Неустойчивые задачи диагностики плазмы - Преображенский Н.Г., Пикалое В.К.

Автор: Преображенский Н.Г. Пикалое В.К.

Теги: физика плазмы физика математика математическая физика академия наук ссср

Год: 1982

Похожие

Изотипы: свойства, получение, применение. Том 1

Изотопы свойства, получение, применение Т.1

Международная байкальскаямолодежная научная школа по фундаментальной физике. Труды XVII Конференции молодых ученых «Взаимодействие полей и излучения с веществом»

Импульсивная энергетика и электроника

Текст

Н.П Преображенский
В.КПикалое
НЕУСТОЙЧИВЫЕ
ЗАДАЧИ
ДИАГНОСТИКИ
ПЛАЗМЫ

АКАДЕМИЯ НАУКСССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ
Н. Г. Преображенский, В. В. Пикалов
НЕУСТОЙЧИВЫЕ
ЗАДАЧИ
ДИАГНОСТИКИ
ПЛАЗМЫ
Ответственный редактор
д-р физ.-мат. наук А. К. Ребров
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
Новосибирск.1982

УДК 533.9.082.519.6.523
Преображенский Н. Г., Пика-
лов В. В. Неустойчивые задачи диагностики
плазмы.— Новосибирск: Наука, 1982.
Монография посвящена методам анализа и ре-
решения неустойчивых обратных задач, возникающих
при диагностике низко- и высокотемпературной плаз-
плазмы. Описываемые алгоритмы широко иллюстрируются
модельными расчетами и примерами обработки данных
реального диагностического эксперимента.
Книга предназначена для научных работников
и инженеров, занимающихся исследованием плазмы,
в том числе астрофизиков, а также для аспирантов
и студентов вузов.
Ил. 48. Табл. 3. Библиогр. 382.
„1704070000-884,, S9 9 © ИзДательстВо «Наука,, 1982 г.
П055@2)-83 62~82' КН> Z

ПРЕДИСЛОВИЕ
Методы вычислительной математики, реализуемые на
современных ЭВМ, все шире проникают в физику плазмы,
в том числе и в проблематику, связанную с диагностикой
плазмы. Возникающие при этом задачи, которые в соот-
соответствии с принятой в математической физике терминоло-
терминологией, как правило, относятся к классу обратных, очень
часто характеризуются своеобразной неустойчивостью. Она
выражается в том, что малым изменениям в регистрируе-
регистрируемых функционалах могут отвечать большие изменения
в решениях задач.
Неустойчивое решение — один из атрибутов так на-
называемой некорректности задач математической физики.
Теория некорректных задач получила за последние годы
значительное развитие, главным образом благодаря уси-
усилиям математиков отечественной школы. Анализу этих
задач и методам их решения посвящено уже несколько
монографий и большое количество обзорных статей.
Однако с точки зрения потребностей большого отряда
физиков-экспериментаторов, работающих с плазмой и так
или иначе соприкасающихся с ее диагностикой, в данной
области все еще сохраняется своего рода информацион-
информационный вакуум. Дело в том, что, во-первых, редкий экспери-
экспериментатор рискнет в одиночку пробираться до нужных
ему приложений сквозь джунгли теорем и многочислен-
многочисленных понятий функционального анализа, которыми обычно
изобилуют упомянутые монографии и обзоры. Во-вторых,
если он даже и преодолеет все чисто математические пре-
преграды, то скорее всего будет разочарован приобретенным
«сухим остатком», ибо, кроме нескольких простейших и
многократно повторяющихся примеров классических при-
приложений типа редукционной задачи Рэлея, инверсии Абе-
Абеля или дифференцирования экспериментальной функции,
он почти ничего для себя не найдет. Между тем, в много-

численных статьях, разбросанных по разнообразным жур-
журналам (иногда совершенно неожиданным, скажем журна-
журналам по радиобиологии или геофизике), можно отыскать
массу интереснейших алгоритмов и примеров, непосред-
непосредственно относящихся к диагностике плазмы.
Авторы этой книги предприняли попытку перебросить
мост от современных математических достижений в сфере
исследования неустойчивых задач к практике диагности-
диагностического плазменного эксперимента. Основная цель, одна-
. ко, состояла не в том, чтобы рекомендовать эксперимента-
экспериментатору для конкретной ситуации определенный вычислитель-
вычислительный рецепт или готовую программу, а в том, чтобы помочь
ему почувствовать как важность и нетривиальность про-
процедуры корректной интерпретации имеющихся у него дан-
данных, так и наличие богатого арсенала средств для такой
интерпретации. Авторы стремились проиллюстрировать ал-
алгоритмы разнообразными примерами из плазменной диаг-
диагностики, подчас даже дискуссионными. При этом, описы-
описывая алгоритмы, они пытались, по возможности не впадая
в упрощенчество, оставаться на уровне так называемой
«физической строгости». Леммы и теоремы, за редкими
исключениями, были изъяты, однако некоторые наиболее
важные понятия функционального анализа сочли целе-
целесообразным оставить (разумеется, с соответствующими по-
пояснениями).
Конечно, всякое путешествие между Сциллой педан-
педантизма и Харибдой вульгаризации всегда чревато опас-
опасностью отклониться от правильного курса. Если же та-
такого рода отклонений вправо и влево будет не одно, а не-
несколько, то авторы попадут под огонь критики сразу
с двух сторон. Однако, поскольку решение написать кни-
книгу в конце концов было принято, авторы готовы к этому.
Более того, они будут чрезвычайно признательны за все
деловые замечания.
За обсуждение различных вопросов, затрагиваемых
в монографии, авторы искренне благодарят А. Е. Булы-
шева, Ю. Е. Воскобойникова, В. Ф. Китаеву, В. Н. Ко-
Колесникова, В. В. Лебедеву, Т. G. Мельникову, А. И. Се-
дельникова, В. С. Сухоруких, С. П. Толпину, В. П. Федосо-
Федосова, Л. Л. Фрумина. За помощь в оформлешш рукописи
авторы признательны Л. И. Козловой и А. В. Булатовой.

Г Л А В А 1
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ФИЗИКЕ ПЛАЗМЫ
Термин «диагностика плазмы» вошел в широкое упот-
употребление примерно четверть века назад, когда в наиболее
развитых странах мира развернулись исследования по
управляемому термоядерному синтезу. Заимствованный
из медицины, этот термин поначалу действительно отражал
ситуацию, представлявшуюся в известной степени патоло-
патологической, поскольку поведение горячей плазмы, удержи-
удерживаемой магнитным полем, резко отличалось от имевшихся
тогда в распоряжении экспериментаторов теоретических
предсказаний. Как справедливо отмечалось в монографии
[172], плазма вела себя наподобие больной, страдающей
неизвестной болезнью, а ее исследователи напоминали
незадачливых эскулапов, пытавшихся поставить диагноз,
не имея даже термометра.
Со временем о диагностике плазмы стали говорить в
более широком смысле слова. Термин перекочевал и в
традиционную физику газового разряда, и в астрофизику,
и в газодинамику; фактически он стал синонимом изме-
измерения основных плазменных или газовых характеристик:
скалярных параметров типа плотности и температуры,
векторных полей — скорости, напряженностей Е и В,
важнейших функций распределения компонентов сис-
системы и т. п.
Прогресс в диагностике плазмы до последнего времени
почти исключительно определялся новыми аппаратурными
разработками и физическими идеями, питательной поч-
почвой для которых служили в первую очередь атомная и мо-
молекулярная спектроскопия, квантовая электроника, ядер-
ядерная физика. Так, неотъемлемыми диагностическими эле-
элементами почти любой современной крупной плазменной
установки являются спектрометры различных волновых

диапазонов и разной разрешающей силы, лазеры для реа-
реализации методов рассеяния или поглощения на электро-
электронах и атомах, оптические и микроволновые интерферомет-
интерферометры, зонды, калориметры, поляризационные приборы, маг-
магнитные анализаторы, счетчики частиц и т. п. Зачастую
это приборы достаточно внушительных габаритов, такие,
как многоканальные масс-анализаторы, многометровые спе-
спектрометры вакуумного ультрафиолета, нейтронные де-
детекторы, содержащие по нескольку тонн смеси парафина
и 1Л2СО3 (Принстонский токамак) и т. п. В других случаях
это, наоборот, сравнительно небольшие по размерам и
филигранные по исполнению приборы, компоненты ко-
которых лежат на пределе возможностей современной тех-
технологии: прецизионные фурье-спектрометры, голографи-
ческие решетки с несколькими тысячами штрихов на мил-
миллиметр, многопроходные высококонтрастные интерферо-
интерферометры Фабри — Перо, импульсные микрозонды, томогра-
томографы со сложной системой камер-обскур и др. Отметим,
в частности, что требования по разрешающей способности
в задачах лазерного термоядерного синтеза исследователи
ведущих лабораторий формулируют сегодня как 1-10~6м
по пространству и 1-10~12с по времени [379].
Логика развития методов диагностики плазмы, одна-
однако, такова: чем изощреннее способы измерения плазмен-
плазменных характеристик, тем сложнее чисто математическая,
расчетная техника, используемая при обработке и интер-
интерпретации экспериментальных данных. Неотъемлемым эле-
элементом любой серьезной диагностической процедуры ока-
оказывается ЭВМ. Более того, с развитием вычислительной
техники становится необходимой радикальная перестрой-
перестройка взглядов на саму постановку диагностического экспе-
эксперимента.
Принципиальная особенность большинства современ-
современных регистрирующих устройств — их «многомерность»,
что выражается в огромной ширине канала приема ин-
информации и емкости запоминающего устройства. Так, если
информационное содержание типичной осциллограммы про-
процесса составляет примерно 102 бит, то 1 см2 поля двумер-
двумерного оптического изображения содержит около 105 бит;
при переходе к голографической регистрации эта величи-
величина возрастает еще на несколько порядков. Уже по указан-
указанной причине использование ЭВМ совершенно неиз-
неизбежно.

Другим, не менее важным обстоятельством является то,
что современный диагностический эксперимент настоятель-
настоятельно требует создания многоцелевых систем обработки, ин-
интерпретации, планирования и управления. Такая система
должна быть достаточно гибкой, универсальной и легко
приспособляемой ко вновь возникающим режимам. В ка-
качестве примера можно назвать разработанную в Институ-
Институте прикладной математики АН СССР систему ЭОС, пред-
предназначенную для обработки экспериментов по диагностике
плазмы [215]. Ее логическая структура и мониторная
система таковы, что она может быть нацелена на обработ-
обработку широкого класса экспериментов путем выбора напол-
наполнения соответствующих модулей.
Наконец, нужно иметь в виду, что потребность в ис-
использовании ЭВМ заложена в самой природе плазмы как
«диффузной» или «плохо организованной» системы [49,
196]. Динамические уравнения для плазмы нетрудно сфор-
сформулировать, исходя из классических уравнений движения
для механических переменных и уравнений Максвелла
для электромагнитных переменных. Однако поиск ана-
аналитических решений этих уравнений динамики безнаде-
безнадежен из-за их нелинейности и бесконечного числа степеней
свободы. Вместе с тем разнообразные эффекты относи-
относительно просто обнаруживаются в результате машинного
эксперимента.
«Диффузные» особенности плазмы выражаются в том,
что обычно трудно бывает выделить небольшое число опре-
определяющих параметров системы и установить четкие, од-
однозначные направления причинно-следственной связи меж-
между ними. В результате рождаются весьма громоздкие мно-
многопараметрические и функциональные модели плазменных
объектов, исследование которых без ЭВМ невозможно. При-
Примерами могут служить двумерная МГД-модель плазмен-
плазменного фокуса, неоклассические модели для тороидальной
конфигурации, дефлаграционная модель непрерывного оп-
оптического разряда, многочисленные модели газоразряд-
газоразрядных лазерных систем и т. п.
В этих условиях исключительно важную роль играет
принцип использования случайных процессов для модели-
моделирования плазменного эксперимента на ЭВМ с дальнейшей
регистрацией и обработкой получаемых числовых характе-
характеристик. Первому этапу можно поставить в соответствие
методы создания объекта в реальном лабораторном экспе-

рименте, а второму — измерения и методы диагностики.
В процессе моделирования можно создавать искусствен-
искусственные ситуации, по очереди включая и выключая действия
отдельных факторов. Благодаря этому возможности ма-
машинного эксперимента зачастую шире, чем реального.
Последовательное привлечение для целей моделирова-
моделирования случайных процессов и закона больших чисел связа-
связано, как известно, с алгоритмами Монте-Карло, цепями
Маркова и реализацией так называемой существенной вы-
выборки. Как отмечают авторы работы [77], здесь приемлема
аналогия с опросами общественного мнения: выясняя взгля-
взгляды ~103 типичных американских избирателей, Институт
Гэллапа в США неплохо предсказывает результаты всеоб-
всеобщих выборов, в которых принимает участие ~108 изби-
избирателей.
Одной из основных трудностей численного решения
задач физики плазмы является неустойчивость разностных
уравнений, соответствующих даже простейшим моделям.
В качестве примера приведем ситуацию для широко ис-
используемой в приложениях магнитогидродинамическои мо-
модели [23]. В процессе анализа в рамках этой модели роли
эффектов, связанных с конвективным переносом, часто
встает вопрос, каким образом возникают большие ошиб-
ошибки при вычислении конвективной производной, если при
аппроксимации последней составлены простые разностные
схемы с той же формальной точностью, что и в других
разностных уравнениях. Дело заключается в том, что если
разностные члены, соответствующие конвективной произ-
производной, записаны стандартным способом, то уравнения
могут оказаться неустойчивыми. Вместо них должны ис-
использоваться другие, менее точные, но зато устойчивые
разностные уравнения [193].
Анализ устойчивости включает несколько этапов. При-
Применительно к упомянутой задаче они последовательно рас-
рассмотрены в 123]. Мы укажем здесь лишь на роль важной
теоремы Крайса [316, 317], дающей необходимые и до-
достаточные условия устойчивости разностной аппроксима-
аппроксимации линейных дифференциальных уравнений с перемен-
переменными коэффициентами, к которым в конечном счете сво-
сводится более сложная нелинейная задача. Содержание тео-
теоремы Крайса, представляющей интерес и для дальней-
дальнейшего изложения, можно кратко проиллюстрировать на
простейшем примере.

Рассмотрим уравнение
duldt = а(х)(ди/дх), (i.l)
для которого не представляет труда записать линейно
устойчивую разностную аппроксимацию. Если в соответ-
соответствующее уравнение подставить правильное решение, то
правая и левая части будут различаться на величины
порядка дх™- и 6i", где 6х — пространственный, a 6t —
временной шаги. Разумеется, эти члены возникают в ре-
результате процедуры «обрезания» за счет аппроксимации.
Тогда по Крайсу, если в разцостном уравнении существу-
существует член диффузионного типа (с коэффициентом диффузии
D^>0) или искусственно добавляется таковой, причем его
порядок по крайней мере на единицу ниже, чем ошибки
обрезания Fxm~i, бЧ"^1 или ниже), уравнение будет ус-
устойчивым.
Легко показать, что при наличии больших градиентов
параметров в разностных аппроксимациях конвективных
производных импульса, магнитного потока и энергии для
МГД-уравнений появятся отрицательные коэффициенты
диффузии, т. е., согласно теореме Крайса, возникает нели-
нелинейная численная неустойчивость. Задача, однако, может
быть решена с помощью преднамеренного добавления в
исходные уравнения компенсационных членов типа ис-
искусственной вязкости [193]. Известен ряд более тонких
расчетных схем, обеспечивающих устойчивость задачи при
минимуме вносимых искажений [194].
Что же касается собственно диагностической стороны
физики плазмы, то проблемы устойчивости оказываются
здесь значительно сложнее и разнообразнее. На причинах
этого следует остановиться подробнее.
Как известно, в математической физике принято де-
делить задачи на прямые и обратные в зависимое™ от того,
как они ориентированы по отношению к направлению
причинно-следственной связи: по ходу последней или про-
против хода. При такой классификации основная масса диаг-
диагностических задач попадает в число обратных. К прямым
следует относить лишь задачи, связанные с регистрацией
«продуктов выхода» из плазмы, если это' и есть конечная
цель диагностического эксперимента: определение локаль-
локальных и интегральных радиационных потерь, эффективных
времен жизни возбужденных состояний в плазме, теп-
тепловых и Диффузионных потоков и т. п.

Основная трудность решения обратных задач вида
/, A.2)
где <р и / — элементы метрических пространств Ф, F,
а К : Ф -*¦ F — непрерывное отображение, связана с на-
нарушением требований корректности Адамара [297].
Последние состоят в том, чтобы для каждого f <= F реше-
решение ф задачи A.2): а) существовало, б) было единственным
(однозначно определенным в Ф), в) было устойчивым в Ф,
т. е. непрерывно зависело от /.
Третье условие, наиболее существенное для дальней-
дальнейшего изложения, можно сформулировать в более явном
виде путем введения в рассмотрение метрик ра> , рв- про-
пространств Ф и F. Именно, условие устойчивости предпола-
предполагает, что для всякого е > 0 можно указать такое 8(е), при
котором рф(ф!, ф2) < е, если р*. (/1? /2) <; б.
Задачи, не удовлетворяющие перечисленным требова-
требованиям, являются, по Адамару, доставленными некоррект-
некорректно. Отметим, что Адамару принадлежит и классический
пример некорректной задачи: это задача Коши для урав-
уравнения Лапласа.
В некоторых специальных диагностических задачах,
связанных с управлением режимом разряда на основе по-
полученной информации, более удобной в прикладном отно-
отношении может быть несколько иная трактовка условий
корректности, отвечающая современным понятиям кибер-
кибернетики. В этих случаях исходными являются термины
множества переходов для множества операндов, которые
определяют преобразование. Преобразование может быть
задано не указанием физической причины изменений,
а конкретизацией начальных и конечных состояний опе-
операндов данного множества. При таком подходе к проблеме
корректности в условиях абстрагирования от рассмотре-
рассмотрения совокупности реальных физических факторов возни-
возникают определенные модификации адамаровских условий
корректности. Однако на этих более специальных вопро-
вопросах мы останавливаться не будем.
Хорошо известно, что отношение математиков и физи-
физиков-экспериментаторов к классификации 'задач на кор-
корректные и некорректные в течение длительного времени
было далеко не тождественным. Преобладающее большин-
большинство математиков, в том числе и сам Адамар, определили
свою позицию так: если данная задача не удовлетворяет
10

требованиям корректности, то она практически неинтерес-
неинтересна и физически бессодержательна. Правда, еще в 30-х
годах Тейлор, рассматривая устойчивость системы двух
несжимаемых жидкостей, разделенных некоторой поверх-
поверхностью, которая двищется по направлению к более легкой
жидкости, показал, что соответствующий потенциал ско-
скоростей как раз является решением задачи Коши для урав-
уравнения Лапласа (пример Адамара) [199). Несколько част-
частных примеров было также указано Курантом [116]. Всё
же в области изучения некорректных задач среди мате-
математиков долго сохранялся застой.
Для физиков-экспериментаторов и других представи-
представителей прикладных дисциплин вопроса о том, содержатель-
содержательны или бессодержательны те или иные обратные задачи,
которые математик отнес бы к классу некорректных, как
правило, не существовало. Ответ давала сама логика раз-
развития соответствующих разделов физики, химии, техни-
техники. В итоге подобно известному персонажу Мольера, ко-
который очень удивился, узнав, что всю жизнь говорит про-
прозой, многие физики десятки лет и не подозревали, что весь-
весьма тесно соприкасаются с такой «премудростью», как не-
некорректные задачи.
Хотя трудности решения (в первую очередь наличие
неустойчивости) некоторых обратных диагностических
задач в целом ряде случаев и были замечены эксперимен-
экспериментаторами, они не казались непреодолимыми. Отдельные
остроумные приемы, придуманные практиками, в сочета-
сочетании с дополнительными измерениями, а также с хорошей
интуицией физика-экспериментатора нередко обеспечива-
обеспечивали вполне разумные результаты интерпретации данных.
Это имело как очевидные положительные, так и менее
очевидные отрицательные последствия, связанные с до-
довольно частой недооценкой результатов математиков, по-
полученных уже в более поздний период.
В привлечении внимания математиков и физиков
к проблеме некорректности особую роль сыграли работы
акад. А. Н. Тихонова. Еще в начале 40-х годов он провел
исследования, ставшие сегодня классическими* [210].
Прежде всего А. Н. Тихонов подчеркнул особую роль
третьего условия корректности Адамара (условия устой-
устойчивости). Поскольку данные, подлежащие математической
обработке, всегда отягощены некоторой погрешностью,
то в силу неустойчивости решения ф = K~xj эти данные в
И

физическом смысле не определяют <р, какова бы ни была
их точность. Однако здесь предполагается, что на задан-
заданную с погрешностью функцию. / действует точный опера-
оператор К-1. Таким образом, обратная некорректная задача
может стать вполне содержательной, если будет пересмот-
пересмотрена сама ее постановка. Именно, при известной fe e F
такой, что уклонение р(/, /§) ^ б, решением можно счи-
считать любой элемент множества {ср е Ф|р(/?ф, /б) ^ 6}
и, выбирая из этого множества элемент сра на основе не-
некоторых дополнительных соображений.количественного и
качественного характера, можно построить устойчивый
алгоритм приближенного решения обратной задачи A.2).
В основополагающей работе [210] А. Н. Тихонов в ка-
качестве такого дополнительного условия указал на ком-
компактность множества решений г~>. Тогда решение, если
оно единственно в таком классе, становится устойчивым.
Этот факт вытекает из известной топологической леммы:
взаимно однозначное и непрерывное отображение ком-
компактного метрического пространства М в метричеекое
пространство N является гомеоморфизмом.
Остается еще одна трудность, состоящая в том, что
при возмущенной правой части /б уравнения A.2) его
решение может и не существовать. Однако это затрудне-
затруднение можно преодолеть, переходя, например, от обычного
решения к так называемому квазирешению [81]. При за-
заданном (обычно компактном) множестве М квазирешени-
квазирешением уравнения A.2) является элемент ср, минимизирующий
функционал невязки: p{Kq>, /) = ini{p(/f(p, /) : ср е М).
Тогда -на основе проекционных и некоторых других ме-
методов можно предложить целый ряд эффективных алго-
алгоритмов для численного нахождения квазирешений.
В дальнейшем весьма конструктивным оказался разрабо-
разработанный А. II. Тихоновым и его учениками принцип отбора
модели,сопоставимой с точностью наблюдений и имеющей
минимальную сложность, причем последнее понятие так-
также может быть формализовано с помощью непрерывных,
неотрицательных «функционалов сложности», удовлет-
удовлетворяющих некоторым специальным условиям [217].
г) Напомним, что множество М метрического пространства U
называется компактным, если любая последовательность элементов
этого множества содержит сходящуюся подпоследовательность.

За последние два десятилетия разработано большое
число эффективных, математически обоснованных алго-
алгоритмов решения некорректных обратных задач. Приме-
Применение их для диагностики плазмы становится все более
широким. Однако нельзя не отметить, что их внедрение и
совершенствование в приложении к тому или иному клас-
классу задач не всегда происходит легко и гладко. Тормозя-
Тормозящих факторов можно указать несколько.
Во-первых, это приверженность довольно многих
экспериментаторов к предельно простым, внешне про-
прозрачным по структуре и, на первый взгляд, вполне устой-
устойчивым расчетным схемам первичной обработки и интер-
интерпретации данных измерений. Очень популярен, например,
метод подгонки (иначе, подбора, проб и ошибок), состоя-
состоящий в том, что исследователь не решает обратной задачи
как таковой, а много раз решает прямую задачу, выбирая
в итоге такую функцию, которая, по его мнению, прием-
приемлемым образом соответствует как «здравому смыслу», так
и исходным данным. Аналогичные субъективные сообра-
соображения часто являются определяющими в методе итера-
итераций, а также в разнообразных приемах алгебраизации
задачи с использованием квадратурных формул или поли-
полиномов. Принцилиальный изъян всех «стихийных» методов
такого рода состоит в отсутствии выделенного компакта,
на котором отыскивается решение, а следовательно, и га-
гарантии, что найдено наиболее верное решение; причем
последнее, вообще говоря, может и не сходиться к точно-
точному. Отметим, что довольно подробный критический анализ
таких полуинтуитивных подходов выполнен в [60].
Во-вторых, это скептическое отношение многих спе-
специалистов-прикладников к вопросам существования и
единственности решения изучаемых задач. Часто можно
слышать, что существование и единственность решения
суть требования надуманные и сугубо формальные, по-
поскольку изучается реальное явление, которое и представ-
представляет собой искомое решение, а в силу его детерминирован-
детерминированности другого решения, очевидно, и быть не должно. Та-
Такого рода точка зрения основана на неправомерном отож-
отождествлении реального явления с его математической мо-
моделью. Последняя, разумеется, отражает лишь некоторые
черты объекта, и в рамках модельного рассмотрения суще-
существование либо единственность решения — категории
отнюдь не тривиальные (подробнее см., например,
13

В-третьих, это своеобразный «машинный фетишизм»',
развитый у некоторой части физиков. Внедрение в диаг-
диагностический эксперимент ЭВМ со все лучшими и лучшими
параметрами оказалось фактором, нередко усыпляющим
бдительность: все большая доступность обработки круп-
крупных массивов числовой информации нередко порождала
явную переоценку истинных возмолшосгей такой обработ-
обработки. Новые способы решения некорректных задач, постепен-
постепенно входившие в экспериментальную практику, при этом
расценивались как сложная «кухня», хотя и модернизи-
модернизированная. В известной мере повторилась ситуация, кото-
которая в свое время имела место в квантовой электродинами-
электродинамике, когда физики начали широко осваивать диаграммы
Фейнмана. Тогда один из видных теоретиков Йост полу-
полушутя заметил: Под деморализующим влиянием квантово-
механической теории возмущений в трактовке Фейнмана
потребность физика-теоретика в математических знаниях
свелась к рудиментарному владению латинским и грече-
греческим алфавитами.
В связи со сказанным полезно воспроизвести элемен-
элементарный пример, приводимый А. Н. Тихоновым в обзоре
[215]. Возьмем систему уравнений
х + Ту = 5;
+ У98у = у'50, A.3)
которая при наличии во втором уравнении точных ирра-
иррациональных коэффициентов имеет бесконечное число ре-
решений. Если же рассматривать приближенные системы,
получаемые при введении A.3) в ЭВМ, и проводить вы-
вычисления с точностью до 100, 300 и 500 десятичных зна-
знаков, то хш ~ 0; ж300 ~ 1,6; х500 ~ 5. Ясно, что здесь
факт появления некоторого выделенного решения и его
неустойчивость — продукты ЭВМ. Легко представить себе,
насколько существенными могут оказаться «благопри-
«благоприобретенные» компьютерные искажения решения совре-
современных сложных диагностических задач в условиях доста-
достаточно поверхностного, бесконтрольного отношения к ал-
алгоритмическим деталям.
Все сказанное, по мнению авторов, может служить
достаточным основанием для написания книжки, в кото-
которой кратко и "по возможности в доступной для экспери-
экспериментаторов форме излагались бы основные современные
14

методы анализа я решения некорректных обратных задач,
а.иллюстрации соответствовали бы повседневно возника-
возникающим на практике диагностическим задачам. Как теоре-
теоретическая, так и иллюстративная часть никоим образом не
претендует на полноту. В первом случае читатель легко
сможет углубить свои знания, обратившись к прекрасным
монографиям и обзорам, которые частично уже цитирова-
цитировались 160, 81, 215, 217] или приводятся далее в тексте.
Во втором случае оправданием может служить столь стре-
стремительный темп развития конкретных приложений, что
какая-либо полнота здесь пока в принципе недостижима
(особенно это относится к многомерным и нелинейным за-
задачам).
Авторам хотелось бы надеяться, что данная моногра-
монография явится полезным дополнением к имеющейся в распо-
распоряжении экспериментатора довольно богатой литературе
по проблемам диагностики плазмы.
ГЛАВА 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ
И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ
ДИАГНОСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
§ 1. Существование и единственность решения
Как мы уже видели, согласно Адамару, задача мате-
математической физики или краевая задача для уравнения с
частными производными является поставленной коррект-
корректно, если ее решение существует, единственно и непрерыв-
непрерывно зависит от исходных данных (устойчиво). Как в физи-
физическом, так и в чисто математическом плане спектр задач
диагностики плазмы настолько широк и разнообразен, что
сколько-нибудь последовательный и исчерпывающий ана-
анализ свойств корректности всех разновидностей этих задач
вряд ли возможен. Тем не менее, хотя бы некоторые наи-
наиболее часто встречающиеся тины задач заслуживают рас-
рассмотрения; в частности, всегда представляет интерес
изучить характерные особенности класса данных, при
которых решение задачи существует. Выяснение степени
15

узости такого класса данных помогает строить наиболее
эффективные алгоритмы решения.
Заметим прежде всего, что обратная задача исследова-
исследования свойств плазмы может оказаться неразрешимой уже
по тривиальной причине: в зарегистрированном сигнале
может попросту не содержаться той диагностической ин-
информации, которой мы интересуемся. Иными словами,
эксперимент поставлен неудачно и задача теории в этом
случае — указать правильную, или, как говорят, ин-
информативную схему проведения опыта. Например, в за-
задачах лазерного рассеяния, а также в томографии весьма
непрост выбор минимального количества направлений
просвечивания, при котором за допустимый интервал
времени была бы наиболее полно обследована внутренняя
структура плазменного объема сложной конфигурации.
Многие диагностические .задачи, как будет показано
ниже, формулируются с помощью интегральных уравне-
уравнений Фредгольма 1-го рода:
ь
§K(x,y)<p(y)dy=*f(x), c^x^d. B.1)
а
Относительно существования решения таких задач не-
необходимо сделать несколько замечаний:
1) если ядро К(х, у) есть полином по переменной х,
т. е.
м
К{х,у)= 2ki(y)xi, B.2)
1=0
то уравнение B.1) будет иметь решение, если правая часть
имеет тот же полиномиальный вид:
м
f (х) = 2 1гх\ B.3)
В частности, если ко(у) = с±у, к±(у) — с2, М = 1, a f(x) не
является линейной функцией, то решения уравнения B.1)
не существует;
2) условия существования решения B.1) нарушаются
и в том случае, когда при наличии ядра К(х, у), имеющего
непрерывную производную по х, правая часть f(x) со-
содержит точки, где производная не определена (например,
/ задана в виде ломаной линии);
16

3) для Симметричных ядер К(х, у) = К(у, х) может
быть поставлена задача на собственные значения и соб-
собственные функции:
ь
Ыг(х), B.4)
причем Ki существуют и действительны, а i|)j ортогональны
[106]. Тогда решение уравнения B.1) в силу теоремы
Гильберта — Шмидта существует, если
/(з)=2/*%(г), /i = (/,%), B.5)
г
где круглыми скобками обозначено скалярное произве-
произведение;
4) если в предыдущем случае система собственных
функций tyi(x) является полной и при этом К(х, у) <=
е Lz[a, b], f(z) e Lz[a, b] x>, то решение ср, также при-
принадлежащее Lt[a, b], существует и притом будет един-
Аг И СХОДИТСЯ.
Это утверждение называется теоремой Пикара [1061;
5) если вместо B.1) рассмотреть уравнение свёртки
+ 00
f(x), — оо<ж<оо, B.6)
то, переходя к фурье-образам функций К, ф и /, обозна-
обозначаемых далее К, ф, /, используя теорему Бореля [86]:
й(со)ф(со) = /(о) B.7)
и совершая обратное преобразование Фурье, находим
Ф {х) = Bя)-1 J J{(o) К~г (со) exp (icox) da>. B.8)
Однако нельзя забывать [86], что такое решение существу-
существует и принадлежит L2(—oo, оо), если f(x) е Ьг{—оо, с»),
K(x)^Ll(~co, ооJ), {/(ш)Я-1 (со)}^ ?8(-оо, оо).
2) L2[a, 6] — множество всех функций, интегрируемых на
[а, Ь] в квадрате.
2) Ьх[а, Ъ] — множество всех функций, интегрируемых на
[а, Ь].
17

В случае произвольного выбора правой части f(x) и нали-
наличия нулей у передаточной функции К(со) решения урав-
уравнения B.6) может не существовать.
Вопросы существования решения задач редукции к
идеальному прибору, которые встречаются в самых раз-
разнообразных диагностических приложениях, достаточно
детально разобраны в монографии [35]. Аналогичным
аспектам другого, не мепее важного класса задач, связан-
связанных с восстановлением функций через интегралы от нее,
заданные на семействе кривых или поверхностей (задач
интегральной геометрии), посвящены большие разделы
монографий [121, 195].
Непременным требованием к экспериментальным дан-
данным, отраженным, как мы видели, во втором условии кор-
корректности Адамара, является гарантия получения одно-
однозначного (единственного) результата. В связи с этим часто
говорят о необходимости постановки полной обратной
задачи. Однако задача может оказаться и неполной, при-
приводя ко множеству решений и требуя от исследователя
дополнительных данных для выбора одного из них. Весь-
Весьма распространена, например, такая ситуация в спектро-
спектроскопии плазмы. Укажем хотя бы на задачу о разделении
перекрывающихся контуров спектральных линий. Если
даже известно число компонентов, из которых слагается
регистрируемый профиль f(x), например два, то 'в силу
очевидного соотношения
где /3(ж) =? 0, нахождение исходных функций по заданной
суммарной неоднозначно.
Много примеров неоднозначной постановки обратных
задач, которая, кстати сказать, не всегда отчетливо видна
и нередко дезориентирует экспериментаторов, можно най-
найти в спектроскопии оптически плотной плазмы. Однако в
простейших случаях удается проследить «механизм» про-
проявления неединственности решения за счет не вполне
адекватного моделирования реальной задачи. Приведем
пример [174, 179]. Если оптическая плотность плазмы не-
невелика, а функция источника неоднородного слоя q>(y)
соответствует условиям, налагаемым моделью Бартельса
(см. ссылки в [174]), то из линеаризованного решения
18

уравнения переноса излучения следует соотношение
ь
f(x), B.10)
где f(x) — функция, регистрируемая в эксперименте,
аир — параметры. Как мы уже отмечали, в связи с фор-
формулами B.2) и.B.3) f(x) обязана быть линейной функцией,
т. е. f(x) = /о + /]Ж. Но тогда любая функция источника
ф(г/), удовлетворяющая условиям, наложенным только на
ее нулевой и первый моменты:
B-11)
будет решением уравнения B.10). Ясно, что отсутствие
каких-либо ограничений на моменты более высокого по-
порядка лишает это решение единственности.
Для уравнений типа B.1) с симметричным ядром в
классе L2[a, b] вопрос о единственности задачи, как уже
указывалось, решается теоремой Пикара.
Для уравнения типа свертки B.6) единственность ре-
решения, как легко убедиться, связана с наличием нулей у
передаточной функции К{&) в некоторой области веще-
вещественной оси. Именно, если К(ф() = 0, то решением B.6)
может быть как функция ц>(у), находимая по B.8)
при условии, что в аргументе К~1(и>) со Ф сог, так и функ-
функция
ф1а/) = ф(*/) + Bл)-12«гехр(ко;г/), B.12)
i
где а; — произвольные постоянные.
Следует иметь в виду, что передаточные функции ре-
реальных приборов, используемых в задачах диагностики
плазмы, практически всегда имеют «нулевые» точки сог-
или целые области. Например, в оптике передаточная
функция объектива при сильной дефокусировке или смазе
изображения вследствие относительного смещения прибо-
прибора и объектива равна нулю в некоторых точках [35];
кроме того, реальные оптические, радиотехнические, акус-
акустические и другие приборы имеют ограниченную полосу
пропускания. Отсюда следует, что если спектр сигнала
19

ф(со) содержит гармоники с частотами сог-, то последние
не дают вклада в f(x), а следовательно, и не могут быть
однозначно восстановлены.
В более сложной (многомерной) ситуации [158] ре-
результат измерения / (чаще всего не непосредственный,
а уже найденный после предварительной фильтрационной
и редукционной обработки зарегистрированного сигнала)
оказывается связанным с функционалом ф искомых ха-
характеристик плазмы уравнением типа
t + M/2 22<Ж.У.(')
а (АО J dV \ <pdz = f(x,y,t). B.13)
t-At/2 z^x'y.C)
Здесь At — время измерения, zx и z2 — границы плазмы,
а — некоторая- константа. В данном случае неединствен-
неединственность решения может возникнуть, вообще говоря, по мно-
многим причинам: из-за учета искажений локальных харак-
характеристик плазмы, меняющихся во времени, вследствие не-
необоснованного выбора числа направлений наблюдения,
из-за наличия достаточно протяженных областей внутри
плазмы, не дающих вклада в f(x, у, t) и т. п. Таким обра-
образом, тщательный анализ выполнимости условия един-
единственности решения совершенно необходим.
§ 2. Устойчивость решения
Если бы требования корректности обратной задачи
сводились только к вопросам существования и единствен-
единственности, проблема в целом все же была бы достаточно благо-
благоприятной как для анализа, так и для разработки конкрет-
конкретных алгоритмов. Именно с третьим условием корректно-
корректности Адамара, устойчивостью, связаны основные трудности
рассмотрения обратных задач.
В обширной математической литературе, посвященной
некорректным задачам, приводится большое число при-
примеров, иллюстрирующих неустойчивость. Часть таких
примеров непосредственно соответствует постановкам
задач диагностики плазмы; другая часть — это элементы,
блоки указанных постановок. Перечислим некоторые
из них:
1) дифференцирование (n-кратное, а также дробное)
функции, известной приближенно [81, 217];
20

2) численное суммирование рядов Фурье с приближен-
приближенно заданными коэффициентами [217 3;
3) обращение преобразования Лапласа [109];
4) аналитическое продолжение функции, известной
лишь на части области, на всю область [120, 217];
5) решение интегральных уравнений Вольтерра и
Фредгольма 1-го рода с неточно заданной правой частью,
а также ядром [60, 109, 217 3;
G) решение задачи Копта для уравнения диффузии
(теплопроводности) с обратным временем [7, 81], решение
задачи радиационной кинетики в ретроспективном вари-
варианте [29];
7) решение задачи Коши для эллиптических уравне-,
ний [121];
8) решение задачи Дирихле для волнового уравне-
уравнения [81];
9) решение вырожденных и плохо обусловленных сис-
систем линейных алгебраических уравнений [81, 217];
10) решение интегральных уравнений 1-го рода в фор-
форме Стилтьеса [62];
11) восстановление операторов, в частности, определе-
определение коэффициентов дифференциальных уравнений по ин-
информации о решениях этих уравнений (например, обрат-
обратная задача Штурма — Лиувилля) [9, 133];
12) минимизация функционалов [217];
13) решение многочисленных типов задач линейного
программирования, оптимального управления, диффе-
дифференциальных игр и т. п. [3, 217];
14) решение широкого класса обратных задач кван-
квантовой теории рассеяния [78, 244].
Этот, отнюдь не исчерпывающий, перечень можно бы-
было бы легко дополнить не менее длинным списком неустой-
неустойчивых многомерных и нелинейных обратных задач.
Каковы же те общие определяющие принципы, на ко-
которых основывается успешное решение некорректных
обратных задач? Вернемся к основному операторному
уравнению, рассматривавшемуся в гл. 1:
Кц> =/, Фе= Ф, /е F, B.14)
К — вполне непрерывный (линейный) оператор, дей-
действующий из Ф в F. Оператор в бесконечномерном про-
пространстве, обратный к вполне непрерывному, если и су-
существует, то пе является непрерывным [48], что и порож-
21

дает некорректность решения B.14). Однако задачу мож-
можно превратить в корректную, если рассматривать ее уже
для другой пары пространств Ф1? Fx. В частности, если
Фх = Ф, то Fx должно быть подпространством F, а если
Fx = F, то Фх должно быть расширением Ф. Для многих
классов неустойчивых задач, перечисленных выше, ме-
методы функционального анализа позволяют сравнительно
легко осуществить подбор пар пространств, в которых
эти задачи становятся устойчивыми [121].
Тем не менее чисто формальное развитие этой идеи,
как правило, не является конструктивным но указанной
выше причине. Дело в том, что некорректные задачи обыч-
обычно возникают как задачи интерпретации результатов
эксперимента, отягощенных случайными и системати-
систематическими погрешностями (в задачах диагностики — это
погрешности / и зачастую оператора К), которые малы не
в произвольном пространстве, а в пространстве, жестко
определяемом особенностями измерительной процедуры,
скажем в пространстве ограниченных функций.
Действительно плодотворным является иной подход,
последовательно учитывающий информационные аспекты
рассматриваемой обратной задачи. Неустойчивость с этой
точки зрения есть следствие информационной недоопре-
деленности и устранить ее возможно лишь с помощью вне-
внесения в алгоритм некоторой априорной нетривиальной
• информации, которой практически всегда располагает
исследователь. Характер таких ¦информационных фраг-
фрагментов» и способы их включения в постановку задачи мо-
могут быть весьма разнообразными. Процедуру их исполь-
использования в широком смысле слова называют регуляризаци-
регуляризацией задачи. Так, сравнительно неплохие результаты, кото-
которые экспериментаторы время от времени получали на базе
тех или иных «стихийных» методов, объяснялись регуля-
регуляризацией, хотя часто и не вполне осознанной. Принципы
отбора моделей и построения «функционалов сложности»,
введенные А. Н. Тихоновым,— тоже регуляризация, толь-
только последовательная, ясно формулируемая и учитываю-
учитывающая особенности реального эксперимента. Что же каса-
касается нередко встречающихся до сих пор попыток решить
некорректную задачу за счет чисто математических ухищ-
ухищрений, без каких-либо дополнительных априорных дан-
данных, то они эквивалентны деятельности по созданию
«perpetuum mobile», производящего информацию из
ничего.
22

В связи с проблемой устойчивости обратных задач кос-
коснемся еще некоторых предвзятых точек зрения, имеющих
хождение главным образом среди экспериментаторов.
Часто можно встретить явное или неявное противопо-
противопоставление так называемых «слабо некорректных» задач,
сводящихся к численному дифференцированию, восста-
восстановлению коэффициентов дифференциальных уравнений,
решению почти • вырожденных систем алгебраических
уравнений и т. п., и «сильно некорректных» задач типа
деконволюции свертки, обращения Фурье и Лапласа,
решения уравнения теплопроводности с обратным време-
временем и т. д. В частности, среди специалистов по диагности-
диагностике плазмы бытует мнение о сравнительной легкости пре-
преодоления неустойчивости, сопровождающей различные
модуляционные методы, методы одиночных и двойных
зондов Ленгмюра, инверсию Абеля в различных вариан-
вариантах,' способы выделения различных уширяющих компо-
компонентов спектральной линии и др. [1421.
К подобного рода иерархии обратных некорректных
задач необходимо, однако, относиться с осторожностью.
Рассмотрим простой пример, относящийся к задаче о
редукции к идеальному спектральному прибору (урав-
(уравнения B.6) и B.8)). Хорошо известны способы прибли-
приближенного представления B.8) в виде ряда, например:
фО^/И + ЦЬЛЛаг), B.15)
т.
где коэффициенты Ьт определяются ядром исходного
уравнения Фредгольма B.6), а Тт = dm!dxm — оператор
дифференцирования, действующий из F в Ф.
Сколько же членов суммы B.15) реально имеет смысл
удерживать, т. е. каков порядок т оператора дифферен-
дифференцирования в данной задаче?
Возьмем достаточно типичную схему регистрации
спектра, включающую монохроматор (две щели равной
спектральной ширины s) и приемно-регистрирующую
систему (постоянная времени т, скорость сканирования
v) [102]. Тогда множитель К-\(а) в формуле B.8) факто-
ризуется в виде
КГ1 («) = Км1 (<*>)%? (в>),< B.16)
где фурье-трансформанты от аппаратной функции моно-
хроматора Км и приемно-регистрирующей системы
23

выражаются формулами!
cl- coV/12,
Подставляя B.17) в B.16) и B.15) и учитывая, что умно-
умножение на (ico)m эквивалентно щ-кратно'му дифференци-
дифференцированию функции от х, находим
ц>(х) = f(x) + mf'{x) - s*f" (x)/12 - s?inf"(x)l\2. B.18)
Таким образом, операция редукции в данном случае сво-
сводится к внесению лоправок в экспериментальное спект-
спектральное распределение f(x), выражаемых тремя членами с
производными от этого распределения вплоть до третьей.
Полученный результат можно сопоставить, например,
с формулами решения типичной задачи абелевой инверсии
для аксиально-симметричной оптически плотной плазмы
[166]. Как известно, в этом случае вдоль лучей зрения у
измеряются эмиссионная 1(у) и трансмиссионная В(у)
функции для набора частот v в выбранном спектральном
интервале Av. Обозначим zo(y) = T(y)[B(y)] ~1/2 и введем
в рассмотрение функционал W(f, и — v) — uf(u)(u2 —
v2)-1/2. Тогда для расчета радиальных @ ^ г ^ Л) за-
зависимостей коэффициентов поглощения х(г) и испускания
ё(г) оказываются справедливыми следующие формулы:
х (г) = (яг)** I J W (In 6, у - г) dyjldr; B.
19)
2
Ч(г)=-(пг)-ЫП W (z0, у-г) dyjldr; B.20)
гг (г) = - (nrf'd I J Wfay-r) dy jjdr;
R Г Г 1
Zi (j/) = 2 j W (ei_lt r-z/) 1 - ch j W (x, r' - J/) dr' dr.
у L у J
Легко убедиться в том, что для получения приемлемого
результата восстановления е(г) даже при оптической
24

толщине слоя т0 ^ 2 (т0 == —In 9) пришлось бы учитывать
существенно больше трех членов суммы, приводимой в
B.20), т. е. дифференцировать экспериментально измерен-
измеренные функции 1(у) и б(г/) большее число раз, нежели в
B.18) [163]. Таким образом, представления о «слабой» и
«сильной» неустойчивости задачи оказываются весьма
относительными.
Среди специалистов по диагностике плазмы распростра-
распространенным является также мнение о безусловной коррект-
корректности задач (обычно прямых), сводящихся к интеграль-
интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода. Много разновид-
разновидностей таких задач дает, например, теория радиационного
переноса в спектральных линиях и континууме [20].
При этом часто не учитывают того факта, что при числен-
численном решении уравнений 2-го рода наиболее употребимые
вариационные методы (Ритца, Галеркина и т. п.) могут
привести к неустойчивым решениям; например, неболь-
небольшие ошибки в вычислении матричных элементов зачастую
сводят на нет преимущества большого числа пробных
функций при неортогональном базисе [200].
Рассмотрим в связи с этим характерный пример.
Уолш [378 ] одним из первых попытался применить после-
последовательную теорию радиационного переноса в линейча-
линейчатом спектре к неравновесной низкотемпературной плазме
и, в частности, к расчету пространственного распределения
возбужденных атомов п(г). Расчет производился методом
Ритца, когда задача сводится к отысканию коэффициен-
коэффициентов разложения at по пробным функциям П{ (г): п (г) —
=--2 fli^i (г) • Величины at находятся из решения системы
i
линейных однородных уравнений, к которой преобразу-
преобразуется исходное интегральное уравнение Фредгольма 2-го
рода. Система имеет вид
j
2 «j {Ац - a0B{j) = 0, i=l,2,...,/, B.21)
3 = 1
прячем а0 — наименьший корень уравнения
detD - а0В) = 0, B.22)
а матричные элементы записываются так:
Аи = ^Щ (г) щ (г) [i-G (г, г')] dv + A/2) J J [щ (г) -
- Щ (г')] \Щ (г) - щ (г')] G (г, г' )drdt', B.23)
25

а ~ J Щ (г) nj(r)dr.
Здесь G(r, r') — вероятность того, что фотон, испущенный
в точке г', будет поглощен атомом (ионом), находящимся
в точке г. В простейшем случае
С (г, г') - G(p) = -
СО
1! je(v)exp[- к (v) p] dv,
о
B.24)
где р = |г — г' |, a e(v) и x(v) — коэффициенты испуска-
испускания и поглощения, предполагаемые в отличие от B.20)
независимыми от пространственных координат. Уолш
[378] рассматривал одномерную задачу (плоскопарал-
(плоскопараллельный слой толщиной /), вводил координату |, отсчиты-
отсчитываемую в направлении, перпендикулярном граням слоя,
производил разложение я(|) по трем пробным функциям:
щ = 1, %(?) = 1 — ?2, n2(i) = 1 — I* и полагал профи-
профили x(v) и e(v) гауссовыми.
Как отмечено в работе [182], рассчитывая матричные
элементы Atj и Вц, Уолш допустил две вычислительные
ошибки: должно быть 'А02 = 8/3 вместо А02 = 8/5 у
Уолша и В22 = 64/45 вместо 2?22 = 32/21 у Уолша. Как
видим, первая ошибка довольно существенна, а вторая,
в общем, незначительна. Все же, учитывая, что остальные
матричные элементы были найдены верно, в случае устой-
устойчивой схемы Ритца можно было бы ожидать, что искаже-
искажения пA) не будут слишком ве-
велики. Расчеты, выполненные
в [182], дали, однако, следую-
следующие результаты.
Полагая Аоо— 2 In (щ1/2) =
• = 6, по Уолшу для уравнения
B.22) получим
а3 - 20,365а2 + 46,016а -
— 20,024 = 0, B.25)
0 0,2
Рис. 1. Нормированная плотность
возбужденных атомов п{\).
1 — расчет по Уолшу B.26); г — расчет
с исправленными матричными элементами
А„г и Ви B.28),
26

где корни равны: а0 = 0,580; аг = 1,937; а2 = 17,850.
Функция п(?,) при. этом такова:
пA) = 0,564 - 3,961A - |2) + 3,154A - ?4) B.26)
и ее поведение в данной задаче лишено какого-либо физи-
физического смысла (рис. 1, кривая 1). Расчет с правильными
матричными элементами вместо B.25) дает
а3 - 31,870а3 + 213,28а - 287,11 = 0." B.27)
Корни этого уравнения: а0 = 1,806; at ~ 6,86; а2 =
— 23,19. Нормированное в соответствии с B.26) рас-
распределение п(?,) показано на рис. 1 (кривая 2) и выража-
выражается формулой
п(Ъ) = 0,135 + 0,706A - |2) Н- 0,159A - ?4). B.28)
В связи с отмеченными неустойчивостями задачи в
[182] даны рекомендации по выбору миноров матриц А и
В, содержащих элементы, находимые с неодинаковой
точностью.
В следующих главах мы рассмотрим различные спо-
способы регуляризации неустойчивых задач, представляющих
интерес с точки зрения диагностики плазмы.
ГЛАВА 3
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЫЕ ПРИЕМЫ ПОВЫШЕНИЯ
УСТОЙЧИВОСТИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
§ 1. Предварительные замечания
Особенности некоторых ранних методов решения об-
обратных неустойчивых задач, о которых говорилось в гл. 1,
состоят в том что, оставаясь в рамках этих методов, ис-
исследователь часто имеет возможность легко вносить в ал-
алгоритм довольно богатую и разнообразную априорную
информацию. Тем самым границы применимости таких ме-
методов значительно расширяются, а поскольку структура
их алгоритмов обычно очень проста, математически про-
прозрачна и удобна с чисто расчетной точки зрения, исполь-
27

зование подобных методов зачастую оказывается вполне
оправданным и разумным. Мы рассмотрим здесь несколь-
несколько характерных примеров такого рода.
В диагностических задачах, как, впрочем, и во многих
других приложениях, важную роль играет класс урав-
уравнений типа свертки B.6). Это связано с широким исполь-
использованием в измерительных задачах линейных однородных
систем. Напомним, что входной (р(х) и выходной ]{х) сиг-
сигналы линейной системы связаны дифференциальным
уравнением вида
м
2 ат (х) {d(U~m)j (x)fdx{M~m)) = ф (*), C.1)
имеющим общее решение
ь
f (x) = f К (х, у) Ф (у) dy + ^ ah (х), C.2)
о *
где jt{x) — линейно независимые решения однородного
уравнения, соответствующего C.1), с; — константы, опре-
определяемые граничными условиями. Член с суммой в C.2)
может отсутствовать, если определить К(х, у) как функцию
Грина задачи [149], т. е. потребовать, чтобы всюду на от-
отрезке [а, Ь]
DK{x, у) = Ь(х - у), C.3)
причем К(х, у) должна удовлетворять тем же краевым
условиям, что и f(x); D — дифференциальный оператор
C.1). Однородным (инвариантным к сдвигу) линейным
системам должны соответствовать постоянные коэффици-
коэффициенты ат в C.1), разностный аргумент ядра интегрального
уравнения и бесконечные пределы интегрирования, т. е.
§K(x-y)q>(y)dy = f(x);-oc<x<oc. C.4)
— 00
Ранее мы уже касались вопросов существования и
единственности решения C.4) и отмечали наличие его не-
неустойчивости, обязанной шумовой составляющей выход-
выходного сигнала или погрешности в задании ядра уравнения.
Остановимся на этом подробнее.
28

Выделим в f(x) стационарный случайный процесс \{х)
с нулевым средним и для простоты будем считать, что из-
известна его корреляционная функция
Щ (у) = <ЩЦх + у)>, C.5)
хотя в задачах диагностики плазмы чаще имеется лишь
некоторая информация о среднеквадратичных ошибках
измерений ]{х) в отдельных точках, т. е. о дисперсиях
= <Г"И> ^ RX @), C.6)
позволяющая оценить верхний предел погрешности
max \%,{x)\. Измерению f(x), кроме того, часто сопутствует
экспериментальное определение изопданатической аппа-
аппаратной функции прибора (спектрографа, интерферометра
Фабри — Перо, зонда Ленгмюра и т. п.), т. е. ядра
К(х — у), что, естественно,'сопряжено с появлением но-
нового стационарного случайного процесса у^{х — у), также
характеризуемого соответствующей корреляционной
функцией или матрицей ошибок. Кстати, прием, нередко
используемый экспериментаторами и состоящий в том,
что ошибки из-за неточности ядра К{х — у) сразу относят
к правой части C.4), включая их в ?,(х), может приводить
к совершенно неправильным результатам. Ниже мы еще
вернемся к этой проблеме.
Учтем, что спектр некоррелированных ошибок
1 (со) - Bл) J g (х) ехр (— шх) dx C.7)
— 00
всегда содержит компоненты «белого шума», вследствие
чего по теореме Бореля C.7)
ФИ = 1/оН +!(м)]/Нсо) C.8)
(/o(w) — фурье-образ «точной» правой части), а дисперсия
решения приобретает вид
о-ф - <Ф2> - <ср>2 = Bл) j i?? (со) | К (со) | doo. C.9)
— оо
Поскольку при со -> оо спектры ограниченных функций
/о(&)) и .АГ(со) стремятся к нулю, а в противоположность им
|(со) и jft| (со) — к конечному положительному пределу,
29

fl решении неизбежно возникает неустойчивость, прояв-
проявляющаяся как высокочастотная расходимость. Иными
словами, в у(х) возникают осцилляции чисто шумового
происхождения, причем их нарастание пойдет тем быст-
быстрее, чем выше уровень погрешности измерений, а также
отношение характерных полуширин ядра и восстанав-
восстанавливаемой функции.
Отметим, что понятие «белый шум», давно используе-
используемое в задачах обработки и интерпретации эксперименталь-
экспериментальных данных, обычно трактуется как идеальная модель слу-
случайного процесса с широким спектром. На уровне физиче-
физической строгости его часто определяют как производную от.
процесса броуновского движения, хотя иногда и добав-
добавляют, что это определение сугубо формальное, поскольку
выборочные функции броуновского движения на самом
деле нигде недифференцируемы. В этой связи уместно
сделать еще одно замечание, касающееся интегральных
уравнений 2-го рода, обычно расцениваемых на основании
известных теорем Фредгольма как классически коррект-
корректные. Для уравнения с разностным ядром вместо C.8)
следует записать
Ф(со) - I70((o) +-f(co)][?(co) + С]-1, С Ф 0. C.10)
В условиях «белого шума» искажения решения, обязан-
обязанные влиянию частот, которые лежат вблизи корней о^
уравнения i?(co) + С — 0, могут быть значительными.
Вопросы повышения устойчивости решения в подобных
ситуациях рассматривал Б. Алиев [4, 5].
Вернемся, однако, к уравнениям 1-го рода.
§ 2. Введение стабилизирующего фактора
Существует много вариантов подавления ложных вы-
высокочастотных составляющих решения уравнения C.4),
часто называемых в литературе методами фильтрации;
довольно обстоятельный обзор этих методов содержится
в [227]. Мы рассмотрим лишь простейший прием,
популярный среди физиков-экспериментаторов. Пусть
вместо ц>{х) искомой будет считаться некоторая «сглажен-
30

ная» функция:
+ 00
„ I* г'\ го (т'\ Аг< /Я \\\
причем вид g(x) подобран с учетом свойств фурье-образа
этой функции: g(co). Например, можно положить g(x) =
= с^-1 sin х, откуда g(co) = с2 ^ect (w/^ib гДе сх и с2 —
константы. Тогда, согласно B.8),
Ф (х) = с3 \ J (ю) К~г (а) ехр(Шх) do), C.12)
где граничную частоту сох можно корректировать в соот-
соответствии с уровнем погрешностей измерений.
В работе [175], посвященной анализу диагностических
схем исследования осесимметричной плазмы в условиях ее
случайных поперечных перемещений, оказалось целесо-
целесообразным использовать фурье-трансформанту ^(со) с варь-
варьируемым параметром а:
1Ы) = ?о ехр (—й|со|2). C.13)
Там же было прослежено за процессом вуалирования де-
деталей структуры функции ф(х) в зависимости от а; кроме
того, в модельных экспериментах изучались различные
формы функции Грина задачи.
Достоинства данного метода заключаются в его пре-
предельной простоте и большой гибкости; очень существенным
обстоятельством является также легкость использования
алгоритма быстрого преобразования Фурье и примени-
применимость к обработке больших двумерных массивов отсчетов
изображения [227]. Его недостатки суть очевидные про-
продолжения тех же достоинств: они связаны с возможностью
появления трудно контролируемых артефактов. В совре-
современных диагностических комплексах доля субъективизма
при выборе g(x) может быть уменьшена использованием
диалоговых режимов [35], а также сочетанием математи-
математической фильтрации с приборной аподизацией [306].
¦ Довольно естественным развитием идеи стабилизиру-
стабилизирующего фактора является такая параметризация g(u>, a),

