Дж. Варга
ОПТИМАЛЬНОЕ
УПРАВЛЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ
И ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ
УРАВНЕНИЯМИ
Перевод с английского
В. И. БЛАГОДАТСКИХ
под редакцией
Р. В. ГАМКРЕЛИДЗЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА>
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1977

517.2
В18
УДК 517.9
OPTIMAL CONTROL OF
DIFFERENTIAL AND
FUNCTIONAL EQUATIONS
J. Warga
ACADEMIC PRESS
NEW YORK AND LONDON
60204-012
053(02)-77
34-76
© P*?e^0A на Русский язык,
Главная редакция
^^t^^H3IS^koPl литературы
«АательсФМ-^йдука^ 1977

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
От редактора перевода 6
Предисловие автора 7
Часть I. ОСНОВЫ 9
Глава I. Аналитические основы 9
I.1. Множества, функции, последовательности 9
I.2. Топология 16
I.3. Топологические векторные пространства 36
I.4. Меры, измеримые функции и интегралы 64
I.5. Банаховы пространства С (5, %) и Lp (S, 2, ц, Я?) 129
I.6. Выпуклые множества 161
I.7. Измеримые многозначные отображения 170
Замечания , 179
Глава II. Функциональные уравнения . 181
II. 1. Определения и основные положения 181
II. 2. Теоремы о неподвижной точке Брауера, Шаудера и Тихонова 186
II. 3. Производные и теорема о неявной функции 195
II. 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 212
II. 5. Функционально-интегральные уравнения в пространстве С (Г, R*) 230
II. 6. Функционально-интегральные уравнения в пространстве L (7\ R ) 247
Замечания 265
Часть II. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ 267
Глава III. Основные задачи и понятия, эвристические рассмотрения 267
III. 1. Предмет теории оптимального управления 267
III. 2. Обычные, приближенные и обобщенные решения 272
III. 3. Измеримые управляющие функции 278
III. 4. Необходимые условия минимума 285
III. 5. Минимизирующие обычные решения 289
Глава IV. Обычные и обобщенные управляющие функции ...... 294
IV. 0. Краткое содержание 294
IV. 1. Пространства С (R) и L1 (Г, С (/?)) и их сопряженные .... 295
IV. 2. Множества 01 и ^ 304
IV. 3. Множества §№ и ^ и допустимые множества 310
Замечания 325
И

Глава V. Задачи управления» описываемые уравнениями в
банаховых пространствах 326
V. 0. Формулировка задачи оптимального управления 326
V. 1. Существование минимизирующих обобщенных и приближенных
решений 327
V. 2. Необходимые условия обобщенного минимума 330
V. 3. Необходимые условия обычного минимума 340
V. 4. Выпуклые функционалы качества 348
V. 5. Слабые необходимые условия обычного минимума 353
V. 6. Иллюстрации. Класс задач, описываемых обыкновенными
дифференциальными уравнениями, и примеры 355
V. 7. Управления, зависящие от состояния 372
Замечания 377
Глава VI. Оптимальное управление для обыкновенных
дифференциальных уравнений 379
VI. 0. Формулировка «стандартной» задачи 379
VI. 1. Существование минимизирующих обобщенных и
приближенных решений 380
VI. 2. Необходимые условия минимума 386
VI. 3. Дифференциальные включения и эквивалентные управляющие
функции 403
VI. 4. Неограниченные контингентные множества и
компактифицированные параметрические задачи 407
VI. 5. Задачи с переменными начальными условиями, со свободным
временем, с бесконечным временем, со ступенями, с
обобщенными запаздываниями 433
Замечания 444
Глава VII. Оптимальное управление для
функционально-интегральных уравнений в пространстве С (Tt R") 445
VII. 0. Формулировка задачи 445
VII. 1. Существование минимизирующих решений 446
VII. 2. Необходимые условия обобщенного минимума 450
VII. 3. Необходимые условия обобщенного минимума в
односторонних и некоторых других задачах 456
VII. 4. Необходимые условия обычного минимума 462
VII. 5. Задачи с псевдозапаздываниями 464
Замечания 464
Глава VIII. Оптимальное управление для
функционально-интегральных уравнений в пространстве Lp (Г, R") 465
VIII. 0. Формулировка задачи 465
VIII. 1. Существование минимизирующих решений 466
VIII. 2. Необходимые условия обобщенного минимума 470
VIII. 3. Необходимые условия обычного минимума 476
VIII. 4. Задачи с псевдозапаздываниями 478
Замечания 478
Глава IX. Конфликтные задачи управления с обобщенными
управлениями противника 479
IX. 0. Формулировка задачи 480
IX. 1. Существование и необходимые условия оптимальных
управлений 482
IX. 2. Конфликтные задачи управления, описываемые
функциональными уравнениями. Аддитивно распадающиеся конфликтные
управления. Контрпример 488
4

IX. 3. Задача убегания 496
IX. 4. Игры с нулевой суммой и с управляющими стратегиями . . 508
Замечания ^ 513
Глава X. Конфликтные задачи управления с гиперобобщенными
управлениями противника 514
X. 0. Формулировка задачи 514
X. 1. Существование минимизирующих обобщенных н приближенных
управлений 518
X. 2. Необходимые условия обобщенного минимума 532
X. 3. Гиперобобщенные и обобщенные управления противника
в обыкновенных дифференциальных уравнениях 537
Замечания 554
Глава XI. Управляемость и необходимые условия без
предположений дифференцируемости 555
XI. 0. Формулировка задачи 555
XI. 1. Производные множества 557
XI. 2. Теоремы об обратной функции 570
XI. 3. Управляемость и необходимые условия в обобщенных
односторонних задачах, описываемых обыкновенными
дифференциальными уравнениями 576
XI. 4. Управляемость и необходимые условия в обычных
односторонних задачах. Поведение неэкстремальных обобщенных
управлений 595
Замечания 613
Библиография 615
Предметный указатель , 619

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая в русском переводе книга «Оптимальное
управление дифференциальными и функциональными
уравнениями» написана известным американским специалистом по теории
дифференциальных уравнений и методам оптимизации
профессором Дж. Варгой, внесшим большой вклад в развитие теории
оптимального управления.
Книга отличается большой полнотой изложения целого ряда
основных направлений теории оптимального управления,
преимущественно аналитического характера, таких, как теория
«релаксированных» управлений (relaxed controls), которые
переводятся здесь как «обобщенные» управления. При этом автор
не ограничивается только обыкновенными дифференциальными
уравнениями, а рассматривает также весьма общие
функционально-интегральные уравнения.
Ценным качеством книги является то обстоятельство, что она
содержит исчерпывающее изложение всех необходимых
сведений по общей теории меры и интегрирования, функциональному
анализу и теории дифференциальных и функциональных
уравнений. Поэтому она может быть с успехом использована не
только специалистами излагаемой области, но и всеми, кто
намерен серьезно изучать теорию оптимального управления.
Профессор Дж. Варга специально для русского перевода
написал дополнительную XI главу, а также прислал список
опечаток и исправлений к американскому изданию.
Я выражаю профессору Дж. Варге благодарность за
большое внимание к русскому изданию книги.
Р. Гамкрелидзе

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Эта книга посвящена математической теории детерминированного
оптимального управления, при этом особое внимание уделяется задачам,
включающим функционально-интегральные уравнения и функциональные
ограничения. Книга предназначена для специалистов математиков, студентов
старших курсов, специализирующихся в анализе, а также для специалистов,
занимающихся прикладными вопросами оптимального управления. Чтобы
книга была понятна двум последним категориям читателей, мы включили
в нее вспомогательную часть, составляющую половину книги и содержащую
необходимые аналитические основы.
Во второй части книги исследуются задачи оптимального управления,
которые определяются множеством состояний <У (или функциями
состояния), множеством °U «обычных» функций управления и: T-**Ry множеством
управляющих параметров Ву функциональным уравнением у = F(y, ut b)
в множестве °У X ^ X #» ограничением g\ (г/, и, b) е Сх и функционалом платы.
Наряду с «обычными» решениями, которые являются точками множества
^Х^Х^, мы рассматриваем также приближенные решения,
представляющие собой последовательности в множестве <У X ^ X В, и «обобщенные»
решения, которые являются обобщением или расширением понятия обычных
решений.
Мы исследуем обычные решения, так как они представляют интерес для
математиков. Кроме того, мы имеем дело с приближенными решениями,
поскольку они дают ответ на инженерные задачи управления. Наконец, мы
изучаем обобщенные решения по следующим причинам: они дают полную
теорию, которая включает в себя как теоремы существования, так и
необходимые условия; дают способ построения приближенных оптимальных
решений; они надлежащим образом моделируют некоторые физические ситуации
и в «нормальных» задачах дают нам возможность или определить обычные
оптимальные решения, или доказать, что таких решений не существует.
Общая задача оптимального управления изучается (в главах IV, V) в
следующих предположениях: а) Г и Я — компактные метрические
пространства, а (7\ 2, ц)—пространство с неатомической положительной мерой
Радона; в) °U — подмножество класса ц-измеримых функций из Т в R,
удовлетворяющих условию вида и (t) &Rt; (t) (t&T); с) Cx есть подмножество
топологического векторного пространства; d) QJ — банахово пространство.
Затем рассматриваются (главы VI, VII, VIII) задачи, для которых
7

^=C(7'JRn) или y = Lr>(T, 2, ц, R») и уравнение у = F(y, и, Ь)
является функционально-интегральным уравнением вида
y(0-J/(t *> Цу)(1). lift). 6)|i(rfT).
В главе VI исследуется задача оптимального управления для
обыкновенных дифференциальных уравнений, причем иногда предположение о том,
что Т и R являются компактами, значительно ослаблено. В главе VII
рассматриваются функционально-интегральные уравнения в пространстве
C(TtRn) (сюда входят дифференциальные уравнения с запаздыванием,
функционально-дифференциальные уравнения, а также аналогичные интегральные
уравнения). Глава VIII посвящена функционально-интегральным уравнениям
в пространстве Lp(7\ 2, |Л, Rn).
-Особое внимание уделяется односторонним ограничениям вида y(t) е
е А (/) (/еГ) и (главы IX и X) ограничениям, включающим конфликтные и
минимаксные управления.
Читатель, знакомый с основными понятиями общей топологии,
функционального анализа, теории меры и теории интегрирования скалярных
функций, может сразу приступить к изучению части II. Для этого ему нужно
только познакомиться с определениями
1) пространства *Г($, 2, ц, X) (пункты 1.4.В и 1.4.16);
2) пространства LP(St 2, ц, S6) (определение 1.4.29);
3) интеграла Бохнера (определение I. 4.33);
4) ^-измеримого многозначного отображения (параграф 1.7);
5) производных Фреше, производных по направлению и л-дифференци-
руемых функций (параграф II. 3);
6) функций Каратеодори (параграф II.4).
Вторую часть книги не обязательно читать подряд. Начать необходимо
с главы III. В этой описательной и частично эвристической главе дан обзор
основных задач, изложенных в книге. Продолжить изучение следует чтением
главы IV и параграфов V. 1—V. 3, которые представляют собой основу для
понимания оставшейся части книги. Затем можно прочесть параграф V.6,
включающий серьезное, но и в то же время простое применение полученного
материала. После этого каждый из оставшихся параграфов главы V и
каждую из глав VI—XI можно изучать независимо. Главы VI—VIII
основываются на параграфах II. 4—11.6, соответственно.
За небольшим исключением, основное содержание второй части и до
некоторой степени содержание параграфов II. 5 и II. 6, по-видимому,
представляют собой новые результаты или развитие моих опубликованных работ.
Ссылки на соответствующие работы даны в замечаниях к каждой главе, но
эти ссылки нельзя считать исчерпывающими или даже достаточно
полными.
Дж. Варга

Часть первая. ОСНОВЫ
Глава I. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
I. 1. Множества, функции, последовательности
Множества. Договоримся о некоторых обозначениях и
приведем необходимые определения, которые мы будем
использовать в этой книге. Будем обозначать множества (которые
также будем называть семействами или классами) заглавными
буквами (латинскими или греческими), а пустое множество —
символом 0. Условимся писать: аеД если а— элемент (или
точка) множества А {А содержит а); аи аъ ... е Л, если а1 е Л,
а2 е А и т. д.; афАу если а не является элементом Л; а = Ь,
если а и Ь обозначают один и тот же элемент; аФЪ, если а
и Ь обозначают разные элементы; А с: В или В:эЛ (А
—подмножество множества В или А — подсемейство семейства В, Л
содержится в В, или В содержит Л), если из аеЛ следует,
что agB; Л = В, если одновременно А а В и В с: Л. Запись
аеЛ может в дальнейшем также означать утверждения
«объект а, который является элементом множества Л» (как,
например, в выражении «для каждого а е Л»), то же самое
относится к записи Л с: В.
д
Часто вместо записи а = Ь будем писать а = 6, если это
соотношение определяет или а, или Ъ.
Если S (х) — некоторое свойство, которым могут обладать
элементы х множества Л, то через [x<=A\S(x)} или (x|S(x)}
обозначается набор всех элементов, обладающих этим
свойством. Будем обозначать также через {аи аъ ...} множество
с элементами аи а2, ...
Объединением множеств Л и В, которое обозначается через
Лив, называется множество {х\х^А или лее В}; пересечением
множеств Л и В, которое обозначается через Л П В, называется
множество {х\х^А и *еВ}; дополнением множества А до В,
которое обозначается через В\ А, называется множество
{Ь ^В\Ьф Л}. Множества Л и В называются
непересекающимися, если ЛПВ=0. Если Т есть семейство подмножеств
множества Л, то объединением семейства Т называется
9

♦множество (J T = {t е A\t^T для некоторого Г£^)и пересе-
чением семейства Т — множество f] T = {t е Л | / еГ для лю-
бого Г еfT}. Если элементы У различаются индексом (оей,
т. е. если T = {TJ соей}, то U Г«= U Г и П Гш= П Г.
ю е Q Ге^ 6)EQ Ге7
Если /, / — целые числа и / < /, то
Если /</, то
Птч^иги-.и •
• • 1)7/,
.. П7/.
оо
Будем также обозначать через (J Гл выражение Г, U 7Wi U ...
и положим [)Tk = Ti{\Tl+i(\ ... Если семейство Т пусто, то
U Т±0и'{) Т±А.
Т е<г Ге«Г
Для того чтобы избежать чрезмерного употребления
круглых скобок в выражениях, содержащих символы f)» U и \,
условимся проводить операции, обозначенные этими символами,
в том порядке, в котором они написаны. По формулам
Моргана, Л\ U Г= П (А\Т) и А\ П = U (Л\Т). Семей-
ство Т подмножеств А называется разбиением множества Л,
если ГП5=0(Г, SefJ#S) и [] Т — А. Семейство Г
т <=<г
подмножеств Л называется покрытием множества В с: Л, если
Be U Т.
Гб7
Если для каждого элемента а данного множества Л заданы
утверждения Si (а), 52И и т- Д-> то запись (Sx (a), S2(a) и т. д.)
или [S, (a), S2'(a) и т. д.] означает «для всех og Л, для
которых утверждения 5! (а), 52(а) и т- Д- справедливы». Например,
запись «множества At </е {1, 2, ...,}, / — нечетное)» означает
«множества Ль Л3 и т. д.». Иногда вместо записи х е {а, 6, с, .,.}
будем писать х = а, 6, £, ...
Функции. Упорядоченная пара элементов а и Ъ
записывается далее как (а, Ь)\ аналогично упорядоченные п элементов
аи а2, ..., ап записываются в виде (аи ..., ап). Если а^А
(/=1, ..., п), то упорядоченные п элементов (аи .,., а4) иногда
10

называются конечной последовательностью в А. Если Л и В —
заданные множества и / — некоторое правило, которое ставит
в соответствие каждому элементу а е А элемент / (а) е В, мы
говорим, что / является функцией (отображением,
преобразованием) А в В или функцией с областью определения А и об-
ластью значения В, и пишем f: А->В или /(•)• А-+В> или
а -> / (а): А -> В, или (/Ja е л (соответственно, / или / (•), или
a-+f(a)f или (fa), если множества А и В уже определены).
В зависимости от контекста запись /: Л —>В читается «/ —
функция на А со значениями в В» или «отображение / из А в В».
В записи (fa)at=A Функция / часто называется семейством
с индексом а. Символ а, входящий в выражение a->f(a) или
(fa)ae=A> называется независимой переменной или произвольной
точкой множества Л и не представляет собой какую-либо
конкретную точку множества Л, а указывает только на то, что
областью определения функции / является множество Л. Таким
образом, выражение a->f (5 + 2а): {1, 2, .. .}->{1, 2, ...}
представляет собой функцию g: {1, 2, .. .}->{1, 2, ...}, определяемую
соотношением g(a) = f(5 + 2a) (asfl, 2, ...}). Одна и та же
независимая переменная в дальнейшем 'тексте может
обозначаться различными символами; таким образом, выражения
a->f(a): А->В и a->/(a): А-*В описывают одну и туже
функцию. Будем писать иногда «функция f(a) переменной а»,
подразумевая a-*f(a).
Множество {(а, /(а))|аеЛ} называется графиком функции
/: А->В. Множество f(A) = {f (а) |ае Л} с=В называется
образом множества А при отображении f. Если С а В, то множество
f~l(С)—{а^A\f(а)еС} называется прообразом множества С
при отображений /. Элементы множества Л называются
аргументами функции /, а элехменты множества f(A) называются
значениями функции f. Если множество f(A) состоит только из
одного элемента, то функция / называется постоянной функцией
или константой. Когда значениями функции / являются
действительные числа, функция / называется функционалом.
Если заданы функции f: А-+В и g: В-+С, то функция
Л=£°/, определенная соотношением h(а)^g(f(а)) для всех
а^Ау называется суперпозицией функций g и /. Для ft: Л*->
-*Ai+{ (/=1, 2, 3) двойные суперпозиции /3° (f2°/i) и (fz°f2)°f\
представляют одну и ту же функцию
Я1-*Ы/2(МЯ1))): АХ^АА.
Функция /: А-+В называется взаимно однозначным отоб»
ражением множества А в В или инъективным отображением,
если из равенства / (а{) = / (а2) следует, что ах = а2\ функция
называется отображением множества Л на множество В или
сюргективным отображением, если /(Л) = £. Если функция
Л

является одновременно инъективной и сюръективной (в этом
случае ее также называют биективной или взаимно
однозначным соответствием), то множество f~]({b}) состоит из
единственной точки для каждого ftefi; мы обозначим эту точку через
f~l (Ь). В этом случае правило f"1 является биективной
функцией с областью определения В и областью значений А.
Назовем функцию f~l обратной к функции /. Функция 1А: А-+А>
определяемая условием 1А(а) = а для всех аеД называется
тождественным отображением множества А (она обозначается
также через /, если множество А уже определено). Нетрудно
показать, что если функция /: Л->5 является биективной, то
(f'iyl — f* rl°f = IA* f°f~l = lA> а если функции/: А-+В и
g: В -* А удовлетворяют соотношениям g © /=/л и / ° £=/в> т0 обе
эти функции являются биективными и f=g~\ g=f~l. Более того,
если функции /: АХ->А2 и g: А2->А3 являются биективными,
то функция g о f также является биективной и (g © f)~! = /_1 о g~l.
Если существует взаимно однозначное соответствие /: Л->£, то
будем говорить, что множества А и В имеют одинаковую
мощность (являются равномощными). Нетрудно проверить, что если
множества А и В имеют одинаковую мощность и множества А
и С имеют одинаковую мощность, то множества В и С также
являются равномощными.
Отождествление, вложение и эквивалентные
классы. Пусть X и Y — два заданных множества и / —
некоторая функция из X в Y. Если функция / заранее определена,
то иногда удобно считать элемент х из X «названием»
элемента f (х) из У. В таких случаях мы отождествляем элементы х
и / (х). Если Y содержится в некотором множестве Z и f является
взаимно однозначным соответствием, то можно назвать X
подмножеством Z (в указанном выше смысле). В этом случае будем
говорить, что X вложено в Z (или X является вложением в Z).
Если функция / не является биективной, то каждое множество
/-1({#})[={*е Х\ / (*) = #}]> соответствующее некоторому
элементу jgF, назовем эквивалентным классом и будем
отождествлять любые два элемента хх и х2 в одном и том же
эквивалентном классе в том смысле, что оба элемента х{ и х2 являются
«названием» одного и того же эквивалентного класса. В
частности, если X — заданное множество, а У — разбиение
множества X, то можно определить функцию /: Х-*&~ условием
f(x) = T, если jcgTg^ В этом случае T = f'l{{T}) для всех
Tsf, и каждое множество Т является эквивалентным классом,
элементы которого могут быть отождествлены.
Отношениями эквивалентности в множестве X называется
набор R упорядоченных пар (х, у), х, у е X, со свойствами:
если (х, у) е /?, то (у, х) е /?; если (х, у)<= R и (у, z) <= /?, то
(л:, z) е R; (х, х) е R. Если R является отношением эквивалент-
12

ности в X, а @(Х) •— семейство всех подмножеств из X, то
можно определить функцию /: Х-+&(Х) условием f(x)^{y^
е X | (х, у) <= R}- Легко проверить, что / {х) = f (z), если (х, z) е R,
и }{х)ш(г)=0, е^ли (;с, 2:) ^ #. Таким образом, семейство
[f (х)\х^ X} определяет разбиение X, и каждое множество f (х)
является эквивалентным классом, элементы которого могут быть
отождествлены.
Декартово произведение. Обозначим через &(А)
семейство всех подмножеств множества Л. Пусть Q — некоторое
множество и G( •): Q->&*{A). Декартовым произведением
семейства с индексом (G(co)) Q называется множество Ц G(co), со-
стоящее из функций g: Q->А таких, что j(q)gC(со) для всех
©gQ, Если й = {1,2, ..., k), G(1) = P, G(2) = Q, ..., G{k) = T,
k
то вместо П G (со) будем писать Д G (/) или Р X Q X • • • X Г.
(оей 1 — 1
Легко видеть, что существует взаимно однозначное
соответствие между множеством Р X Q X • • • X Т и множеством
{(р, q, ..., /) |р е Р, <7 gQ, ..., /gJ} упорядоченных Л
элементов, т. е. функций co->g(co), значениями которых являются
наборы из k элементов (g(l), g(2), ..., g(k)). В этом случае
будем отождествлять функцию g с набором из k элементов
(g(l)> •••» &(*))> т- е- с элементом множества PXQX ••• Х^.
Если G(l)= ... =G(k) = P, то пишем Р* вместо Y\,G(i). Если
Л<= П G(co), то рг-Л = {#(со)|£€= Л}; если
Лс=РХ<2Х ... XRX ... ХГ,
то рг^ А = {г е /? | (р, <7, ..., r,...,0s4 Назовем prs Л прое/е-
цыш множества Л на G(co).
Нетрудно проверить, что если У является разбиением Q, то
существует взаимно однозначное соответствие между
множествами П G(co) и IX Г П О (©)Y и мы отождествляем соот-
ветствующие элементы каждого множества. В этом смысле мы
пишем/{аь ..., ak)вместо f: А{Х • • • X Ак->Sили/(аи ak)
вместо /(g), если (g(l), ..., g(&)) = (ai, ..., ak). Аналогично мы
пишем f(ab аъ аъ) вместо f(a{, (a2f а3)) или f((a{, а2)аг), а также
/ вместо /(-,-,...,•) или {alt аъ ..., ah)->f (аи ..., ak).
Сужение и продолжение. Пусть Л! с: Л, /: А->В и
fiu. А1-+В. Назовем f{ сужением функции f на Ах и обозначим
его через /1 ^4i или f: АХ->В, a f — продолжением функции fx
на Л, если f{a) = fi(a) для всех а^Ах. Когда нет опасности
перепутать, будем обозначать одной и той же буквой две
функции, одна из которых является сужением другой.
Если f: А{ХА2Х ... ХЛ*->Я и й(^А( {i ф j) заданы,
то обозначим через Я/-*/(яь ..., ау-ь бу+1, ..., ак) или через
13

f(ah ..., Sy-t, •, a/+I, ..., ak) функцию из Af в В, которая
каждому элементу ay е Aj ставит в соответствие значение
f(Si, ..., й/-ь Я/, a/+i, ..., afe). Если для фиксированного at
(1Ф1) функция f (а}. ..., ay-,, •, ay+1, ..., а*) обладает
свойством Р, будем говорить, что функция / обладает свойством
Р по переменной aj при ai = й( (/ # /).
Счетные множества и последовательности.
Будем обозначать через N множество {1, 2, 3, ...} всех
положительных целых чисел. Если не оговорено противное, то
буквами /, /, k, m, п будут обозначаться элементы множества N.
Множество А конечно, если это множество пусто или имеет
одинаковую мощность с множеством {1, 2, ..., k) для
некоторого целого положительного k\ в противном случае множество А
бесконечно. Множество А счетно, если оно имеет ту же
мощность, что и N. Множество А не более чем счетно, если оно
конечно или счетно. Если fceN и множества А{, Аъ ..., Ak —
счетные, то А{ X •. • X Ak также будет счетно. Это легко
проверяется построением следующего взаимно однозначного
соответствия f: N*->N: если целое положительное число имеет
(единственное) десятичное представление */Л + Ю*/,2 + Ю2*/,з + ...
для 1=1, 2, ..., k, то положим
/fa,.... ^=Z*i.iio|-, + io*Z*i.2io'-1+ ...
Аналогично можно показать, что объединение конечного или
счетного числа счетных множеств счетно, множество всех
рациональных чисел
{±///|/€={0, 1, 2, ...}, /eN}
счетно и любое подмножество счетного множества либо конечно,
либо счетно.
Если А — произвольное множество и а: N -> А, то назовем
а(«) последовательностью в А и будем обозначать ее через
(аи а2, ...) или, как семейство с индексом, через (a*)*SN. Иногда
будем обозначать последовательность через (a^i или через (а*).
Обозначение (а*), используется, в частности, если выражение at
содержит также индексы, отличные от I (например, (2/ + 5/)£
означает последовательность (2 + 5/, 4 + 5/, 6 + 5/, ...), в то
время как (2/ + 5/)у = (2/ + 5, 2/+10, 2/+ 15, ...))• Если
/-*/,: N->N, ji+i> Ji и bl = ai, то (bt) называется
подпоследовательностью (а(), и мы пишем (&,)<= (а,). Будем обозначать
подпоследовательность (6*) через (я*),е/с, если K = (Ju /2, .. .)•
Если^ = (а^е/^, то пишем 6е^ вместо *е{а,|*е/С}.
14

Если (at) — некоторая последовательность, тогда выделить
подпоследовательность (ai)i <_ к — означает определить такую
подпоследовательность. Если ((«}), (а?), ...) — некоторая
последовательность последовательностей таких, что (в*+1),с:(а£У
для всех fesN, то последовательность (a|)t. = (я|, а|, ...)
называется диагональной подпоследовательностью
последовательностей ((e})/f (flf)/f ...); при этом для всех feeN выполнено
условие
(о», а*+{, ...)<= (а?)г
Построение диагональной подпоследовательности называется
процессом диагонализации (Кантора).
Если S(/) — некоторые свойства ,для всех /sN такие, что
из выполнения 5(1), ..., S(i) следует выполнение свойства
S(/+l), то из выполнения свойства 5(1) следует выполнение
свойств S(i) для всех /eN. Действительно, пусть 5(/) не
выполняется при некотором / е N, и пусть k — наименьший
элемент из (1, 2, ..., /}, для которого S(k) не выполняется. Тогда
k> 1 и свойства S(l), 5(2), ..., 5(& — 1) выполняются, отсюда
следует, что свойство 5(fe) выполнено. Таким образом, S(j) не
может не выполняться ни при одном /gN. Доказательство
по индукции того, что 5(/) верно при всех /eN, состоит из
двух шагов: 1) доказательство справедливости свойства 5(1);
2) доказательство того, что из S(l), ..., S(i) следует 5(/+1)
при всех I е N. Проверка второго шага называется завершением
индукции.
Лемма Цорна. Если Л —некоторое множество, то
отношением частичной упорядоченности в Л называется
подмножество R из Л X А такое, что (а, а) е R для всех а е Л, и
из условий (а, ft) е R и (b, с)^ R следует, что (а, с) е /?. Будем
писать также а^Ь вместо (a, b) е /?. Пара (Л, /?) называется
частично упорядоченным множеством. Вполне упорядоченным
подмножеством В частично упорядоченного множества (Л, R)
называется такое множество В, что для всех bx е В, Ь2^В
выполнено одно из соотношений: либо bx^.b2> либо 62^^i«
Элемент л; частично упорядоченного множества (Л, /?)
называется максимальным, если из х^а следует a^jt; элемент
х е Л называется верхней границей подмножества S из Л, если
6<* для всех 6gB. Мы принимаем как аксиому лемму
Цорна, утверждающую, что, если Л ф 0 и (Л, /?) является
таким частично упорядоченным множеством, что любое вполне
упорядоченное подмножество Л имеет верхнюю границу, то
(Л, R) имеет максимальный элемент. (Лемма Цорна может быть
выведена из аксиомы выбора, утверждающей, что декартово
произведение П G(co) =5^ 0, если G(co)=^ 0 для всех ©ей.)
15

1.2. Топология
Семейство Т подмножеств множества X называется
топологией в X (или топологической структурой множества X), если
0ef, Xsf Hf содержит объединение любого числа
подмножеств У и пересечение любого конечного числа
подмножеств 0"'. Топология 0~х слабее или меньше топологии ^2»
а Т2 сильнее или больше ЗГи если ТхаТ2. Элементы
топологии называются открытыми множествами. Пара (X, 9~)
называется топологическим прост ранет во м\ иногда X называется
топологическим пространством, если топология в X уже
определена.
Если °U — семейство подмножеств X, то существует
единственная топология ТЩ) в X, содержащая °U, которая слабее
любой другой топологии, содержащей °U. Т (°U) строится
следующим образом: положим Y(6U) = \ f| 4y|&eN, Af^M} и
определим Т(Ф/) как множество объединений всех подсемейств
из YifU). Назовем °U предбазой топологии Т' Щ), а базой
топологии У~ — такое подсемейство Т с= Т, что любой элемент 3~
является объединением некоторого подсемейства из Т. (Таким
образом, YifU) является базой топологии Т Ш).)
Если (X, Т) — топологическое пространство и A cz X, то
набор множеств 0'А'={А (]В \В е £Г} является топологией в А
и называется индуцированной топологией множества А в
пространстве (X, Т). Элементы этого набора называются
относительно открытыми множествами в А. Открытой окрестностью
точки х (множества А) называется любое открытое множество,
содержащее точку х (содержащее А). Окрестностью точки х
(множества А) называется любое множество, содержащее
открытую окрестность точки х (множества А). Точка х называется
предельной точкой множества Л, если любая окрестность х
содержит точку у ^ А\ {х}. Точка х является предельной точкой
последовательности (дс7) (обозначается lim*y или lim xf, соответ-
ственно, предел последовательности (*/)/е/ обозначается через
lim Xj или limxi для /g/) или, что эквивалентно, последова-
тельность (xj) сходится к х (пишем Xj-+x или Xj—j+x), если
любая окрестность х содержит все (кроме конечного числа)
элементы Xj. Последовательность, которая сходится к некоторой
точке, называется сходящейся. Аналогично, если <jeN и
отображение (iu 1Ъ ..., ik)->Xix ik есть отображение Nfe->X,
то xi ib-*x, или lim xi ..../ь = х, если любая окрест-
М lk
ность х содержит все (кроме конечного числа) точки xiv...9ik.
Множество А называется замкнутым, если X \ А является откры-
16

тым. Замыканием множества Л (обозначается Л) называется
множество всех точек х е X таких, что пересечение А с любой
окрестностью х не пусто. Легко_проверить, что А является
замкнутым для любого ЛсХ и Л есть пересечение всех
замкнутых множеств, содержащих А. Точка х называется
внутренней точкой множества Л, если некоторая окрестность х
содержится в А. Легко видеть, что множество является открытым
тогда и только тогда, когда любая его точка является
внутренней. Внутренностью множества А (обозначается А0) называется
множество всех внутренних точек А (или, что эквивалентно,
объединение всех открытых подмножеств А). Границей
множества А (обозначается дА) называется множество А \ А0. Мы
говорим, что множество А является всюду плотным
подмножеством из В, если A cz В с: Л. Множество Л называется
секвенциально замкнутым, если предел любой сходящейся
последовательности в Л принадлежит Л. Секвенциальным замыканием
множества Л (seqcl(i4)) называется набор всех пределов сходящихся
последовательностей в Л. Ясно, что seqcl^)cM.
Топологическое пространство (X, Т) называется сепарабель-
ным, если X содержит конечное или счетное всюду плотное
подмножество. В топологическом пространстве (X, Т) подсемейство Т
семейства Т называется открытым покрытием множества В cz X,
если В (= И 1/. Если F,cFh оба семейства Тх и Т являются
открытыми покрытиями множества В, то Тх называется
подпокрытием покрытия Т. Мы говорим, что семейство множеств
обладает свойством конечного пересечения, если любое конечное
подсемейство имеет непустое пересечение. Множество ВсХ
является компактом, если любое открытое покрытие Т
множества В имеет конечное подпокрытие или (в соответствии с
формулами Моргана) если любое семейство относительно замкнутых
подмножеств множества В со свойством конечного пересечения
имеет непустое пересечение. Множество В с: X называется условно
компактным *), если В — компакт. Множество Л в
топологическом пространстве X называется секвенциально компактным,
если любая последовательность в Л имеет подпоследовательность,
сходящуюся к некоторой точке из Л. Пространство {X, &~) и
топология &~ называются компактными, если X — компакт.
Пространство (X, Т) и топология 3~ называются секвенциально
компактными, если множество X секвенциально компактно.
Легко видеть, что замкнутое подмножество компактного
множества является компактом и секвенциально замкнутое
подмножество секвенциально компактного множества является
секвенциально компактным.
*) В отечественной литературе такое множество чаще называют пред-
компактным или относительно компактным, (Прим. ред.)
17

Топологическое пространство (X, Т) и топология Т
называются хаусдорфовыми, если любые две различные точки из X
имеют непересекающиеся окрестности. Нетрудно показать, что
для любой точки х в хаусдорфовом пространстве множество {х}
является замкнутым.
Если (Хы, Тц>) (© ^ Q) являются топологическими
пространствами, то топологией произведения в JJ Хы называется наи-
(DEQ
меньшая топология, содержащая множества вида П Аш где
ueQ
i40) е Тъ (шей)и Л^ Хф, кроме конечного числа множеств Лш.
Метрические пространства. Функция d(«, •)>
отображающая ХУ^Х в множество действительных чисел
называется метрической функцией (или расстоянием) для множества Л\
если выполнены условия:
1) d(*,»)>0;
2) d(xty)^d(x9z) + d(zty);
3) d(*, y) = d(y,x);
4) d(*> */) = 0 тогда и только тогда, когда х = у.
Множество S (х, а) = {у е X \ d (х, у) < а) называется
открытым шаром радиуса ас центром в точке х, а множествоSF(х, а) =
= {# е X \d(x, y)^a} называется замкнутым шаром радиуса а
с центром в точке х. Топология 2D, предбаза которой состоит
из всех открытых шаров в X, называется метрической
топологией. Нетрудно проверить, что открытые шары действительно
образуют базу топологии 3). Топологическое пространство (X, 3))
называется метрическим пространством; это метрическое
пространство будем также обозначать просто через Ху если
метрическая функция уже определена. Так как S (х, i/2d (дс, у)) (]
П 5(уу {kd{xy у)) = 0, то любое метрическое пространство является
хаусдорфовым. Число d(xyy) называется расстоянием между
точками х и у.
Пусть d(-, •) и 6 (•, •) ■— две метрические функции в X со
следующим свойством: для любых х и е > 0 существует такое
ц (xf е) > 0, что
а) из б (л;, у) ^ г\ (х, е) следует d (jc, у) ^ е;
б) из d(х, j/)<r](х, е) следует б(х, у)<е.
Нетрудно проверить, что в этом случае метрические
топологии, определенные функциями d(«, •) и б(*, •), совпадают;
функции d(*, •) и б(-, •) называются эквивалентными
метриками. Можно показать, что если d (•, •) — метрическая
функция для X, а 6 (я, у) — наименьшее число из d(xty) и 1, то
б (*> у) — также метрическая функция для X, a d (•, •) и 6(«, •)
будут эквивалентными метриками.
13

Мы говорим, что топологическое пространство (X, Т) метри-
зуемо, если существует функция расстояния d (•, •) для X
такая', что соответствующая метрическая топология совпадает
с <Г. Из предыдущих замечаний ясно, что мы можем выбрать
эту функцию расстояния такой, что d(x, у)<1 для всех х и у.
Последовательность (*/) в метрическом пространстве X
называется последовательностью Коши, если для любого е > 0
существует такое fe(e)eN, что d(xt, */)<е для всех /, />£(е).
Функция (*, j)-*xlt!: NXN->X называется двойной
последовательностью Коши, если для любого е > 0 существует такое
t(e)6N, что d(xiitJi, */2,/2)<е для всех t{, i2, /р j2>k(e).
Подмножество А метрического пространства называется
полным, если предел любой последовательности Коши в А
принадлежит множеству А. Метрическое пространство X
называется полным, если подмножество X полное. Таким образом,
замкнутое подмножество полного метрического пространства
является полным.
Подмножество А метрического пространства называется
ограниченным, если существует такое число с, что d(x, у)^с для
всех х, у е А. Множество А называется вполне ограниченным,
если для любого е > 0 множество А можно покрыть конечным
набором открытых шаров радиуса е с центрами _в Л.
Метрические пространства R и R. Обозначим
через R метрическое пространство, элементами которого являются
действительные числа (которые мы будем называть также просто
числами) с метрической функцией d(x, у) — \х — у\ (абсолютное
значение числа х — у). Число с называется верхней границей
(нижней границей) непустого подмножества А из R, если а^с
(а^с) для всех аеА Мы предполагаем известным, что
множество рациональных чисел {±i/j\i е {О, 1,2, ...}, /gN} всюду
плотно в R, что R —полное метрическое пространство и что для
любого непустого множества A cz R с верхней (нижней)
границей с существует единственное число sup A (inf А) и
последовательность {а,}) в А такие, что limay = sup4 (lim ay == inf Л) и
а ^ sup А ^ с {а ^ inf А ^ с) для всех а^А.
Расширенным действительным числом называется либо
действительное число, либо один из символов — оо и оо (-(- оо).
Множество R расширенных действительных чисел равняется,
таким образом, RU{— °°> °°}- Если мы положим f(x)=x/{l +\х\)
для xeR, /(оо)=1 и /(— оо) = — 1, то можно проверить, что
функция
(х,у)-+6(х, y)±\f(x)-f(y)\: RXR->R.
является метрической функцией для множества R. Аналогично
определяется и метрическая топология для R. Можно показать,
19

что метрическая топология в R является индуцированной
топологией множества R в пространстве R и что Iim;t/ = oo
(limХу = — оо) тогда и только тогда, когда для любого «gN
существует такое /(n)eN, что х^п (х^ — п) для всех
Легко видеть, что R является вполне упорядоченным
множеством с операцией отношения <, где а^Ь понимается
в обычном смысле, если a, 6eR, и — оо < а < оо для всех
aER (а < Ъ означает а<^Ъ и аФЬ). Запись 6>а означает
а<Ь. Для х, j/gR полагаем
д
д:-|-оо = оо+*=:сх>, если х ф _ ^
д
х — оо = — оо + х = — оо, если х Ф оо;
аоо = оо, если а > О,
аоо = — оо, если а < 0;
дг/оо = */(— оо)=0, если х =#= оо, jc ^= — оо,
х — у — х+(—\)у.
Выражения 0/0, 0 • оо, оо — оо, оо/оо и т. д. остаются
неопределенными.
Элементы {— оо, оо} называются бесконечными, а элементы
из R — конечными. Выражение \х\ совпадает с х> если х^О, и
равно ~-х, если х < 0. Очевидно, что |* + */|^|*| + |#|
(*, j/gR).
Для a, &gR и a<J полагаем
(a, 6) = {jte=R| а <*<&}, (а,6] = {*€= R| а < *<&},
[а, &) = {*£= R|a<*< 6}, [a, 6] = {x е= R| а<х<&}.
Эти множества называются интервалами, если они непустые
и содержатся в R; в этом случае (а, Ь) называется открытым
интервалом, а [a, ft] — замкнутым интервалом. Подынтервалом
множества Т называется интервал, содержащийся в Г.
Мы говорим, что cgR является ^верхней границей (нижней
границей) непустого множества Л cz R, если а ^с (а^с) для
всех agA Нетрудно проверить, что для каждого непустого
множества Л с: R существуют единственная пара расширенных
действительных чисел sup Л и inf А и такие
последовательности (ау) и (6У) в Л, что limay = supA Hm6/ = inf Л, и для
любой верхней границы с и любой нижней границы d
множества А выполнено условие rf^inf Л^а^эирА^с для всех
20

а е Л. Более того, если А имеет верхнюю (нижнюю) границу
в R, то sup A (inf А) в R совпадает с sup (А П R) [inf (A f) R)l
в r' в противном случае sup4 = oo (inf Л = —оо).
Мы полагаем, по определению, sup 0 =—-оо и inf 0 = оо.
Если sup А е (Л П R) [inf А е (А П R)], то мы пишем max A (min Л)
вместо sup A (inf Л). Мы также иногда пишем Sup (Inf, Max, Min)
вместо sup (inf, max, min), а также max(ab ..., ak) вместо
max{aly ..., ak) и аналогично для min. Если X — произвольное
множество, В с= X и /: X -> R, то мы полагаем sup / {х) = sup / (В),
inf f(x)= inf f (В). Функция / из множества 4cR в R назы-
вается возрастающей (неубывающей, убывающей,
невозрастающей), если при х <у выполнено условие f(x)<f (у) [f (х) < / (у),
/(*)> f (#)» f(x)^f (у)]- Функция / называется монотонной, если
она является неубывающей или невозрастающей.
Если последовательность (xf) (т. е. функция j->Xf\ N->R)
является неубывающей (невозрастающей) и множество {хи х2, ...}
имеет верхнюю (нижнюю) границу cgR, то нетрудно
проверить, что lim|**—*/| = 0, и поэтому последовательность (xj)
является сходящейся в полном метрическом пространстве R.
Для каждой последовательности (л:у) в R мы обозначим
limsupjcy= inf sup {xt | / ^ k),
lim inf x* = sup inf {xt | i ^ k).
i fceN
Расстояние и диаметр. Если X является метрическим
пространством, Л, ВаХ и х^Х, то мы полагаем
d[A,x] = d[x, Л]= inf d(x9 у), d[A, B] = d[B,A] = inf d[A, г].
y^A ze=B
(Мы используем обозначение d[At х] вместо обычного
обозначения d{A, х), чтобы избежать путаницы с множеством
{d(y, х)\у Е^}и аналогично для d[A, В].) Мы назовем d[x, А]
расстоянием от точки х до множества Л, а d [Л, В] —
расстоянием от множества А до В. Диаметром множества Л назовем
расширенное действительное число
(Пат(Л)= sup d(x, у).
Пределы и непрерывные функции. Пусть (Xf Т)
и (Y, у} __ топологические пространства, Z — произвольное
множество /: Z->7 и g: Z->X. Мы пишем lim f(z) = y или го-
21

Ёорим, что предел функции f(z) равен у при g{z), Стремящемся
к х, если для любой окрестности Л точки у существует такая
окрестность В точки х, что / (g-1 (В)) cz Л. Если Z = X к g(x) = x,
то мы пишем l'\mf(x) = y вместо limf(z) — y при g(z)->x.
х->х
Мы также пишем \\mf{x) = y при *->*, ^е!ь если для любой
окрестности Л точки у существует такая окрестность В точки х,
что /(Bf|^i)<= А и пишем lim f(x) вместо lim/(jt) при *-*0,
х е (0, оо), если XcR. Если У cz R, мы полагаем
lim sup f {х) = inf {sup f (В) | x e В <= #"},
lim inf / (x) = sup {inf f (В) | * <s= В e= £"}.
Функция f: X-+Y называется непрерывной в точке х, если
hmf(x)*=f(x). Мы говорим, что функция f непрерывна, если
она непрерывна в любой точке множества X. Функция
называется разрывной, если она не является непрерывной.
Легко видеть, что эквивалентны следующие утверждения:
а) функция / непрерывна;
б) множество f~l(A) открыто для любого открытого
множества Лег У;
в) множество f~l(A) является замкнутым для любого замкну*
того множества AaY.
Если функция /: X-+Y биективна и функции /, f~l
непрерывны, то отображение f называется гомеоморфизмом (или
топологическим изоморфизмом), а пространства X и Y
называются гомеоморфными. Функция /: X-+R называется
полунепрерывной сверху в точке х, если
lim sup/ (x) = f (х),
х + х
и полунепрерывной снизу в точке х, если
lim inf f{x) = f {х).
х->х
Мы говорим, что функция / полунепрерывна сверху
(полунепрерывна снизу), если она полунепрерывна сверху
(полунепрерывна снизу) в любой точке х^Х. Нетрудно проверить, что
множество {х^Х |/ (х) < а} [множество {х^Х \f (х) > а}] является
открытым при всех asR.
Функция f из Т = [/0, /|] в топологическое пространство У
называется кусочно-непрерывной (соответственно,
кусочно-постоянной), если существует такое конечное разбиение Т на
интервалы Гь ..., Tk, что функция f\Ti является непрерывной
(соответственно, постоянной) для всех /.
22

Функция f: X-*Y называется секвенциально непрерывной
в точке х, если последовательность (/(*/)) сходится к /(*),
когда (х{) сходится к х. Функция f называется секвенциально
непрерывной, если она является секвенциально непрерывной
в любой точке xg!
Если X — некоторое множество, Y — метрическое
пространство, /,: X-+Y (/e=N) и f: X-*Yy то предел lim ff (х) = f (х)
называется равномерным по х&Х, если для любого е > 0
существует такое j(8)eN, что d(ff(x), /(*))<е при всех х^Х>
j^j(e). Если X и У —некоторые множества, Z — метрическое
пространство и /: XXY-+Z, то предел \imf(xf, y) = f(x, у)
называется равномерным по y^Y, если предел lim/(xj, •) =
*=/(*, •) является равномерным. Если X, Y — метрические
пространства, х&Х и ^ — некоторый набор функций /: Jf->1\
то функции, принадлежащие si, и само множество s4>
называются равностепенно непрерывными в точке х, если для любого
е > 0 существует такое б (е, х) > 0, что d (f {х), f (х)) < е для!
всех [ei при d(x, х)<6(е, х). Если множество sl> равно*
степенно непрерывно в любой точке х е X, то функции,
принадлежащие множеству si, и само si называются равностепенно
непрерывными.
Функция f: X->Y между двумя метрическими
пространствами X, Y называется равномерно непрерывной, если для
любого е > О существует такое б > 0, что d (/ (х), f (£)) ^ е, если
только d (х, I) ^ б. (Метрические функции dx на X и dY на Y
обе обозначены через d(«, •) для простоты обозначений.)
Функция Q: (0, оо)->(0, оо] называется модулем непрерывности.
функции /: X-+Y между метрическими пространствами, если
d\f{x)y f(?KQ(rf(jc, %)) и limQ(A) = 0. Функция / из мно,-
ft->0
жества X в метрическое пространство Y называется
ограниченной, если множество f(X) ограничено. Набор К функций
из множества X в метрическое пространство Y называется
равномерно ограниченным, если существует такое ограниченное
множество В<=У, что f(X)czB (f*=K).
Тройка (X, X', Ф) называется компактификацией
топологического пространства Y, если X — компактное топологическое
пространство, X' — всюду плотное подмножество из X и Ф: Y -> X' —
гомеоморфизм; (X, X', Ф) называется метрической
компактификацией пространства Y, если топология X является метрической.
Например, тройка * = [-1, 1], Г = (-1, 1) и Ф(у) = у/(\ у\+ 1)
(yeR) определяет метрическую компактификацию
пространства R.
1. 2.1. Теорема (Линделёф). Если (X, Т) — топологическое
пространство и топология &~ имеет счетную базу, то любое
открытое покрытие множества A cz X имеет счетное подпокрытие
23

Доказательство. Пусть Y — открытое покрытие
множества Л, a {Si, В2, ...}•—база для Т. Для каждого /gN
мы выберем такое С/ е Т, чтобы Bf cz Cf, если такого Су не
д
существует, то полагаем С/=0. Если aeCGf, то
существует такое / е N, что а е fly cz: С; следовательно, A/ cz С/
и a&Cj. Таким образом, {С{, С2, ...} является открытым
покрытием множества Л.
1.2.2. Теорема. £слн (Я, ^7") — хаусдорфово пространство,
то предел является единственным (т. е. из limjcy = x и lim;cy = r/
следует у что х = у), компактное подмножество из X является
замкнутым и секвенциально компактное подмножество X является
секвенциально замкнутым.
Доказательство. Пусть lim;су = л: и Итх* = у. Тогда
/ /
любая окрестность точки х пересекает любую окрестность у\
следовательно, х = у, так как X — хаусдорфово. Пусть теперь
Л cz X является компактным множеством и у ^ X \ А. Для
любой точки се А существуют такие множества Ua, Va е <7~,
что ast/fl, y^Va и Uaf\Va=0. Так как (J Ua покрывает
а<=А
компактное множество Л, то существует конечное подпокрытие
Uat9 ..., Uak. Тогда из Vy= П Ka£e^ и У^ПЛ=0 следует,
что точка у — внутренняя для множества X \А. Таким
образом, Х\А является открытым множеством, а Л —замкнутым.
Если Л — секвенциальный компакт, то Л содержит
(единственный) предел любой сходящейся последовательности в Л;
следовательно, Л — секвенциально замкнуто.
1.2.3. Теорема. Пусть X, Y и Z — топологические
пространства, а функции f: X-+Y и g: Y-+Z непрерывны. Тогда
функция go/: X->Z непрерывна.
Доказательство. Для любой точки х^Х и любой
открытой окрестности Л точки g(f (х)) множество g~! (Л) является
открытым в Y, {g°fVl{A) = f~l(£~l(A)) является открытым в X.
Следовательно, функция gof непрерывна.
1.2.4. Теорема. Если X — метрическое пространство,
limxj = x и limxi t = y в X, то {xj) является последовательностью
Коши, a (xt> j) — двойной последовательностью Коши. Если
X — полное метрическое пространство и (xt /) —- двойная
последовательность Коши, то (xltI) имеет единственную предельную
точку.
Доказательство. Пусть X — метрическое пространство,
WmXj = x и lim*/,/ = #. Тогда для любого е>0 существует
такое k(е) еN, что d(xh *)<!е и d(xit ff у)<Je, если только
24

/, j^k(e). Таким образом,
d{xixi xi2X:d(xil9 x) + d(xi„ *)<2e,
если iu i2^k(s),
d (xt, /lf xht /2) < d (xiu /„ y) + d {Xi2t /2, g) < 2e,
если /,, /i, *2, /2>*(e).
Это означает, что (*/) является последовательностью Коши,
a (jCj,/) является двойной последовательностью Коши.
Теперь предположим, что X — полное метрическое
пространство, a (xitj) —двойная последовательность Коши. Тогда для
любого /neN существует такое k (m) gN, что d {xiit /,, Xiuf2)^l/tn
при /„ jl9 i2i j2>k(m). Полагая #m = *Mm), Mm) (w ^ N),
получаем, что d{ym> t/nXl/m при n>m.
Таким образом, (ym) является последовательностью Коши
в X с пределом */, и для всех /, j^k (m) выполнено соотношение
d (xt r9)<d (х( r xk(w)§ Л(m)) + rf(xk(m)§ fc(m), y) -^ 0.
Это означает, что limxit f = y.
1.2.5. Теорема. Пусть X —- метрическое пространство и
А с: X. Тогда эквивалентны следующие утверждения:
1) А — компакт;
2) Л — секвенциальный компакт;
3) Л — полное вполне ограниченное множество.
Доказательство. Предположим, что А -— бесконечное
множество (если Л конечно, то теорема очевидна).
1. Пусть Л —компакт, тогда, по теореме 1.2.2, Л замкнуто.
Если последовательность (xf) в Л не имеет сходящейся
подпоследовательности, то любая точка в Л имеет окрестность,
содержащую только конечное число различных точек Xj. Так как
множество Л — компакт и покрыто указанными окрестностями,
то Л может быть покрыто конечным числом этих окрестностей.
Это означает, что только конечное число точек Xj различно.
Таким образом, Xf( = Xfl для /=1, 2, ..., и некоторая
подпоследовательность (Ji) из (1,2, ...) образует сходящуюся
подпоследовательность (#/), а это противоречит предположению. Мы
показали, что из утверждения 1) следует 2).
Пусть теперь (xj) — последовательность Коши в Л. Тогда, как
было только что показано, существуют такие хеЛи/с(1,2,...),
что Нтл;/ = £. Так как (**) является последовательностью Коши,
то для любого е>0 существует такое /(e), что d(xh Jc)^e/2 и
d(**» Xj)<Ie/2 для всех /j>/(e) и /e/, />/(e); следовательно
25

d[xh *)<d {xh xt) + d (xiy ^)<e. Таким образом, Нгтис/ = ^, а это
означает, что А —А является полным множеством. Множество А
является также вполне ограниченным. Действительно, для
любого е>0 семейство множеств {S(x,e)\x^A} является
открытым покрытием компактного множества А и поэтому допускает
конечное подпокрытие. Таким образом, из утверждения 1)
следует 3).
2. Предположим сейчас, что утверждение 2) верно. Если
<(Пат(Л) = оо, то существует такая последовательность (*/) в Л,
что d{xh Xj)^l для всех /</eN, У этой последовательности
тсет сходящейся подпоследовательности. Это противоречит
утверждению 2). Таким образом, (Нат(Л)<оо.
Пусть теперь уь у2 е А. Будем строить последовательность у(
д
(/=3,4,...) следующим образом. Положим di = sup inf d(y,yk)
(i = 2, 3,...). Затем мы можем определить yi+l s А таким
образом, что d(yi+u yk)^di/2 для 6=1, 2, ...,/. Так как Л
—секвенциальный компакт, то существует подпоследовательность^ \
которая является сходящейся, и, по теореме 1.2.4, является
последовательностью Коши. Поэтому
-^r±i-<1rdK'^+,)=0-
Так как d/+1<d/ для всех /, то lim rf/ = 0. Если ye Л, то
inf d{y,yd<di—*0.
Отсюда следует, что {уи уъ ...} является всюду плотным
подмножеством множества Л. Это означает, в свою очередь, что
семейство множеств {£(*//, r)|/eN, г — рациональное число} является
счетной базой индуцированной метрической топологии в Л.
Пусть теперь {в© | со е й} — открытое покрытие Л. По
теореме 1.2.1, существует счетное подпокрытие {Ви В2, .-.} = {в'щ,
k
В'<*2,...}. Если Л \ U В/=£ 0 для всех /jsN, то существует
такая последовательность / в N и (*/)/е/ в Л, что
Ж/еВ/хДв, (/е=/). (4)
Так как Л — секвенциальный компакт, то существуют такие
х е Л И /j cz /, что
оо
lim jcy = х е Л с: [} В,. (5)
/ел /-1
26

Таким образом, хеВк для некоторого fceN, что противоречит
к
соотношениям (4) и (5). Отсюда следует, что А с: (J Ву для
некоторого к\ следовательно, Л —компакт. Таким образом, из 2)
следует 1) и, по доказанному в пункте 1), из 2) следует 3).
3. Предположим теперь, что утверждение 3) справедливо, и
пусть (xf) — последовательность в Л. Для каждого 4gN
множество Л может быть покрыто конечным набором открытых
шаров радиуса l/k. Тогда некоторая подпоследовательность (*,), е/
из (xj) содержится в некотором открытом шаре радиуса 1,
некоторая подпоследовательность (*/)/е/2 содержится в некотором
открытом шаре радиуса 1/2 и/2с/, и т. д.
Пусть / будет диагональной подпоследовательностью из /,,
/2, ... Нетрудно видеть, что d(xh xj)^2/i для />/. Таким
образом, (*/)/е/ является последовательностью Коши в полном
множестве Л. Поэтому из утверждения 3) следует 2), а это
означает, что утверждения 1) — 3) эквивалентны.
1.2.6. Теорема. Если Xt (/=1, 2, ..., k) — метрические
пространства с метрическими функциями di(*, •) и X = Y[xh
то топология произведения в X является метрической топологией,
определяемой метрической функцией
A k
(х, y)->d (х, y)="Ldi (х\ у1),
где х—(х1, .. .,xk) и у—(у1, .. .,#*). Если каждое
пространство Х{ является полным (соответственно, сепарабельным,
соответственно, компактным) у то X является метрическим
пространством (соответственно, сепарабельным, соответственно, компактным).
Доказательство. Ясно, что d(>, •) — метрическая
функция для X. Для того чтобы доказать, что топология
произведения в X определяется функцией d(•,•), мы должны показать,
что открытые шары {у\ d (х, у) < е) (х е X, е > 0) образуют
подбазу топологии произведения.
л k
Пусть х = (х\ ..., xk) € П Лi и At — открытое множество
в Xt. Тогда
Si (х\ в,) = {у1 ^Xt\dt (х1, у1) < ej с= Л,
д
для некоторого в/ >0 (/= 1 k). Пусть е= min б/. Тогда
из у — (у\ ..., yk) е= X и d(xy у) < е следует, что dt (х1, у1) < Е,
Для каждого /. Таким образом,
S(x,e)c:A[X ... XAk.
27

Наоборот, пусть е > 0 и х = (х\ ..., xk) е X. Тогда d (х, у) < е,
если dt (х\ у1) < e/k; следовательно,
Это означает, что топология произведения и топология,
определяемая метрической функцией d(«, •), совпадают. Пусть теперь
каждое Xt — полное пространство, и пусть (*/) = ((*/> • • •> **))/""
последовательность Коши в X. Тогда (xftf является
последовательностью Коши в Xt для каждого I и имеет предел *'. Легко
проверить, что \imxf = (x\ ..., xk).
Пусть Xt — сепарабельное пространство для каждого /, и
пусть {jtj | / е /J — всюду плотное подмножество, где /t- или
конечно, или /tcr(l,2, ...). Тогда множество {(xj , дс*,..., x*f\\jt&
е/, (/= 1, 2, ..., k)} является всюду плотным счетным
подмножеством из X.
Наконец, пусть каждое Xt компактно. По теореме I. 2.5, Xt
является тогда секвенциально компактным. Пусть (*/) =
= ((*], ..., х^У) — последовательность в X. Тогда существует
такая последовательность Jt (/=1,2,..., k), что (1, 2, ...) :э
гэ^гэ/з^).. .:э /л, и последовательность (*/)/еЕ/ является
сходящейся. Это означает, что последовательность (*/)/s/ является
сходящейся. Таким образом, X — секвенциальный компакт, и,
по теореме I. 2.5, X — компакт.
1.2.7, Теорема. Пусть X, Y — топологические
пространства. Если функция f: X-+Y непрерывна в точке х, то f
секвенциально непрерывна в х. Если X — метрическое пространство,
то верно также и обратное утверждение.
Доказательство. Пусть / непрерывна в х и Jc = limjc/e
Тогда для любой окрестности U точки f(x) существует такая
окрестность V точки Jc, что f(x)^U при x^V. Так как только
конечное число точек xj может быть вне окрестности V, то все
точки /(*/), кроме конечного числа, находятся внутри U. Таким
образом, lim f (*,) = / {х).
Пусть теперь X — метрическое пространство и lim / (лгу) = f (х)
при lim л:/ = Jc. Предположим, что существует такая окрестность U
точки / (Jc), что для каждого i е N найдется такая точка \t е
eS(Jf, l/i), что /(!,)<££/. Тогда Нт|, = х. Следовательно,
условие lim/(!,) = /(*) противоречит предположению о том, что
28

f(l{)&U при всех /. Это означает, что lim/(*) = /(*) и функ-
ция / — непрерывна в точке х.
1.2.8. Теорема. Пусть отрезок [а0, а{] a R. Тогда
1) [do, а\] — компакт и секвенциальный компакт;
2) относительно открытое подмножество из [а0, ах] является
конечным или счетным объединением различных открытых
интервалов и подмножества из {a0f а,};
3) [До* а\] не является объединением двух непустых
относительно открытых различных подмножеств.
Доказательство. 1) Пусть для любого е> О, п(е) будет
наименьшим целым числом, большим или равным 2 (а, — а0)/е и
6/ = ао+ 7rfe"(ai ~а°) tf= 1. 2» • • •» * W — П-
Тогда относительно открытые множества
(ft/-в, 6/ + б)П[а0, aj [/=1, 2, ..., п(е)-1]
покрывают отрезок fa0, fli]. Это означает, что множество [оо, а\]
вполне ограничено. Так как множества (—оо,а0) и (аь оо) —
открытые, то \а0ч а}] = R \ (— оо, Oq) [) 1о}ч оо) является замкнутым
подмножеством полного пространства R и, следовательно,
полным множеством. Таким образом, по теореме I. 2.5, [a0, ^il —
компакт и секвенциальный компакт. Это доказывает
утверждение 1).
2) Пусть В — относительно открытое подмножество из [а0, #i]
и лее В. Положим,
r(*) = sup {у е= В\ [х, у] с В}, /(*) = inf {у е= В\ [у, х] с В}.
Так как iB ограничено, то г(х) и 1{х) лежат R. Если г(х)е
е В \ {a0, at}, то (г (дс) — е, г (х) + е) с: В для некоторого е > 0.
Это противоречит определению г{х). Таким образом, г{х)ф
фВ\{а0,а1) и, по той же причине, 1(х) ф В \ {a0i aj; однако
(/(л:), г (*))<= В. Более того, легко проверить, что если.*!, л;2еВ,
то множества (1(х}), г(х{)) и (Z (х2), г {х?)) либо совпадают, либо
не пересекаются. Таким образом, В является объединением
различных открытых интервалов и подмножества из {а0, ах). Для
каждого «gN не больше чем п таких открытых интервалов
длиной не меньше (ах — a0)/n содержатся в множестве В. Это
означает, что В является конечным или счетным набором
различных открытых интервалов и подмножества из {а0) ах).
3) Если Вх и В2 — два различных непустых относительно
открытых подмножества из [а0, ах\у то, по доказанному условию 2),
существуют такие непустые подмножества Jx и /2из N, Са{а0, ах)
и различные непустые открытые интервалы (a}, b\) (/ е /i) и
(a?, ft/) (/е=/2), что
BiUA-U(«UI)U Ubftuc.
*€=/, /S72
29

Для любого / е /, не могут одновременно выполняться условия
а} = а0 и 61 = ар поскольку в этом случае (а\у b\)[\(a2jy Ь^Ф0
для всех /е/2, что невозможно. Таким образом, одна из
точек а\ или Ь\ принадлежит (а0, а,), но не принадлежит В{ U В2.
1.2.9. Теорема. Пусть X, Y — топологические пространства
и функция f: X->Y непрерывна. Тогда
1) f(X) —компакт (соответственно, секвенциальный компакт)%
если X — компакт (соответственно, секвенциальный компакт);
2) если X — компакт или секвенциальный компакт и У = R,
то inf / (X) и sup / (X) принадлежат f (X);
3) если Х = [а0, а{\ cz R и F = R, то f([a0i а{]) — замкнутый
интервал;
4) если X — компактное хаусдорфово пространство и
функция f биективна, то f — гомеоморфизм.
Доказательство. 1. Пусть X — компакт
иУ-открытое покрытие множества f(X). Тогда {Г1(А) \ А е Т) является
открытым покрытием X и имеет конечное подпокрытие 3~х. Это
означает, что {/ (В) IBcz^TJ является конечным подпокрытием
покрытия Т. Таким образом, f(X) — компакт. Если X —
секвенциальный компакт, то любая последовательность (xj) в X имеет
подпоследовательность (*/)/е/, сходящуюся к некоторой точке х\
следовательно, по теореме 1.2.7, lim f(xf) = f (х), т. е. /(X) —
секвенциальный компакт. /65У
2. Пусть X — компакт или секвенциальный компакт и F = R.
Тогда из условия 1) и теоремы 1.2.5 следует, что f(X)
—секвенциальный компакт. Если lim/(*/) = sup f (X), то \im(xA = x
для некоторых /с: (1,2, ...) и х^Х и / (х) = sup / (X).
Аналогично доказывается, что inf f (X) е f (X).
3. По условию 2), существуют такие точки а', а" е [а0, а{],
что f (a') ^f (x)^.f (а") для всех х. Предположим теперь, что
Ь е [/(a'), f(a")], но 1(х)ФЬ для всех х. Тогда
foail-r^ft, f (<>''))) U Г* ((f (A ft».
Так как функция f непрерывна, то это означает, что отрезок
[а0, а,] является объединением двух различных непустых
относительно открытых подмножеств. А это противоречит условию
I. 2.8 (3).
4. Если все предположения утверждения 4) выполнены, то
любое замкнутое множество А с= X является компактом и, по
условию 1), f (А) — компактное подмножество хаусдорфова
пространства; следовательно, /(Л)—-замкнутое подмножество. Это
означает, что функция /_1 непрерывна.
1.2.10. Теорема. Если X — метрическое пространство с
метрической функцией d (•, •) и А с= X, то функции
(x,y)-+d(x,y): XXX-+R
и x-+d[x, A]: X->R являются непрерывными.
30

Доказательство. Если d(x, 1)<е{ й d(y, у\)<е2, то
d{x, y)-d(x, l)-d{y, 4)<rf(6, i\)<d(x, y) + d(x, l) + d(y, r\);
следовательно,
\d&, r\)-d(x,y)\<sl + B2.
Таким образом, функция (x, y)-*d(x, у) непрерывна. Если
d(xt I) < e> то Для всех У^А выполняется неравенство
d[x,A]<id(x,y)<id(x, D + d&y),
следовательно,
d[x, A]<e + d[l, A],
и, меняя местами x и |, получаем
d[l, A]<e + d[x,A].
Таким образом, | d [x, Л]—d[£, Л]|<е и функция x^»d[x, A]
непрерывна.
1.2.11. Теорема. Если X — метрическое пространство и
A cz X, то jc е А или d [х, А] = 0 тогда ы только тогда, когда
существует последовательность (xj) в А, сходящаяся к х.
Доказательство. Если хеЛ, то множество S(х, 1//)
содержит точку xf е Л для /=1, 2, ... Таким образом,
Нт;с/ = л:. Наоборот, если limjc/ = jc, то любая окрестность
точки х содержит точку Xj е Л; следовательно, лс е Л. Это
означает, что d[x, Л] = 0 тогда и только тогда, когда хе Л.
1.2.12. Теорема Пусть X, Y — метрические пространства
и f: X-+Y. Если отображение
е-*6(e): (0, оо)-»(0, сх>)
таково, 4Tod(f(xl), ffeKe при d(xu х2)<6(е), то функция
h->Q(h) = $up{d(f(x{), f(x2))\d(xu *2)<Л}: (0, оо)-(0, оо]
является модулем непрерывности функции f. Наоборот, если
функция f имеет модуль непрерывности, то она равномерно
непрерывна.
Доказательство. Пусть е->6(е) — отображение,
описанное в формулировке теоремы. Тогда, если Л < 6(e) и е>0, то
Й(Л)<е и
d if fa), / (х2)) < Q (d (x{, x2)) (xl9 x2 €= X).
Таким образом, Q является модулем непрерывности функции /\
Наоборот, пусть Q(/*)>0 для всех h > О, limQ(A) = 0 и
h->0
<*(/(*.), f{x2))<Q{d(xux2)).
31

Тогда для любого е > 0 существует такое 6(e) > 0, что Q(A)<e
при Л ^ 6 (е); следовательно,
d(f(x{), f(x2)XQ(d(xlf *2))<е, если d(xu х2)<6(е).
1.2.13. Теорема. Пусть X, Y — метрические пространства,
Y —полное пространство, АаХ и функция f: A ->Y
равномерно непрерывна. Тогда существует единственное непрерывное
продолжение f функции f на множество А и функция f
равномерно непрерывна.
Доказательство. Пусть х е А. По теореме 1.2.11,
существует последовательность (*/) в Л, сходящаяся к х. Так как /
равномерно непрерывна, то для любого е>0 существует такое
6(е)>0, что d(f(Xi), /У<е при d(xu ^XJfe). Таким
образом, (/(*/)) является последовательностью Коши в полном
метрическом пространстве Y и имеет предел f(x). Если lim |/ = л:,
то
<*№), f (*))<<* (f(S/), f (*/)) +<*(/(*/), f(x))-f>0.
так как f равномерно непрерывна. Таким образом, f(x) =
= lim / (лг#) для любой последовательности (лгу), сходящейся к х;
следовательно, по теореме 1.2.7, f: Л-> К —непрерывное
отображение. _
Пусть теперь е>0, х, £еЛ и d{x, g)<6(e)/2. Тогда, по
теореме 1.2.11, существуют такие последовательности (jcy) и (£/)
в Л, что limjc/ = jc и Нт£# = £. По теореме 1.2.10,
d{xhli)<d{x9$ + 6(B)t2<6(e)
для всех достаточно больших /, например, для /^/0; следова-
тельно, d (/(*/), /(!/))<е при />/0> и поэтому
d(fW. f (6))-Hmd (/(;:,), f(g/))<e.
Таким образом, отображение f равномерно непрерывно.
1.2.14. Лемм а. Пусть X — компактное метрическое
пространство и отображение cd: XX>X-*R таково, что <&{х, у)^
< сэ {х, z) + (o (у, г) и lim <о (*/, *) = 0 яри lim *, = х. Тогда
существует такая функция Q: (0, оо)->((), оо], что <о(л:, r/)<Q(d(*, у))
и HmQ(A) = 0 при Л->0, Л>0.
Доказательство. Так как <о(*, *) = 0, то мы имеем
со (г/, г)>0 для всех ytz^X. Затем мы покажем, что для
любого е>0 существует такое 6(е)>0, что <о(л;, г/)<е при
d(x, у) < 6(e). Предположим противное. Тогда существуют такое
е > 0 и такие последовательности (х/} и (*//) в X, что lim d (xj, r/y)=0
32

и v>(xh j//) > е. По теореме I. 2.5, сущеСтвуюФ сходящиеся йод-
последовательности (л:/.) и (#,.), которые имеют общий предел *,
так как Umd(xJr у/<) = 0. Таким образом,
i
е < © (а:/., y,t) < со (*/., х) + со (yir х) -> О
при /-><*>, а это приводит к противоречию.
Положим теперь
Q (Л) = sup {со (лс, */) | d (х, у) < Л}.
Мы получаем, что со(х, t/)<Q(d(x, г/)) и Q(A)<e при Л<8(e)
и е>0; следовательно, HmQ(A) = 0 при Л-*0, Л > 0.
I. 2.15. Теорема. Пусть X — топологическое пространство,
Y — метрическое пространство, и функция f:~X->Y непрерывна.
1) Если X —компактное метрическое пространство, то
функция f равномерно непрерывна.
2) Если W — топологическое пространство, Z — компактное
метрическое пространство, X = Z X W с топологией
произведения и lim Wi = w в W, то lim/(z, wt) = f (z, w) равномерно для
i i
всех z^ Z.
Доказательство. Если X — компактное метрическое
пространство, то положим со (х, х') — d (f (х), /(*')). Тогда, по
лемме 1.2.14, существует модуль непрерывности функции /;
следовательно, по теореме 1.2.12, / является равномерно
непрерывной функцией. Это доказывает утверждение 1).
Теперь пусть выполнены условия утверждения 2), и
предположим, что существуют такие е>0, /с: (1,2, ...) и
последовательность (Zi)i(=j в Z, что
d(f(zh wd9 f(zh w))>b (/€=/). (3)
Тогда, по теореме 1.2.5, существуют такие Jxc=J и 2eZ, что
Нт2/ = г, и мы имеем
f(z, й) = Нт f(zh w)*=\imf(zi9 wt)\
/s/, is/,
следовательно,
\\md{f(Zi, wt), f(z{, ш)) = 0,
а это противоречит условию (3). Таким образом, lim / (z, wt) =
= f(z, w) равномерно для всех zgZ.
1.2.16. Теорема. Пусть X, Y — метрические пространства,
функции ff: X-+Y (/' е N) имеют общий модуль
непрерывности Q, f: X->Y и lim fj(x) = f{x) при всех jceX. Тогда Q
является модулем непрерывности функции f.
2 Дж, Варга 33

Доказательство. Пусть е > 0 и хи х2 ^ X. Тогда для
некоторого &e=N rf(/*WUW)<e/2 для /=1, 2;
следовательно,
d(/(*i), f(x2))<d(f(x{)9 M*,)) + d(M*i), fkM) + d(fk(xd9f(xJ)<
<e + Q(d(xux2)).
Так как e произвольно, то утверждение доказано.
1.2.17. Теорема. Если X — компактное метрическое
пространство, то X сепарабельно. Если X — сепарабельное
метрическое пространство, то оно имеет счетную базу топологии и
любое непустое подмножество А из X имеет счетное всюду
плотное подмножество.
Доказательство. Пусть X -* компактное метрическое
пространство. Тогда, по теореме 1.2.5, X является вполне
ограниченным. Таким образом, для любого /eN существуют такие
fe(/)eN и точки х\, ..., xlk(i), что открытые шары S(x}, 1//)
[/=1, 2, ..., k(i)] покрывают X. Теперь ясно, что множество
^ = {*<|/€=N, /е={1, 2, ..., k(i)}}
является счетным и всюду плотным в X.
Пусть теперь X —сепарабельное метрическое пространство
и {jtb х2у ...} —всюду плотное подмножество. Тогда семейство
{S(xh 1/OM'i /eN} является счетной базой топологии для X.
Если AczX и АФ0, то семейство T = {S{xh 1/0П А |/, /eN}
является базой индуцированной топологии в А. Множество
{аг|АгеГе^, ТФ 0} является счетным всюду плотным
подмножеством из А.
1.2.18. Теорема (Арцела). Пусть X — сепарабельное
метрическое пространство, Y — компактное метрическое пространство
и К ~ семейство непрерывных функций f: X->Y с общим
модулем непрерывности Q. Тогда для любой последовательности (ft)
в К существуют такая функция f0: X-+Y и
подпоследовательность {fi)lfBj из (ft), что Vimfi(x) = fQ{x) (хеД и Q является
модулем непрерывности функции /0-
Доказательство. Мы будем предполагать, что X —
бесконечное пространство; если X конечно, то будет ясно, какие
изменения в доказательстве нужно сделать. Пусть {хь х2, .. .} —
всюду плотное подмножество из X. По теореме I. 2.5,
последовательность (M*i)) в У имеет подпоследовательность {{((*i))£e/i>
сходящуюся к некоторой точке /0(*,)еУ. Аналогично, (Ы*2)).е/
имеет подпоследовательность (М*2))*е/,» сходящуюся к
некоторому fo(x2). Продолжая рассуждения таким образом, мы
построим последовательность последовательностей ((//),• e/i,
(ft-).e/i, ...) и их диагональную подпоследовательность (/*),•<=/•
Нетрудно проверить, что последовательность (Ы**)),е/ имеет
34

предел fo(Xk) для каждого JeN. Отсюда следует, по теореме
1.2.16, что функция /0: {хи хъ ...}-* К имеет модуль
непрерывности й, и, по теоремам 1.2.12 и 1.2.13, /0 имеет
единственное равномерно непрерывное продолжение на X (которое
мы также обозначим через /0). Пусть теперь (xj)f(=K сходится
к х в X, и пусть е > 0. Тогда для некоторого fce/( и всех
/е{0, 1, 2, ...} выполнено условие d(fj(x), f/(**))^s/3 и для
некоторого /0eN выполнено условие d(f0{xk), Ы**)Хв/3 для
всех />/о- Следовательно,
d(fo(x), fi(x))<d(f0(x)9 fo(Xk)) + d(f0(xk), ft(xk)) +
+ d{fi(xh)9 M*Ke
для всех i^io- Так как e произвольно, мы имеем \imft{x)=*f0(x).
По теореме 1.2.16, Q является модулем непрерывности для
функции f0.
I. 2.19. Теорема. Пусть X •— топологическое пространство,
Y — полное метрическое пространство и функции ff. X —> Y
(/eN) таковы, что lim sup d(fi{x), fj(x)) = 0. Тогда существует
t, / Х(=Х
такая функция f: X->Y, что lim fу (х) = f (х) равномерно для
всех jcgI Если fj — непрерывные функции, то f также
непрерывна.
Доказательство. Для каждого /Gjf
последовательность (f/(*0) является последовательностью Коши в полном
метрическом пространстве Y и поэтому сходится к некоторому
f(x'). Пусть теперь aL f = sup d {ft (x), fj{x)) и e > 0. И пусть
x<==X
«gN таково, что ati/^e для всех /, j^n. Мы имеем
d(ff(x% /(*')) <<*,./ + </(MA /y<e + d(/,(4 /(*'))
для /, j^n и всех /gI. Теперь пусть / фиксировано и /-*оо.
Тогда d (//(*'), fCOXe для всех /gI Это означает, что
\\mfj(x) = f(x) равномерно для всех ^gI Теперь предположим,
что // — непрерывные функции для всех /gN, и пусть а>0 и
х gI Тогда существует такое /0eN, что d(ff(x)t /(*))< а/3
для У^/о и всех х. Так как f, непрерывна, то множество
A~fj0 (s(fj0(x')y л/3)) открыто. Для каждого х^Л мы имеем
< rf (/ М, f/e W) + d (f/o M, f/o (*')) + d (f/o (•)f f (*')) < a.
Таким образом, f~] (S (/(*'), а)) содержит открытое множество A,
°ткуда следует, что функция / непрерывна в точке х'.

1.3. Топэлогические векторные пространства
Векторные пространства. Действительным векторным
пространством 9S (или действительным линейным пространством),
которое мы в дальнейшем будем называть также просто
векторным пространством, называется множество, для которого
определены функции
с(-): %->%,
обозначаемые через
а(х, у) = х + у, Ь(а,х) = ах, с(х)=—ху
и элемент 0 (называемый началом координат), удовлетворяющие
следующим условиям:
х + У = У + х, {х + у) + г = х + (у + г)9
х + (— х) = 0, х + 0 = х,
а (х + у) = а* + <Ч/, (а + Р) х = ах + $х.
а (Pjc) = (ар) х, 1 • л: =
Говорят, что функции а(-, •), 6(«, •) и с(-) определяют
алгебраическую структуру в 86. Элемент
(... (((ал + а^2) + а3*3) + -. -) + «л)
k
записывается как ахх{ + а2х2 + ... + akxk или £ «/*,, и назы-
вается линейной комбинацией элементов хъ ..., *л. Нетрудно
проверить, что
ОД + ... + akxk = aixii + ... + aikxik
для любой перестановки (ib ..., tk) из (1, 2, ..., Л) (т. е. для
любого биективного отображения
/-/,: {1, 2, ..., £}->{1, 2, ..., ft»
и что 0х = 0. Точка jfG^ называется линейной комбинацией
элементов из множества Лс^, если jcgJ] <*/*/ для некоторых
п
&eN, a/ER и Х/еА Мы видим, что если Ха^; = 0 и
/-1
п
ах Ф О, то *i = — 2 (а/М)*/- Положим
/-2
Д^—// = а:+ (—!/), Л + В = {а + 6|аеЛ, 6еВ},
аЛ = {аа | а <= Л}, — Л = (— 1) Л,
Л-В = Л + (-Д), л + * = л + М.
36

Независимые множества, размерность.
Множество А векторного пространства SB называется независимым
(или линейно независимым), если из 4eN, a/GR, xf^A
k
(j = l, ..., k) и Yj atxt = 0 следует, что a, = 0 (/ = 1 k).
Множество А называется зависимым (или линейно зависимым),
если оно не является независимым. Подмножество °У векторного
пространства SB называется векторным подпространством (или
линейным подпространством) пространства 9В, если Ое^ и
функции (х, у)-+х + у и (а, х)->ах отображают ЩУ^Щ и
RX^/ в ty' Тогда множество <У и сужение функций (х, */)->
->*+*/, л:—> — jc и (а, у)->ау, соответственно, на ^Х^, Ч/ и
RX^V определяют векторное пространство. Линейной оболочкой
множества Л в векторном пространстве SB (обозначаем через
sp(4)) называется пересечение всех векторных подпространств
пространства SB, содержащих А.
Независимое множество А в векторном пространстве SB
называется базисом для SB, если любая точка х^ЗВ является
линейной комбинацией элементов из А. Векторное
пространство SB, состоящее из единственного элемента 0, называется
нуль-мерным. Векторное пространство SB называется
конечномерным, если либо #? = {0}, либо SB имеет конечный базис;
в противном случае SB называется бесконечномерным. По
теореме 1.3.1, приведенной ниже, любой базис в конечномерном
векторном пространстве имеет одно и то же число элементов,
называемое размерностью пространства SB и обозначаемое
через dim SB.
Векторное пространство функций и умножение
ф у н к ц и й. Если S — произвольное множество, SB — векторное
пространство, aeR, ]\ S-+SS и g: S->SB, то мы определим
функции
f + g: S-+SB, af: S-*SBy 0: S-+X% -f: S-+SB ,
соотношениями
(/ + g) (s) = f(s) + g (s), (af) (s) = af (s),
0(s) = 0, (-/)(s) = -/(s).
Это означает, что множество всех функций из S в SB является
векторным пространством. Если Л: S-*R и /: S-+SB, то через
А/обозначим функцию s->h(s)f(s): S-+SB.
Линейные операторы. Если SB, ^—векторные
пространства, то отображение Т: SB-^Щ называется линейным
оператором из SB в У, если Т(х + у) = Т(х) + Т(у) и Т {ах) = аТ(х).
Мы также пишем иногда Тх вместо Т(х). Линейный оператор
из SB в R называется линейным функционалом на
пространстве SB. Если Т — линейный оператор из SB в SB, то Т
37

называется линейным оператором в 86. Можно проверить, что
множество 2! {86, <У) всех линейных операторов из 86 в Щ является
векторным пространством.
Изоморфизм. Два векторных пространства 86 и Щ
называются изоморфными {алгебраически изоморфными), если
существует биективный оператор ГеЗ'^, Щ). В этом случае
оператор Т называется {алгебраическим) изоморфизмом из 86 в<у.
Произведение векторных пространств. Если 861
(/=1, 2, ..., &) — векторные пространства, то мы определим
А А
86 = П ^/ как векторное пространство, полагая
/-1
{хи ..., xk) + (yu ..., */*) = (*i + f/i, ..., xk + yk)y
а{хи ..., хЛ) = (а*ь ..., axk),
0 = (0, ..., 0), — (*, **) = (-xh ..., -^).
Топологические и нормированные векторные
пространства, банаховы пространства.
Действительным топологическим векторным пространством 86 (которое
в дальнейшем будет называться также топологическим
векторным пространством) называется такое векторное пространство
с хаусдорфовой топологией, в котором функции {х, */)-** +
+ у: 86X86-* 86 и (а, х)-+ах: RX86-+86 непрерывны.
Функция х->|х|: S?-*R, определенная на векторном пространстве^,
называется полунормой, если \х\^0, | ах | = | а | • | * I и | л: + */1 ^
^1*1 + 1 #1- Полунорма | • | называется нормой, если |х| = 0
только при х = 0. Нормированным векторным пространством
{86, | • |) называется векторное пространство 86 с нормой | • | и
с метрической топологией, определяемой метрической функцией
д
d{x, у) = \х — у\. Эта метрическая топология называется
топологией, порожденной нормой в пространстве {86, |-| )• Если
норма | • | уже определена, мы называем 86 также
нормированным векторным пространством. Два нормированных
векторных пространства {86, |-|) и {у, ||-||) называются изометрично
изоморфными, если существует такой изоморфизм Т из 86 в °Ц,
что || Тх || = | х |. Банаховым пространством называется полное
нормированное векторное пространство. Из свойств нормы
легко следует, что нормированное векторное пространство
является топологическим векторным пространством. Если 86 —
нормированное векторное пространство, то множество S(0, 1) =
= {х е 86 11 х |< 1} назовем открытым единичным шаром в 86,
а множество SF(0, 1) = {х <= 86 | | х |< 1} — замкнутым единичным
шаром в 86.
Определение o{g{x))<. Если X — некоторое множество,
х^Х, <У — топологическое векторное пространство, f: Х-+Щ
38

и g: X->ft, то мы гоборим, Что f (х) = о (g (х)) (х->х) (читается:
функция f (х) равняется о малому от функции g{x)), если
lini [l/g(x)]f М = 0 при х->х, х^Х\{х}. Мы пишем также
f (х) — о (g (х)), если точка х уже определена.
Произведение пространств. Нетрудно проверить^
что если 961 (/=1, ..., k) — топологические векторные (норми1
рованные, банаховы) пространства, то векторное пространство
^=П#/, с топологией произведения (с нормой, определенной
t-i
Л
через | (хи ..., xk) \ = \х] |+ ... +1 xk |) является топологическим
векторным (нормированным, банаховым) пространством.
Пространство R*. Нетрудно проверить, что R является
векторным пространством с определением суммы и
произведения, как у действительных чисел, абсолютное значение является
нормой в R и эта норма дает определенную ранее метрическую
топологию для R. Так как R — полное пространство, то оно
является банаховым. Обозначим через Rfe банахово простран-
д
ство RX ••• XR (* Раз)« Таким образом, |х| = |хЧ + ...
... +1 хк | для х = (х\ ..., **) е R\ Обычно в пространстве R*
используют другую норму, называемую евклидовой. Эта
норма | • |2 определяется через
1*12=1(*',.... ^^[iw2]''.
Однако легко показать, что метрические топологии, определяв*
мые нормами |*| и | • |2, совпадают.
Обозначим через R° векторное пространство, состоящее из
единственного элемента 0.
Ряды. Если 96 — топологическое векторное пространство
оо
и (jc/) — последовательность в 96 > то рядом Yj х1 с членами Xj
в пространстве 96 называется последовательность ( £ */) .
д
Если K = (ku къ ...)— последовательность в некотором мно*
жестве А и (xkY — последовательность в 96, то мы пишем
оо оо
2 Xk вместо £**•• Если а —целое число, то мы пишем £ */
fee/C /-1 ' /-а
оо
вместо X) *а-1+/> мы пишем также 2 */ вместо J1 хь гДе J —
i = l SU) /е/
возрастающая последовательность целых чисел /, для которых
оо
выполнено свойство S (/). Ряд У] xt называется сходящимся
39

(сходится к х), если последовательность Ц|ь является схо-
V/-1 Л
оо
дящейся (сходится к х), и в этом случае мы пишем 21*/ = *
/-I
оо
В банаховом пространстве SB ряд 21 х, называется абсолютно
/-1
00
сходящимся, если ряд 211 */1 в R является сходящимся. Если
оо
яу>0 и U/Kfly (/eN), то говорят, что ряд Yu*\ мажори-
оо
руется рядом 2j aj-
Если J/gRh последовательность (Zfy) определена в R
_ оо
и сходится к некоторому ieR, то мы говорим, что ряд У. Ь,
оо
сходится к Ь в R и 2]i/ = J в R. Легко проверить, что если
/-1
2] 6/ сходится k6bRhJgR, то последовательность ( У] Ъ* 1
определена в R и сходится к b в R.
Если <9? — банахово пространство и xi%i^SB (/, /gN), to
оо
рядом 21 xi t c членами xit / в пространстве SB называется
функция
Этот ряд называется сходящимся и сходится к JE, если
оо оо
ПтХа>р = х; в этом случае мы пишем 21 A;/t/ = *. Ряд 21 **./
00
называется абсолютно сходящимся, если ряд 2] I ** /1 сходится
в R. Если altf^O (/, /eN) и |**,/|^я*,/, то говорят, что ряд
оо оо д оо
2] X/ / мажорируется рядом 2! а* /• Если Xt = 21 */ / суще-
*г/-1 './-I /-1 '
оо оо оо
ствуег для всех i е N, то мы пишем 21 21**. у вместо 21 Я/
/-1 /-1 t-i
оо оо
и; аналогично, 21 !]*;,/•
40

Если 96 — топологическое векторное пространство и xf е 96
оо
для всех целых чисел /, то мы пишем £ xt вместо двойной
/--с»
/а 3 \
последовательности ( 2 ** + 2 *-/ 1
Непрерывные линейные операторы. В
топологическом векторном пространстве 96 подмножество А называется
ограниченным, если для любой окрестности G точки 0 в 96
существует такое е > 0, что aAaG для всех се[- е, е].
Если 96, ^ — топологические векторные пространства, то легко
видеть, что оператор Т е 9? {96, °Ц) является непрерывным тогда
и только тогда, когда он непрерывен в точке 0. По теореме I. 2.3,
семейство В{96, 96) всех непрерывных линейных операторов
из 96 в Щ является векторным подпространством пространства
Я?{96, °Ц). Оператор Т ^В{96, У) называется компактным
оператором (или вполне непрерывным оператором), если
множество Т{Х) компактно, когда X ограничено. Если ТиТ2<= В{96,96),
то суперпозиция Т{ °Г2 (обозначаем также через Т(Г2 или Тх • Т2)
принадлежит к S{96, 96)\ следовательно, по теореме 1.2.3,
принадлежит к В {96, 96). Мы пишем Тп вместо Т • Т • ... -Т
{п раз). Если 96, ^ — топологические векторные пространства
и существует линейный оператор Т: 96-+°У>, который является
также гомеоморфизмом, то оператор Т называется
изоморфизмом из 96 в Щ, а пространства 96, Щ — изоморфными.
Двойственное пространство. Сопряженным
пространством или топологически двойственным к 96 назовем
пространство В {96, R), обозначим его через 96*. Если ^ —
нормированное векторное пространство, то, по следующей ниже
теореме 1.3.6, функция Т->\Т\ = sup \Тх\ является нормой
в пространстве 96*. Эту норму мы назовем сильной нормой
в 96* или просто нормой (чтобы отличить ее от слабой нормы
| • \w, которая будет введена в пункте 1.3.11). Топологией нормы
(сильной топологией) в 96* называется метрическая топология,
порожденная сильной нормой. Множества
{Т<=9е*\\{Т-Тх)х1\<г {j=l, ..., k)}
для feeN, х{, ..., xk е 96, Тх^96* и е > 0 образуют базу
слабой со звездой топологии в 96*.
Сопряженное пространство для декартова
А П
произведения. Если 96=J\96t и ^—топологические век-
/-1 +
торные пространства, то произвольный элемент / из 96 можно
представить в виде
1{х) = 1{х\ 0, ..., 0) + /(0, х\ 0, ...)+ ... +/(0, ..., 0, хп),
41

где x = {xl, ..., хп)^8в. Если мы обозначим через 1{ отобра*
жение
**-»>/(0 О, *', 0, .... 0): #?,->R,
П
то 1{x)=Yj h (*0 и /,g 9В\. Наоборот, если U <=8в\ и
/-1
А П
1{х\ ..., хп) = Z */(*7)> то l^ffi*- Таким образом, элементу /
из 9в* сопоставляется единственным образом набор из п эле-
п
ментов (1и ..., ЦеП^*» и ясно, что это соответствие — алге-
/-1
браический изоморфизм. Если 9Bt — нормированные векторные
пространства, то
Ul=sup{|/(x)| Zlx/|<ll<Zl//l.
I I/-1 ) /-1
где
ZlZ/I^ZsupdZ/^lll^KlX
/-i /-1
<Esup{E \lk{xk)\ \t \x*\<l) = n\l\.
Итак, указанный выше изоморфизм множеств I TL%?t) и Д^/
является гомеоморфизмом, если в обоих множествах
выбрана сильная топология, порождаемая нормой. В частности,
если #?j = R для /= 1 /г, то (R")* и {R*)n гомеоморфны при
этом изоморфизме. Легко видеть, что каждому элементу I е R*
однозначно соответствует элемент ^gR такой, что 1{х) = кх и
наоборот. Таким образом, каждому элементу / из (Rn)*
поставлен в соответствие взаимно однозначным образом элемент
А П
% =(V, ..., Л")е R", и мы имеем /(x)=Xa,V при всех
/-1
А П
х=(х\ ..., /) g Rrt. Мы пишем Хх вместо £ ^/*y и отождесг-
вляем / и Я.
Равномерно непрерывные функции. Если X —
произвольное множество, <У — топологическое векторное
пространство, f: Х-><У и/у: Х->°Ц O'gN), то мы говорим, что предел
lim //(•)=/(•) является равномерным,, или lim// = / равномерно,
или lim//(*) = /(*) равномерно для всех jcgI, если для любой
окрестности нуля V в <2/ существует такое целое число /(У),
что ff(x) — f(x)^ V для всех х^Х и j^j{V). Если X —
метрическое пространство и ^ — топологическое векторное про-
43

странство, то непрерывная функция f: Х-^Щ называется
равномерно непрерывной, если для любой окрестности нуля F в ^
существует такое б (V) > О, что / (х{) — / (лг2) е V, если d (хь х2) <
<б(У).
Матрицы. Пусть п, m^N и М ^ 2? (Rrt, Rm). По
следующей ниже теореме I. 3.3, существует такая единственная
совокупность элементов [М] = (ац) (/=1, ..., т\ /=1, ..., я), где
п
a^ER, что Мх=£х/а/ для всех x = (xlt ..., хп) е R", где
a/ = (a,/, ..., am/) (/ = 1, ..., п). Мы назовем совокупность
[М] ={ац) матрицей отображения М, щ — ^столбцом матрицы [М]9
a' = (an, ..., ain) — i-строчкой матрицы [М] (/=1, ..., т), а
элементы ati —коэффициентами матрицы [М]. Если матрица имеет п
столбцов и m строк, то мы называем ее m X ^-матрицей.
Нетрудно проверить, что если
М € 2 (R", Rm) и Р<=2? (R*. R"),
то М о Р е= 2 (Rz, R"). Если [Afl = (a,,), [Р] = (ft,) - матрицы
отображений Af, Р, то легко видеть, что матрица [М °Р] (мы ее
обозначаем [М] • [Р]) является матрицей с элементами
л п
Если М, PE^(R",Rffl), [Afl = (a„) и [Р] = (р„)> то [Л1 + Р]
(обозначаем через [М] + [Р]) является матрицей с элементами
(af/+M-
Если MgS'(Rrt, Rm), то, по следующей ниже теореме I. 3.3,
отображение М имеет обратное, только если m = n. Если пг = п
и М~1 существует, то мы пишем [Af] вместо [АГ1] и видим,
что [М]~1 [М] = [М] [М]~1 = [1], где [/] (так называемая
единичная п X п-матрица) является матрицей тождественного
оператора в Rrt и [/] = (6п) (/, /= 1, ..., л), где 6,i = 0 при i ф j к
л
6^=1. Матрицы с равным числом строк и столбцов называются
квадратными матрицами.
Так как суперпозиция трех функций /, g, А, если она
определена, является ассоциативной (т. е. {f ° g)° h = f °(g° h))t то
отсюда следует, что ([М] • [Р]) • [I] = [М] • ([Р] • [L]), если
суперпозиция М • Р • Z, определена. Удобно рассматривать каждую
строчку матрицы (al7) (* = 1, ..., m\ /= 1, ..., л) как 1 X я-ма-
трицу и каждый столбец этой матрицы как тХ 1-матрицу. Если
Д ИИ
х = (* , ..., дг) е R , то мы также обозначаем через х«Х 1-стол-
бец-матрицу с коэффициентами х1, ..., хп и через дсг— 1 X л-
43

строчку-матрицу с коэффициентами х\ ..., хп. Отсюда следует,
что если MG^(Rrt,Rm) hjceR", то Мх=[М]х. Мы
отождествляем 1 X 1-матрицу со скалярным коэффициентом. Тогда
х- у = хту = утх. Если А = {аи) (/=1, ..., т; /=1, ..., л), то
мы обозначаем через Ат матрицу, столбцы которой являются
строками матрицы А, т. е. Ат = {уи) (* = 1, • • •> п\ /= 1, ..., т),
где Y//= <*/;•
Как это мы часто делаем в случае двух изоморфных
пространств, мы отождествим элементы М из i?(Rn, Rm) с их
матрицами [М] и рассмотрим, таким образом, пространство
j?(Rrt, Rm), состоящее из матриц. В дальнейшем это не будет
вызывать путаницы, и, когда будет необходимо, мы будем
уточнять, идет ли речь о матрице или о линейном операторе.
Векторное пространство ^(R", Rm) имеет обычную (сильную)
д
норму |М|= sup |Л1х|. Мы считаем эту норму более удобной,
|х|<1
хотя будем пользоваться также и другой нормой Af->||Af||,
Л m m А
определяемой условием || М ||= £ Z I «//1> где [Af] = (а/у) —
матрица оператора М. Нетрудно проверить, что || • || является
нормой в ^(Rrt, Rm) и |А1х|<||Л1|Н*1 для BcexxeR". Таким
образом, | Л* |<IIМII.
Если A: S -> 2? (Rn, Rm), то мы назовем функцию $-*[Л($)]
матрицей отображения А и функцию s-xx;/(s) /,
^коэффициентом Л, где [A{s)] = (а/у(s)) (/=1, ..., m; /=1, ..., п) для
всех sgS.
1.8.1. Теорема. Любой базис в конечномерном векторном
пространстве 86 состоит из одного и того же числа элементов,
называемого размерностью пространства 96 и обозначаемого через
dim#?. Если В = {уи ..., yn)<zi86 и n>dim$6f то В
—зависимое множество.
л
Доказательство. Пусть А = (хи ..., xk) — базис в 86.
Докажем, что любое множество В = {уь ..., уп} при n>k
является зависимым множеством. Действительно, предположим
противное. Покажем, что из соотношений вида
У1+ t a/./^+ZP/,/^ = 0 (/=1, ..., q), (1./)
где n ^ q > p ^ 1, следует аналогичное соотношение, где р, q = 1.
Действительно, Р^в^О для некоторого б, так как В
—независимое множество. Таким образом, соотношение (\.q) показывает,
что xib является линейной комбинацией элементов yg, yq+{, ..., уп
и xit {I ф б). Подставляя эту линейную комбинацию для х{
в соотношении (1./) для / < q, получаем q — 1 аналогичных
44

соотношений, включающих р — 1 элементов из А. Так как
А — базис, то мы имеем
k
У* —Zp*./*i = 0 ('=1. •■•> п)
/-1
и можем исключить отсюда все хг и получить соотношение вида
п
Z <*/./#/ = О (*=1, ..-, n — k),
где а^=1. Это означает, что множество В зависимо и
противоречит предположению.
Таким образом, не существует независимого множества,
имеющего больше элементов, чем базис.
1.3.2. Теорема. Пусть 8S —векторное пространство.
1) Если iGN« ^ = sp({x1, ..., xk}), то
se
= |ZaiX/|a/eR (/=1, ..., £)j
и dim#?<fc;
2) если dim#/= /г e N, то любое независимое подмножество
{хи ..., хп) из $в является базисом;
3) если «g{0, 1,2, ...}, то dimRn = n;
4) если n^N и {хи ..., хп) — баз;/с в Я/, го для любого х^Я?
существует единственное a=(a1, . . ., a") g R" такое, что
п
х= Zee7**.
/-1 д
Доказательство. 1. Пусть IjgNh ^=sp({xb ..., xk}).
Тогда нетрудно проверить, что
= |Za/Jf/|a,eR (/=1, ..., k)j
k
se
Пусть теперь {уи ..., yt} — подмножество {хь ..., xk}, состоящее
только из элементов xh не равных нулю и таких, что
Xi&sp({xu ..., X/-,}) (/==1, ..., k). Если х( = 0 для всех /, то
$? = {0} и dim ,8? = О < &. В противном случае мы имеем 1 ^/^&,
sp ({*Л, • ••, yi)) = S6 и множество {*/ь ..., yt) независимо. Таким
образом, {уи ..., у{) является базисом и, по теореме 1.3.1,
2. Пусть dim<8/ = neN, {jch ..., хп} — независимое
подмножество из S6 и jc е Я?. Тогда, по теореме 1.3.1, множество
{*!, ...,*„,*} является зависимым и существуют аь ..., art+I е R,
не все равные нулю и такие, что
45

Мы имеем а„+1 ф 0 (так как {хи ..., хп} независимо), и поэтому
п
х= X (—<*//«л-и)*/. Это означает, что {хи ..., хп} — базис.
3. Пусть n<=N и б/ = (б), ..., 6?)eR" (/=1, ..., л), где
б/ = 0, если i ф \ и 6; =1. Тогда из 2-. а/б/ = 0 следует, что
а/ = 0 (/=1, ..., я), т. е. {6Ь ..., 6rt} независимы. Если
А П
х = (х1, ..., /)ERn, то * = Z^6/ и {6,, ..., 6л} — базис. По
/«1
теореме 1.3.1, dimR" = n. Если я = 0, то dimR^ = 0 по
определению.
4. Пусть fieN, {*,, ..., хп) — базис в $? и
/-1 /-1
Тогда Е(а/-р/)^/ = 0 иа/-р/ = 0.
1.3.3. Теорема. Пусть п, m е= N. Тогда ^(R", Rm) =
= B(Rrt, R™), существует взаимно однозначное соответствие между
j?(Rn, Rm) ы набором всех матриц {аи) (i = 1, ..., m; у = 1, ..., я)
и ai/eR. £с/ш (at/) соответствует оператору Те=3?(Цп, Rm) и
A Л
a/ = (a,, /,..., am, /) (у = 1, ..., n), то Tx = J) x!af для всех
/-1
л: =:=(л:,, ..., хп) е R" и Т имеет обратный оператор тогда и
только тогда, когда пг = п и множество (аь ..., art} независимо
в Rm. В этом случае Г"1 <= ^(Rn, R").
Доказательство. Пусть D = {6j,..., вл} и £,==:{81,...,ет},
где 6, = (б), ...,67), eft = (ei, ...,е?), 61=1, е£=1, 6J = 0
для / =7^ у и е^ = 0 для I Ф k. Тогда D и Е являются базисами
соответственно для Rrt и Rm. Пусть Ге^ (Rrt, Rm) и
A A п я
«/ = (ai ,/>•••> «m. у)— Tbt. Тогда 7\к = J) xJaf для л; = £ *7fyе R"-
' /-1 /-I
Наоборот, если ah ..., a„ERm, то единственный оператор
7^i?(R'\ Rm) определяется выражением
А a
/-1
для всех х —(х1, ..., jcn)eRn, и мы имеем Tbj — aj. Если" мы
А П
положим с= Max | а* |, то \Tx\<^cJ^\xf \ = с\х\. Таким об-
разом, если limx; = x в Rrt, то мы имеем lim| Txt —Г^К
i i
46

<с • lim | лг/ — x\ = 0; следовательно, UmTxi — Tx. По теореме 1.2.7,
i i
получаем, что Т — непрерывный оператор.
Покажем затем, что Т~1 существует, если ш = пи {аи ..., ап}
независимы. Действительно, если Т — взаимно однозначный опе-
п
ратор, то>из условия Тх= J]xJQj = 0 следует, что х = 0;
следовательно, множество {аь ..., а„) независимо. Если Т является
отображением на пространство Rm, то для любого t/GRm су-
п
ществует такое х е R", что Тх = £ xfaf = у\ следовательно,
множество (аь ..., ап) является базисом для Rm и, по
условию I. 3.2(3), л = т.
Наоборот, пусть n = m, и множество {а,, ..., ап}
.независимо. Тогда, по условию 1.3.2 (2), {аи ..., ап) является базисом
для R" и, по условию I. 3.2 (4), оператор Т имеет обратный
оператор Г~\ Если ph p2eR и уи y2^Rny то
т (р,г-1 (Уд + №~х Ы) - Pin-1 (ух) + №Т~Х (у2) = р1У1 + $2у2.
Это означает, что Г'ей7!^, R").
1.3.4. Теорема. Пусть $6 — топологическое векторное
пространство и {х[у ..., хп} является базисом для 96. Тогда
существует линейный гомеоморфизм Т из Rn в <9?, который
определяется выражением
Т ((а», ..., ап)) = Z а'х, для (а1, ..., а") е= Rn.
/-1
Доказательство. Пусть {х{, ..., хп) — базис в 96 и
Т: Rn-+<% — оператор, определенный в формулировке теоремы.
По условию I. 3.2 (4), оператор Т является биективным и ясно,
что Т будет также линейным и непрерывным. По теореме I. 3.3,
оператор Т~1 также будет линейным. Остается только показать,
что Т~1 непрерывен. Пусть ее (0, 1) и
D = dS(0, е) = {а=(а1, ..., а") е= Rn | |а 1= 11 а'1 = в }.
По теореме 1.2.8, отрезок [—1, 1] является компактным
подмножеством из R. Из теоремы I. 2.6 следует, что если Z)c:[—1, \]п
и множество D замкнуто, то D — компактное множество, а
отсюда, по теоремам 1.2.2 и 1.2.9, получаем, что Т (D) —
замкнутое множество. Так как Г"1 (0) = 0^D, то T(D) не содержит
нуля, и поэтому множество G = 96 \Т(D) является открытой
окрестностью нуля. Так как отображение (а, х)->ах: R X й? '->Я?
непрерывно, то существуют такие б>0 и открытая окрестность
М

нуля U в SB, что
pt/czG, если IP |<б. #(1)
А Л / А
Покажем теперь, что если х=2и axt е МЛ то Iа I==
A A rt
= | (а1, ..., а") |= 2 | а1 \ < г. Действительно, предположим про-
/-1
тивное. Тогда
0<v = e/Zla'Kl.
/-I
Таким образом, yx^T%(D) и, по условию (1), yx<=G, чего не
может быть, так как T(D)[)G=0.
Таким образом, Т~[ (6U) с S(0, е). Если limtf/ = 0 в Ж, то
для достаточно больших / имеем щ е б£/; следовательно,
l^-I(j//)l < е- Так как е>0 произвольно, то это означает, что
оператор Г"1 непрерывен в нуле и, в силу линейности,
оператор Г"1 непрерывен.
1.3.5. Теорема. Пусть SB — топологическое векторное
пространство. В 96 существует компактная окрестность нуля тогда
и только тогда, когда dim#/<oo.
Доказательство. Если ^ = {0}, то доказательство
тривиально. Если dim#/ = rceN, то, по теореме I. 3.4., существует
линейный гомеоморфизм Т из R* в SB. Так как множества
(—1, 1) и [—1, I] являются, соответственно, открытым и
компактным в R, то множества (— 1, \)п и [—1, \]п также будут
открытым и компактным в Rrt и их образы при отображении Т
будут, соответственно, открытым и компактным множеством
в SB. Таким образом, множество Т([— 1, 1]п) является компактной
окрестностью нуля в SB.
Предположим теперь, что компактная окрестность нуля U
в SB существует и V — некоторая окрестность нуля. Семейство
окрестностей jx+^VUef/j покрывает U и, в силу
компактности Uу будет существовать конечное подсемейство х{ + у ^> •••
..., ^+2"К, которое также покрывает U. Таким образом, для
каждого у е (/ мы имеем
# = *,■ +у г для некоторых /е{1, ...,&} и г el/. (1)
Пусть теперь W — произвольная окрестность нуля в SB. Тогда
существует открытая окрестность нуля V и 6 > 0 такие, что
a{V + a2V cz W, если | а, К б. Мы можем тогда определить
такое р е (0, б], что yxt е 6К для / = 1, ..., * и | у |<р.
Соотношение (1) показывает, что если IyI^P» то yU^W»
43

Рассмотрим теперь соотношение (1) для V = U. Мы можем
применить это соотношение к z вместо у и, подставив т раз,
получаем
Отсюда видно, что для всех
/е={1, 2, ..., к) и /(/, а) = {/е={1, 2, ..., а}|/, = 0
последовательность | > ~ ) будет неубывающей и ограни-
\/<=/ (*, а) /а
ченной, а следовательно, сходящейся к некоторому а .
Так как для любой окрестности нуля № для достаточно
больших т 2~m"lUdW, то из условия (2) заключаем, что
m
y=Y*aixi- Таким образом, каждая точка y^U является ли-
нейной комбинацией точек хи ..., xk\ а так как lim-rjt = 0
(х е 8В), то каждой точке х е SB соответствует такое Р е R, что
pjcef/. Это означает, что SB является линейной оболочкой
точек {хх, ..., xk) и, по условию 1.3.2(1), dim^^/г.
1.3.6. Теорема. Пусть SB и <Ц —нормированные векторные
пространства и Ге^^, <У). В этом случае Т^В(9В, <Ц)
тогда и только тогда, когда \ Т |= sup | Тх \ < оо и | • | является
нормой в В {SB, <У). Если °У — банахово пространство, то
(В (SB, °У), | • |) также является банаховым пространством.
Доказательство. Пусть SB и ^—нормированные
векторные пространства, T^B(SB, °У) и (*/) — такая
последовательность в SB, что |хУК1 и lim| Txt | = оо. Если yi = \TxJf{ xf
(/e=N), то lim| *//! = () и, по теореме 1.2.7, lim| Tyf \ = \ Т • 0 | = 0.
Этого не может быть, так как \Tyj\=l. Таким образом»
| Т | = sup | Тх |< оо для любого Т ezB(SB, <У). Наоборот, пусть
1*1 <1
Ге^(^Л) и sup |Гд:| = с<оо. Если limxy = Jt в SB и
l*Ki /
х}Фх, то
I Гх — Txt\ = \x — JC/llrClJC—Х/Г1^—X/))|<c|jc —Х/1-у^О.
Следовательно, \\mTxf = Tx и, по теореме 1.2.7, Г
—непрерывный оператор. Таким образом, В (SB, <У) = {Т<=2? ($В,Щ) \\ Т |<оо},
и нетрудно проверить, что | • | является нормой в В (SB, QJ).
Предположим теперь, что Щ — банахово пространство, и
пусть (^ — последовательность Коши в (В(SB, °Щ, |.(). Тогда
49

для любого х е 96 имеем
lim | Ttx - Т,х | < lim | Tt - Т, \\ х | = 0;
i,f и
следовательно, {Tjx)f является последовательностью Коши в
полном пространстве Щ с пределом Т (х\. Нетрудно проверить, что
функция х->Т(х) является линейным оператором из 96 в ^.
Мы имеем
|Гх —r^Kirx —7-/ДС1 + 1Г/ —Г,|
для каждого ху если |дс|^1 и l^j. Так как для любого е>0
мы можем выбрать такое достаточно большое /0» что | Tf — 7\ [ ^ е
при />/>/0» то мы имеем | Тх — Ttx К| Тх — TjX \ + е для
/1>/>/о и |*|^1. Так как lim| Гл: — Г/л: 1 = 0, то мы имеем
/
\Tx — TiX\^B для 1^/0 и |*К1. Это означает, что
sup |7*К sup |7,/Лл:| + е = т0| + Е<оо
и lim| Г — Г; | = 0. А это показывает, что (В (Я?, °Ц), | • |) является
полным пространством.
1.3.7. Теорема. Пусть 96 — банахово пространство и
ТЬТ2<=В{%,96). Тогда TxT2s=B{96y 96) и | Т{Т21<| Тх | .| Т2\.
Вели Г, Го, ТоХ^В($6, 96) и \Т — То\<\То1\~\ тоТ-биек-
тивный оператор и Г_1еВ(Я?, 96).
Доказательство. Мы имеем
\Т{Т2\ = sup |Г,(ад|<|Г,|. sup |Г2х| = |Г1|.|Г2|.
|х|<1 |х|<1
Таким образом, по теореме 1.3.6, Т{Г2 е В(<^, 96). Пусть теперь
/ = Ige — единичный оператор в Я?. Покажем, что (/— K)~l ^
е= В(96\96) для всех таких К е= В(^, Я?); что | К\< 1. Пусть
/?у4/ + К+ ... + *' (/sN). Тогда
[*,.-*/!=»
< Е |/СГ<!К1,+1(1-К1Г'-0
m-/+I
при /, /-*«>, /^/. Таким образом, (/?/) — последовательность
Коши в В (Я?, Я?) и, по теореме 1.3.6, имеет предел R^B{96, 96).
Имеем
lim| 7?^/ —/С) —/?(/ —/OKliml/?; —/?|(1 +1 ЛГ|) = 0,
/ /
lim | / - R, (I - К) I = lim | /С/+'1 < Нт | К |/+' = 0;
/ / /
следовательно, lim /?/(/ — /С) = /?(/ — /О = /. Аналогично показы-
/
вается, что (I~K)R = I. Таким образом, (/ —/С) ' = i?eB(f,^).
50

Пусть теперь
Т, Т0, То1 eB^,f), I Г - Го |< 177' Г
и К = -То1{Т-Т0). Тогда \К\<\, и оператор Го_,Г = / - К
имеет обратный в В (Ж, SB). Так как Г0_| е= В (Я?, Я?), ТО это
означает, что оператор Г = Г0(г^1Г) имеет обратный Т~х =
= (Го"17,)"1Го",е в (Я?, Я?).
1.3.8. Теорема (Хан — Банах). Пусть 96 — векторное
пространство, °Ц — подпространство из 96, р: 96 -> R и f е i?(<^, R).
Если
р (аде) = ар (*) (я, хь х2 s Я?; а^О),
ftoXpiy) (y^W,
то существует функционал J g= %{96\ R) такой, что / = / I <У и
J(*)<Р(х) для всех х^96.
В частности, если 96 — нормированное векторное
пространство, то любой функционал f е Щ* может быть продолжен до
функционала f е 96* таким способом, что \f l = |f|.
Доказательство. Пусть #" —множество всех таких
линейных функционалов g, каждый из которых определен на
некотором подпространстве 96g из 96, содержащем Щ, таком,
что g\°y = f и g{x)^p(x) {xe=96g). Так как fs?", то &*
непусто. Пусть (ST, ^) — частично упорядоченное множество, где
ё\*^ё2 означает, что функционал gx является сужением
функционала g2. Если ^ — вполне упорядоченное подмножество ЗГ,
то пусть 96(°У) будет объединением подпространств из 96, на
которых определены элементы из #. Тогда для любого х^ 96($)
существует некоторый линейный функционал g такой, что х
принадлежит его области определения и g{x) = gf{x) для любого
другого функционала g' из ^, определенного в точке х.
Полагая g(x) = g{x) для любого xs^ft мы определим
функцию g из 96 &) в R; ясно, что эта функция принадлежит Т.
Таким образом, 9 имеет верхнюю границу. Отсюда, по лемме
Цорна, семейство У имеет максимальный элемент Л.
Предположим теперь, что существует точка хх из 96, которая
не принадлежит области определения 96§ функции h, и пусть
a?, = sp(#?0U{*i}). Если х^96х, то х = у + ахх, где у^960, и
нетрудно проверить, что а единственно.
Теперь для всех х, у е 96§ мы получаем
h(y) - h(x) = h(y - х)<,р{у - х)^р{у + хх) + р(- хх - х)\ (1)
следовательно,
— Р (- х 1 - х) - h (*)< р (у + хх) - h (*/),
51

Так как левая часть этого неравенства зависит только от ху
а правая часть только от уу то существует такая константа с,
что
— р(- хх — х) — h(*)< с <р{у + хх) — h{y).
Полагая z = ay для а^О и 2 = ал: для а < 0, мы получаем
h (z) + ас < р {z + ах{) (г е= #?0; а е R). (2)
Пусть теперь
h(z + ax{) = h(z) + ac {^Gft asR).
Тогда й —линейный функционал на 95и Л = й|<й/0 и, по
условию (2), h{x)^p{x) для хе8?|. Поэтому Ае?", а это
противоречит предположению, что А — максимальный элемент. Это
означает, что #?0 = #?» и первая часть теоремы доказана.
Предположим теперь, что <^ —нормированное векторное
пространство и / е ^*. Тогда, по теореме I. 3.6,
\f\±sup{\f{y)\\y = (V,\y\<l}<<*>-
Полагая р(л:) = | / || jc| (jc е Я?), мы получаем аналогичным
рассуждением, что существует такое линейное расширение f
функционала f на SB, что f(x)^|f||Jt| для всех xg^, Отсюда
получаем, что f (— *) = — f (х)^\ f \\х\, следовательно, |f(x)|^
<l/ll*l и \f\<\fl Таккак/|^ = /, To|f) = |f|. Кроме того,
по теореме I. 3.6, f е <^*.
1.3.9. Теорема. Пусть X — компактное метрическое про*
странство, Щ — топологическое векторное пространство и
функция f: Х-+У непрерывна. Тогда функция f равномерно
непрерывна.
Доказательство. Пусть А — окрестность начала
координат в у. Так как функции (*/,, у2)-+у{ + у2: УХУ-+У
(а, х)->ах: КХУ~>У непрерывны, то существует такая
открытая окрестность начала координат Я, что В+8сД и мы
можем предположить, что — В = В (заменяя В на (—B)f)B).
Для любого х^Х существует такое 6(х) > О, что f (х)—/ (*') е В
при d (х, х') ^ 26 (х). Семейство {S(x, б (х)) |*е X) является
открытым покрытием компактного множества Ху и поэтому
существует конечное подпокрытие {S(x{, 6(хх)), ..., S(xk, 6(xk))}.
Таким образом, для любого х е X существует такое /е{1, ..., Л},
что jc € S (xh б (лгу)). Пусть ti= Min 6(xt). Если d(jc, д/)<т|, то
ККк
d(*', xj)<d(x't x) + d(x, xt)<r\ + 6(xf) <26(*,);
следовательно,
f(x)-f(x/)^(f(x)-f(xj)) + (f(xJ)-f(x/))^B + BczA.
52

1.3.10. Теорема. Пусть 36 — нормированное векторное
пространство,
С/А{/е=ЯП|/|<1}, //€=i/ (/e=N),
функция f: 96-+К непрерывна и Игл//*/ = /(#) для все* # из
всюду плотного подмножества 95\ в 96. Тогда \\mlix = f{x) для
всех х^96.
Доказательство. Пусть х^96 и е > 0. Тогда найдутся
такие /0е N и у^96и что
l/to-f(</)l<e/3, |у-*|<в/3
и I f (у) — //У I < е/3 для всех / ^ /0 Таким образом,
\f(x)-lix\^\f(x)-f(y)\ + \f(y)-liy\ + \lI(y-x)\<e
для всех />/о.
1.3.11. Теор ем а (Бишоп). tfr/cr& 96 — сепарабельное нор-
мированное векторное пространство и
U = UsgT \\l\A sup |/(х)|<1).
I U|<i J
Тогда существует такая норма | • |w (слабая норма) в йГ,
<*го топология в U, индуцированная соответствующей
метрической топологией (слабой метрической топологией),
совпадает с топологией в U, индуцированной слабой со звездой
топологией в 96*. Более того, lim | / — //1» = 0 для I, lf^U тогда
l
и только тогда, когда lim lfx = lx для каждого х^96.
1
Доказательство. Пусть 9?^ = {х{, хъ ...} — всюду
плотное подмножество 96 и
Лю нт^(1+|Х/|)
для всех Т е 96*. Легко показать, что этот предел существует
и что |Л.<|Л, \T{ + T2\W^\T{\W + \T2\W, |аЛда = |а||Лю и
| Г |ш ^ 0. Кроме того, из |ЛЖ = 0 следует, что|Гх/| = 0 для
всех / е N. Так как и Г, и 0 являются непрерывными
продолжениями оператора Т\96 на 96 = 96^, то, по теореме 1.2.13,.
Г = 0. Таким образом, |-|^ является нормой в 96*.
Пусть теперь Я~х — топология в U, порожденная слабой са
звездой топологией, &~2 — топология в U, порожденная
топологией нормы | • |да, и ГеДе Т\. Тогда существуют такие
£€=N, xj <=96 (/=1, ..., k) и е>0, что
{Теи\\(Т-Г)х*\<* (/=1 k))cA.
63

Для каждого / е {1, 2, ..., k) мы выберем xt е 35^ таким
способом, чтобы \xj' — Xt А < е/4, и положим
inf 2"ll
Q + Ы)'
Таким образом, если Т е £/, | Т — V \w < ае/2 и / е {1, 2, ..., k),
то мы имеем
\(Т-Т')хч\^а-1\Т-Т'\ш<е/2,
\(Т-ТЦх*-хч)\<{\Т\ + \Г\)\х1-хч\<8/2;
следовательно,
|(Г-Г)^|<6.
Это означает, что множество
{Ts=U\\T-T'\w<ae/2}s=<T2
содержится в Л, и так как А — объединение таких множеств,
то Ле Т2.
Наоборот, пусть V е В е Т2. Тогда существует такое е > О,
что {Т е £/11 Т — Г7 \w < е} cz В, и мы можем выбрать /0 е N
так, чтобы
/-/о+1
O + l'/l)
Положим а= sup 2 /(1+|*/1). Тогда, если Ге£/ и
|(Г —Г0^/|<е/(2а/0) (/=1, ..., /о), то мы имеем
/о
I Г - Г |w < а J] | (Т - Г) х; | + | < е.
/-1
Это означает, что каждое множество ГеВ содержится в
множестве
{Ге£/||(7-П^1<б/(ад (/=1, ..., /о)}е<Гь
которое само содержится в В. Таким образом, В е Ть а это
означает, что *7"1 = ^7"2.
Пусть теперь /, /уеС/ (/е N). Если lim| / — /у |w == 0, то
/jt/= lim//х* для каждого ^е^; следовательно, по теореме
1.3.10, /jc= lim /у* (jce^). Наоборот, если /* = lim/yjc (х<^$8)}
54

то для любого е>0 мы можем выбрать такое i0^N, что
mn£
0+1*#1) 2 Ufc=1N''
и такое /0eN, что
I) 2
для / ^ /0. Тогда | / — /у \w < е для всех / ^ /0; следовательно,
lim|/-/yU = 0.
1.3.12. Теорема (Алаоглу). Пусть 86 — сепарабельное
нормированное векторное пространство, I • U — норма в $в*,
определенная как в теореме I. 3.11, и £/ = {/ е ЯГ| |./К 1}. Тогда
множество U с топологией, порожденной топологией
пространства (86*у | • 1а,), является компактным и секвенциально
компактным метрическим пространством.
Доказательство. Пусть 95^ = {хи х2, ...} — всюду
плотное подмножество в #?, которое определяет норму | • \Wi и
(lf) — последовательность в U. Для всех /, /eN мы имеем
I'/(**) 1^1** I- Таким образом, последовательность (lj(xi))f имеет
подпоследовательность (Z/(*i))/6/. сходящуюся к некоторому
числу 1(х\). Продолжая таким образом, мы построим
последовательность последовательностей ((//)/e/i, (//)/е/2, ...) и их
диагональную подпоследовательность (//)/е/. Нетрудно
проверить, что (//(**)), е/ сходится к числу l(Xi) для каждого /<=N.
Так как | // (хт) — lf (хп) К | хт — хп | для всех /, m, »gN, то
получаем
I / (*«) — l(xn)\ = lim\l, (хт) - /; (хп) |< | хт - хп |
для т, /isN. Таким образом, функция /!#?«, равномерно
непрерывна и, по теореме 1.2.13, имеет равномерно непрерывное
продолжение / на 8? = $)!?^. По теореме 1.3.10, lim//(*) =/(*)
для каждого х^9£, и легко видеть, что / линейна;
следовательно, по теореме 1.3.11, lim|/# —/|ю = 0 и lim/y = / в ТОПО-
Ze/ /<=/
логии, порожденной топологией метрического пространства
(Я?*! | • |да). Таким образом, U — секвенциально компактное
подмножество из (#Г, | • |ю); следовательно, по теореме 1.2.5,
U — компакт.
I. 3.13. Теорема (Рисе). Пусть Щ — нормированное
векторное пространство, I —- единичный оператор в <#/, Т е В (QJ, °У),
Т — компактный оператор, а I — Т — инъективный оператор.
55

Тогда I —-Т является гомеоморфизмом из <У на Щ, и оператор
(I — Т)"1 — I компактен.
л
Доказательство. 1. Пусть (/ = / — Г. Покажем сначала,
что если %\ и 962 — векторные подпространства из <У,
множества 9ВХ и а?2 замкнуты, 8ВхкиЙВъ %ХФ%2 и £/(Я?2)сЯ?ь то
существует такая точка аЕ^\Ж|, что | а |= 1 и | Та—Тх |^ 1/2
для всех х^8в\. Действительно, существуют точки Ь^8$2\<%\
такая, что d[by ^] = а>0, исе^, такая, что | 6 — с К 2а.
Пусть
Тогда |а|=1. Для любого у^86х мы имеем
\a-y\ = jb~T^\b-{c + \b--c\y)\.
Так как d [Ьу SSX\ = а, то | а — г/1 > а/| 6 — с | > 1/2. Пусть теперь
х е Я?ь тогда
Га —rjc = (/-£/)(fl-jc) = a-(x + £/(a-jc)).
Так как * +1/ (а—х) <= #?ь то отсюда следует, что | Та—Тх |^ 1/2.
2. Покажем теперь, что если множество А замкнуто, то
множество U {А) также замкнуто. Пусть А — замкнутое
подмножество из Щ и y^U(A). Тогда y = \imUXf для некоторой
последовательности (xj) в Л. Если последовательность (xy) не-
ограничена, то мы можем предположить (выделяя
подпоследовательность, если это необходимо), что lim|xy|=oo. Пусть
2у = (1/|х/|)х/. Тогда
lim UZf = lim j—r Uxt = lim -г—7 у = О
/ f \xj\ 1 \xf\
и |2/|=1. Так как Uzj = zf — Tzi и некоторая
последовательность (Tzj)i(Ej сходится к точке а (так как Г —компактный
оператор), то мы заключаем, что \\m(Zj — a) = limUz} = 0; сле-
довательно, lim2y = a и £/a = lim Uzi = 0. Таким образом,
aef/_1({0}) = {0}, а это противоречит тому, что | а |=Нт|г; |=1.
Поэтому последовательность (xj) ограничена и существуют
такие / с: (1, 2, ...) и Ь е <У, что
6 = lim Тх, = lim (х, — Uxj) = lim (*, — у);
56

следовательно, b + y = \\mxf e А. Так как оператор U
непрерывен, то
y = limUx, = U(b + y)ezU(A)9
т. е. U(A) = U(A).
3. Покажем, 41
для UgN. Проверим методом индукции по k, что
3. Покажем, что у = t/ (^/). Пусть Tk = I — Uk = I— (I— T)k
где
л
/-о
1 ' \l) /К*-/)! ' '
и /! = 1 • 2 • ... • / для / е N. Таким образом,
k
/-Г* = (/-Г)* = / + г£(-1)'(*)п-^
/-i
fe
следовательно, Tk = TV} где У = — ]Г (—1)4 /J^"1 и> по тео"
/-1
реме I. 3.7, получаем | V \ < оо. Мы показали, что для любого
ограниченного множества Лс^ выполняется условие
sup{\V(y)\\y<=A}^\V\sup{\x\\xs=A};
следовательно, множество Tk(A) = T(V(А)) условно компактно..
Таким образом, Uk = I — Tk, где Tk — компактный оператор в ^.:
Пусть теперь Fk = Uk(°y) для fc = 0, 1, 2, ... Тогда F*+i =
= Uk (F,) с::Uk (£V) = /7fe для всех k. По доказанному в пункте 2Т
каждое множество Fk замкнуто. Если Р^+хФРк для всех k,
то для каждого фиксированного k множества $ex = Fk+x и
8?2 — Fk будут такими тке, как и в пункте 1 в силу того, что
(/(ffe) = Fhlcffe, Таким образом, существуют такие xk^Fkj
что \xk\=l, и | Txk — Txj |^ 1/2 для всех />&. Это
противоречит предположению о том, что оператор Т компактен. Дей-
ствительно, если Т компактен, то, по теореме 1.2.5, T(SF(0, 1)) —
секвенциальный компакт. Таким образом, Fk = Fm для
некоторого (наименьшего) m и всех k > m.
Покажем теперь, что т = 0. Мы имеем /7тс:(^ = /;,0 и
U{Fm) = Fm. Если Fm=£F0, то w > 0, и существует точка
г €= Fm_, \ Fm cz F0 \ ^m- Так как U{z)t=Fm = U (Fm), то
существует такое w^Fmi что Uz = Uwy т. е. z = ay. Это
противоречит условию гфрт. Таким образом, ^y = F0 = Fl = U (^).
57

4. Мы показали в пункте 3, что ^ = £/(4^); следовательно,
оператор U биективен и U~] существует. Так как множество
(U~l) (A) = U{A) замкнуто для любого замкнутого Л, то
оператор £/-1 непрерывен. Таким образом, U является
гомеоморфизмом из <Ц на у.
Пусть теперь #=(/ — Т)~1 —/, тогда (/— Т) •(/ + #) = /;
следовательно, R = Т (I + R). По теореме 1.3.6, оператор I + R
ограничен, и поэтому, множество (/ + /?) (Л) ограничено для
любого ограниченного Л, и Т (/ + R) (Л) — условный компакт.
Мы показали, что R — компактный оператор.
1.3.14. Теорема. Пусть 36 — банахово пространство, тогда
оо
1) ряд X xf в 36 сходится, если он мажорируется сходя-
/-1
щимся рядом 2 Я/ (в частности, если он абсолютно сходящийся)
/-1
или если последовательность ( £ I */1) ограничена;
2) ИтНтЛа,р = НтНтЛа, р=НтЛа(т). р(т)=8ир{Ла, p|a, peN}
% а 0 Ра т
в R, если (Ла, р)а и (Ла. р)р — неубывающие последовательности
в R для каждого а и $, и отображение
m->(a{m), р(т)): N-^NXN
оо
3) ряд 2 xit! в 96 сходится и
оо оо оо оо оо оо
Zu *|. /= Е £ *^ / — ££*/./— 2* ** (т). / (т)»
оо оо
если ряд J] JC; / мажорируется сходящимся рядом 2 а, / в R
«./-1 «./-1
(в частности, если он абсолютно сходящийся) и отображение
т->(/(т), /(т)): N-*NXN
оо
биективно. Более того, ряд Л 6*,/, где biti^Q, является
сходящимся в R.
оо
Доказательство. 1. Предположим, что ряд £ */ мажо-
оо
рируется сходящимся рядом X а#. Тогда, по теореме 1.2.4,
( 2 ^/) — последовательность Коши, и для любого е > 0 су-
68

ществует такое /(e)GN, что J) tf/<e при i27^i\ >/(е). Отсюда
получаем
/, /,-i
I/-I /-1
I, /о
Е*/ —Е х/ <Е U/I<Z fl/<ef
/-*. /-*.
т. е. ( Е */) —последовательность Коши в полном метрическом
пространстве 8в\ следовательно, она сходящаяся. Если
последовательность I El*/l) ограничена, то она должна быть после-
V/-1 /k
довательностью Коши, как ограниченная неубывающая
последовательность в R, следовательно, она сходится. Таким образом,
оо оо
ряд Е Xj мажорируется сходящимся рядом Е | xt |. Это
доказывает условие 1).
2. Пусть теперь выполнены условия 2) теоремы. Предполо-
д
жим сперва, что s= sup {Ла. р |а, peN}<oo. Тогда для
каждого aeN последовательность {Аа,^ ограничена, не убывает
в R, и lim Аа. з = sa = sup Аа $. Далее, sa' < sa" < 5, если a' < a".
Для любого е > 0 существует такое k{e)е N, что O^s — Аа ^е
при а, р ^ k (е). Таким образом, если а, р ^ k (е), то Аа% $ ^ sa ^ s
и 0<s — 5a<s — Аа о<е, т.е. lim sa = limlim Аа p = s. Ана-
a a р
логично показывается, что lim lim /la p = s.
3 a
Пусть теперь .отображение m->(a(m), P(m)) биективно и
fe (е)—определенное выше число. Тогда существует такое m(e)^N,
что а (/я), p(m)>fc(e), если т^т(е), и 0<s — Ла(т), p(w)<e,
если т^т(г). Таким образом, lim Ла(т), 6(m) = s. Это доказы-
m
вает утверждение 2) для случая s < оо.
Если 5= оо, то существует такая последовательность ((a/, Р/))/
в N X N, что lim Ла р = оо. Это означает, что для любого /igN
существует такое /(л), что Ла р >п, если j^j(n). Тогда sa^
^^a, а^л Для всех a, P^a/(rt), т. е. НтЛа. в = оо = s и limsa =
а, Р а
=lim lim Ла ==оо=5. Аналогично показывается, что lim lim Аа ft=
a 3 Р 0 a р
= оо = 5. Если мы обозначим через т' (п) такое положительное
целое число, что a(m), P(m)>a/(rt) при m>m'(/z), то Ла(т)>р(т)^п
Для т^т'(п). Таким образом, limЛа(т),р(т) = oo = s. Это за-
т
вершает доказательство утверждения 2).
59

3. Пусть теперь выполнены условия 3). Положим
д а 3 д а 3
л
Так как предел А = Игл Аа 6 существует в R, то для любого е > О
а, з р
существует такое 6(e) e=N, что Ла,р — ЛМе),Ме) = £ ам<-|-
при а, р^£(е), где 2]'— сумма по конечному множеству индексов
{1,2, ..., <х}Х{1, 2, ..., р}\{1,2, ..., fc(e)}2.- Это означает, что
I ^о, з — Xk (е). ft (е) I = J 2, **. /1 ^ Zj I ^. /1 ^ Zj ^' / ^ Т
для а, р>&(е) и
I ^а. 3 ~"^а', 3' 1^1 ^а, 3 ~~ Xk(e\ k(e) 1 + I Ха', 3' ~~ ^Л(е), Me) 1^8
оо
для а', р'^6(е). Таким образом, по теореме 1.2.4, ряд £ ** /
сходится:
£ xitJ = \\mXa, Э=Х <= S6
*»/-i
а, 3
I -X'ot. э — ^ I = Нт | Ха, з — Ха', 3' К 8,
а', 3'
если а, р>&(е).
Для каждого /eN последовательность ( X | xitf | 1
(4)
ограничена
величиной 2 а*,/*, следовательно, по условию 1), ряд Yu xi \
сходится к некоторой точке у{ в <^, и существует такое /*(е, /) е N,
3 I
tji — V xit i < -^, если р > / (е, *). Тогда для каждого а е N
что
/-1
а а £ I а
/-1
i-i/-i
i-i
при
р>р(е, a) = sup{/(e, 1), ..., /(в, а)};
следовательно, по условию (4),
1.У1-Х
<
Z У1 — *а,
/-1
+1 Ха. р — X К 2е,
если а>£(е) и p>max(P(e, a), fe(e)). Таким образом, £ £ *£./=■
*-i/-i
= И **./> и аналогично показывается, что X 2 ** / = X ** /.
60

Пусть теперь отображение
m->(/(m), i(m)): N-*NXN
биективно,
//(*) = {(/(m), /(m))|me={l, 2, ..., k}}
и /(&) = 0, 2, ..., k}2. Тогда для каждого JgN существуют
такие целые числа l[(k)^l2(k), что lim г^(/г) = сх^ и I(l{(k))cz
к
cz // (£) с: / (/2 (Л)). Мы имеем
/г
Я/а (*),/,(*) ~~ X ^(m),/(m)
m-1
<Z" <*i.h
где £" — сумма по множеству индексов I(l2(k)) \ I(l\(k)). Так как
пределы limIa,B и lim Aat в существуют, то £"-*0 при fc-*oo и
а, р р а, 0 р
Ед —
fe m-1 a, 0
.Наконец, если bltJ^0(iy / g N), to из условия 2) следует
(полагая Ла«=2 И^/ль что РЯД 2 &*\ / сходится в R.
\ р /-1/-1 V /,/-1
1.3.15. Экспоненциальная и логарифмическая функции.
Определение exp(x). Пусть для любых xeR и /^N выра-
, Л Л
жениел:7 обозначает /-ю степень числа *, 0! = 1 и у! = Ь2«3«... •/.
Если #е[0, 1), то ряд
оо
^y = limlT-L = (l-J/)^
/-о *
сходится. Если ^gR, то обозначим через п наименьшее целое
число равное или большее, чем |х|+1. Тогда \\^п}-п для
всех/^/г; поэтому ряд £, "Т мажорируется сходящимся рядом
пп V (-'-^-J . Таким образом, по условию 1.3.14(1), ряд
00 /
exp(x) = £-yp (1)
/-о
сходится для любого jce R и определяет функцию ехр(;): R->R,
которая называется экспоненциальной функцией.

Функциональное соотношение для ехр(«).
Покажем теперь, что
ехр(х+//) = ехр(х)-ехр(#) (х, j/gR). (2)
а
Так как £ I * lV/1 < ехР (I х I) Для всех xsR и asN, то мы
/-о
имеем
Z ZuhyKA/l/IXexpdJcDexpdyl) (a, peN)
и, по условию 1.3.14 (3) (перебирая точки (/, /) таким образом,
чтобы / + / = 0, 1, 2, ...), мы имеем
оо оо оо 'т
ехр (х) • ехр (у) = £ *7« £ У7//! = 11 №) • ОТ"'/(« - 00-
/-0 /-0 т-о*-о
Нетрудно проверить методом индукции по /л, что
т
(х + y)m=Z М/(Л (т - /)!)] х^'К
*-о
Это означает, что
оо
ехр (*) ехр (у) = £ (1//и!) (х + */Г = ехр (х + у).
т-0
Логарифмическая функция. Так как члены ряда (1)
являются возрастающими неотрицательными функциями от х
при х;>0, то мы получаем, что функция ехр( •) неотрицательна
и возрастает на [0, оо). Так как, по условию (2), ехр (х) ехр (—х) =
= ехр(0)=1, то функция ехр(») неотрицательна и возрастает
00
на R. Так как 2(1/Л)х/^0 при х^О, то мы имеем ехр(х)^
/-2
^ 1 + х при х ^ 0, и поэтому lim ехр (х) = оо и
lim ехр (— х) = lim —т^- = 0.
Х->оо Х->оо еАР W
Таким образом, ехр(-) отображает R на (0, оо) и, будучи
возрастающей функцией, является инъективной. Таким образом,
функция ехр(-)- R-*(0, оо) имеет обратную ехр-1: (0, oo)->R,
и мы пишем \пх вместо ехр~'(*) и называем ln(-)
логарифмической функцией.
Степени. Если а>0 и xgR, то мы пишем ах вместо
ехр (л: In а) и видим, что ах+У = ахаУ, а°=1 и аЬх = {аь)х.
Обозначим ехр(1) через е и видим, что 1пе=1. Таким образом,
ех = ехр (л:) (х <= R).
62

Неравенство. Покажем теперь, что для всех |, г| > О
и а е [о, 1] мы имеем
^л1-а<а| + (1-а)л. (3)
Проверим сначала, что
еах+{}-а)У^аех + (1 —а)еу
для всех х, */>0. Действительно, для /=1, 2 мы имеем
[ахЧ-(1 — а)г/]/-1<ад:/-1 + (1 — а)у/-1. (4)
По индукции предположим, что это соотношение справедливо
для некоторого /^2. Умножая обе части неравенства (4) на
ах + {1 —а)у, получаем
[a*+(l-a)y]'<
<ax! + {l-a)yl-a{l-a)W-xt-*y + yl--yl-ix)f
и видим, что
x!-xi-ly + yi-yi-lx=*(x-y){xi-*-yi-*) =
/-2
= (x-y)2Zxkyl-*-k^0.
fc-0
Это завершает индукцию и показывает, что условие (4)
справедливо для всех / е N. Отсюда следует, что
оо
eax+(l-a)i/==j;(1/y|)[cuc+(l-a)y]/<
/-о
< Z (1/Л) [<**' + О - а) г/'] = ае* + (1 - а) еК (5)
/-о
Полагая 1 = ех, г\ = еу в выражении (5), получаем
iaT)(1~a)<a£ + (l — а) у\
для всех £, л^е; следовательно, полагая 2: = g/т], имеем
za < аг + 1 — а (г > 0).
Заменяя обратно г на £/г| для произвольных положительных £
и т], мы выводим теперь соотношение (3) для всех £, т] > 0.
Непрерывность функций ехр(•) и In(•). Для всех
хе(— 1, 1) мы имеем
E^/fl <и£1/Я==(е-1)|*1;
/-1 I /-1
|ехр(х) — 1 | =
следовательно, limexp(x)=l и, по условию (2),
х+0
lim ехр (х + h) = ехр (х) lim ехр (К) = ехр (*).
/t->0 Л->0
Таким образом, функция ехр (•) непрерывна.
63

Так как функция ехр (•) возрастает, то ее Сужение на любой
интервал [а0, а{] является биективной функцией из [а0, ах] на
[ехр(а0), ехр(а{)], и поэтому, по условию 1.2.9(4). функция
ln|[exp(a0), exp(#i)] непрерывна. Таким образом, функция ln(-)
непрерывна на (0, оо).
1.4. Меры, измеримые функции и интегралы
1.4.А. Меры. Пусть 5 — произвольное множество. Семейство 2
подмножеств S называется полем (или полем множеств, или
полем в S, или булевой алгеброй множеств), если 2 содержит
пустое множество, дополнение в S любого элемента из 2
и объединение любого конечного числа элементов из 2. Поле 2
называется а-полем, если оно содержит объединение любого
счетного подсемейства или, что эквивалентно, объединение
любого счетного подсемейства различных множеств.
Если 2 — поле и \х: 2->R, то \х называется аддитивной
функцией (или аддитивной функцией множества), если ц(0) = О
и \x{A[}B) = \i(A) + ii(B) для'любых А^Ве2 и А(]В=0.
(Таким образом, \х (А)+\х (В) определена в R.) По индукции получа-
( k \ k
ем, что \i I U Л/) = Z И* (А,), если {Аи ..., Ak) — конечная после-
\/-1 / /-1
довательность различных элементов из 2. Если, кроме того,
• оо Ч оо
\х[ (J Л/)= 2 V>(Af) для любой последовательности (Л7)
различных элементов из 2, объединение которых лежит в 2, то
функция \i называется счетно-аддитивной (на_ поле 2).
Если 2 является а-полем в S и \х: 2—>R счетно-аддитивна,
то [х называется мерой (или мерой в S). Аддитивная функция
множества (соответственно,^мера) \х называется конечной, если
ее значения содержатся в R.
k
Нетрудно проверить, что линейная комбинация £ в/М-/
конечных аддитивных функций множеств ji/ (соответственно, конечных
мер м-/) является конечной аддитивной функцией множества
(соответственно, конечной мерой).
Если 2 является а-полем подмножеств из S, то пара (S, 2)
называется измеримым пространством. Если \i: 2->R —мера,
то тройка (S, 2, ц) называется пространством с мерой. Иногда
мы называем пространством с мерой также S, если 2 и \х уже
определены. Мера \i называется положительной, если \i(E)^Q
для всех £gS, и ясно в этом случае, что
li(A)^ii(A) + ix(B\A) = ii(A[}B)
для всех А, В ^ 2. Положительная мера \х называется
вероятностной мерой, если ji(S)=l. Мера \х: 2->R называется
cote

средоточенной на множестве А (имеет носителем множество А),
если \i (В) = 0 для любого В е 2, Л П В = 0. Если {2Q | ю (= Q} —
семейство полей подмножеств из S, то нетрудно проверить,
что П 20 является полем. Таким образом, для любого класса s4>
соей
подмножеств из S существует единственное наименьшее поле,
содержащее s&, именно, пересечение всех полей, содержащих яФ.
Из тех же соображений существует единственное наименьшее
а-поле, содержащее s4>.
Если (S, Т) — топологическое пространство, то наименьшее
а-поле, содержащее Т, называется борелевским полем и
обозначается через 2B(S), а элементы его называются борелевскими
множествами. Мера, определенная на 2B(S), называется боре-
левсцой мерой (она отличается от борелевской меры на
интервале, которая будет определена в пункте 1.4.15). Борелевская
мера jli называется мерой Дирака в точке s е S, если она
является вероятностной мерой и n({s})=l.
Если 2 —поле и \х: 2-*R — аддитивная функция множества,
то вариацией функции \i (обозначается через ||i|) называется
неотрицательная функция из 2 в R, определенная для всех
£gS условием
>i(£)=sup{i;jM£/)
ieN, Еи ..., Ek — различные
элементы из 2, содержащиеся в Е}.
Назовем положительной вариацией \i+ функции \х
(соответственно, отрицательной вариацией [а~) функцию из 2 в R, опре-
Д J
деляемую (для конечных мер \х) условием ц+ (£) = -j (| у, \ (Е) +
+ \i (Е)) (соответственно, ц" (Е) == — (I \i I (Е) —- \х (£)) J.
Легко проверить, что | |х | ===== fx"1" ===== jlx, если функция \х
положительная.
Если (S, Т) — топологическое пространство, 2 — поле в S и
функция р: 2-*R аддитивна, то \л — регулярная функция, если
для любых £gS и е > О существуют такие множества А, Ве2,
что Лс£сВ° и | \х1 (В \ А) ^ е. В частности, если S содержит
открытые и замкнутые подмножества из S, то функция ц
регулярна, если для любых Е е 2 и е > 0 существуют такие
открытое G (=В) и замкнутое С (=А) множества, что CczEczG и
| \х | (G \ С) ^ е. Конечная регулярная борелевская мера
называется мерой Радона. Обозначим через frm(S) векторное
пространство всех мер Радона в S и через frm+ (S) — множество
всех вероятностных мер Радона в S.
Мера \х: 2-*R называется неатомической, если для любого
множества £gJ такого, что | \х \{Е) > 0, существует такое
множество А е= 2, что 0 < | [I \{А) < | ц \{Е) и Лс£,
3 Дж, Варга
65

Если (S, 2, \i) — пространство с мерой, то множество Z
называется ^-нулевым, если существует такое Ле2, что Z cz Л и
|ц|(Л) = 0. Мера \х называется полной, если любое ^-нулевое
множество принадлежит 2. Мы говорим, что соотношение,
включающее s ^ S, справедливо \х-почти всюду или выполняется для
\х-почти всех ssS, если существует fi-нулевое множество Z,
что это соотношение справедливо для всех s ф Z. Если Е cz S,
и это соотношение справедливо для всех se Е \ Z, то мы
говорим, что оно справедливо ji-почти всюду в Е, или для ji-почти
всех se£,
Если (S, 2, (г) и (S, 2, Л) — пространства с мерой, то мера Я
называется ^-непрерывной (или абсолютно непрерывной
относительно меры \х), если Л(£) = 0 при |ц|(£) = 0.
Пространство с мерой (S, 2, ц) называется положительным,
конечным, вероятностным, регулярным и т. д., если мера \х
имеет соответствующие свойства.
1.4.1. Теорема. Пусть \i: 2—>R — аддитивная
ограниченная функция множества. Тогда вариации \\х\, \х+ и ц~ также
ограничены и являются аддитивными функциями множеств.
Доказательство. Пусть | \х(Е) |^с < оо для всех £gS.
Если (Е{, ..., £fc) — конечная последовательность различных
элементов из 2, то положим
/={/е{1, 2,..., А}|ц(£,)>0> и /' = {1, 2, .... *}\/.
Тогда
-"GU/O-'U. *')<*•
Таким образом, | м- 1(£)^2с для всех £е 2. Это означает, что
вариация | \х | ограничена. Следовательно, вариации \i+ и ц~
также ограничены.
Ясно, что | |х | (0) = 0. Покажем, что | ц | ( [] АЛ = £ | ц | (Л,),
если /^2 и Ль ..., Л* — различные элементы из 2. Это
соотношение будет выполняться по индукции для любого /^2,
если мы покажем справедливость равенства при / = 2. Пусть
поэтому A, SgS и Л П б= 0, и пусть Ех, ..., Ek — различные
подмножества из А[)В, принадлежащие 2. Положим А^А f|£/,
Bi = B[\Ej. Тогда Я7 = Л/иВ/ и
k k
I,i\»(E,)\ = L\\*(Al) + ii(BI)\^
<^EliiM/)H-^|:ill*(ei)Kllii(i4) + ||i|(£f),
.66

Ы(лив)<1МИ) + Ы(в). (О
С другой стороны, для любого е > 0 существуют такие
различные множества Аи ..., АтаА и Bi Becfl, где
т, п е= N и Л/, Bt €= 2, что
||i |(Л)<£||х(Л/)1 + |. ||*1(Я)<£||1(Я/)1 + -§-.
/-I /-I
Множества Ль ..., Ат, Ви ..., В„ являются различными
подмножествами из Л LIS и принадлежат 2; следовательно,
т п
i^iM)+iiii(fi)<^jii(A/)i+^;iii(e/)i+e<iiii(i4Ufi) + e.
Так как е > 0 произвольно, то из этого соотношения и условия (1)
следует, что
||i|(i4UB)-l|il(i4) + ll*l(B).
Таким образом, | \х | — конечная аддитивная функция множества,
и, следовательно, \i+ =-2"(1 И 1 + М-) и ц~=2-(||* I — и) — также
конечные аддитивные функции множеств.
1,4.2. Теорема (жорданово разложение). Пусть ц: 2-*R —
ограниченная и аддитивная функция множества. Тогда для всех
jx+ (£) = sup \х {А) > 0, ц- (£) = - inf jx (Л) > О,
Л<=Е AczE
|i (£) = ц+ (5) - ji- (£), | |i | (E) = |i+ (£) + ц" (£),
|ц(£)К|ц|(£).
Если функция ц положительна, то ц = ц+ = |ц| и ц~ = 0.
Доказательство. Для всех AczE, XeS мы имеем
2ц(А) = 1х(А) + 11(Е)-ц(Е\А)<>
<ц(Е) + |ц04)Ц-|ц(Я\Л)Кц(£) + Ы(Я).
Следовательно,
8иР(х(Л)<(х+(£). (1)
Так как, по теореме 1.4.1, вариация \\л\ ограничена, то для
любого е > 0 существуют такие k е N и различные подмноже-
k
ства Ль ..., Ak из £ в 2, что [j Af = E и
Ы(£)<£|ИЛ/)| + е.
/-1
3* -67

Далее, если / = {/ е N | ц (Л/) ^ 0}, то
2ц+(Е) = 1М(£) + ц(£)<2 I и(Л/) + е =
= 2|if U ЛЛ + е<2зир|х(Л) + в.
\/<=/ / А<=Е
Это последнее соотношение вместе с (1) дает нам соотношение
ц+ (£) = sup *i (А) > \i (0) = 0.
АсЕ
Очевидно также, что \i~={—ц)+; это дает ц ""(£) = — inf и,(Л)>0.
Соотношения \х (£) = ц+ (£) — [х~ (£) и | ц | (£) = \х+ (£) + ц- (£)
следуют из определения вариаций |i+ и \х~ и означают, что
| (А (£) | ^ | \х | (£). Наконец, если функция \х положительна, то
ц~ (£) == — inf jlx (А) = 0 для всех £ е 2; следовательно, ji =
AczE
= \l+ = \\l\.
1.4.3. Теорема. Пусть (S, 2, ц) — конечное пространство
с мерой. Тогда \i, \\i\, \i+ и \i~ — ограниченные конечные меры
и ц(£)<|1+(£)<1м.|(£) для всех £е=2.
Доказательство. Если AlnA2ZD... и Лу е 2, то
сю
П Лу, А{\А2, А2\ А3, ... является разбиением множества А{
на элементы из 2, поэтому
И Щ = |i (Д Л,) + Е |i (А, \ Лт) -
= И (Д Л/) + lim t V>(At \ А„х) e R.
oo
Следовательно, lim X |i(i4/\i4j+1) = 0 и
n i—n
Нт[г(Л^ = ^ГП^) + ПгпЕ|х(ЛЛЛ+1) = ^(Ё^)еН. (1)
n \/«l / n l-n V/-1 /
Предположим теперь, что supn(£) = oo, и пусть ^—такое
EczS
подсемейство из 2, что sup \л{В) = оо для каждого i4Gi. Тогда
ВсА
существуют такие A^s4> и cgR, что ц(В)^с, если В^зФ
и В cz Л. Действительно, в противном случае мы могли бы
построить такую последовательность (Л/) в 2, что Ах =э А2 => ...
\\m\i(An)= op, а это противоречит условию (1). Для определен-
п
ных таким образом Л и с существует такое А{сиА7 что
\х {А{) > с, и потому Л, ^ ^. Отсюда следует, что А\А{^<&.
Таким образом, у,(£)<с, если й<=.я£ и Вс:Л\Л1сгЛ. Про-
68

цолжая аналогичным образом, мы построим такие множества
Аи А2, А3 что \i(A,) > с и Л/+, с А \ (J Л,. Тогда
• ОО Ч ОО ОО
ОО.
а это противоречит предположению о том, что мера \х конечна.
Таким образом, равенство sup^(£,) = oo недопустимо. Ана-
логично получаем
— оо < — sup (— ц (£)) = inf ji (Е).
EczS ficS
Таким образом, конечная мера \х ограничена и, по теореме I. 4.1,
функции | ц |, ц+ и ц- также ограничены.
Покажем теперь, что | ц | — конечная мера. По теореме I. 4.1,
\\х\ является конечной аддитивной функцией множества. Пусть
теперь £g2 и Аи Аъ ... —счетное разбиение множества Е
на элементы из 2. Тогда для каждого k е N мы имеем
следовательно,
Zll*IM/)<l|A|(£). (2)
/-1
С другой стороны, для любой конечной последовательности
(Вь ..., Вт) подмножеств из Е в 2 мы имеем (по теореме 1.3.14)
m m I / оо \ I
m oo m oo
= Z EMfiin^)kZEifA(^n^)i=
oo m oo
= ЕЕ|^(^п^)1<Е1^1И/).
oo
Это означает, что |ц|(£Х 2 1^1 И/)» и> по условию (2), имеем
/-1
+ А1
Таким образом, | ц | —конечная мера, функции ц,+ = у (\\х \-\-\i)
Д J
и М-*" = "2" (| [л | — jx) конечны, и для каждого £g2 имеем
^{E) = ^{E)-ii-(E)^^(E)^^(E) + ii-(E) = \ix\(E).
69

1.4.4. Лемма. Пусть (S, 2, \i) — положительное конечное
пространство с мерой и (Ef) — последовательность в 2. Тогда
II ( Q П Я,) = lim ц Г П £,) < lim inf ц (£J, (1)
» ( О П ^/) = lim \i ( 0 В/) > lim sup jx (£J. (2)
Доказательство. Если fit cr B2 cz ... и Bt^"L, то
H (Д я<) = и(я. U(A2 \ fi,)U(S3 \ B2) U • • •) =
= МД,)+ I>(B<+. \S<) =
/«I
rt-l
= [i(B,) + limZ H(Bm \в,) = Нт^(Вя). (3)
n *-l n
Если мы положим В,= П Я/, то ц (В„) ^ц (£ft) для каждого
/-'
«gN. Вместе с условием (3) это дает нам соотношение (1).
д
Если Ах =) А2 => ... и Л* е 2, то мы полагаем Bi = S\At
и» применяя (3), получаем соотношение
•* (ДА*)=•* (Д(s ч S/))=^ (s ч Д *<)=
= V (S) - \i ( U S/) = И (5) - Нт (ВJ = lim \i (Ап). (4)
Если мы положим At= (J Eh то |i(Лп)^\i(En) для каждого
/-*
«gN. Это соотношение вместе с (4) дает нам соотношение (2).
1.4.5. Теорема (разложение Хана). Пусть (S, 2, |i) — ко-
нечное пространство с мерой. Тогда существует такое множество
S0gS, что
H+G4) = [x(S0fM) и -\1-(A) = \i((S\S0)() А)
для всех Ле1.
Доказательство. По теореме 1.4.3, | \i I, |х+ и \х~ —
ограниченные положительные конечные меры. По теореме I. 4.2, для
любого /sN существует такое Ef ^ 2, что
ц+ (В,) > fi+ (В,) - р- (Ef) - |i (Ef) > \f (S) - 2"'. (1)
Следовательно,
ц+ (S \ £,) = ц+ (S) - ц+ (Ву) < 2"'. (2)
70

Так как ji = |i+ — И"» та из условия (1) следует
ц- (£,) - ц+ (£,) - |i (£,) < jx+ (S) - |i (£,) < 2W. (3)
Положим теперь
50 = S\U П(5\^/)=П U*/.
Тогда условия (2) и 1.4.4(1) дают нам
ц+ (S \ S0) = ц+ f U П (« \ £/)) < Um inf !i+ (S \ £„) = 0.
Следовательно, \i+ (S\S0) = 0. Более того, по условию (3),
i*- (So) = »- ( П Д fi/) < и- (Д в/) <
<£ |i-(£/)<2"rt+l (/isN).
/-я
Таким образом, |i+(S\S0) —H~(So) = 0. Отсюда следует, что
I*- (S0fl Л) = |x+ ((S — 5о)П ^) —О
для всех Ле! Получаем
[i(Son^) = |x+(Son^)-^(S0n^) = (i+(S0n^) = (x+(^),
l*((S\S0)ni4)-|i+((S\S0)ni4)-^-((S\So)ni*)-
— |i-((S\So)ni4)--|i-(i4).
Теорема доказана.
В дальнейшем любое множество S0 в разложении Хана I. 4.5
будем называть положительным множеством для меры \i, а его
дополнение — отрицательным множеством для меры \х.
1.4.6. Теорема. Пусть S ~ топологическое пространство,
2 — поле в S, a \i: 2-*R — ограниченная регулярная
аддитивная функция множества. Тогда \\х\, \i+ и \х" также будут
ограниченными регулярными аддитивными функциями множества.
Доказательство. По теореме 1.4.1, функции | \i |, [а+ и ц~
ограничены и аддитивны, а функция | \х | к тому же регулярна
в силу регулярности функции \х. Если £, Л, Be 2, Л с: £ cz В0 и
| |i |(В \ Л) = ц+ (fl \ Л) + ц- (В \ Л)<е,
то [А+(В\Л)в<в и ^-(ВХЛХе. Это означает, что функции
й+ и ц- - регулярны.
1.4.7. Теорема. Пусть (5, 2, \х) и (Sr 2, А) — конечные про-
странетва с мерой и мера А является ^-непрерывной. Тогда, если
иго|.^|(Л,) = 0, то lim К Ш = 0.
71

Доказательство. Так как X = к — АЛ и мера к является
^-непрерывной тогда и только тогда, когда она | \х |-непрерывна,
то мы можем предположить, что обе меры \i и А конечны и
положительны. Пусть (Ai) — такая последовательность в 2, что
Нтц(Л{) = 0. Если последовательность (М^*))* не сходится
i
к нулю, то существуют такие е > 0 и последовательность
/cz(l, 2, ...), что МЛ)> О и М-(А)*^2~' Для всех /s/. Будем
предполагать, что последовательность Аи А2, ... выбрана так,
00 оо
что / = (1, 2, ...)• Пусть теперь Е = П U Л/. Тогда для всех
следовательно, ц (£) = 0, и поэтому Л (Е) = 0. По условию 1.4.4 (2),
мы имеем
А (£) > lim sup Л (Ап) > е,
а это противоречит условию А(£) = 0.
1.4.8. Теорема. Пусть (S, 2, ц) — конечное пространство
с мерой, 2*= {Е U Z | £ е 2, Z —- нулевое множество} и \х* (Е [} Z) =
= |г(£) для всех £gS и всех \х-нулевых множеств Z. Тогда
(5, 2*, ц*) — конечное пространство с мерой, мера \х* является
полной и \х = [г* 12.
Доказательство. Пусть £,, £2, Ви В2&2, Z{<=:BU
Z2cfl2,|nl(B1) = |[i|(fi2) = 0 и £1UZ1 = £2UZ2. Тогда из
условий Ег\Е2с:В2 и E2\E{czBu по теореме 1.4.2, следует, что
\\x(El)-\x(ElnE2)\ = \ix(El\E2)\<t\ii\(El\E2)<:\ii\(B2) = 0.
Аналогичным образом получаем \\i(E2) — \х (£, f]£2) 1 = 0; отсюда
следует, что \i(El) = \x(Ei[)E2) = \i(E2). Таким образом, мера
\i* (А) определена единственным образом для всех А е 2*.
Пусть теперь Eh Bt е 2, | \i \ (В() = О и Zt с: Bt (i е N). Тогда,
по теореме 1.4.3,
1^|(Д^) = |)11^1(^)=о,
и поэтому
Д (Et U Zt) - (Д £*) U (Д Z,) е 2\
Это означает, что 2* содержит объединение любого счетного
подсемейства множеств из 2*, и так как 0 е 2*, то 2* содержит
также объединение любого конечного подсемейства из 2*.
72

Если £, t/eS, \ix\{U)^=0 и Zc=£/, то
S\(E[)Z) = (S\E)n(S\Z)z>(S\E)()(S\U).
Таким образом, S \ (Е [} Z) = Е{ (J Zx, где £, = (S \ Е) П (S \ £/) s= 2
и Z! = (S \ £)П(£/ \2)cz(/. Отсюда следует, что 2* содержит
дополнение до любого своего элемента. Таким образом, 2* является
ст-полем.
Если Ль Л2, ...—различные элементы из 2* такие, что
Ai = Ei\}Zh £jGZh Zt — ^-нулевые множества, то множество
оо
[J Zt также ^-нулевое, и поэтому
Таким образом, мера ц* конечна.
Если А — ц*-нулевое множество, то AaE[)Z, где £eS,
|fi |(£)== О и Z — ц-нулевое множество. Таким образом, Л —ц-
нулевое множество и А е 2*. Это означает, что мера ц* —
полная. Теорема доказана.
Конечное пространство с мерой (S, 2*, \i*), определенное
в теореме 1.4.8, называется лебеговским расширением или лебе-
говским пополнением пространства (S, 2, ja), а мера м-*
называется лебеговским расширением меры ц. Множество А е 2*
называется также ц-измеримым. Ясно, что пространство (5, 2*, \х*)
является также своим собственным лебеговским расширением,
и любое множество ц-измеримо тогда и только тогда, когда
оно |1*-измеримо. Обычно мы будем обозначать одним и тем же
символом меру и ее лебеговское пополнение.
1.4.9. Теорем а. Пусть S — топологическое пространство^
(S, 2, \kj) (j е N) — регулярные положительные конечные
пространства с мерой и \ij (S) ^ с < оо (/ <= N) для некоторого с.
Тогда функция \i: 2->R, определенная соотношением
\x(A) = Z24ixf(A) (Ле2),
/-1
является регулярной положительной конечной мерой на 2.
Доказательство. Ясно, что ряд, определяющий меру
МЛ), сходится и |ы(Л)^0 для всех /IgJ. Ясно также, что
М0) = О. Пусть теперь Ль Л2, ... е 2-—различные множества
73

и (J Ai = A. Тогда, по условию 1.3.14 (3),
I* (А) = Z 2-V/ (Л) «= Z 2~' S ц, (Лг) =
/-1 /-1 i-\
г-w-i i-i •
оо
и [х (Л) ^ с • Х)2~/ = с, так как все члены этого ряда неотри-
/-I
цательны. Таким образом, мера \i положительна и конечна.
Наконец, пусть £g2 и е>0. Мы можем определить такое
&eN, что
оо
£ 2-'ц/(С)<| (Се 2).
/-* + !
Тогда для каждого /е{1, ..., Л} существуют такие Л/, fi/SS
что Л, cz £ (= fi/ и jiy (В/ \ Л,) < е/2. Пусть Л = [} Л, и S =
г'=Г]Я/- ТогДа ^czfczfi0 и \ij(B\A)^e/2 для / = 1, ..., k.
Мы имеем
оо fe
|i(B\i4) = J]2-V/(e\^)<j;2-/|i/(e\^) + }<
/-1 /-i
<е^2-'-Ч-|<е.
Таким образом, мера |л регулярна.
1.4.10. Теорема (Сакс). Пусть (S, 2, jx) — пространство
с мерой, \i — конечная положительная и неатомическая мера и
Ме2. Тогда существует такая функция В: [0, 1]->2, что
б(а)с=В(Р), если 0<а<р< 1, В(0)= 0, S(l) = Mw|i(B(a)) =
— a\i(M) для всех as[0, 1].
Доказательство. 1. Пусть \i (С0) > 0. Покажем сначала,
что для любого е > 0 существует такое множество D а С0, что
0 < \i (D) ^ е. Это условие будет выполнено, если существует
такая последовательность (D/) в 2, что D, с: С0, м- (Z)/) > 0 и
lim |i (£>/) = 0. Действительно, так как \х — неатомическая мера,
то существует такое множество С{ с С0, что 0 < ц (С{) < \i (С0).
Продолжая рассуждение аналогичным образом, покажем, что
существуют такие множества С2, С3, ..., что С/+1с:Су и
74

О < ц (C/+I) < |i (С/). Нетрудно проверить, что (С,\СЖ)П
n(Cft\Cft+l)=0 для кФ\ и ц(Уо(С/\С/+1)]<ц(5)<оо.
Д
Следовательно, £/ = С/\СЖ czC0, \i{Df)>0 и lim \i(Df) = 0.
2. Покажем далее, что если \х (С) > 0 и е > 0, то существует
такое конечное разбиение Си С2, ..., Ck множества С, что
0<|i(C/)<e. Для любого Ле2 положим 2Л= {£ е 2 |£с:Л,
д
ц(£)^е} и s (Л) = sup ц(2л). По доказанному в пункте 1, имеем
s(C)>0. Таким образом, можем определить такое множество
С\ cz С, что s (С)/2 < \х (С\) < е. Выберем теперь последовательно
/
для /=1,2,... подмножество Cy+i из С \ [} С*, удовлетво-
ряющее соотношению ys (С \ (J С* l<ii(C*+i) <е. Тогда мно-
00
жества Ci, С£, ... различны и 2 [A(C/)^pi (С) < оо. Таким
/-1
образом, lim \х (С/) = 0. Следовательно, s ( С \ (J С/) = 0. Отсюда
/ V /-I /
получаем \i ( С \ (J С] 1 = 0 и ц(С)=^|а (Су). Выберем /sgN
\ У-1 / /»1
оо .
так, чтобы S^(Cy)<8, и положим Ci = C'j (/=1, ..., k — 1)
и с, = с\ U с;.
/-1
3. Покажем теперь, что для любого множества А е 2
существует такое А'а А, что \х(А') = уц(Л). Если ц(Л) = 0, то из
Л/ = Л получаем ц (Л') = у ц (Л). Поэтому предположим, что
\i(Л) > 0. По доказанному в пункте 2, если \х(С) > 0 и /neN,
то мы можем определить такое разбиение СГ, ..., С™(т)
множества С, что 0 < |х/ (С/т) < 1/т. Тогда множества Dm(/, С) =
д Л
= U С* cz С принадлежат 2 и обладают таким свойством, что
для любой точки 6g[0, \i (С)] существует такое /(в) е {О, 1, ...
..., £(т)}, что 9 — l/m^i^D'^/fO), С))<6. Поэтому мы можем
определить такое Дгс:Л, что у|х(Л) — 1 < \i{D{) ^уИ- (Л), и
для /==1, 2, ... определить такие £>ж с: Л \ U £>,, что
75

