А.Ф. Леонтьев
Целые функции
Ряды экспонент
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов математических
и физических специальностей вузов
МОСКВА *НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
198»

22.161.5
Л 47
УДК 517.5
Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент.— М.: На-
Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983.—
176 с.
Пособие представляет собой обработку лекций, которые автор
в течете ряда лет тигал по спецкурсам «Целые функции» и «Ря-
«Ряды экспонент» в Башкирском университете. В главе «Целые функ-
функции» излагаются классические результаты, относящиеся к целым
функциям конечного порядка, в частности, к целым функциям
экспоненциального типа. D главе «Ряды экспонент» значительное
место отведено последовательностям полиномов из экспонент, свя-
связи их с вопросами интерполяции, решению уравнений свертки, вы-
выяснению структуры подпространств, ипвариантпых относительно
дифференцирования, разложению аналитических фупкций в вы-
выпуклых областях в ряды экспонент.
©Издательство «Наука»
„„„ 7„ач Главная редакция
Л .„ „ 00— 'о-ОО физико-математической
Uod (IW)-od литературы, 1983

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . 6
Г Л А В А I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 7
§ 1. Порядок и тип целой функции ....... 7
1. Теорема Лиувилля G). 2. Порядок целой функции (8).
3. Тип целой функции (8). 4. Примеры (9). 5. Связь между
ростом функции и скоростью убывания коэффициентов A0).
6. Вычисление порядка и типа через коэффициенты A2). 7. По-
Порядок и тип производной A5).
§ 2. Нули целой функции ионечного порядка ... . 18
1. Теорема о нулях аналитической функции в круге A6).
2. Покаватель сходимости последовательности нулей A6).
3. Теоремы единственности A8).
§ 3. Разложение целой функции в бесконечное произведе-
произведение 19
1. Бесконечные произведения A9). 2. Функциональные бес-
бесконечные произведения B1). 3. Построение целой функции
с заданными нулями B4). 4. Разложение целой функции ко-
конечного порядка в бесконечное произведение B7). 5. Порядок
канонического произведения B7). 6. Оценка канонического
произведения снизу B8). 7. Оценка коэффициентов отепенно-
го ряда через реальную часть суммы ряде B9). 8. Основ-
Основная теорема о разложении целой функции конечного поряд-
порядка в бесконечное произведение C1). 9. Оценка целой функ-
функции конечного порядка снизу и ее применение C2). 10. А-
точки целой функции конечного порядка C3). 11. Условия
минимальности, нормальности и максимальности типа C5).
§ 4. Оценка снизу целой функции конечного типа ... 35
1. Оценка снизу функции, не обращающейся в нуль C3).
2. Оценка сииву полинома C7). 3. Оценка снизу произволь-
произвольной аналитической функции C9). 4. Оценка на окружностях
сниву целой функции конечного типа D0), 5. Оценка частно-
частного целых функций конечного типе D0).
§ 5. Целые функции экспоненциального типа .... 42
1. выпуклые множества. Опорная функция D3). 2. Сопря-
Сопряженная диаграмма. Интегральное представление целой функ-
функции D5). 3. Интеграл Лапласа D6). 4. Интегральное пред-

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
ставление ассоциированной функции D8). 5. Оценка сверху
и снизу |sin z| E1). 6. Оценка квазиполинома E2). 7. Оцен-
Оценка специального произведения E7). 8. Индикатриса роста
производных F0). 9. Понятие об операционном исчислении
F1). 10. Ряд Ньютона с целыми узлами F3).
§ 0. Понятие о функциях уточненного порядка и функциях
вполне регулярного роста 65
1. Функции уточненного порядка F5). 2. Функции вполне
регулярного роста (G6). 3. Правильно распределенные множе-
множества. Я-мнон.-ества. F7). 4. Примеры функций вполне регу-
регулярного роста F9). 5. Оценка производной функции в ее ну-
нулях G0). 6. Существование функции с заданным ростом G1).
§ 7. Применение целых функций к вопросам полноты . . 72
1. Критерий неполноты G2). 2. Критерий полноты G7). 3.
О полноте системы I/ ^2М G8). 4. О полноте системы
(Lh 1
х ] на отрезке G9).
Г Л А В А II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ 81
§ 1. Ряды с вещественными показателями 81
1. Преобразование Абеля (81). 2. Аналог леммы Абеля (81).
3. Асимптотика суммы ряда. Единственность разложения
(82). 4. Абсциссы простой, абсолютной и равномерной схо-
сходимости ряда Дирихле (83). 5. Выражения коэффициентов че-
через сумму ряда (86). 6. Д-порядок и Н-тип целой функции
(87).
§ 2. Ряды с комплексными показателями 91
1. Множество точек абсолютной сходимости (91). 2. Множество
точек простой сходимости ряда (93). 3. Пример ряда, сумма
которого равна нулю, а коэффициенты не равны нулю (94).
4. Биортогональная система функций (97), 5. Оценка функ-
функций иа биортогональной системы (99). 6. Биортогональная
система в классическом случае A02). 7. Формулы для коэф-
коэффициентов ряда A03), 8. Уточнение формулы для коэффици-
коэффициентов A04).
§ 3. Область регулярности суммы ряда Ш
1. Случай, когда показатели имеют нулевую плотность A06).
2. Случай, когда показатели положительны и имеют плот-
плотность A09). 3. Специальная функция A12). 4. Оценка по-
полинома иа экспонент в полуплоскости A15).
§ 4. Применения к вопросам полноты 11
1. Полнота системы степеней в угле A17). 2. Полпота си-
системы степеней в области, содержащей начало координат
A19). 3. Полнота системы экспонент в криволинейной поло-
полосе A21).
§ 5. Последовательности полиномов из экспонент ... 12
1. Интерполирующая функция A23). 2. Оценка полинома из
экспонент в угле A25). 3. Сходимость последовательности

ОГЛАВЛЕНИЕ В
полиномов из экспонент в полосе A28). 4. Применение к ин-
териолпции A31).
§ 6. Уравнение свертки 134
1. Биортогональная система в случае кратных корней A36).
2. Интерполирующая функция A38). 3. Оценка функции
ФB, X, Г) A43). 4. Решение уравнения свертки A44). 5. Ре-
Решение системы двух уравнений свертки A48).
§ 7. Подпространства, инвариантные относительно дифферен-
дифференцирования 150
1. Структура инвариантного подпространства A51). 2. След-
Следствия A52). 3. Связь с системой двух уравнений свертки
A52).
§ 8. Представление рядами экспонент 1j3
1. Условия сходимости ряда A54). 2. Условия сходимости
ряда к своей функции A58). 3. Осуществление условий раз-
разложения A60). 4. Равложение функций, непрерывных в зам-
замкнутой области A80). 5. Разложение функций, аналитиче-
аналитических в открытой области A82).
§ 9. Представление целых функций рядами экспонент , 163
1. Конструкция ряда A64). 2. Условие сходимости ряда A67).
3. Формула для разности между функцией и частной суммой
ряда A68). 4. Условие сходимости ряда к своей функции A70).
Литература 173.,
Предметный указатель 174

ПРЕДИСЛОВИЕ
Автор в течение ряда лет читал в Башкирском уни
верситете семестровый спецкурс «Целые функции», а по
еле него — семестровый спецкурс «Ряды экспонент».
По целым функциям имеется обширный материал
в семестровом спецкурсе удается изложить лишь его не
большую часть. Выбор материала по целым функция;
был обусловлен в основном потребностями второго и
укааанных спецкурсов. Так показателями рядов экспс
нент, в которые разлагаются в выпуклых областях анг
литические функции, являются нули функций экспоне1
"циального типа и вполне регулярного роста. Поэтом
пришлось дать понятие функций вполне регулярного р<
ста и в качестве примера подробно рассмотреть кваз!
полином.
Глава «Ряды экспонент» целиком основана на перве
главе «Целые функции», и в этом смысле ее можно ра
сматривать как главу о применении целых функци
Вместе с тем она представляет собой самостоятельнь
интерес. Отраженные в пей вопросы тесно связаны ме^
ду собой по методам исследования. Здесь наряду с р.
дами экспонент естественно изучаются подпоследов
тельности частных сумм рядов экспонент. С помощью т
ких подпоследовательностей решаются уравнения свер
ки в комплексных областях, выясняется структура по
пространств аналитических функций, инвариантных о
носительно дифференцирования, решается интерполяц
онная задача о существовании целой функции экспоне
циального типа, которая в данных узлах принимает а
данные значения, и т. д.
При чтении те или иные вопросы (не нарушая цел
ности изложения) можно опустить.
1982 А. Ф. Леонть

ГЛАВА I
ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
§ 1. Порядок и тип целой функции
1. Теорема Лиувилля. Рассмотрим ряд
/(z) = iuz\
радиус R сходимости ряда определяется формулой
Радиус сходимости равен расстоянию от начала коорди-
координат до ближайшей к началу координат особой точки /(z).
Функция /(z) по определению целая, если она регу-
регулярна во всей конечной плоскости, для нее R = °° и,
следовательно,
^
Нт у | ак \ ~ 0.
Положим М (г) = max | / (z) |. Известно, что
Предположим, что для целой функции /(z) выполня-
выполняется условие
М{г)<Аг\ г>г„. A.2)
Имеем \ak\ < Ar4**, r>ra. Отсюда, устремив г в °°, при
к > q пвлучим ah = 0. Следовательно,
/ (z) = S ah*.
h<q
Итак, если выполняется условие A.2), то /(z)—много-
/(z)—многочлен (при q = 0 имеем f(z) ** а0). В этом и состоит тео-
теорема Лиувилля.

8 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
Из теоремы Диувилля следует, что если целая функ
цня /Ы—не многочлен, то М(г) растет при г -*- <» бы
стрее любой степени г.
2. Порядок целой функции. Говорят, что целая функ
ция /(z) — целая функция конечного порядка, если су
ществует такое (х > 0, что для г > R
М(г) < ехр (»•"), r>R. A.3
Нижняя грань р множества чисел ц, удовлетворяющи:
условию A.3), называется порядком функции /(z).
Имеем
г>П(г), |
M(r)>exp(rP-«), г = гл|о|
где е > 0 — любое. Отсюда
In In М (г)
пУ-<
. In In М (
Р-е<—птТ
Следовательно,
In In
Если неравенство A.3) не удовлетворяется ни пр
каком конечном |х, то говорят, что ./(z) имеет бесконет
ный порядок (р = °о).
Заметим, что из неравенств A.4) вытекают следуй
щие неравенства:
где {zh} —некоторая последовательность точек, \zk\ 1 ¦
(она зависит от j(z) и е), а е > 0 — любое.
3. Тип целоЁ функции. Пусть /(z) имеет порядок
О < р < оо. Говорят, что /(г) имеет конечный тип пр
порядке р, если существует а > 0 такое, что
М(г)< ехр (ar*), r>R. A.I
Нижняя грань о множества таких чисел а называет*
типом функции f{z).

§ 1. ПОРЯДОК И ТИП ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ
Имеем
М(г)<вхр[(ог + е)/*], г>Л(е),
Л/(г)>ехр[(о
+ е)/*], г>Л(е), 1
-е)гР], г = rA f oo, j
где {гк) — некоторая последонателыюсть положительных
чисел (она зависит от /(г) и е), е> 0—любое. Отсюда
_ к
Значит,
Г->оо Гм
Если неравенство A.6) не выполняется ни при каком
конечном о, то говорят, что /Ы имеет бесконечный тип
(о = оо) при порядке р.
Говорят, что целая функция /Ы порядка, р @ < р <
< оо) имеет минимальный, нормальный, максимальный
тип, если соответственно а = 0, 0 < а < °°, а = °°.
Из неравенств A.7) при о < оо вытекают неравенства
для некоторой последовательности точек {zh}, \zk\ t °°,
l/(zk)| >exp[(a-e)|zjp], k>\.
Здесь е > 0 — любое.
4. Примеры. 1. Возьмем функцию
/ (г) = sin z == e'Z ~ e~U
2i
Имеем | sin г | ^ ^ = е'г|- Оценку снизу проведем на
луче arg г = —л/2, так что z = —ir, r > 0. Получаем
| sin z | '= еТ ~ ?~Г = gr i ~^'ЗГ > 4" gr > eA"e)rt г>го-
Значит, у функции sin z порядок р = 1, тип 0 = 1.
2. Рассмотрим следующий пример:
(р — целое число > 1, а0Ф0), Покажем, что в этом при-
примере р — р, о = \ао\.

\0 ГЛ. Т. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
Имеем |/(г)| = ехр Ше/Чг)]. В силу оценки
<rP(|flo|-r-e),
получаем
¦|/(г)| <ехр[(|ао| + е)Н, г>Же). A.9)
Теперь нам надо получить оценку снизу. Пусть
arg «о = а. Получим оценку снизу на луче arg z = —а/р.
На этом луче
Re Р (г) - | ай \ Гр + Re (a^-i + ... + ор) > .
и, значит,
1/(г)| >exp[(laol -e)rp], arg 2 = -а/р, г>/?,(е).
Из последнего неравенства и неравенства A.9) вытека-
вытекает, что р = р, а = |в„1;
3. Функция /(z) = ecos г имеет порядок р = °°, ибо, на-
например, на мнимой оси
4. Пусть Р(г) — многочлен. Очевидны утверждения:
1) если /Ы — целая функция порядка р, 0 < р ^ <»,
то и функция P(z)f(z) имеет порядок р,
2) если /(г) — целая функция порядка р, 0 < р < «>,
и типа а, 0 ^ о ^ оо, то и функция P{z)j(z) имеет тип о
при порядке р.
5. Связь между ростом функции и скоростью убыва-
убывания коэффициентов.
Л е м м а 1.1. Пусть
М(г) < ехр (ат*), г>га.

i 1. ПОРЯДОК И ТИП ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ
Тогда
о- A.10)
Доказательство. Имеем
, , ^ М (г) ear|i
|anK—и <~^~ =*ИГ)- r>ro- A-11)
Найдем минимум правой части \J)(r). Он будет в точке,
где г|з'(г) = 0. Но
In ф (г) =- аг» - n In r, А^- =
и ф'(г) = 0 в точке г = гэ= (-^- j . При и > и0 это г, > г0.
Положив в A.11) г=га, получим
"Ц I
откуда и вытекает сразу искомая оценка.
Лемма 1.2. Пусть выполнено условие A.10). Тогда
М (г) < exp [(a + е) г"]", г > г0 (е) \/г > 0.
Доказательство. Из A.10) следует: >/оп|-*-0
при п -*¦ °°. Поэтому ряд A.1) сходится во всей плоско-
плоскости и его сумма /(z) — целая функция.
В силу A.10),
п>п0.
Пусть N — N{r) — наименьшее целое, удовлетворяющее
условию
Найдем сразу оценку для N(r). Решая неравенство, по-
получаем
N > a\i.eBr)li.
Значит,
ацеBг)" < Жг) < <щеBгГ + 1. A.12)
При r>ri это N{r) > «о. Поэтому \ап\гц < 1/2", г>гЛ,
n>N(r), и
I г" Г ^ 1

12 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
Пусть т(г) — наибольший из членов |до|, \а,\г, ...
..., \ап\гн, ..., так называемый максимальный член ряда
(|ап|г"->-0 при п ->- оо) поэтому максимальный член
есть). Имеем
М(г)< 2 |я»|'1П= 2 I an | г» + S |flrt|r»<
»=о )i=o n=iv
<iV(r),n(r) + l, r>rx. A.13)
Пусть m(r) = lajr' при некотором s. Ясно, что s -* °°
при /• ->- с». Пусть s > п0 при г > г2. Тогда при г > г2
< .и,м, Ф(,)
При t -*¦ оо функция ф(<) -> 0. На левом конце
Найдем точки, где cp'(t) =0. Имеем
In (p(t) = t In [(ацеI lV]
I
ф
откуда получаем, что q/U) = O d точке t = la = ацг*. Вы-
Вычисляем: <pU3) = e"'M'. Это значение при больших г боль-
больше значения (pit) на концах. Поэтому шах ср (I) = cp (i3)
и m (r) < ear|i, r > г3. Отсюда, согласно оценкам A.12) о
A.13), получаем
М(г) < [(ац«)Bг)" + 1]е"д + 1 < exp [(a + с)/*],
г> го(е),
где е > 0 — любое.
6. Вычисление порядка и типа через коэффициенты.
Теорема 1.1. Порядок р функции A.1) подсчиты-
вается по формуле
т-— п In п .. . ,.
p-lLm-GF=T (U4)
?с./«. функция A.1) имеет порядок р, 0 < р < «>, то ее

§ 1. ПОРЯДОК И ТИП ЦЕЛОЙ ФУНКЦИЯ 13
тип а под считывает с я по формуле
p= limu1/fV|a«|. A.15)
Доказательство. Пусть /(z) имеет порядок
p < °°. Тогда
M(r)<exp(rp+e), r>ro(e)
и по лемме 1.1
\l/(P+e)
Отсюда
In
In
и
1
an
1
an
), п>п0.
n In n ^ 1 / j_ \ --^
i City С -— i 1П (p ~\~ GJ б, П ^> fin.)
1 с \^ i 1
p + e In и J p + 2e'
n In n
Следовательно,
г:— и In re
lim -,—т~г,—
ln|l/a
Левую часть в последнем неравенстве обозначим q.
Убедимся, что р «S q. Имеем
п In п
откуда
УМ<(ШIМ+е\ п>пй. .
В силу леммы 1.2 [у, = g + e, a = e (g + е))
М (г) < eie+fl^ г > Гош
Но ц = q + е, причем е > 0 — любое. Значит, р ^ q.
В итоге р = q. Мы пока предположили, что р < °°.
Пусть теперь р = <». Утверждаем,, что в этом случае и
5 = 00, так что опять р = д. Действительно, если бы бы-
было q < °°, то в силу установленного неравенства р Щ q

14 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
получили бы р < °°, что невозможно. Формула A.14)
установлена, таким образом, в общем случае.
Установим формулу A.15). Пусть /Ы имеет порядок
р, 0 < р < °° и тин а < °°. Тогда
M(r)<exp[(a + e)rp], r>r0 \/г> О
и по лемме 1.1
v'l ап | < ((а -f е) р<?//гI/р, п > п0.
Отсюда
Левую часть в последнем соотношении обозначим т.
Покажем, что т 3= (аерI/р. Имеем
откуда
i i ^ т-1е /'"C'V ц
а, в силу леммы 1.2,
М{г) <ехр [(я + е)гр], г > г0.
Значит, о «S тг7ре, т>(оерI/". Поэтому т = (аерI/р. Это
соотношение верно и при а = °° (в случае т < °° мы име-
имели бы по доказанному о < °°). Все доказано.
На основании формулы A.14) убедимся, что каково
бы ни было р, О =S р < «jj имеется целая функция /Ы,
у которой порядок равен этому р. Такой функцией бу-
будет функция A.1) с
ап— A/л)";р, н^1, в случае 0 < р < оо1
в„ = A/п)пг", п>1,е„>0,в„-*0
при п—*¦ оо в случае р = О,
а„ = (l/«)™/l/lnn, п ^2, в случае р = оо.
В последнем случае надо еще убедиться, что ряд A.1)
сходится всюду. Имеем
На основании формулы A.15) убедимся, что каковы
бы ни были р, 0 < р < оо, и о, 0 =5 о ^ °°, имеется функ-

i 1. ПОРЯДОК И ТИП ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 15
ция /(z), у которой порядок равен этому р и тип равен
этому о. Такой функцией будет функция A.1) с
ап = (oep/n)n/P, n^s 1, в случае 0 <о < оол
/ 1 \п/р
ап = I 1д I , п ^ 2, в случае о = О,
/ 1П П \П1Р ^ 1
ап = I—— I ^ п ^ 1, в случае о = °°.
Во втором и третьем случаях по формуле A.14) прове-
проверяем, что порядок равен р.
Замечание. Формулы A.14) и A.15) показывают,
что порядок и тип функции целиком определяются мо-
модулями коэффициентов ряда A.1).
7. Порядок в твп производной.
Теорема 1.2. У функции /(z) u ее производной
/'(z) порядки и типы одинаковы.
Доказательство. У функций /'(z) и z/'(z) по-
порядки и типы равны. Поэтому достаточно доказать, что
у функций /(z) и zf (z) порядки и типы равны.
Пусть /(z), определяемая формулой A.1), имеет по-
порядок р. Имеем
оо
2/' (z) = 2 Ьпгп, hn = пап.
П=1
По формуле A.14) порядок этой функции равен
т-.— п In п тт— In п rr— In п
hm . ,. ,L . =« hm—_ = lira — — =
n-оо
r-.— In n r.— In n
lim — ^^^ — = lim —- • = p.
l^| l^ n^« In 1r\ l/en |
Пусть теперь f{z) имеет порядок р и тип а. По дока-
доказанному порядок функции z/Чг) равен р. Ее тип ot вы-
вычислим по формуле A.15):
(aiep)I/p - Tim nl/p V\K\ = lim и1/р V^WA =
n— г-.— l/on/"l i / \i'o
¦ у n = limn у \ an\ — (стер) .
Отсюда at = о. Теорема полностью доказана.

16 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
§ 2. Нули целой функции конечного порядка
1. Теорема о нулях аналитической функции в круге.
Теорема 2.1. Пусть F(z) регулярна в замкнутом
круге \z\ <: В и имеет (по меньшей мере) п нулей аи ...
..., а„ в открытом круге |z| <R. Тогда, если F@) =#=(),
Доказательство. Положим
Функция <p(z) регулярна в замкнутом круге Ы «Si?. На
границе -|z] = R
\W(z)\~l, W(z)= R?~?
(Wiz) отображает конформно круг \z\ <R на круг
\W\ < 1). Поэтому
Отсюда по принципу максимума модуля аналитической
функции получаем |ф@)| ^ М(Л). На основании этого
откуда и получаем искомый результат:
Д" Л/(Д)
Замечание. У F(z) нули могут быть и кратными.
Например, если at — нуль кратности два, то «i = аг.
2. Показатель сходимости последовательности нулей.
Пусть %и Xt, ..., %п, • ¦ ¦— последовательность комплекс-
комплексных чисел, причем \Кп\ t °°, Л± =й= 0. Допустим, что име-
имеется конечное а > 0 такое, что
V^00- B-2)
Нижняя грань т множества чисел а, удовлетворяющих
условию B.2), называется показателем сходимости по-

* 2. НУЛИ ЦГЛОЙ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА П
следовательности {Хп). Если т конечно, то при любом
е>0
п=1 I кп
оо
| А I
Если не существует а, при котором выполнялось бы
условие B.2), то полагают т = °°.
Пусть /(z) — целая функция конечного порядка р и
Xt, Х2, ..., Хп, ¦ ¦.— ее нули, отличные от начала коорди-
координат. Поскольку у нулей целой функции единственной
предельной точкой является точка г = °°, то можно счи-
считать, что \Хп\ t °°. Условимся также считать, что каж-
каждый нуль выписывается столько раз в последовательно-
последовательности {XJ, какова его кратность.
Теорема 2.2. Пусть f iz) — целая . функция конеч-
конечного порядка и у нее имеется бесконечно много нулей
Xlt Хг, ..., Хп, ..., IA.J t °°, Х,?=0. Тогда показатель т
последовательности {Хп) меньше или равен р.
Доказательство. Можно считать, что /@) Ф О
(в противном случае мы поделили бы /Ы на подходя-
подходящую степень г п получили бы функцию порядка р, ко-
которая не равна пулю в начале координат н для которой
А.|, Х2, ...— нули). Положим г„=|А.„1, В. = 2г„. В круге
Ы^Д у функции /(г) имеется п нулей Л,, Х2, ..., Х„,
(могут быть и другие нули). По теореме 2.1
п>п0,
откуда при больших п
и, значит, 2^ рТзё*^ °°- Здесь е > 0 — любое. Поэтому
т ^ р.
Теорема 2.3. Пусть /(z) — целая функция поряд-
порядка р, 0 < р < оо, и конечного типа а и у нее имеется
бесконечно много нулей Х„ Х2, ...Д( "^ 0. Тогда
B.3)

18 гл. i. целые функции конечного порядка
Доказательство. Опять считаем /@) Ф 0. Поло-
Положим rn—\K\, R = arn, а>1. В круге Ы < Я у /(г)
имеются нули %h кг, ..., К (могут быть и другие). По
теореме 2.1
< <
^ IV--4 ^ 1/@)
Отсюда и In а < (а + е) оЛ-g, -^ < (а + е) j^ и
т^ п ^ ар
„^ос if, ^ In а
Положив здесь а = е1/р, получим нужный результат.
Замечание. Из B.3) следует, что показатель схо-
сходимости последовательности {Кп} меньше или равен р, но
обратное не справедливо.
Теорема 2.4. Пусть функция F(z) Ф 0 регулярна в
круге Ы < 1 и там по модулю ограничена. Если у F(z)
имеется бесконечно много нулей' аи а2, ..., 0<|aBlt,
то
Доказательство. Не нарушая общности рассуж-
рассуждений, можно считать, что F@) Ф 0. Возьмем R, \ап\ <
< R < 1. По теореме B.1)
fl" M(R)
|V....an| ^ \F(o)\
Устремив R к 1, в пределе получим 1/| а1-. .. -ап \
при любом п.
Имеем
I „ | = 1 + av, «v = 1 Л ,
OO
Ho 1 - lovl < av. Поэтому 2 A — I «n IX С.
n=l
3. Теоремы единственности. Из теорем предыдущее
пункта как следствие вытекают следующие теорем!
единственности.

t 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 19
Теорема 2.5. Пусть целая функция f(z) имеет по-
порядок, не больший р. Если /Ы обращается в нуль в
точках Xt, Яг, ..., причем показатель сходимости х после-
последовательности О,„} больше р, то /Ы = 0.
Теорема 2.6. Пусть у функции /(г) порядок не
выше р, а при порядке р тип не выше а. Если f{z) об-
обращается в нуль в точках Яц Х2, •.., причем
n|;ij
то /(г) - 0.
Т е в р е м а 2.7. Пусть функция F(z) регулярна в кру-
круге \z\ < 1 и там по модулю ограничена. Если F{z) обра-
обращается в нуль в точках at, a2, ..., laj t, причем
1
то F(z) ^ 0.
§ 3. Разложение целой функции
в бесконечное произведение
1. Бесконечные произведения. Выражение вида
A + о,)A + аг)A + а,)... A + ап)... C.1)
называется бесконечным произведением и обозначается
ПA + «п).
71=1
Считаем, что а„ Ф — 1 Ы > 1). Выражение
Рп = П A + am)
m=l
называется частичным произведением.
Говорят, что бесконечное произведение сходится, ес-
если существует
Ншр„ = р=И=О, оо.
71-»оо
В противном случае оно называется расходящимся. Ес-
Если произведение сходится (Пт рп = р\ то пишут
Р = I I (I + fl«).

20 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДНА
Необходимый признак сходимости. Если
произведение сходится, то аЛ -»- 0 при п -» °°.
В самом деле, имеем
откуда и следует, что а„ -*¦ 0.
Достаточный признак сходимости. Ecu
00
а„ 3* О (/iSsl), то произведение B.1) и ряд 2ап сходят
п=1
ся или расходятся одновременно.
Имеем 1 + а„ ^ еа", поэтому
а, + • • ¦ +вп < A + ох) ... A + ап) < ва1+-+в»д
откуда все и следует.
Произведение называется абсолютно сходящимся, ei
ли сходится произведение
Из предыдущего следует, что произведение абсолкг
но сходится тогда и только тогда, когда сходится ря
1
Убедимся, что абсолютно сходящееся произведен!
сходится. Положим
Р* = П A + О, Pn=TL(l + \am\).
m=l m=l
Имеем
рп - Pn-i = A + fli).. .A + an-i)an,
отсюда lpn —/>n-il <Р„ — Рп_(. Пусть произведение сх
дится абсолютно. Тогда существует HmPn = Рф оо,
значит, ряд S (Рп — Pn-i) сходится. Но тогда сходит
0D
ряд 2 (Рп — Pn-i), и потому существует lim pn = рФ с
Убедимся, что р^О. Имеем: ряд Si Яц| сходится

8 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 21
1 + ап -*• 1 при п -*• о°. Поэтому сходится ряд
2
По только что доказанному, произведение
n
m=l
стремится к некоторому копечному пределу (не утвер-
утверждается, что этот предел Ф 0). Но это произведение есть
Мрп- Следовательно, предел рп отличен от пуля.
2. Функциональные бесконечные произведения. Рас-
Рассмотрим произведение
ПA+ "»(*)), C-2)
п=1
где un(z) — функции, определенные в области D, причем
иЛг)Ф-1 в D.
Произведение C.2) называется сходящимся в обла-
области D, если оно сходится в каждой точке z sJ5. В силу
результата из предыдущего пункта, в частности, полу-
получаем, что если
п=1
| ип (а) | < оо, !? D,
то произведение C.2) сходится в области D.
В каждой точке геД произведение C.2) сходится к
своему эначепию р(г), и мы пишем
п=1
Бесконечное произведение C.2) называется равно-
равномерно сходящимся в области D, если последовательность
частичных произведений
Рп B) = П A + «Л. W) (И =1,2,...)
равномерно сходится в области D. Бесконечное произве-
произведение называется равномерно сходящимся внутри обла-
области D, если последовательность частичных произведений
равномерно сходится внутри D.

22 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
Достаточный признак равномерной схо-
сходимости в области. Если в области D
| ип (z) |<а„(п> 1), 2 «п < °°,
n=l
то в области D произведение C.2) сходится равномерно.
Имеем
pn(z) — pn-i{z) = A + иДг)). . .A + un_1(z))un(z),
отсюда
р„ (г) - рп_х (г) | < A + | и, (г) |) . . . (l + |un-i(г)|) \ип
со
Поэтому ряд 2 (Pn (z) — Pn-i (г)) сходится равнолмерно в
D, значит, {/)„(г)} равномерно сходится в D.
Достаточный признак равномерной схо-
сходимости внутри области. Пусть D — односвяз-
ная область, un{z) — аналитические функции в D. Если
ряд
2 In A + ип (г)) C.3)
{при определенном выборе ветвей логарифма) равномер-
равномерно сходится внутри области D, то произведение C.2)
равномерно сходится внутри D.
Имеем
П A + и» (г)) = ехр [ ? In (I -I- Um (г))], z e D.
tn=l l_m=l J
Отсюда получаем
Р B) = П A + Um (Z)) = СХр Г i 1П A + Um (Z))\ 2 S D
m—l I m=l J
Правая часть — аналитическая функция в области D
значит, piz) — аналитическая функция в D.

i з. разложение целой функции 23
Имеем далее
Р W - П A + и» (г)) = ехр | 2 In A + ит (г)I -
- ехр [ Д 1П A + Um B)) j = p (Z) {l -
-exp|- 2 In A+ «„(*))]}.
L m=n+l JJ
Пусть К — компакт из области D. На нем функция p(z)
ограничена:
\р[г)\<М, Z&K.
На компакте К ряд C.3) сходится равномерно, поэтому
2 ln(l + Um(z
В силу этого
W-n
До сих пор предполагалось, что un(z) ?= —1 в области
D. Сейчас мы ослабим это требование.
Будем считать, что D — односвязная область, un(z) —
аналитические функции в области D, обладающие сле-
следующим свойством: каков бы ни был компакт К с: D,
существует' номер Na = Na(K) такой, что
Будем говорить, что произведение C.2) сходится в обла-
области D, если сходится в принятом выше смысле произ-
произведение
каков бы ни был компакт К а В. При таком определении

ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
функция
Р B) ==
П A + "» (*))
может обращаться в нуль в некоторых точках области
D, в точке такого сорта обратится в нуль по крайней
мере один из сомножителей произведения.
Определения равномерной сходимости произведения а
области и внутри области остаются прежними. Доста-
Достаточный признак равномерной сходимости
внутри области D будет формулироваться так:
Если ряд
равномерно сходится на компакте К (каков бы ни был
компакт K<=D), то произведение равномерно сходится
внутри области D.
Действительно, было показано, что
Отсюда
K.
П A + «m (Z))
п > N.
Правая часть на компакте К при малом р, меньше за-
заданного е, что и надо было установить. Функция p(z)
в области D — аналитическая.
3. Построение целой функции с заданными нулями.
Положим
Е (и, 0) = 1 - и,
Лемма 3.1. Верны неравенства
In
-~.. C.5)

i 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ
Доказательство. Имеем
In Е (и, п) = In A - и) + и + —¦ + ...
4-— - — u
25
откуда
Первое неравенство установлено. Установим второе.
Пусть \и\ > 1/2. Имеем
U+—+.. .-I
поэтому е
-BIUII1
In
и1 и" I
а+—+..-Ч- —
; e<2|u|)«. Отсюда
Теорема 3.1. Пусть | zx|< |
и пусть целые ра таковы, что .
. .., Нтгп=оо,
при любом г. Тогда произведение
е
г г*
2n г»
C.6)
сходится во всей плоскости и представляет целую функ-
функцию F(z), которая имеет нули в точках zu z2, ... и толь-
только в них.

