Сборник задач по общему курсу физики. Часть 2. Электричество и магнетизм. Оптика - Козел С.М., Овчинкин В.А., Прут Э.В., Локшин Г.Р., Лейман В.Г.

Автор: Козел С.М. Овчинкин В.А. Прут Э.В. Локшин Г.Р. Лейман В.Г.

Теги: физика оптика задачи по физике магнетизм

Похожие

Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика

Физическая оптика

Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика

Общий курс физики. Учебное пособие: Для вузов. В 5 томах. Том III. Электричество.

Текст

С.М.Козел, В.Г.Лейман, Г.Р.Локшин, В.А.Овчинкин, Э.В.Прут
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ
Часть 2. Электричество и магнетизм. Оптика
Вторая часть сборника включает в себя около 1300 задач различной степени
трудности. Авторами почти всех задач являются преподаватели кафедры общей
физики Московского физико-технического института. Эти задачи предлагались
студентам на экзаменах, контрольных работах и студенческих физических
олимпиадах. Книга содержит классический методический материал, необходимый
в учебном процессе любого технического вуза. Около 10% задач приведены с
решениями. В сборнике не отдано предпочтение какой-либо одной системе
единиц, так как реально в различных областях науки и техники применяются
единицы, наиболее адекватные рассматриваемому вопросу. Однако ответы и
решения в этой части сборника приведены в гауссовой системе единиц. В
приложении приведены таблицы перехода из гауссовой системы единиц в СИ и
обратно.
Для студентов физических специальностей вузов, а также преподавателей
физики высшей и средней школ.
Содержание
От составителей 4
Задачи Ответы
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 1 Электрический заряд и напряженность электрического поля.
Диполь. Теорема Гаусса
8
216
§ 2. Потенциал. Метод электрических изображений
11
219
§ 3. Электрическое поле в веществе. Энергия электрического
поля. Энергетический метод вычисления пондеромоторных
сил
17
227
§ 4. Постоянный ток. Токи в неограниченной среде
28
232
§ 5. Магнитное поле. Закон Био—Савара— Лапласа. Теорема о
циркуляции в вакууме. Индуктивность проводников.
Теорема взаимности
34
236
§ 6. Магнитное поле в веществе. Векторы В и Н. Теорема о
циркуляции в веществе. Сверхпроводники в магнитном
поле
40
240
§ 7. Электромагнитная индукция. Энергия и силы в магнитном
поле. Сохранение магнитного потока в сверхпроводящих
контурах
48
245
§ 8. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном
полях. ЭДС Холла. Движение тел при наличии
пондеромоторных сил
62
251
§ 9. Переходные процессы в электрических цепях. Свободные
колебания
77
260
§10. Вынужденные колебания. Резонанс. Метод комплексных
амплитуд
87
264

§11. Элементы спектрального анализа. Автоколебания. 100 270
Параметрический резонанс. Шумы
§12. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны. 109 274
Волноводы и резонаторы. Плазма
ОПТИКА
§ 1 Геометрическая оптика и элементы фотометрии 120 285
§ 2. Формулы Френеля. Световое давление 128 291
§ 3. Интерференция монохроматического света 132 298
§ 4. Интерференция квазимонохроматического света. Временная 138 302
когерентность
§ 5. Протяженные источники света. Пространственная 142 305
когерентность
§ 6. Дифракция Френеля. Зонные пластинки 148 309
§ 7. Дифракция Фраунгофера. Разрешающая способность 156 315
оптических инструментов
§ 8. Спектральные приборы 166 326
§ 9. Элементы фурье-оптики и голографии 179 339
§10. Дисперсия света. Эффект Доплера в оптике 190 344
§11. Поляризованный свет. Элементы кристаллооптики и 198 352
нелинейной оптики
Приложения 362

От составителей
Эта книга является второй частью Сборника задач по общему
курсу физики. Первая часть Сборника, изданная в начале 1998 г.,
посвящена механике, термодинамике и молекулярной физике.
Настоящая книга включает в себя два следующих раздела общего
курса физики: электричество и магнетизм, оптику. Всего в этой ча¬
сти собрано около 1300 задач. Все задачи, авторами которых явля¬
ются в основном преподаватели кафедры общей физики МФТИ,
предлагались студентам Московского физико-технического институ¬
та на семестровых контрольных работах, письменных экзаменах и
физических олимпиадах. Задачник в известной мере подводит итог
пятидесятилетней работы кафедры за все время существования
МФТИ.
В сборник вошли самые разнообразные задачи всех уровней
трудности — от простых до очень сложных. Специально и очень
тщательно сформированы разделы сборника. Так, «Электричество и
магнетизм» включает в себя 12 параграфов, а «Оптика» — 11 пара¬
графов. Столь подробное и оригинальное разбиение произведено
впервые и делает задачник удобным для работы как студентам, так
и преподавателям.
Часть задач (около 10% в этой книге) приведены с решениями.
Для удобства такие задачи помечены звездочкой. Значительное
количество задач были составлены под влиянием реальных науч¬
ных разработок преподавателей. Кроме того, сборник содержит и
классический набор задач, носящих чисто методический характер,
способный удовлетворить самые разнообразные запросы в практике
преподавания — от технического вуза, где физика не является про¬
филирующим предметом, до университета, готовящего физиков-
профессионалов.
Большинство задач ориентировано на получение численного от¬
вета, что само по себе важно как в плане формирования у студентов
правильных представлений о масштабах изучаемых явлений, так и
в плане механического запоминания физических констант и пере¬
водных коэффициентов. Особенно это актуально в разделе «Элект¬
ричество и магнетизм». В настоящем сборнике хоть и не отдано
предпочтение какой-либо одной системе единиц, тем не менее боль¬
шая часть ответов и решений (исключение составляют задачи из те¬
ории электрических цепей) дается в гауссовой системе единиц
4

(СГСЭ), что принципиально отличает данное издание от большин¬
ства других.
В конце книги в «Приложениях» приведены таблицы переводных
коэффициентов, и другие сведения о том, как формулу, записанную
в гауссовой системе единиц перевести в СИ и наоборот, а также не¬
которые внесистемные единицы, представляющие интерес для дан¬
ных разделов физики.
Так или иначе, сборник задач отражает точку зрения кафедры
общей физики МФТИ на преподавание физики в высшей школе.
Часть задач второй книги уже были опубликована в ранее вы¬
шедших изданиях. Прежде всего это «Сборник задач по физике»
С. М. Козела, Э. И. Рашбы и С. А. Славатинского (М.: Наука,
1987), а также «Общий курс физики» том III (электричество) и том
IV (оптика) Д. В. Сивухина (М.: Наука, 1983, 1985 и др.), «Сбор¬
ник задач по физике (электричество, оптика и атомная физика)»
под. ред. С. М. Козела (М.: МФТИ, 1983) и «Сборник задач цо об¬
щему курсу физики» часть III — электричество и магнетизм, часть
IV — оптика; под редакцией И. А. Яковлева и Д. В. Сивухина (М.:
Наука, 1977).
Над составлением задач трудился весь многочисленный коллек¬
тив кафедры общей физики МФТИ. Конечно, невозможно перечис¬
лить всех авторов сборника. И тем не менее приведем список досто¬
верно известных авторов задач в этой части сборника: В. Г. Аверин,
B. В. Анисимов, ТО. В. Афанасьев, Г. С. Баронов, В. Е. Белонучкин,
C. В. Бирюков, М. Д. Галанин, А. Д. Гладун, Л. Л. Гольдин,
Д. Б. Диатроптов, А. С. Дьяков, Д. А. Заикин, В. Г. Зацепин,
Ф. Ф. Игошин, С. П. Капица, К. В. Караджев, А. С. Кингсеп,
A. 77. Кирьянов, С. Л. Кленов, С. М. Козел, ТО. И. Колесов,
77. Ф. Коротков, В. 77. Корявое, К. А. Котельников, М. Г. Кремлев,
Е. 77. Кузнецов, С. Д. Кузьмичев, В. Г. Лейман, В. Н. Листвин,
Г. Р. Локшин, Л. Б. Луганский, Е. 3. Мейлихов, Л. А. Микаэлян,
ТО. А. Михайлов, В, В. Можаев, Е. Н. Морозов, В. Г. Никольский,
B. А. Овчинкин, В. В. Окороков, А. Я. Паршин, В. А. Петухов,
Э. В. Прут, В. В. Пырков, А. О. Раевский, Е. Г. Рудашевский,
Э. Н. Свириденков, М. В. Свиридов, Д. В. Сивухин, Г. В. Склизков,
C. А. Славатинский, А. В. Степанов, О. А. Судаков, П. А. Тодуа,
В. Н.Гопников, Е. И. Тукиш, А. В. Францессон, Э. М. Хохлов,
А. А. Шеронов.
Особо следует отметить огромный редакторский труд комиссий,
готовивших задачи данных разделов курса физики к письмен¬
ным экзаменам и олимпиадам. В разные годы это были Д. В. Сиву¬
хин, М. Д. Галанин, А. Д. Гладун, Л. Л. Гольдин, Д. Б. Диатроп¬
тов, Д. А. Заикин, В. Г. Лейман, Г. Р. Локшин, Л. А. Микаэлян,
А. Я. Паршин, А. В. Степанов, А. В. Францессон, А. С. Кингсеп,
М. Г. Кремлев, Е. 3. Мейлихов, В. А. Овчинкин, Э. В. Прут,
Э. Н. Свириденков, Г. В. Склизков, О. А. Судаков и другие. В тече¬
ние многих лет возглавлял и по сей день возглавляет работу комис¬
сий профессор С. М. Козел.
5

Техническую и организационную работу комиссий многие го¬
ды выполняли старшие преподаватели кафедры Л. П. Баканина,
Г. Е. Иванникова, Г. А. Никитаева, а также Н. С. Берюлева,
М. А. Тулайкова, Н. И. Петеримова и другие.
Большую техническую помощь в подготовке этой части сборни¬
ка к изданию оказала Г. Е. Иванникова, за что составители выра¬
жают ей свою признательность.
Составители сборника с благодарностью примут все замечания,
которые неизбежно возникнут у читателей, и советы по его улуч¬
шению.

адачм

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 1. Электрический заряд и напряженность
электрического поля. Диполь. Теорема Гаусса
1.1. Вычислить отношение силы электрического отталкивания
Fe двух протонов к силе их гравитационного притяжения Fg. Вы¬
полнить тот же расчет для электронов.
1.2. В вершинах квадрата со стороной а находятся одинаковые
одноименные заряды, равные д. Какой заряд Q противоположного
знака необходимо поместить в центре квадрата, чтобы результиру¬
ющая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю?
1.3. Вычислить напряженность электрического поля точечного
диполя с дипольным моментом р. Расстояние до диполя г»/, где
I — расстояние между зарядами.
1.4! Найти уравнение силовых линий электрического поля то¬
чечного диполя в полярной системе координат.
1.5. Вывести выражение для энергии диполя во внешнем элект¬
рическом поле напряженностью Е. Рассмотреть случаи:
а) жесткого диполя с дипольным моментом р;
б) упругого диполя с поляризуемостью а (ре = аЕ в СГСЭ).
1.6. Электрический квадруполь состоит из двух положительных и
двух отрицательных одинаковых по величине точечных зарядов д,
расположенных в вершинах квадрата со
стороной а, как показано на рис. 1. Найти
электрическое поле такого квадруполя в
точке А, находящейся на расстоянии
г^>а от его центра О, если линия О А па¬
раллельна одной из сторон квадрата.
1.7. Найти силу взаимодействия F
между точечным зарядом д и точечным ди¬
полем, если расстояние между зарядом и
диполем равно d, а дипольный момент р
направлен вдоль соединяющей их прямой.
1.8. Возможны ли круговые движения
с постоянной скоростью точечного элект¬
рического заряда вокруг неподвижного
точечного электрического диполя?
1.9. Найти силу взаимодействия F двух точечных диполей, если
их дипольные моменты pi и р2 направлены вдоль соединяющей их
прямой, а расстояние между диполями равно d (рис. 2).
Рис. 1
Р2
—1
г~^
d
Рис. 2
8

1.10. Диск радиусом R заряжен равномерно с поверхностной
плотностью а. Определить напряженность поля Е в точке, нахо¬
дящейся на расстоянии d от диска, на перпендикуляре, проходя¬
щем через центр диска.
1.11. Из трех концентрических бесконечно тонких металличе¬
ских сфер с радиусами < R2 < R3 крайние заземлены, а средней
сфере сообщен электрический заряд Q.
Найти напряженность электрического
поля во всех точках пространства.
Сферы находятся в вакууме.
1.12! В равномерно заряженной сфе¬
ре вырезано малое отверстие. Какова на¬
пряженность поля в центре отверстия?
1.13. Две бесконечные плоскопарал¬
лельные металлические пластинки поме¬
щены в вакууме параллельно друг другу
(рис. 3). Полный заряд на единицу пло¬
щади (т. е. сумма зарядов на обеих по¬
верхностях пластинки) равен ql для первой пластинки и дг — для вто¬
рой. Определить поверхностные плотности электрических зарядов на
пластинках, а также напряженность электрического поля между ни¬
ми и во внешнем пространстве.
1.14. Два длинных провода, расположенных параллельно на рас¬
стоянии d друг от друга, равномерно заряжены разноименными за¬
рядами с линейной плотностью +х и —к. Определить напряжен¬
ность поля Е на расстоянии h от плоскости, в которой лежат прово¬
да, в точке, лежащей в плоскости симметрии.
Указание. Пользуясь теоремой Гаусса, найти напряженность
поля, создаваемого каждым из проводов, а затем геометрическую
сумму этих полей.
1.15. Определить напряженность поля Е внутри и вне безгра¬
ничного плоского слоя толщиной d, в котором равномерно распре¬
делен положительный заряд с объемной плотностью р.
Указание. Воспользоваться симметрией системы зарядов и
применить теорему Гаусса.
1.16. В безграничном плоском слое толщиной 2d объемная плот¬
ность заряда р изменяется по закону р = р0x/d (—d^x^d), где
х — ось, перпендикулярная плоскости слоя. В слое имеется тонкий
канал вдоль оси х, в котором помещен точечный диполь с массой
т и дипольным моментом р. Вычислить период малых продольных
колебаний диполя.
1.17. В модели атома Томсона предполагалось, что положитель¬
ный заряд е распределен внутри шара радиусом R = 10-8 см. Как
должна зависеть от радиуса плотность положительного заряда, что¬
бы электрон (точечная частица с зарядом — е), помещенный внутри
шара, совершал гармонические колебания? Заряды механически
друг на друга не действуют. Магнитным полем движущегося заряда
пренебречь. Найти частоту колебаний электрона.
9

1.18. Один из опытов Кулона, с помощью которого он убедился,
что сила притяжения между двумя разноименными точечными за¬
рядами обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними,
состоял в следующем. В окрестности маленького заряженного шари¬
ка подвешивалась на нити небольшая горизонтальная шеллаковая
стрелка, на одном конце которой был прикреплен небольшой элект¬
рически заряженный кружок из золотой фольги. Измерялся период
малых колебаний стрелки Т в зависимости от ее расстояния d до
заряженного шарика. Предполагая справедливым закон Кулона,
найти зависимость периода колебаний стрелки от указанного рас¬
стояния и от других параметров системы. Длина стрелки / очень ма¬
ла по сравнению с расстоянием d.
1.19! Пользуясь теоремой Гаусса в дифференциальной форме, вы¬
числить напряженность электрического поля равномерно заряжен¬
ных 1) шара радиусом R и 2) бесконечной пластины толщиной 2h.
Объемная плотность электричества в обоих случаях равна р.
1.20. Подсчитать среднюю объемную плотность р электрических
зарядов в атмосфере, если известно, что напряженность электри¬
ческого поля на поверхности Земли равна 100 В/м, а на высоте
h— 1,5 км эта напряженность падает до 25 В/м.
1.21. С какой объемной плотностью р(г) следует распределить
электрический заряд в шаре, чтобы поле Е0 внутри него было на¬
правлено вдоль радиуса и всюду имело одинаковую величину?
1.22. В шаре, равномерно заряженном электричеством с объем¬
ной плотностью р, сделана сферическая полость, центр которой О
смещен относительно центра шара О на рас¬
стояние г. Определить электрическое поле
внутри полости.
У Казани е. Заполнить мысленно полость
электричествами противоположных знаков с
плотностями +р и — р. Тогда поле в полости
можно рассматривать как суперпозицию полей
двух равномерно и противоположно заряжен¬
ных шаров.
1.23. С какой поверхностной плотностью
а(0) следует распределить заряд по поверх¬
ности сферы радиусом R (рис. 4), чтобы поле внутри нее было од¬
нородным и равным Е01 Каково при этом будет электрическое поле
вне сферы?
1.24. Длинная медная проволока помещена в однородное элект¬
рическое поле Е0, перпендикулярное оси проволоки. Найти распре¬
деление поверхностных зарядов на проволоке а(0).
1.25. В однородное электрическое поле Е0 вносится незаряжен¬
ный проводящий шар. Указать на его поверхности точки, в которых:
а) поле по абсолютной величине остается прежним;
б) поле по абсолютной величине удваивается.
1.26. Во внешнее однородное электрическое поле Е (рис. 5)
внесен металлический шарик. Как в результате этого изменится
ю

напряженность электрического поля вблизи поверхности шарика в
точках А та В, С и D?
1.27. Металлическая незаряженная сфера радиусом R вносится в
однородное электрическое поле Е0. Найти точки пространства, в ко¬
торых а) поле стало равно 2Е0; б) поле стало равно Е0/3.
1.28. На внутренней поверхности одной из пластин плоского заря¬
женного конденсатора имеется полусферический бугорок. Вдали от
бугорка электрическое поле в конденсаторе равно Е0. Используя
принцип суперпозиции полей, найти поле на верши¬
не и у основания бугорка. Будет ли происходить раз¬
ряд с бугорка радиусом 1 мкм, если Е0 = 1 кВ/см, а
пробивная напряженность в воздухе 30 кВ/см?
1.29. Найти величину и направление силы вза¬
имодействия между двумя незаряженными прово¬
дящими сферами радиусом а, помещенными в од¬
нородное электрическое поле Е0, направленное па- А
раллельно линии, соединяющей центры сфер. А А АЕ
Расстояние между центрами сфер г» a. Ill
1.30. Найти величину и направление силы вза- g
имодействия между двумя незаряженными прово¬
дящими сферами радиусом а, находящимися в однородном электри¬
ческом поле Е0, направленном перпендикулярно линии, соединяю¬
щей центры сфер. Расстояние между центрами сфер г»а.
§ 2. Потенциал. Метод электрических изображений
2.1. Две одинаковые и одинаково заряженные капли несжимае¬
мой проводящей жидкости находятся на большом (бесконечном)
расстоянии друг от друга. Заряд, радиус и масса каждой капли рав¬
ны соответственно q, г и т. Какую минимальную скорость v вдоль
прямой, соединяющей их центры, надо сообщить каждой капле,
чтобы они стали двигаться навстречу друг другу и при столкновении
соединились в одну каплю? Поверхностное натяжение и колебания
формы капли не учитывать.
2.2. Заряженный проводник находится внутри замкнутой метал¬
лической оболочки. 1) Изменится ли электрическое поле внутри
оболочки, если извне поднести к ней еще один заряженный провод¬
ник? 2) Будет ли изменяться поле внутри и вне оболочки, если пе¬
ремещать внутренний проводник?
2.3. Металлически шар радиусом Ry, несущий заряд Q, окружен
расположенным концентрически полым металлическим незаряжен¬
ным шаром с внутренним радиусом R2 и внешним /?3. Построить
графики зависимости напряженности поля Е от расстояния г до цен¬
тра шаров. Найти потенциалы шаров, если в бесконечности потен¬
циал равен нулю. Изменятся ли потенциалы шаров, если внешний
шар заземлить?
2.4. Три концентрические тонкие металлические сферы радиуса¬
ми Ry < R2 < R3, находящиеся в вакууме, заряжены соответственно
и

зарядами Qb Q2, Q$. В некоторой точке А между первой и второй
сферами измеряют потенциал. Найти изменение потенциала в этой
точке, если вторую и третью сферы замкнуть между собой.
2.5. Вычислить распределение потенциала в плоском конденса¬
торе толщиной d, если одна обкладка заземлена, другая находится
при потенциале <p0, а в пространстве между ними распределен заряд
с постоянной объемной плотностью р.
2.6! В пространстве между пластинами плоского конденсатора
имеется однородный поток электронов, который создает равномер¬
ный объемный заряд. Расстояние между пластинами равно d.
Потенциал одной из пластин равен ф0. При каком значении объем¬
ной плотности заряда р потенциал и напряженность поля у другой
пластины равны нулю?
2.7! Внутренняя обкладка цилиндрического конденсатора радиу¬
сом R2 имеет потенциал ф0- Внешняя обкладка радиусом Rl зазем¬
лена. Между обкладками конденсатора имеется заряд с постоянной
объемной плотностью р. Найти распределение потенциала 9 между
обкладками конденсатора.
2.8. Оценить разность потенциалов V между головной и хвосто¬
вой частями стального керна бронебойного снаряда, возникающую
вследствие его торможения в преграде. Принять, что керн длиной
L = 25 см потерял скорость, пробив броню толщиной Я = 5 см. Ско¬
рость снаряда в момент соприкосновения с броней и0 = 1000 м/с.
2.9. Для инжекции в термоядерную установку используется ци¬
линдрический пучок дейтронов с энергией W = 500 кэВ. Диаметр
пучка D = 1 см. Найти напряженность Е электрического поля на по¬
верхности пучка и разность потенциалов V между границей пучка и
его центром, если ток в пучке составляет //=1Аи равномерно рас¬
пределен по его сечению.
2.10. На расстоянии h от проводящей бесконечной плоскости на¬
ходится точечный заряд +q. Определить напряженность поля Е в точ¬
ке А (рис. 6), отстоящей от плоскости и от заряда на расстояние h.
2.11. Найти поверхностную плотность зарядов, индуцированных
зарядом q на поверхности бесконечной металлической плоскости.
Заряд находится на расстоянии R от плоскости.
2.12. Точечные заряды Q{ и Q2 находятся на расстоянии R друг
от друга. Определить величины и направления сил, которые будут
действовать на эти заряды после того, как посередине между ними
будет введена бесконечная металлическая пластина толщиной R/2.
2.13. На двух нитях АВ и А'в' на одинаковой высоте подвеше¬
ны шарики, связанные между собой нитью ВВ' длиной I (рис. 7).
На шарики нанесены одинаковые заряды Q. Под шариками на рас¬
стоянии h расположена горизонтальная заземленная металлическая
плита, размеры которой велики по сравнению с / и h. Считая, что
радиус шариков мал по сравнению с I и h, определить натяжения
горизонтальной и вертикальных нитей.
2.14. Найти силу, действующую на точечный заряд q, поме¬
щенный на биссектрисе прямого двугранного угла между двумя
12

проводящими плоскостями (рис. 8). Расстояние между зарядом q и
вершиной двугранного угла О равно d.
2.15. Найти силу притяжения точечного электрического диполя
с дипольным моментом р — 4- Ю-10 Кл-см к бесконечной металли¬
ческой пластине, ближайшая точка которой находится от диполя на
+ Q h
--оА
Л'
I
/////////////////////////{//
А А
Bt>
s'
7777777777777777777777777777
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
расстоянии Lq = 1 см. Ось диполя перпендикулярна к пластине.
Определить также работу, которую надо затратить, чтобы отодви¬
нуть диполь от поверхности пластины с расстояния L0 = 1 см до рас¬
стояния L = 2 см.
2.16. Две взаимно перпендикулярные проводящие плоскости об¬
разуют двугранный угол. На биссектрисе этого угла на расстоянии а
от вершины помещен электрический диполь с моментом р. Ось дипо¬
ля направлена к вершине угла. Найти силу, действующую на диполь.
2.17. Над горизонтальным листом металла вертикально располо¬
жен равномерно заряженный тонкий стержень длиной I = 1 см с
полным зарядом Q = 10-8 Кл. Нижняя точка стержня удалена от
листа на расстояние Н = 1 см. Найти плотность а индуцированного
заряда в точке, расположенной на поверхности листа непосредствен¬
но под стержнем.
2.18. На высоте Н= 1 см над плоскостью горизонтально лежа¬
щего металлического листа расположен равномерно заряженный
диск радиусом R = 1 см с полным зарядом Q = 10-9 Кл. Плоскость
диска параллельна плоскости листа. Найти плотность а индуциро¬
ванного заряда в точке, расположенной на поверхности листа непос¬
редственно под центром диска.
2.19. Два разноименных точечных заряда, отношение величин
которых равно п, расположены на расстоянии d друг от друга.
Доказать, что поверхность нулевого потенци¬
ала есть сферическая поверхность. Опреде¬
лить радиус R этой сферы и расстояние Н от
ее центра до меньшего заряда.
2.20. Определить силу притяжения меж¬
ду точечным зарядом q и металлическим ша¬
ром (рис. 9). Заряд находится на расстоянии
d от центра шара. Рассмотреть два случая:
1) шар заземлен; 2) шар изолирован, а полный заряд его равен нулю.
2.21. В условиях предыдущей задачи найти работу А, которую
надо затратить, чтобы точечный заряд q удалить в бесконечность.
d
Рис. 9
13

2.22. Внутри сферической незаряженной проводящей оболочки в
точке А, на расстоянии О А = d от ее центра, помещен точечный за¬
ряд q (рис. 10). Радиус внутренней поверхности оболочки г, а внеш¬
ней R. Найти: 1) поверхностную плотность индуцированных элект¬
рических зарядов на внешней поверхности обо¬
лочки; 2) потенциал оболочки, принимая за ноль
потенциал бесконечно удаленной точки; 3) по¬
верхностную плотность индуцированных зарядов
в точках В та С внутренней поверхности оболочки.
2.231 Металлический шар радиусом R имеет
заряд Q. Точечный заряд q помещен на расстоя¬
нии d от центра шара (рис. 11). Найти потенциал
шара ф.
2.241 На бесконечной плоской поверхности
проводника АВ имеется сферический бугор CMD,
центр О которого лежит в той же плоскости (рис. 12). На оси сим¬
метрии системы вне проводника расположен точечный заряд q. Най¬
ти электрическое поле во всем пространстве.
2.25. Полый шар радиусом R имеет заряд Q; в шаре имеется ма¬
лое отверстие. Как будет меняться потенциал шара, если точечный
заряд q перемещать из бесконечности через это отверстие внутрь
шара?
2.26. Точечный заряд q находится на расстоянии d от центра не¬
заряженного проводящего шара радиусом г. Какой заряд протечет
по проводнику, если заземлить шар?
2.27. В поле точечного заряда q внесли проводящую сферу ради¬
усом г (рис. 13). Во сколько раз изменилась при этом напряжен¬
ность поля в точках А та В, если расстояние между центром сферы
и зарядом 2?=10г? Рассмотреть два случая: 1) сфера заземлена;
2) сфера не заземлена.
2.28. На расстоянии 2R от центра заземленной металлической
сферы радиусом R расположен диполь с моментом р, причем ось
диполя лежит на прямой, проходящей через центр сферы. Считая
диполь точечным, определить, какой системе зарядов-изображений
эквивалентна сфера. Найти силу взаимодействия между диполем и
сферой.
2.29. Два одинаковых по абсолютной величине точечных заряда
q та —q расположены на расстоянии 2а друг от друга. Посередине меж¬
ду ними расположена незаряженная проводящая сфера радиусом R.
Полагая a^>R, определить, какой системе зарядов-изображений
14

эквивалентна сфера. Найти изменение силы, действующей на каж¬
дый заряд, обусловленное взаимодействием со сферой.
2.30. Точечный заряд q помещен на расстоянии RJ2 от центра
полой тонкостенной металлической изолированной сферы радиу¬
сом R. Заряд сферы равен Q. Определить силу, действующую на за¬
ряд д, а также поверхностную плотность зарядов на внутренней и
внешней поверхностях сферы в точках, ближайших к этому заряду.
2.31. Точечный заряд q помещен на расстоянии R/2 от центра
полой тонкостенной металлической сферы радиусом R, на которой
размещен заряд —2д. Определить поверхностную плотность зарядов
на внутренней и внешней поверхностях сферы в точках, наиболее
удаленных от этого заряда. Как изменится результат, если сферу
заземлить?
2.32* На расстоянии а = 10/? от незаряженной проводящей сфе¬
ры радиусом R расположен точечный электрический диполь с мо¬
ментом р, причем ось диполя перпен¬
дикулярна прямой, соединяющей
центр сферы с серединой оси диполя р
(рис. 14). Найти силу взаимодействия
F между диполем и сферой.
2.33. В центре проводящей сферы
радиусом R находится точечный
электрический диполь с моментом р (рис. 15). Определить напря¬
женность поля в точках А и В на внутренней поверхности сферы.
2.34. Внутри проводящей полой сферы радиусом R на расстоя¬
нии а = R/2 от центра помещен точечный диполь с дипольным
моментом р, ориентированным перпендикулярно радиусу (рис. 16).
Найти величину и направление силы, действующей на диполь.
2.35. Внутри проводящей полой сферы радиусом R на расстоя¬
нии а = R/2 от центра помещен точечный диполь с дипольным
моментом р, ориентированным по радиусу (рис. 17). Найти величи¬
ну и направление силы, действующей на диполь.
2.36. Как меняется с расстоянием d сила взаимодействия F меж¬
ду двумя маленькими металлическими шариками, из которых один
заряжен, а другой не заряжен?
2.37. Небольшой незаряженный металлический шарик может
свободно перемещаться вдоль оси тонкого однородно заряженного
кольца радиусом R. Найти равновесные положения шарика и рас¬
смотреть их устойчивость по отношению к осевым смещениям.
15

7777777777.
Q
2 R
o~R
Рис. 18
’7777777777:
2.38. Заземленный металлический шар радиусом R лежит на
тонком равномерно заряженном диэлектрическом диске того же ра¬
диуса. Найти заряд шара, если заряд диска равен Q.
2.39. Заземленная проводящая плоскость имеет выпуклость в
форме полусферы с радиусом R. Центр сферы лежит на плоскости
(рис. 18). На оси симметрии системы на расстоянии 2R от плоскости
находится точечный заряд q. Найти силу,
действующую на заряд.
2.40. Точечный заряд Q помещен на
расстоянии R от центра металлического
шара радиусом г > R/1. Шару сообщен за¬
ряд —Q. Найти силу взаимодействия
между шаром и точечным зарядом.
2.41! Точечный заряд q находится на
расстоянии d от центра заряженного про¬
водящего шара радиусом R. Каков заряд шара, если известно, что
сила взаимодействия между зарядами равна нулю?
2.42! Заземленный шар радиусом R находится вблизи точечного
заряда q. Расстояние между центром шара и зарядом равно d. Опре¬
делить максимальную и минимальную поверхностные плотности на¬
веденного на шаре заряда.
2.43. Потенциал металлического шара радиусом R медленно по¬
вышается. На тонкой непроводящей нити длиной L к шару подвешен
нейтральный металлический шарик радиусом г и массой т. При ка¬
ком потенциале шарик будет притянут шаром R? Считать, что
R 38> г и L » г. Вычислить ф, если R = L — 10 см, т = 10~3 г, г = 1 см.
2.44. Металлический шар радиусом R несет заряд Q. На рассто¬
янии L от его поверхности расположен незаряженный металличе¬
ский шарик массой т и радиусом г. Шарику сообщают начальную
скорость и о в направлении от центра шара. Найти минимальное зна¬
чение скорости, при которой шарик может удалиться на бесконеч¬
ность. Считать R^s>r, L»r. Вычислить v0, если Q = 10_6 Кл,
L = R = 100 м, г = 1 см, т = 10_3 г.
2.45. Длинная тонкая проволочка расположена параллельно оси
длинного металлического цилиндра радиусом г на расстоянии R > г
от его оси. Вдали от краев на единицу длины приходится заряд к на
проволочке и —к на цилиндре. Найти силу взаимодействия между
проводниками, приходящуюся на единицу длины.
2.46! Три одинаковых изолированных металлических шарика
расположены в вершинах равностороннего треугольника. Проволоч¬
кой, подключенной к удаленному заряженному проводнику, потен¬
циал которого неизвестен, но поддерживается постоянным, по очере¬
ди касаются каждого из шаров. Заряды на первых двух шарах ока¬
зались после этого равными qt и q2. Найти заряд <у3 на третьем шаре.
2.47! Параллельные длинные однородные пластины АВ и CD
(рис. 19) сделаны из материала, плохо проводящего электричество
(например, из дерева). Боковые края их В и D накоротко соединены
хорошим проводником (например, металлом), а между краями А и
16

С поддерживается постоянное напряжение V. Найти напряженность
электрического поля и форму электрических силовых линий между
пластинами, пренебрегая краевыми эффектами. Расстояние между
пластинами равно d, а ширина каждой из них АВ = CD = h.
2.48. Найти, какую максимальную разность потенциалов можно
поддерживать между проводами бесконечной двухпроводной линии,
если напряженность пробоя воздуха £тах = 30 кВ/см, диаметр про¬
водов d = 1см, а расстояние между проводами b = 5 м.
2.49. Между заземленными пластинами (посередине) плоского
конденсатора помещен заряд q (рис. 20). Определить плотность за¬
рядов, наведенных в точках А и А’. Краевыми эффектами пренебречь.
2.50Г На высоте Н над поверхностью бесконечной металлической
пластины находится точечный заряд. Одна из силовых линий этого
заряда оканчивается на поверхности пластины на расстоянии HV3
от точки, над которой находится заряд. Определить, под каким уг¬
лом к горизонту эта силовая линия выходит из заряда.
2.51. На длинном тонком заряженном проводе, расположенном
параллельно горизонтальной металлической плоскости на высоте Н
от нее, сидят два комара, умеющих летать только вдоль силовых
А
2 а
•Q
'll
А'
линий электрического поля. На каком расстоянии друг от друга они
приземлятся, если оба стартуют из одной точки горизонтально в на¬
правлениях, противоположных друг другу?
§ 3. Электрическое поле в веществе.
Энергия электрического поля.
Энергетический метод вычисления пондеромоторных сил
3.1. На сколько отличается от единицы диэлектрическая посто¬
янная е «идеального газа», состоящего из большого количества про¬
водящих шариков радиусом г. Плотность (концентрация) шариков
п мала, так что ггп« 1.
3.2. Для газообразного аргона при нормальных условиях
е — 1 = 6 -10“4. Пользуясь этим, вычислить смещение «центра масс»
электронной оболочки атома аргона относительно ядра в статиче¬
ском электрическом поле с напряженностью Е = 300 В/см. Атомный
17

номер аргона z = 18. (В отсутствие внешнего поля электроны рас¬
пределены вокруг ядра сферически симметрично.)
3.3. Плотность электронного облака в атоме водорода описыва¬
ется функцией р(г) = е—; ехр (— —), где а = 0,53 • 10-8 см — ра¬
диус первой воровской орбиты. Вычислить коэффициент поляризуе¬
мости р атома в слабом внешнем электрическом поле, пренебрегая
деформацией электронного облака.
3.4. Оценить коэффициент поляризуемости р атома водорода в
слабом внешнем поле, предполагая, что электронное облако сосре¬
доточено внутри сферы радиусом а, где а = 0,53-10-8 см (радиус
первой воровской орбиты) и имеет постоянную плотность. Деформа¬
цией электронного облака пренебречь.
3.5. Диэлектрик с жесткими диполями (дипольный момент мо¬
лекулы d0, момент инерции J) помещен в постоянное электри¬
ческое поле Ео, превосходящее по величине поле насыщения. Пер¬
пендикулярно к Е0 действует переменное поле Е, причем
£ = £asin Ш, Е«Е0. Определить резонансную частоту. Тепловым
движением пренебречь.
3.6. Идеальный газ, поляризуемость молекул которого
Р = КГ24 см3, находится в большом сосуде при температу¬
ре Т = 300 К. В сосуде имеется плоский конденсатор с напряженно¬
стью поля £=100 ед. СГСЭ. Используя распределение Больцмана,
найти относительную разность концентрации молекул Ап/п0 в кон¬
денсаторе и вне его. Силу тяжести не учитывать.
3.7. Имеется тонкий длинный диэлектрический цилиндр длиной
21 и радиусом г с «замороженной» поляризацией Р0 = const. Найти
напряженность электрического поля в точке А. Во сколько раз это
поле сильнее, чем в точке В (рис. 21а)?
3.8. Длинный цилиндр изготовлен из диэлектрика с «заморожен¬
ной» поляризацией, направленной по его оси. Поле в точке А
Рис. 21 Рис. 22
(рис. 21а) оказалось равным ЕА = 300 В/см. Найти (приближенно)
поле Ес вблизи торца короткого цилиндра (в точке С), сделанного из
того же материала, если h = 2- 10_2D, где D — диаметр цилиндра
(рис. 216).
18

3.9. Имеется бесконечная полоса диэлектрика толщиной I и ши¬
риной L (рис. 22). Материал пластины поляризован. Вектор поляри¬
зации Р постоянен и перпендикулярен меньшей грани. Считая
l«L, найти поле Е и индукцию D на средней линии ОО.
3.10. Диэлектрический образец с замороженной поляризацией
Р имеет форму полого цилиндра с разрезом. На рис. 23 показано
сечение этого цилиндра и направление вектора поляризации. Тол¬
щина стенки цилиндра h«R (R — радиус цилиндра), ширина раз¬
реза l<scR. Найти электрическое поле Е и индукцию D в точке А.
3.11. Поляризованный диэлектрик имеет форму бесконечного
желоба («полуцилиндр»), поперечный разрез которого показан на
рис. 24. Вектор поляризации Р постоянен по величине, лежит в пло¬
скости, перпендикулярной оси цилиндра, и всюду перпендикулярен
радиусу. Считая желоб тонким (a/R« 1), найти электрическое по¬
ле Е и индукцию D в точке А.
3.12. В тонком круглом диске радиусом R из диэлектрика созда¬
на однородная «замороженная» поляризация, так что вектор поля¬
ризации Р параллелен поверхности диска (рис. 25). Определить на¬
пряженность электрического поля в центре О круглого отверстия
радиусом г, вырезанного в таком диске. Толщина диска h«r.
3.13. Пластинка пьезодиэлектрика вследствие неоднородной де¬
формации поляризована так, что поляризация в ее середине равна
Р0 и спадает к краям по закону Р = Р0( 1 — x2/d2), где х отсчитыва¬
ется от середины пластины, a d — ее полутолщина (рис. 26). Век¬
тор поляризации направлен вдоль оси х. Определить напряженность
электрического поля внутри и вне пластин¬
ки, а также разность потенциалов между ее
боковыми поверхностями. Краевыми эффек¬
тами пренебречь.
3.14. В тонкой длинной рейке из ди¬
электрика создана однородная «заморожен¬
ная» поляризация, так что вектор поляриза¬
ции Р параллелен поверхности рейки
(рис. 27). Какова напряженность электрического поля в центре
круглого отверстия радиусом R, вырезанного в такой рейке? Шири¬
на рейки равна 21, ее толщина h^R.
19

3.15. В диэлектрической среде с диэлектрической проницаемо¬
стью е имеется однородное поле напряженностью Е. Внутри среды на¬
ходится сферическая полость. Найти в центре сферы напряженность
Е’ поля, созданного поляризационными зарядами,
индуцированными на поверхности сферы, считая,
что вектор поляризации Р всюду (за исключением
полости) имеет постоянное значение.
Указание. Поверхностная плотность поля¬
ризационных зарядов а на границе диэлектрика
равна величине поляризации Р, умноженной на
cos 0, где 0 — угол между нормалью п к поверх¬
ности и вектором Р (рис. 28). Найти напряжен¬
ность поля в центре сферы, создаваемую поляри¬
зационным зарядом на элементе поверхности сфе¬
ры, и проинтегрировать ее затем по всей сфере.
3.16. Используя результат задачи 3.15, получить формулу
Лоренц—Лорентца для плотного диэлектрика ^ я(1, где (1 —
поляризуемость изолированной молекулы во внешнем поле, ап —
концентрация молекул.
3.17. Пространство между обкладками плоского конденсатора
заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е = 4.
Разность потенциалов между обкладками V = 300 В, расстояние
между ними d = 1 см. В диэлектрике имеются два воздушных пу¬
зырька радиусом г — 1 мм, расстояние между ними I = 1 см, и они
расположены в плоскости, параллельной обкладкам. Оценить вели¬
чину и направление силы электростатического взаимодействия меж¬
ду пузырьками, полагая, что наличие пузырьков не изменяет одно¬
родной поляризации диэлектрика и равномерного распределения за¬
ряда на обкладках.
3.18. Пространство между обкладками плоского конденсатора
заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е = 4.
Разность потенциалов между обкладками V — 1200 В,
расстояние между ними d = 4 см. В диэлектрике имеют¬
ся два воздушных пузырька радиусом г = 1 мм, расстоя¬
ние между ними 1=1 см, и они расположены вдоль пря¬
мой, перпендикулярной обкладкам. Оценить величину и
направление силы электростатического взаимодействия
между пузырьками, полагая, что наличие пузырьков не
изменяет однородной поляризации диэлектрика и рав¬
номерного распределения заряда на обкладках.
3.19. Внутрь плоского конденсатора (рис. 29), об¬
кладки которого соединены между собой, помещена ди¬
электрическая пластинка толщиной h с «заморожен¬
ной» однородной поляризацией (Р = const). Вектор по¬
ляризации Р перпендикулярен боковым граням пластины. Опреде¬
лить напряженность поля и электрическую индукцию внутри и
вне пластины. Расстояние между обкладками конденсатора равно d.
d
Рис. 29
20

3.20. В пространство, первоначально занятое однородным элект¬
рическим полем Е0, вносят длинный диэлектрический цилиндр так,
что его ось перпендикулярна начальному полю Е0. При каких усло¬
виях диэлектрик поляризуется однородно? Найти напряженность
поля Е внутри цилиндра и вектор поляризации Р диэлектрика. Про¬
ницаемость диэлектрика е.
3.21. Заряженный шарик помещен в газ, молекулы которого
представляют собой упругие диполи с молекулярной поляризуемо¬
стью р0. Средняя концентрация частиц газа п0, температура Т, за¬
ряд шарика Q. Найти поле Е(г) вне шарика. Считать, что возму¬
щение концентрации полем Ьп«п0.
3.22. В центре диэлектрического шара радиусом R с проницаемо¬
стью Et помещен точечный заряд q. Шар окружен безграничным ди¬
электриком с проницаемостью е2. Определить поверхностную плот¬
ность поляризационных зарядов на границе раздела диэлектриков.
3.23. У плоской поверхности однородного изотропного диэлект¬
рика с проницаемостью е напряженность электрического поля в ваку¬
уме равна Е0, причем вектор Ео составляет угол 0 с нормалью к по¬
верхности диэлектрика (рис. 30). Считая поле внутри и вне диэлект¬
рика однородным, найти: 1) поток ФЕ вектора Е через сферу
радиусом R с центром на поверх¬
ности диэлектрика; 2) циркуля¬
цию вектора D по прямоугольному
контуру Г со сторонами длиной /,
и 12, плоскость которого перпенди¬
кулярна к поверхности диэлект¬
рика и параллельна вектору Е0.'
3.24. Металлический шар ра¬
диусом 5 см окружен шаровым
слоем диэлектрика (е = 7) толщи¬
ной 1 см и помещен концентрично в металлической сфере с внут¬
ренним радиусом 7 см. Чему равна емкость С такого конденсатора?
3.25. В плоский конденсатор введена пластина из оптического
стекла (е = 9) так, что остался воздушный зазор d\ — 1 мм. Рассто¬
яние между обкладками конденсатора d= 1 см. К конденсатору
приложена разность потенциалов V = 100 В. Какой будет разность
потенциалов U, если после отключения конденсатора от источника
напряжения убрать стеклянную пластинку?
3.26. Пространство между пластинами плоского конденсатора
заполнено диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого
линейно меняется от значения ej у одной пластины до значения
е2 < Ei У другой. Расстояние между пластинами d, площадь каждой
из них равна S. Найти емкость С конденсатора.
3.27. В плоский конденсатор, на пластинах которого распреде¬
лен заряд с поверхностной плотностью а, вставляется диэлектрик,
1 Задача заимствована из сборника И. Е. Иродова «Задачи по общей физике».
21

заряженный положительным пространственным зарядом так, что
объемная плотность заряда изменяется от 0 у одной пластины (по¬
ложительной) до р0 у другой по закону р(х) = ах/d2, где d — рас¬
стояние между пластинами. Найти распределе¬
ние поля Е в конденсаторе, если диэлект¬
рическая проницаемость диэлектрика е.
3.28. Найти напряженность электрического
поля между обкладками сферического конденса¬
тора, пространство между которыми заполнено
однородными диэлектриками с диэлект¬
рическими проницаемостями ej и е2 (рис. 31).
Диэлектрики граничат между собой вдоль по¬
верхности конуса с вершиной в центре О. Те¬
лесный угол конуса, заполненного первым ди¬
электриком, равен Qb а заполненного вторым
диэлектриком — Q2, так что + £22 = 4л. За¬
ряд на внутренней обкладке равен Q. Найти
также емкость конденсатора, если радиусы сфе¬
рических обкладок равны Rx и R2 (Rx < R2).
3.29. Найти напряженность электрического
поля между обкладками длинного цилиндриче¬
ского конденсатора, пространство между кото¬
рыми заполнено однородными диэлектриками с
диэлектрическими проницаемостями £: и е2
Рис. 31
Рис. 33
(рис. 32). Диэлектрики граничат между собой
вдоль плоскостей, пересекающихся на оси ци¬
линдра О. Двугранные углы, образуемые ими
в диэлектриках, равны соответственно ф! и ф2
(ф! + ф2 = 2л). Длина конденсатора равна /, а
заряд на внутренней обкладке Q. Найти также
емкость С конденсатора, если радиусы цилиндрических обкладок
равны Rx и R2 (/?! < R2).
3.30. Прокладка из сегнетоэлектрика (е = 200) имеет толщину,
равную зазору между пластинками плоского конденсатора (рис. 33).
Площадь пластин плоского конденсатора Si = 1 м2. Какова должна
быть площадь S2 основания прокладки для
того, чтобы в объеме, занимаемом проклад¬
кой, индукция сделалась в 40 раз больше,
чем до ее введения? Конденсатор изолиро¬
ван.
3.31. В подключенный к батарее пло¬
ский конденсатор вставляются две пластины
из сегнетоэлектрика (е=100) таким обра¬
зом, что между ними остается небольшой
зазор (рис. 34). При какой величине зазора
h поле в нем будет в 50 раз больше, чем в отсутствие диэлектрика?
Расстояние между обкладками конденсатора d — 2 см.
j- d
к
Рис. 34
22

3.32. В пространстве между обкладками цилиндрического кон¬
денсатора, заряженного до величины ± q на единицу длины, поме¬
щен нелинейный пространственно неоднородный диэлектрик. Его
поляризуемость а=(3|Е|/\ Радиусы обкладок соответственно *i,
R2. Найти «нелинейную емкость» конденсатора (на единицу дли¬
ны), т. е. отношение заряда к разности потенциалов при заданном
значении q.
3.33. В пространстве между обкладками сферического конденса¬
тора (радиусы Ry и R2) с зарядами ± q, находится нелинейный про¬
странственно неоднородный диэлектрик. Его поляризуемость
а = Р | Е | г2. Найти «нелинейную емкость» конденсатора, т. е. отно¬
шение заряда к разности потенциалов при заданном значении q.
3.34. Сферический конденсатор заполнен диэлектриком, прони¬
цаемость которого изменяется по закону е = zyR^/r1, где Ry — ради¬
ус внутренней сферы, г — переменный радиус. Найти объемное рас¬
пределение связанных зарядов в диэлектрике, если к обкладкам
приложена разность потенциалов V0. Радиус внешней сферы
*2=1,25*!.
3.35. Длинный цилиндрический конденсатор заполнен диэлект¬
риком, проницаемость которого изменяется по закону е = zyRy/r, где
Ry — радиус внутреннего цилиндра, г — переменный радиус. Пре¬
небрегая краевыми эффектами, найти объемное распределение свя¬
занных зарядов в диэлектрике, если к обкладкам приложена раз¬
ность потенциалов V0. Радиус внешнего цилиндра R2 = 1,25*!.
3.36. Диэлектрический диск радиусом * = 10 см и высотой
Н= 10 см с диэлектрической проницаемостью е = 5 равномерно
вращается вокруг своей оси, делая п = 100 об/с. Определить объем¬
ную плотность заряда р внутри цилиндра, возникающую из-за вра¬
щения, а также полный заряд q на поверхности цилиндра. Масса
электрона т — 9,1 ■ 10-28 г.
3.37. Проводящий шар помещен в однородную изотропную ди¬
электрическую среду с проницаемостью е. Вне шара на расстоянии
R от его центра находится точечный заряд q. Определить потенциал
шара относительно бесконечности.
3.38. Пустотелый металлический шар, заряд которого q, а ради¬
ус г, плавает в жидкости с диэлектрической проницаемостью ё! так,
что его центр находится на уровне поверхности жидкости. Найти
плотность свободных зарядов на поверхности шара. Диэлект¬
рическая проницаемость воздуха ё.
3.39. Оценить силу взаимодействия между нейтральным ди¬
электрическим шариком радиусом г0 и точечным зарядом q, считая
расстояние R между ними большим, а диэлектрическую проницае¬
мость шара ё, такой что е — 1 1.
3.40. Диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ё заполня¬
ет полупространство. На расстоянии L от плоской границы диэлект¬
рика находится точечный заряд q. Найти силу, действующую на за¬
ряд, и распределение заряда а по поверхности диэлектрика.
23

3.41. Определить, как будет меняться с расстоянием сила взаи¬
модействия между двумя шариками, один из которых заряжен и
состоит из диэлектрика, а другой металлический и не заряжен.
Расстояние между шариками велико по сравнению с их размерами.
3.42. Вычислить электростатическую энергию заряда на шаре
радиусом R в вакууме, если заряд шара д равномерно распределен
по его поверхности.
3.43. Вычислить электростатическую энергию для шара, заряд
которого равномерно распределен по его объему.
3.44. Считая, что масса электрона определяется из соотношения
W = тс2, где W — электростатическая энергия заряда электрона,
найти значение радиуса электрона при следующих предположениях:
1) заряд электрона распределен по всему его объему с постоянной
плотностью; 2) весь заряд электрона распределен по его поверхности.
3.45. Определить толщину Н равномерно заряженного плоского
слоя, если объемная плотность заряда р = 0,5 ед. СГСЭ, а при пере¬
мещении заряда <?=1 ед. СГСЭ от поверхности слоя наружу на рас¬
стояние d = 5 см совершается работа А = 20 эрг.
3.46. В результате импульсного разряда конденсатора через раз¬
реженный водород происходит нагревание газа до температуры Т.
Предполагая, что вся энергия разряда пошла на нагревание газа, оце¬
нить величину Т. Напряжение на конденсаторе U = 30 кВ, емкость
С = 18 мкФ. До разряда газ занимал объем F0= 10 л при давлении
Р0 = 10“2 мм рт. ст. и температуре Т0 = 300 К.
3.47. В центры двух удаленных друг от друга металлических
сфер с внешними радиусами = R, R2 = 3R и толщиной стенки
Д = R/3 помещены заряды д{ = д, д2 — 2д. Найти работу, необходи¬
мую для того, чтобы поменять эти заряды местами.
3.48. В центры двух удаленных друг от друга диэлектрических
шаров с радиусами R^ = R, R2 = 127? и проницаемостью е помещены
заряды <7j = д, д2 = 2д. Найти работу, необходимую для того, чтобы
поменять эти заряды местами.
3.49. Диск радиусом R и толщиной I {l«R) из равномерно за¬
ряженного диэлектрика с объемной плотностью заряда р лежит на
большой металлической заземленной пластине. Вычислить энергию
W электростатического поля диска. Диэлектрическую проницае¬
мость диэлектрика положить равной е = 1. Краевыми эффектами
пренебречь.
3.50. По сфере радиусом R равномерно распределен заряд Q.
Определить давление изнутри на поверхности сферы, обусловленное
взаимодействием зарядов.
3.51! Проводящая сфера радиусом R составлена из двух полу¬
сфер. Определить силу F, с которой отталкиваются эти полусферы,
если полный заряд сферы равен Q.
3.52. Как изменится ответ в предыдущей задаче, если в центре
сферы поместить дополнительно точечный заряд д? Сферу считать
полой и бесконечно тонкой.
24

1
3.53. Незаряженный проводящий шар радиусом R = 4 см,
разрезанный пополам, находится во внешнем однородном поле
Е0 = 300 В/см, перпендикулярном к плоскости разреза. Определить
силу, с которой оба полушария отталкиваются друг от друга.
3.54. Длинный проводящий цилиндр радиусом R составлен из
двух половин. Определить силу отталкивания F, действующую на
единицу длины каждого полуцилиндра, если на единицу длины ци¬
линдра приходится заряд к.
3.55. Конденсатор, заполненный жидким диэлектриком с ди¬
электрической постоянной е, зарядили, затратив на это энергию
Wi- Затем конденсатор отсоединили от источника, слили из него ди¬
электрик и разрядили. Какая энергия W2 выделилась при разрядке?
Объяснить результат.
3.56. Три проводящих шара с радиусами Ri = 10 см, R2 = 20 см
и R3 = 30 см и соответственно потенциалами ^ = 450 В, <р2 = 300 В
и ф3 = 150 В в вакууме разведены далеко друг от
друга. Какое количество тепла Q выделится после
того, как их соединили тонкими проволочками?
Емкостью проволочек пренебречь.
3.57. Плоский конденсатор, пластины которого
имеют площадь S и расположены на расстоянии d,
заполнен твердым диэлектриком с диэлектрической
проницаемостью е (рис. 35). Конденсатор подсоеди¬
нен к батарее постоянного тока, ЭДС которой равна
W. Одну из пластин конденсатора отодвигают так,
что образуется воздушный зазор. На какое расстоя¬
ние х отодвинута пластина, если при этом произведена работа А?
3.58. Плоский конденсатор емкостью С последовательно с неко¬
торым резистором подключен к батарее с ЭДС Пластины конден¬
сатора быстро сближают, так что расстояние между ними уменьша¬
ется в 2 раза. Предполагая, что за время перемещения пластин за¬
ряд конденсатора практически не изменился, найти джоулево тепло,
которое выделится на резисторе к моменту окончания перезарядки.
Оценить порядок величины сопротивления,
при котором условия задачи могут быть
практически выполнены, считая время сбли¬
жения At « 10~2 с, С я» 1(Г10 Ф.
3.59. Диэлектрическая пластина толщи¬
ной /2 и диэлектрической проницаемостью е
введена между обкладками плоского воздуш¬
ного конденсатора (рис. 36). Между поверх¬
ностями пластины и обкладками конденса¬
тора остались воздушные зазоры, суммарная толщина которых рав¬
на ?!. Определить силу притяжения F между обкладками, если раз¬
ность потенциалов между ними равна V, а площадь пластин S. Как
изменится выражение для F в предельном случае Д—> 0?
3.60. Цилиндрический конденсатор состоит из двух тонкостен¬
ных коаксиальных металлических цилиндров, пространство между
Рис. 35
25

которыми заполнено жидким диэлектриком с диэлектрической про¬
ницаемостью г = 2. На конденсатор подано напряжение, величина
которого медленно увеличивается. Определить, что наступит рань¬
ше: механическое разрушение внутренней обкладки или пробой ди¬
электрика. Пробой диэлектрика наступает при напряженности поля
Епр = 30 кВ/мм, разрывное усилие стенок цилиндров акр = 500 Н/м.
Радиус внутренней обкладки R = 3 см.
3.61. Плоский воздушный конденсатор заряжен до разности по¬
тенциалов V и отсоединен от источника ЭДС. Площадь пластин S,
расстояние между ними d. Пластины конденсатора расположены
вертикально. Снизу подводят сосуд с жидким диэлектриком, имею¬
щим диэлектрическую проницаемость е, так что диэлектрик заполня¬
ет половину конденсатора. 1) Чему равна емкость конденсатора С?
2) Чему равна напряженность поля Е в воздушной части промежутка
между пластинами и в части, заполненной диэлектриком? 3) Как рас¬
пределена поверхностная плотность а электричества в пластине?
4) Определить уменьшение энергии конденсатора Д W. На что она
была израсходована? Считать, что граница жидкость—воздух плоская
и все параметры конденсатора изменяются скачком.
3.62* Внутри плоского конденсатора с площадью пластин 200 см2
и расстоянием между ними 0,1 см находится пластина из стекла
(е = 5), целиком заполняющая пространство между пластинами
конденсатора. Как изменится энергия конденсатора, если удалить
стеклянную пластину? Решить задачу при двух условиях: 1) кон¬
денсатор все время присоединен к батарее с ЭДС, равной 300 В;
2) конденсатор был первоначально присоединен к той же батарее, а
затем отключен, и только после этого пластина была удалена. Най¬
ти механическую работу, которая затрачивается на удаление пла¬
стины в том и другом случае.
3.63. Плоский конденсатор с квадратными пластинами (расстоя¬
ние между пластинами d, площадь пластин S) заряжен до разности
потенциалов V и отсоединен от источника напряжения. После этого
в конденсатор вдвинута до половины широкая пластина диэлек¬
трика с диэлектрической проницаемостью е. Толщина пластины
равна d. Найти силу, с которой пластина втягивается в конденсатор.
3.64. Капиллярный вольтметр состоит из капиллярной стеклян¬
ной трубочки с металлизированной полупрозрачной внутренней по¬
верхностью, служащей одной из обкладок цилиндрического конден¬
сатора. Второй обкладкой является тонкая металлическая проволо¬
ка, коаксиальная с внутренней цилиндрической поверхностью
трубочки. Определить поднятие мениска воды h в вольтметре при
наложении на обкладки напряжения V = 100 В, если внутренний
диаметр капилляра Dx = 0,5 мм, диаметр проволоки D2 = 0,05 мм,
плотность воды р = 1 г/см3.
3.65. Между пластинами плоского воздушного конденсатора вве¬
дена диэлектрическая пластина толщиной /2 с диэлектрической про¬
ницаемостью е2 (рис. 37). Конденсатор частично погружен в жид¬
кость с диэлектрической проницаемостью ej и плотностью р. Найти
26

высоту поднятия жидкости в конденсаторе h, пренебрегая капил¬
лярными явлениями, если между его обкладками поддерживается
разность потенциалов V. Суммарная толщина столбов жидкости в
конденсаторе равна /j.
3.66. Оценить, на сколько изменится емкость плоского конден¬
сатора, пластины которого находятся на расстоянии d = 1 см друг от
друга, если в него внести проводящий шарик радиусом г = 0,2 мм
и расположить его в центре на одинаковых расстояниях от пластин.
3.67. Конденсатор переменной емкости состоит из двух непод¬
вижных металлических пластин, расположенных на расстоянии d
друг от друга, и подвижной диэлектрической пластины, которая мо¬
жет поворачиваться и входить в зазор между металлическими пла¬
стинами (рис. 38). Все пластины имеют форму полукруга радиусом
R, причем зазоры между диэлектрической пластиной и пластинами
конденсатора пренебрежимо малы по сравнению с d. Пренебрегая
краевыми эффектами, найти момент М сил, действующих на ди¬
электрическую пластину, когда она выведена из положения равно¬
весия. Конденсатор заряжен до разности потенциалов V, диэлект¬
рическая проницаемость подвижной пластины равна е.
3.68. В предыдущей задаче величина момента сил М не зависит
от угла поворота 0 диэлектрической пластины. Но в положении
равновесия, когда 0 = 0, момент сил должен обращаться в ноль.
Объяснить это расхождение.
3.69. Плоский конденсатор состоит из двух одинаковых квадрат¬
ных пластин, расположенных в вакууме вертикально на расстоянии
d = 1 мм друг от друга. Одна из пластин закреплена, а другая мо¬
жет двигаться без трения по гладким вертикальным направляющим.
При какой разности потенциалов V между пластинами подвижная
пластина не упадет вниз? Масса подвижной пластины М = 1 г, сто¬
рона квадрата I = 10 см.
3.70. Две половины сферического конденсатора заполнены ди¬
электриками с проницаемостями и е2 (рис. 39). Определить силу,
действующую на внутреннюю сферу. Заряд конденсатора Q, радиус
внутренней сферы R.
3.71. Оценить силу, действующую на атом, находящийся на рас¬
стоянии I = 200 А от поверхности острия металлической иглы с
радиусом закругления R = 100 А. Потенциал на игле V — 10 кВ.
Поляризуемость атома а — величина порядка его объема.
Рис. 37
Рис. 38
Рис. 39
27

§ 4. Постоянный ток. Токи в неограниченной среде
4.1. В схему включены два одинаковых гальванических элемен¬
та с ЭДС 1,5 В и внутренним сопротивлением 2 Ом так, как пока¬
зано на рис. 40. Какой ток проходит через элементы? Что покажет
вольтметр? Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.
4.2. По ошибке в цепь были включены параллельно два гальва¬
нических элемента с разными ЭДС 1,9Ви^2 = 1,1 Вис внут¬
ренними сопротивлениями г{ =0,1 Ом и г2 = 0,8 Ом. Элементы
замкнуты на внешнее сопротивление R = 10 Ом (рис. 41). Чему
равны токи S\ и Зг через элементы, как они направлены и как ве¬
лико напряжение V на сопротивлении R внешней цепи?
4.3. Три гальванических элемента с ЭДС %и %'2, <f3 и внутренними
сопротивлениями /д, г2, г3 соединены по схеме, указанной на рис. 42.
Сопротивления соединяющих проводов пренебрежимо малы. 1) Какое
напряжение V будет показывать вольтметр, включенный так, как
показано на рисунке? 2) Чему будет равно показание вольтметра,
если величины ^ и rt связаны соотношением = ’S2 lr2 = $f3/r3?
4.4. Сопротивления R^ и R2 (рис. 43) подобраны так, что ток че¬
рез гальванометр G не идет. Считая известными ЭДС и %2, най¬
ти ЭДС <f. Внутренними сопротивлениями батарей по сравнению с
и R2 пренебречь.
4.5. Найти ток, проходящий через резистор сопротивлением R0
в схеме, изображенной на рис. 44, считая все параметры заданными.
28

4.6. В схеме, изображенной на рис. 45, заданы сопротивления
i?i и R2. Определить сопротивление R, при котором рассеиваемая на
нем мощность максимальна. Каково условие того, что ток, проходя¬
щий через сопротивление R, равен нулю?
4.7. Электрическая цепь составлена из двух батарей с ЭДС ifj и
<S2 и четырех одинаковых резисторов сопротивлением R каждый
(рис. 46). Какая мощность рассеивается на этих резисторах?
4.8. Сопротивления i?b R2, R3 подобраны так, что ток через галь¬
ванометр G (рис. 47) равен нулю. Электродвижущие силы 5^ и W3
известны. Считая известными сопротивления i?b R2, R3 и пренебрегая
внутренними сопротивлениями батарей, найти электродвижущую си¬
лу (€2 и ток 3, текущий через батарею
4.9. Сопротивления R\ и R2 подобраны так, что ток через гальва¬
нометр G (рис. 48) равен нулю. Считая известными ЭДС и ^2,
найти электродвижущую силу Внутренними сопротивлениями
батарей пренебречь по сравнению с Ry и R2.
4.10. Существует принцип, согласно кото¬
рому токи и напряжения в цепи,, состоящей из
линейных (подчиняющихся закону Ома) эле¬
ментов, распределяются таким образом, что
диссипируемая в тепло мощность минимальна.
Найти с помощью этого принципа напряжения
на каждом из трех последовательно соединен¬
ных сопротивлений 7?ь R2, R3, если суммарное
падение напряжения на них равно V.
4.11. Существует принцип, согласно кото¬
рому токи и напряжения в цепи, состоящей из
линейных (подчиняющихся закону Ома) эле¬
ментов, распределяются таким образом, что
диссипируемая в тепло мощность минимальна.
Найти с помощью этого принципа токи в каждом из параллельно со¬
единенных сопротивлений Ry, R2, R3, если суммарный ток, протека¬
ющий по ним, равен 3.
4.12. В разрыв подвижного проводящего диаметра CD (рис. 49)
включена неоновая лампочка. При каких положениях CD лампочка
29

вспыхивает и гаснет? Потенциал зажигания неоновой лампочки
Vзаж, потенциал гашения Кгаш < Кзаж. Окружность ABCD сделана из
однородной проволоки постоянного поперечного сечения. Сопротив¬
ление этой окружности мало по сравнению с сопротивлением неоно¬
вой лампочки (когда она горит). Между точками А и В поддержи¬
вается постоянное напряжение V. Чему равно минимальное значе¬
ние напряжения Fmin, при котором лампочка еще может вспыхнуть?
4.13. Для измерения напряженности электрического поля у по¬
верхности Земли используют две проводящие пластины, располо¬
женные горизонтально с небольшим зазором между ними (рис. 50).
R
7/УУ//УУ/УУ77У7У7УУУУУУ/УУУ)
Рис. 50
V.
Верхняя пластина заземлена и вращается вокруг вертикальной оси,
проходящей через край пластины, делая п = 1200 об/мин и пе¬
риодически закрывая нижнюю пластину. При этом перезарядка
нижней пластины вызывает падение напряжения на сопротивлении
R — 107 Ом, соединяющем нижнюю пластину с Землей. Найти его
среднее по модулю значение F, если напряженность электрического
поля у поверхности Земли Е = 1,5 В/см. Считать, что нижняя пла¬
стина успевает полностью перезарядиться за один цикл вращения.
Площадь пластины S = 600 см2.
4.14! В плоский конденсатор заданных размеров вдвигается с по¬
стоянной скоростью v пластина диэлектрика (рис. 51). Определить
г Л!
е
Рис. 52
Рис. 53
ток в цепи батареи, подключенной к конденсатору. Считать извест¬
ными: ЭДС батареи <f, диэлектрическую проницаемость е, высоту
пластины Л и ее ширину Ь (на рисунке не изображена).
4.15! Две плоские прямоугольные пластины образуют конденса¬
тор. Между пластинами без трения может двигаться пластина твер¬
дого диэлектрика (рис. 52). Найти мощность, развиваемую батарей,
30

включенной в цепь конденсатора. Как распределяется эта мощность
между электрической и механической энергиями при втягивании
диэлектрика? Считать известными ЭДС батареи , диэлект¬
рическую проницаемость е, высоту пластины h и ее ширину b (на
рисунке не изображена).
4.16Г К большому металлическому листу толщиной а приварены
на расстоянии b друг от друга два цилиндрических проводника ра¬
диусом г0 (рис. 53). Найти сопротивление R между проводниками,
если а«г0«Ь. Считать, что удельная проводимость X] проводни¬
ков значительно больше удельной проводимости X материала листа.
4.17. На поверхности двух одинаковых диэлектрических кону¬
сов, соприкасающихся основаниями,
нанесен тонкий проводящий слой
толщиной 6 с удельной проводимо¬
стью X. К вершинам конусов припая¬
ны цилиндрические электроды диа¬
метром d. Определить сопротивление
R между вершинами, если b«d.
Размеры конусов указаны на рис. 54.
4.18. К центрам противополож¬
ных торцов тонкостенной цилиндри¬
ческой банки диаметром D и высотой I припаяны провода диамет¬
ром d (рис. 55). Определить сопротивление R банки, если она сде¬
лана из фольги толщиной b«.d с удельной проводимостью X.
4.19. Фигура, изображенная на рис. 56, сделана из проволоки
постоянного сечения. Число вписанных друг в друга правильных
треугольников очень велико. Сторона самого большого треуголь¬
ника а; = 1 м. Сопротивление одного метра проволоки равно 1 Ом.
Найти сопротивление между клеммами А и В.
4.20. К диаметрально противоположным точкам А и В слабо
проводящей однородной полой сферы подведены цилиндрические
провода, между концами А и В которых поддерживается постоянная
разность потенциалов ф, — ф2. Найти распределение потенциала ф
как функции угла 0 (рис. 57). Угол, под которым из центра сферы
О виден диаметр основания каждого из проводов, равен 20о.
4.21. В генераторе Ван-де-Граафа, схематически изображенном
на рис. 58, заряды переносятся диэлектрической лентой и заряжа¬
ют высоковольтный сферический электрод. Поверхностные заряды
31

передаются ленте от источника вблизи нижнего шкива. Найти макси¬
мальный потенциал и максимальный ток, которые можно получить от
такого генератора, если радиус высоковольтного электрода R = 1,5 м,
скорость движения ленты v = 20 м/с, а шири¬
на ленты I = 100 см. Лента и высоковольтный
электрод находятся в атмосфере газа, в кото¬
ром пробой возникает при напряженности
электрического поля Епр = 30 кВ/см.
4.22. Атомный электрический элемент
представляет собой две концентрические про¬
водящие сферы. Внутренняя сфера сделана
из радиоактивного материала, испускающего
быстрые электроны. В пространстве между
сферами скорость электронов и, следовательно,
их ионизирующее действие можно считать по¬
стоянными. Пролетев воздушный зазор, элект¬
роны поглощаются на внешней сфере. В от¬
ключенной батарее устанавливается равнове¬
сие между потоком заряда, переносимым быст¬
рыми электронами, и током проводимости в ионизированном воздухе.
Найти напряженность электрического поля Е в пространстве меж¬
ду сферами, если ЭДС элемента равна , радиусы сфер равны г, и г2.
4.23. Пространство между пластинами слоистого плоского кон¬
денсатора заполнено многослойным диэлектриком, обладающим
слабой электропроводностью. Диэлектрическая проницаемость и
удельная проводимость изменяются от £j = 4, Ху = Ю-9 Ом-1 -см-1
на одной поверхности диэлектрика до е2 = 3, Х2 = 10~12 Ом-1 • см~‘
на другой его поверхности. Конденсатор включен в цепь батареи по¬
стоянной ЭДС. Определить величину и знак суммарного свободного
заряда д, который возникает в диэлектрике, когда в цепи установит¬
ся постоянный электрический ток 3 = 10-7 А, текущий через ди¬
электрик от стороны 1 к стороне 2.
4.24. На цилиндрический конденсатор с радиусами обкладок Ri
и R2 подано напряжение V0. Конденсатор заполнен слабопрово-
дящей средой (е=1, Х — к/г2, где к — некоторая постоянная).
Найти распределение заряда и поля внутри конденсатора. Какова
будет емкость такого конденсатора (на единицу длины)?
4.25. Пространство между пластинами плоского конденсатора
заполнено двумя однородными слабо проводящими слоями ди¬
электрика с толщинами dy и d2. Диэлектрическая проницаемость и
удельная проводимость первого диэлектрика равны соответственно
Ej и I,, а второго — е2 и Х2. Найти плотность поверхностных сво¬
бодных зарядов а на границе между диэлектриками, которая уста¬
новится при наложении на конденсатор постоянного напряжения V.
4.26. Определить проводимость А изоляции в сферическом кон¬
денсаторе, заполненном слабопроводящим диэлектриком. Удельная
проводимость диэлектрика равна X, диэлектрическая проницаемость е.
32

4.27. Пространство между двумя концентрическими сферами за¬
полнено диэлектриком, проводимость которого зависит только от
расстояния до сфер. Найти закон изменения удельной проводимости
Х(г), если объемная плотность джоулевых потерь при прохождении
тока одинакова во всех точках.
4.28. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами
заполнено диэлектриком, обладающим некоторой проводимостью.
Найти закон изменения удельной проводимости Х(г), если при на¬
личии некоторой разности потенциалов поле между цилиндрами
везде одинаково.
4.29. По цилиндрическому стержню течет ток плотности j.
Удельная проводимость Я на участке АВ длиной I изменяется по ли¬
нейному закону от Я! до Я2. Найти объемную плотность зарядов
проводимости р на участке АВ.
4.30. Имеется п идеально проводящих тел в вакууме. Известно,
что при зарядах ц2, <Уз, qn их потенциалы равны фь ф2,
Фз, ..., ф„. Какое количество тепла Q будет выделяться ежесекунд¬
но, когда пространство между рассматриваемыми телами будет за¬
полнено однородной проводящей жидкостью с электропроводностью
Я и диэлектрической проницаемостью е, если потенциалы тел под¬
держиваются при прежних значениях фь ф2, ф3, ..., ф„?
4.31. По сети длиной 5 км необходимо передать энергию от ис¬
точника с напряжением 110 В, имеющего мощность 5 кВт. Какого
минимального диаметра D должен быть медный провод, чтобы поте¬
ри энергии в сети не превышали 10% от мощности источника?
Удельное сопротивление меди р = 0,017 • 10-4 Ом-см.
4.32. Заземление концов телеграфной линии осуществлено по¬
средством очень глубоко зарытых в землю металлических шаров ра¬
диусами т*1 и г2. Удельная проводимость почвы вблизи них равна
Я! и Я2. Найти сопротивление R земли между шарами. Считать по¬
чву в окрестности каждого шара однородной на расстояниях, боль¬
ших по сравнению с радиусами шаров.
4.33Г Показать, что сопротивление однородной проводящей сре¬
ды, заполняющей все пространство между двумя идеально проводя¬
щими оболочками произвольной формы, равно р/(4лС), где р —
удельное сопротивление среды, а С — взаимная емкость этой систе¬
мы электродов-оболочек в вакууме.
4.34. Два металлических шара одинакового радиуса г погружены
в однородную среду с удельным сопротивлением р. Чему равно сопро¬
тивление R среды между шарами? Считать, что расстояние между
шарами очень велико по сравнению с их радиусами.
4.35. Два электрода Аг и Л2 произвольной формы глубоко зарыты
в землю и соединены между собой воздушным проводом (телеграфная
линия). Электроды находятся далеко друг от друга. Емкости электро¬
дов (в вакууме) равны соответственно (Д и С2. Почву в окрестности
каждого электрода можно считать однородной. Найти сопротивление
земли R между электродами, если удельные сопротивления почвы
в окрестности электродов равны соответственно р3 и р2.
2 - 1651
33

4.36 Цепь постоянного тока состоит из длинной однопроводной
линии, в которую включен источник с ЭДС if. Линия замыкается
через Землю, в которую зарыты два металлических шара на боль¬
шом расстоянии друг от друга (рис. 59). Известны радиусы шаров
Г| и г2, а также проводимость грунта
li и к2 в местах, где они закопаны.
Пренебрегая всеми сопротивления¬
ми, кроме сопротивления заземле¬
ния, определить заряд каждого шара.
4.37. В пространстве между пла¬
стинами плоского конденсатора, за¬
полненного газом и подсоединенного
к батарее, образуется пара ионов с зарядами ± е. Какой заряд проте¬
чет в цепи в результате движения ионов? Привести график зависимо¬
сти тока от времени. Считать подвижность ионов в газе постоянной.
§ 5. Магнитное поле. Закон Био-Савара-Лапласа.
Теорема о циркуляции в вакууме. Индуктивность
проводников. Теорема взаимности
5.1. По проводнику, имеющему форму эллипса, течет постоян¬
ный ток 3 = 10 А. Большая и малая полуоси эллипса равны соот¬
ветственно а = 50 см, b = 30 см. Определить ин¬
дукцию В магнитного поля в вакууме в фокусе
эллипса. Уравнение эллипса в полярной системе
координат: г = где Р = Ь2/а — пара¬
метр, а е < 1 — эксцентриситет.
5.2. Определить магнитное поле В в вакууме в
центре О «гофрированной окружности» (рис. 60),
уравнение которой в полярной системе координат
имеет вид j = ^ + Ь cos нпр, где а — 50 см, т —
целое число, Ъ — постоянная. По проводнику,
имеющему форму «гофрированной окружности», течет ток 3 = 10 А.
5.3. Электрический ток 3 протекает по проводу, изогнутому
так, как показано на рис. 61. Найти значение магнитной индукции
В в вакууме в центре О окружности радиусом R.
5.4. Определить магнитное поле В в центре однородной тон¬
кой металлической пластинки, имеющей форму равностороннего
треугольника со стороной а, если через пластинку пропускают ток
3 (рис. 62). Магнитным полем подводящих проводов пренебречь.
5.5. Найти индукцию В магнитного поля на оси соленоида в точ¬
ке А, из которой диаметры торцов видны под углами 2 а и 2(1
(рис. 63). Соленоид состоит из N витков, равномерно намотанных
на длине I, и по нему течет ток 3 ■
5.6. При производстве полиэтиленовой пленки широкая поло¬
са протягивается по роликам со скоростью v = 15 м/с (рис. 64).
©■
777777 *777777
©
Рис. 59
34

В процессе обработки (главным образом из-за трения) поверхность
пленки приобретает равномерно распределенный заряд с поверх¬
ностной плотностью су. Оценить максимальное значение су и магнит¬
ного поля В вблизи поверхности пленки, принимая во внимание,
что при напряженности электрического поля Е = 30 кВ/см в возду¬
хе возникает электрический разряд (пробой).
5.7. Вдоль длинной тонкостенной цилиндрической трубки радиу¬
сом R = 25 мм течет постоянный ток 3 = 20 А. В стенке трубки име¬
ется тонкая прорезь шириной d = 1 мм, парал¬
лельная оси трубки. Найти магнитное поле В
внутри трубки и вне ее на расстоянии г » R.
5.8. Бесконечно длинный цилиндрический
провод (рис. 65) состоит из двух коаксиальных
цилиндров: центрального сплошного металличе¬
ского стержня радиусом i?1; сделанного из ма¬
териала с удельным сопротивлением р1, и окру¬
жающего его полого цилиндра с внешним ра¬
диусом R2, изготовленного из материала с
удельным сопротивлением р2. Внешняя поверх¬
ность сплошного и внутренняя поверхность по¬
лого цилиндров находятся в электрическом кон¬
такте. По проводу параллельно его оси течет постоянный ток 3. Най¬
ти выражения для индукции В магнитного поля внутри и вне провода.
5.9. Магнитное поле в плоскости кругового витка с током не¬
однородно. Из соображений симметрии ясно, что в центре витка оно
экстремально. Что это — максимум или минимум?
5.10. Внутри однородной проводящей сферы от точки А к точ¬
ке В (рис. 66) по диаметру большого круга проходит проводник.
Ток 3 течет по проводнику от В к А, а затем по сфере к точке В.
А
2*
35

Определить внутри и вне сферы индукцию магнитного поля, созда¬
ваемого токами, текущими по проводнику и по сфере.
5.11. Деревянный шар радиусом R обмотан тонкой проволокой
так, что все витки параллельны между собой. Витки плотно уложе¬
ны и покрывают половину поверхности шара в один слой (рис. 67).
По проволоке течет ток £!■ Найти магнитное поле В в центре шара
С. Общее число витков N. Витки можно считать кольцами, находя¬
щимися на равном расстоянии друг от друга по дуге большого круга,
плоскость которого перпендикулярна к плоскости колец.
5.12 Длинный тонкий многовитковый соленоид с поверхностной
плотностью тока i и площадью поперечного сечения S = л.г2 согнут
так, что его ось образует половину окружности радиусом R. Найти
величину магнитного поля В в центре этой окружности.
5.13 На немагнитную сферу радиусом R намотан соленоид.
Линейная плотность поверхностного тока в нем постоянна и равна г.
Найти величину магнитного поля В в центре сферы.
5.14. По оси полого цилиндра натянута заряженная нить, на еди¬
ницу длины которой приходится заряд к = 1 ед. СГСЭ. Цилиндр
вращается вокруг своей оси с угловой скоростью £2 = 1000 рад/с
(рис. 68). Определить магнитное поле В в материале цилиндра вдали
от его торцов, пренебрегая пьезоэффектом и всеми эффектами, вы¬
зываемыми центробежной силой. Определить также магнитное поле
в полости цилиндра и во внешнем пространстве в случаях, если ци¬
линдр: 1) металлический немагнитный; 2) диэлектрический (е = 3).
5.15! Длинный сплошной цилиндр из диэлектрика статически
поляризован, причем вектор поляризации во всех точках цилиндра
направлен радиально, а его величина пропорциональна расстоянию
от продольной оси цилиндра, т. е. Р = кг (к = const, г — радиус-
вектор, проведенный от оси перпендикулярно к ней). Цилиндр вра¬
щается в угловой скоростью ш вокруг своей оси. Найти индукцию
магнитного поля внутри цилиндра вдали от его концов, если радиус
цилиндра равен R.
5.16. Тонкостенная длинная дюралевая трубка заряжается элект¬
рически и приводится в быстрое вращение. Какова будет конфигу¬
рация создавшегося магнитного поля? Предел скорости вращения
36

трубки обусловлен механической прочностью дюраля а = 6-108 Н/м2.
Какое наибольшее отношение магнитного поля внутри трубки к
электрическому полю на внешней поверхности трубки можно полу¬
чить? Плотность дюраля р = 2,7 г/см3.
5.17? Заряженный шарик радиусом R равномерно вращается
вокруг своего диаметра с угловой скоростью со. Общий заряд шарика
равен q. Найти магнитное поле шарика на расстояниях г, больших
по сравнению с R, если заряд равномерно распределен 1) по поверх¬
ности шарика, 2) по объему шарика.
5.18 Равномерно заряженная с линейной плотностью q квадрат¬
ная рамка со стороной / вращается с угловой скоростью со вокруг
одной из сторон. Вычислить магнитный момент ЭЛ рамки.
5.19 Равномерно заряженный тонкий диск радиусом R вращается
с угловой скоростью со вокруг своего неподвижного диаметра. Полный
заряд диска Q. Найти магнитный момент ЭЛ вращающегося диска.
5.20? Согласно современным данным, допустимое из опытов раз¬
личие абсолютных величин зарядов электрона qe и протона qр тако¬
во, что —— < 1(Г21. Не может ли это различие объяснить суще-
Qp
ствование наблюдаемого магнитного поля Земли? Магнитное поле
Земли В3 г» 3- 10~s Т, плотность р3 ~ 5 г/см3. Считать, что для ато¬
мов, составляющих Землю, отношение относительной атомной мас¬
сы А к атомному номеру Z порядка 2.
5.21. Вдоль плазменного цилиндра радиусом а с параболическим
распределением проводимости X — 70(1 — г2/а2) течет постоянный
ток 3 ■ Найти магнитное поле В(г) внутри и вне цилиндра в зави¬
симости от расстояния г от оси цилиндра.
5.22. На тонкий латунный прут, свернутый в кольцо, намотано
равномерно N = 104 витков провода. Во сколько раз магнитное поле
В0 на оси прута больше, чем Ви в центре кольца?
5.23. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводни¬
кам, сделанным из немагнитного материала и изолированным друг
от друга, текут в противоположных направлениях токи с одной и
той же плотностью j — 1000 А/см2. Проводники ограничены цилин¬
дрическими поверхностями. (На рис. 69
поперечные сечения проводников заштри¬
хованы.) Найти величину и направление
магнитного поля в полости 77. Ток в ле¬
вом проводнике направлен к читателю, а
в правом — от читателя. Расстояние
между осями цилиндров АВ — d = 5 см.
5.24. Определить магнитное поле
внутри бесконечной цилиндрической по¬
лости, сделанной в бесконечном цилинд¬
рическом проводе, вдоль которого течет
постоянный ток плотности у, равномерно распределенный по сече¬
нию провода. Расстояние между осями провода и полости равно d.
37

5.25. Плоский конденсатор, пластинами которого являются диски
радиусом R, подключен к источнику постоянного напряжения V.
Объем между пластинами заполнен слабо проводящим диэлектриком,
диэлектрическая проницаемость которого e(z) = е0 + z2/a?2, а прово¬
димость Х(г) = X0VR/r, где d — расстояние между пластинами, a z
отсчитывается от нижней пластины, г — расстояние от оси. Опреде¬
лить объемную плотность заряда р(г, z), а также полный свободный
заряд Q, сосредоточенный в диэлектрике. Чему равно магнитное поле
В(г)‘! Краевые эффекты не учитывать.
5.26. В плоскости ху расположен круглый виток радиусом R0, по
которому течет ток 3. Найти поток магнитной индукции через за¬
штрихованную часть плоскости ху, если R = Ю7?0 (рис. 70).
5.27. Коаксиальный кабель состоит из толстого внутреннего про¬
вода радиусом г и тонкой внешней оболочки радиусом R. Найти ин¬
дуктивность кабеля на единицу длины.
5.28. Определить индуктивность L проводника, показанного на
рис. 71. Ток течет по проволоке диаметром 1 мм, расположенной по
оси достаточно тонкой металлической трубки, переходит на дно
трубки, к центру которого припаяна проволока, и возвращается об¬
ратно по поверхности трубки. Размеры трубки даны на рисунке.
5.29. Один и тот же ток течет по двум длинным параллельным
проводам в противоположные стороны. Провода имеют круглые се¬
чения радиусом г = 2 мм, а расстояние между ними d = 2 см. Найти
индуктивность Ьуа единицы длины этой системы, учитывая магнит¬
ное поле только вне проводов.
5.30. На один сердечник намотаны две катушки. Индуктивности
катушек в отдельности соответственно равны L\ = 0,5 Г и
Ьг = 0,7 Г. Чему равна взаимная индуктивность М? Рассеяния маг¬
нитного поля нет.
5.31. Внутрь тонкого воздушного соленоида вставлена маленькая
плоская катушечка с числом витков п = 40 и площадью витка
38

5=10 см2, по обмотке которой течет ток 3 = 1 А. Длина соленоида
I = 50 см, число витков jV = 10 000. Определить магнитный поток,
который посылает поле катушечки через обмотку соленоида.
Указание. Использовать теорему о равенстве взаимных ин¬
дуктивностей (теорему взаимности).
5.32. Найти поток индукции магнитного поля, создаваемого
квадратной рамкой со стороной а, по которой течет ток 3, через по¬
луплоскость, граница которой расположена на расстоянии b от од¬
ной из сторон рамки (рис. 72).
5.33. Вычислить коэффициент взаимоиндукции М между ка¬
тушкой, намотанной на тор прямоугольного сечения, и бесконечным
прямолинейным проводом, идущим по оси тора. Длина стороны по¬
перечного сечения тора, параллельной проводу — а, перпендику¬
лярной к нему — Ъ, радиус внутренней поверхности тора R, число
витков катушки N.
5.34. В длинном соленоиде с плотностью намотки п [витков/см]
вдали от его концов расположен намагниченный стержень, имею¬
щий магнитный момент 5Щ ориентированный вдоль оси соленоида.
Размер стержня мал по сравнению с диаметром обмотки соленоида.
Найти магнитный поток, пронизывающий соленоид.
5.35. На поверхность кругового тора прямоугольного поперечно¬
го сечения с размерами а = 17,2 см и 6 = 5 см навита обмотка тон¬
кой проволоки, содержащая N = 1000 витков. (На рис. 73 обмотка
не показана.) На тор надета кольцевая катушка с числом витков
п — 100, по обмотке которой течет ток 3 = 1 А. Внутренний радиус
тора равен R = 10 см. Определить магнитный поток, который посы¬
лает магнитное поле катушки через обмотку тора.
5.36. Внутри длинной катушки-соленоида длиной I, площадью
сечения S и плотностью намотки п расположена небольшая катушка
с площадью витков а и полным числом витков N (рис. 74). Обе ка¬
тушки соединены последовательно. Как изменяется индуктивность
L такой системы в зависимости от угла 0 между осями катушек?
Индуктивность меньшей катушки равна Ь0.
5.37. Внутри длинной катушки-соленоида индуктивностью L0
расположен соосно другой соленоид меньших размеров, все линей¬
ные размеры которого в (3 раз меньше линейных размеров большого
соленоида (подобные катушки). Катушки соединены последователь¬
но. Найти индуктивность такой системы. Число витков обоих соле¬
ноидов одинаково.
•S, п, I
Рис. 73
Рис. 74
39

§ 6. Магнитное поле в веществе. Векторы В и Н.
Теорема о циркуляции в веществе.
Сверхпроводники в магнитном поле
6.1. Какой ток 3 нужно пустить по длинному и тонкому одно¬
слойному соленоиду с плотностью намотки п [витков/см], чтобы
индукция В была равна индукции постоянного магнита тех же раз¬
меров? Намагниченность I постоянна и направлена по оси.
6.2. Намагниченность I прямоугольного бруска одинакова во
всех точках бруска и направлена вдоль его оси (рис. 75). Найти по¬
верхностную плотность а «магнитных зарядов» на торцах бруска и
соотношение между В и Н внутри бруска. Начертите картину полей
В и Н внутри и вне бруска (качественно).
6.3. Бесконечная плоская пластина изготовлена из однородного
намагниченного ферромагнетика, причем вектор намагниченности
I перпендикулярен плоскости пластины. Найти поля В и Н внутри
и вне пластины.
6.4. Бесконечная плоская пластина изготовлена из однородного
намагниченного ферромагнетика, причем вектор намагниченности
I параллелен плоскости пластины. Найти поля В и Н внутри и вне
пластины.
6.5. Имеется тонкий длинный постоянный магнит длиной 21 и
радиусом г, намагниченность которого I = const (рис. 76). Начер¬
тить качественную картину линий Н и В. Найти индукцию В в точ¬
ке А. Во сколько раз она больше, чем в точке С?
6.6. Длинный цилиндр изготовлен из материала с замороженной
однородной намагниченностью, направленной по его оси (рис. 77).
■*4
♦
♦
♦
и U
I
♦
Рис. 75 Рис. 76
Рис. 77 Рис. 78
Индукция в точке А оказалась равной ВА = 103 Гс. Найти (прибли¬
женно) индукцию Вс вблизи конца короткого цилиндра, изготов¬
ленного из того же материала, если h = 510~2D.
6.7. Стержень из магнитного материала (ц»1), имеющий фор¬
му цилиндра радиусом г, помещен во внешнее однородное магнит¬
ное поле В0, направленное вдоль его оси (рис. 78). В бесконечно
длинном цилиндре индукция В, как известно, была бы равна
Оценить, при какой минимальной длине / индукция в центре ци¬
линдра отличается от этого значения не более, чем на 1 %.
40

6.8. Круглый диск радиусом г из магнитного материала (ц » 1),
помещен во внешнее однородное магнитное поле В0, направленное
вдоль его оси (рис. 79). В бесконечно тонком диске индукция В, как
известно, была бы равна В0. Оценить, при какой максимальной тол¬
щине I индукция в центре диска отличается от этого значения не
более, чем на 1 %.
6.9. Индукция магнитного поля в вакууме вблизи плоской по¬
верхности магнетика равна В0, и вектор В0 составляет угол 0 с нор¬
малью и к поверхности (рис. 80). Магнитная проницаемость магне¬
тика равна р. Найти: 1) поток Ф,, вектора Н через поверхность сфе¬
ры S радиусом R, центр которой лежит на поверхности магнетика;
2) циркуляцию вектора В по квадратному контуру Г со стороной /,
расположенному, как показано на рисунке.1
6.10. На железный сердечник, имеющий форму тора квадратно¬
го сечения (сторона а = 4 см) с диаметром D — 40 см, намотана
равномерно в один слой проволока. Число витков N = 500. По про¬
волоке пускают ток Ц = 1 А. Магнит¬
ная проницаемость железа ц = 400.
Найти поток индукции через сечение
сердечника.
6.11. Если железный тор предыду¬
щей задачи разрезать в одном месте
так, чтобы образовался воздушный за¬
зор толщиной d = 1 мм, то чему будет
равен поток индукции Ф, если пренеб¬
речь рассеянием силовых линий?
6.12. По обмотке электромагнита,
имеющего N витков, протекает ток Ц.
Определить индукцию магнитного поля
в небольшом зазоре, если все участки
сердечника имеют одинаковые сечения, а магнитная проницаемость
материала равна ц. Геометрические размеры указаны на рис. 81,
d«l.
Рис. 81
1
Задача заимствована из сборника И. Е. Иродова «Задачи по общей физике».
41

6.13. Тороидальный сердечник составлен из двух половинок,
сделанных из различных ферромагнитных материалов с магнитны¬
ми проницаемостями Ц! и ц2(рис. 82). Общая длина сердечников,
включая два небольших зазора величиной d,
равна L. По обмотке сердечника, имеющей
N витков, течет ток 3. Определить величину
поля В в зазоре. Рассеянием магнитного по¬
ля в зазоре пренебречь.
6.14. Некоторый ферромагнитный ма¬
териал имеет остаточную намагниченность
/0 = 500 Гс, а коэрцитивную силу Н0 = 500 Э,
причем кривая намагниченности 1(H)
представляет собой четверть окружности
(рис. 83). Из этого материала изготовлен по¬
стоянный магнит, представляющий собой тор
квадратного сечения с поперечным разрезом.
Внутренний радиус тора г1 = 1,5см, внеш¬
ний — гг = 2,5 см, ширина разреза d = 5 мм. Определить величину
магнитного поля в зазоре. Рассеянием магнитного поля пренебречь.
6.15. Тонкий сердечник тороидальной катушки длиной I сделан
из ферромагнитного материала. Минимальная напряженность маг¬
нитного поля, при которой намагниченность материала достигает
насыщения (7=/нас), равна Н = Н1ШС. Определить минимальный
ток Зо, который должен течь по обмотке, чтобы намагниченность
сердечника достигла насыщения. Какой толщины d должен быть
сделан воздушный зазор в сердечнике, чтобы не возникало насыще¬
ния намагниченности, если по обмотке течет ток 3 > 3<р. Число
витков обмотки равно N.
6.16. На рис. 84 изображена зависимость намагниченности I от
напряженности поля Н для некоторого магнитного материала, из ко¬
торого изготовлен сердечник тонкой тороидальной катушки, имею¬
щей jVвитков. Длина катушки (периметр) равна L. В сердечнике име¬
ется узкий поперечный воздушный зазор, равный /. 1) Определить
при каком значении тока 30 в катушке наступит насыщение намаг¬
ниченности сердечника? 2) Как будет изменяться магнитная индук¬
ция В в зазоре сердечника при 3 > &70? Величины /нас и #нас заданы.
42

6.17. На железный сердечник постоянного сечения длиной
/ = 1 м с зазором d — 1 мм намотана катушка с числом витков
= 1600, по которой течет ток 3=\к (рис. 85). Зависимость
В(Н) материала сердечника представлена на рис. 86. Определить
магнитное поле в зазоре.
6.18. Тонкий тороидальный сердечник радиусом R выполнен
из мягкого железа с магнитной проницаемостью ц»1. Сердечник
разрезан по диаметру, половинки раздвинуты на расстояние L, а
затем один из зазоров (А) замкнут постоянным магнитом (рис. 87).
Намагниченность вещества магнита I. Пренебрегая рассеянием,
найти поле в свободном зазоре (£)?
6.19. Тороидальный сердечник с магнитной проницаемостью
цss> 1 разрезан по диаметру и раздвинут на расстояние /«л Радиус
тора R, радиус сердечника r^R. Один из зазоров тора замкнут по¬
стоянным магнитом (направление намагниченности I перпенди¬
кулярно плоскости разреза), а другой заполнен диэлектриком
(рис. 88). Величина индукции магнитного поля в диэлектрике равна
В{. Чему будет равна величина индукции магнитного поля в ди¬
электрике после того, как всю систему поместят в среду с магнитной
проницаемостью ц (равной магнитной проницаемости сердечника)?
43

6.20! Тороидальный сердечник с магнитной проницаемостью
ц» 1 разрезан по диаметру и раздвинут на расстояние 1«г. Радиус
тора R, радиус сердечника г (r*&cR). Один из зазоров тора замкнут
постоянным магнитом, вектор намагниченности которого перпен¬
дикулярен плоскости разреза (рис. 88). Во сколько раз изменится
индукция магнитного поля в центре О тора после того, как второй
зазор заполнят веществом с той же магнитной проницаемостью ц?
6.21. Требуется построить электромагнит, который создает в
зазоре магнитную индукцию В = 104 Гс. Длина железного сердеч¬
ника I = 140 см, ширина воздушного зазора а = 1 см, диаметр
сердечника d = 6 см. Какое наименьшее число витков должна
иметь обмотка, если используется медный провод сечением
S — 1 мм2, по которому можно пропустить ток, не превышающий
о7тах — 3 А? Оценить напряжение V, которое нужно подавать на
обмотку для получения максимального поля. Магнитную проница¬
емость железа принять равной ц = 103. Удельное сопротивление
меди р = 1,7-10~8 Омм.
6.22. Стальной шарик намагничивается до насыщения во внеш¬
нем поле, после чего поле выключается. Оценить остаточную на¬
магниченность / шарика, если В и Н связаны уравнени¬
ем В = .б0(1 + Н/Нк), для данного сорта стали В0 = 104 Гс,
Нк = 4-103 А/м. Коэффициент размагничивания шара (размагничи¬
вающий фактор) р = 4л/3.
6.23! Шар радиусом R из сверхпроводника I рода внесен в по¬
стоянное однородное магнитное поле с индукцией В0. Определить
магнитное поле В вне шара, если поле В0 еще не разрушает сверх¬
проводимость в шаре. Найти также поверхностную плотность сверх¬
проводящего тока i.
6.24. Сверхпроводящая сфера радиусом R помещена в слабое
однородное внешнее магнитное поле. В двух точках, симметричных
относительно центра сферы и лежащих вне сферы в экваториальной
плоскости, перпендикулярной внешнему магнитному полю, нахо¬
дятся два комара, умеющих летать вдоль силовых линий магнитно¬
го поля. Первоначальное расстояние между ними 2г0 > 2R. До ка¬
кого расстояния они могут приблизиться друг к другу, если выле¬
тают одновременно, в одну сторону и с одинаковой постоянной
скоростью?
6.25. Длинная сверхпроводящая проволока радиусом R помеще¬
на в однородное магнитное поле В0, перпендикулярное оси проволо¬
ки. Найти распределение поверхностных токов на проволоке
гпов(9), если поле В0 еще не разрушает сверхпроводимость в прово¬
локе. Чему равно поле В вне проволоки?
6.26. Насколько отличается от единицы магнитная постоянная
ц «идеального газа», состоящего из большого числа сверхпроводя¬
щих шариков радиусом rl Концентрация шариков п мала, так что
пгъ«1.
44

Рис. 89
6.27. Тонкая тороидальная катушка, намотанная на полый не¬
магнитный каркас (рис. 89) радиусом R, имеет N витков, по кото¬
рым течет ток 3. Каково магнитное поле В в центре тора (точка 0)1
Как изменится магнитное поле в точке
О, если внутрь катушки поместить не¬
большой сверхпроводящий шарик ради¬
усом rQ«rl
6.28. Оценить, на сколько изменит¬
ся коэффициент самоиндукции длин¬
ной однослойной катушки, если в ее
середину поместить сверхпроводящий
шарик, радиус которого г = 1 мм зна¬
чительно меньше радиуса витков. Дли¬
на катушки 1 = 5 см, число витков
N = 250.
6.29. На осевой линии длинного
сверхпроводящего короткозамкнутого
соленоида (плотность намотки п, ток
3) вдали от концов находится маленький (г « R) шарик из немаг¬
нитного материала. При охлаждении шарик переводится в сверхпро¬
водящее состояние. Где внутри соленоида будет после этого макси¬
мальное поле? Чему оно равно?
6.30. На сколько изменится индуктивность тонкого витка ради¬
усом R = 1 см, если его расположить на расстоянии h = 10 см от
бесконечной сверхпроводящей плоскости? Плоскость витка парал¬
лельна сверхпроводнику.
6.31. На сколько изменится индуктивность тонкого витка ради¬
усом R = 1 см, если его расположить на расстоянии h = 10 см от
бесконечной сверхпроводящей плоскости? Плоскость витка перпен¬
дикулярна сверхпроводнику.
6.32. Кольцо из тонкой проволоки помещено в однородное маг¬
нитное поле с индукцией В = 10 Гс, перпендикулярное к плоскости
кольца, и охлаждением переведено в сверхпроводящее состояние.
Найти силу тока в кольце после выключения магнитного поля, если
радиус кольца R = 5 см, а радиус проволоки г = 1 мм.
Указание. Индуктивность тонкого проволочного кольца (если
ток течет по его поверхности) в гауссовой системе дается выраже¬
нием L = 4лЛ[1п (8R/r) — 2].
6.33. Над плоской поверхностью сверхпроводника I рода парал¬
лельно этой поверхности подвешен тонкий прямолинейный провод
на расстоянии h от плоскости. По проводу течет постоянный ток 3.
Найти линейную плотность сверхпроводящего тока г, текущего по
поверхности сверхпроводника.
Указание. Применить метод зеркальных изображений.
6.34. Постоянный магнитик с массой т = 4,8 г парит в гори¬
зонтальном положении на высоте h — 4 см над плоской поверх¬
ностью сверхпроводника. Применяя метод зеркальных изображе¬
ний, вычислить напряженность магнитного поля Н у поверхности
45

сверхпроводника под магнитиком. При расчетах магнитик считать
точечным магнитным диполем.
6.35. Над плоской поверхностью сверхпроводника I рода на изо¬
лирующем слое толщиной h — 5 мм лежит тонкое сверхпроводящее
кольцо радиусом R = 10 см, по которому течет постоянный ток 3-
При каком токе 3 кольцо начнет парить над сверхпроводником, ес¬
ли масса кольца т = 1 г?
6.36. Над сверхпроводящей плоскостью расположен тонкий пря¬
мой проводник, по которому течет постоянный ток. Полагая линей¬
ную плотность проводника р/ = 2 г/м, найти, на какой высоте h над
плоскостью будет свободно висеть проводник, по которому течет ток
3 = 20 А.
6.37. Найти распределение поверхностных токов i для плоской
поверхности сверхпроводника, если на расстоянии h = 1 см от нее
расположен прямолинейный достаточно длинный параллельный
плоскости сверхпроводника тонкий провод, по которому течет ток
3 = 10 А. Найти также силу /, действующую на единицу длины
провода.
6.38. В момент t = 0 сверхпроводящий соленоид индуктив¬
ностью L = 0,5 Г подключается к переменной ЭДС sin со/
(<Г0 = 20 В, со(/2л) = 50 Гц). Внутри соленоида находится сердеч¬
ник с магнитной проницаемостью ц = 100. Найти среднюю за пери¬
од колебаний ЭДС намагниченность / сердечника, если плотность
намотки соленоида п = 10 витков/см. Внутренним сопротивлением
ЭДС и явлением гистерезиса в сердечнике пренебречь.
6.39. Определить коэффициент самоиндукции L коаксиала, об¬
разованного соосно расположенными железным стержнем (ц = 1000)
и медной (ц = 1) трубкой, замкнутыми на одном из концов проводя¬
щим диском. Длина стержня и трубки Л = 10 см, диаметр стержня
2/у = 2 мм, внутренний диаметр трубки 2г2 — 9 мм, наружный —
2г3 — 10 мм. Считать, что в стержне и трубке токи равномерно рас¬
пределяются по сечениям.
6.40. Определить коэффициент самоиндукции L коаксила, обра¬
зованного соосно расположенными проводящими стержнем и труб¬
кой, замкнутыми на одном из концов проводящим диском. Длина
стержня и трубки А = 10 см, диаметр стержня 2г1 = 8 мм, внутрен¬
ний диаметр трубки 2г2 = 9 мм, наружный — 2г3 = 10 мм. Про¬
странство между стержнем и трубкой заполнено диэлектрическим
ферромагнетиком с магнитной проницаемостью ц = 20. Считать, что
в стержне и трубке токи равномерно распределяются по сечениям.
6.41. Железный цилиндр радиусом а = 1 см и длиной С = 10 см
помещен внутрь соленоида, по которому пропускается переменный
ток частоты 50 Гц. Ток перемагничивает цилиндр от ВШ1С до — Днас и
от —Внас до Внас. Оси соленоида и железного цилиндра параллельны.
Подсчитать тепло гистерезиса Q, выделяющееся в цилиндре за время
t = I мин. Петлю гистерезиса железного цилиндра можно идеализи¬
ровать кривой прямоугольной формы, изображенной на рис. 90.
46

