл е минимиза­
ции Fч по ,ер (cw) можно рассматривать как результат
сравнения по среднеквадратичному критерию сигналов
на выходе реальной системы и идеальной системы
с компле1{сным коэффициентом передачи К (ш) = kejФ (ш),
у которой варьируемая частотная характеристика равно­
мерна, а фазовая совпадает с фазовой характеристикой
реальной системы . При оценке фазовы х искажений мож ­
но сравнивать сигналы на выходе реальной системы и
идеальной системы, у которой варьируется линейная фа­
зовая характери стика, а частотная совпадает с частот-
ной характеристикой реальной системы, т . е. к·(w)=
=К (w) е-jш, . Тогда
00
F =-1-SS(ш) К 2 (ш)lеjф(ш)_ е -jш,/ 2 dш
ф
7t
•
о
пр едставляе т собою результат сравнения по среднеквад­
ратичному критерию с в~сом S (ш) К 2 (ш) функций еjФ (ш)
и е-1"'":
{
00
00
FФмш,=+ \S(ш)К2(ш)dш-т,ахf5(ш)К2(ш)Х
о
о
ХCOS[t(ш)+ш't]dш}.
Нормируя, как обычно, F~шr-1 относительно мощности
сигнала на выходе идеальной системы, наиболее близкой
к реальной, получаем
00
~ахJS (w~ К2 (w) cos [<J, (w) +w,] dw] .
sS (w) К2 (w) clw
о
(5.14)
Для реальных случаев малости искажений при расче­
те фазовых искажений можно пренебречь нер ав номерно-
!28

стью К (ffi ) и положить весовую функцию равной S ((J)) .
Тогда
V
/
J ma0x SS(оо) cos(Ф(оо) +щ] doo \
ФФ ::::::
211 -
_ _о_
,__J _S
_
(_oo)_ d_oo__ _ • (5.15)
Для упрощения вычислений, особенно если K(ffi) можно
представить в виде отношения двух полиномов от jю , ве­
совую функцию удобнее брать в виде S(ю)К(ю). При
этом
ФФ= V2{1-m~xJs (w) [Re {К (w)} cos w1: -
}1/2;, /оо
-Iш{I((w)}sinw1:]dw V JS(w)K(w)dw.(5.16)
Если известно максимальн ,о возможное отклонение фазо­
вой характеристики от линейной, которое по модулю не
превосходит л/2, т. е. 1 1Л-ф 1= 1ч, (ю) +шtо 1~:rt/2, то из
(5 . 14} получаем
(5.17)
Очевидно, что (5 .17), как и (5.13), дает завышенную
оценку искажений. Кроме того, практическое применение
этой оценки ограничено тем, что для реальных систем
на границах полосы пропускания модуль -Л'Ф может су­
щественно превосходить л/2 и (5.17) приводит к триви­
альному рез у льтату ФФ~2 .
Другой подход к оценке фазовых искажений состоит
в использовании результатов оценки линейных и частот­
ных искажений. Величина Fч, используемая при выво­
де (5.12), учитывает мощность продуктов искажений,
об у словленных только неравномерностью частотной ха­
рактеристики, а величина Fл при в ыводе (5.1 О) учиты ­
вает суммарную мощность продуктов искажений, обус­
ловленную отличием обеих характеристик от идеальных.
Поэтому всегда Fл~Fч. Превышение F л над Fч вызва-
9-363
129

но наличием фазовых искажений, и можно положить
Fф=Fл-Fч=
_
[J S (ы) К (ы) dыJ-[ m;, JS (ы) К(т) cos (Ф (ы)+ ы,) dы]'
00
SS (ro) dro
о
Нормируя для простоты FФ относительно мощности
выходного сигнала, имеем
ФФ::::: (J S(ш)К(ш){l +cos[t(ш)+w't0]}dшX
00
XJS(ш)K(ш){l -cos[•f(ш)+w--o]dw} 1 12 X
х[Js(ш)dшJs(ш)К2(ш)dw 1- I/Z::::: VФ\ - Ф\. (5. 18)
При малости частотных и фазовых искажений (K{w)=
=ko, 'lj:>(w)=-w•o) формула (5.18) переходит в (5 .15) ~
что свидетельствует о слабой корреляции прод уктов ча ­
стотных и фазовых искажений .
В соответствии с (5 .,18) и с учетом результатов примера 5. З;
для интегрирующей J<С-цепочки при преобразовании сигнал а с экс ­
поненциальной к орреляционной функцией оценка фазовы х и с к аже ­
ний пол у чаетс я равной •
ФФ = Vо,б32а.2Т2 - о,522а.2Т2::::: о,36 Vа.Т.
5.3 . О возможности применения друrих крнтериев
для расчета линенных ·искаженин
Из предыдущего видно, что даже при использовани и>
средн е квадратичного критерия объем вычислений при
оценке линейных искажений значительно больше , чем
при оценке нелинейных искажений . В перв у ю очередь ,
это является следствием необходимости поиска миним у-­
ма F по ,: . Однако громоздкость вычислений не является
принципиальным препятствием для расчета искажений­
в каждом конкретном с:nучае при известных характери·­
стиках сигнала и линейной системы. С ущественно иным
130

оказывается положение ·при применении других крите­
риев различия сигналов.
При использовании интегральных критериев (1.7)
для расчета линейных искажений на множестве реали­
.заций случай ного стационарного процесса для опреде­
ления F, который приобретает вид
"' "-'
F= S..\р(у,у)w(у,у)dydy,
-и,-и,
необходимо знать совместную плотность вероятности
w (у, у) сигналов у (t) и у (t), которые являются соответ­
ственно результатами линейного преобразования сигна­
ла х (i,) в исследуемой системе с комплексным коэффи­
циентом передачи K(w) и в идеальной системе с ком-
•плексным коэффициентом передачи К (w) .
При использовании критериев с функцией потерь
( 1.8) в соответствии с ( 1.11) необходимо знать одномер­
ное распредел ение ошибки в (t), которую, как уже отме­
чалось в § 5.1, можно рассматривать как результат ли­
нейного преобразования х (t) системой с комплексным
коэффициентом передачи K(w)-K (w).
Задача определения плотности вероятности процесса
на вь1ходе линейной системы имеет исчерпывающее ре­
шение только для нормальных процессов x(t) [35, 74].
В этом случае как совместное распределение у (t) и у (t),
так и одномерн ое распределение е (t) остаются нормаль­
ными. Для определения F в первом случае достаточно
знать дисперсии, средние значения и коэффициент вза­
имной корреляции • сравниваемых сигналов, которые
легко выражаются через автокорреляционную функцию
входного сигнала и операторы линейных систем . Во
втором случае достаточно знать среднее значение и дис­
персию о шибки в (t). При этом для всех критериев с чет­
ной функцией потерь (среднеквадратичный с четной ве­
_совой функцией, среднемодульный, интеР'вальный при
- n=m и т. д.) значение F будет минимально при в=О и
минимально возможной дисперсии ошибки. Поэтому k0,
ао и 'to будут одинаковыми для всех критериев, а оценки
искажений будут взаимно-однозначно определять друг
друга. Таким образом, предположение о нормальности
передаваемого сигнала существенно облегчает расчет
искажений п-о всем критериям, сводя его к расчету по
среднеквадратичному критерию. Однако при нормально-
:9*
131

сти х (t) о стается справедливым утверждение о невоз­
можности применения критерия равномерного при б лиже ­
ния для расчета искажений.
Если входной сигнал не является нормальны м и не
сводится к нему , то нельзя у казать методы, поз во ляю­
щие определить в общем случае все треб у емые распреде­
ления для расчета линейных искажений. Невозмо ж ность
расчета линей-ных искажений произвольного сл у чайного
процесса по произвольному критерию не исключает во,з­
можности измерения искажений этих сигналов п о этим
критериям . Однако измерения в этом случае дол ж ны вы­
полняться только !При реальных сигналах с использова­
нием более сложной аппаратуры, предназначенной для
измерения суммарных искажений, поскольку по резуль­
татам расчета нельзя определить, от каких характери­
стик реального сигнала зависит степень л·инейных иска­
жений и какие характеристики должны моделироваться
тестовым сигналом .
Для расчета линейных искажений случайного процес­
са электроакустическими системами можно использовать
отличие энергетичес-ких спектров или автокорреляцион­
ных функций процессов у (t) и у (t) . Применение этих
характеристик при исследовании электроакустических
систем оправдано тем, что их изменение в линейных си­
стемах определяется только частотнымu характеристи­
ками и не зависит от фазовых. Удобство использов-ания
этих характеристик заключается также в том, что для
их определения достаточно знать только такие же харак ­
теристики входного сигнала, т. е. энергетический спектр
или корреляционную функцию, которые наиболее широ­
ко применяют для описания случайных процессов. Недо­
статком такого подхода является отсутствие четкой фи­
зической трактовки получаемой оценки искажений.
При обсуждении трудностей расчета линейных иска­
жений по критериям, отличным от среднеквадратичного .
имелась в виду оценка искажений на множестве реали ­
заций случайного процесса . Если необходимо оценить.
искажения полностью известного сигнала х (t) (детерми ­
нированного сигнала или отдельной реализации случай­
ного процесса}, то эти трудности отс утствуют, по с коль­
ку значение критерия F можно рассчитать непосредст ­
венно по (1.7), подставив y(t) и y(t), выраженные через
х(,t)и h(0) или K(ffi) с помощью интеграла Дюамеля или
интеграла Ф у рье . При этом продукты искажений можн о
представить в Ю!де конкретной функции времени .
132