26 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
Доказательство. Возьмем R > 0. Пусть
и IzJ >2R при п > N. В силу неравенства C.4)
00
и, следовательно, ряд \ 1п2?(—, рп — 1] сходится рав-
номерно в Ы ^ R, в силу этого произведение
n
„=JV
сходится равномерно в Izl *^R к аналитической в UI <
< R функции, которая не равна нулю. Тогда произведе-
произведение C.6) так же сходится в \z\ < R к аналитической
функции F(z), причем эта функция в \z\<R обращает-
обращается в нуль только в точках zh которые лежат в этом кру-
круге. Число R — любое, поэтому теорема доказана.
Осталось заметить, что в качестве чисел рп можно
взять числа р„ = п (п^ 1).
Теорема 3.2. Пусть f(z) — целая функция, и пусть
z,, z2, ...— ее нули (каждый нуль выписывается столько
раз, какова его кратность), отличные от начала коорди-
координат. Подберем целые рп так, чтобы выполнялось условие
,4*"<oo
при любом г. Тогда
где h(z) — целая функция.
Доказательство. Образуем произведение C.G),
пусть оно сходится к функции Fiz), Положим
я(г) =
где к — кратность нуля z = 0. Это целая функция, она
не обращается в нуль. Отсюда следует, что h(z) =•
= ln#(z) — целая функция. Но тогда
/(z) = z"H{z)F{z) = zV("FB).
Это и есть искомое представление.

t 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 27
4. Разложенце целой функции конечного порядка в
бесконечное произведение. Пусть /Ы — целая функция
порядка р < оо и z,, г2, ... (z, •* 0) — ее нули. Пусть,
далее, т — показатель сходимости последовательности
{гт}. По теореме 2.2 имеем т ^ р. Пусть А; — наимень-
наименьшее целое число, удовлетворяющее условию
2 тЛн < °°- (з-7)
т=1 • т I
00
Тогда 2U\7~) < °°j гт = I zm I при любом г и по теоре-
ме 3.2
f (z) = №> П A - -1 e m M" ft2m- C.8)
Нам надо будет ' показать, что в этом представлении
h{z) — многочлен степени п ^ р.
Положим
Это — каноническое произведение.
5. Порядок канонического произведения.
Теорема 3.3. Порядок канонического произведения
C.9) равен т, причем если
(зло)
т=\
то F{z) — целая функция порядка т конечного типа.
Доказательство. В представлении C.9) целое к
связано с т соотношением к ^ т < к + 1. Пусть 0 — чис-
число, удовлетворяющее условиям т<в^Н1 и
2rf
оо.
Такое 0' можно выбрать в сколь угодно малой близости
от т, а в случае C.10) положим 0 = т.

28 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
На основании леммы 3.1 имеем
IЕ (и, к) | < e<»MJfc " < e'2N>9, U | < 4"'
в-+г+-+т
В силу последнего неравенства
\Е(и, fc)Kel2l'l9+ln(^l1'l)<enl"l9, д<оо,
Значит, во всех случаях | Е (и, к) | ^ e°l"l9- Отсюда вы-
вытекает, что
C.11)
|F(Z)|<exp la
Значит, порядок pF <; б. Но, как было уже отмечено,
0 можно взять в любой близости от т. Поэтому рР sS т.
По теореме 2.2 т ^ pF. Следовательно, pF = т.
В случае C.10) полагаем 0 = т, и тогда из C.11)
видно, что F(z) — целая функция порядка т конечного
типа (то, что она имеет порядок т, было уже доказано).
6. Оценка канонического произведения снизу.
Лемма 3.2. Вне кружков
\z-z
h>
l, 2, ...)
имеет место оценка
|FB)|>e-'p+8T |z|>ro(e) Ve>0.
Доказательство. Имеем
+ 2
+ 2
-L
2
1-
- S
In
2 ¦"
-2
In
h —, k
, r = | z |, rm = |zm|. C.12)

§ 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ
На основании леммы 3.1,
29
In
In
Elhh)
zm kzh
а ТП
||<(
<2
2
_L
m
V
<B
t-I
sm|J
где 0 выбрано так же, как в предыдущем пункте. По-
Поэтому в C.12) две последние суммы в совокупности не
превосходят
Оценим первую сумму вне кружков. Так как
-л
I f_
1
i+л ¦
то
где N — число точек гт в круге Ы < 2г. Из условия
m=l I m
вытекает, что
N
< 1 при больших т, поэтому
г%+е < Bг)Р+ел
Значит, при больших г
2 1п
В итоге In \F(z)l > — г"+и, что и надо было доказать.
7. Оценка коэффициентов степенного ряда через ре-
реальную часть суммы ряда.
оо
Лемма 3.3. Пусть функция / (z) = 2 cnz" регулярна
о
в круге \z\ < R и удовлетворяет в этом круге условию

30 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
Re [/(z)] ?= и. Тогда
2 (и — Re с Л
Ы< ( 0)
Доказательство. Положим
Ф(а) = и-/(г) = u-c0- S^ -2 bnzn,\z\<R.
n=l n=0
Пусть С — окружность \z\=r<R. Имеем при п>0
<D(z) = P+iQ. C.13;
Функция 2л~'ФB)(/г > 1) регулярна в lz|<fl, поэтом;
0 = 2Ti \^~хф (z) dz = ^ J (р
С о
Отсюда
0 = ^ j (P - /(?) e-i«<p^. C.14
Умножим обе части равенства C.13) на г" и сложим
C.14), получим
Но Р = и— Re/(г) > 0 в |г|<Д, в частности, на конту
ре С. Поэтому
о о
Правая часть, в силу C.13) равна 2 Re (Ьо). В предел
при г -*¦ R получим
|ЬП|Д" < 2 Re (Ьо) = 2 Re (u - с,) = 2(и - Re с,).
Но \Ьп\ = |с„| при п > 1. Значит,
2 (и — Re с.)
Ы< * дп oJ (п>1).

g 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 31
8. Основная теорема о разложении целой функции
конечного порядка в бесконечное произведение. Убедим-
Убедимся, что в представлении C.8) функция Мг) — многочлен
степени h «? р. Имеем
где F(z) — каноническое произведение C.9). На основа-
основании леммы 3.2 вне кружков Iz —zm| < |zm|~*, q > p, при
lz| >ro(e) верна оценка
Сумма диаметров кружков конечна. Поэтому имеются
окружности |z|=fln, Rn t °°, на которых указанная
оценка выполняется. Получаем
откуда Refe(z)<rp+2% r = Rn, n> no(e). Пусть hiz)
= 2cfcZA. ^a основанни леммы 3.3,
Если А; > р, то правая часть стремится к нулю при г =
= /?„ ->¦ оо. Следовательно, с» = 0 при /с > р и hiz) — мно-
многочлен степени h «S р. Это утверждение — известная тео-
теорема Адамара.
Покажем, что р = max [h, т). Уже доказано, что fe<
< р, т ^ р. Остается доказать, что p^max(fe, т). Имеем
/(г) = zV(l»F(z),
где F(z) — каноническое произведение. В силу теоремы
3.3, функция F(z) имеет порядок, равный т. Поэтому
|/(z)|<|z|VVXl"8, r>roF),:
откуда и следует, что р ^ max (h, т).
В итоге получена следующая
Теорема 3.4 (Бореля). Пусть /U) — целая функция
конечного порядка р, г„ za, ...— ее нули, т — показатель
сходимости последовательности {гт>, к —наименьшее

32 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
целое число, удовлетворяющее условию
оо
<
Тогда имеет место представление C.8), где hiz)—мно-
hiz)—многочлен, причел
р = max {h, т).
Здесь h — степень h{z).
Следствие. Если р — не целое, то х = р.
Рассмотрим пример. Получим разложение в произве
дение sinz. Нули этой функции ±кя (к — О, 1, 2, ...)
р=1, т. = 1 и к = {. Произведение множителей, соответ
ствующнх нулям кп и —А'л, равно
Поэтому
sin 2 — ге
--.. V"+'1
П
A- - - - ?13
Из равенства -¦ eaz ЦП—m Ь положив в нех
2
Л1
z = 0, находил! е'1 = 1. Значит,
/с Л
П(Гг
А=1 \ i Л
Функция sin z — нечетная, отсюда следует, что
Поэтому а = 0. В итоге
ТТ / г2
sin z ~ z ТТ И —
t=i \ к-л'
Аналогичным образом найдем, что
9. Оценка целой функции конечного порядка сниз
я ее применение.
Теорема 3.5. Пусть /(z) — целая функция конеч
ного порядка р и zlf гг, ...— ее нули. Тогда вне кружно

S 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 83
\z — zm\ < \zm\~4, q > p (m = 1, 2, ...) имеет место оценка
|/B)|>e-rP+e, /->ro(e) Ve>0.
Доказательство. Имеем /(z) = zVl(z)/-4z), где
F(z) — каноническое произведение. На осдовашга леммы
3.2 вне кружков
V"P+e><rP+2e, г>го(е)
(А <1 р), что и требовалось доказать.
Теорема 3.6. Пусть /(z) — целая функция порядка
не выше р и Xi, k2, ...— ее нули (все нули) с кратностя-
ми соответственно mh m2, ...; cp(z) — целая функция по-
порядка не выше р, для которой X,, ^а ...— нули (у нее
могут быть и другие нули) с кратностями, не меньшими
соответственно in(, тпг, ... Тогда функция F{z) =
¦= cp(z)//(z) — целая порядка не выше р.
Доказательство. Вне кружков \z — Xml < \Xm\~",
h > p, имеется оценка
|/(г)|ХГгР+е, r>ro(e) Ve>0. C-15)
oo
Пусть p = 2 ^ |>-m.| ". Возьмем q > p. Существуют ок-
ружности |z|=rht°°, rft+i — rk < q, на которых выпол-
выполняется оценка C.13). В силу этого,
|/? (z) | < вгР1'м, r=-rft, &>ftfl(e).
Надо получить оценку при произвольном г, когда |г.|
велико. Для г из кольца г\^ \z\ ^ rh+1 имеем
| F (t) 1< ^ < e е,г,И«-,
значит, порядок F{z) не больше р.
Следствие. Пусть /(z) — целая функция порядка
р, а ф.(г) — целая функция порядка, меньшего р. Тогда
функция F{z) — cp(z)/(z) имеет порядок, равный р.
Действительно, пусть порядок F(z) меньше р. Тогда
по теореме 3.6 порядок функции /Ы = /<4z)/cp(z) также
будет меньше р, что противоречит условию.
10. А -точка целой функции конечного порядка. Точ-
Точки а,, й2, ..., удовлетворяющие условию f(z) = А, назы-
называются Л-точкамп.
3 А. Ф. Леонтьев

34 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
Теорема 3.7. Пусть /(г) — целая функция поряд-
порядка р, 0 < р < °°. Если р — не целое, то последователь-
последовательность А-точек имеет показатель сходимости хА = р при
любом А. Если р — целое, го последовательность А-точек
имеет показатель сходимости хА = р для всех А за иск-
исключением, быть может, одного значения А.
Доказательство. Функция cp(z) = /B) — А имее:
порядок р. Если р — не целое, то тогда хА = р и первое
утверждение доказано.
Пусть теперь р — целое, и пусть для некоторых А
и В имеем хА < р, хв < р. Тогда
/(г) - А = еРB1Ф(г), /U) - В = е«('>ф(а),
где ф(г) п г|;Ы — целые функции порядков меньше р
a P(z), Q(z) — многочлены каждый степени р. Вычита)
из одного равенства другое, получим
C.16
Дифференцируем обе части:
О = eQ(»[?>'(z4(s)+ ф'Ы! - ерB)[р'Ыср(г) + ср'Ы]. C.17
Выражения в квадратных скобках не могут тождествен
но равняться нулю. Допустим, например, что
<?'(z)i|:(z) + t|i'(z)=O.
Тогда последовательно получим
и, значит, i|;(z) — целая функция порядка р, что не таг
Из C.17) находим
eQiz)-PU4Q'lzH(z) + ф'Ы) = Р'ЫсрЫ + Ф'(г). C.1S
Пусть P(z) = az» +. . ., Q(z) = bz° +. .. Если аФЬ, то ле
вая часть в C.18) — целая функция порядка р, а права
часть — целая функция порядка меньше р, и тогда рэ
венство C.18) невозможно. Поэтому а = Ь.
Из C.16) получаем
где Pj(z), Qiiz) — многочлены степени каждый меньше (
Левая часть в этом равенстве — целая функция порядк
р, правая часть — целая функция порядка меньше (
Противоречие. Следовательно, для разпых А а В пе м<

§ 4. ОЦЕНКА СНИЗУ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ТИПА 35
гут выполняться неравенства тл < р, тв < р. Второе ут-
утверждение также доказано.
Для функции sin ъе порядка р = 2 исключительным
значением является значение А = О, для этого А имеем
Тл-1.
11. Условия минимальности, нормальности и макси-
максимальности типа.
Приведем без доказательства две теоремы (их дока-
доказательства имеются в [1]) относительно типа целой
функции.
Теорема 3.8. При нецелом р каноническое произ-
произведение F{z), определяемое формулой C.9), будет мак-
максимального, минимального или нормального типа в за-
зависимости от того, будет ли равна бесконечности, нулю
или числу, отличному от нуля и бесконечности, верхняя
плотность последовательности {Хп);
Л ~ lini
П-хх,
Случай целого р требует особого рассмотрения.
Пусть функция /(z), представленная в виде C.8), есть
целая функция целого порядка р. Положим
Л/ = lim n у = тах
71->эо
Здесь ар — коэффициент при zp в многочлене h(z).
ОО
2 А
= оо, то при
i,=i IК I1
<у, = 0 функция /(г) — минимального типа, при 0 < f/<
< оо — нормального и при "(/ = °° — максимального типа.
OS
Если 2 р<°°! го "tre Дг) равен 1ар1 — модулю
коэффициента при zp в многочлене h(z).
§ 4. Оценка снизу целой функции конечного типа
1. Оценка снизу функции, не обращающейся в нуль.
Лемма 4.1. Пусть /(s) — функция, регулярная в
круге |а| <;/?,,, и пусть nir) — число нулей }{z) в круге
3*

80
ГЛ I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРГТДК \
|z| <r<R,. Если /@) = 1, то
п{т)^\и\1(ег), е;<Я0, М (г) = тах| / (z) |.
|z|=r
Доказательство. Пусть R = ег, и пусть а,, я:, . .
2
,. ., ап — нули /B) в круге
г По теореме 2.1
отсюда п = n(r) ^ In Mier).
Лемма 4.2. Пусть jyz) регулярна в круге \z\ <-1
и в этом, круге Re/1:) <A(R). ТогОа
М (г) < [A (R) - Не / @I —^- + | / @) |, ()<;•</?.
ос
Доказательство. Положим } (z) ~ ^\ сnz". В сп
и
лу леммы 3.3,
, ,^ 2[MR)-nec\
Поэтому
М (г) <
Л"
-h I / (A) I -
-Rec«il(irT
Re
/@)
Л е и м а 4.3. Пусть f(z) регулярна в \z\ <, R, /@) =
1 u Jkz) не обращается в нуль в \z\ < Н. Тогиа
In | / (г) | > - -^-^ In .V (/.'), | ; К г < Я.
Доказате л ь с т в о. Рассмотрим функцию 1 и /(:'
Она регулярна в круге
леммы 4.2,
R и hi /@) = 0. В cu.j
2г
Отсюда In
плп
In |
?— In U (R).

S 4. ОЦЕНКА СШ1УУ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ТИПА 37
2. Оценка снизу полинома.
Теорема 4.1 (А. Картана). Каковы бы ни были
число Н и комплексные числа а{, а2, ..., ап, можно найти
в комплексной плоскости такую систему кружков с об-
щей суммой радиусов 211, что для всякой точки z, ле-
лежащей вне этих кружков, выполняется неравенство ¦
Доказательство. Возьмем наименьший выпук-
выпуклый многоугольник, содержащий все точки ak U^A-'--S'i),
и какую-нибудь вершину at этого многоугольника. Мож-
Можно построить окружность, содержащую внутри только
точку а> из {oj, радиус которой равен ХК (К = Н/п), где
X — кратность точки а}. Окружность, радиус которой ра-
равен ]хК и внутри которой содержится ровно и, точек нз
{а*}, назовем окружностью класса А.
Из всех окружностей класса А выберем окружность
с наибольшим радиусом и обозначим ее С\ (таких ок-
окружностей может быть несколько, выберем одну из них).
Пусть радиус С, равен J.JC
Замечание. Круг радиуса %К, % S* %lt не может
содержать из iak) точки в количестве %' > X. Пусть это
не так, т. е. некоторый круг радпуса ХК{Х > XL) содер-
содержит из {afc) точки в количестве X' > X. Тогда концент-
концентрический круг-радпуса %'К содержит либо X' точек, либо
X" >Х' точек. Первый случай невозможен (окружность
радиуса Х'К была бы окружностью класса А, причем
X' > XJ. Рассмотрим второй случай. Строим концентри-
концентрический круг радиуса X"К. Он содержит либо X" точек,
либо К'" > X" точек. Предположение, что он содержит
X" точек, невозможно. Остается допустить, что он со-
содержит X'" > X" точек. Тогда строим концентрический
круг радиуса X'"К, проводим аналогичные рассуждения
и т. д. Так как число точек в {ah) конечно, то мы при-
придем к кругу радиуса ХК{Х > Хг), содержащему X точек.
Но это невозможно.
Точки, попавшие в С,, назовем точками ранга >.,.
Отбросим все точки ранга Х{ и для оставшихся точек
построим окружность Сг класса А и наибольшего ради-
радиуса. Пусть ее радиус равен ХгК (она содержит Хг точек
ив {п — XJ оставшихся точек). Покажем, что Х2 «S Xj.
Пусть Хг > Xi. Тогда Сг содержит внутри себя из {а„)
либо Xi точек, либо Х> Хг точек. Первое противоречит

38 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
тому, что С, — окружность максимального радиуса i
класса Л. Второе невозможно в силу сделанного выии
замечания.
Точки из (л — /.,) точек, попавшие в Г2)—точки ран
га Хг.
Отбрасывая и точки ранга X-i, построим для остап
шихся (и —?., — Х2) точек окружность С3 класса А и мак
симальпого радиуса. Пусть ее радиус равен Х3К (он
содержит Х3 точек из (п — Xi — X3), оставшихся поел
двух отбрасываний). По доказанному Х3 ^ Х*. Точки и
(п — Xi — }.2) точек, попавшие в С3,—точки ранга /
и т. д.
Получим последовательность окружностей С,, ..., Г
с радиусами Я,К, . .., ХРК, причем Xt 5= hi >. . .2» ХР
А'а, +...+ ?,Р) = //.
Построим концентрические с С,, ..., Ср окружност
Г,, ..., Г, с радиусами 2?.,К, ..., 2крК.
Возьмем точку z вне Г4, ..., ГР. Опишем онружност
Сг с центром в точке z радиуса %К, где X — целое числе
Пусть Сг пересекается с окружностью Cj. Тогда расстоя
ние между z и центром а; окружности С} удовлетворяо
условиям !z — otjl > 2XjK, |z — а;| < XK + XjK, откуд
X > Xj. Значит, внутри Ct могут быть только точки и
{aj ранга меньше X.
Утверждаем, что внутри С, лежит не более {X — 1
точек из Ь/ц}. Пусть в С, лежит u, S» X точек. После удг
ления из {ah} точек рангов, пе меньших л, остались кг
кие-то точки, обозначим их [1,, ..., [}„,. Видим, что в I
радиуса ХК содержится и ^ X точек из {$). Случай ц =
= X противоречит определению ранга (остались точк
ранга меньшего X). Случай и, > X противоречит замеч;
нию (сделанному применительно к {$,)). Поэтому в С
действительно находится не более (а—1) точек из {ah
Перенумеруем все точки из {flj в порядке возраст!
ния их расстояний от точки z. В окружности Сг р;
диуса тК могут быть только точки о,, ..., ат-у. След<
вательно,
\г-ат\ > тК (т = 1, 2 и).
Отсюда
I(z - а,) ... (z - a JI > п\К" = пКН/п)" > (Я/е)",
теорема доказана.

4. ОЦЕНКА СНИЗУ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
39
3. Оценка снизу произвольной аналитической функ-
функции.
Теорема 4.2. Пусть /(z) регулярна в круге \z\ <
з
< 2eR, /@) = 1 и ц — положительное число,ц^.4ге.
Тогда внутри круга |z| <Д, но вне исключительных
кружков с общей суммой радиусов, равной ir\R,
3«
In | / (г) | > - Н (т|) In М BеЯ), Н (у\) = 2 + In
24 '
Доказательство. Пусть аь аг, .. ., ап — нули
/Ы в круге Ы < 2R. Положим
cp(z)
Имеем ф@) — 1 и
| Ф (*) I
(— 2ff)n
п
2Л (.-
Видим, что функция г|)Ы = /Ы/срЫ регулярна в круге
\z\ < 2Д, \|з@) = 1 и \|)(z) не обращается в нуль в \z\ <
< 2Д. По лемме 4.3 при |z| < Д
2Л ,
Оценим снизу |ф(гI. При \z\
ft (BД)*-
-21пМBеД). D.1)
< FЛ2)".
По теореме Картана вне кружков с общей суммой ра-
радиусов ir\R (H •= 2т)Л)
П 2Д (z - ah)
ft=i
Следовательно, вне указанных кружков
1^2I>Т^П-(^) T^i?
По лемме 4.1 п = иBД) < In MBeR). Значит,

40 ГЛ Т. ЦЕЛЫГ. ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
Учитывая это неравенство и неравенство D.1), получпу
что вне исключительных кру.ккон
In | / (z) | > - B + hi Щ hi M BcЩ.
Теорема доказана.
4. Оценка на окружностях снизу целой функции кс
нечного типа.
Теорема 4.3. Пусть /(г) — целая функция, у коте
рой порядок или меньше р, или равен р, но тип менъш
или равен а. Пусть, далее, q > 1 — фиксированное чш
ло. Имеются число h, зависящее только от q, и окруэи
ности \z\=rk\°o, причем rh<qrk^t Aс > 1) такие, чт
при любом г > 0
In |/(г)| > -li(a-\-e)\z\", |г|=;\, /О А„(е).
Доказательство. Возьмем числа
Я, > 0, R2 = qjih . . ., Д» = г/,/?„-,, . . .; qt = fq.
В теореме 4.2 положим Я = /?* и г] < —g—. Тогда в круг
|г| </?ь но вне исключительных кружков с общей су.\
мой диаметров, меньшей 8n/?ft,
In |/(z)| > -//(п.) In Л/BеД»).
Так как 8цНк< (q, — [)Н^{ = Rk —Rk-h то имеется oi
ружность |г| = rk, flft_, < rk<Rh, на которой
In !/'z)| >-//(i|) In Л/BеД»), |г| = г,.
По условию
A/(j-)<e'olejlP, /->ro(e) Ve>0.
Следовательно,
In | / (г) | > - (а + е) {2efU (ц) R%, |z| = r*. fr>fto(e).
Но /?* < g,rft, поэтому
Осталось заметить, что < „ = q1 — q.
5. Оценка частного целых функций конечного тип
Введел! класс целых функции 1о, ои). По определенн
функция /(z) принадлежит этому классу, если она

g 4. оценил i:mi:jy цк.чоп функции конечного тинл 41
порядок, меньший р, п.ш порядок р, 1ю тогда тип ко-
конечный.
Теорема 4.4. Пусть {(.z) — функция из класса
[р, °°) и 2|, Zi, ...— ее нули (все нули) с кратностями
соответственно т,, т:, ... Пусть, далее, ф(г)— функция
из того же класса [р, «О и для нее точки z,, z2, ...—¦
пули {у нее могут быть и другие нули) кратностей, со-
соответственно не меньших т,, т2, ... Тогда функция
Г{г) — ф(г)//(г) принадлежит классу [р, <»),
Доказательство. По теореме 4.3 имеются ок-
окружности \z\ = г„ t оо, rh < qrh-u на которых
Тогда
Бозьмем произвольное z. Точка z лежит в некотором
кольце 7\_i «й j,2| sg rK. Имеем
hrk
F B) |< max I F {t) \ < ehrk
Но гк <
|. Следовательно,
a-
Все доказано.
Теорема 4.5. Пусть /(z) — целая функция поряд-
порядка р типа о, 0 < о < °°, а ери) — ![елая функция порядка
меньшего р или порядка р нулевого типа. Тогда функция
F(z) = /(г)ф(г) имеет порядок р и run о.
Доказательство. Функция F(z) не может быть
порядка р и типа, большего о. Следуя методу от про-
противного, допустим, что F{z) растет не быстрее функции
порядка р типа а < о. Имеем
По теореме 4.3 имеются окружности !z|=rht°°, rh <
< qrk-t, на которых
В силу этого

42 ГЛ. Г. Ц1-1ЛЫК ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
Пусть z лежит в кольце г»-, < !г1 < г„. Получаем
| / (z) | < max | / (t)
Следовательно, тип функции /Ы a < aq". Но q — любое
большее единицы. Значит, о «? а, чего не может бытт
§ 5. Целые функции экспоненциального типа
Целая функция /(г) называется целой функцией экс
поненциалъного типа, если ее порядок р < 1 или р — I
но тогда тип о конечен.
Целую функцию экспоненциального типа обычно за
писывают в виде
/(z) =2тг 2*- E.1
Формула A.15) нам дает
1 i m k 1 / -jj- =- ае,
откуда
lim | \аъ\ ^ а. E.2
Если /(z) имеет порядок р < 1, то о = 0.
Положим
В силу E.2). ряд E.3) сходится при |/| > ст, на границе
UI =0 у if@ имеется по меньшей мере одна особен-
особенность.
Функция fit) называется функцией, ассоциированной
по Борелю с /(z).
Отметим простейшие свойства функции ^{t):
1) если /Ы = Afi(z) + Bfz(z), то fit) — А^М) + B^U),
где /i(z), /2B) — функции экспоненциального типа,
a fi('), Тг^) — соответствующие им ассоциируемые по
Борелю функции,
2) если f(z) = Аеа:, то v @ =-' ,_ ¦ *

8 5 ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА 43
С помощью этих свойств найдем fit) для /(z) = sin z.
Имеем
sin z =
2i
поэтому
vw 2i t-i ti t + i
Аналогично для f(z) — cos z получим:
Существует определенная связь между ростом /(z) no
лучам и выпуклой оболочкой множества особенностей
функции fU).
1. Выпуклое множество. Опорная функция. Множе-
Множество D называется выпуклым, если из того, что а е D;
b s D следует, что и весь отрезок [а, Ь] принадлежит D.
Мы будем рассматривать ограниченные замкнутые вы-
выпуклые - множества.
Пусть G — ограниченное выпуклое замкнутое множе-
множество. По определению опорной функцией множества G
называется функция
К (у) = maxRe(ze~1<p), 0 < <р < 2л.
Выясним геометрический смысл величины К{ц>). Вы-
Выражение Re {ze"'*) представляет собой проекцию вектора
z на направление arg z = гр. Поэтому АЧср) — максргмаль-
иая из таких проекций при z<s(J. Возьмем вдали от на-
начала координат прямую I, перпендикулярную лучу
arg z = ф и будем перемещать ее параллельно самой себе
до соприкосновения с множеством G. Пусть в момент
соприкосновения она занимает положение 1а. Расстояние
от начала координат до прямой /„ и есть А(<р). Пусть
za — точка соприкосновения I, с 5 (таких точек будет
либо одна, либо целый отрезок). Тогда К{ц>) = Re (zoe~"*).
Прямая h — опорная прямая к множеству П.
Отметим, что для круга |z|<o опорная функция
K(q>) — а. Для отрезка t—at, аи мнимой оси Жср) =•
— olairupl.
Заметим еще, что если К{ц>) — опорная функция за-
замкнутого выпуклого множества G, то опорная функция

44 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
р-расширенмя множества П (т. е. множества G, точек j
таких, что \z-ti < е, t^G) раина Л'(ср) + е.
Теорема 5.1. Опорная функция К(ц>) непрерывна
Если опорные функции выпуклых множеств Ui и U-,
равны, то G, = Gi.
Доказательство. Возьмем ф! и ф2. Пусть zL —
точка G такая, что
А' (((,) =-- max Ro (ze~irt>) ---. Re [z{e~ '">).
Тогда
К (ф|) - К (ф,) = Re (z^-^O - max Re (ze' i<f*) <
<Re(v" ''"'') - Ik (he "'O = Ho [z, (e' '"^ - <Г1ф0] <
< | Zj 11 e" ;cpi - e~i4'> \.
Пусть Р -- шах | z\. 15иди.\г, что
Аналогично получим, что
Таким образом,
Отсюда |A'((|,'i) — Л'(ф.)[ '5 е, если Icpi — ф2| < б.
Докажем вторую часть. Пусть А',(ф) = А2(ф). Пред-
Предположим, что СцФГ,г. Тогда су1цествует точка z,sGh
которая не принадлежит 6\. Пусть
mm p (zA, z) - (.(ги, z,), г^й,
(р(д, Ь) — расстояние между точками а и Ь). Проведем
через точку z, прямую 1„ перпендикулярно к отрезку
tz0, z,]. Область ffi лежит но одну сторону от прямой /„
(по другую, чем точка 2„). Пусть отрезок 1г,, zj накло-
наклонен к вещественной оси под углом ф„. Очевидно, рас-
расстояние от начала координат до прямой Zo равно А",(ф0).
Проведем через z0 прямую ?, пара.глельпую 1„. Расстоя-
Расстояние от начала координат до прямой I меньше или равно
А'2(ф0) и в то же время оно больше K^tpJ. Таким об-
образом, А^,(фи) < K'JcfJ, что невозможно. Значит, С\=Йг.