при которой оператор
-f-oo
R [/, а] = Bл) J 7 (<в) КГ1 Hi (w, a) exp (то) dec C.14)
оказался бы регуляризующим в современном смысле этого
понятия (см. гл. 6 и далее). Такой подход детально иссле-
исследовался в работах В. Я. Арсенина с сотрудниками [10,
13]. В частности, показано, что функция g(o, а) должна
удовлетворять следующим условиям:
а) g(co, а) определена в области —оо < со < оо,
а > 0;
б) для всех а^Ои и:0^ g(co, а) ^ 1, g(co, 0) == 1;
в) для всякого а >» 0 g(co, а) — чётная функция по со,
принадлежащая L2(—оо, оо);
г) для всякого а >» 0 g(co, а) -> 0 при |а> | —>- оо;
д) при а -*- 0 g((a, a) ->- 1, не убывая;
е) для всякого а>0 g((o, а) ^~:(со) е L2(—оо, оо);
ж) для всякого (о Ф 0 g(co, а) —>- 0 при а—»- оо. Этим
условиям отвечает, например, стабилизирующий фактор
?(со, а) = |Щ(й)|2[|1(ш)|2 + а^ш)]-1, C.15)
где (?(со) — заданная неотрицательная чётная функция,
кусочно-непрерывная на любом конечном отрезке оси
частот, причем (?@) ^ 0, (?(со ф 0) >» 0 и при достаточно
больших значениях |со|:
(?((о)>С>0. C.16)
§ 3. Разложение спектра сигнала
по системе функций с двойной ортогональностью
Проблему восстановления ц>(х) из C.4) можно тракто-
трактовать с позиций экстраполяции спектра ф (со) за пределы
полосы пропускания реального измерительного прибора.
Действительно, осуществление такой экстраполяции оз-
означало бы повышение разрешающей способности прибора
и в пределе — редукцию к идеальному анализатору спект-
спектра. Этот подход, по-видимому, ведет свое начало от работы
Гарриса [298].
32

В данном случай удобно использовать следующую ап-
априорную информацию о сигнале (р(х): функция у(х) ку-
кусочно-непрерывна, финитна в некотором интервале
(—Ь, Ъ) и интегрируема в нем. Тогда в силу известной
теоремы Винера — Пэли [39] фурье-образ финитной функ-
функции (р(х) может быть продолжен на всю комплексную плос-
плоскость Q = со + гу как целая функция cp(Q) конечной
степени.
Эффективный метод аналитического продолжения
спектра состоит в разложении по системе функций с двой-
двойной ортогональностью т|эт(со), например сфероидальных
[2291. При этом
ф ((О) = 2 ап^т (»), «т = ^т1 J ф (») $т Н d@. C.17)
В C.17) предполагается, что К(а) — 0 при [со|>со1?
Хт — табулированные собственные значения сфероидаль-
сфероидальных функций. Таким образом, в силу двойной ортогональ-
ортогональности системы ij;m(to) разложение ф(со) существует на всем
частотном интервале, в то время как коэффициенты ат
вычисляются по конечному интервалу: —cot ^ со ^ со,.
Поскольку система г|}то(со) полна, ряд ф(со) сходится, т. е.
налицо аналитически продолженный спектр сигнала.
Возвращаясь к ф(аг) от ее фурье-трансформанты, на-
находим
+»
Ф (х) — 2 ат \ фт (ю) ехр (—ix(x>) d(x>. C.18)
m=0 _oo
Несложные выкладки [35] дают
<р (ж) =.
nl=0
C.19)
[О, Ы>Ь.
Поскольку члены ряда в C.19) неизбежно отягощены по-
погрешностями, нужно принимать специальные меры как
для корректного «обрыва» ряда, так и для последователь-
последовательного учета отношения сигнал/шум. Если это сделано,
то результаты восстановления «р(ж) оказываются доста-
достаточно хорошими [348].
Н. Г, Преображенский, В. В. Пикалов 33

§ 4. Итерационная схема Ван-Циттерта
Среди множества итерационных методов, употребля-
употребляемых практиками при обработке результатов экспери-
эксперимента, особой популярностью до сих пор пользуется ме-
метод, предложенный Ван-Циттертом и развитый в дальней-
дальнейшем Ван-Циттертом и Бургером (ссылки в обзорах [192,
227]). Примечательно, что ни полувековой возраст, ни
жесточайшая конкуренция со стороны более рафиниро-
рафинированных подходов не снизили к нему интереса [227]; в те-
течение длительного времени применительно к этому мето-
методу конструировались даже специальные интеграторы (ин-
(интегральные корректоры).
Идея метода исключительно проста: алгоритм можно
охарактеризовать такой последовательностью операций
(фактически реализующей разложение обратного опера-
оператора в ряд Неймана):
1) в качестве нулевого приближения берем ц>^~)(х) =
= /<*); ¦
2) /("> (х) = ц>^п'>(х)(^К(х), где (Я) — символ операции
свертки;
3) ф(»+1)(^) = <р<п)(а.) 4- lf(x) - /<») (х)\\
4( + 1
)( );
5) переходим кп, 2.
Если было выполнено всего N итераций, то, как пока-
показывает несложный расчет,
(х) ~ Ф<"> (х) = (N + 1) / (х) + | С%$\ (- l)m X
¦m=l
X §Km(y)f(x-y)dy, C.20)
где K(l)(y) = K(y), К{Ю(у)= ) K(N~1){z)K{y~z)dz,
— oo
C^v — символ сочетаний.
Удобство метода состоит прежде всего в том, что для
каждой конкретной установки и выбранного порядка
приближения члены
2«i(-irtf(JV)(y)
tn=l
легко рассчитать заранее. Выбор N (именно это и явля-
является неявной регуляризующей операцией) исследователь
34

4%
10-
3421
Рис. 2. Восстановление сложного
спектрального профиля по схеме
Ван-Циттерта.
-10-
Рис. 3. Относительная
ошибка восстановления па-
параметров доплеровского
контура от отношения у.
чаще всего осуществляет полуинтуитивно, руководству-
руководствуясь соображениями о реальной либо фиктивной природе
тех деталей решения ц>(х), которые возникают по мере ро-
роста числа итераций. В качестве типичного примера из об-
области диагностики плазмы сошлемся на статью [1], ав-
авторы которой определяли электронную плотность в труд-
труднодоступной области между анодом и соплом промежуточ-
промежуточного электрода дуоплазмотрона.
В работе [187] производился численный анализ схе-
схемы Ван-Циттерта; он включал в себя вариацию форм К{х)
и ф(х), отношение ширин у = (ДА"I/2/(Д<р) этих рас-
распределений, дисперсии нормально распределенной ошиб-
ошибки s2, «набрасываемой» па вычисляемую свертку /, а так-
также числа итераций N. Отдельные результаты показаны
па рис. 2 и 3. На рис. 2 демонстрируется восстановление
профиля с центральным провалом (типа самообращения
в условиях неоднородной оптически плотной плазмы),
формирующегося при частичном наложении, крыльев двух
близких лоренцевых контуров. Сплошная линия — точ-
иьщ профиль ф, штриховая — свертка /, крестики — ре-
результат редукции, у = 1, N = 4, коэффициент вариации
погрешности 0 = 1,5%, форма ядра - гауссова. На
рис. 3 показана зависимость относительной ошибки вос-
35

становления А различных характеристик контура доп-
леровской формы от отношения у (по-прежнему р = 1,5%,
N = 4). При этом кривая 1 относится к ошибке восста-
восстановления максимального (пикового) значения интенсив-
интенсивности в линии, а кривые 2, 3 и. 4 — соответственно к ошиб-
ошибке при восстановлении спектральных интервалов между
точками контура на высотах 0,2; 0,5 и 0,7 от максимума.
Роль формы ядра К{х) и поведение алгоритма с изме-
изменением числа итераций N нетрудно выяснить, переходя к
фурье-образам соответствующих функций. Простые вы-
выкладки дают
(W) + ф(^)(<о)[1 - К(а>)]. C.21)
Легко видеть, что, беря конечное значение N, получаем,
согласно первой формуле C.21), обычную инверсную
фильтрацию со сглаживанием (аподизацией) [2271. Если
К(од) мало, имеем просто линейное усиление наблюдаемого
сигнала
) -+ (N + 1O(со), C,22)
а переходя к пределу К((а) ->- 0, находим, что на соот-
соответствующих частотах
Ф<*>((о) -^ (N + 1)|(<о), C.23)
где |(со) определяется по формуле C.7). Наконец, следу-
следует заметить, что при N —*- оо и К(о)), отличном от нуля,
предел инверсной фильтрации /(со)/Х(со) достигается лишь,
если |1 —7С(о>)|<;1- В диагностических экспериментах
возможны случаи Л'(оэ) <Г 0 (сдвиг, дефокусировка
изображения и т. п.), и тогда налицо расходимость
алгоритма.
Модельные эксперименты, проведенные в [188], дали
основание считать, что применение схемы Ван-Циттерта
целесообразно, если: а) у ^ 1, б) |3 ^ 2—3%, в) N <^
^ 5ч-7, г) исследуются уширения профилей не слишком
сложной формы на уровнях <^0,5 от пикового значения
интенсивности. С уменьшением у число необходимых ите-
итераций быстро сокращается; например, при а =• 1/3 при-
приемлемые результаты получаются уже при одной-двух
итерациях.

§ 5. Модернизованные итерационные схемы
Корреляция между номером последней итерации и
ожидаемым характером решения — не единственная воз-
возможность внесения априорной информации в алгоритм
Ван-Циттерта. Сравнительно недавно интересную моди-
модификацию этого алгоритма предложил Жансон [307]. Она
определяется такой последовательностью операций:
1) Ф(°) (х) = f(x);
2) fW(x) = уЩх)®К(х);
3) tfn+"(x) - ф(«)(а:) + J(x)lf(x) - /<«>(.?)];
4) „ _>. (п + 1);
5) переход к п. 2.
Отличие от схемы Ван-Циттерта состоит в изменении
п. 3, где введен некоторый «коэффициент релаксации»
J{x), зависящий от фп\х). Простейшая форма J(x),
предложенная Жансоном, такова:
J(x) = СП - 2|<р<">(а:) — 1/21], C.24)
С — константа. Ясно, что Jix) ->¦ 0, когда ф('!)(а?) стре-
стремится к нулю или к единице; иными словами, решение
заключено в пределах 0 <: ц>(х) s^ 1. Разумеется, вместо
единицы можно взять любую другую положительную кон-
константу,- элементарным образом изменив C.24): интервал
0 ^ ф ^ 1 соответствовал у Жансона задаче обработки
абсорбционных спектров. Более интересно другое обоб-
обобщение:
J{x) = СИ - 2(В(х) - А{х))-г\цМ{х) — 2-1(А(х) +
+ В(х))\], C.25)
т. е. если экспериментатор может указать некоторые огра-
ограничивающие кривые А{х) и В{х), алгоритм гарантирует,
что решение ц>(х) не выйдет из соответствующего «коридо-
«коридора». В работе [307] приводятся экспериментальные иллю-
иллюстрации, убедительно доказывающие преимущества не-
нелинейного алгоритма Жансоиа над обычной линейной
схемой Ван-Циттерта, где J(x) — 1.
Рассмотрим теперь другой способ модернизации схе-
схемы Ван-Циттерта. Вместо формул C.20) и C.21), можно
после простых преобразований записать следующее «син-
«синтезированное» выражение:
37

+ 00
Ф (х) = / (z) -j- Bл;) j [Я (со) — l] / (<*>) ехР {i
— оо
C.26)
Ранее приведенные формулы для у(х) соответствуют, та-
таким образом, разложению обратного оператора задачи
в ряд Неймана. Однако возможно разложение и в другие
сходящиеся функциональные ряды, т. е.
[К~г (со) — 4 ] = 2 anU (at). C.27)
п
Пусть, например, Un(a>) = con. Тогда, используя извест-
известное выражение производной от функции через ее фурье-
образ:
dnf (x)/dxn = Bл) J (ico)n7 (©)exp (taw) dio, C.28)
— 00
имеем
Ф (x) = / (x) + 2 (i)"n an [dnf (x)/dxn]. C.29)
n
Здесь, как и в C.1), коэффициенты ап определяются струк-
структурой функции Грина задачи. В частности, если
1(со) = [1 + (©/Р)«Н( C.30)
получим решение
Ф(х) = /(х) - $-*[d*f(x)/dz2], C.31)
известное как решение Эддингтона. В задачах по рестав-
реставрации изображения нередко используется двумерный ана-
аналог C.31), часто называемый формулой Неважного —
Джозефа [35]:
Ф(аг, у) = f(x, у) - x[d*f(z, у)!дх* +d*f{x, у)/ду*). C.32)
В диагностических приложениях (например, использую-
использующих методы голографической интерферометрии) часто воз-
возникает проблема контрастирования, приближенным спо-
способом решения которой является суперпозиция размыто-
размытого (нерезкого) изображения f(x, у) и его контурной кояии, ]
находимой П57тем воздействия на f(x, у) оператора Ланла- i
за

са с некоторым «весом» к [155]. Именно такой процедуре
и соответствует формула Коважного — Джозефа.
Практический интерес может также представить слу-
случай прямоугольного ядра:
W lO, |*|>2p.
Тогда однократным дифференцированием исходного урав-
уравнения C.4) получаем рекуррентное соотношение:
ф + 2р) = ф - 2р). + 4$[df(x)/dxl- C.34)
Если известно значение ц>(х0) и применена регуляризация
при вычислении первой производной f(x), то может быть
вычислен дискретный ряд значений (р(х0 + 4р), ср(:г0 +
+ 8Р), ...
Наконец, если в разложении C.27) выбрать Un((a) =•
= sinrt(eo)/2), то вместо C.29) получится удобное для
расчетов на ЭВМ выражение в конечных разностях
<р (х) = f(x) + ЦB0"ХДсИ/ (х). C.35)
В заключение этого раздела приведем без доказатель-
доказательства важную в прикладном отношении теорему [228] от-
относительно сходимости последовательных приближений.
Теорема. Пусть К(х, у) — симметричное, квад-
квадратично суммируемое положительно определенное ядро
и пусть уравнение
ь
= f(x), f(x)e=Lt[a,b] C.36)
разрешимо. Тогда последовательность {ф"(^)}, определя-
определяемая рекуррентным соотношением
ь
ф» (х) = ф(п-1) (х)
где <р^(х) е L2[a, 61, 0 < I < 2Xmin, причем A,min — на-
наименьшее характеристическое число ядра К(х, у), схо-
сходится в среднем к решению уравнения C.36).
Эта теорема часто бывает полезной при обосновании
тех или иных итерационных' схем, связанных с различ-
различными способами внесения в алгоритм априорной информа-
39

ции о решении. Исследование сходимости метода итера-
итераций на конкретных примерах провели недавно Хилл и
Юп [300]; в частности, в этой работе выявлены такие
классы разностных ядер К(х — у), для которых сходи-
сходимость либо отсутствует, либо не соответствует практиче-
практическим запросам.
§ 6. Проекционная схема Танабы — Хуанга
Получивший известность сравнительно недавно алго-
алгоритм, разработанный Танабой и Хуангом с сотрудниками
[304], оказался очень удобным во многих отношениях.-
Его идея сводится к следующему.
Перейдем от исходного операторного уравнения К(р =
= / к его алгебраизованной версии
N
%Kmi4i = fm,m = l,2,...,M. C.38)
i=l
Будем расематривать ср = (ф1? ср2, . . ., <рн) как вектор
в JV-мерном пространстве, а каждое из М уравнений в
C.38) — как гиперплоскость. Пусть выбрано некое на-
начальное приближение ср@>. Следующее приближенное ре-
решение ф(х) найдется как проекция ф@) на первую гипер-
гиперплоскость
фA) = (р@) _ [(фСО.к.! - /JKJ/K^Kl C.39)
где Кх = (Кц, Кп, . . ., Kxn), а скалярное произведение
обозначено точкой. Затем вычислим проекцию <рB\ ис-
используя в соответствии с C.39) векторы <рA\ К2 = (К21,
К22, • • ., K2n) и т. д., пока не дойдем до <р(М). Тем самым
первый цикл итераций закончен. Далее повторяем весь
цикл, исходя из ф(М\ получив в результате q/2M) и т. д.
Танабой и Хуангом показано:
а) векторная последовательность <р(П\ <р(М), фBм>,
Ф(зм>, ... всегда сходится для лвэбых N, М и Кт1, причем
lim ф(«м> = ф, C.40)
П->
если система уравнений C.38) имеет единственное реше-
решение;
40

9
16-
1Z-
8-
4-
О 10 20 30 ¦ О ГО 20 30 0 10 20 30 I
Рис. 4. Иллюстрация возможностей проекционной схемы Та-
набы — Хуанга.
а, б, в — восстановление сигналов с различными помехами; 1 — искажен-
искаженный сигнал (в отсутствие случайной помехи), 2 — восстановление после
одного цикла итераций, з — восстановление после 10 циклов итераций,
4 — искаженный сигнал со случайной помехой, 5 — восстановление после
10 циклов итераций.
б) если система C.38) имеет бесконечное множество
решений, то <р будет решением, минимизирующим норму
невязки
«p-q>co)|| =
N
2 (фг —
г=1
1/2
C.41)
Иными словами, даже при бесконечном множестве реше-
решений мы можем надеяться на получение приемлемого, фи-
физически разумного решения, если начнем с хорошего при-
приближения <р(°);
в) проекционный метод допускает введение самой раз-
разнообразной информации о решении: ограниченности, не-
неотрицательности, монотонности и т. п. Например, усло-
условие фг- ^ 0 учитывается простым приравниванием нулю
любых отрицательных составляющих ф(/|) перед нахож-
нахождением следующей проекции.
На рис. 4 даны примеры решения модельной обратной
задачи с использованием схемы Танабы — Хуанга. Ис-
Исходным был сигнал ф в виде двух прямоугольников (а);
этот сигнал сильно искажался оператором К в условиях
отсутствия (б) и присутствия (в) случайной помехи. Пос-
Последняя была «белым шумом» с нулевым средним, равно-
равномерным распределением и характеризовалась стандарт-
стандартным отклонением о -- 0,5 (этому соответствовало отно-
отношение пиковый сигнал/шум порядка 23 дБ). После 10 цик-
циклов итераций в обоих случаях оба компонента сигнала
41

разделялись, хотя их форма (особенно при наличии по-
помехи) оставалась искаженной. Нужно заметить, что ис-
использованная в этом расчете априорная информация была
незначительной: ц ^ 0. В последующих работах Хуанга
с соавторами даны примеры существенно лучшего восста-
восстановления проекционным методом как одномерных сигна-
сигналов, так и двумерных изображений, причем сделаны оцен-
оценки характерных времен решения такого рода задач на
ЭВМ с параметрами, примерно соответствующими оте-
отечественной машине БЭСМ-6. Оказывается, что указанные
времена порядка Юс. Это позволяет считать схему Та-
набы — Хуанга вполне перспективной с точки зрения за-
задач диагностики плазмы.
Г Л А В А 4
МЕТОДЫ КВАЗИОБРАЩЕНИЯ
Перейдем к краткому описанию методов, в основе ко-
которых лежит идея искусственного изменения оператора
задачи. Это изменение должно отвечать определенным
требованиям, с одной стороны, малости создаваемых та-
таким образом искажений, а с другой — внесения достаточ-
достаточной априорной информации, чтобы задача стала матема-
математически корректной. В литературе нет четкого разграни-
разграничения классов этих методов, однако за их определенной
частью, относящейся в основном к более ранней стадии
исследования неустойчивых задач, довольно прочно за- I
крепилось название «методы квазиобращения». j
В качестве типичного примера назовем уже упоминав-1
шийся в гл. 1 метод, предложенный Нейманом и Рихт-
майером [377], который основан на включении в уравне- '
ние члена с псевдовязкостью. Благодаря этому гипербо-1
лическая задача превращается в параболическую, что га-
гарантирует устойчивость решения и устраняет разрывы.
Весьма важная с точки зрения приложений (газодинами- i
ка, физика плазмы) модификация этого метода принадле-f
жит Лаксу и Вендрофу [321]. Упомянем здесь классиче- *
скую статью Куранта [276] по обоснованию способа штраф- ]
ных функций в вариационных задачах, работы Кона и
42

Ниреыберга [312], а также Олейник [153] по аппрокси-
аппроксимации неэллиптической задачи семейством эллиптиче-
эллиптических задач, исследования Лионса по расширению границ
применимости метода фиктивных областей, когда дефор-
деформируется не только сам оператор, но и область его опре-
определения.
Остановимся подробнее на методах квазиобращения,
непосредственно связанных с постановками задач, возни-
возникающих в диагностике плазмы.
§ 1. Метод введения единичного оператора
Для пояснения существа этого метода напомним при-
принадлежащее Тихонову обобщение классического (по Ада-
мару) понятия корректности обратной задачи
Кц> = /, ФеФ, fe=F. D.1)
Будем называть задачу условно корректной, если:
а) априори известно, что решение существует для не-
некоторого класса данных из F и принадлежит заданному
множеству (множеству корректности) М: ере М Ф 0;
б) в классе М решение единственно:
в) бесконечно малым вариациям /, не выводящим ре-
решение за пределы М, соответствуют бесконечно малые
вариации.решения.
Соответствующий анализ показывает, что множество
корректности М, о котором идет речь в пунктах а), б) и
в), как правило, является компактом.
Следуя М. М. Лаврентьеву [117], можно ввести в рас-
рассмотрение такой вполне непрерывный оператор L\ что
множество корректности М окажется множеством функ-
функций и, для которых справедливы соотношения:
Lv = и, \\v\\^ I, ||?||< 1. D.2)
Если оператор К положителен, а К и L перестановочны,
то вместо D.1) нужно решать уравнение
Кц> + аср = /, D.3)
т. е. Ф - (К + ссЕ)-1}, D.4)
где Е — единичный оператор, а а — некоторый малый
параметр (параметр регуляризации). Смысл введения чле-
члена аЕ в D.4) легко понять: в силу известной теоремы
43

Фредгольма [106] спектр собственных значений линейно-
линейного оператора К чаще всего сгущается к нулю, вследствие
чего оператор К~х либо не существует, либо неограничен.
Слагаемое ссЕ приводит к сдвигу спектра на величину а,
так что решение становится устойчивым и в то же время
остается не слишком сильно искаженным, если параметр
а мал.
Если коммутируют не К и L, а К*К и L (К может
быть неположительным), то вместо D.4) имеет место вы-
выражение
Ф = (К*К + аЕ^К*}. D.5)
Как в предыдущем, так и в данном случае знания явного
вида оператора L собственно для решения задачи по фор-
формулам D.4), D.5) не требуется: информация об L необхо-
необходима лишь для проверки коммутационных условий и в
ряде случаев она может быть довольно ограниченной
[147]. Более сложная ситуация возникает, если условие
положительности выполняется только для оператора KL
или К и L произвольны. В первом случае
Ф = ЦКЬ -f аЕ)-1/, D.6)
во втором
Ф - L[(KL)*(KL) + a*E]-l(KL)*f. D.7)
Ясно, что с практической точки зрения формулы D.4) и
D.5) предпочтительнее, нежели D.6),или D.7).
Если D.1) есть интегральное уравнение Фредгольмэ
1-го рода, причем аргументы х и у ядра имеют одинаковый
физический смысл (время, частота, координата и т. п.),
то полезными могут оказаться некоторые итерационные
схемы, основанные на идее введения единичного опера-
оператора [118].
Пусть прежде всего ||ЛС||^ 1. При этом: а) если К —
самосопряженный положительный оператор, коммутиру-
коммутирующий с L, то
ъ
Я*") (х) - ф(«-« (х) + / (х) - j К (х, у) фс»-1> {у) dy, D.8)
а
фС)(я) - fix);
44

б) если К — произвольный самосопряженный оператор,
коммутирующий с L, то
ь
; D.9)
а
в) если Л" — произвольный оператор и с L коммутирует
* то
Можно было бы привести и более общие выражения
для cp(n>, но в них уже яЬным образом входит оператор
L, и потому они в практическом плане менее интересны.
Укажем еще на метод Бакушинского [15], который
с идейной точки зрения близок к схемам, разработанным
М. М. Лаврентьевым, и в известной степени дополняет
их. В этом методе также рассматривается несколько ти-
типов оператора К. В частности, если К — положительный,
имеет полную систему собственных функпий {^т(х)} и
набор вещественных неотрицательных собственных зна-
значений цт, то для обеспечения устойчивости и сходимости
решения берется уравнение Лаврентьева D.3), а само
решение выражается формулой (а > 0)
Фа(«)= 2 WmW^m + a), D.11)
где fm = (/, ¦фт). Данная формула, очевидно, обобщает
классический результат теории интегральных уравнений
[106], которому соответствует а = 0. Для произвольного,
но самосопряженного оператора К приходится иметь де-
дело с полной системой комплексных собственных функций
и с набором вещественных собственных значений, Вместо
D.3) необходимо ввести вспомогательное уравнение
а 4- гаФа = / D.12)
и записать решение в виде
S + ia). D.13)
Могут быть получены и более общие, но менее удобные в
прикладном отношении формулы (разложения по собст-
собственным функциям ядра Шмидта и т. п.).
45

Упоминая все эти алгоритмы, мы не останавливаемся
на важных вопросах о выборе параметра а, функциях
корректности, введенных М. М. Лаврентьевым [118], про-
процедурах, ограничивающих число итераций/ скорости схо-
сходимости рядов и т. п., поскольку перечисленные вопросы,
а также, многочисленные модельные иллюстрации, свя-
связанные с квазиобращением через единичный оператор,
достаточно полно разобраны в справочном пособии [38],
а также в обзоре В. А. Морозова [147]. Коснемся кратко
лишь работы И. Н. Свентицкой [197], в которой отчетли-
отчетливо продемонстрирована возможность применения несколь-
несколько модифицированного алгоритма квазиобращения к
спектроскопическому эксперименту.
В данном случае стояла задача устранения аппаратур-
аппаратурных искажений спектров, снятых с помощью щелевого
диссектора, предназначенного для диагностических изме-
измерений с высоким разрешением во времени. Эта задача сво-
сводилась к деконволюции свертки вида
н
f K(x-yL>(y)dy = f(x)t D.14)
-я
причем в простейшем случае функции <р, / и К считались
четными. Алгоритм Лаврентьева в виде D.3) удобно со-
сочетать с проекционным методом Галеркина, т. е. строить
решение q>N(x) как проекцию на W-мерное подпростран-
подпространство, образуемое элементами полной ортонормальной на
[—Я, Я] системы функций {^„(ж)} (п — 0, 1, 2, ...). Та-
Таким образом,
N N
<fiN (х) = ^ antyn(x)> fN (х) ~ ? Cntyn{x)i D.15)
71 = 0 П=0
где
tyn(x) ~ Н-1/2 cos (лпхН-1). D-16)
Разностное ядро также очевидным образом разлагается
в ряд Фурье:
сю !
К{х — у)= 2 ЬпН~1/2 cos [nn (х - у) Я71]. D.17)
п=о
В результате вместо C.14) имеем уравнение
+ оир* = /'v, - D.18)
причем ап — cnl{bn,-\- a). D.19)
46

Подчеркнем, что коэффициенты Фурье сп (а в некоторых
случаях И Ьп) отягощены погрешностями. Свентицкая
[197] разработала специальный алгоритм минимизации
некоторого функционала, дозволяющий выбирать опти-
оптимальные значения числа проекций N как функции числа
узлов (М + 1) в формулах приближенного интегрирова-
интегрирования для сп и Ьп, а также параметра регуляризации ос. Кро-
Кроме того, при реализации алгоритма использовались не-
некоторые дополнительные приемы, уточняющие решение
и повышающие его устойчивость: суммирование рядов
по Фейеру в области оптимального Л", усреднение по шу-
шумовым характеристикам и т. п. Наконец, можно показать,
что алгоритм легко обобщается на случай произвольного
спектра.
§ 2. Метод введения
дифференциального оператора
Существует, вообще говоря, бесконечно много реали-
реализаций данного метода, поскольку для одной и той же не-
некорректной задачи можно строить различные операторы
квазиобращения. Достоинством метода является то об-
обстоятельство, что при выборе структуры оператора, а так-
также числовых значений некоторых параметров задачи ча-
часто удается использовать физические соображения об ис-
искомом решении, а не только более или менее формальные
условия чисто математического характера.
Значительное число диагностических задач может быть
либо непосредственно сформулировано с помощью линей-
линейных или нелинейных дифференциальных уравнений в част-
частных производных, либо сведено к таким уравнениям пос-
после некоторых преобразований. В последнем случае важ-
важную роль играет своеобразный «принцип соответствия» по-
постановок многих прикладных задач в интегральной и
дифференциальной форме. Например, только что рассмот-
рассмотренная задача об учете аппаратурных искажений спект-
спектра, если аппаратная функция прибора мало отличается
от дисперсионной, легко сводится к задаче аналитическо-
аналитического продолжения (теории функций комплексного перемен-
переменного), когда решается уравнение Лапласа на полуплоско-
полуплоскости. Другой пример — редукция к идеальному прибору,
которому в реальной диагностической ситуации соответ-

ствуёт неразностноё «дважды осциллирующее»
К (х, у) = я 2j sin nx ¦ sin пу • ехр (— пЧ). D.20)
Тогда интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода
f{x) D.21)
отвечает задача Коши для уравнения диффузии (тепло-
(теплопроводности) с обратным ходом времени:
(d/dt — д2/дх2)и = О D.22)
При этом 0 < х < я, 0 < t < Т, u(O,-t) = и(п, t) = О,
и(х, 0) — (р(х), и(х, Т) = const-sin nx.
Решение некорректной задачи D.22) удобно получить
квазиобращением с введением дифференциального опера-
оператора. Оператор общего вида D — (d/dt — Д) нужно за-
заменить, например, следующим: D-+Da, где
Da = d/dt — А — ссД2, D.23)
а — параметр регуляризации. Доказательство корректно-
корректности задачи с оператором Da и соответствующая техника
решения имеются в монографии [124]. В работах [7, 124]
приведено большое количество алгоритмов квазиобраще-
квазиобращения с введением дифференциальных операторов, а также
конкретных примеров, многие из которых представляют
интерес для физики плазмы.
В связи с особой важностью для диагностических при-
приложений, описывающих перенос излучения в линейчатом
спектре, остановимся подробнее на одном из способов,
дающем удобную возможность воспользоваться методом
квазиобращения [178].
Обозначим через и нормированную на больцмановское
значение плотность возбужденных атомов. Пусть далее
q — радиационный поток, направленный вдоль орта Q,
/v — спектральная интенсивность, >c(v) — коэффициент
поглощения, B(vQ, T) — функция Планка, рассчитанная
для центра рассматриваемой линии л>0 и температуры Т,
У = (gi^gzXh'VoN)-1 ехр (hvJkT), gt, g2 — статистические
веса уровней, Лг — плотность атомов-абсорбентов. Исход-
48

ной Является зацепляющийся система кинетических урав-
уравнений вида:
D.24)
4Л
Задача сводится к отысканию м как функции координат
и времени; расчет чисто радиационных характеристик
(/v, q) и постановка тех или иных частных задач диагнос-
диагностики являются уже следующими этапами.
Для симметричного профиля >e(v) частотный интервал
[v0, +°°] можно условно разделить на три участка: [v0,
vx J, соответствующий короткопробежным фотонам и об-
области применимости приближения Росселанда [254]; lv1?
v2], соответствующий среднепробежным фотонам, где не-
необходим последовательный кинетический подход к зада-
задаче; [v2, оо], соответствующий длшшопробежным фотонам
и области применимости приближения Планка [254].
Тогда первое из уравнений системы D.24) запишется
в виде
du/dt = — v(yqR + V4h + V<Jp)> D-25)
где индексы у дивергентных членов отвечают указанным
участкам. Легко показать, что учет тольк.о первого и
третьего слагаемых в правой части D.25) означал бы за-
законность фоккер-планковского разложения функции
и(г + р) по степеням р, где г — точка испускания, а (г +
+ р) — точка поглощения фотона. Отсюда следует, что
если устремить интервал [vlt v2l к нулю, т. е. так расши-
расширить области приближений Росселанда и Планка, чтобы
точки vx и v2 совпадали (vx — v2 = v*), то этой операции
должна соответствовать возможность аналогичного раз-
разложения и(г + р) И в интегральном члене полного кине-
кинетического уравнения. Можно показать [178], что, опре-
определяя v* из условия x(v*l) ~ 1, где I — характерный
размер системы, мы удовлетворяем указанной возмож-
возможности.
После этого остается лишь записать дивергентные
члены, входящие в D.25), в приближениях Планка
49

/
J
{uB ^> /v) и Росселанда (иВ ~ /v). Имеем
J xdv, Ъ1 = (8я/?/3) J x-iJv. v
v* v0
Обозначая а = а^у, b = 6ху, приходиль к дифференциаль-
дифференциальному уравнению для функции и:
du/dt = —аи + ЬАи. D.27)
Анализ показывает, что для типичных в спектроскопии
плазмы профилей h(v) замена решения системы D.24)
решением уравнения D.27) не только не вносит на прак-
практике систематических погрешностей, превышающих
~10%, но и дает значительное упрощение задачи. Это
особенно важно в расчетах радиационных потерь, когда
необходимо принимать во внимание большое число линий
и континуум.
Существует обширдый класс граничных обратных
задач радиационного переноса в плазме, вполне аналогич-
аналогичных соответствующим традиционным задачам теплообме-
теплообмена 17], например краевая постановка, постановка в фор-
форме Коши и вариационная постановка; не менее интересны
и ретроспективные задачи (с обратным ходом времени)
[6 ]. Во всех этих случаях имеет место сильная неустой-
неустойчивость решения, преодолеваемая на основе уравнения
D.27) и алгоритмов квазиобращения, например, в форме,
D.23), причем наличие члена с производной нулевого по-
порядка не является препятствием к применению алгоритма.
Интересно отметить такую модификацию метода, ког-
когда в уравнении D.25) член yqft не отбрасывается за счет
совмещения частот Vj и v2, а рассчитывается как некоторое
среднее двух значений, получаемых в приближениях
Планка и Росселанда; при этом точность определения
u(r, t) может быть повышена.
В заключение сделаем несколько общих замечаний,
касающихся метода квазиобращения с введением диффе-
дифференциального оператора.
1. Основная область приложения метода — решение
необратимых эволюционных задач в ретроспективном ва-
варианте, задач управления системой, описываемой урав-
уравнениями в частных производных, граничных задач с из-
50

быточньши данными на одной части границы и с недоста-
недостаточными на остальной части.
2. Метод может быть реализован в абстрактных про-
пространствах для эволюционных уравнений как параболи-
параболического, так и непараболического типа; при этом наряду
с линейными могут быть рассмотрены многие нелинейные
задачи [124].
3. Исследование вопроса об устойчивости неявной раз-
разностной схемы для регуляризованного уравнения
duldt = ~а2(
и@, t).= иA, t) = (д2/дх*)и@, t) =
- {дУдх'2)и{1, t) = 0, D.28)
[0, 1 ], 0 < t < Т, а > О, и(х, 0) = у(х)
приводит к следующим результатам [22]: схема в общем
случае оказывается слабо устойчивой, а при некоторых
ограничениях, наложенных на начальную функцию <р(л)
(отсутствие высокочастотных составляющих спектра),
норма оператора шага в L% меньше 1, т. е. схема устой-
устойчива. Тамме [208] для решения многомерной эволюцион-
эволюционной задачи предложил схему с расщепляющимся опера-
оператором и доказал ее устойчивость.
§ 3. Квазиобращение в постановке
физического эксперимента
История физики богата примерами, когда талантли-
талантливый экспериментатор, руководствуясь в основном инту-
интуитивными соображениями и некоторой априорной инфор-
информацией о характере ожидаемого результата, выбирал из
множества возможных вариантов именно такую схему
опыта, которая обеспечивала устойчивое решение рас-
рассматриваемой задачи. Как правило, такой выбор сопря-
сопряжен с изменением оператора задачи, которая тем самым
становилась корректной по Адамару. Поэтому с извест-
известными оговорками подобные приемы также можно причис-
причислить к методам квазиобращения, понимаемым, конечно,
в более широком смысле слова.
Проиллюстрируем сказанное веего одним примером.
Рассмотрим эффект деполяризации флуоресценции газа

(или неравновесной плазмы), помещенного в слабое маг-
магнитное поле. Этот эффект открыл Ханле в 1924 г. Он сыг-
сыграл исключительно важную роль в период становления
и развития квантовой механики [152], а в последние го-
годы, пережив как бы второе рождение, зарекомендовал
себя как прецизионный инструмент исследования состоя-
состояний атомов и молекул и тонких кинетических процессов,
протекающих в газовых и плазменных системах, в том
числе в лазерных средах [239].
Напомним прежде всего на примере интегрального
уравнения Фредгольма 1-го рода
ъ
f(x), c<.r<d, D.29)
одно простое следствие неустойчивости обратного опера-
оператора задачи. Если взять два решения уравнения D.29)
Фх(г/) и ф2(у), разность которых есть гармоническая функ-
функция
Фг(у) — ЧАУ) = R sin (щ), D.30)
то в метрике L2 отношение уклонений решения и правой
части D.29) равно:
[Ь? ?1/2 Г d —1/2
— sin (Ъ — a) cos [to (b + а)]]1/2 X
[dFb -12 -1—1/2
2cof ПК(х, у) sin (од) dy \dx\ .-- D.31)
Неустойчивость задачи обусловлена тем, что с ростом
со х —*- сю, причем чем круче ядро К(х, у) меняется на от-
отрезке а ^ у ^ Ь, тем медленнее будет возрастать %. По
переменной х ядро считается непрерывной функцией с
непрерывной частной производной dKldx. Таким образом,
если по условиям задачи существует возможность дефор-
деформировать ядро в направлении его «обострения», т. е.
К(х, у) ->- Ь(х — у), то такую операцию следует рассмат-
рассматривать как эффективную регуляризующую процедуру.
Обратимся теперь к эффекту Ханле в его элементар-
52

ной классической трактовке [183]. Пусть возбужденное
состояние атома — дублет с энергиями уровней %а}^ и
7ш2, основное состояние синтлетно (энергия %щ), диполь-
ный переход моделируется линейным осциллятором. Тог-
Тогда для напряженности поля E{t) излучаемой волны и ее
интенсивности 1(Ш) имеем
/(со*) = I, + h + 2(V2)V2 cos (cof + p), D.32)
Ifl = |(O2 — (Oil, P = P« — Pi.
Деполяризационный эффект Ханле, очевидно, проя-
проявятся, если интерференционный член в I(mt) после усред-
усреднения даст ненулевой вклад. Пусть распад каждого из
компонентов дублета происходит по закону
K(t, т) = т-1 exp (—t/x). D.33)
Тогда усреднение по ансамблю излучающих атомов при-
приводит к выражению типа D.29)
D.34)
О
причем, как легко подсчитать,
/((ОТ) = /х + /3 + 2(I1I2)l/*lCOS$ — СОТ Sill Р] [1 + «VJ.
D.35)
Формулу D.34) можно переписать в эквивалентном виде
D.36)
откуда следует, что в слабом магнитном поле (со ~ Н)
имеет место обсуждавшееся выше «обострение» ядра урав-
уравнения. Последнее и может рассматриваться как аналог
процедуры квазиобращения, воплощаемой эксперимен-
экспериментальным путем.
53

Г Л А В А 5
МЕТОД КВАЗИРЕШЕНИЙ И РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
СО СГЛАЖИВАЮЩИМ ФУНКЦИОНАЛОМ
В этой главе рассмотрим методы, которые непосредст-
непосредственно предшествуют получившему наибольшие извест-
известность и распространение методу регуляризации
А. Н. Тихонова. Следует подчеркнуть, что относящиеся
сюда публикации появлялись необязательно до 1963 г.,
когда вышли из печати основополагающие работы
А. Н. Тихонова. Развитие этих более ранних направле-
направлений исследования некорректных задач продолжалось и в
Дальнейшем, причем под влиянием принципов тихонов-
тихоновской регуляризации первоначальные схемы методов за-
заметно модифицировались, так что в настоящее время вряд
ли возможно провести какую-то четкую грань, отделяю-
отделяющую одну группу методов от другой.
§ 1. Квазирешения
Идея построения так называемых квазирешений опе-
операторного уравнения Кц> = / в разных вариантах выдви-
выдвигалась многими авторами начиная еще-с 50-х годов. В ее
основе лежит стремление избавиться от принципиальной
трудности рассматривать некорректную обратную задачу
при неточно заданной правой части /, связанной с тем,
что формального решения этой задачи не существует.
Если, в частности, обратиться к формуле D.2), то эта
трудность не устраняется до конца в том смысле, что для
построения приближенного решения необходимо знать
функцию корректности, равную модулю непрерывности
оператора К-1 на КМ, где М — множество корректно-
корректности. Практическим следствием этого была неэффективность
использования формул D.6), D.7), а также их итерацион-
итерационных аналогов, содержащих в явном виде оператор L.
Квазирешение должно обобщать понятие решения в его
стандартной трактовке.
Укажем прежде всего на ранние работы Пуччи [343,
344] и Дугласа [279, 280]. В работах Пуччи подробно
обсуждаются физический смысл и рациональная поста-

новка задачи Коти для эллиптических уравнений, пред-
представляющих значительный интерес с точки зрения физики
плазмы [88]. Дуглас решал задачу отыскания гармони-
гармонической функции, определенной и неотрицательной в полу-
полуплоскости ,у ^ 0, по значениям на прямой у = с, с> 0;
им же изучалась проблема аналитического продолжения
функции, заданной на окружности радиуса р > 0, на об-
область г: |г| ^ р на классе ограниченных функций. Впос-
Впоследствии Дуглас распространил развитый им метод на
численное решение интегральных уравнений типа Воль-
терра 1-го рода:
X
$ f(z). E.1)
В данном случае, исходя из условия, что задана прибли-
приближенная функция f(x) и известен компакт М: у(х) е М
(ф — задана точно), он предложил искать приближенное
решение <р(х) еМ как решение экстремальной задачи
||?q>-?||=-inf РГФ-/Ц. E.2)
<рем
Обобщение понятия квазирешения и детальное изуче-
изучение основных математических проблем, связанных с ним
(существование, единственность, устойчивость относи-
относительно возмущения правой части, алгоритм построения
квазирешений), осуществлены В. К. Ивановым и его сот-
сотрудниками (см. монографию [81] и цитированную в ней
литературу). Основная-идея достаточно проста и факти-
фактически представляет собой реализацию метода наимень-
наименьших квадратов с одной лишь важной оговоркой: миними-
минимизация невязки производится не на всем пространстве Ф
(ф е Ф), а на его, как правило, компактной части М cz
cz ф. Иными словами, квазирешения определяются ус-
условием
М, pF (Кут, f) = inf pF (Ячр, /). E.3)
м
В общем случае квазирешение, очевидно, не обязательно
должно быть только одним, однако можно указать доста-
достаточные условия, при которых оно единственно и непре-
непрерывно зависит от правой части /.
Мы не будем касаться соответствующих теорем и отме-
отметим лишь, что для численного нахождения квазирешений
55

Ё. К. Ивановым предложена схема, использующая це-
цепочку конечномерных расширяющихся компактов Мп,
п — 1, 2, . . ., М. В этом случае последовательность ре-
шейий конечномерных задач
Ф<»> е= Мп : inf pF (*<p, /) = pF (Ktf*\ /) E.4)
сходится к искомому квазирешению; схема E.4) соответст-
соответствует типичной хорошо изученной задаче линейного про-
программирования и эффективно реализуется на ЭВМ.
Применим метод квазирешений для отыскания реше-
решения операторного уравнения Ку = /. Пусть К — вполне
непрерывный оператор из Ф в г, цх ^ Цг ^ • • • 7^
^3= цт ^ . . . — полная система собственных значений
оператора К*К, a (ф„,(г)} — полная в L2 ортонормаль-
ная система его собственных функций. Пусть далее
K*f= 2 Mm- E-5)
Решение ищем на множестве М сг Ф, причем М — Qr —
шар ||ф|| ^ В. Тогда квазирешение фд по Иванову выра-
выражается формулой
ос
где ц = 0, если 2 Pm/Vm5^^2' иц— положительный
m=l
оо оо
корень уравнения 2 РтЛц™ + цJ = Д'2, если 2 6^/
.В первом случае задача сводится к безусловной ми-
минимизации квадратичного функционала (К(р — /, К<р —
— /), что приводит к уравнению Эйлера
К*Кц> = К* U E-7)
решение которого есть E.6) при \i = 0. Очевидно, что
в данном случае квазирешение ф^ совпадает с точным.
Во втором случае решается задача на условный мини-
минимум функционала (Ку — /, К<$ — /) при условии (ф,
ф) = R%. Метод неопределенных множителей Лагранжа
позволяет свести задачу к нахождению безусловного
56

минимума функционала
(Кср ~f, K<p-f) + ц(ф. Ф)
и далее — к уравнению Эйлера
К*Кц> + цФ = X*/, E.8)
которое является операторным уравнением 2-го рода.
При приближенном задании / мы, как правило, встре-
встречаемся именно с этим случаем. Присутствие ц в знамена-
знаменателе D.6) аналогично наличию параметра регуляризации
в соответствующих способах квазиобращения, рассмот-
рассмотренных в гл. 4 (см., например, D.11)): сходимость ряда
и устойчивость решения обеспечиваются за счет сдвига
спектра собственных значений на величину ц.
В диагностических задачах нередки постановки, ког-
когда ядро интегрального уравнения 1-го рода обладает 6-
свойством (задачи томографии, способы восстановления
функций распределения электронов по энергиям на осно-
основе спектров томсоновского рассеяния и т. п.). Как пока-
показал А. М. Денисов [701, применительно к такого рода за-
задачам поиск квазирешения очень удобен во многих отно-
отношениях.
Отличительной особенностью метода квазирешений
Иванова является возможность использовать не только
количественную информацию о точности задания входных
данных или о степени гладкости искомого решения, но и
сугубо качественную информацию, связанную с априор-
априорными представлениями о поведении искомого решения.
Последние могут быть продиктованы, например, следст-
следствиями общих физических законов, ранее известными све-
сведениями о свойствах объекта и природе изучаемого физи-
физического процесса, а иногда даже определенными эстети-
эстетическими соображениями. Более детально соответствую-
соответствующие алгоритмы рассмотрим в гл. 8. Здесь коснемся лишь
некоторых исследований такого рода, идейно близких к
процедуре поиска квазирешений. Суть заключается в
том, что определенный комплекс априорных фрагментов
информации зачастую позволяет перевести задачу в раз-
разряд условно-корректных еще до этапа ее алгебраизации.
Формализовать процедуру поиска квазирешения можно,
как указывалось, путем минимизации (нормы невязки.
d
Ь
dx E.9)
57

с учетом некоторой системы неравенств. Такого рода под-
подход изложен, в частности, в статье Б. 3. Тамбовцева
[206], хотя он и не содержал необходимых формальных
доказательств близости получаемых решений к точному.
Для иллюстрации рассмотрим пример из области спект-
спектроскопии оптического смешения [186]. В последнее время
перспективные методы оптического смешения и корреля-
корреляции фотонов [203] стали все глубже проникать в диагнос-
диагностику плазмы; примером (далеко не единственным) могут
служить уже довольно многочисленные работы по
лазер-доплеровской анемометрии низкотемпературной
плазмы [296].
Наиболее распространенными являются гомодинный,
гетеродинный и корреляционный режимы. В гомодинном
режиме выделяется составляющая спектра фототока
fx(u) (и — частота, отсчитываемая от центра линии рас-
рассеяния с полушириной у), которая является автосверткой
спектра рассеянного излучения /2(а). В свою очередь, ес-
если среда полидисперсна, то f2(u) есть суперпозиция ло-
ренцианов. Таким образом,
J /,(»')/»(m-«W = M»), E.10)
E.11)
и приходится последовательно решать уравнения E.10) и
E.11). В гетеродинном режиме на фотодетектор, осуществ-
осуществляющий смешение радиационных потоков, кроме луча,
несущего- информацию о среде, направляется опорный
луч, в качестве которого обычно используется нерас,сеян-
ное излучение. С математической точки зрения гетеродин-
гетеродинный режим предпочтительнее гомодинного, так как спект-
роанализатор позволяет непосредственно выделить функ-
функцию /2(w), и тогда необходимо решать лишь уравнение
E.11). Наконец, корреляционный режим за счет включе-
включения линии задержки и синтезирующего элемента дает
возможность непосредственно регистрировать автокорре-
автокорреляционную функцию фототока /з(т), в результате „ чего
приходится решать интегральное уравнение Фредгодьмз
58

1-го рода с экспоненциальным ядрогл:
, E.12)
где т — время задержки.
Хотя во всех трех случаях ядро уравнения имеет прос-
простой аналитический вид, оно не является разностным, что,
в частности, затрудняет процедуру выбора шага неравно-
неравномерной сетки. Кроме того, необходимо иметь в виду нали-
наличие резких скачков производных у определяемой функции
фG), возможность наложения нескольких пиков этой
функции, ее обычно значительную протяженность по шка-
шкале полуширин. Все сказанное предъявляет жесткие тре-
требования к устранению артефактов, которые могут возник-
возникнуть прежде всего из-за не вполне эффективной фильтра-
фильтрации шумовых высокочастотных составляющих. Дополни-
Дополнительная трудность, относящаяся к режиму гомодинирова-
ния,— деконволюция автосвертки.
Будем далее считать, что в E.9) у = у, а = с, b = d,
под f(x) понимаются /2(ы) или /3(т), а под К(х, у) — соот-
соответственно ядро. Коши или экспонента. По своему физи-
физическому смыслу функция ф(у) неотрицательна (<р(у) 7^ 0)
ь
и суммируема: j <р (у) dy <! Mv Если <р s Ф, то указанных
а
условий, вообще говоря, недостаточно для компактности
множества Ф и построения «вазирешения (это можно по-
показать, например, исходя из свойств оператора Фред-
го льма). Однако следует принять во внимание, что функ-
функция f(x), фигурирующая в E.9), по существу, фиктивна:
вместо нее на практике выступает ее свертка с некоторой
аппаратной функцией реального прибора А{х — х\ А),
т.е..
ъ

1А (х) = Л \а{х — х', Л) / (а:') д?. E.13)
В качестве А можно для упрощения оценок взять харак-
характеристическую функцию отрезка (—Л/2, Д/2)
59.