1 j» (Л) - £ ц (Dt) - \Ц < р (D/+1) < ± ц (Л) - £ ц (D,). Отсюда
оо
следует, что А — (J Dy с: Л и ц (Л') = -j [i (Л).
/-1
4. Теперь мы можем закончить доказательство. Положим
£(О)=0 и В{1) = М. По доказанному в пункте 3 существует
такое b(j)czM, что \х (b^jJJ =^\i(M). Предположим
теперь для доказательства по индукции, что 4gN,h существует
такое 2-измеримое подмножество B(j2~k) из М (j = 0, 1, 2, ...
...,2fe-l), что В 02"*) с В ((/+1)2-*) и ц(в(/2~*)) =
= /2 к\ь(М). Из доказанного в пункте 3 следует тогда, что для
каждого /е{0, 1, 2, ..., 2fe—1} существует такое В£, / cz
с В ((/ + 1) 2"*) \ В 0*2"*), что |i (Bi. /) = 2"*-f|i (М). Положим
В((2/+ Ог^-^^вОг"*) U BJ, /. Нетрудно проверить, что
В(/2"^1)с=В((/+1)2-^1) и \х(в(12-к-{)) = 12~к-{11(М) для
/ = 0, 1, 2, ..., 2*+1-1.
Таким образом, мы определили в(/2~*) (/ = 0, 1, ..., 2k)
для fe = 0, 1, 2, ... Для 0<<х<1 мы можем построить такую
возрастающую последовательность (ji2~ki) в R, что Hm/j2~*'=a.
Положим
В (а) = В 0i2"*')+ U (B0i+i2"*'+0\e0i2"*0).
Нетрудно проверить, что функция В(-) удовлетворяет всем
условиям теоремы. Теорема доказана.
Покажем теперь, как некоторые конечные аддитивные
функции множества, определенные на поле 2, можно расширить до
конечных мер на наименьшем сг-поле, содержащем 2. Это
потребуется для определения борелевских и лебеговских мер,
а затем мы будем использовать это расширение в
доказательстве теоремы I. 5.8 о представлении Рисса.
1.4.11. Теорема (Александров). Пусть S — компактное
топологическое пространство, 2 — поле в S и функция jr. 2—>R
аддитивна, регулярна и ограничена. Тогда функция ц счетно-
аддитивна на поле 2.
Доказательство. По теореме 1.4.1, функция | [i |
ограничена и аддитивна. Покажем, что эта функция
счетно-аддитивна. Пусть (£/) — такая последовательность различных эле-
ментов в 2, что £ = JJ В/^2 и е>0. Тогда существуют та-
кие Л, By g= 2 (/ €= N), чтоЛс:£, В/сВ/, Ы(£\Л)0/2 и
76

lim
<
\lx\(Bj\Ef)^e2 / !. Множества В?, S2, ... образуют открытое
покрытие замкнутого (и поэтому компактного) подмножества Л
из 5, и поэтому существует конечное подпокрытие B°v В\, ...
..., В\. Имеем
|ц|(£) = |^|(Л) + |ц|(^\Л)<|{х|(Л) + |<|^|(иВ/) + |<
k k
/-1 /-1
С другой стороны,
т / т \
£ы(£/)=1и|( U £/<Ы(£)
для всех wgN. Так как гит произвольны, то эти
соотношения показывают, что функция | \i | счетно-аддитивна.
По теореме 1.4.1, функция \\х\ ограничена; следовательно,
00 00
Z | (1.1 (£,) = | ji | (£)< оо и lim Z 11* I (£/) = 0. Отсюда следует
/-1 п /-Л+1
!*(£)-Z|i(fi/)| = HniL( О Я/U
/-1 I «| \/-я+1 / I
<Iim||i|f 0 е) = 1\ш £ ||i|(£/)-0.
/х \/-n + l / п /-Л + 1
Это означает, что функция ц счетно-аддитивна. Теорема
доказана.
Пусть 9 (S) —- семейство всех подмножеств множества S.
Для любой функции v: ^(S)-*R мы полагаем
?v = {Ez=<?>(S)\v(A) = v(A()E) + v(A\E)(Ae=0>(S))}.
Функция v: ^(S)->R называется конечной внешней мерой, если
(оо \ оо
U 4/)<Zv(^).
1.4.12. Лемма. Пусть 2 — поле в S и ц: 2->R —
неотрицательная и счетно-аддитивная функция. Для каждого Ac^S
полагаем
PW = inf{bw|^G2, Лс= О А;}.
Тогда Д — конечная внешняя мера, 2 cz ^д и ji (Л) = [i (Л) для
Л е=2.
Доказательство. Ясно, что ji конечна, ц(0) = О и
ц (Л)^ \х (В) для Л с: В. Пусть теперь (£"),- — последовательность
77

в ^(S). Тогда для всех е> 0 и /gN существует такая после-
оо оо
довательность (Л/)/ в 2, что Е1 а [} Л/ и Д (е1) > 2 ц (Л/) -*-
; /-1 /-1
— е2~ . Тогда, по определению р,, имеем
\*-1 / i+\ /-1 £-1
+ 8.
Это означает, что Д — конечная внешняя мера.
Пусть теперь £gJ и >Ie^(S). По определению р,, для
любого е > 0 существует такая последовательность (£/) в 2,
00 оо
что Л cz (J £\ и ji (Л) > 2 |х (£/) — е. Следовательно,
/-1 /-1
Д(ЛП^)+Д(Л\£)<|х(Д£/П£) + д(и (Е,\Е))
<
<Е|*(я/п^)+Е|*№/\£)-Е|*(£/)<дИ) + в. (о
/-1 /-1 /-1
С другой стороны,
Vl(A) = vl(A(\E[)(A\E)X]L(A{)E) + vl(A\E).
Вместе с условием (1) это означает, что Е ^ &».
Наконец, если Е е 2 и (£/) — такая последовательность в 2,
что £cz (J £у, то мы полагаем /7/ = £,/\ [J Ef (/ g N). Тогда
оо
Fu /^...—различные элементы из 2 и £с [Jf/. Отсюда
/-1
получаем
^(E)-ii(UE(]F)=Zii(E[]Fi)^Z^(Fi)<Z^(EiY
Следовательно, \i{E)^.ji(E). Однако, по определению ji, ji(£)^
*^\i{E) для £eS, Отсюда получаем, что |х(£) = Д(£) для
£gI
1.4.13. Теорема (Каратеодори). Если v: ^(S)->R и
v(0) = O, то &v является полем и функция v\&*v аддитивна.
Более того, если v — конечная внешняя мера, то &*v является
о-полем и сужение меры v на !?v является конечной мерой.
Доказательство. Предположим сначала, что v(0) = O.
Нетрудно зидеть, что ^v содержит 0 и дополнение любого
элемента из S в S. Покажем теперь, что ^v содержит
пересечение любых двух своих элементов. Действительно, если £ь
Е2 е ^v, то для любого Л е !P(S) мы имеем
v(A) = v(A(]E]) + v(A\El)i
v(A(]El) = y(A{]Eif\E2) + v(Ar[E{\E2).
78

Следовательно,
v(A) = v(AriElriE2) + v(A(\El\E2) + v(A\El). (1)
Аналогичным образом получаем условие
v(A\ElnE2) = v((A\E{nE2)nEl) + v((A\El(]E2)\El) =
= v(A[)El\E2) + v(A\El).-
Отсюда, учитывая условие (1), получаем
v(A) = v{A(]El(]E2) + v(A\El(\E2).
Таким образом, Ех П Е2 е ^v. Следовательно, Е{ U Е2 =
= S\{S\ E{)(](S\ Е2)е^v. Это означает, что ^v — поле.
Нетрудно проверить, что если Лег5, Ei9 Е2^&^ Ei(]E2=0
и В = ЛП(^и£2), то
v(B) = v(Bnf|) + v(B\£1) = v^n^) + v^n£2), (2)
Полагая Л = 5, получаем, что функция v|^v аддитивна.
Предположим теперь, что v — конечная внешняя мера,
(Ef) — последовательность различных элементов из#%, Е= J] £,,
i4G^(S) h'AgN. Так как v —конечная внешняя мера, то, по
условию (2), имеем
у(Л) = v (л П (Д Я/)) + v (л \ Ц £,) =
= Ilv(A(]E,) + v[A \ U Et)>Tlv(Ar\El) + v(A\E).
/-i V /-i / /-i
OQ
Так как k произвольно, то v (Л) > £ v И П £/) + v (Л \ £), и
поэтому
оо
/-1
>v(A(]E) + v(A\E).
Это показывает, что £s^v, и, заменяя Л на Е, имеем
v(£)-Zv(JE,).
/-1
Таким образом, v |^v — конечная мера.
1.4.14. Теорема. Пусть S — компактное топологическое
пространство, Ъ — поле в S, \х: 2 ->R — аддитивная, регулярная
и ограниченная мера и 2 — наименьшее о-поле, содержащее 2.
Тогда существует единственная ограниченная регулярная мера
Д: S-* R, которая является расширением меры ц на 2.
79

Доказательство. Предположим, что мера \х
неотрицательна. По теорема Александрова 1.4.11, мера \i
счетно-аддитивна на 2. Определим функцию Д, как в теореме 1.4.12.
Тогда Д — конечная внешняя мера, 2cz^p, и р, = Д|2. По
теореме Каратеодори 1.4.13, ^д является а-полем (и поэтому
содержит 2), а Д|^д является конечной мерой, следовательно,
Д|2 является положительной конечной мерой и расширением
меры |х. По теореме 1.4.3, Д ограничена на 2. Если v: 2->R —
положительная мера, которая является расширением [х, то
рассмотрим множество £sS и такую последовательность (Ej)
в 2, что Е cz О £у. Тогда
v(£)< v (0 е)< £ v (/?,)- £ р (£,),
Vy-i V /-1 /-I
откуда, по определению Д, имеем v(£)<ji(£). Заменяя Е на
S \ £, получаем v (S \ £) ^ Д (S \ £). Складывая эти два
неравенства, получаем
v(£) + v(S\£)-v(S)-^(S)<P(£)+P(S\£) = ji(S).
Очевидно, что в этом выражении допустимо только равенство.
Таким образом, г = Д|2 и Д — единственное неотрицательное
счетно-аддитивное расширение меры \i на 2.
Покажем, что мера Д|2 регулярна. Нетрудно проверить,
что для любых £gS и в>0 существует такая последователь-
оо оо
ность (£/) в 2, что Е cz (J £, и Д (Е) > £ Д (£/) ~ \ • Следова-
/-1 7-1
тельно
, д1у£у\£]^-|-. Так как мера \i: 2->R регулярна,
то для любого /eN существует такое В/ е 2, что £/ cz fly и
fi(fly \£уХе2~/~1. Положим В = [} fly. Нетрудно видеть, что
оо
BgE, £c|Jfi/cB0H
/-i
0<A(fi\£)<fi(fl\|j£/)+ii([)£/\f)<
оо
/-I
Аналогично, заменяя Е на S\E, покажем, что существует
80

такое множество Се=2, что S \ Е с= С0 и Д(С\(£\Е)) =
= fi(£\(S\C))<8. Таким образом, (S\C)c£cfi° и
Д (В \ (S \ С)) = Д (Я \ Е) + Д (£ \ (S \ С)) < 2е. Это означает,
что мера Д регулярна.
Рассмотрим, наконец, случай, когда \х неотрицательна. По
теореме 1.4.1, меры \i+ и \i~ аддитивны и ограничены, по
теореме 1.4.2, они неотрицательны и, по теореме I. 4.6, они
регулярны. Таким образом, каждая из этих мер имеет единственное
неотрицательное расширение, соответственно \i{ и ц2, на 2 и
меры \хх и \х2 ограничены и регулярны. Поэтому \i{ — м-2 является
ограниченным и регулярным расширением меры [i на 2. Если
V —другое такое же расширение, то v+ должно совпадать с \х+,
a v" -— с \х~ и, на основании предыдущих рассуждений, v+ = jm2
и v" = jx2- Следовательно, v == jj.| — jut2-
1.4.15. Борелевские и лебеговские меры в R. Воспользуемся
теоремой 1.4.14 для определения борелевских и лебеговских мер
в R. Пусть to<t\y S = [t0, /,] и 2 — семейство подмножеств из S
следующего вида: {*0} = Ро, *о], С*'"] Для U <У < t" < tu а также
конечное объединение таких интервалов. Нетрудно проверить,
что 2 является полем. Положим ц({/0}) = 0, \i((t', t"\) = t" — У
и \х (|J aA=Yj И (Aj)> если k <= N и Л/ — различные интервалы
рассматриваемого вида. Функция \х: 2->R ограничена,
аддитивна и регулярна, и, по теореме 1.4.14, имеет единственное
расширение Д до ограниченной регулярной меры на наименьшем
а-поле 2, содержащем 2. По условию I. 2.8 (2), каждое
открытое подмножество из S является конечным или счетным
набором открытых (относительно S) интервалов. Теперь нетрудно
проверить, что каждый элемент из 2 является борелевским
множеством и что 2 содержит открытые подмножества из S,
следовательно, 2 = 2В(5). Мы назовем Д борелевской мерой в [/0, t{].
Пусть (S, 2*, Д*) — лебеговское расширение пространства
(5, 2, Д). Назовем элементы из 2* измеримыми по Лебегу
подмножествами из [tQ, /,], а меру Д* — лебеговской мерой в [tQf /,].
Если А с R и А П [/, / + 1] является борелевским множеством
(как подмножество из [/,/+1]) для каждого /е{0, 1,-1,2,
—2, ...}, то А — борелевское множество в R. Положим ц5(Л) =
л °°
= Z Vj (А П [/, / + О)eR, где |1, — борелевская мера в [/,/ + 1].
/--00
Нетрудно проверить, что \хв — мера, назовем ее борелевской
мерой в R. Более того, если Д — борелевская мера в [t0t t{] и
А —- борелевское подмножество из [/0, t{\t то ясно, что Д(Л) =
- Z М[/,/+1]ГМ)-ЫЛ)«
81

Если A a R и А П [/, / + 1] — измеримое по Лебегу
подмножество из J/, /+ 1] (/ = 0, ±1, ±2, ...), то Л называется
измеримым по Лебегу подмножеством из R. Легко видеть, что изме--
римые по Лебегу подмножества из R образуют а-поле, а те
подмножества, которые содержатся в некотором ограниченном
интервале [f0> tx], совпадают с измеримыми по Лебегу
подмножествами из [t0, tx]. Лебеговская мера расширяется на R так же,
как и борелевская мера.
1.4.В. Измеримые'функции. Пусть (S, S) — измеримое
пространство и {X, &~) — топологическое пространство. Функция
/: S->X называется ^-измеримой, если f~l(A)^2 (^ef),
Функция / называется ^-измеримой на В, если SeS и f~](A)[)
ПВе2(ЛЕ Т). Легко видеть, что для любой функции g: S -> X
множество {A ^^>(X)\g"1 (Л)е2} является а-полем в X. Таким
образом, если Ус^(1)и Т содержится в наименьшем а-поле,
содержащем Ту то / является S-измеримой при условии, что
f'^JeS (Ле/). В частности, если X — сепарабельное
метрическое пространство, то f S-измерима, когда /-1(5(л:, a))eS
(х^Х, а > 0); если X = R, то / S-измерима, когда f~l(Aa)^
GS(aGR), где множество Аа имеет вид: а) (а, оо); б) [а, оо);
в) (— оо, а); или г) (— оо, а]. Если Q — счетное множество, Х&
((оей) — топологические векторные пространства, ^=П^©~
топологическое пространство с топологией произведения, то
функция f = (/J(oeQ: S-+X S-измерима тогда и только тогда, когда
f0 является S-измеримой для каждого ©gQ.
Если (S, S, ц,) — конечное пространство с мерой, (S, S*, ц*) —
его лебеговское расширение, (Ху &~) — топологическое
пространство и /: S->X, то функция / называется ^-измеримой, если /
является 5*-измеримой. Таким образом, / является jx-измеримой
тогда и только тогда, когда она ц*-измерима.
Характеристической функцией %А множества А называется
функция из S в {0, 1}, определяемая условием
_д_ ( 1, если sGi4,
%a(s) — |q если seS\A.
Ясно, что %а является ^.-измеримой тогда и только тогда, когда
множество А ц-измеримо.
Из определения S-измеримой функции следует, что
суперпозиция g°f является S-измеримой функцией, если (X, Т) и
(У, Т) — топологические пространства, (S, S) — измеримое
пространство, функция g: Х->У. непрерывна, а функция f: S-+X
S-измерима. В частности, если ^ — топологическое векторное
пространство, <jgN и функции ft: S->SB и gf: S->R S-изме-
k
римы (/= 1, 2, ..., k), то функция s-> Ys gi{s)fjis) S-измерима
82

k
(так как функция (аь ..., аь хи ..., xk)-+ £ <W RfeX^*->#?
/-1
непрерывна, a (gu ..., gk) п (/,, ..., /*) 2-измеримы).
Если (S, 2)-измеримое пространство, a (S, #") и (X, Т) —
топологические пространства, то непрерывная функция /: S-+X
является 2-измеримой, когда Т с= 2 или, эквивалентно, когда
2B(S)c2.
1.4.16. Метрическое пространство #~(S, 2, р,, Л').
Пусть (S, 2, fi) — положительное конечное пространство с мерой,
а X — метрическое пространство. В дальнейшем мы будем
обозначать лебеговское расширение меры и саму меру одним-и
тем же символом. Назовем две ^-измеримые функции /,: S-+X
и f2: S-+X \i-эквивалентными и отождествим их, если /, (s) = f2(s)
jx-почти всюду. Ясно, что функции f! и /з ц-эквивалентны, если fx
^-эквивалентна некоторой функции /2» а ?2 ^-эквивалентна
функции /3- Множество всех ц-измеримых функций из S в X
разбивается, таким образОхМ, на эквивалентные классы. Две
функции принадлежат одному и тому же эквивалентному классу,
если они ц,-почти всюду совпадают. Мы отождествляем все
элементы одного и того же класса и обозначаем через У (S, 2,
И, X) (или, если не возникает путаницы, через Т или @~(\i))
множество всех (эквивалентных классов) ^-измеримых функций
из S в X.
Если Z — ц-нулевое множество и /: S \ Z -► X, то любое
продолжение функции / на S является ^-измеримым, если хотя бы
одно такое продолжение р-измеримо. Тогда все такие
расширения принадлежат одному и тому же эквивалентному классу
из #\ Поэтому мы отождествляем любую такую функцию
/: S\Z->X с соответствующим эквивалентным классом и со
всеми (и-измеримыми функциями из S в X, которые принадлежат
этому классу.
Если /: S-^X и g: S->X являются р-измеримыми функциями,
то положим
dr{f9g)Mtii{a + M{seS\d(f(s),g(s))>a))\a>0).
Тогда функция d^-(ffg) конечна, неотрицательна и dgr(f,g) =
^d&ifi, g\), если функция / ^-эквивалентна fu а функция g
^-эквивалентна g{. Таким образом, d^r(*> •) является
действительной неотрицательной функцией на ^(S, 2, \i, X). Нетрудно
проверить, что d&-(ft g) = 0 тогда и только тогда, когда функ-
ция f ^-эквивалентна g, и что d& (/, g) = d^-(gy f). Если мы
положим А(/, g,a) = {5GS\d(f (s), g(s)) > a}, то
A (fu /з> ai + a3) <= A {fly f2i a,) U A (/2, /3, a3).
83

Следовательно,
dp (/,, f2) = inf {a, + a3 + \i {A (/„ /3, a, + a3))| a, > 0, a3 > 0} <
< inf {a, + a3 + \i {A (f,, /2, a,)) + \x {A (/2, /3, a3) | a{ > 0, a3 > 0} =
= dr(fuf2) + dr{f2§M.
Таким образом, d&- (•, •) — метрическая функция на Т (S, 2, \i, X),
и поэтому мы можем рассматривать ЗГ как метрическое
пространство с метрической функцией d^-.
Если /7, gEf O'eN) и е>0, то dr(fh g)<e+[i({sG
s S | d (f / (s), g (s)) > e}) для всех /eN и lim \i {{s e S | d {ft (s),
g (s)) > e}) = 0, если lim d#- {fh g) = 0. Таким образом,
у
Птс^г(//, g) = 0 тогда и только тогда, когда limjx({seS| d{ff{s),
g{s)) > е}) = 0 для всех е > 0.
Если iff) — последовательность Коши в Т (S, 2, |х, X), то
мы назовем ее также последовательностью Коши по мере м-
Если //(/eN) и g — функции из S в X (не обязательно
^-измеримые), то мы говорим, что lim/y = g fi-почти всюду, если
\imfj{s) = g{s) ц-почти всюду, Iim/y = g ^равномерно или
lim fj (s) = g (s) ^.-равномерно, если для любого е> 0 существует
такое множество AzaS, что |х(5\4е)^в и limff{s) = g{s)
равномерно для всех s^Ae.
Векторное пространство &" {S, 2, \х, SE). Пусть #? —
банахово пространство. Если /eN, /у и gj — ц-измеримые
функции из S в Я? и fj{s) = gf{s) [i-почти всюду (/eN), то
к k
2 ay/у (s) = 2 ay£y (s) ц-почти всюду для любого выбора
ah ..., a^eR. Таким образом, множество &~{S, 2, [а, #?)
эквивалентных классов jx-измеримых функций из S в 9В является
метрическим векторным пространством. Мы пишем | /1^ или
1/1^г(ц) вместо d^{f, 0) (хотя | • \^ не является ни нормой, ни
полунормой) и видим, что d^{f, g) = \f — g\p. Из предыдущих
замечаний следует, что lim|fy|^ = 0 тогда и только тогда,
когда limn,({seS|fy(s)|> е}) = 0 для любого е > 0.
1.4Л1. Теорема. Пусть {S, 2) — измеримое пространство
{соответственно, (S, 2, \х) — конечное пространство с мерой),
X — сепарабельное метрическое пространство, функции //: S-+X
(/ ^Л)2-измеримы {соответственно, ^-измеримы) и lim /у (s) ==/(5)
для всех seS {соответственно, для \х-почти всех s^S). Тогда
функция f ^-измерима {соответственно, ^.-измерима). Если f
84

li-измерима, то существует такая ^-измеримая функция f, что
f(s) = f(s) \1-почти всюду.
Доказательство. По теореме 1.2.17, метрическая
топология в X имеет счетную базу. Поэтому функция / 2-измерима
(соответственно, ^-измерима) тогда и только тогда, когда
функция s->d(f(s), х) 2-измерима (^.-измерима) для любого
х*=Х.
Предположим, что функции // 2-измеримы и lim ff(s) = f(s)
(s^S). Если функции gf. 2-»R 2-измеримы и lim gj(s) = g(s)
i
(s^S), то для всех asR и /c(l, 2, ...) мы имеем
{se=S|supgy(sKa}= fl (^S| gy(s)< a}e=2,
/e/ /е=У
{se=S| inf gj{s)<a}= [J (seS|gy(s)<a}<=2.
/<=/ • /e/
Таким образом, s->supgy(s) и s->infgy(s) 2-измеримы, и по-
/s/ /e=/
этому s->inf supg*(s) = Iimgy(s) = g(s). Отсюда следует, что
для каждого x^X функция s-+d{f(s)t x) = limd(ff(s)> x)
2-измерима.
Если функции /y ji-измеримы, n(S\,4) = 0 и Hm//(s) = /(s)
(se^), то из ариведенных выше рассуждений следует, что f
jn-измерима на Л, а следовательно, и на S.
. Предположим теперь, что / ц-измерима, и пусть {*ь х2, ...} —
всюду плотное подмножество из X. Полагаем
A{ = rl(S(xk, 1//)), М = л£ \ U А[ (Л, /e=N).
Тогда #{, Яг, ... является разбиением множества S для
каждого /eN, и существуют 2-измеримые н{аН{ такие, что
[I (#£ \ Й{) — 0. Полагаем
со сю
в = П U#i, f (*) = /(*) (sefi), f (*) = *, (s^fl)
/=1 fe-i
и для каждого /eN
/,(*) = *, (5Efl/nB,ftEN), /,(*) = *, (s«6fl).
Тогда fie2, функции fy 2-измеримы, lim/y(s) = f (5) (seS) и
ji(S\B) = 0. Отсюда следует, что f(s) = f(s) ц-почти всюду,
а это означает, что функция f 2-измерима.
1.4.18. Теорема (Егоров). Пусть (S, 2, ^—конечное
положительное пространство с мерой, X — полное сепарабельное
85

метрическое пространство и функции fyt S-+X (/^N)
^-измеримы. Тогда
1) lim// = / \1-почти всюду тогда и только тогда, когда
l\m fj = f \i-равномерно; в этом случае функция f ^.-измерима;
2) lim // == / по мере \х, если \\mff = f \х-почти всюду;
f !
3) если {fj) — последовательность Коши по мере \х, то
существуют такие /с=(1, 2, ...) и ^-измеримая функция f: S-+X,
что l\mdjr{f, f*) = 0 и Hmfy = / \х-почти всюду. В частности,
если lim/у =/о по мере Н<> то существует такая последователь-
I
ность /0с:(1, 2, ...), что \\mff = f0 [х-почти всюду.
Доказательство. 1. Если lim// = /r ц-равномерно, то
для любого /eN существует такое множество Aiy что
p,(S\Ai)^l/i и lim/у(s) = f(s) равномерно для всех se^.
оо
Следовательно, lim ff (s) = f(s) для всех sg [] Ah т. е. для
ц-почти всех ssS. Отсюда следует, по теореме 1.4.17, что
функция / [i-измерима.
Предположим теперь, что lim//(s) = /(s) для м-'Почти всех
s^S, например, для s^S'. Тогда, по теореме 1.4.17, функция/
ц-измерима. Полагаем EktO=0 и
Ek,, = Д {s s S | d (f , (s), f (s)) < l/k) (k, j <= N).
Так как функция (x, y)-+d(x', у): XXX->R непрерывна, то
каждое множество Ektf ц-измеримо. Для фиксированного k мы
имеем
оо оо
Ek,fc=Ek,f+l (/ = 0,1,...), S'c^M^^/N^h)-
Следовательно,
li (S) = |i (50 = lim |i (Д {Ek. / \ Eht,-,)) = lim |i (£*,,).
Пусть теперь e> 0. Для каждого fteN существует такое
/(6)e=N, что n(S\£fe,/(fc)Xe2"*. Полагаем Ле= f~| £*./<*> и
видим, что (i(S\4)<8 и d(fi(s), f{s))<l/k для всех &<=N,
i^iik) и- s^Aj. Это доказывает утверждение 1).
86

2. Если \\mfj = f ц-почти всюду, то, по условию 1), \\mfj=f
jm-равномерно; поэтому для каждого а>0 Hmji({seS| d(f (s),
fj(s))>a}) = 0. Это означает, что limf/ = / по мере \i.
Утверждение 2) доказано.
Предположим теперь, что lim */<?-(//,//) = 0; следовательно;
i% /
limfx({seS| d{ft(s), ff(s)) > а}) = 0 для каждого a > 0. Тогда
для каждого k^N существует такое ik, что ц({sеS| d(Jik(s),
Z/(5)) > 2~fe}) < 2~fe для всех / > ik. Ясно, что мы можем
выбрать iu l2f ... так, что ik+i>ik. Положим Ek = {s^S\d(fik(s),
fik+l(s))>2~k} и АъА^Е,. Тогда ix(Ak)<2'k+i и
dQi^UiW^ZdQiJs), fin+1(5))<E2"4 2-HI (4)
для seS\,4fe и />/>&. Это означает, что (f *.($)) является
оо
последовательностью Коши для всех sefl=S\ f| Ак, т. е.
для ц-почти всех s^S. Поэтому для каждого sgB существует
такое f(s)^X, что limf* (s) = /(s).Следовательно, limf, (s)=?=/(s)
ц-почти всюду. По условиям 1) и 2), функция / ц-изме-
рима и \im d^-(fi у /г) = 0. Так как, по предположению,
limd*-(ftr f/) = 0, то
Hm d„ (f, /,) < lim [<V (f, flf) + d, (f4, f,)] = 0.
Если l\mff = fo по мере ц, то существуют такие/0cz(l, 2, ...)
и ц-измеримая функиия g0y что lira fj = go ц-почти всюду. Сле-
довательно, по условию 2),
,lin? dzr (fj, g0) = /ini <V (//• /о) = 0.
и поэтому go = fo м-'Почти всюду.
1.4.19. Теорема (Лузин). Пусть S — топологическое
пространство, (S, 2, \i) — положительное, конечное и регулярное
пространство с мерой, 2д (S) cz S, X — сепарабельное метрическое
пространство и функция f: S^>X [i-измерима. Тогда для
любого б > 0 существует такое замкнутое подмножество Fe из S,
что \i(S \Fe)^e и сужение функции f на Fe непрерывно.
Доказательство. Пусть е > 0, / е N и Хм = {х\ х2, ...} —
всюду плотное подмножество из X. Предположим, что Хм беско-
87

нечно. Из доказательства будет ясно, какие изменения нужно
сделать, когда Х^ конечно. Семейство {S (xiy 1//) |/gN)
является открытым покрытием пространства X. Положим
Ai = f~l (S{xi, 1//)). Нетрудно проверить, что каждое множе-
оо
ство At ц-измеримо и |J A( = S. Таким образом, множества
Si = Ai\ (J Ai(i gN) ц-измеримы и различны и ц( [J Sl) =
оо
= X И (Si) = \x{S) <оо. Следовательно, существует такое /wgN,
*-i
4 и «.)<*
M-m+1 '
что ji[ (J SjJ^ —. Так как мера \х регулярна, то сущест-
-m+l
вуют такие замкнутые подмножества В( (/==1, ..., т) из S,
что Bi^Si и \i{St \Bi)^te/(2m) (/==1, ..., m). Полагаем
л т Л
Fb—{]Bi и Л/($) = л:* для sgS^ (/s N). Нетрудно видеть, что
множество Fe замкнуто, vl(S\F£)^b и d{f(s), A/(s))<l/| для
se/^. Более того, так как множества В( (/=1, ..., т)
замкнуты и различны, то функция hj\Ffe непрерывна. Пусть
оо
теперь Fe = f) F!2-iz* Тогда множество Fe замкнуто, \x(S\Fe")^.
<Z^(S\Fi2-U)<eZ2'i = ei d(f(s)yhf(s))^\/j (sgF8) и
функция hf\Fz непрерывна для всех /е N. Таким образом, для
любых s е FB и а > 0 мы можем выбрать такое целое число
&>3/<х, что множество A = hkl{S(hk(s)y a/3))f\Fe относительно
ОТКРЫТО В Fe И
d (f (s), / (s)) < d (f (s), hk (s)) + d (hk (s), hk (s)) + d (hk (s)f f (s)) < а
для любого sgA Отсюда следует, что функция / \Fe
непрерывна.
1.4.20. Теорема. Пусть X — сепарабельное метрическое
пространство, (S, 2) — измеримое пространство и f — функция
из S в X. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) функция f ^-измерима;
2) функция gof ^-измерима для любой непрерывной
функции g: X-+R;
3) функция s->d(f(s), х) 2-измерима для любого лее X.
Доказательство. Если функция f 2-измерима, a g: X-+R
непрерывна, то для любого открытого множества GcR
множество g"'(G) открыто и f"1(g"I(G)) = (g°/)",(G)eS. Таким
образом, из 1) следует 2). Пусть теперь утверждение 2) спра-
88

ведливо и множество F аХ замкнуто. Тогда, по теоремам 1.2.10
и 1.2.11, функция x-+gt(x) = d[x, F] непрерывна и gfl({0}) = F.
Следовательно, (gF ° f)~l ({0}) = /_I (F) e 2. Отсюда вытекает, что
множество fl {G) = S\f~ (X \ G) 2-измеримо для любого
открытого множества GczX. Это доказывает утверждение 1).
Так как функция y->d(y, х): X->R непрерывна для каждого
х е X, то из утверждения 2) следует 3). Наконец, если
утверждение 3) справедливо, то для любых х е X и е > 0 множество
{s е S \d(f (s), х) < е} принадлежит 2.
Таким образом, функция / 2-измерима, так как X имеет
счетную базу (по теореме 1.2.17).
1.4.21. Теорема. Пусть (S, 2) — измеримое пространство,
X — сепарабельное топологическое пространство, h\ S X X -> R,
функция h(•, х) 2-измерима для каждого х^ X и h(s, •)
непрерывна и ограничена для каждого seS. Тогда функция s -> k (s) =
= sup A (s, x): S -* R 2-измерима.
x&X
Доказательство. Пусть {x{, x2, ...} — всюду плотное
подмножество из X и р е R. В этом случае & (5) ^ р тогда и
только тогда, когда h(s, */)^Р для всех /е N. Таким образом,
*"'((-«>. W)-{seS|ft(s)<p}-n{seS|A(5f *,)<р}
и получаем /Г1 ((— оо, p])eS для каждого р е R. Таким
образом, функция k 2-измерима.
1.4.22. Теорема. Пусть (S, 2) — измеримое пространство, X,
Y — сепарабельные метрические пространства, функция |: S -> X
2-измерима, а функция h: SXX-+Y такова, что h( •, х)
2-измерима для каждого х^Х и h(s, •) непрерывна для каждого sgS.
Тогда функция s->h(s, I (s)) 2-измерима.
Доказательство. Пусть {хи х2, ...} — всюду плотное
подмножество из X и
D^l^iSixj, I/O), fi/'-DJNlM
для всех /, /eN. Тогда множества Е\, Е[, ... принадлежат 2
и образуют разбиение множества S при каждом I е N. Мы
можем определить функцию I/: S-+X условием h(s) = Xj
для s е Е) (/ е N). Нетрудно проверить, что lim £, (s) = | (5) для
каждого sgS и для каждого /gN функции s-*^(s) и
s->h(s, li{s)) 2-измеримы. А так как h (s, | ($)) = lim h (s, \t (s))
для каждого sgS, то для доказательства нашего утверждения
достаточно воспользоваться теоремой 1.4.17.
89

1.4.С. Интегралы от простых и неотрицательных функций.
Пусть (S, Г, \i)— конечное положительное пространство с мерой,
а 96 — сепарабельное банахово пространство. Функция f: S-+S6
называется \х-простой, если существуют такие к е N, xt е S6 и
различные ^-измеримые множества А{ (/=1, 2, ..., к), что
f(s)=Z%Al(s)xi (seS).
Интегралом от функции f по мере [х называется тогда
выражение
k
\f(s)[L(ds) = YJii(At)xi.
Нетрудно проверить, что если функция / задана в виде
m
f(s) =Z%BJ(s)yJ (ssS),
то Xi = yt, если AtOBj^Q, множества Л,ПВ/ (*'=1, ..., k\
/=1, ..., m) различны и
km km
/(S)=ZZ ЗЦ (5) %В, (S) */ = Z Z XAt (s) Xfl (5) Г/у (5 €= S).
Следовательно,
k km km m
E t1 Ш xt=Z Z ц м, n Bf) Xi=Z E ix (л, n B/) y/ = Z i* (Д/) #/•
Таким образом, интеграл \ f(s)\i(ds) не зависит от
представления ц-простой функции /.
Если множество Е jx-измеримо, то полагаем \/(s)jx(d5) =
в
= \ Х£ (^) / (s) (i (ds) для каждой ji-простой функции /, и легко
видеть, что
\f(s)ix(ds)=\f(s)ii(ds).
- _.- s - -
1.4.23. Лемма. Пусть функции fug \х-простыеу а, р g R,
множества Е и F ус-измеримы и Еи Е2, ... — разбиение Е на
^-измеримые множества. Тогда а/ + Pg является ^.-простой
функцией и справедливы следующие соотношения:
1) J(af + Pe)l*Ws) = aJ/(s)|i(ds) + p5ff(s)|i(ds);
2) J/(s)|i {ds)< $ /(s)ц{ds)t если /(*)>0 (sgS) и £czF;
90

3) J f (s) |i (ds) <\g(s)\i (ds), если f(s)<g (s) (s e £);
E E
4) lim \/(s)|i(rfs) = 0;
ц(Л)->0 J
oo
5) J/(s)|i(rfs)-J] Jf(s)|i(rfs);
e /-IE,
6)
Jf(s)|i(rfs)|<J|/(5)||l(rfs).
Доказательство. Все соотношения выводятся
непосредственно из определения интеграла.
1.4.24. Лемма. Пусть (}{) и (gt)—dee последовательности
неотрицательных ^.-простых функций, (f{ (s))t и (g( (s))i —
неубывающие последовательности для каждого s е S и
lim ft (s) = lim gt (s) < oo (sg S).
Тогда \\m\fi(s)\i(ds) и lim \ g((s)\i(ds) существуют в R и
равны.
Доказательство. Пусть 4gNh[(s) = lim f t (s) (s e 5).
i
Тогда
f(s) = limfi(s)>gk(s) (seS),
так как последовательности (fi(s))t и (gi(s))t не убывают для
каждого s. По теореме Егорова 1.4.18, f (s) = \\mf{(s) р,-равно-
i
мерно. Поэтому для каждого е > 0 существуют такое
множество Se и такое целое число /(e), что [i(S\Se)<e и \f(s) —
-fi(s)|<e для всех sgS6 и /^>/(е). Таким образом, Ы5)^
^gk{s) — b для всех /^/(е) hsgS£. Следовательно, по лемме
1.4.23,
$ ft (s) ii (ds) > J (gk (s) - e) |A (rfs) - J gk (s) \i (ds) - qi (SB). (1)
Более того, для каждого r\ > 0 мы можем выбрать такое
достаточно малое положительное е, а следовательно, и меру \х (S \ Se),
что, по условию I. 4.23 (4), получим
J ft(s)|i(rfs)<t|. (2)
■w

Из условий (1), (2) и леммы I. 4.23 теперь следует, что
\ fi (s) ]i (ds) > J U (s) ц (ds) > \ gk (s) ц (ds) - ец (Se) >
- ец (Se) - Л > \ gk (s) n (ds) - ец (S) - л (3)
для /^/(e).
Так как f/ (s) > /г (s) (s <= S), если /' ^ /, то, по условию
1.4.23 (3), последовательность f \ ft (s) ц (ds) J не убывает и имеет
предел в R. Выбирая \\ и соответствующее е произвольно
малыми, из условия (3) получаем
lim J /, (s) ц (ds) > J gk (s) ц (ds)
для каждого fteN, Следовательно,
lim \ ft (s) ц {ds) > lim \ gk (s) ц (ds)
в R. Аналогичным рассуждением, меняя местами {f() и (gt)9
получаем
lim ( gt (s) \х {ds) > lim \ fk (s) \x {ds)
в R, следовательно, в R
lim J ft {s) ii {ds) = lim J g, (5) \i {ds).
1.4.25. Лемма. Пусть функция f: S -> R неотрицательна
и ii-измерима. Тогда существует такая последовательность
неотрицательных \1-простых функций {f^, что последовательность
{fi{s))i не убывает для каждого s и \\xnfi{s) = f{s) (seS).
i
Доказательство. Пусть i4?(/) = {seS| &2~'</ (s) <
<{k-\- \)2~1} {k, / = 0, 1, ...) и для каждого /gN функция
/.(5)^2'', если5€= 4f(f)Hfc€={0, 1, ..., /2* — 1 >, и/,(*> = 0-
в противном случае. Тогда ft — ц-простая и неотрицательная
функция и, если / (s) < /, то ft {s) — наибольшее из чисел вида 2" ,
не превосходящее f{s). Таким образом, {fi{s))i не убывает и
\imfi{s) = f{s) (seS),
1.4.26. Определение. Пусть функция f: S->R
неотрицательна и ^.-измерима. Тогда, по лемме I, 4.25, существует такая
последовательность ц-простых функций (f*), что последователь-
92

ность (fi(s)) не убывает и сходится к f(s) для всех sg S. Более
того, по лемме 1.4.24, предел lim \ fi(s)\i(ds) существует в R и
совпадает для всех таких последовательностей (/*).
Положим
\f(s)n(ds)^\im\fi(s)ix(ds)
в R и назовем \f (s) \i (ds) интегралом от функции f по мере ц.
Нетрудно проверить, что это определение совпадает с
определением интеграла для ^-простых функций и что \ f(s)\x(ds)^0.
Для любого ^.-измеримого множества Е положим
\f(s)n(ds)^\xE(s)f(s)ii(ds).
Е
Назовем функцию f: S-*R ^.-интегрируемой, если она ц-из-
мерима и \ f (s) \х (ds) < оо.
1.4.27. Лемма. Пусть f: S -* R и g: S -> R —
неотрицательные ^-измеримые функции, а, р ^ О, Е и F — ^-измеримые
множества, Е{ E2f ... — разбиение Е на ^-измеримые множества.
Тогда
1) S(af + pg)(s)ji(rfs) = a5f(s)fi(ds) + p^(s)lx(ds);
2) J f (s) ц (ds) < J / (5) \i {ds), если £ <= F;
E F
3) 5 f (s) \x (ds) < J g (s) ix (ds), если f(s)^g (s) (s e= £);
E E
oo
4) Sf(s)fi(d5) = j; 5/(s)(i(rf5);
E i-\Ej
5) lim J f(s)ti(ds) = 0,
1 f-{([i.°o))
если функция f ^-измерима;
6) \f (s) \i (ds) = 0 только, если f (s) = 0 [i-почти всюду в E\
E
7) \ f (s) \i (ds) = \ g (s) \x (ds), если f(s) = g (s) [х-почти всюду.
Доказательство. Пусть (/,) — последовательность,
определенная для / в лемме I. 4.25, и (gi) — аналогичная
последовательность для g. Тогда afi + fig{ — неубывающая ^"Простая
последовательность, ее значения для каждого s не убывают
по I и
Игл (a/, + pg,) (s) - lim (of, (s) + pft (s)) = af (s) + pg (s) (s € 5).
93

Таким образом,
»jn J (aft (s) + pg/ (5)) |x (ds) = \(af + fig) (s) p (ds).
С другой стороны, по условию 1.4.23 (1),
S («/« + Pft) (5) И (rf«) = a \ f i (s) |i (ds) + p J gi (s) p (rfs) (/ e= N).
Следовательно,
J M + pg) (5) |i (ds)« a J / (s) |i (rfs) + P J g (s) ix (ds).
Это доказывает утверждение 1).
По условию 1.4.23 (2), если E<=.F, то $Ms)|i(rfs)<
Е
*^\fi (5) И- (ds) для каждого /. Соотношение 2) выводится отсюда
F
предельным переходом при /->оо. Если f(s)^g(s) для sg£,
то, по условию 1),
\xE(s)g(s)ii(ds) =
= J %Ef (s) |i (ds) + J Xe (s) [fir (s) - f (s)} p (ds) > \ Xe (s) f (s) |i (ds).
Это доказывает 3). По условию I. 4.23 (5), мы имеем
оо п
J /, (s) |i (ds) «£ J /,(s)ц (ds) = lim ^ $ f, (s) |i (ds) (/ € N).
Согласно условию 1.4.23 (3), последовательность ( \ f{ (s) jn (ds))
c/
не убывает для каждого /. Таким образом, если мы положим
п
**.* = £ Jf*W|i(ds) (л. /eN),
t-XEj
то последовательности (хЛ,,, *rt>2, ...) и (jclt0 x2t и ...) не
убывают для каждого пи/ и, по условию 1.3.14(2), имеем
lim \ fi (s) \х (ds) = lim lim ^ \fi (s) p (ds) =
1 E l П /-l£y
n
= lim lim £ J ff (s) [i (ds) —
a oo
= lim£ $f(s)|i(<fe)~£ J/(*)|i(rfs).
Это доказывает 4).
94
П /-l£y /-1 £;

Пусть теперь Л,= {sg S\ f(s)>/} для /gN. Если
функция / ji-интегрируема, то из условий 3) и 4) имеем
оо> \f(s)ii(ds)=\f(s)li(ds) =
S
= \ f(s)lx(ds) + \ f(s)(x(ds)>
^\f{s)vL(ds)+ J ft(s)li(ds) =
At S\A{
= \f(s)n(ds) + \f{(s)\i(ds).
Следовательно,
\f (s)n {ds)~ \ ft(s)vL(ds)> 5 f (s)ix(ds)>0.
Al
Это означает, что lim \ / (s) \i {ds) = 0. Утверждение 5) доказано.
Пусть теперь \ f (s)\i{ds) = 0. Положим Ла = £П/ 1 ("[а, °°))
для а>0. Из условий 2) и 3) получаем
Следовательно, [А(Ла) = 0 для всех а>0 и
^(£ПГ1((0, oo)))^Zlx(Al/f) = 0.
Это доказывает утверждение 6).
Наконец, пусть ц(Л) = 0. Тогда
5хл(5)/Н5)(г(^) = 0 (/gN).
Следовательно,
J / (s) ix (ds) = lim ^хл (5) f, (s) (A (ds) = 0.
А 1
95

Если f (s) = g (s) для s&A, то
Jf(s)l*(«fc) = \ /(S)|i(rfs)+j/(s)^(rfs)-
5\Л 5\Л Л
Таким образом, утверждение 7) доказано.
1.4.28. Теорема. Пусть (S, 2, jx) — конечное положительное
пространство с мерой, а функция /: S->R неотрицательна и
^-интегрируема. Тогда
im (f (s)n(£fe) = 0.
б)-*о J
|ИЮ-~д
Доказательство. Пусть е > 0 и А{ — /~* ([/, оо)) (/ е N).
По условию I. 4.27 (5), существует такое / е N, что \f (s)\i(ds)^4r.
Ai
Если ц(£)<е/(2/), то из соотношений 2) —4) леммы 1.4.27
получаем
0<t\f(s)ix(ds) = \ f(s)lx(ds) + \ f(s)|i(ds)<
£ПЛу £\Л;
< J /(5)|*(Л)+ J/|i(rfs)<f + /|i(£)<e.
Лу Е
Таким образом, lim \ / (s) \i (ds) = 0.
]i (E)->0 J
1.4.D. Интегралы Бохнера.
1.4.29. Определение множества LP(S, 2, ц, #?). Пусть
Я? — сепарабельное банахово пространство, 1 < р < оо и (S, 2, р,)-—
конечное положительное пространство с мерой. Как обычно,
две ^-измеримые функции f: S-+9B и g: S-+SS эквивалентны,
если f(s) = g(s) ц-почти всюду. По определению 1.3.15 и
теореме 1.4.20, функция s-*|/(s)r jn-измерима, если f ji-измерима.
По условию 1.4.27(7), если f(s) = g(s) jx-почти всюду, то
J | / (s) \р |i (ds) — $ | g (s) \p ix (ds). Обозначим через Lp (S, 2, ц, Ж)
(или через £P(S, Я?), если 2 и fi уже определены) множество
всех (эквивалентных классов) таких ^-измеримых функций /: S-*S?,
что J | / (5) Г ц (ds) < 00. Для каждого f е= Lp (S, 2, щ Я?) через | f \р
обозначим | \ |/(5) |pji(ds)} Р. Мы пишем также Lp(Sy 2, \х)
(или LP(S)) вместо 1р(5, 2, ц, #). Если /: S->#? и р € [1, оо),
то пишем | / \р < оо вместо f е Lp (5, 2, \i, SB).
Последовательность (ft) сходится к / в LP(S, 2, ji, 9В), если lim | / — ft \р — 0.
1.4.30. Теорема. Пусть (S, 2, \х) — конечное положительное
пространство с мерой, 9В — сепарабельное банахово
пространство и 1 ^/? < оо. Если |eip(S, 2, ц, д6)% то существует такая
96

Последовательность (ft) \1-простых функций из S в $?, чТд
lim|f-f,|p = 0 и
lf/(s)Klf(*)l+l tfeN; ssS).
Доказательство. Пусть {xit х2, ...}— всюду плотное
подмножество из 95,
4={eeS||f(s)-x,|'<l//} (/,/sN),
A '-1
fe-1
Тогда для каждого / е N семейство fl{, 62, ... образует раз-
биение множества S на ^-измеримые множества и У ц (в') =
= ц (S) < 00. Поэтому существует такое k (/) е N, что
1
]Г n(fiO<~- Положим
*-* (/) + !
!*,, если /е{1, 2, ..., &(/)} и 5gB{,
О, если esC'= О В{.
Нетрудно показать, что | ff (s) |<| / (s) \ + 1 и \f (s) — /;(s) f <
< 1// + I / (5) |р < 1 +1 / (5) |p для всех sgS, Следовательно, по
условию 1.4.27 (3), функция 5 -> | / (s) — ft (s) \р ^-интегрируема
для каждого / и, по условиям I. 4.27 (2) и I. 4.27 (4), мы имеем
\\f(s)-fi(s)fMds) =
-Z \\f(s)-fiWPWs)+ \\f{s)-ft(s)fn{dsy
l'1 В[ С7
k(i)
1
l£ 5 ц (rfs) + Jlf (s)lp|i(<fc)<jl»(S)+ $ I f (s) Г IX (^5).
(1)
00
Так как \i(Cl)= £ ji(B/)<—и Функция s-*|/(s)f ц-ин-
*-M/)+l
тегрируема, то, по теореме 1.4.28, lim \ | f{s) \p\i{ds) = Q. Таким
' с/
образом, из условия (1) получаем
HmJ|/(s)-/,(*)P'|i(rf5)=Hm|f-f/|J-0.
4 Дне. Варга 97

!• 4.31. Теорема. Пусть (S, 2, ц) — конечное положительное
пространство с мерой, 86 — сепарабельное банахово пространство,
1 < р < оо и f9f, е= Lp(S,2, [i, #)(/ g= N). Тогда lim| / - /y|
/
<^(ii)"
при lim| / — //lp = 0.
Доказательство. Предположим, что Iim|f —f/L —0.
/
Пусть e > 0 и
i4j = {ssS||f(s)-f/(s)r>e} (/eN).
Тогда, по условиям 1.4.27 (3), I. 4.27 (4), мы имеем
<Si/w-//Wipi*№)-if-//5.
Следовательно, для каждого фиксированного е > 0 имеем
Iim|i(i4/)== 0, и поэтому lim| / — ff ^^ = 0.
1.4.32. Теорема. Пусть (5, 2, \х) — конечное положительное
пространство с мерой, 96 — сепарабельное банахово
пространство, /, //, gi е= I1 (S, 2, ц, й?), функции fh gf [i-простые (/ е= N)f
limlf —//li = lim|/—g/li = 0 a £ — ^-измеримое множество.
I i
Тогда интегралы
lim J /7 (s) \x (ds) и lim J gy (5) jx (rfs)
' E l E
оба существуют в 95 и равны. Более того, если ^ = R и f
неотрицательна, то
J f (s) |1 {ds) = lim J /y (s) ji (ds) = lim J g, (s) ц (ds).
Доказательство. Для всех /, /eN, по условиям
I. 4.23 (6), 1.4.27 (2) и 1.4.27 (3), мы имеем
$Ы*) I* (<**>- $M*)|i(rfs)|
Е Е |
J(/iW-//(s))|i(rfs)|< \\fi(s)-ft(s)\n(ds)^
Е I Е
< \\f(s)-ft(s)\v{ds)+ \\f{s)-f,(s)\p(dsX
Е Е
<\\f(s)-fi{s)\\x(ds)+\\f{s)-fl(s)\ii(ds)=>
98
0<

Следовательно,
lim
\ft{s)VL(8)- J//(«)|4(rf5)|-0.
в полном
<
Это означает, что последовательность ( \fi (s) И (ds)Л
нормированном векторном пространстве 8? является
последовательностью Коши и имеет предел. Аналогично, предел
lim \ ft (s) \i (ds) существует в 36.
1 ё
Для каждого /eN мы имеем
\ft{8)VL{d8)- J ft (S) |4 (Л) I-
Ч Е I
J {ft (8) - ft (*)) |i ids) I < $ If, (s) - ft (5) I ix (ds) <
E I E
. $1/(*)-М*)1|*(Л) + SlfW-ftWli*(^)<
<l/-Mi + l/-ftli.
Следовательно,
lim $f,(s)|i(£fo)e=llm Jft(s)|i(<fo).
'я l E
Наконец, если 8/ = R и f(s)>0 (seS), то пусть (ff) —
последовательность неотрицательных ц-простых функций,
определенных для f в лемме 1.4.25. Тогда ft(s)^f(s) (seS) и
\ f (s) И (ds) = lim \ f t (s) \i (ds). По условию I. 4.27 (1), имеем
J f (S) p (ds) = J (f (S) - h (S)) |i (ds) + J f, (s) |i (Л) (/ CS N)f
и поэтому
Таким образом, если функция <р: S-*R ц-простая, то по
леммам 1.4.23, 1.4.27, имеем
|$/(*)|i(ds)-$q>(«)n(ds)
e»jn| J f,(s) ц (Л) - J V(s)|i(ds)|<HmJ|f, (в)-ф (в) ||i (Л)
< lim \ [| Ф (s) - f (s) | + /(s) - ft (s)] ц (ds) -
= JIФ (s) - / (5) 111 (ds) + lim \ (f (si - f, (s)) |x (rfs)=
— Jlf(e) —Ф(в)||»(Л).
4*'
99

Заменяя ср на ft для каждого /, получаем
Следовательно,
\f(s)n(ds) = lim\fl(s)li(ds).
1.4.33. Определение. Пусть (5, 2, ц) — конечное
положительное пространство с мерой, 96 — сепарабельное банахово
пространство, Е — ц-измеримое множество и fsi1 (S, 2, \х, 96).
По теореме 1.4.30, существует такая последовательность (ft)
ц-простых функций из S в 96, что lim | / —• ft \{ = 0. По теореме
i
1.4.32, предел lim \ ft (s) \i (ds) существует в 96 и для любой
' в
такой последовательности (ft) этот предел один и тот же.
Определим интеграл от функции f на множестве Е по мере \i,
f (s) \х {ds), выражением
E
\f(s)n(ds)^lim\fi(s)n(ds)t
E ' E
и иногда будем писать \ / (s) \i (ds) вместо \ f (s) \i (ds). По тео-
s
реме 1.4.32, это определение совпадает с определением 1.4.26
интеграла для неотрицательных функций. Более того, если
f(s) = g(s) [х-почти всюду, то мы докажем в теореме 1.4.34, что
\f (s) И (ds) = \ g (s) \х (ds). Таким образом, этот интеграл сов-
Е Е
падает для всех элементов одного и того же эквивалентного
класса в Ll (S, 2, \х, 96). Назовем функцию / интегрантом
интеграла \ / (s) \i (ds).
Е
Элементы / из L1 (5, 2, \i, 96) назовем ^-интегрируемыми
функциями (из S в 96). Нетрудно видеть, что это определение
совпадает с определением 1.4.26.
Если (S, 2, v) — конечное пространство с мерой, то, по
теореме 1.4.3, v = v+— v~, где v+ и v~ — конечные
положительные меры, определенные на 2. Мы можем теперь сказать, что
v-измеримая функция \\ S-+96 v-интегрируема или fe
gL'(S, 2, v, 96), если / е= V (S, 2, | v |, 96). Для каждого v-изме-
римого множества Е мы полагаем
\ f (s) v (ds)± \ f (s) v+ (ds) - 5 f (s)v- (ds).
E E E "
100

Такое определение оказывается возможным, потому что
функция / является как г+-интегрируемой, так и г~-интегрируемой,
если она | v |-интегрируема, и наоборот.
1.4.34. Теорема. Пусть (S, 2, \х) и (S, 1, v)—конечные
пространства с мерой, 96 и °Ц — сепарабельные банаховы
пространства, Т^В(96, <Ц), f, ge=L](S, 2, |i, 96)t\L{(S, 2, v, 96),
a, peR « £-^.-измеримое множество.
Тогда
1) \ (а/ + Pg) (s) |i (ds) = а \ f (s) ц (Л) + p J g (s) ц (rf5),
J f is) (a|i + pv) (ds) = a J / (s) |i (ds) + p J f (s) v (ds);
2) 5l/(s)|||i|(rfs)-Hm5l/,(s)||ii|(rfs)f если lim J | / (s)-
-fi(s)\\n\{ds)~0;
3)Kf(s)n(rfs)|<5l/(5)|||i|(rfs);
\E \ E
4) lim (f(s)ix(ds) = 0;
|Ц|(Л)>0 J
oo
5) \ / (s) ja (ds) = V \ / (s) ji (ds), если множество А р-изме-
A /-1 Л;
рижо w Au A2, ... —разбиение множества А на ^-измеримые
множества-,
6) \ / (s) fi (ds) = \ g (s) fi (ds), если f(s) = g (s) для \х-почти
в E
всех se£;
7) \ f (s) I H I (ds) > О (Л e 2) (соответственно, = 0, < 0) тогда
л
и только тогда, когда f(s)^0 (соответственно, = 0, ^ 0) \х-почти
всюду;
8)T\f(s)n(ds)=\Tf(s)n(ds).
Е Е
Доказательство. 1. Пусть \i — положительная мера, (f{)
и (gt) — такие последовательности [i-простых функций из 5 в 96,
что
Hm J | / (s) - f, (s) | |i (ds) - lim J | g (s) - A(s) li*(rfs) = 0.
Тогда, по условиям 1.4.27(1) и 1.4.27(3), имеем
\ I af (s) + pg (5) - a/, (s) - pA (s) | |i (ds) <
<$(|а||/(5)-/,(5)| + |р||яг(в)-вг1(в)1)|А(^)-
=|al5l/(s)-/a5)l|i(ds) + ip|j|g(s)^g,(5)l|x(ds)-r0.
101

Так как \ \af (s) + fig (s) ||i {ds)<\aI \ I f (s)\\i (ds) + \ p| X
X \ I g(s) \\i(ds) < oo, то, по условиям 1.4.23(1) и 1.4.33, имеем
J (of + te) (5) |i (ds) = lim J (aft (s) + $gi (s)) p (ds) =
= lim a ^ ft (s) \i {ds) + lim p ^gt (s) ц (ds) =
=ajf(s)li(ds)+p5g(s)li(ds).
Если мера \i неположительна, то мы получаем это же
соотношение, выписывая его отдельно для \х+ и \i~.
Нетрудно видеть, что функция f (ct[i + (^"Измерима. Так как
Jf (s)(a|i+ M(ds) = a J/(s)|i (ds) + fi \f(s)v (ds),
если функция / ц-простая и v-простая, то, по определению
I. 4.33, это соотношение справедливо в общем случае. Это
доказывает условие 1).
2. Ясно, что условие 2) достаточно доказать только для
положительной меры \i. Так как
iimi-iM«)ii<i/(s)-Me)i
для всех I и s, то, по лемме 1.4.27, получаем
|S[l/(s)l-|f*(s)l]l*(rfs)|<Jlf(s)-f,(s)lii(ds)-rO.
Это доказывает условие 2).
3. — 4. Если мера \i положительна, то, по условиям 1.4.23 (7)
и 1.4.33, для любой последовательности (f() таких ц-простых
функций, что lim \ | f (s) — ft (s) | ц, (ds) = О, имеем
|5f(s)|i(ds)|-lim|5f,(s)|i(ds)| <limj|fl(s)||i(ds)i
и выражение в правой части сходится, по условию 2), к
\l f ($) \p{ds). Если мера \i не является положительной, то
|J/(s)^(^)|<J|/(s)|^(ds)
для 4, принимающего значения + и —, и
| J /(s)|i(ds)|<| \f(s)ii+ (ds)\ + \\f(s) ц- (ds)\<
<\\f(s)\(n+ + »-)(ds).
102

Условие 3) получается для ЕФБ заменой / на %Ef. Условие 4)
следует из условия 3) и теоремы I. 4.28.
5. Так как \i = \i+ —-jr~, то мы можем ограничиться в
доказательстве условия 5) только положительной мерой [i. Если
А(]В=0 и Л, В — ^-измерительные множества, то, по лемме
1.4.23, имеем
J f(s)lx(ds) = lim J ft(s) ii (ds) =
A\}B l ^UB
= lim \ U (s) ix (ds) + lim \ U (s) \i (ds) = J f (s) p (ds) + \f(s)\x (ds).
Следовательно, по индукции, для любого конечного разбие*
ния [i-измеримого множества Л на множества Аь ..., Ak из 2
мы имеем
к
$f(s)|i(rfs)«£ \f(8)Md8).
А /-1Лу
Если Аи Л2, ... — счетное разбиение множества А на ji-из-
оо
меримые множества, то Хи (^/) = ц(Л) < оо. Следовательно,
00 оо
lim £ [а(Л7)=0. Если мы положим £rt^= U Л7, то lim ^ (£п)=0,
и, по условию 4), lim \ f (s) ц (ds) = 0. Отсюда следует, что
• i
п
Jf(s)|i (<*«) = £ \f(s)»{ds)+ J /(S)|i(<fe)"^
A /-М, Еп
П оо
-+ lim J] J f {s)v(ds) = J J f (s) |i (ds).
Это доказывает утверждение 5).
6. -7. Если f(s) = g(s) для se=A<=E и ||i|(£\j4) —О,
то, по условиям 1), 4), 5), имеем
5f(*M<fe)-5*(s)|i(<te)= \ (f(s)-g(s))\i(ds) = Q.
В Е Е\А
Отсюда следует утверждение 6).
Если \ / (s) \х (ds)^0 для всех ЛеХи мера \х положительна,
А
то полагаем
4 д Г'((-«>, 1/Л)
юз

для всех /eNh видим, что Ву = Ву U1Ь где В/ е S и |i (Zf) = 0.
Таким образом, по условию 1.4.27 (3), имеем 0^ \ [—/ (s)] \х (ds)^
^ -г \х (Bj). Следовательно, \х (£/) = 0 и
0 < ц (Г1 ((- оо, 0))) = р (Д 4,) = р (Д В,) = 0.
Таким образом, f(s)>0 ц-почти всюду. Если w(s)|i(<fc)^0
А
(А е 2), то \ (— / ($)) м- {ds) > 0, и поэтому f (s)< 0 jx-почти всюду.
А
Если \ f (s)\i(ds) = Q (AeS), to 0</(s)<0 ц-почти всюду.
л
Обратное утверждение следует из условия I. 4.27 (3).
Утверждение 7) доказано.
8. Предположим, что мера \х положительна, и рассмотрим
последовательность (ft) таких ^-простых функций из S в SB, что
lim \|/(s) — fi{s)\\i{ds) = 0. Так как функция Т непрерывна, то
функция Tof ц-измерима, атак как |77(s) |<|Г || f (s) | (seS),
то мы имеем Т ° f е V (5, 2, ц, ^). Более того,
1Ш*)-ГМ*)1<1Л1/(*)-М*)1 (isN, ssS),
и ясно, что
Т \ f (s) \i (ds) = lim T J f, (s) |i (ds) - lim J Г/, (s) |i (ds). (9)
E ' E l E
По условию 1.4.27 (3), имеем
\\Tf(s)-Tf^s)\li(ds)^\T\-\\f(s)-fAs)\\i(ds)-1>0.
Следовательно, по условию (9) и по определению 1.4.33,
получаем
\Tof(s)li(ds) = lim\Tfl(s)»(ds) = T\f(s)ii(ds).
Е l Е Е
Если мера \х не является положительной, то применяя
полученное соотношение к jx+ и ц", получаем утверждение 8).
I.4.E. Теоремы Лебега и Радона — Никодима.
1.4.35. Теорема (теорема Лебега о сходимости). Пусть
(S, 2, \х) — конечное положительное пространство с мерой, SS —
сепарабельное банахово пространство, 1^р<оо, ft; S->9S —
^.-измеримые функции и либо lim ft = f \х-почти всюду, либо
lim fi = f по мере ц.
i
104

Тогда
1) /, fueL'(S, 2, *i, tt)cV(S, 2, |i, Ж) fi llralf-fjt-O,
если g^Lp(S, 2, |i) и | /< (s) |<j(s) \1-почти всюду (/ e N);
2) J / (s) v (ds) = lim J /, (5) v (ds), если g<=V (S, 2, ц), | /, (s) | <
E * E
^g(s) \i-no4Tu всюду (i e N), (S, 2, v) — конечное пространство
с мерой, |х = | v | и Е ^-измеримое множество;
3) \ / (s) \i (ds) = lim \ f i (s) \i (ds), если функции /, ft и f — //
неотрицательны.
Доказательство. 1.—2. Пусть gG Lp (S, 2, \x) и | fi(s) К
^g(s) м<'почти всюду (/e N). Предположим, что limf; = f
ц-почти всюду. По теоремам 1.4.17 и 1.4.18, функция / будет
^-измеримой и \im fi = f по мере \х. Ясно, что |/(s)| =
i
= \\m\fi(s)\^g(s) ц-почти всюду. Таким образом, по условию
1.4.27 (3), ft fi €= LP(S, 2, \i, %). Для e>0 полагаем
A (0 A {s € S 11 f (s) - /, (s) Г > е/[2ц (S)]} (/ € N).
Тогда, по теореме 1.4.28, существует такое /0 = 'o(e)^N, что
\ |g(s)|Pn№)<2"p"1e для />/()• Таким образом, для всех
А(1)
i^io, по теореме 1.4.27, имеем
\\f(s)-ft(8)fv(ds) =
- J \f(s)-fi(s)\p\i(ds) + J \f(s)-f{(s)\Pn(ds),
S\A(i) . A(i)
|/(5)-/,(в)Г|1(Л)<ц(5\Л(0)щг55у<|.
J l/(s)-^(5)|Pfi(rf5)<2P 5 |g(s)|P[i(ds)<±.
A (i) A(i)
Следовательно,
\f-fi\PP = \\f(s)-fi(s)f\i(ds)^e
для всех / > /0(e). Так как e > 0 произвольно, то lim | / — f, |р = 0.
Так как 1 ^Ll(S, 2, ц) и а< 1 + ар (а>0), то As L](S, 2, ji, Я?)
для любого Л е= LP(S, 2, |i, Я?).
Если p=l u Е является fi-измеримым множеством, то
1Хя(/ — /*Н<1/ — fi\i Т°- Следовательно, по теореме 1.4.34,
105
!
S\A(i)

получаем
HmKf(s)|A(tfs) —Jf<(s)|x(€ls)|<lim{|/(s) —ff(s)||x(£fs) — 0.
1 \E E I l E
Более того, если (S, 2, v) — конечное пространство с мерой и
|х —|v|, то, заменяя в полученном соотношении \х на v+ и v",
получаем
\f(s)v(ds)=\im\fi(s)v(ds).
Е l Е
Пусть теперь lim ft = f по мере ц, и предположим, что
существуют такие е > 0 и / с= (1, 2, ...), что I / — ЫР > в для i е /.
Тогда, по теореме Егорова 1.4.18, функция f ji-измерима и
существует такое /J cz /, что lim f t = / [i-почти всюду. Наши
предыдущие рассуждения показывают, что lim |/ — ft |р = 0, что
противоречит предположению. Таким образом, lim | f — ft |р = 0.
Аналогичным образом доказывается утверждение 2).
3. Нетрудно проверить, что если функция ср неотрицательна
и ц-измерима, Л(ф, n) = <p-f([0, п]) и хХ = ХЛ<ф.я), то
\q>(s)\x (ds) = lim $ ^ (s) Ф (s) v (ds). (4)
Действительно, если (ф*) — последовательность неотрицательных
ц-простых функций, построенных для ф так же, как в лемме
1.4.25, то фЛ = х*Ф„ для всех п е N и \ ф (s) \х (ds) = lim \ фЛ (s) \i (ds).
Так как
Фп(5)<Х^(5)ф(5)<ф(5) (/ieN; seS),
то получаем, что соотношение (4) справедливо.
Покажем теперь, что утверждение 3) следует из
утверждения 2), если функция / ц-интегрируема. Предположим, что
\ f (s)\i (ds) = оо. Так как функция %fJ ограничена,
следовательно, интегрируема, то из условия 2) получаем
lim J %fn (s) f, (5) p (ds) = \ x£ (s) f (s) |i (ds) (n c= N).
Следовательно, по условиям (4) и 1.3.14 (2), имеем
°° = \ f (s) \x (ds) = lim lim \ %t (s) ft (s) \i (ds) =
= lim lim \%l (s) fi (s) p (ds),
i n J
106

Отсюда мы можем заключить, что lim \ Ms)[i(ds)=\ /($)и(^$)=0,
так как yi{s)ii{ds)^^%li{s)fl(s)\i(ds) для всех / и п из N.
1.4.36. Теорема. Пусть (S, 2, [х)—конечное положительное
пространство с мерой, 1 ^р < оо, Z — произвольное множество,
/у. SXZ->R (/е N) и f: S->R. Предположим, что для z^Z,
;eN u \х-почти всех se S функции f / (•, 2) ^-измеримы,
функция f (•) ^.-интегрируема, \ ft {s, z) | ^ f (s), и либо lim f/ (•, 2) = О
\х-почти всюду равномерно для 2G Z, либо lim I f / (•, 2) 1^ ( } = О
равномерно для z^Z. Тогда
lim \ // (s, 2) [i (ds) = О
/ J
равномерно для z^Z.
Доказательство. По теореме 1.4.35, f / (•, z) е Ll (S, 2, \i)
для всех / и z. Для доказательства методом от противного
предположим, что существуют такие е > О и последовательности
(/i)c=(lf 2, ...) и (г,) из Z, что
|f/,(s,z,)|i(ds)|>e (1)
для всех /gN. Тогда lim fj({ •, ^) = 0 либо ц-почти всюду,
либо по мере \i равномерно для 2eZ, Следовательно, по
теореме 1.4.35, имеем lim \ fj^s, Zi)\x(ds) = 0, что противоречит
условию (1).
1.4.37. Теорема (Радон — Никодим). Пусть (S, 2, \х) и
(S, 2, Л) — конечные пространства с мерой, \i — положительная
мера, а мера X является ^-непрерывной. Тогда существует
единственная функция [gL1 (S, 2, ц) такая, что
*(£)« $f(*)M<fa>.
Е
1*|(£)- $1/(*)1|*(Л) (Яе2).
Доказательство. Предположим, что мера Л
положительна. Для /, /е{0, 1, 2, ...} пусть Л/ будет множеством
отрицательной меры относительно меры А, — /2~V Для каждого j
положим £/ = Л/\ U А) (/ = 0, 1, 2, ...). Тогда E°j, £/,...-
fc-0
различные множества, и если / е {0, 1, 2, ...}, В с £/ и В е Б,
то мы имеем
(я - ЙГУ|0 (В) < 0, (Я - (/ - 1) 2"V) (В) >0.
107

Следовательно,
(*-l)2-V(B)0(B)</2-V(B)
(fie 2; Bc£{; / = 0, 1, 2, ...)•
Положим теперь
О, если sg£/,
(/—1)2"', если ss£{, /=1,2,
О)
/,(*) =
О, если sgZ^SX (J £/.
t-0
Нетрудно проверить, что Z/ содержится в множестве
положительной меры относительно меры К — i2~J\х для каждого /eN.
Следовательно, A,(Z,)>/2~V(Z/) для всех /eN и 0<\х(Zf)^
<lim/"12/A,(Z/)<lim/"*I2/A,(5) = 0. Это означает, что \i(Zf) = 0.
Следовательно, ^(Z/) = 0. Более того, функция ff ^-измерима и
неотрицательна. Таким образом, по лемме 1.4.27 и условию (1),
мы имеем
or оо
оо
= X (Е) < £ И"V (Я П */) < \ (f / (s) + 2"0 ц («&) (£ г 2).
/-0 в
Это означает, что
lim \ff(s)\i(ds) = X(E) (£eS). (2)
Нетрудно показать, что множество А\ (множество
отрицательной меры относительно меры А, —/2"V) может быть выбрано
для всех /, / = 0, 1, 2, ... таким образом, что Л/стЛ/"4 и
Л/ = Л/+ь Отсюда следует, что EJl+\ U^m-V czfj. Следовательно,
оо
// (s) < //+1 (5) для всех s е= S' = S \ [} Z,.
Мы имеем \i(S\S') = 0 и
I//W-//+IWK2-' (seS'i /eN).
Следовательно,
m-l
1 f/ (s) - /«(s) |< £ I f*(s) - /*+i (5) I < 2~ж (s e S'; m > /).
fc-/
108.

Таким образом, для каждого s^S' последовательность (fj(s))
является неубывающей последовательностью Коши в Re
пределом f(s), и мы полагаем f{s) = 0 для всех 5 е S \ S'. По
теореме 1.4.17, функция /: S->R ji-измерима. Таким образом,
учитывая условие (2), определение 1.4.26 и теорему I. 4.28, мы
получаем
М£) = Ч£П5')= \ f(s)\i(ds)= \f(s)ix(ds) (£eS).
Так как f/(s)>0 (s^S), то мы имеем /(s)>0 (s^S).
Если мера А, не является положительной, то, по теоремам
1.4.2, 1.4.3, существуют меры Х+ и АГ, положительные и
ограниченные, и К = К+ —- к~. Поэтому, существуют такие функции /+,
f" е L1 (S, 2, ц), что f+ (s) > 0 и f ~ (s) > 0 jx-почти всюду,
Л+(£) = 5f+(5)fi(ds), АГ(£) = 5r(5)|x(ds)H^(£)=5/(s)ti(ds)
£ Е е;
(£eS) для f = f+-f~. Имеем
£ £
По теореме I. 4.5 и условию I. 4.27 (6), получаем, что /+ (5) X
X/"(s)== 0 ц-почти всюду. Таким образом,
\b\(E)=\\f(s)\n(ds).
Е
Наконец, если g е= Ll (S, 2, ^) и Л, (Е) = ^g (s) \i (ds) (E (= 2),
£
то \ (f (s) — g(5))jlx(ds) = 0 для всех £eS и, по условию
£
1.4.34 (7), f(s) = g(s) [i-почти всюду. Это означает, что
функция / эквивалентна g в V (S, 2, \х). Теорема доказана.
Напомним, что, по условию I. 4.34(5), функция Е-> \f (s)\i{ds)
Е
будет конечной мерой на 2, если [gL1 (S, 2, ц).
1.4.38. Теорема. Пусть (S, 2, \х) — положительное конечное
пространство с мерой, fet1 (S, 2, \i), К (Е) = \ f (s) \х {ds) {Е е 2)
я
и gG Lx(S, 2, Я,). Гогда функция fg ^.-интегрируема и
\f(s)g (s) \х(ds) = \g{s)k{ds) (Е ее 2). (1)
£ Е
1Q9

Доказательство. Предположим, что f(s)^0 и g(s)^0
(s е S). В этом случае мера к положительна.
По теореме 1.4.28, к(Е) = 0, если ц(£) = 0. Следовательно,
множество Е ^-измеримо, если оно ^-измеримо, и функции /, g
и fg будут ^-измеримыми. С другой стороны, если множество Е
А,-измеримо, то E = A\]Zy где Л, BeJ, Z cz В иЛ(В) = 0.
Следовательно, по условию 1.4.27(6), f(s) = 0 ц-почти всюду в Z.
Это означает, что любая ^-измеримая функция является ц-из-
меримой на S\{/_1({0})}. Более того, для любого
действительного числа а ^-измеримое множество Ea = {s е S \f(s)g(s)^a)
может быть представлено в виде Aa[)Za> гДе Лае2 и f(s) = 0
fi-почти всюду в Za. Следовательно, ц (Za) = 0 для всех a > 0.
Так как f'{ ({0}) d Е0 и множество Е0 \ f~l({0}) является ц-из-
меримым, то это означает, что Еа ц-измеримо для любого а^ 0.
А это, в свою очередь, показывает, что функция fg является
одновременно Л-измеримой и ц-измеримой.
к
Если функция g Л-простая, скажем, g=£ а,%р , то
/-1 ' I
k k
$£(5)М^) = £а/М£/П£) = £я/ \ f(s)ii(ds) =
Е /-1 /-I Ej(\E
= \f(s)g(s)\i(ds) (£sS). (2)
Е
Если функция g не является Л-простой, то, по теореме I. 4.25,
существуют такие последовательность (gf) неотрицательных
Я-простых функций и последовательность (ffj неотрицательных
jx-простых функций, что для всех s е 5 последовательности (/у (s))
и (gf (s)) не возрастают и сходятся к f (s) и g (s) соответственно.
Таким образом, если мы положим E' = E\f~l({Q}) (£gS), то
функция %E,gj ц-измерима для всех /gN и £gS,
Следовательно, по условию (2) и определению 1.4.26, имеем
\ g (s) Л (ds) = lim J gj (s) Я, {ds) = lim J f (s) gf (s) \i {ds) =
E f E * E
= lim J / (s) g, (s) \i (ds) = lim lim J f, (s) gy (s) \x (ds) (E s 2).
' E' ! l E'
Двойной предел в правой части равен lim \ ft (s) gj (s) \x (ds)
1 £/
для соответствующей последовательности (//)/. Поэтому, по
определению I. 4.26, мы имеем
$g(s)Mds)= \f(s)g(s)\x(ds)= \f(s)g(s)ix(ds).
ПО

Если не предполагать, что функция g неотрицательна, то
мы можем положить g+(s) = max(g(s), 0) и g~ {s)= — min(g(s), 0)
для всех s^ S. Тогда g+ и g" — неотрицательные функции и
g = g+ — g~. Таким образом, условие (1) для действительной
функции g получается после применения его к g+, g- и
комбинации этих соотношений. Наконец, если не предполагать, что
функция / неотрицательна, то полагаем
f+ (s) A max (f (5), 0), Г (*) = - min (f (s), 0) (s e S),
b+ (E) A J f+ (5) |i (ds), *,_ (E) A J f" (s) |i (ds) (E € 2).
Далее, применяя соотношение (1) к /+, Я+ и /", А,-, получаем
требуемый результат.
1.4.39. Теорема. Пусть (S, 2, \i) — конечное пространство
с мерой, Т — произвольное множество и h — функция из Т в S.
Положим 2h = {h-l(E)\Ee=2} и v(h"1 (Е)) = \х(Е) (£sJ). Тогда
(7\ 2Л, v) — конечное пространство с мерой. Если $в — сепара-
бельное банахово пространство и функция f: S-+S6 ^.-измерима,
то функция foh ^-интегрируема и
Jf(s)|i(ds)- \ f(h(t))v(dt) (BsZ). (1)
В К~1{Е)
Доказательство. Ясно, что h~l({si})Ofrl({s2})=0t
если Sj =7*= s2. Таким образом, множество h~l({s}) (seS)
образует разбиение множества Т9 и мы можем отождествить все
точки одного и того же эквивалентного класса А"1 ({$}) с s. Ясно,
что 2Л отождествляется с 2 и v(A) = \i(E), если Л и Е
тождественны. Таким образом, (Т9 2Л, v) — конечное пространство
с мерой.
Если /е /Г1 ({$}), то f{s) = f{h(t))y и поэтому foft будет
v-измеримой функцией для любой [i-измеримой функции /.
Заметим, что последовательность (f/ ° Л)/ является
последовательностью v+-npocTbix (соответственно, v~-npoerbix) функций,
сходящихся в L1 (Г, 2Л, v+) (соответственно, в L1 (Г, 2Л, v~)) к f oh
для любой последовательности (//) ц+-простых (соответственно,
|х~-простых) функций, сходящихся в Ll (S, 2, ц+) (соответственно,
BLI(S.2f|i-))Kf.
I.4.F. Абсолютно непрерывные функции на интервале.
Пусть Т = [/о, /i] с R, Л — сг-поле измеримых по Лебегу
подмножеств из R, /л — мера Лебега в R. Функция f: Г—> R
называется абсолютно непрерывной на отрезке Г, если для любого
п
е > 0 существует такое т] (е) > 0, что £ I / (&/) — / (я/) I ^ в для
111

любого п е N и любых [a/, bj) — различных подмножеств из Т
п
таких, что 2 I bf —- at | ^ г| (е). Будем говорить, что функция
/: Т->R имеет производную f(t) в точке /еГ, если
Iim(T-0"l(fW-/(0) = /WeR.
Ясно, что абсолютно непрерывная функция на Т является
непрерывной и функция, имеющая производную в точке t, —
непрерывной в точке / (но обратное, вообще говоря, неверно).
Обозначим через АС(Т) или АС класс всех абсолютно
непрерывных функций на Г и через АС0(Т) множество функций
/еЛС(Г), равных нулю в точке t0. Мы будем также, как это
ъ
принято, писать \ / (t) dt вместо \ f (t)m(dt), если я<6, и вместо
а [а, Ь\
— \ / (0 m (dt), если b < а. Мы будем пользоваться термином
[Ь,а]
«измеримый» вместо «m-измеримый» или «измеримый по Лебегу»,
когда дело касается подмножеств из R и функций на R, и будем
писать «почти всюду» и «для почти всех» вместо «m-почти всюду»
и «m-почти всех». Наконец, мы обозначим через Мт семейство
всех измеримых подмножеств из Г и будем писать (Т, Мт, гп)
или (Т, Ж, гп) вместо (Т> Жт, пгт), где mT = m\ Жт. Аналогично,
запись О (Ту Жт, ш) означает L1 (Т, Жт, шт).
Для п е N мы будем называть функцию f = (fl9 ..., fn): Т -> R"
абсолютно непрерывной, если функция /', абсолютно непрерывна
для каждого /' е {1, 2, ..., п}. Скажем, что функция f имеет
производную в точке /£Г, если // (t) существует для каждого
/з= 1, 2, ..., /г. В этом случае мы пишем f(t) = (fl(f), ..., fn(t)).
Таким образом,
f(t) = \im(x-t)-l(f(x)-f(t)).
Если производная /(/) существует почти всюду в Г, то
обозначим через / функцию t->f(t), определенную для почти всех /еГ.
1.4.40. Теорема. Существует взаимно однозначное
соответствие между АС0(Т) и классом всех конечных, регулярных и
т-непрерывных мер на ЖТ. Если f е АС0(Т) соответствует
мере ф, то .
f(0-<P(['o.O)-<P(ftbfl) «ел.
Доказательство. Пусть <р: Мт->R — конечная,
регулярная и m-непрерывная мера и /(0==:ф([^0) (t^T). Тогда
112

/(д = ф(0) = О, q>({/}) = 0 (/еГ) и, по теореме 1.4.7, fe=AC0(T).
Если ф!#. J[T->R также является конечной, регулярной и т-не-
прерывной мерой и ф ([*0, 0) = ф, ([/0, 0) Для всех /еГ, то
Р((а, *)) = ф([*. &]) = ф( 1'о, &)) - Ф( [*<>, а)) = Ф, ((а, 6)) и Ф((а, /,]) =
= Ф1 ((а> *il )• Так как каждое относительно открытое
подмножество из Т является, по условию 1.2.8(2), счетным
объединением различных относительно открытых интервалов, то отсюда
следует, что меры ф и ф! совпадают на относительно открытых
множествах и их дополнениях в Г, т. е. относительно замкнутых
множествах. Так как меры ф и ф, регулярны, то они должны
совпадать на Лт. Таким .образом, единственная мера ф
соответствует каждой функции f^AC0(T).
Теперь нужно показать, что для любой функции f е АС0 (Т)
мы можем построить соответствующую меру ф. Рассмотрим
поле 2, элементами которого являются интервалы ft»'о] = (М
и {t\t"\ для /o^*'<^"^i (которые мы назовем базисными
интервалами) и конечное объединение таких интервалов.
Положим Ф ({*о}) - 0, Ф ((*', П ) - / (П - / (Г) и Ф (Д Л/) - Z Ф (А,)
для любых Аи ..., Ak различных базисных интервалов. Легко
видеть, что ф будет аддитивной функцией множества на 2. По
определению абсолютно непрерывной функции, существует
такое TJb что
|ф(1М/)|<£|ф(Л/)1<1
| \/-1 /I /-1
для любых базисных интервалов Аи ..., Ak, общая длина
которых не превосходит т^. Таким образом, если Вь ..., Вт —
различные базисные интервалы, то мы можем разбить их самое
большее на kx ^ (t{ — /0)Ali + 1 множеств базисных интервалов,
общая длина которых не превосходит у\{. Следовательно,
I / т М
Кив')<^+|-
I ч/-1 7 I
Это означает, что мера ф ограничена. Более того, мера ф
регулярна. Действительно, каждый элемент из 2 может быть
представлен как объединение базисных интервалов с различным
замыканием, и регулярность меры ф на 2 следует из
непрерывности функции /.
Как показано в пункте 1.4.15, наименьшим а-полем,
содержащим 2, является 2В(Г). Из теоремы 1.4.14 теперь следует,
что мера ф может быть единственным образом расширена до
ограниченной регулярной меры на 2В(Г), и из регулярности
меры ф и непрерывности функции / имеем ф((^, t")) = q>((t',t"]) =
= f(t")-f(t') (/<><*'<'"<'i) и ф ({/,}) = 0. Лебеговское
расширение пространства (Г, 2в (Г), ф) дает ограниченную меру ф,
U3

которая остается регулярной. Остается только показать, что
мера ф: J[T->R является m-непрерывной. Так как меры т и ф
регулярны, то для любого ^sir такого, что т(Л) = 0,
существует такая последовательность (G/) открытых множеств,
содержащих Л, что Птф(С/) = ф(Л) и limm(G/) = 0. Каждое
множество G/ разбивается на счетное объединение открытых
интервалов (aJth bJti) {i ^ N) и, возможно, точек {*0} и {^}. Функция /
абсолютно непрерывна на 7\ Таким образом, для любого е > О
существует такое т) (е) > 0, что
Zif(ft/.i)-f(eM)i<e,
если
Z (*м-в/.*)<т(0/Хч(в) (|f«sN).
Следовательно,
Hmi:if(6/./)-/(a/.<)| = 0.
Это означает, что
|ф(Л)| = Ит|ф(О/)| = НтЕ|/(Ь/^)-/(а/л)| = 0.
1.4.41. Лемма. Пусть ф: Жт -* R — ограниченная,
регулярная, гп-непрерывная мера. Тогда существуют такиеЛе!1 (Г, л?,т)
и множество V с: 7\ ^го
т
(Г\Г) = 0, Ф(£)=$/г(0Л (£е=ЛГГ)
lim —т = А (Л,
если t&T', af<t<bi и lima, = lim6# = /.
/ /
Доказательство. 1. Пусть
ф(а, 0= sup { Ф^д))|^о <a<t<b<tu 0<&-a<a}e=R,
для / е (/0, *i) и а > 0. Пусть функция <р(а, t) определена
аналогичным образом с заменой sup на inf. Так как функция
а-*ф(а, t) неубывающая и функция a-*<p(a, t) не возрастающая
д
при каждом t, то отсюда следует, что пределы ф(0— Птф(а, /)
а->0
и <р(0—Нтф(а, 0 существуют в R для каждого /, и ясно, что
— а-*.0""~
ф(0<ф(0.
114

Легко видеть, что множество {t е Т | ф (a, t) > р} будет
открытым для всех а > 0 и р g R, и следовательно, измеримым.
Таким образом, функция /-*ф(а, t): T-+R измерима и, по
теореме 1.4.17, функция *->ф(0 = Нтф(/""\ 0: T->R также
измерима.
2. Покажем теперь, что если v: jj'V-^R является
положительной, ограниченной, регулярной и m-непрерывной мерой,
v(4) = 0, то v(t)=y_(t) = Q почти всюду в А. Предположим
противное, и пусть т| > 0. Так как мера v положительна и поэтому
v(/)>v(0>0 (/еГ) и, по части 1, функция v измерима, то
существует такое р > 0, что E = {t е А\ \{t) > р} е Ж и пг(Е) > 0.
Так как мера m регулярна, то существует такое замкнутое
множество F с=£\ {t0t t{), что m{F)>0. Более того, каждая
д
точка из F покрыта некоторым интервалом / = (а, ft)c= (/0, t{),
где v(/)>pm(/) и пг(1)<г\. Так как F — компакт, то можно
выделить конечное число таких интервалов, скажем, 1Х, ..., Iki
покрывающих F, и можно упорядочить их так, чтобы m(I{)^
^m{I2)^ • • • ^tn(Ik)- Построим последовательность iu /2, ..., /rt,
полагая /i = l, а //+1— наименьшее целое число, для которого
It не пересекается с Ul% /*2, ..., /* . Тогда множества Ux% ...,/*я
п
различный 2]>я(/* )>-g-m(F). (Действительно, если //у —от-
/-1
крытый интервал с центром в той же точке, что и // но
утроенной длины, то каждый интервал /*, где ij^i < //+1, пересекает
It для некоторого /€{1,2,...,/} и поэтому содержится в /*г)
Нетрудно видеть, что любая точка интервала It находится
в пределах г\ от компактного множества F. Таким образом,
п
если G — открытое множество и FczG, то Gzd (J // для всех
/-1 '
достаточно малых г\ и
п п
v(G)>J]v(/,/)>pj;/n(A/)>4pm(F)>0.
/-1 У-1
Это соотношение справедливо для любого открытого множества
G :э F. Следовательно, в силу регулярности меры v, получаем,
что 0 <v(F)^v(A). Это противоречит предположению, что
v(A) = 0. Таким образом, v(t) = v(t) = 0 почти всюду в Л.
3. По теореме Радона — Никодима 1.4.37, существует такое
AsL1 (71, ЖТу т), что
Ф(£)«$Л(*)Л
Е
115

для всех E^JtT. Покажем, что ф(/) = ф (*) = /*(*) почти
всюду в Т.
Пусть a€=R, Ла = А_1((— оо, а)), Ва = h~l([а, оо)) и
va (Е) = \ Хва (0 • (Л (0 ~ a) dt (Е е= Мт).
Е
Тогда, по теоремам 1.4.34, 1.4.37, va будет ограниченной,
регулярной и m-непрерывной мерой; ясно также, что мера va
положительна и va (Ла) = 0. Таким образом, по части 2,
va(0 = va(0 = 0 почти всюду в Аа. С другой стороны, так как
h (t) — a < 0 для t € Аау то
va (Е) > \ (A (t) -a)dt = q> (£) - am (£) (£ s JCT).
E
Следовательно, 0 = ^а(0>ф(0 —a почти всюду в Ла. В
частности, для любого рационального а и £а = {/ е Т \ h (t) < а < ф(/)}
мы имеем Еа cz Ла и m (£а) = 0. Следовательно, m ({* е Г | h(t) <
<ф (/)}) = 0, и, таким образом, ф(/)^/г(/) почти всюду.
Если мы заменим ф на — ф и /г на —Л, то (—ф)(^) =
= —ф(0< —Л(0 почти всюду, и мы имеем ф(0 = ф(0 = Л(0
почти всюду. Это завершает доказательство леммы.
1.4.42. Теорема. 1) ПустьТ = [f0>/JcR« функция /: Т->R
абсолютно непрерывна. Тогда f{t) существует почти всюду,
f €= V (7\ Мт, т) и
f(t)=f(t0)+\t(t)dt (teT).
и
2) Если AgL1 (Г, Jfr, m), то функция g, определенная уело-
вием
t
g{t)=\h{i)dx (te=T),
и
абсолютно непрерывна на Т и h(t) = g{t) почти всюду.
3) Пусть [a* aJesR, f,: Г-^R, f2: T->R u /: T->[oq, aj—
абсолютно непрерывные функции на Г, Л: [а0, aj] -> R —
интегрируемая функция и либо функция h ограничена, либо функция f
х
АС
возрастающая и g(х)= \ h(s)ds (х е [oq9 a^). Тогда функции
fl + /2» /1 ° /2 и g ° / абсолютно непрерывны на Т.
Доказательство. 1. Пусть функция / абсолютно
непрерывна на Т и ф: с^т'-^'К — мера, соответствующая функции
f — f (t0) ^ АС0{Т) по теореме 1.4.40. Тогда, по лемме 1.4.41,
116

существуют такие Aet1 (Г, Жт, я) и Гс Т, что ш{Т \ Т')=0,
<p(E)=\h(t)dt (£е=ЛГг) и
если at<t <bt и lim ау = lim й, = t е Г. Так как функция /,
непрерывна, то для любого выбора точек / е Г и 6у s Г (/ е N)
где bj > t и lim bt = t, мы можем определить такое О/ < / (/е N),
что | f (/) - f (а,) К (6/ - О2 и f - а, < (6/ - О2. Тогда
,. f(b,)-f(t) (t(b,)-t(a,) f(t)-!(a,)\
Аналогичным образом, выбирая последовательность (ay),
сходящуюся к t, и df < /, а затем соответствующую
последовательность (&/), мы покажем, что lim—-.— =h(t) для всех t^T'.
Таким образом, f{t) = h(t) для почти всех /еГи
t t
f(t)-f{to) = <p([to,t]) = \h(T)dT=\f(T)dT (teT).
и и
2. Предположим теперь, что AeL1 (71, .#г, т), и пусть
Л г
Ф (А) (Е) = \ А (т) dx (Е е ^г). Тогда мера ср (А) конечна и, по
Е
условию 1.4.34(4), m-непрерывна. По теореме Радона— Нико-
дима I. 4.37, имеем | ф (А) | (Е) = \ \ h (т) \dx (Е е Мт), и таким
£
образом, мера |ф(А)| будет m-непрерывной. Так как мера т
регулярна, то мера |ф(Л)|, а поэтому и мера ф(Л) также
регулярны и, по теореме I. 4.40, функция g, определенная условием
t
g(t) = q> (А)([/о, t))=\h(т) dx (t е Г), будет абсолютно непре-
и
рывной. Таким образом, как мы показали в первой части
доказательства, производная g(t) существует почти всюду, gG
€= Ll (Г, J[T, пг) и
t t
g(i) = V(h)([t0,t)) = \fi(x)dx=\g(x)dx = <?(g)([t0tt)) (te=T).
и и
117

Отсюда следует, что меры <р(й) и cp(g) совпадают на всех
открытых интервалах, следовательно, и на всех открытых
множествах, и так как они регулярны и m-непрерывны, то на всех
множествах из 2В(Г) и из Лт. Таким образом, \А(т)^т =
Е
= \ g М ^т (£ е Лт) и» по условию I. 4.34 (7), h = g почти всюду.
Е
3. Пусть функции fx: T-+R и f2: r->R абсолютно
непрерывны на T = [t0, t{]. Непосредственно проверяется, что
функция fi + /2 также абсолютно непрерывна на Т. Более того, для
любого б > 0 существует такое г| (е) > 0, что
ZlM*/)-Ma/)l<e, JjlM&/)-Me/)Kef
если [ah bj) (/=1, ..., я) —различные подмножества из Г и
£(*/-а/)<Л(е). По теореме 1.2.9, а= 1 + sup | f{ {t)\ +
+ sup I f2 (t) l< °°. Пусть теперь e > 0 зафиксировано и б =
л п
= х\(е/{2а)). Тогда для Z(&/ —в/Х* мы имеем
glfi(ft/)/2(ft/)-fi(fl/)/2(fl/)l<
< S (I /i (6/) If2 (6/)" /2 (a/)] I +1 h (*,) U i(b,) - /, (fl/MIX
<a^(|fi(»,)-/,(a/)| + |f8(ft/)-f2(a/)IXe.
Это показывает, что функция fj2 абсолютно непрерывна.
Наконец, пусть функция /: Т ->[ао, а^ абсолютно
непрерывна на Г, функция A: [a0, a^ -> R интегрируема и либо
функция h ограничена, либо функция / возрастающая, g(x) =
х
А \ A (s) ds (х е [оо, а{]). Если [ah bf) (j = 1, ..., n) —
различав
А П А П
ные подмножества из Г, Л= U k*/> &/) и V^(A) = Zl <Ф(&/)—'Ф(«/) I
для всех *ф: Г-^R, то
^o/^)=j;ig(/(6/))-g(/(a/))|=2
/-1 /-1
$ A(s)d5
118

Если |A(s)I<c<oo для всех 5, то Vg0f(A)^. cVf{A). Если
функция / возрастающая, то VgOf04X \\h(s)\ds и Vf(A) =
f(A)
= m(f(A)). В любом из этих двух случаев lim К^о f (Л) = 0 при
т(Л)-*0. Это показывает, что функция g°f абсолютно
непрерывна на Т.
1.4.43. Теорема. Пусть h —абсолютно непрерывная функ-
А •
ция на T = [t0, tx]9 h(t)>0 почти всюду на Г, Т' — замкнутый
интервал с концами h(t0), h(tx) и f^Ll{T\ Лт>, /л). Тогда
функция t-+f(h(t))h(t) принадлежит к Ll(T, JCT, m),
h(U) t{
\ f(s)ds=\f(h(t))h(t)dt,
A — биективная функция из T наТ\ А""1 абсолютно непрерывна
и h{E)<=AT> (Е<=МТ).
Доказательство. 1. По теореме 1.4.42, h^L1 (Г, Лт, ш)
t*
и А(Г)-~МО=$Л(0^>0 для *0<*'<<"<fi. По условию
г
I. 4.27(6), если h(t")-h(t') = Qt то Л (0 = 0 почти всюду на [Г, t"\.
Следовательно, /' = /". Таким образом, А: Т -> А (Г) —
возрастающая непрерывная биективная функция и, по условию 1.2.9(4),
у нее существует обратная функция. Так как, по теореме I. 4.39,
функции А и А"1 отображают элементы а-поля в а-поле и обе
непрерывны, то мы получаем, что £->А(£) является
биективным отображением из 2В(Г) на 2в(Г').
2. Предположим теперь, что множество £ е 2В(Г) и т(£)=0,
и покажем, что /л(А(£)) = 0. Так как мера т регулярна, то
для любого / мы можем покрыть множество £ такими
относительно открытыми множествами G/ cz Г, что m (G/) ^ m (£) +
+ 1// -> 0. Таким образом, по условию 1.2.8 (2), существует
такое счетное семейство различных открытых интервалов
(ам, bhi) [ieJ(j)cz(1,2, ...)], что
Gf\{t0it{}= U (*/./> bhi)
и, по условиям 1.4.34(4) и 1.4.42(1),
m (Л (£))<£ (h(bfti)-h(aiti))=\h(t)dtr0.
<е/(/) Gf
Вместе с частью 1 это означает, *fro h(E)^J[T> (E^J[T)
и множество {h~x{A)\A^J(T) содержит все множества из Мт.
№

3. Пусть
v(h-l(A)) = m(A) (Ле/Г),
<р(£) = $Л(/)Л (Ее=Лт).
Е
По теоремам 1.4.39 и I. 4.42, меры v и ф конечны и, если а,
ре Г и Л = (а, Р), то
ФОТ1 (Л)) = Л (Л"1 (Р)) - лС/гЧс^/иМ^Л""1 (А)),
9(A"1((a})) = 0 = v(A-1({a})).
Таким образом, меры ф и v совпадают на открытых интервалах
и в отдельных точках и поэтому на их конечном и счетном
объединении и, следовательно (по условию 1.2.8 (2)), на всех
относительно открытых подмножествах из Т.
Из части 2 следует, что мера v определена на Мт и
m-непрерывна; следовательно, регулярна. Ясно, что ф также
m-непрерывна (и потому регулярна), и ф и v совпадают на
относительно открытых множествах; следовательно, они совпадают
на любом множестве из Мт.
4. Применяя теорему 1.4.39, получаем, что функция /->
->f(h{t)) v-интегрируема (т. е. ф-интегрируема) и
h(U) и и
\ f(s)ds = \f(h (t))v(dt)=\f(h(t))<t(dt).
h (U) U U
По теореме 1.4.38, получаем, что функция t->f(h(t)) h(t) m-ин-
тегрируема и
Л (Л) и
) f(s)ds=\f(h(t))h(t)dt.
М*о) 'о
Наконец, покажем, что функция /Г1: V-+Т абсолютно не-
д г •
прерывна. Если ф(£) = \ h{t)dt = Q, то, по условию 1.4.27(6),
Е
h (0 = 0 почти всюду в Е\ следовательно, /л(£) = 0. Таким
образом, мера пг является ф-непрерывной. Если [fl/,6y)(/=lf
А П
2, ..., «) —различные подынтервалы из Т и Л= (J [ah 67), то
m (А) = £ J h(t)dt = (f(h"1 {А)).
/-» л-1 (а;)
120

Так как мера т ф-непрерывна, это соотношение и теорема 1.4.7
дают нам условие
£\Г1-1(Ь,)-Н-1(а1)\ = т(Н-1(А))-»0
при т(Л)->0. Таким образом, функция Л"1 абсолютно
непрерывна.
I.4.G. Произведение мер. Пусть /igNh (Sh Sf, \i() (/=1,
2, ..., n) — конечные пространства с мерой. Положим S =
= S,X ... XSn, *±{ElXE2X...XEn\Ei€=&i{i=l,...,n)}
и обозначим через 2# наименьшее а-поле, содержащее &\ Ясно,
что если функция g, отображающая S, на некоторое
топологическое пространство, является Еризмеримой и f(su ..., sn) =
= g(s{) для всех (su ..., sn) <= S, X ... X Sn, то функция /
будет Sg-измеримой.
1.4.44. Теорема. Пусть {Sh 2h ц<) (/=1, 2, ..., п) —
конечные пространства с мерой. Тогда существует такая
единственная мера ц на 2#, что
р{ЕхХ .-• XEn) = \x{(E{)\i2(E2)... \хп(Еп)(Е{Х ... ХЕпе*).
Если Е е 2#, то тогда для всех (s2t ..., sn)^S2X •.. X Sn
функция Si-*%E(su s2, ..., sn) ^-интегрируема, функция s2-*
-* \ Xe(Si, 52, ..., sn) |Xi(ds^ определена и ^-интегрируема,
функция s3 —^ 5 L J %E^Sb s*' # # M 5/l^1 ^s4 l*2^2) опРеделена и
^-интегрируема и т. д. и
(*(£)= $[•••[$ Xe(5i, ..., «я) |*1 (rfSj)] . . .] |*я (Ля).
Доказательство. Пусть «я£ — семейство всех таких
Zg-измеримых функций из St X ... X Sn в R, что функция 5! -►
->f(5,, ..., sn)\ii-интегрируема для всех s2, ..., sn, функция
% -> J / to, 52, .. •, Sn) ^i (ds\) ц2-интегрируема для всех (s8, ...,sn)
El д
и всех Е{^2Ь и т. д. Пусть $ ={f е ^ |fg е ^ для всех
g е^}. Тогда ^ — векторное пространство, 1g^ и /j/2е^
для любых fi^^ и f2^$. Если мы положим Y =- {A<zlS \%А^Щ
то ясно, что A{\B<=Y и S \ Л е У* для любых Л, Be/ (так
как %Апв = %А%в и Xsxi*™1"^)- Таким образом, А\}В =
= S \ (S \ Л) П (S \ В) е Г, если ДВеГ Это означает, что Г
является полем в S. Если Аи Аъ ... — различные элементы
121

k &>
из T, Bk=[]Ah fl=LU/. Я=£,Х...ХЯ„е1Ги5е^,то
/-i /-1
XB(s)g(s) = lim%Bk(s)g(s) (se=S),
ft
и, по теоремам 1.4.17 и 1.4.35, функция $1->Хя($ь s2, ..., sn)X
Xg($\> s2f ..., sn) является ^^интегрируемой и
д г
ft _y
я,
ft
для всех (s2, ..., 5n). Аналогично, функция s2->gEi(s2i . ..,sn)
является ц2-интегРиРУем0Й Для всех (5з> • • •» $я) и
}gfii($2> ..-, «/1)^2(^2) =
= lim J Г J Хв* («ь • • • • sn) g (si9 ..., sn) \х{ (d^)] H2 (ds2)
для всех (s3, ..., sn) и т. д. Это означает, что %в^&, и
поэтому Т будет а-полем. Если мы положим
|аИ) = 5[---Ц[$Ха(51, •••> **) Md$i)] 1*2(^2)] ...]\in(dsn)
(АеГ),
то, рассуждая аналогичным образом, при g=l получаем, что
\х: У -> R является мерой и ц {Е{ X . -. X Еп) = \i{ (£,) ... \хп (Еп)
для всех ЕХХ • • • X Еп е <§Г. Более того, | ц(Л) |<| р, |(S,) ...
... I \хп I (Sn) < 00 для всех Л e У.
Ясно, что УсУ, и поэтому EgczF. Таким образом,
сужение ц на 2# является конечной мерой, и мы показали, что
функция %Е обладает требуемым свойством для всех Е е 2g.
Пусть теперь v: S^-^R —такая конечная мера, что
v(E{ X • •. X Еп) = |i! (£,)... iin(En) для всех £, X ... X £я е= #.
Обозначим через 4V множество всех таких действительных
v-интегрируемых функций f> что
$/(s)v(d5) = Sr...n/(S|f ...,s«) l*i (*si)l...l !*«№.)
А Л
для всех Е = Е{Х-.-ХЕп^&- Положим #v = {fe^v |fg&#v
для всех geiv} и yv = {i4crS|x^e^v}. Тогда, заменяя Я и У
на ,$v и #%, получаем аналогичным образом, что y%z>2g и
V (£)=$[... [Jxjfa, ..., S„)M<*Sl)] .-.JlinWSii) —|i(£)
122

для всех £eS^. Таким образом, \х — единственная конечная
мера на 2<? такая, что \i{E{ X . -. X En) = \ix (Ех) ... \in(En) для
всех Ех X • • • X Еп e S. Теорема доказана.
Обозначим через щХ ••• Xl*n меру \х: 2g-*R,
определенную в теореме 1.4.44, и через 2, ® ... ® 2„ а-поле 2#.
(Мы пишем Si ® ... ® Srt вместо общепринятого обозначения
2i X ••• X 2Я, так как последнее обозначает декартово
произведение {(Ех, ..., JSJI^eSi, ..., £n е 2П}.) Пространство
с мерой
(S,XS2X...XS„, 2!®... ®2„, |*i X - -. X I*«)
называется произведением пространств с мерой (Sh 2Ь щ) (/ =
= 1, 2, ..., п), поле 2, ® ... ® 2Л называется произведением
о-полей 2Ь ..., 2П, а мера [*! X ... X 14 — произведением мер
\хи ..., цп. Далее мы пишем J f (sIf ..., s„) \ix (dsx) X ...
• • • X^fe) вместо
$f(s)l*iX...XM«fc)
и 5^п(^л) 5 ... $f(sb ..., ял)[1, №ч) вместо
En'
1.4.45. Теорема (Фубини). Пусть (Su 2Ь \ix) и (S2, 22, ji2) —
положительные конечные пространства с мерой, (S, 2, ц) — их
произведение, 36 — сепарабельное банахово пространство и
функция f: S-+36 ^-измерима. Тогда
1) функция f(-, s2) ^-измерима для \12-почти всех s2eS2,
а функция f(sx, •) \х2-измерима для \хх-почти всех sx^Sx\
2) функция s2->\ f(sx, s2)m-i(^Si) ^'интегрируема, если
функция sx-+f(sx, s2) ^-интегрируема для [12-почти всех s2^S2;
3)
J / (s) \i(ds) = $ м>2 (ds2) \f(sx, s2) \xx (dsx) =
= \\t>i(ds{)\f(su s2)\i2(ds2),
если либо f^L1 (S, 2, \i, 36), либо \ \x2 (ds2) ^ \ f(sx, s2) \\ix (dsx) < oo,
либо ^ \ix (dsx) ^ | / {su s2) | \x2 {ds2) < oo, либо 86 = R и f (s) > 0
(s e= S).
123

Доказательство. 1. Пусть Ле2 и \х(А) = 0. Тогда,
согласно второй части теоремы I. 4.44, \х (А) = \ \л2 (ds2) \ Ха ($и 5г) X
X Щ №0 = 0, и> по условию 1.4.27(6), xA(.fs2) = 0 jij-почти
всюду для ц2-почти всех s2gS2. Если ZaAf то 5Cz(s)^5U(s),
и поэтому
4) Xzi'y s2) = 0 м^-почти всюду для ц2-почти всех s2eS2,
если Z — ц-нулевое множество.
Таким образом, по условию (4) и теореме 1.4.44,
И> (£) = J V2 (ds2) $ %е (5,, s2) \i{ (ds{)
для всех ц-измеримых множеств Е. Поэтому, если функция
g: S->$?p,-проста я, то
5) функция g{*,s2) щ-измерима для ц,2-почти всех s2e%
6) функция 52->\g(sb s2) ц, (ds{) ^-измерима;
7) \g(s)\i {ds) = J ц2 (ds2) \g(su s2) \ix {ds{).
Пусть теперь 4(/) = {seS|| f(s) |</} (/<N). Тогда
функция XA(f)f Ц-интегрируема и lim %л (/)/ = / по мере ц. По
теоремам 1.4.30, 1.4.31, существует такая последовательность (//)
Jl-ПрОСТЫХ фуНКЦИЙ, ЧТО |//(5)|<|(Хл(/)/)(5)|+ l<|/(s)| + l
(s<=S) и 1Хд(/>/ —f/|^(|l)<l//. Следовательно, limf,*=/ по
мере \х. По теореме Егорова 1.4.18, мы можем считать, что
lim/y = f ц-почти всюду. Из условия 4) получаем теперь, что
Hmf,(•, %) = /(., s2)
щ-почти всюду для ц,2-почти всех $2 е S2. Поэтому, по
условиям 5), 6) и теоремам 1.4.17, 1.4.35, функция /(•, s2) Игизме-
рима для [12-почти всех s2e52, а функция s2->\f{slts2)\ii(dsl)
[А2-измерима, если функция / (•, s2) ^^интегрируема для р,2-почти
всех s2gS2. Таким образом, мы доказали утверждение 2) и
первую часть утверждения 1). Вторая часть утверждения 1)
также справедлива, так как произведение пространств (S, 2, \х)
не зависит от порядка перемножения пространств (Slf 2h jx,) и
(S2, 22, |ia).
2. Предположим теперь, что ^=R и функция /
неотрицательна. Тогда, по лемме I. 4.25, существует такая
последовательность (g{) jLi-простых неотрицательных функций, что
последовательность (gi(s))i не убывает и limg, (s) = f (s) (s^S). По
условию 1) и определению 1.4.26, мы имеем
J / {slf s2) \i{ (ds{) = lim jj gt (s„ s2) ji, (ds{)
124

для ц2-почти всех s2 е S2, и поэтому, по условиям 6), 7) и
I. 4.35 (3),
J f (s) [a (ds) = lim jj g( (s) \x (ds) = lim ^ \i2 (ds2) ^ gt (s,f s2) ^ (d^) =
= \ [Hm J ft (su s2) fit (ds,)J [i2 {ds2) = J ц2 (ds2) J f (slf s2) [i, (ds{).
Так как произведение пространств не зависит от порядка
перемножения, то полученное соотношение означает, что
J f (s) [i (ds) = J ^ (ds,) J / (sb s2) fi2 (ds2).
Таким образом, соотношение 3) доказано для неотрицательных
функций. Если / — произвольная действительная функция, то
утверждение 3) справедливо для функций s-*/+(s) = max (f (s), 0)
и f~(s) = max(— / (s), 0), и поэтому справедливо для f = f+—/"•
3. Рассмотрим теперь случай произвольного сепарабельного
банахова пространства 9S. Применяя соотношения 1), 2) и 3)
к функции s-H f (s) |, получаем, что интегралы \ / (s) \i (ds) и
Hi(dsj) \ f(su s2)[i2(ds2) определены тогда и только тогда,
когда
J Ц2 {ds2) JI / (sb s2) | p, (ds{) < oo
или
J l*i (dsi) \\f(su s2) |[i2{ds2) < oo.
В этом случае, по условиям 3) и 1.4.34 (8), для любого / е %?
мы имеем
I \f{s)fl{ds)= \l°f(s)\x(ds)=\\il(dsl)\lof(s{, s2)ji2(ds2) =
= S [l S f (Sb S*> ^ ^2)] •** W^ =l\li{ ^ S f ($4 ^ •** №*)• №
Для любого xg^, x Ф 0, мы можем определить ненулевой
ограниченный линейный функционал 1Х на {аде | а е R} условием
1х(ах) = а (а£ R). По теореме Хана — Банаха 1.3.8, мы можем
продолжить 1Х на элементы ЯГ. Следовательно, из 1х' = 1х"
(/е#Г) получаем х' = х". Таким образом, из соотношения (8)
получаем
J f {s) И (ds) = J *i, (d$!) J / (s,, s2) ^2(^2)»
а соотношение
J f (s) \x (ds) = J и<2 (ds2) \f(s{, s2) \i{ (ds,)
получается заменой порядка в произведении пространств.
125

1.4.46. Теорема. Пусть (S,, 2Х) и (S2, 22) — измеримые
пространства, 2 = 2, ® 22 и X — топологическое пространство.
Если функция f: S{XS2->X ^-измерима, то функция f{su •)
^-измерима для каждого sx^Su а функция /(•, s2)
^-измерима для каждого s2 ^ S2.
Доказательство. Для каждого £gS и 5, е S,
положим Е (s{) = {s2 е S21 (sb 52) <= £}. Если Л — открытое
подмножество mX, s^Sj и £ = /_1(Л), то £(*i) = {s26=S2|f (*,, з2)еЛ}.
Таким образом, функция f(s{, •) 22-измерима, если £(s1)e22
для каждого £ е 2.
Пусть sx^Su и пусть J^—такое подсемейство из 2, что
E{s{) е 22 для всех Е е ^. Тогда
1) ЕгХБ2^^Ф, если ^eS! и £2g2; в частности,
0X0 = 0^^;
2) S, X S2 \ Е е= ^, если £ <= ^, так как (S, X 52 \ Е) (st' =
ОО • ОО Ч
3) М £; s si-, если Е1 asl (/ е N), так как ( (J £' J ($.) =
/-» V/-1 /
ОО
= (J Е1 (s{). Таким образом, ^ = 2. Это означает, что функция
/(^1, •) 22-измерима для каждого s{^Si. Аналогичным
образом показывается, что функция f(*,s2) 2гизмерима для
каждого s2 е S2.
1.4.47. Теорема. Пусть S{ и S2—сепарабельные
метрические пространства и 2, = 2В (St) (i = 1, 2). Тогда 2{ ® 22 =
= 2В {S\ X S2).
Доказательство. По теореме 1.2.17, каждое
пространство Si имеет счетную базу топологии {н\, Н2, ...} и легко
видеть, что Ж = {н)Х Hl\jf k е N} является базой топологии
в Si X S2. Таким образом, любое открытое множество G из
Si X S2 является объединением подсемейства из Ж, а так как
Ж с: 2! ® 22 и 5ё счетно, то G е 2j ® 22. Следовательно,
25(5X52)0=2,(8)22.
С другой стороны, для любого открытого множества G2 с: S2
{El\ElXG2^I,B(SlXS2)}
является а-полем в Si. Таким образом, Е{ X G2 е 2B(Sr XS2)
для любого fiES, и любого открытого множества G2 cz S2.
Так как {Е2\Е{ХЕ2е 2B(S!XS2)} — а-поле для каждого ^ е2,,
то Ех X Е2 е= 2В (S, X S2) для всех ^gS, и £2е=22. Таким
образом, 2! ® 22 cz 2B(S! X S2).
1.4.48. Теорема. Пусть (Sh 2Ь ц,) и (S2, 22, ji2) —
положительные конечные пространства с мерой, (S, 2, \i) — их
произведение, X и Y — сепарабельные метрические пространства и
функция f: S{XS2XX->Y такова, что функция /(•, •**)
m

Hi X ^-измерима для каждого х^Х, а функция f(sus2y •)
непрерывна для всех (sb s2)eS,XS2. Тогда существует такое
подмножество Ъх из Su чы щ (Si \ S,) = 0, и функция f(slt •, х)
^измерима для всех S\ еSi и xg!
Доказательство. Пусть {хи хъ ...} — всюду плотное
подмножество из X, а (уи уъ ...) —всюду плотное
подмножество из У. Тогда, по условию 1.4.45 (1), для всех /, /gN
существует такое подмножество S\^, что \х{ (Sx \ S{*') = 0, и
функция s2-+d{f (sb s2, Xj), yt) |л2-измерима для всех s\ eSiU. Пола-
oo oo
гаем Si=f] П S\* и видим, что для каждого х^Х
существует такое / с: (1, 2, ...), что lim f {sb s2t xf) = / (sb s2, x)
(sx e Sx\ s2 e S2). По ^теореме 1.4.17, функция f {sif •, x)
^-измерима для всех Si e S\.
1.4.49. Теорема. Пусть S{ и S2 —компактные метрические
пространства, \х{ е f rm+ {S{) и \i2 е f rm+ (S2). Тогда p, X ц2 s
e frm+ {S{ X S2). £сли меры \i{ и ц2 неатомические, то мера
|i,XH2 также неатомическая.
Доказательство. Пусть S, = SB(S,) и 22=2В(52). По
теореме 1.4.44, щ X И^ является конечной положительной мерой.
По теореме 1.4.47, Ъх ® 2^ — ^в (S\ X S2). Покажем теперь, что
мера PiXfe регулярна.
Пусть i^ —такое подмножество из 2t ® 22, что для любого
Е^зФ существуют такие последовательности (cf) и (Gf),
соответственно, замкнутых и открытых множеств, что Cf с: £ с: Gf и
\im\ilX\i2(Gf\E) = limVLlX\i2(E\Cf) = 0.
/ /
Если ieSi и Ве22, то существуют такие последовательности
(Cf), (GA), (cf) и (Gf), что множества СА, Cf замкнуты,
множества GA, Gf открыты, Cf с: А с Gf, CfczBczG? и
lim Ц! (GA \ Л) = lim щ (Л \ СА) = О,
lim \i2 (Gf \ В) — lim ц2 (в \ Cf) = 0.
Нетрудно проверить тогда, что СА X С? с: AXBczGfXG?
(IsN),
Hm^1X[i2(GfXGf\^Xfi) = Hm[i1X^UXfi\C/AXCf)==0.
/ /
Таким образом, {ДХЯ|Ле2ь £€=22}с^
127

Если £,Ре^и Е' = 5, X 52 \ £, то выражения
Gf' = SiXS2\Cf, Cf' = SlXS2\Gf,
Of"'±Qf[)Gf, CfUF=^Cfucf (|eN)
определяют соответствующие последовательности замкнутых и
открытых множеств для Е' и E\}F. Таким образом, зФ является
полем.
Пусть теперь (£") — последовательность различных элементов
из бФ. Тогда для любых /, /gN существуют такие
замкнутые (С/) и открытые (G/) множества, что С/ cz £' с: G/ и
1*1 х и2 (G/ \ £') < 2-'*"', ^ х **2 (£' \ с}) < г-'Ч
Положим
Тогда для каждого ;eN множество G/ открыто, Ct — замкнуто
и С) с: Е <r G;. Более того,
ц, X Ц2(G, \ Я)<|i, X Ц2(О (О/ \ Е*))<
<£|i.X|i,(0}\£')<Z2-|-,-2-,f
Hi X M* \ С,)<ц, X №(Д (Я* \ CJ)) +1*1 X |*Я(#-У1_ж £') <
<2~' + £ |*|Хй2(^).
/-/+1
Так как мера м-! X Иг конечна и положительна, а множества
£ь £2, • • • различны, то правая часть в последнем неравенстве
сходится к нулю при /->оо. Это означает, что Е^$4> и что s4>
является а-полем, содержащим {АХВ\А^2и £^Е2}. Таким
образом, ^ = 2!®22 и мера р, X 1*2 регулярна.
Наконец, предположим, что меры щ и ji2 неатомические.
Положим
Я, = {ЛХВ|Лс:2ь Bg22}
и обозначим через $ семейство всех конечных объединений
различных элементов из $х. Нетрудно проверить, что & является
полем. Так как компактные метрические пространства Sx и S2
имеют счетную базу топологии (1.2.17), скажем, {Аи Л2, ...} и
{Ви В2у ...}, то любое открытое подмножество G из SXXS2
является счетным объединением множеств вида At X Bj-
Поэтому каждое открытое множество G является счетным объеди-
128

нением различных элементов из &х. По теореме 1.4.10, для
каждого а е [0, щ X М-2 (G)] существует такое Da с: G, что
Hi X Иг Фа) = <*. Если £<=2,(g22 и с = ц1Хц2(£')> 0, «то из
регулярности меры \х{ X Иг получаем, что существует такое
открытое множество GEy что EaGE и c<|i, X ^2(G£)<5c/4.
По доказанному, существует такое множество Dc=GE, что
HiXH2(#) = 3c/4. Тогда
O<|iiXM0n£)<|iiXM0)<l*iX|A2(£).
так как из равенства jij X \i2(D(]E) = 0 следует
|ilXl*2(^U£) = |ilXl*2№)+|AlX|A2№) = 7c/4f
что противоречит условию £>U£czG£ и р, X Иг (Ge) = 5с/4. Это
показывает, что мера \х{ X Иг неатомическая.
1.4.50. Мера Лебега в R*. Пусть fceN, ^ — семейство
всех измеримых по Лебегу подмножеств из [0, 1], а тх—
сужение меры Лебега из R на JC{. Если мы обозначим лебегов-
ское расширение произведения пространств с мерой ([0, 1]\
Жх® ... ®Ли т{Х ... Хтг) через ([0, \]\ Л\% mf), то М\
называется классом измеримых по Лебегу подмножеств из
[0, 1]*, а т? — мерой Лебега в [0, 1]*. Множество Aaf(k
называется измеримым по Лебегу, если множество (Л — (/ь ..., ik))f]
П [0, l]fe измеримо по Лебегу для всех целых чисел iu ..., fk.
Лебеговская мера измеримого по Лебегу множества А равна
т*(Л)= £ £ ... Е т?((Л-(/„ ..., /*))Щ0, if).
1.5. Банаховы пространства C(S, $6) и 1/4$, 2, ja, $6)
1.5.А. Метрическое пространство С($, X) и банахово
пространство C(S, 86). Если S — топологическое пространство,
а X — полное метрическое пространство, то обозначим через
BF(S, X) семейство всех ограниченных функций из S в X,
а через С (S, X) — семейство всех ограниченных непрерывных
функций из S в X. Нетрудно проверить, что функция
(/> g)-*dB{fy g) = supd(f (s), g(s))
является метрической в BF{St X). По теореме I. 2.19, метрическое
пространство BF(S, X) и его подмножество C(S, X) полные.
Если ^ — банахово пространство, то ясно, что BF(Sf 86) и
С (S, 86) — векторные пространства, а / -> | f \ = sup | f (s) | =*=
р seS
•= dB(f, 0) - норма в SF (S, Я?). Таким образом, (BF (5, Я?), | . |sup)
5 Дж. Варга 129

и (C(S, 9S), | - |sup) — банаховы пространства. Мы часто будем
писать | f | вместо | f |sup для пространств BF (S, ^)иС (S, #?),
если нельзя перепутать | -| sup с какой-либо другой нормой. Мы
также пишем С (S) вместо C(S, R). Если S — компактное
топологическое пространство, то, по условию 1.2.9(1), каждая
непрерывная функция из S в метрическое пространство X ограничена.
Таким образом, F(S, X) содержит все непрерывные функции,
если S — компакт.
1.5.1. Теорема. Пусть S — компактное метрическое
пространство, а X — полное сепарабельное метрическое
пространство. Тогда пространство С (5, X) сепарабельно.
Доказательство. По теореме 1.2.5, для каждого /gN
существует такое конечное множество {s{, ..., s£(/)} cS, что
k(f)
Scz [J S(s', 1//). Положим
A(j, k)^S(s'k, 1//) \U S(4. 1//) [*-l. 2 *(/)]
и перенумеруем индексы, если это необходимо, чтобы
выбросить все пустые множества Л(/, k). Тогда совокупность
множеств Л(/, 1), ..., А (/, k (/)) является разбиением S на непустые
подмножества диаметра не больше 2//. Выберем точки а(/, А)е
€= Л (/', А) для А = 1, 2, ..., А (/).
Пусть ^«> — счетное всюду плотное подмножество из X,
Qf = XiU) (jeN) и Q= (J Qy. Если ?eQ» то для некоторого
/eN мы имеем q~(qu •••, <7м/)) и положим
Ф«(*) = <7* [*==I» 2» •••> А (Л; 5еЛ(/, А)].
д
Рассмотрим теперь счетное подмножество 0 = {cpg\_q^Q} в
метрическом пространстве BF (S, X) и его замыкание Ф. Покажем,
что множество C(S, X) содержится в Ф. В этом случае, по
теореме 1.2.17, пространство C(S, X) сепарабельно.
Пусть фбС(5, X). Тогда, по теореме 1.2.15, функция ф
равномерно непрерывна, и для любого е > 0 существует такое
/€=N, что й(ф(50, ф($"))<е/2 при d(s\ s")<2//. Выберем
точку q~{q\, ..., qk(j))^Qj таким способом, чтобы d(qh,
ФИ/, А)))<е/2 для А=1, 2, ..., А(/). Тогда
^(ф(5), q>,(s))<<*(<p(s), фИ/, A))) + d(<p(a(/, А)), ^)<8
[А=1, 2, ..., А(/); 5еЛ(/, А)].
Следовательно, dB (ф, ф^) < е. Таким образом, функция ф
может быть приближена в пространстве BF(S, X) элементами
из Ф. Это означает, что C(S, Х)аФ.
130

1.5.2. Теорема. Пусть S — топологическое пространство и
neN. Тогда банахово пространство С(S, R") гомеоморфно про-
странству (C(S))n при тождественном отображении.
Доказательство. Так как множества вида А {X •.. X Ап,
где Af — открытые подмножества из R для каждого /, образуют
базу топологии в R", то ф = (ф1, ..., (p")eC(S, R") тогда и
только тогда, когда <p'eC(S) для каждого /. Таким образом,
множество C(S, Rn) совпадает с (C(S))n. Более того, для любой
функции ф = (ф1, ..., фп)еС(5, R") имеем
А п п п
| ф | = SUP | ф(5) | = SUp Z I ФУ W К Е SUp| фУ (S) |= £ |ф> |,
seS s<=S/-l /-lse5 /~1
п п п п
Z^'HZSUP^SJK ZsUp £|ф*($)| = П|ф|.
/ = 1 /*iseS /-IseSbl
Итак, топологии пространств C(S, Rn) и C(S)" совпадают.
1.5.3. Теорема. Пусть S — компактное метрическое
пространство, St? —банахово пространство, функции ff. S->%?
(/eN) имеют модуль непрерывности Q и /: S->#?. £сли
lim//(s) = /(s) (sgS), го lim//(s) = /(s) равномерно для seS
и Q 6^7* модулем непрерывности для функции f.
Доказательство. По теореме 1.2.16, Q является модулем
непрерывности для /. Предположим теперь, что
последовательность (fj(s)) не сходится к f(s) равномерно для seS. Тогда
существуют такие е>0, sgS, последовательности /с(1, 2, ...)
и (5у),_7 в S, что lims/ = 5 и
I//(*/)-Wl> в (/«=/). (1)
Пусть г\ таково, что Q(A)^e/3 (Л^л) и пусть /o^N таково,
что \fj{s) — /(s)|<e/3 и d(s;, 5)<л (/>у0). Тогда для всех
уе/ (/^/о) мы имеем
I f/(s/)-/(*/) KI//(s/)-f/(S) 1 + 1/,(«)-/(«) l + l/(3)-/(s/) |<
<2Q(t|) + q/3<ef
а это противоречит условию (1). Таким образом, lim//(s) = /(s)
равномерно для sgS.
1.5.4. Теорема (Асколи). Пусть S —компактное
метрическое пространство, S6 —- банахово пространство и A cz С (S, <Э?).
Тогда множество А — условный компакт тогда и только тогда,
когда А равностепенно непрерывно и множество F = {f(s)\s^S,
fsА} — условный компакт. В частности, если п&Ки ^ = Rrt,
то множество А — условный компакт тогда и только тогда,
когда оно равностепенно непрерывно и ограничено.
5* 131

Доказательство. Предположим, что множество А
равностепенно непрерывно и Т7 —компакт. Пусть е>0 и б(е, s) =
— sup {h > 0 || /(5) —f{s) К е для всех /^Л, если d(s, s)^h)
(sgS).
Тогда, в силу равностепенной непрерывности, 6(е, s) > О
для каждого sgS. Если inf 6(е, s) = 0, то существует такая
последовательность (sf)f что Нтб(е, S/) = 0. Так как
пространство S метрическое и компактное, то оно секвенциально
компактно (I. 2.5), и мы можем предположить (выделяя
подпоследовательность), что (s/) сходится к некоторому s0. Тогда
\f{s)-f(sl)\<\f{s)-f{sid\ + \f{so)-f(sJ)\<B
для всех f^A, если d(s, sQ) < б(е/2, s0) и d(s0i sf) < 6(е/2, s0)
1 1
(в частности, если d(s0, S/)< 2*6(е/2, s0) и d(sf S/)<-£-6e/2, sQ)).
Таким образом, 6(е, s/)^y6(e/2, 50) > 0 для всех достаточно
больших/, а это противоречит предположению, что Iim6(e, S/)=0.
д
Мы получили, что б(е)= inf б(е, s) > 0 для любого г > 0.
Теперь, по теореме 1.2.12, все функции f^A имеют общий
модуль непрерывности, и поэтому, по теоремам 1.2.18 и 1.5.3,
множество А — секвенциальный компакт. Таким образом, по
теореме I. 2.5, А — компакт.
Докажем обратное, пусть А — компакт. Если множество А
не является равномерно непрерывным, то существуют такие
sgS, е >0 и последовательности (//) в Л и {sf) в S, что
lims/==5 и
1М*,)-М*)1>в ysN). (1)
По теореме 1.2.5, А — секвенциальный компакт, и мы можем
предположить (выбирая подпоследовательность, если это
необходимо), что liml// — f | = 0 для некоторой функции f^C(S, 95).
Тогда существует такое 6 > 0, что | f (s) — f (s) | ^ e/3, если
d(s, s)^6, и существует такое /0gN, что | f (s) — fj(s) |^e/3
(sgS) и d(sfy s)^6, если />/0. Таким образом,
l//(5/)-f/(s)KI//(s/)-f(s/)| + |f(s/)-f(S)| +
+ lf(S)-f/(S)l<e (/>/o),
а это противоречит условию (1). Поэтому множество А
равностепенно непрерывно.
132

Если F не является компактом, то существуют такие
последовательности (sy) в S и (//) в А, что последовательность (f/(s/))
не имеет сходящейся подпоследовательности. Но так как S и
Л —компакты, то существуют такие /с(1, 2, ...), seS и
f^A, что limsy = 5 и limMs) = f(s) равномерно для seS.
Следовательно,
limf/(5/) = limf(s/) = f(s).
Получаем противоречие. Таким образом, F — компакт.
Наконец, предположим, что «eN и #? = Rrt. Ясно, что Т7
ограничено тогда и только тогда, когда А ограничено. В этом
случае FsS(0, а); следовательно, F с: [— а, а]", и, по
теоремам 1.2.6, 1.2.8, множество [— а, а]п и_его замкнутое
подмножество F — компакты. Обратно, если F — компакт, то F,
а следовательно, и А ограничены.
1.5.5. Теорема. Пусть (S, 2, \х) — пространство с мерой,
S — топологическое пространство, 2:z>2B(S), мера \х конечна
и регулярна, функция g: S-*R ^-интегрируема и A(g) —
= { \ g (s)f (s) р (ds) |f e С (S), | f |sup < 1 }. Тогда
1) л*ера (г положительна, если \f{s)\x(ds)^0 для всех
непрерывных функций f: S->[0, 11;
2) g{s)^0 \х-почти всюду, если мера [х положительна и
\f{s)g{s)\i(ds)'^0 для всех непрерывных функций f: S->[0, 1];
3) \ g(s)\i{ds)«= A{g) и \\g(s)\\ \i\{ds)<=A{g) для любого
E E
^-измеримого множества E и
swA{g)=\\g(s)\\v\{ds).
Доказательство. Предположим, что \ g(s)f(s)\i(ds)^Q
для всех непрерывных функций f: S->[0, 1]. Так как мера ц
регулярна, то для любых £еЁ и е>0 существуют такие
замкнутое Fz и открытое G8 множества, что Fecz Е czG8 и
| \х |(Ge \f8)<e, Положим f(s)=l, если G& = S, и, в противном
случае,
f(s) = d[s, S\Q9\/{d[s, Fe] + d[s, S\OJ).
Тогда f(s)=l для seFE) f{s) = 0 для s<=S\Ge, 0</(s)<l
и функция f непрерывна. Отсюда следует, что
\g(s)Mds) + 2 J \g(s)\\ii^ds)>\g(s)f(s)ix(ds)>0.
133

Следовательно, по теореме 1.4.28,
\ g{s) it (ds)>-2 lim \ \g(s)\\v\(ds) = 0 (4)
для всех £eS. Утверждение 1) получаем из (4), полагая
g(s)=l для всех s^S, а утверждение 2) следует из
условий (4) и 1.4.34(7).
Пусть теперь Е{ и Е2 — различные ^-измеримые множества.
Так как мера \х регулярна, то для /=1,2 существуют такие
последовательности (F/)/ замкнутых и (G/)/ открытых множеств,
что F/df'ciG/ и lim|[i|(G/\F/) = 0. Полагаем <pj(s)=i,
если G/ — S, и, в противном случае, полагаем
Ф<(s) = d[s, S\G}]/(d[s, S\Gii] + d [s, Fj]) (|eN;seS).
Нетрудно видеть, что <pj(Fj)={l}, y*(S \ Gj) = {0} и 0<q>j(s)< 1.
Тогда, по условию 1.4.34(4), имеем
lim ^ g (s) ф< (s) \х {ds) =
im[$£(5)|i(ds)- J g(s)\i{ds)+ J g(sHy4sMds)1 =
' Vеl e\f\ q)\f\ J
- Jg(5)|A(rfs) (/=1,2).
Ei
Следовательно,
^g(s)jx(ds) - $g(s)[A(ds) =
El E*
= lim ( g(s) [ф} (s) -Ф2($)] ц(ds)e= ]Щ. (5)
В частности, для £2=0 имеем \ g(s)[i(ds)e A(g).
El
Пусть теперь Е0 — положительное множество для меры \х,
Е — произвольное ^-измеримое множество,
El={s^E()E0\g(s)>0}\J{se=E\E0\g(s)<iO}
и £2=£\£1. Тогда, по условию (5), имеем
$l«f(s)lll*l(<fe)= Jg(5)[i(ds)- \g(s)ix(ds)^A(g). (6)
Е Е1 Ег
Наконец, так как
$g(s)/(sMdsK$lg(s)ll^[(dsHfLp lfeC(S)l,
J3*

to получаем, что \ \g{s) \\ \i |(ds)>sup A(g), и, по условию (6),
что
l*(s)ll|A(<fc)l=supj4(g).
1.5.6. Лемма. Пусть S — компактное метрическое
пространство, 0* (S) — поле всех подмножеств из S и' функция
со: ^(S)-*R ограничена, неотрицательна и аддитивна. Тогда
существует такая мера vefrm+(S), что v(S) = co(S) и v(G)<
^ со (G) для всех открытых множеств GcS.
Доказательство. Будем обозначать через ЯГ
(соответственно, через 9) семейство всех замкнутых (открытых)
подмножеств из S, а через F и G (со штрихами, или без них) —
элементы семейств 5F и S?. Полагаем, v1(F)= inf a>(G) (F e $F)
и v2(i4)-supv,(F) [i4e^(S)]. Тогда v2(0) = O, v2(S) = ©(S),
Fc=.A
функция v2 неотрицательна и ограничена, и, по теореме Кара-
теодори 1.4.13, семейство
<?v={E<=:S\v2(A) = v2(A()E) + v2(A\E) (A<=:S)}
является полем, а функция v2 |^Vj аддитивна.
Покажем, что #"c:^V2. Нетрудно проверить, что O^v^Fi)^
<vl(/?2), если F{aF2, 0 < v2 (Л)< v2 (fi), если А си В, и v2(F) =
= y1(F) для всех F. Для любых различных множеств F{ и F2
можно выбрать различные множества G{ => F{ и G2 1э F2. Так как
со (G)>co (G П G{) + © (G П G2) для любого множества G :э f! U ^2> то
Таким образом, для всех F и всех Л с: 5 мы имеем
sup {v, (Fx UF2) \FX с A[\F, F2c A \ F)>
> sup МЛ)+ sup Vi(F2).
Следовательно,
v2M)>v2(i4n/0 + v2(i4\/0. (1)
С другой стороны, для произвольных F| и Gi и всех Gzd F{\G{
мы имеем
v,(F,)< © (GlUG)<©(Gi) + <o(G).
Поэтому
Vi(F,)<©(G,)+ inf (o(G) = co(GI) + v1(fI\G1) =
= co(G1) + v2(F1\G1).
Таким образом, для любого F получаем
v, (£,) < inf [со (GO + v2 {F{ \ G,)] < v, (f f) Л) + v2 (F, \ F)
135

и для любого A с S
v2{A)= sup у,(?,)< sup vl(F[)Fl) + sup v2(Fx\F)^
FxaA F,<=.A FtczA
<v2{F(]A) + v2{A\F).
Вместе с условием (1) это соотношение означает, что #~с:^\,2.
Покажем, что неотрицательная, ограниченная и аддитивная
функция v2\&V2 будет регулярной. Действительно, для всех F
имеем v2(F) = vl(F) и, таким образом, v2(£) = sup v2(F) (£e^V2);
Fc=£
следовательно, полагая E = S\A, мы получаем
v2(S)-v2(A) = v2(S\A)= sup v2(F) =
FcS\A
= sup v2 (S\G) = v2 (S) - inf v2 (G).
G=>A G=>A
Поэтому
v2 (Л) = inf v2 (G) = sup v2 (F) (Л €= 5%2).
Таким образом, функция v2|^V2 регулярна и, по теореме 1.4.14,
существует единственная ограниченная и регулярная мера v на
наименьшем а-поле ^V2, содержащем ^V2. Так как 2Г с: #>V2, то
2В (S) cz ^V2. Более того, для всех F имеем v2 (F) = Vj (Z7) =
= inf © (G). Следовательно, v2 (Z7) < <o (G), если F cz G hvcU
<?=>f
= v2(G) = sup v2 (F) < со (G). Окончательно получаем v (5) =
= v2(S) = vITs) = (o(S).
I. 5,7, Лемма. Пусть выполнены условия леммы I.5.6, i е N,
функция /: S-*[0, 1] непрерывна,
cVK^tM]) <*-'-2 о.
£-1
|^(f)-J/Wv(rfs)|<2v(S)//.
Доказательство. Пусть Ak = f~l ((-^1^-, 4-)) , £* =
= Г' ({4}) (*=1>2> •••■ 0- Ясно, что Ch = Ah[)Bh9
множества Ak открыты, а В^ замкнуты. Определим замкнутые
множества Fka Ak {k= 1, 2, ..., /) и е>0 таким образом, чтобы
открытые множества
Gk = {s^S\d[s, Fk]<e},
G£={5e=S|d[s, Bk]<e) (£=1,2, ..., /)
136

были различны, Gk <= Ak, G'k <=■ Ak \}Bk tM*+i (где At+\ = 0), и
v(4\fKv(S)//2. Тогда
v (Ак) < v (Fk) + v (S)/i* < v (Gk) + v (S)//2 < <d (G*) + v (S)//2,
v(fl»)<v(Gi)<©(Oi).
Следовательно,
5f(s)v(ds) = J] Г J /(s)v(rfs) + -fv(B*)l<
fe-i L^ft J
<XtIv^ + v^1<Z tM0*) + «>(G*)] + -^. (1)
fc-1 fe-1
Пусть теперь С? = C/+, = 0 и G*UG'* = G*. Так как Gl^Ck\}
\]Ck+u Gk()G'k=0j множества G'[% •••, G'[ различны и
множества Cu ..., Сi так же различны, то мы имеем
/ i k+
-Е E 7*<°*nc/><
/-1 Л-/-1
<Ет E «(«nC/X^jotO^c^).
Учитывая условие (1), получаем отсюда, что
$/(s)v(ds)<*,(J) + v(S)//. (2)
Нетрудно проверить, что если заменить множества Ak и В^
на 4 и б! в предыдущих рассуждениях и положить Ло = 0
и Bf0 = rl ({0}), то 4-f-i4U+b Bi-'-flU (* = °> 1. 2. • •.. 0-
Таким образом,
mi -л-Е {.w-.+.)+j;{-(bu-
=Z(1-i^)-W) + S(i-i)co(^)<
/-I /-0
<(l+j)©(S)-c,(/) = (l+l)v(S)-C|(/). (3)
137

Соотношение (2) с заменой /на 1 — / и соотношение (3) дают
нам
v(S)-5f(s)v(ds)<(l+2/Ov(S)-c,(/).
Следовательно,
$f(s)v(ds)>c,(0-2v(S)//.
Это соотношение вместе с (2) дает нам требуемое неравенство.
1.5.8. Теорема (теорема Рисса о представлении). Пусть
S — компактное метрическое пространство. Тогда существует
такой изоморфизм Ф из frm (S) в С (5)*, определяемый условием
&~ (V) (Ф) = \ Ф (s) |i (ds) [|i е frm (S); ФеС (S)],
<*го выполняется условие
|^(|i)l-||i|(S).
Доказательство. Пусть [a е frm (S), фу, ф е С (S) (/' е N)
и lim | ф — ф/ |sup =0. Тогда функции ф и ф/ ц-измеримы и
ограничены, и, по теореме 1.4.35, lim \ фу (s) \i (ds) = \ ф (s) \х (ds).
Таким образом, отображение #"(|х)(«) непрерывно и
принадлежит C{S)*, так как отображение ф -> & (\х) (ф) = \ ф (s) \х (ds):
С (S) -> R линейно. По условию I. 4.34 (1), отображение \i -> & (\х):
frm (S) -> С (S)* будет линейным.
Если ^(s)^i(ds)= ^(s)»A2(ds) [феС(5)] для(А,, n2efrm(S),
то, по условию I. 5.5 (1), 1*1 = ц2- Таким образом, отображение У
инъективно. Остается показать, что для любого /е C(S)*
существует такое [iefrm(S), что / = #~(ц) и |/| = ||i|(S).
Так как C(S) является подпространством из BF(S, R), то
любой элемент./ из C(S)* имеет, по теореме Хана — Банаха I. 3.8,
непрерывное линейное продолжение /, на BF (S, R)\ Для AaS
д
положим <х(Л) = /1(хл). Ясно, что а — ограниченная аддитивная
функция множества на &(S) и |<x(j4)|<|/i|. По теореме 1.4.1
и лемме 1.5.6, существуют такие \i+ е frm+ (S) и \i~ е frm+ (S),
что [а+(G) ^ <т+(G) и [а_ (G)^ а~ (G) для любого открытого
множества G cuS, \i+ (S) = a+ (S) и \i- (S) = a" (S). Полагая
|x=(i+—(i_, получаем, что jxefrm(S).

Пусть функция f: S—>[О, 1] непрерывна. Для /gN и
& = {0, 1, 2, ...} положим
C(,,*,Ar,((ifM]),
t i
fi(s) = Yj J%cd,k)(s) (se=S).
Тогда, по лемме 1.5.7, получаем
Hm c+ (/) = \ f (s) *i+ (ds)9 lim сГ (/)=$/ (s) \i_ (ds). (1)
Так как lim'J ft — / |sup =0, то мы имеем
/ if) — lim/t (f,) = lim J] 4 a (C (/, ft)) = lim (c+ (/) - сГ (f)).
Следовательно, по условию (1),
/(f)«J/(s)|i(ds). (2)
Если ф e С (S) и | <p |sup ф 0, то положим ф! (s) = | ф |~'p max (ф (s), 0)
и ф2 (s) = | ф |~'p max (— ф (s), 0). Тогда ф, и ф2 — непрерывные
функции из S в [0,1] и ф = |ф|зирф,— |ф|8ирф2. Поэтому из
соотношения (2) получаем
/ (Ф) -1 Ф Lup I (Ф|) ~ I Ф Up I (Ф2> = \ Ф (*) |i (<fc). (3)
Наконец, из условий (3) и 1.5.5 (3) выводим, что | /1=| &"(р) |=
-5lli|(ds)-|ii|(S).
1.5.9. Теорема. Пусть S — компактное метрическое про-
странство. Тогда
1) существует изоморфизм 2F из frm(S)n в C(S, R*)*,
определяемый условием
п
F Ы (Ф) = J Ф (5) • |i (Л) = ^ J ФУ (s) V' (ds)
/-■
для |i=(|i\ ..., ц") е frm (S)" и <p = (q>' q>") е С (S, R");
2) (Зля каждого I = *Г (ц) е С (S, R")* существуют такие
A,e=frm+(S) ы Ue=Z,'(S, 2В(5), Я, R"), чго |A(s)|=l (ssS)b
/ (Ф) = J К (s) • Ф (s) Я (ds) [ф s С (S, R")J.
139

Доказательство. По теореме 1.5.2, топологии npocf-
ранств С (S, R") и С (S)n совпадают, поэтому множества С (S, R")*
и (C(S)nY также совпадают. Каждому элементу /e(C(S)rt)*
соответствует единственным образом некоторый элемент
(/1,...,/B)s(C(S)T такой, что /(ф)=Е//(ф/) Для каждого
/-1
Ф = (ф1, ..., (p")GC(S)n, Поэтому первое утверждение следует
из теоремы 1.5.8.
Пусть теперь 1<=C(S, Rn)* и 1 = &~([х). Полагая |=2 ||i'|,
получаем, что меры \х являются ^-непрерывными для
/=1, 2, ..., я. По теореме Радона — Никодима 1.4.37,
существует такое |=(1', ..., ln)eLl(S9 2B(S), £, R"), что
А
Положим
1*'М)- $!'(*) 6 (Л) HeSB(S)].
А
Ш)= \\l(s)\i(ds) [As2B(S)].
Легко видеть, что || (з)\ф 0 для Л-почти всех seS. Таким
образом, если определить
М5)^|1(5)ГЧ(5), если l!(s)|^0,
Я(5)Д(1, О, ..., 0)geR», если |1(5)| = 0,
то |£(s)|=l (sgS) и, по теореме 1.4.38,
/(Ф)= S Ф(5) • |i (rfs)= J I(s) • Ф (s)6(rfs)= J Я(5) • ф(5)Я(^5).
1.5.10. Теорема. Пусть S—компактное метрическое про*
странствОу 2 = 2д (S) и /С — компактный линейный оператор
в С (5). Тогда существуют конечная мера [a: 2->R и функция
k: S XS-*R гякие, «fro
|i € f rm+ (S), Mvlei1 (S, 2, ^ (5 g= S), (1)
Я(ф) (s)=\k (s, t)ф(0|i(dt) [ф e= С(S); sgS]. (2)
Более того, если k и \x удовлетворяют условиям (1), (2), то
*c=C(S, I'fS.S, ц», (3)
|*| £ sup \|A(s, 01И(Я)Н*1. (4)
Доказательство. По теореме 1.2.17, пространство S
имеет счетное всюду плотное подмножество {su s2, ...}, которое
мы будем предполагать бесконечным. При доказательстве будет
140

ясно, какие изменения нужно сделать для случая, когда это
множество конечно. Для каждого seS функция qp -► К (ф) (s):
:C(S)->R является линейной и непрерывной, и, по теореме
Рисса о представлении 1.5.8, существует такая мера v (s) е
е frm (s), что
К (Ф) (s) = J Ф (s) v (S) (Л) NC (5)],
|v(S)|(S)-sup{|/C(V)(s)|VeC(S)f |<р|<1}<|*|.
Пусть |i/ — | v (sj) | (/ е N). По теореме I. 4.6, меры \xj регулярны
оо
и, таким образом, по теореме 1.4.9, ц=^= £ 2_/И/ G frm+ (S).
/-1
Покажем теперь, что для каждого s е S мера v (s) ц-непре-
рывна. Пусть \i (Л) = 0. Тогда \i} (А) = 0 (/ <= N), и поэтому
v(s/)(i4) = 0. Так как К — компактный оператор, то, по теореме
I. 5.4, множество {К (ф) IIФ I ^ 1} равностепенно непрерывно, и
для любых s е S и е > 0 существует такое /gN, что
I /С (Ф) (^) — /С (Ф) (5/) I < е/2, если |<р|<1.
Следовательно,
| J Ф (s) [v (I) - v (s,)] (ds) | < е/2 [ФеС (S); | Ф | < 1].
Это условие вместе с условием I. 5.5 (3) дает нам соотношение
|-|v(i)M)-v(s/)(A)|-|v(S)(A)|<4/2.
K[v(s)-v(sy)](ds)
Таким образом, v(s)^) = 0, и мера v{§) jx-непрерывна для
каждого seS.
По теореме Радона — Никодима 1.4.37, для каждого $ ^ S
существует такая ц-интегрируемая функция ft (s, •), что
v (s) (£)« J ft (s. t) \x (dt) (E e 2).
в
По теореме 1.4.38,
* (Ф) (S) = $ Ф (0 v (3) WO = \ ft (5, <) ф (t) |1 (dt) [ф € С (S)].
Это доказывает утверждения (1) и (2).
Пусть теперь' ft и \i удовлетворяют условиям (1) и (2).
Докажем, что утверждение (3) справедливо. Действительно,
предположим противное. Тогда существуют такие е > 0, sgSh
последовательность (sf) в S, сходящаяся к s, что
[\k(s,t)-k(sh t)\\l(dt)>* (/eN).
141

Это соотношение вместе с условиями (2) и I. 5.5 (3) дает нам
sup {I /С(ф) (s) — К (Ф) (s7) 111Ф | ^ 1} =
= 5 m§9t)-k(sht)\ii{dt)>e (/sN),
Таким образом, для каждого jgN существует такая функция
Ф/gC(S), что
|ф/ 1<1. |К(Ф/)(5)-/((ф/)(5/)|>6.
Это означает, что множество /С(ф/)( •) не является равностепенно
непрерывным, и, по теореме 1.5.4, оператор К не компактен.
Получили противоречие. Таким образом, k^C(S, Ll (S, 2, \i)).
Наконец, из условий (1) и 1.5.5(3) получаем
J|fc(sf0l|i(rf0 = 8up{/C(9)(s)||VKl}<|/CI (*€=S).
Следовательно,
\k\±sup\\k(s9t)\p{dt)<\Kl
С другой стороны,
|tf|-sup{|K(q>)(s)||sesSf |<р |< 1} < sup \\k(s,t) \\i(dt) = \ k |.
1.5Л1. Теорема. Пусть S — компактное метрическое
пространство, S = SB(S),neN и К: C(S, Rrt)~>C(S, R"). Тогда
К — компактный линейный оператор в С (S, Rn) тогда и только
тогда, когда существуют такие
\х е= frm+ (S) и ke=C (5, L1 (S, 2, ц, B(Rn, Rrt))),
<*ГО
/С(Ф) (s)=\k(s, ОФ (0|i(Л) [5 € 5; Ф г С (S, R")], (1)
|KI<|*K*ltfl. (2)
Более того, если /С — компактный оператору \i е frm+(S), 0#н/с-
ция k(s, •) \1-интегрируема для всех sg S и условие (1)
выполнено, то ks=C{S, Ll{S, 2, ji, B(Rrt, Rrt))).
Доказательство. Предположим, что существуют ц е
e=frm+(S) и fee С(S, L'(S, 2, щ B(Rrt, R"))), удовлетворяющие
условию (1). Тогда для всех феС(Я, Rrt) и всех seSmh
имеем
lim|U(s, Оф(0^(Л)- U(5, *)<р(/)|1(Л)|<
< | ф | lim \ | A (s, 0 - ft (s, /) | ц (dt) = 0. (3)
142

Таким образом, соотношение (1) определяет линейное
отображение К: C(St Rn)-+C(St Rn). Для каждого cp€=C(S, Rrt) мы
имеем
su||J*(s, 0ф(0|х(Л)|<|*1Чф1.
и условие (3) означает, что множество {/С(ф) ||ф 1^ 1}
равностепенно непрерывно. Поэтому, по теореме 1.5.4, К —
компактное отображение.
Предположим теперь, что К — компактный линейный
оператор в C{S, R"). По теореме 1.5.2, пространство C(S, R") гомео-
морфно пространству C{S)n при тождественном отображении.
Отсюда получаем, что К ^ B(C(S)ny C{S)n). Следовательно,
К (Ф) - t Kt (ф'), К, (ф7) = (к) (фО, ..., К1 (фО)
/■■1
[ф = (ф\ ..., ФЛ)^С(5)Л; /=1,2,..., п\
где i(/Gfi(C(S), C(S)). Для каждого /е{1, 2, ..., п}
множество
{/С/(Ф/)Иф/1<1} =
= {/С(ф)1ф^(ф1, ..., Фп), Фм = 0 (тФ}), |ф'|<1}
условно компактно в C(S, R") (так как К — компактный
оператор), и поэтому {я1(ф011фМ<1} (*', /=1, 2, ...,
^—условный компакт в С (5). Таким образом, К) — компактный
линейный оператор в С (S).
По теореме I. 5.10, для каждого /, / = 1, 2, ..., п существуют
такие \л) €= frm+ (S) и k) е= C(S, L1 (S, 2, fij)), что
/С/(Ф)(s) = J Ц(s#)Ф(0|ij(Л) [ФеС(S); sgS], (4)
1*Я-sup {!#(*, Oil*/(Л). (5)
Положим |л — 2 Z М^- Тогда |л е frm+ (S) и меры ц}, ц
непрерывны для каждого / и /. По теоремам 1.4.37 и 1.4.38, отсюда
получаем, что существуют такие функции ту. S->R (/, / =
= 1, 2, ..., л), что
lij (E)=\m)(s) |i (<fe) (£s2), (6)
я
J f (s) ц< (<fe) - J / (s)«,' (s) |i (rfs) I/ s I' (S, Б, p)] (7)
14?