5.4 . Измерение nнненнь,х нскажен·нн с nомощь~о
тестовоrо снrнаnа
Поскольку аналитический расчет линейных искаже­
ний сигнала возможен только для критериев, базирую­
щихся на корреляционных свойствах сигналов, рекомен­
дации относительно выбора тестового сигнала могут
быть даны только для этих случаев. Поэтому далее бу­
дем исходить из среднеквадратичного критерия и для
измерения F и Ф в схемах предусматривать квадратич­
ные вольтметры. Однако при необходимости, используя
те же тестовые сигналы, можно измерять искажения по .
степени отличия спектров или авток@рреляционных
функций.
На основании изложенного в § 5.1, 5.2 можно сделать
вывод,- о том что тестовый сигнал должен иметь энерге­
тический спектр, форма которого близка к форме спект­
ра реального сигнала. Уровень тестового сигнала, не
влияющий на степень линейных искажений, как и при
измерении искажений из-за мультипликативного шума,
должен быть достаточно малым, чтобы не сказывалась
нелинейность исследуемой системы, но достаточно боль­
шим по, сравнению с внутренним аддитивным шума:1⁄2 ,
т. е. он должен соответствовать середине динамического
диапазона.
Реальные сигналы, как правило, имеют непрерывный
спектр. Сформировать сигнал с треб у емым энергетиче­
ским спектром, если нет дополнительных требований
к одномерному распределению, довольно просто. Это
можно сделать, например, линейной фильтрацией широ ­
кополосного шума. Тогда тестовый сигнал будет иметь
распределение, близкое к нормальному . Однако регули­
руемая задержка такого сигнала с непрерывным спект­
ром сложна . Поэтом у может оказаться более удобным
использовать тестовый сигнал с дискретным спектром ;
вписанным в спектр реального сигнала (см. рис. 2.7) . Ко­
лебания с частотами ffii = iЛ,ffi (i=l, п) м ожно пол учить
у множением частоты гармонического колебания с часто­
той Лffi, выдаваемого генератором сину соидального сиг­
н~ла. Тогда в качестве задерживающего устройства
можно применить фазовращатель .
Схема измерения линейных иск а жений с помощью
такого тестового сигнала приведена на рис. 5.1 . Умнож и­
тели частоты в i-й ветви у множают ч а стоту в i раз, а ат~
133

тенюаторы имеют коэффициенты передачи, пропорцио­
нальные Vs (щ) . По этой схеме при необходимости
можно раздельно измерять частотные и фазовые иска­
жения. ·в первом случае необходимо исключить фазовра­
щатель в цепи, имитирующей идеальную систему, . и
включить фазовращатели после каждого аттенюатора
в этом канале, что фактически приводит схем у на
рис. 5.1 к сх еме и з мерения суммарных искажений много-
Рис. 5.1.
т онального сигнала в · электроакустическом тракте ( см.
рис. 2.8) . При измерении фазовых искажений в схеме на
рис. 5.1 необходимо сделать переменными все аттенюато ­
ры в цепи, имитирующей идеальную систему.
Более простой будет схема измерения линейных иска­
жений видеотракта с помощью тестового сигнала, сфор­
мированного из последовательности коротких прямо­
угольных импульсов, выдаваемых импульсным генерато­
ром (рис . 5.2). Задержка таких импульсов сравнительно
проста . Кроме того, имеются серийно выпускаемые ге­
нераторы парных импульсов с варьируемым интервалом
времени между моментами их появления. Импульс ма­
лой длительности можно ра·ссматривать как 8-функцию.
Поэтому для обеспечения требуемой формы спектра тес-
. т ового
сигнала частотные характеристики КФ (ffi) двух
идентичных линейных фильтров должны иметь вид
134

(5.19)
где с - произвольная постоянная, определяющая уровень
т:естового сигнала. Фазовые характеристики этих фильт•
ров могут быть произвольными, поскольку их вид не
влияет на форму энергетичесr<ого спектра.
•
Рис. 5.2.
Различие частотных характеристик фильтров приво­
дит к погрешности измерения искажений, которую мож­
но отнести к искажениям сигнала в имитаторе идеальной
системы. При этом
_( JIkф,(•) 1' dw J1/(ф, (оо) 1' dw
Ф-
1Jkф, (оо) /(ф, (ro) dw 1'
-
l,
где КФ1 (w) и КФ2 (w) - реальные коэффициенты переда­
чи формирующих фильтров.
Энергетические спектры реальных сигналов удовлет­
воряют у словию [78]
и,
Г/lnS(w)/d <
J 1+ <,)2
w
оо.
(5.20)
-U,
Условие (5.20) обеспечивает физическ у ю реализуемость
фильтров с частотной характеристикой (5 . 19) , посколь ­
к у из него след у ет неравенство
00
\ /lnК(w)/d<
J 1+w2
w
со,
(5.21 )
-
00
являющееся условием физической реализуемости линей­
ных фильтров в частотной области [72] .
135

Раздельное измерение частотных и фазовых искаже­
ний с помощью структурной схемы, изображенной на
рис . 5.2, невозможно. Однако наряду с простотой ее
важным достоинством является то, что она позволяет
формировать сигналы как с дискретным спектром, если
импульсный генератор выдает периодическую последо­
вате,!J~:,ность импульсов, следующих с периодом 2n/Лw,
так и с непрерывным, если генератор импульсов выдает
хаотическую последовательность импульсов. Примене ­
ние тестового сигнала с непрерывным спектром целесо-
Ф,о/.
Ф,%
,5
8
4
4
/
ll4
8 12 101/crT
(]
8
16 tt!3rzт
О)
tf)
Рис . 5.3.
образно в тех случаях, когда исследуемая система имеет
быстро изменяющиеся характеристики ( 1dK (w) /dw I и
1 d2 cp (w) / dw 2 1 велики), поскольку в противном случае
необходимо брать малые Лw, что может привести к не­
~елательной форме одномерного распределения тестово­
го сигнала
РЗ /2
,
12,
w(x) :с::: (1 - р)о(х) + -= - е-рх
q
V 2тс,,
'
где а2 - дисперсия тестового сигнала; р
-
малое поло­
жительное число, уменьшающееся с уменьшением Лw .
Нелинейные искажения си г нала с таким распределением
такие же, как искажения сиг н ала с но р мальным расп р е­
делением, мощность которого в l/p раз больше. Ис п оль ­
зование хаотической импульсной последовательности
приближает рас п ределение тестового сигнала к нормаль­
ному и уменьшает его нелинейные искажения.
На рис. 5,3,а сплошными линиями показаны резуль­
таты измерения линейных искажений сигнала с экспо-
ненциальной корреляционной функцией (К (т) =
=а 2 е-" 1' 1) переходной RС-цепочкой с постоянной вре -
мени Т. На рис. 5.3,6 приведены результаты измерения
136

искажений такого же сигнала интегрирующей цепочкой
с постоянной времени Т. Штриховыми линиями показаны
теоретические кривые, построенные по результатам ре ­
шения примеров 5.1 и 5.3 .
Сигнал с экспоненциальной корреляционной функци­
ей имеет энергетический спектр S (w) =а/ (а2 +ш 2 ), поэто­
му линейные фильтры в схеме на рис. 5.2 должны иметь
частотные характеристики KФ(,w)=l/ Va 2 +w2, что лег­
ко обеспечивается интегрирующими цепочками с посто­
янной времени 1/а .
Превьiшение экспериментальных значений над тео­
ретическими легко объясняется аддитивным шумом (фон
переменного тока, собственный шум), влияние которого
увеличивается с уменьшением уровня тестового сигнала,
уменьшавшегося при проведении эксперимента с увели­
чением аТ в первом случае и с уменьшением аТ во вто­
ром .
Следует отметить, что для измерения линейных иска­
жений сигнала с экспоненциальной корреляционной
функцией не понадобилась специально изготавливаемая
аппаратура . Достаточно было генератора парных им­
пульсов, выполняющего функции генератора импульсов
и линии задержки, и квадратичного милливольтметра.
Для уменьшения нелинейных искажений тестового
сигнала можно использовать сигнал с двумя возможны­
ми уровнями. Однако такой телеграфный сигнал (см .
рис. 3.18) обязательно содержит короткие (теоретически
мгновенные) скачки и его спектр широкополосен . Как
показано, например, в [35], такой сигнал имеет экспо ­
ненциальную автокорреляционную функцию. Поэтому
такой сигнал применим для измерения линейных иска­
жений сигналов с корреляционными функциями, близ ­
кими к экспоненциальным. Задержка телеграфного сиг­
нала может быть сведена к задержке импульсов стан­
дартной формь1.
10-363

Глава 6
КОМБИI-IИРОВА!-1!-!ЫЕ ИСКАЖЕНИЯ
В предыдущих главах рассматривались идеализиро­
ванные случаи, когда в исследуемой системе имеются
искажения только одного вида. Это соответствует сло­
жившейся практике расчета искажений каждого вида,
но не позволяет в общем случае рассчитать суммарные
искажения сигнала в исследуемой системе. В данной
главе, не претендуя на полноту освещения этого вопро­
са, рассмотрим некоторые частные случаи, когда одно­
значная идентификация искажений не очевидна, хотя
в окончательных результатах для оценки искажений
иногда можно выделить слагаемые, обусловленные от­
дельными искажающими факторами. При этом из-за
сложности аналитических выкладок ограничимся средне­
квадратичным критерием, т. е. для видеотрактов будем
считать
Ф="" / ~у~у (t)_]
_
1'
V тах (,;; (t--r;) у (t) ]2
'
для электроакустических систем в соотве тствии с (2.16)
-.
fSSx(w)dwSSy(w)dw
Ф=V о
~
-1
rJISху(w) 1dwт
.
Входной сигнал в обоих случаях полагаем стационар­
ным случайным процессом с нулевым средним. Обобще"
ния на нестационарные случаи с отличным от нуля ма­
тематическим ожиданием не вызывает принципиальных
изменений, приводя лишь к увеличению кратности инте­
гралов и включению дополнительных слагаемых в при­
водимые формулы. Еще более простым с точки зрения
написания общих соотношений, но отнюдь не с точки зре­
ния объема вычислений, будет случай полностью изве­
стного сигнала, когда, как и при расчете линейных иска­
жений, возможно применение и других критериев отли­
чия сигналов и запись продуктов искажений в явном
виде.
138