Но тогда для fA (х) сразу следует свойство равностенен-
ной непрерывности в среднем в классе Ьг[а, Ь]:
ъ
ь ь
< lim Д~2 j j f (x') [A\x + б - x', Д) - A (x-x', Д)]2.
< lim B6Л/2Д~2) - 0. E,15)
В E.15) Л/2 — мажоранта, существование которой выте-
вытекает из равномерной ограниченности /А (х) по норме
ь
I /л (х) I2 dx <С М . E.16)
Если /Л е FA,- то, по те'ореме Рисса [248], условия E.15)
и E.16) необходимы и достаточны для того, чтобы мно-
множество FA было компактом.
В некоторых практически интересных случаях вид
свертки E.13) может быть сохранен и для функции
ФG) [226]
ь
| Д1>Д, E.17)
причем в силу принятых ограничений на <р(у) и свойств
функции А имеем
Вновь обращаясь к теореме Рисса, убеждаемся, что если
Фа s Фа, то множество ФА — компакт, *т. е. может
быть построено квазирешение задачи путем минимизации
функционала
Ь Г 6 -12
Рфл = J \fA(x)-jJK (x, у) фд (Y) dy dx E.19)
а \_ a J
при Фа (y) ^ 0, условиях E.18), E.17). Замену рфА на
рф можно считать оправданной, если y' ^сД^ причем, как
показывает расчет, с = 3 для ядра Коши и с = 5 для
60

Рис. 5. Восстановление
дублета гауссиан; аг =
= аг\ Ьг = b.2; y01 = 2;
Yo2 ~ 5,5.
1 — квазирешение; 2 — ста-
статистическая регуляризация
с упрощенным учетом неот-
неотрицательности ф(т); сплош-
сплошная линия — точное реше-
решение.
экспоненциального ядра. Под величиной Д <С Лг в зави-
зависимости от схемы эксперимента следует понимать
характерный фактор разрешения, связанный с апертурой
считывающего зрачка, полосой пропускания спектроана-
лизатора или (для экспоненциального ядра) временем
регистрации сигнала автокорреляции.
Б а рис. 5 показан результат восстановления с по-
помощью описанного алгоритма двух близких гауссиан.
Сетка бралась равномерной, и правая часть искажалась
нормально распределенным 5%-ным шумом. Как видно,
передается (причем с преувеличенным контрастом) лишь
общий характер модельной функции. Однако артефактов
не возникает, что позволяет в принципе продолжать рас-
расчет с более мелким шагом сетки, соответствующей «дву-
«двугорбой» структуре. Конечно, в данном случае не прихо-
приходится рассчитывать на очень хорошие результаты восста-
восстановления, так как алгоритм не содержит ограничений на
гладкость решения, а в процессе получения системы не-
неравенств, дополняющих E.9), делались довольно грубые
приближения. Главная цель проведенного анализа сос-
состояла фактически в доказательстве возможности выделить
компакт, а не в создании конструктивного алгоритма (ни-

же мм еще вернемся к данной задаче). Тем не менее не-
несомненными достоинствами описанного подхода к выбору
квазирешения являются его исключительная простота,
отсутствие трудностей с выбором параметра регуляриза-
регуляризации и легкость реализации на ЭВМ даже с весьма скром-
скромными возможностями (типа БЭСМ-4).
§ 2. Метод Филлипса — Туоми
Как мы уже неоднократно отмечали, попытки решения
некорректных задач, • формулируемых с помощью опера-
операторного уравнения К<$ = f, без внесения дополнительной
априорной информации о решении приводят к появлению
паразитных высокочастотных осцилляции в спектре ф(со)
и, как следствие, к неудовлетворительному восстановле-
восстановлению <$(х). Филлипс [340К проанализировавший характер
этих осцилляции, отождествил их с аномально большими
значениями производных d2q>(x)/dx2 или, что эквивалент-
эквивалентно при расчетах на ЭВМ, большими величинами вторых
конечных разностей {yn+i — 2фп + Фп-i). Отсюда естест-
естественным образом вытекал рецепт для построения регуля-
ризующего алгоритма: необходимо из семейства возмож-
возможных решений <$(х) выбрать наиболее «гладкое» в смысле
минимизации нормы производной j (dy/dxJ dx—min.
• о
Если при этом р (Кц>, /) — мера уклонения регистри-
регистрируемой функции / от точной Кц>, то можно показать, что
указанный минимум достигается на границе области,
определяемой неравенством
/)<р0, E.20)
т. е. когда р = р0.
Соответствующая задача на условный экстремум, ре-
решаемая методом Лагранжа, описывается уравнением
ь
р (#ф, /)+«]' (dqldxf dx — min, E.21)
а
где а — неопределенный множитель, который, согласно
Филлипсу, следует находить из условия р = р0. В конеч-
конечных разностях нужно записать:
62

iV M Г
а 2 (фп+i — 2ф„ 4- фп-i) + S / (*т) —
n=l m=l L
iV 2
— 2 ">»# (ят, г/п) ф (уп) — miii, E.22)
n=l J
где шп — веса квадратурной формулы, а остальные обоз-
обозначения не требуют пояснений.
Линейное относительно <р уравнение E.22) определяет
сглаживающий функционал В, которому соответствует
симметричная неотрицательная матрица, и алгоритм Фил-
Филлипса окончательно может быть записан в следующем
компактном матричном виде:
Р^г = Y*-2, i — 4Vfc-i. i + SYki — ^Yfc+i, i-+ Tft+з, i.
(A, Z = 0, 1, . . ., TV), Vfti = ЗфА/35„ E.23)
Ф = (К + аВ)~Ч, I = -аЯФ.
В общем случае, как и ранее (см. гл. 3),*| описывает ста-
стационарный случайный процесс.
Из формул E.23) ясно, что при ос -»¦ 0 приближенное
решение Филлипса стремится к точному в условиях зада-
задания правой части / без погрешности. Наоборот, с ростом
а относительный вес «сглаживания» решения увеличивает-
увеличивается, .а степень согласованности точного и приближенного
решений уменьшается. По мере возрастания а результат
восстановления вполне может оказаться еще более иска-
искаженным, чем исходные данные /.
Путем прямого моделирования Филлипс без труда убе-
убедился, что величина ее, находимая из условия р = р0,
оказывается сильно завышенной, а решение ф — черес-
чересчур заглаженным. Поэтому окончательная рекомендация
для поиска параметра а свелась к следующему компромис-
компромиссному приему: величина а, варьируется, а из нескольких
решений за наиболее достоверное принимается то, которое
в соответствии с выражением \ — —(%Вц> дает оценку шу-
шума, наилучшим образом согласующуюся с имеющимися
о нем данными. Эти данные могут, например, касаться
дисперсии шума.
Результаты некоторых модельных расчетов приведены
на рис, 6. Решалось интегральное уравнение свертки
63

+ 3
K(x—y)q>(y)dy =
E.24)
q
где
= К{х) =
l
ы>з.
Как легко получить,
—<l/2)cos(«s/3)] —
В первом случае (рис. 6, а) максимальное значение поме-
помехи ?тах = 0,004, а среднее ее значение <?> = 0,0014.
Таким образом, отношение сигнал/шум чрезвычайно высо-
высоко (> 2-103); тем не менее при ее = 0, т. е. в отсутствие
регуляризации, восстановление оказывается очень пло-
плохим. Во втором случае (рис. 6, б) |тах = 0,041, <?> =
= 0,02 и говорить о восстановлении без регуляризации
вообще нет смысла. В обоих случаях алгоритм Филлипса
при тщательном, согласованном с дисперсией шума выбо-
выборе а дает прекрасный результат, причем, как видно, рос-
росту Smax на порядок отвечает увеличение а в 50 раз.
Значительное усовершенствование алгоритма Филлип-
Филлипса осуществил Туоми [367]. Он принял во внимание, что
решения, даваемые формулами E.23), можно получать,
привлекая существенно более широкий класс ограниче-
15
12-
3
6
3-
0-
-6-
-6
Рис. 6. Модельный расчет но
E.24) без регуляризации (а = 0)
и методом Филлипса — Туоми
(точки). Сплошная кривая — ис-
исходный профиль.
°) Smax = 0.004, <g>=0,0014; б) ?m =
-=0,041, <$>= 0,02.
~i—г~т i г
-г о г
6
64

ний, квадратичных относительно ф(ж). Например, во мно-
многих диагностических задачах вторые конечные разности
велики и критерий минимизации должен быть изменен.
Так, в случае минимизации третьих разностей следует
записать:
n м 1
S (фп+i — Зф„ + Зф„_! — фп_2J + SIm ; E.25)
J
п=1
¦ ш=1
можно также минимизировать отклонения от известной
кривой
min la S (ф„ - рпУ + 2
I n=l m=l
E.26)
или, беря линейную комбинацию, сочетать, оба вида огра-
ограничений. Несколько изменив процедуру выкладок Фил-
липса, Туоми получил основную расчетную формулу в
следующем (матричном) виде:
Ф = (К* К + aH)~\K*f + ар), E.27)
где значение р полагается равным нулю, если «смещаю-
«смещающая» кривая р(х) неизвестна, а матрица Н определяется
выбором способа сглаживания. В частности, для крите-
критерия Фи л липе а
1 0 0 •
5-4 1 0 •
4 6-4 10
1_4 6—41
Я-
¦ 1
2
1
О
-2
0
E.28)
а для критерия с минимизацией третьих разностей
Н =
1
3
3
1
0
-3
10
— 12
6
-1
3
-12
19
-15
6
-1
6
-15
20
-15
0
— 1
6
-15
20
0
0
-1
6
—15
0
0
0
, \
6
— 1
E.29)
Что касается матрицы К, то теперь в отличие от алго-
алгоритма Филлипса она может и не быть квадратной. Тем
3 н. г. Преображенский, В. В. Пикалов

самым обеспечивается решение задач как с избыточным
значением входных данных (fm), так и с недостаточным
(т <1 п) (в последнем случае, конечно, в смысле нормаль-
нормального решения!).
Особенно интересным в алгоритме Филлипса — Туоми
E.27) следует считать возможность восстановления ф
при р ф 0. Информация относительно р может быть весь-
весьма разнообразной. В табл. 1 приводятся результаты сле-
следующего модельного эксперимента [367]. Решалось ин-
интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода с экспонен-
экспоненциальным неразностным ядром (см. формулу E.12)) и в
условиях, когда шумовая составляющая ?(ж) считалась
пренебрежимо малой:
0,21
J
E.30)
Относительно р было «известно» следующее: решение
должно быть монотонным, при у = 0 равняться нулю или
некоторой малой положительной величине; при у = 0,21
V
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,209
ф
0
1,0
2,5
5,0
7,5
10,0
14,0
17,5
20,0
22,0
25,0
29,0
32,5
35,5
38,0
40,5
43,0
47,5
59,0
125,0
500,0
1000,0
ф1
-17,8 •
18,9
-7,1
7,3
-8,5
19,3
1,4
—67,0
141,0
-254,4
380,5
258,6
—67,1
-141,9
—140,4
—137,7
—550,7
890,7
— 118,5
1613,8
—911,5
1000,0
Ф.
0,2
-4,5
17,8
-1,8
33,9
85,7
57,0
40,9
111,3
—151,4
229,2
—170,0
156,1
66,3
—131,3
186,0
—343,8
221,3
695,5
—463,6
557,9
1000.0
Т
Ф8
1,4
-7,2
—17,8
—5,6
11,1
34,8
58,4
74,2
75,6
59,3
25,8
—20,3
-70,6
—113,8
-137,0
—127,0
—71,8
37,5
205,1
429,3
700,4
1000,0
а б л и ц а 1
ф*
0,0
2,4
2,6
2,9
5,1
8,9
13,5
18,3
22,5
25,0
26,9
28,0
29,1
29,5
30,7
32,3
40,2
58,1
75,9
174,5
360,3
1000,0

Ф ~ 1000, а в интервале 0,15 ^ у < 0,21 решение долж-
должно испытывать резкий рост от значений ф ^ 100 до ф ~
~ 1000. В табл. 1 приводятся следующие пять решений:
ф0 — исходная функция, фх — полученное путем прямо-
прямого обращения задачи без регуляризации, ф2 — получен-
полученное методом наименьших квадратов (а — 0), ф3 — най-
найденное по алгоритму Филлипса, ф4 — найденное согласно
E.27) при // = 0. Как видно из таблицы, решения (рх и
ф2 совершенно неприемлемы, решение ф3 несмотря на про-
процедуру сглаживания в целом тоже малоэффективно, а ф4
оказывается наилучшим из сравниваемых. Разумеется,
оно еще далеко от оптимального, поскольку одновремен-
одновременный учет сглаживания и ограничений через функцию
р(х) не производился.
В дальнейшем [368] Туоми обратил внимание еще на
одну важную особенность восстановления ф в соответствии
с E.27), а именно: сглаживание проявляется в уменьше-
уменьшении коэффициентов разложения ф по собственным векто-
векторам матрицы К* К, которые соответствуют векторам с ма-
малыми собственными значениями. Благодаря этому уста-
устанавливается определенная связь между методом Филлип-
Филлипса — Туоми и квазиобращением с введением единичного
оператора (см. гл. 4). Эту связь исследовали затем Рэш-
форд и Гаррис 1351J.
Матрицу К*К можно аппроксимировать другой мат-
матрицей более низкого ранга, учитывая диадическое разло-
разложение
К*К= 2М*иГ, E.31)
где q X q — размер симметричной матрицы, ^ и ut (i =
= 1, 2, . . ., q) — неотрицательные собственные значения
и ортонормальные собственные векторы матрицы К*К
(для определенности принято: ^ ^ А2 ^ . . . ^ ^д).
Путем усечения ряда в E.31) на s < g и использования
разложения /?*/ по иг, i — 1, 2, . . ., л, получаем сгла-
сглаженную версию
s
¦i=l
где х;= (u4*, A"*f).
В качество примера применения метода Филлипса —
Туоми для целей диагностики плазмы рассмотрим кратко
3* 67

работу [318]. Ее авторы решают одну из центральных
обратных задач спектроскопии оптически плотной плазмы
(в астрофизическом варианте): восстановление функции
источника S по выходящей интенсивности /, аргумента-
аргументами которой следует считать длину волны X, и косинус уг-
угла ц между лучом зрения и нормалью к поверхности
плоскопараллельшзго излучателя в точке выхода луча.
В данном случае мы вынуждены, следуя [3181, пользо-
пользоваться общепринятыми физическими обозначениями,
иногда совпадающими с уже употреблявшимися матема-
математическими (S, jx, X и т. п.); во избежание недоразумений
в необходимых случаях будем делать пояснения входя-
входящих величин.
Итак, исходным является уравнение переноса в ин-
интегральной форме
оо
/ {X, и.) = ц-1 j S (т) ехр (- т/и.) dx, E,33)
о
где г = t(X) — оптическая толщина слоя. Его пишут час-
часто в виде, учитывающем дискретизацию по углам ([it)
и интегрирование по логарифмическому аргументу
т] = In т:
J S (Ч) ехр (- т/щ) т«*п. E.34)
Если принять во внимание слабую чувствительность
J(Hi) к виду функции источника S(f)) для достаточно малых
и достаточно больших оптических толщин, то можно за-
записать
где KW = К^ - ехр [ц/ц — ехр (r\f\i)]t S™ и
поправочные члены к функции источника, К$ — квадра-
квадратурные коэффициенты, а интервал (r[mjn, ilmax) должен
быть достаточно широким по сравнению с шириной ядра
= KS*\ например, -nmin^ —2,5 и т^щах^ 1,5. Рас-
68

сматривая первые два слагаемых в E.35) как учиты_
ваемые поправки к К$, приходит к окончательному ал-
гебраизованному уравнению переноса
м
3=1
E.36)
В формуле E.27), выражающей алгоритм Филлипса —
Туоми, приходилось считать р = 0, поскольку соответст-
соответствующей априорной информацией авторы [318] не распо-
располагали. С другой стороны, было предложено обобщить
E.27), полагая а не скаляром, а вектором as с компонен-
компонентами (alf a2, . . ., ам), где
м
2 о
3=1
щ = aj I S' (т# 2 5' (тА)-2
E.37)
5'(т7-) оценивались с помощью известно!! аппроксимации
Барбьери — Эддингтона:' S(x = fx) ~ I(\i) [314]. Таким
образом, метод Филлипса — Туоми реализовался в форме
S - (К*К + azH)~lK*I, E.38)
где as — диагональная матрица, соответствующая век-
векторному параметру регуляризации.
Рассмотрим некоторые результаты расчетов. На рис. 7
показано восстановление функции 5(т), заданной тремя
линейными отрезками:
30т, 0<т<0,2,
11,8 —29т, 0,2<т<0,4, E.39)
т —0,2, 0,4<т<оо,
когда Цр) = 30ц[(ехр A/5(г) — 59/30) ехр (—l/5fx) + 1 ].
Наличие погрешности в /(ji) не учитывалось, матрица //
выбиралась по Филлипсу (форму-
(формула E.28)), Хорошее восстановле-
шге даже столь неблагоприятной
для расчета функции источника
с резкими изломами позволяло
надеяться на еще лучшие резуль-
результаты для более простых форм S{%).
Рис. 7. Восстановление функции ис- _
точника, заданной согласно E.39), без
учета погрешности правой части.
-4,5
гр
69

/
с. S. Восстановление линейной функции источника S(%) при
различных значениях параметра а0 без учета погрешности правой
части. .Сплошная кривая — точное решение, штриховая — восста-
восстановленное.
S-
2,0 -2,5
г,о
Рис. 9. Восстановление линейной функции источника S(%) при
различных значениях параметра а0 с учетом погрешности правой
части. Все усл. обозн. соответствуют рис. 8.
На рис. 8 показано восстановление простой линейной
функции S(x) — т (при этом /((л) = ц), причем значение
параметра а0 менялось в широком интервале по обе сто-
стороны от некоторого оптимального значения aOpt« Хорошо
видно, как с ростом а0 подавляются паразитные осцилля-
осцилляции решения, достигается почти идеальное восстановле-
восстановление, а затем превалирует процесс заглаживания истинно-
истинного решения. В этом случае также не было «шумовой»
составляющей 1(ц).
Наконец, на рис. 9 приведены аналогичные графики,
когда принималась во внимание случайная погрешность
/((л), причем относительное стандартное отклонение за-
зависело от [I резко нелинейным образом, имитируя харак-
характерный астрофизический эксперимент. Семейства кривых,
нанесенных штриховыми линиями, соответствовали не-
нескольким случайным выборкам при одном и том же зна-
70

чении а0; фактически в эти расчеты входил чисто статис-
статистический элемент. В целом в данном случае правильный
выбор а0 обеспечивает вполне удовлетворительное вос-
восстановление 5(т).
Г Л А В А б
МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ТИХОНОВА
§ 1. Общая схема метода
Получивший широкую известность метод, предложен-
предложенный А. Н. Тихоновым в работах [211, 212] и развитый
затем в многочисленных исследованиях (см. литературу
в [217]), по структуре алгоритма внешне весьма близок к
рассмотренному в предыдущей главе методу Филлипса —
Туоми. Однако в принципиальном плане он имеет сущест-
существенные отличия как от последнего, так тем более и от дру-
других методов, обсуждавшихся ранее. В методе Тихонова
также появляется параметр регуляризации а, но его
включение в алгоритм приобретает уже иной логический
смысл. Как указывают авторы обзора [221], у Тихонова
«неопределенность параметра а естественно вытекает
из самой идеи регуляризации, в то время как при подхо-
подходе Филлипса она является неприятностью, до известной
степени дискредитирующей идею метода».
В основе подхода Тихонова — стремление предель-
предельным образом избавиться от произвольных, субъективных
факторов и сформулировать наиболее общую концепцию
решения некорректной задачи. Тихонов разработал эф-
эффективный способ преобразования некорректной задачи
в корректную за счет стабилизации минимума среднеквад-
ратического уклонения Kq> от заданной правой части /
при помощи вспомогательного параметрического функ-
функционала.
Пусть
Ф = Д/, /еЛ F.1)
где R — оператор, определенный в F со значениями в
Ф. Задача вычисления ф е Ф по / е F на основании
F.1) окажется поставленной корректно, если:
71

а) всякому элементу / е= F соответствует некоторый
элемент ф <= Ф;
б) элемент ф = Rf заданием / определяется однозначно;
в) существует непрерывная зависимость ф от возмуще-
возмущений элемента /.
Ясно, что задача К<р = /, корректная в смысле Адама-
ра, будет корректной и в указанном смысле, если поло-
положить R = К; обратное, вообще говоря, неверно, так
как исходная задача в общем случае неэквивалент-
неэквивалентна F.1).
Тихонов ввел важное понятие регуляризующего опе-
оператора (иногда, например в [60], говорят о регуляризую-
щем алгоритме) R(f, а) для уравнения Кц> — /, который
обладает следующими свойствами: а) он определен для
всякого а 2> 0, а также любого / е F и непрерывен по /;
б) если б — погрешность исходных данных /сг, то сущест-
существуют такая функция а(д) и такое число б(е) (для любого
е > 0), что при рр (/, fa) ^ б(е) выполнится соотношение
Рф(Ф, фа) <1 8, где <pa — R(f6, а(б)). В этом определении / и ф,
не снабженные индексами, соответствуют точной правой
части и точному решению, р^ и рф — уклонения в нуж-
нужной метрике. Тем самым задача сводится, во-первых, к на-
нахождению регуляризующих операторов R(f, а) и, во-вто-
во-вторых, к определению параметра регуляризации а по той
или иной дополнительной информации о задаче.
Принцип отыскания R(f, а) вариационный, а именно:
следует ввести некоторый неотрицательный функционал
О[ф], называемый стабилизатором задачи, который опре-
определен на подмножестве Фх cz Ф. Это подмножество харак-
характеризуется тем свойством, что для всякого числа с > 0
множество Ф^с элементов ф из Ф17 для которых Шф] ^
^ с, будет компактом на Фх.
Приближенное решение в силу данного выше опреде-
определения R(f, а) должно принадлежать какому-то классу
Фб элементов ф. Однако этот класс, очевидно, нуждается
в сужении, достигаемом требованием, чтобы были изъя-
изъяты из рассмотрения те элементы множества Ф , для кото-
которых не определен стабилизатор Шф]. Иными словами,
мы обязаны взять пересечение множеств Ф6 и Фх: Ф2 =
= Фв П Фг и только среди элементов последнего искать
те, которые минимизируют Шф].
Итак, возникает задача на условный экстремум, когда
методом неопределенных множителей Лагранжа должен
72

быть найден Минимум функционала
причем а можно определить из условия
PF (ЛГф«, /б) = б, F.3)
где фа — тот элемент, на котором функционал F.2)
достигает минимума. Тот факт, что задача минимизации
Ма устойчива по отношению к возмущениям «входных
данных» /, может быть строго доказан [217].
В первых основополагающих работах Тихонова [211,
212] конкретный вид Ма предлагалось выбирать так
Ма [/б) Ф] = | Яр - /в|Ё2 + аЦф J" i, F.4)

т. е. считалось, что решение имеет суммируемую с квадра-
квадратом первую производную (W% [a, b] — пространство Собо-
Соболева). В последующих разработках обычно имелось в ви-
виду множество функций, обладающих обобщенными про-
производными до р-то порядка и интегрируемых с квадратом,
т. е. стабилизатор записывался как
ь р
Я [ф] = I 2 ?п И {dny/dxnJ dx, F.5)
а п=0
где qn{x) — заданные неотрицательные функции.
Вариационная задача F.2) приводит к уравнению
Эйлера, которое содержит матричный эквивалент функ-
функционала F.5) Й[ф1= (ф, Qcp):
(К*К + а?2)ф = K*f, F-6)
так что матричный вид решения
Ф = (К*К + aQ)~lK*f F.7)
совпадает с E.27), если принять р — 0 и Н = Q. Нужно,
впрочем, заметить, что задачу минимизации функционала
Ма можно решать прямыми методами поиска экстремума
[87], не переходя к уравнению Эйлера F.6). Совершенно
очевидна также связь уравнений F.6) и E.8).
Обратимся теперь к вопросу о поиске параметра регу-
регуляризации а. Прежде всего заметим, что функционал Ма
может быть введен в рассмотрение чисто формально, без
связи его с задачей на условный экстремум функционала
73

Шф1. Тогда элемент фа, минимизирующий Ма на мно-
множестве Ф2 d Фд, непосредственно связывается с выбором
а как некоторого функционала от ф, а = сс(ф), для кото-
которого оператор Л(ф, ос(ф)) регуляризующий. При опреде-
определенных условиях такой функционал оказывается функ-
функцией от б, находимой, например, с помощью F.3).
При использовании метода Тихонова в разнообразных
прикладных задачах получили распространение несколь-
несколько способов выбора параметра регуляризации а, значе-
значение которого так или ипаче согласуется с погрешностью
исходных данных. Наиболее известным и популярным у
практиков является способ определения <х по невязке
F.3). Чаще всего решается уравнение в форме
\\Куа - h\\L2 = 6, F.8)
причем для этой цели оказывается удобным следующий
итерационный процесс [75]. Сначала уравнение F.8)
решается при некотором а0, значение которого оценивает-
оценивается по одной из формул:
а0 = UKtKV-iK'WbnWK'hW ~ \\К*\\Ы,
Оо = РГУ-^Нв/Ш! - Н F-9)
а0 = \\K*KV-%\\K*n\f6\\/[2\\K*f6\\ - \\K*H\f6\\],
где предполагается, что стабилизатор имеет вид: Шф] —
= (Vq>, ф). Затем строятся последовательные прибли-
приближения
г - /ell, F.10)
и итерационный процесс заканчивается, когда
|1-а,/а/+1|<е, ¦ F.11)
где р. — наперед заданная малая величина4.
Достоинство метода невязки в его логической про-
прозрачности и легкости реализации на ЭВМ. Однако сущест-
существуют недостатки, которые, к сожалению, не всегда учи-
учитываются практиками. Во-первых, метод требует доста-
достаточно точного знания погрешности б, поскольку сама
задача определения а по F.8) не отличается хорошей
устойчивостью. Во-вторых, нахождение а по невязке
даже в случае, когда оператор К линейный, а пространст-
пространство F гильбертово, может оказаться неоднозначным.
74

Например, если у стабилизатора Q[q>] для каких-то
ф ф 0, ф <= Ot не существует отличных от нуля произ-
производных Фреше й'[ф], единственное решение отсутствует
[217]. Если же оператор К нелинейный, то в общем слу-
случае метод невязки Вообще неприменим (хотя ряд исклю-
исключений имеет место) [60, 217].
В приложениях нередко употребляются также другие
способы выбора а: квазиоптимального (ако) и а-отноше-
ния (йот). В первом случае [218] ако находится как зна-
значение а, которое реализует
inf sup \\a(d<pa/da)\\q,. F.12)
(//в
Ha практике зачастую используют так называемую ослаб-
ослабленную форму выбора «ко, реализующую
-Ы ||a(dcp«/ia)f г. F.13)
а>о W2
Если таких значений несколько, то в качестве ако берут
наименьшее из них. Более общая форма выбора ак0 по
F.12) эффективна лишь тогда, когда есть возможность
найти регуляризованные решения фа, соответствующие
большому набору /6; обычно экспериментатор лишен та-
такой возможности, в связи с чем более конструктивной ока-
оказывается формула F.13).
Другой способ основан на вычислении такого а =
= аог, при котором достигается максимум отношения
двух норм [75]:
- /бН- F.14)
Исследователи, искавшие ак0 и аот по F.12) — F.14),
не раз отмечали, что соответствующие задачи отыскания
экстремумов усложняются наличием нескольких локаль-
локальных минимумов F.12), F.13) или нескольких локальных
максимумов F.14) и поэтому нуждаются в тщательном
контроле, сопоставлении друг с другом и с методом не-
невязки. Авторы работы [75] на основании сравнительного
анализа показали наличие важной совокупности нера-
неравенств:
«н > ак0 > аопт > «от, F.15)
где ан — параметр а, находимый по невязке, а аОпт —
его оптимальное значение, которое не определяется ни
75

одним из перечисленных способов и при котором имеет
место наилучшее совпадение между фа и точным реше-
решением ф.
Наконец, отметим интересную работу А. С. Леонова
[126], дающую достаточно строгое обоснование способам
нахождения ак0 и аот для широкого класса обратных за-
задач. В некоторых случаях может таюке оказаться полез-
полезным метод априорной оценки а:
«ao = 46VJf9||4, F.16)
где норма решения оценивается для пространства Собо-
Соболева W%.
Все сказанное нами относительно поиска регуляризу-
ющих операторов i?(/, a) и параметра регуляризации а
приводит к выводу о том, что необходим еще некий прин-
принцип, позволяющий приблизиться к оптимальному реше-
решению задачи в целом.
Возможность формулировки такого принципа обсуж-
обсуждалась в работе [217], а его конкретные формы примени-
применительно к инверсии Абеля — в [176]. Ставится задача вы-
выбора из бесконечных семейств {О[ф]} и {а(б)} элементов,
обеспечивающих некий оптимум решения, выделяемого
из уже ограниченного регуляризацией, но все еще бес-
бесконечного подмножества Q. Следуя [217], можно опреде-
Опт
лить оптимальное решение фа как такое, при котором
Рф(ф?ПТ, q>) = inf рФ(фа, ф), F.17)
Q
где ф — точное решение уравнения Кц> = f с точной пра-
правой частью /. При такой постановке задачи необходимо
выяснить:
— насколько универсален и удобен в практической
реализации критерий F.17);
— какова структура подмножества Q, в частности,
целесообразно ли фиксировать Q и варьировать a(S) или
следует варьировать Q и а одновременно;
— как следует поступать при поиске фаПТ. если мы не
располагаем точными исходными данными;
— каков наилучший способ определения срагг , если
речь идет об отыскании существенно негладких или силь-
сильно осциллирующих решений;
76

— как изменяются свойства подмножества Q и регу-
ляризующей процедуры в целом при переходе от одномер-
одномерной задачи с некоторым линейным оператором к соответ-
соответствующей многомерной (например, от инверсии Абеля к
инверсии Радона и т. п.);
— как следует ставить задачу поиска фаПТ, если дан-
данная обратная задача — модуль некоторого пакета прог-
программ [251 ] и т. п.
На большую часть этих вопросов пока еще не дано
сколько-нибудь исчерпывающего ответа, в связи с чем
проблема «вторичной регуляризации», если позволитель-
позволительно использовать такой термин, по существу остается от-
открытой.
Остановимся теперь на некоторых теоретических воп-
вопросах, относящихся к методу Тихонова, которые особенно
важны во многих задачах диагностики плазмы.
§ 2. Обобщение метода на случай, когдг* линейный
оператор задачи задан приближенно
Указанное обобщение выполнено в серии работ
А. В. Гончарского с соавторами и детально описано в
монографиях [60, 217] (ссылки на оригинальные работы
там же). Проведем здесь лишь основные формулы, посколь-
поскольку ни общая структура алгоритма, ни цепь рассуждений,
с помощью которых получаются все эти формулы, не пре-
претерпевают каких-либо радикальных изменений в сравнении
с описанными выше.
Имеем приближенно заданные оператор Kh и правую
часть /б; парой чисел {/?, б}, обозначаемой далее через у»
характеризуются погрешности этих приближений. Не-
Неточность задания К^ определим условием
рН^Ф,^Ф)<^[фЗ, F.18)
где Q ~ по-прежнему стабилизатор задачи, К — точный
оператор.
Вместо формулы F.2) для сглаживающего функцио-
функционала М« нужно записать
, Kh, Ф] = pi (Kh<p, }ь) + аи [Ф]. F.19)
77

Введем обобщенную невязку
Av (а) = pi (Kh<p«, U) - [б + h {Q
- inf р|(л:Аф,/в) F.20)
ф
и будем искать а из уравнения А?(а) = 0; при этом, если
б2 > inf p| (Khty, /б), последнее слагаемое в правой части
среФ
F.20) можно не учитывать. Способ выбора стабилизатора
остается прежним.
§ 3. Обобщение метода
на случай неограниченного оператора задачи
Модификация метода Тихонова в случае, когда реша-
решается интегральное уравнение с сингулярным ядром либо
линейное некорректное интегродифференциалъное урав-
уравнение с частными производными, рассмотрена В. П. Мас-
ловым [135]. Такого рода задачи распространены в кинети-
кинетике плазмы [17] и естественным образом возникают при
разработке соответствующих методов диагностики.
Подход, предложенный Масловым, относится к ли-
линейным замкнутым операторам К. Если бы К был ограни-
ограничен, то формальная схема регуляризации по Тихонову
выглядела бы таким образом:
(К*К + Р)фр = K*fb, 0 < р < [|/6 - /||. F.21)
Если же К неограничен, то, согласно [135], нужно сначала
«сгладить» элемент /6, решая уравнение
фКК* + Е)щ = /б, F.22)
а затем воспользоваться обычной тихоновской регуляри-
регуляризацией в форме
(К*К + р^фр = К*щ, F.23)
гДе fti = \№КК* + Е)-1 - E]fb]\. F.24)
В дальнейшем В. П. Масловым показано [147], что
сходимость регуляризующего процесса и разрешимость
исходной задачи в случае, когда Ф э ф, F э / гильбер-
гильбертовы, эквивалентны.
78

§ 4. Метод Тихонова в нелинейных задачах
Как известно, нелинейность оператора К в задаче
ц = / резко усложняет решение обратной некоррект-
некорректной задачи по многим обстоятельствам [147]. Например,
невязка р| (Куа, /б), вообще говоря, не является не-
непрерывной функцией а и может быть не монотонной. По-
Поэтому уравнение р| (Zcpa, /б) = б2 относительно а может
либо не иметь решения вовсе, либо иметь множество реше-
решений. Возможность существования бифуркаций и ветвле-
ветвления решений исходного нелинейного уравнения чрезвы-
чрезвычайно затрудняет сколько-нибудь общий подход к обрат-
обратной задаче [30].
Тем не менее распространение как метода Тихонова,
так и методов нелинейного программирования на нелиней-
нелинейные обратные задачи — отнюдь не безнадежная проблема
и на сегодняшний день заметный прогресс в этом отноше-
отношении уже налицо. Прежде всего отметим, что в ряде случа-
случаев нелинейной задаче можно поставить в соответствие
некоторую последовательность линейных уравнений,
а для последних осуществлять регуляризацию обычно-
обычного типа.
Более радикальный подход рассмотрен А. Н. Тихоно-
Тихоновым [213], а также А. Н. Тихоновым и В. Б. Гласко [219]
применительно к важному в практическом отношении
классу нелинейных интегральных уравнений с операто-
оператором Урысона:
ь
А [х, ср (у)] == j К (х, у, ф (г/)) dy= f (х),
F.25)
с ^ х ^ d.
Рассмотрение проведено для случая, когда:
а) А [х, q>i(y)] ф А [х, у2(у)], срх ф ф2;
б) А[х,ц)п(у)]ч^А[х,ц>0(у)] при ц>п{у)^
в) Ку и Кц, непрерывны по ф в окрестности такого
решения;
ь
г) в W\ для линейного уравнения J K^i (у) dy « 0
a
имеется лишь тривиальное решение.
79

Отметим, что лдасе задач, отвечающих перечисленным
условиям, достаточно широк.
При построении регуляризованного решения по схеме,
сходной с описанной ранее, получен ряд фундаментальных
результатов. Если определен сглаживающий функционал
d ь 1 '
Ма [Ф) /] = j {А[х, ф] - /J dx + a J 2 Яп (х) {d\ldxnY dx,
с а п=0
F.26)
то оказываются справедливыми следующие утверждения:
а) существует функция фа (х), минимизирующая Ма;
б) при подходящем выборе зависимости <хF) решение фа
будет близким к точному, если / также близко к точной
правой части уравнения; в) элемент фа будет единствен-
единственным.
Эти результаты общетеоретического характера были
положены в основу построения конкретного алгоритма
решения уравнения F.25), в котором а = с = —I, Ъ —
= d = I. В функционале ¦ F.26) бралось д0 = 0, дх = 1.
Удобным способом минимизации Ма при соответствую-
соответствующем а является решение уравнения Эйлера вида
i
Ра [п, ф] = J К 1У,.П> Ф (У)» Ф Ш dy^ay" {г})~Ь [т], ф (t]).]=0
-I
F.27)
при одном из двух типов граничных условий:
ф(-0 = Ф(О = 0, <р'(-1) = ф'@ = 0, F.28)
выбор которого зависит от характера дополнительной
информации относительно решения задачи. При этом
i
к [У, Л. Ф B/). Ф Ш = J ЛГ[я. 2/. Ф (У)] К [х, т), ф (т))] Jx,
"г г F.29)
b [Ц, ф (л)] = j tfj, [ж, п, ф (т))] / (ж) dx.
-i
Для решения уравнения F.27) при заданном а теперь мож-
можно осуществить линеаризацию, например, основанную на
методе Ньютона, а затем воспользоваться подходящим
80

итерационным процессом с выбором а в квазиоптималь-
квазиоптимальном приближении.
Наиболее полно метод регуляризации для решения
нелинейных операторных уравнений 1-го рода вида
К[(р] = / (<р е= Ф; / е= F) F.30)
был развит в работе А. Н. Тихонова [214], где введено
принципиальное понятие ^-компактного вложения метри-
метрического пространства Ф в метрическое пространство Ф.
Например, пространство Соболева W^I^i^] ^-компактно
вложено в пространство С [а, Ъ].
Предполагая, что в Ф ^-компактно вкладывается не-
некоторое 1лильбертово пространство Ф, причем последнее
является множеством единственности для оператора К из
F.30), т. е. -К[^х] Ф ЛГ[ф2], если фх Ф ф2, для всех ф15
ф2 е Ф, А. Н. Тихонов показал возможность введения
параметрического функционала
Ма [ф, /б] = р!(Яф, /6) + aQ [ф], Ф е= Ф, F.31)
где Й [ф] = ||ф|^, и рассмотрел соответствующую задачу
минимизации. В результате доказаны существование ре-
гуляризованных решений из Ф при всех а > 0 и любом
/в е F, а также сходимость их в пространстве Ф. Про-
Проанализированы достаточные условия, обеспечивающие
единственность решения.
Концепцию 5-компактного вложения следует считать
особенно плодотворной с точки зрения практических при-
приложений метода регуляризации, в первую очередь в силу
того, что при приближенном решении нелинейной задачи
не используется специальной количественной информа-
информации об искомом решении.
Отметим еще работу "А. Д. Горбунова [63], где анализи-
анализируются возможности применения методов Тихонова к ре-
решению неустойчивых нелинейных краевых задач и иссле-
исследованию различных типов сходимости регуляризованных
решений к обобщенным решениям исходной задачи.
Наконец, имея в виду приложения к задачам диагнос-
диагностики плазмы, следует упомянуть интересную работу
Ю. И. Худака [235], посвященную проблеме идентифика-
идентификации системы, состоящей из линейного стационарного и
нелинейного безынерционного звеньев в соответствии со
81

структурной схемой, изобра-
женной на рис. 10. Здесь
s(\i) — сигнал, подаваемый
на вход системы, z{x) — пм-
Рис. 10. Линейное и нелпней- пульсная переходная функ-
ное звенья в задаче пденти- ция линейного стационарного
фикации [235]. звена, v(x) — промежуточ-
промежуточный сигнал, ф(ж) — функция,
описывающая нелинейную часть объекта, f{x) — выход-
выходной сигнал.
Проблема идентификации такой системы приводит к
необходимости решения нелинейного уравнения
J\s(x-[i)z(li)dli\ = f(x) F.32)
\о /
относительно неизвестных функций z(\i) и (p(v). С введени-
введением промежуточной функции v{x) F.32) можно записать в
виде системы двух уравнений: интегрального уравнения
Фредгольма 1-го рода и функционального уравнения:
\js(x— p.) z (p) rfji = v(x),
0 F.33)
<p(v(x)) = f(x).
Общая постановка задачи, очевидно, состоит в выявле-
выявлении тех свойств семейства пробных сигналов, при которых
допустимо единственное решение задачи. В работе [235]
такую постановку в полной мере реализовать не удалось,
однако одно конкретное семейство указанного типа вы-
выделено и дан алгоритм его использования для идентифика-
идентификации системы. Отметим, что оригинальный метод анализа
задачи, предложенный Ю. И. Худаком, далеко не исчерпал
своих возможностей и явно нуждается в дальнейшем ис-
исследовании.
Наконец, укажем на важную в принципиальном от-
отношении работу [59], в которой предложен и обоснован
альтернативный способ выбора параметра невязки для
нелинейных задач. Несколько ранее теми же авторами был
разработан способ построения регуляризующего алгорит-
алгоритма с помощью сходящейся последовательности функций,
пригодный как для линейных, так и для нелинейных задач;
соответствующая теория подробно описана в моногра-
монографии [603.
82 • .

§ 5. Метод Тихонова в многомерных задачах
В принципиальном отношении переход от линейных
одномерных к линейным многомерным неустойчивым об-
обратным задачам не вызывает радикальных изменений в
регуляризующих алгоритмах общего типа (квазиобраще-
(квазиобращение, квазирешения, метод Тихонова) [120]. Как правило,
более сложным оказывается доказательство соответству-
соответствующих теорем единственности. В работе 1120] показано, что
новые способы доказательства теорем единственности для
линейных операторных уравнений 1-го рода позволяют
строить специальные алгоритмы решения, а также делать
оценки, характеризующие устойчивость постановок задач
на некоторых конкретных компактах (например, на мно-
множестве функций с равномерно ограниченным модулем
градиента).
Для решения многомерных интегральных уравнений с
разностным ядром А. В. Чечкилым предложена специаль-
специальная конструкция метода тихоновской регуляризации
[243]. В этой работе использованы известные спектраль-
спектральные свойства искомого решения, с помощью которых вы-
выбирается функционал Шф]. Данный подход представляет
интерес с точки зрения развития зондовых методов ди-
диагностики плазмы, а также обработки данных с двумер-
двумерных носителей информации.
В монографии [35] приводится интересный пример
машинной обработки дефокусированного ивображения
(портрета), основанной на применении метода Тихонова.
Хотя обработка производилась на явно несовременной
ЭВМ (М-222 с быстродействием ~20 тыс. приведенных
операций в секунду), а массив входных данных составлял
256x256 элементов, процесс восстановления вполне ка-
качественного изображения занимал время всего порядка
1 ч (с учетом времени обмена с внешними устройствами).
При этом удалось проследить, как влияет значение пара-
параметра регуляризации а на визуальное качество восстанов-
восстановления.
Авторы работы [12] предприняли весьма интересную
с прикладной точки зрения попытку использовать ти-
тихоновскую регуляризацию для решения двумерной зада-
задачи локализации фазового объекта по набору оптических
длин лучей одного направления. Как известно, в этой
типичной задаче томографии считается обязательной
83

a}
i
, -j
L1
¦-
4
N
С
h-
^-
X
Рис. 11. Схема хода лучей и раз-
разбиения прямоугольного фазового
объекта на ячейки.
обработка двумерной карти-
картины при наличии целой сово-
совокупности наборов параллель-
параллельных (или идущих веером)
лучей, фиксируемых по большому числу направлений —
в медицинских томографических установках ~102 и
больше (см. гл. 9). Однако, как утверждается в [12],
формально непротиворечивая постановка задачи возмож-
возможна и при одном направлении лучей зрения.
В самом деле, если, согласно авторам [12], выбрать
исследуемый фазовый объект в виде прямоугольника
АВСО (рис. 11), стороны которого а и b направлены по
осям гну, а затем разбить его на N одинаковых прямо-
прямоугольных ячеек со сторонами dy и rfa, то исходное урав-
уравнение
(х, у) R (х, у) dl = If,
F.34)
где R (х, у) =
l,
D — область объекта, X — длина волны просвечивающего
излучения, / — измеряемый вдоль I сигнал, можно легко
алгебраизовать. Для этого потребуем, чтобы внутри каж-
каждой ячейки ц>(х, у) = const, а направление просвечивания
определим углом
Р = arc tg(cVa). F.35)
Тогда искомый вектор ф = (ф^ <р3, . . ., ф^) будет иметь
на (a/^i) — 1 меньше компонентов, чем вектор f. С ростом
числа N переопределенность соответствующей системы
линейных алгебраических уравнений может только воз-
возрастать. Процедура поиска нормального решения для
такой системы хорошо известна [217] и остается только
исследовать фактическое качество восстановления функ-
функции ф при различных уровнях погрешности правой части.
Два результата решения модельных задач показаны
на рис. 12. В первом случае (а) прямоугольник разбивал-
84

9
30-
20-
10-
-10-
V.
\ Z\ \4 I 6
\ \
\
\ I
\l
\10
8 x
Рис. 12. Восстановление функ-
функции cp(x) = х-1 (а) и двумер-
I I ной функции (р(х, у) в полосе
I . О ^ у ^ а/8 (б). Сплошная ли-
линия •— точное решение, штрихпунктирная — регуляризация по
Тихонову, штриховая — нерегуляризованное решение. Погреш-
Погрешность правой части 5%.
ся на полосы: d9i ~ Ъ, т. е. задача фактически становилась
одномерной и восстанавливалась функция ф(ж) = х-1 с на-
бросом на правую часть 5%-ной погрешности. При этом,
если бы лучи шли параллельно направлению полос, ре-
результат получался бы немедленно, без каких-либо расче-
расчетов. Однако при наклонном ходе лучей отсутствие регуля-
регуляризации уже не позволяет решить задачу; метод Тихоно-
Тихонова в этих условиях обеспечивает вполне приемлемое реше-
решение. Во втором случае поле разбивалось на N = 8X8 =
= 64 ячеек и для их последовательности, примыкающей
к оси х@ ^ у ^ а/8), восстановление <р (х, у) = С [l +
-\-(х2-{-у2)/2х2] при той же 5%-ной погрешности в
правой части также оказалось возможным (рис. 12, б).
Авторы [12] считают, что есть все основания рассчитывать
на дальнейшее улучшение результатов при увеличении
числа дискретных отсчетов (а следовательно, и ячеек N).
В работе [330] теоретически обсуждался вопрос о воз-
возможности использования одного направления для вос-
восстановления функций с ограниченным спектром по конеч-
конечному числу отсчетов. Доказывается (для случая квадрат-
квадратного объекта М X М) теорема, согласно которой ограни-
ограниченная по спектру функция ц>(х, у) точно представима

своей единственной проекцией под некоторым критическим
углом 6. Правда, авторы [330], делая оценку отношения
дисперсий ц для восстановления и экспериментального
измерения, получают
ц = М-*BМе/л)*м2-\ F.36)
откуда следует практическая невозможность восстановить
ф(ж, у) в силу очень плохой обусловленности системы
уравнений. Но вопрос о том,'насколько улучшится ситуа-
ситуация при последовательной регуляризации задачи, в этой
работе фактически остался открытым.
По условиям плазменного эксперимента (например,
при использовании голографической интерферометрии
или съемке эмиссионного спектра) зачастую нельзя реа-
реализовать большой набор направлений наблюдения, по-
поэтому дальнейшее исследование возможностей алгоритма
[12] представляется очень существенным. Нужно только
иметь в виду два обстоятельства. Во-первых, форма алго-
алгоритма регуляризации, при которой приходится обращать
матрицы ранга (N + (afdj) — 1), явно неэффективна с
точки зрения ресурсов памяти ЭВМ. Здесь, по-видимому,
возможны чисто расчетные усовершенствования изложен-
изложенной схемы. Во-вторых, решение может оказаться хотя и
достаточно устойчивым, но не единственным. Напри-
Например, если произвести разрез прямоугольника АВСО
(см. рис. 11) по нормали к выбранному направлению лу-
лучей зрения и раздвинуть обе части по этому направлению,
то функция / в F.34) останется прежней. Аналогичная си-
ситуация возникает в случае, когда вдоль того же направ-
направления мы начнем смещать некоторый профиль Дф(.г, у)
либо совершим поворот вокруг нормали всей плоскости
фазового объекта на 180°. Таким образом, задача нужда-
нуждается в дополнительной априорной информации, обеспечи-
обеспечивающей единственность решения. Возможным способом
улучшения алгоритма является, конечно, использование
нескольких близких направлений наблюдения, допуска-
допускаемых, например, размерами окон плазменной установки.
До известной степени это дискредитирует идею «однора-
курсности», выдвигаемую в [12], но зато может позволить
хотя бы грубо восстанавливать асимметричную-структуру
объекта без введения априорных допущений о форме изо-
изолиний.
86

§ 6. Восстановление функции
с разрывами производных
В диагностике плазмы встречается немало задач,
сводящихся к интегральным уравнениям 1-го рода:
ь
K{x,_y)y{y)dy = f{x), F.37)
для которых заранее известно, что искомая функция (р(у)
содержит участки с «изломами», т. е. производная ф'(</)
терпит разрыв. В качестве примера можно привести мно-
многие обратные задачи теории зондов [240]. диагностические
флуоресцентные методы, использующие мощный импульс-
импульсный лазер [329], редукционные задачи с контрастирова-
контрастированием сигнала [234]и т. п.
Легко понять, что в данном случае процедура регуля-
регуляризации с использованием обычного сглаживающего опе-
оператора не позволяет рассчитывать на получение хороших
результатов восстановления ц>(у). Это было наглядно про-
проиллюстрировано серией расчетов Бараката и Блэкмана
[256], применивших тихоновский алгоритм к задаче вос-
восстановления импульса прямоугольной формы, искаженно-
искаженного «дифракционной» аппаратной функцией
К(х, у) = [ф - у)]'2 sin2 (x - у). F.38)
На рис. 13 кроме восстанавливаемой прямоугольной
функции ф(ж) (при —оо <С х <С —х0 и г0 < К оо ф = 0;
при —х0 ^ х ^ х0 ф = 1) показаны свертка /(а), выража-
выражаемая формулой
/(*)= J K{x-y)q>(y)dy = Ji-1[Si[2(x-x0)]-
— оо
- Si [2 (х + ж0)] + (х - х,)-1 sin2 (х - х0) -
-(x + x^sin^x + x,)}, F.39)
где Si — интегральный синус, а также два результата
восстановления [36]. Хотя метод сопряженных градиен-
градиентов дал определенное улучшение результатов в области
нулевых значений сигнала, все же радикального усовер-
усовершенствования алгоритма в данной работе достигнуто не
87

10 x
Рис. 13. Восстановление дрямоугольной функции ф(ж).
1 — свертка /(ж) F.39); 3 — регуляризация по Тихонову; 3 ^модифици-
^модифицированный метод сопряженных градиентов [36]. Дисперсия погрешности
/(K%
было, поскольку априорно известные особенности искомо-
искомого решения не включались явно в расчетную схему.
Значительно большего удалось добиться в работе [37],
где был применен иной подход к задаче. Его можно про-
проиллюстрировать на конкретном примере. Из уравнения
F.37) с ядром F.38) и а — — <х>, Ъ — +оо восстанавлива-
восстанавливались функции ф(г/), имевшие трапецеидальную форму
(равнобочные и неравнобочные трапеции, в пределе
вырождавшиеся в треугольники и прямоугольники). На
первом этапе использовалась одна из обычных схем ре-
регуляризации с априорными ограничениями, касающими-
касающимися гладкости и в некоторых случаях неотрицательности
решения, что давало предварительную сглаженную версию
Фо(у)- Далее на основании найденной фо(*/) строилась ап-
аппроксимирующая функция фа(г/), состоящая из отрезков
прямых и уже имевшая трапецеидальную форму. (Отме-
(Отметим, что способ перехода от <ро(у) к (ра(у) не является осо-
особенно существенным и критичным.) Вслед за этим искомое
решение представлялось в виде
F.40)
83

Pucr 14. Восстановление трапецеидальной функции (р(у).
1 — точное решение, 2 — восстановление без аппроксимирующей функции
Фа (уУ< 3 — Ч'а (у)"> 4 — восстановление с аппроксимирующей функцией.
и функция фа вводилась как множитель в новое ядро
Ка(ху у) — К(х, у)ц>а{у) и в ним решалось интегральное
уравнение 1-го рода относительно ()
F.41)
На этом этапе снова можно было использовать априорные
ограничения о гладкости — уже по отношению к ty(y).
Найденная поправочная функция гр(у) согласно F.40)
позволяла найти ф(г/), дальнейшее улучшение которой (в
принципе возможное) на практике уже не требовалось
(рис. 14).
Результаты решения модельных задач с более сложны-
сложными по сравнению с F.38) ядрами уравнения F.37) и функ-
функциями ц>(у) в виде многоугольников, а также набора
пилообразных импульсов подтверждают эффективность
описанного алгоритма.
89

§ 7. Экономичная итерационная схема
с регуляризацией
В заключение рассмотрим один удобный итерационный
алгоритм, предложенный независимо Мартине [3271 и
А. В. Кряневым [110, 111 ] и в идейном отношении весьма
близкий к тихоновскому. В принятых обозначениях он
реализуется в соответствии с формулой
{К*К + а&)ф<«> = аЩ <«-х> + K*f. F.42)
В работах [110, 111] доказана сходимость итерационной
схемы F.42), рассмотрен возможный (хотя и трудно воп-
воплощаемый на практике) способ обрыва процедуры, а так-
также произведено сопоставление предлагаемой схемы с дру-
другими, ранее известными по суммарному числу эквивалент-
эквивалентных сложений (ЭС)Х). Это сопоставление свидетельствует
о больших преимуществах схемы F.42) как с точки зрения
затрат машинного времени, так и получения (при прочих
равных условиях) более точных результатов расчета.
А. Е. Булышев и Г. А. Ведерников [24], выбирая чис-
число п по невязке | Кц^ — /е ||l2 — б, сравнивали в - числен-
численных экспериментах схему F.42) со стандартной процеду-
процедурой тихоновской регуляризации. Как установлено в [24],
выбору а в методе Мартине — Крянева можно предъяв-
предъявлять более мягкие требования. Необходимо, чтобы пара-
параметр а не оказался слишком заниженным; завышение а
по сравнению с его оптимальным значением не столь су-
существенно, ибо это отразится лишь в увеличении числа
итераций. Вполне приемлемым условием выбора а может
служить следующее:
\\K*K\\4~a\\u\\Lj F.43)
для той же цели пригодны формулы F.9). Несомненными
достоинствами схемы F.42) являются ее простота, быстро-
быстродействие, высокая помехоустойчивость и возможность
гибкого варьирования расчетной процедуры за счет изме-
изменения а и числа итераций.
Отметим, что к итерационной схеме типа F.42) можно
прийти путем предельного перехода t —>- оо в решении не-
х) При введении понятия числа ЭС обычно принимается, что
ЭВМ в среднем тратит на умножение столько же времени, сколько
на 2 сложения.
90

Стационарного эволюционной уравнения, подробно рас-
рассматриваемого, например, в [1331. В самом деле, исход-
исходному операторному уравнению можно поставить в соответ-
соответствие следующую задача Коши:
= — К*Ку + K*f, ф(г = 0) = ц, F.44)
которую удобно решать численно, например методом
Рунге — Кутта [374], либо с помощью итерационных
схем: явной
ф(п) = ф(п-1) _ Хп-г{К*К^-1) — K*f), F.45)
или более устойчивой неявной
ф(«) = (К*К + x~itE) (т^!<р<Л-« + K*f), F.46)
где %п — шаг по времени, Е — единичный оператор.
Формуле F.42), очевидно, соответствует обобщение:
/
ni /
Л. Л. Фрумин 2> обратил внимание на то, что если рас-
рассматривать ф как функцию, зависящую от лапласовских
переменных а и ty то можно установить простую связь
между схемой регуляризации по Тихонову и эволюцион-
эволюционным уравнением типа F.44). Действительно, перейдем в
комплексную плоскость: а = ее' + га" и представим
тихоновский алгоритм в виде уравнения, позволяющего
найти аналитическую в этой комплексной плоскости
функцию ф(а):
(К* К + ай)ф(а) = K*f. F.47)
Поделим обе части уравнения F.47) на а и, совершив
преобразование Лапласа: ф(а) -*~ <p(t), получим
Q(dyldt) + К*Кц> = К*}, F.48)
где «р (<) = BJU) j a->(a)exp(a^)^. F.49)
Видно, что F.44) есть частный вид F.48), когда оператор
Q вырождается в единичный.
а> Работа не опубликована.
91

Рис. 15. Схема обхода особых точек
при получении уравнения F.51).
Аналитическая функция <р(а)
имеет конечное число полюсов в
точках ak, которые являются кор-
корнями уравнения
det \\K*K + ceQ|J = 0. F.50)
Если операторы К*К и Q коммутируют, то величины
ak вещественные и неотрицательные; таким образом, под-
подынтегральное выражение в F.49) имеет особенности в ну-
нуле и в точках ak. Сдвигая контур интегрирования в сторо-
сторону отрицательных а', приходим к ситуации, схематически
изображенной на рис. 15: в силу появления множителей
типа ехр (akt) достаточно ограничиться максимальным
корнем аг. Следовательно, асимптотическое выражение
(p(t) таково:
ф@ = ф(а = 0) + Я ехр (а^), ах < 0. F.51)
Если далее подставить F.51) в выражение критерия не-
невязки
~ - /йИ = S, F.52)
то получим: \\KR\\ ехр (ccjt) = б, в результате чего для
числа итераций п = t/t0 имеет место оценка:
*,,)-1 In Ш\\КЩ\]. F.53)
п = -(
Таким образом, п логарифмически зависит от уровня по-
погрешности правой части S.
При конечном шаге t0 отличие итерационной схемы
Мартине — Крянева от алгоритма Тихонова выявляется
с помощью первого дифференциального приближения:
в правой части F.48) возникает член вида {—t0Q(d2y/dt2)},
а преобразование Лапласа дает выражение
(К* К + ъа)ф(сс) + t0Q[a\(a) — дф = O)!dt] =
= K*f. F.54)
Его можно интерпретировать как замену обычного стаби-
стабилизатора Тихонова Q некоторым «эффективным».
Остановимся еще на результатах численной реализа-
реализации итерационной схемы Мартине — Крянева. Заметим,
92

что пример, приводимый в работе [111], вряд ли может
служить хорошей иллюстрацией возможностей этого ал-
алгоритма, поскольку А. В. Крянев воспроизвел элементар-
элементарный пример Филлипса, который был рассмотрен в гл. 5
(см. уравнение E.24) и далее). Однако алгоритм Филлип-
Филлипса E.23) при тщательном согласовании параметра а с дис-
дисперсией шума дает в этом случае практически безукориз-
безукоризненное восстановление отрезка гармонической функции с
таким же (разностным) ядром.
В работе [25] схема Мартине — Крянева применялась
для решения значительно более сложной задачи, часто
возникающей при диагностике газовых и плазменных
сред методами абсорбционной спектроскопии.
Опишем кратко физическую сторону задачи, соответ-
соответствовавшей эксперименту [2]. Необходимо было повысить
точность измерения частотного профиля оптической плот-
плотности x(v) для изотопов 39К и 87Rb, присутствовавших в
виде паров в термостатированной кювете в смеси с буфер-
буферными газами азотом и криптоном. Излучение резонансных
линий 39К и 87Rb, возбуждаемых в безэлектродных лампах
типа Белла — Блюма, пропускалось через кювету и за-
затем регистрировалось либо простым эталоном Фабри —
Перо (для линий калия), либо мультиплексом (для линий
рубидия). Аппаратный контур,-определенный с помощью
одночастотного стабилизированного гелий—неонового
лазера, был близким к дисперсионному с шириной 290 МГц
для простого эталона и 130 МГц для мультиплекса. Изме-
Измеряемые спектральные профили /x(v) (для т = 0) и /2(v)
(для х Ф- 0) связаны с x(v), аппаратным контуром A(v),
и истинным профилем просвечивания /(v) соотношениями
1^)= J A(v-v')I(v')dV,
— CO
do
/2 (v) - f A (v - v') / (v') exp [—т (vr)] dv'.
F.55)'
В силу сложности восстановления x(v) по известным Ги
/2и4 среди экспериментаторов получил распространение
следующий грубый прием: принимается, что за счет при-
присутствия функции A(v) в обоих подынтегральных выраже-
выражениях F.55) влияние ее на t(v) незначительно, т. е. она
93

Рис. 16. Восстановление профиля оптической плотности r(v)
с использованием формулы, F.56) (а) и методом Мартине —
Крянева (б).
3 = 0,25 U); 0,50 B); 1,2 C).
приближенно может быть заменена б-функцией Дирака,
после чего Z(v') сокращается и
t(v) = lnlljiv)/!^)]. F.56)
Ясно, что при проведении прецизионных измерений в по-
поглощающем газе необходимо, во-первых, выяснить грани-
границы применимости F.56) и, во-вторых, разработать эффек-
эффективный алгоритм восстановления t(v) из F.55) для ситуа-
ситуаций, когда формула F.56) заведомо непригодна.
Приведем характерные результаты модельных расче-
расчетов, для которых функции I(v), t(v) и А (у) задавались
в следующем виде:
/(v) = ехр {— In 2-(v — 4J/Af} + ехр {- In 2 (v + 4J/Д|},
t(v) = 0,5/(v), F.57)
A(v) = (ЬА/2я)№ + Ь*А/4)-\
Важным безразмерным параметром задачи является от-
отношение Р = Дд/А/, которое в расчетах варьировалось
в пределах 0,1 ^ р ^ 1,5. Результаты применения при-
приближения F.56) показаны на рис. 16, а. В случае, когда
восстанавливаемая функция шире аппаратной в 4 раза
(р = 0,25), зависимость t(v) получается уже сильно за-
заглаженной, крылья контура линии поглощения восстанав-
восстанавливаются плохо, значительной является ошибка опреде-
определения полуширины функции t(v) и возможно смещение
ее максимумов. Для больших значений р*'вообще исчезает
информация о реальной структуре коэффициента погло-
поглощения.
94

Расчет по полной системе уравнений F.55) производил-
производился по итерационной схеме Мартине — Крянева. К функ-
функциям /i(v) и /2(v) Добавлялись случайные нормально рас-
распределенные погрешности с коэффициентом вариации
1% в каждой точке. Решение системы уравнений F.55)
по сравнению с классической задачей Рэлея о редукции к
идеальному прибору, где обычно ядро интегрального урав-
уравнения задается аналитическим выражением, значительно
сложнее. В данном случае ядро второго уравнения систе-
системы содержит функцию T(v), несущую в себе как ошибки
эксперимента, так и ошибки метода решения первого урав-
уравнения. Однако, как следует из расчетов (см. рис. 16, б),
примененная схема позволяет вполне надежно передать
структуру контура оптической плотности даже тогда, ког-
когда ширина аппаратной функции несколько превышает
ширину восстанавливаемого профиля.
ГЛАВА 7
СТАТИСТИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ
РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
Привлечение в той или иной форме аппарата матема-
математической статистики для решения обратных некорректных
задач получило весьма широкое распространение в самых
разнообразных приложениях, в том числе в диагностике
плазмы. При прочих равных условиях статистические
схемы регуляризации по некоторым причинам больше,
нежели «детерминированные», импонируют физику-экс-
физику-экспериментатору. Во-первых, при обработке опытных
данных как для устойчивых, так и для неустойчивых
задач использование вероятностных понятий, по сущест-
существу, неизбежно. Поэтому, если вероятностный способ
можно применить при учете в задаче имеющейся априор-
априорной информации, нахождении решения, оценке его по-
погрешности и т. п., то единообразный математический ап-
аппарат, безусловно, предпочтительнее.
Во-вторых, статистические способы позволяют неза-
независимо от процедуры решения и еще до получения реше-
решения как такового оценить информативность эксперимента,