и функция <->fc/(s, t) = k*(s> t)m)(t) является
^-интегрируемой для всех /, / и s. Обозначим через k(s, t) элемент из
B(Rn, R") с матрицей (kj{s9 t)) (/, /=1, ..., п). Тогда
утверждение (1) следует из условий (4) и (7). Более того, по
условиям (1), (5) и (7),
п п
ii?Ksupji*(sioiiiWo<supj;5]Si*^s'^l'Aw<
п п
Это доказывает утверждение (2).
Докажем последнее утверждение теоремы. Пусть /, / е
е{1, ..., п) и /(/—определенный ранее оператор. Тогда, по
условию (1),
К] (ф) - \ k\ (5, t) Ф {t) |i (Л) [seS;(pGC (S)].
По условию I. 5.10 (3), получаем теперь, что &/ е С (S, L1 (S, 2, ц)).
Это означает, что kezC(S, Ll(S, 2, ц, B(Rn, Rrt))).
I.5.B. Пространство LP{S, 2, |i, ^) (1 <p<oo).
1.5.12. Банахово пространство L°°(S, 2, \i, 96). Пусть
(S, 2, [i) — положительное конечное пространство с мерой, а 96 —
сепарабельное банахово пространство. Функция /: S->96
называется ^-существенно ограниченной, если | f (s) | <1 с [а-почти
всюду для некоторого числа с е R. Полагаем
\х — ess sup | / (s) |= inf {c> 011 / (5) | ^ с ji-почти всюду в A)
(Л c= S) и пишем \x — ess sup \f(s)\ вместо \i — ess sup | f (s) |.
s&S
Обозначим через L°° (S, 2, \i, 96) (или через L°°(Sf 96), если
2 и \x уже определены) множество всех (эквивалентных классов)
[i-измеримых и ^-существенно ограниченных функций из S в 96.
Ясно, что|х — ess sup| f{(s) \ = \i — ess sup | f2{s) I, если fx = f2 ц-поч-
ти всюду, и таким образом, функция | / \ж — \х — ess sup | / (s) I
определена на L°° (S, 2, р, 96). Ясно также, что L°° (S, 2, ц, $?)
является векторным пространством, а функция / -Н / L — Н0Р~
мой в L°° (S, 2, [i, #?). Если (fi) — последовательность Коши
в ь°{8, 2, ji, Я?), то limsup| ft ^ < 00 и для каждого /, / с N
существует такое ^нулевое множество Л/,/, что | f( — ft \^ =
= sup I fi (s) — // (s) |. Тогда (//(s)) является последователь-
ностью Коши в 96 для всех 5 ф А' — (J ^ / и имеет такой пре-
м
дел /(s), что [a —esssup|/(s)i<limsup|//|00 < оо. По теореме
144

L4.17, функция f [х-измерима и поэтому является элементом из
L°°(S, 2, jx, X). Если е>0 и \ft — //L<e для i>i>k, то
I /(s) — f/(s) K»m| f(s) — f,(s) | + liml /, (s) —//(s) |<
Следовательно, lim I f — // L = 0. Это означает, что
пространство L°°(S,_2, jx, <3?) является полным, а поэтому и банаховым.
Будем писать L°°(S, 2, jx) или (L°° (S)) вместо L°°(S, 2, jx, R).
Определение сопряженных чисел. Будем говорить,
что р и р' — сопряженные числа, если р, р'е[1, оо] и 1/р+
+ 1/р'=1. Ясно, что для любого ре [1, оо] существует
единственное сопряженное число р' и что (р')' = р.
1.5.13. Теорема (неравенства Гёльдера). Пусть (S, 2, ii) —
конечное положительное пространство с мерой, р*и р' —
сопряженные числа, f^Lp (S, 2, \i) и gG Lp' (S, 2, |x). Гогда фуя/с-
ция fg \1-интегрируема и
\\f(s)g(s)Mds)\<\f\p\g\p..
Доказательство. Если р=1 (следовательно, р' = оо),
то | g (s) | ^ | g |эд для jx-почти всех sgS, Следовательно,
l/(s)g(s)l<lgljf(s)l Ц-почти всюду и
|Sf(s)e(5)ii№)|<J|gLi/(s)||i(ds) = igLI/li-
Если р = оо, то доказательство проводим аналогично, меняя
местами fug. Остается рассмотреть случай 1 <р<оо.
Предположим, что | fр \ Ф 0 и | g \р, ф 0. Напомним, что
в пункте 1.3.15 показано, что
*V-e<ax + (l--a)0 [as(0, 1); x,y>0], (1)
и это соотношение справедливо и при х = 0 или г/ = 0. Для
произвольного s ^ S полагаем х = \ f (s) \р /| f \р, у = \ g (s) |р'/| g \рр,
и а=1/р. Тогда из условия (1) получаем
f(s)g(s)<i\f(s)\\g(s)\^
<j\f\^P\g\PAf(s)\p + jr\g\lp7p,\f\p\g(s)r.
Следовательно,
5f(s)g(s)^(rfs)<i|/|p|g|p/+-L|/|p|g|p/ = |f|p|g|p,.
Наконец, если либо |f|p = 0, либо \g\p, = 0, то, согласно
условию I. 4.27 (6), /(s) = 0 [х-почти всюду, либо g{s) = 0 jx-почти
всюду, и поэтому \ / (s) g (s) \i {ds) = 0.
145

1.5.14. Теорема. Пусть (S, 2, \\) — конечное положительное
k
пространство с мерой, ieN; г, рь ..., pk е [1, оо]; 2J — = 7"
/-1 7
uft е= LP4S,S, |i)(/= 1, .. .,ft). Toeda<f^fxf2... fk^Lr(St 2, ц)«
Доказательство. Пусть p, <7, г e [1, 00]; ---f -. = -_;
feLp(S) и gt=Lg(S). Тогда -£-, -2- e= [1, 00] и функции s->
-> f (s) — I f (s) \r и 5 -> g (5) = I g (s) Г принадлежат, соответственно,
пространствам Lplr (S) и Lqlr (S). Согласно неравенству Гёльдера
I. 5.13, имеем
\\f(s)g(s)\r\i(ds)=\\f{s)g(s)\\i(ds)<t
<\f\Pf\g\q/r = \f\rp\g(Q- (1)
Нетрудно видеть, что если fу е L00 (S) (kf + 1 < / < k) для
некоторого £'е{1, ..., fe}, то
1фК|Л. f. ••• f^H/^+iU ••• l'*U-
Поэтому можно считать, что pf < 00 для всех /, следовательно,
г < оо.
Пусть теперь 2^/<&, V — ==• —, и предположим, что
\\fAs)...fi(s)(lii(ds)^(\fi\Pi...\fl\pf. (2)
Тогда
^+^-
яг
+1
и функция s->ф/ (s)=| f, (s)\.. f 1 (s) I принадлежит к Lr' (S). По
условиям (1), (2), отсюда следует, что
\\his) ... fds)fl+l{s)(l+l»(ds)^(\<?l\ri\fl+l\Pt+f+,<,
<(if.iPl---i/nP/if,+,iP/+if+i.
Таким образом, условие (2) справедливо при замене / на /+ 1.
Так как условие (2) справедливо для / = 2, как следствие
условия (1), то оно будет справедливым и для 2^/^&. Теорема
доказана.
Щ

Мы покажем, что пространство {Lp (S, 2, ji, 96), | • | р) является
нормированным векторным пространством, и основной
предпосылкой для этого является неравенство Минковского
\f + g\p<\f\P + \g\P.
1. 5.15. Теорема (неравенство Минковского).Пусть (S, 2, fi)—
конечное положительное пространство с мерой, 96 — сепарабель-
ное банахово пространство и 1^р<оо. Тогда LP(S, 2, \i, 96)
будет векторным пространством, а |- \р — его нормой.
Доказательство. Пусть f, gE LP{S, 2, \i, 96) и ae R.
Тогда |af |p = |a|| / |p < oo. Для всех a, Ь>0 мы имеем
| a + 6 \p < [2 max (a, b)\p < 2P (ap + bp).
Следовательно,
Sl/W + ef(s)lp|i№)<S[lfWI + lffWI]|,|i(rfs)<
<2p|/£+2p|g|p<oo.
Таким образом, f + geLp(S, 2, jx, #?); это означает, что
Lp (S, 2, \i, 96) — векторное пространство. Если | f \p = 0, то, no
условию 1.4.27(6), f(s) = 0 ц-почти всюду. Так как | / |p>0,
то остается показать, что | / + g \Р < I / 1Р +1 g |Р.
Когда p—l, это неравенство следует из условия 1.4.34(3),
и является также очевидным, когда р> 1 и |/ + g|p = 0. Если
р > 1 и | f + g \р ф 0, то, в силу условия 1.4.27 (3), мы имеем
Jlf(5)+g(s)|V(^)=J|f(s) + g(s)||/(s) + g(s)rV(^)<
<\\f(s)\\f(s) + g(s)r{ii(ds) +
+ \\g(s)\\f(s) + g(s)rllx(ds). (1)
Так как pf = р/(р — 1), то, ясно, что функция s -> | / (s) + g (s) f~{
принадлежит к Lp (5, 2, \х). Следовательно, применяя
неравенство Гёльдера 1.5.13 к каждому интегралу в правой части
неравенства (1), мы получаем
\f + g^<\f\p{\\f(s) + g(s)fMds)}iP'1Vp +
+ \g\P{\\f(s) + g(s)\p\x(ds)}{p-l)IP =
"ifipiz+gir'+igipiz+gir1-
Таким образом,
147

1.5.16. Лемма. Пусть (S, 2, ц) — конечное положительное
пространство с мерой, S6 — сепарабельное банахово
пространство, 1^р<оо, ceR, функция f: S-+S& ^-измерима,
U s L" (S, 2, ц, %), \h\p<c (/ <= N) и lim | / - f, |^ ((1) = 0. Тогда
f<=Lp(S, 2, |i, #).
Доказательство. Пусть
4,= {seS||f(s)p<n},
B< = {ss5||/l(*)-f(s)l>l} (/, «sN).
Так как lim If — ^ ^ {д) = 0, то существует такое k = k(n)<=fi,
что ц (Bft) < l//i. Тогда
51/(5)1^(^5)= J | f (S) Г Ц (rfs) + 5 |/<s)|>n(ds)<
< J |/(s)|"n(rfs)+l. (1)
S\Bk
Для seS\Bk мы имеем ||f (s)|-|/»(s)|K|/(s)-f*'s)|< I.
Следовательно, | / (s) | ^ | f k (s) | + 1. Более того, так как (а + 1 )р ^
<2р(ар+1) для всех а>0, то | f (s) |"<2Р [|fft(s) |"+ 1].
Отсюда следует, что \ | f (s) \р ц, (ds) < 2Р [ср + р (S)], и, по усло-
s\Bk
ВИЮ (1),
S Хл„ (s) I / («) Г ц (ds) < 2" [ср + ц (S)] + 1. (2)
По лемме 1.4.25, существует такая последовательность igj
ц-простых функций, что последовательность ign(s)) не убывает
и lim gn is) = | / (5) \p (s^S). Так как это утверждение справед-
п
ливо и для функций %Angn> то из условия (2) и определения
I. 4.26 получаем
Slf(s)lV(ds)-Iim$^^^
1.5.17. Теорема. Пусть (S, 2, р.) — конечное положительное
пространство с мерой, S6 — сепарабельное банахово
пространство и 1^р<оо. Тогда (Lp (S, 2, ц(^), | • |р) является
банаховым пространством.
Доказательство. По теореме I. 5.15, (LP(S, 2, \it8?),\ • |р)
является нормированным векторным пространством. Пусть теперь
(/^) — последовательность Коши в LP(S, 2, ц, 8в). Тогда (\fi\p)
будет последовательностью Коши в R, и поэтому существует
148

taKoe c^R,. что \fi\p^c дЛй всех i^H. Если Мы Положим
Л(е, /, j)={s^S\\fi(s)^fj(s)\^E} (/, /sN; е > 0), то
е^(Л(8,/,/))< J 1М*)-М*>1МЛ)<1Л-//1рТГ0
А (г, /,/)
для любого е > 0. Следовательно, lim \fi-fj \^ (ц) = 0, и, по
теореме Егорова 1.4.18, существует такая ц-измеримая
функция /: S->^, что lim | ft — /1^(^ = 0. По лемме 1.5.16,
f<=Lp(S, 2, ц, Ж).
Покажем затем, что для любого е>0 существует такое
л(е)>0, что 1Хя/|р<е и IXfMP<e (/gN), если n(£)<ti(e).
Действительно, пусть i = i(e)eN таково, что | /£ — // 1Р^ е/2,
если /, j^k. По теореме 1.4.28, существуют такие. tj£ (е)
(/ = 0, 1, 2, ...), что \\f(s)\pp(dsXBp; если |i (JE) < Ло (в), и
5|^(5)1рц(^)<2-ре^ если |i(£)<T|/(e) (/eN). Положим
Е
т](е)= Min т^(е). Для |i(£)<T)(e) мы имеем lx£/rL<e и
IfofrlpO/2 Для *=1> 2» •••» *• Отсюда следует, что
\XEh\P<\XBifi-fi)\p + \XJk\p<\tt-fk\p + B/2<B
для /^&. Это означает, что
1Хн/|р<в§ 1хвМр<в (/g=N), (1)
если |i(£)<T)(e).
Положим теперь для фиксированного е > 0
fl(ei0 = {seS||f(s)-fl(s)r>e',/|i(S)}
и выберем такое m(e)eN, что \х(В(е, /))<т)(е) для /^т(е).
Для всех /^т(е) мы имеем
|/-/<с= J i/(s)-Ms)iv<fe)+
В (е. О
+ J 1И*)-М*)1Р|*(Л)<
S \ Я (е, О
< J |f(s)-Ms)lPn(^) + e". (2)
й (е, I)
Так как | / (я) - /, (s) |р < [ | / (s) | + | ft (s) \]р < 2" [| / (s) \" + \ ft (s) \р]
для всех i и s, то из условий (1) и (2) получаем
|/-//i;<2"|xB(e,0/|P+2p|xfl(e,,)/,|pP + eP<(2P+4l)e'>
149

для всех />m(e). Это означает, что lim| f — f.-ID = 0. Таким
i и
образом, любая последовательность Коши (ft) в Lp(Sf 2, |i, SB)
имеет предел /.
1.5.18. Теорема. Пусть S — компактное метрическое
пространство, p,^frm+(S), 2 = 2B(S), 9В — сепарабельное банахово
А
пространство, множество й/00=={^1, х2, ...} всюду плотно в 96
и 1<р<°°. Гогда LP(S, 2, \i, 96) является сепарабельным
пространством и следующие подмножества всюду плотны в
L'(S, 2, |i, Я?):
a) множество \х-простых функций из S в 96 ^\
b) множество \ JL Cj (•) xtj | k, iu i2j ..., /feeN, ct e С (S)
c) C(S, Я?).
Доказательство. Пусть £gS и e > 0. Тогда
существуют замкнутое множество F cz £ и открытое множество G zd £,
такие, что |i(G\F)^e. Положим й=1, если G = S, и, в
противном случае,
h(s) = d[s9 S \ G]/(d [s, F] + d[s,S\G]).
Тогда функция h непрерывна, 0</z(s)^l, h(s)=l {s^F) и
h (s) = 0 (s e S \ G). Следовательно,
\\XE(s)-h(s)f\i(ds)= J IXE(e)-A(s)lp|i(rfs)<e.
Таким образом, характеристическая функция любого множества
£gS, а поэтому и любого ^-измеримого множества может
быть приближена в LP(S, 2, \х) непрерывными функциями.
Пусть теперь /gLp(S, f) и е> 0. По теореме I. 4.30,
существует такая [i-простая функция }г: S-+96, что I / — /е |р< е/2.
л А
Если /е= ZutEjUiy то Для каждого /=1, 2, ..., fe выберем
такую точку ^е^, что |у, — Xjy|<e/[2|x(S),/p]. Тогда
функция
/-1 ' '
будет Ц-ПрОСТОЙ И | f — /8|р<| / — ft \р + I /е — fe Ip < в. ЭтООЗ-
начает, что множество ц-простых функций из S в 96^ всюду
плотно в LP(S, 96).
Как мы показали, характеристическая функция любого
^-измеримого множества Е может быть приближена в Lp (S)
последовательностью непрерывных функций. Поэтому для каж-
150

дого Ef выберем в выражении для fe такую непрерывную
функцию С/, что | С/ — Хву |р ^ е/(Л | х£/1). Тогда
k | k
5>/( •>*'/-?■ <S{Sic/<s>—хв/(в)Пх«/Г»*(£|5>}1/р<в'
/-I
/-1
и, таким образом, множество Ь) всюду плотно в LP(S, 96).
Если мы обозначим это множество через С, то нетрудно
проверить, что С aC(S, 96)aLp(S, 96), и, таким образом,
множество C(S, 96) всюду плотно в LP(S, 96).
Наконец, по теореме 1.5.1, банахово пространство (С (S),\ • |sup)
является сепарабельным. Так как из сходимости в топологии
| • |sup следует сходимость в топологии | • |р, то функции cj в
выражении Ь) могут быть выбраны из счетного множества. Это
означает, что пространство LP(S, 2, \х, 96) сепарабельно.
I. 5.19. Теорема. Пусть (S, 2, \х) — положительное конечное
пространство с мерой, 1 ^ р < оо и рг — число, сопряженное
к р. Тогда существует изоморфизм У из Lp (S, 2, \х) в LP(S, 2, \i)*,
определяемый условием
^(g)(f)^\g(s)f{s)lx{ds) [g^Lp'(S); /e=L"(S)],
и мы имеем
\r(g)\-\g\„.
Доказательство. Будем писать Lq(S) вместо L9(S, 2, ц)
и через | • |, обозначим норму в L4(S, 2, \i).
1. Пусть geLp'(S). Из условия 1.4.34(3) и неравенства
Гёльдера 1.5.13 следует, что \ g (s) f (s) ц (ds) < оо для всех
feLp(5), и ясно, что отображение f -*• \ g (s) / (s) ц {ds)
линейно на LP(S). Если liml f — Ы„ = 0, то
| \g (*) f (S) |i (ds) - J g (s) f, (s) |i (ds) | <
<\\g(s)\\f(s)-fl(s)\»(dsX\g\p>\f-f ,]„-><).
Таким образом, отображение T(g) непрерывно.
Если Г (g.) (f) = &-(g2) (f) [f e V (S)], то мы полагаем f, (s) = 1,
если gAs)-g2(s)>0, и /,(s) = — 1, если gl (s) - g2 (s)< 0.
Ясно, что /|6LP(S), и поэтому
| J gi (s) /, (s) ц (ds) - J g2 (S) f, (s) ц (ds) | =
= | J (gi (*) - g2(s)) fi (s) ц (ds)\ - J | g, (s) - g2 (s) | ц (ds) = 0.
15»

Следовательно, по условию 1.4.27(6), g\(s) — g2(s) ц-почти
всюду. Таким образом, отображение
g-+F(g): LP'(S)-+LP(S)*
инъективно.
2. Покажем затем, что для любого /eip(S)* существует
такая функция g^Lx (S), что / (f) = \ g (s) f (s) у, {ds) для всех
fe=Lp(S).
л
Пусть v(£) = /(xE) (£gS), Ясно, что функция множества v
ограничена и аддитивна. Если Еи Е2, ... —различные элементы
из 2 и Е = U Еп то
/=i
I ' I ( l Y/p
Hm Хв-Д^Хе, =Hm|i^\ IU/J =0.
Следовательно, lim v f |J Ef J = lim / f £ %£; J = I (Xe) = v (E) и,
таким образом, v: 2->R — конечная мера. Так как 1х£|р = 0,
если \х(Е) = 0, то мера v ц-непрерывна. По теореме Радона —
Никодима 1.4.37, существует такая функция ge L1 (S), что
/(Хе) = v(E)=\g(s)%Е(s) ix(ds) (Е € 2).
Так как отображения I и &~{g) линейны, то
l(h)=\g(s)h(s)n(ds)
для всех [i-простых функций Л: S->R.
Пусть для всех u: S->R функция stt(s)=l, если w(s)^0,
и su(s) = —1, если w(s)<0. Так как \fa\p — \f\p для всех
f е Lp (S), если | a (s) | = 1 (sg S), to мы имеем
= /(V/^<l'H4 (D
для всех ^-простых функций Л. Если f^Lp(S), то, по теореме
1.4.30, существует такая последовательность (/у) ji-простых
функций, что lim f,==f в LP(S) и I f/(s)|<|/(s) |+1 (sgS);
отсюда получаем | f} \РК^\ f \Р+ M-(S)1/p для всех /eN. По
теоремам 1.4.31 и 1.4.18, мы можем выбрать
последовательность (/у) таким способом, что lim fj = f р,-почти всюду и
lim | gfi — gf \р (|4) = 0, и, по условию (1), имеем
$1в(*)//* l|i^<l/l[lflp+l*(S)l/p].
152

Из леммы 1.5.16 получаем, Что gf е Ll(S). Так как| fj($)g(s) |^
<[l/(*)l + l]lg(«s)l (5GS), то, по теореме 1.4.35,
I (f) = lim I [f,) = lim \ g (s) f! (s) |i (rfs) = J g (s) f (s) p (ds). (2)
3. Для того чтобы показать, что g^Lp (S), предположим,
что р> 1. Пусть отображение sg такое же, как и в пункте 2.
Полагаем
^ = {seS||ef(s)|<«} («gN)
и %п = Хал- Тогда функция s->yn(s) =\g(s) f'~l%n (s)'sg(s)
ограничена и потому принадлежит LP(S). Следовательно, по
условию (2),
J %п (s) I g (s) f |i (ds) = \g(s) yn (s) ix (ds) = I (YnXI Л I Yn \P
(«sN). (3)
Так как /?(// — l) = p', то это соотношение означает, что
IXnglp'<UIIXnglp'/p; следовательно, 1Хяв1Р'<1Л и, по лемме
1.5.16, geLp'(S).
Если р=1, то мы имеем
5lff(s)l[A(^)=Jg(s)5^(s)x£(s)[i(ds)<
<|/||^XeIi-UIi*(£) №eJ).
По условию 1.4.34(7), это соотношение возможно лишь в
случае, когда |g(s)K|/| ц-почти всюду. Таким образом,
lffL<l'l и g^L°°(S). (4)
4. Наконец, покажем, что |/| = |g| ,. Соотношение
Ш<1*1Р, (5)
следует из условия (2) и неравенства Гёльдера 1.5.13. При
р=1 соотношения (4) и (5) дают нам |/| = Igloo- Если р> 1,
то полагаем f(s)=\g(s) f~x sg(s) (s e S), тогда feip (S) и
\f\p = {\\g(s)fMds)}llP~\g\p-l). Отсюда, по условию (2),
имеем
\i\\g\T~{)>nf)~\\g(s)\p'v(ds)=\g\;:.
Таким образом, |/|>|g|p, и, по условию (5), \l\ = \g\p„
I.5.20. Теорема. Пусть (S, 2, \х) — положительное конечное
пространство с мерой, 1 ^р < оо, р' —- число, сопряженное к р
и «eN. Тогда существует изоморфизм 2Г из LQ' (5, 2, ц, R")
153

в LP(S, 2, \i, Rn)*, определяемый условием
F-(g)(f)=[g(s).f(s)n(ds)
[g € Z/ (S, 2, ц, R"), / € £' (S, 2, ,1, R")].
Доказательство. Будем писать Lq (S, Rrt) вместо
L? (S, 2, |x, Rrt). Легко показать, что множества Lp (S, Rn) и
Lp{S)n и их топологии норм совпадают. Таким образом,
LP(S, Rn)* = (Lp{S)n)*f и для каждого ls=Lp{S, Rn)* существует
единственный элемент /;е LP(S)* (/=1, .. . ,ггс) такой, что /(/)=
= t,l!(fJ) Для всех f = (/\ ..., D^^P(S, R"). Доказательство
/-1
завершается применением теоремы 1.5.19.
1.5. С. Специальные пространства. Пусть Su S2 и ^ —
заданные множества, F (S2, X) — семейство функций из S2 в X,
а 5# — семейство функций Л: St X S2 -> X, удовлетворяющих
условию h(su *)&F{S2, X) (s{^S{). В этом случае существует
естественное отображение семейства Ж на класс функций из St
в F(S2, X), которое каждой функции Ае<Ж ставит в
соответствие функцию s{-*h(sh •). В таких случаях мы часто будем
отождествлять функцию h: SlXKS2-*X с функцией s{-+
->h(sb .): S^F(S2JX).
Если 5^! —семейство функций из S{ в R, й/—банахово
пространство, а 5^2 — семейство функций из S2 в й/, то обозначим
через Жх ® 5^2 семейство функций h: SXX,S2-+3B вида Л(sb s2)=
k
= ZA/(5i)A}(s2), где feeN, Л] е 2^ и Щ^Ж2. Будем писать
Л} ® й^ вместо функции (s,, s2) -> Л) (st) h) (s2): S, X S2 -> a?.
В дальнейшем мы будем неоднократно, не ссылаясь каждый
раз, применять теоремы 1.5.1 и 1.5.18, в которых показано,
что банаховы пространства C(S, ЗВ) и LP(S, 2, jx, SB) являются
сепарабельными, если S — компактное метрическое
пространство, \i е frm+ (S), 2 = 2В (S), a 96 — сепарабельное банахово
пространство.
1.5.21. Теорема. Пусть SB — сепарабельное банахово
пространство, ?g[1, оо), St—компактные метрические
пространства для /*=1, 2, |х, е frm+(S,-) и 2; = 2В(5^). Если функция
Н: S{-+Lq(S2, 22, ц2, ЗВ) \х{-измерима, то существует такая
Hi X ^-измеримая функция h\ SxY^S2->$6, что h(su •) =
= #(s,)(.) \12-почти всюду для всех Si^S{. Более того, если
функция Н ^интегрируема и k~ \ // (sj) |ы1 {ds{), то
k{s2)= )h(su s2)\ii(dsl)
для \12*почти всех s2 е S2.
154

Доказательство. Предположим, что функция Я игин-
тегрируема. По теореме 1.4.30, существует такая
последовательность (#,) щ-простых функций, что
llm\\H(s{) - Ht(s,)I, Hi {dsx) = 0, (1)
Д M0
#,(s.) = Z x}(*,)0,' (s, eSi;/s N), (2)
где X/ — характеристическая функция ^-измеримого
множества А*г Пусть теперь / е N зафиксировано. Выберем для
каждого /е{1, 2, ..., £(/)} 22-измеримую функцию ^ из
эквивалентного класса функций yj (1.4.17). Полагая
М*ь %)= £ X/(si)^(s2) (5i G sp 52G S2) (3)
для любых р g R и ^ g f, мы имеем
В(р, *) = {(sIf s^eSiXS^IA^S!, s2)-*|<p} =
Л (О
Так как функции уУ 22-измеримы, то множества В(р, х)
отличаются на Hi X ненулевые множества от элементов семейства
Si ® 2ц. Следовательно, функция h{ \i{ X неизмерима. По
теореме 1.4.35, Lq(S2, Sg, \i2f <S?) cz L1 (S2, 2?, \i2i 9В), и поэтому
yj е L1 (S2, 22, и2> SB)> Следовательно, по теореме Фубини I. 4.45,
функция к{ Hi X н2-интегрируема.
Из условий (2), (3) и неравенства Гёльдера 1.5.13 получаем
\ I ht (su s2) - Н (s{) (s2) | \i2 (ds2)<
<| Hi (s) -H(sx) \qii(S2)iq-{)lq (i e= N; s, e S,).
Следовательно, по условию (1),
lim J hi (ds,) J I Л/ (si, s2) - Я (sO (s2) | и2 №2) = °- (4)
Далее, по теореме Фубини I. 4.45,
lim [ | hi (su s2) — hk (su s2) \ \ix (ds{) X H2 (ds2) =
= lim ( Hi {ds{) \ I h( (su s2) — hk (su s2) \ \i2 {ds2) <
< lim J hi (rfsi) \ I At (5i, 52) - H (s) (s2) | н2 (<*s2) +
+ lim J hi №1) J I hk (su s2) - H (s{) {s2) \ \x2 (ds2) =-- 0.
155

Таким образом, (Л/) является последовательностью Коши в
Ll (S{ X S2, 2, ® 22, щ X ц2, Щ и, по теореме I. 5.17, существует
такая \х{ X ^-интегрируемая функция Я: ^ X $2-* $?> что
lim \ | hi (s) — Я (5) | fii X Ц2 (ds) = 0. По условию (4), теперь
получаем, что
J |xi{dsx) \\h{su s2)-H{s{){s2)I[i2(ds2)<
< lim J ^ (dsi) J I Я (su s2) — A* (su s2) | ц2 (ds2) +
+ lim J Ц! (dsx) J IA, (sh s2) — #(s,) (s2) IM^2) = 0.
Применяя условие 1.4.27 (6), получаем, что существует такое
множество SjcrSp чт0 PiC^i^^i)™^* и для кажД°г0 s\ е ${
выполнено условие h{su s2) = Н(s{)(s2) для [^-почти всех s2^S2.
Полагаем A(sb s2) = h (su s2) для всех (su s2) e S{ X S2 и
A(sb s2)= Я! (s^ (s2) для всех (sb s2) €= (Si\Si) X S2. Тогда
функция h Hi ХЦг-интегрируема, так как функция Я щ X
^-интегрируема, а А отличается от Я на ^ X [А2-нулевом множестве
(SASOXS2.
Пусть теперь
ТЕ<Р = \ Ф (s2) И2 Ws2) [£ <= S2, ф2 e L« (S2, ^)].
Тогда, по неравенству Гёльдера 1.5.13,
I TE<f I < J хя (s2) IФ (52) I H2 №2) < fx2 (S,)1"1^ I ф I,.
Это означает, что Гв — ограниченный линейный оператор из
л г
Lq(S2, 22, \i2, SB) в 86. Полагая k = \ Н (sx) \i{ (ds^ мы имеем,
по условиям I. 4.34 (8) и I. 4.45 (3),
J k (s2) \а2 >ds2) = TB\h(sl9 •) p, (ds{) =
= 5 1*2(^2) J A(st, s2) щ №4).
Тогда, по условию 1.4.34(7), &(s2)= \A(*i> £2)1*1(^1) Для Щ'ПОчти
всех s2 e S2. Это завершает доказательство теоремы для
случая щ-интегрируемой функции Я.
156

Если функция Н не является щ-интегрируемой, то полагаем
Dn = {sl^Sl\n^i\H(sl)\g<n+l} (п=0, 1, 2, ...)•
Тогда функция %DnH будет ^-интегрируемой Для каждого /г = 0,
1, 2, ... и, по доказанному, существует такая |i! X
^-интегрируемая функция hn: S{XS2->8?, что для всех s{^Dn
выполняется условие hn{su ») = Н (s{)(*) ц2-почти всюду. В этом
случае полагаем h(su s2) = hn{s{, s2) (n = 0, 1, 2, ...; s{^Dn;
s2 s S2).
I. 5.22. Теорема. Пусть 96 — сепарабельное банахово
пространство, q s [1, оо), St — компактное метрическое пространство для
каждого i=\, 2, ji;efrm+(S;) и In = 1LB(Si). Если функция
Н: S{ -> Lq (S2, 22, ц2, $6) непрерывна, то существует такая \х{ X М-2"
измеримая функция h: S{ Y^S2->96, что для всех s{ е Sj
выполнено условие h(su -) = H(s{)(-) \х2-почти всюду.
Доказательство. Так как S1 = SB(S1), то функция Я
^-интегрируема. Поэтому доказательство следует из теоремы
1.5.21.
I. 5.23. Теорема. В условиях теоремы 1.5.11 для любой меры
X^lrm(S) функция k: SX5->B(Rn, Rn) может предполагаться
А, X ^-интегрируемой.
Доказательство. Пусть (&}) (/, / = 1, ..., п) — матрица
отображения k. По теореме I. 5.22, мы можем таким образом
изменить функцию k\ (s, •) на ц-нулевом множестве, чтобы
полученная функция &/(•, •) была ЯX М-'Измерима. Ясно, что
такое изменение не отразится на выводах теоремы 1.5.11.
I. 5.24. Теорема. Пусть S{ — компактные метрические
пространства, i=l, 2, jifSfrm+(Sf) и 2/=r2B(S;). Пусть, далее,
96— сепарабельное банахово пространство, р, q е [0, оо); через
LP(S{) обозначим Lp (S{, 2U \i{, 96), через Lg (S2, 8?) обозначим
Lq (S2, S2, \i2, 96), | • \p - норма в Lp {S{), \-\g- норма в Lq (S2, 96),
Ж — множество {эквивалентных классов) таких \i{ X
^-измеримых функций h: SiXS2->g&, что функция s{->\h{su *)\g
принадлежит к Lp (S{). Тогда Ж изоморфно множеству Lp% Q =
= LP(SU 2Ь \iu ^(S^I^, [i2, 96)) при отображении 2Г, которое
ставит в соответствие каждому элементу Ag^ функцию s{->
->h(su •), и множество C{S{) ® C{S2, 96) всюду плотно в Lp,q.
Доказательство. Пусть h^i№ и H(sl) = h(s[, *)(si€Si)-
Если f^Lq(S2, 96),то функция (s{, s2)->h(s{,s2) — f(s2): Sxy^S2->96
принадлежит к Ж и, по условию 1.4.45 (2) теоремы Фубини,
функция sx->\H(s\) — f\q ^-измерима, это означает, что
функция S\->H{s{) ^-измерима. Так как, по предположению,
функция Si-+\H{si)\q принадлежит к JLp(S{)t то H^Lp,q.
157

Пусть теперь Н gLp,(?. Тогда, по теореме 1.5.21, существует
такая \ix X неизмеримая функция Л: S1XS2->#?, что для всех
5! eSi выполняется условие h(s{, • )=* H(s{)( •) ц2-почти всюду,
и ясно, что Л е Ж Если hx — другая такая функция, то она
отличается от h на \ix X ц2-нулевом множестве, и поэтому Л —
единственный элемент из Ж, соответствующий функции Я. Так
как отображение (Г линейно, то &~ — изоморфизм из Ж в Lp*7.
По теореме 1.5.18, пространство LP(S2,86) сепарабельно,
множество С (S2, <3?) всюду плотно в Lq (S2, 86), и множество
C(S,)®{/,, f2, •••} всюду плотно в Lp%q для любого всюду
плотного в Lq {S2, 86) множества {fu f2, ...}. Мы можем выбрать
множество {fu f2, ...} из C{S2,8B). Это означает, что
множество С (S,) ® С (S2, Я?) всюду плотно в Lp,<7.
I. 5.25. Теорема. Пусть (Sb 2, ji) — положительное
конечное пространство с мерой, S2 — сепарабельное метрическое
пространство, 86 — сепарабельное банахово пространство и
a=a(su s, ц, s2;#?)
— векторное пространство (эквивалентных классов) функций
ф: Sj X S2->a?, удовлетворяющих условиям: ф (sh •) s C(S2, Я?)
(Si е S^; функция ф (•, s2) ^.-измерима для всех s2 е S2; для
любой функции (peJ существует такая ^.-интегрируемая
функция %, ^го | ф(гь •) lsup < фф («О («i е SO; и два элемента ф, и ф2
совпадают, если <${(sx, ') = ф2(5ь ') для ii-почти всех Si^S^
Тогда
1) функция Si->| ф («1, •) |sup ^-интегрируема, функция ф-> |ф |^=
==\|ф(51| *) lsup^(^si): ^-*R является нормой в $, а функция
s\-^4>(su i(5i))' «Si —>Я/ ^.-интегрируема для всех (psl« все*
^.-интегрируемых функций |: S1->S2;
2) если S2 — компакт, то отображение ЗГ, которое ставит
в соответствие элементу фе^ функци ю sx -> ф ($!, •): Sj -► С (S2, ^),
является изометрическим изоморфизмом пространства {$, | • |^S
«а Z^SbS, ^,C(S2,^));
3) если S,, S2 —компактные метрические пространства, мера \х
регулярна и S = Sfl(S1), го пространство ($, | • |^) сепарабельно
и множество C{S{) ® C(S2, 86) всюду плотно в $.
Доказательство. 1. Так как функция х->\х\\ Я?->Ц
непрерывна, то, по теореме 1.4.21, функция 5|->|ф(51> •) lsup
ji-интегрируема для каждого элемента фе! Так как
l<P(Sl> ')1яир<*ф(5|) («iSS,), ТО фуНКЦИЯ 51-Чф(5,, • ) lSUp
ц-интегрируема и | ф |^ определена в R для всех ф£|. Легко
показать, что |ф|л>0, | Ф1 + Ф2 |л<| Ф1 \а + I Ф2 \л и |0|^ = 0.
Предположим теперь, что | ф 1^ = 0. Тогда, по условию 1.4.27 (6),
168

1ф(51> •) lsu =6 для jii-tio4fH всех s{&$2 и, таким образом,
функция ф эквивалентна нулю. Отсюда получаем, что I • 1Л —
норма в &. Если ф£^и функция £: S{->S2 ц-измерима, то,
по теореме 1.4.22, функция $i-*q>(si, 1(5,)) ц-измерима, и так
как |<p(slf i(si))Klq>(si, •) llup<%(si) («i е Si), то функция
S\ -> ф (s{91 (sO) ji-интегрируема.
2. По теореме 1.5.1, пространство C{S2,96) сепарабельно.
Более того, функция (sx, s2)-xp(su s2)~ c(s2) принадлежит $
для всех фЕ|ис£ C(S2, #?). Отсюда следует, что множество
{Si е S2 11 ф (su •) — с (•) |sup < р} ц-измеримо для всех р е R,
это означает, что функция Si-^($i, •): Si~>C(S2, 36) fi-изме-
рима. Так как |ф(5ь • )lsup<^<p(si) (s, eSi) и пространство
C(S2, 36) сепарабельно, то^(ф) е L!(Si, 2, jx, C(S2, 96)). Наоборот,
если feZJfSi.S, |i, C(S2,#)), то f W е С (S2l Ж) (s,e^),
функция i|)f(5i)=|f(5i)(-) lsup jA-интегрируема и функция s{->
-^f(S\){s2) ц-измерима для каждого s2eS2 (так как функция
c-*c(s2): C(S2,36)->36 непрерывна). Таким образом, функция
(su s2) -> f (Sj) (s2) принадлежит 3S. Ясно, что отображение У
линейно и инъективно, поэтому SF — изоморфизм из & в L1 (Sh 2, ji;
С (S2, Я?)). Нетрудно проверить, что
M*=$l<P(Sb •)18ирц(^1) = |^(Ф)|.
3. По теореме 1.5.1, пространства (С^), | • |sup) и (C(S2, 96),
| • |sup) содержат всюду плотные счетные подмножества \с\, с\, ...}
и {с\, с\, ...}, и нетрудно показать, что множество {с\, с\, ...}
также всюду плотно в множестве С^) в топологии
пространства L[(SU% \i). Следовательно, по теореме 1.5.18, множество
^(^i) ® {cv с1> • • •} ВСК)ДУ плотно в &. Отсюда следует, что
счетное множество \с\, с\, ...} ® {с*, с|, ...} всюду плотно в 3$,
а следовательно, и множество С (S,) ® С (S2, 36) также всюду
плотно в 38.
1.5.26. Теорема. Пусть X — полное сепарабельное
метрическое пространство, (Su 2j) — измеримое пространство, S2 — ком*
пактное метрическое пространство, а функция h: S{ X S2 -> X
такова, что функция h(*9s2) ^-измерима, а функция h(sb •)
непрерывна для всех (s{, s2)eSiXS2. Тогда
1) функция Si-*A(si, •): Sj->C(S2, X) ^-измерима. 'Более
того, если S{ — компактное метрическое пространство, \х{ е
efrm+(S!) и (Sp 2р ц|) — лебеговское расширение пространства
(SbS^S^iii), то
2) для любого е > О существует такое замкнутое
подмножество Fe из Su что \i\{Si\Fe)^e и функция h\FBXS2
непрерывна;
3) для любой меры \х2 е frm (S2) функция h \i{ X ^измерима.
159

Доказательство. По теореме 1.5.1, пространство С (S2,X)
сепарабельно и содержит счетное всюду плотное подмножество
{сь с2, ...}. Если мы обозначим через dB(«, •) расстояние
в C(S2, X) (т. е. dB(c\ с") = sup d(c'(s2), с" (s2))), то, по теоре-
мам 1.4.20, 1.4.21, функция s{-+dB(h{s{, -),с() 2гизмерима
для каждого i е N. Отсюда следует, что множества {5! е
eS1|dB(A(s1, *)>^)^Р} ^-измеримы для всех PgR и / е N,
и поэтому функция s{->h(su •): S{-+C{S2i X) ^-измерима.
Предположим теперь, что S{ — компактное метрическое
пространство, \i{ <= frm+ (Si) и (Si, 2Ь \i*\) — лебеговское расширение
пространства (S,, 2B(Si), |ц), и пусть И{sx) = h{su -)^C(S2,X)
(s{ е Si). Тогда функция Я щ-измерима, и, по теореме Лузина
1.4.19, для любого е>0 существует такое замкнутое
подмножество F>e из S{, что \х{ (S, \ FgXe, и функция H\Fe непрерывна.
Если lim/y — / в Fe и lim Г/ = г в S2, то
limd{h{t,f), А (/,,/•,))<
< lim [d (A (i, r), A (t, r,)) + d (A (/, /7), A (th r,))] <
< lim [d (A (i, r), A (*, r,)) + d5 (Я (t), H (t,))] = 0.
Это означает, что функция h\FeX<S2 непрерывна.
Наконец, если \х2 е frm (S2), то, по теореме 1.4.47, непрерывная
функция h\FeX,S2 является 2j ® 2В (SJ-измеримой, и поэтому
также [i,X[A2"H3MePHMoft-TaKKaK^iX[A2(siXS2\ [J F1//XS2j=
s=0, то функция А щ X неизмерима.
1.5.27. Теорема. Пусть 36 — сепарабельное банахово про-
странство, (Sb 2i) — измеримое пространство, S2 — компактное
метрическое пространство, v е f rm (S^) и функция ф: Si -> C(S2, 86)
^-измерима. Тогда функция s{ -> \ ф ($i) (s2) v (ds2) определена
на S{ и ^-измерима.
Доказательство. Каждая функция с{ •) ^C(S2, 9S)
ограничена и непрерывна, следовательно, v-интегрируема. По уело*
вию 1.4.34(3),
| J СХ (S2) V (ds2) — J C2 (S2) V (ds2) I < | £?i — (?2 Lp I V I (52).
Поэтому функция
с -> 7V = J с (s2) v (ds2): С (S2, <^) -> ^
непрерывна. Отсюда следует, что функция 7\,оф: S1-^^>
2{-измерима.
ISO

1.6. Выпуклые множества
Пусть #?■—векторное пространство. Множество А а 36
называется симметричным, если Л = — Л. Множество A cz 36
называется выпуклым, если {аа-\- (1 — а)Ь\ 0<а^1}с: Л для любых
а, JgA Действительная функция ф, определенная на выпуклом
подмножестве А из #?, называется выпуклой, если
ф(ах + (1-а)уч<аф(х) + (1-а)1|)(у) (ае[0, 1]; х, у е А).
Нетрудно проверить, что множества аЛ + рв, Л П В, А X С и Т {А)
выпуклы, если выпуклы множества Л, Bcf и Сс^, a, peR,
и Т<=а?(9е,Щ).
Будем говорить, что функционал 1^36(36, R) отделяет
множества Л и б из 36, если /^0 и либо
либо
/(*)><*>/(у) (х«= Л; jgB)
для некоторого числа aeR,
Если *€=Л<=#?, 0^/e^(»,R) и /(*) > /(*) (хе Л), то
назовем функционал / внутренней нормалью к множеству Л
в точке х. Если /4cf, то обозначим через со (Л) выпуклую
оболочку множества Л — пересечение всех выпуклых множеств,
содержащих Л.
Положим
^п = [(в1,..., ечеще'х), Ee'<i} hn),
^;={(e°,...,e'l)eR"+,|9/>o, Se^i} (n=o, 1,2,...).
Нетрудно проверить, что (81, ..., 8Л) е ^"„, если (8°, в1, ..., вп)е
<=<П,и что (l -ZX 81,...,8^е^,если(81,...,в,г)е^п.
Линейную комбинацию £ в'*/ будем называть выпуклой ком-
/-о
бинацией, если дг <= {0, 1, 2, ...} и (8°, ..., 8П) е Т'п.
Если $? —топологическое векторное пространство, то
обозначим через Т^{36) семейство открытых окрестностей нуля в 36.
Так как функция
(х,у)->х + у: 86^36-*36
непрерывна, то для любой окрестности U<^&~0(3t?) существует
такая окрестность V е Т^{36), что V + V с U, и мы будем часто
пользоваться этим свойством без каких-либо дальнейших ссылок.
Топологическое векторное пространство называется локально
6 Дж. Варга 161

выпуклым, если любая окрестность нуля в SB содержит в себе
открытую выпуклую окрестность нуля О; мы будем
предполагать, что такая окрестность U симметрична, так как U/=U(]
0(—U) = — U'czUf U'<=To{%) и f/'выпукла. Нетрудно
показать, что любое нормированное векторное пространство
является локально выпуклым топологическим векторным
пространством. Замкнутое выпуклое множество А в топологическом
векторном пространственазываетсявм/фслыл* телом, если А°Ф 0.
Если А а 86, то обозначим через со(Л) выпуклое замыкание или
замкнутую выпуклую оболочку множества А — пересечение всех
замкнутых выпуклых множеств из S6, содержащих Д.
Если К — выпуклое подмножество топологического
векторного пространства дВ и 0 е /С0, то для любой точки xg^
существует такое число а > 0, что (1/а)дсе/(; таким образом,
<р (х) = inf | а > О1 -i х е= К } < оо и €= 96),
Назовем функцию дс->ср(х): <Э?->[(), оо) калибровочной функцией
множества /С.
1.6.1. Теорема. Пусть $6— векторное пространство и Аа96.
Тогда
Доказательство. Обозначим через С правую часть
указанного соотношения. Тогда С — выпуклое множество и
содержит Л. Пусть теперь К — выпуклое множество, содержащее Л.
Для доказательства теоремы нам нужно показать, что С с= /(.
k
Предположим, что £ в7*/ е /С, если (8°, ..., 8*) <= <Г£,
(*о> • • •> xk)^A и 1^Л<я. Ясно, что это справедливо для п = 1.
Пусть теперь (в0, ..., 8п+1)е^+ь */ е Л i/ = 0, ..., л+ 1) и
а= 2 в'. Если некоторое ву = 0, то, по нашему
предположено
нию, ХбЧеЕЯ- Если еу>0 (у = 0, ..., п+ 1), то
/-о
/-о /-о
По предположению, V—в^е/С, и мы получаем, что xn+l е
/-о
еЛси/С и а + вп+1 = 1. Так как множество К выпукло, то
п + \
2 8^ s /(, Это завершает индукцию и доказывает, что С а К.
/«о
162

1.6.2. Теорема (Каратеодори). Пусть neN и АаЦп.
Тогда
со
М) = [ t e'*,i (0О> • • •> 0")s ^«> *b. • • •. *п е л}.
Доказательство. Пусть *есо(Л). Тогда, по теореме
k
I. 6.1, *=Е в'х, для некоторых &е={0, 1, ...}, (9°, ..., Qk)<=T'k
/-о
и *о, ..., xfe е Л, и мы можем предположить, что 8/ > 0 для
/ = 0, ..., k и k — наименьшее такое целое число. Если k>n,
то, по теореме I. 3.1, множество {х0 — xki ..., xk-x —xk) является
зависимым и существует такое (а0, ..., а*""1) ф О в Rfe, что
2 dx, = ( 2 ау 1 х*. Полагаем а^-^^и видим, что 2 ау*/ =
/-о \/-о / /-1 /-о
k .
= 0, £ а7 = 0 и а = (а°, ..., а*) # 0. Таким образом, для всех
/-о
/eR мы имеем
k к
*=Z e/x,= Z(e/ + to/)x/
/-0 /-0
k
и Е(в/ + /а/)=1. Так как QJ > 0 (/ = 0, 1, ..., k) и а' < 0 для
/-о
некоторого / е {0, 1, ..., ft}, то получаем
Р = sup {/ ^ 0 | в7 + /а7 ^ 0 для / = 0, ..., *}<оо,
в7 + Р«; ^ 0 для / = 0, ..., k и 8* + Ра' = 0 для некоторого
к
/е{0, 1, ..., k). Таким образом, х= £{& + $aJ)x, является
/-о
выпуклой комбинацией k точек из Л. А это противоречит нашим
предположениям о числе k. Таким образом, k^.n.
1.6.3. Теорема. Пусть 96'— топологическое векторное
пространство и К — выпуклое подмножество из 96. Тогда К и К0 —
выпуклые множества, К = К0, если К0 Ф 0, и ах + (1 — а) у ^ /С0,
если дсе/С0, у ^ К и 0 < а < 1. £с/ш Лс^, го со (Л) = со (Л).
Доказательство. Пусть а, 6е/( и U^3T0(<%)- Тогда
существует такая окрестность l^efoW, что К + Кс=£/. Для
любого аЕ(0, 1) мы имеем (1/а)К, (1-аГ'Ке^о(А и
существуют точки 01 е /( П [я +М1/а) К] и &J <= /( П [& + О + а)""1 К]'
Мы получаем
аа, + (1 - а) 6, е /С П [аа + (1 - а) 6 + К + К] cz
с/СП[аа + (1-а)6 + £/].
Таким образом, аа + (1— а)6е/(, т. е. множество /С выпукло.
6* 163

Пусть теперь х е /С0, у е К и 0<<х<1. Тогда х + U cz /С
для некоторой симметричной окрестности £/е<Го(^)- Так как
у е/С, то существует точка у7 ^ /(П[# + а(1 — а)_1£/]. Отсюда
следует, что
a(x + U) + (l-a)y'aaK+{l-a)Kc:K.
Следовательно,
ах + (1 — а) у е ах + (1 — а) у' + aU cz /С.
Таким образом, точка ах + (1 — а)г/ принадлежит открытому
подмножеству из К.
Предположим теперь, что К0 ф 0. По доказанному,
множество К° выпукло и у + р (х — у) е К0 (Р е (0, 1]). Если
U ^9~ъ (86), то р (х — у) е U для всех достаточно малых
положительных р. Таким образом,
y+V(x-y)^K°()(y + U).
Это показывает, что К0 П (у + ^) ^ 0'» следовательно, t/ е /С0.
Пусть теперь Acz.96. Тогда множество со (Л), будучи
замыканием выпуклого множества, само является выпуклым и
поэтому содержит со (Л). С другой стороны, со (А) содержится
в любом замкнутом множестве, содержащем со (Л);
следовательно, со (А) cz со (Л).
1.6.4. Теорема. Пусть 96 — топологическое, векторное
пространство. Если множество К с= <3? выпукло, О е К0 и у — ка*
либровочная функция множества /С, то для всех х, у е 36 мы
имеем
1) Ф(*)>0;
2) ф(* + */Хф(*) + фМ;
3) ф(<хх) = аф(х) (а>0);
4) lim ф(х) = 0;
х->0
5) ф (х) < 1, ф (х) = 1 ы ф (х) > 1 тогда и_ только тогда, когда
соответственно, х е К0, х^дК и х^96\К.
Наоборот, если функция ф: 86->R удовлетворяет
соотношениям 1) — 4), го она непрерывна, множество /(= {х е 96 | ф(х) < 1}
открыто, выпукло и содержит нуль и калибровочная функция
для К совпадает с ф. В частности, калибровочная функция
всегда непрерывна.
Доказательство. Пусть Og/C°, множество К выпукло,
а ф — калибровочная функци-я для /С. Тогда свойства 1) и 3)
очевидны. Докажем свойство 5). Пусть х е /С0. Тогда x-\-U аК
для некоторой окрестности U е^Г0(^), и существует такое
164

число е>0, что елгеС/. Получаем, (1 + е)х е х + U cz К*
а отсюда ф(*)< 1/(1 + е) < 1. Наоборот, если ф(х)< 1, то
(1/а)х^К для некоторого og(0, 1). Тогда, по теореме 1.6.3,
(1 — а)0 + а({\/а)х) = х(= /С0. Таким образом, <р(х)<1 тогда
и только тогда, когда х е /С0.
Пусть теперь х е дК. По теореме 1.6.3, сис+(1—а)0 =
= ахе/С° для 0^а<1; следовательно, ф (аде) = аф(х) ^ 1 для
всех а£[0, 1). Отсюда получаем ф(х)<1. Так как х^К°±то
Ф {х) ^ 1; следовательно, ф (л:) = 1. Пусть теперь х е SB\ К, и
пусть окрестность Ug$Tq($I?) такова, что (х-\- U){\K = 0.
Тогда -ехе(/ для некоторого eg(0, 1) и (1 — е) х е х + £/.
Таким образом, (1 — е) х ^ /С0; следовательно,
ф((1-е)*) = (1-е)Ф(*)>1, <р(*)>1/(1-в)>1.
Это доказывает свойство 5).
Пусть теперь_ф(х)^а,, ф(*/)^а2. Тогда дгесц/С, у^а2К и
х + r/e (а! + а2)/С. Из этого следует, что Ф(* + у) ^а! + а2.
Таким образом,
Ф (х + */)< inf {(*! + a21Ф (*) < ^, ф (у) < a,} = ф (х) + ф (у),
и условие 2) выполнено. Наконец, пусть е>0 и i/ = e/C°. Тогда
U^T^{9S) и (l/e)xsi(0 для всех xg[/. Таким образом, из
условий 3) и 5) получаем ф((1/е)лс) = (1/е)ф(;с) < 1;
следовательно, ф {х) < е для всех х е £/. Условие 4) доказано.
Наоборот, пусть функция ф удовлетворяет условиям 1) — 4).
Тогда, по условию 4), она непрерывна в нуле. По условию 2),
Ф(z) — ф(л:)^ф(z — х) и ф(х) — ф(z)<ф{х — z). Таким образом,
| ф (х) — ф (г) К Мах (ф (z — а:), ф (л: — z)). По условию 4),
lim ф (х — z) = lim ф (z — х) = 0.
Это означает, что функция ф непрерывна в любой точке jce^.
Таким образом, множество/С = ф~1((— °°> 1)) = {*е Я/|<р(*) < О
открыто. По условию 3), ф(0) = 0<1; следовательно, 0 е/О
По условиям 2) и 3), функция ф выпукла; следовательно,
множество К выпукло. Пусть ф! — калибровочная функция для /С.
Тогда
Vl(y) = inf{a>o|:j-ye/c} = inf{a>0^(4-,y)-
= 4-(Р(^<1}==Ф^ И»).
1.6.5. Теорема. Я*/сг& Я? — топологическое векторное про
странство. Тогда функция i|): <S/->R непрерывна и является
полунормой тогда и только тогда, когда она является
калибровочной функцией для некоторого симметричного выпуклого
множества /С, содержащего нуль внутри себя.
165

Доказательство. Непрерывная полунорма г|э
удовлетворяет условиям 1) —4) теоремы 1.6.4, поэтому она является
калибровочной функцией для множества К = {хе^|ф(х)< 1}.
Так как ф (л:) = -ф (— л:), то множество К симметрично.
Наоборот, пусть множество К^Тъ{36) выпукло и
симметрично. Тогда калибровочная функция а|) удовлетворяет
условиям 1) — 4) теоремы 1.6.4 и $ (х) = о|) (— х). Таким образом,
я|> — полунорма и, по теореме 1.6.4, она непрерывна.
1.6.6. Теорема. Пусть 8Р — топологическое векторное
пространство, A, Btz.2? и А°Ф0. Если линейный функционал I
.отделяет множества А и В, то он непрерывен.
Доказательство. Мы можем предположить, что /(х)^
^a^l(y) для некоторого а е R и всех х^Аиу^В, в
противном случае заменим /на —/. Пусть теперь U^Tq(8B) и
а е А0 таковы, что £/ = — £/ и a + UaA. Тогда / (а) + /(£/) cz
с: (— оо, а]; следовательно, /((У) = — /([/) cz (— оо, a —/(a)],
либо l{U)a[— р, р], где р = а — /(а)>0. Пусть теперь е > 0.
Тогда |/(х)|^е, если х е е(Р+ 1)-1£/. Это означает, что
функционал / непрерывен в точке 0; следовательно, непрерывен
на X.
1.6.7. Теорема. Пусть К u М —непустые различные
выпуклые множества из топологического векторного пространства 9S
м К°Ф0. Тогда существует функционал /g^*, который
отделяет К и М.
Доказательство. Пусть k е /(° и пг е М. Тогда
функционал / е %&* отделяет К и М тогда и только тогда, когда
он отделяет /С — М — k + m и {m — k). Поэтому мы можем
предположить, что 0е/(0 и М = {у}.
Пусть ф — калибровочная функция множества /С. Так как
у фК> то, по условию 1.6.4 (5), ф(у)>1 и фМ<1 (* е /().
д
Пусть теперь / — линейный функционал на 8ву — {ау |а е R}.
д
определяемый условием /(ш/) = аср(*/). Тогда / (ш/) = <р (ш/) для
а^О и /(ш/) < 0^ф (ш/) для а < 0. Следовательно, 1(х)^.
<[Ф(х)(х е Я?у). По теореме Хана-—Банаха 1.3.8, функционал /
может быть таким способом продолжен на Я/, что /(л;)^ф(х)
для всех * е Я?. Таким образом, /(х)^1 для всех х е /С и
Д#) = Ф (*/) ^* If т. е. функционал / отделяет множества К и {у}.
Остается показать, что функционал / непрерывен. Это
непосредственно следует из теоремы I. 6.6.
1.6.8. Теорема. Пусть К — выпуклое подмножество
топологического векторногс пространства SB и К°¥=0. Тогда для
любой точки х е дК существует функционал^ I е ЯГ, который
является внутренней нормалью к множеству К в точке х.
Доказательство. По теореме 1.6.3, К0 — выпуклое
множество. Таким образом, по теореме 1.6.7 существует
функционал / е Я?', который отделяет К0 и {*}. Мы можем предпо-
166

ложить, что t(x)^t(x) для всех xg/(0, в противном случае
заменим /на — /. Так как функционал / непрерывен, то
множество /~1 ([/(*), оо)) замкнуто и, как мы только что показали,
оно содержит К°. Таким образом, по теореме 1.6.3, 1(х)^1(х)
для всех х е К0 = К.
1.6.9. Теорема. Пусть п е N, К —непустое выпуклое
подмножество из Rn м 0g/(. Тогда множество К имеет непустую
внутренность относительно индуцированной топологии в линей1-
ной оболочке sp (/С).
Доказательство. Если /( = {0}, то утверждение
теоремы тривиально. Исключим этот случай. Пусть т
—наибольшее целое число, для которого существует независимое {уи ..., ут)
из К- Тогда т^ 1 и, по теореме 1.3.1, т^.п. Легко показать,
что
sp (К) = | Z aJxf 16 <= N, aJ €= R, xj e= К },
и поэтому множество {yu ..., ym} — базис в sp(/(). Таким
образом, по теореме I. 3.4, отображение
А А т
а = (а», ..., ат)~>^(а)=Е«^/: Rm-+sp(K)
/-1
является гомеомоморфизмом. Отсюда следует, что множество
2ё(&~т) имеет непустую внутренность в индуцированной
топологии в sp (/С). По теореме I. 6.1, Ш (!Гт) = со ({0, уи ..., ут}) cz /С.
Следовательно, /С имеет непустую внутренность в
индуцированной топологии в sp (/С).
1.6.10. Теорема. Пусть п е N, а К и М —непустые
различные выпуклые подмножества из Rn. Тогда существует
непрерывный линейный функционал на Rrt, который отделяет К и М.
Доказательство. Пусть k^K и m е М. Линейный
функционал / отделяет множества К к М тогда и только тогда,
когда он отделяет множества К — М — (k — m) и {m — k).
Поэтому мы можем предположить, что 0g/( и М = {у).
Если y&sp(K), то положим V = sp(K[){y}). Тогда любая
точка v &V представима в виде k + Р#, где k е sp (/С), и это
представление единственно, так как из & + ру = 0 следует р = 0.
Поэтому, определяя линейный функционал 1{ на V условием
М* + Р#) = Р> мы имеем l{(k) = 0 {k&K) и 1{(у)=1. По
теореме 1.3.6, функционал 1{ непрерывен и, по теореме Хана —
Банаха I. 3.8, мы можем продолжить его до непрывного
линейного функционала / на R . Так как l{k) = l{{k) = 0 {k е К) и
1(у):==:1\(у)= 1» то функционал / отделяет К и {у}.
Если y^sp{K), то, по теореме 1.6.9, множество К имеет
непустую внутренность в индуцированной топологии в sp (/С),
и, по теореме 1.6.7, существует линейный функционал / на
167

sp (К), который отделяет множества К и {у}. Так же, как й
раньше, мы можем продолжить функционал / на Rrt.
L6.ll. Теорема. Пусть nsN и К —выпуклое
подмножество из Rn. Тогда для любой точки х е дК существует
внутренняя нормаль к множеству К в точке х.
Доказательство. Если /( = {*}, то любой ненулевой
линейный функционал на Rn является внутренней нормалью
к множеству К в точке х. Поэтому предположим, что КФ{х}.
По теореме 1.6.9, множество К имеет непустую внутренность
в индуцированной топологии в sp (К). По теореме I. 6.8,
существует линейный функционал 1{ на sp (/С), который является
внутренней нормалью к К в точке х. Как и в теореме 1.6.10,
мы применяем теорему Хана — Банаха 1,3.8 и продолжаем
функционал 1Х на все пространство Rn.
1.6.12. Теорема. Пусть п е N. Тогда любые два
ограниченных выпуклых тела в Rn гомеоморфны. В частности, любое
выпуклое тело в Rn гомеоморфно Тп.
Доказательство. Так как ^Г„ — выпуклое тело в Rn,
то достаточно доказать первую часть утверждения.
Пусть К\У /Сг — выпуклые тела в R . Мы можем
предположить, что 0^/e°f)tf2 (в противном случае заменяем К{ и К2
на гомеоморфные множества Kx — kv К2.—&2, где kx^KQv
k2 е Kl). Пусть ф; — калибровочные функции для множеств /С.
(/= 1, 2). Так как множества К\ и /С2 ограничены, то у{(х) Ф 0
н Фг (*) Ф 0, если х ф 0. Поэтому мы можем определить
отображение /: /f^R* условием
f{x)=W>x <*е**М0}), f(0)=0.
Применим теперь свойства функций <рг и фо, описанные
в теореме I. 6.4. Мы видим, что
*i(M*)) = ^cpi(*) = <P2(*)
для ^^0и
Ф1(/(0)) = Ф1(0) = ф2(0) = 0.
Таким образом, / (/(2) сг К\* Наоборот, если 0 Ф у е К\ и
с = <Pi Ы/ф2 (У)> то / {су) = у и ф2 (су) = ф! (у) < 1. Следовательно,
су^К2 и y&f{K2). Если f{x) = f{y)y то либо х = у = 0, либо
хф09 У ФО и у = ах для
ф2(л:) ф! (у) _ ф2(*) ф! (а*) = .
ф1 (х) Фг (У) Ф1 (*) ф2 (аде)
Таким образом, функция /: /C2->/Ci биективна.
Покажем теперь, что функция / непрерывна. Так как
функции ф! и ф2 обе непрерывны, то ясно, что / непрерывна в любсй
168

точке хфО. Пусть теперь Птл:/==0, х1Ф09 и предположим,
что lim [ф! (х/)/ф2 (*,)] = 0. Последовательность {yf) = ((1/| xf \)xf)
ограничена в R" и, по теоремам 1.2.5 и 1.3.5, имеет
подпоследовательность (*//), е/, сходящуюся к некоторой точке у, такой,
что |г/|=1. Таким образом,
ИГЛ ;—- = ИП1 т—Г= 7=7 Ф 0.
/е/ <М*/) /е/Ф2(У/) Фа (У)
что противоречит предположению. Отсюда следует, что lim / (х)=0,
и, таким образом, функция f непрерывна при х = 0, а
следовательно, непрерывна на /С2. Наконец, ясно, что. f~l(y) =
= 1ф1(у)/ф2 (*/)]*/ Для всех ye/Ci. Применяя рассуждения,
аналогичные предыдущим, показываем, что функция /-| непрерывна.
1,6.13. Теорема. Пусть (S, 2, \х) — пространство с
вероятностной мерой, $в — сепарабельное банахово пространство, С —
замкнутое выпуклое подмножество из 96 и функция f: S->C
^интегрируема. Тогда
J/(s)ii(ds)eC.
Доказательство. Предположим противное, т.е.
a=\f(s)ix{ds)^C.
Тогда существует такое <х>0, что множество S(a, а) и С
различны. По теореме I. 6.7 существует ненулевой функционал
/е^*, который отделяет S(a, а) и С. Мы можем предположить,
что 1х ^ 1у для всех х е S (а, а) и jgC, в противном случае
заменим /на — /. Отсюда получаем
sup /(a + a|) = /(a) + a|/|</(/(s)) (ss=S).
Следовательно, интегрируя обе части неравенства на S по мере \х,
мы имеем
/(a)-aUI<J/(/(s))|i(ds). (1)
По условию I. 4.34 (8), $ / (/ (s)) [i (ds) = l\f(s)\i {ds) = / (a),
поэтому из условия (1) получаем
f(a) + a|/|</(a)
А это противоречит предположению. Таким образом,
Jf(s)|i(ds)c=C.
169

1.6.14. Теорема. Пусть S — компактное метрическое
пространство, «gN, '
f±(f\ .... DeC(S, Щ
и rpm(S, п + 1) — подмножество из множества rpm(S),
элементами которого являются меры с носителем, состоящим не
больше, нем из п + 1 точки из S. Тогда
co(/(S))-{5/(s)|i(ds)||isrpm(S)} =
-={Jf(s)|i(ds)||isrpm(Sf я+1)}.
Доказательство. Пусть С0==со(/(5)), С, =|\ f(s)[i(ds) |це
erpm(S)} и С2 = { J/(s)[i(rfs)|jxerpm(S, л+1)}.
По теореме Каратеодори I. 6.2, для любого сеС0 существуют
такие точки s0, s, sBsS и (8°, ..., 8n)eiT£, что с =
= I]0/f(s/). Рассмотрим такую меру \х: 2B->R с носителем
/-о
в точках {s0, s{, ..., sn}y что
I* ««/» —= в' (/-0, 1, ..., п).
Нетрудно видеть, что \i € rpm (S, я + 1) и с = w(s) \i (ds). Таким
образом, C0czC2. Ясно, что С2с=:С1, поэтому остается показать,
что Сх cz Со. По теоремам 1.2.9, 1.2.6 и 1.6.2, множество
C0«co(/(S)) = |S e^f (во, .... Qn)ezr'ni x,e/(S)}
компактно. Отсюда, по теореме 1.6.13, имеем w(s)|i(ds)e
е со (f (S)) для любой меры \х е rpm (S). Следовательно, С, с: С0.
1.7. Измеримые многозначные отображения
Пусть Т и X —компактные метрические пространства, ц е
efrm+(r), 2 = 2В(Г) и^'(*) = {Л|Лс=Х, Л=И=0} -класс всех
непустых подмножеств из X. Отображение некоторого
подмножества F из Т на ^'(Х) назовем многозначным отображением
из F в X. Если /1g^(I) и е> 0, то мы пишем S(A, в) вместо
{x^X\d[x, А]<е} и ^(Л, е) вместо {x^X\d[xy Л]<е}.
Отображение Г: F-*9>'(X) назовем полунепрерывным сверху
в точке t е Z7, если для любого е > 0 существует такое ц > О,
что Г (0 с S (Г (0, е) при d(i\ t)<r\. Отображение Г: F^F'(X)
назовем полунепрерывным сверху^ если оно полунепрерывно
сверху в любой точке i&F.
179

Так как X — компактное метрическое пространство, то оно
ограничено. Это означает, что мы можем определить функцию
б: &*' (X) X^'W-* R (хаусдорфову полуметрику) условием
6(Л, B) = inf{o>0|i4czS(ef a), BczS(A, а)}.
Легко проверить, что б (Л, В)>0, б (Л, В) = б(В, Л) и б (Л, С)<
<6(Л, В)+ 6(В, С) для всех Л, В, Се^(Х). Соотношение
б (Л, В) = 0 эквивалентно соотношению А = В. Таким образом,
хаусдорфова полуметрика не является метрикой. Мы
определяем Ф'(X) как топологическое пространство с наименьшей
топологией, содержащей множества {В е &'(X) |б(Л, В) < е} для
Ле/(1) И 8 > 0.
Обозначим через Ж(Х) класс всех непустых замкнутых
(и поэтому компактных) подмножеств из X. Сужение функции 6
на Ж(Х)ХЖ(Х) будет метрикой, так как из б (Л, В) = 0
следует А = В для компактных множеств. Функцию 6\Ж (Х)ХЖ(Х)
будем называть хаусдорфовой метрикой. Ясно, что метрическая
топология пространства Ж(Х) совпадает с индуцированной
топологией &'(Х) на Ж{Х).
Нетрудно видеть, что непрерывное отображение Г: Р-*Ж(Х)
является полунепрерывным сверху. Если Г — функция из F с Т
на Ж(Х), то обозначим
G(T) = {(Ux)^FXX\x^Y(t)}.
1.7.1. Теорема. Топологическое пространство Ф'(X) и
метрическое пространство Ж (X) сепарабельны и каждое имеет счетную
базу топологии.
Доказательство. Нетрудно проверить, что существует
взаимно однозначное соответствие между подбазами пространств
Ф' (X) и Ж {X) и что множество
G (Л, e)={flG ф* {X) | б (Л, В) < е}
совпадает с G (Л', е), если А' = Л, и соответствует множеству
{В^Ж{Х) |6(Л, В) < е}. Более того, любое всюду плотное
множество в Ж{Х) будет всюду плотным в Ф'(X). Поэтому
достаточно доказать утверждение теоремы только для Ж(Х).
Пусть Х00 = {хи хъ ...} —всюду плотное подмножество в X
(1.2.17), А<=Ж{Х) и е>0. По теореме 1.2.5, множество Л
вполне ограничено, и существует такое конечное подмножество
{аи ..., ak) из Л, что семейство {S(aiy е/2) |/= 1, ..., k) является
открытым покрытием множества Л. Мы можем выбрать Ъ{ е Х^
так, чтобы d{ah 6t) < е/2 для /=1, ..., k, и получаем, что
множества {S(bit е)|/=1, ..., k) покрывают Л. Отсюда
следует, что б (Л, {Ьи ..., bk})<^e, т. е. счетное семейство Ж^ всех
конечньх подмножеств из Xw всюду плотно в Ж{Х). Следова-
171

тельно, пространство Ж{Х) сепарабельно. Ясно, что счетное
семейство
{{А<=Ж(Х)\6(А, В)<1/1}\В<=Ж00, isN}
является базой топологии в Ж(Х).
1.7.2. Теорема (Берж). Пусть F — замкнутое подмножество
из Т и Г: F->&'{X). Тогда G (Г) -— замкнутое подмножество
из FXX тогда и только тогда, когда Т(()^Ж {X)(t ^F) и
отображение Г полунепрерывно сверху.
Доказательство. Пусть множество G (Г) замкнуто,
(//) — последовательность в F, сходящаяся к i, и е > 0. Тогда
ясно, что T{t) ^X(X)(t ^ F). Покажем, что существует такое
ioGN, что Г (//) с= S(T(i)t е) для всех />/0. Действительно,
предположим противное. Тогда существуют последовательность
/ с (1, 2, ...) и точки Xj е Г (/у) (/ е /) такие, что
d[T(t), */]>e. (1)
Так как X — секвенциальный компакт (1.2.5), то мы можем
предположить, что последовательность (*/)/еЕ/ сходится, т.е.
limx/ = icG X. Отсюда получаем (i, x) = lim (//, х,)е6(Г); сле-
/s/ _ /е/
довательно, хеГ(/), что противоречит условию (1).
Наоборот, пусть отображение Г: F-+X(X) полунепрерывно
сверху и последовательность ((//, ху)) в G(f) сходится к
некоторой точке (if, x)Gf XI Тогда ^gT (tj) для всех /gNh для
любого е > 0 выполняется включение Xj е SF (Г (/), е) при
достаточно больших /. Так как Г (i) — компакт, то xeSf(r(/), е)
для всех б > 0; следовательно, x^T(i) и (/, *)eG(r).
1.7.3. Теорема (Кастэн). Топология пространства Ж(X)
имеет подбазу, состоящую из множеств вида
или
&(0) = {К^Ж(Х)\К^О},
где G — некоторое открытое подмножество из X.
Доказательство. Пусть множество G cz X открыто.
Покажем, что семейство 3~ (G) открыто. Действительно, пусть
К е &~ (G) и х е К П G. Тогда существует такое е > 0, что
S{x, e)c=G. Если 6 (/С, К) < е, то K<=S{K\ е). Следовательно,
d(jc, л:7) < е для некоторой точки х'^К'. Это означает, что
/C'OG=^=0 и /Ce#~(G). Таким образом, любое множество
К ^ &" (G) является внутренней точкой, т. е. семейство У (G)
открыто.
Пусть теперь К с= G. Так как Л* —компакт, a G —открытое
множество, то множества К и X \G будут различны и ком-
172

пактны, и существует такое е>0, что S(/C, e)czG. Если
Ь(К', К) < е, то К' c:S(/(, e)c:G. Это означает, что /( —
внутренняя точка семейства 2?(Х), т.е. 5?(X) открыто.
Пусть теперь К^ Ж{Х) и е > 0. По теореме I. 2.5, существуют
такие /nsN и хь х2 JtmGl, что открытые множества
Gi = S(xii е/2) (/=1, ..., т) покрывают множество /С. Открытое
подмножество ?e=2?(S{K, b))(]^(G{)(] ... (\&~(Gm) из К{Х)
содержит точку К^Ж(Х). Более того, если /С'е^, то /C'czS(/(, е)
и /Г f|G/ Ф 0 (/= 1, 2, ..., т). Если мы выберем точки gt е
e/C'flG,, то
m m
S (Г, е) => U S (g,, е) => U S (х,, е/2) г> К.
Следовательно, 6(К\ Ю^е. Это означает, что семейство
{&~(G) \G открыто} U {&{G) \G открыто} является предбазой
топологии в Ж(Х).
1.7.4. Теорема (Кастэн). Пусть F — замкнутое
подмножество из Т, Г: F-+X(X) и T~A = {te=F |Г(/)П А ф 0} для
всех А а X. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) отображение Г \л-измеримо\
2) множество VА [х-измеримо для любого замкнутого
множества A cz Х\
3) множество Т~А ^.-измеримо для любого открытого
множества АсХ.
Доказательство. 1. Пусть отображение Г ц-измеримо.
Тогда, по теореме 1.7.1 и по теореме Лузина 1.4.19, для
любого е > 0 существует такое замкнутое подмножество Fe из F,
что \x{F \ Fe)^e, и отображение Г \Fe непрерывно. Пусть теперь
множество А<=Х открыто, е>0 и i <=Fe[)T~~A. Так как
множество А открыто, то существуют такие ^еГ(/) и h > 0, что
S(x, Л) с: Л. Так как отображение Г |Fe непрерывно, то
существует такое л > 0, что Г (?) с: S (Г (t), h) для / е Fe и d (f, t)<r\;
следовательно, существует такая точка #еГ(0, что x^S(x, h)czA.
Таким образом, множество T~A[]Fe относительно открыто
в замкнутом множестве F6 и поэтому fi-измеримо. Так как
|х f jp \ (J /71//) = 0, то множество Г~Л ц-измеримо. Таким
образом, из утверждения 1) следует 3).
2. Предположим теперь, что выполнено утверждение 3). Если
оо
множество АаХ замкнуто, то A = f\ S(A, \/j) и Г(/)П А ф 0
тогда и только тогда, когда Г(*)П5(Л, 1/1) Ф 0 Для всех /gN.
оо
В этом случае Г"Л=Г|Г"5(Л, 1/у) и, по условию 3),
/-1
173

множество Г-Л является счетным пересечением ^-измеримых
множеств. Таким образом, из утверждения 3) следует 2).
Покажем теперь, что из утверждения 3) следует 1). По
теоремам 1.7.1, 1.7.3, отображение Г ц-измеримо, если
множество Г"1 (В) ^-измеримо для любого множества В вида &~ (G)
или 3? {G), где множество G открыто/Мы имеем
Г"' (Г (G)) = {/ е= F | Г (/) П G Ф 0} = r~G,
r-l(3?(G)) = {t<=F\r(t)czG} =
= F \ {t е= F | Г (t) П (X \ G) Ф 0} = F \ Г " (X \ G).
Таким образом, множество r-I(^(G)) ц-измеримо, так как
утверждение 3) выполняется, и множество Г"1 {3? (G)) fA-измерима,
так как из 3) следует утверждение 2). Это означает, что из
утверждения 3) следует 1).
3. Остается показать, что из утверждения 2) следует 3). Пусть
множество А с X открыто. Тогда для любого х е А существует
такое гх > 0, что SF(x, zx)cz.A, и семейство {S(x, гх)\х^А)
является открытым покрытием множества А. По теоремам 1.2.1,
1.7.1, существует такое подмножество {аи а2 ...} из А, что
оо оо
Л с U S(ah ee,)cr (J SF (ah ea.)cA
Следовательно,
r-A=UrSF(ah eai)>
и это множество ц-измеримо, если множество Г S (ajy га^
[i-измеримо при всех /. Таким образом, из утверждения 2)
следует 3).
1.7.5. Лемма. Пусть F — замкнутое подмножество из Т,
Jczti, отображение Г/: F->X{X) (j^J) либо полунепрерывно
сверху, либо ^.-измеримо и
Гу(0= П Гу0)=*0 {ШР).
Тогда отображение Гу: F ->Ж (X) ^-измеримо. Более того, если
AgN и каждое отображение Ау: F-+X(X) ^измеримо, то
функция
<->Д(0 = ПМ0: F-*M(Xk)
/-1
^•измерима. В частности, полунепрерывное сверху отображение
Q: F-+yif(X) ^-измеримо.
Доказательство. Предположим, что каждое
отображение Г; полунепрерывно сверху. Пусть множество Ас: X замк-
174

нуто, TA(t) = A (<eF) и f(t)J^rJ(t)f\rA(t) (t<=F). Тогда, по
теореме 1.7.2, множество С (Г/) замкнуто для каждого ;sN,
Следовательно, множество GТ = f| й(Г^ f]G<FA) замкнуто
и множество Г/ Л = {t^F\ Г(РФ0} = ртРG(f) также замкнуто.
Таким образом, множество Г7Л ^-измеримо для каждого
замкнутого множества Л с= АГ, и наше утверждение следует из
теоремы 1.7.4.
Если отображение Г/ ц-измеримо для каждого /е/, то, по
теореме 1.7.1 и по теореме Лузина 1.4.19, для любого е>0
существует такое замкнутое множество F[ с= F, что
отображение Г/lFe непрерывно и \i(F \Ffe)^:2~ie. Применяя предыдущие
рассуждения к Fe= \] F[ получаем, что отображение Tj\Fz
ц-измеримо для каждого е > 0. Так как \х /7\/7е)<е £ 2"7<б,
то \i(F \ F') = 0 для f" = (J Fui, и отображение Г/ ^-измеримо
на F\ а поэтому и на F.
Наконец, пусть отображение Ду: F-^Ж X /=1, ..., k)
д k д
ц-измеримо. Положим А/(0 = ПИ/(0. гДе М t, = X i¥=j) и
/ Д Л
Л/Л—Д/(0- Если Xf = X (/=1, ...,&), G —открытое под-
множество Я* = П^/ и Gy = pr/G, то, по условию 1.7.4 (3\
/-1
множество
{t^F\^(t)[\G^0} = {t^F\^4){]Gl^0}
^-измеримо, и поэтому отображение Л/ ^-измеримо. По
доказанному, получаем теперь, что функция
'—ПЛ/ / = П А/ 0: F-►#•<**)
ц-измерима.
1.7.6. Теорема (Кастэн). Яусгб отображение Г: Т->Ж{Х)
li-измеримо, Y — полное сепарабельное метрическое пространство,
функции А: ГХ Jf-*!' w.g: 7,-*У таковы, что функции Л(«, х)
и g (•) \1-измеримы, а функция h(t, •) непрерывна для всех
{tyx)<=TXX и
Г(0 = {*еГ(0|й(*, *) = г(')}=*0 (<еГ).
7огда f(0GJif(X) (/<=7^ и отображение Г: Г->«#Ч*) ц-излю-
рижо.
175

Доказательство. Так как функция Л(/, •) непрерывна
для каждого /gT, то множества
Ht = {xe=X\h(t,x) = g(t)} и Г(0 = Я,ПГ(0
замкнуты. По теореме Лузина 1.4.19 и теореме 1.5.26, для
любого е>0 существует такое замкнутое подмножество Fe из Г,
что \i{T\FB)^e, и отображения r|F8, g\FE и h\FeXX непре-
рывны. Таким образом, множество D = {{t, Jc)efeX^| Л(/, х) =
д
= g(/)} замк!уто, и, по теореме 1.7.2, множество G^r)3
= {(/,x)GFeX^Usr(/)} также замкнуто. Отсюда следует,
чго множество
G8(f) = {(>, x)GfeX^UGr(0, А(/, х) = г«)} = ОПОе(Г)
замкнуто и, по теоремз 1.7.2, отображение F\Fe
полунепрерывно сверху. Следовательно, по леммз 1.7.5, отображение T\Fe
ц-измеримо. Так как е произвольно, то отображение Г ц-из-
меримо. Теорема доказана.
Если Г: Т—>!Р'(Х)У то функция £: Т -> X называется
однозначной ветвью отображения Г, если £е ЦГ(/), т. е. |(/)еГ(/)
t = T
для всех t е 7\
1.7.7. Теорема (Нейман — Ауман — Кастэн). Пусть ото-
бражение Г: Т—>Ж(Х) \1-измеримо. Тогда отображение Г имеет
^-измеримую однозначную ветвь.
Доказательство. Пусть {*,, хъ ...} — всюду плотное
д
подмножество из X. Для каждого /gT полагаем V0(t)= T{t)
и, соответственно,
Гж(*) = {хеГ,(/)|</(*, xm) = d[r,(/), xm]} (П
(/ = 0, 1, 2, ...).
Так как множество Г(0 компактно и непусто, то множество
Г,(0 также компактно и непусто.
По теореме Лузина 1.4.19, для любого е>0 существует
такое замкнутое множество FlciT, что \i(Т\Fe)<е/2 и
отображение Го/г е непрерывно. Предположим для доказательства
по индукции, что /^{0, 1, 2,....} и существуют такие
замкнутые множества FleaFle~l <= ... czFl, что \l(T\F%)^
k
<e^2"/_1 [k = 0, 1, ..., /), отображение Tk\F% непрерывно.
Тогда функции /->d[r,(0, jc£ +-i]: Fe-*R и x—>d(xy *,+,): Х-+Ц
непрерывны и, по условию (1) и теореме 1.7.6, отображение
I\-H|Fe ^-измеримо. По теореме Лузина 1.4.19, существует
W

такое замкнутое множество Fj+,cfi, что \i(Fie\FiB+l)^:2ei~2
(следовательно, ^(rXFe"1"1)^ X 2"Ь1е1 и отображение
Tj+ilFe непрерывно. Это завершает индукцию.
оо
Мы получили, что множество FB= f] Fi замкнуто,
li(T\Fe)^.e и отображения rt\Fe непрерывны для / = 0, 1,
2, ... Так как е произвольно, то отображения 1\ fi-измеримы
на Г, и, по лемме 1.7.5, функция t~+rP(t)= f] Г( (t) Ф 0
также fi-измерима. Если \х (О, 12 (Ое Г л (О для некоторого
/gT, то d(li(0, ^t) = rf(^2(0, Xi) для /gN. Так как
множество {хи х2, ...} всюду плотно в Я, то 11(0 = 52(0- Таким
образом, множество ГР(0 состоит из единственной точки |(0,
и так как функция t->{i(t)}: Т->Ж{Х) jx-измерима, то функция
t->l(t): Т-+Х также ц-измерима.
1.7.8. Теорема (Кастэн). Пусть отображение Г: Т->Ж(Х)
^-измеримо. Тогда существует такое счетное семейство (£ь Ц, ...}
^-измеримых однозначных ветвей из Г, что множество {^ (/),
|2(0, ...} всюду плотно в Г(0 для всех /gT.
Доказательство. Пусть множество {х\9 х& • • •} всюду
плотно в Л', и для всех i, j е N положим
Г,,, = {/ € Г | Г (0 П S' (xh 1//) =^ 0}.
Определим отображение ritJ: Т-+Ж{Х) условием
л Г Г(0П^(*ь 1//), если /еГ,,/,
li/() I Г(0, если t<=T\Titf.
По теореме 1.7.4, каждое множество r/f/ ^-измеримо и, по
лемме 1.7.5, каждое отображение Fiti ц-измеримо (так как
отображение t-+SF(xi9 1//) для t^Titf и t-+X для t&T\Tltf
ji-измеримо). По теореме I. 7.7, каждое отображение 1\ / имеет
^-измеримую однозначную ветвь !,-,/. Для каждого /gT,
xgT(0 и /еN существует такое iеN, что d(х, х{)^ 1//.
Следовательно, \it , (t) е Г/, у (0 <= S77 (xh 1//), откуда следует
^ (х> £*, i (0) < 2//. Это означает, что счетное семейство
{l*,/(0U\ /sN} всюду плотно в Г(0.
1.7.9. Теорема. Пусть отображение Г: Т-+!?'(Х)
^-измеримо и
1) Г(0 замкнуто для всех t^T либо
2) Г (0 <= Г (0° (t^T) и для любого е > 0 существует такое
замкнутое множество Тг а Т, что \i(T\ Тг) ^ е, и множество
Ge(Г°) = {(*, х)^Т,ХЛ\х^Т 10°} открыто вТ^ХХ.
177

Тогда существует такое счетное семейство {£ь £2> • • •}
^-измеримых однозначных ветвей из Г, что множество \\х (/), |2(0, • ••}
всюду плотно в Г (t) для \х-почти всех t е 7\
Доказательство. Если выполнено условие 1), то
утверждение следует из теоремы I. 7.8. Поэтому предположим, что
выполняется условие 2), и зафиксируем е > 0. Так 'как
множество Ge (Г°; открыто в ТеХХ и рг Ge (Г°) = Те для всех
i^Te, то существуют такие ^(/)еГ(/)° и окрестность N{i)
точки / в Г8, что
*(*)€=Г(0° [fetf(F)l.
Так как Тг — компакт, то конечное подсемейство {N (i{), N(t2), ...
..., N(ik)} из семейства {М (i)\ t e Тг} покрывает Ге, и мы
положим
i(t) = x(it) [/=1, 2, ..., Л; festf&)\ Ц ^ ('/)]•
Ясно, что | будет ^-измеримой однозначной ветвью из Г | Гв.
Если {/} X Л с: GE(r°) и множество Л замкнуто, то
существует такая окрестность U(t) точки i в Те, что (J(i)XAcz.
czGt{r°). Действительно, в противном случае существуют такие
последовательности (tf) в Г и (af) в Л, что lim tf = i и
/
{th a,)<£GB(T*) (/eN). (3)
Так как Л -г компакт, то мы можем предположить, что \\хх\а, = а
i
для некоторого а^А. Следовательно, lim(^, <2/)e{F}X ЛсгОе(Г°),
а это противоречит условию (3).
Пусть теперь {*ь хъ ...}-— всюду плотное подмножество
из X, и для всех /, /gN положим
rJ^Oer.lS'fo, 1//) с= Г(0°>,
*• «) = (?' е°ЛИ '€еГ*'/'
'! II (0 в остальных точках Тг.
Отсюда следует, по доказанному, что множество Г* у
относительно открыто в Те. Следовательно, ц-измеримо на Ге, и
поэтому функция £* J ц-измерима на Те. Для любых t^TB и
хеГ(0° существует такое /0eN, что S^(jc, 2//0) с= Г(0°. Для
каждого /^/о существует такое /eN, что d(xh х)<! 1/у.
Следовательно,
S'(*,, l/y)czS^(x, 2/У)с:Г(00.
176

Это означает, что t^T^f и
dfall .,(0) = *(*,*,)<1//.
Так как / произвольно, то множество {%* у (01Л /^N] всюду
плотно в Г(0° и, по условию 2), в Г(0-
Положим теперь в = 1/1, 1/2, 1/3,... и для всех /, /gN
А / m—l \
Si. / (0 = l"! W (^ r1/m \ (J 7"i/*; m е N ),
V fee 1 /
l/./(0 = I(0 (tezT\[}Tvky
Так как ц( U 7^1 = \i(T), то каждая функция %LJ является
^-измеримой однозначной ветвью из Г и множество {£,-,/(01 *, /gN}
всюду плотно в Г(0 для ji-почти всех /бГ.
1.7.10. Теорема (Филиппов-—Кастэн). Пусть отображение
Г: Т-+Ж(Х) ^-измеримо, Y —полное сепарабельное метрическое
пространство, а функции Л: Т X X-+Y и g: Т ->Y таковы, что
функции h(-,x) и g(-) ^-измеримы, функция h(t,
^непрерывна и g{t)^h(t, Г(0) для всех (/, х)^ТХХ. Тогда
существует такая ii-измеримая однозначная ветвь | из Г, что g(t) —
= h(i, 6(0) для всех /еГ.
Доказательство. Так как g(t)^h(t, Г(0) для всех
/£Г, то
T(t) = {x^r(t)\h(tyx) = g(t)}^0
и, по теореме I. 7.6, Г(0е JSf (Л') для всех /еГ, и отображение Г
ц-измеримо. По теореме 1.7.7, отображение Г имеет
^-измеримую однозначную ветвь |, которая удовлетворяет
соотношению g(t) = h(t, 6(0) Для всех ^еГ.
Замечания
При написании главы I я использовал различные хорошо
известные работы, в частности, работы Данфорда и Шварца [1],
Дьедонне [1], Манроу [1] и Рудина [1], а также заметки Фана [1]
и статью Кастэна [1]. Я пытался использовать стандартные
определения, обозначения и терминологию. Когда «стандарта»
не было (что случалось очень часто), я выбирал те обозначения,
которые наиболее согласовывались с .другими используемыми
обозначениями или которые были наиболее удобными для наших
целей. Таким образом, я пользуюсь определением Данфорда
и Шварца [1] для интеграла, так как мы часто имеем дело
с функциями и мерами, зависящими от параметра, и выражение
/(г, a)o(t)(dr) имеет в этом случае ясный смысл, в то время
179

как другие определения для этого интеграла либо приводят
к путанице, либо неудобны. С другой стороны, я обозначаю
через 2j g, 22 произведение а-полей, так как обычное выражение
2i Х22 уже использовано для стандартного обозначения
декартового произведения множеств Е, и 22. По тем же причинам
для обозначения расстояния от jc до Л используется символ
d[A, х], чтобы избежать путаницы с обозначением d(Af х),
которое означает {d{y, х)\у^А). Выражение «Л — секвенциально
компактное подмножество из X» означает, что «индуцированная
топология множества Л в X является секвенциально компактной».
Это не соответствует терминологии Данфорда и Шварца [1]
(а соответствует терминологии Кёте [1]), но устанавливает
некоторый параллелизм в использовании терминов «компактный»,
«замкнутый», «секвенциально компактный» и «секвенциально
замкнутый». Наконец, термин «измеримый» определен в смысле,
наиболее подходящем для функций, действующих из
измеримого пространства в топологическое. Этот случай нам наиболее
интересен.
Практически весь материал главы I хорошо известен, и
многие его разделы исследуются по схеме, указанной в
приведенных выше источниках. С другой стороны, некоторые другие
разделы развиваются самостоятельно, так как появляется другой
подход к ним, который более прост или более естествен в нашем
контексте. Так, например, построение регулярных мер (1.4.11 —
1.4.15) и конструкция теоремы Рисса о представлении^. 5.6—1.5.8)
следуют схеме Данфорда и Шварца [1]. С другой стороны,
интегрирование скалярных и векторных функций (1.4.23—1.4.36)
определяется и исследуется без каких-либо особых целей.
В исследованиях главы I я придерживался следующих
источников: Данфорд и Шварц [1] в 1.2.1, 1.2.5, 1.3.8, особенно,
в I.4.A, 1.4.44, 1.4.45, 1.5.6-1.5.8, 1.5.21 и 1.6.7; Манроу [1]
в 1.4.37, 1.5.13 и 1.5.19; Дьёдоне [1] в 1.3.13; Рудин [lj
в I. 4.40—1. 4.42; Фан 11] в I. 3.4, I. 6.4 и 1.6.5; Р. Палас (лекции)
в1.3.5иКастэн [1] в I. 7.1-1.7.4, I. 7.6-1. 7.8 и 1.7.10. Я должен
также отметить, что многие результаты параграфа 1.7,
основанные на подходе Кастэна, получены также в иной форме
другими авторами (см. для ссылок работу Кастэна [1]), а условие 2)
теоремы 1.7.9 может представлять новый результат. Более того,
эквивалентность слабой со звездой топологии единичного шара
в ^* и топологии, полученной из слабой нормы в ЯГ (1.3.11),
вероятно, была получена впервые Бишопом [1].

Глава II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
11.1. Определения и основные положения
Пусть заданы множества Y и Z и функции hx: Y->Z и
А2: Y->Z. Запишем выражение
hi(y) = h2(y) (1)
для каждого конкретного значения j/еУ (при этом не
обязательно, чтобы оно выполнялось). Выражение (1) назовем
уравнением на множестве Y или просто уравнением (если
множество Y уже определено). Если это выражение справедливо для
у = у, то будем говорить, что у является решением уравнения (1)
или что у удовлетворяет уравнению (1). Если (1) справедливо
только для одной точки у из У, то скажем, что уравнение (1)
имеет единственное решение или что у является единственным
решением уравнения (1). Если Y{ — некоторое множество, у е Yx f| Y
и уравнение (1) справедливо при у и не выполняется ни для
какой другой точки из YX{]Y, то мы говорим, что уравнение (1)
имеет единственное решение в множестве Y\. Аргумент у в
уравнении (1) назовем неизвестным (неизвестной точкой из У).
Уравнение (1) назовем функциональным уравнением, если множество Y
является классом функций с общей областью определения и
общей областью значений.
Если заданы множества Уь У2, Zu Z2 и функции h\\ У*-*
->Zi (/, /=1, 2), то уравнения
Ь\{Ух) = Ч(Ух) (2)
В У! И
Ь2М = ЧМ (3)
в Y2 назовем эквивалентными, если существует взаимно
однозначное соответствие между множествами решений
{у, е У, | h\ (</,) - h\ (у,)}, {у2 е У, | А» (у2) = Щ (у2)}.
181

Мы преобразуем уравнение, если определяем ему эквивалентное;
таким образом, мы говорим, что уравнение (2) преобразуется в(3).
Если заданы множества К, Z, Q и функции Л?: K->Z
(/=1, 2, (oeQ), то для каждого ©gQ выражение
является уравнением. Набор выражений
АГ(у) = й?(у) (cosQ) (4)
называется системой уравнений, а у —решением этой системы,
если каждое из этих выражений справедливо при */ = */. Если для
уЕУи/е{1,2} определим ht {у) как функцию а> -> h? (у): Q -► Z,
то система (4) эквивалентна уравнению (1) в том смысле, что
точка у является решением системы (4) тогда и только тогда,
когда эта точка является решением уравнения (1). По этой
причине мы часто системы уравнений будем называть просто
уравнениями.
Если заданы множества К, Z, Р и функции ht\ YXP-*Z
(/=1, 2), то выражение
h\ {у, р) = Л2 (f/, р)
является уравнением в Y для каждого выбора р из Я, и мы
назовем р параметром этого уравнения.
Мы будем интересоваться, главным образом,
функциональными уравнениями, в особенности, обыкновенными
дифференциальными уравнениями, интегральными уравнениями и
функционально-интегральными уравнениями. Изучение обыкновенных
дифференциальных уравнений и некоторых интегральных
уравнений послужило толчком для многих важных исследований
в функциональном анализе, а это, в свою очередь, явилось
мощным инструментом для более общего анализа этих уравнений и
их многочисленных обобщений. Методы, построенные для
изучения существования решений обыкновенных дифференциальных
уравнений, с небольшими изменениями применяются затем для
дифференциально-разностных уравнений, дифференциальных
уравнений с запаздыванием и некоторых
функционально-дифференциальных уравнений. Решения этих уравнений имеют много
общего в их зависимости от параметров, которые могут
появляться в уравнениях.
Многие из функциональных уравнений указанного типа
впервые были изучены в различных разделах математической
физики и позднее появились в инженерных приложениях и
биологических науках. Методы, наиболее часто используемые для
их изучения (Вольтерра называл их [1, стр. 3] «переход от
дискретного к непрерывному»), состоят в изучении дискретных
«приближений» этих уравнений и в изучении пределов решений
этих приближений по мере того, как приближения станут более
182

точными. Такие приближения получаются, например, когда
неизвестная функция задана лишь в некотором конечном числе
точек, а значения в остальных точках определяются по линейной
или какой-то другой интерполяции. Эти соображения часто
приводили к строгим доказательствам, как это было в теореме
существования Пеано для обыкновенных дифференциальных
уравнений, или в изучении Фредгольмом линейных интегральных
уравнений. Когда многие из полученных таким образом основных
методов и понятий были сформулированы в абстрактной форме,
то оказалось возможным получить более простые и более общие
доказательства в рамках пространств функций, тем самым
отпала необходимость в более трудоемких процедурах «перехода
от дискретного к непрерывному».
Основные вопросы, которые будут нас интересовать, это
существование решений различных функциональных уравнений и
их зависимость от параметров, которые могут появляться в этих
уравнениях. Доказательства теорем существования решений
основаны на теореме Шаудера II. 2.8 о неподвижной точке,
которая является топологической по своей природе.
Зависимость от параметров изучается, главным образом, в терминах
некоторых свойств дифференцируемое™ функциональных
преобразований, и основным аппаратом будет теорема II. 3.8 о%
неявных функциях для банаховых пространств. Изучение
специального случая линейных функционально-интегральных уравнений
будет основано на теории компактных операторов (1.3.13)
по Риссу, который обобщил теорию интегральных уравнений
Фредгольма.
Рассмотрим теперь некоторые специальные уравнения, у
которых область значений неизвестной функции у совпадает с
пространством Rrt. Так же, как и в пункте I.4.F, мы будем
пользоваться терминами почти всюду, почти все, измерима,
интегрируема, имея при этом в виду меру Лебега на некотором
подмножестве из R.
Пусть Г= ft,, U\ <= R, п е= N, V <= R", f: Т X V -> Rn, Z -
множество (эквивалентных классов) измеримых функций из Г в Rrt,
a Y — множество таких абсолютно непрерывных функций y:T->V,
что функция t-+f{ty y(t)) измерима. Тогда, по теореме 1.4.42,
д
определена функция y->h{(y) = y из Y в Z, и, по
предположению, определена функция h2 условием h2(y)(t) = f(t, y(t))
почти всюду в Г. Функциональное уравнение (1) в этом случае
имеет вид
y(t) = f t9y[t)) (5)
почти всюду в Г и называется обыкновенным дифференциальным
уравнением. (Термин обыкновенный используется, чтобы
отличать это уравнение от дифференциального уравнения в частных
производных, которое включает в себя неизвестную функцию у,
183

определенную на подмножестве из R (k > 1), и ее частные
производные.) Если множество Y определено таким образом, что
содержит только функции у, удовлетворяющие при заданных
/еГ и T]eRn условию у(/) = г|, то уравнение (5) образует
задачу с начальным условием (в обыкновенных дифференциальных
уравнениях), и эта задача описывается системой уравнений
0(О = /(*> y(t)) почти всюду в 7\
y{t) = r\.
В соответствии с нашим первоначальным определением
абсолютно непрерывная функция у: Т ->Rn является решением задачи
с начальным условием, если она удовлетворяет уравнению (6).
Если Т — некоторый подынтервал из Т (t е Г), функция у: Т ->Rn
абсолютно непрерывна, y{i) = 4 и y(t) = f(t, y{t)) почти всюду
в У, то говорят, что f/ является локальным решением
уравнения (6).
Когда имеют дело с обыкновенными дифференциальными
уравнениями, то обычно в множество Y включают лишь
абсолютно непрерывные функции, чтобы избежать некоторых
«нежелательных» решений. Если, например, вместо абсолютной
непрерывности решений у потребовать лишь существование у них
производной при почти всех значениях t, тогда уравнения
y(t) = О почти всюду в [0, 1], г/(0) —О, будут обладать
«желательным» решением, именно, у (t) = О (/ е [0, 1]); однако этим же
уравнениям будет удовлетворять «нежелательная» функция
Кантора (см. Манроу [1], стр. 193), которая обращается в нуль
при / = 0, имеет почти всюду нулевую производную, но не
является константой.
Мы можем для уравнения (6) с условием абсолютной
непрерывности выписать эквивалентное уравнение
t
y(t) = n+\f(*,y(*))d% (*еГ), (7)
i
t
где Y = Z = С{T, R"), A,(y) = y, h2(y)(t)=\f (г, у (f))dx {teT).
i
Его решения, если они вообще существуют, являются (по
теореме 1.4.42) абсолютно непрерывными и удовлетворяют
уравнению (5).
Обыкновенное дифференциальное уравнение вида (7) является
частным случаем интегрального уравнения типа Урысона
y(f)=\f(t,r,y{x))li{d%) NT), (8)
где Т может теперь быть некоторой замкнутой ограниченной
областью из Rm или? в более общем случае, компактным цеу-
Щ

ричгским пространством, a (f, 2, |i) — конечное пространстбо
с мерой. Уравнение (8) наиболее часто изучается для двух
случаев: когда решения выбираются из пространства С (Г, Rn) и
когда они выбираются из LP(T, 2, p., R") для 1^/?<оо.
Обыкновенное дифференциальное уравнение может быть
обобщено различными способами. Одним из таких обобщений
является дифференциально-разностная система уравнений
Ht) = flt> УС —Ai). •••> y{t — hk)) почти всюду в Г = [/0, /,],
y(t) = y(t) (/е=[/0-**,«],
где 0<Л! <Л2< ... <hk9 функция у: [t0 — hk, t0]->Rn задана,
а решение у должно быть абсолютно непрерывным в Г. Это
приводит нас, как и в случае уравнения (6), к уравнениям
y(t) = 9(to)+ \fb,y(*-bi),-",y(*-bk))dT (*е=Г), /m
и (9)
y(t) = y(t) [te[t0-hk9t0])
в пространстве C(T, Rn). Вместо постоянных запаздываний
Jiu ..., hk мы можем рассматривать неотрицательные
переменные запаздывания Л, (т), ..., Л*(т), получая при этом
дифференциальные уравнения с запаздыванием
t
У (t)=y (Q+ W (х, у (т-А, (т)) у (т-Л* (г))) dr (f е7),
/. (Ю)
У V)=y(t) (t^[t0-suphkCc), /„])•
Система (10) (и ее частный случай (9)) может быть
представлена в другом виде, более удобном для наших целей. Если
мы положим
■ y(t) = y(t)-y(t0) (/еГ),
Л/ (х) = Л, (т), да, (у, т) = v + £ (t0)
(те=Г; oeR"; /=1 k; т - Л, (т) е= Г),
й, (т) = 0, да, (и, x) = y(x — hi (т)) + £ (f0)
(т€=Г; OSR»; /=1, ...,*; т - Л, (т) <£ Г),
f(x, о, t>ft) = /(x, »,(©,, т), ..., wk(pk, т))
(хеГ; у, »teR"),
то система (10) эквивалентна уравнению
t
&(t)=\f(r, ^(t-^(t)), ..., 0(т-А* (*)))** (/еД (11)
где т-*т — /i/ (т) — функции из Г в Г.
185

Уравнения (7), (8) и (И) являются частными случаями
функционально-интегрального уравнения
y(t)=\f (t, т, I(у)a))\iidx) teT), 12)
где (Ty 2, \х) — конечное пространство с мерой, а | — заданное
функциональное преобразование (т. е. функция из X в К, где
Л", У —некоторые заданные классы функций).
Наш общий подход будет заключаться в представлении всех
этих уравнений в виде
y = F(y),
где F — функция из некоторого топологического пространства °Ц
в себя. В действительности, для всех задач, которые мы будем
рассматривать, °У будет всегда либо банаховым пространством
С (Tt Rrt), либо банаховым пространством LP(T, 2, \xf Rn) для
1<р <оо.
II. 2. Теоремы о неподвижной точке Брауера,
Шаудера и Тихонова
Если 5, «gN, Xq хяе R5, и множество {jcj — x0f ...
. ..,*я—#о} независимо, то мы будем говорить, что точки
дс0, ..., хп находятся в общем положении. По теореме 1.6.1,
множество | X в'д^ | (8°, 81, ..., §п)^Т'п \ совпадает с со ({*0, ...
..., хп}). Если точки х0у ..., хп находятся в общем положении,
то назовем множество со ({a:0, ..., хп}) n-мерным симплексом
с вершинами x0i ..., хп. (Мы видим, что для s=/z; х0 = (0, ..., 0),
*,=(1, 0, ..., 0), *2=(0, 1, 0, ..., 0), ..., хй = (0,0, ..., 0, 1)
ЗГп является л-мерным симплексом со ({х0, ..., хп}).) Если k е
е {0, 1, ..., /г}, а /о, ..., /* есть k+l различных элементов
из {0, 1, ..., /г}, то назовем со({л;/о, ..., jc/fe}) k-мерной гранью
n-мерного симплекса со({л:о, ..., хп}) с вершинами jc/, ..., xJk.
i
Если Su ..., S; — такие /г-мерные симплексы, что (JSy =
= со ({х0у ..., хп})> и для каждого i и / множество S* f| S/ является
либо пустым, либо m-мерной гранью для обоих множеств S(
и Sj при некотором me{0, 1 п}, то мы говорим, что
множество S={Sb ..., Si} является симплициальным подразбиением
множества со({х0, ..., *п}) на подсимплексы Su ..., S/. Вершину
любого из этих подсимплексов мы назовем вершиной
подразбиения S. Множество всех вершин подразбиения S
обозначим через V (S).
186

Мы видим, что если точки х0у ..., хп находятся в общем
положении, то отображение
(в\...,еп)-*±В'х1:Г'п-,со({х0,...> хп})
п п
является взаимно однозначным, так как из £ QfXi= £ afx, сле-
/-0 /-0
п
дует 2 (б7—а7) (ху—х0) = 0. Следовательно, Q!=aJ для /=1, ..., п
и е°=1 - Z 8'=1 - S а7=а°. Если х = £ e'xies со ({*<>, • •., *«}),
/-1 /-1 /-о
то (8°, ..., 8") е £Г^, и мы назовем 8°, ..., Т барицентрическими
координатами точки х (мы только что показали, что для каждого х
значение (8°, ..., 8П) единственно).
Пусть S—симплициальное подразбиение я-мерного симплекса
со({х0, ••., хп})> а т(») —функция из V (S) в {0, 1, ..., п). Мы
говорим, что функция т(«) является простой нумерацией
подразбиения 5, если т(р)е{/0, ..., jk) при всех ресо{*/0, ..., дс/^}.
Такая функция т(*) нумерует любую вершину подразбиения S
индексами из {0, 1, ..., п) таким способом, что вершина,
лежащая на 6-мерной грани со ({*/0, ..., xfk}) симплекса
со({*о, -.-, хп}) будет занумерована индексом одной из вершин
этой грани. Мы говорим, что подсимплекс со ({р^, ..., р'п})
разбиения 5 является tn-мерным стандартным, если его п + 1
вершина занумерована индексами {0, ..., п}, т. е. если (т(р^), ...
•••• т0О} = {°> L •••> *}•
Топологическое пространство А обладает свойством
неподвижной точки, если для любого непрерывного отображения
f: А-+А существует такая точка х^А, что x = f{x). В этом
случае точку х назовем неподвижной точкой отображения /.
II. 2.1. Лемма. Для любых «gN и е > 0 существует такое
симплициальное подразбиение S = {SU ..., S/} симплекса Тп,
что diam (S/X.8 для /=1, ..., /.
Доказательство. 1. Пусть Т= {v0i ..., vn)} n-мерный
симплекс, 8°(*), ..., Qn{x) — барицентрические координаты точки
х^Т и Рп—множество всех перестановок из элементов (0, ..., п).
А
Если л = (/0, ..., /„) е Р^, то мы полагаем
Тп = {хеТ |8/о(х)^Q!*<x)> ... >8/«'jc}»
s
wns=lTTZV!i S==0> !' ••'» Л)'
/-0
187

Нетрудно проверить, что а;? е Тп для каждого s и Тп является
выпуклым телом в R". Если (а0, ..., ап)^Т'п и а/о>аУ1> ... >аЧ
то полагаем ая+1 = 0, ps = (s + 1) (a's — а'*+0 (s = 0, ..., п) и
п п п
получаем, что (р°, ..., рп)е^"п и 2 Л*=£ <А>У = £ psa£.
fe-0 *=0 ' s=0
Таким образом, Tn совпадает с множеством со({куо, ..., w*}),
которое является n-мерным симплексом, так как имеет непустую
внутренность в относительной топологии в Т. Мы видим, что
(Is = 0 тогда и только тогда, когда afs = ais+l.
Если я', п"е Рп и Тп {\Тп Ф0, то из определения
множества Тл следует, что множество Г^П^" может быть
охарактеризовано следующим образом. Существуют такие fee{l, 2, ...
..., п-\- 1} и набор k чисел {/ь ..., /*}, что {/h ..., Ik) является
набором из {1, 2, ..., л+ 1}, каждое /, непусто и
^'^"J £ в/о*|ва=вэ>0> если а, ре// для некоторого г,
W-o
9а>9р>0, если а €=/,., BgL и / </; и Ев/=1г. Таким
/-о J
образом, наше предыдущее замечание (о том, что ps = 0)
показывает, что Гл' П Тп" является гранью для обоих Гл' и Тп". Отсюда
получаем, что {гя|яе Рп} является симплициальным
подразбиением множества Т.
2. Если Г = со({у0 vn}) является n-мерным симплексом,
то существуют такие /, / е {0, ..., л}, что сИат(Г) = | vt — vf |.
Это следует из условия, что функция х-^\х — у\: Г -> R выпукла
для каждого j/gT и каждая точка из Т является выпуклой
д
комбинацией точек и0, ..., vn. Пусть теперь я = (/0, ..., /„) е Р„
и точки ш? (s = 0, ..., п) такие же, как в п. 1. Тогда Гя =
= со({доя, ..., до*}) и существуют такие р, ^е{0, •••> п}> что
p<q и (Нат(Гл) = |а£ — w"\. Имеем
Р р <7
m?=7TiZq/r(p+i)k+i)EEv
i-0 f—о /5—0
а р я
< = 7+tL Ч= (р+1)(?+1) ZjL */*
fc-0 /-Ofe-0
Следовательно,
р а
к-^1<(р+1)1(<?+1)Е£К-р/»1-
i-0ft-0
188

Каждый член \vfi'^vik\ является нулем, если i = k (имеется
р+1 таких членов), и не превосходит diam (Г) в других
случаях. Так как q<inf то мы имеем
diam(J ; = |о>р —ш„|^ (р +1)(g + 1) diam (Г) =
= j^j diam (Г) < -^сНат(Г). (1)
3. Пусть S = {S|,..., S/} — симплициальное подразбиение
д-мерного симплекса Z. Покажем, что
{S?|/=l, .... /; п^Рп)
также является симплициальным подразбиением симплекса Z.
Для /г==0 это тривиально, поэтому по индукции предположим,
что это так для п^т— 1. Пусть Z будет m-мерным симплексом
с подразбиением {Su ..., S/}, и пусть /, /е{1, ..., /}, я', п"^Рп
и Sf П Sf Ф0. Если *=/, то, как мы показали в пункте 1,
Sf'flS* является общей гранью для обоих симплексов. Если
ьФи то S? f|S/ содержится в общей грани F=co({y0, .. •, 0*})
для Si и Sy и k^.m— 1. Обозначим вершины симплексов S, и Sy
через (i>0, ..., vk9 о;+1, ..., ^) и (о0, ..., ^, i£+|f ..., i£)
соответственно (после перенумеровки их, если это необходимо, и
соответственного переопределения п' и п"). Тогда п' и я"
определяют соответствующие перестановки я' и п" из {0, ..., к),
S?(]F = (Si П Ff9 Sf П F=(S/ П Л*"; {Si П F9 ..., S, f] f} является
симплициальным подразбиением симплекса F, и симплексы
Sf(]F и Sf QF оба принадлежат множеству
{(SanF)1a=l, ..., ft я <=/>*},
которое по предположению индукции, также является симпли»
циальным подразбиением симплекса F. Отсюда следует, что
Sf(]Sf = (sf(]F)Q(Sf(]F)
является общей гранью для S* и Sf. Это завершает индукцию.
4. Пусть
S(0) = {<T„}, S(fe+,) = {rn|reS(fe), axePj,
Mk = max {diam (Г) | T e= S<*>} (ft = 0, 1, 2, ...).
Мы имеем, согласно пункта 2, что Affe+1 ^ д , j Mk.
Следовательно,
189

и существует такое р, что Мр^.е. Согласно п. 3, 5 = S(p)
является симплициальным подразбиением симплекса ЯГп. Таким
образом, S удовлетворяет утверждению леммы.
II. 2.2. Теорема (Шпернер). Пусть /zeN, Л = со({л;о, ..., хп})
есть n-мерный симплекс, S — симплициальное подразбиение
симплекса Л, а т(*) — простая нумерация S. Тогда число пг-мер-
ных стандартных подсимплексов из S нечетно.
Доказательство. Когда /г=1, то теорема легко
проверяется (например, индукцией по общему числу подсимплексов
в симплициальном подразбиении). Предположим теперь по
индукции, что л>2и теорема верна для всех ^-мерных симплексов
(l^k^n— 1). Назовем (я — 1)-мерную грань подсимплекса
из S m-мерной стандартной, если ее вершины занумерованы
функцией /п(«) с индексами 0, 1, ..., п— 1. Пусть а —число
m-мерных стандартных подсимплексов, Ь — число т-мерных
стандартных граней, лежащих на границе симплекса Л, и с(Т) —
число m-мерных стандартных граней подсимплекса Т из S. Если
подсимплекс Т является m-мерным стандартным, то с(Г)=1,
в противном случае с{Т) либо 0, либо 2. Отсюда следует, что а
и £ с(Т) являются оба одновременно либо четными, либо не-
четными. С другой стороны, если m-мерная стандартная грань
лежит на границе Л, то она принадлежит только одному под-
симплексу из S; в противном случае она принадлежит
обязательно двум таким подсимплексам. Таким образом, £ с(Т)
T^S
является четным или нечетным вместе с Ъ\ следовательно, а
нечетно, если Ь нечетно. Однако Ь является четным по нашему
предположению, потому что m-мерная стандартная грань
принадлежит границе А тогда и только тогда, когда она является
m-мерным стандартным подсимплексом симплициального
подразбиения симплекса со({дг0, ..., хп-х})9 порожденного
разбиением S. Это завершает индукцию.
И.2.3. Теорема (Брауер). Пусть топологическое
пространство А гомеоморфно ограниченному выпуклому телу в Rrt. Тогда
пространство А обладает свойством неподвижной точки.
Доказательство. Пусть А и В — топологические
пространства, а ф — гомеоморфизм из Л в В. Если Л обладает
свойством неподвижной точки и отображение f: В-+В непрерывно, то
отображение из А в А ф~1 of оф непрерывно и имеет неподвижную
точку а. Тогда ф~1 °!(ф(а)) = а; следовательно, ф{а) является
неподвижной точкой отображения /. Таким образом, свойство
неподвижной точки сохраняется при гомеоморфизме.
По теореме 1.6.12, любое ограниченное выпуклое тело в R"
гомеоморфно ?Гп. Поэтому достаточно показать, что STn
обладает свойством неподвижной точки. Пусть отображение
/: У~п-^>&~п непрерывно, xQl ..., хп — вершины множества 8Гп,
90

а б° (х), ..., 6Л (л:) — барицентрические координаты точки х е &*п.
п
Так как множества х — х0= £ Q1 (x){xf—x0) и {x{ — x0i ..., *„—*0}
/-1
независимы, то из теоремы 1.3.4 получаем, что отображение
x-*{Ql (х), ..., Qn(x)): Тп-^Тп является гомеоморфизмом.
Таким образом, отображения
х-+{Ф(х), ..., 6ли)): Гп-+Т'п,
*-М8° (/(*)), ..., Qn(f(x))): Гп-*Г'п
непрерывны.
Пусть теперь S —симплициальное подразбиение Тп, и
предположим, что отображение / не имеет неподвижной точки. Тогда
для любой вершины у из S из соотношения
Ze/(y)=Se/(ffr/)) = i
/«о /-о
следует, что множество My={j&{0, 1, ..., п}\ & (f (у)) < Q1 (у)}
д
непусто, и мы можем определить m(y) = minMy. Мы видим,
что если *Е{0,1,...,л)иуе со({*/0» • • •» */*})> то Ъ!(у) = 0
для /^{/о, ..., /*}. Следовательно, т(у)е{/0, ..., /*}. Таким
образом, т(*) — простая нумерация подразбиения S и, по
теореме II. 2.2, существует хотя бы один m-мерный стандартный
подсимплекс Г = со({р0, •••> Рп}) из S. Поэтому
Qm{p)(f(p))<Qm{p)(p)
для р = ро, •.., Рп и (т(ро), ..., w(pn)} = {0, ..., п).
Следовательно,
еЧ'Ы)<в'Ы (/ = 0, 1, ..., /г), (1)
где т(р/.) = /.
По лемме II.2.1, для любого /eN существует такое
симплициальное подразбиение S1 симплекса ТПУ что diam(rXl/J
для T&S1. Пусть Г'Асо^р^, ..., р^}) есть т#-мерный
стандартный подсимплекс из S1. Так как множество ^«+1 замкнуто
и ограничено в (Rn)"+1, то, по теоремам 1.2.5, 1.2.6, 1.2.8,
Т"*1 — секвенциальный компакт. Таким образом, существуют
такие /с=(1,2, ...) и (р0, ..., рп) е= Т^\ что limp< = p, для
/ = 0, 1, ..., п. Так как diam(rS< 1//, то мы получаем, что
Po = Pi= • • • =Рп = Р и lim р(/) = р для всех р (/) eiT^/GN).
191

Мы \1ожем теперь применить соотношение (1) для S = Sl)
T = Tl (t ^N). Так как pj.^T1 для каждого / и отображение
x-+Ql{f(x)) непрерывно для каждого /, то отсюда следует, что
е1'(/(р))<е'(р)
п п
для 1 = 0, 1, ..., п. Так как £ &(f Ф))= Е 0'(р) = 1, то
/=0 /-0
еЧ/(Р)) = е£(р) (/ = о, ..., п).
Следовательно, f(p) = p, а это противоречит предположению,
что отображение / не имеет неподвижной точки.
II. 2.4. Теорема (Мазур). Если 86 — банахово пространство,
A a SB и Л — компакт, то со (Л) — компакт.
Доказательство. Мы видим, что если п е {0, 1, 2, ...}
и Оо, •••> ап^8В, то со({а0, ..., яп}) является образом
компактного множества ^ при непрерывном отображении
п
(8° б^-^^б'а,. Таким образом, по теореме 1.2.9,
множено
ство со({а0, ..., ап}) компактно и потому замкнуто.
Следовательно, со({оо, ..., а„}) = со({а0, •••> ап})-
Пусть теперь Л — компактное подмножество из дб. С точки
зрения теоремы 1.2.5, достаточно доказать, что множество со (Л)
вполне ограничено. Для любого е > 0 существует такое
конечное подмножество Ле = {ао, • • • > ап) компактного множества
Л, что
m
А с= U $F ("/> е/2) с: со (Ле) + SF (0, е/2).
Так как множество со (Ле) компактно, а множества со (Ле) и
SF(0, е/2) замкнуты и выпуклы, то множество со (Л8) + SF(0, е/2)
также будет замкнутым и выпуклым. Следовательно, со (Л) с:
с: со (Ле) + SF (0, е/2). Кроме того, со(Ле) вполне ограничено.
Следовательно,
co^dUS^e/^M^, ..., bm) + 5^(0, е/2)
для некоторых точек 6lf ..., 6m в со(Ле) и
Й(А)с{Ьи ..., 6m} + S'tO.e).
Так как {&!,..., 6т} с: со (Ле) cz со (Л), то множество со (Л)
вполне ограничено.
Замечание. Если & е N, SB=\^ и Л — компактное
подмножество из Rk, то, по теореме Каратеодори 1.6.2, со(Л) =
*={Л^Х/\ 6^(9°, ..., Qk)s=&-'k, xf<=A}, и поэтому со (Л)
является образом компактного множества ^Г£ X <4*+1 при не-
192

k
прерывном отображении (0, лг0, ..., xk)-> £ в'*/- Таким обра-
/-о
зом, по теореме 1.2.9, множество со (А) является компактным.
Возникает вопрос, будет ли это верно в бесконечномерном
банаховом пространстве. Следующий контрпример показывает,
что множество соЛ не может быть заменено на со (А) в
теореме Мазура II. 2.4.
Пусть ё6=С([0, 1/2]), f (0 = 0 и f,(0 = (0y (t в степени /')
(/ = 0, 1, 2, ...;/е=[0, 1/2]). Тогда множество A = {f, f0y fu ...}
компактно ;так как \\mfi(t) = f(t) равномерно для всех /е
е [0, 1/2], если /cz(l, 2, ...)). Если мы положим
/-о
Л, (0 = аГ' Z f, (0/Л « eN;/e [0, 1/2]),
/-о
то, по теореме 1.6.1, /^есо(Л) для всех /eN и, по условию
1.3.15, НтЛ^О — ^""1 для каждого t е [0, 1/2]. Действительно,
мы можем проверить, что функции Аь Л2, ... равномерно
непрерывны, и поэтому, по теореме 1.5.3, ИтЛ;(0 = ^-1
равномерно для /е [0,1/2]. Так как любой элемент из со(Л)
является полиномом, a t-+ef не является полиномом, то это
показывает, что множество со {А) не замкнуто, а потому и не
компактно.
Н.2.5. Теорем а. Если 96 — локально выпуклое
топологическое векторное пространство, a S — семейство всех
непрерывных полунорм на 96, то -ф (х) = 0 (фЕ 5) тогда и только тогда,
когда х = 0.
Доказательство. Мы имеем г|)(0) = 0 для любой
полунормы г|э. Пусть теперь х таково, что г|)(л;) = 0 (г|) е S). Если
х ф 0, то существует выпуклая симметричная окрестность U
точки 0, не содержащая х. Калибровочная функция гр
множества U является, по теореме I. 6.5, полунормой и, по теореме
1.6.4, -ф(л:)>1. Это противоречит предположению, чтог|э(л;) = 0
для всех \|)GS.
II.2.6. Лемма. Пусть К —компактное выпуклое множество
в топологическом векторном пространстве 96 и функция
/(•, •): /CX^C-^R непрерывна. Если для любого
фиксированного у е К функция f (•, у) выпукла на К, то существует
такое у е/С, что
i(x,y)>f{y,y) (х^К). (1)
7 Дж. Варга 193

, л
Доказательство. Для каждого ^ед положим F(х =
= {г/е/(|/ ху у) ^ / «*/, */)}. Множество Z7 (х) замкнуто и не
пусто при всех х. Нам нужно доказать, что П F'* Ф 0-
ГС
Так как /С — компакт, то это верно, если f| F {хА Ф 0 для
/-о
любого конечного подмножества {х0у ..., хп) из /О
Пусть
ле{0, 1, 2,...}, х0, ..., xns=K, С=со {х0, ..., хп}),
gi<y)=max(f\y,y) — f(xhy)9 О (ysC; / = 0, ..., п)9
y{B=te'xi [в= е°,..., е*)е=<г;].
/-о
Тогда каждая функция gf непрерывна и неотрицательна.
Поэтому функция Л = (Л°, ..., hn): ^"«->Rn+1, определенная
условием
,,е)л e4«,toff» [/=0) t я; e4(tft...iir)e<l
является непрерывным отображением множества &~'п в себя.
Так как множество Т'п гомеоморфно &~п, то из теоремы Брауера
о неподвижной точке II. 2.3 следует, что существует такая
точка 9 е &~п, что 8 = h (8). Это дает нам условие
ё' + 8' £дк(у б)) = в'+ ft (у (б)) (/ = 0, I, .... «). (2)
/г-0
Вспомним, что, по предположению, функция /(•, у) выпукла
для каждого у е К. Следовательно,
/
(у б , у :б)) = / (£ &х„ у б)) < £ б'/ (х„ у (б)).
\/-0 / /-0
Отсюда следует, что существует такое т е {0, I, ..., п}, что
f(xm9yfi))>f(y(Q),y$)), бт>0,
или
gm(f/(6))=o, ет>о.
Это соотношение вместе с условием (2) дает нам
Е ft (У (6))-ft GK8J) «0 tf-0, 1, ..., /г).
ft-0
194

Следовательно, f (*,, у (б)) > f (г/ (в), г/ (б)) (/ = 0, !,..., л). Это
П
означает, что y(Q)^ (] F(jCy) и доказывает наше утверждение,
/-о
II. 2.7. Теорема (Тихонов). Пусть К — компактное
выпуклое подмножество из локально выпуклого топологического
векторного пространства 96. Тогда любое непрерывное
отображение f: К->К имеет неподвижную точку.
Доказательство. Пусть S — семейство всех
непрерывных полунорм в SB и
F^ = {y^K\^(yf(y)) = 0} fteS).
Множество F^ замкнуто, так как функция y^>ty(y — f{y))
непрерывна. Поэтому, по теореме II. 2.5, у функции /
существует неподвижная точка, если f] Р^Ф 0. Так как /С —ком-
пакт, а множество F^ замкнуто, то достаточно показать, что
п
f| />. ф 0 для любого конечного подмножества {tyu ..., -фп}
из 5.
А П
Пусть Л(х, у) = Yu $i(x — /(У)). Тогда функция Л(•, •)
удовлетворяет условиям леммы II. 2.6 и существует такое у е /С,
что h(x, y)^h(y, у) для всех л: е/С, в частности, для x — f(y).
Таким образом,
0=£ */(0)>Z+iW-/(y)).
t-l i-l
Отсюда получаем, что г|\- (у — / (£)) = 0 (/ = 1,..., п) и {] F$. Ф 0-
II. 2.8. Теорема (Шаудер). Пусть К— замкнутое выпуклое
подмножество из банахового пространства #?, функция f: К->К
непрерывна и множество f (К) компактно. Тогда f имеет
неподвижную точку.
Доказательство. Пусть М = co(f(K)) = co(f{K)). По
теореме Мазура II. 2.4, Af — компакт, и ясно, что Mcz/C.
Таким образом, сужение функции f на множество М
удовлетворяет условиям теоремы Тихонова П. 2.7 и имеет неподвижную
точку.
II. 3. Производные и теорема о неявной функции
Производные. Пусть ^ — банахово пространство, °Ц —
топологическое векторное пространство, ЛсЖ и /: А-+Щ.
Мы говорим, что F является производной от функции f в точке
а е А и что функция / дифференцируема в точке а, если точка а
7*
195

содержится в выпуклом подмножестве из Л с непустой
внутренностью, FeBi^'V) и
lim | а - а Г1 [f (а) - f (а) - F (а - а)] = О,
когда а-+а, а е Л\{а}. Из определения не очевидно, что
если производная от функции f в точке а существует, то она
единственна. Однако в теореме И. 3.1 мы докажем, что это
так. Для обозначения производной от функции / в точке а мы
будем пользоваться символами f (а) или 2)f(a).
Ясно из определения, что функция / непрерывна в точке а,
если она дифференцируема в этой точке (обратное неверно,
это видно из примера: A = %? = <y = R, f(a) = \a\, а = 0). Легко
проверить также, что дифференцирование в точке а является
линейным оператором, т. е. если функции /:Л-><^и#:Л->^
дифференцируемы в точке а, то
(/ + ёУ [а) = Г (а) + g' (а), (а/)' (а) = а/' (а) (а € R).
Если ^ — банахово пространство и функция f: А-><у
дифференцируема в точке а, то обозначим через \f'(a)\ обычную
норму оператора /'(а) в пространстве В (95, <V), т. е. |Г(а)| =
= sup \f'(a)x\.
\х\<1
Если ^ = R и А = [ао, а{] c=R, то производной /'(а) в точке
а е [а0, а{] соответствует единственный элемент y = f (а) • 1
из Щ, и мы имеем f'(a)x = xy (х е R). Мы будем в этом случае
отождествлять f (а) с / (а) • 1, и из контекста будет ясно, в каком
пространстве рассматривается элемент ¥ [а), в <У или в B(R, <У).
Более того, легко видеть, что
Г (а). 1 = lim /Г1 [/ (а + Л)- f(a)]
при Л->0, Л=^=0. Таким образом, если weN, # = R, <V = R"
и А = [а0, а^ cz R, то наше определение производной совпадает
с определением производной f (а) из пункта 1.4.F.
Если 36 — банахово пространство, ^/ — топологическое
векторное пространство, Лс=<8/ и функция f: А-+°У
дифференцируема в точке а при всех оеД то мы назовем функцию /
просто дифференцируемой. Если функция дифференцируема, то
обозначим через /' или через Щ функцию
а-*Па): А-*В(Ж9У)Ш
и для каждого Да е 86 обозначим через f Да или через 2)f Да
функцию а-*/'(а)Да: Л-><^. Если ^ является банаховым
пространством, то мы будем предполагать, если только это
196

особо не оговорено, что В (#?, <У) является банаховым
пространством с нормой
|Г|= sup \Тх\.
\х\<\
В этом смысле мы будем говорить, что функция f непрерывна
в точке а, если только
Нт|Г(а)--Па) 1 = 0.
а->а
Если функция / дифференцируема и ее аргументы
обозначены какими-то буквами с черточками, с индексами, или без
них (скажем, а или х, или 8i), то аргументы функции f (а) мы
будем обычно обозначать через Да (или Дл: и т. п.).
Частные производные. Если 8вь 9В ъ ..., ^„ —
банаховы пространства, ^ — топологическое векторное пространство,
ui^AtCz^i (/=1, ..., п)9 /: АХХ ... ХАп-+У и функция
й(-> ft <ai) A f (аи ..., at-h аи ai+lt ..., ап): Ai-ьЩ
имеет производную в точке ah то эту производную мы будем
называть частной производной от функции / по at в точке
(ах, ..., ап) и обозначать через fai (а,, ..., ап) или 2)J (а,, ..., ап).
Производную /'((а, ..., ап)) мы будем называть полной
производной от функции f в точке (аи ..., ап).
Если % = %ХХ ... Х%п, а±(аи ..., аЛ)еЛс=^и
функция f\ А-*6*} имеет производную в точке а, то мы можем
рассмотреть функции
Xt-bFiXi^fia)?: Я?,-ку (/=1, 2, ..., п),
где х'™(0, ..., 0, хи 0, ..., 0) (т. е. # = (*{, ..., х*п) при
||Дх| и Jc/ = 0 для /#/). Тогда Ft^B(^i9 У) и
п
и мы назовем функции Ft частными производными от
функции f по at в точке а^(аи ..., ап) и обозначим Ft через 2)tf (а)
или /0/(а). Это определение частных производных согласуется
с данными ранее, так как непосредственно из определения
функций /'(а) и Ft следует, что F( является производной от функции
f(al9 ..., at-u •, al+u ..., drt): АЬ^<У
в том частном случае, когда А = АХХ ... X Лг, а^еЛ^сй?,
и dt принадлежит выпуклому подмножеству из At с непустой
внутренностью.
197

Таким образом, мы определили 2)if (а) для f: А-+<У в двух
случаях:
а) когда б —(а„ ..., ап) е А{ X ... X Ап$ AiCiS^i и
функция / (а,, ..., а^—!, • , йл-ь ..., ап) дифференцируема в точке а{\
б) когда f дифференцируема в точке а.
Если а^(аи ..., ап)^А = АхХ ... X Л„ и Л, с: Я?, (/=1,
2, ..., п), то, как мы только что видели, производная 2btf (а)
существует для /=1, 2, ..., /г, если /'(а) существует.
Обратное неверно. Например, функция /: R2->R, определенная
условием
/(*i. *г) = (х,)а + Ы8
для (jtj, *2) # (0, 0) и /(0, 0) = 0, имеет частные производные
&J(0, 0) = 2)2f{0, 0) = 0, но не является дифференцируемой
в точке (0, 0).
Если производная 2)J(а) существует для всех сеД то мы
пишем fat или 9)J для обозначения функции
а-*/в|(a): A-»B(%h<V)*
и если Да* е Я?*, то пишем fa Да* или £Z)*f Да/ для обозначения
функции
а-*/в|(а)Да,: А-+у.
Вторые производные. Пусть 9В и ^ — банаховы
пространства, А <= Я/, f: А->0/, и предположим, что функция /
имеет производную f. Тогда f является функцией из А в
банахово пространство В (Я?, Щ). Если функция /': Л->В(Я?, °У)
имеет производную в точке а, которую мы обозначим через
f"(a) или &2f(a), то мы будем говорить, что функция f дважды
дифференцируема в точке а, и назовем /"(а) второй
производной от функции f в точке а. Если /"(а) существует для всех
йеД то обозначим через f" или через 2)2f функцию а-*
-*/"(<*): А -> В (Я?, В (Я?, ^/)). Мы будем говорить, что
функция f имеет непрерывную вторую производную, если /"
непрерывна на Л в обычной топологии нормы, выбираемой для
пространств в (Я?, У) и в (Я?, В(^э Щ.
Производные по направлению. Пусть Я? —
векторное пространство, ^ — топологическое векторное пространство,
А — подмножество из Я?, а (а <= Л) и f: А-+ °Ц. Если для
некоторого а > 0 выполняется условие а + а (а — а) е Л (а е [0, а])
и предел
D/ (а; а — d) = lim а"1 [f (а + а (а - а)) — / (а)]
а>+0
существует, то назовем Df (а; а — а) производной от функции f
в точке а по направлению а. Так как, по определению, тоцодо-
198

гическое векторное Пространство явлйетсй хаусдорфовым, то
производная Df (а; а —а) является единственной, и мы видим,
что она совпадает с производной в нуле от функции a->f{a +
4-а (а — а)): [О, а]->^. Нетрудно проверить, что если а{ = а +
+ 6 (а — а) для некоторого ре[0, 1], то Df (а; ах — а) =
= pD/ (а; а-а). Если MiX4X-..X Ak-+<¥, j е= {1, ..., А),
л _ подмножество некоторого векторного пространства, а/,
uj е Л/ и ^ — топологическое векторное пространство, то через
Dif{ab •••> я**> «/ — «/) мы обозначим производную от функции
a->f (а,, ..., а/-!, а, а/+1, ..., а*): Л/-*<У в точке а, в
направлении Я/.
n-дифферен цир у емые функции. Пусть ^ —
векторное пространство, ^ — топологическое векторное пространство,
a0^Acz8? и /: Л-*^. Если «gN и для любого выбора
точек а = {а{ ап)^ Ап существует такое аа > 0, что а0 +
п
+ £ 9У (а, -а0)е4 (в7 € [0, ав]) и функция
/-1
ВЛф, ..., вл)^(яо+|/(Я/-Яо)) [0, ал]л->^/
имеет производную в точке 0, то мы говорим, что функция f
является п — дифференцируемой в точке а0. Ясно, что если
8в — банахово пространство, Л — выпуклое множество, а
функция f имеет производную в точке а0, то / является п —
дифференцируемой в точке а0 для всех п е N. Более того, функция f
является /л*дифференцируемой в точке а0, если она я-дифферен-
цируема в этой точке и 1<т</г.
II. 3.1. Теорема. Если 85 —банахово пространство, О/—
топологическое векторное пространство, а е Лег $?, /:Л->^
и F — производная от функции f в точке а, то эта производная
единственна.
Доказательство. Пусть f, и F2 будут производными
от функции / в точке а. Тогда существует такое выпуклое
подмножество Л0 из Л, содержащее точку а, что Ло Ф 0. Пусть
теперь й е Ло, Ь Ф а. Тогда существует такое а > 0, что
замкнутый шар SF(bt а) не содержит точки а и принадлежит мно*
жеству Л0. Пусть (т]у) — последовательность из (0, 1],
стремящаяся к 0, с е SF (6, а) и а7 — а + r\j (с — а). Тогда af е Л0 и
lira | а, - d Г1 [/ (а,) - f (а) -f, (а, -а)] = 0 (/= I, 2).
Следовательно,
U-ar4im(4/r,If(fl/;-/(a)]-|c-arlF|(c--a) (/=1,2).
199

Таким образом, Fх{с ^-а) = Р2{с — а) для всех c&Sf(b, а),
Пусть теперь xGf, 1*1^1. Тогда Ь + ал: е SF {b, а).
Следовательно,
F1(6-a + aJc) = /72(6 — а + ах) {х<=%\ |х|<1),
и поэтому
II. 3.2. Теорема. Яусгб *eN, a > О, Я? — векторное про*
странство,
Л = {яо+ £ в7(а,- ао) I в' € [0, а] } <= Ж,
Щ — топологическое векторное пространство, f: А-^Щ и функция
в-Мв)Д/(ао + ^в/(в/-ао)): Ю, а]*-* У
дифференцируема в нуле. Тогда
k
Гл(0)Де=Е Де'£>/(а0; а,-ао) [Дв-Цде1 Ae*)e=R*].
/-I
Доказательство. Пусть б/ = (бД ..., в/*) (/= 1, ... &),
где б/ = 0 для \Ф1 и в{ —1. Для каждого / € {1, 2, ..., &}
О = lim а-' [/л (об,) - /л (0) - aft (0) б,] =
а>+0
= lim а-'[/(ао + а(а,—ао))-/(ао)-а/д(0)6г].
а->+0
Следовательно, fл (0) 6; = D/ (a0; a* — а0). Наше утверждение
получается из условий, что функция /л(0) линейна и Д8 =
k
= 2]дв/б/.
/-1
II. 3.3. Теорема. Пусть А — подмножество из банахова
пространства 96, Щ — топологическое векторное пространство и
функция f: А-><У 2-диффсренцируема в точке а0еЛ. Тогда
для всех а{, a2 е А и р е [0, 1] имеем
Df(a0; pa1 + (l-p)a2-a0) =
=* pDf (a0; at - a0) + (1 - p) Я/ (a0; a2 - a0). (1)
Если множество А выпукло, то множество {Df (a0; a — a0) \a e Л}
также выпукло.
Доказательство. Пусть a^e^ и ре [0, 1], и пусть
число a > 0 таково, что
а0 + 91 {а{ — а0) + 92(а2 — a0) ^ Л
для всех G^IB1, б2) е [0, а]2. Функция
6 A (eif 02) ^ А (в) Д / (ао + е« (в1 - во) + 92 (о, - я0)): [0, а]2-> V
200

имеет производную h'(0). Следовательно,
lim a"1 [h (aft) - h (0) — h' (0) (ab)] = 0
для fe=(P, 1— P). Таким образом,
Ы (0) b = lim a-1 [f (a0 + a (p^ + (1 - p)a2 - a0)> - f (a0)] =
a->+0
= Df (a„; pa, + (1 - p) a2 — Oo).
С другой стороны, по теореме II. 3.2,
Л7 (0) Ь = PD/ (а0; a, - а0) + (1 - Р) D/ (а0; а2 - а0).
Это доказывает условие (1). Если множество А выпукло, то
из условия (1) получаем, что множество {Df (a0; а-а0)|аеЛ}
также выпукло.
И.3.4. Теорема. Пусть А и В — подмножества из
банаховых пространствt С — подмножество топологического векторного
пространства, f: А-+В, g: В-+С, а0 ^ А и bQ = fia0). Если
существуют производные f' (a0) и gr (b0), то g' (b0) о f (a0) является
производной от функции gof в точке а0. Если функция f
непрерывна в точке а0, a g' — непрерывна в точке f (а0), то
функция (g°fY непрерывна в точке а0.
Доказательство. Пусть h= g°f и Т = g' (b0)°Г (До)»
Тогда
I а — а0 Г1 [А (а) — h (а0) - Г (а - а0)] =
= \a-a0rl[gof(a)-g(b0)-g'(b0)(f(a)-b0)] +
+ g' (bo) • I a - a0 Г1 If 'a) - / (a0) - Г (a0) (a - a0)]
для всех йеА {a0}. Обозначим в этом равенстве через а, (а)
и а2(а), соответственно, первый и второй члены. Так как
g' (b0) — непрерывный оператор и функция / непрерывна в точке а0,
то lim Oj (а) = 0 при а -> а0. Теперь, если f(a) = f (а0), то aj (а) «= 0.
Если lim а} = а0, С/SA {а0} и f (af) Ф f (а0), то
lim а! (а/) =
l/(fl/)-/(flo)l 1
/ I «у — «оI ' |f(«/)-f(«o)l '
• \g (f («/)) - g (bo) - ^ (W (f (*i) " M- 1
Далее, так как
lim I ay - a0 Г11 f (fl/) — / (a>o) — Г v^o) (a/ - a04 = 0>
201

то
\f(al)-f(ao)\
hm sup L—L 1-^-1 =
/ I «y — «o I
= lim sup| Y (a0) |af — a0 f1 (a, — a0) |<| f' (aQ) |.
Из условия (1) мы видим, что lima1/ay) = 0. Это завершает
доказательство первой части утверждения.
Если функция Y непрерывна в точке а0, g' непрерывна
в точке f (a0), то / непрерывна в точке а0 и функция а -* (g ° fY (а) =
= g' (f (я)) ° Y (#) также непрерывна в точке а0.
IL3.5. Теорема. Пусть Щ —банахово пространство,
f: [0, 1]-><V, £ ^ R> и предположим, что функция f имеет
производную Y и IГ (Б) 1^0 для всех 1е(0»1]- Гогда 1/(1) —
—/(0)Кс.
Доказательство. Пусть е>0. Для любого g € [0, 1]
существует такое б (£) > 0, что
l/(4)-f(6)-r(9(4-ai<e|f|-6L (О
если только | ц — 11 < 6(g). Пусть
^(6-6(6), 6 + в(6))П[0, 1], л, л'^
и л' < К V'- Тогда, по условию (1),
1/(л'0-/(л')-/Ш(л''-л')К
<lf(4'0-/(6)-f/(6)(n'r-i)l + l/(a-f(4/)-r№)(E-40l<
<e(|V,-H + li-VI) = e|ri,,-Vl.
Следовательно,
l/^0-/(V)K(ir(g)l + e)|V'-VI<(^ + в)|тГ-ч'|. (2)
Так как множества Л$ (£е[0, 1]) образуют открытое покрытие
отрезка [0, 1] и [0, 1] — компакт, то существует конечное
подпокрытие А\х, ..., A$k. Мы можем предположить, что
£i < £2 < • • • < Ik- Таким образом, существуют такие г\0 = 0 е А ,
г\(<= Л^П^.+1 (/=1, 2, ..., k—\) и r\k = ls=Alk что
Ло<11<Л1< ... <1*<л*.
Применяя условие (2) для £ = £,, л' = Л*-ь Л"=Л/ (/=1, 2, ..., fe),
мы находим, что
lf(i)-/(0)i<Zif(4/)-/(ti/.I)i<
/-1
k
<(с + е)£ (Л/ — Л/-1) = ^ + е.
/-1
Так как число е произвольно, то это доказывает теорему.
?02

11.3.6. Теорема (теорема о среднем). Пусть S8 и <У
—банаховы пространства, со ({аь ах + Да}) cz А с: 9В и функция
/• А-^°У имеет производную f (а) для всех аЕсо ({аь ах + Да})
и Р&В(Ж9<У). Тогда
|/(a1 + Aa)-/(al)--F,Aa|< sup |(/,(а| + аАа)-/?)Аа|<
0<а<1
< sup I Г (Л1 + а Да) — F || Да |.
0<а<1
В частностиt если функция f дифференцируема в точке аоеЛ,
то
|/(а1+Да)-/(а1)-ГЫД«К sup I [П^ + аДаНПооМДаК
0<а<1
< sup | /' {ах + а Да) — f (а0) 11 Да |.
0<а<1
Доказательство. Определим функцию g: [О, 1]->^
условием
g(a)=f (а, + а Да) — F (а, + а Да) (а е= [0, 1]).
Тогда, по теореме II.3.4,
g'(a). l=f'(a{ + aAa)ba-Fba (ае[0, 1]),
а по теореме И. 3.5,
U(l)-g(0)l = |f(a1 + Aa)-f(a1)-FAa|< sup |^(a)| =
0<a<l
= sup | [/'(^1 +a Да)-/7] Да |< sup \f'(ax+aba) — F\\ba\.
0<а<1 0<а<1
II. 3.7. Теорема. Пусть Щ — банахово пространство,
Z — топологическое пространство, О < k < 1, Р >0, S77 (у0, р) с:
czYcz.<y и функция v: YY^Z-^Щ непрерывна. Если
I v(y'9 z)-v{y"y z)\<bk\y'-y» | (z g= Z; r/', r/" e У), (1)
11; (r/o, 2)-y0 К PO-*) fesZ), (2)
го существует такая непрерывная функция и: Z-+Y, что
u{z) = v {и (z), z) (z е Z).
Доказательство. Пусть точка zeZ фиксирована.
Покажем, что соотношение
Ун\=о(У1> г) (/ = 0, I, 2, ...)
определяет последовательность (yt) в SF(y0, р). Действительно,
по условию (2), ух = и (#о, г) е S77 (*/0, Р). Предположим теперь
по индукции, что pGN и yf^SF(y0i р) для / = 0, 1, ..., р.
Тогда, по условию (1),
\yj+i-yi\ = \v(yhz)-v(yi-uz)\^ik\yJ-yJ-i\ (/=1, ..., р),
203

а это дает
\yf+\ — yj\<kI\yi — y0\ для / = 0,1,..., р. (3)
Следовательно, по условию (2),
р
I Ур+\ — Уо К Е I f//+i — У\ К
<0+* + Л2+ ... + *p)|t>(*/o, *)-УоКР.
Таким образом, ур+\^ SF(y0, Р), и это завершает индукцию.
Если мы обозначим yf (/ е N) через иу (г), то нетрудно
проверить по индукции, что функция z-+Uj{z): Z-+SF(y0, р)
непрерывна для всех / е N. По условиям (2) и (3), мы имеем
\ui+i(z)-ui{*)\<k'\v(y09z)-y0\f=ki(l-k)l
(j = 0t 1,2, ...; zgZ).
Таким образом, для р <q, р, (/gN, мы получаем
/-Р
оо
<P(l-fe)fePE^ = P^ (2GZ)
/-о
и limfc^^O. По теореме 1.2.19, существует такая непрерывная
р
функция и: Z-b-Qj, что
lim Uj (z) = ы (z)
равномерно для z^Z. Так как ut (z) e S77(r/0, P)с:У (/eN;
2: e Z), то w(2) e У (z e Z). Более того,
и (z) = lim uf (z) = lim и (uj-x (z), г) = и [и (г), г) (г е Z).
II.3.8. Теорема (о неявной функции). Пусть Y —открытое
подмножество из банахова пространства ty, Z — топологическое
пространство, функции /: YXZ-^Щ и fy: Y XZ->B{Q/, <У)
непрерывны, {у0, zQ)^YXZ, f(f/o, Zo) = 0 и fy(yQt z0) —
гомеоморфизм из <У в <у. Тогда
1) существуют такие открытые подмножества Yx из У и Zx
из Z и такая непрерывная функция и: ZX-*YX, что z0^Zx и
f(u(z), z) = 0 (zt=Zx);
2) более того, если Z — подмножество банахова пространства^
а функция f имеет частную производную fz (yQ, z0), то функция и
имеет производную и'(z0) и
и' (го) = — fy (Уо> *оГ' ° fz (Уо> Zq);
204

3) если W — топологическое пространство, А — подмножество
банахова пространства 8вА, Z = AXW, z = (a, w),
производная fa существует и непрерывна на Y X 2, то существует
производная иа(а, w) для всех^(ау w) в некотором относительно
открытом подмножестве А X W из Zu определяемая условием
иа (a, w) = - fy (а, w, и (а, w))~~l о /а(а, w, и (а, w))t
и функция (а, w)->иа(а, w): AXW-+В(96 А, У) непрерывна.
Доказательство. Пусть T0 = fy(y0i z0) и
v(y, z) = y-Tolf(y, z) [(у, г)еУХ4
Для уи у2 ^ Y и z е Z мы имеем
v (Уи г) - v (у2, z) = - Го"1 [/ (f/!, г) - / (у2, z) - Г0 ^ - у2)]. (4)
Пусть р>0 таково, что SF(y0i Р)с:У. Тогда для всех уи
y2^SF(y0y р) и z е Z, по теореме о среднем II. 3.6, имеем
I / (0ь *) — f (02, *) — /у («ft» z) (0i - 02) К
< I 01 - 021 sup | /у (ух + a (t/2 - уг), z) - /у (г/о, z) |. (5)
0<а<1
Так как функция fy непрерывна, то мы можем определить такие
открытые окрестности Zx для точки г0 и Y{ = S(y0, р^сгУ, что
Pi<P,
\fy{y,z)-fy{yo,z)\<T\Tol\ ' {yeY{;zeZx)9
\fy(yo,*)-fy(yo,ti\<-7\ToTl («sZ,).
Таким образом, по условию (5),
\f(yi,*)-f(y**)-T0{yi-yj |<
< I / (01, *) ~ / (02, 2) - /, (t/o, *) (01 - 02) I +
+ I fy (00, *) - fy (00, 20) || 01 ~ 02 I < y| TV1 Г I 01 - 02 I-
Следовательно, по условию (4),
I v (0b z) — v (y2, z)K -j 10i - 021 (0i, 02 e >V, z e Z,). (6)
Так как /(0o, Zo) = 0, то v(yQ, z0) — y0 = 0. Так как функции f
и v непрерывны, то мы можем предположить, что окрестность Z{
выбрана таким образом, что
|0(Sftb*)-0oKPi/2, feesZj)-
Таким образом, условия теоремы II. 3.7 выполнены при & = 1/2
и при замене Y, Z и р на Kj, Zi и Pj соответственно. Отсюда
205

следует, что существует такая непрерывная функция и: Zj-^lV
что f(u(z), z) = 0 (z^Zx). Функция и единственна, так как из
условий и{: Z{-+Yly и2\ Zx-> Y{ и / {ut{z), 2) = 0(i=l,2;2S Zx)
следует, что ui(z) = v(ui(z)i z) и, по условию (6),
I Щ (z) — и2 {z) K-g-l и\ (*) * и2 (z) I-
Предположим теперь, что предположения утверждения 2)
выполнены, и положим
д
й(г)=-и (z) — и (z0) = и (z) — у0 (z <= Z,).
Тогда, по теореме о среднем II. 3.6,
1/(0о+2 (*), *) - / (г/о, г) - f „ (f/o, г) й (z) К
<|fi(z)| sup I ^ (у0 + ceii (z)f z) —/у(уо. г)| (zeZ,). (7)
0<а<1
Более того, для любого е>0 существует такое б(е)>0, что
1/4%, z)-/(f/o, 2о) —Ыйь Z6)(z —z0)|<e|z —z0I, (8)
если |z —-z0 К6(e). Пусть 0 < e <-j-| Г^!| . Мы можем
выбрать такое достаточно малое 6(e) (и следовательно |й(г)| для
|z — z0l<6(e)), что
sup \fy {у0 + oS (z), z) - / (y0f z) | <e,
0^a^ 1
l/if(yo, e) —/„(ft>, *)|<e,
если | z — z01 ^ б (e). По условиям (7) и (8),
I f (Уо + 2 (z), z) - / (f/o, z0) — /2(#>, z0) (z - zc) - /, (r/o, zb)й (z) |<
<2e|5(z)| + 8|z-z0|.
Так как f (r/0 + й (z), z) = / (w(z), z) = f (*/0, z0. = 0, то это
неравенство дает
| Т0й (z) + fz (r/o, z0) (z — z0) К 2e | й (z) | + e | z — z01.
Следовательно,
|й(г) + Г0-1о/2(Уо, Zo)(z-Zo)|<|ro"1U(2|//^z)|+6|z~z0|)<
|2(z)|<a|z-z0| (10)
для a = 2 (-j + | Го"111 fz (f/o, z0) l) . Первое неравенство из (9) и
условие (10) теперь дают
\u(z) + Tolof2(yo, z0)(z-z0j|<|r0-I|(2a+l,6|z-z0|
206

для всех таких zeZ,f что \г — г0|<б(е). Это означает, что
функции и и и имеют производную в точке г0, определенную
условием
й' (zo) = и' {го) = — fy (y0t г0Г1 о fz (Уо, го).
Наконец, предположим, что все предположения
утверждения 3) выполнены, и пусть z0 = {a0, w0). По теореме 1.3.7,
существуют такие относительно открытые подмножества Y<z:Y,
AczA и WczW, что
(Ро, «о, w0)e?X АХ W, fy (у, a.m-'eejy.V)
для всех (у, a, w еКХ^Х^. Ясно, что мы можем считать
множество А выпуклым. Тогда наши предыдущие рассуждения
справедливы, если мы зафиксируем w е W и заменим К, на
Y[\YX и Zj на (AX{w})(]Z{. Эти рассуждения дают нам (за-
меняя z0 = (a0, о>0) на (я> w> еМХ ЮПЦ что
ыа(а, a>/= — fy(u(a, w), a, w)~l ofa(u{a, w), а, w
является производной от функции а-*и {а, а;) для всех а,
достаточно близких к а0. Так как функции и, fy и /а непрерывны,
то функция (а, до)-*и„(я, w) также непрерывна.
П. 3.9. Теорема. Пусть $в и Щ — сепарабельные банаховы
пространства, {S, 2, \х) — конечное пространство с мерой, a^Aczffi
и h: SXA-*6^- Если функция h(s, •). имеет производную
ha(sy а) для всех s^S, а функция Л(«, а) ц-измерима для
всех а^А, то для любого Да е <^ функции s->\ha's9 а)\ и
s->ha(s9 а) Да ^измеримы. Более того, если «eN и %?=1(п%
то функция s->ha(s, а) \х-измерима.
Доказательство. По определению производной, а
принадлежит выпуклому подмножеству А0 из А с непустой
внутренностью. Пусть теперь ДаеЛ0-а, Мы имеем
lim a*"1! h(s, a + аДа) — h(s, a) — aha(st а)Да| = 0
a->-+0
для каждого sgS. Следовательно,
ha(s, а)Да = lim a~l[h(s9 a + аДа) — h(s, a)]
для всех sgS. Так как, по предположению, функция /*(•, а)
^-измерима длр всех аеД то из теоремы 1.4.17 следует, что
функция s-+ha(s, d) Да ^.-измерима.
Пусть теперь Да е SB. Тогда существуют такие а{9 а2 е Л°
и peR, что
Да = р (аг — а{) = р (а? — а) — р Ц — а).

Отсюда следует, что функция
s -> ha {s, а) ^a = рЛЛ {s, а) (а2 — а,) — рЛа (s, а) {ах — а)
^-измерима и, по теоремам 1.4.20, 1.4.21, функция
s-HM$, а)|= SUP \ha(s, а)ка\
|Ла|<1
|л-измерима.
Пусть теперь {х{, х2, ...} —всюду плотное подмножество из
замкнутого единичного шара SF{0, 1) в ^, р е R и Г <=В {96, Щ).
Тогда
{se5||Aa(5,a)^r|<p} = {seS| sup \{ha(s, а)-Т)х\^$} =
\х\<\
= {s <= S\ sup {ha {s, a) xt - Txt К p} =
i
oo
= П {se=S||Ae(*. а)^-М<р},
Последнее множество ц-измеримо. Это означает, что функция
s-+ha{s, а) [i-измерима, если пространство В {96, <V) сепара-
бельно. Это будет так, если 96 = Rn, так как пространство
B{Rn, Щ) гомеоморфно Щп и потому сепарабельно.
II. 3.10. Теорема. Пусть 96 и Щ— банаховы пространства,
°У сепарабельно, S — компактное метрическое пространство,
% е frm (S), A cz 96, функция h: SXA-+Q/ непрерывна и f(a)=
= \ h(s, a)X(ds) (а е А). Тогда функция f: А-><У непрерывна и
|f(a)|<|A,|(S). sup|A(s, a) | (a es Л).
seS
Более того, если функция h(s, •) ыл*еег производную ha(s, а)
для всех {s, а) е S X А, множество А выпукло, а функция
ha- S X ^ -> В {96, °У) непрерывна, то функция f имеет
производную f {а) для всех a е А,
у (a) ka=\ha {s, а) ДаА, {ds) {a gA; Aaeg?),
функция f: А-*В{96, У) непрерывна и
ir(a)l<UI(S).sup|/i(5, а)\ (а*=А).
s <= S
Доказательство. Для каждого аеЛ функция h(•, а)
непрерывна на компактном множестве S и потому А,-интегри-
руема. Если lima/ = a в А, то, по условию I. 2.15(2), \\mh{s, аЛ =
= /i(s, а) равномерно для seS и поэтому Пт / {а}) = f (a).
Таким образом, функция / непрерывна на А, и легко пров^
рить, что
I f (a)|<U |(5). sup | Л (s, а)\ (as4),
208

Предположим теперь, что функция ha непрерывна на S X А.
Тогда функции s-+ha(s, а) Да: S->^ (а е Л; Да е SB), будучи
непрерывными на компактном множестве S, являются
^-интегрируемыми. Пусть а е Л, множество Л выпукло и 0 ф Да е
Gil-o, Тогда, по теореме о среднем II.3.6,
I Да Г1| f (а + Да) - f (а) - $ Ла (s, а) ДаЯ (Ж>)| =
= |Да|"1| J(A(s, a + ^a)-h(s, a)-ha(s, а)Да)Л,(ds)|<
!
sup | Ла ($, а + а Да) — ha (s, a)\\l\ (ds)<
0<а<1
<|M(S)- sup \ha(s9 a+$^a)-ha(s, a)\.
(s,P)eSX[0,ll
По теореме 1.2.15, правая часть этого неравенства сходится
к нулю при |Да|->0. Более того, ясно, что функция Да-*
->\Ла($, a)kaX(ds) линейна и
I!
ha (s, а) ДаА, 'ds)\ < | % | (S) | Да | • sup | ha (s, а) \
Это означает, что Aa-*\Aa(s, a)kaX(s) является производной
от функции f в точке а и | f (а) К| X \(S) • sup | ha (s, a) | для
s ^ S
всех agA Если (af) — последовательность в Л, сходящаяся
к а, то (по условию 1.2.15(2)) \imha(s, af) = ha(s, а) равномерно
для s^S. Это означает, что для |Да|^1
\{f'{a,)-f'{a)]ba\<\\ha(s9 а,) - ha (s, а) | \Х \ (ds) _► О,
и, таким образом, limf,(a/) = /,(a). Следовательно, функция /'
непрерывна.
II. 3.11. Теорема. Пусть SB и <Ц — банаховы пространства,
A a SB, ВспЩ, ф: Л -> В —• гомеоморфизм с производной ф' (а)
в точке а^А и ф'(а)— гомеоморфизм из SB в °Ц. Если ф(а)
содержится в выпуклом подмножестве из В с непустой
внутренностью, то ф'(й)"1 является производной от функции ф-1
в точке ф(5).
Доказательство. Пусть Ь = ф(а). Для любого е>0
существуют такие г\(е) > 0 и 6(e) > 0, что
|ф-1(&)-ф-1(6)|<е,
если | Ь — Ъ | ^ г] (е), и
! <р(а) — ф (а) — ф'(а)(а — а) |<е| а — а |,
209

если | а — а |^6(е). Пусть теперь е > 0 фиксировано и | Ъ — В |^
< v\ (6(e)). Тогда
|ф-Ч*)-ф-,(>)К*(в),
IФ (Ф-1 (*)) - ф (Ф-1 (6)) - Ф' (а) (ф-1 (6) - ф-« (Ь)) | <
<в|ф-»(б)-ф-Ч5)|.
Следовательно,
|6-б-Ф/(а)(ф-Ч*)-ф-,(б))1<е|ф-,(*)-ф-,'б)|, (1)
и поэтому
к-ч^-ф-ч^ки'^гЧс^-м+Е^-'^-ф-чб)».
Отсюда следует, что для е^-^ф' й)~'1 мы имеем
|ф-|(^)-ф-1(5)К2|ф'(аГ1||*-Й. (2)
Из условий (1), (2) получаем
\<гЧЬ)-гЧЬ)-ч'№-1(ь-Ь)\<
<е|фЧаГЧ|ф-Ч&)-ф-'(&)1<2е|ф'(аГТ|6-Й
Это означает, что ф' (а)~1 является производной от функции ф_|
— А
в точке & = ф(а).
II.3.12. Производные от функций ехр(-), log(*)n
о"т произведения функций. По условиям пункта 1.3.15,
мы имеем ехр (х + у) = ехр {х) ехр {у) {х, j/eR). Более того, для
А ф О, *| Л 1^1/2 мы имеем
U-^expW—1] —1| =
/-2
<|Л|Е|Л|/"2<2|Л|.
/-2
Следовательно, lim Л [ехр(Л)— 1] = 1. Таким образом, для
любого ^gR
lim Л"1 [ехр (х + А) — ехр (*)] = ехр {х).
Л->0
Это дает нам соотношение
ехр' (х) = ехр (х) (xgR). (1)
Согласно 1.3.15, функция ехр: R->(0, оо) является
биективной, и так как производная ехр' (х) существует для каждого
xgR, то функция ехр(«) непрерывна. Отсюда следует, по
условию I. 2.9 (4), что для любого замкнутого интервала [а0, ах] с: R
функция ехр( •): [а0, а,] -> ехр ([а^ах]) является гомеоморфизмом,
отсюда мы заключаем, что и функция ехр(*)- R—>(0, оо) является
гомеоморфизмом. Таким образом, функция log (•): (0, oo)->R
непрерывна.
т

Так как ехр{х)ФО {х е R), то, Применяя теорему II. 3.11
и условие (1), получаем
log' (ехр (*)) = ехр (я)"1 {х е= R),
откуда, полагая / = ехр(л:), имеем
log,(0=lA [<е(0, оо)]. (2)
Пусть теперь [/0, *i] с: R, feeN и
*o<0i <&i<a2<62< ... <я* <6*<*i.
Так как функция ехр(-) возрастает на отрезке [/0, /J, то
0<exp(/)<exp(/|) (t^[t0, t{]). Применяя условие (1) и
теорему о среднем II. 3.5, мы получаем
I ехр (П - ехр (*') | < ехр (*,) | Г - f \ (Г, Г е [f0, t{]).
Следовательно,
X I ехр (6;) — ехр (aj) | < ехр (f,) 2 (6, — а#).
/-1 /-1
Это означает, что функция ехр(*)* №о> h\ -> [ехр (/0), exp(/t)]
абсолютно непрерывна. По теореме 1.4.42 и условию (1),
получаем
t
ехр (/) = ехр (t0) + $ ехр (т) dx (t € [*0, tx]). (3)
и
Аналогично, применяя (2) вместо условия (1), получаем, что
если 0 < /0 < t\ < °°> то
t
log (t = log /о + 5 dt/т (* g= fc>, /J). (4)
Наконец, если <^, i£ и F—банаховы пространства и p(T, S)=
= TS[Г e= в(55, nSGB(<y, 55)], то
(| ДГ | +1 AS I)""1! p (^ + Д^, S + Д5) - Г • S - Г • AS - ДГ • S | =
= ,|Ar| + |ASir1|A7,ASK(|An + |AS|rl|Ar||AS|<
<|A7-| + |AS|[Arefi(55, Г); AS e В (^, 55)].
Следовательно,
p' (7\ S) (ДГ, AS) = ДГ • S + T • AS.
Пусть теперь Я/ — банахово пространство, аеЛс=^,
функции /: А -> В (<£, У) и g: Л -* В (^, 55) дифференцируемы
211

в точке а и (/ • g)(a)=^f(a) • g(a) (аеЛ). Тогда, по теореме
И. 3.4,
{f-g)'{a)bx = 0\po{f9 g)](a)bx =
= Г (a) bx.g(a) + f (а) • g' (а) Ьх (Ах е= Я?).
Это можно записать в форме
(/ • «Г (3) = Г (й) -g{a) + f (а) • g' (а), (5)
где Г(а)'#(а) обозначает функцию
bx->(f'(a)bx).g(a): Х-+В(У, Г).
II. 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Функции Каратеодори. Нам будет удобно при
рассмотрении некоторых типов функциональных уравнений (таких
как обыкновенные дифференциальные или
функционально-интегральные уравнения) рассматривать некоторые пространства,
элементы которых мы будем называть функциями Каратеодори.
Некоторые из этих пространств были уже введены в теореме
I. 5.25. Пусть (Г, S, \х) — конечное положительное пространство
с мерой, S — топологическое пространство, а #? —банахово
пространство. Мы будем отождествлять две функции <р{ и ф2
из TXS в f, если ф!(/, -) = Ф2(^ •) Ц-почти всюду, и будем
обозначать через J (Г, 2, р,, S; S6) (или через &{Т% S; #?), или
через 3$) векторное пространство (эквивалентных классов) таких
функций ф: ГХ5->^, что для всех (/, s)gjTXS, ф(*, «)е
е С (S, 36) функция ф (•, s) ц-измерима и существует такая
^-интегрируемая функция %: Г-^R, что |ф(*, •) |sup < <фФ (О-
Мы назовем элементы пространства $ функциями Каратеодори^
потому что впервые систематически свойства элементов из этого
пространства были изучены Каратеодори в его теореме
существования для обыкновенных дифференциальных уравнений (см.
И. 4.1).
В теореме 1.5.25 мы показали, что если S — сепарабельное
метрическое пространство, #? — сепарабельное банахово
пространство, то функция
Ф-*1Ф1* = $1Ф('. -)|.„р|А(Л): *-*R-
является нормой в $. В таких случаях $ будет
нормированным векторным пространством. Мы будем также пользоваться,
без особой ссылки на это, и другим результатом теоремы 1.5.25,
утверждающим, что функция t->(((t, £(/)): Т->36 р,-интегри-
руема для любого выбора ф е $ и любой [i-измеримой
функции I: T->S.
Мы показали в теореме 1.5.25, что & изометрически
изоморфно банахову пространству V (Г, 2, ц, С (S, #?)), если
212

5 —компактное метрическое пространство, а пространство 95
сепарабельно.
Пространство B(Rm, Rrt). Для любого банахова
пространства ^ и /neN пространство B(Rm, SB) гомеоморфно
пространству Звт. Таким образом, пространство 5(Rm, Rn)
сепарабельно для всех m, «gNj мы будем этим фактом
пользоваться без особых ссылок.
Как уже было отмечено в начале пункта 1.5. С, мы
отождествляем функцию h: АХВ-+С с функцией a-+h(a, •).
И. 4. А. Существование локальных решений. Пусть Г =
= [*0, ^JczR, nsN, VczRn, а /-функция из TXV в R".
Для заданного ti е V рассмотрим задачу с начальным
условием, определенную уравнениями
y(t) — f (t9 у (t)) почти всюду в Г,
г/('о)=л> (*)
где у. х _> у — абсолютно непрерывная функция. Мы
называем, в соответствии с теоремой 1.4.42, функцию */(•)
абсолютно непрерывной на Т тогда и только тогда, когда
г
y(t")-y(t')=\yWdt
v
для всех t\ t" е Т. Таким образом, за-дача (*) эквивалентна
задаче нахождения непрерывной функции у( •): r->Rrt,
удовлетворяющей уравнению
t
y(t) = i\+\f(r,y(t))dT (<еГ), (**)
так как любое решение задачи (**) является абсолютно
непрерывным и удовлетворяет уравнению (*) и любое абсолютно
непрерывное решение задачи (*) должно удовлетворять
уравнению (**).
Уравнения (*) и (**) определены в терминах функции /
на ТX V. Если функция f не зависит от аргумента /£Г (т. е.
если f {t, v) = g(v) (/еГ, v е V) для некоторой функции
g. yr->R")j то мы пишем f{v) вместо f (/, v) и называем
уравнения (*) и (**) автономными. Мы можем привести
уравнения (*) или (**) к автономному виду. Это мы делаем
преобразованием нашего уравнения к другому уравнению с заменой
переменного у на t->{y(t)9 t). Положим
V = VXT, f| = (4f/o), f'(tf) = /'>rt+1, v)
[i=l, 2, ..., л; v = (v, vn+{)=(vl, v\ ..., t>"+i)(=l/],
f+,(tf)=l (6e=W
213

и рассмотрим уравнение
t
& (t) = Л + \ f (& (т)) dx (t e T). (***)
и
Ясно, что для любого решения р = (у\ ..., yn+l) этого
уравнения мы имеем yn+l(t) = t {t^T) и что у = (у\ ..., уп)
удовлетворяет уравнению (**). Наоборот, если у = (у\ ..., уп)
удовлетворяет уравнению (**), то функция t-^^(t):=(yl (0, ...
...,f/n(0, t) удовлетворяет уравнению (***). Таким образом,
уравнения (*) и (**) эквивалентны автономному
уравнению (***).
Мы начнем с существования локальных решений. Всюду
в параграфе II. 4 мы будем писать ${Т, S; SB) вместо $(Г, Ж,
m, S; #?), где (7\ Ж, пг) относится к лебеговской мере в Г.
II. 4.1. Теорема (Каратеодори). Пусть T = [t0, t{], /igN,
KcRn«/Gfi(r, V\ Rrt). Если x\ ge V, b > 0, S1* ft, b) c= K,
?! = sup ЬеГ
J|/(t, -)lsuprfT<6
и Г = ['<ь *i]> го существует такая функция y{>): T->V, что
t
y(t) = r\+\f(t,y(t))dT (t^f).
и
Доказательство. Пусть
K = {y<=C(f, Rn)\\y{t)-r\\^b ИГ)},
Так как /1Т X V принадлежит 9b (Г, V; R"), то функция
T-^f(T, у(х)): Т-+Г
интегрируема для каждого у ^ К. Таким образом, функция
t
F(y)(t)=r\+\f(T,y(r))dx
и
определена для всех t е f, у е К и F{y)(*)&C(f, Rn). Мы
имеем
t
1^ (у)(0-чК$1/(*. -)Lpdt<6 (/ef).
/о
214

Это означает, что F(/()(=/(. Более того,
t
\F(y)(t)-F(y)(t')\^\\f(T, .)lsupdt
(*0<''<'<*i; y^K\
и, таким образом, F (/С)-— ограниченное и равномерно
непрерывное подмножество из С (Г, Rn). Отсюда следует, по теореме
I. 5.4, что F (К) — компакт.
Пусть теперь lim *// = */ в /С. Тогда
НтПт, yf(r)) = f(r, У (г)) (tg?),
I / (Т, t/y(T)) |<| f (Т, • ) |sup (Т G= f; / € N).
Поэтому, по теореме 1.4.35,
limF(yj)(t) = F(y)(t) (fesf),
и так как множество F{K) равномерно непрерывно и Г
—компакт, то из теоремы 1.5.3 следует, что "lim F (yj) = F (у) в С (7\ R").
Таким образом, отображение F: /(-*/( непрерывно. Мы
проверяем, что множество К замкнуто и выпукло. Отсюда следует,
по теореме Шаудера о неподвижной точке II. 2.8, что
отображение F: К-+К имеет неподвижную точку у.
II.4.B. Продолжение локальных решений и единственность.
Теорема существования, которую мы получили, приводит к
решениям, определенным на подынтервале Т из первоначального
интервала Т. Возникает вопрос, можно ли продолжить
локальные решения на целый интервал Г.
II. 4.2. Теорема. Пусть /ieN, V — открытое подмножество
из Rn, Т —замкнутый интервал [t0, /JcR, ч\ е V и /е
е$(Г, V\ Rrt). Тогда либо существует такая функция у: T->V,
что для всех t еГ
t
9(t) = r\+\f(r,9(T))dx9 (I)
и
либо существует такая точка t\ е (/0, tx] и такая функция
У' [to, t\)-*V, удовлетворяющая соотношению (1) для всех t^
s [/о, t\)y что предел limy(t) существует и
t+t\
\\my{t) GdV.
W

Доказательство. Пусть
ix + a
ае[0,*,-т)| J|/.4 -)Ц^<Р
(pes (О, 00]; те Г).
Тогда для каждого фиксированного теГ функция Р->Л(Р, т)
неотрицательна и не убывает, и, по теореме 1.4.28, для всех
последовательностей (ту) в Г и (Р7) в (0, оо) таких, что т/+1 > ту,
из условия
lim/MP/, ту) = 0 (2)
следует, что либо lim Ру ===== 0, либо Нтт/==/1. Пусть теперь
d(l) = d[t *n\V] (t<=V)
(отсюда следует, в частности, что d{Q = oo, если V = Rn) и
Т&9 т)=[т, T+A(rf(|V2, т)].
Тогда, по теореме П. 4.1, для любого (т, |)еГХ^ существует
функция
ylx, 6)(.)eC(f(T, |), К),
удовлетворяющая уравнению
*(*)■=&+Jf(s, *(*))<** [te f{x, 1)1
Мы полагаем
То=t0, |о = л, т, = т0 + Л (d (|о)/2, т0),
Уо = У(*о, to)' [Ч, Xi]-*V.
Если Xi<tx, то мы полагаем
li = Уо (*i), т2 = т, + h (d (I,)/2, т,),
и т. д. Этот процесс либо закончится, если xt = tl при
некотором / е N, либо будет продолжаться бесконечно. В первом
случае мы полагаем
ъ — ъ. li—h,
У/(т/) = 1/ (/-/+1, /+2, ...).
Во втором случае мы полагаем
$16
y{t) = y,{t) для /е[т,, т/+1] (/ = 0,1,2,.,.).