6.42. По замкнутой обмотке длинного соленоида радиусом на¬
мотки R = 1 см течет ток <£f0 = 1 А. Внутри соленоида помещен маг¬
нетик с магнитной проницаемостью ц = 50. По оси магнетика про¬
ложен детонационный шнур, радиус которого мал по сравнению с
Рис. 90 Рис. 91
радиусом магнетика R (рис. 91). При детонации шнура по магнетику
распространяется ударная (не разрушающая магнетик) волна со ско¬
ростью v = 3 км/с. На цилиндрическом фронте волны происходит
фазовый переход первого рода, при котором магнитная проницае¬
мость падает до 1 и сохраняется такой во всей области за фронтом
волны. Как во времени изменяется ток 3(1) в обмотке соленоида?
Какова величина максимального тока, и в какой момент времени
tmax это значение достигается?
6.43! Уборщице института неосторожно поручили намотку про¬
вода с помощью челнока на тороидальные ферритовые сердечники.
Проделав в среднем десять «стежков» челноком, тетя Маша удержи¬
вает уже имеющиеся витки пальцами, перехватывает и слегка по¬
ворачивает сердечник и продолжает намотку, однако, поскольку су¬
щество задачи ей объяснили недостаточно подробно, каждый после¬
дующий десяток витков она укладывает с равной вероятностью либо
в прежнем, либо в противоположном направлении. Рассмотреть
следующие возможные в этой связи задачи (в порядке сложности):
1) Найти среднее значение индуктивности в серии намотанных
таким образом катушек. Полное число витков равно 100, а индук¬
тивность правильно намотанной катушки — 1 мГ. Магнитная про¬
ницаемость сердечника весьма велика.
2) Найти среднюю индуктивность катушек, для которых досто¬
верно установлено, что изменение направления намотки произошло
с одинаковой вероятностью лишь в одной точке обмотки из всех воз¬
можных.
3) , 4) Для катушек соответственно пунктов 2) и 1) найти дис¬
персию индуктивностей.
Примечание. Описанная история реально имела место в ИФП
(Институте физических проблем им. П. Л. Капицы) весной 1960 г.
К вящему изумлению ученых заказчиков оказалось также, что обры¬
вы проводов наша героиня ликвидировала с помощью нехитрых уз¬
лов, так что у некоторых катушек обнаружилась не только понижен¬
ная индуктивность, но и вообще нулевая проводимость!
47

§ 7. Электромагнитная индукция. Энергия и силы
в магнитном поле. Сохранение магнитного потока
в сверхпроводящих контурах
7.1. Медный диск радиусом а =10 см вращается в однородном
магнитном поле, делая 100 оборотов в секунду. Индукция магнитного
поля направлена перпендикулярно к
плоскости диска и равна В — 104 Гс. Две
щетки, одна на оси диска, другая на ок¬
ружности, соединяют диск с внешней
цепью, в которую включены реостат с
сопротивлением R = 10 Ом и ампер¬
метр, сопротивлением которого можно
пренебречь. Что показывает амперметр?
7.2. Что будет показывать ампер¬
метр в условиях предыдущей задачи,
если диск заменить колесом с двумя
что и диск, как показано на рис. 92?
Электрическим сопротивлением материала колеса пренебречь.
7.3. По длинному прямому проводу течет синусоидальный ток
3 высокой частоты v = 108 Гц. К проводу подносится квадратный
проволочный контур со стороной а = 17,2 см, в который включена
лампочка (рис. 93). Когда контур поднесен на расстояние Ъ = 10 см,
лампочка горит нормальным накалом. Определить эффективное
(действующее) значение силы тока в проводе 7, если для нормаль¬
ного накала лампочки требуется напряжение V = 6 В. Сопротивле¬
нием контура пренебречь.
7.4. В соленоиде, имеющем форму тонкого тора, ток линейно
возрастает со временем: 3 — 30t/x, т=10~2с, d7o=10A. Вокруг
тора (рис. 94) имеется один незамкнутый виток. Один из входов
спицами того же радиуса,
3
Рис. 93
милливольтметра жестко присоединен к концу 3, а другой пере¬
мещается, проходя последовательно положения 1—2—3—1. Что по¬
кажет при этом милливольтметр? Площадь витков соленоида
5=10 см2, плотность намотки витков п = 100 см-1.
7.5. В длинном воздушном соленоиде с радиусом намотки
r0 = 1 см и плотностью витков п = 10 см-1 течет ток, нарастающий с
48

постоянной скоростью d.S/dt = 100 А/с. Какова будет форма сило¬
вых линий соответствующего ему вихревого электрического поля Е?
Найти величину Е на расстоянии 2г0 от оси соленоида. Как изменятся
поле Е и индукция D, если соленоид погрузить в однородный
немагнитный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е = 2?
7.6. На железный цилиндрический сердечник, через который
проходит однородный магнитный поток Ф = Ф0 cos Ш, надет тор из
диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е (рис. 95). В торе
6
«1 О
в
20
QII
Рис. 96
R
Рис. 97
имеется бесконечно узкий воздушный зазор, образованный двумя
бесконечно близкими разрезами вдоль меридиональных плоскостей.
Найти напряженность электрического поля Е в зазоре в зависимо¬
сти от расстояния г до оси цилиндра.
7.7. Два диска с радиусами R{ и R2 вращаются с угловой скоро¬
стью со в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикуляр¬
ной их плоскости (рис. 96). Центры дисков присоединены к обклад¬
кам конденсатора Сь ободы — через скользящие контакты к обклад¬
кам конденсатора С2. Найти разности потенциалов на конденсаторах.
7.8. По двум вертикальным рейкам, соединенным внизу сопро¬
тивлением R = 2 Ом, а вверху батареей с ЭДС = 1 В и внутренним
сопротивлением г — 2 Ом, без трения скользит проводник, длина ко¬
торого Z = 10 см, масса т— 10 г (рис. 97). Система находится в одно¬
родном магнитном поле, индукция которого В — 104 Гс, перпендику¬
лярна плоскости рисунка и направлена к читателю. Найти установив¬
шуюся скорость проводника в поле силы
тяжести, пренебрегая сопротивлением реек
и проводника. При каком соотношении меж¬
ду параметрами задачи установившаяся ско¬
рость направлена вниз и при каком вверх?
7.9. По двум вертикальным рейкам, сое¬
диненным вверху и внизу сопротивления¬
ми R = 0,01 Ом, может скользить без тре¬
ния проводник, длина которого I — 100 см,
масса т = 100 г, сопротивление R = 0,01 Ом
(рис. 98). Система находится в однородном
магнитном поле, индукция которого В = 1000 Гс перпендикулярна
плоскости рисунка. Найти максимальную скорость проводника в поле
силы тяжести, если пренебречь сопротивлением реек.
R
О О
ООО
ООО
ООО
и
-си
Рис. 98
49

7.10. Простейшая динамо-машина состоит из прямоугольной рам¬
ки S с числом витков п и внутренним сопротивлением г, вращающей¬
ся со скоростью со в однородном магнитном поле В. Определить сред¬
ний момент М, приложенный к рамке, и среднюю мощность N, иду¬
щую на вращение динамо-машины. Машина работает на нагрузку R.
7.11. В длинном тонком соленоиде с плотностью витков п нахо¬
дится небольшая плоская катушка (сечение катушки — S, число
витков — N), по которой течет постоянный ток е7к. Угол а между
осью катушки и осью соленоида меняется по закону а({) = а0 cos со/,
где сх0 — малая величина. Определить амплитуду и частоту перемен¬
ного напряжения на концах соленоида.
7.12! Внутри тонкого длинного соленоида, ось которого горизон¬
тальна, находится небольшая магнитная стрелка, уравновешенная
на острие, вокруг оси которого может свободно вращаться. Вдоль оси
соленоида приложено внешнее однородное магнитное поле с индук¬
цией В0. В начальный момент стрелка горизонтальна, отклонена на
малый угол а0 от направления В0 и покоится. Затем стрелку отпу¬
скают. Определить амплитуду и частоту переменной ЭДС, возника¬
ющей на концах обмотки соленоида. Плотность намотки соленоида
п [витков/см], момент инерции стрел¬
ки относительно оси вращения — /,
ее магнитный момент — ЭД1.
7.13. Магнитный диполь с момен¬
том 5KU вращается с частотой со вокруг
оси, проходящей через его центр и
перпендикулярной магнитному мо¬
менту (рис. 99). Найти ток в плоской
круглой неподвижной рамке радиусом
а с сопротивлением R, находящейся на расстоянии 1^>а от диполя.
Нормаль п к плоскости рамки перпендикулярна оси вращения ди¬
поля. Самоиндукцией рамки пренебречь.
7.14. К небольшой катушечке с числом витков N и площадью
витка S подносят на расстояние а лист из хорошо проводящего ме¬
талла. По катушке течет переменный ток I (действующее значе¬
ние) частотой со. Найти дополнительную ЭДС 'f, возникшую в ка¬
тушке после приближения листа. Лист расположен перпендикуляр¬
но оси катушки.
7.15. Два соосных круговых витка радиусами R и r«R разме¬
щены на расстоянии R друг от друга. По малому витку пропускается
ток / = /0 cos со/. Найти ток o)(t) в большом витке, сопротивление
которого равно R0.
7.16. В центре кругового витка радиусом R, подключенного к
вольтметру переменного тока, имеется небольшой тонкий цилинд¬
рический магнитик, остаточная индукция которого равна В. Длина
и радиус цилиндра равны I и г соответственно. Магнитик приводят
во вращение с угловой скоростью ш вокруг оси, лежащей в плоско¬
сти витка и перпендикулярной оси цилиндра. Определить показание
вольтметра. Считать г <к / <sc./?.
50

7.17. Посредине между двумя параллельными тонкими длинны¬
ми проводниками расположен тонкий цилиндрический магнитик.
Ось магнитика перпендикулярна плоскости проводников. Проводни¬
ки с одной стороны замкнуты, а с другой — подключены к милливе-
берметру. Расстояние между проводниками 21, масса магнитика т,
плотность р, остаточная индукция В0. Магнитик быстро нагревают
выше температуры Кюри. На сколько отклонится стрелка прибора?
7.18. На оси кругового витка радиусом R= 1 см на расстоянии
L = 10 см от него в некоторый момент времени оказывается «точеч¬
ный» магнитный диполь, параллельный оси витка и движущийся
вдоль нее со скоростью v = 1 км/с. Оценить силу тока oJ в витке,
если его сопротивление г = 0,001 Ом, а величина магнитного мо¬
мента диполя Ш1 = 0,1 эрг/Гс.
7.19. Намагниченная пуля пролетает вдоль оси тонкой (пло¬
ской) катушки, соединенной с баллистическим гальванометром че¬
рез идеальный выпрямляющий элемент. Пуля намагничена вдоль
своей оси, ее размеры малы по сравнению с диаметром катушки D.
Определить магнитный момент пули Ш1, если известно, что гальва¬
нометр отклонился после пролета пули на угол <р. Известны балли¬
стическая постоянная гальванометра Ь [рад/Кл], число витков ка¬
тушки п и сопротивление цепи R.
7.20. Сверхпроводящий шарик летит по направлению к солено¬
иду вдоль его оси. Индукция поля в центре соленоида В = 1000 Гс.
Какова должна быть начальная скорость v шарика,
чтобы он смог пролететь через соленоид насквозь?
Диаметр соленоида много больше диаметра шарика.
Плотность материала шарика р = 8 г/см3.
7.21. Металлический сверхпроводящий шарик
летит по направлению к соленоиду вдоль его оси.
Поле соленоида В0 = 103 Гс. Какой должна быть
начальная скорость шарика v0, чтобы он смог
влететь в соленоид? Радиус шарика R = 2 см, масса
т = 1г.
7.22. Прямолинейный магнит NS расположен
на оси круглого кольца радиусом а, состоящего из
п витков проволоки, концы которой соединены с
баллистическим гальванометром (рис. 100). Рассто¬
яние между центрами кольца и магнита равно h.
Размеры магнита малы по сравнению с h и радиу¬
сом кольца. Еш ось перпендикулярна к плоскости
кольца. Определить магнитный момент Ш1 магнита,
если при его удалении от кольца баллистический гальванометр от¬
клонился на угол ф. Баллистическая постоянная равна b [рад/Кл],
сопротивление цепи (включая сопротивление гальванометра) R.
7.23. В ферромагнитном шаре пропилена узкая глубокая щель.
Шар намагничен до насыщения перпендикулярно плоскости щели,
и затем внешнее поле выключено. Кривая размагничивания матери¬
ала шара 1(H) представляет собой четверть окружности (рис. 101).
Рис. 100
51

Из щели достаточно далеко выдергивается плоская рамка площадью
5=10 см2 с количеством витков N = 1000. Рамка подключена
к гальванометру. Найти количество электричества Q протек¬
шего через гальванометр. Полное сопротивление цепи R = 100 Ом,
#0 = —500 Э, /0 = 500 Гс. Размагничивающий фактор шара равен
4 л/3.
7.24. В торцевых плоскостях на оси длинного соленоида поме¬
щают одинаковые магнитики объемом V = 1 см3 каждый и намагни¬
ченностью 4л/ = 12,5 кГс, повернутые друг к другу разноименными
полюсами. Магнитики отпускают, и они затем слипаются в центре
соленоида, замкнутого на сопротивление R = 1 Ом. Какой заряд Q
протечет при этом в цепи соленоида, витки которого намотаны с
плотностью п = 103 см-1?
7.25. Внутри тороидальной короткозамкнутой катушки из сверх¬
проводящей проволоки с плотностью намотки п [витков/см] имеет¬
ся сверхпроводящее кольцо (рис. 102), сечение которого в два раза
меньше сечения витков катушки. В катушке течет ток 3q. Нагрева¬
нием сверхпроводник переводится в нормальное состояние. Опреде¬
лить джоулево тепло, которое выделится в катушке, если: 1) в нор¬
мальное состояние переводится только катушка; 2) в нормальное со¬
стояние переходит сначала внутреннее кольцо (из немагнитного
материала), а затем катушка. Объем тороидальной катушки V. Счи¬
тать, что радиус тора значительно превышает радиус витков.
7.26. Соленоид длиной I с числом витков N и сечением 5 под¬
ключен к батарее с ЭДС через сопротивление R (рис. 103). В со¬
леноид вставлен сердечник из сверхпроводника такой же длины, но
с площадью сечения 5/2. Сердечник быстро вынимают из соленоида.
Определить ток 3(t) в цепи.
7.27. Сверхпроводящее плоское кольцо, по которому течет ток
3 = 1 А, переносится из удаленной области в область однородного
магнитного поля В0 = 100 Гс. Площадь кольца S = 10 см2, нормаль
к плоскости кольца составляет с направлением магнитного поля
52
Рис. 101
Рис. 102
Рис. 103

угол 0О = 60°. Чему равен коэффициент самоиндукции кольца, если
в результате переноса ток в кольце обратился в ноль?
7.28. В экваториальной плоскости шара радиусом а находится
тонкое металлическое кольцо радиусом р > а с электрическим со¬
противлением R. Внешнее однородное магнитное поле В0 перпенди¬
кулярно плоскости кольца. Охлаждением шар переводится в сверх¬
проводящее состояние. Найти заряд, протекший по кольцу. Индук¬
тивностью кольца пренебречь.
7.29. Во сколько раз изменится ток в круговой петле из сверх¬
проводника, если ее поместить внутрь длинного сверхпроводящего
соленоида, замкнутого накоротко? Диа¬
метры петли и соленоида считать равны¬
ми, а их оси — параллельными. В отсутст¬
вие круговой петли ток в соленоиде был
равен нулю. Индуктивность петли L, соле¬
ноида — L0, число витков соленоида — N.
7.30. В замкнутой сверхпроводящей об¬
мотке электромагнита возбужден ток 30.
В стальном магнитопроводе длиной L с маг¬
нитной проницаемостью ц имеется неболь¬
шой зазор I, так что рассеянием магнит¬
ного поля можно пренебречь (рис. 104). Как изменится ток в обмот¬
ке, если путем деформации сердечника зазор уменьшится в два раза?
7.31. В опытах А. Д. Сахарова сверхсильные магнитные поля
получались взрывным сжатием отрезка проводящей цилиндрической
трубы, внутри которой создано начальное магнитное поле с индук¬
цией В0. Определить индукцию поля В в трубе в момент макси¬
мального сжатия, если В0 = 5-104 Гс, начальный внутренний радиус
трубы R = 5 см, радиус в момент максимального сжатия г = 0,5 см.
Оболочку, окружающую магнитное по¬
ле, считать идеально проводящей. Опре¬
делить также давление Р, необходимое
для получения такого сжатия.
7.32. В замкнутой сверхпроводящей
обмотке электромагнита возбужден по¬
стоянный ток 3 (рис. 105). В магнитопро¬
воде из мягкого железа с магнитной про¬
ницаемостью ц имеется небольшой зазор
толщиной I, так что рассеянием магнит¬
ного поля в зазоре можно пренебречь.
Длина магнитопровода (вместе с зазором)
равна L. Чему будет равен ток 3о в обмотке электромагнита, если в
зазор вставить пластину толщиной I из того же железа?
7.33. По длинному идеально проводящему соленоиду длиной 10
течет постоянный ток 30■ Как будет меняться ток во времени, если
растягивать и сжимать соленоид таким образом, чтобы его длина
менялась по закону I — l0 + a cos ой?
53

7.34! По длинному соленоиду, имеющему п [витков/см], течет
ток 3'. Найти давление Р, действующее на боковую поверхность со¬
леноида. Магнитная проницаемость среды ц = 1.
7.35. Во внешнем тонкостенном цилиндрическом проводнике ко¬
аксиального кабеля (рис. 106) вдоль образующей сделана щель ши¬
риной (R — радиус внешнего проводника). Найти силу, дей¬
ствующую на центральный проводник при пропускании по этому
кабелю тока 3. Радиус центрального проводника r«R. (Ток 3 те¬
чет по центральному проводнику в одну сторону, а по внешнему
проводнику — в другую.)
7.36. Два параллельных цилиндрических провода из сверхпро¬
водника находятся в однородном постоянном магнитном поле с ин¬
дукцией В, направленной вдоль проводов. Найти магнитное давле¬
ние Рм на боковую поверхность проводников, а также силу /, дей¬
ствующую на единицу длины каждого провода.
7.37. Магнит в виде круглого длинного стального цилиндра ус¬
тановлен вертикально. Для расчета принимаем, что на его полюсе
N сосредоточена магнитная масса т. На полюс опирается проволоч¬
ная скоба ABOCD со стержнем ON (рис. 107), имеющая форму
буквы «Т»; концы скобы А и D погружены в ртуть, налитую в
горизонтальное кольцевое корыто. Точка О является серединой ВС
(ВО = ОС = I). Части АВ = CD малы по сравнению с /. К магниту
и ртути в корыте подводится постоянное напряжение, вследствие
чего по стержню ON идет ток 13 и проволочный контур вращается
вокруг ON. Расстояние ON проволоки ВС от полюса N равно I.
Определить: 1) момент пары сил М, вращающих контур; 2) точку
приложения силы, действующей на плечо ОС.
Указание. Магнитная масса намагниченного стержня длиной
L (магнитного диполя) есть отношение магнитного момента стерж¬
ня Ш1 к его длине, т. е. т = Ш/L. При этом (в данной модели) пред¬
полагается, что L — это расстояние между точечными магнитными
массами т (аналогия с электрическим диполем).
7.38. Вдоль оси цилиндрического жидкого проводника радиусом
а равномерно по сечению течет ток 3. Найти давление Р(г), обус¬
ловленное взаимодействием тока с созданным им магнитным полем.
7.39. На рис. 108 изображена схема электромагнитного насо¬
са для перекачки расплавленного металла. Участок трубы с
54

расплавленным металлом помещается в магнитное поле, перпенди¬
кулярное оси трубы; через этот же участок в перпендикулярном
(к магнитному полю и оси трубы) направлении пропускается ток.
Найти избыточное давление АР, создаваемое насосом. Провести
числовой расчет для трубы квадратного сечения со стороной
а = 1 см при 3 = 100 А, В — 1000 Гс.
7.40! Для осуществления теплосъема с ядерных реакторов в ка¬
честве теплоносителя применяют расплавленные металлы. Перекач¬
ка металлов по трубам производится с помощью электромагнитных
насосов: участок трубы с расплавленным металлом помещается в
поперечное магнитное поле, т. е. поле, перпендикулярное оси
трубы; через тот же участок трубы перпендикулярно ее оси и
магнитному полю пропускается поперечный электрический ток.
При этом возникает сила, приводящая жидкость в движение.
Оценить ток, необходимый для перекачки ртути по трубе диамет¬
ром D = 20 мм и длиной L = 10 м со скоростью V = 1 л/с. Вязкость
ртути г] = 1,5-10~2 дин-с/см2, магнитное поле В — 1000 Гс.
7.41. В прямоугольную кювету (рис. 109), передняя и задняя
стенки которой металлические, а прочие стенки диэлектрические,
налит электролит с удельной проводимостью X = 0,2 Ом-1 -см-1.
К металлическим стенкам приложено напряжение V = 30 В, и вся
кювета помещена в однородное магнитное поле с индукцией
В= 100 Гс, направленной вертикально. Раз¬
меры кюветы: Ь = 20 см, а = 2 см, плотность
электролита р = 1 г/см3. Определить раз¬
ность уровней жидкости Ah около правой и
левой стенок кюветы.
7.42. В высокий цилиндрический сосуд
радиусом R налит электролит. Внутри сосуда
параллельно его оси расположен цилиндри¬
ческий металлический стержень, поверх¬
ность которого покрыта изолирующей кра¬
ской. Радиус стержня равен г. Расстояние
между осями стержня и сосуда равно d.
В электролите параллельно оси течет ток 3, возвращающийся об¬
ратно по стержню. Считая плотность тока в электролите постоян¬
ной, найти силу, с которой магнитное поле, созданное рассматрива¬
емыми токами, действует на единицу длины стержня. Куда эта сила
направлена?
7.43. Два параллельных достаточно длинных провода находятся
на расстоянии 20 см друг от друга. В них поддерживаются токи
силой 20 А каждый, направленные в противоположные стороны.
1) Какую работу на единицу длины проводов совершает магнитное
поле при удалении проводов на расстояние 40 см? 2) Как изменится
при этом магнитная энергия единицы длины системы двух про¬
водов?
7.44. Вблизи длинного прямого провода, по которому течет ток
3\ = 10 А, расположена квадратная рамка с током 3%— 1А
55

(рис. 110). Рамка и провод лежат в одной плоскости, стороны рамки
а = 6,8 см, расстояние от рамки до провода 6 = 4 см. Какую работу
нужно совершить, чтобы прямой провод передвинуть в положение,
указанное на рисунке штриховой линией?
7.45. При производстве полиэтиленовой пленки широкая тонкая
полоса протягивается по роликам со скоростью v (см. рис. 64). В про¬
цессе обработки поверхность пленки приобретает равномерно рас¬
пределенный заряд о. Над пленкой на расстоянии d, малом по срав¬
нению с шириной пленки, расположен прямой провод, по которому
течет ток 3. Направление тока совпадает с направлением движения
Рис. 110
Рис. 111
Рис. 112
пленки. Найти силу, действующую на единицу длины пленки. Оце¬
нить величину этой силы при v = 1 м/с, с = 10~7 Кл/м2, 3 = 10 А.
7.46. На расстоянии L = 10 см от прямого провода, по которому
течет ток 3\ = 10 А, расположена квадратная рамка со стороной
/ = 1 см таким образом, что две ее стороны параллельны проводу, и
вся система лежит в одной плоскости (рис. 111). По рамке течет ток
а?2=1 А- Найти силу взаимодействия между проводом и рамкой.
7.47. Однородно заряженное непроводящее тонкое кольцо (масса
т, заряд q) быстро вращается с угловой скоростью со вокруг своей
оси во внешнем однородном магнитном поле В (рис. 112). Найти уг¬
ловую скорость прецессии Q.
7.48. Постоянный магнит, выполненный в виде стержня, поме¬
щен в слабое однородное магнитное поле (рис. 113). Чтобы повер¬
нуть его на 180° из положения по полю в положение
против поля, нужно затратить работу А. Стержень
приводят в быстрое вращение вокруг своей оси с часто¬
той со = 80 с-1, сообщая энергию вращения ^пр = А.
Стержень начинает прецессировать с частотой Q. Най¬
ти частоту прецессии.
7.49. Над большим горизонтальным латунным ли¬
стом помещена магнитная стрелка с магнитным мо¬
ментом Ж. Стрелка укреплена на вертикальной оси
и связана со спиральной пружиной, модуль кручения
которой /. Как изменится положение равновесия
стрелки, если по листу потечет поверхностный ток плотностью i?
Направление тока совпадает с начальным равновесным положением
стрелки. Рассмотреть случай малых углов закручивания.
Рис. 113
56

7.50. Компас располагают под проводом, по которому течет по¬
стоянный ток, на расстоянии R = 10 см от оси провода. Найти ток,
при котором стрелка поднимется над своим шпеньком. Остаточная
индукция стали стрелки равна индукции насыщения В0 = 20 кГс.
Плотность стали р = 7,8 г/см3.
7.51. Искусственный спутник Земли массой т= 1000 кг выпол¬
нен в виде тонкостенного шара. Для сообщения ему угловой ско¬
рости можно использовать магнитное поле Земли, индукция кото¬
рого В — 0,5 Гс. Найти угловую скорость со, которую приобретает
спутник при быстрой разрядке аккумуляторов, имеющих заряд
<2 = 5А-ч, через обмотку N=20 витков, уложенную на поверх¬
ности спутника вдоль окружности большого круга. Считать магнит¬
ное поле Земли параллельным плоскости обмотки.
7.52. Для исключения потерь энергии на джоулево тепло в ли¬
ниях передачи постоянного тока предложено использовать коакси¬
альный кабель, проводящие поверхности которого для внутренней
жилы и наружной оболочки выполнены из сверхпроводника.
Максимально допустимая индукция маг¬
нитного поля на поверхности сверхпровод¬
ника В = 500 Гс, максимально допустимая
напряженность электрического поля в изо¬
лирующей прослойке кабеля Е = 30 кВ/см.
При каком соотношении диаметров d/D
жилы и оболочки можно передать наи¬
большую мощность N1 Найти величину
N, приняв диаметр наружной оболочки
D = 20 см.
7.53. По двум широким и длинным
металлическим плоским лентам 1 и 2,
поставленным параллельно друг другу,
текут антипараллельные токи, линейная плотность которых
i = dS/dl = const. Пространство между лентами плотно без зазоров
заполнено двумя плоскими слоями магнетиков с магнитными
проницаемостями Ц) и (рис. 114). Определить давление на каж¬
дую из металлических лент, а также на границу раздела магнетиков.
7.54. Определить индуктивность на единицу длины двух пло¬
ских шин, находящихся на расстоянии d друг от друга.
Ширина шины а» d. Найти силу, действующую на
единицу площади шин, если по ним текут одинаковые
токи в противоположных направлениях.
7.55. Из энергетических соображений оценить ко- ,,7
эффициент самоиндукции круглой петли длиной / из ^
тонкой проволоки радиусом г.
7.56. Два одинаковых длинных соленоида длиной Рис. 115
/ = 50 см, приставленных торцами друг к другу
(рис. 115), притягиваются с силой F = 1 Н, когда по их обмоткам
течет одинаковый ток 3 = 10 А. Чему равен коэффициент самоин¬
дукции L каждого из соленоидов?
57

7.57. Две небольшие одинаковые катушки расположены так, что
их оси лежат на одной прямой (рис. 116). Расстояние между ка¬
тушками I — 10 см значительно превышает их линейные размеры.
Число витков каждой катушки N = 100, площадь витков 5=1 см2.
С какой силой взаимодействуют катушки,
м !■ м когда по их обмоткам текут одинаковые токи
щ|пр. ГШПП 3 = 3^ = <Д2 = 0,1 А? Чему равен коэффици¬
ент взаимоиндукции катушек Ml
7.58. С какой силой втягивается в солено-
Рис. 116 ид с полем В длинный цилиндрический стер¬
жень с магнитной проницаемостью ц и пло¬
щадью поперечного сечения 5? Стержень расположен на оси соле¬
ноида таким образом, что один его конец находится внутри, а дру¬
гой — вне соленоида. Магнитное поле соленоида вблизи первого
конца можно считать однородным, вблизи второго конца (вне соле¬
ноида) — равным нулю.
7.59. Длинный сердечник из материала с ц = 100 втягивается с
силой F = 10 Н в длинный соленоид, по которому течет ток
3 = 10 А. Сердечник занимает все сечение соленоида и вставлен на
глубину, значительно превышающую его диаметр (рис. 117). Найти
коэффициент самоиндукции L соленоида (без сердечника), если его
длина I — 50 см.
7.60. Длинный соленоид, намотанный на тонкостенный капил¬
ляр, погружен одним концом в парамагнитную жидкость с плот¬
ностью р и магнитной проницаемостью ц. Насколько изменится
уровень жидкости в капилляре, если по соленоиду пропустить ток 31
Число витков на единицу длины соленоида равно п.
7.61. В сердечнике электромагнита имеется малый зазор I, в ко¬
торый помещена пластинка из того же материала (рис. 118). Какую
работу нужно совершить против магнитных сил, чтобы удалить
пластину из зазора? Длина сердечника равна L, сечение всюду оди¬
наково и равно 5, магнитная проницаемость ц 1. Обмотка элект¬
ромагнита имеет N витков, по которым течет ток 3. Рассеянием
магнитного потока пренебречь.
7.62. Катушка, имеющая N витков, намотана на железный то¬
роидальный сердечник с проницаемостью ц (рис. 119). Радиус тора
58

R, радиус сечения сердечника r<scR. Тор разрезан на две половины,
раздвинутые так, что образовался воздушный зазор d. Определить
силу притяжения между половинками тора, если в обмотке течет
ток 3. Рассмотреть случай d — 0.
7.63. Как изменится подъемная сила электромагнита, изобра¬
женного на рис. 120, если его нижнюю подкову изготовить из
материала с магнитной проницаемостью ц2, отличной от магнитной
проницаемости верхней подковы Ц1 (ц2=?ь щ)?
7.64. Электромагнит из железного бруса квадратного сечения в
форме подковы имеет размеры в сантиметрах, указанные на
рис. 121. Число витков обмотки IV = 200. Сила тока 3 — 2 к. Как
велика подъемная сила F электромагнита, если ц = 200?
7.65. К компасу на расстояние L = 1 м подносят магнитный бру¬
сок сечением S = 1 см2 и длиной I— 10 см. С какой стороны надо
подносить магнит и как его ориентировать, чтобы отклонение ком¬
паса ф было наибольшим? Найти величину <р, если остаточная ин¬
дукция материала бруска В{ = 104 Гс, горизонтальная составляющая
земного поля В0 = 0,2 Гс.
7.66. Найти относительное изменение частоты регулярной пре¬
цессии намагниченного тяжелого гироскопа в поле тяжести, если
приложить магнитное поле с индукцией В= 1,0 кГс, направленное
вертикально вверх. Намагниченность I считать постоянной, одно¬
родной и направленной по оси гироскопа, причем величина
4л/ = 2 кГс, плотность материала гироскопа р = 8 г/см3 и расстоя¬
ние от точки опоры до центра масс гироскопа 1 — 2 см.
7.67. Длина цилиндрического однослойного соленоида много
больше его радиусом R. Провод обмотки соленоида имеет квад¬
ратное сечение со стороной a<s<R. Витки плотно прилегают друг к
другу. При прохождении тока через соленоид возникает сила, стре¬
мящаяся разорвать обмотку. Определить предельную силу тока 30,
при которой наступит разрыв проволоки обмотки в центральном се¬
чении соленоида, если проволока выдерживает нагрузку на растя¬
жение, не превышающую F.
7.68. Длинный короткозамкнутый сверхпроводящий соленоид
выполнен из проволоки диаметром d = 0,2 мм, плотно намотанной
Рис. 120
Рис. 121
59

в один слой. Диаметр соленоида D = 2 см. Известно, что сверхпро¬
водимость разрушается во внешнем магнитном поле Вкр = 15 кГс.
Какой максимальный ток можно возбудить в сверхпроводящей об¬
мотке, если прочность проволоки на разрыв Fp — 5 Н?
7.69. Сверхпроводящая сфера с радиусом R = 8 см, состоящая из
двух одинаковых полусфер, помещена в однородное магнитное поле
В0 = 103 Гс, перпендикулярное плоскости разреза. Найти силу, не¬
обходимую для отрыва одной полусферы от другой.
7.70. Определить разрывающее усилие в сверхпроводящем
кольце радиусом R из цилиндрической проволоки радиусом г
(r«R), по которому течет ток 3. Индуктивность коль-
ца L — 4л7?[1п (&R/r) — 2].
17.71. В короткозамкнутый длинный сверхпроводящий
соленоид с начальным внутренним полем, равным В0 в
центре соленоида, и площадью сечения S вставляют
длинный сверхпроводящий сердечник с площадью сече¬
ния а (рис. 122). Найти давление Р на боковую поверх-
ность сердечника. Краевыми эффектами пренебречь.
— 7.72. Сверхпроводящий соленоид, по обмотке которо-
Рис 122 го течет некоторый ток, деформируют так, что происхо¬
дит адиабатическое сжатие магнитного поля. Каким
уравнением (аналогичным уравнению адиабаты в теории
газов) можно описать поведение магнитного давления при измене¬
нии площади сечения соленоида?
7.73. Вдоль оси полого цилиндра из сверхпроводника с радиуса¬
ми цилиндрических поверхностей R[ и R2 расположен длинный про¬
водник (рис. 123). Какие токи потекут по внутренней и наружной
цилиндрическим поверхностям сверхпроводяще¬
го образца, если по проводнику пропустить ток
о7? Определить силы магнитного давления на
стенки цилиндра.
7.74. Токи, текущие по поверхности сверх¬
проводящего тела, приводят к тому, что магнит¬
ное поле внутри сверхпроводника всегда равно
нулю. Однако, если вокруг тела магнитное поле
слишком велико, то сверхпроводимость разру¬
шается и металл переходит в нормальное состо¬
яние. Для свинца при температуре 2 К критиче¬
ское поле Вкр = 750 Гс. Оценить максимальный
размер шарика, который можно подвесить на магнитной подушке
при этой температуре. Плотность свинца р= 11,3 г/см3.
7.75. Какую работу надо совершить для того, чтобы круговую пет¬
лю из сверхпроводника поместить внутри длинного сверхпроводящего
соленоида, замкнутого накоротко? Диаметры петли и соленоида
считать равными, а их оси — параллельными. В отсутствие круго¬
вой петли ток в соленоиде равен нулю, начальный ток в петле 3q.
Индуктивность петли L, соленоида — Lc, число витков соленоида N.
60

f
7.76. Для определения магнитной восприимчивости диамагнит¬
ного материала измеряют с помощью весов силу, выталкивающую
маленький образец из зазора между полюсами электромагнита
(рис. 124). Пусть магнитное поле в зазоре изменяется
в радиальном направлении по закону В = В0е~аг2, где
г — расстояние от оси симметрии (в сантиметрах),
i
А
'6F
В0 = 103 Гс — поле на оси, а = 10~2 см-2 — констан¬
та. На каком расстоянии от оси нужно расположить
диамагнитный образец, чтобы выталкивающая сила
была максимальной, и чему равна эта максимальная И
сила для образца в виде небольшого тонкого диска
объемом V = 0,1 см3? Магнитную восприимчивость ма¬
териала принять равной к = —1,4-10~5 (висмут). Диск Рис 124
ориентирован перпендикулярно магнитному полю.
7.77. В длинный соленоид с плотностью намотки витков
п = 20 см-1 вставлен тонкий стержень из магнитного материала,
кривую намагничивания которого можно аппроксимировать выра¬
жением / = /,,ас(1 — е~н1н°). Один конец стержня находится в сере¬
дине соленоида, а другой вне соленоида вдали от его
конца. Найти силу, втягивающую стержень в соле¬
ноид при токе 3 = 10 А. Сечение стержня
S = 0,8 см2, Н0 = 250 Э, /нас =1,6- Ю3 Гс.
7.78. С помощью чувствительных весов измеря¬
ется сила, втягивающая парамагнитный образец в
сверхпроводящую короткозамкнутую катушку в за¬
висимости от положения образца (рис. 125). Извест¬
но, что при х = 0 индуктивность катушки равна Ь0,
а по ее виткам течет некоторый ток 3\. В первом
эксперименте была получена зависимость /)(х). Во
втором эксперименте катушка была переведена в
нормальное состояние и по ее виткам пропущен ток
32 от внешнего источника. Предполагалось вновь измерить зависи¬
мость силы, действующей на образец, от координаты. Какую зави¬
симость В2(х) следует ожидать в этом случае?
7.79. Внутри длинной катушки-соленоида с плотностью намотки
витков п расположена небольшая катушка с площадью витков S
и полным числом витков N. Ось малой катушки ориентирована
под углом 9 по отношению к оси соленоида.
Катушки включены последовательно, и по ним
течет ток 3. Какой момент сил действует на ма- ц
лую катушку? ^ ^
7.80. В центре торца длинного соленоида рас¬
положен магнитный диполь с магнитным мо- Рис. 126
ментом Ж, ориентированный вдоль оси соле¬
ноида (рис. 126). По соленоиду течет ток 3. Плотность намотки
п [витков/см]. Радиус соленоида R. Найти силу, действующую на
магнитный диполь.
Рис. 125
rvwv
Pfffl
ЭИ
61

7.81. Небольшой сверхпроводящий шарик может свободно пере¬
мещаться вдоль оси тонкого кольца радиусом R, по которому течет
ток. При каком расстоянии между шариком и плоскостью кольца
сила, действующая на шарик, принимает максимальное значение?
Как направлена эта сила?
7.82. Длинный сверхпроводящий цилиндр (из сверхпроводника
I рода) внесен в постоянное однородное магнитное поле с индук¬
цией В, направленное параллельно оси цилиндра. Определить си¬
лу /, действующую на единицу площади боковой поверхности ци¬
линдра.
7.83. На какой высоте h постоянный магнитик с магнитным мо¬
ментом Ш1 = 103 Гс-см3 и массой т= 10 г будет парить в горизон¬
тальном положении над плоской горизонтальной поверхностью
сверхпроводника I рода? Магнитик считать точечным ди-
л полем.
Указание. Применить метод зеркальных изображе¬
ний. Воспользоваться выражением для взаимной потенци¬
альной энергии двух точечных диполей.
7.84. Кольцо из сверхпроводника надевают на длин¬
ный однородно намагниченный стержень, индукция на
полюсе которого (в точке А) равна В0 (рис. 127). При
этом затрачивают работу А. Какой ток 3 пойдет в кольце,
Рис. 127 если площадь сечения магнита равна 5?
7.85 Дипольное магнитное поле нейтронной звезды
Б0~Ю12Гс, масса М~ 1,5-1030 кг, радиус ??0~10км.
Определить с помощью числовых оценок, как поведет себя вблизи по¬
верхности звезды сверхпроводящая капля с плотностью р~10 г/см3,
полагая, что магнитное поле не разрушает сверхпроводимость.
§ 8. Движение заряженных частиц
в электрическом и магнитном полях. ЭДС Холла.
Движение тел при наличии пондеромоторных сил
8.1. Три электрона в состоянии покоя помещены в вершинах
правильного треугольника со стороной а = 1 см. После этого они на¬
чинают двигаться под действием взаимного отталкивания. Опреде¬
лить предельное значение их скоростей.
8.2. Решить предыдущую задачу для релятивистских скоростей.
При каких расстояниях а можно пользоваться нерелятивистским
приближением?
8.3. В плоском конденсаторе с напряженностью электрического
поля Е = 1000 В/м из отрицательно заряженной пластины в резуль¬
тате термоэмиссии вылетают электроны. Принимая во внимание
действие поля электрического изображения, оценить, на каком рас¬
стоянии от этой пластины скорость электронов будет наименьшей.
8.4. Вдоль эвакуированной длинной цилиндрической трубы ра¬
диусом R создан стационарный аксиально симметричный поток
62

электронов, ускоренных при прохождении разности потенциалов V.
Найти распределение плотности электронов в зависимости от ради¬
уса г в некотором сечении пучка, если результаты измерения
магнитного поля В как функции г в этом сечении оказалось воз¬
можным описать выражением B = B0(r/R)q при г < R, д> О, где
В0 и q — постоянные. Определить
электрическое поле Е(г), предполагая,
что параметры пучка не изменяются
вдоль его оси.
8.5? Две щели S, и 52 шириной
d = 0,1 см каждая (рис. 128), установ¬
ленные в эвакуированном сосуде, выде¬
ляют плоский пучок электронов с энер¬
гией W = 400 эВ. На каком расстоянии
х от щели S2 ширина электронного пуч¬
ка удвоится из-за кулоновского расталкивания электронов, если
электронный ток, приходящийся на единицу длины щели (за щелью
S2), равен г'=10~4А/см? При расчетах щели считать бесконечно
длинными.
8.6! Определить частоту поперечных колебаний протонов, захва¬
ченных релятивистским электронным пучком, имеющим сечение
лR2 = 3,14-10~2 см2 и силу тока 3 = 103 А.
8.7. Из ускорителя выводится пучок протонов с энергией
W = 4 МэВ, который затем проходит в вакууме путь / = 4м преж¬
де, чем попасть на мишень. Вследствие кулоновского взаимодейст¬
вия частиц размеры пучка увеличиваются. Оценить максимально
возможную плотность тока в пучке, если
допускается увеличение радиуса пучка на
6=10% по сравнению с исходным. Рас¬
пределение частиц в пучке аксиально сим¬
метрично, их начальными поперечными
скоростями пренебречь.
8.8. На рис. 129 изображена электрон¬
ная лампа непосредственного накала со
всеми поданными на нее напряжениями.
С какой скоростью (выраженной в воль¬
тах) электроны будут достигать анода
лампы?
8.9. Найти отношение силы куло¬
новского расталкивания к силе притя¬
жения Ампера двух параллельных пуч¬
ков электронов, прошедших ускоряющий потенциал V = 10 кВ.
8.10. Какое количество неподвижных однозарядных положитель¬
ных ионов нужно поместить в пространстве, занимаемом однородным
цилиндрическим пучком электронов, движущихся со скоростью v
параллельно оси, чтобы радиус пучка при его движении не изме¬
нялся? Плотность электронов в пучке п0. Столкновениями электро¬
нов с ионами пренебречь.
Рис. 129
Рис. 128
63

8.11. Электронный пучок распространяется по цилиндрическому
плазменному каналу, нейтрализующему пространственный заряд.
Плотность тока в пучке монотонно спадает при удалении от оси.
Оценить ток пучка (в амперах), при котором размеры электронных
траекторий станут меньше радиуса пучка. Скорость электронов
v = 0,9с.
8.12. Электрон влетает в постоянное однородное магнитное поле
В (рис. 130) и, находясь в точке А, обладает скоростью v, обра¬
зующей с направлением поля угол а. Затем,
+- описав один виток винтовой линии, он ока¬
зывается в точке С. Чему равно расстоя¬
ние АС?
8.13. Серпуховский ускоритель прото¬
нов ускоряет эти частицы до энергии
^ W = 76 ГэВ = 7,6- Ю10 эВ. Если отвлечься от
наличия ускоряющих промежутков, то мож-
Рис. 130 но считать, что ускоренные протоны дви¬
жутся по окружности радиусом R = 236 м
и удерживаются на ней магнитным полем, перпендикулярным
к плоскости орбиты. Найти необходимое для этого магнитное поле.
8.14! Для моделирования траектории атомной частицы с заря¬
дом е и импульсом р, движущейся в постоянном магнитном поле,
часто пользуются тем обстоятельством, что очень легкий (невесо¬
мый) гибкий проводник с током 3, находящийся под постоянным
механическим натяжением Т, занимает в том же магнитном поле
положение, совпадающее с траекторией частицы. Найти связь меж¬
ду 3, е, р, Т. Частица движется перпендикулярно к магнитному по¬
лю. Предполагается, что вне магнитного поля участки проводника
прямолинейны и расположены вдоль
соответствующих прямолинейных же
к. участков траектории.
8.15. Смоделировать траекторию
заряженной частицы в магнитном по¬
ле можно, натянув в зазоре магнита
проволоку с током. С какой силой F
надо натянуть проволоку с током
3 = 1 А, чтобы имитировать траек¬
торию протона с энергией W = 1 МэВ?
8.16. Масс-селектор, т. е. прибор,
предназначенный для разделения
атомных частиц разных масс, состоит
из цилиндрического конденсатора с
внутренним радиусом rt = 2,4 см и
внешним г2 = 3 см (рис. 131). Ионные лучи попадают в селектор
через узкую щель S, расположенную посередине между обкладками.
Параллельно оси конденсатора (т. е. перпендикулярно к плоскости
чертежа) приложено однородное магнитное поле с индукцией
В = 2000 Гс. Какую по величине и знаку разность потенциалов надо
64

приложить к пластинам конденсатора, чтобы однократно заряжен¬
ный положительный ион 71л прошел по средней линии конден¬
сатора, т. е. по окружности радиусом г = 2,7 см? Найти напряжен¬
ность электрического поля на этой окружности. Энергия иона
IV = 1000 эВ. Масса атома водорода 1,67 -10-24 г. На сколько надо
изменить эту разность потенциалов, чтобы по той же линии через
селектор могли пройти ионы 6Li?
8.17. В установке для разделения изотопов 235U и 238U пучок од¬
нократно ионизованных ускоренных ионов урана с энергией
W = 5 кэВ попадает от источника через щель S (рис. 132) в одно¬
родное магнитное поле, перпендику¬
лярное к плоскости рисунка. В магнит¬
ном поле ионы разных масс движутся
по различным окружностям и, совер¬
шив полуоборот, попадают в приемни¬
ки. Конструкция последних должна
быть такова, чтобы расстояние между
пучками 235U и 238U на выходе было не
меньше 6 = 5 мм. Каково должно быть
магнитное поле В, удовлетворяющее этому условию? Найти также
время t, необходимое для полного разделения М— 1 кг природного
урана, если ионный ток, создаваемый источником, 3 = 5 мА. Массы
протона и нейтрона считать одинаковыми и равными 1,67- НИ24 г.
8.18. Сепаратор частиц устроен следующим образом: на вход ци¬
линдрического конденсатора с внешним радиусом г{ и внутренним
радиусом г2 попадают ионы
разных масс и, двигаясь по ок¬
ружности, попадают затем в
магнитное поле В (рис. 133).
Каково отношение М/д массы
иона к его заряду, если он про¬
шел этот сепаратор при напря¬
жении на конденсаторе V, а
радиус его траектории в маг¬
нитном поле равен 7?т?
8.19. Один из ранних ме¬
тодов определения отношения
заряда к массе е/т для элект¬
рона состоял в следующем.
Электроны, вырванные из
алюминиевого диска А, уско¬
рялись разностью потенциа¬
лов V, приложенной между А
и щелью S (рис. 134). Пройдя через щель S, электронный пучок по¬
падал в однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости
рисунка. Вся система помещалась в вакууме. Изменяя величину
магнитного поля, добивались того, чтобы ток на коллекторе С,
3- 1651
65

регистрируемый гальванометром Г, был максимален. Измерив маг¬
нитное поле В в этот момент, можно вычислить е/т. Провести чис¬
ловой расчет, если расстояние между щелью S и коллектором С
равно d = 10 см, угол между прямой, проведенной от 5 к С, и на¬
чальным направлением электронного пучка а = 30°, V — 1000 В,
В = 10,6 Гс.
8.20. В ускорителе прямого действия протон движется в практи¬
чески однородном электрическом поле внутри вакуумной трубки.
Посторонние магнитные поля искривляют его траекторию, в резуль¬
тате чего он может попасть на стенку, не дойдя до конца трубки.
Оценить допустимый уровень однородного внешнего магнитного по¬
ля в зоне такого ускорителя, если длина трубки / = 2 м, а протоны
ускоряются до энергии W = 4 МэВ. Допустимое отклонение прото¬
нов от осевой линии в конце трубки 6=1 см. Начальной скоростью
протонов пренебречь.
8.21 Г Частица массой т с зарядом е движется по равновесной
круговой орбите радиусом г0 в горизонтальной плоскости зазора
магнита (рис. 135), в котором магнитное поле спадает по радиусу по
закону Bz(r) = А/гп (0 < п < 1). Центр орбиты совпадает с осью
симметрии zz. Определить частоту шг вертикальных колебаний ча¬
стицы на такой равновесной орбите в случае малых отклонений от
горизонтальной плоскости.
8.22? В условиях предыдущей задачи определить частоту шг ра¬
диальных колебаний частицы в случае малых отклонений от равно¬
весной орбиты.
8.23. В ускорителях заряженных частиц индукция В магнитного
поля, направленная вдоль оси симметрии, изменяется вблизи равно¬
весной орбиты по закону В«.\/гп, где г — радиус круговой орбиты
и п — характерный показатель. При каком его значении обеспечи¬
вается не только круговое движение на равновесной орбите, но и ра¬
диальная устойчивость его?
8.24? Длинный соленоид намотан так, что магнитное поле вдоль
его оси меняется по линейному закону В = В0( 1 + | х | /Ь). Здесь х —
расстояние от центра соленоида вдоль его оси, a L = 15 см — параметр
66

поля. Диаметр соленоида d<^L, поле В не зависит от времени.
(Отметим, что указанную зависимость В(х) нельзя реализовать в ок¬
рестности х = 0, не существенной для решения задачи.) Заряженная
частица движется так, что ее траектория полностью находится внутри
соленоида (для простоты можно считать, что траектория симметрична
относительно оси соленоида). Описать движение частицы. Найти пе- .
риод и амплитуду колебаний частицы вдоль оси соленоида, если из¬
вестно, что в центральном поперечном сечении соленоида части¬
ца движется под углом 60° к оси соленоида со скоростью v = 100 см/с.
8.25! Один из предложенных путей получения высоких темпера¬
тур, необходимых для осуществления термоядерных реакций, ис¬
пользует так называемую «магнитную термоизоляцию». Уход быст¬
рых частиц из зоны высокой температуры предотвращается магнит¬
ным полем. Определить силу тока 3 в столбе газового разряда
радиусом = 3 см, необходимую для того, чтобы электроны, обла¬
дающие средней скоростью хаотического движения, отвечающей
температуре Т — 106 К, не могли удаляться от поверхности столба
на расстояние больше, чем г = 2-10~3 см.
8.26. Рассматривая движение электрона в атоме классически,
покажите, что его механический L и магнитный Ш моменты свя¬
заны соотношением 2Л = — L.
2 тс
8.27. Вспомнив теорию гироскопа и воспользовавшись результа¬
том предыдущей задачи, показать, что во внешнем поле В атом
е
прецессирует с частотой ш = — В
(теорема Лармора).
8.28. В омегатроне ион остаточного
газа раскручивается по спирали в
скрещенном электрическом (перемен¬
ном с амплитудой Е= 1 В/см) и по¬
стоянном магнитном (В=3-103 Гс)
полях (рис. 136). Найти частоту, при
которой ионы NJ будут достигать кол¬
лектора. При этой частоте радиус спи¬
рали будет возрастать до тех пор, пока
ион не достигнет коллектора на радиусе R — 1 см. Если частоту не¬
много изменить, то ион будет некоторое время раскручиваться, а по¬
том начнет скручиваться обратно к источнику. Оценить, на сколько
надо изменить частоту, чтобы ток на коллектор прекратился.
8.29. Шарик массой т = 1 г с зарядом q = 1 ед. СГСЭ помещен
внутри соленоида на гладкой горизонтальной плоскости, по которой
он может скользить без трения. Ось соленоида вертикальна. Снача¬
ла тока в обмотке соленоида не было. Затем был включен ток, и в
соленоиде установилось постоянное однородное магнитное поле с
индукцией В — 100 Гс. Во время нарастания магнитного поля возни¬
кает электрическое поле, приводящее шарик в движение. Нараста¬
ние тока происходит настолько быстро, что за время установле¬
ния поля шарик не успевает сместиться на заметное расстояние.
з*
67

Определить радиус г круговой траектории, по которой будет дви¬
гаться шарик после установления магнитного поля, а также период
обращения Т его по этой траектории, если в начальный момент ша¬
рик находился на расстоянии R от оси соленоида. Проанализировав
числовые результаты, ответить на вопрос: можно ли практически
наблюдать эффект с макроскопическими шариками? В чем трудно¬
сти постановки опыта с заряженными макрочастицами?
8.30. В ускорителе электронов бетатроне роль ускоряющего на¬
пряжения играет ЭДС индукции, возбуждаемая изменением маг¬
нитного потока, пронизывающего орбиту электронов. Электроны
движутся при этом по орбитам приблизительно постоянного ра¬
диуса. Считая радиус орбиты электрона неизменным, определить
необходимое для этого в данный момент времени соотношение меж¬
ду средним магнитным полем B(t), пронизывающим орбиту элект¬
рона, и магнитным полем на орбите электрона B(t). Магнитное поле
параллельно оси симметрии вакуумной камеры бетатрона.
8.31. Дипольное магнитное поле нейтронной звезды Д0~ 1012 Гс,
масса Mss 1,5- Ю30 кг, радиус 7?0ss10km. Определить с помощью
числовых оценок, какие силы будут доминировать в динамике реля¬
тивистского электрона (Ж~3 МэВ) на расстоянии от звезды поряд¬
ка радиуса земной орбиты (150 млн км).
8.32. Длинная катушка, по виткам которой течет ток, движется
со скоростью и, направленной перпендикулярно ее оси. Заряженная
частица, имеющая скорость v (c»v> и), догоняет катушку и, про¬
летев между ее витками, вылетает
под углом 90° к первоначальному на¬
правлению (рис. 137). Найти относи¬
тельное изменение энергии частицы.
8.33. Один из механизмов ускоре¬
ния заряженных частиц (протонов и
ядер) в космических лучах в Галакти¬
ке обусловлен их отражением от дви¬
жущихся «магнитных облаков» — по¬
токов ионизованной плазмы, несущей
сильные «замороженные» магнитные
поля. На рис. 138 показана граница
намагниченной области АА (область,
заполненная магнитным полем, за¬
штрихована), которая движется со
скоростью и. Магнитное поле в облаке
направлено перпендикулярно рисун¬
ку. Нерелятивистское заряженное яд-
Рис. 138
ро летит перпендикулярно границе АА' со скоростью v (и» и). Найти
относительное изменение энергии ядра при его отражении от магнит¬
ного облака, учитывая действие магнитного и электрического полей.
8.34. В скрещенных однородных полях Е и В (Е ±В) из некоторой
точки х0 разлетаются электроны с одинаковыми скоростями г<к с,
лежащими в плоскости Оху (рис. 139). Считая E<zB (СГСЭ) и
68

пренебрегая взаимодействием электронов друг с другом, найти, на ка¬
ком расстоянии I и через какое время Т они снова соберутся в одну
точку. Изобразить (качественно) траекторию частицы, если извест¬
но, что в начальный момент она покоилась в точке х0?
Рис. 139
Указание. Перейти в систему отсчета, в которой электри¬
ческое поле равно нулю.
8.35. Электрон, обладающий скоростью v, попадает в однородные
и постоянные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное
поля Е и В. Скорость v перпендикулярна
к обоим полям. Найти траекторию дви¬
жения электрона.
8.36. Однородный по плотности пло¬
скопараллельный слой электронов удер¬
живается в вакууме однородным маг¬
нитным полем с индукцией В = 57 Гс
(рис. 140). Поле параллельно поверх¬
ности слоя. Толщина слоя 6=1 см.
Плотность электронов в слое
п = 107 см-3. В этих условиях электроны движутся параллельно
поверхности слоя в плоскости, перпендикулярной магнитному по¬
лю (дрейф). Определить скорость
дрейфа ид в зависимости от расстоя¬
ния х до плоскости симметрии. Опре¬
делить разность потенциалов А9
между плоскостью симметрии и
внешними поверхностями слоя. Для
электронов отношение е/те =
5,27-1017 ед. СГСЭ.
8.37. Электронный пучок пред¬
ставляет собой тонкостенную трубку,
движущуюся в направлении своей оси
и вращающуюся относительно нее в
вакуумированном пространстве между электродами соосного с пуч¬
ком цилиндрического конденсатора (радиус внутреннего электрода
гь внешнего гг). Считая пучок бесконечно тонкой заряженной по¬
верхностью, свернутой в круглую трубу радиусом г0, а полную ско¬
рость электронов пучка заданной и равной v0,
найти максимальный ток о7шах, который мо- кД
Рис. 141
жет быть проведен в таком пучке через про¬
странство, ограниченное электродами кон¬
денсатора. Конденсатор электрически зако¬
рочен, его длина существенно превышает
зазор между электродами.
8.38. Вдоль оси находящегося в вакууме соленоида из элект¬
ронной пушки инжектируется цилиндрический пучок электронов
(рис. 141). Вследствие пересечения частицами сходящихся магнит¬
ных силовых линий в области неоднородного поля у торца соленои¬
69

да пучок приобретает однородное вращение. Полагая, что пушка
находится вдали от торца соленоида, определить угловую скорость
вращения пучка. Радиальные скорости электронов, приобретенные
при движении в неоднородном магнитном поле, во внимание не
принимать. Провести расчет для соленоида с плотностью намотки
п = 10 витков/см и током 3=10 А. Для электронов отношение
е/те= 5,27-1017 ед. СГСЭ.
8.39. Цилиндрический электронный пучок, распространяясь в
пространстве внутри эвакуированной металлической трубы радиу¬
сом R вдоль направленного по ее оси внешнего однородного магнит¬
ного поля с индукцией В, однородно вращается относительно этой
еВ п
оси с ларморовскои частотой шл = В результате все радиальные
силы в нем оказываются уравновешенными (бриллюэновское состо¬
яние равновесия, пучок Бриллюэна). Найти зависимость продоль¬
ной скорости электронов v от расстояния до оси, а также макси¬
мальный ток, который может быть получен в таком пучке при ус¬
ловии, что потенциал трубы относительно эквипотенциального
катода не меняется и равен <ра, а пучок полностью заполняет трубу.
Считать скорости электронов на катоде равными нулю.
8.40. Полый электронный пучок, имеющий форму тонкостенной
длинной трубки, движется в вакууме в направлении своей оси, вдоль
которой приложено внешнее однородное магнитное поле, и одновре¬
менно вращается относительно оси с частотой Лармора. Считая пу¬
чок бесконечно тонкой заряженной поверхностью, свернутой в труб¬
ку круглого сечения, а полную скорость электронов пучка заданной
и равной п0, найти максимальный ток <Дтах, который можно провести
в таком пучке. Считать, что п0«с, где с — скорость света.
8.41. Заряженный шарик движется в скрещенных однородных
гравитационном и магнитном полях в среде, сила трения в которой
пропорциональна скорости движения. Движение происходит в пло¬
скости, перпендикулярной вектору индукции магнитного поля. Най¬
ти величину и направление скорости установившегося движения
шарика. Известно, что в среде без трения шарик движется с дрей¬
фовой скоростью ндр. В среде с трением, но в отсутствие магнитного
поля, скорость его установившегося движения щ.
8.42. Заряженный шарик движется в скрещенных однородных
электрическом Е и магнитном В полях (Е<&В) в среде, сила трения
в которой пропорциональна скорости движения. Движение происхо¬
дит в плоскости, перпендикулярной вектору индукции магнитного
поля. Найти величину и направление скорости его установившегося
движения, если известно, что в отсутствие магнитного поля эта ско¬
рость равна v\.
8.43. Электрический диполь движется в однородном магнитном
поле со скоростью v, перпендикулярной В. Дипольный момент р со¬
ставляет малый угол с направлением [vB] (рис. 142). Найти угловую
частоту малых колебаний диполя ш0, считая известными его момент
инерции /0, скорость v, дипольный момент р и индукцию поля В.
70

г
8.44. Плоский воздушный конденсатор помещен в горизонталь¬
ном положении между круглыми горизонтальными наконечниками
электромагнита (рис. 143). Между обкладками конденсатора в одно¬
родном электрическом поле Е на расстоянии R от оси полюсных
/
1
_ а
Рис. 144
наконечников неподвижно висит заряженная масляная капля с заря¬
дом q. В обмотке включают ток, и магнитное поле доводят до по¬
стоянной величины В. Предполагая, что за время нарастания маг¬
нитного поля смещение капли пренебрежимо мало, найти скорость v
капли и траекторию ее движения после включения магнитного поля.
8.45. Электрический заряд q равномерно распределен по твердо¬
му непроводящему тонкому кольцу массой т. Кольцо может свобод¬
но вращаться вокруг своего (закрепленного) центра. Вначале кольцо
покоится, а магнитное поле равно нулю. Затем включают однород¬
ное магнитное поле В = В(1), перпендикулярное к плоскости кольца
и произвольно меняющееся во времени. Определить движение коль¬
ца в магнитном поле.
8.46. Металлическое кольцо радиусом г и массой т падает в
магнитном поле, вертикальная составляющая индукции которого за¬
висит от высоты h по закону B(h) = Б0(1 — ah), где а — константа.
Плоскость кольца при падении горизонтальна, омическое сопротив¬
ление кольца R. Индуктивностью кольца пренебречь. Найти зависи¬
мость скорости падения от времени t.
8.47. Короткозамкнутой проволочной рамке в форме квадрата со
стороной а, находящейся в магнитном поле, сообщена начальная
скорость v0 в направлении, перпендикулярном одной из сторон в
плоскости рамки. Вектор магнитной индукции В направлен перпен¬
дикулярно плоскости рамки, а величина его линейно изменяется в
направлении начальной скорости (х) так, что = к. Найти скоро¬
сть рамки через время t после начала движения. Масса рамки т, со¬
противление R. Коэффициентом самоиндукции пренебречь. Силу тя¬
жести не учитывать.
8.48. Прямоугольная рамка со сторонами а и b находится на рас¬
стоянии I от прямого провода, питаемого током Ц0 (рис. 144). Какой
по величине и направлению импульс р получит рамка при выключе¬
нии тока Ц0, если активное сопротивление рамки R, а реактивным
можно пренебречь?
71

8.49? Прямоугольный импульс тока Ц = 200 кА протекает за вре¬
мя At = 10~4 с через гибкую металлическую полосу длиной 21 = 2 м,
шириной а = 0,1 м, сложенную вдвое и разделенную тонким непро¬
водящим промежутком (рис. 145). Под полосой расположен твердый
т &
Рис. 145
Рис. 146
рическои
массивный стол, а сверху находится брусок с площадью основания
а X / и массой т = 1 кг. Оценить скорость бруска после прохождения
импульса тока по полосе.
8.50. Импульс тока максимальной величины 3 = 100 кА проте¬
кает через две тонкие гибкие металлические полосы шириной
а = 0,1м, разделенные тонким зазором, заполненным диэлект-
жидкостью (маслом) с плотностью р = 0,8 г/см3
(рис. 146). Оценить скорость, с которой масло
будет выбрасываться из зазора между полосами
в момент протекания максимального тока.
8.51. Длинный сверхпроводящий соленоид
радиусом г0 = 2 см укреплен по центру диска из
изолятора, который может свободно вращаться
вокруг своей оси (рис. 147). Соленоид замкнут
накоротко, и в нем циркулирует ток, создающий
в центре соленоида индукцию В0 = 104 Гс. На
диск вне соленоида нанесены заряды, суммарная
величина которых составляет (2 = 4-10_6Кл.
Соленоид разогревается, и ток в нем прекращается. Найти момент
импульса L, который получает в результате этого вся система.
8.52? В классическом опыте, поставленном И. К. Кикоиным,
сверхпроводящий цилиндр (масса М = 80 г, высота h = 20 см, ради¬
ус R — 0,5 см) подвешен на упругой нити в магнитном поле, на¬
правленном вертикально вдоль оси цилиндра. Нить подвеса в исход¬
ном состоянии не закручена. Магнитное поле постепенно повышает¬
ся так, что сверхпроводимость скачком исчезает при поле В = 1 кГс,
а цилиндр при этом закручивается. Определить максимальный угол
закручивания, если модуль кручения к — 1 эрг/рад.
8.53. Легкий шарик массой т = 0,5 г и радиусом г — 1 см подве¬
шен на длинной нити и вращается по горизонтальной окружности,
радиус которой очень мал по сравнению с длиной нити (конический
маятник). Найти изменение угловой скорости вращения шарика
Дш = со - ш0 после того, как он был заряжен до потенциала
V = 3000 В и помещен в вертикальное магнитное поле В = 3000 Гс.
В каком случае угловая скорость увеличится и в каком уменьшится?
72

Примечание. Окончательную формулу для изменения угловой
скорости упростить, использовав соотношение qB/mc-^'jg/l, где q —
заряд шарика, I — длина нити, g — ускорение свободного падения.
8.54. Металлический шарик массой тис зарядом q подвешен
на нити длиной L и вращается вокруг вертикальной оси (кониче¬
ский маятник). При этом угол между нитью и вертикалью равен а.
Маятник подвешен между полюсами электромагнита. Что произой¬
дет при включении однородного магнитного поля с индукцией В1 На
какую величину и за счет чего изменится кинетическая энергия ма¬
ятника? Что произойдет при выключении поля?
8.55. Сверхпроводящий шар массой М=10г и радиусом
R = 1 см покоится в магнитном поле В — 1 кГс. Температура шара
постепенно повышается так, что сверхпроводимость исчезает, а шар
начинает вращаться. Найти угловую скорость ш вращения шара.
8.56. На расстоянии а = 9 см над поверхностью сверхпроводника
«парит» в поле тяжести тонкий постоянный магнит, длина которого
мала по сравнению с расстоянием а. Если магнит слегка вывести из
равновесия, то он совершает малые колебания в вертикальной пло¬
скости. Найти период колебаний, при которых отсутствует враща¬
тельное движение диполя.
8.57. Постоянный короткий магнит с магнитным моментом, ори¬
ентированным вертикально, сначала удерживается над сверхпрово¬
дящей плоскостью на расстоянии а = 2 см, а затем отпускается
(рис. 148). Оценить высоту h, на кото¬
рую он подскочит. Масса магнита
т = 15 г, объем V = 2 см3, намагни¬
ченность / = 103 Гс.
Указание. Считать, что в верх¬
нем положении взаимодействие маг¬
нита со сверхпроводником мало по
сравнению с начальным. Получив от¬
вет, проверить, правильно ли это.
8.58. Маленький постоянный маг¬
нит совершает малые свободные коле¬
бания над сверхпроводящей плоско¬
стью. Каково отношение периодов ко¬
лебаний двух магнитов одинаковой
массы, если их магнитные моменты отличаются в 16 раз? ись магнита
при колебаниях остается параллельной сверхпроводящей плоскости.
8.59. Маленький постоянный магнит совершает малые свобод¬
ные колебания над сверхпроводящей плоскостью. Каково отношение
периодов колебаний двух магнитов с одинаковыми магнитными
моментами, массы которых отличаются в 16 раз? Ось магнита оста¬
ется перпендикулярной сверхпроводящей плоскости.
8.60? Монополь Дирака (элементарная частица массой М, облада¬
ющая магнитным зарядом Ъ) находится строго посредине зазора меж¬
ду пластинами незаряженного разомкнутого плоского конденсатора,
изготовленными из идеального сверхпроводника. Оценить частоту
73

малых колебаний монополя в направлении нормали к плоскостям. Все
размеры конденсатора много больше расстояния d между пластинами.
8.61. По двум горизонтальным параллельным проводам, находя¬
щимся на расстоянии 2а = 1 см друг от друга, текут одинаковые по
величине, но противоположные по направлению токи силы
3 = 103 А. Точно посредине между проводами находится шарик
восприимчивостью х = — 10-5 и плотностью
р = 2,0 г/см3. Найти период Т малых колебаний
шарика в горизонтальной плоскости. Считать,
что вертикальное движение шарика отсутствует,
трения при его движении нет.
8.62. Алюминиевое кольцо, сопротивление
которого пренебрежимо мало, надето на сердеч¬
ник электромагнита и лежит на подставке в
верхней части сердечника (рис. 149). Магнит¬
ный поток, посылаемый сердечником через
кольцо, нарастает от нуля до конечного значе¬
ния Ф0 = 105 Гс-см2. Нарастание потока проис¬
ходит настолько быстро, что за время нарастания кольцо практиче¬
ски не успевает сместиться. Найти высоту h, на которую подскочит
кольцо, если его масса m = 100 г, а индуктивность L = 100 см.
8.63. Сверхпроводящий шарик радиусом г и массой m со скоро¬
стью v подлетает к области постоянного магнитного поля В. Оце¬
нить максимальную скорость, при которой шарик отразится от поля.
8.64. В однородное магнитное поле с индукцией В помещена
тонкая металлическая лента шириной d (рис. 150) и толщиной а
так, что плоскость ленты перпендикулярна
к индукции В. По ленте пропускают ток
3. Найти разность потенциалов V, возни¬
кающую между краями ленты (т. е. на рас¬
стоянии d), если концентрация свободных
электронов в металле ленты п (частный
случай явления Холла).
8.65. Длинный незаряженный цилиндр
из немагнитного металла радиусом
R = 12,56 см равномерно вращается в одно¬
родном магнитном поле В = 300 Гс, парал¬
лельном оси цилиндра, с угловой скоростью
со = 60 рад/с. Определить поверхностную плотность зарядов, возни¬
кающих вследствие вращения на боковой поверхности цилиндра.
Указать знак поверхностных зарядов, если векторы со и В направ¬
лены в одну сторону. Магнитным полем возникающих зарядов и
инерционными эффектами электронов пренебречь.
8.66! Полый диэлектрический цилиндр с внутренним радиусом
г{ и наружным радиусом г2 равномерно вращается в однородном маг¬
нитном поле с угловой скоростью со вокруг своей оси. Вектор индук¬
ции магнитного поля В параллелен оси цилиндра, диэлектрическая
проницаемость материала цилиндра равна е. Найти: 1) объемную
с диамагнитной
74

плотность рсвяз связанных зарядов, появившихся в диэлектрике
вследствие вращения в магнитном поле; 2) полный объемный заряд
q на единицу длины цилиндра; 3) плотности поверхностных зарядов
на обеих поверхностях цилиндра.
8.67. Длинный сплошной алюминиевый цилиндр радиусом R за¬
ряжен электричеством и вращается с постоянной угловой скоростью
со вокруг своей продольной оси. Заряд на единицу длины цилиндра
равен к. Найти разность потенциалов V между осью и поверхностью
цилиндра, возникающую из-за его вращения. Действием центро¬
бежной силы пренебречь.
8.68. Вдоль трубы с внутренним и наружным радиусами и
R2 течет ток Ц. Определить, какая разность потенциалов V устано¬
вится между внутренней и наружной поверх-
ностями трубы. Число свободных электронов
в единице объема металла — п. ____L__V Л
8.69. В простейшей схеме магнитного гид- ::::: *
родинамического генератора плоский конден¬
сатор с площадью пластин S и расстоянием
между ними d помещен в поток проводящей
жидкости с проводимостью X (рис. 151), двига- Рис. 151
ющейся с постоянной скоростью v параллельно
пластинам. Система находится в магнитном поле с индукцией В,
направленной перпендикулярно плоскости рисунка. Какая мощность
N выделяется во внешней цепи, имеющей сопротивление R?
8.70. Длинная незаряженная пластинка из немагнитного метал¬
ла движется равномерно в однородном магнитном поле В = 1800 Гс
со скоростью v = 6,28 см/с. Векторы В и v взаимно перпендикуляр¬
ны и параллельны плоскости пластинки (рис. 152). Определить по¬
верхностную плотность электрических зарядов на плоскостях пла¬
стинки, возникающих вследствие ее движения. Указать знаки
поверхностных зарядов, если векторное произ¬
ведение [vB] направлено вверх. Магнитным
полем возникающих зарядов пренебречь.
8.71. Диэлектрическая жидкость проница¬
емостью е протекает между пластинами пло¬
ского конденсатора со скоростью г>«с. Пер- Рис. 152
пендикулярно направлению движения жидко¬
сти и параллельно обкладкам конденсатора приложено однородное
постоянное магнитное поле В. Определить напряжение V между об¬
кладками конденсатора и поверхностную плотность зарядов ди¬
электрика а. Расстояние между пластинами конденсатора d.
8.72. В результате некоторого космического события образова¬
лась система, состоящая из звезды (масса М, магнитный момент
391 о) и планеты (масса т <к М, магнитный момент 891). Планета
движется по круговой орбите радиусом R. Найти возможный разброс
величины периода обращения в зависимости от ориентации магнит¬
ных моментов, считая плоскость орбиты перпендикулярной магнит¬
ному моменту звезды 3910.
7 V
>-
Рис. 151
75

8.73. Определить период малых крутильных колебаний магнит¬
ного бруска (5=1 мм2, / = 10 см), подвешенного горизонтально на
неупругом подвесе в магнитном поле Земли (горизонтальная
составляющая В0 = 0,2 Гс). Плотность стали р = 7,8 г/см3, остаточ¬
ная индукция В= 10 кГс.
8.74. Два одинаковых железных бруска сечением 5 = 0,1 см2 и
длиной / = 5 см имеют остаточную магнитную индукцию
5= 12 560 Гс. Бруски
расположены на одной
■*н прямой на расстоянии
^ L = 1 м. Один брусок за¬
креплен неподвижно, а
другой может свободно
Рис. 153 вращаться вокруг оси
ОО', проходящей через
его середину и параллельной магнитному полю Земли В0 (рис. 153).
Найти период Т малых крутильных колебаний бруска. Плотность же¬
леза р = 7,8 г/см3.
8.75. Две одинаковых железных иглы сечением 5 = 1 мм2 и дли¬
ной / = 1 см имеют остаточную магнитную индукцию В — 12 560 Гс.
/УИИИИ °,
Ч —-
Рис. 155
Р1
Рис. 156
Одна игла закреплена неподвижно в плоскости, перпендикулярной
земному магнитному полю В0, а другая может свободно вращаться
в этой плоскости вокруг оси, проходящей через ее середину на рас¬
стоянии L = 10 см от центра первой иглы по перпендикуляру к ее
оси (рис. 154). Найти период Т малых крутильных колебаний иглы.
Плотность железа р = 7,8 г/см3.
8.76. Тонкое металлическое кольцо быстро вращается вокруг
вертикальной оси, проходящей через его диаметр и перпендикуляр¬
ной однородному магнитному полю с индукцией В= 100 Гс. Пре¬
небрегая трением в оси, найти время т, за которое угловая скорость
вращения уменьшается в е раз. Плотность материала кольца
р = 9г/см3, проводимость X = 5-105 Ом-1 -см-1. Потери энергии за
один оборот считать малыми.
8.77. Определить период малых продольных колебаний внут¬
ренней обкладки вертикально расположенного цилиндрического кон¬
денсатора, заряд которого постоянен и равен Q (рис. 155). Радиус
76

наружного цилиндра R, внутреннего г, высота h, масса внутренней
обкладки т, r«h.
8.78. Электрический заряд Q равномерно распределен по тонко¬
му кольцу радиусом R (рис. 156). Точечный диполь массой т с
дипольным моментом р может перемещаться вдоль оси кольца, пер¬
пендикулярной его плоскости, причем дипольный момент диполя
параллелен оси кольца. В начальный момент времени диполь нахо¬
дится в центре кольца и имеет нулевую скоро¬
сть. 1) Определить максимальную скорость
Ушах диполя при его движении вдоль оси коль¬
ца. Сила тяжести отсутствует. 2) Определить
положение равновесия х0 диполя. 3) Опреде¬
лить период малых колебаний диполя около
положения равновесия.
8.79. Одна из пластин конденсатора жест¬
ко закреплена, а вторая, имеющая массу т,
связана с пружиной жесткостью к (рис. 157).
Расстояние между пластинами при ненапря¬
женной пружине равно d0. К конденсатору подключили батарею.
В новом положении равновесия расстояние между пластинами
d — ~d0. Найти период малых колебаний пластины.
г П
К Ct г
1
х '
N
X
X
X
X
X
1
1 к
1
Рис. 157
§ 9. Переходные процессы в электрических цепях.
Свободные колебания
9.1. Пластины воздушного конденсатора с емкостью С = 10~10 Ф
соединены с сопротивлением R через батарею с ЭДС Ч. Пластины
к
С1=
s'
S2 «И J
©
R
db
п
V
-о
Рис. 158 Рис. 159
быстро сближаются в течение времени At = 10-2 с, расстояние меж¬
ду ними при этом уменьшается вдвое. При каком условии за это
время заряд конденсатора практически не изменится? Найти джоу-
лево тепло (2ДЖ, которое выделится в сопротивлении R к моменту
окончания перезарядки.
9.2. Описать процесс разрядки конденсатора С{ после замыка¬
ния ключа К, если его начальный заряд равен д0. Исследовать слу¬
чай ??—»0, описать превращения энергии в контуре (рис. 158).
9.3. Для измерения магнитной восприимчивости длинных цилин¬
дрических образцов применяется установка, показанная на рис. 159.
При быстром удалении образца, заполняющего всю катушку, на ней
77

возникает импульс напряжения, величина которого измеряется с
помощью осциллографа. Определить магнитную восприимчивость х
образца, если <f = 4,5 В, R = 10 Ом, L = 1 Г, V = 6,8 мВ. Каким
должно быть время удаления образца, чтобы от него зависела ампли¬
туда импульса напряжения, измеряемого осциллографом?
9.4. Из конденсатора быстро извлекают пластину с диэлект¬
рической проницаемостью е так, что емкость скачкообразно изменя¬
ется до значения С (рис. 160). Найти зависимость тока в цепи от
времени и нарисовать график 3(t). Диэлект¬
рик заполняет весь объем конденсатора.
9.5. Колебательный контур содержит ин¬
дуктивность и емкость. В некоторый момент
времени из конденсатора быстро извлекают
пластину с диэлектрической проницаемостью
е = 4. Как изменится частота колебаний кон¬
тура? Во сколько раз изменятся максималь¬
ные величины заряда на конденсаторе и тока
в катушке, если пластину извлекают в момент, когда заряд на кон¬
денсаторе 1) отсутствует и 2) максимален?
9.6. Постоянная времени разряда плоского масляного конденса¬
тора через некоторое сопротивление равна После того как масло
конденсатора отсырело, постоянная времени разряда через то же со¬
противление оказалась равной т2. Определить удельное сопротивле¬
ние р отсыревшего масла, если его диэлектрическая проницаемость
е не изменилась.
9.7. Сферический конденсатор с радиусами сфер и R2 запол¬
нен слабо проводящей средой. Емкость конденсатора равна С, а раз¬
ность потенциалов на конденсаторе после отключения его от бата¬
реи уменьшается в два раза за время t. Определить диэлект¬
рическую проницаемость е среды и ее удельное сопротивление р.
9.8. Последовательно соединенные дроссель L и омическое со¬
противление присоединены к источнику постоянного тока с ЭДС
Полное омическое сопротивление цепи равно R. Индуктивность
дросселя, когда в него вставлен железный сердечник, равна Lv.
Индуктивность того же дросселя без железного сердечника Ьг.
Вначале сердечник был вставлен. В момент времени 1 = 0, когда ток
в цепи уже установился, очень быстро вынимают железный сердеч¬
ник (в течение времени, пренебрежимо малого по сравнению с вре¬
менем установления тока). Определить силу тока ©7 в цепи в зави¬
симости от времени t для t > 0.
9.9. Длинный тонкий соленоид радиусом г0 подключен к батарее,
и по нему течет постоянный ток Сердечником в соленоиде служит
сплошной цилиндр из сверхпроводника. Радиус сердечника г\ = 0,5г0.
Сердечник быстро выдергивают из соленоида. Найти значение ©Д
тока в обмотке непосредственно, после удаления сердечника. Как
будет меняться ток в дальнейшем? Нарисуйте качественный график.
9.10. Колебательный контур содержит индуктивность и емкость.
Катушка индуктивности представляет собой соленоид с сердечником
Рис. 160
78

из сверхпроводника. Радиус соленоида в два раза больше радиуса
сердечника. В некоторый момент времени сердечник быстро выдер¬
гивают из соленоида. Как изменится частота колебаний контура?
К = 10 Ом
?-10В г
h
Т?2= Ю Ом|
=
5 мкФ
Рис. 161
Рис. 162
Во сколько раз изменятся максимальные величины заряда на кон¬
денсаторе и тока в катушке, если сердечник выдергивают в момент,
когда ток в катушке 1) отсутствует и 2) максимален?
9.11. Определить закон изменения напряжения V на конденса¬
торе С после замыкания ключа К в основной цепи схемы, представ¬
ленной на рис. 161.
9.12. Проводящий шар радиусом а = 20 см (рис. 162), находя¬
щийся при потенциале V0 = 3-104 В, разряжается через сопротивле¬
ние /? = 5 -103 Ом. В квазистационарном приближении определить
возникающее при этом магнитное поле B(t, г, 0) вне шара.
9.13. К контуру L, С, R (рис. 163) с малым затуханием в
момент t — 0 подключают источник постоянной ЭДС Ш с ничтожно
малым внутренним сопротивлением. Определить напряжение V на
конденсаторе С в зависимости от времени t.
На какое минимальное напряжение должен
быть рассчитан конденсатор?
9.14. Катушка индуктивностью L, конден¬
сатор емкостью С и батарея с ЭДС % и внутрен¬
ним сопротивлением R соединены параллельно
(рис. 164). Найти силу тока е7, текущего через
катушку, как функцию времени t после вклю¬
чения батареи. Параметры L, С, R удовлетво¬
ряют условию C/L > 1/(4R2).
9.15. Цепь, состоящая из последовательно
соединенных сопротивления R и большой ин¬
дуктивности L, присоединена к источнику по¬
стоянного тока, поддерживающего на зажимах
постоянное напряжение V0. Для ограничения
перенапряжений во время отключения источ¬
ника параллельно с цепью включен конденсатор емкостью С
(рис. 165). Определить напряжение на конденсаторе V(t) после от¬
ключения источника постоянного напряжения. Параметры контура
удовлетворяют условию AL > CR2.
Рис. 165
79

9.16. При отключении цепей постоянного тока, обладающих
большой индуктивностью (например, обмоток возбуждения генера¬
торов постоянного тока), эти цепи предварительно замыкают на па¬
раллельно включенное сопротивление г для ограничения перенапря¬
жений (рис. 166). Определить, во сколько раз в этом случае макси¬
мальное напряжение на зажимах цепи Vmax будет превышать
приложенное постоянное напряжение V0.
9.17. В колебательном контуре с индуктивностью L и емкостью
С совершаются незатухающие колебания силы тока 3 = So cos Ш,
Рис. 166 Рис. 167 Рис. 168
где ш2= 1 /(LC). Катушкой индуктивности служит прямая длинная
проволочная спираль. Как изменятся частота, амплитуда и энергия
колебаний, если в момент времени t = 0 очень быстро (т. е. в тече¬
ние времени, малого по сравнению с периодом колебаний
Т = 2л/ш) растянуть спираль до удвоенной длины? Объяснить, по¬
чему при этом меняется энергия колебаний.
9.18. К заряженному до напряжения V0 конденсатору емко¬
стью С, подключается незаряженный конденсатор емкостью С2.
Найти зависимость тока в цепи от времени, если влиянием ин¬
дуктивности цепи можно пренебречь, а сопротивление цепи равно R.
9.19. Конденсатор емкостью С несет заряд д. При параллельном
соединении этого конденсатора с незаряженным конденсатором той
же емкости часть энергии выделяется в виде тепла в соединительных
проводах. Найти количество выделенного в проводах тепла (2ДЖ пря¬
мым расчетом, не прибегая к закону сохранения энергии. Индуктив¬
ностью проводов пренебречь.
9.20. Конденсатор С заряжается от батареи Ш через нелинейное
сопротивление R (рис. 167), сила тока в котором связана с напря¬
жением соотношением 3 = XVil2 (X — постоянная величина).
Найти зависимость силы тока в цепи от времени, если батарея
включена при t = 0.
9.21. При размыкании рубильника К в электрической цепи, изо¬
браженной на рис. 168, возник дуговой разряд. Определить ток в
цепи. Вольт-амперная характеристика дугового разряда имеет вид
V = а + ЫЗ, где а и b — известные постоянные величины.
9.22. Сверхпроводящие катушки с самоиндукциями и Ь2 сое¬
динены параллельно и включены через сопротивление R в цепь
гальванической батареи с ЭДС % и внутренним сопротивлением г
(рис. 169). Найти токи в катушках ^и^и ток в общей цепи 3, ес¬
ли коэффициентом взаимной индукции катушек можно пренебречь.
80

9.23. Длинный соленоид, длина которого равна I, а площадь вит¬
ков S, замыкается в некоторый момент времени последовательно с со¬
противлением R на источник постоянного напряжения с ЭДС S'.
В средней части соленоида находится небольшое короткозамкнутое
кольцо, площадь которого равна сг, сопротивление г. Плоскость коль¬
ца перпендикулярна оси соленоида. Пренебрегая самоиндукцией
кольца, определить радиальное давление на кольцо (т. е. радиальную
силу на единицу длины кольца) в тот момент, когда оно максимально.
9.24. Тороидальная катушка с радиусом тора R и радиусом вит¬
ков г (r«R) замыкается в некоторый момент последовательно с со¬
противлением Rq на источник постоянного напряжения с ЭДС S'.
Внутри катушки находится небольшое короткозамкнутое кольцо,
площадь которого равна а, а сопротивление г0. Плоскость кольца
совпадает с плоскостью одного из витков тора. Пренебрегая самоин¬
дукцией кольца, определить энергию джоулевых потерь (7ЛЖ в коль¬
це за все время установления тока в цепи тора.
9.25. Соленоид, реостат и источник постоянного напряжения
включены последовательно. Соленоид равномерно растягивают со
скоростью v = 50 см/с, одновременно передвигая движок реостата
так, что сила тока в цепи остается постоянной. Насколько изменит¬
ся сопротивление реостата, когда длина соленоида увеличится
вдвое, если соленоид после растяжения имеет плотность витков
п = 50 см-1, а диаметр его поперечного сечения D = 10 см.
9.26. Два соленоида имеют одинаковые геометрические размеры,
но один из них изготовлен из провода вдвое большей площади попе¬
речного сечения и вдвое меньшей длины, чем другой. Материал про¬
водов обоих соленоидов одинаков. В обмотке какого из соленоидов бу¬
дет выделяться больше тепла, если магнитные поля в них одинаковы?
У какого из соленоидов меньше время установления магнитного поля?
9.27. В схеме, изображенной на рис. 170, в некоторый момент
времени замыкают ключ К, и конденсатор С, имеющий перво¬
начальный заряд <70, начинает разряжаться через индуктивность L.
Рис. 169 Рис. 170 Рис. 171
Когда ток разряда достигает максимального значения, ключ К вновь
размыкают. Какой заряд протечет через сопротивление RP. Сопро¬
тивление диода D в схеме в прямом направлении много меньше R,
в обратном — бесконечно велико.
9.28. Ключ (схема на рис. 171) размыкают, и в контуре возни¬
кают колебания. Какой должна быть емкость С, чтобы напряжение
на емкости не более чем в п = 100 раз превосходило напряжение на
батарее?
81

9.29. При измерении добротности Q резонансного контура из
параллельно включенных катушки с индуктивностью L = 0,1 Г и
сопротивлением г = 30 Ом и конденсатора с емкостью С = 30 пФ
поступили следующим образом. Контур подключили к клеммам
осциллографа и, включая и выключая ЭДС постоянного тока, на¬
блюдали затухающие колебания в контуре (рис. 172). Сравнить
*
—
О
©
п
J_ А П
- R{\
-о
Г < ~1
ry qj
-о
з
Рис. 172 Рис. 173
добротности контура при разомкнутой цепи батареи в случае, когда
входное сопротивление R осциллографа очень велико и когда оно
конечно и равно 100 кОм.
9.30. После размыкания ключа в контуре (рис. 173) возникают
медленно затухающие колебания, максимальная амплитуда напря¬
жения которых в п = 100 раз превосходит напряжение батареи.
Найти собственную частоту контура со0, если уменьшение амплиту¬
ды колебаний в е раз происходит за время т = 0,1 с.
9.31. Электрическая цепь представляет собой треугольник, каж¬
дая сторона которого содержит емкость С, а вершины соединены с
общей центральной точкой индуктивностями L. Найти частоту воз¬
можных колебаний.
9.32. Через индуктивность Lx и замкнутый ключ К течет ток
<з7д, а напряжение на конденсаторе равно нулю (рис. 174). В момент
Li
К
Рис. 174
Рис. 175
времени 1 = 0 ключ размыкается. Найти напряжение на конденса¬
торе и ток через него как функции времени. Активным сопротивле¬
нием всех элементов цепи пренебречь.
9.33. С помощью осциллографа наблюдают свободные затухаю¬
щие колебания в колебательном контуре. Как изменится число
колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда
затухает в е раз, если в два раза уменьшить индуктивность контура
L ив два раза увеличить его емкость С, сохранив неизменным ак¬
тивное сопротивление?
9.34. Катушка колебательного контура (рис. 175) помещена в по¬
стоянное магнитное поле, создающее в ней постоянный магнитный
82

vj-
поток Ф0. В момент времени t = 0 магнитное поле выключается. Вре¬
мя выключения пренебрежимо мало по сравнению с периодом собст¬
венных колебаний контура. Найти ток е7 в контуре в зависимости от
времени после выключения поля.
9.35. Колебательный контур содержит катушку с индуктивно¬
стью L и конденсатор с утечкой. Емкость конденсатора равна С,
сопротивление R. Пренебрегая активным сопротивлением катушки
и прочих проводов, вывести уравнение собственных колебаний кон¬
тура. Найти собственную частоту о>0 и логарифмический декремент
затухания d.
9.36. Конденсатор С = 0,1мкФ, заряженный до напряжения
ЭДС ‘S — 1 кВ, в момент t = 0 замыкается на катушку индуктивно¬
стью L = 100 мГ и сопротивление, равное критическому для образо¬
вавшегося контура (рис. 176). Определить время, за которое ток
достигнет максимального значения, и вычислить это значение тока.
9.37. Найти добротность контура с емкостью С = 2,0 мкФ и ин¬
дуктивностью L = 5,0 мГ, если на поддержание в нем незатухаю¬
щих колебаний с амплитудой напряжения на
конденсаторе V0= 1,0_В необходимо подводить
среднюю мощность N = 0,10 мВт. Затухание
колебаний в контуре можно считать малым.
9.38. Изображенная на рис. 177 цепь пита¬
ется источником напряжения V. 1) Как будут
изменяться ток через индуктивность и напря¬
жение на конденсаторе после размыкания клю¬
ча? 2) Составить уравнение для определения
момента t{, в который энергия, запасенная в конденсаторе, будет
иметь наибольшее значение. Рассмотреть случай слабого затухания.
9.39. Груз массой т подвешен на тонкой проволоке длиной I и
сопротивлением R в однородном горизонтальном магнитном поле В
и совершает малые колебания в плоскости, перпендикулярной полю.
При этом проволока всегда остается замкнутой накоротко непод¬
вижной внешней цепью. Найти число колебаний, по прошествии ко¬
торых амплитуда тока в цепи уменьшится в е раз.
9.40. В колебательном контуре с малым затуха¬
нием одновременно увеличивают емкость конденса¬
тора и самоиндукцию катушки в одно и то же число
раз, равное п. Увеличение производится в
произвольный момент за время, малое по сравнению
с периодом собственных колебаний контура. Найти
соотношение между амплитудами тока и е72 Д° и
после изменения параметров контура.
9.41. Кольцо из тонкой проволоки, имеющее оми¬
ческое сопротивление R = 10~3 Ом, массу т = 1 г и
радиус г — 1 см, подвешено на упругой нити и
совершает малые крутильные колебания с частотой v0 = 1 Гц
(рис. 178). Если поместить кольцо в магнитное поле, параллельное
плоскости кольца в положении равновесия, то возникает сильное
Рис. 177
'//////-
Рис. 178
83

затухание колебаний. Оценить магнитную индукцию поля, при кото¬
рой движение крутильного маятника происходит в критическом ре¬
жиме (т. е. колебательный режим переходит в апериодический). Са¬
моиндукцию кольца и затухание без магнитного поля не учитывать.
9.42. В схеме, приведенной на рис. 179 и состоящей из двух кон¬
туров, в некоторый момент, когда в первом контуре уже установился
ток, одновременно и мгновенно разо¬
мкнули ключ К\, а К2 замкнули. Вычис¬
лить величину энергии WR, выделившей¬
ся на сопротивлении R, а также энергию
W2, полученную вторым контуром. Дано:
<?, г, Ьх, L2, М. Омическим сопротивле¬
нием во втором контуре пренебречь.
9.43. На рис. 180 изображена элект¬
рическая цепь, состоящая из батареи <?,
сопротивлений г и R и индуктивности
Lx. К катушке Ь] издалека приближают короткозамкнутую сверх¬
проводящую катушку с индуктивностью Ь2. Первоначально ток в
этой катушке отсутствует, а после
сближения с катушкой L, он стано¬
вится равным qJ2. После сближения
катушек ключ К замыкают. Какая
энергия выделится на сопротивлении
R в виде джоулева тепла?
9.44. Генератор с весьма малым
внутренним сопротивлением посылает
в контур прямоугольный импульс напряжения (рис. 181). Пренебре¬
гая затуханием, найти: 1) при какой длительности импульса Т, в
контуре отсутствуют колебания после прекращения импульса;
2) при какой длительности импульса Т2 ам¬
плитуда колебаний напряжения на емкости
максимальна (после прекращения импуль¬
са). Чему она равна? Для обоих случаев на¬
рисуйте графики тока и напряжения, начи¬
ная с момента t0.
9.45. Конденсатор емкостью С присоеди¬
нен к верхним концам двух параллельных
медных шин, расположенных вертикально
на расстоянии I друг от друга. Однородное
магнитное поле В горизонтально и перпен¬
дикулярно к плоскости шин. Вдоль шин в
магнитном поле падает без начальной ско¬
рости медный проводник массой m так, что
всегда имеется контакт между проводником и шинами. Сопротивле¬
нием и индуктивностью проводников, а также трением проводника
о шины пренебречь. Найти: 1) ускорение проводника; 2) силу тока,
заряжающего конденсатор.
Рис. 180
Рис. 179
84

9.46. В условиях предыдущей задачи вместо конденсатора шины
замкнуты вверху на соленоид, индуктивность которого равна L, а
сопротивление ничтожно мало. Найти закон движения проводника,
скользящего вдоль шин.
9.47. Две длинные параллельные медные шины, расположенные
вертикально на расстоянии / друг от друга, замкнуты вверху на со¬
противление R и помещены в однородное магнитное поле В, перпен¬
дикулярное к плоскости шин. Вдоль шин падает медный проводник
веса Р. Трение отсутствует. Чему равно установившееся значение
скорости падения?
9.48Г По двум вертикальным идеальным проводам (см. преды¬
дущую задачу) в поле силы тяжести может скользить без трения
идеальная проводящая перемычка массой т и длиной / (рис. 182).
Рис. 182
Проводники сверху замкнуты индуктивностью L, а снизу — сопро¬
тивлением R. Перемычка сначала удерживается в некотором поло¬
жении, а затем отпускается без толчка. Найти новое положение
равновесия перемычки и характер переходного процесса.
9.49. Конденсатор емкостью С и катушка индуктивностью L
присоединены к верхним концам двух параллельных медных шин,
расположенных вертикально на расстоянии / друг от друга
(рис. 183). Однородное магнитное поле В горизонтально и перпен¬
дикулярно к плоскости шин. Вдоль шин в магнитном поле без на¬
чальной скорости падает медный проводник массой т так, что всег¬
да имеется контакт между проводником и шинами. Сопротивлением
катушки, медных шин и проводника, а также индуктивностью про¬
водников и трением проводника о шины пренебречь. Определить
закон изменения тока <3{t), а также координаты проводника x{t),
начиная с момента начала падения t = 0, х(0) = 0.
9.50. С одной из пластин конденсатора мгновенно испаряется
тонкий слой вещества, несущий заряд — q0, который затем движется
как целое с постоянной скоростью vQ к противоположной пластине
(рис. 184). Найти зависимость тока в LC-цепи от времени при дви¬
жении слоя в конденсаторе. Расстояние между пластинами конден¬
сатора d, площадь пластин S. Индуктивность равна L.
9.51. В однородное электрическое поле Е0 перпендикулярно ему
помещены две плоскопараллельные незаряженные металлические
85

пластины, образующие плоский конденсатор. В момент времени
t = 0 пластины закорачивают через катушку индуктивностью L.
Вычислить зависимость заряда конденсатора от времени. Площадь
пластины равна S, расстояние между пластинами — d.
9.52. В центре уединенной незаряженной проводящей сферы ра¬
диусом R находится точечный заряд Q. В некоторый момент 1 = 0
сферу заземляют через катушку с индуктивностью
L длинным и тонким проводом. Определить зависи¬
мость заряда сферы от времени (активным сопро¬
тивлением катушки и провода пренебречь).
9.53. Резонансный контур L, С, R (рис. 185) рас¬
качивается периодически следующими импульсами
такими, что каждый отдельный импульс создает на
конденсаторе дополнительное напряжение V. Про¬
межутки времени между последовательными им¬
пульсами в целое число п раз больше периода собст¬
венных колебаний. Определить амплитуду F0 уста¬
новившихся колебаний, считая декремент затухания контура малым.
9.54. В момент времени t = 0 идеальный LC-контур с собствен¬
ной частотой 100 Гц возбуждается периодической последовательно¬
стью импульсов с длительностью т = 0,02 с, изображенной на
рис. 186 (ST0 = 5 В). Найти период следования импульсов Г, при ко¬
тором среднее значение напряжения на конденсаторе Vcp = 2 В.
Нарисуйте график зависимости Vc(t).
9.55. В момент времени t = 0 идеальный контур L, С (рис. 186)
с периодом собственных колебаний Т0 = 0,01 с возбуждается перио¬
дической последовательностью прямоугольных импульсов l£(t).
Рис. 185
{ L
ш
W)
т
d
зь
С
1=
1
1
1
о
У-
t
Рис. 186
Какова длительность импульсов т, если период их следования
Т = 0,09 с, а среднее значение напряжения на конденсаторе состав¬
ляет 1/6 часть от максимального значения? Нарисуйте график за¬
висимости Vc(t)-
9.56. Намагниченная пуля пролетает вдоль оси длинного солено¬
ида, входящего в колебательный контур. Время пролета пулей рас¬
стояния, равного диаметру соленоида, мало по сравнению с перио¬
дом Т колебаний в контуре. При какой скорости v пули амплитуда
колебаний тока в контуре максимальна? Какова при этом величина
тока е/щах? Магнитный момент пули ЖЯ параллелен оси соленоида.
Принять, что длина соленоида I = 0,5 м, площадь поперечного сече¬
ния S = 5 см2, число витков 7V=104, момент пули Ш1=0,1 А м2,
период Т = 0,01 с. Сопротивлением контура пренебречь.
86

§ 10. Вынужденные колебания. Резонанс.
Метод комплексных амплитуд
10.1. Железный сердечник несет на себе две обмотки. Одна об¬
мотка, из большого числа п витков, присоединена к источнику си¬
нусоидальной ЭДС <£. Другая обмотка состоит из одного кольца, со¬
противление которого R. Точки А, В и С этого кольца (рис. 187)
отстоят друг от друга на равные расстояния. 1) Что покажет доста¬
точно чувствительный амперметр переменного тока с сопротивлени¬
ем г, если его присоединить к двум из этих точек? 2) Как изменится
показание амперметра, если его перебросить в положение, указан¬
ное штриховой линией на рисунке? Железный сердечник не имеет
магнитного рассеяния. Индуктивностью кольца и соединительных
проводов можно пренебречь.
10.2. Для определения мощности, выделяемой переменным то¬
ком в катушке (индуктивность L, сопротивление г), иногда приме¬
няют метод трех вольтметров, заключающийся
в следующем. Последовательно с катушкой
включают известное сопротивление R и присо¬
единяют к цепи три вольтметра так, как пока¬
зано на рис. 188. Измеряют с помощью этих
вольтметров эффективные напряжения: V\ —
на катушке, V2 — на сопротивлении и V —
между концами цепи. Зная показания прибо¬
ров, определить искомую мощность N.
10.3. Для определения мощности, выделяе¬
мой переменным током в катушке (индуктив¬
ность L, сопротивление г), иногда применяют
метод трех амперметров, состоящий в следую¬
щем (рис. 189). Параллельно катушке включа¬
ют известное сопротивление R. Измеряют эффективные значения
токов: У) — через катушку, /2 — через сопротивление R и полный
ток I. Зная показания приборов, определить искомую мощность N.
87