осуществить оптимальное планирование всех измери-
измерительных этапов, включая выбор средств и методов изме-
измерений. Совершенно очевидно, насколько это важно в
задачах диагностики плазмы.
В-третьих, как показывает, практика, вероятностный
способ оказывается более гибким и удобным с точки зре-
зрения учета в априорном информационном распределении
данных предыдущих экспериментов, а также различных
предположений об искомой функции, трудно выразимых
на языке теории множеств. Статистическая регуляриза-
регуляризация обычно легко ассоциируется с методами нелинейного
программирования.
В-четвертых, статистическая регуляризация естествен-
естественным образом сочетается со статистическими свойствами
многих важных физических процессов, протекающих в
плазме и потоках нагретых газов, таких, как турбулент-
турбулентность, нелинейные волны, флуктуации параметров, обус-
обусловливающие стохастический характер рассеяния, разви-
развитие тех или иных типов плазменных неустойчивостей
и т. п. [83, 108, 112, 145, 151].
В-пятых, статистические способы регуляризации часто
удается с успехом" применить для решения сложных не-
нелинейных,, задач [35, 230].
Однако, говоря обо всех этих преимуществах, нельзя
забывать, что, по крайней мере в настоящее время, уро-
уровень строгости обоснования большинства практикуемых
алгоритмов статистической регуляризации уступает тому,
который достигнут, например, в методе Тихонова, методах
квазиобращешгя, поиска квазирешений. Правда, усилия
многих математиков как раз и направлены на создание
прочного теоретического фундамента применительно к
статистическим способам регуляризации. В этой главе
мы кратко опишем те из упомянутых способов, которые
уже положительно зарекомендовали себя в вычислитель-
вычислительной практике и продолжают совершенствоваться.
§ 1. Учет статистических характеристик
в рамках общих методов регуляризации
Один из простейших и наиболее очевидных способов
включения статистических характеристик в тихоновский
алгоритм регуляризации состоит в конкретизации ста-
96

билизирующего фактора C.15). Напомним, что этот фак-
фактор содержал член а@(ю), где выбор обоих множителей
а и Q оставался достаточно произвольным. Легко пока-
показать, что, по крайней мере для гауссовых процессов, когда
исчерпывающим является учет статистических характе-
характеристик двух видов (корреляционных и взаимокорреля-
ционных функций), зтот произвол легко устранить [380].
Рассмотрим задачу так называемой оптимальной ли-
линейной фильтрации. Если некоторый оператор К преоб-
преобразует случайный входной сигнал <р(х) так, что в резуль-
результате имеет место реализация случайной функции }(х),
то упомянутая задача состоит в поиске такого воздействия
на f(x), при котором формируется функция i|>i(#), имею-
имеющая в той или иной вероятностной метрике наименьшее
уклонение от заданной функции ty(x). Постановке обрат-
обратной задачи, очевидно, соответствует равенство -ф = ф.
Запишем выражение для функционала среднего квадрата
ошибки в точке х:
х)-гИх)]2>, G.1)
где знак <...> означает математическое ожидание. Посколь-
ку урх(х)^= j H(х, y)f (y)dy, H— искомый оператор
фильтрации, нетрудно подсчитать, что
-2 \^H(x,z)R^(z,x)dz + R^(x,x). , G.2)
Здесь Rt(z, у) = </(z)/(y)>; R^(x, x) - <i|>(x)^(zj> - кор-
корреляционные, а /?/ф (г, х) = </(г)а|з(х)> — взаимокор-
взаимокорреляционные функции соответствующих процессов. Ми-
Минимум функционала о$ при варьировании Н(х, z) опре-
определяется решением уравнения Винера—Хопфа [380]:
+ ОО
j
+
j Rt (z, у) Н (х, у) dy - Я,* (г, х), G.3)
н. Г. Преображенский, В. В. Пикалов . * " 97

которое для стационарных процессов принимает форму
обычного уравнения свертки:
Rt(y)H(x-y)dy = R^(х). G.4)
Обратимся теперь к обратной задаче
К (х - у) Ф {у) dy + Ux) = t (*), G.5)
где ?(#) — аддитивный стационарный шум, присутствую-
присутствующий на входе фильтра. Теперь -ф =* ф. Нетрудно подсчи-
подсчитать функции Rf(y) и R^f(xy— R<pf(z), фигурирующие в
G.4), а затем найти их фурье-трансформанты:
Поскольку, с другой стороны, из G.4) следует, что Я(м) =
= -Йф/(со)/Л/(<о), то согласно G.6) находим
(о)Н G.7)
Наконец, сравнивая результат G.7) с формулами C.14)
и C.15), получаем, что
aQ{(n) = ЙБ(©)/Дф(<в). G.8)
Вообще можно утверждать, что среди всех функций Q(u>)
существует такая Q0{a>) = Й|(й))/аЛф(о)), при которой
однопараметрическое семейство регуляризующих опера-
операторов Rolf, а] содержит оператор оптимальной винеров-
ской фильтрации [217]. Отсюда следует, что данный опе-
оператор непрерывен по / на всякой заданной точной правой
части и устойчив к ее малым изменениям. Практический
вывод, вытекающий из этого утверждения, заключается
в возможности замены оператора оптимальной фильтра-
фильтрации близким к нему, например более простым до структу-
структуре или связанным с привлечением меньшей априорной
информации, чем полная информация об отношении шум/
сигнал G.8).
С учетом G.8) выражение для минимального зна-
значения среднего квадрата ошибки^ приобретает вид (ср. с
98

формулой C.9)):
G.9)
Во многих прикладных задачах передаточная функция
К{а>) точно неизвестна и приходится предполагать, что
существует некоторое множество случайных функций
К((й) с заданным распределением. При таком предельно
статистическом подходе возникает задача поиска такой
{К((о)У, которая обеспечивала бы аФш1п> усредненную по
множеству КЫ). Эта задача была решена Слепяном
[357].
Использованное допущение об аддитивности шума |(ж)
оправдано далеко не всегда. Например, в задачах рестав-
реставрации фотографических изображений шум, связанный с
гранулярностью фотопленки, носит скорее мультиплика-
мультипликативный, нежели аддитивный, характер [285]. В диагности-
диагностических приложениях, когда приходится восстанавливать
акустические или радиосигналы, обычно следует прини-
принимать во внимание случайные флуктуации усиления в ка-
канале приема сигнала, которые также являются мульти-
мультипликативной помехой. Тогда вместо G.5) исходным сле-
следует считать уравнение
•
J K{x — y)w{y)q (у) dy 4-1 (я) = / (я), G.10)
—оо
где w(y) — стационарный шумовой процесс со средним
значением mw, не. коррелированный с ф(у); все четыре
случайные функции К(х), w(x), ц>(х) и ?(х) предполагаются
статистически независимыми, а процессы — стационар-
стационарными. Опуская выкладки, несколько более громоздкие,
чем предыдущие, но по существу повторяющие их [35,
226], запишем окончательное выражение для передаточ-
передаточной функции оптимального винеровского фильтра
Ща>) = А/В,
А = mw Лф(со)<^*((о)>, G.11)
В =
4*
99

Обратим внимание на то, что если среднее значение муль-
мультипликативной помехи mw = О, то и Н((о) = 0, т. е. луч-
лучшей оценкой входного сигнала является <р(х) = 0. Нако-
Наконец, заметим, что вместо свертки вида
+ ОО
j K(x — y)q>(y)dy = f{x)
—оо
(с соответствующими добавлениями случайных функций
G.5), G.10)) мы могли бы проводить все рассуждения и
выкладки и для иных уравнений сверточного' типа [217]:
х
\к(х — у)ц> (у) dy — f (x),
К (х/у) if (у) dy/y = f(x),' G.12)
DO
¦ = /(*),
о
только вместо преобразований Фурье следует соответст-
соответственно применять преобразования Лапласа, Меллина и
Бесселя.
В. Н. Судаков и Л. А. Халфин [205], рассматривая
задачу Коши для уравнения Лапласа, предложили выде-
выделять помеху S(x), являющуюся реализацией стационарно-
стационарного случайного процесса, из данных Коши и выяснили
условие, при котором эта помеха оказывает на решение
(р(х) малое (в среднем) влияние: необходима малость функ-
функции автокорреляции в гильбертовом пространстве с
экспоненциальным весом. В более общей форме статисти-
статистический подход к решению некорректных задач был развит
М. М. Лаврентьевым и В. Г. Васильевым [119]. Этот под-
подход фактически эквивалентен методу поиска квазиреше-
квазирешений. В свою очередь, обе постановки [119, 205] тесно
примыкают к задаче, о декодировании, возникающей в
связи с общей формулировкой основной теоремы Шеннона
в теории информации.
Статистический подход, предложенный в [119], ока-
оказался очень плодотворным и развивался в дальнейшем
рядом авторов. Так, Л. А. Вайнштейн [32] применил его
для нахождения устойчивого решения плохо обусловлей-
100

них систем уравнений, правая часть которых искажена
случайным возмущением с известными характеристиками;
В. А. Морозов [146, 147], также используя подход [119],
разработал достаточно общий способ вычисления опти-
оптимального регуляризатора для линейных вполне непре-
непрерывных операторов К, когда правая часть / уравнения
Кц> = f задана с ошибкой, которая является случайным
процессом в гильбертовом пространстве. В. А. Морозовым
исследована точность оптимальной регуляризации для
различных классов решений и погрешностей, а также
указаны способы реализации оптимальных решений,
дающих погрешность, одинаковую по порядку с опти-
оптимальной. Таким свойством, в частности, обладает однопа-
раметрический метод регуляризации Тихонова. Эффек-
Эффективный алгоритм построения приближений к результатам
оптимальной фильтрации в смысле [146], который: а) ос-
основан на методе тихоновской регуляризации; б) не тре-
требует набора большой статистики результатов измерений;
в) не связан с наличием равномерной сетки; г) легко обоб-
обобщается на многомерный случай, разработан В. Я. Арсе-
ниным и Н. Б. Зябревым [11].
А. Б. Бакушинский [16] распространил метод регуля-
регуляризации Тихонова на общий класс уравнений Кц> = /
в гильбертовом пространстве со случайным линейным
оператором К. В работе В. И. Лебедева [125] строится
алгоритм решения условно-корректных задач на основе
использования энтропийных и конструктивных характе-
характеристик компактных множеств. В подходе В. И. Лебедева
основное операторное уравнение К(р = / преобразуется
к такой форме, когда оператор приобретает б-свойства.
Информационный подход к оценке снизу погрешности
решения операторных уравнений 1-го рода предложен
в работе [161]; метод тихоновской регуляризации с точки
зрения выделения полезной информации в задачах теории
управления рассмотрен В. В. Петровым и А. С. Усковым
[162].
Отметим еще важную в общетеоретическом плане ра-
работу [157], в которой рассмотрены статистические аспекты
решения интегральных уравнений 1-го рода
G.13)
101

когда правая часть f(x) задана со случайной погрешностью,
ядро К(х, у) непрерывно, а интегральный оператор в
G.13) действует из пространства С в пространство L2,
Для разностной аппроксимации G.13) исследуется урав-
уравнение максимального правдоподобия (см., например,
[105]). Как известно, в данном случае необходимо ввести
в рассмотрение плотность условной вероятности P(f|tp),
где размерности векторов f и <р, отвечающих функциям
fix) и <p(z), составляют соответственно N и М (М ^ N).
Пусть P|(f — Kq>) — априорная' плотность вероятности
вектора шума; тогда
G.14)
В теории статистических оценок [34 J при известной
плотности условной вероятности P(f|<p) исследуется воз-
возможность найти такой алгоритм, который позволил бы
по наблюдаемому вектору f определить оптимальную
оценку <jpopt искомого вектора q>. Для этой цели вводят
так называемую штрафную функцию Щ<р, (pOpt), которую
обычно считают зависящей только от погрешности е, т. е.
П(<р, «Popt) оказывается лишь функцией одной переменной
Ще). В приложениях особенно распространены квадра-
квадратичная Ще) = е2, линейная Ще) = |е| и индикаторная
п fA, е<-Д/2;в>Д/2;
10, - А/2 < е < А/2
штрафные функции. В случае, если: а) какие-либо априор-
априорные сведения о распределении вероятностей Р(<р) отсут-
отсутствуют и б) нет оснований для предпочтительного выбора
той или иной штрафной функции Ще), для оценки «popt
остается использовать лишь метод максимального правдо-
правдоподобия. Именно, выбирать следует такой вектор <р, кото-
который с наибольшей вероятностью обусловит появление в
задаче данного вектора f. Необходимое (но не достаточное)
условие такого выбора имеет вид
0 {In РA|ф)}/0* 1*^ = 0. G.15)
Авторы работы [157], анализируя G.15), показали,
что при поиске оценок максимального правдоподобия
можно сформулировать такую вариационную задачу,
которая является разновидностью метода регуляризации
Тихонова. Появляющийся при этом неопределенный
102

множитель Лаграяжа — аналог параметра регуляриза-
регуляризации а — находится на основе статистических критериев,
в частности критерия %2. Исследовано асимптотическое
поведение оценки у(х) при N -*¦ оо, а возможности алго-
алгоритма продемонстрированы на примере решения уравне>
ния Абеля.
§ 2. Метод максимума энтропии
Только что упомянутый переход от стандартной задачи
отыскания оценок максимального правдоподобия к ва-
вариационной задаче с регуляризацией решения можно,
как показал Фриден [291], осуществить по-другому.
В основу рассмотрения при этом следует положить дис-
дискретную статистическую модель, согласно которой ис-
исходное операторное уравнение преобразуется в линейную
систему .
м
2 Я»тфт+ &> = /», » =1,2, ...,N, G.16)
тп=1
2 Ф™ = Фг. G-17)
т=г
Тогда отношению рт =.фт/ф2 можно придать вероят-
вероятностный смысл и построить функционал энтропии
м м
Н= — 2 Рт^Рт= — О 2 фт1пфто + Ь, G.18)
ТП=1 ТП=1
где а ж Ъ — константы. Дшейнс [308], исследуя задачу о
восстановлении плотности вероятности p(z) no M ее извест-
известным моментам {д™}» когда
+ 0О
= J"
л:) Аг, от == 1, 2, : .., JI/, G.19)
показал, что наименее смещенную оценку р(х) дает лишь
функция, которая, соответствуя G.19), имеет при этом
максимум энтропии Н = — | р (л:) In p (x)da:. Естествен-
—оо
но поэтому и в данном случае воспользоваться принципом
103

максимума энтропии и для нахождения <рт записать
условие
M
f )
Я = max - Ц фт In Фж G.20)
I тп=1 J
(конкретные значения констант а и Ъ при этом несущест-
несущественны).
Отыскивать максимум в G.20) можно по-разному;
несколько вариантов такого поиска рассмотрено в обзор-
обзорной статье [313]. Довольно перспективный подход к зада-
задаче был предложен М. 3. Тараско [209]: в данном случае
вероятностный смысл придается сразу обеим функциям:
Ф и./, так что
JV М
а {Кпт} является стохастической матрицей, где Кпт ^ 0
для всех п и т. В этом случае поиск максимума в G.20)
можно осуществлять последовательными приближениями
согласно формуле
]М
/*птф(& G.21)
/
где s — номер итерации.
Подход Фридена [291 ] обладает значительно большими
возможностями, чем те, которые связаны с непосредствен-,
ным решением системы уравнений G.16) при учете усло-
условия G.20).
В самом деле, введем, следуя [291], интервал допусти-
допустимой неопределенности ± Дф в лаходимых значениях фт.
Тогда от фт и фа можно перейти к целым числам: ф^ =
= [ф^(Дф)^1]; ф| = Ф2 (Дф). Для дискретного набора
чисел {ф^} вероятность реализации распределения этих
чисел до М ячейкам, очевидно, такова:
м
/П ФХ.1 G-22)
Учитывая, что ц>х достаточно велико, и используя в
G.22) формулу Стирлинга, находим
м
In Wy (ф1? ф2, . .., фМ) = — (Дф) 2 Фт Ь фт- G.23)
m—1
104

Аналогичные рассуждения следует повторить й для
шумовой составляющей в G.16), однако сначала необхо-
необходимо искусственно ввести в задачу такое компенсирующее
смещение 5^0, чтобы логарифмировалась всегда только
положительная величина: уп = |п -\-В, Уп *> 0- Для
уп в полном соответствии с G.23) получим
2V
г S Tnlnvn- G.24)
n=i
Введем еще фактор неопределенности отношения сигнал/
/шум:
р = (ДФ)/(ДТ), G.25)
который может выступать далее как свободный параметр.
Таким образом, мы приходим к задаче о нахождении
(М + N) неизвестных {фго}, {уп} по (N + 1) уравнению
(G.16) и G.17)). Очевидно, в этом случае можно говорить
лишь о максимально правдоподобном решении, для .кото-
.которого
WVW9-+ max; G.26)
шум в данном случае считается некоррелированным.
Учитывая выражения G.16), G.17) и G.23), G.24) и вводя
неопределенные множители Лагранжа, приходим 'к пол-
полному уравнению для максимума энтропии:
м
— 2 4>т
т=1
ж n г м
фт — Р 2 Уп In Уп — 2j ^n\ 2j ^птФт +
п=1 п=1 Lm=l
+ Уп - В - fn - Xjv+i ( 2 <f>m - Ф2) = max. G.27)
Производя далее дифференцирование G.27): dldq>m,
д!дуп при всех пит, получим отдельные решения для
каждого из массивов неизвестных
= ехр — 1 — XN+l —
I
уп
Неизвестные Я1? Я2, ..., kN+1 определяются уравнениями
G.16) и G.17), которые формально можно также «полу-
«получить» из G.27), дифференцируя по {А,п} и KN+1; в G.16)
вместо |„, очевидно, нужно иметь в виду разность (уп —В).
105

Система из (N + 1) нелинейного уравнения для мно-
множителей Лагранжа Klf ..., Kn+i, найденная после подста-
подстановки G.28), G.29) в G.16), G.17), может быть решена,
например, методом Ньютона—Рафсона.
Рассмотрим кратко особенности метода максимума
энтропии.
I. Метод автоматически обеспечивает получение поло-'
жительного решения <рт; из формулы G.28), кроме того,
следует, что
ФфIй& ~ ф), к = 1, 2, ..., . G.30)
т. е. в тех местах, где имеется практически нулевой фон,
ф(гс) вообще не может осциллировать либо осциллирует
слабо. В связи с этим метод Фридена дает особенно хоро-
хорошие результаты для объектов, содержащих большое число
импульсов и имеющих нулевые значения везде, кроме
конечного числа точек.
II. Применение критерия максимума энтропии экви-
эквивалентно сглаживающему воздействию на функцию <р{х).
Действительно, из выражения G.23) видно, что если
сближать два значения: <рт и (pj (это и выражает тенден-
тенденцию к сглаживанию), то энтропия Н возрастает. Следова-
Следовательно, Яшах способствует получению максимально глад-
гладкой оценки решения.
III. Параметр р G.25) по своему смыслу является
сходным с параметром регуляризации а Филлипса—Ти-
Филлипса—Тихонова. В частности, чем больше р, тем большее значение
придается максимизации энтропии шума {уп} и, следо-
следовательно, его сглаживанию.
• IV. Выбор компенсирующего сдвига В также влияет
на степень сглаживания решения ф(#). Легко видеть, что
это влияние сказывается через изменение абсолютных
величин множителей Лагранжа {Кп}: их уменьшению
соответствует большее заглаживание решения. 4
Таким образом, алгоритм Фридена обладает большой
гибкостью с точки зре.ния регуляризующих возможностей
и по самой своей структуре должен давать достаточно
устойчивые результаты восстановления.
На рис. 17 показаны примеры восстановления набора
импульсов трапецеидальной формы при значении р = 1.
Сплошной линией изображена исходная функция ф(ж).
Правая часть f(x), не показанная на рисунке, генерирова-
генерировалась с помощью ЭВМ с использованием аппаратной фунв
106

Рис. 17. Сравнение метода мак-
максимума энтропии при вводе в пра-
правую часть 5%-ной погрешности
(/) с идеальной инверсной фильт-
фильтрацией B) — без ввода погреш-
погрешности.
ции дифракционного типа
и искажалась равномерным
случайным шумом с макси-
максимальной относительной
ошибкой 5%. Для сравнения
дан результат идеальной ин-
инверсной фильтрации (т. е.
в отсутствие шума).
Особенно явственно дос-
достоинства алгоритма Фридена
проявились в последнее время при решении двумерных и
трехмерных задач томографии и реставрации изображений
[259, 267, 272, 292, 331]. Важный теоретический резуль-
результат получен Лентом [322], сформулировавшим условия,
при которых наиболее широко применяемый в томографии
метод ART (в мультипликативном варианте, см. гл. 9)
сводится к решению, характеризуемому максимумом
энтропии. Свойства сходимости алгоритма, являющегося
двумерным обобщением только что описанного, исследовал
Минербо [331]; он же подробно изучил трехмерный ва-
вариант метода максимума энтропии. Важный практический
вывод, следующий из [331] и некоторых предшествовав-
предшествовавших работ американских авторов, состоит в том, что,
во-первых, метод Фридена применительно к задачам то-
томографии не требует использования большого числа
направлений наблюдения (ART в тех же условиях порож-
порождает неприемлемь» артефакты); во-вторых, для J направ-
направлений и дискретизации одной двумерной проекции на
NXN ячеек в методе Фридена для трехмерной томогра-
томографии необходима машинная память в 2JN2 слов, в то время
как в методе ART — (jV3 + JN2) слов.
В рамках метода максимума энтропии альтернативой
метода v Фридена 1227] является метод, разработанный
Бургом. В данном случае выражение для энтропии Н
строится по иному принципу, без перехода к дискретным
величинам. Именно, <p(z) можно рассматривать как
107

квадрат другой функции \|з(а;), для которой, предполагают-
предполагаются известными два первых ее момента. Если вернуться к
формуле G.19), то легко убедиться, что максимуму энтро-
энтропии соответствует решение вида •
•Г м "I
= ехр - 2 %тхт \,
L w=i J
G.31)
где значения Хт должны удовлетворять уравнениям
моментов. Таким образом, энтропия становится извест-
известной, и при переходе ко всей оси х наименьшая погрешность
будет соответствовать предположению о статистической
независимости ц>(х)
Яв = max. {—J <Ып ф (г)}. G.32)
Как видим, критерии G.20) и G.31) различаются
множителем <р(ж) под интегралом, причем в G.50) наличие
такого множителя соответствует классической формуле
Шеннона. Однако у более простого выражения G.32)
в силу отсутствия этого множителя имеется серьезное
преимущество: решение удается записать в замкнутой
форме, избавляющей от необходимости пользоваться
итерационной схемой. Например, если в качестве входных
данных можно использовать оценки {cp(tom)}> найденные
с помощью стандартной процедуры инверсной фильтрации
(см. гл. 3), то вариационным аналогом формулы G.27)
будет следующее выражение:
f м Г г
— \ dx In ф (х) — Y] Xm] J dxy (х) ехр (— псо„,) —
-X m=l L-X
= max. . G.33)
После серии преобразований получается
и
-г
1 + S hm ехр[ - inm{2X) ~\х+Х)}
G.34)
где hm — решения системы линейных уравнений
108

Г@)
..¦ Г
-1
О
О
G.35)
= тлBХ)-1, т ='О, 1, 2, ..., М,
Т(а) = 2Re{(p(o)exp (— ZcoX)}— промежуточные матрич-
матричные элементы, вычисляемые по входным данным.
Достоинства метода Бурга состоят в его алгоритмиче-
алгоритмической простоте и экономичности расчетной процедуры;
недостатки — в довольно заметной чувствительности к
погрешностям входных данных <р(а>) и особенно в отсутст-
отсутствии учета погрешностей даже при обращении свертки и
явной записи выражений G.34) и G.35). В частности,
квадратная матрица в G.35) априори считается неотрица-
неотрицательно определенной, что, вообще говоря, верно, если
только ф(шт) не отличаются от истинных, идеализиро-
идеализированных значений этих величин. Возможности метода
изучены пока недостаточно; неясно, насколько эффектив-
эффективно могут решаться обратные задачи с оператором более
общего вида.
§ 3. Поиск байесовских решений
При решении неустойчивых прикладных задач метода-
методами статистической регуляризации, пожалуй, наибольшее
распространение получили подходы, основанные на мини-
минимаксной и байесовской оценочных стратегиях. Укажем в
качестве примера на одну из первых работ такого рода
[160], где рассматривается задача об оптимальном вычис-
вычислении линейных функционалов 1(ц>) на решениях уравне-
уравнения ЛГф = /, ф G Ф,, / е -f i когда К — линейный вполне
непрерывный оператор, Ф = F — гильбертовы простран-
пространства, а правая часть / искажена случайным процессом
Ь с известными корреляционными характеристиками.
Регуляризовагаше операторные уравнения получаются в
рамках как минимаксного, так и байесовского подхода,
109

причем в первом случае минимизируются искажения от
замены истинных значений функционала их оценками
в наименее благоприятной ситуации, а во втором — апри-
априорно задается корреляционный оператор для искомого
решения, находимый из определенных допущений о его
гладкости.
Среди оценочных стратегий, применяемых в математи
ческой статистике, байесовские стратегии следует считат1
наиболее предпочтительными [156]. Иногда говорят о так
называемых разумных стратегиях, определяемых как
такие, для которых не'существует лучших вне зависимо-
зависимости от исхода каких бы то ни было случайных событий.
При этом доказывается, что каждая «разумная» стратегия
является именно байесовской, причем ей поставлено в
соответствие некоторое априорное распределение вероят-
вероятностей Р((р)- Если, как и ранее (формула G.14)), РA |<р) —
плотность условной вероятности вектора f, соответствую-
соответствующего правой части алгебраизованного операторного урав-
уравнения К(р = /, то формулой Байеса (теоремой гипотез)
рш = р(ч>)ршцр(<р)рашч> G.36)
будет определяться апостериорная вероятность, непос-
непосредственно используемая при нахождении математиче-
математического ожидания <ф> и ковариационной матрицы D9
искомого решения:
G.37)
рЬ; = ] (ф! - Мщ) (<р,- - MVi) P (ф | f) dtp.
Рассмотрим несколько подробнее сомножители, вхо-
входящие в формулу Байеса G.36). Плотность условной
вероятности P(f |ф) — функция (М + Ю переменных, ха-
характеризующая схему эксперимента, т. е. вид связи
между ф и f, а также статистические свойства ошибок
измерений (вектор |). Чаще всего на практике принимают,
что компоненты % статистически независимы, распределе-
распределены по нормальному закону с известной дисперсией (TV-мер-
(TV-мерный вектор с компонентами s%) и нулевым математиче-
математическим ожиданием, а также включают в себя ошибки ал-
гебраизации исходного уравнения. В этом случае
110

P («I Ф) - П {Z™lY112 exp Г- Bs») [fn - 2 *n»<P
n=l L \ w=l
' G.38)
В пользу выбора выражения G.38) в качестве доста-
достаточно универсального можно привести некоторые общие
соображения [191]. В самом деле, распределение вероят-
вероятностей полностью определяется набором всех своих мо-
моментов. Однако на практике, как правило, известны не
все, а только низшие моменты (обычно первые два). При
этом независимо от того, какой вид имеет фактическое
распределение Р{1 |ф), целесообразно исходить из макси-
максимально-энтропийного, т. е. характеризующегося наиболь-
наибольшей свободой выбора структурных вариантов. Таковым
как раз является нормальное распределение G.38).
Необходимо помнить, что при увеличении общего
числа экспериментальных отсчетов /„ или при выборе
сгущающейся сетки роль корреляционных коэффициентов
связи между значениями /п, вообще говоря, возрастает.
Математически это обстоятельство особенно просто можно
описать с помощью корреляционной функции стационар-
стационарного марковского процесса
= s2 ехр (—о|яг|), . G.39)
где s2 — по-прежнему дисперсия процесса, & а — некото-
некоторое положительное число [57]. Элементы Rnn' ковариа-
ковариационной матрицы имеют вид
Rnn, = s2 ехр [— а | п — п' \ Дг] = з2^п~п'^ G.40)
где р = ехр (—аАх). Элементы соответствующей, обратной
матрицы R~x несложно учесть при обобщении выражения
G.38) на случай коррелированных по G.39) помех.
Согласно формуле Байеса, полная апостериорная ин-
информация о векторе <р есть сумма косвенной (эксперимен-
(экспериментальной) информации, выражаемой функцией Р(!|ф),
и априорной информации Р(«р). В реальных условиях оба
сомножителя с информационной точки зрения далеко не
равноценны: основные сведения о <р должны быть сосредо-
сосредоточены в P(t\<p), иначе беспредметна сама постановка
эксперимента. Если рассматривать P(t |<p) как функцию ф.
то степенью близости ее к 6-функции Дирака будет опре-
определяться степень допустимого произвола при задании
ill

Р(ц>). В пределе («6-эксперимент») можно полошить P(q>)-
const, т. е. не вводить в задачу никакой нетривиальной
априорной информации.
При рассмотрении пересечения двух вероятностных
ансамблей G.36) не исключена ситуация, когда такого
пересечения либо вообще не существует, либо имеет место
своего рода «игра хвостов» двух распределений, лишенная
физического смысла. Причиной подобных осложнений
могут оказаться либо чрезмерно большие погрешности
измерений, либо сильная корреляция результатов отсче-
отсчетов, либо, наконец, слишком «волюнтаристский» Вы-
Выбор Р{ц>).
Правильный выбор Р(<р) — центральная часть проце-
процедуры статистической регуляризации с поиском байесов-
байесовских решений. Как показано в обзоре [221], возможности
такого выбора весьма разнообразны. В частности, поиск
решения может происходить:
а) в ансамбле, заданном некоторой конечной выборкой
(например, при наличии каких-то дополнительных пря-
прямых измерений <рг, уже имеющихся в распоряжении экспе-
экспериментатора);
б),в ансамбле, характеризуемом корреляционной мат-
матрицей;
в) в наиболее узком допустимом ансамбле с учетом
различной степени гладкости искомой функции (в данном
случае удается дать статистическую интерпретацию методу
Фил^ипса—Туоми, описанному в гл. 5, и улучшить выбор
параметра регуляризации в этом методе);
г) в ансамбле, характеризуемом определенной нормой
производной любого порядка искомой функции;
д) в так называемом слоистом ансамбле, когда отыски-
отыскивается не самое гладкое решение, а решение наиболее
вероятной гладкости.
Остановимся несколько подробнее на двух последних
способах осуществления статистической регуляризации
[169]. Воспользуемся сначала априорными соображения-
соображениями о гладкости искомой функции (р(х) и по аналогии со
стабилизатором Тихонова F.5) введем некоторый функ-
функционал Шф(х)] как линейную комбинацию норм набора р
производных. Укажем примерное ожидаемое значение
этого функционала: Шф(х)] = й0, произведем алгебраи-
зацию и обозначим той же буквой Q полученную симмет-
симметричную неотрицательно определенную матрицу. Тогда
112

априорная информация будет задана в виде
= Qo- G.41)
Кроме того, необходимо условие, позволяющее свести к
минимуму дополнительную информацию о Р(ф), не вклю-
включенную в G.41); им, очевидно, будет условие максимума
энтропийного интеграла, записанного для вероятности
•
max {- J Р (ф) In P (ф) dy}. G.42)
Таким образом, мы имеем вариационную задачу о поиске
максимума G.42) при условии G.41) и соблюдении норми-
нормировки J P(<p)dq> = 1. Методом неопределенных множите-
множителей Лагранжа получаем следующее выражение:
= (a/2n)"/2(det Q)V2exp [-(сс/2)(ф, Qq>)], G.43)
где п — (Итф, а. = n!QQ — множитель Лагранжа, остаю-
остающийся пока неточно определенным в силу известного
произвола в задании Qo. Учтем теперь гауссов закон для
плотности условной вероятности Р(?|ф) (формула G.38)),
но для большей общности введем ковариационную матри-
матрицу случайного процесса |, стохастизирующего экспери-
эксперимент, W. Тогда после элементарных выкладок найдем
искомое апостериорное распределение вероятностей
P(<p|f) - const-exp {—A/2)(ф, [K*WK + ссШф) +
+ (<р, K*Wt)}. G.44)
С его помощью по формулам G.37) немедленно получаются
математическое ожидание вектора ф, трактуемое как
искомое решение, его ковариационная матрица D9 и дис-
дисперсия — диагональный элемент последней:
<Ф> = (K*WK + aQ)-xK*Wl,
А,, = (K*WK + oQ)-1, G.45)
af = {K*WK + aQJil1.
Как уже указывалось, неопределенным здесь продол-
продолжает оставаться значение параметра регуляризации а.
В работе [184] для поиска <х предложен простой итера-
итерационный алгоритм, идея которого основана на замене
Щ

среднего значения функционала по априорному ансамблю
Р(ф) значением этого функционала для данного шага ите-
итерации
а<«> = и/(ф С-1), Йф «-1)), G.46)
причем ф^-1) определяется как среднее по апостериорному
ансамблю G.44), вычисленное с параметром регуляриза-,
ции а С-*15. В качестве ф(°> выбирается вектор f. Для
этого алгоритма характерна быстрая сходимость по а,
но, как правило, значение а получается несколько за-
завышенным. Условия сходимости процесса в зависимости
от погрешностей эксперимента анализируются в работе
[43]. Существуют, однако, способы эффективной кор-
корректировки а, позволяющие заметно уточнить результаты
расчетов по формулам G.45). Мы здесь не будем останав-
останавливаться на этих более специальных вопросах.
До сих пор рассматривались решения ф, принадлежа-
принадлежащие статистическому ансамблю G.43), характеризуемому
некоторым конкретным значением а. Если же а считать
случайной величиной, описываемой плотностью вероят-
вероятности Р(а), то возникает упомянутое выше понятие слои-
слоистого ансамбля. В данном случае
Ра (ф) = J р (а) P(q>) da = (det Q)if* J (а/2я)п/2 Р (а) X
X exp [ — (а/2) (ф, Qq>)] da G.47)
и апостериорное распределение будет находиться по
обобщенной формуле Байеса
^<х (Ф] f) = [J ^(«) Р (Ф| a) P(f | Ф) da] [j J i> (a) P (Ф j a) X
XP(t\<f)dadq>]~\ G.48)
Выражения для <ф> и 2)ф получаются более сложными,
нежели в G.45), и выполнить соответствующие операции
интегрирования весьма непросто даже для нормального
закона распределения погрешностей Р(%). Возможны,
однако, некоторые упрощения задачи. Так, решение мож-
можно преобразовать к виду
<Ф> = J фРа (Ф | f) <2q>) - j <ф>а Р (а | f) da,
* G.49)
114

X 'Р(ф | а) йфйа]^ \
Следуя работе [220], допустим, что экспериментальный
вектор f несет достаточно много информации о параметре
а. Тогда функция Р{а,\1) будет иметь резкяй максимум
при некотором а = а0 и, принимая, что P(a|f) = 6(<х —а0),
получаем <ф> = <ф>«0. (Поведение функции P(a|f) в за-
зависимости /От а при решении интегрального уравнения
Абеля, например, действительно оказывается 6-образным.)
Реальных конструктивных алгоритмов выбора распределе-
распределения Р(а) пока предложено не было. В частности, мржно
принять Р(а) = const для ае{0, А], где А — произволь-
произвольное достаточно большое число. Тогда можно показать
[169], что
+ 2)/2, Л(Ф, ОФ)/2), G.50)
где у — неполная гамма-функция. Сложность непосред-
непосредственного поиска первого момента ф здесь очевидна.
С другой стороны, найти положение максимума P(a|f)
гораздо проще. Действительно, для Р(а) = const и нор-
нормального распределения Р(?) имеем
Р (a |f)-P(f | а) =Са J ехр [— а (ф, ?2ф)/2 - A,¦
= {(detQI/2exp[ — (f,^f)/2]}an
Xехр[A/2) (K*Wt,[K*WK + aQp1 K*Wt)\ G.51)
dP(i\a)/da = P-(f |a)l»/2a -
+ aQH} — A/2)([ЛГ*»Гй: 4-
QI^WiC + aQH^Wf)]. G.52)
Окончательно получаем уравнение для поиска <х0
a - »[Sp {U{K*WK + aft)-1 + «ф>а, Й<ф>а)}]-1. G.53)
При решении этого уравнения достаточно быструю схо-
сходимость дает метод последовательных приближений.
Относительно выбора параметра а в некоторых других
вариантах метода статистической регуляризации см. так-
также [14, 47].
115

Следует указать на то, что вводившаяся нами до сях
пор плотность априорной вероятности G.43) и G.47) не
полностью отражает физическую реальность во многих
задачах, что связано с минимумом внесения дополни-
дополнительной информации. Так, если в некотором направлении
в пространстве решений априорная информация о глад-
гладкости «доминирует» над экспериментальной (заложенной в
исходном уравнении), то решение в таких направлениях
стремится к нулю:
0, lQ~lKWl< оо. G.54)
В противоположность этому при уменьшении ошибок
эксперимента, что соответствует стремлению к нулю эле-
элементов ковариационной матрицы. W~x случайного шума
\, резко возрастает неустойчивость решения плохо обус-
обусловленной или вырожденной системы из-за потери инфор-
информации о гладкости решения
K*WKq> ~ K*Wf. G.55)
Данное уравнение представляет собой, однако, не что
иное, как запись метода наименьших квадратов, который,
как известно [225], ухудшает обусловленность исходной
системы.
В физических задачах часто об искомом векторе q>
известно, что он существенно неотрицателен: <р ^ 0.
В этом случае ряд авторов [360, 367] вводит пробное ре-
решение, к которому стремится искомое в отсутствие доста-
достаточно надежной информации в каких-либо направлениях.
В таком же плане нетрудно обобщить изложенный ранее
метод статистической регуляризации. Вводя пробное ре-
решение jut, можно привести уравнения G.47) и G.45) к ви-
виду [169]
/> (ф) ~ J ап/2Р (о) ехр {- (а/2) (Ф - ц, Q [ф - I*])} da,
G.56)
<Ф>а0 = (K*WK + c^Q)-1 (K*Wi + aoQji), G.57)
a = ra[Sp {Q(K*WK + aQ)-1 +
4- «Ф>«, Q<<P>a) + <|i, ВД}Н. G.58)
Дисперсия решения осталась прежней, a? = afao- Оче-
Очевидно, что" изложенный ранее подход есть частный случай
116

выоора пробного решения ц = 0, что не всегда может
считаться априори лучше произвольного jut ^ 0. Если
искомое решение исследователь получает после большого
числа решений задачи с варьируемыми эксперименталь-
экспериментальными данными, то в качестве пробной функции ji можно
выбрать среднее значение по всем предыдущим опытам.
Например, при восстановлении функции распределения
электронов по скоростям это может быть наиболее близкое
к искомому максвеллово распределение, которое неслож-
несложно получить, решая параметрическую задачу, и т. п. Для
случая преобладания «веса» априорной информации имеем
<Ф>,- ~ ([ccQj^aQfiJj ~ Hi, к такому решению, однако,
следует относиться осторожно.
Следующим шагом, обобщающим метод, может слу-
служить замена скалярной величины а векторной а = {а};-,
/ = 1, 2, ..., к; к ^ (п — 1) с разбиением интервала изме-
изменения функции у(х) на к зон в общем случае произволь-
ной длины: х е U [Xj, xj+1]. Стабилизатор <xQ предста-
5=1
вим теперь как блочную матрицу Q =2 afoj » гДе Ц?
имеет вид
о -
и определяется при помощи отобра-
0 J
жения (v^fv) = l(PfwPi[xj.xj+1]. Тогда решение и
его дисперсия запишутся так:
- (K*WK -f Q8)'1 (K*Wi,'QBii)y
o\ = (K*WK + QB)l^, G.59)
if(K*WK Ч-Й5)} + (<ф>«, Qf <ф>а) +
k
1, dj = dim Qj, 2 d-} = n.
Рассмотренные ранее способы выбора вида априорной
информации Р(у) позволяют делать некоторые довольно
общие заключения относительно суммарных информа-
информационных возможностей, выражаемых плотностью апосте-
апостериорной вероятности Р(ф|/), которая определяется фор-
формулой Байеса G.36) или G.48). Проиллюстрируем это на
примере обратной задачи, часто возникающей в диагности-
117

ческих приложениях [165]. При восстановлении локаль-
локальных оптических характеристик плазмы (коэффициентов
испускания е (г), поглощения х(г) и т. п.) по интегральным
интенсивностям, фиксируемым вдоль набора параллель-
параллельных лучей зрения, в некоторых случаях не удается охва-
охватить прямыми измерениями все участки плазмы в выб-
выбранном сечении. Может также оказаться, что по тем или
иным причинам часть измерений обладает очень большой
погрешностью,, т. е. малодостоверна.
Возьмем для определенности оптически прозрачный
осесимметричный слой радиуса Я и допустим, что экспе-
экспериментальные данные по параллельным хордам f(x) по-
получены лишь для части радиуса, т. е. #<= [0, R1<C.R]t
Задача сводится, таким образом, к обращению уравнения
Абеля
G.60)
для О^г^Л, ф = е (рис. 18). Обратимся к формуле
Байеса в простейшей форме G.36). Если бы Яг = R,
а измерения f(x) были выполнены достаточно точно, то
плотность условной вероятности P(i, <р) как функция <р
представляла бы собой острый, почти б-образный импульс
(это следует, например, из оценок, проделанных в работе
[143]). Требования к заданию Р(<р) являются весьма
.\\У
1
Puc. 18. Схема измерений с ограниченной
экспериментальной информацией.
Рис. 19. Восстановление радиального про-
профиля коэффициента эмиссии <р(г) с макси-
максимумом в периферийных зонах; п = 20,
х < 0,75; погрешность эксперимента 3%.
Сплошные линии — точные ф(г) и f(x), штрихо-
штриховая — результат восстановления; О — «экспе-
«экспериментальные» точки.
0,5RR, R
118

мягкими. Этому соответствует относительная легкость
простейшей процедуры абелевой инверсии, производимой
с помощью самых разнообразных приемов эвристического
толка,- подчас весьма далеких от совершенства, если их
рассматривать с современных позиций (подробнее об
этом см. в гл. 9).
Начнем теперь последовательно уменьшать отношение
RxlR. Количество информации, содержащейся в f(x), при
этом тоже уменьшится, причем очень неравномерно:
наименее информативными в f(x) окажутся периферийные
зоны,- вклад от которых, хотя и продолжает поступать,
но соответствует все более коротким отрезкам на остав-
оставшихся лучах зрения. Плотность вероятности P(f, <p) как
функция q> становится не 6-образной, и необходимость
дополнить задачу более содержательной априорной инфор-
информацией Р(ф) оказывается все более острой. В этих усло-
условиях все несовершенные «стихийные» приемы, позволяю-
позволяющие находить ф(г), при Rt = R становятся непригодными.
Хорошими возможностями задания Р(<р), как мы только
что видели, располагает метод поиска решения в слоистом
ансамбле с выбором а по уравнению G.53). Именно он
был опробован в работе [165], причем класс решений
дополнительно сужался требованием неотрицательности
Ф (см. гл. 8). С математической точки зрения (после дис-
дискретизации задачи) в данном случае имеет место поиск
нормального решения недоопределенной системы линей-
линейных алгебраических уравнений
2 Кпт<Рт = /«, т = 1, 2, ..., М; п « 1, 2, ..., N, G.61)
при N<M [217].
Типичный результат восстановления приведен на
рис. 19. В математическом эксперименте считалось, что
измерения /п с погрешностью 3% проведены для хорд,
соответствующих интервалу 0 ^ х ^ O,75jR. Как видим,
вполне приемлемое восстановление ф(г) при О^г^Л
оказывается возможным даже при максимуме искомой
функции, попадающем в нефиксируемую зону. Согласно
расчетам, когда ход ф(г) в этой зоне остается монотонным,
удовлетворительное решение задачи возможно и для более
узких интервалов изменения величины х, иногда даже
до a:e[0,'i?/3]. Дальнейшее развитие алгоритма для вос-
119

Становления ф(г) при ограниченной измерительной инфор-
информации, вообще говоря, должно основываться на идеях
дескриптивной регуляризации, обсуждаемой в гл. 8.
Отметим, что близкие по постановке задачи рассматрива-
рассматривались также в работах [265, 82].
При невнимательном анализе рассматриваемой задачи
может создаться. впечатление о ее неединственности, т. е.
о нарушении второго условия корректности Адамара.
Так, если один и тот же участок функции f(x) на интерва-
интервале 0 ^ х ==^ R\ достроить различными способами на интер-
интервале Л1<С х ^ Л, «недоступном» для наблюдения, то фор-
формальное обращение Абеля приведет к резко отличающимся
функциям ф(г) на всем интервале 0 ^ г ^ Л. Нетрудно
видеть, однако, что такой способ подхода к задаче ошибо-
ошибочен; в этом можно убедиться на элементарном примере,
даже не требующем вычислений. Пусть на интервале
О <: х <: /?! /(ж) = 0, а при Л1<С х ^ Л имеется некото-
некоторое распределение f(x) >• 0. Такой ситуации может отве-
отвечать либо нарушение условия осевой симметрии, либо
отрицательные значения ф(г), не имеющие физического
смысла; иными словами, решения задачи не существует
(задача некорректна по первому условию Адамара).
Поскольку какой-либо ограничивающий принцип выбора
f(x) при достройке на. интервале /?i < х ^ Л отсутст-
отсутствует, правильный подход к моделированию задачи дол-
должен быть иным, именно: задаем ф(г) на всем• интервале
0 <: г <: R, вычисляем всю правую часть f(x), имитируем
эксперимент набросом ошибки ?(я), выделяем нужный
интервал 0 <! х <! i?! и по этим данным восстанавливаем
функцию ф(г), которую сравниваем с исходной. Как раз
так и производилась серия математических экспериментов,
упомянутых ранее.
Коснемся еще вопроса определения а из уравнения
G.53). Решение этого уравнения а0 есть некоторая стати-
статистическая оценка параметра регуляризации, тем более
точная, чем более резкий максимум имеет плотность услов-
условной вероятности Р(а|/) в области а0. В применении к
только что описанной з'адаче эта особенность проверялась
на некоторых модельных функциях; на рис. 20 [166] дана
в полулогарифмическом масштабе зависимость |т!(а)|з=
3s|3{lnP(a|f)}/da| для функции /(*) = (8/15)A — я2I/2 х
X C4ж4 + 7х2 + 4) + 12ж4-1п {[1 — A — ж2I/2]/!! +
-\- A — z2I/2]}, искаженной 3%-ным шумом. Видно, что
120

Рис. 20. Поведение функции
т)(а) вблизи а0; модельный экспе-
эксперимент; погрешность 3%.
функция т](а) очень резко
переходит из области ее по-
положительных значений в об-
об0,10 0,15 ос
ласть отрицательных.
В заключение отметим еще несколько работ, в которых
байесовский подход к регуляризации получил дальней-
дальнейшее уточнение и развитие. Е. Л. Жуковский [73] для
устойчивого решения систем линейных уравнений исполь-
использовал методы фильтрации марковских процессов и про-
процедур последовательного включения накопленной инфор-
информации, для улучшения оценки. Им изучены предельные
свойства оценок, когда число измерений N -*- оо. Про-
Продолжая это исследование в рамках байесовского подхода,
Е. Л. Жуковский и В. А. Морозов [74] пришли несколько
иным путем к ряду приводившихся формул. Итерацион-
Итерационный вариант того же подхода рассмотрел Шоу [356],
подразделивший процесс решения задачи на несколько
этапов, включающих получение начальной оценки реше-
решения, уточнение последовательных оценок на основе зна-
знания предыдущих, выбор теста, позволяющего судить о
скорости сходимости итераций.
Работа Франклина [287] в известной мере обобщает
результаты уже упоминавшейся статьи Стрэнда и Ве-
стуотера [360], распространяя поиск байесовских реше-
решений на широкий класс линейных операторных уравнений
в гильбертовом пространстве, правая часть и решения
которых суть случайные процессы со значениями в этом
пространстве. В [287] в качестве примеров рассмотрены
обратная задача теплопроводности, интегральные урав-
уравнения 1-го рода, вырожденные системы линейных алге-
алгебраических уравнений, задача аналитического продолже-
продолжения. Наконец, в цитированном ранее обзоре Ханта [230]
даны интересные примеры, подтверждающие возможность
получать в процессе статистической регуляризации устой-
устойчивые решения не только линейных, но и многих нели-
нелинейных задач.
121

Г Л А В А 8
ДЕСКРИПТИВНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
И ИНФОРМАЦИОННАЯ СТРУКТУРА
МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Термин «дескриптивная регуляризация», по-видимому,
впервые предложен авторами работы [148] и еще широко
не распространен. Нам он представляется, однако, впол-
вполне приемлемым для характеристики тех алгоритмов реше-
решения некорректных обратных задач, в которых современ-
современные принципы регуляризации органически сочетаются с та-
тайкой нетривиальной априорной информацией о решении,
как знакоположительность, монотонность, выпуклость,
симметрия, количество ожидаемых экстремумов и т. п.
Кроме того, обычно считается, что искомая функция в.це-
в.целом является «хорошей», т. е. она однозначна, не имеет
точек возврата и остается достаточно гладкой, иными сло-
словами, может быть нарисована одним «росчерком пера».
Дискретизация таких задач, как правило, приводит
к проблеме нелинейного программирования со специфи-
специфическими ограничениями в виде неравенств [233, 238].
Весьма перспективным здесь представляется также ис-
использование методов Монте-Карло.
Следующим этапом на пути априорного доопределения
искомого решения является представление его в пара-
параметрической форме и сведение задачи к поиску того или
иного набора параметров. Общие идеи регуляризации
сохраняют свое значение, вообще говоря, и в этом случае.
Например, анализ информационной обеспеченности не-
нелинейных многопараметрических задач, расчет «коэф-
«коэффициентов усиления» погрешностей параметров, правиль-
правильное соотнесение этих параметров с классами искомых и за-
заданных величин и другие подобные вопросы легко реша-
решаются в рамках той же байесовской стратегии, которая
используется в методах статистической регуляризации.
Отметим, что некоторые аспекты связи информационной
структуры задачи с проблемами регуляризации затраги-
затрагиваются в обзоре В. П. Козлова [99].
122

§ 1. Включение в регуляризующие алгоритмы
ограничительных неравенств
Физический смысл многих функциональных плазмен-
плазменных характеристик, являющихся предметом восстанов-
восстановления путем решения обратной задачи, таков, что они
существенно положительные: различные функции распре-
распределения, их моменты (плотности и температуры), прост-
пространственные распределения магнитного поля,. коэффици-
коэффициентов испускания и поглощения и т. п. Поэтому последо-
последовательный учет неотрицательности <р в операторном урав-
уравнении. Кц> = / играет особо важную роль. Мы уже неод-
неоднократно встречались с алгоритмами, авторы которых
стремились произвести такой учет: схемы Жансона, Та-
набы—Хуанга (§ 3), алгоритм Толпиной (см. гл. 5), алго-
алгоритмы Фридена и Бурга, основанные на условии макси-
максимума энтропии (см. гл. 7).
Рассмотрим подробнее, как можно осуществить учет
неотрицательности решения в рамках метода статистиче-
статистической регуляризации, основанного на формуле Байеса
G.48) [222]. Если ввести функцию ?(ф)» обращающуюся
в нуль в тех случаях, когда <рт < 0 хотя бы при одном
т = 1, 2, . . ., М, то далее следует домножить плотность
априорной вероятности Ра(<р) G.47) на ?(ф). Однако ин-
интеграл в формуле G.49) для P(a|f) уже нельзя взять ана-
аналитически, и поэтому нахождение наиболее вероятного
значения параметра регуляризации а0 становится затруд-
затруднительным.
Авторы [222] пошли на упрощение, предложив нахо-
находить осо без учета множителя ?(ф), а вводить его непосредст-
непосредственно в выражение апостериорной вероятности ,P(<p[f).
Но трудность сохраняется: новые интегралы, возникаю-
возникающие при вычислении математического ожидания <ф>
и компонентов ковариационной матрицы ?ф, тоже не бе-
берутся аналитически. Новое упрощение, предложенное
в [222], состояло в том, чтобы принять за решение не
<ф>, а такое значение вектора фтах, которое соответство-
соответствовало бы максимуму апостериорной плотности вероятности
-P(<Plf)» учитывающей ?(ср). Величина <ртах находится
при этом как точка гипероктанта ф >• 0, в которой функ-
функционал
Z(q>) = (i/2)(<p, [K*WK + «ЗД - (K*Wf, <р) (8.1)
достигает минимума (все обозначения — из гл, 7).
123

i
\
Чтобы уменьшить погрешность восстановления вслёдст- i
вие завышенного значения а$, найденного без учета не- •
отрицательности решения, в [222] дан прием корректи-
корректировки аа. К сожалению, этот прием носит довольно част-
частный характер и приспособлен к рассмотренной в работе
специфической задаче деконволюции свертки двух простых
спектральных профилей с треугольной аппаратной функ-
функцией. Более эффективным представляется иной путь.
Он связан с учетом того обстоятельства, что при решении
операторных уравнений Кц> — / с непрерывным или ди-
дискретным спектром собственных чисел "К и точкой сгуще-
сгущения Я, = 0 редукция к задаче линейной алгебры порож-
порождает как минимум два малых параметра: а и шаг сетки,
которые для достижения' большей точности решения не-
необходимо рационально уменьшать. Общие принципы по-
повышения точности числепного решения линейных задач
при использовании нескольких параметров аппроксима-
аппроксимации сформулированы еще несколько десятилетий назад
Ричардсоном [346, 3471; известны также сугубо эвристи-
эвристические принципы Рунге и Ромберга. Последовательное
обоснование этих принципов и распространение их на
широкий класс задач, в том числе и нелинейных, было
выполнено в последние годы Г. И. Марчуком и В. В. Шай-
дуровым [134].
Применительно к рассматриваемой задаче целесооб-
целесообразно поступать следующим образом. После получения
(ртах по упрощенному алгоритму [222] нужно произвести
сгущение сетки в области пиков решения (если таковых
несколько, а среди них имеются и те, которые подозре-
подозреваются ложными) с одновременным дроблением парамет-
параметра регуляризации: а/2, а/3 и т. д. Если s — число таких
решений, то по Ричардсону их линейная комбинация с не-
некоторыми весами позволяет получить нормальное реше-
решение, точность которого определяется величиной О(а?).
В качестве весов можно взять поправочные множители,
характеризующие неравномерность распределения ф в рас-
рассматриваемом интервале. Тем самым уточнение параметра
регуляризации происходит согласованно с корректиров-
корректировкой шага сетки.
Некоторые результаты расчетов иллюстрируются
рис. 5 и 21 [186]. При решении задачи, подробно описан-
описанной в гл. 5, применен метод статистической регуляриза-
регуляризации в варианте [222], но без корректировки параметра а0
124

Puc. &Г. Восстановление дублета гауссиан; at = 2a2, Ьх = b2,
Toi = Ю- ?02 = 30.
Сплошная линия — точное решение; штриховая — метод статистической
регуляризации без учета неотрицательности; ?—схема [186]; -\ схема
[186] с использованием линейной комбинации решений по Ричардсону.
(см. рис. 5, 2). Использование схемы уточнения а до Ри-
Ричардсону при наличии 3—4 последовательных дроблений
а0 позволило добиться практически идеального восста-
восстановления заданной двугорбой функции. На рис. 21 при-
приведены результаты расчетов для дублета гауссиан
Ф (Y)
з
= 21
г=1
[— (у — yQiJ Ь?2],
параметры которых намеренно выбирались такими же,
как и в работе [222], однако ядро уже было лоренцевым,
неразностным и соответствовало режиму гетеродиниро-
вания в методе оптического смешения сигналов. Как вид-
видно из рисунка, обычный метод статистической регуляри-
регуляризации, не учитывающий неотрицательности функции ф(*у),
дает в целом неудовлетворительный результат (штрихо-
(штриховая линия); схема [222] обеспечивает значительно лучшее
восстановление, но все же не гарантирует от появления
артефактов (квадратики); наконец, процедура уточне-
уточнения а по Ричардсону приводит к новому заметному улуч-
улучшению восстановленного решения и практически позво-
позволяет избавиться от артефактов (крестики). Правда, как
и в первом примере, это достигается ценой усложнения
алгоритма и повышенных затрат машинного времени.
125

Подытоживая сказанное, мы можем заключить, что
сочетание поиска байесовского решения в слоистом ан-
ансамбле с учетом неотрицательности этого решения в прин-
принципе возможно. Оно дает (особенно с привлечением схе-
схемы Ричардсона) хорошие результаты восстановления
в достаточно сложных ситуациях, но в целом остается
громоздким и неэффективным при наличии маломощных
ЭВМ. Подчеркнем, что одного лишь ограничения неот-
неотрицательными функциями при a -v 0 для регуляризации
совершенно недостаточно: в этом случае нельзя избежать
паразитных выбросов* функции ср. Более подробно данный
вопрос разобран в работе [186].
Обсудим теперь кратко возможности введения в регу-
ляризующий алгоритм более детальной априорной ин-
информации о решении, такой как монотонность и выпук-
выпуклость функции ф на определенных участках [148]. Класс
гладких функций, имеющих Р — 1 участок монотонности,
можно выделить условием
Тх = {q>(*):(-l)'+y (*) < 0, х; < * < xi+1,
'i = 1, 2, . . ., Р - 1}, (8.2)
где Х{ соответствуют экстремумам ц>(х), хг < #з < •••
... <С хр, а параметр I, равный 1 или 2, определяет характер
монотонности на первом участке. Еще большая детали-
детализация рассматриваемого класса функций достигается при
выделении участков знакопостоянства их кривизны:
Га = {q>Cr):(-l)»+V'(*) < О,
^ < х < хН1, ) = 1, 2, ..,<?- 1}, (8.3)
где X), / = 2, 3, . . ., Q — 1,— точки перегиба функции
ф(#), X! < хг <С ... xq, параметр у, равный 1 или 2, опре-
определяет знак кривизны на первом участке. При этом узлы
xt и xj должны удовлетворять определенным, легко фор-
формулируемым условиям согласования; как правило, такие
условия соответствуют некоторым интуитивным сообра-
соображениям о «простоте» поведения функций ф(ж) из рассмат-
рассматриваемого класса.
Как показано А. В. Гончарским и А. Г. Яголой 161],
условия типа (8.2) стабилизируют приближенные реше-
решения в равно'мерной метрике. В свою очередь, JVI. К. Сама-
Самарин [148] доказал, что привлечение условий выпуклости
126