Тогда (ty) Является неубывающей последовательностью в f й
потому сходится, и
lim h {d (г/,-! (ту))/2, ту) = lim (ту+1 — ту) = 0.
Таким образом, по условию (2), либо
lim d ((/у-! (т,)) = lim d {у (xt)) = 0,
либо \\m%t = t\. Более того, если мы положим /i = limT/, то
функция у удовлетворяет условию (1) для всех / е [/0, f\\. Так
как
\9(t)-9'*i)\< \ If К OLpdt (/sN; <е[т„ тж]),
т/
T/+i
£ $ 1Ит, OLuprfT^Jl/K •)lsupdT<oo,
то отсюда следует, что limy(f) = l\my(xj) и оба предела суще*
ствуют. Если t\ = t\ и l\my(t)^V, то полагаем y(ti)=limy(t),
и тогда у: [t0, t{]^>>V удовлетворяет уравнению (1). В
противном случае мы имеем limd(£(0) = 0, откуда Umy(t)edV.
t+t[ t+t'x
И. 4.3. Теорема. Пусть T=[t0, t{] cz R, T)GRft, /: TXRn->
-> Rrt, и предположим, что функция f{t,-) непрерывна для
всех 1еГ, функция f (•, у) измерима для всех ugR", и
существуют такая интегрируемая функция if>: Т -> R и такая «оло-
жительная возрастающая и непрерывная функция <р: (0, оо)->
->(0, оо), ^го
1/('.<01<Ф(МЖО Р^Г; ^Rfl), (1)
lim \ ds/cp(s) = оо. (2)
r->ooJ
Тогда существует такая функция у: r->R", <*го
f(0 = 4+$f (*.*(*))** (3)
для всех t е Г.
217

Доказательство. Пусть Ф(г) = \ da/qp(а) для г^О.
о
Тогда Ф — непрерывная функция, возрастающая от 0 до оо
при г->оо, и поэтому существует такое (5^0, что
«I
Ф(Р) = Ф(1л1)+$+МЛ. (4)
и
Пусть теперь V = S{09 р+ 1). Тогда 0 <<p(j v |)<<р(Р + l){vsV).
По теореме II. 4.2, существуют точка /(е [t0, t\] и функция
У- [to, t\)->V, удовлетворяющая условию (3) для всех *е
еГ'А[/0, t[), такие, что либо limy{t)edVt либо функция у
может быть продолжена на Г, и она удовлетворяет
уравнению (3) для всех /gT.
Положим
t
*(О^1ч1+$ + Мф(0М)Л МП
Тогда, по теореме 1.4.42, функция х абсолютно непрерывна
на любом замкнутом подынтервале из V и x(t) = ip(t)q>(y(t))
почти всюду в Т'. Так как функция у удовлетворяет урав*
нению (3) для t ^ 7", то
ly(0Klnl+Sl/(Tf $(т))|Л<*(0 МП
Так как функция ф возрастает, то
* (т) = ♦ (т) ф {у (т)) < ф (т) ф (х (т))
почти всюду в Т\ Следовательно,
*(*)/ф(*(т))<Ч>(т) (5)
почти всюду в Г7. По теореме 1.4.43, функция t-> £ (t)fo (х (t))
интегрируема на любом замкнутом подынтервале из 7" и
t x(t)
Следовательно, по условию (5),
t *.
Ф(х(0)-Ф(1ч1)<5*(т)Л<$ +(т)Л МП
Таким образом, по условию (4), Ф(*(0)<Ф(Р) МП, это
означает, что | у (t)\ <*(/) ^р (* е И, и поэтому lim y(t) ф. dV.
218

Отсюда следует, что t\=t{ и функция у: T->Rn удовлетворяет
соотношению (3) для всех / е Т.
д
Н.4.4.Теорема (неравенство Грануола). Пусть T=[t0, ^]czR,
функция -ф: T->R неотрицательна и интегрируема, h> иеС(Г),
функция h неотрицательна и
t
u{t)< \^(x)u(x)dx + h(t) (te=T). (I)
t
u(t) </* (t) + с J $(x)h{x) dx (t <= T),
и
c = exp( \ «ф(т) dx 1.
Тогда
t
и
где
t{
'to
Доказательство. Пусть
t t
w(t)= J \(x)u(x)dxi p(t)= Jt|)(T)tfT (/еГ).
*o to
По теоремам 1.4.42, II. 3.4 и пункту II. 3.12, функции w(>),
р(«) и t-+e-pit) w{t) абсолютно непрерывны на Г и
t
^e-r{x)[w{x)— ^(x)w{x)]dx = e-^t)w(t) (ts=T).
to
Более того, w (т) = -ф (т) и (т) почти всюду. Отсюда следует, по
условию (1), что
почти всюду в Т,
[e-*>Mw(t)]^e-*>(4{t)ik(t)
почти всюду в Г и
t
e-Ww (t) < J e-P<x)h (x) ф (т) dx (t e= T).
Таким образом,
ш (t) < exp [p (*,)] J \|) (т) Л (t) dx
и, по условию (1),
и (t) < exp [p (t{)] \^(x)h (t) dt + h (/),
откуда следует наше утверждение.
219

II.4.5. Теорема. Пусть Т *.[/0, t{] cz R, >t€=N, V cz Rrt,
/: rXV-^R", н m/cra функция у: T-+V удовлетворяет
уравнению
t
|/(0 = П+$/(т, y(x))dx ЦеТ). О)
<.
Если существует такая интегрируемая функция i|>i на Т, что
\f{t,vt)-f(t, о^К*. (О К-Ог! (teTiVbXbesV), (2)
го р является единственным решением уравнения (1).
Доказательство. Пусть уи у2 — лъа решения, тогда
Ш0-&(')1=
Jlf(T,^(T))-f(T,P2(T))]dT
♦iWl^i(T)-^(T)|dT (/si). (3)
Положим и (t) = | yi (0 — j/2 (О I- Тогда, по условию (3) и
неравенству Грануола II. 4.4, и (/) ^ 0. Следовательно, и (•) = 0
и У\ = у2.
Н.4.С. Линейные обыкновенные дифференциальные
уравнения. Пусть T = [t0, (JcR, «gN, Л(-): T-»B(Rn, R")
и b(-): T-+Rn. Если (alti(t)) (/, j= 1, .. .,/г) — матрица
отображения Л(0 для /еГ, то мы видим, что отображение Л(«)
непрерывно (измеримо, дифференцируемо) тогда и только тогда,
когда функция а*,/(0 непрерывна (измерима,
дифференцируема) для каждого i и /. Мы отождествляем отображение Л (•)
с матричнозначной функцией t->[A{t)] = {ait f(t)) (/, /= 1, ..., п).
Если функция alt j (•) дифференцируема в точке /
(соответственно, интегриема на Т) для всех /, /е{1, 2, ..., п), то
функция Л (•) будет также дифференцируемой (соответственно,
интегрируемой), и мы имеем
Л(0 = (ам(0) (/, /=1, 2, ..., л),
соответственно,
$Л(т)<*т = ($ам(т)<*т)
(*. /=1, 2 п; t',t"<=T).
Задачу
220

почти всюду в Г, с начальным условием y(to) = r\, которая
эквивалентна уравнению
t
У (0 = Л + \ [А (т) у (т) + Ъ (т)] dx (t <= Г),
П
мы называем линейным обыкновенным дифференциальным
уравнением. Таким образом, линейное обыкновенное
дифференциальное уравнение является обыкновенным дифференциальным
уравнением рассматриваемого типа при
f(t, v) = A(t)v + b(t) (t<=T; v<=Rn).
Для заданной функции А (•): Т -> В (Rn, Rn) мы можем
рассмотреть линейные матричные дифференциальные уравнения
Y(t) = A(t)Y(t) (*)
почти всюду в Г и
У (t) = У (t) A (t) (**)
почти всюду в 7\ Решением уравнения (*) или (**) является
матричнозначная абсолютно непрерывная функция на Т,
удовлетворяющая соответствующему уравнению. (Под матрично-
значной абсолютно непрерывной функцией мы подразумеваем
матрицу, каждый элемент которой является абсолютно
непрерывным.) Мы видим, что если У —решение уравнения (*), то
для /=1, 2, ..., п его /-й столбец У/ является решением
линейного дифференциального уравнения
у, (0-л (О У/ (*/)
почти всюду в Т. Аналогично, если У — решение уравнения
(**), то для /=1, 2, ..., п его /-я строчка У/г является
решением линейного дифференциального уравнения
у/(/)Г = у>(/)М(0 (**/)
почти всюду в 7\
II.4.6. Теорема. ПустьТ=[^ t^ciR, А(-): Т-+В(Rn, R"),
функция Ь(>): Т->R" интегрируема, i еГ и T)GRft. Тогда
существует такая единственная абсолютно непрерывная
функция у: Т->Rn, что для почти всех t^T
y(t) = A(t)y(t) + b(t)f y(t) = x\. (1)
Доказательство. Обозначим через ait;(/) элементы
матрицы A(t). Полагая
*(0=М(011 + |6(01 ИД
221

видим, что функция "ф интегрируема и
\A(t)v + b(t)\=£
/-1
/-1
<*(0(lol+D N7; vt=Rn).
Так как, в соответствии с II. 3.12,
г
lim \ da/(a + I) = lim log (г + I) = оо, *
r->oo J г->оо
то все предложения теоремы II. 4.3 выполнены с заменой Т
на [?, /,], и поэтому существует функция у: [?, tfi]-*Rn,
удовлетворяющая уравнению (1) для почти всех / е [?, tY]. По теореме
II. 4.5, функция у: [i, *i]->Rrt единственна.
Положим теперь
A(s) = A(i-s)t b(s) = b(t^s) (ss[Of?-y).
Тогда, согласно нашим предыдущим рассуждениям, существует
такая единственная абсолютно непрерывная функция у: [О, / —
-/ol-R", что
9(s) — A(s)g{s)-B{s)
почти всюду в [0, i—t0], у(0) = у\. Мы полагаем y(t) = y(i—t)
{t^[t0, /]) и видим, что y{t) = — y(t —/). Следовательно,
£(0 = Л(0Ш + *(0
почти всюду в ft,, ?], у (?) =
Till. 4.7. Теорема. Яг/сгб функция Л(-): ^-^SCR", Rn)
интегрируема, t^T и для каждого х\ е R" функция у {х\) (•): Г ->
->Rrt абсолютно непрерывна на Т и удовлетворяет уравнению
y(t) = A(t)y(t) (1)
nowu всюду в Г, г/ (?) = г|. Тогда
2) #(л)(?)^О для некоторого ?еГ тогда а только тогда,
когда у(ц)(.) = 0;
3) множество {у (г){) (0, . - • , */ (Лп) (0} независимо для t =
= J е Г тогда и только тогда, когда оно независимо для всех
/еГ;
4) отображение
Ч-^(П)(-): R*-»C(7\ R")
линейно и непрерывно.
222

Доказательство. По теореме II.4.6, существует един*
ственное абсолютно непрерывное решение у{г\)(*) уравнения (1)
для всех т] ^ Rn. Ясно, что отображение
Ч-*0(Ч)(О: Rn->C(Ty R")
линейно. Если rieR" и y(t])(i) = 0 для некоторого ?еГ, то
функция #(л)(') удовлетворяет уравнению
y(t) = A(t)y(t)
почти всюду в Ту y{t) = 0. По теореме II. 4.6, это уравнение
имеет единственное абсолютно непрерывное решение, и, так
как у = 0 является решением, мы имеем у(л) (0 = 0 (/е7)
и т| —у(л)(?) = 0.
Если множество {*/0li)(*)> •••» У(Лл)(0} зависимо для
некоторого 'еГ, то существует такое а = (а1, ..., ап)^=0, что
J) а'у (Ч/) (?) - £ ( Z а'Л/) (?) = 0.
Следовательно, как мы только что показали,
£«4 = 0.
/-1
у(£ a) W - £ <*' (0 <ч/> W = о » е Л-
V/-1 / /-1
Пусть теперь а|) (/) = || A (t) ||. Тогда функция -ф интегрируема.
Для каждого л е Rn мы имеем
t
. у(ч)(/)-ч+$Л(т)у(ч)(т)Л (/еГ).
Таким образом,
1у(ч)(0К1ч1+$ + (т)|^(л)(т)|Л N11,/,]).
I
Отсюда следует, по неравенству Грануола II. 4.4, что
существует такое cgR, что
1у(л)(')К*1ч1 ('€=[', <i];4sRe). (5)
По соображениям, приведенным в последнем пункте
доказательства теоремы И. 4.6, имеем
IУ (л) (0 \<с\ л I (te [t0y t]; л е R"). (6)
Соотношения (5) и (6) показывают, что линейное отображение
Л-^(ЛН-): Ra-+C(T9Ra)
является непрерывным.
223

И.4.8. Теорема. Пусть А(-): Г~>5(ЯЛ, R") и функция
b(-): Т-* Rn интегрируема, i, i е Т и r\ е Rn. Гогда существуют
такие единственные абсолютно непрерывные функции Y: Т->
-+B(R", R") (i Z: Г —fifR", R"), что
Y(t) = A(t)Y{t) (1)
/имгк всюду в Г, У(?) = /,
z(0 = -Z(/M(o (2)
почти всюду в Ту Z{t) = I и YJ, = Z(ty] (t^T). Единственное
решение у(к\, Ь) задачи
y(t) = A(t)y(t) + b(t) (3)
почти всюду в Tf с начальным условием y{i) = r\y удовлетворяет
каждому из соотношений
t
у (г\, Ь) (0 = Z (О-1 Z (?) 1) + Z (О-1 \z(x)b (т) dt (< s Т), (4)
y(4f b)(t) = Y(t)Y(trlr\ + Y(t)\Y(x)-[b(x)dx (t е 7). (5)
Доказательство. Пусть 6/ является /-м столбцом
единичной пу^п матрицы, a 6iT — ее /-я строка. Тогда, по
теореме II. 4.6, уравнение
y(t) = A(t)y(t) (6)
почти всюду в Ту */(?) = 6/, имеет единственное абсолютно
непрерывное решение yt = (#/, ..., */,") для каждого /е{1, 2, ...,я},
д .
и нетрудно проверить, что Y( • ) = (*// (•)) (i, /=!,..., я)
удовлетворяет уравнению (1). Наоборот, у любого решения
уравнения (1) /-й столбец удовлетворяет уравнению (6). Таким
образом, У(-) является единственным решением уравнения (1).
По теореме И. 4.7, множество {ух (/), ..., yn(t)} независимо для
всех /еГ, Следовательно, по теореме 1.3.3, Y{t)~l существует
для всех /еГ.
Уравнение (2) эквивалентно уравнениям
Z(t)T = -A{t)TZ{t)T
почти всюду в Ту Z(i)T=Iy и, по предыдущим рассуждениям,
имеет единственное решение Zr(«)- Умножив обе части
уравнения Y(t) = A(t)Y(t) на Z{t) и обе части уравнения Z{t)=*
= — Z(t)A (t) на Y (t) и сложив их, получаем
Z{t)Y(t) + Z(t)Y(f) = 0
224

почти всюду в Г, откуда, согласно II. 3.12, (Z(t)Y(/)) = 0 почти
всюду в Т. Так как функции Z и Y абсолютно непрерывны
и Z(F) = K(F) = /, то из теоремы 1.4.42 следует, что
Z(t)Y(t) = I (/еГ);
следовательно, Y(t) = Z(t)~l (t&T).
Пусть т\ е Rrt. Обозначим y{v\t b) (t) через у {t). Согласно
условиям (2) и (3), имеем Z(t)*/(t) = — Z (т) А(х)у(х) и Z(x)y(x) =
= Z{x)A(x)y{x) + Z(x)b(x) почти всюду в Т. Следовательно,
Z (т) ${x) + Z (х) у (х) = (Z (т) у (т)) = Z (т) Ь (т)
почти всюду в Т. Интегрируя обе части этого равенства от t
до t, получаем
Z{t)y{t)-Z(i)y(t) = Z{t)y{t)-Z{t)y\=\z(x)b{x)dx (te=T).
i
Отсюда следует
t
y(t) = Z(t)-lZ(i)r\ + Z(t)-l\z(T)b(x)dT =
i
t
= Y(t)Y(irlr) + Y(t)\Y(x)-lb(x)dx (teT).
t
II.4.D. Зависимость решений обыкновенных
дифференциальных уравнений от параметров.
II. 4.9. Теорема. Пусть п, ^gN, V — открытое
подмножество из R", А — выпуклое подмножество из R\ T=1[t0l tx] a R
и f: TXVXA-+Rn. Предположим, что для (t, v, a)(=TXVXA
функция f (t, •, •) дифференцируема в точке {v, а) и что
f<=$(T,VX A; R"), f{Vt a)ez<%(TtVXA;B (R*+*, Rrt)).
Тогда соотношение
t
F {у, a) (/)=$/ (т, y(x)9 a) dx [te=T;ys=C (7\ V); a e A]
to
определяет непрерывное отображение F: С (Г, V)XA-+C{Tf Rrt),
которое имеет производную F' такую, что
t
F' {у, а) (Д*/, Да) (*) = \ f{v§ д) (т, у (т), а) (Ау (т), Да) dx (1)
[Ayes С (Г, Rn); Да (= R*; /<=Г].
Ь Дж% Варга 225

Доказательство. 1. Пусть К=С(7\ V)y у <= К, и
dy = d[y{T)t Rn\V] (где dy=oo, если V = R"). Так как
функция у непрерывна, множество V открыто и y(T)cz. V, то dy>0.
Таким образом, Y является подмножеством из С (Г, Rn). Так как
/(., ., а)*аЯ(Т, V; Rn)
для каждого аеД то функция t->f (/, у(/), а) интегрируема
для всех {уу а)еКХ^ и, таким образом (по теореме 1.4.42),
функция t-+F(y, a)(t) непрерывна. Пусть теперь \\n\yf = g в Y
и lima/ = a в Л. Тогда, по теореме 1.4.35, lim F (yh af) (t) =
= F(g, a){t) для каждого /еГ, Так как множество F(YXA)
равномерно непрерывно (функция /-Ч/(/, •, •) lsup
интегрируема), сходимость будет равномерной (I. 5.3). Таким образом,
функция F: УХЛ->С(Г, Rn) непрерывна.
2. Пусть */ е У, Офку<^У — у, аеД О^ДаеЛ-a и
р(«)(т) = (у(т) + аДг/(т), а + аДа) (тЕГ;аЕ[0, 1]).
Так как множество У открыто в С (Г, R"), то р(а)(т)Е^Х^
при условии, что | Д# | достаточно мало (мы предположим, что
это так). Легко проверить, что функция
(v, Ди, a')-*/(t,,a)(', v, (П№, Да): VXRnXA->Rn
непрерывна для каждого (еГ, Таким образом, по
теореме I. 4.22, функция
л
т _* h (Т> а) = (| Ьу | + | Дд |)-i ^ д) (т> р (а) (т)) (Ду (т)| Дд)
измерима для каждого aE[0, 1]. Более того, так как
функция Л(т, •) непрерывна на [0, 1] для каждого теГ, из
теоремы 1.4.21 следует, что функция
т -> sup \h (т, a) — А (т, 0) |
0<а<1
измерима.
По теореме о среднем II. 3.6 имеем
(\Ьу\ + \Ьа\Гх\Р[у + Ьу% a + ba)®-F(y, a){t)-
t
~ J hv. a) (T> У (T)> a) ^ <T)> Aa) rfT I =
= (\Hy\ + \ba\fl\\[f(x,y(x) + £iy(x)ya + £ia)-
и
—/(*■ 0(t), a) — /(врв)(т, */(т), а)(Д*/(т), Да)]йт|<
<\ sup |Л(т, а)-Л(т, 0)1 Л. (2)
226

Так как выражение | Аг/1 + | Да | -> 0, (\Ау\ + \Аа \)"1 | А// (т), Да) |
остается ограниченным единицей для всех т е Т и так как
функция /(0§а)(т, •, •) непрерывна для каждого те Г, то
подынтегральное выражение в правой части неравенства (2)
сходится к нулю при | Ау |+ I Да |->0. Так как это
подынтегральное выражение ограничено величиной 2|/(0 а)(т, •, -)| »
то из теоремы I. 4.35 следует, что правая часть неравенства (2)
сходится к нулю. Таким образом, левая часть неравенства (2)
сходится к нулю равномерно для всех / е Т. Более того,
линейный оператор на С(Т, Rn)XR*, определенный условием
t
Н (Ау, Да) (t) = J /(0| а) (т, у (т), а) (Ау (т), Да) dx,
to
удовлетворяет соотношению
|Я(Ду, Да)|<$|/(г#в)(т, •• -)\supdT-\(Ay,Aa)\
t)
и поэтому непрерывен. Отсюда следует, что соотношение (1)
справедливо.
Наконец, докажем, что функция F' непрерывна. Пусть
Нт(У/, а,) = (у, а) в С (Г, V)XA и | Д*/| + | Да|< 1. Тогда,
по условию (1),
\F'iyb а{)(Ау, Aa)(t)-F'(y, а)(Ay, Да)(OK
< J I Uiv. a) (*> Уl W. ai) ~ f(v, а) К У W. «)] (ДУ M. **) | ^ <
to
< \ I hv. a) 0> УI W. */) - f (о. a) (*. У №. 5) | б/Т. (3)
и
По теореме 1.4.35, правая часть неравенства (3) сходится к нулю
при /->оо. Таким образом,
Игл 1/^0//, a,)-F'(g9 3)1-0.
II. 4.10. Теорема. Предположим, что условия теоремы И. 4.9
выполнены. Положим
G(y, л, а) = г/ — л — F(г/, a) [Q/, Ч, с)еГХГХ4
Гогда для всех (у, r\, a)eKXR"X^ ^(f/> Л» я) является
гомеоморфизмом из С (Tf Rrt) в себя.
8* - 227

Доказательство. Пусть /—единичный оператор в С (Г Rrt).
Наше утверждение эквивалентно условию, что для любого
h^C{T, Rn) уравнение
(I-Fy(yta))by = h
имеет единственное решение Д# и существует такое число с,
что |ДуК^с|Л| для любого Л. По теореме II. 4.9, приведенное
уравнение может быть записано в виде
t
Лу (0 = \ fv (т, У (т), Ь) Д*/ (т) £*т + Л (/) (/еГ) (1)
и
или, полагая р = Дг/ —А, в виде
Р (0 = \ fv (т, у (т), 6) (р (т) + Л (т)) Л (* € Т).
и
По теоремам II. 4.3 (при <р(г) = г+1) и II. 4.5, существует
единственное р из С (Г, Rn), удовлетворяющее последнему
уравнению. Более того, если мы положим
то условие (1) дает нам
I Ау(О К J * WI Ау (т) Irft + | Л(0 | (ts Т);
и
следовательно, по неравенству Гронуола И. 4.4, существует
такое с' е R, что
t
I Ay (О I <| h (t)\ + c' \$(x)\h(x)\dx (t e= Г).
Отсюда следует, что
\by\<U + c'^'r)dx\\h\.
II.4.11. Теорема. Пусть k, /igN, V —открытое
подмножество из Rn, А — выпуклое подмножество из Rk, Т = [t0, tx] a R
и f: TX VXA->Rn. Предположим, что для всех (/, v, а) е
е 71 X К X А функция f (/, •, •) дифференцируема в точке (у, а)
f е Л (7\ К X Л; R\ f{0 а) е=$(Т, VXA; В (R"+\ Rn)\
Ло^ I/, о0еД у0еС(7\ У),
Уо (0 = Чо + J / (т, */0 (т), а0) dx (t е= Г).
228

Тогда существуют такие окрестности V точки г\0 в V и А
точки а0 в А, что уравнение
t
У«) = У\+\!(х,У(г), a)dx (t^T) (1)
и
имеет единственное решение у (•) = и (т|, а) (•) в С (Т, V) для
всех (т), а)е1/ХД функция и: КХЛ-*С(Г, R") непрерывна
и имеет непрерывную производную и' на КХЛ и для всех
Л <= V, Дт) ^ R", «е Л, Да g Rfe « р= и' (л, а) (Дт), Да) ижеелс
t
Р W = S /(о. а) (Т» " (Ч, в> (Т>> *) (Р W. Ла) dT + ДЧ С S Г). (2)
Доказательство. Пусть Y = {у (•) <= С (Г, Rn) | у (Г) с= F}.
По теореме II. 4.9, соотношение
t
G(y, т)> а)(О=У0)-Ч- $/(т,*/(т), a)dx (t@T)
и
определяет непрерывное отображение G: YXRnXA->C(T9 R")
с непрерывной производной G', удовлетворяющей условию
G'(y, Л. fl)(A», Ал. Д«)(0 =
= by (t) — Ат) — ^ f с*.О (т, У (т), а) (Ду (т), Да) dt (f € Г). (3)
По теореме II. 4.10, Gy(y0i г\0, а0) является гомеоморфизмом
из С (Г, R") в себя и, по предположению, G(y0, tj0, Оо) = 0. Таким
образом, по теореме о неявной функции II. 3.8, существуют такие
окрестности V точки щ и if точки а0 (относительно множества А)
и решение и(т), а) уравнения (I) для всех (ц, a) g I/ X Д что
функция ы(«, •): VXA-+C(T,V) непрерывна, имеет
непрерывную производную и' на V X А и
и' (Л, л) = — G^ <ы (t|f а), т), а)"1 о G(Tl, а) {и (ц, а), т), а). (4)
По теоремам II. 4.5 и II. 3.6, функция и(г\,а)(*) является
единственным решением уравнения (1).
Наконец, соотношение (2) следует непосредственно из
условий (3) и (4).
229

II. 5. Функционально-интегральные уравнения
в пространстве С(Г, R")
II. 5.А. Существование решений
функционально-интегральных уравнений в С (Г, R").
Мы исследовали специальный случай обыкновенных
дифференциальных уравнений. Перейдем к рассмотрению более
общих функционально-интегральных уравнений вида
y{f)=\f(t,%, Ш(т)М^) (*е7). (*)
Здесь Т — компактное метрическое пространство, (Г, 2, \i) —
конечное положительное пространство с мерой,
л, me=N, КсГ, W с= R", {t9 %tv)-+f{t9%,v): TXTXV-+R",
I: С(Т, W)->L~(T, 2, ц, У)
(где
L~(7\ 2, ц, 10 =
= {2ЕГ(Г, 2, ji, Rrt)|z(r)€= К ji-почти всюду в Г}).
Как пример такого функционально-интегрального уравнения
мы можем рассмотреть интегральное уравнение типа Урысона
II. 1 (8). Более общий пример представляет интегральное
уравнение с псевдозапаздываниями, в котором | определяется
следующим способом. Предположим, что <jgN, V = Wk+l и заданы
измеримые функции hf. Т->Т (/=1, ..., k). Далее полагаем
l(y)(r) = (y(hl(r))iy(h2(t))i .... y{hk{%))) [у еС(Г, У); теГ].
Тогда функция !(*/)(•) ограничена, ц-измерима и принадлежит
поэтому пространству //"(Г, 2, \ху Rm). В частном случае, если Т
является интервалом [/0, tx] <= R,
т>Мт)> ■•• >М*) (те Г; /=1,2, ..., k)
и /(*, т, у) = 0 для всех у е V и т> *, то наше уравнение
переходит в дифференциальное уравнение с запаздыванием.
Прежде, чем перейти к рассмотрению общего уравнения (*),
напомним некоторые положения параграфа 1.5.С, касающиеся
функций со значениями в множестве функций. Именно, если S,,
S2 и X — заданные множества, F (52, X) — семейство функций
из S2 в X и Н: SX->F(S2, X), то мы отождествляем Н с
функцией Л: Sj X S2 -> X, определенной условием
h (su s2) = Н (s{) (s2) {sx ^ S,; s2 e S2).
В этом смысле, если S — сепарабельное метрическое пространство,
°Ц — сепарабельное банахово пространство, (Г, 2, ц) — конечное
положительное пространство- с мерой и /еС(Г, $(7\ S; <V))t
230

то мы отождествляем / с функцией (/, т, s)->f(t)(i, s): ТХ?Х
Х5->^ и пишем /(/, т, s) вместо f(t)(x, s). Таким образом,
|/l«sup$|/(/, т, .)l,up|i(rfT).
И. 5.1. Теорема. Пусть Т —- компактное метрическое
пространство, (Т, 2, ц) — конечное положительное пространство с
мерой, «,mGNJcRm,ircR% функция £: С (Г, №) -> L~ (Г, V)
непрерывна. Тогда уравнение
y(t)=\f«, т, Ш(т)Ы^) (<е=Г)
гшеяг решение у е С (Г, ИГ), если либо
1) /еС(7\ Л (Г, V; R*)) и Sp(09\f\)cW,
либо
2) V = Rm, W = Rn,
/I^X^X Ki принадлежит C{T, $(Т, Vx\ Rn)) для любого
ограниченного множества Vx cz Rm, и существуют такие а, р, у е R
и ф: rX^-^R, ^о
sup \^(t, x)fi(dt) < oo,
ll(f/)L<«(li/lsup + 1)p foec(7\ r")],
\f(t, x, v) |<t|»«, т)(| о | + l)v (f, т e Г; t» s Rm),
PY<1.
Доказательство. Предположим, что условие 1)
выполнено. Положим К — С(Т, SF(0, \f\)), и пусть у е К. Так как
/(/, •, -)<=Я(Т, V; R") для каждого <е?"и функция £(«/)(•)
ц-нзмерима, то функция x-*f (t, т, 1(у) (т)) ц-интегрируема для
каждого / е= Г. Итак, функция F (у) {t) = J / (/, т, | (у) (т)) ц (rft)
определена для всех у ^ К и (еГ и
|F&)(OI<sup\|f(<fT, -)lsupn(dT) = |/|.
Теперь для каждого t е Т имеем
Нт | J f {t, т, | (у) (т)) ц (Л) - J / Г, т, g (у) (т)) |i (rfx) | <
<lim \\f{t,t, ■)- f(t',x, -)\sup\i(dx) =
= lim|f(*, ., .)-f(f, -, -)1Л-=0. (1)
Таким образом, функция F (y)( •) непрерывна и F(y) & К (у & К).
Соотношение 1) показывает также, что множество F (К) равно-
231

мерно непрерывно. Так как множество К ограничено и f (Ю с /С,
то F (К) также ограничено. Таким образом, по теореме 1.5.4,
F {К) — компакт. Ясно также, что /С —замкнутое и выпуклое
подмножество из С (Г, Rn). Поэтому наше утверждение будет
следовать из теоремы Шаудера о неподвижной точке II. 2.8,
если мы докажем, что функция F(-) непрерывна.
Пусть (#/) — последовательность в /С, сходящаяся к
некоторому у е /С. Тогда lim £(*/у) (т) = £ (у) (т) для ц-почти всех теГ,
и для каждого /еГи ц-почти всех теГ мы имеем
Hm/(*f т, |(уу)(т)) = /(/, т, Ш(т)),
\f(t,x, 6(0/)(т))|<1/(/, т, .)1.„р (/sN).
Следовательно, по теореме 1.4.35, \imF{yf){t) = F{y)(t) для
каждого /gJ, Так как множество F(K) равномерно
непрерывно, а Т — компакт, то из теоремы 1.5.3 следует, что эта
сходимость будет равномерной для всех ^еГ. Таким образом,
lim F {yf) = F (у) в С (Г, R"), и функция F непрерывна. Это
завершает доказательство теоремы в случае предположения I).
Предположим теперь, что выполнено предположение 2), и
пусть д
6= sup \ г|)(/, т) \x(dx).
Так как Py<1> то легко проверить, что существует такое
конечное положительное число cw, что
Мы полагаем Wx±SF(0,cw)9 cv = a(cw+l)*, Vx=SF(0,cv),
fi=f\TXTXVl9 lAl\C(Tt Wx). Тогда
lii(y)loo<«(lf/lsup + 0P<a(^+l)p = ^ foes С(7, Wx)\.
Следовательно, |, является функцией из C(T, Wx) в L°°(Tt Vx).
Ясно также, что
|/il = sup\ sup |/(/, т, о)||х(Л)<
<SUPU(', T)|i(rfT).(ce+l)Y<£?..
Следовательно, S^O, | fx \) a Wx. Отсюда, в силу предыдущих
рассуждений, следует, что уравнение
y(t)=\f(t,x, Uy)(r))\i(dx) (te=T)
имеет решение в С (Г, Wx)%
232

Н.5.В. Локальные решения и единственность решений
функционально-интегральных уравнений с наследственностью.
Рассмотрим теперь функционально-интегральные уравнения типа
рассмотренных в теореме II. 5.1, но с некоторыми добавочными
свойствами, которые дают нам возможность определить
локальные решения и получить теорему единственности. (Основная
цель введения локальных решений заключается в устранении
тех ограничений на функцию f, которые предполагались в
теореме II. 5.1.) Возможно, лучше всего ввести эти свойства,
рассмотрев особый класс обыкновенных дифференциальных
уравнений. В обозначениях теоремы И. 5.1 положим Т = [t0, tx] czR,
S и fi относятся к лебеговской мере на Т, V = W, |
—единичный оператор в С (Г, V), а функция / удовлетворяет условию
f(t, т, v) = Q, если т>/, и f(t, т, v) = f(x, v), если т<г. Тогда
функционально-интегральное уравнение из теоремы П. 5.1
эквивалентно обыкновенному дифференциальному уравнению вида
t
y(t)= $Г(т, y(r))dx (ts=T)
to
и условие
/e=C(7\ $ (7\ V; R"))
переходит в
fe«(r, V; Rn).
Если SF(0, p)czV, f=ber| J|f(t, -)|,Up<fr<pj и
функции fi и fi получены сужением функций f и f, соответственно,
на Т (так, что f{ gC(7, $(?, V; Rn)) и f, е=Я{Т, V\ Rn))f то мы
видим, что
lfll = SU£ \\U(t,T9 -)и^ = 8иР $|Мт, OLp^P»
и поэтому SF(Q, \fl\)aV = W. Таким образом, теорема II.5.1
дает теорему Каратеодори П. 4.1 о существовании локальных
решений (в частном случае ri = 0).
Рассмотрим еще раз общее функционально-интегральное
уравнение из теоремы II. 5.1, но только при менее
ограничительных условиях, чем условия, накладываемые на
обыкновенные дифференциальные уравнения. Введем понятие р-наслед-
ственного преобразования.
р-п а с л едет вен н ое преобразование. Пусть Т и
W — топологические пространства F (Г, V) — семейство функций
из Г в некоторое множество V и р: Г->[0, 1]. Мы говорим, что
функция |: С (Г, W)->F(T, V) является р-наследственной, когда
233

i (У\) W = 1 Ы (x) [p (т) < а], если только ае[0,1]иу, (т) = у2 кт)
[р(т)<а]. Если | —р-наследственная функция, a g [0, 1] и
у — сужение на р-1 ([0, а]) некоторой функции (/еС(Г, W), то
мы пишем |(#)(т) [т ер-1 ([0, а])] вместо |(у)(т) [тер-1 ([0, а])].
Из определения р-наследственной функции, ясно что 1{у)(х)
[т G р"1 ([0, а])] будет одной и той же для любого расширения
функции у на Т.
Локальные решения. В предположениях теоремы II. 5.1,
если £ —р-наследственная функция, р е (0, 1] и / (/, т, у) = 0
[р (0 < р(т)], то мы говорим, что функция у е С(р-! ([0, р]), №)
является локальным решением уравнения
y(t)=\f(t,x, l(y)(x))ix(dx) (*е=Г),
если у есть сужение на р_1([0>Р]) некоторой непрерывной
функции из Т в W и
£ (0 = J f (/, т, £ (£) (т)) |i (dt) [t е= р"1 ([0, р])].
Ясно, что это определение локального решения приводит к
решению обыкновенного дифференциального уравнения, введенного
в теореме существования Каратеодори II. 4.1 и (и соответствует
случаю: T = [t0, /,] с R, ш = пу V = W, £ — единичный оператор
в С (Г, V) и p{t) = t (te=T)).
II. 5.2. Лемма. Пусть Т — компактное метрическое
пространство, (Г, 2, \х) — конечное положительное пространство с
мерой, m, /igN, Vc=Rm и f gC(J, Я (Г, К; R")). 7огда
Ит \|f(*,T, •) lsup fx(rfx) = О
равномерно цля /gT,
Доказательство. Предположим противное. Тогда
существуют такие последовательности (tf) в Г, (£у) в £ и такое е > О,
что lim \х (£/) = 0 и
$lf«/, *, •)1,ир|х(Л)>в (/GN). (1)
Так как Т — компактное метрическое пространство, то мы можем
предположить, что последовательность (tj) сходится к
некоторому /. Далее, так как f GC(r, $(Г, V) R")), то мы можем
выбрать такое /0 ^ N, что
*/= \\fih*, ')LPMdx)<B/2 (/>/0),
bi=\\f(i9Tt •)-/(</,*, .)lSup^(^)<e/2 0">/o);
234

следовательно,
Jl/C/. *, -)\su[i\i<dx)^al + bi^e (/>/o),
£/
что противоречит условию (1).
II.5.3. Теорема. Пусть Т — компактное метрическое
пространство, (Г, 2, \х) — конечное положительное пространство с
мерой, п, wgN, V с: Rm, множество W a Rrt открыто, О &W,
Г*=С(Т,Я{Т9 V;Rn))
и функция
I: С(Т, W)-+V°(T,29 \х, V)
непрерывна. Далее, предположим, что существует такая
^-измеримая функция р: Г-►[0, 1], что
lim |i(p-'[0, a])) = 0; (1)
a-»+0
2) функция £ является р-нас лед ст венной,
f(t,x,v) = 0 Msf; veV] p(x)>p(t)]. (3)
Тогда существуют ре (0,1] и локальное решение ^GC(p-1X
Х([0, р]), W) уравнения
y(t)=\f(t,x/l(y)(x))n(dx) (*еГ).
Доказательство. Пусть Т{а) = р~1( [0, а]) и ца(Л) =
— [i (Г (а) П Л) (а €= [0, 1]; Л е= 2). По условию (1) и лемме II. 5.2,
имеем
lim \ \f(t,x, .)\ n(dx) = 0 (4)
равномерно для t е Г. Так как множество W открыто и 0 е W,
то существует такое а > 0, что 5>/г(0, a)<=U^. По условию (4),
мы можем определить такое р е (0, 1], что
S lf«. *. 01.ирМЛ)=$|/(*, т, -)lsup^(dT)<a (/si], (5)
Ясно, что
f e=C(7\ Я(7\ 2, ^, К; Г))
и функция
g: С (Г, иО-Г°(7\ 2, ^, V)
непрерывна. Более того, по условию (5), sup \ | f (/, х, •) |sup X
XHp(dt)^a. Таким образом, из теоремы 11,5.1 следует, что
существует такое у е С (Т, W), что
PW=J/C, т, 6(P)(x))|i3(dt) . (/еГ).
235

Так как \х {А) = |лр (А) для всех A g= 2, А а Т (р), / (t, т, у) = О
для всех /еГ(р) и т <£ Г (Р), то
$(*)=$/('.*, l(y)(x))\x(dx) [^Г(Р)].
II. 5.4. Теорема. Пусть Т — компактное метрическое
пространство, (7\ 2, \х) — конечное положительное пространство
смерой,п,т*=К, 1/cz Rm, B^czRn, f: ГХ^Х V->RM: С(Г, 1^)->
-► L°° (Г, К). Предположим, что существуют такие cgR, г^ е
е С (Г, L1 (Г)) и ^-измеримая функция р: Т -> [О, 1], что функция
a-*|i(p-!([0,a])): [О, 1]-*R (1)
f(/, т, v) = 0 [p(r)>p(t)l (2)
I / (t, т, u,) - f (t, т, i>2) |< ^ (t, %)\vl-v2\ (3)
(f, ТЕГ, vl9 v2s=V\
\l(yi)(t)-t(y2)(t)\<c sup |у,(т)-»2(т)| (4)
p{x)<p{t)
(Уь У2 e С(Г, №) для \х-почти всех t e Г). Тогда уравнение
y(t)=\f(t, т, &М(т))ц(Л) (/sll (5)
может иметь не более одного решения в пространстве С(Т, W).
Доказательство. Предположим, что ух и у2 — два
решения уравнения (5) в С (Г, №), и положим
иЮ-1й(0-й(01,
5 (О Д SUp {и (Т) | р (Т) < р (/)} (f € Г),
р Д sup {a е= [О, I] | s (0 = 0, если р (t) <а}.
Тогда
U(t)=\ \ U (*. Т, | (yt) (Т)) - f (t, Т, | (fc) (Т))] IX (dx) | <
р-Чю.рюп
<с 5 b(t,x)s(x)ix(dx) [/?(') >р].
р-1([р,р(')])
Следовательно,
s (t) < cs (О J ф, (*, т) \х (dx) [р (t) > р]. (6)
Предположим теперь, что р<1. Так как <ф1еС(Г, L1^)), то
из условия (1) и леммы II. 5.2 следует, что существует такое
е > 0, что р + б < 1 и
\ *i(t,x)p(dx)<l/c (<е=Г).
p-MlfcP+tJD
236

Таким образом, из условия (6) следует, что s(t) = 0 для t (=
^ Р~х (1Р> Р + е1)> а это противоречит определению р. Таким
образом, Р = 1. Следовательно, ух {t) = у2 {t), если / е р-1 ([0, 1)),
и, по условию (4), l{y\){t) = l(y2)(t) для ц-почти всех /е
е р"1 [(0, 1)). По условию (1), это означает, что|(у1)(/) = ^(^2)(/)
jx-почти всюду, и так как уи у2 — решения уравнения (5), то
Ух (0=$/«, TfE(y,)(T))|i(dT) =
= J / (Л т, g (&) (т)) |i (dx) = у2 (0 (< е Г).
I1.5.C. Линейные функциональные-интегральные уравнения
в пространстве С (Г, R").
Резольвентное ядро. Пусть Г —компактное
метрическое пространство, (7\ 2, \л) — конечное положительное
пространство с мерой, «gNh Л —линейный оператор в С(Т, Rn).
Мы назовем (&*, ц*) резольвентным ядром оператора Л, если
/ — Л является гомеоморфизмом из С (7\ R") в себя, \х* е f rm+ (Г),
£*: rX?,->fi(Rn, R") и
( [(/ - АГ1 - /] Ay) (0 = J k* (t, т) А*/ (т) ц* (Л)
[/еГ; Aye С (Г, R»)].
II. 5.5. Теорема. Пусть Т — компактное метрическое
пространство, (Г, 2, ji) — конечное положительное пространство
с мерой, m, neN,
Ч€=Д(С(7\ R"), Г°(7\ Sf |if Rw)),
ае=С(Ту Ll(T,2, |i, SIR'», R*))).
1) выражением
А (у) (0 - J a (*, x) ц (у) (t) |i (dt) (t e Г)
определяется компактный оператор А в C(Tt Rn);
5!) если оператор I — А инъективный, то I — Л —
гомеоморфизм из С(Т, R") в себя, Л* = (/ — Л)-1 — / компактный
оператор в С (Г, Rrt), и оператор А имеет такое резольвентное ядро
{k , |0, что
k*e=C(T, L{(T, 2в(Т), \i\ B(R", R»))).
Для каждого выбора А, е f rm+ (Т) мы можем выбрать k* как
А, X [^-измеримую функцию.
3) Более того, если 2 = 2В(Г), И е frm+ (Г),
lim \ a (*, т) tj iA*/,) (т, \х [их) = О,
237

когда ( е= Т, Ау{ <= С (Т, R"), | Дг/г L < 1 и lim ц ({т е= Г | Дг/, (тЛ=?&
i
=5^=0}) ===== 0, то мы может предположить, что \i*=\i. (В частности,
это справедливо, когда х\ = 1 и \х е f rm+ (Г).)
Замечание. Ясно, что теорема II. 5.5 дает следующее
утверждение.
Альтернатива Фредгольма. При условиях теоремы
II. 5.5 либо уравнение у = А(у) имеет решение у = У\фО
в С(Т, R"), либо уравнение у = А(у) + с имеет единственное
решение у в С (Г, Rn) для каждого выбора сеС(Г, R").
Доказательство. Для любых j/GC(r, R") и /,/;еГ
мы имеем
\Ay)<t)-A (у) (?) I < I л 11 ^ | $ | а '/, т) - а С7, т) I |х (dt).
Таким образом, функция А(у)(-) непрерывна и А(>) является
отображением из С (Г, Rn) в себя. Это отображение будет также
линейным. Имеем
\A(y)\^sup\\a(t,x)\ii(dT)-\r]\\y\ = \a\\y]\\y\.
Следовательно, оператор А ограничен, и потому является
непрерывным линейным оператором в С (Г, R"). Эти соотношения
показывают также, что множество {А (у) \ \ у | ^ 1} ограничено
и равномерно непрерывно, и, следовательно, по теореме I. 5.4,
условно компактно. Таким образом, Л —компактный оператор
в С (Г, Rn) и утверждение 2) следует из теорем 1.3.13, 1.5.11
и 1.5.23.
Пусть теперь условия из 2) и 3) выполнены и
(«./(',*)) (I /=1. -..,*)
— матрица отображения k*(t, т) для /,tgT. Покажем, что
для каждого фиксированного /еГ и /, /е{1, 2, ..., п) мера
co/t/(0, определенная условием
©I. / (0 (Е) = J «. / С, т) |i* (Л) (£ е 2), (4)
Е
будет ^-непрерывной. Мы видим, что (/ + Л*)(/ — А) = 1,
следовательно, Л*= (/ + А*) А, поэтому lim A* kyt = 0, если lim А &у( = 0.
Пусть теперь ZeE и [i{Z) = 0. Так как обе меры \х и \х*
принадлежат frm+ (Т), то мы можем определить такие
последовательности (G,) открытых множеств и (Fj) замкнутых множеств,
что Ft<z:ZciGi и
Hm[|4G,)4V(Gi\^)] = 0.
238

Пусть ф/ (0 = 1, если Gi = T, в противном случае полагаем
Ф, (*) = d[t,T\ Gi]/(d [t9 T\Gi] + d [t, Ft] )(/sN; te T).
Тогда каждая функция ф, непрерывна, ф, (Т) cz [0, 1] и
Vi(T\Gl) = {0). Щ\ полагаем /±yi = (/iyil, ..., l^y"), /±yia = 0
(а ф /), kyil = yi и видим, по предположению 3), что
lim \ a (tt т) (т) Д*/,) (т) ц (dx) = О
для каждого /еГ, и поэтому lim (Л Д^) (0 = 0 (/ е Г). Так
как оператор А компактен, то последний предел будет
равномерным для / g Г (I. 5.3 и I. 5.4). Следовательно, из lim А Ду, = 0
следует ПтЛ*Ду/ = 0. С другой стороны, если мы обозначим
через k] /-й столбец матрицы k*> то
{А* ьу.) (/) = $#(,, Т) ф. (Т) ^ (dx) =
= $*?(*, т)^ (Л) + J */(', *)ф<М|**(Л).
Так как lim [i*(G,\ Z)<lim ц*(бДЛ) = 0, то
( */ (', т) |х* (Л) = lim (А* Иуд (0 = 0
г {
для всех / е {1, 2, ..., п) и /еГ. Это означает, что мера
соЛ/(/) ц-непрерывна для /, /е{1, 2, ...} и /gJ. По
условию (4), теореме Радона-Никодима 1.4.37 и теореме I. 4.38, для
каждого jylut существует такая функция &?, / (t, •) е О (Т, 2, р,),
что
J kl i (t, т) |i (dx) = ©,,, (0 (£) = J «. / (/, т) |i' (dx) (E g= S), (5)
J *?. / ft т) ф (t) \i (dx) = J Ф (t) 0/t, (0 (dt) =
= j kl , (/, т) ф (t) vT (dx) [fGC (T)]. (6)
Если мы обозначим через k*(t, х) элемент пространства B(Rnf Rn)
с матрицей
(*?./(', т)) (/, /=1, ..., л),
то условия 2). и (6) дают нам
Л* (Ли) (/) = J ^ (/, т) Ьу (х) (х (Л) [/еПДуеС (Г, R«)] f
239

и, таким образом, (ft4, \i) является резольвентным ядром
оператора А. Из второй части теоремы 1.5.11 следует, что
k*s=C(T, Ll{T, 2, \ху B(R", Rrt))), а из теоремы 1.5.23 следует,
что для любого выбора X е frm+ (Т) мы можем предположить
функцию k* К X ^-измеримой. Таким образом, утверждение
3) справедливо, если заменить k* на k .
II.5.6. Теорема. При условиях теоремы II.5.5
предположим, что существует такая ^.-измеримая функция р\ Т-+[0, 1],
что
1) функция г\ является р-наследственной,
2)a(t,%) = 0 [р(т)>р(0],
3) функция a->\i{p~l([Q, а])): [О, 1]->R непрерывна.
Тогда оператор I — А инъективен.
Доказательство. Покажем, что
ess sup I л у) (т) | < п\ г\ | sup \у(х)\ (а е= [0, l];j/eC (Г, Rn)).
р(т)<а - р(т)<а
(4)
Пусть у = (у\ ... !/")еС(Г, R\ <xg=[0, 1] и В = р~Ц[0, а]).
Тогда функция у непрерывна на компактном множестве Г, и
поэтому
si=snp\yi(x)\<oo (/=1, ..., п).
Легко проверить, что функции
t -> max (Л, (О, Л2 (0) и t -> min (/*! (0, А2 (0)
непрерывны, если hu h2 ^ С (Г). Таким образом, если мы
положим
£' (0 = max (- 51', min (У (/), s1)) (/еГ;^1,2 л),
то
I Л (С) (т) I < I л I Z sl М'-почти всюду. (5)
л
Мы имеем £ 5^/г sup |#(т/|, и так как функция т\ является
^-наследственной, то г|(£)(х) = ц(у)(т) (теВ), Таким образом,
условие (4) следует из условия (5). А наше утверждение является
следствием теоремы II. 5.4.
II. 5.D. Зависимость от параметров решений функционально-
интегральных уравнений в пространстве С (Г, Rrt). Рассмотрим
теперь функционально-интегральное уравнение в С (Г, Rrt),
240

включающее независимый параметр, именно,
У (0 = J / ft т> Б (У) М. fl) |i (dx) (t е Т).
II. 5.7. Лемма. Пусть Т — компактное метрическое
пространство, (Г, 2, ц,) — конечное положительное пространство
с мерой у Щ — сепарабельное банахово пространство, S — сепа-
рабельное метрическое пространство, xf: Т X [О, 1]->S (/gN),
Jc: T-^S, функции 'xf( •, а) ^.-измеримы для каждого a е [О, 1],
функция Xf(t, •) непрерывна для каждого t^T, Нтх/(т, a) =
==^(т) для \1-почти всех теГ равномерно для as [О, 1] и
VeC(7\*(7\S; Щ.
Тогда
lim \ sup | ф (t, т, X/ (т, а)) - ф ft х, х (т)) | \х (dx) = О
равномерно для t gT,
Доказательство. По теоремам 1.4.21 и 1.4.22, функции
т -► Ф ft т, */ (т, а)), т -> ф (/, т, * (т)),
т-> sup |ф(/, х, xf(x, а)) — ф(^, т, *(т))|
fi-измеримы для всех / g Г, / g N и а е [0, 1]. Предположим
теперь, что утверждение леммы не выполняется. Тогда
существуют такие е>0, /с(1, 2, ...) и последовательность (ify)
в Г, что
\ sup | ф ft, т, *, (т, а)) - ф ft, х, х (т)) | ц (dx) > е (/€=/). (1)
Так как Т — секвенциальный компакт, то мы можем считать,
что \\mtf = i. По предположению, существует такое /0gN,
что
$ I Ф ft т, •) - Ф (/,, х, •) |sup \х (dx) < е/2 (/ > /о), (2)
lim sup | ф ft т, Xt (т, a)) — ф ft т, x (т)) | = 0 ц-почти всюду. (3)
/ 0<a<l
Так как sup \<p(i, х, xf(x, а)) —ф(/, т, *(т))|<2|ф(?, т, .)lsup
(т е Т), то из условия (3) и теоремы I. 4.35 следует, что
lim\ sup \q>(t,x,x,(x,a)) — cp(i,x,x(x))\\i(dx) = 0. (4)
241

Наконец, по предположению,
lim \ sup | ф (th т, х, (т, а)) — ф (?, т, *, (т, а)) | \х (dx) <
<lim \|<р(*/,т, .)-<р(*,т, •)Ll*H = 0. (5)
Таким образом, по условиям (4) и (5),
lim \ sup | ф (tt, т, xf (т, а)) — <р (th х, х (т)) | \х (dx) <
< lim \ sup | ф (th т, х, (т, а)) — ф (/, х, xt (т, а)) | ц (dx) +
i&J J 0<а<1
+ lim( sup I Ф (/, т, х, (т, a)) ~- ф(*, т, х(т)) l^x (dr) = 0,
/е/ J 0<а<1
что противоречит условию (1).
II. 5.8. Теорема. Пусть Т — компактное метрическое
пространство, (Т, 2, \i) — конечное положительное пространство
с мерой, ш, k, «gN, V cz Rm, множество W cz R" открыто^
А —выпуклое подмножество из Rfe,
fz=C(T,3)(T, VXA; R»)),
f{Vt a) e= С (Г, I^JX Л; В (1Г X R*, R"))),
и ш/сгб функция |: С (Г, UP) -> L00 (Г, К) и л*еег непрерывную
производную. Тогда соотношение
F(y,a)(t)^\f(t,x,l(y)(x),a)Vi(dx)
[yz=C(T, W)\ a<=A;te=T]
определяет такую непрерывную функцию F: C(T,W)X>A->
->С(Г, R") с непрерывной производной F', что
F'(y,a)(by,ba)(t) =
= \ /<„. а) С *. 6 О/) (т), а) ((Г (f/) Ау) (т), Да) р (Л) (1)
[Д*/ е= С (Г, R"); Да GRfe;/Gr].
Доказательство. Определим два преобразования
G: L°° (S,V)XA->C (Т, О (Т, R")),
Н: C(T,V(T,Rn))->C(T,Rn)
следующими соотношениями:
G (z, a) (t, х) = f (t, т, г (т), a) [/, tgT^gL00 (Г, V)\ а s Л], (2)
Я (Ф) (0 = J Ф (*, т) |х (Л) [фЕС (Г, L1 (Г, R")); t s Г]. (3)
242

Докажем, что оба преобразования G и Я имеют указанные
области определения и области значения, непрерывны и имеют
непрерывные производные.
1. Рассмотрим преобразование G. Для каждого /, z и а
функция т->/(/, т, г(т), а) ji-интегрируема. Более того,
lim [\f (t, т, z(т), а)-/(t\ т, z(т), а) \\х(dx) <
<lim \|/(<,т, ., •)-/«', т, ., •) lsup jx (rfx) = 0
Это означает, что G(z9 а) еС(Г, Z,1 (Г, R"))-
Мы видим, что для каждого z е L°° (Г, V) иае/1 оператор
(?(г, а), определенный условием
G (г, а) (Дг, Да) (/, т) = /(0 а) (t, т, 2 (т), а) (Дг (т), Да) (4)
[Дг € L°° (Г, Rm); Да е= R*; (,ts Г],
принадлежит
S (Г0 (Г, Rm) X R\ С (Г, V (7\ R"))).
Действительно, для фиксированных г, а, Дг и Да функция
x-+G(z, а)(Дг, Да)(*, т) ц-интегрируема для каждого /еГ
(теорема I. 5.25), и мы имеем
Д™ J |[^.«)('' т> z^> а)-!«,а)(*'> т> 2W. *)]№(%), Да)||х(Лг)<
<(|Дг| + |Да|)1ш1^|/(оа)(/,т, ., .)-
Это означает, что G (г, а) (Дг, Да) г С (Г, L1 (Г, R*)). Ясно, что
отображение
(Дг, Да) -> G (г, а) (Дг, Да)
линейно и для каждого г и а
| G (г, а) (Дг, Да) | = sup^ $ | f{v а) (/, т, г (т), а) (Дг (т), Да) | \х (dx) <
<(|Дг| + |Да|)8ирг5|^а)(/,т, ., ОЦИ^т).
Следовательно, G (г, а) — ограниченный линейный оператор.
Покажем теперь, что G' (г, a) = G (г, а). Действительно, для
фиксированных г, а и для всех Дг е L°° (Г, У) — г и Да е Л — а
таких, что | Дг| + I Дв| ^ 0, справедливо
5'7(г,|Дг|)с=100(Г, К).
243

Теорема tl. 3.6 о среднем дает
(\bz\ + \ba\)-l\f(t,%9z{%) + &z(%)9a + ba)-
- f (/, т, z (т), а) - f{v% а) Ц,%9г (т), а) (Лг (т), Да) | <
< SUP |/(о а)^> т» г(т) + аДг(т), я + аДа) —
Следовательно, по лемме II. 5.7,
\\m(\te\ + \ba\Yl\G(z+b2ta+ba)-G(z,a)-
— G(z, а)(Дг, Да) |=0
при | Дг| + | Ла |—>0. Это показывает, что^ отображение G
дифференцируемо в точке (г, а) и G'(z, а) = б(г, а), а это означает,
в свою очередь, что G непрерывно в точке {г, а).
Для того чтобы доказать, что производная G' непрерывна,
рассмотрим точку (г, а) е L°° (Г, V) X Л и последовательность
((£/> #/)) в £°° (?\ V) X Л сходящуюся к (г, а,). Имеем
|G'(z/>*/)-G'(*,a)l =
f€=7\ Дге=Г°(Г, Rw), AaeR*f|Az| + |Aa|<l}<
< s^ S Ita*> ('' T' */ (т)' a/) "" Tl*. *> & T> * M' a) I ^ (dT) У e N)
и, по лемме II. 5.7, правая часть этого соотношения сходится
к нулю. Таким образом, производная G' непрерывна.
2. Рассмотрим более простое отображение Я. Ясно, что Я
линейно, и мы имеем
Нш|Я(ф)(0-Я(ф)(О1<Нт \|ф^т)-ф(^т)||1(Л) = 0,
| Я (ф) | — sup К ф (tt х) \i (dx) I < sup (| ф (t, x) | |i(dT) = | ф |.
Следовательно, Я (ф) e С (Г, R") и |Я|<1, откуда следует, что
HeB(C(T9Ll(T,R% C(7\R")).
Таким образом, Я'(ф) = Я для всех ф и производная Я'
непрерывна (в действительности постоянна).
244

3. Теперь мы можем закончить доказательство теоремы.
Для всех z €= L°° (Г, V), а е= А и t е= Т имеем
Я о G (z, а) (0 = $ f (<, т, г (т), а) р (Л).
Следовательно, для всех 1/еС(ГД) и а е Л
F(y9a)=HoG(l(y),a)'
Так как функции Я, G и | непрерывны и имеют непрерывные
производные, то функция F также непрерывна и, по теореме
II. 3.4, имеет такую непрерывную производную, что
F' (у, а) (Дг/, Да) = Я' (G ft (г/), а)) о С (| (у), а) (Г (*/) Ну. Да)
[Aye С (Г, Rn); Да с= R*].
Так как Я' (ф) = Я и G' = Gy то соотношения (3) и (4) дают
нам условие (I).
II.5.9. Теорема. Пусть условия теоремы II.5.8 выполнены,
y0s=C(Tt П а0еЛ,
#о (*)=$/ («, т, | (г/о) (т), а0) |i (Л) (/ е Г) (I)
и уравнение
Ьу (0 = \ U С, т, | Ы (т), а0) (Г Ы Ау) (т) р (Л) (f е Г) (2)
ижеег единственное решение А*/ = 0 в С(Т, R"). Тогда
существуют такие окрестность Y точки у0 в С(Т9 W) и относительная
окрестность А точки Oq в А, что уравнение
y(t)=\f (*, т, I(у) (т), а) ц(dx) (t с= Г) (3)
ижеет единственное решение у (•) = а (а) (•) в Y для всех а е Л;
более того, функция и: A-+Y непрерывна и имеет непрерывную
производную и' на Л, удовлетворяющую соотношению
w(t)±(u'(a)ba)(t) =
= J Uv. а) ft *> 6 (" («)) М. «) ((*' (" («)) «О М. Дд) I* (dx) (4)
(f е= Т\ Да е= R*).
£с/ш существует такая ^измеримая функция р: Г->[0, I],
что I' (у0) — р-наследственная функция, функция а -> \х (р-1 X
Х([0, а]):[0, 1]-*R непрерывна и fiVta)(t, т> Ъ(Уо)№, «о) = °
[р(т)>р(0], то уравнение (2) ил*еег единственное нулевое
решение.
245

Доказательство. Пусть G(y, а) = у — F (у, а) [(у, а) е
еС(Г, W)XA]. По теореме II. 5.8, отображения G и G'
непрерывны на С (Г, W)Y^A и, кроме того, множество С (Г, W)
открыто, множество Л выпукло и G(yQi а0) = 0. По условию
11.5.8(1), если мы положим £0 = £(f/o), то
I (Fy (t/o, а0) Д*/) (t) - (F, (г/о, оо) Ау) (П I <
<$![/• С, *> So М, во) - /о С, т, go W, а0)] (Г Ы Д*/) (т) I |i (d%) <
< I Г Ы 11 Ду I J I fv(t9 т, |о (т), а0) - f (/', т, & (т), во) | |i (dx).
Это означает, что множество {Fy (y0i а0) Дг/11 Ду |< 1}
равномерно непрерывно и ограниченно в С (Т, Rn). Следовательно, по
теореме I. 5.4, Fy(y0, а0) — компактный оператор, и, по теореме
Рисса 1.3.13, Gy(y0> a0) = I— Fy{y0i а0) является
гомеоморфизмом. Из теоремы о неявной функции И. 3.8 следует, что
существуют такие окрестность Y точки у0 в С (Г, W) и окрестность А
точки а0 (относительно множества Л), что уравнение (3) имеет
единственное решение и (а) в Y для всех а е Л, функция и
непрерывна и имеет непрерывную производную и' на А и
и' (a) = — Gy(u (а), а)"1 о Ga {и (а), а) (а е Л).
Таким образом,
G, (и (а), а) к' (а) Да + Ga {и (а), а) Да = 0 (а е= Л)
и, по условию 11.5.8(1)
а>(0- $f <,.«>('. т, 6(и(а))(т), a)((l'(u(a))w)(%), Да)|х(<*т) = 0
(Да € R*; f € Г).
Наконец, если существует функция р, описанная в последней
части формулировки теоремы, то, по теореме П. 5.6, уравнение (2)
имеет, самое большее, одно решение, которое, очевидно, должно
быть нулевым.
II. 5.Е. Интегральные уравнения с псевдозапаздываниями
в пространстве С (Г, Rn). Рассмотрим теперь решения в
пространстве С (Г, R") интегрального уравнения с
псевдозапаздываниями И. 1 (6).
II.5.10. Теорема. Пусть Т — компактное метрическое
пространство, {Т, Б, р,) — конечное положительное пространство
с мерой,
2 = 2Б(Г), /1,/eN, WczR"
и функции
hr. Т->Т (/=1,2, ...,/)
246

^-измеримы. Если мы положим
Ш(') = (</*МО, ..., y°hi(t)) . Ь/еС(Г,П/ЕГ],
то % е= В (С (Т, W), L°° (Г, 2, ц, W1)) и функция I удовлетворяет
всем условиям теорем И. 5.1, II. 5.5 и И. 5.8. Более того, если
функция р: Т->[0, 1] \х-измерима и
р(Мт))<р(т) (теГ; / = 1,2,...,/),
то функция \ является р-наследственной и удовлетворяет всем
требованиям теорем II. 5.3, II. 5.4 и П. 5.6.
Доказательство теоремы проводится непосредственной
проверкой.
II. 6. Функционально-интегральные уравнения
в пространстве Lp(Ty R")
II. 6.А. Существование решений. Все специальные уравнения,
которые мы изучали до сих пор, рассматривались в
пространстве С(Г, R"). Рассмотрим теперь функциональное уравнение
в пространстве LP(T, Rn). Пусть (Г, 2, \х) — конечное
положительное пространство с мерой, п, meN, /: Т Х^Х Rm->Rrt,
1^р<оо, l^p^oo и
|: LP(T,Z, jx,R*)-^L"'(7\2, ц, щ
Рассмотрим уравнение
У (О-J/Л т, 6(у)(т)) |i(Л)
ц-почти всюду, которое формально напоминает функционально-
интегральное уравнение из параграфа II. 5. Для удобства мы
запишем | / -> h (/) \р вместо | h \р, где
SJ —некоторое сепарабельное банахово пространство, и пред-
А Д
положим во всем параграфе II. 6, что с/0 = оо (с > 0) и оо/оо = 1.
II.6.1. Предположения.
1) Т —• компактное метрическое пространство, \x^irm+ (Т) и
2 = 2В(Г);
2) п, meN, 1<р < со, 1<Р!<оо и функция |: V (Т, 2, ц, R") -*
-* £р' (Г, 2, \х, Rm) непрерывна;
3) peRf|[0, pj], d —число, сопряженное к р{/$, функция я|>
Ц X ц-излеерилш и | /-Н г|> (/, •) |rf |р < оо;
4) функция % е Lp!(Г, 2, ц) и число ceR таковы, что
I Ку) (0 I ^Х(0 ц-почти всюду, если только у е Lp (Г, 2, jli, Rn) и
\y{t) |<с| i|)(/, • )Jd [х-почти всюду.
247

Следующие две леммы, И. 6.2 и II. 6.3, дают более общие
утверждения, чем это нам сейчас потребуется. Мы будем
использовать'эти леммы в параграфе VIII. 1.
II. 6.2. Лемма. Пусть предположения II. 6.1 выполнены,
S — компактное метрическое пространство, Q — семейство
^-измеримых функций из Т в S и функция f: Т X Т X Rm XS->Rn
такова, что для всех (t, т, v, s) е Т X Т X Rm X S функция
f ('» • »0, s) \ьУ^\*>~измерима, функция f {t, т, •, •) непрерывна и
| f (/f Tf fF, S) |<Ч>С. T)(l + | СГ P).
Более того, пусть
К = {у^Ьр(Т,Кп)\\Уа)\^с\^ (t, •) к \х-почти всюду),
♦Чт) = + (*.т)[1+Х(т)*].
Тогда
I) выражение
Р{у,я)М=\1и,%лт*)*я(*))]1№)
[i-почти всюду (у^К\ q^Q) определяет отображение F: /СХ Q -►
->Lp(T,Rn);
2)|^(/, Olf^Ciim^ + lxlJJI + tf, -)U Nil;
3) lf(i,T,i(y)(r), 7(т))К^(/,т) (уе/С, ?eQ, /gG <Эля
\1-почти всех т е Г).
Доказательство. Пусть у ^ К и q ^ Q. По условию
11.6.1(2), функция
(<,т)-*(ШМ,?(т))
ц X м-'Измерима. Из теоремы 1.4.22 и условия 1.4.45(1) следует,
что функция
(',T)W(^T,i(*/)(TU(T))
цХц-измерима, а функция x->j(t, т, 1(у)(х), q(x)) jx-измерима
для jx-почти всех ^еГ. Таким образом, в силу предположения
11.6.1(4),
\f(t, т, 1(у)(х), ?(т))|< + ('. т)Ц +16(у)(т)р)<
<*(t,x){l+X<%)*) = tf(t,D
(t е Т, для jx-почти всех т е Г). Это доказывает условие (3).
Далее, по неравенству Гёльдера 1.5.13 и неравенству Минков-
ского 1.5.15,
J I 1 (U т, | (у) (т), ? (т)) I |х (dx) < J ф* (*, т) |1 (dt <
<Цц*. -)\a[\i{Tflp +\%fp] J^T).
248

Это показывает, что условие (2) выполняется, откуда, по
теореме 1.4.35 и условию 1.4.45(2), имеем
F(yyq)^Lp(TyRn).
II. 6.3. Лемма. При предположениях леммы II. 6.2 F (KXQ) —
условно компактное подмножество из LP (Т, Rn).
Доказательство. Пусть BN = SF(Oy N) a Rm,
TN = {teT\x(t)<N9 [MTfPl + \xfQ]mt, -)\d<M) (N>0)
и e>0. По условиям 11.6.2(2), 11.6.1(3) и по теоремам 1.4.35,
1.4.45, функции г|) и ^ \х X ^-измеримы. По условию 1.4.27(5),
теореме 1.4.28 и регулярности меры \it существуют такие
N—N(e) и замкнутое множество ТсТ^у что
\ц (dt) J +4T)|i(dT)<4/8. (I)
т\т
Обозначим через 2 семейство борелевских подмножеств из Т
и положим Д = ц 12. Так как функция f (• , • , у, s) \ Т X Т \i X Д-
измерима для каждого (u,s)eBjvXS, функция f(/, т, ♦, •)
непрерывна на B^XS для (/,т)еГХГ и
lF(/fTfCFfs)|<*(/,T)(l+^)
для (/,T,y,s)erxfXBivX5, то f |Г ХГ X BNX S является
элементом пространства &{ТХТ, 2® 2, [i X М>, BnXS\ R").
Таким образом, по условию 1.5.25 (2) и теореме I. 4.30,
функция f может быть аппроксимирована в
L1 (Т XT, 2 ® % |i X Д, С (В* X 5, R11))
д
М-ХД-простой функцией. Поэтому существуют такие A = fc(e)GN,
ц X Д-измеримая функция а,: Г X?->{(), 1} и р, г С(Я#XS, Rn)
(/=1,2,...,*), что
$H(dO$lf(<,T, •, О —2а/<'»т)Р/<'- ')lSUp^(^)<e/8. (2)
f /-i
Более того, из теоремы 1.5.24 следует, что для каждого / е
е {1, 2, ..., k) существуют такие ^eNn непрерывные
функции b\: f->R и а[: T-+R (1=1,2, ...,k,), что
*/
а/(/,т)-2;б{(т)а{(0
/=i
n(dx)<e/[8* sup 10,(0,5)11.
(«,s)e%XS
249

Поэтому мы можем переписать соотношения (2), переопределив k
и ру, в виде
k
{ IX (dO $ I F (Л x,.t.) — J] ау(0 Ь/ЫЭ, (. f ')lsup|i(dT)<e/4, (3)
f /-1
где функции af. r-»R, b}\ f->R и ру: BjvXS-^R" непрерывны.
Мы можем также предположить, что
|p,(t;,5)Kl, |ft/(x)|<l
[/=1,2,..., k\ (v,s)<=BNXS; tef]
(после умножения at и деления bj и р7 на подходящие константы).
Пусть теперь {(yh qt)) — последовательность в /CXQ. По
условию II. 6.1(4), мы имеем
[г-почти всюду. Следовательно,
1ЕЫ(т)КАГ
[1-почти всюду в Г. Поэтому мы можем определить точки
Y/. i (в) = Ym = $ */ (*) Р/ (I Ы (х), <7* (т)) |х (dx)
т
(/=1,2,..., ft; ie=N).
Так как у{ е /С, то, по лемме II. 6.2, для всех р, а е N и ц-почти
всех (gT имеем
l^(f/p,?p)(0-^(f/a,?a)(OI==
-1 $ If Л т, I (Ур) М. ?р (т)) - f (*, т, 1 (уа) (т), qa (т))] |х (Л) | <
<2 J **{t9%)vL{d%)+ £ $|Г(^тДЫ№.*М)-
7\f /s{p,a) f I
ft I fe
/-1 I /-i
Следовательно, по условиям (1) и (3),
$IF (Ур, <7P) (*) - ^ (ft,. <7o) (0 11» (dt) <
ft
<3e/4 + £ | Y/.p - Y/.a t $ I *i (0 1I* (*). (4)
/-1
Так как | Y/.iK |*(Г)< ц(Г) (/=1,2, ..., k\ igN), to для
любой последовательности /с (1,2,...) и е > 0 мы можем
250

определить такую подпоследовательность /' = /'(/, е) из /, что
каждая последовательность (yitl) (e))ie/, в R" имеет предел для
/=1, 2, ..., к(в). Пусть теперь /, = (1, 2, ...), /|+1=/'(/ь 1//)
(/ е N), и пусть / — диагональная подпоследовательность из
Ju /2, Тогда последовательность (yf,i(l/m))i^J сходится для
каждого /nsN и /=1, 2, ..., k{l/m) и существует такое
/0(/n)GN, что, по условию (4),
$ IF (*/р, <7Р) (0 - F (Уо, Яа) (011* (Л) < 1/т
для p>a>/0W и р, as/. Отсюда следует, что (F(yifqi))iGj
является последовательностью Коши в Ll (Г, R"), которая, по
теоремам 1.5.17 и 1.4.31, сходится к некоторому y^Ll(T, Rn)
по мере \х. По лемме II. 6.2, мы имеем
\F(y,g)(m<[Mn*Pi + \x\l]w9 oi,.
Следовательно, по теореме I. 4.35, y^Lp(T, Rn) и lim F(*/t- Qi) = y
в 1Р(Г, Rn). Таким образом, замыкание множества F(KXQ)
является секвенциально компактным подмножеством из Lp (Т, Rn)
и, по теореме 1.2.5, F (К X Q) — условный компакт.
И. 6.4. Лемма. При предположениях леммы П. 6.2 поло-
жим
f(t, т, v, s)=f(U т, v) (*, т£Г;о£ Rm; 5 s S)
и F (y, q)==F(y) (y^K\ q^Q)- Тогда множество К замкнуто
и отображение F: K~*LP(T, Rn) непрерывно.
Доказательство. Пусть (yt) — последовательность в /С,
сходящаяся к некоторому y^Lp(TyRn). Тогда, по теореме
1.4.31 и условию 1.4.18(3), некоторая подпоследовательность
(г/^)/е/ сходится к у ц-почти всюду. Следовательно, 1*7(01^
^ с I 'Ф (t, •) \d fx-почти всюду. Это означает, что множество К
замкнуто.
Пусть теперь lim */,==# в /С, и предполоким, что для
некоторых / с: (1, 2, ...) и е >0- мы имеем
\F{yi)-F№\*>* (О
для всех i е= /. По условию И. 6.1 (2), lim \ (yt) = 1(g) в LPl (Г, Rm).
/е/
По теореме 1.4.31 и условию 1.4.18(3), некоторая
подпоследовательность (!(#*))/€=/, сходится к 1(у) ц-почти всюду.
Поэтому
Ит/(*,т, *(У,Нт))-/(/, т, 1(у)(х))
is/,
.251

для всех /еГи ц-почти всех теГ. Отсюда, применяя
теорему I. 4.35 и принимая во внимание условия II. 6.2 (2) и II. 6.2 (3)>
получаем
lim\F(yi)-F(y)\p<\\m \{\\f(t, x,l{yt (т)) -
-/С x, H9)(r))\\i(dx }%(<#) = О,
это противоречит условию (1). Таким образом, V\mF (yl) = F (д),
i
если \\myi = y в /С; следовательно, отображение Т7 непрерывно.
Н.6.5. Теорема. Пусть выполнены предположения II. 6.1 и
Более того, пусть f: Т X Т X Rm->R" — такая функция, что для
всех
(t, т, ^еГХ^ХГ
функция /(•»•, о) |х X ^-измерима, функция f (t, т, •) «е/гре-
рывна и \f(t, х, a)Ki|)(/, т)(1+|о|р). 7огдя уравнение
У (')«$/С*, 6(»)(т))|*(Л) (1)
\1-почти всюду, имеет решение у е Lp (Г, R").
Доказательство. Пусть F и К такие же, как и в
леммах И. 6.2 и II. 6.4. Тогда ясно, что К — выпуклое
подмножество из LP(T, Rn). По леммам II. 6.2 — II. 6.4, множество /С
замкнуто, отображение F: /C->LP(7\ R") непрерывно и F(K) —
компакт. По лемме II. 6.2,
\F(y)(t)\<\\f(t,x,l(y)(x))\ii(dx)^c\^(t, .)ld
для всех у е /С и t е Г. Следовательно, F (/С) с: /С. Наше
утверждение следует теперь из теоремы Шаудера о неподвижной
точке II. 2.8
II. 6.В. Линейные функционально-интегральные уравнения
в пространстве Lp(T, Rrt). Так же, как и прежде, предположим,
,^то Т — компактное метрическое пространство, (Т, 2, \х) —
пространство с мерой, 2В(Г) = 2, мера \i положительна, конечна
и регулярна. Мы также отождествляем функцию (/, x)->a(t, х)
с функцией t-+a(t, О-
II. 6.6. Теорема. Пусть m, /igN, р е [1, оо), р, е (1, оо),
р'{—число, сопряженное к ри г\^в{1р{Т, Rn), Lp(r, Rm)) и
a = LP(T,LP>(T,B(lC,Rn))).
252

Тогда
1) выражение
A(y)(t)=\a(t9 T)(y\y)(T)\i(dx)
(для \1-почти всех t^Ty у е Lp(Г, R")) определяет компактный
оператор А в Lp(Ty Rrt);
2) если оператор I — А инъективен, то I — Л — гомеоморфизм
из LP(T, Rn) в себя;
3) если оператор I — А инъективен и функция
т->а(-, т)
принадлежит
l'i(t, l'(t, в(*Г, R"))),
то существует такая функция Л: TXT-+B(Rm, Rn), что
функция т->Л(-, т) принадлежит LPi(t, LP{t, fi(Rm, R*))) а
((/ - A)'I у) (0 = у (t) + J Л (/, т) (г\у) (т) р (dx)
(для \1-почти всех te=T, у е= Z/(7\ Rn)).
Доказательство. 1. По неравенству Гёльдера 1.5.13,
для каждого у е Lp (Г, R") имеем
\A(y)(t)\<>\\a(ty т)||л(у)(т)1|*(Л)«
<le(f, -)1р;1лЫ1Р1<1вЛ -)1р;|т|11у1р
ц-почти всюду. Следовательно, по теоремам 1.4.35, 1.5.21 и
1.4.45,
А (у) € L'(T9 R"), | Л*/ |р<| а || Ч || у |р. (4)
Таким образом, оператор Л: 1Р(Г, Rn)-*Ip(rf R") определен
и, очевидно, линеен. Второе из соотношений (4) показывает,
что Л непрерывен.
Пусть теперь е > 0 и (yt) — последовательность замкнутых
единичных шаров в Lp (7\ R"). По теореме I. 5.24, существуют
такие /(e) gN,
а/е = а/еС(Г),
Р/е4ИС(Г, B(Rmt R»)) [/=1, 2, ..., /(e)],
что
/(e)
\t-+\a(t, •)-Za/Wp/(-)lp;lp<8/(4|ri|). (5)
Положим
/(e) I
а(^т)-Еа/(0Р/(т)
I /-1 I
(*, т«Г).
*(*, т)Ае(^т)4
253

Не уменьшая общности, можно считать, что | р/(т) |^ 1 для всех
j'eN и теГ (этого легко добиться, умножая ct/ и Р/ на
соответствующие константы). Тогда для q, г е N имеем
\А(у,Щ-А[уШ<
/(e)
+
£ а, (О J р, (т) л (у„ - у,) (т) ц (dx)\
+ $*(*, т)|т1(у,-уг)(т)||1(Л)
(6)
ц-почти всюду. Согласно неравенству Гёльдера 1.5.13,
]e(t, т)1ч(у,-уг)(т)||1(Л)<|в(/, -)1р'1л(у,-»г)к< .
■Р] . •■.. s<, jzr ip -=-|-х-, / .Pi
<\e(t, ')\p>\r\\\yq-yr\p^2\e(t, -)\р'\ц\.
(7)
Следовательно, по условию (5),
|'-> $ «(*, т)| л (У, - Уг)(т) I Ц(Л) |р<е/2.
Пусть
Y/.* = Y,. » = $Р/(т)чЫ(т)ц(Л) [/=1, 2 /(e); ieN]
Тогда, по условиям (6) и (7),
/(«)
|Л(^)-ЛЫ1р<1|У/.,-У/.гНа/1Р + е/2.
(8)
Более того, по неравенству Гёльдера 1.5.13,
I Y/, 11 <$ I Р/ W 11Т1Ы W I И (Л) < ц (Г)1/р11 ri (Уг) \р < ц (Г)1/р*1 ч |.
Из условия (8) мы можем вывести существование
последовательности в (A{yt)), сходящейся в LP(T, Rn) к некоторому
пределу у, если воспользуемся теми же соображениями, что и
в лемме П. 6.3, начиная с условия 11.6.3(4). Это означает, что
А — компактный оператор в Lp (Г, R") и, таким образом,
доказывает утверждение (1). Утверждение (2) следует из теоремы
1.3.13.
2. Предположим теперь, что уравнение у = А(у) имеет
только нулевое решение в Lp (Г, Rn) и что функция т -> а (•, т)
принадлежит
l4t, L"(T, fiOf, R"))).
По условию (2), для оператора / — Л существует ограниченный
обратный оператор. По теореме 1.4.30, существует такая по-
254

следовательность Коши (т -> а{ (•, т)), ^-простых функций из Т
в LP(T, B(Rm, Rm)), что
а (О
atit, т)=Ех/,/(т)Ф^/(/) NN),
Нт|т->|а( •, т) —а£(- , т)|р | ' =0,
t р\
где для каждого i %itU %it2, ... —характеристические функции
различных ^-измеримых множеств и ф^е^(Г, fi(Rm, Rn)),
Мы полагаем
А г>
л а(0
М', т)=Ей./М+<,/(') [/,tsr; /EN; /=1, 2, ..., а(/)].
Тогда для [i-почти всех теГ и всех isN имеем Л*(•, т)е
€= Lp (Г, В (Rm, Rn)) и Л< (•, т) = Ваь (•, т). Более того, для всех
/, / е= N
|А«(-,х)-А/(.|т)|р-|В(а/(-,т)-а/(., т))|р<
<|В||а,(.|т)-а|(., т)|р.
Следовательно,
|т-^|Л,(-,т) —A|(-f т)|р|р|<
<|B||T-|a,(.fT)-al(.iT)|p|pjTt0.
Это показывает, что (т—>Л/ (•, т)), является последовательностью
Коши в банаховом пространстве LPi\T9 LP\T, B(RW, R j))
(1.5.17) и потому сходится к некоторому элементу т->А(», т)
этого пространства.
Согласно неравенству Гёльдера 1.5.13, имеем
\\h(^x)\p\My)(x)\n(dx)<oo [yz=Lp(T,Rn)].
Это показывает, что функция т-*А( •, х)г\(у)(х) принадлежит
L1 (Г, Lp (Г, Rn)) для каждого jeip (Г, R"). Поэтому мы можем
определить отображение
Н (у) = J h (•, т) (тцг) (т) |i (dx) [у <= L' (Г, R»)],
откуда, в силу неравенства Гёльдера 1.5.13,
I // Ы 1р< $ I Л (•, т) |р| (пг/)(т) |^г(rfT)<| т-^| Л(•, т) |р |pj | г!|| г/ |р.
Таким образом, Я—линейный ограниченный оператор в Lp(Tt Rn)
и те же соображения применимы к операторам
У - НЛУ) = J К (• , т) Ш (т) |i (Л): L" (Г, R«) -» I' (Г, R").
255

более того,
\(H-Hi)y\p = \\lh(-,x)-hl(-,t)](rV,)<x)ii(dx)
<|т-*|Л(-,т)
Следовательно,
<|т-*|Л(-,т) —Л|(-, т)|р|р- Inllylp NN; y^L"(T, R%
l\m\H-Hi\ = 0.
Из условия 1.4.34(8) и определений функций Л< и Н{
следует, что
Ht(y) = В \ а{( -, т)(щ)(т) ц(с1т;),
(Hi-BA)(y) = B\[ai(.,T)-a(',T)](rly)(T)li(dT)
Поэтому, в силу неравенства Гёльдера 1.5.13,
|Я,-ЯЛ|<|В||т-ЧМ-,т)-а(-,т)|рЫт)1-*0.
Это показывает, что Н = lim Ht = В А.
i
Так как В = (/ — А)~\ то В = / + ВЛ = /+#, и поэтому
[(/ - А)~[ у\ (t) = у (0 + J А (/, т) (пу) (т) (i (rfr)
(для [i-почти всех /g7, y^Lp(7\ Rn)).
II. 6.С. Зависимость от параметров решений функционально-
интегральных уравнений в пространстве Lp(T, R"). Мы будем
рассматривать функционально-интегральное уравнение в I? (7\ R"),
которое содержит некоторый параметр, и будем рассматривать
зависимость решений от этого параметра.
II.6.7. Лемма. Пусть Т и Г — компактные метрические
д
пространства, ц е frm+(71), 2 = 2^(7*), SB и 96 A —сепарабельные
банаховы пространства, А — выпуклое подмножество из 93 А,
/neN, ре[1, оо), р{ е=(1, оо), 0<r,<r2<pi,
r = PvKP\-r2+rx), |f-H*(f, -)\рЛр,-гЛ<<Х>
и
<р: rxrXRmX^4Xr->^.
Предположим, что для всех (/, т, у, а, у) е Г X Т X Rm X Л X Г
функция ф(«, •, v, а, y) |iX ^измерима, функция ф(/, т, •, •, •)
непрерывна и
1Ф1<. т, о, а, Y>K*& тД1+|у|Г1). (1)
256

Тогда 'для любой непрерывной функции h: Г->[0, 1], любых
z <= Lpl (Т, Rw) и а&А мы имеем
lim|/-HT-*sup|q>(/, т, г vr) + h (у) Дг(т), а + Л(у)Да, у) —
-ф(', т, г(т), a, Y)IUp = 0 (2)
яри
|Дг|р1 + |Да|->0, ДаеЛ-а.
Доказательство. По теореме 1.4.48, существует такое
множество Г4*, что \х(Т \ Гф) = 0, функция <р(*ь '-, v, а, у)
^-измерима для всех /,еГфи (v, а, у) е Rm X А X Г. Далее,
по теореме 1.4.22, для каждого
Ktuzt fl,Y)erfXiP'(r, Г)ХЛХГ
функция т-><р(/ь т, z(t), а, у) ^-измерима, а функция (/, т)->
-*ф(*, т, г(т), а, у) м< X Неизмерима. Фиксируем теперь
(Л, z,a)s=C (Г, [0, 1]) X LPi (Т, Rm) X А9
и пусть
д
е(*, т, Дг, Да, у) =
= |ф(/, т, г(т) + Л(у)Дг(т), а + й(у)Аа, у)~ф(*> *, *(*)• я, Y)l
[/, т е= Г; Дг е= LPl (Г, Rm); Да г Л - а; уе Г]-
Тогда для каждого t, т, Дг и Да функция y-+e(t, т, Дг, Да, у)
непрерывна на Г и поэтому ограничена. Следовательно,
д
E{tt т, Дг, Да)= sup e{t, т, Дг, Да, у) е R.
По теореме 1.4.21, функция E{tu •, Дг, Да) ^-измерима для
каждого t{ е Гф, а функция £(•, •, Дг, Да) цХ ^измерима. Мы
будем далее писать lim для обозначения предела при
л
|Дг|р +| Да |^0, АаЕЛ-а
и обозначим через Т^ множество
{teT*\${t, .)е1р,/(р,'Гг)(Г)}.
Покажем, что
lim|£(/, ., Дг, Да)|Г = 0 (/е^). (3)
л
Действительно, предположим противное. Тогда существуют
такие /ЕГ1)),е>0и последовательность ((Дг/, Да/)) в Lp (Г, Rm) X
Х(Л — а), сходящаяся к нулю, что
|Е(/, •, Дгу, Да7)|>е (/esN), (4)
9 Дж. Bapra 257

откуда, в соответствии с теоремой 1.4.31 и теоремой Егорова
1.4.18, мы можем предположить, что ПтАгу — О ja-почти всюду.
Пусть теперь для /gN
В, = {т е= Л |Az,(t) I > | z(t) |+1},
Ef (т)= Е (I т, Дг,, Да,) хт ч в, <т' (* е т)>
. £, (т) = £ (?, т, Дг,, Да,) %Bf [т) (т е= Г).
Из предположения (1) следует, что
E(tt т, Дг, Да)<г|)(/, т)(2+[|2(тЧ + |Д^(т)1Г + |2(т)Г) (5)
для всех t, т, Дг, Да. Следовательно,
£/(т)<г|)(*", т)(2+[2|г(т)|+1Г + |г(т)Г') =
= ф(*, т)о;(т) (уе=1М,теГ), (6)
где w^Lpl/n(T). По теореме 1.5Л 4,
Ж*, ->w(-)KI*(', 0U*-JwU<°°- (7)
Так как функция <p(t, т, •, •, •) непрерывна и НтДг, = 0
ц-почти всюду, то, по условию 1.2.15(2), lim £,(•) = О [i-почти
всюду. Следовательно, по условиям (6), (7) и теореме 1.4.35,
имеем
lim|£,|r = 0. (8)
Рассмотрим | Ef |г. Легко видеть, что
И(Я/Х $(|г(т)|+1)%(^т)<|Дг,£;->0. (9)
По условию (5), имеем
£/(*)<Ч>(', т)[2+(2г'+ 1)|Дг(т)Г]хВ/(т).
Следовательно, по теоремам 1.5.14, 1.5.15 и условию (9),
I Е, К| * (?, •) 1Мр1_Гз) {2м (В/" + (2' + 1)| Дг, fp} -у- 0. (10)
Так как
Е (I т, Дг,, Да,) = £, (т) + Ef (т) (/ gN;tg Т\
то из условий (8), (10) и неравенства Минковского 1.5.15
получаем
lim|£(i, •, Дг,, Д,К = 0,
258

а это противоречит условию (4). Таким образом,
соотношение (3) справедливо.
Так как \х (Т \ Т^) = 0, то соотношение (2) будет следовать
из (3) и теоремы I. 4.35, если только мы покажем, что
существует такое g^Lp(T), что \E(tt •, Дг, Да)|г<#(/) для всех Дг
и Да при | Дг|р+| Да К 1. А это следует непосредственно из
условия (5) и теоремы 1.5.14, так как легко видеть, что
\x^2 + (\z(x)\ + \bz(T)\)r> + \z(T)\%i/ri
ограничена для всех Дг таких, что |Дг|р^1.
П.6.8. Теорема. Пусть Т — компактное метрическое
пространство, ц е frm+(Г), Ъ = 2В(Т), k, m, /igN, psjl, oo),
p,e(l, oo), А —выпуклое подмножество из Rk, |: LP(T, Rn)->
-*LP (7\ Rm) и f: TXTXRmXA->Rn. Предположим, что для
любого выбора точек (/, т, v, а) е Т X Т X Rm X А функции | и
f(t, т, •, •) имеют непрерывные производные, функция f (•, •, v, а)
\х X ^-измерима и существуют такие а, р е R, -ф0: Т X 71 -► R и
tfo: rX^-^R, что
\t->\*o(t. 0U,-W|P<«>. |/->|^(/, OU^I^oo,
г0<а<р1-1> 0<p<Pl,
\f{t,i,v9a)\<(l+\vt)4o{t>*)>
\fa(t, т, v, a|<(l+|t;|p)a|)0(/, т),
1Ы'. т, о, a)|<(l+|or)+i(*, t).
7огда выражение
Р(У, a)(t) = \f(t,x,l(y)(x),a)ii(dx)
\1-почти всюду {у e Lp (T, Rn), a e А) определяет непрерывное
отображение F: LP(T, Rn)XA-+Lp(T, Rn) и функция F имеет
такую непрерывную производную F' на Lp (Г, Rn) X А, что
F'{y, а)(Ду, /ia)(t) =
= \ /<,. a) (t, т, | (у) (т), а) ((£' (у) Д*/) (т), Да) р (Л) (1)
{для [i-почти всех t<=T, by<=iLp{T, Rn), AaeRfe].
Доказательство. Применим способ доказательства,
аналогичный доказательству теоремы И. 5.8. Определим
преобразования
G: LP\T, Rm)XA->Lp(T, Ll(T, Rn)\
H: LP(T, V(T, Rn))-*LP(7\ Rn)
9* 259

следующими выражениями:
G(zya)(t, т) = /(>, т, г(%), а)
D, т£Г;2е LPl(r, Rm); а е= Л], (2)
Я (ф) (0 = J ф (/, т) |i (rft) [ф е L' (Г, L1 (Г, R")); /еГ), (3)
Покажем, что оба преобразования G и Я имеют указанные
области определения и области значений, непрерывны и имеют
непрерывные производные.
1. Пусть z е= LPl (Г, Rm) и а е= Л. Так как функция (/, т) ->z (т)
ц X ц-измерима, то, по теореме I. 4.22, функция
(t9 %)-+G{z, a)(t, %) = f(t, %, г{%), a)
|д, X м-'Измерима. Согласно неравенствам Гёльдера 1.5.13 и Мин-
ковского 1.5.15, имеем
\\f{t, т, г(т), а)|ц(Л)< $ifo('. t)(l +|г(т)|%(</т)<
для fx-почти всех /еГ, таким образом, по условию 1.4.45 (2)
теоремы Фубини, функция t->\\f(t, т, г(т), a)\\x(dx)
^-измерима. Таким образом, по условиям (2), (4) и теореме 1.5.24,
G(z, a)eLp(7\ Ll(T, R")). Это показывает, что G является
отображением из LP(T, Rm)XA в LP(T, Ll(Ty R")).
2. Рассмотрим теперь для каждого фиксированного (z, a) е
еГ(Г, Rm)X^ линейный оператор G(2:, а), определенный
условием
5 (г, а)(Дг, Aa)(f, т) =fiVt a)(t, т, г(т), а)(Дг(т), Аа) =
= М'> т, г(т), a)Az(x) + fa{ty т, г(т), а)Да
[Дг <= Lp'(7\ Rm); Да е= R*; *, т е= 71]. (5)
Для каждого фиксированного Лг и Да все члены в
выражении (5) являются \х X ц-измеримыми (II. 3.9 и I. 4.22) и, по
теоремам 1.5.14 и I. 5.15,
$1Ы*. т, *(т), а)Аг(т)||1(Л)<
< J *i(*. т)(1 +| г(т) |»)| Дг(т) ln(dr)<
<l *i С •) U—1) О*^а/Р" +12 О" Д* 'p. (6)
для ц-почти всех <еГ Таким образом, по условиям (6) и
I. 4.45 (2), функция t-*> J | /„ {t, х, г (т), а) Дг (т) | ц (dx) принадле-
260

жит пространству LP{T, R"). Аналогичным образом
выписывается соотношение
J|fe(/, т,2(т), а)Да|ц(4т)<
для ji-почти всех / е Г, которое вместе с условием (6) и
теоремой 1.5.24 показывает, что Gz, а) является отображением из
Lp,(7\ RW)XR* в Lp(7\ Ll(T, Rn)). Более того, из условий
(5) — (7) следует, что существует такое $ е Lp (Г), что
J|G(z, a)(Az, Да)(*, т) Mdx) <♦(/)(! Az \р +| Да|)
ц-почти всюду для всех Аг и Аа. Таким образом, G(z, а)
—линейный ограниченный оператор.
3. Покажем теперь, что G (z, а) = G' (z, а). Пусть Az е
eLp(7,Rm), ДаеЛ-а и 0 ^ | Az|p +| Да |< 1. Тогда, по
теореме о среднем II. 3.6, имеем
G(z + Az, а + Да)(/, t)-G(z, a)(t, t)-G(z, a)(Az, Aa)(/, t)| =
= \f(t, t, z(t) + Az(t), a + Aa)-/(/, t, z(x), a)-
— f(v.a)(t, т, z(t), a)(Az(x), Aa)|<
< sup |f0(/, т, z(t) + yAz(t), fl + Y^)"
-Ы', t, z(t), a)hAz(T)| +
+ sup |/a(<, т, z(t) + yA*(t), a+yAa)-
-/«(', t, z(t), a)||Aa| С * e Г). (8)
Обозначим через ^(f, т, Az, Aa) и E2(*, *, &z, Дя),
соответственно, коэффициенты при |Дг(т)| и | Aa | в правой части
выражения (8). Тогда лемма И. 6.7 дает нам (полагая r{ = at
^2 = a+ 1 и A(y) = y)
Umlt-blEAt, ., Дг, Aa)|pi/Cpi-l)|p-0
при | Ьг\ +|Aal->0 и (полагая rx = r2 — ^ и /*(y) = y)
l\m\ t->\E2(t, •, Az, Aa)|,(p —О
при |Az|p + |Да|->0. Интегрируем обе части равенства (8) как
функции т относительно меры \xt применяем неравенство Гёль-
дера к первому члену правой части, делим на (|Az|p +|Да|)
261

и, наконец, берем норму в Lp от полученных функций
аргумента t. В результате получаем
Игл (| Дг |pi +1 Да I)-11 G (г + Дг, а + Да) - G (г, а) -
-б(г, а)(Дг, Да)| = 0
при 0 ф | Дг|р +| Да |->0, ДаеЛ —а. Таким образом, G(z, а)
является производной от G в точке (г, а), а это означает, что
отображение G непрерывно в точке (г, а).
4. Покажем, что отображение G' (т. е. G) непрерывно.
Положим
Нт(г7, а7) = (г, а) в 1»(Т9 Rm)XA.
Тогда, по условию (5), для всех Дг е Lp{ (Г, Rm) и Да е Л — а
имеем
|[G'(z/, <*/)-<?'(*, a)](Az. Ал)ft т)|<
<IM*. *■ */М. */)-/■(', *, 2(т), а)||Дг(т)| +
+1 /а С т, г, (т), а,) - /Л (<, т, г (т), а) || Да |.
Используя те же соображения, что и в случае условия (8)
(но при к (у) = 1 И'С заменой (Дг, Да) на (гу — г, ау — а) в функции
/<*.а>), получаем
lim\[G'(zh a,)-G'{2, а)] (Дг, Да)| = 0
равномерно для всех (Дг, Да) при | Дг \Pl + \ Да |^ 1. Таким
образом, отображение G' непрерывно.
5. Рассмотрим, наконец, преобразование Я, определенное
в условии (3). Ясно, что преобразование Я действует из
LP(T, Ll{T, Rn)) в LP(T, Rrt), является линейным и
ограниченным. Таким образом, производная Я'(ф) существует для всех
ФЕ^(Г, V(Г, Rn)) и Я'(ф) = Я. Следовательно, производная Я'
постоянна и потому непрерывна.
6. Закончим теперь доказательство точно так же, как и
в теореме II. 5.8. Мы видим, что
F (у, а) = Я о G (| (у), а) е L» (Т, Rn) [у € Lp (7\ Щ; а<=А]9
и потому отображение F непрерывно и имеет такую
непрерывную производную F\ что
F*(у, а)(Д</, Да) = Я'(0(Ш, а))*(У{Цл\ а)(\'{у)Ьу9 Да).
А так как Я'(ф) —Я и G' = G, то соотношение (1) следует из
условий (3) и (5).
II. 6.9, Теорема. Пусть выполнены условия теоремы II. 6.8,
y0^Lp(T, R"),
yo(t)=\f(t, т, l(y0)(^oQ)ii(dx)
262

р-почти всюду и уравнение
Д*/ (0 = \ U & т, g Ы (т), оо) (Г (Уо) Af/) (т) |i (Л)
р-почти всюду имеет единственное решение Ду = 0 ejipocTpan*
стве LP(T, К1). Тогда существуют такие окрестности Y точки у0
в LP{T9 Rn) и А точки Oq относительно множества А, что
уравнение
y(t)=\f(t, Tf6(y)(T)fa),i(rfT)
li-почти всюду имеет единственное решение у{*) = и(а)(*) е?
Зля всех а е Л и функция а-+и(а): A->Y непрерывна и имеет
непрерывную производную и' на А, удовлетворяющую
соотношению
w(t) = {u'(a)&a){t) =
= $ f <■. a) ft т, | (и (а)) (т), a) ((Г (и (a)) w) (т), Да) р (Л)
li-почти всюду.
Доказательство. Пусть
г\А1'(Уо),
*(',т) = М', *, 1Ы(т), Oq) МеГ),
/С (Ду) (0 = \k ft т) (л Ьу) (т) |i (dr)4
(для ji-почти всех /еГ, Ду <= Lp(Г, Rn)). По теореме, 1.4.22,
функция k(\ •) [i-измерима; более того,
Ifeft T)|<^ft т)(1 + |^Ы(т)|а).
Следовательно, по теореме 1.5.14,
Ikft •)|pi/(pi_1}<!*,(*,.)\рЛрМI т -И +16Ы(т) |a|Pi/a.
Из теоремы 1.5.24 следует, что К е= Lp(T9LPl,{Pl'l){T9 B(Rm, Rrt))).
Таким образом, по теореме II. 6.6,/ — К является
гомеоморфизмом из Lp (7\ Rrt) в себя, и наше утверждение следует из
теорем II. 6.8 и И. 2.8.
П. 6.D. Интегральные уравнения с псевдозапаздываниями
в пространстве Lp{l, R"). Покажем теперь, что при подходящих
предположениях о псевдозапаздываниях hu ..., hk мы можем
применить теоремы И. 6.5, II. 6.6, II. 6.8 и II. 6.9 к изучению
решений <в пространстве Lp (7\ Rrt)- интегральных уравнений с
псевдозапаздываниями II. 1 (6).
203

II.6.10. Теорема. Пусть Т — компактное метрическое
пространство,
ne=frm+(r), 2 = 2В(Т)9
(Г, 2*, \х) — лебеговское расширение пространства (Т, 2, ji), /eN,
1 < р < оо, cgR, и функции ht\ Т ->Т (* = 1, 2, ..., /) таковы,
что
fiT1 (Е) е= 2*, ц (ЛГ1 (£)) < Ф (£) (е е 2*).
£с./Ш положить
Uy){t)={y{hx{t)\ ..., У (МО))
(Элл веек y*==Lp{T, 2, ц, R") uts=T, то g €= В (I* (Г, 2, ji, Rrt),
Lp (Г, 2, ц, R,n)), функция l удовлетворяет соответствующим
условиям предположения II. 6.1 и теоремы II. 6.8. Более того,
теоремы П. 6.5, И. 6.6, II. 6.8 и И. 6.9 остаются справедливыми при
m = ln, р\=р и т) = |.
Доказательство. Пусть / е {1, 2, ...,/},
Vi(fi7l(E))= ii(E) (£е=2*),
2,={ЛГ'(£)|£е2*}.
Тогда 2^ сг 2*, (7\ 2Ь v^) — конечное положительное пространство
с мерой (см. 1.4.39), функция уо/ц одновременно 2*-измерима
р 2гизмерима, если у е LP (Г, 2, ц, R"), и
\\У(Ы (т)) |"v, (dr) = J | y(s) fix(ds) < оо. (1)
По нашему предложению, cvt (Л"1 (£)) = ф <£' > ji (/Г1 (£))
(£е?), Следовательно, cv,(A)^[i ;Л) для всех Ле^. Из
условия (1) следует, что
\ I У {hi (%)) Г \х (dx) <c\\y(hi (%)) \р v< [dx) < оо. (2)
Это означает, что уо/ц е LP(T, 2, ja, R")(/ = 1,2, ...,/) и,
соответственно, Цу) е= LP(T, 2, ц, R/n).
Ясно, что функция | линейна. По условиям (1) и (2), имеем
Jll(l/)(T)lV(rfT)=J|j;|f/(A,(t))|J n(dx)<
< l" £ JIУ (hi (т)) Г ц (rft) < lp+lc \ | у (s) |" fi (<fc).
Следовательно,
\l(y)\p<l(cl)l/p\y\P.
264

Это показывает, что I е В (Lp (Г, 2, \if Rrt), Lp (7\ 2, [х, Rn)). Отсюда
следует, что £'(#) = £ для всех у. Таким образом, функции | и |'
непрерывны.
Так как из | */(т) |<ф(/) следует | у(А, (т)) 1<Ф(Л< (т)) для всех /
и ф, а соотношение (2) остается справедливым при замене у на
любую функцию ф е Lp (Г, 2, ц), то условие 11.6.1(4)
справедливо для
x(/)=c£|i|>(M0. -)\d (t^T)
и произвольного положительного с.
Замечания
Доказательство леммы Шпернера II. 2.2 в некоторой степени
аналогично доказательству теоремы из работы Грейвеса [1],
доказательство теорем Тихонова и Шаудера о неподвижной
точке (П. 2.6 — II. 2.8) аналогично работе Фана [1], а
доказательства теорем о среднем и о неявной функции (И. 3.6, II. 3.8) —
аналог изложения Дьедоне [1]. Утверждения теоремы о неявной
функции и определение производной (Фреше) являются более
общими, чем это обычно приводится, из-за требований второй
части книги. В частности, наше определение производной f (а)
включает в себя (обычный) случай, когда а—внутренняя точка
области определения А функции /, так же, как и случай
произвольной точки а из Л, где А — выпуклое множество с непустой
внутренностью. Определение производной в случае, когда
Л —выпуклый конус, было использовано Красносельским [1].
В то время как материал параграфа П. 4 об обыкновенных
дифференциальных уравнениях является стандартным, я
полагаю, что параграфы П. 5 и II. 6 о функционально-интегральных
уравнениях содержат большое число существенно новых
результатов. Однако следует иметь в виду, что многие из этих
результатов похожи на известные теоремы или методы (см.
Красносельский [1], стр. 368).
Понятия локальных решений и ^-наследственных
преобразований возникли из интегральных уравнений Вольтерра и
некоторых их многомерных аналогов таких, как уравнение
V(t)= \ f(x9y(x))dxxXdx2 (te=T),
D(t)
д
где 7,= [0, aj X [0, Оз], интеграл определяется в смысле лебе?
говской меры в Г и
Р(0=^(<ьу=[о,<,]Х[о,у.
265

(При некоторых предположениях это уравнение эквивалентно
«задаче Коши» для дифференциального уравнения в частных
производных
Ф&У Ни У = / ('ь '2, У (*I, У) №ь *2) е Г))
р-наследственное преобразование связано с различными
понятиями «причинных преобразований», наиболее общее из которых
а . д
соответствует случаю T=[t0, t{]czR и p(t) = t (см. Сакс [1]).
Теорема II. 5.5 (о линейных функционально-интегральных
уравнениях в пространстве С (Г, R )) была первоначально
изложена в работе Варга [И] для специального случая, когда
у] ^единичный оператор. Теорема II. 6.6 (о линейных
функционально-интегральных уравнениях в пространстве LP (Г, Rn))
является обобщением теоремы Рисса (см. Ф. Рисе, В. Секе-
фальви-Надь [1], стр. 177), к которой она сводится в случае,
когда р = р1 = 2ит1— единичный оператор, и мое доказательство
является, отчасти, аналогом доказательства теоремы из
названной работы Ф. Рисе, В. Секефальви-Надь [1].

Часть вторая. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Глава III. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
И ПОНЯТИЯ, ЭВРИСТИЧЕСКИЕ РАССМОТРЕНИЯ
III. 1. Предмет теории оптимального управления
Мы будем говорить, что функция g: S->R имеет минимум т
на множестве S,cS и точка s{ минимизирует функцию g на
множестве Su если g(si) = mfg(Sx) = m. Точка sx называется
также минимизирующей точкой функции g на множестве S{.
Основная задача теории оптимального управления -— это задача
нахождения минимума и минимизирующей точки заданной
функции на подмножестве области ее определения, заданном
некоторыми соотношениями (как в виде уравнений, так и в виде более
общих ограничений). Если заданы g0: R"-*R, g{: Rn-+Rm
и a e Rm и мы хотим минимизировать функцию g0 на множестве
{kieR"| g\ (w) = a), то эта задача называется задачей условного
минимума в Rn. Если функции g0 и g{ определены на
некотором подмножестве из R", скажем, на положительном октанте
{w=(wl9 .--, wn)\wJ^Q}\ или, если ограничение g\{w) = a
заменено на gi (w) е А для некоторого заданного множества
А с: Rm, то наша задача называется задачей математического
программирования (или линейного, соответственно нелинейного,
программирования в зависимости от того, являются функции g0
и g{ линейными или нет). Общая задача оптимизации
заключается в нахождении для заданных множеств W, 8b\ и С{ cz S6\
и функций go'- W-+R и g{: W->8ex минимума функции g0 на
множестве g~1(C1) = {a;e W\g{ {w) е d}. Ясно, что эта задача
слишком общая, но она упрощается, если задана некоторая
(скажем, топологическая или алгебраическая) структура в 8SX
(и, возможно, в W) и функции g0 и g{ наделены некоторыми
свойствами (такими, как непрерывность, дифференцируемость,
или известны какие-то специальные свойства области значений
этих функций). Функция go, которую нужно минимизировать,
часто называется функционалом платы, целевой функцией или
критерием {оптимизации).
267

Задачи оптимального управлений отличаются от других
оптимизационных задач только что описанного общего вида,
главным образом, особой природой множества W. В задачах
оптимального управления, сформулированных в наиболее удобном
для нас виде, W обычно представляет собой подмножество из
декартова произведения трех множеств: множества фазовых
состояний °Ц, элементами которого обычно являются функции
со значениями в некотором векторном пространстве {функции
состояния)t множества управляющих функций °U, действующих
из некоторого пространства с мерой Т в некоторое
пространство /?, и множества управляющих параметров В (наделенного
некоторой алгебраической или топологической структурой).
Теория оптимального управления особо выделяется природой
элементов пространства ^2/, которые представляют собой функции
на пространстве с мерой. Это свойство стремятся использовать
в теории оптимального управления для того, чтобы лучше
охарактеризовать условие минимума.
Следующий пример поможет проиллюстрировать природу
множеств <V, ^> В и W и их взаимосвязь. Предположим, что
космический аппарат движется по орбите вокруг Земли.
Требуется перевести его в некоторую окрестность Луны за данный
промежуток времени таким способом, чтобы израсходовать
наименьшее количество топлива. Выбираем в качестве начала
отсчета времени момент, когда начинают работать двигатели,
и обозначаем через у(/)= (у](0>---> Уй(0) элемент из R",
который представляет «состояние» аппарата в момент времени t.
Таким образом, в - компоненты у1 вектора у мы включаем
координаты аппарата (относительно некоторой выбранной системы
координат), компоненты его вектора скорости, массу оставшегося
топлива, а при более сложном анализе и данные, определяющие
положение аппарата относительно его вектора скорости. Пусть
tx — заданное время перелета, В0 — известный набор состояний
на земной орбите (т. е. {jf(Q|/^0}), #i — множество допустимых
состояний в момент времени tx (главным образом, комбинации
компонент состояния и скорости на приемлемой лунной орбите),
а и (t) — значение управления в момент времени / (например,
данные, представляющие ориентацию двигателей, величину тяги
и т. д.). Управляющая функция и может быть выбрана как
произвольная измеримая функция на [0, t{] со значениями в
множестве R допустимых значений управления. В данном случае
допустимы такие значения управления, при которых величина
тяги не превосходит возможности двигателя, а угол между
чнаправлением тяги и осью аппарата не превосходит заданного
значения. В течение полета аппарат подчиняется уравнению
движения (полученному из основных законов динамики) вида
y(t) = f(t, У It), u(t)) (1)
268

почти всюду в Т = [09 *,], где у( •) — абсолютно непрерывная
функция на [0, /|]. Это уравнение может содержать члены,
представляющие собой величину тяги двигателей, притяжение
Земли, Луны, Солнца и других небесных тел, солнечное давление
и т. д.
Если мы решим включить двигатели в тот момент времени,
когда состояние аппарата на земной орбите представляется
точкой b0 е В0, и если мы решим выбрать такие управления,
чтобы получить значение u(t) для всех / е [О, t{]9 то функция
состояния аппарата у(-) будет удовлетворять уравнению (1)
и условию у(0) = Ьо. Оба эти соотношения вместе с условием
абсолютной непрерывности функции у могут быть объединены
в эквивалентное соотношение
t
У (0 = Ь0 + \ f (т, у (т), и (т)) dx (t е Т). (2)
О
Во многих задачах теории оптимального управления
уравнение (2) имеет единственное непрерывное решение у для любого
выбора точки &0еВ0 и измеримой функции и: Г=[0, ^]->R.
Независимо от того, так это или нет, мы будем рассматривать
тройку (уу и, bo) (непрерывная функция у: T->Rnt измеримая
функция и: T-*R и Ь0^В0), которая является решением
уравнения (2). Такая тройка будет допустимой, если y(t{)^Bu
т. е. если она дает приемлемую траекторию. Если функция
go(y(t)) представляет расход горючего на интервале времени [0, t]t
то допустимая тройка (у, и, Ь0) называется оптимальной, когда
8о (9 (t\)) < go (У (t\)) ДЛ£ любых других допустимых троек (у, и, Ь0).
Мы можем выразить полученную задачу в форме общей
оптимизационной задачи, положив Q/ = C{T, R"), взяв за <и класс
измеримых функций из Т в R и определив
В = В09 w = <yx<uxBy
П#1 = НЛХС(7\ IT), C{ = B{X{0}<=:a?i9
go(y, и9 b) = g0{y(ti))9 gl{y9 и, b) = y(tx)9
t
g2 (У, u, b)(t) = y(i)-b-\f (x, у (x), и (т)) dx (t e T).
0
Тогда наша задача состоит в минимизации функции g0 на
множестве
{iy9utb)^yxUXB\gl(y9u9b)e=Butf(yfu9bW) = 0(teT)}~
= {{у, u,b)s=<yx°UXB\ {g\ g2) {у9 и, Ь) € Сх).
269

В этой формулировке задачи оптимального управления два
ограничения gl{y,u,b)^ Вх и' g2(y,utb) = 0^ C(T,Rn) объединены
в одно, именно, (g\ g2) (у, и, b) е Сх. Однако эти ограничения
имеют совершенно разную природу. Второе ограничение
g2{y> u,b) = 0 представляет собой уравнение движения, т. е.
физический закон, который является абсолютным законом
физической структуры мира; любая тройка, нарушающая уравнение
движения (2) (эквивалентно, g2 (у, и, Ь) = 0), является в буквальном
смысле «вне этого мира». С другой стороны, условие gl {у, и,Ь) =
д
= j/(<i)gBi является желательным, но не абсолютным, так
что тройка {у, и, Ь), нарушающая это условие, представляет собой
неудачный или нежелательный вариант полета на Луну, но не
противоречащий законам природы. Действительно, если точка
y(tx) находится «недалеко» от Вх, то такой полет может даже
иметь частичный успех.
Исходя из этих соображений, которые имеют место и в
других задачах управления, уравнение движения мы будем
рассматривать отдельно от остальных ограничений на задачу. В
соответствии с этим, мы переформулируем задачу «полета на Луну»
как специальный случай общей оптимизационной задачи в
следующих терминах. Определим У, °U, В, g0 и gl так же, как и
л д ,
прежде, и положим CX = BU g\ = g,
t
F (у, u,b)(t) = b + \f (т, у (т), и (т)) dx (t е Т),
0
W±X№±{(ytutb)e<VX<UXB\y = F{y9u,b)}. '
(Мы употребляем обозначение 26(°U)y подчеркивая зависимость
этого множества от °Uy так как затем мы будем вкладывать °U
в большее множество &*, расширять функцию F на °Ц X фЪ х В
и рассматривать множество 36 {Ф^), определенное аналогично
множеству Ж^).)
Наша задача в новых терминах заключается в определении
точки (у, w, Ь), минимизирующей функцию g0 на множестве
& («)={&, U, Ь) S*(«)|ft {у, U, Ь) ЕЕ d>.
Аналогичным образом мы можем определить общую задачу
оптимального управления. Пусть заданы множества Т, /?, В, <У
и 9Ви С, cz 95и <U — класс функций из Т в R, и заданы функции
F: УХ°иХВ->Ууёо. <УХ<иХВ-»К*В1: УХЫХВ-*^
Положим
Ж W) = {(у, u,b)eE<yx(UXB\tf = F(y,u,b)}
и рассмотрим задачу минимизации функции g0 на множестве
* №> = {{у, и,Ь)<=Ж K<U | gx (у, и, Ь) €= Сх).
270

Назовем уравнение y = F(y,u,b) в <У X ^ X В уравнением
движения, элементы у из °У — состояниями, элементы и из °U —
управляющими функциями, а точки JgB-управляющими
параметрами. Если ^ —набор функций, то мы пользуемся
как терминами «состояния», так и терминами «функции
состояния». Мы называем пару (и, b) е °U X А управлением. Задача
оптимального управления обладает минимизирующим
^-решением, если существует точка (£, й, 6), которая минимизирует
функцию go на множестве ^(^). Так как изучение уравнений
движения играет определенную роль в исследовании задач
оптимального управления, то эти задачи называются задачами
оптимального управления дифференциальными, интегральными или
функциональными уравнениями в зависимости от природы
уравнений движения.
Совершенно ясно, что некоторая задача может
укладываться в только что описанные рамки, даже если в ней не все
элементы О/, °U, В, 9ви Сх, F, g0 и g{ определены. Если
определены функции F, g0 и gi на ty X ^, и мы ищем минимум
функции go на множестве
{{y,u)^<yx6U\y = F{y,u\ g{(y,u)s=C{},
то мы можем выбрать произвольное множество В и предполагать,
что функции F, g0 и g{ определены на множестве °Ц X °^ X В,
но не зависят от аргумента из множества В. Аналогичные
соображения применимы к задачам, в которых функции g0 и g{
не зависят; от у (т. е. уравнение движения y = F(y,u,b) является
несущественным), а также к задачам, в которых отсутствует
ограничение g{ (у, и, Ь) е Сх.
Данное описание задачи оптимального управления кажется
нам наиболее удобным и применимым к большей части
подобных задач, встречающихся в математической литературе. В то же
время предлагались и изучались другие формулировки (см.
замечания в конце главы V). Такое разнообразие подходов
естественно в быстро развивающейся области науки.
До недавнего времени разные авторы (в том числе и автор
настоящей работы) пользовались терминами вариационный или
вариационное исчисление, когда имели дело с задачами
описанного типа. Настоящее изменение объясняется желанием сохранить
термин «вариационный» для таких задач управления, где Т —
некоторое подмножество из R*, В = R1, У и °U — семейства всех
функций из Г в Rn, удовлетворяющих свойствам
измеримости, непрерывности или дифференцируемости, а ограничение
g\ {уу и> b) ^ С{ задано конечным числом неравенств. Задачи
с неравенствами, называемые односторонними, изучались на
протяжении всей истории вариационного исчисления (одна из них
изучалась Ньютоном, см. Гурса [1], с?р. 658), но в «вариационных
рамках» не было развито для них удовлетворительной теории.
m

Оказалось, что эти задачи легко поддаются обработке методами
теории оптимального управления, поэтому кажется
оправданным классифицировать эти задачи как задачи оптимального
управления. Если мы принимаем эту классификацию, то задачи
оптимального управления отличаются от вариационных задач,
главным образом, наличием управляющих функций, область
значения которых не является векторным пространством, или
наличием ограничений, отличных от равенств.
Термин «управление» был введен Понтрягиным и его
учениками [1] для задач, описываемых обыкновенными
дифференциальными уравнениями. Такие задачи составляли, по крайней
мере до недавнего времени, большую часть исследований в
теории оптимального управления, и термин «оптимальное
управление» часто используется в узком смысле «теории оптимального
управления обыкновенными дифференциальными уравнениями».
Однако теперь все больше исследуются задачи оптимального
управления, определенные другими функциональными
уравнениями. Они включают задачи оптимального управления,
использующие дифференциальные уравления с запаздыванием,
функционально-дифференциальные уравнения, интегральные
уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных
и стохастические дифференциальные уравнения.
Развитие теории оптимального управления, включающее
задачи, описываемые функциональными уравнениями (более
общими, чем дифференциальные уравнения), сопровождается также
более систематическим использованием понятий и методов
функционального анализа. В настоящее время при решении задач
оптимального управления все чаще пользуются общими
методами абстрактного функционального анализа вместо весьма
«трудоемкого» детального специфического анализа. Поэтому
развитие теории оптимального управления все больше следует
по пути, проложенному функциональными уравнениями, с
которыми оно тесно связано.
III. 2. Обычные, приближенные и обобщенные решения
Вернемся сейчас к нашей модели задачи оптимального
управления, определенной множествами <V, ^> В, %*\ и С\ и функциями
F: VX°UXB-+V,
too, A): VX«Xfi-^RX*i,
где ^/-семейство функций из пространства с мерой Т в
множество R (которое мы будем предполагать топологическим
пространством). Задача исследователя или инженера заключается
в формализации реальной физической ситуации. Такая
формализация часто оставляет некоторые неопределенности, которые
должны быть уточнены математиками. Например, исследователь
272

может дать некоторые уравнения, а математику нужно
определить подмножество области определения этого уравнения, на
котором решения должны быть ограничены.
В большинстве случаев, как это показано в примере из
параграфа III. 1, математику остается мало возможностей для
изменения параметров задачи, за исключением множества (U.
При обсуждении полета на Луну мы определили °U как класс
всех измеримых функций из [0, <,] в /?. Однако в других
случаях °U может быть множеством всех непрерывных, или кусочно-
линейных, или кусочно-постоянных и т. д. функций. В ряде
задач управляющая функция может быть «физически» ограничена
условием вида
т и (*)€=** (0 (*е=Г),
где отображение R*\ Т->&' (/?) задано, но остается свобода
выбора рассматриваемых функций (только непрерывные или
измеримые и у. д.). Во всех этих случаях предполагается, что
любой выбор функции и из °U может быть физически
осуществлен с достаточной точностью.
Было бы, конечно, ошибочно пытаться решить за инженеров,
какие функции (непрерывные, кусочно-непрерывные, постоянные
или измеримые) могут быть осуществлены в физических
системах. В любом случае, все эти термины подразумевают
некоторую идеализацию физической реальности и должны быть
интерпретированы в соответствии с физическим контекстом.
Множество 4/, как правило, нельзя определить с помощью чисто
физических критериев, необходимо использовать дополнительно
математические соображения. В действительности, математики
поступали так с момента возникновения вариационного
исчисления (и это хорошо согласуется с общей практикой в
теоретической науке). Математические критерии обычно были очень
простыми и их выбор подчинялся следующему соображению:
выбрать класс функций, который вы хорошо знаете и который
дает удобный инструмент и дает предположения, позволяющие
вам доказать интересные теоремы.
Таким образом, классическое вариационное исчисление обычно
имело дело с непрерывными и даже дифференцируемыми
аналогами управляющих функций. Позднее, когда были открыты
некоторые явления, которые не могли быть описаны
непрерывными функциями (см., например, Гурса [1], стр. 647), стали
применяться кусочно-непрерывные функции. В настоящее время
стало принято определять °U как наибольший класс таких
измеримых функций из Г в R, для которых определены различные
ограничения.
Если бы мы придерживались такого прагматического
подхода, мы бы выбрали для рассмотрения з качестве Ш такие
множества «реальных» функций управления, которые более всего
пригодны для Достижения наших математических целей и для
273

применения имеющихся методов. Для модели, которую мы
рассматриваем, эти цели заключались бы: а) в доказательстве
существования при подходящих условиях минимизирующего
^-решения; б) в исследовании свойств такого решения, если оно
существует. Как мы покажем в дальнейшем, цель а) не может быть
достигнута в общем случае, за исключением довольно
ограниченных классов задач оптимального управления. Более того,
мы покажем, что даже если минимизирующее ^-решение
существует для некоторой задачи, то оно должно быть отброшено,
так как оказывается в конце концов, что оно «не оптимально».
По этим причинам мы будем изучать не только обычную
задачу, которую мы только что определили, но также и
некоторую обобщенную задачу. Для обеих этих задач мы будем
рассматривать в качестве множества °U измеримые однозначные
ветви некоторого многозначного отображения R^\ T->!P'(R)
и будем требовать, чтобы множество °U удовлетворяло двум
основным «техническим» требованиям (IV. 3.3)., Такое
множество управляющих функций мы будем называть допустимым.
Мы покажем, что множества всех измеримых или простых
однозначных ветвей отображения № и, в частном случае,
множества всех кусочно-непрерывных или непрерывных функций
из Т в R являются допустимыми множествами. Многие из наших
результатов будут справедливы для любого допустимого
множества °U.
Проиллюстрируем некоторые наши утверждения и поясним
необходимость новых понятий на следующих двух примерах.
Задача 1. Пусть °U — класс всех измеримых функций
из Г=[0, 1] в /?=[—1, 1], °У=С{Т\ а функции F и g0
определены условиями
t
F(y, u)(t)=\u(x)dx (y^V\ ue=:<U\t^T\
0
1
go (У, ")= \ (\У (012 - I" (Of) dt (у€=<У;и<= <U).
0
Требуется минимизировать функцию g0 на множестве
W(<U) = {(y, u)e=<yx<U\y = F(y, и)}.
Покажем, что в задаче'1 нет минимизирующего .^-решения.
Действительно, мы имеем и(/)е[—1, 1]. Следовательно,
{и(t))2< 1 (f е Г; и е <W), поэтому
1
8oiy, u)=\[(yW-(u(t)f\dt>-\ (уЦ<Ц;и<=<и).
о
274

Пусть /eN. Положим функцию uf{t) равной поочередно +1
1 на интервалах длины (2/)"1 из отрезка [0, 1]. Тогда, если
и t
мы определим yi{t)=\ul{x)dx (/еГ), то получим
о
t
%, щ) е Ш {41), 0 < J йу (т)<*т<(2/)"'.
О
Следовательно,
-Кво»/, й/Х(2Л"2-1.
Таким образом,
Ига go (У/, й/) = - 1 = inf g0 (Ж (Щ.
С другой стороны, если существует такое (у, й)^2в (41), что
go (У, й) = —19 то | u(t) |= 1 почти всюду в [0, 1]. Следовательно,
t
0(О»$й(т)Л = О (<е[0, 1]).
о
Второе соотношение дает нам й(0 = 0 почти всюду в [0, 1],
а это противоречит первому соотношению. Таким образом,
функция goffifa)) не достигает своего минимума. Аналогичный
результат получится, если мы определим 4l как множество
всех кусочно-непрерывных функций.
Будет также поучительно рассмотреть следующий вариант
задачи 1.
Задача 2. Пусть Щ, °11, g0) yj и uj— такие, как в
задаче 1, и пусть
1
8i (У, «) = J \У «)?dt [{у, и)е<УХ<Щ.
О
Требуется минимизировать функцию g0 на множестве $t>(°U) =
= {(*/, u)^^X(U\y = F(y, и), g{{y, и) = 0}. Ясно, что из у =
= F (у, и) и g{ (у, и) = 0 следует, что y(t)=^u(т)dx = О для
о
всех /е[0, 1]. Следовательно, u{t) = 0 почти всюду в [0, 1].
Таким образом, из (у, и)^$1(Щ следует, что у (0 = 0 (/gT)
и и(/) = о почти всюду в Т. Это означает, что точки у = 0
и й = 0 дают минимум go(yt и) = 0 функции g0 на множестве
*^ (^). С другой стороны, ясно, что
go(dh й/)<-1 + (2УГ2.
275

Отсюда получаем
t
О< J й,(т)dx = у, (0<(2/Г1 (/ eN;/E [0, 1]).
О
Следовательно, 0 <§!(*//, й/)<(2/)"~2 (/' g N). Таким образом,
в тр время как условный минимум функции g0 существует
и равен нулю, мы можем сделать значение функции g0 близким
к —1, выбирая y = yj и u = uj для больших /. При этом мы
нарушаем ограничение g{ {у, и) = 0 на произвольно малую
величину (ограниченную значением (2/)~2).
Эти два примера показывают, что кроме точек множества
*№ = Цу, ", b)<=z<yX<UXB\y = F(yy и, Ь)}9
которые могут давать решения минимизационной задачи, нам
следует рассматривать также «приближенные» решения этой
задачи. Определим такие решения в общем случае. Для того
чтобы сделать это, предположим, что множество $вх является то-
д
пологическим векторным пространством. Пусть g = (go,gi)- ЩХ
X^XB-^RX^i.
Назовем последовательность ((yh uh bf)) в 26 {°U)
приближенным <и-решениему если для любой окрестности нуля G в
пространстве 8вх существует такое / (G) е N, что g {yh uh bj)^C{ + G
для всех j^j(G). Мы назовем приближенное ^-решение
((#/> й/, 6/)) минимизирующим приближенным (Ы-решениему если
limg0(£/, бл ft/Xliminfgoto/, uh ьд
I i
для любого приближенного ^/-решения ((yf> uh bf)). В этом
смысле определенная выше последовательность ((г/у, й/)) является
минимизирующим приближенным ^-решением для обеих задач 1
и 2 (параметр Ъ не входит в эти задачи).
Нетрудно видеть, что в большинстве случаев существует
минимизирующее приближенное ^-решение, если вообще
существует хотя бы одно приближенное ^-решение (в частности,
если функция g0 ограничена снизу, &(<и)ф0, а топология
в 96\ метрическая). Таким образом, введение приближенных
^-решений гарантирует существование минимизирующего
(приближенного) решения оптимизационной задачи в большинстве
интересующих нас случаев. Как это и получилось в задаче 2,
минимизирующее приближенное ^/-решение может дать лучшее
(т. е. меньшее) значение функции g0, чем значения, полученные
с помощью минимизирующего ^-решения. Ясно также, что оно
никогда не дает худшего значения. Так как соотношение
ё\ (Уу и, Ь) е Си по-видимому, представляет собой инженерные
или технические ограничения, которые всегда измеряются с не-
276 '

которой ошибкой, то можно считать допустимыми точки (у, и, ft),
которые нарушают эти ограничения на «произвольно малую
величину».
Если нас устраивает минимизирующее приближенное
^-решение, как решение (или, по крайней мере, как одно из решений)
задачи оптимального управления, и мы показали, что
минимизирующее приближенное ^-решение существует, то мы
сталкиваемся с задачей нахождения такого решения. Мы будем
часто решать эту задачу в два этапа. На первом этапе мы
вкладываем множество <U в такое топологическое
пространство &*, в котором °U всюду плотно, и расширяем функции F,
go и §-, на множество ^Х^ХЯ таким способом, чтобы
множество
Ж(*"О = {(0, о9 b)<=<yx?*XB\y = F(yy а, ft)}
было секвенциально компактным, а функции F9 g0 и g{ —
секвенциально непрерывными на 2№(9Ф). Мы покажем тогда, что
при соответствующих (реальных) условиях существует точка
(У> в,Ь)ъ 26 (&*), которая минимизирует функцию g0 на множестве
^(^) = {(f/, а, Ь)еХ{9>*)\8х(у9 а, ft) е С,},
и определим некоторые соотношения, которым должно
удовлетворять такое минимизирующее обобщенное решение {у, а, 6)
(необходимые условия обобщенного минимума). Эти необходимые
условия часто допускают лишь конечное число решений. В таких
случаях решение, дающее наименьшее значение функции g0,
является минимизирующим обобщенным решением. На втором
этапе строится процедура (см. IV. 2.6, соответственно, IV. 3.9
и V. 1.2) для определения такой последовательности и} в °U,
соответствующей значению а, такой последовательности (yt)
в Щ, соответствующей значениям (иД и такого параметра ft,
что точка ((у/, Uj, ft)) является минимизирующим приближенным
^-решением и
Hm&(y/f uh b) = gf{yt a, ft) (/ = 0, 1).
Указанная программа решения подходит для большого
класса задач оптимального управления. Множество 9**
называется множеством обобщенных управляющих функций.
Топология в &ъ (предложенная Янгом в его работах об обобщенных
кривых [1, 2]) является метрической и компактной. В задачах,
которые мы изучаем, <У является банаховым пространством,
£ч— выпуклым подмножеством векторного пространства, и мы
предполагаем, когда это необходимо, что множество В имеет
секвенциально компактную топологию. При соответствующих
Условиях функции F9 go ng{ секвенциально непрерывны на 3V(&*)9
277

а множество №(&>*) является секвенциально" компактным под*
множеством в <УХУ*ХВ.
Эта программа решения применяется для двух классов задач.
«Обыкновенные дифференциальные задачи с неограниченными
контингенциями» мы рассматриваем в параграфе VI. 4. Здесь
мы можем обойтись без определенных предположений
ограниченности и компактности, вкладывая функции состояния в
большее множество «параметризованных кривых» и преобразуя
функции управления в обобщенные. Эта процедура позволяет
нам определить обобщенную «компактную параметрическую
задачу», которую можно решать описанным выше способом
и решения которой дают ответ на первоначальную задачу
с неограниченным множеством контингенции.
В «конфликтных управляемых задачах» (которые мы
рассматриваем в главах IX и л) ситуация гораздо сложнее. Если
эта задача характеризуется «аддитивно распадающимися
конфликтными управлениями», то наши предыдущие замечания
остаются в силе; такая задача рассматривается в главах VI—VIII.
Если конфликтные управления не распадаются аддитивно, то
возникает новое явление и функции, соответствующие g{ \Ж{9>Ь)>
не будут в общем случае секвенциально непрерывными. Тем
не менее, применяя «гиперобобщенные управления» (глава X),
мы можем определить минимизирующее обобщенное решение
и построить соответствующее минимизирующее приближенное
^/-решение.
III. 3. Измеримые управляющие функции
III. 3.А. «Пределы» быстро меняющихся функций. Мы
попытаемся показать, используя специальные примеры и
эвристические соображения, как обобщенные функции управления
возникают из приближенных ^/-решений, и почему они дают
решения. Это позволит нам понять, для чего вводятся
различные определения и понятия в главах IV и V. В задачах 1 и 2
из параграфа III. 2 минимизирующее приближенное
^-решение ((*//, £/)) характеризуется высокой скачкообразной природой
каждой функции £/(•) для больших значений /. Функция £/(•)
принимает поочередно значения + I и — 1 на последовательных
интервалах длины (2/)"1. Ясно, что никакая
последовательность (й/) и ни одна из ее подпоследовательностей не имеет
предела ни в каком обычном смысле сходимости функций
(например, сходимость для каждого /gJ, равномерная
сходимость, сходимость по мере, сходимость в Lp). Попробуем
определить «пределы» таких несходящихся последовательностей,
вкладывая множество функций °U в некоторое большее
множество, элементами которого уже могут быть даже не функции,
отображающие Т в R. Это достаточно общий подход (см. за-
27»

мечания в конце главы IV). Как пример можно рассмотреть
вложение рациональных чисел, заключенных между 0 и 1,
в компактный интервал [0, 1] действительных чисел. Однако,
если действительные числа мы можем определить как
эквивалентные классы последовательностей Коши рациональных чисел,
то множество °U мы будем вкладывать в некоторое множество,
элементы которого могут быть охарактеризованы более
«конкретно», чем последовательности в <U.
Используем в качестве примера задачу оптимального
управления, определенную обыкновенным дифференциальным
уравнением
t
y{t) = F(y,u){t)=\f(x,y(x),u(x))dx (<еГ = [0, 1]), (1)
О
где /? = [—1, 1], функция f: ТXKnXR-+Rn непрерывна и
ограничена, а уравнение (1) имеет единственное решение у{и)(>)
для каждого и из множества °U измеримых функций из Т в R.
Наша первая задача — посмотреть, что произойдет при замене и
на быстро меняющиеся функции, такие как й/. Поэтому пусть
/ — некоторое фиксированное достаточно большое целое число.
Функция {7 = у(й/) удовлетворяет уравнению
t
yit)=\f(x,y(x),u,(x))dx (teT). (10
О
Если мы обозначим через Tk—[tky t'k+i]' (k — 0, 1, ...,/ — 1)
последовательные подынтервалы отрезка [0, 1] длины 1//,
а через ^-—середины интервалов Tk и положим Г* = [^, ф и
П'=[М+0, то С/(0-1 (terk) и %(/) = -1 (/еП) для
каждого k. Так как интервал Tk имеет малую длину, то
функция #/ приближенно равна константе на каждом Tk. Таким
образом, используя знак « для обозначения приближенного
равенства и полагая
М')=/е;,</(*/Ж)>о ('е*>.
имеем
*к_ '*+1
2/&+.)-0/('*)~ \fk(u,(x))dx=\fk(l)dx+ \ fk(-l)dx =
= (tk+i~tk)[jh{\) + jfk(-l)] (* = 0, 1,..., /-1).
379

Это означает, что функция yf «приближенно» удовлетворяет
дифференциальному уравнению
t
2/W = $[Tf<T^(T)' H + y/KytT), -l)]dr (te=T) (2)
О
и точность приближения увеличивается по мере увеличения /.
Функции £/(•) имеют относительно простой вид изменения:
за равные промежутки времени принимают значения +1 и — 1.
В более сложной ситуации функции uf могут принимать
различные значения (возможно, их бесконечно много) на различных
подынтервалах из Г. Вид уравнения (2) наводит на мысль, что
аналогичное уравнение для нескольких общих измеримых
функций и} может быть получено следующие образом. Разобьем
интервал Т на равные подынтервалы TJtk [k = 0f 1, ..., m(/)], где
выберем m{j) разным для каждого / (чтобы отразить природу
функций иД но всегда таким, что limm(/) = oo. В каждом
подынтервале Tuk мы рассмотрим «распределение» значений Uj.
Это можно сделать, определяя для каждого k и каждого А е
gSb(/?) долю oftk(A) времени Titki которую функция И/(«)
«проводит» в множестве А. Более точно oftk(A) определяется
соотношениями
Thk(A) = urHA)nTftkt alk(A)= \ dt j \ dt.
Ti,k{A) Ti,k
Легко видеть, что каждое отображение aftk: 2В (/?)-► [О, 1]
является вероятностной мерой. Когда m (/) = /-— 1 и uj = ujt
подынтегральная функция в уравнении (2) есть
у/(т,|/(т),1) + 1/(т,^(т),-1) =
= ) 1(Х>У М> г) °7. k (dr) (т е= Ти k\
и все вероятностные меры tf/.o, a/fl, ..., Ojtf-i оказываются
равными -g-^i + Y*-b гДе бг —мера Дирака в точке г. В более
сложной ситуации мы получаем вместо уравнения (2)
уравнение
т{1)
k-0TJk(\[0,t]
Щ

которое перепишем в виде
t
у w - Sdx \ f <т> у w> r> °i w ^ сs г>» <3>
о
где <ту (т) = огл л для т € Th к.
Сравнивая уравнение (3) с уравнением (Г), видим, что мы
заменили последовательность (й/) функций из Г в R на
последовательность (а/) кусочно-постоянных функций на Г,
значения которых суть вероятностные меры из 2В(/?). Аналогично,
мы можем «переопределить» функцию
(</, и) - F (*/, и): С (Г, Rn) X <U - С (Г, R"),
t
удовлетворяющую соотношению F (*/, и) (t) = \ / (т, у (т), ц(т)) dr
о
(/ g Г), на функцию, (t/, а) -> F (у, а), удовлетворяющую
соотношению
F (У, а) (/)=5 dxjf (т, у (г), г) а (г) (rfr) (/ е Г),
о
где {/ е С (Г, Rrt), а а — кусочно-постоянная функция на Г = [0,1],
значения которой суть вероятностные меры. В действительности,
уравнение (3) сохраняет смысл, даже если функции а/ не
являются больше кусочно-постоянными, лишь бы только функции
х -► \ / (т, У (*), г) <*/ (т) (dr) были интегрируемы на Т. В
частности, если «s^,a ба(0 = ба(<) —мера Дирака в точке u(t), то
^ (У, б») (/) = $<**$/ (т, у (т), г) б„ (т) (dr) =
о
t
= \f(T,y{T),u(T))d% (teT).
о
Это означает, что мы можем отождествить функцию и: T-+R
с функцией t-*bUKt) на Г.
Покажем, что в задаче 2 из параграфа III. 2 эта процедура
позволяет определить «предел» последовательности (йу). Если
мы обозначим через у2 функцию у, то можно считать, что
2Ы

задача 2 определяется дифференциальными уравнениями (соот*
ветствующими уравнению (1)) вида
y,(t)=\([y2(r)}2-[u(x))2)dx,
О
t t
y2(t)=\u(T)dT, y3(t)=\[y2(x))2dx
о о
(где у={у\ У2, У3) е R3) и функциями gQ (у, и) = у1 (1) и g{ (у, и)£
= у* (1). Соответствующее уравнение (3) для <Т/ = о = у Ь{ + у 6_j
имеет вид
«/'(0=5([/(x)f-l)dT,
о
l/2(0 = 0, y3(t)=\[y2(x)]4x.
О
Это дает: yl(t) = -t, у2 (0 = 0, г/3 (0 = 0 (/еГ), &(У,»)--1
и gi(#, в) = 0. Таким образом, мера а = у61 + уfi-i и
соответствующее решение у уравнения (3) определяют значения
функций go и gu которые являются пределами
последовательностей goiyiUj), uf) и g{ (у (Uf)y uj) при /'-* оо. Единственная мера а
в некотором смысле решает задачу так же хорошо, как и
последовательность ((у (йу), й/))у, которая является минимизирующим
приближенным ^-решением.
Здесь уместно напомнить, что наша процедура оказалась
успешной только потому, что мы выбирали разбиения Tjt0i ...
•••> ^/./-i интервала [О, 1], которые отражали поведение
функции йу, различными для каждого / е N. Если бы мы выбрали
m (/) = 2/ — 1 вместо m (/) = / — 1, то функция а7 принимала бы
на этих меньших интервалах поочередно значения б! и б-ь
а уравнение (3) совпало бы с первоначальным уравнением (Г).
Мы достигли успеха потому, что выбранные нами интервалы
были достаточно большими, чтобы «сгладить» изменение
функций й/, и в то же самое время каждый подынтервал /-го
разбиения стремился по длине к нулю при /->оо. В этом
отношении наша процедура напоминает подход физиков,
определяющих локальную температуру газа в некоторой точке,
усредняя процесс по объемам, которые «микроскопически»
велики и «макроскопически» малы, т. е. таковы, что каждый
объем содержит достаточно большое число молекул для того,
чтобы статистическое усреднение было достигнуто «почти ко-
282

нечно», и каждый объем достаточно мал для того, чтобы
соответствующее усреднение представляло температуру именно
в заданной точке, а не всюду.
Что же происходит в более сложных задачах, чем задача 2,
которые определяются уравнением (1) и в которых
минимизирующие приближенные ^-решения ((у,, uj)) уже не дают одну
и ту же меру af для всех /'? Ответ будет таким: для каждого
выбора последовательности ((yh uj)) в С (Г, Rn) X °U>>
удовлетворяющей уравнению (1), мы можем определить такие
последовательности /с=(1, 2, ...), меру а {обобщенную управляющую
функцию) и решение у уравнения
t
у (0 = J dx \f (т, у (т), г) а (т) (dr) {t е Г),
О
что \in\yj{t) = y{t) равномерно для (бГ, Во всех таких слу-
/е/
чаях мы можем считать меру а «пределом»
последовательности (w/)/€=/ в том смысле, что влияние функций Uj на
дифференциальное уравнение при больших / аналогично влиянию
меры а.
III. З.В. Обобщенные управления как линейные функционалы.
«Сглаживающие» операции, которые мы описали выше и
которые переводят обычную функцию управления в
кусочно-постоянную обобщенную функцию управления (меру), позволяют
интуитивно объяснить, почему множество обобщенных функций
управления имеет секвенциально компактную топологию,
которая «отражает» нашу задачу. Однако, когда дело доходит
до определения обобщенных функций управления в различных
случаях, мы подходим к этому вопросу по-другому. Как мы
отметили выше, при обсуждении задачи оптимального
управления, определенной уравнением (1), мы считаем обычные
функции управления Ы/ «сходящимися» к обобщенной функции
управления <т, если решения дифференциального уравнения,
соответствующие функциям ии сходятся к решению для а
в топологии пространства С (7\ Rrt). Можно показать, что это
будет так, если
и.т \f(x9y (т), и, (т)) dx = \ dx $ f (т, у (т), г) а (т) (dr)
Т т
Для любого уеС(Г, Rrt). В действительности, вместо того чтобы
рассматривать функции (т, r)->f (т, у(х), г) для различных jg
s с (Г, Цп)э проще сравнивать влияние uf и а на некотором
большем множестве функций, именно, на множестве L1 (Г, C{R))
283

(которое включает в себя также и функции (т, г)->/(т, у(т), г)
для всех непрерывных у, когда мы отождествляем, как в пункте
1.5.С и в главе II, функцию ср: T->C(R) с функцией (/, г)->
->Ф(0(г) = ф(/, г): TX#->R). Таким образом, мы говорим,
что «последовательность функций (tij) сходится к мере <т», если
1 i
lim \ ф (т, uf (т)) di = \ di \ ф (т, г) а (т) (dr)
f о о
(cpeZ.1^, С (#))]. '
В дальнейшем в том же самом, смысле мы используем
выражение «последовательность (af) обобщенных функций
управления сходится к <х» для обозначения соотношения
lim J \i (di) J ф (т, г) ay (т) (dr) = J jx (dr) J Ф (т, г) а (г) (dr)
[ф€=/,'(7\ С(/?))]
в том случае, когда уравнение движения y=-F (у, и, Ь) не
является уже обыкновенным дифференциальным уравнением,
а представляет собой более сложное функциональное
уравнение, содержащее управляющую функцию и: Г->/?,
связывающую два компактных метрических пространства, где (Г, 2,
^ — соответствующее пространство с мерой, построенное для
нашей задачи. Когда значения функций oj суть меры Дирака,
это последнее определение дает понятие сходимости обычных
управляющих функций к обобщенной управляющей функции.
Это определение сходимости появилось после понятия
«обобщенных кривых», введенного Янгом в 1937 году для некоторых
вариационных задач. С точки зрения этого определения мы
рассматриваем обычные и обобщенные управляющие функции
как непрерывные линейные функционалы на пространстве
Ll(T9C(R)) в том смысле, что мы отождествляем каждое a
с функциалом
Ф - J ц (di) J Ф (т, г) а (т) (dr): L< (Г, С (R)) -+ R.
Отсюда следует, что множество 9* обобщенных управляющих
функций вложено в пространство Ll (Т, С (/?))*, а топология,
согласованная с данным определением сходимости, является точно
слабой со звездой топологией в L'(7\ С (/?))*. В этой топологии
множество <? обобщенных управляющих функций является
замыканием множества 01 всех ^-измеримых функций из Т в R
(где р е Я отождествляется с обобщенной управляющей
функцией /-*6р(0).
284

В большинстве общих случаев, которые мы рассматриваем,
множество °U обычных управляющих функций может
содержаться в множестве
ДО = {р е= 911 р (t) е= R» (t) ц-почти всюду},
где Rh (t) — заданное непустое подмножество из R при каждом
/еГ. В таком случае мы определяем обобщенные
управляющие функции, как элементы множества
0* = {а е 04 а (Я* (*))==! ц-почти всюду};
т. е. элементами множества У являются те элементы а из &•
для которых мера a{t) сосредоточена для ц-почти всех /еГ
на замыкании множества R*{t). Если /?* удовлетворяет
некоторым дополнительным условиям, то мы можем показать, что
множество &* является замыканием множества ДО.
Действительно, если °U — «допустимое» подмножество из ДО, то &*
является замыканием множества °U. В частном случае, когда
R*(t) = R для всех (еГ, мы имеем ДО = ЗИ и <Р* = 9>.
Построив таким образом множество &* обобщенных
управляющих функций, мы можем начать осуществление программы,
указанной в предыдущем параграфе. Существование
минимизирующих обобщенных решений и соответствующих
минимизирующих приближенных ^-решений обычно получается из
следующих двух свойств множества Р*: множество ^ —
компакт; &* — является замыканием множества <U. Наше изучение
необходимых условий минимума основывается на третьем
свойстве множества &*;ч оно является выпуклым подмножеством
нормированного векторного пространства. Для соответствующего
выпуклого конечномерного подмножества В' из В функция
Si\ Щ X &* X В' является отображением выпуклого
подмножества нормированного векторного пространства в топологическое
векторное пространство. Используя эти соображения, мы можем
определить соответствующие производные и воспользоваться
техникой дифференциального исчисления.
III. 4. Необходимые условия минимума
Пусть Q —выпуклое подмножество векторного пространства,
а ёо — действительная функция, определенная на Q и
обладающая для всех q, q eQ производной по направлению:
Dgo(q;Q — q)= lim a-1 [g0{q + a(q — q)) — go(q)b
Если q — минимизирующая точка функции go, то ясно, что
go(q + a(q-q))^g0(q) (а е [0, 1]; ?sQ).
Следовательно,
Dg0(q;q-q)>0 (?eQ). U)
285

Соотношение (1) должно выполняться для любой
минимизирующей точки q, но оно может выполняться и для других точек.
Например, если Q= [— 2, 2] с= R и
g0(q) = 3q*-8q* + 6q> fo е Q),
то
Dg0(q;q-q) = (l2q*-24q2+l2q)(q-q).
Следовательно, Dg0 (q; q — q) > 0 ((/g Q) для # = 0, 1, но только
точка нуль является минимизирующей точкой функции g0.
Таким образом, условие (1) является необходимым условием
для того, чтобы точка q была минимизирующей точкой, но оно
не обязательно является достаточным. Условие такого типа
обычно называется необходимым условием минимума. Если
некоторое соотношение справедливо только для минимизирующих
точек, то такое условие называется достаточным условием
минимума. Наиболее желательно получение необходимых и
достаточных условий минимума, но эти условия довольно редки и
их трудно получить, за исключением простых случаев. Для
некоторых вариационных задач необходимое и достаточное
условие типа (1) было получено Янгом ([3], (69.3), стр. 182).
Простой пример необходимого и достаточного условия
минимума можно получить в предположении, что рассмотренная
выше функция g0 выпукла. Если q9 qx<=Q и g0(q) > g0(Vi)> то
goW + a(?i —$)) = £o(cx?i + (l —<*)$)<
<«eofai) + (l-a)ftW) («s[0, 1]).
Следовательно,
a"1 [go (q + a (<7i - q)) - go Ш < go M - go (q) < 0 (a e= [0, 1]),
откуда получаем
Dgo (q\ Я\ — Я)< 0.
Таким образом, для выпуклой функции g0 соотношение (1)
выполняется тогда и только тогда, когда q — минимизирующая
точка, и потому это соотношение является необходимым и
достаточным условием минимума.
Нужно иметь в виду, что даже если мы можем получить
необходимое и достаточное условие минимума, то это условие
может оказаться бесполезным. Например, функция q-+go(q) =
•=q2: (0, 1)->R выпукла и имеет производную по направлению
Dg0(q\ q — q) = 2q(q — q)i но соотношение (1) не выполняется ни
для одной точки q е (0, 1). В отсутствие теоремы
существования (которая гарантирует либо существование минимизирующей
точки q, либо существование точки <?, удовлетворяющей
соотношению (1)), необходимое и достаточное условие может оказаться
бесполезным.
28G

Рассмотрим теперь пример необходимого условия минимума
при наличии ограничений. Пусть Q — выпуклое подмножество
векторного пространства, a gt; Q->R — функции для / = 0,
1, ..., т, каждая из которых имеет производную по
направлению Dgi {q\ q — q) для всех q, q gQ. Если точка q доставляет
минимум функции go на множестве {q& Q\ gt(^)<0 (/ = 1,
2, ..., т)}, то мы можем выписать соотношение, аналогичное
условию (1). Ясно, что
go(q)<go(q) + ao.
для всех ?gQ и а0, а{, ..., ат^0, таких, что
gt(q) + ^i = 0 (/ = 1, 2, ..'., m).
Так как функции g0, ..., gm выпуклы, то
G = {(go (q) + <*о, g\ (q) + аи . • •, gm (q) + О [q e Q, a0, ..., am>0}
является выпуклым подмножеством в Rm+1. Полагая q = q,
ao = 0 и a, = — gi{q) (*=1, ..., m), находим
x = (go(q),0, ...J)eG,
Так как x0^g0(q) для всех (%0 0)eO, то (g0(q) —
— e, 0, ..., 0)^G для всех e > 0, и поэтому x<^dG. Отсюда
следует, по теореме 1.6.11, что существует такое / = (/0, /|9..., /m) г
e(Rm+1)*> что 1Ф0 и
/(*)-4*о«)<*(*) (^0).
Следовательно,
m m
/ogo(^XE ^(?) + S /|af (9^Q; alf ..., am>0).
Если мы положим q = q, то это соотношение даст нам ^^0
(/ = 0, 1, ..., т) и /, = 0, если только gt- (<7)< Ои/ е {1,2, ..., т}.
Если мы положим cto = 0 и <Х; = —gi(q) (*=1, 2, ..., т), то
получим
т т
lligiiqXHligiiq) (?eQ).
i-о i-0
Таким образом, точка q минимизирует функцию log (где
g=(go gm)) И, ПО УСЛОВИЮ (1),
Dlog{q;q-q) = l(Dg(q;q-q))>0 (q^Q),
1*0,1^0(1 = 0, 1 m), /,Ы<?) = 0 (/=1,2 m). (2)
Соотношение (2) является обобщением условия (1) для задач
**а условный минимум. Хотя мы вывели соотношение (2) в пред-
Положении, что функции gi выпуклы, аналогичные необходимые
287

условия минимума справедливы в более общих случаях. В
дальнейшем большая часть наших усилий будет направлена на
получение аналогичных условий для задач оптимального
управления.
Числа /0, 1и •••, 1т> которые определяют линейный
функционал / в соотношении (2), называются коэффициентами Ла-
гранжа или множителями Лагранжа, а функция log часто
называется гамильтонианом оптимизационной задачи. В более
общих случаях, когда g0 является действительной функцией,
определенной на множестве Q, 9вх — топологическим векторным
пространством, Сх — выпуклым подмножеством из Я?ь а
ft: Q->9Pu мы можем выписать необходимые условия для того,
чтобы точка q минимизировала функцию g0 на множестве
{q е Q\ ft (q) е Сх). Эти условия имеют вид
logo (q\ q — q) + l\ {Dgx (q\ q-q))>0 (?s Q),
(/o, h) Ф 0, /o > 0, /, (c) < /, (ft (q)) (c € C,), (6)
где l{ e SB*. Вторая половина соотношения (3) дает нам вторую
половину соотношения (2), когда С{ = {(хих2,..., хт) € Rm |лг/ ^^ 0},
а функция ft: Q->$?i заменена на (ft, ..., gm): Q-*Rm. Мы
будем называть 10 и 1Х «множителями Лагранжа для
оптимизационной задачи», хотя выражение «множитель» меньше
подходит к функционалу, чем к числу.
В «обобщенных» задачах оптимального управления, которые
мы рассматриваем, множество Q соответствует множеству
(Р* X fi, и мы выпишем условия, аналогичные условию (3)
{необходимые условия обобщенного минимума). Для «обычных»
задач оптимального управления множество Q заменяется на
множество <U X В. Если мы считаем множество °U вложенным
в &**, то множество 01 обычных управляющих функций может
и не содержать никакого выпуклого подмножества. Тем не
менее, для задач, которые мы будем рассматривать в главах
VI—VIII, мы можем выписать необходимые условия обычного
минимума точно в такой же форме, как условия
минимизирующих обобщенных решений, но при несколько более сильных
предположениях.
С другой стороны, имеются довольно простые задачи
оптимального управления (так же как и некоторые конфликтные
задачи управления из глав IX и X) с минимизирующими
^/-решениями, которые не удовлетворяют необходимым
условиям минимизирующих обобщенных решений. Мы можем
выписать для многих таких задач различные необходимые условия
{слабые необходимые условия обычного минимума), которые
основаны на другом понятии выпуклости. Этот другой тип
выпуклости применяется, когда мы имеем дело с задачами
оптимального управления (или с другими эквивалентными за-
288

дачами), для которых пространство /J является подмножеством
некоторого векторного пространства (обычно R*), а &t —
выпуклым подмножеством пространства ц-измеримых функций
из Т в R. Тогда множество St X В (с соответствующей
алгебраической структурой) выпукло. Заменим множество В на
gt X В, рассмотрим обычные управляющие функции как
управляющие параметры и выпишем слабые необходимые условия
обычного минимума как соответствующий вид необходимых
условий обобщенного минимума для новой задачи. Будем
использовать термин «слабые» для этих условий, так как в
задачах из глав VI—VIII оба типа необходимых условий
выполняются, а необходимые условия, применимые к обобщенным
задачам, играют роль слабых условий, но не наоборот.
В классическом вариационном исчислении имеются два типа
необходимых условий для обычного минимума: уравнения Эй-
лера — Лагранжа и Е-условие Вейерштрасса. Уравнения
Эйлера—Лагранжа аналогичны условиям, которые мы называем
«слабые», а «сильное» f-условие Вейерштрасса аналогично условию,
которое применяется для описания минимизирующих решений.
III. 5. Минимизирующие обычные решения
Мы пытались показать в параграфе III. 2, что
минимизирующее приближенное ^/-решение дает наиболее
удовлетворительное решение задачи оптимального управления с точки зрения
инженерных приложений. Так как минимизирующее обобщенное
решение может применяться как средство для построения
минимизирующего приближенного ^-решения, то это обобщенное
решение играет более важную «практическую» роль, чем любое
строгое ^-решение (т. е. минимизирующее ^-решение, которое
не является в то же время минимизирующим обобщенным
решением). Этот более «практический» аспект
минимизирующего обобщенного решения усиливается теоремами
существования из параграфов I в каждой из глав V—X, которые
гарантируют существование таких решений в очень общих ситуациях,
в то время как многочисленные примеры показывают, что
минимизирующих ^-решений часто в таких случаях не
существует.
При довольно специальных предположениях (которые мы
обсуждаем в теоремах VI. 3.3, VII. 1.4 и VIII. 1.3) можно
показать, что любому минимизирующему обобщенному решению
(*7> <*, b) соответствует такая точка йе?/, что решение (у, й, Ь)
Удовлетворяет уравнению движения y = F{y, а, Ь). Более того,
если функция g = (g0i g,): «VX^XS-^RX^i не зависит
°т аргумента из множества &* (т. е; g(y, a, b) = g(y, &)), то
(£, б, В) является минимизирующим обобщенным решением,
10 Дж. Варга
289

если (у, а, 5) является таковым. Так как й принадлежит
множеству °U, то (у, й, Ь) является также минимизирующим
^-решением. (Теорема такого типа была исследована в 1940 году
Мак Шейном [4] для задачи Больца в вариационном
исчислении.) Может также случиться^ что в некоторых конкретных
задачах, не подпадающих под теоремы VI.3.3, VII. 1.4 и VIII. 1.3
для минимизирующего обобщенного решения (у, в, В)
выполняется свойство а ^ °U. (В частности, некоторые задачи такого
типа были исследованы Нойштадтом [1].) Во всех таких случаях
точка (у, и, &)е^Х^ХВ является минимизирующим
^-решением, в силу чего она будет минимизирующим обобщенным
решением.
Поэтому, оказывается, что с точки зрения приложений
минимизирующие обобщенные решения более полезны, чем
минимизирующие ^/-решения. В достаточно общих ситуациях эти
обобщенные решения: а) существуют; б) дают способ вычисления
минимизирующих приближенных ^-решений (с которыми
инженеру приходится соприкасаться, даже если он не всегда реализует
их); в) оказывается, что всякий раз, когда класс задач обладает
минимизирующими ^/-решениями, то это происходит оттого, что
эти минимизирующие ^/-решения являются также
минимизирующими обобщенными решениями.
Сторонник минимизирующих ^/-решений может добавить
к этим аргументам, что математик не должен отказываться от
любых исследований, в значении которых для науки или для
инженерных приложений он сомневается. Математик часто
мотивирует свои исследования эстетическими соображениями,
и если он может пролить свет на неизвестный предмет, открыть
новые законы или закономерности, то он чувствует, что такой
деятельностью стоит заниматься, независимо от того, можно
продемонстрировать ее полезность, или нет. Философски
настроенный читатель или знакомый с историей математики может
также добавить к этому примеры первоначально «чисто»
математических направлений, которые позднее оказали огромное
значение на науку или на другие разделы математики. В
рассматриваемом случае минимизирующие приближенные
^/-решения позволяют нам дать желаемый ответ в физических
ситуациях, в которых в настоящее время применяются математические
модели задач оптимального управления. Однако может
случиться, что эти или аналогичные модели найдут также
применение к совершенно нереальным физическим ситуациям и что
минимизирующие ^/-решения дадут ответ в этих ситуациях.
Поэтому отнесем эти аргументы в пользу продолжения
исследования необходимых условий обычного минимума
(которому в настоящее время посвящена очень большая доля всех
публикуемых исследований в теории оптимального управления).
Наши предыдущие замечания показывают, что если такое изу-
£90

ение продолжить независимо от минимизирующих обобщенных
оешений, то это изучение окажется плодотворным в том смысле,
что оно прольет свет на свойства строгих ^решений, т. е. тех
минимизирующих ^/-решений, которые не являются при этом
минимизирующими обобщенными решениями. Какую же
информацию мы имеем, которая относится только к строгим
^-решениям?
Мы указали пока только два обстоятельства, касающиеся
этого. Задача 2 из параграфа III. 2 продемонстрировала, что
строгие ^/-решения действительно существуют при некоторых
условиях. С другой стороны, теоремы VI. 3.3, VII. 1.4 и VIII. 1.3
определяют некоторый ограниченный, но, вообще говоря,
бесконечный класс задач, которые не допускают строгих
^-решений. Рассмотрим теперь третье обстоятельство, которое кажется
нам очень важным. Мы докажем в теореме V. 3.4, что общая
задача оптимального управления не может допускать строгих
^/-решений, если только она не обладает некоторыми
«исключительными» свойствами, которые в классическом
вариационном исчислении называются анормальными.
Для того чтобы описать природу этих «анормальных»
условий, мы должны отвлечься и рассмотреть еще раз вид наших
необходимых условий обобщенного минимума. Как уже
отмечено в параграфе III. 4, эти условия очень похожи на
соотношение 111.4(3), и мы проиллюстрируем их на несколько
упрощенной форме задачи оптимального управления. Поэтому
предположим, что функция
ff=(*o, ft): VX**X*->RX#i,
определяющая эту задачу, не зависит от аргументов из
множества <У (т. е. {у, а, Ь) не зависит от у, и мы имеем g(o, b)).
Тогда уравнение движения будет нематериальным, и
необходимые условия обобщенного минимума будут точно такими же,
как в соотношении III. 4 (3) при q = (а, Ь) и q = (а, b) €= S^XB = Q.
Мы назовем тройку (q, /0, 1\), которая удовлетворяет
соотношению 111.4(3), экстремальной; экстремаль (q, 10, 1{) назовем
нормальной, если /0 ф О, анормальной, если /0 = 0, и
допустимой, если g{ (q) е Сх. Задача оптимального управления
называется нормальной, если не существует анормальных допустимых
экстремалей, и называется анормальной в противном случае.
Задача может быть анормальной, только если функция g{ и
множество С{ связаны специальным образом. Это отношение
более наглядно, когда функция gx обладает некоторыми
свойствами выпуклости; например, когда ^=^Rm, Q = (—«>, 0]m,
а Функция gt заменена на (gu &,..., gm): Q->Rm, где каждая
из Функций gi выпукла. Тогда соотношение 111.4(3) переходит
Ю*
291

в соотношение 111.4(2), и для анормального случая (/0 = 0)
мы имеем
I liDgt (q\ q-q)>0 (?eQ; lt> 0),
ligi(q) = 0 (/=1,2, ..., m). (1)
m
Так как /;>0, то функция X /(g/ также выпукла. Как
показано в параграфе III. 4, соотношение
т / т \
ZliDgi(q;q-q) = D[Z ligi)(q\q-q)>0 (q<=Q)
m
означает, что точка q дает минимум функции £ ligt. Следо-
вательно,
m т
Это показывает, что линейный функционал (1и /2, ..., /т) на Rw
отделяет множества С, (=(— оо, 0]т) и (gb g2, • • •, gm)(Q)- Если
мы ограничение gi(q)^.0 (/=1, ..., m) заменим на g,(<7)< — е
(/ = 1, ..., т) для некоторого положительного е, то это новое
ограничение не может быть выполнено, и наша задача
условного минимума сводится к нахождению минимума функции g0
на пустом множестве {q ^Q\ gi(q)<^ — е (/=1, ..., m)}.
Этот вырожденный случай не обязан иметь место в каждой *
анормальной задаче, и соотношение между g{ и С{ во многих
анормальных задачах может быть более сложным и меньше
влиять на «устойчивость» оптимизационной задачи. Все же
рассмотренный пример подтверждает общее положение о том, что
анормальные задачи —это задачи довольно специальные и
исключительные.
Мы можем теперь вернуться к проблеме, от которой мы
отклонились, и рассмотреть еще раз третье обстоятельство,
касающееся строгих ^/-решений. Теорема V. 3.4 утверждает, что
при очень общих условиях (того же самого типа, какие мы
требуем при выводе «сильных» необходимых условий обычного
минимума) из всех задач оптимального управления строгие
^-решения могут иметь лишь задачи с очень специальными
свойствами. Таким образом, строить независимую теорию
минимизирующих ^/-решений можно только в рамках
ограниченного класса анормальных задач.
Более содержательный подход к теории минимизирующих
^-решений стал возможным после изучения Мак Шейном [4]
задач Больца в смежной области вариационного исчисления.
Этот подход заключается в том, чтобы исследовать, при каких
292

условиях минимизирующее обобщенное решение {у, а, Ь)
«эквивалентно» минимизирующему обобщенному решению (уу й, Ь)
при йе^. Как указывалось выше, этот путь приводит к
теоремам VI. 3.3, VII. 1.4 и VIII. 1.3 (первая из которых
представляет результаты, полученные независимо Филипповым [1]
в 19ё9 году, Роксиным [1], Варгой [1] и Важевским [1, 2]
в 1962 году и Гуйла-Ури в 1967 году).
Чтобы использование термина «теория оптимального
управления» не приводило к недоразумению, подчеркнем, что
сделанные выше замечания применимы, главным образом, к тем
типам задач, которые исследуются в этой книге. Однако имеются
указания на то, что эти замечания могут также быть
применены к некоторым другим областям оптимального управления,
в частности, ко многим задачам, описываемым
дифференциальными уравнениями в частных производных, которые могут быть
приведены к виду, рассмотренному в главе VII.