10.4. К источнику синусоидального напряжения sin сat в
момент времени t = 0 подключают последовательно соединенные со¬
противление R и индуктивность L. Найти силу тока 3 как функцию
времени и фазы 9. При каком условии после замыкания цепи в ней
сразу установятся синусоидальные колебания?
10.5. В приведенной на рис. 190 схеме в момент t = 0 замыкают
ключ К. Найти зависимость от времени тока 3, текущего через ис¬
точник синусоидальной ЭДС sin tot. Параметры контура свя¬
заны соотношением R = VL/C.
10.6. С помощью схемы, показанной на рис. 191, требуется по¬
лучить фазовый сдвиг на угол 90° между напряжением на входе
Рис. 190
FBX и напряжением на выходе Г„ых. Какому условию должны удов¬
летворять параметры схемы R и L, если циклическая частота вход¬
ного напряжения равна со? Чему при этом будет равно отношение
амплитуд входного и выходного напряжений?
10.7. Обмотка электромагнита, полное сопротивление которой
Z = 10 Ом и коэффициент мощности cos 9 = 0,6, присоединены к
цепи переменного тока. Каким будет коэффициент мощности
cos 9', если параллельно обмотке присоединить конденсатор, реак¬
тивное сопротивление которого равно Zi = 7 Ом?
10.8. Источник переменного тока с циклической частотой со и
ЭДС действует на колебательный контур (рис. 192). Определить
силу тока / и сдвиг фазы 9 между / и при
резонансе.
10.9. Найти ток 3 (в установившемся ре¬
жиме) в цепи, изображенной на рис. 193. При
какой частоте со амплитуда установившихся
колебаний будет максимальна и при какой ми¬
нимальна? Чему равны максимум и минимум
тока?
10.10. Индуктивностью резонансного кон¬
тура (/о = 10 МГц) служит длинная однослой¬
ная катушка диаметром D = 10 мм. Во сколько
раз изменится резонансная частота контура, если внутрь катушки
вставлен на всю длину латунный цилиндр диаметром D/2? Сопро¬
тивление латуни р = 8 • 10~6 Ом • см.
Рис. 193
88

10.11. В цепь, состоящую из последовательно включенных со¬
противления R, индуктивности L и емкости С, включен последова¬
тельно источник синусоидальной ЭДС постоянной амплитуды и пе¬
рестраиваемой частоты. Изменяя частоту источника, настраивают
ее в резонанс с частотой цепи, затем уменьшают емкость контура в
два раза и снова добиваются резонанса. Изменится ли сила тока при
резонансе? Каково отношение резонансных частот, соответствую¬
щих первому и второму случаям?
10.12. Показать, что в контуре предыдущей задачи амплитуда
силы тока е7 при отклонении частоты внешней ЭДС на небольшую
величину А/1 от резонансной частоты /0 будет связана с амплиту¬
дой силы тока при резонансе <£/0 следующим соотношением:
Vi + (2 д///0)2е2’
где Q = ^ — добротность контура.
10.13. Через баллистический гальванометр пропускается кратко¬
временный импульс тока. При этом его рамка отклоняется на
угол ip0. Спустя половину периода, когда рамка гальванометра вер¬
нется в исходное положение, через гальванометр пропускается та¬
кой же импульс тока, но в противоположном направлении; через
следующую половину периода пропускается снова такой же им¬
пульс, но в первоначальном направлении и т. д. Таким образом,
всякий раз, когда рамка гальванометра проходит через положение
равновесия, она испытывает одинаковые толчки в направлении сво¬
его движения. Найти максимальный угол отклонения рамки ipmax
при установившихся колебаниях. Период затухающих колебаний
гальванометра Г, коэффициент затухания 6.
10.14. При свободных колебаниях некоторого контура амплиту¬
да падает в е раз за время т = 1 с. Считая добротность этого кон¬
тура достаточно большой, найти: 1) расстройку Аса, (при снятии
резонансной кривой), при которой потребляемая контуром мощ¬
ность падает в два раза; 2) расстройку Аш2, при которой сдвиг
фазы меняется на л/4.
10.15. При изменении частоты / вынуждающей силы, действую¬
щей на линейную колебательную систему, меняется фаза 6 устано¬
вившихся колебаний этой системы и запасенная в ней энергия W.
Пусть при малом сдвиге частоты от резонансной А/ = 1 Гц фаза ко¬
лебаний 6 изменилась на л/4. Как изменится при этом энергия W?
Каково время затухания t системы в режиме свободных колебаний?
10.16. В колебательном контуре с индуктивностью L= 1 Г, на¬
строенном в резонанс, под действием внешнего синусоидального на¬
пряжения с амплитудой 70 = 200 В установился переменный ток с
1 Д/ называется «расстройкой», а Д///0 — «относительной расстройкой»
частоты.
89

амплитудой е70 = 20 А. Найти сопротивление контура R и время за¬
тухания t (время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в
е раз) в режиме свободных затухающих колебаний.
10.17. Прямой однослойный соленоид с индуктивностью L совер¬
шает вынужденные крутильные гармонические колебания вокруг
своей оси ф = ipo cos tot. Соленоид гибкими проводами присоединен к
конденсатору емкостью С (опыт Мандельштама и Папалекси). Найти
напряжение на конденсаторе при резонансе, когда частота со равна
собственной частоте колебательного контура со0 = Vl/(LC). Радиус
соленоида а, длина проволоки, из которой он изготовлен, /, сопротив¬
ление соленоида R.
10.18. В резонансном контуре вдвое увеличили индуктивность L
и вдвое уменьшили емкость С, оставив неизменным активное сопро¬
тивление. Как при этом изменилась избирательность контура /0/А/,
где /0 — резонансная частота, а А/ — ширина резонансной кривой?
10.19. Входной контур радиоприемника имеет добротность
Q = 100 и настроен на /0 = 1000 кГц. Во сколько раз напряжение
частоты /о на конденсаторе больше напряжения частоты /д = 2/0
(мешающая станция), при условии, что амплитуды электродвижу¬
щих сил, возбуждающихся в контуре, одинаковы?
10.20. При снятии резонансной кривой колебательного контура
(рис. 194) с малым затуханием найдено: выходное напряжение мак¬
симально при частоте /0 = 1,6 кГц; при частотах /«/0 это напря¬
жение равно Г0 = 1 В. Чему равно выходное напряжение V\ при ча¬
стоте /у = 16 кГц?
10.21. При снятии резонансной кривой колебательного контура
(рис. 195) найдено: максимальный ток /0 = 0,1 А достигается при ча¬
стоте генератора /0 = 1,6 кГц (здесь и дальше приведены эффектив¬
ные значения токов и напряжений); ток при частоте /д = 16 кГц
равен ?! = КГ4 А. Входное напряжение в обоих случаях равно
V — 1 В. Вычислить по этим данным приближенные значения пара¬
метров контура R, L, С.
10.22. Индуктивный датчик является радиотехническим устрой¬
ством для регистрации небольших изменений индуктивности. Обыч¬
но такой датчик представляет собой электрический колебательный
контур с изменяемой индуктивностью (рис. 196). Оценить мини¬
мальное измеряемое относительное изменение индуктивности AL/L,
Рис. 194
Рис. 195
Рис. 196
90

если контур настроен в резонанс. Напряжение источника питания
V = 100 В, минимальное измеряемое изменение напряжения на со¬
противлении AV = 10 мкВ, добротность контура Q = 102.
10.23. Емкостный датчик — одно из наиболее чувствитель¬
ных радиотехнических устройств для регистрации малых механи¬
ческих смещений. Обычно емкостный датчик представляет собой
электрический колебательный контур с воздушным конденсатором
(рис. 197), одна из пластин которого подвижна. Оценить минималь¬
ное измеряемое перемещение пластинки
конденсатора Ad, если контур настроен в
резонанс. Напряжение источника пита¬
ния V = 100 В, минимальное измеряемое
изменение напряжения на сопротивле¬
нии AV = 10 мкВ, добротность контура
Q — 103 и зазор между пластинами
d = 1 мм.
10.24. В определенном пункте напря¬
женность электрического поля, создавае¬
мого радиостанцией А, в пять раз больше, чем напряженность элект¬
рического поля радиостанции В. Определить добротность контура, с
помощью которого можно принимать в данном пункте станцию В без
помех со стороны станции А, если для этого необходимо, чтобы амп¬
литуда сигналов станции В в контуре была бы по крайней мере в
(~>
R
-с=>
-о-
Рис. 197
£
е
Рис. 198 Рис. 199
10 раз больше амплитуды сигналов станции А. Частота станции А
равна 210 кГц, частота станции В равна 200 кГц (см. задачу 10.12).
10.25. Для схемы, изображенной на рис. 198, определить часто¬
ты источника ЭДС, соответствующие резонансам токов и напряже¬
ний. Построить график сдвига фазы тока относительно ЭДС в
зависимости от частоты источника, считая внутреннее сопротивле¬
ние последнего пренебрежимо малым.
10.26. Для схемы, изображенной на рис. 199, определить часто¬
ты источника ЭДС, соответствующие резонансам токов и напряже¬
ний. Построить график сдвига фазы тока относительно ЭДС ис¬
точника в зависимости от частоты источника, считая внутреннее
сопротивление последнего пренебрежимо малым.
10.27. Дан черный ящик с двумя внешними клеммами. Внутри
него собрана схема из индуктивности с малыми омическими потеря¬
ми, емкости и сопротивления. Известно, что если подать на клеммы
91

постоянное напряжение 1 В, то ток будет равен 10 мА. При пере¬
менном напряжении 1 В на частоте 50 Гц ток равен 1 мА. С ростом
частоты ток падает, достигает минимума при частоте 500 Гц, а за¬
тем постоянно возрастает до предельного значения 10 мА. Нарисо¬
вать схему черного ящика и определить ее параметры.
10.28. Дан черный ящик с двумя внешними клеммами. Внутри
него собрана схема из индуктивности с малыми омическими потеря¬
ми, емкости и сопротивления. Известно, что если подать на клеммы
постоянное напряжение 1 В, то ток будет равен 1 мА. При перемен¬
ном напряжении 1 В на частоте 50 Гц ток равен 10 мА. С ростом ча¬
стоты ток растет и достигает максимума на частоте 500 Гц. Нарисо¬
вать схему черного ящика и определить ее параметры.
10.29. В цепь синусоидальной ЭДС включены параллельно ак¬
тивное сопротивление R и реактивное X. Какое активное г и реак¬
тивное л: сопротивления должны быть подключены к ЭДС последо¬
вательно (рис. 200), чтобы ток во внешней цепи (по амплитуде и
э J
*
с
Г-—1
г
Э
Г±Т
Рис. 200
фазе) остался неизменным? Во что переходят точные выражения
для х и г при дополнительных условиях: 1) 2) г»х! А и
х — величины вещественные.
10.30. В цепь переменного тока с напряжением = 440 В и ча¬
стотой / = 50 Гц включены последовательно нормально горящая
лампочка накаливания и конденсатор. Чему равна емкость конден¬
сатора С, если лампочка рассчитана на напряжение V = 220 В и си¬
лу тока I = 1 А? Чему равен сдвиг фаз ip между током и полным
напряжением в цепи?
10.31. В цепь переменного тока напряжением W — 440 В и час¬
тотой / = 50 Гц включены последовательно нормально горящая
лампочка накаливания и катушка самоиндукции. Лампочка рассчи¬
тана на 110 В и 1 А. При замене лампочки другой, рассчитанной на
220 В и 0,8 А, оказалось, что новая лампочка горит также нормаль¬
ным накалом. Найти сопротивление R и самоиндукцию L катушки.
10.32. Определить диэлектрическую проницаемость £ жидкости,
если известно, что ее удельное сопротивление р = 10а Ом-см и при
переходе от постоянного тока к переменному с частотой 50 Гц (при
том же эффективном напряжении) ток, текущий через конденсатор,
наполненный этой жидкостью, возрастает в 7 раз (п = 7).
10.33. Длинный однослойный реостат из нихромовой проволоки
с удельным сопротивлением р = 1,1 • 10_6 Ом-м намотан виток к
92

витку с плотностью витков п — 10 см-1 на керамический каркас ди¬
аметром D = 5 см и включен в цепь переменного тока с частотой
/ = 50 Гц. Найти сдвиг фаз между током и напряжением на реоста¬
те. Толщиной изоляции проволоки пренебречь.
10.34. В схеме, представленной на рис. 201, емкость С подобра¬
на таким образом, что при замыкании ключа К ток I, показывае¬
мый амперметром А, не изменяется. Определить индуктивность ка¬
тушки, если известно, что / = 0,5 А, V = 380 В, / = 50 Гц.
10.35. По первичной обмотке трансформатора течет ток
3 = 30 cos соt. В какой момент времени следует разорвать вторич¬
ную обмотку трансформатора, чтобы в месте разрыва не образова¬
лась искра? Определить силу тока 3\ в первичной обмотке в этот
момент времени. Индуктивность вторичной обмотки L, омическое
сопротивление R.
10.36. Как изменится ответ к предыдущей задаче, если во вто¬
ричную обмотку дополнительно включить конденсатор емкостью С?
При какой частоте со ток в первичной обмотке в момент разрыва
вторичной будет равен амплитудному значению 30‘!
10.37. Разделительный трансформатор имеет две одинаковые об¬
мотки, у каждой из которых индуктивное сопротивление на рабочей
частоте в п = 5 раз больше омического. Каково отношение мощ¬
ностей, потребляемых в первичной цепи при замкнутой и разомкну¬
той вторичной цепи?
10.38. В трансформаторе омическое сопротивление первичной
цепи в П[, а вторичной в п2 раз меньше индуктивного (на рабочей
частоте). Найти сдвиг фазы 6 между током и напряжением в пер¬
вичной цепи. Рассеянием магнитного потока в сердечнике транс¬
форматора пренебречь. Получить числовой ответ при щ = п2 = 10.
10.39. Вблизи катушки колебательного контура с параметрами
£ь С, R расположена вторая катушка с индуктивностью Ь2. Взаимная
индуктивность между катушками равна М. Какой будет резонансная
частота контура, если выводы второй катушки замкнуты накоротко?
Считать, что индуктивное сопротивление второй катушки на рас¬
сматриваемой частоте значительно больше ее активного сопротивле¬
ния. При каком условии резонанс недостижим?
10.40. Две одинаковые катушки, намотанные на общий каркас,
включены последовательно в колебательный контур с емкостью С
Рис. 202
двумя способами, изображенными на рис. 202. Резонансные частоты
колебательных контуров оказались равными оц и со2 соответственно.
Найти индуктивность L каждой из катушек и коэффициент их вза¬
имной индукции М.
93

10.41. Высокодобротный колебательный контур (рис. 203) вклю¬
чает две последовательно соединенных катушки с индуктивностями
L[ и Ь2. После того, как катушку L2 замыкают накоротко, частота
собственных колебаний контура не изменяется. Опре¬
делить коэффициент взаимной индукции М.
10.42. К высокодобротному колебательному кон¬
туру L(, Ci с известной резонансной частотой ш, мо¬
жет быть подключена ключом К последовательно це¬
почка с известными Ь2, С2 (рис. 204). При этом резо¬
нансная частота контура не изменяется. Определить
коэффициент взаимной индукции М.
10.43. Две одинаковые катушки, намотанные на
общий каркас, соединены параллельно и включены в
колебательный контур с емкостью С двумя способами, изображен¬
ными на рис. 205. Резонансные частоты контуров оказались равны¬
ми СО] и ю2 соответственно. Найти индуктивность L каждой из ка¬
тушек и коэффициент их взаимной индукции М.
10.44! Определить добротность катушки, намотанной на тонкую
медную трубку с внешним диаметром D = 2 см и толщиной стенок
Рис. 203
6 = 0,05 см (удельное сопротивление меди р = 1,8 ■ 10~6 Ом-см). Ка¬
тушка подключена к цепи переменного тока частотой / = 50 Гц. Дли¬
ны трубки и катушки считать одинаковыми и гораздо больше диаметра.
10.45. Катушка колебательного контура имеет добротность
Q = 100. Если один виток катушки замкнуть накоротко, то ее ин¬
дуктивность почти не меняется, а добротность уменьшается вдвое.
Определить по этим данным число витков N катушки.
10.46. Колебательный контур состоит из конденсатора и запол¬
ненной железным сердечником катушки индуктивности, намотанной
проводом с пренебрежимо малым сопротивлением. Как изменится
добротность контура при увеличении емкости конденсатора в два
раза? Скин-эффект не учитывать.
94

10.47. Длинный соленоид с плотной намоткой размещен на ци¬
линдрическом железном сердечнике с магнитной проницаемостью ц
и проводимостью X (рис. 206). Соленоид замкнут на конденсатор,
вследствие чего образован контур с резонансной частотой со. Радиус
сердечника г, утечки в конденсаторе не существенны, обмотку и сое¬
динительные провода можно
считать идеально проводящими.
Определить добротность конту¬
ра. Скин-эффект не учитывать.
10.48. Дана металлическая
скоба длиной / = 10 см, шири¬
ной а~1 и с зазором 5<кД, а
(рис. 207). Рассматривая ее
как колебательный контур,
оценить резонансную частоту.
10.49. Оценить приближен¬
но резонансную частоту /рез то¬
роидального резонатора, раз¬
меры которого представлены
Сечение А-А
Рис. 209
на рис. 208, где изображено
меридиональное сечение резонатора: а = 20 см, D — 10 см, d = 1 мм.
10.50. Тороидальный резонатор электромагнитных колебаний
представляет собой полый идеально проводящий тор круглого сече¬
ния. Внутри тора вырезан зазор (рис. 209), края зазора затянуты
двумя проводящими сетками, имеющими форму круга радиусом
а = 5 см. Расстояние между сетками d — 2 см, а средний радиус
Рис. 210 Рис. 211 Рис. 212
кривизны тора 2а. Рассматривая резонатор как колебательный кон¬
тур, оценить его резонансную частоту. Считать, что £ и ц в резонато¬
ре примерно равны единице.
10.51. Пренебрегая активным сопротивлением катушек, опреде¬
лить частоту резонанса токов в изображенном на рис. 210 контуре в
случаях, когда генератор подключен к клеммам 1) ab, 2) ad и 3) ас.
10.52. При каком условии амплитуда тока 3 в цепи, изображен¬
ной на рис. 211, зависит только от амплитуды приложенного напря¬
жения V = V0 cos сat, но не от его частоты? Найти при этом условии
разность фаз между приложенным напряжением и напряжением на
концах 7?С-пары.
10.53. На рис. 212 изображена электрическая схема, в кото¬
рой R = 6 Ом, L = 0,01 Г. Внешнее напряжение синусоидальное с
95

круговой частотой со = 300 с *. Определить, при какой емкости
конденсатора С ток <9 находится в фазе с напряжением V.
10.54. С помощью схемы, приведенной на рис. 213, требуется
получить сдвиг фазы 90° между напряжением на входе V и напря¬
жением на выходе U. Какому условию при этом должны удовлетво¬
рять параметры схемы R и С, если частота входного напряжения
равна со?
10.55. При каком соотношении между параметрами схемы, изо¬
браженной на рис. 214, напряжение на выходе U находится в фазе
Рис. 216 Рис. 217
с напряжением на входе V = V0 cos Ш? Какова при этом амплитуда
напряжения на выходе? Построить векторную диаграмму напряже¬
ний на элементах схемы.
10.56. В схеме, изображенной на рис. 215, требуется получить
сдвиг фаз 90° между входным напряжением V и выходным напря¬
жением U. При каком соотношении между параметрами схемы это
возможно? Чему равно при этом [/? Построить для этого случая
векторную диаграмму для напряжений на элементах схемы.
10.57. Параметры R и С схемы, изображенной на рис. 216, за¬
даны. При какой частоте со выходное напряжение U будет находить¬
ся в фазе со входным напряжением V? Каким при этом будет отно¬
шение амплитуды напряжений U и V?
10.58. На вход фильтра (рис. 217) подано напряжение
V = V0 cos ш(, где со = 1 /(RC). Определить амплитуду напряжения
на выходе £/0.
10.59. К клеммам А и В (рис. 218) подводится произвольное пе¬
ременное напряжение FBX(l), которое возбуждает между клеммами
М и N напряжение ^вых(0- Параметры R, L, С подобраны таким
96

образом, что напряжение на выходе в каждый момент времени ма¬
ло по сравнению с напряжением на входе в тот же момент. Пока¬
зать, что при выполнении этого условия выходное напряжение на
-0М
-0М
В 0—
А^Г
-0N В 0-
R
-0М А0 1 I-
-0N
-0М
В 0—
-0N В 0—
Рис. 218
-0N
схемах 1 и 2 приблизительно пропорционально интегралу, а на
схемах 3 и 4 — производной от входного напряжения по времени.
10.60. Найти входной импеданс
бесконечной цепи, показанной на
рис. 219. При каких частотах цепь
не будет потреблять мощность от
источника:
0-
^ Ы 2
" ’ L ' "
' 'L ' "
а
<
С
С
Рис. 219
10.61. На вход схемы, изобра¬
женной на рис. 220, подается сину¬
соидальное напряжение с частотой со. Исследовать зависимость амп¬
литуды и фазы выходного напряжения от величины сопротивления R.
10.62. При каком соотношении между параметрами моста, изо¬
браженного на рис. 221, напряжение U на его выходе находится в
фазе со входным напряжением V? Какова при этом амплитуда на¬
пряжения U0 на выходе?
4- 1651
97

10.63. Мост переменного тока, изображенный на рис. 222, сба¬
лансирован. Определить соотношение между постоянными времени
плеч аЪ и cd. Является ли найденное соотношение достаточным ус¬
ловием баланса моста?
10.64. Найти условия, при которых мост, изображенный на
рис. 223, сбалансирован (т. е. U = 0) при подаче на его вход перио¬
дического напряжения любой формы.
10.65. На колебательный контур с собственной частотой со0 и ло¬
гарифмическим декрементом затухания d = 0,02 действует внешняя
Рис. 222 Рис. 223
периодическая сила с постоянной амплитудой. Частота ю внешней
силы, вначале равная частоте собственных колебаний, изменяется
настолько, что мощность, расходуемая в контуре, падает вдвое.
Определить изменение частоты в процентах к собственной (или ре¬
зонансной) частоте ю0.
10.66. Два электрических колебательных контура с известными
параметрами связаны индуктивной связью. В одном из контуров
действует синусоидальная ЭДС с круговой частотой со. Определить
сдвиг фаз ip между токами в контурах.
10.67. Найти условие, при котором в схеме, изображенной на
рис. 224, ток через некоторую нагрузку Z не будет зависеть от ве¬
личины этой нагрузки. Сопротивлением
подводящих проводов и омическим сопро¬
тивлением катушки пренебречь.
10.68. Конденсатор колебательного кон¬
тура возбуждается периодической последо¬
вательностью коротких импульсов, частота
следования которых равна собственной час¬
тоте контура, а их величина равна V0. Как
изменится амплитуда вынужденных колебаний, если контур воз¬
будить гармонической ЭДС той же частоты и амплитуды V0 (ЭДС
в этом случае включается последовательно с элементами контура)?
10.69. Проволочная спираль с числом витков N=100 навита на
длинный сердечник с магнитной проницаемостью ц = 1000. Один из
концов спирали закреплен, а другой совершает медленные гармони¬
ческие колебания с частотой / = 1 Гц и амплитудой а = 2 см. При
таких медленных колебаниях спираль деформируется практически
равномерно по всей длине. Площадь поперечного сечения, прибли¬
зительно равная площади витка спирали, S = 100 см2, омическое
Рис. 224
98

сопротивление спирали R = 2 Ом, а ее длина в недсформированном
состоянии /0 = 31,4 см. Концы спирали подсоединяются к источнику
с напряжением l£(t). Каково должно быть г'£(t), чтобы по спирали
шел постоянный ток SJ = 1 А?
10.70. В одной из схем радиочастотного лампового генератора
наличие электронной лампы с нелинейной характеристикой в цепи
обратной связи эквивалентно подключению к колебательному
контуру двухполюсника (рис. 225), комплексное сопротивление
которого зависит от амплитуды тока и на частоте со равно
Z = а/е70 + ibci)о/® 1 где а и b — известные константы. При каких
условиях возникнут автоколебания в такой схеме? Каковы частота
со и амплитуда А установившихся колебаний?
10.71. Генератор возбуждает в изображенной на схеме электри¬
ческой цепи (рис. 226) колебания сложной формы с периодом по¬
рядка 10“3 с. Внутренняя катушка может поворачиваться вокруг
оси, перпендикулярной плоскости чертежа. За счет упругости под¬
веса при отсутствии токов внутренняя катушка устанавливается в
положении равновесия, при котором ее ось перпендикулярна оси
внешней катушки. При пропускании постоянного тока Sq = 1 А по
обеим катушкам отклонение внутренней катушки ср0 = Г. Период
собственных колебаний внутренней катушки порядка 1 с. Каково
отклонение 9, если амперметры показывают эффективные значения
токов / = 1 А, /[ = 2А и /2 = ЗА?
10.72! Конденсатор подключен к розетке переменного тока с ча¬
стотой / = 50 Гц и напряжением U = 220 В. Через конденсатор с со¬
противлением утечки R = 10 кОм течет ток I = 1 А. Зависимость
электрического смещения от напряженности Е электрического поля
в сегнетоэлектрике конденсатора, объем которого V = 100 см3, обра¬
зует петлю гистерезиса с площадью S= 12,5мДж/см3. Найти ак¬
тивное сопротивление гс и емкость С конденсатора.
10.73. Дроссель подключен к розетке сети переменного тока с
частотой / = 50 Гц и напряжением U = 220 В. Через обмотку с оми¬
ческим сопротивлением г = 1 Ом течет ток I = 1 А. Мощность, вы¬
деляемая токами Фуко в пластинах сердечника, равна N = 10 Вт.
Зависимость индукции В от напряженности Н магнитного поля в
ферромагнетике сердечника, объем которого V = 100 см3, образует
4*
99

петлю гистерезиса с площадью S = 25 кГс • Э. Найти активное сопро¬
тивление R и индуктивность дросселя L. Считать, что сердечник на¬
бран из тонких пластин и поле внутри сердечника однородное.
10.74. Два одинаковых проволочных кольца радиусом г каждое
расположены так, как указано на рис. 227. Расстояние I между
центрами колец велико по сравнению с г. В кольце 1 поддержива¬
ется переменный ток 3 = <Д0 cos cot, Найти среднее значение и на¬
правление силы F взаимодействия между кольцами. Индуктивность
одного кольца равна L, омическое сопротивление R. Исследовать
два предельных случая: 1) coL^>R\ 2) сoL«R.
10.75. Металлическое проволочное кольцо площадью S с омиче¬
ским сопротивлением R и индуктивностью L подвешено в горизон¬
тальном однородном магнитном поле В = В0 cos соt и удерживается
в нем таким образом, что угол между вектором В0 и нормалью п к
плоскости кольца равен ip (рис. 228). Определить средний мо¬
мент М сил, действующих на кольцо со стороны магнитного поля.
Найти положения равновесия кольца и исследовать их устойчи¬
вость. Рассмотреть два предельных случая: 1) coL»R\ 2) cx>L<<R.
В каком случае при одинаковых L вращающий момент больше?
10.76. Для регистрации сверхпроводящего перехода круглый ци¬
линдрический образец радиусом г и длиной I помещается в катушку
колебательного контура, работающего на частоте /=10МГц. На
этой частоте глубина скин-слоя исследуемого металла в нормальном
состоянии 6= 1,0-10_5см. Определить изменение частоты А/ при
охлаждении от Т > Тс до Т<*< Тс, где Гс — критическая температура
сверхпроводника. Катушку считать соленоидом длиной зазор
между образцами и витками катушки d = 0,1мм, d«r. Проник¬
новением высокочастотного поля в проволоку катушки пренебречь.
§ 11. Элементы спектрального анализа.
Автоколебания. Параметрический резонанс. Шумы
11.1. Найти спектры следующих колебаний: 1) f(t) = Л cos2 co0t
(квадратичное преобразование монохроматического сигнала);
2) f(t) = А{ 1 + m cos Qi) cos oo0t; (Q«cd0; m < 1) (амплитудная
/////////
Рис. 227
Рис. 228
100

модуляция); 3) f(t) = A cos (сo0t -f т cos Qj); (£2«co0; m« 1) (фа¬
зовая модуляция).
11.2. В приемниках радиоизлучения обычно осуществляется
квадратичное преобразование принимаемого сигнала с последующим
усреднением за некоторое время At, подчиняющееся условию
№
.
т_
, I л t
а
- X ^
t
б
t
в
Рис. 229
2л/со0« At «2л/£2, где со0 — радиочастота, £2 — частота модуляции
(со0»£2). Что зарегистрирует такой приемник в следующих случаях:
1) на вход поданы амплитудно-модулированные колебания (задача
11.1, п. 2); 2) на вход поданы колебания, модулированные по фазе
(задача 11.1, п. 3); 3) на вход поданы колебания, модулированные по
фазе с отфильтрованной (т. е. несущей) часто¬
той ш0; 4) на вход поданы колебания модули¬
рованные по фазе, в которых фаза спектраль¬
ной компоненты частоты ю0 изменена на л/2
(т. е. фаза несущей изменена на л/2)?
11.3. Найти спектр следующих сигналов,
изображенных на рис. 229: а) периодическая
последовательность прямоугольных импуль¬
сов; б) прямоугольный импульс; в) прямо¬
угольный цуг.
11.4. Плоский вакуумный диод подключен
к источнику постоянного напряжения с пре¬
небрежимо малым внутренним сопротивлени¬
ем (рис. 230). Эмиссионная способность като¬
да К столь мала, что ток через диод протекает в виде одиночных им¬
пульсов отдельных электронов, каждый из которых имеет длитель¬
ность т. Найти спектр сигнала на измерительном приборе при про¬
хождении такого импульса.
101

11.5. Через систему тонких плоскопараллельных пластин, сое¬
диненных с измерительным прибором так, как показано на рис. 231,
пролетает по нормали к пластинам электрон
достаточно высокой энергии, чтобы пронизы¬
вать пластины без заметных потерь. Скорость
электрона v0, ширина каждого зазора d.
Определить спектр сигнала на измерительном
приборе.
11.6. Колебательный контур возбуждается
переменной ЭДС, частота которой со отлича¬
ется от собственной частоты со0, причем рас¬
стройка Аш = ш0 - и больше ширины резо¬
нансной кривой (| Д со | > 6). Можно ли «рас-
Рис. 231 качать» колебания в контуре (рис. 232)
периодическим замыканием и размыканием
ключа КР. При какой частоте переключений амплитуда колебаний в
контуре будет максимальной?
11.7. При каких условиях, налагаемых на вид сигнала f(t) (и его
спектра /’(со)), напряжение g(t) на выходе ЛС-цспочек, изображен¬
ных на рис. 233 и рис. 234, совпадает с входным напряжением /(f)?
11.8. Высокодобротный колебательный контур находится под дей¬
ствием внешней амплитудно-модулированной ЭДС, изменяющейся
по закону &(t) = A(l + т cos2 Ш) cos ш0/ Резонансная частота кон¬
тура может перестраиваться при помощи изменения емкости. Считая
коэффициент затухания контура 6 заданным, определить амплитуду
0—
/(f)
0
R
-с=>
g(t)
до
0
R\
—0
«(f)
—0
Рис. 232
Рис. 233
Рис. 234
вынужденных колебаний в следующих случаях: 1) контур настро¬
ен на несущую частоту со0; 2) контур настроен на частоту со0 + 2IX
11.9. На вход колебательного контура с высокой доброт¬
ностью подаются амплитудно-модулированные колебания <€{t) =
= А( 1 + т cos Qi) cos соt. При перестройке несущей частоты со на¬
блюдается несколько резонансов. Указать резонансные значения час¬
тот. Определить глубину модуляции т, если известно, что амплитуда
вынужденных колебаний напряжения в контуре уменьшилась в
п = 4 раза при перестройке частоты со от значения со0 до со0 + £2 + 6
(со0 — собственная частота, 6 — коэффициент затухания контура).
11.10. В схеме, изображенной на рис. 235, действует переменная
ЭДС, изменяющаяся по закону %'(t) = (S'0 cos2 Qt. Определить токи
3 и £Jy, если известно, что параметры цепи удовлетворяют соотно¬
шению Q2 = 1/(4LC).
102

11.11. В схеме, изображенной на рис. 236, действует переменная
ЭДС, изменяющаяся по закону 'S'(t) = <f0 cos2 Qt. Определить токи
<3 и если известно, что параметры цепи удовлетворяют соотно¬
шению 12 2 = \/{ALC).
11.12. На 7?С-цепочку (рис. 237) подается гармоническое напря¬
жение Квх = К0 cos со/. Параметры цепочки подобраны так, что
Рис. 235 Рис. 236
сдвиг фаз между Квых и VBX составляет 60°. Определить спектраль¬
ный состав выходного напряжения и фазовые сдвиги между спект¬
ральными компонентами для случая, когда расстояние между пла¬
стинами конденсатора (конденсатор плоский) изменяется по закону
d = d0(l + a cos £2/), причем £2<зс ш и а« 1.
11.13. На ЛС-цепочку (рис. 238) подается синусоидальное напря¬
жение Квх = VQ cos со/. Параметры цепочки подобраны так, что сдвиг
фаз между Квых и Квх составляет —45°. Определить спектральный со¬
став выходного напряжения и фазовые сдвиги между спектральными
Рис. 237 Рис. 238 Рис. 239
компонентами для случая, когда расстояние между пластинами пло¬
ского конденсатора изменяется по закону d — d0( 1 + a cos 12/), при¬
чем й«юиа«1.
11.14. Ha вход колебательного контура (рис. 239) подается амп-
литудно-модулированное напряжение FBX = К0( 1 + т cos £2/) cos со0/
(m < 1). Контур настроен в резонанс с частотой ш0. Вычислить Квых,
если со0 = 2-106с~1, £2 = 5-103с-1, добротность контура Q = 100.
11.15. На вход колебательного контура (рис. 239) подается пе¬
риодическая последовательность прямоугольных импульсов, дли¬
тельность которых в 4 раза меньше величины периода. Частота по¬
вторения импульсов совпадает с резонансной частотой контура.
Вычислить отношение амплитуд второй гармоники к первой на вы¬
ходе контура, если его добротность Q = 100.
ЮЗ

11.16. Сигнал с выпрямителя имеет вид V{t) (половинки коси¬
нусоид) (рис. 240). Его подают на схему, изображенную на рис. 241.
Контур L, С настроен на частоту ш0; R^>co0L и R»r. Считая кон¬
тур идеальным, определить форму сигнала VR(t).
11.17. Сигнал с выпрямителя имеет вид V(t) (половинки коси¬
нусоид) (рис. 240). Его подают на схему, изображенную на рис. 242.
С, R, имеющего добротность Q
тивление генератора г = 50 Ом,
Контур L, С настроен на частоту
ш0; co0L »/?»/•. Считая контур
идеальным, определить форму
сигнала VR(t).
11.18Г Генератор импульсов,
имеющих форму ограниченной
косинусоиды (рис. 240), включен
в цепь колебательного контура L,
= 100 (рис. 243). Внутреннее сопро-
а амплитуда ЭДС V = 100 В. Найти
Рис. 242 Рис. 243
максимально возможное значение амплитуды первой гармоники то¬
ка ©7fax в контуре, если все высшие гармоники должны быть подав¬
лены по крайней мере в 100 раз (§ = <3J<3г*1 100).
11.19. Генератор прямоугольных импульсов с амплитудой
V = 100 В и скважностью а = Г/т = 4 (Г — период следования, т —
длительность импульсов), имеющий внутреннее сопротивление
г = 50 Ом, нагружен на последовательный контур с добротностью
Q = Ю0. Найти максимально возможное значение амплитуды первой
гармоники тока в контуре если все высшие гармоники должны
быть подавлены по крайней мере в 100 раз ((3 = <3\1<Эг > 100).
11.20. Квадратичный детектор D преобразует входное напря¬
жение V = F0(sin cot + sin 2cot) по закону Va = kV2. К выходу де¬
тектора подключена цепь, состоящая из последовательно соединен¬
ных индуктивности L и сопротивления R (coL/R— 1/3) (рис. 244).
Вычислить отношение амплитуды гармоники с максимальной часто¬
той к постоянной составляющей выходного напряжения, снимаемого
с сопротивления.
11.21. Квадратичный детектор D преобразует входное напряже¬
ние V = K0(cos cot + cos 2cot) по закону Va = kV2. К выходу детек¬
тора подключена цепь, состоящая из последовательно соединенных
104

емкости С и сопротивления R (a>RC = 1/V2) (рис. 245). Вычислить
отношение амплитуды гармоники с максимальной частотой к посто¬
янной составляющей выходного напряжения, снимаемого с емкости.
11.22. Электронный пучок линейного ускорителя представляет
собой последовательность сгустков, следующих друг за другом с пе¬
риодом Т = 3- КГ10 с. Для измерения электрического тока ускорен¬
ных частиц используется цилиндр Фарадея (рис. 246), полностью
Рис. 244
Рис. 245
поглощающий пучок. Цилиндр Фарадея заземлен через сопротивле¬
ние R = 100 Ом, сигнал с которого подается через кабель на вход
регистрирующего прибора с большим входным сопротивлением
(RBX^R), который шунтируется емкостью кабеля С = 200 пФ
(эквивалентная схема измерительной цепи дана на рисунке). Опре¬
делить число электронов п в сгустке, если показание регистрирую¬
щего прибора U = 1 В.
11.23. Дифференциальная магнитная проницаемость ц некото¬
рого ферромагнетика зависит от напряженности магнитного поля по
закону (с = = щ — рс2//2. На тонкий тороидальный сердечник из
такого материала равномерно намотана катушка, имеющая N вит¬
ков. Сечение сердечника S, радиус тора г (рис. 247). Через катушку
течет постоянный ток подмагничивания, величина которого такова,
Цилиндр Фарадея
О'
Регистрирующий прибор
i 1
-0
и- 1 в
Рис. 246
что зависимость В(Н) достигает максимума. Катушка охвачена ко¬
роткозамкнутым проводом, сопротивление которого R. Определить
спектр тока i в проводнике, если помимо тока подмагничивания че¬
рез катушку пропустить слабый переменный ток 3 = 30 sin a>t. Ин¬
дуктивностью проводника пренебречь.
105

11.24. Тороидальная катушка, имеющая N витков, равномерно
намотана на ферритовый сердечник сечением S и радиусом г. Из-за
насыщения дифференциальная магнитная проницаемость материала
Рис. 249
сердечника зависит от напряженности магнитного поля по закону
ц = = Ц1 — ц2Н2. Катушка охвачена проводником, замкнутым на
конденсатор емкостью С (рис. 248). Определить спектральный со¬
став тока i через конденсатор, если в катушке течет переменный
ток 3 = 3q sin сЩ. Индуктивностью проводника, омическим сопро¬
тивлением цепей и гистерезисом в магнетике пренебречь.
11.25. Каков спектральный состав выходного напряжения Квых
(т. е. амплитуды и фазы спектральных компонент) в схеме, изобра¬
женной на рис. 249, если обе индуктивности одновременно изменя¬
ются по закону L = L0( 1 + т cos Qt). Считать, что т ^ 1, w»Q и
coL0 « R.
11.26. Каков спектральный состав выходного напряжения Кпьгх
(т. е. амплитуды и фазы спектральных компонент) в схеме, изобра¬
женной на рис. 250, если обе емко¬
сти одновременно изменяются по
закону = -)г (1 + т cos Qt)? Счи-
тать, что 1, ш»0 и сoRCq»1.
11.27. В вольтметре для посто¬
янного тока ток поступает в катуш¬
ку, которая может вращаться во
внешнем постоянном магнитном по¬
ле. Какую величину измеряет такой
вольтметр? Что он будет показы¬
вать, если его включить через иде¬
альный диод в розетку переменного
тока с напряжением 220 В (рис. 251)?
11.28. В вольтметрах для измерения постоянного или перемен¬
ного напряжения используется принцип взаимодействия двух кату¬
шек, одна из которых подвижная. Катушки соединены последова¬
тельно, так что через них проходит один и тот же ток. Какую
Рис. 250
106

величину измеряет такой вольтметр? Вольтметр такого типа для пе¬
ременного тока включен через идеальный диод в штепсельную ро¬
зетку с напряжением 220 В (рис. 251). Какое напряжение покажет
вольтметр?
11.29. Оценить отношение амплитуды пульсаций напряжения к
его постоянной составляющей 6V/V0 на нагрузке R однополупериод-
ного выпрямителя, если частота генератора / = 50 Гц, С = 50 мкФ,
R = 20 кОм, а сопротивление диода равно нулю (диод открыт) или
бесконечности (диод закрыт) (рис. 252).
11.30. Оценить отношение амплитуды пульсаций тока к его
постоянной составляющей <Ь&7/&70 в нагрузке R2 однополупериодно-
го выпрямителя, если частота генератора / = 50 Гц, R2 = 1 Ом,
Ri = 10 Ом, Г = 10 Г, а сопротивление диода D равно нулю (диод
открыт) или бесконечности (диод закрыт) (рис. 253).
11.31. На вход высокодобротного колебательного контура (L, С,
R) в начальный момент времени t = 0 подается внешняя ЭДС
%(t) = <Г0 cos [Г21 + ф(1)] с законом фазовой модуляции <р(г) = at2
(й 5s>-/a ). Параметры колебательного контура удовлетворяют усло¬
вию 2L/Rу/лТа. Через какое время после включения ЭДС ампли¬
туда вынужденных колебаний в контуре максимальна? Сколько вре¬
мени должно пройти, чтобы амплитуда вновь заметно уменьшилась?
11.32. На вход высокодобротного колебательного контура
(L, С, R) в начальный момент времени t = 0 подается внешняя
ЭДС %(t) = a(t) cos <x>0t с законом амплитудной модуляции
a(t) = a(l 4-cos at2), где (Dq»^. Параметры контура удовлетво¬
ряют условиям: 2L/R«y/ji/a, \HLC = ш0. Через какое время по¬
сле включения ЭДС колебания напряжения на обкладках конденса¬
тора окажутся близкими к гармоническим?
11.33. Сигнал %(t) = cos (ш! 4- т cos £2г). ще т«1 и
Q« со, подается на вход контура с высокой добротностью Q»l.
Резонансная частота контура ш0 = ш — Q. Определить с точностью
до малых поправок зависимость от времени напряжения на конден¬
саторе V(t). Считать £2ps>co0/Q.
11.34. На вход колебательного контура, настроенного на час¬
тоту со0, подается сигнал 4"(0 = <f0(l 4- m cos Ш) cos (x>0t, т < 1.
Добротность контура Q»l. Частота модуляции выбрана равной
Й = co0/(2Q). Определить амплитуды и фазы спектральных компо¬
нент напряжения V(t) на выходе. Пояснить решение с помощью
векторной диаграммы.
107

11.35. Индуктивность колебательного контура периодически из¬
меняется во времени по закону, указанному на рис. 254. При каком
значении емкости колебательного контура возможен параметриче¬
ский резонанс? При каком максимальном значении активного сопро¬
тивления контура произойдет возбуждение параметрических колеба¬
ний? Выполнить числовой расчет для L0 = 4-10-4 Г, AL = 4-10~5 Г,
т0 = 1(Г6 с.
11.36. Для поддержания незатухающих колебаний в LCR-
контуре (L = 4 -10”3 Г, С = 10-10 Ф, R = 1 Ом) емкость конденсато¬
ра быстро изменяют на величину АС каждый раз, когда напряже¬
ние на нем равно нулю, а через время т = 6,4- КП8 с возвращают в
исходное состояние. Определить величину и знак АС.
11.37. В схеме, изображенной на рис. 255, анодный ток <Да при
малых колебаниях в контуре линейно зависит от напряжения на
сетке Vc по закону Зя = SVC + 30, где S и 30 — постоянные вели¬
чины. Катушка колебательного контура L и катушка связи LCB на¬
мотаны на общем магнитном сердечнике. Считая величины L, LCB,
С и S заданными, определить, при каком максимальном значении
активного сопротивления R контура возможно возбуждение автоко¬
лебаний. Какова будет эффективная
добротность контура, если выбрать
R = 2Атах? Провести числовой рас¬
чет для L = 4 • 10~4 Г, Ьсв — 4 • 10_6 Г,
С= 10-8Ф, S — 2-10~3 А/В.
11.38. С помощью высокочувст¬
вительной измерительной схемы, ко¬
торая проводит усреднение за время
х « 1 с, регистрируются малые изме-
Рис. 256 нения АЗ постоянного тока, текущего
через вакуумный диод (рис. 256), вы¬
званные, например, изменением напряжения батареи. Оценить ми¬
нимальное регистрируемое на фоне дробового шума диода значение
ЛсДтт> если средний ток диода 3 ~ 10~3 А.
108

11.39. Сигнал от радиопередатчика, принятый на расстоянии
/j = 1 км, равен по мощности уровню собственных шумов приемника.
Считая, что шумы обусловлены только тепловыми флуктуациями
во входном контуре радиоприемника, оценить, с какого расстояния
/2 можно было бы вести прием с тем же соотношением уровней сиг¬
нала и шума, если охладить входные цепи радиоприемника до тем¬
пературы жидкого гелия Тг « 4 К.
§ 12. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны.
Волноводы и резонаторы. Плазма
12.1. Считая известным закон Био и Савара В =
(в пустоте) и формулу векторного анализа rot (/а) = / rot а +
+ [grad/ а], показать, что В = rot А, где А = ^ ^ dV. Вектор А
называют вектор-потенциалом.
12.2! Обкладки плоского конденсатора имеют форму дисков ра¬
диусом R. Пространство между обкладками заполнено однородным
диэлектриком с диэлектрической и магнитной проницаемостями е
и ц. Конденсатор включен в цепь переменного тока 3 = g70cos cot.
Пренебрегая краевыми эффектами, вычислить электрическую и
магнитную энергии, локализованные в конденсаторе. Найти отно¬
шение максимальной магнитной к максимальной электрической
энергии. Расстояние между обкладками конденсатора d. Провести
числовой расчет для Л =10 см, частоты v = 100 Гц и е=ц=1.
12.3. Пространство внутри длинного соленоида, состоящего из
N витков проволоки, заполнено однородным веществом с диэлект¬
рической проницаемостью е и магнитной проницаемостью ц. Длина
соленоида равна I, радиус R. По обмотке соленоида течет перемен¬
ный ток 3 = 30 cos Ш. Пренебрегая краевыми эффектами, вычис¬
лить магнитную и электрическую энергии, локализованные внутри
соленоида, и найти отношение максимальных значений этих энер¬
гий. Провести числовой расчет для R = 5 см, е = ц = 1 и частоты
v = 100 Гц.
12.4! Заряженный и отключенный от источника электричества
плоский конденсатор медленно разряжается объемными токами про¬
водимости, возникающими в диэлектрике между обкладками из-за
наличия слабой проводимости. Пренебрегая краевыми эффектами,
вычислить напряженность магнитного поля внутри конденсатора.
12.5! Заряженный и отключенный от источника электричества
плоский конденсатор, состоящий из двух одинаковых дисков радиу¬
сом R, пробивается электрической искрой вдоль своей оси. Считая
разряд квазистационарным и пренебрегая краевыми эффектами, вы¬
числить мгновенное значение напряженности магнитного поля Н
внутри конденсатора (в зависимости от расстояния г до его оси), ес¬
ли сила тока в электрической искре в рассматриваемый момент вре¬
мени равна 3.
109

12.6. Плоский конденсатор состоит из двух одинаковых металли¬
ческих дисков, пространство между которыми заполнено однородным
диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е. Расстояние меж¬
ду внутренними поверхностями дисков равно d. Между обкладками
конденсатора поддерживается переменное напряжение V — V0 sin со/.
Пренебрегая краевыми эффектами, найти магнитное поле Н в про¬
странстве между обкладками конденсатора.
12.7. К плоскому воздушному конденсатору, обкладки которого
имеют форму дисков с зазором d = 1 см между ними, приложено
переменное напряжение V = V0 cos со/ с амплитудой К0 = 300 В и
круговой частотой со=3-106с-1. Найти амплитуды полей Н0 и В()
на расстоянии г — 1 см от оси конденсатора, если это расстояние
меньше радиуса обкладок конденсатора. Как изменятся эти ампли¬
туды, если зазор между обкладками заполнить однородным диэлект¬
риком с е = 10 и ц = 100?
12.8. Плоский воздушный конденсатор, обкладками которого яв¬
ляются два одинаковых диска, заряжен до высокой разности потен¬
циалов и затем отключен от источника напряжения. В центре кон¬
денсатора происходит пробой (проскакивает электрическая искра),
в результате чего конденсатор разряжается. Считая разряд квази-
стационарным и пренебрегая неоднородностью поля на краях кон¬
денсатора, определить полный поток электромагнитной энергии, вы¬
текающий из пространства между обкладками. Обсудить явление с
точки зрения сохранения и превращения энергии.
12.9. Плоскому конденсатору емкостью С, обкладками которого
являются два одинаковых диска, сообщен заряд Q. Затем конденса¬
тор отключают от источника электричества. После этого пластины
соединяют длинным цилиндрическим проводом, проходящим вне
конденсатора, и конденсатор разряжается. Пренебрегая неоднород¬
ностью поля на краях конденсатора, показать непосредственным
расчетом, что полный поток электромагнитной энергии из конден¬
сатора равен полному потоку электромагнитной энергии, втекающе¬
му внутрь провода. Проанализировать явление с точки зрения пред¬
ставления о движении, превращении и сохранении энергии.
12.10. Найти плотность тока смещения /см в плоском конденса¬
торе, пластины которого раздвигаются со скоростью и, оставаясь па¬
раллельным друг другу, если: 1) заряды на пластинах конденсатора
остаются постоянными; 2) разность потенциалов V между пластина¬
ми остается постоянной. Расстояние d между пластинами конденса¬
тора остается все время малым по сравнению с линейными размера¬
ми пластин. 3) Что изменится, если пластины конденсатора будут
сближаться, а не раздвигаться?
12.11. * Плоский воздушный конденсатор, состоящий из двух
одинаковых дисков, заряжен электричеством и помещен внутри
соленоида, создающего однородное постоянное магнитное поле
В — 1000 Гс. Магнитное поле создается батареей, посылающей по¬
стоянный ток в обмотку электромагнита. Электрическое поле меж¬
ду пластинами конденсатора равно Е = 10 000 В/см. Вся система
НО

(вместе с батареей) помещена на горизонтальных рельсах и может
перемещаться по ним без трения. Рельсы параллельны пластинам
конденсатора. Как изменится по величине и направлению меха¬
нический импульс системы, если конденсатор пробивается элек¬
трической искрой вдоль его оси и в результате этого разряжается?
Объем воздушного пространства между пластинами конденсатора
V = 100 см3. Обсудить результат с точки зрения закона сохранения
импульса. Как изменится механический импульс системы, если кон¬
денсатор остается заряженным, но разрывается цепь батареи, пита¬
ющей соленоид?
12.12. Заряженный плоский воздушный конденсатор с напря¬
женностью электрического поля между пластинами Е0 = 282 В/см
помещен внутри соленоида, поперечное сечение которого имеет
форму прямоугольника со сторонами, параллельными и перпенди¬
кулярными пластинам конденсатора. В цепи обмотки соленоида
имеется батарея постоянного тока и ключ. Вся система (вместе с ба¬
тареей) помещена на горизонтальных рельсах, параллельных пла¬
стинам конденсатора, и может перемещаться по ним без трения.
Вначале цепь соленоида разомкнута. Затем ключ замыкается, и в
соленоиде создается постоянное магнитное поле с индукцией
В — 2000 Гс. Как изменится по величине и направлению механиче¬
ский импульс системы после замыкания ключа? Объем воздушного
пространства между пластинами конденсатора равен V = 200 см3.
Обсудить результат с точки зрения закона сохранения импульса.
12.13. Заряженный тонкостенный цилиндрический конденсатор
с радиусом внешнего электрода Л = 20 см висит в вакууме на упру¬
гой нити с модулем кручения /=104дин-см в магнитцом поле
В = 104 Гс, параллельном нити и тонкому внутреннему электроду
конденсатора. При нагреве конденсатор быстро разряжается за счет
термоэмиссии. Определить амплитуду ф0 малых крутильных ко¬
лебаний конденсатора. Заряд конденсатора () = 510~7Кл, момент
инерции конденсатора /=100 г-см2.
12.14. Одним из методов обнаружения гипотетического элемен¬
тарного магнитного заряда — монополя Дирака, величина которого
в гауссовой системе единиц g0 — hc/(2e), — может быть регистра¬
ция электрического тока, возникающего в сверхпроводящем контуре
после прохождения сквозь него монополя. Оценить величину тока в
кольце индуктивностью L = 0,1 мкГ.
Указание. Гипотеза П. Дирака о монополе приводит к сим¬
метризации уравнений Максвелла так, что одно из них принимает
форму
У = -
1 /Ф 4л „
с л 7 ^м»
где <f — ЭДС, возникающая в контуре, Ф — поток магнитной ин¬
дукции, ©/м — ток монополя или магнитный заряд, протекающий
через площадку, ограниченную контуром в единицу времени.
ill

12.15. Одним из методов обнаружения гипотетического элемен¬
тарного магнитного заряда — монополя Дирака, величина которого в
гауссовой системе единиц g0 — hc/(2e), — может быть регистрация
электрического заряда, протекшего в металлическом кольце при
прохождении сквозь него монополя. Оценить величину заряда для
кольца сопротивлением R = 1 Ом (см. также предыдущую задачу).
12.16? Подвесим небольшой стальной цилиндр внутри проволоч¬
ной катушки, питаемой городским переменным током. Цилиндр, ис¬
пытывая 50 циклов перемагничивания в секунду, сильно нагревает¬
ся уже через одну—две минуты. Чтобы доказать, что нагревание
обусловлено гистерезисом, а не токами Фуко, подвесим внутри той
же катушки медный цилиндр тех же размеров, что и стальной.
Электропроводность меди больше, чем у железа, а потому токи Фу¬
ко в ней будут сильнее. Между тем при значительном нагревании
стального цилиндра медный остается холодным. Является ли это
убедительным доказательством гистерезиса у железа?
12.17. Катушка с числом витков N, длиной I и радиусом а за¬
полнена слабопроводящим материалом с постоянной проводимо¬
стью X. Определить, как изменится ЭДС самоиндукции катушки по
сравнению со случаем X = 0, если по катушке течет ток
3 = (Д0 cos w/. Магнитная проницаемость материала ц. Краевыми
эффектами пренебречь.
12.18. На горизонтальном столе из непроводящего немагнитного
материала покоится сильно сплющенная собственным весом капля
ртути, более похожая на блин. Диаметр «блина» d = 10 см. Ртуть аб¬
солютно не смачивает поверхность стола. Далее «блин» вместе со сто¬
лом помещают в переменное однородное магнитное поле с индукцией
В = В0 cos ш/, перпендикулярное поверхности стола. Оценить, како¬
ва должна быть амплитуда поля В0, чтобы на частоте v = 1 МГц ди¬
аметр «блина» изменился в два раза. Поверхностное натяжение ртути
о = 0,465 Н/м, плотность р = 13,5 г/см3, ее удельное сопротивление
а = 9,6 • 10—7 Ом м. Ускорение свободного
падения принять равным g = 9,8 м/с2.
12.19. Обкладками плоского воздушно¬
го конденсатора являются два круговых
диска, расположенных на расстоянии d
друг от друга. Внутри конденсатора нахо¬
дится проволочная прямоугольная рамка,
одна сторона которой совпадает с осью
симметрии конденсатора (рис. 257). Сто¬
рона рамки, параллельная пластинам кон¬
денсатора, равна 2а, перпендикулярная — 2Ь. К обкладкам конден¬
сатора приложено переменной напряжение V = V0 cos со/. Найти си¬
лу тока 3 в рамке в предположении, что ее омическое сопротивле¬
ние R велико по сравнению с индуктивным.
12.20. В длинном воздушном соленоиде с радиусом намотки
r0 = 1 см, содержащем п — 10 витков/см, течет ток, нарастающий с
112

постоянной скоростью d3/dt = 100 А/с. Какова будет форма сило¬
вых линий соответствующего ему вихревого электрического поля Е?
Найти величину Е на расстоянии 2г0 от оси соленоида. Как изме¬
нится поле Е и индукция D, если соленоид погрузить в однородный
немагнитный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью г = 2?
12.21. В однородном магнитном поле перпендикулярно вектору
В расположен замкнутый круглый виток радиусом г, индуктивность
которого L, а омическое сопротивление R. Начиная с момента
t = 0 поле начинает убывать по линейному закону со скоростью
dB/dt = — а. Найти закон изменения потока индукции Ф(1), прони¬
зывающего контур витка.
12.22. Медный цилиндр радиусом а = 1 см и высотой h = 10 см
помещен в переменное однородное магнитное поле В = В0 cos col
параллельное оси цилиндра. Амплитуда поля В0 = 100 Гс, частота
v = 50 Гц. Определить среднюю мощность тепла Q, выделяющего¬
ся в цилиндре из-за токов Фуко. Электропроводность меди
Л = 5,14-1017 с-1 (СГСЭ).
12.23. Плоский конденсатор с площадью пластин S и расстояни¬
ем между ними d заполнен слабопроводящим диэлектриком с ди¬
электрической постоянной е и удельным сопротивлением р. Через
конденсатор течет переменный ток 3 = Зо cos col. Найти V0 — ам¬
плитуду напряжения на конденсаторе.
12.24. В плоский конденсатор, состоящий из двух круглых дис¬
ков площадью S, помещена квадратная проволочная рамка со сто¬
роной а. Одна из сторон рамки совпадает с осью конденсатора, а две
другие направлены по радиусу диска. Сопротивление рамки г
(ее индуктивное сопротивление можно считать много меньше оми¬
ческого). Конденсатор заряжается от источника постоянной ЭДС до
заряда Q0, причем постоянная времени т = RC. Найти джоулево
тепло, выделяющееся в рамке при зарядке конденсатора. Откуда
берется эта энергия? При каких условиях можно пренебречь
индуктивностью рамки?
12.25. Имеется двухпроводная линия из идеального проводника
(без тепловых потерь). Одна пара концов линии присоединена к ге¬
нератору постоянного тока, другая — к некоторому сопротивлению
(нагрузке). Показать, что если падение напряжения в проводах не
учитывать, то вектор потока энергии (вектор Пойнтинга) S в про¬
странстве между проводами направлен вдоль проводов от генерато¬
ра к нагрузке. Как изменится картина, если учесть сопротивление
проводов?
12.26. По прямому проводу, обладающему сопротивлением,
идет постоянный ток. 1) Указать для произвольной точки боковой
поверхности провода направление составляющей вектора Пойнтин¬
га S, обусловленной тангенциальной составляющей Е. 2) Показать,
что произведение модуля вектора Пойнтинга на величину боковой
поверхности провода равно мощности, выделяемой током в проводе.
12.27. Постоянный ток 3 течет по цепи, состоящей из резистора
сопротивлением R и длинной катушки радиусом гг и плотностью
ИЗ

намотки витков п [см 1J и соосного с катушкой прямого провода
радиусом г у (рис. 258). Пренебрегая сопротивлением катушки и
провода, найти аксиальную Sz и азимутальную 5ф компоненты век¬
тора Пойнтинга внутри катушки вдали от ее
торцов. Вычислить поток энергии через сече¬
ние катушки.
12.28. Длинный соленоид (длина I, ради¬
ус г, число витков N) подключается к источ¬
нику постоянной ЭДС $ через сопротивле¬
ние R (сопротивлением соленоида можно
пренеоречь;. паити электромагнитную энергию, втекающую в соле¬
ноид за время установления тока, и сравнить ее с магнитной энер¬
гией соленоида LS2/2.
12.29. Цилиндрический электронный пучок радиусом R распро¬
страняется в свободном пространстве. Электроны пучка летят па¬
раллельно, их энергия W, а концентрация п. Найти величину и на¬
правление вектора Пойнтинга в любой точке пространства.
12.30. По цилиндрическому проводнику течет ток, плотность
которого однородна по сечению проводника. Концентрация элект¬
ронов проводимости п. Пренебрегая сопротивлением и учитывая по¬
ле Холла, определить величину и направление вектора Пойнтинга в
проводнике в зависимости от расстояния до оси г. Величины
е = ц = 1.
12.31. В свободном пространстве распространяется электронный
пучок «ножевой» геометрии, т. е. имеющий вид тонкого плоского
слоя; скорость электронов лежит в плоскости слоя. Толщина пучка
2а, энергия электронов W, концентрация их п. Считая, что все
электроны летят параллельно, найти вектор Пойнтинга в произ¬
вольной точке пространства.
12.32Г Конденсатор, состоящий из двух одинаковых дисков ради¬
усом а, расположенных на расстоянии d друг от друга, заполнен ди¬
электриком с проницаемостью е и заряжен до напряжения V0. Затем
конденсатор начинает разряжаться через внешнее сопротивление R.
Пренебрегая краевыми эффектами, найти вектор Пойнтинга в кон¬
денсаторе как функцию расстояния г от оси и времени t. Найти пол¬
ную электромагнитную энергию W, вытекшую через боковую по¬
верхность конденсатора за все время разряда.
12.33. Плоский конденсатор, состоящий из двух одинаковых соос¬
ных дисков, подключен к источнику постоянного напряжения с£.
В момент t = 0 расстояние d между дисками начинает увеличиваться
по некоторому закону d(t). Найти вектор Пойнтинга S и электро¬
магнитную энергию W(r, t), переносимую через цилиндрическую по¬
верхность радиусом г, расположенную внутри конденсатора вокруг
оси, как функцию времени. Расстояние d между пластинами конден¬
сатора остается все время малым по сравнению с радиусом пластины.
12.34. По проводнику, имеющему форму плоской ленты, течет
ток с плотностью у. Носителями тока являются электроны с концен¬
трацией п. Найти величину и направление вектора Пойнтинга в
Рис. 258
114

произвольной точке внутри проводника. Считать толщину ленты
много меньше ее ширины, сопротивление не учитывать; р.» 1.
12.35. Цилиндрический электронный пучок с концентрацией
пе и продольной скоростью электронов v проходит сквозь газ поло¬
жительных неподвижных ионов с концентрацией, подобранной та¬
ким образом, чтобы скомпенсировать силы взаимодействия электро¬
нов в поперечном направлении. Найти величину и направление
вектора Пойнтинга внутри пучка, а также концентрацию ионов пг
12.36. В длинном соленоиде объемом V и индуктивностью L ток
возрастает по закону 3 = at, где а — известная константа. Опреде¬
лить вектор Пойнтинга внутри соленоида. Определить полный поток
Ф5 вектора Пойнтинга S через сферическую поверхность, центр ко¬
торой лежит на оси соленоида вдали от его торцов, через время
t = 1с после начала процесса. Радиус R поверхности меньше ради¬
уса соленоида. Рассеянием поля на торцах соленоида пренебречь,
е = р. = 1.
12.37. Внутри плоского конденсатора, образованного двумя
круглыми дисками, расположенными на расстоянии d друг от друга,
мысленно выделена замкнутая цилиндрическая поверхность радиу¬
сом R (2R < d) и длиной L (L меньше диаметра пластин конденса¬
тора). Ось цилиндра перпендикулярна оси симметрии конденсатора.
Напряжение на конденсаторе изменяется по линейному закону
V = At, где А — известная константа. Определить вектор Пойнтин¬
га внутри конденсатора. Определить полный поток Ф5 вектора Пой¬
нтинга S через цилиндрическую поверхность через время t = 1с по¬
сле начала процесса.
12.38. Оболочка и центральный проводник длинного отрезка ко¬
аксиального кабеля, замкнутого с торцов, изготовлены из разных
сверхпроводников. Вначале по кабелю циркулирует ток с70- Затем
температуру повышают так, что внутренний сверхпроводник пере¬
ходит в нормальное состояние. Сверхпроводимость же оболочки при
этом сохраняется. Определить вектор Пойнтинга и электро¬
магнитную энергию, перенесенную за время затухания тока, на
единицу длины кабеля. Радиус оболочки R0, центрального провод¬
ника г0. Считать скорость изменения тока dSIdt известной.
12.39. Двухпроводная линия из задачи 12.25 присоединена с од¬
ного конца к генератору синусоидального тока. Напряжение и сила
тока в линии находятся в одной и той же фазе. Показать, что век¬
тор Пойнтинга S в пространстве между проводами всегда направлен
от генератора к нагрузке.
12.40. В двухпроводной линии из задачи 12.25 ток отстает по фазе
от напряжения на 90°. Показать, что вектор Пойнтинга S через
каждую четверть периода меняет свое направление на обратное и,
следовательно, поток энергии за период равен нулю (стоячая волна).
12.41! Источник постоянного тока нагружен на сопротивление
R = 60 Ом. Сопротивление и источник соединены через коаксиаль¬
ную линию, длина которой г2. В некоторый момент времени
115

ключ К{ отключает линию от источника и одновременно К2
замыкает накоротко нагрузку (рис. 259). Полагая все сопротив¬
ления, кроме R, пренебрежимо малыми, а величины ЭДС, /, г}
^^
к,
я
Рис. 259
заданными, определить, при какой величине г2 энергия, излу¬
ченная линией после срабатывания ключей, будет минимальной.
12.42. Провода системы Лехера находятся в емкостной связи с
генератором синусоидальных колебаний, который поддерживает
между концами А и В перемен¬
ное напряжение V0 cos Ы, где
V0 и со — постоянные. Концы
С и D закорочены (рис. 260).
Длина лехеровой системы
АС = BD = /. Найти распреде¬
ление напряжения V(x, t) меж¬
ду проводами как функцию ко¬
ординаты л' и времени t, пред¬
полагая, что колебания устано¬
вились, а активное сопротивление всех проводов равно нулю. Иссле¬
довать амплитуду А установившихся колебаний напряжения в пуч¬
ностях в зависимости от длины I лехеровой системы.
12.43! Отрезок коаксиального кабеля длиной / = 14 м подключен
ко входу усилителя с очень высоким входным сопротивлением. Дру¬
гой конец кабеля замкнут накоротко. Межпроводное пространство ка¬
беля заполнено диэлектриком (е = 2), характеризующимся малой
удельной проводимостью X = 10~б Ом_1-м_| яе 9-103 ед. СГСЭ. Най¬
ти наименьшую резонансную частоту vmin и добротность Q контура,
эквивалентного отрезку данного кабеля, считая что потери связаны
только с проводимостью диэлектрика.
12.44! Торцы отрезка волновода сечением а х Ь = 10 х 22 мм2
и длиной I = 100 мм запаяны, и волновод заполнен диэлект¬
рической средой (е = 2), обладающей слабой удельной проводимо¬
стью X = 10-7 Ом-1 ■ м-1 ~ 900 ед. СГСЭ. Найти добротность Q полу¬
ченного СВЧ-резонатора для самой низкой возможной резонансной
частоты vmin, считая, что потери связаны только с проводимостью ди¬
электрика.
12.45! Волновод с металлическими стенками квадратного сече¬
ния со стороной а = 5 см возбуждается модулированными колеба¬
ниями Ex(t) = £0(1 + cos Qt) cos w0t, где ш0/(2л) = 3001 МГц, а
£2/(2л) = 2 МГц. Пренебрегая потерями бегущих волн в волноводе,
с
-Vq cos соt
а
V(x, t)
Т и*
D
X
Рис. 260
116

определить, по какому закону меняется поле £вых(1) на выходе
волновода длиной L. Поле Е перпендикулярно оси волновода и
параллельно одной из стенок (рис. 261). Чему равна фазовая ско¬
рость волны с частотой ш0?
12.46. В волноводе квадратного сечения со стороной а = 5 см
с металлическими стенками возбуждаются колебания электри¬
ческого поля Ех = Е0 cos 2nv0t с частотой
v0 = 2998 МГц (поле Е перпендикулярно
оси волновода z и параллельно одной из
стенок) (рис. 261). При какой минималь¬
ной частоте амплитудной модуляции
vmin в волноводе возникнет бегущая вол¬
на? Чему равна фазовая скорость волны
при частоте модуляции v = 3 МГц?
12.47. В резонаторе, который пред¬
ставляет собой кубик со стороной а, с
идеально проводящими стенками и ва¬
куумным наполнением возбуждена основ¬
ная мода электромагнитных колебаний,
амплитудой Е0 ориентировано по оси z. Найти вектор Пойнтинга
S(f, х, у, z) как функцию координат и времени.
12.48. Генератор электромагнитного излучения с длиной волны
X = 8 мм и мощностью N = 1 Вт настроен на основную моду прямо¬
угольного резонатора с металлическими стенками, объем которого
V = 0,2 см3 и добротность Q = 103. Система соединения генератора
и резонатора обеспечивает полное поглощение энергии генератора
внутри резонатора. Определить максимальную напряженность Е0
электрического поля в резонаторе.
12.49. Прямоугольный сверхпроводящий резонатор высотой
h = 3 см имеет в горизонтальном сечении форму квадрата со сторо¬
ной а = 10 см. Изнутри резонатор покрыт сверхпроводником, кри¬
тическое магнитное поле Яс которого в условиях опыта равно 1 кЭ.
Во избежание пробоя напряженность Е электрического поля всю¬
ду не должна быть больше Е0 = 30 кВ/см. Измеренная на низ¬
шей резонансной частоте добротность резонатора оказалась равной
Q — 106. Какую мощность N можно подводить непрерывно к резо¬
натору на этой частоте, чтобы поддерживать колебания с макси¬
мально допустимой амплитудой?
12.50. В волноводе квадратного сечения (сторона квадрата рав¬
на а) с идеально проводящими стенками и вакуумным наполнением
возбуждена бегущая электромагнитная ТЕ-волна с минимальной
частотой при заданном волновом числе kz. Ось z направлена вдоль
волновода, вектор Е параллелен оси х, амплитуда поля равна Е0.
Определить вектор Пойнтинга S(x, у, z, t) как функцию координат
и времени.
12.51. Мощный СВЧ-генератор через волновод питает пере¬
дающую антенну. Генератор посылает в волновод мощность
Рис. 261
Электрическое поле с
117

N0= 100 кВт, которая частично излучается антенной в окружаю¬
щее пространство, а частично отражается и поглощается в специ¬
альных нагрузках обратной волны. В результате в волноводе возни¬
кает суперпозиция прямой и отраженной волн, распространяющих¬
ся во встречных направлениях. Найти мощность Аизл, излучаемую
антенной, если известно, что коэффициент стоячей волны, т. е. от¬
ношение максимальной напряженности поля (в пучности) к мини¬
мальной (в узле) к = 2.
12.52. Мощный СВЧ-генератор через волновод питает нагрузку,
посылая в волновод мощность Л:0 = 100 кВт. Часть этой мощности
поглощается в нагрузке (Ан = 75кВт), а часть отражается. В ре¬
зультате в волноводе возникает суперпозиция прямой и отраженной
волн, распространяющихся во встречных направлениях. Найти ко¬
эффициент стоячей волны в волноводе, т. е. отношение макси¬
мальной напряженности поля (в пучности) к минимальной (в узле).
12.53. В прямоугольном объемном резонаторе СВЧ-диапазона со
сторонами а< b < I возбуждают низшую моду колебаний. После на¬
копления в резонаторе плазмы, образующейся в результате иониза¬
ции оставшегося после откачки воздуха, частота этой моды колеба¬
ний удваивается. По этим данным определить концентрацию элек¬
тронов плазмы.
12.54. * Через волновод прямоугольного сечения со сторонами
а < b распространяется волна низшего типа (т. е. Я01), возбуждае¬
мая генератором микроволнового излучения с частотой со0. Вследст¬
вие ионизации воздуха, оставшегося в волноводе после его вакууми¬
рования, в нем образуется плазма, в результате чего длина волны в
волноводе удваивается. Из этих условий определить концентрацию
электронов в образовавшейся плазме.
12.55. Плоский конденсатор заполнен плазмой со средней кон¬
центрацией электронов и ионов п0 и температурой Т. Расстояние
между пластинами конденсатора а, разность потенциалов V. Пре¬
небрегая током через плазму и считая eV«kT, определить про¬
странственную зависимость потенциала в плазме между пластинами
конденсатора.
12.56. Через конденсатор колебательного контура с резонансной
частотой ш0 = 107 с-1 параллельно пластинам пропускается элект¬
ронный пучок, полностью заполняющий пространство между ними
(ток 3 = 1 мА, энергия W = 1 кэВ, сечение пучка S = 100 см2).
Во сколько раз изменится резонансная частота?
12.57. По длинному плазменному цилиндру диаметром
2R = 10 см течет ток 3 — 105 А, сосредоточенный в поверхностном
слое. Давление в плазме Р= 105 Н/м2. Определить давление Р0 на
боковую поверхность плазменного цилиндра, возникающее под дей¬
ствием тока. Сжимается плазма или расширяется? Найти величину
тока, необходимую для того, чтобы радиальные силы уравновесились.
12.581 Z-пинч представляет собой плазменный шнур, вдоль
оси которого течет ток 3. В равновесии магнитное давление его
118

собственного магнитного поля уравновешивает газокинетическое
давление плазмы. В одной из моделей плазма считается нейтраль¬
ной с однородным распределением плотностей частиц и тока по по¬
перечному сечению пучка. Оценить температуру Т плазмы на оси
шнура. Принять, что внешний радиус шнура R = 5 см, сила тока
3 = 4-105 А, плотность частиц п = 1016 см , магнитная проницае¬
мость плазмы ц = 1.
12.59. Плазменный шнур удерживается с помощью магнитного
поля, параллельного оси шнура, вследствие того, что поле не про¬
никает внутрь плазмы. Оценить величину магнитного поля, необхо¬
димую для удержания плазмы, если концентрация частиц плазмы
п = 1016 см'3, а ее температура Т = 108 К.
12.60. В цилиндрическом пропорциональном счетчике пучок ча¬
стиц вызывает объемную ионизацию. Оценить время собирания
ионов в таком счетчике, наполненном аргоном при нормальном дав¬
лении. Радиус катода R = 1 см, радиус анода г = 2-10-2см, разность
потенциалов между' анодом и катодом V = 2500 В, подвижность поло¬
жительных ионов аргона ц+ = 1,4 см2/(В-с).
12.61. Мощный источник тока создает в тонкой цилиндрической
плазменной оболочке ток 3 = 5 * 106 А, параллельный оси и равно¬
мерно распределенный по азимуту (рис. 262). Внутри оболочки пред¬
варительно создано продольное магнитное поле В0 = 1 кГс. Началь¬
ный радиус цилиндра R0 = 2 см. В дальнейшем под действием тока
Рис. 262
оболочка сжимается по радиусу. Считая ее идеально проводящей,
оценить, при каком радиусе Rx ускорение оболочки поменяет знак.
12.62. Вдоль цилиндрического электронейтрального плазменного
шнура (Z-пинч) течет ток 3. Считая, что условие механического
равновесия плазмы определяется балансом сил Ампера и газокинети¬
ческого давления, определить температуру вблизи оси плазменного
шнура, полагая температуру на поверхности пренебрежимо малой
(рис. 263). Плотность тока и концентрация частиц в плазме одно¬
родны по сечению, число частиц на единицу длины равно N [см-1].

ОПТИКА
§ 1. Геометрическая оптика и элементы фотометрии
1.1. Сосуд с ртутью равномерно вращается вокруг вертикальной
оси с угловой скоростью ш=1с~1. Поверхность ртути принимает
вогнутую форму и используется как зеркало. Определить фокусное
расстояние этого зеркала.
1.2! Доказать геометрически, что если луч света, исходящий из,
точки А, попадает в точку В после отражения от плоского зеркала,
то длина пути этого луча меньше, чем длина любого другого пути,
проходящего от А к зеркалу, а затем к В.
1.3! Показать, что если луч света, исходящий из точки А, попа¬
дает в точку В после преломления на плоской границе раздела двух
сред, то оптическая длина этого луча меньше оптической длины лю¬
бого пути, соединяющего А и В (принцип Ферма).
1.4. Найти фокусное расстояние / двояковыпуклой тонкой линзы,
ограниченной сферическими поверхностями с радиусами R{ = 25 мм
и R2 = 40 мм; показатель преломления стекла линзы п = 1,5.
1.5. С помощью тонкой собирающей стеклянной линзы с показа¬
телем преломления п = 3/2 получено действительное изображение
предмета на расстоянии 10 см от линзы. После того как предмет и
линзу погрузили в воду, не изменяя расстояния между ними,
изображение получилось на расстоянии 60 см от линзы. Найти фокус¬
ное расстояние / линзы, если показатель преломления воды п = 4/3.
1.6! Вывести формулу сферического зеркала и формулу тонкой
линзы из принципа таутохронизма.1
1.7. Плоская стеклянная пластинка толщиной 3 мм рассматрива¬
ется в микроскоп. Сначала микроскоп устанавливают для наблюде¬
ния верхней поверхности пластинки, а затем смещают тубус микро¬
скопа вниз до тех пор, пока не будет отчетливо видна нижняя
1 Для определенности примем следующее правило знаков. Все расстояния, отсчи¬
тываемые от зеркала или линзы (или других точек, принимаемых за начала отсчета)
в направлении распространения света, считаются положительными, а против направ¬
ления распространения света — отрицательными. Если падающий свет распространя¬
ется слева направо, то это правило знаков совпадает с правилом знаков, принятым в
аналитической геометрии. Радиусы кривизны сферических поверхностей отсчитыва¬
ются в направлении от сферической поверхности к центру кривизны. Фокусные рас¬
стояния, напротив, отсчитываются в направлении от фокусов к линзе или зеркалу, а
в случае толстых линз или системы линз — в направлении от фокусов к соответству¬
ющим главным плоскостям.
120

поверхность пластинки (для удобства наблюдения на поверхностях
пластинки сделаны метки). Смещение тубуса оказалось равным
2 мм. Найти показатель преломления пластинки п.
1.8. Предмет помещен на расстоянии Д = 15 см от плоскопарал¬
лельной стеклянной пластинки. Наблюдатель рассматривает его че¬
рез пластинку, причем луч зрения нормален к
ней. Толщина пластинки d = 4,5 см. Показа¬
тель преломления стекла п — 1,5. Найти рас¬
стояние изображения предмета /2 от ближай¬
шей к наблюдателю поверхности пластинки.
1.9. Показать, что наименьшее отклоне¬
ние Ъ параллельного пучка в призме происхо¬
дит при симметричном ходе лучей в призме.
Связать угол наименьшего отклонения 6 с по¬
казателем преломления п вещества призмы и
с преломляющим углом А призмы (рис. 264).
1.10. Вычислить угол наименьшего отклонения 6 для призмы с
очень малым преломляющим углом А с учетом членов второго по¬
рядка малости (относительно А).
1.11. Чему равен угол наименьшего отклонения б для линии D
натрия в призме с преломляющим углом 60°? Для линии D показа¬
тель преломления стекла призмы п = 1,62.
1.12. На плоскопараллельную стеклянную пластинку под углом
Ф падает узкий пучок света шириной а (рис. 265), содержащий две
спектральные компоненты. Показатели преломления стекла для этих
длин волн различны: П\ и п2. Определить минимальную толщину
hmin пластинки, при которой свет, пройдя через пластинку, будет рас¬
пространяться в виде двух отдельных пучков, каждый из которых со¬
держит только одну спектральную компоненту.
1.13. Для обращения изображения часто используют так назы¬
ваемую призму Дове (рис. 266), представляющую собой усеченную
прямоугольную равнобедренную призму. Определить длину I осно¬
вания призмы, если ее высота h — 2,11 см, а показатель преломле¬
ния стекла п — 1,41. Призма должна обращать пучок света макси¬
мального сечения.
1.14. На стеклянный клин перпендикулярно его грани падает
тонкий луч света (рис. 267). Показатель преломления стекла
121

п = 1,41, угол а = 10°. Сколько светлых пятен будет видно на экра¬
не, поставленном за клином?
1.15. Перед торцом стеклянного цилиндрического световода, по¬
казатель преломления которого равен п, на его оси расположен то¬
чечный источник света. Найти угловую апертуру а пучка света,
проходящего через световод.
1.16. Цилиндрический стакан с жидкостью поставлен на монету,
рассматриваемую сквозь боковую стенку стакана. Указать наимень¬
шую возможную величину показателя преломления п жидкости,
при котором монета не видна.
1.17. С каким углом а нужно взять трапецеидальный сосуд с во¬
дой ABCD (рис. 268), чтобы сквозь его боковую стенку не было вид¬
но предмета, положенного под сосуд? Показатель преломления воды
п = 1,33. Дно сосуда имеет форму прямоугольника.
1.18. Человек, стоящий на берегу пруда, смотрит на камень, на¬
ходящийся на дне. Глубина пруда h. = 1 м. На каком расстоянии h'
от поверхности воды получится изображение камня, если луч зре¬
ния составляет с нормалью к поверхности воды угол <р = 60°? Пока¬
затель преломления воды п = 1,33.
1.19. В оптической системе, предназначенной для задержки во
времени короткого светового импульса, используется многократное
отражение света от двух вогнутых сферических зеркал (радиус
кривизны г, = 10 м) и 32 (радиус кривизны r2= 1 м), расположен¬
ных на расстоянии L = 5,5 м друг от друга (рис. 269). В центре зер¬
кала 3i имеется отверстие диаметром d = 2 мм. На это зеркало на
высоте h = 15 см от оси системы падает короткий световой импульс
в виде тонкого луча, параллельного оси. Оценить, через какой про¬
межуток времени At этот луч выйдет через отверстие.
1.20. Экспериментатор хочет получить фотографию Луны раз¬
мером 6x6 см, используя вместо объектива систему плоских зеркал
и вращающееся ведро со ртутью. Ведро приводится во вращение
двигателем со скоростью вращения вала п = 600 об/мин. Каково
должно быть отношение диаметров шкивов вала на оси двигателя и
на оси ведра? Диаметр Луны — 3476 км, расстояние от Луны до
Земли — 384000 км.
1.21. Предмет помещен на оси вогнутого зеркала дальше его фо¬
куса. Между фокусом и зеркалом помещена плоскопараллельная
122

стеклянная пластинка толщиной d с показателем преломления п
так, что ось зеркала перпендикулярна к пластинке. Показать, что
введение пластинки смещает изображение так же, как перемещение
зеркала на расстояние d(n — 1 )/п по направлению к предмету.
1.22. Матовое стекло фотографического аппарата установлено
так, что резким выходит изображение предмета, находящегося на
расстоянии 5 м. До какого диаметра D нужно задиафрагмировать
объектив с фокусным расстоянием 20 см, чтобы не было заметной
нерезкости в изображении предметов, находящихся на 0,5 м ближе
снимаемого? (Нерезкость считать незаметной, если размытость де¬
талей не превышает 0,1 мм.)
1.23. При фотографировании на пленке из-за конечной разре¬
шающей способности получаются резко изображенными не только
те предметы, на которые сфокусирован объектив фотоаппарата, но
также и предметы, находящиеся несколько ближе и несколько даль¬
ше этого расстояния. Оказалось, что при наведении объектива фо¬
тоаппарата на предмет, находящийся на расстоянии L0= 10 м,
ближняя граница глубины резкости расположена на расстоянии
L\ = 7,8 м. Определить дальнюю границу Ьг.
1.24. Как сместится фокус фотоаппарата, если внутрь аппарата
на пути лучей (перпендикулярно к оптической оси) поместить пло¬
скопараллельную стеклянную пластинку толщиной d — 6 мм с пока¬
зателем преломления п = 1,5? (Объектив сильно задиафрагмирован.)
1.25. Доказать, что если линза находится перед глазом и движет¬
ся в сторону, то наблюдателю кажется; что предмет, рассмат¬
риваемый через линзу, движется в ту же сторону, что и линза, ес¬
ли линза рассеивающая, и в противоположную, если линза соби¬
рающая.
Примечание. Если собирающая линза используется как лупа
(предмет помещается между фокусом и линзой), то получается пря¬
мое изображение. Если же, отодвинув собирающую линзу дос¬
таточно далеко от глаза, рассматривать через нее удаленные предме¬
ты, то получаются их обратные изображения. В этом случае при сме¬
щении линзы в сторону изображение смещается в ту же сторону.
1.26. Показать, что наименьшее расстояние между двумя опти¬
чески сопряженными относительно собирающей линзы точками рав¬
но 4/, где / — фокусное расстояние линзы.
1.27. Собирающая линза дает изображение некоторого объекта
на экране. Высота изображения равна hY. Оставляя неподвижным
экран и объект, начинают двигать линзу к экрану и находят, что
при втором четком изображении объекта высота изображения равна
h2. Найти действительную высоту предмета h.
1.28. Расстояние от лампочки до экрана L = 50 см. Линза, поме¬
щенная между ними, дает четкое изображение лампы на экране при
двух положениях, расстояние между которыми / = 10 см. Найти фо¬
кусное расстояние / линзы.
1.29. У двояковыпуклой тонкой линзы серебрится одна из по¬
верхностей. Найти фокусное расстояние / полученного таким
123

образом зеркала. Радиус кривизны чистой поверхности равен /?,. ра¬
диус кривизны посеребренной поверхности — R2, показатель пре¬
ломления материала линзы равен п.
1.30. Две одинаковые плосковыпуклые тонкие линзы с показате¬
лем преломления п посеребрены: одна с плоской стороны, другая с
выпуклой. Найти отношение фокусных расстояний {у и /2 получен¬
ных сложных зеркал, если свет в обоих случаях падает с непосереб-
ренной стороны.
1.31. Фотографическим аппаратом, объектив которого имеет фо¬
кусное расстояние, меняющееся от 12 см до 20 см, требуется сфотог¬
рафировать предмет, находящийся на расстоянии 15 см от объекти¬
ва. Какую линзу нужно добавить к объективу, чтобы изображение
вышло резким при максимально возможном фокусном расстоянии?
1.32. Две тонкие линзы с фокусными расстояниями fy и /2 на¬
ходятся на расстоянии / друг от друга, образуя центрированную си¬
стему. Найти фокусное расстояние / этой системы, а также положе¬
ния ее главных плоскостей.
1.33. Систему двух тонких линз, описанную в предыдущей зада¬
че, требуется заменить одной «эквивалентной» тонкой линзой, ко¬
торая при любом положении объекта давала бы такое же по вели¬
чине изображение его, как и описанная система двух линз. Найти
фокусное расстояние и положение «эквивалентной» линзы.
1.34. С одной стороны двояковыпуклой тонкой линзы, сделанной
из стекла (п = 1,52), находится вода («'= 1,33), с другой — воз¬
дух. Найти положения главных и фокальных плоскостей и узловых
точек системы.
1.35. Фокусное расстояние объектива зрительной трубы равно
/1 = 60 см, а окуляра — /2 = 4 см. Показатель преломления стекла
объектива и окуляра п = 3/2. Труба погружается в воду, заполняю¬
щую ее внутреннюю часть. Каким объективом из стекла того же сор¬
та следует заменить объектив трубы, чтобы в нее можно было рас¬
сматривать удаленные предметы в воде? Чему будет при этом равно
увеличение трубы, если показатель преломления воды п = 4/3?
1.36. Человек с нормальным зрением рассматривает удаленный
предмет с помощью зрительной трубы Галилея. В качестве объекти¬
ва и окуляра используются линзы с фокусными расстояниями
/; = 40 см и /2 = —2 см. При каких расстояниях L между объекти¬
вом и окуляром наблюдатель увидит четкое изображение предмета,
если глаз может аккомодироваться от 10 см до бесконечности?
1.37. Галилеева труба 9-кратного увеличения имеет длину
40 см. После того как объектив и окуляр трубы заменили собираю¬
щими линзами, труба стала давать то же увеличение. Определить
фокусные расстояния /) и /2 этих линз, а также фокусные расстоя¬
ния /1 и /2 объектива и окуляра галилеевой трубы.
1.38. Зрительная труба с фокусным расстоянием объектива
/ = 50 см установлена на бесконечность. На какое расстояние А/
124

надо передвинуть окуляр трубы, чтобы ясно видеть предметы на
расстоянии 50 м?
1.39. На систему линз, изображенную на рис. 270, падает слева
параллельный пучок света. Найти положение точки схождения это¬
го пучка после прохождения системы.
1.40. Найти изображение точки, которая находится на расстоя¬
нии 10 см слева от крайней левой линзы системы, изображенной на
рис. 271.
1.41. Микроскоп имеет объектив с фокусным расстоянием
fi = 1 см и окуляр с фокусным расстоянием /2 = 3 см, расстояние
между ними d = 20 см. На каком расстоянии 1{ должен находиться
15 см 5 см
Рис. 270
/--5 /=+5 /=-5 /-=+5
Рис. 271
объект, чтобы окончательное изображение получилось на расстоя¬
нии /2 = 25 см от глаза (что является минимальным расстоянием яс¬
ного зрения)? Какое при этом получится линейное увеличение а?1
1.42. Найти положения главных плоскостей толстой линзы, име¬
ющей форму шара радиусом R. Определить фокусные расстояния /
и /' и положения фокальных точек такой линзы, когда она сделана:
1) из воды (лв = 4/3); 2) из стекла (пст = 3/2). При каком показа¬
теле преломления фокальные точки не выйдут наружу?
1.43. Радиус стеклянного (и = 1,5) шара R = 4 см. 1) Найти рас¬
стояние х от центра шара до изображения предмета, который рас¬
положен в 6 см от поверхности шара. 2) Найти увеличение изобра¬
жения.
1.44. Радиус кривизны сферической поверхности стеклянной
(я =1,52) плосковыпуклой линзы R = 26 см; толщина линзы
Если нужно 8 часов кряду смотреть в микроскоп, то настройка микроскопа
телескопическая — т. е. на выходе окуляра параллельный пучок лучей.
125

3,04 см. Вычислить фокусное расстояние / линзы и найти положе¬
ние изображения объекта, находящегося на расстоянии 75 см от
ближайшей поверхности линзы и расположенного со стороны:
1) выпуклой поверхности; 2) плоской по¬
верхности.
1.45. Найти фокусное расстояние / и по¬
ложения главных плоскостей двояковыпук¬
лой толстой линзы, для которой п = 1,5,
/?! =.10 см, R2 = 4 см, d = 2 см.
1.46. Определить положения главных
плоскостей, фокальных точек и фокусное
расстояние системы двух тонких линз, изо¬
браженной на рис. 272.
1.47. Какова освещенность Е площадки,
если источником света служит бесконечная
плоскость, параллельная этой площадке, причем поверхностная яр¬
кость источника В всюду одинакова и не зависит от направления?
1.48. Какова освещенность Е на горизонтальной площадке, осве¬
щаемой небесной полусферой, если считать яркость неба повсюду
равномерной и равной В1
1.49. Какую освещенность Е следует создать на белом листе бу¬
маги с коэффициентом отражения к = 0,85, чтобы его яркость была
В = 3-104 кд/м2? Можно считать, что бумага рассеивает свет по за¬
кону Ламберта.
1.50. Освещенность, получаемая при нормальном падении сол¬
нечных лучей на поверхность Земли, составляет приблизительно
Е0 — 100000 лк. Какова освещенность Е изображения Солнца, дава¬
емого свободной от аберраций линзой с диаметром D = 5 см и фокус¬
ным расстоянием / = 10 см? Угловой диаметр Солнца а = 30 .
1.51. Освещенность, получаемая при нормальном падении сол¬
нечных лучей на поверхность Земли, около Е — 105 лк. Считая, что
излучение Солнца подчиняется закону Ламберта, и пренебрегая по¬
глощением света в атмосфере, определить яркость Солнца, если из¬
вестно, что радиус земной орбиты R — 1,5- Ю8 км, а диаметр Солнца
D — 1,4 ■ 106 км.
1.52. Найти освещенность поверхности Земли у экватора све¬
том, отраженным Луной в полночь в полнолуние. Считать, что Сол¬
нце является ламбертовым источником света, а Луна — ламберто¬
вым отражателем. Яркость Солнца Вс= 1,5-109 кд/м2, радиус Сол¬
нца 7?с = 7-108м, расстояние от Солнца до Земли (и Луны)
R0 = 1,5-1011 м, расстояние от Луны до Земли Rt = 3,8-108 м, види¬
мый радиус Луны Rji= 1,7 • 106 м. Коэффициент отражения лунной
поверхности к = 1%.
1.53. Спектрограф имеет объектив коллиматора диаметром D с
фокусным расстоянием Уд и объектив камеры того же диаметра с
фокусным расстоянием /2. Источник с яркостью В резко отобража¬
ется на входную щель спектрографа при помощи конденсора один
126

раз с увеличением (расстояние от конденсора до щели равно L),
другой раз с уменьшением. Каков должен быть диаметр конденсора
DK, чтобы в обоих его положениях освещенность на фотопластинке
была одинаковой? Чему равна освещенность
Е в этом случае, если пренебречь потерями
на отражение и поглощение?
1.54. Тепловой фотоприемник (рис. 273)
представляет собой полую камеру с пло¬
щадью внутренней поверхности 5 = 2 см2,
имеющую небольшое отверстие площадью
?>! — 1 мм2. Внутренняя поверхность камеры
незначительную часть света поглощает (ко¬
эффициент поглощения к — 0,01), а осталь¬
ную часть рассеивает. В этих условиях внутри полости создается
равномерно распределенное по всем направлениям излучение.
Какая часть светового потока Ф/Ф0 (где Ф0 — световой поток, по¬
падающий на входное отверстие камеры) выходит через отверстие
обратно?
1.55. Какую мощность должна иметь лампа в осветителе микро¬
скопа для того, чтобы можно было производить киносъемку микро¬
объектов в воздухе с частотой кадров v = 104 Гц? Объектив микро¬
скопа имеет увеличение к{ = 20 и апертуру а = 0,4, окуляр — уве¬
личение к2 — 8. Коэффициент преобразования энергии в активный
для фотослоя свет в лампе накаливания т) = 2,5%. Тело свечения
лампы имеет размеры 5 = 2x5 мм. Чувствительность фотослоя
Н = 20 см2/эрг (т. е. 1 эрг световой энергии на площади 20 см2 дает
нормальную плотность почернения). Пропускающая способность
объекта % = 40%. Потерями света в линзах пренебречь.
1.56. Действительное изображение, сформированное собираю¬
щей линзой, рассматривается сначала непосредственно, а затем на
белом экране. Как зависит в обоих случаях яркость изображения от
диаметра линзы?
1.57. Найти яркость изображения Луны, наблюдаемой в теле¬
скоп с объективом диаметром 75 мм, при увеличениях: 1) 20-крат¬
ном; 2) 25-кратном; 3) 50-кратном. Яркость Луны, видимой невоо¬
руженным глазом, принять за единицу. Диаметр зрачка глаза счи¬
тать равным 3 мм.
1.58! Как известно, яркость изображения в оптической системе
не зависит от его увеличения. Почему же при наблюдении в микро¬
скоп изображение кажется менее ярким, если применить большее
увеличение? Найти: 1) освещенность изображения в микроскопе с
числовой апертурой 1 (сухая система) и увеличением 625; 2) осве¬
щенность изображения в микроскопе с числовой апертурой 1,5 (им¬
мерсия с п= 1,5) и увеличением 1500. Освещенность объекта приг
нять за единицу. Расстояние ясного зрения равно 25 см, диаметр
зрачка глаза считать равным 2 мм. Потерями света в микроскопе
пренебречь.
127

1.59. Диаметр объектива астрономического телескопа равен
18 см. Считая, что коэффициент пропускания всей оптической сис¬
темы телескопа равен 0,5 и что невооруженный глаз различает звез¬
ды шестой величины, найти: 1) величину наиболее слабых звезд,
которые могут быть видимы с помощью этого телескопа; 2) наивы¬
годнейшее увеличение для наблюдения звезд; 3) величину звезд,
которые будут видимы при увеличении в 10 раз. Диаметр зрачка
глаза равен 3 мм.
Примечание. Возрастанию звездной величины на единицу
соответствует уменьшение ее видимой яркости в VI00 ~ 2,5 раза.
§ 2. Формулы Френеля. Световое давление
2.1. Проверить с помощью формул Френеля, что поток энергии
падающей волны через границу раздела сред равен сумме потоков
энергии преломленной и отраженной волн через ту же границу.
2.2. Исходя непосредственно из граничных условий для электри¬
ческого и магнитного полей на границе вакуума и диэлектрика,
найти коэффициент отражения р света при нормальном падении на
границу раздела. Выразить коэффициент отражения через показа¬
тель преломления диэлектрика п. Найти значения р для отражения
света от поверхности воды (п = 1,33) и стекла (п = 1,5).
2.3. Найти коэффициент пропускания т при нормальном паде¬
нии света из воздуха на стекло с показателем преломления п = 1,5.
2.4. Сколько процентов светового потока теряется на отражение
в призматическом бинокле? Показатель преломления стекла призм
и линз равен 1,5. Схема бинокля дана
на рис. 274.
2.5. При выводе формул Френеля
предполагается, что магнитная прони¬
цаемость среды ц=1. Как изменятся
формулы Френеля, если не вводить
этого предположения?
2.6! Пользуясь формулами Френе¬
ля, показать, что линейно поляризо¬
ванный свет остается линейно поляри¬
зованным после отражения на границе
раздела двух прозрачных изотропных сред во всех случаях, за ис¬
ключением случаев полного внутреннего отражения.
2.7. Угол между плоскостью колебаний поляризованного света и
плоскостью падения называется азимутом колебания. Найти азимут
преломленной волны 6 и азимут отраженной волны р, если азимут
падающей волны а, а угол падения 9.
2.8. 1) Найти угол полной поляризации для света, отраженного
от стекла с показателем преломления л = 1,5. 2) Найти степень
<0 L — S и
поляризации преломленного света А = — при падении света
•31.+&\
128

под тем же углом. (Ц± — интенсивность света, поляризованного в
плоскости, перпендикулярной плоскости падения, е7ц — поляризо¬
ванного в плоскости падения.) Падающий свет естественный.
2.9. Под каким углом нужно отразить луч от кристалла камен¬
ной соли (п = 1,544), чтобы получить максимальную поляризацию
отраженного луча? Падающий свет — естественный.
2.10. Найти степень поляризации света, отраженного от поверх¬
ности стекла под углами 0°, 45°, 56°51' и 90° (показатель преломле¬
ния стекла п = 1,53). Падающий свет естественный.
2.11. Естественный свет падает под углом Брюстера из воздуха на
поверхность стекла с показателем преломления п— 1,5. Найти ин¬
тенсивность Цг отраженного света, приняв за
единицу интенсивность падающего света St.
2.12. При каких условиях луч света, па¬
дающий на боковую грань прозрачной изо¬
тропной призмы (рис. 275) с преломляющим
углом а = 60°, проходит через нее без потерь,
т. е. не претерпевает отражений на поверх¬
ностях призмы?
2.13. На боковую грань призмы, изготов¬
ленной из стекла с показателем преломления
п= 1,5, падает под углом Брюстера фБ световой пучок, электри¬
ческий вектор которого лежит в плоскости падения. Каким должен
быть преломляющий угол А призмы, чтобы свет прошел через нее,
без потерь на отражение?
2.14. Свет падает из среды I на среду 2 под углом <р и преломля¬
ется под углом ф. Доказать, что коэффициент отражения не изменит¬
ся, если свет будет падать из среды 2 на среду I под углом гр.
2.15! На плоскую поверхность отражающей среды нанесен слой
прозрачного диэлектрика толщиной / с показателем преломления п.
Падающая волна поляризована либо в плоскости падения, либо пер¬
пендикулярно к ней. Найти связь между комплексными амплитуда¬
ми Е и R падающей и отраженной волн, если коэффициенты Фре¬
неля на верхней и нижней границах слоя (для прямого прохожде¬
ния света) равны соответственно rt и г2.
2.16. Пользуясь формулами Френеля, показать, что при отраже¬
нии плоской электромагнитной волны от идеального зеркала, по¬
крытого сверху слоем прозрачного диэлектрика, амплитуда отра¬
женной волны равна амплитуде падающей. Изменяется лишь фаза
волны, как это и должно быть согласно закону сохранения энергии.
2.17. Имеются две параллельные полупрозрачные плоскости.
Коэффициенты отражения и пропускания первой из них равны р1 и
т1; а второй — р2 и х2 соответственно. Степень монохроматичности
падающего света невелика, так что интерференции не происходит,
а имеет место сложение интенсивностей света. Найти коэффици¬
енты отражения р и пропускания т для совокупности обеих плос¬
костей.
5- 1651
129

2.18! Имеется т параллельных полупрозрачных плоскостей.
Коэффициенты отражения и пропускания каждой из них равны р
и т. Найти коэффициент отражения р„, и коэффициент пропуска¬
ния т„, всей системы т плоскостей. Степень монохроматичности па¬
дающего света невелика, так что интерференции не происходит, а
имеет место сложение интенсивностей света.
2.19. Стопа Столетова состоит из плоскопараллельных стеклян¬
ных пластинок с показателем преломления п = 1,5. На нее под уг¬
лом Брюстера падает свет, поляризованный в плоскости падения.
Начертить график для коэффициентов отражения и пропускания
стопы в зависимости от числа N пластинок.
2.20. Найти степень поляризации преломленного луча по выхо¬
де его из стеклянной пластинки с показателем преломления
/7 = 1,5 при углах падения 20, 45, 60 и 80°. Падающий свет естест¬
венный.
2.21! На опыте наблюдаются отступления от формул Френеля
для отражения света от прозрачных изотропных сред, которые в ос¬
новном сводятся к двум: 1) не существует угла полной поляриза¬
ции, при котором свет с электрическим вектором, лежащим в пло¬
скости падения, нс отражается совсем; 2) при отражении линейно
поляризованного света, плоскость колебаний которого не совпадает
с плоскостью падения и не перпендикулярна к ней, получается эл¬
липтическая поляризация, особенно отчетливо заметная в окрестно¬
сти угла Брюстера (т. е. угла падения 9 = arctg л). Показать, что
каждое из этих отступлений является следствием другого.
2.22! Будет ли существовать угол полной поляризации, если маг¬
нитные проницаемости и , и ц2 граничащих сред отличны от единицы?
2.23. Показать, что отражательная способность среды, для кото¬
рой е=ц (е — диэлектрическая, ц — магнитная проницаемости),
равна нулю.
2.24. Рассчитать преломляющий угол параллелепипеда Френе¬
ля, сделанного из стекла с показателем преломления п— 1,7.
2.25. Азимут колебаний падающей линейно поляризованной вол¬
ны равен +45°. Какая получится эллиптическая поляризация отра¬
женного света на границе стекло—воздух, правая или левая?1
2.26. При каком угле падения ф разность фаз 6 между компо¬
нентой отраженной волны, поляризованной в плоскости падения, и
компонентой, поляризованной перпендикулярно к ней, достигает
максимума при полном внутреннем отражении, если падающая вол¬
на линейно поляризована? Чему равен этот максимум?
2.27. Каким показателем преломления п должно обладать веще¬
ство, чтобы при помощи однократного полного внутреннего отраже¬
ния на границе его с воздухом можно было превращать линейно
поляризованный свет в поляризованный по кругу? Азимут колеба¬
ний падающего света равен 45°.
1 Азимут колебаний падающей волны может изменяться от — ir/2 до +ж/2.
Он считается положительным, если Et/E± > 0, и отрицательным, если Et/E± < 0.
130