обеспечивает стабилизацию первого порядка гладкости,
т. е. имеет место равномерная сходимость приближений
вместе с производными. Заметим, что анализ сходимости
приближений к точному решению можно провести не
только для обычных интегральных уравнений Фредголь-
ма 1-го рода, когда
ь
f(x) e= L2[c, d], Щх, у) е= ?2(Г), Г = [с, d] X [а, Ъ],
но и для уравнений в форме Сгилтьеса F2]:
f{x), c^x^d. (8.5)
Эта форма иррает исключительно важную роль в задачах
спектроскопии оптически плотной плазмы [174], а также
в теории многочастотного лазерного зондирования ат-
атмосферы [150].
Благодаря компактности множества монотонных ре-
решений, соответствующих (8.4) и (8.5), существуют широкие
возможности построения алгоритмов, обеспечивающих
устойчивые приближения ф(у). Так, весьма удобным и эф-
эффективным оказался метод условного градиента (вариант
Демьянова) [581; программа на языке ФОРТРАН, реа-
лизующая^этот метод, опубликована в [242]. Для реше-
решения задач (8.4) и (8.5) на множестве монотонных ограни-
ограниченных функций можно воспользоваться другими мето-
методами минимизации, широко распространенными в вычис-
вычислительной практике: методами проекции градиента, на-
наискорейшего спуска [58]. Айторы работы [14В], решая
задачу квадратичного программирования с использова-
ни ем условий монотонности и выпуклости функций, при-
прибегли к квазиньютоновскому методу проекции сопряжен-
сопряженных градиентов.
В работах [169, 207] развит подход, основанный на
схеме нелинейного программирования достаточно общего
вида, обладающей низкой чувствительностью к алгоритму
выбора параметра а и структуре стабилизатора Q. Это
позволяет начать расчет с конкретизации вида стабилизи-
стабилизирующего функционала гладкости и определения а одним
из известных методов, например по итерационной форму-
127

ле G.46). Тогда задача сводится к нахождению условного
экстремума:
. minZ(q>), Ну >h, (8.6)
где Z(<f>) определяется формулой (8.1), а число ограничи-
ограничительных неравенств может быть, вообще говоря, произ-
произвольным.
Переходя к задаче на безусловный экстремум, запи-
запишем функцию Лагранжа в виде
L(q>) = Z(<p) + (I, [h - ЯФ1), (8.7)
причем по теореме Куна—Таккера [238] вектор множи-
множителей Лагранжа "к ^ 0. Поиск седло вой точки {<р0, Хо}
как решения экстремальной задачи (8.6) не представляет
труда. Действительно, <р0 должен быть стационарным век-
вектором функции Лагранжа (8.7) при к = А,о:
<Ро = G-X(g + H*%0), (8.8)
где для сокращения обозначено:
G = K*WK + ай, g - K*Wi. (8.9)
В свою очередь, подставляя общее выражение <р =
= G~\g + Н*^) в (8.7) и вводя дополнительные обозна-
обозначения
V ¦= HGLlH*, v = h - HG-Xg, (8.10)
получаем следующую задачу минимизации:
— (К у)}, (8.11)
решением которой будет %0. Наконец, (8.8) дает искомый
результат.
Применение описанного алгоритма с использованием
только условия знакоположительности <р(# з= Е, h = 0)
дает, как показывают расчеты [186], практически тот же
результат, что и расчет по алгоритму [222]. Однако в дан-
данном случае существует естественный путь улучшения
решения: производится рациональная деформация сетки,
выявляются участки монотонности и выпуклости <р0, для
них записываются новые неравенства #ф = h, и реше-
решение повторяется. Таким образом, к априорной информа-
информации как бы последовательно добавляется апостериорная,
причем нет необходимости производить корректировку а
128

и Q, поскольку «удельный вес» факторов^ связанных
с гладкостью решения, далее лишь снижается. Однако
поэтапное включение' в алгоритм новых неравенств вида
7/<р ^ h должно выполняться с большой осторожностью,
так как, например, использование условий монотонности
или выпуклости для артефакта может лишь ухудшить
результат и усугубить проявление ложных структур. Все
эти вопросы нуждаются еще в тщательном изучении.
Для рассмотренных модельных задач, относящихся
к решению уравнения E.11) (см. рис. 5 и 21), применение
описанного алгоритма оказалось эффективным [186 J:'
ложные выбросы и всплески в далеких крыльях cp(y)
удалось полностью устранить, а восстановление исходных
гауссиан сделать таким, что в масштабе рисунков они
были неотличимы от точных кривых (в исходные данные
вводилась случайная погрешность sn = 0,03/n). Различие
сказывается лишь при наличии ошибок измерений ~10%.
В работе [207] тем же способом выполнена задача редук-
редукции к идеальному спектральному прибору, когда аппарат-
аппаратная функция была шире восстанавливаемой в 3 раза.
Упомянем еще комплексное исследование [107], одним
из этапов которого была сепарация нескольких перекры-
перекрывающихся компонентов сверхтонкой структуры линий
резонансной и сенсибилизированной атомной флуорес-
флуоресценции. В данном случае освобожденный от искажающего
влияния прибора и реабсорбции контур линии /(со) все
еще оставался результатом наложения нескольких (J)
компонентов CTG:
.1(©) = .2^И. (8-i2)
причем истинная форма отдельных компонентов подле-
подлежала определению.
В подобных ситуациях помимо обычных требований
определенной степени гладкости //со) могут в зависимости
от задачи фигурировать такие априорные данные, как
число компонентов, положение (хотя бы примерное) их
центров, наличие зеркальной симметрии, полная интен-
интенсивность каждого из них, равенство (или неравенство)
полуширин и т. п. Кроме того, конечно, существенны зна-
коположительность //(со) и допущения о монотонности
Для каждой из половин //со), если положение максимумов
можно оценить.
*> Н. г. Преображенский, В. В. Пнкалов 129

Рис. 22. Разложение сложного
контура на составляющие. Мо-
Модельный расчет с вводом 1%-ной
погрешности в /(га).
Сплошные линии — точные профиля;
j_j — результаты вычислений.
На рис, 22 приведен ре-
результат решения достаточно
простой модельной задачи о
сепарации сложного контура
на три составляющих с ис-
использованием данных о поло-
положении их центров, допущений о симметрии профилей
и наличии участков монотонности, а также неотрицатель-
неотрицательности /;(©). Как показывают численные расчеты, при на-
наличии такого комплекса априорных данных могут быть
отсепарированы и значительно более сложные суперпо-
суперпозиции сигналов.
Таким образом, анализ вычислительных затрат — па-
памяти и времени ЭВМ,— проведенный применительно к ме-
методам дескриптивной регуляризации в работе [148], по-
показывает, что они сравнимы с аналогичными затратами,
необходимыми для минимизации конечномерных квадра-
тических задач без ограничений методом сопряженных
градиентов.-Дескриптивная регуляризация особенно эф-
эффективна, когда:
а) оператор К уравнения Ktp = / является единичным,
т. е. решается задача приближения на множестве кусоч-
кусочно-монотонных функций;
б) на ЭВМ имеется дисплей, позволяющий оперативно
анализировать и принимать решения, например, касаю-
касающиеся тех или иных изменений, вносимых в модель, в ходе
самого вычислительного процесса;
в) решаются нелинейные интегральные уравнения в от-
отсутствие явного задания оператора.
§ 2. Применение метода Монте-Карло
При построении алгоритмов решения некорректных
обратных задач метод Монте-Карло до сих пор применялся
мало. Здесь можно указать, пожалуй, лишь на две спе-
130

циальных направления исследований. Во-первых, попыт-
попытки реставрации двумерных изображений (см. обзор [227]
и указанную в нем библиографию), в которых, по# при-
признанию самого автора разработок, создание алгоритма
осталось незавершенным. Во-вторых, обратные задачи
теории переноса излучения, <¦¦ решаемые методом малых
возмущений, разработанным Г. И. Марчуком [133].
В данном случае целесообразность использования метода
Монте-Карло достаточно очевидна [141, 144], причем
соответствующий подход при должном обобщении может
оказаться полезным и в задачах диагностики плазмы.
В самом деле, если вектор ср = {<pm} является искомой
характеристикой, а в эксперименте измеряются величи-
величины Кп(<р), где п = 1, 2, . . ., N, то, используя принцип
возмущений, не представляет труда линеаризовать сис-
систему уравнений
*»(?)=¦/» (8.13)
в точке ф = ф°. Искомыми становятся компоненты век-
вектора Д«р{Дфт}, т = 1, 2, . . ., М, и после надлежащего
«масштабирования» строк и столбцов исходной матрицы
система линейных уравнений
м
2 = fn-Kn(q><>) (8.14)
может в простейшем случае решаться стандартным мето-
методом наименьших квадратов. Не представляет труда ре-
гуляризовать решение с помощью имеющейся в распоря-
распоряжении априорной информации. В сложных нелинейных
постановках, например с учетом многократного рассея-
рассеяния излучения, метод Монте-Карло позволяет одновре-
одновременно вычислять как набор величин Кп, так и совокуп-
совокупность элементов матрицы Якоби (дКп/дут). Получив та-
такие числовые данные для стандартных моделей, в даль-
дальнейшем можно решать обратные задачи в первом прибли-
приближении, уже не привлекая метод Монте-Карло.
Г. А, Михайловым [144] предложены некоторые дру-
другие пути решения обратных нелинейных задач, исполь-
использующие метод Монте-Карло в процедуре последователь-
последовательного выделения из экспериментальной информации {fn}
вкладов однократного, двукратного и т. д. рассеяния. Та-
Таким способом уже удавалось эффективно восстанавливать
5* 131

индикатрису рассеяния в атмосфере по наблюдениям яр-
яркости в альмукантарате Солнца. В работе [144], однако,
подчеркивается, что для задач такого рода еще слабо изу-
изучены* принципиальные вопросы сходимости итераций,
а также не доказаны теоремы существования и единст-
единственности. Нужно добавить, что соответствующие задачи
еще не были регуляризованы, хотя возможность для этого
имеется.
Опишем теперь более универсальный алгоритм, при-
применимый как к одномерным, так и многомерным задачам,
в том числе к нелинейным, который разрабатывался и
проверялся А. Е. Вулышевым. Сущность алгоритма во
избежание использования громоздкой системы индексов
поясним на традиционной алгебраизованной версии
основного линейного операторного уравнения
лг ,
2)#mi<Pi = /m; от =1,2, ...,М. (8.15)
г=1
Реализуем следующую совокупность операций.
1. На сетке, соответствующей заданию искомой функ-
функции, осуществим случайный выброс узловой точки г,
пусть для тг-ro шага i == j,
2. Найдем для этого выброса вклад в правую часть
(8.15)
& = еГ1 + КтК, (8.16) ,
где ht — некоторый интервал, оценку величины которого
рассмотрим далее
3. Сравним г% и fm для набора узлов т\ если е^ ^ /т>
то переходим к следующему пункту, в противном случае
выброс i = / считаем неудачным и возвращаемся к п. 1.
4. Для принятого выброса определяем
где интервал й2, вообще говоря, не равен й,, но коррели-
коррелирует с последним, например, через1 условие нормировки
сигнала.
Далее следует новый переход к п. 1.
В математическом эксперименте, выполняемом по схе-
схеме «замкнутого цикла», правую часть (8.15) часто пред-
представляют в виде
/„=¦/»(!+ *П). (8-18)
[32

где х —- уровень погрешности, а 1) — псевдослучайное
число, распределенное по заданному закону. Тогда из
обычного критерия невязки следует оценка интервала hx:
UKmlWh. = "If/mil, (8.19)
т. е. ^ выступает в роли своеобразного параметра регу-
регуляризации задачи. Разумеется, все сказанное остается
в силе и при обработке реального эксперимента с задан-
заданной погрешностью измерений.
Окончание вычислительного процесса определяется
полным числом «Удачных» выбросов, в результате которых
искомый вектор получает приращение согласно (8.17).
В оптических экспериментах это число обычно можно
определить заранее, пользуясь оценкой ht (8.19) и критег
рием сохранения интегральной интенсивности [227].
На практике, однако, процесс можно ускорить, если ус-
условиться, что его окончание соответствует достаточно
большому наперед заданному числу последовательных
не принятых по п. 3 выбросов.
Эффективность алгоритма проверялась на зада-
задачах восстановления двумерного изображения, форму-
формулируемых с помощью интегрального уравнения 1-го рода:
И
К (х, у; х'\ у1) Ф (х1, у') dx'dy' = f (х, у), (8.20)
где ф и / описывают распределения яркости в искомом
и наблюдаемом изображениях; К — искажающая функ-
функция, а интегрирование ведется по всей области истинного
изображения S. Один ил модельных примеров приведен
ниже.
Ядро уравнения (8.20) было взято лоренцевым:
К{х, у; х\ у') = у!п[(х - x'f + {у - у')* + у2}. (8.21)
Восстанавливалась простая фигура (квадрат), причем
вводилось шесть дискретных уровней яркости, обознача-
обозначаемых в порядке убывания цифрами: 5, 4, 3, 2, 1; нулевой
уровень для повышения зрительного контраста не обозна-
обозначался никак. Нормировки по сумме цифр на заданной пло-
площади не производилось, так как в данном примере
она была бы фактически лишней (при необходимости ее
133

4 4
4 4
4 4
4 4
4 4 4 4 4 4
a
1 1 1
111111 11222211
.15555551 13333531
15 2 2 2 2 5 1 12 3 3 3 3-3521
15211251 1233223321
15211251 12 3 3 2 2*3 3 2 1
15222251 1253333521
15555551 13533532
111111 1222222 1
.1 1 1
б в
55 5 353 55555
3 5 3 5 ' 4 3 5
5 3 5 5
5 3 5 5
3 5 5 3 5 3 3
545553 555355
г д
Рис. 23. Восстановление простой фигуры методом
Монте-Карло.
Изображения: a — исходное, б, в — искаженные двумер-
двумерной лоренцевой аппаратной функцией (8.21) соответственно
при х = 0 и х = 0,1; г, а — восстановленные при у. = 0
и у. = 0,1.
введение не представляет каких-либо затруднений). Уро-
Уровень погрешности х варьировался.
Результаты восстановления при значениях х = О
и х = 0,1 показаны на рис. 23. Сравнительно неплохим
было восстановление при х = 0,2; неприемлемым оно
становилось при к ~ 0,5 -г- 0,6.
Относительно возможностей описанного алгоритма
можно сделать несколько общих замечаний.
134

I. В. процессе последовательного формирования ком-
компонентов вектора решения ф*п\ согласно (8.17), элемен-
элементарно учитываются различные априорные ограничения
дескриптивного характера, рассмотренные ранее. Такое
требование, как неотрицательность решения, автомати-
автоматически включается в алгоритм.
II. Как отмечалось Фриденом [227], подход к реше-
решению обратных некорректных задач на основе метода Мон-
Монте-Карло в известном смысле может считаться предельно
нелинейным. Он хорошо приспосабливается к разного
рода флуктуациям, резким сменам контраста, к задачам
восстановления функций с разрывами производных ф'
и т. п.
III. Метод дредставляется особенно перспективным
применительно к задачам двух- и трехмерной плазменной
томографии, к проблемам повышения контраста в интер-
интерферометрии и голографии, реставрации смазанных изоб-
изображений. Реализация метода может быть существенно об-
облегчена при наличии дисплея.
§ 3. Информационный анализ * обратных задач
со многими параметрами
Как уже указывалось, возможность параметризации
задачи возникает лишь при наличии достаточно деталь-
детальной априорной информации о решении, когда более или
менее известен его функциональный вид. Конечно, фор-
формально можно считать неизвестными параметрами набор
ординат искомой функции на заданной сетке, и тогда пара-
параметрическая задача будет просто тождественной алгебра-
изованной версии основного операторного уравнения
Kq> = f. Однако мы будем иметь в виду главным образом
нетривиальную параметризацию сложной нелинейной
обратной задачи, когда число параметров не очень велико,
но возможность их однозначного определения с заданной
допустимой погрешностью заранее не очевидна.
В этой связи следует особо подчеркнуть, что одно лишь
усовершенствование численных методов не способно га-
гарантировать правильную интерпретацию диагностическо-
диагностического эксперимента, если в исходных данных отсутствует
(или мала) необходимая информация. Объективная оцен-
135

ка этих данных, выявление структуры содержащейся
в них реальной информации о характеристиках плазмы
представляют важнейший предварительный этап интер-
интерпретации и могут существенно влиять на выбор конкрет-
конкретного метода решения.
Необходимый математический аппарат, пригодный для
информационного анализа М-параметрической, вообще
говоря, нелинейной задачи
КМ = /п, Ф = {<РтЬ (8.22)
т = 1, 2, . . ., i, . .-. ;,..., М;
п = 1, 2, . . ., N; N^M,
проще всего развить, опираясь на формулу Байеса G.36)
и рассматривая апостериорную плотность вероятности
P((p\t) как обобщение понятия функции правдоподобия
выборки, широко используемой в математической ста-
статистике [127]. Подчеркнем, что развиваемый далее под-
подход — отнюдь не единственно возможный [99].
Пользуясь общими определениями [127] (для функ-
функции правдоподобия!), построим с помощью P(<p|f) инфор-
информационную матрицу Флшера задачи
Gt) = —д2 In P(q>|f)/0q>,0<pj. (8.23)
Выражение (8.23) в частном случае соответствует формуле
• Ga = 2 (dKjd<pi) Wnp {дКр1дух), (8.24)
содержащей элементы матрицы Якоби и ковариационной
матрицы W~l вектора f. Если в (8.23) подставить выра-
выражение G.44), то после несложных выкладок найдем, что
G = K*WK-{¦ аи, (8.25)
т. е. матрица Фишера при а Ф- 0 получается «регуляри-
зованной». Сравнивая (8.25) с G.45), убеждаемся, что
в случае линейного оператора задачи матрица, обратная
G, совпадает с ковариационной матрицей решения /)ф:
В нашем рассмотрении _ОФ — матрица вторых моментов
оценок неизвестных параметров задачи; однако если за-
задача нелинейная, то соотношение (8.26) выполняется лишь
приближенно.
136

Введем Далее, следуя [96], риманову информационную
метрику в пространстве состояний объекта исследования.
Расстояние р в этой метрике определяется с помощью
дифференциальной квадратичной формы
м
Ф2 = 2 ?«<*фЛ-, (8.27)
причем параметры ф{, ф; считаются координатами в-не-
в-некотором М-мерном пространстве RM. Если считать RM
евклидовым пространством, то параметры фт образуют
в нем, вообще говоря, косоугольную систему координат'.
Свойства расстояния р, определяемого согласно (8.27),
подробно обсуждаются в работе [98]. Мы укажем здесь
лишь некоторые из них.
1. Конечное расстояние р в выбранной метрике опре-
определяется как наименьшая длина параметрической кривой
s(x) между точками sx = s(xt) и s2 = s(x2) в пространстве
состояний S\ s{x) <= S при всех х е [xlt х2]:
p = inf
х„ л 1/2
I ^j Gij (dq>i/dx) (d(fj/dx) dx I ,
(8.28)
где infinum берется по всем непрерывным дифференци-
дифференцируемым кривым, соединяющим точки sx и s2 в.S.
2. Величина р не зависит от выбора системы парамет-
параметров, что следует из тензорного преобразования элементов
Gtj при преобразовании координат. Это позволяет при на-
наличии нескольких вариантов параметризации задачи вы-
выбрать наиболее удобный.
3. Величину р нельзя увеличить никакими преобразо-
преобразованиями результата эксперимента; если преобразование
«сохраняет информацию» о векторе ф, то оно не умень-
уменьшается. Важность этого свойства определяется тем, что
для проведения информационного анализа задачи не тре-
требуется совершать таких, например, операций, как пред-
предварительное преобразование фурье-интерферограммы
в спектр, сигнала ЯМР в температурную зависимость вй-
риальных коэффициентов (при восстановлении межмоле-
межмолекулярного потенциала [188]) и т. п. ,
4. Квадратичная форма (8.27) не убывает, если
к имеющемуся наблюдению присоединить результат не-
некоторого другого эксперимента над тем же объектом;
137

в условиях статистической независимости обоих экспе-
экспериментов квадратичные формы складываются. В частном
случае повторения эксперимента р раз (8.27) возрастает
в р раз, а расстояние р — в р1/2 раз.
5. Порог различимости двух векторов <р(Х) и (рB) при
изменении какого-то одного параметра <рт можно харак-
характеризовать расстоянием р ~ 1. Для. гауссовых помех
в пределе М -»- оо можно ввести вероятность правильной
идентификации решения Pid, где 1/2 ^ Ptd^ 1, причем Ры
независимо от вида оператора и различаемых функций
определяется лишь расстоянием р по формуле
Ри = 0,5 + 0,5Ф(р/2), (8.29)
где *Ф — интеграл вероятности. Заметим, что при р = 1
P(d — 0,637, т. е. вероятность правильной идентифика-
идентификаций лишь на 13,7% превышает вероятность угадывания
@,5).
Из указанных свойств расстояния р можно получить
ряд важных следствий. В частности,' можно утверждать,
что для всякого «истинного», решения обратной задачи
ф<°) существует бесконечно много функций <р, заполняю-
заполняющих некоторую «сферу неопределенности»:
ПФ ~ Ф<°>11 < 1, (8.30)
т. е. неотличимых от q>W и друг от друга. В рамках ме-
методов дескриптивной регуляризации мы выделяем в прост-
пространстве i?M некоторую область Л и считаем, что вне ее
решения уже не могут нас интересовать. Однако встает
вопрос о геометрии и размерах области Л в метрике (8.27).
При этом, если сфера (8.30) с центром ф(°> е Л будет
содержать точки, не принадлежащие Л, то для соответст-
соответствующих направлений выхода сферы за пределы Л коор-
координаты (т. е. параметры) уже неуточняемы. Стало быть,
но отношению к ним эксперимент в совокупности с апри-
априорными данными остается информационно необеспечен-
необеспеченным, и либо нужно изменять схему эксперимента, либо
отказаться от введения такого рода параметров. В связи
с этим говорят еще о направлениях вырождения Л и о спо~
собйх последовательного «исчерпывания» невырожденных
направлений [95]. Не останавливаясь на деталях расче-
расчетов [95], кратко изложим лишь главную идею процедуры
исчерпывания, следуя более общему рассмотрению, пред-
предложенному в (99].
138

Пусть система функций {if^} составлена из решений
проблемы собственных значений:
QJG°^ = ЭД>„ q = 1,2, . . . ,
А>х > Я, > ... >0, \ -*• О при g -*- с». (8.31)
Здесь G° = G(cc — 0) — 7?*И^ — нерегуляризованная
матрица Фишера, Q — стабилизатор задачи. Собственные
числа kq суть стационарные значения отношения квадра-
квадратичных форм (СД-Ч?0*^, ф)/(ф, G41). определяющие глав-
главные оси «эллипсоида» (<р, Q(p) = 1 в метрике G0, т. е. при
чисто статистической трактовке Xq — это отношения ап-
априорной и апостериорной дисперсий координаты (пара-
(параметра) в данном направлении. Система функций {фд}, как
легко убедиться, обладает свойством двойной ортогональ-
ортогональности (см. гл. 3):
(%, G4r) = (%, ®%) = 0, \ Ф Хг. (8.32)
Кроме того, условие нормировки дает
(%, G°%)= Kq(%, Q$q) = 1. (8.33)
Решение регуляризованной задачи
{K*WK + ай)ф = K*Wf (8.34)
можно записать теперь в виде разложения по базису
позволяющему представить координаты как независимые
фрагменты нетривиальной информации. При этом уста-
устанавливается прямая связь между собственными числами
kq, известным выражением для количества информации
по Шеннону
/ = 0,5 S*og A Ч- Ьд), (8.36)
я
а также «информационным объемом» [95]:
V = П К12- (8-37)
Сама задача (8.34) распадается на систему независимых
уравнений
г,^ + а) - Xq{K*Wf, %). (8.38)
139

Таким образом, решение задачи предстает в форме
ф = 2ед(Ж**и7>*Шв, (8.39)
9
где функция 9Ч(Х) = Х/(к + а) характеризует дискрими-
дискриминацию малоинформативных компонентов {фт}. В работе
[95] обсуждалась также возможность иного выбора ди-
дискриминирующей функции:
е<Но, х<1. (а40)
По поводу описанной процедуры уместно сделать не-
несколько общих замечаний. Поскольку элементы инфор-
информационной матрицы Фишера преобразуются как компо-
компоненты дважды ковариантного тензора [127], решение за-
задачи на собственные значения (8.31) не зависит от исход-
исходного выбора базисов в пространствах Ф и F (К : Ф-*- F).
Это решение характеризуется весьма большой устойчи-
устойчивостью, и притом нет необходимости решать задачу пол-
полностью, ибо компоненты с А, <С 1 заведомо не представля-
представляют интереса, а при выборе дискриминирующей функции
в виде (8.40) их число еще сокращается. Вся полезная
информация сосредоточена в числах {(K*Wf, %)}, что
часто можно использовать для «сжатия» данных и устра-
устранения «избыточности» данных, характеризуемой отно-
отношением dim {F)/Qett, где QeU = шах {q : Xq ^ 1} -
число существенных членов разложения в (8.39). Тем
самым открывается возможность оптимального планиро-
планирования диагностического эксперимента.
В задачах диагностики плазмы часто первостепенный
интерес может представлять проблема анализа информа-
информационной структуры не столько самого решения ф(#),
сколько тех или иных функционалов от этого решения.
Риманова информационная метрика позволяет в таком
случае сравнительно просто.получить важные количест-
количественные и качественные оценки. Проиллюстрируем это
простым примером ['97], относящимся к обратной задаче
о деконволюции свертки. Если (р^(х) и cpC>(x) — две
искомые функции, разделенные информационным интер-
интервалом р, то, как легко подсчитать,
рН1фA)-фB>11= • '
= Bл) J Щ1 (со) |ВД|2| фA) (со) -, фB) (со) |=Ча> (8.41)
140

(обозначения- те же, что и'в гл. 3,7). Определим линей-
линейный функционал
А9= J a(x)q>(x)dx " (8.42)
— ой
с помощью весовой функции а(х). Пусть для сферы неоп-
неопределенности (8.30) ф<°> =5 0, а
J-OO
=. SUp
j a {x) ф (x) dx
(8.43)
— максимальное значение функционала на этой сфере,
имеющее смысл предельной погрешности, неустранимой
при любом способе вычисления функционала -4Ф по pea-
¦ . v
лизации/ (х) = J К (х — у) ср (у) dy.
— оо
Для определения ||ЛФ|| можно воспользоваться теоре-
теоремой о норме функционала в гильбертовом пространстве
[91] и тождеством Парсеваля, Это дает
|| Лф |2 = BЯ) J J a (co)j2 #Е (ю) | ^ (со) |-2 Аа.. (8.44)
— 00
Сравнивая (8.44) с C.9), видим, что ||ЛФЦ? фактически пред-
представляет собой дисперсию ошибки, обусловленной слу-
случайным шумом, при вычислении функционала Ау. Из
(8.44) легко заключить, что в реальной ситуации класс
допустимых функционалов (|ИФ||2 меньше некоторой на-
наперед заданной положительной величины) состоит из
функционалов с весовыми функциями а{х), существенно
более гладкими,. чем ядро К{х). В частности, если «функ-
«функционалами» считать значения ц> в заданных точках xt,
т.е. полагать а(х) = 8(х — xt), то ъ отсутствие регуляри-
регуляризации такие «функционалы» явно недопустимы. При на-:
личии той или иной фильтрации, например при замене в
(8.44) множителя |1(о>)|~2 на [|?((о)|2 + ^(ш)/Лф(са)Н,
согласно G.9), класс допустимых функционалов Ац рас-
расширяется, и для информационного анализа соответствую-
соответствующих задач применимы схемы, описанные в гл. 7.
В шектралъных диагностических методах весьма час-
часто используются интегральные (по длинам волн Я) харак-

теристики: относительные полные интенсивности линий
или участков континуума, методы линейчатого поглоще-
поглощения и т. п. [166]. Рассмотрим следующий типичный
случай:
а(х) = а(К) = ехр *> - (А, -Я0J/2(ДА,J];
(8.45)
К (со) = 2ЪХС ехр [- A/2) A + Ь2)
= Ro — const.
В (8.45) предполагается, что весовая функция — узко-
узкополосный фильтр с шириной полосы пропусканий lSXt
v — скорость сканирования по длинам волн, t — время,
Ъ — ширина щели спектрального прибора в дифракцион-
дифракционных единицах, Ь1 — дифракционная составляющая спект-
спектральной ширины аппаратной функции K(X), С — произ-
произведение телесного угла на сечение светового пучка в при-
приборе, на чувствительность приемника и на ширину щели
Ь. Шум предполагается белым. Подстановка выражений
из (8.45) в (8.44) дает
рф||2 - л1/2.уЛ0(ЛШ1J/2С2[(Л^J - bt(l + б2)]., (8.46)
Анализ формулы (8.46) элементарен. Отметим лишь такой
нетривиальный результат: ошибка остается конечной^ при
условии
Д^ > 6^1 + Ь2I'2, (8.47)
а оптимальная ширина щели 6Орь обеспечивающая мини-
минимум величины |Иф||3, определяется формулой
&opt = 2 [((My/bl - 1)/5]1/2.. (8.48)
Разумеется, указанные выводы относятся к нерегуляризо-
ванной постановке задачи. Информационный анализ ана-
аналогичных проблем с привлечением методов дескриптивной
регуляризации еще не производился, хотя и представляет
очевидный практический интерес.
Обратим внимание еще на один аспект проблемы ин-
информационного анализа многопараметрических задач.
В диагностической практике распространен случай, когда
выделяются две группы параметров нелинейной задачи,
141

которым мы поставим в соответствие векторы] <ри ц. Ком-»
понентами <р — {фт}, т = 1, 2, . ., М, являются не-
неизвестные параметры; компонентами jn = {fiy}, / =
= 1, 2, ...,/, служит набор параметров, который из-
известен заранее с некоторой погрешностью, поскольку свя-
связан с привлечением дополнительных экспериментальных
данных. Задачу можно записать в виде системы нелиней-
нелинейных уравнений
КП(Ч>, V) = /»; п = 1, 2, . . ., N, (8.49)
и поставить вопрос о том, насколько существенным будет
влияние погрешностей f и jut на точность восстановления
компонентов ф. Например, заранее не очевидно, что сле-
следует непременно решать М-параметрическую задачу, если
погрешности некоторых компонентов \ij достаточно вели-
велики. Итак, в простейшей (нерегуляризованной) постанов-
постановке в рамках метода максимума правдоподобия либо его
конкретных версий, определяемых выбором меры прибли-
приближения искомой функции (наименьших квадратов, экстре-
экстремальных модулей и т. п.), необходимо изучить структуру
ковариационной матрицы задачи:
Dv = Efg + D$\ (8.50)
где 1)фЛ и 1)фЦ) соответственно обусловлены погрешностя-
погрешностями измерений вектора i и влиянием неточности задания
вектора jx на вектор ф. В такой постановке задача реша-
решалась в работах [180, 181].
Введем разностный вектор и с компонентами %п =
= /n— Kn{q>, \\), относительно которого система урав-
уравнений метода максимума правдоподобия запишется в
виде
д(х, ШIдут = 0, (8.51)
где, как и ранее, W~l — ковариационная матрица векто-
вектора f. Поскольку квадратичная форма, фигурирующая в
(8.51), эрмитова, систему можно представить как
(Ж(Ф, M)%m, Wk) = 0. (8.52)
Ее решение определяет вектор ф, зависящий от реализа-
реализаций f и ц. Пусть 1Ф, |/ и |ц >— погрешности, с которыми
находятся все три вектора; полагая их малыми по срав-
сравнению с соответствующими математическими ожиданиями
143

<...)» запишем тейлоровское разложение К в окрестности
точки «<р>, <ц»
К = <f > + (<?<!>/дф,1ф) +
) +...,. : (8.53)
где учтено, что К«<р>, <^i» = <f>. Подставляя (8.53) в
(8.52) и ограничиваясь членами первого порядка малости
по |, приходим к следующему уравнению:
GZ = X*W?< У? (8 54^
Здесь квадратная G(M X М) и прямоугольная F(/ x M)
матрицы определяются через две вспомогательные;
ао формулам
l * (8.55)
Поскольку физический смысл векторов f и (л позволяет
-считать их некоррелированными, можно записать общее
выражение для ковариационной матрицы D$, выделяя,
согласно (8.50), обе ее составляющие:
D§ = G~\ Df) = BW^1B*, (8.56)
где R = G-1y, W^1 — ковариационная матрица вектора
;|Л, a G — нерегуляризованная матрица Фишера с элемен-
элементами (8.24). Если бы DyK) — 0, то,, как и следовало ожи-
ожидать, оказалась бьг справедливой формула (8.26), посколь-
поскольку в ходе преобразований оператор задачи был линеа-
линеаризован.
V Детальный анализ, вклада в D9, обязанного члену
\ показывает, что второе слагаемое в ' (8.50) может
стать вполне соизмеримым с первым, а зачастую и превос-
превосходить его. Таким образом, не столь уж редки случаи",
когда априорный информационный анализ задачи приво1-
дит к выводу о том, что тот или иной «плохо» измеренный
144

параметр (Xj целесообразнее считать неизвестным, т. е.
перевести соответствующий компонент из вектора р. в
вектор <р. *
Именно такая ситуация может иметь место, например,
в задачах по спектроскопии высокого разрешения, реали-
реализуемых с помощью интерферометра Фабри — Перо по
схеме просвечивания [84, 85]. В данном случае простей-
простейшая постановка задачи сводится к анализу дублета из
равноинтенсивных и равноуширенных составляющих,
характеризуемых профилем Фойгта и заданным расстоя-
расстоянием между их центрами. Тогда к компонентам векто-
вектора <р можно отнести лоренцеву полуширину (фх) и поло-
положение максимума длинноволновой составляющей (ср2);
в качестве [хх и |х2 обычно принимают соответственно
доплеровскую полуширину и нормировочный фактор,
определяющий интегральную интенсивность. При этом,
как показывают расчеты [181], в некоторых практически
интересных случаях погрешность (д.2 оказывается столь
значительной, что рациональнее решать трех-, а не двух-
параметрическую задачу, полагая <р3 == |х2-
В общем случав корреляцию между щ можно ие учи-
учитывать и тогда окончательная оценка дисперсии ог2[срт]
производится по формуле
а2
[<р J = С']» + 2 о2 [ц,! | Rmj |2. (8-57)
i
Часто для оценок удобно бывает ввести своего рода «коэф-
«коэффициент усиления» погрешности [27] ут при нахождении
некоторого параметра
где ||¦ || — евклидова норма вектора экспериментальных
данных, a s) — усредненная по набору отсчетов в п точ-
точках дисперсия . (в предположении нормального закона
распределения погрешностей G.38)). Таким образом, ут
есть отношение коэффициентов вариации пг-го параметра
и данных эксперимента.
Хотя выражение для дисперсии а2[фт] через диаго-
диагональные элементы матрицы Фишера в случае нелинейной
задачи является лишь приближенным (это относится,
конечно, и к формуле (8.57)), оценки коэффициентов ут,
согласно (8.58), с точки зрения планирования диагности-
148

ческого эксперимента, как правило, полезны и конструк-
конструктивны. Приведем два примера.
В спектроскопии оптически плотной плазмы [174]
часто используются различные приемы однопараметри-
ческого представления функции источника, позволяющие
получить простые аналитические выражения для контура
линии излучения /(v — v0), где v — текущая (безразмер-
(безразмерная) частота, v0 — центр линии, для простоты принимае-
принимаемой симметричной. Так, в рамках известной модели Бар-
тельса, широко применяемой, например, ^ в пирометрии
плазмы, выражение для /(v —v0) записывается в виде
/(v - v0) S Дт) = ехр (-т/2)[A - д)т/2 +
+ qsh (т/2) + g-V? sh (qxlhl2)], (8.59)
где х = 2pQ(v — v0) — оптическая толщина слоя плаз-
плазмы, р (О ^ р <; оо) — безразмерный параметр, Q(v —
— v0) — нормированный по максимуму профиль линии
испускания (поглощения) в пределе р -*- 0; форма этого
профиля обычно считается заранее известной. Одна из
простейших постановок обратной задачи на основе (8.59)
трехпараметрическая. Именно, подлежат определению
по регистрируемому контуру 1(\ — v0) параметры р,
q @ <С q ^ 1), которым задается функция источника,
и б — полуширина контура для оптически прозрачного
слоя: <?F) = 1/2.
В ранних работах по диагностике плазмы обычно из-
избегали решения переопределенных систем нелинейных
уравнений и стремились находить р, q и б по таким трем
значениям функционалов от /(v — v0), которые удобно
регистрируются в ходе обработки эксперимента и отра-
отражают типичные структурные особенности контура линии
с самообращением. В качестве таких функционалов часто
выбирались глубина «провала» самообращения 1{х =
= 2pQ(vQ))lImaXt расстояние между пиками самообраще-
самообращения 2(vmax — v0), где /(т = 2>(?(vmax' — ve)) = /max,
и ширина контура 2(у1/2 — v0), где /(т = 2pQ(v1/2 —
— vo))//maI = 1/2. Из общих соображений ясно, что
привлечение для нахождения р, q, б большего числа от-
отсчетов на контуре /(v — v0) с соответствующим решением
переопределенной задачи методом наименьших квадратов
позволит определить неизвестные параметры точнее [171].
146

Таблица 2
14,5
—
2,0
0,8
0.5
¦¦ш
=1)
n=30
3,8
—
0,8
0,4
0,3
-
V C=0,5)
я=3
21,0
2,9
1,9.
—
1,3
n=30
5,8
1,2
—
0,9
—
0,8
vp (p=5)
n=3
33,4
1,9
3,0
—
0,8
¦n=30
8,6
0,8
1,3
—
0,5
—
^ В табл. 2 приведены некоторые характерные результа-
результаты вычисления ут при фиксированных значениях самих
параметров (на самом деле ут при изменении этих пара-
параметров меняются довольно сложно, но порядки величин
обычно сохраняютсяI). Сравнивались ут для п = 3, ког-
когда исходными данными считались величины указанных
ранее трех функционалов, и для п — 30, когда на равно-
равномерной сетке брались значения I{\ — v0) в тридцати уз-
узлах. В расчетах учитывалось наложение линии на под-
подстилающий континуум (Tconst = 0J), профиль (?(v — v0)
принимался дисперсионным, а в ходе моделирования в
/(v — v0) вводился случайный шум с дисперсией s) —
= 0,05. Прочерки в таблице означают, что в данном слу-
случае решалась уже не трех-, а двух- или однопараметри-
ческая задача, а отсутствующие один либо два параметра
считались заданными.
Выводы, следующие из этих расчетов, достаточно оче-
очевидны. Во-первых, ясно, что постановка уже трехпара-
метрической задачи при п = 3 фактически беспредметна
(на это одним из авторов указывалось давно [173]). Во-
вторых, существенно, что при переходе к п = 30 та же
задача уже приобретает смысл, особенно если речь идет
о восстановлении полуширины б, т. е. о редукции контура
к условиям оптически прозрачного слоя. В-третьих,
уменьшение числа искомых параметров с трех до двух
(и тем более до одного) кардинально меняет ситуацию,
*) Эта серия расчетов выполнена Л. Л, Фруминым; соответст-
соответствующая работа еще не опубликована.
147

L ^\
* 1
2
3
.0,4
392
8243
Vbt
0,6
60
2321
588
14 600
81
1616
Таб
1138
лица 3
221
обеспечивая хорошее восстановление даже при п = 3
(и подавно при ге = 30).
Рассмотрим другой пример. В спектроскопии опти-
оптического смешения, как мы уже видели в § 5, некоторые
экспериментальные схемы приводят к необходимости ре-
решения внешне простого интегрального уравнения Фред-
гольма 1-го рода с неразностным экспоненциальным ядром
J Ф
(— хд) dy = f (x).
(8.6.0)
В обзоре Камминса [90] в связи с этим обсуждается ряд
параметрических подходов к задаче, причем во многих
случаях из' чисто физических соображений представляет-
представляется приемлемой следующая простая модель полидисперс-
полидисперсности частиц:,
(8.61)
фЫ S
f(x)= 2 «г ехр (—
1=1
Здесь б — символ дельта-функции Дирака, т. е. пред-
предполагается, что система состоит из смеси сфер с нескольки-
несколькими'значениями радиуса.
Один из результатов информационного анализа задачи
представлен в табл. 32>. В (8.61) взято: щ = 0,3; bt = 9;
й4 = 0,2; -&2 «= 12; а3 — 0,4; Ь3 = 5; число членов суммы
L равнялось 1, 2 и 3, т. е. задача была двух-, четырех-
и шестипараметрической. «Овражный» тип ядра ехр (—ху)
оказывается чрезвычайно неблагоприятным для восста-
восстановления размеров сфер и их содержания в смеси, даже
2) Расчеты выполнены А. И. Седельниковым.

если эта смесь всего двухкомпонентна (правда, положений
несколько облегчается, если находить лишь три парамет-
параметра: &х, Ьъ и а1/аг)- Анализ трехкомпонентной смеси практи-
практически невыполним, если задачу не доопределить какими-то
дополнительными априорными сведениями о ф(у). В гл. 5
на примере расчетов Туоми мы уже имели возможность
убедиться в эффективности такого рода доопределения,
представляющего собой типичный пример дескриптивной
регуляризации задачи (см. табл. 1).
Г Л А В А 9
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕУСТОЙЧИВЫХ
ДИАГНОСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
В предыдущих главах мы неоднократно встречались со
случаями использования тех или иных полиномиальных
разложений при конструировании регуляризующих ал-
алгоритмов. В частности, на таких разложениях чаще всего
и основывались те ранние способы решения неустойчивых
задач, которые с точки зрения современного уровня тео-
теории подчас выглядят архаичными. Однако, основываясь
на такого рода примерах, было бы неверно относить всю
«полиномиальную идеологию» к пройденному этапу.
Напротив, именно в самое последнее время разработка
новых регуляризующих алгоритмов, в существенной сте-
степени связанных с полиномиальным подходом к задаче
(особенно многомерной), предопределила конечный успех.
В качестве яркого примера можно привести обсуждаемые
ниже алгоритмы А. Кормака, который за внесенный им
фундаментальный вклад в развитие компьютерной томо-
томографии был вместе с инженером-конструктором Г. Хаунс-
филдом удостоен Нобелевской премии по медицине 1979 г.
[275, 302].
В этой главе мы кратко обсудим технику полиномиаль-
полиномиальных разложений и получаемые с ее помощью результаты,
базируясь всего на однОм, но исключительно важном для
плазменной диагностики классе задач. Речь будет идти
о методах косвенной локальной диагностикой нродйород-
пых объектов, когда от измеряемых по определенному на-
149

бору лучей зрения интегральных радиационных характе-
характеристик (интенсивностей излучения, трансмиссионных
функций, набегов фаз световой волны, фарадеевских уг-
углов поворота плоскости поляризации и т. п.) требуется
перейти к локальным величинам: коэффициентам испус-
испускания, поглощения, показателю преломления, магнитной
индукции и т. д. От этих величин, в свою очередь, возмо-
возможен переход к концентрациям и температурам рсновных
компонентов плазмы, к кинетическим коэффициентам
(диффузии, вязкости, электро- и теплопроводности), теп-
лоемкостям, радиационным потерям и др.
Рассмотрим последовательно одномерные и двумерные
задачи косвенной локальной диагностики.
§ 1. Одномерные (осесимметричные) задачи
Библиография по данной проблеме начинается, по-
видимому, с работы Маха, датированной еще 1896 г.
[323]. После сравнительно немногочисленных работ, вы-
выполненных до 1950 г. [266, 303, 319, 355, 382], начался в
буквальном смысле поток исследований, главным обра-
образом эвристического характера, связанных с абелевой ин-
инверсией; обзорный материал по этим вопросам содер-
содержится, например, в публикациях [114, 115, 166, 261,
283, 332].
Для более ясного обсуждения алгоритмической сторо-
стороны дела напомним расчетную схему (рис. 24), где R—
радиус столба плазмы в выбранном сечении, г — расстоя-
расстояние от центра до произвольной точки на луче зрения,
х = rmin — кратчайшее расстояние от центра до рассмат-
рассматриваемого луча, вдоль которого измеряется величина
/(*)= f <p(x,y)dy, (9.1)
i
ф(дг, у) — восстанавливаемая ло-
локальная характеристика из числа
упомянутых, причем для эмиссион-
Щ»)
34. Геометрическая схема регист-
регистрации излучения от осесимметричного
щрточнина,
150

ных и фазовых измерений мы будем пренебрегать реф-
рефракцией, рассеянием, реабсорбцией, конечными размера-
размерами детектора. Кроме того, все рассмотрение может про-
проводиться в монохроматическом пределе, вследствие чего
частотные характеристики не указываются.
В полярной системе координат вместо (9.1) запишем:
R
/ (х) = 2 J г (г3 - хТ1" Ф if) dr, (9.2)
х
причем формальное обращение формулы (9.2) имеет вид
<р (г) = - (nr)-^ J х(ж2 - г2)~1/а/ (х) dx dr =
л
= - л j (я2 - г2)7 V (л) Лг. (9.3)
Здесь неявно предполагается, что: 1) f(R) = df/dx\x=o =
— 0; 2) экспериментальный сигнал }(х) обладает свойст-
свойством непрерывной диффе,ренцируемости, т. е. f(x) e С^К
Если на практике первое условие обычно удовлетворяется
и часто даже служит для определения величины R, то
второе, лак правило, нарушается. Именно попытками
обойти указанную трудность в значительной мере объяс-
объясняется отмеченное ранее обилие работ "на эту тему. Дру-
Другая несомненная причина заключается в широкой рас-
распространенности осесимметричной модели, применяемой
для пересчетов от интегральных характеристик к локаль-
локальным, в самых разнообразных областях науки и техники
(см. по этому поводу обзор [176]).
Элементарной заменой переменных (9.2) преобразует-
преобразуется к канонической форме линейного интегрального урав-
уравнения Вольтерра 1-го рода типа Абеля
= /-(ж), (9.4)
где в общем случае 0<а<1)л!>0, а^. х^, Ь. Как
и раньше, если f(x) — непрерывно дифференцируемая'
функция, уравнение Абеля (9.4) имеет единственное не-
непрерывное решение:
151

Ф (х) = я 3 sin (ая) d j (a: — у)а xf {у) dy\ dx=-
= л sin (сел) I (* - af-1 f (a) + J (* - y)a~l f (y) dy .
(9.5)
Существует еще одно важное представление решения:
Ф (х) = я sin (ал) (х - а)" / (х) +
+ A _ a) J (* - yf'2 {f (x) - f (у)} dy I (9.6)
a J
Формула (9.6) в отличие от (9.5) требует от /(я) лишь
вьшолнения условия Гёльдера с гельдеровским показате-
показателем к > 1 — а. Тонелли показал (см. ссылки в [176]),
что если f(x) абсолютно непрерывна на отрезке [a, b],
10 формулой (9.5) определяется единственное решение
уравнения (9.4) в классе функций, интегрируемых по
Лебегу.
Для дальнейшего полезно указать некоторые частные
решения уравнения Абеля. Полагая в (9.4) а = 0, a —
"— 0,5, получим: ,
а) f{x) = const — классическая задача о таутохроне.
Решение обычно записывается в параметрической форме:
х = CBi|) + sin 2г|з), у = СA — cos 2ф) (С — константа
интегрирования, i|> — угол между осью х и касательной к
таутохроне) и определяет циклоиду;
б) Ах) — х~-х>г, решение — прямые линии;
в) /(*) = хУ\ ф) = 1/2;
, г) f(x) = ехр х\ ф (х) = п'11 х~1/2 + е* j' e-f
С точки зрения некоторых рассматриваемых далее по-
полиномиальных разложений представляют интерес такие
результаты.
I. Уравнение Абеля — Шмайдлера
x>l,y.>0, P>-1, (9.7)
152

с решением
ф) = [Г(ц + 1)/Г(Р + 1)Г(ц- — р)]^~Р-г; (9.8).
заметим, что при р — 1, [х = 2 ф(я) = 2; при Р = 2,
jx = 3 ф(ж) = 3.
II. Уравнение Абеля с бесконечным пределом
= /(*). (9.9)
Для достаточно быстро убывающих на бесконечности
функций \f(x)\ ^ С|ж|-а-е остается справедливым общее
решение (9.5) с заменой а на —ооС Если же f(x) имеет на
бесконечности нуль произвольного порядка, то решение
имеет вид
оо
Ф {х) = яГ1 A — a) sin (ал) )уа~2 [f (x) ~}(х — у)] dyi
о
(9.10)
Обратим внимание, что к уравнению типа (9.9) приводит
задача восстановления распределения по размерам сфери-
сферических частиц, погруженных в непрозрачную среду, по
измерениям сегментов, образуемых при пересечении час-
частиц случайными плоскостями. Подобного рода проблемы
возникают, например, при диагностике многофазных по-
потоков нагретого газа и низкотемпературной плазмы [202];
уравнение (9.9) появляется также в астрономии в связи с
известной задачей глобулярного скопления [370].
III. Двумерное уравнение Абеля
1 11(Уо ~ У? + (*о ~ x)Tlh Ф (*> У) dxdy = / (*0, у0), (9.11)
D .
где D — равнобедренный прямоугольный треугольник с
гипотенузой на оси г и с вершиной в точке (х0, у0), с ре-
решением
Здесь ? (x, у) = j j [(y - vf -{x- u)Tlf* / (и, v) dudv,
0
Dt — равнобедренный прямоугольный треугольник с вер-
вершиной в точке (х, у) и гипотенузой на оси и плоскости
153

uv. Уравнение (9.11) находит многочисленные важные
приложения, например при исследовании отражения волн
от прямолинейной границы [54].
Перейдем теперь непосредственно к характеристике
методов абелевой инверсии уравнения (9.2) с привлече-
привлечением полиномиальных разложений. Мы здесь не останав-
останавливаемся на очевидном, факте некорректности задачи с уче-
учетом погрешности реального эксперимента.
Опустим комментарии, касающиеся самых ранних ра-
работ, и охарактеризуем кратко результаты, изложенные в
публикациях начиная примерно с 1960 г. В работах [66,
72, 258, 264, 281, 290, 335] использовались степенные по-
полиномы по г или х невысокой степени. После подстановки
полиномов по г в уравнение (9.2) задача сводится^к реше-
решению системы линейных алгебраических уравнений. Если
использовать полиномы по х, то из уравнения (9.3) обычно
можно получить аналитическое выражение для коэффи-
коэффициента излучения, что позволяет определить искомую
функцию ф(г) в любой точке г. Поскольку эти расчетные
схемы чувствительны к случайным возмущениям регист-
регистрируемого сигнала /(ж), появилась тенденция к.сглажива-
к.сглаживанию результатов измерений полиномами методом наи-
наименьших квадратов [277, 284, 310], чаще всего сразу по
всему набору экспериментальных точек с выбором орто-
ортогональной системы полиномов [115, 286, 293, 295, 299,
311, 325, 332, 366].
Следует отметить, что в указанных работах еще нет
достаточно полного и корректного исследования величины
ошибки в восстановленной функции ф(г) в зависимости
от степени «зашумленности» входных данных f(x).
Применение полиномов все более высокой степени N
при наличии шумов в f(x) приводит к нарастающим ошиб-
ошибкам в производной f'(x) [232], а следовательно, и в <р(г).
Очевидно, что необходимо определять оптимальное число
полиномов в разложении, причем оно существенно зави-
зависит от величины экспериментальной ошибки. В связи с
большой важностью подобного выбора, необходимо искать
критерии, достаточно чувствительные к шуму в f(z). Кри-
Критерий, использованный в работах [262, 282, 332, 366]
(минимизация нормы вектора невязки), такими свойст-
свойствами не обладает. В некоторых работах использовались
различные статистические критерии по ограничению чис-
числа членов в разложениях рядами [103, 1231.
154

В качестве иллюстрации свойств некоторых весьма
распространенных методов перехода к локальным харак-
характеристикам рассмотрим коэффициент усиления ошибки
у, квадрат которого определяется здесь (для объекта еди-
единичного радиуса) как отношение дисперсии восстановле-
восстановления модельной функции, обязанной наличию помех в из-
измерениях f(x), к дисперсии последних. Схема решения
задачи сводится к выражению *
= П,
(9.13)
где Т — матрица перехода, различная в рассматриваемых
подходах. Дисперсия компонентов вектора <р запишется
в виде
04 —
(9.14)
где Sj — дисперсия компонентов f. Если Sj = s =
— const, то
In \l/2
yt = Oi/s = Qg T% j . (9.15)
Такая характеристика позволяет еще до реальной обра-
обработки эксперимента сделать оценки погрешности восста-
восстановления по максимуму ошибки измерений.
На рис. 25 приведены коэффициенты усиления у(г)
для некоторых'распространенных табличных ме-
методов, реализующих схему (9.13). Здесь же для
сравнения приведена функция у(г) для метода
статистической регуляризации [164].
Рассмотрим несколько
подробнее особенности мето-
метода Бокастена [264], являюще-
Q5R R гося одним из популярных
' способов решения интеграль-
Рис. 25. Усиление случайной ного уравнения Абеля в слу-
ошибки эксперимента в раз- чае ТОЧНОго задания функции
личных методах решения урав- ... R МРТПТТР ,а Орнп
нения Абеля (при размерности /W- ° этом методе за осно-
вектора решения п = 40). ву берется формула (9.о), ко-
1 — метод [264]; 2 — Изо]; з— торая далее преобразуется
1335], n = SO; 44]- [122]; 5 - ^^ образом:
20
10-
155

. (9.16)
Здесь w — число интервалов, на которые разбит, радиус
неоднородности: i, j — 0, 1, 2, . . ., п. Далее на каждом
интервале разбиения функция f(x) аппроксимируется
полиномом Ц-й степени:
^n . (9.17)
'=0
проходящим по точкам /у-ц, fj, /Ум, /яг- После замены
переменных х, г (которые уже приведены к радиусу R)
х = tin, te[0,4 • (9.18)
гi — ifn, i = 0, 1, . . ., » — 1,
получаем из (9.16)
-хЗ {t2- i2)-1/2P'j (t)dt.
(9.19)
После подстановки в (9.19) выражения (9.17), в кото-
котором коэффициенты Cji выражаются через значения 7j-u
fj, fj+1 и /у+2, получаем окончательную матричную за-
запись:
<Pi = 2?V;> (9.20)
з
где элементы матрицы Т записываются в виде
Ти = (nR/l2n)[F(i, / + 2) - 4f(it / + 1) +
+ 6F(i, /) - 4^(», / - 1) + F(t, / - 2)]. . (9.21)
Здесь вспомогательная функция F
F(i,j) = Cia + 6f - 2) In (/ +"(/' - i2I/2) -
- 970 - i2I/2, (9.22)
в выражении (9.21) (i + 1) < / < (ft — 2), а в формуле
(9.22) i < у < (и — 1), / > 0, i < (и — 1). Некоторые из
коэффициентов Т7^ записываются особым образом из-за
влияния аппроксимаций на концах отрезка [0, Я]. В част-
частности, по отдельным формулам подсчитываются элементы
Tt,i-i, TUi Ти+1, Гг,п_а, Тип-г и Г02. В работе [264]
156

приведены таблицы для Тц при п = 10, п = 20. Для бо-
более точного расчета внешней области приводится часть
таблицы (? ^ 30) для п '= 40. В работе [123] случай п =
— 40 затабулирован полностью.
Существенным свойством рассматриваемой матрицы Т
является увеличение примерно на порядок точности рас-
расчета /(г,) при увеличении числа отсчетов п в 2 раза. Этот
вывод получен в работе [264] на точно заданных модель-
модельных функциях различного вида:
f(x) = 1 - я4; (9.23а)
f(x) -= 1 — Зх2 + 8аг4 — 6я2; (9.236)
f(x) = B/3)A - я2)A/4 - A + 4х2)A -
(9.23в)
Наиболее серьезным недостатком метода является его
большая чувствительность к шуму, которая увеличивает-
увеличивается с ростом числа отсчетов пропорционально п и для п =
= 40 весьма велика (см. рис. 25). В работе [122] предло-
предложенный Бокастеном прием сглаживания эксперименталь-
экспериментальных точек использовался для улучшения ра&чютных таб-
таблиц. При этом вводилось сглаживание методом наимень-
наименьших квадратов проведением полинома третьей степени по
семи соседним точкам. Для сглаженных величин /j приме-
применялись формулы
7fj +
(9.24а)
7.-2 = !/„-• - 4/„_5 + 2/„_4 + 12/„-3 +
+ 19/„_а + 16/^1/42; (9.246)
Тп-г = [4/„_в - Vn-ь - 4/п-4 + 6/п-а +
+ 16/„_2 + 19/„_1]/42. (9.24в)
Для определения /0, Д и /2 Бокастен использовал зеркаль-
зеркальное отражение точек /_х = Д, /_2 ~ /21 /-з = /з- Полу-
Полученные в результате таблицы [122] обладают существен-
существенно меньшим коэффициентом усиления случайного шума
(примерно в 4 раза, см. рис. 25) при незначительном ухуд-
ухудшении точности аппроксимации обратного интегрального
оператора (9.3).
157

