В.Д. Бертяев, Л.А. Булатов, А.Г. Митяев

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
КУРСОВЫЕ РАБОТЫ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MATHCAD

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ
ФГБОУ ВО «ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра теоретической механики

В.Д. Бертяев, Л.А. Булатов, А.Г. Митяев

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
КУРСОВЫЕ РАБОТЫ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MATHCAD

Учебное пособие

Рекомендовано УМО вузов по университетскому политехническому образованию в
качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по машиностроительным специальностям

Тула,
Изд-во ТулГУ,
2015

УДК 534.1 + 538.56
Бертяев В.Д., Булатов Л. А., Митяев А. Г. Теоретическая механика: курсовые работы с
использованием Mathcad: учеб. пособие / 2–е изд., перераб. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015.
312с.
ISBN–978–5–7679–3227–6
Данный сборник содержит 7 заданий по всем основным разделам теоретической
механики (кинематика – 1, статика – 3, динамика и аналитическая механика – 3). В нем
приведены альбомы заданий и примеры их выполнения, на основе которых, студенты
(особенно заочных и вечерних форм обучения) смогут выполнить их самостоятельно.
Все задания при выполнении требуют проведения определенного вида исследований и
принятия на их основе практических рекомендаций.
Предназначено для студентов высших учебных заведений очной, очно-заочной и
заочной форм обучения для машиностроительных, строительных и приборостроительных направлений подготовки.

Рецензенты:

Дубинин В.Д., з ав. кафедрой теоретической механик МГТУ им.
Н.Э. Баумана

Борисевич В.Б., зав. кафедрой теоретической механики Московского автомобильно-дорожного института (государственный технический университет)

Печатается по решению библиотечно-издательского совета Тульского государственного университета

ISBN–978–5–7679–3227–6

©
©

В.Д. Бертяев, Л.А. Булатов, А.Г. Митяев 2015
Изд-во ТулГУ, 2015

ВВЕДЕНИЕ
Теоретическая механика, являющаяся одной из фундаментальных дисциплин, играет существенную роль в подготовке бакалавров и специалистов всех
инженерных направлений и специальностей подготовки.
На законах и принципах теоретической механики базируется целый ряд
естественнонаучных и общетехнических дисциплин, таких как сопротивление
материалов, теория машин и механизмов, детали машин, строительная механика
и др. Решение инженерных и научных задач, проектирование новых машин, конструкций и сооружений также осуществляется на основе теорем и принципов
теоретической механики.
Хорошие знания теоретической механики требуют не только глубокого
усвоения теории, но и умения грамотно поставить задачу, решить ее, проанализировать результаты и при необходимости выбрать оптимальный вариант решения. Все вышеизложенное наиболее успешно может быть достигнуто при помощи курсового проектирования.
Данный сборник содержит 7 заданий по всем основным разделам теоретической механики (кинематика – 1, статика – 3, динамика и аналитическая механика – 3). В нем приведены альбомы заданий и примеры их выполнения, на основе которых, студенты (особенно заочных и вечерних форм обучения) смогут
выполнить их самостоятельно. Все задания при выполнении требуют проведения
определенного вида исследований и принятия на их основе практических рекомендаций.

3

Предлагаемые курсовые работы дают возможность после изучения изложенного материала, самостоятельно решать более сложные и математически
трудоемкие задачи механики.
Выполнение курсовых работ осуществляется на примере использования
математического пакета Mathcad, который представляет собой эффективное
средство для аналитических преобразований и численного решения теоретических и практических задач. Область его применения простирается от простейших
вычислений до расчета сложных задач в различных отраслях знаний. С помощью
Mathcad можно с успехом решать задачи механики абсолютно твердых и деформируемых тел. Пакет имеет чрезвычайно удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства графики.
Использование Mathcad в теоретической механике позволяет проводить
анализ поведения механических систем в соответствии с поставленной задачей,
что дает возможность решать реальные инженерные задачи учащимися младших
курсов не знакомых еще с численными методами и программированием, но имеющих базовые знания в курсе информатики.

4

Общие положения
Процедура постановки и решения задач теоретической механики включает
в себя пять основных этапов:
1) Формулировку задачи;
2) Построение расчетной схемы;
3) Построение математической модели;
4) Реализация математической модели (решение задачи);
5) Анализ результатов и принятие решений.
Первые три этапа включает в себя постановка задачи.
Формулировка задачи — это условие (текст) задачи. Она осуществляется
руководителем работ совместно с исполнителем.
Расчетная схема — это рисунок, на котором изображены: рационально выбранная система координат; упрощенная схема механической системы в произвольном или заданном положении; механические характеристики и т.п. (в зависимости от применяемого метода).
Математическая модель — это система алгебраических и / или дифференциальных уравнений (уникальная для каждого применяемого метода), а также
начальных условий, описывающих кинематическое поведение механической системы.
Реализация математической модели — это решение поставленной задачи
выбранным, на этапе постановки, методом.
Анализ полученных результатов — это сравнение решений, полученных
разными методами, определение критических состояний механической системы
и нахождение оптимальных параметров для ее функционирования.

5

Требования к оформлению и защите1
Работа представляется к защите в виде пояснительной записки. Пояснительная записка, объемом 25-30 листов, аккуратно оформляется на листах формата А4. Каждый лист должен быть пронумерован. Разделы и параграфы должны
быть озаглавлены и пронумерованы. Формулы, на которые есть ссылки в тексте
пояснительной записки, обязательно нумеруются. Листы должны быть скреплены между собой. Пояснительная записка включает в себя:
1) Титульный лист.
2) Аннотация (Краткое содержание работы).
3) Оглавление с нумерацией страниц каждого раздела.
4) Схема механизма (конструкции) и необходимые численные данные для выполнения задания (на отдельном листе).
5) Постановка задачи. Описание подхода к решению задачи, формулировка
математической модели и методов решения, использованных в процессе
работы над проектом.
6) Решение полученной системы уравнений.
7) Анализ результатов.
8) Выводы
9) Список литературы.
При защите работы оцениваются: оформление пояснительной записки;
правильность постановки и решения задач механики; самостоятельность выполнения задания; грамотный анализ полученного решения.
При защите необходимо уметь прокомментировать любой метод решения,
уметь определять механические характеристики системы по требованию преподавателя.

1

Работы, не отвечающие всем перечисленным требованиям, не проверяются, а возвращаются для переделки.

6

1. КИНЕМАТИКА
Данное задание посвящено применению основных теорем и принципов кинематики к исследованию механических систем. Студенты, выполняя то или
иное задание, должны получить навыки и умения:
o нахождения геометрических связей, наложенных на заданный механизм и
формулировку их в математическом виде;
o составления уравнений движения произвольной точки механизма и определения ее траектории, скорости, ускорения;
o применения теорем о сложении скоростей и ускорений в плоском движении
твердого тела и в сложном движении точки;
o решения поставленной задачи аналитическим и графическим способом.

K1. КИНЕМАТИКА ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
Плоские механизмы имеют широкое применение в технике. Кинематическое исследование этих механизмов играет важную роль на этапе предварительного проектирования узлов и звеньев сложных машин. Проектируя новую машину или прибор, разработчик должен уметь создавать такие кинематические
схемы, чтобы выходные звенья механизма совершали движения, требуемые технологическим процессом. При этом часто приходится искать способы получения
заданных движений всего механизма или его отдельных звеньев в зависимости
от тех или иных ограничений, определяемых условиями функционирования машины.

Цель курсовой работы
Приобретение навыков кинематического расчёта плоского шарнирного механизма с использованием различных методов.

Содержание курсовой работы
Объектом исследования является плоский многозвенный шарнирный механизм с одной степенью свободы, ведущее звено которого движется по закону
7

  t   0 t ,

где 0 

2  рад
– угловая скорость; T – период вращения ведущего звена.
с
T

Требуется: применяя различные методы и теоремы кинематики определить: закон движения ведомых звеньев механизма; угловые скорости, угловые
ускорения звеньев, совершающих вращательные и плоское движение; закон движения, траектория, а также скорости и ускорения заданных точек, и звеньев совершающих поступательные движения.
Схемы механизмов, а также геометрические характеристики тел приведены в альбоме заданий.
Методы исследований:
o аналитический метод;
o геометрические (графический и графоаналитический) методы.
1. С помощью аналитического метода составить уравнения геометрических связей механизма, получить зависимости углов поворотов ведомых звеньев от времени или от угла поворота ведущего звена.
2. Получить системы разрешающих уравнений для определения угловых скоростей и ускорений ведомых звеньев, а также линейной скорости и ускорения
звена, движущегося поступательно.
3. Записать уравнения для вычисления координат, линейных скоростей и ускорений точек, определенных в задании.
4. Используя основные теоремы плоскопараллельного движения твёрдого тела,
выполнить расчёт скоростей и ускорений всех звеньев и всех узловых точек
(шарниров) механизма для заданного его положения.
5. Используя основные теоремы составного движения точки при вращательном
переносном движении, выполнить расчёт скоростей и ускорений всех звеньев и
всех узловых точек (шарниров) механизма для заданного его положения.
6. Сравнить решения, полученные разными геометрическими методами.

8

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

Провести кинематическое исследование плоского шарнирного многозвенного механизма с одной степенью свободы, для которого известны все геометрические размеры и закон движения ведущего звена (рис. 1).
Определить законы движения всех звеньев механизма, угловые скорости и
ускорения ведомых звеньев, а также линейные скорость и ускорение звена, движущегося поступательно. Вычислить скорости и ускорения всех узловых точек
механизма, а также точек M и K , в зависимости от значения угла поворота ведущего звена   t  . Произвести визуализацию механизма, изобразить траектории,
векторы скоростей и ускорений всех его заданных точек, если даны:
o геометрические размеры
OA, AM , AB, O1B, O1C, CD, CK , a, b;

o закон движения ведущего звена механизма
  t   0 t ,

где 0 – угловая скорость ведущего звена.

9

D

K

a

3
O1

A

O 

0

C

1

b

2

M
B

Исходные данные:
геометрические размеры
OA  15 см,

AM  42 см, AB  97 см, O1B  60 см, O1C  45 см,
CD  86 см, CK  47 см,
a  50 см,
b  37 см;

закон движения ведущего звена механизма
  t   0 t ,

где 0  

18

c 1 – угловая скорость ведущего звена.

Рис. 1. Схема механизма и исходные данные для расчета

10

1. Аналитический метод
Составление уравнений геометрических связей
Изобразим плоский механизм в произвольном положении (рис. 2).
В качестве системы отсчета примем правую декартову систему координат.
Начало системы координат расположим в подшипнике O . Положительные углы
поворота в этом случае направлены против часовой стрелки.

D

xD

y

K
a

yD

3

O1
2


3

2

A

1

C

1

O 

b

M
B

x

Рис. 2. Расчетная схема механизма

Изобразим углы поворота звеньев k , k  1,2,3 , отсчитывая их от горизонтальной оси Ox в положительном направлении.
В состав данного многозвенного механизма входят:
o два кривошипа OA и O1B , которые совершают вращательное движение вокруг неподвижных осей перпендикулярных плоскости xOy и проходящих через точки O и O1 соответственно;

11

o два шатуна AB и CD , совершающих плоскопараллельное движение в плоскости xOy ;
o ползун D движется возвратно-поступательно вдоль направляющей параллельной оси Oy ;
o неподвижное звено OO1 .
Для составления уравнений геометрических связей выделим точки механизма, траектории которых известны. К этим точкам относятся шарниры A , B ,

C и D . Точки A , B , и C движутся по окружностям радиусов OA , O1B и O1C
соответственно, а ползун D – по прямолинейной траектории параллельной оси

Oy (рис. 2).
Шарнир A принадлежит одновременно шатуну AB и кривошипу OA , для
которого известен закон вращательного движения и, следовательно, закон движения точки A определен. Шарнир B принадлежит одновременно шатуну AB и
кривошипу O1B , а шарнир C – шатуну CD и кривошипу O1B . Из двух точек C
и B , одновременно принадлежащих кривошипу O1B , одна является зависимой,
т. е. определение закона движения одной точки приводит к возможности определения закона движения для другой.
Так как закон плоскопараллельного движения твердого тела можно определить по двум любым точкам этого тела, в качестве базовых точек, при составлении уравнений геометрических связей, примем точки B и D .
Построим для этих точек векторные контуры, с помощью которых можно
составить уравнения геометрических связей (рис. 3):
для точки B (рис. 3 а)

rB  rA  AB  rO1  B ,

(1)

для точки D (рис. 3 б)

rD  rO1  C  CD .

(2)

Для получения уравнений геометрических связей запишем соотношения
(1), (2) в проекциях на оси координат Ox и Oy
12

OA cos     AB cos  1   a  O1B cos  2  ,
OA sin     AB sin  1   b  O1B sin  2  ,
a  a  O1C cos  2   CD cos  3  ,
yD  b  O1C sin  2   CD sin  3 .


O1 A

2 O1

A

y

rA

rO1

1



D

B

 AB

x

rD

rB

O

CD

D

a)

B
2

y

rO1

O

x

O1

C

C

3

б)

Рис. 3. Векторные контуры для базовых точек механизма

Перенося слагаемые с неизвестными функциями в одну сторону, получим
уравнения геометрических связей в координатной форме
AB cos  1   O1B cos  2   a  OA cos    ,
AB sin  1   O1B sin  2   b  OA sin    ,
O1C cos  2   CD cos  3   0,

(3)

O1C sin  2   CD sin  3   yD  b.

В уравнениях (3) задаваемой функцией является закон вращения ведущего
звена   t  , а определяемыми функциями времени являются
1  t  , 2  t  , 2  t  ,

yD  t  .

Система (3) представляет замкнутую систему уравнений для определения
законов движения всех звеньев многозвенного механизма.
13

Решение уравнений (3) можно найти различными методами, как аналитическими, так и численными. Подробно о решении систем нелинейных уравнений
численными методами изложено в работе [1].

Определение законов движения звеньев механизма
Аналитические методы при решении нелинейных систем уравнений типа
(3) применяются в тех случаях, когда необходимо получить (если это возможно)
выражения для искомых функций в параметрическом виде.
Для нахождения законов движения звеньев механизма в аналитической
форме запишем первые два уравнения системы (3) в следующем виде (рис. 2,
рис. 3 а, рис. 4)
AB cos  1   O1B cos  2   a  OA cos      xO1 A  O1 A cos    ,
AB sin  1   O1B sin  2   b  OA sin      yO1 A  O1 A sin    ,

(4)

где xO1 A  O1 A cos    , yO1 A  O1 A sin    – проекции вектора O1 A на оси координат; O1 A – его модуль (рис. 4)

O1 A  xO1 A2  yO1 A2  O1 A2  OA2  2 OA OO1 cos      ;
 – угол, определяемый выражениями

cos    

OA cos    a
OA sin    b
, sin    
,
O1 A
O1 A

b
OO1  a 2  b2 ,   arctg   – модуль и направление вектора rO1 .
a

Для нахождения угловой координаты 2 приведем уравнения (4) к виду

AB cos  1   O1B cos  2   O1 A cos    ,
AB sin  1   O1B sin  2   O1 A sin    ,
и, воспользовавшись тригонометрической формулой cos2    sin 2    1, получим AB2  O1B2  O1 A2  2 O1B O1 A cos  2  cos     sin  2  sin    .
Используя формулы приведения, найдем
14

O1B 2  O1 A2  AB 2
cos  2    
 cos  2 .
2 O1B O1 A
Так как cos   2  является четной функцией углового аргумента, то угол 2 может иметь два значения 2   2   или 2   2   , что соответствует двум положением четырехзвенника OABO1 относительно O1 A при одной и той же угловой координате ведущего звена  (рис. 4).

B'

2 '



y

O

A

1





2
2

O1

x

B
Рис. 4. Определение угловых координат звеньев

Учитывая начальное положение механизма (рис. 2) принимаем

 O1B 2  O1 A2  AB 2 
2    arccos 
 .
2
O
B
O
A
1
1



(5)

Для нахождения угловой координаты 1 уравнения (4) перепишем в следующем виде

AB cos  1   O1 A cos   O1B cos  2  ,
AB sin  1   O1 A sin   O1B sin  2  .
Используя процедуру, изложенную выше, получим
15

AB2  O1 A2  2 AB O1 A cos  1  cos   sin  1  sin    O1B 2 .

Окончательно, угловая координата 1 равна

 O B 2  O1 A2  AB 2 
1    arccos  1
 .
2
AB
O
A
1



(6)

Для нахождения остальных неизвестных величин используем оставшиеся
два уравнения системы (3). Из третьего уравнения (3) найдем угловую координату звена CD
 OC

3  arccos   1 cos  2   ,
 CD


(7)

а из четвертого – вертикальную координату ползуна D
yD  b  O1C sin  2   CD sin  3  .

(8)

Уравнения (5) – (8) позволяют определить угловые координаты звеньев совершающих вращательные и плоскопараллельные движения, а также закон движения звена движущегося поступательно.

Определение угловых и линейных скоростей звеньев
Для определения угловых и линейных скоростей звеньев механизма продифференцируем по времени уравнения геометрических связей (3). При этом
следует учесть, что производные по времени от функций   t  , 1  t  , 2  t  ,
3  t  и yD  t  равны
  t   0 , 1  t   1, 2  t   2 , 3  t   3 , yD  t   vD .

Перенося слагаемые с неизвестными в одну сторону, получим
 AB sin  1  1  O1B sin  2  2

 OA sin    0 ,

AB cos  1  1  O1B cos  2  2

 OA cos    0 ,

 O1C sin  2  2  CD sin  3  3

 0,

(9)

O1C cos  2  2  CD cos  3  3  vD  0.

Система уравнений (9) является линейной относительно неизвестных уг16

ловых и линейных скоростей звеньев, поэтому ее можно представить в матричной форме
A  XV  B ,

(10)

где A – матрица коэффициентов левых частей уравнений:

O1B sin  2 
0
0
  AB sin  1 


AB
cos


O
B
cos

0
0




1
1
2
,
A

0
O1C sin  2  CD sin  3  0 


0
O1C cos  2 
CD cos  3  1

X V – вектор неизвестных угловых и линейных скоростей звеньев, B – век-

тор правых частей уравнений:
 1 
 
XV   2 
 3 
 
 vD 

 OA sin    0 


OA cos    0 

B


0


0



Решение уравнений (10) будет иметь вид
XV  A1  B .

(11)

Заметим, что система уравнений (9) легко распадается на две части: систему
трех уравнений относительно угловых скоростей ведомых звеньев 1, 2 , 3 и уравнение, позволяющее определить скорость ползуна D  vD . В этом случае, задача
определения неизвестных угловых скоростей упрощается. Неизвестные угловые
скорости, в этом случае, можно определить из решения
X   A1  B

(11')

 OA sin    0 
  AB sin  1 

O1B sin  2 
0




где A   AB cos  1  O1B cos  2 
0
 , B   OA cos    0  ,



0
0
O1C sin  2  CD sin  3  



 1 
 
X    2  – вектор, составленный из неизвестных угловых скоростей;
 
 3

17

а скорость ползуна D из соотношения
vD  O1C cos  2  2  CD cos  3  3

(11'')

Определение угловых и линейных ускорений звеньев
Для определения угловых и линейных ускорений звеньев механизма дважды
продифференцируем по времени уравнения геометрических связей (3) или один раз
уравнения (9). Представляя, как и ранее, линейную относительно угловых и линейных ускорений звеньев, систему уравнений в матричной форме, получим
A Xa  C ,

(12)

где C – вектор правых частей уравнений:
 AB cos  2  12  O1B cos  2  2 2  OA cos    0 2 


 AB sin  2  12  O1B sin  2  2 2  OA sin    0 2 
C 
,
2
2
O
C
cos



CD
cos




 3 3
 1

2
2


2
2
O
C
sin



CD
sin






1
2
2
3
3



 1 
 
X a   2  – вектор неизвестных угловых и линейных ускорений звеньев.
 3 
 
 aD 

Решение уравнений (12) будет иметь вид
X a  A1  C .

(13)

По аналогии с (11') и (11'') решение (13) можно записать следующим образом. Неизвестные угловые ускорения определятся из решения
X   A1  C

(13')

 AB cos  2  12  O1B cos  2  2 2  OA cos    0 2 
 1 


где C   AB sin  2  12  O1B sin  2  2 2  OA sin    0 2  , X     2  ,


 
 O1C cos  2  2 2  CD cos  3  32

 3


а ускорение ползуна D из соотношения
aD  O1C cos  2  2  CD cos  3  3  O1C sin  2  22  CD sin  3  32. (13'')

18

Таким образом, решения (11) позволяют определить угловые и линейные
скорости всех звеньев механизма, а решения (13) – угловые и линейные ускорения всех звеньев.

Определение скоростей и ускорений узловых точек
Узловыми и задаваемыми точками многозвенного шарнирного механизма
являются точки: A , B , C , D , M и K . Законы движения, угловые скорости и
ускорения звеньев, а также закон движения, скорость и ускорение точки D определены ранее из уравнений (5) – (8), (11) и (13). Для остальных точек законы
движения запишем в векторной форме.

rB  rA   AB  rO1  B ,

rC  rO1  C ,

rM  rA   AM ,

rK  rC  CK .

(14)

Для определения скоростей и ускорений точек, учтем, что модули векторов
rA , AB , B , C , AM и CK постоянны и их производные по времени определя-

ются по формуле Эйлера r   r . Тогда, дифференцируя по времени выражения (14), найдем скорости соответствующих точек

v A  0  rA ,

vB  2  B ,

vC  2  C ,

vM  v A  1   AM , vK  vC  3  CK .

(15)

Для нахождения ускорений точек механизма продифференцируем по времени выражения (15). Тогда, учитывая, что 0  const :
a A  0   0  rA  ,

aB  2  B  2   2  B  ,
aC  2  C  2   2  C  ,
aM  a A  1   AM  1   1   AM  , aK  aC  3  CK  3   3  CK  ,

(16)

Соотношения (5) – (8), (11), (13) – (16) представляют математическую модель кинематического поведения механизма, которая позволяет определить законы движения всех звеньев механизма, координаты узловых точек, а также скорости и ускорения звеньев и узловых точек.

19

2. Результаты расчетов
Ниже представлен общий вид документа Mathcad, в котором производится
кинематический расчет плоского механизма методами кинематики точки. В документе присутствуют скрытые зоны  Area  . Внутри каждой расположены необходимые формулы для расчета. Все скрытые зоны имеют названия, соответствующие тем процедурам, по которым производится расчет кинематических характеристик механизма. К большинству процедур в документе даны необходимые пояснения.

Осуществление подключения документа "user_fun.mcd", в котором содержатся созданные ранее функции пользователя [1].
Reference:C:\Program Files\Mathsoft\user_fun.mcd

Ввод исходных данных

a  50

b  37

CB  O1B  O1C
 o 



T 

18

2 
o

OA  15

AB  97

O1C  45

CD  86

AM  42

CK  47

N  360

 

O1B  60

T
N

Создание элемента управления "Slider" для отображения механизма
при различных значениях угла поворота ведущего звена.

T  0.5

Задание момента времени, для которого производится расчет

В скрытой области "Расчет механизма" содержатся все формулы математической модели
Расчет механизма

mV  10

ma  60

Задаются масштабы для отображения векторов скоростей и ускорений на графике.

В скрытой области "Формирование механизма и векторов" содержатся
формулы позволяющие отобразить механизм и искомые векторы на графике.

20

Форм-ние механизма и векторов

Вывод значений угловых и линейных координат звеньев
 0 ( Tk)
deg
 1 ( Tk)
deg

 65

 357.4885

 2 ( Tk)
deg

 3 ( Tk)

 332.5527

deg

 117.6685

yD(Tk)  92.4238

Отображение механизма, траекторий узловых точек, векторов скоростей и ускорений.

 

R( T k)T 2
T

Y

Vy
ay

 

R( T k)T 1  XT  Vx  ax
Результаты расчетов

21

Расчет механизма

ORIGIN  1
 0 ( t)   o t

Задание закона движения ведущего звена ОА
Вычисление вспомогательных величин

b
  atan 
a

O1A ( t) 





2

2

2

2

2



a  b  OA  2 OA  a  b cos  0 ( t)  







 ( t)  angle OA cos  0 ( t)  a  OA sin  0 ( t)  b





Вычисление угловых и линейных координат ведомых звеньев

 O1B2  AB2  O1A(t)2 

2 O1A( t) AB



 1( t)   ( t)  acos 

 O1A(t)2  O1B2  AB2 

 2( t)   ( t)  acos 
2 O1A( t) O1B



 O1C cos  (t) 
 2 
 CD


 3(t)  acos  







yD ( t)  b  O1C sin  2 ( t)  CD sin  3 ( t)



Задание рассчитываемого момента времени

T  0.5

Tk  T

Вычисление вспомогательных угловых координат
 ( t) 

 0 ( t)
deg

 1 ( t)   1 ( t)  2

 2 ( t)   2 ( t)  2

 3 ( t)   3 ( t) 


2

Задание векторов определяющих положение узловых точек на плоскости

 OAcos   0( t)  


RA ( t)   OA sin  0 ( t)  


0



 a 
RO1 ( t)   b 
0 
 

 AMcos   1( t)  


 AM ( t)   AMsin  1( t)  


0



 O1Bcos   2( t)  


 B( t)   O1Bsin  2 ( t)  


0



 O1C cos   2( t)  


 C( t)   O1C sin  2( t)  


0



 ABcos   1( t)  


 AB ( t)   ABsin  1( t)  


0



22

 CK cos   3( t)  


 CK( t)   CK sin  3( t)  


0



 CDcos   3( t)  


 CD( t)   CDsin  3( t)  


0



 a 


RD ( t)   yD ( t) 
 0 



RB( t)  RO1 ( t)   B( t)

RC( t)  RO1 ( t)   C( t)

RM ( t)  RA ( t)   AM ( t)

RK ( t)  RC( t)   CK( t)

Формирование массива данных для отображения траекторий узловых точек механизма



T

T

T

T

T

T

Rt(t)  stack RA (t)  RM (t)  RB(t)  RC( t)  RK(t)  RD(t)

tti  0.5 ( i  1)

i  1  73



 i
 1
X  Rt tti

 i
 2
Y  Rt tti

Формирование матрицы коэффициентов и вектора правых частей для
определения угловых и линейных скоростей звеньев механизма
0
 ABsin  1( t)  O1Bsin  2( t) 

 ABcos   1( t)  O1Bcos   2( t) 
0
A( t)  
0
O1C sin  2( t)  CDsin  3( t) 


0
O1C cos   2( t)  CDcos   3( t) 


0 


0 

0 

1 

 OAsin  0( t)   o 
 OAcos   0( t)   o 
B( t)  

0




0


Вычисление угловых и линейных скоростей звеньев механизма
 ( t)  A(t)

1

B( t)

Формирование векторов скоростей звеньев механизма

 0 
 
 0 ( t)   0 
 
 o

23

 0 


 1 ( t)   0 
  ( t) 
1


 0 


 2 ( t)   0 
  ( t) 
2


 0 


 3 ( t)   0 
  ( t) 
3


 0 


VD ( t)    ( t) 4 
 0 



Вычисление скоростей узловых точек механизма
VA ( t)   0 ( t)  RA ( t)
VM ( t)  VA ( t)   1 ( t)   AM ( t)

VB(t)  VB(t) Tau1 RB  t

VB( t)   2 ( t)   B( t)
VC( t)   2 ( t)   C( t)
VK ( t)  VC( t)   3 ( t)   CK( t)

VK(t)  VK(t) Tau1 RK  t

V(t)  augment VA (t)  VM (t)  VB(t)  VC(t)  VK(t)  VD(t)
Формирование матрицы коэффициентов и вектора правых частей для
определения угловых и линейных ускорений звеньев механизма

 OAcos   ( t)   2  ABcos   ( t)    ( t) 1 2  O1Bcos   ( t)    ( t) 2 2 
0
o
1
2


2
2
2
 OAsin  0( t)   o  ABsin  1( t)    ( t) 1  O1Bsin  2( t)    ( t) 2 
C ( t)  

2
2


O1C cos   2( t)    ( t) 2  CDcos   3( t)    ( t) 3


2
2


O1C sin  2( t)    ( t) 2  CDsin  3( t)    ( t) 3


Вычисление угловых и линейных ускорений звеньев механизма
 ( t)  A( t)

1

C ( t)

Формирование векторов ускорений звеньев механизма

 0 
 0( t)   0 
0 
 
 0 


 1( t)   0 
  ( t) 
1


24

 0 


 2( t)   0 
  ( t) 
2


 0 


 3( t)   0 
  ( t) 
3


 0 


aD ( t)    ( t) 4 
 0 



Вычисление ускорений узловых точек механизма



aA ( t)   0 ( t)  RA ( t)   0 ( t)   0 ( t)  RA ( t)





aM ( t)  aA ( t)   1 ( t)   AM ( t)   1 ( t)   1 ( t)   AM ( t)









aB( t)   2 ( t)   B( t)   2 ( t)   2 ( t)   B( t)
aC( t)   2 ( t)   C( t)   2 ( t)   2 ( t)   C( t)



aK ( t)  aC( t)   3 ( t)   CK( t)   3 ( t)   3 ( t)   CK( t)





a (t)  augment aA (t)  aM (t)  aB(t)  aC(t)  aK(t)  aD(t)
Расчет механизма

Форм-ние механизма и векторов

Формирование векторов скоростей узловых точек для их отображения на
графике с использованием функции пользователя, вычисляющей координаты шаблона вектора, рисуемого по 7 базовым точкам.





va ( t)  vect or7 RA ( t)  RA ( t)  VA ( t)  VA ( t)  mV
1
2
1
2





vm( t)  vect or7 RM ( t)  RM ( t)  VM ( t)  VM ( t)  mV
1
2
1
2

















vb ( t)  vect or7 RB( t)  RB( t)  VB( t)  VB( t)  mV
1
2
1
2
vc ( t)  vect or7 RC( t)  RC( t)  VC( t)  VC( t)  mV
1
2
1
2

vk ( t)  vect or7 RK ( t)  RK ( t)  VK ( t)  VK ( t)  mV
1
2
1
2

vd ( t)  vect or7 RD ( t)  RD ( t)  VD ( t)  VD ( t)  mV
1
2
1
2

Формирование массива данных для отображения векторов скоростей
 1
 1
 1
 1
 1
 1
Vx  augment va ( Tk)  vb ( Tk)  vc ( Tk)  vm( Tk)  vk ( Tk)  vd ( Tk)









 2
 2
 2
 2
 2
 2
Vy  augment va ( Tk)  vb ( Tk)  vc ( Tk)  vm( Tk)  vk ( Tk)  vd ( Tk)

Формирование векторов ускорений узловых точек для их отображения на
графике с использованием функции пользователя, вычисляющей координаты шаблона вектора, рисуемого по 5 базовым точкам.

25



aa ( t)  vector5 RA ( t)  RA ( t)  aA ( t)  aA ( t)  ma
1
2
1
2





am( t)  vect or5 RM ( t)  RM ( t)  aM ( t)  aM ( t)  ma
1
2
1
2



ab ( t)  vect or5 RB( t)  RB( t)  aB( t)  aB( t)  ma
1
2
1
2



1



1



1

ac ( t)  vector5 RC( t)  RC( t)  aC( t)  aC( t)  ma
2

1

2





ak ( t)  vector5 RK ( t)  RK ( t)  aK ( t)  aK ( t)  ma
2

1

2



ad ( t)  vect or5 RD ( t)  RD ( t)  aD ( t)  aD ( t)  ma
2

1

2





Формирование массива данных для отображения векторов ускорений
 1
 1
 1
 1
 1
 1
ax  augment aa ( Tk)  ab ( Tk)  ac ( Tk)  am( Tk)  ak ( Tk)  ad ( Tk)









 2
 2
 2
 2
 2
 2
ay  augment aa ( Tk)  ab ( Tk)  ac ( Tk)  am( Tk)  ak ( Tk)  ad ( Tk)

Формирование массива данных для отображения механизма на графике

 0 

R( t)  augment 0   RA ( t)  RB( t)  RO1( t)  RC( t)  RD( t)
 0 

 

Форм-ние механизма и векторов

Результаты расчетов

Значения координат звеньев и узловых точек в момент времени

 0 ( Tk)
deg
 2 ( Tk)
deg

 65

 27.4473

t  0  0.5  36

26

Tk  6.5

 3 ( Tk)
deg

 27.6685

 1 ( Tk)
deg

 2.5115

yD(Tk)  92.4238

Графики изменения координат звеньев механизма.

40

105

20

100

 1 ( t)
deg
0

 2 ( t)

90

180

95

360
yD ( t )

deg
 3 ( t)

270

20

90

40

85

60

80

deg

0

90

180

Значения угловых скоростей звеньев в момент времени

 (Tk)2  0.0956

 2.4904 
VM ( Tk)   1.5773 
 0 


 2.6446 
VB( Tk)   5.0916 
 0 


 1.9834 
VC( Tk)   3.8187 
 0 



VA (Tk)  2.618

VM (Tk)  2.9479

VB( Tk)  5.7374

VC( Tk)  4.3031

Tk  6.5

 (Tk)3  0.026

Значения скоростей узловых точек в момент времени

 2.3727 
VA ( Tk)   1.1064 
 0 



360

 ( t)

 ( t)

 (Tk)1  0.064

270

Tk  6.5

 0.9063 
  0.4226 
VA ( Tk)
 0 


VA ( Tk)

 0.8448 
  0.5351 
VM ( Tk)
 0 


VM ( Tk)

 0.4609 
  0.8874 
VB( Tk)
 0 


VB( Tk)

 0.4609 
  0.8874 
VC( Tk)
 0 


VC( Tk)

27

 0.8995 
VK( Tk)   3.2504 
 0 



 0.2667 
  0.9638 
VK ( Tk)
 0 


VK ( Tk)

VK(Tk)  3.3725

 0 
VD( Tk)   2.7788 
 0 



 0 
  1 
VD ( Tk)
0 
 
VD ( Tk)

VD(Tk)  2.7788

Графики изменения скоростей звеньев и точек механизма.
0.1

4

2

0.05
VM ( t)

 ( t) 1

0

VB( t)

 ( t) 2

0

90

180

 ( t) 3

270

360

90

0.05

2
2

6
 ( t)

 ( t)

Значения угловых ускорений звеньев в момент времени

 ( Tk) 2  0.0029

28

aA (Tk)  0.4569

aM ( Tk)  0.4043

Tk  6.5

 ( Tk) 3  0.0052

Значения ускорений узловых точек в момент времени

 0.3554 
aM ( Tk)   0.1928 
 0 



360

4

0.1

 0.1931 
aA ( Tk)   0.4141 
 0 



270

VK( t)
VD ( t)

 (Tk)1  0.0051

180

Tk  6.5

 0.4226 
  0.9063 
aA ( Tk)
 0 


aA ( Tk)

 0.8789 
  0.4769 
aM ( Tk)
 0 


aM ( Tk)

 0.5679 
aB( Tk)   0.097 
 0 



 0.9857 
  0.1683 
aB( Tk)
 0 


aB( Tk)

aB(Tk)  0.5761

 0.4259 
aC( Tk)   0.0727 
 0 



 0.9857 
  0.1683 
aC( Tk)
 0 


aC( Tk)

aC(Tk)  0.4321

 0.1931 
aK( Tk)   0.1588 
 0 



 0.7725 
  0.635 
aK ( Tk)
 0 


aK ( Tk)

aK(Tk)  0.25

 0 
aD( Tk)   0.2302 
 0 



 0 
 1 
aD ( Tk)
0 
 
aD ( Tk)

aD(Tk)  0.2302

Графики изменения ускорений звеньев и точек механизма.
0.02

1.5

0.01

1
aM ( t)

 ( t) 1

0

 ( t) 2

90

180

270

360

aB( t)

0.5

aK ( t)

 ( t) 3 0.01

aD ( t)

0

2

90

180

270

360

0.5

0.02

1

0.03
 ( t)

 ( t)

Результаты расчетов

29

3. Определение кинематических характеристик механизма
в заданном положении с помощью теорем плоского движения твердого тела
Изобразим механизм в заданном положении (рис. 5), при значении угла поворота ведущего звена OA – k  65 , в выбранном масштабе длин – M L .

см
см
см c
MV  0.5
см

M L  10

D

K

O1

vA

C

A

O

0

M
B

Рис. 5. Определение скоростей точек с помощью МЦС

Определим точки механизма, траектории и возможные направления скоростей которых известны.
Шарнир A принадлежит шатуну AB и кривошипу OA , совершающему
вращательное движение вокруг центра O . Кривошип OA является ведущим звеном, угловая скорость которого известна. Следовательно, траектория шарнира A
– окружность радиуса OA и его скорость равна
v A  0 OA 

30


15  2.62 см , v A  OA.
с
18

(1)

Шарнир B принадлежит шатуну AB и кривошипу O1B , совершающего
вращательное движение вокруг подшипника O1 . Следовательно, траектория
точки B – окружность радиуса O1B и скорость шарнира vB  O1B .
Шарнир C принадлежит шатуну CD и кривошипу O1B , совершающего
вращательное движение вокруг подшипника O1 . Следовательно, траектория
точки C – окружность радиуса O1C и скорость шарнира vC  O1B .
Точка D принадлежит шатуну CD и ползуну D , совершающему возвратно поступательное движение вдоль вертикальной направляющей. Следовательно, траектория точки D – прямая линия и скорость ползуна vD Oy .

Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с
помощью мгновенных центров скоростей (МЦС)
Определим положение МЦС для звеньев AB и CD , совершающих плоское
движение (рис. 6). Для этого из точки A проведем перпендикуляр к скорости v A
, а из точки B – перпендикуляр к возможному направлению скорости vB . Точка
пересечения перпендикуляров – PAB является МЦС звена AB для заданного положения механизма.
Аналогично определяем положение мгновенного центра скоростей для
звена CD – PCD .
Измеряем на чертеже расстояния от узловых точек механизма до МЦС соответствующего звена. В соответствие с выбранным масштабом длин эти расстояния равны

APAB  48 см,

MPAB  55.5 см,

BPAB  99 см,

CPCD  132.5 см, KPCD  102 см,

DPCD  85 см

Так как скорость точки A известна (1), то мгновенную угловую скорость
звена AB вычисляем согласно выражению
vA  0 OA  AB AB.

31

AB  1  0

Тогда

OA
 15

 0.0545 c 1
APAB 18 48

Направление мгновенной угловой скорости звена определяем по направлению скорости точки A при мгновенном вращении звена вокруг МЦС PAB .

см
см
см c
MV  0,5
см

M L  10

PCD

D

3

vD

1

PAB

K
vK
O1

2

vA

A

O

M

0

C
vC

B

vM

vB
Рис. 6. Определение скоростей точек с помощью МЦС

Модули скоростей точек B и M равны
vB   AB BPAB  0.0545  99  5.400 см , vB  BPAB ,
с
vM   AB MPAB  0.0545  55.5  3.027 см , vM  MPAB ,
с

а направление скоростей определяется направлением вращения звена AB вокруг
МЦС PAB .

32

Угловую скорость звена O1B вокруг подшипника O1 определим из соотношения
vB  AB BPAB  O1BO1B

 O1B  2 

vB 5.40

 0.0818 c 1
O1B 66

Скорость точки C равна
vC  O1B O1B  0.0818  25  2.045 c 1, vC  CPCD

Мгновенную угловую скорость звена CD вокруг МЦС PCD определим из
соотношения
vC  CDCPCD  O1B O1C  CD  3 

vC
2.045

 0.0154 c 1 ,
CPCD 132.5

а модули скоростей точек D и K выражениями
 1.309 см , vD  DPCD ,
с
 0.0154  102  1.571 см , vK  KPCD
с

vD  CD DPCD  0.0154  85
vK  CD KPCD

Направление скоростей точек vD , vK определяется направлением мгновенного вращения звена CD вокруг МЦС – PCD .
На рис. 6 изображены угловые скорости звеньев и векторы скоростей узловых точек в выбранном масштабе скоростей MV .

Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с
помощью теоремы о сложении скоростей
При неизвестной угловой скорости твердого тела совершающего плоскопараллельное движение теорему о сложении скоростей можно применять для тех
точек звена, у которого известны: для одной – модуль и направление вектора
скорости, а для другой – возможное направление вектора скорости, т.е. траектория движения.
Так как для звена AB вектор скорости шарнира A известен и по модулю и
по направлению (1), а для шарнира B известна траектория движения, запишем
теорему о сложении скоростей для точки B , приняв точку A за полюс:
33

vB  vA  vBA ,

где

(2)
– скорость полюса,

v A  0 OA  2.62 см , v A  OA.
с

vBA  BA AB  ? vBA  AB – скорость точки B при вращательном движе-

нии звена AB вокруг полюса A . (относительная скорость точки B в поступательном переносном движении)
Изображаем в выбранном масштабе скоростей MV (рис. 7) векторный треугольник скоростей, соответствующий уравнению (2).

M L  10

см
см

CD

D

CD

vD
vC

cм

MV  1 с
см

vDC

K

vK CD

vC
vKC
AB

O1

vA

A

O

0

2

C

vA
vMA

3

vC

M

vM

 AB

vA

1

B
vBA

O1B

vB
 AB

Рис. 7. Определение скоростей с помощью теоремы о сложении скоростей

Откладываем в точке B вектор скорости полюса – v A . Из конца вектора v A
34

проводим возможное направление вектора vBA – прямую, перпендикулярную
звену AB . Из точки B проводим направление вектора vB  O1B до пересечения
с прямой, определяющей направление вектора vBA . В точке пересечения данных
прямых сходятся концы неизвестных векторов vBA и vB .
Измеряя указанные векторы, в соответствии с выбранным масштабом скоростей, получаем
vB  5.53 см , vBA  5.47 см
с
с

Угловая скорость звена AB равна

AB  1 

vBA
 0.0603 с 1
BA

Так как угловая скорость звена найдена, для точки M можно записать теорему о сложении скоростей, приняв точку A за полюс:
vM  vA  vMA

где

v A  0 OA  2.62 см с ,

v A  OA,

vMA   AB AM  2.53 см с , vMA  AB.
Для нахождения скорости vM изображаем в точке M вектор скорости полюса – v A , а из его конца проводим перпендикулярно AB вектор относительной
скорости vMA (рис. 7). Соединяя точку M с концом вектора vMA , находим вектор
скорости точки M – vM . После измерения получим
vM  3.13 см .
с

Угловая скорость звена O1B равна
O1B  2 

vB
 0.0838 с 1 ,
O1B

Следовательно, скорость точки C равна
vC  O1B O1C  2.07 см ,
c

vC  O1B .