8 5. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА 45
2. Сопряженная диаграмма. Интегральное представ-
представление целой функции. Пусть М — ограниченное множе-
множество на плоскости. Пересечение & всех замкнутых вы-
выпуклых множеств, содержащих множество М, называет-
называется выпуклой оболочкой множества М. Множество G —
наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее
множество М.
Пусть /Ы — целая функция экспоненциального типа
и fit) — функция, ассоциированная по Бо'релю с /Ы.
Выпуклая оболочка множества особенностей функции
fit) называется сопряженной диаграммой функции /(z).
Будем ее обозначать D. Сопряженная диаграмма — наи-
наименьшее замкнутое выпуклое множество, содержащее все
особенности fit).
Мы видели выше, что если fiz) имеет тин о (.при
порядке.р —¦ 1), то fit) регулярна при Ul>o и на
окружности UI =- а у fit) имеются особенности. От-
Отсюда следует, что Т) лежит в круге UI <о и имеет
с окружностью \t\ *= о по меньшей мере одну общую
точку.
Отметим, что на каждой опорной прямой к множе-
множеству D у fit) имеется хотя бы одна особенность.
Пусть Kitp) — опорная функция множества П. Оче-
Очевидны следующие свойства этой функции:
1) max Kief) *= о, и еслиг0 «= ое'^о^ [), то этот макси-
максимум равен Жф0);
2) К(<р) г» -о.
Примеры. Для функции Ае1" функция у (?)= 'fZTZ'
следовательно, D — точка t = а. Для функции sin г
поэтому Б — отрезок мнимой оси с концами в точках (
я -i.
Теорема 5.2. Пусть /(г) — целая функция экспо-
экспоненциального типа, fit) — функция, ассоциированная по
Борелю с /(г), 75 — сопряженная диаграмма /(г). Тогда
имеет место представление . ... -
ы \ w e7l(lt> E-4)
с
?f)p С — замкнутый контур, охватывающий D.

46 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
Доказательство. Имеем
oo n oo
Jl=0 U\-=R' ir^O
— j
\t\=R>a
J
U\--=R'
(на окружности Ul = R ряд сходится равномерно). Меж-
Между окружностью \t\ =R и контуром С у -\{t) нет особен-
особенностей, поэтому интеграл E.4) также равен /(z).
Следствие. Пусть К((р) — опорная функция мно-
множества D. Тогда
|/(ге'ф)|<Л(е)е[К('ф)+?]г уе>0. . E.5)
Для доказательства образуем е-расшпрение Dt мно-
множества D. Это — выпуклое множество. Его границу обо-
обозначим Сг. Имеем
' 1 (z) = m f т (О е2'^-
Отсюда
I / (rei(f) I < -i- max | v (t) I exp Гл max Re (fe'") ],
2я iecE l г=сЕ J
где I — длина контура С,. Но мы уже отмечали, что
опорная функция множества Dc равна АХф) + е. Значит,
max Re (ie1*) < К (— ср) + в.
Отсюда и вытекает неравенство E.5).
3. Интеграл Лапласа. Пусть / — луч nrgz = cp,( и
cp(z) — функция, непрерывная на /. Еслп существует
л
Itai
то он называется несобственным интегралом по I п обо-
обозначается
f ф
f ф
о

§ 5. ЦЕЛ1.1Е ФУШЩИП ГЖСТЮНТЩЦИАЛЫЮГО ТИПА 47
Достаточное условие существования. Если на I
то интеграл существует.
Положим А = аещ<\ г = re'V Имеем
Л а а
\ ф (z) dz — \ и dr -{- i}v dr,
о по
где u+tv=(p{rei<fo)ei<fo. Так как lul^C/r", \v\<kC/r»,
ц > 1, то существуют
а а
Ига J и dr, lim \v dr.
a-.oo 0 a->°o ц
Поэтому существует и
A
lim \ ф (г) dz.
A-.C» Q
Рассмотрим интеграл
fU)= j /B)e-"dz. E.7)
и
Он называется интегралом Лапласа. Выясним, где он
сходится.
Лемма 5.1. Пусть /(z) непрерывна на луче I: arg z =
= фо и удовлетворяет условию
е полуплоскости
Re (Уф°) > а + 8, б > 0 .5.8)
интеграл сходится, представляет собой аналитическую
функцию и имеет оценку
Доказате
l/(z)e-zfH
откуда для t из
\F(t)\ <A/6.
л ь с т в о. Имеем
^ А ехр [аг — г Re (геф°^
полуплоскости E.8)
. |/(г)е-гМ < Ае-й\
E.9)
E.10)

48 ГЛ. Т. ДКЛЫК ФУНКЦИИ КОИК'ГНОГО ПОРЯДКА
Значит, интеграл сходится и
\F{t)\< A j e-*rdr = -?-.
Возьмем на луче I точки я„ = 0, а,, а., ..., ак, ..., ак
°°. Имеем
В силу E.10)
j / B) е -2tdz < .-1 ( е- b'dr -«- 0. и -> оо.
С, |«„|
Следовательно, в полуплоскости E,8) равномерно схо-
сходится ряд
Каждый член этого ряда — целая функция. Поэтому
Fit) — аналитическая функция в полуплоскости E.8).
Все доказано.
Полуплоскость E.8) устроена следующим образом.
Проведем, луч Lt: arg t = — (р„; на атом луче возьмем точ-
точку а на расстоянии а + о от начала координат. Через
а проведем прямую I,, перпендикулярно лучу lt. Полу-
Полуплоскость, ограниченная прямой h и содержащая d себе
бесконечную часть луча I,, и есть полуплоскость E.Ю.
4. Интегральное представление ассоциированной функ-
функции. Введем характеристику
h (ф) =¦ Нш —!, О <; rp ^ 2л. E.11)
Она называется индикатрисой роста функции /(з). Ин-
Индикатриса роста характеризует рост функции вдоль
лучей.
Теорема 5.3. Пусть f(z) — целая функция, экспо-
экспоненциального типа с индикатрисой роста /H(f), у it) —

fj Г). ЦГЛЫИ ФУНКЦИИ Ol;CI101IKimiIA."lbIldrO TIlilA 49
функция, ассоциированная по Борелю с /(z). В полу-
полуплоскости
. . .E.12)
*/(?) — аналитическая функция и
V@= I !(z)e"'dz. (о. 13)
о
Доказательство. На луче arg з = ф0 имеет ме-
место оценка ¦
| / (z) | < А (е) el"W "elr, - z - гв'"ф« Ve > 0.
Поэтому, в силу леммы 5.1, интеграл сходится и пред-
представляет собой аналитическую функцию в полуплоскости
Поскольку е и 6 — любые положительные числа, то ин-
интеграл E.13) сходится н представляет собой аналитиче-
аналитическую функцию в полуплоскости E.12).
Осталось показать, что интеграл E,13) равен -y(i).
Имеем
m
0
причем
I
n=rn f-1
E.1-4)
(мы здесь учли, что тип функции определяется лишь
модулями коэффициентов). В силу этого
Г / (г) е-"^г--2 ^ Г z''e-^г + f Дт (z) e-"dz+
4 а. Ф. Л

50 ГЛ. I ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОГЯДКЛ
Пусть t лежит в полуплоскости
Re(/e1<(o)>a + e + S, б>0. E.15)
На основавтга оценки E.14)
\R,,Xz)e-tl\ <В(е)е-4', г «= |з1.
Поэтому \С\<.В(е) е brdr <, кj, если R полпко. Фпк-
h
сируем R (оно не зависит от т). В полуплоскости E.15)
\е~и\ < 1, в силу чего
т
и
На отрезке [0, fte'^o] равномерно Rm(z) -* 0 прп
Поэтому \В\ <Ei, m> ma{ei). Наконец,
Значит,
I
Это равенство имеет место в полуплоскости E.15). По
скольку е и 6 — любые положительные числа, можи
утверждать, что оно имеет место в полуплоскости
Re О'фо) > а. E.1Г
Итак, представление E.13) установлено в полуплоскост
E.16). Но интеграл E.13) сходится и представляет ее
бой аналитическую функцию в большей полуплоскост
E.1-2). Значит, функция fU) регулярна в полуплоскост
E.12), и там имеет место представление E.13). Теорем
полностью доказана.
Следствие. Имеет место соотношение
Ж-ср) ^ Мф). E.17
Действительно, функция v(t) регулярна в полушн
скости
Re(^<pe)>jfi:(_(pn)i E.1;
эта полуплоскость ограничена опорной прямой к /J, ue;

8 5. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА 51
пендикулярной лучу arg t — — ср0. Так как на опорной
прямой у ^it) имеются особенности, то полуплоскость
E.18) содержит в себе полуплоскость E.12). Отсюда и
следует, что К(—сро) «S h(ip0).
Теорема 5.4 (Полна). Пусть /(z) — целая функция
экспоненциального типа с индикатрисой роста Мер), D —
сопряженная диаграмма, Жср) — опорная функция D.
Тогда
/а-ф). E.19)
Доказательство. Из E.5) следует, что М<р) <
< К{—ф). Это соотношение в соединении с соотношени-
соотношением E.17) и дает нужный результат.
На основании E.19), учитывая предыдущее, можно
сформулировать теперь следующий результат.
Теорема 5.5. Пусть /(z) — целая функция экспо-
экспоненциального типа с индикатрисой роста Мф), fU) —
функция, ассоциированная но Борельо с f(z), D — сопря-
сопряженная диаграмма, АХф) — опорная функция D. Тогда
1)' / (z) = у—: \ у (?) eztdt, где С — замкнутый контур,
охватывающий D;
2) \f(re^)\<A(t)e["w+"]r ye>0;
3) 7 @ = / (z) e~zldz в полуплоскости
i<po)>A'(-9o), E.20)
ограниченной опорной прямой Re(ie1Cf'o) = К (— ф0).
Заметим, что полуплоскость E.20) при изменении
параметра ф0 заметет всю внешность множества D.
Теорема 5.6. Индикатриса роста Ы<р) обладает сле-
следующими свойствами:
1) она непрерывна,
2) max Мф) = о,
3) Мф) >~а.
Эти свойства вытекают из соответствующих свойств
опорной функции Жф).
5. Оценка сверху и снизу 1 sin si. Для sin z индика-
индикаторная диаграмма — отрезок мнимой оси [—t, i), его
опорная функция /Цф) = I sin <pl, поэтому индикатриса
роста sin z равна Isin cp|.
л*

52 ГЛ. I. IIF-ЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
Т е о р е м а Л.7. Верны неравенства
1) I sin 21 с; е'"'"', Мер) = Isin ф|, г =¦ ге'т,
2) вне окрестностей \z — Art I < е (k = 0, ±1, ±2, ...)
нулей sin з
Isi»2| > Л(е)е*"", Л(е) > 0.
Доказательство. Эти неравенства достаточно
установить в первом квадранте, когда 0 < ф «S л/2.
Имеем
elZ — егг 1 ¦ ... ¦
с I t\ ф . ^__ --— | л ' Г fi I f \ fy & IT (.'OS (P . лТ Sill (Г л ¦** 1Г COS №\
siiu-—^— -y-le e ее ),
откуда Isin z| =S er sl"ф, 0 =S cp < л/2.
Чтобы установить неравенство 2), запишем
.г sin (р
Isiiizl --=* —^—I 1 — e2ill.
Если z — х +-?;/, то
Л2 э |1-с-'М2 = A -e-;"cos2.rJ+ (e-1^ sin 2a:I.
При г/ > о > 0
Л > 1-е-^cos 2.r > 1 - <г-2(>.
Пусть теперь 0 -;~ i/ <C ft, а т лея;ит пне интервалов
\х-1:л\<8 (A; = (),'l, ...). Имеем х = 1ся + х, б<х<
< я — б, откуда
2л = 2/,-л -Ь 2,г, 26 < 22 < 2л - 26.
Если 2fi < 2.v < л/2 и:ш Зл/2 < 2х < 2л - 26, то
Л > е-"" Isin 2х\ = е-'-11 sin 2х| > е-2Л sin 26,
а если л/2 < 2х ^ Ил/2, то
А > 1 - е-^ co.s 25? > 1.
Мы получили, что и не])ном квадранте вне прямоуголь-
прямоугольников Ch: \х.— Л'л| < 6, 0 < (/ < 6 имеет место оценка
Isinsl > Ь(Ь)е"и'\ iF)=minCl, 1 - е "в, е"" sin 26)
При малом 6 прямоугольники лежат внутри полуокре-
полуокрестностей |z —/.л|<е, у S5 0. Поэтому полученная оцен-
оценка справедлива вне атих полуокрестностей. Все доказано
6. Оценка квазиполинома. Функция sin z есть линей-
линейная комбинация экспонент е" и е~~". Рассмотрим более

С 5. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСТТОНЕНЦИАЛЪНОГО ТИПА 53
общую функцию — квазиполином
Р (*) = S Vjl, А,фО (/= 1, 2 s), C.21)
где fj (/ =» 1, 2, ..., s) — вершины выпуклого много-
многоугольника Б.
Квазиполином — целая функция экспоненциального
тппа. Ассоциированная с ней по Борелю функция
сопряженная диаграмма — многоугольник Л,
Нетрудно видеть, что
\Р(ге'")\ <
где А = 14,1 +...+ \А,\ и
(/= 1, 2, . . ., s).
(p)|Yj|(p 4,, ^
E.22)
Будем изучать расположение нулей квазиполинома
P(.z). В процессе этого изучения получим оценку снизу
для |P(z)| вне окрестностей нулей.
Если максимум в E.22) достигается только для од-
одного /, то при больших \z\ в некотором угле с биссект-
биссектрисой arg z = ф у P(z) нет нулей.
Пусть теперь
|"fvl cos (ф + if») = |^„| cos (ф + i|<v).
В этом случае прямая, соединяющая ч» и "(„, есть сто-
сторона многоугольника jD, и она перпендикулярна лучу
arg z — — ф. Пусть arg z = — arl (/t=l. 2, ..., s) — луч,
перпендикулярный стороне if,,, vllM]- (f,+i = ii). Вне
углов largz — а„1 < 6, б > 0, при больших |г| у. P(z)
нет нулей, при некотором В > 0.
|P(z)| >Be"")r, s = re(^ (iarg 2 - aj < б>, \z\ > г..
Ci.23)
Пусть теперь z лежит в угле largz —а„|<б. Положим

54 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДНА
z •= welan. Тогда
причем соответствующие уп и yn+i лежат на вертикали,
и среди точек у; они самые правые. Углу largz — а„\ <6
плоскости 2 соответствует угол largwl <б шгоскости w.
Положим еще
в» = Уп
\ у] - у] -в„,
= е^Р,и.
Получим
Точки у» и Yu+i лежат па мнимой осп: у„ — — ф„, y,i4i ==
= 'Pn, ?n > 0, остальные точки лежат левее мнимой оси.
Пусть w — t + q. Имеем
/'V''
'( + ^ (О,
Р2 (w) = Р3 @ =
где ()(i) — квазиполином с показателями из левой полу-
полуплоскости. Величину q — qn подберем так, чтобы выпол-
выполнялось условие
или
^i,(e — л„ j ie
При таком выборе будем иметь
Pt(t)=Bnsin$Ht + Q(t), E.24:
где Вп?=0, и при малом 6>0 в угле I argil <б npi
больших \t\
\Q(t)\<e-»", p>(). E.U3
Согласно теореме 5.7, вне окрестностей G'm':
<е (гп = 0, ± 1, ± 2, . . .) имеем
Isin [\,t\ >C\>0.
Отсюда, согласно E.24) и E.25), заключаем, что вдал)

5. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
55
от начала координат нули P,ti) из угла |arg*l<6 все
лежат в указанных окрестностях, причем и каждой ок-
окрестности будет только один нуль. Пусть tm — нуль
P,(f) из окрестности G^. Имеем при больших т
tm = -?-771 + Em,|8m|<e.
I и
Так как Ви sin (лт + jLe,,,) + QUJ = 0, то
и, следовательно, | гт | < е~я°т, qa > 0, т > т0.
Итак,
tm - т- m + 8mi | em | < -Г, ?n > 0, m > m0. E.26)
Расстояние между этими нулями больше я/B[1п) при
больших т. Вне окрестностей С,"'
| sin pV | > С/, С2 > 0, i = g + щ.
Поэтому, в силу E.24) и E.25), в угле largfl < б, когда
UI велик и t лежит вне ^
l^a(O|>C8ePnlnl, C3>0.
Отсюда имеем | Р (г) | > С, | e*"v | ep^nl.
Пусть Гт' (и = 1, 2, ..., s; пг = 1, 2, . ..) — окрестно-
окрестности, получаемые из Gm] сдвигом на вектор q, а затем
поворотом на угол а„. Так как
Уп
с _ \п '¦ гл-ц ,-а о __ Уп+i in ian
On — 2 n • P™ 2i '
E.27)
TO
_*ni" I
= e
Аналогично в случае т) < О
Значит,
I РG)\ ~> Г ^h(»>lz| Г1 !> fl
для больших |з| в угле larg 2 — ctn| < 80 < б-п вне окре-

56 ГЛ. 1. ЦЫ1ЫЕ ФУ1ШЦШ1 КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
стиостей Г!"' (меньший угол пришлось и.шть из за сдви-
сдвига). Учитывая E.23), окончательно получаем
1Р(г)|>С*".("!г1,|2|>г0,С>0,.
г = гг'ф^Г;,:'> = 1, 2, ...,s;m- 1, 2, ...).
Это — искомая оценка снизу.
Пусть z'm' — нуль P(z), лежащий в окрестности
Г„''\ когда т велико, он соответствует нулю tm квази-
квазиполинома P3(t) пз окрестности G^\ Имеем
г == weOn = (t + (?) е'а" = (t + qn) e*n (q = qn).
0>сюда, на основании E.26),
*m' = (tm + Яп) е'а" = [-j- "l -г Яп + С'] e*n
или, принимая во внимание E.77),
В заключение оценим снизу производную Р'(г) в
нулях Р(г), иными словами, оценим снизу \P'(zm')\.
Имеем
() ? Y;V
Для Р'(г) величины р„ будут те же, что н для Р(:),
но сдвиг ^ будет iinoii, он определится из равенства
Получаем е2?""*-"' = ^п^/^а^= 1, отр;уда
Обозначим Гт соответствующие окрестности для P'(z).
Они получаются из окрестностей С1, сдвигом на век-
гор q, а затем поворотом на угол а„. Так как q — q Ф
?= пт/$п, то при малом е (е входит в определение G'm)
окрестности из совокупности (Г,] не будут пересекать-
пересекаться с окрестностями из совокупности [Г,„ ). Поэтому в

? 5 ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА 57
окрестностях Г™1 будет верна оценка
M, 1а|>г„.
В частности, получим
т > т,.
Итак, относительно квазиполинома E.21) можно ут-
утверждать следующее.
Теорема 5.8. Пусть P(z)— квазиполином E.21),
где ^i, • • •! Т« — вершины выпуклого многоугольника D.
Тогда
1) индикатриса роста
h (ф) = max | yj I cos (cp + ^), \|)j = arg y{ (j = 1, 2t . . ., s);
2) вдали от начала координат все нули P(z) — про-
простые;
3) вдали от начала координат нули Р(г), обозначим
их г„ , имеют вид
(п. =-,2,..., s; m > т0);
4) вдали от начала координат расстояния между ну-
нулями больше ^ > 0;
5) имеет место оценка |Р(ге'*I <Лем")г;
6) вне кругов радиуса е0 > 0 с центрами в нулях P(z)
выполняется оценка
\P(rei')\>Belx{*)r, r>r0, В > 0;
7) если К (п> \) — нули Р(г), |X,nl t «, то
| Р' ().п) | > CehW-»[ К - | Хп 1 в'*", я > п0.
7. Оценка специального произведения. Рассмотрим сле-
следующее произведение:
где 0 < X/, t <» и lim —- = а < оо.

58 ГЛ I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
Теорема 5.9. В угле е < ср < л — е (а также в угле
л + е<<р<2л — е) равномерно
—!— -*¦ ло| sin ф], г -*- оо. E.28)
Существуют окружности \z\ = гл t °°, на которых
| L (гв'"ф) | > е^"'3', г = г,, к > А-о (е) V е > 0.
Доказательство. Пусть n(i) — число точек Х^,
меньших i. Если Кк < t ^ Xkf(, то
Отсюда следует, что существует пт —-— = а и
n(t) = at + te(l), eU)-0, <->«,. E.29)
Соотношение E.28) достаточно установить лишь для ф
из угла ё < ф < л/2. Имеем
lu/i_ 4) = finfl-4
Подстановка равна нулю, ибо на участке [0, kt] функция
n(t) = 0, а при больших t она ведет себя как at.
Значит,
На основании E.29)
оо cvi
In L(z) = - 2:2а f -^ - 2s2 Г 4^4 = А ~
•J t — г J t" — г
о о
Имеем
оо
^4 = — z-a \ —. r = — z2ff — = — notz.

I 5. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА 59
+ . tVt] 2. dt^C
1 '' '
По заданному 6 > 0 выберем R так, чтобы выполнялось
условие Ie(t)I < б, t~$*R. Тогда
п^-к Н/2 _ 26
^° |2l2-|z|2/4 31*1"
Если sup |e(t)| = К, то
я
-я*
Оценим интеграл Е. Имеем \f — 22| = \t — z\ \t + z\. Ког-
Когда z лежит в угле 0 < ф ^ л/2, тогда U + z| > t, |l — zl >
и, значит,
Г dt - 2б
В итоге при е < ф < я/2 получаем
= — ЯО12 + J)(z)UI,
где | Р (z) К -у 6 + ^"'Ч + -^~ ¦ При малом б п
больших \z\ величина |jp(z)| мала. Значит,
In I Zj С 2) I = па I sin ф|г + оA)г
или
Первое утверждение доказано.
Из него следует, что Мф) = лоЫпф! при ф^О, я.
В силу непрерывности Мф) = nalsinф| и при ф = 0, я.
Таким образом, Мф) = nalsin ф|, 0<ф<2я.
Перейдем к доказательству второго утверждения.
Имеем МО) = 0. Из определения индикатрисы следует,

60 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУШЛШП КОНГ.'ШОГО ПОРЯДКА
что найдется последоиато.тьпоеть чисел гк 1 °° таких, что
| L (гк) | > e-V\ гк -> 0, А- — do. E.30)
Возьмем произвольное 6 > 0. Пусть е > 0 таково, что
лозше <6/2. Из (.'.28) следует, что
я - е. к > ка (б).
На основании E.30) в угле !гр| < е
п
Но в этом угле па | sin rp | — 6 <-т; б — — —-¦ Следо-
Следовательно,
L (г^) |
пфщ1 ь]'\ | «г |< е, А- > A't F).
Это же неравенство будет и в угле л — е < ф < л -{¦ s.
В итоге на окружностях Ы = гк
| L (rhe">) | > е'яо|а|A(г1 - ft;r\ Л- > max (/M, А-„).
Все доказано.
8. Индикатриса роета производных. Пусть /(z) —це-
—целая функция экспоненциального типа, М<р) — ее индикат-
индикатриса роста, vU) — функция, ассоциированная с /Ы. То,
что функции /(г) соответствует функции "fU), будем от-
отмечать записью
Имеем
f(z)e-"dz.
Из оценки E.10), когда t лежит в полуплоскости
We (tel<fo) > /i (ф0) -f- с + 6, вытекает, что подстановка рав-
равна —/@). Таким образом,
Тогда
- /@)] - /40) =
- tJW - /40),
j"(z) ^fy(l) - Г-
... - /¦¦"-'40).

§ Ь. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИЙ ЭКСТТОПЕШШАЛЬНОГО ТИПА 01
Т е о р о м а 5.10. Если /Ы Ф fit), то
/сп|(г)^Г^(«-Г-7'П)-...-/(т-1Ч0) (m = l, 2, ...).
С л е д с т в и е. Пусть D — сопряженная диаграмма
функции jiz). Если начало координат — внутренняя точ-
точка D, или внешняя точка по отношению к D, или гра-
граничная точка D, не являющаяся внутренней точкой от-
отрезка, входящего в состав границы, то индикатриса роста
производной f'iz) та же, что у /(з).
В самом деле,
Впдпм, что у функций tfit) — /@) и f(?) одни и те же
особенности кроме точки t = 0. Положение множества D
определяется угловыми граничными точками. В услови-
условиях теоремы точка t — 0 не является угловой граничной
точкой. Поэтому сопряженные диаграммы у /'Ы и /(г)
совнадают, опорные функции равны, в силу чего и инди-
кат рисы равны.
В случае, когда начало координат — угловая точка 13,
может случиться, что индикатрисы у /(а) и /'(г) различ-
различны. Для примера возьмем функцию
/U) = 1 + е\
1 1
Для нее у (t) = — + f^~i' а для ПРОИЗВ°Д11ОП /'(г)= е' ас-
ассоциированная есть t _ t- Множество D для /(г) есть от-
отрезок [0, 1], для /'(z) — точка 1.
9. Понятие об операционном исчислении. Рассмотрим
линейное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами
alli/")(z) + ati/"-u{x) + ... + апу(х) = (fix) E.31)
и поставим задачу о нахождении решения этого уравне-
уравнения с начальными данными
1/@) = «о, г/'@)=а„ ..., !/('-1Ч0) = а„-1.
Предполагаем, что (fix) как функция комплексного пере-
переменного х — целая функция экспоненциального типа и
Будем искать искомое решение тоже в виде функ-
функции экспоненциального тина, и пусть yix) ^ ^it). По

62 ГЛ. I. ЦГ.ЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
теореме 5.7
у(т4х) Ф ГуШ - Г-'а0 - Г'^-а, - .... - ой-,.
Левая часть в E.31) — целая функция экспоненциального
типа, и < й соответствует ассоциированная
au[t"t(t) -V'-la0- ...~ а.,-,1 +
<"-2а, - ... - а„_2] + ... +
Поскольку левпя часть в E.31) тождественно равна пра-
правой (у(х) — решение), то и ассоциированные должны
быть равны:
(aot" + aj"'1 + ... + aj-i(t) -
-(auajn'1 + ... + auan_, + ... + nn-ta0) = 4M). E.32)
Отсюда
где Т^п-Д*) — известный многочлен степени <га—1. Us
этой формулы видно, что f(t) регулярна в окрестности
точки t = °° и f (<») = 0. Поэтому
Тогда
/1=0
Поскольку if(') удовлетворяет уравнению E.32), найден-
найденное (/(х) удовлетворя?т уравнению E.31) и задаппым на-
начальным условиям.
Описанный метод отыскания решения дифференциаль-
дифференциального уравнения и составляет сущность операционного ис-
исчисления. Он сводит решение дифференциального урав-
уравнения к решению алгебраического (так называемого опе-
операторного) уравнения E.32). Находить у(х) по fU) мож-
можно по формуле
с помощью теории вычетов..
Если правая часть ср(х) = О, то fit) = Pn-.t(t)/P(l)
и особенности f(t) — нули характеристического многочле-
многочлена РA).

8 5. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА 63
Рассмотрим два примера. Требуется решить задачу:
у"(х)-2у'(х) + у{х) = 0, у@)=0, !/'@) = 1.
Имеем
уЫ^чШ, !/'(z)=Mf(i), у" Ы *=
п операторное уравнение имеет вид
Отсюда fU) = !/(*- 1J и
с
Во втором примере требуется решить следующую за-
задачу:
у" +y' + j/ = cosz, у@)= 0, у'@)-1.
Имеем
Операторное уравнение — следующее:
Отсюда у (t) — l/(t2 + 1) и у(х) = sin я.
10. Ряд Ньютона с целыми узлами.
Теорема 5.11. Пусть F(z) — целая функция экспо-
экспоненциального типа, ^(t) — функция ассоциированная с ней
по Борелю, D — наименьшее выпуклое замкнутое мно-
множество^ содержащее все особенности f(f). Если D содер-
содержится в односвязной области G : \е' — II < 1, содержащей
точку t — 0, то
F (*) = 2 Цг1 ^ (^ - 1) ••• B - /с + 1), E.33)
где
&hF @) = F {k)-C{F (k-i)+ClF(k-2) 4- • • • + (- fe
Доказательство. Имеем
с
где С— замкнутый контур, который лежит в области

64 Г Л Т. ЦЕЛЫЕ ФУНКШПТ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
и охватывает множество 25. Положим и = е'. Тогда
' - ос
е = ц = е = (р (и) — ^ -=-р—- (м — 1) , | а — 11
(функция (|,(и) регулярна в круге \и — II < 1) или
и V г'; - ') ¦¦¦ (-¦-/¦•¦'г I) , ,чЛ
е = ^ fi (и - 1)
k\
_ Л*
J •
Когда (?f, имеем !е' —1|<^<1 и ряд сходится отно-
относительно t равномерно. В силу этого,
'<•> - i !t-"-;:-''" irjv - очи*.
л-о С
Отсюда и получается искомый результат, если учесть, чт(
Ряд C.33) — интерполяционный ряд Ньютона.
Теорема 5.12 (Полна). Пусть выполнены условш
теоремы 5:11, и пусть F(k) (к = 0, 1, 2, ...)—целые чис
ла. Тогда АЧз) —многочлен.
В самом деле, имеем
Отсюда следует, что tW<40) -»- 0 при к -*¦ °°. Но, в сил;
условия, Д*г'@) — целые числа. Поэтому Д*/<'@) = t
п > /V и
Л1 ....
Л=0
Отметим, что функция 2' = е'' — целая экспоненци
ального типа — принимает в точках z = 0, 1, 2 целые зна
пения и она не есть многочлен. Для этой функции D -
точка ? = 1п2, она летит на границе области G. Функци
2' не разлагается во всей плоскости в ряд E.33).