6.1 . Uскажен,ия сt1гнала при восстановлен1ии.
его по дискретным отсчетам
В соответствии с теоремой Котельникова сигнал х (i),
энергетический спектр которого отличен от·· нуля в поло­
се частот i[-,f в, fв], можно полностью восстановить по
его отсчетам Xi = X (,iT) (i=-oo, оо), следующим через
интервал времени
Т~1/2,f в-
(6.1)
Точное восстановление сигнала по его отсчетам возмож­
но при выполнении двух идеализированных предположе­
ний: 1) в соответствии с формулировкой теоремы спектр
сигнала х (t) финитен; 2) алгоритм восстановления сиг­
нала эквивалентен предположению о наличии на прием­
ной стороне идеального фильтра нижних частот (ФНЧ)
с комплексным коэффициентом передачи
К()-е
'
ш-7tв,
•
{k-jwfo 1/,:::2f
фнq ш - О, /ш\>27tf8 •
Эти условия для реальных сигналов и систем могут
выполняться лишь приближенно, поскольку первое усло­
вие противоречит условию (5.20), которому удовлетворя­
ют все реальные сигналы - переносчики информации,
а второе предположение противоречит условию физиче­
ской реализуемости линейного фильтра (5.21). Теорети­
чески такой фильтр можно построить только при f 0=oo,
что соответствует бесконечно большой задержке восста­
новленного сигнала у (t). Поэтому восстановление х (t)
по х; без искажений невозможно. Оценим эти искажения:,
используя единый метод.
Рассмотрим сигнал
00
00
z(t)=~Тх(iT)о(t- iT)= х(t)ЕТо(t- iT)=
i=-CO
i=-0 0
00
00
= x(t)+2~x(t)cos 2;i f=x(t)+~zi(t),
i=l
•
i=l
который определяется отсчетами xi и в результате филь-
трации которого получают сигнал у (t) =х (t).
•
10*
139

Энергетический спектр
00
00
Sz(ш)= }_J sх(ш- 2;i)=Sx(ш)+~S,i(ш), (6.2)
i=-oo
i=l
где
szi((J))= sх((J)-
2;i)+sх((J)+2;i).
Формула (6.2) справедлива для всех сигналов х (t)·
с финитным спектром, если выполняется условие (6.1) и
для нормальных процессов х (t) с любым спектром при
любом Т.
Сигнал у (t) на выходе реального ФНЧ можно пред­
ставить в виде
00
у(t)= l:У;(t),
где Yi (t) - результат фильтрации Zi (t), при этом zo (t) =
=X(t) .
Тогда ошибка восстановления
00
Е(f) = У(f) - у(f)= [Уо(t)-fj(f)]+~У;(f).
i=l
При определении идеальной системы как в соответст­
вии с (1.2), так и в соответствии с (1.3) спектр сигнала
у (t) отличается от нуля только для тех же частот, что и
спектр х (i) . Поэтому сигналы Уо (t)-y (t) и Yi (t) некор­
релированы при выполнении условий применимости фор­
мулы (6.2). Тогда
00
F= [у0(t)- у(t)]2+~у';(t).
i=I
От варьируемых параметров идеальной системы зависит
только слагаемое [у0-у]2, которое после минимизации
F совпадает с мощностью продуктов линейных искаже-
оо
ний сигнала х (t) в ФНЧ. Слагаемое ~ у'; (t) обус-
i=l
ловлено неполным подавлением Yi (t) в ФНЧ, и его мож­
но трактовать как мощность специфических продуктов
искажений из-за дискретизации сигнала. Учитывая, что
спектр Sy;(ffi)=K2фнчSz;(ffi) сигнала y;(t), окончатель-
140

но tюлучаем
-v2+2
Ф= ФФнч Фд'
(6.3)
где Ффнч- линейные искажения сигнала x(t) в ФНЧ,
задаваемые в зависимости от определения идеальной си­
стемы (5.10) или (5 . 12);
Ф,={2 ~lк•._,(w)s, ( w-
2; 1 ) dw/k'.Js, (w)dw
для обоих определений идеальной системы .
Таким образом, в силу линейности оператора у (t) =
= d{x (t)} для оценки искажений по среднеквадратично ­
му критерию достаточно знать энергетический спектр пе­
редаваемого сигнала. Поэтому для измерения искажений
сигнала в системах с временной дискретизацией приме­
нимы те же тестовые сигналы и те же схемы, что и для
измерения линейных искажений. При этом в структурной
схеме на рис. 5.2 для устранения биений частота дискре­
тизации и частота ·следования импульсов должны быть
взаимно-простыми.
Используя (6.3), можно найти оптимальное значение
параметров реальных ФНЧ, которые обеспечивают ми­
нимум искажений, а также, учитывая реальный вид
Sx(w) и КФнч• определить минимально возможнуюча­
стоту дискретизации, при которой искажения и время за­
держки не ~превышают допустимых значений.
Пример. 6.1 Рассмотрим простейший случай, когда сигнал х (t)
имеет спектр Sx((J)) = 2a/(a2 + (J) 2 ), а в качестве ФНЧ используется
интегрирующая ,RС-цепочка с постоянной времени Т Фнч , Идеальная
система опреде лена ( 1.2) .
'В этом случае из решения примера 5.3 имеем
Ффю,=О,63Vа.Тфнч при'1:0 = Тфнч lп2;
00
-
!('
(
21ti)
у2;(t) =--;- JК2ф,,,,(w)Sx w- Т dw=
-00
-
00
(!-а)[1- (а2+Ь2;)]+2Ь;
[1 - (а'+Ь2;)]2+4Ь; ""'== !+Ь'; :::::: Ь'; '
где а = аТфнч; Ь; = iТ/2лТфнч-
141

Первое приближенно е равенс тве, заn и сано в пр едпо ложени и, ч1'0
а~ 1, что соответствует малости линейных ис1<ажений фильтра,
а второе в предположении -b; ";;J:> 1, что означ ае т ма Ji ос ть и скаж ений
из- з а ди окретизации. Учитывая зависимо сть у 2 ; (t) от i, м ож н о огра­
ничиться рассмотрением только у2 1 (t), •по скольку с ростом i вклад
у2;(t) в мощность продуктов искажений уменьшается достаточно
быс тро . Таюrм образо м,
ф = Vо,4аТфнч + Т2/41t2Тфнч·
Минимальными· иска ж ения будут пр ,i Тфн,1 ::::::: О , 5 VТ2 /а, когда
Фмин::::::: О, 55 ~/ аТ. Поэтому, чтобы искаж е ния расс м а т рива ем ог о сиг ­
нала п ри восстановлении его по дискр е тным отсч е т ам не .превышали
допустимого значения Фдоп , период отсч е тов долж е н удов летв орять
условию Т~6Ф 3д о п/а. При этом
3;-
't o = Т,1,нч 1n 2::::::: О, 35 -,,,_Т2 /а.
6.2. Искажения сиrнала из-за нестабнльностн
с кор ости за n,ис и и восnроизвед е нмя
При записи и воспрои з ведении сигнала х (t) выход ­
ной сигнал у (t) можно представить в виде
у(t)= хС( v(0}d0],
(6.4)
где 1v (10) - флуктуирующая сл у чайным образом ско­
рость, не зависящая от сигнала х (t) .
При исследовании систем запись - воспроизведение
аргументы ·t и '8, являясь временем, имеют одинаковый
физический смысл. Однако при преобразовании инфор ­
мации из одной формы в другую (например, графиче­
ской в электрическую или наоборот), а также при иссле­
довании искажений только п ри записи или только при
воспроизведении эти аргументы будут иметь различную
физическую природу . Причиной искажений при таком
преобразовании сигнала будет детонация - нестабиль­
ность v (10) . Ее обычно характеризуют максимальным от ­
клонением скорости от среднего значения или ~исперси­
ей [15, 75] .
В [ 44] отмечается принципиально е отличие искаже­
ний при записи от искажений при воспроизведении, по­
скольку во втором случае соотноше н ие (6.4) выполняет­
ся точно, а в первом приближенно . Однако в предполо-
142

женин малости искажений этим отличием можно пре н е­
бречь и положить
V (0) :::::; Vеп (:) :::::; ~'!_+
ОVзпJ ОV0п ,
Vзп() Vзтт
V3п
где V3n (8), Vнn (8) - скорости записи и воспроизведения
соответственно; OV 3n ( 18), OVвn (,8) - откло н ения этих ско­
ростей от средних значений. Первое приближенное ра­
венство записано в предположении a2v<<v 2 , второе -
в предположении Vзп=Vвп-
Линейное преобразование (6.4) можно считать без­
ынерционным, поскольку значение y(,t) определяется зна ­
чением х (t) только в один момент времени . Однако эта
безынерционность иного характера, чем безынерцион­
ность преобразований (~. 1), (4.1) и (4.12), в частности
она допускает и з менение временного масштаба. Поэто­
му идеальную систему для видеотрактов определим сле­
дующим образом [68]:
у (i) =kx(yt--r) +а.
(6.5)
Процесс y(t,) даже при стационарном x(t) будет неста ­
ционарным из-за нестационарности интеграла
t
s(t)= ~?(0)d0, .
о
хотя несмотря на это, все одномерные характеристики
(в частности , дисперсия и математическое оiкидание) не
будут з ю,исеть от времени. Поэтому будем предполагать,
что сигнал записывается в течение интервала времени
[О; Т], и ус реднять по времени необходимо на этом ин­
тервале .
Выражение для оценки искажений после минимизации
по а и k с учетом того, что у2(t)=х2(t), примет вид
ф-r
а4х
-v [y(t)x(y0 t-,;0)]2
1,
где а2х - дисперсия х (t1).
Усреднять у(t)х:С,уt -~))еr~бходимо п9 врем ени и по
множествам х и- v, т: е.
143