Глава IV. ОБЫЧНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ
УПРАВЛЯЮЩИЕ ФУНКЦИИ
IV. 0. Краткое содержание
Пусть Т и /? — компактные метрические пространства, jli е
е f rm+ (Г), мера \х неатомическая, 2 = 2В(Г) и 52 —семейство
всех ц-измеримых функций из Г в Л, В этой главе мы будем
вкладывать множество 31 в пространство, топологически
двойственное пространству L1 (Г, С (/?)), отождествляя каждое ре$
с непрерывным линейным функционалом 19 на L1 (Г, С (/?)),
определенным условием
'р(ф)=$Ф(<,Р(0)|а(Л) foel1^, С (*))].
Измененная теорема Данфорда — Петтиса (IV. 1.8) утверждает,
что пространство Ll (Т, C(R))* изоморфно множеству ./Г всех таких
^-измеримых функций v: Т -> (frm(/?), | • |да), что ji-esssup| v(/) \(R)<
<оо. В множествах C(R)* [=frm(/?)] и Ll(TfC{R))* мы введем
топологию слабой нормы (1.3.11) и покажем, что замыкание
множества М в Jf совпадает с множеством
^ = {vs/|v(/)e rpm(R) fx-почти всюду}.
«Обычные управляющие функции», которые мы будем
рассматривать, содержатся в множестве таких элементов р из $,
что
Р(0е/Л0
jli-почти всюду, где /?ч — заданное отображение из Г в класс
&' (R) непустых подмножеств из R. Если R* удовлетворяет
условию IV. 3.1, данному ниже, то замыкание в (Jf, | • \w)
множества ЗР |х-измеримых однозначных ветвей из R* совпадает с мно*
жеством
/ = {ае^|а(R*Vj) = 1 ц-почти всюду}
294

«обобщенных управляющих функций». Мы изучим некоторые
свойства множестаа 9^ и укажем некоторый критерий для
проверки условия IV. 3.1, основанный на результатах параграфа 1.7.
«Допустимые подмножества из $*» (определение IV. 3.3) мы
будем рассматривать как возможные множества °11 обычных
управляющих функций, обладающие двумя довольно
специфическими свойствами. Эти свойства будут описаны ниже. Мы
дадим также некоторые критерии (такие, как условие IV. 3.4,
леммы IV. 3.5, IV. 3.6 и замечание к теореме IV. 3.9) для
классификации простых допустимых множеств.
В заключение мы получим некоторые технические результаты,
которые понадобятся нам в дальнейшем.
VI. 1. Пространства C(R) и V(T9C(R)) и их сопряженные
IV. 1.1. Сильная и слабая нормы в двойственных
пространствах. Будем рассматривать некоторые сепарабельные
нормированные векторные пространства и пространства,
топологически им двойственные. Если дв — такое пространство, а
#Г-—двойственное к нему, то рассмотрим две различные нормы в S6*\
сильную норму (обычно называемую просто нормой),
определенную соотношением
|/| = SUP{ |/(*)||*€=Я?, |Х|<1},
и слабую норму, введенную в теореме 1.3.11. Для того чтобы
определить слабую норму в S6*y мы ~ выберем счетное всюду
плотное подмножество {хи х2у ...} в 86 и положим
\1\ш=^Ч\ЩШ+\Х1\).
Если положить £/(#•) = {/еЯИ| Л< ^ то» по теоРеме 1.3.11,
| • \w является такой нормой в 95*, что lim | / — lf \w = 0 для всех /,
//е[/(#Г) тогда и только тогда, когда lim//# = /* для всех
х^.95, и что относительная топология U(95*) в (ЯГ, | • \w)
(топология слабой нормы в U (86*)) одна и та же для любого выбора
множества {хи х2> ...} и совпадает с относительной слабой со
звездой топологией.
IV. 1.2. Пространства Т, R, (Г, S, ц), frm(R) и &. Определим
теперь некоторые пространства, на которые будем постоянно
ссылаться в следующих главах. Свойства этих пространств мы
будем использовать в дальнейшем без дополнительных ссылок.
Рассмотрим компактные метрические пространства Т и /?,
ненулевую неатомическую меру |iefrm+(r) и 2 = 2^(7').
Определим пространство 3$ как пространство &(Т9 2, ц, R; R) из тео-
295

ремы 1.5.25, элементами которого являются такие функции
ф: TXR-+K что функция Ф(•,/•) ^-измерима, ф(/, -)^C(R)
и |ф(*, •) 1в„р ^ *ф О» где % — ^-интегрируемая функция. Как
показано в теореме 1.5.25,
. Ф-Чф1*=$1ф(*, -)\sup\i(dT):$-+R
является нормой в 3&9 пространство (#, | • |^) изометрически
изоморфно пространству V (Г, 2, \х, С {R)) (и поэтому, по теоремам
1.5.1, 1.5.17, оно является банаховым пространством),
пространство ($, | • |^) сепарабельно и его подмножество
& = C{T)®C(R) =
= {(t9 г)^Шсг(г)\кеЫ9 ft<=C(T)9 ^GCfi?)}
всюду плотно в $. С этого момента мы отождествляем
пространства Ll(T9 C(R)) и ($, | • |^).
IV. 1.3. Изоморфные пространства C(R)* и frm(R). По
теореме Рисса I. 5.8, существует такой алгебраический изоморфизм
#~ = #~(frm(#), С (/?)*) из frm(/?) в С (R)*9 определенный
выражением
^(s)(c)=\c(r)s(dr)9
что
\&~(s) 1 = 1 s\(R) [sefrm(#); cs=C(R)].
С этого момента мы будем отождествлять пространства
irm{R) и C(R)* и, если не оговорено противное, будем
рассматривать каждое из этих пространств как нормированное
векторное пространство со слабой нормой, задаваемой некоторым
всюду плотным счетным подмножеством из C(R) (которое, по
теореме 1.5.1, сепарабельно). В силу наших замечаний из пункта
IV. 1.1 слабая топология нормы в
£/(frm(/?)) = {s <= frm(/?)|| s|(#)< 1}
будет одной и той же для любой слабой нормы.
IV. 1.4. Теорема. Нормированное векторное пространство
(frm (/?), | • \w) сепарабельно и его подмножества U (frm (R)) и
rpm(R) компактны.
Доказательство. По теореме 1.3.12, множество U(frm (R))
компактно; следовательно, по теореме 1.2.17, оно сепарабельно.
Легко показать, что если {аь а2, ...} —множество всех
рациональных чисел, а множество {su s2f ...} всюду плотно в U (frm (/?)),
то счетное множество {а^у|/, /eN} всюду плотно в frm(/?). j
296

Пусть теперь (sf) — последовательность в rpm (/?), сходящаяся
к некоторому s е f rm (/?). Тогда
\с (г) s (dr) = lim \с (г) Sj (dr) > О,
если сеС(/?, [О, оо)). Имеем
S(/?)= lim \Sj(dr)=l.
Таким образом, по условию 1.5.5(1), получаем 5 g rpm (/?).
IV. 1 .5. Вложение пространства R в frm(J?) и расширение
непрерывной функции из R на frm(jR). Мы можем вложить
пространство R в frm(/?), отождествляя ге/?с мерой Дирака 6?
точки г (или, эквивалентно, отождествляя г с таким элементом If
из С (/?)*, что /? (с) = с(г) для всех с е С (/?)). Мы можем также
расширить однозначным образом любую действительную
непрерывную функцию с из R на frm(/?), полагая
с (s) = \ с (г) sdr [se f rm (#)].
Это дает, в частности,
с(6г) = с(г) (геЛ).
Так как limc(s/) = c(s)Jt если sh s е £/ (frm (/?)), и так как
lim | sy — 5 L = 0, а пространство (frm (/?), | • |w) метрическое, то
функция с является непрерывной на множестве (frm(/?), | • |ш).
Нетрудно показать, что если #~ —изоморфизм из frm(R)
в С (/?)*, введенный в пункте IV. 1.3, то &~(s)(c) = c(s) для всех
s <= frm (J?) и cgC (R). Более того,
\s L -1 Г (s) \w = Z 2"'1 c, (5) |/(1.+1 c, |sup),
где {cu c2, ...} — подмножество из C(R), которое определяет
норму | • |ю.
IVЛ.6. Теорема. Пусть функция v: Т->(frm(/?), | • \w)
такова, что
ц-ess sup | v (/) | (R) < oo.
Тогда функция v будет ^-измеримой тогда и только тогда, когда
А С
Функция t->c(v (t)) = \ с (г) v (t) (dr) ^-измерима для любого
с sC(/?). £олее того, если функция v ^-измерима, то функция
'"^фСэ v(0) ^-интегрируема для всех <р е L1 (Г, С (/?)).
Доказательство. Пусть mv = ц-ess sup | v'(/) | (R) Ф О
д
и v(/) = m^,v(/)- Тогда v (/) е £/ (frm (/?)) ц-почти всюду. Функ-
. 297

ция v ц-измерима тогда и только тогда, когда функция v ц-изме-
рима. Поэтому мы можем считать, что v(/) е U (frm (R)) ц-почти
всюду.
Если функция v ^.-измерима, то функция t-+c(v(t)) будет
Неизмеримой для каждого сеС(/?), так как расширение
функции с на U(hm(R)) непрерывно. Предположим теперь, что
функция t->c(v{t)) ц-измерима для каждого cgC(/?), и пусть
ic\> с2, • •.}—всюду плотное подмножество из С (/?), которое
определяет норму | • |Ю| ^ е £/(f гт (#)) и е > 0. Тогда функция
t-*Cj(v{t)) [г-измерима для каждого /sN. Следовательно, по
теореме 1.4.17, функция
t^\v(t)-sl\w = Z24\ci(v(t))-ci(sl) |/(1+| с, |)
также ц-измерима. Таким образом, множество {t^Т \\ v(t) — s{ |ш<
< е} [х-измеримо. По теоремам 1.3.12 и 1.2.17, пространство
£/(С (/?)*) (отождествленное с £/(frm (/?))) сепарабельно (в
топологии нормы | • |ш), и множества
{se(/ (frm (R)) \ \ s - s{ \9 < е} [s{ € frm (/?); е >0]
образуют базу этой относительной топологии слабой нормы.
Отсюда следует, что функция v является ^-измеримой.
Если ф е L{(T, С (/?)), то, как показано в пункте IV. 1.5,
функция
s-xptf, s): (frm(Я), |-U-*R
непрерывна для каждого /£Г и, по теореме 1.5.27, функция
*->ф(*, s): Г-^R ц-измерима-для каждого sefrm(/?). Отсюда
следует, по теореме 1.4.22, что функция t->q>(ty v(t)): r->R
ц-измерима. Так как
I Ф (*, v (/)) | < ц-ess sup | v (t) | (/?) • IФ (/, •) |sup (t € 7),
то функция /->ф(/, v(0) ^-интегрируема.
IV. 1.7. Пространство JC и его подмножества 9 и 32.
Обозначим через ./Г множество всех (эквивалентных классов) таких
^-измеримых функций v: 71—►(frm(/?), |-|ш), 4Tocv = fi-esssup| v(0 |(/?)<оо.
Как обычно, мы говорим, что функции Vi и v2 принадлежат
одному и тому же эквивалентному классу, если v{(t) = v2{t)
ц-почти всюду.
Положим
^ = ^е^^(/)е rpm {R) . ji-почти всюду},
9>x={v<=9>\v(t) = 6pit)
jx-почти всюду для некоторого р: Т ->/?}, где через бг мы
обозначим меру Дирака в точке г. Из теоремы IV. 1.6 следует,
что vei, если ji-ess sup | v (t) \ (R) < оо, и что функция
298

t-+c(v{t)) ц-измерима для каждого c^C(R). Таким образом,
если vg^hv(/) = 6Р(*> ц,-почти всюду, то функция /-> с(v(t)) =
== с (р (0) [А-измерима для каждого с <= С (R) и, по теореме I. 4.20,
функция /->р(0 [i-измерима. Наоборот, если функция р: T->R
^-измерима, то функция t->c(p{t)) = c(6P(t)) ^"измерима и
jx-esssup| бр(о |(/?)== 1. Следовательно, по теореме IV 1.6,
функция /->бР(о принадлежит множеству 9>я. Таким образом,
существует взаимно однозначное соответствие между <?# и
множеством 91 [i-измеримых функций р: T-+R. Мы
отождествляем каждый элемент р из Ж с функцией t-^6Q{t) в <?# и,
таким образом, вкладываем 91 в пространство 9.
Рассмотрим пространство Зб* (т. е. V (7\ С (/?))*) и покажем,
что оно алгебраически изоморфно пространству ИР.
IV. 1.8. Теорема (Данфорд — Петтис). Существует алее-
браический изоморфизм &~ из Ж в $l*[=Ll(T9 С (/?))*],
определяемый условием
^(v)(cp) = $cp(/, V(t))ii<dt) =
= \\i(dt)\<V(t,r)v(t)(dr) (ve=JP; q> e Я),
для которого
\&~{v)\= sup |^(v)fo)| = |i-esssup||*(<)IW).
1ф1^<1
Доказательство. Покажем, что У (v) е $* для каждого
д
vGjf. Действительно, пусть cv = fi-ess sup | v (/) | (R) и q)G Я.
Тогда, по teopeMe IV. 1.6, функция /-^ф(/, v(/)) ^-интегрируема,
и мы имеем
1Ф(/, v«))|-
-|$ф«, r)vWWr)|<|V(/, OLplvWI^X^k^ -)lsup
М-'ПОчти всюду в Т. Следовательно,
I Г (V) (ф) | = | J ф (/, V (0) |i (Л) | < CV | ф \м (фЕ Я).
Таким образом, &"(v) существует для всех vg^9.
Легко видеть, что отображение ST (у) линейно и ограничено.
Следовательно, по теореме 1.3.6, #~(v)e^*.
Если #"(v) = 0, то выберем всюду плотное подмножество
{си с2, ...} сепарабельного пространства C(R) и рассмотрим
элементы
С г)-*х*(')*/(') 1/sN; £eS)
299

из $. Для каждого /gN имеем
\ Хе d) с, {v (t)) ц (Л) = \с,\у (*)) |i (Л) = 0 (£ е 2).
Следовательно, по условию 1.4.34(7),
c/(v^))=jc/(r)v(«(dr) = 0
ц-почти всюду, например, для t е Г7. Для каждого
/еГ=Пг,, cgC(/?)
/-1
имеем lim | с# — с | = 0 при некотором /с=(1, 2, ...), и поэтому
/в/
с (v (/)) = lim \ Су (г) v (f) (dr) = 0. Отсюда следует, по усло-
вию 1.5.5(1), что v(/) = 0 для /е7", т. е. для ц-почти всех
/еГ. Таким образом, отображение SF инъективно.
Покажем, что отображение У сюрьективно, так что для
каждого /g J* существует такое vGjf, что 1 = дг(у),
Обозначим через С всюду плотное счетное подмножество изС(/?).
Мы можем предположить, что С замкнуто относительно
сложения и умножения на рациональные числа. (Более точно,
если С* —всюду плотное счетное подмножество из C{R), Q —
множество всех рациональных чисел, то полагаем
и видим, что множество С счетно и что с' + с", ас' е С, если
с'9 с" е С и a е Q.) Выберем произвольное /е J* и положим
|/|= sup |/ф|.
Для / е= D (Г, 2, ц) = V (Т) исеС (/?) через f ® с
обозначим функцию (t, г) -> / (f) с (г): Г X Л -> R. Для любого
фиксированного с^С' функция /—>l(f®c): Ll(T)-*R является
элементом из L1 (Т)*. Действительно, эта функция линейна и из
I / (/ ® с) | < | /11 / ® с \л = | /11 с 11 f |j следует, что она непрерывна.
По теореме 1.5.19, существует такое £(•; с) е L°°(T, 2, \i), что
l(f®c)=\k(t<9c)f(t)ii(dt) [f^Ll(T); сеС\9 (1)
H-esssup|fc(/; с)\= sup |/(/® с)|<|/|И (с е= С). (2)
300

Таким образом, \kit\ с)|<|/||с| для каждого сеС'и всех /
из некоторого множества Тс ц-меры \х (Г). Следовательно,
полагая Г= П тс> имеем [а(Г\Г; = 0 и
\k{t\ с)К|Л|с| (/еГ; се СО. (3)
Если clf с2 е С', а{ и а2 — рациональные числа и Е е 2, то
' (Хе ® («i^, + а2с2)) = а{1 \%Е <8> ^) + а2/ (хв ® с2).
Следовательно, по условию (1),
\ [k [t; щсх + а2с2) — a{k [t; с{) — a2k {t\ с2)] (i (dt) = О
и, по условию 1.4.34(7),
k (/; а^! + а2с2) = axk (t\cx) + а2& (/; с2)
[i — почти всюду. Отсюда следует, что для любого m е N,
любых рациональных чисел аь ..., ат и любых си ..., ст е С7
/ т \ т
\ /-1 / t-1
(4)
|i —почти всюду, например, при t^T^ где р=(т, с^ ат,
с1, . • •> Cm)- Так как множество наборов р счетно, то множество
Т'^=[\Т^{\Г имеет ц-меру jx(Г).
Таким образом, функция k{t\ •) удовлетворяет
соотношению (4) для каждого t е Т" и, по условию (3), равномерно
непрерывна. Поэтому, по теореме 1.2.13, она имеет равномерно
непрерывное расширение k{t; •) на C(R), удовлетворяющее
условию
\k(t; с)|<|/|И [<еГ; сеС«)]. (5)
Учитывая условие (4) и непрерывность функции k(t; •), мы
получаем, что k{t\ «)^С(/?)* для каждого / е Г". Так как
каждый элемент cgC(J?) является пределом
последовательности (с'\9 с'2, ...) в С, то
*(*; c) = limJfe(f; с]) (/£Г),
Полагаем /г(/; с) = 0 [/еГ\Г; се С(/?)] и из теоремы 1.4.17
заключаем, что для каждого c^C(R) функция k(•; с)
^-измерима.
Нетрудно показать, что функция
с->/(/® с): C(#)->R
301

непрерывна для каждого / е V (Г). Так как функция k (t; •)
непрерывна для каждого /еГ, то, по условиям (1), (3) и
теореме I. 4.35,
/ (/ ® с) = \k t; с) f (t) ц (Л) [f e= О (T); с e С (/?)]. (6)
Применим теорему Рисса 1.5.8 для каждого £(/; -)sC(/?)* и
покажем, что существует такое v (/) е frm (/?), что
Л 0; с) = J с «V; v (0 idr) = с . v (0) [сеС (/?); /gJ], (7)
sup \k(t\ с) | = | v (01 (Л) (*е=Г). (8)
|с|<1
Преобразуем условия (6) и (7) в соотношение
Kf®c)=\f(t)c(v (/)) jx(Л) [/ € V (Г); с € С (/?)], (9)
а условия (5) и (8) в соотношение
|i-esssup|v(OI(fl)<|/|. (10)
Так как функция &(•; с) ^-измерима для каждого c^C(R)9
то, по условиям (7), (10) и теореме IV. 1.6, получаем v е Jf.
По теореме I. 5.25, для каждого (pel и е > 0 существуют
такие me=N, fte=C(T) и с,еС(Д) (* = 1 /п), что
I /7*
S фс -)-5]fi(0c,(.)
i-1
ц(Л)<в.
sup
Отсюда, по условиям (9) и (10), получаем
I /(Ф)- J Ф Л V (0) |*(Л) < /I ф - £ f, ® С, ) +
+ И Z'* wCi (v W) -ф {t>v (/))) ^(d<) <
I V-1 ' I
Im I
£М0М')-ф(', ') |v(fl|(*)|i(<ft)<2|/|e.
i — 1 "sup
Так как e произвольно, то
/(Ф)=$Ф(*. v(0)|*(tf).
Это означает, что отображение £" сюръективно. Таким
образом, отображение У биективно и, так как оно линейно, то
является алгебраическим изоморфизмом.
302

Наконец, если |ф1#^1, то
I /(Ф) И I *>)(<р) |-| \ \i(dt) J Ф(/, г)v (<)(rfr)|<
<|i-esssup|v(0 |(/?).
Следовательно, | / К |i — ess sup I v (/) | (/?). Учитывая условие (10),
получаем | /1 = |х — ess sup I v (/) | (/?).
IV. 1.9. Изоморфные пространства I* и jf и их
подмножества 9> и 91 с топологией слабой нормы. Отождествим
изоморфные пространства $*, L1 (Г, С (/?))* и Jf9 как мы это делали
для пространств C(R)* и frm(/?), и, если не возникает
недоразумений, будем обозначать через У изоморфизм,
определенный в теореме IV. 1.8. Таким образом, мы отождествляем
каждое vGjf с непрерывным линейным функционалом У(v)
на J. Будем писать (v, ф) вместо £"(v)fo). Введем раз и
навсегда топологию слабой нормы для 9ST и JF. Так как, по
теореме I. 5.25, пространство $ сепарабельно, то выберем
некоторое счетное всюду плотное подмножество (фь ф2, ...} в $ и
положим
00
l^(v)|tt, = |v|a, = 22-/|(v, ф,>1/|1+фу!л =
/-1
оо
=E2~1S(p/^vW)jiH/(1+|^w-
Соответствующая топология слабой нормы в J* и JF не
зависит от выбора множества {фь ф2, ...} и метризует
топологические пространства Ж и Jf. Аналогично, подмножества 9> и 9t
имеют соответствующие относительные топологии.
По теореме IV. 1.8, | v|=p, — ess sup | v(/) \(R) является
сильной нормой элемента v из JC. Обозначив U (J?) = {v е Jf \ | v «1},
мы получаем теорему, аналогичную теореме IV. 1.4.
IV. 1.10. Теорема. Пространство (Jf9 | • \w) сепарабельно и
его подмножество U(Jf) компактно.
Доказательство. К данной теореме непосредственно
применимо доказательство теоремы IV. 1.4 с заменой frm(/?)
на JT.
IV. 1.11. Теорема. Пусть v, vf<=U{Jf) (/е N). Тогда
limv/ = v в том и только в том случае, если
lim(v/, cp) = (v, ф) для всех (pel.
Доказательство непосредственно следует из теорем
L3.il и IV. 1.8.
303

IV. 2. Множества 01 и 9
Рассмотрим некоторые свойства подмножеств 5? и 9> из Jf,
которые будут играть центральную роль в наших дальнейших
построениях. Сохраним обозначение U{Jf) за множеством
{v е= Л 11 v | = ц-esssupl v (t) |(tf)< 1}.
IV.2.1. Теорема. Множество 9 выпукло, компактно и
секвенциально компактно.
Доказательство. Если <хь о2^9* и O^a^l, то
(aal + (l-a)a2)(t)^lrm(R)
jx-почти всюду и
(ao{ + (l-a)o2)(t)(R)=l
ц-почти всюду. Таким образом, аа{ + (1 — а) а2 ^9*, т. е.
множество & выпукло.
Если ае?, то
1<а, Ф>1 = |$Ф(*. ст(0)ц(Л)|<1Фи (Ф^Л).
Следовательно, |а|^1 и ^czf/(yf). Отсюда следует по
теореме 1.3.12, что ^ — условный компакт, а ^ — секвенциальный
компакт. Остается показать, что множество 9 замкнуто.
Пусть aye^, lima/ = v и £gJ. По теоремам 1.5.1 и
1.2.17, C(R) содержит не более чем счетное всюду плотное
подмножество {си с2, ...} семейства всех неотрицательных
непрерывных функций на R. Так как 9 cz U (ЛР), то, по
теореме IV. 1.10, vg£/(/). Более того, функция (/, r)-*%E(t) ct(r)
принадлежит множеству $ для каждого / е N. Таким образом,
по теореме IV. 1.11, для каждого feN мы имеем
0 < lim \ %Е (t) а (а, (0) I* (Л) = \ ХЕ (0 С (v (t)) р (Л). (1)
Так как это соотношение справедливо для всех £gS, то, по
условию I. 4.34 (7), с{ (v (t)) = \ с{ (г) v (t) (dr) ^ 0 ц-почти всюду,
например, для t е Tt. Так как любая неотрицательная
функция c^C(R) является равномерным пределом некоторой по-
следовательности (с,). е 7, то \ с (г) v (/) (dr) > 0 для всех t е f| Tt
и любой неотрицательной функции с е С (R). Следовательно,
по условию 1.5.1(1), функция v(/) является положительной
мерой ji-почти всюду. Для с(г)=1 (г е ]}) и £ е S, по
теореме IV. 1.11, имеем
J Хе (t) с (а, (/)) р (Л) = J х£ (0 а, (/) (R) р (dt) ^ \ %Е (t) v (0 (R) р {dt).
m

Следовательно,
|i (£) - J v (t) (R) |i (Л), $ [v (0 (/J) - 1] n (dt) - 0.
Таким образом, по условию I. 4.34(7), v(t)(R) = 1 ji-почти всюду.
Так как мера v(/) положительна и v(t)(R)=l ji-почти всюду,
то ve^, Это означает, что ^ — замкнутое подмножество
компактного множества U{Jf). Таким образом, множество 9
компактно и, по теореме I. 2.5, секвенциально компактно.
IV. 2.2. Лемма. Пусть {v, vk) — независимое
подмножество из JC и j4 = sp({vb ..., vfe}). Тогда отображение
к
а-* £ ал?/: Rk->A
/-1
является линейным гомеоморфизмом.
Доказательство. Так как (ЛР, | • \w) — нормированное
векторное пространство, а А — конечномерное подпространство,
то доказательство следует из теоремы I. 3.4.
IV.2.3. Лемма. Пусть а, а, ^9 и Лу = {/ <= Т\ а/(0=^а(0}
(igN), Гогда из Нт^(Л#) = 0 следует \imaf = a.
I i '
Доказательство. Для каждого фе! имеем
lim (а, - а, ср> = lim | \ р (Л) J Ф (/, г) (а, (/) - а (0) (dr) |
<
<
2lim $|<р(/, -)lsup[x(rf0 = 0.
л/
Таким образом, по теореме IV. 1.11, lima/ = <r. Лемма
доказана.
Напомним обозначения:
5rn^|e=(el,..., еп}е=пе'>о, 2Je'<i}.
<г;={е =(е°, е1,..., в^ек^^о, Ze/ = i j.
IV. 2.4. Лемма, Пусть Q-+ef (&):&"„-+9>(j = 0, 1,2, ...). Тогда
Нта, (9) = сто (9) (1)
Равномерно для всех 9е^, если для каждого f^C(T) исеС(Л)
lim J f «) с (а, (9) (0) р (Л) - J / (/) с (а0 (8) (t)) ц (Л) (2)
Равномерно для всех 9 е &".
305

Доказательство. Так как топология (слабой нормы) в 9>
является метрической и компактной и имеет предбазу,
состоящую из множеств
(а е= Г \(о — а', ф> < е} (o,E^,(pGl)e> 0),
то утверждение (1) выполнено, если для любого (pel и е>0
существует такое /0 <= N, что (а0 (8) — а/ (9), <р) < е для всех
8g^ и всех /^/0. В действительности достаточно выбирать ф
из всюду плотного подмножества в Я.
По теореме 1.5.25, множество С(Г)®С(/?) всюду плотно
в Я. Поэтому утверждение (1) следует из (2).
IV.2.5. Лемма. Для любого аЕ^ и любых открытых
подмножеств R' и R" из R функция t->o{t) (R' \ R")
^-измерима.
Доказательство. Пусть , F —- замкнутое подмножество
из/?, FJ = {rs=R\d[r1 F]>1//}, функция ci(r) = l, если^у=0,
и определена условием
С/ (г) = d [г, Ft\/(d [г, F] + d [г, F,]) Ц с= N; г ее R)
в противном случае. Тогда функции ct непрерывны, cj(/?)c[0f 1],
limc/(r)=l для rsf и limc/(r) = 0 для r^R\F. Таким
образом, по теореме IV. 1.6, функция
t-+o(t) (F; = lim \ сj (г) a <t) (dr
ц-измерима. Отсюда следует, что функции
t-+o(t)(R')=l-o(t)(R\R'),
t-+o(t)(R'r)R")=l-o(t)(R\R'()R"),
t-+o(t) (Rf \R") = o (t) (R') - a (i) (R' П R")
ц-измеримы.
IV. 2.6. Теорема. Множество 9* является замыканием
множества 31 в Jf.
Доказательство. По теореме IV. 2.1, ^ — метрическое
компактное множество. Поэтому достаточно показать, что 31
всюду плотно в 9.
Пусть <те£\ Так как R — компактное метрическое
пространство, то для любого /eN можно покрыть R конечным
набором открытых множеств Rk[k=l, ..., k(i)] диаметра не
больше, чем 1//. Полагая
Ri^Rk\k[]Rf [k=l, ..., *(/)]
и исключая все пустые множества R[* разобьем R на
множества Rlk[k=l, ..., k(i)]. Аналогично, разобьем Т на непустые
различные борелевские подмножества 7,/[/=1, ... /(/)]
диаметра не больше чем 1//.
306

Пусть
a}.fc=$o*)(*i)|i(<ft).
т)
k(t)
Так как Z «jt fe = I* (7^) и мера \i неатомическая, то, по тео-
реме 1.4.10, каждое множество 7/ можно разбить на такие
подмножества Цк, что I* (Г/, *) = <*},*• Выберем для каждого
fee{l, ..., &(/)} точку ri^Rk и положим
р,«) = г£ для *е= уд, [*=1, ..., *(/)].
Покажем, что limp/ = cr. Так как пространство 9 метрическое,
i
то отсюда следует, что множество 31 всюду плотно в &.
В силу леммы IV. 2.4, достаточно доказать, что
Urn \ f (t) с (Р| (/)) |i (Л) = J f (*) с a (/)) |х(Л)
для произвольного f s С (Г) и csC(i?). Пусть Qf (•)
(соответственно, &,(•)) есть модуль непрерывности функции /
(соответственно, с), и пусть t] — произвольная точка из Tj [i s N;
/=1, ..., /(/)]. Имеем
MO MO lit)
< I $ f w E * ^ * w wfo i* w - Ec /r**> E S ^ w i* <Л> I+
/.*
M0/(0
+ 0,0/0 Jl/(Olii (Л)-
E Ec (го Г S'(<) a (/) та •*{dt) - Sf (,) •*(Л) ] I+
'+Q,U/0$l/Wli*W0<
ft (0/(0
< Z Zc (ro' с?) П °w та ■* '*> ~ ■* w. *)1+
*-i /-i L r} J
+ 2Q, I I/O |iT)le Up + Qe '■ 1/01 / li =
= Щ 1/0 |i (ГЛ с |sup + Q, (1/01 / |, -y* 0.
307

IV.2.7. Теорема. Пусть <!, «gN, А — выпуклое подмно*
жество из R*, aG^,
и
А А
/(/, т, a) = g(t, т, <т(т), а) =
= ( g(*. т, г, a) a(x)(dr) (/, теГ; ае Л).
Тогда
fs=C(T,<8(TyA;Rn)),
Более того, если функция g (t, т, г, •) ыл*еег производную ga (/, т, г а)
для всех (/, т, г, а)е=ГХГХ#ХА и ga<=C (Г, <# (Г, #ХЛ; fi (R*, ft*)))
то функция f {t, т, •) имеет производную fa (t, т, а), '
f а (/, т, а) Да = J ga (t, т, г, а) Да а (т) (dr) (/,тЕГ;аеЛ;Дае R*)
fa^C(T, <g(T,A;B(R\ R"))).
Доказательство. По теореме И. ЗЛО, f(t, т, -)еС(Л, R")
If('.*. OLp^lsfcT, ., .)lsup (/.теГ).
Если g = (g!, ..., Л то
£*(*, ., .ia)eL,(7'> С(/?)) (/=1, ..., п\ te=T; аеЛ).
Следовательно, по теореме IV. 1.6, функция /'(/,•, а) jii-изме-
рима. Таким образом,
f(t, ., .)s«(f,y1;R») (*еГ).
Более того,
lf(^T,.)-fr,T(.)lsup =
= sup К [g (f, т, г, а) - g (f, х, г, а) ] а (т) (dr) I <
<1 *(*,*, -, O-g^'.T, .,-)lsup (t,f, xel).
Следовательно,
Ига \ I / (/, т, •) - f (f, х, •) |sup |i (dx) = 0 (t <= Г).
Это означает, что /g=C(7\ &(T, A; Rn)).
Если ge еС(Г, Л (Г, /?ХЛ; В (R*, R*))), то, по теореме II. З.Ю
производная /Л(/, т, а) существует для всех (/, т, а)еГХ^Х^'
/в(/, т, а)Да= J ge(f, т, г, a)kao(x)(dr) (Aae=R*; f, теГ; ае=Д
Ы*,т, -)еС(Л, B(R\Rrt)), |/e(*f т, •) |sup<| ga(U т, •, -)U
Так как функция /(/, • , а) fx-измерима, то, по теореме II. ЗД
308

avhkuhh fa(t, -,a) ц-измерима для всех (/, а)е=ГХЛ. Таким
образом, fa(t, : .)еЛ(Г, ^;B(R*tR»)). Наконец,
lim J|/«(/, х, -) — fa(*', т, •) lsup|i(dx)<
< \im\\ga(i, x, -, ')-ga'f,x, % -)lsupji(dT) = 0.
Это означает, что fa*= С (Г, Я(7\ Л; B(R\ R"))).
IV.2.8. Теорема. Пусть i,neN, Л — выпуклое
подмножество из R\ ae=^, g: Г ХГ X R X А-* R" к
/ (t, x9o) = g (<• т. a (т), a) = J g {t, x, г, a) a (т) (dr)
(f, теГ; ae= Л).
Предположим, что для всех {t, т, г, а) е Г X 2" X # X Л 0#«я-
ция g(/, t, •, •) непрерывна, а функция g(>, •, г, а) [i X Ц-нзл*е-
рима. Тогда функция f(t, т, •) непрерывна, а функция /(•, »,а)
[А X [i-измерима.
Более того, если для всех (t, х, г, а) еГХГ XRX А
функция g(t,T,r,*) имеет производную ga {t, х, г, а), и функция
gaiU t> '» •) непрерывна, то
fa (/, т, а) Да = J ga (U *> г, а) Даа (т) (dr) (/,теГ;ае Л; Да € R*),
функция fa(t, х, •) непрерывна, а функция fa(-, •, а) цХМ'-изже-
рылш.
Доказательство. По теореме И. ЗЛО, функция f{t,x, •)
непрерывна. Так как функция
s->g(t,x,s,a): (hm(R), hU^R"
непрерывна для всех /, tgJh og^ то, по теоремам I. 5.26
и 1.5.27, функция g (•, •, s, a) \i X ^-измерима для всех sе frm {R)
и a е Л. Следовательно, по теореме I. 4.22, функция
{U т) -* g (U t, а (т), a) = / (/, т, a)
Р-Хц-измерима для всех а^А.
Если производная g„ существует и имеет указанные
свойства, то, по теореме II. 3.10,
U(t, х, а)Да = ^ ga(tt т, г, а) Даа(т)(dr) (t, теГ;аеЛ;ДаеR*),
и Функция fa(t, т, •) непрерывна для всех /, тбГ. По
теоремам IV. 1.6 и II. 3.9, функция /<,(-,-, а) [а X [i-измерима для
всех а<^ А.
IV.2.9. Теорема. Пусть k, «gN, VciR", 2 —
топологическое пространство, h: TXVXRXZ-^Rk, функция xt\ Т->V
v ^ N) \х-измерима, limjc = Jc [i-почти всюду, lim(a/, 2;) = (а, г)
/ i
309

«ifeL1 (Г, 2, \i). Более того, предположим, что функция h{*,v,ryz)
\1-измерима, функция h (т, •, •, •) непрерывна для всех (т, v, г, z) е
^TXVXRXZи
| h (т, xi (т), а/ >т), z,) | < ф х) (т <= Г; / е N).
Тогда
lim jj Л (т, ху (т), ау (т), z,) н, (dx) = ^ Л (т, х • т), а (т), z) ji {dx).
Доказательство. По теореме IV. 1.6, h(т, ху (т), <ту(т), zh
и Л(т, х(т), а(т), г7) являются (i-измеримыми функциями от г и,
так как их нормы ограничены функцией г|э(т), они ц-интегри-
руемы. По условию 1.2.15(2), для ц-почти всех теГ имеем
НтЛ(т, ху(т>, г,гу) = Л(т, х(т), г, г)
равномерно для re/?. Следовательно,
lim [Л (т, х, (т), ау (т), zy) - Л (т, х (т), а, (т), z) ] = 0. (1)
Так как
I А (т, xf (т), а7 (т), */) | < * (т) (т <= Г; / е= N),
то, по условию (1) и теореме 1.4.35,
lim [ h (т, Xf (т), aj (т), zy) ц (dr) =
= lim ( [h(т, x/(т), Of (т), zy) — Л(т, х(т), ау(т), z)]\i<dx +
+ lim \ h (т, х (т) ау (т), z) [a {dx) —
= lim \ \х (dx) \ h (т, х (т), r, z) ау :т) (dr). (2)
Если h = (hl, ..., Л*), то функция (т, r)->hl\x, х{х), г, z)
принадлежит пространству L1^, C{R)) для каждого /е{1, 2, ..., &},
и поэтому
lim \ \i{dx) \ Л(т, х(т\ г, г) ау(т) {dr)= \ Л(т, *(т), а(т), z)\i{dx).
Наше утверждение теперь следует из утверждения (2).
IV. 3. Множества 9ft и 9^ и допустимые множества
Обычные управляющие функции р могут быть ограничены
условием вида
Р (</€=**(/) (*)
310

для ц-почти всех <еГ, где R (t) — непустое подмножество из"/?
для каждого /. Например, мы можем потребовать, чтобы
выполнялось условие h(t, р(*))е# ц-почти всюду для заданных
множеств Y, HczY и функции h: TXR-+Y. Наше изучение
частных классов задач оптимального управления не будет
выходить из этого ограничения. Читатели, которые предпочитают
задачи оптимального управления без ограничений, могут
упростить чтение этого параграфа, предположив, что Ru(t) = R(t^T)t
и заменив множества Я* и &* на 31 и ^, соответственно. В этом
случае им не понадобятся ссылки на параграф I. 7 (измеримые
многозначные отображения).
Отображение R* и множества $№ и £4 Пусть
Rb; Т ->!?'(R) — заданное отображение. Положим
№ = {р <= М | р (0 е= /?* (/) ji-почти всюду},
R4t)=R*¥) (teT),
9>* = {o&9>\o(f)(Rb(t))=\ jx-почти всюду},
9>%b = {Ge=?\o(t)({9(t)})=\
ц-почти вск)ду для некоторого р е ^} = ^ П ^л.„
Так же, как и в случае множеств ? и Ж, мы отождествляем
множества 9^ и &* и, таким образом, рассматриваем 2№ как
подмножество из &*.
Так же, как в параграфе 1.7, определим класс & (/?)
непустых подмножеств из R как топологическое пространство,
введя хаусдорфову метрику 6. Таким образом, отображение /?^
непрерывно на некотором подмножестве F из Г, если для
любого /sFHe>0 существует такое т] > 0, что б {R* (/), R* (t)) < г
при tf=F и d(/, 0< Л-
Нам потребуется в дальнейшем, чтобы отображение R**: Т->
~*&'(R) удовлетворяло следующему условию.
IV.3.1. Условие. Отображение R*\ T->&'(R) \х-измеримо
и существует такое счетное подмножество $!L из ЗР, что
множество {р (t) | р е $1>} всюду плотно в R*(t) для \х-почти всех t е Г.
Замечание. Так как отображение /?4 ц-измеримо,
соответственно, непрерывно, тогда и только тогда, когда измеримо,
соответственно, непрерывно отображение /?**, то из теоремы I. 7.1
и теоремы Лузина 1.4.19 следует, что для любого е>0
существует такое замкнутое множество ТгаТ, что \х{Т \Те)^.г
и отображение R*\Te непрерывно.
Следующая теорема IV. 3.2 показывает, что условие IV. 3.1
выполняется во многих интересных случаях и дает некоторые
критерии для проверки этого условия.
IV.3.2. Теорема. Пусть отображение R*: T-*&'{R)
^-измеримо. Предположим, что либо
311

1) множество R*(t) замкнуто для всех t&T, либо.
2) R*(t) a R*(t)° (t е Т), и для любого е>0 существует такое
замкнутое подмножество Те из Т, что \i (Т \ Те) <[ е и множество
{(/, r)<=TBXR\r^R* (0°} открыто относительно Тг X R.
Тогда отображение R* удовлетворяет условию IV. 3.1.
Условия 1 и 2 будут выполнены, в частности, если Y — полное
сепарабельное метрическое пространство, Н — замкнутое
подмножество из Y, h: TXR-+Y, функция h(t, •) непрерывна, а
функция Л(*, г) [i-измерима для всех (t, г)еГХ# и
R*(t)={rt=R\h(t, г)^Н)Ф(д
[х-почти всюду.
Доказательство. Первая часть нашего утверждения
непосредственно следует из теоремы 1.7.9. Докажем вторую часть
утверждения. Так как функция h(t, •) непрерывна, а множество Я
замкнуто, то множество R* {t) = {r е R\h(t, г) е Н) замкнуто
для всех /еГ, По теореме 1.5.26, для любого е > 0 существует
такое замкнутое множество Fe<^T, что \i(T \Fe)<^s и
функция h\FeXR непрерывна. Тогда множество
G6 (R*) = {(/, г) € Fe X R\ h(t, r) e H)
замкнуто. По теореме 1.7.2 и лемме 1.7.5, отображение R*\FB
ji-измеримо. Так как е произвольно, то отображение R*
^-измеримо и вторая часть утверждения теоремы следует из первой.
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь класс подмножеств °Ы из 91^, которые
потребуются при изучении приближенных ^-решений и
минимизирующих ^-решений. Как и в случае условия IV. 3.1, мы
начнем определение этих «допустимых множеств» с изучения
некоторых критериев для определения класса допустимых
множеств.
IV. 3.3. Определение допустимых множеств. Мы говорим,
что °Ы являются допустимым множеством или допустимым
подмножеством из 91^, если <U с: 9№,
1) множество °U содержит такое счетное подмножество ^t^,
что множество {и (t) \ и е Щ^ всюду плотно в R* (t) для \х-почти
всех t^T, и
2) для любых /igN, ауе^ (/ = 0, ..., п) и ве^
существует такая последовательность {ut(Q)) в °U, что limwt(0) =
п i
= £ б'ог/ в 9> равномерно для всех 8 е Т'п и функция
Q->ut(Q): Т'п->9>
непрерывна для каждого i е N.
В теореме IV. 3.9 будет доказано, что множество °U является
допустимым, если оно удовлетворяет данному ниже условию
3!2

IV. 3.4. Этим будет доказано, что множество д№ является
допустимым.
IV.3.4. Условие. Множество Щ является подмножеством
из ffl, удовлетворяющим условию IV. 3.3(1), а также следующему
условию: для любого ^-измеримого множества Тх и любых
функций ии u2^cU функция и: Г->/?, определенная условием
u(t) = ux(t)(te=Tx), u(t) = u2(t) (t^T\T{\
также принадлежит множеству °U.
Следующие леммы IV. 3.5 и IV. 3.6 очевидны.
IV. 3.5. Лемма. Пусть R — всюду плотное подмножество
из R и № (t) = R(t& Т). Тогда множество ^-простых функций
из Т в R удовлетворяет условию IV. 3.4.
Назовем функцию р: T—>R ^.-кусочно-непрерывной, если
существует такое конечное разбиение множества Т на ji-измеримые
множества Ти ..., Г/, что функция р \Tt непрерывна для каждого
/=1, ..., /.
IV. 3.6. Лемма. Пусть R*(t) = R{t gJ). Тогда класс
^-кусочно-непрерывных функций из Т в R удовлетворяет условию
IV. 3.4.
IV. 3.7. Лемма. Пусть Ш удовлетворяет условию IV. 3.4 и
е > 0. Тогда существует такое замкнутое подмножество Т6^
из Т, что
1) fx(r\rf)<6, и
2) для любого непустого множества R' cz R существует такое
hg=2/, что d[u(t)y R']<e при t^Tf и d[R*(t\ /?'] = ().
Доказательство. Пусть множество ^/оо = {и\ и2, ...}
определено условием IV. 3.3(1), а множество Тг определено
замечанием к условию IV. 3.1. Тогда по теореме Лузина 1.4.19,
существуют такие замкнутые подмножества Т[ из Т (i е N), что
\i (Т \ Те) ^ e/2/+I, функция и1 \ Т1Ъ непрерывна и множество
{и1 (/), и2 (t), ...} всюду плотно в R* (t) для всех / е Рг. Полагаем
Тогда ц(Г\Г^)<8, функции R^\T^ и и{\т°^ непрерывны для
всех / и множество {и1 (/), u2(t)9 ...} всюду плотно в R*(t) для
* всех t е Т™.
Пусть теперь /?'<=# и R'¥*0. Так как функция R4\T^
непрерывна, то функция
313

также непрерывна. Таким образом, для любого т е Т^
существует такое и% е Ш^ что
d[ux(x\ R']<zl2 + d[R\ R*(%)\.
Отсюда слезет, что существует такая относительно открытая
окрестность Nx точки т в 7^, что
d [их (<), ЯКе + i [Я', Я* (01 (t е ЛГТ).
Так как множество 7^ замкнуто (а следовательно, компактно),
то его можно покрыть конечным подсемейством таких
окрестностей Nxiy -.., N%k. Положим
/л а Их, (0 Для ts=Nx\\J Nx (/= 1, ..., Л),
|ati(0 для ts=T\Tf.
Тогда ке=2/ и d[a(f), /?1 < в, если /Grf,H d[/?', /?*(/)] = 0.
IV. 3.8. Лем м а. Пусть F — ^-измеримое подмножество из Т>
{Ru • • • > Rm}—такое разбиение множества R, что Rk=Rk \Rk¥=0
для некоторых открытых множеств Rk и Rl (k = 1, ..., m) и
а;е^ (/ = 0, 1, ..., п). Тогда для любого Os^J мы можем
разбить множество F на такие различные ^-измеримые
подмножества FJtk{Q) (/ = 0, ..., п\ £=1, ..., /л), <*го
e/Ja/(0(^)ti(rfO = ^(F/,,(e)), (1)
я m
Hm £ Е {ц (/="/. * (в) \ F,, ш (в,)) + |i (Ft. k(Qi)\F,.k (в))} = 0, (2)
rf№4(0, «J-0 1<sfM(e)). (3)
Доказательство. Пусть
4={<eF|Z0/(<)(i?^o} (*=1, .... /»),
Pm — класс непустых подмножеств из {1, 2 m) и
Следовательно, GD — множество тех t e F, для которых
ft
ДмО (**)*= о
314

только при Jefl. Таким образом, множества GD(D е Рт) обра-
п
зуют разбиение множества F. Так как (п+ l)~lY* °7 е &*, то,
/-о
по лемме, IV. 2.5, множества Ak ^-измеримы, и потому
множества GD также ц-измеримы.
Пусть | D | — число элементов в множестве D и
|1\|£>|, если ul(Gd) = 0 и k е= D,
О, если [I (GD) = 0 и k& D,
'' * [l/l* (Gd)1 \ о, (0 (Я*) ц (Л), если ц (0D) =* 0
(/ = 0, 1, .... п; k=\, .... m; D (= Рт).
Так как мера ц неатомическая, то, по теореме 1.4.10, для
каждого D е Рт мы можем определить такие множества
GD(a) (ае[0, 1]), что
GD(a)cGD(p) (а<р), ц (GD (а)) = ац (GD),
GD(O)=0, GD(1) = G0.
Ясно, что
п т
Пусть пары (/, &)(/ = 0, ..., я; &=1, ..., т) упорядочены
лексикографическим способом, т. е. (/ь kx) < (/2, k2\ если либо
/i</2, либо /i = /2 и kx<k2. Для всех D^Pm и 9ef; мы
можем разбить интервал [0, 1) на последовательные интервалы
//Dne)=kDne), ft£*(e))
длины б'а^, расположенные по возрастанию (/, k) в
лексикографическом порядке. Полагаем
(/ = 0, 1, ..., п\ k=\, ..., m; esfi).
Так как множества
M^(e))\Ma/Ve)) (/-о. 1. •••> «; *=Ь •••> *)
ц-измеримы и различны для всех D еРт и вЕ ^, то
множества f/, k (9) также ц-измеримы и различны для всех 8 е Т'п.
315

Их объединение удовлетворяет условию (J GD = F. Имеем
D^Pm
i»(Fi. * щ -BS де»<*> - «/D * (0)] i» (оЛ) -
- £ е/«/Ж)= Е е/ J»/(о (/?*)!*(*)-
Z>e=Pm DsPm GD
= в7 Ja/(OW*)|i(rfO.
/=•
Таким образом, соотношение (1) выполнено. Если t eF/j(B), то
t^GD(b°k(Q))\GD(a»k<Q))
для некоторого D^Pm. Следовательно, b£k(Q)—^Л(в)=6/а^Л>0.
Поэтому из * е D и 2 а* (0 (Rk) =5^ 0 следует, что d [R*(t)t Rk]=0.
Таким образом, соотношение (3) выполнено.
Наконец, рассмотрим соотношение (2). По построению,
для всех /, Л, D и 8. Таким образом, функции 9-*&д*(9) и
6->a£fe(9) непрерывны на Т'п. Пусть теперь ЛДЯ=(Л\В)11
11(В\-А). Тогда
I* ( [Qd (Pi) \ Gd (ai)] A [GD (р2) \ GD (a2)]) <
< li ([GD (max (pb p2)) \ GD (min(plf p2))] U
(J [GD(max(alf 02)) \ GD(min(au a2))]) = (| p2 — Pi I +1 02 — «i \)p(Qd)
для всех Z) gPw и a,, a2, pb p2 e [0, 1]. Так как множества GD
{D e Pm) различны, то
n m
Hm Z Z li^/.^ejAF/.^eOX
e,>e /-0 ft-i
n m
:iim Z Z Z(\b?,k(Q)-b?,k(e1)\ +
e,->e DeEPm /-о л-1
+ l«/%(0)-a/D*(0i)|)KGD)=°-
Это доказывает соотношение (2).
IV.3.9. Теорема. Пусть множество <И удовлетворяет уело*
вию IV. 3.4. Тогда множество <U допустимо. В частности
Э№ — допустимое множество.
Доказательство. Пусть для каждого е > 0 множество Tf
Д
определяется леммой IV.3.7, /igN, a0, ..., оп^!?* и о($)=*
316
<

п
Л
=■ S 6/<т/ (б е ^"я)- По теореме 1.2.5, для каждого / е N можно
покрыть компактное метрическое пространство R конечным
набором открытых множеств R[\ #2', ..., Rkt, каждое из
которых имеет диаметр не больше 1//. Положим
tf'-OV. Ri=Rk\Rt (A-l.....*i).
Тогда множества /?[, ..., /?£. образуют разбиение множества R.
Мы можем считать, что каждое множество Rf непусто.
Аналогично, разобьем множество Т% (выбрасывая, если это
необходимо, множества нулевой меры) на борелевские
подмножества Т\9 ..., Г/, положительной ji-меры диаметром не более 1//.
Для каждого /е{1, 2, ..., 1{) применим лемму IV. 3.8,
заменяя Rky F и ш, соответственно, на Rk, Ti и &/, для того
чтобы разбить множество т\ на различные ц-измеримые
множества Г/, /, k (6) (/ = 0, ..., п\ бе fT„), удовлетворяющие
соотношениям (I) —(3) леммы IV. 3.8 при Z7/, л (G) = Г/, /. ^ (0).
Тогда, по условию IV. 3.8(3) и лемме IV. 3.7, существует такое
«{е«, что d\u}k{t\ /?<]<1// для * е 7|/§л(в) и всех /, /, k
и 9. Для каждого 9g^ положим
,D4 А/^(/) ДЛЯ 1^ТУи^
и*Ш*~\иЦ0 для /*Г{§/§А(в)
(/=1, .Л, /,; / = 0, ..., п\ k=l, ..., А,).
Эти соотношения определяют функцию ut(8)(t) для всех 9е^
и/еГ,
Функция Q-*tii(Q): Т'п-^Щ будет непрерывной.
Действительно, это следует из леммы IV. 2.3 и условия IV. 3.8(2),
так как
1*№е Г In,(в)(/)# и,(90(0})<
<iii и(г/'./.*(в)дг/.Л*(в/))7т-о.
/-1 /-о *-1 е *е
В силу леммы IV. 2.4 остается доказать, что для каждого f е С (Г)
и с е С (/?) выполняется равенство
и™ $ f (0 * ("I (в) (0) ^ (Л) - $ f (0 И (Л) $ с (г) в (9) (0 Wr> (1)
Равномерно для всех 0 е У*.
Для каждого /, / и k выберем точки t\ е= т\ иг[е r[. Сим-
Лом °(е) обозначим величину, абсолютное значение которой
317

не превосходит е. Пусть е > 0, и пусть число /0 е N достаточно
большое, чтобы выполнялись условия
'o>6|f|,np|C|,up/e,
|C(r)-c(r/)l<e/(6|f|sup^(r))>
I f (0 — / (Ol<e/(6| с |,ар |х (7*))
при d(r, г'Х2Д'о и d(t, t')^.l/i0. Тогда, суммируя по / = 0, .... п,
1=1, ..., U и k= 1, ..., ki, для 6 е£Г„ и t>/0 имеем
\f t)li(dt)\c(r)6(e)(t)(drl =
= £ J / (0 ц (dt) \c(r)a (6) (0 (dr) + О (e/6) =
' t\ *
= £ f ('9 J И (dt) \c(r)a (G) (0 (rfr) + О (2e/6) =
' г,' . *
~i %
= £ f 00 с 01) в' J Ц (Л) \ a, (t) (dr) + О (3e/6) =
- £ / (Ф с (ri) (i (rj, /. ft (9)) + О (Зе/6) =
/./.ft
= 2 f (tt) \ с (ri) ц (dO + О (3e/6) =
'• '• k T\ , и (в)
- £ S / (*) с («» (в) (0) i* 'Л + О (5e/6) =
<•'•* rz' />ft(e)
= X J ДО с (к, (в) (0) |i (Л) + О (5е/6) =
Tl
= S/Wc(iii(e)(0)|i(*) + O(e).
Так как /0 не зависит от 9; то утверждение (1) выполнено.
Замечание. В специальном случае, когда T = [tQi /JcrR,
л
[i — борелевская мера в Г и R* (t) = R(t еГ), можно указать
некоторые простые допустимые подмножества из 3№^ не
пользуясь при атом условием IV. 3.4. Можно показать, что мно-
318

жества $рС кусочно-непрерывных и $рС кусочно-постоянных
функций являются допустимыми. Условие IV. 3.3(1) проверяется
несложным построением. Более того, соображения теоремы IV. 3.9
можно несколько модифицировать, чтобы показать, что
множества $!рс и $рс -удовлетворяют также условию IV. 3.3 (2). Эта
модификация состоит в выборе интервалов Ti и Г/, /, * и в при.
менении результатов леммы IV. 3.7 при Т^ = Т и теоремы
IV.3.9 к интервалам F, Fftk(Q).
Если мы предположим, что R — выпуклое подмножество
некоторого векторного пространства, то множество С(Т, R)
будет допустимым. Действительно, легко показать, что
множество С (Г, R) удовлетворяет условию IV. 3.3(1). Для
проверки условия IV. 3.3(2) нужно «сгладить» функции к*(6)(-),
определенные для $р'с.
IV. 3.10. Теорема. Если °U — допустимое подмножество
из ffi, то множество °U всюду плотно в &*. В частности,
множество 9№ всюду плотно в 9>h.
Доказательство. Первое утверждение следует из
условия IV. 3.3(2) для /г = 0. Второе утверждение следует из
первого, так как ^ — допустимое множество (как следствие
теоремы IV. 3.9).
IV.3.11. Теорема. Пусть отображение Г: T~>!?'(R) \х-из-
меримо и
^ = {a^9?\o{t)(flJj)=l \х-почти всюду].
Тогда множество Л выпукло и компактно. В частности,
множество &* выпукло и компактно.
Доказательство. Выпуклость множества Л, проверяется
непосредственно. По теореме IV. 2.1, множество 9> компактйо,
поэтому достаточно доказать, что множество Л замкнуто.
__ Пусть отображение Г: Т-+&' (R) определяется соотношением
Г (/) == Г (t) (t е Г), (а;) — последовательность в А, сходящаяся
к некоторому элементу се?', у\ > 0 и е > 0. По теореме I. 7.1
и теореме Лузина 1.4.19, существует такое замкнутое
подмножество F^ из Г, что \х{Т\ F^Xti и функция Г|/% непрерывна,
следовательно, функция TIF^ непрерывна. Пусть i е F4,
G^SiTdle), GU2 = S(f(i)7 е/2).
Тогда существует такое б > 0, что
Г(/)с=0№ T(t)czS(T(t), е/2)
при/е^п,з={т€=/^(т, *)<6}. Пусть теперь с(г) = 0, если
{ji:ssR9 и
с (г)= d [г, Gl/2]/(d [г, С1/2] + d[r,R\ GJ) (re*)
319

в противном случае, и пусть % — характеристическая функций
множества F^^. Тогда функция с непрерывна,
\%(t)\i(dt)\c(r)af(t)(dr) = 0 ffsN)
и, по теореме IV. 1.11,
0=\im\x(t)ii(dt)\c(r)a!(t)(dr) =
= \%(t)\i(dt)\c(r)a(t)(dr)> J o(t)(R\Gx)ix(dt).
Следовательно, a (t) (R \ G{) = О, или a (t) (G{) = 1 для ji-почти
всех t^F^t. Далее, G, c=S(r(0, Зе/2) для всех t^F^^. Отсюда
следует, что компактное множество F^ можно покрыть таким
конечным набором относительно открытых окрестностей, что
o(t){S{T(t), Зе/2)) = 1 |л-почти_ всюду. Так как е произвольно,
то, по теореме 1.4.35, a(t)(T(t))=l для ц-почти всех t^F^.
оо
Пусть теперь Г= U Fiih Тогда \х(Т\Т') = 0 и a(T(t))=l для
/-1
[i-почти всех t е Т'\ следовательно, аЕД.
Так как, по условию IV. 3.1, отображение /?* ji-измеримо,
то наш вывод остается справедливым при замене Д на ^.
IV.3.12. Теорема. Пусть у1е=$ (/=1, ..., п),ф = (ф!,..., фл),
5 (0 е rpm (R* (/)) для \х-почти всех t&T, и предположим, что
функция
<^ + Ю=$Фвг)д(0(<*г): r->R"
{^-измерима. Тогда существует такое as^, <*70
*(*)«J<p(<, r)a(t)(dr)
для [х-почти всех /еГ.
Доказательство. По теореме 1.5.26 и теореме Лузина
1.4.19, для всех /gN существует такое замкнутое
подмножество F{ из Г, что \i(T\Fl)^l/i и функции ^\Fh R^\Ft и
ф|/^Х# непрерывны.
Пусть теперь /eN, и пусть 6 > 0 таково, что
I + W-*(0I<1A,
1ф(',')-Ф(*', г)|<1Д (ге*),
**(0c:S(W), 1/0
при d(ff 0<6, t^Fi и feF,.
Покроем замкнутое (следовательно, компактное)
подмножество Ft компактного множества Т конечным набором откры*
320

тых (относительно множества F^ подмножеств Ft, ..., Ftl из F(
диаметром не более б. Ясно, что можно считать, что ни одно
из множеств р\ не содержится в объединении всех других.
Пусть ^
D*i = T\Fi, Dli=Fli\[JFT (/=!, ...,й<).
m-l
Тогда множества D\, ..., £>*' непусты и образуют разбиение
множества Л. Для каждого /е {0, 1, ..., kt) выберем t\^D\
(полагая /? = /!, если D?=0), обозначим через %{
характеристическую функцию множества D\ и положим
*«
Oi(t)=Zxti(t)d(t[)9
/-о
*«(0-$Ф(<.г)а,(0(*) (<еГ).
Тогда для каждого / е N имеем: а< е 9, функция -ф^ (х-измерима,
Oi{t)(S(R*{t), 1Д))= 1 (<sF,)f
| + (0-+i(0|-|*W-*('i)|<iA
для t^D\ (/=1, ..., £,). Следовательно, | -ф (/) — ^ (/)| < \/i
для / e fV Получаем, что
Нт-ф; — ф
по мере ц. Следовательно, по теореме Егорова 1.4.18,
существует такое /!с:(1,2, ...), что lim ^(0 = ^(0 ц-почти всюду.
По теореме IV.2.1, существуют такие J2^J\ и as?1, что
lim at = а. Полагаем
*(0 = $Ф(', r)d(0(rfr) (<еД
Покажем, что -ф^-ф jx-почти всюду и абЛ Это завершит
Доказательство теоремы. Имеем
Hm ^i{t)\i(dt)=*
Е
- lim \ |i (Л) ( %в (0 Ф (/, г) а, (0 (rfr) = J |i (dt) J Ф (f, г) а (/) (dr) -
- S*Wi*(*) №eZ). (О
в
П Дж» Варга 821

Далее, limih = a|> ц-почти всюду, | ф,-(О К sup | <р (f, г) | ц-почти
всюду и функция t -► sup | ф (/, г) | ц-интегрируема, так как фу е &
(/=1, ..., п). По теореме 1.4.35, получаем
lim U, (0 (л (Л) = U (/) ц (dt) (Е е 2)
и, по условию (1),
\^(t)ix(dt)=\^(t)n(dt) (Eel).
Е Е
Следовательно, по условию 1.4.34(7), ^(t) — ^(t) ц-почти всюду.
Наконец, покажем, что о (f) {R* (t)) = 1 ц-почти всюду.
Действительно, пусть е > 0, и пусть последовательность / с: /2 такова,
что 2 1А < 8- Полагаем
F- П Л. /tf(0=S(**(0,e).
^| = (а е ^ | а (0 (Rl (0) = 1 ц-почти всюду в Fe}.
Тогда отображение R%(*) из F8 в ^'(/?), принимающее
компактные значения, будет непрерывным, ц(Г\^8)<е и
Применяем теорему IV. 3.11, заменяя Т на Fe, А на 9г% и
получаем, что
а== lim сг^ е£^.
Следовательно, a (t) (R% (t)) = 1 ц-почти всюду в F8.
Пусть теперь т) > 0. Покажем, что
ц({/еГ|а(/)(^(0)#1})<Л.
Это завершит доказательство. Пусть /0 е N таково, что
£ 2-'<п, и пусть Г^ П Z72"'. •
Тогда ц(Г\ГТ1)<т1 и
ц-почти всюду в Тц (/ > /0). Так как а (/) е rpm (/?) ц-почти
всюду -и характеристическая функция множества /?2-*(0
сходится для каждого ге/? к характеристической функции
множества R*(t) при /->оо, то, по теореме 1.4.35,
* (0(^(0)=!
ц-почти всюду в Гп.
322

IV. 3.13. Теорема. Теорема IV. 3.12 остается справедливой,
если предположение q/ е 31 (/=1, ..., п) заменить на
предположения, что ф7 — действительная функция на Т X R, функция
J И, •) непрерывна, а функция Фу (•,/•) а-измерима для всех
доказательство. Для каждого k е (0, 1, 2, ...} и / е
е{1, 2, ..., п} положим
7* = {теЛй<|ф(т, -)и<*+1},
q>i('. r)=q>'(', г) (/srj,
ф/(/, Г)=0 (*еГ\ГД
Ф* = (Ф*. ■••• Ф*)-
По теореме 1.4.21, множества Г* ^-измеримы. Таким образом,
Ф> е Ш и
*(0=$Ф*(/, r)ff(0(rfr)
(/с=7У, Л = 0, 1,2, ...; /=1, ..., л).
По теореме IV. 3.12, для каждого fee{0, 1, 2, ...} существует
такое ak е 3^, что
*(0Х*(0-$Ф*С r)9*(0(rfr) «еГ; *-0, 1, 2, ...), (1)
где %k — характеристическая функция множества Tk. Положим
d{t) = ak{t) для fGrfe и & = 0, 1, 2, ... Тогда йе/ и, по
условию (1),
♦ (0«$Ф(',гЖ*)(ЛО (^г).
IV.3.14. Теорема. #*/сгб neN, А: ГХ^ХЛ^Я'1, ve
efrm+(r), as/, ГсГ, ц(Г\Г) = 0. Предположим, что
1) множество R**{x) замкнуто для всех tsT;
2) h<=$(TXT, s®2, vXn, Я; Ю;
3) множество {h (•, т, г) | г е /?4 (т)} является выпуклым
подмножеством из #~(Г, S, v, Rrt) для все* те Г7.
Гогда существует такое р е Я , что
\ h (t, х, а (т)) р (dx) = \ h (t, т, р (г)) ц frft)
для v-почти всех t е Г (где h {t, х, а (т)) = \ h (/, т, г) а (т) (dr)).
Доказательство. 1. Так как функция Л(- , •, г) vXn-
измерима для всех rsi?, а функция (t, х) ~>| Л (/, т, •) |sup
И* :323

v X ^интегрируема, то, по теореме 1.4.48 и теореме Фубини
1.4.45, существует такое множество Т"аТ', что \х (Т' \ Т") = О
и обе функции А(',т,г) и *-*|AftT, •) |sup v-интегрируемы
для всех (т, г) gГ"X ^' Пусть точка теГ фиксирована, и
обозначим через ф(г) элемент Л(*, т, г) из V (Г, 2, v, Rn).
Если limr/ = f в R, то, по условию 2) и теореме 1.4.35,
1Ф(Г)-Ф(г7)|= $|Aft т, r)-Aft т. o)|v(£fO r 0.
Таким образом, функция ф: R-+Ll(T, 2, v, Rn) непрерывна, и,
по условию 1.2.9(1), Ф (Z?4 (т)) является компактным
подмножеством сепарабельного банахова пространства Ll (Г, 2, v, R")
(1.5.18). Так как, по условию 3), множество q>(R*{t)) выпукло,
то, по теореме 1.6.13, существует такая функция р(т)е^(т),
что
$А(.,т, r)a(T)(£fr)-A(.tT, р(т))
в V(T, 2, v, Rn). По условию 1.5.26(3), функция А(-, т, •)
vX8(т)-измерима, и поэтому, по теореме 1.5.21,
\h{tt%,r)d(%)(dr)~h{tt%9№) (4)
для v-почти всех /еГ,
2. Пусть теперь
«ft т, г) = (1+| Aft т, OUp)*"1 Л ft т, г)
ft т € Г; г е R).
Тогда, по условию 2) и теоремам 1.4.21 и IV. 2.8, обе
функции ft t)->Aft т, <т(т)) и А( •, •, г) ,v X (А-измеримы для всех
ге/?, и так как |Л(/, т, г)|^1 и |Aft т, <х(т))|^1, то эти
функции также v X ц-интегрируемы. Таким образом, по
условию 1.4.45 (2) и теореме 1.4.48, существует такое множество
Г" с Г", что IX {Т\ Г") = 0, функция t -► | A ft т, г)-A ft т, а (т) I
v-интегрируема для всех т е Г'" иге/?, интеграл
Ф(*. r)=J|Aft т, r)^-Aft т, d{x))\v(dt) (5)
существует для всех (т, г) е Г'" X R и функция г|э (•, г) ц-изме*
рима. Более трго, по теореме I. 4.35, имеем
Нтф(т, г7) = ф(т, г) (теГ)
/
лри Нтг/ = г. Таким образом, функция ф(т, •) непрерывна
на R для всех т е Г"7.
324

По условиям (4) и (5), ф(т, р(т)) = 0 для всех теГ;.
Применяя теорему Филиппова — Кастена 1.7.10, мы получаем, что
существует такое р е ЯР, что -ф (т, р (т)) = 0(те 7"").
Следовательно, по условиям (5) и 1.4.27(6), для каждого те Г'"
существует такое v-нулевое множество Zt, что
h (/, т, а (т)) - h (*, т, р (т)) (т е Г"; / е Г \ Zx). (6)
Если мы обозначим через Z то подмножество из Т X Т9 на
котором нарушается условие (6), тогда множество Z v X jx-из-
меримо и
\%z(t9 x)v{dt)XVi(dx)^\li(dx)\v(dt) = 0.
zx
Таким образом, vX|a(2) = 0 и ц({теГ|(/, т) sZ}) = 0 для
v-почти всех <еГ. Из условий (6) и 1.4.45(3) получаем тогда,
что
J h (/, т, а (т)) р (dx) = J А (/, т, р (т)) |i (Л)
для v-почти всех /еГ,
Замечания
Кдея вложения множества «обычных» функций (таких как
множество 3f) в некоторое большее множество, элементами
которого уже являются не только функции данного типа,
возникла первоначально в связи с дифференциальными
уравнениями в частных производных. Различные конструкции «слабых
решений» привели к пространствам Соболева [1],
распределениям (Шварц, [1]) и обобщенным функциям (см., например,
Гельфанд и Шилов [1,2]). И распределения, и обобщенные
функции отождествляются с непрерывными линейными
функционалами на соответствующем топологическом векторном
пространстве.
В вариационном исчислении такая конструкция была
впервые введена и исследована Янгом [1, 2] в форме «обобщенных
кривых» (см. также Янг [3]). В теореме оптимального
управления обыкновенными дифференциальными уравнениями
слабые решения или аналогичные конструкции рассматривались
Филипповым [1] («скользящие режимы»), Варгой [1]
(«обобщенные кривые»), Мак Шейном [5] («обобщенные управления») и
Гуйла-Ури [1] («предельные управления»). Множества У и ^,
как они определены в главе IV, были введены Варгой [8].
Теорема IV. 1.8 связана с некоторыми вариантами (Шварц
[2], № 4, стр. 3) теоремы Дан форда — Петтиса (Данфорд и
Шварц, [l]f теорема 6, стр. 503), но мы привели только
наиболее интересный для нас случай, именно, случай
пространства Ll(T,C(R))\ Теоремы IV. 2.1, IV. 2.6, IV.3.9, IV. 3.11 и
IV. 3.12 обобщают результаты Варги [8.12].

Глава V. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ, ОПИСЫВАЕМЫЕ
УРАВНЕНИЯМИ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
V.O. Формулировка задачи оптимального управления
В этой главе мы будем рассматривать общую задачу
управления из главы III, определяемую множествами ^, (Ui В, Сх
и ^i и функциями
F: <УХ<иХВ-><Ц,
go: <VX^XS-*R,
gii ух<ихв-»их.
Мы ограничимся рассмотрением только тех точек {у, и, b) е
е °У X °U X В, которые удовлетворяют уравнению движения
y = F(y, и, 6), и среди таких точек рассмотрим те, которые
«почти» удовлетворяют ограничению gx (уу и, 6) е С{ и
стремятся минимизировать функцию g0(y, и, Ь).
Нам будет удобно предположить, не ограничивая общности,
что 8вх является топологическим векторным пространством вида
RWX<3?2 и что С = С{ХС2, где C{czRm и С2с=а?2. Причина
этого предположения заключается в том, что при обсуждении
необходимых условий минимума мы должны будем полагать,
что С2 — выпуклое множество с непустой внутренностью, в то
время как С{ может быть произвольным выпуклым
множеством. В соответствии с этим заменим функцию gx функцией
(81,82)' УХбиХВ-+КпХ8в2- В этой формулировке наша
задача заключается в нахождении наименьшего значения
функции g0 на множестве
ят=Цу,", 6)€=<ух^хв1у=/Ч{/, и, ь)}
при ограничениях gx(yt и, 6) g Сь g2(y, и, J) g С2. Нам будет
удобно также сводить нашу задачу к случаю С{ = {0}, полагая
В = ВХСи Ь = (Ьус{)е=В,
go(y, и, b) = g0(y, и, Ь\ §{{у9 и, b) = g{(y, и, Ь)-си
SiQt, и, Ь) = ё2(У, и, Ь) [(у, и, ft)GVX«X2].
326

Старое ограничение g, (у, и, b) е С{ теперь эквивалентно огра.
ничению gx(y, и, b) = 0. С этого момента будем предполагать,
что такое преобразование сделано.
Формулировка задачи. Пусть /wgN, Щ — банахово
пространство и В — выпуклое подмножество векторного
пространства. Назовем элемент а из &* управляющей функцией,
точку Ь^ В —управляющим параметром, а точку q = (o, b) е
е &* X В — управлением. Пусть нам заданы топологическое
векторное пространство #/2, множество С2 cr g&2 и функции
ЛУХ^ХВ^и g = (go,gi,g2): <VX^XB-RXRmX^2,
Для любого S?' с: ^ полагаем
#(*")={(», a, 6)e^X^XB|t/ = F(t/,a, 6)},
<*W) = {(</, or, 6)6»(^)|ftb, a, 6) = 0, g2(r/, a, ft)e=C2}.
Точка (#, <7) = (j7, a, Ь)€^(^0 называется минимизирующим
^'-решением, если g0(*/, ^) = min g0 (^ (^0)- Минимизирующее
^-решение мы назовем минимизирующим обобщенным
решением, а минимизирующее ^-решение назовем
минимизирующим обычным решением, если °U с: Я*. Последовательность
((У/, w/, */)) в SfSi^U) называется приближенным ^-решением,
если для любой окрестности нуля G bR^X^ выполняется
условие
(Si (У/, и/, ft/), g2 (уу, tt/f 6/)) e{0}XC2+G
для всех достаточно больших / е N. Приближенное ^/-решение
((#/> "/> */)) мы назовем минимизирующим приближенным
^-решением, если предел Hmg0(J7/, uh bj) существует в R и
Hmgo(#/, щ, ft/Xliminfgod/y, uh fty)
для любого приближенного ^/-решения ((yh uf, 6/)).
V. 1. Существование минимизирующих обобщенных
и приближенных решений
V. 1.1. Теорема. Пусть множество С2 секвенциально
замкнуто, В — топологическое пространство и множество s4-{9>)J)
непусто. Пусть, далее, зФ{ обозначает либо множество stfe*),
либо множество
st'={(y, а, b)<=st{9»)\g0(y9 а, *)<&(/, *', *0 + в}
для некоторого (у\ о', Ь') е $& (<?*) и г > 0. Предположим, что
множество seq cl{s&\) секвенциально компактно и что функции
i^lseqcl^) и glseqcl^) секвенциально непрерывны. Тогда
327

множество зФх секвенциально компактно и существует
минимизирующее обобщенное решение ({у, q)) = (y, д, Ь).
Доказательство. Пусть ((yh 47) = ((*//, oh bj)) —
последовательность в Ы>х. Тогда существуют такие /с:(1, 2, ...) и
(у, $)eseqcl (■*!), что
Hm(y/f qj) = (yt q).
Следовательно,
у = Um yl = lim F (yh qf) = F (у, q),
/s/ /e/
81Q/, ?)=limgi(y/f ?/) = 0,
ft (£, q) = Hm g2 (*/;, qt) € C2.
Если $t>{ — $i>', то мы имеем
go (£, ?) = lim go (yh qj) < go (/, o\ b') + e.
Это означает, что (у, q) е зФх, и поэтому множество $ФХ
секвенциально компактно. Ясно, что мы можем выбрать такую
последовательность ({yh qj)) в stu что lim g0 (yh <77)=inf g0 (s4- {9"*)).
Тогда
Hm go (#/, 9/) = go (9, q) = inf go (^ ($*)).
Это означает, что (у, q) является минимизирующим обобщенным
решением.
V. 1.2. Теорема. Пусть С 2 —секвенциально замкнутое
множество, В — топологическое пространство, (у, а, Ъ) —
минимизирующее обобщенное решение, a °U — допустимое множество.
Более того, пусть 2/вх обозначает либо множество 3^(9Ц), либо
множество
*'={& °, Ь)<=Ж{9П)\ёо(у, о, *)<
<go(*/i, <*i, Ьх) + е, \gi(y, <*, *)1<е, ft (у, а, 6)е=С2 + £/2}
для некоторых (уи <ть Ь{)^^(9^), г>0 и секвенциально замк*
ну той окрестности начала координат U2 в 262. Предположим,
что
1) множество seqcl(<9#i) секвенциально компактно, а функции
F Iseqcl^t) и g|seqcl(<?^i) секвенциально непрерывны;
2) у — единственное решение уравнения y = F(y, а, Ъ) и урав*
нение y = F(y, и, В) имеет (не обязательно единственное) реше*
ние у для всех и^°и в некоторой окрестности точки о в 9"*.
328

Тогда множество Эвх секвенциально компактно и существует
такая последовательность ((yh Щ)) в 9* X ^, то ((yff й/, В))
является минимизирующим приближенным ^-решением и
\img{yh uh b) = g(y, а, b).
Доказательство. Секвенциальная компактность
множества 2вх доказывается таким же способом, каким в
теореме V. 1.1 доказана секвенциальная компактность множества st{.
Так как, по теореме IV. 3.10, множество <U всюду плотно
в метрическом пространстве £^, то существует
последовательность (uf) в °U, сходящаяся к а. По предположению,
уравнение y = F(y, uh b) имеет решение yt для всех достаточно
больших / е N. Мы можем считать, что последовательность (й/)
такова, что решение yj существует для всех у е N. Так как
множество Жх секвенциально компактно, то метрическое
пространство # = pr „t,(?G\) будет также секвенциально
компактным. Поэтому существуют такие / с (1, 2, ...) и (у, о) е Я,
что
Wm(yh £/) = (£, 5) = (#, 5).
Поэтому y — F(y9 а, Ь) и, по предположению единственности,
у = у. Следовательно,
Hm g(yh uh b) = g(yt aJ)GRX{0} XC2.
Это означает, что ({yh й/, b)) является приближенным
^-решением.
Пусть теперь {(yh Ы/, bj)) — приближенное ^-решение.
Предположим, что
liminfgo(#/, tih b,)<g0(y, a, b).
Мы можем определить такую подпоследовательность /^(l, 2, ...)>
что
l^n g0{yh uh 6/) = limmf g0(yh uh bj),
{yhuhbi)^^x (/e/,).
Так как множество Жх секвенциально компактно, то
существуют такие /2 а /, и (у, а, Ь) <= Зви что lim (yh uh bj) — (y, a, 5).
Тогда
go (У, 5, 6)= lim go(#/, w,, b,)<go(y, a, 6),
g(£, 5, £) = lim g(yh uh 6y)eRX{0}XC2.
329

Следовательно,
(у, б, В) е= а {9>*)9 go (у, а, В) < g0 (yt а, В).
А это противоречит предположению о том, что (*/, а, В) является
минимизирующим обобщенным решением. Отсюда следует, что
((#/> Щ, B))jGj — минимизирующее приближенное ^-решение.
V.2. Необходимые условия обобщенного минимума
Основной результат этого параграфа, теорема V. 2.3, может
быть получена как частный случай теоремы V. 3.2. Однако мы
докажем теорему V. 2.3 независимо, так как ее доказательство
проще, чем доказательство теоремы V. 3.2, и некоторые
читатели могут ограничиться лишь «обобщенными» задачами.
Необходимые условия минимума, которые мы изучаем,
включают в себя некоторые соотношения, аналогичные «уравнениям
Эйлера — Лагранжа», «£-условию Вейерштрасса» и «условиям
трансверсальности» из классического вариационного исчисления.
Мы объединяем эти условия при определении экстремали в
задаче оптимального управления. Это выражение используется
в вариационном исчислении для обозначения любых решений
«уравнений Эйлера — Лагранжа». Наше значение этого
выражения будет более жестким, чем в вариационном исчислении.
С другой стороны, в обоих случаях эти выражения имеют
отношение к необходимым условиям минимума, которые вместе
с условиями допустимости часто дают минимизирующие
решения. Поэтому мы заимствуем выражение «экстремаль» для
того, чтобы избежать введения новых и неизвестных выражений.
V.2.O. Определение. Пусть {у, а, 6)е^Х^Х£,
q = {ay В) и /=(/о, /i, к) €= [0, оо) X Rm X 951 Мы назовем точку
(9у <*, В, I) (иногда мы обозначаем ее через (у, qy /0, /ь /2), или
{у, Q, В, /0, /i, /2)) экстремалью задачи оптимального
управления, если выражение
X (?) = (Хо (?), Xi (?), Х2 № =
= gyW, q)°V-Fy{y, qTXD2F(yy q\ q-q) + D2g(yt q\ q-q)
определено в RXRmX^2 гдля всех q = (a, J)g^XB и
выполнены условия
1Ф0,
/оХо (q) + /, ■ Xi (9) + /о (Х2 fa» > 0 {q&WX В),
М&(& <7)) = тах/2(с).
330

Экстремаль (у, а, В, /) называется допустимой, если (у, а, В) е
е^(^). Она называется нормальной, если 1оФО, и
анормальной, если /0 = 0. Точку (у, a, j)e^X^XB назовем
экстремальной, если существует такое / е [0, °о) X Rm X Я?5, что
(У, <*, &, 0 является экстремалью. Экстремальная точка (у, в, В)
называется допустимой, если она принадлежит множеству ^(^).
Эту точку назовем анормальной, если существует анормальная
экстремаль {у, о, В, /), и нормальной, если она не является
анормальной.
Соотношение
ШЧ) + 1Г%ЛЧ) + 1*ЬЬ(Ч))>0 (qe9»*XB)
является обобщением Е — условия Вейерштрасса и «принципа
максимума» Понтрягина. Соотношение
ki&2% q)) = maxl2(c)
с еС2
можно считать обобщением «условия трансверсальности» из
вариационного исчисления.
Нам понадобятся две леммы. Одна из них, V. 2.1, будет
использоваться также в параграфе V. 3. Мы будем писать
Лол — (Ло, ЛО и Ль2 = (Л1, Л2) Для
л = (ло, Ль i\2)^RXRmX%2.
V.2.1. Лемма. Пусть W^ выпуклое подмножество из
R X Rm X %ь С ~~ открытое выпуклое подмножество из 8в2,
OgS? и ОеС', Тогда либо существует такое l={l0, lu l2) е
es[0, oo)XRmX^2, что 1Ф0,
I {w) = IqW0 + h-w{+ l2 (w2) > 0 [w = (wQj wu w2) e W],
l2(c)<0 {ceC')>
либо существуют такие точки |* = (?•£, ||, l£)^W и такие числа
m
р*>0 (/ = 0, 1, ..., m), что ЕР'=1, E{sC, множество
t«0
m
Оо, i> •••• 6STi> независимо, |<<0 и Ер'|{ = 0.
Доказательство. Рассмотрим тот частный случай,
когда множество W содержит точку (1,0, 0)eRXRmX^2«
Пусть
^о,1= pr u?=Uo,i^RXRmli=(io, lu У^п
RxR"1
331

Тогда либо
1) Ое=дГ0,,, либо
2) 0 €= Wo, 1 и существует такое 1 = (10, |ь I2) е W, что |0 < О,
f 1 = 0 и |2 6 С', либо
3)0e=rSfl и любая точка | = (|0, glf yeRXRmX^2
при |о<0, ii = 0 и 12^С находится вне множества W.
Если выполняется условие 1), то, по теореме 1.6.11, первое
утверждение леммы выполнено, когда /2 = 0 и (/0, /^ —
внутренняя нормаль множества W0t i в точке 0. (Так как (1, 0)^W0t х
мы имеем /0^0.)
Если выполняется условие 2), то 0 е H7g j и существуют
m
такие ri'eir и р'> 0 (/ = 0, 1, .... т), что £р'=1, л£<0,
m
множество {л?, 1> •••> Л™ J независимо и /Sp/r]{ = 0. Для
любого а е (0, 1] мы имеем
б'=а!1Ч(1--а)|е1Р (/ = 0, 1 т),
m
«<о, gp'&i-o.
Более того, выбирая а достаточно близким к нулю, мы можем
гарантировать, что ££еС и множество (|g р ..., |™ t)
независимо (последнее утверждение можно проверить, выразив |ол
как линейную комбинацию точек т^ ,, ..., t)™i)«
Наконец, рассмотрим случай 3). Пусть
W2 = {w2\w = (wo, WU W2)&W, Wq<0, W\ = 0}.
Тогда W2 является непустым выпуклым подмножеством из 9В2
и W2(]C/==0. Так как множество С открыто и выпукло, то,
по теореме I. 6.7, существуют такие 12 е 9В\ и а е R, что 12ф0 и
б Ш < а < & {с) {w2 s=W'2\ се С). (4)
Так как ОеС'П^, то а = (У.
Пусть теперь Wif = {(l2(w2\ w0f адО |t0 = (ayo> wu w2)<=W}y
пусть 0m обозначает начало координат в пространстве Rm, и
пусть
Я = (0, оо)Х(-оо, 0)Х{0т}.
Тогда, по условию (4) (при <х = 0), мы имеем НDW*=0. Так
как OgPH^ и оба множества Яи ^ являются непустыми
выпуклыми подмножествами из R X R X Rm, то по теореме 1.6.10,
332

существуют такие /6, /о s R и U s Rm, что | /о I +1 к I +1 U \ФО и
« К) + *А + 'i ■ »i > о > г0% + /0|0 (5)
[w = (ш0, шр ш2) GFj;> 0; |0 < 0].
Отсюда следует, что /q<0 и /0>0. Если мы положим Zq/д = /2t
то условия (4) и (5) дают нам первое утверждение леммы.
Таким образом, лемма доказана для случая (1,0, 0)&W.
Если (1,0,0)^ Г, то положим W' = co{W U {(1, 0, 0)}).
Так как W cz W\ то первое утверждение леммы остается
справедливым для W, если оно выполнено для W. Если второе
утверждение леммы выполнено для W, то ясно, что для
каждого / = 0, 1, ..., т существуют такие а* е [0, 1] и rj' ей^,
что |' = (1 — а*)(1, 0, 0) + а^'. Так как множество W выпукло
и содержит (0, 0, 0), то
4iAa|ye^ ^ = (l-a„0,0) + V (i = 0, 1, ..., m).
m m
Более того, tg-gj s С, ^=^-(1 -a,)<0, и £ р'л{-§P'6{ =0.
Покажем, что множество {ч? p •••> Ло^} независимо. Это
означает, что множество (л°, ..., лт} обладает всеми свойствами,
перечисленными для множества {£°, ..., gm}, и тем самым лемма
т
будет доказана. Действительно, если Xy'^o i=0, то
m т
m m
и S(Y1 + «POE{ = 0 для всех ogR. Так как £p'g* <0, то мы
положим
a=-EY'iS/Ep'iS
t»0 i=0
m
и получим 2 (Y* + <*Р0 ёД 1 = 0- Из независимости множества
{Ц.1> •••> ^о!т} следует, что y' = —SP' Для / = 0, 1, ..., т.
Таким образом,
o=SY4e-e2P'6S+aZp'0-<»/).
m m
Так как £ р'& < 0 и ]£ р' (1 — а.) > 0, то а = 0. Следовательно,
lY°, .... Ym) = (0 0).

V. 2.2. Лемма. Пусть С, р' и l! = (U, ll, £0 ^ R X Rm X Й?2
(/ = 0, ..., m) имеют свойства, описанные в лемме V. 2.1. Пусть,
далее,&~'—окрестность нуля вТт+и функция h\ ^"'->RXRmX^2
непрерывна и имеет такую производную ti (0), что
m
h' (о) де = 2 Ae'V (де е= rw+i). (i)
У-о
Тогда существуют такие y>0 и функция y-*6(y): (0, y]-*^"',
что h (8 (y) )<Л0 (0), А, (9 (Y))-At (0) и h2 (6 (Y))-A2 (0)eC (Ye=(Of fl).
Доказательство. По предположению, функция Л
дифференцируема в точке 0 и непрерывна в некоторой окрестности
этой точки, например для <х>0 и 9(=[0,<x]m+1. Пусть Р = (р°,..., рт)>
Я —элемент из fi(Rm+I, Rw+I), определенный условием
яде = Z де'й. 1 [Дв=(де°,..., дет) <= Rm+I],
и пусть
Ф(е)=л(е)-л(0)-л,(0)е (ееГ).
По условию (1), мы имеем h'ol(Q) = H. Так как, по
предположению, множество {|о, 1, ..., 6м} независимо, то, по теореме
I. 3.3, оператор Я имеет ограниченный обратный оператор.
Отсюда следует, что для любого фиксированного y > 0 уравнения
\i(0)-\i(°)-yA;,1(O)P = O, (2)
e = YP-#~4.i(e) (3)
эквивалентны для 8 е &"•
Полагаем
Pmm = Min р', ртах = Мах р', 9тах = Мах б'.
! I I
Из дифференцируемости функции h в точке 0 следует, что
♦о, i(|8|) = o(|9|). Поэтому существует такое сс'е(0, а], что
|я-Чол(е)1<Л^втах,
* Ртах
если О^Э'^а' (/ = 0, ..., т). Более того, для
.А2 а' _ /л ~1
Y-T^T- VS(0,vl
функции h и a|)0fl непрерывны на множестве
^^{ee^^lle'-vP'kyYP-ia (/=0, ..., m)}c:[0,«r+l.
334

Таким образом, множество &~'у есть ограниченное выпуклое тело
в Rm+1, и поэтому, по теореме Брауера о неподвижной точке
II. 2.3, обладает свойством неподвижной точки. Наконец,
функция
e^YP-#~4.i(e)
отображает множество {7% на се^я и является непрерывной на Т'у.
Поэтому эквивалентные уравнения (2) и (3) допускают решение
8 (у) е Ту для любого y s Л y1* Таким образом, для всех y ^ (0, у]
мы имеем
h0(Q(y)) = К (0) + у К (0) Р = К (0) + y S Р'1> < Л0 (0),
/М)
m
л, (е (v) - К (0) + ya; (0) p=^(0) + yS P'S>=л1 (О).
/-о
Ясно также, что lim sup {| 8 11 6 е Т'^} = 0 и, следовательно,
lim 0(y) = O.
Y->+0
Рассмотрим точку A2(9(y))s^2- Мы имеем
lim e(Y) = 0, *)§1(в)-о(|в|),
Y->+0
S(Y)-VP=-^-Vi(e(Y))-
Следовательно,
6(y) = yP + o(y).
Поэтому
Hm Y-1^ (S (V)) - К (0) - К (0) б (Y)] = 0
и, по условию (1),
m
Hm Y-1[A,(e(Y))-A2(0)] = Ep/5|.
Y->+0 L J /-0
m
По предположению, УеС', p> >0 и Zp/==1. Отсюда следует,
/-о
m
что X Р'^ gC' и существует такая открытая окрестность U
/-о
т
нуля в Я?2, что 2 Ру££ + 1/сС; следовательно,
Y^MeMJ-MOJleC'
для достаточно малого Y- Так как 0 е С', то уС с: С. Таким
образом, Л2 (ё (у), — Л2 (0) е С. Это завершает доказательство
леммы.
335

V. 2.3. Теорема. Пусть Q = &* X #, множество С2 выпукло,
С1ф0 и (уу q) = (у, <r, b) е s& (&"*). Предположим, что
1) для любой точки /С=(^0, ••., qm)^Qm+l существуют та-
кие окрестности YK точки у в Щ и Тк точки О в Тт+и что
функции
(y,e)^^(y,e)=F(^ + fe/(^~^)): YKxrK-+y,
(У, в)-»8к(У, e) = g(yf q+ J>(?,-<?)):
непрерывны и имеют непрерывные производные в точке (у, 0),
а функция FK имеет непрерывную частную производную F*
на УкХ^У,
2) отображение I — Fy (у, q) является гомеоморфизмом из °Ц
на Щ.
Если (у, а, Ь) является минимизирующим обобщенным
решением, то (у, а, В) — экстремаль.
Доказательство. Пусть (yt q) — минимизирующее
обобщенное решение и
* = (<7о, ..., qm)^Qm+\
Рассмотрим уравнение
y~F«(y, 9) = 0 (3)
для е е тк.
Так как y — F{y, q) = FK(y, 0), то предположения 1) и 2)
гарантируют применимость теоремы о неявной функции II. 3.8.
Отсюда следует, что существует такая окрестность YK X &*к
точки {у, 0) в ЩХТК, что уравнение (3) имеет единственное
решение yK{Q) в YK для всех 0 ^Тк и функция (9°, ..., 9т) =
= 8->^/с(9): 9TK->YK непрерывна и имеет такую производную
в точке 0, что
®f(o)=V-F«(yt o)YlFUy, 0).
Таким образом, ук(0) = уу
fbl{Q) = V-Fy{y,$VXD2F(yyq\qi-q) (/ = 0, 1, ..., m), (4)
m А
mK (0) Ав = £ де^5 (о) [де=(де°,..., дет) е= Rm+1].
336

По условию (4) и теореме И. 3.4, функция
е^л*(е) = г()«(е), $+|:е'(?,-?))=
= £*(£« (в), 9): *f/c-RXRmX#2
непрерывна в некоторой окрестности точки 0 в Тк и имеет
производную в этой точке, удовлетворяющую соотношению
0А*(О)Де = |Л(р, <«(0) + 1£(Р, 0)]А8 =
= £m'%%) (A6eRm+1),
где
Ш = ёу(9, q)°V-Fy{yy q))-] D2F(у, q\ q-q) +
+ D2g(y, q\ q — q) (<7 ^ Q).
Более того, в силу наших предположений, функции
F(9, •): Q->^/, g(9, •): Q->RXRmX#?2
2-дифференцируемы в точке q. Следовательно, по теореме И. 3.3,
множество {% (q) \ q е Q} выпукло.
Пусть теперь W = {%(q) \q е= Q) и C' = C\ — g2(y, q). Тогда
применима лемма V. 2.1, и ее первое утверждение доказывает
нашу теорему. Если выполняется второе утверждение этой
леммы, то существуют такие ^eQ^O, ..., m), что ^=х(9/)-
Пусть K = {qo, ..., qm) и Л (в) = Л^ (в) для 8g^. Тогда h
и £' удовлетворяют предположениям леммы V. 2.2 и
существуют такие у>0 и функция Y"^§(y): (0, y]-*^"Vm, чт0 Для
А т
Я (9)= Я + Z в7 (5i — ?) мы имеем
/-о
Ао (6 (Y)) - go (У* (в (Y)), Я (в (y))) < go (9, я) - К (0),
At (в (Y)) = A 0*(S (Y)), * (в (V») = *i (0) = 0,
А2 (в (Y» - А2 (0) = g2 (у* (9 (Y)), Я (в (V))) - £2 (Л ?)еЙ- ft (0, q).
Это означает, что (у, q) не является минимизирующим
обобщенным решением, что противоречит предположению. Итак,
т.еорема доказана.
Рассмотрим теперь односторонние задачи, в которых Я?., =
= С (Р, Rw0 и С2 = {с<=С (Р, Rm0 | с (р) <= Л (р) (р s Р)}, где
Р —компактное метрическое пространство, m2 е {0, 1, ...} и А
отображает Рв/(Rm2)-
337

V. 2.4. Лемма. Пусть m2 е {О, 1, 2, ...}, Р — компактное
метрическое пространство и отображение Л: P-*^/(Rmi) таково
что множество А (р) выпукло, А (р)° Ф 0 для всех р е Р и
С(Л°) = {(р)У)еРХГ1^Л(р)0}
— открытое подмножество из PXRm'- Если мы положим
С2 = {с е С(РУ Rw')U(p) е= Л(р) (р е Я)},
го множество С2 выпукло, С2 ^ 0 « множество {с (р) \ с е С2}
всюду плотно в А (р) для всех рбР.
Доказательство. 1. Покажем сперва, что С2# 0, т. е.
существуют такие <х>0 и непрерывная функция с0: P->Rmj,
что g{p)^A (р) (р € Р), если g<=C(P, Rmi) и | g - с0 |sup < а.
Так как множество G(A0) открыто в PXRm* и ргР 0(Л°) = Р
для любого р g Р, то существуют такие v ф) е Л (/>)° и открытая
окрестность N{p) точки р в Р, что
У(р)еЛ(р)° [peJV(p)],
Так как множество Р компактно, то его можно покрыть
конечным подсемейством {N (р^, ...9N (Pk)} из {N (р) \р е Р}.
Обозначим через Ni и у,-, соответственно, #(р*) и и(р*). Положим
А/ d[p, P\Nj], если W,^P,
1 , если Nf = P,
Р/(Р) = {
Y/(p) = P/(p)/ZPy(p) (/=1,2, ..., *;реР).
Тогда 0<у/(р)<1, EV/(P)=1 (ре Я), Y/(p) = 0 (р £ ЛГ,)
и функция Y/ непрерывна для каждого / г (1, 2, ..., £}. Положим
А *
с0(р)=£ Y/(p)t>y (ре Я).
/-1
Ясно, что функция с0: Р -> Rmj непрерывна. Если у/ (р) =5^ 0, то
р е ДО,; следовательно, vf е Л (р)°. Так как множество Л (р)
выпукло, то с0 (р) е Л (р)°.
График {(р, £о(р))1реР} непрерывной функции с0 является
компактным подмножеством открытого множества G (Л°). Отсюда
следует, что существует такое а > 0, что g(p)^A(p) (реР),
в том случае, если | g — с0 |sup < а.
2. Так как множество Л(р) выпукло для всех р^Р, т0
непосредственно проверяется, что С2 — выпуклое множество.
Пусть теперь р gP hag Л(р)°. Тогда точка (р, а)
принадлежит подмножеству <3(Л°) из PXRm*. Поэтому существует
338

такое а>0, что (р, a)^G{A°) для всех p<=S{p, а).
Следовательно, а е А{р)° для всех р <=S(p, а). Положим а(р)= 1, если
p = S(p, а), и, в противном случае, пусть
а(р)= d [р, Р \ 5 (р, a)]/(d [р, Р \ S (р, а)] +
+ d[p,S^(p, а/2)]) (PgP).
Ясно, что функция а( •) непрерывна, а (р)= 1 для р е SF(p, a/2),
a (р) = 0 для р ^ S (/?, а) и 0 < а (р) <[ 1. Отсюда следует, что
функция
р^д{р)Аа{р)а+[\-а(р))с0(р): P->Rm>
непрерывна и с(р) ^ А (р) (р е Р); поэтому, с е С2. Так как р
и а — произвольные точки множеств Р и Л (р)°, соответственно,
и так как, по теореме 1.6.3, А(р) = А{р)°(р^Р)у то
Л(р)°с:{с(р)ке=С2}с:Л(р) (реР),
Поэтому множество {с(р)|сеС2} всюду плотно в А(р) для
всех р ^ Р.
V. 2.5. Теорема, tfr/сгб /г^, Р, Л (•) и С2 определены так же,
как в лемме V. 2.4, %2 = С(Р, Rw'), /0>0, /,ef, /2€=£?2,
* = ('о, ht к) Ф 0 и с е С2. В эти случае
/2(ё) = Мах/2(с)
сеС2
тогда а только тогда, когда существуют такие a> е frm+ (Р) и
(5eLl(P,S5(P), со, Rm0, «го
|6(p)|=l (pGP), /0 + |/1| + a)(p)>o, (1)
/2 (c) = \ & (p) • с (p) (o (dp) (с e= Я?2), (2)
<5 (p) • с (p) = Мах й (p) • a (3)
asA(p)
для (ь-почти всех p e P.
Доказательство. Предположим, что /2(ё) = Мах/2(с).
Но теореме 1.5.9, существуют такие <oefrm+(P) и §е
е L1 (Р, 25 (Р), со, Rm'), что | й (р) |- 1 (р е Р) и
/2 (с) = 5 S (р). с (р) (о (dp) (с е Я?2).
Так как / = (/0, /ь /2)^=0, то /0 + | 1{ | + <о(Р) > 0., Таким
образом, условия (1) и (2) выполнены.
По теоремам 1.5.1 и I. 2.17, подмножество С2 из С (Р, Rm*)
содержит счетное всюду плотное подмножество {си с2, ...}.
1ак как, по лемме V. 2.4, множество {с (р) \с е С2} всюду плотно
339

в А(р) для всех р^Р, то {с{(р)> с2(р)> ...} также всюду
плотно в А (р) для всех реР. Для каждого / е N и а е С
(Р, [О, И) мы рассмотрим непрерывную функцию
Р-+*/(р) = [1 — а(р)]с(р) + а(р)су(р).
Так как множество А (р) выпукло, то kj (р) е А (р) (р е Р).
Таким образом, kf е С2 (/ е N). Отсюда следует, что
к (с — */) — J5 (р) [г (р) — */ (р)] © (<*р) в
= J а(р)в (р) • [с(р)- с,(р)] (о (dp)>0 (/ € N).
Следовательно, по условию 1.5.5(2), существуют такие
множества Р/ (/ е N), что © (Р \ Ру) = 0 и
в(р)-[г(р)-*/(р)]>0 (/eNipsPy).
Так как множество {^(р), с2(р), ...} всюду плотно в Л(р) для
всех р ^ Р, то
ffi (р) • 2 (р)> sup ®(р) •£?/(/>)«= sup 5(р)-а (реПР,).
Условие (3) можно проверить непосредственно, учитывая, что
2(р)е=Л(р) (реР).
Предположим теперь, что существуют со и <5, описанные
в формулировке теоремы, пусть выполнены условия (1) —(3).
Тогда, по условию (3), S (р) • с (р) > 5 (р) • с (р) (р е Р) для
любого cgC2. Следовательно, по условию (2), 12{с)^12{с).
Итак, теорема доказана.
Теорема V. 2.5 показывает, что в односторонних задачах
условие
£(&(& Я))>к(с) (с^С2)
эквивалентно «локальному» условию
5(р)-Ы£, Ф = Max S(p)-a
для (о-почти всех р sP.
V.3. Необходимые условия обычного минимума
V. 3.0. Краткое содержание. Если °U — допустимое
подмножество из 31* и задача оптимального управления допускает
минимизирующее ^-решение (#, а, 6), то это решение
удовлетворяет условиям, аналогичным условиям теоремы V. 2.3, но
при более жестких предположениях (теоремы V. 3.2 и V. 3.3).
Задача оптимального управления допускает минимизирующее
^-решение, которое является в то же время минимизирующим
обобщенным решением, только при очень ограничительных
предположениях, которые включают в себя предположения
существования допустимых анормальных экстремалей (теорема V. 3.4).
340

V. 3.1. Л е м м а. Пусть С, р' и £' es RXRmX#2 (/=0, 1,..., m)
определены так же, как в лемме V. 2.1, 9~' и G — окрестности
нуля в Тт+Х и двъ соответственно, и Р = (Р°, ..., Рт). Для
/c=N пусть/ф = (-фо, ♦!, to),
Л = (Л0, ЛР Л2), Л7 = (Ло, Л{. Л2)> ** =(«о» *{> 4)
— гшсие непрерывные функции из Тг в R X Rm X ^2э ^то
lim т)' (8) = ij (8) равномерно для 0 е fT',
i
lim е'(8) = 0 равномерно для @еГ,
+ (в) = о(|в|) (8-0),
т
V (в) - Л (0) - Z в7!' = ♦ (в) + е' (в) (6 € ^'; / s N). (1)
/-0
Тогда существуют такие у' <0 и функции в(-): (0, у']-*■&"' и
?(•)'• (0, Yl-*N, чго
*(§(y))-o(y), 6(y)-yP=o(y),
<Г (ё (Y)) = о (у), Y-'4(v) (6 (Y))sO (?e (0, Yl),
4(f(Y> (в (Y)) < % (0), rifW (в (Y)) = Л, (0),
4fw (5 (Y)) - 4» (0) s С (ye (0, yT ) • (3>
m
Доказательство. Из |; e С следует 2 p;|£ e С. Ta-
/-o
ким образом, существует такая окрестность G нуля в двъ
m
что У Р'й + О, cCV Так как ^ — топологическое векторное
/-о
пространство, то мы можем определить такую симметричную
окрестность G2 нуля в 9В2ъ что G2 + G2 с: Gj. Положим G/ = G П G2.
Пусть оператор Л1 е fi(Rm+I, Rm+1) определяется условием
МЭ^Ее^, [0=(е°, .... 0-)eR"+l].
По теореме I. 3.3, оператор М имеет обратный. Более того, из
условия (1) следует, что
<»(в)-Л0.1(0)-А1в + 1|»0>1(в) + <1(в) (isN;8en (4)
341

Покажем теперь, что существуют у > О й функции
Г( •): (0, у] -> N и 0 (•): (0, у] -> ЗГ\ удовлетворяющие следующим
соотношениям:
<(,v)(e(Y))-%.1(0) = Y^P (уе(0,у]), (5)
Y-'^)(e(Y))eG'cG (Y e (0, у]),
Urn Y-4T(§(Y)) = 0, (6)
v-n-o
lim Y-'[e(Y)-Yp] = 0. (7)
Действительно, так как afo.i (в) == о (| 8 |) (| 0 | -* 0), мы можем
определить такое Н е (0, 1], что
[о, л'Г+1 ^ ^', I лг \ь. 1 (в) I < 41=^ эШ1Х (е € [о, аг+1)>
где pmm=minp/, ртах=гтахр/, етах=тах8у.
А 2
Положим у=="з"Л/Ртах и выберем для любого y s (0, у]
такое достаточно большое целое число /(у), что
y-l£w(Q)e(T, |Л1-Ч(Г)(в)|<Мт(Урт,„/4,У) (ВеП (8)
Ясно, что множество
r;'={(e°,...,e'")SR'n+1||e/-YP/|<YPra,n/2(/=o)i)...,m)}
содержится в Т' и является ограниченным выпуклым телом
в Rm+I. Более того, функция
в-^vP —А1"|[*о.1(в) + вр7>(в)]
является непрерывным отображением из ЯГу в себя. По теореме
Брауера о неподвижной точке И. 2.3, эта функция имеет
неподвижную точку 8 (у), которая, в силу соотношения (4), удо*
влетворяет условию (5). Выполнение соотношения (6) следует
из нашего выбора числа Г(у), условие (7), следует из -ф (в) =
= о(1 в |) (|9|-*0) и (8).
Соотношение (2) следует теперь из условий (6) и (7). Более
того, из условий (1), (2) и (6) получаем
т
t,J<v> (6 (у)) - Ц2 (0) - y £ VV2 е а (у) + \G', (9)
/-0
где а(у) = о(у). Выберем у' из (0, гшп(у, 1)] достаточно близким
к нулю, чтобы y~la (Y) е G' (0 < у < у). Тогда из
соотношения (9) следует, что
т
V1 [tiTw (в (Y)) - \ (0)] s Е т + G, с С (у е (0, Y'l).
342

Так как ОеС'и множество С выпукло, то
tlI,v)(6(Y))-ti2(0)sC'. (10)
m m
Напомним, что Afp=Zp'6£iP .SP/i{ = 0 и Ц<0 (/ = 0,
1, ..., m). Таким образом, из соотношений (5) и (10) следует
условие (3).
V. 3.2. Теорема. Пусть <U — допустимое подмножество
из №, множество С2 выпукло, С\Ф® и {у, q) = (y, а, 6)е^(^).%
Для каждого
К = ((а0, &о), • •., (ат, О) е (^ ХВ)т+{
положим
A m
а^(9) = а + Еб/(ст/-а),
/=о
А Ш
6^(в) = 6 +1^(6,-6) (веУи+|).
/-о
Предположим, что существуют такие замкнутые окрестности YK
точки у в <У>, 9>к точки а в &* и Тк точки 0 в fTm+1, что
1) функции
(У, 9) -> F* (у, 9) = F {у, о« (9), 6* (9)): YK X iT* - V,
(У, 9)-* £*(*/, 9) = £(*/, о* (в), 6*(в)): У* X^/c-RX Rm Х^2
непрерывны и имеют непрерывные производные в точке (у, 0),
а функция FK имеет непрерывную частную производную Fy
2) отображение I — F*(y, а, В) является гомеоморфизмом
из У на Щ\
3) функции
{у, а, 9)-*ЯЧ*/, а, Q) = F(yt о, 6*(в)): Г* X *к X *"*-* V,
(У, а, 9)»^ (у, а, 9) =
= #(</,*,&* (9)): KKX^X^/c^RXRmX^2
яеярерь*в/ш;
4) для каждого (а, 9) е ^ X ^/с уравнение
У = Рк(У,о,в)
имеет единственное решение у = уК(о, 9) в YK\
5) множество ук (9>к X ^~к) условно компактно в Щ.
Тогда либо
6) (^» ^, W является экстремалью, либо
343

7) существует такая тонка (уи щ, bx)^s4>{<U)y что
go{yuUubx)<g0Qi,d9b).
В частности, если {у, а, Ь) является либо минимизирующим
обобщенным решением, либо минимизирующим ^-решением,
то {у, а, Ь) — экстремаль.
Доказательство. Пусть
. X (?) = gy (У, Я) U - Fy (у, q)rl D2F {уу q\ g-q) + D2g (y9 q\ q - q)
для q^9>*XB, W = %(^XB) и C' = C°2-g2(y, q). Так как,
по условию 1), функции q^»F(y9q) и q -> g (у, q) 2-дифферен-
цируемы в точке q, то из теоремы II. 3.3 следует, что
множество W выпукло, более того, 0 = %{q)^W. Таким образом,
предположения леммы V. 2.1 выполнены и из первой
альтернативы этой леммы следует утверждение 6) нашей теоремы.
Поэтому предположим, что справедлива вторая альтернатива
леммы V. 2.1, и покажем, что отсюда следует утверждение 7).
Пусть ^ей7 (/ = 0, 1, ..., ш) такие же, как и в лемме
д
V. 2.1. Тогда существуют такие qt = (aif bt) е &* X В (/ = 0,
1, ..., m), что ^ — xiqi). Положим K = (q0, <7ь ..., О- Пусть
теперь ((а/, 0у)) — последовательность в 9>к X Т\, сходящаяся
к некоторому (а, 8) е <РК X &"&• Предположим, что существуют
такие в>0 и /с=(1, 2, ...), что
1у*(*/Л)-у*(М)1>* (/еД (8)
Тогда, по условиям 4) и 5), существуют такие Jx cz / и уе<у,
что
у = lim y*(o/f 6/)= lim F*(y*(a,, в,), а,, 0,).
Так как множество YK замкнуто и функция FK\YKX9>KXTк
непрерывна, то y = FK{y9 6,Q)<=YK, и поэтому у = ук(д9 0).
Это противоречит условию (8). Отсюда заключаем, что
функция ук\ 9>к XTK-*YK непрерывна.
Из условий 1), 2) и теоремы о неявной функции II. 3.8
следует, что существуют такие окрестности У* точки у ъ Yк
и &\ точки 0 в ЯГК и единственная функция - в -► jf* (9): Т'ц -►
—> КЯ, что
^(9) = ^(^(е),е)),
g>f (0) Л9 = [/ - F« (у9 0)Т1 • Р§ (У, 0) А9 =
m
= [/ - Fy (у, q)}-1 Z M'D2F (у, q; q, - q) (9)
[де=(де° Авт)еКж+'].
344

Ясно, что ук (6) = ук (о* (0), 0) для в <= Гк = {6 е= Т'к \ о* (9) s
е ^к}. Если мы положим
Tj(e)=g(P*(e),<7*(e)) (8g^),
то, по условию (9) и теореме II. 3.4,
Л' (0) Д6 = 8у (9, q) Щк (в) Л9 + t M'D2g (у, q; q,-q) =
m
= I Лв'х(<7/) [Дв = (А0°, ..., лет) <= r+l].
/-0
Так как множество °U допустимо, то, по условию IV. 3.3.(2),
для каждого 0efm+| существует такая последовательность
(Ui{Q))i в <U, что
m
limui{Q) = d+ Sey(ay — a)
i /-о
равномерно для 8 e £Tm+ll и функция
непрерывна для всех * е N. Мы можем считать, что ut (0) е ^к
для всех / и всех 8 е ^к (заменяя, если это необходимо, &~к
на меньшую окрестность 0 в *Tm+i). Положим
0 = ^2, ^'=^К,
V(e)=g(^(^(6), в), и,(в), **(е»,
в1(в) = ч'(в) —Ч(в) (isN; ОеГД
* (в)=ч (в) - л (0) - £ е'% (</,) (в € <гк)
Ясно, что предположения леммы V. 3.1 выполнены. По лемме
V. 3.1, существуют такие Yi > 0, 0! = 9 (yi) е Тк, 1{ = Г(ух) е N,
щ = тх (в,) е= <W, Ьх = Ьк (80 ей и у{=ук{ии Q{) е= Ук, что
Чо' (ei) = «? (Ур мр ei) — £о (ур ир М < *Ь (0) = £о (У. *. 6).
л{,(в1) = г1(у1^1, М=Л1(0)=0,
^ (е0 = £2 0i> uv bi) ^с' + §2 (У> 5> *) <= с-
Это доказывает справедливость утверждения 7).
Если (у, о, Ь) является либо минимизирующим обобщенным
решением, либо минимизирующим ^-решением, то
утверждение 7) не может выполняться. Тем самым, справедливо утвер*
ждение 6),
345

V. 3.3. Теорема. Пусть m? е {О, 1,2, ...}, Р — Компактной
метрическое пространство, A: P->^'(Rm2), %2 = с(Р, Rm>) и
С2 = {с^ <Й?21 С(Р) s Мр) (Р^Р)}- Предположим, что множество
А (р) выпукло и А (р)° ф 0 для всех ps Р, множество
О (А«) = {(р, и) € РХ Rm'l о е Л (р)0}
открыто б РХ R"\ и все предположения теоремы V. 3.2
выполнены. Если (у, а, 6) является либо минимизирующим
обобщенным решением, либо минимизирующим ^-решением, а
функция х определена как в теореме V. 3.2, то существуют такие
/0>0, /,e=Rm, <o€=frm+(P) а йе!((Р, 2Б(Р), со, Rm>), wo
|5(р)|=1 (psP), /o + |/iI + <d(P)>0, (1)
/оХо (9) + /i • Xi (Р) + U (p) %2 (q) (P) <o (dp) > 0
J (2)
(qreP*XB)t
S (p) • ft (& 9f 5) (p) = max 5 (p) - a (3)
аеЛ(р)
для (о-почти всех реР.
Доказательство. Утверждения теоремы непосредственно
следуют из теорем V. 3.2 и V. 2.5.
Определение строгого ^-решения.
Минимизирующее ^/-решение [у, и, Ь) называется строгим ^-решением, если
оно не является минимизирующим обобщенным решением.
V. 3.4. Теорема. Пусть ^-допустимое подмножество из 9№,
(gya,B)^a(<U),
Ж = {(у, а, Ь)е*(9»)\ео{у9 a, b)^g0(y, д, В)}.
Будем считать, что предположения теоремы V. 3.2 выполнены,
когда (у, а, В) заменено на точку из Ж. Тогда следующие
условия являются необходимыми для того, чтобы (у, о, В) было
строгим <U-решением:
1) (9, 5, &)— экстремаль;
2) множество Ж< = {(у, а, Ь) е= & (У) \ \ gQ (у, а, Ь) < g0 (д, а, В)}
непусто;
3) любая точка {у, о, Ь) из Жк является экстремальной и
анормальной.
Замечание. Отсюда следует, что в предположениях
теоремы V. 3.4 задача оптимального управления не имеет строгих
^-решений, если она либо а) не имеет анормальных
допустимых экстремалей, либо Ь) имеет минимизирующее обобщенное
решение (у, о, В) (Kojopoe, по теореме V. 3.2, является
экстремальным), и (у, а, В) является нормальным решением. Более
346

того, если выполнено условие Ь), то задача допускает
минимизирующее ^-решение тогда и только тогда, когда существует
такая экстремальная точка (у\ и\ b') е s& (^/), что g0{y\ и\ Ь')«
= ЫР, 5, Ь).
Доказательство. Пусть (у, й, 6) — строгое ^-решение.
Условие 1) следует из теоремы V.3.2, а условие 2) следует из
определения строгого ^/-решения.
Пусть теперь (у, а, Ъ) е Мк,
B* = BXR, ^ = ^2XR,
Cf = C2X(-oo, go{yya,b)\
и для у ^ <У, ае^ и № = (6, а) е В*7 положим
«#(У. <*, **) = <*,
в? (У, *, b*) = 8t(y, °> Ь\
el {У, о, **) = (й(У, а, 6), go (f/, <*, *)),
F"{y9 o,V) = F(y, а, 6).
Обозначим через Я рассматриваемую задачу оптимального
управления, а через Р* — задачу оптимального управления,
которая получается при замене В, д6ъ С2, g и Я на В*7, Я?£, С|,
g^ и Я*, соответственно. Тогда теорема V. 3.2 применима к Р*
и (9, 5, ft, 0). Покажем сперва, что альтернатива V. 3.2 (7) не
может выполняться для задачи Я*. Действительно, из этой
альтернативы следует существование таких точек ух е <^, щ е ф/
и (&!,<*!)€=£*, что gi(t/b _wb 60 = 0, f2(ji,«i,WeC, и
8о(У\, Щ, Ь\) ^ (— оо, g0(j/, й, &)). А это противоречит тому
условию, что (у, щ Ь) является минимизирующим ^/-решением для
задачи Р. Таким образом, по условию V. 3.2(6), точка (у, д, &, 0)
является экстремальной для задачи Я*, и существуют такие
?,>0jIsRm и /1 = (Г2, «e^f-^XR, что (у, а, (5, 0),
*о> U* Ш является экстремалью для задачи Я^. Если мы положим
q = (aj\ ** = (*, 5, 0) = «f, 0),
X(<l)=gy(y, q)*U-Fy(y9 q)rlD2F(9, q;q-q) +
+ D2g(y, q\q-~q) foeS*XB),
tf («*)=«$(& $*)<>[/-яда WYlD*F*(y> 4*1 ч*-Г') +
+ d&* (у, Ф\ я* - V) № s ** x #),
847

то
(q*±(q9 a)s^XBXR).
Тогда
Г^ + Г1-Х1(?) + Г2(Хв(^)) + /Ло(9)>0 (q<=9>*XB; <xe=R), (4)
?2 (£2 (#, q)) + kgo {9, q) > 12 (с) + 'зР ^
[ceC2; pe=(-oo, g0(y, йэ &))].
Для <7 = <jf из условия (4) следует, что 10а^0 (aeR), Таким
образом, Г0 = 0. Для c = g2(y9 q) из условия (5) следует, что
hgo(9, ?)>'зР (Р<£о(£, й, *));
значит /3 = 0. Отсюда мы можем заключить, что из условий
(0,1\* h) Ф 0, (4) и (5) следует утверждение 3), т. е. что (у, 5,
&, Оэ h> U) является экстремалью для задачи Р.
V.4. Выпуклые функционалы качества
В необходимых условиях как для минимизирующих
обобщенных решений, так и для минимизирующих ^-решений
предполагается т + 1-дифференцируемость функции (ст, Ь) -* g0 (9, а, Ь).
Это предположение мы можем несколько изменить, заменив
т+ 1-дифференцируемость функции gQ на некоторые свойства
выпуклости. Мы дадим необходимые условия как для
минимизирующих обобщенных решений, так и для минимизирующих
обычных решений. Так же, как и раньше, пишем %,/ = (т)ь Л/),
если t) = (tio, tii, 42)^RXRmX^2.
V. 4.1. Теорема. Пусть °U — допустимое множество, (у9 q)-=
д _
= (у, щ Ь) — минимизирующее Щ-решение, С2 — выпуклое
множество с непустой внутренностью и
go (y,q) = <P (ft (У, q\ g2 (у, q)) (У s 9>\ q <= <?* X B),
где функция ф: RWX#?2-*R непрерывна и выпукла. Для
каждого
* =(<7о, ..., <7«) = (fa>, W, .... (*«, ftJ)e(^Xfl)m+l
348

положим
л т
б'с(е)=ь + Ее'(б/-5),
/-0
?«(е) = (а*(е), &*(9)) (9е^+1).
Предположим, что существуют такие замкнутые окрестности YK
точки у в <У, 9К точки и в 9>* и Тк точки 0 в ТтАгЪ что
1) функции
(</, 9)-F*(v, Q) = F(y, ?*(9)): УКХГК-*У,
(У> 9)-f*2(j/, Q) = glt2(y, 9«(9)): YKXrK^RmX%2
непрерывны и имеют производные в точке (у, 0), а функция Рк
имеет непрерывную частную производную Fy в У/с X ST\\
2) отображение I — Fy(y, а, 6) является гомеоморфизмом
из У на Щ\
3) функции
{У, ст, 9)-*F«(*/, ст, 9) = F(>, а, 6* (9)): У* Х^/сХ<Г,с-^
(У, ст, 9) -*g* 2Q/, а, 9) = gru 2(у, а, й« (9)): ГКХ?КХГК-+ R*X#2
яеярербшдш;
4) для каждого (а, 9)s^/cX^*/c уравнение
y = F«(y9 <т, 6)
ил*еег единственное решение у — ук(о, 9) в Ул;
5) множество ук (&к X &~к) условно компактно в У.
Пусть
q>(t>i.2) = <Ptei.2(£, q) + vU9)-(f(gU2(y9 ?))(o1(2GRmX^2),
Xi(q) = ®igi(9, <i)°U-Fy(y, ФГ1 D2F(y9 q\ q~q) +
+ D2gi(y9q\ q-q) [/=1,2; q = (a9 b) e 9>*XB].
Тогда существуют такие lQ>0, /ieRw«/2eSS2, «e все рав-
яыв ж/лю, что
/оФ (Xi (9), Х2 (?)) + /i • Xi (?) + /2 (%2 (q)) >0 (q^^X В),
hicXhfaiy, q)) (cezC2).
Доказательство. Пусть
№4((ФЫ<7), X2(q))+a, Xi(q), Х2(?))1?е^ХВ, а>0},
В49

и С' = С\ — g2(y, q). По условию 1), функции q->F(yt q) и
q-^giid* q) (' = li 2) 2-дифференцируемы в точке q и, по
теореме П. 3.3, множество {{%\(q), %2(q)\q е^ХВ} является
выпуклым подмножеством из Rm X 8?2. Более того, {%{(q), %2 (q)) = 0.
Отсюда следует, что множество W выпукло и содержит
начало координат пространства R X Rm X #?2- Таким образом,
мы можем применить лемму V. 2.1, и из первой альтернативы
этой леммы следует наше утверждение. Предположим теперь,
что выполняется вторая альтернатива леммы V. 2.1, и покажем,
что она приводит к противоречию.
Пусть ру и Ъ/ определены так же, как и в лемме V. 2.1.
Тогда существуют такие qj = {oh bj) е 9* X В и а^О (j = 0,
1, ..., m), что
БУ = (Й, li, SO = (ф (Xi (9/), Хг (?/)) + Я/, %\(qj\ Х2(<7/)).
Следовательно,
Ф(Б{.*)<Й<0 (/ = 0, 1, ..., т).
Так как функция ф выпукла, то
/ т \ т
ф(1р/11.2)<1р,ф(|!.2)<о. (6)
д
Полагаем /С=(^0, Яи ..., <7т)- Затем, повторяя выкладки
теоремы V. 3.2, можно показать существование такой
окрестности Тк точки 0 в ТКу что функции (сг, 6)->t/*(cr, 8): 9КХ
Х^к-^V и Q-*yK{Q) = yX(oK(B)9 9): Тк-+Щ непрерывны и
т
0£К(О)Ле = [/-/У£, <?)]"' Z ^D2F(y, q; q,-q)
[ле=(ле°,..., Aem)eRm+I].
Если мы положим
Ль2(в) = ^2(^(е), ^(9)) (ВеГк)9
то так же, как в теореме V. 3.2, получим соотношение
т
Чк 2 (0) А9 = Е Ав'хи 2 (?/) (Ав е= Rm+1).
/-о
По условию IV. 3.3(2), существует такая последовательность
(и* (9)) в °Uf сходящаяся к а* (9) равномерно для Ъ^ТК, что
350

функция Q-+ut{Q): fTK-*<U непрерывна для каждого /. Для
/gN и Ое§Гк положим
л т Л
Кт = Ее%, ч!.2(е)=в£2(у*(ме),в), щт,в),
Л л т
л'=« ч{, ч5), i-|0(e)=Ee/|/I
Ч = (%, Чь 42) = (Чо, 4i. г), в* (6) = ц' (9) - fj (0),
Л Л m
♦о(в)=о, ч>1.2(в) = Ч1.2(в; —-п,.2(0) —Д^ e/xi.2(^/>.
По условию (6), мы можем определить такие е > 0 и окрест»
ности G и 5 нуля в <8?2, что G + G cz G и
ф(|ор,|ь+у..2)<°. (7)
если |ti1|<e и ti2eC. Положим #"' = ТК. Тогда все
предположения леммы V. 3.1 выполнены. Отсюда следует, что
существуют такие Yi > 0 и Т(у) gN, fl (y) е Тк, и (y) = «Гм (6 (y)) е
е= <2/, & (y) = ^(6(y)), и */(y) = */«(«(y), 5(y))s V для Ye(0f Yi],
что
+ (e(Y))-o(V)f J(v)(§(y)) = o(y), (8)
Y-^v)(e(Y))sG, 6(Y)-yP = o(y),
m
лГ(У) (e (Y)) _ fi (0) - I 0/ (Y) V = 1|) (5 (y)) + /W (в (y)), (9)
/-o
tlf(v) (0 (Y)) = Я, (</ (Y), " (Y), 6 (Y)) = 4, (0) = g, (£, fi. 5) = 0, (10)
4iy) (5 (Y)) = g2 (У (Y), " (Y), b (y)) e С + fj2 (0) =
= C4fc(P,J)cC, (11)
Более того, по условиям (8) и (9),
Y-,[<T(e(Y))-g1,2(P,^6)] = fp^)2 + o(l) + ali2(Y), (12)
где a,(Y) = o(l) и a2(Y)e=G.
351

Так как функция ф выпукла и ф(0) = 0, то, по условиям (7)
и (12), для достаточно малого положительного у мы имеем
Y-'Ф (gu2(y(v), "(y), b(y)) — gl92(y9 й, 6))<
<$(y-][g\,2(y(y), "(y), b{y))-gU2(gy и, &)]) =
= Ф (1^,2 +о(1)+ a12(v))<0.
Следовательно,
Ф (fifi. 2 (f/ (Y), " (y), Ь (y))) < Ф to, 2 (& S, S)).
Это последнее соотношение и условия (10) и (11) противоречат
предположению о том, что (у, и, В) является минимизирующим
^/-решением. Теорема доказана.
Мы можем получить необходимые условия минимизирующего
обобщенного решения как следствие только что доказанной
теоремы.
V, 4.2. Теорема. Пусть (у, q) = (q, a, В) — минимизирующее
обобщенное решение, С2 — выпуклое множество с непустой
внутренностью и g0(у, q) = <p(gx{y, q\ g2(y, q)) (y^V\ q^WXB),
где функция <p: Rm X <%2 -* R непрерывна и выпукла. Для
каждого К= (q0, ..., qm) е № X B)m+l положим
A m
Як (в) = q + £ в; (<7/ ~q) (ве <Гт+1).
/-о
Предположим, что
1) существуют такие замкнутые окрестности YK точки у в QJ
и &~к точки 0 в У~т+ъ ЧТ0 каждая из функций
0/,е)-*£*(</, 6) = F(t/, 9*(в»: YKXrK-»y9
(y,Q)-+3f.2iy> в) = в1§2(у,^(в»: K/cX^^RmX^2
непрерывна и имеет производную в точке (у, 0), а функция FK
имеет непрерывную частную производную Fy на Уд X ^"*;
2) отображение I — Fy (у, q) является гомеоморфизмом из Щ
на Щ.
Пусть
Ф(»1.2)=ф(в1.2(У, 9)+^.2>^ф(в1.2(У, Я)) (yi,2^RmX^2),
X, (?) - ^ig* (У, ?)«[/- Fy (у, q)]-1 D2F (у, q; q-q) +
+ D*iQt,4ig-l) [i = 1,2; q=(o,b)<=?bXB]>
332

Тогда существуют такие /0 > 0, lx е Rm и /2 е #?2, «е все равные
нулю, что
/оФ (3d fa), Х2 (</)) + А • X. (9) + к (Х2 (?)) > 0 (</ е <?* X В),
h(cXk(g2(9, <?)) (с<=С2).
Л Л
Доказательство. Пусть Q=9"7XB и /С = (?0, . -., ?m) е
^=Qm+I. Так же, как и в доказательстве теоремы V. 2.3, можно
показать, что из условий 1), 2) и теоремы о неявной^функции
II. 3.8 следует существование такой окрестности YKY^ftK точки
(*7, 0) в Щ X TKt что уравнение
У = Р«{у, в)
имеет единственное решение #* (0) в YK для всех 9 е ^к, а
функция Q-+yK(Q): TK-*YK непрерывна. Мы можем считать
окрестности YK и ^"^ замкнутыми. Отсюда следует, по теореме I. 2.9,
что уК (^Г/с) — компакт.
Так как ^ — выпуклое подмножество нормированного век-
д
торного пространства, то множество Q = 9>t* Хй выпукло.
Поэтому мы можем рассматривать F и gi,2 как функции на
множестве <VXQ, не зависящие от а. Множество Q играет теперь
роль множества В. Учитывая это и заменяя YKi &~к на YK> Т'Ki
соответственно, мы приходим к выводу, что все требования
теоремы V. 4.1 выполнены. Предположения V. 4.1(1) и V. 4.1(3)
совпадают с предположением 1), а функция ук(*9 •) из
соотношений V. 4.1(4) и V.4.1(5) заменяется на функцию #*(•),
которую мы определили выше и которая удовлетворяет
условиям теоремы V. 4.1. Наше утверждение теперь непосредственно
следует из теоремы V. 4.1.
V. 5. Слабые необходимые условия обычного минимума
Необходимые условия обычного минимума, которые мы
получили в теоремах V. 3.2 и V. 4.1, основаны на предположении,
что функции
(у, о, 9) -+ F* (у, а, 9), (у, а, 9) - g« (у, а, 9)
непрерывны в соответствующей окрестности точки (у, а, 0)
в VYs^ X&~m+\- Мы можем проверить это предположение
для задач, которые будут рассмотрены в главах VI — VIII.
Требуемые условия не слишком ограничивают общность наших
результатов. Однако, как показывает контрпример IX. 2.2,
имеются простые конфликтные задачи управления, для которых
это предположение непрерывности не выполняется и
необходимые условия, данные в параграфе V. 3, нарушаются. В таких
случаях часто выполняются некоторые альтернативные предпо-
12 Дж. Варга
353

ложения, которые позволяют нам выписать другие необходимые
условия обычного минимума. Мы называем эти условия
слабыми, так как всякий раз, когда одновременно выполняются
предположения теоремы V. 3.2 и некоторые новые предположения,
тогда из теоремы V. 3.2 следует, что новые необходимые
условия выполнены. Эти слабые необходимые условия описаны ниже.
V.5.I. Теорема. Пусть (у, а, &) — минимизирующее №-
решение, С2 — выпуклое подмножество из 8в2 с непустой
внутренностью, множество М является одновременно подмножеством
некоторого векторного пространства и некоторого
топологического пространства, М*: Т-*&'(М) и qpeC(Af, R). Обозначим
через Ж* множество \х-идмеримых однозначных ветвей из
отображения М*. Положим
Р(У, v, b) = F(y, cpoV, b\ &(y, v, b) = g(y,yoVib)
(y g= <V; v e= Ж"; b eB).
Предположим, что
1) множество M^(t) выпукло и <р {М* (t)) = R* (t) для \к-почти
всех /еГ;
2) функция veAf* такова, что p = <pov;
3) для любого /C = ((v0, Ь0), ..., (vm, bm)) g= (ur* X B)m+l
существуют такие окрестности YK точки у в <Ц и Тк точки О
в 3~т+\, что функции
А / Ш
(у, в)^?«(у, e)=F (j/.v+Ee'^-v),
m \
Я+Ее'^-Ы: YKxrK-+y,
/-0 /
д / m
(у, в)->ёк(у, Q) = 6(v, v+S e7(vy-v),
B + ^Q'ibi-B)): YKxrK->RXRmX%2
непрерывны и имеют производную в точке (у, 0), а функция FK
имеет непрерывную частную производную Fy на YK X &~к>
4) отображение I — Fy (у, а, Ь) является гомоморфизмом
из У на <у.
Тогда функция
X (v, b) = (хо (v, b), Xi (v, b), %2 (v, b)) =
= йу (У, v, 5) • [/ - Fy (у, v, б)]"1 DJP {у, (v. b); (v, Ь) - (v, 5)) +
+ ад(?Л«,Й;К*)-(«,Й)
354

определена для всех (v, ft)s#Xfl, " существует такое
/ = &,/ь"«е:[0, oo)XRmX*8,
что I Ф О,
/ob (v, Ь) + 1Г X, (v, 6) + /2 (х, (v, 6)) > О (vei'^s В), (5)
Ш*(& v)) = max/2(c). (6)
Доказательство. Так как множество М*У) выпукло
jx-почти всюду, то множество Mh также выпукло. Положим
В=ЛРХ#- Рассмотрим задачу, определенную в параграфе V. О,
заменив В, F и g на В, F и |, соответственно. Тогда новая
задача не содержит управляющих функций и соответствующие
определения минимизирующего обобщенного решения и
минимизирующего ^-решения совпадают. Так как (у, р, Ь) является
минимизирующим ^-решением для старой задачи и, по
условию (1), ф о v е 3№у если v е Ж*, то (у, 5), где Ь = (v, 6), является
минимизирующим обобщенным решением для новой задачи. Наше
утверждение следует теперь из теоремы V. 2.3.
V.6. Иллюстрации. Класс задач, описываемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями,
и примеры
V. 6.0. Формулировка задачи. В главах VI — VIII мы будем
применять результаты параграфов V. 1 — V. 3 для изучения
задачи оптимального управления для специальных классов
функциональных уравнений. При этом мы постоянно будем стоять
перед выбором между большей простотой и большей общностью.
Этот выбор довольно часто будет решаться в пользу большей
общности. Как следствие этого некоторые наши предположения
будут более длинными и будут содержать больше условий. Это
имеет очевидное неудобство, так как затемняет основные
понятия и методы, которые в действительности существенно проще.
Данный параграф написан с целью в какой-то мере
восстановить это равновесие. Мы рассматриваем в разумных пределах
общий класс задач оптимального управления, описываемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями специального
вида. После изучения теорем существования и необходимых
условий обобщенного и обычного минимума мы
проиллюстрируем эти результаты на нескольких примерах.
Задача оптимального управления, которую мы рассмотрим,
задается в виде, не содержащем переменных состояния. Поэтому
нам не потребуется определять множество Щ, или F. Пусть
заданы /igN, компактные выпуклые множества А0 и Ах в R",
выпуклое тело AczRn9 интервал T = [to,tx]czR и функция
12*
355

(v, r)-*f (v, r): R^Xfl-^R"- Предположим, что производная f0
(т. e. 2)J) существует, а функции f п fv непрерывны. Далее,
предположим, что уравнение
*.
y{t)=a,+ \ny^\o{x))dx =
и
= aQ+\dx\f{y (т), г) а (т) (dr) (teT) (1)
имеет единственное решение
У (с, а0) = (у1 (а, а0), ..., ул (а, а0)) е С (Г, R»)
для любого выбора (а, а0) е ^ X Л0 и что существует такая
константа с{ < оо, что
I У (а, а0) | < сх ИГ;а£ S?; а0 <= Л0). (2)
(Это имеет место, в частности, когда функции f к fv непрерывны
и существует такая константа с < оо, что
1/(*,г)|<*(|!>|+1) (ve=Rn;r<=R).
Доказательство этого утверждения следует из теорем II. 4.3 —
II. 4.5.) Наша задача заключается в минимизации функции
У1{ву do)(t\) на множестве
{(а, а0) е Ж X А0\ у (а, а0)'/,) <= Аи у (а, а0> (Г) с Л},
или эквивалентно, в минимизации функции у1 (о, a0)(tx) на
множестве
{(а, a* <*i)e0X4>XAil0(a, До) ('i) - <*i = 0, у (а, а0)(Г) с Л}.
Эта задача является частным случаем задачи, определенной
в начале главы при следующих условиях:
т = п9 B=A0XAU S?2 = C(T,Rn),
С2={ш(.)еС(Г,Кя)1ИПсЛ}, R*(t) = R (*е=Г),
go(cr, я0, а\) = У1(<У, ao){t\),
gi(o, flo, <*,) = £ (or, a0)(/,) — ab
&>(<*, «o, <*i) = #(<*, ao) (<* s ^; a0 <= Л0; a, ^ A{).
Так как задача не содержит переменных состояния,
минимизирующее обобщенное решение определяется набором (а, а0, а{)^
е ^Х^оХЛь минимизирующее ^-решение — набором (р, а0, а^е
е^ХЛоХ^!, а приближенное 52-решение определяется
последовательностью ((ру, а[у а{)) в &ХА0ХАГ Все результаты,
356

касающиеся данной задачи, мы приведем в виде следующей
теоремы.
V.6.I. Теорема. Предположим, что существует такое
(</, а$)<=^ХАь что у (о', ai){t{)&Ai и у (</, а$)(Г)с=А Тогда
существует такое минимизирующее обобщенное решение (а, а0> ах)
и такое минимизирующее приближенное 31-решение((р,, а0, а{)), что
lin\y(ph a0)(t) = g(a, а0) (t)
равномерно для всех t е 7\ Более того, если (а, а0, #i) является
либо минимизирующим обобщенным решением, либо минимизи-
д
рующим ^-решением и у = у{д, а0), то матричное
дифференциальное уравнение
Z(t) = I+\z(x)fv(y(x), d{x))dx (t<=T)
t
имеет единственное решение Z и существуют такие /0^0,
l{ = (l\, ..., /f) е Rn, <u^irm+(T) и ^интегрируемая функция
©: r->Rn, что
1) /o + |/il + ©(7)>0, |й(/)|=1 (/еГ)!
2) k {if f (у (t), а (t)) = min k {t)T f (g (t), r)
для почти всех t еГ, где е{ =(1, 0, ..., 0)sR" и
&®=\(hei + lir+ $ S(a)rZ(a)-,(D(da)]z(/)
L и, *,] J
ft (tofy Co) = min ft (t0)T aQ, l\y (tx) = max l\au (3)
&{t)Ty{t)=max&{t)Ta (4)
для (д-почти всех t е Г.
Наконец, если (а, а0, а{) — минимизирующее обобщенное
решение и из-условий 1) —(4) следует, что 10ф0, то не
существует строгих Ш-решений.
Доказательство. Пусть сх определено так же, как и
в условии V. 6.0 (2), и пусть
c2 = sup{\fv(v, r)\\veS'(09 с{), re/?}.
Тогда с2 < оо, так как функция fv непрерывна.
1. Покажем, что функция
(о, а0)-»у(о, a0): ?XAQ->C(T, Rn)
357

непрерывна. Действительно, пусть
Нш (ту = сто, Нш flj = agf
А ш
Тогда
У1 = У(°Г *£) (/ = 0, 1,2, ...)•
(t) = ai0+\f(yt(T), at(x))dx (ts=T; / = 0, 1, 2, ...).
Следовательно, по теореме II. 3.6,
\y,(i)-yo(t)\<!
$[/0//(т), аДт))-/^^, a0(x))]dT
+ К-«81
\\f(y, W, ст/(т)) -/(у0(т), а, (т)) |dx +
+
+
Положим
t
1>
5 f (^о(т), a,(x))-a0(x))dx
t
':C2\\yt(x)—y0(x)\dx +
и
t
\f(yo(*), o,(x)-a0(x))dx
+н-<\<
+ 14-«21
Nrw'eN).
(5)
h, (t)^\f (|/o(t), a,(t) - a0 to) d* =
= S 5Ct<0, „ (t) f (|/0 (t), a, (r) - aQ (x)) dx (t e Г; / e N).
Г
Ясно, что из lira а7 = а0 следует, что НтЛу(/) = 0 (/еГ).
Условие |/(УоЫ, а(т))|^С! (теГ;ае^) означает, что функции
{Ль Л2, ...} ограничены и равномерно непрерывны. Тогда, по
теореме I. 5.3, limht(t) = 0 равномерно для (еГ. Поэтому,
по условию (5) и неравенству Гронуола П. 4.4, limy] = y0
в С (Г, R"). Это означает, что функция (or, а0)->г/(а, aQ)
непрерывна.
358

2. Так как наша задача не содержит переменных состояния,
то для выполнения предположений теорем V. 1.1 и V. 1.2
необходимо потребовать только непрерывность функции (а, а0, а\)-+
->g(a, а0, а{), а она следует из непрерывности функции (а, а0)->>
-+У (а> аоУ Таким образом, из теорем V. 1.1 и V. 1.2 следует
существование минимизирующего обобщенного решения (a, а0, а{),
минимизирующего приближенного решения ((ру, й0, а{)) и
выполнение соотношения limy(ph а0) = у(д, а0) в С (7\ R").
Пусть теперь (a, а0, at) е^ХЛ0ХЛр (ау, а/)е^Х^
(/ = 0, 1, 2, ..., я) и
9оО) = (5, во) + £* [(а,, а/) - (а„ а0)] (9 6 Гп+{).
Рассмотрим функцию
е = (е°,..., еЛ)-*уые)): <гЛ+1-С(7\ Rn).
Так как y{qo(Q))(*) является решением уравнения
п t
У«) = 0о+ £e/(a/-a0)+ \(f(y(x), a(x)) +
/-0 *o
n
+£ Qif {y w.a/ w -a <T>» dT сe r>>
/-0
Д
то из теоремы И. 4.11 (при V = S(0, с{+1)) и теоремы IV.2.7
следует, что функция Q->y*(Q) = y (<7о(6)) имеет производную
в точке 0 = 0 и что функции y=y{qo{0)) и р = iZty1* (0) Д8
удовлетворяют уравнению
pW-Jf.OfW. »(т))р(т)Л +
+ £ Ав/ (а10~а0+\! (у (т), а, (т) - а (т)) dt)
/-о ^ и '
(/ е Т; Дв = (Д90, ..., Дв") е= R*+1). (6)
Таким образом, тройка (a, а0, а1) = (^0, ^i) удовлетворяет
предположениям теорем V. 3.2 и V. 3.3, и поэтому, если она является
экстремалью, то существуют /0]> 0, lx GRn, со е frm+ (Г) и
359

©-интегрируемая функция й: f->Rn, удовлетворяющие
соотношениям 1), (4) и
2
*-0
== ikfix + l\)T Dy iq0; q0 — ^o) (*i) — fi (ъ — a{) +
+ $ Й (/) • Dy (q0; qQ - q<t V) <o (dt) >0 (q0^ 0>X A>; a{ g= Л,). (7)
Ясно, что если мы выберем произвольную точку (а, а0)е^ХА)
и положим
Л9 = (1, 0, .... 0), (ау, а') = (а, а0) = <70 (/ = 0, 1 /г),
то
0£ (?0; <7о - &) = 0#* (0) де=р. (8)
Отсюда следует, по условию (6) и теореме И. 4.8, что существует
такое единственное значение Z, определенное в утверждении
теоремы, что
08Ш <7о —<7о)С> =
= Z (ty] \z (t0)(cio -a0)+\z (т) / (у (т), о(%) - а (т)) dx\ (9)
(те Г; 9о=(а, flo)e^X4
Учитывая соотношение (9) и теорему Фубини I. 4.45, мы получаем
^ й (0 • Dp (<70; <7о — <7о) W о) (Л) =
= J ffl (of Z (a)"1 Z (/0) (До — «о) со (da) +
+ J co(da) J xUo> w (t) Й (af Z (a)"1 Z (т) f (у (т), а (т) - в (т)) rft=
— J S (af Z (a)"1 Z (f0) (flo ~ So) a (**) +
+ J Г J й(a)r Z (а)"1 со (da)\ Z {%) f (у (т), а(т) - a(x))dr. (10)
Следовательно, по условиям (7) и (9),
k(to)T(ao-ao)-lTi(ai-d{)+\k(x)Tf(y(r\ о (т)-д (т)) dx>0 /11Ч
J (II)
Компактное метрическое пространство R имеет всюду плотное
подмножество {ru r2, ...}. Выберем /gN и произвольное изме-
360

римое множество EczT и положим а0 = й0, а{ — аи а (/) = /-,
(/(=£), a(t) = o{t) (t&E). Тогда, по условию (11),
J k (т)г (f (у (т), г/) - / (у (т), а (т))] dr > О
Е
и, по условию I. 4.34 (7),
k(x)Tif(y(r), rf)-f(y(x), а(т))]>0
для почти всех tgT, например для т е Г,. Это означает, что
k(r)Tf(9(r), »(т))< inf k(%)Tf{y{%\ rf)
/SN
Так как функция / непрерывна, а а (т) — вероятностная мера
для почти всех теГ, то
k (r)T f (у (т), д (т)) = min kT (т) / (£ (т), г)
почти всюду в Т. Это доказывает утверждение 2). Если мы
положим в соотношении (11) о = д, ai = ax и a0 = a0i то
получим два условия в утверждении (3).
Если (а, а0> ^i) является либо минимизирующим обобщенным
решением, либо минимизирующим ^-решением, то, по
теореме V. 3.2, (а, а0, а{) является экстремалью и поэтому
утверждения 1) —(4) выполнены. Наконец, если (а, а0, а{) —
минимизирующее обобщенное решение и из утверждений 1)—(4)
следует, что k¥=0t то, по теореме V. 3.2, решение (а, а0, ах)
является экстремальным, допустимым и .нормальным. Наше
последнее заключение следует тогда из теоремы V. 3.4.
V,6.2. Пример I. В первой задаче, приведенной в качестве
иллюстрации, минимизирующее обобщенное решение (а, а0, ах),
является одновременно минимизирующим ^-решением. Пусть
Г = [0, 1], /? = Ы, 1], /1=2,
Л0={(0, 0)}, л, = ЯХ{1>, ^ = R2,
/ = (f\ Р), fl(v\ v\ r)=t,2 + i(r)2,
f2{v\ v\ r)=vl + r ((v\ o2)e=R2; ге«,.
Здесь {r)2 = r-r, a скобки употреблены для того, чтобы
показать, что 2 является показателем степени, а не индексом.
Ниже мы покажем, что существует такая точка (б*, а0)^<?У(А0,
361

что у (a, oo)(l)€i4f. Тогда все предположения пунктов V. 6.0
и V. 6.1 будут выполнены, в силу неравенства
I f (v, г)КI v I +1<|(1 v I + 1) HRVe/?).
Так как A = Rn, то, по условию V. 6.1(4), S(/) = 0 ю-почти
всюду, а потому <о = 0 (так как, из условия V. 6.1(1) следует,
что | S (0 | — 1 для всех t е Г). Более того, по условию V. 6.1 (3),
мы имеем
/1^(1) = max/1а.
aesR
Следовательно, /| = 0. Таким образом,
Если мы помножим уравнение, которое определяет функцию Z
на величину (/о, /?)Г, то получим
и
k (t)T = (/о, /0Г + \ k (т)г U (у (т), 5 (т)) dx (t € Г).
По условию V.6.1(l), мы имеем /о+|/?|>0. Следовательно
по теореме II. 4.7, k (t) Ф 0 (/ е Г). Это означает, что функции
k — {kl, k2) и у = (у\ у2) почти всюду в [0, 1] удовлетворяют
уравнениям
9х (0 = Р2 (0 + у J (О2 а (0 (<Н #' (0)=о,
g2(t) = yx{t) + \ro{t){dr), у2(0) = 0, у»(1)-1,. (1)
*'(0= *2(0, А!'(1) = /о>0,
#(*)=_*■(,), ку)Ф0 (teT).
Более того, по условию V. 6.1(2), мы имеем
1 Д> (0 5 (г)2 a (t) (dr) + k2 (t) \ rd (t) (dr) =
= min [Lkl(t)(r)2 + k2(t)r] (2)
почти всюду в [0, 1].
Легко показать, что если ab а2е R и (%, Ц2)Ф0Л то функция
r-+±*i(r*) + v: [0, 1]-*«
362

достигает своего минимума при
г = —а2/аь когда
г = — 1, когда
г==1, когда
г = 1 и г = — 1, когда
«1 > I «21,
ai ^ а2 и а2 > О,
ai ^ — «2 и а2 < О,
ai<0, а2 = 0.
(3)
Таким образом, из условий (2) и (3) следует, что мера a (О
сосредоточена в одной точке из R для почти всех значений /,
кроме случая kl(t)<0, k2(t) = 0.
Из соотношений kl(t)== — k2(t), k2(t)= — kl(t) почти всюду
в [0, 11 следует, что kl(t)kl (t) = k2(t)k2{t) почти всюду в [0, 1];
таким образом, [kl (012 — [*2 (012 == Р для некоторого постоянного
р. На рис. 1 показаны множества
V, ^2)eR2|H2»H2 = p}
для различных р. Если &2(1)>
^ ft1 (1)^0, то, как показано на
рис. 1, мера а(0 сосредоточена
в точке г = — 1. Тогда из первых
двух строчек условия (1) для
почти всех /еГмы получаем
9l(t) = 92(t) + j, уЧо) = о,
^(0=^(0-1, £2(0) = о.
Единственным решением этих уравнений являются функции
Рис. 1.
^(O-l —
4 е >
y2(t)-
4
о-1
1 •■+■!■*-*.
11 я
Отсюда следует, что%*/2(1) = — у — — e + ^e-'^l. А это
противоречит условию (1). Аналогичным образом мы получаем
— fc2(l)>fer(l)- Это означает (рис. 1), что kl{t)>\k2(t)\> 0
для всех /еГ. Следовательно, по условию (3), мера 5(0
сосредоточена в точке г= — k2(t)/kl(t) почти всюду в Г. Таким
образом, аеЙ и o(t) = —k2{t)/k{(t) почти всюду в Г.
Уравнения kl{t) = — k2(t), k2{t) = — kx{t) почти всюду в Г,
kl (0 > 0, имеют решения вида
kl{t) = ych(t-6), fc2(0 = -Ysh(*-6)
для некоторых постоянных у и 6, где
&&)£!(*+ er*)9 8h(*)=i-(**-*-*)
Таким образом,
a (0 = — Л2 (0/Л1 (/) = th (^ — б)
(х
R).
363

(где th (х) = sh (x)/ch (x) (x e R)). Отсюда, по условию (1), для
почти всех /gT мы имеем
9l d) = У2 (0 + 4 <th « - 6))2. У' (°) = °.
^W = y'W + th(<-e), Р2(0) = 0.
Эти уравнения имеют единственные решения
t
y,(t)=\{jch(t-x)-[th(T-b)]2 +
О
+ sh (/ - т) • th (т - 6)} dx (t г Г),
£2(0 = ${ysh(/-x)[th(T-6)]2 +
О
+ ch (/ - т) • th (т - 6)} dx (t €= Т).
Ясно, что для фиксированных t и т подынтегральное
выражение у */2 является строго убывающей функцией аргумента б
из R. Действительно, производная от этой функции по 6 имеет вид
-.[ch(T-6)]"2[sh(/-T)th(T-6) + ch(/-T)] =
= - [ch (т - 6)]"3ch (/ - 6)< 0.
При б-> — оо подынтегральное выражение сходится равномерно
к функции
±sh(t-^x) + ch(t-x) = ^e<-* + ±e*-t.
Следовательно, при 6-> — оо величина у2(1) сходится к
0
Т + Те-Те"'~1>448...
Аналогичным образом можно показать, что при 6->оо
величина у2{1) сходится к —0,904. Так как величина у2(\) является
строго убывающей функцией от б, то существует такое
единственное значение 6, что #2(1)=1. Это означает, что
существует такая точка (а, а0) е <? X Л0, что у (а, а0)(1)е^1-
Таким образом, рассматриваемая задача имеет единственное
минимизирующее обобщенное решение (a, a0i а^, а е Ж и
a(f) = th(f-6)
почти всюду в Г.
364

V.6.3. Пример II. Пусть Г=[0, 1], R = [-l, I], п = 2,
0<а<1, Ло={(0,а)}, ^ = RX{0}, Л = Я2, f = (f, f\
fl(v\ v\ r)=(v2)2-(r)2, f2(v\ v\ r) = r
[v=(vl, t^eR2; re=R].
Уравнения
9l(t) = [92(t)]2-\(r)2o(t)(dr)
почти всюду в Г, у1 (0) = 0,
92(t) = \ro(t)(dr)
почти всюду в 71, у2(0) = а, имеют единственное решение для
каждого а е 9>, которое получается вычислением y2(t) =
t
= а + \ d% \ га(т) (dr) и подстановкой этого выражения в первое
о
уравнение. Все эти решения равномерно ограничены для aG?,
так как
|Jrof(0(rfr)|<lf \\(r2)a(f)(dr)
<l
почти всюду в Т. Следовательно, |j2(0l<a+l, | у1 (t) |<
^(а+ 02+ 1 (*е Т). Ниже мы покажем, что существует такая
функция а е ^, для которой у(д)(1)^ А{. Отсюда следует, что
все предположения пунктов V.6.0 и V. 6.1 выполнены.
Так как A = R2 и Л1==КХ{0}, то таким же образом, как
и в предыдущем примере, можно показать, что со = 0, /1 = 0.
Мы имеем
9х (0 = [У2 (012 - J (г)2 a (t) (dr) почти всюду в Г, у1 (0) = 0,
d2(t)=\ra(t)(dr) почти всюду в Г, £2(0) = а, £2(1) = 0, (1)
kl(t) = 0 почти всюду в Г, kl(l) = l0>0,
k2(t) = -2y2(t)k](t) почти всюду в Г, k(t)=£0 (/si),
- к1 (t) J (г)2 a (0 (dr) + k2 (t) \ ra (t) (dr) =
= min [-&(t)(r)2 + k2(t)r] (2)
re[-l,l]
почти всюду в Г. Так как ft1 (0 = 0 почти всюду, то мы имеем
*Ч0в*1(О>0 (t&T). Обозначим константу Л1 (0 чеРез *'•
365

Таким образом, из условия (2) следует, что для почти всех
/gT мы имеем
а(0({—1})= 1, если k2(t)>0,
а(0({1})=1, если ft2(0<0, (3)
а (/)({-1, 1})=1, если ft'>0 и ft2(0 = 0.
Если Л1 = 0, то, по условию (1), ft2 (0 = 0 почти всюду и ft2(0 =
= ft2(l)=^0 (/еГ). Если также ft2(/) = ft2(l) > 0, то а(/) = -1
почти всюду, и из второй строки условия (1) следует, что
y2{t) = a — t (t^T). Следовательно, д2(\) = а— 1 <0. Это
противоречит условию #2(1) = 0. Если Л' = 0 и k2(t) = k2(\) < 0,
то а (0=1 почти всюду. Мы получаем y2(t) = a + t [t&T).
А это противоречит условию #2(1) = 0. Таким образом, Л1 > 0.
Отсюда следует;, что абсолютно непрерывные функции у2
и ft2, постоянная ft1 > 0 и обобщенная управляющая функция а
должны удовлетворять соотношению (3) и (по условию (1))
92(0 = $ га (t) (dr\ ft2 (t) = - 2k>y2 (t) (4)
почти всюду в [0, 1]. Кроме уравнений (2) и (3) они должны
также удовлетворять условиям
£2(0) = а, £2(U=0. (5)
Если ф — функция из Г в некоторое пространство К, Тх — под-
интервал из Г, то назовем ср(Г) траекторией функции ф,
Ф(Г1) — дугой траектории функции ф. Рассмотрим затем дуги
траекторий функций (у2, ft2), которые удовлетворяют
условиям (3) и (4). Если Г+ — подынтервал из Т и ft2 (t) > 0 (te=T+), то
£2(0 = -1, k2(t) = -2kly2(t)
почти всюду в Г+. Следовательно,
£2(0=-*+Рь *2(0 = *,(~' + Pi)2+P2 0^Г+) (6)
для некоторых рь р2 е R- Таким образом,
ft2(0 = ft'[yW + p2 Qs=T+). (7)
Аналогичным образом можно показать, что если Г~—
подынтервал из Г и ft (0 < 0 (/ е Г"), то для некоторого {^ е R
выполняется условие
k2(t) = -k4y2(t)]2+p2 (/еГ).
Если ft2 (/') = 0 и у2 (?) > 0, то ft2 (0 < 0 почти всюду в
некоторой окрестности точки ?. Поэтому функция ft2 убывает от
положительного до отрицательного значения, когда t возрастает
в этой окрестности. Если ft2(/") = 0 и у2{?')<0, то функция ft2
366

возрастает от отрицательного до положительного значения
в окрестности точки t".
Учитывая все это, на рис. 2 показаны возможные дуги
траекторий функций (*/2, fc2), удовлетворяющих условиям (3) и (4).
Стрелки указывают направление изменения значений {у2, k2) при
возрастании t. Функция (у2, k2), удовлетворяющая условиям
(3) — (5), имеет траекторию, состоящую из дуг, показанных на
рисунке'2, за исключением
подмножества из Г, где у2 (0 = k2 (0 = 0. П |
Для того, чтобы выполнялось
условие (5), траектория функции {у2,
k2) должна начинаться на
вертикальной прямой у2 = а и кончаться
ПрИ £2 = 0. Рис. 2 показывает, что
это возможно лишь в случае, когда
траектория содержит дугу,
начерченную толстой линией и
удовлетворяющую соотношению (7) при р2 = 0.
Отсюда следует, что Рис. 2.
k2(0) = kl[y2(0)]2 = kl.(a)2.
Таким образом, по условию (6), р, =а и k2 (t) — kx • (а — /)2,
в то же время k2(t)>0. Следовательно,
fit) = a-t9 k2(t) = k*.(a-t)2 (fe[0,a)).
Рис. 2 показывает, что для /е [а, 1] мы имеем у2 (t) = k2 (t) — 0.
По условиям (3) и (4), это означает, что
— *(0({—1}) + »(0({1}) = о
почти всюду в [а, 1]. Следовательно,
5(0({-l})=a(0(0})=4
почти всюду в [а, 1]. Это означает, что существуют такие а0 = (0, а)
и аеУ, что у (а, а0)(1)е Аи и что эта функция <х,
определенная соотношением
*(0({-1}) = 1
почти всюду в [0, а) и
*(0({-1}) = <хШ{1})=4
почти всюду в [а, 1], является единственной обобщенной
управляющей функцией, удовлетворяющей выводам теоремы V. 6.1.
Таким образом, если мы положим а{ = у (a)(1), то (а, а0, а{)
является минимизирующим обобщенным решением.
Минизирующее приближенное ^-решение ((ру, а0, а{)) мы
можем получить, разбивая для каждого /sN интервал [а, 1] на 2/
подынтервалов равной длины и полагая р,(/) = —1 (/е[0, а]),
367

ру (0 = + 1 и ру (t) = — 1 последовательно на подынтервалах
из [а, 1].
V. 6.4. Пример III. Наш последний пример содержит
одностороннее ограничение у(Т) с: А ф R". Эта задача сама по себе
может быть решена гораздо более простым и изящным
способом, чем мы это здесь делаем. Но наша цель заключается
в иллюстрации теоремы V. 6.1. Предположим, что поезд должен
пройти путь единичной длины между двумя станциями за время,
равное единице. Поезд начинает движение из состояния покоя и
заканчивает также полной остановкой. Ускорение поезда не
может превосходить по абсолютной величине заданное число
а е (4, оо). Мы хотим выбрать ускорение как измеримую
функцию времени со значениями в интервале [—а, а] таким образом,
чтобы преодолеть расстояние между станциями за время, равное
единице, и при этом минимизировать максимальное значение
скорости поезда.
Пусть движение поезда начинается при / = 0, у2 (0
—расстояние поезда от первой станции в момент /, уг (0 — скорость,
а р (/) — ускорение. Тогда мы имеем
у2(0=г/3(0, y*(t)=p(t) (1)
почти всюду в [0, 1]
</2(0) = */3(0) = 0, г/2(1)=1, У30) = 0.
Мы хотим выбрать функции {у2, у3, р) таким образом, чтобы
функции (у2, ф): [О, 1]->R2 были абсолютно непрерывны,
а функция р[0, 1]-*[— а, а] измерима, и чтобы минимизировать
величину max y*(t) при условиях (1). Это эквивалентно задаче
fe[0. 1]
выбора таких (г/2, г/3, р, р), которые минимизируют величину р
при условиях (1) и
f/3(0-P<0 (/е=[0, 1]). (2)
Более того, из соотношений (1) следует, что |#3(01^а/^сс
(/е[0, 1]). Поэтому мы можем ограничить величину р
интервалом [—2а, 2а].
Мы можем преобразовать нашу задачу к виду, описанному
в пункте V. 6.0, следующим образом. Обозначим через у1
постоянную функцию на отрезке [0, 1] со значением р. Тогда
функция у{ абсолютно непрерывна, у1 (0 = 0 почти всюду в [0, 1]
и У1(0) = р. Теперь наша задача состоит в выборе такой
абсолютно непрерывной функции */ = (*/\ у2, уг): [0, 1]->R3, такой
измеримой функции р: [0, 1]->[—а, а] и ре[— 2а, 2а], которые
минимизируют функцию у1 (1) при ограничениях
*'(')« о, у2 (0=^(0, y3(t) = 9(t)
368

почти всюду В [0, 1].
у'(0)«Ре[-2о,2о], 0*(О)-0»(О) = О, (3)
уЦ\)=\, 0»(1)-О, ^(О-у'РХО
(/е[0,Ц).
Теперь задача имеет вид, рассмотренный в пунктах V. 6.0 и
V. 6.1, когда
Г = [0, 1], /? = [-а,а], я = 3, Л0 = [- 2а, 2а] X {0} X {0},
Л = R X {1} X {0}, А = {(v\ v\ v3) <= R31 v3 - vl < 0},
f = (f',P,a fV,f2,f3,') = <),
f2 (i>\ o2, v3, r) = v3, f3 (v\ v\ v3, r) = r.
Ясно, что условия пункта V. 6.0 выполнены. Ниже мы покажем,
что существует такая точка (а, а0)^9'ХА0, что у (a, a0)(l)^Ai
и у (а, а0)(Т) а А. Таким образом, мы можем применять
теорему V. 6.1..
Из условия V. 6.1(3) следует, что
/^(l) = /!p,(l) + /? = max{/!a! + /?|a!eR}.
Следовательно,
/1 = 0. (4)
По условию V. 6.1 (4), имеем
й (0Т у (0 = max {©' (t) а1 + й2 (t) а2 + й3 (t) а31 а3 - а1 < 0} =
= max {[й1 (t) + б3 (01 а1 + й2 (t) а2 + й3 (t) (а3 - а1) | а3 - а1 <0}
для ©-почти всех / е [0, 1]. Из этого соотношения следует, что
й'(0+й3(0 = й2(0 = 0
©-почти всюду,
й3(*)>0, й3Ш^ (t)-y*(t)] = 0
©-почти всюду. Поэтому, в силу условий (4) и V. 6.1 (1),
й2(*) = 0
©-почти всюду,
й'(*)=й3(0=о
©-почти всюду в {t е= Т \ у3 (t) < у1 (/)},
й'(0 = -й3«)=-±
©-почти всюду в {t <= Т\ у3 (t) = у1 (t)},
/о>0, /|=0, /о + |/.1+©([0, 1])>0. (5)
369

Построим теперь решение уравнения
Z(t)=-Z(t)fv(9(t),o(t))
почти всюду в [0, 1], Z(l) = /. Каждая строка (z1, г2, т?)т
матрицы Z удовлетворяет уравнениям
г'(0 = 0, z2(/) = 0, г3(0 = -г2(0
в [0, 1]. Поэтому функции 21 1
а 23(0 = 23(1) — z2(/ — 1). Отсюда следует, что
почти всюду в [0, 1]. Поэтому функции Z1 И Z2 постоянны,
— — .*2(/-1). -
/1 0 0 N
Z(0= о 1 \-t\
40 0 1 /
Нетрудно проверить, что
/1 0
Z(0"'= 0 1
\о о
Положим теперь
*,(/)= J 53(a)©(rfa)
(<е[0, 1]).
•г>
(/ер, Ц).
(6)
[М]
По определению функции £ из условия V. 6.1(2) и
соотношению (5), мы имеем
Л(/)Г = (*|(0,*2(0,А8(0)Г-=
- [Оо, /?, tf)r + (- Л, (О, О, Я, (О)7"] Z (0 =
= (/о - Л (0. /?. й (1 -1) + X (t) + /?)Г « е [0, 1]). (7)
Более того, функция % неотрицательна и не возрастает и, по
условию (5), постоянна на любом подынтервале из [0, 1], где
Применяем соотношение V. 6.1(2) и получаем
К(1-0 + МО + Я {'*(*)(*)« min KU-O + MO + tf]'
J ref-a, a|
для почти всех /еГ, Отсюда следует, что для почти всех
fe[0,l]
a(0({-a}) = l, если Х(/)=/?(1-0 + Л(0 + /?>0, 1(А
9(0({а})=1, если Х(0 = /?(1 -0 + М0 + /? <0.
370

Нетрудно показать, что для всех у = (у\у2,У3) и а£^,
удовлетворяющих соотношениям
t
(у1 (О, У2И), ^W) = (y' (0). 0, 0) + J (О, у3(т), 5 го(т)(Л-))<*т,
о
^(О-У'СХО, t/2(l)=l, (9)
^(1) = 0 (*е[0,1]),
функция у1 постоянна, и мы имеем
1»»(01«
t
y2(t)<\y'{i)dT = y*.t (*е[0, 1]).
0
Следовательно,
sup I»» (OK а, {/>>г/2(1)=1> (10)
Ясно, что yl = sup t/3^) (так как в противном случае мы
*е[0. 1]
можем уменьшить величину у1, сохранив все условия, а это
противоречит утверждению о том, что ух является минимумом).
Поэтому, по условию (10),
0fe[lfa]. (11)
С другой стороны, по условиям (6), (7) и V. 6.1 (3), мы имеем
fe(0)^(0) = Uo-^(0)]y, = min{[/0-^(0)]P|ps[-2a,2a]}.
Следовательно, по условию (11), /0 = Л(0).
Из соотношений /0 = Л, (0), (5) и (6) следует, что
|/il + |/il + M0)>0. (12)
Множество L = {t е T\y3(t) <у1} относительно открыто в [0, 1],
содержит точки 0 и 1 и не содержит точку /тах, где у3(/тах) =
= max y3(t) = yl. Таким образом, множество L состоит из ин-
t s (о, и
тервалов [0, Yi), (Y2> 1] (где 0 < YKY2 < 0 и возможно из
некоторых различных интервалов вида (/', /"), где Yi^*' <*"^Y2-
Более того, функция К постоянна на каждом из этих
интервалов. По условию (11),
^(Yi) = y3(Y2) = ^3(n = y3(n = ^,e[l,a].
Из этих замечаний и условий (3), (5), (8), (11) и (12) следует,
что /?<0, l(t)<0 на [0, Yi) и i{t)>0 на {у2у 1] и что L =
371

= [0, Yi) U (Y2, !]• Отсюда, в свою очередь, следует, что
Cat (*e[0,Yi]),
p{t) = )ayi==g* (felYbYd),
I avi - a (t - yj) (* e= [y2, 1]).
Поэтому ^3(l) = 0 = aYi — a[l — Y2J- Следовательно, Yi + Y2 =
= 1 и
l
l=y2(l)=S^(0* = aYl(l-Y,).
0
Мы показали, что
Yi-yD-(1-40*1
У2 = у[1+(1-4а-1),Ч P'-avi.
Управляющая функция pel, определенная условиями
p(0 = a (fe=[0,Yi)).
p(*) = 0 (/s[Yl, Yd).
p(0--a (/e(Y2i 1]).
дает нам описанные функции у2 и у3. Так как у(0) е Л0, у (1)е
еД и г/ (Г) с: А, то наше использование теоремы V. 6.1
обосновано. Как уже было показано, что у является единственной
функцией, удовлетворяющей теореме V. 6.1, то у и р
определяют минимизирующее ^-решение, которое является также
минимизирующим ^-решением.
V. 7. Управления, зависящие от состояния
V.7.I. Пример. В «обычном» варианте задачи
оптимального управления на управляющие функции u^°U,
управляющие параметры беВи состояния у е Щ наложено
«абсолютное» ограничение
y = F(y, и, Ь)
и «желательные» ограничения
g\(y, и, &) = 0, g2(yy и, »)еС,с»2.
В этом пункте мы обсудим некоторые задачи, в которых
функция g2 не удовлетворяет услов-иям теорем V. 1.1, V. 1.2 и V. 3.2.
Рассмотрим в качестве примера задачу оптимального
управления на заданном отрезке времени Т = [/0, *i] космическим
кораблем, входящим в атмосферу земли с переменным «углом атаки»
к поверхности земли. Обыкновенное дифференциальное
уравнение движения такого корабля содержит непрерывную функцию
372

состояния у=(у\ •••> УпУ- T-+Rn и управляющую функцию р.
Обозначим через y2{t) скорость корабля в момент времени t,
а через р(/) —угол атаки. В «обычном» варианте этой задачи
i у^ _ функционал качества, р — измеримая функция из Т
в заданный интервал /? = [— атах, атах], а на переменные (у, р)
наложено дополнительное ограничение вида
Н(У, P)(t)=\y2(t)]29(t) €= [-gmix, gmaxl (О
почти всюду в Т. Число gmax задается максимальной
«нормальной» перегрузкой, которую могут выдержать космонавты.
Ограничение (1) имеет вид g2(y, р, J) е С2, если мы
соответствующим образом определим топологическое векторное
пространство #?2. Так как функция у2 непрерывна, а функция р
измерима и ограничена, то функция h(г/, р) (•) также
измерима и ограничена, и ее можно рассматривать как элемент
пространства Lp(r) = Lp(r, Жу пг) для любого pG[l, оо], или
пространства У(Т) = У(Т9 Ж, m, R), где обозначения Жу m
относятся к лебеговским мерам. (Нетрудно показать, что
(JF{T)y | • |^) является топологическим векторным
пространством.) Если мы обозначим через С2 подмножество из
пространства Lp (Г), соответственно, из &~(Т), состоящее из всех
таких измеримых функций w, что w (t) е [— gmax, gmax] почти
всюду в Г, то соотношение (1) имеет вид h (у, р) е С2, а
функция h определяет отображение из С (Г, R") X & в Lp (Г),
соответственно, в &" (Т). Однако мы не можем воспользоваться
теоремами V. 1.1, V. 1.2 и V. 3.2, так как функция h не является
непрерывной. Поэтому мы применяем другой подход.
Любая действительная измеримая функция р,
удовлетворяющая ограничениям
р (0 е= [- <хтах, атах], [у2 (О]2р (0 <= [- gmax, gmax] (2)
почти всюду в Г, может быть представлена в виде
Р (0 = Щ (0 * ™П («max, gmax • № (OF*)
почти всюду в Г, где и{ — измеримая функция из Г в [—1, 1].
Таким образом, если
t
y(t) = v0+\f(y(x), р(т))Л (<еГ)
— уравнение движения космического корабля, то эквивалентное
Уравнение движения, включающее ограничение (1), имеет вид
t
y(t) = v0+\f(y{T\ u{{t))dx (teT),
U
373

где
J (v, r) = f(v,r- min(amax, gmax * И"2))
Й(^ vn)*=Rn; rGl-i, 1]).
В этой формулировке «старые» управляющие функции р
заменены «новыми» управляющими функциями ии которые являются
измеримыми функциями из Г в [-1, 1]. Если функция /
достаточно «хорошая», то теоремы VI. 1.1 и VI. 1.3 (аналоги теорем
V. 1.1 и V. 1.2) гарантируют существование минимизирующих
обобщенных и приближенных решений. К сожалению, для того
чтобы применить необходимые условия минимума такие, как
теорема V. 6.1, мы должны предположить, что функция J(*,r)
имеет производную fv(v, г) для всех (и, f)eRnX[-I, 1]. Но
это предположение не выполняется, даже если функция / (• 9 •)
дифференцируема.
Имеется способ обойти эту трудность. Покажем, что
утверждения (1) или (2) эквивалентны соотношению
p(t) = u(t)x(t) (3)
почти всюду в Т для некоторой измеримой функции и: Г->
-►[— 1, 1] и некоторой непрерывной функции х: T->R, которая
удовлетворяет условиям
х (0 € [0, атах], [у2 (t)]2. X (t) - gmax < О (/ € Т). (4)
Действительно, если функция и: Т->[—1, 1] измерима, а
функция х: T-+R непрерывна и удовлетворяет соотношению (4), то
функция р = и*х измерима и удовлетворяет условиям (1) и (2).
Наоборот, если функция р удовлетворяет условию (1) (или,
эквивалентно, условию (2)), то соотношения (3) и (4) будут
выполнены, когда мы положим
х (t) = min(<xmax, gmax [у2 (t)]'2) (t e T\
u(t) = p(t)/x(t) (teT).
Новая задача формулируется в терминах функции состояния
у = (у\ ..., уп)^С(Т, R"), измеримой обычной управляющей
функции и: Т->[— 1, 1], управляющего параметра х^ В = С(Т)
и уравнения движения
t
y(t)=v0+\f(y (т), и(т),' х(т)) dx (t <= Д (5)
'о
374

когда ограничение (1) заменено на «одностороннее»
ограничение (4). Если мы положим
#2 А С (7\ R2), С2 = {w е= %21 w (Г) с [0, о». J X (- <*>, 0]},
в = С(Г),
g2(f/, *)(0 = (*(0, Q/2(0]2^(0-ffmax)
(!feC(r, Rrt); х <= В; t<=T),
то наша задача будет иметь функционал качества у1 (t{)t
уравнение движения (5) и ограничение
g2 (у, х) е= С2.
Мы заменили, таким образом, неподходящее ограничение (1)
приемлемым ограничением (4) ценой введения управляющего
параметра х е В = С (Г). Новая задача, правда, не
укладывается в класс задач, рассмотренных в параграфе V. 6, но
задачи такого типа мы рассмотрим в главе VI. По нашим
предыдущим замечаниям, эта задача имеет минимизирующее
обобщенное решение и соответствующее минимизирующее
приближенное ^-решение.
Эта новая формулировка также дает способ доказательства
существования минимизирующих обобщенных и приближенных
решений. Действительно, если функция / достаточно «хорошая»,
то все решения у уравнения (5) принадлежат некоторому
компактному подмножеству Y из С (Г, R ), а все такие функции х,
что
х (t) = min (amax, gmax Q/2 (О]"2) (t € T)
для некоторого убУ, принадлежат некоторому компактному
подмножеству X из С (Г), которое мы можем предположить
выпуклым. Наши предыдущие рассуждения останутся
справедливыми, если мы будем считать, что х принадлежит множе-
д
ству X, а не С(Т), т. е. если мы положим В = Х. Тогда
теоремы VI. 1.1 и VI. 1.3 (аналоги теорем V. 1.1 и V. 1.2) применимы
к новой задаче и гарантируют существование минимизирующих
обобщенных и приближенных решений.
Далее, если мы обозначим через {у, а, х) либо
минимизирующее обобщенное решение, либо минимизирующее
^-решение, то можно считать, что
х (0 = min (amax, gmax • [у2 (t)]"2) (t €= Г).
Действительно, обобщенное уравнение движения имеет вид
t
y(t) = v0+\dx J f(y(x),x(x)-r)o(x){dr)
U [-1. и
РеГ).
375

Если (у, сг,, хх) — минимизирующее (обобщенное или Я-)
решение, то положим
х (0 = min (amax, gmux • [у2 it)]'2) (t s T)
и определим такую меру a(t)9 сосредоточенную на l*(0]~lX
X*i(fl[-1. 1], что
oi(t)(E) = a(t)([x(t)rlxl(t)E)
[£e2B([-l, 1]); /еГ],
Отсюда следует, что (у, <т, х) удовлетворяет уравнению
движения и ограничению g2(y, х) е С2, а потому является
минимизирующим решением того же типа, что и (у, аи х{).
V. 7.2. Более общие случаи. Рассмотренный пример
показывает возможный подход к более общим задачам. Конкретно,
рассмотрим случай °U = 3l и Q/ — C(Tt Rn). Пусть заданы л,
m2e=N, замкнутое множество #c:Rm2 и h<==C(j(nXRXB, Rm0-
Предположим, что ^ = С(Г, R"), cU = 3if и рассмотрим
«обычную» задачу параграфа V.0 с добавочным ограничением
Л (У (<), Р(0, Я^Я
ц-почти всюду. Назовем эту задачу обычной задачей I.
Для изучения этой задачи мы предлагаем следующий
подход. Попытаемся определить
a) компактное метрическое пространство R и
соответствующее множество $k ц-измеримых функций из Т в R\
b) компактное выпуклое подмножество X из С{Т, R*);
c) выпуклое подмножество А из некоторого пространства R';
d) такие функции ср: R" XR XR*-** и -ф: RnX Rfe->R*,
что для любого (у, р, 6) е ^ X ^ X Я, удовлетворяющего
условию
А* (У, P. b)(t) = h(y(t\ р (0, ft) е Я (1)
ц-почти всюду, существует такое (р, дс) е 52 X ^, что
Р(О»Ф(0(О, Р(0, *(*))
ц-почти всюду,
♦ fo(f), *(0)еД '(<еГ); (2)
и для любого (у, р, ft, дс) е ^ X Л X В X Я, удовлетворяющего
условию
+* (f/, *) W=* (у Ю. * (0) е л «g г), (3)
функция
<-*р(') = ф(у(0. р(0, *(0)
^-измерима и (*/, р, ft) удовлетворяет условию (1).
376

Если нам удастся определить такие R, X, Л, ср и «ф, то мы
можем заменить ограничение (1) более удобным ограничением (3).
Именно, положим
в=вхх, %2=a?2xc(T,Rl\
C2 = C2X{w^C (7\ R') | w (Т) с Л},
St (у, р, b) = gi(y, фо(г/, р, х), Ь) (/ = о, 1),
ё2(У> Р> b)=(g2(y, фо(у, р, д), ft), г|)*(*/, *)),
£(#, P, f)=F(y, Ф°(#, P> *), *)
и рассмотрим обычную задачу II так же, как и в параграфе
V.0, но заменив В, 9вьСъ g, F, соответственно, на В,§62уСъ
g, F. Ясно, что обычная задача II эквивалентна обычной
задаче I, и мы исследуем вопросы существования и необходимые
условия (обобщенного или обычного) минимума, используя
формулировку обычной задачи II или ее обобщенный вариант.
Замечания
Параграфы V. I—V. 4 обобщают некоторые результаты
Варги [12, 16]. Лемма V. 2.1, основанная на теореме
отделимости выпуклых множеств 1.6.7, аналогична теореме, данной
Гамкрелидзе [3] и Нойштадтом [3].
Выпуклое множество х(^ХВ) из теорем V. 2.3 и V. 3.2
можно назвать «множеством вариаций». Идея «вариаций»
исходит к Лагранжу, но выпуклое множество вариаций впервые
появляется у Мак Шейна [1,2]. Выпуклые множества вариаций
Мак Шейна в различных формах и видах являются основным
инструментом в теории оптимального управления с момента ее
зарождения, и я не знаю необходимых условий минимума
в теории оптимального управления, которые обходились бы без
этого понятия.
Нойштадтом [3, 5] и Гамкрелидзе и Харатишвили [1] были
предложены общие модели задач оптимального управления
(отличные от моделей, описанных в параграфе V. 0) и изучены
соответствующие необходимые условия обычного минимума.
Необходимые условия для этих моделей выражаются в
терминах некоторых отображений, которые должны быть определены
соответствующим образом для частных задач. Необходимые
условия для других моделей были изучены Варгой [9]. Модель
Варги [12] оказалась более предпочтительной и в параграфе V. 0
дано ее дальнейшее обобщение.
377

Необходимые условия минимума в случае, когда
предположение выпуклости заменяется некоторыми предположениями
дифференцируемости, были изучены Рокафелларом (как указано
у Нойштадта [5]) и Нойштадтом [5]. Эта последняя статья
стимулировала рассмотрение задачи параграфа V. 4 (а ранее
теоремы 2.3 Варги [12], стр. 364).
Слабые необходимые условия обычного минимума
(параграф V. 5) обобщают хорошо известные уравнения Эйлера — Ла-
гранжа из вариационного исчисления.
Теорема V.6.I имеет дело с односторонними задачами,
определенными обыкновенными дифференциальными уравнениями,
которые в терминологии Гамкрелидзе [1, 2] называются также
«задачами с фазовыми ограничениями». Теоремы, эквивалентные
теоремам существования минимизирующих обобщенных
решений, были доказаны независимо Филипповым [1] в 1959 году,
Роксиным [1], Варгой [1] и Важевским [1,2] в 1962 году и
Гуйла-Ури [1] в 1967 году. Существование соответствующих
минимизирующих приближенных ^-решений (при более
ограничительных условиях) и менее общие необходимые условия
обобщенного минимума были изучены Варгой [1—3, 5].
Необходимые условия обычного минимума для таких минимизирующих
^-решений, которые удовлетворяют также некоторым
предположениям «регулярности», были впервые исследованы
Гамкрелидзе [1, 2]. Аналогичные условия, но без предположений
регулярности были получены Дубовицким и Милютиным [1] и
Нойштадтом [4, 5] (они связаны также с устными сообщениями
Гамкрелидзе на эту тему). Наконец, теорема V. 6.1 является
частным случаем теоремы 2.1, 2.2 и 3.2 Варги [13].
Рядом авторов исследованы вопросы .существования для
задач, описываемых обыкновенными дифференциальными
уравнениями, с управлениями, зависящими от состояния: задачу
Больца исследовал Мак Шейн [4], задачу оптимального
управления—Филиппов [1], Чезари [1 — 3,6] и Мак Шейн [5]. Для
некоторых задач, описываемых уравнениями в частных
производных, с управлениями, зависящими от состояния, вопросы
существования изучались Чезари [1, 5]. Необходимые условия
для задачи Больца (с управлениями, зависящими от состояния)
изучались Мак Шейном [4] в тех случаях (обычно
рассматриваемых в вариационном исчислении), когда теорема о неявной
функции позволяет заменить аналоги управляющих функций,
зависящих от состояния, дифференцируемыми комбинациями
других неограниченных управляющих функций и функций
состояния.