{ в. УТОЧНЕННЫЙ ПОРЯДОК, ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЙ РОСТ 65
§ 6. Понятие о функциях уточненного порядка
и функциях вполне регулярного роста *)
1. Функции уточненного порядка. Уточненным поряд-
,ком называется функция р(г) (г>0), удовлетворяющая
условиям
Пт р (г) «= р, lim rp' (r) In г = 0.
Г->О0 Г-»оо
Если для целой функции /Ы
щ In^l1iOOi M(r) «=max|/B)|t
то р(г) называется уточненным порядком целой функции
/(г), а о — типом этой функции при уточненном порядке
р(г). При р(г) «= р имеем обычный порядок и тип.
Тип о целой функции
Z(z) = i cnzn
уточненного порядка р(г) определяется из равенства
Птф{п)У\сТ\ =- {oepI/pt
П-гоо
где г = cp(t) — функция, обратная функции f = rp(O.
В случае р(г) я р (т. е. в случае обычного порядка)
имеем <p(t) = tilp, и это равенство естественно совпадает
с формулой A.15).
Стоит отметить, что всякая целая функция обычного
порядка (и любого типа) есть целая функция некоторого
уточненного порядка (с типом о Ф 0, <»).
Пусть /(г) — целая функция уточненного порядка
р(г). Функция
называется индикатрисой роста или индикатором функ-
функции /Ы. Она характеризует рост l/(z)| вдоль лучей.
Индикатриса роста Мф) — непрерывная периодическая
функция с периодом 2л. Характерным свойством ее яв-
является тригонометрическая выпуклость. Тригонометриче-
¦) Приводимые без доказательства в этом параграфе результа-
результаты содержатся в книге [1].
5 А. Ф. Леонтьев

eg ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ 4УШЩ1Ш КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
гаи выпуклая функция — это функция, удовлетворяющая
неравенству
h(cr,) sin p(ff^ - г-) -г h(cz) iin р'грз - rp,) +
-\- /i(tp3) sin p(rp, — cp2) < 0
при q3 - ffi < л ¦'[">, ffi < (f- < <T>
2. Функция сполпе регулярного роста. Пусть Е — не-
некоторое мпоигсстно положительных чисел. Предел (если
он существует)
налыпрется относительно:'/ мерой множества Е.
Пусть /(з)—целая функция уточненного порядка а(г)
с индикатрисой роста Мф). Эта целая функция насыпа-
насыпается целой функцией вполне регулярного роста, oc;ni
мо#1;по указать такое множество Ео нулевой отпоситель-
,„ т In | J\
ион меры, что прп г<?Ь0 и г ->¦ °° функция
равпоиерно стремится к Лир).
Околпачим й(г, 0, 0) число пулей /Ы, лежащих n ccj;-
торе Ы < г, ¦&• < ai'g z =? 0.
П.меет место следующая
Теорема 0.1. (Л. Нфлюггра). Если целая функция
/(z) уточненного порлдкп р(г) является функцией вполне
регулярного роста, то для всех значении Ь и 0(О<0), ла
исключением, быть молгет, счетного множества, существу-
существует предел
S(O0)hm^Л
s @, 0) = hj @) - h', (ft) + p2 f h, (<p) d-v.
b
Исключительное счетное множество может состоять лишь
из точек, в которых h/fi -f 0) ф ht @ — О).Б случае цело-
целого р, кроме того, существует предел
где ak — Hijju /(z); отличные от начала координат, с„ —

§ G. УТОЧНЕННЫЙ ПОРЯДОК, ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЙ РОСТ 67
коэффициент при zp в многочлене P(z) представления
/ (z) = zmep<« ft G (^, р), P (z) = cpzp + ...+с0,
L (г) = гр'г)-р.
3. Правильно распределенные множества. В-множе-
ства. Пусть А — некоторое счетное множество точек пло-
плоскости с единственной предельной точкой в °°, п(г, ¦&, 6) —
число точек из этого множества, лежащих в секторе
\z\ < г, 0 < arg 2 < 0. Будем говорить, что множество А
имеет угловую плотность Д(О, 6) при показателе р(г), ес-
если для всех ft, 6, за исключением, быть может, счетного
множества, существует
Множество А = iah), имеющее угловую плотность при
показателе р(г), при р нецелом называется правильна
распределенным при показателе р(г). Множество А =
= {ajt имеющее угловую плотность при показателе р(г),
при р целом называется правильно распределенным при
показателе р(г), если существует конечный предел
6 "-= Иш TUV 1е + 7 2 «v Р1 г, (,¦) = г"'"-' (G.1)
при каком-нибудь значении константы с.
Пз теоремы 6,1 видно, что пули целой функции впол-
вполне регулярного роста образуют правильно распределен-
распределенное множество.
Пусть /1 ={ал) — правильно распределенное множе-
множество. Положим
при р нецелом и
при р целом, где с — постоянная, фигурирующая в вы-
ражешш F.1). Функция /(г, А) называется канонической
функцией правильно распределенного множества А.
Пусть С, (/ = 1, 2, ...) — кружкп |г — 2,1 <rs .комп-
.комплексной плотности, Zj-*-°o при j^>-°o. Назовем линейной

68 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
плотностью множества кружков С} предел
lim 1 2 г,
Сформулированные ниже результаты принадлежат
Б. Я. Левину и А. Пфлюгеру.
Теорема 6.2. Пусть A = {ah) — правильно распре-
распределенное множество при показателе р(г). Вне некоторо-
некоторого множества кружков нулевой линейной плотности ка-
каноническая функция f{z, А) удовлетворяет асимптотиче-
асимптотическому равенству
Inlfire'", A)\ ^h((f)r*ir). F.2)
Здесь
при р нецелом и
в
h (9) = — j Сф — 8) sin p (ty — 9) d\ (ф) + т/ cos p(8 — 9/)
6- 2Л
при р целом, причем it и 9; таковы, что
Xj'i "= б =
а функция Д(ф)—неубывающая, определяемая соотно-
соотношением
¦д<е)-д(в)-д(в, е).
Из теоремы 6.2 видно, что каноническая функция
/(z, 4) правильно распределенного множества — функция
вполне регулярного роста.
Пусть flz) — целая функция уточненного порядка р(г),
и пусть множество ее нулей А = {ак) — правильно рас-
распределенное множество. Образуем каноническую функ-
функцию flz, А). Функция /(z) отличается от канонической
функции только множителем вида zmeQ('\ где Qiz) —
многочлен степени, меньшей р. Этот множитель "не влия-
влияет на индикатрису роста, так что у /Ы и /(z, А) одина-
одинаковые индикатрисы. Для /(z) верна теорема 6.2, п /Ы —
функция вполне регулярного роста.

I 6. УТОЧНЕННЫЙ ПОРЯДОК, ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЙ РОС? 69
Мы видим, что
Теорема 6.3. Для того чтобы целая функция ftz)
уточненного порядка р(г) была функцией вполне регуляр-
регулярного роста, необходимо и достаточно, чтобы множество
ее нулей было правильно распределенное.
В теореме 6.2 не указывается, как расположены ис-
исключительные кружки Ch вне которых выполняется
асимптотика F.2).
Правильно распределенное множество А = {ah} назы-
называется регулярным или R-множеством, если при некото-
некотором d > О
или если все ак лежат в конечном числе непересекающих-
непересекающихся углов qjj <argz^(pj (j = 1, 2, ... m) и для точек
aft, j е А из /-го угла (/' = 1, 2, ..., т)
При этом кружки
2Г{М\ F.3)
называются исключительными кружками (Ск-кружками)
Множества А = {aj.
Теорема 6.4. Пусть /(z)—функция вполне регу-
регулярного роста при показателе р(г) и А = {aj — ее мно-
множество нулей. Если А — регулярное множество, то вне
исключительных CR — кружков
1п!/(ге*)|
4. Примеры функций вполне регулярного роста. Пусть
множество А = \ah} точек на положительном луче имеет
плотность
А,. п (г)
= hm-^-
(«.(/•)— число точек из А в интервале [0, г)), п пусть
т — целое число, большее р. Положим
F.4)
Множество нулей /(z) — правильно распределенное,
поэтому /(г) — функция вполне регулярного роста при

7о гл. i целые функции конечного погядКл
порядке р(л). Показывается, что
,. In | / (re*) I _ "Л
11Ш ,.(>(¦) '~ . Я[) COS
r-*oo ' Clll
причем стремление к пределу равномерно в любом ин-
интервале 0 < ц < ц < ^ л.
При р(г) =- р [I m = 2 отсюда вытекает первое утверж-
утверждение теоремы Г).7.
Другим примером функции вполне регулярного рос-
роста является квазиполином
где fj — верппгпы выпуклого многоугольника. Согласно
теореме 5.8, пулп P[z} оПролуют регулярное дгпожестпо,
откуда и следует, что /'(z) — функция вполне регулярно-
регулярного роста при порядке р(г) = 1.
5. Оценил прс!1о!1<;д(К)й функции п ее нулях.
Теорема 6.5. Пусть /(г) — функция вполне регу-
регулярного роста при norcuinwie рб1). /?с./ш множество
А = {ah} ее нулей — регулярное множество, то при лю-
любом е > 0
Доказательство. Ныбщжем г? столь малым:, что-
чтобы псключпгельпые кружки ((ко) не пересекались.
Имеем
г с.-.-)
max
р« = di'h
Очевидно, что ph/\ah\ -> 0, к-* °°. Принимая во внима-
внимание этот факт п то, что, па основании теоремы 0.4, на
границе \z — а,} -- ph
получим, что
Ото и доказывает теорему.

§ 6. УТОЧНЕННЫЙ ПОРЯДОК, ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЙ РОСТ 71
Следствие 1. Пусть точки ah из п. 4 удовлетворя-
удовлетворяют дополнительному условию
a!in — ak>dal~P{ail\ d>0.
Тогда производная j'(z) функции F.4) в точках ah имеет
оценку
[^]?(rft) /;>/.•„ (е) \Jz>0.
к
Следствие 2. Пусть 0 < ).ft f oo, lim -j—= ст ф 0,оо и
lim -т— In
= 0,
В данном случае р(г) = 1 и исключительные кружки
есть кружки |z — "hh\ <3. При малом d онн не пересека-
пересекаются и, значит, {).к) — регулярное множество. Индикат-
Индикатриса роста функции L(X) равна Л(ф) = nalsin cpl. Осталь-
Остальное очевидно.
6. Существование функций с заданным ростом*).
Теорема 6.6. Пусть р(г) — уточненный порядок,
причем р = lim р (г) — нецелое число, и Мер) — периоди-
Г—» оо
ческая с периодом 2я и тригонометрически выпуклая
функция при показателе р(г). Тогда имеется целая функ-
функция порядка р(г) с индикатрисой роста Мер). Эта функ-
функция — каноническая функция некоторого регулярного
множества А = iah), удовлетворяющего 'условиям: точки
\ак\ (&^1) лежат вне заданного множества Еа нулевой
относительной меры и при некотором d > 0
Теорема 6.7. Пусть р — целое число и Мер) — пе-
периодическая с периодом 2л; тригонометрически выпуклая
функция при показателе р. Тогда имеется целая функция
порядка р с индикатрисой роста Мер). Эта функция — ка-
каноническая функция некоторого регулярного множества
А = {cij), удовлетворяющего условиям: точки \ah\ (к>1)
*) Результаты этого пункта можно наптп п книге [2].

72 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
лежат вне заданного множества Еа нулевой относитель
ной меры, и при некотором d > О
Т« о р е ы а 6.8. Пусть D — ограниченная замкнута,
выпуклая область, имеющая внутренние точки, К((р) — е.
опорная функция, fc(cp) = К(—ср). Пусть, далее ф(г) —
функция, удовлетворяющая условиям:
О < ф (г) f оо, lim ^р! = 0.
Тогда существует целая /функция j{z) первого порядка
индикатрисой роста Л(ф), которая имеет следующую,
оценку сверху:
| / (re'*) | < -^уГ, г > 0.
Эта функция — каноническая функция некоторого ре
гулярного множества Ы,) (оно зависит от ф(г)) при по
казателе р = 1; множество {dk} является подмножество!
уже не зависящего от ф(г) регулярного множеств,
А = {ak} при показателе р = 1. Точки {ak} (к> 1) лежаг
вне заданного множества Ео нулевой относительной меры
Если db = r(ie"Pft.i то при любом е > 0
§ 7. Применение целых функций к вопросам полноты
Теоремы единственности из п. 3 § 2 можно использо
вать для вывода условий полноты некоторых систе.1
аналитических функций.
1. Критерий неполноты.
Лемма 7.1. Пусть /i(z), /2(z), ... —последователь
ностъ функций, аналитических в замкнутом круге \z\ =s
=S fl < оо, гг пусть эта последовательность сходится в L
на \z\ = R, т. е.
f IU B) - /m (z) I2 ds < e, n,m>7V(e) \/e>0.
|2|=й
Тогда {/„(г)} сходится равномерно внутри круга |г|<7?
Доказательство. Имеем
U (Z) — /m (Z) = 2^7 ] t-'z dt>-
||

§ 1. ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ К ВОПРОСАМ ПОЛНОТЫ
откуда для I z I «S г <R
2л (Л — г)
V 2л (Л — г)
Это и доказывает равномерную сходимость в |z| s? г.
Теорема 7.1. Пусть D — односвязная область,
°° &D\ <pi(z), фг(г), ... — последовательность функций,
аналитических в D, М — линейная оболочка {cpn(z)}
Pk
(ф е ?, если ф B) = liin 2^vfpvB), сходимость равномер-
. ft-»oo V=l
•мая внутри D); Если функция A{z) не принадлежит Л/,
го существует функционал
(С — замкнутый контур, лежащий в D, f(t) — функция,
аналитическая на С и вне С, ft00) =0), обладающий свой-
свойством:
Доказательство. Докажем сначала теорему для
случая, когда D — круг |z| < 1. Пусть Л (г) не принадле-
принадлежит М. Тогда имеется круг |z|^ro<l, в котором A{z)
не может быть представлена в виде предела последова-
последовательности линейных комбинаций функций пз системы
фй
Возьмем число R, ra<R<l. Пусть /(г) и ф(г)—
функции, аналитические в \z\ < 1. Положим
гл
|г[=Я
G.1)
где, если ф(г) = 2 Ъпгп1 то ф (г) = 2 ^nz?l- Отметим, что
0
п=0

74 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
если г близко к R, то
Пусть /'< R и /¦ близко к R.
Ортогоналшшруем систему iqh(z)) па окрулпюстл
\z\ — R (скалярное произведение определено формулой
G.1).), получим систему !ij:J.::bl. (.Н'рапуем ряд
Е (-1, •'!• к) U (-), G-3)
он сходится н L,_ па Ы =/?. <1>уш;1яш \|\(z) — аналити-
аналитические в \z\<R (\[h(z)—конечная лилейная комбинация
функций из {(j.,.(z)}). Но лемме 7.1 ряд G.3) ррвиомериг
сходится внутри \z\ <R. Он пе с.чо;;птся к фупкндш
Жг) (в противном случае фу1н;цпя Ai.z) прпблпжаласг
бы, в частности, в \z\ < г„ jiniieiiiiLi.Mii ко.мбпноппямп
функций ij\B), а следовательно, н функций <;,,(;:)). От-
Отсюда
F (г) = А (г) - 2 (Ли, г|-A) ^
Имеем
z |< Л.
2 л i
или
1
2л7
Отсюда
^ j F (rer*) $„ (^1 е'
= 0 (A ^ 1)
шш, если положить — e?(f = t,
ui=hV

• § 7. ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ К ВОПРОСАМ ПОЛНОТЫ 75
Из этих равенств вытекает, что
— конечная линейная комбинация функций tym).
Положим
Функция F{z) регулярна в Ы < R. Тогда ^(t) регулярна
при \t\ >R и v(oo)=0. Отметим, что Н < R2/r < 1 (при
г, близком к ft).
Убедимся, что
Имеем
V
о
о I
In
Л [re *)^
о
tIR2\ dz
Заменим интегрирование по окружности \z\ = г инте-
интегрированием по окружности \z\ — R (это законно в силу

76 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
G.2)). Получим
Х 2лГ J
2, А , \ 1
2|=Д
ь—1 о о
- 2 (А, ty) И, ^) = 1A f - 2 | (А, гЫ р ф О,
ибо ряд не сходится в Ъг к Л(г) на |z| = R. Тогда Q Ф 0.
Отсюда и из G.4) вытекает, что
Hf)=^t j y(t)f(t)dt,
где 4U) — функция G.5) — искомый функционал.
Перейдем к случаю, когда D — одпосвязная область,
отличная от всей плоскости.
Пусть 2 = yp(w) — конформное отображение единично-
единичного круга Iti'l <1 па область D. Положим fk(w) = срь[г|:(ш)],
Biw) = A[${w)]. Функция Aiz) не принадлежит лнней-
ной оболочке М. Поэтому функция Biw) не принадлежит
линейной оболочке системы ifhiw)). Тогда по уже дока-
доказанному имеется функциопал
^ ^ f ^ dw
1
i)\iiv) регулярна при \w\ > г и т|(°°)=0) такой, что
Z(/) 0 (Л) КВ)ФО
Пусть w = |(г) — функция, обратная функции г =
•= (fiw). Имеем
2^7 [ Л 15 BI 6' (г) Фл (г) d« - О, 2Н1 f л № (г)] Е' (г) X
с с
X Л (г) dz ^= О,
где С — образ отфуяшости |к?|«=г при отображении i ¦="
(). Функция i][?(z)];'(z) регулярна и однозначна в

g 7. ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ К ВОПРОСАМ ПОЛНОТЫ 77
D вне контура С (она регулярна и на контуре С), Ее мо-
можно представить в виде
где a(z) регулярна на С и внутри С, а f(z) регулярна на
С и вне С, причем ч(°°) = Q. Имеем
j
с с
Функционал г (/) = 2я! J V @ / @ dt — искомый.
с
Осталось рассмотреть случай, когда D есть плоскость.
Если A{z) не принадлежит М, то найдется круг |z| < /? <]
< <», в котором A(z) не принадлежит линейной оболочке
системы i(fk(z)}. Но тогда все сводится к предыдущему
случаю.
Теорема доказана полностью.
2. Критерий полноты. Пусть D — односвязная область,
°°<?D, /Дг), /2(z),...— система функций, аналитических
в D. Система (Д(г)} называется полной в D, если линей-
линейная оболочка этой системы совпадает с множеством все»
функций, аналитических в D.
Имеет место следующий критерий полноты.
Теорема 7.2 (А. И. Маркушевича). Для того чтобы
система {cpA(z)} была полной в D, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы из равенств
\ G.6)
с
где С — замкнутый контур, лежащий в D, yit) — функ-
функция, аналитическая на С и вне С, причем ^(°°) = 0, всег-
всегда вытекало lit) з= 0.
Доказательство. Пусть из равенств G.6) всегда
вытекает, что чШ = 0. Тогда система {(pk(t)) полна в D.
В самом деле, если бы система не была полной в D, то
нашлась бы функция A(z), которая не принадлежала бы
линейной оболочке М системы {qk(t)}. По теореме 7.1 тог-
тогда нашлись бы контур С и соответствующая функция *{{t)
такие, что выполнялись бы условия G.6), но
и, значит, lit)

78 ГЛ, I. ЦГЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
Пусть система полна в D. Убедимся, что из равенств
G.G) следует "fU)=O. Имеем
(г)/»'Л == О (,»>0).
Если v@ = 2-5г. И>Я)То
о '
С ¦ \U -,:.-П
п, значит, "/U) = 0.
3. О полноте системы {/(^а')^-
Теорема 7.3 (Л. О. Гельфопда). Пусть / (г) - >j олz>> -
о
целая функция порядна р, 0 < р < со, причем arc ah^Q,
и пусть ).и а2, ...— последоват,ельиостъ комплексных чи-
чисел с показателем сходимости т. Если т > р, го система
полна во всей плоскости.
Д о к а з а т с л ь с т в о. Пусть
(t)f^^)dt^O (/,•>!). G.7)
Контур С здесь можно заменить окружностью Ы == Г!
при достаточно большом R. Положим
~ \ y(t)l(zl)dt. G.Я)
\t\----.n
П.меем
(г) V;- > 0.
В силу теоремы единственности 2.Г), получаем Fiz) = 0. Но
\
Поэтому
(г) = 2°//^ f
l'
\

§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИИ К ВОПРОСАМ ПОЛНОТЫ 79
Пусть у (t) = У, ——-, тогда
, If j! 1 I П
С
и, значит, fit) = 0.
Теорема 7.4 (Л. II. Маркугаевнча). Пусть / (z) =
со
~-^jakz'! — целая функция порлдка р и тапа а, причем
о
есе аА =5^ 0, ц ?.i, ?.2,...— последовательность комплексных
чисел, lim = т. Тогда система ij{).hz)} полна по
II г) I X V Р
.меньшей мере в круге \ z \ < ii0 — I ———
Д о к а з а т е л ь с т п о. Пусть г.ыполпепы условия G.7).
Образуем функцию G.8), где R < Ro. Инеем F{}.•)= О
(k^i) и
Значит, тип функция F'\z) при порядке р
г
Имеем lim —¦'-—- = т ,= а pR^' > аСрйр > е ю>. В силу те-
о])емы едиистиешшстп 2.G, получаем F(z) = 0. Отсюда, как
п выше, выводим ^{1)=0, что п требовалось доказать.
т~'— ^
С л с д с т п и е. Если lnn TV ~ = оо, то система {f{Xhz^}
h -^ со | /¦- ^
полна во всей плоскости.
4. О полноте системы {-г1} на отрезке.
Теорема 7.5 (Мкишта). Пусть 0 < Хл! °°. ?слг^
со
^2j r<-kl = со, го система 1 U {а;'!'} (А;> 1) полна на [0,1].
При этом систему функций /j,U) (/с>1), непрерывных
па [а, Ь], мы называем полной на [а, Ь], если линейная
оболочка этой системы (сходимость равномерная на [а, Ь])
совпадает со множеством всех функции, непрерывных на
[а, Ы.
Доказательство. Известно, что любой непрерыв-
непрерывный функционал в метрике С на [0, 11 имеет вид,
1

80 ГЛ. I. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
где a(t) — функция ограниченной вариации на [0, 11. Из-
Известно также, что для полноты системы ifh(t)} на [0, И
необходимо н достаточно, чтобы из равенств
КД) = О (Л5М) G.9)
вытекало К/) = 0.
Пусть выполнены условия G.9). Рассмотрим функцию
Имеем
/(О) = о, /(>.») = о a-^i). G.Ю)
Так как
\t'\ = |e'ln'| «=е* 1п<<1, *е=[0, 11, а; > 0,
то функция /(z) регулярна и ограничена в правой полу-
полуплоскости Re z = х > 0.
Функция и; = ( , конформно отображает полупло-
полуплоскость Re z > 0 в единичный круг |ц>| < 1. Функция
ф(ц>) = /(г) регулярна и ограничена в единичном круге
\w\ <1 и ф(рА) = 0 (A^D, где
При больших
ол
Поэтому 2 A — \Ph\) ~ °°- Отсюда в силу теоремы
единственности 2.7, ф(г/?) = О, значит, и /(г) = 0, Rez>
> 0. Тогда, в частности, /Ш=0 ik>i). Отсюда, учиты-
учитывая первое из равенств G.10), заключаем, что'
1
J**da(t)-0 (к = 0,1, 2,...).
о
Но система {ift}ftL0 полна на [0, 11. Поэтому l(f) = 0. Все;
доказано.

ГЛАВА II
РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
§ 1. Ряды с вещественными пбказателямп
1. Преобразование Абеля. При исследовании сходимо-
сходимости рядов часто используют следующую формулу:
2 АпВп = 2 (Вл ~~ Вп+1) Сп + BqCqi A.1)
где Ап и Вп — любые числа, С„ = Ар + ... + Ап.
Чтобы доказать A.1), отметим равенства
Af = Ср, Ап = Сп — Сп-и п>р.
В силу этого
д
2 ЛпВп = ВРСР + fiP+1 (Cp+1 —Cp)-\-...-\-Bq(Cq — Cq-J.
Раскрывая скобки и группируя иначе члены, получим ис-
искомую формулу
2 АпВп = (Вр - Вр+1) С, + (ВР+1 - Вр+2) Ср+1 + ...
• • • + (^9-1 — Bq) Cq-l + flgCgj
которая и называется преобразованием Абеля.
2. Аналог леммы Абеля. Будем рассматривать ряд эк-
экспонент — ряд Дирихле
2авв-х«\ A.2)
71=1
y^ которого показатели Хп положительны, 0 < Хп t °°.
Лемма 1.1. Пусть ряд A.2) сходится в точке za. Гоз-
За он сходится {вообще говоря, не абсолютно) в полупло-
полуплоскости Re z > Re z0; в каждом секторе
larg(z-za)l <6 < л/2 A.3)
он сходится равномерно.
в А, Ф, Леонтьев

S2
гл. и. ряды экспонент)
Д о к а з а т с л ь с т в о. Прпмс-нv. м к выражению
ч ч
преобразование Л б ел л A.1-. полни; и
= е~Л"(~"г^. Имеем
Л,, == а„е ""'", /?„ =
откуда^ полагая z ~ x -\- iy, получим
= llni»! r,,- (* ^и)»-л _ c-- (-^ ¦%)'-,,; i
a - j;u
По yc'fOBiiio ряд A.2) сходится в точке zu. ('.лсдопятел
но, для каждого е>0 найдется та:.ое Л', что при люи1
п и р, удовлетиоряющпх условию п > р > Л;, иудст
\С„
В силу формулы A.1), для z из сектора A.3)
2.... '¦'¦¦
(¦-¦ %
си.ч U
8
Отсюда
CL..4 U
CDS U
что докпг!ш;аст paisuoiic
пую сходимость ряда в секторе A.3). П,ч этого, копен
следует, что ряд сходится в полуплоскости Re z > Не z0,
в этой полуплоскости его сумма /U) — аналитическая.
3. Асимптотика суммы ряда. Единственность разлся
ния. Из оценки A.4) получаем: ?, секто.ре A.3)
-">-.,z
п=е
COS

§ i. РЯДЫ С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ ¦ 83
Пусть /Ы —сумма ряда A.2). Имеем
/ (г) = flle-V + • • • + a^e-^-i* + R, (z),
причем в секторе A.3)
| Rv (z) | < -^ f^e-3*-" = fte-x4 P > ,V.
Фиксируем /j (тогда [1 — постоянная величина). Получаем
где
Правая часть стремится к 0 при х -> + °°, когда z лежит
в секторе A.3). Таким образом, в секторе A.3) при х -*¦
-> + со
/(z) --= е"*чх[я, + оAI. A.5)
Отсюда / (з)-да а;е -1 , если я, =т^ 0.
Из асимптотики A.5) далее следует: в секторе A.3)
при больших х функция f(z) ?= 0 (если в ряде не все ко-
эффпцпспты равны пулю).
Па основании последнего заключения устанавливает-
устанавливается единственность разложения /(z) в ряд Дпрп5сле: если
71 ОО
¦/ /7\ _ V п p-t-H* j G\ — V;, p~xnz
•||=--1 1
то а„ = /)„ (н > 1).
Де:"[ствптелыю, имеем
QO
2 {an— Ь„) е~?" -- О,
по тогда ап — Ьп — 0 (н 5= 1).
4. Абсциссы простой, абсолютной и равномерной схо-
сходимости ряда Дирихле. Из предыдущего следует, что ряд
Дирихле или всюду сходится, или всюду расходится, или
существует такая конечная величина с, что ряд .Дирнх-
ле сходится в полуплоскости Re г > с п расходится в по-
полуплоскости Re2<c. Полуплоскость Rez>c называется
6*

84 ГЛ. II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
полуплоскостью сходимости, прямая Re z = с — прямо
сходимости, а величина с — абсциссой сходимости ряр
Дирихле. Если ряд сходится всюду, полагают с = —°°,
если ряд всюду расходится, полагают с = +оо.
В отличие от ряда Тейлора, где круг сходимости coi
падает с кругом абсолютной сходимости, у ряда Дирихх
полуплоскость сходимости, вообще говоря, не совпадает
полуплоскостью абсолютной сходимости.
Если ряд A.2) абсолютно сходится в точке z0, то i
неравенств
\ahe k* | ^ | ahe A7o|, Re z ^ Re z0
следует, что ряд абсолютно и равномерно сходится в п
луплоскости Re z S* Re z0. Следовательно, ряд Дирих;
или сходится во всей плоскости, пли нигде не сходит*
абсолютно, или существует такая конечная величина
что ряд абсолютно сходится в полуплоскости Re z > а
не сходится абсолютно в полуплоскости Re z < а. Пол
плоскость Rez>a называется полуплоскостью абсолю
ной сходимости, прямая Re z = а — прямой абсолютш
сходимости, а величина а — абсциссой абсолютной сход
мости. Если ряд всюду сходится абсолютно, полагают а
= — °°, если он нигде не сходится абсолютно, полага!
а = +оо.
Ряд 2 (— 1)" е~ "г, %п = In In n сходится как знаков
редующийся ряд при z = х > 0 и расходится в точке z
= 0, поэтому его абсцисса сходимости с = 0. Посколь:
при любом 1>0и достаточно больших п
абсцисса абсолютной сходимости а = +°°.
Между абсциссами а и с, очевидно, выполняется (
отношение с^а. Если a<+°oi то при любом е>0 в г
луплоскости Re z > a + е ряд сходится равномерно. Ни
нюю грань г множества чисел а таких, что в полуплос1
сти Re z > а ряд сходится равномерно, назовем абсцисс
равномерной сходимости ряда Дирихле. Имеем г *?
Вместе с тем, очевидно, с < г. Поэтому с < г < а.
Теорема 1.1. Пусть
L==— Inn
К
Тогда a-

в 1. РЯДЫ С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ &5
Доказательство. Теорему достаточно доказать
для случая L<°°. Пусть ряд Дирихле сходится в точке
20, покажем, что он абсолютно сходится в полуплоскости
Re z > Re z0 + L. Положим Re г = Re z0 + L + е, е > 0. Вы-
Выберем положительное ei < е. В силу A.6),
Xn > In п1/A+г'», n>N,
и поэтому при п> N
\ апе~ Х"г1 = | вле-*« VM*- го) | < | впв-V. | 1
Отсюда и вытекает требуемое.
Граница L для разности а — с является точной в том
смысле, что существуют ряды, для которых эта разность
в точности равна L. Например, для ряда
Ь= 1, е = 0, а = 1.
Следствие. В случае L = 0 абсциссы простой и аб-
абсолютной сходимости совпадают.
Теорема 1.2. В случае L = 0 абсцисса сходимости
ряда вычисляется по формуле
Формула A.7) аналогична формуле Коши — Адемара
для определения радиуса сходимости степенного ряда.
Доказательство. Положим
1^- A.8)
и покажем, что в полуплоскости Re z > а ряд сходится,
а в полуплоскости Re 2 < а — расходится.
Пусть Re z = а + е (е>0), и пусть положительные
числа ei и е2 таковы, что е, < е и е2 < е — Ei. Из условия
A.8) и условия L = 0 следует, что'при больших п

86
и поэтому
ГЛ. II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
Ряд в точке г сходится.
Пусть теперь Но з = сг — е (е > 0), п пусть полоиштсль
пое в, < в. Из A.8) вытекает, что для некоторых померо:
п = пк
в силу чего
-?.„.г
"'|)Ч', п==иА) А;-1,2,...,
(е-с,)?..
п -
(i.i)
и ряд в точке z расходится.
5. Выражение коэффициентов через сумму ряда.
Теорема 1.3. Пусть для ряда
/(-) ----- ^ а„е"'"-г
Л----1
абсцисса абсолютной с.гоОимости а <. -\-оо. Тогда
1
аие"кпХ =¦--- lim -- \ / (,r + iy) e"A"tlj (n > 1), а > я,, A.10
'о
где 1„ — фиксированное вещественное число.
Д о к а з а т с л ь с т п о. оаппшом:
'«V;;:;?,
Имеем
е 2j аше
V
2j
если Л' велико. Отсюда при больших Т

§ 1. РЯДЫ С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ГГ0КАЗАТШ1ЯМИ 87
Далее, если f вещественно п "f ^ 0) то
В силу этого, выражение Л стремится к нулю при Т -> °°.
Следовательно,
т
«„ = lim — j / {z)e*"\lij,
Т" 'о
откуда п вытекает формула A.10).
Теорема 1.4. Положим
М (.с) -= sup | / (а.1 -)- iy) I, a; > я.
| а„ |< Л/ (z) Л", н>1, х>а. A.11)
Неравенства A.10) сразу вытекают из формулы A.9)
и являются аналогом неравенств Коши для коэффициен-
коэффициентов степенного ряда.
Формулы A.11) имеют многие применения. В частно-
частности, из них сразу следует аналог теоремы Лнувнлля: если
ряд A.9) сходится во всей плоскости и М (з) <Z Ае х
то
G. /«-норядок н /f-тип целой функции. Рассмотрим
ряд A.9) при услошш, что он сходится во всей плоскости.
Будем предполагать, что
Шн" i!L!L ^ Н < оо. A.12)
В силу A.12), ряд, поскольку он сходится во всей плоско-
плоскости, сходится во всей плоскости абсолютно.
В-порядком целой функции /Ы, определенной рядом
A.9), пазывается величина
¦Г.— In In М (г) ,. ,,о\
р= Urn —_ . ¦¦¦ (l.lo)
зс^-оо Х
Эта величина была введена Риттом. Ее ие надо смешивать
с обычным порядком целой функции. Так для функции е~'