Приняв точку C за полюс, применим теорему о сложении скоростей к
35

точке D звена CD , траектория которой известна
vD  vC  vDC ,

здесь vDC  CD CD  ? см с , vCD  CD – относительная скорость точки D .
Скорости vD , vDC определяем графически, аналогично методу, изложенному ранее, построив в масштабе треугольник скоростей (рис. 7)
vD  1.33 см , vDC  1.33 см .
с
с

Следовательно, угловая скорость звена CD равна
CD  3 

vDC
 0.0155 с 1 .
CD

Скорость точки K вычисляем по аналогии с определением скорости точки M
vK  vC  vKC ,

где

vC  2.067 см с ,

vC  O1B,

vKC  CD CK  0.73 см с , vKC  CD.
В этом случае (рис. 7)

vK  1.60 см .
с

Следующий метод, являющийся графической интерпретацией теоремы о
сложении скоростей, называется планом скоростей. Особенностью метода является возможность быстрого определения скорости любой точки механизма.
Построим план скоростей в масштабе MV (рис. 8).
Из произвольно выбранного полюса O проводим луч " Oa ", изображающий в выбранном масштабе скорость точки A – v A .
Для определения скорости точки B через полюс O проводим прямую, параллельную скорости vB  vB  O1B  , а через точку " a " – прямую, перпендикулярную AB , т. е. параллельно скорости vBA . Получаем точку "b " : отрезок "Ob "
определяет скорость точки B , а отрезок " ab " – скорость vBA . Измеряем длину
лучей Ob, ab и, пользуясь масштабом скоростей находим

36

vB  5.30 см , vBA  5.53 см .
с
с

OA

a

MV1  0.5

см

с
см

O

m

c

d

k

CD
D

O2 D

K

O1

O1B

vA

b

y

C

A

O 0 x

 AB

M
B

Рис. 8. План скоростей

Для определения угловой скорости звена AB найдем с учетом выбранного
масштаба скоростей отношение

 AB 

ab
 0.057 c 1 .
AB

Для определения скорости точки M делим отрезок ab плана скоростей в
отношении

am AM

ab AB

Луч Om изображает скорость точки M – vM , а отрезок a m – относительную скорость vMA . Пользуясь масштабом скоростей, получаем
vM  3.00 см , vMA  2.40 см .
с
с

Продолжая построение плана скоростей на рис. 8, находим скорости точек
37

vA , vM , vB , vC , vK , vD , а также угловые скорости звеньев AB  1, O1B  2 ,

CD  3 :

vC  2.00 см , O1B  0.08 c 1,
с
vD  1.30 см , CD  0.0151 c 1,
с
vK  1.53 см .
с

Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев с помощью теоремы о сложении ускорений
Ускорения точек и угловые ускорения звеньев, совершающих плоскопараллельное движение, будем определять с использованием теоремы о сложениях
ускорений в плоском движении. Данную теорему реализуем графически, в виде
отдельных многоугольников ускорений на схеме механизма (рис. 9) и с помощью
плана ускорений (рис. 10), построенных в масштабе ускорений M a .
Вращение ведущего звена OA является равномерным с угловой скоростью
0   18 c 1 , поэтому полное ускорение точки A равно ее центростремительной

составляющей
Ц

aA  aA , aA

Ц

2


 0 OA     15  0.4569 см 2 , a A Ц   О
с
 18 
2

(3)

Определение ускорений начинаем с точки B , траектория которой известна. Взяв за полюс точку A , применим, с учетом (3), теорему о сложении
ускорений к точке B звена AB :
aB  a A  aBA  a AЦ  aBAЦ  aBAВР ,

где

(4)

aBA – ускорение точки B при вращательном движении звена AB вокруг
Ц
полюса A ; aBA
– центростремительное ускорение точки B при вращаВР
тельном движении звена AB вокруг полюса A ; aBA
– вращательное уско-

рение точки B при вращательном движении звена AB вокруг полюса A
.
38

Ц
aDС

CD

ВР
aDC

aC

см

aD

M a  0.05

с2
см

D
CD

3

 AB
aВЦ

O1B

b

aВВР

aB

aC
c

O1

C

A

0

2

O

1

B

ВР
aВА

aA

Ц
aВА

aA
AB

OA

Рис. 9. Определение ускорений

39

Для точки B звена O1B имеем
aB  aBЦ  aBВР ,

где

(5)

aBЦ – центростремительное ускорение точки B при вращательном движе-

нии звена O1B ; aBВР – вращательное ускорение точки B при вращательном движении звена O1B .
Приравнивая (4) и (5), получим векторное уравнение, которое решаем графически с учетом выбранного масштаба ускорений (рис. 9):
Ц
ВР
aB  aBЦ  aBВР  a AЦ  aBA
 aBA
.

Здесь

aBA Ц   AB 2 AB  0.3151 см
aBA ВР   AB AB  ? см

с

с

2,

aBA Ц AB    A,
aBA ВР  AB,

2,

aB Ц  O1B 2 O1B  0.4255 см
aB ВР  O1B O1B  ? см

с

2,

с

2,

aB Ц O1B    O1,
aB ВР  O1B.

Построив в точке B механизма замкнутый многоугольник ускорений на
рис. 9 в масштабе ускорений, измеряем значения неизвестных векторов:
aB ВР  0,0620 см

с

2;

aBA ВР  0.6078 см

с

2

; aB  0.4502 см

с2

.

Построение многоугольника ускорений проводим следующим образом:
Из точки B проводим, в масштабе ускорений, вектор ускорения полюса
a A  a A Ц . Из конца вектора a A Ц откладываем параллельно BA вектор ускорения
aBA Ц , из конца которого проводим линию  AB , определяющую возможное

направление вектора aBA ВР . Из точки В , в направлении прямой O1B , откладываем вектор aB Ц , а из его конца линию перпендикулярную O1B , определяющую
возможное направление вектора aB ВР .
Данная линия проводится до пересечения с прямой, перпендикулярной AB
, характеризующей направление вектора aBA ВР .
40

Точка "b" пересечения этих прямых является точкой, в которой сходятся
концы векторов aBA ВР , aB ВР и aB .
Угловые ускорения звеньев определяем по формулам

aBA ВР
 AB  1 
 0.063 с 2 ,
AB
aB ВР
O1B   2 
 0.0009 с 2 .
O1B
Направления угловых ускорений, которые определяем по направлению
векторов aBA ВР и aB ВР соответственно, показаны на рис. 9.
Полное ускорение точки C звена O1B , совершающего вращательное движение, определим по формуле
aC  aCЦ  aCВР ,

где

aC Ц  O1B 2 O1C  0.1612 см
aC

ВР

 O1B O1C  0.0225 см

2,

aC Ц O1B    O1,

2,

aC ВР  O1B,

с
с

aC  O1C O1B 4  O1B 2  0.1724 см

 O B 
 1 2   8.
,


arctg
2
2
 O B 
с
 1 

Изображаем вектор aС в масштабе ускорений M a на рис. 9.
Ускорение точки D звена CD определим с использованием теоремы о сложении ускорений, приняв точку C за полюс
Ц
ВР
aD  aC  aDC  aCЦ  aCВР  aDC
 aDC
,

где

aDC Ц  CD 2 CD  0.0196 см
aDC ВР  CD CD  ? см
aD  ? см

с2

,

с

2,

с

2,

aDC Ц CD   C ,
aDC ВР  CD,
aD Oy .

Аналогично способу, изложенному ранее, изображаем многоугольник

41

ускорений для точки D (рис. 9). Измеряя неизвестные векторы, получаем значения ускорений:
aDC ВР  0.1433 см

с2

; aD  0.1018 см

с2

.

Затем вычисляем угловое ускорение звена CD
CD

aDC ВР
 3 
 0.0017 с 2
CD

и изображаем его направление на рис. 9.
Для определения ускорений точек M и K строим план ускорений (рис.
10), который проводим следующим образом:
Из произвольной точки O проводим, в масштабе ускорений M a , отрезок

"O a " , определяющий модуль и направление вектора ускорения полюса a A  a A Ц
. Из конца вектора a A Ц откладываем вектор ускорения aBA Ц , из конца которого
проводим линию  AB , определяющую возможное направление вектора aBA ВР .
Из точки O , в направлении прямой O1B , откладываем вектор aB Ц , а из его
конца линию, определяющую возможное направление вектора aB ВР . Данная линия проводится до пересечения с прямой, перпендикулярной AB , характеризующей направление вектора aBA ВР . Точка пересечения этих прямых "b " является
точкой, в которой сходятся концы векторов aBA ВР , aB ВР и aB . Отрезок "Ob "
определяет модуль и направление вектора ускорения точки B .
Для нахождения ускорения точки M звена AB разделим отрезок " ab " точкой " m" в соотношении
am AM aMA
.


ab
AB aBA

42

 AB

см

с2
см

M a  0.05

b
O1B

CD

d

k
c

O

CD

D

m

K

O1

vA

y

C

A

O 0 x

M
B

a
AB
OA

Рис. 10. План ускорений

Измеряя длины отрезков " a m" и "O m" , вычисляем, с использованием масштаба ускорений, ускорения
aMA  M a  a m  0,2923 см

с2

, aM  M a  O m  0,3029 см

с2

.

Треугольник oa m на плане ускорений определяет теорему о сложении
ускорений для точки M
Ц
ВР
aM  a A  aMA
 aMA
.

Ускорение точки C определим, разделив отрезок "Ob " на плане ускорений
43

в соотношении
Oc O1C aC
.


Ob O1B aB

Измеряя длину отрезка "oc " , получим
aC  M a  Oc  0,1667 см

с2

.

Для нахождения ускорения точки D проведем из точки C отрезок, задающий, в масштабе ускорений, модуль и направление вектора aDC Ц , а из его конца
линию, определяющую направление ускорения aDC ВР .
Поскольку траектория ползуна D – прямая параллельная оси Oy , ускорение точки D направлено вдоль траектории. Из точки O плана ускорений проводим линию, характеризующую направление ускорения ползуна D .
Точка " d " , полученная в результате пересечения проведенных линий определяет концы векторов ускорений aD , aDC ВР и aDC . Измеряя в масштабе ускорений, получим:

aDC  M A  c d  0,1387 см
aDC ВР

 0,1373 см

с

с

2,

aD  M A  o d  0,1008 см

2 ,  DC  3 

с2

,

aDC ВР
 0.0016 c 2 .
CD

Ускорение точки K получим по аналогии с определением ускорения точки

M звена AB . Имеем
ck CK aKC


.
cd CD aDC

Измеряя длины отрезков "c k " и "O k " , вычисляем, с использованием масштаба ускорений, ускорения
aKC  M a  c k  0,0758 см

44

с2

, aK  M a  O k  0,1167 см

с2

.

Построение плана скоростей и ускорений в пакете Mathcad
Приведем еще один способ построения планов скоростей и ускорений, который может быть использован и для визуализации схем рассчитываемых механизмов (рис. 11, 12). Данный метод подробно описан в работе [1], поэтому его
реализацию в пакете Mathcad не приводим.
T 

T
10

T  6.5

 0 ( T)
deg

 65

1.5

1

0.5

Plvy ( T )

0

Lvy ( T )
Ivy

0.5

1

1.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

Plvx( T )  Lvx( T )  Ivx

Рис. 11. План скоростей для механизма

45

T 

T
10

 0 ( T)

T  6.5

deg

 65

1.5
1
0.5
0
Play ( T)

0.5

Lay ( T)
Iay

1
1.5
2
2.5
3
2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

Plax( T)  Lax( T )  Iax

Рис. 12. План ускорений для механизма

Графические методы позволяют построить планы скоростей и ускорений
только для заданного положения ведущего звена. Применение вычислительной
техники позволило производить построение указанных планов для любого положения механизма. Это позволяет произвести качественную и количественную
оценку полей скоростей и ускорений любых точек механизма, определить те положения механизма, в которых скорости и ускорения точек принимают экстремальные значения. А затем, при необходимости, изменить, соответствующим образом его геометрические размеры.

46

4. Определение кинематических характеристик механизма
в заданном положении с помощью теорем сложного движения точки
Изобразим механизм в заданном положении (рис. 13), при значении угла
поворота ведущего звена OA – k  65 , в выбранном масштабе длин – M L .
Изображенный на рисунке механизм составлен из двух базовых механизмов:
шарнирного четырехзвенника OABO1 и кривошипно-шатунного механизма
O1CD , в каждом из которых шатуны AB и CD совершают плоское движение, а

кривошипы OA и O1C вращательное движение вокруг неподвижных осей Oz и
O1z соответственно.

Определим, измерив в масштабе длины M L , положения узловых точек базовых механизмов:
OA  15 см, OM  48 см,
OB  102 см,
O1C  25 см, O1K  35.5 см, O1D  68 см.

Для нахождения скоростей и ускорений этих точек, а также угловых скоростей и ускорений звеньев представим плоское движение шатунов AB и CD в
виде двух вращений.
В качестве переносного вращения примем:
o для шатуна AB – вращение вместе с кривошипом OA вокруг неподвижной
оси Oz с переносной угловой скоростью
AB e  0  

18

c 1 ;

o для шатуна CD – вращение вместе с кривошипом O1C вокруг неподвижной
оси O1z с неизвестной пока переносной угловой скоростью
CDe  2 .

Относительным вращением в этом случае является:
o для шатуна AB – вращение звена вокруг подвижной оси Az с относительной
47

угловой скоростью  AB r ;
o для шатуна CD – вращение звена вокруг подвижной оси Cz с относительной
угловой скоростью CD r ;

Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с
помощью теоремы о сложении скоростей при переносном вращательном движении
Так как закон движения кривошипа OA задан, а для шарнира B известна
траектория движения, вычисление скоростей начинаем с точки B , вектор скорости которой, определим согласно теореме о сложении скоростей при составном
движении:
vB  vB e  vB r

где v e   e OB   OB  17.8 см ,
B
AB
0
с
vB r  AB r OB  ? ,

vB e  OB

(1)
–

переносная

скорость

точки B ,
vB r  AB

– относительная скорость
точки B ,

vB  ?,

vB  O1B

– абсолютная скорость
точки B .

Направление переносной скорости vB e , определяется направлением угловой переносной скорости и показано на рис.13.
Решение уравнения (1) найдем графически, построив векторный треугольник скоростей (рис.13).
Для этого, из точки B проводим вектор переносной скорости – vB e .
Из конца вектора vB e проводим линию, перпендикулярную звену AB , характеризующую возможное направление вектора относительной скорости vB r .
Из точки B проводим перпендикуляр к кривошипу O1B , который определяет возможное направление абсолютной скорости шарнира B , до пересечения
48

с прямой, характеризующей направление вектора vB r .
Точка пересечения данных прямых определяет концы неизвестных векторов относительной vB r и абсолютной vB скорости шарнира B .
см
см

ML  5

MV  0.75

OM
PCD

PAB

vB e

CD
O1D

vD r

vD

1

с
см

vD e

D

3

см

r
CD

vM e

K
vK

CD

vK e
vK r

O1K

O1
vA
0

A

rAB

vB r

vM r

O1B

C

M

2

vC

O
B

vM

 AB

vB

OB

 AB
Рис. 13. Определение скоростей точек механизма

Измеряя указанные векторы, в соответствии с выбранным масштабом скоростей, получаем

vB r
r
r
см
см
vB  5.4
, vB  22.4
, AB 
 0.2306 c 1 .
с
с
AB
49

Направление относительной угловой скорости шатуна AB , определяемое
направлением относительной скорости точки B – vB r , показано на рис. 13. Так
как относительная  AB r и переносная  AB e угловые скорости направлены в разные стороны, то абсолютная угловая скорость  AB звена AB равна
AB  1  ABe  AB r  0.056 c1 .

Знак " " у величины угловой скорости шатуна AB показывает, что  AB направлено по часовой стрелке. Мгновенный центр вращения звена AB лежит на прямой OA и его положение определяется соотношением
OP  ABe   OA  APAB   ABe  APAB  AB r .

Разрешая данное уравнение относительно неизвестной AP , получим
APAB 

OA
 AB r
1
 AB e

 47 см .

Величина APAB определяет положение мгновенного центра вращения
звена AB при заданном положении механизма.
Зная величину и направление относительной угловой скорости звена AB ,
скорость точки M найдем из уравнения
vM  vM e  vM r

где

(2)

vM e  AB e OM  8.38 см ,
с

vM e  OM

– переносная скорость,

vM r  AB r AM  9.68 см ,
с

vM r  AM

– относительная скорость,

vM  ?,

– абсолютная скорость.

Направление векторов переносной vM e и относительной vM r скоростей
точки M показано на рис. 13. Решение уравнения (2) найдем, построив векторный треугольник скоростей. Измерением получено
vM  3.05 см .
с

50

Угловую скорость звена O1B найдем по формуле
2  O1B 

vB
 0.0819 c 1 .
O1B

Скорости точек D и K , а также относительную и абсолютную угловые
скорости звена CD найдем аналогично. Построив треугольники скоростей для
этих точек (рис.13) и измеряя неизвестные векторы, получим
vD r  5.74 см , vD e  5.59 см , vD  1.31 см ,
с
с
с
CD r  0.0667 c 1,
vK r  2.58 см , vK e  3.14 см , vK  1.55 см ,
с
с
с
3  CD  CD e  CD r  0.0152 c 1

Знак " " у величины угловой скорости шатуна CD показывает, что CD направлено по часовой стрелке. Мгновенный центр вращения звена CD лежит на прямой O1C и его положение определяется соотношением
O1PCD  CDe  CPCD  CD r   O1C  O1PCD   CD r .

Разрешая данное уравнение относительно неизвестной O1P , получим
O1PCD

CD r
 O1C
 109.7 см .
CDe  CD r

Величина O1PCD определяет положение мгновенного центра вращения
звена CD при заданном положении механизма.

Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев с помощью теоремы о сложении ускорений при переносном вращательном движении
Так как для шарнира B известна траектория движения, а закон движения
кривошипа OA задан, вычисление ускорений начинаем с точки B . Абсолютное
ускорение точки B определим согласно теореме о сложении ускорений при непоступательном переносном движении:
51

aB  aBe  aB r  aBc  aBe Ц  aBe ВР  aB r Ц  aB r ВР  aBc

где aBe  aBe Ц  aBe ВР

– переносное ускорение точки,

aB r  aB r Ц  aB r ВР

– относительное ускорение точки,

aBc  2 ABe  vB r

aB c  vB r

– ускорение Кориолиса,

aB c  2 AB e vB r  7.81 см



aB e Ц  AB e



2

(3)

OB  3.10 см

с

2

с2

,

aBe Ц   O OB

– переносное

центростремительное ускорение точки,
aBe ВР   ABe OB  0 , т.к.

ABe  const

– переносное

aB r Ц   A AB

– относительное

вращательное ускорение точки,



aB r Ц  AB r



2

AB  5.16 см

с

2

центростремительное ускорение точки,
aB r ВР   AB r AB  ?

aB r ВР  AB

– относительное

вращательное ускорение точки.
Направление ускорения Кориолиса aB c , которое можно определить по правилу векторного произведения векторов или методом Жуковского, показано на
рис.14.
В уравнении (3) учтено, что переносное и относительное движения шатуна

AB являются вращениями вокруг осей Oz и Az соответственно.
Поскольку абсолютное движение кривошипа O1B – вращение вокруг оси
O1z , то абсолютное ускорение точки B можно записать в виде

aB  aB Ц  aB ВР ,

где a Ц   2 O B  0.443 см
B
2
1

с

2

aB Ц   O1 O1B

– центростремительная составляющая абсолютного ускорения точки,
aB ВР  2 O1B  ?

52

aB ВР  O1B

(4)

– вращательная составляющая абсолютного ускорения точки,
Приравняем правые части уравнений (3), (4) и учтем коммутативность векторов. Получим
aB Ц  aB ВР  aB r Ц  aBe Ц  aBc  aB r ВР

(5)

Решение уравнения (5) найдем, построив векторный многоугольник ускорений (рис.14).
Для этого, из точки B проводим параллельно звену AB вектор относительного центростремительного ускорения – aB r Ц .
Из конца вектора aB r Ц проводим параллельно отрезку OB по направлению к точке O , вектор переносного центростремительного ускорения – aB e Ц .
Из конца вектора aB e Ц откладываем вектор ускорения Кориолиса aB c , из
конца которого проводим линию  AB , определяющую возможное направление
вектора aB r ВР .
Из точки В , в направлении прямой O1B , откладываем вектор aB Ц , а из его
конца линию, определяющую возможное направление вектора aB ВР , которая
проводится до пересечения с прямой, характеризующей направление вектора
aB r ВР .

В точке пересечения этих прямых сходятся концы векторов aB r ВР , aB ВР и
aB . Измеряя данные векторы в масштабе ускорений, получим

aB r ВР  0.597 см

с

2

, aB ВР  0.06 см

с

2

, aB  0.45 см

с2

.

Угловые ускорения звеньев определяем по формулам

aB r ВР
 0.0063 с 2 ,
AB
aB ВР
 2 
 0.0009 с 2 .
O1B

 AB r  1 
O1B

53

см
M a  0.6

O1B

с
см

aB

2

B

Ц

vB r  AB

aB r ВР

C
aB c

K


D

O1

M
aB r Ц
 AB r  1

см
точка B  M a 1  0.4

с
см

A
2

O
OB

B

O1B

aB

ABe  0

O1B

aB Ц
ВР

aB
aB

aB r ВР

 AB

rЦ

aB c

 AB r
AB

AB

aB e Ц

Рис. 14. Определение ускорений точки

54

B

 AB

Направления угловых ускорений, которые определяем по направлению
векторов aB r ВР и aB ВР соответственно, показаны на рис. 14.
Полное ускорение точки C звена O1B , совершающего вращательное движение, определим из соотношения
aB O1B
OC
, тогда aC  aB 1  0.172 см 2 .

с
aC O1C
O1B

Изображаем вектор a С параллельно вектору a B в масштабе ускорений на
рис.15.
Так как угловое относительное ускорение шатуна AB определено, найдем
ускорение точки M .
aM  aM e Ц  aM e ВР  aM r Ц  aM r ВР  aM c

где



aM e Ц  AB e



2

OM  1.46 см

с

2

aM e Ц   O OM – переносное

центростремительное ускорение точки,
aM e ВР   ABe OM  0 т.к.

ABe  const

– переносное

aM r Ц   A AB

– относительное

вращательное ускорение точки,



aM r Ц  AB r



2

AM  2.23 см

с

2

центростремительное ускорение точки,
aM r ВР   AB r AM  0.26 см

с2

aМ r ВР  AB

– относительное

вращательное ускорение точки.
aM c  2 ABe  vM r

aB c  vB r

aM c  2 AB e vM r  3.38 см
aM  ?

– ускорение Кориолиса:

с2

– абсолютное ускорение точки

55

см
M a 1  0.4

с2
см

B
O1B

aB Ц

 AB

D

aB r Ц

aB

C
K


aB r ВР

aC aB

O1

O1B

M

aB c

vM r  AB
AB

aM
2

aM r ВР
 AB r  1

 AB
aM c

A
см
M a  0.25

с
см

O
2

aM r Ц
OB

aM e Ц

Рис. 15. Определение ускорений точек

56

M иC

AB e  0

aD e ВР

см
M a 1  0.05

O1D

D

aD c

aK c

aD r Ц

2  CDe

aK

O1D

K

CD

aD r ВР

CD r

aK

eЦ

aD

CD

vD r СD

D

O1

O1K

с2
см

CD r

C
aD e Ц

O1K

aK

vK r

e ВР

K
3

aK r Ц

CD

aK r ВР

O1
CD

C

2  CDe

A

O

CDe  2

M



O1D

Рис. 16. Определение ускорений точек

CD

aC aB B

DиK

57

Изображаем многоугольник ускорений для точки M (рис.15). Измеряя неизвестный вектор ускорения a M , получим
aM  0.31 см

с2

.

Для определения ускорения точки D примем в качестве переносного движения вращение вместе с кривошипом O1C . В этом случае имеем
aD  aDe Ц  aDe ВР  aD r Ц  aD r ВР  aDc

где



aDe Ц  CD e



2

O1D  0.458 см

с

aDe Ц   O1 O1D – переносное

2

центростремительное ускорение точки, CDe  2 ,
aDe ВР  CDe O1D  0.062 см

с

aDe ВР  O1D

2

– переносное

вращательное ускорение точки, CDe  2 ,



aD r Ц  CD r



2

CD  0.383 см

с

aD r Ц   C CD

2

– относительное

центростремительное ускорение точки,
aD r ВР  CD r CD  ?

aD r ВР  CD

– относительное

вращательное ускорение точки.
aDc  2 CDe  vD r

aDc  vD r

aDc  2 CDe vD r  0.940 см
aD  ?

– ускорение Кориолиса

с2

– абсолютное ускорение точки

aD O1 y

Аналогично способу, изложенному ранее, изображаем многоугольник
ускорений для точки D (рис.16). Измеряя неизвестные векторы, получаем значения ускорений:
aD r ВР  0.067 см

с

2

; aD  0.105 см

с2

.

Затем вычисляем угловое относительное ускорение звена CD
CD r 

58

aD r ВР
 0.00078 с 2 .
CD

Направление относительного углового ускорения определяем по направлению
вектора aD r ВР и изображаем его на рис.16 по часовой стрелке.
Так как относительное и переносное угловые ускорения шатуна CD
направлены в одну сторону, направление абсолютного углового ускорения звена
совпадает с переносным или относительным угловым ускорением, а его величина равна
CD  3  CDe  CD r  0.00168 c2

Ускорение точки K найдем аналогично определению ускорения точки M
. Построив многоугольник ускорений для этой точки (рис.16)
aK  aK e Ц  aK e ВР  aK r Ц  aK r ВР  aK c

где



aK e Ц  CDe



2

O1K  0.212 см

aK e ВР  CDe O1K  0.029 см



aK r Ц  CD r



2

aK c  2 CDe vK r  0.514 см

с2

с

2

с

aK e Ц   O1 O1K
aK e ВР  O1K

с2

CK  0.209 см

aK r ВР  CD r CK  0.037 см

с

2

2

aK r Ц   C CD
aK r ВР  CD

aDc  vD r

aK  ?

измерением получим
aK  0.116 см

с2

.

59

Анализ результатов вычислений
Сведем результаты вычислений, полученные разными методами в таблицы
(см. табл. 1 – табл. 3). Точность вычислений проведенных графическими методами будем оценивать положительной величиной относительной погрешности 
, определяемой соотношением


где

x  xT
,
xT

x – исследуемая величина, полученная одним из графических методов;
xT – точное значение исследуемой величины.

Величина
APAB , см
СРCD , см

Точное
значение
46,75
134,74
max   

Метод 1

1

Метод 3

3

48,0
132,5

0,0267
0,0169
0,0267

47,0
134,7

0,0053
0,0003
0,0053

Табл. 1 Оценка точности определения МЦС

Величина
1, с 1

Точное
значение
0,0560

2 , с 1

0,0819

0,0818

0,0012

0,080

0,0232

0,0820

0,0012

3 , с 1
v A , см
с
vM , см
с
vB , см
с
vC , см
с
vK , см
с
vD , см
с

0,0152

0,0154

0,0132

0,015

0,0132

0,0152

0,0000

2,6180

2,620

0,0008

2,62

0,0008

2,62

0,0008

3,0486

3,027

0,0071

3,00

0,0159

3,05

0,0005

5,4070

5,400

0,0013

5,30

0,0198

5,40

0,0013

2,0481

2,045

0,0015

2,00

0,0235

2,05

0,0009

1,5537

1,571

0,0113

1,53

0,0153

1,55

0,0024

1,3078

1,309

0,0009

1,30

0,0060

1,31

0,0017

max   

Метод
1

1

Метод
2

2

Метод
3

3

0,0545

0,0268

0,057

0,0179

0,0560

0,0000

0,0132

0,0235

0,0024

Табл. 2 Оценка точности определения скоростей точек и угловых скоростей звеньев

60

1, с 2

Точное
значение
0,0062

Метод
1
0,0061

2 , с 2

0,0009

3 , с 2
a , см

Величина

A

с2
aM , см 2
с
aB , см 2
с
aC , см 2
с
aK , см 2
с
aD , см 2
с

0,0161

Метод
2
0,0063

0,0161

Метод
3
0,0063

0,0161

0,0009

0,0000

0,0009

0,0000

0,0009

0,0000

0,0017

0,0016

0,0588

0,0017

0,0000

0,0017

0,0000

0,4569

0,4569

0,0000

0,4569

0,0000

0,4569

0,0000

0,3076

0,3029

0,0153

–

–

0,310

0,0078

0,4470

0,4502

0,0072

0,4502

0,0072

0,450

0,0067

0,1693

0,1667

0,0154

0,1724

0,0183

0,170

0,0041

0,1148

0,1167

0,0166

–

–

0,116

0,0105

0,1001

0,1008

0,0070

0,1018

0,0170

0,105

0,0490

max   

1

0,0588

2

0,0183

3

0,0490

Табл. 3 Оценка точности определения ускорений точек и угловых ускорений звеньев

Анализ вычисленных значений кинематических параметров многозвенного шарнирного механизма позволяет сделать следующие выводы:
o Все три графических метода с допустимой степенью точности определяют кинематические параметры механизма;
o Увеличение погрешности при вычислении ускорений связано с накоплением
ошибок графических методов при определении скоростей точек и угловых
скоростей звеньев;
o Наиболее громоздкими и трудоемкими являются графоаналитические и графические методы при исследовании ряда различных положений механизма.
o Данные методы целесообразно использовать в качестве ориентировочных
расчетов при отладке программ для численного моделирования системы.

61

АЛЬБОМ ЗАДАНИЙ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА
1

2
O2

A

D
b

B

d

c

y
y

O1


O x

C

C

a


O x

B

b

O1

a

D

A
3

4

B

A

a

y

b

C
y

B
C

O1

O 

b

x

A

a
D

c

d

O

5

O1

D

O2

c



x

6

A

D
y

A

O 

b y
O 

a

C

B

c

B
O1

62

O1

C

x

D
a

c
O2
b

x

7

8
C

c

y

O1

a


D

B

d

b

O1

A

y



O

x

c

x

O

C

O2
a

D

b

A
10

9

C

b

A

y

C

y

D

O1

B

a

O 

c

x

O2

D

O  d
x

O1

B

b

a

A
11

12

B

a

y

A

O1

D

A

y
O 

x
a

O1

O
C


x

b

C

B

63

13

14

a

y

B

O1



O

C

y

A

O2

D

b
C


O

d

b

O1

D
B

x

a

A
15

16

a

y

A

y

B

O1

O

O

x



C

x
B

C
b

A

c

c

O1

D

O2

a

D
17

b

18

A

A
D
y
C

O  x

C

y
O 

B

x

O1

a
B

D

a

64

c

x

b

O1

19

20

O1

O1

a

y

D

C

A

A

y

b

a
C

O 

x

O

 x
B

B
22

21

a

a

y

O1

y

B



D

b

O1

c

A

O

b

x

O2

C

C



O

A

x

D

B
24

23

A

C

a

y
O



x

O2

A

O2

y

B

O

D

c

C

b

O1

D

B



x
a

O1
b

65

25

26

a

y

O1

D

O1

D

B



b

x

O

b

y
C

B

O 

x

C

A

A

a

28

27

A

O2

D

y
O

C

c
x



C
y

O1

A

a

O

a


x

30

29

B

a

y

A



O1

x
O

C

c

O1

O2
y

A
O

66

b

D

b

B

O1

B

B

b



D

x

b

a
C

D

Значение угла поворота ведущего звена при t  Tk – k ,град.
№

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

330
135
195
255
300
300
210
315
225
270
315
240
345
120
225
330
90
345
240
60
165
135
180
285
90
120
15
195
255
120

0
75
0
60
285
150
285
330
135
150
45
300
300
120
300
240
165
75
45
285
195
30
285
300
60
195
300
180
135
315

105
210
165
45
135
105
330
225
165
45
210
210
120
315
135
15
195
45
15
45
105
90
0
30
300
180
255
150
15
210

300
150
0
30
30
165
75
90
255
210
0
15
180
195
315
195
150
90
90
315
270
330
270
60
60
105
255
210
15
210

165
90
0
15
15
240
120
90
210
210
105
345
315
105
315
330
165
75
240
0
345
285
0
75
315
60
45
300
45
90

240
195
300
225
45
60
180
60
180
150
255
75
30
225
345
330
75
105
45
210
270
15
75
285
330
270
90
270
270
90

210
165
255
225
285
195
30
60
90
240
225
270
45
210
180
285
165
345
240
150
120
135
30
120
120
45
105
135
75
345

150
75
180
270
90
210
90
105
135
300
300
135
75
135
105
30
150
255
60
345
105
165
15
225
315
60
240
45
60
345

255
150
120
75
90
270
225
150
315
45
165
240
195
45
45
150
240
135
75
315
285
105
330
15
300
180
120
0
255
345

330
150
165
180
330
30
75
240
105
210
330
75
225
15
75
150
45
150
315
210
345
225
60
45
195
255
105
30
210
240

67

№

a

b

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

18
15
10
20
25
65
10
27
19
55
50
15
17
42
50
36
96
40
42
40
20
50
60
36
55
50
35
70
55
70

45
38
15
20
15
10
50
18
20
25
–
60
54
20
10
22
–
70
40

68

60
25
50
40
22
40
45
30
20
20

Геометрические размеры механизмов, [см]
d OA AB CD O1C O2 D AC O1B O1D BC
c
18
–
40
22
50
40
10
30
28
–
–
–
–
40
30
15
–
–
–
–
–
10
–
10
–
–
20
–
30
–

23
–
54
–
–
–
–
30
21
–
–
–
–
10
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–

14
15
15
12
20
10
16
14
10
15
15
20
15
10
12
10
15
20
17
22
20
15
12
16
20
25
10
30
13
19

21
51
42
76
60
80
50
–
40
70
50
60
50
50
50
45
90
78
70
60
80
47
50
45
40
65
50
55
60
47

46
60
70
25
70
50
60
63
30
33
–
60
40
60
45
60
75
40
–
50
50
35
60
45
42
70
54
70
70
81

–
33
–
–
–
–
–
20
31
–
–
–
–
–
–
40
–
–
30
–
–
–
–
15
–
–
–
–
14
–

32
–
32
–
–
25
–
25
25
–
–
–
–
20
20
–
–
–
–
–
–
45
32
20
–
–
28
–
33
–

42
19
21
38
30
25
80
55
–
35
–
15
15
25
30
–
42
40
–
30
40
22
30
–
15
35
–
30
–
–

28
66
28
–
30
30
35
–
–
–
30
–
–
20
20
20
28
–
–
–
–
20
30
26
–
30
23
–
–
–

–
–
–
20
–
–
–
–
–
24
–
35
24
–
–
–
–
30
–
20
30
–
–
–
30
–
–
25
–
36

–
–
–
–
–
–
30
–
62
35
60
45
–
–
–
20
48
–
40
–
–
–
–
–
25
–
22
25
39
30

2. СТАТИКА

Курсовые работы по статике посвящены применению основных теорем и
методов статики к исследованию равновесия механических систем. Студенты,
выполняя то или иное задание, должны получить навыки и умения: составления
уравнений равновесия для рассматриваемых тел, нахождения реакций внешних
и внутренних связей, анализа результатов расчета и исследования конструкций.
В данном разделе представлены три курсовых работы разной степени
сложности:
 В 1-ой работе "Исследование равновесия плоских шарнирных ферм" рассматривается равновесие плоской шарнирной фермы. Составление уравнений
равновесия и проверочные расчеты проводятся различными методами. Исследуется влияние вида и расположения опор на величины реакций внешних
и внутренних связей.
 Во 2-ой работе "Равновесие тел под действием произвольной плоской системы сил" рассматривается равновесие плоских составных конструкций. Составление уравнений равновесия и проверочные расчеты проводятся различными методами. Исследуется влияние геометрических параметров на величины реакций связей, определяются области их допустимых значений.
 В 3-ей работе "Равновесие плоских шарнирных механизмов" изучается равновесие плоских многозвенных шарнирных механизмов. Совместно решается нелинейная система, в которую входят: система нелинейных уравнений
геометрических связей и система уравнений равновесия. Исследуются факторы, обеспечивающие равновесие механизма в зависимости от положения
ведущего звена.

69

С 1. ИССЛЕДОВАНИЕ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКИХ
ШАРНИРНЫХ ФЕРМ

Фермой называется геометрически неизменяемая конструкция, образованная прямолинейными стержнями, соединенными друг с другом идеальными
шарнирами, которые называются узлами фермы. Если стержни, образующие
ферму, лежат в одной плоскости, то такая ферма называется плоской. Плоская
ферма является статически определимой, если число узлов n и число стержней

N удовлетворяют равенству
N  2 n  3.
При N  2 n  3 , ферма является статически неопределимой, а при

N  2 n  3 ферма имеет дополнительные степени свободы, т.е. является механизмом.
При расчете ферм методами теоретической механики все действующие на
ферму силы приводятся к ее узлам, а стержни считаются невесомыми и абсолютно жесткими. Тогда усилия в стержнях фермы будут направлены вдоль их
осей, и стержни могут быть только сжаты или растянуты. Расчет статически
определимых ферм сводится к определению усилий в стержнях фермы. В этом
случае все активные силы и реакции опор являются внешними силами для всей
фермы, рассматриваемой как твердое тело; усилия в стержнях — внутренними
силами (внутренними реакциями).
При проектировании ферм обычно задаются критические режимы внешних воздействий на них. Тогда внешние силы можно считать не изменяемыми.
Конструктивные параметры ферм (их геометрические размеры) определяются
условиями их функционирования и, следовательно, варьируются в очень узком
диапазоне. Актуальной становится такая задача исследования фермы, при которой могут изменяться вид опор и место их расположения.

70

Цель курсовой работы
Целью курсовой работы является выработка навыков расчета и исследования равновесия плоских шарнирных ферм.

Содержание курсовой работы
Объектом исследования является плоская шарнирная ферма, представляющая собой совокупность прямолинейных стержней, соединенных друг с другом
идеальными шарнирами. Схемы ферм и таблицы исходных данных приведены в
альбоме заданий.
Задаваемыми параметрами являются:
o геометрические характеристики фермы;
o плоская система активных сил, приложенных узлам фермы.
При составлении математической модели принимаются следующие допущения:
o стержни, образующие ферму, являются невесомыми, абсолютно жесткими
и прямолинейными;
o соединительные шарниры – идеальные (Трение в них отсутствует).
Требуется:
1. Сформировать систему уравнений для определения реакций внешних и внутренних связей.
2. Найти значения реакций внешних и внутренних связей.
3. Провести численный анализ полученного решения для разных видов опор и
мест их расположения с использованием ЭВМ и выбрать оптимальный вариант.

Порядок выполнения работы
1. Выделить тело (элемент) или систему тел с заданными активными силами, равновесие которых будем рассматривать.
2. Используя аксиому освобождаемости от связей рассмотреть выбранное тело,
как свободное, заменив действующие на него связи их реакциями.
3. Дать анализ полученной системы сил, выяснить статическую определимость
71

фермы.
4. Записать условия равновесия и составить уравнения равновесия:
o с помощью метода вырезания узлов;
o методом Риттера.
5. Определить реакции внешних и внутренних связей и осуществить проверку
правильности составления уравнений равновесия.
6. Провести анализ и исследование полученного решения:
o исследовать влияние вида опор и места их расположения на величины реакций внешних и внутренних связей;
o выбрать такое расположение опор, при котором обеспечивается минимальное количество сжатых или растянутых стержней (по указанию преподавателя);
o определить область допустимых значений ориентации опорной плоскости
катковой опоры.

В процессе выполнения курсовой работы необходимо выработать следующие навыки и умения:
o определения связей, действующих на тело или систему тел;
o составления уравнений равновесия для произвольного тела, входящего в систему тел и нахождения реакций связей;
o решения поставленной задачи разными методами.

72

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
Мостовая ферма (рис. 1) находится в равновесии под действием сил P1 , P2
и P3 . Геометрические размеры фермы известны. Ферма опирается в точке А на
катковую опору, а в точке B закреплена неподвижным шарниром.
Исследовать равновесие фермы. Определить реакции внешних и внутренних связей для разных видов опор и мест их расположения (схемы 1, 2, 3).

P1



D

C

b

B


A
P2

a

a

a

P3

a

Рис. 1 Мостовая ферма (схема 1).

Исходные данные
P1  20 кН ,

P2  30 кН ,

P3  40 кН ,

a  1 м,

b  3 м,

  45

Точка опоры
Схема № 1

A

B

C



Схема № 2
Схема № 3

  30





73

1. Определение реакций внешних связей
Для определения реакций внешних связей рассмотрим мостовую ферму

ABCD (рис. 2) содержащую 8 узлов, соединенных 13 стержнями. Ферма находится в равновесии под действием активных сил P1 , P2 , P3 и связей приложенных
в точках A и B .
Освободим ферму от опор, заменив их действие силами реакций связей
RA , RB . Проведем систему координат xAy и изобразим действующие на нее

внешние силы: активные P1 , P2 , P3 и реакции связей (рис. 2).

P1



D



C

y RA

YB



A 


B


a

a

a

b

x

XB

a

P3

P2

Рис. 2 Расчетная схема для определения реакций внешних связей.