2.28. Падающий свет поляризован линейно с азимутом колеба¬
ний, равным +45°. Можно ли путем однократного отражения пре¬
вратить его в свет, поляризованный по правому кругу?
2.29. Каким должен быть минимальный показатель преломления
параллелепипеда Френеля, чтобы при азимуте колебаний падающего
света в +45° выходящий свет был поляризован по правому кругу?
2.30. Кадим должен быть показатель преломления среды, чтобы
коэффициент отражения естественного света имел минимум при уг¬
ле падения между 0 и 90°?
2.31! Исходя из представления, что свет состоит из фотонов,
каждый из которых обладает импульсом hv/c, определить давление
Р световой волны на плоское зеркало, предполагая, что коэффици¬
ент отражения зеркала равен г, а угол падения равен 9. Определить
также тангенциальную силу Т, действующую на единицу поверх¬
ности зеркала со стороны падающего излучения.
2.32! Решить предыдущую задачу в предположении, что поверх¬
ность, на которую падает световая волна, идеально матовая (удов¬
летворяет закону Ламберта).
2.33. На плоскую поверхность раздела вакуум—стекло (показа¬
тель преломления п = 1,5) из вакуума падает перпендикулярно к по¬
верхности световой пучок интенсивностью ©7 = 10 Вт/см2. Найти ве¬
личину и направление силы F, действующей на единицу площади по¬
верхности раздела сред.
2.34. Линейно поляризованная световая волна с направлением
электрического вектора в плоскости падения и с интенсивностью
3 = 1 Вт/см2 падает из вакуума под углом Брюстера на круглую
плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной d = 3 мм и
диаметром D — 10 см. Показатель преломления стекла п = 1,5. Най¬
ти момент сил М, действующий на пластинку. В какую сторону бу¬
дет разворачиваться пластинка?
2.35. Показать, что давление излучения при нормальном падении
света на идеальное зеркало равно 2и, а на полностью поглощающую
поверхность — и, где и — плотность энергии падающего излучения.
2.36. Каково давление света на идеальное зеркало, если излуче¬
ние изотропно?
2.37. Найти световое давление солнечного излучения на едини¬
цу площади земной поверхности, перпендикулярной к направлению
излучения. Солнечная постоянная равна 1,35-106 эрг/(с-см2). Аб¬
сорбцией в земной атмосфере пренебречь. Рассмотреть три случая:
1) земная поверхность — абсолютно черная; 2) земная поверх¬
ность — абсолютно зеркальная; 3) земная поверхность — абсолют¬
но отражающая, но матовая (удовлетворяет закону Ламберта).
2.38! Плоская световая волна падает на поверхность шара, разме¬
ры которого велики по сравнению с длиной световой волны. Предпо¬
лагая, что поверхность шара 1) абсолютно черная, 2) абсолютно
зеркальная, 3) абсолютно матовая (удовлетворяет закону Ламберта),
выразить силу светового давления на шар через плотность падающего
излучения.
5*
131

2.39! В каком случае световое давление плоской неполяризован-
ной волны на шар будет больше: когда поверхность шара идеально
отражающая или когда она отражает свет частично, а остальной
свет поглощается внутри шара? Размеры шара велики по сравнению
с длиной световой волны.
2.40. Определить силу светового давления Fl солнечного излуче¬
ния на поверхность земного шара, считая ее абсолютно черной.
Найти отношение этой силы к силе гравитационного притяжения
Солнца Fi- Средняя плотность Земли р = 5,5 г/см3.
2.41! Принимая во внимание, что давление света на идеально
отражающее зеркало при нормальном падении равно удвоенной
плотности энергии падающей волны, найти закон изменения плот¬
ности световой энергии при отражении от медленно движущегося
идеального зеркала.
2.42. Существуют лазеры, мощность излучения которых в им¬
пульсе составляет сотни мегаватт. Допустим, что мощность лазера
равна W = 500 МВт, а площадь поперечного сечения светового пуч¬
ка 5 = 1 см2. Пусть луч сфокусирован идеальной линзой с фокус¬
ным расстоянием / = 5 см. Оценить напряженность электрического
поля Е и давление света Р в фокусе такой линзы. Длина волны
X = 6943 А.
2.43. Лазер на рубине излучает в импульсе длительностью
т — 0,5 мс энергию <з — 1 Дж в виде почти параллельного пучка с
сечением 5=1 см2. Рабочая длина волны лазера X = 6943 А. Опре¬
делить следующие величины: 1) давление несфокусированного пуч¬
ка света на площадку, перпендикулярную к пучку; 2) давление све¬
та на площадку, перпендикулярную к пучку, при максимально воз¬
можной концентрации светового пучка (при фокусировке в область
с площадью поперечного сечения порядка Х2)\ 3)напряженность
электрического поля Е в области максимально возможной концент¬
рации светового пучка.
Примечание. Считать излучение лазера во время импульса
равномерным.
§ 3. Интерференция монохроматического света
3.1! Направления распространения двух плоских волн одной и
той же длины X составляют угол д>/2 с нормалью к плоскости экра¬
на, на котором наблюдаются интерференционные полосы (рис. 276).
Показать, что при малых расстояние Ах между соседними интер¬
ференционными полосами Ах « X/ф.
3.2. Как изменится выражение для Ах в предыдущей задаче, ес¬
ли интерферирующие лучи падают на экран не симметрично отно¬
сительно нормали?
3.3. Найти длину волны X монохроматического излучения, если в
опыте Юнга расстояние первого интерференционного максимума от
132

центральной полосы .v = 0,05 см. Данные установки (рис. 277):
а = 5 м, d = 0,5 см.
3.4. На пути одного луча в интерференционной установке Юнга
стоит трубка длиной / = 2 см с плоскопараллельными стеклянными
основаниями и наблюдается интерференционная картина, когда эта
трубка наполнена воздухом. Затем трубка наполняется хлором и
при этом наблюдается смещение интерференционной картины на
N = 20 полос. Вся установка помещена в термостат, поддерживаю¬
щий постоянную температуру. Наблюдения проводятся со светом
линии D натрия (^ = 5890 А). Принимая показатель преломления
воздуха п = 1,000276, вычислить показатель преломления хлора.
В какую сторону смещаются полосы интерференции при наполне¬
нии сосуда хлором?
3.5. Выразить расстояние .v от центра интерференционной
картины до m-й светлой полосы в опыте с бипризмой (рис. 278).
Показатель преломления призмы п,
длина волны X, преломляющий угол а.
Интерферирующие лучи падают на эк¬
ран приблизительно перпендикулярно.
3.6. Преломляющий угол бипризмы
а = 3 26 '. Между точечным источником
монохроматического света (X = 5000 А)
и бипризмой помещена линза таким
образом, что ширина интреференци-
онных полос оказалась не зависящей от расстояния от экрана до би¬
призмы. Найти расстояние между соседними темными полосами, если
показатель преломления стекла бипризмы п = 1,5. Найти макси¬
мальное число полос N, которое может наблюдаться в этой установке,
если оно получается при удалении экрана от бипризмы на L = 5 м.
3.7. При каком положении экрана в установке, описанной в пре¬
дыдущей задаче, будет наблюдаться максимальное число интерферен¬
ционных полос, если расстояние между вершинами преломляющих
углов бипризмы составляет / = 4 см? Чему равно это число полос?
При каком положении экрана интерференционные полосы исчезнут?
3.8. Найти число полос интерференции N, получающихся с по¬
мощью бипризмы, если показатель преломления ее п, преломляющий
Рис. 278
133

угол а, длина волны источника Я. Расстояние от источника света
до бипризмы равно а, а расстояние от бипризмы до экрана равно Ь.
3.9! Полосы интерференции получаются с помощью бипризмы
Френеля с малым преломляющим углом и щелевого источника све¬
та, параллельного ребру бипризмы. Интерференционные полосы на¬
блюдаются на экране, расположенном перпендикулярно к оси уста¬
новки. Нулевая полоса получается в центре экрана — на оси (точ¬
нее, в плоскости симметрии) установки. Расстояние от источника до
бипризмы равно а, от бипризмы до экрана — Ь. В какую сторону и
на какую величину л- сместится нулевая интерференционная поло¬
са, если щелевой источник света немного сместить в направлении,
перпендикулярном к оси оптической системы, на величину hi
3.10. От двух когерентных источников света и S2 (рис. 279) по¬
лучена система интерференционных полос на экране АВ, удаленном
от источников на расстояние а = 2 м. Во сколько раз изменится ши¬
рина интерференционных полос, если между источниками и экраном
s2
У
Л
/ \
/ \
1 1
\ /
\ /
V
а
В
А
А
V
д
V
Рис. 279
Рис. 280
поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием / = 25 см?
Рассмотреть два случая: 1) расстояние линзы от источников равно
2/; 2) источники Sl и S2 находятся в фокальной плоскости линзы.
3.11. Из линзы с фокусным расстоянием / = 50 см вырезана
центральная часть ширина а, как показано на рис. 280. Обе полови¬
ны линзы сдвинуты до соприкосновения. По одну сторону линзы по¬
мещен точечный источник монохроматического света (Я = 6000 А).
С противоположной стороны линзы помещен экран, на котором на¬
блюдаются полосы интерференции. Расстояние между соседними
светлыми полосами Ах = 0,5 мм и не изменяется при перемещении
экрана вдоль оптической оси. Найти а.
3.12. Плоская монохроматическая волна длины Я падает пер¬
пендикулярно к ребру клина из стекла с углом при вершине
а<=:1 (рис. 281). Показатель преломления стекла п, угол падения
волны cpj. Найти расстояние Ах между соседними максимумами
интерференционных полос на экране, расположенном перпендику¬
лярно к отраженному свету.
3.13. Свет с длиной волны Я = 6000 А падает на тонкую мыльную
пленку. Угол падения = 30°. В отраженном свете на пленке наблю¬
даются интерференционные полосы. Расстояние между соседними
134

полосами Л.\- = 4 мм. Показатель преломления мыльной пленки
п = 1,33. Вычислить угол а между поверхностями пленки.
3.14. При какой толщине пленки исчезают интерференционные
полосы при освещении ее светом с длиной волны 7 = 6-10~5см?
Показатель преломления пленки п = 1,5.
3.15. В оптических приборах потери света при прохождении через
прибор происходят главным образом вследствие отражения света от
поверхностей оптических деталей. Для увеличения поверхностной
прозрачности стекла его поверхность покрывают тонкой пленкой, по¬
казатель преломления которой меньше показателя преломления стек¬
ла. Каковы должны быть толщина пленки и ее показатель прелом¬
ления, чтобы отражательная способность стекла обратилась в ноль?
3.16. В очень тонкой клиновидной пластинке в отраженном све¬
те при нормальном падении наблюдаются интерференционные поло¬
сы. Расстояние между соседними темными полосами A.v = 5 мм.
Зная, что длина световой волны X = 5800 А, а показатель прелом¬
ления пластинки п = 1,5, найти угол а между гранями пластинки.
3.17 С помощью воздушного клина с углом при вершине а на¬
блюдаются полосы равной толщины в отраженном монохроматиче¬
ском свете. Свет падает на клин нормально. Найти распределение
освещенности Е в интерференционной картине на поверхности кли¬
на. Считать интенсивности световых пучков, отраженных от обеих
поверхностей клина, одинаковыми и равными <Д0.
3.18. Спутник Земли, поднимаясь над горизонтом, излучает ра¬
диоволны длины 7=10 см. Микроволновый детектор расположен на
берегу озера на высоте /?. = 1 м над уровнем воды (рис. 282). Рас¬
сматривая поверхность воды как идеальный проводник, определить,
при каком угле а спутника над горизонтом детектор зарегистрирует
1-й и 2-й максимумы интенсивности сигнала. Рассмотреть случаи
горизонтальной и вертикальной поляризации.
3.19. Радиоизлучение космического источника длины волны X,
имеющего угловой размер ф, принимается горизонтальным вибрато¬
ром, служащим антенной. Вибратор расположен на отвесном берегу
на высоте Л над уровнем моря. Рассматривая поверхность воды как
плоское зеркало, определить, как будет меняться интенсивность
Рис. 281
Рис. 282
135

принимаемого сигнала в зависимости от угла а возвышения источ¬
ника над горизонтом. При каких значениях углового размера источ¬
ника интенсивность принимаемого сигнала нс будет зависеть от а?
Для простоты расчет провести для малых значений а и гр.
3.20 Радиоизлучение от точечного космического источника с
длиной волны X = 1 м, находящегося в плоскости экватора, прини¬
мается с помощью двух одинаковых антенн, расположенных по на¬
правлению восток—запад на расстоянии L = 200 м друг от друга.
На входной контур приемника подается сумма сигналов, приходя¬
щих от обеих антенн по кабелям одинаковой длины. Как меняется
в результате вращения Земли
амплитуда напряжения U0 на
входном контуре приемника?
3.21. Оценить неточность,
которую можно допускать в ус¬
тановке углов наклона зеркал в
интерферометре Майксльсона
(рис. 283) для того, чтобы моле¬
но было наблюдать полосы рав¬
ного наклона. Ширина зеркал
23 = 5 см, длина волны света
X = 0,55 мкм.
3.22. Найти относительное
смещение А/// интерференци¬
онных полос, полученных с по¬
мощью пластинки Луммера—
Герке, при изменении темпера¬
туры на 1°С. Толщина пластин¬
ки h = 2 см, показатель преломления и =1,5, температурный ко¬
эффициент линейного расширения стекла а = 8,5-10_6 К-1, длина
волны света X = 500 нм. Зависимостью показателя преломления от
температуры пренебречь.
3.23. На поверхности жидкости с показателем преломления п{
плавает очень тонкая линза с показателем преломления п < п.\, ге¬
ометрические размеры которой показаны на рис. 284. Рассчитать,
какая картина будет видна в отраженном монохроматическом свете
с длиной волны X, если смотреть на линзу сверху.
3.24. Найти расстояние А/ между двадцатым и двадцать пер¬
вым светлыми кольцами Ньютона, если расстояние между вторым
и третьим равно 1 мм, а кольца наблюдаются в отраженном свете.
3.25. Найти фокусное расстояние / плосковыпуклой линзы,
примененной для получения колец Ньютона, если радиус третьего
светлого кольца равен 1,1 мм, п = 1,6, X = 5890 А. Кольца наблю¬
даются в отраженном свете.
3.26. При наблюдении колец Ньютона в отраженном синем свете
(Хс = 4500 А) с помощью плосковыпуклой линзы, положенной на
плоскую пластинку, радиус третьего светлого кольца оказался равным
1,06 мм. После замены синего светофильтра на красный был измерен
Рис. 283
136

радиус пятого светлого кольца, оказавшийся равным 1,77 мм. Найти
радиус кривизны R линзы и длину волны Якр красного света.
3.27. Плоскопараллельная стеклянная пластинка лежит на од¬
ной из поверхностей двояковыпуклой линзы. При наблюдении ко¬
лец Ньютона в отраженном свете натриевой горелки (X ==5890 А)
найдено, что радиус темного кольца порядка т = 20 (центральному
темному кольцу соответствует т — 0) равен гх— 2 мм. Когда пла¬
стинка была положена на другую поверхность линзы, радиус темно¬
го кольца того же порядка сделался равным гг = 4 мм. Определить
фокусное расстояние линзы, если показатель преломления стекла,
из которого она изготовлена, п — 1,5.
3.28. Найти радиус г центрального темного пятна колец Ньюто¬
на, если между линзой и пластинкой налит бензол (п — 1,5). Радиус
кривизны линзы R = 1 м. Показатели преломления линзы и пла¬
стинки одинаковы. Наблюдение ведется в отраженном натриевом
свете (X = 5890 А).
3.29 Кольца Ньютона получаются с помощью плосковыпуклой
линзы с радиусом кривизны Rh положенной на вогнутую сфериче¬
скую поверхность с радиусом кривизны R2> Rt. Кольца наблюдают¬
ся в отраженном свете. Определить радиус гт т-го темного кольца,
если длина световой волны равна X.
3.30. Кольца Ньютона получаются между двумя плосковыпук¬
лыми линзами, прижатыми друг к другу своими выпуклыми поверх¬
ностями. Найти радиус гт гп-го темного кольца, если длина свето¬
вой волны равна X, а радиусы кривизны выпуклых поверхностей
линз равны /?! и /?2- Наблюдение ведется в отраженном свете.
3.31. Тонкая симметричная двояковыпуклая линза сложена с
тонкой симметричной двояковогнутой линзой так, что в некоторой
точке они соприкасаются. Показатель преломления обеих линз
п = 1,6. Наблюдается интерференционная картина в отраженном све¬
те на длине волны X — 0,6 мкм. Определить фокусное расстояние /
системы линз, если радиус 5-го светлого кольца г = 2 мм.
3.32. Интерференционная картина (кольца Ньютона) наблюда¬
ется в проходящем свете (рис. 285). Показатель преломления линзы
и пластинки равен л = 1,5. Найти отношение интенсивностей
o7max/o7mm света в максимуме и минимуме интерференционной кар¬
тины. Можно ли увидеть картину глазом, если контрастная чувст¬
вительность глаза равна 0,05?
Рис. 284
Рис. 285
137

3.33. Две тонкие симметричные линзы (одна двояковыпуклая,
другая двояковогнутая) приложены вплотную друг к другу
(рис. 286) так, что между ними возникает контакт, вокруг которого
в отраженном свете наблюдается интерференцион¬
ная картина (кольца Ньютона). Определить опти¬
ческую силу системы из двух линз, если известно,
что радиус восьмого темного кольца равен
г = 4 мм при длине волны света X = 0,5 мкм.
Коэффициент преломления материала обеих линз
п = 1,5.
3.34. В установке для наблюдения колец Нью¬
тона плосковыпуклая линза сделана подвижной и
может перемещаться в направлении, перпендику¬
лярном к пластинке. Описать, что будет происходить с кольцами
Ньютона при удалении и приближении линзы к пластинке. Кольца
получаются с помощью монохроматического света.
3.35. Источником освещения в интерферометре Майкельсона яв¬
ляется лазер, частота излучения которого перестраивается во време¬
ни по линейному закону со = <х>0О 4-ai). Разность хода в плечах
интерферометра L= 1 м. Длина волны А,0 = 1 мкм, а = 0,1 с~'.
Какова частота изменения тока фотоприемника, регистрирующего
интерференционную картину.
§ 4. Интерференция квазимонохроматического света.
Временная когерентность
4.1! Описать, как будет меняться резкость колец Ньютона при пе¬
ремещении плосковыпуклой линзы в направлении, перпендикуляр¬
ном к пластинке. Кольца наблюдаются в отра¬
женном свете D-линии Na. Учесть, что D-ли¬
ния Na не монохроматична, а представляет
собой две близкие спектральные линии с
= 5890 А и Х2 = 5896 А
4.2. Найти разность длин волн D-линий
Na, если известно, что резкость интерферен¬
ционной картины, наблюдаемой в интерферо¬
метре с двумя лучами, минимальна у 490-й,
1470-й и т. д., а максимальна у 1-й, 980-й и
т. д. полос. Средняя длина волны D-линий
X = 5893 А (см. задачу 4.1).
4.3! Интерференционные полосы равного
наклона в фокальной плоскости линзы L
(рис. 287) получаются при отражении от
плоскопараллельной пластинки 77, освещае¬
мой монохроматическим источником света S.
Прямой свет источника на линзу не попадает. Длина световой вол¬
ны X = 6000 А, толщина пластинки d = 1,6 мм; показатель прелом¬
ления п = 1,5; фокусное расстояние линзы / — 40 см. Найти радиус
Рис. 286
138

г первого видимого на экране Э темного интерференционного
кольца, если центр колец темный. Какова максимально допустимая
ширина линии АХ, освещающей пластинку, чтобы при указанных
параметрах схемы можно было наблюдать интерференционные
кольца?
4.4! Сколько темных колец N можно наблюдать в условиях пре¬
дыдущей задачи, если диаметр линзы D = 8 см, а источник S поме¬
щен посередине между линзой и пластинкой на расстоянии / от
линзы?
4.5. Какова должна быть минимальная толщина пластинки, что¬
бы в условиях предыдущей задачи можно было получить по крайней
мере одно темное кольцо?
4.6. Свет от двух одинаковых некогерентных точечных источни¬
ков (рис. 288) и S2 (Х = 500 нм, = 50 нм) падает на непроз¬
рачный экран с двумя отвер¬
стиями, расстояние между ко¬
торыми d = 1 см. Интерфе¬
ренция света, прошедшего че¬
рез отверстия, наблюдается
вблизи точки Р, лежащей на
оси системы. Источники и
точка наблюдения находятся
на одинаковом расстоянии
L = 2 м от экрана. При сим¬
метричном удалении источни¬
ков от оси (т. е. при увеличе¬
нии расстояния b между ис¬
точниками) интерференцион¬
ная картина в окрестности точки Р периодически возникает и ис¬
чезает. Оценить число периодов восстановления интерференцион¬
ной картины при увеличении расстояния b от нуля до d (0 5 <i).
4.7. Свет далекого точечного источника S падает на фотоприем¬
ник непосредственно и от¬
разившись от горизонталь¬
ной плоскости (рис. 289).
При вертикальном переме¬
щении источника фотопри¬
емник ФП регистрирует из¬
менение интенсивности па¬
дающего на него света.
Оценить максимальный
угол а возвышения источника над горизонтом, при котором еще за¬
метны изменения фототока, если перед фотоприемником установлен
светофильтр СФ с полосой пропускания Av = 3 -1011 Гц. Входное от¬
верстие фотоприемника находится на высоте h = 1 см над отражаю¬
щей плоскостью.
4.8. В интерферометре Рэлея плоская волна испытывает дифрак¬
цию на двух щелях. Дифракционная картина наблюдается в
139

фокальной плоскости линзы с фокусным расстоянием / = 100 см
(рис. 290). Одну из щелей закрывают плоскопараллельной пластин¬
кой диспергирующего вещества толщиной А = 0,01 мм с законом
Рис. 291
дисперсии п(Х) = А — ВХ, где А и В — некоторые постоянные. При
этом белая (ахроматическая) полоса смещается на расстояние
/ = 4 мм. Определить постоянную А, если известно, что расстояние
между щелями равно d = 1 см.
4.9. Интерференция света от двух малых отверстий в непрозрач¬
ном экране наблюдается в точке Р (рис. 291). Позади отверстий на
пути лучей поставлены две одинаковые кюветы, наполненные возду¬
хом при одинаковом начальном давлении. При изменении давления в
одной из кювет изменение интенсивности света в точке Р имеет ос¬
циллирующий характер. Определить разность давлений АР газа в
кюветах, при которой амплитуда осцилляций становится раной нулю,
если 1-й минимум интенсивности наступает при разности давлений
АР{ = 10“3 мм рт. ст. Спектр излучения точечного источника S рав¬
номерен в полосе А со и имеет относительную ширину Лсо/со = 10~5.
4.10. Интерференционные полосы равной толщины наблюдаются
на воздушном клине между двумя стеклянными пластинками с уг¬
лом при вершине а= 1\ Полосы получаются в свете зеленой линии
ртути с длиной волны А = 5461 А и шириной ДА = 0,1 А. Опреде¬
лить: 1) расстояние Ах между двумя соседними полосами; 2) мак¬
симальное количество полос N, которые можно было бы видеть на
клине, если бы его размеры не были ограничены; 3) расстояние х
последней наблюдаемой полосы от вершины клина и толщину А
клина в этом месте; 4) максимально допустимое угловое расхожде¬
ние лучей 6ф, при котором возможно наблюдение всех полос.
4.11. Определить видность V интерференционной картины от
двух точечных источников, спектр излучения которых одинаков
и изображен на рис. 292. Как зависит видность V от ширины спек¬
тра Av?
4.12. Два пучка белого света, полученные от одного точечного
источника, сходятся на входной щели оптического спектрального
прибора. Разность хода А = 300 м. Оценить разрешающую способ¬
ность R спектрального прибора, который может обнаружить интер¬
ференцию этих пучков.
1 АП

4.13. Два пучка белого света от одного источника приходят в
точку наблюдения Р (рис. 293а) с разностью хода А. С помощью
спектроскопа высокой разрешающей способности исследуется рас¬
пределение энергии в спектре колебаний, возникающих в точке Р
Рис. 292
Рис. 293
3
Рис. 294
при наложении обоих пучков. Оказалось, что наблюдаются череду¬
ющиеся максимумы и минимумы спектральной интенсивности J(v),
причем частотный интервал между соседними максимумами
Av = 10 МГц (рис. 2936). Определить разность хода А.
4.14. Монохроматическое излучение проходит через интерферо¬
метр Маха—Цандера, в одном из плеч которого расположена кю¬
вета с газом длиной /. В кювете создается избыточное давление.
При этом показатель преломления газа в нем изменяется по зако¬
ну n(t) = 1 + at. Определить спектр колебаний тока фотоприем¬
ника, расположенного в области нулевой полосы интерферометра.
4.15. Три синфазных излучателя 1, 2, 3 распо¬
ложены вдоль прямой (рис. 294). Расстояние меж¬
ду излучателями 1 и 2 равно к/2, а между излуча¬
телями 2 и 3 в полтора раза больше. Амплитуды
излучателей / и 2 одинаковы. Какова должна быть
амплитуда излучателя 3, чтобы в диаграмме на¬
правленности системы существовали минимумы
нулевой интенсивности? Найти направления на эти минимумы.
Решение дать аналитически и с помощью векторной диаграммы.
4.16. В одно из плеч интерферометра
Майкельсона вместо отражающего зеркала
помещена непоглощающая пластина с по¬
лупрозрачной передней и зеркальной за¬
дней стенкой (рис. 295). Толщина пласти¬
ны d = 2 мм, показатель преломления
а = 5, спектр падающего излучения про¬
стирается от 0 до 110 ГГц. При перемеще¬
нии зеркала во втором плече детектор ре¬
гистрирует ряд пиков интенсивности из¬
лучения. Каково расстояние между пиками
в единицах длины перемещения зеркала?
4.17. В фурье-спектрометре, служащем
для исследования спектрального излучения, одно из зеркал интер¬
ферометра Майкельсона перемещается со скоростью и = 0,1 см/с
141

(рис. 296). Какова зависимость тока фотоприемника от времени
3(f), если излучение содержит две спектральные линии >1, = 500 нм
и Х2 = + ЬХ, где ЬХ = 0,02 нм, с отношением интенсивностей
/2 И\ — 0,5? Оценить минималь¬
ное время измерения, необходи¬
мое для разрешения этих линий.
Нарисовать график зависимости
тока от времени.
4.18. Для исследования спек¬
трального состава излучения
источника 5 одно из зеркал
интерферометра Майкельсона
(рис. 296) перемещается со ско¬
ростью v = 0,01 см/с. Какова
зависимость тока фотоприем¬
ника от времени 3(1), если
источник излучает на длине
волны X = 500 нм, причем
ширина спектральной линии
АХ = 0,01 нм? Спектральная ин¬
тенсивность внутри спектраль¬
ной линии /(со) = /0 = const. Оценить минимальное время, необхо¬
димое для изучения спектрального состава излучения. Нарисовать
график зависимости тока от времени.
§ 5. Протяженные источники света.
Пространственная когерентность
5.1! Найти видность V интерференционной картины в опыте
Юнга при использовании протяженного источника света. Размер ис¬
точника света Ь, расстояние от источника до экрана со щелями L,
расстояние между щелями d. Средняя длина волны X = 500 нм.
Сравнить результат с задачей 4.11.
5.2. На экран с двумя узкими параллельными щелями падают
лучи непосредственно от Солнца. При каком расстоянии D между
щелями могут наблюдаться интерференционные полосы за экраном?
Угловой диаметр Солнца a 0,01 рад.
5.3. Изображение Солнца получено при помощи линзы с фокус¬
ным расстоянием / = 50 мм на отверстии экрана (размер отверстия
равен величине изображения). За экраном помещены две узкие па¬
раллельные щели на расстоянии D = 1 мм друг от друга. При каком
расстоянии I между экраном и щелями могут наблюдаться интерфе¬
ренционные полосы? Угловой диаметр Солнца а ~ 0,01 рад.
5.4. Какому условию должны удовлетворять размеры источника
света, чтобы могли наблюдаться интерференционные полосы в уста¬
новке с 1) зеркалами Френеля, 2) зеркалом Ллойда? Различные
точки источника излучают некогерентно.
142

5.5. Интерференционная картина наблюдается с помощью би¬
призмы Френеля (преломляющий угол а = 20', показатель преломле¬
ния п = 1,5). Экран и источник света (X — 600 нм, = 20 нм) на¬
ходятся на одинаковом расстоянии от бипризмы. Оценить число ин¬
терференционных полос, которые будут видны на экране. На каком
расстоянии от центра интерференционной картины интерференцион¬
ные полосы размываются? Каков допустимый размер источника, при
котором можно наблюдать все интерференционные полосы?
5.6. Перед линзой Л (рис. 297) установлена плоскопараллельная
стеклянная пластинка П, перпендикулярная к главной оптической
оси и освещаемая монохроматическим светом от протяженного
источника. Описать интерференционную картину в фокальной пло¬
скости линзы. Как изменится эта картина при наклоне пластинки
на угол а = 10° (по отношению к исходному положению)? Фокусное
расстояние линзы / = 30 см.
5.7. Билинза Бийе изготовлена из двух половинок тонкой соби¬
рающей линзы с фокусным расстоянием / = 10 см. На расстоянии
x — Zf/2 от нее помещен источник света в виде щели, освещаемой
широкоугольным пучком света с длиной волны X = 5790 А. Экран
для наблюдения интерференционных полос установлен с противопо¬
ложной стороны билинзы на расстоянии L = 330 см' от нее. При ка¬
кой минимальной ширине щели Ь интерференционные полосы на
экране пропадут? Считать, что различные точки щели излучают
световые волны некогерентно. Расстояние между половинками би¬
линзы а = 0,5 мм.
5.8. Свет от протяженного монохроматического источника 5 па¬
дает на непрозрачный экран Э, в котором имеются два маленьких
отверстия. Интерференция света, прошедшего через отверстия, на¬
блюдается в точке Р (рис. 298). Источник света 5 и точка Р нахо¬
дятся на одинаковом расстоянии L от экрана. При увеличении рас¬
стояния d между отверстиями изменение интенсивности в точке Р
имеет осциллирующий характер. Определить линейный размер Ь
источника света, если 1-й минимум интенсивности в точке Р наблю¬
дается при d = dL = 1 см, а амплитуда осцилляций становится рав¬
ной нулю при d—d2 = 20cM (условие d«L выполняется всегда).
5.9. Наблюдаются полосы равной толщины в воздушном клине
между двумя плоскопараллельными стеклянными пластинками,
образующими между собой очень малый угол. Клин освещается
рассеянным светом. Наблюдение ведется невооруженным глазом с
143

расстояния ясного зрения L — 25 см в направлении, перпендикуляр¬
ном к поверхности клина, причем глаз может смещаться перпендику¬
лярно к ребру клина. Оценить максимальное число интерфе¬
ренционных полос N, которое может видеть глаз в монохроматиче¬
ском свете при таком способе наблюдения, если диаметр зрачка глаза
d = 5 мм. Оценить степень монохроматичности света, необходимую
для того, чтобы такое максимальное число полос могло наблюдаться.
5.10. Полосы равной толщины, получающиеся в тонком стек¬
лянном клине с показателем преломления п = 1,5 при освещении
рассеянным монохроматическим светом с длиной волны X = 5000 А,
проецируются линзой на экран. Перед линзой помещена квадратная
диафрагма со стороной d = 1 см и отстоящая от клина на расстояние
L — 50 см. Какой максимальный порядок интерференции N может
при этом наблюдаться на экране? Главная оптическая ось проеци¬
рующей системы приблизительно перпендикулярна к поверхности
клина.
5.11. Рассчитать, какую ширину b может иметь источник света
в интерферометре Майкельсона, если зеркала интерферометра рас¬
положены на неодинаковых расстояниях от делительной пластинки
и разность этих расстояний равна L = 2 см. Фокусное расстояние
коллиматора равна / = 25 см. Немонохроматичностью источника
пренебречь, длина волны света X = 0,5 мкм. Наблюдаются линии
равной толщины.
5.12. Источник света 5 расположен на расстоянии L = 1 м от тон¬
кой слюдяной пластинки толщиной h — 0,1 мм с показателем прелом¬
ления п— 1,4 (рис. 299). На таком же расстоянии от пластинки
расположен небольшой экран Э, ориентированный перпендикулярно
отраженным лучам, на котором наблюдаются интерференционные'
полосы. Угол ф = 60°. Найти порядок т интерференционной полосы
в центре экрана и ширину А/ интерференционных полос. Оценить до¬
пустимый размер Ь и допустимую монохроматичность АХ источника.
Используется зеленый свет с длиной волны X — 560 нм.
5.13. С помощью зрительной трубы, установленной на бесконеч¬
ность, наблюдают интерференционные полосы в тонкой плоскопа¬
раллельной стеклянной пластинке толщиной h = 0,2 мм с показате¬
лем преломления п — 1,41; при этом угол наблюдения 9 может изме¬
няться от 0 до 90° (рис. 300). Найти максимальный и минимальный
порядок интерференционных полос. Оценить допустимую немонох-
роматичность А к источника, при которой будут достаточно четко
наблюдаться все интерференционные полосы. Каков допустимый
144

размер источника света в этом интерференционном эксперименте?
Используется зеленый свет с длиной волны X = 560 нм.
5.14. В двулучевой интерференционной схеме с равными интен¬
сивностями интерферирующих лучей используется источник белого
света, размер которого b = 0,025 см. Интерференционная картина,
наблюдаемая через светофильтр, изображена на рис. 301. Оценить
Рис. 302
полосу пропускания фильтра АХ и апертуру интерференции Q.
Средняя длина волны равна к = 500 нм.
5.15! Интерференционная картина, полученная при интерфе¬
ренции двух пучков одинаковой интенсивности при апертуре интер¬
ференции Q — 10“3 рад, изображена на рис. 301. Оценить немонох-
роматичность источника АХ и его линейный размер Ь. Средняя дли¬
на волны равна к = 500 нм.
5.16. В интерференционной схеме (рис. 302) используется квази-
монохроматический источник света S (X = 5- 10~scm). Отражающие
зеркала расположены симметрично относительно источника 5 и эк¬
рана Э, на котором наблюдается интерференция. Найти: 1) ширину
интерференционной полосы Л на экране Э, 2) область локализации
полос на экране, 3) максимальный и минимальный порядок интер¬
ференции и число наблюдаемых полос, 4) степень монохроматично¬
сти Ак, при которой число наблюдаемых полос максимально, 5) до¬
пустимый размер источника Ь. Параметры схемы: L = 1 м,
2d = 2,5 см, D = 10 см.
5.17. В интерференционной схеме, изображенной на рис. 303, ис¬
пользуется квазимонохроматический протяженный источник света S
(к = 5,0-10~5 см, АХ = 28 А). Полагая, что спектральная интенсив¬
ность излучения постоянна в интервале АХ, найти: 1) ширину интер¬
ференционных полос Л на экране Э, 2) количество наблюдаемых
145

полос, 3) область локализации полос на экране, 4) максимальный и
минимальный порядок наблюдаемых полос, 5) допустимый размер
источника Ь. Параметры схемы указаны на рис. 304. Отражающее
зеркало расположено симметрично относительно источника S и точки
О экрана Э.
5.18. На рис. 304 изображена схема установки Майкельсона,
предназначенной для измерения угловых диаметров звезд. Зеркала
Mi, М2, М3, М4 направляют в объектив телескопа два пучка света,
интерферирующие друг с другом в фокальной плоскости объектива.
Рис. 304
Рис. 305
При измерении углового диаметра гигантской красной звезды Бетель-
гейзе Майкельсон нашел, что интерференционные полосы исчезли,
когда расстояние между внешними зеркалами М{ и М2 (рис. 305) рав¬
нялось 306,5 см. Считая, что эффективная длина волны света от Бе-
тельгейзе равна 5750 А, вычислить угловой диаметр этой звезды яр.
5.19. Параллельный пучок света от удаленного источника с дли¬
ной волны X = 500 нм падает на бипризму с преломляющим углом
а = 10-2 рад и шириной D — 2 см, выполненную из стекла с показа¬
телем преломления п = 1,5 (рис. 305). 1) На каком расстоянии L от
бипризмы следует расположить экран, чтобы на нем можно было
наблюдать максимально возможное число интерференционных по¬
лос? 2) Оценить допустимую немонохроматичность АХ света, необ¬
ходимую для наблюдения всех полос. 3) Оценить допустимый угло¬
вой размер яр источника в этом интерференционном опыте.
5.20. Из тонкой линзы диаметром D = 2,5 см с фокусным рассто¬
янием / = 50 см вырезана центральная полоска шириной а = 0,5 см,
после чего обе половины линзы сдвинуты до соприкосновения
146

(билинза). Источник света S с длиной волны X — 500 нм располагает¬
ся на оси системы в фокальной плоскости линзы (рис. 306). 1) На ка¬
ком расстоянии L от билинзы следует расположить экран, чтобы на
нем можно было наблюдать максимально возможное число интерфе¬
ренционных полос? Определить ширину Л интреференционных полос
Рис. 307
и их число. 2) Оценить допустимую немонохроматичность АХ источ¬
ника света в этот интерференционном эксперименте, необходимую
для наблюдения всех полос. 3) Оценить допустимый размер b источ¬
ника света.
5.21. Бипризма освещается монохроматическим светом с дли¬
ной волны X — 500 нм от удаленного протяженного источника с уг¬
ловым размером ф — 10_3 рад. Преломляющий угол бипризмы
а = 5-10“3рад, показатель преломления и = 1,5. Определить вид-
ность интерференционных полос, наблюдаемых на экране, в зависи¬
мости от расстояния L между экраном и бипризмой (рис. 307). При
каких значениях L интерференционные полосы размываются? Раз¬
мер бипризмы считать достаточно большим. Источник можно считать
равномерно светящейся полоской, параллельной ребру бипризмы.
5.22. В интерференционной схеме с двумя параллельными
зеркалами (рис. 308)
используется протяжен¬
ный источник моно¬
хроматического света в
виде однородно светя¬
щейся полоски шири¬
ной Ь = 5-10“3 см. Дли¬
на волны излучения
X = 600 нм, расстояние
между зеркалами
d = 0,2 см. Какова видность V интерференционных полос на экране,
расположенном на расстоянии z0 = 0,5 м от источника? В каком на¬
правлении и на какое расстояние следует переместить экран, чтобы:
1) видность увеличилась в 2 раза; 2) интерференционная картина ис¬
чезла (размылась)? Размеры зеркал считать достаточно большими.
Прямые лучи от источника на экран не попадают.
147

§ 6. Дифракция Френеля. Зонные пластинки
6.1. Какова интенсивность света 3 в центре дифракционной
картины от круглого экрана, если он закрывает первую зону Фре¬
неля? Интенсивность света в отсутствие экрана равна е70.
6.2! Непрозрачный экран, имеющий форму полудиска, помещен
между точечным источником S и точкой наблюдения А таким обра¬
зом, что точка О располагается на одной прямой с точками S и А
(рис. 309). Экран закрывает небольшое нечетное число полузон
Френеля. Какова освещенность в точке АР.
6.3. Между точечным источником 5 и точкой наблюдения А по¬
мещен диск, центр которого расположен на одной прямой с точками
в
D
—э °
А С
А
Рис. 309 Рис. 310
S и А (рис. 309). Одна половина диска прозрачна, другая непроз¬
рачна. Диск закрывает первые три зоны Френеля. Толщина про¬
зрачной части диска / = N - ■ , где п — показатель преломления
прозрачной части диска, N — целое число. Какова освещенность в
точке А при четном и нечетном N1
6.4! Вдали от точечного источника 5 электромагнитной волны
поставлен бесконечный идеально отражающий экран АВ (рис. 310).
Пользуясь векторной диаграммой, найти, как изменится интенсив¬
ность отраженной волны в точке S, если из экрана вырезать диск
CD с центром в основании перпендикуляра, опущенного из 5 на
плоскость экрана, и сместить этот диск по направлению к источни¬
ку на одну двенадцатую длины волны? Площадь диска составляет
одну треть от площади первой зоны Френеля. Как изменится ре¬
зультат, если смещение произвести в противоположную сторону на
ту же величину?
6.5. В установке предыдущей задачи площадь диска составля¬
ет половину площади центральной зоны Френеля. На какое
минимальное расстояние h следует сместить диск в направлении
от источника, чтобы интенсивность отраженной волны в точке 5
осталась неизменной?
6.6. Если круглое отверстие (например, ирисовая диафрагма)
увеличивается таким образом, что его радиус от радиуса одной зоны
возрастает до радиуса двух зон, то освещенность в точке Р (точка
148

Р — изображение источника света, даваемое диафрагмой) падает
почти до нуля. Как согласовать этот факт с увеличением всего све¬
тового потока через диафрагму в два раза?
6.7! Точечный источник монохроматического света помещен на
расстоянии а от круглой диафрагмы, а экран — с противоположной
стороны на расстоянии b от нее. При каких радиусах диафрагмы г
центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране, будет тем¬
ным и при каких — светлым, если перпендикуляр, опущенный из
источника на плоскость диафрагмы, проходит через ее центр?
6.8. Между точечным монохроматическим источником света и
точкой наблюдения перпендикулярно соединяющей их линии поме¬
щен экран, состоящий из секторов двух кругов (рис. 311). Радиус
одного из них равен радиусу 1-й зоны Френеля, другого — радиусу
2-й зоны Френеля. Определить интенсивность света в точке наблю¬
дения, если в отсутствие экрана она равна 3$. Рассмотреть экраны,
изображенные на рис. 311а и 3116.
6.9. Симметрично между источником (X — 4900 А) и точкой на¬
блюдения расположен непрозрачный экран с круглым отверстием
(г = 0,35 мм). Расстояние от источника до экрана а = 1 м. Во сколь¬
ко раз изменится интенсивность в точке наблюдения, если источник
сместить вдоль оси к отверстию на расстояние А а = 0,8 м?
6.10. Между источником S (X = 4,9 • 10-5 см) и точкой наблюде¬
ния Р расположен непрозрачный экран с круглым отверстием на оси
SP. Расстояние от источника до экрана а = 3 м, между экраном и
точкой наблюдения b = 1 м. Во сколько раз изменится интенсив¬
ность сигнала, если точку наблюдения удалить вдоль оси на рассто¬
яние Ъ' = 3 м от экрана?
6.11. В непрозрачной пластинке имеется отверстие диаметром
d = 1 мм. Оно освещается монохроматическим светом с длиной вол¬
ны X = 500 нм от удаленного точечного источника. Найти расстоя¬
ние Lmax от отверстия, на котором будет наблюдаться наибольшая
освещенность.
6.12. Два точечных некогерентных источника монохроматическо¬
го света S и 5 освещают экран (рис. 312). Для точки С выполняется
условие SC — SC = 1 м. Во сколько раз изменится освещенность в
точке С, если на пути лучей в точках А и А расположить непрозрач¬
ные экраны с круглым отверстием, диаметр которого равен 0,6 мм?
149

Центры отверстий совпадают с SC и S C; АС = 9 см, А'С = 20 см.
Длина волны света равна 5600 А. Как изменится ответ, если источни¬
ки будут когерентными?
6.13. Параллельный пучок монохроматического света с длиной
волны Я = 6000 А нормально падает на непрозрачный экран с круг¬
лым отверстием диаметром D = 1,2 мм. На расстоянии Ь\ = 18 см за
экраном на оси отверстия наблюдается пятно. На какое минималь¬
ное расстояние Дb нужно сместиться от этой точки вдоль оси отвер¬
стия, удаляясь от него, чтобы в центре дифракционной картины
вновь наблюдалось темное пятно?
6.14. Вдали от точечного источника S стоит бесконечный иде¬
ально отражающий экран. Из экрана удален диск диаметром
d] = 2r1V273, где гх — радиус 1-й зоны Френеля, и поставлен дру¬
гой диаметром d2=di/V2. Найти интенсивность <3 отраженной
волны в точке S, если диск диаметром d2 стоит в плоскости экрана.
6.15. Яркий источник можно сфотографировать, поместив между
ним и фотопластинкой гладкий непрозрачный шар. Объяснить явле¬
ние. Диаметр шара D — 40 мм, расстояние от источника до шара
а = 12 м, расстояние от шара до изображения b = 18 м, размер источ¬
ника у = 7 мм. Определить размер изображения у'. Будет ли изобра¬
жение испорчено, если поверхность шара испещрена множеством не¬
правильных царапин, глубина которых h порядка 0,1 мм? Можно ли
шар заменить диском?
6.16. Диск из стекла с показателем преломления п (для длины
волны Я) закрывает полторы зоны Френеля для точки наблюдения
Р. При какой толщине h диска освещенность в точке Р будет наи¬
большей?
6.17. В параллельном пучке радиоизлучения, длина волны кото¬
рого Я = 3 см, поставлен диск из диэлектрика с показателем пре¬
ломления п = 1,5. Диск перпендикулярен направлению пучка. Диа¬
метр диска D = 20 см. При какой толщине диска h и на каком рас¬
стоянии Ъ от диска вдоль его оси будет наблюдаться максимальная
интенсивность излучения? Отражением излучения от диска пренеб¬
речь.
6.18. Непрозрачный диск, радиус которого R = 0,55 см, освеща¬
ется плоской монохроматической волной (Я = 5-10-5 см). Оказа¬
лось, что если в центре диска проделать маленькое отверстие, то ин¬
тенсивность света в точке наблюдения, находящейся за диском на
оси отверстия на расстоянии L = 1,5 м учетверится. Определить ми¬
нимальный радиус отверстия.
6.19. Непрозрачный диск диаметром D= 1 см, освещается пло¬
ской нормально падающей волной (Я = 5-10~5 см). При каком ми¬
нимальном диаметре отверстия, проделанного в центре диска, ин¬
тенсивность света в точке, находящейся за диском на оси симметрии
на расстоянии L = 1,5 м, равна нулю?
6.20. В плоскопараллельной стеклянной пластинке с показате¬
лем преломления п, на которую нормально падает плоская волна,
150

вырезано круглое отверстие размером в одну зону Френеля для не¬
которой точки Р, лежащей на оси системы. Определить, при какой
толщине пластинки h интенсивность 3 колебаний в точке Р будет
максимальной. Найти c7nwx, если в отсутствие пластинки интенсив¬
ность равна 30. Длина волны падающего света равна А.
6.21! Интенсивность света в некоторой точке на оси за отверсти¬
ем в непрозрачном экране, на который нормально падает парал¬
лельный пучок монохроматического света, равна 30, если в отвер¬
стии укладывается одна зона Френеля. С помощью векторной диаг¬
раммы найти интенсивность света в той же точке, если радиус
отверстия уменьшить на а = 1/3 первоначальной величины.
6.22. Параллельный пучок монохроматического света
(Я = 5000 А) интенсивностью Зо падает на непрозрачный экран с
круглым отверстием диаметром 2 мм. 1) Найти расстояния
Ь\, Ь2, ..., Ьт от экрана до точек Ръ Р2, ..., Рт на оси отверстия, для
которых в пределах отверстия укладывается 1, 2, ..., т зон Френе¬
ля. 2) Построить приближенно график зависимости интенсивности
света на оси отверстия от расстояния от точки наблюдения до экра¬
на. 3) Насколько надо сместиться из точки Рь удаляясь от экрана,
чтобы интенсивность света в новой точке наблюдения стала в два
раза меньше, чем в точке Р{!
6.23. Плоская монохроматическая световая волна с интенсивно¬
стью 3о падает нормально на непрозрачный экран в виде полупло¬
скости с вырезом на краю, имеющем форму полукруга (рис. 313).
Найти интенсивность света в точке Р, для которой граница выреза
совпадает с границей 1-й зоны Френеля.
6.24. На белой стене наблюдается тень от прямолинейного края
ЛВ непрозрачного экрана, освещаемого параллельными монохрома¬
тическими лучами, падающими на экран перпендикулярно
(А = 5000 А). Плоскости стены и экрана параллельны, расстояние
между ними b = 4 м. На краю экрана выточено углубление, име¬
ющее форму полукруга радиусом г = 1 мм (рис. 314). Как изме¬
нится интенсивность света в точке стены, являющейся геометриче¬
ской тенью центра О соответствующего круга по сравнению с ин¬
тенсивностью в той же точке, когда углубления не было?
6.25. Точечный источник света с двумя монохроматическими ли¬
ниями Aj = 660 нм и Х2 = 440 нм одинаковой интенсивности распо¬
ложен на расстоянии L = 1 м от экрана. Перед экраном на расстоя¬
нии а = 0,2 м расположен прозрачный диск диаметром D = 0,92 мм,
в
Рис. 313
Рис. 314
151

вносящий фазовую задержку в л для обеих компонент, причем ис¬
точник света, центры диска и экрана лежат на общей оси. Как отли¬
чаются интенсивности света в центре экрана при наличии и в отсут¬
ствие диска?
6.26. Точечный источник света с двумя монохроматическими
линиями А( = 6600 А и ^2 = 4400 А одинаковой интенсивности рас¬
положен на расстоянии / = 1 м от экрана. Перед экраном на рассто¬
янии а = 0,2 м располагается непрозрачный лист с отверстием диа¬
метром D = 0,92 мм так, что источник света, центры диска и экрана
расположены на общей оси системы. Как отличаются освещенности
в центре экрана при наличии и в отсутствие листа?
6.27. Между точечным источником и приемником излучения
установлен непрозрачный экран с круглым отверстием, размер ко¬
торого соответствует внешнему краю зоны Френеля. Всю систему
заполняют водой, показатель преломления которой п= 1,33. Опре¬
делить интенсивность излучения 3, которую зарегистрирует прием¬
ник, если известно, что в отсутствие экрана интенсивность была
равна е70.
6.28. Параллельный пучок монохроматического света нормально
падает из воздуха на плоскую поверхность диэлектрика. Определить
максимальную величину напряженности электрического поля в ди¬
электрике Етях. Оценить расстояние I от поверхности диэлектрика до
точки, в которой поле максимально. Диаметр светового пучка
D = 0,1 см, длина световой волны в воздухе А = 0,5 мкм, плотность
потока мощности в падающем пучке 5=1 кВт/cm2, показатель пре¬
ломления диэлектрика п = 2.
6.29. Параллельный пучок монохроматического света с длиной
волны А = 0,5 мкм нормально падает на поверхность диэлектрика с
показателем преломления п = 2. Поверхность диэлектрика покрыта
черным (неотражающим) экраном, в котором имеется отверстие ди¬
аметром D = 0,1 см. На каком расстоянии / от поверхности диэлект¬
рика (в воздухе) электрическое поле волны максимально? Прини¬
мая плотность потока мощности в падающей волне равной
5=1 кВт/cm2, определить максимальную величину напряженности
электрического поля в воздухе £их,
6.30. На пути плоской световой волны с А = 0,54 мкм поставили
тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием / = 50 см, не¬
посредственно за ней — диафрагму с круглым отверстием и на рас¬
стоянии Ь = 75 см от диафрагмы — экран. При каких радиусах от¬
верстия центр дифракционной картины на экране имеет максималь¬
ную освещенность?
6.31. Перед тонкой линзой с оптической силой D = 2,5 дптр рас¬
положен непрозрачный экран с круглым отверстием г =1,1 мм.
На экран параллельно оптической оси падает пучок света с длиной
волны А = 550 нм. Измеряется интенсивность света в фокусе
линзы, после этого линзу убирают и вновь измеряют интенсивность
света <з72 в той же точке. Найти отношение 31 /32.
152

6.32. Источник света и точка наблюдения расположены на оди¬
наковых расстояниях от круглого отверстия в непрозрачном экране.
Радиус отверстия равен радиусу 1-й зоны Френеля. Интенсивность
колебаний в точке наблюдения равна 30. Найти интенсивность 3
колебаний в точке наблюдения, если посередине между источником
и экраном расположить без нарушений осевой симметрии тонкую
собирающую линзу, такую, что источник при этом оказывается в ее
фокусе.
6.33. Точечный источник света и точка наблюдения Р располо¬
жены симметрично на расстоянии 2L на оси круглого отверстия в
непрозрачном экране. Отверстие оставляет открытой одну зону
Френеля для точки Р. Во сколько раз изменится интенсивность све¬
та в точке Р, если к отверстию без нарушения осевой симметрии
приложить тонкую линзу с фокусным расстоянием / = L?
6.34! На длиннофокусную собирающую линзу с ирисовой диа¬
фрагмой падает параллельный пучок монохроматического света.
На расстоянии а от линзы помещен экран, на котором наблюдаются
дифракционные кольца. При каких радиусах диафрагмы центр ко¬
лец будет темным и при каких светлым, если фокусное расстояние
линзы равно /?
6.35. Зонная пластинка дает изображение источника, удаленно¬
го от нее на 3 м, на расстоянии 2 м от своей поверхности. Где полу¬
чится изображение источника, если его отодвинуть в бесконечность?
6.36. Определить фокусное расстояние / зонной пластинки для
света с длиной волны 5000 А, если радиус 5-го кольца этой пластин¬
ки равен 1,5 мм; определить радиус 1-го кольца этой пластинки.
Что произойдет, если пространство между зонной пластинкой и эк¬
раном заполнено средой с показателем преломления п (п > 1)?
6.37. Какова интенсивность света 3 в фокусе зонной пластинки,
если закрыты все зоны, кроме 1-й? Интенсивность света без пла¬
стинки равна е70.
6.38. Какова интенсивность света 3 в фокусе зонной пластин¬
ки, если закрыть всю пластинку, за исключением верхней полови¬
ны 1-й зоны? Интенсивность света без пластинки
равна 30-
6.39. Зонная пластинка, вырезанная из стек¬
ла с показателем преломления п, представляет
собой тело вращения, сечение которого показано
на рис. 315. Пластинка помещена в непрозрач¬
ную оправу. Радиусы ступенек г, = 2, г2 = 4,
гг = 6 мм. Толщина ступенек h одинакова. Опре¬
делить максимальное фокусное расстояние /тах
пластинки для света с длиной волны X = 500 нм.
Указать, при какой толщине h интенсивность в
фокусе будет наибольшей. Какой максимальный выигрыш в интен¬
сивности будет давать такая система?
6.40. Основное фокусное расстояние амплитудной плоской зон¬
ной пластинки равно /0. Найти ее остальные фокусные расстояния.
153

6.41. Освещенный предмет расположен на оси зонной пластинки
на расстоянии а от нее. Самое дальнее от зонной пластинки изобра¬
жение предмета получается на расстоянии b от нее. На каких рассто¬
яниях Ьк от пластинки получаются остальные изображения предмета?
6.42! С помощью зонной пластинки надо сфотографировать ос¬
вещенный предмет с угловым размером 2а = 0,1 рад. Оценить число
зон пластинки, при котором будет достигнута наибольшая четкость
в изображении всех частей предмета.
6.43. Линза с фокусным расстоянием / = 50 см и диаметром
D = 5 см освещается параллельным монохроматическим пучком
света с длиной волны X = 630 нм. Найти, во сколько раз интенсив¬
ность волны о1 в фокусе линзы превышает интенсивность волны
с§о, падающей на линзу. Оценить размер b пятна в фокальной пло¬
скости.
6.44. Зонная пластинка с радиусом 1-й зоны Френеля
гi = 0,5 мм помещена перед отверстием в экране диаметром
D — 1 см. Пластинка освещается параллельным монохроматическим
пучком света с длиной волны X = 500 нм и интенсивностью 30.
Определить интенсивность 3 волны в фокусе пластинки. Оценить
размер b пятна в фокальной плоскости.
6.45! Требуется изготовить отражательную зонную пластинку
на вогнутом сферическом зеркале кольцевыми зонами Френеля.
Найти радиус m-й зоны г,„, если источник света и точка наблюде¬
ния расположены на оси зеркала на расстояниях а и b соответствен¬
но от его вершины, причем а *£ R^b, гт«а, где R — радиус кри¬
визны поверхности зеркала.
6.46! В предыдущей задаче R =100 см, а = 80 см, X = 5000 А,
радиус 4-й зоны Френеля г4 = 0,2 см. Где будут расположены изо¬
бражения S источника нулевого и ± 1-го порядков?
6.47. Зонная пластинка имеет такие же параметры, как и в пре¬
дыдущей задаче. Источник монохроматического света (X = 5000 А)
помещен в центре кривизны вог¬
нутого зеркала, на котором она
изготовлена (а = R). Пластинка
дает два изображения ± 1-го по¬
рядков в точках, отстоящих от
зеркала на расстояния Ь\ и Ьг-
причем bi — b2 = ??/10. Найти
радиус ш-й зоны пластинки.
6.48. Для измерения разме¬
ров малых светящихся частиц
предложена схема, изображен¬
ная на рис. 316. Частица 5 и
плоскость наблюдения Я распо¬
ложены на двойном фокусном расстоянии от собирающей линзы Л
с фокусным расстоянием / = 25 см. Перед линзой на некотором
расстоянии L, которое может изменяться в процессе эксперимента,
Рис. 316
154

расположен экран Э с двойной щелью. Расстояние между щелями
d — 1 см, ширина каждой щели / = 2 мм. Длина волны света
Х = 5-10~5см. Определить ширину интерференционных полос, на¬
блюдаемых на плоскости Я, если экран расположен точно посереди¬
не между частицей 5 и линзой (L = /). Оценить, при каком значе¬
нии L интерференционные полосы исчезнут, если размер источника
Ъ = 10“3 см.
6.49. Направленность излучения ультразвукового дальномера
обеспечивается рупором конической формы длиной а — 15 см и ди¬
аметром выходного отверстия D — 10 см. Оценить, в каких пределах
можно перестраивать излучаемую частоту, чтобы интенсивность
волны, излучаемой в направлении оси рупора, изменялась бы не бо¬
лее, чем в 2 раза. Средняя рабочая частота v = 100 кГц. Считать
волну, распространяющуюся в рупоре, сферической. Скорость звука
v = 330 м/с.
6.50. На пути сферической монохроматической волны, сходя¬
щейся. в точке О, на расстоянии z = R0 от точки О устанавливается
экран с круглым отверстием (рис. 317). Размер отверстия таков, что
Рис. 317
при освещении экрана плоской волной с той же длиной волны на
нем укладывалось бы три зоны Френеля для точки О. Найти интен¬
сивность света в точке О, принимая интенсивность в плоскости эк¬
рана равной S0- Определить, при каких значениях z будут наблю¬
даться локальные минимумы интенсивности, если точку наблюде¬
ния удалять от точки О в область г > R0.
6.51. На пути сферической монохроматической волны, сходя¬
щейся в точке О, на расстоянии z = R0 от точки О устанавливается
непрозрачный экран с кольцевым вырезом (рис. 318). При освеще¬
нии этого экрана плоской волной с той же длиной волны экран ос¬
тавлял бы открытыми 2-ю, 3-ю и 4-ю зоны Френеля для точки О.
Найти интенсивность света в точке О, принимая интенсивность в
плоскости экрана равной о/0. Определить, при каких значениях z
будут наблюдаться локальные минимумы интенсивности, если точку
наблюдения смещать от точки О в область z s£ R0.
155

§ 7. Дифракция Фраунгофера.
Разрешающая способность оптических инструментов
7.1. Параболическое зеркало диаметром D — 1 м используется
как антенна для волн длины X — 3 см. Оценить наименьшее рассто¬
яние Lmin, на котором следует поместить приемник для снятия ди¬
аграммы направленности.
7.2. Для измерения скорости частиц жидкости бесконтактным
методом используется лазерный анемометр. Два когерентных ла¬
зерных пучка с длиной волны излучения
X — 0,63 мкм и углом сходимости (р = 2° пере¬
секаются в некоторой области жидкости, в ко¬
торой небольшие взвешенные частички дви¬
жутся со скоростью v (рис. 319). Определить
скорость этих частиц, если известно, что при
регистрации отраженного от них света частота
колебаний тока фотоприемника Ф равна
v = 5,54 кГц.
7.3. Оценить, с какого расстояния L можно
увидеть раздельно свет от двух фар автомобиля.
7.4. Пыль, взвешенная в воздухе, делает
видимым узкий лазерный луч. Луч виден осо¬
бенно хорошо, если смотреть почти навстречу
ему в пределах угла приблизительно 10°. Объяснить явление и оце¬
нить размер Ь пылинок, если длина волны света 6300 А.
7.5. О зоркости хищных птиц ходят легенды. Оценить, на основе
дифракционных соображений, может ли орел, летающий над землей
на высоте 1 км, разглядеть мышонка размером в 2 см.
7.6. Изображение точечного источника проецируется на экран с
помощью тонкой линзы с малым апертурным числом двумя способа¬
ми, реализуемыми при условии, что, расстояние от источника до эк¬
рана в обоих случаях остается постоянным и равным L = 4 м. При
этом фокусное расстояние линзы f = 0,75 м. Как относятся освещен¬
ности в центре дифракционного изображения в этих двух случаях?
7.7. Изображение точечного источника проецируется на экран
с помощью тонкой линзы с малым апертурным числом двумя раз¬
ными способами. В первом расстояние от источника до линзы равно
ее удвоенному фокусному расстоянию. Во втором это расстояние со¬
ставляет 5/4 фокусного расстояния линзы. Во сколько раз изменится
освещенность в центре дифракционного изображения?
7.8. В интерферометре Майкельсона источником света служит
круглая диафрагма S диаметром <1 — 0,05 мм, которая освещается
параллельным пучком монохроматического света с длиной волны
X = 0,6 мкм. Длины плеч интерферометра АВ = 30, АС = 10 см
(рис. 320). Интерференционная картина в виде концентрических
колец наблюдается на экране Э, помещенном в фокальной плоско¬
сти линзы. Оценить число т интерференционных колец, наблюдае¬
мых в пределах главного дифракционного максимума источника.
156

7.9. С искусственного спутника Земли, обращающегося по кру¬
говой орбите на расстоянии h = 250 км, проводится фотографи¬
рование земной поверхности. Разрешающая способность фотопленки
N — 500 линий/мм. Какими параметрами должен обладать объектив
фотоаппарата (диаметр D, фокусное расстояние /), чтобы при фото¬
графировании разрешались детали с линейными размерами I » 1 м?
7.10. С самолета, летящего на высоте Я = 5км, производится
аэрофотосъемка местности. Какими следует выбрать фокусное рас¬
стояние / и диаметр объектива D фотоаппарата, чтобы сфотографи¬
ровать объекты размером /« 2,5 см на фотопленку с разрешающей
способностью п — 500 штрих/мм? На какое время т следует откры¬
вать затвор фотоаппарата (экспозиция), чтобы движение самолета со
скоростью V = 360 км/час не приводило к размытию изображения?
7.11. На щель шириной b положена стеклянная призма с по¬
казателем преломления п и преломляющим углом а (рис. 321).
Рис. 320 Рис. 321
На грань АВ призмы нормально падает плоская монохроматическая
волна. Найти направления на нулевой максимум и минимум в диф¬
ракционной картине Фраунгофера.
7.12! Плоская световая волна падает нормально на абсолютно
черный экран, размеры которого велики по сравнению с длиной
волны. Часть энергии поглощается черным экраном, а часть рассе¬
ивается из-за дифракции. Показать,что количество поглощенной
энергии равно количеству рассеянной.
7.13. Оценить минимально необходимую для локации Луны
энергию & световой вспышки рубинового лазера (А = 0,7 мкм), если
отражение луча осуществлялось 14 призмами, установленными на
Луноходе-1. Каждая из призм отражает луч на угол 180°. Отраже¬
ние от призмы рассматривать, как отражение от плоского зеркала
диаметром d = 6 см. Посылка и прием луча осуществлялись теле¬
скопом Симеизской обсерватории. Диаметр зеркала телескопа
Я = 2,6 м. При приеме мог быть обнаружен сигнал, состоящий из
двух фотонов.
7.14! Доказать, что при дифракции Фраунгофера интенсивности
дифрагированного света от дополнительных экранов совпадают во
всех направлениях, за исключением направления падающей волны
157

(принцип Бабине). Дополнительными называются два экрана, у ко¬
торых непрозрачные места одного экрана по форме и положению
совпадают с отверстиями другого.
7.15! Точечный источник света находится на некотором рассто¬
янии а от щели шириной D. За щелью на расстоянии b от нее по¬
мещен экран, плоскость которого параллельна плоскости щели.
Прямая, соединяющая источник света с серединой щели, перпенди¬
кулярна к плоскости экрана. Найти приближенное выражение для
расстояния х между центральным максимумом и первым дифракци¬
онным минимумом на экране, считая, что углы дифракции малы.
Найти условие применимости полученного приближенного выра¬
жения.
7.16. Камера-обскура длиной L — 10 см с малым отверстием
предназначена для фотографирования удаленных предметов. Оце¬
нить диаметр отверстия D камеры, при котором она имеет наиболь¬
шую разрешающую способность. Длина волны X = 5000 А.
7.17. Пучок фтористо-водородного лазера, работающего в одно¬
модовом режиме на длине волны X = 3 мкм, формируется зеркалами
диаметром D — 3 м. На каком максимальном расстоянии L может
находиться мишень, чтобы плотность потока энергии на ней была
практически равна плотности потока на зеркале?
7.18. Оценить, во сколько раз отличаются напряженности элект¬
рического поля монохроматической волны X — 1 мкм в фокусе сфе¬
рического зеркала (диаметр D — 10 см, радиус кривизны R = 1 м) и
на его входе.
7.19. Плоская волна проходит через стеклянную пластинку с по¬
казателем преломления п — 3/2, падая на ее поверхность нормально
(рис. 322). Толщина пластинки испытывает скачкообразное измене¬
ние на величину b = 2Х/3 вдоль прямой, проходящей через точку
С перпендикулярно плоскости рисунка.
Найти интенсивность света в точке О,
лежащей в плоскости, проходящей через
точку С перпендикулярно к плоскости
рисунка, если интенсивность света в
этой точке в случае плоскопараллельной
пластинки (т. е. при b = 0) равна 30.
7.20. Плоская волна проходит через
стеклянную пластинку с показателем
преломления п, падая на ее поверхность
нормально (рис. 322). Толщина пластин¬
ки испытывает скачкообразное измене¬
ние на величину b вдоль некоторой пря¬
мой, проходящей через точку С перпендикулярно к плоскости ри¬
сунка. При каких значениях b интенсивность света в точке О, ле¬
жащей в плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно к
плоскости рисунка, будет вдвое меньше интенсивности света в той
же точке О в случае отсутствия уступа на пластинке? Длина волны
падающего света равна X.
\,е?0
У/ *
~т
У/
У/ / У У/ У/ У/
У/
У/
У/
//
fit '/ *
п *
У/
А—
^
Iь
с
п
I
I
I
ol
Рис. 322
158

7.21. Дифракционные полосы от двух одинаковых параллельных
щелей наблюдаются в фокальной плоскости линзы L (рис. 323). S[
и — бесконечно удаленные линейные источники монохроматиче¬
ского света, параллельные щелям. При каком угловом расстоянии
ОТ 5; ОТ S)
от S2 от S2
<Г ■!>/.
F 7
Рис. 323
Экран
между Si и S2 дифракционные полосы исчезнут, если расстояние
между центрами щелей равно D и велико по сравнению с шириной
щели и длиной световой волны X?
7.22. В установке, описанной в предыдущей задаче источники
Si и S2 помещены в фокальной плоскости коллиматорной линзы с
фокусным расстоянием /. При каком расстоянии х между St и S2
дифракционные полосы исчезнут?
7.23. На рис. 324 изображена схема интерференционного опыта
Юнга, в котором используется явление дифракции света на двух
щелях. В качестве источника света в схеме применен лазер, работа¬
ющий на длине волны X = 6328 А. Пучок света на выходе лазера
имеет плоский волновой фронт. Диаметр пучка d — 2 мм. При ка¬
ком расстоянии между щелями D возможно наблюдение интерфе¬
ренционной картины на экране, если расстояние от источника до
двойной щели L = 4 м?
7.24. Квадратное отверстие со стороной L0 = 0,2 см освещается
параллельным пучком солнечных лучей, падающих нормально к
плоскости отверстия. Найти форму и размер Lx L изображения от¬
верстия на экране, удаленном на 50 м от него, если плоскость экра¬
на параллельна плоскости отверстия. Границей освещенности на эк¬
ране считать положение первого дифракционного минимума наибо¬
лее сильно отклоняемых лучей (видимый спектр 7000—4000 А).
7.25! Диафрагма линзы имеет форму квадрата с длиной сторо¬
ны D. Точечный монохроматический источник света помещается на
главной оптической оси линзы. Найти распределение интенсивности
света, получающееся в результате дифракции в плоскости изобра¬
жения источника.
7.26. Дифракция Фраунгофера плоской волны на щели наблюда¬
ется в фокальной плоскости линзы. Во сколько раз изменится интен¬
сивность в фокусе линзы, если щель накрыть плоскопараллельной
159

пластинкой, амплитудный коэффициент пропускания которой имеет
вид т(а) = sin (ла/п)? Ось а направлена перпендикулярно щели,
точки а — 0 и а = а — координаты краев щели.
7.27. Найти картину дифракции Фраунгофера плоской монохро¬
матической неполяризованной волны на длинной прямой щели ши¬
риной Ь, вдоль оси которой симметрично расположена длинная пла¬
стинка из поляроида шириной 6/2.
7.28. На щель шириной а нормально падает плоская волна с дли¬
ной волны X. Щель закрыта двумя стеклянными пластинками шири¬
ной а/2 и толщиной h с показателями преломления п{ и п2 и коэффи¬
циентами пропускания (по интенсивности) if и т2. Найти распреде¬
ление интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера. При
каком условии в центре картины получается темная полоса?
7.29. Рассчитать и проанализировать дифракционную картину
при нормальном падении света на пилообразную решетку
(рис. 325), сделанную из стекла с показателем преломления п. Чис¬
ло зубьев решетки равно N, a»h. Длина волны падающего света
равна X.
7.30. Плоская монохроматическая волна (длина волны X) падает
на плосковогнутую сферическую линзу диаметром 2р0 (рис. 326).
Пространство вне линзы закрыто экраном. Вычислить интенсивность
в точке А центра кривизны линзы, лежащей на оптической оси сис¬
темы. При каких радиусах линзы р0тах интенсивность в точке А мак¬
симальна (ро«2?)? Показатель преломления материала линзы п.
7.31. Цилиндрическая линза шириной D освещается параллель¬
ным пучком монохроматического света. Центральная часть линзы
(рис. 327) перекрывается прозрачной полоской, вносящей фазовую
задержку в л. Какова ширина полоски Ь, если центральный дифрак¬
ционный максимум сузился вдвое? Во сколько раз изменилась при
этом интенсивность в фокусе?
7.32. Цилиндрическая линза освещается параллельным пучком
монохроматического света (рис. 328). Во сколько раз изменится ин¬
тенсивность в фокусе и ширина центрального максимума, если
центр линзы перекрыть непрозрачной полоской, ширина которой
вдвое меньше ширины линзы? Как изменится световой поток в цен¬
тральном максимуме?
160

7.33. Оценить, во сколько раз изменится угловое разрешение те¬
лескопа, если центральную часть его объектива закрыть непрозрач¬
ным экраном. Для простоты при оценке считать сечения объектива и
Рис. 327 Рис. 328
экрана симметрично расположенными квадратами со сторонами D и
d соответственно. Каково максимальное возможное изменение разре¬
шающей способности?
7.34? Оптическая система (труба или микроскоп) дает в качестве
изображения светящейся точки систему дифракционных колец.
Согласно Рэлею, минимальное расстояние между двумя близкими
точками, которые еще изображаются раздельно, определяется тем,
что центральный светлый кружок от первой светящейся точки должен
приходиться на первое темное кольцо дифракционной картины, дава¬
емой второй светящейся точкой. Ориентировочно можно принять, что
глаз способен различить две близкие точки, если максимумы освещен¬
ности в местах их геометрических изображений превосходят интен¬
сивность посредине между ними не менее чем на 15%. Приняв это,
проверить, действительно ли при выполнении критерия Рэлея по¬
лучатся раздельные изображения двух самосветящихся точек.
Указание. Для простоты расчета принять, что диафрагма
квадратная. В случае круглой диафрагмы результаты мало отлича¬
ются от тех, которые получаются для квадратной диафрагмы.
(См. решение задачи 7.25!)
7.35? Решить предыдущую задачу в предположении, что изобра¬
жаемые точки не самосветящиеся, а освещаются одним и тем же ис¬
точником света. Например, можно взять два круглых отверстия в
экране, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между
ними. Рассмотреть качественно три случая: 1) отверстия освещают¬
ся пучком лучей, параллельных главной оптической оси; 2) отвер¬
стия освещаются параллельными лучами, но наклоненными к глав¬
ной оптической оси; 3) отверстия освещаются диффузным светом.
7.36. При аэрофотосъемке местности используется объектив с
фокусным расстоянием / = 10 см и диаметром D = 5 см. Съемка
производится на фотопленку, имеющую разрешающую способность
/?=100мм_|. Определить, какие детали местности могут быть
разрешены на фотографиях, если съемка производилась с высоты
h = 10 км.
6 - 1651
161

7.37! Объектив телескопа имеет фокусное расстояние /, = 3 м и
диаметр D=15cm. Определить фокусное расстояние /2 окуляра,
при котором полностью используется разрешающая способность
объектива, если диаметр зрачка глаза d = 3 мм. Предполагая, что в
системе телескоп—глаз отсутствуют аберрации, оценить, на каком
расстоянии L с помощью такого телескопа можно читать книгу с
размером букв Ь ~ 2 мм.
7.38. Современные фотопленки способны разрешать до
z = 104 линий/см. Какую светосилу (т. е. отношение квадратов диа¬
метра D и фокусного расстояния /) должен иметь объектив фотоап¬
парата, чтобы полностью использовать разрешающую способность
пленки?
7.39! Каково должно быть увеличение зрительной трубы для то¬
го, чтобы полностью использовать разрешающую способность ее
объектива?
7.40. 1) Подсчитать разрешающую способность зрительной тру¬
бы с диаметром объектива 5 см. 2) При каком увеличении будет ис¬
пользована полная разрешающая способность этой трубы? Диаметр
зрачка глаза d = 5 мм.
7.41. Самый большой в мире телескоп был сооружен в России и
установлен в астрономической обсерватории на северных отрогах
Кавказского хребта, вблизи станции Зеленчукская. Диаметр зерка¬
ла этого телескопа D = 6 м. Найти разрешаемое им угловое рассто¬
яние 60 для длины волны X — 5500 А.
7.42. В чем выгода применения телескопов для рассматривания
звезд, если они не дают увеличения по сравнению с невооруженным
глазом?
7.43. В принципе можно построить телескоп сколь угодно высо¬
кой разрешающей способности без объектива, заменив объектив
круглым отверстием. Какова должна быть длина L такого телеско¬
па, чтобы он имел ту же разрешающую способность, что и обычный
телескоп с диаметром объектива Л= 1 м? Чему будет равна свето¬
сила S такого телескопа?
7.44. Производится фотографирование удаленных предметов с
помощью объектива телескопа на фотопластинке, помещенной в его
фокальной плоскости. Полученный снимок с помощью окуляра того
же телескопа проецируется на удаленный экран. Каково должно
быть угловое увеличение телескопа, чтобы при этом была использо¬
вана полностью разрешающая способность объектива телескопа?
Изображение на экране рассматривается с того места, где установ¬
лен проекционный аппарат. Диаметр зрачка глаза равен d.
7.45. Гальванометр имеет зеркальце диаметром D = 5 мм. Оце¬
нить (учитывая дифракционные эффекты), дальше какого расстоя¬
ния L не следует отодвигать шкалу от гальванометра, если отсчеты с
помощью зрительной трубы можно делать с точностью до I = 0,5 мм.
7.46. Какова должна быть минимальная длина отрезка на Луне
и Солнце, чтобы его изображение в рефлекторе с диаметром зеркала
6 м можно было отличить от изображения точки?

7.47. Каково должно быть минимальное расстояние между дву¬
мя точками на поверхности Марса, чтобы их изображение в теле¬
скопе (рефракторе) с диаметром объектива 60 см можно было отли¬
чить от изображения одной точки? Считать, что Марс наблюдается
в момент великого противостояния, когда расстояние до него от
Земли минимально и составляет 56- 10б км.
7.48. Космонавты прибыли на Луну. Чтобы сообщить об этом на
Землю, они растягивают на поверхности Луны черный круглый
тент. Каким должен быть радиус г этого тента, чтобы его можно бы¬
ло заметить с Земли в телескоп с объективом D = 5 м? Контрастная
чувствительность приемника 0,01.
7.49. Блестящий металлический межпланетный корабль попе¬
речного размера d = 10 м опустили на поверхность Луны в полно¬
луние. Оценить диаметр D зеркала телескопа, в который можно с
Земли увидеть прибытие корабля, если контраст, надежно обнару¬
живаемый глазом, принять равным к = 0,15. Считать коэффициент
отражения лунной поверхности равным р, = 0,1, а металла —
р2 — 1; наблюдение ведется в свете с длиной волны X — 0,6 мкм.
7.50! Луч лазера фокусируется идеальной оптической системой
с отношением f/D= 1. Оценить мощность N лазера, при которой в
электрическом поле в фокусе системы электроны смогут приобре¬
тать энергию порядка энергии покоя т0с2. Как зависит N от длины
волны Х7 Какое магнитное поле В будет при этом в фокусе?
7.51! Ракета удаляется от Земли и перестает быть видимой на
фоне неба в телескоп с объективом диаметром £>, = 80 мм, когда она
находится на расстоянии Ly — 2-104 км от Земли. На каком рассто¬
янии Ь2 от Земли удается заметить эту ракету в телескоп с объек¬
тивом диаметром D2 = 200 мм при той же контрастной чувствитель¬
ности глаза?
7.52! Излучение лазера непрерывного действия на длине волны
X = 0,63 мкм мощностью N = 10 мВт направляется на спутник с по¬
мощью телескопа, объектив которого имеет диаметр D = 30 см.
Свет, отраженный спутником, улавливается другим таким же теле¬
скопом и фокусируется на фотоприемник с пороговой чувствитель¬
ностью ?Vnop = 10“14 Вт. Оценить максимальное расстояние Lmax до
спутника, на котором отраженный сигнал еще может быть обнару¬
жен. Поверхность спутника равномерно рассеивает падающий свет
с коэффициентом отражения р = 0,9. Диаметр спутника d = 20 см.
7.53. Оценить расстояние L, с которого можно увидеть невоору¬
женным глазом свет лазера, генерирующего в непрерывном режиме
мощность N — 10 Вт на частоте v = 6 -1014 Гц, если для формирова¬
ния луча используется параболическое зеркало диаметром D = 50 см.
Глаз видит источник в зеленой части спектра, если в зрачок (диаметр
зрачка d = 5 мм) попадает п = 60 квантов в секунду.
7.54. В фокальной плоскости объектива телескопа помещена фо¬
топластинка. Освещенность изображения звезды на фотопластинке
в а = 10 раз меньше освещенности дневного неба. Во сколько раз
6*
163

надо увеличить диаметр объектива, чтобы освещенность изображе¬
ния звезды на фотопластинке стала в (3 = 10 раз больше освещенно¬
сти изображения неба?
7.55. При наблюдении в телескоп с нормальным увеличением
освещенность изображения звезды на сетчатке глаза в а = 10 раз
меньше освещенности дневного неба, рассматриваемого в тот же те¬
лескоп. Во сколько раз надо увеличить диаметр объектива для того,
чтобы освещенность изображения звезды на сетчатке стала в
(3=10 раз больше освещенности изображения неба, если вместе с
объективом телескопа заменен и окуляр таким образом, что увели¬
чение телескопа осталось нормальным?
7.56! Каково должно быть увеличение микроскопа, чтобы полно¬
стью использовать разрешающую способность его объектива?
7.57. Проволочная сетка, ячейки которой имеют форму квадра¬
тов, проецируется собирающей линзой на экран. В задней фокальной
плоскости линзы помещена узкая щель. Как будет меняться картина
на экране при вращении щели вокруг главной оптической оси линзы?
Как изменится картина при увеличении ширины щели (опыты Аббе)?
7.58. С помощью объектива микроскопа получена микрофотог¬
рафия малого объекта (например, растительных клеток или бакте¬
рий) с линейным увеличением N. Тот же объектив был использован
для проецирования полученной микрофотографии на удаленный эк¬
ран. Каково должно быть минимальное значение увеличения N,
чтобы полностью использовать разрешающую способность микро¬
скопа? Диаметр апертурной диафрагмы объектива равен D, диаметр
зрачка глаза d. Изображение на экране рассматривается с места на¬
хождения объектива.
7.59. Определить минимальное разрешаемое расстояние 6 мик¬
роскопа при наилучших условиях освещения для 1) безыммерсион-
ного объектива с числовой апертурой а — 0,9, 2) того же объектива,
но с масляной иммерсией (п = 1,6). Длина волны при визуальных
наблюдениях X = 5500 А.
7.60. Интерференционные кольца Ньютона получены при отра¬
жении рассеянного монохроматического света (А. = 600 нм) от по¬
верхности линзы с радиусом кривизны R = 60 см и плоского зеркала.
Наблюдение колец проводится с помощью микроскопа с малой апер¬
турой. При какой апертуре микроскопа и возможно наблюдение мак¬
симального числа колец? Каково при этом число наблюдаемых колец?
7.61. Почему для увеличения разрешающей способности эмисси¬
онного электронного микроскопа необходимо создавать очень силь¬
ное электрическое поле у катода? В эмиссионном микроскопе объ¬
ектом является нагретый катод. Оценить напряженность электри¬
ческого поля у катода для того, чтобы 1) разрешающая способность
эмиссионного микроскопа достигла разрешающей способности
наилучших световых микроскопов; 2) превысила ее в 100 раз. Тем¬
пературу катода считать равной 1000 °С.
7.62. Каково должно быть фокусное расстояние /2 окуляра
микроскопа, чтобы была полностью использована разрешающая
164

ФЭУ
способность объектива? Числовая апертура объектива равна п sin а,
фокусное расстояние объектива /ь длина тубуса (трубы микроско¬
па) /. Длину тубуса можно считать равной расстоянию между объ¬
ективом и плоскостью первого изображения (т. е. изображения, да¬
ваемого объективом).
7.63. С помощью объектива телескопа с диаметром D и фокус¬
ным расстоянием / производится фотографирование удаленных объ¬
ектов на мелкозернистой пластинке, помещенной в фокальной пло¬
скости объектива. Полученное изображение рассматривается в мик¬
роскоп с числовой апертурой п sin а и увеличением N. Каким
условиям должны удовлетворять числовая апертура и увеличение
микроскопа, чтобы полностью использовать разрешающую способ¬
ность объектива телескопа?
7.64. Угловая апертура электронного микроскопа йэл = 10-4, а
оптического — QonT ss 1. Оценить напряжение U, ускоряющее элек¬
троны, при котором разрешающая способность этих приборов будет
одинакова.
7.65. Оценить длительность т светового импульса от одной грани
8-гранного вращающегося зеркала, расположенного на расстоянии
L = 200 м от точечного источника света S. Световой импульс регист¬
рируется фотоумножителем с малой шириной входной щели, распо¬
ложенным вблизи источника (рис. 329).
Ширина грани зеркала равна а — 1 см.
Длина волны света к = 500 нм. Зеркало
вращается с частотой v = 16 Гц.
7.66. Изображения микродеталей, ле¬
жащих на черной подложке, проецируют
с большим увеличением на экран. Одна
деталь (более темная) имеет диаметр
d\ = 50 мкм, другая (более светлая) рас¬
сеивает в к = 5 раз большую долю падаю¬
щего света и имеет диаметр d2 = 2 мкм.
Оценить отношение средних освещенностей изображений этих двух
деталей. Применяется объектив, диаметр которого D = 1 мм, а фо¬
кусное расстояние / = 20 мм; длина волны используемого света
к = 0,5 мкм.
7.67. Первый зеркальный телескоп, созданный И. Ньютоном,
имел диаметр объектива Dx = 5 см и фокусное расстояние
/х = 15 см. Канадский инженер Э. Борра пытается организовать со¬
здание телескопа, в котором зеркалом служила бы поверхность вра¬
щающейся в сосуде воды. Предполагаемые параметры объектива:
D2 = 30 м и f2 = 100 м. Оценить, во сколько раз должны отличаться
средние освещенности изображений звезды Бетельгейзе, получен¬
ные в фокальных плоскостях объективов этих телескопов? Угловой
диаметр звезды а = 2,3-10-7 рад. Коэффициент отражения зеркала
телескопа Ньютона &i~l, а для поверхности воды к2 = 0,02. Длину
волны принять равной Л. — 0,6 мкм.
165

§ 8. Спектральные приборы
8.1. Какую разрешающую силу должен иметь спектральный ап¬
парат для разрешения дублета D-линии натрия (>4 = 5890 А,
Х2 = 5896 А)?
8.2. Найти величину наименьшего основания призмы Ь, изготов¬
ленной из стекла, дисперсия которого вблизи D-линии натрия
dn/dX = 956 см-1, чтобы призма смогла разрешить желтый дублет
натрия (Xj = 5890 А, Х2 = 5896 А).
8.3! Спектрограф имеет стеклянную призму с основанием
а =10 см и преломляющим углом А = 60°, устанавливаемую при
работе на угол наименьшего отклонения вблизи длины волны
X = 5000 А. Показатель преломления стекла призмы п= 1,73; фо¬
кусное расстояние объектива коллиматора / = 25 см. Какова должна
быть ширина коллиматорной щели Ь, чтобы можно было практиче¬
ски полностью использовать теоретическую разрешающую способ¬
ность призмы?
8.4! Найти угловое распределение интенсивности света при фра-
унгоферовой дифракции на решетке из N щелей и с периодом d при
условии, что световые лучи падают на решетку нормально, а шири¬
на щели равна Ъ.
8.5! Дополнительными, или взаимно дополнительными, дифрак¬
ционными решетками называются такие щелевые решетки, у кото¬
рых непрозрачные места одной решетки совпадают с прозрачными в
другой. Убедиться непосредственным расчетом, что при освещении
таких решеток одним и тем же световым пучком положения и ин¬
тенсивности главных дифракционных максимумов одного и того же
порядка совпадают, за исключением главных максимумов нулевых
порядков. Если же число штрихов решетки очень велико, то совпа¬
дают также интенсивности дифрагированного света для всех направ¬
лений, за исключением направления падающего света.
8.6. Параллельный пучок монохроматического света падает на
дифракционную решетку с заданной полной шириной ее штрихо¬
ванной поверхности. При каком значении отношения bid ширины
щели Ъ к периоду решетки d интенсивность главных дифракцион¬
ных максимумов 2-го порядка максимальна?
8.7! Показать, что для обычной амплитудной щелевой дифракци¬
онной решетки справедливо неравенство <^ДИф ^ с7па;(/4, где о/пад —
полный поток энергии, падающий на решетку, о7ДИф — поток энергии
дифрагированного света, приходящийся на все дифракционные мак¬
симумы, кроме максимума нулевого порядка. Максимальное значе¬
ние дифрагированного потока энергии достигается в случае, когда
ширина щелей решетки равна половине ее периода.
8.8. Найти угловое распределение дифракционных минимумов
при дифракции на решетке, период которой равен d, а ширина ще¬
ли равна Ь.
8.9. Найти условие появления главного дифракционного макси¬
мума при наклонном падении лучей на решетку (угол падения 0О).
166

Какой вид принимает это условие, если d»X, а порядок спектра
m^d/X'l
8.10. Пучок рентгеновских лучей падает на решетку с периодом
1 мкм под углом 89°30'. Угол дифракции для спектра второго поряд¬
ка равен 89°. Найти X.
8.11. Найти условие равенства нулю интенсивности т-го макси¬
мума для дифракционной решетки с периодом d и шириной щели Ь.
8.12. Описать характер спектров дифракционной решетки, если
ее постоянная d равна 1) удвоенной, 2) утроенной, 3) учетверенной
ширине щели Ъ.
8.13. Какой максимальный порядок спектра может наблюдаться
при дифракции света с длиной волны X на решетке с периодом of?
8.14. Определить длину волны спектральной линии, изображе¬
ние которой, даваемое дифракционной решеткой в спектре 3-го по¬
рядка, совпадает с изображением линии X = 4861 А в спектре 4-го
порядка.
8.15. Чем определяется максимальная длина волны, которая мо¬
жет получиться в спектре дифракционной решетки? Определить по¬
стоянную, которую должна иметь решетка, способная давать инф¬
ракрасный спектр с длинноволновой границей 100 мкм.
8.16! При каком условии можно наблюдать зеркальное отражение
от шероховатой поверхности при малых и больших углах падения?
8.17. Могут ли перекрываться спектры 1-го и 2-го порядков диф¬
ракционной решетки при освещении ее видимым светом
(7000-4000 А)?
8.18. На одномерную фазовую дифракционную решетку
(рис. 330) нормально падает плоская монохроматическая волна.
На участках а и b оптические пути равны соответственно А = и
1 | ч
ь
а
ь
а
ь
а
Ь
Рис. 330 Рис. 331
?2 = n2z2 (ni и п2 — показатели преломления, zt и z2 — соответству¬
ющие толщины). Как меняются интенсивности дифракционных
максимумов и соответствующие им углы дифракции при и
Ч -»• z2?
8.19. Прозрачная периодическая структура, профиль которой
изображен на рис. 331, освещается сверху плоской монохроматиче¬
ской волной, падающей нормально на верхнюю границу. Ширина
уступов и впадин структуры одинакова. При заданном показателе
преломления п подобрать глубину h таким образом, чтобы главные
фраунгоферовы дифракционные максимумы 1-го порядка имели на¬
ибольшую интенсивность. Какова при этом интенсивность нулевого
главного максимума?
167

ababababa
Рис. 332
8.20. На одномерную дифракционную решетку со щелями
(рис. 332) падает плоская монохроматическая волна. Щели b ре¬
шетки совсем прозрачные, а участки а имеют коэффициент пропу¬
скания а. Как меняются интенсивности
дифракционных максимумов и соответству¬
ющие им углы дифракции, когда а—*1?
8.21. На дифракционную решетку нор¬
мально падает параллельный пучок моно¬
хроматического света с длиной волны X.
Решетка имеет N щелей шириной Ъ и периодом d. Найти угловое
распределение интенсивности света за решеткой, если закрыть цен¬
тральную ее часть непрозрачным экраном так, что по краям решет¬
ки открытыми остаются по п щелей. Нарисуйте (качественно) гра¬
фик зависимости интенсивности 3 от sin 0.
8.22. На дифракционную решетку с шириной щелей Ь, равной
половине периода d (d = 2b), нормально падает плоская монохро¬
матическая волна. Найти долю энергии падающей волны, рассеян¬
ную в нулевой и в каждый из 2-х и 1-х порядков (d = 10А.).
8.23. Дифракционная решетка шириной а = 3 см с числом штри¬
хов N= 104 освещается параллельным пучком света от натриевой
лампы Л. Пучок формируется с помощью щели S шириной
Ь = 0,05 мм, помещенной в фокусе линзы L с фокусным расстоянием
S L
;
к
а
’
'
Ш) L' Э
333
Л э
' i
к
—1
—|
а
—>- |
->■ I
|
'
'
1
1
Рис. 334
/ = 10 см (рис. 333). Далее следует стандартное фраунгоферово рас¬
положение. В каком порядке спектра на экране Э может быть разре¬
шен желтый дублет натрия (588,996 и 589,593 нм)?
8.24. Дифракционная решетка шириной а освещается параллель¬
ным пучком света от натриевой лампы, при этом аЬХ»Х2, где X —
средняя длина волны, а ЬХ — расстояние между линиями дублета.
Далее на расстоянии I помещена линза Л диаметром D, а в ее фокаль¬
ной плоскости — экран наблюдения (рис. 334). Какому условию дол¬
жно удовлетворять расстояние I, чтобы желтый дублет натрия
(588,996 и 589,593 нм) разрешался на экране?
8.25. Спектр некоторого вещества в видимой области содержит
ряд спектральных линий в диапазоне от 400 нм до 600 нм с минималь¬
ной разницей длин волн ЬХ — 0,5 А. Спектр изучается с помощью до¬
статочно большой дифракционной решетки с периодом d = 0,01 мм.
С помощью линзы спектр проецируется на экран, расположенный в
ее фокальной плоскости, и рассматривается затем невооруженным
168

глазом с расстояния наилучшего зрения (L — 25 см). Определить ми¬
нимальные значения диаметра линзы D и ее фокусного расстояния /,
при которых наблюдатель может разглядеть все линии спектра.
Диаметр зрачка глаза принять равным с/зр = 0,5 см.
8.26Т Над центром изношенной граммофонной пластинки поме¬
щен точечный источник света на высоте hy — \ см. Глаз наблюдате¬
ля, расположенный на расстоянии а = 110 см от оси пластинки и на
высоте h2 = Юсм, видит, помимо геометрического изображения ис¬
точника, систему дифракционных полос на поверхности пластинки.
Определить расстояние Ах между ними, если расстояние между бо¬
роздками d = 0,5 мм. Длина волны к = 5500 А.
8.27. 1) Подсчитать угловую дисперсию в угл. с/А в спектре 1-го
порядка для решетки, имеющей 3937 штрих/см. 2) Подсчитать ли¬
нейную дисперсию спектрографа с такой решеткой при объективе с
фокусным расстоянием 50 см. 3) Подсчитать величину, обратную
линейной дисперсии [А/мм]. При расчете считать, что углы диф¬
ракции малы (cos 9^1).
8.28. Какое расстояние между компонентами желтой линии дуб¬
лета натрия (= 5890 А, к2 = 5896 А) получится на фотографи¬
ческом негативе в спектрографе, описанном в предыдущей задаче?
8.29. Найти угловую дисперсию решетки с постоянной d = 5 мкм,
если к = 5000 А, порядок спектра п = 3.
8.30. На плоскую отражательную решетку нормально падает
свет £>-линии натрия (Я. = 5890 А). Определить число штрихов ре¬
шетки на 1 мм, если спектр 2-го порядка наблюдается под углом 45°
к нормали.
8.31. Найти угловое расстояние между главным максимумом и
ближайшим к нему минимумом дифракционной решетки.
8.32. Подсчитать минимальное число штрихов решетки, которая
может разрешить натриевый дублет в спектре 1-го порядка.
8.33. Подсчитать разрешающую силу решетки с периодом
2,5- 1(Г4 см и шириной 3 см в спектрах 1-го и 4-го порядков.
8.34. Изменяется ли разрешающая сила решетки при изменении
наклона первичного пучка, падающего на нее?
8.35. Изменятся ли разрешающая способность и дисперсионная
область дифракционной решетки, если, закрепив неподвижно трубу,
в которую наблюдаются дифракционные спектры, закрыть через од¬
ну щели решетки?
8.36. Какова ширина спектральной линии водорода (к = 6563 А)
на негативе спектрографа, если в нем использована решетка шири¬
ной / = 3 см и объектив с фокусным расстоянием / = 15 см?
8.37. Коллиматорная щель S, освещаемая источником света, по¬
мещается в главном фокусе линзы L с фокусным расстоянием
/ = 20 см. Пройдя через линзу, свет падает на дифракционную ре¬
шетку, плоскость которой перпендикулярна к главной оптической
оси линзы L. Число штрихов решетки N = 1000, ее период
d = 0,001 см. Какова должна быть ширина коллиматорной щели 6,
169

чтобы была полностью использована разрешающая способность ре¬
шетки в окрестности длины волны X = 5000 А?
8.38! Свет от газоразрядной трубки, диаметр которой D — 1 см,
непосредственно падает на дифракционную решетку, расположен¬
ную на расстоянии L= 100 см. Оценить, какой будет в этих усло¬
виях максимальная разрешающая способность 2?тах = Х/ЬХ.
8.39. Свет от газоразрядной трубки, диаметр которой D — 0,1 см,
непосредственно падает на дифракционную решетку. Оценить, на
каком минимальном расстоянии Lmin от трубки нужно расположить
решетку, чтобы при этом можно было разрешить две спектральные
линии с расстоянием между ними ЬХ = 5 нм при X = 500 нм.
8.40. Свет от удаленного источника, угловой размер которого
составляет гр = 10_3 рад, непосредственно падает на дифракционную
решетку. Оценить, какую максимальную разрешающую способность
/?тах можно ПОЛуЧИТЬ В ТЭКИХ УСЛОВИЯХ.
8.41. Удаленный протяженный источник испускает две узкие
спектральные линии А.; = 500 нм и ^2 = 500,2 нм равной интенсив¬
ности. Свет от источника непосредственно падает на дифракцион¬
ную решетку. Оценить угловой размер гр источника, при котором
можно разрешить эти две линии.
8.42. Наблюдается дифракция параллельного пучка монохрома¬
тического излучения с частотой v = 1015 Гц, падающего нормально
на дифракционную решетку с числом штрихов IV =1,5-104.
Во сколько раз изменится угловая расходимость в 1-м порядке, если
падающее на решетку излучение промодулировать так, чтобы были
сформированы короткие импульсы длительностью т = 10-12 с?
8.43!’Дифракционная решетка с числом штрихов N= 105 имеет
заводской дефект: ее период на разных участках неодинаков и из¬
меняется в пределах 0,1 %. Можно ли с помощью такой решетки об¬
наружить простой эффект Зеемана в магнитном поле с индукцией
В = 104 Гс на длине волны X = 600 нм? Найти минимальное рас¬
стояние между линиями, которое может разрешить такая решетка.
8.44. Для дифракционной решетки с числом штрихов
N = 500 штрих/мм предел разрешения в спектре 1-го порядка равен
6Я = 0,1нм при средней длине волны X = 600 нм. Изображение
спектра получается с помощью линзы на экране. Определить мини¬
мальный допустимый диаметр Dmin линзы, при котором изображе¬
ние спектра может быть разрешено.
8.45. Параллельный пучок импульсного лазера с длительностью
импульсов 1 пс падает нормально на дифракционную решетку с вы¬
соким разрешением. Излучение, дифрагированное под углом 45° к
оси падающего пучка, регистрируется быстродействующим фотопри¬
емником, установленным в фокусе удаленного от решетки объектива
диаметром 3 см. Оценить длительность импульсов, регистрируемых
фотоприемником. Считать, что оптическая плоскость объектива
установлена перпендикулярно оси дифрагированного пучка, разре¬
шение определяется дифракцией на объективе.
170

8.46. Импульсное излучение с длительностью импульсов 1 пс и
длиной волны X = 0,53 мкм падает на дифракционную решетку с
разрешающей способностью R — 3400. Оценить отношение длитель¬
ности импульсов за решеткой к длительности падающих импульсов.
8.47. Излучение неодимового лазера с длиной волны
X = 1,06 мкм представляет собой последовательность ультракорот¬
ких импульсов, следующих с интервалом х = 1 нс. Излучение падает
нормально на решетку с числом штрихов п = 1500 штрих/см. Каков
минимальный размер L решетки, с помощью которой можно разре¬
шить структуру спектра излучения во 2-м порядке дифракции?
8.48. Ультрафиолетовое излучение состоит из двух близких
спектральных линий (Я % 300 нм, ДА, —0,1 нм). Излучение падает
под углом а = 86° к нормали на отражательную дифракционную ре¬
шетку с периодом d = 4 мкм. Оценить диаметр падающего пучка
лучей, при котором возможно разрешение спектральных линий во
2-м дифракционном порядке.
8.49. С помощью оптического затвора из параллельного пучка
света, содержащего смесь двух монохроматических компонент
Я; = 500 нм и Х2 = 510 нм выделен короткий импульс длительности
г
Рис. 336
х = 5 -10“13 с. Импульс последовательно дифрагирует на двух одина¬
ковых отражательных решетках, после чего распространяется в на¬
правлении, параллельном исходному (рис. 335). При каком рассто¬
янии L между решетками длительность импульса на выходе увели¬
чится вдвое? (Период решетки d = 5-10~4 см; выделяется 1-й
порядок дифракции.)
8.50. Два коротких совмещенных во времени импульса света со
средними длинами волн Я) = 0,55 мкм и Х2 = 0,56 мкм нормально
падает на отражательную дифракционную решетку {d = 2-10~4 см).
Дифрагированный в первый порядок свет попадает на вторую такую
же решетку, параллельную первой, на которой снова дифрагирует в
направлении, параллельном исходному. На сколько по времени сме¬
стятся импульсы разных длин волн друг относительно друга, если
расстояние между решетками / = 50 см?
8.51. Найти период d отражательной дифракционной решетки
а, если входная щель А и выходная щель В спектрального прибора
(рис. 336) расположены на окружности радиусом R = 1 м, центр ко¬
торой совпадает с центром решетки М. На щель А последовательно
направляют пучок СО-лазера (длина волны излучения ^ = 5 мкм)
171

и пучок С02-лазера (Т.2 = 10 мкм). При этом 2-й порядок дифраги¬
ровавшего пучка СО-лазера возвращается во входную щель, а 1-й
порядок дифрагировавшего пучка от С02-лазера падает на выход¬
ную щель. Расстояние от выходной щели до нормали МД к решетке
а равно 0,5 м.
8.52. Импульсное излучение лазера с длительностью импульсов
т = 10“12 с проходит через спектрометр с дифракционной решеткой
с максимальной оптической разностью хода Д = 10 см. Найти изме¬
нение ширины полосы излучения Aw2/Awi.
8.53. Лазер испускает световые импульсы с центральной длиной
волны 0,6 мкм с длительностью 1 пс и скважностью (отношение пе¬
риода повторения импульсов к длительности каждого из них) 103.
Это излучение пропускается через монохроматор с разрешающей
способностью 5-104. Оценить скважность импульсов Q по выходе из
монохроматора.
8.54! Электрон движется в вакууме со скоростью v вблизи по¬
верхности дифракционной решетки с периодом d. Скорость электро¬
на параллельна поверхности решетки и перпендикулярна ее штри¬
хам. Определить длины волн, которые могут излучаться под углом
0 к нормали решетки из-за взаимодействия электрона с решеткой
(эффект Смита—Парселла).
8.55. Одним из условий стабильности дифракционной картины,
полученной с помощью дифракционной решетки, является постоян¬
ство температуры. Оценить максимально допустимое изменение
температуры АТ решетки, при котором еще практически полностью
используется ее разрешающая способность, если фотографирование
спектров ведется в 1-м порядке. Температурный коэффициент ли¬
нейного расширения материала решетки а = 10~5 К-1, полное число
штрихов N= 105.
8.56! Для выделения одной моды из большого числа мод, гене¬
рируемых газовым лазером, предлагается использовать модифици¬
рованный резонатор Фабри—Перо, одно из зеркал которого замене¬
но наклонной отражательной дифракционной решеткой ДР
(рис. 337). Внутри резонатора располагается наряду с активной сре¬
дой АС телескопическая система ТС, предназначенная для расши¬
рения светового пучка, падающего на решетку. Найти минимальный
размер D, до которого нужно расширить пучок, чтобы было можно
выделить одну моду. Длина резонатора равна L = 15 см, длина
волны генерации к = 1,2 мкм, решетка имеет N= 1600 штрих/мм.
Используется дифракция в 1-м порядке.
8.57. Для сужения спектра излучения лазера на красителе, име¬
ющего широкий спектр в окрестности длины волны к = 600 нм, одно
из зеркал резонатора заменено дифракционной решеткой, нормаль
к которой составляет угол <р = 60° к оси резонатора. Определить ши¬
рину спектра <Ьк излучения такого лазера, если диаметр кюветы с
красителем D = 0,5 см.
8.58. Для сужения спектра излучения лазера на красителе, име¬
ющего широкий спектр в окрестности длины волны к = 600 нм,
ПО