88 ГЛ. II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
обычный порядок (порядок в классическом смысле) равен
единице, а й-порядок равен нулю.
Теорема 1.5. R-порядск р целой функции ([.§) вы-
вычисляется по формуле
?^Al. A.14)
1/а|
Доказательство. Пусть /?-порядок р функции
/(z) конечен, докажем, что тогда
a^wk\<p- (U5)
Из выражения A.13) получаем для больших (—х)
(при любом е > 0)
1пМ(х) <е-<|)+?)-\
На основании этого, согласно оценке A.11), при боль-
больших (—л)
In |яп| < In М(.х) + \пх < е-^с)х + Хпх.
Правая часть этого неравенства имеет минимум при
1 , *
2= ?„=3 — —-— In-
p-i-8 pi6'
причем величина х0 стремится к — °° при п -»¦ <». Заменяя
в выше указанном неравенстве х па х„ (при больших п
это можно сделать), получим, что при больших п
X ! У
1п1/т I у " | 1„ "
111 I ((): "\ , 1 HI I
1 ' р-ге\ . p-f-
откуда
Так как е > 0 — любое, то, значит, верно A.15).
Убедимся теперь в том, что р < а. Из определения
величины а следует:
в силу чего
n«=l n—l

? i. РЯДЫ С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ 89
Так как
>;МК К Ь К . , , в
~ « + е ~ ~ а + 2е ~ аА» ш А»' а ~ (а + ё) (а + 2е)'
ТО
М(х)<В (г) max (ехр (- ^ - ^)) 2 ^^
Поскольку в силу условия A.12) }.п>Ь\пКп, где Ь > О,
то
во во оо
-a>.nln>.fl V1 -aMnnlnJ.,, V^ -аЫп7.,,
<2e =2n <°°
n=2 n=2 71=2
Поэтому
M (a;) < С (e) max {exp (— 6ЯП In Я,„ — knx)}, б = —73;.
П>1 U-\- ?*>
и, далее,
M (ж) < С (e) max {ехр (— Ы In i — a:f)}-
04
Указанный максимум достигается в точке t = f0 = е"'"
и равен ехр (бе~A+1С/8)). Таким образом,
In Mix) < In C(e) + бе-С1+1/в) < e-A/8+e)I,
¦р— In In M (x) .
откуда р= Ьт —-—-—< а.
Х-» —во
Из двух установленных утверждений вытекает а = р.
Предположим, что функция A.9) имеет Д-порядок рав-
равный р, причем 0 < р < оо. Положим
г:— In М (х) ,. ,п
т = lim _ ; '. A.16)
Велич,ина т называется R-типом функции /(г).
Теорема 1.6. Если выполняется условие
lim Ц^- = Я = О,
то R-тип т вычисляется по формуле
(терI/р==ШГг^'Р|аI|1/>-'1 A.17)
п-»оо
или

0,1) ГЛ II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
Д о i; а з а т с л ь с т г, о. Г1олоя:нм
Убедимся сначала, что если R тип /i'r) есть т, то <? < т.
Из A.10), принимал по внимание оценку A.11), выводим
что при больших (—J")
InkJ =S In Mix) + х).л < (т -I- e)e-fur + >.„?.
Прапая часть имеет .минимум nj)ii
0 (> () (Т "Г f)
(ь'огда /г ->• °°. то Dcni'irna х„ стремится к —°°), п он panei
Поэтому при больших п
или
откуда q ^ т.
Покан?ем теперь, что т < г/. Ни определения велнчиит
q для любого е > 0 п всех п 53 1 находим
где В(е) — некоторая постоянная. Отсюда
М (х) < 2 I «п I *~КХ < ^ М ? -Р (Т 'П -
)i—I ii^i \
Так как
Р
то
М (х) < Д (е) max {с.хр / ^ hi li + M^. _ ^.n j j |

§ 2. РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ 91
Из условия Н = 0 находим, что при больших п
X>h\n
в силу чего
Таким образом,
М (х) < С (к) max (exp (- In (ч + f8) fp - ^1.
Максимум достигается в точке t= ta = (g + 2e)pe"pi, и он
равен
exp [('; f 2e)pe-p-v].
Поэтому при больших (—ж)
\nMix) < (g
п, следовательно, т < q. В итоге т = q и формула A.17)
установлена.
§ 2. Ряды с комплексными показателями
Рассматриваем ряд
в котором к„ — комплексные числя.
1. Множества точек абсолютной сходимости.
Теорема 2.1. Множество точек абсолютной сходи-
сходимости ряда B.1) выпукло.
Доказательство. Пусть М — мнозкество точек аб-
абсолютной сходимости ряда B.1). Покажем, что если ряд
B.1) абсолютно сходится в точках zh z2, то он абсолютно
сходится па всем отрезке [zh z2].
Воспользуемся псравснстиом
a*b*-x<a+b, a>0, b>0, 0<i<1. B.2)
.В справедливости его легко убедиться. Если, например,
а ^ Ь, то

Q2 ГЛ. И. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
Произвольная точка з отрезка с концами zt и z2 пред-
представляется в виде
Тогда
Отсюда на основании B.2) получаем
в силу чего
B.3)
Теорема доказана.
Пусть О — открытая область, состоящая из внутренние
точек множества М точек абсолютной сходимости ряда
B.1).
Теорема 2.2. Внутри области D ряд B.1) сходится
равномерно.
Доказательство. Область D — выпуклая. Чтобь:
доказать равномерную сходимость ряда внутри D, доста
точно доказать, что ряд B.1) равномерно сходится в до
статочно малой окрестности каждой точки z из области D
Итак, пусть z0 e D. Возьмем треугольник А в областг
D, который накрывает точку z0. Пусть z,, z2, z3 — его вер
шины. На сторонах треугольника в силу неравенства B.3!
имеем
\апе
<I1\ane"!i\ (л =1,2,...)-
1=1
Это неравенство па основании принципа максимума моду
ля аналитической функции справедливо также внутр1
треугольника А. Следовательно,
V
1 т I /
« ^ V / V
\< 2j\1i
, геА,
и потому ряд B.1) в треугольнике сходится равномерно
Следствие. Сумма /(z) ряда B.1) в области D —
аналитическая.
Это следует из равномерной сходимости ряда внутр1
области D,

S 2. РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ 93
2. Множество точек простой сходимости ряда. До сих
пор показатели Хп были совершенно произвольными. Сей-
Сейчас мы предположим, что 0 < \Xt\ ^ |Х2| ^ .. lim| Хп\ = оо
П
B.4)
Теорема 2.3. Пусть ряд B.1) сходится в области Е.
Если точка zaeE такова, что она удалена от границы Е
на расстояние, большее И, то в ней ряд B.1) сходится аб-
абсолютно.
Доказательство. Возьмем в области Е круг
\z-za\ sSpo, ро> И,
и опишем около него многоугольник так, чтобы этот мно-
многоугольник еще целиком лежал в области Е. Пусть zh ...
..., zm— вершины многоугольника. На основании B.3),
на сторонах многоугольника имеем
| ае |< 2 | ае \
Из сходимости ряда B.1) в точках z1( ..., zm следует, что
SU (),
3=1
где М — некоторая постоянная. Следовательно, на границе
многоугольника
L/n2|<A/ («>i). B.5)
Это неравенство (на основании принципа максимума мо-
модуля аналитической функции) выполняется внутри много-
многоугольника, в частности, на окружности |z — zo|=po. За-
Запишем
\апе |=--|а„е' "\\е \.
Пусть argXn = (pn. Возьмем на окружности [г —zgl=p0
точку <Хп, удовлетворяющую условию arg (а„ — а0) =" — фп.
Имеем
Х„(а„-а0) = 1Х„(«„-аоI =ро1Я„1.
В силу B.5), получаем
\апе | = апе е ^ Mt

94 ГЛ. П РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
откуда
Воспользуемся условием B/j). Пз пего находим
l^n|>77~~ ln". »>"o(e) Ve>0.
На этом основаппп, согласно B.СП, получаем
(hit ^ МП "' , /!>«о(е-)-
При малом е > 0 величина (¦>„/(// + е) > 1. Поэтому
и -=1
Утверждение доказано.
Следствие 1. Если ряд B.1) сходится во всей пло
кости, то при условии B.4) он сходится в ней абсолют и
С; л едет нпе 2. При 11 = 0 открытая область exodi
мости ряда B.1) совпадает с отрытой областью абсолю
пой сходимости ряда. Б этом случае открытая ойлаа
сходимости ряда B.1) — выпуклая область.
3. Пример ряда, сумзза которого раппп (зуно, а коз;
фяциепты не равны пулю. В отличие от рядов Дирихле
вещественпымп показателями сумма ряда Дирихле с ко:
плокспымп показателями может быть рапиа нулю, в ¦
время i;a;; не нее колффпцкоптг.т ряда рлнпы пулю.
При построении соотиетстпующего примера нам н
надобится
Лемма 2.1. Пусть L(h)—целая функция эпепоне,
циального типа с простыми нулями X,, }.2, ..., Мер) — <
индикатриса роста, В — сопряженная диаграмма. Ее.
имеются окружности \}.\ =-- rk, rh t <^, на которых
In|Z,(re'fl)|>[/;(fr) -v\r, r---rk, A->/.-0(e) Ve>0,
B.
то для zL— D (D — открытая часть /))
Д о к а з а т о л ь с т в о. IJ меем

§ 2. РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ СM
Пусть zeD — фиксированная точка. Из непрерывности
/г(гр) вытекает наличие положительного б такого, что при
всех ф будет выполняться неравенство
Re Ы'*) < /v(-rp) - б = Мер) - б.
(Л'(ф)—опорная функция D). Па основания этого нера-
неравенства и оценки B.7), имеем
'' < гке
2л I .) L(k)
Ваяп е < б, видим, что выражение B.9) стремится к пулю
при к -*¦ °°.
Возьмем теперь конкретную функцию
г ,. . Sin c\ sin !(?). ^i
L (X) = га , й > 0.
Последовательность се нулей {>,„}-= (±/n] U (zb^nb гДе
В силу теоремы 5.7 гл. 1, имеем
1) | L (re4) | < Дг е"(т)г, /4 ((fl) .= я (| з!п ф | + | cos (|, |),
2) вне окрестностей |Xdz?.,',|<e и |?.±^„|<й (?г>1).
^A)|4Л'г. B.10)
Отсюда, конечно, следует, что fedp) — индикатриса роста
LO.).
Окружности | К \ = гп — -^- B/г -[- 1) (" ^ 1) по перосо- .
каются с указанными окрестностями (при малом е), по-
поэтому на них верна оценка B.10). В силу этой оценки на
основании леммы 2.1 заключаем, что
Выясним, что представляет собой в данном случае об-
область D. Функции L(X) и
М (к) = sin aK sin iak =
т^

QQ ГЛ. П. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
имеют одинаковую индикатрису роста, поэтому у hi
одинаковые сопряженные диаграммы. Для М(Х) асе
циированная по Борелю функция
1 / 111,
4 ^ — A + i) a l-(l~i)a i — (— 1 + ?) а
+
+ t _ (_ i _ i) a
Следовательно, П — квадрат с вершинами в точк;
A + i)a, (-1 + i)a, (-1 - i)a, A - i)a.
Убедимся, что в D сходится ряд
оо ?./Д
2 !%• B-1
Имеем
acosaX'ksmial'k . , >. . a|sinia^| a
\V\e
oo ^h
Отсюда следует, что ряд V _f сходится в пол
h
плоскости Re z < а. Аналогично убедимся, что ряды
сходятся соответственно в полуплоскостях Re z > —
Im z > — а, Imz<a. Тогда ряд B.12) действительно сх
дится в /).
Выражение ^j "zTTTT ~ частная сумма ря^
\>-h\<rn K к>
B.12). Имеем в силу B.11), что некоторая подпоследов
телыюсть частных сумм сходящегося ряда B.12) сходит(
к нулю. Значит, сумма ряда B.12) равна нулю, хотя е
коэффициенты не равны нулю. Нужный пример приведе
В дальнейшем будем рассматривать ряды с показат
лямц, удовлетворяющими условию
Tim т^-г = т < оо. B.1
П->оо | Лл |

i 2. РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ 97
Лемма 2.2. При условии B.13)
Ш -1 In П 11 + тт^) < ят. B.14)
п=1 \ |М*/
Доказательство. По данному е>0 определим
= N(t) так, чтобы было ,. . < х + ь, n~^N. Имеем
?)лг]"~\ _ sin in{x~+E)r я(т+е)г
В силу этого
П ) П
2
откуда и вытекает соотношение B.14).
4. Биортогональная система функций. Возьмем систе-
систему функций
е\ег,...,е ", .... B.15)
где ?ч, Х2, ... — различные комплексные числа, причем
О «S IXJ < \%г\ < ... Требуется найти функции \|)v(z)
(v>l), обладающие следующими свойствами: функция
i[\.(z) регулярна при \t\>ry (rv — некоторое число),
¦Ч),(<») = 0 и
11 |=rv
B.16)
где
JO при \i Ф v,.
^ \l При [Л = V.
Систему таких функций, если они существуют, назо-
назовем системой, биортогоналъной к системе [е ^2].
Теорема 2.4. Для существования системы {^v(t)),
биортогоналъной к системе B.15), необходимо и доста-
достаточно, чтобы выполнялось условие B.13).
7 А. Ф. Леонтьев

98 гл. и. ряды экспонент
Доказательство. Пусть биортогональная система
имеется. Рассмотрим функцию
Она экспоненциального типа и F(X,) = 1, F(^ft)=0 (к ~5*
>2). Отсюда следует, что /Ш = (Я, -A,,)F(\) Ф 0 и /(А*)=-
= 0 (/с ё* 1). Поэтому в силу теоремы 2.3 гл. I должно вы-
выполняться условие B.13).
Пусть теперь выполняется условие B.13), и пусть
Ь(к) — какая-нибудь целая функция. экспоненциального
типа, которая в точках Хк (A: 3=1) имеет простые нули
(у ПК) могут быть и другие нули).
В качестве L(X) можно, например, взять функцию
где штрих означает, что произведение берется по всем к,
для которых Ха различны. Эта функция в силу леммы 2.2
экспоненциального типа ^ ят, и для нее Kh (k>D —
простые нули.
Пусть_ уШ — функция, ассоциированная по Ворелю
с L(k), D — сопряженная диаграмма, т. е. наименьшее
замкнутое выпуклое множество, содержащее все_особен-
ности ^{t). В случае функции B.17), множество D лежит
в круге UI ^ят. Положим
У функции Lv(A,) та же индикатриса роста, что и у функ-
функции L(X). Обозначим tpvCi) функцию, ассоциированную с
LV(.X). Она регулярна вне D (у LCk) и ЬЛХ) одинаковые
сопряженные диаграммы).
По теореме 5.2 гл. I имеем
где С — замкнутый контур, охватывающий Б. Отсюдг
^т j ^v (t) e ^dt = 6u.,Vl

i 2. РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ
99
и, следовательно, Ц„(?)} — биортогональная система. Тео-
Теорема доказана.
Построенные функции $М) имеют на основании тео-
теоремы 5.3 следующее представление:
B.18)
где /г(ф) — индикатриса роста L(X). Таким образом, в хо-
ходе доказательства теоремы 2.4 было доказано еще сле-
следующее.
Теорема 2.5. При условии B.13) система функций
B.18) биортогональна к системе B.15).
5. Оценка функций из биортогональной системы.
Лемма 2.3. На контуре С^ охватывающем сопряжен-
сопряженную диаграмму D функции Ык),
^ BЛ9)
где постоянная А не зависит от к {она зависит от конту-
контура С).
Доказательство. Убедимся сначала в том, что
< С (е)
К = re1\ k > 1 \/г > 0, B.20)
где постоянная С(г) не зависит от к.
Имеем
; | L (к) |< А (г),
Пусть теперь \к - кк\ < 1. Получаем
МП
max
n
i. B.21)
B.22)
Очевидно, что \к - ta\ < 2. Если t0 = raen, то
Нам надо в правой части перейти от ф0, г0 к ф, г. С этой
целью воспользуемся неравенством
h (фх) г1 — h
- к, | max
B.24)

lOo гл. ii. рады экспонент
Оно выводится следующим образом. Имеем
h (ф) = К (— ф) = max Re (Л).
zSU
В силу этого,
h (фх) = max Re (eVlz) -- Re (ei<fl zX z1 e= D,
z=D '
z=D
откуда
ЦЧ^) = Re (АА).
Далее, имеем
h (ф2) = max Re [e '2zj.
На основании изложенного
h (ф^ r1 — h (ф2) r2 =- Re (X^i) — r2 max Re (eiq>2z)
D
<
Re (XiZj - г„ Re (e'^zj = Re (X^) - Re (XjZj
= Re [(Xj — X2) Zj] ^ | A,j — X211 Zj | ^ | Kx — X21 max | г
это и надо было показать.
В силу B.24),
h (Фо) гс ~ }l (ф) г ^ I ^ ~ 'о I max I z I ^ 2 max | z | = д,
и, значит, в''|Фо|г°<в«вЛ<ф)г.Кроме того, г0 < г + 2, в си.
чего его<ег+1 (при малом е). В результате на основ
иии B.22) и B.23) получаем
Из этого неравенства и неравенства B.21) н вытека
оценка B.20).
Перейдем к оценке функций \[^U). Из представлеш
B.18) на основании леммы 5.1 гл. I и оценки B.20) п
лучаем
С (е) D /, <Ф(Л 7 / \ i i e
С с.,/ ,. > I. Re\te > k (ф„) + е + о.
Здесь фо — любое. При малых с н б контур С, охватыва!

§ 2. РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ Ю1
щий множество D, будет содержаться в объединении полу-
полуплоскостей
Поэтому
Замечание. В § 8 нам понадобится асимптотиче-
асимптотическое поведение функций tyh(i) на контуре С при больших
А;. Оно получается следующим образом. Имеем
В силу этого
Поскольку ] ^ (X) e~ud% = y(t), то
mL (X) е~"^ = (- 1)ту'т) (t).
На основании B.20) при фиксированном к
:х (г) elh(<t)+e)r, v > 1 Ve > 0.
Отсюда, как и выше, выведем, что функция
ограничена на контуре С: \Av(t)\ <M, где М не зависит
от v. Значит,

102
ГЛ П. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
6. Биортогональная система в классическом случае
Речь идет о виде функций i|>vU) в случае, когда система
B.15) есть система функций eihz (/c = 0, ±1, ±2, ...).
Сначала установим иное представление для функций
i|itf(z). Из B.18) получаем
Поэтому
v(t) +
(t) = —
7@-
Решая однородное уравнение, а затем неоднородное, ме
тодом вариации произвольного постоянного, находим
где точка ta взята вне D, а С — постоянная.
Из представления B.25) видно, что функция г|)у(О ре
гулярна там, где регулярна функция ^U).
После этого определим \?»(О в классическом случае
В качестве ИХ) возьмем ИХ) = sin inX. Нули этой фуни
ции —Arf (fc = 0, ±1, ±2, ...),
U (X) = in cos inX, U (И) = in (- 1)\:
V (') = 17
— я
/5 — отрезок вещественной оси [—л, л]. Возьмем <„ вне Z
Имеем
Так как
где ф,@ и ф2и) —целые функции, то
1
Y(<)'
t t
t-ikn Г dt ikn Г dt
J г + л J t — i

g 2. РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ ЮЗ
+ целая функция = 2.' (In (i + я) — In (< — я)} -f-
+ целая функция = ——— In -—— + целая функция.
Следовательно,
yk (t) = J^— in ii-2 4. г^елая функция (k = 0, ±1, ...).
B.26)
7._Формулы для коэффицентов ряда. Пусть, как и вы-
выше, Ю — сопряженная диаграмма функции L(X). Обозна-
Обозначим Da сдвиг множества D на вектор а.
Теорема 2.6. Пусть Xi: %г, ...— простые нули функ-
функции ТЛЮ, D — сопряженная диаграмма L{X), i|54(i) — функ-
функции B.18). Если ряд
00
f (z) = 2i akt B.27)
сходится в области G, которая содержит в себе некото-
некоторое Da, TO
где С — замкнутый контур, охватывающий D и выбран-
выбранный так, чтобы переменное (t + a), когда t^C, находи-
находилось бы в G.
Доказательство. Ряд
/ (t + «) = 2 aJm<t+a\ t e С,
сходится равномерно, поэтому
00
^ Г фА (t) / (t + a) dt = 2 "me** J_ f ^ {t) eXmtdt -
с m=1 с
= ^ ame Ohm = a^e .
m=l
В силу этого, e h-^r \^h(t) f (t+a) dt=akv и формула
с
B.28) установлена.

104 гл и. ряды экспонент
В случае системы B.20) и при а. — 0
с
(С — охватывает отрезок [—я, я]) плп
я
(A--0, ±1, ±2,...)-
Это классические формулы Фурье.
Теорема 2.7. Пусть ряд B.27) сходится в области.
G^Da при некотором а. Если /(z) — 0, го все ал = 0.
Утверждение сразу вытекает из формулы B.28).
Замечание. В теоремах 2.6 п 2.7 требование, что-
чтобы область G содержала в себе некоторое Ба, существен-
существенно. В п. 3 приведен ряд с отличными от нуля коэффи-
коэффициентами, который сходится в области D, и его сумма
равна нулю.
8. Уточнение формулы для коэффнциентов.
Лемма 2.4. Пусть Н — область, в которой функция
f(z) регулярна, и пусть Е — область (открытое связное
множество) такая, что для каждого а<^ Е множество
Da <= П, Тогда в области, Е функция
Л (а)=4п J ч*- w f v+а)dt
— аналитическая.
Доказательство. Когда t пробегает С, точка
(? + а) пробегает контур Са — сдвиг контура С на вектор
а. Пусть а0 е Е, и пусть контур С выбран столь близким
к дБ, что контур COq с: Н. Проведем контур Г так, чтобы
он охватывал контур CaQ и содержался в Н.
Имеем
/ (z + а) = / (z Н- а0 + а - «„) = j) ^^ (;/" "j) <a ~ "оГ-
71 = 0
B.29)
Положив г + а0 = г^ (кеСа|)), получаем
/(.) ^Г_1(Д)^Ц
Г

8 2 РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ 105
откуда находим (пусть б — минимум расстояния между
Г и Сао)
max |
(/ — длина Г). Видим, что ряд B.29) сходится равномер-
равномерно относительно t на контуре С при 1а — ао| < б. В силу
этого
| а - а0 [ < б,
и, значит, А (а) — аналитическая функция в окрестности
1а — ао1 < б. Точка а0 — произвольная из области Е. По-
Поэтому Л (а) — аналитическая функция в области Е.
Теорема 2.8. Пусть ряд B.27) сходится в области
G =з DOq, а сумма ряда /(г) регулярна в области II (С <=
<= Н). Пусть, далее, Е — область, определяемая такими
условиями: точка а^Е, если Da.czII, а<,<^Е.
Тогда
ah — е y~г I т)зь (?) / (t -\- a) dt (k^l), ol^E. B.30)
с
Доказательство. Отличие формулы B.30) от
формулы B.28) состоит в том, что в формуле B.30) пара-
параметр а может принимать значения из более широкого,
множества. В формуле B.28) параметр а удовлетворя-
удовлетворяет условию DjcG, a в формуле B.30) ¦—условию
Da <= II.
Докажем формулу B.30). Положим
На основании леммы 2.4 функция В(а) — аналитическая
в области Е. На основании формулы B.28) функция Bio.)
равна постоянной ак в окрестности точки а0. Поэтому
В(а) = ak, a^E. Все доказано.

106 ГЛ. II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
§ 3. Область регулярности суммы ряда
1. Случай, когда показатели имеют нулевую плот
нрсть. Рассмотрим случай, когда lim -тт—г= т = 0. В этом
й-*оо | Kh \
случае в качестве L{X) возьмем функцию B.17). Ее инди-
индикатриса роста (при порядке р = 1) М<р)з 0, сопряжен
ная диаграмма D — точка t = 0. Область Е из теоремк
2.8 совпадает с областью Я.
Оценим коэффициенты ак на основании- формуль;
B.30). Покажем, что если а,еЯи р = р(сс0, д#)*то
± (А>1), Pl<p, C.1
где В — постоянная, не зависящая от к. На основания
B.30) имеем
e^a-ao)^^r^h(t)j(t + a)dt, аеЯ. C.2
с
Пусть а лежит в круге |а— ао1 < рь В качестве С
возьмем окружность |i|=6 столь малого радиуса, чтобь
выполнялось условие: если 1а— а„1 <Pi, то точка (t + a,
при tef лежит в компакте К с: //. Пусть
max | / (и) | = М.
к
На основании оценки B.19) имеем
|ih(f)| <A/\L'iW\ Uc>l), teC.
В силу всего этого из формулы C.1) получаем
р0.
Пусть arg kh = ф),. Выберем а так, чтобы выполнялись ус
ловия
|a-aol=pi, argla-aol =—ф*.
Тогда получим
< В
Iя !^ \L'(kh
оценка C.1) установлена.
Теорема 3.1. Пусть
= Ит ГГТ 1п
I k I
h I
В - А Д
-' Ы
= 0,

g 3. ОБЛАСТЬ РЕГУЛЯРНОСТИ СУММЫ РЯДА
107
где ЦК) — функция B.17). Пусть, далее, ряд B.27) схо-
сходится в некоторой области G. Тогда область сходимости
ряда и область Н регулярности суммы ряда совпадают.
Область Н, следовательно, выпуклая.
Доказательство. Из условия 6 = 0 вытекает, что
\l/L'(U)\<A(e)ee{41 Ve>0
Отсюда и из оценки C.1) получаем
| а*е**а« | < В А (в) e-(pi-?)N (к > 1), а0 е= Я, р,<р(ад дН).
Учтем еще, что \Кк\ > ак @<а<<»), поэтому (считаем
)
I ake%ha° | < В A (e) e-(Pi-e)a* (fc ^ 1).
Значит,
Таким образом, ряд сходится во всех точках области Н.
Область сходимости и область регулярности функции /Ы
совпадают. Но область сходимости — выпуклая. Поэтому
и область // — выпуклая.
Замечание. У производной L'(K) сопряженная ди-
диаграмма — точка t = 0. В силу этого
1 ,
ПОЭТОМУ -г-:—г 1П
л.
1
lim
h-»oo
'' D)
1
\K\
In
к>ко(е) Ve>0,
> — e, A; > /c0 (e) и, значит,
1
L>
Па этом основании условие 6 = 0 равносильно требо-
требованию
1
¦In
lim
Теорема 3.2. Пусть
к
1
= 0.
lim-
ft-» оо
0}
Тогда область сходимости ряда B.17) и область регуляр-
регулярности суммы ряда совпадают. Область Н выпуклая.

108
ГЛ, П. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
. Доказательство. Надо лишь доказать, что 6 = 0.
Положим
Функция B.17) в рассматриваемом случае имеет вид
чГ
В силу следствия 2 из теоремы 6.5 гл. I
lim — In
= 0,
Имеем ? (X) = A - тН П ( ! ~ гт ] ¦ Отсюда
C.3)
Аналогично M' (|.ife) = — JJ 1 — .Видим,
гё
J
что
гтЦ
Значит,
In
1-
L' (К)
<—In
Учитывая
C.3) и замечание после теоремы 3.1, получаем 6 = 0.
Очевидными следствиями теорем 3.1 и 3.2 являются
следующие теоремы.
Теорема 3.3. Пусть 0 < ).к t °°, lim — = 0 и
б = lim -j— In
Пусть, далее, ряд
•1
= 0,
)*
C.4)
сходится в полуплоскости Re г > я, —оо < а < оо. Тогда
прямая сходимости Re г = а — естественная граница для
суммы ряда F(z),

§ 3. ОБЛАСТЬ РКГУЛЯРНОСТИ СУММЫ РЯДА 109
Теорема 3.4 (Полна). Пусть 0<^ f «=, lim-r—= 0
и Xk+i-Xk>h>0 (к>1). Пусть, далее, ряд C.4) схо-
сходится в полуплоскости Re z > a, — «= < а < <». Тогда пря-
прямая сходимости Re z = а — естественная граница для сум-
суммы ряда F(z).
Теорема 3.5 (Фабри). Пусть степенной ряд
Ф (z) = S ahz\
где Xh — целые положительные числа, lim-r-=0, имеет
конечный радиус сходимости В, 0<В< <». Тогда граница
\z\=R круга сходимости — естественная граница для
суммы ряда ф(я).
В теореме 3.5 целые показатели \к удовлетворяют ус-
условию Xk+i — Xh Э= 1, поэтому условие 6 = 0 выполняется
автоматически. Чтобы получить теорему 3.5, надо в ряде
C.4) сделать замену w = e~', при такой замене полуплос-
полуплоскость Rez>a перейдет в круг \w\ <B.
2. Случай, когда показателя положительны и имеют
плотность. Считаем, что 0 < X* t °° и существует конеч-
конечный Нт-—=о\ Величина о называется плотностью после-
довательности {Xj. Полагаем
Для этой функции сопряженная диаграмма D — отрезок
мнимой оси [—not,-nail.
Теорема 3.6. Пусть 0 <ikk | оо, Пш-г— = о, и пусть
ряд
C-5)
сходится в полуплоскости Re z < a, — °° < а < °°. Если
б =- lim^— In
ft-»» ай
1
' D)
го в каждом отрезке длины 2па прямой сходимости
Re 2 = а у суммы ряда имеется по меньшей мере одна
особенность.

НО гл. и. ряды экспонент
Доказательство. Допустим, что в некотором от-
отрезке длины 2яа прямой сходимости у /Ы нет особых
точек. Тогда найдется капал а^х<Ь, \у — Уо\<р, Р>
> яо, в котором у функции /Ы нет особенностей. Имея
в виду теорему 2.8, рассмотрим область Е. В рассматри-
рассматриваемом случае области Е принадлежит полуплоскость
сходимости Re z < а и все точки полупптервала а < х < Ь,
у = уа. Возьмем в этом полуинтервале точку a: Im а = у0,
a<Rea<6, и воспользуемся формулой B.30). В этой
формуле С — замкнутая кривая, охватывающая отрезок
[—лог, лаг]. Ее возьмем столь близкой к этому отрезку,
чтобы точки U + а) при teC лежали в Е. На основании
оценки B.19) из формулы B.30) получим
где В — некоторая постоянная. Возьмем еще точку
ji: Im $ = у о, а < Re fi < Re a. Имеем
I a еЪЧ I < B e-(a-№h a _ R > 0
Из условия 6 = 0 следует, что
1
и (Ч)
Значит,
Ve>0.
при малом е > 0 величина a — ^ — е > 0 и
к=1
что невозможно, так как у ряда C.5) полуплоскость схо-
сходимости — полуплоскость Re z < a.
к
Теорема 3.7 (Полна). Пусть 0-<>uft | oo, lim-r-= о
и Xk+i—K^hX) (fc'Sfi). Пусть, далее, ряд C.5) сходит-
сходится в полуплоскости Re z < а, — °° < а< °о. Тогда в каж-
каждом отрезке длины 2яо прямой сходимости Re z = я
i/ функции /(z) имеется по меньшей мере одна особен-
особенность.
Эта теорема — следствие теоремы 3.6, если заметить
что при условии Xh+i — Xk> h > 0 величина б, согласие
следствию 2 из теоремы 6.5 гл. 1 равна нулю,

% 3. ОБЛАСТЬ РЕГУЛЯРНОСТИ СУММЫ РЯДА Ш
Теорема 3.8. Пусть Хк (к > 1) — целые положи-
положительные числа, lim -r— = а. Пусть, далее, степенной ряд
А-»оо АА •
имеет конечный радиус сходимости R, 0 </?<<». Тогда
на каждой замкнутой дуге окружности \z\=R, опираю-
опирающейся на центральный угол, равный 2па, у функции
F(z) имеется по меньшей мере одна особенность.
Эта теорема — следствие предыдущей, ибо в случае
целых Хк величина 6 = 0.
Функция /Ы — сумма ряда C.5) регулярна в полу-
полуплоскости сходимости Re z < а. Верхняя грань g множе-
множества чисел [J таких, что /Ы регулярна в полуплоскости
Re z < (}, называется абсциссой голоморфизма функции
/(z), полуплоскость Rez<g — полуплоскостью голомор-
голоморфизма, прямая Re z = g — прямой голоморфизма.
Теорема 3.9. Пусть 0 ¦< \h \ оо, lim-r— = cr,u пусть
ft-CO Aft
ряд C.5) сходится в полуплоскости Re z < а. Тогда раз-
разность между абсциссой голоморфизма g суммы ряда и
абсциссой сходимости а ряда не превосходит б, где
—7Г • C-6)
б = lim -г- In
й-» оо Kk
Доказательство. Множеству Е (оно определено
в формулировке теоремы 2.8) принадлежит вся полуплос-
полуплоскость голоморфизма. Возьмем точку а па вещественной
оси, близкую к точке g, a < g. Из формулы B.30) полу-
получаем
Из C.6) следует, что
<A(e)eF+e)Xk Ve>0
Поэтому | ok | < fl (e) e(e-a+8)^ (k > 1), и ряд C.5) сходится
по крайней мере в полуплоскости Re z < a — б. Значит,
абсцисса сходимости а > а — 6. Отсюда a — a < 6. Но a —
любое число, меньшее числа g. Следовательно, g — а^б.