Реакцию RA катковой опоры направим перпендикулярно опорной плоскости, а реакцию неподвижной шарнирной опоры B – RB изобразим двумя составляющими X B и YB , т. е. RB  X B  YB , направив их в положительном направлении
координатных осей. Так как все указанные силы расположены в плоскости xAy ,
то ферма находится в равновесии под действием произвольной плоской системы
сил.
Условия равновесия фермы можно записать в виде
 Fkx  0,  Fky  0,  M B  Fk   0 или
k

74

k

k

 Fkx  0,  M À  Fk   0,  M B  Fk   0.
k

k

k

Так как на ферму действует произвольная плоская система сил и выполняется условие N  2 n  3  2  8  3  13 , то ферма является статически определимой и расчет фермы можно осуществить методами теоретической механики.
Составим уравнения равновесия системы сил, действующих на ферму:
 Fkx  0

X B  P1 cos   RA sin   0,

 M A  Fk   0

YB 4a  P3 3a  P2 a  P1 cos  b  P1 sin  2a  0,

k

k

(1)

 M B  Fk   0 P3 a  P2 3a  RA cos  4a  P1 cos  b  P1 sin  2a  0.
k

Последовательно решая систему уравнений (1), из третьего уравнения
найдем реакцию RA
RA 

1 
b
 P3  3P2  2 P1 sin   P1 cos   .
4cos  
a

Из второго уравнения этой системы – YB
1
3
1
b
YB  P2  P3  P1 sin   P1 cos  ,
4
4
2
4a

а из первого уравнения
X B   P1 cos   RA sin .

Окончательно значение реакции X B будет иметь вид


1
b

 1
X B   P1 cos   tg  2sin   cos     tg  P3  3P2 .
4
a

 4

Подставив численные значения, получим

RA  30 2 кН  42.426 кН ,





X B  10 3  3 кН  41.321кН , YB  50 кН .

Так как значение X B получилось отрицательным, реакция X B направлена
противоположно направлению, выбранному на расчетной схеме.

75

Проверить вычисления можно составлением уравнения моментов относительно какой-либо точки в плоскости действия сил (например, точки C )
 M C  Fk   0
k

X Bb  YB a  P2 2a  RA cos  3a  RA sin  b  P1 sin  a  0.

Подставляя в данное уравнение величины найденных реакций, получим
 P1 cos  b  RA sin  b  P1 sin  a  P2 a  P3 a  RA cos  a  P2 2a  RA cos  3a 
 RA sin  b  P1 sin  a 
 P1 cos  b  2 P1 sin  a  3P2 a  P3 a  4 RA a cos  
b

 P1 cos  b  2 P1 sin  a  3P2 a  P3 a  a  P3  3P2  2 P1 sin   P1 cos   
a

 P1 cos  b  2 P1 sin a  3P2 a  P3a  P3a  3P2 a  2 Pa
1 sin   P1 b cos   0.

Полученное тождество показывает, что система уравнений (1) составлена
корректно.
Проведя анализ значений найденных реакций, укажем, что угол наклона
опорной плоскости катковой опоры не может быть равен  , так как в данном
2
случае реакции RA , X B стремятся к бесконечности.
С физической точки зрения это означает, что у фермы появляется дополнительная степень свободы (возможность вращения вокруг шарнира B ) и обеспечить ее равновесие, в этом случае, можно, добавив дополнительную связь.

2. Определение усилий в стержнях фермы методом
вырезания узлов
Метод вырезания узлов сводится к последовательному рассмотрению равновесия каждого узлового соединения фермы.
Пронумеруем узлы фермы римскими цифрами, а стержни – арабскими
(рис. 3). Стержни, сходящиеся в узлах, являются для каждого узлового соединения связями. Отбросим связи и заменим их действия реакциями – усилиями в
стержнях, которые будем обозначать символом Sk , k  1,13 . На рис. 3 показаны
76

пронумерованные узлы фермы с приложенными к ним активными и реактивными силами. Здесь учтена аксиома о равенстве сил действия и противодействия,
т. е. Sk   Sk  . Реактивные силы изображены на рис. 3 в предположении, что
стержни растянуты, т. е. направлены от узлов. Тогда реакция будет положительной, если стержень растянут, и отрицательной, если он сжат.

P1



III s 6

y

s 6 V
s7

6

s 2

s
s 3 5

RA

s 10

s 10 VII
10 
s 9

7

s 11 s 13

13 YB

b
9
s
 9
s2 s3
s 5 s 7
s 11
s 13
s8
s 12
II
I  1

x
4 
12
s 12 VIII X
s 4 s 4 IV 8 s 8 VI
s 1 s 1
B
a
a
a
a
P3
P2


3

2

5

11

Рис. 3 Расчетная схема для нахождения усилий в стержнях фермы.

Рассмотрим теперь равновесие узлов фермы. Системы сил, действующие
на каждый узел, являются сходящимися плоскими системами сил. Равновесие
таких систем сил возможно, если их равнодействующая равна нулю. Это условие
можно записать в виде
 Fkx  0,  Fky  0.
k

k

Так как в каждом рассматриваемом узле должно быть не более двух неизвестных реакций, выберем следующую последовательность решения

 I    II    III   V    IV   VI   VII   VIII .
Составим уравнения равновесия для каждого из узлов и последовательно найдем
реакции стержней фермы.
Узел I

 Fkx  0 RA sin   S1  S2 cos   0,

(2)

k

 Fky  0
k

RA cos   S2 sin   0.

77

Из уравнений (2) с учетом найденных ранее реакций внешних связей
найдем реакции S1 и S2 :
cos     
 10 3  3 kH  12.68 kH ,
sin 
cos 
S 2   RA
 20 3 kH  34.64 kH .
sin 



S1  RA



 Fkx  0  S1  S4  0,

Узел II

(3)

k

 Fky  0
k

S3  P2  0.

Из уравнений (3), с учетом (2)





S3  P2  30 kH , S4  S1  10 3  3 kH  12.68 kH .
 Fkx  0  S2 cos   S5 cos   S6  0,

Узел III

(4)

k

 Fky  0
k

 S2 sin   S5 sin   S3  0.

Из уравнений (4), с учетом (2) и (3)
S5  S2  S3

Узел V

1
 0 kH , S6   S2  S5  cos   10 3 kH  17.32 kH .
sin 
 Fkx  0 S10  S6  P1 cos   0,

(5)

k

 Fky  0
k

 S7  P1 sin   0;

Из уравнений (5), с учетом (4)
S7   P1 sin   10 kH ,
S10  S6  P1 cos   20 3 kH  34.64 kH .

Узел IV

 Fkx  0 S8  S4  S5 cos   S9 cos   0,
k

 Fky  0
k

S7  S5 sin   S9 sin   0;

Из уравнений (6), с учетом (5)
S9   S5  S 7

1
3
 20
kH  11.55 kH ,
sin 
3

S8   S4   S5  S9  cos   20

78

3
 30 kH  18.45 kH .
3

(6)

 Fkx  0  S8  S12  0,

Узел VI

(7)

k

 Fky  0

S11  P3  0;

k

Из уравнений (7), с учетом (6)
S11  P3  40 kH ,
 3

S12  S8  10  2
 3  kH  18.45 kH .
 3

 Fkx  0  S10  S13 cos   S9 cos   0,

Узел VII

(8)

k

 Fky  0
k

 S11  S13 sin   S9 sin   0;

Из первого уравнения системы (8), с учетом (5) и (6)
S13  S9  S10

1
3
 100
kH  57.74 kH .
cos 
3

 Fkx  0  S12  S13 cos   X B  0,

Узел VIII

(9)

k

 Fky  0

S13 sin   YB  0;

k

Последнее уравнение системы (8) и уравнения (9) могут служить, при
найденных ранее реакциях внешних связей, проверочными. Действительно
3 3
3 3
 20
 0,
3 2
3 2
3
31
 S12  S13 cos   X B  0  20
 30  100
 30  10 3  0,
3
3 2
3 3
S13 sin   YB  0 
100
 50  0.
3 2

 S11  S13 sin   S9 sin   0 

40  100

Результаты расчета сведем в таблицу.
S13

-57,74

S12

-18,45

S11

40,00

S10

-34,64

S9

11,55

S8

-18,45

S7

-10,00

S6

-17,32

S5

0

S4

-12,68

S3

30,00

S2

-34,64

Значение
реакции,
kH

S1

-12,68

Реакция
стержня

79

Отрицательные значения реакций стержней 1, 2, 4, 6, 7, 8,10,12 и13 показывают, что направления этих реакций противоположны принятым на расчетной
схеме и, следовательно, они сжаты. Стержни при некоторых значениях сжимающих усилий могут потерять прямолинейную форму (изогнуться) и при дальнейших расчетах их необходимо проверять помимо прочности еще и на устойчивость. Значения реакций стержней 3, 9 и 11 положительны. Следовательно, эти
стержни растянуты. Реакция стержня 5 равна нулю. Этот стержень ненагружен:
он требуется для придания ферме необходимой жесткости – геометрической неизменяемости системы.
Выбор последовательности расчета, предложенной для нахождения искомых реакций, обусловлен тем, что решение уравнений равновесия (2) – (9) осуществлялось в зависимости от найденных на предыдущем этапе решений, т. е.
«вручную». Такая последовательность неединственная. Можно указать и другие
последовательности решения, например

 I    II    III   V    IV   VII   VI   VIII  и т. д.
При использовании метода вырезания узлов можно обойтись без предварительного нахождения реакций внешних связей (реакций опор фермы). Действительно, статически определенная и геометрически неизменяемая ферма содержит 2n  3 стержня, где n – число узлов; так как три уравнения необходимы
для нахождения реакций опор, то для вычисления всех неизвестных сил (реакций
опор и реакций стержней) нужно 2n уравнений.
Применительно к рассматриваемой ферме имеем 8 узлов и 16 неизвестных





величин Sk , k  1,13; RA , X B , YB . Рассмотрев равновесие всех узлов фермы, получим замкнутую систему 16 линейных алгебраических уравнений (2) – (9), относительно 16 неизвестных величин (реакций внешних и внутренних связей).
Уравнения (1), в этом случае, могут служить для проверки расчета: при
подстановке в них найденных значений реакций опор они должны обратиться в
тождества.
80

Такой подход эффективен при использовании вычислительной техники,
которая позволяет легко решать большие системы линейных алгебраических
уравнений.
Поэтому в задачах нахождения реакций внешних и внутренних связей для
ферм, выполненных по схемам 2 и 3, ограничимся составлением только уравнений равновесия, а их решение выполним с помощью пакета Mathcad (п. 4).

Схема №2
P1



D

C

b

B

A
P2

a

P3

a

a



a

а)

P1



III s 6

y
YA

2

s2

XA

6

s 2

s
s 3 5
3

s3

s 10

s 6 V
s7

5


s 5 s 7

7

s9

s 10 VII
10 
s 9

s 11 s 13
11 13

9

s 11

RB


b

s 13

s8
s 12
II
x

 1
4 
I s 1 s 1
s 4 s 4 IV 8 s 8 VI 12 s 12 VIII
a
a
a
a
P3
P2

б)

Рис. 4 Расчетная схема для фермы, выполненной по схеме № 2.

81

Рассмотрим мостовую ферму ABCD (рис. 4 а), которая находится в равновесии под действием активных сил P1 , P2 , P3 и связей приложенных в точках A
и B . В точке À расположена неподвижная шарнирная опора, в точке Â – катковая опора, угол наклона опорной плоскости которой равен  .
Как и ранее, воспользуемся для нахождения реакций внешних и внутренних связей методом вырезания узлов. Рассмотрим равновесие каждого узла
фермы. Отбросим связи и заменим их действия реакциями: внутренними –
Sk , k  1,13 и внешними – X A , YA è RB (рис. 4 б). Записывая уравнения равнове-

сия для каждого узла, получим
Узел I

 Fkx  0

X A  S1  S2 cos   0,

 Fky  0

YA  S2 sin   0.

k

k

Узел II

 Fkx  0  S1  S4  0,

(10)

(11)

k

 Fky  0
k

Узел III

S3  P2  0.

 Fkx  0  S2 cos   S5 cos   S6  0,

(12)

k

 Fky  0
k

Узел IV

 S2 sin   S5 sin   S3  0.

 Fkx  0 S8  S4  S5 cos   S9 cos   0,

(13)

k

 Fky  0
k

Узел V

S7  S5 sin   S9 sin   0;

 Fkx  0 S10  S6  P1 cos   0,

(14)

k

 Fky  0
k

Узел VI

 S7  P1 sin   0;

 Fkx  0  S8  S12  0,

(15)

k

 Fky  0
k

Узел VII

S11  P3  0;

 Fkx  0  S10  S13 cos   S9 cos   0,
k

 Fky  0
k

82

 S11  S13 sin   S9 sin   0;

(16)

 Fkx  0  S12  S13 cos   RB sin   0,

Узел VIII

(17)

k

 Fky  0

S13 sin   RB cos   0;

k

Уравнения (10) – (17) является замкнутой системой 16 линейных алгебраических
уравнений относительно 16 неизвестных реакций X A , YA , RB и Sk , k  1,13 .

Схема №3
P1



D

C

b

B
A



P2

a

P3

a

a

a

а)

P1



III s 6
6

s 2

y

s
s 3 5

RA


2

s2

3

s3

s 10

s 6 V
s7

5


s 5 s 7

7

s9

s 10 VII
10 
s 9

s 11 s 13
11

9

s 11

RC

13 R B

b

s 13

s8
s 12
II
I  1

4 
s 4 s 4 IV 8 s 8 VI 12 s 12 VIII
s 1 s 1
a
a
a
a
P3
P2

x

б)

Рис. 5 Расчетная схема для фермы, выполненной по схеме № 3.

Рассмотрим мостовую ферму ABCD (рис. 5 а), которая находится в равновесии под действием активных сил P1 , P2 , P3 и связей приложенных в точках
83

A, B и C . В точке À расположена катковая опора, угол наклона опорной плоскости которой равен  , в точке Â – горизонтальная катковая опора, а в точке C
– невесомый стержень.
Воспользуемся для нахождения реакций внешних и внутренних связей методом вырезания узлов. Рассмотрим равновесие каждого узла фермы. Отбросим
связи и заменим их действия реакциями: внутренними – Sk , k  1,13 и внешними – RA , RB è RC (рис. 5 б). Записывая уравнения равновесия для каждого узла,
получим
Узел I

 Fkx  0 RA sin   S1  S2 cos   0,

(18)

k

 Fky  0
k

Узел II

RA cos   S2 sin   0.

 Fkx  0  S1  S4  0,

(19)

k

 Fky  0
k

Узел III

S3  P2  0.

 Fkx  0  S2 cos   S5 cos   S6  0,

(20)

k

 Fky  0
k

Узел IV

 S2 sin   S5 sin   S3  0.

 Fkx  0 S8  S4  S5 cos   S9 cos   0,

(21)

k

 Fky  0
k

Узел V

S7  S5 sin   S9 sin   0;

 Fkx  0 S10  S6  P1 cos   0,

(22)

k

 Fky  0
k

Узел VI

 S7  P1 sin   0;

 Fkx  0  S8  S12  0,

(23)

k

 Fky  0
k

Узел VII

S11  P3  0;

 Fkx  0  S10  S13 cos   S9 cos   RC  0,

(24)

k

 Fky  0
k

Узел VIII

 S11  S13 sin   S9 sin   0;

 Fkx  0  S12  S13 cos   0,
k

 Fky  0
k

84

S13 sin   RB  0;

(25)

Уравнения (18) –(25) является замкнутой системой 16 линейных алгебраических уравнений относительно 16 неизвестных реакций

RA , RB , RC

и

Sk , k  1,13 .

3. Определение усилий методом Риттера
Метод Риттера (метод сечений) в общем случае предполагает предварительное определение реакций опор фермы. Этот метод позволяет оперативно
найти реакцию конкретного стержня, не вычисляя реакции других стержней.
При этом должна существовать возможность рассечения фермы на две части по
трем стержням, среди которых находится искомый стержень. Отбросив ту часть
фермы, на которую действует больше сил, рассматривают равновесие оставшейся части. Для произвольной плоской системы сил составляют такие уравнения равновесия, в которые входит только одна неизвестная реакция. Обычно, для
этого используют третью основную форму условий равновесия: уравнения моментов сил относительно точек пересечения линий действия двух неизвестных
сил (точки Риттера). В тех случаях, когда реакции двух стержней параллельны
(точка Риттера находится в бесконечности) составляют уравнение равновесия в
виде проекций сил на ось перпендикулярную этим стержням.
В качестве проверки найденного ранее решения, вычислим реакции в
стержнях 4, 5, 6 (рис. 6), а также в стержнях 8, 11 и 13 (рис. 7).
А
III

s6

y



V

VII

s5

RA

b



I 

a

a

P2

x

VIII

VI

IV

s4

a





II

a

А

Рис. 6 Расчетная схема для определения реакций S4 , S5 , S6 .

85

Для определения реакций стержней 4, 5 и 6 проведем сечение A  A по
этим стержням, и рассмотрим равновесие левой части фермы. Расчетная схема
изображена на рис. 6. На левую часть фермы действуют известные силы P2 , RA ,
а также реакции отброшенной части S4 , S5 , S6 .
Для нахождения реакции S 4 составим уравнение моментов относительно
узла III , в котором пересекаются линии действия сил S5 и S6 (точка Риттера):
 M III  Fk   0 S4b  RA cos  a  RA sin  b  0.

(26)

k

Стержни 4 и 6 параллельны. Поэтому для нахождения реакции S5 независимо от реакций S4 и S6 составим уравнение проекций сил на ось перпендикулярную параллельным стержням
 Fky  0 RA cos   S5 sin   P2  0.

(27)

k

Чтобы найти реакцию S 6 независимо от реакций S4 и S5 , составим уравнение моментов относительно узла IV , в котором пересекаются линии действия
сил S4 и S5 :
 M IV  Fk   0 P2a  RA cos  2a  S6b  0.

(28)

k

Из уравнения (26)

2 1

a

S4  RA  cos   sin    30 2
 1  10

2  3 
b






3  3 kH  12.68 kH .

Из уравнения (27)

S5   RA cos   P2 


 2
1
2
  30 2
 30 
 0 kH
sin  
2
3


Из уравнения (28)

S6 

a
1 
2
 P2  2RA cos    30  2  30 2   10 3 kH  17.32 kH .
b
2 
3

Для определения реакций стержней 8, 11 и 13 проведем сечение Б  Б , и
рассмотрим равновесие правой части фермы. Расчетная схема изображена на
86

рис. 7, левая часть отброшена. На правую часть фермы действуют известные
силы P3 , X B и YB , а также реакции отброшенной части S8 , S11 , S13 .

Б
III



V

VII

YB

y
s 11

I 



II

s 8

IV

Б



x

VIII

VI

a

a

a

s 13

b

a

XB

P3

Рис. 7 Расчетная схема для определения реакций S8 , S11 , S13 .

Для нахождения реакций S8 , S11 , S13 составим уравнения моментов относительно точек Риттера VI , VII и VIII соответственно:
 MVI  Fk   0 S13 a sin   YB a  0 ,

(29)

 MVII  Fk   0

(30)

k

k

X Bb  YB a  S8b  0

 MVIII  Fk   0 P3a  S11a  0

(31)

k

Из уравнения (29)

S13  

YB
2
 50
kH  57.74 kH .
sin 
3

Из уравнения (30)

S8  X B  YB
Из уравнения (31)

a 20  30 3

kH  18.45 kH .
b
3

S11  P3  40 kH .

Значения реакций стержней 4, 5, 6, 8, 11 и 13, полученные методом Риттера, полностью совпадают со значениями этих реакций полученных методом
вырезания узлов.
87

4. Результаты расчетов
Решения систем линейных алгебраических уравнений (2) – (9), (10) – (17)
или (18) – (25) можно легко реализовать в пакете Mathcad или других математически ориентированных пакетах. Для этого система уравнений приводится к матричной форме

A S  B ,
где B – вектор правых частей, полностью определенный действующими на
ферму активными силами;

S – вектор неизвестных реакций внешних и внутренних связей S, задающийся в
соответствии с обозначениями, принятыми на рис. 3, рис. 4 или рис. 5;

A – матрица коэффициентов, которая формируется на основе двух матриц: постоянной AS – независящей от расположения опор фермы и переменной AR  
– зависящей от их расположения.
Решение сформированной системы уравнений ищется в виде

S  A1  B
Ниже приведен пример документа Mathcad, в котором реализована процедура вычисления реакций внешних и внутренних связей фермы с опорами расположенными по схемам 1, 2 и 3.

Расчет фермы выполненной по схеме №1 (рис. 3)
1. Ввод исходных данных
ORIGIN  1

P  ( 20 30 40 )

T

a  1

b 

3

2. Формирование вектора правых частей

 b

a *

  atan 



6*

B и матрицы коэффициентов A

B   0 0 0 P2 0 0 0 0 P1cos(  ) P1sin (  ) 0 P3 0 0 0 0 

T

88

 

Формирование переменной части матрицы

A – AR  

T
 sin (  ) cos(  ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
AR1(  )   0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0


0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
 0

Формирование постоянной части матрицы

 1 cos (  )

 0 sin (  )
 1
0

0
 0
 0 cos (  )
 0 sin (  )

0
 0
 0
0
AS  
0
 0
 0
0
 0
0

0
 0
 0
0

0
 0
 0
0
 0
0


A – AS

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

cos (  )

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

sin (  )

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 cos (  )

0

0

1

cos (  )

0

0

0

0

0

0

sin (  )

0

1

0

sin (  )

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

cos (  ) 1

0

0

cos (  )

0

0

0

0

0

0

sin (  )

0

1

0

sin (  )

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 cos (  )

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Формирование матрицы

sin (  )

























A , вычисление определителя матрицы, нахож-

дение критических значений ориентации опорной плоскости из уравнения

A  кр   0

A1 (  )  augment ( AS AR1(  ) )

A1(  ) 

3  3 cos(  )
4

A1 (  ) solve 



2

3. Решение системы линейных алгебраических уравнений A  S  B
S1 (  )  A1(  )

1

S (  )  S1 (  )

B

Формирование реакций внешних связей
RA (  )  S (  ) 14

XB(  )  S (  ) 15

YB(  )  S (  ) 16

RB(  ) 

2

XB(  )  YB(  )

2

89

Вычисление реакций внутренних и внешних связей

 10 3  30 tan(  ) 


20 3




30


 10 3  30 tan(  ) 


0



10

3




10


 20 3  30 tan(  ) 
 3



20 3

S (  ) simplify  
3




20 3


40


 20 3

 3  30 tan(  ) 


100 3





3


30


cos (  )


 30 tan(  )  10 3 


50



1

S 



4
 


1

-12.679

2

-34.641

3

30

4

-12.679

5

-5.329·10 -15

6

-17.321

7

-10

8

-18.453

9

11.547

10

-34.641

11

40

12

-18.453

13

-57.735

14

42.426

15

-47.321

16

50

4. Построение графиков функций реакций внешних и внутренних связей
  

88
180



87  
180



88
180

200

100
RA (  )
XB(  )

0

YB(  )
 100

 200
 90

 60

 30

0


deg

90

30

60

90

200
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )

1
2
3

100

4
5
6
7

0

8
9
10
11

S(  )  100
12
S(  )

13

 200
 90

 60

 30

0

30

60

90



deg

Расчет фермы, выполненной по схеме № 2 (рис. 4)
1. Ввод исходных данных

………
2. Формирование вектора правых частей

B и матрицы коэффициентов A

………
Формирование переменной части матрицы

A – AR  

0
0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
AR2(  )   0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin (  ) cos(  )






T

………
91

Формирование матрицы

A , вычисление определителя матрицы, нахож-

дение критических значений ориентации опорной плоскости из уравнения

A  кр   0

A2 (  )  augment ( AS AR2(  ) )

A2(  )  

3  3 cos(  )
4



A2 (  ) solve 

2

3. Решение системы линейных алгебраических уравнений A  S  B
S2 (  )  A2(  )

1

S (  )  S2 (  )

B

Формирование реакций внешних связей
XA (  )  S (  ) 14

YA (  )  S (  ) 15

RA (  ) 

2

XA (  )  YA (  )

2

RB(  )  S (  ) 16

Вычисление реакций внутренних и внешних связей















S (  ) simplify  
















92

20 3  50 tan(  )
20 3
30
20 3  50 tan(  )
0
10 3
10
50 3
 50 tan(  )
3
20 3
3
20 3
40
50 3
 50 tan(  )
3


100 3
3

50 tan(  )  10 3
30
50
cos (  )
































1

S 



4


1

-15.359

2

-34.641

3

30

4

-15.359

5

1.776·10-15

6

-17.321

7

-10

8

-21.132

9

11.547

10

-34.641

11

40

12

-21.132

13

-57.735

14

32.679

15

30

16

70.711

4. Построение графиков функций реакций внешних и внутренних связей
  

88
180



87  
180



88
180

200

100

XA (  )
YA (  )

0

RB(  )
 100

 200
 90

 60

 30

0

30

60

90



deg
200
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )

1
2
3

100

4
5
6
7

0

8
9
10
11

S(  )  100
12
S(  )

13

 200
 90

 60

 30

0

30

60

90



deg

93

Расчет фермы, выполненной по схеме № 3 (рис. 5)
1. Ввод исходных данных

………
2. Формирование вектора правых частей

B и матрицы коэффициентов A

………
Формирование переменной части матрицы

A – AR  

T
 sin (  ) cos(  ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
AR3(  )   0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0


0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
 0

………
Формирование матрицы

A , вычисление определителя матрицы, нахож-

дение критических значений ориентации опорной плоскости из урав-

A  кр   0

нения

A3 (  )  augment ( AS AR3(  ) )

A3(  ) 




atan  4 
deg

3  3 cos(  ) 9 sin (  )

4
16

3
3


  66.587

3. Решение системы линейных алгебраических уравнений A  S  B
S3 (  )  A3(  )

1

S (  )  S3 (  )

B

Формирование реакций внешних связей
RA (  )  S (  ) 14

94

RB(  )  S (  ) 15

RC (  )  S (  ) 16

Вычисление реакций внутренних и внешних связей

 150 cos (  )  150 3  sin (  )

3  sin (  )  4  3  cos (  )


300 cos (  )

 3  sin (  )  4  3  cos (  )

30

  150 cos (  )  150 3  sin (  )
3  sin (  )  4  3  cos (  )

 60 cos (  )  60 3  sin (  )
 
3  sin (  )  4  3  cos (  )

 180 cos (  )  30 3  sin (  )

 3  sin (  )  4  3  cos (  )

10

  170 cos (  )  80 3  sin (  )
3  sin (  )  4  3  cos (  )


S (  ) simplify 
20 cos (  )  80 3  sin (  )
 
3  sin (  )  4  3  cos (  )


300 cos (  )

 3  sin (  )  4  3  cos (  )

40

  170 cos (  )  80 3  sin (  )
3  sin (  )  4  3  cos (  )

 340 cos (  )  160 3  sin (  )

 3  sin (  )  4  3  cos (  )

150 3
 
3  sin (  )  4  3  cos (  )

 120 cos (  )  120 3  sin (  )

 3  sin (  )  4  3  cos (  )
 240 sin (  )  170 3  cos (  )
 3  sin (  )  4  3  cos (  )












































1

S 



4
 


1

-27.954

2

-76.371

3

30

4

-27.954

5

41.73

6

-59.05

7

-10

8

8.003

9

-30.183

10

-76.371

11

40

12

8.003

13

-16.005

14

93.535

15

-83.46

16

13.861

95

4. Построение графиков функций реакций внешних и внутренних связей
200

100

RA (  )
RB(  )

0

RC(  )
 100

 200
 90

 60

 30

0

30

60

90



deg
200
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )

1
2
3

100

4
5
6
7

0

8
9
10
11

S(  )  100
12
S(  )

13

 200
 90

 60

 30

0


deg

96

30

60

90

5. Анализ результатов вычислений
Методы теоретической механики при расчете ферм обычно применяются
на этапе предварительного проектирования. Именно на этом этапе может быть
поставлена задача выбора оптимального решения согласно одному или нескольким критериям.
Например, требуется обеспечить:
o минимальную силу давления на одну или все опоры;
o минимальное количество стержней, испытывающих сжимающие усилия;
o минимальное количество стержней, в которых сжимающие усилия не превышают некоторого предельного значения S np .
Также возможна комбинация этих критериев.
При такой постановке задачи расчет следует производить при экстремальных значениях действующих на ферму активных сил. В качестве влияющих параметров можно выбрать ориентацию опорной плоскости, характеризуемую углом  , и (или) характерный размер фермы  a или b  (определяется преподавателем).
Рассмотрим задачу выбора схемы расположения внешних связей, действующих на ферму, при которых сжимающие усилия не превышают некоторого предельного значения S np , а количество сжатых стержней минимально. В качестве
такого критерия примем максимальное значение, не зависящее от угла  , сжимающего усилия в стержнях фермы.
При анализе следует учесть:
o свойства катковых опор. Катковая опора является неудерживающей связью
и, следовательно, ее реакция может быть только положительной (если она
направлена перпендикулярно опорной плоскости вверх).
o особенности мостовых ферм. Для них ориентация опорной плоскости катковой опоры может характеризоваться только положительными значениями
углов  .
97

Учет вышесказанного требует исключения таких состояний, при которых
o углы  , характеризующие ориентацию опорных плоскостей, отрицательны;
o реакции катковых опор неположительны.
Иными словами, область допустимых значений указанных величин определяется неравенствами
0     2,

R  0.

В некоторых случаях, если это обосновано критериями выбора, катковую
опору можно заменить двухсторонней (удерживающей) связью, например
стержнем. Угол  , определяющий его положение, может изменяться в интервале
0     или       .
2
2

Для ускорения процедуры выбора значений углов  , соответствующих
принятым критериям, воспользуемся возможностью трассировки графиков
функций (рис. 8), имеющейся в Mathcad.

Рис. 8 Использование опции "Trace" для определения координат точек на графиках.

Значения аргумента  функций Sk   в этом случае могут быть найдены
с точностью  , величина которой определяется заданием шага ранжированной
переменной  , при построении графиков функций [1]. В нашем случае   1 .
Для рассматриваемой фермы анализ результатов расчетов, проведенных в
п. 4, дает следующее.
98

Схема 1
1. Реакция опорной плоскости RA положительна при всех допустимых значениях ориентации опорной плоскости
RA  0  [0,  [
2

2. Количество стержней, реакция которых не зависит от  – 9 (2, 3, 5, 6, 7,
9, 10, 11, 13), из них сжатых – 5 (2, 6, 7, 10, 13) (рис. 9).
3. Максимальное значение сжимающего усилия, величина которого не зависит от угла  , равно Sпр  S13  100

3
kH  57.735 kH (рис. 9).
3

200
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )

1
2
3

100

4
5
6
7

0

8
9
10
11

S(  )  100
12
S(  )

13

1
 200
 90

 60

 30

0

2
30

60

90



deg

Рис. 9 Предельные значения углов

.
99

4. Максимальное значение угла  , при котором количество сжатых стержней минимально равно 1  21 . Количество сжатых стержней в этом случае
равно N1  5 (2, 6, 7, 10, 13) см. рис. 10.
5. Максимальное значение угла  , при котором сжимающие усилия не превышают предельного значения Sk  Sпр равно 2  66 . Количество сжатых
стержней в этом случае равно N 2  9 (1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13) см. рис. 10
1

S 



1

1

5.805

1

-50.061

2

-34.641

2

-34.641

3

30

3

30

4

5.805

4

-50.061

5

-3.553·10-15

5

0

6

-17.321

6

-17.321

7

-10

7

-10

8

-55.834

9

11.547

21 
 8
180 

0.031

S 



66 
180





9

11.547

10

-34.641

10

-34.641

11

40

11

40

12

0.031

12

-55.834

13

-57.735

13

-57.735

14

32.134

14

73.758

15

-28.836

15

-84.702

16

50

16

50

б)   66

а)   21

Рис. 10 Реакции фермы при разных значениях

.

6. Область допустимых значений для угла  , при которой
o значения сжимающих усилий в стержнях фермы не превышает S пр  N 2  9 
0    2  66 ;

o количество сжатых стержней минимально, а усилия в них не превышают
предельное значение S пр  N1  5
0    1  21 .

100

Схема 2
1. Реакция опорной плоскости RB положительна при всех допустимых значениях ориентации опорной плоскости
RB  0  [0,  [
2

2. Количество стержней, реакция которых не зависит от  – 9 (2, 3, 5, 6, 7,
9, 10, 11, 13), из них сжатых – 5 (2, 6, 7, 10, 13) (рис. 11).
3. Максимальное значение сжимающего усилия, величина которого не зависит от угла  , равно Sпр  S13  100

3
kH  57.735 kH (рис. 11).
3

200
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )

1
2
3

100

4
5
6
7

0

8
9
10
11

S(  )  100
12
S(  )

13

 200
 90

1
 60

 30

0

2
30

60

90



deg

Рис. 11 Предельные значения углов

.
101

4. Максимальное значение угла  , при котором количество сжатых стержней минимально равно 1  29 . Количество сжатых стержней в этом случае
равно N1  5 (2, 6, 7, 10, 13) см. рис. 12.
5. Максимальное значение угла  , при котором сжимающие усилия не превышают предельного значения Sk  Sпр равно 2  60 . Количество сжатых
стержней в этом случае равно N 2  9 (1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13) см. рис. 12
1

S 



1

1

6.926

1

-51.962

2

-34.641

2

-34.641

3

30

3

30

4

6.926

4

-51.962

5

1.776·10-15

5

-7.105·10-15

6

-17.321

6

-17.321

7

-10

7

-10

29 
 8
180 

1.152

9

11.547

10
11

S 



60 
 8
180 

-57.735

9

11.547

-34.641

10

-34.641

40

11

40

12

1.152

12

-57.735

13

-57.735

13

-57.735

14

10.395

14

69.282

15

30

15

30

16

57.168

16

100

а)   29

б)   60

Рис. 12 Реакции фермы при разных значениях

.

6. Область допустимых значений для угла  , в которой
o значения сжимающих усилий в стержнях фермы не превышает S пр  N 2  9 
0    2  60 ;

o количество сжатых стержней минимально, а усилия в них не превышают
предельное значение S пр  N1  5
0    1  29 .

102

Схема 3
1. Реакция опорной плоскости RA положительна при всех допустимых значениях ориентации опорной плоскости (рис. 13)
RA  0  [0, кр [ и ]кр ,  [, кр  66,587 . .
2

2. Реакция опорной плоскости RB положительна при значениях угла  не
превышающих величину 2пр (рис. 13)
RВ  0  [0, 2пр ], 2пр  50 .

При замене опоры B стержнем сжимающее усилие будет меньше S пр при
  3пр  59 .
200

RA (  )
RB(  )

100

3пр

0

RC(  )

 100
 100

 200
 90

3
3

1пр 2пр
 60

 30

0

30

60

90



deg

Рис. 13 Предельные значения углов

.

3. Стержень С при разных значениях  испытывает сжимающие и растягивающие усилия. В тоже время, сжимающее усилие в стержне RС не будет превышать предельного значения S пр при значениях угла  меньших величины 1пр
(рис. 13)
RС  0, RС  Sпр

 [0, 1пр ], 1пр  36 .

4. Количество стержней, реакция которых не зависит от  – 3 (3, 7, 11), из
них сжатых – 1 (7) (рис. 14).
103

200
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )
S(  )

1
2
3

100

4
5
6
7

0

8
9

 100

10

3
3

11

S(  )  100
12
S(  )

13

 200
 90

0
 60

 30

1
0

2
30

60

90



deg

Рис. 14 Предельные значения углов

.

5. Максимальное значение сжимающего усилия, величина которого не зависит от угла  , равно S  S10  10 kH (рис. 14).
6. Максимальное значение угла  , при котором количество сжатых стержней минимально равно 1  8 . Количество сжатых стержней в этом случае равно
N1  6 (2, 6, 7, 10, 13, С ) см. рис. 14, 15.

7. Минимальное значение угла  , при котором количество сжатых стержней минимально равно 0  30 .

104

8. Максимальное значение угла  , при котором сжимающие усилия не превышают предельного значения Sk  Sпр равно 2  30 . Количество сжатых
стержней в этом случае равно N 2  7 (2, 6, 7, 9, 10, 13, С ) см. рис. 14, 15.
1

1

1

1

21.651

1

17.442

1

1.711·10-14

2

-43.301

2

-46.107

2

-57.735

3

30

3

30

3

30

4

21.651

4

17.442

4

1.711·10-14

5

8.66

5

11.466

5

23.094

6

-25.981

6

-28.787

6

-40.415

7

-10

S ( 0)  8

24.537

9

2.887

S 



7

-10

2 
 8
45 

23.134

9

0.081

S 



6


7

-10

8

17.321

9

-11.547

10

-43.301

10

-46.107

10

-57.735

11

40

11

40

11

40

12

24.537

12

23.134

12

17.321

13

-49.075

13

-46.269

13

-34.641

14

37.5

14

40.322

14

57.735

15

-17.321

15

-22.932

15

-46.188

16

42.5

16

40.07

16

30

а) 0  0

б) 2  8

Рис. 15 Реакции фермы при разных значениях

в) 2  30

.

9. Область допустимых значений для угла  , в которой
o значения сжимающих усилий в стержнях фермы не превышает S пр  N 2  7 
0    2  30 ;

o количество сжатых стержней минимально, а усилия в них не превышают
предельное значение S пр  N1  6 
0    1  8 .

105

6. Выводы
Сведем результаты анализа в таблицу (табл. 1).
Ферма

N1  min  k   Sk  Sпр , Sk  0

N2  max  k   Sk  Sпр , Sk  0

0    1

N1

0    2

N2

Схема № 1

0    21

5

0    66

9

Схема № 2

0    29

5

0    60

9

Схема № 3

08

6

0    30

7

Табл. 1 Области допустимых значений

 и количество сжатых стержней.

Результаты анализа рассмотренных схем показывают, что при выполнении
условия Sk  Snp , Sk  0, количество стержней испытывающих сжимающие усилия близкие к предельному значению равно  усилия в  kH  :
для схемы № 1 – 5  S1  S4  50,061;

S8  S12  55,834;

для схемы № 2 – 5  S1  S4  51,962;

S8  S12  S13  Snp  57,753 ;

для схемы № 3 – 3  S2  S10  Snp  57,735;

S13  Snp  57,753 ;

RC  46,188 .

При этом в условиях обеспечивающих минимальное число сжатых стержней, их количество равно:
для схемы № 1 – 1  S13  Snp  57,753 ;
для схемы № 2 – 1  S13  Snp  57,753 ;
для схемы № 3 – 3  S2  S10  46,107;

S13  46,269 .

Таким образом, оптимальной является схема 2, в которой при прочих равных условиях, область допустимых значений угла  шире
0    29 .

106

АЛЬБОМ ЗАДАНИЙ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА
1

2

P2

P1

P1

P3

D 





b

A

P5

P4
a

b

A

P4
a


a

3

P5
a

a

4

P2



P1

D

P1

P3



C

b

B

A

a

P4
a

a

P5
a



P2





D

P3

C

b
B

A



P5

P4
a

5

a


a

6

P2

P1





2b

C

D



P4





3a

P5



P2
C

D

2b
A

3a

P3

P1

P3

B





B



a

a

P3
C

D

C

B

P2

B



A

a

a

P4

a

P5

107

7

8

P1





P1

P3

P2





D

C

A

B

P5

a

P4 b

C

D

P3



b
A

B

b

a

a

P2



9

a

a
P4

a



P5

10

P2

P1

P1
a

 D 



D

C

P2
P3


b
A

B


a

a

b

A

P4

a
P5

P4

P3



P5

B

a

a

a

11

12

P3

P2
P1



P2
D






b

C



B



P1

P3

b

A
B

a

a

P4

P5

A

b

a

 D

C 

a

P4
2a

108

C

2b

P5

a

13

14

P2

P1
D

b
P1

P3







C

B

P5

P4
a



a

P2



C

a
B

b
A

2a





b

P5

P4

P3

A

b

a

2b



D

15

16

P2

B

 P3





D

P1
B

P4





2b

2b



D

P4

P3

P5
a

a

P2

P4

a

2b

17

P2

A

A

P5

P1



3a

C

C



18

P1



P2

a

P3

a
C

D

P1




A

P4



D

b

2b







A

B



C

P3

b

P5



a

a

P5

B

a

109

19

20

P1
A

P2

P1

P3







b

C

B





P5

P4
a

a

D

B

 C



a

a

a

21

A



P4

a

P5

a

22
a

a

a



P1 

A

a

P2 

a

P3

P1 

P4

C



P4

a
 P5 
D

b

b





D

a

A

B





B

P5


P2

23

C

P3

24

P1



P2



P3





B

b



D

a
A

 P4
3a

P5

P2 
C

b

D



P1 
A

P3
C




P5

P4
a

110

P3



b


D



P2



a

a

a

B



25

26

P2 

D



P1

2b

P3
A
B

A

a



P5
a

a

2b
B

P4

P3



P2

C 

D

C

P4



P1

P5

2a

a

a

a

27

28

P2

A

b



D

P1



C

P5

2a

B
D

P3



B

P2

C

A

P3


3b



P1

29



P5
a

a

P4

a

P4

a

30


P1



C

D

b P
3
b

P5
a



P2
P4

A

a

P2

a

b

a

P3

P1

B

B

a





C

D

P4

b

P5

A



a

111

Схема № 2

№

1

A

B

Схема № 3

C

D



C







4
5



6



D





3





7



8



9



10












12
13



14



15



112

B



2

11

A






Схема № 2

№

A

B

16



17



18



19



20

A

B

D








22










24



25









26




28





29





30

C





27

D



21

23

C

Схема № 3





113

№

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

a,

 м

0,2

0,3

0.5

0,4

1,1

0,6

0,9

0,7

1,0

0,8

b,

 м

0,3

0,4

0,6

0,5

1,3

0,9

1,3

1,1

1,5

1,0

P1,

 кН 

100

150

200

250

300

250

200

150

100

250

P2 ,

 кН 

150

200

250

300

100

300

200

100

150

100

P3 ,

 кН 

200

250

300

100

150

100

250

300

250

100

P4 ,

 кН 

250

300

100

150

250

150

150

100

150

200

P5 ,

 кН 

300

100

150

200

250

200

100

300

200

150

,  

180

30

45

60

75

90

15

120

150

135

,  

15

45

60

135

90

150

120

75

180

30

114

С 2. РАВНОВЕСИЕ СОСТАВНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

В статике наряду с равновесием одного тела рассматриваются равновесие
сочлененных систем тел, т.е. совокупности твердых тел касающихся друг друга
своими поверхностями или соединенных друг с другом шарнирами, гибкими нитями или стержнями.
Важной задачей статики системы твердых тел является определение внешних и внутренних реакций связей. Основным способом их нахождения является
способ расчленения, при котором рассматривается равновесие отдельных тел системы.