Глава VI. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИИ
VI. 0. Формулировка «стандартной» задачи
В параграфе V. 6 мы рассмотрели класс задач, описываемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями. На этих
задачах было проиллюстрировано применение общих методов
из глав IV и V. Приступим к детальному изучению таких
задач, исходя из более слабых предположений. Мы начинаем
детальное исследование задач оптимального управления с задач,
описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями,
по двум причинам. Во-первых, большинство приложений теории
оптимального управления касается обыкновенных
дифференциальных уравнений. Во-вторых, этот материал наиболее прост,
и поэтому удобнее начать изучение именно с него. Однако мы
будем вынуждены допускать в этой главе некоторые повторения.
Так, в параграфах VI. 1, VI. 2, VII. I, VII. 2 будут даны в более
общем случае многие из результатов параграфа V. 6.
Будем рассматривать некоторые односторонние задачи,
описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Эти задачи являются обобщением задач из параграфов V. 1 —
V. 3 для случая, когда neN, T = [t0t t{] <= R, Щ = С(ТУ R"),
уравнение движения y = F(y, a, b) является обыкновенным
дифференциальным уравнением, а условие g2{y, a, b) е С2 дает
некоторое ограничение на значение у (Т). Более строго, пусть
m, /igN, m2G={0, 1, 2, ...}, v0e=V(=Rn, T=[t09tx], ц-боре-
левская мера в Г, и пусть
f: rXKX/?XB->Rn,
Ао: FXB-+R, Л,: VXB-+R"1,
Н TXVXB-+Rm\ A: r->^'(Rm')
379

—заданные функции. Положим
У = С(Т, R"), Й?2 = С(7\ Rm0,
С2={а|(-)еЯ?2|да(/)еЛ(0 (/еГ)},
и пусть
F(у9 а, Ь)(t)=v0+\f (т, у (т), а(т), 6)dx (/ s Г),
ЫУ, о,Ъ) = 1ц{у(и\Ь) (/=1, 2),
e2(yto9b)=h2(tty(t\b) (t<=T)
для всех таких (у, a,ft)G^X^XB, Для которых выражение
t>o+ Jf (*,*/(*), сг(т), 6)rft
определяет непрерывную функцию аргумента t в V. Для
остальных
положим
F{y9o9b)(t) = y(i) + (l9 О, ..., 0)еГ ИД
Л Л Л
£o=0, gi=0, g2 = 0.
Нетрудно показать, что уравнение движения y = F(y, о, Ь)
в О/ X ^ X В эквивалентно обыкновенному дифференциальному
уравнению
y(t) = v0+ \f (т, */(т), а(т), b)dx (teT).
и
Задачи, несколько отличные от описанных, будут
рассмотрены в параграфе VI. 4, а в параграфе VI. 5 более общие
задачи будут сведены к «стандартным».
VI. 1. Существование минимизирующих обобщенных
и приближенных решений
VI. 1.1. Теорема. Пусть множество В имеет секвенциально
компактную топологию, A(t) ((gT)-замкнутые подмножества
из Rm\ s^i^) ф 0. Предположим, что функция f( •, v, г, b)
измерима, функции Л0, hu h2 и f (т, •, •, •) непрерывны для
всех
(T,vtrtb)e=TXVXRXB
и
380

1) существуют такое замкнутое множество V0aV и такая
интегрируемая функция \|>: T-+R, что
у(т)еКо. l/(uW,r,t)|<t(T)
[(x,r)<=TXR\ (у9о,Ь)€=*{9»>)].
Тогда множество зФ{9^) секвенциально компактно, функция
F | s4> (&*) секвенциально непрерывна и существует
минимизирующее обобщенное решение.
Доказательство. По определению функции F, любая
точка (у, а, Ь) е <Ц X &* X S, удовлетворяющая уравнению
yz=zF(y, а, 6), является также решением уравнения
t
У (0 = v0 + J / (т, £ (т), о (т), 6) dt (f €= Г).
Множество К = ргу^(^) ограничено (так как |#(/)1^
< \ -ф(т) dx +1 t>o I для всех/ € Г иуеУЧ и равномерно
непрерывно
г
но (таккак| у (Г) - г/(О |< J ty(x)dx для /0<^<^<^иуе г) .
v _
Итак, по теореме 1.5.4, множество F секвенциально
компактно и, по теореме IV. 3.11, множество &* также_
секвенциально компактно. Отсюда следует, что множество Y X &* X В
и его подмножество с1(зФ{9"*)) также секвенциально компактны.
Если ((у/, (Г/, bj)) — последовательность в зФ (9"?), сходящаяся
к некоторому элементу
(0,М)еух*»ХВ,
то, по теореме IV. 2.9 (при k = n, Z = B и Т, замененным на
[/о, t{]), имеем
у (t) = lim уi (t) = и0 + lim \ f (т, */, (т), a7 (т), 67) rfr =
t
= v0+\f(x,y(x),d(x),b)dx (teT).
и
Более того,
hl(y(ti\b) = \irnhx(yf(tl\bf)=Ot
h2 (t9 У W, b) = lim Л2 (t9 y, (0, 6/) e A (t) (t e T).
Таким образом, {у, cr, b) e зФ {9**). Это означает, что
множество зФ (9*) секвенциально компактно, а функция F \ зФ (У)
381

секвенциально непрерывна. Существование минимизирующего
обобщенного решения теперь следует из теоремы V. 1.1.
VI. 1.2. Теорема. Условие 1) в теореме VI. 1.1 можно
заменить на любое из следующих условий:
1') V = Rn и существуют такая интегрируемая функция
ty{: T->R и такая возрастающая функция р: [О, °о)-►[(), оо), что
\v^f(ttv9rfb)\^^(t)(\v\l+\)t
\f(t9v9r9b)\<^(t)p(\v\)
для всех (t9 v9 г, Ь) <= Т X Rn X R X В9 либо
1") V = Rn и существует такая интегрируемая функция
ф2: r-*R, что
\f(t9v9r9b)\<^m\v\+l)
для всех {t,vyr,b)<=TXKnXRXB.
Доказательство. Пусть (у, а, Ь) е Щ Х^7 Х#
удовлетворяет уравнению
t
y(t) = v0+\f (т, у(т), а(т), Ъ) dx (t е Т),
to
и пусть выполнено условие Г). Тогда
= lyW-f(Tfy(T)fa(T)f6)|<*l(T)(|y(T)g+l)
почти всюду в Г. Полагая ^(т) = у|у(т) | и интегрируя обе
части полученного неравенства на отрезке [/0, t\]9 мы получаем
v(ii-j\th?<2)^l(x)v(x)dx+\ifl(x)dx (teT).
и и
По неравенству Гронуола II. 4.4, существует такая константа а{
(зависящая только от v0, tJ^ и Г), что
Следовательно,
I^WKwIyW^Oj —пРа,]% (<6Г).
Условие 1) теоремы VI. 1.1 будет теперь выполнено для
+ (0 = *i(0p(o2) (ten
Если выполнено условие Г7), то условие Г) также выпол-
д д
няется для ф, = 2\|)2 и р (| о |) = | и | + 1 •
VI. 1.3. Теорема. Пусть условия теоремы VIA Л
выполнены, когда si* (9>*) заменено на Ж (9>*). Тогда множество Ж (9**)
382

секвенциально компактно, а функция F \ Ж (^) секвенциально
непрерывна.
Если (у, а, В) — минимизирующее обобщенное решение,
°U—допустимое подмножество из 9№, у — единственное решение
уравнения у = F (у, а, В) и существует такая окрестность G точки а
в <?*, что уравнение y = F{y, и, В) имеет {не обязательно
единственное) решение у для каждого и е <2/ f] G, то существует
такая последовательность ((yh Uj)) в ЩХ6^, что ((yh uh В))
является минимизирующим приближенным ^-решением и
Нт #(*/,, uh B) = g(y, а, В).
Доказательство. Заменяя sKfP*) на Ж(9"*), также,
как и в теореме VI. 1.1, можно показать, что множество Ж (9>*)
секвенциально непрерывно, а функция F \ Ж (Р*) секвенциально
непрерывна. Наше утверждение теперь следует из теоремы V. 1.2.
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь некоторые условия, гарантирующие
выполнимость утверждений теорем VI. 1.1 и VI. 1.3. Эти
результаты будут применяться в параграфе VI. 4. Предварительно
нам потребуется следующая лемма.
VI. 1.4. Лемма. Пусть множество V открыто, и
предположим, что для любого ограниченного подмножества W <nV
функция Л TXWXRXB принадлежит пространству &{Т9 WXRXB; Rn)
и существует такая интегрируемая функция ipw: T->R9 что
1/(т. •, г, b)-f{%9 v", г, &)l<t|vWlf'-f"l
[(т, г, b)<=TXRXB; v\ v" <=W].
Тогда для любого допустимого подмножества °U из 9№, любого
(уу а, В) е Ж {&*) и любой последовательности (ut) в (U,
сходящейся к а, существуют такое /о ^ N и такая
последовательность iyi)i>u в <ty, что
{yh uh В)^Ж {<U) (/ > /о), lim уi = у.
Доказательство. Пусть (у, а, В)^Ж(9"*) и (и/) —
последовательность в <U, сходящаяся к д. Покажем, что существует
такое /о е N, что уравнение
t
y(t) = v0+\f (т, у (г), щ (т), В) dx (t е= Т) (1)
U
имеет решение у1 для любого / ^ /0. Действительно, пусть dx > О
таково, что
W={v^Kn\d[y(T)9 v]<dx}ciV9
383

и пусть /gN. Тогда IF —открытая окрестность точки у(Т\
функция /iTX^X^XB принадлежит пространству $(Т, W\
Х#Х#; R") и, по теореме II. 4.2, либо существует решение
У/GC (Г, W) уравнения (I), либо существуют такие <х7 е [t0i tx\
и функции yf: [t0, af)-+W, удовлетворяющие уравнению (1) для
/ е [/о, аД что lim у* (t) е dW. Если выполняется второе усло-
вие для всех / из некоторой (бесконечной) последовательности /,
то, комбинируя уравнения
t
9(t) = v0+\f (т, у(т)9д (т), Ь) di (t € [t0, а7)),
У1
(О = vо + 5 f (т, у, (т), в, (т), Ь) dx (t €= [/0> О;)),
мы получаем
*/(0=1 У/(0-0(0 К
<\\f(t.yt (*), «/ (т), 5) - f (т, 0 (т), в, (т), 5) | dx +
+
Jf(T, 0W, и,(х) — д(х), b)dx
<
I »
< S +r W */ (т) Л + К f (т, ^ (т), и, (т) - 5 (т), б) <*т
t
Так как функции *-*$/(т, у(х\ И/(т) — а(т), 5)rfr: Г-^R схо-
*•
дятся к нулю для каждого /gJ1 при /-*оо, равностепенно
непрерывны и равномерно ограничены, то, по неравенству
Гронуола П. 4.4,
lim ef (t) = 0
равномерно для * е [/0, а/). Это противоречит соотношениям
d [dW9 у (Г)] > 0 и lim #/(/) edlF. Значит, существует такое
/о s N, что уравнение (1) имеет решение у, е С (Г, №) для всех
/^/о- Следовательно,
384

Множество {f//l/^/o} равномерно непрерывно и ограничено,
и поэтому (по теореме 1.5.4) условно компактно в С(Т, R").
Если существует такая последовательность /i и е>0, что
l#/-Hup>e (/'e/i), (2)
то условно компактное множество {yf\j^Jx} имеет, по
теореме IV. 2.9, такую предельную точку у, что {у, а, 6)еЖ(У).
По теореме II. 4.5, уравнение
t
y(t) = v0+\f(r, у(т), а(т), b)dx (tz=T)
и
имеет единственное решение. Поэтому г/ = #. А это
противоречит условию (2). Отсюда следует, что Иту} = у. Это завершает
доказательство леммы.
VI. 1.5. Теорема. Пусть множество В секвенциально
компактно, V открыто, <U —допустимое подмножество из Я*,
множество A (t) (t е Т) замкнуто, а функции Л0, hu h2 непрерывны.
Более того, предположим, что ^(^)Ф0, и пусть существует
такое компактное подмножество К0сК, что
{y(t)\t<=T,(y, a, ft) е#(**)}<= Ко
и для любого ограниченного подмножества W cz V функция
f\TXWXRXB принадлежит пространству & (Т, WXRXB, R")
и существует такая интегрируемая функция tyw: T-*R, что
If (т, v', г, b)-f(%, v\ г, &)l<^MT)lf'-t;"|
[(т, г, *)еГХ«ХВ; t/, v"eW].
Тогда
1) существует минимизирующее обобщенное решение;
2) для любого минимизирующего обобщенного решения (у, д, В)
существует такая последовательность ((yh ut)) в Щ X %1> что
((*//, #/, Ь)) является минимизирующим приближенным
^-решением и \\mg{yh uh B) = g{y, а, В).
Доказательство. Если мы положим
+ (T) = sup{|f(Tf v, г, b)\(v,r, b)s=WXRXB) (теГ),
то функция -ф интегрируема, и мы имеем
1/(т, У(х), г, 6)К^(т)
[(т,г)еГХЯ;(у, о9Ь)еЖ(9>*)].
Отсюда следует, по теореме VI. 1.1, что существует
минимизирующее обобщенное решение.
13 Дж» Варга 385

Пусть теперь (у, а, 6) — минимизирующее обобщенное
решение. Тогда, по лемме VI. 1.4, для любой последовательности (ufj
в °U, сходящейся к а, существуют такое /0 е N и такая
последовательность (#/), />/о, в Щ, что
(yh uh Ъ)^Ж {<U) (j > /о), lim у! = уч
Так как ^ — метрическое пространство, а множество ^ всюду
плотно в ^, то существует такая окрестность G точки о* в 9pif9
что уравнение y = F(y, иу В) имеет решение у для любого
и ^4l(]G. Это замечание вместе с условием (3) показывает,
что в данном случае применима теорема VI. 1.3. Таким образом,
утверждение 2) доказано.
VI. 2. Необходимые условия минимума
Исследуем необходимые условия обобщенного минимума
и обычного минимума.
VI.2.1. Лемма. Пусть (у, a, b)e=C{T, V)X?*XB.
Предположим, что множество V открыто и для каждой точки
^==(^о, •••, bm) ^ #w+1 существуют такие выпуклые
окрестности V1 точки у(Т) в V и TL точки О в Тт+и что функция
(т, с, г, е)-*/Мт, v, г, 6) =
A m
= /(т, о, г, g+£e'(ft/-5)): TXVlXRX&~L-+Rn
/-о
обладает следующими свойствами:
1) функция fL(x, •, г, •) имеет производную /^,в)(т, v, г, 8)
для всех
(т, о, г, 8)еГХ^Х/?Х^;
2) fL^$(T, VLXRXrL\ R");
3) /fr.e,s.«(r, VLX/?X^; fi(RnXRm+1, R")). ГааЗа
4) для каждого L s Bm+1 ы <x e 9* функция
(т, о, 9)-/*-°(т, v, Q) = fL(x, v, а(т), 6): rX^X^-^R"
такова, что
fL-°€=<%(T, VLX&~L; R"),
/&ае>еЯ(7\ FLX^L; B(R"XRm+1, R")),
/«ЛК о, в) (До, Ав)=5/(1б)(т, t», r, 9) (At», A8)a(/)(dr)
[Д» e= R"; Д8 e= Rm+'; (т, ©, в) еГХ^Х^!
386

5) для каждого L е Bm+I существуют такие окрестности У
точки о в ?* и Т' точки О в &~т+\, что для любого (а, 8) е
е^'Х^"' уравнение
t
У t)- v0 + \ fL (т, у (т), а(т), 9)dx (/ <= Г)
t^eer единственное решение yL{a9 9) (•) е С (Г, КА).
Доказательство. Пусть L^Bm+l. Утверждение 4)
является прямым следствием теоремы IV. 2.7. Если (а, 9) е
^(T)=max(|/L(T, -, ., -)Lp» I /fe- e> (xt •, •, OLp) (*еЛ.
то, по теореме о среднем II. 3.6, имеем
|/Чт, *„ а(т), в)-)Чт, о,, а(т), 0) |<
<+L(T)|tr,-o2| (теГ;о,,о2еП (6)
Следовательно, по теореме II. 4.5, уравнение в условии 5) имеет
единственное решение у такое, что y(T)czVL. Таким образом,
если утверждение 5) не выполнено, то существует такая
последовательность ((а7, 9/)) в 0^X#"L, сходящаяся к (а, 0), что
уравнение в условии 5) не имеет решения у в области VL9 где
(о^ е) =* (а7, 9/) (/ е N). Положим
t
Ф/(0-
\fL'x9g(x\r90){o,{x)-d{x))(dr)
(t бГ;/е N).
+ в/(/-«
Так как ^ — окрестность компактного множества у (Т)9 то
существует такое а > 0, что d [у (Т)9 dVL] > а. По теоремам
IV.2.9 и 1.5.3, Нтф/(/) = 0 равномерно для всех /еГ. Таким
/
образом, существует такое /0 е N, что
Ф/(0<о|"1 + ехрП^(т)Лу $*Чг)*Л
U>kt&T).
Пусть теперь / е {/0, /0+ 1, ...} зафиксировано. Так как,
по предположению, уравнение в условии 5) не имеет решения у
в области V1 для (а, 9) = (а7, 9Д то по теореме П. 4.2,
существуют такие ft е (/0, /J и непрерывная функция */,: р0, ^)-*R"
что Hmy,(t)&dVL и
У/ W = *о + J /* (т, */, (т), а, (т), 97) dx (t € [/о, //'))•
13* 387

Так как (у, а) удовлетворяет уравнению
t
У (t) = vo + \ fL (т, у (т), а (т), 0) dx (t е= [t0, t',)),
и
то, комбинируя эти два уравнения, получаем
\y,{t)-y{t)\=
t I
J (fL (т, У1 (t), cry (t), 9,) - fL (т, у (t), a (t), 0)) dx <
'• I
t
<\\fL (т, */, (т), or, (т), 9y) - f<< (t, £ (t), a, (x), 0) | dx +
to
I t
+ \\dx\fL{x>y (t), r, 0) (a, (t) - a (т)) (dr)
< \ V (t) IУi W - £ (т) I dx + Ф/ (0 (t e= [/<,,' 0). (8)
и
Применяя неравенство Гронуола II. 4.4 к соотношению (8), имеем
1М0-£(01<Ф/(0 + ехр
[j ^(t)rfTj
X
Х\ V(r)<P,(r)dx (t <=[t0, ®).
Из условия (7) теперь следует
\y,(t)-9(t)\<a N[/o, t',)).
Таким образом,
d [у (Г), dVL\ < lim | </,(') ~ £ (t) | < a,
t->t.
что противоречит определению a. Это означает, что
утверждение 5) выполнено.
VI.2.2. Лемма. Пусть <U—допустимое подмножество из 9&,
множество A (t) выпукло и A (t)° Ф 0 для всех t еГ, множество
С (А0) = {(*, у)еГХГ^еЛ (0°}
открыто в Т X Rm2 и {у, q) = (y, a, b) <= а (9>*\ Если f и {у, а, В)
удовлетворяют предположениям леммы VI. 2.1, функции
h0: FXfi-^R, hx: KXS->Rm,
h2\ TXVXB-+Rm>
383

непрерывны и частные производные 2>ih0i @)\hx и SD2fh
существуют и непрерывны, то условия теоремы V. 3.2 выполнены,
и мы имеем
hfayW* а(т), 6)Лу =
- \ U (т, У М. г, В) Дг;а(т)(dr) (т еГ;Д^е R*), (1)
t
(Fy (У, *, Ь) А*/) (0 = J /, (т, у (т), д (т), б) Д*/(т) dx (2)
D2F (у, q\ q-q){*)=\ U (т, у (т), or (т) - а (т), 5) +
U
+ D4f(xJy(x),d(x),b;b-b))dx [t<=T-q±(df Ь)<=9*ХВ]. (3)
Доказательство. Из леммы V. 2.4 следует, что
множество С2 выпукло и С^Ф 0. Пусть теперь /С = (<7о, •••> ?т) —
= ((<*, W. ••-. (am,U)e(^XB)m+1, L = (ftb, .... »«) и У* =
= C(7,, V1) <=<V. По лемме VI. 2.1, соотношение (1) выполнено
и существуют такие окрестности ^ точки а в 9^ и ^к точки 0
в 0^, что выражение
F*{У, а9 6) (/) =v0+\fL (т, у (т), а(т), 0)dt
определено для всех (у, а, 0) е К* X &к X#"* и/gT, а
уравнение y = FK(y, а, 0) имеет единственное решение г/к(а, 0) в YK
для всех (а, 0) е <РК X ^к, удовлетворяющее условию V. 3.2 (4).
По теоремам IV. 2.9 и I. 5.3, функция
F*'- YKX^KXTK^V
непрерывна и, таким образом, удовлетворяет условию V. 3.2 (3).
Покажем, что условие V. 3.2 (5) выполнено, т. е. множество
<Г«АуК{<?к х Гк)=={Рк{ук (ст> 9), а,8)|ае^,9Е Гк)
условно компактно. Действительно,
1/1(т.У|Г(а|в)(т)|а(т),в)|<|^(т1 •, •, •) lsup
[те Г; (а, В)е9>кХГк1
и поэтому множество &°к равномерно ограничено и
равностепенно непрерывно. Следовательно, по теореме I. 5.4, Тк —
компакт в Of.
389

Положим
m
а*(8)-в+Е в'(*/-»),
/«о
ft*(e) = S+Ie/ (6,-5),
/-о
?* (8)=. (a* (8), ft* (9)) (9g=<Tw+1),
Г/с(т,о,9) = /(т,г;,а^(9)(т),6^(9))
(t e= Г; о e= V*; 9 e= ^w+1).
Ясно, что множество Тк содержит такую выпуклую
окрестность Т'к точки 0 в Тк, что ок (9) € ^ для 9 е ^. Таким
образом, функция
F«{y, B)=FK{y9 о*(В), Q) = F(y, a* (8), ft* (8))
определена для всех (у, 9) е У/сХ^"*- По теореме II. 4.9,
функция F*: УкХ&~к~+(У непрерывна и имеет такую непрерывную
производную S)FK (•, •), что
t
&F* (у, в) (Ду, Д9) (0 = J f*, в) (т, у (т), в) (At/ (т), АО) dx (4)
<«
(Ay е= <У; AG е= Rm+1; * s Г).
Это означает, что функция FK удовлетворяет условию V. 3.2(1).
По теореме И. 4.10,
I-Fy(y,d,b) [-/-*?& 0)]
является гомеоморфизмом из Щ в Щ, удовлетворяющим
условию V. 3.2 (2).
Нетрудно показать, что функция
& <VX^*XB->RXRmXC(r,RmO,
определенная соотношениями
gi(y,otb) = hi(y(tl\b) (/ = 0,1),
g2(y,o,b)(t) = h2(t,y(t),b) (t<=T),
удовлетворяет условиям V. 3.2(1) и V. 3.2(3).
Таким образом, мы показали, что условия теоремы V. 3.2
выполнены и соотношение (1) справедливо. Если мы положим
Д8 = 0 и К = ((о*, ft), ..., (а, ft)), то соотношение (2) следует из
условия (4). Нетрудно показать теперь, что для Д9 = (1, 0, ..., 0) S
€ Rm+l, К = ((о, ft), (а, ft), ..., (а, ft)), <? = (а, ft) и 9-(с, Ь) МЫ
390

(F0* (у, 0) AS) (0 - D2F (g, q; q - q) (t) (t e= T)t (5)
f * (т, у (т), 9)-/(tj(т), a(t), b*(9)) +
+ e0f(T,y(T),a(T)-a(T), ft* (6)).
Следовательно, по теореме II. 3.4,
ft (*, £ W. °)Д6 = °J <T> V M' * W,»; ft - *) +
+ f(t,y(T),a(r)-a(T), ft).
Это последнее соотношение вместе с условиями (4) и (5) дает
нам утверждение (3). Теорема доказана.
Нетрудно показать, что если условия леммы VI. 2.1
выполнены, то, по леммам VI. 2.2 и IV. 2.7, функция x->fv (т, д(х)9 а(т), В)
интегрируема. Таким образом, по теореме II. 4.8, существует
единственная функция Z: Т^»В{Цп, Rn), удовлетворяющая
уравнению
t
Z (t) = / + $ Z (х) fv (т, у (т), а (т), Ь) dx (t е= Т).
и
VI. 2.3. Теорема. Пусть °U — допустимое подмножество
из 9№> множество A(t) выпукло и A(t)°=£0 для всех /gT,
множество
С (Л°) = {(*, v) € Т X RW21 v е Л (0°}
открыто в Г X RW2, (*7, а, 6) е ^ (У7), функции
% VXS^R, Л,: KXB->Rm.
Л2: 71X^XB->RW2
непрерывны вместе с частными производными £>]hQ, £Dxh{ и 3)2^
I — единичная пу^п-матрица, Z — {единственное) решение
уравнения
t
Z 0) - / + J Z (т) fv (т, £ (т), а (т), 5) dr (* € Г),
и пусгб f н (у, a, б) удовлетворяют условиям леммы VI. 2.1.
Тогда
О (#> о*, ft) является экстремалью тогда и только тогда, когда
существуют /0 > 0, ^ е Rm, со е frm+ (Г) и со — интегрируемая
Функция &: r->Rm2, такие, <*го, полагая
k W = [fea)^ (у (/,), 6) + /ГД>1Л| (у (/,), 6) +
+ J S(a)r02A2(a,£(a), 6) • Z (a)"1 co(da)]Z(/) (/еГ),
391

имеем
la) /0 + |/il + co(n>0, | fi(*)|=l (/sD;
lb) * (/)r / (/, у (/), a (0, 6) = min k (t)T f (t, у (0, г, 6)
для почти всех t gT:
lc) J Л (x)TD4f (t, у (t), a (t), b\ b-B)d% +
и
+ М>Ж (y (/,), B,b-B) + l\D2hx (y (tx), Ь\ b-B) +
+ J ю (a)TD,h2 (a, у (a), 5; 6 - 5) a> (da) > 0 (is B),
Id) 5 (f) • h2 {t, у (0, 6) = max 5 (t) • a
a*sA{t)
для (й-почти всех t e T\
2) либо (у, a, &) — экстремаль, либо существует такая точка
(Уи "и bx)est(<U), что h0(yx(tx), b)<h0(y(tx\ В).
В, частности, если (у, а, Ъ) — либо минимизирующее обобщен-
ное решение, либо минимизирующее ^-решение, то {у, а, В) —
экстремаль.
Наконец, если (ух, их, bx) е ^ФЩ), условия леммы VI. 2.2
выполнены, когда (у, а, В) заменено на произвольную точку из
{(у, о, b)<=A(?b)\ho(y(tx), Ъ)<Л0(?,(/,), ft,)},
и существует нормальное минимизирующее обобщенное решение,
то задача не имеет строгих ^-решений.
Доказательство. 1. Предположим сначала, что (у, а, В) -—
экстремаль, и выведем соотношения 1а)—Id). Положим
X (?) = (Хо (я), Xi (я)> Ъ (я)) =
= 8у (У, Я) ° U - Ру {У, Я)Г1 D2F (у, q]q-q) +
+ D2g (у, Я\Я~Я) 1я = (°, Ь)е9>*Х В].
Тогда существует такое /= (/0, /,, /2) е= [0, оо) X Rm X С (Т, R"1*)*,
что / Ф 0,
/оХо (Я) + /i • Xi (Я) + к (Х2 (Я)) > 0 [Я — (or, »)6^Xfl, (3)
М&(& <?)) = тах/2(с). (4)
Пусть теперь ? = (a, ft)e^XB и
р(0=[(/-М£> *)>"' ^(Л я\ я-я)Ш
392

Тогда, по лемме VI. 2.2,
[(/ - Fy (у, q)) р] (t) = p(t)-\h (т, у (т), а (т), Ъ) р (т) dx =
tx
t
= \ [f (т, У (т), а (т) - а (т), Ь) + £>4/ (т, у (т), а (т), 6; Ъ - &)] tfT (5)
и
Следовательно, по условиям (5) и 11.4.8(4),
t
p(t) = Z(t)-l\z(r)m(x)dx (t<=T), (6)
и
где
m(x) = f(x,y(x), а(х)-д(х), В) +
+ DJ (т, у (т), д (т), Ь; Ь - В) (те Г). (7)
Так как
^{у,а,Ъ)=кЛу{и),Ь) (/ = 0,1),
g«Ay, <т, b)(t) = h2(t,y(t),b)
[t<=T; (у, a, b)<=VX9">XB},
мы имеем
Xi (q) = 0,й, (у (/,), Ь) р ft) + АЛ (У С), В;Ь-В) (/ = 0, 1),
X2(q)(t) = ®2fk(t,y(t), b)p(t) +
+ Dsh2(t,y(t),B;b-B) (t<=T). (8)
Таким образом, по условиям (6) и (8),
'оХо(<7) + /,-Xi(<7) =
= J [/о0,Ао (У ft), &) + tf^iAi (у (/,), б)] Z (т) m (т) dt +
+ l0D2ho (у (/,), В; Ь - В) + /[D2A, {у (/,), В; Ь - В). (9)
Далее, по теореме V. 2.5, существуют такое а е frm+ (7)
и такая ©-интегрируемая функция <5: T-*Rm', что
|<5(*)|=1 ((еГ),
J2(с) = $ S (0 • с (t) о (Л) [с е= С (Г, Rm01 (10)
и соотношение Id) выполняется.
393

Из условий (6) и (8) следует, что
к (& Ш = S S (tf J02ft2 (t, у (О, В) Z(t)~l.\z (т) т (т) <*т +
+ D3h2 (t, у (D, В; b - В)] <d (Л) [?= (a, 6) s 2* X B|.
По лемме VI. 2.1 (условия (2) и (3)) ('для L = (b,b b) е= Bm+l),
имеем
|«(т)|<2|Р(т, •, •, OU + lffe.ejK '. •. -)|
sup
Более того, непрерывные функции t->Z{t) и t->2DJi2(t, #(')» &)
интегрируемы на Т. Таким образом, применяя теорему Фубини
I. 4.45, получаем
и
к (%2 (Я)) = $ Г \ Л (t)T 02й2 И, У V), В) Z (О"1] Z (т) m (т) dx +
+ J й (tf Dzh2 (t, у (t), B\ b - 6) со (Л).
Комбинируя это соотношение с условиями (3), (7) и (9), имеем
/оХо (?) + /i • Xi (q) + к (%2 W =
и
= \ k(x)T[f(r, 9(t), о(х)-д(х), В) +
+ DJ{x,g(%),d(T), B;b-b)]dx +
+ loD2h0 (у (*,), В; b - В) + l\D2hx {у (*,), 5; 6 - 5) +
+ ^ 5 (a)r £>3А2 (а, У (a), 6, Ь — В) ю (da) > О
J д (»)
[<7 = (ст, 6)е^Х4
2. Докажем соотношения 1а) —1с). Соотношение 1а) следует
из условия (10) и / = (/о, /ь У ^ 0. Соотношение 1с) получается
из условия (11) при о = д. Для того чтобы получить
соотношение lb), положим b = b в условии (11) и получим
\ k [х)Т f (т, у (т), а (т) - а (т), В) dx > 0 (а € Я*). (12)
По условию IV. 3.1, множество $№ содержит такое счетное
подмножество {р,, р2, ...}, что множество {pi (т), р2(т), ...} всюду
плотно в R*(т) для почти всех теГ, Если положим
o(t) = Pj(t) (*е£), o(t)=ss{l) (t&E)
394

для каждого /gNh каждого измеримого подмножества £ cz Г,
то, по условию (12), имеем
J k (т)т f (т, у (т), Р/ (т) - а (т), б) dx > О
для всех измеримых подмножеств EczT. Отсюда следует, по
условию 1.4.34(7), что
k(t)Tf(t, y(t), р/(0-»(0, 5» О
почти всюду в Г, например, для / е Г/. Поэтому это последнее
соотношение справедливо для всех / е Г' = f| Г/, и множество
/-1
Т \ V имеет меру 0. Напомним, что множество {pt {t)f р2(/), ...}
всюду плотно в R*{t) для почти всех /еГ, а функция
r-+k(t)Tf(t, y(t)9 г, ft) непрерывна на /? для всех /еГ. Это
дает нам
k (t)T f (*, 0 W, a (/), 5) < min k (t)T f (t, у (/), r, 5) (13)
почти всюду j Г. С другой стороны, так как мера a(t)
сосредоточена на R*(t) почти всюду в Г, то
k (t)T f (*, £ (0, a (0, 5) = _ J Л (/)г / (t, у (t), г, S) a 0)(rfr) >
** (О
> min k(t)Tf(t,9(t)trtb)
почти всюду в Г. Это соотношение и условие (13) дают нам
условие lb).
3. Предположим теперь, что существуют такие /0>0, /, е Rw,
©^frm*^) и (о — интегрируемая функция ©: 7,->Rm?, что
условия 1а)—Id) выполнены. Покажем, что (у, а, 6) — экстремаль.
Положим
4 (с)= J S (/) • с (/) со (Л) [сеС (Г, RW2)].
Нетрудно проверить, что /2еС(Г, R™2)*- Оценка для величины
toXoiq) + h - Xi(<l) + kfaW,
которую мы получили на первом этапе доказательства и
которая приводит к неравенству (11), остается верной. По
условию 1а), / = (/о, /ь к)^ 0- По условию lb), имеем
k{t)Tf{t, y(t\ a(fl, B)<k(iff(t9 y(t), o(t)t b)
395

для о е &* и почти всех t е Г. Следовательно,
/,
\ k (х)т |/ (т, у (т), а (т) - а (т), 5)] > 0 (as 0").
Комбинируя это соотношение с условием 1с) и с
неравенством (11), получаем
loXo(q) + li-Xi(q) + l2(X2(q))>0
[q±(o9b)eg»XBl.
Наконец, из соотношения Id) следует, что
J 5(/).Л2(/, y(t), b)<o(dt)>\&(t).c(t)<*(dt) = l2(c) (ceCJ.
Таким образом, (у, <т, &, /0, /ь /2) — экстремаль.
4. Утверждение 2) следует из леммы VI. 2.2 и теоремы V. 3.2.
Последняя часть теоремы следует из леммы VI. 2.2 и теоремы
V. 3.4. Теорема полностью доказана.
Если h: X X Y->Z — заданная функция, а функция h(*yy)
постоянна для всех у еУ, то назовем функцию h не зависящей
от аргумента х & X и пишем h (у) вместо h (х, у), считая h
функцией из Y в Z.
VI. 2.4. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы VI. 2.3.
Предположиму что функция h2 не зависит от (/, Ь) е Т X В, h2 (•)
А
илегг непрерывную вторую производную из V, A(t) = (— ооэ 0] 2
(/ е 71) к (#, 5, 6) — экстремаль. Тогда существуют такие /0 ^ 0,
/t е Rm, невозрастающие функции
ц/. г-*[0, оо) (/=1,2, ..., mj
и непрерывная функция z: T->Rn, что9 полагая
\1 = (\х\ ..., (А™2),
Р (*, v) = h2 (v) f (*, и, a (0, 6) (/ er;rG 7),
МОГ = *ЮГ+1*ЮГ«0Ю) (<еГ),
мы имеем
1) zt,T = l<@xh(y(tx), В +li-&lhl(y(tl)9 b) +
+ \[z.x)Tfv(*, 9«:> a(x), Ь) + ц(х)%(х, y(x))] dx;
t
TYli
2) /0 + l/1l+ZfA/(W>0
/-i
и для каждого /=1, 2, ..., m2 функция vJ\(ft t") постоянна.
396

hUy(t)xo (f<t<m
3> kifff(t, 9(t), a(t), b)= tnin kjffd, y{t), r, b)
для почти всех t^T\
и
4) \ k x)TDj(Tf g(x), »(т), b;b-b'dx +
to
+ l0D2h0(y (f,), b\ b - b, + /, • D2hx (y(tx)% b\ b-b)>0 (Je B).
Доказательство. 1. Пусть © и © такие же, как и
в теореме VI. 2.3,
li'tf)= ^ ©7(t)©U/t) (/еГ; /=1, 2, ..., т2)
it.ti\
и |i = '|i1> ..., Hm2)- Для каждого /=1, 2, ..., щ имеем, по
условию VI. 2.3 (Id), ©у (t) > 0 ©-почти всюду и ©' (*) = О
©-почти всюду в {t е Т | Аг (у (t)) < 0}. Из этих соотношений
вместе с условием VI. 2.3 (1а) следует, что функция yJ
неотрицательна и не возрастает, и утверждение 2) справедливо.
Так как каждая функция yJ не возрастает, то она
измерима. По теореме II. 4.6, в силу непрерывности функции Лг'>
существует непрерывная функция z: Т->Цп, удовлетворяющая
условию 1).
2. Пусть /е{1, 2, ..., т*,}, /еГ и функция р = (р\ ...
..., рт>): Т-+Цт> абсолютно непрерывна. По теоремам 1.4.42
и I. 4.45, имеем
J !x'(T)p'vT)dr =
= \ р1 (т) dr J ©у (a) xItf ,(1 to) © (da) =
= \ ©7(a)©(rfa) \ /)y x)dx —
[', *il U. a]
= J [p'M-p^n]©'^©^ = .
—-р>(<)ц',* + J рЧа)©'(а)<о(</а).
397

Следовательно,
J &i{a)pi(a)(dida)=iif(t)pf(t) + J \i*'a> pf'a> da {t^T).
[Mil \t,t>\
(Это вид так называемой формулы интегрирования по частям.)
Таким образом, если функция М: T-+B{Rn, Rm*) абсолютно
непрерывна, то
&!(а)тМ (a)(o(da) =
IM.J
t,
= fx (t)TM (t+\li {a)TMr (a) da (t e= T). (5)
t
3. Покажем теперь, что определение
k(t)T = 2(ty + n(tnng(t)) (teT)
совпадает с определением функции k в теореме VI. 2.3. Для
этого рассмотрим функцию Z: r-*B(Rn, Rn), которая
удовлетворяет уравнению
tx
Z (/)«/ + J Z (т) fг (т, у (т\ а (т), b) dx (t € Г). (6)
По теореме II. 4.8, функция W (t) = Z(t)~l удовлетворяет
уравнению
*(*>«/-$ М*. 0<т), а(т), b)W(x)dx (tezT).
t
Полагаем
и, по условию 11.3.12(5) и теореме II. 3.4, получаем
V'(f) = m(g(t))y,{t) = Ki{y(t))f{t, y(t), a{t), b)
для почти всех /sTh
(V • Г)'(0 = У (0 • UT (/) + И (0 • Г' (О —
= W(y(t))f(t, 9(t), 5(0, 5) +
+ Л$ (0 (0) f, 0. у (0, a (0, 5)] • У (*) -
для почти всех <еГ.
398

Комбинируя это соотношение с условием (5), имеем
J <b(a)Tte(y(a))Z(ayl(>>(da) =
[Mil
= J 5>{a)TV.W(a)(o(da) =
[Mil
= \x(t)TV • W (t) + J (x(аПК • WT(a)da =
t
= H{t)Tti(y(t))Z(t)-l +
t,
+ J ц (a.'fc (а, у (a)) Z (a)"' da (f s Г). (7)
Из условия (6) и теоремы II. 4.8 непосредственно следует, что
уравнение 1) имеет такое единственное решение z, что
z(tf = [ \ |1 (а)гр0 (а, р (a)) Z (a)"1 da +
+ /o»iАо «(*,), «) + /,- Я>Л (у ft), &)] Z (0 (* € Т).
Следовательно, по условию (7),
г(t)T + |i (0Г« (у (0) = [fo»i Ао»(*i)f 8) + /[ • SDihi (у (*,), 5) +
Это означает, что наше определение функции k совпадает
с определением из теоремы VI. 2.3. Таким образом,
соотношения 3) и 4) непосредственно следуют из условий VI. 2.3(1 в)
и VI. 2.3 (1с), соответственно. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь частный случай, когда одностороннее
ограничение
£2 (У* су, Ь) <= С2
(т.е. Аар, y(t), b)^A{t) для всех t^T), отсутствует, а
функция №(.) постоянна. Полагая пг2 = 0 (следовательно, #?2 = \0})>
мы можем свести этот частный случай к односторонней задаче,
рассмотренной в данной главе. Наша задача может быть
преобразована к такому виду, что функция (t, v, г, b)-^>f(t, v, г, b)
не зависит от /. Действительно, любое уравнение вида
t
*(') = 0о+$ф(т, x(x))d% (/еГ)
п
399

эквивалентно уравнению
t
*(0 = *о+$Ф(*(т))Л ((ЕГ),
'о
где
к (о = (<, * (О), Ф(* (0)=(1, ф (*, * (0)), в0=(/о, *о).
Однако нужно всегда иметь в виду, что если такое
преобразование сделано, то любые предположения о зависимости
функции (/, у)-*ф(/, v) от аргумента v должны быть расширены
на зависимость этой функции от аргументов (t, v).
VI. 2.5. Теорема. Пусть (у, а, Ь) — экстремаль,
т2 = 0, *,<=*, R*(f) = R{ (t<E=T),
множество V выпукло,
f(t, v9 г, b) = f (о, г) [(/, v, r)s=TXVXR]
и условия теоремы VI. 2.3 выполнены. Тогда существуют такие
с{ е R, /0^0, !i е Rm и га/сая непрерывная функция k: Г-^R*,
/o + Uil>0,
k(t)T = l0<Z>iho(y(U), b) + lTla)ihl{y(ti)9 5) +
* Orf (9 W, д (0) = min *(0rf (P (0, r) - c, (2)
(Эля /го<*га веек * e T\
и
\ k(x)W4f(x, g{%), а(т), В; b-b)d% +
n
+ hPJh (У (ti), b\ b-b) + l\D2hx (9{tx)9 5; b - b) >0 (6gB); (3)
k (t)T \fv (y (/), r') f (9 (t), a (/)) - U (9 (*), а (0) f (у (t), r')} = 0 (4)
для почти всех t еГ и всех
r'^R'(t) = {rs=R{\k (iff (9 (/), г) = ft (0rf (9 (fl. в (0)}.
Доказательство. Применим результаты теоремы VI. 2.3.
Мы имеем со = 0, так как /2е{0}* = {0}. Следовательно, по
условию VI. 2.3 (1а),
/o + |/il>0. (5)
400

Из соотношения VI. 2.3 (1с) следует условие (3), а из
соотношения VI. 2.3(lb) следует, что
k (t)Tf (у (0, д (0) - min k (t)Tf (у (0, г)
re Д,
для почти всех / е Г. Мы имеем
к (т)г = MiAo (у ft), 5) + fiSDihi (у (<,), 5)] Z (т) (т € Г), (6)
Z (0 = / + J Z (т) fv (т, у (т), а (т), 5) dx (t € Г). (7)
Утверждение (1) следует из условий (5)—(7) и теоремы И.4.8.
Пусть теперь
K(t, s) = k(t)Tf(y{t), s) =
= J k (t)Tf (y (0, r) s (dr) [ts=T; s<= rpm (*)], (8)
K(t) = k(t, 6(t)) (t&T). (9)
Если положим S, = rpm (/?,), то
min k(t)Tf (y (t), r)= min k(t)Tf (9 (t), s)
для почти всех ^еГ. Отсюда, по условиям VI. 2.3 (lb) (8) и '9)
имеем
%(t) = k(t)Tf(y(t), а(0) = гшпЦ/, г) = ттЦ*, s) (10)
для почти всех t ^Т.
Из условий (1) и (8) следует, что существует такое V с Т,
что \i(f\T') = 0, условие (10) справедливо для всех /еГн
К (*, s) = k (tf f (у (t), s) + k «Г fv (9 (t), s) 9 (t) =
= -k(t)Tf0(9(t), d(t))f(9(t), s) +
+ k(t)Tf0(y(t), s) f (9(t), д(0) (/ еГ;$е S{). (11)
По условию (11), для каждого * е 7" имеем
limа-' [X(t + a,a(t))-K(t,d(t))] = X,(t, a(t)) = 0, (12)
a по условию (10),
"-'[Ч' + а, d(t + a))-X(t + a, a(t))]X
( <0, если t + aeT' и а> 0,
X{>0, если / + ае=Г и а<0. (13)
401

Нетрудно показать, что функции f и f0 непрерывны, и
поэтому ограничены на компактном множестве Vx X R, где V{ —
компактная и выпуклая окрестности точки у (Г). Отсюда
следует, что
if (t>, s) К с, \fv(v, s)\<c
для всех t>eKi и«е rpm (/?) и некоторого с > 0. Аналогично,
функция & (•) ограничена на Г, и мы можем выбрать такое с\
что |fc(0l^c Для всех t^T. Таким образом, по условию (11)'
! Я*(*, s) |<2(с)3 = с' (* е= Г'; * s S,). (14)
Более того, для всех s е rpm(R) и ть т2еГ из второго
соотношения в условии (1), условия (8), теоремы II. 3.6 и условия
VI. 2.1(4) следует, что
1Чт2, s)-X(xu s)\ = \k(x2)Tf(y(x2), s)^k(xl)Tf(g(xi)9 s)|<
<\k(x2)\\f(y(x2\s)^f(y(xl)9 s)\ +
+ l*W-*(T1)||f®(T,)iS)|<
<c|y(T2) —у(т,)| sup lf0(a^(Ti) + (l-a)^(T2), s)| +
0<a<l
+ e|*(T2)-*(T,)|<2(cJ»|T2-T,|. (15)
Таким образом, для каждого ssS, функция А,(•, s) абсолютно
непрерывна, и мы имеем
14*8, *) —4*i, *)! =
$М*, s)dt
<с'|т2-т,| (т,, т2<=Г). (16)
Положим теперь
hit, т) = (/-тГ'[4*. д(0)-4<, а(т))],
/20, т) = ('-т)"[4', *(*))-4т, а(т))]
Р.теГ).
Тогда из условия (13) следует, что
(,_t)-'[M/)-Mt)] =
-/.(*.т)+/2(/._т)(>/в(/>т)> если ,<Т) (17)
для f, tgT, и из условия (16), что — с'^.J2(t, т)<с' для
всех t и х в Г'. Поэтому из условия (17) следует, что
1М0-Мт)К*'1'-т1 (*, те Г).
402

Таким образом, функция А,(*) равномерно непрерывна н_а 7" и
имеет такое равномерно непрерывное расширение Хх на Т' = Т,
что
|М0-М*)К*'1'-т| • (*, теГ).
Это означает, что функция Х{ абсолютно непрерывна и, по
теореме 1.4.42, производная к{ (t) существует почти всюду в Г,
например, для <еГс?". Из условий (12) и (17) мы можем
получить соотношение
lim [Я (0 - к (т)]/(/ - т) = *! (t) = О (t €= Г").
Отсюда следует, по теореме I. 4.42, что функция Х{ постоянна
на Г, следовательно, и функция А постоянна на Г, и
соотношение (2) вытекает из условия (10).
Наконец, мы должны вывести соотношение (4). Пусть т,
/еГи r'<=R'(t). Тогда X(t, r') = X(t) и, по условию (2),
(/-тГ'[Ч<, гО-Мт, /•')] =
1 , Г ^ 0, если * > т,
= ((_t)-.[X(()_Mx,r')]{J0| „ /<t (18,
По условию (11), левая часть соотношения (18) сходится к
пределу функции А,*(/, г0 при т->/, теГ, и, таким образом, из
условия (18) следует, что Xt(t9 г') = 0. Соотношение (4) теперь
вытекает из условия (11).
VI. 3. Дифференциальные включения и эквивалентные
управляющие функции
Мы продолжим изучение задачи управления, определенной
в параграфе VI. 0 и исследованной в параграфах VI. 1 и VI. 2,
ограничиваясь рассмотрением минимизирующих обычных
решений для случая Ф/ = $^. Эта задача в обычном варианте
содержит такие точки (у, р, Ь) е <fy X № X В, что у {t0) = vQ,
функция у абсолютно непрерывна и
Ht) = f{t,y{t\ p(t),b) (*)
почти всюду в Г; и в обобщенном варианте она содержит
такие точки (у, а, Ь)*=<УХ?*ХВ, что y(t0) = v0, функция #
абсолютно непрерывна и
y(t) = f(t,y(t),o(t), Ь) (**)
почти всюду в Г. В этом параграфе мы рассмотрим
соотношения, эквивалентные соотношениям (*) и (**), которые либо
вообще не содержат управляющих функций (дифференциальные
включения), либо определены в терминах управляющих
функций, отличных от элементов из $№ и &* {эквивалентные
управляющие функции).
403

VI. 3.1. Теорема (Филиппов — Кастен). Пусть neN
V — открытое подмножество из R", v0<=V и функция f: Т X V \
X#-*R'1 такова, что функция f(«, v, г) измерима, а функция
f(t9 •, •) непрерывна для всех (t, о, г) е Г X V X /?. Волге гого
ш/т> функция у: T-+V абсолютно непрерывна, y(f0) = t>0 J
множество Rb (t) замкнуто для почти всех t еГ Гогда
1) y(t) = f{t, y(t), р(0) ло^то всюду в Т для некоторого p^g%b
гогда ы только тогда, когда
y(t)s=f(t,y(t\ R>(t))
почти всюду в Т.
2) Более того, если X — компактное метрическое
пространство, Ж (X) —пространство непустых замкнутых подмножеств
из X с хаусдорфовой метрикой, отображение Г: Т ^* Ж (X)
измеримо, а функция ф: 7,XVXX->R'1 такова, что функция
Ф (•, v, х) измерима, функция cp(t, • , •) непрерывна и
f(t9 v, R* «)) = <( (t,v, Г (t))
для всех (/, v, х) €= Т X V X *, го
0(<) = f(', У(0, р(0)
по^ги бсюду в Г для некоторого реЖ& 'т. г. для некоторой
измеримой однозначной ветви р из Rb) тогда и только тогда,
когда
y(t) = <p(t,y(t\ t(t))
почти всюду в Т для некоторой измеримой однозначной ветви I
из Г.
Доказательство. Если у(t) = f (t, у(/), р(t)) почти всюду
в Т для некоторого р е 31ь, то y(t)^f (/, у (/), Rh (t)) почти
всюду в 7\ Наоборот, если y(t)^f (t, у (/), Rb (t)) почти всюду
в Г, то, по теореме Филиппова — Кастена 1.7.10, существует
такая измеримая однозначная ветвь р из Rb, что y(t) = f(tt y(t),
р(0) почти всюду в Т. Применяя аналогичные рассуждения
к ф и Г вместо f и R\ находим, что t)(t) = q>(t, y{t), l(t)) почти
всюду в Т для некоторой измеримой однозначной ветви £ из Г
тогда и только тогда, когда
y(t)e=<p(t,y(t\ T(t)) = f(t9y(t), Rb(t))
почти всюду в Т.
VI.3.2. Теорема. Пусть выполнены все условия теоремы
VI. 3.1, за исключением одного: множество Rb{t) не обязательно
замкнуто. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
la) it(t) = Ut, y(t\ o(t))
почти всюду в Т для некоторого ае^;
404

lb) */(/)€= со (f(/, y(t), R*(f)))
почти всюду в T\
lc) y(t)=£a'(t)f(t,y(t\ Р/(0)
почти всюду в Т для некоторой измеримой функции (<х°, ...
ап): Т->Т'п и таких измеримых функций ру: 71-*/? (/ = 0,
1 ..., я), чт0 Р/(0е#*(0 почти всюду в Т.
2) Более того, если X — компактное метрическое
пространство, Ж (X) — пространство непустых подмножеств из X с хаус-
дорфовой метрикой, отображение Г: Т ->Ж(Х) измеримо, а
функция ф: ТХ У XX->J{n такова, что <р( •, v, х)—измеримая
функция, (p(t, •, •) — непрерывная функция,
Ф(<, v9 r(t)) = co(f(tfv9R*(t)))
для всех (*, v, х) г Т X К X *, го
y(t) = f{t,y(t), ог(О)
по<*ги всюду в Т для некоторого ае^ гог5а и только тогда,
когда
y(t) = v(t, у {(), КО)
/ю?п/ всюду в Т для некоторой измеримой однозначной ветви |
из Г.
Доказательство. Пусть K(t, v) = co(f{t, и,/?^(/))) для
всех (t, v) е= Т X К, а €= 9>* и
*(')-/('. *(0, *«))-$/(*, у<<), г) о (<)(*) (3)
для почти всех t е Г, например, для t е Г7. Пусть / е Г7. Так
как f (t, У (t), r)^K [t, у (t)) [r e R* {t)\ и a (0 — вероятностная
мера, то из условия (3) и теоремы 1.6.13 следует, что y(t)^
^K(t, y{t)) почти всюду в Т.
Предположим теперь, что
y(t)^K(t,y(t))
Для почти всех t е Г, например, для / е Т'. Тогда для каждого
'е Т', по теореме Каратеодори 1.6.2, существуют такие г0,
'ь ..., гЛ €=**(*) и (9°, ..., 9Л)е^, что
d{t)=t*Ht9y{t), г;). (4)
/-0
405

Определим регулярную вероятностную меру 5(/) соотношением
s (t)(R')= L е' [я'€=2в(Я)].
Тогда, по условию (4),
y(t)=\f(t, y(t), г), d(t)(dr)=f(t, y(t\ a(t))
для почти всех (gT, и d(t){Rif(t))=l. Отсюда следует, по
теореме IV. 3.13, что существует такое а£^, что
y(t) = f(t, У«), o(t))
почти всюду в Т. Это означает, что утверждения 1а) и lb)
эквивалентны.
Предположим теперь, что выполнены условия утверждения 2)
И y(t) = f(t, y(f), o(t)) ПОЧТИ ВСЮДУ В Т ДЛЯ НеКОТОрОГО ffG^,
Тогда, по теореме 1.6.13,
у (t)t= со (f(t; y(t), /?*(0)) = Ф(', y(t\ Г(0)
почти всюду в Г и, по теореме 1.7.10, существует такая
измеримая однозначная ветвь | из Г, что y(f) = cp(f, y(t)y £(/)) почти
всюду в Т. Наоборот, если y(t) — (f>(ty y{t)y \(t)) почти всюду
в Т для некоторой измеримой однозначной ветви | из Г, то
условие lb) выполнено, откуда следует условие 1а). Таким
образом, мы доказали справедливость утверждения 2).
Наконец, мы должны доказать, что утверждение 1с)
эквивалентно утверждению lb). Действительно, если условие 1с)
выполнено, то, по теореме I. 6.1, утверждение lb) также выполнено.
Пусть теперь выполнено условие lb), поэтому условие 1а) также
выполнено. Пусть
Г(0=^Х^(0п+1 (<еГ),
Ф(<. v> *)=Ze'f(*. <\'/)
/-о
[(*, v)^TXV; * = (0°, ..., 6", г0, ..., rjsl].
Тогда, по лемме I. 7.5, отображение Г измеримо. Утверждение 1с)
следует теперь из теоремы 1.6.2, условия 1а) и утверждения 2).
VI.3.3. Теорема (Филиппов). Пусть выполнены условия
теоремы VI. 1.1, множество R*(t) замкнуто для всех /еГ, амно*
жество f(t, v9 R^it), b) выпукло для всех
(*, v, b)<=TXVXB.
406

Тогда существует точка {у, p,J)e^X^XS, которая является
одновременно минимизирующим обобщенным решением и
минимизирующим №-решением.
Доказательство. По теореме VI. 1.1, существует
минимизирующее обобщенное решение (у, а, Ь). По условию VI. 3.2(2)
(при * = #, Г (/) = /?* (О и Ф('> v> r) = f(t, v, г, b)) существует
такая измеримая однозначная ветвь р из R* (т. е. р£ Я*\ что
9(t) = f(t, 9(t), pW, b)
почти всюду в Т. Поскольку функции А0, h{ и Л2 зависят только
от /, У и 6, а (г/, р, 6) является минимизирующим обобщенным
решением, оно является также минимизирующим ^-решением,
так как р е= №.
VI. 4. Неограниченные контингентные множества
и компактифицированные параметрические задачи
VI. 4.1. Общие замечания. В задачах, которые мы до сих пор
рассматривали в этой главе (т. е. которые определены в
параграфе VI. 0), множество /(/, и, /?*(/), Ь) (называемое, по
терминологии Важевского [1, 2], контингентным множеством)
ограничено для каждого (и, /) е V X Т. Это объясняется тем, что
множество R было компактно, а функция f (t, v, •, Ь) предполагалась
непрерывной. В этом параграфе мы заменим компактное
метрическое пространство R на топологическое пространство /?top
(которое не обязательно компактно) и рассмотрим обычные
управляющие функции со значениями в /?top. Мы исследуем класс
задач, для которых множества f(t, v, /?top, b) уже не
обязательно ограничены и предположение VI. 1.1(1) может нарушаться.
Если множества Ж и si определены аналогично множествам
2б{&) и sl(M) (с заменой R на /?top), то множество {у е С X
Х(7\ Rn)|(f/, р, b)^sl} уже может не быть равномерно
непрерывным, и во многих случаях любое минимизирующее
приближенное решение i(yh р/, bf)) дает множество {уи уъ ...}
в С (Г, Rrt), которое не является условно компактным. В
действительности, последовательность (#/) может сходиться почти всюду
к разрывной функции (см. пример VI. 4.7, данный ниже).
Ясно, что при таких условиях теоремы VI. 1.1 и VI. 1.3
и VI. 3.3 не справедливы. С другой стороны, как мы покажем
в этом параграфе, можно при довольно общих условиях
доказать существование некоторого вида минимизирующих
приближенных решений. Таким образом, задача имеет решение, но
методы, которые мы использовали до сих пор для нахождения
такого решения (обобщенные управления), не отвечают больше
этой задаче.
407

В главе III мы обсудили причины введения минимизирующих
приближенных ^-решений и показали впоследствии, что это
соответствует вложению обычных управляющих функций в
большее множество 9"* обобщенных управляющих функций для того,
чтобы получить минимизирующие решения нового типа, знание
которых позволяет нам определить минимизирующее
приближенное ^/-решение. В данном случае мы должны расширять
не только множество управляющих функций, но также и
множество функций состояния. Мы достигнем этого, вкладывая наши
функции состояния в множество «параметризаций кривой линии».
Последние являются стандартным инструментом для изучения
геометрических кривых, т. е. образов непрерывных отображений
замкнутого (конечного) интервала.
Если T = [t0i /,]c=R, функция у={у\ ..., уп): T^Rn
непрерывна и
r(s) = t0+(t{-t0)s (ss[0, 1]),
то функция */ = (т, у ох) также непрерывна и (т, #°т)([0, 1])
является графиком Му функции у. В общем случае, если
функция т: [О, 1]->Г является непрерывной неубывающей сюрьективной
функцией и у=(т, у ох), то у ([0, 1]) также является графиком
функции у. Таким образом, график функции у может быть
представлен различными способами как непрерывный образ
отрезка [0, 1], и каждое такое представление соответствует
выбору непрерывной функции
У = {У\ У\ ..., Л = (т, Л): [0, l]-*rXR",
где т: [0, 1 ]-> Г-—неубывающая сюрьективная функция. Такая
функция называется параметризацией графика Му. Пусть теперь
Ж — семейство таких подмножеств Af из R X R", что М=у ([О, 1])
для некоторой непрерывной функции ^^(т, Г|): [0, l]->RXRn,
где т: [О, 1]->R — неубывающая функция. Назовем функцию у
параметризацией множества М. Пространство С (Г, Rn) можно
вложить в семейство Ж, отождествляя каждую функцию у е
еС(Г, R") с ее графиком Му. Элемент Mel соответствует
некоторой функции у е С (7\ R") (т. е. М является графиком
функции у) тогда и только тогда, когда М имеет такую
параметризацию ум = ('*м, Лм)- [0, l]-*Af, что тм([0, 1]) = Г и
тм: [О» 1]-+Т является биективной функцией (и поэтому возрастает
и является гомеоморфизмом из [0, 1] в Г). В этом случае мы
имеем У = ЦМ°tjjj1. Если элемент М е Ж имеет такую
параметризацию Ум — ^м* т1м): [О, 1]->M, что хм — инъективная
функция, но тм([0, l]).s=pA*f ^фт, то множество М является гра-
408

фиком некоторой непрерывной функции из [й1, /f1] в Rn. Однако
существуют элементы М е Л, которые не являются графиками
какой-либо функции, отображающей замкнутый интервал из R
в Rn. Если М имеет такую параметризацию Ум = (хм> Лм)» что
функция хм постоянна на некотором подынтервале [а, р] из [0, 1],
но функция r|M не постоянна на [а, р], то множество М не
может быть графиком функции, отображающей подмножество
из R в R".
Имея вложение пространства С (Г, R") в большее
множество Л, введем соответствующее понятие сходимости в
множестве Л. Мы говорим, что последовательность (Mj) в Л
сходится к элементу М, если существуют такие параметризации yi
и у множеств М; и М, соответственно, что
lim у i(s) = g(s)
i
равномерно для s е [0, 1].
Расширяя понятие приближенного решения, мы допускаем
не только функции состояния у и управляющие функции р,
определенные на отрезке T=[t0f t{]y но также и такие, которые
определены на некотором интервале [/0, а]. Тогда требование
a = t{ становится дополнительным «желаемым» условием
(аналогичным условиям gx {у, р, Ь) = О и g2 {уу р, b) е С2) и трактуется
соответствующим образом. При некоторых условиях
(теорема VI. 4.5) мы можем показать существование регулярного
минимизирующего приближенного решения, т. е. решения,
содержащего функции состояния и управляющие функции,
определенные на всем отрезке Т = [/0, tx].
Мы будем рассматривать задачи, для которых существует
а
такое L < оо, что \ \y(t) \dt < L для всех точек (*/, р, ft, а), ко-
торые удовлетворяют заданному уравнению движения,
достаточно точно удовлетворяют «желаемому» ограничению и
приводят к достаточно малому значению функционала качества.
Найдем теперь со.ответствующую параметризацию всех таких
функций у и определим «предел» минимизирующей
последовательности в терминах минимизирующих обобщенных решений
соответствующей «компактифицированной параметрической
задачи». Мы получим эту параметризацию, если выберем
соответствующую функцию <р: VXRXB->Rf положим
t
9i(0=S<p(</(t), Р(т), b)dx И[0, а])
и определим т(*) как функцию, обратную функции Э^,)"1 • 82 (•).
Функция 6i соответствует длине графика финкции у между
точками y(t0) и y(t).
409

Предположим в этом параграфе, что обыкновенное
дифференциальное уравнение управляемой задачи имеет вид
y(t) = v0+\f(y(а), р(а), Ь)da (t е= Г).
и
Аргумент t у функции / (tt v, г, Ь) исключен тем способом,
который описан в пункте II. 4.А. Для большей простоты
предположим, что Г = [0, 1]. Этого всегда можно достичь еще одним
простым преобразованием. Наконец, рассмотрим одностороннее
ограничение вида h2{y(t), ft)e A(t еГ) вместо более общего
одностороннего ограничения вида h2{t, y{t), b) ^A(t)(t e Г),
рассмотренного в параграфах VI. 1 — VI. 3.
VI. 4.2. Формулировка задачи и определения. Пусть /?*°р —•
топологическое пространство, /г, m, т2eN,ti0e R", А —
замкнутое подмножество из Rm', В — секвенциально компактное
пространство, а функции / и g непрерывны, где
f: RnXRtopXB-+R\
Л = (Л0, Л,, Л2): RnXS-RXRmXRm'.
Обозначим через Ж0* набор таких четверок (t/, р, 6, а), что
ае [0, оо), j/gC([0, а], Rn), функция р: [0, a]->/?t0P измерима,
JgBh
y(t) = v0+\f(y (т), р(т), b)dx (t € [0, a]).
и
Для 8^0 положим
^8°P = {Q/, Р, &, a)e^top||a-l| + |AI(i/(a), 6)|<е,
dfofoW. *), 4<в (*€=[0, a]).
Последовательность {{yh р7, 6/, a7)) в 5et0P называется
приближенным /?*ор-решением, если для любого е > 0 существует
такое /(e)GN, что (уп ру, 6;, ау)е^*°Р[/>/(е)]. Приближенное
#1оР-решение ((*//, р/, 6/, а/)) называется регулярным, если ct/ =
= 1 (/ е N). Приближенное /?*°Р-решение ((у7, рЛ &у, а7))
называется минимизирующим приближенным #*°Р-решением, если
НтЛ0 (£/(«/), b/)<Iimin[A0(f//(a/), ft/)
для любого приближенного /?!°Р-решения ((#/, р7, 6/, а7)). Наконец,
приближенное /?1°Р-решение ((yh р7, bh a7)) называется строгим
№°?'решением, если (*/,, ру, ft/, a/) = (t/, р, ft, 1)(/eN) для
некоторого (г/, р, 6). Мы отождествляем это строгое /?1ор-решение
с точкой {у, р, Ь).
410

Ограничимся рассмотрением задач, удовлетворяющих
следующему предположению.
1) Предположение. Существуют такие числа у е (0, [/2]
и L s (0, оо) и такое приближенное Я*°р-решение ((#^, р^, Ь^ с^)),
что
а
\\y(t)\dt^L
О
для всех (уу р, Ь, а) <= ^°, где
д
Функция ф и множество^0. Положим Vl—S(vq9 L+ 1)
и выберем такую непрерывную функцию
Ф: VLXRi0»XB->R
и такие числа pmIn и ртах, что
0<4рт1п<Ф(У, г, b)[\f(v, г, Ь)\+1]-х<
< J Ртах (L + 1Г1 < оо [о € VL\ (г, 6) € **» X Я]. (2)
(Например, мы можем выбрать ф(у, г, b) = \f(vt г, ft)|+l,
Pmin=74 и Pmax = 4(L+0, но, как будет видно из примеров
VI. 4.6 и VI. 4.7, удобнее выбрать другую функцию ф.)
Обозначим через st° семейство всех таких пятерок (т, г\, и,
bf р), что функция
и: [О, l]-*/?t0P измерима, JgB, р е (0, оо),
МЧ(0. JXv + ItetafAo^d), &;),
5
т (s) = J Р [Ф (л (в), и (9), 6)]"' dQ (5 е [0, 1]),
о
Ф) = о о + 5 Р [Ф (т) (0), « (9), б)]"1 f (1! (9), к (9), Ь) dQ (3)
О
(«е[0, 11),
|т(1)-1Ц-|Л,(л(1), MKv, <*[Мч(в), «, 4<Y (ss[0, 1]).
Компактифицированная пара метрическая задача.
Пусть (R, R', Ф) — метрическая компактификация
пространства /?<ор,
»0=(0, t»0), B = fiX(Pm.n, Ртах], K = /?XKi (4)
411

и для всех £ = (i>°, v)^V9 6 = (^)£йи всех re/?' положим
F(0, ', 5) = р[Ф(и, ф-!(г), &Г'0, / (р, Ф-Ё(г), 5)).
Ао(5, 5) — М*. ft),
«i(e,5) = (o°-l.*i(o,ft)), (5)
М#, b) = h2(v, b).
Более того, предположим, что функция f: КХ fl'XB-^R""1"1
имеет непрерывное расширение на пространство V X R X В,
которое мы продолжаем обозначать через f.
Положим RlJ{s) = R'(s е [0, 1]) и определим множества $* и
^ точно так же, как мы определяли множества Я* и 9*
в главе IV, но заменим Т, R и R* на [0, 1], R и /?*,
соответственно. Рассмотрим задачу, определенную в параграфе VI. О,
заменив jj ней Г, R, Я", 9>\ v0, В, V, f и Л на [0, 1], #, #\
^, $о, В, V, f и й, соответственно. Назовем эту задачу
компактифицированной параметрической задачей.
Для того чтобы доказать теоремы VI. 4.4 и VI. 4.5, которые
содержат основные результаты этого параграфа, нам
потребуется следующая лемма.
VI.4.3. Лемма. Пусть предположения пункта VI. 4.2
выполнены. Тогда
1) для каждого (т, % и, b, р) е ^ т является
гомеоморфизмом из [0, 1] в [0, т(1)], функция т-1 абсолютно непрерывна,
Л([0, lDcS'dFcbl) а
Р е |^2рт1п, у PmaxJ?
2) существует такое биективное отображение из s&° в s4>°,
что соответствующие точки (у, р, 6, а) е «я£° и (г, т), и, 6, р) е .5^°
удовлетворяют соотношениям
г\ = уо%, ы = рот, т(1) = а;
3) яры биективном отображении 2) множество приближенных
Ri0?-решений ((yf, р/, 6/, ау)) в *я£° отображается в множество
таких последовательностей
((*/■ Л/, "/, *>/, Р/))
в ^°, <*го
Нтт/(1)=1, IImA,(t|/(l), 6/) = 0,
f /
Нт^[Л2(т1/(5),6/),Л] = 0
равномерно для se[0, 1].
412

Доказательство. 1. Для каждого (у, р, 6, а) еst°
определим функции t
е,(0=$Ф(#Пр(О,*)<
а ° . (4)
функция 01 абсолютно непрерывна и возрастает, так как, по
условию VI. 4.2(2),
4pffl,n<ф(yW,p(0,6)[l + l^/(0IГ,<тPпlax(^+lГ,. (5)
Отсюда следует, что 9 является возрастающей непрерывной
биективной функцией из [0, а] в [0, 1]. Положим
т=Э , Л = #0*, н = рот. (6)
По теореме 1.4.43, функция т возрастает и абсолютно
непрерывна, а множество т-1 (Е) измеримо для любого измеримого
подмножества Еа[0, а]. Поэтому функция и измерима и, по
условию I. 4.42 (3), функция т) абсолютно непрерывна. Так как
производная 9 (t) существует почти всюду в [0, а], например,
для t е 7", и 9 (/) > 0 (/ <= 7"), то из условия (6) и теорем II. 3.11
и II. 3.4 следует, что множество 9 (Т') имеет меру 9 (а) — 9 (0) = 1,
т (з) = [9 (т (8))Г\ f, (s) = [9 (т ($))Г] у (т (s)) (7)
почти всюду в [0, I].
Положим р== 9i (а). По условиям VI. 4.2 (1) и VI. 4.2 (2), имеем
0([O,a])€=S'fobI) и
1<Р(*/(т), р(т), Ж>4рт1п.
Следовательно,
p=91(a)>4pmIn-a>2pmIn.
Более того,
y(t) = f(y(t),9(t),b) (8)
почти всюду в [0, а] и
а
\\y(t)\dt^L.
о
Отсюда, по условиям (5) и VI. 4.2(2), имеем
a
Р = в, (а) < \ ртах • (L + I)"1 J (1 +1 у (0 |) dt<
о
< Т Ртах • (L + I)"' (| + Z.) < i- Ргаах.
413

Из соотношений (4) и (6) — (8) следует, что точка (т, л, и, by р)
удовлетворяет условиям
s
т (s) = \ р [Ф (ч (П, «(П. Ъ) ]"' df (s <= [О, 1]),
О
S
П (s) = о„ + J Р [<р (п (Г), и (П, Ь) ]"' f (л (О, и (О, 6) df (s е [0, 1]),
О
Р е [2pmln, J PmaxJ»
т(1) = а, ч(1)-у (о), л([0,1]) = у([0, a])c:S>0, L).
Таким образом, (т, л, и, 6, р) е st0.
2. Пусть теперь (т, л, «, Ь, P)ej^0. Тогда, по условиям VI. 4.2(2)
и VI.4.2(3), t(s)>0 почти всюду в [0, 1], функция т возрастает
и является биективной из [0, 1] в [0, т(1)|. Отсюда следует,
в силу условия 1.4.42 (3) и теоремы I. 4.43, что функция т""1 и
Лот""1 абсолютно непрерывны, а функция u<>%-1 измерима. Это
доказывает первые две части утверждения 1).
Если мы положим
в = т-\ У = Л°0, s = wo8, а = т(1), (10)
то функция у абсолютно непрерывна. По условию VI. 4.2(3)
(теоремы II. 3.11 и И. 3.4);
у(/) = л(е(/))/т(9(0)==/(г1ов(0,
uoQ(t),b) = f(y(t)y9(t)tb)
почти всюду в [0, т(1)],
У(0)-о0| у (а)-ч(1).
Таким образом, (у, р, 6, a) е st>°.
Наконец, если (у, р, ft, a) — произвольная точка из st>° и точка
(т, л, и, 6, Р) ^ ^°
построена так же, как и в первой части доказатезьства, то, по
условиям (6) и (10), этой второй точке соответствует та же точка
{у, Р, Ьу а). Таким образом, наше соответствие взаимно
однозначно. Это доказывает утверждение 2). Утверждение 3) теперь
следует из соотношения (9), которое показывает также, что
т|([0, 1])с?(и0, L) и
Р s [2pm!n> у PmaxJ•
Это завершает доказательство утверждения 1).
414

что
«/ = Ф 'op/,
р, = «;*х-1,
#/=VT/~'
VI. 4.4. Теорема. Пусть выполнены условия пункта VI. 4.2.
Предположим, что существует такое cgR, что
\~f(t\rtS)-~f(v",r,b)\ = c\v'-v"\
(5',^Gi/;(f,6)eRXB).
Тогда компактифицированная параметрическая задача имеет
такое минимизирующее обобщенное решение {у, 5, Ь) и
соответствующее минимизирующее приближенное ^-решение ((yh р, jf))
S=(M), M[2(W у Ртах],
Н/т(у/,р/) = (Р,5) в С([0, l],Rrt+1)X^.
Более того, минимизирующее приближенное Rio*-решение ((yh ph
б, а/)) можно получить из ((yh р/, 6)), полагая
д
^ = ^(1) (/GN).
Доказательство. 1. Покажем сперва, что <&{9**)Ф0.
Для этого рассмотрим приближенное /^-решение ((г/*, р*, 6^, af)
в ^°, существование которого предполагается в условии VI. 4.2(1).
По лемме VI. 4.3, существует такая последовательность ((т^, тгё,
и)> ^/> Р/)) в ^°» соответствующая этому решению, что
Л?(№, l])c:S^(t;0,L), Птт*(1)=1,
ton At (Ч/ (1), ft,) = 0, ton d \h2 (rf (s), ft*), A] = 0
равномерно для se[0, I]. Положим
81 = (х!>4?), Р* = Ф°и?,
ЦА(РЩ) (fGN).
Тогда ((#^, р^, &^)) является приближенным ^-решением
компактифицированной параметрической задачи. Для всех j'gN и
почти всех 5G[0, I] имеем
0*([О, 1])е[0, l+vlX^K^).
№{s)\ = \J(p}(s)9p*(s)9Efi\<
<sup {If (5, r, 5)| | (в, f, ft) <= [0, 1 + Y] X S^(fFo. I)} < oo.
415

Это означает, что множество {#y|/eN} ограничено и
равномерно непрерывно в С ([0, 1], V). Отсюда, по теореме Асколи
1.5.4, существуют такие /, с= (1, 2, ._) и f еС([0, 1], К), что
limyl} = ytt. Так как множества Ф* и ^секвенциально компактны
то существуют такие б* е Ф*9 & е В и / с /,, что
По условиям VI. 4.2 (2), VI. 4.2 (5) и VI. 4.3(1), имеем
11 (б, г, Ъ) | < 1 р-'п • ртах ((5, rJ)^VXRX В). (1)
Таким образом, по теореме VI. 2.9, (j^a^^G^^).
Наконец, так как ((#^, р^, bf)) — приближенное ^-решение, то
(у\ д\ Ъ*) <= ^(^), и поэтому ^(^)=^0.
2. Пусть (#, a, (ft, р)) е ^ (£?~). Тогда, по условию (1) и
лемме VI. 1.4, существует такая последовательность ((yh ph (b, р))
в Ж^), что \\m{yh р/) = (у, 5). Значит, эта последовательность
является приближенным ^-решением. Нетрудно проверить, что
для достаточно большого / мы имеем (р°, (у], ..., #"), Ф""1 • р
b9 р) е= st°. Отсюда, по условию VI. 4.3 (1), у ([0, 1]) с R X
\SF(v0y L)czl7. Из условия (1) и теоремы VI. 1.5 следует, что
существует такое минимизирующее обобщенное решение (у, 5, Ь)
компактифицированной параметрической задачи и такое
соответствующее минимизирующее приближенное ^-решение ((#/,
Р/, Ь)), что
limM£/0), £) = Му(1),6).
Пусть
У\ = (Уп У)> • • •. ^7)' т/ = #/> Ч/ = (У), • • •, У?)>
^Ф^Ч/, 5 = (б,р) (,'sN).
Тогда Ы/— измеримые функции из [0, 1] в /?top [= ф~"1 (#')] я
существует такое /, е N, что
К(Ч, О), *)< у + lim/nf Ао ДО («/)> *?)■
|т/(1)—H + IAtCn/d), 6)I<Y.
d [Л2(л/ (5), &), Л] < y {j>h\ss= [О, 1]).
416

Мы показали, что ((ту, r\h uh В, P))(/>/i является
последовательностью в s£°. Отсюда следует, по условию VI. 4.3(1), что
Р е [2pmIn, -^ Ртах J •
Более того, биективное отображение, определенное в условии
VI. 4.3(2), дает нам
Р/ = а/отГ1' f/^W1' rf/=T/(1) (/eN)-
По условию VI. 4.3(3), {(yh pf Ь, ay)) является приближенным
/^ор-решением. Мы можем считать, что предел lim А0 Q/y (ay), В)
существует. В противном случае заменим
((#/, Р/, Ь, ay))
на соответствующую подпоследовательность. Тогда мы имеем
HmMf/,(ay), &) = НтМл/(1), &) = M£(1), 5). (2)
Для того чтобы показать, что ((yh ру, 6, ay)) —
минимизирующее приближенное Я1оР-решелие, достаточно сравнить ((yh ph
В, ay)) с приближенными /?!ор-решениями в <я£°. Поэтому
рассмотрим произвольное приближенное /?*°Р-решение ((#у, ру, hh йу))
в бФ° и 'соответствующую последовательность ((ty, fy, йу, 5у, Ру))
в S&0, определенную в условии VI. 4.3(3). Тогда ((ty, fjy), фойу,
(£/> Р/)) — приближенное ^-решение, и поэтому
НтЛ0(Л/(1), 6) = ПтМ£у(1), Й<
<limmfA0((ty, f)y)(I), (Йу, Р/)) =
= lim inf Л0 (fj, (I), 6*) = lim inf h0 (py (6ty), 5y). (3)
Из условий (2) и (3) получаем
limA0(#/(ay), ЬХНт inf Ы#/(а/)> 5у).
Таким образом, ((уу, ру, 5, ay)) — минимизирующее
приближенное /?*°Р-решение.
VI. 4.5. Теорема. Пусть ((yf, ру, 6, ay)) — минимизирующее
приближенное R}°v-peuieHue. Предположим, что условия пункта
VI. 4.2 выполнены и существует такое с{ е R, что
\f(v',r9 B)-f(v"tr,B)\<c{\v'-v"\
[v'9 y"eS(oo, L+l); r e #°p].
14 Дж, Варга 417

Тогда существует регулярное минимизирующее приближенное
RiQ»-peuieHtie ((#,, p/f &, 1)).
Доказательство 1. Мы можем считать, что ((#/, р^
5, ау)) — последовательность в^°и
Ц1 + схе«)-\аТ1-1\<т- <2>
В противном случае заменим ((yf, ру, ft, а/)) на соответствующую
подпоследовательность
((У/, Р/, &, «/))/>/,•
Тогда, по условию VL 4.3,
yt{[09ai\)cSF(v09L) (/eN). (3)
Пусть теперь /gN зафиксировано. Положим
//(', ») = / (о, р, (О, В) (t € [0, а/1; и е= R").
Так как
t
У, (t) = v0+\f (У! (т), Р/ (т), б) dx (< €= [0, а,]), (4)
о
то функция т-*//(т, у/(т)) интегрируема на [0, а/] и, по
условиям (1) и (3),
I//C «OKIM*. WtfW' + CiltF-^WK
<!//('. У/(0)1+M2L+1) (5)
(/е=[0, о/]; 0 6% L+1)).
Следовательно, функция x-^sup {|/7(т, и) ||i> е S(u0, L+1)}
интегрируема на [0, о/]. По теореме II. 4.2, либо существует
такая функция fa: [0, l]->S(a0, ^+ 1), что
t
$i(t)~Vo+\f,(alT,g,(T))dx (6)
О
для всех / е [О, I], либо существуют такие Ц е (О, I] и функция
fa- [O^/VSKL+D,
удовлетворяющая условию (6) для всех t е [0, //), что
lim|0, (t)-v01—L+1.
2. Покажем, что второе утверждение из этой альтернативы
приводит к противоречию. Действительно, предположим, что
418

это утверждение выполнено. Положим
h = а//}, х, (s) = $, (5/ау) (s е [0, $)).
Тогда (по теореме I. 4.43) уравнение (6) для / е [0, //')
эквивалентно уравнению
S
*/ (*) - "о + «Г1 S // (*, */ W) Л (s е [0, ?,)).
о
Так как ?/^а/э то, по условию (4), имеем
У/(s) = v0+\f,(т, у,(т))dr (s е [0, ?,)).
о
Положим ^ (s) = | Xf (s) — г// (s) | и, комбинируя последние два
соотношения с условиями (1) и (3), получаем
5
e{8)<a}'lcl\e{x)d%+\l--aTl\\yi(s)--v0\<
о
8
<a/-|c1 J в (т) Л + 11 - а-11L (ss [0, ?/)).
о
По неравенству Гронуола II. 4.4, имеем
в (8)< 11 - аГ* | L [1 + aj-tcf, exp (V*/,)] (s е= [0, ?,)). (7)
Следовательно, по условию (2), $(s)^l/2. Таким образом, из
соотношения (3) следует
\x,(s)^v0\^\yI(s)-v0\ + e(s)<tL+l/2 (s сз [0, */»•
А это противоречит условию
lim | Xf (s) — v01 — Hni| #/ (0 — v0 \ = L + 1.
3. Покажем, что для всех /eN существует функция
Pfi [0, H-S(t>o, 1 + 1),
удовлетворяющая уравнению (6) для всех / е [0, 1]. Положим
М0 = Р/М (*е[0, 1]; /€=N).
Тогда из условия (6) следует
t
0/ (0 - »о + 5 f (Р/ (т), Р/ (т), J) </т (/ <= [0, 1]; / € N). (8)
о
И* 419

Мы можем повторить вычисления из первого пункта
доказательства, заменив ?/ на а/, для того чтобы показать, что
условие (7) выполняется для всех s е [0, ау]. Это означает, что
lim | х/ (а/0 — уf {aft) | = lim | #у (t) — yt (aft | = О
равномерно для всех *е[0, 1]. Так как ((#/, p/f б, а/))
—минимизирующее приближенное Я*ор-решение, то из последнего
соотношения и условия (8) следует, что ((#у, р/, 6, 1)) — регулярное
минимизирующее приближенное /?!°Р-решение. Теорема
доказана.
Проиллюстрируем применение теоремы VI. 4.4 на двух
примерах. В первом примере задача имеет минимизирующее
приближенное /?*ор-решение, которое является строгим
/^-решением. Во втором примере задача имеет минимизирующее
приближенное решение с функциями состояния yif которые
сходятся к разрывной функции.
VI.4.6. Пример. Пусть
n = 2, т=1, 1>0 = (0, 0), 0<1!<оо, /?toPA[0) оо),
h0(v\ x?) = v\ hx(v\ v2) = v2-L{ [v = (v\ ^GR2],
f1 (vl, v\ r) = (r)2, f2(v\ v2, r)=v]r [v = (v\ v2) eR2;re R^].
Рассматриваемая задача не содержит управляющих параметров
и ограничения вида Л2 (у (0, b) е А. Покажем, что эта задача
имеет строгое #*ор-решение (у, р), которое является также
минимизирующим приближенным /?*ор-решением, причем
у={у\у\ y,(0 = (3LI)v\
y2{f) = L{t, р(0-[^/3]1/в(0-Ч
Покажем сначала, что выполнено предположение VI. 4.2(1).
Для всех а е (0, 3/2] уравнение
t
y(t) = v0+\f(y(T), р(т), b)dx (t<=[0, а])
о
дает
t
yl(t)=\[p(x)]2dx,
(О
y2(t)=\y'(r)p(x)dx (*е[0, а]).
о
Мы можем определить решение этих уравнений для любой
420

постоянной функции р. Если р* (t) = г* (/е [0, а]), то
соответствующее решение у* уравнения (1) определяется условием
и Ai (#*(0) = "2-(^)3 — Lx. Таким образом, (у\ р*)€=^°р, если
мы выберем r^=[2L,]I/j. Отсюда следует, что ((^, р^,
1))—приближенное /?*ор-решение, если r* = [2Lx]4\ylj=yl'y р^ = р* (/^N).
Определим теперь множество s&° как в условии VI. 4.2 (1),
полагая у =1/2. Тогда для любого (у, р, a)ei° имеем
о о
= y[(*) + y2(ct)<yl(a) + L}+±.
Так как
^a)=M#(a))<Y + M^l)) = Y + ^^^^
то
a
\\y{i)\di<(2Ll)"'+L1-{-\ = L.
О
Таким образом, предположение VI. 4.2(1) выполнено.
Положим теперь
<p(t\ г) = (г+1)2 И5(0, L+1)<=R2, ге^ор],
<Pi(t>, r) = <p(t>, r)[\f(v, г)\+1Г1=(г+1?\(г)2 + \^\г+1Г1.
Тогда
(L+l)-l<<P,(0, r)<2.
Это совпадает с условием VI. 4.2 (2), если положить
Pmln^T^+D"1. Pmax = 8(L+l).
Определим метрическую компактификацию (/?, /?', Ф)
пространства /?top( = [0, оо)), полагая
£ = №, I], £' = [0, 1),
ф(г) = г(г+1Г{ (ге[0, оо)).
Положим также
В==[Рга!п, Ртах],
V = RXS(0, L+l)cRXR2.
421

Тогда
ф-:,(г) = г(1-гГ1 (Те [0, 1»,
и, по условию VI. 4.2(5), для всех 5 = (и0, v\ t)2)ej/, геЬ
6=Р е В имеем
fo(5,f, &)==р(1 —г)2, f'(5,r, 5) = р(г)2,
Р(в, г, 5) = ро1г(1-г), «о О, 5) = о1, .
А,(в, 5)»(о°-1, o*-L,).
Отсюда следует, что все предположения теоремы VI. 4.4
выполнены.
Необходимые условия минимума. Таким образом,
компактифицированная параметрическая задача свелась к
нахождению такой абсолютно непрерывной функции у =
= (£°, У\ У2)-1[0, l]-+Vt ае^и такого
Р е [Pmln, Pmaxl,
которые минимизируют величину у1(\) при ограничениях
1 -" 1
0° (s) - Р 5 (1 - г)2 5 (s) (dr), Jf1 = р 5 (г)2 5 (s) (dr),
о о
1
P2(s) = №l(s)\r(l-r)d(s)(dr) (*с=[0, 1]),
6 (1)
(Л*1. £2)(0) = (0, 0, 0), £°(1) = 1, ^(l)-L,-a
Теорема VI. 4.4 гарантирует существование минимизирующего
обобщенного решения (gf, a, Р), которое для простоты мы
обозначим через (#, а, р).
Нетрудно проверить, что компактифицированная
параметрическая задача и ее минимизирующее обобщенное решение
(8> <*, Р) удовлетворяют всем требованиям теорем VI. 2.3 и VI. 2.5.
Тогда из утверждений (1) —(3) теоремы VI. 2.5 следует, что
существуют такие
C.ESR, /0>0, lx = (l\ /2)e=R2,
k = {k\k\k?): [0, 1]->R3,
422

что выполнены условия 2) —4):
2) k + \ll\ + \P\>09
1 1
k°(s) = l\ k](s) = lo+t\k2(Q)dQ. \Т(1-Г)д(в)№,
s О
k*(s) = P (se[0,IJ);
3) если мы обозначим через Г (s) множество всех г е [0, 1],
которые минимизируют функцию
H(s,r) = k° (s)(l-f)2 + kl (s) (г)2 + k2 (s) у' (s) f (1 - r) =
= [/' + kl (s) - l2yl {s)] (r)2 + [l2yl (s) - 2/'] r + /'
на [0, 1], то
a (s) (Г («)) = 1, Hmia(s) = min Я (s, r) = c,
для почти всех s e [0, 1];
i
4) (P - P) S #mln (s) ds > 0 (P s [pmIn> pmax]).
0
По теореме VI. 4.4, имеем реГ2рт1п, -^ Ртах], и поэтому из
условий 3) и 4) следует
Hmm(s)= min {[l] + k4s)-l2yl(s)W)2+[l2y](s)-2irr + n =
fes[0, lj
=rlk(s)Tg(s) = o (5)
для почти всех se [0, 1]. Это соотношение показывает, что
H(st 0) = k°(s) = ll>Q,
Н(89 l) = kl(s)^0 (SG[0,1]), (6)
Из условий (1), (2) и (5) следует
g4s)fr(s) + P'y2(s) = 0,
il9°(s) + kl(s)gl(s) + i2g2(s)=o
почти всюду в [0, 1]. Следовательно, складывая эти
соотношения, получим
ilg°(s) + (kl(s)gl(s)) + 2pg2(s)=o
почти всюду в [0, 1]. Интегрируя на отрезке [0, 1] и принимая
во внимание последнюю строку в условии (1), получим
/' + *'(1) £'(!) +2/% = 0. (7)
423

Тогда, по условию (1),
9l(s)>0 (ss[Otl]). (8)
Условие /'> О и /2<0. Докажем, что
/'>0 и /2<0. (9)
Если /2 = 0, то, по условиям (6) —(8), имеем ll = kl (l)yl (1) = 0;
по условию 2), kl (s) = /0>0; и, по условиям 3) и 5), Г($) = {0}
для почти всех s. Из соотношения (1) следует, что у2(1) =
= У2(0) = 0. А это противоречит условию y2(l) — Lj=0. Таким
образом, 12Ф0. Далее, по условию 2), имеем kl{l) = lo^O и,
по условию (8), у1 (1)>0. Тогда из условий (6) и (7) следует^
что I2 < 0.
Если /] = 0, то, по условию (5),
kl(s)(r)2 + l2yl(s)[f-(r)*\^0 (10)
для всех ге[0, 1] и почти всех s е [0, 1]. Следовательно
l2yl(s)^0 (se[0,1]). Таким образом, y'(s)<0 (5E[0,lj)!
В силу условия (1), это возможно только, если a(s)({0})=l
почти всюду. Отсюда следует, что y2(s) = 0 почти всюду. Таким
образом, *72(1) = #2(0)=0. А это противоречит условию y2(l)=L1.
Мы показали, что V ф 0. Тогда из соотношения (6) следует /] > 0.
Это завершает доказательство соотношения (9).
Определение минимизирующего обобщенного
решения. Из условий (6), (8) и (9) получаем соотношение
0 < I1 - у 12У1 (s) <ll + kl (s) - l2yl (s) (s <= [0, 1]).
Это соотношение вместе с условием (5) показывает, что для
почти всех ss[0, 1] функция Н (s, •) достигает минимума на
отрезке [0, 1] в единственной точке
p(s)=[i1 -\i2yl (s)][il + #(8)-рдч*Т1- (ID
Таким образом, обобщенное управление а принадлежит
множеству & (в дальнейшем, доказав, что р (s) Ф 1 почти всюду,
мы покажем, что управление в действительности принадлежит
множеству №). Более того, так как функция # (s, •) —
квадратичный полином с минимальным значением 0, то ее можно
представить в виде квадрата. Поэтому
[l2yx ($) - 2/,]2 = 4/1 [/' + kl (s) - Ру{ (s)].
Это позволяет нам записать соотношение (11) в виде
р(8) = 21*[21>-12уЧ8)Г\ (12)
l-p(s) = -(Pftll)Ql(s)p(s)
424

для почти всех s е [0, 1]. Заменив 5 на р в условии (1), получим
[yl(s)]29l(s) = [2ll/P]2g«(s),
Г(5) = -(/2/2/,)[^(5)]2Р,(5)
почти всюду в [0, 1]. Так как у°(0) — у1 (0) = #2(0) = 0, то из
этих двух соотношений следует, что
j[yl(s)? = [2ll/P\2y0(s)9 (14)
у2 (*) = -1(/2/2/,) &(s)]3 = - (2/1//2) У° <*>• (15)
Из условий y2(l) = L{ и #°(1)=1 получаем
L1 = -2/7/2. (16)
Минимизирующее строгое /?t0P-p е ш е н и е. Теперь
мы можем построить минимизирующее приближенное
/^-решение, которое является также строгим /?Ьр-решеяием. Покажем
сперва, что р($) е/?' "=[0, 1) для почти всех 5 е [0, 1].
Действительно, по условиям (9) и (12), если p(s)=l для некоторого
se(0, 1], то yl(s) = 0. Тогда, по условию (1), a(s)({0})=l
почти всюду в (0, s]. Следовательно, p(s) = 0 почти всюду в [0, §\.
Отсюда следует, по условиям (1) и 2), что у1 (s) = 0 (se[0, s]).
По условию (12), имеем p(s)=l почти всюду в [0,5]. А это
противоречит нашим предыдущим выводам. Таким образом,
p(s) < 1 почти всюду в [0, 1], т, е. р е №.
Таким образом, компактифицированная параметрическая
задача имеет минимизирующее обобщенное решение (у, р, Р),
где р е &р. Поэтому последовательность элементов (у, р, р)
является минимизирующим приближенным ^-решением. Найдем
теперь соответствующий элемент из «90°, полагая
т=£°, л=0\ У2\ и±Ф'хо^ а=1. (17)
Применим биективное отображение из пункта VI. 4.2 и
определим соответствующий элемент (у, р, 1) ei°, который
удовлетворяет соотношениям
у = цох~\ рггзног"1. (18)
Из соотношений (12), (14) —(17) имеем
Л! (s) = L? [Зт (s)]'\ л2 (s) = Lit (s) (s е [0, 1]),
р (s) = Lx W (s) + Ь,Г1 = L, W (s) + LxV1
почти всюду в [0, 1] и
и (s) - Ф"1 (р (s)) = р {s) [1 - р (ST1 = Lx W (s)Vl
425

почти всюду в [0, 1]. Отсюда, по условиям (17) и (18), получаем
У1 (t) - 3V' (Lf* (t)4\ у2 (t) = Lxt (t € [0, 1]),
p (t) = и о х-1 (0 = I, [t/1 (0]-f - {LJ3)4*®-4*
почти всюду в [0, 1]. Эти соотношения определяют
минимизирующее приближенное /?*°Р-решение, которое является строгим
#*°р-решением (у1, у2, р).
VL4.7. Пример. В этом примере задача имеет
минимизирующее приближенное решение с функциями состояния, которые
сходятся к разрывной функции.
Для /sN определим евклидову норму в пространстве R*
соотношением | а \2 = (а • а),г (а е R*). Линейный оператор Л bR/
назовем положительно определенным, если vTAv > 0 для
любого v е R1 \ {0}. Пусть теперь /г € {2, 3, ...} и функция
р = (р\ ..., pn~0: Rrt-1-*R'l~1 ограничена, непрерывна и имеет
такую ограниченную непрерывную производную рг, что
оператор р' (и1, ..., и"-1) положительно определен для всех
(У, ..., сЛ"1) €= R*"1. Положим
т=1, у0 = 0еГ, 0<L,<oof #top=Rn~\
Г (о, г)=|г|2 HRn; ге#°р),
f(*f Г) = (Р(^, .... tF—O + Г, Г(^ Г))
[v = (v\ ..., зя)е=1Г; rG^P],
Mi>) = fn-A.
Предположим также, что функция А0: Rn->R' непрерывна, имеет
непрерывную производную и А0 не зависит от vn, т. е.
М*1, ..., *")»М*\ ..., o»-i) [(*', ..., t^eslfl.
Так же, как и в предыдущем примере, наша задача не содержит
управляющих параметров и ограничения вида h2(y(t), J)eA
Нетрудно проверить, что задача имеет строгое
/^-решение (у17, р*). Мы можем получить такое решение, полагая
р*(0 = (£,,0 0)<=Г~1 (te[0fl]).
Тогда уравнение
t
yit)=\f(y{b\ p*(e))rf6 (/е[0,Ц)
о
426

имеет единственное решение у*> (по теоремам П. 4.3 и И. 4.5) и
1
А, (у* (1)) -»^ " (1) — Ь, «= J I р* (т) Ь dx — i, =- 0.
о
Предположение VI. 4.2(1) будет выполнено, если положить
Y = l/2 и
*-![!/» Lp + ^'+t)]-
Положим
Ф(о, г) = |г|2+1 [oeS(0, H-DcR"; г е /?*<>р],
Pmln^TOPlsup+rt+l)"1' Pmax = 4(L+l).
Нетрудно показать, что значения ф, pmIn и ртах согласуются
с условием VI. 4.2 (2).
Определим метрическую компактификацию (R, R\ Ф)
пространства #top, полагая
Я = {t> е R"-11| t> Ь< l}, R={rs R""11| v |2 < 1},
<X>(r) = (M2+lfV (re^^R»-1).
Пусть
В = [Рви., Ртах], Р = R X 5(0, L + 1) cz R X R".
Тогда
ф-,(г)=(1-|П2Г1? (?е=Я0
и для всех 5 = (t>°, o)eF, г е R и р е В, по условию VI. 4.2 (5),
имеем
f0(6,r(5) = p(l-|.r|2),
Р(5, ?, Sj-pO-I^Wp'K ..-, о-О + Р?' (» = 1, л., п-1),
f"(6, F, 5) = р| г b.
й0(5, 5) = Л0(v«,..., о-»).
Я, (в, 6) = (о°-1, on-Z.,).
Минимизирующее обобщенное решение.
Компактифицированная параметрическая задача свелась к
нахождению абсолютно непрерывной функции
у = (5\у{ П Ю- W-*v,
427

as^ и И [ртщ, ртах], которая минимизирует значение
ho(Sl{l)f ..., yn~l(W при ограничениях
g°(s)=$ \(l-\?\2)d(s)(dr),
R
9l (s) - У (У1 W. ..., Уп'х (s)) \ (1 -1 f |2). a (s) (rfr) +
+ P$r'a(s)(rf?)i (1)
^(5) = pJ|r|25(5)(rff) (SG[0,1]),
P(0) =0, £°(1)=1, $e(l)-£,«<).
В этом случае применима теорема VI. 4.4, гарантирующая
существование минимизирующего обобщенного решения (р, a, Р),
которое для простоты мы обозначим через (у, а, р). Положим
1=У°, 1 = (У1 Уп"х) и л = (£> У% Покажем, что либо
Л6(|(1)) = 0, либо решение (у, 5, Р)=(т, |, уп, б, р) имеет
следующее свойство: существует такая функция z: [0, 1] -> R*~l \ {0},
что если
s^L.tL. + I)-1, ^-Izfo^zfo),
то
P = Z,, + 1, a(s)«M)=l
почти всюду в [0, s,], б($)({0}) = I почти всюду в (sb 1], t(s) = 0,
| (s) = ps*. z (s) = 2 (*,) (s e [0, $,]),
T(5)-(L,+ l)e-IIt
&(s)=L,X + p$p(£(e))de, (2)
Si
1
z(s)r = AHi(U) + P $г(в)'р(1(в))(<в (se=(s,, 1]).
Чтобы доказать эти утверждения, можно показать, что
компактифицированная задача удовлетворяет предположениям
теорем VI. 2.3 и VI. 2.5. Из теоремы VI. 2.5 следует, что
существуют такие
k = {k\ kl kn) = (k°, q, kn): [0, Ц-RXR-'XH,
428

что выполнены следующие свойства 3)—5):
3) /о + 1*Ч + |/Ч>0, k°(s) = P,
1
k (sf = IM (1 (D) + P \ q (Q)T p' (I (9)) dQ • \ (1 -1 r |2) a (9) (rfr),
kn(s) = lx (sg[0,U);
4) если мы обозначим через Г (s) множество всех г е R,
которые минимизируют функцию
H(s,r)=k4s)(\-\f\2) + q(s)-lp(m)(l--\~r\2) + ~r]+kn(s)\r\2
на множестве /?, то
о (5) (Г (s)) = 1, #mln (s) = min Я (s, г) = с,
для почти всех s е [0, 1];
!
5) (Р - р) $ Ят|п(s)ds>0 (р <= [рга|п, ртах]).
О
По теореме VI. 4.4, имеем pe[2pmln, у Ртах]. Поэтому условия
3)—5) дают
Hmln(s) = min{[--l<>-q(s).p(m) + ll]\~r\2 +
+ q(s)-f+P + q(s).p(l(s)) = 0 (6)
для почти всех se[0, 1].
Предположим с этого момента, что ho{l(l))^=0. Если /0 = 0,
то, по условию 3) и теореме II. 4.6, q(*)s=0 и, по условиям (6)
и 3),
Ят1п(5) = тт{(/1-/0)|г|2 + /0} = 0
для почти всех 5е[0, 1],
|/°1 + !/Ч>0. (7)
Если, кроме того, Iх — /° = 0, то первое соотношение из
условия (7) означает, что /° = /1 = 0. А это противоречит второму
соотношению. Если Iх — /° > 0, то, по условиям 4) и (7), имеем
cf(s)({0})=l почти всюду. Следовательно, по условию (1),
#п(1) = 0. А это противоречит соотношению yn(l) — L{ = 0. Если
Iх — /° < 0, то из соотношений 4) и (7) следует \ | г |2 о (s) (df) = 1
почти всюду, а из соотношения (1) — у°(1) = 0. Это
противоречит условию */°(1)=1. Таким образом, предположение /0 = 0
недопустимо, и поэтому /0 > 0.
429

Так как мы предполагаем, что Н'о(1(1))ФО, то, по условию 3)
и теореме II. 4.6, ц^ФО (5S[0, 1]). Если мы положим
в условии (6)
r = r0v,
где 0 < г0 < 1 и | v |2 — 1, то min q (s) v = — | q (s) |2 для всех
Iv|2-1
s^ [0, 1] достигается при соответствующем значении v = v(s) =
= — \q(s) %lq{s). Поэтому
ffml„(s)= min {[l]-t°-q(s)-p(m)-\q(s)\o]r0+t<> +
0<r„<l
+ q(s)-pW)) = 0 (8)
для почти всех s s [0, 1]. Положим
С (*) = /» -P-q(s) ■ p(l(%))-\ q(s)\2 (sefO, I]).
Тогда для почти всех s s [0, 1] и всех ?еГ($) имеем
Г {0}, если £(s)>0,
,_„И(А Г(.)-{ „4, если \\sX0. <9>
Покажем теперь, что функция £ (s) возрастает на отрезке
[0, 1]. Действительно, по условиям (1), 3) и (9), имеем
i{s) = -№-p(l(s))-q(s)Tp'(m)\fa(t(s))' J (l-\~r\2)o(s)(dr) +
L Г {s)
+ Р 5 ГО(5)(Лв)1-(к(5)^(5)ГЛ)-
T(s) J
= M*F-P'<&W> J rd(s)(dr)-k(5)|-,?(5)^(5) =
T(s)
= P^(s)rp/(|(s))^(s)k(5)|2-1 J \f\2a(s)(dr) +
+ t\q(s)\;lq(s)Tp'(m)q(s) J (1 -I N2)5(s)(rfr) =
для почти всех se[0, 1]. Так как q(s)Ф0 для всех s и
оператор р'(о1, ..., и""1) положительно определен для всех
(У, ..., i/1""1) е Rnmm\ то £(s)>0 почти всюду и абсолютно
непрерывная функция £ является возрастающей.
Из условия (9) теперь следует, что существует такое s, е
е [0, 1], что
{— \q(s)|2"!q(s)} для почти всех sg[0, s,],
{0} для почти всех s е (sb I),
»{
430

Так как a (s) (Г (s)) = 1 почти всюду, то, по условию (1),
t(s)=0°(s) = O (se [O.s,]),
t(s)=p0(5) = P(s-Sl) (se(sbl]),
S
| (s) = (yl (s) £"-' (s)) = - p 51 <7 (9) |2"' </ (6) 49 (s s [0, st]),
(П)
|(s) = | (5l) + P J P (I (6)) d9 (s e= (Sl, 1]),
Si
#"(s) = p5 (se[0fs,])f
jfe(s)-ps, (se(slf 11).
Если мы положим z = l~lq то, по условию (3),
z(s) = z(Sl) (se[0,s,]), (12)
и, по условиям (1) и И), имеем
т(1)=1=р(1-5|), y»(l) = Ll=$sl. (13)
Так как /0> 0, то все соотношения в (2) следуют из условий (1),
3) и (11) -(13).
Минимизирующее приближенное /?!ор-решение.
Теперь мы можем применить построения теоремы VI. 4.4 для
того, чтобы определить минимизирующее приближенное /?*°Р-ре-
шение (существование которого гарантируется теоремой VI. 4.5).
Для начала построим минимизирующее приближенное
^-решение ((#/, р/, р)). Это можно сделать (VI. 1.3), выбрав
последовательность (р/) в Я*, сходящуюся к 5, и определив
функцию yf как (единственное) решение уравнения
S
У, (s) = \f (9, (0), р, (9), Р) dQ (s е [0, 1]).
0
Выберем элементы ру таким образом, чтобы соответствующие
функции yf удовлетворяли требованию *7у(1)=1. Выберем
последовательность чисел (е;) в (0, 1] П (0, 1/Li], сходящуюся к нулю,
и для каждого / е N положим
Pi(s) = {l-B,)k N[0, s{]),
Р/^^^в/Я, (ssfs,, 1]).
431

Соответствующая функция yf = (xff |;, #*) = (т/1 Л/) такова,
что
т Ы = { ^/5 (5S[0f St])f
T/l5 1 Ll8/ + P (1-I,e/) (s-s,) (ee(sbl]).
Положим, далее,
tt/(s) = 0-,«p,(s)-[l-|p/(s)|2rlP/W (ее [0, 1]).
Тогда (учитывая, что | Я, b == 1) имеем
I Z.,e
(1-е,) Л, (ss[0,e,]),
.в/О-^в/ГЧ (ss(s,, 1]).
"y(*) = i -, , (15)
Из теоремы VI.4.4 теперь следует, что, полагая
#/ = т1/отЛ Р/=мвтЛ а/=Т/0) (/sN),
мы получаем минимизирующее приближенное /?*ор-решение
(*//, Р/, Р> <*/)• По условиям (2), (14) и (15), для каждого /sN
имеем
а/ = т/(1) = 1,
Фг,ГЧ (telO.Lfi,]),
s, + [р (1 - L.e,)]-' • (* - L,8/) (/ е [L,e/( 1]),
(<е [0, !>,]),
... fT'O—/)*
I /.,8,(1—1,8/)
Д
.в/О-^е/ГЧ (/s(i,s/(l]).
Функция yl=(y] yf) является решением уравнения
t
y,(f)=\f(y,№,P,№)dQ (*e[0,l]),
т. e.
о
t
У\ V) = 5 [P1 &' (8) У"1 0)) + P,' (6)] d9
0
(' = 1, 2 n-1; /e[0, 1]),
t
y?(t)=\\Pi(U)\2d* .(^[0,1])-
0
Определим функцию |: [0, 11-^R"""1 как решение уравнения
t
1(0 = ^+5^(1(6))^ (<e[0, 1]).
0
432

Тогда уi (0) = 0 (/ € N), хотя
lira (у), ..., г/7-1)(0 = |(0,
lim^W-I, (/е=(0, 1]).
Таким образом, последовательность yf сходится поточечно
к разрывной функции.
VI. 5. Задачи с переменными начальными условиями, со
свободным временем, с бесконечным временем, со ступенями,
с обобщенными запаздываниями
Рассмотрим теперь некоторые задачи более общего вида,
чем в параграфе VI. 0, которые также описываются
обыкновенными дифференциальными уравнениями. В действительности,
эти задачи могут быть сведены к уже рассмотренному виду.
VI. 5.1. Переменные начальные условия. Задача, описанная
в параграфе VI. 0, содержит точки (у, а, Ь) е °Ц X &* X В,
удовлетворяющие уравнению
t
У (t) = 0о + \ f (т, у (т), а (т), Ь) di (t €= Т).
и
Это означает, в частности, что значение y(tQ) фиксировано.
Более общая задача может содержать точки (у, or, b) е <Ц X
X 9* X В, удовлетворяющие уравнению
t
У (0 - 6 (Ь) + \ f (т, у (т), а (т), Ь) dx (t е= Г) (О
и
для заданной функции |: B-*V и условиям
hi(y(tl\b) = 0, h2{t,y{t\b)s=A{t) (2)
для всех /еГ, Эта последняя задача может быть
преобразована к виду, данному в параграфе VI. 0, следующим образом.
Для любого (у, а, &), удовлетворяющего условиям (1) и (2),
положим
y(t) = y(t)~l(b) {teT).
Тогда (у, а, Ь) е Щ X &* X В и точка (#, сг, Ь) удовлетворяет
соотношениям
t
Ht)=\f (т, |f (т) +1 (6), о (т), Ь) dx (t € Г),
Л, (£(*,) +1(6), 6) = 0,
*2(/,jfW + 6(ft),*)Si4(0 реГ).
433

Таким образом, задача приведена к виду, рассмотренному
в параграфе VI. 0.
VI. 5.2. Свободное время и задачи быстродей^вия*
Рассмотрим теперь такие точки (;/,а,6)е^Х^ХВ и #, t\ е Т9
что
t
y(f) = vQ+\f{%9y{%)9o(%),b)d% (1)
'о
для всех t е Т' = Щ, /i] и
Mj/W),Mo,^) = 0,
М',0(О,*,Й,«)еЛ (<еГ). (2)
[Мы уже не включаем в задачу ограничения вида Л2(/, #(/), &) s
е Л(0 или р(/) е #*(/)]. Среди всех этих точек требуется найти
такую, которая минимизирует функцию ho(y(t\), b, to, t\).
Назовем эту задачу задачей со свободным временем, так как интервал
движения Тг не фиксирован, а изменяется в пределах отрезка Т
таким образом, что можно, выбирая значения ае^ и JgB,
минимизировать функцию /i0(f/('i), Ь, t'0, *0 при ограничениях (2).
Задача со свободным временем включает в себя как частный
случай задачу быстродействия, когда
М*. Mo,tf)=«-«
для всех (у, ft, <5, '0 из области определения функции А0-
Проделаем следующее. Положим
У = [0,1], В = ВХ{(«,«)еГХГ|Й<«)
и для (у, а, (6, Й, /{)) g^X^XB определим
0(*) = У(Й+[«-<51*),
а(5) = а(Й + К-й]я), (3)
5 = (6,4 /0 (ss[0, 1]).
Обозначим через & класс измеримых функций из [0, 1] в R и
определим множество 9 так же, как и множество 9, но
с заменой Т на [0, 1]. Тогда
(у, а, 5) е С( [0,1], ЮХ^ХВ,
когда {у, о,Ь)^С (Т, Rrt) X 9 X В. Более того, если точка (j/, a, Ь)
удовлетворяет соотношениям (1) и (2), то, по теореме 1.4.43,
434

имеем
s
У (s) = vо + J О! - /J) / (й + К - /Я а, 0 (а), а (а), ft) rfa (4)
О
N[0,1]),
Ai (0(1),*) = О, Л2 (й + К - to] S, £ (5), В) € Л (5)
N[0,1]).
Наоборот, любая точка (р, a, J)eC([0, 1], R")X^X£,
удовлетворяющая условиям (4) и (5), определяет (в силу (3))
точки &£Ви/о,/|еГи функции у и р на отрезке Т' = [й, /J],
которые можно расширить на весь отрезок Т, полагая y(t):=s=y (jo)
и o(t) = o(t'0) для t<t'0i y(t)=y(t\) и а(0еor(/{) для />*{.
Тогда (г/, а, 6) е ^ X & X А и точка (#, а, 6) удовлетворяет
условиям (1) и (2).
Таким образом, наша задача, содержащая элементы уу а9 b, to
и t\y эквивалентна задаче минимизации функции h0(y(l)f Ь) при
ограничениях (4) и (5). Следовательно, задача приведена к виду,
рассмотренному в параграфе VI. 0.
Совершенно аналогичные рассуждения можно применить и
в случае, когда одна из точек to или t\ зафиксирована или когда
точки t'0 и t\ удовлетворяют ограничениям вида /о = Ф0(с) и
^ = ф1 (с), где с принадлежит некоторому множеству параметров,
Ф,(с)еГ (/ = 0, 1) и <Po(c)<<Pi(c) для всех с.
VI. 5.3. Задачи с бесконечным временем. Другой вариант
задачи из параграфа VI. 0 можно получить, заменяя конечный
отрезок Т на бесконечный 7,оо = [^0, <»). Для заданного
отображения /?» из Г» в $Р (R) пусть 5?1 — семейство таких
измеримых функций р: 7^-*/?, что р(/)е/?£>(/) почти всюду в 7\х>,
и пусть ^00 = С (7^, Rrt). Предположим, что Л (/) = Л(/е=Г).
Пусть
*(«!) = { (У, Р, Ь) € Щ„ X «£ X В |г/ (0 =
= »о+ Jf(T, У(т), р(т), b)dx (t<=Tj},
и для y^O пусть
«s*v 0#~) = {(У, Р,Ъ)<=Ж (Я* ) | у (оо) = lim у (/).
I Ai (У (оо), « I < Y, ^ I*» С У (0, *), 4 < y (f е Г J}.
435

Приближенным 521-решением является такая
последовательность ((t/y, ру, 6у)) в <^(#£), для которой существует
соответствующая последовательность (yj) в [0, оо), сходящаяся к нулю
такая, что
(У/, Р/, ft,)erft/(«£) O'eN).
Будем говорить, что функция г|з: Г^-^0, оо) интегрируема, если
функция iJ>|[*o, ct] интегрируема для всех аеГ^и
оо а
\ ty{t)dt= lim [${t)dt<oo.
J а->оо J
Сделаем следующее предположение.
1) Предположение. Существуют такая интегрируемая
функция г|э: Гоо-^О, оо) и такое у е (0, оо), что
\f{t,y (О, Р ('), *) I < Ъ (О [(У, Р, Ь) е *, (Я* )].
Можно считать, что -ф (0 > 0 (/ е Гто). В противном случае
заменим ty(t) на ty(t)+e-*.
Положим теперь
V(0=J*(a)dd (ferj.
/о
оо
А Г
Тогда функция V возрастает от 0 до a= \ ф(а)»£/а, когда t
U
меняется от /0 до оо. Существует функция Ф = ЧГ~1: [0, а)-*^,
обратная W. Пусть
У=У°Ф, р = роф.
Тогда, по условию 1.4.42(3), теоремам 1.4.43 и II. 3.11, для
любого а е [0, а) функции Ф | [0, а] и у | [О, а] абсолютно
непрерывны, функция р | [0, а] измерима и
ф(Р) = [я|>оф(р)Г1
для почти всех р е [0, а]. Мы имеем
t
У (0 = *0 + J f (т, у (т), р (т), Ь) dx (t € Г J. (2)
Следовательно, полагая / = Ф (а) (ое [0, а)) и применяя
теорему 1.4.43, получаем
a
У (а) = *о + J № (Ф (Р))]"1 / (Ф (Р), У (Р), р (Р), 6) # (3)
(а в [0, а)).
436

Более того, так как
у (а) = lim у (а) = iim у (t) = у (оо)
и, по условию (1),
|/(Ф(а), У (a), b)\ = \f (Ф(а), у(Ф(а)), Ь) |<г|>(Ф(а)) (а е= [0, а)\
то уравнение (3) остается справедливым для всех а е [0, а].
Пусть теперь Г=[0, а], /?^=/?l<>JI>, 5?^ —семейство
измеримых однозначных ветвей из R* и точка (у, р, b) е
бС([0, а], Ип)Х&ХВ удовлетворяет уравнению (3) для всех
ае[0,а]. Тогда положим
д л
у = уо*¥9 р = р°¥
и, применяя теорему I. 4.43 к уравнению (3), получим условие (2).
Нетрудно проверить, что предел
lim у (t) = lim у(а) = у (а)
существует. Таким образом, задача с бесконечным временем
в действительности эквивалентна задаче, рассмотренной в
параграфе VI. О, когда Tt R* и № заменены на f, /?* и Я*9
соответственно.
VI. 5.4. Ступенчатая задача. Наиболее современные
космические корабли имеют несколько ступеней, т. е. ракета состоит
из нескольких блоков, расположенных один над другим, с
рабочим отсеком в самом верхнем блоке. Самая низкая ступень
в действительности является первой, и когда ее горючее
израсходовано, она отбрасывается. Ракета движется дальше под
действием второй ступени и т. д. Таким образом, управление
на k-й ступени содержит k добавочных параметров, именно,
времена отбрасывания каждой ступени. Состояние корабля
в момент времени t описывается такими величинами, как его
положение в пространстве, компоненты скорости, ориентация корабля
(если это существенно) и его масса (которая меняется по мере
сгорания горючего и отбрасывания ступеней). Если
y(t)=(yl«) yn(t))
— вектор, описывающий состояние корабля в момент времени /,
Р (0 — управляющая функция, а Ь — управляющие параметры,
то вектор у удовлетворяет системе обыкновенных
дифференциальных уравнений вида
*« = /(<■ У (О, Р(0. Ь) (1)
на любом интервале времени, который не содержит моментов
отбрасывания ступеней. Если /-я ступень отбрасывается в момент
времени т/э то по крайней мере одна из компонент вектора у
437

(компонента, описывающая вклад /-й ступени и ее горючего
в общую массу корабля, или компонента, описывающая общую
мгновенную массу корабля) является разрывной при / = т
и значения h
У (т/ —) = Нт у (О, У (т, +)= lim у (t)
*->Ту *->Ту
*<Ту t>xf
взаимосвязаны (масса корабля до сброса /-й ступени больше
массы корабля после сброса на величину массы отброшенной
ступени).
Небольшие рассуждения приводят к тому, что
рассмотренная задача ступенчатой ракеты с функционалом качества и
с такими же ограничениями, как и в параграфе VI. О, но со
ступенчатыми особенностями, является частным случаем следую-
щей общей математической ступенчатой задачи. Рассмотрим
такой интервал
(где точки /о и U либо зафиксированы, либо свободны), такое
открытое множество V cz Rn, ЛсК, такие функции у: V -> VC
и р: Г->/? и такие точки
Ь е Я, т0, ть т2, ..., т*+1 <= Г, а0у аи ..., а* е= У,
4X0 'o = To^Ti^ ••• ^T*^T*+i = C функция у непрерывна
на каждом интервале [ту, т/+1) (/ = 0, ..., k), а функция р
измерима на Г'. Потребуем, чтобы предел y(%f—)= Hm y(t) суще-
«Ту
ствовал для /=1,2, ..., k + I, и чтобы выполнялись следующие
соотношения:
t
y(t) = a,+ \f(x, у(т), р(т), &)dt
т/
(/-0, 1, .... Л; /е[т,, т/+1)), (2)
Ф/(т/, а/, ?(*/—), *) —0 (/=1, .... k),
Мт*+ь y(*k+i—), Ь) = 0,
Л, (t, у (t), Ь)е=А (te [x,, t/+i); / = 0, 1 k), (4)
где функции
f: TXVXRXB-*Rn,
Ф/: TXVXKnXB-*Rl,
ft,: rxVXfl-*R" ЛсгЯ"1,
438
(3)

заданы. З'десь первые k выражений в условии (3) дают
соотношения на значения функции у непосредственно до и
непосредственно после отбрасывания /-й ступени. Функционалом качества
служит величина йо(т*+|, У(*к+\), Ь).
Покажем, как можно преобразовать эту задачу к виду,
данному в параграфе VI. 0. Положим
У/(5)=У(т/ + 5.[т/+1-т/]),
P,(s)=P(t/ + s-[t/+i--t/]) (se[0f 1), / = 0, 1, ..., k)9 (5)
*//(!)= </(*Ж-) (/ = 0, 1, ..., k).
Тогда соотношения (2)— (4) могут быть переписаны в виде
8
у,(s) = а, + J (т/+1 - ту) / (т/ + а • [т/+1 — х,], у, (а), р, (а), Ь) da
о
(/ = 0,1 к; ш[0,1|),
ф/(т/. «/. ^/-i(0, ь)=о (/ = 1, ..., fe),
Aifo+i, 0»(О, 6) = 0,
Л2 (т/ + s • [т,+, - т/], у, (s), Ь)<=А
И[0,1]; / = 0J k).
Положим также
y(s) = (y0(s), .... yk(s)),
9 is) = (Ро (s), .... Р* (s)) для s e= [0, 1],
5 = (aQ, .... afc)sV*+',
t = (t0, t, xk+l)e=.T =
= {(ao, .-., aft+1)e7,ft+2|a0< ... <aft+1},
3 = (o0, .... о*)езУ*+|, Л=Л*+1,
В=ВХ^+|Х^, R = Rk+\
r = (r0 r*)e=#,
(6)
(7)
(8)
$ = (Ь,й,х)еВ,
439

и для s е [О, 1], 5 е V*+I, ге| и В е В положим
f (s, v, г, Ь) = ((т, — т0) f (т0 + s • [т, — т0], v0, г0, Ь0), ...
• • •, (*ft+l - tft) f (Tft + 5 • [т*+, — Tj, Oft, rft, 6)),
h0(v, b)^ho(xk+u ^ 6),
Я, (0, 5)=q>i (t,, a,, o0, b), .... q>ft(Tft, aft, Os-,, b), ft, (t»fe, 6)),
ft2 (a, v, b) = (h2 (t0 + a • (т, — т0), v0, b), ...
..., h2 (т* + a (t*+, — т*), vk, b))>
Ш = 5.
Тогда соотношения (6) —(8) переходят в следующие:
»
y(s) = l(b) + \j (а, д (о), р (a), b) da (s е [0, 1]), (9)
О
й,(у(1), &) = 0, ft2(s,y(s), Ь)еЛ _(se[0, 1]), (10)
а функционал качества имеет вид й0(р(1), &)•
Эта задача теперь имеет вид, рассмотренный в пункте VI. 5.1
(задача с переменными начальными условиями).
VI. 5.5. Дифференциальные уравнения с обобщенными
запаздываниями. Уравнение вида
t
y(t) = v0+ $ф(т, у(х — d,), y(x-d2\ ..., y{x — dk))d%
и
(ts=T = \t0yt{]\
где du ..., dfc — неотрицательные числа, называется
дифференциальным уравнением с запаздыванием. Эту терминологию
можно распространить на более общий случай, когда числа
du ..., dk заменены на функции d, (т), ..., dk{%), причем каждая
функция dt (•) неотрицательна. Если функции dt принимают как
положительные, так и отрицательные значения, то данное
уравнение называется «дифференциальным уравнением с обобщенным
запаздыванием».
Класс задач, которые возникают в оптимальном управлении
для дифференциальных уравнений с обобщенными
запаздываниями, в обычном варианте характеризуется уравнениями
движения вида
~t
yW-Vo+lffayix-dM,..., y(t~dk(T)\p(T),b)dT
Nr = [u,l).
Такие задачи являются частным случаем задач, которые будут
исследованы в главе VII. Здеся мы рассмотрим другой класс
440

задач, уравнения движения которых в некотором смысле являются
более общими и одновременно в некотором смысле более
частными, чем уравнение, данное выше. Эти задачи являются более
общими, так как их уравнения движения имеют вид
t
y(t)=V0+\f(rty(%-dl(r)), ...9y(x-dk(x))9 p(T-£*,(*)), ...
..., p(x-dk(x)),b)dx (*е=Г).
Они являются одновременно более частными, так как
запаздывания d( определяются функциями
т-*т-£*,(т): T-+R (теГ; /=1 к),
т. е. являются «итерациями» тех же самых функций. (В частном
случае, когда функции du d2, ..., dk постоянны и равны
некоторому числу d, каждая функция x->x — dt является итерацией
функции т->т — d.)
Рассмотрим более подробно задачу из параграфа VI. О, только
функцию F: 'VX^Xfi-*^ определим следующим образом.
Пусть р('): Т->R — абсолютно непрерывная функция
р (t) > О почти всюду в Г,
p(t)<t (te=T) и pto»*.
Тогда функция р возрастает и инъективна. Поэтому существует
такое О 0, что
t-pW<c (*е=Г).
Положим
p0(t) = t и Pt+i(1) = popi(t) (t^T)
для всех / е {0, 1,2, ...}, для которых эта суперпозиция
определена. Нетрудно показать, что для некоторого целого
положительного числа /, не превосходящего 11{ —10 |/с, имеем
P/ + l('lX'o<P/('l)i
множества р{ ((р (tx\ tx]) (/ —О, 1, ..., /) различны и покрывают
интервал (t0, tx]9 и каждая функция /?/(•) (/ = 0, 1,..., /)
абсолютно непрерывна на [p(t\)y tx].
Назовем точку т;еГ р-трансляцией точки х" е Г, если
т' = р*(т"), либо т" = р/(т') для некоторого / = 0, 1, 2, ...
В задаче, которую мы рассмотрим, соотношение y = F{y, р, Ь)
является функционально-дифференциальным уравнением вида
t
У (t) = v0 + ( Ф (у, р, Ь) (т) dx (t € Г), (1)
и
где функция ф(у, р, Ь)(х) зависит от 6, т и значений у и р
в р-трансляциях точки т. Предположим без потери общности,
441

что /0 = p/+I (/,). Действительно, еслиэто не так, то заменим L
д л
на to = Pi+\{t\), Т на 7" = [#, /i], и положим
ф(</, P, Ж*)=0
для т <= [t'0f U) и всех (у, р, Ь).
Сведем нашу задачу к виду, рассмотренному в параграфе VI. О,
разбивая интервал (/0, t\] на различные интервалы Pi((p(t\)9tx])
(/ = 0, 1, ...,/) и определяя новые функции состояния yt и
управляющие функции р7 на отрезках [р (/,), tx] соотношениями
У\ (а) = ув Р\ (а), р/ (а) = р о Р/ (а)
(ae[p«,Ui]; / = 0,1,...,/).
Более точно, пусть n, m, m2 g= N, Г = [/0, /J с: R, у = С (Г, R"),
К —открытое подмножество из Rn, ЛсгК, V=Vl*\ R = Rl+l,
f: TXVXRXB->R, (Л0, A,): V X В -» R X Rw.
Л2: 7,XVrXB->Rm2.
Для значений p (•) и /, определенных выше, предположим, что
Pt+i Ci) = 'o. Для всех (t/, p,ft)G^X^XB положим
У/ («) = У (Р/ (а)), Р/ (а) = р (р, (а))
(/ = 0,1,...,/; aefp^/J),
У (а) = (f/o (а), ..., yi (а)), р (а) = (р0 (а), ..., р, (а))
HH'iUil), (2)
0 (Pi (<*)) = У (a), P (pi (а)) = р (а)
(/=1, ..., /; а€=(р(/,), /,]),
y(to)=y(ti\ p(«4pW.
Если функция T->f(r, #(т), р(т), 6) интегрируема на Г, положим
*"(У, Р, Ь)(t) = v0+\f (т, у (т), р(т), 6)dx (t <= Г),
/б
gl(y,P,b)=hi(y(ti),b) (/=o,i),
§2(y,P,b) = h2(t,y(t),b) (t<=T).
В противном случае, пусть
F(f/,p, б)(0=у(0 + (1,0 0), go = 0, g, = 0, £2 = 0.
При %2 = С(Т, Rmj) и С2={с<=^2|с(Г)с:Л} наша задача
имеет вид, рассмотренный в параграфе V. 0.
442

Преобразуем эту задачу к виду, рассмотренному в пункте
VI. 5.1, следующим образом. Нетрудно показать, что
£(т') = £(т"), Р(т') = р(т"),
если точка %' является р-трансляцией точки т". Таким образом,
имеем
f (т, У (т), р (т), Ь) = f (Pi (а), у (а), р (а), Ъ) (3)
для х = р1(а) и / = 0, 1, ..., /. Для всех (у, р, Ь) <=<УХЯ*ХВ
иае(р(t\)9 t{] положим
f i (а, У (а), р (а), Ь) = / (Pl (а), у (а), р (а), b) pt (а) (/ = 0, 1, ..., 1\
f(a, £(а), р(а), b) = (f0(a, у(а), р(а), 6), ..., ^(о, у(а), р(а), 6)). (4)
По теореме I. 4.43 и условиям (2) — (4), уравнение y = F(yt р, Ь)
эквивалентно системе
Pi (о)
У (Pi (а)) = У (Pl+l &)) + J f(x9p (т), р (т), Ь) dx =
а
р(*,)
HW'.Uil; »=о, 1,.... /),
0(/>f+i(M) =
Последовательно, полагая
а = (ао, аи ..., а,)=(у «/>, (/,), у « р2 (/,),..., у о Pl (/,), Оо),
имеем
а
у(а) = а+ Jf(M(P),P(P).*)<*P (a^H'iUl).
p(«i)
Наконец, пусть
£* (а) = R» (а) X Я* (Р, (а)) X ... X R4Pi (а)) (а е= [р ft), /,]),
B = BXRn/,
l(b) = (a0i аи ..., а;-ь i>0) = a [b = (by а0, ..., Я/-,) <= fi].
В этом случае р е 52^ тогда и только тогда, когда р является
измеримой однозначной ветвью из /К
Таким образом, наша задача эквивалентна^задаче из пункта
VI. 5.1, когда Т заменено на [p(t{), tx], R* на #*, В на В, f на f
443

и ограничения Л, (у {t{)f Ь) = О и h^ (*, У (0, 6) е Л (f е Г) заме-
нены на
£/+i('i)-a/ = 0 (/ = 0, 1 /— 1>.
M0('i),ft)»O,
Л2(Р/(а), £/(<*)> &)е=Л (/ = 0, 1 /; aG^/,),/,]),
Замечания
Результаты пунктов VI. 1 и VI. 2 являются обобщениями
теоремы VI. 6.1. Необходимые условия обобщенного минимума
в форме, аналогичной теореме VI. 2.4, получены Варгой [3, 5]
а аналогичные условия обычного минимума получены Нойштад-
том [3, 4]. Условия менее общие, чем теорема VI. 2.5, выпи*
саны Варгой [2].
Теорема VI. 3.1 основана на теореме Филиппова—Кастена
1.7.8. которая первоначально была получена Филипповым [1]
при несколько других условиях, и стала известной как «лемма
Филиппова». Теорема VI. 3.2 тесно связана с идеями
некоторых доказательств теорем существования оптимального
управления для обыкновенных дифференциальных уравнений, именно,
с работами Филиппова [1], Варги [1] и Важевского [1, 2].
Теорема VI. 3.2, по существу, показывает, что все, чего можно
достичь при помощи произвольных однозначных ветвей из R*
в оптимальном управлении для обыкновенных
дифференциальных уравнений, можно получить с помощью измеримых
однозначных ветвей из R*. Теорема VI. 3.3 эквивалентна теореме
существования, доказанной первоначально Филипповым [1].
Задачи с неограниченными контингентными множествами
были рассмотрены Чезари [1—3, 6] и Мак Шейном [1—5] в
предположениях, исключающих возможность рассмотрения разрывных
функций состояния. Задачи различного типа, допускающие
разрывные функции состояния, были рассмотрены Шма<деке [1],
Ришелем [1] и Нойштадтом [2], а условия, аналогичные
теореме VI. 4.5, получены Варгой [7]. Следует отметить, что
доказательство Варги [7] неполно, но его можно дополнить
добавлением теоремы VI. 4.5.
Ступенчатые задачи и дифференциальные уравнения с
обобщенными запаздываниями рассматривались Варгой [10].

Глава VII. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ С (Г, Rn)
VII. 0. Формулировка задачи
В этой главе мы рассмотрим задачу управления из главы V
в том случае, когда «gN, Щ = С(Т, R)n, а функция
определяется соотношением из параграфа II. 5. Точнее,
предположим, что заданы k, «gN, W cz Rrt, V cz R* и функции
l: C(Tt W)-L°°(7\ 2, ix, V), f: TXT XVXRXB-+R*.
Положим <y = C(T, Rn) и
F (У, ст, b)(t)=\f (t, t, | (y) (t), a(t), b) ц(dx) (t e= T)
для всех (#, a, b) e ^ X ^ X В, для которых интеграл в
правой части является непрерывной функцией аргумента /; для
остальных (у, a, J)g^X^XB положим
F(*/, а, &)(/) = #(/)+ (1,0, ..., 0) (<еГ).
Для так определенных пространства °Ц и функции Т7: ^ X &*Х
XB-+Q/ наша задача имеет вид, рассмотренный в главе V.
Нетрудно показать, что для (у, а, Ь) е ^ X ^ X S соотношение
y = F(y9 а, 6) выполняется тогда и только тогда, когда
У (0 - J / С *, g (f/ М), or (т), Ь) м (dx) (t ge Г).
Так же, как и в главе V, положим
^И4((У, a, b)e=<yX?">XB\y=:F(y, а, 6),
gi (#, ст, 6) = 0, g2 (У, or, 6) е= С2},
Ш(^) = {(у9 a, 6)e^X^XSIf/ = F(y, а, 6)}.
445

Назовем эту задачу управления односторонней задачей
если 96ъ С2 и g определены следующим образом. Пусть заданы
m2 s {0, 1, 2, ...}, компактное метрическое пространство р
отображение А(>): P->^'(RW2) (класс непустых подмножеств
из Rm0 и функция g: Щ X В -> R X Rm X С (Р, Rm'). Тогда
положим %2=С(РУ Rm0, С2 = {се^2|с(р)£Л(р)(рЕР)} и
g(y, a, *) = £(*/, &) 1(у, a, HeVX^Xfl.
VII. 1. Существование минимизирующих решений
УИЛЛ. Теорема. Пусть V и W —замкнутые множества.
Предположим, что
1) множество В имеет секвенциально компактную топологию,
а множество С2 секвенциально замкнуто;
2) функция g | seq cl {${> (P*)) секвенциально непрерывна;
3) *Ф(9*)Ф(д\
4) / е= С (Г, £(T,VXRX В; R")) и функция | непрерывна.
Тогда зФ (У) — секвенциальный компакт, функция F \ s4> (9"*)
секвенциально непрерывна и существует минимизирующее
обобщенное решение.
Доказательство. По определению функции F любая
точка (у, a, i)G^X^XB, удовлетворяющая уравнению
У — Р{у9 а> Ь\ является также решением уравнения
У (О = J f С, *, | (у) (т), а (т), Ь) |i (Л) (* € Г). (5)
Множество У=ргу^(^) ограничено и равномерно
непрерывно, так как, в силу условий 4) и (5),
ItfWKsugJlffcT, •, •, OUli^TXoo,
\y(t)-y(t')\<\f(t, •, •, •, -WC, •, •, •, Ol — O
(teTiyeY).
Таким образом, по теореме 1.5.4, Y — секвенциальный компакт,
откуда, по теореме IV. 3.11, следует, что &* также является
секвенциальным компактом. Тогда из условия 1) следует, что
множество Y X &* X В и его подмножество seq cl {s4> (9"?))
секвенциально компактны. Если ((у/, а/, &/)) — последовательность
в st> (£^), сходящаяся к некоторому (у, в, В) е ^ X &"* X #>
то, по теореме IV. 2.9,
yW-Hmy/W-lim \f(t9 т, |(г/7)(т), а7(т), ft/)|i(rfT)-
= J f ft т, | (# 't), а (т), 5) |i (Л)" (< e Г).
446

По теореме 1.5.3, функция у непрерывна и limyf(t) = y(t)
равномерно для (е Г, так как множество Y равномерно непрерывно.
Таким образом, (у, а, b) е s4> 9>b). Это означает, что
множество s&ifP*) секвенциально компактно, а функция F\s4>{9>1*)
секвенциально непрерывна. Существование минимизирующего
обобщенного решения следует теперь из теоремы V. 1.1.
VII. 1.2. Теорема. Предположим, что выполнены условия
теоремы VII. 1.1, когда &(&*) заменено на Ж'(^*). Пусть
(у, о", Ь) — минимизирующее обобщенное решение, <U
—допустимое подмножество из 9№. Более того, предположим, что у
—единственное решение уравнения y = F (у, <т, Ь), а уравнение у =
== F {у, и, Ъ) имеет решение у для каждого и ^<Ui достаточно
близкого к а (в метрике простронства 9>). Тогда существует
такая последовательность {{yh uf)) в ЩУ^Ш, что ({yh uh b))
является минимизирующим ^-решением и
limg(yh uh b) = g(y, в, b).
Доказательство. Повторив доказательство теоремы
VII. 1.1 для Ж{9>*) вместо sl{$Ph\ можно показать, что
множество Ж{9>ц) секвенциально компактно, а функция F\af6{9>1^)
секвенциально непрерывна. Наше утверждение следует теперь
из теоремы V. 1.2. Теорема доказана.
Данные результаты можно применить к односторонним
задачам, описываемым функционально-интегральными
уравнениями в пространстве С(Т, Rn).
VII. 1.3. Теорема. Пусть гп2 е {0, 1, 2, ...}, Р —
компактное метрическое пространство, А (р) — замкнутое подмножество
из Rm2 для всех р е Р и
g: ^/XS->RXRmXC(P, R*2).
Тогда теоремы VII. 1.1 и VII. 1.2 остаются справедливыми, если
a?2=c(pKRm0, c2={c<=a?2\c(P)^A(p) (р<=р)}
и g(y, <*, b) = g{y, b) для всех (у, a,ft)e^X^XB.
Доказательство очевидно.
Рассмотрим теперь некоторые условия, позволяющие полнее
охарактеризовать минимизирующую обобщенную управляющую
функцию и гарантирующие существование точки (г/, р, В) е
^ V X Я* X В, которая является одновременно
минимизирующим 5?ь-решением и минимизирующим обобщенным решением.
VII. 1.4. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы VII. 1.1
и Wу <*, Ь) — произвольное минимизирующее обобщенное решение
{существование которого гарантируется теоремой VII. 1.1). Более
того, предположим, что
447

1) g(y, о, b) = g(y, b) [(у, a, 6) ess <У X ** X В];
2) множество R* (т) замкнуто для всех т е Т\
3) функция f (•, •, у, г, 6) 2® ^-измерима для всех (и, г йе
е=КХ/?ХВ;
ы существует такое v е frm+ (Г), что
4) Е = Т, если v(E) = v(T) (или, эквивалентно, v(A)>0 для
любого открытого множества А <= Т)\
5) {/ (•, *, у, Л b) \г' е #^(т)} — выпуклое подмножество
из ЗГ{Т, 2, v, R") для все* (т, v, 6) g= Г X V X В.
Тогда существует такое р е ^, <*ro (//, р, &) является
минимизирующим обобщенным решением {и, следовательно, и
минимизирующим ^-решением).
Доказательство. Пусть
h (*, т, г) = f(t, т, Ш(т), г, Ъ) (/,теГ;ге /?).
По условию 3), теореме 1.4.22 и соотношению VII. 1.1(4)
функция h( •, •, г) vX ц-измерима, а функция h (t9 т, •) непрерывна.
Следовательно, по теореме I. 4.21, функция (/, т) —> | Л (/, т, •) I
v X ц-измерима и, по условию I. 4.45(3),
<\v№\\f{t9%, •, •, OU^^TXv^-lfKoo.
Итак, в силу теоремы IV. 3.14 существует такое р е №9 что
9(t)=\f(t, т, Ш)(т), д(х), 6)fi(dr) =
— $/(*. -г. ШМ, Р(т), 6)|х(^т) (6)
для v-почти всех /еГ, например, для t е £. Согласно
условию VII. 1.1(4), правая часть в соотношении (6) является
равномерно непрерывной функцией аргумента /. Из условия 4) и
теоремы 1.2.13 следует, что соотношение (6) остается
справедливым для всех /еГ (следовательно, y = F(y,p,b). Таким
образом, в силу условия 1), (у, р, В) является минимизирующим
обобщенным решением.
VII. 1.5. Т е о р е м а. Пусть выполнены условия теоремы VII. 1.1.
Более того, предположим, что для всех
(t, т, v, г, Ь, у, o)^TXTXVXRXBX<VX&">,
g(y,<y,b) = g(y,b)
множество Я*(х) замкнуто и
f(t, х, v, г, 6)=Еа'(/, т, v, 6)р'(т, 0, г, Ь),
448

еде
aJ:TXTXVXB->R, р': ТХVXRXB->Rn,
функции р'(т, •, •, •) непрерывны, а функции p;(-,i>, г, Ь)
\1-измеримы. Тогда существует такое минимизирующее
обобщенное решение (у, в, В), что для всех теГ функция д(т) является
мерой, сосредоточенной самое большее eln+l точках
множества /^(т).
Более того, если
{(Р'(т. v, г, Ь\ ..., р'(т, v,r, 6» |ге **(*)>
— выпуклое подмножество из R/rt для всех (т, v, b)^TXVXB>
то существует такое р е Я*, что (у, р, &) является
минимизирующим обобщенным решением.
Доказательство. По теореме VII. 1.1, существует
минимизирующее обобщенное решение {у, а, В). Если мы положим
X=Rnl+lxr'ni,
T(T) = R\x)nt+iX^nt (те Г),
Ф/(т.*)-Ев/Р/(т,Ш(т)1г|.5)
[/« 1,2 /;те Т; х±(г» г"', 9°, ..., 9»') с= X],
ф = (ф', .... ф1), р=(р!, ..., РО,
то для всех (т, х)^ТХХ функция ф(т, •) непрерывна, а
функция ф( •, х) р,-измерима. По лемме 1.7.5, отображение Г
^-измеримо. Наконец, по теореме 1.6.14, для каждого теГ
существует такое х{т) е Г(т), что
Ф(т, *(т))=$р(т, Ш)(т), г, 6)a(r)(rfr)Ap(x, 1(у)(т\ 5(т), В).
Так как функция т -> р (т, | (£) (т), а(т), 6) ^-измерима, то, по
теореме Филиппова — Кастена 1.7.10, существует такая ц-изме-
римая однозначная ветвь
т->*(т) = (р°(т), ..., р»'(т), 9°(т), ..., ел/(т))
из многозначного отображения Г, что
Ф (т, х (%)) = Z в' (т) р (т, | (у) (т), р' (т), В) - р (т, | (0 (т), 5 (т), 5).
i-0
Определим а(т) как такую вероятностную меру,
сосредоточенную на множестве
(Р°(т) р«"(т)>,
15 Дж, Варга 449

что выполнено условие а (т) ({р* (т)}) = 6* (т) (/ = 0, ..., nl). Легко
видеть, что asf и
Р'(т, Ш(т), 5(т), 6) = р'(т, ШМ)> а(т), В)
(/=1, ...,/; те Г).
Следовательно,
f V, т, | (£) (т), 5 (т), &) = f (t, т, | (р) (т), а (т), 5) (/, т е= Г),
У (0 = \ f С т, £ (у) (т), а (т), В) ц (dT) (/ е= Г).
Это означает, что (#, а, б) — минимизирующее обобщенное
решение. Таким образом, первое утверждение теоремы
доказано.
Предположим теперь, что р (т, v, R* (т), Ь) — выпуклое
подмножество из R/n для всех
(т, vy b)e=TXVXB.
Тогда, по теореме 1.6.13,
J Р (тЛ ДО (т). г, б) 5 (т) (rfr) € р (т, g (у) (т), /?* (т), В) (Т € Г).
Поэтому для каждого теГ существует такое р (т) е /?*(т), что
Р (т, £ (у) (т), а (т), 6) = р (т, |(£) (т), р (т), В) (т € Г).
Тогда, в силу теоремы Филиппова — Кастена I. 7.10, существует
такое р е Я^, что
Р (т, I (У) (т), о (т), 5) = р (т, | (у) (т), р (т), 6) (т <= Г),
0 (0 - J f ('. т, I0) (т), P (т), В) |i (Л) (* в Г).
Л
Так как мы предположили, что g(yf а, &) = £(*/, &), то (у, р, Ь)
является минимизирующим обобщенным решением.
VII. 2. Необходимые условия обобщенного минимума
Исследуем необходимые условия того, что точка {у, в, В) s
s Щ X &* X В является минимизирующим обобщенным
решением.
VII.2.1. Лемма. Яг/сгб (р, а, Ь) = (у, $)еС(7\ №)Х
д
X &* X 5- Предположим, что для каждой точки L = (60, .. •, bm) &
е Bm+1 существует такая замкнутая выпуклая окрестность
VL с: V и такая выпуклая окрестность TL нуля в Тт+\, что
450

функции I и
(t, х, v, г, B)->fL(t, т, v, г, В) =
= f(t,x, v, г, b+t/(bi-b)y.TXTXVLXRXrL->Rn
обладают следующими свойствами:
1) функция fL(t, х, >,г, ') имеет производную /£, в) (t, х, v, г, 6)
для всех (t, x,v,r,Q)<=TXTXVLXRXrL;
2) fL^C(T, <%{Т, VLXRXrL; R"));
3) /f0i0) e С(r, <%(t,VlXRXГ1; В(R* XRm+1, R")));
4) функция | имеет непрерывную производную и
%{y)(x)*=VL
для \1-почти всех теГ.
Тогда
5) для любых
К = ((а0, fto), • • •, (*«, U) е (У* X вГ+!,
л m
а^(9) = а+Ее/(ст/-а),
/-о
л m
6*(e) = 5+Ee'(6,-«) (esfe+I),
/-о
д
£ —(*0, •••> 6ш),
существует такая окрестность Тк нуля в &~т+[, что функции
{у, a, G) -+ F« (у, o,Q) = F (у, а, Ь* (в)): YK X 9>* X Гк -> С (Т, R"),
{у, 8)-/*(//, 6) = F(y, а* (в), 6* (9)): КкХ<Г/с-*С(7\ R")
непрерывны, а функция FK имеет непрерывную частную
производную;
6) (Fy(y, а, В) Д*/)(/) = J Ы',т,|(0(т), <х(т), 5)(Г(#Ау)(*)|*(Л)
[ДуеС(Г, Rn); teT\;
7) D2F (у, fc q - <?) (/) - \ [f % х, | (у) (т), а (х) - а (т), 5) +
+ DJ % х, I (у) (т), а (х), В; Ь-Ь)]» (dx)
[ts=T;q = (o,b)<=9»XB).
15* 451

Доказательство. Пусть
/С = (<7о, ..., 9т) = ((сТо, Ы ..., (ат, 6т))^(^ХВ)т+1
и &~K = SrL. Множество Yk является замкнутой окрестностью
точки у в пространстве С (Г, R"), так как ^(Г, 2, ц, У1-)
является замкнутой окрестностью точки Цу) в банаховом
пространстве L°°{T, 2, щ Rfe), а функция £ непрерывна.
1. Докажем, что функция FK непрерывна. Пусть
Ит (*//, (Т/, е7) = (у, а, в) в YK X ^ X ^Г*.
Тогда функции
т-*РС т, 1(у,)(%), ст/(т), 9Д
т->/Ч^т, Ш(т), а(т), 9)
^-интегрируемы для каждого /еГ и /sN, По теореме IV. 2.9,
Hm \ fL (t, т, | (У1) (т), а, (т), 9,) ц (йт) =
*=\fl(t,r, 1(у)(х), а(т), Q)li(dx). (8)
Более того,
J [/(t, т, |(У!)(т), а,(т), 9,)- fL(/', т,|(*/,)(т), а,(т), 9,)] jx(dx)|<
<$1/Ч', т, ., ., О-РС, т, ., ., -)\supii(dx) (/, ГеГ).
Поэтому функции t-+\fL(t, т, |(*//)(т), а;(т), Qf)\i(dx)
равномерно непрерывны. По теореме I. 5.3, сходимость в
соотношении (8) является равномерной для всех t е Г, и правая часть
этого соотношения будет непрерывной функцией аргумента t.
Поэтому
•Р(У, ст, b«(Q))(t)±F«(y, а, 9)(/) =
- J /£ С т, | (у) (т), а (т), 9) ^ (dr) [(*/, а, 9) <= Гк X ?« X ^*],
Нгп^(У/, ау, 97) = ^(г/, а, 9) в С (Г, R»).
Таким образом, функция FK непрерывна.
2. Докажем теперь, что функция FK непрерывна и имеет
непрерывную производную. Пусть
Р(/, т, v, 9) = f(/, т, о, а*(8)(т), ft* (8)) = /*(*, т, и, а(т), 9) +
т
+ £ e'fL (t, т, у, а, (т) - а (т), G) (/.теГ.се 1^; 6 е Г*). (9)
452

По теореме IV. 2.7, для каждого je?' функция
(/, т, (V, 9))-*Л(/,т, (t>, 9)) =
= f-(t, т, о, ог(т), 9): ГХГХ^Х^)-*^
такова, что функция h (t, т, •) имеет производную Л(0, е> (f, т, (о, в))
йеС(7\ Я(Т, VLXTL; R")),
Л(0,е>€=с(7\ Л (Г, ^Х^"£; B(R*XR""M, R")))-
Отсюда, по условию (9), fк имеет производную f*. е>>
f*eC(7\ Л (Г, VLX9~L; R")),
fUsC(r, Л (Г, VLX9~L\ B(R*XRm+I, R"))).
Поэтому, применяя теорему И.5.8, получим
F(y,Q)(t) = F(y,o«(e),b«(Q))(t) =
= J I4t, т, !(>/)(*), в) ц(Л) (у eKK;0s Гк; t е= Т)
и функция FK имеет такую непрерывную производную, что
фрк(у, 8) (Ay, А9) (/) = J J* в)<*, т, |(*/)(т), в).((|'(у)А^)(т), Д8) ц(<*т)
[г/ е^; 8g fT*; Д</ е С(Т, Rn); Д9 <= Rm+1; t € Г]. (10
Это завершает доказательство утверждения 5).
3. Докажем утверждения 6) и 7). Если положим К =
= ((М), .... (о, В))» Г=(5, .... 5), то
F%, 8) = F (у, а, В) [у е С (Т, R"); 8 & Гж\
f*(/, т, v, 8) = f (/, т, о, 9 (т), В) (*, т в Г; о s И£; в <= 0».
Соотношение 6) следует из условия (10) при А8 = 0. Если для
произвольного <7 = (or, b) е 9"* X В положим
Я ~ ((а, 6), (а, 5) (д, В)), L = (b,B,..., В),
то
FK(y, 8) = F (t/, д + 8°(а - а), 5 + 8° (6 - 5))
foe У; 9 = (9°, .... Qm)eTK],
J*(t, т, у, 9) = /(>, т, о, а(т), & + 9°(6-б)) +
+ е°/(*. т, о, <т(т)-а(т), 5 + e°(ft —5))
(t, теГ; пек1; 8е^к).
453

Следовательно,
DJF{y, q\ q-q) = F&(9,0)t
Fjft т. |(y)(r), 0)-Def (f, т, |(у)(т), a(x), 6; ft-S) +
+ f (*, t, | (0) (t), a (t) - a (t), ft) (f, т s Г).
Соотношение 7) следует теперь из условия (10) при Д# = 0 и
Д0 = (1, 0, ..., 0).
VII. 2.2. Лемма. Пусть выполнены условия леммы VII. 2.1
и уравнение
Ьу (0 = \ U ft *> I 0) М. а (т), Ъ) (Г (у) Д») (т) р (dx) (t € Г)
гшеег единственное решение Д# = 0 в ^. Тогда
1) для каждого A,efrm+(?) оператор Fy(y, д, Ь) имеет
такое резольвентное ядро {k*, (i*), **го функция k* К X
\С-измерима и
k*<=C(T, Ll(T, 2, /, S(R", Rn)));
2) более того, вели
Hm J f, (t9 т, | (у) (т), а (т), 5) (Г (Й ^yi) (т) (г (Л) = 0,
когда Ьу{*=Щ, |Ау*1<1 и Hm |i({/s7 |Д^(0 ¥= 0}) = 0, го
можно считать, что [a* = M"
д д
Доказательство. Пусть T — Fy(y, a, &), л —i (*7) и
* Л т) = f , (t, т, £ (у) (т), а (х), 5) (/, т € Г).
Тогда по условиям VII. 2.1(6),
^ (Ау) (0=5* Л т) (Л Ду) (т) |i {dx) (t е= Г).
Из леммы VII. 2.1 (условия 1) — 3) при L = (b, ..., &)) и
теорем IV. 2.7 и I. 5.25 следует, что
k<=C(T,V(T,2, n,B(R\Rn))).
Наше утверждение теперь вытекает из теоремы II. 5.5.
VII. 2.3. Теорема. Пусть множество С2 выпукло и имеет
непустую внутренность, функция I имеет непрерывную
производную и (у, q) — {y, д, b) е <fy X^Xfl- Предположим, что для
каждой точки
К = fob ..., qm) = ((«то, Ь0), .... (<xm, bm)) s (0* X Я)т+ *
454

существуют такая замкнутая выпуклая окрестность VK сг V,
содержащая точку % (у) (т) для ц-почти всех теГ, и такая выпуклая
окрестность Тк нуля в Тт+Ь что при
YK=l-l(L~{T,?,,», VKj)
функции
(t,x,v,r,Q)-+fK(t,T, v,r, 6) =
= f(t,x,v,r, b+t/(b]-bm))i TXTXVKXRX{rK-+R%
Ag(y, $ + J:/07,-<7)): ^X^-*RXRmX^
обладают следующими свойствами:
1) для всех (t, х, v, г, 9) е= Т XT X VK XR Х&~к Функция
fK(t, t, -, г, •) имеет производную ffD e)(t, т, v, г, G);
2) /« е= С (Т, $(T,VKXRX Гк; Rn));
3) $.е> eC(7,J(Г, F* X R X<Г/с; в(R* X Rm+l, R")));
4) функция gK(', •) непрерывна и имеет производную в точке
(У, 0).
Более того, предположим, что
5) уравнение
АУ (0 = \ fv V, т, | {у) (т), а (т), &) • (Г (у) Ьу) (т) ц (йт) (t е Г)
*шеег единственное решение Д# = 0 в ^.
Тогда
д
6) оператор &~ = Fy(y, а, 6) шсеег га/сое резольвентное ядро
(k\ \i*), что
Ге=С(7\ L'(7\ 2, *i*, fi(Rn,Rn)));
7) 0^(у, q; q-q)(t) =
«$[/(<■*, 6 0)M, <х(т)-а(т), 5) +
+ Dd(tt т, Ш(т), »W, 5; ft-5)]|i(rfx)
['еГ;р(а, 6)е=0*ХЯ];
8) более того, если (у, а, b) — минимизирующее обобщенное
решение, то (у, о, Ь) — экстремаль.
Доказательство. Эта теорема непосредственно следует
из лемм VII. 2.1, VII. 2.2 и теоремы V. 2.3 (при L = (60, ..., bm),
455

если /t = ((or0, b0), .;., (orm, bm))y и при замене VLy TL и 9>к
на К/(, Тк и ^, соответственно).
VII. 2.4. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы VII. 2.3.
Предположим, что
Hm J f, (*f т, g (у) (т), а (т), б) (£' «) Лг/<) (т) р (dx) = О,
когда Ду, е= С (Г, R"), | byt | < 1 а lim р ({t е Г | Дг/< (/) ^ 0}) — 0.
Тогда меру ц* в условии VII. 2.3(6) можно заменить на \х.
Доказательство следует из условия VII. 2.2 (2).
VII.2.5. Теорема. Пусть функция р: Г-*[0, 1] \х-измерима,
функция I'(у) р-наследственная, fv(t, т, v, г, Ь) = 0, если р(т)>
> р (0, и функция
a-n(p~'(№,(*])): [0, 1]-+R
непрерывна. Тогда условие VII. 2.3 (5) является следствием
остальных предположений теоремы VII. 2.3.
Доказательство. Положим /С=((а, Ь)у ..., (а, 6)) е
€ (^ X B)m+l И
HUx) = fAt, т,б(й(т), а(т), 5).
Тогда из теоремы IV. 2.7, непрерывности функции | и из
условий 1) — 3) теоремы VII. 2.3 следует, что
keep, V(T, 2, Л B(R\ Г))).
Нетрудно показать, что ft (f, т) = 0, если р(х)> р (t). Тогда, по
теореме II. 5.6, уравнение
&V (0 = \ h (*, т, 6 (у) (т), а (т), б) (£' ДО Ау) (т) |i (dx) (t es Г)
имеет единственное решение Д# = 0 в С (Г, Rn).
VII. 3. Необходимые условия обобщенного минимума
в односторонних и некоторых других задачах
Применим полученные нами результаты к задачам, которые
описываются функционально-интегральными уравнениями в
пространстве С (Г, Rn) в том случае, когда #?2 есть либо С(Р, Rm%
либо
L"(P, 2В(Р), со, R"*)
-для некоторого компактного метрического пространства Р,
со е frm+ (Р) и q е [I, оо). Эти задачи включают в себя, в
частности, и односторонние задачи.
456

VII.3.1. Лемма. Пусть £ <= frm+ (Г), [si1^, 2, £, R") и
f: TXTXR~>Rn
таковы, что функция f(-, •, г) £ X Ц-измерима для всех refi,
функция f(t, т, •) непрерывна для всех (,теГ, функция (/, т)-*
-ЧСО llfC т> OU £Х ^интегрируема и
JCW0j|i№) JgW-fft т§ r)-(a-d)(T)(rfr)>0 (1)
(a е= 0*).
2) существует такое ТаТ, что \i(T\f) = 0 и функции
'-$C(0"F(',*, r)a(x)(rfr)f
'-HCWIlFft *, -)lsup
^-интегрируемы для всех а е <Р* и tsf,
3) $ С (Л) J С (0'Ft',*. r)a(r)(dr) =
= min U(0-F(/, т, г)С(Л)
г в Я* (t) J
для \х-почти всех теГ.
Доказательство. Пусть
f (t, т, s)= J f (/, т, г) 5 (rfr) [*, TGr;se frm (/?)].
Тогда функция f (t, т, •) непрерывна на (frm(/?), | • \w) для всех
t, теГ. По условию 1.5.26(1) и теореме 1.5.27, функция
f(*t •, s) £ X ц*измеРима для всех 5 е frm (R). Из теоремы I. 4.22
следует, что функция (/, x)-+f(t, т, а(т)) £ X Ц-измерима для
всех a е ^. Более того, по теореме I. 4.48, существует такое
Т'аТ, что \х(Т \Т') = 0 и функция f(«, т, г) ^-измерима для
всех (т, г) g Г X /?. Следовательно, по теореме I. 4.22, функция
f(*, т, а(т)) ^-измерима для всех теГи аеЛ
Так как функция (/, т)-Ч£(0 l|f(', *, •) Ц> £Х Ц-интегри-
руема, то из теоремы Фубини 1.4.45 следует существование
такого множества fez Г', что \i{T \Т) — 0 и функции
'-4CWIIF0, *, -)lsup, t-+l(t).f(tt т, а(т))
С-интегрируемы для всех тбГи аб ^. Это доказывает
утверждение 2).
457

Применяя условие I. 4.45 (3) к соотношению (1), получаем
J I* (Л) JCW- f ft т, а(х)-д (т)) • С (А) > 0 (а € <?*). (4)
По условию IV. 3.1, множество 0& содержит такое подмножество
{Pi, Р2, •••}, ЧТО {р! (т), р2(т), . ..} ВСЮДУ ПЛОТНО В R* (т) ДЛЯ [i
почти всех теГ, например, для т е Г". Для произвольных
/eN и £gS в условии (4) положим а(т) = ру(т) (те£) и
а(т) = а(т) (т^=£). Получаем
J I* (Л) JCW- /Л т, Р/(т) - а(т))С(Л)>0 (/ gN;£g 2).
Из этого соотношения и условия 1.4.34(7) следует, что
существуют такие множества Ti (/ е N), что р,(7,\7,/) = 0 и
JEW- f ft т, p, (т) - а (т)) С (Л) > 0 (/ e= N; т € Г,). (5)
Пусть теперь T* = T" flf fl Tt. Для каждого tgP и г <= R
функция f->CW"fft т» г) ^интегрируема, и для всех /sP и
/gT функция CW'fft т» •) непрерывна на /?. Таким образом,
по условию 1.5.26(3), функция (/, r)->EW'fft т, г): Г X #-*R
£ X 5-измерима для всех s е грт (/?) и т е 7**, и
J 1СW ■ f ft т, г)| С (Л) X 5(dr)< 5 11(0 |. | f {t, г,.) |вирС(Л) < 00.
Из условия 1.4.45(3) следует, что
JtW-f ft т, »(т))С(Л)= $С(Л) JtW-f «, т, r).o(x)(dr) =
= J а (т) (dr) JtW- f ft т, r) • С (<W (т e Г*). (6)
Нетрудно показать, что limr/ = r в /?, когда
lim I (t). f (/, т, r,) = С W • f ft t, r) (t9 т s Г),
ICW'fft*. r/)l<ICWI-lFft т, -)lsup (/.tsri/sN).
Отсюда, по теореме I. 4.35, заключаем, что
Hm \l W • f ft т, г,) С (Л) = J CW • f ft т, r) £ (dt).
Это означает, что функция r->\£W*/ft т, r)^(d/): /?->R
непрерывна для всех tgP. Так как множество {pi(т), р2(т), ...)
458