112 гл. н. ряды экспонент
В следующем пункте будет приведен ряд, для ноторо
го разность g — а будет в точности равняться б.
3. Специальная функция. Функция, о которой нде
речь, имеет вид
А=1
где Г — граница угла larg t\ < ф„ <л/2. Предполагае5
что 0 < kh f oo, lim — = °-
h ->оо Ji
Согласно теореме 5.9 нз гл. I, в угле е < ф < л — i
а также в угле л + е<ф<2л — е, равномерно:
In I ^ (re1'4') I , , . , , ч i ¦ i /о <
—¦— —->-д(ф), h (ф) = ло| йШф |, г->-оо, C.!
и существуют окружности IXI = rk t °°, к -+ °°, па которы
In ] L (re«>) | > (h (ф) — е) г, г — ?•„, А > /г0 (е) Vb > 0.
(З-1
Теорема 3.10. Функция C.8) обладает следующг
ми свойствами:
1) при о = 0 она регулярна в полуплоскости Rez>
при о > 0 в плоскости с разрезами по отрезкам мнимс
оси (—joo, — шо] и [ino, +i°°);
2) в полуплоскости Rez>0 она представляется в вш
(сходимость на любом компакте из этой полу плоское:
равномерная), а при о > 0 в полуплоскости Rez<0 npe
ставляется в виде
3) при б < °° функция Ф(г) в полуплоскости Rez
представляется рядом
ф (*)=--: 2-777О--
V=l
V=l

§ 3. ОБЛАСТЬ РЕГУЛЯРНОСТИ СУММЫ РЯДА ЦЗ
Доказательство. Рассмотрим интеграл
J
о
C.12)
Положив t = reivo, z = | 21 e!*, для подынтегральной функ-
функции на основании C.8) получим оценку
j ,f, < ^4 (е) ехр {— [ | 21 cos (ф0 -j- лр) + лег sin ф0 — е] г}
Ve>0.
Обозначим ^фо,е следующую область изменения z:
| z | cos (ф0 + ij)) > — жг sin ф0 + 2е.
Левая часть — проекция вектора z на направление
arg t = — ф0, величина — ла sin ф0 — проекция вектора nai
на это же направление. Поэтому #<ро,о — полуплоскость,
ограниченная прямой г<р0,о> проходящей через точку nai
перпендикулярно направлению arg t — — ф0, a #<po,e — по-
полуплоскость, ограниченная прямой lVo,e, параллельной
прямой /фо,о и отстоящей от нее на 2е.
В полуплоскости Kv е
поэтому для 2 из этой полуплоскости интеграл C.12) схо-
сходится и представляет собой аналитическую функцию. По-
Поскольку е > 0 — любое, функция Ф4(г) — аналитическая в
полуплоскости К<ро,о- Будем теперь изменять ф0 в преде-
пределах 0 < ф0 < п. Получим, что Ф,Ы — аналитическая
функция в плоскости с разрезом по отрезку [nai, °°i).
Аналогично установим, что функция
Ф
асе и
(z) = J -J^y Л, 0 < ф0 < я,
аналитическая в плоскости с разрезом по отрезку
]
,
Имеем Ф(г) =Ф2(г) — Ф,(г), отсюда и вытекает свой
ство 1).
Чтобы доказать свойство 2), обозначим 1\ замкнутый
контур, состоящий из части Г, лежащей в круге UI <гА,
8 А- Ф, Леонтьев

114
ГЛ. II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
и дуги Sk: \t\=rk, \avgt\ *i(fo- Контур, составленный из
части Г, лежащей вне* круга Ul =S rA, u дуги SK, обозна-
обозначим ГА.
Имеем
1
C.13)
к
Положив t = гещ, z= lz|e''*, для подынтегральной функции
на контуре Гй в силу C.8) и C.9) получим оценку
-zt
< А (е) ехр {— 11 z | cos (<р + я|з) + яа | sin ф| — е] г}
L{t)
Здесь |ф| =? ф0.
Пусть z лежит в области
|argZ|<-|--?0-e0, |Z|>e0, ео>О. C.14)
Тогда cos (ф -\- \|з) > cos [-^ е0) = sin e0 и
Ы cos (ф+т|))+ nolsin ф1 — e>lzl sin е0 — е>е0 'sin e0 — е.
Правая часть, обозначим ее р, при малом е положитель-
положительна. Получаем
< А (е) err, t «= Г1.
L{t)
Отсюда следует, что для z из области C.14) второй ин-
интеграл из правой части равенства C.13) стремится рав-
равномерно к нулю при к -»¦ °°. Следовательно, в области
C.14) равномерно
Аналогичным образом устанавливается представлепш
ФЫ в левой полуплоскости при а > 0. Свойство 2) ус-
установлено. Из этого свойства, в частности, следует, чт<
при а > 0 функция ФЫ — четная.
Свойство 3) следует из того, что абсцисса сходимосп
ряда C.11) равна
а --= lim-^- In
tJ (Ч)

i з. область регулярности суммы ряда 115
Поэтому, если б < °°, ряд C.11) сходится в полуплоскости
Rez>6, и его сумма, в силу свойства 2), равна Ф(г).
Все доказано.
Замечание. Для функции C.7) абсцисса голомор-
физма ? = 0, абсцисса сходимости ряда C.11) равна б.
Поэтому \g — а\ = б.
Функция Ф(г) регулярна при о>0 в интервале
(—лог, nai) прямой голоморфизма Re z = 0. Поэтому ве-
величина 2ло отрезка прямой голоморфизма, где теоре-
теорема 3.6 гарантирует (при 6 = 0) наличие по меньшей ме-
мере одной особенности у суммы ряда,-йне может быть
уменьшена.
Теорема 3.11. Пусть 0 < kh f oo, lim-r- = а. Тогда
ft-oc \
функция
C.15)
где Г — граница угла larg t\ < ф0 < л/2, обладает свой-
свойствами:
1) при о = 0 она регулярна в полуплоскости Rez>0,
при о > 0 в плоскости с разрезами по отрезкам мнимой
оси (—<»i, — am], [nai, °°t);
2) в полуплоскости Rez>0 она представляется в виде
C.16)
{сходимость на любом компакте из этой полуплоскости —
равномерная), а при о > 0 в полуплоскости Re z < 0 пред-
представляется в виде
<4TTO (ЗЛ7)
Доказательство совершенно аналогично доказательству
предыдущей теоремы, поэтому его опускаем.
4. Оценка полинома из экспонент в полуплоскости.
Теорема 3.12. Пусть 0 <kh \ oo, lim^r-;= а, и ве-
личина б, определяемая формулой C.7), конечна. Пусть,
8*

ц б гл. п. ряды экспонент
далее, Е — односвязная область, которая содержит в себе
замкнутый вертикальный отрезок длины 2ло с серединой
в точке 20. Если
= 2
то в полуплоскости Re z < Re г0 — б + е, е>0
где А — постоянная, не зависящая от P(z).
Доказательство. Имеем
где С — контур, охватывающий D (Z) — отрезок [—яо/
jioil), выбранный так, чтобы при (еС переменное (t + z0
находилось в Е. Получаем
Отсюда-
h=l
h=i
L' D)
max | P (и) \.
u~E
Когда Re z < Re 20 — б ~ е, тогда
' (K)
в силу чего
i \L'(h)\ ^
! max | P (u) |t
что и надо было показать.
Следствием теоремы 3.12 является следующая
Теорема 3.13. Пусть 0<A.h f оо, Ник— =а и
Если последовательность полиномов
Рт B) = 2 at'e^ (m = 1, 2, ...)
й-1

§ 4. ПРИМЕНЕНИЯ К ВОПРОСАМ ПОЛНОТЫ Ц7
равномерно сходится в области Е, содержащей вертикаль-
вертикальный отрезок длины 2л.а с серединой в точке z0, то тогда
она равномерно сходится в некоторой полуплоскости
Re z < я, а > Re z0 — б.
Доказательство. В области Е возьмем верти-
вертикальный отрезок / длины 2ло с серединой в точке zIf
Rez^Rezo. По теореме 3.12
1 Pm (z) ~Pn(z)\<B max | Pm (t) - Рп (t) \(
tsEi
Re z < Re zx — б — е,
где Ei «с Е, и Ei содержит в себе /. В силу выбора zt ве-
величина а = Re Zi — б — е > Re z0 — б. В полуплоскости
Re z < а последовательность {Pm(z)} сходится равномерно.
Теорема 3.14. Пусть Хх (к ^ I) — целые положи-
положительные числа и lim -j- = а. Если последовательность
равномерно сходится в области G, содержащей замкнутую
дугу окружности \z\ =Ra, опирающуюся на центральный
угол 2ло, то тогда она равномерно сходится в некотором
круге \z\<R, R>R0.
Теорема вытекает из предыдущей, если учесть, что в
случае целых X» величина 6 = 0.
§ 4. Применения к вопросам полноты
1. Полнота системы степеней в угле.
Теорема 4.1. Пусть Xh (k > 1) — целые положи-
положительные числа, limy- = а.Пусть, далее, Г\ — непрерывная
кривая, идущая из начала координат в бесконечность, пе-
пересекающаяся с каждой окружностью |z|=r, 0<г<°°,
в единственной точке; Г2 — кривая, получаемая поворо-
поворотом кривой Г\ вокруг начала координат на угол 2ло; D —
угловая область (раствора 2ло), ограниченная кривыми
Г( и Fi. Тогда система {zu} полна в области D.
Доказательство. Возьмем линейный функционал

гл тт, ряды экспонент
где С — замкнутый контур, лежащий в D, yd) — функ-
функция, аналитическая на С и вне С, и ч(°°) = 0. Согласно
теореме 7.2 гл. I достаточно доказать, что если
{t)t\t=:O (fc>l), D.1)
то f(.t) = 0.
Рассмотрим функцию F (z) = —. J ~^j dt, где z ле-
c
жит вне С. Она регулярна вне С. При больших Ы
°° .
\ _ vi th
h=0
поэтому, учитывая D.1), получим (при больших Ы)
где {|.1Й} — дополнение {кк) до последовательности всех не-
неотрицательных целых чисел. Заметим, что Нт — = 1 — а.
Пусть |zl = г —окружность, имеющая общие точки
с контуром С, а I — дуга этой окружности, лежащая вне
С. Эта дуга имеет раствор больше 2лA — о). Так как на
дуге I у F{z) нет особенностей, то по теореме 3.8 у функ-
функции F(z) на всей окружности |z|=r пет особенностей.
Следовательно, F(z) регулярна всюду, и, кроме того,
в бесконечности она равна нулю. Значит, F(z) = 0. Отсю-
Отсюда afc = 0 {k>D. Эти условия вместе с условиями C.15)
дают
Отсюда ^(*) — 0.
Замечание. В условиях теоремы система {zXh} не
может быть полной в области Е, которая содержала бы
в себе дугу окружности lz|=r0 раствора больше 2яо\
Действительно, возьмем функцию /(z) = l/(z — z0), где
z0 лежит вне Е и |zo| <г0. Если бы полнота имела место
в Е, то
f(z) = \im Ph(z)t

S 4. ПРИМЕНЕНИЯ К ВОПРОСАМ ПОЛНОТЫ 119
где Pj(z) — линейная комбинация степеней z h. По тео-
теореме 3.14 последовательность (ЛДг)} сходилась бы тогда
равномерно внутри некоторого круга \z\<rit n > г0,
и функция /(г) была бы в этом круге аналитической,
что невозможно.
2. Полнота системы степеней в области, содержащей
начало координат. Пусть D — односвязная область, со-
содержащая начало координат. Интересуемая вопросом,
когда в этой области полна система (z к] (Хк — целые по-
положительные числа). Заметим, что если /(z) — функция,
аналитическая в D и
()fc(z), Pk(z)= 2U"VV
ft.-» oo V=l
(сходимость равномерная внутри D)t то
/<n) @) = lim P(hn) @) = 0,
h-*oo
если n не равно ни одному из Хт, и потому в окрестности
начала координат
/B)=2«*А D.2)
fc=l
Таким образом, функции, аналитические в D, которые
могут быть аппроксимированы с любой точностью внут-
внутри D посредством системы U А Ь должны в окрестности
начала координат иметь разложение вида D.2). Класс
функций, аналитических в D и имеющих в окрестности
начала координат разложения вида D.2), обозначим
тх)
Теорема 4.2 (Коревара). Пусть D — односвязная
область, ОеД Хк (/с>1) — целые положительные числа.
Если плотность о" = lim^r— равна нулю или единице, то
система (z h\ полна в области D в классе II{\к}.
Доказательство. Рассмотрим случай о = 0. Пусть
функция /(z) аиалитична в области D и в окрестности
начала координат имеет разложения D.2). Тогда по тео-
теореме Фабри (теореме 3.5) ряд D.2) сходится во всей об-
области D и, значит, представляет /(z) во всей области D.
Пусть теперь 0=1. Предположим, что
(t)t4dt = О (А == 1, 2, ...), D.3)

120 гл и- ряды экспонент
где С — замкнутый контур, лежащий в D, и tit) — функ-
функция, аналитическая на С и вне С, причем ч(°°) = 0. Мож-
Можно считать, что С охватывает начало координат. Убедим-
Убедимся, что
для любой функции fiz) e= Н{Хк).
Из условий D.3) следует, что при больших \t\
7ГТ7. (ИЛ = {*} - {К)- D-4)
Последовательность {цк) имеет плотность
к
т ~ lim — = 1 — а = 0.
Так как ^@ регулярна всюду вне С и т = 0, то по тео-
теореме Фабри функция чШ регулярна, во всяком случае,
в области \t\ > /?, где Л = mini Л, и там сходится ряд
tsc
D.4). Круг |z| =S Д целиком лежит в области D. Возьмем
в D окружность UI = Rt, Ri>R. На этой окружности ряд
D.4) сходится и
Имеем, в силу D.3),
= 2й J
Итак, функционал, обращающийся в нуль па функциях
t (А-^1), обращается в пуль и на всех функциях /(z)e
ei/{lj, что означает, согласно теореме 1\ гл. I, что си-
система U'M полна в области D в классе Н{%к}.
Если 0<о< 1, то полнота системы [z h] в области D,
вообще говоря, не имеет места. Приведем подтверждаю-
подтверждающий пример.

8 4. ПРИМЕНЕНИЯ К ВОПРОСАМ ПОЛНОТЫ 4 21
тт / Я2 \
Положим L (X) — Ц I 1 и рассмотрим функцию
ft=l \ \/
По теореме 3.10 ряд сходится в полуплоскости Rez>0
(ибо 6 = 0), его сумма ФЫ регулярна в плоскости с раз-
разрезами по отрезкам (—°°z, пап и [not, °°j). Отметим, что
так как 6 = 0, то точки z — ± noi в силу теоремы 3.7 яв-
являются для функции Ф(г) особыми.
Имея в виду эти факты, видим, что функция
4- D-5)
регулярна во всей плоскости вне дуги |z| = 1, па ^
< arg z < 2л — по.
Пусть D — объединение круга Ы < 1, области
2 < Ы < 3, —ф0 < arg z < ф0, 2яо < 2ф0 < 2я и соединяю-
соединяющего их узкого перешейка (с серединой по отрезку веще-
вещественной оси) такого, что точки z = e±"ai лежат вне D.
Убедимся, что функцию D.5) нельзя в этой области пред-
представить в виде
/B)=limPh(Z), Рй(г)= Sfl^2v D.6)
(сходимость равномерная внутри D). Пусть D.6) имеет
место. Поскольку D содержит в себе дугу Ы —г B<г<
< 3), —ф0 < — ф1 ^ arg 2 < ф, < ф0, 2<р! > 2па, то по теореме
3.14 последовательность {Pk{z)i равномерно сходится
внутри круга Izl <2 и функция /(г) в этом круге анали-
аналитическая, что невозможно (для нее точки е±!"" — особые).
Значит, представление D.6) не имеет места и система
(z fe] не полна в указанной области D.
3. Полнота системы экспонент в криволинейной поло-
полосе. Предполагаем, что %к(к^1) — не обязательно целые,
0<;^ь|оо, lim-^— = а. Пусть у —fix) — непрерывная
кривая, определенная на всей вещественной оси, и
fix) < у < fix) + 2яа, -оо<;е<о° D.7)
— криволинейная полоса.

122 гл. и. ряды экспонент
Теорема 4.3. Если {Xj имеет плотность о, то си-
система {ехъ?}полна в полосе D.7).
Доказательство. Пусть выполнены условия
D.8)
где С — замкнутый контур, лежащий в полосе D.7), и
7 Ш — функция, аналитическая на С и вне С, причем
<у(оо) = о. Покажем, что чШО
Рассмотрим функцию
D.9)
где F(z) — функция C.15) из теоремы 3.11. Функция
Ф(г) регуляриа в полуплоскостях Re z > h it Re z < — h
(при достаточном большом h) и в некотором узком кри-
криволинейном канале, соединяющем эти полуплоскости.
Когда Re z < — h (пусть при этом ReU + t) < 0 для t s С),
то, в силу условий D.8) и представления C.17), получаем
Ф(г) =0. Следовательно, функция Ф(г) тождественно рав-
равна нулю, в частности, она равна нулю, когда Re z > h.
Но для таких z, в силу представления C.16),
+ lim У; bve~V, Rez>'A
ИЛИ
A (z) = lim S b^V + Ве$г = 0, Re z < - h;
DЛ0)
Покажем, что 5 = 0. Последовательность fi U {Xft} име-
имеет плотность о. Пусть ijU) U (ij^U)} — система, бпортого-
нальная к системе
Имеем (при Re z < — h)
О = ^ U (*) A (z + t) dt

§ 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПОЛИНОМОВ ИЗ ЭКСПОНЕНТ 123
(Здесь 7 — замкнутый контур, охватывающий отрезок
[—nai, nail.) Значит, действительно, В = 0. Итак,
с
где (} > 0 — любое, отличное от Хк {к > 1). Но тогда функ-
функция
с
и if(i) == 0. Теорема доказана.
§ 5. Последовательности полиномов из экспонент
1. Интерполирующая функция. Пусть L(X) — целая
функция экспоненциального типа^^и)—функция, ассо-
ассоциированная с ИХ) по Борелю, D — сопряженная диаг-
диаграмма ИХ), Xi, Xi, ...— простые нули ИХ) (у ИХ) могут
быть и другие нули). Интерполирующей функцией мы на-
называем функцию
1 г /7 Д
со2 (ц, a, F) = е~^ -^— \ у (t) J F (t + а - I) e»1. dt, E.1)
где С — замкнутый контур, охватывающий J5, и а0, а —
параметры.
Теорема 5.1. Пусть
Тогда
е = ST J Цц)
(при А: > п считаем ак = 0), где Ск — окружность с цент-
центром в точке Хк, внутри которой нет нулей L(X), кро-
кроме Хк.

124 гл. ii. ряды экспонент
Доказательство. Вторая формула — следствие
первой. Поэтому докажем первую. Имеем
, ос, Р)
(™) _ ( V)o
Внутренний интеграл равен . , в силу
V Л
чего внешний интеграл равен
Значит,
171=1 ^ m
и wL0.s, а, P) = ahL'O.k).
Теорема 5.2. Пусть F{z)—функция, аналитическая
на контуре Са и внутри Са {Са — смещение С на век-
вектор а). Если 0 е В, аа = 0, то
| coL (Ц, «, F) |< А (г) \ е~а» | el'1'»" ?> max | /'' (и) |, ц - re"f,
и=Са
E.2)
е > 0 — любое и Мер) — индикатриса роста функции
X).
Доказательство. Считаем, что во внутреннем
интеграле в E.1) переменное | изменяется вдоль отрезка
с концами в точках 0 и I (ao = O). Тогда переменное
U — |) изменяется вдоль того же отрезка н находится
внутри контура С (контур считаем выпуклым), в силу че-
чего переменное it + a — |) лежит внутри контура Са. По-
Поэтому
|F g)|<|
Имеем, далее, положив и. = re",
| ei'l | <^ е.\р [;¦ max He (е'Ч)].

§ 5. ГГОСЛ ВДОВ АФЕЛЫЮСТИ ПОЛИНОМОВ ИЗ ЭКСПОНЕНТ 125
Но max Re (е'^) = KL((p), где К{(у) — опорная функция
t~c _
кривой С. Опорная функция ff(cp) множества D равна,
как известно, h{—cp). Когда кривая С близка к границе
множества D, опорная функция ЯДср) близка к /?(ф). Та-
Таким образом, при подходящем выборе С имеем
и поэтому
|е"!| < elh{v)+'u.
В итоге
| coL (щ a; F) |< | ё~а» \ e[h ф;+е]г max | F (и) | J_ Г | ty (t) | dt,
с
что и дает E.2).
2. Оценка полинома из экспонент в угле. Пусть
Положим
n n
p (z) = 2 akeXkl, Q(z)= 3u bhe~%k\ R (z) = P (z) + Q (z).
ft=i ft=i
Теорема 5.3. Пусть E — односвязная область, кото-
которая содержит вертикальный отрезок длины 2яо с середи-
серединой в точке z0. Тогда
1) в угле |п — arg (г — г„)| < ф0 < п/2
| Р (г) | < A max | Л (г) |;
2) в угле I arg (z — zo)| < \|;0
где ^1 — постоянная, не зависящая от P{z), Q(z), R(z).
Доказательство. Докажем утверждение 1), ут-
утверждение 2) устанавливается аналогично. Пусть \ц\ =
¦= г*, t °° — окружности, на которых имеет место оценка
C.9). По теореме 5.1 при больших к
^ (z
1 Г

B6 ГЛ. II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
где Г* — замкнутый контур, образованный отрезками лу-
лучей arg u. = ± ф0, 0 < ф0 < ~- (от начала координат до
окружности |u.| =rj и дугой ?,,: I и. I = г*, I arg fx! =^ ф0.
Положим а = г0 + е0, где е0 выбрано так, чтобы верти-
вертикальный отрезок длины 2яо с серединой в точке а лежал
в Е.
На основании теоремы 5.2
| (ul (u, a, R) |< А (г) | е"ам | е°1{ф+?)г max | R (и) \ \/г>0,
h (ф) = я(т| sin ф |.
Отсюда, учитывая C.8) и C.9), в точках контура Г„
получим
Отметим, что правая часть от номера А; не зависит.
Положим z — 20 = — w и потребуем, чтобы перемен-
переменное w находилось в угле | arg w \ ^ ф0 = — ф0. Тогда,
обозначив if = arg w, получим Re (цш) = r\w\ cos (ф +
+ ф) 5= 0 и, значит,
= е0 cos ф0 — 2е, ц е Г&, E.4)
при малом е величина р > 0. В силу этого,
-3-^1 —-—' ,', ч ^ •--*-(), к-*- оо.
Отсюда, согласно формуле (о.З), вытекает
P(z) = ~2^rJ ^ Ц'Г(ц)е—~^ I л ~~ arg (z ~ zo) К Фо. "
Г
E.5)
где Г — граница угла [arg u| < ф0.

I 5. ПОСЛЕДОВ А ТЕЛЬНОСГЙ ПОЛИНОМОВ ИЗ ЭКСПОНЕНТ 127
Из E.5), согласно оценке E.9), получаем нужную
оценку
| Р (z) | < р (е) max \R(u)\—\ e-vdr.
use л i
Осталось заметить, что за счет выбора ф0 угол ф0 может
быть любым в пределах 0 < \|;0 < л/2.
Теорема 5.4. Пусть {Aj, Г и Гк — те же что и
выше, и пусть F{z) — функция, аналитическая в обла-
области Е, содержащей вертикальный отрезок длины 2ясг
с серединой в точке а. Тогда функция
1 f
i
является аналитической в полуплоскости Re г < Re а,
представляется в этой полуплоскости в виде
причем сходимость равномерная в любом угле
|n-arg[z-(a-eo)]| <г|;о< л/2, е0 > 0. E.7)
Доказательство. Как и выше, получим, что на
Г и на Г»
USE
Когда z лежит в угле E.7), г|з0 = -д ф0,
в силу чего
вь (ц, a, F)
пи) < В (е) е~рт m-Х1 F ^ 1' Р = 8°C0S e° ~ 2е'
Vf ' USE
Из полученной оценки видно, что функция /аЫ —
аналитическая в угле E.7) и в этом угле представляется
в виде E.6), причем сходимость равномерная. При из-
изменении ф0 значение интеграла по контуру Г и значе-
значения интегралов по контурам 1\ не изменяются. За счет

{28 ГЛ. II, РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
выбора ф0 угол ф0 может быть любым в пределах 0 <-
< фо < я/2. Отсюда все и следует.
3. Сходимость последовательности полиномов из экс-
экспонент в полосе. Положим
Рп B) = 2j av e v , (Jn (z) = 2j ov e v л
Теорема 5.5. ПустьО <ЯП f oo, Нту = ст, Е—
П-»оо Лп
область, содержащая в себе вертикальный отрезок длины
2яо с серединой в точке z0. Если последовательность
{R^z)} равномерно сходится внутри Е, то
1) последовательность {Pn(zf) сходится в некоторой
полуплоскости Re z < ($, р > Re z0, причем в любом угле
|я — arg B — 2()| < ф„ < я/2 (Rezi<fS) сходится равно-
равномерно;
2) последовательность {Qtl(z)} сходится в некоторой
полуплоскости Re z > а, а < Re z0, причем в любом угле
| arg B — Zj) I < "ф0 < -ту- (Re zx > а) сходится равномерно;
3) в силу 1) и 2) последовательность {Rn(z)} сходится
в полосе а < Re z < ($, причем на любом компакте из
этой полосы сходится равномерно.
Доказательство. Возьмем область 2?,, ?, с I, с
с ?, так, чтобы она содержала вертикальный отрезок
длины 2ло с серединой в точке ah Re a{ > Re z0. По тео-
теореме 5.3, в угле G: In — arg (z — а()| < ф0 < я/2 верна
оценка
\Рп (г) - Рт (г) | < A max | Rn (и) - Rm (и) |,
где Л не зависит от полиномов. При п, т>Ме) правая
часть меньше е. Значит,
\Pn(z) - Pm(z)\ <e, zeG, n,m>N(e).
Отсюда вытекает, что {Pn(z)} сходится в полуплоско-
полуплоскости Re 2 < Re а,. Полуплоскость Re 2 < р, р = Re а,, об-
обладает свойством: в ней сходится последовательность
{Pn(z)}, причем в любом угле с вершиной из этой полу-
полуплоскости сходится равномерно. Пусть ($ — верхняя
грань множества чисел р с таким свойством. Тогда в

g 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПОЛИНОМОВ ИЗ ЭКСПОНЕНТ 129
полуплоскости Re z < f) последовательность iPniz)} схо-
сходится, в любом угле с вершиной из этой полуплоскости
она сходится равномерно. Эта полуплоскость наиболь-
наибольшая. Она — искомая полуплоскость.
Утверждение 2) устанавливается аналогично.
Теорема 5.6. Пусть {Pn{z)} — последовательность
из теоремы 5.5 и Piz) — ее предельная функция. Тогда
1) функция P{z) регулярна в некоторой полуплоско-
полуплоскости Re z < Ъ, р < Ъ < оо, причем при Ъ < °° в каждом
отрезке длины 2яо прямой Re z = 6 у P(z) имеется хо-
хотя бы одна особая точка;
2) в полуплоскости Re z < b имеет место представле-
представление
Р (г) = lim 2 aveV, ev = lim al,n) (v = 1, 2, ...)»
причем сходимость в любом угле |п — arg (z — zj\ <»{!»<
< я/2 (Re Zi < b) — равномерная.
Доказательство. Функция Piz) регулярна в по-
полуплоскости Re z < р. Пусть b — верхняя грань множе-
множества чисел 7, обладающих свойством: в полуплоскости
Re z < y функция P(z) регулярна. В полуплоскости
Re z < Ъ функция Piz) регулярна, и эта полуплоскость —
наибольшая с таким свойством.
Предположим, что Ь < °°, и покажем, что в каждом
отрезке длины 2яст прямой Re z = Ъ у P(z) имеются осо-
особенности.
Получим сначала интегральное представление функ-
функции Piz). Согласно формуле E.5), имеем
г
E.8)
rt — arg [z — (а — e0)] | < ф0 = -j- — cp0.
Здесь
а, Р„) = ^J Jt(*)( j^»(f+a-E)e^dS Id*
Надо перейти к пределу при га -»¦ оо. Пусть Е — прямо-
прямоугольник: |Re?|<8i, \\m t\ < па + ги С — его граница,
Eia) — смещение Е на вектор а. Переменное it + a — %)
принадлежит Eia). Пусть Rea + 8i<p, так что Е(о.)
А. Ф. Леонтьев