Цель курсовой работы
Целью курсовой работы является выработка навыков расчета и исследования равновесия плоских составных конструкций.

Содержание курсовой работы
Объектом исследования является плоская составная конструкция, представляющая собой совокупность абсолютно твердых тел, соединенных друг с
другом идеальными связями. Схемы конструкций и таблицы исходных данных
приведены в альбоме заданий.
Задаваемыми параметрами являются:
o геометрические характеристики конструкции;
o система активных сил, приложенных к ее телам.
Требуется:
1. Найти:
o во всех конструкциях — реакции внешних и внутренних связей;
o в одной конструкции — часть реакций, составляя для этого минимально необходимое число уравнений равновесия (по выбору преподавателя).

115

2. Исследовать влияние расположения опор внешних связей на величины реакции связей и выбрать вариант, в котором реакции внешних или внутренних связей минимальны (по выбору преподавателя).

Порядок выполнения работы
1. Выделить тело (элемент) или систему тел с заданными активными силами, равновесие которых будем рассматривать;
2. Используя аксиому освобождаемости от связей рассмотреть выбранное тело,
как свободное, заменив действующие на него связи их реакциями;
3. Дать анализ действующей на тело или систему тел системы сил, выяснить статическую определимость задачи;
4. Записать условия равновесия и составить уравнения равновесия для вычисления:
o всех реакций внешних и внутренних связей;
o реакций указанных преподавателем (число уравнений равновесия должно
быть равно числу вычисляемых реакций).
5. Найти реакции связей и осуществить проверку правильности составления
уравнений равновесия.
6. Провести анализ и исследование полученного решения:
o исследовать влияние расположения опор внешних связей на величины реакций внешних и внутренних связей;
o выбрать такое расположение опор, при котором обеспечивается минимальные
значения внешних или внутренних реакций.
В процессе выполнения курсовой работы необходимо выработать следующие навыки и умения:
o определения связей, действующих на тело или систему тел;
o составления уравнений равновесия для произвольного тела, входящего в систему тел и нахождения реакций связей;
o решения поставленной задачи разными методами.

116

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
Составная конструкция ABCD (рис. 1) находится в равновесии под действием распределенной нагрузки изменяющейся по линейному закону qmax , сил
F1 è F2 , пар сил с моментами M1 è M 2 . Геометрические размеры всех звеньев из-

вестны. На конструкцию действуют внешние связи: в точке А – жесткая заделка,
а в точке B – неподвижный шарнир. Внутренней связью является втулка, расположенная в точке C

Исследовать равновесие составной конструкции. Определить реакции внешних
и внутренних связей, а также момент в заделке A и реакцию опоры B , составляя
минимально необходимое число уравнений равновесия.

B

b

qmax



b

F1

M1


A



C

a

F2

M2 D
b

Рис. 1 Схема составной конструкции.

Исходные данные
qmax  10 kH м

F1  20 kH ,

F2  30 kH ,

,

M1  10 kH м ,

M 2  15 kH м

,

a  4 м,

b  3 м,

  30 ,

  60 ,

  45 .

117

1. Определение реакций внешних и внутренних связей
Рассмотрим равновесие всей конструкции, освободив ее от связей в точках

A и B (рис. 2).
YB
y

b

B X
B

x



b

YA

XA

Q

a
3

F1

M1


A



C

MA

F2

M2 D

a

b

Рис. 2 Расчетная схема для всей конструкции.

На рис. 2 обозначено:





X A , YA — составляющие реакции RA заделки A RA  X A2  YA2 ;
M A — момент в заделке A ;





X B , YB — составляющие реакции RB шарнира B RB  X B2  YB2 ;
Q — равнодействующая распределенной нагрузки, модуль которой равен

1
Q  qmax a  20 kH .
2
Конструкция находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, для которой можно записать три независимых условия равновесия, например:

F

kx

k

 0,

F

ky

k

 0,

M F   0.
A

Неизвестных реакций, действующих на конструкцию – 5
118

(1)

k

k

X

B

, YB  ,

X

A

, YA , M A  и решить задачу определения реакций с помощью уравнений рав-

новесия соответствующих условиям (1) невозможно. Поэтому расчленим конструкцию по внутренней связи в точке C и рассмотрим равновесие каждого тела
(балка BC и балка ACD ) отдельно. Расчетные схемы тел изображены на рис. 3.
На балку ACD действует реакция внутренней связи RC со стороны балки BC .
На балку BC кроме активных сил и реакций внешних связей действует реакция





внутренней связи RC со стороны балки ACD RC   RC .

YB
b

B XB

y


b

x

F1

C
a
3

YA

XA

a)

M1



RC

Q

F2


RC

A

D

C
MA

a

M2

b

á)

Рис. 3 Расчетная схема для звеньев конструкции:
а) балка

BC , б) балка ACD .

Балка BC (рис. 3 а) находится в равновесии под действием произвольной
плоской системы сил. Для определения трех неизвестных реакций  X B , YB , RC 
можно записать три независимых условия равновесия, например:

F

kx

k

 0,

F

ky

k

 0,

M F   0.
B

k

(2)

k

Балка ACD (рис. 3 б) находится в равновесии под действием произвольной
плоской системы сил. Для определения трех оставшихся неизвестных реакций
119

X

A

, YA , M A  можно также записать три независимых условия равновесия,

например:

F

 0,

kx

k

F

ky

 0,

k

M F   0.
A

k

(3)

k

Задача нахождения реакций связей в этом случае становится статически
определимой и ее можно решить, составив 6 уравнений соответствующих условиям равновесия (2) и (3):
Çâåí î BC

F  0
F  0
M F   0
kx

X B  F1 cos       0,

ky

YB  RC  F1 sin      ,

k

M 1  RC 2 b cos     F1 sin    b  0;

k

k

B

k

Çâåí î ACD

F
F

X A  F2 cos     0,

kx

0

ky

 0 YA  Q  RC  F2 sin     0,

k

(4)

k

M F   0
A

k

k

a
M A  Q  RC a  M 2  F2 sin    a  b   0.
3

Решая систему уравнений (4) и учитывая, что значения RC  RC , получим
RC  F1

sin 
M1

 11.925 kH ,
2cos  2 b cos 

X B  F1 cos       17.321 kH ,
YB  RC  F1 sin       F1

sin  2   
M1

 1.925 kH ,
2cos 
2 b cos 

(5)

X A  F2 cos   21.213 kH ,
YA  Q  RC  F2 sin   29.289 kH ,
a
M A  Q  RC a  M 2  F2 sin   a  b   139.128 kH ì .
3

Кроме этих уравнений равновесия можно составить и другие 6 уравнений
для условий равновесия (1) и (2) или (1) и (3), рассмотрев, например, схемы на
рис. 2 и рис.3 а или рис. 2 и рис.3 б соответственно.

120

2. Определение M A , X B , YB оптимальным способом
Для нахождения реакций X B , YB и момента в заделке M A оптимальным
способом рассмотрим расчетные схемы, представленные на рис. 2 и рис. 3.
Расчетная схема, представленная на рис. 2, содержит все три неизвестных,
подлежащих определению – момент в заделке M A и реакции X B , YB . Однако
только одно из уравнений равновесия составленных для конструкции ABCD будет содержать искомые величины

M F   0
A

k

k

a
 M 2  F2 sin   a  b   X B 2 b sin  
3
 YB  a  2 b cos    F1 cos      b sin  

MA Q

(6)

 F1 sin      (a  b cos  )  0
Расчетная схема, представленная на рис. 3 а, содержит все две неизвестных, подлежащих определению – реакции X B , YB . Для балки BC можно составить два уравнения равновесия которые будут содержать искомые величины

F  0
M F   0
kx

X B  F1 cos       0,

k

M 1  F1 sin  b  X B 2 b sin   YB 2 b cos   0.

k

C

(7)

k

Система уравнений (6) – (7) содержит только те неизвестные, которые
нужно определить. Из первого уравнения системы (7) найдем реакцию X B
X B  F1 cos      17.321 kH .

Из второго уравнения системы (7) – реакцию YA

YB  X B

sin  2   
sin 
sin 
M1
M1
 F1

 F1

 1.925 kH .
cos 
2cos  2 b cos 
2cos 
2 b cos 

Из уравнения (6) – момент в заделке M A
a
 M 2  F2 sin   a  b   X B 2 b sin   YB (a  2 b cos  )
3
 F1 b sin   a sin        139.128 kH .

MA  Q

121

Расчетная схема, представленная на рис. 3 б, содержит только одну неизвестную, подлежащую определению – момент в заделке M A . Любое из уравнений равновесия составленных для балки ACD будет содержать неизвестные, которые определять не нужно. Поэтому равновесие балки ACD рассматривать не
требуется.

3. Альтернативное расположение опор внешних связей
Пусть в данной задаче требуется выбрать оптимальную схему расположения опор внешних связей, обеспечивающих минимальное значение реакции
внутренней связи (втулка C ).
Для исследования влияния расположения опор внешних связей на величины реакции внутренней связи рассмотрим равновесие конструкции ABCD с
другим расположением опор: в точке A – неподвижная шарнирная опора; в точке

B – жесткая заделка (рис. 4).
b

B
qmax



b

F1

M1


A



C

a

F2

M2 D
b

Рис. 4 Конструкция с альтернативным расположением опор внешних связей.

Расчленим конструкцию по внутренней связи в точке C и рассмотрим равновесие каждого тела (балка BC и балка ACD ) отдельно. Расчетные схемы тел
изображены на рис. 5.
На балку ACD (рис. 5 б) кроме активных сил: равнодействующей распределенной нагрузки Q , силы F2 и пары сил с моментом M 2 действует реакция
122

RC втулки C со стороны балки BC и реакции неподвижной шарнирной опоры
X A , YA .

Балка ACD находится в равновесии под действием произвольной плоской
системы сил и для ее равновесия можно записать три независимых условия равновесия, например:

F

kx

F

 0,

ky

k

 0,

k

 M  F   0.
A

(8)

k

k

На балку BC (рис. 5 а) кроме активных сил: силы F1 и пары сил действует





реакция RC втулки C со стороны балки ACD RC   RC и реакции жесткой заделки X B , YB , M B .

YB
B XB

b

MB

y


b

x

F1
C
a
3

YA

XA

RC

Q
RC

A

a)

M1



F1
M2



D

C

б)

a

b

Рис. 5. Расчетная схема для звеньев конструкции.

Балка CB , как и балка ACD , находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил и для ее равновесия можно записать три независимых условия равновесия, например:

F

kx

k

 0,

F

ky

k

 0,

 M  F   0.
B

k

(9)

k

123

Задача нахождения 6 реакций связей в этом случае становится статически
определимой и ее можно решить, составив 6 уравнений соответствующих условиям равновесия (8) и (9):

F
F

Звено ACD

X A  F2 cos     0,

kx

0

ky

 0 YA  Q  RC  F2 sin     0,

k

k

M F   0
F  0
F  0
M F   0
A

kx

a
RC a  Q  M 2  F2 sin    a  b   0;
3
X B  F1 cos       0,

ky

YB  RC  F1 sin     ,

k

M B  M 1  RC 2 b cos     F1 sin    b  0.

k

k

Звено BC

k

k

B

(10)

k

Окончательную проверку правильности составления уравнений равновесия (4) и (10), а также их решения осуществим далее с помощью пакета Mathcad.
При выполнении курсовой работы исследование влияния расположения
опор внешних связей на значения реакций провести только для задач 1хх, 2хх и
3хх. Для задачи 4хх достаточно осуществить проверку составления уравнений
равновесия и вычислить значения реакций связей.

124

4. Результаты расчетов
Решения систем линейных алгебраических уравнений (4) и (10) не сложно
реализовать в пакете Mathcad, в котором для этого существует несколько способов [1, 10]. Так как кроме решения системы линейных алгебраических уравнений, требуется осуществить проверку их составления, воспользуемся возможностями символьных вычислений Mathcad. Численное решение полученных уравнений произведем с помощью блока решения Given  Find .
Ниже приведен пример документа Mathcad, в котором реализованы процедуры составления уравнений равновесия, а также вычисления реакций внешних
и внутренних связей конструкции в символьном и численном виде.
Расчет

составной

конструкции

согласно

расчетной

схеме

представленной на рис. 3.
Символьное решение
1. Задание векторов, определяющих положения точек приложения сил
(Начало системы координат совмещаем с точкой А)
ORIGIN  1

0
rA   0 
 
0

 a  b cos(  )
rF   b  sin (  )

0


a
rC   0 
 
0

 2a 
3 
rQ  

0
 
 0 






 a  2b cos(  )
rB   2b  sin (  )

0


ab
rD   0 


 0 






2. Задание векторов сил и моментов пар сил, действующих на конструкцию

 0 
Q_   Q 


 0 

 F1 cos (    )

F1   F1  sin (    )

0


 0 
M2   0 
 M2 



 0 
MA   0 
 MA 









 F2 cos (  )

F2   F2  sin (  )

0

 XA 


RA   YA 


 0 







 0 
M1   0 
 M1 


 XB 


RB   YB 


 0 

125

 0 
RC   RC 
 0 



 0 
RC'   RC 
 0 



3. Составление уравнений равновесия для звеньев конструкции
Формирование главного вектора и главного момента внешних сил:
для балки AD:
M_ADA  MA  rQ  Q_  rC  RC  M2  rD  F2

P_AD  RA  Q_  RC  F2

для балки BС:









M_BCC  M1  rB  rC  RB  rF  rC  F1

P_BC  RC'  F1  RB

Составление уравнений равновесия:
для балки AD:
P_AD1

0 simplify  XA  F2  cos (  )

P_AD2

0 simplify  RC  Q  YA  F2  sin (  )
0 simplify  M2  MA 

M_ADA
3

0

2Q a
3

0

 RC  a  F2  a  sin (  )  F2  b  sin (  )

0

для балки BС:
P_BC1

0 simplify  XB  F1  cos (    )

P_BC2

0 simplify  YB  RC  F1  sin (    )

M_BCC
3

0
0

0 simplify  2YBb cos(  )  2XBb sin (  )  M1  F1 b sin (  )

0

4. Решение уравнений равновесия с помощью блока Given - Find

 XA



YA MA RC XB YB  ( 0 0 0 0 0 0 )

Given

XA  F2  cos (  )
M2  MA 

2Q a
3

RC  Q  YA  F2  sin (  )

0

 RC  a  F2  a  sin (  )  F2  b  sin (  )

XB  F1  cos (    )

0

2 YB b  cos (  )  2 XB b  sin (  )  M1  F1  b sin (  )

126

0

0

YB  RC  F1  sin (    )
0

0

F2  cos (  )


F1  sin (  )
M1

Q  F2  sin (  ) 

  XA  

2  cos (  )
2  b  cos (  )



Y
 A 
M1  a
F1  a  sin (  )
 2Q a
 M 
 M2  F2  a  sin (  )  F2  b  sin (  ) 

2  b  cos (  )
2  cos (  )
  A   simplify   3
Find

  RC  
M1  F1  b  sin (  )




2  b  cos (  )
  XB  



F1  cos (    )

  YB  

M1  F1  b  sin (   2   )

2  b  cos (  )


















Численное решение
1. Ввод исходных данных
ORIGIN  1

qmax  10

F1  20

a  4

b  3

Q 

1
2

F2  30
 

M1  10



 

6


3

M2  15
 


4

qmaxa

2. Решение уравнений равновесия с помощью блока Given – Find
Уравнения равновесия должны быть скопированы в блок Given
XA YA MA RC XB YB  ( 0 0 0 0 0 0 )





Given

XA  F2  cos (  )
M2  MA 

2Q a
3

RC  Q  YA  F2  sin (  )

0

 RC  a  F2  a  sin (  )  F2  b  sin (  )

XB  F1  cos (    )

0

2 YB b  cos (  )  2 XB b  sin (  )  M1  F1  b sin (  )

 XA 
  XA  




 YA 
  YA  
M 
 M 
 A   Find  A  
 RC 
  RC  




 XB 
  XB  




 YB 
  YB  

0

0

YB  RC  F1  sin (    )

0

0

 XA 

  21.213 
 YA   29.289 
M  

 A    139.128
 RC   11.925 

  17.321 
 XB  

1.925




YB



127

RA 

2

2

XA  YA

RA  36.164

Расчет

RB 

MA  139.128

составной

2

2

XB  YB

RB  17.427

конструкции

RC  11.925

согласно

расчетной

схеме

представленной на рис. 5.
Символьное решение
1. Задание векторов, определяющих положения точек приложения сил

………
2. Задание векторов сил и моментов пар сил, действующих на конструкцию

………
 0 
MB   0 
 MB 



………

3. Составление уравнений равновесия для звеньев конструкции
Формирование главного вектора и главного момента внешних сил:
для балки AD:
P_AD  RA  Q_  RC  F2

M_ADA  rQ  Q_  rC  RC  M2  rD  F2

для балки BС:
P_BC  RC'  F1  RB









M_BCC  M1  MB  rB  rC  RB  rF  rC  F1

Составление уравнений равновесия:
для балки AD:
P_AD1

0 simplify  XA  F2  cos (  )

P_AD2

0 simplify  RC  Q  YA  F2  sin (  )

M_ADA
3

0 simplify  M2 

2Q a
3

0

 RC  a  F2  a  sin (  )  F2  b  sin (  )

для балки BС:
P_BC1

128

0

0 simplify  XB  F1  cos (    )

0

0












0 simplify  YB  RC  F1  sin (    )

P_BC2
M_BCC
3

0

0 simplify  MB  M1  2XBb sin (  )  2YBb cos(  )  F1 b sin (  )

0

4. Решение уравнений равновесия с помощью блока Given - Find

 XA



YA MB RC XB YB  ( 0 0 0 0 0 0 )

Given

XA  F2  cos (  )
M2 

2Q a
3

RC  Q  YA  F2  sin (  )

0

 RC  a  F2  a  sin (  )  F2  b  sin (  )

XB  F1  cos (    )

0

0

YB  RC  F1  sin (    ) 0
F2  cos (  )
MB  M1  2XBb sin (  ) 2YBb  cos (  )  F1 b sin (  ) 0

Q a

M2 
 F2  b  sin (  )
3

  XA  

a



Y
2
 A 
2  M2  b  cos (  )
2  F2  b  s

4  Q  b  cos (  )
 M 
 F1  b  sin (  )  2  F2  b  sin (  )  cos (  ) 

 M1 
B
3


a
Find
simplify  
  RC  
2Q a



 M2  F2  a  sin (  )  F2  b  sin (  )

3
  XB  

a



Y
 B 
F1  cos (    )

0


F2  b  sin (  )
F2  cos2( Q
 ) M2




 F2  sin (  )  F1  sin (    ) 

3
a
a 

Q a


M2 
 F2  b  sin (  )
3




a


2
2  M2  b  cos (  )
2  F2  b  sin (  )  cos (  ) 

4  Q  b  cos (  )
 F1  b  sin (  )  2  F2  b  sin (  )  cos (  ) 

 M1 

3
a
a
simplify  

2

Q

a


 M2  F2  a  sin (  )  F2  b  sin (  )

3



a


F1  cos (    )




M2
F2  b  sin (  )
2

Q



 F2  sin (  )  F1  sin (    ) 
3
a
a



129

Численное решение
1. Ввод исходных данных

………
2. Решение уравнений равновесия с помощью блока Given - Find

 XA



YA MB RC XB YB  ( 0 0 0 0 0 0 )

Given

XA  F2  cos (  )
M2 

2Q a

0

 RC  a  F2  a  sin (  )  F2  b  sin (  )

3

XB  F1  cos (    )

0

RC  Q  YA  F2  sin (  )

0

YB  RC  F1  sin (    )

0

0

MB  M1  2XBb sin (  )  2YBb  cos (  )  F1 b sin (  )

 XA 
  XA  




 YA 
  YA  
M 
 M 
 B   Find  B  
 RC 
  RC  




 XB 
  XB  




 YB 
  YB  
RA 

2

RA  21.913

130

2

XA  YA

0

 XA 

  21.213 
 YA   5.493 
M  

 B    180.732
 RC   46.706 

  17.321 
 XB  

36.706




YB


RB 

2

2

XB  YB

RB  40.588

MB  180.732

RC  46.706

5. Анализ результатов вычислений и выводы
Составные конструкции обычно применяются для проектирования арочных, мостовых конструкций и т.д. На этапе их предварительного проектирования
может быть поставлена задача выбора оптимального решения согласно одному
или нескольким критериям.
Например, требуется обеспечить:
o минимальную силу давления на одну или все опоры;
o минимальное значение реакции внутренней связи;
o минимальное значение реактивного момента и т.д.
В данной задаче требуется определить такое расположение опор внешних
связей, при которых значение реакции внутренней связи минимально.
Сведем результаты расчетов в таблицу (табл. 1).
Схема

X A,

YA ,

RA ,

M A,

XB,

YB ,

RB ,

MB,

RC ,

kH

kH

kH

kH ì

kH

kH

kH

kH ì

kH

Рис. 3

21,213 29,289 36,164 139,13 17,321

Рис. 5

21,213 -5,493 21,913

–

1,925 17,427

–

11,925

17,321 36,706 40,588 -180,73 46,706

Табл. 1 Значения модулей реакций внешних и внутренних связей.

Анализ результатов расчета рассмотренных схем показывают, что оптимальной (по минимальному значению реакции втулки C ) является схема, представленная на рис. 3, в которой, при прочих равных условиях, значение реакции
RC меньше.

131

АЛЬБОМ ЗАДАНИЙ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА
101

102
B

2a



A

a

M



C

C

b

A

201



b

a

202
b

2a

B

q
a

B
M



A

C



b



C

A

F

a

301

302

2a

a

qmax
F

q

D

M

C

B


b

a

F

M

A

 C 

A



b

F



D

b

a

401

a

a

402
a
A

b

b

B

r

C

a

q

a

R

q
B

R

C
Р

A

b

132

B

M

qmax

F

b

Р

B

103

104
F

a

a
C

A

b



B



q

A

B

C

a

b


a



q

203

F

204
B

b

B

b

M

M



C

a

a

qmax

303
a
D



C

a

304
b
B

M

B

a

M

A

qmax

b

F



q
A



C

A

D

b

F

q

b





A

C

b

a

403

404

B

a

a

a

a

M
A

2a

r
R

C

b

R

A

F

a

b

Р


Р

C

a



B

F

133

105

106
a
B

b
C

M

C


a



A

A

q

a
b
B

a




F

F

205

206
a

a

a

q

A

C





M

a



M

A

C

F

B

b

B

b

305

306
F

a



q
D

qmax
A

b

B



qmax

D

F

b



b

C

C

405

A

b

406
R

F

R

F

 B

C

B 

C

a

b

a
Р

M

Р

b

A
M

134

a

q
B

a



a

b

a
A

107

108
a
b

q

C



b

A
B

M

qmax

B

M


C

A

a

207

a

208

a

a

a

A



C



M

M
B

F

B

b

307



C



A

b

308
a

a
M

A

q
C



b

C

qmax

q
B

D

b

D 

B

A

M

b

b

407

408
a

a

a

A
R

a
B

C

qmax

B

qmax

a

r

M

R

C

A
Р

b

a

Р

135

109

110
a



a
B

F
C



M

b
M

A





A

C

B

b

b

209

a

210
C

a



b

M

q

a

M

b



B
A

C

q

A

B

309

310

qmax

qmax
b

A

a

b

q

C

q

C

a

A

F
M



B



B


D

D

a

a

409

410
R
B

M

R

F

a

a

a
Р

2b

B

q

q
A



C

C

a

136

a

A

Р

2b

111

112
a

qmax

C



qmax

A

M

B

b

b

B

b

M


C

b

211

212
2а
A
C

a

b

q






A

2b

B

F

B

311

b



F

M

A

a

a

q

C



F

q


F

b

B

D

411

412



C

а

B

F

A
r

A

a

C



C

a

a

а

а

a

R

b

a

M

b

A

D



B

а

R

a

C

312
a

Р

A

a

b
Р

q
B

137

114

113

A

A

a



B

qmax

b

M

M

2a

C

B

qmax

b


C

b

b

213

q

214

B

A

B

A

b

a

M

M

b





C

313

C

314

а

a
C





b

A

C





A

F
B

D

q

а

a

F
B

a

b

D
M
a

M

q

414

413

R

R

D

D

a

C

a

q
B

b

a

C

q

Р
A

138

a

q

Р
A

B

b

a

115

116
C



2b

a



2b

a
M



a

C



M

A

F
B

215

A

F

B

a

216
B

B

q

q



b F



F b




2a

C

2a

C

a

a
A

A

315

316

qmax

b

b

b

b
D

B

B
M

M

qmax

q


C

q

D


a

a

A

A

415

a

C

a

416
a
A

a

a
r

a

a

a

r

C

R
R

q

A

C

b

b
Р
B

Р

q
B

139

117

118
A

a

b

A

b

F
C

b

b



C



b

b





qmax

B

qmax

B

217

218
a

a
A







C

M

b

b

317

318

а

C

q


B

b

A

B

A



F

F

B

a

a

C

M

A

M

M

C

q


а

b

D

B

D

а

b

417

418
R

a

qmax

b
C

C
Р
A

B

2a

R

D
D

qmax

140

a

F

b

a

Р
A

B

2a

119

120


F

b

q

b

a

b

C

a

F

C

a

q

a

b

A





A


B

B

219

220
B

B

b
M



F

F



C

319

320

а

qmax

A

b

M

D



C

b

M

q



b

a

a

M



A

A

a

B

B

q

D

а

b

qmax



а

b

419

420
a

a

b
r

R

a
A

A

b

a

r

C

C

b
Р

A

C

C

qmax

B

R

b
B

qmax

Р

141

121

122
A
M

q

q

a
C

B




221



b

C

B

222
A

A
B

b

B

a

a

b
M

M




qmax

C

C

321

322

a

a

a



q
M
A



2b

B

qmax



B

F

qmax

a

D
D

2b

F

M



C

A

C

2a

2a

421

422
B

B

q

q
F
R

Р

2a

b

b

F





M

A

C

142

A

M

a

b

a

a

R

M

A

C
a

a

2a

Р

123

124

qmax

M


C

b

B 

qmax

M

 B

a


C

a

b
A

A

224

223
q

A

a

B

B

q

A

a



a F


b



b

F a


C

C

323

324
b

a

q
C

M



A

A

F



B

a

a



a

b

q

C

F

M


D

D

B

2a

2a

423

424

2a
A

b

B

2a
B

A

R

b

R
M

b

M

b

Р

Р

C

C

143

125

126
A

b

b


B



C

a



M

M



F


B

A

C

a



F

a

a

225

226
B

B

q

q

a

a



b



b

C

C

A

A
M

M

325

326

a

a

q

q

qmax

qmax
A

C

A

C

a

a
b



B

b


M

M

425

426
R

q

q

R

C

C
B

a
Р

B

a

a

M

M

2b

144

B

D

D

A

A

2b

a
Р

127

128
b
A

b

F

F

A

M
M





B 

C

a



 B



227

C

a

a

a

228

qmax


C

qmax

b

b
B

B



M

M

C

a

a

A

327
D

q
A



B

a

a

D



B

M

M



328

a

a

A

F

F



2b

2b

q
A

C

C

2a

2a

427

428

a

a
A

A

B

q

R

b

R

a

b

M

M

Р

B

q

C

C

a

Р

145

129

130
b

а

a

B

q
 C

M



A

M

C

B

q

а

a

229

b

230
A

A

a

b

C

M

M



B



B

a

C

b

qmax

qmax
329

330
F

q

C

B





B

b

b

a

a

2b
M

2a

F
C



2a


2b

M
D

D

A

A

429

430
a
A

r

a

a

a
C

R

A

C

qmax
Р

B

a

a
r

R

qmax

b

146

A

b

Р
B

№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

F
кН

P
кН

14
16
13
18
16
12
15
13
13
16
18
16
16
18
13
13
13
10
19
14
18
17
11
17
18
17
19
20
13
12

11
14
15
13
12
10
14
8
14
13
8
6
7
8
14
11
11
14
7
12
7
8
9
13
13
6
11
8
8
6

q
кН

м
4,0
2,0
5,2
3,6
2,8
5,2
4,4
4,0
5,6
5,2
4,4
2,4
2,8
4,0
5,2
3,6
3,2
3,2
4,4
2,8
5,2
6,0
4,8
5,6
4,4
5,6
2,4
4,8
3,2
4,8

qmax
кН

м
9,0
7,5
8,0
6,5
7,0
8,0
9,5
5,5
9,5
5,5
6,0
9,5
8,5
7,0
9,0
9,5
9,0
5,0
9,0
5,5
7,0
6,0
9,5
7,5
6,0
8,0
8,5
5,5
9,5
7,5

M
кН м

21
23
23
18
25
22
25
16
22
16
20
21
21
16
19
25
20
20
17
23
21
21
23
20
25
23
21
22
18
24

a
м

b
м

r
м

R
м

1,5
1,2
1,3
1,2
1,0
1,1
1,1
1,3
1,4
1,4
1,0
1,3
1,3
1,5
1,0
1,4
1,3
1,5
1,4
1,1
1,2
1,1
1,2
1,1
1,2
1,3
1,3
1,2
1,1
1,0

1,8
1,9
1,1
1,0
1,7
1,1
1,5
1,8
1,2
1,2
1,4
1,9
1,5
1,5
1,3
1,0
1,4
1,0
1,8
1,8
1,1
2,0
1,0
1,1
1,9
1,6
1,2
1,1
1,6
1,8

0,20
0,30
0,30
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
0,20
0,25
0,25
0,25
0,25
0,10
0,15
0,10
0,20
0,30
0,20
0,15
0,15
0,25
0,10
0,20
0,15
0,25
0,25
0,10
0,25
0,20

0,90
0,95
0,55
0,80
0,50
0,90
1,00
0,80
0,90
0,90
0,55
0,70
0,55
0,70
0,95
0,85
1,00
0,50
0,75
0,60
0,70
0,70
0,65
0,65
0,55
0,75
0,75
0,80
0,60
0,90



град град

30
15
60
75
45
30
60
15
30
45
45
45
30
30
30
60
45
75
30
60
60
45
60
60
60
45
45
60
60
45

90
135
30
90
150
75
60
15
135
150
150
135
75
15
30
135
45
120
30
45
60
135
45
60
150
60
150
150
75
150

147

С 3. РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ ШАРНИРНЫХ МЕХАНИЗМОВ

В статике наряду с равновесием составных конструкций, т. е. механических систем, у которых число степеней свободы равно нулю, рассматривается
равновесие механизмов – систем, число степеней свободы, которых отлично от
нуля. Среди них можно выделить класс плоских шарнирных механизмов с одной
степенью свободы.
Важной задачей статики плоских шарнирных механизмов является определение не только реакций внешних и внутренних связей, но и нахождение систем сил, обеспечивающих их равновесие. Основным способом их нахождения,
как и ранее, является способ расчленения, при котором рассматривается равновесие отдельных звеньев механизма.

Цель курсовой работы
Целью курсовой работы является выработка навыков расчета и исследования равновесия плоских шарнирных механизмов.

Содержание курсовой работы
Объектом исследования является плоский шарнирный механизм, расположенный в вертикальной плоскости и представляющий собой совокупность абсолютно жестких стержневых звеньев, соединенных друг с другом идеальными
шарнирами. Звенья механизма моделируются сплошными однородными стержнями, массы которых пропорциональны их длине. Погонная плотность каждого
стержня равна  .
Схемы механизмов и таблицы исходных данных приведены в альбоме
заданий, представленном в работе К1.
Задаваемыми параметрами являются:
o геометрические размеры звеньев механизма;
o массовые характеристики механизма.
148

Требуется:
1. Определить:
o условия равновесия механизма под действием системы внешних сил в произвольном положении;
o реакции внешних и внутренних связей;
o величину уравновешивающего момента пары сил M (уравновешивающей
силы P ), обеспечивающую равновесие механизма в произвольном положении.
2. Исследовать влияние положения ведущего звена на величины:
o реакций внешних и внутренних связей,
o уравновешивающего момента M (уравновешивающей силы P ), действующего на произвольное звено
и выбрать оптимальный вариант его приложения

Порядок выполнения работы
Порядок выполнения работ аналогичен порядку работ на равновесие составных конструкций.

149

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
Плоский шарнирный механизм (рис. 1), расположенный в вертикальной
плоскости, находится в равновесии под действием внешнего момента M (внешней силы P ), приложенного к произвольному звену.
Определить реакции внешних и внутренних связей, а также величину уравновешивающего момента M (внешней силы P ) в произвольном положении механизма. Рассмотреть следующие варианты приложения внешних сил:
M  M OA , M  M AB , M  M O1B , M  M KD ,

Py  PD .

D

a

C3

3

M
A
C0

O

1

O1

2

C1

K

C2

b


B
Рис. 1 Схема плоского механизма.

Исходные данные
OA  l0  15 см,
KD  l3  86 см,
  10 кг м,

150

AB  l 1  97 см, O1B  l2  66 см, O1K  25 см,
a  50 см,
mi   li ,

b  37 см,
i  0, 3,

m4  20 кг.

1. Составление уравнений равновесия
Для решения поставленной задачи выберем правую систему координат,
начало которой расположим в подшипнике O . Рассмотрим механизм в произвольном положении и изобразим силы, действующие на него (рис. 2):
G0 , G1, G2 , G3 , G4 — силы тяжести звеньев; M  M OA — уравновешивающий мо-

мент, приложенный к ведущему звену OA ; RO  X O  YO , RO1  X O1  YO1 — реакции шарнирных опор, N 4 – нормальная реакция направляющих ползуна.

D

N4

GD  G4

a

C3

YO 1 G3

3

X O1

M OA
YO

C0

O

 G0

A

1

O1

2

C1

K

G1

C2

b

G2

XO

B
Рис. 2 Расчетная схема механизма.

На механизм действует произвольная плоская система сил, для которой
можно записать не более трех условий равновесия. Неизвестных сил, действующих на механизм шесть: M OA , RO  X O  YO , RO1  X O1  YO1 и N 4 .
Расчленим плоский шарнирный механизм по шарнирам на отдельные звенья и изобразим реакции внешних и внутренних связей каждого звена и рассмотрим равновесие всех звеньев (рис. 3).
151

YD

XD

D

X D

N4
D

GD

C3

YD
YA
A

M OA
YO
O

3

G3

YO 1

X O1

XA

C0

O1

G0

 X
O

YA

YK

XK

K

X A A

X K

 2 YK
C2
G2

1

X B

B

C1

YB
G1

YB
B

XB

Рис. 3 Расчетные схемы звеньев плоского механизма.

На кривошип OA действуют внешние силы RO  X O  YO , G0 , пара сил с
моментом M OA , а также реакция шарнира A  RA  X A  YA .
На шатун AB кроме силы тяжести G1 действуют реакции RA   RA ,
RB  X B  YB .

На кривошип O1B действуют силы RO1  X O1  YO1 , G2 и внутренние реакции RK  X K  YK , RB   RB .
На шатун KD кроме силы тяжести G3 действуют реакции RK   RK ,
RD  X D  YD .

На ползун действуют силы G4 , N 4 и реакция RD   RD .
152

Таким образом, на звенья механизма действует четырнадцать неизвестных
сил: пара сил M OA , а также реакции внешних и внутренних связей RO  X O  YO ,
RO1  X O1  YO1 , RA  X A  YA , RB  X B  YB , RK  X K  YK , RD  X D  YD и N 4 .

Звенья OA, AB, O1B è KD механизма находятся в равновесии под действием произвольных плоских систем сил, а ползун D  под действием плоской
сходящейся системы сил. Для каждого звена запишем следующие условия равновесия:
Кривошип OA

F

 0,

F

 0,

F

 0,

F

 0,

k

Шатун AB

k

k

 M  F   0;

(2)

 M  F   0;

(3)

 M  F   0;

(4)

A

k

k

O1

k

Шатун KD

(1)

k

k

k

Кривошип O1B

 M  F   0;
O

k

k

k

k

K

k

k

k

F

Ползун D

k

 0.

(5)

k

Каждое из условий, обеспечивающее равенства нулю главного вектора системы сил

F

k

 0 , на плоскости эквивалентно двум уравнениям равновесия, а

k

условия равновесия моментов

 M  F   0 , на плоскости эквивалентно одному
i

k

k

уравнению равновесия. Таким образом, условиям равновесия в векторной форме
(1) – (5) соответствуют 14 линейных алгебраических уравнений равновесия с 14ю неизвестными, и задача является статически определимой.
Составляя уравнения равновесия, соответствующие условиям (1) – (5), в
векторной форме получим:
Кривошип OA

 F  0;
 M  F   0;
k

RO  RA  G0  0,

(6)

k

O

k

M OA  C0  G0   A  RA  0;

k

153

Шатун AB

 F  0;
 M  F   0;
k

RA  RB  G1  0,

(7)

k

A

k

C1  G1   AB  RB  0;

k

Кривошип O1B

 F  0;
 M  F   0;
k

RO1  RK  RB  G2  0,

(8)

k

O1

k

C2  G2  K  RK  O1B  RB  0;

k

Шатун KD

 F  0;
 M  F   0;
k

RK  RD  G3  0,

(9)

k

K

k

C3  G3  KD  RD  0;

k

Ползун D

F

k

 0;

RD  N 4  G4  0.

(10)

k

Здесь i – радиус-векторы, определяющие положения соответствующих точек
механизма на плоскости.
Ориентация векторов i на плоскости задается с помощью углов  и
 k k  1, 3 , которые можно определить с помощью уравнений геометрических

связей, записанных для узловых точек плоского механизма.
Ниже приведен пример документа Mathcad, в котором реализована процедура составления уравнений равновесия в символьном виде.

154

Составление уравнений равновесия звеньев плоского шарнирного механизма
Формирование радиус-векторов, определяющих точки приложения сил
 cos (  ) 
 cos (  ) 
a 
L0




rA (  )  sin(  ) L0
rC0(  )  sin(  ) 
rO1 (  )   b 



 2
 
 0 
 0 
0 
 cos   1(  )  
 cos   1(  )  
 cos   2(  )  



 L1


 AB (  )   sin  1 (  )   L1
 C1(  )   sin  1 (  )   
 K (  )   sin  2 (  )   O1K



 2


0
0
0






cos

(

)
cos

(

)
cos

(

)












2
2
3



 L2

 L3
 B (  )   sin  2 (  )   L2
 C2(  )   sin  2 (  )   
 C3(  )   sin  3 (  )   



 2

 2
0
0
0






 cos   3 (  )  
 a 
 D( )












 0





  sin  3 (  )   L3 rD (  )   yD (  ) 




0

Формирование векторов активных сил

 0 
G0   m0 g 
 0 


 0 
G3   m3 g 
 0 



 0 
G1   m1 g 
 0 


 0 
G4   m4 g 
 0 



 0 
G2   m2 g 
 0 



Формирование векторов неизвестных сил и реакций связей

 XO 
 
RO   YO 
 
 0 
 XB 
 
RB   YB 
 
0 
 N 
N4   0 
0
 

 XA 
 
RA   YA 
 
 0 
 XK 
 
RK   YK 
 
 0 
0 
 
MOA  0
 
M 

 XO1 


RO1   YO1 


 0 
 XD 
 
RD   YD 
 
 0 

R'B  RB

R'K  RK

R'D  RD

R'A  RA

155

Вычисление главных векторов и главных моментов внешних сил, действующих на звенья плоского механизма

M   M  Fk 

P   Fk

Звено

k

OA

POA  RO  RA  G0

AB

P

 G  R  R'

k

MO  MOA  rA ( )  RA  rC0( )  G0
M  

( )  G  

( )  R

AB
1
B
A
A
C1 X  X
1
AB
B

A
O

PO1B  RO1  RK  G2  R'B MO1   KY(A ) YR
 C2(  )  G2   B(  )  R'B
O1B 
 gm
OK
0

m0cos (  )
MK   C3( )  G3   D( )L0gRD
KD  PKD  G3  R'K  RD M  L X

sin
(

)

L

Y

cos
(

)

0 A
0 A
2

P

G

R'

N
D
D
4
D
4

XB  XA

Формирование
уравнений равновесия

YB  YA  gm1

UR   POA POA MO PAB PAB MA PO1B PO1B MO1 PKD PLKD
D1 (  P
) D2 
K3  P
1 g2mM
1 cos
 1
2
3
1
1
L1 Y2Bcos3  1 (  )1  L1 X2Bsin 3 1 (  ) 1

2

Формирование
системы уравнений равновесия
XK  XB  XO1
T

UR 

XA  XO YK  YB  YO1  gm2





Y

Y

g

m

 L2 gm2 cos
A
O
0

L2 XBsin  2 (  )   L2 YBcos   2 (  )   O1K XK sin  2 (  )   O1K YK cos   2 (  ) 


L0 gm0 cos (  )
2


M

L

X

sin
(
 )  L0 YA cos (  ) 
0
A

2


XD  XK



XB  XA



YD  YK  gm3


Y

Y

g

m
B
A
1




L1 gm1 cos   1 (  )  L3 gm3 cos   3 (  ) 

 Bsin
L1 YBcos  L13( Y
) Dcos
L1 X
3( 
 )1()L3XD sin 2 3(  )  



2



XK  XB  XO1
N  XD
T



UR 


YK  YB  YO1  gm2


Y

g

m
D
4



L2 gm2cos   2 (  ) 

 L2XBsin  2(  )   L2YBcos   2(  )   O1K XK sin  2(  )   O1K YK cos   2(  )  
2

XD  XK


YD  YK  gm3

L3 gm3 cos   3 (  ) 

L

Y

cos
 3 (  )   L3 XD sin  3 (  )  

3
D

2

N  XD


YD  gm4


156














157

Рис. 4. Матрица коэффициентов А и вектор правой части В.