внутри резонатора устанавливается призма П под углом минималь¬
ного отклонения (рис. 338). Оценить спектральную ширину ЬХ из¬
лучения такого лазера, если призма изготовлена из стекла, имею¬
щего дисперсию dn/dX — 1000 см-1 в окрестности длины волны ге¬
нерации, а преломляющий угол а = 10°. В резонаторе лазера уста¬
новлена также диафрагма диаметром d = 0,5 см.
8.59! Для рентгеновских лучей не существует линз и сфериче¬
ских зеркал. Для наблюдения дифракции рентгеновских лучей уз¬
кий пучок их падает на кристалл или (при скользящем падении) на
дифракционную решетку. Дифракционная картина фиксируется на
фотопластинке без какой бы то ни было фокусировки. На каком
расстоянии /[, от кристалла надо установить фотопластинку, чтобы
на ней наблюдалась дифракционная картина Фраунгофера, если
ширина пучка падающих рентгеновских лучей h= 1 мм, а длина
волны Я = 1 А? На опыте фотопластинку устанавливают на рассто¬
янии нескольких сантиметров или десятков сантиметров, а для вы¬
числения направлений на дифракционные максимумы пользуются
формулами фраунгоферовой дифракции. Приняв во внимание вы¬
численное значение для /р, объяснить, почему можно поступать та¬
ким образом.
8.60! Имея в виду решение предыдущей задачи, получить выра¬
жение для разрешающей способности (одномерной) дифракционной
решетки в рентгеновской области спектра.
8.61. Рентгеновское излучение с длиной волны X = 2,8 А дифра¬
гирует на кристалле каменной соли, испытывая отражение от ряда
кристаллических плоскостей под углом ф = 30° к нормали. Толщина
кристалла L = 0,56 мм. Определить угловую расходимость дифрак¬
ционного максимума.
8.62. На дифракционную решетку с числом штрихов
п = 1000 штрих/см падает плоская монохроматическая волна
(Я0 = 1 мкм), частота которой начинает медленно изменяться со
временем по закону м = со0( 1 + at). За решеткой расположена лин¬
за с фокусным расстоянием / = 100 см. Оценить время, в течение
которого положение 6-го максимума в фокальной плоскости достиг¬
нет положения 5-го в начальный момент времени. Известно, что
максимум интенсивности перемещается вдоль фокальной плоскости
со скоростью v — 1 км/с.
тс
\
Рис. 337
Рис. 338
173

8.63. Монохроматический плоский пучок света с длиной волны
А = 600 нм падает нормально на дифракционную решетку с перио¬
дом d = 5 мкм. Определить относительное изменение частоты света,
продифрагировавшего во второй порядок, если решетка движется с
постоянной скоростью v — 500 см/с параллельно своей плоскости.
8.64. Дифракционная решетка, имеющая 1000 штрих/мм, осве¬
щается параллельным пучком монохроматического света. Решет¬
ка перемещается со скоростью
v = 0,5 см/с в направлении,
указанном на рис. 339. В фо¬
кальной плоскости линзы ус¬
тановлена фильтрующая мас¬
ка, пропускающая лишь 1-й
и -1-й порядки дифракции.
Какова частота изменения то¬
ка фотоприемника, установ¬
ленного в точке Pi плоскости изображения? Как изменится частота,
если используются ± 2-е порядки дифракции? Чем отличаются токи
фотоприемников, установленных в точках Р{ и Р{!
8.65. На плоскую отражательную решетку, содержащую
N = 50000 штрихов, нормально падает свет от двойной линии натрия
(Ад = 5890 А, Х2 — 5896 А). Плотность штрихов п = 5000 штрих/мм.
Какой максимальный порядок спектра т можно получить от такой
решетки, и каково минимальное расстояние Ы. между спектральными
линиями, которое способна разрешить решетка в указанной области
спектра? Спектр максимального порядка фотографируется на фото¬
пластинке с помощью объектива с фокусным расстоянием / = 50 см.
Какое расстояние Ах между спектральными линиями X] и Х2 полу¬
чится на фотопластинке?
8.66Г Стеклянная призма с основанием b = 10 см изготовлена из
тяжелого флинта, дисперсия которого в окрестности X = 6000 А рав¬
на dn/dX= 1000 см-1. Какую максимальную разрешающую способ¬
ность может иметь дифракционная решетка, ширина заштрихован¬
ной части которой равна длине основания этой призмы? Сравнить
разрешающую способность такой решетки с разрешающей способно¬
стью призмы.
8.67. Ширина заштрихованной части дифракционной решетки
равна длине основания призмы из каменной соли. Разрешающая спо¬
собность решетки в 1-м порядке равна разрешающей способности
призмы для длины волны X = 5150 А. Определить период решетки d,
если показатель преломления каменной соли для длины волны
Ад = 4861 А равен п1 = 1,5537, а для длины волны А2 = 5461 А
п2= 1,5477.
8.68. Параллельный пучок света падает на призму с угловой
дисперсией dy/dX = 103 см-1. Свет, прошедший через призму, нор¬
мально падает на дифракционную решетку с периодом d. Размер
решетки превышает поперечное сечение пучка лучей, выходящих
Рис. 339
174

из призмы. При каком значении d разрешающая способность систе¬
мы в спектре 2-го порядка будет в два раза больше разрешающей
способности одной призмы? Считать дифракционные углы малыми.
8.69. Определить угловую дисперсию и дисперсионную область
пластинки Луммера—Герке с учетом дисперсии показателя прелом¬
ления. Считать угол е между выходящим лучом и поверхностью
пластинки малым.
8.70. Каково число N интерферирующих лучей в пластинке
Луммера—Герке длиной L = 30 см, толщиной h. = 1 см и с показате¬
лем преломления п = 1,52?
8.71. Какую минимальную длину L должна иметь пластинка
Луммера—Герке (л =1,5), чтобы разрешить дублетную структуру
линии На(Х = 6563 А)? Разность длин волн линий дублета равна
0,14 А. Пренебречь величиной dn/dX.
8.72. Какой должна быть длина b основания стеклянной призмы,
чтобы она имела такую же разрешающую способность, как и пла¬
стинка Луммера—Герке длиной L = 20 см? Показатель преломления
пластинки л =1,5; дисперсия показателя преломления призмы
dnnp/dX — 956 см-1; длина волны X = 6000 А.
8.73. При нормальном падении на плоскопараллельную пла¬
стинку из непоглощающего материала параллельного пучка моно¬
хроматического излучения, длина волны которого перестраивается
непрерывно, коэффициент пропускания пластинки «осциллирует»
так, что его соседние максимумы приходятся на длины волн в
720 мкм, 840 мкм и т. д. Найти показатель преломления материала
пластинки, если ее толщина d = 1,2 мм.
8.74. Определить условие максимума, угловое расстояние между
максимумами, угловую дисперсию и дисперсионную область этало¬
на Фабри—Перо (ввести угол падения ф и расстояние между зерка¬
лами L).
8.75. Определить дисперсионную область эталона Фабри—Перо
при h. = 1 см, X = 5000 А. Угол падения (р считать малым.
8.76. Чему равен порядок спектра при работе с эталоном
Фабри—Перо в зеленой части спектра (X = 5500 А), если расстоя¬
ние между пластинками равно 1 см? Угол падения очень мал.
8.77! Разрешающую способность интерферометра Фабри—Перо
можно определить, пользуясь следующим критерием. Для разреше¬
ния двух спектральных линий X и X1 необходимо, чтобы в интерфе¬
ренционной картине, даваемой интерферометром, эти линии были
разведены на расстояние не меньше полуширины линии. Пользуясь
этим критерием, найти выражение для разрешающей способности
интерферометра Фабри—Перо.
8.78. Зеркала интерферометра Фабри—Перо, имеющие коэффи¬
циент отражения р = 99% (по интенсивности), расположены на рас¬
стоянии L = 1м друг от друга. Эталон используется в качестве опти¬
ческого резонатора на длине волны X = 0,63 мкм. Пользуясь анало¬
гией с колебательным контуром, определить добротность резонатора
175

и ширину 6v резонансной кривой (в мегагерцах). Определить также
частотный интервал Д v между двумя соседними резонансами.
8.79. Излучение точечного монохроматического источника
(к — 5000 А) проходит через резонатор Фабри—Перо (расстояние
между зеркалами L, = 25 см). Каково минимальное расстояние L2
между зеркалами второго резо¬
натора (рис. 340), если после
его установки вслед за первым
первые девять колец в фокаль¬
ной плоскости линзы исчеза¬
ют? Каков радиус первого ос¬
тавшегося кольца? Фокусное
расстояние линзы / = 100 см.
8.80! С помощью интерфе¬
рометра Фабри—Перо исследу¬
ется выделенный системой фильтров участок спектра шириной
Ак = 0,2 нм. Минимальная разность длин волн соседних спектраль¬
ных линий дк = 0,001 нм. Оценить максимальное значение коэффи¬
циента пропускания т = 1 — р (где р — коэффициент отражения
зеркал по энергии), при котором разрешаются соседние линии.
8.81. Определить время установления колебаний и добротность
в оптическом резонаторе, используемом в лазерах (длина волны из¬
лучения к = 0,63 мкм) и состоящем из двух плоскопараллельных
зеркал, расположенных на расстоянии L = 100 см друг от друга и
имеющих коэффициент отражения по энергии pi = 100% и
р2 — 80 %. Явлениями дифракции на краях зеркал пренебречь.
8.82. В интерферометре Фабри—Перо среда между зеркалами
обладает дисперсией. При изменении длины волны света к на вели¬
чину А к наблюдаемые интерференционные кольца сдвигаются так,
что каждое кольцо перемещается на место соседнего кольца. Пред¬
полагая, что база интерферометра L:*»A, вычислить дисперсию по¬
казателя преломления среды dn/dk.
8.83! Определить разрешающую способность спектрометра инф¬
ракрасного диапазона, работающего по следующему принципу. Из¬
лучение исследуемого ИК-источника в диапазоне >,нк ~ 3 мкм сме¬
шивается в нелинейном кристалле с излучением стабильного арго¬
нового лазера. При этом возникает излучение на суммарной
частоте, лежащей в оптическом диапазоне. Последнее анализирует¬
ся с помощью интерферометра Фабри—Перо, зеркала которого от¬
стоят друг от друга на расстояние L — 1 см и имеют коэффициент
отражения по интенсивности р = 0,9.
8.84! В интерферометре Фабри—Перо с открытым воздушным
промежутком между зеркалами при температуре Ту — 293 К на¬
блюдается одно из колец равного наклона, угловой размер которого
<Pi = 0,01 рад. При повышении температуры кольцо стягивается к
центру и исчезает. Найти температуру Т2, при которой это произой¬
дет, если для воздуха при температуре Ту разность п — 1 = 0,00029,
Рис. 340
1 7 В

где п — показатель преломления. (Для воздуха разность п — 1 про¬
порциональна его плотности.)
8.85. Интерферометр Фабри—Перо образован двумя зеркалами
с коэффициентом отражения по энергии р = 0,9, разделенными
кольцом из инвара толщиной d = 100 мм. Интерференционная кар¬
тина фиксируется на фотопластинке. Оценить допустимое измене¬
ние температуры в лаборатории за время экспонирования, если
коэффициент линейного расширения инвара а = 9-10-7К-1. Длина
волны X = 5000 А.
8.86. Интерферометр Фабри—Перо образован двумя зеркалами с
коэффициентом отражения по энергии р = 0,95, разнесенными на
расстояние L = 10 мм. Интерференционная картина фиксируется на
фотопластинке. Оценить величину допустимых изменений атмосфер¬
ного давления в лаборатории за время экспозиции. Показатель пре¬
ломления воздуха связан с атмосферным давлением Р (в паскалях)
соотношением п = 1 + 28 • 10~1оР. Длина волны света X — 5000 А.
8.87. На интерферометр Фабри—Перо, состоящий из двух одина¬
ковых зеркал диаметром D = 1 см, падает свет с длиной волны
X = 500 нм. Интерференционная картина наблюдается с помощью
зрительной трубы, установленной на бесконечность, и имеет вид кон¬
центрических колец. Первое кольцо имеет угловой диаметр
Ф = 10“2 рад. Оценить максимальную разрешающую способность
спектрального прибора в этих условиях.
8.88. На интерферометр Фабри—Перо, состоящий из двух оди¬
наковых зеркал, падает пучок света с длиной волны X ^ 0,5 мкм.
Интерференционная картина наблюдается в фокальной плоскости
линзы диаметром П = 2,5см с фокусным расстоянием /= 10 см и
имеет вид концентрических колец. Первое кольцо имеет диаметр
d = 1 см. Оценить максимальную разрешающую способность спект¬
рального прибора в этих условиях.
8.89. Интерферометр Фабри—Перо состоит из двух одинаковых
плоских зеркал с коэффициентом отражения по энергии р = 0,95,
расположенных на некотором расстоянии L друг от друга. На интер¬
ферометр нормально падает плоская волна, содержащая две спект¬
ральные компоненты А., = 546,740 нм и Х2 = 546,768 нм. При изме¬
нении L интерферометр последовательно настраивается на пропу¬
скание одной из спектральных компонент (Aj или Я.2). Оценить
минимальное Lmin и максимальное Lmax значения, при которых ин¬
терферометр способен отделить одну спектральную компоненту от
другой.
8.90. Излучение гелий-неонового лазера анализируется с по¬
мощью интерферометра Фабри—Перо. Спектральная линия излуче¬
ния лазера совпадает с серединой линии поглощения неона на длине
волны X = 0,63 мкм. Оказалось, что пустой интерферометр Фабри—
Перо в этих условиях имеет разрешающую способность R0 = 108.
Если пространство между зеркалами интерферометра заполнить
разреженным неоном, то разрешающая способность падает до
177

значения R{ = 0,8-108. Определить, какую часть энергии излучения
поглощает неон на длине / = 1 м.
8.91. На резонатор Фабри—Перо с расстоянием между зеркала¬
ми (базой) L = 0,5 см и разрешающей способностью R = 10б падает
ультракороткий световой импульс длительностью т = 10“п с и с
длиной волны X = 500 нм. Определить зависимость от времени сиг¬
нала, который зарегистрирует фотоприемник, установленный за ре¬
зонатором Фабри—Перо.
8.92! Плоский пучок монохроматического света шириной D па¬
дает нормально на плоский резонатор Фабри—Перо. Оценить до¬
бротность резонатора Q, при которой диаметр пучка на выходе ре¬
зонатора возрастает приблизительно в 3 раза. Длина волны падаю¬
щего света отвечает максимуму пропускания резонатора.
8.93. Спектр лазерного импульса анализируется с помощью ин¬
терферометра Фабри—Перо, образованного зеркалами с коэффици¬
ентами отражения по энергии р~1, находящимися на расстоянии
L друг от друга. Оценить длительность импульса после прохождения
через интерферометр.
8.94. Найти максимальную и минимальную амплитуды колеба¬
ний внутри резонатора Фабри—Перо, настроенного в резонанс с
нормально падающей монохроматической волной амплитуды А0.
Коэффициент отражения зеркал по интенсивности р = 0,95. Погло¬
щением света пренебречь.
8.95. Оценить разрешающую способность интерферометра
Фабри—Перо, если отношение максимальной и минимальной ампли¬
туд колебаний поля внутри интерферометра, освещаемого плоской
нормально падающей волной (X = 600 нм), равно а = Amax/Amin = 90.
Расстояние между зеркалами L = 4 см.
8.96. На испаряющуюся прозрачную пленку нормально падает
излучение лазера с длиной волны X = 630 нм. Контроль толщины
пленки осуществляется путем измерения интенсивности прошедше¬
го излучения, которая периодически изменяется в процессе испаре¬
ния, так что G^min/e^max = 0,84. Пренебрегая поглощением света в
пленке, определите, при какой минимальной толщине интенсив¬
ность прошедшего света достигает максимального значения.
8.97. На подложке осаждается прозрачная пленка, контроль
толщины которой производится путем измерения доли (по энергии)
отраженного назад излучения лазера с длиной волны X = 0,63 мкм.
По мере роста пленки эта доля осциллирует, принимая минималь¬
ное значение, равное 2-10-2. Какова толщина пленки в эти мо¬
менты? Излучение падает нормально к поверхности пленки. Коэф¬
фициент отражения на границе пленка—подложка (по амплитуде)
s = —1/7. Рассмотреть двулучевое приближение.
8.98. Импульс видимого света длительностью т падает на интер¬
ферометр Фабри—Перо параллельно его оси и затем фокусируется
на чувствительную площадку фотоприемника. Расстояние между
зеркалами интерферометра L=15cm, коэффициент отражения
178

-о
зеркал по энергии р = 0,99. Оценить, при каком значении величи¬
ны т в фототоке возникнут осцилляции, имеющие затухающий ха¬
рактер. Оценить частоту осцилляций v, характерное время Т зату¬
хания и число N колебаний фототока за время Т. Инерционность
фотоприемника считать достаточно малой.
8.99. Видимый свет от квазимонохроматического источника с
шириной спектральной линии Д v = 109 Гц падает на интерферометр
Фабри—Перо параллельно его
оси и затем фокусируется на
чувствительную площадку фото- ~
приемника (рис. 341). Оценить ~
значение расстояния L между -3
зеркалами интерферометра и их
коэффициент отражения по
энергии р, чтобы в фототоке
можно было зарегистрировать осцилляции за время измерения
Т я» 10“7 с. Считать, что время реакции фотоприемника на измене¬
ние интенсивности света не превышает 10~9 с.
8.100. В гелий-неоновом лазере (X = 630 нм) используется оп¬
тический резонатор Фабри—Перо с коэффициентом отражения зер¬
кал по энергии р = 0,99. Длина резонатора / = 10 см. Известно, что
в некотором сечении внутри резонатора пучок лучей имеет плоский
фазовый фронт, а радиальное распределение интенсивности света
Рис. 341
выражается формулой 3(г) = 30 ехр —Д, где
\2W0)
волновое число. Оценить интенсивность света на оси резонатора на
w о = Vit. k~
расстоянии L = 10 м от него, если принять 30 = 105 Вт/м2.
8.101. 1) Каков порядок m спектра при работе в области
X = 5000 А с эшелоном Майкельсона, высота ступенек которого
5=1 см, а показатель преломления стекла п = 1,5? 2) Найти угло¬
вое расстояние 0 между главными максимумами для той же области
спектра при ширине ступеньки а = 0,2 см.
8.102. Эшелон Майкельсона состоит из N = 30 стеклянных пла¬
стинок с показателем преломления п= 1,5; толщина каждой из них
h— 1 см. Какова должна быть длина Ъ основания стеклянной приз¬
мы, чтобы она имела такую же разрешающую способность, что и
рассматриваемый эшелон? Дисперсия показателя преломления
призмы dnup/dX = 956 см-1; длина волны X = 6000 А.
§ 9. Элементы фурье-оптики и голографии
9.1. Три плоские монохроматические волны с амплитудами 1,
а и а (й<к1) падают на плоскость z = 0 под углами 0, а и —а
(рис. 342) так, что в точке х = 0 колебания оказываются синфазны¬
ми. При смещении плоскости наблюдения в область z > 0 происхо¬
дят периодические изменения контраста интерференционной карти¬
ны. Объяснить явление. Найти положения плоскости наблюдения, в
179

которых контраст картины максимальный и минимальный. Чему он
равен?
9.2. Найти спектр плоских волн F(u) за синусоидальной решет¬
кой, освещаемой нормально падающей плоской волной. Амплитуд¬
ный коэффициент пропускания решетки т(.\-) = 1 + a cos Qx (а < 1)
9.3. Найти спектр плоских волн за щелью шириной а, освещае¬
мой нормально падающей плоской волной. Решить ту же задачу, ес¬
ли щель перекрыть решеткой с периодом d и размером прозрачных
участков b (а = Nd, где N — число штрихов решетки).
9.4. Два плоских когерентных монохроматических пучка света с
длиной волны X = 500 нм и с амплитудами А0 и 2А0 падают под уг¬
лами а = ± 0,05 рад на синусоидальную решетку с амплитудным
коэффициентом пропускания т(х) = (1 + cos Qx)/2. В точке х = 0
X'
1 X*
а1
—■ аГ '—-w
0
У-?!—'
Рис. 342 Рис. 343
эти волны создают противофазные колебания (рис. 343). Период ре¬
шетки d = 10~3 см. Определить пространственный спектр волны за
решеткой.
9.5! В кювету, имеющую форму прямоугольного параллелепипе¬
да, налит толуол, в котором возбуждаются ультразвуковые волны с
помощью колебаний пластинки пьезокварца. Пластинка кварца ус¬
тановлена параллельно боковым стенкам кюветы. Ультразвуковые
волны, возбуждаемые пластинкой, отражаются от одной из боковых
стенок кюветы. В результате в жидкости образуется стоячая ультра¬
звуковая волна. Чему равен пространственный период изменения
показателя преломления жидкости при наличии в ней стоячей уль¬
тразвуковой волны?
9.6! На рис. 344 изображена схема установки для наблюдения
дифракции света на ультразвуке. Стоячие ультразвуковые волны
образуются в кювете К. Пластинка кварца Р установлена парал¬
лельно стенке АС, так что волны, излучаемые ею, распространяют¬
ся в направлении, параллельном АВ. Дифракционные максимумы и
минимумы наблюдаются в трубу Т, установленную на бесконеч¬
ность. Показать, что угол дифракции 0 для максимума ш-го поряд¬
ка определяется из условия Asin 0 = mX.
Указание. Принять во внимание, что частота ультразвуковых
колебаний весьма мала по сравнению с частотой световых колебаний.
9.7. Дифракция света на ультразвуковой волне в толуоле наблю¬
дается на установке, описанной в предыдущей задаче. В качестве ис¬
точника света использована зеленая линия ртути (X = 5461 А). Вме¬
сто трубы Т за кюветой поставлена собирающая линза с фокусным

расстоянием / — 30 см. Дифракционные полосы получаются в фо¬
кальной плоскости линзы и рассматриваются в микроскоп, снабжен¬
ный шкалой. Определить скорость звука v в толуоле, если расстоя¬
ние между двумя соседними максимумами Д.\' = 0,546 мм, а частота
ультразвука v = 4000 кГц.
9.8! Можно ли по характеру дифракционной картины Фраунго¬
фера на плоской ультразвуковой волне решить, происходит ли диф¬
ракция на бегущей или стоячей ультразвуковой волне? Поглощени¬
ем ультразвука пренебречь.
9.9! Если жидкость, в которой установилась стоячая ультразвуко¬
вая волна, рассматривать в микроскоп, то благодаря неоднородности
жидкости будут видны светлые и темные полосы. Чему равно рас¬
стояние между двумя соседними светлыми или темными полосами?
9.10. Горизонтальный луч Не—Ne лазера с X — 0,63 мкм падает
нормально на тонкую стеклянную кювету с водой. В воде возбуждена
стоячая ультразвуковая волна. Направление распространения ульт¬
развука перпендикулярно направлению падающего луча. В результа¬
те дифракции света на ультразвуке первые дифрагированные волны
отклонились на угол <р = 5,7°. Дифрагированный свет анализируется
интерферометром Фабри—Перо толщиной L = 1 см. Определить
спектральный состав дифрагированного света и оценить коэффициент
отражения зеркал интерферометра, при котором можно наблюдать
исследуемую структуру спектра. Скорость звука в воде v = 1,5 км/с.
9.11. Два плоских монохроматических когерентных пучка света
с длиной волны X — 600 нм и равными амплитудами А0 падают под
углом а = ±0,06 рад на синусоидальную решетку с амплитудными
коэффициентом пропускания т(х) = (1 + sin Q.v)/2 (рис. 343).
В точке л- — 0 эти волны создают синфазные колебания. Период ре¬
шетки d = 1(Г3 см. Определить пространственный спектр волн за
решеткой.
9.12. Плоский монохроматический пучок света интенсивностью
a/о и длины волны к дифрагирует на двух последовательно располо¬
женных синусоидальных решетках с амплитудным коэффициентом
Рис. 344
Рис. 345
пропускания тДд:) = т2(х) — (1 + cos Qx)/2 (рис. 345). Определить,
при каких расстояниях Az между решетками интенсивность диф¬
ракционных максимумов 1-го порядка максимальна и минимальна.
Найти эти значения.
181

9.13. Плоский монохроматический пучок света с длиной волны
X дифрагирует на двух последовательно расположенных синусои¬
дальных решетках с амплитудным коэффициентом пропускания
тj (х) = т2(х) = (1 + cos Qx)/2. При смещении
одной из решеток вдоль оси z со скоростью v
(рис. 346) интенсивность нулевого дифракци¬
онного максимума периодически изменяется.
Определить частоту со этих изменений, а также
отношение максимальной и минимальной ин¬
тенсивностей.
9.14. Предлагается следующая схема спект¬
рометра — устройства для исследования спект¬
рального состава излучения источника света,
содержащего две спектральные компоненты. Сколлимированный пу¬
чок света дифрагирует на двух последовательно расположенных
одинаковых синусоидальных решетках, одна из которых перемеща¬
ется с постоянной скоростью, (рис. 347а). В фокальной плоскости
X
V
>■
Рис. 346
Рис. 347
линзы Л2 исследуется зависимость £J{t) интенсивности первого
спектрального максимума от времени. Оказалось, что эта зависи¬
мость имеет вид, изображенный на рис. 3476. Определить относи¬
тельное расстояние АХ/X между двумя спектральными компонента¬
ми X и X + АХ в излучении источника.
9.15. При наблюдении фазовых (прозрачных) структур методом
темного поля в общей фокальной плоскости линз Л\ и Л2 (рис. 348)
на оптической оси устанавливается проволока П. Фазовая решетка
создается в жидкости стоячей ультразвуковой волной частоты
v = 20 МГц. Найти расстояние А/ между интерференционными по¬
лосами на экране Э, а также максимально допустимое удаление
Lmax экрана от линзы Л2, при котором еще возможно наблюдение

интерференционной картины. Диаметр линзы Л2 D = 4 см, скорость
звука в жидкости и = 1,5 км/с. Решетка освещается нормально пада¬
ющей плоской волной (Я = 0,5 мкм).
9.16. При наблюдении фазовых (прозрачных) структур методом
темного поля в общей фокальной плоскости линз Л{ и Л2 (рис. 348)
на оптической оси устанавливается проволока Я. Оценить ее допу¬
стимый диаметр (dmax и dmin) для наблюдения на экране Э интер¬
ференционной картины от фазовой синусоидальной решетки с пери¬
одом Л = 2 мм, освещаемой нормально падающей плоской волной
длины Я = 0,5 мкм. Диаметр линзы Л2 равен D — 2 см, фокусное
расстояние / = 20 см.
9.17. Один из методов наблюдения фазовых (прозрачных) объ¬
ектов состоит в следующем: в общей фокальной плоскости линз
Л{ и Л2 на оптической оси устанавливается прозрачная пластинка
Я, вносящая фазовую задержку в л/2 (рис. 349). Найти распреде¬
ление интенсивности 3(х) в плоскости изображения (в задней фо¬
кальной плоскости линзы Л2), если предмет — фазовая синусои¬
дальная решетка с амплитудным коэффициентом пропускания
т(х) = exp (im cos Qx), т« 1 — расположен в передней фокаль¬
ной плоскости линзы Я). Как изменится картина интенсивности, ес¬
ли использовать пластинку с задержкой в Зл/2? Как изменится
контраст, если пластинка обладает коэффициентом поглощения кп?
9.18. Фазовая синусоидальная решетка с глубиной модуляции
т <к 1 установлена в передней фокальной плоскости линзы Л х и ос¬
вещается параллельным пучком монохроматического линейно поля¬
ризованного света с длиной волны Я. Определить толщину и ори¬
ентацию маленькой кристаллической пластинки, установленной в
183

фурье-плоскости (рис. 350), при которой контраст изображения на
экране (видность) максимален. Какова при этом максимальная и
Рис. 350
минимальная видности при вращении поляроида вокруг оптической
оси (поляроид расположен между линзой Л2 и экраном)?
9.19. Для наблюдения фазового (прозрачного) объекта в общей
фокальной плоскости линз Л1 и У/2 устанавливают на оптической
оси небольшой идеальный поляроид, который вносит для проходя¬
щего света фазовую задержку в 2л (рис. 351). Определить видность
интерференционной картины в задней фокальной плоскости линзы
Л2, если расположенную в передней фокальной плоскости линзы
Лi фазовую решетку с амплитудным коэффициентом пропускания
т(х) = ехр (/-0,2 cos £2х) освещать плоским пучком монохроматиче¬
ского света, поляризованного по кругу.
9.20. Амплитудная синусоидальная решетка с коэффициентом
пропускания по амплитуде т(х) — (1 + cos Ш;)/2 установлена во
входной плоскости оптической системы (рис. 352) и освещается нор¬
мально падающей плоской волной (длина волны X). Какова кон¬
трастность изображения в выходной плоскости, если в общей фо¬
кальной плоскости двух линз на оптической оси разместить про¬
зрачную пластинку, вносящую фазовую задержку в л/2, (удовлет¬
воряющую условию: (п — 1 )d = тХ + Х/4)?
184

9.21. Решетка с функцией пропускания т(х) = 1 + т cos Qx,
т< 1 установлена во входной плоскости схемы Катрона (рис. 353)
и освещается параллельным пучком монохроматического циркуляр-
но поляризованного света с длиной волны X. Определить толщину
Рис. 353
маленькой кристаллической пластинки, установленной на оси сис¬
темы в фурье-плоскости, а также взаимную ориентацию разрешен¬
ного направления поляроида и пластинки, если контраст (видность)
изображения на экране максимален. Чему равна видность изобра¬
жения, если после этого повернуть поляроид на 90°?
9.22. Один из методов наблюдения фазовых (прозрачных) объ¬
ектов состоит в том, что плоскость наблюдения Р смещается на не¬
которое расстояние / относительно плоскости Р0, сопряженной с
объектом (т. е. плоскости, в которой в соответствии с геометриче¬
ской оптикой располагается его изображение) (рис. 354). При этом
контрастность наблюдаемой картины периодически изменяется при
изменении I. Найти период d фазовой синусоидальной решетки, ес¬
ли в схеме, представленной на рисунке, ее контрастное изображе¬
ние в первый раз возникло при = AL. При каких других значе¬
ниях 1 изображение будет контрастным?
9.23. В оптической схеме предметом является дифракционная
решетка с большим числом штрихов и шагом d (рис. 355). Решетка
освещается плоской нормально падающей монохроматической вол¬
ной. Если в общую фокальную плоскость линз поместить такую же
решетку, то наблюдаемое изображение входной решетки практиче¬
ски не изменится. Определить минимальный интервал времени г
между моментами возникновения изображения решетки, если угол
падения волны затем изменять по закону a(t) — 2(X/d) sin (2jiv<),
где частота v = 1 Гц, X/d<к 1. Считать, что для заданного шага ре¬
шеток фокусное расстояние линз минимально.
185

9.24. В оптической схеме предметом является дифракционная
решетка с большим числом штрихов и шагом d[ (рис. 355). Решетка
освещается плоской нормально падающей монохроматической вол¬
ной. Если в общую фокальную плоскость линз поместить решетку с
Рис. 355
вдвое большим шагом d2 = 2du то наблюдаемое изображение вход¬
ной решетки практически не изменится. Определить минимальный
интервал времени между моментами возникновения изображения
решетки, если угол падения волны затем изменять по закону
a(t) =2(X/di) sin (2nvt), где частота v= 1 Гц, X/d{« 1. Считать,
что для заданного шага решеток фокусное расстояние линз мини¬
мально.
9.25. При нормальном освещении амплитудной синусоидальной
решетки монохроматическим параллельным пучком света в пло¬
скостях саморепродукции Р воспроизводятся ее изображения
‘ р ! р'
I
I
I z
Рис. 356
(рис. 356). Если за дифракционной решеткой поместить однородную
плоскопараллельную пластинку толщиной h = 30 мм с показателем
преломления п, то все плоскости изображения сместятся по оси z на
Az = 10 мм. Определить п, если отношение длины волны X к пери¬
оду решетки d достаточно мало (X/d <зс 1).
9.26. Дифракционная решетка размером L и периодом d осве¬
щается нормально падающей плоской полной (длина волны X« d).
За ней воспроизводятся ее изображения в плоскостях саморепродук¬
ции. Оценить число изображений, наблюдаемых за решеткой, в ко¬
торых еще различима ее структура.
9.27. При наблюдении методом фазового контраста фазовой си¬
нусоидальной решетки с амплитудным коэффициентом пропускания
х(х) = е1тС0%Пх, т« 1 по ошибке фазовую пластинку Ф располо¬
жили так, что она перекрыла в общей фокальной плоскости линз
У/, и Л2 один из дифракционных максимумов 1-го порядка

(рис. 357). Найти распределение поля в плоскости П изображения.
На какое минимальное расстояние / нужно переместить плоскость
Рис. 357
наблюдения, чтобы возникло изображение чисто амплитудной ре¬
шетки? Пояснить свое решение с помощью векторной диаграммы.
Углы дифракции считать малыми. Длина волны к.
9.28. Две последовательно расположенные вплотную друг к дру¬
гу решетки с функциями пропускания т,(х) = (1 + cos t2x)/2 и
х2(х) = ехр(ш cos Qx), /я« 1 освещаются плоской нормально па¬
дающей монохроматической волной. Как изменится отношение ин¬
тенсивностей волн, дифрагировавших в ±1-е порядки дифракции,
если сдвинуть первую решетку вдоль оси х на четверть периода?
Какова разность фаз колебаний поля в ± 1-х порядках дифракции?
9.29. Плоская монохроматическая волна (длина волны
к = 5000 А) дифрагирует на амплитудной синусоидальной решетке,
а затем проходит через интерферометр Фабри—Перо с расстоянием
между зеркалами L = 2 см. При каком максимальном периоде ре¬
шетки d контраст интерференционной картины, возникающей в
плоскости наблюдения, максимален?
9.30. Оптическая система состоит из двух одинаковых линз с об¬
щей фокальной плоскостью; / — фокусное расстояние линз. Ампли¬
тудная синусоидальная решетка находится в передней фокальной
плоскости 1-й линзы, а изображение рассматривается в задней фо¬
кальной плоскости 2-й линзы. Как зависит характер изображения
от соотношения между частотой решетки С и диаметром линзы D?
9.31. Свет точечного квазимонохроматического источника S кол¬
лимируется объективом Л\ и падает на систему из двух последова¬
тельно расположенных одинаковых синусоидальных дифракционных
Ф
□
решеток (рис. 358). При продольном смещении одной из решеток
фотоприемник Ф регистрирует осцилляции интенсивности в первом
дифракционном максимуме. Считая углы дифракции малыми,
187

определить длину волны источника X и оценить ширину спектра из¬
лучения АХ, если известно, что первый минимум интенсивности на¬
блюдается при расстоянии между решетками L = Ly — 2 см, а амп¬
литуда осцилляций становится равной нулю при L ^ Ьг = 20 см.
Период решеток d = 10-2 см.
9.32. При голографировании в лазерном излучении плоского
предмета А опорный пучок света создавался с помощью призмы
Пр, находящейся в плоскости предмета (рис. 359). Где расположены
Рис. 359
мнимое и действительное изображения предмета при просвечивании
голограммы П Излучение лазера считать плоской монохроматиче¬
ской волной. Угол отклонения луча призмой равен 0. Расстояние от
предмета до голограммы равно L.
9.33. Найти амплитудный коэффициент пропускания x(.v) голо¬
граммы точечного источника света, если в качестве опорной волны
используется нормально падающая на плоскость голограммы пло¬
ская волна. Расстояние от источника до голограммы равно L. Счи¬
тать, что прозрачность голограммы пропорциональна интенсивности
света при записи. Найти положение действительного и мнимого изо¬
бражений при восстановлении изображения нормально падающей
плоской волной. Как изменится положение восстановленных изо¬
бражений, если при записи использовать наклонный опорный пучок
с углом наклона 0? Оценить минимальный размер amin голограммы,
при котором полностью используется разрешающая способность фо¬
тоэмульсии, равная п [линий/мм]. Найти размер b восстановленно¬
го изображения.
9.34. Голограмма записана на пластинке радиусом г = 5 см. Она
освещается монохроматическим светом длины волны X = 0,5 мкм, а
изображение получается на расстоянии L = 1 м. Найти допустимую
немонохроматичность света АХ, при которой еще полностью исполь¬
зуется теоретическая разрешающая способность голограммы.
9.35. Получена голограмма небольшого предмета, расположен¬
ного на расстоянии А = 50 см от нее. Каким должен быть размер
D фотопластинки, чтобы записать на голограмме детали размером
5^0,01 мм? Какая немонохроматичность света АХ допустима при
записи голограммы? Длина волны света X = 0,5 мкм.
9.36. При записи голограммы предмета, находящегося на рассто¬
янии L — 1 м, используется излучение Не—Ne лазера (X 6300 А).
Восстанавливается изображение с помощью протяженного квазимо-
нохроматического источника с угловым размером а == 10-4 рад.
188

Каков минимальный размер деталей в восстановленном изображе¬
нии? Какова при этом требуемая монохроматичность?
9.37. Излучение Не—Ne лазера (Х^бЗООА) используется для
записи голограммы. Расстояние от предмета до голограммы L = 1 м.
Какого минимального размера детали d можно восстановить с
помощью немонохроматического источника с шириной полосы
АХ = 9 А? Каков необходимый для этого размер голограммы £)?
9.38. Точечный объект движется параллельно фотопластинке,
на которую записывается его голограмма. Оценить скорость v объ¬
екта, при которой голограмма будет иметь максимальное число ко¬
лец. Объект и фотопластинка освещаются плоской волной с длиной
волны X = 0,5 мкм, нормальной к плоскости фотопластинки. Раз¬
мер фотопластинки £> = 0,1 м, расстояние между объектом и фото¬
пластинкой £ = 1м, время экспозиции т = 0,01 с. Найти также
разрешающую способность голограммы А/ в направлении движения
объекта.
9.39. Для записи голограммы без опорного пучка используется
схема, изображенная на рис. 360. Предмет S, освещаемый парал¬
лельным пучком монохроматического света X, расположен на рас¬
стоянии L от входной плоскости П0, а фотопластинка (голограмма)
Рис. 360
в выходной плоскости Пу. В некоторой точке фурье-плоскости
(общей фокальной плоскости линз Л у и Л2) установлен небольшой
непрозрачный экран Э. Полагая, что предмет — синусоидальная ре¬
шетка с функцией пропускания t(x) = (1 + cos Qx)/2, а непрозрач¬
ный экран перекрывает первый дифракционный максимум, найти
распределение интенсивности на голограмме, считая известным ди¬
аметр D линз. Найти также положение восстановленных изображе¬
ний. (Для восстановления используется плоская волна, нормально
падающая на голограмму.) Оценить требуемый размер непрозрачно¬
го экрана.
9.40. При записи голограммы на фотопленку с толщиной слоя
фотоэмульсии h = 5 мкм падают две плоские монохроматические
волны (£ = 5-10~5см) с равными амплитудами. Одна из волн
(опорная) падает по нормали к фотопластинке, другая (предмет¬
ная) — под углом а = 60° к нормали. Предполагая, что показатель
преломления фотоэмульсии n = 1, определить расстояние между
слоями с максимальным почернением фотоэмульсии (интерферен¬
ционные максимумы). Сколько таких слоев пройдет луч света, про¬
низывающий фотопластинку по нормали?
189

9.41. Голографические дифракционные решетки получают пу¬
тем фотографирования интерференционных полос, полученных в
лазерном излучении, на фотопленке высокого разрешения. Пусть на
плоскую пленку под углами а и —а к нормали
падают два широких пучках лазерного излуче¬
ния с длиной волны X (рис. 361). Интенсивность
излучения в пучках равна 4<Д0 и <Д0 соответст¬
венно. После проявления и обработки фотоплен¬
ки ее просвечивают лазерным пучком интенсив¬
ностью 4<Д0 и той же длины волны X. Этот пу¬
чок падает на поверхность полученной таким
образом голографической решетки под углом а
к нормали. Предполагая, что амплитудная про¬
зрачность решетки пропорциональна интенсивности света при запи¬
си, определить спектр плоских волн за решеткой.
§ 10. Дисперсия света. Эффект Доплера в оптике
10.1. Рассматривая импульс, представляющий собой суперпози¬
цию двух гармонических волн sin (со/ — кх) и sin (со7 — к'х), найти
групповую скорость и. Считать, что со со', к ss к’.
10.2. Выразить групповую скорость u — dta/dk через фазовую
скорость света v и dv/dX, а также через v и dn/dX.
10.3. Изобразим кривой зависимость фазовой скорости волны v от
длины волны X (рис. 362). Показать, что отрезок О А на оси v, отсе¬
каемый касательной к этой кривой в точке
Х0, равен групповой скорости для длины
волны X = Х0. (Построение П. С. Эренфеста).
10.4. Плоское волновое возмущение рас¬
пространяется в среде с линейным законом
дисперсии: v = а + ЬХ, где v — фазовая ско¬
рость, а а и Ъ — постоянные. Показать, что
каково бы ни было возмущение, форма его,
непрерывно изменяясь, будет периодически
восстанавливаться по истечении времени
т = dX/dv = 1 /Ь. Показать, что отношение
пути s, пройденного возмущением за промежуток времени т, к про¬
должительности этого промежутка равно групповой скорости.
Указание. Любое плоское возмущение в любой момент време¬
ни может быть получено суперпозицией синусоид. Каждая из сину¬
соид перемещается со своей фазовой скоростью в одном и том же
направлении. Вследствие этого непрерывно деформируется форма
возмущения. Утверждение, сформулированное в задаче, будет дока¬
зано, если показать, что существует такое время т, по истечении
которого точно восстанавливается первоначальное взаимное распо¬
ложение синусоид. Достаточно провести рассуждение для трех сину¬
соид; обобщение на большее число синусоид тривиально.
Рис. 362
190

10.5. Вычислить групповую скорость и для различных законов
дисперсии (и — фазовая скорость):
1) v = а (а = const) — недиспергирующая среда, например зву¬
ковые волны в воздухе;
2) v — aVX — волны на поверхности воды, вызываемые силой
тяжести (гравитационные волны);
3) v — a/VX — капиллярные волны;
4) v = а/Х — поперечные колебания стержня;
5) и = Vc2 + b2l? — электромагнитные волны в ионосфере (с —
скорость света в вакууме, X — длина волны в среде, см. задачу
10.16); '
6) и = <гшЛ/со2ец — с2а2 — электромагнитные волны в прямоли¬
нейном волноводе, заполненном диспергирующей средой с диэлект¬
рической проницаемостью е = е(ш) и магнитной проницаемостью
(х = ц(ш) (с — скорость света в вакууме, а — постоянная, завися¬
щая от размеров и формы поперечного сечения волновода).
10.6. При каком законе дисперсии немагнитной среды е = е(ш),
заполняющей прямолинейный волновод или бесконечное простран¬
ство, связь между фазовой и групповой скоростями электро¬
магнитных волн принимает вид vu = с2?
Указание. См. предыдущую задачу.
10.7. Показать, что в условиях предыдущей задачи, а также в
том случае, когда внутри волновода вакуум, фазовая скорость
электромагнитных волн в волноводе превосходит скорость света в
вакууме.
10.8. Найти групповую скорость и ренгеновского излучения в
среде, если предельный угол полного внутреннего отражения при
падении этих волн на среду из воздуха равен а. Показатель прелом¬
ления ренгеновских волн определяется выражением п2 = 1 — сод/со2,
где ю0 — постоянная.
10.9. Майкельсон измерил скорость света в сероуглероде по ме¬
тоду вращающегося зеркала. Показатель преломления сероуглерода
для средней длины волны видимого спектра равен п= 1,64, а вели¬
чина 1 + ~ = 0,93. Определить, какое следует ожидать значение
для отношения скорости света в вакууме к измеренной этим мето¬
дом скорости света в сероуглероде.
10.10. Получить формулу для диэлектрической проницаемости
е(со) ионизованного газа в монохроматическом электрическом поле
Е — Е0 cos Ш. Столкновениями электронов и ионов пренебречь.
10.11. Может ли показатель преломления быть меньше единицы?
10.12. Диэлектрическая проницаемость плазмы е(ш) (см. задачу
10.10) отрицательна, если со < со0. В этом случае показатель пре¬
ломления n = Vz — чисто мнимая величина. Выяснить физический
смысл чисто мнимого показателя преломления.
10.13. Радиоволна распространяется вверх. Волны каких частот
могут проходить через ионосферу? Какие волны будут полностью
отражаться?
191

10.14. Радиосигнал определенной частоты v = со/2л посылается
вверх и отражается на определенной высоте. Определить концент¬
рацию электронов в точке отражения.
10.15. Концентрация электронов на Солнце на расстоянии
г = 0,067? от границы фотосферы (R = 6,95- Ю10 см — радиус Солн¬
ца) примерно равна N = 2-108 см-3. Могут ли радиоволны из этой
области Солнца достигать Земли, если длина волны (в вакууме)
равна 1) А. = 1 м, 2) X = 10 м, 3) X = 50 м?
10.16. Получить выражение для фазовой скорости радиоволны в
ионосфере в зависимости от длины волны X в ионосфере. (См. зада¬
чу 10.10).
10.17. Лазер на С02 со средней длиной волны X = 10,6 мкм излу¬
чает две близкие частоты и v2. Излучение такого лазера смешива¬
ют в нелинейном кристалле с излучением лазера на Nd
(А3 = 1,06 мкм). Анализ излучения на комбинационных частотах
(vj + v3 и v2 + v3) показал, что соответствующие им длины волн от¬
личаются на ЬХ = 0,5 нм. Определить разность длин волн
АХ = Х{ — Х2 излучения лазера.
10.18! Показатель преломления ионосферы для радиоволн с ча¬
стотой v = 10 МГц равен п = 0,90. Найти концентрацию N электро¬
нов в ионосфере, а также фазовую v и групповую и скорости для
этих радиоволн.
10.19. При изучении прохождения плоской электромагнитной
волны частоты v = 8 МГц через плоские однородные слои плазмы с
концентрацией свободных электронов А=106см-3 найдено, что
энергетические коэффициенты пропускания волн отличаются в
10 раз для слоев плазмы, толщины которых отличаются в два раза.
Пренебрегая интенсивностью волн, отраженных от задней границы
каждого слоя, найти их толщины с/1 и d%.
10.20. Для оценки интегральных и средних характеристик меж¬
звездной плазмы можно использовать экспериментальный факт, ус¬
тановленный сразу же после открытия пульсаров. Оказалось, что
из-за дисперсии плазмы импульсы радиоизлучения пульсаров на бо¬
лее низких частотах всегда запаздывают по отношению к импуль¬
сам более высоких частот. Рассмотрите следующий идеализирован¬
ный пример. Два монохроматических сигнала с длинами волн
Ai = 3 см и Х2 = 5 см распространяются в плазме. Определить пол¬
ное число п свободных электронов на пути сигналов (т. е. их число
в цилиндре площадью 1 см2 и высотой, равной расстоянию источ¬
ник-приемник), если испущенные одновременно сигналы запазды¬
вают друг относительно друга на время At = 10-5 с. Концентрация
электронов хотя и не постоянна вдоль пути сигналов, но показатель
преломления везде весьма близок к единице. Определить также
среднюю концентрацию N свободных электронов на пути сигналов,
если их относительное запаздывание At/t0 = 1СГ15 (f0 — время рас¬
пространения от источника до приемника).
192

10.21. Импульсное излучение пульсара СР 1919 + 21 на частоте
Vi = 80 МГц достигает Земли на At = 7 с позже, чем соответствую¬
щий импульс на частоте v2 = 2000 МГц. Оценить расстояние L до
пульсара, если принять среднюю концентрацию электронов в меж¬
звездном пространстве равной N ^ 0,05 см~3.
10.22. Измерение скорости ракеты при вертикальном взлете
проводится импульсным радиолокатором, расположенным в точке
старта. На экране локатора по оси времени фиксируются моменты
посылки двух последовательных радиоимпульсов и их приема после
отражения от ракеты. Поскольку скорость распространения радио¬
волн в ионосфере точно неизвестна, возникает погрешность в опре¬
делении скорости ракеты. Найти относительную погрешность в
определении скорости (Av/v) ракеты, принимая максимальную кон¬
центрацию электронов в ионосфере равной N= 106см-3, а рабочую
частоту радиолокатора v = 400 МГц.
10.23! С целью проверки теории относительности предполагает¬
ся с помощью радиоволн точно измерить параметры орбиты спутни¬
ка Земли. Однако из-за преломления радиоволн в ионосфере, где
средняя концентрация электронов N = 105см~3, возникают ошибки
измерений. Оценить минимальную частоту vmin, на которой следует
проводить такие наблюдения.
10.24. Определить число свободных электронов на атом Ag, если
пленка серебра прозрачна для ультрафиолета, начиная с энергии
£ = 5 эВ. Для серебра относительная атомная масса равна А = 108,
плотность р = 10,5 г/см3.
10.25. Параллельный пучок рентгеновского излучения длины
волны А. — 0,1 нм падает на тонкую двояковыпуклую линзу из бе¬
риллия (плотность бериллия р= 1,85 г/см3, порядковый номер
Z = 4, относительная атомная масса А — 9) с поверхностями одина¬
ковых радиусов кривизны R = 40 см. Диаметр линзы считать рав¬
ным D = 9 см. Найти угол расхождения <р пучка после линзы.
10.26. На экран из !(Be (плотность р— 1,85 г/см3) падает пло¬
ская волна X — 100 А (от рентгеновского лазера). В экране имеется
круглое отверстие диаметром d — 2,45-10-2 см. Расстояние до точки
Р наблюдения L = 1 м. Определить толщину экрана h, когда интен¬
сивность в точке Р максимальна (поглощением и отражением
пренебречь). Определить величину максимальной интенсивности.
(Для рентгеновского излучения электроны Be можно считать сво¬
бодными).
10.27. На круглую пластинку из ДЗе (плотность р = 1,85 г/см3)
падает плоская монохроматическая волна А. — 100 А (от рентгено¬
вского лазера). Расстояние до точки Р наблюдения А = 1м. Опреде¬
лить диаметр и толщину пластинки, при которых интенсивность в
точке Р максимальна. Определить величину максимальной интен¬
сивности. Поглощением в пластинке пренебречь. (Для рентгено¬
вского излучения электроны Be можно считать свободными).
7 - 1651
193

10.28! Зеркало в виде сильно вытянутого параболоида вращения
фокусирует мягкие рентгеновские лучи благодаря полному внутрен¬
нему отражению при скользящих углах падения а на далекие от
вершины части параболоида (рис. 363).
Оценить угол схождения лучей tp в фо-
— кусе параболоида для рентгеновского
излучения с энергией 2 кэВ, если зерка-
ло изготовлено из бериллия (плотность
бериллия р= 1,85 г/см3, порядковый
_ номер Z = 4, относительная атомная
масса А —9).
10.29. Рентгеновское излучение па¬
дает на поверхность железной пластины
(плотность железа р = 7,8 г/см3, поряд¬
ковый номер Z — 26, относительная атомная масса Л = 56). Пред¬
полагая, что для достаточно жесткого излучения все электроны ве¬
щества можно считать свободными, определить, на сколько отлича¬
ется от единицы показатель преломления железа для рентгеновского
излучения с длиной волны в вакууме X = 8,6-10-2 нм. Найти угол
скольжения (3 при полном «внешнем» отражении излучения от по¬
верхности железной пластины.
10.30! Оценить мощность N, при которой лазерный луч диамет¬
ром d = 1 мм вызывает электрический пробой газа. Свободный
пробег электронов в газе при условиях опыта равен /пр = 10“4см,
потенциал ионизации газа U — 10 В, длина волны излучения
X ^ 5-10-5 см.
10.31. Волоконный световод представляет собой стеклянный
цилиндр (сердцевину) с показателем преломления щ, окруженный
оболочкой с показателем преломления
п2 (рис. 364). В сердцевину с помощью
короткофокусной линзы вводится им¬
пульс света от лазера длительностью
т = 5-10~12с. Оценить длину импульса
света на выходе световода длиной
L — 100 м. При оценке принять во вни¬
мание, что диаметр сердцевины d много
больше длины волны света X. Групповая скорость света в стекле
и — 2-108 м/с и П[ = 1,02и2-
10.32! Для одновременной передачи множества сигналов ис¬
пользуют геостационарный спутник Земли в качестве ретранслято¬
ра. Оценить, сколько телефонных каналов с шириной полосы
Av = 3 кГц можно одновременно передавать по такой линии связи
на средней частоте 10 ГГц. Средняя концентрация свободных элек¬
тронов на пути сигналов Т/=105см~3. Влияние ионов можно не
учитывать.
10.33! «Рентгеновод» представляет собой полый капилляр, стен¬
ки которого выполнены из твердого вещества (Si02). Захват

рентгеновского кванта в «рентгеновод» происходит за счет полного
«внутреннего» отражения. Оценить, какими должны быть внутрен¬
ний диаметр капилляра и радиус изгиба «рентгеновода», чтобы он был
пригоден для транспортировки рентгеновских лучей с энергией
<£ = 10 кэВ.
10.34! Найти показатель преломления п газа и его градиент по
высоте на поверхности Венеры, атмосфера которой состоит из угле¬
кислого газа С02 с поляризуемостью молекул а = 2,7-10-23 см3.
Давление на Венере />о = 100атм, температура t = 500 °С. Найти
радиус кривизны г светового луча, пущенного горизонтально. К ка¬
ким особенностям атмосферной оптики планеты приводит найденное
значение? Ускорение свободного падения на Венере gB = 0,84g3.
Указание. Радиус г кривизны горизонтального луча опреде-
1 1 dn
ляется соотношением - = — -тт.
г п ап
10.35. Во сколько раз должна увеличиться плотность атмосферы
Земли для того, чтобы в ней, как на Венере, возникла круговая ре¬
фракция, при которой луч света обойдет Землю? Показатель пре¬
ломления воздуха при атмосферном давлении равен п0 = 1,0003
(см. предыдущую задачу).
10.36. Световой луч распространяется в поле тяжести парал¬
лельно поверхности Земли. Пренебрегая движением воздуха, опре¬
делить величину отклонения луча на пути 1 км. Считать давление
Р = 1 атм, температуру воздуха Т = 300 К, коэффициент преломле¬
ния воздуха при этих условиях п = 1 + 3-10-4.
10.37. На плосковыпуклую линзу с радиусом кривизны
R = 100 см падает плоская монохроматическая волна, частота кото-
рои возрастает со временем по закону со = со0(1 + at), ——**=1,
Х0 = 1 мкм. Определить константу а, если фокус перемещается со
скоростью v = 3 км/с. Показатель преломления линзы п = 1,5. Дис¬
персия линзы dn/dX = —103 см-1.
10.38. Линейно поляризованный импульс квазимонохроматиче-
ского излучения проходит через электрооптическую ячейку Пок-
кельса длиной / = 10 см. Показатель преломления ячейки увеличи¬
вают по закону n(t) = п0 + at. Как изменится длительность им¬
пульса и его средняя частота после прохождения через ячейку, если
а = 3 • 108 с”1?
10.39. Показатель преломления некоторой прозрачной среды
вблизи частоты со изменяется по закону п(со) = п0 — Л/(со — со0), где
п0 = 1,5, со0 = 4 • 1014 с-1, А = const, со < со0. Через слой такого веще¬
ства толщиной / = 3 см проходит короткий световой импульс, средняя
частота которого равна со, а спектральная ширина Асо<з< | со — со0|.
Известно, что |ш — со0| «1012с-1, и |п(со) —п0| =0,01. Оценить
время прохождения импульса через слой и сравнить это время со вре¬
менем прохождения такого же расстояния в вакууме.
7*
195

10.40. Определить время прохождения импульса света через
слой вещества толщиной / = 1 см, показатель преломления кото¬
рого вблизи средней частоты со импульса описывается как
п(ы) = п0 — А(ы — со0), где л0=1,5, А — константа и
со0 = 4-1014 с-1 — резонансная частота атомов вещества. Рассмот¬
реть случай со<со0, | со — со0| » 1012 с-1, | п(ы) — п0\ «к 0,1. Счи¬
тать спектральную ширину импульса Дю« | со — со0|. Поглощени¬
ем света пренеоречь.
10.41! Для того чтобы короткий импульс-сигнал, описываемый
функцией /(/), передать через диспергирующую среду без ис¬
кажений, предлагается на входе в среду' сформировать плоское
волновое возмущение, периодически (с периодом Т) повторяя сиг¬
нал f(f). На каком минимальном расстоянии от входной плос¬
кости повторяется неискаженная форма сигнала? Закон диспер¬
сии среды в полосе частот, охватываемых сигналом, имеет вид
к(ы) = Вы2.
10.42. Для того чтобы короткий импульс-сигнал, описываемый
функцией /(/), передать через диспергирующую среду (толщина
среды L) без искажений, предлагается на входе в среду сформиро¬
вать плоское волновое возмущение, периодически повторяя сигнал
/(?). Закон дисперсии среды в полосе частот сигнала имеет вид
&(со) = Вы4. Какова необходимая минимальная частота повторения,
при которой на выходе из среды повторяется неискаженная форма
сигнала?
10.43. Плазма заполняет полупространство х > 0, причем кон¬
центрация электронов растет вглубь по закону п(х) — цх;
ц — const. Перпендикулярно границе х = 0 падает электро¬
магнитный волновой пакет со средней частотой ю, уходит в плазму,
отражается от зоны критической плотности и через некоторое время
х регистрируется при х = 0. Определить время х.
10.44. В ионосфере Земли (на высоте ~ 100 км), где концент¬
рация свободных электронов N = 105 см-3 и постоянное магнитное
поле 5 = 0,5Гс, вдоль силовых линий магнитного поля могут рас¬
пространяться электромагнитные волны («свистящие атмосфери-
ки») с законом дисперсии вида: к2 ■
4л:Л,<?со
~сВ~
где
к — волновое число, е — заряд электрона, со —
угловая частота, с — скорость света. Найти фа¬
зовую и групповую скорости таких волн, если
со = 106 с-1.
10.45! Из точки А (рис. 365) на спутник, ле¬
тящий со скоростью у, падает лазерный луч с ча¬
стотой v0. Отраженный луч регистрируется в точ¬
ке В. Найти частоту v принимаемого на Земле
сигнала. Оценить разрешающую способность R регистрирующего
спектрального прибора, необходимую для обнаружения релятивист¬
ской поправки к смещению частоты.
196

10.46. Найти полуширину линии На, излучаемой водородом при
температуре 50 °С. Считать, что уширение линии вызвано лишь эф¬
фектом Доплера. Длина волны линии На X = 6563 А.
Примечание. Полушириной линии называется величина
АХ = Х0 — Х1/2, где Х0 — длина волны, соответствующая центру ли¬
нии, и Хц2 — длина волны, при которой cj7 = c70/2.
10.47. Найти АХ/Х, если источник движется со скоростью и в
среде с показателем преломления п.
10.48! Излучение рубинового лазера рассеивается на звуковых
колебаниях в воде. При рассеянии света происходит доплеровское
смещение частоты. Оценить число штрихов N дифракционной решет¬
ки, с помощью которой в 1-м дифракционном порядке можно обнару¬
жить смещение частоты в свете, рассеянном под прямым углом. Ско¬
рость звука в воде v — 1400 м/с, показатель преломления п — 1,3.
Считать, что в воде есть звуковые волны всевозможных направлений.
10.49. Какое число штрихов N должна иметь дифракционная ре¬
шетка, чтобы с ее помощью в спектре испускания Солнца (во время
полного солнечного затмения) можно было обнаружить гравитаци¬
онное смешение спектральных линий во 2-м порядке? Данные, не¬
обходимые для числовых расчетов, можно получить, зная угловой
диаметр Солнца (при наблюдении с Земли) ас^0,01 рад и скоро¬
сть движения Земли по орбите г3 = 30 км/с.
10.50. Спектральные линии, излучаемые нагретым газом, ока¬
зываются уширенными вследствие того, что атомы газа движутся с
разными скоростями относительно наблюдателя (эффект Доплера).
Считая распределение скоростей атомов газа максвелловским, оце¬
нить размеры L дифракционной решетки с периодом d = 1 мкм, ко¬
торую надо использовать для изучения формы спектральных линий,
излучаемых неоном 20Ne при температуре Т = 1000 К.
10.51. Двойная звезда состоит из двух близких по массе звезд,
вращающихся относительно общего центра с периодом т = 10 сут и
отстоящих друг от друга на расстояние С = 2107км. Определить,
какое число штрихов N дифракционной решетки необходимо для
того, чтобы при наблюдении видимого спектра водорода в излуче¬
нии этих звезд можно было во 2-м порядке заметить вращение сис¬
темы. Можно ли, в принципе, таким способом заметить относитель¬
ное вращение таких звезд, если период т = 10 лет? Температура по¬
верхности звезд Т = 6000 К.
10.52. Наблюдаются периодические изменения в спектре излу¬
чения двойной звезды, которые обусловлены эффектом Доплера.
Спектральные линии периодически с периодом Т = 10 сут разделя¬
ются на две компоненты. Максимальная разница длин волн двух
компонент линии водорода X = 4340 А в излучении этой звезды рав¬
на АХ = 8,84 А. Предполагая, что двойная звезда состоит из двух
одинаковых звезд, найти их массы и расстояние между ними.
10.53! Оценить порядок скорости v, с которой должен удалять¬
ся от Солнца космический корабль, чтобы находящийся в нем
197

космонавт, имея в распоряжении спектрометр с дифракционной ре¬
шеткой, мог заметить движение корабля относительно Солнца при
наблюдении видимой части спектра солнечного водорода во 2-м по¬
рядке. Какое число штрихов N должна иметь при этом дифракци¬
онная решетка? Температура поверхности Солнца Т — 6000 К.
10.54. В оптическом резонаторе, состоящем из четырех плоских
зеркал (рис. 366), световые волны могут распространяться во
встречных направлениях по периметру квадрата,
сторона которого равна /. Если такой резонатор
привести во вращение с угловой скоростью Q вок¬
руг оси, перпендикулярной плоскости рисунка, ре¬
зонансные частоты v для встречных волн оказыва¬
ются неодинаковыми. Объяснить явление и опре¬
делить разность Av этих частот.
10.55. Оценить температуру водородной лам¬
пы, используемой в качестве источника света в ин¬
терферометре Майкельсона, если при смещении
одного из зеркал число наблюдаемых интерференционных максиму¬
мов составляет 2V = 7 • 104. Первоначально зеркала интерферометра
были расположены на одинаковых расстояниях от делительной пла¬
стинки. Влиянием протяженности источника пренебречь.
§ 11. Поляризованный свет.
Элементы кристаллооптики и нелинейной оптики
11.1. Найти наименьшую толщину d пластинки кварца, выре¬
занной параллельно оптической оси, чтобы падающий плоско поля¬
ризованный свет выходил поляризованным по кругу (яР = 1,5533,
н0 = 1,5442, 7 = 5-10-5 см).
11.2. При какой толщине пластинка из исландского шпата явля¬
ется пластинкой в четверть волны для света с длиной волны
7( = 5880 А и может поворачивать плоскость поляризации на 90°
для света с длиной волны 72 = 5740 А? Разность показателей пре¬
ломления для обыкновенного и необыкновенного лучей принять
равной 0,2 для обеих длин волн. Считать, что обыкновенный и не¬
обыкновенный лучи идут по одному направлению.
11.3. Параллельный пучок света падает нормально на пластинку
исландского шпата, вырезанную параллельно оптической оси. Опре¬
делить разность хода А обыкновенного и необыкновенного лучей,
прошедших через пластинку. Толщина пластинки равна 0,03 мм;
п0 = 1,658, пе = 1,486.
11.4. Какова должна быть наименьшая толщина d пластинки
слюды, чтобы она могла служить в качестве пластинки в 1 /4 волны
для света натриевого источника, если для этого света показатели
преломления волн, идущих перпендикулярно к пластинке, соответ¬
ственно равны «1= 1,5941, п2= 1,5887?
11.5. Почему, если через плоскопараллельную двоякопреломля-
ющую кристаллическую пластинку смотреть на удаленный предмет,
198

видно одно изображение, а не два, как в случае близко расположен¬
ных предметов?
11.6. Наблюдатель смотрит на близкий предмет через плоскопа¬
раллельную двоякопреломляющую пластинку из исландского шпата
и видит два прямых увеличенных изображения предмета, когда
между пластинкой и предметом помещена собирающая линза на
расстоянии 4 см от предмета. После того как к линзе вплотную при¬
ложили собирающее очковое стекло с оптической силой в 5 дптр,
стало видно только одно изображение предмета. Определить фокус¬
ное расстояние / линзы.
11.7. Ветровое стекло и фары автомашин снабжаются пластин¬
ками из поляроида. Как должны быть расположены эти пластинки,
чтобы шофер мог видеть дорогу, освещенную светом его фар, и не
страдал бы от света фар встречных машин?
11.8. Узкий пучок нсполяризованного света падает нормально
на пластинку исландского шпата и затем нормально на вторую та¬
кую же пластинку, главная плоскость которой образует с главной
плоскостью первой пластинки угол 30°. Затем свет падает на экран.
Описать полученную картину и найти относительную интенсив¬
ность наблюдаемых на экране пятен.
Примечание. Пластинки вырезаны так, что оптическая ось
составляет угол у с плоскостью пластинки. При этом 0 < у < 90°.
11.9. В интерференционном опыте Юнга между щелью 5 и ще¬
лями Sl и S2 (рис. 367) введен поляроид Р, главные оси которого
параллельны или перпендикулярны к щелям Si и S2. Как изменится
интерференционная картина
на экране, если щели St и S2
прикрыть пластинками в пол¬
волны, ориентированными вза¬
имно перпендикулярно друг к
другу (параллельно и перпен¬
дикулярно к щелям)? Что про¬
изойдет, если поляроид Р по¬
вернуть на 90°? Какая картина
будет наблюдаться, если уб¬
рать поляроид? Рассмотреть ту
же задачу, если вместо пластинки в полволны используется пла¬
стинка в четверть волны. Щели Sj и S2 предполагаются узкими (по¬
рядка длины волны), а расстояние между ними большим по сравне¬
нию с их шириной.
11.10! Частично линейно поляризованный свет рассматривается
через николь. При повороте николя на 60° от положения, соответст¬
вующего максимальной яркости, яркость пучка уменьшается в два
GJ Gj
раза. Найти степень поляризации пучка А = и отношение
G'max mm
интенсивностей естественного и линейно поляризованного света
Сектах и c?min — максимальная и минимальная интенсивности света,
проходящего через николь).
199

11.11. Определить, во сколько раз изменится интенсивность ча¬
стично поляризованного света, рассматриваемого через николь, при
повороте николя на 60° по отношению к положению, соответствую¬
щему максимальной интенсивности. Степень поляризации света
А = = 0.5-
e?max + e%iin
11.12. Один поляроид пропускает 30% света, если на него пада¬
ет естественный свет. После прохождения света через два таких по¬
ляроида интенсивность падает до 9%. Найти угол 9 между осями
поляроидов.
11.13. Некогерентная смесь линейно поляризованного света и
света, поляризованного по кругу, рассматривается через поляроид.
Найдено положение поляроида, соответствующее максимальной ин¬
тенсивности прошедшего света. При повороте поляроида из этого по¬
ложения на угол а = 30° интенсивность света уменьшалась на
р = 20%. Найти отношение интенсивности света а?к, поляризован¬
ного по кругу, к интенсивности линейно поляризованного света Зл.
11.14. Некогерентная смесь линейно поляризованного света и
света, поляризованного по кругу, рассматривается через николь.
Найдено положение николя, при котором интенсивность проходяще¬
го света максимальна. При повороте николя от этого положения на
некоторый угол вокруг оси пучка интенсивность проходящего света
уменьшается в т = 2 раза по сравнению с максимальной и во столь¬
ко же раз увеличивается по сравнению с минимальной. Найти отно¬
шение интенсивности света, поляризованного по кругу, к интен¬
сивности света Зл линейно поляризованного.
11.15. Как изменится результат предыдущей задачи, если ли¬
нейно поляризованный свет и свет, поляризованный по кругу, будут
когерентны?
11.16. Смесь света, поляризованного по кругу, и естественного
рассматривается через кристаллическую пластинку в четверть вол¬
ны и николь. При вращении николя вокруг оси светового пучка най¬
дено, что максимальная интенсивность света, прошедшего через
систему в т = 3 раза, превосходит минимальную интенсивность.
Найти отношение интенсивности света о/к, поляризованного по кру¬
гу, к интенсивности естественного света <%..
11.17. Параллельный пучок монохроматического света с длиной
волны X, поляризованный по правому кругу, падает нормально на
пластинку в полволны. Найти состояние поляризации света, про¬
шедшего через эту пластинку.
11.18. Параллельный пучок монохроматического света с длиной
волны X падает нормально на поляроид, а затем на пластинку в
полволны. Главная плоскость поляроида (в которой лежит электри¬
ческий вектор пропускаемой им волны) составляет угол а с осью
этой пластинки. Найти состояние поляризации прошедшего света на
выходе из пластинки в полволны.
11.19! Параллельный пучок монохроматического света проходит
через два николя, главные плоскости которых повернуты друг
200

относительно друга на угол а = 20°. Между николями ставится пла¬
стинка одноосного кристалла, вырезанная параллельно оптической
оси и вносящая разность хода Х/2 между обыкновенным и необык¬
новенным лучами. Какой угол |3 должна составлять оптическая ось
пластинки с главным направлением первого николя, чтобы свет че¬
рез эту систему не прошел?
11.20. Для сравнения яркостей двух поверхностей, освещаемых
неполяризованным светом, одну из них рассматривают непосредст¬
венно, а другую через два николя. Каково отношение этих ярко¬
стей, если освещенность обеих поверхностей кажется одинаковой
при угле между николями а = 60°? Считать, что потери света в
каждом николе на отражение и поглощение составляют р — 10% от
падающего света.
11.21. Имеется горизонтальный параллельный пучок эллиптиче¬
ски поляризованного света. Обнаружено, что при прохождении пуч¬
ка через пластинку в 1/4 при определенной ее ориентации свет ока¬
зывается линейно поляризованным под углом ctj = 23° к вертикали.
Если пластинку повернуть на угол 90°, то весь свет снова оказыва¬
ется линейно поляризованным под углом а2 = 83° к вертикали. Най¬
ти отношение а/Ь полуосей эллипса поляризации и угол 9 наклона
большой оси.
11.22. Некогерентная смесь неполяризованного, линейно поля¬
ризованного света и света с круговой поляризацией анализируется
при помощи быстро вращающегося поляризатора и фотоприемника,
ток которого зависит от интенсивности света. Оказалось, что глуби¬
на модуляции фототока равна Ш! = 0,1. После установки на пути
лучей пластинки V4 было выяснено, что свет по-прежнему пред¬
ставляет собой некогерентную смесь неполяризованного, линейно
поляризованого света и света, поляризованного по кругу, но теперь
глубина модуляции фототока составила гп2 — 0,2. Определить сте¬
пень поляризации света1.
11.23. Плоская монохроматическая эллиптически поляризован¬
ная волна падает на кристаллическую пластинку, после которой ус¬
тановлен анализатор. Оказалось, что существует такое положение
кристаллической пластинки, при котором интенсивность света, вы¬
шедшего из анализатора, не зависит от положения анализатора и
равна a/j. В отсутствие пластинки максимальная интенсивность све¬
та, которая может быть получена после анализатора, составила о/2.
Определите отношение полуосей эллипса поляризации.
11.24! Плоская световая волна эллиптически поляризована.
Длины полуосей эллипса колебаний равны соответственно а и Ъ.
Какую кристаллическую пластинку надо поставить на пути распро¬
странения волны и как надо ориентировать эту пластинку, чтобы
1 В этом разделе удобнее вычислять степень поляризации света так же, как в
задаче 11.10: Д = (^ш — 3/ (е7тах + ^ш). Эта формула, конечно, соответствует
введенной ранее в § 2.
201

получить свет, поляризованный по кругу 1) с тем же направлением
вращения; 2) с противоположным направлением вращения?
11.25. На плоский экран, состоящий из двух поляроидных полу¬
плоскостей, граничащих друг с другом вдоль прямой, перпендику¬
лярно падает пучок параллельных лучей, поляризованных по кругу
(рис. 368). Оси поляроидов взаимно перпендикулярны. Интенсив¬
ность падающего света равна 30. Определить интенсивность 3 света
ИИ
ИИ
р
Рис. 368
Рис. 369
Рис. 370
в точке Р, расположенной в плоскости, перпендикулярной плоско¬
сти экрана и проходящей через границу раздела между поляроида¬
ми. Как будет поляризован свет в точке Р1
11.26. Плоская волна монохроматического света длины X, поля¬
ризованного по кругу, создает в точке Р интенсивность 3q. На пути
волны ставят большую пластинку из идеального поляроида, как по¬
казано на рис. 369. Показатель преломления вещества поляроида п.
Найти толщину d пластинки, при которой интенсивность света в
точке Р будет максимальной. Чему равна <э7тах?
11.27. Плоская волна монохроматического света, поляризован¬
ного по кругу, создает в точке Р интенсивность 3q. На пути волны
ставят две большие пластинки в Я/4, как показано на рис. 370.
Главные направления пластинок ориентированы взаимно перпенди¬
кулярно. Найти интенсивность 3 в точке Р.
11.28. Плоская волна круговой поляризации (длина волны X)
падает на полубесконечный экран (рис. 371), изготовленный из по¬
ляроида с показателем преломления для
разрешенного направления п (п— 1<к1)
и толщиной а = X/[4(n— 1)]. Какова сте¬
пень поляризации света в точке наблюде¬
ния Р?
11.29. Бесконечный экран состоит из
двух поляроидных полуплоскостей, грани¬
чащих друг с другом вдоль прямой. Глав¬
ное направление одной из полуплоскостей
параллельно, а другой перпендикулярно к
перпендикулярно к его поверхности падает
пучок параллельных лучей естественного света с длиной волны X.
Описать качественно дифракционную картину, получающуюся за
экраном.
Рис. 371
этой прямой. На экран
202

11.30. На прозрачную пластинку в полволны, ограниченную
прямолинейным краем, нормально падает пучок параллельных ли¬
нейно поляризованных лучей интенсивностью Зп (рис. 372). Пло¬
скость поляризации падающего света наклонена под углом 45° к
краю пластинки. Определить интенсивность 3
прошедшего света в точке Р, расположенной в
плоскости, перпендикулярной к плоскости пла¬
стинки и проходящей через ее край. Какова будет
в общем случае (при произвольной толщине пла¬
стинки) поляризация прошедшего света в точке Р'1
11.31. Плоская поляризованная по кругу мо¬
нохроматическая волна света с длиной X и интен¬
сивностью 30 падает на диск, вырезанный из иде¬
ального поляроида, показатель преломления которого равен п. Диск
закрывает для некоторой точки Р одну зону Френеля. Какова дол¬
жна быть толщина d диска, чтобы интенсивность света в точке Р
была максимальной? Найти эту интенсивность </7тах.
11.32. Круглое отверстие в непрозрачном экране содержит для
точки наблюдения Р одну зону Френеля. Отверстие закрыто поля¬
роидом так, что направления колебаний в первой и второй полови¬
нах зон взаимно перпендикулярны. Отверстие освещается светом,
поляризованным по кругу. Определить интенсивность света 3 в точ¬
ке Р, если в отсутствие экрана она равна Зо. Как будет поляризован
свет в точке наблюдения? Считать, что в поляроидах нет поглоще¬
ния света разрешенной поляризации.
11.33. Определить интенсивность света 3 в точке Р экрана, на
который падает монохроматический свет интенсивностью &70, если
на пути поставить диск из оптически активного вещества, закрыва¬
ющий полторы зоны Френеля и поворачивающий плоскость поляри¬
зации на 90°. Отражением и поглощением света пренебречь.
11.34. Параллельный пучок неполяризованного монохроматиче¬
ского света падает на пластинку в Х/4. Интенсивность света в неко¬
торой точке Р за пластинкой равна Зо- Из пластинки вырезают
диск, закрывающий одну зону Френеля для точки Р. Диск поверну¬
ли вокруг луча на угол 90° и поставили на место. Какой стала ин¬
тенсивность 3 в точке Р?
11.35. Параллельный пучок неполяризованного монохроматиче¬
ского света падает на пластинку в Х/2. Интенсивность света в неко¬
торой точке наблюдения Р за пластинкой равна Зо- Из пластинки
вырезают диск, закрывающий полторы зоны Френеля для точки Р.
Диск повернули вокруг луча на угол л/2 и поставили на место.
Какой стала интенсивность 3 в точке Р‘1
11.36. Из кристаллической пластинки Х/2 вырезаны диски диа¬
метром в одну и две зоны Френеля для точки Р. Диски вносят в пу¬
чок света вплотную друг к другу, так что у них совпадают 1) раз¬
ноименные главные направления, 2) одноименные главные направ¬
ления. При этом для света, поляризованного по одному из главных
направлений, ни амплитуда, ни фаза колебаний не изменились.
НИ
ИИ
*р
Рис. 372
203

Во сколько раз изменится интенсивность света той же поляризации
в случаях 1) и 2), если малый диск повернуть на 90°?
11.37. Плоская монохроматическая волна, поляризованная по
кругу, падает на диск, вырезанный из пластинки Х/2. Для точки на¬
блюдения на оси диск закрывает три первые зоны Френеля. Толщи¬
на диска подобрана так, что он вносит дополнительный оптический
путь в ЗХ/2 для необыкновенного луча. Во сколько раз изменится
интенсивность в точке наблюдения, если диск убрать? Поглощением
и отражением света пренебречь.
11.38. Зонная пластинка сделана из поляроида. Во всех четных
зонах поляроид ориентирован вертикально, во всех нечетных — го¬
ризонтально. Какова будет интенсивность света в основном фокусе
пластинки, если она освещается неполяризованным светом?
11.39. В непрозрачном экране, на который нормально падает
плоская линейно поляризованная волна интенсивностью 30, выре¬
зано круглое отверстие размером в одну зону Френеля для некото¬
рой точки наблюдения, лежащей на оси системы. В отверстие встав¬
лены пластинки Х/4 в форме полудисков, одноименные оси которых
ориентированы взаимно перпендикулярно. Направление колебаний
в падающей волне составляет 45° с главными направлениями пла¬
стинок в обоих случаях. Какова интенсивность колебаний в точке
наблюдения?
11.40. В непрозрачном экране, на который нормально падает
плоская линейно поляризованная волна интенсивностью с?о> выре¬
зано круглое отверстие размером в две зоны Френеля для некоторой
точки наблюдения, лежащей на оси системы. Первая зона перекры¬
та пластинкой Х/4 в форме диска, а вторая — пластинкой Х/4 в
форме кольца. Одноименные оси пластинок ориентированы взаимно
перпендикулярно. Главные направления пластинок в обоих случаях
составляют угол 45° с направлением колебаний в падающей волне.
Какова интенсивность колебаний в точке наблюдения?
11.41. Параллельный пучок линейно поляризованного света с
длиной волны X = 5000 А и вектором Е0, лежащим в плоскости
рис. 373, нормально падает на три щели, закрытых одинаковыми
двоякопреломляющими пластинками в Х/4. Причем крайние ще¬
ли закрыты одинаково ориентированными пластинками так, что
вектор Е0 совпадает с одним из главных направлений этих пласти¬
нок, а средняя пластинка повернута относительно них на 90°.
Рис. 373
Рис. 374
204

Интерференционная картина рассматривается на экране с помощью
линзы с фокусным расстоянием / = 1 м, Найти распределение ин¬
тенсивности в фокальной плоскости линзы, считая размер щелей
пренебрежимо малым по сравнению с расстоянием d между ними
(d = 1 см). Определить видность V интерференционной картины, а
также ее период А.
11.42. Параллельный пучок линейно поляризованного света с
длиной волны X — 500 нм с вектором Е0, лежащим в плоскости
рис. 374, нормально падает на три щели, закрытые одинаковыми дво-
якопреломляющими пластинками в Х/2. Причем первые две рядом
стоящие щели закрыты одинаково ориентированными пластинками
так, что вектор Е0 падающей волны совпадает с одним из главных на¬
правлений этих пластинок. А третья пластинка повернута относи¬
тельно первых двух на 90°. Интерференционная картина рассматри¬
вается на экране с помощью линзы с фокусным расстоянием / = 2 м.
Считая размер щелей пренебрежимо малым по сравнению с расстоя¬
нием d между ними (d = 0,5 см), найти распределение интенсивно¬
сти в фокальной плоскости линзы. Определить также видность интер¬
ференционной картины и ее период на экране Э.
11.43. Параллельный пучок поляризованного по кругу монохро¬
матического света падает на решетку с периодом d и шириной ще¬
лей b = d/2. Каждая щель перекрыта двумя полосками поляроида
одинаковой ширины 5/2 с взаимно перпендикулярными разрешен¬
ными направлениями. Какова поляризация света в нулевом и боко¬
вых дифракционных максимумах (± 1-м, ±2-м, ...)?
11.44. Как изменится разрешающая способность дифракционной
решетки, если одну ее половину прикрыть поляроидом, ориентиро¬
ванным параллельно штрихам решетки, а другую — поляроидом,
ориентированным перпендикулярно к штрихам? Будет ли зависеть
разрешающая сила решетки от поляризации падающего света?
11.45. В предыдущей задаче перед и за решеткой дополнительно
ставятся два поляроида, главные направления которых параллельны
друг другу и образуют угол 45° с направлением штрихов решетки.
Как изменится разрешающая способность такой решетки по сравне¬
нию с ничем не прикрытой решеткой?
11.46. Параллельный пучок циркулярно поляризованного света
с длиной волны X падает нормально на дифракционную решетку.
Как изменится расстояние между главными максимумами и интен¬
сивность нулевого максимума, если щели решетки перекрыть пла¬
стинками в А/4, причем так, что одноименные главные направления
на четных и нечетных щелях взаимно перпендикулярны? Какова
поляризация света в нулевом, четных и нечетных дифракционных
максимумах?
11.47. Наблюдается дифракция Фраунгофера монохроматиче¬
ского света с длиной волны X = 0,6 мкм на плоской решетке. Как
изменятся расстояния между дифракционными максимумами и ин¬
тенсивность нулевого максимума, если каждую вторую щель за¬
крыть полимерной пленкой толщиной d = 13,5 мкм, показатель
205

преломления которой л = 1,1? Отражением света от пленки пре¬
небречь.
11.48. Наблюдается дифракция Фраунгофера монохроматиче¬
ского циркулярно поляризованного излучения на плоской решетке.
Как изменятся расстояния между дифракционными максимумами и
интенсивность нулевого максимума, если щели закрыть пластинка¬
ми в А/2 так, что главные оси пластинок в соседних щелях будут
взаимно перпендикулярны?
11.49. Плоская монохроматическая линейно поляризованная
световая волна падает нормально на периодическую структуру, со¬
стоящую из чередующихся полосок поляроида, главные плоскости
которых взаимно перпендикулярны. Отношение ширины полосок
разных типов равно трем. Направление колебания электрического
вектора волны составляет угол а с главной плоскостью полоски с
меньшей шириной. Определить направления на главные максимумы
первого порядка и их интенсивности, если интенсивность волны в
нулевом максимуме равна 30.
11.50! Линейно поляризованное лазерное излучение с длиной
волны А = 0,63 мкм падает нормально на тонкую магнитно-оптиче¬
скую прозрачную пленку с чередующейся одномерной доменной
структурой. Свет, проходящий через соседние домены, испытывает
поворот плоскости поляризации в противоположные стороны на
угол л/2. Ширина доменов одинакова и равна d. Дифракционная
картина наблюдается в фокальной плоскости линзы. Определить ин¬
тенсивность света в дифракционных максимумах нулевого, 1-го и
2-го порядков, если известно, что при освещении тем же излучени¬
ем обычной амплитудной решетки, состоящей из чередующихся
прозрачных и непрозрачных полосок шириной d, интенсивность в
максимуме 1-го порядка оказывается равной 3.
11.51. Световые волны с одинаковыми частотой и линейной по¬
ляризацией распространяются в плечах двулучевого интерферомет¬
ра. На выходе из него фотоприемник регистрирует интенсивность
света 3. Оказалось, что при изменении оптического пути в одном
из плеч она колеблется между о7тах и Зшт так, что видность кар¬
тины Г = (<Дтах - <^ми„)/(сДтах +£>шт) = 1- Какой будет ее наи¬
меньшая величина, если в одно из плеч интерферометра поместить
прозрачную кристаллическую пластинку А/4? Считать, что поток
проходит через пластинку однократно.
11.52. Плоская монохроматическая волна с круговой поляриза¬
цией падает нормально на систему из пластинки А/2 и поляроида.
Какова будет интенсивность прошедшей волны, если между ними
разместить некоторое произвольное число пластинок А/4? Главные
оси всех пластинок и поляроида параллельны. Интенсивность пада¬
ющей волны 3о-
11.53. Плоская монохроматическая волна с круговой поляриза¬
цией падает на систему из пластинки А/4, нескольких пластинок
А/2 и поляроида. Главные направления всех пластинок и поляроида
206

параллельны. Какова будет интенсивность прошедшей волны, если
интенсивность падающей о70?
11.54. Параллельный пучок естественного света интенсивностью
So и длины волны X падает на систему из двух скрещенных поляро¬
идов Я| и Я2 и клина К из кварца с малым преломляющим углом а.
Показатели преломления кварца равны пе и п0. Оптическая ось клина
параллельна его ребру и составляет угол 45° с разрешенными направ¬
лениями поляроидов (рис. 375). Пройдя через систему, свет падает на
/1
А
4
/1
V
К)
V
V
к п2
Рис. 375
э
п\ Щ п3 щ nN+1
белый экран Э. Найти распределение интенсивности света S(x) на
экране. Что увидит наблюдатель на экране Э, если между ним и по¬
ляроидом П2 расположить линзу так, чтобы экран оказался в ее фо¬
кальной плоскости?
11.55. На систему, состоящую из чередующихся N + 1 поляро¬
идов и N пластинок кварца, вырезанных параллельно оптической
оси, падает плоская монохроматическая волна длины X (рис. 376).
Главные направления всех поляроидов параллельны и составля¬
ют угол 45° с оптической осью пластинок. Волна поляризована
вдоль главного направления поляроида. Толщины пластинок равны
d, 2d, ..., 2N~ld. Показатели преломления кварца равны п0 и пе.
Определить амплитуду А волны на выходе из системы, если на вхо¬
де она равна А0. Отражением света на гра¬
ницах пластинок и поляроидов пренебречь.
Какова спектральная разрешающая способ¬
ность этой системы?
11.56. На периодическую структуру, со¬
стоящую из тонких параллельных диэлект¬
рических пластин, падает плоская моно¬
хроматическая волна (рис. 377). Толщины
пластин равны d0, расстояние между ними
d, диэлектрическая проницаемость пластин
равна еь окружающей среды е. Длина вол¬
ны значительно больше d0 и d. Показать, что структура аналогич¬
на одноосному кристаллу, и определить показатели преломления
обыкновенного п0 и необыкновенного пе лучей.
11.57. Для модуляции линейно поляризованного света существует
устройство, состоящее из двух параллельных двулучепреломляющих
Рис. 377
207

Рис. 378
пластинок (рис. 378), две из которых в Я/4 неподвижны, а третья
в Я/2, расположенная между ними, совершает заданное во времени
вращение на угол 6(t) вокруг оси системы. Определить зависимо¬
сти от времени амплитуды, фазы и поляри¬
зации модулированного света, если нормаль¬
но падающее на первую пластинку в Я/4 мо¬
нохроматическое излучение линейно поля¬
ризовано в плоскости, составляющей с ее
оптической осью угол, равный 45°.
11.58! Оптическое волокно можно пред¬
ставить в виде протяженной двулучепрелом-
ляющей пластинки, главные оси которой по¬
ворачиваются на некоторый угол, зависящий
от расстояния г от входного сечения. Пусть 6(z) = ciz, где а — не¬
которая константа, и на вход волокна падает линейно поляризован¬
ный свет, плоскость поляризации которой совпадает с одной из
главных осей. При каких значениях величины а возможен переход
этого состояния поляризации ц круговое, если разность показателей
преломления обыкновенной » необыкновенной волн равна Ап, а
длина волны Я?
11.59. Между двумя скрещенными поляроидами расположена
анизотропная кристаллическая пластинка с заданными Ап и d, вы¬
резанная параллельно оптической оси. Разрешенные направления
поляроидов составляют угол 45° с оптической осью. Система осве¬
щается параллельным пучком амплитудно-модулированного света.
При какой частоте модуляции система пропустит боковые гармони¬
ки, отфильтровав несущее колебание?
11.60. Показатель преломления кристаллического кварца для
длины волны Я = 589 нм равен п0 = 1,544 для обыкновенного луча
и пе = 1,553 для необыкновенного луча. На пластинку из кварца,
вырезанную параллельно оптической оси, нормально падает линей¬
но поляризованный свет указанной длины волны, занимающий
спектральный интервал ЛЯ = 40 нм. Найти толщину пластинки d и
направление поляризации падающего света, если свет после пла¬
стинки оказался неполяризованным.
11.61. Расположив пластинку, вырезанную из исландского шпа¬
та, параллельно его оптической оси, между скрещенными николями,
можно осуществить монохроматор, позволяющий, например, задер¬
жать одну из линий дублета натрия и пропустить другую. Найти, ка¬
кой должна быть при этом минимальная толщина c/min пластинки и
как ее нужно ориентировать. Показатели преломления исландского
шпата для линии Я! = 589,0 нм равны пе1 = 1,48654 и по1 = 1,65846,
для линии Я2 = 589,6 нм — пе2 = 1,48652 и по2 = 1,65843.
11.62. Кварцевая пластинка Я/2 используется как анализатор
степени поляризации лазерных импульсов. Оценить минимальную
длительность лазерных импульсов, для которых еще можно пользо¬
ваться таким анализатором, если длина волны света Я = 0,63 мкм, а
коэффициенты преломления для обыкновенного и необыкновенного
208

лучей в кварце п0 = 1,5442 и пс=1,5533 соответственно. Дисперсией
показателей преломления пренебречь.
11.63. Ограниченный импульс длительностью х линейно поляри¬
зованного излучения нормально падает на двулучепреломляющую
пластинку толщиной d. Пластинка вырезана параллельно оптиче¬
ской оси. Плоскость поляризации света составляет угол 30° относи¬
тельно одного из главных направлений. Найти значения d, при ко¬
торых за пластинкой будут наблюдаться два раздельных импульса.
Как поляризованы эти импульсы и каковы максимальные значения
их амплитуд, если максимальное значение амплитуды исходного
импульса равно Е0. Разность Ап = п0— пе считать известной и не
зависящей от частоты света.
11.64. На поверхность плоскопараллельной пластинки толщиной
L = 0,1 см нанесено высокоотражающее покрытие с энергетическим
коэффициентом отражения р = 0,9. На пластинку нормально падает
монохроматический пучок неполяризованного света (7. = 600 нм).
Свет на выходе из пластинки оказался почти полностью
линейно поляризованным вследствие слабой анизотро¬
пии материала пластинки. Оценить минимальную вели¬
чину анизотропии показателя преломляющей пластин¬
ки Ап = пе — п0, при которой возможен этот эффект.
11.65. Призма Волластона (рис. 379) сделана из ис¬
ландского шпата (п0= 1,658, пе = 1,486), угол а= 15°.
Рассчитать, на какой угол ip будут разведены обыкно¬
венный и необыкновенный лучи.
11.66. Две поляризационные призмы с воздушной
прослойкой изготовлены из исландского шпата. В одной
призме оптическая ось перпендикулярна, в другой — параллельна
плоскости падения (рис. 380). Опишите действие каждой призмы.
Как будет поляризован проходящий свет? Какая призма будет про¬
пускать больше света? В каких пределах должен быть заключен
-И И S-
Щ N3 N2
Рис. 380 Рис. 381
угол а, чтобы из призмы выходил линейно поляризованный свет.
Для исландского шпата п0 = 1,658, пе — 1,486. Свет падает на грань
призмы перпендикулярно.
11.67. Два николя и N2 повернуты один относительно другого
на угол а; между ними помещен николь N3 (рис. 381). На систему
падает параллельный пучок неполяризованного света. Предполагая,
что необыкновенный луч проходит через каждый николь без потерь,
найти ориентацию николя N3 относительно николя Л), при кото¬
рой интенсивность проходящего света максимальна. Определить
209

интенсивность проходящего света в этих положениях, если интен¬
сивность падающего света равна е70.
11.68! На пластинку кварца, вырезанную параллельно оптиче¬
ской оси, нормально падает белый свет, поляризованный по кругу.
За пластинкой поставлен поляроид, главное направление которого
составляет угол 45° с осью пластинки. Прошедший свет попадает на
щель спектрографа. Сколько темных полос к получится в спектре,
если толщина кварцевой пластинки d'= 2 мм, пе — 1,55, п0= 1,54.
Падающий свет занимает интервал длин волн от At = 4000 А до
А2 — 5000 А, в котором пе — п0 = const.
11.69. Между скрещенными николями помещена пластинка
кварца, вырезанная параллельно оптической оси. Оптическая ось
пластинки составляет угол 45° с главными направлениями николей.
Рассчитать минимальную толщину пластинки, при которой одна ли¬
ния водорода А.! = 6563 А будет сильно ослаблена, а другая
^2 = 4102 А будет обладать максимальной интенсивностью. Величи¬
на анизотропии кварца Ап = 0,009.
11.70. Найти интенсивность света, прошедшего через кристал¬
лическую пластинку, помещенную между двумя николями, главные
плоскости которых образуют с одним из главных
направлений пластинки углы аир. Исследовать
случаи скрещенных и параллельных николей.
v 11.71. Клин из двоякопреломляющего вещества
^ помещен на пути монохроматического света, поля¬
ризованного по кругу (рис. 382). Оптическая ось
! клина параллельна ребру клина. Свет, прошедший
uu через клин, рассматривается через поляроид, глав-
Рис. 382 ное направление которого составляет угол 45° с ре¬
бром клина. Найти число темных полос т, наблю¬
даемых на поверхности клина. Максимальная толщина клина
dmax = 0,05 см, п0 = 1,54, ne = 1,55, А = 5000 А.
11.72! На кварцевую пластинку толщиной Змм, вырезанную
параллельно оптической оси, нормально падает пучок белого линей¬
но поляризованного света, плоскость поляризации которого состав¬
ляет угол 45° с осью пластинки. Выходящий из пластинки свет сна¬
чала вновь проходит через николь, скрещенный с первичным поля¬
ризатором светового пучка, а затем падает на щель спектроскопа.
Сколько темных полос будет наблюдаться в спектре между длинами
волн Ад = 5890 А и Ад = 4860А, если обыкновенный (л0) и необык¬
новенный (пе) показатели преломления кварца для этих длин волн
имеют следующие значения: для Ад — п0 = 1,5442, пе = 1,5533, а
для Ад — п0 = 1,5497, пе = 1,5589.
11.73. Между двумя скрещенными николями помещена кристал¬
лическая пластинка толщиной d = 0,045 мм с показателями прелом¬
ления пе= 1,55, п0= 1,54. Пластинка вырезана параллельно опти¬
ческой оси кристалла и ориентирована так, что главное направле¬
ние первого николя составляет угол а = 30° с ее оптической осью.
210

На систему нормально падает естественный свет с длиной волны
X = 6000 А и интенсивностью е70. Найти интенсивность 3 света,
прошедшего через описанную систему.
11.74! Два когерентных пучка квазимонохроматического непо-
ляризованного света равной интенсивности дают на экране интерфе¬
ренционные полосы. Какой толщины кристаллическую пластинку
надо ввести на пути одного из этих пучков, чтобы интерференцион¬
ные полосы исчезли и притом так, чтобы их нельзя было восстано¬
вить никакой стеклянной пластинкой, вводимой в другой пучок?
Как изменится картина, если за кристаллической пластинкой поста¬
вить поляроид? При каком положении поляроида интерференцион¬
ных полос не будет?
11.75! Как отличить свет левополяризованный по кругу от пра¬
вополяризованного?
11.76! Как отличить естественный свет от света, поляризованно¬
го по кругу, и от смеси естественного света с поляризованным по
кругу?
11.77! Как отличить друг от друга 1) эллиптически поляризо¬
ванный свет, 2) смесь естественного света с линейно поляризован¬
ным светом (отчасти линейно поляризованный свет), 3) смесь есте¬
ственного света с эллиптически поляризованным светом (отчасти
эллиптически поляризованный свет)?
11.78. Между скрещенными николями помещена кристалличе¬
ская пластинка толщиной d\ = 0,02 мм с величиной анизотропии
Апх = 0,05. На нее в параллельном положении положена другая
пластинка толщиной d2 = 0,02 мм с Ап2 — 0,025. В какой цвет ок¬
рашено поле зрения? В какой цвет будет оно окрашено, если верх¬
нюю пластинку и верхний николь повернуть на 90° от первоначаль¬
ного положения?
Примечание. Параллельным положением называется такая
ориентировка пластинок, при которой направление колебаний вол¬
ны, распространяющейся с большей (меньшей) скоростью в одной
пластинке, совпадает с направлением колебаний волны, распростра¬
няющейся с большей (меньшей) скоростью во второй пластинке.
11.79. Поверхности кристаллической пластинки толщиной
d = 1 мм, обладающей слабой анизотропией, покрыты отражающи¬
ми покрытиями с коэффициентом отражения по энергии р = 0,9.
Пластинка вырезана параллельно оптической оси и освещается па¬
раллельным пучком неполяризованного света (А. = 5-10-5 см). Оце¬
нить минимальную величину анизотропии Ап, при которой свет на
выходе из пластинки окажется практически полностью поляризо¬
ванным (п0= 1,62).
11.80. Поверхности плоскопараллельной кварцевой пластинки
толщиной d = 0,5 мм, вырезанной параллельно оптической оси, по¬
крыты высокоотражающими покрытиями с коэффициентом отраже¬
ния по энергии р = 0,9. Пластинка освещается параллельным пуч¬
ком света с круговой поляризацией (длина волны Я = 6-10~5см).
211

Какова поляризация и интенсивность света, прошедшего пластинку,
если интенсивность падающего света <э70? Главные показатели пре¬
ломления п0 = 1,5442, пе = 1,5534.
11.81! На кристаллическую пластинку, вырезанную параллель¬
но оптической оси, падает нормально свет, поляризованный по кру¬
гу. Прошедший свет рассматривается через анализатор. 1) Опреде¬
лить интенсивность света, если главная плоскость анализатора со¬
ставляет угол а с одним из главных направлений пластинки. 2) Под
каким углом надо поставить анализатор, чтобы получить макси¬
мальную и минимальную интенсивности?
11.82! Клин из двоякопреломляющего вещества помещен на пу¬
ти монохроматического света, поляризованного по кругу. Оптиче¬
ская ось параллельна ребру клина. Описать наблюдаемую через ни-
коль картину, когда клин неподвижен и когда он поворачивается
вокруг направления распространения света.
11.83. Две одинаковые плоские густые решетки из параллель¬
ных тонких идеально проводящих проволок расположены в парал¬
лельных плоскостях на расстоянии /=1,5см одна от другой так,
что образующие их проволоки взаимно перпендикулярны. Плоско¬
сть поляризации волны X = 8,5 см, падающей на систему решеток
под углом а = 45°, наклонена на угол 0 = 45° к плоскости падения.
Определить характер поляризации отраженной волны для случая,
когда плоскость падения параллельна направлению проволок 1-й
решетки.
11.84. Параллельный пучок монохроматического излучения
(длина волны в вакууме X — 496 мкм), поляризованного по кругу,
падает нормально на решетку, изготовленную в виде натянутых
проволочек с расстоянием между ними d^X. При таких условиях
решетка полностью пропускает излучение, поляризованное так, что
электрический вектор направлен перпендикулярно проволочкам, и
отражает излучение с поляризацией, повернутой на 90°. Найти вра¬
щающий момент М и силу F, действующие на решетку, если интен¬
сивность потока в пучке 3 = 10 Вт/см2, а облучаемая поверхность
решетки 5=10 см2.
11.85. Две одинаковые плоские густые решетки из параллель¬
ных тонких идеально проводящих проволок расположены в парал¬
лельных плоскостях на расстоянии / = 2 см одна от другой так, что
образующие их проволочки взаимно перпендикулярны. Волна
X = 11,3 см с правой эллиптической поляризацией падает на систе¬
му решеток под углом а = 45°. Большая ось эллипса лежит в пло¬
скости падения, отношение осей эллипса равно 1,73. Определить ха¬
рактер отраженной волны для случая, когда плоскость падения па¬
раллельна направлению проволок первой решетки. Описать
изменение ее характера при вращении системы решеток (их взаим¬
ное расположение и плоскости сохраняются).
11.86. При воздействии линейно поляризованного света в неко¬
торых твердых телах наблюдается явление фотоиндуцированной
анизотропии. Через такой двоякопреломляющий кристалл толщиной
212

d = 1 мкм с плоскопараллельными гранями последовательно про¬
пускаются монохроматические импульсы света с одинаковой ин¬
тенсивностью 30 и длиной волны А = 0,5 мкм, но с различной
поляризацией. После прохождения кристалла измеряются интен¬
сивности 3 у и 3 ±. . Коэффициент отражения света от граней не за¬
висит от поляризации: рц = р± = р = 0,05. Оценить (3ц — 3 ±)/30,
если разность показателей преломления п ц — п± = 0,005, а сред¬
няя его величина пср 1,635. Поглощением света в кристалле пре¬
небречь.
11.87. Пространство между зеркалами интерферометра Фабри—
Перо с разрешающей способностью R ~ Х/ЬХ = 108 заполнено хими¬
чески чистым нитробензолом. При наложении однородного попереч¬
ного электрического поля нитробензол становится слабоанизотроп¬
ной средой, причем оптическая ось совпадает с направлением поля
(эффект Керра). Интерферометр освещается монохроматическим
пучком неполяризованного света (X = 600 нм). Оценить минималь¬
ную величину электрического поля, при которой на выходе интер¬
ферометра будет наблюдаться почти полностью линейно поляризо¬
ванный свет. Постоянную Керра для нитробензола принять равной
В = 2-1(Г5 ед. СГСЭ.
Примечание: Постоянной Керра называют константу в выра¬
жении пс — п0 — ХВЕ2.
11.88. Нелинейный интерферометр Фабри—Перо представляет
собой тонкую пластинку из вещества, показатель преломления ко¬
торого пропорционален квадрату напряженности электрического по¬
ля: п — п0 + П2Е2. Пластинка покрыта высокоотражающими покры¬
тиями с коэффициентом отражения по энергии р = 99 %. Опреде¬
лить уровень плотности мощности S лазерного излучения с
А. = 1,051 мкм, пропускаемого таким интерферометром, если
п0 = 3,5, п2 = 10~9 ед. СГСЭ, а толщина пластинки <7=12 мкм.
11.89. Явление самофокусировки объясняется зависимостью по¬
казателя преломления от интенсивности света (п = п0 + п2Е%, где
Е0 — амплитуда напряженности электрического поля в световой
волне). Одним из самых больших значений п2 обладает сероуглерод
(п2 = 2- КГ11 ед. СГСЭ). Мощный пучок лазерного излучения с па¬
раболической зависимостью интенсивности от расстояния от центра
пучка (3 — о70(1 — гг/г\) при г < г0 и 3 = 0 при г > г0) проходит
сквозь слой сероуглерода толщиной L = 5 см. Найти, на каком рас¬
стоянии от кюветы с сероуглеродом сфокусируется лазерный пучок
30 — 5-108 Вт/см2, г0 = 5 мм.1
11.90. Гауссов пучок неодимового лазера (А = 1 мкм) с радиаль¬
ным распределением поля по сечению: Е = Е0 exp [—r2/(R2)]
1 Здесь под интенсивностью понимается не Е2, как обычно, а величина, равная
— с Ег
плотности потока энергии of = S2
4хс ^
213

(R = 3 мм) и с плоским волновым фронтом падает на плоскопарал¬
лельную пластинку толщиной d = 1 см, сделанную из нелинейного
вещества, показатель преломления которого зависит от интенсивно¬
сти: п = п0 + П2Е2 (п2= 1СГИ ед. СГСЭ). Оценить, при какой мощ¬
ности лазера возможно уменьшить диаметр пучка (фокусировка)
после прохождения пластинки.
11.91. У большинства веществ показатель преломления умень¬
шается с ростом температуры (вследствие теплового расширения).
Пучок лазерного излучения видимого диапазона спектра прохо¬
дит сквозь слой слабопоглощающей жидкости толщиной L= 1 см,
так что в жидкости устанавливается распределение температуры
/ = ?o + ^i(l — r2/ro) ПРИ r < гои t — Ч ПРИ r > roi гДе г — расстояние
от центра пучка, 11 = 2 °С, г0 = 2 мм. Найти фокусное расстояние и
знак наведенной в жидкости линзы, если dn/dl = —4 -10-4 К-1.