130 гл. п. ряды экспонент
лежит в полуплоскости Re t < fj, внутри которой (Р,,Ш)
сходится равномерно.
Так же как выводилась формула E.4), получим
^ «' Р - Рп) ^
< В (е) шах ' | Р (и) — Рп (и) | е-*,,
/>>0 (|n —argfz —(a —eo)]|<v|;o).
Отсюда
Г
1 f ml (|i, a, P - Pn)
i, a, P) e^zd\i \ С a>j (|я, a, Pn) едг^р,
>- 0, n-*- oo.
Имея это в виду, пз E.8) при и -»¦ °° в пределе получим
1 Г" Wj (|j, a, P) йцг(/|1
2лг J L (и) '
г E.9)
| я — arg (z — а) | < % ~ -| ф0, Re а < р.
Допустим, что в некотором отрезке / длины 2яо прямой
Re 2 = 6 у Piz) нет особенностей. Можно допустить, чтс
отрезок / симметричен относительно вещественной осп
Из того, что па / пет особенностей у Piz), вытекает следу
ющ'ее: имеется прямоугольник Q: bs?Rez=?fr, (Ь,>6)
llmzl < f, "i > по, в котором у Piz) пет особенностей
Выберем 6) (оно входит в определение Е) так, чтобы вы
поднялись условия: ^ > яо + 2ei, bi ~ Ъ > 2ej. Когда с
лежит в полуполосе R: Re а *? b + еи llm al ^ 8t, област1
Е(а) не выходит из области регулярности функции P(z)
В R правая часть в E.9) — аналитическая функция /(а)
Согласно формуле E.9), она равна Piz), когда Re a < [J -
— е,. Значит, она равна P(z) при всех a^R.
Итак, формула E.9) верпа для а е R. Пусть а = Ъ +
+ 6Ь По теореме 5.4 правая часть в E.9) регулярна i
полуплоскости Re z < Re a = Ь + е,. Значит, функци;
P(z) регулярна в полуплоскости Re г < 6 + е1? чего н>
может быть по смыслу величины Ь. Поэтому, действи
тельно, в каждом отрезке длины 2яо прямой Re z =,
у Piz) есть особенности. Прямую Re z = b назовем пря
мой голоморфизма функции Piz), а число b — абсциссо
голоморфизма функции Piz),

5 5 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПОЛИНОМОВ ИЗ ЭКСПОНЕНТ 131
Докажем утверждение 2). Согласно теореме 5.1,
/»¦, <°Г О*. «' Рп)
Отсюда вытекает, что существует
Далее, заметим, что формула E.9) верна при Re z < b.
По теореме E.4),
1 ," 03r (u, a, P)e^zdu
Р (г) = lim J-. L ' ' -,
причем сходимость — равномерная в угле |я —argfz —
-(а- е„)]| <i>o< л/2.
Имеем (по теореме 5.1)
1 Г n>L0*.«.
откуда
1
Г/,
Правая часть не зависит от а, а левая часть — аналити-
аналитическая функция при Re z < b. Следовательно, равенство
E.10) имеет место при Re a < Ь. Таким образом,
P(z)= lim 2 aveM, Rez<6.
Замечание. После теоремы 3.8 было дано понятие
прямой голоморфизма суммы ряда C.5). Согласно тео-
теореме 5.6, теперь можно сказать, что в каждом отрезке
длины 2яо прямой голоморфизма Re z = g функции /(г)
у /(г) имеются особенности.
4. Применение к интерполяции. Рассмотрим класс А
целых функций экспоценциального типа. Пусть, как и
выше, 0 < Xh t °°, lim -Д- = а, ? (Я) = Ш* —^ и Ш =
* ft-» оо лй A=j ^ Лд у
= rft t °° — окружности, на которых имеет место оценка
C.9). Ставится задача об отыскании функции /(г) е Л,

132 ГЛ. II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
удовлетворяющей условиям
1(Хк) = ак (к>1), E.11)
где {ah} — заданная последовательность комплексных чи-
чисел. Если функция /(z), удовлетворяющая условиям
E.11), существует, то необходимо
In I аь I
lim—L-^<oo. E.12)
Теорема 5.7. Для того чтобы для данной последо-
последовательности {ак} имелась функция f(z) e А со свойством
E.11), необходимо и достаточно, чтобы последователь-
последовательность полиномов
77
сходилась равномерно внутри некоторой полуплоскость
Re 2 < b.
Доказательство. Пусть последовательное^
E.13) равномерно сходится внутри полуплоскости Re z <
< b. Возьмем a, Re а < Ь, и функцию f(\x) = colCjljl, а, Р)
где P[z) — предельная функция (Р„(г)}. По теореме 5.'.
coL (Xv, ос, Pk) = L' (Xv) = flv
(v=l, 2, ...,«,)-, Xn,</v
В пределе при к ->- °° получим
/(Xv) = coL(Xv, a, P) = av (v 5* 1).
Функция /(г) е А, поэтому /(г) — искомая функция.
Предположим теперь, что /(z) e А со свойством E.11
существует. Рассмотрим функцию
P(z)_ jL
где Г — граница угла I arg jxl *с ф0, ф0 < я/2. Пусть Г»-
аамкнутый контур, введенньй выше. В силу оценок C.5
и C.9), на Г и 1\

t 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПОЛИНОМОВ ИЗ ЭКСПОНЕНТ
133
Предположим, что z лежит в угле G: |arg [— (z — а)]| <
<'Фо — \ Фо-а<О. Тогда \xz = ац — \х[ — (z — ос)],
larg{(xl—(z — a)]) I < фо + фо = л/2, Re (ац) = а Re ц,
в силу чего | е^11 ^ ecel»1lcos<i>e. Если а cos ф„ < — р — 1, то
/ (Ю «1
и, следовательно,
ft-oc l
причем сходимость равномерная. Но, в силу E.11),
fl {Ph(z)}, сходясь в угле G, будет'схо-
будет'сходиться по теореме 5.G в некоторой полуплоскости Re z <
< b. Последовательность {Pk(z)) — искомая.
Теорема 5.8. Пусть последовательность ihk) фикси-
фиксирована. Для того чтобы интерполяционная задача E.11)
была всегда разрешима в классе А при любой последо-
последовательности lak], удовлетворяющей естественному усло-
условию E.12), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие
б = lim -=— In
1
/,'
<oo.
E.14)
Доказательство. Пусть б < °°. Если
lim -±JL'= а < оо.
то
lim -г— In
и ряд ^Р —1 elvz сходится во всяком случае в полу-
плоскости Re z < — (a + б>. Поэтому интерполирующая
функция существует.
Предположим теперь, что задача E.11) всегда раз-
разрешима. Возьмем, в частности, следующую систему чи-

134 гл. н. ряды экспонент
сел: а„ = (—1)" (и 5=1). Для этой системы чисел ипте
поляционная задача тоже разрешима. Тогда, в силу те
ремы 5.7, в некоторой полуплоскости должна сходите
последовательность
&7xV"v2 («=1.2,...).
Но L'(Xv) = ( —1)VIL'(AJI. Поэтому в некоторой полупл
скости сходится ряд "V L eKvz Его абсцисса сх
v=i
димости есть —б. Значит, б < °°.
Замечание. Из приведенного доказательства be
но, что если разрешима задача
то задача E.11) разрешима всегда (при любых ап с ;
ловием E.12)).
§ 6. Уравнение свертки
Уравнение свертки — зто уравнение
(t)f(t + z)dt = O, F
где С — замкнутый контур, f{t) — функция, аналитп
екая на С и вне С, ^i^) = 0, /(z) — искомая функц
Пусть D — наименьшее выпуклое замкнутое множест
содержащее все особенности *((t). Предполагается, <
функция /(z) регулярна в области G, которая содерн
в себе множество Da при некотором а. Левая часть
F.1) тогда имеет смысл и представляет собой анали
ческую функцию в некоторой окрестности точки а.
Введем функцию
Она называется характеристической функцией уравне?
F.1). Для нее D — сопряженная диаграмма. Пу
Xi, Xz, ...— нули L(%) n nil, nit, ...— соответственно

§ в. УРАВНЕНИЕ СВЕРТКИ 135
кратности. Имеем
Отсюда
(А; = 0, 1, ..., mv-l; v = 1, 2, ...).
Следовательно, функции
Z^V (k = 0, I, ...,mv-l, v = l, 2, ...) F.3)
— решения уравнения F.1). Они называются элементар-
элементарными решениями уравнения свертки F.1).
Положим
Р„ mv-l
Pn(z)= 2 2 й1^ (и-1,2,...). F-4)
V=l ft=0
Видим, что если {Pn(z)} сходится равномерно внутри об-
области G к функции P(z), G =i Z)a, то в некоторой окре-
окрестности точки a
Основная задача в теории уравнений свертки — как вы-
выразить общее решение уравнения F.1) через элементар-
элементарные решения F.3).
Пусть a = max 11\. Это значение о — тип функции
«GO
L(X). Предположим, что /Ы регулярна в круге |z| < R,
R > о. Тогда в некоторой окрестности начала координат
(UI )
|i|</?It Ri>a, \z\<p, Rl + p
r
и уравнение F.1) можно представить в виде
jrf'O^O* F.5)
А=0

136 гл. и. ряды экспонент
где
Уравнение F.5) — линейное дифференциальное урави
ние бесконечного порядка с постоянными коэффициент
ми. Обратно, всякое уравнение вида F.5) с характер
оо
стической функцией L (X) — ^ -щ- X , являющейся целс
/1=0
функцией экспоненциального типа, можно записать
виде уравнения свертки F.1).
Замечание. Положим Lt(X) = eaXL{X) и обознач1
"\i{t) функцию, ассоциированную с L^X) по Борел
Имеем
= ^ L, (X) е Щ\ = j e^L {X)
о
j L {X) е-
о
на основании чего
[f (z)\ = ± j Ti (t) f{t+z) dt = ± f v (t - «) /
-f z) dt = 2^-. v @ / it -V a + 2) di = Ml [/ B + с
с
или Л/tj [/ (z — a)] = Ml [/ (z)]. В силу этого решен
уравнения F.1) эквивалентно решению уравнения
Корни характеристической функции этого уравнения
же. При подходящем_выборе а сопряженная диаграм
Di (Dt — смещение D на вектор а) будет содержать
себе начало координат. В дальнейшем удобнее счита
что начало координат принадлежит сопряженной ди
рамме.
1. Биортогональная система в случае кратных к<
ней. Рассмотрим систему F.3). Точки XL, Ji2, ...— hj
функции F.2) кратностей соответственно ти т2,
Обозначим AVt k(i) функцию, ассоциированную по Боре

5 в. УРАВНЕНИЯ СВЕРТКИ 137
с целой функцией —р^- (А: = 0, 1, ..., mv — 1). По-
Положим, далее,
Mv (ц) = (ц — kv) V/L (ц).
Утверждаем, что искомой биортогональной системой бу-
будет система функций
,1, . /л =
mv~k-i
F.6)
Иными словами, имеют место соотношения
О,
0, p = v, зфк,
1, р = v, s = А:.
Для доказательства подсчитаем левую часть равен-
равенства. Обозначив ее для краткости А, запишем
thv—h—I
X f «'е^'ЛVi9 (t) dt.
с
Поскольку ^-. j e^AViq (t) dt = ^ ,
с
то
() (у)]
Я, - ц J^^v- Поэтому
dt ~
F

138 гл. II. ряды экспонент
В силу этого,
Л ^fci^-fc-i)! X
mv—k—I
v У Г" \М (u)\{mv~h~9~l)\ L{^ ]'Ч)
9=0
0,
0, p = v,
что и требовалось доказать.
Функции Л„л(^) регулярны вис D, поэтому и функцв
F.6) регулярны вне D.
Теорема 6.1. Пусть последовательность F.4) равн
мерно сходится в области G^> D. Тогда существуют
lim a(vh =-' avh (к = 0, 1, .. ., mv — 1; v = 1, 2, .. .)¦
Доказательство. В силу биортогональности,
с
Правая часть имеет предел при п -+ °°. Значит, лев!
часть имеет предел и
avk = ~\P(t)^(t)dt. F.
с
Теорема 6.2. Если последовательность F.4) в обл
сти G => D равномерно сходится к нулю, то
av/. == lim a'v = 0 (ft = 0, 1, .. ., mv - 1; v = 1, 2, ..
П-юо
Заключение теоремы сразу следует из формулы F/
2. Интерполирующая функция. Пусть 0 е Б. Введ!
функцию
а, /) _ е-«^ ^L j v (() f j / (f _ а + |) е»Щ ) dt. . F,

§ в. УРАВНЕНИЕ СВЕРТКИ 139
Она уже была введена в § 5 для случая простых корней.
Здесь корни Хм могут быть и кратными.
Лемма 6.1. Пусть L(X) = L,(X)L2(X), где ?Д) (/=>
= 1, 2) — целая функция экспоненциального типа,
hj{q>) — индикатриса роста Lj(X), причем АДф) > 0 и
h() + А2(ф) = А(ф) Шф) — иидикат риса роста L(X)).
1 I -г,
1 yj (t) F\z + t) dtf
c,
где С) — замкнутый контур, охватывающий сопряженную
диаграмму Д функции Z/ДХ). Если F{z) аналитична на
D (D — сопряженная диаграмма L(X)), то
ML {[i, О, F) = Lx (\x) ul2 ((^, О, F) + со?-1 (ц, О, Ф),
)• F-9)
Доказательство. Убедимся сначала, что второе
слагаемое в правой части имеет смысл. Запишем
dt. F.10)
Если Zi^Si, ti e i52, то (Zi + ^eD. Действительно, име-
имеем при любом ф
Re [(*! + h) e~i<pl < max Re (fe~i(p) + max Re (ze"^) ==
= K% (Ф) + ^i (Ф) = >>2 (- Ф) + К (- ф) = fe (- Ф) = К (Ф).
Это означает, что (f4 + z^e ?). Отсюда следует, что если
z лежит в области Gt ^> Du мало отличающейся от Di, a
t пробегает контур С2, который находится вблизи Л2, то
точка (^ + z) будет находиться в области регулярности
F[z), и, следовательно, интеграл F.10) определен и пред-
представляет собой аналитическую функцию Ф(г) в области
Gi. Для такой функции второй член в правой части F.9)
имеет смысл.
Проверим равенство F.9) для F(z) = еи. Функция
F.10) равна
= dr* f Уг @ e«'+I1d« = La (X) в»*.

140 гл. п. ряды экспонент
Имеем, далее, <ot (ji, 0, F) = L {к)к2^\ F (г) = eU-
ствительно,
(
(
и потому
<*>?, (Щ "Л Г) = - 7 ,J—-. , ( V) К1- " / "•' — ,. 1 "
с
На основании этого правая часть в F.9) равна
(X) - Lt (ц) L2
Этому же равна и левая часть в F.9). Следовательно, дл
F(z) = eu равенство F.9) установлено.
Каждый член равенства F.9) линейно зависит от F(z
Поэтому равенство F.9) будет иметь место, если в кач
стве Fiz) взять конечную линейную комбинацию эксп
нент
t л yZj = ^^ dji В ,
Выберем числа ци \ii,... так, чтобы выполнялось условр
lim . . = оо.
При этом условии система [е11''2) полна во всей плоскост
(по следствию из теоремы 7.4 гл. I). Поэтому найдутс
такие Fm{z), что в некоторой области G => D равнолгери
limi Fm (z) - /' (z).
Изэтого будет следовать, что в некоторой области Gt
^> D, равномерно при т -*¦ °о
Фт B) = Мч (Fm) = зЬ j Ъ (О

t 6. УРАВНЕНИЕ СВЕ.РТКИ 141
В силу этого @i.i (ц, 0, Фт) -v ю?^ ((г, О, Ф), т -> оо. Кроме
того, имеем при иг -»- °°
©L(|i, 0, Fm)-xoL(n, О, F), (оч(|х, 0, Fm)-v(oLl (ц, О, F).
Поэтому F.9) следует из уже установленного соотношения
соь (fi, 0, Fm) = L, (ц) (oLa (ц, 0, Fm) + o>ti (и, 0, Фт).
Демма 6.2. Пусть выполнены условия леммы 6.1.
Мьа {F) = 0, то
caL(H, О, Л __ шь2 (t1- °> f)
Эта лемма сразу вытекает из соотношения F.9).
Лемма 6.3. Пусть Fiz) регулярна в области Е =>Ва
и в окрестности точки а удовлетворяет уравнению F.1).
Тогда значение интеграла
2л1.)
coL (ц, a, F) e^
г
где Г — замкнутый контур, на контуре L{\i) Ф О, не зави-
зависит от а.
Доказательство. Дифференцируя равенство ¦
ю = <*>l (Щ o-x F) = <~2~~г \ У W I I F (t -\- а — ?) e^^d^ j dt —
/t — OL \
получим
С L _a J
Так как
^ j F (t - I) e»4 = ~F{a) e^~a) + F (t + а) <Г^
—a
TO
t— = — F(a) б Z/ (u) -1-е n—i 1 V (^) ^(^ ~b a) dt.

142 гл. it. ряды экспонент
В силу условия леммы, второе слагаемое в правой части
равно нулю. Значит,
Лемма доказана.
Лемма 0.4. Пусть функция F(z) регулярна в обла-
области G => Da. Тогда справедлива формула
(z) — г,—: ГТ^ е dll —
F.11)
где Г — окружность \\x\=q, на которой Ь{\х)Ф0, ^{z,
t, Г) — функция, ассоциированная по Борелю с функцией
^
(для других X функция Ф(г, X, Г) определена как свое
аналитическое продолжение) как с функцией перемен-
переменной X.
Доказательство. Формулу установим сначала для
F{z) — еи, \Х\ < q. Для такой функции
«L<fi,a,F) = e<K-*)"LllllZLA
и левая часть в F.11) равна
> _ ^ Г L м - L w /г~а^„ - L lK) eaX f _i!!l
L (цI
1й1=9
Правая часть для F(z) = е1г равна
е"
е
Ф
а, X, Г) = А (X) gL j 5^
1[
Следовательно, соотношение F.11) действительно вернс
для F{z) = elz. Но тогда оно верно для конечной линейной
комбинации экспонент. Отсюда уже известным приемом
(он был продемонстрирован при доказательстве леммы
6.1) получим, что формула F.11) справедлива в общем
случае.

§ 6. УРАВНЕНИЕ СВЕРТКИ 143
3. Оценка функции Ф(г, X, Г).
' Лемма 6.5. Пусть функция L(\i) удовлетворяет ус-
условию: существуют окружности Г„: 1[л|=г„|°°, Ha кото-
которых
In I Lire'") I > (р - en)r, r = rn, e,L — 0, n ->- °°, 3 > 0.
F.13)
Тогда имеет место оценка
| Ф (X, z, Гп) |< Я (е) rne-(e-8»>rV°+?>IM,
(p = argX, ст=тах^(ф), F.14)
<р
где е > 0 — любое, I г I < р — б.
Доказательство. Имеем
Для К, лежащих вне Г„,
Ф (X, z, Гп) - L (X) 2S
и, следовательно,
, г, гл </»iLa)i + iexM, at
Здесь |е'-2|<е(р-й)|?1<Гвг"/|М<Гбг"^. Оценим вели-
величину /„. Так как | е»2 \ < е(е 6)г", то, в силу F.13),
\е^/Ь(ц)\<е~F'еп)Гп, и, значит,/„< г,^^"У'К Иа ос-
новании всего атого, поскольку
| L (К) | < Л (е) е(°+?1Ч Ve > 0,
получаем
| Ф (X, 2, Г„) | < 24 (е) rne-F-?»)''»^
|^|^(rn-l, гя+1).
Осталось рассмотреть случай, когда г„
Для таких %
max \
|ц|=гп+1
(е) г,(е

144 гл. ii. ряды экспонент
Но г„ + 1 «S Ш + 2, в силу чего при малом е
Поэтому уже при любых X будем иметь
| Ф (К 2, Г„) |< В (г) rJie-F-?'0'
это и требовалось доказать.
4. Решение уравнения свертки. В основе будет лежат!
следующая
Лемма 0.6. Пусть функция F{z) регулярна в область,
G=>Ea, где Еа — круг \z-а\ <о, а = тахй(ф), Мер)—
<р
индикатриса роста ЬШ. Если выполняется условие F.13),
то внутри круга \z — al < ^ равномерно
Доказательство. Воспользуемся формулой F.11)
положив в ней q = rn. Получим
*®-Ы )
, a, F)
с
\dt.
С
Имеем
oo
у (z - a, t, Tn) -= J Ф (X, 2 - а, Г„) e^dX.
о
Отсюда, па основании оценки F.14) и леммы 5.1 из гл. I
вытекает, что на окружности \t\ = Л, Я > о,
| у (г — а, /, Г„) | < Рг„е~(в"Е")г", | /1 = /?, | z — а | < р - б,
Поэтому, в силу формулы F.15), находим
р,, 1 Г а>ь(И, «.
F^-2H ) ТЩ
Из этой оценки и следует заключение леммы,

S 6. УРАВНЕНИЕ СВЕРТКИ
145
Пусть характеристическая функция Ь{%) — функция
экспоненциального типа и OeD. В силу теоремы 4.3 из
гл. 1 имеются окружности I д| = rn t °° такие, что
L(X)\> Ае~р[х\ А > 0, р> 0, |X| = г„ (п> 1). F.16)
Теорема 6.3. Пусть b = р\2 + а, где р взято из
оценки F.16), а а — тип функции ЫХ). Пусть, далее,Е —
область, обладающая свойством: точка а е Е, если функ-
функция f{z) регулярна в круге \z — al < R, R>b. Если /(z)
удовлетворяет в Е уравнению F.1), то в Е имеет место
представление
v
/ (г) -= lim 2 2
m*ool>|
F.17)
где z e v* — злементарные решения F.3) {сходимость вну-
внутри Е равномерная).
Доказательство. Будем считать, что ОеЕ. Это
не нарушит общности рассуждений. Введем функции
Nx (X)= sin aX sin iaXt N2 (X) — sin laX —5-j sin UaX — у L
a>0.
Они имеют одну и ту же индикатрису роста
АДф) = h^ff) = a( isin ф| + I cos ф I).
В силу теоремы 5.7 гл. I, первая функция вне окрестно-
окрестностей
kni
<е,
Л,--
<е (к = 0, ±1, ±2, ...),
F.18)
а вторая — вне окрестностей
К~И ~2а~
. kni ni
К 'а И
имеют оценки снизу:
<е (А = 0, ±1...)
F.19)
В>0.
Окрестности, соответствующие разным функциям, не_ пе-
пересекаются.
W А. Ф. Леонтьев

146 ГЛ. II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
Возьмем функцию Р(Х) = LiMN^K). Ее индикатриса
не превосходит (о + а.1/2), причем
\P{rei<f) \>Cea-p>r, r = r'n, F.20)
где \Х\ = гп — те окружности Ш = г„, которые лежат вне
окрестностей F.18). Будем считать, что а>р.
Функция /Ы в точках Е удовлетворяет уравнении
свертки с характеристической функцией Pik). В силу лем-
леммы 6.6, учитывая оценку F.20), получаем, что в некото-
некоторой окрестности точки а е Е
J
(ц, а,
В силу леммы 6.2, имеем
«L №, 0, /) Шр (\i, 0,
'¦
а, в силу леммы 6.3, значение интеграла F.21) не зависит
от а. Поэтому
ii-tL. J ^-l
Если бы воспользовались функцией L{%)N1{'k), то по
лучили бы
п^ое -!л. j ш ,
где 1ц | = гп— те окружности \ц\ = г„, которые лежат вт
окрестностей @.19).
В итоге
/(8)=slim I f Мь(^ о, Я>^ ге/г_
1Ш=гп
Теорема доказана.
Теорема 6.4. Пусть L(X) — целая функция нулевого
экспоненциального типа (о = 0). Тогда внутри своей об
ласти регулярности 11 решение /Ы уравнения F.1
представляется в виде F.17).

§ 6. УРАВНЕНИЕ СВЕРТКИ • 147
Эта теорема — следствие теоремы 6.3, если отметить,
что в силу теоремы 4.3 гл. I имеются окружности \к\ =
= rn t °°, на которых
\Ь(К)\>А(в)е-т, \X\ = rn Ve>0.
Теорема 6.5 (А. О. Гельфоида). Пусть /(z) — целое
решение уравнения F.1). Тогда во всей плоскости имеет
место представление F.17).
Теорема 6.6. Пусть G — бесконечная односвязная об-
область, обладающая свойствами: имеется направление I та-
такое, что если z0 e G, то и весь луч, выходящий из точки
z0 в направлении I, принадлеокит G; Е — подобласть G
такая, что всякий компакт К с G при перемещении его в
направлении I с некоторого момента попадет в Е. Если,
функция F(z), аналитическая в G, в области Е представ-
представляется в виде
F(z)=lim S S fl&Wv1 F.22)
{сходимость на компактах равномерная), то и во всей об-
области G
qn mv-I
FB) = limS S CzV-'.
n-»MV=l h=0
Доказательство. Не нарушая общности, можно
предположить, что направление I — направление вещест-
вещественной оси.
Возьмем функционал
где С — замкнутый контур, лежащий в G, a f{t) — функ-
функция, аналитическая на С1 в вне С, причем "f(°°)=0- Со-
Согласно теореме 7.1 гл. 1, достаточно доказать, что если
M(/eV) = 0 (A = 0xli ...,mv —1; v = l, 2, ...),
F.23)
то и Af(F) = O.
Рассмотрим выражение
10*

14s гл. п. ряды экспонент
Когда ieC, а ге[0, +«>), переменное (i + z) лежит ¦
области G. Следовательно, ty(z) — аналитическая функ
ция, во всяком случае, в окрестности луча [0, +<»). I7pi
z>R, где R велико, будем иметь U + z)<=?. Тогда, в си
лу F.22),
Pn "v*1
F (( _|_ 2) = lim 2 2 4"* (z + t)heWz+t) =¦
Р„ mv-i . м
- lim S S C"* (i)
V=l
откуда, учитывая F.23), получим ^(z) =» 0. Но тогд
() ¦ 0 на [0, oo)j в частности,
с
что и требовалось доказать.
Область G назовем областью типа полуплоскости, ei
ли выполнены условия: 1) имеется направление I тако»
что если za е G, то и весь луч, выходящий из точки z»
направлении /, принадлежит G; 2) если Zo — луч с нг
правлением I, лежащий в G, то по обе стороны от 1а им с
ются в G сколь угодно далекие от 10 точки из G.
Теорема 6.7. Пусть в теореме 6.3 решение /(z) /?<
гулярно в области G типа полуплоскости. Тогда в облс
ста G
/(z)= lim 2 S fl^"^ шС. F.2^
n-»oo V=I Л=0
Доказательство. В области Е, которая ifmrypi
рует в формулировке теоремы 6.3, имеется представлени
F.17). Эта область выполняет роль области Е, котора
фигурирует в теореме 6.6. Поэтому, согласно теореме 6.1
и имеет место представление F.24).
Заметим, что полуплоскость, угол, внутренность пар!
болы — это все области типа полуплоскости.
5. Решение системы двух уравнений свертки. Рассмо
рим систему уравнений
Л/ (/) =
s Ш f Vi @ /(* + *)# = 0|
F.21

( в. УРАВНЕНИЕ СВЁРТКИ 149
с характеристическими функциями соответственно L(X),
Теорема 6.8. Пусть функция /(z) регулярна в обла-
области G типа полуплоскости, и пусть Е — подобласть обла-
области G, определенная в теореме 6.3. Если /(z) удовлетворя-
удовлетворяет уравнениям F.25), то в области Е имеет место предста-
представление F.17), обладающее свойством: если zke)'vt не есть
решение и первого и второго уравнения, то коэффициент
av» = 0. В области G имеет место представление F.24).
Доказательство. Функция /Ы, являясь решени-
решением первого уравнения, имеет, согласно теореме 6.3, вид
F.17). Подставляя выражение F.17) во второе уравне-
уравнение, получим
mv-l
lim У
2 flv*«M -h \
v
-lim S 2 bv»zVvf = 0
(это верно в точках z, достаточно удаленных от границы
G). В силу теоремы единственности 6.2, все 6V» = 0. Но
mv—I mv—l ^
Поэтому
Пусть Li(Xv)"'tO. Тогда последовательно получим av* =
= 0 для k = mv— 1, ..., 1, 0, что означает, что в F.17)
нет членов, соответствующих Xv.
Пусть теперь Xv — нуль Lt (Я) кратности s < mv. Тогда
Lx (Xv) - ... - М'' (Xv) = 0, L<" (Xv) ^ 0 и а^-! X
X C^-iM'1 (M = 0, откуда av,mv-i = 0. Используя этот
факт, получим далее aVmv^i =¦ 0 и т. д. Мы найдем, что
а„ц = 0 для А =» mv =— 1, ...,«. Значит, в F.17) участвуют
1ке*"*г, которые являются элементарными решениями и
первого и второго уравнений из системы F.25).

150 гл. н. ряды экспонент
§ 7. Подпространства, инвариантные
относительно дифференцирования
Обозначим через V множество функций, аналптич!
ских в области G, которое удовлетворяет условиям
1) если /i и /2 принадлежат V, то и их любая линейна
комбинация принадлежит V, 2) если Д gF (к = 1, 2, ..
и / (z) = lim 2j C'^fh (z) (сходимость — равномерная вн,
m->oo )i = l
три С), то /(z) е= У, 3) если / <= V, то и /' е F; 4) F отли
но от всего множества функции, аналитических в G. Мп
жество V естественно назвать подпространством, инвар
антным относительно дифференцирования.
Заметим, что если zheu e V, то и zmeu s У при 0
< m < /;.
Функции zVz, принадлежащие У, назовем жспоне
циальными элементами V.
Убедимся, что экспоненциальных элементов во множ
стве V не более чем счетное множество. В силу свойст
4) имеется функционал
O), который обращается в нуль па всех функци
V. Пусть / <г V. Поскольку /(f"(z) s yt то
в силу чего прп достаточно малых |з|
(t)l(t + z)dt = O. G
Таким обралом, функции /eV удовлетворяют уравнен)
свертки G.1). В частности, экспоненциальные элемен
удовлетворяют уравнению G.1), и онп — элементарп
решения уравнения G.1). По таких решений не более ч
счетное множество.
Пусть
env\ zenv\ ...,z"v-Vv2 (v = l,2,-...) G
— все экспоненциальные элементы из V.

§ 7. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 151
1. Структура инвариантного подпространства.
Теорема 7.1. Пусть G — область типа полуплоско-
полуплоскости, V — подпространство в G', uneapuanfnoe относитель-
относительно дифференцирования, функции G.2) — экспоненциаль-
экспоненциальные элементы из V, Е — подобласть области G такая, что
если аеЕ, то круг I z — al < R при некотором R > а при-
принадлежит G. Тогда для каждой / e V
1) в области Е при подходящем а имеет место пред-
представление
nv—1
2
^ 2
«-°° |Uv|<rm fe=o
(сходимость внутри Е — равномерная),
2) в области G
/(Z)=lim S S a?hVe^z. G.4)
m-*x> v=l ft=o
Доказательство. Функции / e= V удовлетворяют
уравнению G.1). Поэтому в области Е при подходящем
конечном а имеет место представление F.17). Убедимся,
что если некоторое z e v* m содержится в системе G.2),
то коэффициент avk равен нулю.
Пусть z e v* не принадлежит V. Тогда по теореме 7.1
гл. 1 существует функционал
который обращается в нуль на всех /sF, но
G.5)
Как и выше установим, что
*)d* = O V/eV. G.6)
В силу G.5) функция z e v* уравнению G.6) не удовлет-
удовлетворяет. Поэтому, на основании теоремы 6.8, в разложе-
разложении F.17) функции /(z), удовлетворяющей системе урав-
уравнений G.1) и G.6), коэффициент avh = 0.
Заключение 2) следует из теоремы 6.6.