Решение полученной системы уравнений может быть найдено в Mathcad с
помощью блока решений Given  Find . Однако наиболее эффективным способом решения и анализа результатов вычислений систем линейных алгебраических уравнений является матричный метод. Для его применения представим
уравнения равновесия в матричной форме:

A  R  B,
где A – матрица коэффициентов при неизвестных величинах, R – вектор неизвестных, B – вектор правой части (известных слагаемых в уравнениях равновесия) системы алгебраических уравнений (рис. 4).
Этому уравнению соответствует решение вида R  A1  B.
При этом определитель матрицы A не должен быть равен нулю
det  A  0.

Уравнения равновесия для других вариантов приложения уравновешивающих сил составляются аналогично.

158

2. Составление уравнений геометрических связей
Рассматриваемый механизм представляет собой механическую систему с
одной степенью свободы. Положение его звеньев будем определять с помощью
угла поворота ведущего звена  . Углы, характеризующие ориентацию звеньев
механизма на плоскости k  k  1, 2, 3 , отсчитываемые от горизонтальной оси

O x в положительном направлении (см. задание К1 рис. 2 разд. 1), связаны с острыми углами  k , изображенными на рисунках 1, 2 и 3, соотношениями

 1  2   1 ,  2  2   2 ,  3 


  1.
2

Уравнения геометрических связей, позволяющие определить положение
звеньев механизма на плоскости в зависимости от угла поворота ведущего звена
имеют вид (см. задание К1, разд. 1):
AB cos   1   O1B cos   2   a  OA cos    ,
AB sin   1   O1B sin   2   b  OA sin    ,
O1K cos   2   KD cos   3   0,

(11)

O1K sin   2   KD sin   3   b  yD .

Решение системы уравнений (11) было получено ранее (см. К1, разд. 1):
 O B 2  O1 A2  AB 2 
1    arccos  1
,
2
AB
O
A

1

 OK

3  arccos   1 cos  2   ,
 KD


 O B 2  O1 A2  AB 2 
2    arccos  1
,
2
O
B
O
A

1
1


(12)

yD  b  O1K sin  2   KD sin  3 .

b
где O1 A  O1 A2  OA2  2 OA  OO1 cos  O    , OO1  a 2  b2 ,   arctg   ,
a

cos  

OA cos    a
OA sin     b
, sin  
.
O1 A
O1 A

Выражения (12) позволяют определить положения всех узловых точек
(шарнирных соединений) плоского механизма при произвольном значении угла
поворота ведущего звена.
159

3. Результаты расчетов
Решение системы линейных алгебраических уравнений (6) – (10) совместно с выражениями (12) можно реализовать в пакете Mathcad, в котором для
этого существует несколько способов [1, 10].
Ниже приведен пример документа Mathcad, в котором вычисления реакций
внешних и внутренних связей механизма, а также величины уравновешивающего момента M (силы P ), представлены матричным методом.
Расчет плоского механизма при действии момента M  M OA ,
приложенного к звену ОА.
Ввод исходных данных

a  .50

b  .37

OA  .15

O1K  .25

KB  O1B  O1K
L0  OA
L1  AB

KD  .86
L2  O1B

AB  .97
L3  KD

g  9.81
m0   OA

m2   O1B

m3   KD

 10
m1   AB

O1B  .66



m4  20

ORIGIN  1
Вычисление вспомогательных функций


b
 atan 
a

O1A(  ) 

 ( )

2

2

2

2

 angle(OAcos( )  a OAsin( )  b)

2

a  b  OA  2 OA a  b cos (    )

Решение уравнений геометрических связей

 O1B2  AB2  O1A( )2 

 1(  )   (  )  acos 
2 O1A(  ) AB


 O1A( )2  O1B2  AB2 

 2(  )   (  )  acos 
2 O1A( ) O1B


 3(  )

 O1K cos  ( ) 
 2 
 KD


 acos  

yD( )  b  O1K sin  2( )  KDsin  3( )

160

Решение системы уравнений равновесия

0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0

1

0
0
0
0

0
0
0
0

0
0
0
1
A  
0
0
O1K sin  20

1
0
0
0

0
0
0
0

0
0
0

0

01

00

00

1

00

10

00

0 L00sin(  ) L0 cos
0 ( )

00

0

01

00

10

0

00

01

00

0

00

00

L1sin0  1

0

00

00

10

0

10

00

00

O1K
0 cos0  2

00

L2sin0 2

0

00

01

00

0

10

00

01

0

00

0

00

01

0

00

00

L3sin
0   3 L3cos
0   3
00
…

01

0




m

g
0



 1
)

(
cos

m

g

L


0
0

0 0 0
0 0 2 0
0
0

0 00
0 0
0 0
0
0



0 1 0
0 0
0 gm1
0
0

1
0 0 0
0 0 L1 g0m1 cos   1 (  )  0
0

2
0 0 1
0 0
0
0
0
0

L01cos
0  B1( ) 0 0
0
0
0



gm2
0 0 0
1 0
1
0
0
1



0 01
0 1 2 L2 g0m2 cos   2 (  )  1
0


   2 0 0 O1K sin  2 O1K cos
0L20cos
0
   2
0



0 0 0
0 0
1gm3
0
1


0 0 0
0 0 1
0
1
0

)

(

cos

m

g

L





3
3
3
0 0 0
0 02
0
0
L3sin


1 0 0
0 0
0 0
0
1



0 0 0
0 0
0 gm4
0
0

A simplify  L1L2L3sin  1   2 sin  3
R(  )  A(  )

1

B(  )

Формирование реакций внешних и внутренних связей

XO( )  R( )1

YO( )  R( )2

XA ( )  R( )3

YA ( )  R( )4

XB(  )  R(  ) 5

YB(  )  R(  ) 6

XK( )  R( )9

YK( )  R( )10

YO1( )  R( )8

XO1( )  R( )7

XD( )  R( )11

YD( )  R( )12

N ( )  R( )13

M( )  R(  )14

 XO (  ) 

Y
(

)
O



RA (  )  

 XK (  ) 

Y
(

)
K



RO1 (  )  

RO (  )  

RK (  )  

 XA (  ) 

Y
(

)
A


 XO1(  ) 

Y
(

)
O1



 XB(  ) 

Y
(

)
B



RB(  )  

 XD (  ) 

Y
(

)
D



RD (  )  

161

Построение графиков функций


 0 
 2 
180
Зависимость момента пары сил, обеспечивающего равновесие механизма,
от угла поворота ведущего звена


40

20

M(  )

0

45

90

135

180

225

270

315

360

 20

 40


deg

Зависимость реакций внешних и внутренних связей от угла поворота
ведущего звена
600

RO (  )

480

RA (  )
RO1 (  ) 360
RB(  )
RK (  )
RD (  )

240

N ( )
120

0

45

90

135

180


deg

162

225

270

315

360

  1

1

Расчет плоского механизма при действии момента M  M AB ,
приложенного к звену АВ.
Ввод исходных данных
… … …
Решение системы уравнений равновесия
0 0
1
0
0
0
0
0
01 0

0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1

s   2 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0

00 00 0
0
0
0


0
0
1
0
0
0
00 0 0 0
0
0
0
00 1

00 0 L0sin(  0) L0cos (  ) 0 0
0
00 00 0
0
0
0


1 0
0
0
1
0
00 00 0
0
0
0
00 0
00 0
0
0
1
0
0
0
10 00 0
0
0
0


0
0
0

0 L1sin  1 0L1cos 0 11 0 0
0
0
0
00 0

10 0
0
0
0
0 1
0
00 01 0
1
0
0
A  

0
1
0
0
0
0
1 0 0  0 1
0
1
0
00 0
O1K0sin0 2 O1K
0 cos   20
0L2sin  2 0L2cos0  20  0 0 O1K sin  2 O1K cos   2
0


0
0
0
1
0
0
00 00 0
1
0
1
01 0
00 0
0 1
0
0
0
1
00 00 0
0
1
0


0
0
0 L3sin  30 L3cos   30 0 0  0 0
0
0
L3sin
00 0
00 0
0
0
0
1 0
0
01 00 0
0
0
1


0
0
0
1
0 0 0  0… 0…
0
0
0
00 0
… 0 … …0

A( ) simplify  L0L2L3sin  3( ) sin    2( )
… … …
Зависимость момента пары сил, обеспечивающего равновесие механизма,
от угла поворота ведущего звена
3

110

500

M(  )

0

45

90

135

180

225

270

315

360

 500

3

 110



deg

163

Расчет плоского механизма при действии момента M  M O1B ,
приложенного к звену О1В.

0

Ввод исходных данных
… … …
Решение системы уравнений равновесия
0
1
0
0 0
0
0 0
 10 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

1

0 0

s   1

0 0

0

1 0

1

0 1

os   2 0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0 0 0 0 0

0

0

0



0
0
0
0 0 0 0 0
1
0
0
0 0
0

0 1
0
0
0
0 0 0 0 0
0
 0 0 L0sin(  )0 L0cos (  ) 0 0


0
0
0
0 0 0 0 0
0
1 0
0
0 1
0 0
0 0
0
0
0
1 0 0 0 0
1
0
0
0 0
0


0
0
0
0L1sin  1 0L1cos  0 10 0 0
0
0
0

0 0
 01 0
0
0
1
0 0 0 1 0
0
0
0
0 1
0
A  

0
1
0
0
0
0 1 0 0  0 1
0 0
1
0 0
 0sin0  2 O1K
0
L
0 cos   20
0 2sin  2 0L2cos 0 21 0 0 O1K sin  2 O1K cos   2
O1K


1
0
1
0 0 0 0 0
0
0
0
1 0
0
01 0
0 0
0
1
0
0 0 0 0 0
0
0 1
1
0 0


L3sin
0
0
0 L3sin  03 L3cos   30 0 0 0 0
0
0
0 0
0 0
1
0
0
0 1 0 0 0
0
0
0
1 0
0


0
0
0
0
0
1 0 0 0 0 …0 …
0
0 0
… 0… …0

A( ) simplify  L0L1L3sin  3( ) sin    1( )
… … …
Зависимость момента пары сил, обеспечивающего равновесие механизма,
от угла поворота ведущего звена
3

110

500

M(  )

0

45

90

135

180

 500

3

 110



deg

164

225

270

315

360

Расчет плоского механизма при действии момента M  M KD ,
приложенного к звену KD.
Ввод исходных данных
… … …
Решение системы уравнений равновесия
0 0
1 0
0
0
0
0
01 0

0 0

0

0

0

0 0

0 0

0

0

0

0 0

0

0

0

0 0

0

0

0

0 0

0

0

0

0 0

0

0

0

1 0

1

0

0

0 1

0

1

0

0 0
0 0
0 0



1

  2

0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0

00 0 


00 1
0 0
1
0
0
0
00 0


00 0 L0sin( 0) L0cos (  ) 0
0
0
00 0 


1 0
0
0
1
0
00 0 
00 0
00 0
0 0
1
0
0
0
10 0 


00 0
0 0
0
0L1sin  1 0 L1cos 0 10


10 0
0 0
0
0
1
0
00 0 
A  

0
0
0
0
1
0
0
0
0

1
0
0



O1K sin
0  0 2 O1K
0 cos   2 0
0L2sin  2 0L2cos0 02


10 0
0 0
0
1
0
0
00 0 
00 0
0 1
0
0
0
1
00 0 


0 0
0 L3sin  30 L3cos   3 0 0 1 
00 0
00 0
0 0
0
1
0
0
01 0 


0
0
0
0
0
0
0
0

1
0
0
0


… … …

0 0 O1K sin  2 O1K cos   2
0 0

1

0

1

0 0

0

1

0

0 0

0

0

L3sin

0 0

0

0

1

0… 0…

0

0

0

A( ) simplify  L0L1O1K sin  2( ) sin    1( )
… … …
Зависимость момента пары сил, обеспечивающего равновесие механизма,
от угла поворота ведущего звена
3

110

500

M(  )

0

45

90

135

180

0

225

270

315

360

 500

3

 110



deg

165

Расчет плоского механизма при действии силы P  PD , приложенной к ползуну D.

0

Ввод исходных данных
… … …
Решение системы уравнений равновесия
0 0
1
0
0
0 0
0
 10 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

1

0 0

s   1

0 0

0

1 0

1

0 1

os   2 0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0 0 0 0 0

0

0

0



0
0
1
0 0
0
0 0 0 0 0
0
0
0
0 1

 0 0 L0sin(  )0 L0cos (  ) 0 0
0
0 0 0 0 0
0
0
0


1 0
0
0 1
0
0 0 0 0 0
0
0
0
0 0
0 0
0
0
1
0 0
0
1 0 0 0 0
0
0
0


0
0
0
0L1sin  1 0L1cos  0 10 0 0
0
0
0
0 0

 01 0
0
0
0
0 1
0
0 0 0 1 0
1
0
0
A  

0
1
0
0 0
0 1 0 0  0 1
0
1
0
0 0
 0sin0  2 O1K
O1K
0 cos   20
L
0 2sin  2 0L2cos 0 20 0 0 O1K sin  2 O1K cos   2
0


0
0
0
1 0
0
0 0 0 0 0
1
0
1
01 0
0 0
0 1
0
0 0
1
0 0 0 0 0
0
1
0


0
0
0 L3sin  03 L3cos   30 0 0 0 0
0
0
L3sin
0 0
0 0
0
0
0
1 0
0
0 1 0 0 0
0
0
1


0
0
0
1 0 0 1 0 …0 …
0
0
0
0 0
… 0… …0
A(  ) simplify 

L0 L1 L3 O1K  cos   1(  )     2(  )   3(  )   cos   1(  )     2(  )   3(  )  
2

… … …
Зависимость силы, приложенной к ползуну и удерживающей механизм в
равновесии, от угла поворота ведущего звена
3

1 10

500

M(  )

0

45

90

135

180

 500

3

 1 10



deg

166

225

270

315

360

4. Анализ результатов вычислений и выводы
Плоские шарнирные механизмы широко используются при дискретном
цикле осуществления различных операций, когда возникает необходимость возврата выходного звена в исходное положение после внешнего возмущения. Поэтому необходимо определить величину внешнего воздействия обеспечивающее
требуемое положение выходного звена механизма. Также необходима предварительная оценка прочности шарнирных соединений.
Анализ результатов расчета рассмотренных схем приложения удерживающих пар сил с моментом M (силы P ) показывает, что в некоторых положениях
механизма величина внешнего воздействия, а также реакции внешних и внутренних связей становятся бесконечно большими. Данная ситуация возможна при равенстве нулю определителя матрицы коэффициентов A . Т.е. система линейных
алгебраических уравнений становится вырожденной.
Сведем уравнения, обеспечивающие выполнение условия det A  0 и его
возможные решения в таблицу.
Схема
M  M OA
M  M AB
M  M O1B

M  M KD

P  PD

det A  0
sin  1  2  sin  3   0

sin    2  sin  3   0
sin    1  sin  3   0

sin    1  sin  2   0

sin    1  sin  2  3   0

где

Решения
1  2  0    n, 3  0    n
2    0    n, 3  0    n
1    0    n, 3  0    n
1    0    n, 2  0    n

1    0    n, 2  3  0    n

n  1, 2,

Возможные решения уравнения det A  0 изобразим на графиках (рис. 5,
рис. 6) из которых следует, что решения
1  2  0    n, 3  0    n, 2  0    n, 2  3  0    n n  1, 2,

невозможны.
Таким образом, корни уравнения det A  0 имеют вид (рис. 6)
1    0    n, 2    0    n n  1, 2,

167

6
5
 3(  )

4

 2(  )
 1(  )  2(  )
 2(  )  3(  )



3
2
1

0

45

90

135

180

225

270

315

360



deg

Рис. 5 Зависимость углов поворота 2 , 3 и разностей 1  2 , 2  3 от угла поворота
ведущего звена.
7
2 

6
5
 1(  )  4
 2(  ) 



3
2
1
0

45

90

135

180

225

270

315

360



deg

Рис. 6 Зависимость разностей 1   , 2   от угла поворота ведущего звена.

При значениях угла поворота ведущего звена 0    2 , решения уравнения det A  0 имеют вид

1    2, 1    ,
2    0, 2    .
168

Найдем значения углов поворота ведущего звена, при которых det A  0
  1

 6.424

1
4  deg



 1  164.193
 kp  root   1 (  )         
2
2

 deg


 1  120.686
 kp  root   2 (  )         
3
2

 deg

 kp  root   1 (  )    2    0 





 kp  root  2 (  )     2 
4

1
deg

 334.097

Таким образом, условия 1  2  0    n, 3  0    n n  1, 2,

не вы-

полняются ни при каких значениях  и, следовательно, значения момента пары
сил, приложенного к ведущему звену, конечны при любых значениях  .
Изобразим положения механизма при найденных значениях углов êð и
рассмотрим физические причины обеспечивающие выполнение условия

det A  0 .
Для изображения механизма, воспользуемся результатами, приведенными
в работе Ê1 , позволяющими отобразить его положение при заданном угле поворота ведущего звена.
Для условий 1    2    кр1 , 1    ,    кр2 .
При значении   êð1  6,424 кривошип O1B занимает крайнее верхнее
положение; при значении   êð2  164,193 кривошип O1B занимает крайнее
нижнее положение (в этих случаях в точке B расположен мгновенный центр вращений). Возможные угловые скорости звеньев O1B , KD и скорость ползуна D
одновременно равны нулю.
Для условий 2        кр3 , 2    0,    кр4 .
При значениях   êð3  120,686 и   êð4  334,097 мгновенный центр вращений звена AB находится в бесконечности. Возможная угловая скорость звена

AB в этих случаях равна нулю.

169

M  M O1B , M  M KD , P  PD
 0   kp  deg
i

i  1
0

deg

 6.424

 

1 0

deg

 

2 0

deg

 

3 0

deg

 366.424
 338.239

 105.663

 

1 0  0

deg

 

2 0  0

deg

 360
 331.815

M  M O1B , M  M KD , P  PD
i  2
0

deg

 164.193

 

1 0

deg

 

2 0

deg

 

3 0

deg

 344.193

 295.968
 97.313

 

1 0  0

deg

 

2 0  0

deg

 180

 131.775

В точке B расположен мгновенный центр вращений (крайнее положение
кривошипа O1B ). Возможные угловые скорости звеньев O1B , KD и
скорость ползуна

170

D равны нулю.

M  M AB
i  3
0

deg

 120.686

 

1 0

deg

 

2 0

deg

 

3 0

deg

 340.325
 300.686
 98.531

 

1 0  0

deg

 

2 0  0

deg

 219.639
 180

M  M AB
i  4
0

deg

 334.097

 

1 0

deg

 

2 0

deg

 

3 0

deg

 368.729
 334.097
 105.159

 

1 0  0

deg

 

2 0  0

deg

 34.632
 0

Мгновенный центр вращений звена AB находится в бесконечности.
Возможная угловая скорость звена AB равна нулю.

171

5. Выводы
Результаты анализа рассмотренных схем приложения внешних сил, удерживающих механизм в положении равновесия, позволяют определить область
допустимых значений углов поворота, при которых значения сил конечны. Результаты сведем в таблицу
Схема

Область допустимых значений для угла  .

M  M AB

0    2 1  n  , n  1, 2,
  кр3  2  n,   кр4  2  n, n  1, 2,

M  M O1B

  кр1  2  n,   кр2  2  n, n  1, 2,

M  M KD

  кр1  2  n,   кр2  2  n, n  1, 2,

P  PD

  кр1  2  n,   кр2  2  n, n  1, 2,

M  M OA

Таким образом, оптимальной является схема, в которой удерживающими
механизм в положении равновесия силами является пара сил с моментом
M  M OA приложенная к ведущему звену OA .

172

3. ДИНАМИКА

Курсовые работы по динамике посвящены применению основных теорем
и принципов механики к исследованию материальных систем. Студенты, выполняя то или иное задание, должны получить навыки и умения: составления дифференциальных уравнений движения механической системы, нахождения динамических реакций внешних и внутренних связей, аналитического или численного интегрирования найденных уравнений движения, анализа результатов расчета и исследования механических систем.
В данном разделе представлены три курсовых работы разной степени
сложности:


В первой работе "Исследование механической системы с упругой связью"
изучаются малые линейные колебания системы с одной степенью свободы.
Дифференциальное уравнение движения интегрируется аналитическим способом. Проводится численное исследование влияния внутренних параметров
системы на динамические реакции. Определяется область допустимых значений внутренних параметров системы, обеспечивающее соответствие движения принятым допущениям.



Во второй работе "Исследование движения механизма с кулисным приводом" рассматривается нелинейная механическая система. Дифференциальное уравнение движения механизма интегрируется численными методами.
Исследуется влияние конструктивных элементов на поведение механизма.



В третьей работе "Динамика плоских шарнирных механизмов" изучается динамическое поведение многозвенных плоских шарнирных механизмов. Совместно решается система уравнений, в которую входят: нелинейное дифференциальное уравнение движения механизма и система нелинейных уравнений геометрических связей. Исследуются факторы, влияющие на неравномерность вращения ведущего звена.

173

Д 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ С УПРУГОЙ СВЯЗЬЮ

Исследование динамического поведения механической системы начинается с выбора физической модели, для которой составляется математическая модель.
Наличие упругих связей в механической системе в сочетании с внешним
периодическим воздействием может привести к дополнительным колебаниям ее
элементов. Если задачу удается свести к малым колебаниям, то с высокой степенью точности математическая модель может быть представлена линейной моделью.
Выделение линейных моделей в особый класс вызывается рядом причин:


с помощью линейных моделей исследуется широкий круг явлений, происходящих в различных механических системах;



интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами хорошо отработано.
Поэтому инженер–исследователь стремится по возможности описать пове-

дение системы с помощью линейной модели для облегчения процедуры анализа
ее движения.
При проектировании механических систем обычно используют критические режимы внешних воздействий на них. В этом случае внешние факторы: 
– коэффициент демпфирования, F0 , p – амплитуда и частота возмущающей
силы, изменяются незначительно. Конструктивные параметры механических систем (их геометрические размеры) определяются условиями их функционирования и, следовательно, могут изменяться в очень узком диапазоне. Актуальной
становится такая задача исследования механической системы, при которой могут
изменяться массовые параметры системы и жесткость упругого элемента.
174

Цель курсовой работы
Исследование и анализ динамического поведения механической системы с
упругими связями с помощью основных теорем и принципов теоретической механики.

Содержание курсовой работы
Объектом исследования является механическая система с одной степенью
свободы, представляющая собой совокупность тел, связанных друг с другом посредством нитей. Схемы заданий и исходные данные приведены в альбоме заданий.
Система снабжена упругой связью (пружиной) с коэффициентом жесткости c и демпфирующим устройством, в котором возникает сопротивление движению. В вариантах 1, 4  6, 8  16, 22, 25, 27, 29 демпфирующее устройство на
схемах не показано, оно связано с телом 3, вращающимся вокруг неподвижной
оси. Сопротивление движению в этих вариантах моделируется парой сил с моментом M C   3 , где 3 – угловая скорость вращения тела 3,  – коэффициент сопротивления   0  . В остальных вариантах демпфер на схемах показан,
он связан с телом 2 (варианты 7, 18, 23, 26) или с телом 4 (варианты 2, 3, 17, 19 
21, 28, 30). Сопротивление в этом случае моделируется силой RC   v , где

v - скорость точки крепления демпфера (скорость поршня демпфера) к телу 2
или 4 (в зависимости от варианта),  – коэффициент сопротивления    0  .
Во всех вариантах к грузу 1 приложена возмущающая гармоническая сила,
проекция которой на касательную к траектории центра масс груза 1 равна
F (t )  F0 sin pt ,

где F0 , p – амплитуда и круговая частота возмущающей силы.
При составлении математической модели принимаются следующие допущения:

175



тела, входящие в систему, считаются абсолютно твердыми, нити – нерастяжимыми, идеально гибкими и безынерционными;



проскальзывание нитей на блоках и катках отсутствует; катки движутся без
скольжения;



трение в подшипнике блока 3 не учитывается, сопротивление качению катка
4 отсутствует;



реакция упругой связи подчиняется линейному закону: Fynp  c  , где  –
удлинение пружины; масса пружины и демпфера не учитывается;



массу пружины, поршня и штока демпфера не учитывать;



во всех вариантах возникающие в системе колебания являются малыми.

Требуется:
1. Составить дифференциальное уравнение движения системы.
2. Сформировать систему уравнений для определения динамических реакций
внешних и внутренних связей.
3. Найти закон движения системы, т. е. проинтегрировать дифференциальное
уравнение движения при заданных начальных условиях.
4. Провести численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.

Порядок выполнения работы
1. Составить дифференциальное уравнение движения системы одним из следующих способов (по указанию преподавателя):


с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме;



методом общего уравнения динамики;



с помощью уравнений Лагранжа второго рода.

2. Определить динамические реакции внешних и внутренних связей и осуществить проверку правильности составления дифференциального уравнения движения. Для этого следует использовать (по указанию преподавателя):


теорему об изменении количества движения и теорему об изменении кинетического момента в дифференциальных формах;

176



дифференциальные уравнения поступательного, вращательного и плоского
движений твердого тела;



метод кинетостатики (принцип Даламбера).

3. Интегрируя дифференциальное уравнение движения системы при заданных
начальных условиях, найти закон движения груза 1.
4. Провести анализ результатов расчета механической системы. Для этого


проверить соответствие расчетов предположениям, принятым при построении математической модели;



по указанию преподавателя исследовать влияние двух из основных внутренних параметров механической системы  m1, m2 , m3 , c  на динамические характеристики системы;



определить область допустимых значений указанных параметров, обеспечивающих адекватность поведения системы ее математической модели.

177

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

Груз 1, расположенный на гладкой наклонной плоскости, прикреплен к
нити, навитой на большую ступень блока 2 (рис. 1). Нить, намотанная на каток
3, навита на малую ступень блока. Каток расположен на шероховатой наклонной
плоскости. Центр катка связан с пружиной, другой конец которой закреплен
неподвижно. Нити и пружина, массы которых не учитываются, параллельны соответствующим плоскостям. Нити являются нерастяжимыми и абсолютно гибкими. Сопротивление, возникающее в подшипниках блока, пропорционально
первой степени угловой скорости блока: M С    2 . Качение катка происходит
без скольжения, сопротивление качению отсутствует. Каток – однородный круговой цилиндр. Центр масс блока расположен на оси его вращения. К грузу приложена возмущающая сила F (t )  F0 sin pt . При движении системы нити всегда
натянуты.
Исследовать движение механической системы. Определить реакции внешних и внутренних связей, если
m1, m 2 , m 3 – массы груза, блока и катка,

c – коэффициент жесткости пружины,

 – коэффициент демпфирования,
r2 , R 2 , i 2 – радиусы ступеней блока 2 и его радиус инерции относительно оси,

проходящей через центр масс,
r3 – радиус катка 3,

 ,  – углы наклона опорных плоскостей к горизонту,
f сц – предельное значение коэффициента сцепления катка 3 и опорной плоско-

сти,

np – предельное значение удлинения пружины;
s 0 , v 0 – начальная координата и начальная скорость груза.

178

2

MC

3

1

c

F t 






Рис. 1. Схема механизма

Исходные данные
m1  1 кг,

m2  2 кг,

r2  0.15 м,

m3  3 кг,

r3  0.2 м,

  0.2 H  м  с,

c  2000 H

F0  10 H ,

p

s0  0.03 м,

v0  0.04 м ,
c

м

,

R2  0.3 м,

i2  0.2 м,

fсц  0,30 ,

пр  0,1 м, ,

  60 ,

  30 .

 рад
,
с
2

179

1. Составление дифференциального уравнения движения
механической системы.
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы: это
обеспечивается условиями, принятыми при формулировке задания, – тела являются абсолютно твердыми, нити – нерастяжимыми и всегда натянутыми, проскальзывание при движении катка отсутствует. Следовательно, для задания положения системы нужен один параметр. Будем определять положение системы
с помощью координаты s , задающей положение центра масс груза (рис.2).
Начало отсчета координаты s совместим с положением центра масс груза при
равновесии системы. Углы поворота блока  2 и катка  3 отсчитываем по ходу
часовой стрелки. Положение центра масс катка С 3 определяем координатой s 3 ,
отсчитываемой от положения центра масс катка при равновесии системы: если

s  0 , то  2  0,  3  0 и s3  0 и наоборот, причем нулевому значению координаты s соответствуют нулевые значения координат  2 ,  3 и s 3 .

Y2
2

vB

B
X2

vD

vA
MC

D
3

N3 C3

A

v3

s

G2

N1
Fñö

Fупр

P  мцс 



G3

G1


Рис. 2. Расчетная схема

180

F t 
v1

Для составления дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в
дифференциальной форме:
dT
  N ke   N ki ,
dt
k
k

где: T – кинетическая энергия системы,

 N ke

(1)

– сумма мощностей внешних сил,

k

 N ki

– сумма мощностей внутренних сил.

k

Пусть в произвольный момент система занимает положение, в котором

s  0 , а скорость груза v 1 направлена вдоль опорной плоскости в положительном
направлении координаты s .
Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, образующих механическую систему.
Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия:

1
T1  m1v12 ,
2
Блок 2 совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси. Его
кинетическая энергия

T2 

1
IC2 22 ,
2

где IC2  m2 i22 – момент инерции блока 2 относительно оси вращения, 2 – модуль угловой скорости.
Каток 3 совершают плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия равна:

1
1
T3  m3v32  IC3 32 ,
2
2
где IC3  m3 r32 2 – момент инерции катка 3 относительно оси, проходящей через
центр масс, v3 – модуль скорости центра масс,  3 – модуль угловой скорости
181

катка.
Кинетическая энергия всего механизма в этом случае будет равна:

1
1
1
T  m1 v12  IC2 22  m3vC23  IC3 32 .
2
2
2

(2)

Так как система имеет одну степень свободы то величины  2 ,  3 и v C3
легко выражаются через v 1 . Нити, соединяющие тела системы нерастяжимы и
натянуты, следовательно v1  v A и vB  vD . Тогда
v1  v A

 2 O2 A  2 R2 ;

2 r2  2 O2 B  vB  vD  3 PD  3 2 r3 ;
v3
 3 PC3  3 r3.
Таким образом v1  v  s, 2 

r2
1
r
v, 3 
v, v3  2 v.
R2
2 R2 r3
2 R2

(3)

Подставляя (3) в выражение (2) и учитывая выражения для моментов инерции I C2 и I C3 , окончательно получим:

где величина

1
1
T  mnp v 2  mnp s 2
2
2

(4)

i22 3
r22
mnp  m1  m 2 2  m 3 2  2.17 кг
R2 8
R2

(5)

называется приведенной массой.
Теперь вычислим правую часть уравнения (1) – сумму мощностей внешних
и внутренних сил, при этом учтем, что мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки приложения силы, а мощность пары
сил – скалярному произведению вектора пары на угловую скорость твердого
тела, к которому приложена пара:
N F  F  v  F v cos  F , v   Fv v,
N M  M    M  cos  M ,    M .

182

Здесь F v – проекции вектора силы F на направление скорости точки приложения силы, а M  – проекции вектора пары сил M на направление угловой скорости твердого тела.
Вычислим сумму мощностей внутренних сил, учитывая, что рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, так как входящие в систему тела абсолютно твердые, а нити – абсолютно гибкие и нерастяжимые. Следовательно, скорости их точек относительно друг друга равны нулю и сумма
мощностей внутренних сил также будет равна нулю

 N ki  0.

(6)

k

Вычислим сумму мощностей внешних сил. Для этого изобразим их на расчетной

схеме

(рис.2).

Внешними

силами

являются:

силы

тяжести

Gk  mk g , k  1,3 , нормальные реакции опорных плоскостей N1, N3 , сила сцеп-

ления Fсц , упругая реакция пружины Fупр , реакции подшипника блока 2 X 2 , Y2 ,
силы сопротивления с моментом M C   2 и возмущающая сила F  t  .
Заметим, что мощности сил N3 , Fсц , G2 , X 2 , Y2 равны нулю, так как эти
силы приложены в точках, скорости которых равны нулю. Мощность силы N1
также равна нулю, так как N 1  v 1 .
Сумма мощностей остальных сил равна:
N P1  G1  v1  m1 g v sin   ,

N F  t   F  t   v1  F  t  v,
N M С  M C  2   22 ,

N Fупр  Fупр  v3  Fупрv v3 ,
3

N P3  G3  v3  m3 g v3 sin    .

или

 Nke  Fynpv3

v3  22  m1 g v sin    F  t  v  m3 g v3 sin   .

k

С учетом кинематических соотношений (3) сумму мощностей внешних сил
183

преобразуем к виду:

 Nke  Fnp v  Fnp s

(7)

k

r

Fnp   Fynpv  m3 g sin     2  2 v  m1 g sin    F  t 
3

 2 R2 R
2

где

называется приведенной силой.
Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное
удлинение пружины  равно сумме статического ст и динамического s3 удлинений   ст  s3 .

r 
Fynpv  c  ст  s3   c ст  2 s  .
3
2 R2 


Тогда

Приведенная сила в развернутой форме будет определяться выражением:
r
Fnp   c ст  m3 g sin     2  cпр s  пр s  m1 g sin    F  t 
2R

(8)

2

2

где cnp

 r 

 c  2  – приведенная жесткость,  np  2 – приведенный коэффиR2
 2 R2 

циент сопротивления.
Подставляя выражения (4), (6) и (7) в (1), получаем после сокращения на s
дифференциальное уравнение движения системы
mпр s  Fпр .

(9)

Учтем, что при равновесии системы (возмущающая сила отсутствует) скорость и ускорение груза равны нулю по определению  s  0, s  0 , а координата
груза равна нулю в силу постановки задачи (начало отсчета совпадает с положением равновесия груза 1 s  0 ). В этом случае уравнение (9) приводится к виду

Fnp

s  0, s  0

 0 , и условием равновесия системы будет служить уравнение
 c ст  m3 g sin    

184

r2
 m1 g sin    0,
2 R2

из которого определяется статическое удлинение пружины

ст 


g
R2
 2 m1 sin    m3 sin    .
с
r2


(10)

Подставляя (10) в уравнение (9) и учитывая формулу (8) для приведенной
силы, получаем дифференциальное уравнение движения системы
mnp s  F0 sin  pt   cпр s  пр s.

Представим данное уравнение в виде:
s  2 n s  k 2 s  h0 sin  pt  ,

(11)

где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:

cпр

k
n

mпр

 пр
2 mпр

h0 




r2
2 R2

c
 7.589 рад – частота собственных колебаний,
с
mnp


2

2 R2 mnp

 0.512 рад

с

– показатель степени затухания колебаний.

F0
 4.61 м 2 – относительная амплитуда возмущающей силы.
с
mпр
Начальные условия:
s t 0  s0 , s t 0  s0  v0

(12)

Уравнения (11), (12) представляют математическую модель для решения
второй задачи динамики.

2. Определение реакций внешних и внутренних связей
Для решения этой задачи расчленим механизм на отдельные части и построим расчетные схемы для каждого тела (рис.3). На расчетных схемах, помимо
ранее введенных сил, показаны реакции (силы натяжения) нитей, связывающих
груз и блок, блок и каток: T12  T 21, T 23  T 32 .
К каждому телу, изображенному на расчетной схеме (рис.3), применим две
основные теоремы механики материальной системы:
185

теорему об изменении количества движения
d mvC
  Fke
dt
k

(13)

и теорему об изменении кинетического момента относительно оси z , проходящей через центр масс твердого тела

d LCz
dt

 

  M Ce z Fke .
k

(14)

Для каждого тела данные уравнения запишем в проекциях на оси координат соответственно схемам (рис.3):
y2
2

B

Y2

X2

x2

T23
T32

D
y3

3 N
3

v3

x3

C3

MC

G2

y1

T12

s

N1

Fñö

P  мцс 

Fупр



T21

G3

F t 
G1

v1



x1

Рис. 3. Расчетные схемы каждого тела механизма

Тело 1 движется поступательно, поэтому уравнение (14) для него удовлетворяется тождественно  0  0  . Учитывая, что x C1  v1, yC1  0 , получим

d m1v1
 T12  m1 g sin    F  t  ,
dt
0  N1  m1 g cos   .

(15)

Тело 2 вращается вокруг неподвижной оси, причем v C2  0 , поэтому уравнения (13) и (14) примут вид:
186

0  Y2  m2 g  T23 sin     T21 sin   ,
0  X 2  T23 cos     T21 cos   ,
d J 2 z 2
dt

(16)

 T21 R2  T23 r2  M C ,

Тело 3 совершает плоскопараллельное движение. Тогда, записывая уравнения (13) и (14) с учетом того, что x C3  v 3 , yC3  0 , получаем:
d m3v3
 T32  Fynp  Fсц  P3 sin    ,
dt
0  N3  m3 g cos    ,
d J C3 z 3
dt

(17)

 T32 r3  Fсц r3.

Из системы уравнений (15) – (17) c учетом кинематических соотношений
(3) можно получить формулы для реакций связей:
N1  m1 g cos  ,

T12  m1 s  m1 g sin    F  t  ,
R2

i2 2
T23  T21

s  m2
s,
r2 r2 R2
R2r2
X 2  T23 cos     T21 cos   ,

(18)

Y2  m2 g  T23 sin     T21 sin   ,
1
r
Fсц  T32  m3 2 s ,
4 R2
N3  m3 g cos   

и дифференциальное уравнение движения системы
2

 r 

mnp s  F  t   c  2  s  2 s.
R2
 2 R2 

(19)

Уравнение (19) полностью совпадает с дифференциальным уравнением
(11), что подтверждает правильность решения данной задачи.

187

3. Определение закона движения системы
Дифференциальное уравнение (11)
s  2 n s  k 2 s  h0 sin  pt 

относится к классу линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение неоднородного
дифференциального уравнения (11) складывается из общего решения s однородного уравнения
s  2 n s  k 2 s  0.

(20)

соответствующего данному неоднородному уравнению, и частного решения s* ,
зависящего от правой части уравнения (11), т.е.
s  s  s

(21)

Решение однородного уравнения (20) ищем в виде функции
s  A e t ,

(22)

где A и  – неопределенные постоянные величины.
Подставляя (22) в (20), получим:



2



 2 n   k 2 A e t  0

Так как мы ищем нетривиальное решение, то Ae  t  0 . Следовательно,
должно выполняться условие

2  2 n   k2  0
Данное уравнение (характеристическое уравнение) имеет два корня:

1,2  n  n2  k 2 .
Вид общего решения уравнения (20) зависит от типа корней его характеристического уравнения. Возможны следующие случаи:
1) n  k – корни характеристического уравнения комплексные сопряженные.
Общее решение однородного уравнения имеет вид
188

 

 

s  e nt  A1 cos k 1t  A 2 sin k 1t  ,


где k 1 

(23)

k 2  n2 , а A1, A 2 – постоянные интегрирования.

2) n  k – корни характеристического уравнения действительные и различные.
Общее решение однородного уравнения имеет вид





s  e nt A1ek2t  A 2ek2t . k 2 

n2  k 2

3) n  k – корни характеристического уравнения кратные.
Общее решение однородного уравнения имеет вид





s  e nt A1  A 2t .
В рассматриваемом случае n  0,512 рад , k  7,589 рад . Поскольку
с
с

n  k , то общее решение однородного уравнения (20) имеет вид.
s  ent  A1 sin(k1t )  A2 cos(k 1t )  или s  A0 ent sin  k1 t  0 .

(24)

Здесь k1  k 2  n2  7.57 с1 , а коэффициенты A0 , A1, A2 ,  0 связаны между собой соотношениями
A1  A0 cos 0  ,

A2  A0 sin 0 .

Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения (11). Данное решение ищем в виде правой части
s*  B1 sin  pt   B2 cos  pt  или s*  B0 sin  pt  0  ,

(25)

где коэффициенты B 0 , B1, B 2 ,  0 связаны между собой соотношениями
B0  B12  B22 , 0  arctg  B2 B1 .

Подставляя (25) в уравнение (11), найдем выражения для коэффициентов
B1, B2 , а также B0 , 0 :

B1  h0

k

k 2  p2
2

p



2 2

 4n p

2 2

 0.084 м, B2  h0

k

2n p
2

p



2 2

 4n p

 0.002 м,

2 2

189

B0  h0

k

1

2

p



2 2

 2np 
 0.084 м, 0  arctg  2
 0.029 рад.
2
2 2
k

p


 4n p

Общее решение неоднородного уравнения (11) запишем в виде
s  A0 ent sin  k1t  0   B1 sin  pt   B2 cos  pt .

(26)

Константы A0 и  0 определяются из начальных условий (12)
A0 

 s0  B2 2 

1
2
s  n s0  n B2  B1 p   0.034 м
2 0
k1

k1  s0  B2 
 0  arctg
 1.866 рад.
s0  n s0  n B2  p B1

(27)

Подставляя (27) в (26), получаем закон движения механизма, выраженный
через перемещение груза
s(t )  0.034 e0.512 t sin  7.57 t  1.866   0.084 sin  0.5 t  0.029  , м.

Из последней формулы следует, что движение системы представляет собой
наложение двух движений:
1) собственного движения (первое слагаемое справа), которое представляет собой затухающие колебания частоты k 1  7.57 рад , так как множитель
с
e 0.512 t  0 при t  ;

2) вынужденных колебаний постоянной амплитуды B 0  0,084 м (второе слагаемое справа), происходящих с частотой возмущающей силы p  0.5  рад ,
с
причем фаза вынужденных колебаний отстает от фазы возмущающей силы на
величину 0  0,029 .
Поскольку по истечении некоторого промежутка времени собственное
движение затухает, то определяющим движением системы являются вынужденные колебания.