^лтветы
(У и избранные решения

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 1. Электрический заряд и напряженность
электрического поля. Диполь. Теорема Гаусса
ы.£ = . 2
г8 ут
<Г J 1,24* 1036 для протонов,
[4,17* 1042 для электронов,
где у — гравитационная постоянная.
^ 2уТ+1
1.2. Q = д.
1.3. е = ^Р£)£-4.
гь F
1.4? Решение. Разложим вектор р (рис. 383) на составляющую рц
вдоль радиуса г и составляющую р±, к нему перпендикулярную. Соответ¬
ствующие им поля в точке наблю-
^1Г
дения А:
Е
Е и =
2Р\\
Е , =
Угол Р между радиусом г и электри¬
ческой силовой линией определяется
формулой
Ел
ter
Е.L Рх 1 . Q
1 = -гг- = л— = ~ tg 0.
£ц 2рц 2
О
Проекция бесконечно малого участка
силовой линии на направление векто-
Рис. 383 ра р± может быть, с одной стороны,
представлена как dr tg р = (dr tg 0) /2;
с другой стороны — как г tg 0. Поэтому (dr tg 0)/2 = г dQ. Интегрируя это
уравнение, получаем искомое уравнение электрической силовой линии:
г = гд sin2 0. Постоянная г о имеет смысл длины радиус-вектора г в экватори¬
альной плоскости, т. е. при 0 = л./2.
1.5. а) Ж= -(рЕ); б) W
- _ (РЕ) _
aEz
2
1.6. £ =
3i
1.7. F — Диполь будет притягиваться к заряду, если он обращен к не-
dл
му противоположно заряженным концом, а отталкиваться в противном случае.
216

1.8. Возможны, и притом на любом расстоянии от диполя. Плоскость
круговой орбиты заряда перпендикулярна к оси диполя. Угол а между на¬
правлением дипольного момента и радиус-вектором, проведенным от диполя
к движущемуся заряду, определяется выражением cos а = +V1/3, где знак
«минус» относится к положительному заряду, а «плюс» — к отрицательному.
Диполи притягиваются, если они обращены друг к другу
1.9. F =
противоположно заряженными
случае.
1.10. Е = а£2, где £2 = 2л
виден диск из данной точки.
концами,
d
Vtf2 + «2
и отталкиваются в противном
телесный угол, под которым
1.11. Е =
+
О,
(2 1 —R-jjRj
Г2 1 — Лз/ЛГ
(2 1
Г2 I-Kj/Кз’
если 0 < г < Ry или Я3 < г <
если Ri < г < R2;
если R2< г < Л3.
1.12! Е = 2па.
Решение. Пусть о — поверхностная плотность заряда на сфере. Тогда
поле вблизи наружной ее поверхности Е = 4ла; внутри сферы Е = 0. То же
самое поле может быть представлено как сумма поля малого диска с поверх¬
ностной плотностью а, вырезанного из
сферы, и поля остальной части по¬
верхности. Поле вблизи центра диска,
как известно, равно Е= ±2ка (знак
зависит от стороны диска). Следова¬
тельно, поле остальной части сферы
составляет 2ло.
1
1.13. сд = —а2 = — (91-9г).
а1 = а2 = \ (91+92);
Е = 2я(9! - 92),
Е1 = 2л (9! + 92).
8 xd
1.14. Е =
d2 + 4h2'
1.15. Поле перпендикулярно к по¬
верхности слоя и направлено, как ука¬
зано на рис. 384а. Вне слоя
Е = ± 2npd, внутри слоя Е = Лпрх. Ось X перпендикулярна к поверхности
слоя, х = 0 в середине слоя. Изменение напряженности поля Е в зависимости
от х изображено на рис. 3846.
1.16. Т =
jxmd
I Ро Р '
217

1.17. p(r) = const:
электрона.
1.18. T = 2лс/у
инерции стрелки.
Зе
г, v = — Л| г = 2,5-10° Гц, где m — масса
4xR* 2л V
2J
Q1Q2I
, где 7i и — заряды шарика и кружка, a J — момент
1.19! Р ешение. 1) Вычислим поле внутри шара. Ввиду сферической
симметрии
Е = £(г) 7,
или в координатной форме,
Ех = Е(г)^ Ey = E(r)f
Дифференцируя £Л. и учитывая, что — = — (последнее получается диффе¬
ренцированием равенства г2 = х2 + у2 + z2), находим
^yx_=dE_x^_E_ .2 , Е
Эх rfr г2 гз Л г •
Э£у ЭЕ-
Написав аналогичные соотношения для производных — и сложив, по¬
ду OZ
лучим
div Е = -г-
dE .2Е 1 d , 2г
-г- Н = ^-г{г1Е
dr г r2 dr
Внутри шара
откуда
,.2 dr 1
:г£) = 4лР>
С, _ 4л
£ 3 pi + ■
Постоянная С должна равняться нулю, так как напряженность поля £ в цен¬
тре шара конечна, как это ясно из физических соображений.
Вне шара на расстоянии г от центра
£ =
4л R3p
2) Аналогично вычисляется поле внутри пластины:
^,_|4лрх внутри пластины,
|4лрh = 2ло вне пластины.
1.20. р= 1,3- 10“3ед. СГСЭ.
1.2Ь Р(г)=^.
4 —
1.22. Е = — лрг, где г = ОО . Поле однородно.
1.23. о = —- cos 0; вне сферы — поле точечного диполя с дипольным
4л
моментом р = £3Е.
1.24. о(0) cos 0.
' ' 2л
218

1.25. Поле на поверхности шара (рис. 385) Ед = 3£0 cos 0
а) |£д | = |£0| при cos 0 = ±^; б) |cos 0 | =
1.26. В точках А и В напряженность поля возрастет в три раза, в точках
С и D обратится в ноль.
1.27. а) С м. рис. 386а. Поле удваивается в точках А[ и А2, лежащих на
расстоянии г = \/2R от центра О шара. ^
б) Поле уменьшается втрое в точках окружности радиусом г = R с цен¬
тром, совпадающим с центром шара О (рис. 3866). Плоскость этого круга
перпендикулярна вектору Е0.
1.28. У вершины = 3Е0, у основания Е2 = 0. Пробоя не будет.
6Eqq.^
1.29. F = 2 сферы притягиваются.
rq
3 Е\аь
1.30. F — —2 сферы отталкиваются.
г4
§ 2. Потенциал. Метод электрических изображений
2.1. «Н(^-1)£.
2.2. 1) Нет.
2) Внутри будет, снаружи нет.
2.3. Поле будет иметь вид, пока¬
занный на рис. 387. Потенциал внеш¬
него шара <2/Я3, а потенциал внутрен¬
него Q (-J 5“ + л!-] • Если внешний
Л2 R-3J
шар заземлить, то его потенциал будет
равен нулю, а потенциал внутреннего
шара будет равен Q(R2 — Ri)/(RiRi) ■
2.4.
■PaU)
Q\ Qi Qi
= - + «1+^гдег
— расстояние от центра системы до точки А;
Qi Ог , Q1 + Q2 + Q3
^)=-~ж + щ ;
Дф = фд (2) - фд (1) = (Qi + Q2) .
219

2.5.
ip(.v) = T 2npdj x — 2npx2, где координата x отсчитывается от
заземленной пластины.
fo
2.6! р =
2 ясС
Решение. Если х — расстояние от пластины с потенциалом фр, то на-
пряженность поля по теореме Гаусса определяется уравнением
дЕ *
- = Лкр.
Так как потенциал ф связан с напряженностью поля Е равенством
Е = — то = — 4яр.
dx dx1
Общее решение последнего уравнения
Ф = — 2яр.у2 + Сх -Т С[.
Учитывая условия задачи, находим константы С и и ответ.
2.7! В точке на расстоянии г от оси цилиндров потенциал
Ф = -
Фо + — Л?)
In (R2IR1)
In (r/Ri) — яр (г2 — Rj).
Решение. По теореме Гаусса для кольцевого слоя радиусом г толщи¬
ной dr
dE
E-2nr — Е
dr
где Е — напряженность поля. Отсюда
dr 2я (г — dr) = 4лр • 2sir dr,
или для потенциала
dE , 1 „ .
-~Г + -Е = 4лр,
dr г г
d2ip . 1 dip .
dr
Частное решение этого уравнения ipi = —ярг2. Решение соответствующего
однородного уравнения
сГф , 1 _
dr1
Л г- = 0 имеет вид ф2 = С In г + С,. Таким
г dr т
образом, общее решение неоднородного уравнения
Ф = ф! + ф2 = С In г + С\ — яр/-2.
Подставляя сюда заданные в условии задачи значения потенциала, находим
С и Ci и получаем ответ.
2
2.8. к = ^4=14мкВ , где т we — масса и заряд электрона.
LC Н
2.9. Е = ^ = 1,7 ед. СГСЭ = 5,1 кВ/см;
D ! №
= зЩг = 4,3 ед. СГСЭ = 1,3 кВ, гдещр
• масса протона.
220

2.10. Е = —Ц- V26 — 2\JH.
5h2
2.11. а (г) =
gR
2 л: (К2 + г2)3/2
, где г — расстояние от перпендикуляра, опу¬
щенного из заряда на плоскость.
2.12. F
4<2l
4(?1
2.13. Frop
е2 , g2
/2 4/г2 + /2
+ 4^г
?веРт - mg + fh2
1 + 1 +
-1/2
2 \ -3/2-
2.14. F = ■
угла О.
2d2
3 р
/2-i.
4/Р
Сила F направлена к вершине двугранного
2.15. F = т Е- & 0,54 дин; А = ■
4 й
2.16. F = | (Зд/2 - 1) 4-
4Lo
7-о
^ | ss 0,16 эрг.
2.17. сг =
Q
2.18. о = -
2 яна + ю
_ Я
4лЛ2 ^ ^H2 + R2)
Q
= -8- Ю-10 Кл/см2.
Я ^ - -2,6- КГ11 Кл/см2.
2.19. R =
dn
Я =
П2-Г
У Казани е. Взять за начало координат точку, в которой находится мень¬
ший заряд, направить ось X в сторону большего заряда и записать потенциал
в точке (х, у) плоскости, проходящей через линию соединения зарядов, а за¬
тем приравнять его нулю.
2.20. 1) F =
2.21. 1 )А =
2.22. 1) о
dr
, , , q2- 2) F =
(d2 — г2)2
dr
(d2-r2)2
Я2-
2 Я 2
r(C . 2) Л — r(?
2(rf2 — r2) ’ 2 d2(d2-r2)'
Я ^ _9_.
2’ 'P R’
4xR
3) aB =
4x(r-d)2
1 + -
°c =
4 x(r + d)2
'-f ■
2.23? ф = ^ + -.
Y d r
Решение. Потенциал точки О равен
„ _ <? I v AQj _ <? 1 Q
Потенциал шара будет иметь то же значение.
221

2.24! Р ешен ие. Введем электрические изображения в сфере и плоско¬
сти, как указано на рис. 388. Сгруппируем заряды попарно 1) q с —q, 2) q с
—q. Каждая пара в плоскости ACDB создает нулевой потенциал. Сгруппиру¬
ем теперь те же заряды по-другому: 1) q с q ; 2) —q с —q'. При такой группи¬
ровке каждая пара будет создавать нулевой потенциал на сфере CMDN. Ясно
•9
поэтому, что потенциал четырех зарядов q, —q,q, —q обращается в ноль на
поверхности ACMDB. Следовательно, поле этих зарядов в верхнем полупро¬
странстве будет тождественно с полем, которое требуется рассчитать.
2.25. ф =
% + гг, если d> R,
R а
^ если d<R,
(см. решение задачи 2.23).
г
-qi-
2.26. q
2.27. 1) Для заземленной сферы:
точка Я (рис. 13): ф- = 1 + — = 11; точка В- Ф~=1— — = 9.
с0 г С0 г
2) Для незаземленной сферы:
л £1
точка А: — = 3 •
Со
г_
R
2,9; точка В: -=г- = 3 + = 3,1.
Е о R
2.28. Заряд-изображение состоит из диполя pj = £ и заряда ql ■
R. °
расположенных на расстоянии д: = — от центра сферы (рис. 389).
Р
4 R’
F =
1£
27 я4
2.29. При и R в центре сферы диполь-изображение с моментом
2R3q AF /Л\3 .„ 92 .Л/Л3
р = —— = 161 — 1 • гДе АС = 16 I ~ I — добавочная сила притяже¬
ния, возникающая из-за наличия сферы.
2
Без сферы F =
4а
2.30. F =
8Л
9 R2
-'внутр
3 д
2nR2
_ q + Q
' AnR2'
222

2.31. о
внутр
18л2Г
4tiR1
После заземления овнутр = оВНуТр;
0.
2.32? F
З„2^3
—у— (сила притяжения).
поле Е. Дипольный момент сферы />' = Я3£
Решение. Приведем два решения: оценочное и точное,
а) Оценочное решение. Из условия видно, что a»R. Таким образом,
можно считать, что сфера находится (приближенно, конечно) в однородном
А; Я3. Теперь, когда
а )
получена оценка дипольного момента сферы, считаем, что этот дипольный
момент р' находится в неоднородном поле диполя р. Поле диполя в пер¬
пендикулярном к его оси направлении Е = — Сила взаимодействия
ЭЕ\ 3 p2R3 _ г
Это сила притяжения.
F = p
дг
■НЧ-
f = в а
б) Точное решение. Известно, что для расчета вза¬
имодействия точечного заряда с незаряженной сфе¬
рой пользуются методом изображений (см. задачу
2.20 или Д. В. Сивухин, т. 3, § 23). Заряд-изображе¬
ние q“ помещается на отрезке прямой, соединяющей
заряд q и центр О сферы (рис. 390). Смещение заря-
* , R2 п . R х
да q относительно центра сферы х = —. Сам же заряд q = q = — — q.
Cl (2 К
Таким образом:
Рис. 390
отобразится
Л'
Rq-
Малое смещение da заряда q приведет к малому смещению dx заряда-изобра¬
жения
R2 , , , Л' , . . .V2
| c/.v | = -у \da \ = — | da |
da I
а~ “ iC
Применительно к плечу диполя обозначим da = I, dx = / . Таким образом.
„2
I
отобразится л'
* R2
I.
Нетрудно понять, что и в нашем случае, когда диполь перпендикулярен оси,
также справедливо полученное отображение. Поскольку р = q 1, то
, , з
отобразится
P=-WP.
Используя известное соотношение для силы взаимодействия двух парал¬
лельных диполей (задача 1. 30), получим
F = ■
3 рр
3p2aR3
(a2-R2)4'
3 p2R3
(a —R21 а)4
Заметим, что приближенный результат получен при допущении а»Л, и
он совпадает с оценочным решением.
223

2.34. F =
\ —
Зр.
) —
R3'
128
V _
27
Я4
64
9
я4
сила притяжения.
У казан и е. Следует учесть не только диполь-изображение, но и компен¬
сационный заряд в точке размещения диполя—изображения.
2.36. Foc-L
d5
ft
2.37. На оси кольца на расстояниях .* = ± равновесие устойчиво.
В центре кольца — неустойчиво.
2.38. q = -2(VT - 1)Q.
2
2.39. F= 0,2
Rz
2.40. F
_ Q
l --W +
/7Д
2.41! Q = qa
* (1 -r2lR2)2
1 — (1 — a2)2 R
, где a = -г.
(1 — a2)2 d
Решение. Поляризованный шар в условиях задачи (рис. 391) может
быть заменен парой зарядов: q = —qR/d на расстоянии b = R2ld от цент¬
ра и Q = Q — q в центре (Q — полный заряд шара). Сила взаимодействия
М-. +igl=-q2_ dR + 2l+ 0I
(d-b)2 d2 q (d2-R2)2 q d3 шат
F = -
Из условия F = 0 имеем
RdA-(d2-R2)2
У q d (d2 — R2)d
4 a •
где a = Rid.
2.42Г =
4 - °2 =
1 — (1 — a2)2
(1 — a2)2
d
+ 1
4л(й + Я)2 (Я ‘j’ 4л(с/-Я)2 И
Решение. Поле снаружи шара совпадает с полем пары зарядов q и
q (рис. 392). С другой стороны, поверхностная плотность заряда на шаре
224

связана с полем вблизи его поверхности: о = — Е. В окрестности точки
М2 имеем
Е2 =
, R t R
, | где q = —q-j, о
(d + R)2 (b + R)2 d
Q - + -9-
2
d'
отсюда
4-n.
(d + R)2 Iя
Аналогично, в окрестности точки Mi
F = - q {—
' (d-R)2 l*
, ,5/2. .3/2. ,1/2
2.43. <p = [ 1+ = 130 ед. СГСЭ.
+ 1 •
2.44.
v0 =
Qr
(L + R)2
— = 240 cm/c.
m
2.45.
2.46Г
Реш
F =
Яг
2-л2
Л(1 — r2lR2)
.92
91'
ение. Потенциалы проводников являются линейными однородны¬
ми функциями их зарядов: <р; = ^ A^q^. В силу симметрии все коэффи-
к
циенты Aifr с одинаковыми индексами равны между собой. Точно также
равны все коэффициенты с разными индексами. Обозначая эти коэффици¬
енты через А и В соответственно, можем записать if! = Aqу + В (qi + q3) и
аналогично для остальных проводников. При зарядке первого шара он по¬
лучает потенциал = A/j. При зарядке остальных двух шаров потенциал
первого шара меняется, но его значения для решения не нужны. При заряд¬
ке второго шара его потенциал становится равным также ipj = Aq2 + Bqi.
Аналогично, для третьего шара <pj = Aq% + B(qi + g2) • Таким образом,
Aqi = Aqi + Bqi = Aq$ + B(9i + q%) • Отсюда получаем ответ.
2.47!
Fv =
Ух
hd'
Решение. Введем прямоугольную систему координат, как указано на
рис. 19 (ось Z перпендикулярна к плоскости рисунка и параллельна длин¬
ным сторонам пластин). Искомое поле потенциально и удовлетворяет уравне¬
нию Лапласа
Эх2 ду2
На проводнике BD (т. е. при у — 0) потенциал должен обращаться в постоян¬
ную, которую мы примем равной нулю. Искомое решение есть ip = аху + |3_v,
где а и р — постоянные. В силу симметрии потенциал <р не должен меняться
8 - 1651
225

при замене у на —у, а потому [3 = 0. Для напряженности поля получаем
Ех = - = -ay, Еу=-^-=-ах
Зср
Эх
ду
Постоянная а найдется по разности потенциалов между точками В и А (или
между точками D и С). Потенциалы точек А и D равны соответственно
<рА = +К/2, ip0 = —V/2. Напряженность поля Еу на поверхности пластины
АВ (т. е. при х = —dl2) равна Ey = —V/(2ft) = adl2, откуда a = —V/(hd).
Окончательно
£.v
У.Т
ltd'
Уравнение силовой линии
dx _ dy
имеет вид
у
dx
У
rfy
Л'
откуда у2 — х2 = С, т. е. силовыми линиями являются равносторонние гипер¬
болы. При С > 0 оси гипербол совпадают с осью У, при С < 0 — с осью X.
Для выяснения смысла постоянной С обозначим через а расстояние от вер¬
шины гиперболы до начала координат. При
С > 0 координатами вершины гиперболы будут
(0; а). Они должны удовлетворять уравнению
а2— О2 = С, откуда С = а2. Аналогично, для
второго случая (С < 0) С = —а2 Таким обра¬
зом, получаются два семейства гипербол:
у2 — х2 = а2 и х2 — у2 = а2, асимптотами ко¬
торых являются биссектрисы соответствующих
координатных углов (рис. 393). Гиперболиче¬
ские силовые линии первого семейства легко
воспроизводятся экспериментально обычным демонстрационным методом.
Силовые линии второго семейства экспериментально получить трудно из-за
малости составляющей поля Ех.
2.48. Aipmax — Emaxd |l 2^,j ln ^ ^ Emaxd In ^ ^ j яь 207 кВ, где
£?max ~ поле пробоя воздуха.
2.49. аА = оА' = — — Ел, где ЕА — электрическое поле в точке А.
Е
1 + +
З2 52 Т
С точностью 1% отбрасываем все члены, начиная с —г;
13
2.50! а = 0.
оА = —0,145 -
Решение. На рис. 394 изображено электрическое поле точечного заря¬
да, размещенного над металлической плоскостью на высоте Н. Для ответа на
вопрос задачи предлагается вычислить поток через замкнутую поверхность,
ограниченную поверхностями: I — часть сферической поверхности, окру¬
жающей точечный заряд +q в малой окрестности этого заряда (рис. 275);
226

II — силовыми линиями, заканчивающимися на плоскости на расстоянии
х = Нт/3\ III — плоскостью, проведенной вблизи металлического листа. Та¬
ким образом, внутри поверхности I —II —III нет электрических зарядов, а
значит поток вектора Е через эту замкнутую поверхность
Фя = ф (Е dS) = 0. Рассмотрим составляю¬
щие этого потока по поверхностям I, II, III.
Сразу очевидно, что поток J (Е d/S) =0.
Поток вектора Е через
^ (Е dS) = — qQ, где Я -
II
поверхность I
телесный угол,
охватывающий часть сферы I. Для того, что¬
бы вычислить поток вектора Е через поверх¬
ность III, следует предварительно вычислить поле Е(х) вблизи металличе¬
ского листа. Используя зеркальное изображение заряда +q, легко найти
Е(х) = 22qH23i2■
(х2 + #2)3 2
Таким образом,
HV3
(EdS)=2qH\ =2nq.
Ill 0 u + '
Итак Ф£ = ф (E dS) = — qQ + 2nq = 0, откуда Я = 2л, а значит искомый
угол а = 0.
2.51. D = 2Н.
§ 3. Электрическое поле в веществе. Энергия электрического
поля. Энергетический метод вычисления пондеромоторных сил
3.1. Е = 1 + 4л г3п.
3.2. х = -г—— Е = 2- 1СГ16 см, где, Пп — число Лошмидта.
4iin0ze и
3.3. р = |а3'=0,1М0~24см3.
Указание. Учитывая, что г«аи используя распределение электрона в
4 6V
атоме, по теореме Гаусса вычислить Е(г) = — — —г. Далее следует опреде-
ч а
лить смещение г0 электронного облака при наложении внешнего поля Е0. За¬
писав дипольный момент атома р = ег0, найти коэффициент (3 при поле Е0.
3.4. |3 = а3 = 0,15-ИГ24 см3.
3.5. со0 ~ 1
rfoEo
J
В отсутствие переменного поля, пренебрегая тепловым
движением, можно полагать все диполи выстроенными по полю Eg.
р2
1,2-10-7
3.6. Д£ = М1 =
п0 2 кТ
3.7. Еа = 2кР0; ^ =
8*
227

3.8. Ес = Ед — = 12 В/см.
3.9. Е = -8 j Р; D = 4 | л - 2 у) Р.
3.10. е4 = —
R sin 0 dy
hi
2 R2
D4 = 4л
hi
2R?
II
1
Ч
DA = 2pi-£
•//С\ ^
ч
\ 3.12.
/ >1
t/eil
iPp—===^:
^ \ 3.13.
11
а
/ 3.14.
3.15.
3.12. E0 = ^|--i|P,
R r
3.13. Поле в пластине Ej = 4лРо I
вне пластины Е2 = 0. К = уу P0d.
АН Ы R
R
I
Р.
Рис. 395 диэлектрической среды Р, то (г — 1)Е = 4лР.
Напряженность поля в центре сферической
полости Е = 4лР/3. В самом деле (рис. 395),
Л. 2л *у Л.
с' f JO f Р c°s 9 R sin 9 dp „ _ „ r . „ о о jo 4л n
E = j dQ ^j r cos 9 = 2лР j sin 0 cos 0 dQ — — P.
0 0
3.17. P;
Зр2 (e — l)2 K2 r6
/4
2 ,4
di l
0
3-10 6 дин (отталкивание).
3.18. E » ^ (e — l)2 -4r ss 6 -10 6 дин (притяжение).
4 ar l
3.19. Et = D[ = 4лP 7 — в зазоре;
d
E-, = —4лР I 1 -4
3.20. E = P = ~T
E + 1 E + 1 2л
в пластине; D2 = Dl.
3.21. E
3.22. a =
D
1 + 4лп0Ро
4 \ 1 1
1 -■
2Г
4л«оРо
(1 +4зш0Ро)
з kT
4лл VE2 Ч)
3.23. 1) Ф£ = лР2Е0 cos 0 4 2) ф Е dl = - (е - l)E0/i sin 0. 3ar>
тим, что поток вектора D, как и положено, равен нулю.
3.24. С = 35 см.
&V
3.25. U =
1 + (e-l)rfi/rf
•500 В.
228

3.26. С
S(ei —е2)
4лd In (ei/e2) '
Указание. Так как диэлектрическая проницаемость между обкладками
, Е2 — ei
меняется по закону е = Н — ,v, где х — расстояние от первой пластины,
то разность потенциалов между обкладками можно записать так:
d d
V = { Е dx — Dd ( —;—, где Е — напряженность поля, D = 4ла —
J J El а + (е2 — ЕрЛ"
о о
электрическая индукция.
3.27. Е(х) =
3.28. Е =
С =
- Зла Н 7г- х1 при 0 < х < d,
£ I d2 !
— ко при х < О,
+ло при х > d.
4л Q 1
eiQi+e2^2 г2
^1£1 + ^2£2 R\R-1
4л Rt—R]
, где г — расстояние от центра шара.
3.29. Е =
4л Q
-fS где г — расстояние от центра конденсатора.
+ 1г
£ _ *Р1£1 + Т2е2 j
4л In (R2lRi)
3.30. s2 =
3.31. h =
3.32. С =
3.33. С =
О
-—~ — = 200 см2, где п — 40.
е — 1 п
z — ndn~
;— = 0,2 мм, где п = 50.
е — 1 п
1п^
VI +32л^ -1 I Ri
-1
8л. fo?
R1R2
3.34. рсв
V1 +16л[}(7 — 1 r2 — r г
2У0
3.35. рсв
KR^r'
Vo
xR^r'
3.36. р =
2л(е— \)п1
4,8-10_!3 ед. СГСЭ;
3.37. <р =
3.38. о у =
(elm)
q = -11 ln2(i- 1 )п2Я2Нъ -0,15-10~8 ед. СГСЭ.
Я
е R'
2хг2(1 +tk{)
о2 =
2лг2(1 +е/е2)
229

3
3.39. F = -
3.40. F =
e— 1
(E-1).
1 £ -
qL
4L2 e+1’
2л e + 1 (,-2 + l2)3/2 ’
где r — расстояние от перпендикуляра, опущенного из заряда на плоскость.
_1_
г5'
3.41. 7<
3.42. W = ±~.
2 R
3.43. W = ^~.
5R
3.44. 1) R ■■
3.45. H =
3
1,7- КГ13 cm; 2) R = ■
2 me1
1,4- 10“13 cm.
2 xpqd
= 1,3 cm.
3.46. 7 = 7,
a/2
3.47. A =
3.48. A =
0 ПР0У0:
iii!
16 R'
11 1 Q2
8 e 7F'
2
3
3-107K.
3.49. W = ^n2p2R2l3.
3.50. P = 2no
2 _ 2nQ2 Q2
(4xR2)2
8 лЛ4
Указание. Пусть о — поверхностная плотность зарядов на сфере.
Напряженность поля снаружи у поверхности сферы равна 4ло, а внутри
равна нулю. Выделим мысленно элемент поверхности dS. Поле у поверх¬
ности можно рассматривать как результат наложения двух полей: во-первых,
поля зарядов, находящихся на элементе dS и создающих напряженность
2ло снаружи и внутри, и во-вторых, поля всех остальных зарядов. Следова¬
тельно, поле остальных зарядов равно 2ла и направлено наружу. Отсюда си¬
ла, действующая изнутри на элемент dS, равна 2л.оо dS. Поэтому давление
будет 2яа2. 2
3.51! 7 = -^=.
8Я2
Решение. На единицу поверхности сферы действует выталкивающая
сила f = Q2п/(8nR2). Отсюда интегрированием легко получить ответ.
Q(Q + 2q)
3.52. F = ■
8 R2
3.53. F = jj- ElR2 = 9 дин.
Указание. Учитывая, что проводящий шар в однородном поле Е0 поля¬
ризуется, следует найти поле на поверхности шара как функцию угла 0 меж¬
ду направлением вектора Е0 и точкой на поверхности шара: Еш — 3Е0 cos 0.
230

Проекция (на ось симметрии) сил давления, оказываемых полем на половин-
е2ш
ки шара, / и = cos 0. Далее интегрированием по углу 0 получается полная
11 ол
сила отталкивания, действующая на каждую из половинок шара.
я2
3.54. F —
ж R
3.55. W2 = eW{.
3.56. <2 = 1 (*,+? + R2?l + Д3Ф32) - i (R1 + R2 + R3) 92 « 4,16 эрг,
где <p — установившийся потенциал системы после соединения всех шаров.
3.57. д = d
3.58. Q
8тс dA
— R>^
4 ’ R> С
108 ед. СГСЭ.
3.59. F =
Ре
при I -> О F =
SPV
D
= S — w3S, где D
ин-
8зг + /2 | ‘ ' 8зг/2 831
дукция, a wg — плотность энергии электрического поля.
3.60. Пробой диэлектрика наступит раньше.
3.61. 1) С = 2) £ = s; напряженность поля одинакова в воз-
8зт cl ' d( 1 +е)
духе и в жидкости. 3) В воздухе о =
е ■— 1
2itrf (1 +е)
; в жидкости о
еР
2зтт/(1 +е) ’
4) AW= е , , ,
8зтd е+ 1
кости между пластинами конденсатора. Уровень жидкости между пласти-
-. За счет энергии AW совершена работа при подъеме жид-
нами будет выше, чем в сосуде.
3.62? Изменение энергии конденсатора: 1) AWi =
(1 -е)СР^
— 318 эрг;
2) AW2
^ (e-1)Qz
2Се
+ 1590 эрг. Работа, совершаемая при удалении стеклян¬
ной пластины: А\ = +318 эрг; А2 = +1590 эрг.
Решение. В обоих случаях не только изменяется энергия конденсато¬
ра, но и затрачивается работа на удаление пластины. Эта работа во втором
случае больше, так как по мере выдвигания пластины напряженность поля
в конденсаторе увеличивается, в то время как в первом случае она остается
неизменной. В первом случае при удалении пластины из конденсатора не
только совершается механическая работа, но и уменьшается энергия
конденсатора, и увеличивается энергия батареи. Работа, совершенная
против ЭДС батареи, А = AQV, где AQ — изменение заряда кон¬
денсатора после удаления пластины. Так как AQ=(e—1)СК, то
А = (е — 1 )CV2 и при удалении пластины совершается механическая рабо¬
та А1 = А + Д1+! = (е — 1)СР2/2 = +318 эрг. Во втором случае при удале¬
нии пластины совершается механическая работа, равная увеличению энер¬
гии конденсатора: А2 = AW2= +1590 эрг.
е—1 TVs’
3.63. £ =
(е+1)2 2га/ '
231

3.64. Л = -
3.65. h ■
V4t-1)
ярsW\-D\) In (0i/02)
e^-DT2
5 мм.
8rtpg(€2/ i +12)
3.66. ДСяк-^як8-10“6 см. Эта оценка не учитывает «исчезновение» по¬
ля в объеме шарика. Величина неучтенной энергии порядка механической
работы по переносу шарика в заданную точку. Таким образом,
ДС~ 1(Г5-1(Г6 см.
3.67. М -
(е- 1 )R2V2
16 у Момент сил М стремится втянуть диэлект¬
рическую пластину внутрь конденсатора.
3.69. V = f
8 xMgd
~~ I
3.70. F =
El-£2
3.71. F г
2(ei + e2)
2a R2V2
(/+*)
= 4,71 кВ.
, 2
Q
R
10-5 дин, если a ;
§ 4. Постоянный ток. Токи в неограниченной среде
4.1. $ = 0,75 А. Вольтметр покажет ноль, так как падение напряжения
внутри каждого элемента равно ЭДС элемента.
4.2. 31 як 1,05 А (по направлению ЭДС); Зг як 0,87 А (против направле¬
ния ЭДС); Kfe 1,8 В.
у 1 + 2 Т 3
4.3. 1) К = п
4.4. lf =
4.5. J =
Э + Г2 + Г3
+ Л 2
Ур( 1 +R3/R2)
Я0(1+Яз/Л2)+*з'
- Sfi; 2) V = 0.
4.6. Л =
*1*2
*1+*2;
сг л ®1 *1
3r = 0 при условии — = —
^2 *2
4.7. TVj = JV4 =
4.8. ЙГ2 = W3 | 1 +
V
4.9. ■€ = -
4.10. Vt =
(^1-^2)
4i?
*2
*3
No-No —
ч = 1±_*1
S *1 *1
(^ i + ^2)
4Л
-!)■
*1
1 +"5“ ^2
1 +Т
VR,
*1 +*2 + *3
, где i = 1, 2, 3.
232

4.11. Si =
Зъ
3 R2R3
R\R.2 R.\R$ /^2-^3
3r2r1
; 3 2 ~
3 R\R2
R1R2 + R1R3 + ^2^3 ’
R\R2 -4- R{R3 + R2R3
4.12. 1) Если диаметр вращается по часовой стрелке
/ ... ч -Ш-Л
(рис. 396), то лампа вспыхнет при а = — —у
_ т/
при (3 =
погаснет
2 V
2) Emin = Езаж, лампа загорится при а = +
4.13. V ■■
ESRn
2л
Е— 1
6,67 • 10~4 ед. СГСЭ = 0,2 В.
Рис. 396
4.14! S = гб, где 6 — ширина пластины.
Решение. Заряд, приходящий на пластины за время dt-.
dq = avb dt,
где поверхностная плотность поляризационных зарядов на диэлектрике
о
4л Л'
Отсюда
3 = %
at
—7— х Х,Ь [ед. СГСЭ].
4зт п
4.15! N ='3S = ~Г~ [эрг/с], где г — мгновенная скорость ди-
4зт л
электрика, 6 — ширина пластин. Работа батареи расходуется на увеличе¬
ние электрической энергии конденсатора и кинетической энергии диэлект¬
рика поровну.
Решение.
N dt = 3 dq — dW + ЬА,
I Г'у?'}- \ у2 * г
dW = d ±3- =3-dC, дА = 3- dC, dW = ЬА, С = С0 + 3-3 1
\ 2 ] 2 2 и 4л h
-g1 ,е-1 J
N dt = 2 dW = 2 dC = ~— f v dt.
2 4л n
4.16! R=~
1
лка
ro
Решение. Поскольку Ai з> А, то можно считать, что цилиндрические
проводники по всей своей длине имеют постоянные потенциалы. Поэтому
для определения поля следует рассматривать электростатическую задачу.
Пусть линейная плотность зарядов на проводниках есть ± я. По теореме Га¬
усса поле Е вокруг цилиндрического стержня на расстоянии г от его оси
равно
Е= ±
2х
г
233

Разность потенциалов между стержнями получим путем интегрирования
поля Е
ь~го,
о-г о
: 2х
S 7
То
г о —г
dr = 4х In ■
г о
. . b
■ 4х In —.
То
Полный ток S найдем, принимая во внимание, что вблизи каждого из
стержней поле практически не зависит от заряда другого стержня (6»г0).
Полагая, что плотность тока постоянна по толщине листа, получим для пол¬
ного тока, вытекающего из цилиндрического проводника
3 = 2 nr0aj = 2пг0акЕ = 4лхАя.
Следовательно, искомое сопротивление
3
21 , D
In
1 .
лка П г0'
4.17. R =
лХЬ (D-d)
iM-R=ik{b+"' d
Vf-i
4.19. RAB = lL—aip*
rf'
D
4.20. 9(0) = (9! - 92)
; 0,55ajp = 0,55 Ом.
In [tg (6/2)]
2 In [tg (0q/2)]
+ 1
4.21. 9max — REnp ■
4.22. E-- *
lvE„
■ 4,5- 106 B; #max = = 1 mA.
2it
4.24. C =
4.25. a =
r2-rx
— fil
4 л ^X2
r\
4.23. ? = f- =78 ед. СГСЭ ss 2,6-КГ8
*2-
(на единицу длины); E =
Кл.
2 Ко
Rl-Ri Г’
р =
Ко
x(r\-r\)
К 62^-1 ~ 61^2
4л d [Х2 Ч- d2X\
4.26. Л = , где Rl и R2 — радиусы сферических обкладок кон¬
денсатора.
4.27. А (г) ос
£ R2-
„4 ‘
4.28. А (г) oci
4.29. р =
и
-j, где х — текущая координата, отсчитанная
4л M + Oa-AiW
от точки А по направлению к точке В. Заметим, что если А и е — константы, не
зависящие ни от координат, ни от времени, то объемная плотность р сво¬
бодных зарядов в проводнике, по которому течет постоянный ток, равна нулю.
234

4.30. Q
П
4лХ
E
'у', Як^к-
k = 1
4.31. D = 3,3 см.
4.32. Я=--Ч-у-
4л; IrjXi
+
7-2X2)
4.33! P ешение. Представим себе электростатическое поле между про¬
водниками А и В, находящимися под определенной разностью потенциалов
V, причем пространство между ними ничем не заполнено. Сравним это поле
с полем электрических сил, когда пространство между этими проводниками
заполнено однородной проводящей средой (удельное сопротивление р) и к
ним приложена та же разность потенциалов V. Так как среда однородна и по¬
верхности проводников являются эквипотенциальными поверхностями, то
напряженность поля Е в обоих случаях одинакова. В случае электро¬
статического поля CV = <2=^о dS, где о — поверхностная плотность заряда
на элементе dS поверхности и интеграл берется по поверхности одного из
проводников. Так как Е = 4ло, то
CV = ^~ [ EdS.
4л J
(1)
В случае постоянного тока
где / — плотность тока и интеграл берется по поверхности того же проводни¬
ка. Для всех точек пространства закон Ома дает Е = /р.
Следовательно
V 1 г
* = (2)
Сравнивая (1) и (2), получаем R = р/(4пС).
4.34. R = р/(2ш).
Указание. Для решения нужно применить результаты предыдущей
задачи.
4.35. R =j- \ р- + р-
4л I С1 С2
4.36 Qi =
Ж г-
г2 ^ X,
Г1 х2
&=-
if Г)
- + -
4.37. q= \е\. Поскольку подвижности ионов постоянны, то постоянны
скорости ионов щ и V2 и ток, меняясь скачком в момент времени Д прихода
одного из ионов на пластину. Обозначив через .* путь первого иона, а
(d — х) — путь второго, получаем
3 = Sl = 4~ (,,1+,'2)- 0 <<<<!=■—
3 = 3% = ^fv%' h ** t < h = ■
235

§ 5. Магнитное поле. Закон Био-Савара-Лапласа.
Теорема о циркуляции в вакууме. Индуктивность проводников.
Теорема взаимности
5.1. В = 1 Гс * 0,349 Гс.
cb2 9
5.2. В = — = — Гс я* 0,126 Гс.
са 25
5'3’ в~ёг (| + 2
5.4. В = 0.
Указание. Рассмотреть более общий слу¬
чай — три подводящих провода (рис. 397) к верши¬
нам треугольной пластины. Пустить ток 3 от А к В,
такой же ток от В к С и ток 3 от вершины С к А.
с с „ 2лЫЗ , D
5.5. В = —-— (cos р — cos а).
5.6.
5.7.
5.8.
о = 4 = 15,9 ед. СГСЭ =5,3-1(Г5 Кл/м2; В = — Е = 5-10~6 Гс.
Zji с
23 1
В = — при /• < R и г ts> d\ на оси трубы (г = R) В л 0,1 Гс,
СГ 2 лЯ
- 1
„ 23 1
В яг — — при г»Л, где г — расстояние от середины щели.
сг
1 —
В =
2 лЯ
23 г 1
Р2 ^
„ — (4—11 +1
2о7 Рг Ы
— H~i | -ы
Р2 I /гг
23
сг
при г < Rh
при Rl < г < R2,
при г > R2.
5.9. В цилиндрической системе координат, ось которой совпадает с осью
витка, следует проанализировать поведение составляющих магнитного поля
Bz(r) и Вг(г). Ответ на вопрос задачи определяется знаком производной
Bq (0) на оси витка. Поле в плоскости витка минимально в его центре.
5.10. Внутри сферы поле соответствует полю прямого бесконечно длин¬
ного проводника с током 3, а вне сферы поле В = 0.
5.11. В =
лЗ(Ы + \)
R
N
У каза ние. ^ sir
лп 1
2 N 2
= Т (N+ О-
n = l
236

2
5.12 В -
2 л/ / г_
R
5.13 В = ■
5.14. 1) В = ss 0,67-10 7 Гс в металле; В = 0 в воздухе.
2) В =
2хС2 е — 1
0,44-10 7 Гс в диэлектрике; Я = 0 в воздухе.
_ „ 4ле7 4л , 2
5.15? В = = — кыг1.
с с
Решение. Объемная плотность связанных зарядов
Рсвяз = — div Р = -к div Г = -к ||| +fj = —2к,
т. е. постоянна во всем объеме цилиндра. Вращаясь с угловой скоростью со,
связанные заряды создают токи с объемной плотностью
/ = согрСЕЯЗ = — 2кшг.
Магнитное поле в точке г создают только внешние кольцевые токи, т. е. такие
токи, которые текут на расстояниях больше, чем г. Сила таких токов, прихо¬
дящаяся на единицу длины цилиндра,
R R
^ / dr = —2ки> J г dr = kco(r2 — R2).
г г
На поверхности поляризованного цилиндра возникают связанные заряды с
поверхностной плотностью освяз = Р = kR. Кольцевой ток, создаваемый на
единице длины цилиндра этими поверхностными зарядами, равен k(uR2.
Сложив его с кольцевым током объемных зарядов, найдем полный внешний
кольцевой ток, приходящийся на единицу длины цилиндра: 3 = кшг2. Такой
ток создает внутри цилиндра магнитное поле
АлЗ 4л 2
В = = — ка>3,
с с
направленное параллельно оси цилиндра.
(|) =^г V? ^ 1,6-Ю-б
5.16.
шах
if
С I р
5.17? 1) В =
qR1
Ъс
2) В
5с
Р
3(сог)г
г
3(сог)г
г г
(Вектор г проведен из центра шарика.)
Решение. Рассмотрим, например, случай 1).
Возьмем на поверхности шарика бесконечно узкий поясок, заключенный
между углами 6 и 6 + dQ (рис. 398). Вращаясь с угловой скоростью со, такой
поясок эквивалентен круговому току йЗ = ш? sin 6 с/0/ (4л.) с магнитным
237

моментом
йШ
„ do) _? qо sm 0
= S = ЛЙ'
c Axe
Интегрируя no 0, находим магнитный момент всего шарика: :
Отсюда и получается результат, приведенный в ответе.
5 ql^
6 с
э2
= qR2a>l(3c).
5.18.
■ со.
5.19. Я1 = ^-<о.
оС
5.20? Нет. Не может.
Решение. Магнитный момент равномерно заряженного по объему ша¬
ра радиусом R, вращающегося с угловой скоростью со, равен (см. решение
задачи 5.17)
где q — полный заряд шара, т. е. в условиях задачи — Земли. Введем величи-
Я р Яе
ну х — —1 и запишем заряд одного атома в виде
ЯР
Z(QP ~ Qe) = ZxQp-
Если Земля состоит из атомов с атомным номером Z и относительной
атомной массой А, то отношение ее полного заряда q к массе Мз равно
д _ Zxq„
А/3 ■ тнА’
где тн — масса нуклона. С помощью этого соотношения выражение для маг¬
нитного момента Земли можно представить в виде
Ш1 =
z Яр
х — —
А тн
4л „5
15с рЗшЗйЗ-
Если бы Земля обладала таким магнитным моментом, то индукцию маг¬
нитного поля В на полюсе можно было бы определить из выражения
В = 2Ш1/й| (это максимальное значение). Отсюда
А тн 15с В3Т3 19
А' = — г- у яь 2,6-10 14.
z Яр 16л2 p3R23
Однако данные опытов (условие задачи) свидетельствуют о том, что эта ве¬
личина еще меньше (х < 10~21). Таким образом, гипотеза о том, что источ¬
ником магнитного поля Земли являются нескомпенсированные заряды про¬
тонов и электронов, вращающихся вместе с Землей не подтверждаются
опытами.
5.21.
вт-Щ
caz
в (Г)
23
сг
2 а2
при г < а (внутри цилиндра);
при г » а (вне цилиндра).
238

5.23. В = 2njd = 3140 Гс. Поле В перпендикулярно к линии АВ и на¬
правлено вверх, оставаясь в плоскости рис. 69.
5.24. В = y[sd], где s — единичный вектор, направленный вдоль тока,
а вектор d проведен от оси провода к оси цилиндрической полости.
5.25. p(r, z) — ~~л Z' Q = В(г)=ЩУко^.
5.26.
Ф =
Зп2rI
cR
3n2R0
Юс '
5.27. L = | ( 1 + 4 In у] (СГСЭ);
L = Z 1+4,n7 (СИ)-
5.28. L = 0,24 • 10~6 Г.
Указание. Индукция магнитного поля В внутри трубки на расстоя¬
нии г от оси В = 23!(сг) (краевыми эффектами пренебрегаем). Вне труб¬
ки магнитного поля нет. Поэтому поток через радиальную перегородку
. 231 г dr , а
Ф = —— \ —, где / — длина трубки, г0 — радиус провода, rj — внутренний
Го
радиус трубки. На единицу длины имеем LH = 2 In (Г[/г0) » 6, откуда
L = 240 см.
5.29. Lfv 4/ In Р - l) »8,7 91 [см]; £уД яг. 8,79 = 8,79 • 10~7 Г/м.
5.30.
5.31.
5.32.
5.33.
5.34.
5.35.
м = 4L\Lq. = о,б г.
= = ю5 Мкс = 10“3 Вб.
1с
. 2 аЗ / а)
ф = _1п h+_ .
М = 2яЛПп | 1 +J .
Ф = АппШ.
2Nnb3
ф21 = in 11 + 1 як 105 Мкс = 10_3 Вб.
5.36. L = LqLy2М = Lq + 4nn2lS + 8tuioN cos 6.

§ 6. Магнитное поле в веществе. Векторы В и Н. Теорема
о циркуляции в веществе. Сверхпроводники в магнитном поле
d
6.1. 3 = —.
п
6.2. Внешние поля В и Н совпадают. Поле В непрерывно на границах, а
поле Н внутри определяется соотношением Н = В — 4л.1 (рис. 399). Если по
Рис. 399
аналогии с электрическим полем ввести связанные «магнитные заряды», по¬
верхностная плотность которых на торцах бруска равна о, то после построе¬
ния этой модели получится аналогичное электростатике соотношение о — 1.
6.3. Внутри пластины В = 0; Н = —4л1. Вне пластины В = Н = 0.
6.4. Внутри пластины В = 4л1; Н = 0. Вне пластины В = Н = 0.
В (I \ ^
6.5. ВА = 2л/, -£■ = - . Картина полей В и Н представлена в решении
Вс [г)
задачи 6.2.
2 h
6.6. Вс = ВА-^= 100 Гс.
6.7. / > 14
,пЛ£Е1
' I1
14р.
6.8. К Ю_2-^-яе 0,02г.
р-1
6.9. 1) Фн = Ф (Н ds) = nR2B0 cos 6. Поток вектора В через
S V
верхность сферы, конечно, равен нулю.
2) ф (В d\) = (1 - ц)/В0 sin 0.
I
6.10. Ф = 4Na^ = 32 000 Мкс.
cD
по-
6.11. ф= 4*Л'?У
с( лЛ-Нр-Ш)
N
24 300 Мкс.
6.12. В = -
cl
240

6.13. В-
4xs/N^\l2
2d№2 + (."rfJ (1Ч + М-2)
и 2d\
,4 л —— г +г
6.14. В = /0 ^ Д » 5390 Гс, где R = — 7
и?
2 см.
‘•15. # =
JV_
с2нж
{3-3 о).
6.16. 1) #0 =
4xNL 1Янас
+ 4л/нас т I ;
„ч „ AnNS , , ,
2) В — —— h 4л/нас
cL
6.17. В ss 15 кГс.
2x1 L
6.18. 5 =
L + ^'
6.19. Во = В
l+Щг2
16/Г
6-20!fr'+dSn
1 +
JiL
2яЯ'
Решение. 1) Пусть магнитик с намагниченностью / вставлен в левый
зазор, а правый зазор пуст. Запишем теорему о циркуляции для вектора Н:
ф(Н d\) = (В- 4л/)/ + ^-2лЯ + В1 = 0,
откуда поле в зазоре или металле сердечника
2x11
В =
1 +
Правый зазор пуст. Поэтому на этом зазоре и рассеивается магнитный поток
(рис. 400). Зазор является источником магнитного поля. И левый зазор тоже
есть источник магнитного поля (рис. 400). Однако левый зазор заполнен маг¬
нитом с намагниченностью I. Намагниченность материала в сердечнике Ii.
Поэтому поле в центре О обусловлено магнитным диполем с намагниченно¬
стью Ij (правый зазор) и магнитным диполем с намагниченностью (I — Ij)
241

(левый зазор). В конечном счете поле Вi в точке О определяется магнитным
моментом Ш1 магнитика 9JI = IV, где V — объем магнитика. Поле магнитного
диполя в вакууме в перпендикулярном направлении равно
В
1V_
я3'
2) Рассмотрим второй случай. Правый зазор заполнен материалом
сердечника, т. е. теперь один из источников поля для точки О отсутствует
(нет правого зазора). С помощью теоремы о циркуляции вычислим поле в
сердечнике
= __4дЛ_
I 2л;./?+ /
К
Найдем намагниченность /[ материала сердечника
, в'-н'
h~~4~
В’ -В'/р,
4я
g_
4л’
(ц» 1).
Поле В2 в точке О определяется рассеянием на левом зазоре, т. е. разностью
намагничен ностей
4л11 . 2 лЯ + /
I-I =/-
4л U +
2 jiR + l
= /
/[Д. 4* 'IkR 4* /
„ „ „ Ml' U-I\)V
Найдем это поле: В7 = —г = г
Я3 Я3
. Искомое отношение полей
By _ 1 _ /|т + 2лЯ + /
В2 2лЯ + /
1 +
iiL
6.21. N
6.22. / = ■
_ сВЦ + ра)
4лро7 тах
ЯоЯк
3000 витков; V ■■
2л Я'
^ Лт/ р
= 25 В.
11,9 Гс. Под коэффициентом размагничива¬
ло + (4л-|3)ЯК
ния р понимают (см. Д. В. Сивухин, т. III, § 61) коэффициент в соотноше¬
нии Н0 — Н = р/, где Н0 — внешнее поле, которое в
нашем случае выключено, т. е. равно нулю.
6.23? В = В0 1 +
Я
,3
ЗЯ3(В0г)
2 г5
Г;
2 г\
i(0) =||B0s*n 0-
Решение. Введем предположение, оправдывае¬
мое последующим расчетом, что вне шара на однород¬
ное поле В0 накладывается поле точечного диполя с
магнитным моментом ЯД. Диполь помещен в центре
шара (рис. 401). Тогда
в = в0 + ^>г-1
Г Г
242

Момент Ю1 определится из условия, чтобы нормальная составляющая вектора
В на поверхности шара обращалась в ноль:
ВI = В0 cos 0 + cos 0 = 0.
I r=R и я3
Этому условию при любых значениях углах 0 удовлетворяет
R3
*» = - у во
Таким образом, искомое поле В вне шара
В = ВП
1 +
Ж.
2 г
з/т0г)
2 г5
■ г.
На экваторе, т. е. при г = R, 0 = 90°, получаем В = ЗВ0/2.
Поверхностный ток сверхпроводимости течет вдоль параллелей 0 = const.
Из граничных условий на тангенциальную компоненту вектора Н следует
(Но ■+■ Ндип) л
I =^'(0).
г=Я С '
Откуда
Зс
г'(0) = — В0 sin 0.
При этом учитывалось, что Н = В поскольку р = 1.
6-24 rmin = r0
1 -
6.25. г
В = В0 1 +
сВо .
- с *
R
пов(0) = yr sin 0. Ток течет параллельно оси проволоки (рис. 401).
2Д2(В0г)
• г, где г
радиус-вектор, перпендику-
r-j г
лярный к оси проволоки, проведенный от оси к точке наблюдения. Поле на по¬
верхности проволоки максимально при 0 = 90° и равно 2В0.
6.26. р = 1 — 2пг3п.
6.27. Без шарика поле В0 — —— перпендикулярно плоскости тора. С ша-
сК
риком появится дополнительная составляющая, лежащая в плоскости тора
*'=s(?)3-
6.28. AL = — у = -200 см = -2-10-7 Г.
6.29. Максимальным будет поле у поверхности шарика в экваториальной
29
6л
плоскости Втах = В0 - — = - в0; Втах = — пЗ-
6.30. AL = - ^ = -2,5-10'
4 к3
6.31. АЬ= ~ -1,2-10
» кJ
-3 ,
-2,5-10-12 Г.
—1,2-10"12 Г.
243

6.32. ^ = = 9,4-ю10 ед. СГСЭ = 31 А.
6.33. г
SJh
г, где г — расстояние между проводом и точкой на поверх¬
ности в сечении, перпендикулярном проводу. Сверхпроводящий ток паралле¬
лен току 3 и течет в противоположном направлении.
8 Jmg
6.34. Н =
80 Э.
6.35. 3>cf^ = 8,4-Ю10 ед. СГСЭ=25А.
6.36. h =
c2Pig
6.37. i(х)
як 0,2 см
3h
Ti(h2 + х2)
(см. рис. 402),
З2
/ = -5— = 1 дин/см.
с h
6.38. 7 =
(uL
6.39. L= 2Л
6.40. L= 2Л ki In h
^0*
12,7 Гс.
-4- In
гъ г\
In^U
С ri-
-п
гг)
Г2+.
г\
-5-Ц In
“I
як 58 см
Г\
гз-4
104 см.
6.41. Q =
BAH
La2 7= = 120 Дж.
6.42. 3 = -
1 ■
|j R‘
(|X-1)
при 0 < t < —;
3max — V-30 — 50 A; t„
R
= 3,3-10~6 c.
6.43? В предложенной постановке наша проблема эквивалентна задаче о
среднем значении и дисперсии квадрата удаления х от исходной точки после
десяти шагов по десять единиц в случайном направлении по одной оси. Сред¬
ний квадрат удаления — 1000, т. е. 0,1 максимального, а, соответственно,
индуктивность немедленно оказывается равной 100 мкГ. Для нахождения
дисперсии индуктивности можно аппроксимировать распределение удале¬
ний функцией Гаусса с дисперсией ах = 1OVTO^.
И =
Д L = ^ (L — L)2 = i(x2-x2)2 = ijx4-.
^ х4 ехр[—х2/(2о2)] dx
J exp [—х2/(2о2)] dx
■ = За4; AL = VSo4^4 = V2 а2.
А= ЮО^/оо мкГ.
244

В пункте 2 проще всего непосредственно подсчитать требуемые величины
для 9 возможных здесь значений индуктивности.
1= ^ (0,64 + 0,36 +0,16 + 0,04) = 267 мкГ;
Л L = (Lt - Z)2 = 234 мкГ;
/
±2= 267 ±234 мкГ.
Если же принять, что поворот равновероятен после намотки доли л; полно¬
го числа витков, то
_ 1
[х- (1 - л)]2 = (2а- 1)2 = 4,v2 — 4~х + 1 =4 ( х2 dx-
L0 J
^ = (2л- - I)4 = 16л-4 - З2л-3 + 24л-2 - 8++ 1 = 0,2;
AL=*Jl2-L2 = LoV0,2 - 0,111
298 мкГ.
I
3;
Li = 333 ± 298 мкГ.
§ 7. Электромагнитная индукция.
Энергия и силы в магнитном поле.
Сохранение магнитного потока в сверхпроводящих контурах
7.1. S = 0,314 А.
7.2. 3 = 0,314 А (сравните с предыдущей задачей).
7.3. I = , ,,. = 9 -108 ед. СГСЭ = 0,3 А.
4jmv In (1 +a b)
7.4. V = Л'1 — = 4 -10~5 ед. СГСЭ = 12 мВ, когда движок находится в
с т
положениях 1, 2, 3. V — 24 мВ, когда движок вернется в точку 1.
1.5. В воздухе Е = — °7 ■ ■' = 10-8 ед. СГСЭ я: 3 • 10-4 В/м.
г с1 4
В диэлектрике Е' = Е; d’ = 2D.
7.6. £ = ^-®0sin соt.
2iicr u
77 V _ “>Br2\ 0 -RlIRO2. y _ O)BR\ (1 -R2IRi)2
’ ' Kl 2c I+C1/C2 ’ 2 2c l+C2IC{ '
c2mgr — c'€IB . „ , У/Д
7.8. г; = — я» 5 м/с. Если вес проводника mg > , то он дви-
B2l2(l + rlR) сг
жется вниз, в противном случае — вверх.
7.9. v =
3mgRc
2 В212
1,5 см/с.
245

7.10. М = ЩN = Мсо (СИ).
2 (R + r)
7.11.
7.12?
Й?с = SNna.Q(i>efK sin 2co(.
2л 2 л/яоЭК
^со = — /гОЛао V—;
= 2
I
В0Ш
J
Решение. Магнитная стрелка с магнитным моментом ЭИ эквивалентна
маленькой катушечке (или просто витку с током) с таким же магнитным мо-
£}
ментом ЭИ. Магнитный момент витка с током ЭИ = — S.
с
Для определения потока, посылаемого стрелкой через соленоид, восполь¬
зуемся теоремой взаимности. Этот поток равен потоку, посылаемому солено¬
идом (рис. 403) через эквивалентный стрелке виток
4jt
Ф = — nSS cos а — 4л/(Щ! cos а.
Если магнитную стрелку поместить во внешнее поле В0, отклонить ее от по¬
ложения равновесия на угол а0 и отпустить, то стрелка начнет колебаться:
Jа = —В0Ши, где в правой части момент сил, действующих на стрелку
М = [ЭИВ0]. Откуда следует, что частота этих колебаний равна си
В0ЗП
а
закон колебаний стрелки a (t) = cto cos ал1. В соленоиде при таких колебаниях
возникает ЭДС индукции
1 d<t>
с dt
^с =
4ппШ [cos (а0 cos a>t) [
Дифференцируя, получаем ответ задачи.
7.13. 3(f) =
7.14. if = -
23JtiuCa)
сШъ
sin Ы.
со, где знак «—» означает, что эта дополнительная
ЭДС убывает при экранировании. При этот под Й? понимают действующее
значение ЭДС.
Указание. Хорошо проводящий лист металла эквивалентен сверхпро¬
водящему «магнитному зеркалу», в котором и возникает «отражение» катушки.
7.15. 3(f)
7.16.
V2c2RR0
_ xr2l <х>В
~ 2f2Rc
iо sin wt.
(показание вольтметра переменного тока).
246

7.17.
Показание милливеберметра ДФ =
=ф=^.
л/р
7.18.
3
~ mufv - 18я • Ю4 ед. СГСЭ
як 0,19 мА.
cL4r
7.19.
ал
7.20.
v > BVяк 120 см/с.
* олр
7.21.
"0
= M-fe=20M/c.
7.22.
ЯЛ
Я (/г2 + а2)3/2
~~ 2яси *Р-
7.23.
Q '■
= = 2,9- 10б ед. СГСЭ як 10~3 Кл, где
ск
нитная индукция в щели.
4л
Если #! — поле внутри магнетика, то Н\ = — Д, где 1\ — остаточная
намагниченность шара, а коэффициент 4я/3 — размагничивающий фактор
8 л /о
шара (см. Д. В. Сивухин, т. III, § 61), = •
ш.
■ = 973 Гс.
+ 1
7.24. Q = ^~-» 3,75-10s ец. СГСЭ я» 0,125 Кл.
С К
7.25. DQi=^^K;2)Q2 = iQ1.
7.26. <£(*) =<£0|l ~ 2е~(/т
7.27. L = fMMe=J.10-6r
, где т = ■
4лЛ^5
с/Л '
7.28. <? =
cRp
7.29.
L-Lq/N2'
7ЧП
<Г0 1+/(X/L •
7.31. £ = £,
= 5 -10° Гс; P =
7.32. ,#0 = т
7.33. # = "Ь ~j2 cos
7.34! P = Ц 32n2.
+ (|x— \ )llL'
a_
о
8л
1012дин/см2= 10б атм.
Решение. Способ 1. Сначала определим давление магнитного поля как
2 л
плотность магнитной энергии Р — ы>м = — = —г- З^п2. Заметим, что сила
ал ^
247

магнитного давления направлена наружу (в ту область, где нет поля или оно
меньше) в отличие от электрического поля. Например, пластины заряженно¬
го плоского конденсатора притягиваются друг к другу, т. е. сила давления
электрического поля направлена в область поля.
Способ 2. Рассмотрим второй подход, основанный по существу на рас¬
чете силы, действующей на ток в магнитном поле. Возьмем элемент тока
3 dl. Этот элемент тока соленоида находится в магнитном поле В, создан¬
ном всеми элементами обтекаемого током соленоида, кроме выделенного.
Сила, действующая на элемент тока 3 dl, находящийся в магнитном поле,
равна — dl В. Указанное поле В может быть найдено из следующих сообра¬
жений. Внутри длинного соленоида поле вблизи элемента тока 3 dl склады¬
вается из поля В, создаваемого всеми элементами тока соленоида, кроме
данного элемента тока, и поля в', создаваемого данным элементом тока.
Сумма этих двух полей одинакового направления равна Лпп31с, т. е.
В + В = 4nn3fc. Вне длинного соленоида сумма этих полей вблизи рас¬
сматриваемого элемента тока, как известно, равна нулю вследствие того,
что поле В меняет свое направление на обратное. Поэтому В — В =0.
Из записанных двух уравнений находим В = ЪтЗ!с, откуда сила, действу¬
ющая на элемент тока, равна
2пЗг
п dl, а искомое давление Р ■
2х32
как при энергетическом рассмотрении (способ 1).
7.35. F =
З2 Ь
c2R2
7.36. Ры =
2Г
8л’
/ = 0.
7.37. 1) М = тЗ(2- VT); 2) х
„2\
7.38. Р(г) =4^-г
с1ш
1
иД- 1).
7.39. АР = = 104 дин/см2 = 10 2атм=1кПа.
са
7.40? 3^ 600 А.
Решение. Сила, действующая на столб ртути в трубке, F « 3DBlc.
Такая сила эквивалентна разности давлений на концах трубы
Р2 — Р\ = 4F! (л£>2). Подставляя эту разность в формулу Пуазейля
(см. Д. В. Сивухин т. I, § 97), получим
3 Д2Kr]cL = { 8_ 1012ед сгсэ = 600 А
BD3
_ ., л , XVBL л ,
7.41. Ah = «0,6 см.
acpg
2^2(1
7.42. F = ~2^2 2^' Сила направлена от оси цилиндра к оси стержня.
7.43. 1) А = 8 In 2 [эрг]. 2) Увеличится на AWM = 8 In 2 [эрг].
248

7.44. А =
2,7 эрг.
7.45. / = 2
с
2аЗ\Зг ( а
2n3va
6,3-10 10 дин/см = 6,3-10 3 Н/м.
2
7.46. F =
23\32 / / \ _
^2'Ш ЗДИН-
QB
1.47. Я = Обратите внимание на то, что угловая скорость прецес¬
сии не зависит от скорости вращения кольца и от угла между направлениями
векторов В и со.
2лт
cf
7.48. Q = v=20c_1.
4
7.49. Стрелка повернется на угол ср =
7.50. S > 2ПС* 98 «s 2400 А.
3 nNB _i
7.51. си=- 0 = 0,1с .
2 тс
7.52. jV = BE = 1,4-1016 эрг/с = 1,4-109 Вт при -^ = Ve, где е —
основание натурального логарифма.
2лР
2лр
7.53. Р] = —у- рр Р2 = —у- Р2 — давления на ленты.
с с
г> 2ш2 . ,
Pi2 = —(pi — р2) — давление на границе раздела магнетиков.
В целом система сбалансирована — не движется.
- с. . . d 2л32
7.54. L = 4 я Р =
а сгаг
7.55. L=2l\n {Иг) при /» /-.
Рс2 7 7
7.56. 2, = 2 -V / = 107 см = 10~2 Г.
З2
7.57. F = 6 j = 6 • 10~4 дин; М = -
7.58. F = J^B25.
ол:
7.59. L = 2c2F/ , = Юб см = 10~3 Г.
(рс — 1)<^2
2iт232
7.60. h = —т (р — 1).
с pg
20 см.
7.61. А =
2nS (2
И)с м :
ра> 1, 2,»/.
249

7.62. F(d) =
r3N
R , d
с I- + -
]Л Jl
F(0)
'P*“J '
7.63. y- = j (1 + —
?2 4 |12
7.64. F
7.65. ф
49,8 H.
j_£i is
2л Bo L3
_ ,, AC2 IB
7“■ tt’si”
7-67-
0,1 рад з
± 10.
6°.
7.68. S
max, магн
cdBy^ p
2л
480 A
этот ток определяется предельным
магнитным полем, разрушающим сверхпроводимость.
Зтлх, мех = ^ 400. Таким образом, предельный ток опреде¬
ляется прочностью обмотки.
7.69. F = 77 BlR1 = 9 • 106 дин.
64 u
7.70. F =
с2Я
, 8F
In
г
Во
7.71. Р =
8л — oj
2 = const, где Рм — магнитное давление на стенки соленоида,
- поперечное сечение соленоида.
3
1.1Ъ. Линейная плотность поверхностного тока i = давление направ-
З2
лено внутрь сверхпроводника Р\ = 5—;
2яс R\
7-74’ '•-х = |^«1.7см.
7.75. A = \b3l LclNyT.
2 и (L-LJN2)
7.76. r(FШах) = 2у^" ** СМ’
вание натурального логарифма.
7.77. F = 105 дин = 1 Н.
Рг =
З2
2л c2r2
<Р 1.
^шах
1 дин, где е — осно-
7.78. F2(x) = Fx(x)
-, -2
1 -
2с1
32Lq
dx
При,#!-#! F2(x) >Fj(x) (x>0).
Указание. При изменении х сохраняется магнитный поток.
250

7.79. М =
яг,
3£nNS sin 0. Катушки стремятся развернуться так, что¬
бы их собственные поля были направлены в одну сторону.
7.80. F = m^- = m
dx cR
7.81. F(x) = — 3R\
) 2(R2 + X2)4
R
x = ± -7= сила отталкивания мак-
V7
симальна (график на рис. 404).
7.82. / = (давление, направ¬
ленное к центру цилиндра).
7.83. А = 1 №
2 I mg
2 \ 1/4
2,1 см.
7.84. 3 =
сА
%S'
где г
радиус шарика. При
)18а3 > FTf) ~ 1015а3
отталкиваться от поверхности звезды.
7.85. FM ~ > Frp ~ 10 V дин, где а — размер капли. Капля будет
§ 8. Движение заряженных частиц
в электрическом и магнитном полях. ЭДС Холла.
Движение тел при наличии пондеромоторных сил
8.1. v = eV— = 2,2-104 см/с, где m — масса электрона.
„ 1/2
I | 2тс а ]
8.2. v = с
Нерелятивистское приближение справедливо
1+-
при а » т = гкл = 2,8-10 13 см — классический радиус электрона.
8.3.
Скорость минимальна при х = ^
=6-10 5 см.
„ . , , С(1 +Q) „ ( Г
8-4- "W =~мСв° л
я-1
Е(>-) =^so £
где v =
— ско¬
рость электронов.
8.5! х = 12 см.
Решение. Задача решается в предположении, что пучок расширяется
медленно, так что продольное электрическое поле можно не учитывать. Тогда
для нахождения поперечного электрического поля можно применить теорему
Гаусса
2 Е = 4 я*,
где & = i/v — погонный заряд пучка, приходящийся на единицу площади
пучка в направлении длины щели, v — его продольная скорость. Подставляя
251

эти соотношения в уравнение движения граничного электрона в направлении
поперек пучка и считая, что время f = x/v, получим дифференциальное урав¬
нение для границы пучка у = у (х):
d2y _ _ 2лei
dx2 mv3
Интегрируя это уравнение с начальным условием у(0) = dll и потребовав,
чтобы при х = / толщина пучка удвоилась: у{1) = d, получим уравнение для
определения искомого расстояния I, из которого и найдем
V
dmv3
2л(—ei) '
Определяя г как v = 'j2W/m , получим числовой ответ.
8.6Г a) = ^l/^»2,4-109c_I; v = ^ = 0,38-109 Гц.
К » тс 2л
Решение. Уравнение радиального движения протона в поле электри¬
ческого пучка (действием магнитного поля пренебрегаем)
тг + еЕ,. = 0,
где Ег — абсолютная величина радиальной составляющей электрического по¬
ля пучка. По теореме Гаусса Ег = где q = еппг2 — заряд внутри трубки
радиусом г, приходящийся на единицу длины, и — концентрация электро¬
нов. Электрический ток 3 = envnR2 encnR2 (с учетом того, что н»с).
Подстановка в уравнение радиального движения даст ответ задачи.
3/2
8.7. /тах » = 1,5 • 107 ед. СГСЭ = 5 мА/см2.
8.8. Со скоростью от 56 до 60 В вследствие неэквипотенциальности нити
лампы, вдоль которой есть падение напряжения 4 В. Такое распределение
скоростей будет иметь место, если анодный ток мал по сравнению с током
накала, что обычно имеет место.
-пс I с\
8.9. — = 1-1 =£i!L
ОУ- ТА Ы 2eV
25,6.
8.10. и = и0 1 у .
8.11. 17 кА, где ^
Vi-p2
уР « 2. Результат
задачи совпадает с током Альфвена 3 = = 17 кА.
8.12. АС =
2iimv cos a
Ye '
W V 7
8.13. В = — = — = 1,07-10 Гс (ускоряющее напряжение, соответству¬
ющее энергии W, равно V = 7,6- Ю10 В = 2,53-108 ед. СГСЭ).
Указание. Протоны считать ультрарелятивистскими. Их скорость на¬
столько близка к скорости света, что энергия покоя протона пренебрежимо
252

мала по сравнению с кинетической энергией. При таких условиях кинетиче¬
скую энергию можно вычислить по формуле W = тс2, где т — релятивист¬
ская масса протона.
8.14! $Р = Те.
Решение. Радиус кривизны траектории частицы в магнитном поле
р = ср/ (еВ). На единицу длины натянутого проводника действует нормально
упругая сила 77рь которая уравновешивается амперовой силой 3В/с. Это да¬
ет для радиуса кривизны проводника pi = Тс/(ЗВ). При выполнении усло¬
вия pi = р, т. е. Зр = Те, форма траектории будет совпадать с формой про¬
водника.
GJ
8.15. F = — V2Wm «s 0,14 Н, где пт е — масса и заряд протона.
8.16. Для 7Li V = Er In (r2/ri) % E(r2 - rx) % 245 B; E = 408 B/cm.
Для 6Li V = 229 В; £=381B/cm.
8.17. В Ci\m 11^- я» 4000 Fc; t = ss 2,5 года, где m — масса
6 ' me Amp3
атома урана, Am — разность масс атомов 238U и 235U, А = 238 — относитель¬
ная атомная масса
238jj
тг
• масса протона.
8.18. - = ^-
Q c2V
hA
г 1
0 е 8Vc . 2
8.19. —= , sirr а '■
т рв2
5,3-1017 ед. СГСЭ.
8.20.
8.21! со.
ЪтсЬ I W
ег
2т
1/2
11 Гс, где т и е — масса и заряд протона.
еВг(г0)
Vn.
Решение. При отклонении частиц от горизонтальной плоскости возни¬
кает возвращающая (квазиупругая) сила, зависящая от компоненты магнит¬
ного поля Вг. Поскольку в зазоре магнита В ~ Н и rot Н = 0, имеем
дВг
dz
dBz
dr
откуда при малых z получим, что
дБ,
Вг =
дг
z = B2z.
г о
Составляющая силы Лоренца Fz запишется в виде
Fz = - vBr ■■
z с r
Q ry
— o)(,nBzz = — cojpimz.
где v — линейная скорость частицы на орбите, о>0 = eBz(r0)/(тс) — круговая
(циклотронная) частота. Из уравнения вертикальных колебаний
mz ■■
-n<x>Qmz
следует
со ^ = со 0Vn — Vn
eBz(r0)
253

8.22? cor
V2 — n
eB2(rp)
me
Решен и e. Равновесная орбита устойчива по отношению к малым ради¬
альным отклонениям частицы, если сила Лоренца изменяется с изменением
радиуса г медленнее, чем центробежная сила. При малых отклонениях
р = г — г0 можно записать
Bz (г) = Bz (го) + (г -r0)=Bz (r0) - ^ Bz (го) р.
Радиальная составляющая силы Лоренца имеет вид
F=B- vBz (г) = е- оmBz (г) = § со0 r-f Bz (r0) f:1 - ^ p) =
= -o>0r0Bz(r0) I 1
To
' F(r0) — ma>o(l +n)p.
При написании этого выражения использован закон сохранения момента им¬
пульса: Ыого = wr2, где о>о = еВ2(го)/(мс) — круговая (циклотронная) час¬
тота вращения частицы на равновесной орбите.
Запишем теперь выражение для центробежной силы
Рц. б. = шогг =
2 4
тОЗдГ о
; nux>lr0
Уравнение радиальных колебаний частицы примет вид
тр = —тсоо(2 — и)р.
Видно, что колебательный режим (устойчивость стационарной орбиты) воз¬
можен при п < 2. В этом случае
сог =
В
—'—“
1
0
L х
8.23. Для устойчивости радиаль¬
ного движения необходимо, чтобы
п < 1 (при этом F(r0 + Дг) < 0).
8.24? хтях = 5 см; Т = 0,8 с.
Решение. Траектория заряжен¬
ной частицы — спираль с уменьшаю¬
щимся диаметром витков и уменьшаю¬
щимся шагом при приближении к кон¬
цам соленоида (х = 0 соответствует
середине соленоида).
На рис. 405 дан график изменения
поля соленоида В(х), под ним — вид
траектории частицы, а также вектор
скорости в центральном сечении соле¬
ноида при х = 0
В = В0 + В0Ц}-.
254

Известно, что адиабатический инвариант такого движения есть — = const,
„ mv7 еВ ш
циклотронная час-
где <Ь = — кинетическая энергия частицы, а со =
2 7 7 тс
V 2 12 2 2 I
тота. Таким образом, — = —. Далее vx — Vvfo 4- vio ” vz — v
^ if if c\ i
vlo-
2
VxO
2 X
vloT.
Получаем, xmax = L ^ = L ctg2 60° = 5 см — это и есть амплитуда колебаний.
СгО
Период колебаний подсчитаем так:
= 4 { — = 4 (
) vx J
dx
8 Lv
х0
0 VV^O —
2 *
«Л
= 0,8 с.
О и ’ " w “2Я2
8.25! 3 « 1,4-105 А.
Решение. Оценку легко выполнить для частиц, покидающих столб га¬
зового разряда со среднеквадратичной скоростью v = у/ЗкТ/те, направлен¬
ной перпендикулярно поверхности столба. Магнитное поле вблизи поверх¬
ности столба есть
23
В =
cR'
В этом поле вылетевшая из столба частица будет двигаться по окружности,
радиус которой определяется выражением
„2
m,v
= - vB.
с
В итоге получим
8.28. v0 =
Av =
Be
2iimc
cE
8,6-1014 ед. СГСЭ» 1,4■ 105 A.
164 кГц, где m = 28' 1,66-10-24 г — масса иона азота;
RB
8.29. r =
2'
T =
30 кГц.
2itmc
qB
60 лет.
8.30. B(t) =^y~.
8.31 Сила Лоренца Fn—10
-28
-19
ДИН,
гравитационная сила Frp ~ 10 " дин.
8.32. ^- = 24
W v
8.33. ДW = 2vum-
2jim„c
8.34. Т = -
t\W _ 4и
W ~ v '
2лтх2Е
Рис. 406
еВ
/ = -
еВ*
Тра¬
ектория частицы совпадает с траекторией точки колеса (циклоида) радиусом
R = ■
еВ1
-, катящегося без проскальзывания вдоль оси х (рис. 406).
255

cE wi с
8.35. у (t) = г (1 — cos со/); x(t) = r sin со/ + — /, где со = —fr- и
m c ( cE\ ^
.r = t; —— . Ось OY параллельна электрическому полю, а ось OX пер¬
пендикулярна к обоим полям.
8.36. Дф =
лепЬ2
= 0,0075 ед. СГСЭ = 2,26 В.
“пл » ,п7 , ^ 2 4ппе2
нд = —y JC = 3,18-10 см/с «с, гдесо^д = плазменная час-
0)с т-
еВ
тота; сос = циклотронная частота.
8-37. #тах = -щ ln [ед. СГСЭ].
„ „„ ев 2лпеЗ _ ,
8.38. (л0 = —— = Юу с V
Шес т„с
]2е 1
8.39. v = const = "у— ф0, гДе Фо ~ потенциал на оси пучка: ф0 = 3 Фа'.
Яах з/З ^ т Фа
3/2
8.40. $
8.41. v =
2 mv о
тах 3vT е
vi
[ед. СГСЭЬ
; tg ф =
VI
vnp
-, где ф — угол в плоскости движения
между вектором установившейся скорости v и силой тяжести.
8.42. v =
'Ч
ЯШ
г; tg ф = ■
ч
V\B
~сЕ'
8.43. co§ = J^.
с J0
8.44. Капля движется по окружности радиусом г = — с постоянной ско¬
ростью V =
qRB_
2с Е'
8.45. Кольцо вращается с частотой со(/) =
_ gB(t)
2 тс
8.46. v = НуСТ( 1 — е tlx), где
«уСТ —
mc2Rg
(лггаВ0)
- — установившаяся ско¬
рость, Т :
(лг2аВ0)2
I a'kLt
8.47. t; = v0 exp 5
1 c2Rm
o/io _ 1 -Я b2 ln (1 +a/l)
8.48. p LI 2R[ l+l/a ■
256

8.49! г я» 25 м/с.
Решение. В силу того, что полосы, по которым течет ток, достаточно
широкие, а промежуток между ними мал, магнитное поле токов будет сосре¬
доточено в основном в этом промежутке. Пренебрегая краевыми эффектами,
определим поле В, полагая также, что линейная плотность тока i = 31а.
Таким образом,
В =
4л 3
Давление магнитного поля Р направлено на пластины. Именно оно созда¬
ет пондеромоторную силу F, приложенную к бруску:
_ В _ 2x3
Ы~ г2п2
F = Pal =
2ji32l
Исходя из того, что время действия этой силы ограничено длительностью им¬
пульса тока At, определим искомую скорость бруска
FAt 2nS2lAt
v =
т
8.50. v = —
са г о
тс2 а
25 м/с.
са I р
Q
- 40 м/с.
8.51. L = — г§/?0 = 8-10 Зг-см2/с.
m.cBRh г
8-52- *=ытг=4'5-10 рад-
Решение. Магнитное поле внутри цилиндра равно нулю. Достигается
это поверхностными токами, намагничивающими сверхпроводящий ци-
н В
линдр. Ввнутр = 0 = Я + 4л/, откуда / = — ~
ное поле. Магнитный момент всего цилиндра объема V
В
—, где В — внешнее магнит-
431
ЯК = IV = -
n2. BR2h
■nR2h = ■
4л: 4
Гиромагнитным отношением Г называется отношение магнитного момен¬
та ЯК к механическому моменту импульса тела
_ ЯП _ _ е
L ~ 2тес'
„ . , . ЯП 2тес mcBR2h
Отсюда \Ц = — = ——Ш =———.
L — это механический момент им¬
пульса, который получает цилиндр сразу же после выключения магнитного
поля В. L = /ф, где J — момент инерции цилиндра относительно его оси, ф —
максимальная угловая скорость, которую получает цилиндр перед началом
вращения. Из закона сохранения энергии
MRL
Icy2 Jy2 . 2 2/
= -у, откуда ку>* = -у
Ф = Имея в виду, что J = 2
_ mcBhR
'Р ~ Ы7Ш
, получим ответ
4,5- КГ5
рад.
8.53. о)-со0=
10"
Частота ц> возрастет, если
дБ | УгВ
' 2тс ~ 2тс
векторы В и со направлены противоположно, и уменьшится, если они направ¬
лены в одну сторону.
9 - 1651
257

8.54. При включении поля В частота обращения шарика изменяется
и энергия шарика уменьшится на
на До) = ±
Д^КИН —
2 тс'
BqL2 sin2 а
Кинетическая
Bq
+ 2
а
если со и В параллельны, и возрастет на
Ac 12тс
ту же величину, если антипараллёльны. При выключении (и включении) по¬
ля В возникает вихревое электрическое поле, тормозящее (или ускоряющее)
движение шарика.
__ 5 mecRB
8.55. со = - ———
2 Me
8.56. Т = ss 0,3 с.
1,4-10-5 с-1.
8.57. /г;
ЦУГ
&mga3
4 см.
Т о
8.58. ^ =
11
ЭПг
9Hi
1/4
= 2.
I?
Т\
8.59. -+ = — =
8.60! со2 =
mi
m2
8 b1
d3M
1/8
от¬
решение. Поле в зазоре эквивалентно полю от бесконечной цепочки ча¬
стиц с чередующимися зарядами. Однако для оценки достаточно учесть лишь
ближайшие изображения, что дает точность около 3%. При смещении моно¬
поля на расстояние д от положения равновесия ближайшая пара создает силу
Ft =:
1
1
(1+2 x/d)2 (1-2 xld)2
8 Ьг
8 blx
= —кх,
откуда частота колебаний со2 = -гг = Т .
м d3M
8.61. Т Яг
8.62. h =
8.63. v < гВ
2<#
Фр
2m gL
г
|н|
= 500 см.
1,2 с.
8.64. К =
8.65. о =
сап
ВшЯ
4 лс
6 ■ 10~7 ед. СГСЭ = 2-10~16 Кл/см2.
8.66! Решение. 1) На заряд е, вращающийся вместе с цилиндром, дей¬
ствует сила Лоренца
F = - [vB] = - [ [<ог]В] = - (а>В)г.
С с с
258

Она вызывает такую же поляризацию диэлектрика, как электрическое поле с
напряженностью ^ (соВ)г, т. е.
Р = 7<вВ>г = ^Г<“В>г-
Отсюда, так как div г = — 4- — = 2,
дхду
£ — 1
Рсвяз = -div р = - (соВ).
2> <? = $ Рсвяз dV=- ^ («В) {г\ - г\).
3) Поверхностная плотность связанных зарядов на внутренней и внешней
поверхностях цилиндра:
6 — 1 £ — 1
°1 связ — ~4лГ Г1 ’ 02 связ = 4ЛС (ю®) г2-
Полный заряд цилиндра остается равным нулю.
2
I \
8.67. V = х
8.68. V
u>R
с
2 З2
лепс2(.Я.2 — R2)
In (R2IRi)
(RilRi)2- 1
8.69. N =
Bvd
eL£+*
R.
8.70. a = 4- - = 3 • 10s ед. СГСЭ.
4 л c
8.71. V =
lot = P = -
-1
[vB] .
— |[vB]|rf; |o|=/-=.
EC I I 4jeec
Указание. В лабораторной системе отсчета есть только поле В, Е = 0
(вне диэлектрика). Следует перейти в систему отсчета, связанную с движу-
1 г 1
щейся жидкостью: Е
Е + - [vB] =- [vB]; D = Е
с с
[vB] (вне диэлект¬
рика). Внутри диэлектрика D* = i[vB]; Е” = ^-[vB], Далее следует вер¬
нуться в лабораторную систему отсчета и получить ответ.
6лШШ0
8.72. ДТ =
m(yM)il2R112
2j\3m
ymAf . 39ПШ10
I R3 Rs
^ T ^
. При этом границы периода обращения планеты
2лЗт
утМ
8.13. Т
= 2 nl^-
лр
8.74. Т = -
ЪВф
1
7,5 с.
25,3 с.
ЗШП0
R5
9*
259

1/4
8.76. т = ^£ = 7,2 с.
ХВ2
8.77. Т = 2п
2g
In (Rlr)
mg
8.78. 1) гтях = -4- 2) *о =
8.79. Т = 2л
max 33/4^ У /я
2т
я Т 35/4л«2 Л[7Г
■-VJ-’ 3)T = -^1jQ-
к
§ 9. Переходные процессы в электрических цепях.
Свободные колебания1
9.1. ю80м; <2ДЖ = ±С$2.
9.2. <?i = у
g<)
4- С2/С1
■ С2 /_ Ci + С2\
+ С! МР ( RCiC2 )
При R -» 0 q 1 -» -—7° , _ . Прирост энергии АЖ =
1 + С2/С1
9.3. х = -= 1,5-10~3; Д/<к^я=0,1с.
£ R
go С2
2(Ci + C2) Cf
9.4. рЯО = (£- 1)
о; ш _ т i \ <7 — СУ <?тах _ > .
77" — z- 1 ' <?/max “ с/тахО’ 7 ~Э'г} с/
U>0 Q тахО ^ G/maxO
4тах — #тахО-
9.6. р =
4л:т1Х2
e(xi — т2)
Р
C(R2-Ri) In 2
(СГСЭ).
9.8. «Я0 = | (l + e-^j, где т =
9.9. = 1 — 7 g7o = т g7o- В дальнейшем ток возрастет до значе-
I го 4
ния So-
9-10. j . 1) gmax gmaxO.
Щ 4
VI
^maк VI 2) gmax
7 maxO 2 g maxO 2
7 max 3
^ maxO 4
9.11. K(/) =511 — e
-4-104
[В].
1 Ответы этого раздела даются в СИ, кроме особо оговоренных случаев.
260

9.12. B(t, г, 0)
Уда 1— cos 0 2 1— cos 0
p «' 1 r= ,
-107
[Гс],
cx r 6 r
где x = Ra to 10~7 с (СГСЭ).
Указание. Циркуляция вектора В по окружности радиусом г с центром
на оси симметрии ^ (В d\) = В• 2лг = — -- 7. ^ (Е dS), где ^ (Е dS) — поток
5 S
вектора Е, равный QQ, где й — телесный угол, под которым видна поверх¬
ность 5, натянутая на контур — окружность радиусом г: й = 2л (1 — cos 0).
9.13. V(t)
где 6 = — и со =
е | cos соt + sin соt
1
LC
— . Минимальное напряжение, на которое дол¬
жен быть рассчитан конденсатор, не меньше 2ЯС
9.14. 3{t) =j
— COq — 62.
9.15. V(t) = V0e
-it
cos соt H— sin соt
(O
где 6 =
2 V
1
LC'
-it
3 =
cos ct>t +
1 6 - . ,
—-yx sin Ы
соЛС со
, где cog = —; 6 =
2L'
cog - 62.
9.16.
Чем меньше г, тем меньше Kmax. Однако слишком малым
Vo R'
г брать не следует во избежание больших нагрузок на источник тока. Доста¬
точно, чтобы Ктах не превышало Kq, т- е- г должно быть меньше или порядка R.
9.17. Частота увеличится в V2 раз. Амплитуда колебаний и энергия воз¬
растут вдвое.
Vn
9.18. 3(t) = -j£ exp
t(C i + C2)
RCiC2
9-19- Йдж
9.20. 3 =
9
Q
4 C
[1 +bfWtiac)]y
.2!. J = ^ [(£ - a) + V (ЙГ — a)2 — 4Л5 j
9.22. 3 =
R + r’
$1 =
3
1 +l2il{
Si — у
+ L\!L2
9.23. Етях. —
2я ct'g1
c2rRlS
(СГСЭ).
9-24. йдж с2лг2ККоГо
9.25. АЛ =•
(СГСЭ).
= 1,4 • 10~13 ед. СГСЭ = 0,125 Ом.
9.26. Qi — Qr, Ц — x2.
9.27. <? = !#■
261

9.28. С>
R2ir
= 1 мкФ.
2 п
9.30. со0 = = 2 * 106 с-1 ( Я5Г 320 Гц).
9.31. со =
'3LC'
9.32. V(/) = SqL\ sin со/; 3 (t) = ~~ГГ cos со/, где со =
M+^2 VU-i+/-2)^
N]
9.33. 1V2 = -2L.
П1Л Cf Ф0 j. 1
9.34. 3 —~j- cos со0/, где co0 = ^==.
9.35. co§=~ c/ = |
#■
9.36. t = VZ(J = 10~4 c; c#max = f ^ = 0,37 A,
ального логарифма.
9.37. Q = ~M =
7fJ ' L
где e — основание на-
100.
9.38. 1 )3L = 30e~6t
cos со/ —
6 , COo9o
— Ir0—bt
Vc=Ve
2)ti= — arctg
C0e7 о
6a7 о + COgtfo
CO
V
COe^
6 ,
dU
h
—
CO
moj
«1
+ J^2
sin CO/
гж30 = ^Чо = СУ-,о>1 = ^ 6= 2/_
о
sin со/
; со4* = cog — 62; 6 < co0.
9.39. n = где t =
(СГСЭ).
9.40. c#2 = 4i-
8mczR
время релаксации, T
-2*'И
период
9.41. В = — ^ 800 Гс (СГСЭ).
ж, =
27-2 г
L\qJ\ L,2&?2
9.42. Жд
9.43. Q= 2 2 , ■«-«м - л + /,-
9.44. 1) 71! = и • ItisTLC, где п = 1, 2, 3, ...
2) 7’2 = (2и+ l)-WZc; Kmax = 2K0, где и = 1, 2, 3, ...
2.9 е?2 ~ ^
где с#! = •
9.45. 1) а =
mg
m +CB2l2’
1)3 =
mgBlC
m + CB2l2
262

9.46. х =
mgL
Bl
, , (1 — cos cot), где со — .——.
Blr smL
9.47. Скорость будет расти, пока сила взаимодействия между индуциро¬
ванным током и магнитным полем не достигнет величины, равной весу про¬
водника. Это наступит при значении пуст = PR/(Bl)2.
9.48? Координата нового положения равновесия
,,, mgL _6, mgL
х:(t) = т (1 — е ос cos cot) -* г;
V (Bl)2 t-*«, (Bl)2
6 =
(Blr
mR
со ;
Bl
\ImL '
Координата .v отсчитывается вниз от исходного положения перемычки.
Решение.
тх = mg + BI(3l~ Sr), L3l=—BIx, R3r = BIx.
После подстановки в уравнение динамики значений токов 3 l и Sr получим
-V +
(.В1Г
х +
(В1)2
mR " 1 mL х
отсюда после интегрирования при нулевых начальных условиях получаем
= т8\ (1 — е 6/ cos cot).
(Bl)
Big
2,2
9.49. 3 (() = —-4- (1 — cos cot), где со2 = B ^
x(t) = Ig- Д2/Ч|t2+ Bll2g4 (1 - coscot) (СГСЭ).
ctnLcoj cmLco
2
9.50. 3(0 = (cos co0t — 1), где (СГСЭ).
EnS
9.51. q(t) = (cos co0t - 1), где <«>o = ^ C0 = ^
9.52. q(t) =Q( 1 - c
9-53- ■'o-i#.
(СГСЭ).
9.52. q(t) = Q( 1 — cos oW), где o)q = -£=■ (СГСЭ)
LK
9.55. x = j = 0,03 c; Vc(t)
9.56. c#max = f§ = 40 mA; « =
сГ0(1 ~ COS cot),
(рис. 408).
= 100 м/с.
263

§10. Вынужденные колебания. Резонанс.
Метод комплексных амплитуд1
10.1. 1) /1 = —-гг———2) 1г — —7т>—Токи противоположного на-
1 n(9r + 2R) * и(9/" + 2Л)
правления.
10.2. = ^ (К2 - К2- V\).
10.3. JV = f (Z2-/2-/2).
10.4. ^(0 =
r2 + u>2l2'
X [R cos (ал1 + ф) + coL sin (u>t + ф) — c r^l(R cos ф + coL) ];
при L = 0 колебания начнутся сразу.
10.5. 3(t) = -S sin cut.
Л
10.6. toL = R\
10.7. cos ф = cos
VRCu
arctg
= 3.
IZlZi~sin ip
1 cos ф
10.8. / = -
VZvTr2’
tg Ф :
R
L'
0,7.
10.9. 3
Vqu>C(1 — u>2LC)
; sin Odt\
2urLC — 1
0 при со2
.
3max = при CO2 =
1
2LC
10.10. l/| 1,15.
coi * 3
10.11. Сила тока останется без изменения. Резонансная частота возра¬
стет в V2 раз.
10.12. Указание. Преобразовать обычную формулу для амплитуды си¬
лы тока в контуре о7 = —— подставив в нее 3o = %IR>
VR2+ [Leo— 1/(о)С)]2
соq = 2л/о = 1NLC и частоту внешней силы а> = 2л.(/0 + А/). Пренебречь
квадратами и более высокими степенями А///о-
10.13. фщах = | _е~&т/2'
10.14. Acoj = Дсо2 = = 1 с-1.
10.15. Энергия уменьшится в два раза; т =
1
2лД/
0,16 с.
'Здесь, как и в § 9, ответы и решения даны в СИ, кроме особо оговоренных
случаев.
264

10.16. R = = 10 Ом; I = ^=0,2c.
r
tn tn t/■ m ILau?
10.17. V = — —— (p0 sin «)<, где m и с — масса и заряд электрона.
10.18. Q2 = 2<2i, где Q = ду — добротность.
10.19.
Г(/о)
P(/i)
10.20. К
v.
Q2
2
/1
/о
= 10 мВ.
,-,2
+йГ*зо°-
10.21. R = ~= 10 Ом; L = — Vrr
1 о 2jt/i/i
= 0,1 Г;
С :
1
N
(2jt/„)2L 2-nflv
— 0,1 мкФ.
МЛ. f = 1^**4,5-ИГ*.
10.23. Ы = ^
■ 4,5-10 7 см.
10.24. Добротность контура должна быть Q > 525, т. е. логарифмический
декремент затухания контура менее 0,6%.
10.25. Резонансу напряжений соответствует частота со0 = -^=-. Резонан-
V2-V3 о,52 V2 + yf 1,93
су токов соответствует ajj = —j=— ~ и со2 =
Vic Ш 1 Ш Vlc
Ф(о)) — фазовой характеристики цепи — изображен на рис. 409.
л ^
10.26. Указание. Импеданс цепи Z = / [ со 4 — ~г
' 2 2о)С 1
. График
. Резо-
— шС)
со L ~-1
нанс токов соответствует величине Z=oo. Он произойдет на частоте
1
"о
"1
ш2 ^
1
1
—
со,
Г7
1
1
1
1
1
С02
со
Рис. 409
Рис. 410
Ш°=ш-
Резонанс напряжений соответствует Z = 0. Он произойдет на час-
0 52 1 93
тотах Ш[ л^-~== и а)2^^==. Фазовая характеристика цепи ср(со) изображе¬
на на графике (рис. 410). Заметим, что если бы в цепи была активная на¬
грузка, то скачки фазы на частотах сод, со; и со2 отсутствовали и были бы
плавные переходы от + л/2 к —л/2 и наоборот.
265

10.27. См. рис. 411. L= 3,2 Г; С = 3,14- 1СГ2 мкФ; R = 100 Ом.
10.28. Возможны два варианта схемы:
1) СМ. рис. 412; R = 1 кОм; С = 32 мкФ; Т=3,14мГ;
2) см. рис. 413; R = 1 кОм; С = 13 мкФ; L = 30 мГ.
10.29. г =
—0
R
l + (R/X)2’
0—
х =
^4
0—
I + (X/R)
X.
1) /* = ——х % X, г <К х; 2) г xz R
R
R_
' X'
10.30. с =
; Г-rjz ss 8,4 мкФ; ф = 60°.
2я/0Г-Р2)1/2
10.31. R = 137 Ом; L = 1,16 Г.
10.32. е =
V/22- 1 „ . „„
—— = 2,5, где £ц — электрическая постоянная в СИ.
10.33. tg ф = ^=5-10 3, где р-о — магнитная постоянная в СИ.
10.34. L =
4xfl
1,2 Г.
10.35. Искры не будет, если tg соt = Щ2-. При этом ток в первичной цепи
01 R
$ 1 —
ИэгГ'
10.36. tg сЫ = ■
со С
\31 —
SqR
■l*2+h~2,
J
f, S\ = So ПРИ wL ■
wC
тъп ^ (1 + 2l)(l +2/2 ) , о , .,
10.37. — = = = 13,1, где N0 — мощность при разомкнутой,
N 0 1 + 422
a N — при замкнутой цепи.
10.38. tg 6 = г. При 22. = /27 = Ю 6 = —3°. Ток отстает по
1 + 212 ( 221 + 222)
фазе от напряжения.
10.39. сорез =
=у. Резонанс недостижим, если М2 = LlLi.
10.40. L = ± Л + Л
^e>i <о2
10.41. М= -1^.
1 ( 1
М =
1 / 1
4С I со! col
10.42. М = -
Щс2
-^2
266

10.43. L = i Л + Л ; ^ =
С I U>1 Ш2) С 0)2
10.44? Q
Рс
18 (СГСЭ).
2xL fDh
Решение. Добротность катушки — это добротность колебательного кон¬
тура, все потери в котором сосредоточены в катушке. Добротность можно
определить как
W0 Wp W0
У AWnaTl(2x) “ Nnm Nnm'
где Wо — амплитудное значение энергии в катушке, AlPmyr — потери энергии
Во
за период колебаний, Nnm — мощность потерь энергии. W0 = — SI, где
S = В0 — амплитуда магнитной индукции, I — длина трубки. Потери
энергии связаны главным образом с вихревыми токами в стенках трубки. Эти
токи — кольцевые. Причина вихревых токов — ЭДС индукции
9? 1 с/Ф _ 1 dB
с dt с df
Отсюда мощность потерь на нагрев трубки
В ППТ
^ИНД _ _1_ (O)B0S\
2R 2 R
с )
xD
Здесь R — р -гг сопротивление трубки вихревым токам, I — длина трубки.
/ о
Таким образом,
Q = 2 л/
W0 _ c2RI _ pc2
Nnm 4л5ш 2x2fDb
18.
10.45. N = Ql = 104 витков.
10.46. ^={^ = V2.
Qi 1 w
10.47. Q = ^- (—I (СГСЭ).
^ лцХ I cor I
10.48. aipe3 «s у = 3-109 с-1. Более грубая, но прямая оценка дает
2яс
со = -у— яе Ю10 с *, где X = 21.
Ю.49. /рез = ^
а . \ . , 2а
2d 1п 1 + ~5
-1/2
7-107 Гц(СГСЭ).
0,428- Ю10 с-1; /рез = 682 МГц (СГСЭ).
in СП _ 2с -Id
10.50. СОрез а
10.51. Случаи 1) и 3) со2 = в случае 2) нет резонанса токов.
10.52. L = RlC\ tg ф = -соЛС.
267

10.53.
10.54.
10.55.
С = , L , , * 220 мкФ.
R2 + <x>2L2
a>RC = 1.
Q2LC = 1;
£
U = V —2 ■ Векторная диаграмма изображена на
CR + L
рис. 414.
10.56. Q1LC= 1; U= -i v или \U\ = V На рис. 415
L + CR2 L + CR2
изображена векторная диаграмма напряжений цепи, где VR — вектор
напряжения на левом резисторе R в схеме, V Rl — на правом резисторе R.
0 = vRi- vRr
10.57. u>RC = 1; ту = 3.
10.58. U0 = V0(2m2 + 2m + 5)
-1/2
10.60. z =
-, при a> > -j= потребления мощности не будет.
ыходш
2a)RL
4 ' Ш
10.61. Амплитуды на входе и выходе одинаковы. Сдвиг фазы выходного
напряжения относительно входного определяется формулой tg ф = ■ ,
u>L—R
1 2?2
10.62. a>L=R-
10.63. т = RC =
и° К°|з Л1+Д2Г
RiCj. Достаточные условия баланса моста Ri
Ci = С.
10.64.
R
С
10.65. — л-%.
О)0 л
10.66. tg ф =
a>L? —
-j—, где А2, С2, С2 — параметры второго контура.
02 С 2
10.67. ш2ЬС = 1.
КпО к2
10.68. Ki=——; К2 = К0<2, откуда — = л, где Q — добротность контура.
10.69. %(t) = SR
1 +
2яроp.SN2af sin 2nft
Rl§ f 1 +7- cos 2лft]
= 2(1 + 0,08 sin 2nft) [В].
268