152 ГЛ. II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
2. Следствия.
Теорема 7.2. Пусть G—вся плоскость, V—инва\
антное подпространство в G, функции G.2) •— экспош
циальные элементы из V. Тогда каждая /sF предст*
ляется во всей плоскости в виде G.3).
Теорема 7.3 (Л. Шварца). Пусть G — вся плоское
V — инвариантное подпространство в G, функции G.2)
экспоненциальные элементы из V. Тогда каждая /е
представляется во всей плоскости в виде G.4).
Теорема 7.4 (II. Ф. Красичкова). Пусть G — <
пуклая область типа полуплоскости( V — инвариант!
подпространство в G, функции G.2) — зкепоненциальн
элементы из V. Тогда каждая / <= V представляется в
в виде G.4).
3. Связь с системой двух уравнений свертки.
Теорема 7.5. Пусть G — область типа полуплос
сти, V — инвариантное подпространство в области
Тогда V — совокупность решений системы двух урав
ний свертки.
Доказательство. Пусть функции G.2)—экс
ненциальные элементы ил V. Построим две функции
споненциалыюго типа L(X) и L,(>.), у которых общи
нулями будут точки jiv (v = 1, 2, ...) с кратностями
Положим
ai = Ни • • • i °ni = Ни a"i+i = И-2, • • •, oni+ni = Н21
Имеем
|п |
поскольку ап (п> 1) — нули некоторой целой фунш
экспоненциального типа. Выберем точки Ъп (п>{) т
чтобы выполнялось условие: точки — Ьп отличны от
чек ат, |а„| = |Ь„| и \Ьп — а„| < 1 (п > 1). Положим
имеем

§ 8. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ 153
откуда
Следовательно, на основании леммы 2.2 заключаем, что
L(X) — целая функция экспоненциального типа с нуля-
нулями ап и — Ьп (п > 1).
В качестве Li(X) возьмем функцию
где с„ (nS*l) отличны от —а„ и Ь„ и |с„| = |а„|,
Un — сп\ ^ 1. По уже доказанному LiiX)—целая функ-
функция экспоненциального типа с нулями а„, —с„ (п>1).
У функций L(\) и L,(X) общие нули — точки ап
(
()
Возьмем уравнения свертки G.1) и G.6) с характе-
характеристическими функциями LCk) и Li(A) соответственно.
По теореме 6.8 любая /Ы, удовлетворяющая системе
уравнений, представляется в G в форме F.17), причем
здесь участвуют только те zne"v\ которые входят в
систему G.2). Поэтому /eF. Обратно, всякое /eV
имеет вид G.4) и потому удовлетворяет системе урав-
уравнений.
Замечание. Возьмем систему {е*1} (A^l). Ее
линейная оболочка в плоскости образует инвариантное
подпространство V. Поскольку не существует целой
функции экспоненциального типа ЬШ, у которой нули
были бы точки к = к {к>1) и только они (в силу
теоремы 3.9 гл. I), то V не есть совокупность решений
одного какого-нибудь уравнения свертки.
§ 8. Представление рядами экспонент
Пусть L{X) — целая функция экспоненциального ти-
типа, уU) — функция, ассоциированная по Борелю с Ы\),
В — сопряженная диаграмма LiX), Xi, кг, ...— простые
нули L{X). Допустим, что D — внутренняя часть D —
не пустое множество и OeD. Как и выше, обозна-
обозначим {iJ),,U)} систему, биортогональную системе экспонент
{}

154 ГЛ. II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
Функции F(z), аналитической на множестве D, сон
ставим ряд
оо
2 ± (8
где С — замкнутый контур, охватывающий 15, на котор<
п внутри которого F(z) — аналитическая функция.
Речь пойдет о представлении произвольной фупкц]
F(z), аналитической на D, рядом (8.1).
Теорема 8.1. Если ряд (8.1) сходится к F(z) в с
ласти G <= D, то
J[ (8.
С
Доказательство. Имеем
оо оо
йп ) у (о р (оdt = 21а* ш и (о ^h'dt = 2
Заметим, что если X не есть нуль функции ЫХ),
и, следовательно, функцию еи нельзя разложить в р
экспонент, сходящийся в области G <= D. На этом оси
вании будем решать задачу о представлении аналити1
ских на D функций F(z) рядами (8.1) в области D.
Отметим, что
еи
действительно для функции F{z) = е1
,л Мл _ L (х)
1. Условие сходимости ряда. Класс функций /^(
аналитических на D, обозначим A(D). Пусть /г(ср) — и
дикатриса роста функции L(X), Xh = rkel(th {к>1).
Теорема 8.2. Пусть Х^Хк (к'З*!). Если сходит
ряд (8.3) в области D, то выполняется условие
In | L' (Xh) | > [Л Ы - t] rh, A>A-0(t), Vе >0. (8

§ 8. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ 155
При выполнении условия (8.4) ряд (8.1) сходится в об-
области D, какова бы ни была функция F{z) e A(D).
Доказательство. Пусть ряд (8.3) сходится в об-
области D. Он сходится в области D одновременно с рядом
(8,5)
v
Пусть Д, — множество ^хзчек вида г — pi, I e В. Счи-
Считаем 0 < р < 1. Очевидно, De — выпуклая область и DQ <=
<= D. Заметим, что
max Re (ze1(p) = р max Re (fei4p) = pK (- Ф) = ph (Ф).
(8.6)
Ряд (8.5) на множестве Z)p сходится равномерно. Сле-
Следовательно, имеется константа С такая, что
(
Отсюда
! L' (V0 | > С1 Лг 1 = С ехр [| Х.ч I Re (аЛ«) ], г еЪр.
Возьмем в качестве z точку, для которой в силу (8.6)
Тогда \L'(kk)\ > С~' ехр [рМфЛМ]. Чтобы получить
(8.4), осталось заметить, что при р, близком к единице,
р/г(ф) = /г(ф) — A — р)^(ф) > h{q>) — e.
Пусть теперь выполнено условие (8.4). На основании
леммы 2.3
Возьмем точку г <=^D и обозначим через б — расстояние
от z до границы dD. Утверждаем, что
ReU2) «?[71(ф)-6]Ш, ф = агбХ. (8.7)
В самом деле, имеем
Выражение Re (гещ) — проекция вектора г на направле-
направление —ф. Проведем опорную прямую к области D, пер-
перпендикулярную направлению — ф. Поскольку круг ради-

150 ГЛ. II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
уса б с центром в точке z принадлежит D, точка z о
стоит от указанной прямой на расстояние, не меныш
б. Поэтому
Re (ze*) < tf(-<p) - б = А(ф) - б,
откуда и следует (8.7).
Из (8.4) и (8.7) вытекает
что влечет сходимость ряда (8.1). Все доказано.
2. Условия сходимости ряда к своей функции.
Теорема 8.3. Для того чтобы ряд (8.1) сходился
D к своей функции F(z) (какова бы ни была F(z) <
siE)), необходимо и достаточно выполнение одног
из следующих условий:
2)
2 % @ e, геД t&D, (8.J
3) In | L' (\h) | > [Л (ФА) - е] | Хк |, А > А-о (е), уе > О
(8.1С
и существуют р > 0, гк, 0 < rk t o°, такие, что
\Ш)\>е«", \X\=rh (к>1). (8.11
Доказательство необходимости. Имеем
C0
где. t взято вне D. Здесь
с
Возьмем замкнутый контур С„ который охватывает
контур С и точку t. Имеем
0 . , т„,..-: , ftA0l)rfn , I fiMriWn
1 С $к (*\) d*] 1 Г'I1; ('1) dn i С U\
=з —_ 1 = __ 1 " J \ _
2л( .] г—л 2л(.1 г—ri '2ли t
ci с v
где у — окружность малого радиуса с центром в точке t
Второй интеграл из правой части1 равен — t|,\U). Значит
(t), и представление (8.8) получено.

в 8. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ
157
г- Формула (8.9) следует из того, что функции еи соот-
соответствует ряд (8.3). Условие (8.10) было уже установ-
установлено. Осталось вывести условие (8.11).
Из формулы (8.9) получаем
Образуем кружки
D.
Вне этих кружков
д=1 I \ я/ '
Спроектируем кружки i?v на вещественную ось по пра-
правилу: точке X = re" приводим в соответствие точку г.
На вещественной оси получим некоторое множество Ео.
Ой
Поскольку i[hi\~h < °°, мера множества ?0 конечна.
Покажем, что
Возьмем е>0 и р, 0< р < 1. Мы уже видели, что
max Re (zei(p) = рй(ф) = ^(ф) — A — p)M<P)S*M<P) — аD— р)-
Выберем р так, чтобы выполнялось условие аA — р) < е.
Тогда
max Re (ге1ф) > h (<p) — е.
В силу предыдущего имеем
1
где С — постоянная. Пусть z0 — точка из Д, такая, что
Re (za€i<c) > й(ф) — е. Положим в последнем неравенстве
z = z0. Получим

158 гл. и. ряды экспонент
откуда
eW(t)-M\ r&E0, г>г„(е). (8.12:
Начало координат принадлежит D. Поэтому й(<р) ^
3* а0 > 0 и имеются окружности |А,1=г„|°°, на которых
выполняется оценка (8.12). При малом е > О
h (ф) — 2е > ст0 — 2е > -^ = />.
Условие (8.11) установлено.
Замечание. Полученная оценка (8.12) сильнее
оценки (8.11). Оценка (8.12) показывает, что ИХ) —
функция вполне регулярного роста.
Доказательство достаточности. Установим
достаточность условия (8.8). Убедимся, что ряд (8.8) от-
относительно t на контуре С, охватывающим D, сходится
равномерно. Возьмем точку to^C, ^{to)?=O. Из асимп-
асимптотики функций i|?ftU) (см. замечание после леммы 2.3)
следует, что
4^
Значит, ItfoMI < 3/|i|)k(?o)l, I?C, k> k0. Осталось за-
заметить, что ряд
2! | iM*o) *Ч, а е Д
сходится.
Пусть F{z) — функция, аналитическая на В. Па ос-
основании (8.8) имеем
1нг
l С Л=1
гей.
Достаточность условия (8.9) будет установлена, если
покажем, что из этого условия вытекает условие (8.8).
Из сходимости ряда (8.9), согласно теореме 8.2, вы-
вытекает условие (8.4). Имеем

где Л
B.20),
§ 8. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ
^)= Z 1-1.. 77
h=m+l
ТГТкЛ
\ Щ ¦
159
На основании оценки
A=m+1
' (К)
Стоящий справа ряд, в силу оценки (8.4), сходится. Пусть
его сумма при фиксированном z есть ет. Очевидно, ет s*-
~*0 при т -> оо. Имеем
|Дт(М1<етС(е)^эд+е]г Ve>0. (8.14)
Возьмем функции, ассоциированные по Борелю с
функциями из левой и правой частей соотношения (8.13).
Получим
осе»
На основании леммы 5.1 гл. I и оценки (8.14)
е С It,)
Значит,
-±--У
t— г ¦*•*
(8.15)
h=l
Точка t, лежащая вне В, будет при малых е, б нахо-
находиться в некоторой полуплоскости Re ((е'Фо)> h (фо)+е+б.
Поэтому равенство (8.15) верно при любых isD я лю-
любых t Ф D.
Итак, из (8.9) вытекает (8.8), и потому условие (8.9)
достаточно.
Осталось установить достаточность условий (8.10) и
(8.11). Из условия (8.10) следует, что ряд
2L{\)
L'[h)

ICO ГЛ. II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
сходится в D. Убедимся, что он сходится к еи. Имеем
¦кг К> L(X) eV LO-)
е
- 2
Правая часть, в силу (8.11), стремится к нулю при к-*¦
-*¦ °° для \z\ <р. Значит, ряд действительно сходится к
еу', и потому выполняется условие (8.9), откуда и полу-
получаем требуемое. Теорема доказана полностью.
3. Осуществление условий разложения.
Теорема 8.4. Пусть D — ограниченная выпуклая
область. Существуют функции L(%), для которых Б —
сопряженная диаграмма и которые удовлетворяют усло-
условиям (8.10) и (8.11).
Доказательство. В случае, если Б — много-
многоугольник (OeD) с вершинами у,, . . ., у„ в качестве L(k)
можно взять, согласно теореме 5.8 гл. I, квазиполином
Следует сделать только следующее замечание. У Р(Х)
могут быть кратные нули (их — конечное число). Чтобы
избавиться от них, достаточно РО.) поделить на соответ-
соответствующий многочлен. При этом свойства (8.10) и (8.11)
сохранятся.
В общем случае существование нужных функций ЫЮ
гарантировано теоремой 6.8 гл. I.
На основании теоремы 8.4 можно сделать следующее
заключение.
Теорема 8.5. Пусть D — ограниченная выпуклая
область. Существуют показатели .Хк (А-Э>1), зависящие
только от области, такие, что каждая F{z) e Л(Б) пред-
представляется в D рядом (8.1).
4, Разложение функций, непрерывных в замкнутой
области. Пусть функция ?0.) удовлетворяет дополни-
дополнительному условию
?^ . (8.16)
Можно показать (см. [2]), что при этом условии функ-
функции i?AU) {!;>!), регулярные вне Д непрерывны до

g 8. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ 161
границы и
A
(k>i), t^dD, (8.17)
где констаата А не зависит от к,
Обозначим С(В) класс функций F(z), которые регу-
регулярны в D и непрерывны в D. Функции F(z) e С(В)
сопоставим ряд
дЪ
Теорема 8.6. Для того чтобы ряд (8.18) сходился
л D к своей функции F(z) (какова бы ни была F(z) e
eC(Z>)), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
одно из условий 1), 2), 3) из теоремы 8.3.
Доказательство. Необходимость условий 1), 2),
3) вытекала уже из возможности разложений в ряд экс-
экспонент функций из более узкого класса А(Б).
Перейдем к достаточности этих условий. Выше было
показано, что из условия 3) вытекает условие 2), а из
условия 2) вытекает условие 1). Поэтому убедимся, что
из условия 1) вытекает представление F(z)^C(D) ря-
рядом (8.18).
Пусть z e D. Было показано, что из (8.8) следует
(8.9), а из (8.9) следует условие (8.4). Из условия (8.4)
и оценки (8.17) вытекает, что ряд
S Чч @ «'**
равномерно сходится, когда t лежит вне D, и, следова-
следовательно, представляет собой непрерывную функцию. По-
Поэтому на основании (8.8) получаем
77
Отсюда вытекает, что
{_ — ini Jdt
дЪ '"
= 2 акг».
11 А. Ф. Лео

Ю2 ГЛ. II, РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
Теорема 8.7. Пусть D — ограниченная выпуклая
область. Существуют показатели Kh (k^i) {они завися!
лишь от области) такие, что каждая F{z) e С{Б) пред
ставляется рядом (8.18).
Доказательство. Теорема будет установлена, ее
ли покажем, что существуют функции LiX), которьк
удовлетворяют условию (8.1G) н условиям (8.10) п (8.11)
13 случае многоугольной области в качестве LiX) можш
взять квазиполином, поделив его на подходящий много
член. В общем случае существование нужных функцш
ИХ) обеспечено теоремой С.8 гл. I.
5. Разложение функций, аналитических в открыто!
оо
области. Пусть М (X) — ^ ту- X —целая функция нуле
о
1- k r\—; = i
вого экспоненциального типа, так что limy|cft|
и °°
M(D)F = У 4f р(Н) (z)- (8'1?
Покажем, что если F{z) регулярна в круге \z — a|<f
то в меньшем круге \z — a|<p,<p ряд (8.19) сходите
равномерно. Из неравенств Коши следует
Но
\ck\<A(e)zh (A->0) Ve>0.
Поэтому прп \ъ — а\ < pf
<™ 2 ,-Ьг max \F(t)
Если выбрать е < (p — p(), то получим
\M(D)F\<B max \F(l)\, |2-fl|<Pl<p. (8.21
Отсюда и вытекает пужное заключение.
Оператором (8.19) можно действовать на функци
F(z) в любой ее точке регулярности. Из (8.20), крол
того, видно, что если в \z — a|^p равномерно Fm -»-
при ш -+ оо, то в меньшей окрестности равномерно
M{D)Fm -» M(D)F.

S 9. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ 163
Приведем без доказательства следующую теорему (она
имеется в [2J).
Теорема 8.8. Пусть D — конечная выпуклая об-
область и С — ее граница. Проведем открытые круги ра-
радиуса ilk с центрами в точках границы С. Эти круги при
к > /с0 образуют кольцевую область, внутреннюю грани-
границу ее обозначим Ск. Пусть {Mh} — возрастающая после-
последовательность положительных чисел. Обозначим A{Mh)
класс функций /(z), аналитических в D и удовлетворяю-
удовлетворяющих условию
I/WKI», геС, ft>ft0.
Тогда в зависимости от класса A{Mh) можно сконструи-
оо
роватъ целую функцию М (К) — ? —j-Xn нулевого экспо-
экспоненциального типа, которая обладает свойством: для лю-
любой /(z) s A{Mh) найдется функция F(z), аналитическая
в D и непрерывная в D, такая, что
Т * (z) = 7 (z)- @.21)
Теорема 8.9. Пусть D — ограниченная выпуклая
область. Существуют показатели %h (/с>1) (они зави-
зависят лишь от области D) такие, что любую функцию /(z),
аналитическую 4, D, можно в D представить рядом
Доказательство. Для /Ы найдем функцию Fiz)
со свойством (8.21). Функцию Fiz) разложим в ряд (8.18).
Тогда
/ (г) = М (D) I S ar/A = S anM (D) е'-г = 2 Ьпек\
\п=1 I п=\ П=1
Ьп = апМ (К), z €= D.
§ 9. Представление целых функций рядами экспонент
Рядами экспонент можно представлять аналитические
функции и в произвольных выпуклых бесконечных об-
областях. Остановимся лишь на представлении целых функ-
функций рядами экспонент.
11*

164 гл. и. ряды экспонент
1. Конструкция ряда. Формулы (8.1) непригодны для
конструкции рядов, сходящихся во всей плоскости, ибо
в случае плоскости нет биортогопальнои системы. Одна-
Однако формулам (8.1) можно придать такую форму, кото-
которую потом удается использовать и при разложении функ-
функций во всей плоскости.
Пусть функция F{z) регулярна в круге \z\ <_Я, кото-
который содержит строго внутри себя множество D. Пусть
ОО ОО
Тогда
(V)
Л
а* - Ш J ^v (t) F (t) dt = Т
II
Kl=H \ vb,=o
Имеем
OO .• h ЛЯ ОС /ll--l \
oo I oo \
} .Л-П-1 1 лП
в силу чего Ch. = ^j cnAv . Па основании этого
1=0
Можно убедиться, что двойной ряд сходится абсолютно.
Изменив порядок суммирования, получим
ОО ОО
V v/ я=1 П=0
или
1
Г(М^1

9. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ 165
Введем функцию
\ ih7)^^]. (9.1)
С помощью этой функции коэффициент а„ запишется
в форме
Замечание. Можно показать, что функция F.8)
при а = 0 и /(z) ^F(z) совпадает с функцией (9.1).
Формула (9.1) имеет смысл не только тогда, когда
1Лк) — целая функция экспоненциального типа. Если це-
целая функция Fiz) такова, что
'(A~2!@)|+... +!M^V(O)ll<°°.
|u|<oo, (9.3)
то g>l(h, F) — целая функция, и функции Fiz) можно со-
сопоставить ряд
' (z) ~ —j a\e (9-4)
V —1
с коэффициентами, определенными по формулам (9.2).
Целая функция ЫХ) должна быть целой функцией по
крайней мере первого порядка максимального типа. По-
Поскольку неудобно оперировать с целыми функциями
бесконечного типа, будем предполагать, что Ы\) — целая
функция уточненного порядка р(г) > 1 типа о, причем
,*(г)-1_^0О) г-*оо. (9.5)
Обозначим B(L) класс целых функций^ (z)= ^bhz ,
о
удовлетворяющих, условию
ВЩ: Пт-±:)^Щ<е(<УерГ1''р. (9.6)
Убедимся, что для функции Fiz) s BiL) верно нера-
неравенство (9.3). Из (9.6) находим

166 ГЛ. II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
в силу чего, учитывая формулу Стерлинга,
На основании этого выражение в квадратных скобках
(9.3) не превосходит (|ц| = г)
В, {[?!Ф (к - I)]* + r [qi4> (к - 2)]*-»+ . . . -[-г*-* [?1<р @)]°}
Поскольку cp(t) t °° при t ->- «>, то это выражение меньше
Я.Пд.фШ]"-1 + г[д1ф(/с)]"-2 + ... + ^-'[^
При больших /с и фиксированном г знаменатель дроби
больше единицы. Значит, общий член ряда (9.3) меньше
Bl\ch\[ql(f(k)]h, к>кь{г). Учтем теперь (см. гл. I, § G,
п. 1), что
lim ср (к) /| ск | =- (стерI р,
в силу чего
Поэтому Bilcjlq^ik)]11 < Biipqi)". При малом е величина
pqi < 1; ряд (9.3) сходится.
Отметим следующий легко проверяемый факт.
Если Lik) — целая функция обычного порядка р > 1
конечного типа а > 0, то принадлежность F{z) классу
B(L) означает, что F(z) принадлежит классу [рм а() (по-
(порядок ее меньше pi или равен р„ и тогда тип меньше aj,
где pi и Oi находятся из равенств
^ + ^ = 1, Кр/Р>РI/Р = 1. (9.7)
Подведем итоги. Пусть L(X) — целая функция уточ-
уточненного порядка р(г) (удовлетворяющего условию (9.5))
и типа а с простыми нулями Xi, X2, ... Условием (9.6)
определим класс B(L). Функции F{z)<^B(L) сопоставля-
сопоставляем ряд (9.4) с коэффициентами, определяемыми форму-
формулой (9.2).

§ 9. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ 167
Когда F(z) — целая функция конечного порядка
(пусть р( — число, большее порядка Fiz)), то F(z)sfl(W,
если в качестве LCK) взять целую функцию порядка'р,
удовлетворяющего условию (9.7).
Когда F{z) — целая функция бесконечного порядка,
имеет место следующее утверждение (приводим его без
доказательства, оно имеется в [2], с. 479):
Пусть F(z) — целая функция бесконечного порядка.
Тогда имеется целая функция L(X) уточненного порядка
р(г) > 1 со свойством (9.5) и типа о (она обычного поряд-
порядка, равного единице, и бесконечного типа) такая, что
Fiz)e=B(L).
2. Условие сходимости ряда.
Теорема 9.1. Для того чтобы ряд (9.4) сходился во
всей плоскости, какова бы ни была функция F{z) e B(L),
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
lim jJ-r In | L'(Ьл) | = + оо. (9.8)
Доказательство. Функция еи s B(L). Ей соот-
соответствует ряд
Действительно, для F(z) = еи
и -поэтому ah = ., . • — jr . Jt .. ¦.
Предполагая, что ряд (9.9) при )i + ^ ik>i) схо-
сходится во всей плоскости, выведем условие (9.8). Из схо-
v Л*
димости ряда (9.9) вытекает сходимость ряда Л-—
1 kh
Возьмем фиксированное р > 0. Указанный ряд равномер-
равномерно сходится при |zl ^/j + 1. Следовательно,

1G8
Отсюда
(h
г л
)|
. II.
РЯДЫ Э
J, 7
с,
Выберем z с условием \z\=p+i, argz = — argX*. Тогда
получим
откуда и следует (9.8).
При доказательстве достаточности условия (9.8) ис-
используем то, что IwzXXfc, F)\ <C, где С не зависит от к-
(это утверждение не доказываем, оно имеется в [2],
с. 461). Имеем
и, следовательно, в силу (9.8), ряд (9.4) сходится во всей
плоскости.
3. Формула для разности между функцией и частной
суммой ряда. Пусть Г — замкнутый контур, на котором
L(|x) + 0 и Dr—область, ограниченная контуром Г. По-
Положим
Теорема 9.2. Если F(z) еВШ, то
*<«>- 2 ^T%^^==2^m)@)^). (9.10)
Доказательство. Формула (9.10) сразу прове-
проверяется для функции F(z) = eu. Так как при положитель-
положительных к
то, п силу (9.3),
ft=0

' I 9. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ 169
Подставим в (9.10) вместо Fiz) функцию еи, разложим
обе части в ряды по степеням X и приравняем коэффи-
коэффициенты при ^УА;!. Получим
U (X)
Следовательно, формула (9.10) верна для F(z) — z* (к
= 0, 1, 2, ...). Тогда она верна для функции
и имеет вид
fpB)- 2 ^s
Отметим, что Fp(z) -* Fiz) равномерно на компактах и
| F(pm) @) | < | F(m) @) | (m>0). Отсюда, учитывая условие
(9.3), следует, что
На основании этого из формулы (9.11), устремив р в «,
в пределе получим формулу (9.10).
4. Условие сходимости ряда к своей функции.
Теорема 9.3. Пусть выполнено условие (9.8), ииме-
ются окружности 1ц1 = «/я t °°, удовлетворяющие условию
prft) Ijil-?», ?»-*«,-*-*«. (9.12)
ряд (9.4) сходится к своей функции F(z).
Доказательство. Имеем (при больших к)
Xi V L(k) е""г __ ЦК) Г e»zd\i
е Jmi \— 1 . V (Х.Л ~~ 2л1 ' J (и — X) L (и)
Правая часть в силу условия (9.12) стремится к нулю
при к -*¦ °°. На основании условия (9.8) сходится во всей
плоскости ряд (9.9). Следовательно,
Кг V
е —¦ s-i
v=l

170
ГЛ. II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
Обозначим Г„ замкнутый контур, внутри которого
лежат пула Хи Хг, ..., Хп функции ЫХ) и нет других пу-
пулей этой функции. Из (9.13) вытекает
v=n+l v \ v>
Оценим правую часть. Из (9.8) получаем
" (К)
<А(р)е
(9Л4)
каково бы ни было р > 0. Убедимся теперь в том, что
L(k)
К-К
<B(a1)exp[airp(r)])
где
не зависит ot.v.
Если \Х — ХЧ
1, то
L (I)
¦ - К
), (9.15)
L (X) |, и неравенство
(9.15) очевидно. Пусть теперь |Я, — Xvl < 1. Имеем
к
L(k) = L (к) - L (Xv) = \ V (t) dt,
откуда
\UX)\
\v,X], \to\ ^ \X\
Функция L'{X) имеет, как и ИХ), тип о при порядке
р(г). Поэтому
max \L'{t)\<B(a1)exp[o-1rp'r>],
Л — Л,
Ha основании оценок (9.14) и (9.15) получаем
Выберем р =
|г|<Л, р>Д.
Тогда сумма будет меньше е +1'

§ 9. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ 171
при п > ив и
IФ {К z, Tn)\<C (R,a,) <T|X"+l1 exp [а^],
Пусть Ф (X, z, Г„) = S A™ (z) к™- Тогда в силу пера-
вепства Коши
^С^аоГ^^Л, г>0.
Показывается, что
(это легко проверяется, когда р(г) = р, ф(<) = ti/p, в об-
общем случае см. [2], с. 477). В итоге
Функция Fiz) e B(L). Поэтому в силу (9.6)
|F(m»@)l <B{$<f{m)}m, ¦ ^<(оер)-1/р, m>0. (9.17)
Согласно формуле (9.10), имеем
Отсюда в силу оценок (9.16) и (9.17) получаем (при о2
близком ко)
<B(R)e~^n+1\/ |2|<Д,
Видно, что F{z) разлагается в ряд (9.4). Теорема
доказана.
Замечание. Показывается (см. [2], с. 478), что
условия (9.8) и (9.12) и необходимы для того, чтобы ряд
(9.4) сходился к своей функции F(z), какова бы ни была
функция Fiz) ejS(L).
В связи с теоремой 9.3 возникает вопрос: всегда ли
имеются функции ?Ш, удовлетворяющие условиям (9.8)

172 ГЛ. II. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
и (9.12)? Па этот вопрос имеется положительный ответ
(см. [21, с. 479): пусть F(z) — целая функция; тогда су-
существует целая функция ИХ) со свойствами (9.8) и (9.12)
такая, что F{z) входит в класс B(L).
На основании этого утверждения и теоремы 9.3 полу-
получаем следующее заключение.
Теорема 9.4. Любую целую функцию F(z) можно
представить во всей плоскости рядом (9.4).
Замечание. В случае, когда F(z) — целая функ-
функция конечного порядка q, в качестве ПК) можно взять
функцию F.4) из § 6 гл. I, положив р(г)«р, причем
— Jr——i,pl>g. Поскольку она вполне регулярного рос-
роста и р > 1, будет выполняться условие (9.8). Если еще
потребовать, чтобы было ak+l — ak > da^'", то тогда, со-
согласно следствию 1 из теоремы 6.5 гл. I, будет выпол-
выполняться и условие (9.12).

ЛИТЕРАТУРА
1. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.—М.:
Гостехиздат, 1956.
2. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент.— М.: Наука, 1976. .
3. Л е о н т ь е в А. Ф. Последовательности полиномов из экспо-
экспонент.— М.: Наука, 1980.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсцисса сходимости ряда Ди-
Дирихле 84
— — — — абсолютной 84
— — — — равномерной 84
Аналог леммы Абеля 81
Асимптотика суммы ряда Ди-
Дирихле 82
Л-точки долой функции 33
Диаграмма сопряженная 45
Индикатриса роста 48, 05
Интеграл Лапласа 40
Интерполяция 131
Исчисление операционное 01
Квазиполином 53, 57
Критерий неполноты 72
— полноты 77
Множество правильно
I деленное 67
— регулярное 69
расире-
Область регулярности суммы
ряда экспонент 10fi
Оценка канонического произ-
произведения снизу 28
— коэффициентов степенного
ряда через реальную часть
29
— полинома из экспонент в
полуплоскости 115
-в угле 125
— производной целой функ-
функции в нулях функции 70
— снизу sin г 52
Оценка специального произве
дения 57
— целой функции конечног
порядка снизу 32
— — — — — конечного тип
снизу 40
— частного двух целых фун»
цнй 33, 40
Подпространство, инвариант
ное относительно диффере!
цировання 150
Показатель сходимости 16, 17
Порядок канонического прои:
ведения 27
— производной 15
— уточненный 65
— целой функции 8, 12
Последовательность полиномо
из экспонент 123
Представление интегрально
целой функции через ассоц1
нрованную 45
— — ассоциированной фун!
цнп через целую 49
Преобразование Абеля 81
Произведение бесконечное 1'
21, 25
Ряд Дирихле с комплексным
показателями 91
— Ньютона 63
Д-порядок и /?-тпп 87
Система функций бнортогонал]
ная 97, 99, 102, 13G
Теорема Бореля о разложени
целой функции конечно1
порядка в бесконечное пр<
изведения 31

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
175
Теорема единственности 18, 19,
138
— о нулях целой функции 16,
17, 18
— о полноте системы степеней
в области, содержащей нача-
начало координат 119
в угле 117
функций 78, 79
— — — — экспонент в криво-
криволинейной полосе 121
— о разложении аналитиче-
аналитических функций в выпуклой
области в ряд экспонент 154,
156, 161, 162
— — — — целых функций в
ряд экспонент 164
— Полна об индикатрисе 51
— — об особенностях 109, НО
— Фабри 109
Тип целой функции конечного
порядка 8, 13
— производной 15
Уравнение свертки 134
Формула для коэффициентов
ряда 86, 103, 104
— для порядка целой функции
12
— для типа целой функции 13
Функция ассоциированная по
Борелю 42
— вполне регулярного роста
66
— интерполирующая 138
— опорная 44, 46
— специальная 112
— экспоненциального типа 42,
45

Алексей Федорович Леонтьев
ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ. РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
Редактор М. М. Горячая
Техн. редактор Л. В. Лихачева
Корректор А. Л. If патова
ИБ -V. 12221
Сдано в напор 27.08.82. Подписано к печати 14.03.83.
Формат 84х1и8<Лг- Бумага тип. Xi 3. Обыкновенная
гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 9,24.
Уч.-над. л. 9.43. Тираж 11500 экз. Закаа № 321,
Цена 30 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-п типография издательства «Наука»
630077, Новосибирск. 77, Станиславского, 25