190

4. Результаты расчетов
Ниже приведен пример документа Mathcad, в котором реализована процедура вычисления закона движения груза, его скорости и ускорения, а также динамических реакций внешних и внутренних связей.
Расчет механической системы с упругой связью
1. Ввод исходных данных
c  2000

  0.2

F0  10

fсц  0.3

g  9.81

 ПР  0.1

s0  0.03

v0  0.04

 

m3  3

r3  0.2

m2  2

r2  0.15

p 



 

3

R2  0.3


2


6

i2  0.2

m1  1
2. Вычисление постоянных величин
2

 r2 
mnp  m1  m2
 m3  
2
8
 R2 
R2
i2

k 

1 r2

c

2 R2

B0 

A0 

3



n 

mnp

2

k1 

2

2 R2 mnp

F0

1

k

mnp

2

p 
2

2

 ( 2 n p)

 s0  B0 sin  0  2 

2

2

k n



2

2



 0  atan2 k  p  2 n p

2

1
2

k1

 

v0  B0 cos   0 p  n  s0  B0 sin  0 



 



2

 

 0  atan2v0  B0 cos  0 p  n s0  B0 sin  0  k1 s0  B0 sin  0 
3. Определение функций
Кинематические соотношения
Закон движения груза 1
n t

s ( t)  A0 e







s t 



sin k1 t   0  B0 sin p t   0

Скорость груза 1

v t 

191

n t

v(t)  A0 e

 k1 cos k1 t   0  n sin k1 t   0   B0 p cos p t   0
a t 

Ускорение груза 1
a ( t) 

F0
mnp

2

sin( p t)  2 n v( t)  k s ( t)

Реакции связей

T12  t 

Сила натяжения нити

T12(t)  m1 g sin    F0 sin(p t)  m1 a(t)
Сила сцепления
Fсц ( t)  T23( t)  m3

Сила натяжения нити
T23( t)  T12( t)

R2
r2



T23  t 
2


R2 r2

v( t)  m2

i2

R2 r2

FСЦ  t 

и величина ее предельного значения

a ( t)

F'сц  fсц m3 g cos  

r2
4 R2

Реакции опоры блока 2

X 2  t  , Y2  t 

X2(t)  T23(t) cos    T12(t) cos  

Y2(t)  m2 g  T23(t) sin    T12(t) sin  

4. Результаты расчета

mnp  2.17

k  7.589

 CT  0.01

z  0.207

n  0.512

k1  7.572

A0  0.034

 0  1.866

B0  0.084

 0  0.029

F'сц  7.646

Графики движения груза 1 s  s  t  и центра масс катка 3 s3  s3  t 

 ПР

0.1
s ( t)
S 3 ( t)

0

  ПР

0.1
0

2

4

6
t

192

a ( t)

8

10

12

Графики сил натяжения нитей T12  T12  t  , T23  T23  t  .
60
40
T 12( t)
T 23( t)

20
0
20

0

2

4

6

8

10

t

Графики силы сцепления Fсц  Fсц  t 
60
40
Fсц ( t) 20
F' сц
0
 F' сц
20

0

2

4

6

8

10

12

10

12

t

Графики реакций опор блока 2 X 2  X 2  t  , Y2  Y2  t  .
60
40
X2 ( t)
Y2 ( t)

20
0
20

0

2

4

6

8

t

193

5. Анализ результатов вычислений
Математическая модель, описывающая поведение исследуемой механической системы, построена при следующих основных допущениях:


каток 3 движется без проскальзывания, т.е. модуль силы сцепления Fсц подчинен следующему ограничению
  fсц N3 ,
Fсц  Fсц

  fсц N3  fсц m3 g cos    – предельное значение силы сцепления; в
где Fсц

  7.65 H ;
нашем случае Fсц



кинематические связи, наложенные систему, являются голономными (интегрируемыми), поэтому нити при движении системы всегда натянуты, т. е.
T12  0 , T23  0 ;



колебания системы являются линейными, т.е. предполагается, что удлинение
пружины (перемещение центра масс катка 3) не превышает своего предельного значения
s3  пр .

Анализ результатов расчета (в свете перечисленных требований к поведению механической системы) приводит к логическому выводу:
так как в некоторые моменты времени силы натяжения (реакции) нитей T12 , T23 становятся отрицательными, а сила сцепления Fсц превышает свое предельное значение Fсц , то математическая модель системы не соответствует ее реальному
поведению, – нити провисают, тела движутся рывками, а каток
– с проскальзыванием.
Данное заключение позволяет сформулировать задачу исследования:
обеспечить соответствие математической модели реальному
поведению системы.
194

Иными словами, необходимо удовлетворить следующим условиям:
10) нити должны быть натянутыми при движении системы;
11) величина силы сцепления должна обеспечивать движение катка без проскальзывания;
12) перемещение центра масс катка не должно превышать величины предельного значения удлинения пружины.
Данные условия представим в математическом виде

min T12   0,
min T23   0,

 
max  Fсц  

min Fсц   fсц N3 ,

min  s3   пр ,

fсц N3 , max  s3   пр .

(28)

Для определения значений внутренних параметров механической системы
– масс тел m 1 , m2 , m3 и коэффициента жесткости пружины c , – обеспечивающих ее функционирование в соответствие с предложенной математической моделью, выберем в качестве анализируемых величин


реакции нитей сил натяжения канатов T12 , T23 ,



силу сцепления катка с опорной плоскостью Fсц ,



перемещение центра масс катка s3 .
Исследуем изменение этих функций, в зависимости от масс тел входящих

в механическую систему, а также жесткости упругого элемента, т.е.

T12  T12  m1, m2 , m3 , c, t  , Fсц  Fсц  m1, m2 , m3 , c, t  ,

T23  T23  m1, m2 , m3 , c, t  ,

s3  s3  m1, m2 , m3 , c, t .

Ограничимся состоянием установившегося движения. В этом случае закон
движения груза, его скорость и ускорение имеют вид

s yст  t   B0 sin  pt  0   B1 sin  pt   B2 cos  pt  ,
v yст  t   B1 p cos  pt   B2 p sin  pt  ,
a yст  t    B1 p 2 sin  pt   B2 p 2 cos  pt  .

195

Функции T12 , T23 , Fсц представим в виде
T12  m1 g sin    C sin  pt    ,
T23  m1 g sin  

R2
 D sin  pt    ,
r2

Fсц  m1 g sin  

R2
 E sin  pt   
r2

(29)

где коэффициенты, входящие в эти выражения, равны:
C1  F0  m1 p 2 B1,

C2  m1 p 2 B2 ,
 C2 
,
C
 1

  arctg 

C  C12  C22 ,

R2
p B2
i22
R2
p B1
i22
2
D1  C1

 m2
p B1, D2  C1

 m2
p 2 B2 ,
r2
R2 r2
R2 r2
r2
R2 r2
R2 r2
 D2 
,
 D1 

  arctg 

D  D12  D22 ,
E1  D1  m3

r2 2
p B1,
4 R2

E2  D2  m3

r2 2
p B2 ,
4 R2

 E2 
.
E
 1

  arctg 

E  E12  E22 ,

В качестве примера получим первую формулу – выражение для силы T12 :
T12  m1 g sin    F0 sin  pt   m1a yст  t  
 m1 g sin    F0 sin  pt   m1 p 2  B1 sin  pt   B2 cos  pt   





 m1 g sin    F0  m1 p 2 B1 sin  pt   m1 p 2 B2 cos  pt  
 m1 g sin    C1 sin  pt   C2 cos  pt  
 m1 g sin    C sin  pt    .

Остальные формулы в соотношениях (29) определяются аналогично.
Условия (28), обеспечивающие адекватность движения системы математической модели (11), (12) можно теперь представить в виде

196

min T12   m1 g sin    C  0, min T23   m1 g sin  

R2
 D  0,
r2

Fmax  f сц m3 g cos     m1 g sin  

R2
 E  0,
r2

Fmin  f сц m3 g cos     m1 g sin  

R2
1 r
 E  0, S  пр  2 B0  0.
r2
2 R2

(30)
где Fmax  fсц N3  max  Fсц  , Fmin  fсц N3  min  Fсц 
Заметим, что оценка, определяемая неравенствами (30), является нижней
оценкой для механической системы, так как в условиях неустановившегося режима движения возможны ситуации, когда

 

max  Fсц   max  Fсц



min Tij  min Tij уст ,
уст

 
 , max  s   max  s .
 

min Tij  min Tij уст ,
3

3 уст

Так как все коэффициенты, входящие в соотношения (30) являются функциями внутренних параметров механической системы m1, m2 , m3 и с , то вычисление зависимостей

min T12  m1, m2 , m3 , c  , min T23  m1, m2 , m3 , c  ,
Fmin  m1, m2 , m3 , с  ,
Fmax  m1, m2 , m3 , с 
представим в виде процедуры S  M1, M 2 , M 3 , C  пакета Mathcad, приведенной на
рис. 4. Выражение для функции S  m1, m2 , m3 , c  , в силу несложности ее преобразования, получим позже.
В дальнейшем, ограничимся исследованием влияния масс m1 и m3 . Установим интервалы их изменения. Для э0того рассмотрим механическую систему
в состоянии резонанса. Если z  p k  1 , то 4R22 p 2mпр  r22c , и зависимость
m1 рез  m1 рез  m3  имеет вид

m1 рез

1 r22 c
i22 3
r22

 m2 2  m3 2 ,
4 R22 p 2
8 R2
R2

197

откуда следует: 1) если m 3  0 , то m1 рез  49,49 кг ; 2) если m1 рез  0 , то
m3  530.9 кг . Поэтому ограничимся исследованием механической системы

внутри интервала

0  m1  60  100 кг,
0  m3  600  700 кг.
S  M1  M2  M3  C 

2

 r2 
3
mpr  M1  M2
 M3  
2
8
 R2 
R2
i2

n



1 r2
 2 R22 mpr 2 R2


k k1   

2





C
mpr

2
2
k n 

2
2
 F0

F0
k p
2np



 B1 B2   m
2
2
mpr 2
 pr  2 2
2
 k  p2  (2 n p)2 
k p
 ( 2 n p)


 C1



C2   F0  M1 p B1 M1 p B2
2

2



2
 R2

B2 p
i2
2
C

 M2
B1 p
1

R2 r2
R2 r2
 D1   r2

  

2
 D2   R2
B1 p
i2
2
C



M
B
p
2
2
 2 r

R2 r2
R2 r2
2


r
r


 E1 E2    D1  M3 4 R2 B1 p2 D2  M3 4 R2 B2 p2 
2
2


2
2
2
2
2
2
( C D E )   C1  C2
D1  D2
E1  E2 
M1 g sin    C




R2




M
g
sin


D
1


r2



R2





f
M
g
cos


M
g
sin


E
сц
3
1


r2




R2




f
M
g
cos


M
g
sin


E
сц
3
1


r2



Рис. 4. Процедура вычисления функций, входящих в условия (30)

198

Рассмотрим теперь последнее неравенство в условиях (30) – S  0 . Учитывая выражение для амплитуды B0 представим его в виде



2 2  2
mпр
sПР  k  p 2


где S ПР  2



2


 4 n2 p 2   F02 ,


R2
пр – предельное значение перемещения груза 1.
r2

Подставляя вместо коэффициентов k и n их выражения, найдем, из уравнения S  0 , предельные значения массы груза 1
m1ПР  m3   m1РЕЗ  m3   m.
2

  p sПР 
F0
1

где m 

2 
 .
sПР p 2
F
R
 0 2 
Рассматривая вновь неравенство S  0 , заключаем, что оно выполняется
в двух случаях:
13) при z  1, если m1  m3   m1РЕЗ  m3   m;
14) при z  1, если m1  m3   m1РЕЗ  m3   m.
Тем самым из области допустимых значений внутренних параметров механической системы исключается околорезонансная зона, ширина которой равна

2 m , не зависящая от параметров m1, m2 , m3 и с .
Исследуем теперь зависимости min T12  , min T23  , Fmin и Fmax . Для
этого изобразим их на плоскости  m1, m3  линиями уровня fi  m1, m3   ci (рис. 5
– рис. 8) и будем искать те из них, для которых выполняются условия
fi  m1, m3   0 , т. е.:

min T12  m1, m3    0,
min T12  m1, m3    0,
Fmax  m1, m3   0,

Fmin  m1, m3   0.
199

Из графиков на рис. 5 – рис. 8 видно, что неравенства (30) выполняются
при следующих значениях массы груза 1:

m1  m1min  m3  ;
m1  m1min  m3  ;
m1  m1max  m3  ,
где величины m1min  m3  , m1min  m3  и m1max  m3  определяются из уравнений
min T12 m1min  m3  , m3   0




m

 рис. 5 ;

min T23



 m  , m   0

 рис. 6  ;

Fmax  m1max  m3  , m3   0

 рис. 7 .


1min

3

3

(31)

Из рис. 8 следует, что условие Fmin  m1, m3   0 выполняется всегда для
рассматриваемых интервалов изменения масс m1, m3 .
Зависимости m1min  m3  , m1min  m3  и m1max  m3  являются нелинейными. Более того, вблизи резонансных состояний  z  1 два последних уравнения системы (31) имеют по три действительных корня (рис. 9).
Приведем фрагмент документа Mathcad, в котором проводится реализация
описанного выше анализа.

... ... ... ...
Формирование функций (30), в зависимости от параметров m1 и m3

S12 M1  M3  S  M1  m2  M3  c 0

S23 M1  M3  S  M1  m2  M3  c 1

 max M1  M3  S  M1  m2  M3  c 2

 min M1  M3  S  M1  m2  M3  c 3

Формирование двумерных матриц для построения графиков функций

min T12  m1, m3  , min T23  m1, m3  , Fmax  m1, m3  и Fmin  m1, m3 

minT12  CreateMesh S12 0  60  0  550  120  1100
minT23  CreateMesh S23 0  60  0  550  120  1100



Fmax  CreateM esh  max 0  100  0  550  150  1100

200





Fmin  CreateM esh  min 0  100  0  550  150  550



min T12  m1, m3   0

minT12

min T12  m1, m3   0
Рис. 5. График функции min T12  m1, m3 

min T23  m1, m3   0

minT23

min T23  m1, m3   0
Рис. 6. График функции min T23  m1, m3  

201

Fmax  m1, m3   0

F max

Fmax  m1, m3   0
Рис. 7. График функции Fmax  m1, m3 

Fmin  m1, m3   0

F min

202

Рис. 8. График функции Fmin  m1, m3 

T12  0, T23  0, FСЦ   FСЦ

minT12  minT23  F max

Рис. 9. Линии уровня вблизи резонансного состояния для значений
а) min T12  m1, m3   0 , б) min T23  m1, m3   0 , в) Fmax  m1, m3   0 .

Найдем область допустимых значений масс m1 и m3 , которые обеспечивают выполнение условий (30) и являются решениями уравнений (31).
Ниже представлен фрагмент документа Mathcad, реализующего поставленную задачу.
... ... ... ...
Вычисление массы груза 1 при резонансе как функции массы катка 3

m1РЕЗ  m3 

1  r2 

2

2

 r2 
M1rez M3   
 m2
 M3  
2 8
4  R2  p2
 R2 
R2
i2

c

3

2

Вычисление предельного значения массы груза 1 в дорезонансной области m1
 m3  .
ПР max

m 

F0
2

 Snp p  
1
 F0 R22 



2

M1np_max M3  M1rez M3  m

Snp p
Вычисление предельного значения массы груза 1 в послерезонансной
области m1
 m3  .
ПР min

M1np_min M3  M1rez M3  m

203



Нахождение величины m1

из уравнения min T12 m1

Нахождение величины m1

из уравнения min T23 m1

min



M1min1 M3  root S12 M1  M3  M1  0  3
min



M1min2_1 M3  root S23 M1  M3  M1  0  2.8
M1min2_2 M3  root S23 M1  M3  M1  2.8  M1rez M3  0.26
M1min2_3 M3  root S23 M1  M3  M1  M1rez M3  0.26  50



min


min

 m3  , m3   0
 m3  , m3   0

из уравнения Fmax  m1  m3  , m3   0
 max

M 1max_1 M3  root  max M1  M3  M1  0  M1rez M3
M 1max_2 M3  root  max M1  M3  M1  M1rez M3  32

Нахождение величины m1

max



M 1max_3 M3  root   max M1  M3  M1  32  100
60




T12  0, T23  0, FСЦ   FСЦ

m1

II

50

m1ПР min

SC3   ПР

m1РЕЗ
40

T12  0, T23  0, FСЦ   FСЦ

AII
30

m1ПР max
AI

20

m1max

SC3   ПР

10

CI
0

m1min

I

0

T12  0, T23  0, FСЦ   FСЦ
100

200

300

BII

BI
400

500

600

m3

700

Рис. 10. Области допустимых значений для масс m1 и m3 .

Как видно из графика (рис. 10), область допустимых значений масс m1 и m3
разбивается на две подобласти:


Подобласть I – состояние дорезонансного режима  z  1 , для которого значения масс ограничены: сверху – линиями m1max  m3  , m1РЕЗ  m3   m , снизу

204


– линией m1min
 m3  ;



Подобласть II – состояние послерезонансного режима  z  1 , для которого
значения масс ограничены: сверху – кривой m1max  m3  ; снизу – линиями

m1РЕЗ  m3   m, m1min
 m3  .

Вычислим координаты узловых точек каждой подобласти. При нахождении этих координат можно использовать два способа:


Численный, при котором определяются корни уравнений, связывающих ко
ординаты узловых точек. Например: m1max  m3   m1min
 m3   m3 ;



С помощью опции "Trace" из контекстного меню свойств 2–D графиков.
Ниже представлен документ Mathcad, в котором реализуется численный

метод.
Нахождение координат узловых точек в подобласти I ,  z  1
Формирование уравнений для определения искомых координат
M3T12_I_1  root M1max_1 M3  M1min1 M3  M3  10  20

M3T23_I_1  root M1max_1 M3  M1min2_1 M3  M3  10  20
M3пр_I  root M1max_1 M3  M1np_max M3  M3  150  200

M3T12_I_2  root M1np_max M3  M1min1 M3  M3  400  450

M3T23_I_2  root M1np_max M3  M1min2_1 M3  M3  400  450
Вычисление координат узловых точек
M3T12_I_1  16.413
M1min1 M3T12_I_1  1.207
M3T23_I_1  16.567
M1min2_1 M3T23_I_1  1.23
M3пр_I  183.231
M1max_1 M3пр_I  22.363
M3T12_I_2  407.619

M3T23_I_2  406.517

M1min1 M3T12_I_2  1.327

M1min2_1 M3T23_I_2  1.43

Нахождение координат узловых точек в подобласти II ,  z  1
Формирование уравнений для определения искомых координат
M3пр_II  root M1max_3 M3  M1np_min M3  M3  265  300

M3T12_II  root M1np_min M3  M1min1 M3  M3  600  650

M3T23_II  root M1np_min M3  M1min2_1 M3  M3  600  650
Вычисление координат узловых точек
M3пр_II  265.964
M1max_3 M3пр_II  35.068
M3T12_II  628.74
M3T23_II  629.828

M1min1 M3T12_II  1.058
M1min2_3 M3T23_II  0.956

205

6. Результаты анализа
С целью подтверждения проведенных исследований произведем расчет
механической системы в дорезонансном и послерезонансном режимах.
Расчет механической системы с упругой связью для z < 1.
1. Ввод исходных данных

m3  50
... ... ...

m1  5

4. Результаты расчета

mnp  10.576

k  3.438

 CT  0.038

z  0.457

n  0.105

k1  3.436

A0  0.047

 0  2.355

B0  0.101

 0  0.035

F'сц  127.436

Графики движения груза 1 s  s  t  и центра масс катка 3 s3  s3  t 
 ПР

0.1
s ( t)
S 3 ( t)

0

  ПР

0.1
0

2

4

6

8

10

12

t

График сил натяжения канатов T12  T12  t  , T23  T23  t  .
120
100
T 12( t) 80
T 23( t)

60
40
20

0

2

4

6
t

206

8

10

График силы сцепления Fсц  Fсц  t 
150
F' сц

Fсц ( t) 100

50

0

2

4

6

8

10

t

Расчет механической системы с упругой связью для z > 1.
1. Ввод исходных данных

m3  550
m1  50
... ... ...
4. Результаты расчета
mnp  102.451
k  1.105

 CT  0.499

z  1.422

n  0.011

k1  1.105

A0  0.151

 0  0.214

B0  0.078

 0  3.114

F'сц  1401.792

Графики движения груза 1 s  s  t  и центра масс катка 3 s3  s3  t 

0.2
s ( t)
S 3 ( t)

 ПР

0.1
0

  ПР

0.1
0.2

0

5

10

15

20

25

t

207

График сил натяжения канатов T12  T12  t  , T23  T23  t  .
1000

T 12( t)

800

T 23( t)
600

400

0

5

10

15

20

25

15

20

25

t

График силы сцепления Fсц  Fсц  t 
900
880
860
Fсц ( t)
840
820
800

0

5

10
t

208

Выводы
В результате решения дифференциального уравнения движения системы
(11) при начальных условиях (12) пределен закон движения системы s  s(t ) , на
основании которого по разработанному алгоритму вычислены значения реакций
связей.
Анализ результатов расчета показал, что в некоторые моменты времени
натяжения нитей становятся отрицательными, а сила сцепления превышает свое
предельное значение, и, следовательно, принятая математическая модель не соответствует поведению механической системы: нити провисают, тела движутся
рывками, а каток 3 – с проскальзыванием.
Для устранения этой ситуации были сформулированы критерии, удовлетворение которых обеспечивает адекватность движения системы математической модели, т.е. выполнение условий
  fсц N3 , s3  пр .
T12  0 , T23  0 , Fсц  Fсц

Исследование влияния масс груза 1 и катка 3 на движение системы позволило определить область допустимых значений m1 и m3 , внутри которой выполняются указанные условия. Эта область разбивается на две подобласти:



подобласть I – состояние дорезонансного режима  z  1 , для которого значения масс ограничены следующими соотношениями
16,57 кг  m3  407,62 кг,
m
при 16,57 кг  m3  183,23 кг,
m 

m1MAX  m3    1max 3

m1РЕЗ  m3   m при 183,23 кг  m3  406,52 кг,

m1MIN  m3   m1min
 m3 .

209



подобласть II – состояние послерезонансного режима  z  1 , для которого
для которого значения масс ограничены следующими соотношениями
265,96 кг  m3  ,

m1MAX  m3   m1max  m3  ,
m1РЕЗ  m3   m при 265,96 кг  m3  628,74 кг,
m1MIN  m3    
при 628,74 кг  m3  .
m1min  m3 

Результаты расчетов скорректированной механической системы представлены в виде графиков изменения характерных параметров в зависимости от времени.

210

АЛЬБОМ ЗАДАНИЙ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА
1
2
MC

4
c

4
3

c

3







2

2

1

1

F t 

F t 

4

3

MC

4

c

4
3




3

2

c

1

1



F t 

5

2
F t 

6
MC

MC

4
c

4
3

3

c


2

2

1

1
F t 

F t 

211

8

7

4

c


c

MC

4
3

3

2

2
1

1

F t 

9

F t 

10
MC
MC

4

c

4
3

c

3

2



2

1

1

F t 

F t 

12

11

MC
MC

4
c

4

3
3

c


212



2
1

2
F t 

1

F t 

13

14
MC

4

MC

c

4
3

c
3

2



2
1

1

F t 

F t 

16

15
MC

MC

4

4

c


c

3


3

2
1

2
F t 

17

1

F t 

18

c

c




4

4

3

3

2

2

1
1

F t 

F t 

213

20

19

c
c





4
3

3

4



2

2
1

1

F t 

F t 

22

21

MC

4
c

c

4
3
3




2

2
1

1

F t 

23

F t 

24


MC

c

4
3





2

1

214

3

c

4

2
1

F t 

F t 

26

25
MC

4

c

4



c


3

3

2

2
1

1

F t 

27

F t 

28
MC

4
c

4


c



3


3

2

2

1

1
F t 

F t 

29
30
MC

4

4



3

3

c

c





2

2
1

1

F t 

F t 

215

Вариант

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

m1
m2

m

2m

m

3m

4m

2m

3m

4m

2m

m

3m

m

2m

4m

2m

m

4m

2m

m

4m

m3

2m

3m

4m

m

m

3m

2m

5m

4m

2m

m4

, кг/с
, Н м с
с, Н/м
f сц

5m
4m
5m
2m
3m
4m
m
m
5m
3m
0.5
1.0
1.5 0.75 1.25
1.0 0.75 1.25
0.5
1.5
1
0.5 0.75 1.25
1.5
2
0.5 0.75
1 1.25
1500 2000 3000 3500 4000 2500 2500 2000 3500 4000
0.20

0.25

0.30

0.15

0.10

0.25

0.30

0.20

0.15

0.10

F0 , Н

50

20

30

40

60

50

40

30

20

50

р, с-1



2

5

2

2



3

2

3

3

x0 , м

0.1

0.05

0.03

0

0.02

0.06

0.07

0

0.08

0.09

0.03

0

0.06

0.05

0.07

0

0.05

0.10

0.02

0

30

45

60

45

60

30

45

60

30

45

r

1.5 r

2r

1.5 r

r

2r

r

2r

1.5 r

r

1.5r

3r

3r

2r

2r

3r

1.5r

3r

3r

2r

i2

r*

R*

r**

R**

2r

R*

r*

2r

r**

R**

r3

2r

r

1.5 r

r

2 r 1.5 r

1.5 r

r

2r

2r

R3

3r

2r

2r

1.5 r

3r

2r

3r

2r

4r

3r

i3

r*

2r

R*

r**

R**

2r

r*

r

r**

3r

r4

r

1.5 r 1.5 r

r

1.5 r 1.5 r

r

1.5 r

2r

r

2r

2r

3r

2r

2r
r*
r
R*
2 r R**
2r
Во всех вариантах задания принять: m = 1 кг, r = 0.10 м.

r**

2.5 r

R*

x0 , м/с

o
r2
R2

R4

2r

3r

2r

3r

2r

3r

i4

3

2



На груз 1 действует возмущающая сила F(t) = F0sin(pt).
На блок действует момент M C   k или сила сопротивления R   vk .
Для тел цилиндрической формы введены следующие обозначения:
r*, R* – сплошной однородный цилиндр радиуса "rk" или "Rk" соответственно,
r**, R** – масса цилиндра распределена по ободу радиуса "rk" или "Rk".
При отсутствии у тел цилиндрической формы одного из радиусов в качестве поперечного размера следует использовать обозначение "Rk".
216

Д 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА
С КУЛИСНЫМ ПРИВОДОМ
Развитие современной техники ставит перед инженерами самые разнообразные задачи, связанные с проектированием, производством и эксплуатацией
всевозможных машин и механизмов.
Исследования поведения любой механической системы всегда начинается
с выбора физической модели. Переходя от реальной системы к ее физической
схеме, обычно упрощают систему, пренебрегая несущественными для данной задачи факторами. Одним из важных факторов, влияющих на поведение системы,
являются конструктивные особенности механизма. Актуальной становится такая
задача исследования механической системы, при которой оценивается влияние
ее конструктивных элементов на динамические характеристики механизма.

Цель курсовой работы
Исследование и анализ динамического поведения механизма с кулисным
приводом с помощью основных теорем и принципов теоретической механики.

Содержание курсовой работы
Объектом исследования является механизм с кулисным приводом, который приводится в движение электродвигателем, развивающим момент, приложенный к маховику
M Д  M 0  0 

где M 0 ,  0 – постоянные величины.
Полезная нагрузка моделируется для разных вариантов либо силой FH ,
либо моментом M H
FH   v3 , M H  1 3

где 1,  – постоянные величины.
Схемы механизмов и исходные данные для расчета приведены в альбоме заданий.
217

При составлении математической модели принимаются следующие допущения:
o Элементы конструкций механизма считаются абсолютно твердыми.
o Проскальзывание между телами отсутствует. Каток движется без скольжения.
o Трение в подшипниках не учитывается; ползуны скользят по направляющим
без трения; трение между пальцем A маховика 1 и прорезью кулисы отсутствует. Сопротивление качению не учитывается.
Требуется:
1. Составить дифференциальное уравнение движения механизма.
2. Составить уравнения для определения динамических реакций внешних и внутренних связей.
3. Проинтегрировать при нулевых начальных условиях 

t 0

 0, 

t 0

 0 диф-

ференциальное уравнение движения маховика на ЭВМ на отрезке времени [0, ].
Величину  рекомендуется принимать из промежутка 0,5 10,0 с.
4. Построить графики функций    (t ), z  z (t ),  z   z (t ) и определяемых динамических реакций. Определить предельную угловую скорость маховика.
5. Проанализировать полученные результаты.

Порядок выполнения работы
1. Составить дифференциальное уравнение движения механизма одним из следующих способов (по указанию преподавателя):
o с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме;
o методом общего уравнения динамики;
o с помощью уравнений Лагранжа второго рода [1, §§ 19.2, 19.3].
2. Определить динамические реакции внешних и внутренних связей. Для их
определения следует использовать (по указанию преподавателя):
o теоремы об изменении количества движения и кинетического момента в дифференциальных формах;
218

o дифференциальные уравнения движения твердого тела;
o метод кинетостатики (принцип Даламбера).
3. Численное интегрирование дифференциального уравнения движения при заданных начальных условиях рекомендуется провести в одной из математических
сред (например, Mathcad). Там же провести определение указанных динамических реакций и построение графиков.
4. Провести анализ результатов расчета движения механизма. Проверить соответствие расчетов принятым, при построении математической модели, предположениям. Исследовать влияние конструктивных элементов на динамические
характеристики механизма. Определить область допустимых значений указанных параметров, обеспечивающих адекватность поведения системы ее математической модели.
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
Схема механизма с кривошипно-кулисным приводом приведена на рис.1.
Со стороны электромотора к маховику 1 приложен вращающий момент
M Д  M 0  0  . Маховик 1, связан с кулисой 2, имеющей вертикальные направ-

ляющие. Кулиса соединена с катком 3 невесомым стержнем 4. Полезная нагрузка
моделируется моментом M H  1 3 , приложенным к катку. Механизм расположен в вертикальной плоскости. Каток 3 – сплошной однородный цилиндр движется без отрыва от вертикальной плоскости. Проскальзывание при качении тела
3, отсутствует. Сопротивлением движению пренебречь.
Требуется
1. Составить дифференциальное уравнение движения механизма методом уравнений Лагранжа второго рода.
2. Определить динамические реакции внешних и внутренних связей.
3. Провести численное интегрирование дифференциального уравнения движения при заданных начальных условиях с помощью пакета Mathcad.
4. Провести анализ результатов вычислений.
219

h
MH

D

2

C3

4

3


C2
B

l
A

O



MД

1

Исходные данные
I1  1.5 кг м2

OA  r1  0.06 м

m1  50 кг

m2  12 кг

OB  0.25 м

BD  0.6 м

l  0.5 м

R3  0.10 м

сплошной цилиндр

m3  18 кг
M 0  40 Н м

 0  1.0 Н мc

1  6 Н мc





  45

t 0

0

t 0

0

fСЦ  0.3

Рис. 1. Схема механизма и исходные данные

220

h  0.5 м

1. Составление дифференциального уравнения движения
механизма
Рассматриваемая механическая система при принятых допущениях имеет
одну степень свободы. Примем за обобщенную координату угол поворота маховика  (рис. 2). За положительное направление отсчета обобщенной координаты
примем направление, противоположное движению часовой стрелки. Угол поворота катка 3 будем отсчитывать так же.

y

vC3

D

C3

P3  мцс 


3

v2  vC2

C2

B
O


vA



yC2

A
x

Рис. 2. Расчетная схема механизма (кинематическая)

Запишем уравнение Лагранжа второго рода
d  T  T
 Q


d t    

(1)

где T – кинетическая энергия механизма,  – обобщенная координата,  – обобщенная скорость, Q – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате  .
Для вычисления кинетической энергии механизма составим кинематическую расчетную схему (рис. 2). Выберем правую систему координат xOy , начало
221

которой расположим в подшипнике O маховика 1 и рассмотрим механизм в произвольный момент времени. Изобразим для этого положения скорости тел входящих в систему (рис. 2):
o Маховик 1 совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через
точку O перпендикулярно плоскости чертежа, с угловой скоростью  ;
o Кулиса 2 и стержень 4 совершают поступательные движения в плоскости чертежа, имея при этом скорость vC2 ;
o Каток 3 совершает плоское движение, двигаясь по вертикальной плоскости
без проскальзывания со скоростью центра масс vC3 и угловой скоростью 3 .
Вычислим кинетическую энергию механизма как сумму кинетических
энергий тел, входящих в ее состав
T  T1  T2  T3 .

Кинетическая энергия маховика, вращающегося вокруг неподвижной оси

1
T1  I1 12 .
2
Кинетическая энергия поступательно движущейся кулисы 2

1
T2  m2 vC2 2 .
2
Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоское движение

1
1
T3  I3 32  m3 vC23 ,
2
2
где I3  12 m3 R32 – момент инерции сплошного однородного катка относительно
оси, проходящей через его центр масс.
Таким образом, кинетическая энергия механизма

1
1
1
1
T  I1 12  m2 vC2 2  I3 32  m3 vC23 .
2
2
2
2

(2)

Выразим линейные и угловые скорости vC2 , vC3 , 3 через обобщенную координату  и обобщенную скорость  .
222

Координаты центра масс кулисы (рис. 2)
xC2  0;

yC2  r1 sin    l ,

(3)

откуда
vC2 x  xC2  0; vC2 y  yC2  r1  cos   и vC2  r1  cos   .

(4)

Стержень, соединяющий кулису и каток, совершает поступательное движение, поэтому
vC3  vC2

(5)

Точка P3 является мгновенным центром скоростей катка. Поэтому

3 

vC3 y
C3 P3



vC3
R3



r1
 cos  
R3

(6)

Подставив формулы (4) – (6) в выражение (2), получим

1
T  I пр   2
2

(7)

Здесь I пр   – так называемый приведенный момент инерции механизма, вычисляемый по формуле

I пр    I1  m0 r12 cos2   ,
где m0  m2  m3 

(8)

I3
3
 m2  m3.
2
2
R3

Как видно из выражения (8), приведенный момент инерции является функцией обобщенной координаты  .
Вычислим производные от кинетической энергии, входящие в уравнение
Лагранжа (1):
 T 1 d I np   2

 ;
 2 d 

Однако производную

T
 I np   ;


d I np  
dt

d I np  
d  T 
.

  I np   
d t   
dt

можно вычислить так

d I np  
dt



d I np  
d

(9)

 , где

223

d I np  
d

 m0 r12 sin  2 

(10)

Таким образом, левая часть уравнения (1) с учетом формул (9) и (10) может
быть записана в виде
d  T  T
1 d I np   2


I



 .




np
d t    
2 d

(11)

Для вычисления обобщенной силы Q , соответствующей обобщенной координате  , составим расчетную схему и изобразим силы, действующие в данный

момент

времени

Gk  mk g, k  1, 3 ; M

H

(рис.

3):

G1, G2 , G3

–

силы

тяжести

звеньев

– полезная нагрузка; M Д – момент, передаваемый элек-

тродвигателем. Остальные связи, наложенные на систему, являются идеальными. Поэтому их реакции на расчетной схеме не изображаем.

 s3   yC3

P3  мцс 

3

MH

y
D

C3

 s2   yC2

G3


C2 G
2
yC2

B
MД

O



G1

A
x



Рис. 3. Расчетная схема механизма (силовая)

Сообщим маховику возможное перемещение   в направлении возрастания обобщенной координаты. Возможные перемещения точек кулисы будут
224

равны возможному перемещению его центра масс  s2   yC2 . Возможным перемещением катка является поворот на угол  3 вокруг мгновенного центра
скоростей, при этом центр масс катка имеет перемещение  yC3   s2 , т. е. возможные перемещения центров масс кулисы и катка равны.
Вычислим сумму элементарных работ задаваемых сил на возможных перемещениях точек их приложения:

 A  M Д     G2   yC2  G3   yC3  M H   3.
Представим задаваемые силы и возможные перемещения в векторной
форме

M Д  M Д k , MH  MH k ,
Gn  mn g j ,
     k ,  3   3 k ,  yCn   yCn j , n  2, 3.
Выражая, с учетом последних соотношений, скалярные произведения в выражении суммы элементарных работ, получим

 A  M Д   m2 g  yC2  m3 g  yC3  M H 3.

(12)

Выразим величины  yC2 ,  yC3 и  3 через вариацию   обобщенной координаты. Имеем

 yC2   yC3  r1 cos    ,  3 

 yC3
R3



r1
cos    .
R3

(13)

Подставим (13) в формулу(12). Тогда


 A   M Д   m2  m3  g r1 cos    M H



r1
cos      .
R3


Коэффициент при вариации  в правой части последней формулы есть,
по определению, обобщенная сила
Q 

A
r
 M Д   m2  m3  g r1 cos    M H 1 cos  

R3

(14)

Перепишем последнее равенство с учетом выражений для M Д и M H , а
225

также формулы (6):



r12
Q  M 0   m2  m3  g r1 cos     0  1 2 cos2   .
R3



(15)

Заметим, что обобщенная сила является функцией обобщенной координаты и обобщенной скорости, т. е. Q  Q  ,   .
Теперь можно записать дифференциальное уравнение движения машины,
приравнивая согласно (1) правую часть соотношения (11) обобщенной силе:

I np   

1 d I np   2
  Q  ,   .
2 d

(16)

Данное уравнение представляет математическую модель машины.

2. Определение реакций внешних и внутренних связей
После интегрирования дифференциального уравнения (16) закон движения
механизма будет известен. Располагая линейными и угловыми ускорениями тел,
составляющих механизм, можно определить реакции внешних и внутренних связей. Для определения искомых реакций расчленим систему на составные части и
составим расчетные схемы для каждого тела (рис. 4).
Запишем также кинематические соотношения, связывающие угловые и линейные ускорения тел, входящих в механизм

yC
yC2  yC3  r1  cos     2 sin    , 3  3 .
R3

(17)

Эти соотношения получены дифференцированием по времени кинематических соотношений (3) – (6).

Определение реакций связей катка 3
Для вычисления реакций связей (силы сцепления FСЦ , нормального давления на плоскость N3 и усилия в стержне 4 – S 4 ) действующих на каток 3 запишем дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
226

 

m3 xC3   Fkxe , m3 yC3   Fkey , I33   M C3 z Fke
k

k

k

Расчетная схема изображена на рис. 4 a). На ней показаны силы, действующие на каток 3: полезная нагрузка, моделируемая моментом M H , сила тяжести
G3  m3 g , реакции опорной плоскости N3 и FСЦ , усилие стержня 4 – S 4 (стер-

жень предполагается сжатым).

3  3

N3

P3

y
D

MH
C3

aC3



S4

FСЦ

S 4

a)

G3

N A

Y1

NB

ND
aC2  yC2


C2 G
2 N
A
B
A

A
MД



O

G1



X1



O

x б)

в)

Рис. 4. Расчетная схема механизма

Дифференциальные уравнения движения катка 3 имеет вид
0  N3  S4 sin   ,
m3 yC3  S4 cos    FСЦ  m3 g ,
I3 3  FСЦ R3  M H .

Решая данную систему уравнений относительно неизвестных реакций
N3 , FСЦ , S4 , получим

FСЦ 

m3 yC3  FСЦ  m3 g
I3
M
3  H , S4 
, N3  S4 sin  .
R3
R3
cos  

С учетом соотношений (17), искомые величины будут равны
227

FСЦ 

S4  S4 

I3
M
y  H,
2 C3
R3
R3

(18)


I3 
1 
MH 
m
g


m

y
 3
 3
 C ,
cos   
R3 
R32  3 

(19)




I 
M
N3  tg    m3 g  H   m3  32  yC3  .
R3 
R3 



(20)

Следует отметить, что величина силы сцепления не должна превышать
своего предельного значения FСЦ  , определяемого выражением FСЦ   fСЦ N3 ,
где fСЦ – коэффициент трения сцепления. Т.е. должно выполняться условие
 FСЦ   FСЦ  FСЦ .

В тоже время при определении усилий в стержнях важными являются сжимающие усилия, которые могут привести к потере устойчивости стержня, т. е. к
нарушению его прямолинейности.
При этом должно выполняться условие S  Sпр , где Sпр – предельное значение сжимающего усилия, при котором происходит его искривление.

Определение реакций связей кулисы 2
Для нахождения реакций связей, действующих на кулису 2, запишем для
нее теорему о движении центра масс (в проекциях на оси координат Ox, Oy ) и
теорему об изменении кинетического момента (относительно оси C2 z , проходящей через центр масс кулисы) в дифференциальных формах:

d
d
 m2 xC    Fkxe ,
 m2 yC    Fkey ,
dt
dt
k
k

d LC2 z
dt

 

  M C2 z Fke .
k

Расчетная схема изображена на рис. 4 б. На ней показаны силы, действующие на кулису 2: сила тяжести G2  m2 g , реакции направляющих кулисы
N B , N D , усилие стержня 4 – S 4 , а также сила давления пальца маховика A на

прорезь кулисы N A .
228

Подставляя выражения сил, действующих на кулису в данные уравнения,
с учетом кинематических соотношений (3) – (6), получим
0  N D  S4 sin    N B ,
m2 yC2  N A  S4 cos    m2 g ,

0  N A r1 cos    N D C2 D  N B C2 B.

Давление в точке A , с учетом соотношений (17) и (19) будет равно

N A  m2 yC2  S4 cos    m2 g.

(21)

Решая совместно первое и третье уравнения полученной системы, найдем
r1
C D
cos    S4 2 sin   ,
BD
BD
r
C B
N B  N A 1 cos    S4 2 sin   .
BD
BD
NB  N A

(22)

где учтено, что
OD  OB  BD, ОС2  r1 sin    l , C2 B  OC2  OB, C2 D  OD  OC2.

Следует отметить, что величина давления пальца на прорезь кулисы
обычно используется при расчетах на срез. При этом должно выполняться условие N  N пр , где N пр – предельное значение нормального давления, обеспечивающее отсутствие среза.

Определение реакций подшипника маховика 1 и проверка составления дифференциального уравнения движения
Для нахождения реакций подшипника маховика и проверки найденного
дифференциального уравнения движения механизма, запишем для маховика 1
(рис. 4 в) теорему о движении центра масс (в проекциях на оси координат Ox, Oy
) и теорему об изменении кинетического момента (относительно оси Oz ) в дифференциальных формах





d
m1 xC1   Fkxe ,
dt
k





d
m1 yC1   Fkye ,
dt
k

 

d LOz
  M Oz Fke .
dt
k

229

Так как кинетический момент маховика равен LOz  I1  , а координаты его
центра масс равны нулю xC1  xO  0, yC1  yO  0 , получим
0  X1,
0  Y1  N A  m1 g ,

I1   M Д  N A r1 cos   .