где индексы у оператора математического ожидания
М{ •} показывают, по какому случайному аргументу про­
изводится усреднение .
В силу независимости х (t1) и v (t), а следовательно,
их(t) иs(t),усреднятьпохи vможно влюбом порядке
независимо друг от друга . Усредняя y(t)x(yt-. :) снача­
ла по х (t), получаем
т
1('
D =уJMs {Кх[s(t)-yt+'t]}dt,
о
где Кх (18) - автокорреляционная функция процесса
х (t).
При определении D можно воспользоваться аналити ­
ческим выражением для Кх (18). Однако, учитывая ма ­
лость искажений, что приводит к малости Is ( t)-yt1+.: 1,
Кх (0) можно разложить в ряд . При этом необходимо
рассмотреть два случая.
Процесс x (1t1) дифференцируем. Реальные процессы
всегда удовлетворяют этому условию и для них К'х (О) =
=0, поэтому приближенно можно считать
Кх(0) =Кх(О)+ 02К"х(0)/2= а\[1 +R"х (О) 02/2],
где Rх(,0)=Кх(0)/а2х - коэффициент корреляции x(t).
Тогда
D= a', {1+ R";,1°1 JM, ·{[s(1) - yt+ ,]'} dt}=
= а', { 1+ R";;°1 J{а'.(1)+ {т, (1)-yi + ,]'} dt} ,
где
t
m8 (t)=Jmv(0)d0
о
-
математическо е ожидание s (t) :
tt
а\(t) = SiKv (01; 62) d01d02
оо
-
его диоперсия ; mv, Kv -математическое ожидание и
а втокорреляционная функция v (О). .
144

Для расчета искажений необходимо найти уо и 't'o,
обеспечивающие максимум D или, поскольку R11х (О)<
<0, минимум
т
) Mv{[s(t)-yt+'t]}2 dt,
о
что эквивалентно поиску наилучшей линейной аппрокси ­
мации s (,t) по квадратичному критерию .
Скорость v (0) иногда можно считать детерминиро­
ванной, изменяющейся, например, по гармоническому
закону. В этом случае mv=V (:0), Kv= ,cr 2v=0 . Тогда
D=,',{1+ R",i°) J[s (/) - у/ +s]' dl}
Максимум D будет ДDстигаться при
т
у0=~~ is(t-~) dt ;
о
т
-т;0 =f i(3t-2T)s(t)dt,
о
откуда
ф=J,/(1+R"х~О) 11/2]2 - 1~V-R"х(О)/1' (6.6)
где
1,= +Js'(/)dl- [+Js(/),tlJ
- ;.;[+I(1- ~)s(/)dlJ.
Пример 6.2 . Рассмотрим случай гармонического колебания v (0)
относительно среднего значения:
v (0)·= v0+Лv cos Q0.
Для упрощения получаемых результатов положим Т = ·2пп/Q,
где п - целое число. При Т--» 2n/1Q это ограничение несущественно .
Тогда
s (t) = v.t+ (Лv/!:!) sinQt; /1 = Лv2/2!:!2•
При гармоническом входном сигнале с равномерным распределе­
нием начальной фазы Rx(0) =cos ro0, R"x(O) =-ro2 и Ф=
= roЛv / Y2Q, что совпадает с действующим значением продуктов
паразитной частотной модуляции, отнесенным к действующему зна-
145

чению полезного сигнала в ·пр ед положени и малости · индекса ' м од у ­
ляции , что совпадает с пр едположе ни ем о малост и ис1<ажений. Та­
к им образом, и в э том случае применяемые ме тоды оце н ки ис-каж е ­
ипй оказыв а ются частными случаям и единого метода.
Если x (,t) имеет равномерный энергетичеокий спектр, ограннчен­
ный полосой частот [-wo; wo], то
Rx (8) = (sinw08) /w08; R"x (О) =-W20/3;
Ф = w0дv;УБQ.
Если скорость v (0) рассматривать как стационарный •
случайвый процесс, целесообразность чего отмечают, на­
пример, авторы [15, 75], то
t
m5 (f)=mvf; a\(t)=2 I(t-0)K~(0) d0.
о
Для всех t [ (mv-v) t+т]2=O при va=mv и То=О, что
обеспечивает максимум D . Тогда аналогично (6,6) по ­
лучаем
где
т
т
l 2 =}ja\(t)df= J j(T-f)2 Kv(t)df.
о
о
Пример 6.3. Пусть Kv (8) = a2 ve-~ IB I. Тuгда
т
При малых Т~
/2= ~v S(Т- t)2e-~tdt=
о
(1-е-~т Т 1)
:=2a2v
т~з +2f-r •
откуда получаем для синусоидального сигнала
Ф::::::: avw Vт;~,
а для сигнала с равномерным спектром
Ф :=::::: avWo Vт /3~.
Таким образом, согласно (6.6) и (6 .7) для расчета
искажений дифференцируемого процесса необходимо
знать величину- R"х (О), которую можно трактовать как
146

отношение дисперсии производной записываемого про­
цесса к дисперсии самого процесса. Кроме того, необхо- •
димо знать аналитическое выражение для скорости, если
ее рассматривают как детерминированную функцию, или
автокорреляционную функцию скорости, если ее рассма­
тривают как случайный процесс.
Процесс x(t) недифференцируем. Если корреляцион­
ную функцию реального процесса
описывать недифференцируемой
моделью, например, Кх (0) =
=а\е-'" 181 , то К'х(О) будет иметь
разрыв в нулевой точке . Практи­
чески такие модели приходится
применять в тех случаях, когда
К'х(О) в окрестности нулевой
точки равна нулю, но уже при
малы:х 10! Kxl'81 начинает быст-
Рис. 6.1.
ро убывать (рис. 6.1, где Кх (0) -
.
реальная автокорреляционная функция, Кх (0) ~ мо­
дель). Тогда необходимо воспользоваться иным раз­
ложением:
при этом
Для детерминированных колебаний скорости опера­
ция вычисления математического ожидания по v отпа­
дает и аналогично (6.6)
(6.8)
.
где
т
I.=~i~+- J \s(t)~yt+-t\dt.
.о
.
Методика вычисления / 3 очевидна, хотя и громоздка.
В этом случае расчет искажений сводится к наилуч­
шей линейной аппроксимации s (t) . по среднемодульно -
му критерию.
•••
'
•
147

Пример 6.4 . Пусть, ка1< и в примере 6 .2, скорость изменяетс я по
гармоническом у закону . Тогда
т
1
1.
llv
l 8 =miny \(v 0 -y) t+ -c +--гcosQt\dt.
Т,'
•
о
Минимум интеграла при сделанных ранее допущениях о Т и Q д о­
стигается при т0=0 и Уо= vo. При этом
l3 =2Лv/nQ
и
Ф= 2V-R'x (+О) Лv/nQ.
Для сигнала с экспоненц и~ль н о й к о рреляци о ннаi< функцией
Rx(0)=е-"1е1 'R'x(+О)=- "
и
Ф = 2 Vсхдv;тсо.
Если v (18) трактовать как стационарный случайный
процесс, то, учитывая его нормализацию при узкополос­
ном преобразовании , каким является интегрирование,
s (t) можно считать распределенным нормально, поэтому
Mv [1S (t) -yt+'t1]= [(mv-y)t+'t 1+05 (t)/V21t,
и, как и при вывод е (6 .7), значение D будет максималь­
но при то=О и yo=mv . Тогда
где
;·
-
1
ф= 1, - V2/1tRх(О)/4,
т
\{'
14 =у \ a5 (f)dt.
.1
о
(6 .9)
Пример 6.5 . Рассчитаем искажения, если v (0) имеет треуголь ­
ную автокорреляционную функцию, т. е.
В этом случае
148
f 02v (1 - /8//-ск), /813⁄4 'tк,
Kv(B) = ·\
О, /ВJ>"к·
t
a25(t)=2 ,)(t- 8)Kv(8)d8=
о
{
, a2vt2(\- t/3-ск),
t<"к•
с,2 t2
---
t> ,.__
-
(t
\)
VК
'1:к
31
- ,.,

иприТ;,о'tк
При Т?>'tк
При исследовании электроакустических систем иде­
альное преобразование можно определить в соответст­
вии с (1.3), куда вместо x(t) следует подставить x(-yt).
Тогда с учетом того, что S~ = vSx('y(!)), считая случайной
у
только фазовую структуру х (t), получаем
--. r sSx (ro) dro sSy (ro) dro
Ф-V о
о
-1.
-
[ m:x JVrsx (rro) Sy (оо) doo J
Определение Sy((!)) -в общем случае достаточно
сложная задача. При v (i), изменяющейся намного мед­
леннее x(t), можно nрименить кваз·истационарный метод
и считать
Sy(ш)=М0{v(t)Sx[v(t)ш]}.
С учетом этого
5Sy(ш)dш=М0{Iv(t)Sx[v(t)ш]dш}=ТSx(ш)dw.
о
о
о
Для вычисления
00
L= f M 0 {Vyv(t)Sx(yw)Sx[v(t)rn]} dw
о
149

необходимо знать одномерное распределение v (t) . Для
стацио1-1с.12нь1х фл укту аций . скорости при непрерывном
Sх(ш) в предположении малости 11скаженйй можно за­
писать
00
L= sMt, {Sх(ш)+~[Sх(ш)+шS'х(ш)]+
о
,
cj2 [
w2S' 2 (w)
}
+8 2ш2 S"_х(ш)+2шS'х(ш)- _\х -Sх(ш) ] dш,
где б=[v(t)- -y]/у.
Энергетические спектры реальных сигналов убывают
достаточно быстро с ростом ш, поэтому мож н о полож и ть
00
00
.\ (Oks~k) (ш) dш= (- 1)kk!JSх(ш)dш.
о
о
С учетом этого
L ~ НS, (ш) - М,J''J [•:;'i:.\•) -S, (m)] dm
Мо.жно показать, что интеграл от выражения - в квадрат ­
ных скобках не может быть отрицательным. Поэтому L
будет максимащ,ным, если
При <J:v~?? _ это условие будет выполня ться, ·есл и vo = v.
Тогда, п щ(ставляя полученное зi~ачение L~шн в формулу
для Ф, пол учаем
(6.1 О)
Согласно (6.10) степень искажений зависит от отноше­
ния среднек!iадрричного уклонения флуктуаций скоро­
сти к ее ср'еднему значению и · от скорости изменения
сnектра записываемого сигнала.
150 ';