всюду плотно в R* (т) для всех т е Т*, то, по условию (5),
{£(*>• f (t9 х, а (т)) £ (Л) < 'mjn U (0 • f Л т. г) С (Л) (т € Г*).
С другой стороны, по условию (6),
>\a(T)(rfr/). mjn \t(0-f(/, т,г)С(Л)-
= mjn Uw-Fftx, г)С(Л) (tsP),
r e ** (t) J
Из этих двух соотношений следует утверждение 3).
VII.3.2. Теорема. Предположим, что условия теоремы
VII. 2.3 выполнены. Пусть (у, а, В) — минимизирующее обобщен-
ное решение, &~ = Fy(y, а, Ь), гщ^{0, 1, 2, ...}, Р
—компактное метрическое пространство, 9S2 = C (Р, Rm'), g (у, о, b) — g (у, b)
для всех {у, а, Ь) е= <Ц X 9>* X В и функция /(•, ., v, г, Ь)
2 ® Ъ-измерима для всех (v, г, b) е F X R X fi- Тогда
существуют такие 10>0, /, € Rm, £ е frm+ (Г), 5 е L1 (7\ 2, £, R"),
(о s frm+ (Р), SGi1 (Р, 2В(Я), а>, Rm<), что
1) |g(OI=l (/еГ), |S(p)|=l (реР), /о + |/,1 + со(/>)>0,
J S (0 .х (0 С (Л) = £ /,#,#, (у, 5) (/ - ГГ1х +
+ \ & (Р) • [ЗД8 W, Ь)'(1- Г)"х х] (р) a (dp) [ж s С (Т, R")];
2) $£«•/(/, т. 6(у)(т), в(т), 5)C(rfO —
= mjn \ I (/) • f (f, т, 1 (# (t), r, 5) С (A)
r <= Л* (x) J
для [i-почти всех teT;
3) J £ (A) J S (0 • £>5f (/, t, 6 (0) (т), a (t), b; b - b) ц (dx) +
+ £ * A$i (0, U Ь - b) + \ 5 (p) • D^2 (p, b;b-B) (p) со (dp)>0
(b e B);
4) J & (p) • ^2 (i', 5) (p) <o (dp) = max ( б (p) • с (p) <o (dp);
459

5) более того, если отображение A: P->^>'(Rm2) таково, что
множество А (р) — выпуклое тело в RWj для всех р е Р,
множество
G(A°) = {(p,v)\vz=A(p)«}
открыто в PXRmi и С2 = {с<=С(Р, Rm2)\с(р)еА (р)(р е Р)},
то соотношение 4) можно заменить на условие
6 (р) • g2 {У, Ъ) (р) = max cd (р). а
(Элл ъ-почти всех pGP.
Доказательство. Будем пользоваться обозначениями
Д -
теоремы VII.2.3. Положим q = {G, Ь) и (как в определении
экстремали)
X(<7) = (Xofo), Xifo). &(?)) =
= £</ (У, ?)•('- *Г' А^ (у, «; <7 - ?) +
+ А£ (у, ?; ? - ?) [? = (а, 6) € ^ X В].
По условию VII.2.3 (8), существует такое /= (/0, /ь /2) е [0, оо) X
XRmX^2, что (у, qy /) — экстремаль. Так как l°gy(y,b)o
о(1-<Г)-{е=С{Т, Rn)* и 12^С(Р, Rm2)*, то, по теореме 1.5.9,
существуют такие
С s frm+ (Г), | s L1 (Г, S, S, R"),
to s f rm+ (Р)нйе D (Р, 2В (Р), <о, Rm0, что
||(0I=1 (/sr), |б(р)|=1 (реР),
/ • 5»(& *) ° (' - ^"Г1 * = J S W • * (О S (Л) [^С (Г, R")], (6)
l2v = \ й (р) • о (р)«(dp) [!>еС (Р, Rm0]. (7)
Третье соотношение в условии 1) эквивалентно условию \1\Ф0,
а четвертое — условию (6). Из условий VII. 2.3 (7), VII. 2.3 (8),
(6) и (7) теперь следует
/Ш) = SI(0• d2f(у, я; я-я)И)С(Л) + /Ш(у, В; Ь-В)) =
= \ С (Л) S I (О • [f (*. т, 1 (£) (т), а (т) - а (т), 6) +
+ Dj(t, х, №W, о{х), В; b-b)]ii{dx)-\-
i
+ £ bD& 0, & 6 - 5) + $ й 0») • I>2f 2 (У,Ь;Ь- В) (р) • ю (dp)>0
i-0
[? = (<х, 6)е/хв], (8)
J S (р) • &(& 5) (р) ю (dp) > J 6 (р) • с (р) © (dp) (с е С2). (9)
460

При а = (7 соотношение (8) дает условие 3). Из соотношения (9)
вытекает условие 4), так как g2(y> 6) е С2. Поэтому остается
только доказать утверждения 2) и 5). Для Ь = В из условия (8)
получаем
\ £ (dt) \l (t) • / (t, т, I (у) (т), а (т) - а (т), В) ji (dx) > О (as <?*).
(Ю)
Положим
f (t, т, г)= (/, т, 6(0 (т), г, б) (t, теГ; гб #).
Нетрудно показать, что функция f (t, т, •) непрерывна для всех
t, теГ, ипо теореме I. 4.22, функция f (•, •, г) £ X ц-измерима
для всех г е R. Если положим K = {qt ..., 4), то, по условию
VII. 2.3 (2),
$S(rt)$iS«lif(', т, -)(|„р1*(Л)<$1501С(Л)-1/г1<«>.
и, по теореме I. 4.21, функция (/, т)-^|^(/, т, -)lSUp £Хц-изме-
рима. Таким образом, из теоремы Фубини 1.4.45 следует, что
функция (/, r)->\f(t, т, •) lsup£X ^-интегрируема. Это означает,
в силу условия (10), что лемма VII. 3.1 применима. Из условия
VII. 3.1(3) этой леммы следует соотношение 2). Наконец, для
односторонних задач утверждение 5) следует из условия 4) и
теоремы V. 2.5. Теорема полностью доказана.
Аналогичные рассуждения можно применить для случая
%2 = Lq(P, Rm2).
VII, 3.3. Теорема. Предположим, что условия теоремы
VII. 2.3 выполнены. Пусть (у, а, В) — минимизирующее
обобщенное решение, пг2 ^ {0, 1, 2, ...}, Р —компактное метрическое
пространство®^ frm+ (Р), q ее [1, оо), %2=Lq(Pt 2В(Р), со, RWj),
g(y, or, b) = g(y, b) для a €=<?*, (t/, J)EC(r, Rn) X В, а
функция f (•, • , v, r, b) 2 ® ^-измерима для всех (v, г, b)<^VXRXB.
Тогда существуют такие /0> 0, lx ^ Rm, £ ^ frm+ (Г), £ е
е= Ll(T, 2, С, RVfie LqKq-x)(P, 2В(Р), со, Rm'), «го
1)||(/)|=1 ИГ), fe + |/il + ieU7.„>oi
1
U (0 • * (0 S (Л) = J] /i^i5i (У, В) о (i- FT1 х +
+ J б (р) • [ад2 (у, 5) о (/ - <Г)"Ч (р) со (dp) ИС (Г, R»)l;
461

2) \l(t)-f(t,x, Ш(Л 5(т), b)Z(dt) =
= min \l(t)-f(t,x, l(y)(x),r, b)W)
для ц-почти всех теГ;
3) J С (Л) JCW- Z>5/ (*, т, | ДО (т), <х (т), 5; Ь - Ь) ц (Л) +
1
+ \ б (р). D2g2 (g, 5; & - 5) (р) со (dp) > О (бе В);
4) \ & (р) • g2 (У, &) (р) © (rfp) = max \ ю (р) • с (р) со (dp).
Доказательство аналогично доказательству теоремы
VII. 3.2, за исключением того, что элемент /2 е $в\
представляется, по теореме I. 5.20, функцией
а е £«/<«-■> (Я, 2e(/>)f со, Rm2).
Теорема доказана.
Заметим, что в том случае, когда выполнены
предположения теорем VII. 3.2 и VII. 3.3, можно грименить теоремы VII. 2.4
и VII. 2.5.
VII. 4. Необходимые условия обычного минимума
Исследуем необходимые условия для того, чтобы точка
(#, в, Ь) была минимизирующим ^-решением для задачи,
данной в параграфе VII. 0, в общем случае, и для соответствующей
односторонней задачи, в частности. Теоремы VII. 4.1 и VII. 4.2,
данные ниже, основаны на результатах теоремы V. 3.2, так же
как теоремы VII. 2.3 и VII. 3.2 были основаны на результатах
теоремы V.2.3.
VII.4.1. Теорема. Пусть °U — допустимое подмножество
из 9№ь и пусть выполнены условия теоремы VII. 2.3.
Предположим, что для каждого
/С = ((а0, &о), ..., (om, U)e(S*XB)m+l
уравнение
y = F(y, а, 5+Ев'(&,-&))
\ /-о /
имеет единственное решение ук (а, 9) в YK для всех (а, Q)^9n?X&*K
462

и что функция
(у, а, в)-»е(у, а, Ь+ 2 в'(*/-&)} УкХ9»ХГк-+
- R X Rm X %2
непрерывна.
Тогда точка (уу <г, б) удовлетворяет условиям теоремы V. 3.2.
Более того, если (у, а, b) — минимизирующее ^-решение, то оно
экстремально и удовлетворяет условиям (6) и (7) теоремы VII. 2.3,
w ас данной задаче применимы теоремы VII. 2.4 г/ VII. 2.5.
Доказательство. Покажем, что теорема V. 3.2
применима. Условия V. 3.2(1) и V. 3.2(3) следуют из леммы VII. 2.1
и из наших предположений о функции g. Условие VII. 3.2 (2)
следует из условия VII. 2.3 (5). Наконец, условие V. 3.2(5)
следует из теоремы 1.5.4, так как для всех оге£^, Ве^ и/sJ1
мы имеем
\у«(о, e)(0l<sup $|/*(р, т, •.•.•Hupn(d*)=l//Cl<°°,
\ук(о,0)(0-ук(а,6)(П\<
<\\fK(t, т, .,-,•) — f^r, т, .,.,.) | n(rfT)^0.
Это означает, что в силу теоремы V. 3.2, что (у, а, 6)
—экстремаль. А так как (у, а, Ь) удовлетворяет условиям теоремы
VII. 2.3, то наши выводы следуют из теорем VII. 2.3—VII. 2.5.
VII.4.2. Теорема. Пусть <U— допустимое подмножество
из 9№, и пусть выполнены условия теоремы VII. 3.2
(соответственно, VII. 3.3), за исключением того, что [у, о, Ь)
предполагается минимизирующим ^-решением, но не обязательно
минимизирующим обобщенным решением. Более того, предположим,
что для каждого L = (b0, ..., JJgB^1 уравнение
У = р{у, af ft+ 1^(&/-5))
имеет единственное решение yL(a, 8) в I""1 (£* (7\ V1)) для всех
(а, 8) е &* X&~L- Тогда выводы теоремы VII. 3.2 (соответственно,
VII. 3.3) справедливы и применимы теоремы VII. 2.4 и VII. 2.5.
Доказательство. Доказательство теоремы VII. 3.2
остается справедливым, если ссылку на теорему VII. 2.3
заменить ссылкой на теорему VII. 4.1. Доказательства теорем VII. 3.3
и VII. 3.5 также остаются справедливыми.
VII. 4.3. Теорема. Пусть °U — допустимое подмножество из
я*9(у9 а, Ь)е*{<и)9
Л={(у, <т, b)ej*{9>*)\go{y, о, b)^g0(y, и, В)}.
463

Предположим, что условия теоремы VII. 2.3 выполнены в том
случае, когда {у, а, В) заменено на произвольную точку из Ж.
Тогда выполнены условия теоремы V. 3.4 и выводы этой теоремы
о строгих ^-решениях остаются справедливыми.
Доказательство следует из теоремы VII. 4.1.
VII. 5. Задачи с псевдозапаздываниями
Л ;
VII.5.1. Теорема. Пусть /gN, V = W, функции ht: Г-*
->Г (/=1, 2, ..., /) ^-измеримы и
l(y)(t)=(y°h{(t), ..., y°ht(t)) foe С (Г, W)\ t<=T].
Тогда £ e= S (С (Г, W), L°° (Г, W')\ и поэтому функция I
удовлетворяет всем предположениям из параграфов VII. 1—VII. 4.
Более того, если функция р: Г->[0, 1] \х-измеримау
р(Л«(т))<р(т) (теГ; /=1,2, ..., /),
функция <х->ц {р~х([0, а])): [О, 1]-*R непрерывна и
fv(t, т, v, г, b) = 0 [(v, г, b)eWlXRXBi P(r)>p(t)l
то выполнено условие VII. 2.3(5).
Доказательство следует из теорем II. 5.10 и И. 5.6.
Замечания
В частном случае, когда T = [t0, /i]c:R,
f(t, *, v, г, ft) = X,f|,„(T)F(Tf v, г, b),
д
p(t) = t и функция | р-наследственная, уравнение движения из
параграфа VII. 0 называется «функционально-дифференциальным
уравнением». Более того, если функция | определена так же,
как в параграфе VII. 5, то это уравнение является
дифференциальным уравнением с запаздыванием. Необходимые условия
обычного минимума в задачах оптимального управления для
дифференциальных уравнений с запаздыванием были
исследованы Огусторели [1], Бенксом [1], Халанаем [1] и др., а для
функционально-дифференциальных уравнений — Бенксом [2].
Необходимые условия обычного минимума для задач с
уравнениями движения вида
t
у'(0=$А'(>-т)/'(т, у{х), u(x))dx (/=1, .... щ /еРо,/,])
t
были исследованы Фридманом [1]. Задача параграфа VII. 0,
когда £ — единичный оператор, была изучена Варгой [11, 13].
464

Глава VIII. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ LP(T, Rn)
VIII. 0. Формулировка задачи
В этой главе мы рассмотрим задачу, внешне напоминающую
задачу из главы VII, но определенную в пространстве Lp.
Предположим, что заданы k, «gN, ps[i, оо), р{&(1, оо) и
функции |: If (Г, 2, |if R") -* LPl (г, 2, ц, R*) и f: Т X Т X R* X R X
X B->Rrt. Положим <y = Lp(T9 2, ц, R") и для всех (у, а, 6) €=
е^Х^ХВ положим
Z7 (У, а, 6) (0 = J / (*. т, % (у) (т), а (т), Ь) р (Л)
для [i-почти всех / е Г, если интеграл в правой части как
функция аргумента t принадлежит пространству ^, ав противном
случае положим
FUt, ст, 6)(0 = yW + (l,0f ..., 0)eRn
jx-почти всюду. Для ^/ и F, определенных таким образом,
задача имеет вид, рассмотренный в главе V. Для (у, а, Ь) е
s'VX^Xfl имеем y = F(yy а, Ь) тогда и только тогда, когда
У (0 = ) f (t, т, i (у) (т), а (т), 6) \i (dx) ц-почти всюду.
Определим множества Ж{?*) и s4>{9>b) таким же образом, как
и в главе V, т. е.
«(**) = {(», o,b)e<VXS»X B\y=F(y, а, 6)},
■* (**) = {(*, ст, 6) s 5g (*") I ft (y9 a, 6) = 0, g2 (y, a, ft) s C2}.
Так же, как и в параграфе II. 6, мы считаем оо/оо = 1 и с/0 =
д
— оо (с > 0). Для любого сепарабельного банахова
пространства Z и любого ?(= [1, оо] положим Lq{T> 2£) = U{T, 2, ц, S5).
465

VIII. 1. Существование минимизирующих решений
VIII. 1.1. Теорема. Предположим, что
1) &(9>»)Ф0;
2) функция |: LP(T, R")-* LPl (?\ Rfe) непрерывна и
c{=sup{ || (у) \pi\(yy oyb)<=a{?>)} < оо;
3) существует такая \хХ ^-измеримая функция г|г. rX^-^R
и такое р е [0, р,], «/го
!'-"*('.-)U.-» И °°.
I / (Л т. о, г, fr)U<4>(^ т)(1 -Ы о Р)
(t, теГ; не R*; г <= /?; ft г S);
4) существует такое % е £,"' (Г), что | % (у) (т)|<]((т) р-почти
всюду, если у<=У и \у (/) |< с |ф{t, ')\pApi.fi) v-почти всюду,
где с = [ц(П]3/рЧ-(с/;
5) В — компактное метрическое пространство, а С2 —
секвенциально замкнутое множество;
6) для всех (t, т, v, г, Ь) <=Т XT XRk X R X В функция / (.,
•9v9r9b) \хХ ^-измерима, а функция f (ty т, •, •, •) непрерывна;
7) функция g\s^(9>'°) непрерывна.
Тогда множество s4> (9>1) секвенциально компактно, функция
F\s^{^) секвенциально непрерывна и существует
минимизирующее обобщенное решение.
Дока зательство. Обозначим через 5топологическое
пространство rpm(/?)XB с топологией, соответствующей топологии
д
слабой нормы в пространстве rpm(#). Пусть С1 = 9>ьХВк
q(t) = (o(t), Ь) [t^T; (a,J)eQ]. Согласно условию 3) и
неравенствам Гёльдера 1.5.13 и Минковского 1.5.15, имеем
\y{t)\ = \F(y>o,b)(t)\^
< J + С т) [1 +1Б (у) М А I* №) <*! + ('.•) U-P) (8)
для [г-почти всех /еГ, (у, а} Ь) е s$<(9">). Заменив J на / и
F на F в лемме II. 6.3, получаем, что множество F (KYsQ)
условно компактно в Щ для
К = {у ^V\\y(t) |< с|г|)(/, OUp.-p) Ц-почти всюду}.
Так как, согласно условию (8), у&К, если (f/, а, 6) е^(Я,
то множество pTySt(^) = F {Ж{9"*)) условно компактно. По
406

теореме IV. 3.11, 9>* — секвенциальный компакт, поэтому
$1 (&>*) с: ргу s4> {?*) X Р* X В — также секвенциальный компакт.
Пусть теперь ((г//, a,, bt)) — последовательность в ^(^),
сходящаяся к некоторому (р, a,6)G^X^X8. Тогда из
теоремы 1.4.31 следует, что liml{yf) = l(y) по мере щ и согласно
условию 6) и 1.2.15(2), для каждого /еГ имеем
lim [т -> sup | / (/, т, I (у{) (т), г, 6/ - / «. *> I (У W, г, 5) I ] = О
/ reff
по мере (х. Следовательно,
lim 1т -Ч f (*. *, IЫ (*), <H W, &/) - f (t, r, I (y) (t), a, (t), 5) | ] = 0
(9)
по мере (i. В силу условий 3), 4) и (8),
I f 0. т, l (у,) (т), а (т), &,) I < + If, т) [1 +1 х '*) 1Р] (Ю)
для ае^тЕГ и fx-почти всех /еГ, и функция т-*ф (f, т) X
X D +1X (*) Р] ц-интегрируема для [i-почти всех * е Г. Таким
образом, по условиям (9), (10), и теореме I. 4.35, получаем
Hm\|f(/,T,6,(y/)M, cx/W.ft,)-
- f Л т, | (£) (т), а, (т), В) I |i (Л) = 0 (11)
для ц-почти всех / е 7\
С другой стороны, для [i-почти всех / е Г функция (т, г) ->
~*7 С» т> I (9) (т)> г» 6) как Функция аргумента т ц-измерима,
а как функция аргумента г непрерывна на R. В силу условий
3), 4) и (8), имеем
|П',т,Ш(Дг, B)\<*(t9%)[l+\x(x)f] (теГ; res/?).
Отсюда следует, что функция (т, г)->/ (/, т, | (*/)(т), г, Ь)
принадлежит пространству L1 (Г, С(/?, Rrt)) для ц-почти всех /еГ.
Поэтому
lim J р (Л) J / (<, т, | ДО (т), г, 6) а, (т) (dr) =
- J |i Wt) J f (/, т, | (у) (т), г, 5) а (т) (dr) (12)
ц-почти всюду. По теореме Егорова 1.4.18, существует такая
последовательность /с(1,2, ...), что lim r/y (t)=y(t) ц-почти
467

всюду. Таким образом, из условий (11) и (12) следует, что
у (t) = lim yt (t) = lim ( / (t, x, | (у,) (t), a, (t), b,) ц (dx) =
= \f(t,t,l(y)(t),*(r),b)ii(dx)
ц,-почти всюду. Так как функция g\^(9lJ) непрерывна, а
множество С2 секвенциально замкнуто, то (у, а, b) е $4- (9**).
Следовательно, множество s4>(9h) замкнуто, а функция Т7!^^)
непрерывна. Существование минимизирующего обобщенного
решения следует теперь из теоремы V. 1.1.
VIII. 1.2. Теорема. Предположим, что выполнены условия
2)—6) из теоремы VIII. 1.1, и функция g\26{9t*) секвенциально
непрерывна. Пусть (у, а, В) — минимизирующее обобщенное
решение и °U — допустимое множество. Более того, предположим,
что у — единственное решение уравнения y = F{y, а, В), и
существует такая окрестность С точки о в 9*, что уравнение y = F (у,
и, В) имеет решение у для каждого и е <2/ ПС. Тогда
существует такая-последовательность ((*//, uf)) вЩУ^°и, что ((yh и}, В)) —
минимизирующее приближенное ^-решение и
Wmg(yh uh b) = g{y,d, В).
Доказательство. Заменим $&{9>h) на Ж(9"*) в
доказательстве теоремы VIII. 1.1 и получим, что множество Ж (9*)
секвенциально компактно, а функция Р\Ж(9^) секвенциально
непрерывна. Тогда наше утверждение следует из теоремы V.I.2.
VIII. 1.3. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы
VIII. 1.1, и пусть (у, а, В) — произвольное минимизирующее
обобщенное решение (существование которого гарантируется
теоремой VIII. 1.1). Предположим, что
О g(y,°,b) = g(y,b) 1(у,о9Ь)*=<ухУ*ХВ];
2) множество R*(т) замкнуто для всех tgT;
3) функция f (•, •, v, г, Ь) 2 ® ^-измерима для всех (v, г, Ь) <=
e=Rfex/?Xfi;
4) {/ (', *, v, г', b)\r' & R* (т)} — выпуклое подмножество из
&~ (Т, 2, \х, R") для всех (т, и, Ь) е= Т X R* X В.
Тогда существует такое р е 9№9 что (у, р, В) — минимизирую-
щее обобщенное решение (а следовательно, и минимизирующее
^-решение).
Доказательство. Пусть
Л (t, т, r) = / {t, х, | (у) (х), г, В) (1,теГ;ге R).
468

Тогда, согласно условию VIII. 1.1 (5) и теореме 1.4.22, функция
А(*, •', г) ц X ц~измеРима, а функция h{t, т, •) непрерывна для
всех (t, т, r)<=TXTXR. Из условия VIII. 1.1(3) и неравенств
Гёльдера 1.5.13 и Минковского 1.5.15 следует, что
\ix(dt)\\h(t,x, -НирИ^тХ
< $ |1(Л) $♦('.*) D + I 6 (Й (т) fl |i (dt) <
Следовательно, по теореме Фубини 1.4.45, функция (/, т)->
->| h(t, т, •) I |i X И<"интегРиРУема- Таким образом, условия
теоремы IV. 3.14 выполнены при v = p,, и существует такое
р <= #*, что
0 (0 - J / V, Tf | (у) (Т), <7 (Т), 6) |i (dx) =
= \f(t>*> 6«)(T)fp(T)f5)|l(dT) (6)
для ц-почти всех /еГ, Отсюда, в силу условия (1), (у, р, Ь) —
минимизирующее обобщенное решение.
VIII. 1.4. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы
VIII. 1.1. Предположим, что множество /?*(т) замкнуто для всех
те Г, g(r/, a, b) = g(y, Ь) для всех (у, а,6)еух^ХВ, и
существуют такие /e=N, а': Т XT X R*XB-*R и р': rXR*X
X/?X5->R'1 (/=1, 2, ..., I), «го функции р'(«, о, г, 6) ц-изл*е-
римы, функции ру(т, •, •, •) непрерывны и
/(/, т, у, г, *)=£а'(/, т, t>f Ь)р'(т,о, г, 6)
/-1
[(*, т, и, г, b)<=TXTXRkXRXB].
Тогда существует такое минимизирующее обобщенное решение
{у, а, Ь), что для всех tgT жера б*(т) сосредоточена в In + I
rowe множества R* (т).
Более того, если
{(Р1 (т, о, г, 6), ..., р1 (т, v, г, Ь)) | г г Я* (т)}
— выпуклое подмножество из Rtn для всех (т, и, 6) g Г X R* X В,
то существует такое р <= Я*э <*го (у, р, 6) — обобщенное
минимизирующее решение.
Доказательство совпадает с доказательством теоремы
VII. 1.5, только ссылки на VII. 1.1 и VII. 1.4(2) нужно заменить
на VIII. 1.1 и VIII. 1.3(1), соответственно, и множество V
заменить на R\
469

VIII. 2. Необходимые условия обобщенного минимума
Исследуем необходимые условия того, что точка (у9 а, В)
является минимизирующим обобщенным решением.
VIII. 2.1. Предположение. Пусть (д, а, Ь) <= ЩХ^ХВ
для каждой точки L = (60, ..., bm) е fim+1 существует такая
выпуклая окрестность TL нуля в Тт+Ь что функции | и
U9T,v,r,e)-*fL(t, т, v,r9 9) =
= /(>, т, v, г, 5 + |У(*/-6)): rxrXR^X/iX^^R"
обладают следующими свойствами для всех (/, т, а, г, 9) е
s Т X Г X R* X R X Г1:
1) функция fL (t, т, •, г, •) имеет производную /^§в)(/, т, у, г, 6)
и обе функции !L{t, т, -,-,-) и /f0.e)(/, т, •, -, •) непрерывны,
2) функция fL{*9 • , у, г, 9) ц X [^-измерима;
3) существуют такие а (L), р (L) е R и
itf€=Lp(7\ Lp,/(p,-p(L,)(r))f
+feLp(r, Lp,/(p--a(L)",,(7,))l
**го
0<a(L)<p,-lf 0<P(L)<plf
l/LC, т, о, r, 9)|<(l+|t;p^)^(/, т),
| #(',*, ^г>в)|<(1+|ор^)^«|т),
|/*(',*, o, r, e)|<(l+|orlL))+f('.t);
4) функция | ил*еет непрерывную производную.
VIII. 2.2. Лемма. Пусть предположение VIII. 2.1
выполнено и
К = (К Ы ..., (от, О) е (*" X ВГ+!.
Положим L = (b0, ..., &т) и (Эля всех 9 е i7"w+l положим
А т
А т
*Мв)=нЕе/(бу-б).
/-о
470

Тогда
1) функции
(У, о, 6) -» F« (у, а, 6) = F (у, а, Ь* (9)): <У X ** X <Г£ - V.
(У, 9)->/*(*,, Q) = F(y, о* (8), 6* (9)): ЩХГ^Щ
непрерывны, а функция Рк име:т непрерывную производную;
2) для всех у^Щ и ае^" имеем
(f_*[T.»/(*, Т| 6(y)(T)f а(т), 5)])е1'(Г, L'(7\ Rn)),
{t-+[x->h(t, т, |(jf)(T)f а(т), 6)])e L'fr, Lp^'l\T9 B(R», R11)));
3) для всех ky^ty и \х-почти всех t е Г
(F, (у, а, &) Ду) (0 = \ f0 (t, т, | (у> (т), а (т), 5) • (Г (у) Ду) (т) ц (Л);
4) D/ (у, q;q-q) (t) = \ [f (t, т, I (у) (т), а (т) - а (т), £) +
+ W, т, |(у)(т), &(%), В; b-b)]]i(dx)
для q = (a, 6), всех ? = (а, 6) е 9* X /-> " р-почти всех t^T.
Доказательство. 1. Покажем, что функция FK
непрерывна. Если
(у, a, 9)<=^Х^Х^,
то, по теореме 1.4.22, функция (f, %)->fL(t, т, £(*/)(т), г, 6)
[л X ^-измерима для всех (г, 9) е /? X #"£. Более того, функция
/£(*, т» £(#)(*), •» •) непрерывна на RX&~L- По теореме IV. 2.8,
отсюда следует, что функция (t, x)-+fL (/, т, £(*/)(т), а(т), 9' [хХц-
измерима для всех 6еЯ, а функция /А(/, т, |(#)(т), а(т), •)
непрерывна для всех /, теГ.
Покажем, что для всех (у, а, 9) е ^ X ^ X&"L
функция /-*(т->^(^ т> g(jf (Д а^ 9)) принадлежит пространству
LP(T, Ll{Tt R*)). Действительно, по условию VIII. 2.1(3) и
неравенству Гёльдера 1.5.13,
\\fL(t.x9 1(у)(х\а'х\ в)||*(Л)<
< | ttf(/, •)|Pi/(Pi.p iL)) I х -* 1 +1 6 (у) (т) р с« U(L), (5)
и наше утверждение следует из теорем I. 4.45 и I. 5.24. Это
означает, в частности, что функция t-> \fL(t, т, 1{у) (т), а(т), 0)ц(с?т)
является элементом пространства LP(T, Rn). Таким образом,
Fк {у, а, 9) (0 = $ /* (/, т, | (у) (т), а (т), 9) р ц/т) (< е Г). (6)
471

Пусть теперь lim (yh oh 9,) = (*/, a, 9) в У X 9* X TL и
*/('. т. r) = |f'0, т, £(*//) (т), г, в,)-/*(', т, Ш(т), г, 9)|
О' е N; /,теГ; ге /?).
По предположению VIII. 2.1 и лемме II. 6.7 (при г2 = rt = р(L)
Г = «йф((,т,о, 9, r) = fL(t, т, у, г, 9)), имеем
lim|f-HT->sup ey(f, т, r)Up = 0.
Так как
еу (t, т, а7 (т)) < sup ef (t, т, г) (t, tgT; / g= N),
re/?
TO
lim|f-HT-*e/(ff *, a/(T))lilp = 0.
Из этого соотношения и условия (6) следует
lim | FK {у„ ah 9,) - F* (у, о,, в) |р = 0. (7)
С другой стороны, для ц-почти всех t е Т функция (г, г) -*■
->fL(t, х, \(у){%), г, 8) непрерывна по г, ц-измерима по т и, по
условию VIII. 2.1(3),
\fL(t, х, |(у)(т), г, в)|<+04^, т)(1+|6(у)(т)|»№>).'-
Таким образом, по теореме 1.5.25, функция (т, г) -*■ fL (t, т,
Ъ(у)(*), г, 9) принадлежит пространству Ll{T, C(R, R")), и
поэтому
llmF*(y, <х„ Q)(f) = lim\f4t, *, 1(у)М, а,(т), в)ц(Л) =
-Jf'ft т, ШЫ, а(т), е)|г(</т) = />*(?, а, 9)(0
для [х-почти всех t еГ. Из этого соотношения, условия (5) и
теоремы I. 4.35 получаем
UmF«(y, ohQ) = F«{y, a, 9)
в LP(T, Rn). Следовательно, по условию (7),
\lm\F«{yhoi9e,)-F*(y, a, в)|р<
<lim|F«Q//, ohB,)-F«{y9oh 9)|p +
+ lim|F*fy, a,, 9)-M(*/, a, 9)1,-0.
Таким образом, функция У7* непрерывна на °Ц X ^ X ^~л»
472

2. Покажем теперь, что функция FK непрерывна и имеет
непрерывную производную. Пусть
J«{t9 т, v, 9) = /(/, т, v, а* (В), 6* (8))-
m
= /*(*, т, о, а (г), Q)+ZWfL(t, х, v, а,(х)-д{х), 9)
(t, х е= Г; os R*; 9 е= О-
По теореме IV. 2,8, для каждого а е= ^ функция
(<, т, у, в)-*>А(/, т, v, 9) =
=/*(/, т, о, о(т), 9): rXT'XR'X^-^R"
такова, что функция h(t, т, •, •) имеет производную Л(р>в)Х
X (/, т, v, 9) для всех (*, т, v, 9) е= Г X 7" X R* X У1, функции
A(f, т, •, •) и h(v,e){t, т, •, •) непрерывны, а функция Л(-, ., у, 9)
ц X ц-измерима. Отсюда, по свойству VIII. 2.1(3) и теореме
II. 6.8, следует, что
Р«(У, Q)(t) = F(y, а* (в), 6*(в))(<)-
= Jf*(*, т, |(у)(т), 9)|i(Л) {у^У\ ее^; /sГ),
и функция F* имеет такую непрерывную производную, что
2>Р«(у, в) (Ay, Ав)(/) =
= J f5, в) (*, т, | (у) (т), 9) ((Г (у) Ьу) (т), Д9) |t (Л)
{у, Ьу<=Щ\ 9е ^; Л9 е= Rm+1; < s 71).
Это завершает доказательство утверждения 1).
Для всех (t, т, у, a, L) s=T XT ХЩХ?* XBm+l мы имеем
fL (*, т, I {у) (т), <х (т), 0) = f (t, т, | (у) (т), а (т), 5) и, согласно
первому пункту доказательства,
(*-+[*-+Г«, т, Ш(т), а(т), 0)]е1'(Г, 1!(*\ R")).
Отсюда следует первое соотношение в условии 2). По условию
VIII. 2.1(3) и теореме 1.5.14,
\*-+fi«. т, Ш(т), а(т), e)\Pi/(Pi_u^
< l*f Л * > „/< P,-.(L,-I) | * "* 1 + I I ДО (Т) Р (L) U/a (i, < 00.
Выше мы показали, что функция (/, x)-*fL(t, т, v, а(х), 0)
ц X ц-измерима. Поэтому, в силу теоремы II. 3.9, функция
473

iff T) -* fv ft т, I(У) Wi a (T)> 0) Iх X ц-измерима. Условие I. 4.45(I)
и последнее неравенство дают нам второе соотношение в
условии 2). Наконец, утверждения 3) и 4) доказываются точно так
же, как и лемма VII. 2.1 (пункт 3 доказательства). Итак теорема
полностью доказана.
Заметим, что из предположения VIII. 2.1 следует, по условию
VIII. 2.2(3), что отображение &~ — Fy(y, д, Ь) существует и
удовлетворяет соотношению
{Fby)(t)=\fv(t, т. ШМ, S{%), B)(t'(y)by)(T)n(dT)
для всех Ay е <fy и ц-почти всех /еГ.
VIII. 2.3. Теорема. Пусть множество С2 выпукло и имеет
А
непустую внутренность, и пусть (у, ?) = (f/, <т, Ь)9 а функции f
и | удовлетворяют предположению VIII. 2.1. Более того, пред-
д
положим, нто для каждого K=((o0i b0), ..., (<rm, 6m))e(^XB)w
Л Л
и для L = {bQf ..., 6m) и qi = (ol9 bt) (/ = 0,1, ..., m) функция
0/, Q)->gKiy, в)-
m
= g(</, <7 + Z в'fa,-?)): 1/X^->«XRmX^
/-0
непрерывна и имеет производную &>gK{y, 0) в rowee (у, 0),
а уравнение
At/(0 = (^At/)(0 =
-$М'. *, 6»)(т), <т(т), 6)-(Г(0М(тЫЛ)
для [i-почти всех t е Г,
ил^ег единственное решение Д# = 0 в °Ц.
Тогда
1) / — &~ — гомеоморфизм из У в себя иЗГ и(1 — &~)~х — / —
компактные операторы в °Ц.
Более того, если (у, а, &) — минимизирующее обобщенное
решение, то существует такое / = (/о, /i, У^^Х^Х^г» то
2) /0>0 и /0 + |/il + |/2l^0;
3) D2F(y, q; q - q)(t)=\[f(t, т, Цу) (x), (т(т)-а(т), 5)+
+ Dj(t, x, l(y) (x), а(т), 6; *-5)]ц(Л)
для [i-почти всех t^T и всех q = (o, 6)e^XS;
4) i = l°gy(y, q)o{I-0-)-lSELp/{p-l)(T, R«)
474

(где I является одновременно элементом пространства Lp (Г, Rrt)*
и пространства Lp/{p'{)(Tf R"));
5) \l(t)-D2F(y, q; q - q)(t) \x(dt) + l(D2g(y, q; q-q))^0
(q<=9»XB);
6) /2(£2(£, Я))>Ш (ce=C2).
Доказательство. По условию VIII. 2.2(2), имеем
(/->[т-Ы', т, ШМ. *(т), В)]) s L'(Tf Lp^-l)(T, B(Rn, R»))).
Из условия VIII. 2.1 (4) и теоремы II. 6.6 следует, что ^ —
компактный оператор в LP(T, Rn). Утверждение 1) теперь вытекает
из теоремы Рисса 1.3.13.
Пусть теперь (у, а, Ь) — минимизирующее обобщенное
решение. В силу условий VIII. 2.2(1) и 1), применима теорема V. 2.3.
Положим 1 = l°gy (9, q)°(I — Т)~х. Тогда £ —непрерывный
линейный функционал на Lp(Tf R"), и поэтому его можно
отождествить (1.5.20) с элементом пространства Lp/ip~l)(T, Rn).
Соотношение 2) следует из условия / Ф 0, соотношение 3) — из
условия VIII. 2.2 (4), а соотношения 5) и 6) непосредственно
следуют из теоремы V. 2.3 и определения экстремали.
VIII.2.4. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы
VIII. 2.3, и пусть (у, а, В) — минимизирующее обобщенное
решение и g(y, а, Ь)£щд9 В) для всех (у, а, Jje^X^XB.
Тогда
\l(t).f(t, т, ШМ, *М, b)n(dt) =
= J$w $С(0-/ ft т, 6 (у) (т), г, В) ц (Л) (1)
для [i-почти всех теГ «
$ц(Л)$С(0-Яв/('. т, Ш(т), в(т), В; b-B)n(dx) +
+ l(D2g(yt В; b-B))>0 {be В). (2)
Доказательство. Если положим q — (а, 6) в
соотношениях VIII. 2.3(3) и VIII. 2.3(5), то получим утверждение (2).
Если положим q = (o, В), то получим
$ И (Л) $£ (0 • f (/, т, Б (у) (т), а (т) - а (т), ft) й (dx) > 0 (3)
(а е^).
Пусть теперь
f(', *, r)±f(t, т, 6(y)(T)f г, 6) (t, теГ; re/?).
475

Тогда функция f(t, т, •) непрерывна и, по теоремам I. 4.21 и
I. 4.22, функции
С т) -* f (t, т, г) (г е /?), (/, т) -* | f (*, т, •) |sup
\i X ц-измеримы. Более того, по условию VIII. 2.1(3) (для
и неравенству Гёльдера 1.5.13, имеем
\\Z(t)\v(dt)\\f{t, T,.)ISUPH(^)<
<Sl5(OI-|*&('.-)U1-,(W)ii(rfO-|T-i + l4«)(T)f(UlPi/1ML,<
<! I U-.) IЫ <С • )Lp.-P JpI ^1+1ШМ f 'iwf»(Ы < oo.
Таким образом, в силу условия 1.4.45 (3), функция (/, т) -*
-* \1 (О I f V, х, •) |sup ц X ц-измерима.
Мы показали (принимая во внимание соотношение (3)), что
все условия леммы VII. 3.1 выполнены для £ = ц, и поэтому
\и№Ш)-!&хуг)д(т)(с1г)= min \S(Of(t,Tfr)C(tf)
J J г^(т) J
для jli-почти всех tsT. Это доказывает утверждение (1).
VIII. 3. Необходимые условия обычного минимума
VIII.3.1. Теорема. Пусть °tt — допустите подмножество
из 9№, {у, а, Ь) — минимизирующее Щ-решение, множество С2
выпукло, С\ Ф 0 и предположение VIII. 2.1 выполнено. Более
того, предположим, что для каждого
К=(К Ьй), ..., (<rm, bm)) е (9» X B)m+'
и для L = (b0, ..., bm) и qi = (ou bt) (t = 0, 1 m)
1) уравнение
Hy(t) = (&-Ay)(t)=\f0(t, x, Ш(т), д(х), b).(l'(y)Ay)(T)lx(dT)
для \1-почти всех /еГ имеет единственное решение &у = 0 в Щ\
2) уравнение
y = F(y,o, 5 + £&(Ь,-Ь))
г U F
имеет единственное решение у (а,9) в °У для всех (а, в) е У У^Т ;
476

3) функция
(т \
у, о, Ь+ S/ (Ь,-Ь)): УХ9*ХТ1-*
->/?XRwX^2
непрерывна, а функция
(у, в)->Ёк(У> 6) =
= g{y, ?+£ву(?/-?)): yxrL->RXRmX%2
имеет производную 2>gK(y, 0) в точке {у, 0);
4) с,=8ир{1ШЧа, e))UI(cr. в)е^Х^}<оо;
5) существует такое %&Lpl(T\ что \ Цу) (т) К х (*) \х-почти
всюду, где у<=Щ, и
\y(t)\<c\^(tr)\pi/{p^iL))9
где cAlv(T)?iL)/lh + (c{?{L).
Тогда выводы теоремы VIII. 2.3 справедливы, и теорема
VIII. 2.4 применима с заменой минимизирующего обобщенного
решения на минимизирующее ^-решение (у, в, Ь).
Доказательство. Покажем, что теорема V. 3.2
применима. Условия V. 3.2(1) и V. 3.2(3) следуют из соотношений
VIII. 2.2(1) и (3). Условие V. 3.2(2) (утверждающее, что / —
— Fy(y, а, Ь) — гомеоморфизм из <У в °Ц) следует из
соотношения VIII. 2.3(1). Условие V. 2.3(4) содержится в
предположении в 2). Наконец, условие V. 3.2(5) следует из первой части
теоремы VIII. 1.1, если заменить В и -ф на fTL и -ф£,
соответственно. Из теоремы V. 3.2 следует, что (уу д, Ь) — экстремаль.
Условия (2), (3), (5) и (6) теоремы VIII. 2.3 выводятся точно
так же, как в доказательстве этой теоремы. Так как в
доказательстве теоремы VIII. 2.4 используются только соотношения
VIII. 2.3(3) и VIII. 2.3(5), то эта теорема применима и в нашем
случае.
VIII. 3.2. Теорема. Пусть °U — допустимое подмножество
из №у (у, a, &)e=jtf(3/),
Ж = {(у9 a, b)e=st(<?*)\g0(y, а, &)<Ы£, *, Ь)),
и пусть условия теоремы VIII. 3.1 выполнены, когда
минимизирующее ^-решение (у, д, Ь) заменено на произвольную точку
из Ж. Тогда условия теоремы V. 3.4 выполнены, и ее выводы
о строгих ^-решениях остаются справедливыми.
477

Доказательство. Так же, как и при доказательстве
теоремы VIII. 3.1, нужно проверить, что условия теоремы V. 3.2
остаются справедливыми, если (у, а, Ь) заменить на
произвольную точку из М.
VIII. 4. Задачи с псевдозапаздываниями
Пусть /gN, k = ln, pi = pG(l, оо), c<=R и функции ht\
Г->Г(/==1, 2, ..., /) таковы, что множество ЛГ1 (Е) ц-изме-
римо и |х(АГ! (£))^ф(£) для каждого ^-измеримого
множества Е и 1 = Ь, 2, ..., /. Если определим функцию I
соотношением
l(y)(t) = (y(hx(t))9 ..., y(Ai(0)) [»eiPfr, R"); <еГ1
то, по теореме II. 6.10,
&eB(Lp(r, R"), L'(7\ R/n)),
и функция | удовлетворяет предположению VIII. 1.1 (4) при
x(0 = *El*(M0, -)U-w.
t—1
Отсюда следует, что результаты параграфов VIII. 1 — VIII. 3
остаются справедливыми.
Замечания
В частном случае, когда | — единичный оператор и Зв2 = {0},
существование и необходимые условия обобщенного минимума
исследовались Варгой [11].

Глава IX. КОНФЛИКТНЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ
С ОБОБЩЕННЫМИ УПРАВЛЕНИЯМИ ПРОТИВНИКА
Главы IX и X посвящены изучению конфликтных задач
управления, которые содержат управления «союзника» и управления
«противника». Естественный метод обобщения этой задачи
(который мы изучим в данной главе) заключается в замене
обычных управлений как союзника, так и противника на
соответствующие обобщенные управления. Этот подход дает
результаты, аналогичные результатам из глав VI—VIII, когда
рассматриваемые задачи содержат «аддитивные» конфликтные
управления. Если конфликтные управления не распадаются
аддитивно, то минимизирующие обобщенные решения могут
давать результаты, которых нельзя получить при помощи
минимизирующих приближенных ^/-решений. Таким образом,
«обобщенные» задачи с неаддитивными управлениями описывают
иную «физическую» природу, чем соответствующие «обычные»
задачи. Соответствующая «обобщенная» модель задачи,
описываемой обычными управлениями, будет рассмотрена в
главе X.
Параграфы IX. 1 и IX. 2 содержат общие результаты и
обсуждение их значимости. В параграфе IX. 3 рассмотрен
важный класс задач с аддитивными управлениями, а в параграфе
IX. 4 дано обобщение теоремы Неймана о минимаксе в той
форме, в которой ее можно применить к играм с нулевой
суммой со стратегиями в виде обобщенных управлений.
Результаты настоящей главы можно применить к
«обобщенным» задачам с неаддитивными конфликтными
управлениями, которые описываются дифференциальными или
функционально-интегральными уравнениями типа, рассмотренного
в главах VI — VIII. Один пример такого подхода к решению
задачи включен в данную главу. Однако для того, чтобы
избежать повторения многих определений и выкладок, мы
рассмотрим применение результатов этой главы к задачам
указанного типа в теореме X. 3.7 после изучения аналогичной
задачи в главе X.
479

IX.0. Формулировка задачи
IX.0.L Пример. В данной главе мы изучим класс задач,
похожих на односторонние задачи из главы V. В главе V мы
предполагали, что ^2 = С(Р, Rm2) и C2 = {cgC(>, Rm2)| х
Хс(р) ^А (р) (pGP)} для некоторого заданного
пространства Р, неотрицательного целого числа гщ и для заданного
отображения A: P->^'(Rm2). В данном случае Я —семейство
управлений «противника». Именно, если ТР, RP, Rp, $$, g>h?
и ВР определены так же, как и Г, /?, #*, &\ 9^ и В,
соответственно, то рассмотрим случай Р = £?рХ#р, или Р —
подмножество из УрХВя (например, P = <UPXBp, где ^ —
допустимое подмножество из Яр).
Задачи такого типа возникают, в частности, когда F или g
содержит функции или параметры, которые точно не известны,
или которые выбираются с целью максимизировать функционал
качества go в то время, как управления самой задачи
выбираются с целью минимизации функционала g0. Рассмотрим
следующий пример. Требуется управлять самолетом таким
образом, чтобы минимизировать расход горючего во время
перелета из данной точки в заданную область на отрезке времени
Г = [/о, <J. В этом случае задача описывается известным
уравнением движения
y = F(y, o9b)=F(y,q).
Однако это уравнение может включать в себя скорость ветра,
значение которой во время перелета совершенно неизвестно.
Например, известно только, что в момент времени / в точке v
скорость ветра равна p(t)w(t, и), где функция до(-, •)
известна, а р: [t0, *i]->[0, 8; 1, 2] — неизвестная измеримая
функция. В этом случае уравнение движения имеет вид
y = F(yt q, р),
и мы должны выбирать правило управления самолетом при
наличии совершенно неизвестного параметра р.
Предположим (как это всегда делается при рассмотрении
детерминированной физической модели), что уравнение
движения имеет единственное решение у (q, р) для каждого выбора
управления q и измеримой функции р: [t0, t{] -> [0, 8; 1,2].
Тогда расход горючего является функцией х0 (q, р) [=g0 (Р, (?»Р)>
q, р)] аргументов q и р, и ограничение на конечное состояние
можно записать в виде
y{q, p)(tx)&A,
где А — заданное множество, Консервативный подход к этой
задаче заключается в выборе управления q таким образом,
480

ч1юбы минимизировать функцию x0(q)= supx0(<7, Р) на
множестве {q\ У (?, р) (t\) е А (Р е ^)Ь гАе Р — семейство всех
измеримых функций из [t0y tx) в [0, 8; 1,2]. Другой подход, если мы
обладаем достаточными статистическими данными о вероятном
значении параметра р, заключается в определении пространства
с вероятностной мерой (Р, 2Р, со) и в выборе такого
управления q, которое бы минимизировало ожидаемое значение
Xo{q) = \*o(q, P)<*(dp) на множестве {q\y{q, p)(tj)^A{p^P)}.
Так как точки р из Р могут иметь природу управлений, то
назовем q и р конфликтными управлениями. Тогда
нахождению минимизирующего значения q «препятствует» условие
y{q> p){t\)^A {р^Р)> содержащее управления противника р.
Рассмотренная задача является примером общей конфликтной
задачи управления, которую мы теперь исследуем в
«обобщенном» варианте.
IX. 0.2. Формулировка конфликтной задачи управления.
ПустьQи Р — заданные множества, Q&Q, meN, m^JO, 1,2,...},
A: P-^'(Rm0, х0: Q-*R, хх: Q->Rm и х2: QXP^Rm\ Для
удобства пишем x2(q)(p) вместо x2(q, р) и x(q)(p) вместо (х0(q)y
X\(q), x2{q, р)). Положим
a (Q)= {q s Q | x, (q) = 0, x2 (q) (p) s A (p) (p e= P)}.
Точку ?Gi4(Q) назовем минимизирующим Q-управлением,
если xQ (q) = Min (s& (Q)). Последовательность (qj) в Q назовем
приближенным Q-управлением, если
Нтл:1(?/) = 0,
\im[s\xp{d[A(p), x2(qj)(p)] |p€=/>}]=0.
Приближенное Q-управление (qj) назовем минимизирующим
приближенным Q-управлением, если
lim х0 (qj) < lim inf xQ {qj)
для любого приближенного Q-управления (qj).
В случае Q = 9>* ХВ, 9>' а 9>* и Q = g>'xB приближенное
Q-управление назовем приближенным 9"-управлением.
IX. 0.3. Обычные и обобщенные управления противника.
Как мы упомянули в начале этой главы, особый интерес
представляет случай, когда Яс=5^ХЯр, где 9>% — класс
обобщенных управляющих функций противника, а ВР — заданное
множество управляющих параметров противника. В «обычной»
постановке конфликтной задачи управления множество Р
16 Дж, Варга
481

совпадает с ^рХ Вр, где <U* cz 91%. В рассматриваемых
задачах функция
x2(q, О: ^PXBp->RWi
расширяется до непрерывной функции на ^ X Sp, а
Щр—.допустимое подмножество из $j>. Более того, если Л —заданное
замкнутое подмножество из Rm2 и Л(р) = Л(ре °UP X fip), то
условие
x2{q, р)е=А (p<=<UPXBp)
эквивалентно условию
x2(q, р)е=А (ре=?$ХВр).
Это означает, что если множество A cz Rm2 замкнуто и
А(р) = А{р е <UPy,Bp)t то множество st(Q) совпадает с
множеством
{qt=Q\x{(q) = Qt х2 (q) (9>% X ВР) с Л},
и конфликтная задача управления не изменится, если
пространство ^рХ^р заменить на пространство 9>рХВр. Это
последнее пространство является компактным и метрическим, если
ВР — компактное метрическое пространство.
Мы рассмотрим в этой главе некоторые результаты для
случая компактного метрического пространства Р.
IX. 1. Существование и необходимые условия
оптимальных управлений
Используем некоторые результаты из главы V после их
соответствующей переформулировки в исследовании
конфликтной задачи управления.
IX. 1Л. Теорема. Пусть Р — произвольное множество,
Q — секвенциально компактное топологическое пространство,
Ж (Q) Ф 0 и для каждого р е Р функция q-^x(q) (р):
Q->RXRmXRm2 секвенциально непрерывна, а множество А (р)
замкнуто. Тогда существует минимизирующее Q-управление q и
{q, q, ...) является минимизирующим приближенным Q-ynpa-
влением.
Доказательство. Пусть (qf) — такая_
последовательность .в *stf(Q), что lim х0 (#,) = inf х0 (s& (Q)) в R. Тогда суще-
ствуют такие /с=(1, 2, ...) и q^Q> что lim qj=?q. Отсюда
следует, что limx(qj)(p) = x{q)(p) для каждого р^Р. Так как
множество А (р) замкнуто, то х2 (q) (р) е А {р). Это означает,
что q (= a (Q) и х0 {q) = inf х0 (^ (Q)).
482

Пусть теперь (?/) — приближенное Q-управление. Тогда
существует такое /'cz(l, 2,...), что Hm *bfo/) = Hminf *0(?/)- По
предыдущим рассуждениям, существуют такие /с=/' и q'<^Qy
что Mm q\ = q' и <7'e=^(Q). Следовательно,
х0 {q) < *о (qf) = Km x0 (q]) — lim inf x0 {q'j).
/<=/ /
Это означает, что {qt q, ...) —минимизирующее приближенное
Q-управление.
IX. 1.2. Теорема. Пусть q — минимизирующее Q-решение,
Q — выпуклое подмножество некоторого векторного
пространства, Р — компактное метрическое пространство, х2 (?)(•) ^
е С (Я, Rw) {q ^ Q), 4 (р) — выпуклое множество, А (р)° ф 0
для все* р^Р и
С(л°) = {(р, a)G=PXRW2la^(p)0}
— открытое подмножество из Р X Rm • £олее того, предположим,
что для каждого {q0, ..., ^JeQ'"4*1 функция
в^('+§в/(?/""?))(,,: <TW+I-*RXRWXC(P, Rm0
непрерывна в некоторой окрестности нуля и имеет производную
в точке 0. Тогда существуют такие /0^0, ^ е Rm, coefrm+ (Р),
U<=L'(>,25(P), <о, Rm0, «го
|в(р)|-1 (реР), /о +1 Л i + со (Р) > 0; (1)
/оД*о(<7; <7 — 9) + /i • Dxx (q\ q — q) +
+ \&{p)- D^2 (9, p; 9 - q) со (dp) > 0 (f€ Q); (2)
й (P) • *2 (?, P) == Max б(р)-а (3)
для (0-почти всех р^Р.
Доказательство. Положим в теореме V. 2.3 <^/=R°= {0}
(следовательно, F (у, <т, 6) = 0 для всех (г/, а, 6) е= <УХ^ХВ)
Ж2 = С(Р9 Rm), С2 = {се^|с(р)еЛ(р)(РЕР)}, B = Q и
&(#, <*, &) = *(&) (b-=q<=Q). Далее, из определения
сходимости в пространстве С(Р, Rm) и определения производной по
направлению следует, что Dx2 (q; q — q) (p) (т. е. значение
производной Dx2{q\ q — q)( • ) в точке р) равно значению
°i*2(<7, р\ Q — q)' Наше утверждение теперь непосредственно
вытекает из теорем V. 2.3 и V. 2.5. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь минимаксные задачи управления, в
которых х0 (?) = sup xQ (qt Р) (q е= Q).
16* 483

IX. 1.3. Теорема. Пусть q — минимизирующее Q-решение,
Q — выпуклое подмножество некоторого векторного
пространства, Р — компактное метрическое пространство х0 (q) (• )еС (Р)
и х2 (?) (•) е С (Р, Rm2) (?eQ), А {р) — выпуклое множество и
А (р)0ф 0 для всех р(=Р, a G (/Г)={(р, a) gePXR™21 as=A (р)0}-
открытое подмножество из Р X Rm2- £олее того, пг/сгб
*0(<7) = sup*o07, Р) (?eQ),
* (?) (р) = (*о (<7, р), *i (?), *2 (<7, р)) to s Q. р ^ Р).
Предположим, что для каждого {q0, ..., qm)^Qm*1 функция
Q^i(g+tQ'(4t-ii))(-Y- ^m+i->C(P)XRmXc(p, Rm0
непрерывна в некоторой окрестности нуля и имеет производную
в нуле. Тогда существуют такие l{ е Rm, со е frm+ (Р),
, 5gL'(p, Zb(P), со, Rm0,
5°eL'(P, 2Б(Р), со),
1) й° (p) ^ 0 ®-почти всюду, б° (р) + | й (р) | = 1 (й-почти
всюду, | /| | + со (Р) > 0, б° (р) = 0 (ь-почти всюду в множестве
{pe=P\x0(q, p)<sup*0(9, ^Р)};
2) /, • D^ (</; q - ?) + J [3° (p) D^0 (<?, p; q-lf) +
+ & (p) • D^ (?, p; ? - ?)] со (dp) > 0 (?g Q);
3) © (p) • jc2 (?, p) = Max S (p) • a
a<=A{p)
для (й-почти всех p e P.
д
Доказательство. Пусть Q' = QXR,
M<7') = <7o, M?')=*i(<7),
62 fo'. P) = (*o(<7, P)-<7o, *г(<7, P» fa' = (<7, <7o)^Q'; psP],
Л'(р) = (-<*>, 0]ХЛ(р) (peP).
Если заменим Q, m2, А и x на Q', m2+l, А и g,
соответственно, то новая конфликтная задача управления заключается
в нахождении точки q' е Q', минимизирующей функцию qQ на
множестве
a (Q') = {<?' е Q'1 Б, (?') = 0, |2 (</') е= A'ip) (р е= Р)} =
={(?,• ?o)^QXRI^(?)=o, х0(?, рХ^о, *2(<7,р)еЛ(р)(ре=Р)}.
Ясно, что q'=(q, q0) — минимизирующее Q'-управление тогда
и только тогда, когда <7o = suP*o (<7> Р) и Q минимизируют
484

величину supjc0(<7, Р) на множестве si (Q) = {q^Q\ xx(q) =0,
х (л п) е А (р) (р s Р)}. Так как новая задача удовлетворяет
у2счовиям теоремы IX. 1.2, то существуют такие /0>0, А е= Rm,
a>efrm+(P) и ffi' = (fi* ..., &^)eV(P9 ЪВ{Р), со, Rm2+1)>
что | © (р) | = Г(р 6Р), /о +11ХI + со (Р) > 0, (4)
+ J ©' (р) • r>i&2 (<Г, р; ?' - ?') © №р) > о (?' G Q'), (5)
fi'(p)-62W', р) = Мах ©'(р)-а' (6)
для ©-почти всех реР. Пусть теперь
йо = й'°, © = (©'*, ..., б"Ч
Если положим ^ = (q, q0) в условии (5), то получим
[/о - J *° (р) © (dp)] (9о - <7о) > 0 (9о € R).
Следовательно,
/0=5©o(p)©(dp). (7)
Условие (6) дает соотношение 3) и
й°(р)(*о(?, Р)-?о) = Мах ©°(р)-а
ое(-оо, 01
для ©-почти всех реР.
Из этого последнего соотношения следует, в свою очередь,
что ©°(р)>0 ©-почти всюду и ©°(р)=0 ©-почти всюду
в {ре=Р|х0(<7, p)<?o = supx0(<7, />)}. Тогда, по условиям (4)
и (7), имеем
|в'(р)|-ЛР(р) + |*(р)1=1
©-почти всюду, |/1| + ©(Р)>0. Таким образом утверждение 1)
справедливо.
Наконец, положим ?0 = <7о в условии [5) и получим
утверждение 2). Теорема полностью доказана.
Рассмотрим теперь минимизирующие приближенные и
обычные управления. В теореме IX. 1.4 рассмотрены
минимизирующие приближенные ^-управления, а в теореме IX. 1.5 даны
строгие необходимые условия обычного минимума.
IX. 1.4. Теорема. Пусть В — секвенциально компактное
множество, Q = 9* X #, Р — компактное метрическое
пространство, А (р) — замкнутое множество для всех р^Ру а функция
q-+x{q)(-) является элементом пространства C(Q, R X R'" X
ХС(Р, Rm)). Если q = (o, b) — минимизирующее Q-управле-
ние9 a °U — допустимое подмножество из Ж*, то существует
485

последовательность (ut) в °U, сходящаяся к <т, и для любой
такой последовательности (ну) последовательность ((w/t В))
является минимизирующим приближенным <U-управлением, и
limx(uh Ь)(.) = х(д9 б)(.) в RXRmXC(P, Rm2>
Доказательство. По теореме IV. 3.10, существует
последовательность (и/) в °Ы, сходящаяся к д. Так как функция
q-*x(q)(*) непрерывна,
limx(uh В)(.) = х(д, б)(.) в RXRmXC(p, Rw0.
Так как хх /д, В) = 0 и х2 (а, В) е С2, то последовательность
({uh В)) является приближенным ^-управлением. Предположим
теперь от противного, что существует такое приближенное
^-управление ((й/, &/)), что lim inf xQ (uh bj) <х0(д, В). Так как
пространство £^Х£ секвенциально компактно, мы можем
считать (выбирая подпоследовательность, если это необходимо), что
существует такое (5, В) е <?* X В, что lim (й;, bf) = (а, В).
Следовательно, Нтдс(йЛ Bf)=x(d, В). Так как множество
/
C2 = {c^C(P,Rm>)\c(p)t=A(p) (ре=Р)}
замкнуто, то х{(д, В) = 0 и х2(д, J)gC2, Отсюда следует, что
(a, B)e=st(Q) и
*о (5, ft) = lim х0 (й7, &7) < х0 (а, б).
А это противоречит условию теоремы о том, что (а, В) —
минимизирующее Q-управление.
IX. 1.5. Теорема. Пусть °Ы — допустимое подмножество
из 3th, (й, В) — минимизирующее °U X В-управление, Р — кол<-
пактное метрическое пространство, х2(а, 6)(«)^^(Л Rm*)
[(а, 6) е ^ X В], Л р) — выпуклое множество и А (р)° Ф 0
для всех peiPf a G{A°) = [(p9 а)Е=РХЪт2\а<=А(Р)0}
-открытое подмножество из Р X Rm;- 2>олее того, предположим, что
для каждого ((сг0, Ь0), • • •, (<*т, О) G (^ X fi) функция
(а, 6)->*(о, &+ £ 9'(&, - 6)):^X^"m+i->RXRmXC(P,Rm0
непрерывна, а функция
0->х й+Ее^ау-й), & +
\ /-0
т \
+ £е'(&,-&)): ^m+l->RXRmXC(P, Rm0
/-0 /
486

имеет производную в нуле. Тогда существуют такие l6^Q,
I eRm, coefrm+CP) и <л-интегрирувмая функция а: Р-+Ц.т\что
|й(р)|=1 (ре Я), /0 + |/il + <o(P)>0, (1)
£lt-Dxo№, b); (а, ft)-(б, 5)) +
t
+ Jfi (Р) • #i*2 ((й. *), р; (а, 6) - (й, ft)) <о (dp)>0 (ае^; fteB), (2)
S (р) • *2 (й, &, р) = Max б (р) • а (3)
для (л-почти всех р^Р.
Доказательство следует из теоремы V. 3.3 при <y = RQ,
%2=С (Р, Rm')> C2={cs=9S21 с (р)еЛ (р) (реР)}, g (у, а, 6)= *(а, ft).
Наконец, рассмотрим слабые необходимые условия обычного
минимума. Эти слабые условия применимы во многих случаях,
когда функция {а, 8)->*( a, ft + Z q/ (*/ — *)) не является
непрерывной, и потому теорема IX. 1.5 неприменима (и даже
неверна, как будет показано ниже в контрпримере IX. 2.2).
IX. 1.6. Теорема. Пусть (р, ft) — минимизирующее 92* X В-
управление, Р—компактное метрическое пространство, х2 (р, ft) (• )е
е С (Р, Rm2) [(р, 6) е ^ X В)]9 А (р) — выпуклое множество и
А (р)о ф 0 для всех ре=Р, aG (Л°)={(р, a)G=PXRm'1 ^Л (р)0}-
открытое подмножество из Р X Rm'« Более того, пусть
М—-одновременно подмножество некоторого векторного пространства и
некоторого топологического пространства, MP: Т->&*'(М),
феС(Л1, /?), ЛГ* — семейство ^-измеримых однозначных ветвей
из отображения MP, v е Ж* и
*(v, ft) = x(q>°v, ft) \у<=Л*\ ftefi).
Предположим, что
1) множество MP(t) выпукло и <p(Af (/)) = /?*(/) для \х-почти
всех t е Т;
2) р = фо<у;
3) Зля каждого K = ((v0, b0), . . ., (vm, ftm))e (^ XB)m+1
<Р*/«яция
л / m
V /-o
m ч
ft+Ze^fty-ftjJ-.^+^RxrxcCp, Rm0
непрерывна и имеет производную в нуле.
487

Тогда существуют такие /„ > О, /,е Rw, о <= frm+ (Р) и
^■интегрируемая функция ё: P-+Rm\ что
|©(р)|=1 (реР), /о+ |/,1 + <о (/>)>(); (4)
Zh-DttHv, В); (v,6)-(v, &)) +
+ $©(p)-Di*2((v, 6),p;(v,6)~(v, 5))©(dp)>0(veur*;6eB); (5)
© (p) • -«2 (v, 6) = Max &(p)-a (6)
для (й-почти всех pGP.
Доказател ьство. Эта теорема непосредственно следует
из теорем V.5.1 и V. 2.5 при <V = R°, ^2 = с(Р, Rm2), С2 =
= {се%2\с(р)<=А(р) (р<=Р)} и gQ/, р, 6)=х(р, 6).
IX. 2. Конфликтные задачи управления, описываемые
функциональными уравнениями. Аддитивно распадающиеся
конфликтные управления. Контрпример
В примере IX. О показано, как функция х — (х0, хи х2)>
определяющая конфликтную задачу управления, возникает из
функционального уравнения. Рассмотрим теперь общий класс
конфликтных задач управления, описываемых функциональными
уравнениями, и определим их следующим образом. Пусть 4/{
и ^ — банаховы пространства, Q=^Xfi, Р —заданное
множество, a G: VxXQ^Vu F: <УХ<2ХР~>У, (go, gi):
<ViXQ-*RXRm и g2: <yXQXP-*Rm'- заданные функции.
Если для каждого (q, p)^QXP уравнения
y\ = G(yl9 q) в ух и y = F (у, q, р) в Щ
имеют единственные решения ух (q) и у {q, p)t соответственно,
то положим
Xi{q) = gi(yiiq), q) (* =0, 1),
xo{q, p) = g2(y{q, p\ q, p)<
Для того чтобы применить результаты параграфа IX. 1
к такой задаче, мы должны исследовать условия,
гарантирующие свойства непрерывности и «дифференцируемое™ по
направлению» для функций (дг0, х{) и х2. Это, в свою очередь, зависит
от свойств функций G, go, g\ и F, g2* Что касается.функций
(*о, *i)i Для которых функции G, go, g{ имеют вид,
рассмотренный в главах VI —VIII в различных
функционально-интегральных уравнениях, то функции х0 и х{ непрерывны и имеют
производные по направлению при довольно общих
предположениях. С функцией *2, зависящей от обоих управлений q и р,
дело обстоит гораздо сложнее. Данный ниже контрпример
488

IX. 2.2 показывает, что функция х2 не является непрерывной
на (ЭХЛ гДе /*—множество управлений противника, даже
для очень простых и гладких случаев. С другой стороны,
обычно х2 (•,/>) и х2 (q, •) непрерывны для всех (q, p)s=QXP.
Например, они непрерывны, когда множества Rp и Rp
удовлетворяют условиям, накладываемым на R и R*, множества Sip
и 9>% определены так же, как и!% 9^9 ВР — заданное
метрическое пространство управляющих параметров противника,
p = ^Xfip» *2(<7, Р)—решение у (q, р) уравнения y=F{y,q9p),
a F — функционально-интегральное преобразование
F{y, о, Ь, я, bP){t) =
= J I* (Л) J f (/, т, | (у) (т), г, 6, />, М о (т) (dr) X я (т) (Л>),
где (а, 6) е Q, (я, 6Р) gP, а функции / и £ удовлетворяют
условиям из глав VI — VIII.
Назовем управления q и р аддитивно распадающимися в
отображении /\ если
F(y, q, p)=Fx(y, q) + F2(y9 p) (уе^; ?gQ; PgP)
для некоторых функций F{\ °yXQ-*V и F2: ЩХР-+Щ.
В то время, как контрпример IX. 2.2 показывает, что
отображение F: У XQXP-^y не является в общем случае
секвенциально непрерывным, из предыдущих трех глав следует, что
функции Fx и F2 секвенциально непрерывны при довольно
общих условиях. При этих условиях отображение F также
секвенциально непрерывно, если управления q и р аддитивно
распадаются в F. Более того, ниже мы покажем, что решение
y(q> Р) уравнения y = F(y, qy р) является секвенциально
непрерывной функцией управлений (q, р), если отображение F
секвенциально непрерывно.
IX. 2.1. Л е м м а. Пусть °У — банахово пространство, Q и
Р — топологические пространства и отображение F: УХОУ^Р-^Щ
секвенциально непрерывно. Предположим, что уравнение у =
= ^(#, qy р) имеет единственное решение y(q, р) в °Ц для всех
{q, р) е Q X Р и множество yiQXP) условно компактно в О/.
Тогда отображение р (•, • )* Q X ^ -* ^ секвенциально непрерывно.
Доказательство. Предположим противное, т.е. что
отображение #(•, •) не является секвенциально непрерывным
в некоторой точке (q9 р) eQXP. Тогда существует такая
последовательность ({qh pj)) в QXP, сходящаяся к {q, р), и
такое е > 0, что
I0W, P)-Sblt, P/)l>e (/sN). (1)
Мы^ можем считать, что существуем такое уе^(, что
limy(qh pf)=y (иначе заменим ((<7/, Р/)) на соответствующую
489

подпоследовательность). Отсюда следует, что
y = limy(qh р,) = lim F (у {qh pf), qh Pj) = F{y, q9 р).
Так как уравнение y = F(y, q, р) имеет единственное решение,
то y{q, p)=y = \im(qf, pf). А это противоречит условию (1).
IX. 2.2. Контрпример. Определим очень простую
конфликтную задачу управления, для которой функция х2(-, •) не
является непрерывной. Эта задача удовлетворяет условиям
теорем IX. 1.1 и IX. 1.2 и обладает поэтому минимизирующим
9^ X В-управлением, которое удовлетворяет необходимым
условиям из теоремы IX. 1.2. Однако эффект, полученный при этом
минимизирующем ф* X В-управлении, не может быть достигнут
никакими обычными управлениями. Более того, эта задача
имеет также минимизирующие °U X В-управление, которое
удовлетворяет слабым необходимым условиям теоремы IX. 1.6, но
не удовлетворяет «сильным» утверждениям теоремы IX. 1.5.
Пусть
Г = [0, 1], /?p = /? = {r = (r\ r2)eR2|r.r = (rI)2 + (r2)2=l},
«*(<) = * (/еД В = [-2, 2]2, Q = 0*XB,
Р=д>*Р=9>* = 9>у Л = (-оо, 0],
*о(<7) = *о(сг, Ъ\ *») = *',
Xl{q) = xx(at b\ б2)^*2,
i
Ч (q, Р) = *2 {о, b\b\n)=\dt \ а • р<т (0 (da) X * (*) Ш - Ь1
О RXRp
[q = (o, b\ 62)eQ; р = пе=9>1).
(Ясно, что функция х2 является расширением функции
(р, Ь\ b\ рР)-+ J р (0 • рР (t) dt-V: Я* х В X Я*-R
О
на пространство 9* X В X ^- Рассмотрим задачу минимизации
функции jc0 на множестве
*(Q) = {(*. б1, ft2)e$*XBUi(0, ft1, 62) =
= 62 = 0, *2(cr, ft1, б2, я)е=Л (пе/Ц,
Очевидно, что эта задача удовлетворяет условиям теорем
IX. 1.1 и IX. 1.2.
Минимизирующие обобщенные управления.
Эта задача имеет бесконечное число минимизирующих Q-управ-
лений. Мы можем построить их следующим образом. Пусть
490

р — произвольный элемент из &*9 т. е. измеримая функция из
[О, 1] в /?, и пусть а определяется условием
3 W «Р (*)}) - * (0 ({- Р (0}) = у (/«71).
Нетрудно проверить, что (а, 0, 0) — минимизирующее Q-управ-
ление. Действительно, легко видеть, что (а, 0, 0) е ^ (Q). Пусть
теперь <7 = (or, б1, tf)asi>(Q). Тогда л:,(9) = 62 = 0 и
х2 (a, ft1, б2, я) = J d/ J а • ра (/) (da) X я (0 (<*Р) - ft1 < 0 (л € 9*).
о
Если положим jx = or и s(t)=\ao(t)(da)9 то из этого
соотношения, по теореме Фубини I. 4.45, получим
1
J Л J а • [J ря (0 (dp)] a (t) (da) - b{ =
о
i i
= $ Л J a • s (t) a (t) (da) — bl = \s{t)*s (t) dt-b1*^ 0.
о о
l
Следовательно, bl > \ s(t) • s(t)dt^*0. Так как (a, 0, 0)e^(Q)
о
и x0(ay b\ &2) = bl, то (a, 0, 0) является минимизирующим
Q-управлением.
Покажем теперь, что 6^1 для любого (р, Ь\ Ь2)^££(&*ХВ).
Действительно, мы имеем
х2 (р, Ь\ Ъ\ я) = \ dt $ р (t) • ря (/) (dp) - bl < 0 (я €= ^)
Q
и для я (/) = р (t) (t s Г) это даст нам
1 1
$ р (t) • р (*) dt - б1 = $ Л - б1 = 1 - Ь[ < 0.
о о
Это означает, что при помощи минимизирующих приближенных
^-управлений нельзя достичь значения функционала
качества, которое мы получим при управлении (а, 0, 0).
Функция х2. Приведенные рассуждения показывают также,
что функция х2 не является непрерывной. Действительно, пусть
(ру) — последовательность в Я*9 сходящаяся к а. Тогда
*2(сг, Ь\ Ъ\ в)--*1 [(б1, ft2)ев],
но
*2 (Р/, Ь\ Ь\ Р/) = 1 - Ь1 [/ е N; (Ь\ Ь») е= В].
491

Минимизир у ю щ и е 9№ X В-у правления. Пусть р —
произвольная измеримая функция из Т в /?. Покажем, что
(р, 1, 0) представляет собой минимизирующее &J* X В-управле-
ние. Действительно, из теоремы 1.6.14 следует, что
Jpn(f)(dp)e=co(/?) (яе^; /еГ). (1)
Нетрудно показать, что |г,-г2К1 [(гь г2)е/?] и
со(/?) = {г = (г\ г2) е R2l(r')2 + И2< 1} = {уг| Y е [0, 1], г € /?}.
Таким образом, |а • J ря(*)(<*Р)|<1 (ns?*; / е= Г; ае=#).
Поэтому
*2(р, 1, 0, я)-$Л$р(/)-М*)(#)-1<0, ИП
о
Это означает, что (р, 1, 0)е^(^ХВ)и аг0(р, 1, 0)= 1. С
другой стороны, пусть (р, Ь\ J2)e^(^XB). Тогда
*2(Р, Ь\ b*,9)=\9{t)-p(t)dt-b1 = l-bl^0.
о
Отсюда следует, что *0(р, Ь\ b2) = bl^l. Таким образом,
(р, 1, 0) — минимизирующее Ж* X В-управление.
Сильные условия. Покажем, что утверждения
теоремы IX. 1.5 нарушаются для любого допустимого
подмножества <U из 9№. Действительно, пусть ^/ — допустимое
подмножество из 3& и и е <U. Тогда, как мы только что показали,
(й, 1, 0) является минимизирующим № X В-управлением, а
следовательно, и минимизирующим °и X В-управлением. Если бы
теорема IX. 1.5 была справедлива, то существовали бы такие
/0>0, HR, (o€=frm+(^) и йе^^Е^ПЧ
удовлетворяющие условиям IX. 1.5(1) —IX. 1.5(3), что А (я) = (—00, 0]
(яе=0^). Положим q = (ut 1, 0), q = (o, b\ ft2) и обозначим
через ba(t) меру Дирака в точке u{t). Тогда мы имеем
Dx0{q; q-q) = bl-l, (2)
Dx{(q;q-q) = b\ (3)
Dix2{qt я; ? — q) =
l
= J Л J я (0 (dp) 5 а • р (а (0 - бд (0) (Ж) - (б1 - 1). (4)
О
Из условия IX. 1.5(3) следует, что
5 (я) х2 (?, я) = Max б (я) а
492

для ©-почти всех jx е <?*. Следовательно, S(jx)^0 со-почти"всюду
и &{n)x2{q, я) = 0 (о-почти всюду. Так как, по условию IX. 1.5(1),
| й (я) | = б (я) = 1, то
1
*2(Я, я)=$Л$й(0'ря(0(#)-1=0
о*
для со-почти всех п е <?*. Нетрудно4 показать, что это
соотношение выполняется, только если n(t) = 6a(t) почти всюду. Это
означает, что со сконцентрирована в точке {6Й}.
Учитывая это обстоятельство, применим соотношение IX. 1.5 (2)
и получим, по условиям (2) — (4),
[/о-о)({бй})](61-1) + /162 +
« 1
+ со ({б*}) 5 dt 5 а • й (t) (а (t) - 6* (*)) (da) > 0 (5)
о
(а е= <?*; Ъ\ Ь2 е» [-2, 2]).
Отсюда следует, что /,=0 и /о = со({6ц}). ГкГусловию IX. 1.5(1),
имеем /0 +1 h I + со ({бй}) > 0. Следовательно, /0 = со {{6й}) > 0.
Полагая sa(0= \ aa(/)(da), получим из сооотношения (5)
1
\dt\a-u(t)(o(t)-6u(t))(da) =
о
1
= S й(0 • sa(t)dt- 1 >0 (a <= ^). (6)
о
Если выберем такое а, что
o(t)({u(t)}) = o(t)({-u(t)})=l/2 (teT)9
то, по условию (6), — 1 ]> 0. Таким образом, мы пришли к
противоречию. Следовательно, (й, 1, 0) не удовлетворяет теореме
IX. 1.5.
Слабые условия. Мы показали, что для любой
измеримой функции р: T->R точка (р, 1, 0) является
минимизирующим ^ X ^-управлением. Покажем теперь, что (р, 1, 0)
удовлетворяет слабым условиям теоремы IX. 1.6. Действительно,
обозначим через П число 3,1415 ... (чтобы отличить от упра-
Д А
влений противника) и положим М=[0, 2П], Л1^ (/) = М (/еД
ф[ (т) =■ (cos т, sin т) (т е М).
Обозначим через Л* множество измеримых функций из Т в М.
493

Пусть
*<(v, Ь\ Ь*)±Ь1 (v <= Ж\ (b\ ^еВ = [-2, 2]2, / = 0, 1),
*г (v, б1, Ь\ я) = J Л \ [р1 cos (v (0) + Р2 sin (v (/))] я (0 (dp) - 6'
0 Rp
[v е= л?*; (b\ b2) еВ;яе^*].
Тогда ф=<р|(0, 2П) — гомеоморфизм из (0, 2П) в /?\{(1, 0)},
а функция v: Т->М, определенная условиями
v(t) = <t-l(?V)), если р (0^(1,0),
v(*) = 0, если р(0 = (1,0),
измерима. Нетрудно проверить, что условия теоремы IX. 1.6
выполнены, и
Z)*o((v, 1, 0); (v, Ь\ b*)-(v, 1, 0)) = &'- 1,
DjM(v, 1,0); (v, Ъ\ &2)-(v, 1,0)) = б2,
D,*2((*. 1,0), я; (v, b\ 6s)-(v, 1,0)) =
1
= J Л J [-* р1 sin (v (0) + Р2 cos (V (<))] (v (/) - V (/)) я (t) (dp) -
0 Rp
-(ft'-l).
Утверждения теоремы IX. 1.6 справедливы, если мера со
сконцентрирована в точке бр, <5(я)=1 (яе<?^), /0 = оз (6р) и ^ = 0,
и дают тривиальное соотношение
Z/|Dii((vtll0);(vfftIf62)-(vflf0)) +
/-о
+ J & {n)TDx*2{(v9 1, 0), я; (v, Ь\ б2)- (v, 1, 0)) со(<*я) = 0>0
[v е JT*; (б1, Ь2) € В].
IX. 2.3. Физическая интерпретация конфликтной задачи
управления. Контрпример IX. 2.2 показывает, что в конфликтной
задаче управления при помощи минимизирующего
приближенного ^-управления можно получить существенно иные
результаты, чем при помощи минимизирующего обобщенного
управления, определенного в данной главе. Так как задачи
оптимального управления являются математическими моделями
физических задач, то естественно рассмотреть природу
физических условий, которые возникают в приведенных ниже
задачах I и II. Первая задача заключается в нахождении
минимизирующего приближенного ^/-управления, а вторая —в
нахождении минимизирующего обобщенного управления.
494

Для этого рассмотрим минимаксную задачу вида,
представленного в примере IX. 2.2. Предположим, что заданы множества
gi* и д>ь управляющих функций «союзника», определенных на
некотором интервале Т действительной оси, допустимое
подмножество °U из 0№, множества Щ> и Ф*? управляющих функций
«противника» с аргументами из интервала Т, допустимое
подмножество <Up из Щ> и такая функция х0: У* X 9% -> R, что
функции J?0(e, огр) и х0(о, •) непрерывны для всех ае^ и
ор е б*^. Положим
х0 (о) = sup {*0 (<т, стр) | ар е ^} (а <= 0*),
и рассмотрим
a) задачу I определения такой последовательности {uj) в °Uy
что lim х0 (иА = inf *0 (<U);
f
b) задачу II минимизации функции х0 на множестве 9*.
С физической точки зрения обе эти задачи можно назвать
«игрой», в которой мы выбираем управляющую функцию
«союзника» таким образом, чтобы наш «противник» мог узнать наш
выбор перед тем, как сделать свой собственный выбор
управления. Управляющие функции «союзника» и выбираются из
множества <Uy а управляющие функции противника иР — из
множества <2/Р. Задача I возникает, если инструменты противника
позволяют определить наш выбор управления и с достаточной
точностью. Действительно, так как функция х0(и, •) непрерывна
на Рр, а множество <Up всюду плотно в 9%, то наш
противник может выбрать такую управляющую функцию иР из °ЫР,
чтобы значение х0 (и, Up) аппроксимировало значение sup xQ (и, &fy
с любой степенью точности.
Другой случай возникает, если инструменты противника
дают «сглаженную» запись быстро меняющихся функций «£%
Такая запись может достаточно точно отражать распределение
значений функции и на малых подынтервалах из Г, но даже
малые несоответствия между значениями функции и и ее
аргументами / дают большие расхождения между u(t) и
записанными значениями й (t) для большинства /gT Как результат
этого, выбор противником управления иР будет основываться
на записанной функции й и его эффективность понизится.
В качестве иллюстрации рассмотрим задачу из контрпримера
IX. 2.2 при
/? = {re=R2|r.r=l}, Г = [0, 1], <U = <UP = 9l,
1
*о(и, иР)=\и(t) • иР (t)dt (и e= <U\ uP s <UP\
о
495

Для каждого выбора и соответствующее значение управления
противника иР = и дает нам
Хо {и, и) = sup х0 (и, 9>) = 1.
Пусть теперь функция и (t) определяется точкой r{ е R и
принимает значения г{ и — г{ случайным образом, быстро
меняясь и находясь в этих точках гх и — гх равное количество
времени. Тогда записанная функция 2 будет иметь такой же
характер, но с очень большой вероятностью соотношения 2 (t) = и (t)
и 2(0= — ы(0 будут выполняться одинаково часто. В
результате этого управляющая функция союзника и и соответствующая
управляющая функция противника 2 дадут нам значение
х0 (и, 2) = \ и (0 • 2 (0 dt9
о
близкое к нулю вместо единицы. Таким образом, применяя
управление и, можно получить то же значение функционала
качества, что и с помощью обобщенного управления а при
<*(0({П}) = *(0({—Л})=у почти всюду в Т.
Этот тип физических явлений, оказывается, лучше всего
моделируется задачей II. Быстро меняющиеся функции и ^cUi
изменение которых имеет случайный механизм, дают такой же
эффект, что и обобщенные управления, аппроксимируемые этими
функциями в пространстве 9У когда записывающие
возможности противника уступают нашим возможностям выбора быстро
меняющихся функций.
Методы этой главы пригодны для изучения всех задач типа
II и задач типа I, в которых конфликтные управления аддитивно
распадаются. В главе X мы обсудим соответствующие
обобщенные варианты задачи типа I, в которых конфликтные
управления не распадаются аддитивно.
IX. 3. Задача убегания
Проиллюстрируем применение некоторых наших результатов
на задаче убегания, одной из многих задач с аддитивно
распадающимися конфликтными управлениями, которые также
могут быть исследованы данными методами.
Убегающий движется в соответствии с уравнением
t
y(t) = v0+\f(y(s),p(s))ds 0е [О,*,]), О)
0
где v0^Rn и ^ >0 заданы, и в качестве управления убегания
р выбирается один из элементов множества к измеримых
функций из [0, t{] в некоторое компактное метрическое простран-
W

ство R. Группа преследователей движется в соответствии с
уравнением
t
y(t) = to+\l(y(s),p(s))ds it е [0, til). (2)
О
Каждый преследователь начинает движение из одной и той же
заданной точки v0 и каждый выбирает свое управление
преследования р е &Ру т. е. измеримую функцию из [0, t{] в
некоторое компактное метрическое пространство Rp. Предположим,
что каждое из уравнений (1) и (2) имеет единственное
решение г/(р)(•) и #(р)(0, соответственно, для любого выбора
управления убегания р и управления преследования р. Убегающий
избегает поимки до момента времени ре [0, tx], если его
управление р таково, что
А {у (Р) (О, У (Р) (0) > 0 (t& [0, р]; р s ЯР), (3)
где Л —заданная непрерывная функция и h(v0y v0)^0. Обычно
h (wu w2) = 'wx — w2); {wY — w2) — (6)2-
В этом случае условие (3) означает, что убегающий остается
на расстоянии не меньше 6 от каждого из преследователей
в течение периода времени [0, р]. Цель убегающего — выбрать
управление убегания р таким образом, чтобы избежать поимки
так долго, как только возможно, и быть пойманным только
вне заданного множества А{. Математически, убегающий хочет
максимизировать величину р среди всех значений (р, р) е 5?X
Х[0, *i], для которых
h (У (Р) W, У (Р) (0) > 0 (* е [0, р]; р ез ЛР\
»(Р)(И4
IX. 3.1. Преобразование. Ясно, что убегающий может
изменить выбор точки (р, p)e/?X[0, t{] на (р|[0, р], р), так как
значение управления р для t > р никак не влияет на
ограничения и на критерий оптимизации. Если обозначим через 0Р и
Щ> классы измеримых функций из [0, а] в R и RP,
соответственно, и положим
f/(pT) = |(r), р(рт)=и(т) (Т€=[0, 1]),
У (рт) = у\ (т), р (рт) = а (т) (Т <= [0, 1]),
то эти соотношения дают нам взаимно однозначное
соответствие между такими тройками (р, уу Р), что р е (0, /,] и
(р, г/)е=ЯРХС([0,р], Rrt),
497

и тройками
(ил, рея'хсао, п, тх(о,м,
и, аналогично, соответствие между (р, у, р) и (й, r\t Р). Если р е
е(0, У,
(р,у)^й!РХС([0,р],ГХ
(pJ)G4xC([0J],r)
удовлетворяют уравнениям (1) и (2) для /е[0, р] и
соответствуют значениям (и, g, Р) и (й, к), р), то мы имеем
т
£ W = Оо + Р \ f (6 {8), и («)) rfs (Т € [0, 1] ), (4)
о
X
Ч (т) =: 0о + р 5 f (ч (s), 2 (s)) ds (т € [0, 1]). (5)
о
Таким образом, наша задача убегания математически
эквивалентна 4задаче минимизации значения —р на множестве
{{и, Р) е Л1 X [0, <,] 11 (и) (1) е i4lf Л (Б (и) (т), л (й) (т)) > 0
(2g4;ts[0,1])},
где £(и, Р)(') и Л (2, ?)(•)-"решение уравнений (4) и (5),
соответственно.
Пусть множество &р определено так же, как и 9>, когда
Т и R заменены на [0, 1] и RP. Покажем, что при наших
предположениях функцию
Я-*Ч№, Р)(')^^С([0, 1], R"),
i
мы можем расширить для каждого р до непрерывной функции
5->л(5,Р)(-):^я->С([0, 1], R"),
определяя т] (5, Р)(«) как решение уравнения
X
Ч М =» «о + Р $ f (ч (*), в (в)) ds (s г [0, 1]).
о
Тогда условие
h (I (и, р) (т), ч (б, р) (т)) > 0 (S е Я},; р е [0, *,]; т е [0, 1])
эквивалентно условию
Л (I (и, Р) (т), п (а, р) (т)) > 0 (» е #,; р е [0, /,]; т е= [0, 1]).
498

Таким образом, даже если мы Ограничимся обычными
управлениями убегания и, задача не изменится, когда
управления преследования заменены на обобщенные управляющие
функции.
Пусть множество &1 определено так же, как и ^, с
заменой Т на [0, 1]. Мы получим обобщенный вариант задачи
убегания, определяя |(а, £)(•) для а£^'и Р^[0, t\] как и
решение !(•) уравнения
т
£(T) = fo + P$f(|(s), o(s))ds (те [0, 1])
О
и минимизируя величину — р на множестве
{(<х, р) е Г X [0, tx] 16 (а, ft) (1) € Аи h & (а, р) (т), ч (а, р) (т;) > О
(а (=<?],; те [0,1])}.
Математическая задача убегания. Дадим теперь
строгую постановку задачи убегания. Пусть R и RP —
компактные метрические пространства, Я1, 9х и Яр, 9>Р определены
выше, *,><), ne=N, v0, 0ое=1Ги/: ЦЯХЯ-*1Г, f: RnX#P~>Rrt
и Л: RnXRn^R*~заданные функции.
IX.3.2. Предположение.
1) Функции / и / имеют производные 2Dxf и 3)J9 а
функции /, f, 2DJ и 3)J непрерывны;
2) существует такое cgR, что
\f(v9r)\^c(\v\+l)9
If (о, гР)Кс(|о|+1) (re/?; г,е/?Р; 0GRn);
3) функция h имеет непрерывную производную 0А и
h (v0t 50)>0;
4) sup 3>xh (wu w2) f (wu r) + Inf 02Л (wu w2) f {w2, rP) < 0
res/? rp^Rp
для всех таких доь ai2GRn> что h(wu щ) = 0.
Пункт 4) на первый взгляд кажется странным, но он имеет
следующий физический смысл. Если в некоторый момент
времени убегающий только что пойман (т. е. функция h от
убегающего и какого-то преследователя стала равна нулю), то
пункт 4) гарантирует, что поимка сохранится непосредственно
после этого момента, так как преследователь может развить
большую скорость. Пункт 4) из предположения IX. 3.2
используется только при выводе необходимых условий. Эти
необходимые условия могут быть выведены из теорем IX. 1.2 и IX. 1.5
и без предположения IX. 3.2(4), но с этим предположением
они становятся гораздо проще.
499

IX. 3.3. Лемма. Пусть предположения IX. 3.2(1) и IX. 3.2 (2)
выполнены. Тогда каждое из уравнений
X
&(t)=i>o + P$MI(s), a(s))ds (те|0, 1]), (1)
О
х
r\(T) = v0 + t\f(i\(s),6(s))ds (те[0,1]) (2)
О
имеет единственное решение £(а, Р)(*)> соответственно, г\ (а, Р)(0
для каждого р е [О, /J, as?'1 и д^&р и функции
(а, Р)->К<т, Р)(-):*"Х[0, /,]->С([0, 1],Г),
(5, Р)-л(*, Р)(-):^рХ[0, /,]->С([0, 1], R»)
непрерывны.
Доказательство. Пусть р е [О, Л], aG^1 и Sg^
зафиксированы. По предположениям IX. 3.2(1) и IX. 3.2 (2) и
теореме II. 4.3, существуют решения | и г\ уравнений (1) и (2).
По неравенству Гронулола II. 4.4, существует такое с, е R,
что |£(T)l^ci и I'nWI^^i (те1°, J1) и ci не зависит от
выбора р, а и д. Так как функции f, f, 2)J и ^5,f непрерывны,
то их значения ограничены по норме некоторым числом с2 на
компактных множествах SF{0, c^XR и SF(0t c{)XRp,
соответственно. По теореме о среднем II. 3.6, имеем
\f(vl9 o{s)) — f(v2i a(s))|<c2|i>, —1>2|
(se[0,l]i vuv2<==SF(0t Cl)9 a €=*"), ()
iffai, *(*)) —F(t>2, 9(s))|<c2!»i —tF2l
(s € [0,1]; «f1p os <= SF (0, *,), a € 0>j>).
Таким образом, из теоремы II. 4.5 следует, что каждое из
уравнений (1) и (2) имеет единственное решение, которое
обозначим через £(<т, Р)(-) и v\{o, Р)(*), соответственно.
Пусть теперь (ah р,) — последовательность в 9х X [0, tx]9
сходящаяся к (a, Р), и пусть
1=6(*. Р), 6/=6(*/, Р/) (/eN).
Если последовательность (£/) не сходится к |, то существуют
такие /с (1, 2, ...) и е > 0, что
lt-6/U>« «еу)- <5>
Так как ||/(т)|^с2^ почти всюду в [0,1] (в силу условия
| / {If (т), а (т)) К с2), то последовательность (|;) ограничена и
равномерно непрерывна. По теореме Асколи 1.5.4, существуют
500

такие /,<=/ и &> ^ С{ [О, 1], Rft), что lim 11, —10 lsup = 0. Из
теоремы IV. 2.9 следует, что для каждого т е [0, 1] имеем
т
|0 (т) = lim |/ (т) = t>0 + Hm р, \ f ft, (s), a, (s)) ds =
T
0
Это означает, что |0 = g(5, p)=t и противоречит условию (5).
Таким образом, функция
К Р)-*6(а, Р): ^ХЮ, /,]-С([0, 1], Г)
непрерывна. Аналогичные рассуждения применимы к функции
(а, р)-*л(сг, Р).
IX. 3.4. Определение. Лемма IX. 3.3 гарантирует, в
частности, что множество {Ца, p)(-)|ae^?I, р е [0, /j]} ограничено
в С([0, 1], R") (будучи образом компактного множества S^XIO, t{]
при непрерывном отображении). Поэтому
11(ст, Р)(т)КС| (а 6 0"; р € [О, *,]; т е [0, 1])
для некоторого с{ < оо. Пусть теперь
Л=[0,оо), Д= [0,^X4, Р=^х[0, 1]
и для каждого ае^71, 6==(р, а^ е В и (а, t)sP, пусть
*о(сг, 6) = -Р, ^,(а,Ь)=|(а, Р)(1)-аь
*2(о, 6, а, т) = А(|(а, р)(т), т|(а, р)(т)).
Ясно, что при этих определениях задача убегания совпадает
с конфликтной задачей управления из пункта IX. 0.2. Так же
как и в пункте IX. 0.2, для любого 9' cz^1 обозначим через
&{9"ХВ) множество
{(a, &)€=<?'XfiUi(<T, ft) = 0f *2(а, 6, а, т)>0[(а, t)gP]},
Обозначим также через 31х семейство измеримых функций
из [0, 1] в R.
IX.3.5. Теорема. Пусть предположения IX. 3.2(1)—IX. 3.2(3)
выполнены и st> (9>{ X, В) ф 0. Тогда задача убегания допускает
такое минимизирующее 9х X В-управление (д9 р, а,) и такое
минимизирующее приближенное $}-управление ((«/, р, а^), что
limx{uh р, аь а, т)=л;(а, р, аь а, т) (1)
Б01

равномерно для 5 g ^ м т g [О, 1] и
\\m\(uh р)=|(а, р)
в С ([О, 1], R").
Доказательство. Так как 11(а, Р)(т) |^сх < оо (а е <?1;
Р е [О, /J; т е [0, 1]), то задача не изменится, если множество А{
заменить на компактное множество A[ = Ai C\SF(0, с\), а В на
В' = [0, t\] X Ал. Пусть теперь Q = 9?l X В'. По предположению
IX. 3.2(3) и лемме IX. 3.3, функция q-+х(?)(•): Q-+C(P, Rm2)
непрерывна. Из теоремы IX. 1.1 следует, что существует
минимизирующее 9х X В'-управление (а, р, at). По теореме IX. 1.4,
({uh р, dj)) является минимизирующим приближенным
^-управлением и удовлетворяет условию (1) для любой
последовательности (uj) в Я\ сходящейся к а. Соотношение (2) следует из
непрерывности функции £(•, •)> которая доказана в лемме IX. 3.3.
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь необходимые .условия.
IX.3.6. Теорема. Пусть М — либо множество 9>\ либо &\
(а, р, а{) — минимизирующее °U X В-управление задачи убегания.
Пу( гь выполнено предположение IX. 3.2 и с{ дано в
определении IX. 3.4. Положим
L=S*>(Q, cx)cRn9 К-) = Б(*,Р)(-).
fj(5)(.) = Ti(a,P)(.) (ffe*j>).
Тогда либо P = 0, либо Р = /ь либо существует такая абсолютно
непрерывная функция z: [О, 1] ->НЛ, такие v е frm+ (L) и l{ е Rn,
1) Л (I to, л (5) (т)) > 0 (те [0, 1];5g <?]>);
2) *(т)г —PzW^fgW, а(т))
/tcww всюду в [О, 1];
3) г (т)7, / (I (т), а (т)) = Min z {xf f (I (т), г)
почти ec/od# в [0, 1];
4) -мера v сосредоточена на множестве
#={л (a)(1)! 5 е^(Л(1(1),п(а)(1)) = 0}
Uil + v(A0>0;
5) z (1)Г = /[ - J 0,й (| (1), w) v {dw).
6) /Г|(1) = Мах/[а,.
602

Доказательство. Предположим, что р^О и р Ф /,.
1 Докажем сначала утверждение 1). Так как (а, р, а,) е
Л (I (т), rj (а) (т)) > О (те [0, 1]; 5 s <?}>).
Предположим теперь от противного, что существуют такие т* < 1
и 5*е^]>, что
Л(1(Ал(5*)(А=0,
и пусть г* дает минимум непрерывной функции
гР -* 02А (I (т*), л (Г) (т*)) f (fj (5*) (т*), гР): /?Р -^ R.
Положим
а*(т) = 5*(т) (теЮ.т']), 5*(т)=г; (те(т',1]).
Тогда в" «= <?]>, fj (5*) (т) = fj (а*) (т) (т s [0, т*] ) и
Л (КО, т|(а*)(т*)) = 0.
Обратимся затем к предположению IX. 3.2(4), из которого
следует существование такого а < 0, что
3>iA (I (А Л (а*) (т*)) f (I (А а (т)) +
+ 02Л (I (А Л (в*) СО) F (I (А г;) < а (те [т*. 1]).
Через de(x)/dT обозначим, как обычно, производную по т от
функции т->е(т). Так как функции |(-)э л(<**)(") и Л(», •)
непрерывны, а функции {/ (•, s) \s е rpm(/?)} и {f(-,s)|se
е rpm (RP)} равномерно непрерывны, то, по теореме II. 3.4,
существует такое А > 0, что т* + Д < 1 и
■£ ЛЙМ. Л(^)(т)) = №(1(т), Ч(8*)(т))/(|(т), в(т)) +
+ р02А (I (т), Ц (8*) (т)) f (л (б*) (т), г;) < | Ра < О
для почти всех те[т*,т* + А]. Нетрудно показать, что
функция т->А(|(т), fj(cH0(x)) абсолютно непрерывна (это следует из
теоремы II. 3.4, непрерывности функции SDh и абсолютной
непрерывности функций !(_•) и fj(a*)(.)), и из полученного
соотношения следует, что А (I (т), ij (о*) (т))< 0 (т е= (т*, т* + А]). А это
противоречит предположению о том, что (a, р, а{) <=&(<UX В).
2. Рассмотрим теперь^для произвольного ае?'1 производную
по направлению D{% (а, Р; а — а), которая является производной
I'(())(•) в точке а = 0 от функции
а-Ч(а)(.) = |(* + а(а-а), р): [О, 1]-С([0, 1], R").
503

Так как |(а) (•) — решение уравнения
I (а) (т) = t»o + Р \ f (I (а) (s), д (s)) ds +
О
X
+ <#$/(|(a)(s)f a(s)-a(s»rfs. (те[0, 1])
о
и |(0) = |, то, по теореме II. 4.11,
X
%' (0) (т) = р \ 2>xf (I (s), a (s)) Г (0) (s) ds +
О
+ P$fd(«), o(s)-d(s))ds (те [0,1]).
О
Из этого соотношения и теоремы И. 4.8 следует, что существует
такое отображение Z: [0, 1]->B(R", R"), удовлетворяющее
уравнению
1
Z (т) =/ + Р \ Z (s) фх\ (l(s), a (s)) ds (т е= [0, 1]), (7)
X
ЧТО
0!|(а, р;а-а)(т) = 1'(0)(т) =
X l
= PZ (т)-' \Z(s)f (I (s), a(s)-a (s)) rfs (t e [0, 1 ]). (8)
0
3. По лемме IX. 3.3, функции (a, p)-*g(a, p) и (a, p)-*T)(a, p)
непрерывны. В силу теоремы II. 4.11, для любых в^9*р>
сто, сг1э ..., anG^ и ро, Pi, ..., РЛ^[0, U] функции
Ь-+ъ(о + t #(*!-д)9 Р+ Е е^Ру-Р)) : <Гп+1->С([0, 1], Г),
\ /-0 /-0 /
е-*ч(<», P+Eoe/(P/--P)):^n+i«>C([0, 1], R»)
имеют производную в нуле. Таким образом, в данном случае
применимы теоремы IX. 1.2 или IX. 1.5 (в зависимости от того
равно ли °U множеству 9>] или 5Z1), и из них следует, что
существуют такие /о^О, /j е Rft, ®efrrn+(P) и со-интегрируе-
504

мая функция б: P-*R (где Р~^Х[0, 1]), что
|б(р)|=1 (реР), /о + I /, 1 + со (Р) > 0, (9)
2 /, • £>*< ((5, Р, ai); (*> P. <*i) - (а, Р, о,)) +
(-0
+ U (р)• Dtx2 ((а, р, а,), р; (а, р, а,) - (а, р, а,)) ю (dp) > 0 (10)
(а s S?1; ре [0, <,]; а, е Л,),
б (р) • *2 ((*, Р, а,), р) = Max б (р). а (11)
для со-почти всех р = (б, т)еР, Из соотношений (9) и (11)
получим
й(р) = -1, АЙ(т), Л(а)(т)) = 0 , . (12)
для со-почти всех psA В силу утверждения 1) (которое мы
доказали на первом этапе), мера со сосредоточена на множестве
Q = {(*. 1)|Л(1(1), ti(ff)(l))-0f д^9>хр).
Если положим р = Р и ах=ах в соотношении (10), то,
учитывая условие (12) и определение функции (х0у хи х2) в IX. 3.4,
получим
li-Dxl(ot Р; сг —в)(1)— $£>,А(6(*. Р)(1),
Л(а, p)(l))D,g(e, р; <r-9)(l)©(rf(c?f т))>0 (ore*"). (13)
Нетрудно показать, что множество N (определенное в
условии 4)) является образом компактного множества Q при
непрерывном отображении
(5, т)-*ч(», Р)(1): ^/>Х[0, П-R".
Отсюда следует, что множество N компактно, выражение
h (ф) = J Ф (Л № Р) (0) со(rf(5, т)) [Ф € С (#)]
определяет элемент /# пространства C{N)* и, по теореме Рисса
1.5.8, существует такое v е f rm (N)y что
Мф) = $ф(а>М*М. (Н)
Мера v положительна, так как /#(ф)>0, если <р(до)>0 (w^N).
Применяя условие (14) к соотношению (13), получим
[tf-Ja>i*d(l)f w)v(rf»)]D,6(fffP;a-a)(l)>0 (ere?'1). (15)
605

Если мы положим
z(xf^[fi - $£>,й<1(1), w)v(dw)]z(x\
то утверждения 5) и 2) следуют из условия (7). Более того, из
условий (8) и (15) вытекает
1
Р \ г (s)T f (I (5), a (s) - а (5)) ds > 0 (а <= <П (16)
о
Рассмотрим теперь всюду плотное подмножество {ги г2, ...}
из /? и выберем произвольное / е N и измеримое множество
£d[0, 1]. Обозначим через б/ меру Дирака в точке rh положим
а(5) = бу (sg£), a(s) = a(s) (se[0,1]\£)
и напомним, что Р>0. Топда условие (16) дает
\z(s)Tf(Us),6,-d(s))ds>0.
Е
Следовательно, по условию 1.4.34(7), существуют такие Г/сГ
(J е N), что мера множеств Т \ Г/ равна нулю и
г (r)T f (I (т), г7) > z (xf f (I (т), а (х)) (х s Г,).
Тогда
Мтг(т)^(1(т), r)>\z(x)Tf(i(t),r)d(x)(dr) (те=Г = f] гЛ
Отсюда непосредственно следует утверждение 3).
Остается доказать, что | /, | + v {N) > 0 и что утверждение 6)
справедливо. Если | lx | + v(A0 = 0, то из условия (14) и
определения элемента lN следует, что со (Q) = © (Р) = 0. По
условию (10), имеем
-4>(Р-Р)>0 (pe[0f tx\).
Это означает, что /0 = 0 (так как р е (0, tx))9 и противоречит
условию (9). Наконец, если мы положим а = д и р = р в
условии (10), то получим
h-Dx^io, р, 3,); (а, р, а,)-(а, р, а{)) =
= /1.(а1-а1) = /,-(|(1)-а1)>0 (а,е=Л).
Это доказывает утверждение 6).
IX. 3.7. Обсуждение. Будем использовать обозначения и
предположения теорем IX. 3.5 и IX. 3.6. Нетрудно показать, что
р = 0 тогда и только тогда, когда h(vQi v0) = 0. Поэтому
предположим, что р Ф 0 и р ф t{.
506

Оптимальные управления убегания. Возможно,
что убегающий достигнет множества Ах оптимальным образом,
не будучи пойманным, т. е. таким образом, что
Л (Id), л(б)(1))>0
для всех о ^ 9*\>- Это могло бы иметь место, если бы
убегающий был «быстрее» всех преследователей. Но его уравнение
движения (IX. 3.3(1)) таково, что JJ является наибольшим
значением Р, для которого |(а, р)(1)еЛ, при всех ае<2/.
Если мы исключим последнюю возможность, то
h (1(1), л(<*)(1)) = 0 Для некоторого а и множество N из
условия IX. 3.6 (4) непусто. Тогда мы должны рассмотреть два
качественно различных случая. Если г(1)ф О, то, по условию
IX. 3.6 (2), г{т)¥=0 (те[0, 1]) и оптимальное управление
убегания а и соответствующая траектория убегания | удовлетворяют
условию IX. 3.6(3) нетривиальным образом. Это происходит
в случае, когда наилучшее поведение убегающего состоит в том,
чтобы постоянно бежать прямо на множество Д. Во многих
случаях это довольно естественное поведение. Однако возможен
и другой вариант, соответствующий z(l) = 0. Тогда условия
IX. 3.6(5) и IX. 3.6(6) дают нам
/Г1(1) = Мах/[а„ (I)
где /f= $0>ift(i(l)f w)v(dw).
Рассмотрим, в частности, этот последний случай, когда
Л, = Rn и
h (wu w2) — {w{ — w2) • (w, — w2) — (6)2
для некоторого б> 0. Тогда из условия (I) следует, что /, =0 и
$2(I(l)-w)v(<to) = 0. (2)
Отсюда, по условию IX. 3.6 (4), v(N)>0. Условие (2) даст нам
|(l)==v(^)-1 \wv(dw).
Так как v~~l(N)v е rpm(N), то из теоремы 1.6.14 следует, что
|(1)е=со(Л0.
Проиллюстрируем сказанное следующим примером.
Предположим, что убегающий бегает пешком, а преследователи
едут на автомобилях по открытому полю с болотом посередине.
Тогда часто убегающему выгоднее зайти в болото и стоять
на кочке, чем убегать по прямой линии (нетривиальное
условие IX. 3.6.(3)) и быть пойманным на поле, где автомобили
могут развить большую скорость. Когда убегающий будет,
507

наконец, пойман (теми преследователями, которые приблизятся
к нему на расстояние 6), он будет находиться в выпуклой
оболочке, натянутой на положения указанных преследователей.
Оптимальные управления преследования.
Исключим случай, когда ни один из преследователей не поймает
убегающего. Тогда множество N непусто и разумно назвать
управление преследования сН7 оптимальным, если
a*e=Q = {a|fj(a)(l)etf}.
Оптимальные управления преследования характеризуются
условием
Л(Ю), Л (**)(!)) = О (a*eQ)
в то время, как
Л(1(1), л(в)0))>0 (5е^),
Таким образом, оптимальное управление преследования д*
минимизирует функцию h (|(1), л(1)) на множестве всех таких (т), а),
что
х
П (т) = v0 + р 5 f (л (s), a (s)) ds (т € [0, 1]).
О
(В частности, если h(wu w2) = (wx — w2) • (v»\ — 0*2) — б2, то
оптимальным преследователем является тот, кто ближе всех
подойдет к конечному положению |(1) убегающего.) Если
положение |(1) известно, эта последняя задача является довольно
простым вариантом задач, исследованных в параграфах V, 6
и VI. 2.
IX.4. Игры с нулевой суммой
и с управляющими стратегиями
Пусть S, и S2 — компактные метрические пространства
и М: Sj XS2->R—такая ограниченная функция, что
функции М( •, s2) и M(su •) непрерывны для всех s{^ S{ и s2 е S2.
В терминологии теории игр функция М называется функцией
платы (в частном случае, платежной матрицей, если оба
множества Sx и S2 конечны), а точки 5! е S, и s2 е S2
называются чистыми стратегиями игрока I и игрока II,
соответственно. Эти термины подразумевают игру, в которой каждый
из игроков независимо от другого выбирает некоторую чистую
стратегию, например 5, и s2, и тогда игрок I платит игроку II
M(sb s2) долларов. Эта игра называется игрой с нулевой суммой,
так как сумма, уплаченная обоими игроками, равна нулю. Здесь
подразумевается, что уплатить —а долларов, значит получить
а долларов.
508

Типичной игрой такого типа является игра в орла и решку,
в которой задана ставка с > 0 и
51 = 52={орел, решка}, ^(орел, решка) = 1,
М(орел, орел) = М (решка, решка) = с,
ЛЦорел, решка) = М (решка, орел) = — с.
Опыт, накопленный упорными исследователями игры в орла
и решку показывает, что не существует чистой стратегии,
приемлемой для какого-либо игрока, и что только случай решает
исход игры. Однако эта игра уже не будет делом случая, если
она повторяется многократно между одними и теми же
игроками. Если игрок I всегда выбирает орла, то игрок II может
достичь успеха, также выбирая орла и, таким образом,
обеспечивая себе победу. В более общем случае, если один из игроков
придерживается выбора одной и той же стратегии, или строит
некоторую процедуру для выбора стратегии, то другой игрок
может добиться успеха, разгадав эту процедуру. С другой
стороны, если игрок I выбирает свои стратегии случайным образом
с равной вероятностью выбора орла и решки, то за большое
количество игр он победит и проиграет приблизительно
равное количество игр и будет иметь проигрыш, приблизительно
равный нулю. Существенная черта этой процедуры —
случайный выбор стратегий, так как любая намеченная
последовательность стратегий может стать известной другому игроку.
Эти соображения приводят к мысли, что математическую
игру с нулевой суммой следует рассматривать как модель
последовательных схваток между игроком I и игроком II и что
каждому игроку следует выбирать смешанную стратегию,
которая является вероятностной мерой, заданной на
соответствующем а-поле в множествах Si и 52, соответственно. В нашем
случае естественно выбирать смешанные стратегии для игрока I
из множества rpm (St), а для игрока II — из множества rpm (S2).
Тогда, если игроки выбрали смешанные стратегии \х} и у",
то игрок I платит игроку II
f (li1, |i") = J М (s„ s2) pi (ds{) X |i" (ds2)
долларов.
По-существу это — формулировка Неймана [1] игры двух
лиц с нулевой суммой. Основное преимущество этой
формулировки состоит в том, что гарантируется существование таких
смешанных стратегий Д1 и Дп, что если игрок I выберет стра-
тег_ию_ £!> то он никогда не проиграет больше, чем величину
У(Д»ДП) (называемую ценой игры), что бы ни предпринимал
игрок II. Игрок II, выбрав стратегию Дп, гарантирует свой
выигрыш не менее v(\xl,\i^)J что бы ни предпринимал игрок I.
IX. 4.1. Теорема (Нейман и др.). Пусть S, и S2 — кдмпакт-
ные метрические пространства, и пусть М: S{XS2-+R—такая
609

ограниченная функция, что функции Af(slf •) и M(s2, •)
непрерывны для всех s{ е S, и s2 е S2. Гогда выражение
v № ,!«) = J М (s,, s>) ц1 (£fs.) X |i" (Ла)
определяет функцию v: rpm(Sx) X rpm(S2)->R, и существуют
такие Д1 е rpm (Sj) и Дп <= rpm (S2), ^го
иОУ.^Х*»1, дп)<у(^,дп)
[|iie rpm (Sx); |i« е rpm (S2)], (I)
Min Max v {\i\ [i11) = Max Min v (ji1, |x") = о (Д1, Д11). (2)
Доказательство. 1. По условию 1.5.26(3), функция
M\il X |1и-измерима для всех \i[ е rpm (SO и [i11 е rpm (S2).
Поэтому ограниченная функция М \il X ^"-интегрируема и
выражение
9 ДО, |i")= \ М (su s2) ix\(dSl) X |*« (Л,)
определяет функцию v (•, •): rpm (S^ X rpm (S2) -> R.
Пусть теперь M0 таково, что
\м(-, -)Lp<m0-i.
Следовательно,
l»K •)Lp<A«o-i.
Пусть, далее,
Q = rpm (S,) X [- Mo, М0]2, Р = S2,
Л(р) = (-оо,0] (ре/>), *ofa) = P, *i(?) = Y,
*2(<7)(р) = J M(5l, р) i*i (rfsO — р [q = ([i\ р, Y) eQ;pe Р].
Введем топологию в множестве Q, выбрав слабую топологию
нормы для пространства rpm (Si) (которое вложено в
пространство С (Si)*; см. теоремы 1.3.11 и 1.5.8). Так как Sj
(подобно множеству R) — компактное метрическое пространство,
то из теоремы IV. 1.4 следует, что rpm(Sj) (а потому и Q)
является компактным метрическим пространством и функция
q-+x2(q)(p) непрерывна для каждого рЕР. Более того, так
как функция М ограничена, a M(su •) непрерывна для
каждого Sj, то, по теореме 1.4.35, функция p-+x2(q)(p) непрерывна
для каждого q е Q.
Применяя теперь теорему IX. 1.1, придем к заключению, что
А - Д
существует точка <7 = (£!, у, Р) = (Д1, Р, 0) е Q, минимизирующая
функцию р на множестве
*(Q) = {q = №9by)&Q\xl(q)-09 x2(q)(p)<0 (р е= Р)}.
510

Более того, предположения теоремы IX. 1.2 выполнены, и мы
имеем
Dx0(q;q— 4) = Р-Р, Dxx(q\q — q)=y,
Dx2 {q; q-q){p)=\M (slt s2) (ц1 - £') (<te,) - (ft - p)
[? = (l*I,P,Y)sQ;-p = s2sSJ.
Отсюда следует, что существуют такие /0>0, /, <= R, ©е
е frm+ (52) и ©-интегрируемая функция ©: S2 -*• R, что
|©(s2)|=l (s2eS2), /о + |/,1 + «)(52)>0, (3)
[/о - \ 5 (s2) со (ds2)] (р - Р) + /,у +
+ J © (s2) © (ds2) J М (s,, s2) (ц! — Д1) (<*$,) > О
(p, y e [- Mo, M0]; |*> s rpm (S,)), (4)
5 (s2) |\ M(sb s2) Д1 (ds,) — pl = Max й (s2) a (6)
LJ J <j<o
для ©-почти всех s2 s S2. Так как p — внутренняя точка отрезка
[— Mo, М0] (потому что
р = sup \Al(s„p)A»№i). |М(., •)L,p<Afo—D.
то из условия (4), следует, что
1Х = о, ^ й (s2) © (ds2) = /0 > 0.
Таким образом, по условиям (3) и (5), 6(s2) = l ©-почти всюду,
/0 = со (S2) > 0 и
\M{sus2)v}{dsx) = $ (6)
для ©-почти всех s2 е S2.
Положим теперь £II = (o(S2)~1<o, и пусть Р = Р и y = 0
в условии (4). Тогда, по теореме Фубини I. 4.45,
Это доказывает второе неравенство в утверждении (1). С другой
стороны, так как q = {\i\ Р, 0) е= sl(Q)9 то
*2 (?) (s2) - J Af (sIt s2) p (ds{) - p < 0 (s2 €= S2).
Отсюда следует, что
\vu(ds2)\M(su s2)£«(<fci)-P-
- * (A1, A11) ~ P <0 fo" e rpm (S2)]. (7)
511

Аналогично, из соотношения (6) следует, что
Это соотношение вместе с условием (7) дает первое
неравенство в утверждении (1).
2. Выведем соотношение. (2) из (1). Обозначим через inf
и sup нижнюю грань по всем ц1 е rpm (S^ и верхнюю грань
и11
по всем \in е rpm (52), соответственно. Тогда, по условию (1)
v (Д1, Дп) < inf v (|ii, Д") < sup inf v (ц1, \iu), (8)
v (А1, Дп) ^ SUP v (А1, И*11) ^Jnf sup и (р,1, |i"). (9)
и» й1 и»
С другой стороны, для всех ji1 и р,11 мы имеем
inf о (ii1, |i»)< о (Д1, |х").
Следовательно,
sup inf v (ц1, [г11) < sup t; (Д1, |хп)
для всех Д1, и поэтому
sup inf v (ц1, |хп) < inf sup v (ц1, ji11). (10)
По доказанному в первом пункте, функция
s2 -* \ Л1 (5Ь s2) [i1 (ds,): 52 -> R
непрерывна для каждого jlx1. Отсюда следует (в силу нашего
выбора топологии для rpm (S2)), что функция
li" -+ v (ix\ |i«) = 5 |i« (ds2) 5 М (su s2) ц* (rfs,): rpm (S2) -*R
непрерывна для каждого ц1. Из тех же соображений, функция
V,l->v(\Llf\i11) непрерывна для каждого |хп. Таким образом,
inf v (ц1, |i") = Min v (ц1, [i11),
sup 0 (fi1, [A11) — Max v (|i!, ji").
цП м-11
Поэтому утверждение (2) следует из соотношений (8) — (10).
Теорема доказана.
Теорема IX. 4.1 часто называется «теоремой о минимаксе
и максимине» из-за соотношения (2). Мы можем применить
теорему IX. 4.1, в частности, когда S{ и S2 —множества
конфликтных управлений. Именно, если 5, = <?*ХВ для
некоторого компактного метрического пространства В, a S2 = ^pX^>
512

о — компактное метрическое пространство, а множество 9%
определено таким же образом, как и У, но с заменой Г, R
/^ на Тр, Rp и Rp, соответственно. Можно рассмотреть
случай когда' функция М{-, •) определяется функциональным
уравнением. Например, пусть T = TP=[t0y /,], и пусть «gN,
f- Rn X Л X В X #р X Вр -> R" и o0eRn заданы. Если
производная ^if существует и функции / и ^/ непрерывны и
ограничены, то обыкновенное дифференциальное уравнение
t
y{t) = v0+\f(y (т), а(т), Ь, аР(т), ЬР) dx {/ е= Г) -
U
имеет единственное решение р (а, 6, аР, 6Р) для каждого (а, 6) €
eS1 = /XBH(aP,MeS2 = ^Xfip. Если у = (у\ ..., Г),
то положим д
A*(slf s2) = £'(<*, &, oPl bP){tx)
[s\ = (a, b) g= Sf, s2 = (oPy bP) e= S2].
Используя соображения, приведенные в главе VI и теореме
IX. 1.3, можно доказать, что обе функции M(*,s2) и M(su •)
непрерывны. Можно привести аналогичные примеры, когда
функция М определяется функционально-интегральными
уравнениями в пространстве С (Г, R") или в Lp (Г, Rn), или условия
на .функции / и 2D\f несколько ослаблены.
Замечания
Существование и необходимые условия обобщенного минимума
для минимаксных задач, описываемых дифференциальными
уравнениями с управлениями противника в виде управляющих
параметров, были исследованы Варгой [4]. Большая часть
результатов параграфов IX. 1 и IX. 2 получена Варгой в работе [15].
Задача убегания, аналогичная задаче из параграфа IX. 3
(с той разницей, что поимка осуществляется, когда убегающий
и преследователь находятся в одной точке), была предложена
Келенджеридзе [1]. Он получил необходимые условия
обычного минимума в случае, когда движение преследователя
описывается линейным дифференциальным уравнением. Варгой [6}
Дан пример, показывающий, что эти результаты нельзя
распространить на общий случай, когда уравнение преследователя
нелинейно. Фридман [2] изучал линейные игры убегания в
банаховом пространстве. Результаты параграфа IX получены
Варгой в работе [14].
Теорию игр двух лиц с нулевой суммой основал Нейман [1].
ин доказал теорему IX. 4.1 для случая, когда S, и S2 —
конечные множества. Теорема Неймана обобщалась различными
способами и теорема IX. 4.1 является одним из таких обобщений.
17 Дж, Варга

Глава X. КОНФЛИКТНЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ
С ГИПЕРОБОБЩЕННЫМИ УПРАВЛЕНИЯМИ
ПРОТИВНИКА
X. 0. Формулировка задачи
X. 0.1. Общие замечания и эвристические рассмотрения.
В предыдущей главе мы рассмотрели задачи, содержащие
обычные конфликтные управления и определенные функциями
(*o,*i): ^XB-RXRm,
х2: <UXBXVPXBp-+Rm>t
где <U X В и <UP X Вр — множества обычных конфликтных
управлений. Мы показали, что в общем случае задачи такого типа
не нарушаются, если множество °U? обычных управляющих
функций противника заменить на большее множество 9*р
обобщенных управляющих функций противника. Более того, если
конфликтные управления распадаются аддитивно, то функцию х2
можно расширить до непрерывной функции на множестве £^Х
X В X &р X Вр и любое минимизирующее обобщенное решение
(а, В) приближенно задается последовательностью ((uh b))
обычных управляющих функций, которые стремятся к (а, Ь) в
топологии пространства У X В. С другой стороны, контрпример
IX. 2.2 продемонстрировал нам, что даже простые задачи с
нераспадающимися аддитивно конфликтными управлениями уже
не будут обладать таким «хорошим» свойством, поэтому
расширение управлений до обобщенных может привести к
совершенно другой задаче. В общем случае наш противник ничего
не выиграет, если будет пользоваться обобщенными
управлениями, но союзник может получить преимущество,
воспользовавшись обобщенными управлениями. Это становится особенно
важным, если наши попытки ввести обобщенные управления
(т. е. сгладить информацию противника о нашем управлении,
вводя быстро меняющиеся обычные управляющие функции, как
это было описано в пункте IX. 2.3) наталкиваются на высоко-
614

качественную записывающую аппаратуру противника. При
таких условиях, моделируемых задачей I из пункта IX. 2.3, мы
вынуждены вводить обобщенные управления «союзника» взамен
на предоставление такого же права нашему противнику. В этом
процессе уже невозможно предсказать исход конфликта, так
как обычные управления не имеют свойств компактности,
которыми обладают обобщенные управления, и может случиться,
что не существует минимизирующих обычных управлений
союзника (которые удовлетворяют слабым необходимым условиям
минимума).
Мы покажем, что, для того чтобы избавиться от этого
недостатка, недостаточно заменить все конфликтные управляющие
функции на обобщенные. Выход будет заключаться в
разрешении союзнику пользоваться обобщенными управлениями в обмен
на то, что противнику будут предоставляться даже ббльшие
свободы, его управляющие функции будут выбираться из еще
большего множества. Элементы этого множества управляющих
функций противника назовем «гиперобобщенными управляющими
функциями противника». Для того чтобы обосновать введение
нового понятия, рассмотрим некоторый вариант контрпримера
IX.2.2.
Пусть Г = [0, 1], # = /?p = {rsR2|rT = |r|=l},
«^-множество измеримых функций и: T-+R и <2/Р = <2/. Рассмотрим
задачу нахождения
II* |2 1
infu sup
Ши(т)<*т dt+\u(t)-tip{t)dt\,
которая эквивалентна задаче нахождения
!
х0(и, а)= \ \ u{x)dx
о | о
dt + a\u^<U9 aeR,
х2(и, uPi a) = \u{t) -uP{t)dt — a<0 (иРе%>) v.
Легко видеть, что
sup \ u{t) • uP(t) dt = [ u{t) -u{t) dt = \
«ps^ 0
для u^<U9 поэтому оптимальное значение a равно 1. Таким
образом, минимизирующая последовательность (uj) обычных
управлений союзника дает inf {х0{и, 1)|и€$1}. Такую
последовательность мы можем получить, выбирая произвольную
точку ге/?, деля отрезок [0, 1] на / равных подынтервалов
и полагая uj(t) = f и tij(t) = — ? последовательно на этих
17* 515

подынтервалах. Тогда получаем 1<х0(и/, IX/ +1.
Следовательно,
l=limx0(uh 1)= inf х0(и, 1).
Если обозначим через бг меру Дирака в точке г е /? и
расширим функцию *0(*, 1) на 9> обычным образом (т. е. за-
" t t V
меним \ и (т) dx на \d%\ га (т) (dr) ), то
оо /
HmW/ = a = ~ Ь + ±6-, в 9,
Однако так же, как и в контрпримере IX. 2.2, мы имеем
х2 (а, ар, а) = ^ Л j г • /> (-^ бг- + -g- 6-f) (dr) • аР(0 (d/>)—а= —а
о
для всех обобщенных управлений противника оР е ^р, в то
время как
х2(и, и, а) = 1 — а для «G?/,
Наш противник мог минимизировать функцию х2 (и, •, а)
на множестве ЯХР для любой обычной управляющей функции щ
выбирая иР = и и получая и {t) • ир (/) =1 (/еГ^ Когда мы
заменяем управление и на обобщенную управляющую
функцию <т, конкретная точка u(t) «размазывается в меру» и обе
функции up(t) и ее обобщенный вариант «теряют информацию»
о точном значении u{t). Для того чтобы восстановить эту утрату
преимущества, мы должны дать противнику дополнительную
свободу подстаривать свою управляющую функцию в течение
процесса. Это выражается в интегрировании по мере d(t) и
означает замену функции uP(t) на функцию из R в rpm(/?p).
Таким образом, мы заменяем обычную функцию иР: T-+RP
на «гиперобобщенную управляющую функцию противника»
я: TXR-+rpm(RP).
Это дает нам
х2 (а, я, а) = \ dt\ а (/) {dr) \ г • гРп (/, г) (drP) — а.
о
Теперь ясно, что максимум функции х2(д, •, а) достигается
на такой функции я, что
*(', г) —ft(ff r) = 6r (te=T; г е= /?).
516

Мы имеем ^
supjc2(5, я, а)=х2(а, я, а) = ^ Л J г • rd(0(tfr) — а= 1 — а.
* о
Следовательно,
supjc2(a, я, a) = lim sup* х2(щ9 uPf a),
я / up&<Up
Мы сделаем здесь предположение (а позднее и докажем его),
что «в общем случае» последовательности (иу) в 41 можно
заменить элементами а из У* при условии, что нашему
противнику предоставляется право пользоваться гиперобобщенными
управляющими функциями вместо обычных.
X. 0.2. Формулировка задачи. Пусть RP — компактное
метрическое пространство и RP: Т ->&>' (Rp) — отображение,
удовлетворяющее условию IV. 3.1 (с заменой R на RP). Обозначим
через Rp отображение t-+Rl(t): T-+0>'(Rp). Назовем 2В (TXR)-
измеримую функцию я: TXR-*(грт(/?Д I ' L)
гиперобобщенной управляющей функцией, если я (t9 г) (RP (t)) = 1 (для ц-почти
всех /еГ, ге^), Обозначим через 9* семейство всех
гиперобобщенных управляющих функций и отождествим функции щ
и я2, если щ (/, •) = я2 (t, •) \х-почти всюду. Определим
множество $р всех ^-измеримых однозначных ветвей из
отображения RP как подмножество из Р*, отождествляя каждое р е &р
с гиперобобщенной управляющей функцией яр, определенной
соотношением
яр(/, r) = euW (/еГ; re Я),
где дг — мера Дирака в точке г е RPi ар — 2-измеримая
функция, ^-эквивалентная функции р.
Предположим, что заданы множество ВР (множество
управляющих параметров противника), /neN, /n2 е {0, 1,2,...},
А с: Rm' и функции
*2: 9*XBX9l'XBp-+Hmt.
Для всех £>' с ^ положим
■*(*") = {(a, ft)E^XBU,(a, ft)-0f *2(<т, 6, я, bP) е
еД(яе^; ft е ВР)}.
влениеКУ ^~^д' ^ е «^(^0 назовем минимизирующим 9>'-упра-
^o(9) = Minxo(^(^0).
517

Назовем минимизирующее ^-управление минимизирующим
обобщенным управлением. Для любого Щ с 31* и <2/р с: $,%
последовательность ((н/, &/)) в °U X 5 назовем приближенным
<U, ^-управлением, если
Шпд^и/, 6У) = О,
lim [sup {d [х2 {uh bfi uPi bP), A] \up e <2/P, bP e fip}] =0.
Приближенное °U, <2/я-управление ((й/, bf)) назовем
минимизирующим приближенным °Uy Ф/р-управлением, если
Птлг0(й/, &y)^liminf x0(ujy bt)
I I i
для любого приближенного <U, <2/Р-управления.
X. 1. Существование минимизирующих обобщенных
и приближенных управлений
Пусть R\f) = R*(OX Rp(t) ЦеТ). Проверим, что
отображение R*: Т -> &' {R X Rp) удовлетворяет условию IV. 3.1.
Действительно, так же, как и в лемме 1.7.5, можно показать,
что отображение
jx-измеримо, и поэтому отображение R* ц-измеримо. Более того,
если множества {р,, р2, ...} с=^ и {рр1, рЯ2, ...} е Щ таковы,
что множества {р{ (0, р2 (/), ...} и {рЯ1 (0, рР2 (0, • •.} всюду
плотны в R*7 (t) и RP (/), соответственно, для ц-почти всех /еГ,
то множество {(рь рр/) (0 I /, /eN} всюду плотно в R*(t) для
ц-почти всех /еГ.
Обозначим через Ф* множество с алгебраической структурой
и со слабой топологией нормы, которое определяется точно
так же, как и множество У, но с заменой /?, У?*7 на /?Х#я, #*•
Если 5 — топологическое пространство и Is frm+ (S), то
пишем Iх (А, ЯВ) вместо V (5, 2В (S), Л, Я?) и О (Ц вместо /J (A,, R).
Тогда пространство L1^, C(R)) будет обозначаться через
L'G*. С(Л».
Основные результаты этого параграфа содержатся в
теореме X. 1.8.
X. 1.1. Лемма. Для ае^ существует такое единственное
£ е= f rm+ (Т X Я), f^o
J И (Л) J А(/, г)о(Q (tfr) =\h(ttr)l(d(/, г)) [А € L1 (0].
518

Доказательство. 1. Пусть
l(c)=\ii(dt) $с(*, r)a(t)(dr) [сеС(ГХ«].
Тогда /еС(ГХЛ и, по теореме Рисса 1.5.8, существует
такое единственное £ е f rm (Т X R), что
l(c)=\c(t,rK(d(t, г)) [с<=С(ТХЮ].
По теореме 1.5.5, £ — положительная мера, так как 1(с)^0
для всех неотрицательных с,
2. Пусть F — замкнутое подмножество из Т X R. Определим
непрерывную функцию су: Т XR-* [О, 1] (/ е N) такую, что
Ci{t, r) = J, если (/, r)GF,H с,(/, г) = 0, если d[(/, г), Р\>\Ц.
Тогда limc/(/, r) = %F(t9 г) для всех (*, г)еГХ/?, и поэтому
(по теоремам 1.4.17 и 1.4.35) функция
t~*\%F (t, г) a (t) (dr) = lim J cf (/, г) a (/) (dr)
^-измерима и (по теореме I. 4.35)
\\i(dt) \%P(t, r)o(t)(dr)=\%F(t, г)ШИ, r)) = £(F). (1)
Если G — открытое подмножество из TXR, то множество
TXR\G замкнуто и %Q(t, r)=l—%TxR^Q(t, г) для всех
(t, r)^TXR- Отсюда следует, что соотношение (1) выполнено,
когда F заменено на G.
3. Пусть множество Z ^-нульмерно. Тогда существует такое
открытое множество G/ (/ е N), что GjZdZ и lim g (Gy) == 0.
Предположим, что G/+1c=G/ для всех /. В противном случае
заменим G/+1 на G/flGy+1. Если мы положим G' = f| Gh то,
по теореме I. 4.35,
»m \ %Qi (t, г) a (t) (dr)=\ %G, (t, r) a (t) (dr) (t e T).
Отсюда, по условию (1) и теореме 1.4.35, имеем
\ »(dt) J %G, (t, г) a (t) (dr) = lim $ *i (dt) \ %0j (t, r) a (t) (dr) =
= lim£(G,) = S(G') = 0.
/
Таким образом, \%а'У> r)o(t)(dr) = 0 ц-почти всюду. Так как
*z С г) < %Q, (ty г) для всех (t, г) е Г X Л, то J Xz С г) a (0 (dr) = 0
Ц-почти всюду.
519

4. Пусть теперь Е ^-измеримое множество, и пусть FfczE
(/ е N) — такое замкнутое множество, что lim £ (Е \ Ff) = 0.
Предположим, что FI^Ff+{ для всех / (заменяя для этого Fi+]
на F/U^y+i, если это необходимо), и пусть F/= М /> Тогда
/-1
HmxF (/, r) = %F,{t, г)
для всех (t, г)еГХЛ. Поэтому функция
< -* \ Xf> С ')а С) (*0 = пут \ %Р{ (U г) а (/) (dr) (2)
ц-измерима. Так как £ (£ \ /7,)=0, то, по доказанному в пункте 3,
функция 3C£4F/(<, •) ст(/)-измерима для ц-почти всех /еГ и
%Е (*, г) о (t) (dr) = ^ %р, (/, г) а (t) (dr) ц-почти всюду.
Следовательно, по условиям (1) и (2),
$ |4 № \ %Е (/, г) о (0 (rfr) - lim С (/>/) = С (£). (3)
5. Пусть функция Ле!1 (£) неотрицательна. Тогда мы можем
определить (лемма 1.4.25) такую последовательность (Ау)
неотрицательных ^-простых функций, что последовательность
(A/ (t, r))j стремится снизу к A (t9 г) для всех (*, г) е Г X #•
Таким образом, по пункту 4 и теореме 1.4.17, функция
t -► \ h (*, г) а (t) (dr) = lim J Л/ (/, г) a (t) {dr)
[i-измерима и, по условию (3),
$ц(Л)$А(*, r)a(0(rfr)-Hm $й(^$А,(/, г) a(/)(*)-
= lim J Л/ (/, г) С (d (/, г» - J А (*, г) £ (rf 0, г)). (4)
Если А — произвольный элемент пространства V (£), то А =
= Л+ —А", где функции А+ и Л"" неотрицательны и £-иинтегри-
руемы. Утверждение теоремы теперь получим, применяя
условие (4) к функциям А+ и Л~ и комбинируя полученные
результаты.
X. 1.2. Лемма. Пусть ае^, и пусть мера £ определена
так же, как и в лемме X. 1.1. Тогда
L>, С (*))<=£.'(О,
L'Ga, С (/?Х Яр)) с/,'(£, С (/?,)).
Доказательство. Пусть AeL1 (|li, С(/?)). Тогда, по
теореме I. 5.26, для любого е > 0 существует такое замкнутое
520

множество Fe с Г, что ц (Г \ F8)< е и функция A |Fe X R
непрерывна, а потому g-интегрируема. Более того, по лемме X. 1.1,
С (F. X R) - J Xf6 (0 |i WO J а (/) (dr) = ц (/%),
С(ГХЯ\/7,ХЛ)-1*Р,\/7в)<в'.
Отсюда следует, что функция h g-измерима. Мы имеем
\%рвХН«, r)\h(ttr)\i(d(t9r)) =
= \v(df)\\h{t9 r)\o(tHdr)<\\h{t9 -)\sup\i(dt)<oo.
Это означает, что функция h ^-интегрируема. Таким образом,
Пусть теперь f е V (|i, C(RX Rp))- Тогда функция /(/, г, •)
непрерывна для всех (/, г) и / (•, •, rP) е L1 (р,, С (/?)) для
всех гР. Отсюда следует, по предыдущим рассуждениям, что
/ (* i * > гр) е L} (£) для всех гР. Наконец,
if с. г9 -)1зир<1/(^ •, о и
для всех (*, г). Отсюда, по лемме X. 1.1,
Таким образом, в силу теоремы 1.5.25, f s L1 (5, C(RP)).
X. 1.3. Лемма. Пусть de^ w
a(0(£) = 6(0(ЯXRP) [teTi £eSb(/?)].
Тогда a e £^ и существует такое (необязательно единственное)
л е ^*, <*го
\v(dt)\f(t,r9 rP) *(<)(* (г, гР)) =
= J |i (Л) J а (/) (dr) J / (f, Г, rP) n (t9 r) (drP) (1)
l/e=L'(|if С^ХШ
Наоборот, для каждого а е ^ и я е <р* существует
единственное dE^, удовлетворяющее соотношению (1).
Доказательство. 1. Пусть &е^иа(/)(£)=й(/)(£Х
XЯр) [/еГ;£е1;в(/?)]. Легко показать, что a(0е грт(/?)
и a (/) (#* (/)) = 1 |1-почти всюду. Покажем, что а£^и
J с (г) a (0 [dr) =\c{r)6 (/) (d (г, rP)) (2)
621

для ц-почти всех /еГ и с ^С (/?). Действительно, для
каждого t е Т положим
m (с) = \ с (г) ft (0 (d (г, />)) [сеС (/?)]. (3)
Тогда теС(/?)*, и поэтому (теорема 1.5.8) существует такое
о' (0 <= frm (/?), что
m(c) = $c(r)a'(0(dr) [се С (Л)]. (4)
Ясно, что а'(0 е rpm(/?). Выберем замкнутое множество F с:/?
и определим с^ для /eN какт непрерывную функцию из R
в [0, 1], равную 1 на множестве F и нулю для d[r, F]^l/j.
Тогда из условий (3), (4) и теоремы I. 4.35 следует, что
lim m (cf) = ft (/) (F X RP) = o' (0 (Z7).
Следовательно, меры a{t) и (/(О совпадают на замкнутых
множествах и, будучи регулярными, совпадают на всех множествах
из 2В(/?). Таким образом, из условий (3) и (4) следует
соотношение (2), а из соотношения (2) и теоремы IV. 1.6 следует, что
функция а: Г->(грт(/?), | • |ш) jx-измерима. Таким образом,
2. Пусть мера £ определена так же, как и в лемме X. 1.1,
и пусть л; обозначает норму в пространстве L!(£, C(RP))9 и
пусть fs=Ll(\i, C{RXRp))- Тогда, по леммам X. 1.1, X. 1.2 и
условию (2), f €=I!(E, C(RP)) и
\\p(dt)\f(t, г, rP)d(t)(d(r, />))|<
<$1*(Л)$1/(',г, -)\su,d(t)(d(r, />)) =
= $l*(*)$lf(',r. .)lsup*(/)(<//■) =
= $lf('.r, -)lsupW, r))-/tc(f).
Таким образом, f -> \ ц (dt) \ f (/, r, rp)o(t) {d (г, rP)) —
непрерывный линейный функционал на нормированном 'векторном
пространстве (Z,1 (ц, С(/?Х#р)), я&) (где два элемента
отождествляются, если они отождествлены в пространстве Z,1 (£, С (RP)).
По теореме Хана —Банаха 1.3.8, этот функционал можно
расширить до непрерывного линейного функционала на
пространстве L1 (£, C(RP)). Доказательство теоремы IV. 1.8 остается
справедливым, если V (|х, С(/?)) заменить на L1 (£, C(RP)) (так как
мера ц в доказательстве теоремы IV. 1.8 может быть заменена
на произвольную положительную меру Радона в компактном
522

метрическом пространстве). Поэтому существует такая £-изме-
римая функция я: Т X R -> (frm (RP)t | • |ш), что
J|i(rfOjf(',r, rP)d(t)(d(r, rP)) =
= \W(ttr))\f(t,r9rP)ft{t9 r)(drP) (5)
IfeVbh C(RXRp))].
Нетрудно проверить, что я (f, г) е rpm (RP) и я (*, г) (/?* (/)) = 1
для £-почти- всех (/, г) е Г X #• Варьируя я на 2В (Г X
/^-измеримом множестве £-меры 0, мы можем заменить я на такую
2В (Т X /?)-измеримую функцию, что я(<, г)егрт(/?Р) и
*(', г)(^(0)=1
для всех (*, г)еГХЛ. Таким образом, яе^, функция (/, г)->
-► \/С» г» *>)ЯР» r)(drP) ^-интегрируемая соотношение (1)
следует из условия (5) и леммы X. 1.1.
Наконец, если ае^ и я е ^, то
f- J \i(dt) \ a(t)(dr) \f(t, г, гР)пЦ, г)(Л>)
— непрерывный линейный функционал на пространстве L1 (щ
C(RXRp))- Отсюда, по теореме IV. 1.8, существует
единственная [i-измеримая функция d: Т-+{frm(RXRp), I • L),
удовлетворяющая соотношению (1). Можно проверить непосредственно,
что д (t) е rpm {R X Rp) и a (t) (R* (/)) = 1 для ц,-почти всех / е Т.
Следовательно, ае?*,
Х.1.4. Лемма. Пусть f^Ll(\x, C(RXRP))>
h{t, r)= min f{t, r, rP) ((srjrGj?)
rp&R^it)
и ai e 9* i\ = 0, 1, 2, ...). Тогда h<=L> (ц, С (/?)) и соотношение
о it) (£) = Z 2"'"1*/ (0 (JS) [/er;£GSfl (/?)]
/-о
определяет элемент a e ^. Если мера £ определена так же, как
и в лемме X. 1.1, с заменой о на 5, то существует такое я s^,
«fro
*(', ')=$/«, г, /»я(/, г)(Л>)
%-почти всюду.
Доказательство. Ясно, что функция h определена, так
как функция /(/, г, •) непрерывна, а множество Rpif) компактно
для всех (еГ иге/?. Так как отображение Rp удовлетворяет
523

условию IV. 3.1, то, по теореме 1.5.26, для любого е>0
существует такое компактное множество FBczT, что \х{Т \Fe)^8
и функции f\FeXRXRp и Щ\ Fe непрерывны. Легко показать,
что функция h\FeXR непрерывна. Так как е произвольно, то
функция Л(-, г) ^-измерима, а функция h{t, •) непрерывна для
всех г е R и ц-почти всех / ^ Т. Так как | h {t, •) |sup ^
<\f(t9 •, OLpCer), то, по теореме 1.5.25, AeL1^ С(/?)).
В силу теоремы 1.4.9, а(0^грт(Я) ц-почти всюду. Отсюда
следует, что а е &*. Закончим доказательство леммы
построением такой 2В (Г X ^Измеримой функции р: TXR-^RPi
что p(t, г) минимизирует функцию /(/, г, •) на множестве Rp(t)
для £-почти всех (/, г) е Т X Л. Тогда, если мы определим я (*, г)
как меру Дирака в точке p(t, г), то функция
я: TXR-+(rpm(Rp), 1-1.)
Ев (Г X /?)-измерима и удовлетворяет утверждениям леммы.
Докажем существование такой функции р. По лемме X. 1.2,
функции h и / (•, •, гР) ^-измеримы для каж'дого rp е Rp. Отсюда,
по теореме Филиппова — Кастена 1.7.10, существует такая
^-измеримая однозначная ветвь j>( •, •) из ^-измеримого
многозначного отображения (/, r)->Rp(t), что
f(t,rtP(t9r))=h(ttr)
£-почти всюду. Наконец, заменим р на 25 (Т X /?)-измеримую
функцию, которая совпадает с ней |-почти всюду. Лемма
доказана.
По лемме X. 1.3, для любого а е <У* и яе^ существует
единственное де^, удовлетворяющее условию X. 1.3(1). С этого
момента будем обозначать это а через а®я. Ясно, что
[aoi + (1 — а) а2] ® я = ааг ® я + (1 — а) а2 ® я
для всех ае[0, 1], аь а2е^ и яе^.
X. 1.5. Л ем м а. Для каждого as^ множество {о® л |яе^}
является компактным и секвенциально компактным
подмножеством из 9*. Если Пта/®яу = а0®Яо в &*. то Пта/ = а0 в 9"*.
i i
Доказательство. Пусть a е <?^ и (яу) —
последовательность в 3*. Тогда (a ® я7) является последовательностью в
компактном метрическом пространстве &* и имеет
подпоследовательность (от® я/)/6/, сходящуюся к некоторому ае^. П°
лемме X. 1.3, существуют такие об^ияе ^, что д = д®&'
524

Поэтому
lim J ц (dt) J о (t) (dr) \ f (f, r, rP) ny (*, r) (rfrP) =
= J |i (Л) J 5 (0 (dr} \ f (ty r, rP) я (/, r) (drP) I/ e L1 (|i. С (ЛХЯр))] •
Если мы возьмем произвольную f, не зависящую от rPi то из
этого соотношения следует, что о —д. Таким образом,
Нта<2)Яу = а®я.
Это означает, что {а ® я |я е ^} является секвенциально
компактным подмножеством метрического пространства &*, а
потому компактно. ,^
Предположим, что lim ay ® Яу = a0 ® я0 в ^. Тогда
lim \ |i (Л) J cry (0 (dr) J f (f, г, гР) я, (*, г) (drP) =
= J |i {dt) J a0 (0 (dr) J / (*, г, гР) я0 (*, г) (Л>)
IfsL'(|i, C(RXRp))1
Если положим / произвольным и не зависящим от гР, то
limay = a0 в 0^.
Замечание. Из леммы X. 1.5 следует, что если
последовательность (а ® яу) сходится к некоторому 6 в ^, то д =
= a ® я для некоторого я е <р*. Возникает вопрос, будет ли
верен аналогичный результат, если мы возьмем
фиксированное яб^и последовательность (ay) в ^, другими словами,
если последовательность (ay ® я) сходится к некоторому 6
в SP1*, то выполняется ли условие д = 5®я для некоторого
a е ^? Ответ на этот вопрос отрицательный. Это показывает
следующий контрпример. Пусть T = R = RP = [0, 1], ц-~боре-
левская мера в [0, 1], 65~- мера Дирака в точке s, и для всех
t е Т и / <= N пусть
Л (/, г) = б0, если г > 0, я (/, 0) = 6и
a/(0 = }6o + i^1Si//.
Тогда ay е ^, ft € 0*9
°/®*«({(0, 1)})-1 ay®ft(0({(f, о)})--^-
и lim of ® ft = & при д (*) = 6(0, о>. Отсюда следует, что a = a ® я
тогда и только тогда, когда a (0 = 60 и я (t9 0) = 60Ф6{ = ft"(*, 0).
525

Этот пример показывает также, что даже для простых
функций лс2, не зависящих от управляющих параметров, нельзя
ожидать, что функция a->jc2(cr, я): ^->Rm3 непрерывна для всех
я е 0Я. Действительно, пусть Г, /?, RPt я и cry определены
выше, и пусть
х2 (а, я) = J dt J а (0 (dr) J (г + 1) rPn (t, г) (drP)
о
(а €= ^; jig ^).
Тогда lim<x, = 6o и Птл:2(а/, й) = 0 в то время, как х2(60, я)=1.
X. 1.6. Лемма. Пусть а^У (/ = 0, 1, 2, ...), я0е=^ и
lim а# = а0 в У***. Тогда существует такая последовательность (я#)
/
в Р*, что
lim at ® ft/ = (т0 ® я0
/
Доказательство. 1. Пусть neN, Ф^!1^, С(#ХЯр, R")).
Положим
Ф (а, я) = J #х (dt) J Ф (*, г, гР) а ® я (/) (rf (г, />))
(а €= ^; я €= £*),
/Су = {Ф(огу, я) |я €=<?>*} (/ = 0, 1, 2,...).
Покажем, что для любого ieR" существуют такие х* е /С#
(/ = 0, 1, 2, ...), что
lim Л • xj = h' х0,
Я • агу= min kx (/ = 0, 1, 2, ...).
Действительно, положим / = Л-ф. Пусть Л, 5, | и я
определены в лемме X. 1.4, и пусть
*/ = Ф(*у, й) (/ = 0, 1, 2, ...).
Тогда, по лемме X. 1.4,
X • ху = 5 \i (dt) $ ay (0 (dr) J / (/, г, rP) я (*, г) (rfrP) -
= \v(dt)\h(tt r)a,(t)(dr) (/ = 0, 1, 2, ...)•
Так как Л e L1 (\x, С (R)) и lim Oj = a0 в ^, то lim Л • *y = Я • x0.
526

Второе соотношение в условии (1) справедливо, так как
h(t9 r) = \f(tt г, rP)n(t, r)(drP)<
<\f(t.r9rP)it(t, r)(drP) (яе**)
для £-почти всех (/, г)еГХЛ, и поэтому (лемма X. 1.1) также
для [i-почти всех /еГ и <Ту (/)-почти всех г е R.
2. По лемме X. 1.5, множество {а ® п \ п е ^} секвенциально
компактно в Ф* для каждого о е <?^, и поэтому каждое
множество /С/ (/ = 0, 1, 2, ...) компактно. Более того, множества К/
выпуклы, так как выпукло множество ф*.
Покажем, что для любого х е /С0 существуют такие лгу е /С/
(/ е N), что
lim jc# = jc.
Действительно, предположим лротивное. Тогда существуют
такие / а (1, 2, ...) и е > 0, что | х — х |2 > е для всех /е/ и
а; е /Су. Пусть / е /, и пусть ау — точка компактного выпуклого
множества /С/, которая минимизирует функцию х-+\ х—• Jc| =
= (я — *) • (х — if). Тогда для любого х е /Су имеем
|а/ + в(х —а/) —*|>|а/ —*g (9е[0, 1]);
следовательно,
е2|*-ау|2 + 2е(х-ау).(ау-*)>0 (6s[0, 1]).
Отсюда следует, что (х — aj) • (ау — х) >0 (х е/Су). Полагая
Лу=| а7 — Jc I"1 (ау — Jc), получим
Лу(х — *)>А,у(ау — Jc) = | а7 — Jc|2>& (/s/; х е /Су). (2)
Предположим, что последовательность (Лу)/е/ сходится к
некоторому А ^ 0. В противном случае заменим / на
подпоследовательность. По пункту 1 доказательства, существуют такие
х,е=К, (/ = 0, 1, 2, ...), что
lim Л, • JCy = Я • xQ = min А, • х < Я • Jc. (3)
Так как множества /Су содержатся в шаре радиуса | <р | с
центром в точке 0 е Rn, то
lim(A,y — Я)-(х/ — х) = 0.
Следовательно, по условиям (2) и (3),
e<V(*/-*) = M*/-*)H^/-*)^/~*)<| <4)
для достаточно большого / е /. Получили противоречие.
527

3. Если положим it = Ф(сг0, я0), то, по доказанному в пункте 2,
существуют такие яу е &* (/eN), что НтФ(сг/, я/) = Ф(а0, я0).
Пусть теперь {/,, /2, ...} —всюду плотное подмножество из
V (ц, C(RX /?р)). Для каждого neN положим Ф = (/ь /2, • • •, /«)
и обозначим через (л^). такую последовательность в 9>ь>, что
НтФ(а/§ я»)«Ф(а0, я0).
Тогда мы можем выбрать такое достаточно большое /neN, что
|Ф(а/п,яу-Ф(а0, п0)|<1.
Положим /=(/,, /2, •••)» й/ = л7 («sN). Тогда
lim J |х (Л) J cr, «J (rfr) J /, (/, г, гР) я, (t, г) (drP) =
= \ » № J ас (0 (rfr) J f , (t, г, rP) я0 (t, г) (drP) (i € N). (5)
Так как каждую функцию fei1 (jx, С(R, /?Р)) можно
аппроксимировать последовательностью из {/ь f2, •••}, т0
соотношение (5) остается справедливым, если ft заменить на f.
Поэтому
lim о, ® я# = а0 ® я0 в ^. (6)
/«/
Наконец, предположим, что лемма неверна. Тогда
существуют такие е>0 и J{cz(l9 2, ...), что расстояние в 9* от
точки а0 ® я0 ДО точки <j/ ® я не меньше е для всех / е J{ и
я е'0**. Это противоречит условию (6), которое должно
выполняться для некоторого /cz/, и соответствующей
подпоследовательности (яу)/е/.
X. 1.7. Теорема. Яг/сгб Ф/ и ^Р — допустимые
подмножества из St и &р, соответственно, и
lim х2(ог/, Ь, я7, 6Р) = *2(д, 6, я, ЬР) (Ь €= Я; 6Р <= Вр),
если lim а/® я/= 5® я.в ^. Пусть множество 9>% определено
точно так же, как и 9* с заменой /?, R? на Rpt Rp,
соответственно. Вложим множество 9>% в пространство 9^,
отождествляя ор^9% с гиперобобщенной управляющей функцией
противника {t, r)->ofp{f)> где о'р —произвольная ^-измеримая
функция, ^-эквивалентная функции аР. Тогда последовательность
528

l(ui bj)) в Ш X В является приближенным °U, <UP-yправлением
тогда и только тогда, когда
Umxiiuj, bj) = О,
lim [sup {d [Л, x2 {uh bh я, bP)] \ л g= 0*9 bP gBp}] = 0,
/
или
llmxx(uh 6/) = 0,
lim [sup {^[Л, x2(un bfi api bp)]\ope= 2% Jpeflp}] = a
Доказательство. Для каждого u^°U мы можем
выбрать ^-эквивалентную 2-измеримую функцию, которая
отождествлена с и в 9№. Таким образом, можно считать, что
функция и 2-измерима и отождествлена с элементом t-+6U(t)
из У9 где бг —мера Дирака в точке г. Мы имеем
\ Ц (dt) J в*«> (dr) \ f (t, г, rP) п (f, г) (drP) -
= J |i WO J f V, и (t), rP) я (/, и (t)) (drP)
[f^Ll(ntC(RXRp))\ n *=<?*].
Поэтому u®n = u®aP, где oP(t) = n(t, u(t)) ц-почти всюду и
функция аР отождествлена с гиперобобщенной управляющей
функцией (t, r)-+(jp(t). Если мы будем считать, функцию f
в условии (1) не зависящей от t иг, то, по теореме IV. 1.6,
функция аР: Т -»(грт (Rp), | • |ш) ц-измерима и oP(t)(Rp(t)) — l
ja-почти всюду. Поэтому оР является элементом множества 9>%
обобщенных управлений противника, которое определяется
точно так же, как и &* с заменой R, R* на Rp, Rp,
соответственно. Тогда для каждого и е °U имеем
{и®п\п <==&>*} = {и®ор\ор*=9>*}. (2)
Пусть теперь ар е ^, и пусть (ыр/) — последовательность
из всюду плотного подмножества °Up из 9>% (теорема IV. 3.10),
сходящаяся к точке аР. Тогда
"m \f(*.u (0, "Pi (0) I* (dt) = J |i (dt) \f(t,u (J), rP) aP (t) (drP)
[f<=Llbi, C(RXRp))].
Следовательно,
lim u®uPJ = u® aP.
529

В силу условия (2) и наших предположений о функции х2, для
каждого MG?/ и JeB имеем
{х2{и, Ь, я, ЬР)| я е ^, 6Р е ВР} =
= {*2(и, 6, стр, 6P)|orpe^, 6ре=Вр} =
= cl {х2 (и, Ь,иР, ЬР) | ир е <2/Р, 6Р е ВР).
Отсюда непосредственно вытекают наши утверждения.
Х.1.8. Теорема. Пусть множества В и ВР имеют
секвенциально компактные топологии, функция (х0, х{): i^XB-*
-> R X R" секвенциально непрерывна, множество А замкнуто,
&{&">)Ф0 и
limx2(ah bh я,, ЬР,) = х2{д, В, я, ЬР),
когда lim а/ ® я/ = а ® я; в &, lim b{ = В в В и lim bPf = bP в ВР.
Тогда существует минимизирующее обобщенное управление (д, В).
Более того, для любых допустимых подмножеств °U из 9№ и
°Up из Sip существует минимизирующее приближенное CU, °Up-
управление ({щ В)), которое можно полунить, выделяя
произвольную последовательность (й/) в °U, сходящуюся к д.
Доказательство. 1. Так как *я£(£^)#0, то существует
такая последовательность ((a/, bj)) в s^(9fh), что
limx0(of, Ь,) = т1хо№(?*)).
i
Так как множества 9* и В секвенциально компактны, мы
можем предположить, что
lim(ah 6У) = (а, В)
в 9"?ХВ- Поэтому
х0(д, &) = Нтл:0(а/, bj),
xi (о*, В) = lim хх (Of, bj) = 0.
Пусть теперь я£^и ЬР^ВР. Тогда, по лемме X. 1.6,
существует такая последовательность (й/) в <р*9 что lim ay®ft/ =
= а®я. Отсюда следует
х2{д, В, я, ЬР) = limx2(ah bh nh bP)^A.
Это означает, что (a, B)^s^(9?b), поэтому (а,
^-минимизирующее обобщенное управление.
2. Пусть теперь <U и Ф/р-допустимые подмножества из 9№
и &tp, соответственно, и пусть (//^-последовательность из всюду
530

плотного подмножества °и из 9* (теорема IV. ЗЛО),
сходящаяся к д в 9*. Покажем, что ((uit b)) — приближенное 41,
<2/р-управление. Так как хх(д, b) = limx{ (uh б) = 0, то наше
утверждение будет следовать из теоремы X. 1.7, если мы
докажем, что limey = 0, где
/
ey=sup{dH, *2(й,, б, я, ЬР)]\ яе^, bP<=BP} O'eN).
Действительно, по лемме X. 1.5, для каждого /eN множество
{й/®я|яе^} секвенциально компактно в 9*% и поэтому
существует такая точка (я/, 6Р/)е^ Х#я, что
<*[Л, *2(йу, 6, я;, 6р/)]=е7.
Если последовательность (еу) не сходится к нулю, то
существуют такие /cz(l, 2, ...) и е>0, что
е,>е (/€=/). (1)
Мы можем предположить, что / выбрано таким образом, что
последовательность (&р/)/е/ сходится в Вр к некоторому бР,
а последовательность (й/®я/)/е/ сходится в 9* к некоторому
пределу, который, по леммам X. 1.3 и X. 1.5, имеет вид а®я.
Тогда
Wmx^ifijy б, я/, &р/) = дс2(а, б, я, бР)еЛ.
Следовательно, lim£/ = 0. А это противоречит условию (1).
3. Остается доказать, что ({uh b)) — минимизирующее
приближенное <2/, ^-управление. Пусть ({uh bf}) — некоторое
приближенное °U% ^-управление, т. е.
НтДС^Ну, 6/) = О,
lim [sup {d [х2 (uh bh иР9 bP), А] \ ир е <UP, ЬР е ВР}\ — 0.
По теореме X. 1.7,
lim [sup {d[x2(uh bh я, bP\ АЦл^Р*, 6РеВр}]=0.
Пусть теперь / с (1, 2, ...) таково, что lim х0 (uh bf) =
= lim inf лг0(wy, bj) и последовательность ((uh &/))/e/
сходится к некоторому пределу (а, В) в 9*ХВ. Тогда, по
первому пункту доказательства, (а, б)е^(^). Так как (а, б) —
531

минимизирующее обобщенное решение, то
\imx0(uh b) = x0(af Ь)^х0(д, b) = \\mx0(uh bf) = \immfx0(ufi Ь,)
т. е.((йу, ft)) — минимизирующее приближенное^, ^-управление.
X. 2. Необходимые условия обобщенного минимума
Общие замечания. Ясно, что для любого банахова
пространства 36 определение (в параграфе 1.5) банахова
пространства (BF(S,86)y \ • | ) распространяется, непосредственно
на случай произвольного множества S (не обязательно
топологического пространства). Мы получим необходимые условия
обобщенного минимума, применяя теорему V. 2.3, когда SS2
определяется как банахово пространство
(b/^x^r^Vi-u).
С2 = (с е ^21 с (0>* X ВР) а Л}, (g0y gl) (у, а, 6) = (*0> хг) (а, 6),
£2(У> а> Ь) определяется .как функция (я, ftp)-**2(a, ft, я, ftp),
а Щ и F не существенны. Эти необходимые условия основаны
на предположениях, которые в действительности выполняются
для большинства приложений. Однако эти необходимые условия
имеют основной недостаток: они содержат l2^BF(^XBPt Rm*)*f
и поскольку &* не обладает топологической структурой, /2 не
принадлежит обозримому множеству функций, и от него нельзя
ожидать хороших и полезных для вычислений свойств.
Учитывая сказанное, а также результаты параграфа X. 1,
теперь было бы естественным определить в &* такую
компактную метрическую топологию (при реальных
предположениях), в которой функция
(я, ЬР)->х2(о, ft, я, ftp): ?*XBP->Rm>
непрерывна для любого (a, ft) е 9* X В. Если бы мы сделали
это и ВР было бы компактным метрическим пространством,
то элемент /2, рассматриваемый на множестве С(^Х5р, R1*1)»
представлялся бы (теорема I. 5.9) конечной регулярной борелев-
ской мерой на 9* X ВР и соответствующей интегрируемой
функцией.
На первый взгляд может показаться, что способ построения
такой полезной компактной метрической топологии в простран-
стве &* указан в лемме X. 1.5, которая утверждает, что для
каждого aG?fl множество {а®я| яе^} является.компактным
подмножеством метрического пространства 9^. К сожалению,
это не так. Лемма X. 1.5 позволяет нам построить для каждого
aG^ компактную метрическую топологию в семействе 90
эквивалентных классов элементов из ^ (элементы щ и я2 отождест-
632

вляются в &*%, если о®щ = о®п2)- Однако семейство &%
зависит от а и одни и те же два элемента щ и я2 могут быть
тождественны, либо принадлежать различным эквивалентным
классам при различных значениях а. Более того,
последовательность (яД которая сходится к точке я в пространстве &%
(в том смысле, что lima®я/ = сг®я), может не сходиться
в пространстве 9% для а' Ф а.
Так как попытка определить «полезную» компактную
метрическую топологию в множестве ^ оказалась безуспешной,
то мы откажемся от этого способа решения задачи. Для
каждого минимизирующего обобщенного управления (а, В)
выберем соответствующее счетное подмножество {аь а2, ...} из &*
и определим множество & эквивалентных классов в &* с такой
компактной метрической топологией в ^, что из условия
Цтя/ = я в Ф следует условие Нта®я/ = а®я для а = сг,
0\> о2, ... Рассматривая функции
(я, ЬР)-+х2(о9 Ь, я, ЬР\
(я, bP)->Dlx2((d, b\ (я, ЬР)\ (а, Ь)-(а, В))
только для значений о = д, аи а2, ..., мы дадим необходимее
условия обобщенного минимума, которые в дальнейшем мы
преобразуем в «поточечные» необходимые условия (теорема
X. 3.5 и, в частности, условие X. 3.5(2)) для задач, описываемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями. Аналогичные
«поточечные» условия (аналогичные теоремам VI. 2.3, VII. 3.2
и VIII. 2.4) могут быть выписаны при соответствующих
предположениях в случае, когда функции х0, х{ и х2 определяются
более общими функционально-интегральными уравнениями.
X.2.1. Определение пространства ^, элемента 5g^ и
меры £. Пусть ог/ер^ (/ = 0, 1, 2, ...). Мы показали в лемме
X. 1.4, что соотношение
о(0(Е) = £ 2-'-хо,(t)(Е) [teT; £е2в(#)]
/-о
определяет элемент 8s^, В свою очередь, по лемме X. 1.1,
элемент а определяет такую меру £ е f rm+ (Г X R), что
J I* Ш) \ h 0, г) 5 (0 (dr) = $ h (U г) I (d (/, r)) [h e= О (I)].
Покажем, что мера £ неатомическая. Дейстрительно, пусть
^е2в(ГХ/?) и £(£)>0. По теореме 1.4.10, существует такая
Функция В: [0, 1]~>2, что В(а)сВ(р),. если 0<а<р<1,
*1О)«0, В{1) = Т и |х(В(а)) = сцг(Г) для всех ае[0, 1]. По-
533