Первые два уравнения данной системы позволяют определить реакции
подшипника маховика

X1  0,
Y1  m1g  N A.

(23)

Подставляя выражение (21) в третье уравнение, раскрывая скобки и учитывая соотношения кинематических связей (17), найдем




I  2
I  2
1
2
2
 I1   m2  m3  32  r1 cos       m2  m3  32  r1 sin  2  
2
R3 
R3 



r
 M Д   m2  m3  g r1 cos    M H 1 cos   .
R3
Выражение в квадратных скобках в левой части уравнения (коэффициент
при угловом ускорении маховика  ) равно приведенному моменту инерции механизма I пр   (8), а коэффициент при квадрате угловой скорости  2 равен



1 d I пр  
(10). Соотношение в правой части уравнения равно обобщенной
2 d

силе Q  ,   (14). Таким образом, окончательно получаем дифференциальное
уравнение

I np   

1 d I np   2
  Q  ,   ,
2 d

которое полностью совпадает с уравнением движения механизма (16).
Следовательно, составление дифференциального уравнения движения механизма произведено верно.
230

3. Результаты расчетов
Дифференциальное уравнение движения механизма (16) является нелинейным. Получить аналитическое решение этого уравнения не представляется возможным. Поэтому воспользуемся процедурой численного интегрирования данного уравнения. Для этого дифференциальное уравнение второго порядка (16)
представим в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка. Введем новые переменные    ,      . Тогда имеем

  ,



1 d I np   2 
 .
Q  ,   
I np   
2 d

1

(24)

Эти соотношения позволяет вычислять угловое ускорение маховика, если
известны его угол поворота и угловая скорость; в частности, можно вычислить
угловое ускорение в начальный момент по заданным начальным значениям угла
поворота и угловой скорости маховика.
Для интегрирования системы уравнений (24) при заданных начальных
условиях используем встроенную в пакет Mathcad процедуру-функцию rkfixed
реализующую метод Рунге-Кутта [1] и имеющую следующий вид:
rkfixed(u, T0, Tk, N, D),

  0  
где: u  
 - вектор начальных условий; T0 , Tk – граничные точки интервала,

0




на котором ищется решение дифференциального уравнения. Начальные условия,
заданные в векторе u – это значение решения в точке T0 ; N – число точек (не
считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк N  1 в матрице, возвращаемой

  t , U  
функцией rkfixed; D  t ,U   
 – вектор, элементами которого является уг  t ,U  
ловая скорость и угловое ускорение маховика, определяемых уравнениями (24).
Матрица, получаемая в результате решения, содержит три столбца; первый
231

– для значений времени t , второй – для значений угла поворота   t  , третий –
для значений угловой скорости   t  .
Ниже приведен пример документа Mathcad, в котором реализована процедура интегрирования дифференциального уравнения движения маховика и вычисления реакций внешних и внутренних связей.
Динамический расчет механизма с кулисным приводом
1. Ввод исходных данных
g  9.8
M0  40

f  0.3
 0  1.

 1  6.

r1  0.06

R3  0.1

BD  0.6

OB  0.25

I1  1.5

m1  50

m2  12

m3  18

 

l  0.5

2. Вычисление постоянных величин
2

I3 

m3 R3

OD  OB  BD

I3

m0  m2  m2 

2

R3

2

3. Определение функций
Координата центра масс кулисы
Приведенный момент инерции

I пр  

Производная

d I пр  
d

OC     l  r1cos  
Inp     I1  m0r1 cos   
2

2

I'np     m0r1 sin 2  
2

Момент от двигателя

MD     M0   0 

Полезная нагрузка

MH        1

r1
R3

 cos   

Обобщенная сила
2


r1
2

Q       M0   m2  m3 gr1cos      0   1
cos    
2


R3



Угловое ускорение маховика

 1     


Q       I'np    
Inp   

4. Процедура интегрирования дифференциальных уравнений
Начальный момент времени

232

T0  0

2

2


4

Конечный момент времени

Tk  10

Число узловых точек

N  Tk200
0 
NU   
0 

Задание начальных условий
Формирование системы дифференциальных
уравнений
Применение процедуры функции rkfixed.
Вывод результатов вычислений.
0

z

1
0
5·10-3

0
1.721·10-4

0
0.069

2

0.01

0.137

3

0.015

6.862·10-4
1.539·10-3

4

0.02

0.271

5

0.025

2.727·10-3
4.247·10-3

6

0.03

0.402

7

0.035

6.096·10-3
8.271·10-3

8

0.04

0.011

0.531

9

0.045

0.014

0.595

10

0.05

0.017

0.658

11

0.055

0.02

0.72

12

0.06

0.024

0.782

13

0.065

0.028

0.843

14

0.07

0.032

0.904

15

0.075

0.037

0.964

z  rkfixed U  T0  Tk  N  D

0.204

в выделенном столбце:
номера узловых точек 0-N,
в выделенной строке:
0 - время t ,
1 - угол  ,
2 - угловая скорость 

0.337
0.467

 1
  z

График движения



  1 U0  U1 
U1

2

0
1

 0
t  z



D( t  U)  




   1    

 2
  z

   t 

200

150


100

50

0

0

2

4

6

8

10

t

Вычисление средней угловой скорости
max    20.389

 

  
 cp  supsmoot ht

max  cp  19.336
График изменения угловой скорости     t  и величины

ср

233

25
20

cp

15
10
5
0

0

2

4

6

8

10

t

21



20

 cp
19

18

8

8.5

9

9.5

10

t

 
 cp  supsmootht

Вычисление среднего углового ускорения
График углового ускорения

    t  и величины  ср

40

20

 cp

0

20

40

0

2

4

6
t

234

8

10

5. Вычисление линейных ускорений тел, входящих в механизм




2
aC3  r1 cos      sin    

Ускорение центра масс катка 3

6. Вычисление реакций внешних и внутренних связей



Нормальное давление катка 3

max N3  1123.75

MH      
I3 

 aC3
N 3  tan   m3 g 
  m3 
2
R3



R3 




min N3  732.561

mean N3  180.14

График зависимости нормального давления N 3 катка на вертикальную
плоскость от времени
1500
1000
500
N3
0
500
1000

0

2

4

6

8

10

t




MH      
 I3

FSC  
aC3 
R3
 R32




Сила сцепления катка 3

График зависимости силы сцепления катка с вертикальной плоскостью
FСЦ от времени
1000

500

FSC

0

500

1000

0

2

4

6

8

10

t

235

Предельное значение силы сцепления

max FSC  711.7

min FSC  709.927



F'SC  fN3
max F'SC  337.125

min F'SC  219.768

График зависимости силы сцепления катка с вертикальной плоскостью
и ее предельных значений от времени
1000

500
FSC
F' SC

0

 F' SC
500

1000

0

2

4

6

8

10

t
1000

500
FSC
F' SC

0

 F' SC
500

1000

8

8.5

9

9.5

10

t




Усилие в стержне 4

MH      
I3 

1
 aC3
S4 
m3 g 
  m3 
2
R3
cos    


R3 




График зависимости усилия в стержне 4 от времени
2000

1000

S4

0

1000

2000

0

2

4

6
t

236

8

10




Давление пальца маховика
на прорезь кулисы

MH      
I3 

 aC3
N A   m2  m3 g 
  m2  m3 
2
R3



R3 




max NA  1477.811

min NA  816.348

График зависимости давления пальца маховика на прорезь кулисы от
времени
2000

1000
NA
0

1000

0

2

4

6

8

10

t

Давление кулисы на
направляющую в точке B



r1

OD  OC    
NB   NA 
cos     S4sin   

BD
BD



График зависимости давления кулисы на направляющую в точке B от
времени
1000

500
NB
0

500

0

2

4

6

8

10

t

Давление кулисы на
направляющую в точке D



r



1
OC   OB 
ND   NA 
cos     S4sin   

BD
BD



237

График зависимости давления кулисы на направляющую в точке D от
времени
400
200
0
ND
200
400
600

0

2

4

6

8

10

t


Y1   m1g  NA 

Вертикальная составляющая реакции подшипника маховика 1

График зависимости вертикальной составляющей реакции подшипника
маховика 1 от времени
2000

1000
Y1
0

1000

0

2

4

6

8

10

t

Вычисление среднего момента электродвигателя

min MDcp  20.664

238


 


mean MD     22.394


 


MDcp  supsmooth t  MD   

 


min MD     19.611

График зависимости момента электродвигателя, передаваемого маховику 1 от времени
45
40
35
MD   
30
MDcp
25
20
15

0

2

4

6

8

10

t
22

21
MD  
MDcp
20

19

8

8.5

9

9.5

10

t

239

4. Анализ результатов вычислений
Математическая модель, описывающая поведение исследуемого механизма (механической системы), построена при следующих основных допущениях:
o Каток 3 движется вдоль вертикальной плоскости без отрыва от нее, т.е. на каток наложены дополнительные связи, которые можно описать следующими
уравнениями:
геометрическими xC3  const  R3 ;
силовыми N3  0 , т. к. связь в точке касания катка с плоскостью является
неудерживающей.
o Каток 3 движется без проскальзывания, т.е. модуль силы сцепления FСЦ подчинен следующему ограничению
  fСЦ N3 ,
FСЦ  FСЦ

 – предельное значение силы сцепления.
где FСЦ

Анализ результатов расчета, с учетом сформулированных требований к поведению механической системы, позволяют сделать следующие выводы (величину времени начала установившегося режима движения механизма, период неравномерности вращения маховика и др. можно получить, используя опцию 2Dграфиков "Trace", которая позволяет снимать значения координат функций
прямо на графике [1]):
1. Время неустановившегося движения механизма невелико и составляет
около 4,5 с.
2. В установившемся режиме движение маховика близко к равномерному
вращению, средняя угловая скорость которого порядка cp  19.3 рад с .
Амплитуда

неравномерного

вращения

составляет

приблизительно

0.9 рад с , а его период – 0.325 c . Таким образом коэффициент неравно-

мерности движения механизма приблизительно равен
240



max  min
 0.096.
cp

3. В установившемся режиме среднее угловое ускорение маховика приблизительно равно  cp  0 рад с 2 . Амплитуда изменения углового ускорения
составляет приблизительно 26 рад с 2 , а коэффициент динамичности



 max
 0.067.
2
cp

4. Среднее значение силы нормального давления на вертикальную плоскость
N3 в установившемся режиме составляет приблизительно 180 Н, что

близко к величине m3 g tg   (см. (20)) а амплитуда ее изменения – около
930 Н.
5. Величина силы нормального давления на вертикальную плоскость N3 с
периодичностью 0,325 с. принимает отрицательные значения, что может
привести к отрыву катка от вертикальной плоскости. Такое поведение
силы N3 противоречит математической модели механизма и требует изменения ее параметров.
6. Максимальные и минимальные значения силы сцепления имеют приблизительно следующие значения max  FСЦ   712 H , min  FСЦ   710 H . В
тоже время предельные значения силы сцепления изменяются в интервале









  337 H , min FСЦ
  220 H , что не соответствует условиям
max FСЦ

движения катка без проскальзывания.
7. При заданных параметрах механизма и внешних нагрузок указанные условия не выполняются.
На основании выводов по результатам расчета движения механизма сформулируем задачу исследования.
Требуется обеспечить соответствие движения механизма ее математической модели в рамках принятых при постановке задачи допущениях.
241

Т.е. необходимо удовлетворить следующим условиям:
15) Сила нормального давления катка 3 о вертикальную плоскость должна
быть положительной;
16) Величина силы сцепления должна обеспечивать движение катка 3 без проскальзывания.
Данные условия представим в математическом виде

 


min  FСЦ    max  fСЦ N3 .

min  N3   0, max FСЦ  min fСЦ N3 ,

(25)

В дальнейшем будем считать, что расчетный режим движения механизма
является штатным, т.е. входные M Д и выходные нагрузки M H , а также средняя
угловая скорость изменяться не должны.
Вид графиков изменения величин N3  t  , FСЦ  t  ,   t  и   t  показывает,
что в дальнейшем исследовании следует ограничиться диапазоном установившегося режима движения механизма.
Для выполнения условий (25) выявим влияние параметров механизма и
внешних нагрузок на величины углового ускорения  и угловой скорости  маховика, силы нормального давления N3 , силы сцепления FСЦ .
Анализ зависимостей (18) – (20) показывает, что величина нормальной реакции опоры N3 зависит от прижимного усилия F  S4 sin   катка на вертикальную плоскость; прижимное усилие зависит от кинематических и инерционных (массы и момента инерции) параметров катка 3; сила сцепления также пропорциональна кинематическим и инерционным параметрам катка. В тоже время
инерционные параметры катка влияют на угловое ускорение механизма и, следовательно, на его угловую скорость.
Таким образом, изменение инерционных параметров катка (массы и / или
момента инерции) приводит не только к изменению прижимного усилия, но и к
изменению силы сцепления и кинематических параметров всего механизма.
242

Следует отметить, что в некоторых вариантах схем задания следует изменять инерционные параметры катка.
Подытоживая вышесказанное, нужно поставить цель изменения прижимного усилия таким образом, чтобы оно не влияло на кинематические параметры
механизма. Данную проблему можно решить, добавив в механизм новый конструкционный элемент, который осуществляет поджим катка 3 к вертикальной
плоскости. Вариантов, обеспечивающих такое решение, по–крайней мере – два
(рис.5):
o Предварительно сжатый упругий стержень, поджимающий каток 3 со стороны кулисы 2 (рис.5 а);
o Предварительно растянутый упругий стержень, обеспечивающий внешнее
поджатие катка 3 (рис.5 б).

MH

D

2

E

C3

c

3

MH


C2

4

c

D

2

C3

E

3

a)


C2

4
б)

Рис. 5. Дополнительный конструктивный элемент

Оба стержня моделируются упругой пружиной, сила упругости которой,
определяется выражением F  c  , где c – коэффициент жесткости стержня, 
– предварительное удлинение / сжатие стержня, в зависимости от схемы крепления.
Так как точка крепления пружины совпадает с центром масс катка в обоих
случаях, то расчетные схемы для них будут одинаковы (рис. 6). Отличие этой
схемы от предыдущей (рис. 4 а) заключается в наличии силы F , которая обеспечивает поджим катка 3 к вертикальной плоскости.

243

y
3  3

N3

P3

F

aC3
C3


FСЦ

MH

x

S4

G3
Рис. 6. Расчетная схема катка с дополнительным
конструктивным элементом

Записывая для катка 3 дифференциальные уравнения плоского движения
твердого тела, получим
0  N3  F  S4 sin   ,
m3 yC3  S4 cos    FСЦ  m3 g ,
I 3 3  FСЦ R3  M H .

Из этих уравнений можно найти величину нормальной реакции катка N3


M
3
N3  F  S4 sin    F   m3 g  H  m3 yC3  tg  
R3 2



и остальные реакции, действующие на каток 3  FСЦ , S4 , значения которых совпадают с предыдущим решением (см. формулы (18), (19)).
Оценим теперь величину прижимного усилия F . Так как значения силы
сцепления FСЦ и реакции стержня 4 S 4 не изменяются в связи с появлением дополнительного конструктивного элемента, то в расчетах можно использовать ре0
зультаты предыдущего решения, которые обозначим символом "  " . Подставляя

экстремальные значения сил FСЦ , S4 в условия (25), получим
0
N3  F  min  S4 sin     F  min  N3    0,



 


0
 0 
min  FСЦ   min  FСЦ
  min  fСЦ N3    fСЦ F  fСЦ min  N3   .




0
0 
max FСЦ  max  FСЦ
 min fСЦ N3  fСЦ F  fСЦ min  N3   ,





244

Разрешая данные неравенства относительно силы F , получим соотношения позволяющие найти минимальное значение величины прижимного усилия,
обеспечивающего выполнение условий (25)
0
0
 0 
 0 
max  FСЦ
 fСЦ min  N3  
 min  FСЦ
 fСЦ min  N3  



, F 



,
F
fСЦ
fСЦ
0
F   min  N3   .



Экстремальные значения силы сцепления FСЦ и нормальной реакции вертикальной плоскости N3 в предыдущем решении равны
0
 0 
 0 
min  N3    732.651 H , max  FСЦ
 711.7 H , min  FСЦ
 709.927 H .







Тогда минимальное значение прижимного усилия должно удовлетворять
следующим неравенствам
F  3104.893 H , F  3098.984 H , F  732.651 H .

В качестве минимального значения прижимного усилия принимаем с небольшим запасом F  3200 H . Задавая теперь в качестве величины предварительного удлинения (сжатия) прижимного стержня   0.002 м , получим значение модуля упругости стержня
c

F



 1 600 000 H

м

.

Для схемы механизма с предварительно растянутым стержнем (рис. 5 б)
закон движения ведущего звена, а также реакции внешних и внутренних связей
остаются неизменными, кроме нормальной реакции опорной плоскости N3 . При
этом максимальные сжимающие усилия стержня 4 и силы нормального давления
пальца на прорезь кулисы 2 равны
S4max  1589.222 H ,

N Amax  1477.811 H .

Оценим теперь, какое влияние оказывает на механизм предварительно
сжатый стержень. Для этого рассмотрим кулису 2 и составим для нее расчетную
245

схему (рис. 7), на которой изобразим действующие на кулису силы: силу тяжести
G2  m2 g , реакции направляющих кулисы N B , N D , усилие стержня 4 – S 4 , при-

жимное усилие F  , а также силу давления пальца маховика A на прорезь кулисы
NA.

y
D

ND

E

aC2  yC2

F
S 4

NB


C2
B

G2 N A
A


O

x

Рис. 7. Расчетная схема кулисы 2 в случае внутреннего поджима (рис.5 а).

Применяя, как и ранее теорему о движении центра масс и теорему об изменении кинетического момента механической системы, получим следующие
уравнения
0  N D  F   S4 sin    N B ,
m2 yC2  N A  S4 cos    m2 g ,

0  N A r1 cos    N D C2 D  N B C2 B  F  C2 E.

Решение данной системы показывает, что величина силы давления пальца
на прорезь кулисы N A полностью совпадает с формулой (21), а остальные реакции равны
r1
C D
ED
cos    S4 2 sin    F
,
BD
BD
BD
r
C B
EB
N B  N A 1 cos    S4 2 sin    F
,
BD
BD
BD
NB  N A

где ED  OD  OE, EB  OE  OB, C2 E  h cos  .
Таким образом, для схемы механизма с предварительно сжатым стержнем
246

(рис. 5 а), закон движения ведущего звена, а также реакции связей остаются неизменными, кроме нормальных реакций опорной плоскости N3 и направляющих
N B , N D . Максимальные значения сжимающих усилий в стержне 4 и прижимном

стержне, а также силы нормального давления пальца на прорезь кулисы 2 равны
S4max  1589.222 H ,

N Amax  1477.811 H , F  3200 H .

Сравнивая предельные значения сжимающих усилий для разных конструктивных схем, делаем вывод, что поскольку эти значения меньше для схемы с
предварительно растянутым стержнем (рис. 5 б), то данная схема предпочтительнее.

247

5. Результаты анализа
С целью подтверждения проведенных исследований произведем расчет
конструктивно измененного механизма.
Динамический расчет механизма с кулисным приводом
1. Ввод исходных данных
… … … …

  0.002

h  0.5

c  1600000

2. Вычисление постоянных величин
CE  hcos   

F  c 

… … … …

3. Определение функций
… … … …

OE    OC     CE

… … … …
6. Вычисление реакций внешних и внутренних связей



Нормальное давление
катка 3

max N3  4323.75

MH      
I3 

 aC3  F
N 3  tan   m3 g 
  m3 
2
R3



R3 




min N3  2467.439

mean N3  3380.14

График зависимости нормального давления N 3 катка на вертикальную
плоскость от времени
4500
4000
3500
N3
3000
2500
2000

0

2

4

6

8

10

t

…………
Предельное значение силы сцепления

max FSC  711.7

248

min FSC  709.927



F'SC  fN3
max F'SC  1297.125 min F'SC  740.232

График зависимости силы сцепления катка с вертикальной плоскостью
и ее предельных значений от времени
2000

1000
FSC
F' SC

0

 F' SC
1000

2000

0

2

4

6

8

10

t
2000

1000
FSC
F' SC

0

 F' SC
1000

2000

8

8.5

9

9.5

10

t

…………

Давление кулисы
r1

OD  OC   
OD  OE   
на направляющую
NB   NA 
cos     S4sin   
 F

в точке B
BD
BD
BD


График зависимости давления кулисы на направляющую в точке B от
времени
600
400
200
NB
0
200
400

0

2

4

6

8

10

t

249

Давление кулисы
на направляющую
в точке D



r1

OC     OB
OE    OB 
ND   NA 
cos     S4sin   
 F

BD
BD
BD



График зависимости давления кулисы на направляющую в точке D от
времени

2500

3000
ND
3500

4000

0

2

4

6
t

…………

250

8

10

Выводы
В результате решения полученного дифференциального уравнения движения механизма были определены: закон движения маховика 1, его угловые скорость и ускорение как функции времени t . На основании найденного закона движения по разработанному алгоритму были вычислены значения реакций внешних и внутренних связей.
Проведенный анализ результатов расчета показал, что в некоторые моменты времени значения нормальной реакции опорной плоскости становятся отрицательными, а сила сцепления превышает свое предельное значение. Следовательно, математическая модель не соответствует поведению механической системы: каток 3 может двигаться не только с проскальзыванием, но и с отрывом
от вертикальной плоскости. Таким образом, механизм может получить дополнительную степень свободы.
С целью устранения этой ситуации были сформулированы критерии, удовлетворение которых обеспечивает адекватность движения системы математической модели.
Проведенные исследования показали, что конструкционное внесение в
схему механизма предварительно напряженных упругих стержней позволяет
обеспечить адекватность математической модели ее реальному движению.
Было найдено минимальное значение прижимного усилия, обеспечивающего выполнение необходимых для этого условий

N3  0, FСЦ  FСЦ

при F  3105 H .

Произведена сравнительная оценка разных конструкционных элементов
внесенных в механизм и сделан вывод о предпочтительности схемы с предварительно растянутым стержнем, в связи с необходимостью дальнейших расчетов
на устойчивость сжатых стержней и срез пальца маховика 1.

251

АЛЬБОМ ЗАДАНИЙ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА
1

2

l


MД

O

A

1

MД



A

2

O

3

B

C2

l

C2

FH

1

3

2
MH

B
3

4
MH

MД

C2

B

2

A

O 

C2

l
FH

B

3

3

1

A


O

l

2

MД

1
5

6

A


C2

D

252

A



O

MД

FH

3

1

l



O

2

2

C2

B

B
1

MД

MH

l

3

7

8
B

MД

MH

C2

2

B

A

C2

O 

2

l

3
O

A


1

FH
3

l

MД

1
9

10

l
2

B

MД

D

MД

O

 C2

MH





A

1

O

A

1

l

2

3

FH

C2
B

11

12

l


1

1
MД

O

A

MH

A
O

D

l
 C2



C2

B

2
MД

2

3

3

3

MH

B

253

13

14
MД

2
FH

A

B


O 

A

1

MД

O

3

l
1

2l

2

C2

3
MH

B
15

16

1

1
A

2



O

C2

D
MД

3

A
B



O

B

C2


2
FH

l

MД

FH

l

3

17

18

B
2

3

FH

C2

2

C2

l

1

254



3

D

A
O

MH

B

l

A


O


MД

MД

1

19

20
MH


1

1

MД

O

A

3

FH


C2

l
B

C2

O

2

l

MД

2

3



A

D

B

21

22
MH

l

B

C2
2

B C
2

l

2

A

O 

A

3

O



3

1

MH

MД

1

MД

23

24


1

1
O

A
D

C2
2
B

MД

MД

O

A
FH

l




l
2

MH

3

C2

3

B

255

25

26

FH

MД

B

2

B

C2

1
3

A


O

O 

FH

l

2

3

A

C2

l
MД

1
27

28
MH


1

MД

2

O

O

A



A

C3

B

3

1

l

2

MД

MH

2l

C2
B

3

29

30
FH

B

FH

1

2

3

C2

B

D



A
O

 C
2

3

D

2

O

l

256

l

A
MД


MД

1

№

M0

0

1



I1

m1

m2

m3

R3

r3

i3  OB

l

H  м кг  м / с кг / с кг  м2
кг
м
–
–
–
1 - 50 0,8 – 344 1,4 51 21 24 0,18 –
–
–
–
2 102 3,3 – 331 2,0 55 15 20 0,13 –
1,5 50 20 24 0,12 –
– 0,12 –
3 - 34 0,3 9,56 –
26 0,2 3,48 –
1,7 56 26 20 0,09 –
– 0,09 –
4
–
5 105 3,5 – 639 2,0 49 10 20 0,12 0,08 0,09 –
1,4 54 24 24 0,18 –
– 0,10 –
6 - 53 0,8 4,72 –
1,5 51 20 20 0,09 –
– 0,12 0,08
7 - 27 0,2 20,6 –
–
8 108 3,5 – 222 2,0 60 10 15 0,10 0,08 0,08 –
1,4 53 15 30 0,09 –
– 0,15 0,05
9 - 27 0,2 20,6 –
–
10 110 3,8 – 571 2,0 62 12 20 0,18 0,08 0,12 –
37 0,4 11,5 –
1,7 52 22 32 0,12 –
– 0,12 0,06
11
–
12 112 3,7 – 246 2,0 54 14 12 0,16 0,12 0,14 –
–
–
–
13 113 3,7 – 342 2,0 58 12 10 0,12 –
–
14 114 3,8 – 856 2,0 57 15 28 0,10 0,06 0,08 –
–
15 115 3,9 – 2234 2,0 63 16 30 0,20 0,06 0,14 –
–
16 116 3,9 – 2654 2,0 48 18 16 0,10 0,05 0,08 –
39 0,4 6,95 –
1,4 63 23 32 0,12 –
– 0,12 –
17
–
–
–
18 118 3,9 – 337 2,0 64 12 10 0,08 –
–
19 119 3,9 – 3231 2,0 59 20 40 0,14 0,07 0,08 –
2,0 70 10 12 0,10 –
–
–
–
20 120 4,0 3,24 –
–
–
–
21 121 4,0 – 1380 2,0 67 24 16 0,07 –
–
22 122 4,1 – 700 2,0 72 12 18 0,18 0,06 0,12 –
65 1,0 5,36 –
1,4 57 17 16 0,18 –
– 0,10 –
23
1,7 65 25 36 0,09 –
– 0,16 0,08
24 - 31 0,2 49,2 –
63 1,0 35,4 –
1,4 64 24 32 0,18 –
– 0,14 –
25
–
26 126 4,2 – 5440 2,0 58 18 26 0,18 0,09 0,10 –
1,5 56 26 24 0,12 –
– 0,16 –
27 - 36 0,4 29,9 –
–
–
–
28 128 4,3 – 1308 2,0 71 22 16 0,15 –
–
–
–
29 129 4,2 – 101 2,0 67 12 10 0,05 –
1,5 49 15 20 0,12 –
– 0,10 –
30 - 41 0,4 6,10 –
Радиус маховика R1 = 0.36 м, OA = r1 = 0.06 м. Тела, радиус инерции которых
не задан в таблице, считать круглыми однородными цилиндрами.
257

Д 3. ДИНАМИКА ПЛОСКИХ ШАРНИРНЫХ МЕХАНИЗМОВ
Плоские шарнирные механизмы широко распространены в современном
машиностроении в связи с присущими им достоинствами: высокой технологичностью изготовления, возможностью выполнения шарнирных соединений на
подшипниках качения, небольшим износом соприкасающихся поверхностей,
долговечностью, надежностью в работе и ремонтоспособностью.
Без глубокого знания кинематических и динамических характеристик механизмов, входящих в современный агрегат, невозможно спроектировать машину с параметрами, близкими к оптимальным, что, безусловно, отражается на
производительности, надежности, долговечности машины, и на качестве выпускаемой продукции. Знание кинематических и динамических свойств и возможностей механизмов необходимо для разработки новых технологических процессов.

Цель курсовой работы
Исследование и анализ динамического поведения плоского шарнирного
механизма с помощью основных теорем и принципов теоретической механики.

Содержание курсовой работы
Объектом исследования является плоский шарнирный механизм, который
приводится в движение электродвигателем, развивающим момент, приложенный
к ведущему звену (кривошипу OA )
M Д  M 0  0 

где M 0 ,  0 – постоянные величины.
Полезная нагрузка моделируется для разных вариантов либо силой FH ,
либо моментом M H
FH   v , M H   

где  ,  – постоянные величины, а v,  – линейная или угловая скорость ведомого звена.
258

Схемы механизмов и исходные данные для расчета приведены в альбоме заданий.
При составлении математической модели принимаются следующие допущения:
o Звенья механизма считаются абсолютно твердыми, сплошными и однородными стержнями.
o Проскальзывание между звеньями отсутствует.
o Трение в подшипниках и шарнирах не учитывается; ползуны скользят по
направляющим без трения.
Требуется:
1. Составить дифференциальное уравнение движения механизма.
2. Составить уравнения для определения динамических реакций внешних и внутренних связей.
3. Проинтегрировать при нулевых начальных условиях 

t 0

 0, 

t 0

 0 диф-

ференциальное уравнение движения кривошипа OA на отрезке времени [0, ].
Величину  рекомендуется принимать из промежутка 0,5 10,0 с.
4. Построить графики функций    (t ), z  z (t ),  z   z (t ) и определяемых динамических реакций. Найти предельную угловую скорость кривошипа.
5. Проанализировать полученные результаты.

Порядок выполнения работы
1. Составить дифференциальное уравнение движения механизма одним из следующих способов (по указанию преподавателя):
o с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме;
o методом общего уравнения динамики;
o с помощью уравнений Лагранжа второго рода.
2. Определить динамические реакции внешних и внутренних связей. Для их
определения следует использовать (по указанию преподавателя):
259

o теоремы об изменении количества движения и кинетического момента в дифференциальных формах;
o дифференциальные уравнения движения твердого тела;
o метод кинетостатики (принцип Даламбера).
3. Численное интегрирование дифференциального уравнения движения при заданных начальных условиях рекомендуется провести в одной из математических
сред (например, Mathcad). Там же провести определение указанных динамических реакций и построение графиков.
4. Провести анализ результатов расчета движения механизма. Исследовать факторы, влияющие на неравномерность движения механизма

260

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
Плоский шарнирный механизм (рис. 1), расположенный в вертикальной
плоскости, движется под действием внешнего момента M Д , приложенного к ведущему звену (кривошипу OA ) и изменяющемуся по закону M Д  M 0  0  .
На ползун D действует полезная нагрузка FH , величина которой задается соотношением
FH   vD .

Звенья механизма моделируются сплошными однородными стержнями,
массы которых пропорциональны их длине. Погонная плотность каждого
стержня равна  . Соединение стержней осуществлено идеальными шарнирами.
Движение механизма начинается из состояния покоя, а начальное значение угла
поворота ведущего звена равно   0 .
Требуется
o Составить дифференциальное уравнение движения механизма с помощью
теоремы об изменении кинетической энергии;
o Определить динамические реакции внешних и внутренних связей;
o Провести численное интегрирование дифференциального уравнения движения при заданных начальных условиях с помощью пакета Mathcad;
o Провести анализ результатов вычислений.

261

FH
D

3

a

C3
3

MД A



C

1

O1

2

C1

K

C2

b

2

O

1

B

Исходные данные:
OA  l0  15 см,
O1K  25 см,
  10 кг м ,
  15.0 H c м ,

AB  l 1  97 см,
a  50 см,
m4  2 кг,
M 0  50 H м,

O1B  l2  66 см,

b  37 см,

KD  l3  86 см,

 0  1.25 Н мс.

Рис. 1. Схема плоского механизма и исходные данные

262

1. Составление дифференциального уравнения движения
механизма
Для решения поставленной задачи выберем правую систему координат,
начало которой расположим в подшипнике O . Рассмотрим механизм в произвольном положении и изобразим силы действующие на него в данный момент
времени (рис. 2): G, G1, G2 , G3 , G4 – силы тяжести звеньев; FH – полезная
нагрузка; M Д – возмущающий момент; X O , YO , X O1 , YO1 , X П – реакции опор.

FH
D

XП

GD  G4

a

C3

YO 1

G3

3

X O1

MД A
YO
O



C

G

1

O1

2

C1

K

G1

C2

b

G2

XO

B

Рис. 2. Расчетная схема плоского механизма

Составление кинематических соотношений
Рассматриваемый механизм представляет собой механическую систему с
одной степенью свободы. Положение всех его звеньев будем определять с помощью угла поворота ведущего звена  . Углы поворотов звеньев  k

 k  1, 2, 3 ,

263

отсчитываемые от горизонтальной оси O x в положительном направлении, связаны с острыми углами  k , изображенными на рис. 2 (см. К 1, рис. 2), соотношениями

 1  2   1,  2  2   2 ,  3 


2

 1 .

Выразим кинематические характеристики всех тел механизма через кинематические параметры ведущего звена с помощью уравнений геометрических
связей (К 1, (3))
AB cos 1   O1B cos 2   a  OA cos   ,
AB sin 1   O1B sin 2   b  OA sin   ,
O1K cos 2   KD cos 3   0,

(1)

O1K sin 2   KD sin 3   yD  b.

Угловые координаты звеньев механизма и координата ползуна D будут в
этом случае определяться соотношениями (К 1, (5) – (8)):

 O1B 2  O1 A2  AB 2 
1    arccos 
 ,
2
AB
O
A
1


 O1B 2  O1 A2  AB 2 
2    arccos 
 ,
2
O
B
O
A
1
1


 OK

3  arccos   1 cos 2   ,
 KD


(2)

yD  b  O1K sin 2   KD sin 3  .

Угловые скорости звеньев можно получить из соотношений (К 1, (11'))
X   A1  B ,

(3)

 1 


где X     2  – вектор угловых скоростей звеньев, отнесенных к угловой ско

3 

dk dk


рости ведущего звена  k 

  k  ;
dt
d



264

  AB sin 1 

O1B sin 2 
0


A   AB cos 1  O1B cos 2 
0
 – матрица коэффициентов си
0
O1K sin 2   KD sin 3  

стемы уравнений A  X   B ;
 OA sin   


B   OA cos    – вектор правых частей системы уравнений A  X   B .


0

Скорости центров масс кривошипов OA и O1B найдем по формуле Эйлера
vC    OC; vC2  2  O1C2 ,

(4)

а скорости центров масс шатунов AB и KD вычислим с помощью теоремы о
сложении скоростей плоской фигуры

vC1  v A   1  AC1, vC 3  vK   3  KC 3 ,

(5)

где v A    OA – скорость точки A шатуна AB , vK   2  O1K – скорость точки

K шатуна KD .
Скорость ползуна D определяется простым дифференцированием четвертого уравнения системы (11)

 

 

yD  vC4  O1K cos  2 2  KD cos  3 3 .

(6)

Угловые ускорения механизма связаны между собой аналогичными с (3)
выражениями (К 1, (13'))
X   A1  C

(7)

 1 
 
где X     2  – вектор неизвестных угловых ускорений звеньев;
 
 3 
C  C 2  B  – вектор правых частей системы уравнений A  X   C ; а

265

 OA cos    AB cos 1  12  O1B cos 2  2 2 


C   OA sin    AB sin 1  12  O1B sin 2  2 2  .


O1K cos 2  2 2  KD cos 3  32 


(8)

При вычислении угловых ускорений звеньев учтено, что, в отличии от задания К 1, угловое ускорение ведущего звена не равно нулю.
Ускорения центров масс кривошипов OA и O1B найдем по формуле Эйлера





aC    OC      OC ;



(9)



aC2   2  O1C2    2  O1C2 ,

Ускорения центров масс шатунов AB и KD вычислим с помощью теоремы
о сложении ускорений плоской фигуры





aC 1  a A   1  AC1   1   1  AC1 ,



(10)



aC 3  aK   3  KC 3   3   3  KC 3 ,

где



a A    OA      OA





–

ускорение

точки

A

шатуна

AB ,



aK   2  O1K  2  2  O1K – ускорение точки K шатуна KD .
Ускорение ползуна D определяется дифференцированием уравнения (6)

 
 
KD cos  3   3  sin  3 32  .



yD  aC4  O1K cos  2  2  sin  2 22  



(11)

Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью теоремы об изменении кинетической энергии
Для составления дифференциального уравнения движения механической
системы с одной степенью свободы применим теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме

 

 

dT
  N k Fke   N k Fki ,
dt
k
k

266

(12)

где T – кинетическая энергия системы;

 N k  Fke 

– сумма мощностей внешних

k

сил;

 N k  Fki  – сумма мощностей внутренних сил.
k

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, образующих механическую систему
T  T0  T1  T2  T3  T4 ,

1
где T0  IOz 2 – кинетическая энергия кривошипа OA , совершающего враща2
тельное движение вокруг оси O z ;

1
1
T1  m1vC21  I1C z 12 – кинетическая энергия шатуна AB , совершающего плос2
2 1
кое движение;

T2 

1
I 2O z 22 – кинетическая энергия кривошипа O1B , совершающего враща2 1

тельное движение вокруг оси O1 z ;

1
1
T3  m3vC23  I3C z 32 – кинетическая энергия шатуна KD , совершающего
2
2 3
плоское движение;

1
1
T4  m4vD2  m4vC2 4 – кинетическая энергия ползуна D , который движется по2
2
ступательно.
Моменты инерции сплошных однородных стержней, составляющих механизм, относительно осей проходящих через их центры масс равны
1
1
1
1
IOz  m0l02 , I1C z  m1l12 , I 2O z  m2l22 , I3C z  m3l32 .
1
1
3
3
12
3
12

Подставляя кинематические соотношения (3) – (6) в выражение кинетической энергии системы, окончательно получаем:

1
T  I np    2
2

(13)

267

где

I пр    IOz  m1VC21  I1C z 21  I 2O z 22  m3VC23  I3C z 23  m4VC24
1

1

3



(14)



– приведенный момент инерции механизма, а величины VCk , k  1, 4 – скорости

v


точек механизма, отнесенные к угловой скорости ведущего звена  VCk  Ck  .


Для рассматриваемой механической системы, состоящей из абсолютно
твердых тел, соединенных идеальными шарнирами сумма мощностей внутренних сил равна нулю

 Nk  Fki   0 .
k

Сумма мощностей внешних сил будет равна

 Nk  Fke   N M Д
k

 N FH  NG  NG  NG  NG  NG ,
1

2

3

4

где NG  G  vC , NG  G1  vC1 , NG  G2  vC2 , NG  G3  vC3 , NG  G4  vC4 – мощ1

2

3

4

ности сил тяжести звеньев; N M Д  M Д  – мощность момента приводящего механизм в движение; N FH  FH  vD – мощность полезной нагрузки.
Мощности сил X O , YO , X O1 , YO1 , X П равны нулю, т.к. реакция опорной
плоскости X П перпендикулярна скорости точки D , а остальные силы приложены к неподвижным точкам.
Учитывая выражения для движущегося момента M Д и полезной нагрузки
FH , окончательно получим
0
   пр   2 ,
 Nk  Fke   M пр  ,    M пр

(15)

0
M пр  ,    M пр
   пр  

(16)

k

где

0
– приведенный момент внешних сил, а величины M пр
  и  пр   равны
0
M пр
   M 0  G  VC   Gk  VCk ,
k

 пр     0   VC24 .
268

Подставляя найденные выражение кинетической энергии (13) и мощности
внешних сил (15) в теорему об изменении кинетической энергии (12), получим
дифференциальное уравнение движения механизма

1
I np     I np    2  M пр  ,   ,
2

(17)

d
где I np   
I np   – производная момента инерции механизма по углу поd

ворота ведущего звена.
Решив данное дифференциальное уравнение второго порядка с указанными в задаче начальными условиями, найдем закон движения ведущего звена

  t  , его угловую скорость   t    и угловое ускорение   t    .

2. Нахождение реакций внешних и внутренних связей
Для определения реакций внешних и внутренних связей расчленим плоский шарнирный механизм на отдельные звенья и изобразим реакции внешних и
внутренних связей каждого звена (рис. 3).
Применив к каждому телу, изображенному на расчетной схеме, теорему о
движении центра масс (в проекциях на оси координат) и теорему об изменении
кинетического момента (для кривошипов относительно осей вращения, для шатунов относительно осей проходящих через центр масс) получим следующую
систему уравнений:
Кривошип

m aCx  X O  X A ,

OA

m aC y  YO  YA  m g ,

(18)

IOz   M Д  m g xC  YA x A  X A y A ;
Шатун AB

m1 aC1x  X B  X A ,
m1 aC1y  YB  YA  m1 g ,



 YB  xB  xC  ;









I1C z 1   X A yC1  y A  YA xC1  x A  X B yB  yC1 
1

(19)

1

269

X D

FH

YD

XП

XD

D

D

YO 1

G4

YD

O1
2

YO

aC

O

C2
G2

X B

XO



X A A

1

YA
aC 1

3

G3

B

YB
XA

C

aC3

2

A

G 



C3

XK

K
aC2

MД

3

 2 YK

aC4

YA

3

X O1

X K
YK

C1

1

1

YB

G1
B

XB

Рис. 3. Расчетные схемы звеньев плоского механизма

Кривошип

m2 aC2 x  X O1  X B  X K ,

O1B

m2 aC2 y  YO1  YB  YK  m2 g ,


 

 X B  yB  yO   YB  xB  xO   m2 g  xC

(20)

I 2O z  2   X K yK  yO1  YK xK  xO1 
1

1

Шатун KD

1

2



 xO1 ;

m3 aC3x  X D  X K ,
m3 aC3 y  YD  YK  m3 g ,


 

 X D  yD  yC   YD  xD  xC  ;

I 3C z  3   X K yC3  yK  YK xC3  xK 
3

3

Ползун D

270

,
0  XП  XD
m4 aC4  YD  m4 g  FH .

(21)

3

(22)

Первое уравнение системы (5) позволяет определить реакцию опорной
плоскости X П , а второе, после подстановки найденных величин, дифференциальное уравнение движения механизма (17).
Оставшиеся двенадцать соотношений представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных реакций.