Пример 6.6. Пусть
а2
S()___х_
-w'/2~
.
хw- V2n'f)е
•
Тогда
00
•
1
jSx (w) dw =т а2х,
о
и
6.3 . л,нненные системы с флуктунрующ,нмн параметрами
Пусть линейной системе соответствует оператор об­
щего вида (5.1), где импульсная реакция h (t; 0) явля­
ется детерминированной функцией относительно 8 и слу­
чайной, не зависящей от х (t), по отношению к i.
Частным случаем такой импульсной реакции являет­
ся оператор (4 .12), когда 1h(,t; 8)=c(,t) 1o(8). Другой
частный случай h (,t, е) =с (t) ,h (18) соответствует каскад­
ному соединению стационарной линейной системы с им ­
пульсной реакцией h ('8) и устройства с мультипликатив­
ным шумом с (,t). В этом случае расчет суммарных иска­
жений легко сводится к раздельному анализу линейных
и шумовых искажений. В общем случае непосредственно
по виду оператора (5.1) разделить искажения на шумо­
вые и линейные трудно .
Аналогично выводу (5 .6) имеем
0000
= S~ x---,(-, -
t ------=-
6,),--х---,-(t,-----,6--,-
2 )...,.. ...
h -, -(t ;--с6,--,)-, -h---,(t-;6с-,-2 ) d6, d62 +
оо
00
+k2x 2 (t) - 2k .) x-(.,...,..f ___,6.,.....
) .,-к(~t-' t-)h-(-t;~6 ~),d6,
о
151

причем
x(t-6)x(t -
,:)h(t; 6) =
т
=lim 2~ SMxh{x(t-6)x(t -
,:)h(t; 6)}dt =
Т➔ОО
-
1
т
= lim2~5Кх(t- 6;t-
,:) mh (t; 6) dt,
Т➔оо
-Т
x(t~61) x(t-62)h(t; 61)h(t; 62) =
т
= lim 2~ Jкx(t-61; t - 6JBh(t; 61; 6z)dt,
Т➔оо
-Т
где Кх - автокорреляционная функция х (t); mh (t; 18) =
=M{h(t; 0)} - математическое ожидание h(1f; ·0); Bh(t;
81; 82) = M{h(t: 81)h(,t; 82)} .
Если х (t) и h (i; •0) являются стационарными случ ай­
ными процессами, полученные формулы упрощаются:
x(t-6)x (f -
,:)h(t; 6)=Kx(6 -
,:)mh(6);
x(t-61)x(t-62 )h(t; 61)h(t; 62)=
=Кх(6, -6 2)Bh(61; 62).
Допустим, что функция h (t; ,е) при изменении t ме­
няется намного медленнее, чем при изменении 0. Это
эквивалентно предположению о том, что мультиплика­
тивный шум изменяется намного медленнее передаваемо­
го сигнала. Тогда, применяя квазистационарный метод,
можно проводить анализ в частотной области, используя
зависящий от времени комплексный коэффициент пере­
дачи
00
К(w; t)=5h(t;6)e-1
"'
8d6 .
о
При этом
152
00
-
15
у'(t)= -;- Sx(w)К'(w; t)dw;
о
00
15
·
-
jw~
x(t-,:)y(t)=-;- Sx(w)Re{K(w; t)e }dw,
о

где
1'
К2(ш; t)= lim 2~ Г Mh{К2(~; i)}dt;
r-oo
J-Т
т
К(ш; t) = lim2~ r ./Иh{К(ш; t)}dt.
Т➔оо Jо
Таким образом, для расчета искажений сигнала в ли­
нейной системе с флуктуирующими параметрами необхо­
димо знать средние значения характеристик линейной
системы и средние значения их квадратов, которы~ мож­
но легко выразить через вероятностные характеристики
соответствующих флуктуирующих параметров . Для ста­
ционарных флуктуаций достаточно знать их одномерное
распределение .
Если линейная система параметрическая, т. е . h (t;
0) - детерминированная функция своих аргументов, и
зависимость h от 1t нежелательна, то все приведенные
формулы остаются в силе, только отпадает необходи­
мость усреднения по h.
Пример 6.7 . Пусть выполн е ны у словия примера 5.1 , но постою1-
ная времени перех одной цепочки медленно флуктуирует. Причем эти
флукту ации .можно считать стационарным процессом с равномерным
распределением на интервале [Т 1, Т 2]. Таким образом,
.
jwT (t)
2а
К(w; t)= 1+jwT(t) ;S(оо)= а2+002 •
Тогда для все х Т в соответствии с результат а ми примера 5 . 1
х(t-
't) у (t) максимально при '1: 0 = О и
r,
оо
1
('1r2а
оо2Т2
у2(t)= Т2-Т1
.1 ~ j а2+ •002 1 +w2Т2 dwdT=
т,
-00
ln [(!+аТ2)/(1+аТ1)]
=1-
а(Т2-Т1)

При ,ЛТ=О полученные результаты совпадают с результатами
примера 5.1 . В остальных случаях при равенстве Т искажен11я с11г­
нала при наличии флуктуаций будут больше.
Полученный результат мож но представить в фор ме
Ф=VФ2л+Ф'ш,
где Фл - оценка линейных искаже1<ий прн нефлуктуирующем 1оэ.jJфи­
циенте передач"; Фш = дТ/Т V2а.Т - составляющая искажений, обу·
словленная мультиплf-!кативным шумом .
6.4 . И·скажения сиrнапа в т·иповом
радиотехническом звене
Рассмотрим искажения сигнала в одной простейшей
нелинейной инерционной системе, представляющей кас­
кадное соединение линейного устройства с импульсной
реакцией h1 (0), нелинейного безынерционного устройст­
ва с характеристикой r=·f (z) и окон е чного линейного
устройства с импульсной реакцией h2 (0) (рис. 6.2). Та­
кая система, н аз ываемая типовым радиотехническим зве­
ном (ТРЗ) [36], может служить первым приближ:ением
lj{t)
..
Рис. 6.2 .
к более сложным реальным системам. При этом, как и
ранее, считаем, что нелинейность нежелательна, посколь­
ку является причиной искажений (в отличие от тех си­
стем, когда нелинейность вводится преднамеренно, на­
пример при детектировании сигнала).
Не делая каких-либо предположений о характере сиг­
нала х (t), кроме предположения о его стационарности,
получить решение в общем виде можно только для по­
линомиальных характеристик f (z), когда
00
z(t)= Sх(t- 6')h1(6')d6';
о
п
r (t)=f[z(t)]=~аizi(t);
i=I
154

00
у(t)= ,\r(t- 0")h2(0")d0" =
о
-
= -~lai IrJ -
.. .J1}/(t--0" -0'JX
хhl(0'Jd0'Jh2(0")d0".
Считая, что ид :; альная система определена (1.2), имеем
n
00
00
i
У(t)= К2(О)~аi .) ... JК;(0'i; ...;0';)Пh1(0'.)d0',;
i=2 О
О
•=!
х(t- 't) у (t) - ~1а;Jh2 (0") [J... JК;+1(0" +
+01 1; •. . ;0_"+0';; 't)й1h,~0'Jcl0',]d0" ..
00
n
00
= а1.)К.х(t- 0)h(0)d0+ ~aiJh.2(0")Ni(0" -
,;) d0";
О
.
i=2 О
-
n
n
0000
y 2 (t)=~ ~aiai JJk2 (0''i)h2(0;' 2)X
i=I j=I
.оО
x[S ··· 5кi+i(0111+0\; .•• ;0''i +0' i; 0"2+
о
.о
.
+ 0';+ 1; ... ; 0" 2+ 0';+) fi\, (0'J d0',] d0' _
'1d0112= .'
•=1
0000
~а21S~Кх(01 -
02)h(0i)h(02) d0,d02+
.о
о
-п
nf
00 00
f~ ~ a iai5 j Ri+i(0"2 - 0"i)h 2(0 1 ")h2(0'\)d0' 1
1d0'\, (6.11)
i=I/=1'
оО.
•
•
..
где h ('8) = h1 (18) * h2 (0) '-' -- импульсная реакция
каскад­
но соединенных линейных устройств ТРЗ; через Ni и Ri •
обозначены соответствующие интегралы, стоящие в квад­
ратных скобках; штрих у двухкратной суммы озuачает ;
что в ней отсутствует слагаемое с i=j=l ;
q
Kl/(01; ••• ; 0•) = Пx(t+0;)
\.,
·
1
... ;_
••
-,
• У=::;=1 .. '
155 J

-
смешанная моментная функция входного процесса
q-го порядка; при q=2 она совпадает с автокорреляци ­
онной функцией х (t). В силу предположения о стацио­
нарности x(t), Kq будут функциями только q- 1 аргу­
мента. Однако для сокращения записи формул (6.11)
удобнее писать .q аргументов.
Таким образом, для расчета искажений сигнала
в ТРЗ с полиноминальной нелинейностью степени п не­
обходимо знать первые 2n смешанные моментные функ­
ции входного сигнала. Наиболее просто найти эти функ­
ции для нормального х (t), когда [36]
выражаются через Кх(,8). Из (6.12) следует, что К2н1 =
=О.
Подставляя (6.11) в формулу для Ф, в предположе­
нии малости искажений получаем
где Фл - линейные искажения сигнала в линейных час­
тях ТРЗ, рассчитанные по формуле (5.10); второе сла­
гаемое обусловлено нелинейностью f с учетом влияния
на продукты нелинейных искажений оконечного линей ­
ного каскада.
Пример 6.8 . Рассмотрим более подробно случай 'Квадратичной
нелинейности:
Г(t)=Cll1Z (t)+CllaZ2 (t).
156