10.70. Условие возникновения автоколебаний ZK0HT
импеданс колебательного контура; ш2 = А =
Z 0, где ZK0HT
\а I
R '
10.71. Отклонение катушки <р = кЗ i(t) Si(t) > а коэффициент к опреде¬
ляется соотношением <p0 = kSo- ф = Фо'
-/?-
2 #1
= -6°.
10.72! гс = 9,8 Ом;
С = 2xfX ^ мк<®’ где Xс = Щ ~ г2 =219,8 Ом.
Решение. Активное сопротивление г с конденсатора определяется не
только сопротивлением R утечки, но и потерями энергии, затрачиваемыми
на переполяризацию диэлектрика (сегнетоэлектрика), т. е. полная мощность
N пот
потерь Nпот = Nут + А'пол. а активное сопротивление г с = .
Мощность, рассеиваемая на сопротивлении утечки Nут = 1/2/Я = 4,84 Вт,
а мощность, расходуемая на переполяризацию
*™=$Tr>V-£K/-4.97BT.
где использовано очевидное выражение для площади петли гистерезиса
§EdD = S.
Итак, полная мощность потерь 7VnoT = 9,81 Вт. Импеданс цепи Z легко
вычислить: |Z| = у = 220 Ом. Активное сопротивление конденсатора тоже
уже можно определить: rc = Nnm/I2 = 9,81 Ом. Реактивное сопротивление
Хс конденсатора Хс — Vz2 — = 219,8 Ом, откуда искомая емкость
С = 1/(а>Хс) яг 14,4 мкФ.
10.73. R = 12 Ом; L = уу = 0,7 Г, где XL
У Казани е. Площадь петли гистерезиса S = ф (Н dB)
-W
R2 = 219,7 Ом.
определяет мощ¬
ность
потерь на перемагничивание ферромагнетика А^пер=— V/ (СГСЭ).
г, 6л4о?ЬгъЗ\ 1 ^
10.74. F = —^ г—=—г. Сила — отталкивающая.
R2 + a2L2 I1
Г- 6я4Г8е7о 1
Если оiL » R, то F я» = =■.
L 17
6л4о)2А/-8^ 1
В другом предельном случае o>L<sc А Рй г у
10.75.
u>2S2LBq cos ip
2 а?2 + ш2А2)
[В0п]. Возможны два положения равновесия:
1) плоскость кольца перпендикулярна к магнитному полю (неустойчивое
равновесие); 2) плоскость кольца параллельна магнитному полю (устойчи¬
вое равновесие).
269

При соL » R М = Mi
B%S2
2 L
■ Sin <p cos <p.
<aб) 1 2B%S2L (a)L
При a>L «/< Me ЛФ2 = • -p2— sin ф cos <p = WJ
2/Г
Во втором случае вращающий момент меньше.
10.76. Д/ = ^|^ = 5-103Гц,
где-
Д L 6
= 10 3 — изменение индуктив¬
ности катушки.
§ 11. Элементы спектрального анализа.
Автоколебания. Параметрический резонанс. Шумы1
11.1. 1) /(() = A cos2 о)0t = у + у cos 2а)01;
2) /(<) = /4(1 + т cos Qt) cos а)0( яе
ivi /4 tvi /1
«s /4 cos co0( + —— cos [ (о)0 — Q)(] + —- cos [ (cd0 + Q)f];
3) /(() = A cos (u>0t + т cos Qt)
. , I тА
■ A cos ол0г Н—у- cos
(“о — Я)1 + у
, m/t
+ -у- cos
(шо + Q)t + у
11.2. 1) g(t) ~/42(1 + т cos Qt)2, при т<с 1 g(t) ~/42(1 + 2т cos Qt);
2) g(t)
■ const;
3) g(t) ~ (mA)2 + (mA)2 cos 2Q(;
4) g(t) ~ /42( 1 + 2m cos Qt).
GO
„ , x sin (плт/Т) 2л
11.3. a) /(t) =2, C„ exp (iu>nt), где Cn=A- . mn = n—-,
— CO
б) g-(o>) = $ /(() exp (-(cot) dt = At ;
— CO
, . . . T sin [((0 — a)0)x/2] x sin [(a) + о)0)т/2] 2л 2
в) g-(a) = /4 - —77 r-7^j 1- /4 - —. ;ol , где a>Q = —.
v 2 [(a) —a)o)x/2] 2 [(a) + a)o)x/2] u T
CO
11.4. c#(() =~jt- Полагая g(w) = t 3(t)e~,<ot dt, получим
£(<*>)
2e
(e
+ 1)
(a)x)'
CO
g(a>) = y^ 3(t)elo>t dt =
_?£_ e-<cox
(COX
или иначе (см. сноску к задаче 11.3)
л(и)х)"
(е
i сох 1)4" е giu>t
1 Ответы и указания даны в СИ, кроме особо оговоренных случаев.
2 Существует другое, принятое в спектроскопии определение интеграла Фурье:
fit) = ^ g( ш)е~ш‘ dt, где g( со) ^ f(t)em' dt.
270

11.5. $ =
Зо при —г < t < 0, d „ ev0
где т = —; So = —•
So при О < t < г
Полагая g (со) = ^ 3{t)e~1'
‘ dt
dt =^
(СОЯ
«О
, “>d, ,
1 — cos — или иначе (см. сноску
vo
к задаче 11.3) g(со) = S{t)el0>t dt — 1 — cos —
я со d
Г
uo
11.6. Можно. Это электрический аналог опыта Мандельштама. Амплиту¬
да колебаний в контуре максимальна при Q = | оо0 — со |.
11.7. Частотные характеристики
фильтров (рис. 416) £i(co)=- 1 ;
Г , . i(x>RC
1 (диф-
1) g{t) zzf(t), если сотах«ЙС
ференцирующая цепочка).
2) g(t) » /(/), если со
рирующая цепочка).
min »~RC (интег‘
Рис. 416
11.8. 1) А! f 1 +у|А; 2) А2
ш0 + 2Q тА
2Ь у ' 2 J ' ' 2 26 4
11.9. Резонанс наступает на частотах оо0 и оо0±
Q;
■Ж* 0.1.
п
li.io. S'
2 R
cos 2Q/; Si =
Si ■
2(Ri + R)'
й’о cos (2Я1 — <p)
tgip
11.11.#=^; „ .
11.12. Спектр выходного напряжения содержит три компоненты на час¬
тотах со, со — Й и со + Q с амплитудами К0/2, \/ЗяК0/4 и V3aK0/4 соответст¬
венно. Боковые компоненты сдвинуты по фазе на (5/6) л относительно основ¬
ной частоты.
11.13. Спектр выходного напряжения содержит компоненту основной час¬
тоты со с амплитудой К0Л/Т и две боковые компоненты на частотах со ± Q с ам¬
плитудами aVS4, сдвинутые по фазе на л./4 относительно основной частоты.
11.14. Квых = Р0[ 1 + пц cos (Q( + cp) ] cos о)0(,
где т[ ■
11.15.
/1+С
т/ВЫХ
Р 2
2 4£У
2
О>0
; 0,89га; lg ф я» <2
2 А со
со0
0,5.
2 ^ их ^
— —— яе 0,0047, где К?* = л вторая гармоника вход-
kj- 4(2 2л
ной последовательности прямоугольных импульсов амплитудой А,
А
К?х =
1 л^2
первая гармоника.
11.16. VR(t) |cos coq/I.
271

11.17. VR(t) =| |cos «V|.
11.18! с#ГХ * 0,71 A-
Решение. Разложим в спектр входной сигнал генератора. По условию
достаточно определить две первых гармоники Vy и К2. По теореме Фурье о
представлении периодической функции f(t) в виде ряда
/(О — а0 + ^ ап cos (na>0() + bn sin (nm0t),
tl — 1
772 TI2 Tl 2
2л 1 Г 2 f 2 г
где ш0=—’ a0=j J /(0 dt, a,,=— J /(/) cos a>0ntdt, 6„= — \ f(t) sin«0ntdt.
-7/2 -r/2 —772
В нашем случае входной сигнал — четная функция. Поэтому Ьп = 0 для любо-
7/4 г/4
4 р 2 1 4 г 2
го л. Определим aj = — J cos a>0t dt = a2 = \ cos 2«)0/ cos «)0/ dt = —.
о о
Поскольку амплитуда входного сигнала V = 100 В, то амплитуды гармоник
1 2
равны Vi = — К, К2 = К. Основная (первая) гармоника представляет собой
синусоидальный сигнал с частотой оц = о>0. Контур L, С, Л настроен на пер¬
вую гармонику по условию. При резонансе a)jL — = р,. Добротность кон-
со^С
тура Q ■
Pi
. При резонансе сопротивление контура имеет активный характер,
поэтому 31 = R + r- Однако вторая гармоника — вне резонанса, точнее — вда¬
ли от него: R + т <к o>2Z, — Таким образом,
3 2~
Уг
Уг
“2L_i 2Pi-lPi
2V2
3pi '
Отношение гармоник тока
9QR-K
8(7?+ 7)’
откуда R ■■
9xQ-
г. Считая, что Р равно как минимум 100, определим
R « 20 Ом. Понятно, что это значение сопротивления R определяет макси¬
мально возможное значение амплитуды первой гармоники тока
3\
шах
= У _ ^ 0 7 J Д
r+R 2(7+7?) 7 U-/1A-
11.19. 37х = тЬ = 237 мА- ^ • R = =45 °м-
11.20.
т§ьи
мальная частота напряжения на выходе детектора Кд)
272
3V26-2P
3 ,
Уд, где ш4 — четвертая гармоника (макси-

11.21.
Vf
И} 1
= т, где со4 = 4а> — четвертая гармоника
KgVl + 160>2R2C2 6
(максимальная частота напряжения на выходе детектора Vя).
UT
11.22. п =
Re
2-107.
У Казани е. Требуется показать, что прибор будет фактически регист¬
рировать напряжение, равное нулевой компоненте разложения входного на-
т
1
пряжения в ряд Фурье V0 = — ^ V (t) dt.
о
11.23. /=^-Vp.i(T2^42sin 2wt + A3(cos a>t — cos 3co(), где A=~Sq.
Таким образом, в спектре тока три гармоники с частотами со, 2со и Зсо (СГСЭ).
11.24. i = i Sco2C ^ p2#oj sin со( + ^ ^ Ссо2р2#о sin За>А
2N3a
где Я0 = (СГСЭ).
и сг
( 2m(X>Ln \ 2a>L0
11.25. Твых = V0 cos со( j— cos Qt — а |, где а = —<к
R Г " R
Спектр выходного напряжения содержит три компоненты на частотах со,
co-Q и со + Й с амплитудами V0, 2m<x>L0V0/R, 2пгшЬ0У0Ш и фазами О,
— к/2 и — л/2 соответственно.
11.26. Твых = К0 cos \<x>t + cos Qt + a |, где a = ^ „■ « 1.
coC0« “ coCo«
Спектр выходного напряжения содержит три компоненты на частотах со,
со — Qhco + Qc амплитудами К0, 2/нК0/(соС0Л), 2mV0l (wCqR) и фазами О,
л/2 и л/2 соответственно.
^2
11.27. Вольтметр измеряет V. С диодом V = — Кэфф я» 100 В,
где УЭфф — действующее значение переменного тока (220 В).
11.28. Вольтметр измеряет Кэфф = ^К2. С диодом V = яь 155 В.
11.29. — = ——:
V о fRC
ьз
0,02.
11.30. = 1 - е-:г/г яе - = — = 0,02.
<#о 1 /L
11.31. Амплитуда сохранится близкой к максимальному значению в те¬
чение времени, необходимого для сдвига со(^) на полуширину резонансной
кривой t яе Максимум будет достигнут через Ч = ~ ^j •
11.32. Через время t> боковые гармоники сместятся относительно
резонансной частоты на ширину резонансной кривой, т. е. через это время
боковые гармоники практически исчезнут.
^0
11.33. V(t)
СОп
Qm cos (о — Q)t—— cos cof
273

11.34. V(o)0) =QW0e~u/2\
V(w0 + Q)=^= mQS0e-^u\ F(co0
■ Я) = щ mQ^e-^\
11.35. C
. 4xg
k2L0
- in-9
10-9 Ф: R
AL
max 4tQrt 31,4 Ом.
11.36. | AC| >
RCr
16ji2Lt2
: 2,5- 1СГ12Ф,
где T — ItvJIjC як 4 • 10 6 с.
11.37. /?max = S
Vllq
АС
с 2,5-10~2.
c —8 Ом. При R = 2Rmax = 16 Ом, Q = = 12
(без обратной связи). При наличии обратной связи QJ = 25 (положительная
связь), 0,2 — 8 (отрицательная связь).
11.38. Ae7min » = 1.7-10-11 А.
11.39. /2 = /1V7V7A»8 км. Здесь Т1 — комнатная температура.
§ 12. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны.
Волноводы и резонаторы. Плазма
гг/шах
12.2! о,5- 1СГ14.
Решение. Электрическая энергия (в гауссовой системе)
q2 2dSо sin2 оit
Э_2С“ есо2*2 '
Магнитное поле внутри конденсатора создается током смещения. На рас¬
стоянии г от оси конденсатора оно найдется из соотношения
2
откуда
*.2*r=f ^eM = T|j?) ^
Я = 3 = —к 3о cos со/.
cR2 cR2
Магнитная энергия, локализованная в конденсаторе:
ikdtffо cos2 со/
■ JH2dV
Отношение максимальных энергий:
4С2
W
= ^гйг^ як 0,5-10-14.
WT* 2 2с
12.3. fVM = 31 C0S2 at. Wa = 31 sin2
cl
Зп sin2 со/;
4с4/
W?
WZ
274

12.4! Я = 0.
Решение. Если а — поверхностная плотность электричества на поло¬
жительной обкладке, то D = 4ла и, следовательно, /см = Ь = а. По закону
сохранения электрического заряда / = а. Следовательно, /полн = 1 + /см = 0-
Магнитное поле в конденсаторе равно нулю.
12.5! Я = —
сг
R‘
Решение. В силу симметрии магнитные силовые линии будут коакси¬
альными окружностями с общей осью, совпадающей с осью конденсатора.
Поле Я найдется по формуле
ф (Н cl\) = 2пгН = ^ {3 + с#См),
где Sсм = с#г2/Л2 — ток смещения, пронизывающий круг радиусом г. В ре¬
зультате получим ответ.
12.6. cos cut, где г — расстояние от оси конденсатора. Маг¬
нитные силовые линии имеют форму коаксиальных окружностей с общей
осью, совпадающей с осью конденсатора.
12.7. Я0 = “ ^ = 5-10-5 Э; В0 = Я0 = 5- КГ5 Гс;
Я1 = еЯо = 5-10“4Э; В[ = рЯ) = 5-10-2 Гс.
12.8. Поток энергии равен нулю (см задачу 12.5).
12.9. Поток электрической энергии вытекает из конденсатора через его
края, втекает внутрь провода и там превращается во внутреннюю (тепловую)
энергию.
«т >n 1 \ • _ 1 3D л . _ 1 dD _ 1 Vu
12.10. О Ям - 4я gf - 0; 2) ;см - 4л д{ - 4д •
3) Изменится знак тока смещения.
12.11! Р = -т— [ЕВ]; |Р| « 0,88 • 10“4 г * см/с
4яс
Решение. Ввиду осевой симметрии полный электромагнитный импульс
поля равен нулю. В результате разрядки конденсатора он измениться не мо¬
жет. Поэтому не может измениться и полный механический импульс систе¬
мы. Но в результате разрядки электромагнитный импульс, локализованный в
V
конденсаторе, уменьшается на [ЕВ], а электромагнитный импульс поля
вне конденсатора увеличивается на такую же величину. В соответствии с
этим конденсатор приобретает механический импульс
V
4яс
ЕВ]
равный
~ 10-4 г-см/с. Соленоид получит такой же, но противоположно направлен¬
ный импульс. Искру можно рассматривать как ток проводимости. Если бы
все электрическое поле конденсатора было локализовано только внутри него,
то магнитное поле искры вне конденсатора было бы полностью компенсиро¬
вано магнитным полем тока смещения. На самом деле часть тока смещения
проходит вне конденсатора и создает там магнитам поле. Это магнитное поле
действует на токи, текущие в соленоиде, и меняет импульс последнего.
275

Решение остается в силе, если разорвать цепь питания батареи, оставив за¬
ряженным конденсатор.
12.12. Я = ^г^ = 1(Г6г-см/с.
4 кс
рад.
12.14. $
12.15. Q =
2я %с1
= 124 ед. СГСЭ = 0,041 мкА.
12,4 • 1СГ6 ед. СГСЭ я= 4,1 • 1СГ15 Кл.
Le
2xTi „
eR ~
12.16? Не является.
Решение. Токи Фуко в меди должны быть меньше чем в железе, потому
что магнитная проницаемость меди меньше чем у железа более чем в 1000 раз.
е^Фуко * Е/р « rot Е/р, где р — удельное электрическое сопротивление. Соглас¬
но закону Фарадея rot Е
_ _ J_ ЭВ [х дН
где ц — магнитная проницае-
с dt с dt
мость. Так как fxCu ~ 1, pCu s= 10_8Ом-м; fxFe ~ 1000; рре ss 10“7Ом-м, то
^Фуко Fe _ №е pFe ^ jq qqq
3Фуко Си I^Cu РСи
Таким образом, железный цилиндр будет нагреваться значительно быст¬
рее медного вне зависимости от наличия или отсутствия гистерезиса.
12.17.
_ _1_ яцХша2
12.18. В о» 840 Гс. Толщина скин-слоя 6 — 1,56 мм мала по сравнению
с толщиной «блина» h = 2,2 см (в поле). Таким образом, поле вне ртути
похоже на поле сверхпроводника такой же формы. Сила давления поля
1^1
2 8л'
Сила магнитного давления с силами по¬
верхностного натяжения уравновешивает силу тяжести. Отсюда и вычисля¬
ется искомое поле В0.
л 1 п а 2со2а2Ь
12.19. 3 = —к К0 cos со/.
c2dR
2) Е,
лr0 d3_
it
D[ = 2D.
12.20. 1)£ = ^^-и= 1(Р8 ед. СГСЭ = 3-10“4 В/м;
с
--Е-
12.21. Ф (1) = Ф (0) — anr2t + L -
R
ЧГ-
„-RtIL
) (в СИ), в СГСЭ посто¬
янная времени т = -у—.
с R.
12.22. Q = knh
12.23. К0 = —
е 5
XvBqO'
2с
4xda?o
1,1 • 106 эрг/с «= 0,11 Вт.
4)2+L—
21 1/2'
276

12.24. W =
(лдУ Ql
(c25 ) 2rzy
12.25. См. рис. 417 (a — линия без потерь; б — линия с конечным сопро¬
тивлением проводов). При наличии сопротивления проводов существует
падение напряжения вдоль проводов, а значит на поверхности проводов и в
пространстве между проводами существует тангенциальная составляющая
вектора Е, вследствие чего вектор Пойнтинга откло¬
нен в сторону проводов. Часть энергии течет к на¬
грузке, а часть — в провода и превращается в тепло.
12.26. 1) См. рис. 418;
2) S-2-яг! = EH-2лг1 = — 2лг1 = V$.
4л 4л I г
12.27. S7 =•
2R
—'
S2Rn
-. По-
2яг2 In (r2h'i)’ ф r\n(r2lr1)'
ток энергии через сечение катушки направлен в сторону резистора и равен
W
= $ Sz-2nr dr = S2R-
12.28. W =
РоЛ%2лг2
LS2
(СИ).
2IR2 2
12.29. Вектор Пойнтинга вне пучка Sex •
лR4(ne)2 J2W
V т '
Г
вектор Пойнтинга внутри пучка Sjn = лг2(пе)
л г2/3
т
12.30. S = ‘ е2, где ez — единичный вектор в направлении тока.
пес1
12.31. Вне плоского слоя Sex = 4л (лея) внутри плоского слоя на
2 I21V 2
расстоянии д от центрального сечения Sj„ = 4л(не) if х .
12.32? S (г, 0 = •
-2th.
W =
Со^о
2%a2dR
zS ?
Решение. Емкость конденсатора С0 = где S = ля . Конденсатор
разряжается через сопротивление Л, при этом напряжение на нем меняется
277

по закону V(t) = V0e ^т, где т = RC0. Электрическое поле внутри конденса¬
тора Е = -j. Плотность тока смещения, пронизывающего конденсатор, равна
/гм = д— — = е~^т. Ток смещения замыкает собой объемный ток
4л dt ъа2Я
разряда конденсатора. Найдем поле Я внутри конденсатора по теореме о цир¬
куляции
Н-2лг = ^ /см • л г2.
гг • 2K0r _tj
откуда Я = — jCMr = —j- е "г.
с с a R
Легко понять, что вектор Пойнтинга S направлен наружу конденсатора по
радиусу. Поскольку Е-L Н, то
S(r, О
= -7— ЕН
4л
= V°r е~2,ь.
2л a2dR
При г = a S = 2-siadR 6 2^х [эрг/ (с • см2) ].
Физический смысл вектора Пойнтинга — это плотность потока электро¬
магнитной энергии, направленного к месту его поглощения. В данном слу¬
чае — к резистору.
Рассчитаем полную электромагнитную энергию W, вытекшую через бо¬
ковую поверхность конденсатора за все время разряда:
W = ^ S ■ 2 nad dt
О
\}ie-ztiRcodt = 9°Yl
О
Этот результат можно было предсказать и без вычислений — это началь¬
ная энергия заряженного конденсатора.
2 * 1
12.33. S = -тт; W(r,t) = ^Sd-2nr dt =
о
8л rf3-
ffV /J 1_\
4 I d0 d(t) I'
4je 2 2
12.34. S = 2 J У Ь гДе У ~ расстояние от центрального сечения до
пес1
точки наблюдения. Вектор S антипараллелен вектору плотности тока j.
12.35. nj — ne 11 — \j; S = n(neer)2
12.36. 5
12.37. S =
2 c2V
A2r
8л d2
ra2t\ Ф5 = ^ R3 ~ a2.
t. Вектор S направлен по радиусу к оси конденсатора.
. R L „2
Фс = —rA2.
Л 4 d2
12.38. Вектор Пойнтинга S направлен к оси кабеля
OJ dCJ
S = —~ In (Rq/г) . Считая известной погонную индуктивность кабеля
лc2r St
278

L = 2 In {Rq/го) , электромагнитная энергия, перенесенная за время затуха¬
ния на единицу длины кабеля
Si R0 LSI
W(r0) = In ^ (СГСЭ).
c2 ro 2 c2
12.39. Так как E и H одновременно меняют свое направление, то вектор
S не изменяет направления.
12.40. Так как моменты изменения направлений векторов Е и Н на обрат¬
ные сдвинуты между собой на четверть периода, то вектор S каждые четверть
периода меняет свое направление на обратное. Действительно, в этом случае
т т
г Е Н г 1
\ dt = \ — Е0 sin сЫ #0 cos u>t dt = 0.
о о
Энергия колеблется в отдельных участках провода, но не течет в одном
направлении (стоячие волны).
12.41? Энергия минимальна при — = е = 2,718...
Решение, После срабатывания ключей в линии будет содержаться
определенный запас энергии, равный (в СГСЭ)
W =
LS2
2с2
+
CU1
где
U = $R,
R = 60 Ом = - ед. СГСЭ.
с
Поскольку все омические сопротивления линии пренебрежимо малы, то весь
этот запас энергии перейдет в излучение.
Величины индуктивности L и емкости С линии определяются известными
соотношениями
L= 22 In (гг/п), С = 1
Таким образом, запас энергии
S2! I S2R2l
Ж = —in {r2/ri)+4ln(f^
2 In (r2lr{)'
S2l
ln {Г2'Г1) +Ш^)
так что W сс — j, где д- = ln (гг /^i) - Это выражение минимально при
х = 1, откуда следует ответ.
12.42. V (х, t) = V0- cos <'кх + Ь) cos
А = -
V0
m +—I л — kl
где
к _ _ 2л
с X
(/и +
волновое число, б определяется из условия kl + Ь = {m + л
при т — 0, 1,2, ... (узел напряжения на конце линии).
12.43? vmin = ^7 = 3,75 МГц; Q = 400.
Решение. Средняя энергия электрического поля за период Т, очевидно,
равна половине VTmax:
279

потери энергии за период
Добротность системы
€
э-
Рис. 419
^пот=s*sss^dv-
О V
^max
Q = 2л
W п
Е
2ТХ'
На рис. 419 показано распределение напряже¬
ния и тока по длине кабеля в случае наименьшей
частоты (наибольшей длины волны). На отрезке ка¬
беля длиной / установится четверть длины волны.
Поэтому vmjn =
Q = ^ = 4°°.
12.44? Q -.
Al'Tt
cVe
= 3,75 МГц, откуда Т = ■
4X5
с
= 5- 106;
t _
25уТ 2 b'Jt
=5 ГГц.
Решение. Средняя энергия электрического поля за период Т равна по¬
ловине W„
W,
fFz 1
—— HV = — w
8я 2 max*
Потери энергии за период
^пот= \ dt j jj XE2dV.
Добротность резонатора Q = 2л
о v
w
vr п
2TX
. Для резонатора справедливо
где кх =*, = ^; *2
п3л;
. Частота наименьшая, когда одно из целых
чисел И; (i = 1, 2, 3) равно нулю, а остальные — единице. Исходя из разме¬
ров резонатора, очевидно, необходимо, чтобы «j = 0, а /г2 — пз — 1- Тогда
ь — о- к — к = —
Кх V, Ку ^, Kz j .
лс
Vi
11^+т2=й^ + (т)2'
^min С ./. . /Г
1~ 2л _ 25уТ ' Т ^
= 5 ГГц.
Далее можно подсчитать и добротность Q = = С^™п « як 5 - Ю6.
280

Е
12.45? Евых({) =E0cos (о>0t-k0zL) + -у cos [ (<x>0 + Q)t — k\zL)\ v «s 39c.
Решение. Минимальная частота для электромагнитной волны, бегу¬
щей вдоль по оси 2 прямоугольного волновода, определяется из условия
^min — vmin = — 3000 МГц. Такая частота называется крити-
а. 2л 2а
ческой или граничной. Волна с меньшей частотой не жизнеспособна в дан¬
ном волноводе (сечением аХа).
Волновод возбуждается модулированным колебанием в спектре которого
(А>0
только три гармоники. Основная v0 = = 3001 МГц и две «боковых»
(г>0 — Q и а>о + Q (соответственно 2999 и 3003 МГц). Очевидно, что мода с
частотой 2999 МГц < vmin не способна распространяться в данном волно¬
воде. Таким образом, в спектре распространяющейся в волноводе волны при¬
сутствуют только две моды v0 и Vj. Им соответствуют волновые числа
^0z —
2 2
4)0 Л
— --2 И
С а
kiz =
(coo + fi) я2
„2 '
с а
Запишем закон изменения выходного электрического поля
;(0 = Е0 cos (о)0( — k0zL) + - cos [ (о>0 + Q)t — kizL\.
Найдем фазовую скорость волны с частотой о)0:
_ Д)о _
^0z
i/i-f—)2
' “о )
■ cV1500 SS 39с.
12.46. vmin = 2 МГц; v =
12.47. S((, х, у, z)
= s»39с; vKp = ^ = 3000 МГц.
cEl
\6л^р2
e-sln' Щsin2 т +e.vsin2 m sin Rr
sin 2u>t,
где е, и ev
единичные векторы в направлении соответствующих осей.
Указание. В резонаторе основная мода электрического поля
лх . яу
Е = ezEо sin — sin — cos cot. Далее
ан
dt
= —с rot Е :
ЕрЛ
а
. лх лу лх . лгу
ev sin — cos —— е., cos — sin —
х а а а а
cos a>t,
откуда следует выражение для поля Н. Основная мода в резонаторе имеет ча-
~2 С'Пл
I л2 л"
стоту О) = сд/—^ -I у = -
а
12.48. El ■
12.49. N ■
\bQNk
Vc
Ephac
; £0 « 4,6 ед. СГСЭ = 1,4 кВ/см.
= 0,4-109 ед. СГСЭ = 40 Вт. Предельная мощность оп-
16уТй
ределяется предельным электрическим полем.
281

12.50. S (/, x, у, z)
%
c2El Г
4яш
У 4 a
2 яу
a
sin | —— | sin 2 (соt — kz) + ezk sin2 I — | cos2 (со/ — kz)
■ единичные векторы в направлении осей у и z, со
Возможна запись в виде бегущей волны
(2яу
a +
'а2
S =
с2е1
4яш
e.^sin
,—inl 2
+ ezk sin
2 jW
а
12.51. /Уизл = N0(l — г2) = 89 кВт, где г2 ■
ент отражения по мощности.
12.52. к = ? + ; = 3. Здесь г2 ■
к- 1
е2 i{<at — kz)
= 1,9 — коэффици-
N о-ЛГн
* + 1/
0,25 — коэффициент отраже-
х_г - ~ д,о
ния по мощности, г — коэффициент отражения по амплитуде.
12.53. п„ =
3 птес2
( 1
4е2
\ь2
3 те /
ш2
А2'
16яе2 1
О)0 -
52
12.54! пе =
Решение. Направим ось z прямоугольного волновода по направлению
распространения электромагнитной волны. Запишем дисперсионное соотно¬
шение для волновода
"2 = к2 + к2 + к2 = 4 т2 + ^ п2 + к2
EOJ
~2~
2%
Т'
где кг = к-
Низшая волна, т. е. волна, имеющая наименьшую возможную частоту для
данного волновода, при а < b сразу определяет значения целых чисел т и п.
Для со = cumin необходимо потребовать, чтобы т = 0, и п = 1.
Тогда в случае 1, когда плазмы еще нет и е = 1, и частота со = со0, наше
дисперсионное соотношение принимает вид
.2 2
2
еог _ Шр _ я , , 2
2 2 .7 ' '
с с Ь
(1)
Однако, когда в волноводе появилась плазма, то диэлектрическая прони¬
цаемость е уменьшилась
с-4.
где со2 =
4 юхРе1
плазменная частота.
■'п
р те
При этом по условию задачи длина волны удвоилась Xj — но тогда
Л2 = ку!2. Дисперсионное соотношение в случае 2
_2
2 2-х.
£COQ _ 0>р <Ор _ Я . , L
с2~ г с2~ь2+ 2'
(2)
282

Заметим, что со0 — частота генератора и она не меняется. Из соотношения
(1) получим
2 = 0>о _ г
1 Л й-
Подстановкой к2 в (2) найдем
2 2 ? 2 ?
I
с2 с2~ Ь2 4с2 4Ь2'
откуда получаем необходимое выражение для плазменной частоты
2 3 ( 2 я2с2
(0Р = 4 11- —г
С другой стороны, о)р = 4лпее2/те Приравнивая оба выражения, найдем
искомую концентрацию электронов образовавшейся плазмы.
12.55. ф(А.)=к§-^,где/) = /
кТ
sh (aID)'
п сс ш< л[Со 1 ' “о
12.56. —= =~т\ со —
о>0 1 С Уе уТ+а
8лпде
2 •
4я#е
1,435со0, где а = —^
1,06.
S(D(jV2mE
Указание. Наличие электронного пучка приводит к изменению диэлект-
, , 4лпе2 , шо
рическои проницаемости среды в конденсаторе г (со ) = 1 = 1 — а .
П1Ш ш
12.58. 1) Р0 =
З2
■ 6,37' 105 дин/см2 = 6,37-104 Н/м2; Р0<Р, по¬
этому плазменный цилиндр расширяется
2) Р = Р0 при 3 1,25 • 105 А.
12.57? 7(0) =
с2лВ.2пк
1,47- 107 К, где fc — постоянная Больцмана.
1 т
Решение. Плотность силы магнитного давления f (г) =— [ jB] [дин/см-1]
действует по радиусу к центру плазменного шнура на объем dV, представ¬
ляющий собой тонкое кольцо толщиной dr, высотой I (dV = 2лг dr I). Маг¬
нитное поле на расстоянии г от оси шнура по теореме о циркуляции
В (г) =^/г.
Магнитное давление, оказываемое на стенки этого элементарного объема,
. . , 2л .9 ,
dp = —/ dr — тг ]Lr dr.
cz
Интегрированием найдем распределение магнитного давления внутри плаз¬
менного шнура
Р(г)
( dp =
P(R)
2л .о
-А Г
P(r)=PW+cW
jrdr-^j-/2 1-
R
s2
-5
283

Магнитное давление, направленное к центру шнура уравновешивается
газокинетическим давлением плазмы Р(г) = пкТ (г). При этом мы воспользо¬
вались моделью идеального газа (плазма в целом электрически нейтральна, и
нам требуется всего лишь оценить температуру на оси):
Т(г)
р(ю , з2 {, _ j_
пк с2лЯ2 R2) пк'
Первый член в этой формуле — температура на периферии шнура Т (Я).
Считаем ее малой по сравнению с температурой на оси 7(0):
З2
Т( 0)
с2яЯ2пк
1,47- 107 К.
12.59. В = у/8ппкТ » 60 кГс.
2
12.60. ( = ^-1п-^5-10“4с.
2\lV г
12.61. Яхл
12.62. 7(0)
BqRqc ^
23 ''
з2
0,04 мм.
kc2N

ОПТИКА
§ i. Геометрическая оптика и элементы фотометрии
1.1 / =-^-= 490 см.
2ш2
1.2! Решение. Из законов отражения света следует, что продолжение
отраженного луча СВ (рис. 420) пересечет перпендикуляр АА' к плоскости
зеркала в точке А', отстоящей от этой плоскости на такое же расстояние, что
Рис. 421
и точка А. Значит, А’С = АС, а длина светового пути АСВ равна длине прямой
А'В. Если бы свет распространялся по пути АС'В, то длина этого пути равня¬
лась бы длине ломаной А'С'В. Сравнение длины ломаной А'С В с длиной пря¬
мой А'СВ дает решение задачи.
1.3! Решение. Не нарушая общности, можно считать, что показатель
преломления первой среды равен единице. Для оптической длины L ломаной,
соединяющей точки А и В (рис. 421), имеем
COS ip COS ф
При этом должно выполняться дополнительное соотношение
a tg ф + b tg ij) = const,
которое выражает условие постоянства длины проекции ломаной АСВ на пло¬
скость раздела сред. Для минимума необходимо
dL _ a sin ip nb sin ф t/ф _ ^
cos2 ip cos2 ip
285

Из дополнительного условия следует
—- 1 — ^ = о.
cos2 ф cos2 Ц)
Сопоставляя это соотношение с предыдущим, находим
sin ф — п sin ф = 0,
т. е. закон преломления света. В том, что этот закон действительно выражает
условие минимума оптической длины пути светового луча, а не просто усло¬
вие ее экстремума, можно убедиться, либо исследуя знак второй производной
^-4-, либо непосредственно из геометрических соображений.
d<p
1.4. / = 30,8 мм.
1.5. / = 9 см.
1.6? Решение. Для примера выведем формулу тонкой линзы. Пусть
Р — точечный источник света, расположенный на главной оптической оси
линзы, а Р' — его изображение (рис. 422). Согласно принципу таутохрониз-
ма, оптические длины всех лучей, вы¬
шедших из Р и собравшихся в Р',
одинаковы. Опишем из Р и Р', как из
центров, окружности с радиусами РА
и Р'В соответственно. Тогда на осно¬
вании равенства оптических длин лу¬
чей можем записать
(CED) = (АВ),
где круглые скобки обозначают опти¬
ческие длины лучей, заключенных в
эти скобки. Если лучи РЕ и ЕР' пара¬
ксиальные, то можно принять, что длина ломаной CED приближенно равна
длине ее проекции MN на главную оптическую ось. В этом приближении
предыдущее соотношение можно записать в виде
Рис. 422
MN = пАВ или AM + BN= (n-\)(AL + LB), (1)
где точка L — проекция точки Е на главную оптическую ось. Для тонкой лин¬
зы приближенно:
(EL)2
2Ri ’
LB = —
СEL)2
2R2 '
где Л] и #2 — радиусы кривизны сферических поверхностей линзы.
Аналогично, при выполнении условия параксиальности справедливы вы¬
ражения
(EL)2
2*1
BN =
(EL)2
2*2 ’
где через *i и *2 обозначены соответственно длины РА и ВР'. Подставляя на¬
писанные выражения в формулу (1), получим
_1_
*2
*1
= («—!)
*2 Г
286

1.7. п
,5.
1.8. l2 = lI + -= 18см.
А 1 п
1.9. п
sin (А + 6/2)
sin (А/2)
1.10. 6 = А(п — 1)
1.11. 6 = 48°12'.
1+п(п + 1)л2
1.12. hm jn — t
sin ф cos ф
1
— sin2 cp
VП-2 — Sin2 ф
-1
1.15. a ■
1.13. / = 10 cm.
1.14. Два.
12 arcsin Vn2 — 1 при n < vT,
I л. при « > yfl.
1.16. n = V2 % 1,41.
1.17. sin = 0,752; a » 97°30'.
2 n ’
, , _ ,, /г cos3 ф . . , „
1.18. h = r-*-= 0,215 m.
n cosJ 1|)
1.19. Д/« 1,1-10~7 c.
Л 2o ^ведр = содвиг.
2it n 2 dL
HcT V"iF
73.
Поверхность жидкости, вращающейся с угловой скоростью со:
1 = кх2
2g
х2. Фокусное расстояние параболического зеркала / =
Ld
4 к'
Далее для системы с положительным фокусом / = —, где L — расстояние от
Земли до Луны, D — диаметр Луны, а d — размер изображения.
1.22. D& 2 см.
1.23. ^2» 14 м.
1.24. Фокус отодвинется на расстояние d
1.27. h = VhJi2-
п — 1
2 мм.
1.28. /
1.29. / = -
Lr — l2
4L
= 12 см.
2(и — l)2?2 + 2n/?i'
1.30. 4i = -1T.
/2 и—1
1.31. Собирающую линзу с фокусным расстоянием 30 см.
132 I = -L + _L L. f = -Lh
/ /1/2 /1/2’ 7 /1+/2-/'
Расстояние главных плоскостей Н и Н' системы от первой и второй линз
/1/ „ /2/
о,я= -
ОоН' =
l-fi-fz
287

1.33. «Эквивалентную» линзу следует поместить в передней главной пло-
/if г
скости системы двух линз / = j г.
/1 +Ji~1
1.34. Главные плоскости совпадают с центром линзы. Фокальные пло¬
скости расположены на расстоянии 28,2 см от линзы в воздухе и 37,5 см в
воде. Узловые точки совпадают и расположены в воде на расстоянии 9,3 см от
линзы.
1.35. Фокусное расстояние объектива в воде должно быть 48 см, а в воз¬
духе 12 см. Увеличение трехкратное.
1.36. 37,5см < L < 38 см.
1.37. /[ = 36 см; /2=4 см; /1 = 45 см; /2 = 5 см.
1.38.
1.39.
1.40.
стемы.
1.41.
Д/ = 0,5 см.
Система телескопическая.
Изображение получается на 5 см правее крайней правой линзы си-
h — /1 +
(/2 + li)f 1
(d — /1Н/2 +12) — fih
1,0613 см;
fid
150.
1.42. Обе главные плоскости совпадают и проходят через центр шара.
R н
1 )/=—/'= — j- = 2R\ фокальные точки лежат снаружи шара на
расстоянии R от его поверхности.
2) / = 1,5Д; фокальные точки лежат снаружи шара на расстоянии R/2 от
его поверхности. Фокальные точки не выходят наружу при п > 2.
у'
1.43. 1) х' = 15 см. 2) Увеличение — = 1,5.
У
1.44. / = 50 см. 1) 148 см от плоской поверхности; 2) 143 см от выпук¬
лой поверхности. В обоих случаях изображение находится с противополож¬
ной стороны линзы по отношению к объекту.
1.45. / = 6 см. Главные плоскости лежат внутри линзы на расстояниях 1
и 1,6 см от поверхности линзы с большим радиусом кривизны.
1.46. / = 2,5 см. Положения фокальных точек и главных плоскостей изо¬
бражены на рис. 423.
1.47. Е — лВ.
1.48. Е = лВ.
1.49. Е = ^-= 1,1-105 лк.
к
288

1.50. Е = Е,
%Dl
0 4/2а2
= 2,58-108 лк.
1.51. B = Е= 1,5-109кд/м2 * * * * *.
1.52. Ез = |*^|Яс:
3 ят
1.53. DK = D
Ф
154. Х- =
Фо
_L
Л’’
£ =
л D
1,3 лм/м2.
2
1+1
S —S,
4 1/2
3
В.
1.55. N =
4Sk\k\v
400 Вт.
Нхщ
1.56. Яркость изображения в первом случае не зависит от диаметра
линзы, а во втором пропорциональна квадрату диаметра (для параксиальных
лучей).
1.57. 1) 1; 2) 1; 3) 0,25. д / 1 Д\2
Вообще яркость В = 1 при N < — и В = дГ"^- ПРИ N > Did, где N — уве¬
личение трубы, D — диаметр объектива, ad — диаметр зрачка глаза.
1.58! 1) 0,16; 2) 0,0625.
Решение. Рассмотрим произвольную оптическую систему, крайним
элементом которой является глаз. Пусть эта система удовлетворяет условию
синусов
пу sin u = п'у sin u\ (1)
где у и у' — линейные размеры объекта и его изображения на сетчатке глаза,
пип' — показатели преломления пространства предметов и стекловидного те¬
ла глаза (на рис. 424 глаз и изображение на сетчатке не показаны). Условие
Рис. 424
(1) должно выполняться для любого угла наклона и, но в дальнейшем под и мы
будем понимать угол, образуемый с оптической осью крайними лучами, кото¬
рые еще могут пройти через оптическую систему и попасть на сетчатку глаза.
Если яркость объекта В постоянна, то световой поток, попадающий в
систему,
Ф = BS ^ cos в-2л sin 0 dQ = nBS sin2 и,
о
где S — площадь объекта. Световой поток, попадающий в глаз,
и'
Ф' = В'S' ^ cos 0-2л sin 0 t/0 = л В'S' sin2 и',
О
10 - 1651
289

где В' — яркость изображения, S' — его площадь. Если пренебречь потерями
света при прохождении через систему, то Ф = Ф'. Так как S ~ у2, S' ~ у'2, и
учитывая (1), получаем
В'
„'2'
(2)
Субъективная или зрительная оценка яркости определяется освещенно¬
стью сетчатки:
ф ^ л ( /2^ о »
Е = -ТГ7 = пВ SinL и =nB^r-s\nLU.
о п*
(3)
Определим ширину d' пучка, вышедшего из О под углом и, непосредст¬
венно за окуляром. (Обычно изображение уг получается в переднем фокусе
окуляра, так что ра окуляром пучок световых лучей параллелен.) Так как
угол и2 всегда мал, то
. 2an sin и
d = 2aii2 = 2a sin и2 — у,
Уг
где а — расстояние от точки 02 до передней главной плоскости окуляра, при¬
чем мы воспользовались условием синусов для точек О и 02. Введем увеличе¬
ние микроскопа N, равное по определению отношению угла а', под которым
предмет виден в микроскоп, к углу а, под которым он был бы виден невоору¬
женным глазом, если бы был помещен на наименьшем расстоянии ясного
зрения L. (Для среднего глаза L»25 см.) Считая эти углы малыми, можем
написать
У , У2
а = -f, а = —,
L а
откуда
Следовательно.
У__а_Ь__ 1 L_
у2 а' а N а'
2Lti sin и
(4)
Следует различать три случая.
Случай I. Максимальное ограничение светового пучка производит зрачок
глаза: величина d' равна диаметру зрачка d, однако угол и меньше предельно¬
го угла итах, допускаемого апертурой микроскопа. В этом случае угол и' опре¬
деляется только диаметром зрачка и не зависит от увеличения. Согласно (3)
не зависит от увеличения освещенность сетчатки Е, ас ней и зрительная
оценка яркости. Рассматриваемый случай соответствует относительно мало¬
му увеличению. Такое увеличение невыгодно, поскольку при нем использует¬
ся не вся апертура объектива микроскопа. Примером разобранного случая яв¬
ляется невооруженный глаз. Здесь зрительная оценка яркости не зависит от
расстояния: предметы с одинаковой поверхностной яркостью, помещенные на
различных расстояниях, воспринимаются глазом также как одинаково яркие.
Случай 2. Зрачок глаза и оправа объектива одинаково ограничивают све¬
товые пучки: d' = d, и = итах. Согласно (4), увеличение в этом случае равно
N ^норм
2/л sin umax
d
(5)
290

и называется нормальным увеличением. Применение больших увеличений не
может повести к увеличению разрешающей способности оптической системы
микроскоп—глаз. Полагая d = 2 мм и L = 25 см, получаем
^норм = 250n sin итах. (6)
Случай 3. Максимальное ограничение световых пучков производит опра¬
ва объектива: d' < d. Угол и' (пропорциональный d') уменьшается в отноше¬
нии did'. В этом же отношении согласно (4) увеличивается N. Для освещенно¬
сти сетчатки (3) дает
£ = £норм (^р) , (7)
где £НОрм — освещенность при нормальном или меньшем увеличении.
Таким образом, если N lVHOpM, то освещенность сетчатки не зависит от
увеличения; если же N > NH0рм, то она обратно пропорциональна квадрату
увеличения.
Освещенность равна: 1) 0,16; 2) 0,0625.
1.59. 1) Четырнадцатая; 2) шестидесятикратное; 3) девятая—десятая.
§ 2. Формулы Френеля. Световое давление
, , 2
2.2. р = К . Для воды р = 2%, для стекла р = 4%.
II _ VЕ2У2 cos Ф — Vei/p-i COS -Ip
£ц Уег/рг cos ip + Vei/pi cos i|>’
P|| 2Vед/щ cos <p
P|| Ve2^2 cos ip + Vei/pi cos ip’
где £ц и E± — амплитуда напряженности электрического поля падающей на
границу раздела электромагнитной волны соответствующей поляризации
(|| — вектор Е лежит в плоскости падения, X — в перпендикулярной ей пло¬
скости), Я || и Я± (£)ц и D±) — амплитуды напряженности электрического
поля отраженной (преломленной) волны.
2.6! Решение. Если отражение не является полным, то, как следует из
закона преломления света, каждому углу падения соответствует веществен¬
ный угол преломления ip. Поэтому оба отношения1
_ sin (ф— Ц>) Д11 _ tg (ф — •ф)
Е± sin (<р тр) ’ 2?|| tg(ip + i|))
вещественны. Физически это означает, что при отражении либо совсем нет
изменения фазы, либо это изменение составляет 180°. Если падающая волна
1 Относительно амплитуд Е\\, Е±, Л||, Ях, D\\ и D± см. пояснения к ответу зада¬
чи 2.5.
2.3. т = ———о = 96 %.
(и + 1)2
2.4. 100(1 - 0,968) = 28%.
^ ^ R± _ VEl/pCl COS ф — VЕ2/Р-2 COS Т|>
Е1. Vei/щ cos ip -+- VЕ2/И-2 cos i|)’
Д1 2VEi/p.1 COS Ф
E± Vei/pi cos ip -+-VЕ2/И-2 cos 'Ф’
10*
291

линейно поляризована, то разность фаз между ее компонентой с электри¬
ческим вектором, перпендикулярным к плоскости падения, и компонентой с
электрическим вектором, лежащим в этой плоскости, равна либо 0°, либо
180°. На основании изложенного такая же разность фаз будет и у компонент
отраженной волны. При сложении такие компоненты дают линейно поляри¬
зованную волну.
2.7. tg 6 = cos (Ф - ф) tg a; tg р = - ^ tg а.
2.8. 1) 56° 19 ; 2) Д =
4 и2
(1+и2)2
4л2 + (1 +и2)2
-0,08.
2.9. 57°05 .
2.10. Д =
cos2 (f-^)-cos2 (» + *) = 0. 0j82. 1>0; 0
3 L— g?|| COS2 («р — !())-+- COS2 (ф + 1|>)
2.11. W
3е
и2+ 1
= 0,074.
2.12. Электрический вектор должен лежать в плоскости падения. Угол
падения равен углу Брюстера. Показатель преломления призмы должен быть
равен п = = V3 = 1,73 (ход луча через призму симметричен).
2.13. А = п — 2фв = 68°.
2.14. Результат получается непосредственно из формул Френеля.
2.15? Свет внутри слоя диэлектрика испытывает многократные отраже¬
ния на его границах (рис. 425). Если 6 = 2лпИХ — разность фаз, соответст¬
вующая двукратному прохождению света через слой (т. е. от одной его грани¬
цы до другой и обратно), то с учетом многократных отражений для комплек¬
сной амплитуды отраженной волны можно записать
откуда
R
Е
/‘1 + rfid\r2e ,б + dyd\r\r\e 2,6 + dvd\r\2r\e 3t6 + ...,
■ = г,+
d\d\r2e ,s
1 -r\r2e'&'
или с учетом того, что г = —г, г2 + dd! = 1, получаем
R ri + r2e~'s
Е \+rxr2eih'
292

2.16. При отражении от идеального зеркала может меняться только фаза
но не амплитуда волны. Поэтому для коэффициента Френеля (см. задачу
2.15) при таком отражении можно записать гг = е,а. Подставляя это значе¬
ние в формулу, получим ответ предыдущей задачи:
откуда
R г1+е*(° 5)
Е ~ 1 +г1ец-а~&)'
г
R
Е
гf +1 + 2г[ cos (а — 6)
1 + r\ + 2ri cos (а — 6)
2
2.17. р = Pi + P2rl + P2xlPlP2 + — = Pi + Y
1 — PlP2
Т = Т!Т2 + Т!Т2Р1Р2 + TiT2(pip2) 2 + ... = -j ~~-
1 — Р1Р2
2 1». . = тР т !~Р
Рт 1 + (т — 1)р’ Тт 1+(т- Dp-
Решение. Присоединим к системе т плоскостей одну такую же
(т + 1) -ю плоскость. Первые т плоскостей можно заменить одной плоско¬
стью с коэффициентами отражения и пропускания рт и тт. Тогда задача
%
будет сведена к предыдущей, и мы получим для коэффициентов отражения
и пропускания (т + 1) плоскостей
Рт + 1
Pm + Р
Т
2
т
1 -рр«,
хт + 1 —
1 -ррт'
Отсюда методом математической индукции нетрудно получить ответ.
2.19.
_ 2N
pN ~ 2N +5,76’
_ 5,76
Тлг _ 27V + 5,76
(см. рис. 426).
293

2.20. -0,015; -0,091; -0,176; -0,402.
2.2l! P e ш e н и e. Из формулы Френеля
д|| _ tg (ip - -ф)
£ц tg (ip + ip)
следует, что R ц меняет знак при переходе через угол Брюстера. Физически
это означает, что при таком переходе R\\ претерпевает скачкообразное изме¬
нение фазы на л. При строгой справедливости формулы Френеля это не вело
бы к нарушению непрерывности электромагнитного поля, так как для угла
Брюстера R\\ = 0. В действительности Лц не обращается в ноль ни при ка¬
ком угле падения. Поэтому должна существовать окрестность угла Брюстера
(обычно довольно узкая), при переходе через которую фаза Лц меняется не¬
прерывно от 0 до ж. Для света, электрический вектор которого перпендикуля¬
рен к плоскости падения, подобной окрестности не существует. Поэтому из
нестрогого соблюдения закона Брюстера вытекает эллиптическая поляриза¬
ция отраженного света, о которой шла речь в условии задачи. Обратное за¬
ключение можно получить, если разложить падающую волну на компоненты
с колебаниями в плоскости падения и перпендикулярно к ней и принять во
внимание, что эти компоненты в линейном приближении отражаются неза¬
висимо друг от друга (принцип суперпозиции).
2.22! Да, будет.
Решение. Если закон Брюстера имеет место, то угол Брюстера, при ко¬
тором не отражается ]|-компонента электрического поля, определяется выра¬
жением
tg Фб =
е2
El е2(х2 — eip-i
(1)
Возможен случай, когда не будет отражаться ± -компонента. Угол, при
котором это имеет место, определяется уравнением
tg Фб =
И-2 E2|Tl-El|i2
(2)
I Е^] - Е2Ц2
Оба случая взаимно исключают друг друга, так как знаки подкоренных
выражений в (1) и (2) противоположны. Если е и ц существенно положи¬
тельны, то всегда существует угол, при котором не отражается либо Ц-, либо
-L-компонента падающей волны. Для определения этого угла «полной поля¬
ризации» надо пользоваться той из формул (1) или (2), у которой подкорен¬
ное выражение положительно.
2.24. Искомый угол ф определяется из уравнения
„2.
sin4 ф
п‘ + 1
: sinz ф +
1
1 Л Л
cosz = 0,
которое дает ф! = 60°32 , ф2 = 38°42
2.25. Левая.
2.26. Ф = arcsin
2/tz
1 + /tz
6 = 2 arctg
1 -nl
2n
-, где n — показатель прелом¬
ления второй (оптически менее плотной) среды относительно первой (л < 1).
1
2.27. п>
V2 — 1
; 2,41.
294

2.28. Нельзя.
2.29. и =
1 -Ь sin (Зтг/8)
= 5,028. Так как веществ с показателем преломле-
cos (Зл/8)
ния 5 не существует, то в оптике осуществить этот случай нельзя. Его можно
было бы осуществить с более длинными электромагнитными волнами.
2.30. п > 3,732.
2.3l! Р = и( 1 + г) cos2 9; Т = [//(1 — г) sin 2ф]/2, где и — плотность
энергии падающей волны.
Р е ш е н и е. Если N — число фотонов падающей волны в единице объема,
то импульс фотонов, упавших за 1 с на зеркало, равен (Nhv/c)cS cos 9, где
S — площадь зеркала. Так как Nhv = и, то этот импульс равен
Pi = uS cos ф i, где i — единичный вектор, проведенный в направлении пада¬
ющего луча. Импульс отраженных за 1 с фотонов Р2 = ruS cos 9 i', где i —
единичный вектор в направлении отраженного луча. Таким образом, изме¬
нение импульса световой волны за 1 с вследствие отражения от зеркала равно
р2 ~~ Pi = ~uS (i — ri') cos 9.
В силу закона сохранения импульса изменение импульса зеркала будет
таким же по величине, но противоположным по направлению. Поэтому сила
F, действующая на зеркало со стороны излучения,
F = р! — р2 = uS (i — ri') cos 9,
а сила f, действующая на единицу площади зеркала,
f = u(i — ri') cos 9.
Проецируя это выражение на нормаль к зеркалу и на плоскость зеркала, по¬
лучим результаты, приведенные в ответе.
2.32! Р = и |cos2 9 + ^ cos 9 j ; Т = sin 29.
Решение. Если отражающая поверхность идеально матовая, то она от¬
ражает падающее на нее световое излучение целиком, причем после отра¬
жения получаются лучи всевозможных направлений, и все эти направления
равновероятны. Вероятность того, что направление распространения отра¬
зившегося фотона составляет с нормалью к зеркалу угол между 0 и 0 + rf0,
равна [1/(2тс)] rfQ=sin0tf0, так как соответствующий элемент телесного
угла dQ = 2п sin 0 dQ. Результирующий импульс всех отразившихся фото¬
нов перпендикулярен к плоскости зеркала. Среднее значение проекции им¬
пульса одного отраженного фотона на нормаль к зеркалу равно
л/2
г hv „ . _ ,,, 1 liv
\ — cos 0 sin 0 fi?0 = - —.
} с 2 с
о
Следовательно, для результирующего импульса всех отразившихся фото¬
нов мы получаем
мо 1 hv 1
Р2 = NcS cos 9 • ^ — n = ^ uS cos <pn,
295

где n — единичный вектор нормали к поверхности зеркала
вующая на единицу площади зеркала,
Сила же f, дейст-
f =
Pl —Р2
= U
-2П
COS ф.
Проецируя это выражение на нормаль п и плоскость зеркала, получим ре¬
зультаты, приведенные в ответе.
3 2(п — 1)
2.33. F = -
и-И
2.34. М-
3
nD2d -
- = —1,3* 10 3 дин/см2.
■ = 2-10~3 дин-см. Если направление паде-
4с /t(rez + l)
ния волны — слева от нормали к поверхности пластинки, то вращающий мо¬
мент направлен по часовой стрелке.
В задачах 2.33 и 2.34 импульс фотона Рф = tik, где к — волновое число:
к — число фотонов, падающих на 1 см2 поверхности за 1 с, равно
3
cos ф, где ф — угол падения. См. также задачи 2.31 и 2.32.
2.36. Р = —, где и
плотность излучения.
2.37. 1) Pi = 0,45 дин/м2, или приблизительно полмиллиграмма на квад¬
ратный метр; 2) />2 = = 0,9 дин/м2; 3) Pj, = - Р\ = 0,675 дин/м2.
4
2.38! 1) F = Su; 2) F = Su; 3) F = — Su., где S — площадь диаметрального
сечения шара; и — плотность энергии падающей волны.
Решение. Так как размеры шара велики по сравнению с длиной свето¬
вой волны, то при решении задачи можно ограничиться приближением гео¬
метрической оптики и не учитывать дифрак¬
цию. Чтобы объединить оба первых случая,
допустим, что коэффициент отражения по¬
верхности шара равен г и не зависит от угла
падения ф. Сила, действующая на единицу
поверхности шара, равна f = и cos ф (i — ri)
(см. решение задачи 2.31*). Направим ось X
параллельно падающим лучам (рис. 427).
В силу симметрии результирующая сила све¬
тового давления на шар должна быть направ¬
лена вдоль оси X и равна F = ^ fx dS, где
dS — элемент поверхности шара, а интегри¬
рование ведется по освещенной половине этой поверхности. Имеем
/х = и cos ф — ru cos ф cos (л — 2ф) = (1 — г) и cos ф + 2т cos3 ф.
Далее, dS = 2ла2 sin ф <7ф, где а — радиус шара. Интегрирование дает
F — жа2и. Таким образом, сила F не зависит от коэффициента отражения и
одинакова для абсолютно зеркального и абсолютно черного шаров. Решение в
случае идеально матовой поверхности шара производится таким же методом
и дает F = 4жа2и/3.
296

2.39? На идеально отражающий шар световое давление будет больше
Решение. Если бы коэффициент отражения г не зависел от угла паде¬
ния, то сила светового давления в обоих случаях была бы одинакова (см. ре¬
шение предыдущей задачи). Однако в действительности г зависит от угла па¬
дения, и поэтому силы давления будут различаться. Пусть луч АВ (рис. 428)
падает на шар под углом падения <р = 45°. Тогда
отраженные фотоны будут распространяться
перпендикулярно к падающему лучу и каждый
из них передаст шару импульс hvlc. Если же фо¬
тон падает на шар в пределах поверхности, огра¬
ниченной окружностью BD, то, отразившись, он
будет иметь слагающую импульса, направлен¬
ную противоположно распространению падаю¬
щего света; в этом случае он передаст шару им¬
пульс больше hvlc. Напротив, если фотон попа¬
дет на шар в пределах кольца BEFD, то
переданный им импульс будет меньше hvlc. Если
г не зависит от угла падения, то избытки переданных импульсов по сравне¬
нию с hvlc на круге BD будут полностью компенсированы недостатками на
кольце BEFD. В действительности г зависит от угла падения. Для неполяри-
зованиого света г возрастает с возрастанием угла падения. Поэтому недостат¬
ки переданных импульсов па кольце BEFD будут превосходить по величине
избытки их на круге BD. Отсюда следует, что сила светового давления на
шар, частично отражающий свет, будет меньше, чем в случае идеально отра¬
жающего шара. ?
2.40. Fl =5,9-1013 дин. ^ - 3 иТ
i'7
земного шара, R
1,6-10
-14
Здесь а — радиус
- время обращения
16 x2aR6
расстояние от Земли до Солнца, Т
Земли вокруг Солнца. По сравнению с силой тяготения сила светового давле¬
ния ничтожно мала, и ее влияние на движение планет лежит далеко за преде¬
лами точности астрономических измерений.
2.41? и =«^l±-^j, где и, и — плотности энергии падающей и отра¬
женной волн соответственно, ап — скорость движения зеркала. Знак плюс
соответствует движению зеркала навстречу распространению света, а знак
минус — противоположному случаю.
Решение. Вообразим бесконечно длинный цилиндр, в котором без тре¬
ния медленно движется зеркальный поршень со скоростью и (н«сс). В ци¬
линдре в направлении движения поршня распространяется цуг волн, длина
которого численно равна скорости света,т. е. l = c-1 с = с. Пусть в момент
времени О голова цуга достигла поршня. Тогда, как нетрудно рассчитать, ко¬
нец цуга достигнет поршня в момент времени t = cl(c — и). За это время пор¬
шень пройдет путь х = vt = vet (с — v), а головной фронт отраженной вол¬
ны — путь ct. Поэтому длина отраженного цуга будет
l' = ct + х = с
с + у
с — V'
Если площадь поршня равна единице, то изменение энергии световой волны
в этом процессе равно и I — ul. При этом световое давление Р произвело
297

работу Рх. Следовательно,
и/ = и l' + Рх.
При медленном движении поршня световое давление можно принять рав¬
ным Р = 2и, если пренебречь добавочными членами порядка u(v/c). Подстав¬
ляя в предыдущее выражение значения Р, я, /, /', получим результат, приве¬
денный в ответе для удаляющегося поршня. Этот результат верен, если пре¬
небречь величинами порядка {vie)1.
2.42. Напряженность электрического поля £0 в несфокусированном пучке
с с о
оценим по формуле W = — EHS = — £ S, а давление излучения Р0 — по
W 4я 4,1
формуле Р0 = —. Таким путем находим
Со
Е0ъ{Ё% = 1- = 1,45-103 ед. СГСЭ = 4,3-105 В/см.
Р0 » 1,67-105 дин/см2 » 0,16 атм.
В фокусе можно пользоваться теми же формулами, вычислив предвари¬
тельно ширину пучка. Для оценки будем считать, что весь свет концентриру¬
ется в пределах центрального светлого кружка с радиусом R = 0,61/Х/г и
площадью лR2 = л (0,61 fXIr)1 = (0,61 -x//)2/S, где г — радиус поперечного
сечения падающего пучка. Эту площадь и надо подставить в предыдущие
формулы вместо S. В результате получим
Е » tJe1 » Е0 = 1,5-103 £0 = 6,4 • 108 В/см,
,'=(mK7x) fo = 2.25-10‘P„«»3,6.10=a™.
2.43. l)P = —
cxS
жения поверхности;
2 2
(1 +/*)=-( 1 + г) дин/см , где г
коэффициент отра-
2) Р»—-» 150(1 +г) атм;
схХ2
3) £»|-l/^»6-104efl. СГСЭ» 1,8-107 В/см.
Л " ст
§ 3. Интерференция монохроматического света
3.1! Решение. Интерферирующие волны можно записать в виде
El = £ioeH®'-*u*+Si) = E10e~ik >**,
Е2 = е20 = Ё20 е~‘к^х,
где к = к{х = к sin ipi; к2х = к sin <Pi = — 92 =
Интенсивность светового поля 3 (х) в плоскости OXY, перпендикулярной
оси OZ (рис. 276), найдем следующим образом:
3 (х) = (Е1 + Е2) (£] + £2) — 3\ + Зг "Ь 2£jo^2o cos >
298

где Аф(л') = fc(sin ф! — sin Фг)* = kx-2 sin (ф/2) я» feip.v. Таким образом, ин¬
тенсивность
3 (x) fa Si + Зг + 2£10£2o cos kyx.
Отсюда период интерференционной картины (рис. 429) найдем из условия:
/сфДд: = 2л => Ах яа —.
Ф
X
Часто период интерференции обозначается как Л, т. е. Л .
Ф
Совершенно очевидно: чем меньше угол схождения интерферирующих
волн ф, тем зримее интерференционная картина. Так, чтобы Дл:~ 1мм при
А. я» 0,5 мкм, необходимо, чтобы ф~ 0,5-10_3 рад. Таким образом, малость
угла схождения в реальной оптике — необходимое требование.
Заметим, что задача решается совершенно аналогично, если интерфе¬
рирующие волны записать не в комплексной форме, а тригонометрической:
Ei = Ею cos (о( — к[хх + 6i); £2 = £20 cos (со( — кгхх + 62).
3.2. Ах я» где Ф = Ф1 + Ф2-
3.3. X = — = 5- 10~5 см = 500 нм = 5000 А = 0,5 мкм.
а
3.4. riQi = п + = 1,000865. Интерференционные полосы смещаются в
сторону трубки.
3.5. х = тХ
3.6. Ах =
а + Ь
2а (п — 1) а'
X
2(п — 1) а
= 0,5 мм; N =
4L(/t-l)V
= 10.
3.7. Максимальное число полос N = ^= 40 получится при удале¬
нии экрана на L = ■
I
4(rt— 1)а
лить экран от бипризмы не менее чем на 2L = 40 м.
= 20 м от бипризмы. Полосы исчезнут, если уда-
3.8. N =
АаЬ (и— 1га
2 „2
л: = ■
hb
а+b X ' а
3.9*. Решение. Пока источник S находился на оси системы, центр ин¬
терференционной картины получался в точке О (рис. 430).
299

Сместим источник вверх на Л в положение s', а затем вообразим, что
от бипризмы отрезана часть ACDE. Эта часть действует как плоскопарал¬
лельная пластинка толщиной d = 2ha, смещающая картину вниз на
Рис. 430
N = d(n— 1)М полос. Центр картины О переместится вниз на расстояние
х = N Ах, где Ах — — ширина полосы. Смещение из о' будет
2(и — 1)а а
NX a+b d(a+b)
. Подставляя значение а, получим х = Л + hbla.
2(и —1)а а 2 аа
Смещение из прежнего центра О будет х = х — h = hbla.
3.10. 1) Ширина полос уменьшится в
а —4/
;2 раза.
2) Ширина полос уменьшится в у = 8 раз.
3.11. й = -^ = 0,6 мм.
Дх
3.12. Дх;
3.13. а =
X cos ipi
2avV — sin2 if!
X
2AxVn2 — sin2 ф
12.
3.14. Приблизительно при d <-^= 10 5 см.
3.15. Оптическая толщина пленки должна быть равна четверти длины
световой волны в вакууме. Показатель преломления пленки п = Vn, где п —
показатель преломления стекла. Отражения не будет также в том случае, ког¬
да оптическая толщина пленки In — l4n = Х/А + NX/2, где N — целое число.
Однако при пользовании белым светом применять толстые пленки невыгодно.
X
3.16. а =
2пАх ‘
& .
3.17. Е ос AS о sin2 2jc^a, где х — расстояние от ребра клина.
3.18. Для горизонтальной поляризации ai
Ah
= 1°20 ,
для вертикальной поляризации aj = 0; a2 = = 2°40
300

При лр = — т(т=1,2,3 ...) S — 2.$q, где Sq — интенсивность прини¬
маемого сигнала в отсутствие отражения.
_ ,, nL sin а
3.20. и0 ос cos —^—, где а = С03Г — угол поворота антенн от направле¬
ния на источник за время t, С03 — угловая скорость вращения Земли. При ма¬
лых значениях а период изменения амплитуды напряжения равен
Т = = 2,3 мин.
xL
3.21. A0<-g- = 2 .
3.22. A/ = W«EI = (),75.
I A
3.23. Будет видна картина, похожая на кольца Ньютона. Радиус т-го
светлого кольца
= - а2-
тХ
3.24. Д/ = 0,32 мм.
3.25. / = 137 см.
3.26. R = 1 м; 7.Кр = 0,7 мкм.
3.27. / =
3.28. г =
3.29. rm =
3.30. rm =
3.31. /
2 2
r\rl 1 .
rl + rl (n-l)mX
= 0,63 мм.
: 54 см.
тХ
Ri Rj
тХ
Л, «2
„2
3.32.
Зг,
10Л(и— 1)
и2 + 1
3 min V 2п
контрастна, чтобы ее можно было увидеть глазами.
3.33. D = ^т^ = 0,25 дптр, где т = 8.
1,1 м.
= 1,17. Интерференционная картина достаточно
3.34? Решение. Каждое кольцо Ньютона можно определить как линию,
вдоль которой разность хода между интерфрерирующими лучами постоянна.
Легко видеть, что при удалении линзы от пластинки «кольца постоянной раз¬
ности хода» будут сжиматься к центру картины, а при приближении — рас¬
ширяться от центра. Центр картины попеременно будет темным и светлым.
3.35. v = ^ = 10 кГц.
*0
301

§ 4. Интерференция квазимонохроматического света.
Временная когерентность
4.1! Решение. Двум длинам волн соответствуют две системы колец
Ньютона с незначительно отличающимися размерами. Если линза соприка¬
сается с поверхностью пластинки, то в центре картины светлые (темные)
кольца одной системы практически совпадают со светлыми (темными) коль¬
цами другой системы. Поэтому вблизи центра кольца видны почти так же
резко, как при монохроматическом свете. Но при некотором удалении от цен¬
тра светлое кольцо одной системы может совпасть по положению с темным
кольцом другой системы. В соответствующем месте кольца Ньютона не будут
видны, а в окрестности этого места они будут видны нерезко.
Определим номер N-ro светлого кольца для длины волны Х2, которое сов¬
падает по положению с ((V + 1)-м кольцом для длины волны Хц Первому тем¬
ному кольцу (точнее, центральному темному пятну) для длины волны Xi со¬
ответствует разность хода XJ2, второму темному кольцу — разность хода
Xi -f Xj/2 и т. д., наконец (N + 1)-му темному кольцу — разность хода
NX{ + XJ2. Та же разность хода NX 1 + Xj/2, очевидно, должна равняться
NX2, так как должно происходить наложение N-ro светлого кольца для длины
волны Х2 на (N + 1)-е темное кольцо для длины волны Хц Итак,
Ж,Л , Xi Xi 5890 _
NXi + -j" = (VX2, откуда N = 2(X2-Xl) = ~р2~^490-
Отсюда следует, что кольца пропадут в окрестности четыреста девяностого
кольца. Легко видеть, что они опять будут резкими в окрестности
2-490 = 980-го кольца. При удалении линзы от пластинки кольца стягивают¬
ся к центру (см. решение задачи 3.34*). Если линзу переместить на 490Xj, то
через поле зрения пройдет 490 колец, и в центре картины кольца исчезнут.
При перемещении линзы на 2-490Xi = 980Хц кольца в центре снова бу¬
дут резкими; при перемещении на 3-490Xi = 1470Xi — опять пропадут и т. д.
4-2-Т-Жг ""«“А-
4.3! ДХ = 0,75 А.
Решение. Разность хода между лучами, отразившимися от передней и
задней поверхностей пластинки, равна 2dn cos гр + Х/2. Так как центр колец
темный, то эта величина должна содержать нечетное число полуволн.
Первому темному кольцу соответствует такое приращение угла преломления
гр, что разность хода уменьшается на X. Это дает 2dn(l — cos тр) = А или
4dn sin2 (тр/2) = X. Для малых углов dnty2 — X. Малые углы падения и прелом¬
ления связаны соотношением ф = игр. Таким образом, ф2 = nX/d. Для радиуса
первого темного кольца получаем г = Др = /VnX/rf = 9,5 мм. Величина ДХ на¬
ходится обычным способом по порядку интерференции, который равен 2dn/X.
Это дает ДХ = Х2/(2dn) = 0,75 А.
4.4! N = 2.
D
Решение. Максимальный угол падения фтах = -rj. Поэтому из результа-
Л, d°2 9
тов решения предыдущей задачи получаем N = — = 2.
302
36п/2Х

36nf2X n 01
4-5. dmin = д2 - = 0,81 мм.
4.6. Если бы свет был монохроматическим, то в конце процесса в точке
Р порядок оказался бы равным т = 50. На самом деле в связи с немоно-
хроматичностью света rnmax = ^ = Ю < 50. Наблюдатель увидит всего
N = 20 полос.
4.7. а*?
2 hAv
0,05.
4.8. Л = 1 + 4т = 5.
fh
4.9. Ар = Api = 200 мм рт. ст.
4.10. 1) Д.х = у- = 0,94 мм.
2а
2) Решение. Допустим сначала, что линия ртути — двойная с двумя
длинами волн Дц = X и Х2 = X + ДХ. Пусть на отрезке х от вершины клина
укладывается N интерференционных полос с длиной волны Х[ и N — 1/2 по¬
лос с длиной волны Х2, т. е. NX\ = (N — 1/2) Х2. Тогда на конце этого отрезка
интерференционные максимумы от длины волны Xi наложатся на интерфе¬
ренционные минимумы от длины волны Х2 — и интерференционные полосы
Х2/2
Х2 — Xi ’
пропадут. Число N и будет искомым числом полос. Оно равно N :
XJ2
или, пренебрегая квадратами ДХ, N = -ту. Допустим теперь, что интервал
Zi А
между Xi и Х2 непрерывно и равномерно заполнен длинами волн. Тогда всю
спектральную линию можно считать состоящей из двух линий шириной
ДХ/2 каждая с расстоянием между ними ДХ/2. К этим двум линиям примени¬
мы предыдущие рассуждения. Поэтому число полос N найдется из предыду¬
щего результата заменой ДХ -» ДХ/2, что дает N = Х/ДХ. Таким образом, счи¬
тая линию ртути сплошной, находим N Х/ДХ ss 54 600.
3) х = N Ах
4) 6<р я» V(ДХ/Х) а
51,3 м; h =
0,25'.
4.11. V(A) =
sin Д
^ л.Лу \
с J
:lAv
4.12. R >
ДХ ‘
2ДХ'
14,9 см.
где Д — разность хода.
; 5-108.
4.13. Д = -у- = 30 м.
Av
4.14. #<х2а1
1 + cos
■ Ш
. Таким образом, спектр тока фотоприем¬
ника содержит постоянную составляющую и равную ей по амплитуде пере¬
менную составляющую на частоте Q = ^ 1а.
303

4.15. Амплитуда излучателя 3 должна быть в \fl раз больше амплитуд из¬
лучателей / и 2. Минимумы нулевой интенсивности направлены под углами
0 = ± 60° к линии источников 1—2—3.
Q
4.16. Длина когерентности /ког ~ ~ 0,3 см. Поэтому будет виден лишь
нулевой порядок: вначале при отражении от передней грани при Дд: = 0, за¬
тем от задней грани при х = 2dn — 2 см. Затем будут следующие порядки ин¬
терференции убывающей интенсивности.
(4зг
-у vt
где I2(t) = I2 + I2 + 2/1/2 cos А ДО = 4л^Л V. Частота несущей О = и;
Xх X
период биений
должно быть —
жен на рис. 431.
4.18. 3(0 <х
т = —= 6,25 с; Т = -^ = 2,5-10 4 с. Время измерений
ДО О
6 с. График зависимости тока фотоприемника 3 (0 изобра-
/0Д со
1 +
sin(2it/f)
211ft
sin (2я vt)
где v = ^ = 400 Гц; / = v = —Lr Гц. Время измерения т = ^г=125с.
A ^эи
График зависимости тока от времени изображен на рис. 432.
304

§ 5. Протяженные источники света.
Пространственная когерентность
5.1! V(b)
3 так 3 т\п
3 так + 3 min
(nbd
sm[TT0
n,bd
M0
Решение. На рис. 433 изображена схема интерферометра Юнга. Про¬
тяженный источник, размер которого равен Ь, освещает экран со щелями, на¬
ходящийся на расстоянии Rq от источника, расстояние между щелями равно
Ь. Плоскость наблюдения расположена на расстоянии R от интерферометра.
Проведем ось 3; вдоль по протяженному источнику, а ось ОХ по экрану. Обоз¬
начим интенсивность от единицы длины
протяженного источника через /0. Тогда
элемент d\ источника дает интенсивность
/о d\. Пусть этот элемент (точечный ис¬
точник света) размещен на расстоянии £
от центра источника, тогда интенсивность
на экране в точке х, очевидно, будет равна
d$i = 2/0 d\{ 1 + cos kA),
k = 2 яД, а разность хода
fii; + ax, где в свою очередь угол П,
называемый апертурным углом или апер¬
турой интерференции, равен П * d/R0, а угол схождения лучей a яг dlR.
Все элементы протяженного источника светят некогерентно и каждый из
них дает свою интерференционную картину. Осталось сложить эти картины
от каждого из элементов
6/2 6/2
где
А я
3{х) = \d3x = 2/0 ( rfJl + cos [х(if £ +
-6/2 -6/2 *■ L V 0
Поскольку период интерференционной картины Л яг :
обозначение, получим
d
Rx
\R
■ —, то введя это
a
Ы2
3(х)=2/0 j d\
-6/2
1 + COS
2л
Л~
Х + Т^
2л R
Введем временное обозначение д = — —. Тогда очевидно, что под знаком
л
интеграла стоит косинус суммы: cos х + , который по формуле триго¬
нометрии разлагается так: cos (а + f3) = cos а cos [3 — sin а sin [3. При интег¬
рировании легко выясняется, что поскольку пределы интегрирования по \
симметричны, то интеграл от произведения синусов равен нулю. Поэтому
6/2
3(х) = 210b + 2/„ cos ~ х j cos q\ d\ = 2#0[l + S-^~
-6/2 V
2л
COS — X
11 - 1651
305

Совершенно очевидно, что в полученном выражении коэффициент при
cos [(2л/Л)х] и есть видность V интерференционной картины, если поста¬
вить модуль:
sin (дЫ2)
qbtl
Преобразуем величину, стоящую под знаком синуса,
gb __ лЬс! _ лО
Т~1
Обычно в таком виде и записывают полученное выражение
V(b) =
& max & гт
3 max + 3 „
Уф) =
лД
}.1Ь
лД
XIЬ
Исследуем его. Если изменять размер b источника, оставляя неизменной
базу интерферометра, то при некотором значении Ь* видность картины пре¬
вратится в ноль, а экран будет просто равномерно засвечен с интенсивностью
23о- Это предельное значение 6* = — =Обычно полагают, что при
b > b* V = 0. На рис. 434 показан график V(b), а на рис. 435 — график
3 (х). По мере приближения b к своему пределу Ь* величина осцилляций
уменьшается (по всей плоскости, ведь источник монохроматический).
Наоборот, если размер источника b зафиксировать, но изменять базу ин¬
терферометра d, то легко получить следующее неравенство. Пусть
ф = b/R0 — угловой размер источника, каким мы его видим из места распо¬
ложения интерферометра. Тогда осцилляции интенсивности на экране будут
наблюдаться при условии, что
X
d<-3 = -
Ф'
Эту предельную величину Я/гр называют размером области когерентного
освещения или размером пятна пространственной когерентности. Величину
Х/(2ф) = рког часто называют радиусом пространственной когерентности.
306

5.2. D < —
a
0,05 мм.
5.3. l>
fD a
100 cm.
I
l
5.4. 1) Пусть источником света служат две одинаковые некогерентные
светящиеся точки Si и S2 (или светящиеся линии, параллельные прямой,
вдоль которой пересекаются плоскости зеркал Френеля), отстоящие друг от
друга на расстояние I. Их мнимые изображения
51 и Si, S2 и S2 расположены так, как показано
на рис. 436. Интерференционная картина на эк¬
ране АВ от пары мнимых источников Si и S^
будет смещена относительно интерференцион¬
ной картины от другой пары источников S'2 и
52 на расстояние O1O2, равное I. Если
/ = А/(2(р), где f — угловое расстояние между
источниками, то максимумы одной интерферен¬
ционной картины наложатся на минимумы дру¬
гой, и интерференционные полосы пропадут.
Если источником служит светящаяся полоска
шириной I, параллельная линии пересечения
зеркал, то ее можно мысленно разбить на пары светящихся линий, расстоя¬
ние между которыми равно U2. В этом случае можно применить рассужде¬
ние, приведенное выше, заменив I на //2. Полосы пропадут, когда I — АЛр. Ес¬
ли источник имеет неправильную форму, то для получения резких интерфе¬
ренционных полос его поперечные размеры в направлении, параллельном
линии, соединяющей соответственные изображения в зеркалах Френеля, дол¬
жны быть малы по сравнению с АЛр.
2) Размер источника в направлении, перпендикулярном к плоскости зер¬
кала, должен быть мал по сравнению с расстоянием от источника до зеркала.
5.5. Число наблюдаемых полос N яа 60; полосы размываются на расстоя¬
нии от центра х = 0,6 см; допустимый размер источника яа 2-10-2 см.
5.6. Кольца равного наклона с центром F. При наклоне пластинки коль¬
ца становятся эллиптическими. Центр картины в точке схождения парал¬
лельных лучей, падающих на пластинку нормально. При наклоне пластинки
на угол а центр картины смещается на х = / tg а я» /а яа 5,3 см.
5.7. Первое исчезновение полос будет при ширине щели
X x-f (L-f)x-Lf
Ь = -
к—М. х — о,58 мм.
6 а
5.8. Ь -
2d]
d-г
= 0,1 см.
4 L1
104
ДА
А :
10
-4
5.10. Nf
5.11. b<f
; 5600.
1,25 мм.
11*
307

5.12. ш = -г-Я::360, где Д = 2W/г2 — sin2 угол схождения лучей П в
Л
силу симметрии примерно равен апертурному углу интерференции:
Ширина интерференционных полос
Q = — tg ф cos2 ф яг 0,2-10
-4
Л:
Q
= 2,8 см. Предельный размер источника b яг Л яг 2,8 см. Допустимая
немонохроматичность ДА яг — яг 1,6 нм.
5.13. т„
иметь любые размеры.
5.14. ДА fe¬
rn
1000; ттт яг 720; ДА < 0,5 нм. Источник света может
ОДА
100 НМ; П = ■
10 3 рад.
5.15! b = — = 2,5-10 2 см; т яг 10
ДА яг — = 50 нм.
т
Решение. Из графика, изображенного на рис. 300, легко определяется
3 3 — 07
видность интерференционной картины в центре: V = 3’3 + яг 0,65. В зада¬
че 5.1 было получено аналитическое выражение для видности интерференци¬
онной картины протяженного источника:
V(b) =
sin
sin j—-
1 XL J
U ib)
nbd
Л.О
XL
A Ib
где Я = <J/L — апертура интерференции, т. е. угол, под которым из точки, где
расположен источник, видна база интерферометра. Если рассматривать вид¬
ность, как функцию размера источника, то при b = A/Я V = 0. Таким обра¬
зом, это значение b можно рассматривать как предельно допустимое:
^тах = А/Я.
Однако в задаче требуется по виду интерференционной картины опреде¬
лить реальный размер Ь. Для этого необходимо решить следующее уравнение:
V =
0,65 :
т, л itQ л
Корень этого уравнения, очевидно, равен х = откуда следует х = и
А -2
6 = - = 2,5-10 см. Немонохроматичность источника оценивается так:
ДА
А
50 нм, где т яг 10 мы определяем из графика — это максимально
различимый порядок интерференционной картины.
5.16. 1) Л яг 10_3 см; 2) |л’| « 0,25 см (область локализации полос);
3) т„
250, »imin = 0, N яг 500; 4) ДА яг 20 А; 5) Ь < 10
-3
см.
5.17. 1) Л яг 5-10 3 см; 2) N яг 100; 3) — 0,1 см < х < 0,4 см (область
локализации); 4) mmax яг 180, ттjn яг 80; 5) b £ 5-10 3 см.
А
5.18. ф:
d
1,9-10 7 рад. Более точный расчет учитывает «круглость»
звезды: ф яг 1,22 = 2,3-10 7 рад = 0,047 .
308

5.19. 1 )L
D
1м; A = 5 - 10 J cm.
4a(/i — 1)
}
2) A к = = 5 нм, где »imax = 100.
2X
3) 4'<tj = 5-10“5 = 0,17 .
5.20. 1) L = ^^-= 1 m, где a=%= 10"2; A = - = 5-КГ3 cm; N = 200.
2u / a
2)/о,,,;,x = 10°; A/. = -
X
: 5 нм;
2kf
D-a
sin (0,1 iiL)
= 2,5-10 3 cm.
; полосы размываются при L= 10/п [см], где
3) Ь =
5.21. V(L)
1 п = 1, 2, 3,...
5.22. Vq яь 0,41; при V = V1 — 0,827 z яг 1м, Az яе 0,5 м; интерференци¬
онная картина размывается при z ss 33 см, Az яс 17 см.
О ,1лФ
§ 6. Дифракция Френеля. Зонные пластинки
6.1. 3 Sо\ Е яе я? 0, в точке А минимум освещенности.
6.2? Решение. Если £ц, Е2, Е$ — поля, создаваемые в точке А последо¬
вательными полными зонами Френеля, то искомое поле Е в точке А предста¬
вится рядом:
Е = ~ (Е^ЕгЗ ...+EK_l) +\en+ (En+ , +En+2 +...).
четное число
При небольшом N первая скобка близка к нулю, а последняя — к £^+1/2, так
что
£яЛ (EN + EN+l) »0.
В точке А будет минимум освещенности.
6.3. При четном N в точке А будет минимум
освещенности (Е = 0), при нечетном N — макси¬
мум, приблизительно такой же, как при одной от¬
крытой центральной зоне.
6.4? Амплитуда колебаний в точке S увели¬
чится в \[3 раз, а интенсивность — в три раза.
Решение. Колебание, вызываемое всеми зо¬
нами Френеля, изображается вектором ОС
(рис. 437) колебание от одной трети первой зо¬
ны — вектором О А. Вектор АС представляет коле- Рис. 437
банис, вызываемое волнами, отразившимися от
внешней части экрана, расположенной за отверстием CD (рис. 309). Эти три
вектора образуют равносторонний треугольник, если пренебречь уменьшени¬
ем радиуса витка спирали на одном обороте. При смещении центрального
круга к источнику на Х/12 фаза отраженной им волны увеличится на
309

2-2л/12 = л/3, и колебание изобразится вектором, равным и противоположно
направленным вектору АС. Интенсивность всей отраженной волны в точке S
обратится в ноль. При смещении круга CD в противоположную сторону фаза
колебания ОА уменьшится на л/3 и вектор ОА повернется в положение ОС.
Результирующее колебание найдется сложением векторов АС и ОС. Таким
путем найдем, что амплитуда колебаний в точке S увеличится в Зз раз, а ин¬
тенсивность — в три раза.
6.5. = | л.
Центр ко-
— четное
6.6. Энергия перераспределяется, причем в одних точках плоскости изо¬
бражения плотность светового потока возрастает, а в других убывает. Весь
поток через плоскость изображе¬
ния возрастает в 2 раза.
6л‘ r~1l/o + llb-
лец темный, если /п
число, и светлый, если т — не¬
четное число.
Решение. Освещенность в
центре дифракционной картины
можно найти, разбивая волновую
поверхность АС В (рис. 438) на
зоны Френеля. Если в ней уло¬
жится четное число зон Френеля, то в Р получится минимум освещенности;
если нечетное — максимум. Построим сферу радиусом РА с центром в Р.
Число зон Френеля на волновой поверхности АСВ, очевидно, равно длине CD,
деленной на 1.12. Отсюда легко получить результат, приведенный в ответе.
3 о
4 '
6.8. а) 3 = 0; б) 3 = '■
50
(3 = 23q, 3 = -5- 30. где За — интенсивность в точке
25 _
«'• '■еУ — -^с'О’ ^ g
наблюдения в отсутствие экрана.)
3' 4 I 4
6.10. — = - (3 = 3Py0; 3 = 3о. где 3о — интенсивность в точке
с/ у о
наблюдения в отсутствие экрана.)
d2
6ЛЬ L = 4(2m + l)X’ т::=0' ’’ 2’ при т = 0 Lmax = 0,5 м.
6.12. Возрастет в 2 раза. Если источники когерентны, не изменится.
6.13. АЬ= =18 см.
D2 — &Ь{к
6.14. <# = 0.
6.15. у = ^ у = 10,5 мм. Опыт был поставлен Полем с параметрами,
указанными в задаче. Чтобы опыт удался, необходимо, чтобы глубина неров¬
ностей h удовлетворяла условию h < ~ мм. Шар можно
310

2 a abk , _
заменить диском при условии у с — ^ я; 1 м. Соответствующий опьп
был поставлен Лнгерером.
А 1А , 2т +5/4 , л г т
6.16. п = — — л, где /д = 0, 1,2, ...
2(л — 1)
6.17. h = 3 + 6/с[см], где к — 0, 1,2, ...;
D2
Ьт = д—г = 33,3; 1 1,1; 6,65 [см]; ..., где т = 1, 3, 5,7, ...
4 шл
2
6.18. rmin = \Jm).L л 1,15 мм, где /н = 1 -.
6.19. c/min = 2,25 мм.
6-20- h = 2. ^rnax = 9S0.
6.21Г J7 0,41 30-
Решение. Если г — радиус отверстия, то разность хода между лучами,
приходящими от его края и от центра, равна г2/(2L), где L— расстояние от
центра отверстия до точки наблюдения. Положим сначала г = г^ а затем
/• = гi(l — а), где /•[ — радиус центральной зоны Френеля. Тогда соответст¬
вующие разности фаз будут л и 6 = л (1 — а)2. Как видно из векторной диаг¬
раммы (рис. 439), амплитуды колебаний А0 и А в рассматриваемых двух
случаях связаны соотношением A — Aq sin (6/2), а интенсивности — соотно¬
шением (7 = <37о sin2 (6/2). При а = 1/3
3 = р70 sin2 (2л/9) * 3q sin2 40° » 0,41 3о-
6.22. 1) Ь„
г
т\'
т
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ьт, СМ
200
100
66
50
40
33
29
25
22
20
2) См. рис. 440. 3) АЬ — 200 см.
6.23. Зр = \ 30-
311

6.24. S = So + 2 sin2 , где So — интенсивность света в отсутствие
экрана, 5 = nr2/(bX) — разность фаз между лучами, пришедшими в точку
наблюдения от краев и центра углубления. Подставляя численные значения,
получим 6 = л/2, S = 5Sol4- Интенсивность увеличится в 5 раз.
6.25. S = Si + Si = 10с7о. т. е. интенсивность возрастет в 5 раз (Si и
Si — интенсивности соответствующих спектральных компонент в точке на¬
блюдения, So — интенсивности этих же компонент в отсутствие диска).
6.26. Освещенность при наличии листа в два раза больше.
6.27. S = 3S0-
6.28. Электрическое поле в диэлектрике максимально на оси пучка на та¬
ком расстоянии от поверхности, из которого диаметр пучка воспринимается
как диаметр первой зоны Френеля b ■
Р2п
4Х
= 100 см.
= 1200 В/см.
D1
6.29. / = —г- = 50 см;
4А
v „ 1
= 1500 В/см.
6.30. г
т
Х/Ь
b-f
6.31.
(ни)2 л
2 ^
= 0,9Vm мм, где т= 1, 3, 5, ...
1 сп ''2° с с
150, где т = —= 5,5.
6.32. S = 8S0-
6.33. Интенсивность света увеличится в два раза.
6-34! r Центр колец темный, если т — четное число, и
светлый, если т — нечетное число.
Решение. Метод решения такой же, как и в задаче 6.7. Разница только
в том, что теперь сферическая волна не расходится, как было раньше, а
С
<D
Рис. 442
сходится в точке S (рис. 441). Зоны Френеля для точки Р строятся поэтому с
вогнутой стороны сферической волновой поверхности. Число зон, уклады¬
вающихся в отверстии диафрагмы, будет равно длине CD, деленной на XI2.
6.35. На расстоянии 1,2 м.
6.36. / = 90 см; Гу = 0,672 мм. Изображения, т. е. максимумы, располо¬
женные на оси пластинки, отодвинутся от последней.
312

6.37. 3 ft АЗ о-
6.38. 3 * 3о-
6-39. /тах = у = 8м; h = ^~k,m = 0, 1,2, <#„,ах = Зб^о-
6.40. Основной фокус есть точка, для которой зоны, начерченные на пла¬
стинке, совпадают с зонами Френеля. Если г — радиус первой зоны, начер¬
ченной на пластинке, то основной фокус определяется выражением
/о = г2/7. Следующие фокусы получаются, когда в первой зоне, начерченной
на пластинке, укладывается 3, 5, ..., 2к + 1 зон Френеля, т. е. когда
r2l = (2 к + 1)7. Следовательно, fk=± fo/(2k +1), где к = 0, 1, 2, ...
Знаку «плюс» соответствуют действительные, а «минусу» — мнимые фокусы.
6.41. Фокусы пластинки различных порядков: /——, где
\С1 “г и) \£к -(- 1)
7 = 0, 1, 2, ..
I + -L = A-
а Ьк /*'
6.42! Д1~Л~400.
Положения всех изображений определяются формулой
Решение. Допустим сначала, что источник света S точечный, а зонная
пластинка CD наклонена к его оптической оси под углом п/2 — а (рис. 442).
Из рисунка видно .v2 = а2 + R2 + 2aR sin а. Извлекая квадратный корень и
пренебрегая всеми степенями радиуса Л, начиная с третьих, получим
л: = а + R sin а +
R2 cos2 а
2 а
Аналогично,
у = b — R sin а + :
2 Ь
Отсюда для разности хода между лучами SCA и SOA находим
а , , . R cos2 а (1 . 1 \
Д=(* + Я-(« + А)=—Г- [- + *],
или Д = До — 6Д, где Д0 — значение Д при отсутствии наклона зонной пла¬
стинки, а —6Д — приращение величины Д, обусловленное наклоном:
6Д = Д0(1 — cos2 и) = Д0 sin2 a ft Aqo2.
Если &Д<5с 7, то наклон пластинки не скажется существенно на работе
зон, расположенных в пределах круга радиусом R. Если же 6Д ft 7/2, то
все зоны, расположенные выше этого круга, становятся бесполезными и
даже вредными. Из этого условия находится предельное значение раз¬
ности хода A0ft7/(2a2). Соответствующее число зон Френеля будет
N ft Д0/(7/2) ft 1/a2.
Допустим теперь, что фотографируемый предмет не точечный, причем
его центр расположен на оси зонной пластинки. Для периферийных точек
предмета, не лежащих на оси пластинки, последняя действует как наклонная
под углом а. Поэтому предельное число зон Френеля, при котором должно по¬
лучиться наиболее отчетливое изображение, будет N— 1/а2~ 400.
313

2
6-43. j- =
O'о
Л1Г_
4/Х
3,9- 107;
10'
г?
6.44. Фокусное расстояние пластинки / = -j- = 50 см. Полное число зон
D
3
2Х/
2 г\
Френеля т = jy-y = 100. — = пг = 10 4; 6 = = — = 5-10
1“3
4Х/
31
в
6.45! г,,, =
/и Л,
^+i'
Решение. Как видно из рис. 443, SM1 = (а — ,\-)z + rfn. Извлекая квад¬
ратный корень и пренебрегая квадратом малого отрезка х, находим
SM :
I г>>
а + — -
2а
■ л. Аналогично, MS
'b+yj — х. Далее, д- ;
Ни
2R'
Радиус ш-й
зоны определится из условия | (SM + MS ) — (SA + AS ) \ = тХ/2. Подстав¬
ляя сюда вычисленные значения, получим
9 тХ
I + i-i.
а Ь R
Результат можно получить проще, если заметить, что в принятом прибли¬
жении зоны Френеля можно строить не на поверхности зеркала, а на поверх¬
ности сходящейся волны, отразившейся от зеркала. Радиус кривизны этой
поверхности а' найдется по фор-
1 1 2
муле зеркала —I—- — — — 0. Для
а а к
определения гт теперь достаточно
заменить в ответе к задаче 6.7 вс-
/
личину а на а .
6.46! 60л 1,33 см,
6+1 = 80 см,
6_1 = 400 см.
Решение. Разность хода
(SMS’) - (SAS) (рис. 443), воз¬
никающая при отражении лучей
от соседних зон Френеля, равна нулю для изображения нулевого порядка и
± Х/2 для изображений ± 1-го порядков. При отражении от центральной и in¬
ti зон она в т раз больше. Из этого условия получаем
-2 Д , 1 2\ X
а + b R) т Т
Полагая здесь \т \ =4, находим ответ.
mXR
6.47. гт =
R+^R2+ (b{ — 62)2
-1 1/2
0,7 см, (т = 5).
b\—b2
6.48. В задаче выполнено условие геометрической оптики: на ширине ще¬
ли I, а гем более на расстоянии d умещается число зон Френеля т» 1.
314

X X/
Ширина интерференционных полос Л = — = —г яг 1,25-10~3см. Полосы ис-
bd а
чезнут п ри L 2/ -
: 30 см.
6.49. Длина волны должна меняться в пределах к яг 3,7 — 3,0 мм; при
этом частота перестраивается от 89,1 до 108,9 кГц.
6.50. 3 = (3jtj40) 2 = 9k23q. Фаза колебаний в точке наблюдения
, , кр2 (1 I )
Ф(г) = — , где р — координата в плоскости экрана, отсчитываемая
2 у K0j
от центра отверстия. Локальный минимум наблюдается при z = 3R0 (других
-R0
нет); т = 3 ■
число зон Френеля, укладываемых на отверстии для
локального минимума.
6.51. // = (ЗлЛ0)2 = 9л2«70- Локальные минимумы наблюдаются при
ЗЯ0 , 3 „ 3
2„ =
2п + 3
(При /1=1 21
5
К
; при /1 = 2 22 = у
R0).
§ 7. Дифракция Фраунгофера.
Разрешающая способность оптических инструментов
7-1. Tmin>yy
10 м.
7.2. п = — = 10 см/с.
Ф
7.3. уй 10 км, где / se 1 м — расстояние между фарами,
d яг 5 мм — диаметр зрачка глаза.
7.4. 6 яг ^ яг4 мкм.
7.5. Не может. Диаметр зрачка глаза орла не превышает нескольких мил¬
лиметров. Если предположить, что он равен даже 10 мм, то минимальный
угол, под которым орел может видеть раздельно две точки предмета, окажется
примерно в 3 раза больше угловых размеров мышонка.
7.6. Освещенность не изменится.
Еп Ф2/Ф1 256
7.7. — = „ 0.41, где Ф — поток энергии, a S — площадь
t, 1 02' ^ 1 ЫЬ
пятна.
7.8. шяг
П.22]^
яь 70, где / = 20 см — разность длин плеч интерферо¬
метра Майкельсона. ^
7.9. Диаметр объектива D » 1,22— = 16,8 см; фокусное расстояние
/ » -jjj = 50 см. Таким образом, у = у.
7.10. / > 40 см; D > 10 см; т Яг 2,5- 10 3 с.
7.11. Нулевой максимум sin в = /1 sin а,
минимумы 6(sin 0 — п sin а) = тк, где т = ±1, ±2, ±3, ...
7.12! Решение. Рассмотрим щель той же ширины, что и черный экран.
Если на щель и экран падает одна и та же плоская волна, то количество
315

энергии, поглощенной экраном, будет равно количеству энергии, падающей
на щель. Согласно принципу Бабине (см. задачу 7.14*), интенсивности све¬
та во всех направлениях, за исключением направления падающей волны, в
обоих случаях одинаковы. Следовательно, одинаковы и энергии, рассеянные
экраном и щелью. Но в случае щели вся энергия рассеивается. Значит, энер¬
гия, поглощенная экраном, равна энергии, рассеянной им.
7.13. ё — ^ 8 Дж, где ft — постоянная Планка, N = 14 (призм),
Nd4D4
L to 380 тыс. км — расстояние от Земли до Луны.
7.14! Р ешение. Согласно принципу Гюйгенса—Френеля напряжен¬
ность Е[ поля волны, дифрагировавшей на первом экране, представляется
некоторым интегралом по отверстиям этого экрана. Напряженность Е2 поля
волны, возникшей при дифракции на дополнительном экране, представляет¬
ся таким же интегралом по отверстиям этого экрана. Сумма Еу + Е2 пред¬
ставляется интегралом по всей бесконечной плоскости, в которой расположе¬
ны рассматриваемые экраны. Но таким же интегралом представилось бы по¬
ле за экраном, если бы этого экрана совсем не было, т. е. волна
распространялась свободно. Следовательно, Ei + Е2 = Е, где Е — напряжен¬
ность поля волны в отсутствие экрана, т. е. поля падающей волны. Но в пада¬
ющей волне свет распространяется только в одном направлении. Для всех
других направлений Е = 0, а следовательно, + Е2 = 0, откуда Е2 = Е2,
или S\ = Зг-
ьх
1 bzXz
Р‘
<sc 1.
7.15! х = ~ при условии —1— I ^-Зг- + л
° 2Ь2 \Р2 4
Решение. При малых углах дифракции искомое расстояние х найдется
из требования, чтобы разность хода г2 — г у крайних интерферирующих
лучей (рис. 444) была равна длине вол¬
ны X. Применяя теорему Пифагора и из¬
влекая квадратные корни с помощью
формулы бинома Ньютона, для этой раз¬
ности нетрудно получить
-»2\
Г2~Г\
хР
b
хР
2 Ь3
+
Ограничиваясь первым членом, найдем
ЬХ
х ~ ~Р'
Ошибка при вычислении г2 — г у дол¬
жна быть мала по сравнению с X.
Отсюда получаем условие применимости предыдущей формулы
1 (Ь2Х2
2b2 I Р2
Р^
<к 1.
7.16 D = \/2,44XL to 0,35 мм. Вообще Рэлей доказал, что наивыгоднейший
диаметр отверстия в камере обскуре подсчитывается по несколько иной
316

формуле: D = где а — расстояние до объекта (от отверстия), b —
расстояние до экрана. При я = с°, b = L в условиях нашей задачи
£>опт = 1,8VTT = 0,4 мм.
-.2
1200 км (более грубая оценка D IX).
7.17. L
7.18.
Е
7.19. 3 =
7.20. Ь =
D
2,44Х :
~~ RX "
3 о
4 '
X
104.
2(п — 1) \т~2!' где т ~ *"*’
2, ...
7.21. 0 = ~ + ^-j, где т — целое число.
7.22. х = /0 = , где т — целое число.
7.23. D < 0,45 см.
7.24. Квадрат со стороной L = 3,5 см.
1.25е. 3 =
. (2лх \
sm (—а)
2
sinpfa)
2л х
а
X
2jty
—- а
X
Решение. Пусть О — фокус геометрического схождения лучей
(рис. 445); г0 — ближайшее расстояние от линзы до О. Опишем из О, как из
Рис. 445
центра, сферическую поверхность S радиусом г0. При вычислении светового
поля на поверхности S можно ограничиться приближением геометрической
оптики. Тогда световое поле на S в комплексной форме можно записать в виде
£ — -L ei(<at + kr0)
Пусть Р — точка наблюдения, dS — элемент поверхности на S, г — расстояние
между dS и Р. Световое поле в Р найдется по принципу Гюйгенса по формуле
ЕР= ( — e/M-*(r-r0)l, (1)
J V
317