3. Результаты расчетов
Решение поставленной задачи сводится к численному интегрированию
дифференциального уравнения движения механизма (17) и решению системы
двенадцати линейных алгебраических уравнений (1) – (21) относительно неизвестных динамических реакций внешних и внутренних связей.
Задача интегрирования дифференциального уравнения (17) связана с большим количеством предварительных вычислений и может быть условно разбита
на пять блоков:
o решение системы уравнений геометрических связей (1) или вычисление геометрических соотношений (11);
o вычисление кинематических соотношений по формулам (3) – (11);
o вычисление приведенного момента инерции механизма I np   и приведенного момента внешних сил M пр  ,   ;
o вычисление производной от приведенного момента инерции по углу поворота
ведущего звена I np   ;
o численное интегрирование дифференциального уравнения.
Все это может быть проведено в Mathcad несколькими способами использующими различные встроенные процедуры–функции. Отличие этих способов и
методов заключается во времени вычислений, которое требуется для нахождения: решения системы уравнений геометрических связей, приведенного момента
инерции механизма I np   и его производной I np   , приведенного момента

271

внешних сил M пр  ,   , а также решения дифференциального уравнения движения (17). Подробно о методах решения данного дифференциального уравнения
изложено в [1]. Ниже рассмотрен алгоритм и приведет пример документа
Mathcad, в котором обеспечивается минимальное время вычислений.

Алгоритм вычислений



Угловые координаты звеньев k k  1, 3



и положение ползуна D

yD  yC4 вычисляются в явном виде по формулам (11).





Угловые скорости звеньев k k  1, 3 , отнесенных к угловой скорости
кривошипа, вычисляются в явном виде по формулам (3).





Скорости центров масс звеньев VCk k  1, 4 , отнесенных к угловой скорости кривошипа, вычисляются в явном виде по формулам (4) – (6), которые примут следующий вид
VC  k  OC ;
VC1  k  OA  1  AC1,
VC2   2  O1C2 ,

(23)

VC3   2  O1K  3  KC 3 ,

VC4  O1K cos 2   2  KD cos 3  3.

Далее, по формулам (14) и (16) вычисляется приведенный момент инерции
I np   и коэффициенты в приведенном моменте внешних сил M пр  ,   .

Для вычисления производной I np   от приведенного момента инерции
по углу поворота ведущего звена воспользуемся явным представлением этой
производной
I пр    2m1VC1VC1  2 I1C z 11  2 I 2O z 22 
1

1

2m3VC3VC3   2 I 3C z 33  2m4VC4VC4 .
3

272





Производные k  k  1, 3 можно найти, продифференцировав по  систему уравнений A   X     B   . Получим
A    X     A   X     B   

A    X     C   ,

X     A1    C   ,

откуда


 1 
где вектор X       2  , а матрица C   определена соотношением (8).


 3 







Производные VCk  k  1, 4 находятся дифференцированием по углу поворота кривошипа OA выражений (23).
Для численного интегрирования дифференциального уравнения второго
порядка (17) представим его в виде системы двух дифференциальных уравнений
первого порядка. Введя новые переменные    ,      , получим

  ,


1 
 0

M






I np    2  .




пр
пр

I np   
2

1

(24)

Эти соотношения позволяет вычислять угловое ускорение кривошипа,
если известны его угол поворота и угловая скорость; в частности, можно вычислить угловое ускорение в начальный момент по заданным начальным значениям
угла поворота и угловой скорости кривошипа.
Для интегрирования системы уравнений (24) при заданных начальных
условиях используем встроенную в пакет Mathcad процедуру-функцию rkfixed
реализующую метод Рунге-Кутта [1] и имеющую следующий вид:
rkfixed(u, T0, Tk, N, D),

  0  
где: u  
 - вектор начальных условий; T0 , Tk – граничные точки интервала,
  0  
на котором ищется решение дифференциального уравнения. Начальные условия,
273

заданные в векторе u – это значение решения в точке T0 ; N – число точек (не
считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк N  1 в матрице, возвращаемой

  t , U  
функцией rkfixed ; D  t ,U   
 – вектор, элементами которого является

t
,
U




угловая скорость и угловое ускорение маховика, определяемых уравнениями
(24).
Матрица, получаемая в результате решения, содержит три столбца; первый
– для значений времени t , второй – для значений угла поворота   t  , третий –
для значений угловой скорости   t  .
Решение системы линейных алгебраических уравнений (1) – (21), для
нахождения динамических реакций внешних и внутренних связей сложностей не
вызывает и реализуется любым из методов реализованных в Mathcad [1, 5].
Ниже приведен пример документа Mathcad, в котором реализована процедура интегрирования дифференциального уравнения движения маховика и вычисления реакций внешних и внутренних связей.

Динамический расчет плоского шарнирного механизма
1. Ввод исходных данных
a  .50

b  .37

OA  .15

AB  .97

O1K  .25

O1B  .66

KD  .86

M0  50

 0  1.25

  15.

  10

g  9.81

2. Вычисление постоянных величин и вспомогательных функций

m0   OA

m1   AB

m2   O1B

m3   KD

L0  OA

L1  AB

L2  O1B

L3  KD

ORIGIN  1

b
  atan 
a
274

O1A    

a  b  OA  2 OA a  b cos     
2

2

2

2

2

m4  2

     angle OA cos     a  OA sin    b

3. Определение угловых координат звеньев и вертикальной координаты
ползуна

D как функции угла поворота ведущего звена

 O1B2  AB2  O1A   2 
 O1A   2  O1B2  AB2 

  2         acos 
 1          acos 
2 O1A    O1B
2 O1A    AB





 O1K cos     
 2 
 KD








yD     b  O1K sin  2     KDsin  3   

 3    acos  



4. Определение положения узловых точек механизма радиус-векторами

 cos    
RA      sin    L0
 0 



 a 
RO1     b 
0 
 
 cos    
L0
RC     sin    
 0  2


 cos   3    




 D    sin  3      L3


0


 a 






y

RD    D



 0 

 cos   1    

 L1




 C1    sin  1    

 2
0


 cos   2    


 B     sin  2      L2


0


 cos   2    




 K    sin  2      O1K


0


 cos   2    

 L2


 C2    sin  2      

 2
0


 cos   3    

 L3




 C3    sin  3    

 2
0



RC1    RA      C1  

RB    RO1      B  

RK     RO1      K   

RC3    RK      C3  

5. Блок вычисления приведенного момента инерции механизма
Определение матрицы коэффициентов, вектора правых частей системы
нелинейных уравнений относительно угловых скоростей звеньев, а
также вектора неизвестных приведенных угловых скоростей.
0
 ABsin  1   O1Bsin  2  


















AB

cos



O1B

cos


0
A   
 1 
 2 







0

O1K

sin



KD

sin






2
3



275

 OAsin   
B     OA cos    


0



'     A  

1

B  

Определение законов изменения скоростей звеньев отнесенных к угловой скорости кривошипа в векторной форме.
 0 
 0 
 0 
0 

 





 '    
1


      0 

 1    

1 
 

0





 '    
2


 2    

0





 '    
3


 3    

0

Определение скоростей узловых точек механизма отнесенных к угловой
скорости кривошипа

VA          RA   
VC1    VA      1      C1  

VC         RC  
VB     2      B  

VC2     2      C2  
VC3    VK      3      C3  



VK      2      K   







     O1K cos  2    '    2  KDcos  3    '    3

VD     0     0 
Вычисление моментов инерции кривошипов относительно оси вращения,
шатунов – относительно осей, проходящих через центр масс.
T

1
1
1
1
2
2
2
2
m0L0
JzC1 
m1L1
JzO1  m2L2
JzC3 
m3L3
3
12
3
12
Вычисление приведенного момента инерции механизма
JzO 

Jnp    JzO  m1 VC1   VC1    JzC1 1     1    
 JzO1  2     2     m4 VD    VD    
 m3 VC3   VC3    JzC3 3     3   

6. Блок вычисления производной от приведенного момента инерции по
углу поворота ведущего звена



Вычисление производных k  k  1, 3



 OAcos     ABcos        '    1 2  O1Bcos        '    2 2 
1
2



2
2 
C'     OAsin    ABsin  1     '    1  O1Bsin  2     '    2




2
2
O1K cos   2     '    2  KDcos   3     '    3


''     A  

1

C'   



Формирование производных k  k  1, 3

276



в виде векторов

 0 
'      0 
0 
 

 0 
 0 
 0 






'1     0  '2     0  '3     0 
 ''    
 ''    
 ''    
1
2
3






Вычисление производных VC  k  1, 4
k





V'A     '     RA               RA   





V'C1    V'A     '1      C1     1      1      C1  



V'K     '2      K      2      2      K   







V'C3    V'K     '3      C3     3      3      C3  



0




2
2









O1K

sin




'



KD

sin




'









2
3
2
3
V'D    
  O1K cos   2    ''    2  KDcos   3    ''    3



0



Вычисление производной I np  
J'np    2 m1 VC1   V'C1    2 JzC1 1    '1    
 2 JzO1  2    '2     2 m4 VD    V'D    
 2 m3 VC3   V'C3    2 JzC3 3    '3   
Отображение приведенного момента инерции и его производной на графике за один оборот кривошипа
  0  0.01  2 
1.5
1
Jnp  0.5
J'np 

0

45

90

135

180

225

270

315

360

0.5
1


180


277

7. Блок вычисления приведенного момента внешних сил и углового
ускорения звена
Формирование векторов сил тяжести звеньев механизма

 0 


G   m0g 
 0 



 0 


G1   m1 g 
 0 



 0 


G2   m2 g 
 0 



 0 


G3   m3 g 
 0 



 0 


G4   m4 g 
 0 



Вычисление коэффициентов в выражении приведенного момента внешних
сил
M0пр     GVC    G1VC1    G2VC2    G3VC3    G4VD    M0
 пр      0   VD    VD   

Вычисление углового ускорения кривошипа OA
1
2
M0пр      пр      J'np   
2
 OA      
Jnp  
8. Процедура интегрирования дифференциальных уравнений
Конечный момент времени

T  2.2

Число узловых точек

N  500T

Формирование системы дифференциальных
уравнений
Применение процедуры функции rkfixed.





  OA  U1  U2 
 0 

  rkfixed   0  T  N  D
 0 

D( t  U)  

U2

Вывод результатов вычислений.
Формирование векторов искомых величин
 1
t  

 2
  

 3
  

Вычисление средней угловой скорости

 

max  cp  35.4382

  
 cp  supsmoot ht

max    69.3093

График изменения угловой скорости

278




   OA   

    t  и величины ср

80

60

 cp

40

20

0

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

t

 
 cp  supsmootht

Вычисление среднего углового ускорения
min    5126.4989

max    3955.7691

График углового ускорения

    t  и величины  ср

5


1000
 cp

0

1000

5

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

t

Вычисление момента M Д , и его среднего значения


MДср  supsmootht
  MД
MД  M0   0





50

MД
MДср

0

50

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

t

279

9. Процедура вычисления реакций внешних и внутренних связей
Вычисление угловых ускорений звеньев механизма
2
Формирование вектора правых частей системы
C ( i)  C'   i   i  B  i  i
уравнений (7)
E( i)  A  i

Нахождение угловых ускорений звеньев

0
 
 0 ( i)   0 
 
 i

 0 
 1 ( i)   0 
 E( i) 
 1

 0 
 2 ( i)   0 
 E( i) 
 2

1

C ( i)

 0 
 3 ( i)   0 
 E( i) 
 3

Вычисление ускорений узловых точек и центров масс звеньев









aC(i)   0(i)  RC  i     i     i  RC  i   i

2

aA (i)   0(i)  RA   i     i     i  RA   i   i

2





aC1(i)  aA (i)   1(i)   C1  i   1  i   1  i   C1  i   i





aC2(i)   2(i)   C2  i   2  i   2  i   C2  i   i





aK(i)   2(i)   K  i   2  i   2  i   K  i   i



2

2

2



aC3(i)  aK(i)   3(i)   C3  i   3  i   3  i   C3  i   i

2

0




2
2
O1K sin  2  i   '   i 2  i  KDsin  3  i   '   i 3  i  
aD( i) 
 O1K cos   2  i  E(i)2  KDcos   3  i  E(i)3



0


Для системы линейных алгебраических уравнений (1) – (21)относительно реакций внешних и внутренних связей осуществляется формирование матрицы коэффициентов V при неизвестных реакциях и вектора
правых частей H для каждого момента времени задаваемого вектором
решений t
i  1  N

280

Vi 

f( i  j)  0
V  matrix( 12  12  f)

 V1  1
 V4  3
 V6  3

V1  3 V2  2 V2  4 V3  12   ( 1 1 1 1 1 )

 V6  5

V6  6      AB   i   C1  i
2
2


 V7  5
 V9  5

V4  5 V5  4 V5  6   ( 1 1 1 1 )



V6  4    C1  i



2

 C1  i

1



 

AB

  i 1   C1  i 1 

V7  7 V7  9 V8  6 V8  8 V8  10   ( 1 1 1 1 1 1 )



V9  6 V9  9 V9  10    B  i  B  i  K   i  K   i
2
1
2
1

 V10  9
 V12  9
 V12  11



V10  11 V11  10 V11  12   ( 1 1 1 1 )



V12  10    C3  i  C3  i
2
1





 

V12  12      D   i   C3  i
2
2



D

  i 1   C3  i 1 

V
m0 aC( i)


1




m0 g  m0 aC( i)
2


 m4aD ( i)      i  i  m4g 
2




m1 aC1( i)
1




m1 g  m1 aC1( i)
2



JzC1E( i) 1

Hi  

m

a
(
i
)
2
C2


1


m2 g  m2 aC2( i)


2


 JzO1E( i) 2  m2g C2  i 1 


m3 aC3( i)


1


m3 g  m3 aC3( i)


2


JzC3E( i) 3



 i
1
Ri   Vi Hi

XO  Ri1  i
i

YO  Ri2  i
i

XA  Ri3  i
i

YA  Ri4  i
i

XB  Ri5  i
i

YB  Ri6  i
i

XO1  Ri7  i
i

YO1  Ri8  i
i

XK  Ri9  i

YK  Ri10  i

XD  Ri11  i

YD  Ri12  i

i

i

i

i

281

 XOi 

RO  
i
 YO 
 i
 XKi 

RK  
i
 YK 
 i

 XA i 

RA  
i
 YA 
 i
 XDi 

RD  
i
 YD 
 i

 XBi 

RB  
i
 YB 
 i

 XO1i 

RO1  
i
 YO1 
i


XП  XD
i

i

Графики реакций внешних и внутренних связей
4

3 10

4

2 10

RO

i

RO1

i

4

1 10

0

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

1.25

1.5

1.75

2

ti
4

3 10

4


RA 2 10
i

RB

i

4

1 10

0

0

0.25

0.5

0.75

1
ti

6000
RK

i

4000

RD

i

XП 2000
i

0

0

0.25

0.5

0.75

1
ti

282

1.25

1.5

1.75

2

4. Анализ результатов вычислений
Анализ результатов вычислений позволяет сделать следующие выводы
(величину времени начала установившегося режима движения механизма, период неравномерности вращения маховика и др. можно получить, используя опцию 2D-графиков "Trace", которая позволяет снимать значения координат функций прямо на графике [1, 5]):
1. Время неустановившегося движения механизма невелико и составляет
около 1 с.
2. В установившемся режиме движение маховика близко к равномерному вращению, средняя угловая скорость которого порядка cp  35.5 рад с . Максимальные и минимальные значения угловой скорости в установившемся
режиме приблизительно равны max  69. рад с min  21. рад с , а его период – 0.18 c . Таким образом коэффициент неравномерности движения механизма приблизительно равен



max  min
 1.35.
cp

3. В установившемся режиме среднее угловое ускорение маховика приблизительно равно  cp  0 рад с 2 . Амплитуда изменения углового ускорения
значительна и составляет около 5000 рад с 2 , а коэффициент динамичности
в этом случае



 max
 4.1.
2
cp

4. При заданных геометрических и инерционных параметрах механизма градиенты углового ускорения ведущего звена, а также реакций внешних и
внутренних связей в сочленениях звеньев механизма имеют большие значения. Это может привести к разрывам механизма в местах сочленений и
нарушению его работоспособности.

283

На основании выводов по результатам расчета движения механизма сформулируем задачу исследования.
Выявить факторы, влияющие на неравномерность движения механизма и
найти такие решения, при которых неравномерность установившегося движения
исчезает или становится незначительной.
Анализ дифференциального уравнения движения механизма показывает,
что основными факторами, влияющими на неравномерность движения, являются:
o величина приведенного момента инерции I пр   (чем больше I пр   , тем
меньше амплитуда угловых ускорений);
   (чем меньше амплитуда и чем
o характер изменения производной I пр

больше период ее изменения, тем меньше градиенты углового ускорения);
Таким образом, для уменьшения неравномерности движения необходимо
обеспечить:

I np    const , что может быть получено за счет увеличения

приведенного момента инерции механизма и уменьшения амплитуды его изменения.
Это достигается постановкой на ведущее звено массивного маховика и
(или) облегчением остальных звеньев механизма.
В качестве примера произведем следующие изменения в конструкции механизма:
Заменим ведущее звено сплошным маховиком радиуса OA и массой 10m0
Введем новые данные для расчета
……………
……………
m0  100 OA
……………
Определим положения центра масс маховика
0 
……………

 

RC     0 

0 
 

……………
Вычислим момент инерции маховика относительно оси вращения.

284

1
2
m0L0
……………
2
Отображение приведенного момента инерции и его производной на
графике за один оборот кривошипа
JzO 

1.5
1
Jnp  0.5
J'np 

0

45

90

135

180

225

270

315

360

0.5
1


180


……………
Численное решение дифференциального уравнения с измененными исходными данными
Конечный момент времени
T  4.2
……………
max  cp  38.0469
max    53.5454

 

График изменения угловой скорости

    t  и величины ср

60

40

 cp
20

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

……………
min    1924.2479
max    1308.4323
График углового ускорения     t  и величины

 ср

285

2



1

1000
 cp

0

1000
1

2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

……………

Замена однородного стержня массой m0 сплошным маховиком массой
10m0 приводит к увеличению приведенного момента инерции не только за счет

изменения массы ведущего звена, но и за счет увеличения момента инерции маховика по сравнению со стержнем в 1,5 раза. Т. е. момент инерции ведущего
звена увеличился в 15 раз.
Кроме этого центр масс маховика неподвижен и расположен в начале координат, в то время как центр масс кривошипа движется по окружности радиуса
1 OA .
2

В этом случае траектория центра масс механизма приближается к началу

координат.
В результате замены кривошипа сплошным маховиком с массой в 10 раз больше
o Время неустановившегося движения механизма составляет около 1.5 с.
o В установившемся режиме движения средняя угловая скорость маховика приблизительно равна cp  38 рад с . Максимальные и минимальные значения
угловой скорости в установившемся режиме равны max  53.5 рад с

min  26.6 рад с .
o Коэффициент неравномерности движения механизма становится равным



max  min
 0.71.
cp

o Коэффициент динамичности в этом случае
286



 max
 1.33.
2
cp

Таким образом, увеличение массы и момента инерции ведущего звена с
изменением его формы приводит к существенному уменьшению коэффициента
неравномерности (  в 2 раза) и коэффициента динамичности (  в 3 раза). При
этом не изменялось отклонение амплитуды приведенного момента инерции от
своего среднего значения.
Следует отметить, что увеличение массы ведущего звена без изменения его
формы приводит к значительно меньшему уменьшению коэффициентов неравномерности   0.86  и динамичности    1.76  . Это можно проверить непосредственным расчетом и не вызывает сложности в вычислениях.
Уменьшим массы всех остальных звеньев, используя для этого
материал с погонной плотностью 0.1  .
Введем новые данные для расчета
……………
……………
m0  100 OA
  1.
Определим положения центра масс маховика
0 

 

RC     0 

……………

……………

0 
 

Вычислим момент инерции маховика относительно оси вращения.
1
2
JzO  m0L0
……………
2
Отображение приведенного момента инерции и его производной на
графике за один оборот кривошипа
……………

0.2
Jnp 
J'np 

0.1

0

45

90

135

180

225

270

315

360

0.1

……………
max  cp  39.1965

 

max    42.3114


180


287

    t  и величины ср

График изменения угловой скорости
50
40
30


 cp

20
10
0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

……………
min    421.6425
max    271.7034
График углового ускорения     t  и величины

 ср

0.4
0.2

1000
 cp

0
0.2

1000
0.4
0.6

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Уменьшение погонной плотности tзвеньев механизма, исключая ведущее
звено и ползун, приводит к уменьшению их масс и, следовательно, к уменьшению амплитуды приведенного момента инерции механизма. При этом среднее
   уменьшилось со значения 0.835 до
значение амплитуды производной I пр

значения 0.099 , т. е. приблизительно в 8.5 раз.
В результате уменьшения масс звеньев механизма
o Время неустановившегося движения механизма составляет около 1 с.;
o В установившемся режиме движения средняя угловая скорость маховика приблизительно равна cp  39 рад с . Максимальные и минимальные значения
288

угловой скорости в установившемся режиме равны max  42.3 рад с

min  35 рад с ;
o Коэффициент неравномерности движения механизма становится равным



max  min
 0.19;
cp

o Коэффициент динамичности в этом случае



 max
 0.27.
2
cp

Таким образом, уменьшение массы звеньев приводит к существенному, по
сравнению с предыдущим случаем, уменьшению коэффициента неравномерности (  в 4 раза) и коэффициента динамичности (  в 5 раза).

Изменим распределение массы маховика (по ободу)
Введем новые данные для расчета
……………
……………
m0  100 OA

……………

  1.

2

JzO  m0 L0

Приведенный момент инерции, его производная за 1 оборот
0.6
0.4
Jnp 
J'np 

0.2

0

45

90

135

180

225

270

315

360

0.2

Численное решение дифференциального уравнения с измененными ис180
ходными данными

max  cp  39.2275
max    40.851 

 

График изменения угловой скорости

    t  и величины ср

289

50
40
30


 cp

20
10
0

min  

0

0.5

 237.7635

1

1.5

max  

График углового ускорения

2

 146.8796
t

2.5

3

3.5

4

    t  и величины  ср

0.1

0

1000
 cp

0.1

1000
0.2
0.3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t
Изменение распределения массы маховика
со сплошного на тонкостенный

цилиндр приводит не только к увеличению момента инерции маховика в два
раза, но и к увеличению среднего значения приведенного момента инерции механизма
В результате увеличения момента инерции маховика в два раза
o Время неустановившегося движения механизма составляет около 1.5 с.
o В установившемся режиме движения средняя угловая скорость маховика приблизительно равна cp  39.2 рад с . Максимальные и минимальные значения
угловой скорости в установившемся режиме равны max  40.8 рад с

min  36.7 рад с .
o Коэффициент неравномерности движения механизма становится равным

290



max  min
 0.105.
cp

o Коэффициент динамичности в этом случае



 max
 0.15.
2
cp

Таким образом, увеличение момента инерции ведущего звена в 2 раза без
изменения его массы, приводит к уменьшению коэффициента неравномерности
(  в 2 раза) и коэффициента динамичности (  в 2 раза). При этом не изменялось
отклонение амплитуды приведенного момента инерции от своего среднего значения.
Задача дальнейшего уменьшения неравномерности и значений реакций
связей решается аналогично и не вызывает трудностей.

291

5. Результаты анализа
С целью подтверждения проведенных исследований произведем расчет
конструктивно измененного механизма.
Динамический расчет плоского шарнирного механизма
1. Ввод исходных данных

……………

……………

  1.

2. Вычисление постоянных величин и вспомогательных функций

m0  200 OA
……………

m1   AB

m2   O1B

m3   KD

m4  2

4. Определение положения узловых точек механизма радиус-векторами

 0 
RC     0 
0 
 

……………

……………

5. Блок вычисления приведенного момента инерции механизма

……………
Вычисление моментов инерции ……………
2

……………

JzO  m0 L0

6. Блок вычисления производной от приведенного момента инерции по
углу поворота ведущего звена
……………
Отображение приведенного момента инерции и его производной на графике за один оборот кривошипа
1

Jnp 

0.5

J'np 
0

45

90

135

180

0.5

……………
292



180


225

270

315

360

8. Процедура интегрирования дифференциальных уравнений
T  8.2

Конечный момент времени
……………
Вывод результатов вычислений.
……………

 

max    40.0615

max  cp  39.2503

График изменения угловой скорости

    t  и величины ср

Для интервала времени 0  t  4 c
50
40


 cp

30
20
10
0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

Для интервала времени 7  t  8 c
41

40

 cp

39

38

37

7

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

t

……………

293

min    128.0535

max    79.5953

    t  и величины  ср
Для интервала времени 0  t  4 c
График углового ускорения

0.05

0

1000
 cp

0.05

1000
0.1
0.15

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

Для интервала времени 7  t  8 c
10
5

10

0

 cp

5

10
10
15

7

7.2

7.4

7.6

7.8

8

t

Вычисление момента M Д , и его среднего значения


MДср  supsmootht
  MД
MД  M0   0





60
40
MД
MДср

20
0
20

0

0.5

1

1.5

2
t

294

2.5

3

3.5

4

Для интервала времени 7  t  8 c
3
2
MД
MДср

1
0
1

7

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

t

9. Процедура вычисления реакций внешних и внутренних связей
……………
Графики реакций внешних и внутренних связей
Для интервала времени 0  t  4 c
Модули реакций RO , RO .
1

1500

1000

RO

i

RO1

i

500

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

ti

Модули реакций RA , RB .
1500

RA
RB

1000
i

i

500

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

ti

295

Модули реакций RK , RD , X  .
600
RK

i

400

RD

i

XП 200
i

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

ti

Для интервала времени 7  t  8 c
Модули реакций RO , RO .
1

1500

1000

RO

i

RO1

i

500

0

7

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

ti

Модули реакций RA , RB .
1500

RA
RB

1000
i

i

500

0

7

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5
ti

296

7.6

7.7

7.8

7.9

Модули реакций RK , RD , X  .
600
RK

i

400

RD

i

XП 200
i

0

7

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

ti

В результате уменьшения масс звеньев механизма, с одновременным увеличением массы ведущего звена и замены однородного стержня маховиком с
массой распределенной по его ободу
o Время неустановившегося движения механизма составляет около 3 с.;
o В установившемся режиме движения средняя угловая скорость маховика составляет cp  39.25 рад с . Максимальные и минимальные значения угловой
скорости

в

установившемся

режиме

равны

max  40.06 рад с

min  37.9 рад с ;
o Коэффициент неравномерности движения механизма становится равным



max  min
 0.055;
cp

o Коэффициент динамичности в этом случае



 max
 0.083.
2
cp

Такое уменьшение, по сравнению с первоначальным случаем, коэффициентов неравномерности (  в 24.5 раза) и динамичности (  в 50 раз) приводит к
уменьшению максимальных значений модулей реакций внешних и внутренних
связей приблизительно от 20 до 10 раз.

297

Выводы
В результате решения полученного дифференциального уравнения движения механизма были определены: закон движения ведущего звена 1, его угловые
скорость и ускорение как функции времени t . На основании найденного закона
движения по разработанному алгоритму были вычислены значения реакций
внешних и внутренних связей.
Проведенный анализ результатов расчета показал, что
o В установившемся режиме движение маховика близко к равномерному вращению, средняя угловая скорость которого порядка cp  35.5 рад с . Максимальные и минимальные значения угловой скорости в установившемся режиме приблизительно равны max  69. рад с min  21. рад с , а его период
– 0.18 c . Таким образом коэффициент неравномерности движения механизма
приблизительно равен



max  min
 1.35.
cp

o В установившемся режиме среднее угловое ускорение маховика приблизительно равно  cp  0 рад с 2 . Амплитуда изменения углового ускорения значительна и составляет около 5000 рад с 2 , а коэффициент динамичности в
этом случае



 max
 4.1.
2
cp

o При заданных геометрических и инерционных параметрах механизма градиенты углового ускорения ведущего звена, а также реакций внешних и внутренних связей в сочленениях звеньев механизма имеют большие значения.
Это может привести к разрывам механизма в местах сочленений и нарушению
его работоспособности.
С целью устранения этой ситуации был сформулирован критерий, удовлетворение которого позволит уменьшить значение этих коэффициентов.
298

Проведенные исследования показали, что уменьшения масс звеньев механизма, с одновременным увеличением массы ведущего звена и замены кривошипа маховиком с массой распределенной по его ободу значительно снизили величины данных коэффициентов.
Таким образом, увеличение массы ведущего звена в 20 раз с одновременным уменьшением масс звеньев в 10 раз позволило добиться следующего:
o В установившемся режиме движения средняя угловая скорость маховика составляет cp  39.25 рад с . Максимальные и минимальные значения угловой
скорости

в

установившемся

режиме

равны

max  40.06 рад с

min  37.9 рад с ;
o Коэффициент неравномерности движения механизма становится равным



max  min
 0.055;
cp

o Коэффициент динамичности в этом случае



 max
 0.083.
2
cp

Такое уменьшение, по сравнению с первоначальным случаем, коэффициентов неравномерности (  в 24.5 раза) и динамичности (  в 50 раз) приводит к
уменьшению максимальных значений модулей реакций внешних и внутренних
связей приблизительно от 20 до 10 раз.

299

АЛЬБОМ ЗАДАНИЙ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА
1
O2

2

MH
D

b

A

B

d

c

y
y

O1

MД
K

a


O x

B

O1

a

3

K

b

MД

A


O x

D FH

4

MД
y

B

A

a

y

b

K

B
K

O1

O 

b

x

MH

O1

D

O2
d

c



O

5

MH

MД

a

D

c

A

x

6

A
D FH

MД

y

A

b y
O 

a

B

c
O1

300

O1

K

x

O 

K

MH
B

D
a

c
O2
b

MД
x

7

8
K

c

a

y

D

O1



FH

B

A

y

d

b



O

O1

MД

x
K

c

x

O

MH

O2

MД

D

a

A

b

10

9

K

b

y

MД

A
K

y

D

MH

O1

O 

c

B

a
O2

D

O 

d

MД

11

O1

MH
a

x
A

B

x
b

12

B

a

y

A
y
O 

O1

D

A

MД
x
a

MH
b

K

FH

O1
D

O 

MД
x

B

301

13

14

a

y MД

B

O1

MH

K

y

O

A



O2

D

b
K


O

MД

c

MH

x

d

b

O1

D
B

x
A

15

a

16

a

y

A

y MД

B

K


O1

O

x



x

b

A

FH

B

K

MД
MД

D

c

c

O1

O2

MH

D

a

17

b

18

FH

A

D
K

MД

MД

O1

A
K

y
O  x

y
O  x

B

MH
D

B

a

302

O

a
O1

b

19

20

O1

O1

a

y

MH

A

K

A

D

MH

y

b

a

MД
O 

K

MД

x

 x

O

B

B
22

21

a
y

O1

c

MH

O

A

b

x

O2

K

MД

K

MД

b

B



D

O 

a

y

O1

MH
A

x

D
B
24

23

A

K

MД

y

a


O x

MH

O2
y

MД
b

B

O

D

MH

A

O2

O1

D

B



K

x
a

c
O1
b

303

25

26

a

y

FH

O1

D

O1

MH



b
K

B

MД

MД

O 

x

K

A

A

a

28

27

O2

A

MH
D

y

MД
O

K



c
x

MH
K

b

D
y

O1

B

O1

B

b

a

A

a

MД

O



x

30

29

B

MД O

x

O

c
MH

y





A
K

A

y

MД

a
O1

304

b

y

x

O

D

B

O1

O2

B

b

D

x

a

b

MH

K

D

№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30



mB mD

KD O1K AK BK
кг / м
Н  м кг  м / с кг / с
см
кг
–
–
–
10
46
–
42
–
100 3,1 20,1
75,4
–
5
10
60
33
19
–
102 3,3 –
–
–
–
10
70
–
21
–
134 5,3 22,5
–
8
–
10
25
–
38
–
136 5,2 23,8
73,2
–
6
10
70
–
30
–
105 3,5 –
–
–
–
10
50
–
25
–
153 4,8 24,3
74,1
–
7
10
60
–
80
30
137 4,2 –
–
–
–
10
63
20
55
–
108 3,5 21,3
–
–
–
10
30
31
–
62
135 5,1
–
7
–
10
33
–
35
35
110 3,8 25,4
83,5
–
8
10
–
–
–
60
147 4,9 –
–
–
–
10
60
–
15
45
112 3,7 27,9
–
6
–
10
40
–
15
–
113 3,7 26,7
–
–
–
10
–
–
25
–
114 3,8 26,5
–
–
–
10
45
–
30
–
115 3,9 27,1
86,7
–
9
10
60
40
–
20
116 3,9 –
76,9
–
7
10
75
–
42
48
139 4,4 –
–
5
–
10
40
–
40
–
118 3,9 25,3
–
4
–
10
–
30
–
40
119 3,9 24,8
–
9
–
10
50
–
30
–
120 4,0 31,2
–
8
–
10
50
–
40
–
121 4,0 27,6
–
–
–
10
35
–
22
–
122 4,1 24,7
–
–
–
10
60
–
30
–
145 5,0 23,8
–
–
–
10
45
15
–
–
131 4,6 26,4
–
7
–
10
42
–
15
25
143 4,9 32,4
69,7
–
8
10
60
–
35
–
126 4,2 –
–
–
–
10
54
–
–
22
146 5,4 33,1
–
6
–
10
70
–
30
25
128 4,3 31,7
–
–
–
10
70
14
–
39
129 4,2 31,3
–
5
–
10
81
–
–
30
124 3,4 30,8
M0

0

305

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная
1. Бертяев В. Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Практикум: Учебное
пособие. / В. Д. Бертяев – СПб: БХВ – Санкт-Петербург, 2005. 752 с.
2. Бутенин Н. В. и др. Курс теоретической механики: Учебное пособие: в 2-х т. /
Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. 5-е изд., исп. – СПб: Лань. 1998. 729 с.
3. Курс теоретической механики: Учебник для вузов/ В.И. Дронг, В.В. Дубинин,
М.М. Ильин и др.; Под ред. К. С. Колесникова. 3-е изд., стер. М.: Изд-во МГТУ
им. Н. Э. Баумана, 2005. 735 с.
4. Краткий курс теоретической механики: учеб. пособие / В.Д Бертяев и др. –
Ростов-на-Дону: Изд-во Феникс, 2011. 196 с.
5. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для втузов /
С. М. Тарг. 15-е изд., стер. – М.: ВШ, 2005. 415 с.
6. Яблонский А. А. Курс теоретической механики. Учеб. пособие для вузов /
А. А. Яблонский, В. М. Никифорова. 13-е изд., исп. – М.: ИнтегралПресс, 2006. 603с.

306

Дополнительная
1. Бать М.И и др. Теоретическая механика в примерах и задачах: Учеб. пособие
для вузов. В 2-х т./М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон. 9-е изд., перераб.
– М.: Наука, 1990. 670 с.
2. Бертяев В. Д. и др. Кинематика плоских механизмов (с использованием пакета
MathCAD): Учебное пособие. /В. Д. Бертяев, Л. А. Булатов, А. Г.Митяев/ – Тула:
ТулГУ, 2003, 112 с.
3. Исследование колебаний механических систем и основы виброзащиты: Учебное пособие для вузов / В. Д. Бертяев, Л. А. Булатов и др.; Под общ. ред.
В. Д. Бертяева – Тула: ТулГУ, 2002. 140 с.
4. Исследование колебаний механической системы с гибкой упругой связью:
Учебное пособие. / В. Д. Бертяев, Л. А. Булатов, А. Г.Митяев, А. Б. Каплун –
Тула: ТулГУ, 2002. 108 с.
5. Кирьянов Д. В. Самоучитель MathCAD 11 / Д. В. Кирьянов – СПб: БХВ – Петербург, 2003. 538 с.
6. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики, ч. 1 и 2. – М.:
1954 и последующие издания. 698 с.
7. Новожилов И. В., Зацепин М. Ф. Типовые расчеты по теоретической механике
на базе ЭВМ: Учебное пособие./ И. В. Новожилов, М. Ф. Зацепин. – М.: ВШ,
1986. 136 с.
8. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учеб. пособие для студ. втузов / А.А. Яблонский, С. С. Норейко, С. А. Вольфсон и др.; Под
общ. ред. А. А. Яблонского. 16-е изд., стер. – М.: Интеграл Пресс, 2007. 384 с.

307

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................................3

Общие положения ............................................................................................... 5
Требования к оформлению и защите ................................................................ 6
1. КИНЕМАТИКА ..................................................................................................................7
K1. КИНЕМАТИКА ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ ............................................................7

Цель курсовой работы......................................................................................... 7
Содержание курсовой работы ............................................................................ 7
Пример выполнения задания ............................................................................................9

1. Аналитический метод ................................................................................... 11
2. Результаты расчетов...................................................................................... 20
3. Определение кинематических характеристик механизма в заданном
положении с помощью теорем плоского движения твердого тела .............. 30
4. Определение кинематических характеристик механизма в заданном
положении с помощью теорем сложного движения точки .......................... 47
Анализ результатов вычислений ..................................................................... 60
АЛЬБОМ ЗАДАНИЙ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ............................62
2. СТАТИКА .........................................................................................................................69
С 1. ИССЛЕДОВАНИЕ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКИХ ШАРНИРНЫХ ФЕРМ ...............70

Цель курсовой работы....................................................................................... 71
Содержание курсовой работы .......................................................................... 71
Порядок выполнения работы ........................................................................... 71
Пример выполнения задания ..........................................................................................73

1. Определение реакций внешних связей ....................................................... 74
2. Определение усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов ...... 76
3. Определение усилий методом Риттера ....................................................... 85
308

4. Результаты расчетов...................................................................................... 88
5. Анализ результатов вычислений ................................................................. 97
6. Выводы ......................................................................................................... 106
АЛЬБОМ ЗАДАНИЙ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ..........................107
С 2. РАВНОВЕСИЕ СОСТАВНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ..................................................115

Цель курсовой работы..................................................................................... 115
Содержание курсовой работы ........................................................................ 115
Порядок выполнения работы ......................................................................... 116
Пример выполнения задания ........................................................................................117

1. Определение реакций внешних и внутренних связей ............................. 118
2. Определение M A , X B , YB оптимальным способом ................................. 121
3. Альтернативное расположение опор внешних связей ............................ 122
4. Результаты расчетов.................................................................................... 125
5. Анализ результатов вычислений и выводы .............................................. 131
АЛЬБОМ ЗАДАНИЙ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ..........................132
С 3. РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ ШАРНИРНЫХ МЕХАНИЗМОВ ..............................148

Цель курсовой работы..................................................................................... 148
Содержание курсовой работы ........................................................................ 148
Порядок выполнения работы ......................................................................... 149
Пример выполнения задания ........................................................................................150

1. Составление уравнений равновесия .......................................................... 151
2. Составление уравнений геометрических связей ...................................... 159
3. Результаты расчетов.................................................................................... 160
4. Анализ результатов вычислений и выводы .............................................. 167
5. Выводы ......................................................................................................... 172
309

3. ДИНАМИКА...................................................................................................................173
Д 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С УПРУГОЙ
СВЯЗЬЮ..............................................................................................................................174

Цель курсовой работы..................................................................................... 175
Содержание курсовой работы ........................................................................ 175
Порядок выполнения работы ......................................................................... 176
Пример выполнения задания ........................................................................................178

1. Составление дифференциального уравнения движения механической
системы. ............................................................................................................ 180
2. Определение реакций внешних и внутренних связей ............................. 185
3. Определение закона движения системы ................................................... 188
4. Результаты расчетов.................................................................................... 191
5. Анализ результатов вычислений ............................................................... 194
6. Результаты анализа ..................................................................................... 206
Выводы ............................................................................................................. 209
АЛЬБОМ ЗАДАНИЙ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ..........................211
Д 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА С КУЛИСНЫМ ПРИВОДОМ
..............................................................................................................................................217

Цель курсовой работы..................................................................................... 217
Содержание курсовой работы ........................................................................ 217
Порядок выполнения работы ......................................................................... 218
Пример выполнения задания ........................................................................................219

1. Составление дифференциального уравнения движения механизма ..... 221
2. Определение реакций внешних и внутренних связей ............................. 226
3. Результаты расчетов.................................................................................... 231
4. Анализ результатов вычислений ............................................................... 240
310

5. Результаты анализа ..................................................................................... 248
Выводы ............................................................................................................. 251
АЛЬБОМ ЗАДАНИЙ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ..........................252
Д 3. ДИНАМИКА ПЛОСКИХ ШАРНИРНЫХ МЕХАНИЗМОВ .................................258

Цель курсовой работы..................................................................................... 258
Содержание курсовой работы ........................................................................ 258
Порядок выполнения работы ......................................................................... 259
Пример выполнения задания ........................................................................................261

1. Составление дифференциального уравнения движения механизма ..... 263
2. Нахождение реакций внешних и внутренних связей .............................. 269
3. Результаты расчетов.................................................................................... 271
4. Анализ результатов вычислений ............................................................... 283
5. Результаты анализа ..................................................................................... 292
Выводы ............................................................................................................. 298
АЛЬБОМ ЗАДАНИЙ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ..........................300
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................306

Основная ........................................................................................................... 306
Дополнительная ............................................................................................... 307
ОГЛАВЛЕНИЕ ...................................................................................................................308

311

Учебное издание

Виталий Дмитриевич Бертяев,
Леонид Алексеевич Булатов,
Анатолий Григорьевич Митяев

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
КУРСОВЫЕ РАБОТЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MATHCAD

Учебное пособие
Авторское редактирование

Авторское редактирование
Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 2.11.15
Формат бумаги 6084 1/16 . Бумага офсетная.
Усл. печ. л. 14.5, Уч. – изд. л. 15.6.
Тираж 250 экз. Заказ № ___
Оригинал-макет отпечатан на кафедре «Теоретическая механика»
Тульского государственного университета
Тульский государственный университет
300600, Тула, просп. Ленина, 92.
Отпечатано в издательстве ТулГУ
300012, г. Тула, просп. Ленина, 95.