Рассмотренный метод Бокастена [2641 с его модифи-
модификацией [122] является типичным представителем класса
методов, в которых фиксируется полином невысокой сте-
степени и проводится аппроксимация этим полиномом функ-
функции /(ж) (либо ф(г)) на отрезках разбиения [х}, xJ+1] (ли-
(либо [г(, ri+1]). Точность приближения повышается умень-
уменьшением шага разбиения сетки {xj} (либо {г/}). Информа-
Информация об экспериментальном шуме при этом процессе реше-
решения никак не используется.
Другой, более общий и гибкий подход к решению ин-
интегрального уравнения Абеля, реализуется в методах,
основанных на разложениях по системам ортогональных
полиномов.
Рассмотрим для иллюстрации метод Герлитца [299].
Его основа, как и других подобных подходов [332 ],—•
использование пар интегральных преобразований:
д
чт{г)г{г*-х*)-1/*с1г (9,25)
таких, что фт(г) образуют полную систему функций, а
tym(x) ортогональны:
(Ч>1, *m) = Qnfitm- (9-26).
Если теперь разложить функцию ц>(г) в ряд
оо
= 2 атЧ>т(г), (9.27)
ТП=0
то коэффициенты этого разложения определяются из оцен-
оценки скалярлых произведений
am = Q^(^mff). ¦ (9.28)
Скалярные произведения в (9.26) и (9.28) определяются
интегралами
л
(¦,*)= $${x)g(x)q(x)dx, (9.29)
о
где q(x) — некоторые весовые функции.
В методе Герлитца в качестве ортогональной системы
{tym} выбраны функции Чебышева 2-го рода:
Um(x) == sin (m arccos x), (9.30)
158

для которых выполняются условия ортогональности
1
j Um (х) U; (х) A - я2Г1/8 dx = ябт,/2. (9.31)
Эти функции связаны преобразованием (9.25) с круговы-
круговыми полиномами Цернике [211, которые, в свою очередь,
имеют вид полиномов Лежандра Рт@ с аргументом t =
= Bг2 — 1) и ортогональны в единичном круге:
2 Bт + 1) j Рт V) Pj V) rdr = ЬтУ (9.32)
о
Попутно отметим, что в работе [3661 для аппроксимации
использовались непосредственно четные полиномы Ле-
Лежандра Рц(г). Если прямое и обратное интегральные пре-
преобразования Абеля (9.2)—(9.3) записать в форме (пола-"
гаем R = 1)
• . № - Т-1ф), Ф(г) = Tf(x), (9.33)
то получим связь между нечетными функциями Чебышева
и полиномами Лежандра вида
Pm(t) = B/2m + i)T-*Utn+l(x). (9.34)
Коэффициенты at искомого разложения (9.27) функ-
функции ф(г) по цолиномам Pm{t) определяются из
1
ат = [Bт + 1)/я] j / (х) U2m+l (x) (.1 - ^)/2 dx. (9.35)
-i
Полиномы Лежандра удобно определять из рекуррент-
рекуррентных формул [101]
JW0 = [Bт + i)tPm(t) - mPm_i@V(m + 1) =
= tPm(t) + [(f2 - i)f(m + l)]dPm(t)fdt, (9.36)
Po(t) = 1, Pi(t) = t.
Рассмотренный метод Герлитца послужил основой для
более тщательных разработок [123, 129]. В этих работах
в отличие от [299] уже рассматривается вопрос об опти-
оптимальном выборе числа членов разложения ряда (9.27),
причем выбор основывается на статистических критериях.
Задача устойчивого суммирования рядов Фурье (9.27)
с приближенно заданными коэффициентами (9.35) являет-
159

ся в общем случае некорректной. В работе 1123] для ее
решения вводились регуляризующие множители
т
t = 2r2-
и считалось, что
fl, 0:
4;m
(9-38)
т. е. попросту ограничивалось число членов ряда. Для
определения границы М применялся статистический кри-
критерий значимости Фишера 1236]. При этом ряд (9.37)
обрывается, если условие
[2п (п + 1)/2 BМ + IJ] a2m > DMFun_M>p (9,39)
перестает выполняться для двух или более коэффициентов.
Здесь „
1
+ 1)/2 {п — М)} М A — ж2)~1/2 /2 (ж) Лс — 2я S «? № +
1-г i=o
+ I)-2} (9.40)
— остаточная дисперсия, a Flm_M,p —квантиль распре-
распределения Фишера с принятым уровнем значимости, напри-
например р — 0,05.
В этой же работе проводилось детальное статисти-
статистическое исследование рассматриваемого алгоритма с уче-
учетом случайных шумов в функции f(x) и с выбором регуля-
физующих множителей рг различного вида. На большом
числе модельных функций показано, что такой метод дает
устойчивые к шумам результаты восстановления, причем
наименьшую систематическую ошибку обеспечивают регу-
регуляризующие множители вида (9.38). На рис. 26 приведе-
приведены соответствующие коэффициенты усиления ошибки
у{г) при восстановлении локальных коэффициентов эмис-
эмиссии ф(г) алгоритмом (9.37)—(9.39) для двух значений раз-
размерности сетки: п = 20 и 40 [123]. Из рисунка видно, что
ряды- (9.37) дают устойчивое решение тем лучшее, чем в
160

Рис. 26. Коэффициенты
усиления ошибки дри ап-
аппроксимации f(x) нечетны-
нечетными функциями Чебышева
2-го рода для п — 20 (о)
и п = 40 (б) [123].
М = 5 U), 10 B), 20 C).
большем числе точек задана исходная информация и чем
меньше членов ряда требуется для аппроксимации функ-
функции f(x).
Следует отметить, что в данных методах основная за-
задача алгоритма — сгладить зашумлениые измерения f(x)
разложением по ограниченному базису. Сглаженные зна-
значения сигнала можно использовать затем для получения
ф(г) более простым путем, например методом Бокастена.
Подобный подход развивается в работе [2831, где для
решения уравнения (9.2) применяется метод конечных
сумм с квадратурными формулами средних прямоуголь-
прямоугольников. Для сглаживания исходных данных предложено
использовать четные полиномы Чебышева, к достоинствам
которых можно отнести возможность выбрать вес ортого-
ортогональности равным весу измерений и задавать эти данные
на произвольной неравномерной сетке. В плазменных
исследованиях часто используются близкие подходы [18,
103, 332], причем в работе [103] выполнено разложение
искомого решения в. ряд по собственным функциям ин-
интегрального оператора, отличающегося, вообще говоря,
от исходного (9.2). Однако такое отличие тем не менее не
мешает эффективно обрабатывать данные плазменных
исследований [33].
Б работе [18] модификацией алгоритма (9.37)—(9.39)
обработаны результаты исследования плотных лазерных
факелов, полученные лазерной интерферометрией. Харак-
Характерные размеры и времена исследуемых процессов — мик-
микроны й пикосекунды. На рис. 27 приведены локальные
поля электронной концентрации для сферической и пло-
плоской мишеней. Получено хорошее совпадение результатов
восстановления Ne различными методиками в процессе
обработки интерферограмм из работы [255]. Методикой
сравнения здесь было применение для инверсии Абеля
«обрезанных» рядов Фурье — Бесселя [361].
Н. Г. Преображенский, В. В. Пикалов
161

10тм
Рис. 27. Изолинии электронных плотностей
Ne (в единицах 1021 см) лазерной плазмы
[18].
а — сферическая, б — плоская мишень.
Следует упомянуть также статью [369], в которой в
отличие от излагаемого подхода проводилась аппроксима-
аппроксимация полиномами Лежандра (только четными) не функции
ср(г), а измеряемого сигнала f(x). Регуляризация задачи
фактически сводилась к сглаживанию экспериментальных
шумов путем ограничения числа членов ряда в разложе-
разложении f(x) с использованием статистического критерия Фи-
Фишера. Полученное разложение далее интегрировалось по
(9.3). Эффективность этого алгоритма продемонстрирова-
продемонстрирована в интерферометрических исследованиях плазменного
фокуса. На рис. 28 приведено радиальное распределение
электронной плотности
плазмы Ne (см~3), полу-
полученное двумя методами:
по Бокастену [264] и
° по [369]. Независимо
-0,8
0,4
Рис. 28. Восстановление
распределения электронной
плотности N е (см""8) в плаз-
плазменном фокусе методами
0,8 [369J (/) и Бокастена
-см [2641 B).
162

обрабатывались две половины интерференционной полосы
(же [—R, R]). Видно, что регуляризованный алгоритм
[369] в отличие от метода Бокастена, хорошо подавляет
неустойчивость решения.
§ 2. Двумерные задачи
Использование полиномиальных разложений в дву-
двумерных обратных задачах диагностики плазмы будет
проиллюстрировано также на примерах определения ло-
локальных характеристик по измеренным интегральным.
Согласно формуле (9.1), ранее формально решалась также
двумерная задача — отыскивалось распределение ф(ж, у),
однако использование жесткой априорной информации
(условия осевой симметрии) позволяло свести ее к одно-
одномерной. Оказывается, что подобная редукция возможна,
если функция ф(х, у) представима в виде cp(z), где z — не-
некоторый монотонно изменяющийся параметр, характе-
характеризующий вид изолиний искомой функции. В данном слу-
случае априорная информация — это аналитическое задание
формы изолиний, например, в виде эллипсов [163,
168, 342].
Один из подходов к приближенному восстановлению
асимметричного распределения локальной эмиссии ц>(х, у)
заключается в применении отрезка ряда Фурье. Перехо-
Переходя в полярную систему координат (г, 6), запишем [289]:
Ф(г, 0) = #(r) + K(r) cos 8 + L(r) sin 9, (9.41)
где коэффициенты ряда зависят лишь от радиальной коор-
координаты.
Введем следующие функции [123, 289, 320]:
= (Т(х) + 1(
= (J(y) + J(-y)V2, (9.42)
J-(V) = (J(V) ~ J(-
Здесь I(x) — поперечное распределение интенсивности
излучения плазмы, выходящего в направлении оси OY,
а J{y) — интенсивность в направлении оси ОХ, т. е. не-
необходимо проведение измерений уже в двух взаимно
перпендикулярных направлениях,
6* 163

Тогда можно показать, что связь между комбинацией
экспериментальных данных (9.42) и искомыми коэффи-
коэффициентами ряда (9.41) осуществляется также с помощью
интегральных уравнений Абеля [289]:
R
/+ (х) = 2 ]' г (г2 - х2)~1/2Н (г) dr,
R
Г (х) = 2 J (г2 —
(г) dr,
R
J+ (у) = 2 J" г (г2 - 1/2Г1/2 Я (г) dr,
(9.43)
Очевидно, что аппроксимация функции ц>(г, 0) низшими
гармониками ряда Фурье возможна лишь при небольших
отклонениях от осевой симметрии. В работе [320] данная
методика применялась для спектроскопического опреде-
определения поля температур аргоновой плазмы в ВЧ-поле в
условиях небольшого отклонения от осевой симметрии.
На рис. 29 приведено поле температур в центральном се-
сечении такого плазменного столба. Погрешность восста-
восстановления температуры в работе оценена в 1 %, а погреш-
погрешность локальных коэффициентов эмиссии — в 7%.
MINI'
16 0 16 мм
Рис. 30. Геометрическая схема регистрации
излучения 1(р, \р) асимметричной плазмы.
Рис. 29. Поле изотерм аргоновой плазмы:
V — газовый поток, К — кварцевая трубка,
В — витки катушки ВЧ-поля.
Температуры: 1 — 8600 К, г — 9600, 3 — 9800, 4 —
- 10 000 К [320].
164

Естественным развитием рассмотренного упрощенного
подхода является использование значительно большего
числа членов ряда Фурье типа (9.41), Этой методике по-
посвящена серия независимых работ [64, 273, 337, 369}.
Пусть свечение исследуемой плазмы в некотором ее
сечении регистрируется детектором вдоль набора парал-
параллельных лучей (рис. 30). Опишем объект окружностью не-
некоторого радиуса, который можно положить равным еди-
единице. Тогда в пренебрежении самопоглощением, рефрак-
рефракцией и рассеянием задача сводится к решению двумерного
интегрального уравнения
= J <Р(г,в)<И, (9.44)
где dl = 6(г/ — p/sin ij) + x ctg ^)dxdy. Пусть <p(r, 0) —
однозначная, конечная и непрерывная функция; тогда ее
можно разложить в ряд Фурье
Ф(Л6)= 2 ф,(г)ехр(Ё/9), (9.45)
j = -oo
<pj (г) = BЯГ1 j Ф (г, 9) ехр (- i/9). (9.46)
о
Подставляя эти выражения в (9.44), получим [273]
/ ОМ») = 2 S ехр №) f (г2 - РТ1/2 Фп (г) X
з р
X cos[/ arccos (plr)]rdr. (9.47)
Поскольку f(p, я|?) есть функция в полярных координатах
(р, г|;) в единичном круге, ее также можно разложить в
ряд Фурье:
•/0м|>)= 2 Ыр)ехр(ДО), (9-48)
J=-0O
где /* (р) = Bл) j / (р, х|5) ехр (_ i;^) d^. (9.49)
Сравнивая (9.47) и (9.49), находим, что задача решения
интегрального уравнения (9.44) свелась к решению систе-
165

мы одномерных интегральных уравнений типа Абеля:
1
р (р) = 2 j (г2 — р2)~1/2 Ф,- (г) cos [/ arc cos (p/r)] rdr. (9.50)
p
Поскольку Qj(x) = cos [/ arc cos z] — полиномы Чебы-
шева (четные) 1-го рода, окончательно система (9.50)
запишется в виде
1
П (р) = 2 \ (г> - рТ1/2 Ф; (г) Qt (p/r) rdr. (9.51)
р
Б работе [64] приведены аналитические формулы об-
обращения интегральных уравнений (9.51) для малых гар-
гармоник (/ = 0, 1, 2). Однако имеется общая формула обра-
обращения [273]:
<Pj (г) = — я d
dr.
(9.52)
(В этом выражении полиномы Qj(x) уже рассматриваются
для области х ^ 1.) Очевидно, что для нулевой гармоники
(/ = 0) автоматически получается формула обычной ин-
инверсии Абеля (9.3).
В последующих работах Кормака формулы (9.51),
(9.52) обобщены на случай неограниченной плоскости
[274], а двумерная задача (9.44) — на случай трехмер-
трехмерного интегрального уравнения, когда объект исследуется
в широком телесном угле [275].
Следует отметить, что алгоритм (9.45) — (9.51) свел
исходную двумерную задачу к серии одномерных, но все
еще интегральных уравнений 1-го рода. В работе [274]
Кормак довел проблему до системы линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений введением разложений по ортогональным
полиномам
г»
2 2 fl}sin[(/4-2A+l)arccospb (9.53)
fe=o
<Pj (г) = 2 a){j+2k + 1) R) (г), (9.54)
166

Рис. 31. Результаты восстановления локальной интенсивности
рентгеновского излучения плазмы токамака PLT в одном
из режимов (т = 2), представленные в виде изолиний (а)
и в трехмерном изображении {б) [353].
где Д}(г)= 2 {-
'[m\(j -\-k
— те)! (ft— те)!]
-1
(9.55)
— полиномы Цернике [21]. Эффективность использования
этих выражений проверялась как в тщательном абсорб-
абсорбционном эксперименте по рентгеновскому просвечиванию
физической модели [275], так и при математическом моде-
моделировании [352].
В реальном плазменном эксперименте методы Кормака
использовались недавно для восстановления магнито-
гидродинамических «тиринговых» мод в токамаке PLT
[353]. Определялись низшие моды в (9.45) / — 0, 1, 2, 3,
соответствующие относительно медленным компонентам
периодической эволюции объекта. На рис. 31 приведен
результат восстановления локального поля рентгеновско-
рентгеновского излучения плазмы с полоидальным модовым числом
волны т = 2.
Интересно, что в работе Кормака [275], кроме того,
изложены основы другого метода, независимо открытого и
развитого Мальдонадо и неоднократно уже применявше-
применявшегося в газодинамических и плазменных исследованиях
[324—326, 328, 337, 338, 354, 365]. Изложим кратко
этот подход в модификации Мальдонадо [337]. Ортого-
Ортогональное разложение для ф(г, Э) записывается в виде
167

где
oo
9)= 2 (v«(r)cosme + pm(r)sinm0)U7in, (9.56/
Pm (Г) = Qm (Г) 2 ^ W ^Г («), (9.57)
Qm(r) = (ar)mexp (- a2r2) (а/я)8,
(r) = (- \)kk\ [(m + 2A)I] Lt (aVa).
Здесь w0 = 0,5, u?m = 1 (m Ф 0), L™ (а2г2) — обобщенные
полиномы JIareppa, а — числовой параметр, влияющий на
сходимость рядов, а коэффициенты ряда В™(а) и Z)™(a)
содержат основную экспериментальную информацию
5Г (a) = j cos nv^dip j [/ (p, ^) Hm+2h(ap)+f(p, л—Ц) X
0 -oo
хЯт+2й(— a/?)Jrfp, (9.58)
¦•' b™ (a) = J sin 7m|3d\|? J [/ (p, г|з) Hm+2k (ap) — / (p, я —
0 —oo
— *)ЯЯ1+2Л(—ap)]dp,
Нт+гъ{ар) — полиномы Эрмита.
Опубликованные в литературе приложения данного ме-
метода обычно относятся к объектам с плоскостью симметрии
относительно ч|э = 0. Б этом случае формулы (9.56) — (9.58)
существенно упрощаются:
00
Ф (^ 9) = 2 Vm (г) cos m6
т=0
Р«(г) = О, (9.59)
Л оо
ЯГ (а) = 2 j cos mydjp j / (p, ф) Hm+2k {ар) dp.
0 —oo
Впервые этот алгоритм в плазменной диагностике ис-
использован в работе [326], где восстанавливались коэф-
коэффициенты эмиссии спектральных линий аргона в свободно
горящей аргоновой дуге атмосферного давления, возму-
168

Рис. 32. Распределение ко-
коэффициентов эмиссии арго-
аргоновой плазмы &(х, у)
(в отн. ед.) в плоскости
у = О для двух значений
расстояния от катода A).
г = 3,18 мм B) и 3,8 мм {3)
[326].
-5,06 О
i I т
5,06 10,15
х,мм
щенной внешним магнитным полем (ток 400 А, поле-
Зб-10~4 Т). Излучение плазмы измерялось в семи направ-
направлениях с равномерным разбиением диапазона углов ty от
0 до 90°. Суммирование рядов (9.59) и (9.57) проводилось
до конечных пределов, и на основе предварительного
математического эксперимента они выбирались соответ-
соответственно равными М = 10 и К = 20.
На рис. 32 приведены результаты восстановления с по-
помощью описанной методики локальных распределений
излучения линии Аг1 X = 696,5 нм в двух плоскостях^
находящихся на различном расстоянии от катода [326].
Более детальные исследования этой дуги с получением
изолиний ее локальных температур выполнены в работе
[337]. Рассматриваемый алгоритм успешно применялся и
для исследования азотной дуги в магнитном поле, обдува-
обдуваемой поперечным газовым потоком [354], со следующими
параметрами: ток 24 А, скорость обдува V = 0,6 м/с,
индукция магнитного поля В = 15-Ю-4 Т. X — 868 нм,
Д\|э = 15°. На рис. 33 приведены изотермы такой дуги в
одном из ее поперечных
сечений.
К недостаткам метода
Мальдонадо следует отне-
отнести в первую очередь
необходимость суммиро-
суммирования большого числа
Рис. 33. Поле изотерм (сплош-
(сплошные линии) и массопереноса
(штриховые) азотной дуги в
скрещенных магнитном поле
и газовом потоке.
J — 6400 К, 2—6600, 5 — 6800,
4 — 7000 К [354].
169

членов рядов (9.56) — (9.57) в случае сильно асим-
асимметричных распределений. Например, при восстановле-
восстановлении модельного профиля ударных волн в работе [328]
использовалось около 2000 членов. Задача суммирования
обобщенных рядов Фурье с неточно заданными коэффици-
коэффициентами является некорректной [217], естественно, так же
как и исходная задача решения интегрального уравнения
1-го рода (9.43). Поэтому использование произвольного
обрезания суммирования, несогласованного с уровнем
погрешности эксперимента, может привести к резкому
усилению ошибки в восстановленной функции. В работе
[167] предложена регуляризованная версия метода Маль-
донадо, позволяющая находить граничные значения для
К и М на основе критерия невязки [217]. Удобно, что в
этой модификации для поиска К и М нет необходимости
многократно определять решения задачи фмк(>% б)- До-
Достаточно найти решение уравнения
ЦД(Р, ФI?а = *2. (9.60)
где s — норма ошибки измерения функции f(p, г|э), а
Д(р, гр) — функция невязки, для нахождения которой в
[167] разработан и опробован в модельных расчетах эффек-
эффективный алгоритм.
§ 3. Вопросы онлайновой аппроксимации
Отдельного рассмотрения заслуживает использование
при решении обратных задач особых степенных полино-
полиномов-сплайнов. Применение таких полиномов весьма эф-
эффективно, в частности, при решении тех интегральных
уравнений, для которых известны аналитические обраще-
обращения, как это имеет место для преобразования Абеля
(9.2) или Радона (9.43). Тогда известная функция, для оп-
определенности, например, интенсивность излучения плазмы
f(x), аппроксимируется сплайном и полученное выраже-
выражение подставляется в формулу обращения, скажем, урав-
уравнения Абеля (9.3).
Сплайном обычно называется определенная в области
D кусочно-полиномиальная функция, для которой суще-
существует разбиение D на подобласти такое, что внутри каж-
каждого интервала функция представляет собой многочлен
некоторой степени к [133]. Кроме того, эта функция не-
170

прерывна в области D вместе со всеми своими производ-
производными до (к — 1)-го порядка и имеет интегрируемую с
квадратом производную порядка к. Наиболее употреби-
употребительны в приложениях кубические полиномы, т. е. к = 3.
Поскольку экспериментальные измерения /(#), которые
нам надо аппроксимировать, содержат ошибки измерений,
следует использовать сглаживающие сплайны, т. е. функ-
функцию, проходящую не по заданным значениям f(x), а более
плавно.
Рассмотрим применение статистической регуляриза-
регуляризации в построении кубических сплайнов при решении ин-
интегрального уравнения Абеля [46]. На каждом из отрез-
отрезков разбиения оси абсцисс [xh а^ы], i = 1,2, . . ., п — 1,
будем приближать экспериментальную кривую f(x) ку-
кубическим полиномом Sa(z):
Sa(x) = щ + bt{x - Xi) + ct{x - xtf + dt(x - xt)z. (9.61)
Эта функция обладает следующими свойствами: а) она
минимизирует функционал
R
Фа [S (х)] = a j {S"{x)Y dx + J] (h -S {Xi)flPi, (9.62)
0 i=l
где pi {pi>0) — веса измерений, например их дисперсии,
fi = f(xi)', б) функция Sa(x) и ее первые две производные
Sa(x), Sa(x) всюду непрерывны на [О, Л], т. е. Sa(x)e
^CfOiRy,B)SUO) = n.O), K(R) = f'(R)- краевые ус-
ловия для сплайна.
В работе [46 ] показано, что при заданном параметре
сглаживания а решение уравнения Абеля (9.2) запишется
в виде
ф (г) = _ л U {г, г, хт) 4- 2! U (г, хи xi+1) ,
I i \
U (г, хг, xi+i) = Bci — Ыгхг) {Di+1
+ MiX\ 4- I,5dir2)ln [(xin +
+ l,5di (zi+1Di+1 - XiDi). (9.63)
Здесь Di =¦ {x\ —- r2I 2 , m определяется из условия
^m_! ^ r < xm, а коэффициенты сплайна ah bt, сг и dt
находятся стандартным образом [133].
171

Основную трудность при построении сглаживающего
сплайна представляет выбор параметра сглаживания а,
который ранее считался заданным. Алгоритм оценивания
оптимального значения параметра а, минимизирующего
среднеквадратическую ошибку сглаживания, строится
следующим образом. Пусть г\ — и-мерный вектор погреш-
погрешности измерений с нулевым математическим ожиданием
и заданной корреляционной матрицей Vx\ = <t] •"»]*).
В частном случае некоррелированных помех это будет диа-
диагональная матрица, содержащая лишь дисперсии измере-,
ний s\. Запишем выражение для невязки е(сх) = / —
—Sa(x). Достаточным условием оптимальности а является
тождество [44 ]
Ve (а) = а.УцН*(аНРН* + А)~гНР, (9.64)
где Р — диагональная матрица весов pt, трехдиагональ-
ные положительно определенные матрицы Н и А содержат
в некоторых комбинациях шаги сетки Д^? (см. [44]),
а Ve (а) = <е(а)'е*(°0> — матрица вторых моментов
вектора е(а). Параметр а, не противоречащий в статисти-
статистическом смысле условию (9.59), находится в итерационном
процессе по у = а-1:
Vo>O, 1 = 0, 1, . . ., (9.65)
R (Y) = f*V^PH* (НРЛ* + у А) -1 Hf. (9.66)
В качестве искомого а0 принимается такое значение
у]'\ при котором ДЫеЪ„(р/2), ОпA - р/2)], где
¦Оп([3/2) — это р/2 квантиль ^-распределения с п степеня-
степенями свободы; Р — величина ошибки 1-го рода при проверке
гипотезы (9.64).
Алгоритм апробировался в серии модельных расчетов*
[45], а также применялся при исследовании плазмы, соз-
созданной электронным пучком в разреженном газе [ИЗ].
Сглаживание сплайнами функции f(x) для решения урав-
уравнения Абеля рассматривалось независимо в других рабо-
работах [293, 358, 376]. Однако в них параметр сглаживания
либо полагался равным единице, либо процесс сглажива-
сглаживания проводился на ЭВМ в диалоговом режиме с субъектив-
субъективной подстройкой оператором весов измерений pt в зави-
зависимости от того, насколько «хорошо» изображения на дисп-
172

лее функций f(xt) и S(xt) согласуются друг с другом [293].
В работе [159] сплайны применялись не для сглаживания
f(x), а для аппроксимации функции ф(г). Это повышает
точность квадратурного приближения, однако метод опро-
опробован лишь в модельных расчетах.
Двумерная задача обращения интегрального уравне-
уравнения Радона (9.43) в принципе также может быть решена
с применением сглаживающих сплайнов. При некоторых
ограничениях на искомое решение и измеренную функцию
/(р> 4>) [52, 89, 345] обращение преобразования Радона
можно записать в виде
2Я о°
<р (г, в) = _ DЯ2)-1 f dt j (р- р0Г* f (Pl I) dp,
0 -°° (9.67)
po = rsinF — I).
(В этих обозначениях ? = i|) — л/2, см. рис. 30.) Проводя
интегрирование по частям, можно получить другие моди-
модификации этого выражения [89, 247, 362]
Я <х
Ф (г, 6) = - Bл2) j dt j (p - A,) [Of (p, ЪIдр] dp,
О —о°
(9.68)
Я со
tp (г, 9) = -Bл2) J dt j [52/ (р, 1)/дрЦ In | р - р0 | dp.
о — °°
(9.69)
Здесь внутренние интегралы понимаются в смысле глав-
главного значения. Для них удобны следующие представления
[309, 364]:
Ф (г, в) = - Bл2)-1 j dt j rfp.p-2 [/ (p0 + p, |) +
b о
+ f(Po-/'.l)-2/(po,g)], (9.70)
Л с»
Ф (г, в) = - Bл;2) j d| j d/ь/Г1 [5/ (р0 + р, |)/др -
о о
-5/(po-p,l)/dp]. (9.71)
В численной реализации выражений (9.70), (9.71) необ-
необходимо обходить особенность в нуле%
173

Как видно из представлений решения задачи
(9.68)—(9.71), вновь встает проблема численного дифферен-
дифференцирования экспериментально измеренной функции, в дан-
данном случае—функции двух переменных. Это можно сделать
с помощью сглаживающих двумерных сплайнов. Однако
эффективные алгоритмы такого рода отсутствуют, и даже
процедуры интерполирования бикубическими сплайнами
много сложнее одномерных кубических [133]. Поэтому в
целях упрощения задачи можно последовательно приме-
применить одномерные сплайны для сглаживания отдельных
распределений f(p, 1г) при фиксированных значениях уг-
углов |j. Такая методика опробована в работах [137, 139],
где сплайны строились с использованием параметра сгла-
сглаживания а, который выбирался не по методу [46], а по
критерию невязки [217].
С целью уменьшения времени счета на ЭВМ выражения
(9.70) — (9.71) удобно преобразовать к следующему ви-
ДУ 179]:
я
Ф (г, В) = - BЯ2)-1 j d\J [p0 (I), I), (9.72)
0
со
J (Po, I) = J dp -p'2 [f (p0 + pЛ) + / (Po - PЛ) -
0
-2/(pOf?)], ' (9.73)
oo
J (Po, I) = j dp-p~l [df (p0 + p, l)/dp -
о
(9.74)
Если насчитать массив значений функции J(p0, |) на
достаточно густой сетке значений переменной р0 при раз-
различных |, то далее можно получить значение искомой
функции (9.72) в заданной точке {г, 9) либо (х, у), исполь-
используя интерполяцию на нужные значения /:
pQ(r, 9) = г sin (8-?) (9.75)
или
ро(х, у) = у'cos I — х sin |. (9.76)
На рис. 34 приведены результаты восстановления рас-
рассмотренным способом осесимметричной и асимметричной
174

Рис. 34. Задача плазменной томографии. Восстановление модель-
модельных функций (9.77), (9.78) обратным преобразованием Радона
(9.72), (9.73) путем использования сглаживающих сплайнов. .
а) М = 6, п = 21; б) М =.12, п — 47.
модельных функций вида
qp(r, 9) = ехр (—а2г2)
2
и ф (ж, г/) — 2 ехр [— &2 (ж — #гJ — с2 (г/ —
(9.77)
(9.78)
где а = 12,5; в функцию f(p, Ь) вводилась нормальная
случайная ошибка в 1% (рис. 34, а). Для модели (9.78)
параметры выбирались равными: Ъ = 2,7; с — 3,7; ^х =
= —0,2; г/х — —0,5; х2 — 0,2; у2 = 0,5; ошибка «изме-
«измерений» 5% (рис. 34, б). Восстановление осесимметричной
модели с резкими градиентами характеризует возможные
искажения — артефакты, вносимые в решение самим
алгоритмом реконструкции. Приведенные результаты по-
получены при весьма малом числе направлений наблюде-
наблюдения: 6 проекций с шагом Д? = 30°.
Такое число направлений диктовалось необходимостью
исследования метода в условиях его применения к частной
экспериментальной задаче [136]. Увеличение числа на-
направлений в численном моделировании до 12—18 суще-
существенно улучшает угловое разрешение метода. Результаты
обработки с помощью данного алгоритма спектральных
измерений, выполненных в винтовой аргоновой дуге,
помещенной в продольное магнитное поле, приведены в
следующей главе.
175

ГЛАВА 10
МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
И ДИАГНОСТИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
В ходе всего предшествующего изложения приводилось
вемало примеров с целью продемонстрировать эффектив-
эффективность тех или иных алгоритмов применительно к различ-
различным задачам диагностики плазмы, однако, по-видимому,
нелишне в заключение дать небольшую подборку допол-
дополнительных иллюстраций. Для большего разнообразия
будут рассмотрены одно-, дву- и трехмерные задачи, в том
числе нелинейные. Чтобы примеры по своему физическо-
физическому содержанию не создавали впечатления чересчур пест-
пестрой картины, решено было затронуть лишь два круга
проблем: во-первых, восстановление основных функций
распределения (далее сокращенно ФР) для компонентов
плазмы (одномерные задачи); во-вторых, пока еще немно-
немногочисленные, но очень перспективные эксперименты по
плазменной томографии (многомерные задачи). Значитель-
Значительная часть примеров взята из оригинальных работ авторов.
§ 1. Восстановление ФР электронов
по энергиям с помощью зондовой характеристики
Метод электростатических зондов, разработанный
Ленгмюром еще в 1924 г., широко применяется и по на-
настоящее, время для измерения важнейших характеристик
ионизованных сред, таких как низкотемпературная плаз-
плазма разнообразных типов газового разряда и послесвече-
послесвечения, области ионизации за ударными волнами, пламена,
МГД-течения и плазменные струи, а также атмосферная и
космическая плазма. Всевозрастающие требования к точ-
точности и достоверности лркальных зондовых измерений,
стимулируют развитие новых теоретических исследований,
позволяющих постепенно продвигать зондовую методику
от неподвижной плазмы к движущейся, от разреженной
к плотной, от «спокойной» к турбулентной, а также учиты-
учитывать наличие магнитного поля, химических реакций
и т. п. [240].
176

На фоне огромной массы работ по зондовым измерени-
измерениям количество попыток (притом не всегда удачных) не
предполагать наличия равновесной (максвелловой) ФР
электронов или ионов по энергиям, а определять эту ФР
по зондовой характеристике невелико. Например, в весь-
весьма обстоятельной уже цитированной монографии [240]
такого рода исследования вообще обойдены молчанием.
Легко убедиться, что основная трудность решения ука-
указанной задачи связана с ее неустойчивостью. В самом деле,
в неравновесной слабо анизотропной плазме обычно уда-
удается выделить из полной ФР для электронов cp(r, v) (г —
координата, v — скорость частицы) составляющую
A0.1)
зависящую только от суммы кинетической и потенциаль-
потенциальной энергий е. Если характерное время, определяемое от-
отношением дебаевского радиуса к тепловой скорости
иона, значительно меньше времени пребывания зонда в
плазме, то для плотности электронного тока на зонд можно
записать [2401:
Я/2 оо
/ - 2neNe j cos 9 sin 0^9 \ v3 [ 1 — т] (г;, 9)] ф (е) dv, A0.2)
о о
где е, т, Ne — заряд, масса и плотность электронов соот-
соответственно; V — потенциал плазмы относительно зонда;
ц(и, Q) —• коэффициент упругого отражения электронов
от зонда; 9 —- угол между вектором скорости электрона и
внутренней нормалью к поверхности выпуклого зонда.
Обычно ц -С 1, и тогда
оо
j=2neNem-2 \ (е - eV) <p (e) ds. A0.3)
eV
Дважды дифференцируя A0.3) по V, приходим ^"извест-
^"известной формуле Дрювестейна:
d2j/dVz =¦ 2ке*МефУIт%. A0.4)
В равновесном пределе ф —у фМ, где
= (т!2лкТе)№ ехр (-е/АГ,), A0.5)
Н. Г. Преображенский, В. В. Пикалов

получаем из A0.3) формулу Ленгмюра:
7 =¦= (eNe(v}/4) exp (—eV/kT,), A0.6)
позволяющую элементарным образом находить по зондо-
вой' характеристике плотность Ne и температуру Те
электронов плазмы.
В некоторых случаях (см., например, [252]) выгодно
накладывать на зонд отрицательный модулированный
потенциал U = V 4- AV(t), фиксируя' в зависимости от
V плотность тока /2(й на второй гармонике либо некоторые
комбинации гармоник (при многочастотной модуляции).
При этом из A0.3) получается следующая формула:
^B)^{B)de, A0.7)
о
где ядро имеет вид
П оо
A (eV, е) = (AeNe!m2) j cos B©*) d (cot) f (ef—eU) б (е—е')<*е\
0 eU
A0.8)
Если AV(t) — a cos (at, то
A(eV, e) = DeaNe/Sm2)[l - {V — FJ/a2]3''2, V = b/e,
A0.9)
причем в отличие, например, от большинства задач спект-
'роскопии «аппаратная функция» оказывается финитной,
т. е. за пределами интервала F' + a^F^F' — а
A(eV, в). = 0, а значение функции в максимуме определя-
определяется амплитудой модуляции. Если последняя выступает
в роли малого параметра задачи, то в результате разло-
разложения A0.7) в ряд находим.
/9(й (V) са const-а2фУ). A0.10)
Итак, в любой из постановок, сводящихся к решению
интегральных уравнений Вольтерра A0.3) или Фредголь-
ма A0.7) 1-го рода либо к двойному дифференцированию
функции j(V) A0.4), содержащей шумовой компонент,
мы приходим к некорректной задаче, требующей регуля-
регуляризации.
178

Математическое моделирование задачи производилось
в работе [170]. Алгебраизация интегральных уравнений
A0.3) и A0.7) осуществлялась с помощью формулы Симп-
сона, причем верхний бесконечный предел заменялся ко-
конечным (eVm) с таким условием, чтобы остаток интеграла
был всегда меньше ршибок измерений зондового тока. Рас-
Распределение последних считалось подчиненным нормально-
нормальному закону и вводилось двояким способом: как случайный
шум с постоянной дисперсией либо как шум с постоянным
коэффициентом вариации.
Использовались регуляризующие схемы Тихонова с
выбором параметра а по невязке F.8), Мартине — Кря-
нева F.42) и статистическая с поиском байесовского ре-
решения G.45) и с выбором а в «слоистом ансамбле» G.53).
Существенной частью алгоритмов было применение ап-
аппроксимирующей функции F.40), в качестве которой вы-
выбиралась максвеллова ФР A0.5), причем «температура»,
фигурирующая в формуле A0.5), оценивалась из зондовой
характеристики методом наименьших квадратов.
Приведем некоторые результаты модельных расчетов
(рис. 35). В этих случаях решалось уравнение A0.3)
без введения аппроксимирующей функции. Во всех слу-
случаях коэффициент вариации правой части равнялся 5%.
Таким образом, эффект от введения аппроксимирую-
аппроксимирующей функции вполне очевиден. Заметим, что если в этой
функции искусственно варьировать «температуру», внося
тем самым систематические искажения, то изменения Т
даже в пределах 40—50% по сравнению с оптимальным
значением обеспечивают все же лучшее восстановление
ФР, нежели в схемах без аппроксимирующей функции.
Исследовались, кроме того, недоопределенные модель-
модельные задачи* в которых область восстановления Авх пре-
превышала энергетический интервал измерений зондового
тока Дв2 = eVm. В этих случаях реализация алгоритмов
опирается на понятие нормального решения. Численными
расчетами показана возможность уверенного определения
ФР при отношениях A&j/Ae2 ~ 1,5 -г- 2.
На рис. 36 приведены результаты решения уравнения
Фредгольма A0.7) с наложенным потенциалом, который
модулирован по закону косинуса. Наблюдается ухудше-
ухудшение точности восстановления хвостовой (высокоэнергети-
(высокоэнергетической) части ФР с ростом ошибки измерений /2ffl (Т7).
Изучалась также зависимость относительной погрешности
179

S,sB
Рис. 35. Сравнение исходной ФР
(сплошная линия) с результатами
восстановления методом Тихонова
A), статистической регуляризации
B) и применением аппроксимирую-
аппроксимирующей функцпп C)'.
20 6,эВ
Рис, 36. Влияние погрешности из-
измерений на качество восстановления
ФР по формуле {10.7).
Коэффициент вариации для j2@ (V): 1 —
1 % ; 2 — 3 % ; з — 5 %.
восстановления ФР,
близкой к равновесной,
от отношения еа/кТ (а—
амплитуда модуляции).
Ошибки характеризо-
характеризовались коэффициентом
вариации, равным 3%.
Как показывают расче-
расчеты, использование ус-
условия d <C kTle ведет к
заметному повышению
погрешности восстанов-
восстановления. Между тем эк-
экспериментаторы (см.,
например, [252]) в пого-
погоне за простотой Чщенки
ФР тина A0.10) часто
стремятся выбрать имен-
именно малые значения а.
Укажем теперь на
некоторые работы, в ко-
которых методы регуля-
регуляризации использова-
использовались для непосредствен-
непосредственной обработки экспери-
экспериментальных зондовых
характеристик с целью
восстановления ФР. Не
останавливаясь на до-
довольно несовершенных
приемах, основанных на
полиномиальных пред-
представлениях зондовои ха-
характеристики с после-
последующим двойным диф-
дифференцированием (см.
статьи Е. К. Ерощен-
кова и др., цитирован-
цитированные в [132]), отметим
прежде всего работы [263] и [375]. В работе [263] иссле-
исследовалось послесвечение гелия при давлении 80 Па и силе
тока ОДА. Применялся модулированный потенциал,
а для решения уравнения A0.7) привлекался метод Ти-
180

Рис. 37. Результаты об-
обработки зондовых ха-
характеристик для пяти
положений зонда отно-
относительно диаметра ла-
лазерной трубки; расстоя-
расстояния в миллиметрах от-
счлтываются от оси
трубки.
Сплошная линия — восста-
восстановленная ФР; штрихо-
штриховая — аппроксимирующая
функция; пунктирная —
распределение Дрювестей.
го е,эв
хонова в его стандартной форме. Объектом диагностики
в [375] служил положительный столб газового разряда в
гелии, а также в смеси гелия и цезия; давление и сила то-
тока в разряде были примерно такими же, как в [263 J.
Регуляризация тоже осуществлялась методом Тихонова,
но уже в применении к уравнению Вольтерра A0.3).
Параллельно ФР находилась спектральным методом, опи-
описанным далее; оба результата восстановления, по утверж-
утверждению авторов, различались не более чем на 20%, правда,
сравнение производилось по наклону соответствующих
кривых, изображенных в логарифмическом масштабе.
Прокомментируем несколько подробнее работу [94],
в которой использовались различные регуляризующие
алгоритмы и описанные результаты моделирования [170].
В данном случае импульсный зондовый метод служил для
локальных измерений ФР в плазме Аг+-лазера. На рис. 37
приведены типичные результаты обработки зондовых
характеристик (с поправкой на ионную составляющую
плотности тока) для пяти положений импульсного микро-
микрозонда, который смещался вдоль диаметра трубки лазера,
работавшего при давлении 56 Па и плотности тока
102 А/см2. Сплошной линией показана восстановленная
ФР с привлечением аппроксимирующей функции по опи-
описанной схеме. Сама эта аппроксимирующая функция
(т. е. . распределение Максвелла с «температурой» Те,
найденной методом наименьших квадратов) нанесена
181

Штриховой линией, а пунктиром изображено распределе-
распределение Дрювестейна
Фл(е) ='CD exp [0,55(е/<е»2], A0.11)
где Со — константа нормировки, а <е> — средняя энер-
энергия, вычисленная по восстановленной ФР:
сю
<е>= fe<p(e)de; A0.12)
о
кроме того, по формулам
оо
Nt = 4/ @)/е <у>, <у> = J Bе/теI/2 ф (е) de, A0.13)
о
где /@) — плотность тока на зонд при условии равенства
потенциалов зонда и плазмы в окрестности данной точки,
находилась электронная плотность Ne • На радиальных
зависимостях Ne(r) и (е(г)> обнаружились отчетливо
выраженные минимумы, которые в работе [94] интерпре-
интерпретировать не удалось, поскольку для этой цели были не-
непригодны классические «предельные» модели Шоттки и
Ленгмюре — Тонкса. Достигнутый в последнее время
благодаря теоретическим исследованиям Валентинц
[371, 372] значительный прогресс в построении более об-
общей кинетической теории сильноточного разряда позволя-
позволяет провести такую интерпретацию и понять происхожде-
происхождение указанных минимумов. Мы не будем, однако, углуб-
углубляться в эти специальные вопросы.
Что касается происхождения набора немаксвелловых
ФР, приводимых на рис. 37, то здесь, как показано в [94],
можно дать, по крайней мере, качественное объяснение
на основе укороченного кинетического уравнения Больц-
мана
v(d<p/dr) + (eE/m)(dcp/0v) = —S,, — S la, A0.14)
исследованного В. Л. Гинзбургом и А. В. Гуревичем [55].
В A0.14) Е — электрическое поле, а в интеграле столкно-
столкновений оставлены лишь электрон-электронные и электрон-
атомные члены (в предположении упругих процессов).
Решение можно представить в форме
Ф(е) = Сехр — {т/кТ0) г[1 + 2уВ {v/(v})} x
182

(v»r1dv\, A0.15)
где ¦ *
B(x) = J exp (— уг) dy — 2n~1/zxexp (— хг),
Z = 2 (eE)V3mlkTov!a, У = v«/?vea,
To — нулевое приближение для «температуры» зяектро-
нов; vee и vea — частоты столкновений электрон—электрон
и электрон—атом; ? — доля энергии, теряемой электроном
при упругом столкновении; Та — температура атомов.
Одновременное выполнение неравенств
у » 1, y > TJTO, y>Z, A0.16)
что соответствует сравнительно небольшим электриче-
электрическим полям и значительной ионизации плазмы, обращает.
A0.15) в максвеллову функцию. В противоположном
случае
V< I, V< TJTOi y<Z, A0.17)
и при условии, что сечение упругого взаимодействия
электрон—атом слабо зависит от энергии, приходим к ФР
Дрювестейна A0.11).
Поскольку в результате решения обратной задачи
<е(г)> и Ne{r) известны, не представляет труда оценить
значения характеристического параметра у для различных
точек внутри лазерной трубки. Для центра трубки полу-
получается у — 140; для двух крайних точек у ~ 40. Таким
образом, согласно A0.16), в центре плазмы электроны
максвеллизованы в большей степени, нежели вблизи
стенок. Вместе с тем нет оснований ожидать, что в цент-
центральной части трубки ФР будет почти максвелловой,
а в периферийных частях — почти дрювестейновской,
поскольку все неравенства A0.16) или A0.17) одновремен-
одновременно не выполняются. Все сказанное вполне подтверждает-
подтверждается результатами восстановления ФР электронов по энер-
энергиям для различных режимов разряда в трубке аргоно-
аргонового лазера, в частности теми, которые приведены на
рис. 37.
183

§ 2. Восстановление ФР электронов
по энергиям из сплошного спектра
Эффективным способом определения ФР электронов
плазмы по энергиям, а также основных моментных ха-
характеристик (Д. и Те), когда плазма близка к локальному
термодинамическому равновесию (ЛТР), может служить
интенсивность излучения в континууме. В расчетном пла-
плане ситуация оказывается особенно простой, когда опреде-
определяющим является тормозное излучение на ионах. Если от
интегральных по лучу зрения значений энергетической
яркости сделан переход к локальным величинам /(v)
(например, с помощью преобразования Абеля), то связь
/(v) с ФР ф(е) такова (см., например, [67]):
ОО
f(v) = C f E-v\{E)ds, ' A0.18)
hv
где С ~ Z2NeNi (Z — эффективный заряд ионов, Nt —
их плотность). Для слабо неоднородной плазмы специаль-
специального перехода к локальным величинам обычно не произ-
производят и полагают С ~' Z2NeNil0, где 10— характерный
размер плазмы по лучу зрения. Отметим еще широко ис-
используемый на практике результат: если подставить в
A0.18) максвеллово распределение A0.5), то для /(v),
имеющей смысл локального (в точке г) коэффициента ис-
испускания e(v, г), получаем
ф, г) = aZ*G,f NeWNiWkTAr))-1* X
X exp [—hv/kTe(r)]t A0.19)
где а = 6,36- Ю-47 ед. CGS, Gff — фактор Гаунта.
Вернемся к формуле A0.18). Было бы, конечно, оши-
ошибочным пытаться находить ср(е) по относительным интен-
сивностям тормозного континуума, как это предлагали
некоторые авторы [241], записывавшие соотношение
Ф (i>i)/<P (vt) = / К) v1/2// (v3) vx2/2, A0.20)
где v1 и и2 — два значения модуля скорости электрона.
Непосредственно видно, что A0.20) следовало бы из фор-
формулы A0.18) лишь в монокинетическом пределе, противо-
противоречащем самой постановке задачи.
184

Последовательное регуляризоваяяое решение обрат-
обратной задачи, формулируемой в виде уравнения A0.18),
осуществили авторы работы [216]. Объектом исследования
была адиабатическая, ловушка для плазмы, нагреваемой с
помощью электронно-циклотронного резонанса. Измере-
Измерения интенсивности излучения проводились в диапазоне
энергий 20—150 кэВ с помощью сцинтилляционного
у-спектрометра с кристаллом Nal (Te) и амплитудным
анализатором. Фактически приходилось решать уравне-
уравнение, значительно более сложное, нежели A0.18), посколь-
поскольку необходимо было принять во внимание целый комплекс
аппаратурных эффектов: конечную разрешающую силу
спектрометра, поглощение квантов во входных окнах и
упаковке кристаллов и т. п. Соответствующие аппарат-
аппаратные функции удалось аппроксимировать аналитическими
формулами, что привело лишь к более сложному ядру
уравнения типа A0.18), но не изменило характера задачи.
Восстановление ф(е) производилось по классической схе-
схеме тихоновской регуляризации, описанной в гл. 6, со ста-
стабилизатором О1ф] первого порядка. Основной физический
результат работы состоял в обнаружении второго локаль-
локального максимума у ф(е) в области энергий е ~ (80—
85) кэВ. При этом было показано, что вид ФР существенно
не меняется за время сохранения «поперечной» энергии
плазмы.
Целый ряд интересных диагностических возможностей
открывается при переходе в спектре тормозного излуче-
излучения из коротковолновой области, использованной в [216],
в длинноволновую, а именно в инфракрасный (ИК) кон-
континуум в интервале длин волн 3 ^ 'к ^ 3-Ю3 мкм [189].
Применительно к плазме с Те ~ 1 эВ и выше обработка
результатов абсолютных измерений интенсивности ИК-
континуума привлекательна прежде всего потому, что:
а) молекулярный спектр практически отсутствует:
б) радиационной рекомбинацией при условии hvlkTe <C
«С 1 можно пренебречь; в) наложения циклотронного
излучения, возникающего в присутствии магнитного по-
поля, обычно без труда удается избежать. В связи с этим,
несмотря на довольно существенные трудности чисто
экспериментального характера, ИК-методика уже к
1970 г. нашла применение при диагностике плазмы, соз-
создаваемой с помощью ударных труб, в установках, работа-
работающих на встречных магнитных полях и в режимах Z- и
185

10
Рис. 38. Участки спектров тормозного континуума в ИК-области
для Те = ЫО4 К, 10 = 1 см (а) и Те = 5-1U6 К, 10 = 1 см (б)
(данные расчета [189]).
J — прямоугольная, г — треугольная функции источника.
в-шгача, скользящих вакуумных искр, плазменных сгуст-
сгустков, генерируемых электродинамическими инжекторами,
плазменных аргоновых струй и т. п. (см. библиографию в
работе [189]). За прошедшее время спектр приложений
еще более расширился.
На рис. 38 приведены рассчитанные в [189] зависи-
зависимости /(v) в предположении JITP. Штриховой линией обо-
обозначен ход планковской функции
B(v, Те) = 2hv3c-4exp(hv/kTe) - 1J-1 ~
~ 3,07.10-3V7V A0.21)
В данном случае достаточно приближения Релея —'
Джинса; Те измеряется в градусах К, v — в см-1, В—
в эрг/(см2-ср); почти во всей рассматриваемой спектраль-
спектральной области существенную роль играет реабсорбция излу-
излучения, в связи с чем в основу расчета положено уравнение
радиационного переноса. Стрелками на рис. 38 Отмечены
электронные плазменные частоты \р — (e2Njnm)^2,
вблизи которых интенсивность континуума, вообще гово-
говоря, должна резко изменяться [67]. Однако участки в
области v «< vP можно отнести к излучению плазмы,
электронная плотность которой уменьшена, скажем,
186

в к раз, а толщина слоя увеличена в к2 раз; vp уменьшена
при этом в 7с1''2 раз.
Если теперь для оптически прозрачной области про-
производить восстановление ф(е) с помощью A0.18), то поми-
помимо условия гладкости ф(е) [216 ] можно использовать важ-
важные дополнительные данные о моментах функции <р(е),
которые, в свою очередь, можно извлечь, фиксируя «от-
«отсечку» излучения на плазменной частоте, а также область
«черного излучения», соответствующую прямолинейно-
прямолинейному участку на рис. 38. Несколько подобных приемов опи-
описаны в [189]. Таким образом, открывается хорошая воз-
возможность для применения алгоритмов дескриптивной
регуляризации.
В тех случаях, когда собственное излучение плазмы
мало, для диагностических целей с помощью A0.18) мож-
можно воспользоваться спектром торможения электронов на
специально вводимых мишенях [8]. Авторам [8] удалось
таким- способом зарегистрировать на ФР плато при теоре-
теоретически предсказанных энергиях; однако в работе ис-
использован алгоритм, основанный на поиске монотонных
решений, что весьма рискованно, поскольку не всегда
можно выявить структуру ФР типа дополнительного
максимума.
При диагностике низкотемпературной плазмы со сред-
средней энергией электронов порядка 1 — 10 эВ существенным
становится учет тормозного излучения на нейтральных
атомах/а также фоторекомбинации. В работе [41] рас-
рассматривалась модельная задача о восстановлении ФР по
спектру тормозного излучения на атомах. В данном слу-
случае вместо формулы A0.18) следует записать:
Qa(v,E)E1%(e)de, A0.22)
hv
где С г ~ S0v2NeNa,
Qa(Vf g) = A6eV3mc2h)e(l — Av/2e)(l —
So — сечение токовой области разряда, Na — концентра-
концентрация нейтралов, Qp(a) — эффективное сечение передачи
импульса при столкновении электрона с атомом [246].
Хотя по сравнению с A0.18) формула A0.22) является
более громоздкой, в чисто математическом отношении
процедура решения остается прежней, и мы не будем оста-
187

Навливаться на чисто технических деталях. Отметим толь-
только полезную для качественных оценок зависимость /(v)
от силы разрядного тока ia, давления р и поперечного се-
сечения tSV
для тормозного излучения электронов на ионах /(v) ~ i%X
X S^1, для тормозного излучения электронов йа атомах
/ (v) ~ idp, для участка континуума молекулярного спектра
/ (v) ~ idSo.
Вопрос о восстановлении ФР при одновременном уче-
учете как тормозных, так и фоторекомбинационных процессов
рассматривался в работе [269]. Ядро интегрального опе-
оператора представляется в этом случае в виде суммы
K(v, е) = Kt + К.2, A0.23)
где Кх относится к тормозному спектру, а
tf8 = Ahv%onb(hx — e — en) A0.24)
n
— к фоторекомбинационному. Здесь гп — энергия иони-
ионизации с п-го уровня, on(v) — сечение процесса фотоиониза-
фотоионизации, А = const. Обычно сумму в A0.24) удается ограни-
ограничить сравнительно небольшим числом членов. Если вдо-
вдобавок средняя энергия электронов <&> -С (Еп — ?n-i),
то интенсивность фоторекомбинации пропорциональна
cp(Av — Еп), так что с учетом тормозного излучения мы
приходим к устойчивому линейному интегральному урав-
уравнению 2-го рода. Коль скоро в операторе К2 все же при-
приходится учитывать несколько членов суммы, то, как по-
показывает анализ [269], в результате алгебраизации за-
задачи мы вновь приходим к системе линейных уравнений
с достаточно хорошо обусловленной матрицей. Выполнен-
Выполненные модельные расчеты относились к излучению водород-
водородной плазмы в области баль-
меровского континуума. Эмис-
Эмиссионный* спектр оказался весь-
весьма чувствительным к форме
ФР; в качестве примера на
рис. 39 сплошной линией по-
Рис 39. Модельная задача по вос-
восстановлению ФР электронов по
энергиям из бальмеровского конти-
континуума; — исходная ФР; +НЬ
результат восстановления.
188

казана заданная двугорбая ФР U), а 2 — результат ее
восстановления в условиях «наброса» на вычисленный
спектр 3%-ной случайной погрешности.
§ 3. Определение плазменных ФР
по линейчатому спектру
Различные аспекты связи ФР электронов по энергиям
с формой контура линии оптического спектра, а также с
ее интегральной интенсивностью рассматривались в не-
нескольких работах. Так, Куперман [278], исходя изпрос-
той двухуровневой модели атома, оценивал влияние от-
отличия ФР свободных электронов от максвеллова распре-
распределения на радиационные потери плазмы и установил,
что это влияние может быть чрезвычайно сильным.
В [185] сделаны некоторые оценки влияния неравно-
неравновесности ФР на форму и интенсивность отдельной линии
в условиях оптически тонкой и оптически плотной ялазмы.
В частности, показано, что при прочих равных условиях
в случае немаксвелловой ФР должен иметь место более
крутой спад функции источника от центра к границе
плазмы; контур линии при этом сильнее самообращен,
а интегральная интенсивность уменьшена. Однако вопрос
о том, правомерна ли в связи с подобными выводами по-
постановка обратной задачи о восстановлении ФР по ха-
характеристикам линейчатого спектра, по существу, в ука-
указанных работах остался открытым. Фактически боль-
большинство экспериментаторов отвечало на этот вопрос от-
отрицательно, поскольку, например, ту или иную дополни-
дополнительную дефррмацию профиля линии можно отнести за
счет различных факторов, не обязательно связанных с
видом ФР электронов по энергиям.
Более радикальный с точки зрения эксперимента, хотя
и менее универсальный в теоретическом плане подход
был предложен в работе [2531. Если считать, что для опи-
описания оптического спектра плазмы применима корональ-
ная модель (предполагается, что заселение уровней идет
за счет прямого электронного возбуждения и каскадных
процессов, а дезактивация — за счет спонтанных перехо-
переходов на нижележащие уровни), то для набора полных
интенсивностей линий можно записать выражение
сю
/ (х) = CN0Nev (x) f Q (х, е) е1/2ф (е) <к. A0.25)
189