где интегрирование производится по той части сферической поверхности S,
на которой поле отлично от нуля. Очевидно,
г = г0+р,
где г и г0 — радиус-векторы, проведенные из dS в точки Р и О соответствен¬
но, а р = ОР. Отсюда
'• = ro'\j 1 +
2г0р +р2
г20
Пользуясь формулой бинома Ньютона, находим с
содержащих квадраты р:
го-
£оР
Го
2т о 2
1 (г0р)
,3
г0
: ргх +
2 гп
точностью до величин,
sin2 (рп),
а в линейном приближении
г-г0=ргь
где Ti — единичный вектор в направлении rg, т. е. rj = г0/г0. Ошибка, допу¬
стимая при вычислении г — гд, должна быть много меньше длины волны.
Поэтому линейным приближением можно пользоваться при условии
^«1. (2)
>'о
Вычислим световое поле в окрестности О в предположении, что условие
(2) выполняется. Направление единичного вектора о можно характеризовать
углами ip и г|>, которые он образует с плоскостями, проходящими через
оптическую ось и параллельными сторонам диафрагмы. Очевидно,
dS = Гд <Тр (/гр. Введем в плоскости наблюдения (экрана) прямоугольную си¬
стему координат с началом в точке О и с осями, параллельными сторонам
квадратной диафрагмы. Координаты точки Р обозначим через х и у. Тогда
г — г о = Г[ р = a- sin 9 + у sin гр.
Если угол а = arctg под которым из О видна половина стороны квад-
zrQ
ратной диафрагмы, мал, то sin 9 и sin гр можно заменить через 9 и гр. Кроме
того, в знаменателе (1) г можно приближенно заменить через г0. Окончательно
+а +а
Ер = е+Ш ^ ^ e~ik(xf + угй d{p ^
Если амплитуду в точке О принять равной единице, то амплитуда в точке Р:
Л =
(2пх \ . {2лу
sin | ^ / Sm ( Я
2л, А"
2лу
(3)
а интенсивность
s =
. (2лх \
sm (—а)
2
sin(¥a)
2лх
х а
1
р
1
(4)
318

Дифракционная картина получается такая же, как при дифракции
Фраунгофера от квадратного отверстия. Расстояния между двумя соседними
минимумами, а также от центра центрального максимума до первого мини¬
мума равны
Остается проверить, выполняется ли условие (2). Так как заметная ин¬
тенсивность по формуле (3) получается при р порядка Дл\ то, подставляя
в (2) р яг к/a, придадим (2) вид
а »Зк/г0. (6)
Последнее условие выполняется во всех оптических приборах с линзами или
зеркалами.
Случай круглой диафрагмы существенно не отличается от случая квад¬
ратной диафрагмы. Интеграл (1) для круглой диафрагмы в линейном при¬
ближении может быть выражен через бесселеву функцию 1-го порядка.
Дифракционная картина в фокальной плоскости имеет вид светлых и тем¬
ных концентрических кругов со светлым центром. Радиусы темных колец
имеют следующие значения:
R = 0,61-; 1,21 —; 1,62-;..., (7)
а а а
где а — угол, под которым виден радиус диафрагмы из точки О.
31
7.26. -ф = \.
3 j 4
3 о
7.27. S = ~T'
vb sin ip
vb sin t
+ 4
vb sin i
vb sin i
7 3vb sin ф
X.
7.28.
sin и
и
(Ti ~Ь т2 "Ь 2л/т (Т2 cos Aip),
где и = ■
ка sin 9
2л
, Д<р = k[h(n1 — п2) + 2 s'n 9]> ^ — волновое число.
В центре получится темная полоса при условии kh(ni — n2) = (2т + 1)я,
т = 0, 1,2, ...
[ sin [kNb sin (9/2)]
7.29. 3 = So
2л
sin [kb sin (0/2)]
2
sin (кА/2)
кМ2
где к = -j--, A = h(n — 1) — a sin 0. Направления на главные максимумы
определяются формулой a sin 0m = тк.
7.30. Ротах = ^ (1 +2т), т = 0, 1, 2, 3, ...
7.31. J^ =
q/q
D — 2b
D
\_
9'
„ Ф ^ Дф 1 3 (D-b
7.32. — = — = -г, где — =
Фо 3о Д«ро 6’
3 n
D
1 Дф D _ 2
: 4’ Дфо _ 2(D + b) ~~ 3'
319

7.33.
ч
«оI
= 1 i m
d~* D
I)
D+d
2
7.34! Решение. В случае самосветящихся точек волны, ими излучае¬
мые, нскогеренты. На экране складываются интенсивности волн, исходя¬
щих из этих точек. Пусть обе точки расположены симметрично относительно
главной оптической оси. Рассмотрим распределение интенсивности вдоль
оси X (рис. 446). Положение точки наблюдения на этой оси можно характе¬
ризовать координатой Ё, = и. Минимальное расстояние между центрами
дифракционных кружков соответствует по Рэлею разности координат
ДЕ, = л (см. решение задачи 7.25*). На рис. 446 пунктирные кривые изобра¬
жают распределение интенсивностей от каждой из рассматриваемых двух
самосветящихся точек, а сплошная кривая дает результирующую интенсив¬
ность. Мы видим, что интенсивность в центре картины почти на 20% меньше
максимальной интенсивности, равной наибольшей интенсивности от одной
сведшейся точки. Поэтому при выполнении критерия Рэлея получается раз¬
дельное изображение самосветящихся точек.
7.35! Р ешение. Если изображаемые точки не самосветящиеся, а осве¬
щаются одним и тем же источником света, то волны, исходящие из них, коге¬
рентны. Складывать надо не интенсивности, а амплитуды колебаний, учиты¬
вая разность фаз между ними. Из решения задачи 7.25* следует, что в случае
изображения одной точки фаза колебаний одна и та же в пределах каждого
светлого кольца (в случае квадратной диафрагмы — светлого квадрата) и ме¬
няется на 180° при переходе через минимум освещенности в соседнее светлое
кольцо.
320

1) Отверстия освещаются лучами, параллельными главной оптической
оси. В этом случае волны исходят из них в одинаковых фазах. Так как до точ¬
ки О волны проходят одинаковые расстояния, то в точку О они приходят так¬
же в одинаковых фазах. Амплитуда результирующего колебания в точке О
будет больше в 2 раза, а интен¬
сивность в 4 раза, чем в случае
изображения одного из отвер¬
стий. Распределение результи¬
рующей интенсивности дает
кривая рис. 447. Она имее1
лишь один максимум, а изо¬
бражение в глазу будет такое
же, как и от одной точки. По¬
этому при рассматриваемом
способе освещения раздельно¬
го изображения освещаемых
точек не получится, если рас¬
стояние между ними равно ми¬
нимальному расстоянию, тре¬
буемому критерием Рэлея.
Чтобы получилось раздельное
изображение, надо это рассто¬
яние увеличить примерно в 1,4
раза. В соответствии с этим в
такое же число раз уменьшает¬
ся и разрешающая способ¬
ность по сравнению со случа¬
ем самосветящихся объектов.
2) Отверстия освещаются параллельными лучами, наклоненными под уг¬
лом 0 к главной оптической оси. В этом случае волны из отверстий выходят
не с одинаковыми фазами, а с разностью фаз 6 = (2nd sin 0)/)., где d — рас¬
стояние между центрами отверстий. С такой же разностью фаз они придут и
в точку О. Если d sin 0 = 7/4, то 6 = л/2, интенсивность в О будет в два раза
больше соответствующей интенсивности при наличии одного из отверстий.
Разрешающая способность при таком освещении будет такая же, как и в слу¬
чае самосветящегося объекта. Если d sin 0 = 7/2, то Ь = я. Тогда волны при¬
ходят в точку О в противоположных фазах и интенсивность там будет равна
нулю. Разделение изображений будет выражено весьма резким. При таком
освещении расстояние между отверстиями может быть меньше предела Рэ¬
лея, и все же будут получаться их раздельные изображения.
3) Отверстия освещаются лучами всевозможных направлений. В этом
случае получается практически такая же разрешающая способность, как и
для самосветящихся объектов.
7.36. lm[n ^ 1 м.
7.37! /2 = 6 см; L яг 600 м.
Решение. Разрешающая способность объектива полностью использует¬
ся при нормальном увеличении
>норм
D_
d
h
/г
321

Следовательно.
/2 = ^/1 = 6 см.
Угловое разрешение телескопа при визуальном наблюдении в у„ раз вы¬
ше, чем у невооруженного глаза. Минимальное расстояние, на котором с по¬
мощью телескопа можно читать книгу, определяется условием
b Я
— > —
L ~ D'
Отсюда вытекает, что
Z.S у i S: 600 м.
D2 7, 7
7.38. ^r>z2).2^ 0,25.
Г
7.39! N>^r.
а
Решение. Пусть рассматриваемой объект виден невооруженным глазом
под углом а = 1,227/0, где О — диаметр объектива, т. е. под минимальным
углом, который способен разрешить объектив. В трубу тот' же объект будет
виден под углом р = Na. Угол должен быть не меньше угла у = l,22\ld, ко¬
торый способен разрешить глаз (d — диаметр зрачка глаза). Из условия
р > у получаем
Увеличение /VHopM = Did называется нормальным. При меньших увеличе¬
ниях используется только часть объектива, и разрешающая способность сис¬
темы груба—глаз понижается. Увеличения больше нормального нецелесооб¬
разны, так как при этом разрешающая способность системы не увеличивает¬
ся, а яркость изображения уменьшается.
7.40. 1) Разрешаемое угловое расстояние зрительной трубы 0 = 1,22X/D,
где D — диаметр объектива. При визуальных наблюдениях можно принять
X = 5500 А; тогда 0 = 2,7б".
2) При увеличении N > Did = 10.
7.41. 60 = 1,22X1D = 0,023".
7.42. Угловые размеры почти всех звезд много меньше разрешаемых уг¬
ловых расстояний даже самых больших телескопов. При таких условиях ве¬
личина изображения звезды на сетчатке глаза определяется исключительно
дифракционными эффектами в оптической системе (телескоп+глаз) и не за¬
висит от увеличения. Но яркость этого изображения пропорциональна свето¬
вому потоку, поступающему в оптическую систему. Этот световой поток при
пользовании телескопом во столько раз больше светового потока, проходяще¬
го через зрачок невооруженного глаза, во сколько раз площадь отверстия объ¬
ектива больше площади зрачка глаза (если увеличение телескопа нормаль¬
ное). Поэтому в телескоп можно видеть более слабые звезды, чем невооружен¬
ным глазом. При нормальном увеличении диаметр выходного зрачка равен
диаметру зрачка глаза. Применение больших увеличений при рассматрива¬
нии звезд бесполезно. При меньших увеличениях не весь свет, поступивший
в телескоп, проходит через зрачок глаза.
322

2
1,5- КГ12
7.43. 7=-^—ft 1000 км; 5 ft f2,44
2,447 \ D
7.44. N > где D — диаметр объектива, ad — диаметр зрачка глаза.
7.45. L<
DI
1,227
= 3,7 м. То же условие соблюдается и при применении
так называемого объективного отсчета на шкале, т. е. при проецировании све¬
тового зайчика, отраженного от зеркальца гальванометра на шкалу.
7.46. На Луне около 40 м, на Солнце около 20 км.
7.47. Около 28 км. Рассмотренная задача до сравнительно недавнего вре¬
мени представляла интерес в связи с гипотезой о каналах на Марсе и их ис¬
кусственном сооружении. Фотографирование поверхности Марса с помощью
ракет и исследование его посредством управляемых аппаратов, спускаемых
на поверхность Марса, не подтвердило эту гипотезу.
Г~~~~ XI
7.48. г a V0,01 -jj яе 4 м, где L—4-105км — расстояние от Земли до
Луны.
7.49. D ft ^ ft 6,5 м, где L~ 4-105 км — расстояние от Земли до
' Р2 D
Луны.
7.50? JVft Ю10 Вт; Вй 10s Гс.
Решение. По условию f/D = I. Поэтому диаметр пятна в фокальной
плоскости с/ft fX/Dzz 7. Ускорение электрона обусловлено электрическим
полем Е. Конечная скорость электрона найдется из условия:
т0с2
Vl - В2
2 т0с2, откуда (3
0,87.
Поскольку ускорение происходит в течение времени порядка Т/Л, пройден¬
ный путь будет 0,87с7'/4 * 0,27 < d — диаметра пятна в фокусе.
Оценим теперь ускоряющее поле Е\
4с _ 4с2 _ еЕ
Т 7 ~ !Щ
откуда Е
ЛгПдС2
Хе
При этом мощность лазера N ft Е2к2 ft W°C ft Ю10 Вт. Таким образом,
4ж eL
мощность лазера N от длины волны 7 не зависит.
Магнитное поле В в фокусе, очевидно, равно электрическому полю
(в СГСЭ)
В
ЛщдС2
Хе
108 Гс.
7.51? Т2 = 5-104км.
Решение. В первом случае в объектив с диаметром и фокусным рас¬
стоянием Уд попадет излучение мощностью
, , 2
323

Эта мощность распределяется по площади Sj дифракционного пятна
(S,
X'
2 ff) и создает освещенность
■Ур щ
Ц х2/?'
Освсщсннос1ь фона в фокальной плоское!и пропорциональна светосиле
объектива
E? = ai^]
11
где а — некоторый коэффициент. Таким образом, контраст изображения
N0D\
Е\ + Е{ NqD\{
71 = — = 1 +
Е,
1}{к2Г\иП\
= 1 +■
При наблюдении в телескоп с объективом диаметром Z)2
е2 + е°2 , , N0Dl
72 = =71— = 1 +
17 О
^2
aLjX2'
Следовательно, yj = у2 при условии
/2
L2
D2
— = откуда Ь2 = Ь{ — = 5 ■ 104 км
7.52? Lm
D\ Di
70 км.
Решение. Угловая расходимость пучка света равна Х/D. Поэтому мощ¬
ность излучения, рассеиваемого спутником,
2
N = р N
сГ _ pN_ USD
4(XL/D)2 ~ 4 I XL
Так как спутник равномерно рассеивает оптическую мощность N в те¬
лесный угол 2л. ю принимаемая мощность равна
2
N
n(DU4) N D
2лТУ
8 L
Записывая теперь условие обнаружения рассеянного сигнала, получаем
vnop>
dD jNv
/</ -RiGEiEl
AnaX_ 2WPX2
Til -
70 km.
7.53. L< — ■ ss 3,2- 10u м = 3,2- 10s км, где ft ssr 6,6-10 яДж-с
c I nil
постоянная Планка.
7.54. В VafT = 10 раз.
7.55. В VafT = 10 раз.
324

7.56? /VIInpM = 2ii ~ sin u.
Решение. Пусть в микроскоп рассматривается объект, величина ко¬
торого / равна наименьшему разрешаемому расстоянию его объектива.
Для самосветящихся объектов или объектов, освещаемых диффузно,
/ = 0,6Ш(д sin и), где и sin и — числовая апертура объектива. Невооружен¬
ным глазом с расстояния ясного зрения L этот объект виден под углом
а = И L. В микроскоп он виден под углом (э = N а, где N — увеличение микро¬
скопа. Угол р должен быть нс меньше минимального углового расстояния
7 = 1,22/.Id, разрешаемого глазом (с/ — диаметр зрачка глаза). Условие (3 5= у
дает N > (21л sin u)ltl. Увеличение NuopM = (21л s'm и)/с/ называется нор¬
мальным. Применять увеличения больше нормального не целесообразно, так
как при этом разрешающая способность микроскопа не повышается, а яр¬
кость изображения уменьшается.
7.57. Когда узкая щель вертикальна, на экране получается система гори¬
зонтальных полос. При горизонтальной щели полосы становятся вертикаль¬
ными. Когда щель наклонена под углом 45° к горизонту, полосы также накло¬
нены под тем же углом, но перпендикулярны к направлению щели. При ши¬
рокой щели, независимо от ее направления, на экране получается подобное
изображение проволочной сетки.
7.58. N>~.
а
7.59. 1) Около 0,3 мкм; 2) около 0,19 мкм.
7.60. д2те т. е. максимальное число колец будет наблюдаться при
угловой апертуре и ъ 2°. При этом тпшх 103 колец.
7.61. Сильное поле необходимо для того, чтобы сделать пучок электронов
параксиальным и, следовательно, изображение — геометрически подобным
объекту. При этом разрешающая способность эмиссионного микроскопа рав-
кТ
на Д Л: —, отсюда Е\ = 5 кВ/см; Е2 = 500 кВ/см.
7.62. /о < —— , где d — диаметр зрачка глаза.
2./! и sin а г
_ ,,, D DL
7.63. п sin а > —, N > -jj, где L — расстояние ясного зрения, d — диа¬
метр зрачка глаза.
- , . ,, 12,24 sin Q,
7.64. U -
7.65. т
Л sin
-J— (А -р ДД
2irv у a 2 L
1
600 в.
: 10“6 C
E 2 d2D
7-66- jrrk\YMk)-
0,034. Разрешение объектива Д ft — / лт 10 мкм.
Поскольку dl> Д > d2, то изображения более мелких деталей дифракцион¬
ные, а крупных — геометрические.
= 123, где Е^ — средняя освещенность изо-
7.67. р- = к.
Е н а/г
Д2\2(27/,\2
Е>\
бражения звезды в телескопе Борра, — в телескопе Ньютона,
325

§ 8. Спектральные приборы
8.1. R яг 1000.
8.2. b яг 1 см.
8.3! b «2,5-10_3 мм.
Решение. Пусть ЬХ — минимальная разность длин волн двух спект¬
ральных линий, разрешаемая призмой при бесконечно узкой коллиматор-
ной щели. Согласно формуле для теоретической
разрешающей способности Х/ЬХ = а \ dn/dX |, раз¬
ность показателей преломления для этих спект¬
ральных линий 6/1 = Х/а. Благодаря различию в
показателях преломления первоначально парал¬
лельный пучок лучей по выходе из призмы сдела¬
ется расходящимся. Рассчитаем угловое расхожде¬
ние вышедшего пучка в предположении, что на
призму падал параллельный пучок. Имеем
п sin ф[. Отсюда при постоянном фц
6п sin фц + п cos фф бфф = 0.
(рис. 448) sin ф!
Так как тД + ф)2 = А == const и, следовательно, бфф + 6ф2 = 0, то
bn sin ф[ = п cos ф[6ф2.
Далее, из sin ф2 = п sin Фг находим искомое угловое расхождение вышедшего
пучка:
бф2
sinT2 ^
COS ф2
+
п COS ф2
COS ф2
бяр2
sin ф2 +
COS
it cos \|>2 sin
COS ф2 11 cos
дп,
а при установке
4’1 = Ф2 = ф):
на угол наименьшего отклонения (ф1=ф2=ф;
6ф>2 = 2
sin ф
COS ф
S/j = 2
sin ф X
cos ф a '
Для полного использования теоретической разрешающей способности
призмы необходимо, чтобы угловая ширина коллиматорной щели а = Ы/ бы¬
ла мала по сравнению с 6ф2. Это дает
6<<2МПф А
cos ф а
Для АН = ф' = 30°, п = 1,73 получаем
t „ 2 /Я 2/Х „ г
b <sc , — = ^-=2,5-10 3 мм.
V4^A а а
sin sin б)
2
(яЬ . n\~
sin sin 6J
sin sin ej
л.b . „
— Sin 0
где С — постоянная, а 0 — угол между нормалью к решетке и заданным на¬
правлением, к которому относится интенсивность 3.
Решение. Так как требуется рассчитать распределение интенсивно¬
сти в дифракционной картине Фраунгофера на решетке, то можно считать,
326

что экран, на котором наблюдается эта картина, отодвинут достаточно да¬
леко. Лучи, приходящие из различных щелей решетки в любую точку экра¬
на, можно считать параллельными. Выберем такую точку
на экране, чтобы приходящие в нее лучи образовывали
угол 0 с нормалью к решетке. Разность фаз между сосед¬
ними интерферирующими лучами равна 6 = (2nd sin 0)/Х.
На векторной диаграмме колебание, приходящее в рассмат¬
риваемую точку от какой-либо щели решетки, можно изо¬
бразить вектором. Эти векторы образуют ломаную линию с
равными звеньями и равными углами (рис. 449). Результи¬
рующее колебание изобразится геометрической суммой
всех Э1 их векторов. Сложение векторов на плоскости фор¬
мально тождественно со сложением комплексных чисел.
Если первый вектор изобразить комплексным числом й,
то последующие изобразятся комплексными числами ае'*,
Их сумма равна
1 )6l
Рис. 449
„Ш
И т. д.
Л = а{ 1 + ei& + c2i& + ... + eHN'
1-е'л
! - ел
Квадрат модуля комплексного числа Л дает относительную интенсив¬
ность света в рассматриваемой точке экрана:
, ,1.\Ъ . -iNb
S = I и 12 = АА* = | a 12 - 1
1— е 1-е
= 1«И
(е .т + е-т}
2— (е'° +
е~л)
_ ! п j 2 1 — COS (N 6)
1 — COS 6
•= а
Так как |а|2 определяет интенсивность дифрагированного света на одной
щели, то по известной формуле
I а 12 = С
sin 0)
л Ь .
— sin 6
А
Подставляя это значение в предыдущее выражение, легко получить ответ.
Посюянная С пропорциональна интенсивности падающего света и квадрату
ширины щели Ь. Ни от каких других параметров решетки она не зависит.
8.5! Р сгаение, Представим ответ предыдущей задачи в виде
2 2
к2 j sin g\ /sin Nfi\
a sin I
c7 (0) =Cb2
где a = nb sin 0/X, (3 = nd sin 0/X, а постоянная С от параметров решетки не
зависит. Подставляя значения а, получим
3 (0) = сх2 -5—-f—
к2 sin2 0
Для дополнительной решетки
З'ф) = СХ2
sin 0
sin Лф
sin В
sin Лф
sin В
327

где а = [л (d — b) sin 0]Д, так что а + га = (лс/ sin 0)/А = (3. Для главных
максимумов t/ sin в = /на, а + а' = ink. Поэтому sin2 а = sin2 а и, следова¬
тельно, Зг.ч ~ Зг.т При 7)1 = 0 рассуждение неприменимо, так как в эюм
случае в знаменателе sin 0 = 0. Допустим теперь, что 0 не есть угол на глав¬
ный максимум. При больших значениях N главные максимумы очень резкие.
Практически весь свет концентрируется в главных максимумах, занимаю¬
щих очень узкие интервалы углов ДО, стремящиеся к нулю при TV—
Практическое значение имеют только углы, удовлетворяющие условию
d sin 0 = nik, а также углы, отличающиеся от них ничтожно мало, а в этих
случаях применимо доказательство, приведенное выше.
о , b 1 b 3 ,
8.6. -j = - или — = — (см. предыдущую задачу).
8.7? Решение. Введем обозначения q — bld, q{d — b)ld = i — q. Сум¬
марный поток энергии прошедшего света, распределяющийся по всем макси¬
мумам, пропорционален q, интенсивность нулевого максимума пропорцио¬
нальна q1, а потому
7 Я'
Прош QJ Прош
Дп
До
Сг
По теореме Бабине для дополнительных решеток е/диф = о/диф- Кроме то-
го, Sпрош = So + Sдиф- Исключив из написанных соотношений ^„ф и So,
найдем ((/дцф = (1 — q)Sпрпт- Учитывая также, что 3Прош = QSпад. получим
Sдиф = q( 1 — 7)еТпад' Максимум для S тф получается при q = 1/2. При этом
е7диф = S пад/4-
8.8. Nd sin 0 = пк, но d sin 0 ^ кк, b sin 0 = ink, где п, т, к — целые
числа. Условие минимума — выполнение хотя бы одного из этих равенств.
8.9. tf(sin 0 — sin fi0) = пк. Если d^>nk, то условие максимума принима¬
ет вид d cos 0О(0 — Во) ~ пк, т. е. постоянная решетки как бы уменьшилась
по сравнению со случаем нормального падения и стала равной d cos 0О вме¬
сто d. При этом углы 0 — 0О, определяющие направления на максимумы, от¬
считываются от направления падающего света (или отраженного в отражаю¬
щей решетке).
8.10. к = 0,573 А.
8.11. т = где п = 1, 2, 3, ...
о
8.12. Исчезнут: 1) спектры порядков 2, 4. 6, ...
2) спектры порядков 3, 6, 9, ...
3) спектры порядков 4, 8, 12, ...
8.13. Максимальный порядок равен наибольшему из целых чисел, не
превосходящих d/k.
8.14. к = 6481 А.
8.15. При нормальном падении kmax = d. Период решетки должен быть
не менее 0,01 см, т. е. решетка должна иметь не более 10 штрих/мм. При
скользящем падении на пропускающую решетку Ятах = 2d.
8.16? Если угол падения близок к л/2, зеркальное отражение наблюдается
всегда. При малых углах падения зеркальное отражение может наблюдаться,
если шероховатость поверхности h <зс к.
328

Р с ш с п и с. Пусть падающие лучи образуют угол 0 с нормалью к плоско¬
сти, изображенной на рис. 450 штриховой линией. Рассмотрим интерферен¬
цию вторичных волн, исходящих от поверхности чела под углом 0 к норма¬
ли. Разность хода каких-либо двух лучей, идущих в рассматриваемом на¬
правлении, определяется выражением
Д = AD — ПС = a (sin в' — sin 0) + Л (cos 0' + cos 0).
Здесь и может принимать какие угодно значения. Поэтому если 0 ^ 0, го
разнос!ь хода Д может принимать также какие угодно значения, и притом
для неправильной поверхности тела эти
значения будут встречаться одинаково
часто. Это показывает, что правильное
отражение, если таковое возможно, мо¬
жет происходить лишь под углом 0=0.
В таком случае
Д = 2 h cos 0.
Отсюда видно, что, каков бы ни был
размер h, можно подобрать достаточно
большой угол 0, для которого Д <к к. При этом условии отражение будет пра¬
вильное. При нормальном падении Д = 2/г и правильное отражение возможно
лишь при соблюдении условия h <к л.
8.17. Не могут.
8.18. Углы дифракции не меняются. Интенсивности стремятся к пулю.
8.19. h = —гг /., где т = 1, 2, 3, ... Ин 1енсивность нулевого главного
2(п-1)
максимума равна нулю.
8.20. Углы дифракции нс меняются. Интенсивности стремятся к нулю.
Рис. 451
8.21. е/(sin 0) =
(3/ | « £
1 — cos 3
„ 1 — cos л 6 „, , . , ., , . , . „ sinz (и 6/2) 2 (N — п х\
3\ -—^пг2[1 +cos (N-n)b\ = 4J7, -5.п2~6/2)- cos
где =-пр d sin 0, с?|
A
рис. 451.
<Д о
71Ь sill 0 „ , ,
и = г . График изображен на
329

8.22.
(Nh)2
CNd)2
у
C ПЗД
4/vV
n2N2d2 '
0,1;
= 0.
8-23- т>тш
2,5; m S 3.
8.24. I < t Кроме того, /mirt »D (условие малости углов).
2X
/min = 250 см.
8.25. Dmin = Nd = 5 cm;
8.26? A.y = 1 cm.
Решен ие. Условие максимума in-го порядка (рис. 452)
</(sin 0[ — sin 02) = тк,
а максимума (т + 1)-го порядка
d(sin 0j — sin 02) = (in + 1))..
При переходе от одного максимума к
другому углы 0[ и 02 получают прира¬
щения ДО] и Д02, связанные соотно¬
шением
</(cos 0] ДО] — cos 02 Д02) = а.
Кроме того, .V] = hi tg 0Ь л2 = Л2 tfi 02,
причем а-] + а2 = а = const. Из этого условия получается второе соотношение
Л] .Л2
ДО
cos2 02
Д02 = 0.
COS 01
Из этих двух соотношений находим Д0[ и Д02, а после этого расстояние
между максимумами:
Л1 ЛП /(2
Да = Алд = Да 2 =
cos2 0]
Д0, = -
Л09,
COS 02
Вычисления можно упростить, заметив, что углы 0, и 02 мало отличаются
от угла падения 0О, соответствующего правильному отражению света от пла¬
стинки. Заменив эти углы на 00, находим
Л 1^2 X
Да
' d cos2 I
При ЭТОМ COS 00 h\!xy Sr hi /х2, или COS 0о =(/).]+ /)2)/(Х]
= (Л] + Л2)/й = 1/10. Подстановка числовых значений дает ответ.
8.27. 1) 8,1 угл. с/А; 2) 0,0197 мм/А; 3) 50,7 А/мм.
8.28. Около 0,12 мм.
■xl) —
8.29. D
d cos е rfV 1 — (nXJd)2
8.30. 600 штрих/мм.
8.31. АО =
Nd cos 0
8.32. Около 1000.
= 0,63 • 104 рад/см == 13 угл. с/ А.
330

8.33. 12 000 и 48 000.
8.34. Нет.
8.35. Разрешающая способность не изменится. Дисперсионная область
уменьшится вдвое.
8.36. Л.т = ~ = 3,3 мкм.
8.37. 6«тг7* 0,001 см.
Nd
8.38! Лтах * 100.
Решение. Радиус пространственной когерентности в плоскости решетки
~ Ьк
ГК0Г ~ £) ■
Эффективно работающее число щелей ЛДфф ft rKOr/d, где d — период ре¬
шетки. Разрешающая способность решетки
^ = = ''^эфф’ ,,!max ^ Y'
Отсюда максимальная разрешающая способность
R
8.39. L.
X d
-=100.
-лит ^ ^ 10 CM.
8.40. R„
= 10е*
8.41. i|i < — ■■■■— = 4-10 4 рад.
■ч
— tg 6
8.42. ^
601 >6
= —ft 15.
VT
8.43? Нельзя. 67деф ft; 3 A.
Решение. Зеемановское расщепление спектральной линии
Дсо ■
еВ
УеВ
~ -, откуда Д7 = ,
2тес Лкт.с2
= 0,16 А.
Если решетка не имеет дефектов, то минимально разрешаемое
67 = )J(mN) = 0,06 А < ДХ, т. е. зеемановское расщепление разрешается
бездефектной решеткой с теми же параметрами.
Для решетки с дефектом максимум l-ro порядка размыт между углами
(Д и 02, г'Де di sin 9i = А ^2 sin 02 = А Или 0[ ft Х/сД; 02 ft X/d2, откуда угло¬
вая полуширина максимума 1-го порядка
Д0 _ d2~d 1 Ad_
2 ~ ldxd2k^ 2d2
где Ad/d = 10 2 — относительное изменение периода решетки. При малых
углах 0 угловая дисперсия в первом порядке
Ф8 ^ m _ 1
dX^lf~d'
331

откуда получим
6Я
деф '
d
Л8 _ Ad
2 ~ 2d
X = 3 А > Да.
Таким образом, разрешить зеемановское расщепление с помощью данной
дефектной решетки нельзя.
1,22 Я
N ЬХ '
D
8.44. D„
1,5 см.
8.45. Тф = — = 100 пс
8.46.
то
8.47. L ss
8.48. D >
8.49. L =
с т
Хтп
Xd cos а
in АХ
ctcI2
= 100 см.
0,042 см.
ХЬХ
75 см, где X
/,Ср = 505 нм.
8.50. т — ~—~г- — 2,3* 1(Г12 с.
сс!2
8.51. d = 67.1 = 30 мкм.
Ло>2
8.52.
X-3-
А - * ~ [О"3
Лещ
8.53. 10.
8.54! Р е in е н и е. Электрон периодически возбуждает в решетке тожде¬
ственные возмущения, следующие друг за другом через время т = d/v. Раз¬
ность хода между возмущениями, распространившимися от соседних штри¬
хов решетки А и В под углом 0 к нормали d[ (civ) — sin 0] должна бьпь рав¬
на т)., чтобы возмущения усиливали друг друга (угол 0 может быть как
положительным, так и отрицательным). Случаи /и = 0 и т <0 исключают¬
ся, поскольку c/v> 1. Таким образом, возможные значения т и X должны
удовлетворять условию
£ _
v d
| sin 0 | =
< 1.
8.55. ДT<-
1
1 K.
’ Nma
8.56? D % 4,4 cm.
Решение. Условие автоколлимации (обратного отражения на дифрак¬
ционной решетке) в 1-м порядке 2d sin 0 = X, где d = UN, 0 — угол наклона
ренте 1ки. О i сюда получаем
N
sin 0 = X
2’
cos
0 = Vl - (XNI2)2.
Относительное расстояние между модами в интерферометре
Ду _ АХ _ X
V ~ X “ 2L'
332

Для выделения одной моды в 1-м порядке необходимо выполнение условия
Ду _ _7_ J_
v — 21, ** АД ’
где N1 — DN/cos 0 — число освещенных штрихов решетки. Отсюда
D > ‘г COS 0 :
NX
, [1 — (XNH)2]1/2 „ „
L—оm—fe4’4 CM-
8.57. 67 = ^= 0,2 A.
8.58. 67 = —= 35 A.
2 ad ^
i/л
8.59! Zp 2s>^— = 106 cm = 10 km.
A
Решение. На меньших расстояниях никакой фраунгоферовой картины
нс возникает. При / <к Л2/), справедлива геометрическая оптика. За кристал¬
лом получаются пучки дифрагированных лучей, а в местах их пересечения с
плоскостью фотопластинки — система пятен. Нефраунгоферовый характер
пятен проявляется в том, что в каждом пятне фаза колебаний меняется от
точки к точке, тогда как в случае фраунгоферовой картины она практически
одинакова в пределах каждого пятна. Однако направления пучков за кри¬
сталлом можно определить, проводя от кристалла прямые на (расположен¬
ные в бесконечности) фраунгоферовы максимумы. Этим и объясняется, по¬
чему при расчете указанных направлений можно пользоваться формулами
фраунгоферовой дифракции.
8.60! Р ешение. Пусть на решетку падает пучок параллельных лучей с
длиной волны А под углом скольжения а0. Направление дифрагированного
пучка hi-го порядка определяется условием //(cos ц0 — cos а) = тХ. Для
iaKoi'0 же пучка с близкой длиной волны X : сЦcos а0 — cos а ) = тХ . Отсюда
(1 (cos а — cos а) = т (X — X ), или d sin а Ьа = щ67,
где введены обозначения: 6а = ]а’ —а|, 67= |7 —7|. Для спектрального
разрешения необходимо, чтобы оба пучка пространственно разделились.
Если / — расстояние до фотопластинки, измеренное вдоль направления диф¬
рагированного луча, то боковое смещение одного пучка относительно другого
равно .v = /6а. Условие разрешения состоит в том, чтобы это смещение было
не меньше ширины дифрагированного пучка, т. е. .v 5* h. Ширина h опреде¬
ляется выражением h = D sin а, где D — ширина дифракционной решетки.
В результате условие разрешения принимает вид
/ тЬХ
d sin а
> D sin а.
Минимальному разрешаемому расстоянию 67 соответствует знак равен¬
ства. Поэтому для разрешающей способности получаем
X 1/пХ ,, IX
тг = = Nm -у.
°Х Dd sin2 a hr
333

Так как /А/Л2<зс 1, то к/бк <к Nm, г. е. разрешающая способность решетки
в рентгеновской области спектра меньше, чем в оптической. Для повышения
разрешающей способности надо применять узкие пучки, а фотопластинку по¬
мещать возможно дальше от решетки.
к
8.61. 60 =
2L sin ip
= 0,5- 10 6 рад
8.62. Т=|М^.= 1,2- 10-4 с.
5 v
0 Av v . о v тХ
8.63. — = - sin 0 = —
Vq с С Cl
2и
= 4-10"
8.64. v ~ ~ = 10 кГц; частота изменения тока фотоприемника во вторых
4v
порядках v±2 = — = 20 кГц. Токи фотоприемников, установленных в точках
Р1 и Р2, сдвинуты по фазе.
8.65. Максимальный порядок спектра равен целому числу, содержаще¬
муся в d/k, т. е. т = 3.
= 1 мм.
В этом порядке Ьк = = 0,04 А; Д.х = .
Nm y/d2-m2X2
8.66? Лвеш = 3,3- 105; = 33.
-^пр
Р е ш е н ие. Из формулы решетки е/(sin 0 — sin 0О) = тк следует тк < 2d,
откуда умножением на N = b/d получаем Лреш = 2Ь!к = 3,3 • 105 и
-^реш 21 к
Rnp ~ dnldk ~ d
8.67. =
= 10~3 см.
8.68. d = т = 2-10_3 см.
8.69. D =
(п2 — 1) —кп —
dX
Хг
Ак =
к2^Г
2Л| (п2 — 1) — кп —
dk
Lk/n2— 1
8-70^ = -Т-=17-
8.71. L -
(п2— 1)6Я
- = 2,5 см.
8.72. 5 = L(nj: ■■■■■■ = 2,6 м.
8.73. и =
к{к2
= 2,1.
2d(k2-ki)
8.74. 2/, cos <р = тк\ Д<р =
8.75. Ак = 0,125 А.
8.76. m яг 36 300.
rfip _
2Lsin<p’ dk
2Lsin
m . , к
; ДЛ
m 2L cos ip'
334

8.77! Решение. Пусть р — коэффициент’ отражения света (по ишен-
сивносги) or каждой посеребренной поверхности пластин интерферометра.
Рис. 453
(Последние для простоты на рис. 453 изображены математическими плоско¬
стями.) Если J70 — интенсивность падающего света, то интенсивности про¬
шедших пучков I, 2, 3, ... будут
3 \ = (1 — р) 23о>
•Зг = р2(1 - р)23о,
3i = р4() - р) 23о-
а соответствующие амплитуды
Л-1 = (1 — р) иЗ о,
412 = Р(> - Р) Л).
Ai = Р2(1 ~ Р) Л).
где Л о — амплитуда падающего света. Каждый пучок запаздывает по фазе от¬
носительно предыдущего пучка на Д = 2h cos <р/Х, где h — расстояние между
отражающими плоскостями интерферометра, а ф — угол падения. С учетом
запаздывания амплитуда результирующего колебания прошедшей волны
представится геометрической прогрессий:
-40(1-р)
Л — Д0 (1 — р) [ 1 + ре
~'Л + р2 е_2'л + ...]
1 - ре-
а интенсивность
3 =
Al(\-p)2
(1 — ре~'л)(1 — ре,&)
ЗоО — р)2
(1 —р)2 + 4р sin2 (Д/2)
Когда А = (2т + 1)д, это выражение минимально: <?7min = ь7о]ТЗГД
3„
<£о
4
1 +р
1 — р)2~ 0, так как отражательная способность р близка к еди¬
нице. Когда Д = 2/пл, величина 3 достигает максимума: с7тах = 3о- Когда
(1 — р)2 + 4р sin2 (Д/2) = 2( ] — р)2, 1. е. 4р sin2 (Д/2) = (1 — р)2. то мак¬
симальная интенсивность убывает вдвое. В максимуме Л = 2тп\ в точке, где
3 = Зтах/2, Д = 2тп + 6Д, причем 4р2 sin2(6A/2) (1 — р)2 Так как эта
335

величина мала по сравнению с единицей, то синус можно заменить самим
углом и таким путем получить 6Д = (1 — p)/Vp~.
Пусть для угла падения ф интенсивность линии с длиной волны Я равна
половине макси,мальной. Тогда
2 h cos ip „ I . л
—T = 2mn + 6Д.
A
Для более длинной волны и того же угла падения интенсивность будет
также равна половине максимальной при условии
2h cos ф . .
Я
Тогда расстояние между максимумами обеих линий как раз окажется рав¬
ным полуширине линии, г. е. минимальному расстоянию, разрешаемому ин¬
терферометром, В этом случае Я(2пт + 6Д) = Я’(2пт — 6Д), откуда
Я + Я 2т л __ 2т ж г—
Я'-Я 6Д !“Р Р’
или ввиду близости линий Я и Я
miх ^ х 2h
1 — р 1 — р Я '
Это выражение можно записать в том же виде, что и для дифракционной
решетки, т. е. Я/6Я = А^ффШ. Роль эффективного числа штрихов играет ве¬
личина АЯ,фф = л/(1 — р). Полученные результаты справедливы и для слу¬
чая, когда интерферометр работает в отраженном свете.
W 2тА< о
8.78. Q = а> —— = тут1—г = 10 , где Nnm — мощность потерь.
•'’пот А(1 р)
_я_.
& 1
-AT
bv =
Я<2
0,5 МГц; Дч
21.
150 МГц.
8.79. Ядпип = !-~ = 2,5 см; R = = 0,45 см.
8.80! т ^ 1,5%.
Решение. Дисперсионная область интерферометра Фабри— Перо
Я Я2
дя =
т 2V
где т = 2Цк — порядок интерференции, L — база интерферометра. Отсюда
следует
L = L =-£-
max 2АЯ'
Разрешающая способность интерферометра
„ Я Л 2kL ттЯ
= 6Я ^ Х(1 — р) = ДЯ(1 — р)'
Таким образом, максимальное значение коэффициента пропускания есть
т = 1 — р ^ л 1,5%.
336

8.81. т %
8.82. ^
и К
8.83? Япк
2-1(Г7С; Q
- а я
~ Я ~ 2LAX
яг 2 -105.
10s.
Р с ш с и и с. Разрешающая способность R интерферометра Фабри —Перо
может быть оценена из следующих соображений. Минимальная разность хо¬
да между лучами, участвующими в образовании интерференционной карти¬
ны в интерферометре Фабри —Перо, равна 2L. Следовательно, порядок ин¬
терференции т = 2ЦХ. Эффективное число лучей па выходе интерферомет¬
ра есть N яг 1/(1— р) (см. решение задачи 8.77). Проводя аналогию с
дифракционной решеткой, запишем
Отсюда
„со ., _ 2L 1 со I.
я — ц— = шЛ/ Яг — — = — -
Лео Я (1—р) с(1 — р)
Дсо яг
с(1 — р)
L
Так как со = сош< + сол, где сол = cons! —- частота лазерного излучения, со11К —
частота исследуемого источника в ИК-диапазоне, можно записать
Доз = До)пк. Следовательно,
Р сОцк cOjjK соик ^ соик L 2nL ^ ~ „5
ик Дсош. Дсо со ~~ с(1 — р) Яик(1 — р) ~
8.84? Т2= 354 К.
Решение. Условие максимума в интерферометре Фабри —Перо с воз¬
душным промежутком имеет вид 2Ln cos 9 = шЯ, где 9 — угол наклона лу¬
чей, L — база интерферометра. Для выбранного кольца т = const, поэтому
при изменении температуры будем иметь
( 4>i\
Hi cos 91 = /12 cos 92, или iii 1—y = "2 (ф2 = 0).
Поскольку давление P = const, имеем n — 1 = AIT. Постоянная А найдет¬
ся по значению разности н — 1 при Tj = 293 К. Это дает А = 0,08497. Таким
образом,
пф -^| =п2= 1 +^= 1.00024,
Отсюда получаем ответ.
8.85. 6Т яг ~ яг 0,1 К, где Я яг 107 — разрешающая способность интер¬
ферометра Фабри —Перо.
8.86. ЬР < —яг 150 Па, где Ляг 2,4-106 — разрешающая способ-
28- Ю“10й
ность интерферометра Фабри —Перо.
8.87. Лпшхяг^=2-106.
8.88. Лпшхяг^ = 5-105
12 - 1651
337

8.89. L„
0,0085 см; Lm
0,53 см.
8.90. На длине / = I м неон поглощает 2,5% энергии излучения.
8.91. Серия затухающих импульсов длительностью т = 10-11 с, следую¬
щих через интервалы At = 2Цс = 3 • 10-11 с. Импульсы затухают по экспо¬
ненциальному закону со временем затухания t = RaIc =1,6- 10_ч с.
18 П2
8.92? Q *
А
Р еш сн ие. Функция пропускания резонатора
1
1 + (4р/7'2) sin2 (kL cos ip)
где p — коэффициент отражения; Т = 1 — р; <|' — угол падения. При т|> = 0
максимум пропускания имеет место при kL. = mл. Добротность резонатора
_ 2jtwj~p
Q =
6 О)
Для малых углов ф <sc 1-.
А
1 + <? V/4
Из-за дифракции на зеркалах угол ф лежит в пределах —)JD < ф < )JD.
Диаметр выходного пучка возрастет в три раза, если резонатор будет про¬
пускать волны в угловом диапазоне
s \ i 4
Из условия ^ у г-е 1, найдем Q
А
3 п 1
2_
О
Г
_х_
3/Г
18 Zr
8.93. т
8.94. Апшх
8.95. R
4 л1.
(1 —р)с'
0
2л/,
8,8 А0- А,
__ 1 —
М-р)
,о>.
ГШП фу
2
Р
0,957.
AqZz 0,1 \Aq
8.96. /min = 277 =210 нм.
8.97. /,„ =- (2m + 1)
8,7• 10 2{2m + 1) мкм, где ш = 0, 1, 2, 3,
Указание. Следует исследовать на минимум функцию I Етр!Е над I ’
откуда можно найти амплитудный коэффициент отражения (г = —2/7), а за¬
тем и показатель преломления п (п = 1,8).
8.98. Квазипериодические осцилляции (броски) фототока возникнут при
2 L
1 пс, где
2 L
период серии импульсов света, приходящих в фото¬
приемник. Частота колебаний фототока v = Кг Гц, характерное время зату¬
хания Т % - Q ft 3 • 10“7 с. Число колебаний за время затухания N*300
(Q ss 1,5-108 — добротность резонатора Фабри —Перо).
338

8.99. L > = 15 см; f>max=l --^*0.97.
8.100. Si = So (‘~rr = 2,5- 10~3 Bt/m2.
4jTZ/
8.101. 1) m=!1^-b = 10000; 2) 0 = - = 51,5".
X a
8.102. b = Nh ~ -1- = 2,6 m.
dX
§ 9. Элементы фурье-оптики и голографии
х
9.1. V
у * * • 7 гг
4а при г —
1 — cos а’
Kmin = 0 ПРИ 2 :
X X
П2±4
1 — cos а'
, 2”i" ' -о ■ дсльга-функция,
и = к sin 0. Спектр состоит из трех плоских волн, распространяющихся в на¬
правлениях к sin 0 = 0,
sin (ии 12)
9.2. F(u) = 6 (и) + ^ Ь(и — Q) + тг 6(« + Q), где б
п . и а
: с амплитудами 1, —, — соответственно.
9.3. F[ (и)
Рг (и)
, где и = к sin 0, к — волновое число.
aul 2
sin (bull) sin (Ndull)
bull sin (dull)
9.4. Комплексная амплитуда волны за решеткой
I S°-x 4- - ei2Qx — e~'Qx — - e~
1 ^4 2
i 2Qx
где Q =
2k
1Г
2л- К)3 см (пространственная частота). За решеткой распро-
П
D
страняются пять плоских волн в направлениях к sin 0 = 0; ± Q; ± 2Q.
9.5! Период изменения показателя преломления жидкости равен длине
ультразвуковой волны Л.
Решение. Показатель преломления жидкости зависит только от ее плот¬
ности. Поэтому задача сводится к определению пространственного периода
изменения плотности жидкости.
На рис. 454 черными кружками в# • >>
изображены узлы скоростей в сто- 4
ячей звуковой волне, а стрелками
показаны направления движения
частиц жидкости в некоторый мо¬
мент времени. В стоячей волне все частицы жидкости между двумя соседни¬
ми узлами скорости движутся в одном направлении. При переходе через узел
скорости направление движения частиц меняется на противоположное.
Пусть смещения частиц жидкости в некоторый момент времени достигли сво¬
их максимальных значений. Тогда при направлениях скоростей, указанных
на рис. 454, в узлах А, В, ... будут сгущения, а в узлах С, D, ... — разреже¬
ния. Через половину периода в узлах А, В, ... будут разрежения и в узлах С,
О, ... — сгущения. Расстояние между двумя соседними сгущениями или
С
Рис. 454
12*
339

разрежениями равно пространственному периоду изменения плотности, а
следовательно, и показателя преломления жидкости. Оно, как видно из
рис. 454, равно длине ультразвуковой волны Л.
9.6! Решение. Так как частота звуковых колебаний очень мала по срав¬
нению с частотой световых колебаний, то можно считать, что жидкость, в ко¬
торой распространяется свет, неподвижна. Такая жидкость представляет со¬
бой неоднородную среду, показатель преломления которой меняется периоди¬
чески в направлении, параллельном АВ. Расчет светового поля в такой
неоднородной среде представляет очень трудную задачу. Однако, как бы ни
распространялся свет внутри жидкости, можно утверждать, что световое поле
в плоскости CD при выходе из кюветы будет периодически меняться в направ¬
лении CD с периодом Л. Для определения светового поля за кюветой можно, по
принципу Гюйгенса, заменить реальные источники света виртуальными, рас¬
пределенными по поверхности CD. При этом расстояние между двумя сосед¬
ними одинаковыми виртуальными источниками будет равно длине ультразву¬
ковой волны Л (см. решение предыдущей задачи). Таким образом задача сво¬
дится к дифракции света на двумерной плоской решетке.
9.7. с ~ ~~~ ~ 1200 м/с.
Д.т
9.8! При отсутствии затухания нельзя.
Решение. Пространственный период изменения показателя преломле¬
ния жидкости в обоих случаях равен длине ультразвуковой волны Л. Поэтому
в обоих случаях углы дифракции буду1 одинаковы. Более того, будет одно и
то же распределение интенсивности света в дифракционных спектрах, ибо в
обоих случаях показатель преломления как функция координат (при фикси¬
рованном времени) меняется по одному и тому же закону синуса. При замет¬
ном затухании ультразвука характер изменения показателя преломления в
пространстве в стоячей и бегущей волнах уже не будет одинаковым. В этом
случае по характеру дифракционной картины бегущую волну в принципе
можно отличить от стоячей.
9.9! d = у.
Решение. Если бы глаз мгновенно реагировал на световое раздражение
и не обладал способностью сохранять зрительные впечатления, го, взглянув
на жидкость, мы увидели бы светлые и темные полосы, расстояние между ко¬
торыми равнялось бы расстоянию между двумя соседними сгущениями,
т. е. Л. Через половину периода звуковых колебаний на месте каждой светлой
полосы образовалась бы темная, и наоборот. В действительности глаз сохра¬
няет зрительные впечатления в течение примерно 0,1 с, т. е. в течение време¬
ни, которое чрезвычайно велико по сравнению с периодом ультразвуковых
колебаний. Поэтому глаз не состоянии видеть смену полос. Он фиксирует не¬
которую среднюю освещенность сетчатки, получающуюся путем усреднения
мгновенной освещенности по времени, которое очень велико по сравнению с
периодом ультразвуковых колебаний. При таком усреднении интенсивность
света во всех узлах скоростей сделается одинаковой. Во всех пучностях ско¬
ростей интенсивность будет также одинаковой, но отличающейся от интен¬
сивности в узлах. Поэтому период видимой картины должен равняться рас¬
стоянию между соседними узлами, т. е. Л/2.
340

П ри меч а н и е. Для полного исследования вопроса необходимо было бы
показать, почему при усреднении получается система полос, а не равномер¬
ное освещение жидкости. Такое исследование требует подробного рассмотре¬
ния сложного вопроса о распространении световой волны в сильно неоднород¬
ной среде, каковой является жидкость при наличии в ней ультразвукового по¬
ля. Эго исследование, в согласии с опытом, показывает, что полосы должны
наблюдаться. Цель рассмотренной нами задачи состояла в том, чтобы, при¬
нимая наличие полос как опытный факт, определить расстояние между ними.
9.10. Дифрагированный свет имеет две компоненты 2 ^ ± v3B, где
v ешыр Av = 2 480 мг р = 1 0,9, где R = = -f- = 106.
J л JB 1 XR АХ Av
9.11. Комплексная амплитуда волны за решеткой
А = А0 [1 + I С'<2Пл-я/2, + 1 е-/Пл- + I Г№-
л/2)
За решеткой распространяются четыре плоские волны в направлениях
к sin 0 = ± Q и ± 2Q.
9.12.
. 4л к
-»2тах ■Г
Qz
^2min
д
1
1 о
min = 0-
max <2/
9.13.
Я2ь
2к S,
о> = -jjr, где к -
:Н
и
4л к
Я2
т + 2
1, 2, 3 к =
2л
Я '
= 9.
9.14. Часто га изменения интенсивности 1-й спектральной компоненты
£21
о"
2-й
02 = Ц h-
d2
Суммарная интенсивность изменяется по закону, изображенному на
рис. 3476. Налицо «биения». «Медленная» частота (огибающая) равна
^1“^2 г. ^1+^2 г>
. «Быстрая» частота равна -—. В одном периоде «медленной» час¬
тоты содержится п = 30 «быстрых» колебаний. Поскольку X ос Q, то
ДЯ AQ
Я
Я
■п = 30.
9.15. Д/ = ^ = 37,5 мкм, где d = ^ = 75 мкм — период фазовой решетки.
Апах 2Я 2Xv 300 СМ'
9.16. d„
Pd
2Я
2 Я/
Л
= 0,1 мм; d„
2Я/
D
9.17. 3 (х) ос 1 + 2т cos Q.v (для пластинки л/2);
3 (х) ос — 2т cos Qx (для пластинки Зл/2).
9.18. Следует поставить пластинку Я/2, которая изменит ориентацию
осевой компоненты Eq на Ец. Если поляроид установить так, что пройдет
юлько Ео (Р||£о/- 10 через поляроид пройдут только боковые компоненты
пространственного спектра, при этом видность V = 1 (интерференция на эк¬
ране). Если разрешенное направление поляроида Р\\Е\, то пройдет лишь осе¬
вая компонента и V = 0.
341

9.19. К = 0,02.
9.20. Контрастность изображения определяется видностью интерферен¬
ционной картины V = 1/3.
9.21. Пластинка Х/4 (превращает осевую компоненту в линейно поляри¬
зованную с амплитудой Е0). Если поставить поляроид так, что его разрешен¬
ное направление РХЕ0, то осевая компонента будет исключена. На экране
возникнет интерференционная картина от боковых спектральных компонент.
При этом видность будет максимальна (V = 1). Если поставить поляроид так,
что Р||£0, то V л тА
9.22. d = V2XДА; I -
9.23. т
9.24. т
1
1 2v
т + ег I = AL(2m + 1), где т = 1,2,3, ..
9.25. п =
1,5.
12
11
I2v 12
h =
Л — Д z
9.26. Л/тах=£.
9.27. Распределение поля в плоскости П изображения
g(x) = + те'Зя/4 cos ^qx- _ л,/4)^
или
g(x) = до "+• те1лI* cos (Q.v + л/4) j .
Чтобы получить изображение чисто амплитудной решетки, необходимо
повернуть осевую компоненту либо на угол А<.р = либо на Лф = Для
- _ , 3jt к jt к
этого необходимо сдвинуть плоскость П на расстояние /min = —т или —г.
2Q2 2Q2
9.28.
<7-
1 -т
1 — 4ш; Аср = 0.
9.29. d„
-■ Ль = о, 1
ММ.
9.30. Изображение подобно предмету при условии ^ < Q < или
2 Xf , п 2л D X/
< а < и, где d = — — период решетки.
9.31. X =
; 5-КГ5 см; Ак =
2d 2
10 5 см.
ii ' Л
9.32. (Рис. 455)
9.33. т(л') ос 1 + cos \kL + kx2/(2L) ].
Положение изображений при записи с нормально падающей плоской
волной (рис. 456).
Положение изображений при записи с наклонной волной (рис. 457).
Минимальный размер голограммы amin яь nXL. Размер восстановленного
изображения равен Ь * 1 hi.
9.34. АЖ
2LX1
= 0,2 нм.
342

343

9.36. Минимальный размер деталей d яг aL — 10 2 см. Требуемая моно¬
хроматичность ДА < 2а2Дяг 2- 10”6 см.
9.37. Минимальный размер деталей d яг V~v~ ^ 10-2 см. Требуемый
I ft
размер голограммы D ~ -j- яг 6 см.
9.38. 0,05™; Д/П1ах
U
5 мкм.
9.39. <{7 (л) = -— + ^ cos [A: sin y.v + A: L( 1 — cos у) J,
где sin у = у; к cos у = л/ к2 — Q2. Положение восстановленных изображения
определяется построением. Действительное и мнимое изображения находятся
на расстоянии L от голограммы по обе ее стороны.
9.40. jV = 4 = 5 слоев, где d = -—7-иуг
д sin (а/2)
расстояние между почернения¬
ми по нормали к фотоэмульсии.
9.41. Спектр плоских волн: \030e'Qx, 430e~lilx, 430el3i'x. Самая мощ¬
ная распространяется под углом а.
§ 10 . Дисперсия света. Эффект Доплера в оптике
10.1. и
и — -
I
: — к
и — V
0
п
г» 1^<
1
и — V
(‘Лж)-
о д
= а = п; 2) ц
Д'/T и 3 д
^=2; 3) " = 2 71 :
3 . 2а
21’ 4) Н = Т
2н;
5) w =
а/с2 + 52А2 u
= —; 6) zz =
1
с
J | со е/ (Е и J
с/со
10.6. с = 1 -)—г, где А — постоянная.
со2
10.8. и
10.9. Метод вращающегося зеркала дает групповую скорость
п
, . . X chi] _ с с
и — г 1 Н гг- . Гак как п = —, то —
п ал. v и
п dX
= 1,76.
Майкельсон на опыте нашел — = 1,75.
и
10.10.
4ле2ЛС
4лд}.Ы,
— У j-, где ЛД и N-, — концентрации электро-
те со т,со
нов и ионов, е, gt, те, — их заряды и массы. Суммирование ведется по всем

ионам. В силу квазмпемтральности ионосферы концентрация положительных
ионов с большой точностью равна сумме концентраций электронов и отри¬
цательных ионов. Поэтому последним слагаемым в выражении для г можно
пренебречь, поскольку масса иона велика по сравнению с массой электрона.
, “о 4лЛй'2
Сделав это и опуская индекс «<?», получим г = 1 т, где со0 = .
со 1,1
10.11. Может: п < 1 для радиоволн в ионосфере; п < 1 для рентгеновских
лучей.
10.12. Полагая \!г = ±/х, преобразуем выражение Е= Е0е'^ш1^к:} к ви¬
ду Е = E0e>{Ze'a’1, или Е = E0e~y-Zelu}t. В вещественной форме:
Е = Е0ек“ cos со/, или Е = Е0<? cos си/.
Это — стоячие волны. Амплитуда первой волны экспоненциально возра¬
стает, а второй — экспоненциально затухает в направлении оси Z. Выбор
знака перед у. должен определяться физическими условиями. В обоих случа¬
ях есть затухание, но нет поглощения.
10.13. Если со > соQ, то волна пройдет- через ионосферу; если со < со0, то
волна полностью отразится. Здесь а>0 = Ч4лЛф1ах^ =5,64-10VTw Ic"1].
где Лфщх — концентрация электронов на такой высоте, где она максимальна.
10.14. N = 1,24- 10“8v2.
eL
10.15. Чтобы радиоволна могла достигнуть Земли, ее длина волны долж-
r * ^ 3,34- 10б о о 1 л2 по
на быть л < т=— см = 2,3* 10 см = 2,3 м.
VN
10.16. Г = f2 + ^,2.
’ тпе
5 2
10.17. А), = ^ 67 = 50 нм.
10.18! //ft 0,24- 104см“3; о ft 3,3• Ю10 см/с; и ft 2,7-Ю10 см/с.
Решение. Диэлектрическая проницаемость г плазмы определяется вы¬
ражением
. , 4лЛ'е21т, , со?
f = " = 1 о = 1 -
со со
где сор — плазменная частота, е и т
концентрация электронов
N =
(1 —п2)т со2
4л.е2
— заряд и масса электрона. Отсюда
ft 0,24 • 104см~3.
Найдем теперь фазовую скорость радиоволн:
v = — ft 3,3 -Ю10 см/с > с.
п
Для определения групповой скорости и нужно знать зависимость v(\).
Эта зависимость может быть легко установлена из выражения для п2, если
345

принять во внимание, что п = с/r, со = 2лнА:
v=\lc2 + ~)2.
V л- тг
Используя cooiношение Рэлея
получим
л civ
и = г — л -тг,
а а
и = — — evi ^ 2,7* 10ш см/с < с.
V
10.19. 13,5 м, с/2 = 2с/,» 27 м. Здесь л = ±/х = ±/-0,508.
1 4лтх ' ' l с
10.20. п
Здесь г1<Л =
10.21. L =
А2 — А] г0
-яе 4-
тсс
10"13
2лш(,сД/
vfvf
4 - 101'. N--
2л
Д/
с/
О /-„(У-А?) Ф
4-10"3 см"3.
vf яе 7- Ю20 см з: 700 св. лет.
Nc2 v22 — vf
10.22. ^ = - AV
: 2,5- 10"4.
v 2-xm(y
10.23! vminse 0,8-Ю10 11 Гц.
Решение. Поправки, обусловленные теорией относительности, состав¬
ляют (v/c)2 чаегь or измеряемых величин. Показашль преломления п =
для плазмы отличен от единицы на величину
Д/1 = Ve —
IiiNe
где в и те — заряд и масса электрона. Поскольку состояние ионосферы
(плотность электронов) меняется неконтролируемым образом, для надежного
обнаружения эффектов, предсказываемых теорией относительности, ошибка
измерения параметров орбиты не должна превышать Ап. Таким образом,
2
и\ л 2лЛТ
2= Д/1 яг ;
Отсюда
ес \2tcN
2л 2ли V т
0,8-10“ Гц.
10.24.
N
лс~т..Л 1
, где N — концентрация свободных электронов в
" X2e2N ар 6’
серебре, п — концентрация атомов, /. —длина волны, соответствующая энер¬
гии фотона <£.
10.25. тр яг Л zPjVa<- X ^ Ю"6 рад. Дифракционная расходимость
к лАт.с
10 9рад«ф.
346

10-26 h = 20Ьг) (! + 2"') ^ 2.5 • 10-5 (| + 2т 1см;
3 Ртах — То (1 + VT)2,
где 1
Nr^Xz
0,02, где гк
= 2,8- 10 3 см — классический ра-
тгс
диус элскфона, Зо — интенсивность падающего излучения.
10.27 D = 29/.L
X
и = ■
10 2 см;
(2т + 1)
N гк„Х
(2т + 1) = 0,24- 10"4(2т + 1) см;
2(1 — и)
Зр = 93 О,
9
где гк„ = г = 2,8- 10 см — классический радиус электрона, 3о — ин-
те9
тенсивность падающего излучения.
10.28? f л 5-10-2 рад.
Решение. Энергия рентгеновского излучения 2 кэВ превышает энергию
связи электронов (их четыре). Поэтому все электроны можно считать «сво-
А/ э
бодными». Их концентрация N = —-— я; 4,9-10 см А
Рассчитаем длину волны рентгеновского излучения по формуле
12000
МА]
Е{ эВ]
6 А.
Показатель преломления бериллия для рентгеновского излучения
п =
л 1. 4лАе‘
Х=
ШО)
е
Заменяя комбинацию —- на гКТ1, известную как классический радиус элект-
тс
.2
рона /*кл = —г
тс
= 2,8-10
см, а также X — преобразуем:
2nNez
т со
NrXX2
2п
Принимая также во внимание, что при скользящих yi-лах падения
(рис. 363) ф яг 4а, получим из условия полного отражения
/-Т \ f I ф2
п — sin — а = cos а = cos яе 1 —
т й 92 ^2гм . /ДО-кл 1Л_2
Таким образом, ^ ^ ^—’ откуда Ф = 5* 10 рад, где пред-
варительно была подсчитана концентрация электронов.
10.29. п - 1 = -7,2-10"6; р = 3,8- 10~3.
10.30? 1,7-1012 Вт.
Решение. Электрический пробой наступит в том случае, когда элект¬
рон в результате действия на него электрического поля световой волны при¬
обретет энергию 10 эВ = 1,6 • 10-11 эрг. Эта энергия значительно меньше
347

энергии покоя электрона т0с,2яг 10 6 эрг, т. е. скорость электрона v при про¬
бое много меньше с. За один период колебания электрон смещается на рассто¬
яние порядка v/v, где v — частота света. Это значительно меньше длины волны
света X я; 5-10~5 см и длины свободного пробега электрона /пр яг 10~4 см.
Таким образом, целесообразно рассмотреть действие световой волны на
свободный электрон:
in.v = —еЕ0 cos соt,
где Е0 — амплитуда свеювой волны. Интегрируя, получаем выражение для
скорости электрона: v = — (еЕ0/ты) sin си/. Максимальная кинетическая
энергия электрона
о\ ^eU
2 2
Отсюда
Е
2 _
О —
2Uine(x>
Плотность потока энергии лазерного луча (модуль вектора Пойнтиига)
IS | =
Л'
= ~EL
сЕ\
лс/2/4 4л
откуда получим
N =
2 же
ccI2Eq cd2Ume<x>2
1,7- 1014 эрг/cft 1,7-1О12 Вт,
32
16e
12
где (о = Е22. яе 3,8- 1015 с !.
A
10.31. твых = х + А — lj яг 10 8 с. (Поскольку d » X. то следует вос¬
пользоваться представлениями геометрической оптики.)
10.32? /г яг 2 -105 каналов.
Решение. Из-за дисперсии сигналы на разных частотах проходят путь
до спутника и обратно за разное время. Для оценки ширины полосы Av пред¬
полагается, что различие во времени прохождения Дт на частотах, отличаю¬
щихся на Av, связано соотношением неопределенностей Av Дт яг 1. Полное
время задержки сигнала т яг где L = R3^ ^ — 1 j = 36-108км —
расстояние до геостационарного спутника, и — групповая скорость;
с , 1 Vp)
и = п + (cin/itv)v' где 11 ~ |10Казатель преломления; п яг 1— -1-^-1 . (vp —
2 “о Ne2. 2L ( dn \
плазменная частота, vf, = —^ = ). Отсюда т = — /г + -г- v .
р 4л2 с l dv I
Перейдя от дифференциалов к конечным приращениям, получим
, 2L dn
Ах я; г—v.
с dv
о л 1 , . , ? с 1 с V3
Заменив Ах на — , получаем Av) = егг , ,, = —
Av ' ' 2L dnldv 2L 2
Av =
c v лт.
2 L
Ne
6-108 Гц.
348

Разделив эту полосу на ширину полосы телефонного канала, получим
и яг —- = 2- 105 каналов.
Л/
10.33? О» 1СГ5 см; R >10 см.
1
_ Г, , , -) , tOp sin ср
Р е in е н и е. Для рентгеновского излучения (со » (оп) /I = 1 к = -—-,
и со2 sin ч>
где сор = ф — Угол падения, ф — угол преломления. Обозначив 0 угол
скольжения, запишем условие распространения волны в ренггеноводе
j 2
п = sin ф = V1 — sin2 0 = у 1 — , sin Ощах ^ 9тах = = 1,2- Ю”3,
Оценка была выполнена для N ~ 1023 с.м“3.
Условие па диаметр D капилляра: дифракционное уширение пучка долж¬
но укладываться в разрешенный диапазон углов скольжения 0
D » л/0мах Я: 1 О-5 СМ.
Условие на допустимый радиус изгиба R ренггеновода
cos ^ = у, > cos 0max, откуда следует, что R й 10 см.
R + D
10.34? п
1 + 2ла \ 1
ш£вЛ
кТ
■ 102 км.
Р е ш е п ие. Показатель преломления газа определяется соотношением
п = у/ 1 + 4ла N,
где а — поляризуемость молекул газа (в гауссовой системе), а N — их кон¬
центрация. Принимая во внимание, что
ро ( mgbh
N{h)=Jfcxp
где Р0/кТ — концентрация молекул при h = 0, получим
п
Д( 1 + 4ла ~ ехр
mgyh
кТ
+ 2тш
Ро
кТ
rngzh
кТ
Радиус кривизны луча, пущенного горизонтально вблизи поверхности плане¬
ты, есть
п ^ _ (,кТ)2 ^
dnldh 2jtaPo4igB
102 км.
Так как г < 0, центр кривизны располагается при h < 0. Таким образом, го¬
ризонтальные и близкие к ним лучи не могут выйти за пределы атмосферы
Венеры ( \ г\ < гв).
В атмосфере Венеры возможна круговая рефракция, при которой луч све¬
та огибает планету на некоторой высоте.
10.35. Радиус кривизны горизонтального луча в атмосфере Земли
к Т
г = — tng(n jy — 2,9 ■ 104 км. Для круговой рефракции давление (и плот¬
ность) должно быть в 4,5 раза больше.
349

10.36. Az
.2
A» [xg .V
n RT ~2
1,8 см, где R — универсальная газовая посто¬
янная, p — средняя молярная масса воздуха, х = 1 км
10.37. а = - у("~})2 = 0,75- 104 с-1.
А п
3-10'
RX,
dn
d).
10.38. Длительность импульса увеличится в |1 — —
. . -1 Iе
, «Л , ,
га уменьшится в ] 1 1 1,1 раз
с
1,1 раз. Часто-
-ю
10.39. т = 5,5т0 = 5,5-10
„„ I { [//(со) — fin] to]
10.40. t = —| tin Н г= i— ) = 1,2 нс.
с [ | а> — оо01 J
Ю.41 .* zmjn =
Решение. Периодически повторяющийся сигнал /(/) может быть
представлен в виде суммы гармонических колебаний вида
^ f(t — nT) = ^ Сте"”ш°1, где о>0 = 2л./7’ — частота основной гармоники.
Соответственно волновое возмущение, распространяющееся в среде,
S(t, z) = ^ Ст ехр {/[ша>0( — /c(;?;co0)z]}. Разность фазовых набегов
\к(ты0) — к(ы0) ]z = Дф,„ (между любой т-й гармоникой и основной гармо¬
никой) равна Дф„, = /7(ш2 — l)o>(2z. Минимальная разность фаз (между вто¬
рой и основной гармоникой) бер = ЗВыдг должна быть кратной 2л, откуда
2 л . 2л , у , ж ж ^ /
2 “ ~/i. 1 огда Д<.р,)г =— {in — 1 )п. Минимальное значение п — о (тогда
37? со о ^
все Avpm кратны 2л). Таким образом, zmjn =
2л
Т
В cog
10.42. со
4/ 2л
Omin у BL ■
2
10.43. т =
рлсе
10.44. г
^4лNe = ‘ СМ^С = ^ с — фазовая скорость;
и = = 2нф = Ю10 см/с = -с
10.45! v = v0 -
1 ■
групповая скорость.
; R>109.
(1 + Р cos а) (1 — р cos 9) ’
Решение. Перейдем в систему, в которой спутник покоится. Частота
приходящего на спутник сигнала
у/1 — v2lc2
V1 — р2
0 1 + (vie) cos а 0 1 + р cos а'
Такую же частоту в системе, связанной со спутником, будет иметь отражен¬
ный сигнал. Перейдя теперь снова к системе, связанной с Землей, обнаружим

в точке В сигнал с частотой
, \Л — fr
l-P2
1 — р cos 9 0 (1 + р cos а) (1 — р cos 6)'
Реля1ивисгская поправка к частоте есть
= 10“ч.
1 рел с
Отсюда следует, что разрешающая способность R спектрального прибора
должна быть
R >
10ч.
10.46. А/ = — у—у- Vln 2 ~ 0,042 А. где А — атомная масса водорода.
10.47. = — cos 0, где 0 — угол между направлением наблюдения и
А с
направлением движения.
10.48! N>1,2-Ю5.
Решение. Интерференционное отражение света происходит только от
тех звуковых волн, для которых выполнено условие Брэгга —Вульфа. Допле¬
ровский сдвиг частоты рассеянного света определяется соотношением
Л 1 v ■ 0
Av = 2v ~т~ sin
chi 2
где 0 — угол рассеяния.
Условие разрешения R = niN > v/Av. Отсюда при in = 1 получим
N>
2vn sin (0/2)
1,2- 105.
10.49. N >
а с
2,5- 105.
4 1 v3l
10.50. Дифракционная решетка должна обладать разрешающей способ-
т5
О3, где nifKie — масса атома неона. При рабою в
нос 1ью R > {c/2)Vnis]c/kT
1 -м порядке L= Rd > 10см.
10.51. При г = 10 сут N й 103. При г = 10 лет расщепление спектраль¬
ных линий значительно меньше их ширины.
10.52. Расстояние между звездами L
2R = — 1,6- 1013 см, где
зт
с ЛХ
" _ 2 X
3 ДО7 * * * * см/с. Масса одной из звезд М
■ 4,3- 1032 кг, где
7 — гравитационная постоянная.
10.53! н> 104 м/с; N > 1,5-104.
Решение. Для надежного обнаружения движения космического кораб¬
ля по доплеровскому сдвигу спектральных линий необходимо, чтобы этот
сдвиг был больше ширины спектральной линии, обусловленной тепловым
движением молекул на поверхности Солнца (т. е. чтобы линейная скорость
корабля превосходила среднеквадратичную скорость молекул водорода, рав¬
ную при температуре Т = 6000 К ит яе 104 м/с). Отсюда следует, что
v > !'т яг Ю4 м/с.
351

Минимальное число штрихов дифракционной решетки определяется со¬
отношением
R
„ X
n,N~Ix'
С
V'
При т = 2 получим N > 1,5- 104. Приведенная оценка не учитывает до¬
плеровский сдвиг, обусловленный вращением Солнца.
10.54. Эффект обусловлен изменением оптических длин путей для
л £2/
встречных волн: Av = — v.
10.55. Т » ^ * 400 К.
&RN- In 2
§ 11. Поляризованный свет.
Элементы кристаллооптики и нелинейной оптики
11.1. = - = 0,014мм.
4(ле— /!0)
11.2. Lzz 0,03 мм.
11.3. Д = 5,16 мкм.
11.4. (1 = —-^ - = 0,027 мм.
4(«! — п2)
11.5. Лучи, исходящие из какой-либо точки А удаленного предмета и по¬
падающие в глаз наблюдателя, практически параллельны. Каждый луч при
вступлении в плоскопараллельную кристаллическую пластинку распадается
на два луча. Оба луча по выходе из пластинки остаются параллельными, хо¬
тя они и испытали различные боковые смещения. Глаз соберет оба луча в од¬
ной и той же точке сетчатки, поскольку он аккомодирован на рассматривание
удаленных предметов (на бесконечность). Эта точка схождения лучей и бу¬
дет (единственным) изображением точки А.
11.6. / = 5 см.
11.7. В стекле и фарах автомашины главные плоскости поляроидов долж¬
ны бьпь параллельны между собой и составлять угол 45° с горизонтом. При
этом у всех машин они должны быть повернутыми в одну и ту же сторону
(считая по ходу машины).
11.8. На экране образуются 4 пятна. Интенсивности относятся как
1 : 3 : 1 : 3.
11.9. При введении пластинки в полволны интерференционные полосы
смещаются на половину ширины полосы; при повороте поляроида на 90° они
смещаются в противоположную сторону на половину ширины полосы отно¬
сительно начального положения; если убрать поляроид, то положение интер¬
ференционных полос не изменится, но интенсивность их возрастет вдвое.
При введении пластинки в четверть волны происходит смещение полос на
четверть ширины полосы; если в этом случае убрать поляроиды, то интерфе¬
ренционные полосы пропадут.
11.10! Д = = ^ЕН=3.
$ min
352

Р с ш с и и с. Пусть — интенсивность поляризованного свеча, С!7с — ин¬
тенсивное! ь естественного света. При первом положении пиколя интенсив-
г7е
ность прошедшего света равна С(7П -)- *2“, а при втором
С?,. C-S'n
<9„ cos2 60° + ^
По условию
откуда С7П = J7e. Максимальная интенсивность Smax ■
:7„ . 1 77,,
: ^ е7п, минимальная
А)
I Д * ~ 1П«±Л Q
,1П
11.11. ^ = 0,5.
11.12. тр = 45°.
c7K sin2 а —р/100
11.13.
11.14.
11.15.
11.16. -т1 =
7,
р/200
2-1 з-
V7n — 1
+1
2’
0,058.
11.17. Свет будет поляризован по левому кругу.
11.18. Свет останется линейно поляризованным, но плоскость колебаний
электрического вектора повернется на угол 2а и станет симметрично рас¬
положенной со своим исходным положени¬
ем относительно оси пластинки в полволны.
11.19! Pi = - ^ + != -35°,
^ = f + I = +55°-
Решение, Свеч не пройдет через второй
николь, если электрический вектор пер¬
пендикулярен к главной плоскости этого
николя, т. е. параллелен прямой АВ, перпен¬
дикулярной к той же плоскости (рис. 458).
Ось пластинки должна быть ориентирована
по биссектрисе угла AON^ или угла N\OB, ему дополнительного до л (см.
предыдущую задачу). Это дает два значения угла (3, приведенные в ответе.
2
11.20.
—
100
cos2 а = 0,1.
353

11.21. j = V3, f = 53°.
11.22. Д = ■
3 к + 3 л
■ = ini + ni2 + 3, где c7e — интенсивность нсполя-
ризованного света, с7к — света с круговой поляризацией, ^7Л — линейной по¬
ляризацией.
b \~3
11.23. — = Л/2 — 1, где Ь — длина малой, а — большой полуоси эл-
а \ £!г
липса.
11.24? Решение. В системе главных осей A’, Y эллиптическое колеба-
Рис. 459
ние описывашся уравнениями Ех = a cos си/, EY = b sin си/ (рис. 459).
Перейдем к новой системе £,, г|, оси которой являются биссектрисами преж¬
них координатных углов. В этой системе то же колебание представится в виде
а2 + Ь2
= ^=(й cos + b sin со?) = —-— cos (со/ — <р)
a cos со/ + b sin сЫ)
м
а2 + Ь2
[ со/ - (л - f)]
где <р — острый угол, определяемый уравнением tg ip = bla. Колебания вдоль
осей | и 1] совершаются с одинаковыми амплитудами у[аг + Ь2)11, причем
колебание вдоль оси £, опережает по фазе колебание вдоль оси г| на угол
6 = л — 2ф.
Внесем кристаллическую пластинку так, чтобы ее оси были ориентирова¬
ны вдоль % и 1| и чтобы она изменила разность фаз до ± л/2. Для этого должно
быть выполнено соотношение
(си/ — цт — k^l) — (со/ — л + ф — кц1) = ± л/2,
откуда
_ 2ip — it ± л/2 _ ^ ф/л— 1/2 ± 1/4
- к% - пх
Тогда волна перейдет в волну, поляризованную по кругу. Знаку «плюс»
соответствует то же направление вращения, что и в исходной эллиптически
поляризованной волне, а знаку «минус» — противоположное. Такой же ре-
354

зультат получится, если толщину пластинки изменить на П1\/(пц — п^), где
т — целое число.
о7 п
11.25. 3 = —, Свет поляризован по кругу.
11.26. d = -^-v где т= 1,2,3, ...; <£гаах = § «£0-
11.27. с? = ^#о-
11.28. Д = |.
11.30. 3 = ^Зо- В общем случае поляризация эллиптическая. Если же
толщина пластинки такова, что разность фаз равна тп, поляризация ли¬
нейная.
11.31. где i/i= 1, 2, 3, ...; 3тт = 530-
11.32. 3 = 2с7о- Свет поляризован линейно.
11.33. 3 = 330.
11.34. 3 = 53о-
11.35. 3 =53 о-
11.36. 1) Интенсивность света возрастет в 25 раз.
2) Интенсивность света возрастет в 9 раз.
11.37. 3 = 530.
11.38. Если N — полное число зон Френеля, то интенсивность света в фо¬
кусе пластинки будет приблизительно в N2 раз больше, чем при свободном
распространении света.
11.39. 3 = 13о-
11.40. 3 = &30-
11.41. 33) = 53о
3
откуда V
2
3;
, , 2 [ 4nd . .
I + ^ cos —sin 0
Л =
2d
■ 2,5-10 3 см.
11.42. И = |; Л = ^г=10~2см.
3 2d
11.43. Полная разность фаз света, приходящего в максимум щ-го поряд¬
ка между двумя взаимно перпендикулярными колебаниями
Дф,„ =f (т + !)■
It
При т = 0 Дф0 = — — круговая поляризация с сохранением вращения
падающего света;
при т = ±1 Дф1 = л; Лф-i = 0 — линейно поляризованный свет;
при т = ± 2 — круговая поляризация с противоположным по отношению
к падающему вращением.
355

В общем случае: в нечетных максимумах свет линейно поляризо¬
ван; при т =0, ±4, ±8, ... круговая поляризация с сохранением направле¬
ния вращения; при т = ±2, ±6, ± 10, ... круговая поляризация с противо¬
положным вращением.
11.44. Уменьшится вдвое независимо от поляризации падающего света.
11.45. Разрешающая способность не изменится.
11.46. Расстояние между главными максимумами уменьшится вдвое.
Интенсивность света в пулевом максимуме уменьшится в два раза. Поляри¬
зация света в главных максимумах круговая. Четные максимумы отличаются
ог нечетных направлением вращения вектора Е (по часовой или против часо¬
вой стрелке).
11.47. Расстояния между главными максимумами, гак же как и интен¬
сивность света в нулевом максимуме, уменьшатся в два раза.
11.48. Интенсивность нулевого максимума равна нулю. Расстояния меж¬
ду главными максимумами уменьшатся в два раза.
11.49. sin fi, = ±-~т;
4 а
интенсивность главного максимума 3 = 3qN2iI2( 1 + 8 sin2 а).
11.50! Р ешение. Доменная структура пленки представляет’ собой фа¬
зовую решетку с фазовым сдвигом л в соседних полосках шириной d. Период
равен 2d. Решетку можно представить как сумму двух амплитудных подре¬
шеток периода 2d, сдвинутых относительно друг друга на расстояние d и вно¬
сящих фазовый сдвиг л.
Интенсивность четных максимумов равна пулю. Интенсивность первого
максимума составляет АЗ-
(2 + 32) — (2 —У2) _ П,
г '
11.51. V =
11.52. 3-
11.53. 3=^30-
(2 + 32) + (2 —уТ)
5.Тс
1
0,7.
11.54. 3 = [1 — cos ках(пс — /г0) ], где к=^- — волновое число, ко¬
ордината х отсчитывается от ребра клина.
При установке линзы будут наблюдаться два светлых пятна на расстоя¬
нии L = и(пе — п0)/, где / — фокусное расстояние линзы.
-4о
sin (2Лф/2) I
.4
ГГ со..2 2 «o)f/
2Л
sin (ip/2) I ’
^0
I1 cos х
/{ = 1
где <р = (2л/).)d(ne — п0) ■ Такая система является интерференционно-поля¬
ризационным фильтром Лио.
.. /едт/о Н- ет/ I d + t/q
11.56. п,, = \—: :—, пР = 1/есI —; г. Ось z является оптической
0 I d + d0 е I 1 id0 + tid
осью.
11.57. Линейно поляризованный свет с неизменной амплитудой и фазой,
модулированной по закону *р(1)=20(1), т. е. на выходе волна
Е = Е0 sin [со/1 -)- 20 (/) J.
356

i • со* 2jt . 1 + 2/ ,
11.58. а — -г- Ап -—;—, где т и / — целые числа.
А 2 + 4»!
Р е ш е н и е. Пусть на входе волокна световая волна линейно поляризована
Ех о = cos (о/, Ех 0 = 0.
Будем рассматривать распространение света в системе координат главных
осей (X , Y ).
Если Y — «медленная» ось, то
Ех' = cos со/ cos f)(z), Еу = —cos [си/ — + (z) ] sin fl (z).
Круговая поляризация возникнет если
2л , л
f (z) = — Anz = - + пт
Л /
и 0(z)
az
л л .
- + / где ш И /
4 2
целые числа.
Т огда
2it
Ап
1+2/
2 + 4/л'
11.59. Пластинка должна иметь толщину X для несущей частоты и X/2
2лс ( 1\ 2лс I 1 \ 2лс
для боковых гармоник: And = т
щ
2 I СОд + Q
2 I cog — £2 ’
куда Q =
And'
11.60. d>-
Xz
1 мм, падающий свет должен быть поляризован
АХ(пе — /;0)
под углом 45° к оптической оси пластинки.
11.61. Оптическая ось пластинки должна быть ориентирована под углом
45° к разрешенным направлениям поляроидов. Для одной из линий дублета
натрия пластинка должна быть пластинкой в полволны X/2, а для другой —
в целую длину волны X. Минимальная толщина пластинки dmm = 5,06 мм.
Хп
11.62. т
с(и0 — пе)
3,4- 10"13 с.
11.63. d > —. Поляризации импульсов линейные, ортогональные и па-
1 уТ
раллельные главным направлениям пластинки. Амплитуды — Е0 и — Е0.
11.64. Ди fe = JT = ~~ — добротность того же резонатора без
вещества); Да > 1СР5.
11.65. ср =5° 17'.
11.66. Через призмы проходит необыкновенный луч. Вторая призма про¬
пускает больше света. В обоих случаях угол а должен удовлетворять условию
— < sin а < —, откуда 37°б' < а < 42° 18', 6 = 6° 15'.
пп п.
11.67. Возможны два решения
1) (3
а п л а _. д
Г ^ = TC0S 2; 2)Р:
357

где (i — угол, на который должен быть поверну! николь N3 относительно ни-
коля N{.
11.68! к = 10.
Решение. Условие образования темной полосы минимального поряд¬
ка будет либо d(ne — п0) = тк2 + Х2А, либо d(ne — п0) = тХ,2 + ЗХ2/4, в
зависимости от направления вращения и ориентации николя. Здесь ).2 — на¬
ибольшая длина волны в падающем свете, для которой т есть целое число.
Аналогичное условие для минимальной длины волны ?.[ будет либо
(I(пе — /10) = (т + к) /,| + ?_j/4, либо с1(пе — л0) = {т + к) /ц + 3/. j/4. Исклю¬
чая ш, в обоих случаях получим
</(не-н0)(Х2-Х 1)
к~ л* -10
11.69. d = 0,07 мм.
11.70. А2 = а2[сos2 (а — (3) — sin 2а sin 2(3 sin2 (6/2) ],
А2 = a2 sin2 2а sin2(6/2) (николи скрещены),
А2 — а2[ 1 — sin2 2а sin2 (6/2) ] (николи параллельны).
Здесь 6 — разность фаз между двумя главными компонентами прошедшей
волны, которая вводится пластинкой, а — амплитуда падающей волны.
11.71. т;
х(пе-п0)
X
10 полос.
11.72! 12 полос.
Решение. Разность хода между необыкновенным и обыкновенным лу¬
чами, вносимая кварцевой пластинкой, Д = d(ne — n0). Подставляя сюда
численные значения с/, /ге, /г0, нетрудно убедиться, что эта разность для длин
волн ).D и }.[: практически одинакова. Число длин волн укладывающихся
на инюрвале Д, будет к[ = Д/Ад. Соответственно к2 = А/Хр. Число темных
полос равно к2 — к\ = 12, так как темные полосы получаются в местах спект¬
ра, соответствующих тем длинам волн, для которых состояние поляризации
не изменяется в результате прохождения через кварцевую пластинку, т. е.
для которых разность хода Д составляет целое число длин волн.
11.73. А/ = ~ sin2 2а sin2(6/2) = 0,19е70. где 6 = —^ d(nt — п„) яг - л.
/ А 4
11.74! Решение. Разложим мысленно световую волну на две составляю¬
щие, электрические векторы которых взаимно перпендикулярны и параллель¬
ны главным осям пластинки. При введении пластинки интерференционные
полосы от каждой составляющей сместятся. Если введенная пластинка явля¬
ется пластинкой в полволны, то разность смещений составит половину шири¬
ны. В этом случае при введении пластинки интерференционные полосы про¬
падут. При введении поляроида они появятся вновь. Исключение составляет
случай, когда оси поляроида наклонены под углом 45° к осям пластинки.
В этом случае интерференционные полосы наблюдаться не будут.
11.75! Решение. Поставим на пути света пластинку в четверть волны и
николь. После прохождения пластинки свет становится линейно поляризован¬
ным, причем направление колебания электрического вектора составляет угол
± 45° с осью кристалла. На рис. 460а указано это направление для правополя-
358

ризовашюго и левополяризованного света в случаях, когда пластинка сделана
из положительного одноосного кристалла. Направление это определяется с по¬
мощью анализатора. Рис. 4606 относится к случаю, когда пластинка сделана
из отрицательного кристалла.
11.76? Решс н и с. Поставим на пути света пластинку в четверть волны и
николь. Если при вращении николя и при любом положении пластинки
интенсивность не меняется, — естественный свет, если интенсивность меняет¬
ся и падает до нуля, — поляризованный по кругу свет, если же интенсивность
Ось кристалла
А
Направление
света
У
Ось кристалла
А
Направление
света
X
Правополяризо¬
ванный свет
Левополяризо¬
ванный свет
X
Левополяризо¬
ванный свет
Правополяризо-
’ванный свет
а
б
Рис. 460
меняется, но не падает до нуля, — частично поляризованный по кругу свет.
Вместо пластинки можно применять компенсатор Бабине и установить
его так, чтобы он вносил разность хода в XI А.
11.77? Надо поместить на пути распространения света пластинку в чет¬
верть волны, а за ней николь. Если вращением пластинки вокруг направления
луча можно найти такое положение, при котором свет, прошедший через нее,
можно погасить последующим вращением николя, то падающий свет был эл¬
липтически поляризован. Если это сделать не удается, то мы имеем дело либо
со смесью естественного света с линейно поляризованным, либо со смесью ес¬
тественного света с эллиптически поляризованным. Для того чтобы отличить
друг от друга эти два последних случая, па пути света ставят сначала только
один николь и устанавливают его на минимум интенсивности проходящего
света. Затем перед николем помещают пластинку в четверть волны. Вращени¬
ем пластинки и николя снова добиваются минимума интенсивности. Если
этот минимум интенсивности получается при прежнем положении николя
(или при повороте его на 180°), то мы имеем смесь естественного света с ли¬
нейно поляризованным. Если же для получения минимума требуется повер¬
нуть николь на некоторый угол, —- то смесь естественного света с эллиптиче¬
ски поляризованным.
Вместо пластинки четверть волны можно применять компепсагор Бабине.
Не обязательно устанавливать компенсатор так, чтобы он вносил разность
хода точно в л/4, а лишь приближенно. Большой точности в такой установке
не требуется.
11.78. 1) Николи скрещены и пластинки параллельны: разность хода
Д = d[ЛИ] + Й2^п2 ~ ЗХц где Xi яс 6000 А. Поле зрения окрашено в красный
цвет (3-го порядка).
359

2) Николи параллельны, а пластинки скрещены: разность хода
Д = d\Д/f] — d2A»2 * Хд 5000 А. Поле зрения окрашено в зеленый цвет
(первого порядка).
11.79. Д/г ^ ^~2сГ^~ * ^Г'РУбая оценка).
Точнее при Д/г = ———-ягОЛ-Ю-5 интенсивность необыкновенной
r 4лх/
волны, прошедшей через резонатор, уменьшается вдвое, т. е. ).е сдвинута отно¬
сительно ).0 на полуширину резонансной кривой (на уровне 1/2).
11.80. Обыкновенная волна не проходит через резонатор. Для необыкно¬
венной волны выполнено условие резонанса (на толщине 2d умещается
//г 1 = 2589 длин волн).
сТпрош 2^ 3паД ~2
11.81? Решение. 1) Если свет поляризован по кругу, то слагающие ко¬
лебания по координатным осям могут быть представлены в виде
л = a cos со), у = a sin о>/.
После прохождения через кристаллическую пластинку, сообщающую не¬
которую разность хода, уравнения колебаний могут быть написаны так:
х = a cos си/, у = a sin (со/ + б).
При угле а между главной плоскостью анализатора и одним из главных
направлений пластинки результирующее колебание при выходе из анализа¬
тора будет
и cos a cos о it -f- a sin а sin (о.>! + 6) =
= a (cos а + sin а sin б) cos а>/ + a sin а cos 6sin со/;
отсюда получаем для интенсивности
3 = а2\ (cos a-fsinasin6)2-(- (sin a cos 6)2] = а2( 1 + sin 2a sin 6).
2) При постоянном значении б интенсивность достигает максимума или
минимума, когда cos 2a = 0, т. е. при a = Если sin 6 > 0, то первому
значению соответствует максимум, а второму — минимум; при sin б < 0 —
наоборот.
11.82.? Р ешение. Согласно предыдущей задаче интенсивность света,
прошедшего через анализатор,
3 = а2{ 1 + sin 2а sin 6).
При постоянном угле и интенсивность будет минимальной, когда
sin б = — 1, т. е. при б = Зл/2, 7л/2, ...,
максимальной, когда
sin б = 1, т. е. при б = л/2, 5л/2, 9л/2,
если sin 2а > 0.
Если же sin 2а < 0, то в первом случае будет минимум, а во втором —
максимум интенсивности. Следовательно, в поле зрения будут видны череду¬
ющиеся светлые и темные полосы. При вращении клина будет меняться угол
360

а и, следовательно, в каждой точке клина будет изменяться интенсивность.
При углах а = 90, 180 и 270° весь клин будет освещен равномерно, а при
углах и = 45, 135, 225, 315° будет наблюдаться наиболее резкая разница в
интенсивности темных и светлых полос, причем при переходе через углы
а = 90, 180, 270° темные полосы будут переходить в светлые, а светлые — в
темные.
11.83. Падающую волну можно представить как сумму двух линейно по¬
ляризованных компонент одинаковой амплитуды. Компонента, поляризован¬
ная в плоскости падения, отражается от 1-й решетки; компонента, поляризо¬
ванная перпендикулярно плоскости падения, отражается от 2-й решетки.
Фазовый сдвиг между ними после отражения
л 2л ^, л
Аф = -т- 21 sin а = —.
A Z
Таким образом, отраженная волна будет поляризована по кругу
11.84. М = ^ = 3-1(ГшН-м; F = — S = 3-10“7H
2 лс ’ с
11.85. Отраженный свет поляризован линейно. Угол вектора Е с плоско¬
стью падения 0 = arctg 1,73 = 30°. Поляризация будет линейной всякий раз,
когда оси эллипса совпадают с направлениями проволок. При других углах
отражения — эллиптически поляризованный свет.
11.86.
в — 3 ,
11.87. Е„
1
уГШГ
8лdp . . . 4лдяглор з
—^ (п± ~ "II) Sln ^—L = —3-10 А
2,88 ед СГСЭ 900 В/с.м.
11.88. S
iEl( 1 — р) = 1015 эрг/(смг-с) = 10й Bt/(cmz),
2 _
где I
4л
/и л — 2tf/iQ
2 dn2
11.89. F = R =
10' ед СГСЭ.
crl
3 м.
16л/12о7оС
11.90. Фокусировка пучка возможна, если плотность потока энергии
S > Ег, = — А [эрг/(см2- с) ]. N = yj—у, ~ 0,4 • 1015 эрг/с = 0,4 ■ 108 Вт
4л и 4л 8n2d ' 64n2d
11.91. F = ■
л
ro
2 U
dn
~dt
= —25 см.

ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица 1. Перевод выражений и формул из гауссовой системы в систему
СИ и обратно
Величина
Гауссовая
система
Система СИ
Скорость света
Напряженность электрического
ноля, потенциал
Электрическая индукция (смещение)
Заряд, плотность заряда, ток, плотность
тока, вектор поляризации
Магнитная индукция, магнитный поток
Напряженность магнитного поля
Магнитный момент, намагниченность
Электрическая проницаемость, магнит¬
ная проницаемость (относительные)
Электрическая поляризуемость,
магнитная восприимчивость
Удельная электрическая проводимость
Сопротивление
Емкость
Индуктивность
с
Е, ф
D
ч. Р, 3, Р
В, Ф
н
»!, I
с, р
а, у
VeoHo
\/4лг0 (Е, ф)
D
/4лсг
(<?, р- 3, /, Р)
(в’ф)
■ Но
\/4лр0 Н
Ш
с, р
J_
4л
X
4лео
4л£о-^
С
4ле0
Но
и, у.)
Значения е0 л 8,854-10 12Ф/м; 4тге0 = 1,11-10 10 Ф/м; —-— = 9-109м/Ф;
и -и 4ле0
£0p0 = -i-; р0 = 4л- 10-7 Яь 1,2566- 10~6 Г/м ; ^-=10_7Г/м.
362

Т а б л и ц а II. Перевод числовых значений физических величин
Наименование
Обозначение
СИ
Гауссова
система
Длина
1
метр (м)
102 см
Масса
т
килограмм (кг)
103 г
Время
t
секунда (с)
1 С
Сила
F
ньютон (Н)
105 дин
Работа, энергия
Л (§, W
джоуль (Дж)
107 эрг
Мощность
N
ватт (Вт)
107 эрг/с
Давление
Р
паскаль (Па)
10 дин/см2
Сила электрического тока
3
ампер (А)
3-109
Электрический заряд
<?
кулон (Кл)
3- 10ч
Электрический потенциал
ф
вольт (В)
1
О
- [т
Напряженность
электрического поля
Е
(В/м)
i.,0-4
Вектор поляризации
Р
(Кл/м2)
з-ю5
Электрическая индукция
(электрическое смещение)
D
(Кл/м2)
12л-105
Элек трическая емкость
С
фарад (Ф)
9- 10й см
Электрическое сопротивление
R
ом(Ом)
10-11 с/см
Удельное электрическое
сопротивление
Р
(Ом-м)
Ю“9с
Электрическая проводимость
Л = 1 /R
сименс(См)
9- 10й см/с
Удельная электрическая
проводимость (удельная
электропроводность)
X
(См/м)
9-109с“‘
Магнитный поток
Ф
вебер (Вб)
108 Мкс
(максвелл)
Мкс = Гс-см2
Магнитная индукция
В
тесла (Т)
104 Гс
Напряженность
магнитного поля
н
(А/м)
4л- Ю"3 Э
(эрстед)
Намагниченность
I
(А/м)
Л--104 Гс
4л
(гаусс)
Индуктивность
L
генри (Г)
Ю9 см
363

Наименование
Обозначение
СИ
Гауссова
система
Сила света
/
кандела (кд)
Световой поток
С!
■5S
11
люмен (лм)
1 лм соответствует мощности
(/. яг 5550А) 0,0016 Вт (меха¬
нический эквивалент света)
Освещенность
„ а ф
Е = а
люкс (лк)
Яркость протяженного источ¬
ника (в направлении угла 0)
во =
_ d Ф
d Q dS cos 6
кд/м2
стильб (сб)
= 1 кд/см2
При м счаи ие. Множители 3 (кроме входящих в показатели степени) при точ¬
ных расчетах следует заменить на 2,99792458 в соответствии с точным значе¬
нием скорости света. Например, в строке «электрическая индукция» вместо
12л • 105 при точных расчетах следует брать 2,99792458 -4л-105. В тех случаях,
когда для гауссовых единиц существует общепринятое наименование, оно при¬
ведено в таблице. В остальных случаях приведено только число таких единиц.
Для перевода формулы электродинамики из гауссовой системы в систему
СИ следует все величины в этой формуле умножить на коэффициент, приве¬
денный в последнем столбце таблицы 1. Все чисто механические величины
при этом не преобразуются (коэффициенты равны единице). Исключение со¬
ставляет скорость света в вакууме с, которая заменяется на 1/VeoM-o .
Пример 1. В гауссовой системе индукция магнитного поля В бесконеч¬
ного прямого провода в вакууме определяется формулой
с г
Для перевода в систему СИ умножим, согласно таблице, В на л/4л(л.0, ток 3 —
на 1/л/4лс,0, с заменяем на 1 /V£qHo > >' оставляем без изменения. Получаем
у/4щх0Н =
23
V4neo
^£оИо
или после сокращения
В =
3
2лт'
Для выполнения обратного преобразования из системы СИ в гауссову надо
пользоваться обратными значениями «коэффициентов перехода».
П р и м е р 2. В СИ
В = ц0(Н + П-
Умножая на соответствующие коэффициенты, получим
~в-»'4лкн + ^1
После сокращения получаем формулу гауссовой системы
В = Н + 4л/.
364

Табл и ца III. Фундаментальные физические константы
Скорость света в вакууме
с = 2,998- Ю10 см/с = 2,998-108 м/с
Постоянная Планка
h = 1,05- КГ27 эрг-с = 1,05- ПГ34 Дж-с = 6,58- КГ22 МэВ-с
h = 2лк * 6,626-10~27 эрг-с
Постоянная Больцмана
к = 1,380- КГ16 эрг/К = 1,380-10~23 Дж/К = 8,62- 10~п МэВ/К
Универсальная газовая постоянная
R яг 8,314 ■ 107 эрг/(К • моль) = 8,314 Дж/(К ■ моль)
Число Авогадро
Аа = 6,022■ 1023 моль~'
Элементарный заряд
е = 4,80- Ю-10 сд. СГСЭ= 1,60-10_19Кл
Масса электрона, энергия покоя электрона
те = 9,11 • 10-28 г; тсс2 = 0,511 МэВ
Масса протона, энергия покоя протона
тръ 1,67 3-10 -24 г; »1рс2 яг 938,3 МэВ
Масса нейтрона, энергия покоя нейтрона
т„ яг 1,675 ■ 10-24 г; ш„с2 % 939,6 МэВ
Энергия, соответствующая 1 а. е. м.
(1 а. е. м.)с2 яг 931,5 МэВ
Температура, соответствующая энергии 1эВ
ГэВ = 11606 К
Гравитационпая постоянная
7 яг 6,67 ■ 10-8 дин ■ см2/г2 = 6,67 ■ 10~и Нм2/кг2
Удельный заряд электрона
—- яг -5,273-1017 ед. СГСЭ » — 1,759-1011 Кл/кг
тс
Удельный заряд протона
— л 2,872-1014 ед. СГСЭ = 0,958-10s Кл/кг
тр
36 5

Та б л и ц а IV. Некоторые внесистемные единицы
1 кал = 4,1868 Дж = 4,1868-107 эрг (1 Дж = 0,2388 кал)
1 А = 10-8 см = Ю~10 м = 0,1 нм = 10~4 мкм
1 св. год = 9,5-1017 см
1 год = 3,16-107 с
1 дптр = 1 м-1
1 аге.-м. = 1,66054-10-24 г= 1,66054-10-27 кг
1 эВ= 1,6-10-12 эрг = 1,6-10~19 Дж
1 мм рт. ст. = 133,3 Па = 1333 дин/см2

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стр. 364. Пример 1 читать в следующей редакции:
Пример 1. В гауссовой системе напряженность магнитного поля Н бесконеч¬
ного прямого провода в вакууме определяется формулой
Н —
СГ
Для перевода в систему СИ умножим, согласно таблице, Н на V4n:po, ток 3 — на
1/V4зсео, с заменяем на 1/Veopo, г оставляем без изменения. Получаем
или после сокращения
2 лг
Для выполнения обратного преобразования из системы СИ в гауссову надо
пользоваться обратными значениями «коэффициентов перехода».