Тогда
у(t) = a.2a2.iK2(О);
0000
х(t-
't)у(t) =а.1_\ 5Кх('t - 811 - 8')h1(8')h2(8")d8'd0" +
оо
000000
+а.2 Js) К 3 (-т;-8\ - 8"; 't - 8'2 -:-8")h1 (8',)X
ооо
Х h, (0\) h2 (8") d8'1d0'2d8" = а.1/1 + а.2/2;
00000000
у2 (t) = а.\.\ 51 sКх (8", + 8'i-0'\-8 12) Х
оооо
Xh, (0 11) h1 (0\) h2 (8''i) h2 (8 112) d8\d0'2d8 1\d8"2 +
0000000000
+ 2а.1а.2 ,\ ,) .)
.) \Кз(0111+ 8\; 0112+ 012; 8112+ 813) Х
ооооо
Xh,(0'i)h,(0\) hl (8',) h2 (8''i) h2 (0"2) d0',d0'2d8 1 ,d6 11 ,d8"2 +
000000000000
+ а.22JII.\JSк4(0", + В\; 8"1 + 01,; 0112+ 01,; 011, + 014) х
оооооо
Хh1 (B'i) h, (0\) h, (0',) h1 (0'4) h2 (0''i) h, (8112) d0'id8\ Х
Хd0',d0'4d8"1d8'\ = а.1/3 + 2а.1а.)4 + а.22/5,
Интеграл /1 можно рассматривать ка-к результат преобразова­
ния Кх (0) линейной системой с импульсной реакцией h(0) =
= h 1(01) * hz(02), а интеграл /з дает значение дисперсии на выходе
линейной системы с такой импульсной реа,кцией при действии на ее
входе x(t).
Согласно полученному результату для малых глад-ких несиммет­
ричных нелинейностей, -когда применима линейно-квадратичная
аппроксимация характеристики нелинейного элемента, в общем слу­
чае необходимо знать три первые смешанные моментные функции.
Для нормальны х x(t) Кз=О и 12=14=0, а
К4(81; 02; 8,; 8.) =Кх(81- 82)Кх(8, -
е.) +
+Кх(81- 9,)Кх(02- 04) +Кх(81- 04) Кх(9,~-
8,) .
Тогда п о сле несложных пре с! браз о ваний можн о записать
00
х(t -
,:) у (t) =а.1 ,) Kx('t-8) h (0) d8 =
о
00
°'1 i
=---;-JSx (ro) К (ro) cos[Ф (ro) +<!),] dro;
о
157,

0000
у2(t) =а\ s sКх(01- 02)h(01)11(82) d81d02+
оо
0000
+а22j' s К2,(91 - 82) /12 (81) h2 (02) d01d02 =
оо
СО
00
= "';1:5Sx(w) !(2 (w) dw+ .а;, sS2, (w) К22(w) dw,
о
о
где Кz' -
автокорреляционная функция квадрата сигнала .z (t) (для
нормального х (t) К2, =. 2K 2 z);
-
спектр сигнала z2; :
K(w) =/(1 (ro)I(2(ro) - комплексный коэффициент передачи, соответ­
ствующий /i(i:); K1(ro) и 1(2 (ш)-то же для h 1(i:) и f12(i:) .
Подставляя полученные выражения в формулу длн Ф, получаем
Первое слагаемое полученного выражения представляет оценку .
линейных искажений ТРЗ . в соответствии с (5.1 О). Второе слагаемое
с небольшими отличиями совпадает с хвадратом оценки не,11инейных
искажений безынерционного элемента по среднеквадратичному кри­
терию с весовой фуН'Кцией в :частотной области (3 .56) . . Весовая
функция ,Q(ro) =K22(ro). Таким образом, в этом случае оценка сум,
марных искажений четко разделяется на составляющие, обусловлен ­
ные линейными и нелинейными искажениями. Аналогичные резуль ­
таты можно получить и для других характеристик.
При измерении суммарных искажений в ТРЗ с по­
мощью тестового сигнала в общем случае необходимо
сформировать случайный или почти случайный сигнал
с 2n заданными моментными функциями . Насколько
автору известно, эта зада_ча в Jщ:т.ературе не рассматри­
валась и пока не получила решения .
Рассматривая полш-юмиальную характеристику, мы
пришли к выводу, что для расчета искажений в общем
случае необходим достато\шо •большой объем информа­
ции о вероятностных свойствах передаваемого сигнала.
1581

Еще более трудно найти решение, если f (z) оказываетt_я
разрывной или недифференцируемой функцией. Однако
для нормального входного сигнала возможно аналиrиче­
ское решение в самом общем случае. Действительно, при
нормальном распределении
00
х(t -
,:)у(t)= ,\'Kxr(,: - 6)h(0)d6,
о
где Kx,-( ,0)----:x(t) :f [z (t-0)] - взаимно-корреляционная
функция х (t) и r (.t).
В соответствии с теоремой Прайса [16] взаимно-кор ­
реляционная функция процессов v1 (,t) =f, [~, (t)] и
v2 (t)-f2 [ 1~2 (t,)] удовлетворяет уравнению
fikК (t•f)
v,v.,
1,2
.
= М{)(k) [~ (f)]f(k) [~ (f)]}
d!(k, (t.t)
1
11
2
22
,
~JC.2
1,2
где К,, - взаимно-корр еJшционная функция пр е образу-
с.1 (,,2
емых сигналов ~, (t) и ~2 (i). Тогда
df(xг(,:) = И{].'[(t)]}= z (t)f[z(t)J= 1,
df\xz (t)
1
z
a'z
''о ил•
что совпадает с эквивалентным коэффициентом переда­
чи нелинейного элемента с характеристикой f при воз­
действии на него нормального процесса z(t) с дисперси­
ей a 2z. Таким образом, Кхr(т)=kонлКхz(,;) . Выразив Kxz
через Кх и h1(18):
00
Kxz(1:)= SKx(1:-0)h,(6)d0,
о
окончательно получим
0000
Х(t- 1:)У(f)=k0ил)JКх(,: - 01
-
02) h1(01) h2(02)d01d02=
оо
00
= k.илJКх(1: - 0)h(0)d0,
где, как и ранее, h(,0)_;h1 (18) *h2{18).
Эквивалентный коэффициент передачи ТРЗ
1k0 [= [k0ил Im~x IJRx(,: - 0)h(6)d0I= /k0ил1/k0л/
. 159

оказывается произведением эквивалентных коэффициен­
гов передачи линейной и нелинейной частей системы.
Для определения y 2 (t) можно воспользоваться разло­
жением в ряд спектра сигнала r ( t)
00
s, (ш) = Е [f(1) (z)]2si (ш)/i!;
i=l
00
-
'S
у2 (t) =--;- S, (ш) К\ (ш) dw,
о
где Si((J.))-(i-1)-кратная свертка спектра сигнала z(t)
с собой.
Подставляя полученные значения в формулу для Ф,
получаем
(6.14)
где Фл - оценка линейных искажений ТРЗ в предполо­
жении, что f линейна; Фил - оценка нелинейных искаже­
ний нормального сигнала по квадратичному критерию
с весовой функцией в частотной области.
При измерении искажений нормального сигнала
в ТРЗ применима структурная схема на рис. 5.2 при
условии, что импульсный генератор выдает хаотическую
импульсную последовательность.
При - определении идеального преобразования в соот­
ветствии с ( 1.3) для расчета искажений необходимо
внать энергетические спектры сигналов х (t) и у (t). При
нормальном сигнале x(t1) определение Sy(w) очевидно:
Sy (w) =К22 ('w) Sr (,(J.)). Это же соотношение применимо и
при произвольном сигнале х (t) . При полиномиальной
характеристике .f для определения Sr ( ffi) можно восполь­
зоваться теоремой Винера - Хинчина:
00
S,(ш)= JK,(-r.)cosш-r.d-r.,
-00
где автокорреляционная функция
n
n
00
00
К, (-r.) = ~ ~ ap,i S....iK1+i (6,; ... ; 61; 61+, +
1=1/=1
О
О
1+1
+-r.;
...
; 61+i +-r .) П h, (6Jd6,
160

определяется теми же моментными функциями , которые
были необходимы для расчета искажений в видео­
трактах.
Из рассмотренных в данной главе частных случаев
видно, что единый метод оценки искажений применим и
для расчета сложных видов искажений, хотя объем вы­
числений и необходимое количество исходной информа ­
ции возрастают и приходится делать ряд упрощающих
предположений, применяя, например, квазистационарные
методы. Однако при использовании многих других мето­
дов решение оказывается не менее сложным. При этом
большинство традиционных методов в результате таких
громоздких расчетов дают оценку искажений только для
частных случаев, для тестовых сигналов, тогда как еди­
ный метод позволяет оценить искажения реального сиг­
нала .