Здесь No — концентрация нормальных атомов, Q — эф-
эффективное сечение возбуждения, ek(x) — пороговая энер-
энергия возбуждения. Величина х, конечно, не является не-
непрерывным аргументом функций /, v и Q: фактически
это номер линии; однако х с определенной степенью
приближения можно трактовать как некий «размазанный
по спектру» параметр, что формально позволяет расцени-
расценивать соотношение A0.25) как интегральное уравнение
Вольтерра 1-Рв рода относительно ф(е). Тогда, решая
A0.25), можно получить информацию о распределении
электронов в диапазоне энергий [а, Ь], где величины ц
и Ъ определяются из. условий:
а = min {eh(x)}, b = min {bh},
b oo
f Q (x, e) e1/2<p (e) <fe ~ J Q (x, e) 81/2<p (e) dt. A0.26)*
a a
Выражение A0.25), вообще- говоря, нетрудно обоб-
обобщить, приняв, например, во внимание ступенчатые про-
процессы, когда
I
No
k \ ее
+ 2 UH1 2 Akr) Noi j" Qih (x, е)е1/2Ф (е) de}, A0.27)
где Noi — заселенность i-го унергетического уровня,
Qtk — сечение ступенчатого i -*¦ к возбуждения, Ahi —
вероятности спонтанных переходов- к -*¦ i, ейг(ж) =
= гк(х) — Ег(х). Решение обратной задачи о восстановле-
восстановлении ф(е) в ф°Рме A0.27) при наличии необходимых для
расчета данных позволило бы, конечно, значительно рас-
расширить как диапазон исследуемых плазменных объектив,
так и диапазон энергий [а, Ъ]. Однако дефицит надежных
данных, касающихся Qih, Aki и т. п., пока что сдерживает
такого рода работы.
Результаты обстоятельного математического модели-
моделирования задачи в форме A0.25) содержатся в статье
[42]. В частности, проведением регуляризации по Тихоно-
Тихонову , изучались зависимости точности восстановления ФР
от закона распределения погрешностей отношения
190

IINuNe, уровня этих погрешностей, числа использован-
использованных линий, вида функции Q(x, г); исследовалась также
возможность восстановления тонкой структуры ФР,
В другой работе той же группы авторов [40 J, а также в
уже упомянутой публикации [375] приводятся данные
обработки диагностического эксперимента для положи-
положительного столба низковольтной дуги в гелии. Привлека-
Привлекались как синглетные, так и триплетные линии гелия с
резко различной формой функций оптического возбужде-
возбуждения. Интересный результат этих исследований — уста-
установление факта значительного дефицита быстрых электро-,
нов в плазме, нараставшего с увеличением давления.
Та же методика применялась Е. А. Кралькиной [104]
для изучения отрицательного свечения разряда в гелии
(при этом для энергий е ~ 30 эВ зафиксирован локаль-
. ный максимум), а также радиального катафореза в смеси
гелия с натрием. Кроме того, по найденным ФР восста-
восстановлено эффективное сечение возбуждения линии гелия
7065 А от порога до 40 эВ, которое в пределах погрешнос-
погрешности эксперимента совпало с сечением, измеренным мето-
методом электронных пучков. Таким образом, несмотря на
положенную в основу метода заведомо упрощенную физи-
физическую модель, прием восстановления <р(е) по набору ин-
тенсивностей линий зарекомендовал себя положительно.
Линейчатый спектр может быть богатым источником
информации и о других ФР, важных для задач физики
плазмы. Рассмотрим, в частности,: обратную задачу для
ФР микрополя плазмы, исследованную в работе [26].
Как известно, вычислениям внутриплазменного элект-
электрического поля ф(Е) посвящено много работ (см., напри-
например, монографию [112] и обзор [128]). Так, уже более
шести десятилетий назад Хольцмарком при простейших
приближениях (ионы неподвижны и их положения не
коррелированы, воздействие электронов пренебрежимо
мало) получен следующий результат:
ср(Е)<Ж - ц{Е)ЛпЕЧЕ = Ж{Е1Е0)йЕ1Е,
со
Ж ф) = Bр7я) j sin pVexp (- хзП) dx, A0.28)
о
OS
Ео = 2,6O3.e7Vf3, j Ж ф) df> = i.
191

В данном случае ФР зависит только от модуля поля и
описывает переход от гауссова распределения слабых
полей к бинарному распределению сильных полей. Обще-
Общеизвестно значение ФР Хольцмарка для построения тео-
теории контура спектральных линий в плазме и решения
множества других задач статистической теории плазмы.
В дальнейшем разными авторами предпринимались
многочисленные попытки уточнить результаты Хольц-
Хольцмарка. Наибольшую известность получили работы Эккера
и Мюллера (см. монографию 1249]), Мозера и Баранже
1257], Хупера 1301]. Так, в работе [257] за исходную в
расчете ф(Е) взята точная формула
Ф (Е) = Г j б (Е - 2 eZiTi/rf) exp (-H (Pi, п)/кТ) х
X ПФАЛ[[ехр(- Н{щ,т{IкТ)Лйщйт^\ A0.29)
где H(pi, тг) — гамильтониан системы, а интегрирование
ведется по всему конфигурационному пространству. Груп-
Групповое разложение по степеням плотности заряженных
частиц дает в нулевом порядке формулу Хольцмарка,
а в первом порядке — результат, практически совпадаю-
совпадающий с выкладками [249, 301]. Вычисления возможны и в
следующих порядках, однако они весьма громоздки.
Естественный интерес вызывает задача восстановления
ФР плазменного микрополя непосредственно из экспери-
эксперимента, в частности по линиям водородного спектра. Дли-
Длительное время на этом пути вставали серьезные препятст-
препятствия, вызываемые не только неустойчивостью соответствую-
соответствующей обратной задачи. В работе [26], однако, показано, что
восстановление у(Е/Е0) по контуру линии Н§ бальмеров-
ской серии вполне реалистично. К числу преимуществ,
связанных с выбором именно этой линии, относятся высо-
высокая степень изученности физических факторов, опреде-
определяющих форму контура //р, отсутствие у этой линии не-
несмещенного штарковского компонента, малое влияние на
контур эффекта Доплера, самопоглощения, столкновений
типа атом — атом, относительная легкость учета аппара-
аппаратурных искажений, удобный для измерений спектраль-
спектральный интервал.
192

Возьмем ДЛЯ простоты Часто получаемую s дуговИх
разрядах равновесную водородную плазму с температу-
температурой Т = 1~2 эВ и концентрацией электронов Ne =
— ЮгвЧ-101а см-*. В этих условиях уширение контура
бальмеровской линии электронами мон<но рассматривать
в ударном, а уширение ионами — в квазистатическом
приближениях [128]. Тогда задача сводится к решению,
интегрального уравнения ФредгОльма 1-го рода:
к о
NhIk j Ф (Р) [(со - о>0 - СфГ + чН
/((о)-Д/1-Д/,. (Ю.ЗО)
Здесь Д/х и Д/а — соответственно поправки на нестатич-
нестатичность поля ионов и его неоднородность на длинах порядка
атомных к «экспериментальному» контуру /(со), относи-
относимому к некоторой точке плазмы и содержащему случай-
случайную погрешность измерений; JVft, Ih и С* — заселенности
верхних подуровней, индивидуальные интенсивности и
коэффициенты смещения штарковских составляющих ли-
линии; соо — центральная частота; уе — электронная удар-
ударная полуширина; р1 = Е/Ео. Техника- расчета величин
Nk, Ih и Ск хорошо известна [68]; полуширина уе рас-
рассчитывается по формуле
yt = l6,Ve <i;,> pi [0,33 + In (pu/po)], A0.31)
где
{пъ
пап' — главные квантовые числа верхнего и нижнего
уровней, pD — дебаевский радиус. Отметим еще, что по-
поправка АД приводит к некоторому «заглаживанию» про-
провала в центре линии, а Д/а — к асимметрии области про-
провала; их явный вид здесь не приводится (см. для справок
обзор [128]).
В [26] обратная задача решалась методом статисти-
статистической регуляризации. При моделировании использова-
использовались ФР Хольцмарка, Хупера, Баранже — Мозера с ва-
вариацией основных параметров плазмы (Г, Nt). В этих
расчетах, включавших, конечно, введение в правую часть
A0.30) случайной составляющей, имитировавшей ошибки
эксперимента C—5%), работоспособность алгоритма была
193

Рис. 40. Результаты восстановления
ФР микрополя плазмы.
J — распределение Хольцмарка (точное
решение); г — распределение Баранже —
Мозера (JVe = 1,7-lQ1' см-', Т =
= 17 800 К, р = 0,94 атаг); 3 — восста-
восстановленное распределение с коэффициен-
коэффициентом вариации правой части 4%; й — обра-
обработка эксперимента Берингера.
полностью подтверждена (рис.
40). Во всех случаях заметные
расхождения между точным и
восстановленным решениями обнаруживались лишь при
больших значениях р4, соответствующих «хвостовой» час-
части ф(Р).
Далее обрабатывались экспериментально полученные
контуры линии Н$, представленные авторам Берингером
[26]; описание техники эксперимента содержится в [260].
Съемки контуров сопровождались независимыми измере-
измерениями давления р и локальных значений температуры
плазмы. Электронная плотность Ne находилась непос-
непосредственно из уширения линии Н$ по стандартной методи-
методике [68]; состав плазмы рассчитывался в предположении
ЛТР, причем при подсчете атомных статистических сумм
ос
Z = 2 gn exp (- EJkT) A0.32)
л=о
ряд не обрывался на некотором конечном номере п = N,
а оставался формально бесконечным, но зато вместо ста-
статистических весов gn входили произведения gnan. Коэф-
Коэффициенты ап характеризуют вероятность ионизации ато-
атома с уровня п за счет взаимодействия с микрополем; они
легко вычисляются (например, для модели Хупера) кван-
квантованием спектра атома водорода в параболических коор-
координатах [198]. Отметим, что значения Ne, получавшиеся
при расчете состава плазмы, были близки (в пределах
10—15%) к значениям, найденным по контуру линии //р.
После этих предварительных расчетов находилось ре-
гуляризованное решение уравнения A0.30). Типичный
результат показан на рис: 40, 4. Его можно было аппрок-
аппроксимировать ФР, рассчитанными по модели Баранже —
Мозера [257] или Хупера [301] (различие между ними в
данном случае несущественно) (см. рис. 40, 2). Отметим,
194

что функции ф(р) соответствует число частиц в дебаев-
ской сфере No ^ 8. Расхождения между восстановлен-
восстановленной и аппроксимирующей ФР намечаются при Р ^ 2,
т. е. в области, где, с одной стороны, хуже действует ал-
алгоритм восстановления, а с другой — вступает в силу
приближение «ближайшего соседа» [112].
§ 4. Определение кинетических характеристик
плазмы по спектру рассеяния лазерного излучения
В отличие от ранее рассмотренных методов техника ла-
лазерного рассеяния при правильном ее применении позво-
позволяет избавиться от посторонних возмущений, вносимых в
плазму (зонды Ленгмюра), а также от необходимости Со-
Совершать весьма нетривиальный переход к локальным ве-
величинам от измеренных интегральных (спектроскопия).
Лазерное рассеяние обеспечивает высокое пространствен-
пространственное и временное разрешение для широкой области плаз-
плазменных режимов и основных определяющих параметров.
Рассмотрим вопрос о восстановлении ФР электронов
и ионов плазмы по энергиям и компонентам скорости с
помощью излучения /s(cos), рассеянного под углом 6 в
телесный угол dQ при условии, что это излучение фикси-
фиксируется на расстоянии, значительно превышающем, как ла-
лазерную длину волны, так-и размер исследуемого участка
плазмы. Хорошо известно (см., например, [76, 190, 245]),
что
/5 (ш.) сШсо8 = I(r\HNef (k. со) dud(*s, A0.33)
где It — средняя мощность падающего излучения, г0 =
= е2/тс2 — классический радиус электрона, Н — гео-
геометрический фактор задачи, /(k, to) — функция спектраль-
спектральной плотности, k = ks — к;, to = о, — coj, к =
— (Ап/Х) sin (9/2) — модуль волнового вектора, индексы
«s» и «?» характеризуют рассеянное и падающее излучение.
ФР по скоростям (аргумент-вектор) для электронов и
ионов плазмы определяют спектральную плотность
/(к, со) довольно сложным образом. Ограничиваясь слу-
случаем щгзамагниченной бесстолкновительной стационар-
стационарной плазмы и условием, когда релятивистские эффекты
пренебрежимо малы, можно, следуя Розенблюту и Рос-
195

токеру {350], записать следующую формулу, связываю-
связывающую /, ц>е и фг:
/(к, со) - Bя/Л)|1 - GjzWe{u>lk) +
4- BnZlk)\GiU\\i{iMlk). A0.34)
Здесь Z — заряд иона, Ge, Gt — электрические воспри-
восприимчивости, определяющие диэлектрическую проницае-
проницаемость плазмы: е = 1 + Ge+ ft. Связь Ge и Gt с фе и
Ф^ исследована Ландау и для¦электронов имеет вид
G, (k, со) = ((йре/к2) J (к/ (а> - kv)] (d<pe/0v) dv +
-f (inw^/A2) J 6 (w - kv) ft {dcpjdx) d\, A0.35)
где (ope — электронная плазменная частота, первый ин-
интеграл берется в смысле главного значения, а слагаемое
с мнимой единицей описывает процесс недиссипативного
затухания. Выражение для ионной восприимчивости по
структуре повторяет A0.35) с соответствующими замена-
заменами: фе -> фь <йре -V <йр1-.
Таким образом, обратная задача восстановления
фе(у), фг(у) по спектру Is((os) даже при упомянутых рань-
раньше значительных физических упрощениях остается не-
нелинейной и представляется весьма сложной.
Тем не менее возможны дальнейшие упрощения. При-
Приводя задачу к безразмерной форме, мы убеждаемся, что
перед интегралами появляется характерный параметр
а = {кря)-1, где pD — дебаевский радиус, причем для
неравновесной cpe(v) в рр вместо температуры должна
входить характерная энергия электронов. Величину а
обычно называют параметром Солпитера. Когда а «С 1,
электроны рассеивают падающую волну некоррелиро-
некоррелированно, что позволяет радикально упростить связь между
/(к, ш) и фе(у) (ФР ионов в этом случае как бы вырождает-
вырождается' в б-функцию)
/ (к, со) ja^o = Bn/k) J <р. (v) б (со - kv) dv. A0.36)
Обращаясь к_ результатам гл. 9, видим, что A0.36) есть
преобразование Радона функции фДу) в трехмерном
пространстве скоростей, откуда следует, что
dQ. A0.37)
d (со/АK
196

В некоторых случаях удобнее воспользоваться выраже-
выражением
X в [(w/fc) — (vk/fc)]rf (ц>/&) dfl, A0,38)
также следующим из теории инверсии Радона. Вильям-
сон и Кларк 1381] рассмотрели ряд вычислительных ас-
аспектов, связанных с формулами A0.37) и A0.38), а также
попытались оценить влияние на процесс восстановления
tpe(v) реЛятийистских эффектов. Для надежного опреде-
определения трехмерной ФР электронов по скоростям, вообще
говоря, необходимы измерения спектра рассеяния по
многим направлениям. Мы сталкиваемся здесь с одной из
типичных томографических задач, которые более подроб-
подробно обсуждаются ниже.
Для сферически-симметричной (в пространстве скорос-
скоростей) задачи восстановление ФР по модулю скорости
(fe(v) оказывается особенно простым. В самом деле, по-
поскольку для некоторой проекции vx
A0.39)
TO ix
<р (v) = - Bяу) ~х (<*//*>*) \vx=v (Ю.40)
Любопытно, что в данном случае переход к одномерной
задаче дает формулу обращения более простую, чем фор-
формула абелевой инверсии.
Разумеется, во всех рассмотренных выражениях пред-
предполагается, что задача восстановления ФР будет решать-
решаться с применением методов регуляризации. Подчеркнем,
что, подстановка в A0.36) максвелловой функции для
фе(у) дает чисто гауссову форму спектра рассеяния; при
этом по интенсивности сигнала рассеяния находится Ne,
а по полуширине — температура Те.
По мере роста параметра Солпитера а структура спект-
спектра рассеяния даже для равновесной плазмы эволюциони-
эволюционирует довольно сложным образом: интенсивность в центре
линии рассеяния уменьшается, а центральный максимум
заглаживается; на частотах, определяемых дисперсионным
соотношением Бома — Гросса
A0.41)
197

по обе стороны от центра линии появляются сателлиты,
интенсивность которых нарастает. Кроме того, в центре
линии возникает узкий пик с шириной, характеризующей
тепловую скорость ионов. При неравновесных <ре и <р(
картина становится еще сложнее.
Как отмечалось, если при а -С 1) определить истин-
истинную ионную ФР не удается, то при а 2> 1 ситуация ме-
меняется на обратную, хотя возможность восстановить
электронную ФР при этом все-таки остается. Наиболее
интересна промежуточная область, когда в принципе обе
ФР можно пытаться находить по одному спектру рассея-
рассеяния. Важно, что при этом нет особых проблем с разделе-
разделением вклада в спектр от той и другой ФР, поскольку
имеет место резкое различие средних скоростей электро-
электронов и ионов, благодаря чему сначала при крупномасштаб-
крупномасштабном разбиении спектра можно находить фе, а затем, пе-
переходя к более мелкому масштабу, фг. В математическом
отношении обе обратные задачи совершенно идентичны;
вследствие этого можно принять, что в A0.34) <рг- — G{ =
— 0 и исследовать нелинейное уравнение в безразмерной
форме вида
G[ф] = а2р f (х-у)'1 [dyldy] dy +
¦ +. |
+ ш J б (х — у) [dyfdy] dy .
В указанной постановке задача изучалась А. Е. Булшпе-
вым и А. Е. Суворовым.
При решении задачи удобно ввести конечные отрезки,
определяющие пределы изменения переменных х и у,
а также равномерные сетки на них. Интегральный опера-
оператор алгебраизуется обычным образом по формуле трапе-
трапеций, для дифференциальных операторов берется второй
порядок точности по шагу в соответствии с формулой
(ф')г = (фиг — q>i-i)/2h. На концах отрезка с учетом фи-
физического содержания задачи можно выбрать нулевые
граничные условия
(<p')x = (Ф'Ь = 0. A0.43)
198

Таким образом,
= /„, п = 1,2, . . .,#, A0.44)
где К — нелинейная вектор-функция от ф. Далее, соглас-
согласно схеме, описанной в гл. 8, не представляет труда вычис-
вычислить матрицу Фишера задачи, определить ее собственные
числа, а также оценить «коэффициенты усиления» уп
погрешностей восстановления компонентов вектора <рп.
Была выполнена большая серия модельных расчетов с
различными ФР q>(x), в результате которых выяснилось,
что во всех случаях величины уп ~-1, иными словамиj
обратная нелинейная задача, формулируемая в виде
A0.42), устойчива. Из чисто качественных соображений
по структуре первой из формул A0.42) этот результат
можно было предвидеть, хотя прямой расчет представлял-
представлялся все же необходимым. Подчеркнем, что вывод об устой-
устойчивости задачи относится, вообще говоря, только к идеа-
идеализированной ее постановке, когда аппаратная функция
прибора, регистрирующего спектр рассеяния, предпола-
предполагается б-обраэ«ой, падающая волна считается идеально
плоской и монохроматической и т. п. Тем не менее неустой-
неустойчивость задачи, которая может проявиться в реальной
ситуации при учете осложняющих ее факторов, устраняется
с помощью стандартных методов регуляризации.
Для решения системы уравнений A0.44) можно да-
далее применять различные методы, описанные, например,
в [233]. Удобен, в частности, в силу быстрой сходимости и
простоты реализации на ЭВМ метод Ньютона:
ф(й.|.1) = ф(*)+ /-i(<p(A))[f _ K(<p(*))], A0.45)
где матрица Якоби J s={dKn/dq>m} обращается методом
Гаусса — Жордана. Обратим внимание еще на одну рас-
расчетную деталь. Если за начальное приближение в A0.45)
выбрать наблюдаемый спектр рассеяния, отягощенный,
разумеется, случайной погрешностью, то при вычислении
производных (dy/dx) в силу неустойчивости операции
дифференцирования случайной функции итерационный
процесс A0.45) может быть расходящимся несмотря на
устойчивость задачи в целом. В этом случае, однако, труд-
трудность устраняется использованием сглаживающей сплайн-
аппроксимации [204].
Прямые модельные расчеты осуществлялись по схеме
«замкнутого цикла» с различными ФР. Один из результа-
199

Рис. 41. Пример восстановле-
восстановления ФР электронов по модулю
скорости v из спектра томсо<-
новского рассеяния. Уровень
шума в спектре 10%.
j _ точное решение; 2 — резуль-
результат восстановления.
тов, когда вводимая в f(x)
погрешность составляла
10% от значения ординаты
в каждой точке, приведен
на рис. 41. Следует отметить, что оценки уп с помощью мат-
матрицы Фишера, которые неизбежно являются приближен-
приближенными в силу нелинейности задачи, тем не менее во всех
случаях хорошо согласуются с распределением погреш-
погрешностей, даваемым прямым расчетом. Таким образом, про-
процедура восстановления ФР электронов и ионов плазмы по
скоростям на основе спектров лазерного рассеяния в ши-
широком диапазоне значений параметра Солпитера может
быть рекомендована для обработки реального диагности-
диагностического эксперимента.
v
§ 5. Задачи двумерной плазменной томографии
Перейдем к рассмотрению некоторых характерных
•примеров многомерных обратных задач локальной диаг-
диагностики плазмы.
Прежде всего проиллюстрируем результаты примене-
применения алгоритмов, описанных в гл. 9 (§ 3), к задаче восста-
восстановления асимметричного температурного поля аргоно-
аргоновой дуги, помещенной в продольное магнитное поле [138—
140]. Длина дуги и внутренний диаметр канала составля-
составляли 90 и 3 см соответственно; давление в камере — 105 Па;
ток дуги — 100 А; расход газа — 0,25 г/с при направле-
направлении потока от катода к аноду. Центральная часть электро-
электродугового столба помещалась в продольное магнитное по-
поле, которое создавалось двумя соленоидами. Предвари-
Предварительные исследования показали, что без наложенного маг-
магнитного поля дуговой столб стационарен и занимает
центрально-симметричное положение. Начиная с некото-
некоторого значения индукции магнитного поля, дуга становит-
200

-1,5 -0,9 -QfZ 0,3 0,9 1,5
Рис. 42. Восстановление поля температур Т(х, у) осесимметричной
дуги в аргоне по алгоритму (9.72), (9.73); В = 0, z — 10 см.
1 — 8700 К, 2 — 9150, 3 — 9400, 4 — 9550 К.
ся нестационарной и ее аксиальная симметрия нарушает-
нарушается. Для определения поля температур измерялось попе-
поперечное распределение абсолютной интенсивности излу-
излучения плазмы 7(р, |) в континууме одновременно с шести
направлений наблюдения путем фотографирования кино-
кинокамерой СКС-1М блока световодов [140]. Съемки прово-
проводились в области пропускания интерференционного свето-
светофильтра с максимумом на длине волны 465 нм и полуши-
полушириной спектрального интервала 5 нм. Время экспозиции
кадра 0,25 мс. Полученные изображения показали, что
уже при индукции магнитного поля В = 0,001 Т нару-
нарушается осевая симметрия плазменного столба, он смещает-
смещается от оси камеры и вращается вокруг оси.
На рис. 42 приведен результат обработки с помощью
описанного алгоритма обратного преобразования Радона
с использованием сглаживающих сплайнов (9.72), (9.73)
данных измерений 1{р, |) для случая выключенного маг-
магнитного поля (В = 0); расстояние от катода z = 10 см.
Как видно из рисунка, максимум температуры находит-
находится строго в центре камеры и Ттах = 9660 К; ошибки
восстановления осесимметричного объекта невелики, что
является хорошей проверкой не только алгоритма восста-
восстановления, но и процедуры калибровки пропускания излу-
излучения световодами, а также геометрической привязки
оптической системы измерений к центру камеры.
На рис. 43 приведены примеры восстановления полей
г{х, у) аргоновой дуги при включенном магнитном поле в
201

Рис. 43. Поля температур аргоновой винтовой дуги в продольном
магнитном поле (В = 0,001 Т, z = 45 см, Q = 0,25 г/с, /0 = 100 А,
D = 3 см) в четыре момента времени t.
а — 3,3 мс (9920 К); б — 7,5 мс (9860 к); в — 9,9 мс (9500 К); г — 13,5 мс
(9730 К).
различные моменты времени. На рис. 44 изображено пос-
последовательное во времени положение изолинии темпе-
температуры Т = 9150 К, отражающее динамику вращения
дугового столба плазмы в продольном магнитном поле за
один оборот плазмы вокруг оси камеры.
0,3-
0,5-
-0,5-
-0,9-
-1,5
Ч_
I I
' -1,5 -0,9 -0,3
да,
J //2
i i
0,3 0,9
Рис. 44. Динамика локальных
полей температур аргоновой ду-
дуги (ее параметры те же, что и на
рис. 43) — последовательное из-
изменение во времени изолинии
температуры Т = 9250 К, О —
центр канала.
— 8 — положения максимумов темпе-
температур соответственно: 1 — 9820 К
@ мс); 2—9920 К C,3 мс); з~
9680 К E,7 мс); 4 — 9860 К G,5 мс);
* — 9590 К (8,4 мс); 6 — 9500 К
(9,9 мс); Г — 9340 К A2,0 мс); 8 —
9730 Ц. A3,5 ир).
202

Следует отметить, что развитие подобных пространст-
пространственно-временных исследований в реальном эксперименте
эволюции электрической дуги должно привести к сущест-
существенному совершенствованию теории дугового столба
[224].
Уместно будет упомянуть здесь также работу 1334],
в которой авторы выполнили восстановление локальных
профилей интенсивности спектральных линий гелия и
водорода в тороидальной установке Тогтас IV. Реконст-
Реконструкция проводилась одним из методов бурно развиваю-
развивающейся рентгеновской томографии [294, 359].
До сих пор при рассмотрении спектральных методов
диагностики плазмы мы ограничивались в основном опти-
*чески тонкой плазмой. Однако такое ограничение не всег-
всегда выполнимо в практически важных случаях, поэтому
существенное значение имеет распространение рассмотрен-
рассмотренных нами алгоритмов на задачи с реабсорбцией излучения
[140, 163].
Мы уже упоминали параметрические подходы к этой
проблеме (см. гл. 8). В рамках малопараметрического мо-
моделирования обычно отыскиваются оптическая плотность,
характеристики функции источника 5{т) и параметры кон-
контура линии тонкого слоя. Один из немногих случаев, ког-
когда можно найти S(x) непосредственно, не привлекая упро-
упрощенных модельных соображений, относится к одномер-
одномерной геометрии. Это прежде всего плоскопараллельный
слой, вгапример фотосферы большинства звезд [201, 318]
(см. гл. 5). Другая одномерная модель — вариант враща-
вращательной симметрии (см. формулы B.20)).
Рассмотрим теперь метод восстановления локальных
коэффициентов эмиссии е(х, у) в общем случае несиммет-
несимметричного оптически плотного плазменного объема [163,
341, 342]. Итак, необходимо решить уравнение
x(x,y)ds'-\ds A0.46)
относительно неизвестной функции е(х, у), если к(х, у)
найдена в результате трансмиссионных измерений из
преобразования Радоне. Проведем описывающую изучае-
изучаемую область плазмы окружность радиуса R и разобьем
получившийся круг на концентрические окружности {}
203

и угловые секторы {9^}. Ёведем также сетку по перемен-
переменным ? и р (рис. 45). Переходя к полярной системе коорди-
координат в A0.46), можно получить [163]
X
2
-р J х(г,
A0.47)
где г = p/sin (9 — ?), 6г = 0;2, 62 = Од (см. рис. 45).
Если теперь ввести кусочно-постоянную аппроксимацию
функции е(г, 8) по г и пока произвольную по 9, то в итоге.*
получается расщепление исходной двумерной задачи на
серию одномерных интегральных уравнений Фредгольма
1-го рода:
|).exp _
iX
X
U9.
A0.48)
Здесь ер(9) — e(r = р, 9), /р(?) — интенсивность излу-
излучения, выходящего только из ?-го кольца радиуса rt ^
^ \Pi\ в направлении | (рис. 45). В результате такого
расщепления можно получать локальные коэффициенты
эмиссии послойно, двигаясь от внешнего кольца к внут-
внутренним; тем самым резко сокращаются требуемые ресурсы
ЭВМ по памяти и времени счета. Подробное изложение
алгоритма решения полученного уравнения и его иссле-
исследование в модельных за-
задачах содержатся в рабо-
работе [163].
Частный вариант мето-
метода послойного расщепле-
расщепления для н(г, 9) = 0 впер-
впервые описан Ченом и Гу-
лардом [271 ] на примере
х
Рис. 45. Схема послойного рас-
щепления.
спектральных
ваний газовых
Регуляризация
исследо-
смесей.
задачи
204

проводилась по схеме Филлипса—Туоми [367] (см. гл. 5),
В более, общем случае х >• 0 алгоритм решения урав-
уравнений A0.48) апробировадся на модельных функциях в
работе [163] с помощью метода статистической регуляри-
регуляризации. Модельные функции выбирались такими:
е (г, 9) = В ехр [- г2 {a*Sl + b*Cl) + Ь2 BrdCe - d2)],
/(/>,?) = И [1-ехр(—Г (/>,?)],
х(г,в) = це(г,0), A0.49)
Т {рг I) = 5я1/а {аЩ + MS,2)'1 ехр [ - [а262 {р - dCtfl X
?г ^ sin г, Сг ^ cos z
и относились к случаю постоянной функции источника
S(x). Нетрудно также получить выражения, подобные
A0.49), для треугольных или параболических функций
источника. Первые же модельные расчеты показали, что
система линейных алгебраических уравнений, аппрокси-
аппроксимирующая интегральное уравнение A0.48), является пло-
плохо обусловленной, что, вообще говоря, естественно. При
этом ее обусловленность очень чувствительна к геометрии
разбиения на секторы. Например, устойчивость решения
на сетке, приведенной на рис. 45, много выше, чем устой-
устойчивость при разбиении, когда координатные оси служат
границами секторов.
Для моделирования случайных ошибок измерения на
модельные функции 1(р, |) и х(г, 8) (которые считались
уже определенными с некоторой погрешностью) осуществ-
осуществлялся наброс случайных величин с нулевым средним и
заданной дисперсией. -,
На рис. 46, а в виде изолиний в полярной системе коор-
координат представлен результат восстановления функции
е(г, 8) при шумах с коэффициентом вариации 1%. Пара-
Параметры модельной функции A0.49): а = 3,5; Ъ = 2,5,
ц = 1, В = \, d = 0. Расчет проводился при равномер-
равномерном разбиении по б и г соответственно на 8 колец и 12
секторов. Здесь сплошная линия — точное решение,
штриховая — восстановленное. Эти же данные представ-
представлены на рис.. 46, б в виде поверхностей. Улучшить данный
алгоритм можно путем повышения точности аппроксима-
аппроксимации е(х, у) и х(х, у) на зонах разбиения, а также увеличе-
205

0 0,1 0,3 0,5
0,9 r
Рис. 46. Примеры восстановления. модельных функций .A0.7) ме-
методом послойного расщепления [263]; \i ~ 1, погрешность 1%.
ния численной устойчивости за счет большего объема
априорной информации в схеме регуляризации [169] с
использованием результатов счета на предыдущем слое
по г.
Отметим, что в задачах лозитронной томографии также
возникает проблема решения уравнения A0.46) [268],
однако разработанные в этой области алгоритмы пока
лишь оперируют со случаем х = const, когда задачу мож-
можно существенно упростить, получив аналог обращенной
формулы Радона, либо интегральное уравнение 2-го ро-
рода [336].
§ 6. Задача трехмерной томографии
Попытки реконструкции асимметричного плазменного
объекта без предварительного «рассечения» его системой
параллельных плоскостей и в результате этого решения
не трехмерной обратной задачи, а набора двумерных за-
задач пока еще единичны [272, 315, 363], хотя теоретически
данная проблема обсуждается уже давно [154, 270, 275].
Тем не менее в работе [333 ] довольно убедительно показа-
показано, что задача трехмерной томографии плазмы даже в
206

X
Рис. 47. Схема томографического плазменного экспе-
эксперимента по четырем направлениям наблюдения.
а — расположение лучей зрения относительно декартовой сис-
системы координат; б — вид сверху; В —направления лучей ла-
лазера, лежащих в плоскости (ху); Р — таблетка.
условиях резко настационарного режима и при малых
размерах самого объекта может быть успешно решена.
Рассмотрим кратко схему эксперимента, проведенного
в [333]. Исследовался очень актуальный в программе ла-
лазерного термоядерного синтеза вопрос о степени однород-
однородности сжатия микромишени (таблетки сферической фор-
формы) в процессе имплозии с помощью СО2-лазеров [231 ].
Рентгеновское излучение образующейся плазмы регист-
регистрировалось одновременно четырьмя камерами-обскурами
с 9-кратным увеличением, в результате чего информация
получалась в виде четырех практически плоских изобра-
изображений (рис. 47). Предполагалось, что по отношению к вы-
выходящему рентгеновскому излучению плазма оптически
прозрачна. На рис. 47, а показано расположение направ-
направлений наблюдения относительно декартовой системы коор-
координат, а на рис. 47, б в плоскости (ху) лежат два луча ла-
лазера, падающих на мишень.
При описанной геометрии эксперимента'удобно ис-
использовать вращающуюся систему координат:
-щ-
Щ
'X'
У
z
7=1 • • • 4
A0.50)
совмещая каждый раз ось Wj с оптической осью /-й каме-
камеры-обскуры и требуя, чтобы ось и}- лежала в горизонталь-
горизонтальной пдоскости. Тогда матрицы вращения в соответствии

с нумерацией направлений /', данных на рис. 47, имеют
вид
0-1 0"
s
_— s
'010
— s 0 s
*
s 0 s
0 s
Т =
71 =

О s s
O—ss
~-1 0 0"
O-ss
О s s_
О О"
A0.51)
0-1/*
Если ф — искомая трехмерная функция источника (коэф-
(коэффициент испускания), а /;- — регистрируемая двумерная
проекция на плоскость, нормальную к направлению /,
то справедлива система уравнений
и
V
IV
-"(а
,4. A0.52)
Не уменьшая общности рассуждений, функции /_,- можно
считать нормированными на единицу, благодаря чему
интегральное испускание плазмы окажется равным еди-
единице.
В работе [333] использовался метод максимума энтро-
энтропии Фридена, подробно описанный в гл. 7. В трехмерной
форме этот метод сводится к поиску максимума выраже-
выражения
= - \
dx
X
У
z
х
У
z
A0.53)
при условии выполнения четырех равенств A0.52). Здесь
V — объем пространства, в котором ф ^ 0. Применяя
метод неопределенных множителей Лагранжа, можно
свести задачу к поиску четырех неизвестных функций
двух переменных: hj(\ I. Эти функции, с одной сторо-
стороны, определяют
Ф1
X
У
Z _
A0.54)
208

где S =
' Т Т Т
1 11 i 12 1 13
т т т
1 21 ¦* 22 * 23J
A0.55)
а с другой — связаны с /у уравнениями, непосредственно
следующими из A0.52):
A0.56)
Таким образом, задача сводится к решению системы
нелинейных уравнений A0.56). В работе [333] для этой
цели использовалась циклическая итерационная процеду-
процедура Гаусса — Зайделя, возможности которой подробно
исследовались в [331]. За начальное приближение выби-
выбиралось следующее:
,@)
A0.57)
Последовательное улучшение приближения состоит в рас-
расчете величин h\%Jrl) по формулам
n
о,
для 7 — i mod 4 + 1,
и
v
и
V
A0.58)
для ]ф i mod 4+ 1. A0.59)
Процедура отличается быстрой сходимостью. Так, для
серии примеров восстановления функции ф, рассмотрен-
рассмотренных Минербо [331, 333], требовалось максимум 6 итера-
итераций для того, чтобы h^+1) и А;г) совпадали в пределах
1%. Оценки ресурса памяти ЭВМ для реализации всей
н. Г. Преображенский, В. В. Пикалов
'209

Рис. 48. Исходные (слева) п восстановленные (справа)
модельные функции источника A0.60) в трех различных
сечениях z --- const; функция /у искажена 5%-ным шу-
шумом. Метод максимума энтропии Фридсна [333].
описанной схемы, приведенные в гл. 7, показали, что
метод максимума энтропии существенно экономичнее ме-
методов, основанных, например, на широко распространен-
распространенных в томографической практике алгоритмах ART.
На рис. 48 показаны результаты математического мо-
моделирования эксперимента по лазерной имплозии, когда
210

за исходный выбирался гауссов профиль:
' х
Ф
У
= 2 ехр{~ 9 [За:2 + х(у -0,1) + 6 (у - 0,1)* -}
1- 3z2]}. A0.60)
Проекции fj находились численно, согласно A0.52), за-
затем для каждой из них производилась дискретизация на
21x21 одинаковых ячеек (пикселей), расчетные данные
искажались 5%-ным нормально распределенным шумом,
после чего применялся алгоритм максимума энтропии
для восстановления A0.60). На рисунке даны двумерные
«срезы» распределения ср при значениях z — —0,25, 0 и
0,25, пргчем слева изображены исходные, а справа —
восстановленные функции. Уровень погрешности не пре-
превышал 10%.
В работе 1331 ] описаны результаты более сложного
математического эксперимента, когда в качестве исход-
исходной функции был взят полый гауссов профиль
У -ехр(-й)-ехр(-2а),
.2 _ /
а =¦- G/2) Eж3 — 2 C) ~г'" ху + 1у- + 4г2).
Также предполагалось, что имеются четыре направления
наблюдения, но изображение для каждой из проекций раз-
разбивалось уже на'50x50 пикселей. Если в рассчитанные
двумерные функции fj шумовая составляющая искусст-
искусственно не вводилась, то уровень случайной погрешности
восстановления не превышал 0,1%, однако кратер поло-
полости был окаймлен четырьмя ложными пиками, положения
которых соответствовали четырем лучам зрения. При вве-
введении в fj случайного 5%-ного шума картина в целом
сохранялась, полость отчетливо выявлялась, системати-
систематическая ошибка (артефакты) не возрастала, но случайная
погрешность увеличивалась, как и в первом примере,
примерно до 10%.
При обработке реального эксперимента сечения вос-
восстанавливаемой функции источника ф различными пло-
плоскостями выводились на цветной дисплей (в условных цве-
8* 211

тах) при дискретизации каждой картины на 100 X 100 пик-
пикселей; размер каждого пикселя соответствовал 3,3 мкм.
Если первоначальный диаметр сферической таблетки сос-
составлял 200 мкм, то после обжатия получался несколько
сплюснутый эллипсоид вращения со средним диаметром
¦~ 60 мкм. Восстановление функции источника ф позволи-
позволило выявить ряд интересных деталей процесса имплозии,
в частности наличие эмиттирующего «сателлита», кото-
который обязан своим происхождением остаточному фрагмен-
фрагменту стеклянной оболочки, покрывавшей таблетку. Серия
полученных трехмерных томограмм давала возможность
осуществить вполне целенаправленное планирование
дальнейших экспериментов по лазерной имплозии.
§ 7. Некоторые вопросы программного
обеспечения задач диагностики плазмы
В заключение представляется уместным сделать не-
несколько замечаний общего характера, связанных со ста-
статусом неустойчивых задач диагностики плазмы, рассмат-
рассматриваемых с позиций современной математической техно-
технологии [92, 100, 250]. Современные тенденции автомати-
автоматизации плазменного эксперимента и его проведения в
режиме реального времени требуют унификации как про-
программ первичной обработки экспериментальных данных,
так я программ последующей физической интерпретации.
При этом нужно иметь в виду большую общность алгорит-
алгоритмов, широко употребляемых в задачах плазменной диаг-
диагностики, с алгоритмами, используемыми в физике атмос-
атмосферы, астрофизике, геофизике, ядерной физике и т. п.
Этот перечень можно было бы, вообще говоря, продол-
продолжить, упомянув также химическую кинетику, биологию,
медицину, многие чисто технические дисциплины. Ясно,
что совершенствование математического и программного
сопровождения родственных и тем более однотипных за-
задач в различных областях науки возможно лишь в рамках
стандартизации вычислительной технологии с переходом
к модульному принципу построения комплексов и пакетов
программ.
Общий подход к разработке больших программных
комплексов (объемом 10*—105 команд) в идейном плане в
основном можно считать уже сложившимся, в частности,
212

на основе методов структурного программирования [69,
71, 237]. Подобного рода методы уже использовались при
создании комплексов программы научно-технических рас-
расчетов таких, как САФРА (система автоматизации физи-
физических расчетов) [50, 65], OLYMPUS (система, специаль-
специально ориентированная на задачи управляемого термоядер-
термоядерного синтеза) [223, 349]. ФИХАР (система программ для
реакторных расчетов). [19]. Упомянем также обладающий
большими возможностями пакет программ [93], пред-
предназначенный для расчетов широкого класса оптико-фи-
оптико-физических параметров плазмы, в частности термодинами-
термодинамических и радиационных характеристик плазменных объек-
объектов с различным компонентным составом в широком диа-
диапазоне параметров.
Примеров создания библиотек и пакетов программ,
специально ориентированных на задачи диагностики плаз-
плазмы, йока еще немного. Кроме уже отмечавшейся в гл. 1
системы ЭОС (ИПМ АН СССР) здесь можно упомянуть
универсальную библиотеку алгоритмов томографии [305],
систему вычислительной графики для трехмерной реконст-
реконструкции объектов по их сечениям [373], модульную сис-
систему программ обработки фильмовой информации
HYDRA для пузырьковых и искровых камер [56]. Одна-
Однако можно с достаточной уверенностью утверждать, что
в самое ближайшее время разработки в этой области прод-
продвинутся намного вперед.
Имеется еще один очень важный и перспективный путь
программной модернизации исследований по диагностике
плазмы. Речь идет об использовании численно-аналити-
численно-аналитических выкладок на ЭВМ [53]. Дело в том, что численно-
аналитический расчетный подход оказался чрезвычайно
плодотворным при исследовании устойчивости высокотем-
высокотемпературной плазмы незамкнутых системах (см., например,
1339]). Опыт физиков-теоретиков Института физики плаз-
плазмы в Гархинге (ФРГ) показал, в частности, что для задач
этого типа при традиционном численном расчете с при-
применением даже самых мощных современных ЭВМ и с зат-
затратами нескольких часов машинного времени удается
лишь (и то не всегда) с минимально допустимой досто-
достоверностью судить об устойчивости той или иной плазмен-
плазменной конфигурации. С другой стороны, чисто аналити-
аналитический расчет тех же задач на ЭВМ редко оказывается
осуществимым из-за ограничений машинной памяти и
213

некоторых других технических и алгоритмических за-
затруднений. Оптимальный путь — разумное совмещение
численных и аналитических методов. Правда, этот путь
также отнюдь не гладок, поскольку известные системы
машинной аналитики значительно более медленнее счи-
считают по сравнению с такими классическими численными
системами, как ALGOL и FORTRAN. Тем не менее ин-
интенсивное изучение проблемы численно-аналитического
синтеза, проводимое во многих ведущих плазменных и
других физических лабораториях, позволяет надеяться
на быстрый прогресс.
Разработка эффективного численно-аналитического ап-
аппарата для решения сложных неустойчивых задач диаг-
диагностики плазмы представляется также весьма много-
многообещающей.

ЛИТЕРАТУРА
1. Аброян М. А., Каган Ю. М., Колоколов Н. Б. и др. Спектро-
Спектроскопическое определение электронной концентрации в дуге
дуошгазмотронного источника ионов.— Опт. и спектр., 1974,
т. 36, № 4, с. 644—648.
2. Александров Е. Б., Изотова С. Л., Мамырин А. В. и др. Фор-
Формирование контуров линии для оптической накачки на резо-
гансных линиях калия.— Опт. и спектр., 1975, т. 38, № 4,
с. 818—820.
3. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное
управление. М.: Наука, 1979. 432 с.
4. Алиев Б. Регуляризующие алгоритмы для нахождения устой-
устойчивого нормального решения 2-го рода на спектре.— ЖВММФ,
1970, т. 10, № 3, с. 569—576.
5. Алиев Б. Оценка метода регуляризации для интегральных
уравнений 2-го рода на спектре.— ЖВММФ, 1971, т. 11, № 2,
с. 505—510.
6. Алифанов О. М. Граничные обратные задачи теплопроводно-
теплопроводности.— ИФЖ, 1975, т. 29, № 1, с. 7—12.
7. Алифанов О. М. Идентификация процессов теплообмена ле-
летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1979. 216 с.
8. Алтынцев А. Т., Красов В. И. Локальные измерения энерге-
энергетического спектра в плазме.— ЖТФ, 1977, т. 47; № 1, с. 44—
50.
9. Аниконов Ю. И. Некоторые методы исследования многомер-
многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Но-
Новосибирск: Наука, 1978. 118 с.
10. Арсенин В. Я. Об одном способе приближенных решений ин-
интегральных уравнений первого рода типа сверток.— Труды
МИ АН СССР, 1973, т. 133, с. 33—51.
11. Арсенин В. Я., Зябрев Н. Б. О построении приближений к оп-
оптимальной фильтрации. М.: препринт ИПМ АН СССР, 1978,
№ 4. 17 с.
12. Арсенин В. Я., Коробочкин А. Ем Сухоруких В. С, Харито-
Харитонов А. И. О методе расчета распределения показателя прелом-
преломления среды по данным интерференционных измерений. М.:
препринт ИПМ АН СССР, 1980, № 13, 17 с.
13. Арсенин В. Я., Савелова Т. И. О применении метода регуляри-
регуляризации к интегральным уравнениям 1-го рода типа свертки.—
ЖВММФ, 1969, т. 9, № 6, с. 1392-1396.
215

14. Баглай Р. Д. О критерии выбора параметра регуляризации,
основанном на вычислении функции чувствительности. —
ЖВММФ, 1975, т. 15, № 2, с. 305—320.
15. Бакушинский А. Б. Об одном численном методе решения ин-
интегральных уравнений 1-го рода.— ЖВММФ, 1965, т. 5, № 4,
с. 744—749. ^
16. Бакушинский А. Б. Некоторые вопросы теории регуляризую-
щих алгоритмов.— В кн.: Вычислительные методы и програм-
программирование. Вып. 12. М.: МГУ, 1969, с. 56—79.
17. Балеску Р. Статистическая механика заряженных частиц. М.:
Мир, 1967. 514 с.
18.'Басов Н. Г., Шиканов А. С, Склизков Г. В. и др. Численная
обработка интерферограмм сильно неоднородных фазовых объ-
объектов.— Физика плазмы, 1980, т. 6, № 5, с. 1167—1173.
19. Башмачников А. И., Загацкий Б. А., Зизин М. Н. и др.
ФИХАР — модульная система программ для реакторных рас-
расчетов.— В кн.: Комплексы программ математической физики
(СКПМФ № 3). Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973, с. 17—
26.
20. Биберман Л. М. Перенос излучения в спектральных линиях.—
В кн.: Низкотемпературная плазма. М.: Мир, 1967, с. 93—101.
21. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 855 с.
22. Бояринцев Ю. Е,, Васильев В. Г. Об устойчивости метода ква-
квазиобращения при решении некорректных эволюционных урав-
уравнений.— ЖВММФ, 1969, т. 9, № 4, с. 951—952.
23. Брекбилл Дж. Численная магнитная гидродинамика для плаз-
плазмы с большим бета.— В кн.: Управляемый термоядерный син-
синтез/Под ред. Дж. Киялина. М.: Мир, 1980, с. 11—50.
24. Булышев А. Е., Ведерников Г. А. Сравпение алгоритмов Кря-
нева и Тихонова, применяемых при решении некорректных
задач.— В кн.: Физическая газодинамика. Новосибирск:
ИТПМ СО АН СССР, 1976, с. 173—178.
25. Булышев А. Е., Изотова С. Л., Пикалов В. В. и др. Методы
регуляризации в абсорбционной спектроскопии.—В кн.: Некор-
Некорректные обратные задачи атомной физики. Новосибирск:
ИТПМ СО АН СССР, 1976, с. 113—117.
26. Булышев А. Е., Преображенский Н. Г. О восстановлении
функции распределения микрополя плазмы по контуру линии
Яр.—Опт. и спектр., 1977, т. 43, № 3, с 565—567.
27. Булышев А. Е., Преображенский Н. Г. К вопросу об информа-
информационной обеспеченности метода магнитного сканирования.—
Опт. и спектр., 1978, т. 44, № 4, с. 823—824.
28. Булышев А. Е., Преображенский Н. Г. Способы интерпрета-
интерпретации многоэкспозиционных изображений потоков двухфазных
сред.— Опт. и спектр., 1981, т. 51, № 5, с. 751—753.
29. Булышев А. Е.', Преображенский Н. Г., Суворов А. Е. Задача
Бибермана — Холстейна с обращением во времени.— В кн.:
Сенсибилизированная флуоресценция смесей паров метал-
металлов. Вып. 6. Рига, 1977, с. 56—60.
30. Вайнберг М^М., Треногий В. А. Теория ветвления решений
нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 527 с.
31. Вайнштейя Б. К. Трехмерная электронная микроскопия био-
биологических макромолекул.— Успехи физ. наук, 1973, т. 109,
№ 3, с. 455-497.