Ст,ссок литературы
1. Аналитические самонаст р аивающиеся системы автомат и ческого
управления . Под ред. В . В. Солодовникова. М . , «Маши н острое ­
, ние », 1965.
2. Банк М. У. Электрические и акустические параметры рад и о ­
пр1:1емных устройств. М . , «Связь», 1974 .
3. Банк М. У., Рубичев Н. А. Об интегральном методе контроля
качества радиовещательных приемников . - «Вопросы радиоэле к ­
троники. Сер. ТРПА», 197 1, вып. 1.
4. Белкин Б. Г., Борк А. А. Соотношение между коэф ф ициентами
нелинейных искажений, измеренными на шумовом и синусо­
идальном сигналах. - «Техника кино и телеви д ения», 1968, No 7.
5. Бобнев М. П. Генерирование случайных сиг н алов. М . , «Энер ­
гия», 1971.
6. Бородич С. В. Искажения и помехи в многоканальных системах
радиосвязи с частотной модуляцией. М., «Связь», 1976.
7. Бренерман Ю. Б., Розенберг В. Я . , Руби'lев Н. А. Новый к рите ­
рий оценки искажений при прохождении сигнала через нелиней ­
ные безынерционные системы . - «Труды метролог. ин-тов СССР»,
1967. Вып. 94(154).
8. Вакман Д. Е. Искажение сигналов в линии задержки.
-
«Радио­
техника и электроника», 1960, т. 5, No 4.
9. Вольф В. М. Динамический метод иссл ед ования нели н ейных
искажений. - «Радиотехника», 1953, No 2 .
10. Гон'lаров В. Л. Теория интерполирования и приближе н ия функ­
ций . М., ГИТТЛ, 1954.
11. Градштейн И. С., Рыжик И. М . Таблицы интегралов, сумм, ря­
дов и произведений. М., ГИФМЛ, 1963.
12. Гуткин Л. С. Теория оптимальных методов радиоприема прн
флуктуа цио н ных помехах. М . , «Сов. радио», 1972.
13. Гутник_рв В. С. Приме н ение операцнонных усилителей в изме­
рительной технике. Л . , «Энергия», 1975.
14. Давидов Е. Б. Оценки допусков на отклонение частотной ха­
рактеристики фазы, времен и задержки и затухания в каналах
связи при передаче импульсных сигналов. - «Электросвязь»,
1966, No 2.
15 . Девис Г. Л. Применение точной магн и тной записи. М . -Л.,
«Энергия», 1967.
16. Деч Р. Нелинейные преобразования случай н ых процессов. Пер.
с англ . М., «Сов. радио», 1965.
17. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования
и операционное исчисление. М . , «Наука», 1974.
18. Добровольский Г. В. Передача им п ульсных сигналов по каналам
связи. М., Связьиздат, 1960.
19. Драпий В. А. Искажения сигналов в им п ульсных усилителях
на ЛБВ при нестабильности электропитания. - «Изв. вузов. Сер .
Радиоэлектроника», 1976, т. 19, No 7.
20. Еремин А. С., Розов В. С. О нелинейности импульсных
устройств. - «Электросвязь», 1963, No 8.
162

21-. · Жовинекий
В. Н. Генерирование шумов для nсследовани11 ' -ав_то-
матических систем. М., «Энергия», 1968.
..
.
.
22. Жовинекий В. Н. Схемы запомина ния н а пряжения 11 бло1щ за ­
паздывания . М., Госэнергоиздат, 1963.
23. Журавлев В. М. Методы измерения нелинейных искажений с по­
мощью полос шума. - «Техника кино и телевидения», 1963, No 2.
24. Журавлев В . М. О прим енимости корреляционного метода
оценки нелинейных искажений . - «Труды ЛИКИ», 1964, вып . 10 .
25. Иванов И. Ф., Трофимов В. С. О едином методе измерения не­
линейности импульсных устройств. - «Радиотехника», 1963, No 2.
·2 6 . Казаков И. Е. Приближенный вероятностный анализ точности
работы существенно нелинейных автоматических систем_-«Авто­
матика и телемеханика», 195 6, No 5.
27. Кантор Л. Я. Прибор для и зме рения н ел ин ейных искажений . -
«Вестник связи», 1957, No 12.
28. Карелич Г. И. О связи между критериями нелинейности. - «Ра­
диотехника», 1969, т. 24, No 11 .
29. Коган Б. Я. Электронные моделирующие устройства и их при­
менение для исследования систем автоматического регулирова­
ния . М., Физматгиз, 1962 .
· 30 . Козлов О. М. К вопросу о тождественности систем, оптималь­
ных по различным критериям. - «Автоматика и телемеханика»,
1963, No 11 .
31. Кондратьев С. Л., Карпин Ю. В. О корреляционной оценке каче­
ства канала связи_ - «Радиотехника», 1972, т. 27, No 3.
32. Корн Г., Корн Т. Электронные аналоговые и а·налого-1щфровые
вычисJ1ительные ма шины. В 2-х ч. Пер. с англ. М., «Мир», 1967,
1968.
33. Красильников Н. Н. О 1<ритерии оценки верности воспроизведе­
ния при исследовании помехозащищенно сти телевизионных си­
стем. - «Радиотехника», 1966, т. 20, No 1.
34. Кривошеев М. ' И. Основы телевизионных измерений. М.,
«Связь», 1964 .
35. Лебедева А. М. Статистический метод оценки искажений слу­
чайных сигналов в линейных инерционных и нелинейных без­
ынерционных системах. - «~Вопросы радиоэлектроники . Сер.
ТIРПА», 1972 , вып. 2.
36. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники.
В 2-х кн., кн. 1-я, М., «Сов. радио», 1966 .
•
37. Левин Г. А., Левин Б. Р. О полосе пропускания линейной си­
стемы и неискаженном воспроизведении. - «Радиотехника>>, 1954,
т.9,No2.
.
38. Левин Г. д., Левин Б. Р. Временные характеристики импульс­
ных сигналов, прошедших через линейную систему. - «Р8дио-
техника», 1955, т. 1О, No 1.
•
39. Лившиц Н. д ., Пугачев В. Н. Вероятностный анализ систем
автоматического у.правления . В 2-х ч. Ч. 1. М . , «Сов_ радио», 1963 .
40. Лурье О . Б. Усилители видеочастоты. М., «Сов. радио», 1961 .
41. Малахов А. И. Флу,ктуации коэффищ1ента усиления лампового
усилителя. - «Радиотехника и электроника», 1957, т. 2, No 4.
42. Мигдилин И. Н. Корреляционный метод исследования п ереход­
ных процессов в линейных системах. - «Автоматика и телемеха­
ника», 1963, т. 24, No I О.
43·. Миддлтон Д. Введенне в статистическую теорию связи. В 2-х т.
П е р. с англ. М., «Сов. радио», I 96 I, 1962.
' 163

44. Минухин 8. Б. Об искажениях сигналов в каналах магнитной
записи при колебаниях скорости носителя. - «Радиотехника»,
1971, т. 26, No 9.
45. Мирский Г. Я . Аппаратурное опред еление характеристик слу­
чайных процессов. М., «Энергия», 1972.
46. Момот Е. Г. Искажения, вызванны е пульсацией напряжения,
питающего приемник (вторичная мод уляция) . - «Научно-техни­
ческий сборник ЛЭИС» , 1935, вып . 7.
47 . Пенков Г. Об измерении нелинейных искажений. - «Радио и
телевидение», 1972, No 2 (ОИРТ) .
48. Пустынский И. Н . Транзисторные видеоусилители. М., «Сов. ра- ,
дио», 1973.
49 . Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение
к задачам автоматического управления. М., ГИФМЛ, 1962.
50. Рабинович Б. Е. Методика сум м ирования частных погрешностей
в обла,сти радиотехнических измерен~ий. - «Труды ВНИИМ,,.
1962, Вып. 57/117 .
51 . Реутова К. К. К оценке влияния искажений фазоманипулиро­
ванного сигнала на их корр еляционные свойства, характери­
стики. - «Радиотехника», 1976, т. 31, No 2.
52. Ризкин А. А. Основы теории и расчета электронных усилителей.
М., «Энергия», 1965.
53. Розенберг В. Я. Ра диотехнические методы измерения парамет­
ров процессов и систем . М., Комитет стандартов, 1970.
54 . Розенберг В. Я. Введение в теорию точности измерительных
систем. М., «Сов. радио», 1975.
55. Ромбо В. С., Фарбер Ю. Д. Измерение характеристик много­
канальных систем связи. М. , «Связь», 1977.
56. Рубичев Н. А . Об измерении искажений случайного сигнала
с помощью тестового сигнала. - В кн.: Сборник докладов I Все­
союз . симпозиума. Методы представления и аппаратурный ана­
лиз случайных процессов и полей. Т. 2. Новрсибир·ск , 1968.
57. Рубичев Н. А. Единый метод оценки искажений сигнала . -
«Измер . техника», 1970, No 1.
58. Рубичев Н. А. Об обобщенном методе оценки искажений сиг­
нала . - «Труды метролог. ин-тов ОССР» . 1973, вып. 108 .
59. Рубичев Н. А . Методы оценки искажений сигнала (обзор).
Там же.
60. Рубичев Н. А. О критерии оценки качества отдельного устрой­
ства, входящего в сложную систему . Там же .
61. Рубичев Н . А. Измерение нелинейных искажений с помощью по­
лос шума. - «Измер. техника», 1971, No 5 .
62 . Рубичев Н . А. О формировании узкополосного сигнала с распре­
делением, отличным от нормального . - «Радиотехника», 1971,
т.26,No12.
63 . Рубичев Н. А. О применении случайных отсчетов для опреде­
ления среднего по времени значения сигнала. - «Автоматика и
телемеханика», 1968, т. 29, No 2.
64. Рубичев Н. А. Измеритель суммарных искажений стационарных
и периодических сигналов. - «Измер. техника», 1973, No 9 .
65. Рубичев Н. А. Об оценке нелинейных искажений несинусоидаль­
ного сигнала по результатам измерений с помощью ИНИ. -
«Труды ВНИИФТРИ», 1974, вып. 17(47).
66. Рубичев Н. А. Схема фиксирования уровня сигнала . - ПТЭ,
1970, No 6.
164

67. Рубичев Н. А. f1рименеЮiе метода нескольких ординат для
расчета нелинейных искажений случайного сигнала. - «Радио­
техника», 1971, т. 26, No 2.
68. Рубичев Н. А. Расчет искажений формы сигнала из-за неста­
бильности скорости за писи и воспроизведения. - «Измер. тех­
НJИка», 1977, No 6.
69. Рытов С. М. Связь распределения квазимонохроматического ста­
ционарного процесса с распределением его огибающей.-«ЖТФ»,
1955, No 5 ( 11).
70. Сапожков М. А. Корреляционный ме тод измерения коэффици­
ен та искажений передачи. - «Акуст. журн.», 1956 , No ~ -
71 . Свириденко С. С. Об искажении псевдослучайного сигнала
с ограниченным спектром на выходе RС-фильтра. - «Радио­
техника», 1969, т. 24, No 8.
72 . Сешу С., Балабян Н. Анализ линейных цепей. М., Госэнерг­
издат, 1963.
73. Смирнов Н. И., Судовцев В. А., Голубков А. А. Анализ иска­
жений сложных сигналов в цепях радиотехнических систем. -
«Радиотехника», 1972, т. 27, No 12.
74. Соловьев Н. Н. Основы измерительной техники проводной связи .
в 4-х ч., ч . 3, М., «Энергия», 1972.
75. Степанов Б. М., Филиппов В. Н. Об оценке искажений при маг­
нитной записи с ШИМ . - «Измер. техника», 1966, No 7.
76. Суходеев И. В. Ш умы электрических цепей (Теория). М.,
«Связь», 1975 .
77 . Теумин И. И. Методы экспериментального исследования пере­
ходных процессов в электрических цепях. М., «Сов. радио», 1956.
78. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М., «Сов. радио»,
1966.
79. Харкевич А. А. О .применении критерия среднеквадратичной по­
грешности к оценке линейных систем. - «ЖТФ», 1937, No 5.
80. Цветков Э. И. Нестационарные случайные процессы. М., «Энер ­
гия», 1973 .
81. Blair J. J. Th e cl1aгacte гi satio n а пd m easuremeпt of nonlineari-
l,ies iп transie nt measuгiпg system s. -
«IEEE Trans.»,
1972,
v. IM-21,No4.
82. Bohme R. Еiпе Bedingung fur veгgesch reib en kleine Signal-
verzeггungen iп liп eaгen zeitLIПgabl1iindigen Sys tem en. -
«Nach-
richteп. Z.», 1967, Bd. 20, No 3.
83. Cohen Stanley А. Method of assingning the bandwidth to а chan-
nel. -
« IEEE Trans.», 1967, v . ЕС-9, No 2.
84. Darre А. Methoden zur Messung nichНineaгe Veгzerrungen in
Tonfrequenzgeblet. -
«Frequen z», 1965, No 3, 4.
85. Delorenzo J., Deangebnis D. Real-Time measureme nt and correc-
tion of phase distortioп in higl1fidelity radars. -
«IEEE Inteгn.
Oonv. . Rec.», 1963, v. 11, No 3.
86. Filgeпbaun W. Ein Bei tгa g zur Berechnung von Hullkuгverzerrun­
gen. -
«Nachгichteпtechnik», 1972, Bd. 22, No 3.
&7. Fritzsche G. Zussammeпhiinge zwischen th eoretischen und gemes-
sen
deterministisch en Systemzeitfuпktioп. - «Nachrichtechnik»,
1971,Bd.21,No5.
88. Gensel Joachim. B eit rage zur Theorie dег lmpulsverzerrungen in
Schmalbandsystemen. Berlin. Akad. Verb ., 19 59.
89. Gomlich Н. Mess-Signale in der Nac hrichten-i.ib ertragungtechnik .-
«Radio Meпtor Electгonic», 1971, No 7-10 .
165

90. Gorc;>g Е. А new approath to time-domain eqщ1lisation. - «IВМ
J, Res. Dev.», 1965, No 4.
91. Hartmann Н. L. Veгzeгrungen pμJscodemodu\ierte s ignals bei der
-
.
Obeгtraguпg ulJ eг еiпе Hohlkabe\veг s uchs s tгe cke _aus cli elektгisc he
bes.chichteteп Al u miпiumrohren. - «Freq ueп z» , 1967,
.No 3'. .
92. Humpheris D. S. А figuгe of шегit fог fге чuеп су se \ective filt-
res. -
«IEEE Тгапs.», 1963, v. СТ-10, No 3.
93. Johnsoп D. А . Н. Cross-c o пelatioп t ec lшi (jL!es а пd tl1 e i r appli-
cation to communi cation сhаппе! evaluation. -
«Radio_ апd Elec-
tгonics Engn.», 1969, v. 37, ~о 5.
94. Jordaп Gaпg В. Band width and distortioп jп рн\sе fi\ters. -
«Е l есtгоп. Engп.», 1966, v. 25, No 11.
95. Kramer S. J. А seпsitive method fог meassL1гemeпt of a mplitцde­
liпearit y . - « Ргос. IRE», 1965, No 8.
96. Loo S...G . Spectral deпsit y of raпdom sigпa\s corrL1pted Ьу mul-
tiplicati ve пoise . - «E lectronics Letts», 1967, No 8.
97. Nauшann Н . D. Die gebriichlichsteп RaL1scha n gabeп. - «R adio
und Fernseheп», 1966, No 13.
98. Redlich Н. J. Betгachtungen zum Linearitatsfehler von Messge-
.
riiten. -
«E lec ktгonik», 1972, No 2.
99. Roland W. Koch. Random signal method of nonlinear amplitude
1Distortio11 111 eas uг e 111ent . - «IEEE Trans.», 1971, v. IM-'20, No 2.
100. Schreiber Н. Erze ugung komplixer Sygna\e zuг Verstiirkeгpru­
_
fung. -
"Fнпk-tес!ш.», 1968, No 12.
101 . Seide\ Н. Geriit zur Messш1g vоп nicht\iп ea гen Verzeгrш1gen in
TF Aпlagen wiihrend des Betгiebs . - «Feгпme ldt echnik», 1970,
Bd.10,No5.
102 . Shepertycki Т. М. Teleme try епог measurementes using psevdo
гandom sigпals. - « IEEE Тгапs.», 1964, v. SET-10, sept.
103. Simpson R. S., Hauts Т. S. А definition of а verge time delay
for , а lineaг sistem . -
«Ргос. IEEE», 1967, v. 55, No 10.
104. Waddington D. Е. O'N. Synchгonous tuned m ethode of haтmo­
nik and intermodu latioп · distortion anal ys is. -
«Radio and Elec-
troпics Engn .», 1965, No 5.
105. Warren W. J., Hewelett W. R. An aпa lisis if the intermodulation
method of distortion measuremeпt. - «Proc. IRE», 1949, April .

Оrлавnенне
Предис.iюв1-iе
Введение
Гл а в а 1. Общий подход к определению искажений переда­
ваемого сигнала
1.1 . Разделение пр еобразован ного сигнала на поле зный
сигнал _ и продукты искажений
1.2. • Критерии различия си гналов
1.3. Определение параметр ов исс ледуемой системы
1.4 . Связь рассматрива емо го метода оценки искажений
с дру гими методами .
Г л а в а 2. Измерение искажений сигнала
.
2.1 . Общая стр уктур ная схема измерения суммар ных
искажений
2.2 . К анализу погрешности измерения искаж ений
2.3 . Измерение сум марных искажений в видеотрактах и
им подобных .
2.4. Измерение суммарных искажений в электроакустиче­
ских трактах и им по добных
2.5 . Об измерении от!(ельных видов искажений с по­
мощью тестовых сигналов
Гл а в а 3. Нелинейные искажения
3.1.
3.2.
3.3.
3.4 .
3.5.
3.6.
3.7.
Расчет нелинейных искажений по средне1шадратично ­
му критерию
Расч ет нелинейных искажений по методу нескольких
ординат
Оценка нелинейных искажений реального сигнала по
результатам измерения r<оэффициента гармоник
Измерение нелинейных искажений с помощью ПO J IOC
шума
Расчет нелинейных искаж е ний по другим критериям
Тестовый сигнал для измерения нелинейных искаже­
ний в широк ополосных систвмах
Тестовый сигнал для измерения нелинейных искаже­
ниi\ в системах с огра нич е нно й полосой пропускания
3
4
11
11
15
20
23
30
30
33
37
43
54
57
58
61
65
72
75
89
93
Гл а в а 4. Шумовые искажения
106
4. 1 . Расчет и скажений, вы зв анных аддитивным шумом
106
4.2. Расчет искажений, вызванных муJ1ьтипл111<ап1оным
шумом........
1ll
4.3. Об измерении шумовых искажений
115
167

Гл а в а 5. Линейные искажения
116
5.1 . Расчет линейных искажений по среднеквадратичном у
критерию.........
117
5 .2 . Расчет частотных и фазовых искажений
126
5.3 . О возможности применения других критериев ДJIЯ
расчета линейных искажений
130
5.4 . Измерение линейных искажений с помощью тестового
сигнала
133
Гл а в а 6. l(омбинированные искажения
138
6.1 . Искажения сигнала при восстановлении его по дис-
кретным отсчетам
139
6.2. Искажения сигнала из-за нестабильиости скорости
записи и воспроизведения
142
6.3 . Линейная система с флуктуирующими параметрами 151
6.4 . Искажения сигнала в типовом радиотехническом звене 154
Список литературы
162
ИБ No 256
НИКОЛАй АЛЕКСАНДРОВИЧ РУБИЧЕВ
Оценка и измерение
искажений радиосигналов
Редактор И. И. Рюжина
Художественный редактор А. Н. Алтунин
Обложка художника В. В. Кухты
Технический редактор И. В. Орлова
Корректор И. Г. Багрова
Сдано в набор 03 .!! .77.
Подписано к печати 27.01 .78 .
т.03537
Формат 84Х108/., Бумага типографска;r No 1. Литературная гарн. Высокая печать
Объем 8,82 усл. п. л.
8, 7 уч.-изд. л.
Тира_)!{ 1О 400 экз.
Зак. 363
Цена 45 коп.
Издателы:тв-о « СовеТ{:-JЮе радио » , !Москва, Гл-авпочтамт, а/я 693
Москов·ская типография iN'o •10 «Союз·полиграфпро-ма»
при Государствеи,иом Комитете Совета Мини{:тров СССР
по делам издательс-гв, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-'1114, Шлюзовая наб., '10 .