S2. Вайнштейн Л. А. О численном решении интегральных урай-
нений первого рода с использованием априорных сведений
о восстанавливаемой функции.— Докл. АН СССР, 1972, т. 20,
№ E, с. 1331 — 1334.
33. Вайнштейн Л. А., Биргср Е. С, Конюхлва Н. Б. и др. Корот-
Коротковолновая диагностика плазменного шнура.-— Физика плаз-
плазмы, 1976, т. 2, № 4, с. 658—671.
34. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т. 1.
М.: Сов. радио, 1972. 744 с.
35. Василенко Г. И. Теория восстановления сигналов. М.; Сов.
радио, 1978. 272 с.
36. Ведерников Г. А., Преображенский И. Г. К задаче об исключе-
исключении аппаратурных искажений сигнала прямоугольной фор-
формы.— В кн.: Вопросы газодинамики. Новосибирск: ИТПМ
СО АН СССР, 1975, с. 255—256.
37. Ведерников Г. А., Преображенский Н. Г. О некорректных.об-
некорректных.обратных задачах восстановления функций с разрывами про-
производных.— Опт. и спектр., 1978,. т. 44, № 1, с. 204—205.
38. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Методы решения интегральных
уравнений с программами для ЭВМ. Киев; Наукова думка,
1978. 292 с.
39. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной об-
области. М.: Наука, 1964. 267 с.
40. Волкова Л. М., Девятое А. М.", Кралькнна Е. А. Определение
функции распределения электронов по энергиям по интенсив-
ностям спектральных линий в плазме газового разряда.—
В кн.: Некорректные обратные задачи атомной физики. Ново-
Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1976, с. 92—95.
41. Волкова Л. М., Девятое А. М., Кралькина Е. А. и др. О воз-
возможности определения функции распределения электронов
по энергиям из интенсивности сплошного спектра.— В кн.:
Обработка и интерпретация результатов физических экспе-
экспериментов. М.; МГУ, 1976, вып. 5, с. 104—107.
42. Волкова Л. М., Девятое А. М., Кралькина Е. А. и др. Опре-
Определение функции распределения электронов по энергиям по
интенсивностям спектральных линий методом регуляриза-
регуляризации.— В кн.: Некорректные обратные задачи атомной физики.
Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1976, с. 73—91.
43. Воронцов С. С, Гаранин А. Ф., Пикалов В. В. Исследование
осесимметричного водородного факела оптическим методом.—
В кн.: Инверсия Абеля и ее обобщение. Новосибирск: ИТПМ
СО АН СССР, 1978, с. 244—251.
44. Воскобойников Ю. Е. Критерий и алгоритмы выбора парамет-
параметра при сглаживании сплайн-функциями.— В кн.: Алгоритмы
обработки и средства автоматизации теплофизического экспе-
эксперимента. Новосибирск: Ин-т теплофизики СО АН СССР, 1978,
с. 30—45.
45. Воскобойников Ю. Е. Алгоритм обращения уравнения Абеля
с использованием кубических сплайнов.— В кн.: Инверсия
Абеля и ее обобщения. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР,
1978, с. 180—189.
46. Воскобойников Ю. Е. Регуляризующий алгоритм обращения
уравнения Абеля.— ИФЖ, 1980, т. 39, № 2, с. 270—274.
47. Воскобойников Ю. Е., Томсонс Я. Я. Выбор параметра регу-
217

ляризаЦии и ошибки восстановления входного сигнала в ме-
методе статистической регуляризации.— Автометрия, 1975, № 4,
с* 10-18.
48. Вулих Б. 3. Введение в функциональный анализ. М.:— На-
Наука, 1967. 415 с.
49. Вычислительные методы в физике плазмы/Под ред. Ю. Н. Дне-
Днестровского и Д. П. Костомарова. М.: Мир, 1974. 387 с.
50. Гайфулин С. А., Карпов В. Я., Мищенко Т. В. САФРА. Функ-
Функциональное наполнение. Система OLYMPUS. M.: препринт
ИПМ АН СССР, 1980, № 27. 16 с.
51. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. М.:
Наука, 1978. 296 с.
52. Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я. Интегральная
геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений
(Обобщенные функции. Вып. 5). М.: Физматгиз, 1962. 656 с.
53. Гердт В. П., Тарасов О. В., Ширков Д. В. Аналитические вы-
вычисления на ЭВМ в приложении к физике и математике.— Ус-
Успехи физ. наук, 1980, т. 130, № 1, с. 113 — 147.
54. Гинзбург В'. Л. Распространение электромагнитных волн в
плазме. М.: Наука, 1967. 683 с.
55. Гинзбург В. Л., Гуревич А. В. Нелинейные явления в плазме,
находящейся в переменном электромагнитном поле.— Успе-
Успехи физ. наук, 1960, т. 70, '№ 2, с. 201—246.
56. Говорун Н. Н., Дорж Л., Иванов В. Г. и др. Модульная систе-
система программ обработки фильмовой информации. (Обзор ма-
материалов по системе HYDRA).— В кн.: Комплексы программ
математической физики (СКПМФ № 3). Новосибирск: ВЦ СО
АН СССР, 1973, с. 34—41.
57. Гольцман Ф. М. Статистические модели интерпретации. М.:
Наука, 1971. 328 с.
58. Гончарский А. В., Гущина Л. Г., Леонов А. С. и др. О неко-
некоторых алгоритмах отыскания приближенного решения некор-
некорректных задач на множестве монотонных Функций.—
ЖВММФ, 1972, т. 12, № 2, с. 283—297.
59. Гончарский А. В., Леонов А. С, Ягола А. Г. О применимости
принципа невязки в случае нелинейных некорректных задач
и о новом регуляризующем алгоритме их решения.— ЖВММФ,
1975, т. 15, № 2, с. 290—297.
60. Гончарский А. В., Черепащук А. М., Ягола А. Г. Численные
методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука,
1978, 336 с.
61. Гончарский А. В., Ягола А. Г. О равномерном приближении мо-
монотонного решения некорректных задач. — Докл. АН СССР,
1969, т. 184, № 4, с. 771-773.
62. Гончарский А. В., Ягола А. Г. О решении интегральных урав-
ъ
нений вида Г К (х, s) dg (s) = и (х). —Докл. АН СССР, 1970,
а
т. 193, № 2, с. 266—267.
63. Горбунов А. Д. О решении нелинейных краевых задач для сис-
системы обыкновенных дифференциальных уравнений.— В кн.:
Вычислительные методы и программирование. Вып. 8. М-1
МГУ, 1967, с. 186—199.
218

64. Горбунов Е. П., Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. Оп-
Определение пространственного распределения плотности плаз-
плазмы с помощью фазовых измерений.— ЖТФ, 1968, т. 38, № 5,
с. 812—817.
65. Горбунов-Посадов М. М., Карпов В. Я., Корягин Д. А. и др.
Пакет прикладных программ САФРА. Системное наполнение.
М.: Препринт ИПМ АН СССР, № 85, 1977. 27 с.
66. Грибков В. В., Никулин В. Я., Склизков Г. В. Методика двух-
лучевого интерферометрического исследования осесимметрич-
ных конфигураций плотной плазмы.— Квант, электр., 1971,
№ 6, с. 60-68.
67. Грим Г. Спектроскопия плазмы. М.: Атомиздат, 1969. 452 с.
68. Грим Г. Уширение спектральных линий в плазме. М.: Мир,
1978. 492 с.
69. Дал У., Дейкстра Э., Хоар К. Структурное программирование.
М.: Мир, 1975.
70. Денисов А. М. Об аппроксимации квазирешений интеграль-
интегрального уравнения Фредгольма 1 рода специального вида.—
ЖВММФ, 1972, т. 12, № 6, с. 1565-1568.
71. Дзержинский Ф. Я., Тер-Сааков А. П. Технология программи-
программирования — структурный подход. (Учебно-методическое посо-
пособие). М.: ЦНИИатоминформ, 1978. 88 с.
72. Емельянов В. А., Жаврид Г. П. Методы численного решения
задач, возникающих при оптических исследованиях осесим-
метрйчных неоднородностей.— ИФЖ, 1962, т. 5, № 4, с. 64—
70.
73. Жуковский Е. Л. Статистическая регуляризация алгебраиче-
алгебраических систем уравнений.— ЖВММФ, 1972, т. 12, № 1, с. 185—
191.
74. Жуковский Е.-Л., Морозов В. А. О последовательной байесов-
байесовской регуляризации алгебраических систем уравнений.—
ЖВММФ, 1972, т. 12, № 12, с. 464—465.
75. Заикин П. Н., Меченов А. С. Некоторые вопросы численной ре-
реализации регуляризующего алгоритма для нелинейных ин-
интегральных уравнений.— В кн.: Вычислительные методы и
программирование. Вып. 21. М.: МГУ, 1973, с. 155—163.
76. Зайдель А. Н., Островская Г. В. Лазерные методы исследова-
исследования плазмы. Л.: Наука, 1977. 222 с.
77. Замалин В. М., Норман Г. Э., Филинов В. С. Метод Монте-
Карло в статистической термодинамике. М.: Наука, 1977. 228 с.
78. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков. С. П., Питаев-
ский Л. П. Теория солнтонов (Метод обратной задачи), М.:
Наука, 1980. 320 с.
79. Зимин В. Д., Фрик П. Г. Теневой метод исследования трех-
трехмерных неоднородностей.— Опт. и спектр., 1976, т. 40, № 6,
с. 1060—1063.
80. Иванов А. В., Скотников М. М. Определение радиального
распределения параметров излучения в осесимметричном га-
газовом объекте при наличии самопоглощения.— ПМТФ, 1963,
№ 4, с. 83—87.
81. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных
некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с,
82. Иванов В. Н. Определение локальной излучательной способ-
способности осесимметричного источника излучения.™ В кн,: Не-

корректные обратные задачи атомной физики. Новосибирск:
ИТПМ СО АН СССР, 1976, с. 118-123.
83. Иевлев В* М. Турбулентное движение высокотемпературных
сплошных сред. М.; Наука, 1975. 256 с.
84. Изотова С. Л., Канцеров А. И., Фриш М. С. Измерение сдви-
сдвига и уширения компонент СТС линий рубидия в .присутствии
криптона.— Опт. и спектр., 1977, т. 42, JV° 1, с. 213—215.
85. Изотова С. Л., Канцеров А. И., Фриш М. С. Определение
сдвигов и уширений сверхтонких компонент Д2-линий 87Rb
при столкновениях с атомами инертных газов Не и Аг.— Опт.
и спектр., 1980, т. 49, № 5, с. 1000—1003.
86. Интегральные уравнения/Забрейко П. Л., Кошелев Л. И.,
Красносельский М. А. и др. М.: Наука, 1968. 448 с-
87. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач.
М.: Наука, 1974. 480 с.
88. Ишимару С. Основные принципы физики плазмы. М.: Атом-
издат, 1975. 288 с.
89. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние. М.: ИЛ., 1958.
158 с.
90. Камминс Г. 3. Применение спектроскопии оптического смеше-
смешения в биологии.— В кн.: Спектроскопия оптического смеше-
смешения и корреляция фотонов. М.: Мир, 1978, с. 287 — 331.
91. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в
нормированных пространствах. 2-е изд. М.: Наука, 1977.
' • 742 с.
92. Карпов В. Я., КорягинД. А., Самарский А. А. Принципы раз-
разработки пакетов прикладных программ для задач математи-
математической физики.— ЖВММФ, 1978, т. 18, № 2, с. 458—467.
93. Каськова С. И., Романов Г. С, Степанов К. Л. и др. Пакет
модульных программ для расчета оптико-физических пара-
параметров плазмы.— В кн.: Комплексы программ математической
физики. (СКПМФ № 6). Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР,
1980, с. 107-112.
94. Китаева В. Ф., Осипов Ю. И., Пикалов В. В. и др. Локаль-
Локальные зондовые измерения плазмы аргонового лазера.— ЖТФ,
1978, т. 43, № 8, с. 1663 — 1671.
95. Козлов В. П. О восстановлении высотного профиля темпера-
температуры по ст ектру уходящей радиации.— Изв. АН СССР. Фи-
Физика атмосферы и океана, 1966, т. 2, № 2 с. 137 — 148.
96. Козлов В. П. Емкость множества в пространстве сигналов и
риманова метрика.— Докл. АН СССР, 1966, т. 166, № 4,
с. 779 — 782.'
97. Козлов В. П. К вопросу об оптимальной редукции в теории
спектральных приборов.— В кн.: Прикладная спектроскопия.
М.: Наука, 1969, с. 73—76. (Материалы XVI совещания.)
98. Козлов В. П. Применение информационной метрики в теории
спектральных „и оптических приборов.— Труды ГОИ
им. С. И. Вавилова, 1972, т. 41, вып. 474, с. 47—64.
99. Козлов В. П. Математические вопросы обращения радиацион-
радиационных данных.— В кн.: Инверсия Абеля и ее обобщения. Ново-
Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1978, с. 68—95.
100. Коновалов А. Н., Яненко Н. Н. Модульный принцип построе-
построения программ как основа создания пакета прикладных прог-
программ решения задач механики сплошной среды.— В кн.:
220

Комплексы программ математической физики. Новосибирск:
ВЦ СО АН СССР, 1972.
101. Корн Г., Корн Т. Справочник ио математике. М.: Наука, 1970.
720 с.
102. Коробков М. Е. Об улучшении разрешения спектров матема-
математическими методами.— Журн. нрикл. спектр., 1976, т. 25,
№ 1, с. 160—162.
103. Косарев Е. Л. О численном решении интегрального уравнения
Абеля.— ЖВММФ, 1973, т. 13, № 6, с. 1591 — 1596/
104. Кралышна Е. А. Применение метода регуляризации для диаг-
диагностики ионизованного газа по экспериментально измеренной
интенсивности свечения. Автореф. канд. дне. М.: МГУ, 1977.
15 с.
105. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.
648 с.
106. -Краснов М. Л. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975.
304 с.
107. Краулиня Э. К., Лиепа С. Я., Пикалов В. В. и др. К пробле-
проблеме исследования атомной сенсибилизированной флуоресцен-
флуоресценции по контурам спектральных линий.— В кн.: Некоррект-
Некорректные обратные задачи атомной физики. Новосибирск: ИТПМ
СО АН СССР, 1976, с. 61—72.
108. Кросиньяни Б., Ди^Порто П., Бертолотти М. Статистические
свойства рассеянного света. М.: Наука, 1980. 208 с.
109. Крылов В. И., Скобля Н. С. Методы приближенного преобразо-
преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М.: Наука,
1974. 224 с.
110. Крянев А. В. Решение некорректных задач методами после-
последовательных приближений. — Докл. АН СССР, 1973, т. 210,
№ 1, с. 20—22.
111. Крянев А. В. Итерационный метод решения некорректных
задач.— ЖВММФ, 1974, т. 14, № 1, с. 25—35.
112. Кудрин Л. П. Статистическая физика плазмы. М.: Атомиздат,
1974. 496 с.
ИЗ. Кузнецов Л. И., Куснер Ю. С, Ленгран Ж.-К. и др. Иссле-
Исследование плазмы диагностического электронного пучка.—
В кн.: Диагностика потоков разреженного газа. Новосибирск;
Ин-т теплофизики СО АН СССР, 1979, с. 65—90.
114. Кузнецов Э. И., Щеглов Д. А. Методы диагностики высоко-
высокотемпературной плазмы. М.: Атомиздат, 1974, 159 с.
115. Кулагин И. Д., Сорокин Л. М., Дубровская Э. А. Оценка не-
некоторых численных методов решения интегрального уравне-
уравнения Абеля,— Опт. и спектр,, 1972, т. 32, вып. 5, с. 865—870.
116. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир,
1964. 830 с.
117. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого ро-
рода.— Докл. АН СССР, 1960, т. 127, № 1, с. 31—35.
118. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах мате-
математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.
68 с.
119. Лаврентьев М. М., Васильев В. Г. О постановке некоторых.не-
некоторых.некорректных задач математической физики.— Сиб. мат. журн.,
1966, т. 7, № 3, с. 559—576.
120. Лаврентьев М. М., Васильев В. Г., Романов В. Г. Многомер-
221

ные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Но-
Новосибирск: Наука, 1969. 67 с.
121. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некор-
Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука,
1980. 286 с.
122. Ларькина Л. Т. К расчету радиального распределения излу-
чательной способности.— В кн.: Применение плазмотрона й
спектроскопии. Фрунзе: Илим, 1970, с. 17—20.
123. Ларькина Л. Т., Энгельшт В. С„ Редукция к однородному оп-
оптически тонкому слою в осесимметричных объектах. М.:
ВИНИТИ, 1973, Дсп. Д<ь 6917 — 73. 93 с.
124. Латтес Р.. Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его прило-
приложения. М.: Мир, 1970. 336 с;
125. Лебедев В. И. О решении на компактных множествах некото-
некоторых задач восстановления.— ЖВММФ, 1966, т. 6, Л» 6>
с. 1002—1018.
126. Леонов А. С. К обоснованию выбора параметра регуляриза-
регуляризации но критериям квазиоптимальности н отношения.—
ЖВММФ, 1978, т. 18, № 6, с. 1363—1376.
127. Линник Ю. В. Метод наидшныних квадратов, и основы тео-
теории обработки наблюдений. М.: ГИФМЛ, 1958. 334 с.
128. Лисица В. С. Штарковскоо уширение линий водорода в плаз-
плазме.— Успехи фаз. наук, 1977, т. 122, Д: 3, с. 449—495.
129. Литвинова Н. Н. Статистические методы решения некоторых
линейных оптических задач. Автореф. канд. дне. Л.: ЛГУ,
1978. 16 с.
130. Лохте-Хольтгревеи В. Определение параметров плазмы.—
¦ В кн.: Методы исследования плазмы. М.: Мир, 1971, с.108—168.
131. Ляшко И. И., Диденко В. П., Цитрицкий О. Е. Фильтрация
шумов. Киев: Наукова думка, 1979. 232 с
132. Ma л кип О. А. Импульсный ток и релаксация в газе. М.: Атом-
издат, 1974. 280 с.
133. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука,
1980. 536 с.
134. Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений
разностных схем. М.: Наука, 1979. 320 с
135. Маслов В. П. Регуляризация некорректных задач для сингу-
сингулярных интегральных уравнений.— Докл. АН СССР, 1967,
т. 176, <№ 5, с. 1012 — 1014.
136. Мельникова Т. С. Исследования неустойчивостей электриче-
электрической дуги.— Тошюфиз. высоких температур, 1980, т. 18, JV» 5,
с. 949-956.
137. Мельникова Т. С, Пикалов В. В. Спектральная диагностика
нестационарных и асимметричных плазменных объектов.—
В кн. Diagnostika plasmatu. Praga, 1979, ITM,- p. 91—100.
138. Мельникова Т. С, Пикалов В. В. Измерение локальных тем-
температур в турбулентной плазме.— В кн.: Метрологическое
обеспечение измерений высоких температур и параметров
плазмы. Харьков, НИИМ, 1979, с. 58 — 61". (Тезисы докла-
докладов.) ~
139. Мельникова Т. С, Пикилов В. В. Поле температур винтовой
дуги.— В кн.: VIII Всесошз. конф. по ггнер. ни.чкотемп. плаз-
плазмы. Ч. 2. Новосибирск: Ин-т теплофизики, СО АН СССР,
1980, с. 213—216. (Тезисы докладов.)

140. Мельникова Т. С, Пикалов В. В., Преображенский Н. Г- О ло-
локальной диагностике оптически плотной асимметричной плаз-
плазмы.— Опт. и спектр., 1980, т. 48, № 3, с. 474—479.
141. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике/Марчук Г. И., Ми-
Михайлов Г. А., Назаралиев М. А. и др. Новосибирск: Наука,
1976. 283 с.
142. Методы исследования плазмы/Под ред. В. Лохте-Хольтгреве-
на. М.: Мир, 1971. 552 с.
143. Миронов Е. П., Пергамент М. И., Тлхомиров В. В. и др. Ме-
Методы расчета функции распределения плотности аксиально-
симметричных плазменных образований.— В кн.:'•Диагности-
кн.:'•Диагностика плазмы. Вып. 3. М.: Атомиздат, 1973, с. 128—136.
144. Михайлов Г. А. Некоторые задачи теории и приложений мето-
методов Монте-Карло. Новосибирск: препринт ВЦ СО АН СССР,
1977, Х° 56. 14 с.
[45. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивост й.
Т. 2. (Неустойчивости неоднородной плазмы.) М.: Атомиздат,
1977. 360 с.
146. Морозов В. А. Об оптимальной регуляризации операторных
уравнений.— ЖВММФ, 1970, т. 10, № 4, с. 818—829.
147. Морозов В. А. Линейные и нелинейные некорректные зада-
задачи. -*- В кн.: Итоги науки и техники. Матем. анализ. М.:
ВИНИТИ, 1973, с. 129—178.
148. Морозов В. А., Гольдман Н. Л., Самарин М. К. Метод дес-
дескриптивной регуляризации и качество приближенных реше-
решений.— ИФШ, 1977, т. 33, № 6, с. 1117 — 1124.
149. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 2. М.:
ИЛ, 1958. 896 с.
150. Наац И. Э. Теория многочастотного лазерного зондирования
атмосферы. Новосибирск: Наука, 1980. 157 с.
151. Нелинейные волны/Под ред. С. Лепбовича и А. Сибасса. М.:
Мир, 1977. 319 с.
152. Новиков Л. Н., Скроцкий Г. В., Соломахо Г. И. Эффект Хай-
Хайле.— Успехи физ. наук, 1974, т. ИЗ, № 4, с. 597—625.
153. Олейник О. А. Об одной задаче Г. Фикеры.— Докл. АН СССР,
1964, т. 157, № 6, с. 1297 — 1300.
154. Орлов С. С. Теория трехмерной реконструкции.— Кристалло-
Кристаллография, 1975, т. 20, вып. 3, с. 511—515; выи. 4, с. 701 — 709.
155. Островский Ю. П., Бутусов М. М., Островская Г. В. Гологра-
фическая интерферометрия. М.: Наука, 1977. 339 с.
156. Патрик Э. Основы теории распознавания образов. М., Сов.
радио, 1980. 408 с.
157. Пергамент А. X., Тельковская О. В. Метод регуляризации и
метод максимального правдоподобия при решении интеграль-
интегральных уравнений 1-го рода. М.: препринт ИПМ АН СССР, 1979,
№ 111. 21 с
158. Пергамент М. И. Методы исследования нестационарных по-
потоков высокотемпературной плазмы.— В кн.: Физика и при-
применение плазменных ускорителей. Минск: Наука и техника,
1974, с. 261-288.
159. Перминов В. Д. Численный алгоритм прямого решения ва-
вариационной задачи А. Н. Тихонова.— Уч. зап. ЦАГИ, 1976,
т. 7, № 4, с. 158—162.
160. Петров А. П. Оценки линейных функционалов для решения
223

некоторых обратных задач.—ЖВММФ, 1967, т. 7, № 3,
с. 648—654.
161. Петров А. П., Хованский А. В. Оценка снизу погрешности,
возникающей при решении операторных уравнений 1-го рода
на компактах.—ШВММФ, 1969, т. 9, № 1, с. 194—201.
162. Петров В. В., Усков А. С. Информационные аспекты пробле-
проблемы регуляризации.— Докл. АН СССР, 1970, т. 195, № 4,
с. 780—782.
163. Пикалов В. В. Некорректные задачи локальной оптической
диагностики газовых и плазменных объектов произвольной
конфигурации.— В кн.: Инверсия Абеля и ее обобщения.
Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1978, с. 25—67.
164. Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. О преобразовании Абеля
при голографической интерферометрии точечного взрыва.—
Физ. гор. и взрыва, 1974, т. 10, № 6, с. 923—930.
165. Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. О восстановлении ло-
локальных характеристик плазмы в условиях ограниченной
экспериментальной информации.— Опт. и спектр., 1976, т. 40,
№ 6, с. 1094—1096.
166. Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. О некоторых проблемах
диагностики низкотемпературной 'плазмы, решаемых с по-
• мощью ЭВМ.— В кн.: Свойства низкотемпературной плазмы и
методы ее диагностики. Новосибирск: Наука, 1977, с. 138—176.
167. Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Восстановление поля
локально равновесных температур среды по излучению.—
ИФЖ, 1977, т. 33, № 6, с. 1042—1046.
168. Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Локальная диагности-
диагностика газовых и плазменных объектов с заданными изолиниями.—
Опт. и спектр., 1979, т. 46, № 1, с. 209—211.
169. Пикалов В. В., Преображенский Н. Г., Тамбовцев Б. 3. Ста-
Статистическая регуляризация и некоторые новые методы решения
условно-корректных задач.—В кн.: Некорректные обратные
задачи атомной физики. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР,
1976, с. 17-33.
170^ Пикалов В. В., Преображенский Н. Г., Фрумин Л. Л. К воп-
вопросу о корректной обработка результатов зондовых измерений
в неравновесной плазме,"— В кн.: Физическая'газодинамика.
Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1976, с. 181 — 183.
171. Пикалов В. В., Преображенский Н. Г., Ширикова С. Л. Обрат-
Обратные задачи спектроскопии оптически плотной плазмы.— В кн.:
Прикладная спектроскопия. М., 1977, с. 122 — 124. (Труды
18 Всесоюз. съезда по спектроскопии. Горький.)
172. Подгорный И. М. Лекции по диагностике плазмы. М.: Атом-
издат, 1968. 217 с.
173. Преображенский Н. Г. По поводу так называемых многопара-
многопараметрических методов диагностики оптически плотной плаз-
плазмы.— Опт. и спектр., 1966, т. 21, № 2, с. 232—234.
174. Преображенский Н. Г. Спектроскопия оптически плотной плаз-
плазмы. Новосибирск: Наука, 1971. 178 с.
175. Преображенский Н. Г. Диагностические схемы исследования
осесимметричной плазмы в условиях ее случайных перемеще-
перемещений.— Nukleonika, 1975, v. 20, N 5, p. 429—438.
176. 'Преображенский Н. Г. Абелева инверсия в физических зада-
задачах.— В кн.; Инверсия Абеля и ее обобщения. Новосибирск:
ИТПМ СО АН СССР, 1978, с. 6—24.
224

i 77. Преображенский H. f. Математическое моделировайиё.—'
В кн.: Методологические проблемы современной науки. М.:
Политиздат, 1979, с. 90—103.
178. Преображенский Н. Г. Об одном методе решения системы урав-
нений радиационной кинетики.— Изв. вузов. Физика, 1980,
№ 7, с. 97—100.
179. Преображенский Н. Г., Пикалов В. В. Обратные задачи лри-
кладной спектроскопии.— Приложение к кн.: В. В. Лебедева.
Техника оптической спектроскопии. М.: МГУ, 1977, с. 343 —
371.
180. Преображенский Н. Г., Седельников А. И. Вопросы парамет-
параметризации обратных задач прикладной спектроскопии. Новоси-
Новосибирск: препринт ИТПМ СО АН СССР, Ш8, № 10. 39 с.
181. Преображенский Н. Г., Седельников А. И. Статистический
анализ задачи определения параметров контуров спектраль-
спектральных линий, уширенных давлением.— Опт. и спектр., 1980,
т. 49, № 1, с. 12—18.
182. Преображенский Н. Г., Сенина А. В., Сенина С. В. К расчету
функции источника для оптически плотного слоя плазмы.—
Изв. вузов. Физика, 1965, № 6, с. 67—74.
183. Преображенский Н. Г., Суворов А. Е. Эффект Ханле в полу-
полупрозрачном газе. Новосибирск: препринт ИТПМ СО АН СССР,
1978, № 2. 26 с.
184. Преображенский Н. Г., Тамбовцев Б. 3. Исключение аппара-
аппаратурных искажений контура спектральной линии методом ста-
статистической регуляризации.— Опт. и спектр., 1973, т. 35,
№ 5, с. 946-953.
185. Преображенский Н. Г., Тамбовцев Б. 3., Шапарев Н. Я. Влия-
Влияние функции распределения электронов по энергиям на фор-
форму и интенсивность спектральной линии.— Изв. СО АН СССР,
1968, № 3, Сер. техн. наук, вып. 1, с. 28—30.
186. Преображенский Н. Г., Толпина С. П. Восстановление харак-
характеристик полидисперсных сред методами спектроскопии оп-
оптического смешения.— Опт. и спектр., 1982, т. 52, № 4,
с. 696—705.
187. Преображенский Н. Г., Фрумин Л. Л. Анализ разрешающих
возможностей интегрального корректора Ван-Циттерта —
Бургера.— В кн.: Вопросы газодинамики. Новосибирск:
ИТПМ СО АН СССР, 1975, с 252—254.
188. Преображенский Н. Г., Фрумин Л. Л. К вопросу о восстанов-
восстановлении потенциала межмолекулярного взаимодействия по ви-
риальным коэффициентам.— Изв. вузов. Физика, 1980, № 6,
с. 30—33.
189. Преображенский Н. Г., Шарапова Т. А. Об использовании ин-
инфракрасного континуума в целях диагностики плазмы.—
Опт. и спектр., 1971, т. 30, № 6, с. 1009—1014.
190. Пятницкий Л. Н. Лазерная диагностика плазмы. М.: Атом-
издат, 1976. 424 с.
191. Рао С. Р. Линейные статистические методы и их применение.
М.: Наука, 1968. 547 с.
192. Раутиан С. Г. Реальные спектральные приборы,— Успехи
физ. наук, 1958, т. 66, вып. 3, с. 475—517.
103. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения крае-
краевых задач. М.: Мир, 1972. 420 с.
225

194. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных
уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука,
1978. 668 с.
195. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений ги-
гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972. 163 с.
196. Самарский А. А. Численные методы в низкотемпературной
плазме.— В кн.: Проблемы теории плазмы/Под ред. А. Г. Си-
тенко. Киев: ИТФ АН УССР, 1972, с. 331—349.
197. Свентицкая И. Н. Определение истинных контуров спектраль-
спектральных линии, измеренных прибором с известной аппаратной
функцией.—Журн. прикл. спектр., 1973, т. 18, № 4, с. 682—687,
198. Севастьяненко В. Г. Перенос излучения. Новосибирск: НГУ,
1979. 90 с.
199. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1973.
584 с.
200. Сенина А. В. К выбору пробных функций в задаче Холстей-
на.— В кн.: Спектроскопия. Методы и применения. М.: Нау-
Наука, 1973, с. 7-10.
201. Соболев В. В. Курс теоретической астрофизики. М.: Наука,
1967. 528 с.
202. Современные проблемы газовой динамики/Под ред. У. X. Т. Ло-
Лоха. М.: Мир, 1971. 404 с.
203. Спектроскопия оптического смешения и корреляция фото-
фотонов/Под ред. Г. Камминса и Э. Пайка. М.: Мир, 1978. 584 с.
204. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной ма-
математике. М.: Наука, 1976. 248 с.
205. Судаков В. Н., Халфин Л. А. Статистический подход к кор-
корректности задач математической физики.— Докл. АН СССР,
1964, т. 157, № 5, с. 1058 — 1060.
206. Тамбовцев Б. 3. Использование методов оптимизации при ре-
решении некорректных обратных задач спектроскопии.— В кн.:
Некорректные обратные задачи атомной физики. Новосибирск:
ИТПМ СО АН СССР, 1976, с. 129—133.
207. Тамбовцев Б. 3., Дробышевич В. И. О восстановлении истинно-
истинного контура спектральной линии из реальных измерений.—
Журн. ирикл. спектр. 1976, т. 24, № 2, с. 310—315.
208. Тамме Э. Э. Об устойчивости разностных схем при решении
некорректных задач методом квазиобращения.— ЖВММФ,
1972, т. 12, № 5, с. 1319-1325,.
209. Тараско М. 3., Крамер-Агеев Е. А., Тихонов Е. Б. Примене-
Применение метода направленного расхождения для восстановления
дифференциального спектра быстрых нейтронов.— В кн.:
Вопросы дозиметрии и защиты от излучении. Вып. 11. М.:
Атомиздат, 1970, с. 125—133-.
210. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач.— Докл. АН
СССР, 1943, т. 39, № 5, с. 195^198.
211. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач
и методе регуляризации.— Докл. АН СССР, 1963, т. 151,
№ 3, с. 501-504.
212. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных
задач.—Докл. АН СССР, 1963, т. 153, № 1, с. 49—52.
213. Тихонов А. Н. 0 решении нелинейных интегральных уравне-
уравнений первого рода..— Докл. АН СССР, 1964, т. 156, № 6,
с. 1296—1299.
2 26

214. Тихонов А. Н. О нелинейных уравнениях первого рОда.—
Докл. АН СССР, 1965, т. 161, № 5, с. 1023—1026.
215. Тихонов А. Н. Математические модели и научно-технический
прогресс (автоматизация обработки наблюдений).— В кн.;
Наука и человечество. М..' Знание, 1979, с. 280—289.
216. Тихонов А. Н., Аликаев В. В*, Ареенин В. Я> и др. Опреде-
Определение функции распределения электронов плазмы по спектру
тормозного излучения.— ЖЭТФ, 1968^ т, 55( № 5 (U),
с. 1903—1908.
217. Тихонов А. Н», Ареенин В. Я. Методы решения некорректных
задач. 2-е изд. М.: Наука, 1979. 286 с.
218. Тихонов Ai Н*, Гласно В. Б. О приближенном решении инте-
• Тральных уравнений ФредГольма 1-го рода,— ЖВММФ, 1964,
?. 4, № 3, с. 564-571.
219. Тихвши» А. II., Гласно В. Б. Применение метода регуляриза-
регуляризации в нелинейных задачах.— ЖВММФ, 1965, т. 5, № 3,
с. 463-473.
220. Туровцева Л. С. Решение обратных некорректных задач ме-
методом статистической регуляризации. (Программа ОБР-23).
М.: препринт ИПМ АН СССР, 1975. 86 с.
221. Турчин В. Ф., Козлов В. П., Малкевич М. С. Использование
методов математической статистики для решения некоррект^
ньгх задач.— Успехи физ. наук, 1970, т. 102, вып. 3, с 345—386.
222. Турчин В. Ф., Туровцева Л. С. Восстановление оптических
спектров и других неотрицательных функций по методу ста-
статистической регуляризации.— Опт. и спектр., 1974, т. 36,
№ 2, с. 280—287.
223. Уоткинс М. Л., ХьюДжес М. X., Роберте К. В. и др. IKA-
RUS — одномерная модель диффузии плазмы-—~В кн.: Уп-
Управляемый термоядерный синтез. М,: Мир, 1980, с. 178—223.
224. Урюков Б. А. Вероятностная модель электрической дуги в
турбулентном потоке.— Изв. СО АН СССР, 1978, № 13. Сер.
техн. наук, вып. 3, с. 21—25.
225. Фаддеева В. Н., Фаддеев Д. К. Вычислительные методы линей-
линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960. 656 с.
226. Френке Л. Теория сигналов. М.: Сов. радио, 1974. 344 с.
227. Фриден Б. Улучшение и реставрация изображения.— В кн.:
¦Обработка изображений и цифровая фильтрация. М.: Мир,
1979, с. 193-270.
228. Фридман В. М. Метод последовательных приближений для
интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.— Успехи
мат. наук, 1956, т. 11, вып. 1, с. 233—234.
229. Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике
и оптике. М.: Сов. радио, 1971. ,
230. Хант Б. Цифровая обработка изображений.— ТИИЭР, 1975,
т. 63, № 4, с. 177 — 195.
231. Хеглер М., Кристиансен М. Введение в управляемый термоя-
термоядерный синтез. М.: Мир, 1980, 230 с.
232. Хемминг Р. В. Численные методы. М.: Наука, 1968. 400 с.
2,13. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование.
М.: Мир, 1975. 536 с
234. Хуанг Т., Шрейбер В,, Третьяк О. Обработка изображений.—
В кн.: Обработка изображений при помощи цифровых вычис-
вычислительных машин. М.: Мир, 1973, с. 17—47,
227

235. Худак Ю. И. Об одной нелинейной задаче автоматического
регулирования.— В кн.: Вычислительные методы и програм-
программирование. Вып. 14. М.: МГУ, 1970, с. 78—85.
236. Худсон Д. Статистика для физиков. М.: Мир, 1970. 296 с.
237: Хьюз Дж., Мичтом Дж. Структурный подход к программиро-
программированию. М.: Мир, 1980. 278 с.
238. Хэдли Дж. Нелинейное и динамическое программирование.
М.: Мир, 1967. 507 с.
239. Чайка М. П. Интерференция вырожденных атомных состоя-
состояний. Л.: ЛГУ, 1975. 192 с.
240. Чан П., Тэлбот Л., Туряи К. Электрические зонды в непод-
неподвижной и движущейся плазме. М.: Мир, 1978. 202 с.
241. Челноков М. Б. Определение параметров плазмы по интен-
интенсивности сплошного спектра.— Изв. вузов. Физика, 1969,
№ 1, с. 12—17.
242. Черепашук А. М., Гончарский А. В., Ягола А. Г. Алгоритмы
и программа для ЭВМ решения кривой блеска затменной сис-
системы, содержащей компоненту с протяженной атмосферой.—
Переменные звезды, 1973, т. 18, № .6 A38), с. 535—569,
243. Чечкин А. В. Специальный рогуляризатор А. Н. Тихонова
для интегральных уравнений 1-го рода.— ЖВММФ, 1970,
т. 10, № 2, с. 453—461.
244. Шадан К., Сабатье II. Обратные задачи в квантовой теории
рассеяния. М.: Мир, 1980. 408 с.
245. Шеффилд Дж. Рассеяние электромагнитного излучения в
плазме. М.: Атомиздат, 1978. 280 с.
246. Шкаровский И., Джонстон Т., Бачинскш М. Кинетика частиц
¦плазмы. М.: Атомиздат, 1969. 396 с.
247. Штейн И. Н. О применении преобразования Радона в гологра-
фической интерферометрии.— Радиогехн. и радиоэлектр.,
1972, т. 17, № 11, с. 2436—2437.
248. Эдварде Р. Функциональный анализ. М..1 Мир, 1969. 1071 с.
249. Эккер Г. Теория полностью ионизованной плазмы. М.: Мир,
1974. 432 с.
250. Яненко Н. Н., Карначук В. И., Коновалов А. Н. Проблемы
математической технологии.— Числен, методы мех. сплошн.
среды, Новосибирск, 1977, т. 8, № 3, с. 129—157.
251. Яненко Н. Н., Карначук В. И., Коновалов А. Н. Математиче-
Математическая технология.— В кн.: Фундаментальные и прикладные
исследования в условиях НТР. Новосибирск: Наука, 1978,
с. 10-37.
252. Amemiya H. A deconvolution method for measuring the energy
distribution function in plasmas.— Japan J. Appl. Phys., 1975,
v. 14, N 1, p. 165-166.
253. Arbuzov A. S., Devyatov A. M., Shushurin S. P. e. a. On the
calculation of electron distribution in gas discharge plasma
from spectral line intensities by Tichonov's regularization met-
method.— Proc. 10-th ICPIG. Oxford: Contrib. Pap., 1971, p. 387.
254. Armstrong В. Н., Nicholls R. W. Emission, absorption and
ь transfer of radiation in heated^atmospheres. Oxford: Pergamon
Press, 1972. 296 p.
255. Attwood D. Т., Sweeney D. W., Auerbach J. M. e. a. Interfero-
metric confirmation of radiation pressure effects in laser-plasma
interactions.— Phys. Bev. Lett., 1978, v. 40, N 3, p. 184—187.!
228

256. Barakat R., Blackman E. Application of Tichonov regulariza-
tion algorithm to object restoration.— Opt. Commun., 1973,
v. 9, N 3, p. 252—256.
257. Baranger M., Moser B. Electric field distribution in an ionized
gas.— Phys. Rev,, 1959, V. 115, N 3, p. 521-525.
258. Barr W. Method for computing the radial distribution of emit-
emitters in a cylindrical source.— J. Opt. Soo. Amer., 1962, v. 52,
N 8, p. 885—888.
259. Barton C. F. Computerized axial tomography for neutron radio-
radiography of nuclear fuel,— Trans. Amer. Nucl. Soc, 1977, v. 27,
N 2, p. 212—213.
2G0. Behringer K. Prazisionmessungen am Spectrum des Wasserstof-
fplasmas.— Z. Phys., 1971, Bd. 246, H. 4, S. 333-347.
201. Bielski A., Kaszmarek W., Kubryeht J. e. a. On the determina-
determination of the radial intensity distribution of radiation in cylind-
cylindrical plasma.— Acta Phys. Polon., 1968, V. 33, N 5, p. 701 — 709.
262. Birkeland J. W., Oss J. P. Spatial resolution of the volume emis-
emission coefficient in strongly self-absorbing sources of cylindri-
cylindrical symmetry.— Appl. Opt., 1968, v. 7, N 8, p. 1635 — 1639.
263. Blagoev А. В., Kagan Ju. M., Kolokolov N. В. с a. Influence
of the amplitude of the superimposed potential oscillations on
probe measurements of the electron distribution function.—
Proc. 12-th ICPIG, Eindhoven, Gontrib. Pap., part 1, 1675,
p. 385.
204. Bockasten K. Transformation of observed radiances into radial
distribution of the emission plasma,— J. Opt. Soc. Amer., 1961,
v. 51, N 9, p. 943—947.
265. Bracewell R. N., Wernecke S. J. Image reconstruction over
a finite field of view.— J. Opt. Soc. Amer., 1975, v. 65, N 11,
p. 1342—1346.
266. Brinkman H. Optische studie van de electrische Lichtboog.
Thesis Holland, Univ. Utrecht, 1937.
267. Brolley J. E., Lazarus R. В., Suydam B. R. Maximum entropy
restoration of laser fusion target X-ray photographs. —In: 1976
SPSE Conf. Proc. (ed. R. Shaw), Washington: D C, 1977,
p. 244—248.
268. Budinger Т. Г., Gullberg G. T. Three-dimensional reconstruction
iu nuclear medicine emission imaging.— IEEE Trans. Nncl.
Sci.; 1974, v. NS-21, N3, p. 1—20.
269. Bulyshev A. E., Preobrazhensky N. G., Suvorov A. E. Retrieval
of fundamental distribution functions for hydrogen plasma
from spectroscopic data.— Proc. 13-th ICPIG, Berlin: Contrib.
Pap., 1977, v. 1, p. 143-144.
27Q. Chau H. H., Zucker O. S. F. Holographic thin-beam reconstruc-
reconstruction technique for the study of 3-D refractiveindex field.-—
Opt. Commun., 1973, v. 8, N 4, p. 336—339.
271. Chen F. P., Goulard R. Retrieval of arbitrary concentration and
temperature fields by multiangular scanning techniques.—
JQSRT, 1976, v. 16, N 10, p. 819—827.
272. Colscher J. G. Iterative three-dimensional image reconstruction
from tomographic projections.— Сотр. Graph. Image Process.,
1977, v. 6, N 6, p. 513—537. . . '
273. Cormack A. M. Representation of a function by its line integrals,
with some radiological applications.— J. Appl. Phys., 1963,
v. 34, N 9, p. 2122—2121.
229

274. Cormack A. M. Representation of a function by its line integ-
integrals, with some radiological applications. II.— Ibid, 1964, v. 35,
N 10, p. 2908-2913.
275. Cormack A. M. Reconstruction of densities from their projec-
projections, with applications in radiological physics.— Phys. Med.
Biol., 1973, v. 18, N 2, p. 195—207.
276. Courant R. Variational methods for the solution of problems of
equilibrium and vibrations.— Bull. Amer. Math., Soc, 1943,
v. 49, N 1, p. 1 — 23.
2/7. Cremers C. J. Birkebak R. С Application of the Abel integral
equation to spectroscopic data.— Appl. Opt., 1966, v. 5, N 6,
p. 1057—1064!
278. Cuperman S. Impurity radiation from non-Maxwellian spheri-
spherical plasmas.— Phys. Fluids, 1964, v. 7, N 6, p. 803—806.
279. Douglas J. Jr. ^numerical method for analytic continuation.—
In: Boundary problems in differential equations Proc. Sympos.,,
Madison Wisconsin Press, 1960, p. 206—209.
280. Douglas J. Jr., Gallie T, M. An approximate solution of an im-
improper boundary value problem.— Duke Math. J., 1959, v. 26,
N 3, p. 339—347.
281. Edels H., Hearne K., Young A. Numerical solution of the Abel
integral equation.— J. Math. Phys., 1962, v. 41, N 1, p. 62—75.
282. Elder P., Jerrick J., Birkeland J. W. Determination of the ra-
radial profile of absorption and emission coefficients and tempera-
temperature in cylindrically symmetric sources with self-absorption.—
Appl. Opt., 1965, v. 4, N 5, p. 589—592.
283. Engelsht V. S., Larkina L. T. Determination of spectral emission
and absorption coefficients in axisymmetric plasmas.— JQSRT,
1979, y. 21, N 1, p. 65—73.
284. Fabry M., Gussenot J. В., Richard M. Methode de calcul du coef-
coefficient d'emission d'un plasma cylindrique a partir du profil
experimental de l'intensite.— Opt. Commun., 1972, v. 5, N 4,
p. 252—255.
"85. Falconer D. G. Image enhancement and film-grain noise.— Op-
tica Ada, 1970, v. 17, N 9, p. 693—705.
286. Fleurier C, Chapelle J. Inversion of Abel's integral equation —
application to plasma spectroscopy.— Сотр. Phys. Commun.,
1974, v. 7, N 4, p. 200—206.
287. Franklin J. N. Well-posed stochastic extensions of illposed li-
linear problems.--- J. Math. Anal, and Appl., 1970, v. 31, N 3,
p. 682—716.
288. Freeman M., Katz S. Determination of the radial distribution
of brightness in a cylindrical luminous medium with self-absorp-
self-absorption,— J. Opt. Soc. Amer., 1960, v- 50, N 8, p. 826—830.
289. Freeman M., Katz S. Determination of a radiance distribution
of an optically thin radiating medium.— J. Opt. Soc. Amer.,
1963, v. 53, N 10, p. 1172-1179.
290. Frie V. W. Zur Auswertung der Abelschen Integralgleichung.—
Ann. Phys., 1963, Bd 10, H. 4, S. 332—339.
291. Frieden B. R. Restoring with maximum likelihood and maxi-
maximum entropy.— J. Opt. Soc. Amer., 1972, v. 62, N 4, p. 511—518.
292. Frieden B, R., Burke J. J. Restoring with maximum entropy,
II: superresolution of photographs of diffraction-blurred impul-
impulses.— J. Opt. Soc, Amer., 1972, v. 62, N 10, p. 1202-1210.
230

293. Glasser J., Chapelie J., Boettner J. C. Abel inversion applied
to plasma spectroscopy: a new interactive method.—Appl.
Opt., 1978, v. 17, N 23, p. 3750—3754.
294. Gordon R. A tutorial on ART.— IEEE Trans. Nucl. Sci., 1974,
v. NS-21, N 3, p. 78-93.
295. GorenfJo R., Kovetz Y. Solution of an Abel-type integral equa-
equation in the presence of noise by quadratic programming.— Nu-
mer. Math., 1966, v. 8, N 4, p. 392—406. •
296. Gouesbet G. Laser-Doppler ^elocimetry in ionized gases: a re-
review paper.— J. de physique, Colloque G7, suppl., 1979, v. 40,
N 7, p. 789—790.
297. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux deri-
vees partielles lineaires hyperboliques. Paris: Hermann, 1932.
298. Harris I. L. Diffraction and resolving power.— J. Opt. Soc.
Amer., 1964, v. 54, N 7, p. 931—936.
299. Herlitz S. I. Method for computing the emission distribution
incylindrical light sources.— Arkiv for Fysik, 1963, Bd 23, N 49,
571—574.
300. Hill N. R., loup G. E. Convergence of the van Cittert iterative
method of deconvolu»ion.— J. Opt. Soc. Amer., 1976, v. об,
N 5, p.-487-489.
301. Hooper C. F. Low frequency component electric microfield dist-
distribution in plasmas.— Phys. Rev., 1968, v. 165, N 1, p. 215—
222.
302. Hounsfield G. N. Computerized transverse axial scanning (to-
(tomography). I: Description of system.— Brit. .T. Radiol., 1973,
v. 46, p. 1016—1022. .
303. Hormann H. Temperaturverteilung und Elektronendichte in
frei brennenden Lichtbogen.— Z. Phys., 1935, Bd 97, H. 6,
S. 539—560.
304. Huang T. S., Barker D. A., Berger S. P. Iterative image resto-
restoration.—Appl. Opt., 1975, v. 14, N 5, p. 1165—1168.
305. Huesmann R. H., Gullberg G. Т., Greenberg W. L. e. a.
RECLBL — Library users manualdonner algorithms for recon-
reconstruction tomography. Lawrence Berkeley Lab. Publication
PUB 214, 1977.
306. Jacquinot P., Roizen-Dossier B. Apodisation.— In: Progress
in Optics, v. 3/Ed. E. Wolf, Amsterdam: North-Holland Publ.
Co., 1964, p. 29—186.
307. Jansson P. A., Hunt R. H., Plyler E. K. Resolution enhancement
of spectra.— J. Opt. Soc. Amer., 1970, v. 60, N 5, p. 596—599.
308. JaynesE. T. Prior probabilities,— Trans. IEEE, 1968, v. SSC-4,
N 2, p. 227—241.
309. Junginger H.-G., van Haeringen W. Calculation of threedimen-
sional refractive-index field using phase integrals.— Opt. Com-
mun,, 1972, v. 5, N 1, p. 1—4.
310. Keller R. A new numerical procedure to smooth experimental
data for the performance of an inverse Abel transformation.—
Proc. 10-th ICPIG. Oxford: Contrib. Pap., 1971, p. 395.
.'ill. Kock M., Richter J. Me|3fehler und Losung einer Abelschen
Integralgleichung.— Ann. Phys., 1969, Bd 24, H. 1, S. 30—37.
312. Kohn J., Nirenberg L. Non coercitive boundary value prob-
problems.— Commun. Pure Appl: Math.,1965, v. 18, N 5, p. 443—492.
313. Kossrev E. L. Application of integral equations of the first kind
231

in experimental physics.— Comput. Phys. Commuti., 1980,
v. 20, ISf 1, p. 69-75.
314. Kourganoif V. Basic methods in transfer problems. Oxford:
Clarendon Press, 1952. 282 p.
315. Kowalski G. Multislice reconstruction from twin-cone beam scan-
scanning.— IEEE Trans. Nucl. Sci., 1979, v. NS-26, N 2, p. 2895 —
2903.
316. Kreiss H. 0. Uber die Stabilitatdefinition fur Differenzengleic-
hungen die partielle Differentialgleichungen approximieren.—
BIT, 1962, Bd 2, S. 153 — 181.
317. Kreiss H. 0. On difference approximation of dissipative type for
hyperbolic differential equations.—Comm. Pure Appl. Math.,
1964, v. 17, N 3, p. 335—353.
318. Kunasz C. V., Jefferies J. Т., White 0. R. Inversion of the solar
limb — darkening equation in the presence of noise.— Astron.
and Astrophys., 1973, v. 28, N 1, p. 15—26.
319. Ladenburg R., Winckler J; van Voorhis С. С. Interferometric
studies of faster than sound phenomena. I — The gas flow aro-
around various objects in a free, homogeneous, supersonic air
stream.—Phys. Rev., 1948, v. 73, N 11, p. 1359 — 1377.
320. Lapworth K. G., AHnutt L. A. A fully automatic optical system
for determining the volume emission coefficient of radiation
throughout plasmas.— J. Phys. E.: Sci. Instrum., 1977, v. 10,
N 7, p. 727—732.
321. Lax P. D., Wendroff B. On the stability of difference schemes
with variable coefficients.—Commun. Pure Appl. Math., 1961,
v. 14, p. 497-520.
322. Lent A. A convergent algorithm for maximum entropy image
restoration, with a medical JJf-гау application.— In: 1976 SPSE
Conf. Proc. (ed. R. Shaw). Washington: D. C, 1977, p. 249—257.
323. Mach L. Weitere Versuche uber Progectile.— Wien. Akad. Ber.
Math.— Phys., 1896, Bd 105, S. 605.
324. Maldonado С D. Note on orthogonal polinomials which are «in-
«invariant in form» to rotations of axes.— J. Math. Phys., 1965,
v. 6, N 12, p. 1935—1938,
325. Maldonado C. D., Caron A. P., Olsen H. N. New method for ob-
obtaining emission coefficients from emitted spectral intensities.
Part 1 — Circulary symmetric light sources.— J. Opt. Soc.
Amer., 1965, v- 55, N 10, p. 1247-1254.
326. Maldonado C. D., Olsen H. N. New method for obtaining emis-
emission coefficients from emitted spectral intensities. Part 2. Asym-
Asymmetrical sources.— J. Opt. Soc. Amer., 1966, v. 56, N 10,
p. 1305—1313.
327. Martinet B. Regularization d'inequations variationneles par
approximations successives.— Rev. franc, inform, rech. Ope-
rat., 1970, v. R3, p. 154—158.
328. Matulka R. D., Collins D. J. Determination of three-dimensio-
three-dimensional density fields from holographic interferograms,— J. Appl.
Phys., 1971, v. 42, N 3, p. 1109—1119.
329. Measures R., Houston W., Stephenson D. Spectroscopy by ti-
timing decay of laser induced fluorescence,— J. Opt. Soc. Amer.,
1975, v. 65, N 2, p. 199-204.
330. Mersereau R. M., Oppenheim A. V. Digital reconstruction of mul-
multidimensional signals from their projections,— Proc. IEEE,
1974, V. 62, N 10, p. 1319 — 1338.
232

331. Minerbo G. ME NT: A maximum entropy algorithm for recon-
reconstructing a source from projection Data.— Сотр. Graph. Ima-
Image Process., 1979, v. 10, N 1, p. 48—68.
332. Minerbo G. N., Levy M. E. Inversion of Abel's integral equation
by means of orthogonal polinomials.— SI AM J. Numer. Anal.,
1969, v. 6, N 4, p. 598-616.
333. Minerbo G. N., Sanderson J. G., van Hulsteyn D. B. e. a. Three-
dimensional reconstruction of the X-ray emission in laser im-
imploded targets.— Appl. Opt., 1980, v. 19, N 10, p, 1723 — 1728.
334. Myers B. R., Levine M. A. Two-dimensional spectral line emis-
emission reconstruction as a plasma diagnostic— Rev. Sci. Instrum.,
1978, v. 49, N 5, p. 610—616.
335. Nestor О. Н., Olsen H. N. Numerical methods for reducing line
and surface probe data.— SIAM Rev., 1960, v. 2, N 3, p. 200—207.
336. Neteter F. On the inversion of the attenuated Radon transform.—
Num. Math., 1979, v. 32, p. 431.
337. Olsen H. N., MaJdonado C. D., Duckworth G. I>. A numerical
method for obtaining integral omission coefficients from exter-
externally measured spectral intensities of asymmetrical plasmas.—
JQSRT, 1968, v. 8, N 10, p. 1419—1430.
338. Olsen H. N., Maldonado С D., Duckworth G.D., Caron A. P. In-
Investigation of the interaction of an external magnetic field with
an electric arc— ARL Report 66—0016, 1966. 100 p.
339. Pfirsch D. MHD-StabilitaL von Tokamak- und Spheromak —
Gleichgewichten mit Oberflachenstrom.— Max-Plank-Institut
fur Plasmaphysik. Garching bei Miinchen, 1979, Jahresbericht,
S.- 71 — 78.
340. Phillips D. L. A technique for the numerical solution of certain
integral equations of the first kind.— J. Ass. Сотр. Mach.,
1962, v. 9, N 1, p. 84—97.
341. Pickalov V. V., Preobrazhensky N. G. Algorithms for optical
diagnostics of plasma layers with complicated geometry and
different transmissivity.— Proc. 13-th ICPIG, Contrib. Pap.,
Part 1, Berlin, 1977, p. 201—202.
342. Pickalov V. V., Preobrazhensky N. G. Restoration of two-dimen-
two-dimensional radiation fields for an optically thick plasma.— J. de
Physique, 1979, t. 40, N 7, suppl. С — 7, p. 329—330.
343. Pucci С Sui problemi Cauchy non «ben posti».— Atti Acad.
Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. fis. mat. e. natur., 1955, v. 18, N 5,
p. 473—477.
344. Pucci C. Discussione del problema di Cauchy pur le equazioni di
tipo elliptico.—Ann. mat. pura ad appl. ,1958, v. 46, p. 131 —154.
345. Radon J» Uber die Bestimmung yon Funktionen durch ihre in-
tegralwerte lang gewisser Mannigfaltigkeiten.— Ber. Saechs.
Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Phys., 1917, Kl. Bd 69, S. 262—279.
346. Richardson L. F. The approximate arithmetical solution by fi-
finite differences of physical problems involving differential equ-
equations with an application to the stress in a masonry dam.—
Philos. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, 1910, v. 210, p. 307—
357.
347. Richardson L. F. The differed approach to the limit. I. Single
lattice.— Philos. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, 1927, v. 226,
p. 299—349,
233

348. Rino С. I. Band-unlimited image restoration by linear mean-
square estimation.—J. Opt. Soc. Amer., 1969, v. 59, N 5,
p. 547—553.
349. Roberts K. V. An introduction to the OLYMPUS System.— Com-
put. Phys. Commun., 1974, v. 7, N 3, p. 245—252.
350. Rosenbluth M. N., Rostocker N. Scattering of electromagnetic
waves by a nonequilibrium plasma,— Phys. Fluids, 1962, v. 5,
N 7, p. 788—793.
351. Rushforth C. K., Harris R. W. Restoration, resolution and noi-
noise.— J. Opt. Soc. Amer., 1968, v. 58, N 4, p. 539—545.
352. Sauthoff R. N., Von Goeler S. Techniques for the reconstruction
of two-dimensional images from projections.— IEEE Trans.
Plasma Sci., 1979, v. PS-7, N 3, p. 141 — 147.
353. Sauthoff N. R,, Von Goeler S., Stodiek W. A study of disruptive
instabilities in the PLT' tokamak using X-ray techniques.—
Nucl. Fusion, 1978, v. 18, N 10, p. 1445 — 1458.
354. Sebald N. Temperature measurements on a steady magnetical-
magnetically balanced cross-flow nitrogen arc.— Proc, 12-th ICPIG, Cont-
rib. Pap., Eindhoven, 1975, p. 187.
355. SchardiiV H. Theorie und Anwendung des Mach-Zehnderschen
Interferenz-Refraktometers.— Z. Instrum., 1933, Bd 53, N 4,
S. 396—424.
356. Shaw'C. B. Improvement of the resolution of an instrument by
numerical solution of an integral equation.— J. Math. Anal,
and Appl., 1972, v. 37, N 1, p. 83 — 112.
357. Slepian D. Linear least — square filtering of distorted ima-
images.— J. Opt. Soc. Amer., 1967, v. 57, N 7, p. 918—922.
358. Smarzewski R., Malinowski H. Numerical solutions of a class of
Abel integral equations.— J. Inst. Math. Appl., 1978, v. 22,
N 1, p. 159—170.
359. Smith К. Т., SoImonD.C, Wagner S. L. Practical and mathe-
mathematical aspects of the problem of reconstructing objects from
radiographs.— Bull. Amer. Math. Soc, 1977, v. 83, N 6,
p. 1227—1270.
360. Strand O. N., Westwater E. Statistical estimation of the nume-
numerical solution of a Fredholm integral equations of the first kind.—
J. Assoc. Сотр. Mach., 1968, v. 15, N 1, p. 100—144.
361. Sweeney D. W. Comparison of Abel — inversion schemes for
interferometric applications.— J. Opt. Soc. Amer. 1974, v. 64,
N 4, p. 559.
362. Sweeney D. W., Vest С. М. Measurement of three-dimensional
temperature fields above heated surface by holographic inter-
ferometry.— Intern. J. Heat and Mass Transfer, 1974, v. 17,
N 12, p. 1443—1454.
363. Tam K. C, Perez-Mendez V., Macdonald B. 3-D object recon-
reconstruction in emission and transmission tomography with limi-
limited angular input.— IEEE Trans. Nucl. Sci., 1979, v. NS-26,
N 2, p< 2797—2805.
364. Tanner L. H. The application of Berry-Gibbs theory to phase
objects, using interferometry, holography or schlieren methods.—
J. Phys. E: Sci. Instr., 1970, v. 3, N 12, p. 987—990.
365. Tiller W. The temperature field of the full circle arc— Proc.
12-th ICPIG, Eindhoven: Contrib. Pap., 1975, p. 187,
234

30G. Trigt С. V. On the inversion of an Abol equation.— Proc. 10-th
ICPIG, Oxford: Contrib. Pap., 1971, p. 396.
367. Twomey S. On the numerical solution or Fredholm integral equa-
equations of the first kind by the inversion of the linear system pro-
produced by quadrature,— J. Ass. Сотр. Mach., 1963, v. 10, N 1,
p. 97-101.
368. Twomey S. The application of numerical filtering to the solu-
solution of integral equations encountered in indirect sensing mea-
measurements.— J. Franklin Inst., 1965, v. 279, N 2, p. 95 — 109.
3G9. Ugniewsky S., Sadowski M. On numerical processing the inter-
ferograms of axially symmetrical plasma discharges.— Acta
Physica Polonica, 1977, v. A-51, N 2, p. 293 — 300.
370. Unsold A. Physik dcr Sternatmospharen. Berlin: Springer-Ver-
lag, 1955. 720 S.
371. Valentini Ы.-В. Momentengleichungen furPlasmen mit anisot-
ropem Neutralgasdruck und anisotropem Ionendruck.— Beitrage
aus der Plasma Physik, 1976, Bd 16, N 3, S. 181—195.
372. Valentini H.-B. The theory of the low pressure discharge in the
strong ionization regime.— Beitrage aus der Plasma Physik,
1979, Bd 19, N 2, S. 81—96.
373. Veen A., Peachey L. D- TROTS: a computer graphics system
for three— dimensional reconstruction from serial sections.—
Comput. and Graphics, 1977, v. 2, N 2, p. 135 — 150.
374. Vemuri V., Chen Fang — Pai. An initial value method for sol-
solving Fredholm integral equation of the first kind. — J. Frank-
Franklin Inst., 1974, v. 297, N 3, p. 187-200.
375. Volkova L. M., Devyatov A. M., Kralkina E. A. e. a. Applica-
Application of regularization algorithms for calculation of electron
energy distribution function in plasma of gas discharge.— Proc.
12-th ICPIG, Eindhoven: Contrib. Pap., 1975, p. 384.
376. Von Calker J. V., Fischer D. Uber den Einsatz von Spline-Funk-
tionen zur Glattung von Mefhverten bei der Abel-Inversion,—
Ann. Phys., 1976, Bd 33, H. 3, S. 191 — 198.
377. Von Neumann J., Richtmyer R. A method for the numerical
calculations of hydrodynamical shocks.— J. Appl. Phys., 1950,
v. 21, N 2, p. 232.'
378. Walsh P. J. Imprisonment of resonance radiation in a gaseous
discharge,— Phys. Rev., 1957, v. 107, N 2, p. 338—344.
379. Wharton С. В. Diagnostics for fusion experiments.— Physics
Today, 1979, v. 32, N 5, p. 52—60.
380. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of sta-
stationary time series with engineering applications. N. Y.: Wiley,
1946. 308 p.
381. Williamson J. H., Clarke M. E. Construction of electron distri-
distribution functions from laser scattering spectra.-— J. Plasma
Physics, 1971, v. 6, part 1, p. 211—221.
382. Winckler J. The Mach interferometer applied to studying an
axially symmetric supersonic air jet,— Rev. Sci. Instrum.,
1948, v. 19, N 5, p. 307—322.

Николай Георгиевич Преображенский
Валерий Владимирович Пикалов
НЕУСТОЙЧИВЫЕ ЗАДАЧИ ДИАГНОСТИКИ ПЛАЗМЫ
Ответственный редактор Алексей Кузьмич Ребров
Утверждено к печати Институтом теоретической
и прикладной механикл СО АН СССР
Редактор издательства Л. П. Галышеоа
Художественный редактор Т. Ф. Наминина
Художник В. И. Шуманов
Технический редактор Н. М. Бурлаченко
Корректоры К. Я. Сергеева, Г. И. Шведкинп
ИБ NS 23172
Сдано в набор 20.11.81. Подписано в печать 23.09.S2. МН-12061. Формат
84xlO8Vs!. Бумага типографская № з. Обыкновенная гарнитура. Высокая
печать. Уел. печ. л. 12,6. Уел, кр.-отт, 12,6. Уч.-изд. л. 16. Тираж 1800 экз.
Заказ Xs 805. Цена 2 р. 70 к.
Издательство «Наука», Сибирское отделение. 630099,
' Новосибирск, 99, Советская, 18.
4-я типография издательства «Наука». 630077,
Новосибирск. 77. Станиславского, 25.

В СИБИРСКОМ ОТДЕЛЕНИИ
ИЗДАТЕЛЬСТВА «НАУКА»
готовятся к выпуску в 1983 году следующие книги:
Актуальные проблемы вычислительной и прикладной
математики. 20 л.
Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи.
14 л.
Горение в сверхзвуковом потоке. 20 л.
Гриднев Е. П., Кацнельсон С. С, Фомичев В. П. МГД-
генераторы переменного тока с Г-слоем. 14 л.
Ларькин Н. А., Новиков В. А., Яненко Н. Н. Нелинейные
уравнения переменного типа. 16 л.
Марчук А. Г., Чубаров Л. Б., Шокин Ю. И. Численное
моделирование волн цунами. 15 л.
Проблемы математики и механики. 20 л.
Шепеленко В. Н. ФОРТРАН ЭВМ БЭСМ-6. 5 л.
Книги высылаются наложенным платежом. Заказы
направляйте по адресу: 630090, Новосибирск, 90, Морской
проспект, 22, магазин «Наука».