ложим h (а) = \ \i {dt) \%е (*> г) б (t) (dr). Тогда функция Л: [О, 1]->R
В (а)
непрерывна и Л(0) = 0 и Л (1) = £(£■). Отсюда следует, что
h(a) = -jl(E) для некоторого ое(0, 1), поэтому l(E(] [B{a)XR]) =
= ■£-£(£). Это означает, что мера £ неатомическая.
Таким образом,^пространство с мерой (Т XR, %B(TXR), I)
обладает всеми свойствами, предполагаемыми для пространства
(7\ 2, \х), и TXR — компактное метрическое пространство,
также как и Т. Аналогично, отображение (t, r)^>Rp{t): TXR-+
->!?'(Rp) обладает всеми свойствами, предполагаемыми для
отображения R*. Отсюда следует, что все результаты глав IV
и V остаются справедливыми, если Г, /?, R*y ц, 2 заменить
на TX^R, Rp, Rp> l, %b{TXR), соответственно. Обозначим
через 0м* множество, определенное так же, как и £^, т. е.
множество таких ^-измеримых функций я: ГХЯ-*(грт(/?Р), |-|w),
что л (/, г) (Rp {tj) = 1 £-почти всюяу. Определим & как
подмножество из ^, элементами которого являются 2В (Т X
^-измеримые функции. Ясно, что существует взаимно однозначное
соответствие между пространствами &* и & (так как все
^-эквивалентные элементы этих пространств тождественны между
собой).
Тогда из теорем IV. 1.10 и IV. 3.11 следует, что ^ —
компактное и выпуклое подмножество сепарабельного
нормированного векторного пространства, которое можно отождествить
с пространством {Lx%, C(RP)Y, | • |w). Элементами этого
пространства являются такие 2В (Т X /?)-измеримые функции
v: ГХ#-*(*пп(/?я), | • L); что £-esssup| v{t)\{Rp) < оо, и
функции v, и v2 тождественны^между собой, если они £-почти всюду
совпадают. Будем считать, что множество & наделено
алгебраической и топологической структурой пространства (Ll(l,
C(*p))\|-IJ- _ ^
X. 2.2. Лемма. Пусть aJt Ъу\и& даны в определении X. 2.1.
Тогда lima/®я* = 0/®л в §>* (/ = 0, 1, ...), если Нтя^=»я;
в Ф. Более того, для каждого / = 0, 1, ... и каждого 1-нуль-
мерного множества Е имеем %e(t, «) = 0 а^{1)-почти всюду для
р-почти всех t^T.
Доказательство. Пусть /е{0, 1, 2, ...} и ^ —
единственная мера, соответствующая элементу <г7, по лемме X. 1.1.
Если £(£) = 0, следовательно, $ ji {dt) J %Е (/, г) a (f) (dr) = 0, то
\%в«, r)d(t){dr) = 0
534

^i-почти всюду, например, для /еГ, и %E(tf О — О 5(/)-почти
всюду Для всех t&T'. Отсюда следует, что %E(tt • ) = ()
ау(/)-почти всюду для t^T'. Следовательно,
С/ (Е) = \ |i (dt) J %Е (ty г) ау (0 (dr) = 0.
Таким образом, мера £/ ^-непрерывна и, по теореме Радона —
Никодима 1.4.37, существуют такие ^-интегрируемые функции
kf. ГХЯ-R, что
£,(£)-$*/('. r)t(rf(/fr)) [£е2в(ГХ/?); / = 0, 1, 2, ...]. (1)
Е
Предположим, что lim я* = я в ^, и пусть /е{0, 1, 2, ...}
зафиксировано. Тогда, по теореме 1.4.38 и лемме X. 1.2,
функция (t, /•)->£/(*, r)^qp(*, г, rP)n(t, r)(drP) ^-интегрируема для
всех яе^ и (psL'fn, C{RXRp)) и
$£(<*('■ '))$*/('. г)ф(*. г, гР)я(/, r)(drP) =
-$£/(<*(', г»5ф(*э г, гр)я(<, г)(Л>).
Так как lim я* = я в ^ и &/<р е L1 (£, С (RP)), то
Urn J £, (d (tt r)) J Ф (t, г, rP) я, (*, г) (drP) -
= $£/(<*(*, г)) $Ф(/, г, Гр)я(/, г)(Л>)
и, по лемме X. 1.1,
lim \ ц (dt) J (ту (0 (dr) J Ф (*, г, гр) я, (*, г) (Л>) =
= lim $ ц (Л) J Ф (i9 г, гР) о, ® я, (t) (d (г, гР)) =
- J I* (Л) J Ф Л г, гР) а/ ® я (0 (rf (г, гр)). *
Таким образом, lima/ ® я^ = а/®я в §>h.
i
Х.2.3. Теорема. Яг/сгб Q = 9»>XB, ? = (<*, 6), р = (я, 6Р).
Обозначим через х2 (q) (р) функцию х2 (<г, Ь, я, ЬР). Предположим,
что А —выпуклое подмножество из Rm\ А°Ф0, q = (d,b) —
минимизирующее обобщенное управление, функция х2 (?)(•)
535

ограничена на Р* X Вр для всех q sQ и для любого
(<7о, <7ь • •., qm) s Qm+1, функции
в - (*о, xi) (<7 + 2 6; (?/ -?))= ^m+i->RX Rm.
в-**(q + t в;(<7/ -?))(•): ^m+. -*^ (^ X Вр, Rm0
непрерывны и имеют производную в нуле. Тогда существуют
такие /о>0, /, е= Rm и /2 е= BF (0* X Вр, Rm')*> что (/„, /,, /2) ¥= О,
1
Z U • Dxt(q; q-q) + l2(Dx2(q; q-q))>0 (?eQ), (1)
/2(*2(<7)) =
= max {/2 (c) \c e= BF (<?* X BP, Rm'), с (^* X BP) с Л}. (2)
Доказательство непосредственно следует из теоремы
V. 2.3 и определения экстремали.
X. 2.4. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы X. 2.3,
и пусть aj и 0* определены в пункте Х.2.1 при о0 — д. Более
того, предположим, что ВР — компактное метрическое
пространство и что для в = в, Of (/ g N) u ft G В функции х2 ((а, &))(•)
и Dx2 {q\ (а, ft) — q) (•) «а ^ X В являются в действительности
непрерывными функциями на 0>ХВР (т. е.
*2 ((or, *))(яь &р) = *2((<7, 6))(я2, ftp),
вела 7t{(tt r) = n2(t9 г) \-почти всюду, и аналогично для
функции Dx2 ((а, ft); (а, ft) — (o^ft)) (•)). Тогда существуют такие
k ^0, l\ ^ Rm, © е f rm+ (^ X Вр) и (^-интегрируемая функция
&: &>XBP-+Rm\ что
/o + |/il + <o(^XBp)>0, |в(р)1-1 (1)
(о-почти всюду;
£ /,. Dxt {q; (<хь b)-q) + \&(p)-Dx7(q; (ah b)-q)(p)<o(dp)^Q (2)
(/ = 0, 1, 2, ...; JgB);
fi(p)- x2{q)(p) = max&(p) -a (3)
для (о-почти всех pG^X Вр.
Доказательство. Можно вложить банахово пространство
(С(?ХВР, Rm\ | • |sup) в пространство(BF(?*XBPf Rm%\ • |iup).
536

отождествляя каждый элемент с с такой ограниченной
функцией /: &>*XBP->Rm\ что
/ (я, ЬР) = с (ft, bP)9
если я = й в Р. Пусть теперь /0, 1\ и 12 определены в теореме
Х.2.3. По предположению,
*2($)(-)еС(#ХЯр, Rm0-
Отсюда, по условию Х.2.3(2),
к (Ь Ш = max {/2 (с) | с е С (# X Sp, Rm')> с (0> X flP) с А).
Из теоремы V. 2.5 следует существование таких со е f rm+ ф X #р)
и й gL1^, Rm0t удовлетворяющих соотношениям (1) и (3), что
к (с) = J б (р). с (р) © (dp) [с € С О? X Яр, Rm')].
Так как, по предположению, Dx2(q; (ау, b)—q)(')<^C(jPXBPl Rm2)>
то соотношение (2) следует из условия X. 2.3(1). Теорема
доказана.
Если (р, Ь) — минимизирующее ^-управление, то, по
теореме X. 1.7, (р, Ь) является также минимизирующим 9&ХВ-
управлением в смысле главы IX. Поэтому слабые необходимые
условия обычного минимума мы можем получить, применяя
теорему IX. 1.6 (заменяя Р на 9>рХВр и предполагая, что
Вр — компактное метрическое пространство).
Х.З. Гиперобобщенные и обобщенные управления
противника в обыкновенных дифференциальных уравнениях
В качестве иллюстрации применим теоремы X. 1.8 (о
существовании и аппроксимации) и X. 2.4 (о необходимых условиях)
для конфликтной задачи' управления с гиперобобщенными
управлениями противника, которая описывается обыкновенными
дифференциальными уравнениями типа, рассмотренного в
параграфе V. 6. Соответствующие результаты содержатся в теоремах
X. 3.1 и Х.3.5. В теореме Х.3.7 мы рассмотрим задачу с
обобщенными управлениями противника. Эта задача не была рассмотрена
в главе IX, где были исследованы задачи такого вида, так как
ее формулировка и доказательство теоремы X. 3.7 опираются
на определения и леммы этого параграфа.
Пусть R = #XRp, и пусть множества A0aRmXRm2 и
4idRm компактны и выпуклы, а функции f: RmX/?->Rm и
f:Rm2X#->Rm2 непрерывны и имеют непрерывные частные
производные
®if: Rm X R -> В (Rm, Rm), SD{f: Rm2XR-»B (Rm\ R™2).
637

Положим Т = [/о, tx] a R и определим меру Бореля \х в Т.
Для каждого о<=9>\ fts^ и b0=(a0i й0) <= А0 рассмотрим
уравнения
У (t) = а0 + J / (У (т), о (х))ёх = \dx \ f (у (т), г) а (т) (dr) (t е= Т\
и и
t t
Р(0 = й0+ \f (0(т), d(t))rfT=JrfTjf (0(т), ?)д(т)(^) (/еГ).
Как и в параграфе V. 6, предположим, что для всех (а0, d0)^4
as^ и Sg^ эти уравнения имеют единственные решения
</(<*, а0)(-) = 0/'(о, а0)(-), ..., */">, а0)(-))
и #(д, й0)(0, и пусть существует такое cgR, что
Ы*. eJWKc, |#(а, <20)(*)Ю
(aG^; йб^; (a0, й0) е Л0; /gT).
(Это выполняется, в частности, если
для некоторого c'gRh всех i/ е Rm, д е Rm2, re/? и fG^,)
Положим
Я = Л0ХЛь 6 = (60. fti) = (flo. й0, 6,),
*о(*, b) = yl(o, a0)(/i), *i(a, b)=y{o, a0)(^)-&b
*2(<*®я, &) = *2(a, 6) (я) = # (a <g> я, d0)('i)
(a e ^; я € ^; 6 € fi).
Таким образом, задача не содержит множества ВР
управляющих параметров противника.
Докажем сначала существование минимизирующего
обобщенного управления и минимизирующего приближенного <U9
<2/Р-управления.
X. 3.1. Теорема. Пусть А — замкнутое подмножество из Rm'
и ££(9**)Ф0. Тогда существует минимизирующее обобщенное
управление (б*, 6). Более того, для любых допустимых
подмножеств °U из $t и °Up из 91% существует минимизирующее при*
ближенное Ф/, °Up-y правление ((й/, &)), которое можно получить,
выбирая произвольную последовательность (Uj) в °U,
сходящуюся к д.
Доказательство. По теореме V. 6.1, функции
(а, Ь)-+у{о, а0)(.): 3*ХВ->С(Т, Rm),
(*. Ь)->9{6, йо){-): 9>*ХВ->С(Т, Rm0
538

непрерывны. Отсюда следует, что функции
(а, 6)->(*б, хг){о, Ь): ^X5->RXRm,
(а, b)^x2(d, b) = $(6, U0)(t{): <?*XB-Rm'
также непрерывны. Таким образом, условия теоремы X. 1.8
выполнены, и наши утверждения следуют из этой теоремы.
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь необходимые условия того, что
обобщенное управление (а, 6) = (а, а0, а0, Ьх) дает обобщенный
минимум. Так как | у (а, а0) (О I < с и | j) (6, й0) (/) | < с для всех < g= Г,
ае^,й£^и (а0, й0) ^ Л, то обе функции 2>J (у (а, а0) (0, а (*))
и @>\!(9(й, &о)(О, д(0) равномерно ограничены для всех <еГ,
(а0, йо) s Аь а е ^ и'й£^. Тогда, по теореме II. 4.9,
уравнения
Z (t) = Im + J Z (т) dt J 0J (у (а, а0) (т), г) а (т) (dr) (f s Г),
X J 2>if «(а ® л, S0) (т), г, гР) п (т, г) (Л>) (t е Г)
(где /*•—единичная ft X ^-матрица) имеют единственные
решения
Z: r-*B(Rm, Rw), Z(jt): Г-^В^, R"*2)
для каждого я е iP*.
Определим теперь соответствующее множество ^\ По
условию IV. 3.1, существует такое счетное подмножество $1 из $\
что множество {р(/)|ре$1} всюду плотно в R*(t) для почти
всех t е Г. Если мы обозначим через У ^ набор всех
замкнутых подынтервалов из Г с рациональными концами, то
множество $&Х#~°о счетно и имеет вид {(р/, 7\)|/eN}. Обозна-
А
чим через бг меру Дирака в точке г и положим в0 = в для
всех у е N,
М0 = 6Р/(0 (tesT,), а,(0 =»W (teT\T,).
Тогда аД и ^ определены так же, как и в определении Х.2.1.
X. 3.2. Лемма. Пусть А0 = {й0 | (a0, &о) G А)}- Для любого
W> <7о, ft, .... Us(^X^m+2 фушсция
e-^4(e)=p(f4 + Ze/.w/-^)} ^«+i-+c(:r, Rw0
v /=о 7
539

имеет производную г\' и 11т | в, —в | ! \r\ {Q{)—r\ (9)—г\' (9) (9,—в)]=0
при 0i->0, 01 ^ &~m+\ \ {0} равномерно для всех
в е <Гт+ь W. <?0, . •., <U е (£* X Л)т+2.
Более того, для
nesP", | = (в®я, йо)е^*Х4
^=(Г,й;)е^ХЛ
клсеелс
^ (?; <Г - ?) ft) = z (я) ft) (4 - Я0) +
и
+ \z(n) (т)f (0 (|) (т), <j' (т) - а® п (т)) dr. (1)
и
Доказательство. Пусть <?, <?0, ••, ?ие^Х4 Для
всех 0 е ^"m+i и /еГ мы имеем
m t
r\(Q)(t) = u0+YJQt(do.f-d0) + \jf(r\(Q)(x\ d(x))dx +
/-0 f,
m *
+ £в1\1№)(г),д,(г)-д(т))с1т.
/-0 t,
По теореме П. 4.11, функция r\: Tm+X^»C(T, Rm') имеет такую
производную, что
m *
(Ч' (0) Л0) (t) = £ Д0> (do, , - do) + J a>if (Л О) (т), 6 (т) +
/-о и
m
+ £ е' td/ W - d W» <ч' (е)де) W ^ +
/-о
m *
+ 2 Д0; J f (ч (0) (т), 6, (т) - 6 (т)) dx (2)
/-0 *0
(eefm+,; A0e=Rm+1; (еГ).
Соотношение (1) получаем из условия (2), полагая й'0 = й0,ь
о/ = &о, Ав = (1, 0, ..., 0), и применяя теорему II. 4.8.
Так как функции f и S>if непрерывны и множество *{#(<?)! # е
е ^ X А)} ограничено, то из условия (2) следует
существование таких си с2 е R, что
t
| (Л' (0) ДО) (0 I < с, $ I ft' (0) Дв) (т) \dx + c2
540

для всех 6, #, <?о, •••, Qm и /, когда |Дв|<1. По неравенству
Гронуола II. 4.4, существует такое c3gR, что |т1'(0)1^Сз Для
всех #, <?о, •••> <\т и в. Мы можем предположить, что
\Ф\](#(&КТ), ОК^з Для всех де^* и f'^R. Таким образом,
т
если мы положим д+ 2 9У (07 — d) = а (9), то получим из
условия (2)
t
| n' (Gi) W - л' (в) (/) I < с3 J | л' (9,) (т) - л7 (в) (т) I dx +
и
t
+ с3\\ 2>{f (Ц (90 (т), д (90 (т)) - 0,f ft (6) (т), д (9) (т)) I dx +
и
t
+ 2 J |f (л (в.)(х). О—f (Т1(в)(т), .)liuprfT. (3)
U
Мы имеем | х\ (9,) — л (6) |< съ| 9, — 9 |. Так как множество R
компактно, а функции f и @>$ непрерывны, то последние два
слагаемых в правой части соотношения (3) стремятся к нулю
при 9j -* 9 равномерно для всех 9, <?, ..., Qm и L Следовательно,
по условию (3) и неравенству Гронуола П. 4.4, lim | т|' (9,) —
е,-*е
— Т]/(9)| = 0 равномерно для всех 9, $, .... <?т. По теореме
0 среднем И. 3.6,
1 et — в г1 [л (в,) — л (в) — лг (в) (в, — в) К
< sup И'ДО+а^-еп-пЧв)!.
0<а<1
Отсюда непосредственно вытекают остальные наши утверждения.
Х.3.3. Лемма. Для а = сг- а,, а2, ... и (а0, d0, Ьх) е В
функции
n->g(o®n, d0): ^ —С(Г, RW2),
n->Z{n): &^С{Т, B(Rm\ RW2))
непрерывны.
Доказательство. Можно показать (так же как и при
доказательстве теоремы X. 3.1), что функция (а, 6)->^(а, dQ): Ф^Х
ХВ-+с(т, Rm2) непрерывна. Тогда, по лемме Х.2.2, функция
^0(<х®я, й0): ^->C(Tt Rm') также непрерывна для а =
888 д» аь ог2, ... и (а0, й0)&А0, Поэтому функция
(я, *, ?)-+Ф{!(9(д®п9 dQ)(t\ t)
Равномерно непрерывна на компактном множестве &XTXR-
541

По первой части доказательства теоремы V. 6.1 (при a, yt
замененных на а® я, Z) функция
я-»|(я): ^-*С(Г, B(Rm2, RW2))
также непрерывна.
X. 3.4. Лемма. Для каждого (or/, bj) е &* X В (/=0, 1, ..., т)
функция
е-*2((а, 5) + |ов/[(ст?, ft/)-(в, &)]} rm+l-+BF(<?\ R"»)
непрерывна и имеет производную в нуле, а функция
n->Dx2((o, б); (а, &)-(*, 5))(я): <?->Rm'
непрерывна для о = д, аи а2, ... w b^B.
Доказательство. По лемме Х.3.2, функция
е-**2((5, 5) + Де'[(о?, */)-(«, «)])(•): rM+l-+BF(g*, Rm0
непрерывна, дифференцируема и
Dx2((S, б); (а, 6)-(а, 6))(я)-Z(я)(t0)(й0-й0) +
и
+ [z(n){x)f(p(a®n9 й0)(т), а®я(т) — а®я(т))<*т
* (О
(а €= ^; 6ei5; я €= ^).
По лемме Х.3.3, функции я-*#(а®я, й0) и я->г(я)
непрерывны, а, по лемме Х.2.2, функция я->ст®я: #-><?* также
непрерывна для а = а, аь а2, ... Поэтому наше утверждение
следует из условия (1).
X. 3.5. Теорема. Пусть (а, В) — минимизирующее
обобщенное управление, множество А выпукло и А°Ф0. Тогда
существуют такие /0>0, l{ eRm,©s frm+ (^)ийе Iх (со, Rm')>
1) /o + l*il + ©(£)>0, |*(я)|-1
<й-почти всюду;
2) если лш положим
h (я, /, г) = max S (я)г Z (я) {t)f{()(d® я, Я0) (0, г, гР)
(я € ^; * ев Г; r €= /?),
е,-(1, 0,..., 0)sR»
Я (f, г) = (fo + /,)' Z {t) f (у (а, а0) (/), г) + J h (я, /, г) со (dn)
(t&T; re/?),
542

то Яе!1^, C(R)) и
\H(t, r)a{t)(dr)= min H(t9 г)
для почти всех /еГ;
3) б (я) • Q {a ® я, a0) (*0 = max б (я) • a
для ®-почти всех я e ^;
4) для <й-почти всех я е ^ имеем
\&(n)TZ(n)(t)f($(d®n, So)(0, г, rP)n(t, r)(drP) = h(n9 t, г)
для почти всех t еГ и а {{)-почти всех г е R\
АС ~
5) если мы положим кт= \ &(п)т Z(n)(t0)ay(dn)y то
(^1 + ^2(^)50 + ^0= min [(l^+hfZi^ao + mol
/fbi = max /Г&1-
Доказательство. 1. По лемме Х.3.4, функция х2: £^Х
XB->BF(^, Rm2) удовлетворяет условиям теоремы Х.2.3, а
в доказательстве теоремы V. 6.1 показано, что функции х0 и хх
также удовлетворяют этим условиям. По леммам X. 3.3 и X. 3.4,
функции п->х2{о, Ь)(п) и я -► Dx2 ((а, &); (а, 6) — (а, &))(я)
непрерывны на ^ при в = д, аи а2, ... и Ь е В. Таким образом,
условия теоремы Х.2.4 выполнены и утверждения 1) и 3)
следуют из условий X. 2.4(1) и X. 2.4(3).
2. Докажем утверждение 4). Так как х\ (а, В) (я) е А (я е ^),
то из условия 3) следует существование такого множества 3P'czi?y
что со ф \ ^') = 0 и
б (л) • // (а ® я, й0) (/i) = max 5 (я) • $ (а ® я, й0) (*i) (я е ^')-
Из этого соотношения и условия X. 3.2(1) получаем
б (it). DXQ (д®п, й0; а ® я — а ® я) (tx) =
= \ б (я)г Z (я) (т) f(Hv® я, Н0) (т), а ® я (т)—а ® я (т)) dr < 0
(6)
(я€=^>; я *=£").
По лемме X. 1.4, для каждого я е &* имеем А(я, •, «)е
^ L1 (\х9 С (R))9 и существует такое я' е ^, что
А (я, т, г) = $ б (п)т Z (я) (т) f (0 (9 ® я, So) (т), г, гР) я7 (т, г) (Л>)
543

для 1-почти всех (т, г) еГXR, а следовательно, по лемме"X.2.2
для почти всех теГ и' а(т)-почти всех г е /?. По условию (6)
и определению функции Л, для всех ft е ^' получаем
Jrfx 5[Л(й, т,г) —
'о
- J б (ft)7,Z (ft)(т) f (p(a® ft, й0)(т), r, />) ft (t, r)(drP)]a(x)(dr)^0.
(7)
Более того, коэффициент при выражении a(x)(dr)
неотрицательный. Тогда соотношение 4) следует из условий (7) и I. 4.34 (7).
3. Как и в доказательстве теоремы V. 6.1, получаем
соотношение
Dy ((а, а0); (а, а0) — (а, а0)) (tx) =
= Z (/о) (ао-ao)+\z(%)f{tf (а, а0) (т), а(т)- а(т))dx
и
[а е= 9>*\ (а0, d0) е= Л0].
Из этого соотношения, по условиям X. 2.4(2) и X. 3.2(1),
получаем
t
£/,D*,((ft, b);(ohb)-(d,b)) +
t-0
+ J б (я) • Dx2 ((a, 5); (07, 6) — (a, В)) (я) w (dn) =
= (/0eI + /I)r2(/0)(ao-ao) +
+ J © (n)TZ (я) (/•„) © (Ai) • (do - 5o) - l\ (61 - &,) +
+ J (to + /.)r 2 (т) / [y (a, a„) (r), a, (т) - а (т)) dt +
tx
+ ^ со {dn) J б (я)г Z (я) (т) f(&{a® я, <§o) (т), ay ® я (t)) rfr —
*.
— \ со (dn) \ б (я)г Z (it) (t) f(j)(d® я, £0) (r), a ® я (т)) dx =
=Л + /2+ ... +/5-/6>o
[/ = 0,1,2, ...; (а0,й0,Ь.)еВ]. (8)
Полагая / = 0 и учитывая условие <х0 = о, получаем
утверждение 5).
544

По лемме X. 3.3. функций
(я, t, г, гР)-*Z(я)(ОНИ*®я, So)(t), r,rP):$>XTXRXRP-+Rm'
непрерывна, и поэтому функция
(я, t, г, гР) -* & (л)т Z (я) (0 f(d(d® я, So) (0, г, Гр)
принадлежит пространству
Ll{m,C{TXRXR,))c=.
<= Д L1 (<о X С/, С (RP)) Л L" («> X И, С (tf X RP)h
оо
Как и в лемме X. 1.4, получаем, что h е f] L1 (со X £/) П £' (со X
/-о
X [а, С (/?)). Поэтому мы можем заменить в соотношении (8)
выражение /5 на \ со (dn) \dx\h (я, т, г) а/ (т) (dr), не нарушая
при этом неравенства. Мы можем также (по условию 4))
заменить /6 на \ go (dn) \ dx \ А (я, т, г) а (т) (dr). Так как функция А
соX^/-интегрируема для / = 0, 1, 2, ..., то, применяя лемму
X. 1.1 и теорему Фубини 1.4.45 к замененным выражениям и
полагая а0 = а0, й0 = й и &i=&i, получаем из условия (8)
и
\ dx \ [(Ух + 1{)т Z (х) f (у (*, а0) (т), г) +
+ 5 Л (it, т, г) со (dn)] (а, (т) - а (т)) (dr) -
- J dr J Я (т, г) (а/ (т) - а (т)) (dr) > 0 (/ es N). (9)
4. Напомним, что функции oj построены таким образом,
что для любого р е 9&о и любого подынтервала Г7 из Г с
рациональными концами существует такое / е N, что
О/(0«*р<« «еП, М0=»(0 (^П.
Нетрудно показать, что г|)(/)^0 почти всюду, если функция г|>
интегрируема и \i|>(T)dT^0 для всех рациональных аир.
а
18 Джг Bapra 545

Таким образом, по условию (9), для любого р ^ $£, существует
такое нульмерное множество Zp с: Г, что
H(t9p{t))-\H(ttr)a(t){dr)>0 (Ю)
для всех t^T\ZQ. Поэтому соотношение (10) справедливо для
всех р е дйо и всех (еГ\ U ZQ = T\Z. Множество Z нулъ^
мерно, так как множество $1 счетно.
Наконец, напомним, что h е О (со X М-, С (/?)). Отсюда, по
теореме 1.4.35, функция (т, г) -> \ Л (jx, т, г) со (б/я) принадлежит
пространству L1 (|х, С (/?)). Так как функция (т, г) -> Z (т) / (у (а,
во)СО»г) непрерывна, то Я <= L1 (щ С (/?)). В силу того, что
множество {р(0 |Л1} всюду плотно в /?*(*) для почти всех t е Г,
из условия (10) для почти всех t & Т получаем
$#(*, r)ff(0(dr) = inf H(t,p(t))= Min H(ttr).
Это завершает доказательство утверждения 2) и всей теоремы.
X.3.6. Пример. Применим теоремы Х.3.1 и Х.3»5 к
простой задаче, рассмотренной в параграфе Х.0.1. Мы покажем,
в' частности, что необходимые условия из теоремы X. 3.5 являются
конструктивными в том смысле, что по крайней мере для
некоторых задач они определяют минимизирующее обобщенное
управление и соответствующее минимизирующее приближенное
<U, °UP — управление.
Нетрудно видеть, что задача из параграфа Х.0.1 является
частным случаем задачи, рассмотренной в этом параграфе, и
соответствует случаю, когда
Г-[0,1], /? = /?Р = {г s R21 г • г = | г || = 1},
gp = gip=9L, m = 3, m2 = l,
Л0 = {(а, 0, 0, - а) |а е [-2, 2]}, А{ - R3, А - (- со, 0],
И*,г) = И2+И2, (f\f3)(v,r)=r.
f (ад, г, rP) = r- rP (w е= R; г, rP е R),
В действительности, множество Л0 следовало бы представить
в виде {(а, 0, 0, — а) | а е R}, но ясно, что — 1 < \ и (t) • иР(t) d/<l
о
для всех и, иР е $, и мы можем ограничить а произвольным
5^6

интервалом, содержащим отрезок [—1,1]. Для удобства мы
ограничим а большим интервалом [—2,2].
Ясно, что уравнения
t
i/,(0=a + 5([^(T)l2 + [^(t)]2)dT)
О
t
(y\y3)(t) = \dx\ra(x)(dr),
О
t
$(t) = - a + J dx \ t6(%){dt) (/еГ)
о
имеют единственные равномерно ограниченные решения для всех
ае[-2,2], ае^ и йе^. Таким образом, предположения
этого параграфа выполнены. Отсюда, по теореме Х.3.1,
существует минимизирующее обобщенное управление (a, Ь) =
= (а, а, 0, 0 —а, Ь{) и соответствующее минимизирующее 91, 91-
управление ((**/, В)).
Применим теперь необходимые условия из теоремы X. 3.5.
Очевидно, что Z(п)(t) = 1 для всех я е ^ и /еГ, и условия
X. 3.5(1) и X. 3.5(3) означают, что й(я) = 1 ©-почти всюду.
Таким образом,
Л(я, t, г) = МахгтР = 1 (ns^; /еГ;ге'Л).
По условию X. 3.5(4), n(t, г) = 6Г для со-почти всех яе^, почти
всех /еГи <т(/)-почти всех ге/?. Таким образом, для со-почти
всех jtg^ мы имеем
1
#(а® я, - а) (1) = - а + J dx $ а(т)(dr) $ г • гР6г (drP) = 1 — а.
о
Отсюда, по условию X. 3.5(3),
а = 1. (1)
Из условия X. 3.5(5) следует, что /, =0, так как ^i = R3.
Мы имеем /0 > 0, так как в противном случае, по условию
X. 3.5(1), со(^)>0, и из первого соотношения условия X. 3.5(5)
получим (о(^).(—1)= Min (o(^)a, т. е. придем к противо-
a е [-2, 2]
речию.
Пусть теперь
k = {k\k\k*\ k(tf = loeU(t),
y(0=f/(a,d,0,0)(0 (tcs'f).
18*
547

Тогда
t
у (t) = (а, 0, 0) + \ f (у (т), а (т)) dx (t е Т)
, ° (2)
k (t)T = /oef + J * (т)г £>,/ (у (т), а (т)) dr
и, по условию Х.3.5(2),
k{t)Tf(9(t),d(t))=N[ink(t)Tf(g(t),r)
почти всюду в Т. Отсюда, точно так же, как и в теореме VI. 2.5,
получим существование такого с{ е R, что
k{t)Tf(y(t),d(t)) =
- Min (*' (/) (w (t)f + \у> (О]2) + (*2 (/), *3 (0) • г) =
■=*'(0 (foW +1»8 (О]8)-I (**('), *3('))12 = с, (3)
почти всюду в Т.
Так как первый столбец матрицы &J (у (/), б* (*)) состоит из
нулевых элементов, то первый столбец матрицы Z (t) постоянен.
Таким образом, kl(t)=l0 (t<=T). Более того, у2 (0) = у3 (0) = 0
и, по условию (2), &(1) =/<# =(/0| 0, 0). Из условия (3) получим
-|(^(0),^(0))|2 = /0(b/2(l)]2 + Q/3(l)]2) = ^
Следовательно, С[=0 и
/о (О/2 (О]2 + № (t)]2) = I (k2 (t), k3 (0) |2 (* ез Г). (4)
Если положим (y2,y3)=r\ и (k2,k3) = q, то уравнения (2)
дают нам
*(f)--2/0T|(0, i\(t)=\ro(t)(dr)
почти всюду в Т. Следовательно, ? (0 • Л (0 = — 2^ (0 • т] (t)
почти всюду и, по условию (3),
q(t).i](t) = mnq(t).r = -\q(t)\2
r<=R
почти всюду. Комбинируя эти два последних соотношения
с условием (4), получаем
to(0-4(0)--2Z0|t|(0|-^(0!8--3/0|f|(0|
почти всюду. Интегрируя обе части этого соотношения, находим
0 —^(1) - л (0 — ^(0) - л (0) — — 3/0 J | ч (0 g£f/.
о
548

Таким образом, r\ (t) = 0 (/ е Г), и поэтому
n(0-$ra(0(dr)-0 (5)
почти всюду в Т.
Таким образом, любое минимизирующее обобщенное
управление (a, ft) удовлетворяет соотношению (5), и нетрудно
проверить, что любая обобщенная управляющая функция,
удовлетворяющая условию (5), совпадает с той же самой
функцией у, а именно (1, 0, 0).
Для того чтобы получить минимизирующее 52, ^-управление,
мы должны выбрать произвольную меру а, удовлетворяющую
соотношению (5), и соответствующую последовательность (uf)
в <#, сходящуюся к а. Например, мы можем выбрать re/?,
положить a (0 = у 6г + у в-г и тогда определить
последовательность (Uj) так же, как и в пункте Х.0.1.
Выведем теперь результаты, аналогичные теоремам Х.3.1 и
X. 3.5, которые применимы к минимизирующим обобщенным
управлениям, определенным в главе IX. Именно, определим
функции
у: 9»ХАо-+С(Г, R*), д:&ХАо-»С(Г, R%
так же, как и в начале этого параграфа, определим
множество 9>р точно так же, как и У*, но с заменой /?, R* на RP,
Ир, соответственно, определим меру а®аР (ае ?*; op е 9>р)
соотношением
и
J Л J Ф (<, г, гР) о®вР (/) (d (г, гР)) =
и
4 J Л \ Ф 0, г, гР) a (0 (dr) X aP (/) (drp) [Ф € L1 (ц, С (J? X **)]
и положим
х2 (а, Ь) (ар) = # (а ® аР, d0) (tx)
[а € ^; ар е= $£; 6 = (a* d0, *i) е В].
Назовем точку (а, ё)е<?^ХВ минимизирующим £^Х#-упра-
влением в смысле главы IX, если хх (а, &) = 0, х2 (а, 6) (^р) cz А и
*о(а, 5) = inf {х0 (а, 6) | ае 0* 6<=В, х, (a, ft)—0, *2(а, 6) ($$)'<= Л}
Для простоты предположим, что /?^(0— R if^T).
549'

Х.3.7. Теорема. Пусть А —выпуклое тело в Rm* и
*(9) = {(о, Ь)*=?ХВ\х{{в, ft)-0, х2(о, Ь)№)сА)Фв.
Тогда существует минимизирующее 9* X В-управление (а, В) =
= (а, а0, а0, В{) и ((а, 6), (а, В), ...) является минимизирующим
приближенным ^-управлением (оба в смысле определений
главы IX). Более того, каждое из уравнений
Z(t) = Im+\z(т)dx $ g>J(у (а, а0)(т), г)а(т)(dr) (t <ss Т),
Z(t) =
= Im + 5 Z (т) rfr J 2>,f (&(д®оР, йо) (т), r, rP) a (t) (rfr) ХаР (r) (rfrP)
ил*еег единственное решение Z: r->fl(Rm, Rm) и Z(aP): T -►
-> В (Rm\ Rm0 для все* ap^9% и существуют такие lQ ^ 0,
/j GRm, © € f rm+ (?*p) и SeL1 (со, Rm2), «ro
1) /o + |/il + ©(^)>Of |й(аР)| = 1
(о-почти всюду;
2) если лш положим
h{oP, t9 s) = sup 6(ap)7,f(ap)(0^W(a®aP,5)(r),r,rp)s(rfrX
[ap € ^; /Gf;sG rpm (/?)],
^ = (1,0,..., 0)eR»
H{t, 5) = (/^ + /1)7'Z(05/(i/(a, flo)(Of r)s(rfr) +
H- $ Л (aP, if, s) cp (dap) Ifces 71; *. e= rpm (/?)],
го tfel^ft C(rpm(*), H.)),
H (t, a (t)) - inf {#(*, 5) | s € rpm (*)}
5ля ло^гм всех t e Г;
3) 5 (oP) • # (a ® aP, й) &) = Max й (аР) • а
osA
для ы^почти всех ар е ^;
4) <Эля (й-почти всех ар е ^ ижеем
J 6 tefrZ-M (0 f «(а<8>я, йо) (0, сг (*), гР) аР (t) (drP)=h (aPt t9 д{®
для почти ecex.t&T;
53Q

& Г -V ...
5) если мы положим Хт = \ S (<тР)г Z (аР) (/0) <о (dorP), го
(/o^i + /i)r2(W«o + ^o= Min [{to + WZMao + WAd,
(а0,йо)еЛ0
/[5i = Max l\b\.
Доказательство. 1. Непосредственно проверяется, что
для всех аре£* и ф е= L1 (|i, C(RXRP)) функция
(*, r)-+\<f{t,r, rP)aP(0(rfr)
принадлежит пространству I'O*» С (/?)). Отсюда следует, что
lim ay ® aP = a ® aP
в §* (ap<=£^), если lim a, = <т в £?.
Покажем, что существует минимизирующее 9 X В-управде*
ние (а, Ь) и соответствующее ^-управление ((а, 6), (а, 6), ...)
в смысле определений из главы IX. ДeйcтвитeлънoJ пусть
Ор^УЬр зафиксировано,
bj=K/, d0,/, bu/)еВ ()'eN), 6 = (ое, й0, 60е= В,
' lim(ay, 67) = (a, b) в ?ХВ.
Тогда соображения, данные в доказательстве теоремы V. 6.1,
мы можем применить с небольшими изменениями для того,
чтобы показать, что
lim {/(a,, а0, ,)(/) = г/(а, а0)(0,
lim Q (aj ® аР, й0, /) (0 = & (а ® аР, <20) (О
равномерно для всех / е Г. Следовательно,
limx^ay, &,)=*, (a, 6) (/ = 0, 1),
limx2(a/, 6/)(aP) = x2(a, 6)(aP).
Таким образом, предположения леммы X. 1.1 выполнен»,
и из нее следует существование такого минимизирующего
fX В-управления (а, Ь) ^(а,"й0, й0, &i), что ((а, 6), (а, Ь), ...)
ляется минимизирующим приближенным ^-управлением (оба
смысле определений главы IX). Существование единственных
решений Z и Z(oP) гарантируется теоремой И. 4.8.
^. Соображения,-примененные к леммам-Xv3.3 и Х.3.4,
покакают, что функция (х0, хи х2) из 9 X В в R X Rm X C(S%; Rm')
551

имеет производную в точке (а, В) по любому направлению
(or, 6)e^Xfi. Поэтому применима теорема IX. 1.2, которая гаран
тирует существование таких l0>0,/,GRm, (oefrm+(^p)
hosL1 (со, Rm2), удовлетворяющих соотношениям 1) и 3), что
1
%Ь-Ох1((д,В);(о9Ь)-(д9Ь)) +
+ J 5 (оР) • Z)*2 ((а, &); (а, ft) - (а, 6)) (огр) со (rfcrp)>0 (6)
(ce^iJG ZJ).
Из условия 3) получаем так же, как и в теореме X. 3.5, что
существует такое 9>'р с: <?Р, что <о (9>р \ Рр) = 0 и
S (ар)7" D^ (а ® aP, В0; а ® аР — а ® о>) (*,) =
*= ) й (Мг£ (аР) (т) f(j)(d® б>, а0) (т), а ® аР (т) —
-а®ар(т))</т<0 (<тр €= $*; ар е= ^). (7)
По соображениям, примененным к лемме X. 1.4, для каждого
др е &'р существует такое ар е <?£, что
h (dPi т, а (т)) =
- б (дР)т Z (др) (т) J f (& (д ® дР, 30) (т), г, гР) д (т) (dr) X &р (tfrP)
для почти всех tgT, Таким образом, если мы положим
и
1(дР)= \[h(dp9 т, а(т)) —
и
- \ dp(x)(drp)\&(dpYZ(dp)(x)HHo^dpX)^
(др б ^),
то, по условию (7) и теореме Фубини I. 4.45, /(ар)<0 (др&?р)*
По определению функции Л подынтегральное выражение 1(др)
неотрицательно, и поэтому соотношение 4) следует из уело*
вия 1.4.34(7).
652

Так же, как и в теореме Х.3.5, преобразуем
соотношение (6) к виду
№-\-h)TZ(t0){a0-au) +
f. J 5 (op? Z (aP) (t0) <o (daP) • (do - S0) -1\ (6, - bx) +
+ \ (/обо + /i)r 2 (t) f (u (a, So) (T), а (т) - а (т)) rfr +
+ J © (rfop) J б (oP)T Z (op) (x)f($(o® aP, do) (т), <т <g aP (x)) dx —
to
tx
— \ <o(daP) J 5 (oP)T Z (oP) (x)f(Q (a ® aP, й0) (т), д®аР (x)) rft=
= /,+ ... +/5_/6>0 [ae^;(ao, d0, W^B]. (8)
Отсюда, полагая о = д, получаем утверждение 5). По
теоремам I. 5.26 и 1.4.21 и определению функции Л, функция (аР, т)->
-*й(аР, т, а(т)) ©X ^-интегрируема для всех as^ Отсюда,
в силу определения функции Л, условия 4) и теоремы Фубини
I. 4.45, имеем
tx tx
h < \ © (rfarp) \ Л (<хР, т, а (т)) dt = \ dx \ h (aP, т, а (т)) © (dorP),
#• 'о
'i tx
h — \ © (daP) \ A (crP, r, a (t)) dx = \ dx \ Л (aP, т, a (т)) 0 (rfaP).
Положив (oq, <20> ^i) = (5o, 60, &i) и комбинируя последние два
соотношения с условием (8), получаем
\ [И (т, а (т)) - Я (т, а (%))] dx>0 (as <?). (9)
'о
По теореме IV. 1.4, пространство (rpm(/?), | • |w) сепарабельно,
и легко видеть, что h е О (со X И, С (rpm (/?), | • ij). Отсюда
следует, что функция Н ограничена, и для всех t^T hsg rpm(/?)
Функция #(«,s) измерима, а функция H(ty •) непрерывна
на (rpm(/?), | • |w). Выберем всюду плотное подмножество
'sb 52, ...} из (rpm(/?), | • I») и для каждого /eN и £еЕв(Л
положим
g(T) = S/ (те£), а(т) = а(т) (т§ё£).
553

Тогда -Н (т, S/) > Н (т, ст (т)) почти всюду для всех /' <= N. Поэтому
#(т, a(T)) = inf#(T, s;) = Min Я (х, s)
I serpm(#)
для почти всех теГ, Это доказывает утверждение 2) и
завершает доказательство теоремы.
Замечания
Результаты этой главы были получены в ноябре —декабре
1971 года и до сих пор не опубликованы. Читатель, знакомый
с теорией вероятности, отметит, что для заданных а= a® n^9,lJ,
t еГ и £gSb (Rp) мера a (t) является предельной вероятност-
ной мерой для 6(t)y a n{t, г)(£) — условная вероятность
множества Е для заданного г.
Теорема, похожая на теорему Х.3.7, появилась в работе
Варги [15, теорема 6.3, стр. 665]. Однако я должен отметить,
что утверждение этой последней теоремы неточно, а
доказательство некорректно, так как на языке теоремы Х.3.7
функция (т, сгр)->(тя(т): Т X &р -> (rpm (RP), I • |w) рассматривается
как |i X ©-измеримая функция (что нельзя проверить, по крайней
мере, без выбора для каждого аР соответствующего элемента
из. его ^-эквивалентного класса). Однако цитируемую теорему
можно уточнить и ее доказательство можно поправить,
переопределив, соответственным образом, значение интеграла вида
со(doP) J а(<тР, т, rp)<jp(%)(drp), где функция (т, вР, гР) ->
-* а(ор, т, гР) принадлежит пространству Ll(\i, С (^р X/?/>))•
Я не буду здесь этого делать, так как теорема X. 3.7
перекрывает как в теоретическом, так и в вычислительном смысле
«исправленный» вариант теоремы [15].

Глава XI. УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НЕОБХОДИМЫЕ
УСЛОВИЯ БЕЗ ПРЕДПОЛОЖЕНИИ
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
XI. 0. Формулировка задачи
XI. 0.1. Обозначения и формулировка задачи. В
соответствии с предыдущими обозначениями положим
\w\ = \{w\ ..., wk)\=- мах \wl\ (w = (w\ ..., wk) е R*),
\М\ = \(Ми)\ = мах £|Af„|, (M^We^fR'.R*)], '
I ^ i ^ ft /■"!
и определим расстояние в пространствах R* и 9?{Rl, Rk)
соответствующим образом. Обозначим через е{ /*й столбец
единичной матрицы, а через [аи ..., aj\ — матрицы со столбцами
аи ..., аь. Если ^/cz5?(Rn/, R*/-') (/ = 1 ft), то положим
k д
Из контекста будет ясно, что это не декартово произведение.
Обозначим через [а меру Лебега в пространстве R*. Значение k
будет определяться контекстом. Выражение «измеримый»
используем в смысле «измеримый по мере Лебега в пространстве R».
Выражение «измеримый по Борелю» означает «2д ^-измеримый»,
когда топологическое пространство S задано. Будем говорить,
что функция <р: А"->У, где X, Y — метрические пространства,
удовлетворяет условию Липшица с константой а, если
d (Ф (*,), Ф (*2)) < а^ (*ь *г) (хи х2 е X).
Если Я? и ^ — банаховы пространства, ЛсЖ, ф: Л->^, и
производная ф' существует и непрерывна, то назовем
функцию ф функцией класса С].
555

Пусть л, m, /tt2eN, V — открытое подмножество из R*,
Г = [*о, *i], ГА — компактное подмножество из Г, Л0 и Л1 —
замкнутые выпуклые подмножества из пространств Rn и Rm
соответственно, Л — выпуклое тело в Rm2, и
f: TXVXR~»Rn, (Л°, Л1): K->RXRW, h2: Th X V-►Rm2.
Предположим, что для всех (т, v, г) ^Т X V X Я и / е ГЛ
функция /(•, v, г) измерима, функции /*(т, •, •) и Л2
непрерывны, и для любого компактного подмножества V* cz V функции
f(x, -,r), h°,h\h2(t, •)
ограничены общей константой на множестве V* и
удовлетворяют условию Липшица с общей константой. Ясно, что эта
константа не зависит от т, t и г. Предположим также, что
множество R*(f) замкнуто для всех /еГ.
Для (а, а0) е <У* X А0 обозначим через у (/, а, а0)
единственное решение уравнения
t
у(t) = оо + J /(т, у (т), а(т))dr (/еГ), (1)
и
если такое существует. (Это решение единственно, по теореме
II. 4.5). Будем говорить, что функция А1 является (/, Л0, Л2, Л)-
управляемой (или просто управляемой, если значения (/, Л0, Л2, Л)
заданы) в rowe (о0, а0) /гри помощи обобщенных управлений,
если ar0e£^f Oog4
A2(^,i/(f, or0, а0)(0)еЛ (/еГа), (2)
и множество
{А1 (</(/, <т, ао)(^))|аеП а0Е\
А2 (',</(/, or, a0)(t))ezA°(t^Th)} (3)
содержит некоторую окрестность точки hl{y{ft а0, a0)(/i)) в
пространстве Rm. Назовем функцию А1 управляемой в точке (a0, а0)
при помощи обычных управлений, если данное выше
определение справедливо, когда множество 9* в условии (3)
заменено на Я*.
XI. 0.2. Общие замечания. В параграфе VI. 2 мы
исследовали необходимые условия обобщенного и обычного минимума
в задачах оптимального управления, описываемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями. Однако эти
исследования были основаны на предположении, что функции /(/, «,г, 6),
ЛоК b), /*i(-, Ь) и h2(t, •, Ь) имеют непрерывные производные.
В этой главе мы рассмотрим аналогичные задачи, когда
предположение дифференцируемое™ заменено на условие Липшица.
С другой стороны, мы потребуем, чтобы множество В
управляющих параметров было подмножеством некоторого простран-
55&

Ства R*. Так как мы можем отождествить любое 6eR* с такой
абсолютно непрерывной функцией t-+b{t): T->Rfe, что b(t0) = b
и b{t) = 0 (t^T), то предположение о том, что BczRfe
позволяет нам заменить задачу из параграфа VI. 2 на эквивалентную
задачу, в которой на y{t0) наложено ограничение вида !/(/0)еЛ0,
а функции /, h0t h{ и h2 не зависят от Ь. (Мы заменили
обозначение ht на К для того, чтобы упростить некоторые
выражения.)
Наши основные результаты о необходимых условиях и
управляемости включают в себя понятие экстремали, которое
раньше определялось через частные производные /0, hlv. Так как
мы больше не предполагаем существование этих производных,
то нужно расширить понятие экстремали на нашу задачу. Мы
сделаем это, используя понятие производного множества
(определение XI. 1.1), которое является обобщением понятия
непрерывной производной на функции, удовлетворяющие условию
Липшица. В параграфе XI. 1 мы изучим производные множества,
а в параграфе XI. 2 применим их для получения теоремы об
обратной функции в том виде, который потребуется нам для
изучения управляемости и необходимых условий. Основными
результатами параграфов XI. 3 и XI. 4 являются теоремы XI. 3.2,
XI. 3.3 и XI. 4.2—XI. 4.4. Они основаны на понятиях
«обобщенной экстремали и обобщенной неэкстремали» (определение
XI. 3.1) и «слабой экстремали и слабой неэкстремали»
(определение XI. 4.1). Теорема XI. 3.2 (теорема XI. 4.2) утверждает,
что если точка (а0, а0) является обобщенной (слабой)
неэкстремалью, то функция hx управляема в точке (а0, а0) при помощи
обобщенных (обычных) управлений. Теорема XI. 3.3 (теорема
XI. 4.3) утверждает, что если точка (а, uq) доставляет
обобщенный (обычный) минимум функции Л° (f/(/, a, aQ){t{)) при
ограничениях о <=&"*, (а <= Я*), а0еД и
h2(t, y(f, а, а0)(/))еЛ (/еГА),
то (а, а0) является обобщенной (слабой) экстремалью,
удовлетворяющей некоторым условиям типа условий
трансверсальности. Наконец, теорема XI. 4.4 утверждает, что если
существует строгое ^-решение, то задача является анормальной.
XI. 1. Производные множества
Рассмотрим в этом параграфе функции <р: V-*Rm,
удовлетворяющие условию Липшица. Напомним, что V — некоторое
открытое подмножество из пространства Rrt.
XI. 1.1. Определение производного множества. Назовем
ограниченное семейство с индексом
{Л8<р(*)|е>0, V&V)
557

непустых замкнутых подмножеств из пространства S?(Rn, Rm)
(это семейство будем также обозначать через Л8<р) производным
множеством функции ф, если
Леф(у)с:Лв'ф(у) (е'>е),
и для любого компактного подмножества V* а V существует
такая последовательность (q>t) функций класса С1, определенных
в некоторой окрестности множества V*9 что Нтф/ = ф
равномерно на V* и для любого е > 0 существуют такие / (е, Vм) и
б(е, V*)>0, что
ф< (v) <= Леф {w)y (/ > / (е, V*), шеГ, | и - w К б (е, К*)).
Введем также обозначение
АФ(о)= П Л8Ф(^).
е>0
Так как множества Лвф(и) компактны, то для всех v ^V и т)>0
имеем Лф(у)=7^=0 и, по лемме XI. 1.3, данной ниже, существует
такое ео=ео(0, г\) > 0, что
A\{v)czSFA9{v)9x\) (е<во).
Следующаятеорема дается без доказательства, которое читатель
может найти в работах Рейдмахера [1], Федерера [1, стр, 216]
или Фридмана [3, стр. 122].
XI. 1.2. Теорема (Рейдемахер). Функция ф
{удовлетворяющая условию Липшица) имеет производную ф (v) для \х-почти
всех ueF.
' XI. 1.3. Лемма. Пусть А^ (г\ > 0) — такие непустые ком:
пактные подмножества из пространства R*, что Ац> a Ayf, если
v[ < т\". Тогда для любого е > 0 существует такое г\ (е) > 0, что
A^aSFff} Arte), (1)
\т}>0 /
П соЛ„«со П \ (2)
Доказательство. Пусть А0 = \ \ А„ и е > 0. Если для
т)>0
каждого /eN множество Ащ содержит точку х}^SF(А0, е), то
рассмотрим любой предел х подпоследовательности из (хи хъ ...).
Тогда x^A\/i для каждого /. Следовательно, х^А0. Но в то же
самое время d[x, Л0]^е. Получили противоречие. Таким
образом, существует такое /0, что Ai/j0czSF(AQ, е). Это доказывает
утверждение (1), когда л (е) = 1 //0-
Для всех ц е (0, г\ (е)] мы имеем
со Лл с: со Ац (е) с со SF (Л0, е) с: SF (со Л0, е).
658

Следовательно,
П со A^czSF (со A0i е).
п> о
Так как е > 0 произвольно, то
со А0 с П со Лл cz со Д).
tl>0
XI. 1.4. Определения. 1) Предположим, что (V/) —
неубывающая последовательность открытых подмножеств из К,
а ф/: I/j->Rm — такие функции класса С1 с равномерно
ограниченными производными, что для любого компактного
подмножества V* cz V существует такое Г, что V*czV*i и Нтф£=ф
i
равномерно на множестве V*. Если мы положим,
Леф (до) = cl {ф, (у) | / > 1/е, |и —до|<е, i>eKJf
то Л8ф является производным множеством для функции ф, когда
t(e, П>тах(Г, 1/е), б(е, П = тт(е, d[K*, dV,.]).
2) Пусть N cz R",
Олгф(ш) = со{ф(у)||у — до К е, v^V\N} (шеУ, е>0).
Производные в правой части берутся только в тех точках, где
они существуют. Пусть, далее,
дууф(до)= П дл'Ф(до), деф = д0ф, <5ф = д0ф.
л
8>0
3) Пусть ф=(ф\ ..., фт),
ВЪ(и) = {(2аУ{[у1(х + аек)-<(1(х-ш>к)]\\х-и\^е,
О <а<е, л:, x±a5feel/},
Обозначим через Лвф (v) _семейство всех таких M = (Mik)^
е= 2ЧНЯ, Rm), что Л1^есоВ?л(о)-
Рассмотрим некоторые свойства производных множеств.
До конца этого параграфа значения ф, У, п и т такие, как
это дано выше, и если не оговорено противное, то Лвф
—произвольное производное множество для функции ф.
XI. 1.5. Теорема. Если ц(Л0 = 0, то д%<$ и ^ —
производные множества для функции ф.
Доказательство. Для каждого / = 1, 2, ... пусть
Pji R"->R — функции плотности вероятности класса С1 (т. е.
неотрицательные и удовлетворяющие условию \ Pj{y)\i(dy) = 1),
равные .нулю вне шара P/ = Sy?(0, 1//) с: Rrt. Пусть V*—
559

произвольное компактное подмножество из V и /0 таковы, что
SF(V\3JticV. Для каждого xezSF(V\ 2/j0) и />/0 пусть
ф/ (*) = S ф {х - у) р/ (г/) и (<*у),
л ? О)
fff (х) — ) Ф (х - у) Р/ (у) |1 (dy).
р/
Этот последний интеграл существует, так как, по теореме Рейд-
махера XI. 1.2, производная ф существует почти всюду,
а функция у->у(х~у) измерима и ^-существенно ограничена
константой Липшица для функции ф. Для каждого такого
zeRR, что 0 < | г |< 1//о, имеем
|гГ1|ф/(* + 2)-Ф/М-Я/(д:)2|<
< \\гГх\ч(х — у + г) — ч(х — у) — ч(х — у)г\р1{у)р(йу).
pf
Это подынтегральное выражение ограничено функцией 2kpf(y)f
где k — константа Липшица для функции ф, и сходится к нулю
при z->0 для ц-почти всех y^Pj. Из теоремы 1.4.35
следует, что
Н,(х) = <р,(х). (2)
Пусть теперь NczRn и ц(Лг) = 0. Тогда, по условиям (1)
и (2),
Ф/М3 ) v>(x — y)Pi{y)\i(dy)-
{y<=Pf]x-y\e=N}
Так как р/ — функция плотности вероятности, то этот последний
интеграл принадлежит, по теореме 1.6.13, любому замкнутому
выпуклому множеству, которое содержит точку фх (д: — г/).
Поэтому
ф, (X) € д#'ф (X) (х € S' (Г, 1//0), / > /0). (3)
Мы имеем
d%cp(x)^dV\(w) {х, wezV, lx-юКч, е, т) > 0). (4)
Для любого е > 0 пусть
б(е, Г) = е/2, /(е, П>мах(/0, 2/е).
Тогда из условий (3) и (4) следует, что
Ф,(х)е^Ф(«О (/>/(в, П, »еГ,|х-»Кв(в, П).
Нетрудно проверить, что Нтф/ = ф равномерно на V*. Таким
образом, д]уф — производное множество для функции ф.
560

Наконец, ясно, что
<3§Ф (и) с= Двф (v) (е > 0, ve V).
Откуда следует, что Л8ф также является производным
множеством для функции ф.
XI. 1.6. Теорема. Пусть Vj —открытое подмножество
некоторого пространства Rn/ для /=0, 1,..., k, функции
. Yj-^Vj-i удовлетворяют условию Липшица, Л8ф/ —
производное множество для функции ф/ и ф = ф! о ... о щ. Тогда
выражение
Л8ф(^ = ПА£ф/(ф/+1о ... °Ф*(а))
определяет производное множество для функции ф, и
k
Лф (v) = П ЛфУ (ф/+1 о ... о фл (о)) (V е= у).
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай k = 2.
Общий случай доказывается по индукции. Ясно, что Л8ф (v) cz
сЛ8'ф(и) (е' > е). Пусть теперь подмножество V*cV
компактно, V*2 = V\ V*=(f2(V*)9 для /=1, 2 пусть (фм) —
последовательность, связанная с V* и Л8ф7, и пусть 6/(8), «у (в)
представляют соответствующие выражения б(е, К/), /(е, V]). Тогда
функции Ф/==Фь / °Ф2, i (* = 1, 2, ...) определены и являются
функциями класса С1 в некоторой окрестности V множества V*
в У, и итф; = ф равномерно на V*.
Для каждого е > 0 существуют такие 6(e) > 0 и / (е) >
>тах[/!(б), «2 (в)]» ЧТ0
I Ф2. i («О - Ф2(») Kfii (е), I о - ш 1<62(е),
если |и — ш|<5(е) и />/(е). Таким образом, для />/(е),
оеК, шеГ и |и-— ш К 6(e) мы имеем
Ф* М = Фь / (Ф2,/ (<0) Ф2, / («О S AV (»)•
Следовательно, Л8ф — производное множество для функции ф.
Ясно, что Лф,(и)Лф2(о)с:Лф(сО. Пусть теперь AfeA(p(t)),
Тогда для каждого /=1, 2, ... получаем, что Л! = Ми£М2,*,
когда Af/jsA^/fii). Так как каждое множество А|/'ф/(о)
компактно и не возрастает по /, то можно выделить такую
сходящуюся подпоследовательность из {{Ми и М2% *))> что М =
— Пт Mlt i • lim М2, t е Лф! (и) Лф2 (и).
XI. 1.7. Теорема. Если пг = п=1, то
ду (v) с Лф (v) (v <= V).
m

Доказательство. Пусть х е У, е > О, SF (х, а) = У* с: у
где а > 0, (ф^) — последовательность аппроксимаций,
соответствующая множеству У*,
6=min(a, в (в, У*)), /0 = '(е, П, vx, v2<=SF(x, 6/2).
Предположим, что функция ф дифференцируема в точках v{
и и2. Для любого у\ > О существует такое А, что 0 < h < 6/2 и
I Ф Ы - Л"1 [Ф (vh + h) - Ф Ы] | < л (* = 1, 2). (1)
Можно выбрать такое достаточно большое iu что *i^/0 и
I Л"' [ф fak + Л) ~ ф К)] - А"1 [ф; (vk + h) - Ф, Ы] | < п (2)
(/>/,, *=1, 2).
По теореме о среднем существуют такие Qkti^[0, 1], что
Л"1 [Ф, (** + Л) - ф, (vk)] = ф, (о, + Qkt th) (3)
(ft=lt 2, f=l, 2, ...).
Так как функция ф,. непрерывна, то интервал S., соединяющий
точки Vi(yk + Qk j-Л) (Л=1, 2), содержится в образе интервала,
соединяющего точки 0Л + 0Л§/А (&=1, 2) при отображении ф;.
Так как каждая точка последнего интервала принадлежит
отрезку [л* —6, х + 6], то
5,с=Л8ф(л:) (l>i\).
Таким образом, по условиям (1) —(3), интервал /, соединяющий
точки ф(1>1) и ф (у2)^ содержится в множестве SF(ABtp(x), 2т))
для любого г\ > 0. Следовательно, / cz Л8ф (х). Это означает, что
со[ф(у)||у-А;|<уб}сгЛеф(А:) (х е= У, е > 0)
(Производная в левой части рассматривается только в тех
точках, где она существует.) Отсюда следует, что
дф (х) с Лф (х) (х е У).
XL 1.8. Теорема. Для любых a GRm и Ъ eRn мы имеем
ат дф {v) cz ат [со Лф (v)] {v е У), (1)
дф (и) 6 с [со Лф (о)] 6 И У). (2)
Доказательство. Пусть a е Rm, b е Rn, х е У, и пусть
a > 0 таково, что jf + ftGF, если | /1 < е. Положим
ф(0 = агф(х + /6) . _(|/|<а).
583

По теореме XI. 1.6 а Л8ф(* + tb)b — производное множество для
функции ф. Нетрудно показать, что
aTdBcp{x + tb)b^de^(t).
Таким образом, по теореме XI. 1.7
ат<?ф (х) Ъ а агЛф (х) Ьаат [со Лф (*)] Ь. (3)
Для любого aGRw атд(р(х) и ат[соЛф(х)] — выпуклые
подмножества из пространства {Rn)*. Таким образом, утверждег
ние (1) следует из условия (3) и теоремы 1.6.10 об отделимости
различных выпуклых подмножеств из пространства R".
Утверждение (2) доказывается аналогичным образом.
XI. 1.9. Теорема. Если m=l и точка v доставляет ло?
кальный минимум функции ф, го 0е Лф (v).
Доказательство. Обозначим здесь | • |2 евклидову норму
в пространстве Rn и через S2 обозначим соответствующий
замкнутый шар.
Пусть точка v доставляет минимум функции ф на множестве
££(£), 6о). Предположим от противного, что О^Лф(и). Тогда
существуют такие положительные ею, yj, 6 и /0, что
б < 60, 0 ф Ле°Ф {v\ | ф. (v) \2>г) (уе SF2 (v, б), / > /J,
где (ф,) — аппроксимирующая последовательность,
соответствующая множеству S2 (v, 6j).
Пусть теперь число / фиксировано и i^i0. Так как
функция ф, непрерывна, то дифференциальное уравнение
й(0г=-ФД«(0), v(0) = v
имеет решение класса С1, которое можно продолжить на
множество всех таких t^Q, для которых
\v(x)-v\2<6 (te[0,/l).
Для любого такого t мы имеем
t
Ь (^ (0) - ф< (б) = J ф, (v (т)) v (т) dx =
о
t t
= -5|Ф,Ит))£л<-л$|Ф,И*))Нт. О)
о' о
Следовательно,
t
% (о(0) - %{*)< - л 5 | ф, (v(т))|2dx < - rft. (2)
О
663

Более того,
I ' I *
МО-вЬ- $*(т)Л <\\Vi(v{x))\2dx. (3)
I 0 \2 О
Таким образом, по условиям (1) и (3), имеем
Ф* (v (0) - Ф| (б)< - Ч| о (/) - б |2, (4)
если | v (т) — v |2 < б (те [0, /]).
Так как функция ф. ограничена на множестве Sg(v, б), то
из соотношений (2) — (4) следует существование такого t{ > 0,
что
И0-Н<6 (*е[0,Ш. lo^-et-e.
Тогда из условия (4) получаем
Ф* ИМ) — Ф| («О < — тД
Таким образом, для любого /^/0 существует такое
v( е S£ {v, 6), что ф, (ut) — ф (v) < — ri6. Выбирая
подпоследовательность из (Vi) с пределом weS77^, 6), получаем
Ф (w) — ф (у) ^ — Т|б.
А это противоречит предположению о том, что точка v
доставляет минимум функции ф на множестве S£(vy 60).
XI. 1.10. Теорема. Если /л=1 и функция ф или — ф
выпукла в некоторой окрестности точки б, то
дф (v) а Лф (у).
Доказательство. Предположим сначала, что
множество V и функция ф выпуклы. Если 5еУ и производная
ф'(3) существует, то для всех иеУ, 8е(0, 1] и Аи = о-8
мы имеем
ф(9и + (1-9)5) = ф(5 + 9Лу)<9ф(у) + (1-е)ф(5).
Следовательно,
ф(«0 — ф(5)>9-1[ф(5 + 9Д1>) — Ф(в)]^ф(0)(з —б).
Таким образом, точка 5 доставляет минимум функции 0->ф(и) —
— ф(5)у. Если уеКигге дф(б), то, по лемме XI. 1.3, точка zT
является выпуклой комбинацией точек Лг, каждая из которых
является пределом такой сходящейся последовательности (ф (*/))»
что lim*/ = 6. По нашим предыдущим рассуждениям,
Ф (*/) — Ф (*/) */ < ф (о) - ф (*/) у. (^ € К).
Следовательно,
Ф {v) - Агб < ф (у) - KTv (v е= I/).
564

Поэтому
Ф (v) — zTv < ф (v) — zTv {v e V).
Из теоремы XI. 1.9 следует, что ОеЛг|)(а), где Л8г|з —
произвольное производное множество для функции ty{v) = y(v) — zTv.
По теореме XI. 1.6, Леф — zT — производное множество для
функции г|). Таким образом, zT е Лф {v).
Если функция — ф выпукла, то — Л8ф — производное
множество для функции — ф и д (— ф) (v) = — дф {v). Таким обра*
зом, наше утверждение остается справедливым. Если функция ф
или — ф выпукла в некоторой открытой окрестности V а V, то
наше утверждение следует из сужения функции ф на
множество V.
XI. 1.11. Теорема. Пусть Л8ф дано в определении XI. 1.4(1).
Тогда для любого компактного множества V* а V и д> 0
существует такое у\ = л (б, V*) > О, что
А\ (v) с SF (Лф (w), 6) (оеК, bisT, |о-1»Кт|).
Доказательство. Пусть (фх) — последовательность,
которая определяет производное множество Л8ф. Если эта
теорема не справедлива, то существуют такие 1ц > 0, компактное
множество V*0 с V и последовательности (у^ в V, (w^ в V*,
Ы в (0, 1] и (Mt), что
Af, € л\ (о,), d [Mh Лф (о;,)] > й0.
Мы можем считать, что \imwi = w ^ V*0 и UmMt = M9 так как
все множества Л 'ф(с^) равномерно ограничены.
По определению Леф, для любого i существуют такие
U > l/et- h^gI^, что
|»|-^|<Л|, |м<-Ф/Д^)|<1Д*.
Следовательно,
d [Ф/, ("/)> Л(Р (ш 0] > Ло - l/L
С другой стороны,
Лф (wi) а Лл< ф (о;,) с: Л2я< ф (й).
Так как множества Леф(ш) компактны и убывают при е->0
и так как lim т]^ = 0, то
Лф(^)с5/?(Лф(а)), ho/2)
665

для достаточно большого /. Таким образом,
**[*/,("<)' ЛФ№)]>Л0/4
для больших /. Но этого не может быть, так как lim }t = оо и
limui = wJ и поэтому предел любой сходящейся
подпоследовательности из /ф; (и(у\ должен принадлежать множеству Лф(ф).
XI. 1.12. Теорема. Пусть А — выпуклое тело в
пространстве Rft « Og А0. Тогда существуют такое а > О и такая вы-
Д у
пуклая функция Фл = <р: R ->R, удовлетворяющая условию
Липшица {калибровочная функция множества Л), что
ф(*)<1 (хе=Л°), ф(а:) = 1 (jc €= <ЭЛ),
ф(х)>1 (*<£Л), (1)
ф(« + к)<фМ + ф(») (*, ye=R*), (2)
w (5ля любого x^Sp (дА, а) выполнено условие
<Эф (*) с= {kT | АГФ (я)"1 Jc = max \Ta, \ lT I > | 2jc I"1}. (3)
Доказательство. Пусть ф — калибровочная функция
множества Л, т. е.
Ф(jc) = inf {а> 0\а~1хе= А) (х е= R*).
Из теоремы 1.6.4 следует, что соотношения (1) и (2) выполнены,
функция ф выпукла и непрерывна и для всех х, у е R*
выполняется условие
|ф(#)-ф(*)К™ах[ф(*/ — *), Ч>(х — у)]<\У — х\ supq>{SF(0, 1)),
т. е. функция ф удовлетворяет условию Липшица.
Непосредственно проверяется, что если ф (х) Ф 0, то
tt(jt) = sup{s|s|*nlJte Л} = ф(*)-1|*| < оо,
и существует . такое а > 0, что SF (О, а) с: Л°, ф (х) > V* и
|jc|><x, если d[x, <ЭЛ]^а. Пусть дс таково, что d[jc, <ЭЛ]^а,
и производная ф(лг) существует. Тогда <р{х)~1 х ^дА,
существует такое X е Rfe, что
Лгф (jc)"1 jc = max А/а, | Хт |= 1,
и у(уУ1у едЛ для всех г/ из некоторой окрестности точки х.
Следовательно, функция Хту{у)~ху имеет локальный минимум
в точке у — х и ее производная в точке х равна нулю. Таким
образом,
Ф (х)~ lKT-<f (jc)"2 {Ьтх) ф (jc) = 0.
566>

Более того,
ф(х)~1Л,гх>Яга (as А). .
Следовательно,
?(xr4rx>sup{^t/||u|<a}>a>0.
Таким образом, Хтх ^ аф (х) > 0. Мы получаем, что
ф(Х) = (A/*)""1 ф(Х)Лг, ф_(*)^ = фМ> 72.
и значение Хт единственно и равно | ф (х) |—1 ф (л:).
Ясно, что если x&Sp(dA, а), то все точки дс, достаточно
близкие к точке х, удовлетворяют условию
ф(х)>1/2, \х\>а9
и поэтому
Лр(*)с: П со{Я,г||^-хКе, Хт<р(х)~1х = тгхЬта, А/х>1/2}.
в>0 аеЛ
Пусть теперь
/Се = cl {Я,г 11 д: — .v К е, Я,гф (*)"** = max Лга, Л>1/2},
к= П *'•
е>0
Тогда из последнего соотношения и леммы XI. 1.3 следует, что
d(f{x)czcoK. (4)
Ясно, что каждый элемент Хт е К является пределом такой
последовательности (к]), что для каждого /=1, 2, ...
существует точка xt е V, удовлетворяющая соотношениям
Мр (х,)~1 х, = max Цау Цх, > 1/2, lim х, = х.
Так как у{х)Ф0 и функция ф непрерывна, то из этого
соотношения получаем
кт(((хГ1х = тахЬта, А,г*>1/2.
Ясно, что множество всех Лг, удовлетворяющих этим двум
соотношениям, выпукло. Наши утверждения теперь следуют из
условия (4).
XI. 1.13. Замечание. Теорема XI. 1.10 показывает, что
<3 Ф является «наилучшим» производным множеством для
выпуклых или вогнутых функций. Однако при отсутствии выпуклости
или для m > 1 могут найтись «лучшие» производные множества.
Например, рассмотрим функцию ф: R2->R,
ф(^ь v^ — \\vx\ + v2l
567

Ясно, что dqp(0, 0) является квадратом [—1, I]2. С другой
стороны, если мы положим
ф2(*>ь v2) = \v{\+v2f ф,И=|ау|, ЛвФ/=сЛр/,
то теорема XI. 1.6 дает такое множество Л8ф, что
ЛФ(0, 0) = {а(р, 1)|о, ИМ, 1]},
и это множество является объединением двух треугольников
с вершинами в (0, 0), (1, 1), (-1, 1) и (0, 0), (1, -1), (-1, -i)
соответственно. Поэтому Лф(0, 0) является подмножеством из
<?ф(0, 0). Действительно, если мы положим ф(п,, v2)=q>(vu v2) +
+ t>i/2 и определим множество Лф (0, 0) аналогично множеству
Лф(0, 0), то Лф(0, 0) = ЛФ(0, 0) + (1/2, 0) и (0,0)^^(0,0),
но (0, 0)^Лг|)(0, 0). Таким образом, используя множество Лф,
по теореме XI. 1.9, мы получаем, что функция г|) не имеет
минимума в точке (0, 0). Однако, используя множество до|)(0, 0),
мы не можем ответить на этот вопрос.
Для всех рассмотренных примеров всегда выполнялось
соотношение
дф (о) cz со Лф (v).
В частности, это соотношение выполняется для производных
множеств, построенных с помощью теоремы XI. 1.6, если все
функции ф/ и ф дифференцируемы в соответствующих точках,
a Ae<f>j = de((f. С другой стороны, теорема XI. 1.8 дает более
слабое утверждение, за исключением случаев т=1 или я = 1.
Таким образом, вопрос о справедливости этого соотношения
в общем случае остается открытым.
Рассмотрим теперь «частные производные множества»,
которые возникают в задачах оптимального управления и в задачах
управляемости. Пусть X и Y — компактные метрические
пространства, v — положительная мера Радона в X, а функция
-ф: XXVXY-+R"1 такова, что функция -ф(*, v, у) v-измерима,
функция ^(х, •, •) непрерывна и функция 'ф (а:, •, у)
удовлетворяет условию Липщица с константой, не зависящей от х и у.
XI. 1.14. Определение. Ограниченное семейство
{Aei|)(*, v, f/)le>0, (xtvyy)<=XXVXY)
непустых замкнутых подмножеств из пространства i?(Rn, Rm)
(мы обозначаем это семейство через Л8,ф) называется
производным множеством функции г|? (относительно аргумента v), если
Леф (х, v9 у) cz Ле> (х, v, у) (е' > е),
и для любого компактного множества V* с: V существуют такая
окрестность V множества V* в V и такая последовательность
функций фр: XXVXY->Hm (р = 1, 2? ...), что каждая функ-
568

ция typ имеет частную производную ^pv, обе функции typ и ^
измеримы по v и непрерывны по (v, у), \\т^р = ^ равномерно
р
на X X У* X У у и для любого е > 0 существуют такие / (е, V ) и
в (в, П>0, что
(р>/(в, П. fewjls^X^Xy, 1*-»К*(в,П).
Положим
А*(*. v, у) = П Лег|)(х, о, (/),
е>0
и для всех N cz R", (*, ш, у) е= Л" X К X Y и е > 0 пусть
Л+(*, », v) = со {♦*(*, о, л)ЬеУ\^, |о — w|<e}.
(В правой части берутся только те точки, для которых
производная о|)0 (х, v, у) существует.) Определим множества <Э8,ф, dNty
и дф так же, как и в определении XI. 1.4(2).
XI. 1.15. Теорема. Пусть Vt (/ = 0, 1,..., k) —открытые
подмножества из некоторого пространства Rn', fy: ХХУ(ХУ-+
*(*, •• У) = Ъ\(х, •, У)° ••• •♦*(*. •, У) (*е=*, уе=У).
Предположим, что каждая функция я|^ (х, иь у) ^-измерима по х,
непрерывна по (viy у) и удовлетворяет условию Липшица по vt
с константой, не зависящей от х и у. Если Лег|^ — производные
множества для функции ^ (относительно аргумента vt) и
л k
лЧ(*, о, у)*=II аЧ< (*• *«+! (*, •, у) ° • •. ° ** (*, •, у) (о), у),
то Ле,ф является производным множеством для функции ур
(относительно аргумента v) и
k
л* (*, v9 у) = П А*, (*, ^+1 (х, •, у) о . . . о t|)fe (*, ., у), у). (1)
Более того, если ji(AO = 0, го длЛ|) является производным мно»
жеством для функции -ф относительно аргумента v.
Доказательство. Пусть ф* (/=1, ..., &, р=1, 2, .. .) —
аппроксимации функции ty для значений V* и Л8\|>/. Положим
*Р(*. •, »)■=*?(*, .j)o ... otf>(x, ., у) (*€=*, ye Г).
Тогда функции г|эр и i|)£ v-измеримы по х и непрерывны по (v9 у).
Так же, как и в доказательстве теоремы XI. 1.6, можно пока-
569

зать существование таких б(е, V*) и /(е, V*), не зависящих
от х и у, что
+S (*, °. #) е ЛЧ (*, о». У),
если p>i(e, Г), (*, а», у) е XX V X Y и | о -а» |<6(в, Г).
Таким образом, Л8,ф — производное множество для функции ф
и соотношение (1) следует из теоремы XI. 1.6.
Пусть теперь р} и Pt такие же, как и в теореме XI. 1.5,
Ф/ (х, v, у) = $ •ф (х, v - а», у) р/ (да) ц (day), (2)
р1
/(в, n=inf{/e{l, 2, ...}|S'(K*. З/ДсУ, />2/в>.
Тогда, как и в доказательстве теоремы XI. 1.5, если \i(N)=Ot то
<Piv(x,viy)^deNcp{xtw>y) {v9weVt |t>-w|<e/2, j>i(e,V%
Более того,
Ф/t, (*, я, v) = J ♦ (*, t> - ш, y) p'i (w) \i (<to).
Отсюда, по условию (1) и теореме 1.4.35, получаем, что
функции фу и <р/0 непрерывны по (и, у). Они также v-измеримы по х,
так как функция -ф v-измерима по х.
XI. 2. Теоремы об обратной функции
XI.2.1. Лемма. Пусть А —непустое замкнутое выпуклое
подмножество из пространства R". Пусть | • |2 обозначает
евклидову норму в R", а шары S2 в Rrt определяются
соответствующим образом. Тогда для каждого ^gR" существует такая
единственная точка s {х) е Л, что
\х — $ (*) к < I х — у |2 (f/ е Л),
и функция x->s(x): Rn->i4 непрерывна.
Доказательство. Пусть ^gR" 6 е Л и В ж
A f
=ЛП52(а:, |6—jc|). Тогда множество 5 компактно, и функция
у -* | л: — г/|2: В -► R достигает минимума в некоторой точке *л е В.
Ясно, что
l* — 0ll2<l* —Ук (У^ Л).
^ А
Если у2 — другая такая точка и г=-у2 — у\, то
\x-yx\\<\x-yx-tz\\ (*€=[(), 1]).
Следовательно,
670.

Меняя местами ух и уъ получаем
2г-(л; — у2)>0.
Поэтому г • (ух — у2) = — I У\ — у2 \\ > 0. Мы получаем, что ух = уъ
т. е. точка s(x) единственна.
Пусть теперь jgRS \imyf = y. По теореме 1.2.10,
функция х->\х — s(x) |2 непрерывна, и поэтому
Ип\\ У1 — s(yj)\2 = \ у — s(y)\2.
Таким образом, функция {s(yf)) ограничена. Если
последовательность (s(t//))/s/ сходится к некоторому геД то
\У — z\2 = \y — s{y)\2.
Следовательно, z = s(y). Таким образом,
lims(yf) = s{y).
XI. 2.2. Лемма. Пусть А — выпуклое подмножество из Rn,
А —открытая окрестность множества А и функция qp: A->Rm
непрерывно дифференцируема. Тогда
ф(и) —ф(до) е со{ф(до + /(с> — w))(v — w)\ 0<f< 1}
(у, до е Л).
Доказательство. Пусть о.ше^и
1К0 = ф(до + Ф-ш)) (0</<1).
Тогда функция -ф непрерывно дифференцируема и
\|э (0 = ф (до + / (с; — до)) (и — до).
Отсюда следует, что
ф(1) — ф(0)= $ф(до-И(о — до)) (и-до) d/.
о
Следовательно, по теореме 1.6.13,
Ф (и) — ф (до) е со {ф (до +1 (v — до)) {v — до) 10 < / < 1}.
XI.2.3. Лемма. Пусть А —замкнутое выпуклое
подмножество из пространства R", А —открытая окрестность
множества Л, ОеЛ, функция ф: Л -► R* имеет непрерывную
производную и \ ф (v)~l |<c(og4 ##СГ6
A={yv\v ^А, Y>0},
0<a<sup{Y>0lYt> еЛ (i> <= Л, |я|=1)}.
571

Если АЕф(у)Л для всех v е А и если \ а | = 1, то
Ф(0)+Ю, а/с]ас=Ф(ЛП5^(0, а)).
Более того, если v, w^A и | Л1""11^^Ci для всех
M<=F(v, до) = со{ф(9у + (1-е)до)|0<9<1},
то
I Ф (v) — Ф (w) | ^ cj-1 \v — w\.
Доказательство. Если а = 0, то первое утверждение
выполняется тривиальным образом. Поэтому предположим, что
а > 0. По лемме XI. 2.1, для каждого xeRfl существует такая
единственная точка s(x)^A, минимизирующая евклидово
расстояние | л: — s (л:) |2 до точки х, что функция x->s(x) непрерывна.
Поэтому функция -ф: Rn->^(R", R"), определяемая условием
ЧФ) = ФИ*)),
непрерывна. Рассмотрим дифференциальное уравнение
й (/) = *(м (/))"'а (/>0), к(0) = 0.
Так как | о|? (х)""11 ^ с для всех х е R" и функция ф непрерывна,
то это уравнение имеет непрерывно дифференцируемое решение и
для всех /^0. Так как для всех ибЛ выполняется условие
ф (v)~lflsi, то
й(/)еД |й(0К* (*>0).
Отсюда следует, что
t t
и(/) = J и (т) dr е= Л, | и(0 |< J | й (т) |dt< rf.
о о
Таким образом, для всех / е [0, а/с] мы имеем и (t) е Л,
Ф (и (t)) — ф (0) = \ ф {и (т)) и (т) dx = \ ф (а (т)) й (т) dx = /а.
о о
Следовательно,
Ф(0) + [0, сДОасф^П^О, а)).
Предположим теперь, что [АР1!^^ для всех М е F (vt до).
По лемме XI. 2.2,
Ф (v) — ф (до) =Л? (у — до)
для некоторого Л1 ^F{v, до). Поэтому
| у — до | = | ЛГ * [ф (и) — ф (до)] | < <?! | <р (о) — <р И I.
572-

XI. 2.4. Теорема. Пусть А — выпуклое тело б Rft, 0 е Л,
A = {yv\v е Л, Y>0},
0<a<sup{Y>OlYt> е Л (у е= Л, |и| = 1)},
и функция ф: Л-^R" удовлетворяет условию Липшица. Если
Деф — производное множество для функции ф | Л°, е0 > 0, ag Rn,
| <^ I == 1, и если для всех иеЛ° и Me А\ (v) выполняются
соотношения \ЛГ"1 |<с и as МЛ, го
Ф(0)+[0, а/с]ас=Ф(ЛП5^(0, а)).
Если vt w^A° и \М~1\^сх для всех
M<=F{v,w) = co М A*<p (во + (1 - 9) ш),
0<в<1
то
\(f(v) — (p{w)\'^c^l\v — w\.
Доказательство. Предположим, что a> 0, так как
первое утверждение является тривиальным, если а = 0. Пусть р —
такая внутренняя точка множества Л, что \p\=l90 <t\ <-j^ и
An±r\p + A()SF{09a-b\).
Тогда Лл — выпуклое тело и Ля с: Л°.
Пусть теперь (ф/) — последовательность функций класса С1,
равномерно сходящаяся к функции ф | Лл и связанная с
множеством Леф. Мы можем определить такое целое число /0| что
ф/(о)еА*Ф(о) (р^\ />/о>
Положим
Ф/(«0=Ф/(ЛР + v) И^-rip, />/о).
Тогда условия леммы XI. 2.3 будут выполнены, когда
значения ф, Л, а заменены на -фу, Лл —т]р, а — 2т] соответственно.
Отсюда следует, что
+/ (0) + [0, (а - 2r\)/c] а с *, (Л„ - г\р).
Следовательно,
Ф/ (ЛР) + [0, (а - 2т])/с] а с= ф, (Л^).
Так как Нтфу = ф равномерно на Лл, множество Лл компактно
и функции ф и фу непрерывны, то
Ф (ЛР) + [0, (« - 2ч)/с] а <= Ф (Лл) cz <р (Л П 5^ (0, а))
573

для всех достаточно малых положительных г\. Отсюда
получаем, что
ф(0) + [0,а/С]асФ(ЛП5^(0,а)).
Предположим теперь, что и, w е Л° и lAF1!^^ для всех
M^F(v, w). Обозначим через А* отрезок, соединающий точки и
и w, и определим последовательность (ф/) функций класса С1
равномерно сходящуюся к функции ф|Л* и связанную с
множеством Леф. Тогда ф;. (Qv + (1 — 8) w) е F (v, w) для больших j
и, по лемме XI. 2.3,
Ф/ (v) — фу (w) ^ С~11 V — W |.
Мы получаем последнее утверждение при /->оо. Теорема
доказана.
Рассмотрим теперь теорему об обратной функции для
некоторого недифференцируемого преобразования в банаховом про--
странстве. Эта теорема применима ко многим «обычным»
интегральным и функционально-интегральным операторам, которые
возникают в соответствующих задачах оптимального
управления, подобных задачам из глав VII и VIII. Рассмотрим,
например, оператор ф=7 — F, где
F(y)(t)=\f(t, r,l(y)(x)v(dx) (te=T),
Т — компактное метрическое пространство с положительной
мерой Радона v, jgC(Г, Rn) или y^Lp(v, Rn), a I —
преобразование класса С1, определенное в параграфах 11.5 и II.6
соответственно. Если функция / (/, т, •) удовлетворяет условию
Липшица, Ле/(*, т, •) — производное множество, а (//(/, т, ■)""
соответствующие аппроксимации функции / (/, т, •), то
выражение
Fi{y)(t)=\fI(tixt l(y)'(x))v(dx)
определяет аппроксимации класса С1 для отображения F
с производными, содержащимися в некотором множестве,
определяемом через A*f. Более того, при довольно общих
предположениях все функции Ff отображают ограниченное множество
на общее компактное множество в пространстве С (Г, R )*•'
Приведенный пример описывает случай, в котором
выполняются предположения следующей теоремы.
, : XI. 2.6. Теорема. Пусть Щ — банахово пространства,
Y — открытое подмножество из °Ц, а > О, SF (у0, а) с К, F: Y-+™
и ф = / — F. Предположим, что y0 = F{yQ) и существуют таК%
компактное множество К<^-Щ, такие функции Ff. Y-+4T
S7fc

(у= 1э 2, ...) класса С1 и такое О б, ^го
F,(K)c:/C, lim/>, = /?
равномерно и
llZ-MC'kc (jfsX, / = 1, 2, ...)•
Гогдя
s*(of а/с)с:ф(Г).
Доказательство. Без потери общности можно считать,
что 0о = О. Пусть /е{1,2, ...}, G = / _ f, +/?, (0), fl£^
и|а|=1. По теореме о неявной функции II. 3.8 существуют
такое р>0 и такая единственная функция v: [0, pj-^S^O, а),
что v — функция класса С1 и
G (*(/)) = to (/e[0,fl), *(0) = 0. (1)
Мы имеем
G(v(t))v(t) = a. (2)
Следовательно,
| v (/) 1= | G (v (t))-{a\ < | G (v (О)"11 < с (* е [0, fl). . (3)
Отсюда следует, что
<ct. (4)
\v(t)\=\\v(x)dx
I о
Стандартным образом показывается, что множество $
определенных таким образом значений р является замкнутым и
содержит точку а/с. Пусть p = sup^f. Единственная функция и,
данная выше, определена на множестве [0, р) и, по условию (3),
равномерно непрерывна. Поэтому ее можно продолжить до
такой равномерно непрерывной функции v на множестве [0, р],
что | v {t) К ct для t е [0, р]. По условию (2), предел
Hm v(t) = lim G(v(t))'la
существует. Таким образом, функция v: [0, Pl-^S^O, а) имеет
производную в точке р, равную lim v(t). Это означает, что
sup IgI.
С друкой стороны, если sup $ < а/с, то, по условию (4),
1у(01<а для /е[0, р]. Применяя теорему о неявной
функции II. 3.8, можно определить такой интервад (JJ — Л, Р + Л), где
Л > 0, и такую единственную функцию и: (Р—А, Р + Л) -> SF (0, а\
Чт° G(u{t)) = ta для /€=(р — Л, Р + Л). Так как обе функции,
575

и и v, единственны, то Они совпадают на множестве [0, p]f*|
П Ф — Л, Р + Л). Это противоречит определению значения JJ как
sup $. Мы получаем, что а/с €= ,$.
Таким образом, для любого /е{1, 2, ...} существует такая
единственная функция ut: [О, a/cl-^S^O, а) класса С1, что
«/ (0 - Fi (Щ (0) - te - F; (0), | й/ (0 | < с. (5)
Так как Ff (uf (/)) е К для /= 1, 2, ... и / е [0, а/с], то из
соотношения (5) следует, что последовательность (щ) в С([0, а/с],^)
имеет сходящуюся подпоследовательность с равномерным
пределом й. Отсюда, по условию (5), получаем
<р (й (0) = u{t)-F(u (0) = /a (f е [0, a/c]).
В силу произвольности точки а из ^ мы получаем
утверждение теоремы.
XI. 3. Управляемость и необходимые условия в обобщенных
односторонних задачах, описываемых обыкновенными
дифференциальными уравнениями
Если Ле/—производное множество (относительно аргумента и),
соответствующее определению XI. 1.14 (при Х = Т, v=^i, Y = /?)
для функции /: ГХКХЯ-^R'1, описанной в пункте XI. 0.1,
то легко проверяется, что функция
(*. v9 8)-+J(t9 v, s)=\f(t, v, r)s(dr): TXVXrm(/?)->R*
имеет производное множество Aef, определяемое соотношением
ле/е, о,5)=
= cl { J <р (г) s(rfr) |<р (г) е Л7(/, о, г)(ге«)( Ф<=С(Я, J?(R", R»))}.
Действительно, если V* — компактное подмножество из V, а (fр),
*(е, V*), 6(е, V*) —такие значения, связанные с Л8/(*, v, г), как
в определении XI. 1.14, то выражение
fP{t9Vf8)±\f>(ttV9r)8(dr)
определяет последовательность (fp) равномерных аппроксимаций
функции f с требуемыми свойствами. В частности, мы имеем
К (*, *,*>-$ К ('. *.')s w е Л? с ^>*).
если I и — w К 6 (е, К*), р > / (е, V*). Более того, для s ™ 6, (мера
Дирака в точке г) мы имеем
Ле/(*, ^f)cA8/(/, *f г).
576

Поэтому {Ле/ (t, v, бг)} — производное множество для функции
/: Т X КХЯ-* R", которое «по крайней мере такое же хорошее»,
как и множество Л8/. С этого момента предположим, что
множество Ле/(/, v, г) заменено на ABf (t, v, 6Г), и используем
символ Л8/ для обозначения семейства
{Л8/(/, v, s) | е > 0, /е=Г, osV, se=rpm (/?)}.
Из данного определения множества Л8/ (/, и, 5), теоремы I. 6.13
и леммы XI. 1.3 следует, что
Л/0, v. s)cm U A/(/f v, г)
для всех таких множеств S cz /?, что 5 (/? \ S) = 0. Этот факт
потребуется нам в параграфе XI. 4.
XI. 3.1. Определение (обобщенная экстремаль и
неэкстремаль). Пусть (а, а) е <У* X Л таково, что решение #=*/(/, а, а)
существует, Л8/, Л8/*1 и Л8Л2 —производные множества для
функций f, Л1 и hr относительно v и
Q=(f, Л7.Л1, Л'А'.Л2, aV.a,, л).
Назовем точку (а, а) обобщенной экстремалью относительно
множества Q, если
/г2(*,р(0)еЛ (/еГй)
и существуют такие /, <= Rm, Я, eAA'f^/,)), Я2: ^-^(R* R),
F: 7'^-5'(Rn, R") и (uSfrm+(rA), что функция Я2 ограничена
и измерима по Борелю, функция F измерима по Лебегу,
|/1| + со(7-")>0, (1)
®({/еГЧЛ2(', 0(О)еД°}) = О, (2)
H2{t)(= со{MiM^Mtfit, y(t)) = maxMla,
|Af,|>l, М2е= П м U ЛеЛ2(т, р(т))} (3)
е>0 |т-*1<е
©-почти всюду,
F(t)<=coAf(t,y(t), a(t)) (4)
почти всюду в 7\
* (t)T f {t, У (0, о (0) - min ft (t)T f (/, p (0, r) (5)
почти всюду в T9
k{t0)Ta= min *(/0)гОо, (6)
J9 Дж, Варге §77

где
k(t)T = UTXH{ + J H: (x) Z (тГ1 (о (Л)1 Z (/),
Z(/) = /+ Jz(T)f(T)rfT (/еГ).
Если (а0, ао)е^ХЛ, решение y0 = y(f, а0, До) существует и
A2(Uo(0)e^ (^П
но точка ((То, а0) не является обобщенной экстремалью
относительно множества Q, то назовем точку (а0, ао) обобщенной
неэкстремалью относительно множества Q.
Основной результат этого параграфа — следующая теорема
об управляемости.
XI.3.2. Теорема. Пусть множество Q дано в
определении XI. 3.1, и пусть (в0, а0) —обобщенная неэкстремаль
относительно множества Q. Тогда существует такое k > О, что
Sf(hl(y(f, сто, *о) ft». *)с
c{A!(y(ff а, а)«,))|ае^ ае\
WUtf^.aJWl.tJc/i (<sr*)}.
Доказательство этой теоремы будет дано в несколько этапов.
Для этого потребуются некоторые вспомогательные леммы.
XI. 3.3. Сведение к частному случаю. Покажем сначала,
что достаточно доказать теорему для частного случая А0={ао}.
Действительно, пусть Ло—компактная и выпуклая
окрестность точки a0 в А)- Рассмотрим обобщенную задачу, в которой
7\ /?, R\ f, Ле/, Л заменены на f, R, k\ f, Azf} fa),
соответственно, где
T = [to-l,ti]9 R=RUAl
d (r, a) = diam (R) + diam (Л5) +1 (r <= Я, a e= Л5),
R» (t) = Л5, f{t9vta) = a- a0y ABf {t, v, a) = {0}
для fe [/0 — 1, *o), и
«* (0 = R" (0, f «. o, r)=/ (t, v9 r), Aef (*, v9 r) = A8/ 0, o, r)
для (еГ = [/0, /i]. Это соответствует расширению функции
У- [to, t{]->Rn и уравнения
y(t)=f(t, У®, a{t))

почти всюду в [/о, t\] на больший интервал [/о — 1» *iL причем
^W-J(fl-flo)or(0(rfa)
почти всюду в [t0— 1, /0], где а(0^грт(ЛЗ) для /е[/0 — 1, /0)
и у {to— 1) = ^о-
Обозначим через бд меру Дирака в точке а е Ло и положим
д0 (/) = ба, (* €5 ft, - 1, «), &0 (0 = *о (0 (< S [<о. *ll),
Q = (f, Л8/, A1, AV, Л2, ЛеЛ2, {а0}, Л).
Ясно, что (сто, До) является обобщенной экстремалью
относительно множества Q тогда и только тогда, когда (б0, а0) является
обобщенной экстремалью относительно множества Q. При этом
значения /ь Ни Я2, со, F{t)y Z(t) и k (t) одинаковы для обеих
задач при t е [/0, t\], а
F(t) = 0, Z(/)-Z(*0), k(t) = k(t0) (*е[*0-1, *0»
для задачи, определяемой множеством Q. Таким образом,
теорема XI. 3.2 справедлива для произвольных замкнутых выпуклых
множеств Л0, еслл она справедлива для множеств Л0,
состоящих из единственного элемента.
Покажем, что можно считать Л = (—-оо, 0]. Для этого
проделаем следующее. Выберем некоторую точку х0 е Л°, положим
л л
В=Л — х0) определим функцию <р = <рв так же, как и в
теореме XI. 1.12, и положим
й2(/, 0) = ср(Л2(/, v)-Xo)-l (t еГА(уе V).
Применяя теорему XI. 1.15, можно показать, что
Л8Й2 (/, v) = <Эе<р (Л2 (*, v) - *0) ЛеЛ2 (*, v) (1)
является производным множеством для функции А2. Назовем
определение XI. 3.1 определением ХР. 3.1, а множество Q
множеством Q, если значения Л2, ЛеЛ2, А заменены на Я2, ЛеА2,
(-оо, 0].
Предположим, что (а, а) — обобщенная ^экстремаль
относительно множества Q. Тогда существуют 1и Я,, Я2, f и ©,
описанные в определении ХР. 3.1. Так как соотношения
А2(и(0)еЛ°, h2(tty(t))^dA
Эквивалентны соотношениям
#(', У (ОХ 0, h2(t,y{t)) = 0t
19* 579

то из соотношений (2) и (3) определения XI~. 3.1 следует, что
й({/еГЛ|ЛМи('))еЛ»}) = 0, (2)
#2 (0 е [1, ооу П м U ЛеЙ2 (т, у (т)) (3)
е>о |т-*|<е
б-почти всюду.
Соотношения (1), (3) и теорема XI. 1.15 дают нам
соотношение
Н2 (t) <= w {(Ш,М21 р > 1, М{ е дер (Л2 (/, у (t)) - *0),
^[]S U ЛеЛ2(т,£(т))} (4)
е>0 |т-/|<е
б-почти всюду.
По условию (2), h2{t, y(t))^dA б-почти всюду и, по теореме
XI. 1.12, мы можем заменить $М\ в соотношении (4) на Ми если
I М{ | > Yo = min {| 2 [h2 (т, у (т)) - х0] Г | /г (т, у (т)) <= дЛ},
M{h2(t, g(t)) = max М{а.
Таким образом, если мы положим
#^)=Ц-1#2(0, <o = y05, (11>Н1>Р)А(Г1>"1>П>
то (а, а) является также обобщенной экстремалью относительно
множества Q.
Это означает, что точка (<т0, До) является обобщенной
неэкстремалью относительно множества Q, если она является
обобщенной неэкстремалью относительно множества Q. Поэтому,
если выполнено это второе условие и теорема XI. 3.2 справедлива
для А = (— оо, 0], то существует такое k > О, что
SF(hl{y{f9 а0, Oo)('i)), *)с=
h2(t,y(f,ota)(t))^-k {t<==T% (5)
По теореме XI. 1.12, имеем
Ф(* + У)<Ф(*) + Ф(У) (^,^Rm2).
Поэтому, если w ^дА и <р (* — х0) ^ 1 — &, то
1 = ф (w — дс0Х Ф (до — х) + 1 — Л.
Следовательно, ф(ш — *)!>&. Так как ф(0) = 0 и функция Ф
непрерывна, то существует такое k' > О, что из (p{y)^k
следует \y\^k'. Это означает, что из соотношения
й2(*, y(f, a, a)(0)<-* ИГА)
следует соотношение
5'(Л'(<, if(/, or, a)(0), *ОсЛ ИП
§8Q

Таким образом, условие (5) означает, что теорема XI. 3.2
справедлива в общем случае.
XI. 3.4. Замечания и обозначения. В силу предыдущих
замечаний предположим без потери общности, что А0 = {а0) и А =
= (— оо, 0]. Поэтому мы пишем y(g, о) вместо y(g, а, а0).
Пусть V* — компактное подмножество из V, содержащее
точку */(/, о0){Т) внутри себя, и пусть функции (/р), (Л1,р), (Л2, р)
задают аппроксимации функций f, h\ Н\ связанные с
множеством V* и определением их производных множеств. Из дока*
зательства теоремы VI. 1.1 и неравенства Гронуола II. 4.4
следует существование такой окрестности &' точки т0 в ф*% что
Ит у (/р, o)(t) = y(f, o)(t)
р
равномерно для о&9>\ t^T, и функция o->y{gt а): ^'->
->С(Г, R") непрерывна для q = f, fp и достаточно больших р.
Таким образом, существуют такие р0 > 0 и р0, что
y(f>to)(T)cV (|a-cF0L<Po, Р>Ро)
и функция
(р, о)-»у(Г, о): {р0, ро+1, ..., оо}Х^о->С(Г, R")
непрерывна, где Г° = /, 9p0 = SF{a0i р0) и множество {р0,_Ро +
+ 1, ..., оо} имеет относительную топологию множества R.
Положим yo=y{fy a0) и обозначим через Же семейство всех
таких K = {F, Ни //2), что
#i е= ЛУ (f/o(*,)), Я2 (0 е м U ЛеЛ2 К Уо М) (/ €= Г*).
F(/)eSF(coA7(/, Уо(0, ст0(0), е)
почти всюду в Г, функция Я2 измерима по Борелю, а функция F
измерима (по Лебегу). Для любого F е L°°([a, i?(Rn, Rn))
матричное дифференциальное уравнение
Z{t) = I+ Jz(x)F(x)rfT (/sT)
имеет единственное решение Z(F), матрицы Z(F)(t) и Z^H/)""1
существуют и равномерно ограничены для всех /еГи
величина \F\QO равномерно ограничена. Обозначим через с
наибольшую из постоянных, ограничивающих следующие функции
и множества:
f, Г, h\ h\ |Z(F)|sup, |Z(F)-,l,Mp, Ле/, AV, ЛеЛ2
и константы Липшица для функций
/(*, ', О, И*, •,'■). h\ hHt, •),
sal.

когда аргументы из V меняются на множестве V*, е > 0, р^р0
и |FL<sup{|Al||Afe=A7(', v, г)}+1.
Будем говорить, что предел lim©/ = (o сходится слабо, если
(о, <о' е= frm (Th) и
lim J / (s) со' (ds) =\f(s)<o (ds) [fsC (ГЛ)].
По теоремам 1.3.11, 1.3.12, 1.5.1 и 1.5.8 любая такая
последовательность (со') в frm(7'A), что sup | ю'| (Тн) < оо, имеет слабо
i
сходящуюся подпоследовательность.
XI. 3.5. Лемма. Пусть X — компактное подмножество
пространства R*, и для /=1, 2, ,., и е>0 пусть со/ е f rm+ (Т\
pf. Т -> X и Ге —- отображение ив Т в семейство непустых
замкнутых и выпуклых подмножеств множества X. Предположим,
что (of (Г)< 1, lim со, = 0 слабо, Ге(t) с Г> (/) (/еГ, 0 < е < е')э
G(re) = {(/, х) \х е Ге(0} — замкнутое множество, и для любого
е > 0 существует такое /0 (е), «гго /?/ — измеримая по Борелю
однозначная ветвь из многозначного отображения Ге для /^/о(е).
7ог<?а существуют такая ммеримая по Борелю функция
р: Т-*Х и такая последовательность /с:(1, 2, ...), что
р (т) е (| Ге (т) <Эля <й-почти всех т eJ и
е>0
lim U (т) р, (т) a, (rfT) = ( Ф (т) р (т) <о (dx) (<р s С (ГА)).
Доказательство. 1. Пусть мера £/ е f rm (Th X ^0
определяется соотношением
\ Ф (т, х) С/ (<* (т, х)) - J Ф (т, Р/ (т)) со, (Л) (ФеС(ГХ *)). (1)
Тогда £/ (Т X ^0 = <о, (ГЛ) < 1, и ясно, что £/ — положительная
мера. Таким образом, существуют такие Ус(1, 2, ...) и
С е= frm+ (Th X *), что lim£y = £ слабо.
/е/
Пусть теперь /гю —норма в пространстве L!(©, С (А")). По
условию (1), для каждого феС(ГАХ^) имеем
|$Ф(т,х)С(^(т|х))|<$|ф(т| •) liup С (<*(*, *))-
= lim J | ф (т, •) |5upС/ (d (т, х)) = lim J | ф (т, .) |sup о, (dt =
= $! Ф (т, •) и© (Л) «*.(»>•
582

Таким образом, £ — непрерывный линейный функционал на
нормированном векторном пространстве (С (Т X X)t nj, и по
теореме Хана — Банаха I. 3.8 его можно продолжить до
непрерывного линейного функционала на пространстве L1 (©, С(Х)).
Из теоремы Данфорда — Петтиса IV. 1.8 (доказательство
которой остается справедливым, если ц заменить на положительную
меру Радона на Th) следует существование такой ©-измеримой
функции Л: r->frm(J0, что co-ess sup | A, (t) \ (X) < оо и
S / (т, х) С (d (т, х)) = J со (Л) J / (т, х) Л (т) (Л) (2)
Ясно, что Л (т) —положительная мера для ©-почти всех tgTa,
По условиям (1) и (2), имеем
lim [ Ф (0 *t/ (<* («. х» = U (0 *t («* (*, *)) =
= J Ф (0 © (Л) 5 *Л (/) (dx) (ф € С (ГА)).
Следовательно,
lim \ ф (т) pi (т) со/ (dr) = \ ф (т) © (dx) \ хХ (т) (rfjc) (3)
(Ф^С(ГА)).
2. Покажем теперь, что Я»(т) (Ге(т))=1 ©-почти всюду для
всех е > 0. Пусть / е {1, 2, ...} и £,: ГЛ X X -> [0, 1] — такие
непрерывные функции, что ct(т, х) = 1 для (т, x)gG(Гг) и
Мт, *) = 0> если ^[(т, *)» 0(Ге)]>1//. Тогда для каждого
t|?eC (Гл) получаем
U (т) © (dt) = lim \ ф (т) с< (т, х) |/ (d (т, *)) =
= J * (т) с, (т, х) I (d (т, *))-$♦ (т) (о (Л) J с, (т, дс) Л (т) (dx).
Так как функции cf сходятся поточечно к
характеристической функции Хе замкнутого множества б(Гг), то
J ♦ (т) со (Л) — J ф (т)»(dx) J хе (*, «) Л- W (<&)•
Следовательно,
$Х.(т, х)Л,(т)(Лс)-Х(т)(Г,(т))-о1
©-почти всюду.
3. Для каждого е > 0 и ©-почти всех т множество Г8 (т)
замкнуто и выпукло, а А, (т) — вероятностная мера,
сосредоточенная на множестве Ге(т). Полагая
p(T)=\xk(x)(dx) (теГа),
583

й выделяя измеримую по Борелю функцию р из
©-эквивалентного класса функций р, мы получаем р(т)еГе(т) со-почти
всюду и
Игл [ ф (т) pf (т) со/ (dx) = \ ф (т) р (т) i» (dr) (фбС (Г*)).
оо
Так как {] Ге (т)= П Г|,/ (т) для всех т е= ГА, то р (т) € (] Ге (т)
е>0 ^в!/, 8>и
для со-почти всех теГ.
XI. 3.6. Лемма. Пусть функция h\ Th —► R непрерывна,
®( е frm+ (Гл) (/ e N) w lim со' = со слабо. Если
i
Yi>Y*+i>Of Л( = {/€=Гл|£(/)<-уЛ (ieN),
lim Y/ = lim со' (Л/) = О,
i i
TO
G>({t<=Th\k(t)<0}) = 0.
Доказательство. Пусть Л = {/ e Th \ ft (t) < 0}. Тогда Л
и Л,- — относительно открытые подмножества из Тн и Л = (|Л;.
Для любого множества G, относительно открытого в Гл, и
любого е > 0 можно определить такое замкнутое множество FczG,
что ш (F) ^ со (G) —■ е. Можно определить такую непрерывную
функцию ф: Г*-МО, 1], что ф(/?) = {1}, <р (Г* \ G) = {0} и
ф(Г*)с:[0, 1]. Тогда
о>'(G) > J <р(0 ©'(*)-► $ф(0©(Л)>ю(Л><о(0)-гв.
Следовательно,
©(GXliminfco^G).
Поэтому
со (Л7) < lim inf со' (Л,) (/ € N). (1)
Для /> / мы имеем Л/с: Л,. Следовательно, со£(Лу)<со'(Л/).
Поэтому условие (1) означает, что
со (Л7) < lim inf ®* (Л,) = 0.
Следовательно,
оо
со(Л) = Есо(Л/) = 0.
/-1
XI.3.7. Лемма. Пусть
t
6(F, а)0) = Z(F) (/)"' J Z (F) (т) / (т, у (f, о0) (t),
<* СО — а0 (т)) dx.
584

Тогда существует такбе Y>0, что для любых K = (F, Я,, #2)eJ0*
и | е SF (О, у) с Rm найдется такое а е Р^, <*го
Я,й(/>, a) fo)-6,
Л2(*, У (f, ао) (0) + Я2«б(F, а)(/)<- у М Гл).
Доказательство. 1. Для K=(F, Я,, Я2) € [J Ж*, os/
е>0
и/ег пусть
*,(*, o) = Hl6(F> а)(*,),
*2(К, a)(t)=H2(t)HF, o)(t)t
W (К) = {(х{ (/С, а), *2 (*, а)) | or € ^} с Rm X С (ГЛ),
Л (0 s4 А2 (',*(/, ст0)(0).
Для каждого /С функция
а-*МК, а), *2(/(, а)): <?*-RmXC(r*)
непрерывна и линейна при выпуклых комбинациях. Так Как
множество &* выпукло и компактно, то множество W {К) также
выпукло и компактно и
0-(*i(K, а0), *(*, Oo))eW{K).
Покажем существование такого Р >0, что для любого К^Ж^
в множестве W {К) найдется точка (wu w2)> удовлетворяющая
соотношениям
ш1=0, Л(0 + ю2(0<-Р ««Г*). (1)
Действительно, предположим противное. Тогда существует
такая последовательность ((рь /С,)), где р^ убывают до нуля,
и Ki^X^lt что для каждого / замкнутое выпуклое множество
Ф* = (0} X (Ф2 е C(Th) | Л (/) + Ф2 (0 < - Р« (* е ГЛ)}
не имеет общих точек с компактным выпуклым множеством
W (/С). Поэтому найдется такое г\ > 0, что Ф; f| SF (W (К/), л) = 0.
По теореме I. 6.7, существуют такие
/* = (/!. фе RmXC (Г*)*,
что
I /' I = 1, /^ > /'<р (о> е= IF (/С,), (реФ/). (2)
В силу теоремы 1.5.8 элементы 1(2 можно представить через
<•>'<= frm (ГА). Так как-0 е W{Ki)y то условие (2) дает нам
$Ф2(0со'(Л)<0 ((0, ф2) е Ф,).
585

Отсюда следует, что мера со' неотрицательна,
|Й|-»|(Г*)<1| 0<<о'(ЛХУрГ, (3)
где At = {t е Th | h (/) < — P* — VpT}- Более того, полагая ф2 (/)==
= — Р/ в условии (2), получаем
llw >-h (w<=W (Kt)). (4)
д
Следовательно, полагая Ki = {Fiy HUh #2,/)> имеем
Zir//i.«e(^a)(/i)+5^2il(Oe(Fba)(0©l(rfO>-P/ (ae*»). (5)
Нетрудно показать существование таких У' е (1, 2, ...)
Яь 1\ и со, что при i->ooy / <=/' имеем
limHUi = H{^Ahl(y(f9 a,,) (/,)),
lim/i = /i, lima) =0
— д
слабо и предел Z=\\mZ(Fi) существует в пространстве
С (Г, #(Rn, R")). Если зафиксируем е > 0 и заменим R и #*(/) на
^ = S^(0, c)cz^(Rrt, R"),
^(/)=5F(coA7(^ </(/, *o)(0, cTo(/)), e),
соответственно, то мы можем считать F{ ($t < е) обычными
управляющими функциями. Определим множества Ж и &* через
отображение /Г точно так же, как мы определяли множества д£
и У через отображение R*. Тогда существуют такие J"czJ'
и а е ^, что lim Ft — а в у. Отсюда получаем, по теореме
Филиппова — Кастена VI. 3.1, существование такого F^w9 что
Z= lim Z{Ft) = Z{F).
i<=r
Так как ds^8 для всех е > 0, то a е |] ^8. Отсюда по
е>0
лемме XI. 1.3
F (0 <= fi со Лв/ (/, у (/, 0О) (/), о0 (*)) - со Af (t, у (f, а0) (t), a0 (0)
е>0
почти всюду в Г.
Если положим
Ге (0 = П со М Л V (т, if (/, сто) (т)) 0 е ГЛ),
то множество
О(Г.) = {(/,х)|дгеГ.(0)
586

замкнуто и Hoti(t)^VB(t) {t^Th) для всех достаточно
больших L Тогда, по лемме XI. 3.5, существует такое J a J" н такая
измеримая по Борелю функция #2: Th -> SB (Rn, R), что
Я2(/)е f] Гв(0
е> о
со-почти всюду и
lim \ Н% i (0 6 (F, <т) (t) ©' (dt) = [ Н2 (f) б (F, a) (t) со (dt) (а е= 9%
Отсюда, по условиям (2) и (5) (полагая /->ооэ / е /), получаем
|/,1 + <о(Гл)=1,
%НА (F, о) fo) + J Я2 (0 б (F, a) (t) со (dt) =
- J k (хУ f (т, у (/, а0) (т), а (т) - а0 (т)) dt > 0 (а € Р*),
где функци_я &(т) дана в определении XI. 3.1 для (F, #ь Я2) =
= (/\ Ни Я2). Из этого соотношения получаем (так же как и
в доказательстве теоремы VI. 2.3), что -
*(0г/вУ(Ла<ЖМ0) = min k(tff (t, y(f, a0)(/),r) (6)
почти всюду в Г. Наконец, так как меры со' неотрицательны, то
из условия (3) и леммы XI. 3.6 следует, что
(о({/еГА|й(/)<0}) = 0.
Это означает, что (<т0, а0) — экстремаль относительно множества Q,
и противоречит нашему предположению.
2. Пусть р такое же, как и в пункте I. Покажем
существование такого <х>0, что для всех K — (F, Ни Н2) ^Ж*
выполняется условие
SF (0, a) cz Wx (К) = {*, (К, о) \ о е= ?>}.
Действительно, в противном случае существует такая
последовательность {Ki) = ({Fi, HUiy H2,i)) в Ж^у что каждое выпуклое
и компактное множество W (Ki)<^Rm содержит граничную
точку wL и lim до* =0. Для каждой граничной точки wt мы
i
можем определить такую внутреннюю нормаль /{ к множеству
W{Ki\ что |/{|=1 и
l[w > l[wt (w е= Г, (/(,), /=1,2,...). (7)
Так же как и в пункте 1, выделим такую подпоследовательность
/g(1, 2, ...), что
lim /{ = /1э lim Z {F t) = Z (F), lim Hlt t = #i
587

йри/-*оо, /е/. Тогда из условия (7) следует, что
соотношение (6) выполнено при k {t)T = l\H\Z (F) (соответствующем
значению ю = 0). Получили противоречие.
3. Пусть аир такие же, как и в пунктах 1 и 2, и /f =
= (?,ЯьЯ2)еТр, Тогда SF (О, а) с Wx (К) и найдется такая
точка w = (0, w2) е W (/(), что
Число c' = cA{tx — /0) + с является верхней границей числа с и
всех \хх(К,о)\ и |х2(/С, а)(*)|. Положим р/ = 2-1(^/ +РГ!р и
для каждого w = (wu w2) е W{K) пусть
« = (*!, ш2) = рхог; + (1 — р') w 6 W {К).
Так как ItMOK*' и I^WK^, то
*2(/)<pv + (i —Р0(-Л(/) —Э) (<ег*).
Следовательно,
*20) + А(О<-Р/2 (<еГ*).
Так как
S'(О, р'а) с: р'У, (#0 - {*i I ю е W (/С)},
то
> (0, Р'а) с= {»! | (юь ш2) € 1Г (*), Л if) + w2 (t) < - Р/2 (/ е= Г*)}.
™ А
Таким образом, утверждение леммы выполнено для у==
= min(P4P/2).
XI. 3.8. Лемма. Пусть у такое же, как и в лемме XI. 3.7,
Д Ч Д —7 —9 —1
Ci = c('i~'o) и с2=2 пг с\ . Тогда существуют р\^Ро,
Pi€(09P0]> конечное семейство {a1,..., aN)<z:9p^ и
соответствующее множество
^=(ст0 + Е^(а/-а0)|соу>0, £a>'<l}c:$*
I /-1 /-1 )
обладающее тем свойством, что если
д N
/-1
Е*У-Р<Рь ^GRW, |Z|=1, p>Pj, Й1=Р1—Э, (О
/-1
588

то каждому 6 е [0, а] соответствует некоторое о=о0 +
+ 21 <°У (°J~~ ао) G ^* гаяое, «*то
N
Е^'-ф'ю, (2)
hu р (у Q\ о) ft)) = Л1' * (у (Г, а) (0) + e-Wfy*, (3)
< max [Л2'р 0, у (fр, а) (/)) - с2у26, - Y/16] (f е= Гл). (4)
Доказательство. 1. Положим/ = /oo,P0 = {p0j Ро_|_ if ...
t
вр(Л 6, а) (*) = Z(/>) 0Г1 S Z(F)(t)P(t, у(fp9 6)(x)9 o{%)- o0{x))d%.
U
Выражение 6(F, а) из леммы XI. 3.7 обозначим теперь как
б^о (F, а0, а). Напомним, что функция
{p,o)-+y{fpfo):PoXS>0-+C(T9lC)
непрерывна. Тогда семейство функций
(р, д, а)->бр(F, 6, а) :РоХ?оХ9»-»С(Г, R"),
соответствующих всем (F, Ни Н2) ^ U Ж8, равномерно непре-
в>0
рывно, так как равномерно непрерывно семейство {Z(F)}.
Поэтому можно определить такие рх^ pQt Pi^(0, р0], е, >0 и
и конечное семейство (а1, ..., aN} е 5^э что компактное
метрическое пространство У покрыто шарами радиуса г{ с центрами
в точках а1, ..., crN и выполнены следующие утверждения:
(F, Ни Н2) <= Я* |[I1, ..., fT11<2my'\
(2m)"1 (g1 + ... + |m) e int со {O, I1, ..., Im}, (5)
Л2'P О, У (Г, а) (/)) + Я2 (0 бр (F, а, а,) (0 < - Y/2
(t<=T\ / = 1, ..., m),
589

когда д = <т0 + S «У (<*' — <*о) ^ ^о, Z б7 < Рь Р > Pi и когда
/-1 /-1
выполняются соотношения (6)—(9):
v (t) = у (Г, а (/)), F(t) = К (t, v (t\ д «)),
Нг = hi'р (v (*)), Н2 (t) = hi р (*, v (/)), (6)
б'€=1Г, ||'| = Y, 6'V —0
(/, /=1, ..., m, 1Ф1)9 /(g)-IB1 + ... +|m|, (7)
_ «-/(бГЧБЧ- ... +Г),
Б'-Я.в^^сго.^^) _(/=!, ..., m),
h2 (t, у (/, Ob) (0) + Я2 (0 б,. (7? <т0, о?) (0 < - у (8)
(/ = 1, ..., m, /GrA),
I' = tf,6p (F9 a, a,) ft), | cr, - aj L < в! (/ = 1, ..., m). (9)
Пусть теперь p^pu а г, a, j$ и й удовлетворяют
соотношению (1). Обозначим через В семейство всех таких b' е [0, 5],
что для любого Ь е [0, 6'] найдется a е ^0, удовлетворяющее
условиям (2)—(4). Множество В замкнуто, так как множество ^0
компактно, а функция o-+y(fp,o) непрерывна на #V Так как
точка (6, а) = (0, а) удовлетворяет соотношениям (2)—(4), то
ОеВ.
Пусть теперь 0^Ь <а и JgB. Покажем существование
такого т| > 0, что b + г\ е В. Это докажет, что В = [0, 2].
А ^
2. Пусть a = a0 + X <^(<ту — ст0) ^ ^о таково, что точка (В, а)
/-1
удовлетворяет соотношениям (2)—(4), и пусть значения у, F, #i
и #2 определены условием (6). По условиям (1) и (2), имеем
Zey<Zi*y-e/i+Zey<5 + p<pI.
/-1 /-1 /-1
Ясно, что при заданном z можно подобрать точки g1, ..., £m,
удовлетворяющие соотношению (7). По лемме XI. 3.7,
существуют такие о'\9 ..., а'т е £^, удовлетворяющие вместе с
выбранными точками I1, ..., £т соотношению (8). Если мы теперь
выберем а,, ..., ат из {а1, ..., av} таким образом, что | а* —
— сг/ la, ^ Ej и определим значение |* условием (9), то все
соотношения (5) выполнены.
5ЭД

3. Положим
<rm={(6' em)<=Rm|e'>o, e'+ ... + em<i},
m N
a(6) = a+Ze/(a,- a0) = a0 + £ coy(0)(aj- a0),
i-i У-1
Ф(е)=льр0/(Г, а(в))(«), Ф(в)(0 = А2>р(<. *(Г. *№))«)).
Так как
N N N т
£ ®'(е)< Е [со(вУ — ©'] + Z *у < Ё в' + 5<m|в| + 5,
/-I /-1 /-1 f-l
то функция (ф(8), Ф(0)) определена, непрерывна и отображает 0
в пространство RmXC(Th) для 6еГ, где
<Г'= {0 е Г J | 0 | < т-' (й - &)}.
Более того, из теоремы II. 4.9 следует, что функция
0-*(Ф(0), Ф(0)): Tr^RmXC(Tk)
имеет непрерывную производную (относительно множества (Г') и
ф(0)е,-Я,вр(Л a, at) (/<)=!',
Ф (0)(0^ = Я2(/)6Р(Л а, а,) (/)
(/-1, ..., m, /еГл).
По лемме XI. 2.1 для каждого oeRm существует
единственная точка s(y)B^"/, минимизирующая евклидово расстояние
до точки v. Если положим <ф(10 = ф/($(о)), то дифференциальное
уравнение
й(8) = $ШГ12, и(0) = 0,
имеет решение и = {и\ ..., цт)« [0, a]-*Rm класса С1 для
некоторого a > 0, так как функция ф непрерывна и по условиям
(5) и (10) обратная функция ф(О)"1 существует. Мы имеем
й(0)-ф(0Г!2»Ц\ ..., IT1*.
По условиям (5) и (7), точка г принадлежит внутренности
выпуклого конуса, натянутого на точки I1, ..., |т. Таким
образом,
0<й'(0)<|[||| ..., \тТх\<2т^1 (/-1, .... тУ
Мы можем выбрать такое достаточно малое а, что
|w(s)|^4m6-', u{s)e9" (0<5<а). (11)
$91

Более того, мы имеем
i s
ф(*Ф)) = ф(0)+ $ФИт))м(т)<*т = ф(0) + 52. (12)
о
По условиям (5) и (10),
Ф(0)(/) + Ф'(0)(/)е,<-у/2 (/=1, .... т, ie=Th).
Поэтому существует такое а, > 0, что
^(x)(t) + <D(x)(t)et^-y/4, (13)
{х<=Г', |ж|<а,, /=1 т, ШТ*),
|Ф(*)(0-Ф(О)0)|<у/16
(хеГ, |*|<аь /еГ'). <14>
Наконец, уменьшая а, мы можем считать, что
|u(s)Koi (0<s<a).
Если / таково, что
Ф(0)(0 = А2,Р0, У (Г, *)«))>-v/s,
то, по условию (14),
и, по условию (13),
Ф (*)(*)*,<-Y/16 (хеГ, |*|<ai). (15)
Таким образом,
m
Ф(ы(5))(/)<Ф(0)(0--^-уХм'^- (16)
Легко показать, что | ф(8) Кс^бЕ^7)- Отсюда по
условию (12), имеем
s = \v{u(s))-<t(0)\^cx\u(s)\.
Таким образом, из условий (14) и (16) следует, что
Ф (и (s)) (t) < max [Ф (0) (t) - (Ш^)"1 ys, - Y/16]. (17)
Отсюда мы получаем, что для любого se[0, а] существует
такое os = o(u (s)) е <?*, что точка (b + (8m)"*2 ys, as)
удовлетворяет соотношениям (2) — (4). Это завершает доказательство
леммы.
592

Доказательство теоремы XI.3.2. Будем пользоваться
обозначениями леммы XI. 3.8. Пусть
/-1 i-i
г = (8т2ГЧ(Р.-Р),
й1 =hl (у {f, а) (*,)), hu р = Ни " (у (Г, Ь) (/,)) (Р > Pi),
w&Sp(hl, r/4)\{/t'}.
Тогда для достаточно большого р мы имеем
hhp=^w^SP{hup, г/2).
Если положим
то, по лемме XI. 3.8, существует такое ар = а0 + 2 Юр (</ — а0) е
еР'о, что
Z|(o/P-u/l<8/n2Y"IU-A,'p|, (1)
/-1
hup(y(fp, oP){tS) = w, (2)
Л2'Р0, У (Г, ар)(/))<тах[Л2'Р0, ИГ, »)(<))-
-(16с,ГЧхР1 -Y/16] (t<=Th). (3)
Мы можем определить такую последовательность /с:(1, 2, ...)
и такие числа а/, что Нт<Ор = (о/ для /=1, ..., N. Тогда из
условий (1) —(3) следует, что для всех /еГа и а=а0 +
N
+ £ ®' (а^~~ ао) выполнены соотношения:
/-1
N
S | о7 - йу KemV11^-Я11, A'fotf. а) (/,)) = »,
Л2С */(/, a)(/))<max[>2(/, */(f, аМ^-Об^Г1 Y| ш-ЙЧ, — Y/16].
Пусть теперь г —конечная точка ломаной линии в Rm,
начинающейся в точке hl(y(f, o0){ti)) и имеющей длину (32m2)"*1 yPi-
Тогда мы можем применить полученные соотношения к каждому
прямолинейному куску ломаной, заменяя /г на начальную
точку, a w — на конечную точку. Мы получаем сушествование
такого аеУ\ что для всех /ег выполняется условие
z = fil(y(f, о) (*,)),
h2(t, y(f, a)(0)<max[-(16c1r1Y(32/n-r,Ypb -y/16].
20 Дж« Bapra 593

Так как каждая точка множества
SF(h4y{f9aoHti)), (32m2)-1 yP,)
является конечной точкой такой ломаной линии, то наша
теорема справедлива при
к = тт[(32т2Г1У${, 2^тГ2С-{у\ у/1б].
XI.3.9. Теорема. Пусть множество Q0,1 определено точно
так же, как и в определении XI. 3.1, но с заменой h\ Л8/*1 на
(А0, Л1), Ле(Л°, Л1). Если точка {а, а0) доставляет минимум
функции h° (у (/,' а, а) (/,)) на множестве
{(a, a)^^XA0\hl{y(f, a, а)(*,))еЛь
h4t,y(f,°,a)(t))<=A(t<=T%
то (а, а0) является обобщенной экстремалью относительно
множества Q0,1. Более того, выполняется условие
10 > 0. Ч» (У (f, 3, а0) (*,)) = max t[au
где значение (/0, 1{) соответствует 1{ из определения XI. 3.1,
когда hl заменено на (Л°, А1).
Доказательство. 1. Применим теорему XI. 3.2 для
обобщенной задачи, в которой пространство R" заменено на RnX
XRXRn, решение у заменено на (у, |0| |), функция h{{y{tx)) на
h]((y, Ео, l)(ti)) = (h°(y(ti)) + lo(ti), h> (уЦх))-Ш)>
а соотношения
y(t) = f(t, У«), о(0)
почти всюду в Т, y(t0)^A0i заменены на соотношения
y{t) = f{t,y{t\o(t)\ io(0 = o, i(0 = o
почти всюду в Г,
(У(«, 1о(/о), |('о))^ЛХ[0, 1]ХА{.
Определим множество матриц Л8/(/, 0, 0), добавляя к каждой
матрице из множества Ле/ (t, vy г) п + 1 строку, состоящую из
нулевых элементов, и определим множество Aeh(t, v, w0, w),
добавляя к каждой матрице из множества Л8(Л°, hl)(t, v) n+l
добавочных столбцов. В первом столбце на первом месте стоит 1,
а далее нули, а в /-м столбце (/ = 2, ..., я+1) на i-u месте
стоит — 1, а далее нули. Простые вычисления показывают, что
если (а, (а0, 0, а{)) — обобщенная экстремаль относительно
множества
<>' = ((/, 0,0), Л8 (/, 0, 0), К\ Л*Я\ ti\ Л8Л2, Л0Х[0, 11X^1, А),
694

то существуют (/0, l{) е Rm+1, со, F, Нх и Я2, задаваемые
определением XI. 3.1, когда /i, h\ Л8/*1 заменены на (/0, /i), (Л°, А1),
Л8(Л°, Л1). Более того, имеем
0= min /oloJ (1)
следовательно, /0>0 и
/[aj = max l\av
2. Пусть теперь у = */(/, б*, а0) и а1 = Л1(^(/1)). Если
(ff, (а0, 0, а^) — обобщенная неэкстремаль относительно
множества Q', то, по теореме XI. 3.2, существуют такие точки а0е4
|0е[0, 1], ged, и ае=0* что
Л0(У(/. о, Oo)(/i)) + Eo</iO(y(/i)).
A2(',#(f, а, ао)(0)€=Л (/еГа).
Так как |0^0 и Iе Л, то это противоречит предположениям
теоремы. Таким образом, (а, (а0, 0, а^) — обобщенная экстремаль
относительно множества Q' и, по доказанному в пункте 1,
(б*, а0) — обобщенная экстремаль относительно множества Q0,1,
когда (/о, 1{) удовлетворяет соотношениям (1) и (2).
XI. 4. Управляемость и необходимые условия в обычных
односторонних задачах. Поведение неэкстремальных
обобщенных управлений
Рассмотрим множества и функции, описанные в начале этой
главы. Мы будем использовать обозначения предыдущего
параграфа. Обозначим через У% множество всех управлений Гам-
крелидзе, т. е. множество всех таких а е ^, что мера a (t)
сосредоточена не более, чем в п + 1 точке множества R* (t) для
почти всех /еГ. Нетрудно показать, что для любого о е <?*
найдутся такое р7 е № и такая измеримая функция aJ: Г-►[(), 1]
(/ = 0, ..., я), что
*(0({р/Ю»«а'(0, Е <*>(<) = 1
/-о
почти всюду в Г. Поэтому мы можем считать, что точки р/(/)
(aJ (t) ф 0) различны для каждого /gT. В этом случае мы
пишем а = [а;, р/].
Следующее определение может быть получено из
определения обобщенной экстремали XI. 3.1 ослаблением условия (4)
в последнем определении и рассмотрением только точек сг е 9>*G.

XI.4.1. Определение (слабая экстремаль и слабая
неэкстремаль). Пусть точка (а, а) е ^ X А0 такова, что решение
y—y(f, в, а) существует, Ле/, Л8/*1, Л8Л2 — производные
множества для функций fy h\ Л2 относительно аргумента v, и
Q=(/, Л7, h\ Л8/*1, h\ ЛеЛ2, А* А).
Назовем точку (а, а) слабой экстремалью относительно
множества Q, если
h2(t,y(t))<=A (te=Th),
и существуют такие /, е Rm, Hi е Ah1 (у (ti)),
Н2: rA->^(Rn, R)„ F: T^2?{Ra, R"), <o e frm+(Г"),
что функция H2 ограничена и измерима по Борелю, функция F
измерима (по Лебегу),
|/,| + ®(Г*)>0, (1)
<u({t^Th\tf(t,y{t))<=A<>}) = 0, (2)
Н2 (<) s со {AfjAf21 М,Л2 (/, у {t)) = max М,а, (3)
аг А
| М, |> 1, М2е fl й (J Л8А2(т, у(т))\
е>0 |т-*|<е )
©-почти всюду,
F(t)<=co[]Af(t9 y(t)t Р/(0) (4)
/-о
почти всюду в Г,
k(t)Tf(t,9(t),o(t))= min k(t)Tf(t,9(t),r) (5)
почти всюду в Г,
k{tQ)Ta= min 6(Огао, (6)
где
* (*)Г = Г/ГЯ| + J Я2(ОZ (т)"1 ©(Л)] Z (О,
Z{t) = I+\z(x)F(T)d% {tsT).
t
В этом случае мы говорим также, что (б, а, /ь ю, Яь Я2, F)
является слабой экстремалью относительно множества Q.
Если (а0, а0) € ^ X Л0, решение y0=y(f, а0, а0) существует и
но точка (а0, а0) не является слабой экстремалью относительно
множества Q, то назовем точку (а0, а0) слабой неэкстремалью
относительно множества Q.
596

Непосредственно из последнего замечания, данного перед
определением XI. 3.1, следует, что если ае^и (а, а0) —
обобщенная экстремаль относительно множества Q (определение
XI. 3.1), то (а, а0) является также слабой экстремалью
относительно множества Q. Более того, для а е <№ определения
обобщенной и слабой экстремалей совпадают.
Дадим теперь первый основной результат этого параграфа.
XI.4.2. Теорема. Пусть (а0, а0)-~слабая неэкстремаль
относительно множества Q=(f, Л8/, Л1, AV, ft2, Л8Л2, Л0, Л). Тогда
существуют такое конечное семейство {щ]..., им)^^ и такое
Х>0, что
SF (Л1 (у (f, а0, а0) Ш х) с {/г1 (у (/, и, а0) (*,)) |«e*,OoS Л0,
S' (А2 (t, f/ (f, а, а0) (/)), х) с= Л (f 6 2*), u (0 е fa (*,), ...
..., uM(t)}(tt=T)}.
Более того, существует такая последовательность ((#', а£))
в 3№ X Ль что
u'Wefatf), ..., uM(t)} (/=1, 2, ..., <еГ),
lim а1 = а0, lim а£ = а0,
* t
»(y(f, *. <)(/f)) = A4f/(f, а01 ОоЖ)) (/-1. 2, ...),
л20, y(f, й\ a$(t))<BA° (f еГ*. * = 1, 2, ...).
Так же как и в параграфе XI. 3, мы дадим доказательство этой
теоремы в несколько этапов, используя несколько
вспомогательных лемм. Так как все предположения теоремы XI. 3.2 сделаны,
также в теореме XI. 4.2, то мы можем использовать
обозначения и соображения параграфа XI. 3. В частности, при
доказательстве теоремы XI. 4.2 можно также ограничиться случаем
А> —{во} и Л = (— оо, 0]. Определим выражения fp, Л1,р, Л2, р, с,
#o=*/(f, сг0) Ж*у y и 6(F, a)(t) точно так же, как и в пункте
XI. 3.4 и лемме XI. 3.7, и положим
^e = {F|(F, Ни Н2)^Ж%
^\ = {Hx\{Fy Ни Н2)<=Ж%
^28 = {Я21(/\ Ни Н2)е=Хе).
XI. 4.3. Лемма. Пусть ф е L°° (fi, Rn),
q>p{t) = Z{F){t)<f(t\
597

Тогда для любого е > 0 и любого подмножества N из Т при
li(N) = 0 существуют такие /^{1, 2, ...,}, t\ ..., tl^T\N
и а\ ..., a'e(0, е], что точки t\ ..., tl различны и
i
£ ak = t{- t0,
fe-i
<М*)-Е afe<pF (<*) X„„sl ('*)!<* (s<=T, F<=<TV).
I kwm\ |
Доказательство. Положим г/ = т1п(г9 -r-(*i — *o)) и
выберем такое замкнутое подмножество Те из Т \ N, что
^(ГчГеХе'^^ис]"1 и функция cpl^ непрерывна. Так как
семейство {Z(F)\F е #"v} равномерно непрерывно, то
существует такое б > 0, что 6< min Г[8| ф b с]"] г', -^ е'J и
1ф^(0-фИЩ<е,[4(^1~^)]"1э
если
1Г-ГК6, t\ t"<=Te, F e=#~Y.
Разобьем интервал Т на последовательные подынтервалы
Juh* • • •» h Длиной не более б, положим Ik = Tk[)Te> Р =\i(Ik\
выберем в каждом непустом множестве Ik точку tk, и положим
г = /о, если /* = ^. Обозначим через 0(a) такой элемент к из
пространства Rm, что | х К а. Для, каждого se/y и FeJv
имеем
/-1
<М*) = £ PW) + o(|) + o(6|9u*) + o(|)^
=i;p4,(^)+o(4e). о)
Тогда
Z РЧ «*) - Z Р*ф, (**) xP„ si (<*) + о (61 Ф L c). (2)
Положим ak^(tx — f0)pVZ P'- Получим
«i - *o)> Z P' > Ci - 'o) - [41Ф L c]*1 e'.
Следовательно,
а*-в/[4|ф|в,с^|-/о)Г1в*<Р*<Л
598

Тогда, По условиям (1) и (2), имеем
Ф,(^ = Еа^(^Х(,>,](^) + 0(^) + 0(|) + 0(б|ф|0ос).
fe-1
Так как
p*<i*(/;)<*<Ye'
i
£ tf = р(Г.)>{tx - t0) - в'>|(f, - /о),
то afes [0, в]. Таким образом, точки tk9 соответствующие акФ§,
различны.
XI. 4.4. Лемма. Пусть а0 = [у, ру] е 0>*. Тогда существуют
такая последовательность ({Л£, ..., A^yf0^ измеримых
разбиений интервала Т и такая последовательность (щ) в Я*% что
Нт|1(^ПВ)=5о/(/)Л (1)
1 в
для / = 0, ..., п и любого измеримого множества В,
M0-P/W QeAn / = °. •••» п)> (2)
lim и< = <т0. (3)
i
Доказательство. Пусть
d(t)=\ sup {a < diam (R) \ d(P/ (t), Pk (t)) >a
{кФ19 а? ®Ф09 ak(t)¥*0)},
/г?(0={Р/(01а/(0^0, / = 0, ..., n) pes 7), '
i8f — семейство измеримых однозначных ветвей из
отображения R*, а ^f — семейство таких измеримых функций а: Г-*грт (/?),
что a (0 (#? (0) = 1 (t е= Г). Тогда a0 е= S?f, и, по теореме IV. 3.10,
существует такая последовательность (и,) B_#f, что lim ui = a0, т. е.
«I '.
lim J <р (/, к, (0) dt = \ dt\ Ф (*, г) а0 (0 (dr) (4)
[<peL'(|i, С (Я))].
Так как и, е $^, то найдется такое измеримое разбиение
{\ ..., Л£} интервала Г, что
А) с {fe Г |а'(/)^0}.
699

Для всех / = 0, 1, ..., п и /еГ таких, что а'(0=^=0, положим
F,(t)=Sr(9f(t),d(t))f
Hf(t) = {r^R\d(r, pf(t))>2d(t)l
' ♦,('. r) = (rf[rf Я, (*)] + </[r, Ft(t)]rld[r, Hf(t)].
Если а; (/) = 0, то положим г|), (/, г) = 0 (ге /?).
Если В—измеримое подмножество из Т ифД/, г) = г|э/(/, r)%B(/)
то для любого /=1, 2, ... имеем
\%^ui(t))dt = ix(Aj[]B)9
и
и
$Л$Ф/& r)o<>{t){dr)=\a!{t)dt
и в
Таким образом, соотношение (1) следует из условия (4). Лемма
доказана.
Назовем функцию ф: r->Rn приближенно непрерывной
в точке ?, если для любого е > 0 выполнено условие
lim {2a)~lii({t€=zT\\t — i\<<i,
а->0+
IФ (0 — Ф (О I > е}) == 0.
XI.4.5. Лемма. Пусть функция ф: T-^R" измерима. Тогда
функция ф приближенно непрерывна в точке i для почти всех
i<E=T.
Доказательство. Пусть ф = (ф!, ..., ф"). Ясно, что
функция ф приближенно непрерывна в точке i, если все
функции ф* приближенно непрерывны. Таким образом, достаточно
доказать теорому для случая п = 1.
Пусть е>0. По теореме Лузина 1.4.19, существует такое
замкнутое подмножество ТеаТ, что \х(Т \Те)^е, и функция
ф!^ непрерывна. Пусть he (t) = \ %те (т) dr. Тогда, по условию
h
1.4.42(2), функция he абсолютно непрерывна и ht (t)—хге О
почти всюду. Таким образом, hB(t)=l почти всюду в Тв, и
поэтому
Л,(0= lim (2аГ^([/-а, t + a](]T,) = l
а>0+
600

для почти всех / е Ге. Так как функция ф | Те непрерывна, то
цля любого г\ > О имеем
lim (2аГ1|А({те[/-а, * + a] ||ф(т)-ф(0|>Ч})«0
а->0+
для почти всех / е Ге. Таким образом, функция ф приближенно
непрерывна почти всюду в Те для любого е > 0. Отсюда
следует утверждение леммы.
Для простоты обозначений положим
/ «, у (0, р' (0 - р" (0) = f(t9y (0, р' (0) -fit, у (0, р" (*))
для р\ р" ^ Я^ (и аналогично для функции fp). Таким
образом, каждое pG^ будем рассматривать как обобщенную
управляющую функцию £->6р (t), где бг — мера Дирака в точке г.
(Это не будет вызывать путаницы, так как мы не будем
определять какую-либо алгебраическую структуру в множестве /?.)
По теореме IV. 3.10 множество 91* содержит счетное
подмножество $1, которое всюду плотно в компактном
метрическом пространстве £^.
XI. 4.6. Лемма. Пусть множество 3tL определено выше,
е>0, ГсТ, ii(T\T*) = 0 и
t
6(Fy a) (t) ±Z{F)Cx\z (F) (т) / (т, у (/, <т0) (т), а (т) - <т0 (т)) dr.
Тогда существуют такие /, N sN, р' е $1 (/ = 1, ..., N),
^еГ и aik е [0, е] (k = 1, ..., /), что точки tik различны,
2 aik =ztl — t0 для всех i, и для любого о е <?* можно опре-
делить некоторое i = i (a) е {1, ..., Щ, удовлетворяющее условию
|6(F, a)(0-6*(Л(OK* ОеГ, FeJY),
где
b4F)(t) =
4 2 (f) (О'1 I aikZ (F) f (f\ у {J, a0) (*<*), p' (tik) - a0 (<")) ^ t] (П
Доказательство. Функции o-*6(F, a); ?*->С{Т, Rn),
соответствующие всем F e #~Y, равномерно непрерывны, так как
равномерно непрерывно семейство {Z (F)}. Так как множество &%>
всюду плотно в компактном метрическом пространстве ^, то
Можно определить такой конечный набор {р1, ..., р^сЯ^, что
Q01

для любого о^&ь существует /* = /(<т)е{1, 2, ..., N}9 уд0-
влетворяющее условию
|б(F, a)(t) -6(F, р'*)(t) |<е/2 (/er.Fe firv). (l)
Для каждого /= 1, ..., N пусть
<P(0 = f(', </(f, сто) (О, Р'О-МО),
и пусть /,, tikf aik (6=1, 2, ..., /,-) определены так же, как
и в лемме XI. 4.3 при г = е/(2с) и когда множество N выбрано
как объединение множества Т\Т* и множества всех
заданных tik (для /</). Положим /=max/j, aik = 0 (/t<&</) и
i
определим точки tik е Т* для /= I, ..., N и k > lt
произвольным образом,, но так, чтобы все они были различны между
собой и отличались от точек tik для / = 1, ..., N и k^.lit
Тогда наше утверждение следует из леммы XI. 4.3 и
соотношения (I).
XI. 4.7. Вспомогательные определения. I. Нетрудно показать,
что найдется число
е1е(0, [80^-/0)+1ГЧ)>
удовлетворяющее условию, что для любого aiERm при |до| =
— у/(2пг) существуют такие точки £', ..., |m е Rm, что векторы
|* взаимно ортогональны, равны по норме у и
шесо{0, I' Im}, |[f lmr'|<2/n/Y
при условии
2. Обозначим через Т* множество всех точек, где функции
t-+f{t,y{f,o№,p№ >-<*'(')
приближенно непрерывны для /' = 0, ..., я, р = р/ и ps $«>.
По лемме XI. 4.5 \x(T*) = \i(T) (так как множество $L счетно).
Положим
cl—2cexv[c(tl — t0)], e2 = mm(ejc1 (\6сс{)~1 у, l)
и определим N, /, р*, tik и aik так же, как и в лемме XI. 4.6
для множества Т* и е==е2.
3. Пусть d — наименьшее расстояние между различными
точками tik или tx. Будем писать \1(вфо') вместо \i {{t е Т \ a{t) Ф
фо'Ц)}) л \аи ог2|ш,ц<а, если существует такое а3е^, что
l<*i — <*з1а;<а и м.(а3^ог2Ха.
602

Можно определить такое целое число р'0^р0 и такое число
e3e=(0, minftccx)-1 еи е2, d))y
чхо для любых
FGfY, p>p'Q, r<=R, теГ, /sTA
йае^ при |сг0> ог|а,,|л<е3 имеем
y{f>9o){T)cV\ \f-F\sup<eu
/:(т, У (Г, <т)(т), Р/(т))еА7(т, у (/, а0)(т), Р/(т))
(/ = 0, ..., /г),
А* PG/ (fР, а) ft)) е ЛV (t/ (f, оь) ft)),
А2,'Р 0, У (Г, *о) (0) е Л V ft у (f, а0) (0),
и значения функций
Z(F)(%), /p(Tf *(/', а)(т), г) и Л2 ft у (Г, *)(/))
изменятся на величину не более min(ej/6, y/8), если поменять
местами функции fp и /, или заменить а на а' при условии
I ст0, °' 1ш,ц^8з> или заменить F на такую измеримую функцию F,
4T0|F|s'up<c и n(F^=F)<e3.
4. Так как *'* еГ для всех /==1, ..., N, As == 1, ...,/, то
можно определить такие множества Tik cz [ttk, /,] положительной
меры, что для t^Tiky / = 0, ..., п и р = р/, р' мы имеем
l/ft y(f. or0) (0, p(0)-f (Л *(f, *о)(^), pOK-J-ei;
а'(0< 4 <*'С'*), diam(^)<e3,
и объединение всех множеств Tik имеет меру не более е3.
Выберем эти множества различными. Тогда для каждого ink
множество соГ^.не содержит точек ttl\kl при (iu k{) Ф (/, k).
Положим
p^-J-mindirtli-l, ..., tf, £=1, ..., /}.
б. Пусть (?! определено в пункте 2 и с2 = 8т2сс{ (t{ —10).
В силу пункта 4 и леммы XI. 4.4, можно определить такое
измеримое разбиение {Л0, ..., Ап) множества Т и такую
соответствующую функцию и0 е Э№у что
loro-«oU<e3, Wo(0 = p/(0 И4 / = 0, ...,л),
I а1, Р (г/(Г, «о) ft)) - А1 (У (f, *о) ft)) I < Yp/(4m),
I &Р 0, у (fр, г/о) ft) - Л2'р ft У (/, do) (0) | < Y2M2c2) (t € ГА)
603

для достаточно больших р, й
1*(Г'*ПЛ/)>-5-ц(Г")а(П (1)
для всех /, k, }.
6. Для каждого /, k и / положим
Тт = Тш[\А,
и определим семейство Tikl (а) (а е [0, р]) таких подмножеств
из Tikl, что
Tik'(a)cTikl(a'), если а<а',
Г'*' (0) = 0, |i {Tikl (о)) = min (а, ц (Г'*')).
Из условия 5(1) и определения числа р в пункте 4 следует, что
ll(Tikl(a)) = a, если а <ра'(*'*).
Для каждого такого © = (©'*'), что со'*7 е [0, fl, положим
Afp'(0 N^rt
«op) [<е Г \(r<w(«'*'))].
Положим также
«(<*>)(*) = {
<Г = {е = (е', .... в")|в'е[0, Й),
a,|»/(e)=e'V(<,*)e'te«(eI ew)e^-),
»(в)=(«'«(в)).
Ясно, что ц(Г'*>(ю'й/(е))) = а>'*'(е) для любого 9е^.
В оставшейся части этого параграфа мы будем пользоваться
определениями 1—6 и различными понятиями, данными в них.
Буквами i, j, k будем обозначать элементы множеств {1 N},
{О «}, {1, ..., /} соответственно. Символ 0(a) будем
использовать для обозначения такого элемента х из некоторого
нормированного пространства, что |*|^а.
XI. 4.8. Лемма. Пусть с, и с2 даны в определениях 2 и 5,
p^p'Q, «eR", |»|=1, ёе*Г, р = р-|ё|,
б =«(«(§)), hl=hlp(y(fp, й) ('.))•
Тогда для любого Ь е [0, Р] существует такое 8е^", что для
всех t^Th выполняются условия:
0<е'-б'<* (/=1, .... АО, 0)
Л1," (У (Г, и (со (9))) (*,)) = Л' + [yb/(2m)] п, (2)
Аар(<,»(/р.«(0(в)))(О)<
<тах(А2'"(ЫГ, й)«))-Ьу21сь -у/4). (3)
604

Доказательство. 1. Пусть $ —семейство всех таких
чисел Ь' е [0, р], что для любого Ь ^ [О, &'] найдется ве^,
удовлетворяющее условиям (1) —(3). Точка 6 = 0 принадлежит
множеству 31 и соответствует значению 0 = р. Более того,
множество $ замкнуто, так как функция 8->г/(/р, гг (со (в)): 9~'-►
->С(Г, Rn) непрерывна, а множество 9~ компактно. Пусть
теперь 0^6<ри&е#. Покажем существование такого р0 > 0,
что & + Рое^- Так как множество $ замкнуто, то $ = [0, J3].
2. Пусть 8 — значение аргумента 8, соответствующее Ь.
Определим точки £', ..., |m е Rm, соответствующие точкам
ш=(2т)" уп так же, как в определении 1. Положим
ao = min|y(p-b)aV(^)|aV(/t4)>0, для всех /, k, /},
v{t) = y(f\ u(0(e)))(Of tfi«Ai'p(S(*i)),
H2(t)=hl'p(t, 6(0), F(t)^fpv(tt 6(0, a(a>(9))(/)).
По лемме XL 3.7 для каждого </=l, ..., m найдется такое
afle^, что
Яi6(Л *,)fo) = |«, ft2(*, у(/, ao)(0) + Я2(0 6(F, а,)(0<- V-
Из определений 2, 3 и леммы XI. 4.6 следует существование
таких индексов /(1), /(2), ..., /(т)е{1, 2, ..., N}, что
г,2- р ^
Hlbi{q)(F)(tl)-lq\
:6Ь
hz'p(ttv(t)) + H2(t)bl{q)(F)(t)<~7y/8 (9 = 1, ..., m).
(4)
Перенумеруем эти индексы таким образом, чтобы заменить /(1),
/(2), ..., i(m) на 1, 2, ..., т соответственно.
Так как функция
<о-*У(Г, и{ф. [0, рГ<Л+1)-С(7\ Г)
непрерывна, то можно определить такое р0 е (0, Oq], что
\ sup |ГД/, аг/(Г, и (со)) (0 +
+ (l-a)6(0, r)-tf(<, 3(0, г)|Л ., . ,
sup |л''р(а«/(Г,«((о))(/1) + (1-а)1»а1))-Я1|<8;/2, I (5>
sup \ti-p(ttay(fp,u(<»j)(t) + (1 -a)0(0) - #2(0l<
;8,/<
<[16с»№-/ь)+1ГЧ
при условии, что 1ю'*; — о»'*у(ё)|<2Ро для всех », Л и /.
605

Для каждого t> = (t>ikl) с элементами из отрезка [0, 2р0]
и с l^tn рассмотрим набор со (£) = (со'*' (£)), определенный
условиями
ffiw(0 = ©'"(б) {i>m\
&ikf(0=<oiki(Q) + iiki (/<m).
Зафиксируем такие (/*,£*,/*), что a'**V* (/'***)> О и /*<т;
обозначим со (£) через со (а), когда £<***/* = а, а все остальные
значения ^ikf фиксированы, и положим
Й(а)=и(6(а))( 9(a) = y{fp, й(а)), ЛГ = (Л ft*, f),
f (а, р) = Т»* (<&"* (а + р)) \ Г"* (А** (а)) (а, р е= [0, р0]),
Д (а, р) (0=Д (/) = р"' У (а + р) (0 - 9 (а) (*)] (а, р г [0, р0], р > 0),
t,=/w, f*=f (< y(f, об) (О, р'*(т')-Р/.(0).
Тогда для всех о, ре [0, р0] мы имеем
<ом* (в) + a + р < pV** V (т*) < pV* (т*).
Поэтому ц (f (а, р)) = р.
3. Покажем теперь, что для любых
Г, ft*, Г, ae[0, ft,], ре(0, М, /еГ
выполняются условия
Д(*) = 0 («г*), |А(0Кс, (т*<*<г* + е3),
|А(0- Z^Hfl-'Z^)ЮГ |<6Л, «>т* + г3). (6)
Для всех о, ре [0, Ро] мы имеем
й(а + Р)(т) = й(а)(г) (тбГ\?(а, р)),
Л (о + р) (т) = р'* (г), й (а) (т) = щ (т) = Р/. (т) (т г f (а, р)),
f(a, Р)с[т\*,], n(f(o, Р)) = р.
Таким образом,
t
^(а + Р)(0 = ао + ^/р(т, 0(а + Р)(т), й(а + р)(т))dx =
t
= йо + \ fр (т, 0 (а + Р) (т), й (а) (т)) dx +
+ $ Г (т, ^ (а + Р) (т), Д (а + р) (т) - й (а) (т)) dx (t е П
f (a, P)nUt» П
606

и для всех Р>0, Д(0 = 0, если t^x*, и в противном случае
t
Д(О = Г' J If' К 0 (а+Р) W, Й (a) (T))-f (т, £ (а) (т), * (а) (т))] dx +
г»
+ Р"1 J fР (г, * (а + Р) (т), р<* (т) - Р/* (т)) dx. (7)
f (а. Р)П ['..А
По определению 3, ^(а+Р)(Г)сГ. Так как (i(f(a, Р)) = Р, то
из условия (7) следует, что
X
|Д(0К*$|Д(т)|Л + 2с (*>т*),
и, по неравенству Гронуола II. 4.4, получаем
|A(0K*i (<>А (8)
Более того, из определений 3 и 4 для р = р'*, ру* и всех tef(a, р)
получаем
lfp<*. *(а + Р)(т), р(т))-/(г-, *,(/, а0)(А р(т*)) I<е,/2.
Таким образом, по условиям (5), (7) и (8), для а, ре [0, ро],
Р>0 имеем A(t) = Oy если /<т*, и
t
А (0 - $ П (*, У (fР, а (а> (б))) (г), й (а) (т)) Д (т) dx +
+ p-W(<*, Р)ПКь fl)/4-0(28!) (9)
в противном случае. Так как функции й(а) и и (со (8)) совпадают
всюду кроме множества меры, не более е3, и с^вз^в^ то,
по условию (9),
t
AW- J ?(т)Д(т)с/т + Г + 0(4е1) Ц>х* + г3).
Это, вместе с условиями (8) и (9), означает справедливость
соотношения (6).
4. Пусть
Ф(0(0 =</(/', «(й(Ш(0 (/«Г, С»' е [О, 2М),
С (л) = (£'*' (л)), ф(ч) = + (£(л)),
и пусть д'"***'* Ц) = д'***'* (о, р) (/) обозначает функцию Д (t) из
пунктов 2 и 3. Тогда А14*1* {а, р)(/) представляет частичную
607

разность функции я|э (£)(*) относительно £'***/* между точками а
и а + Р- Тогда для всех / = 1 т, х\ г [0, р0]т и р е= (0, Ро]
имеем
Р"1 [Ф (Л + Ре,) (0 - Ф (г,) (0] = £ a'V (***) А'*' (0, (Ю)
где Aikl получено для соответствующих £ с элементами из
отрезка [0, 2р0]. По определению 2 и лемме XI. 4.6,
а'*е=[0, 1], а'^ОбссГЧ Z«"-'i-<o,
/г
и по определению 3 любой подынтервал из Т длины е3 содержит
не более одной точки вида /** или t{. Так как
f(t, v, <х0(0) = £а'('Ж', «, р,(0),
то из условий (6) и (10) получаем, что
Р"'[ф(л + Р^)(0-ф(г1Н0] =
-1 a,kZ (F) (tylZ (F) (tik) f\t {tk) +
k < '
+ О (бс2 (*, -10) e, + (16c)-1 Yfy,. ,, (0). (11)
где
ftt-f «**, *</, <To) (*"), p'^-oo (/*)).
Если обозначим через 61(Р)Ц) первый (главный) член в правой
части соотношения (11) (так же, как и в лемме XI. 4.6), то из
условия (11) следует, что
Ф (л) (0 - Ф (0) (0 -IV [*' (f) W + О (5с2 (f, - to) е, + (16с)-' Y)l
f — 1
и из определения 8i в определении 1 следует, что
Ф (л) (0 - Ф (0) (0 - I V [6' (F) (0 + О ((8с)"1 Y)]. (12)
Нетрудно показать, что | б' (F) (t) | <1 2с3 (t{ — /0) Для всех / и /.
По условиям (4), (5), (11), (12) и определению 2 получаем
Г1 [Л1' Р (Ф (ч + P*i) ft)) - huy (ч) (/,))] =
^{Ht + O (в,)) в' (F) (/,) + О (5с3 (*, - /0) в,) -
-БЧоКб^-^+Цв,) (13)
608

и, полагая c' = [l6c3(tt — t0) + 1] ', получаем, что
А2Р(^Ф(П)(0) =
= Л2, Р (*, Ф (0) (t)) + [Л?1 р (t, Ф (0) (0)+ О (c'y)] [Ф (л) (0 - Ф<0)«)] -
m _ _
= Л2, р (*, б (0) + Z V [Я2 (0 б' (F) (0 + О (y/4)]. (14)
1-1
Далее, по условию (4)
h2'p(t, e(0) + »2(0*'(?)W<—g-Y <15)
для всех /^т и /еГ*. Рассмотрим сначала значения /^ГА,
для которых
Тогда, в силу определения 3, имеем
А2'Р(^,Ф(г1)(0)<-у/4.
Для других t из условия (15) получаем
#2(0*'(F)(0<-y/2
для всех /. Поэтому, по условию (14),
т
л2," С, ф (л) (0) < л2-' (/, v (0) —J- £л'.
*-1
Таким образом,
А2,РС Ф(т1)(0)<тах(л2' "«, а(*))-£ £V. -•}) (16)
('«Л rie[0, РоГ).
5. Пусть Ле — производное множество оператора, описанного
в условии XI. 1.1(3), и пусть
Ф(Л) = ЛЬР(Ф(Л)(^ Pfe(0, Pol
По условию (13), для любых tie(0, p')m и
!Ф-[ф\..., Фт]^ДРвф(ч)
мы имеем
Для всех i^tn. Следовательно, в силу определения 1
|ф-Ч<2т/у, я€=Ф[0, оо)1».
Из теоремы XI. 2.4 следует, что
♦ (0)+[0,р7(2^у)]ясф([0, Р'П
609

Таким образом, существуют такое t]e[0, р']т и такое
соответствующее Bg^", что
е* = ё'<& {i>m\
в'-б' + л'^ + Р' (i<m),
Ф(ч)-А,>р(у(Г, "M9)))ft)) =
- А1 + 1(5 + Р') Y/(2m)] п = ф (0) + [p'Y/(2m)] п. (18)
Наконец, из условий (8) —(10) следует, что функция <р
удовлетворяет условию Липшица с константой тсх ft — t0), поэтому
функция ф также удовлетворяет условию Липшица с константой
mcc}{t{ —10). Из условия (18) получаем
т
P'Y/(2m) = | ф (ч) - ф (0)К тссх ft - *0) IЛ I тсс, ft -10) £ V-
Следовательно, по условию (16) имеем
А2' р ft Ф (Л) W) < max (A2' р ft v (t)) - p'Y2/*2i - v/0 <
< max (Л2' p (f9 у (f, u) (0) - (b + P') y2jc2, - Y/4) (19)
для всех ^s7A. Соотношения (17) — (19) означают, что 5 + Ро€#,
поэтому $ = [0, р].
XI.4.9. Доказательство теоремы XI.4.2. Пусть p>pj,
w(9)(0 = у(fр, к (со(9)))(0 (6ef,<sГ),
BGf и 0<5<(р — | 9 |)у/(2/п). По лемме XI. 4.8 для любой
точки у е Rm, находящейся на расстоянии не более s от точки
А1, р(w(9)ft)), существует такое 8g0 + [O, 2ms/y]NczТу что
0 = A,iP(a>(e)ft)) и
А2' р ft w (9) (0) < max (A2' р ft w (в) (f)) - 2mYs/c2, - Y/4) (/ <= ГА).
Это означает, что если и есть конечная точка ломаной линии
в Rm длины Pv/(2m), начинающейся в точке А1, PG/(/p, «o)ft))»
то существует такое 9ре^", что а = А1'р (до (9Р) ft)) и
А2'р(/,ш(9р)(/))<
< max (А2'р (/, у (/р, щ) (t)) - pY2/c2, - Y/4) (t & Л
Ясно, что любая точка в SF(v0, е) является конечной точкой
некоторой ломаной линии длины е, начинающейся в точке t>o-
Поэтому данные выше соотношения означают, что для всех
достаточно больших р и всех
v <=S"(hl{y(f, ff0)('i)),YP/(4m))c:
cS4AbPG/(^«o)('i)),YM2m)) (0
§10
(17)

существует такое 6Р е <Г, что
v=hUp(y(fp9u^(Qp)))(tl)\ (2)
A2"p0^(fP.M(«(ep)))(0)<
< max (-1 pY2M, - v/4 ) (/ e 7*). (3)
Так как множество 9~ компактно, то мы можем выбрать
такую подпоследовательность Рс(1, 2, ...), что
последовательность (6p)psP сходится к некоторому OgJ". Занумеруем
конечное семейство функций
Р/,Р* (/ = 0 я, / = 1, ..., N)
в виде ии • ••, hM. Тогда
и (со (9)) (0 е fa (0, ..., и* (0} (Bs^/e Г),
и первая часть теоремы XI. 4.2 следует из соотношений (1) — (3)
при р->«>, реР и
к = min (vP/(4m), j №/с2, Y/4).
В частности, существует такое 0О е #", что
A1d/(f,w(co(e0)))(/1)) = AI(^(/,a0)al)),
A2(^f/(f,"((o(e0))(0))<0 (<еГ*).
Наконец, все наши рассуждения остаются справедливыми,
если заменить число е3 в определении 3 на меньшее
положительное число. В частности, если (е£) — последовательность
в (0, е3], убывающая к нулю, то для любого i можно заменить
е3 на г\. Обозначим тогда через и*0 и й1 управляющие функции,
соответствующие щ и и(<о(0о)). В силу определений 5 и 6 имеем
Отсюда следует, что Итй* = о0, в то время как
h2{t,y(f,U{)(t))<0 (te=Th)
для всех 2=1,2, .... Теорема доказана.
Мы можем теперь сформулировать оставшиеся два
результата этого параграфа. Назовем точку {д, а) е 9>g X А0
минимизирующим обобщенным решением, если точка (а, а)
минимизирует функцию h°(y(f, сг, a0)(*i)) на множестве
* (*S) = {(а, ао) е Л X Л) I Л1 (У (/, а, а0)) («е4
h2(t,y(f,<y,ao){t))ezA (te=Th)}.
611

Аналогичным образом определим минимизирующее обычное
решение (а, а) е &£ X М, заменив ^S на Я*. Назовем
минимизирующее обычное решение строгим обычным решением, если оно
не является минимизующим обобщенным решением.
XI.4.10. Теорема. Пусть множество Q0'1 определено так
же, как и Q в определении XI. 4.1, но с заменой Л1, ЛеЛ! на
(Л°, А1), Л8(Л°, Л1)- £сли (Р> во) е^Х4-минимизирующее
обычное решение, то (р, а0) является одновременно обобщенной и
слабой экстремалью относительно множества Q0, { и, более того,
/о >0, lW (у (f, р, йо) № = max /[а,,
где (/0, Z0 соответствует элементу 1Х в определении XI. 4.1, когда
А1 заменено на (А0, А1).
Доказательство. Эта теорема непосредственно
получается из теоремы XI. 4.2 точно так же, как теорема XI. 3.9
получалась из теоремы XI. 3.2.
XI.4.11. Теорема. Пусть множество Q0'1 определено в
теореме XI. 4.10 и {и, а0) — строгое обычное решение. Тогда
множество
Л~ = {(от, ао) е Л X 4> I А0 (у (/, а, а0) (<,)) < А0 (»(/, й, а0) ft)),
h] (У (f, or, flo) Их)) e Ль A2 (f, у (f, a, a0) (0) ^ (< s ГА)}
непусто и для любого (а, а0) е ^#" существуют такие (/0, Z^, со,
Яь Я2 и F, что (а, а0, (/0, h), <*>, #ь #2, F) является экстремалью
относительно множества Q0,1 и
/о = 0, lW {у (/, S, йо) (*,)) = max /fai.
Следствие. Пусть (а, й0) — минимизирующее обобщенное
решение. Если (а, й0, (/0, /i), <о, Я,, Я2, F) является экстремалью
относительно множества Q0,1 только при 1оФО (в этом случае
назовем задачу «нормальной», то в задаче не существует
строгих обычных решений.
Доказательство. Мы начнем доказательство точно так
же, как в пункте I доказательства теоремы XI. 3.9, за
исключением того, что выберем произвольный интервал [а, р],
ограничим значение |0(/о) интервалом [а, р] вместо интервала [0, 1],
и определим множество Q', заменив [0, 1] на [а, Д. Тогда
получаем, что
min /olo = 0, (D
Ье[а.0|
l\a{ = max /[аь (2)
ate4,
612

Предположим, что (й, а0) — строгое обычное решение. Тогда
множество Ж" непусто в силу определения строгого обычного
решения. Пусть теперь (5, а0) е Л~\ Положим
Р = - а = у [Л° (У (/. й> йо) d)) - Л° (У {f, а, а0) ft) ],
# 5, = Л« (г/(/, а, а0) (*,)).
Если (5, (а0, 0, а^) — неэкстремаль относительно множества Q',
то так же, как и в доказательстве теоремы XI. 3.9, можно
показать существование таких clq е Л0, £0 е К Р], 1^А\ име Я*,
что
Л° (У (f, и, «о) ft)) + So < Л° (У (f, 5, й0) (*)) < Л° (у (/, Я, So) (<,)),
А!(у(/,и.вьНМ)^Ль
A2fty(/,",«o)ft))<0 (<еГ*).
Первое из этих соотношений означает, что
fi°(y(f,uta0)(tx))<h<>(y(f,u,a0)(tl)\
и противоречит тому, что (й, й0)— минимизирующее обычное
решение. Таким образом, (5, (а0, 0, а{)) является экстремалью
относительно множества Q'. Следовательно, существуют такие
(/0, /i), со, Я,, #2 и F, что (5, й0, (/0, А), со, Ни #2, F) являются
экстремалью относительно множества Q0'1. Так как а<0<р,
то из соотношения (1) следует, что /0 = 0.
Замечания
Первые необходимее условия в оптимальном управлении без
предположений дифференцируемости или выпуклости были
получены Кларком [1] в его докторской диссертации в 1973 г. Через
несколько месяцев, в конце 1973 г., я также получил некоторые
результаты, которые были опубликованы в работе Варги [17].
Результаты Кларка [1] применимы к некоторым вариационным
задачам и относятся к минимизирующим обычным решениям
без ограничений или без односторонних условий. Результаты
Варги [17[ относятся к минимизирующим обобщенным решениям
без односторонних ограничений. В последующих работах [2—7]
Кларк получил необходимые условия для вариационных задач,
а также для задач оптимального управления, с граничными
условиями, но без односторонних ограничений. Он получил также
необходимые условия и некоторые результаты по управляемости
Для дифференциальных включений вида у (/) е F (/, у (t)) почти
613

всюду в Г с граничными условиями вида у (t0) е С0, у (t{) ^ £
где С0 и С{ — замкнутые множества.
Результаты Кларка выражаются в терминах «обобщенных
градиентов» и «обобщенных якобианов», которые, оказывается,
совпадают с множеством dq>{v) из определения XI. 1.4(2) для
т=1 и m^l, соответственно.
Результаты параграфов XI. 1 и XI. 2 опубликованы в чрабо-
тах Варги [19,20], результаты параграфа XI. 3 —в работах
Варги [18,20], а результаты параграфа XI. 4 в менее общей
форме опубликованы в работе Варги [19]. «Управления Гамкре-
лидзе» ввел впервые (в несколько более простых задачах) Гам-
крелидзе [4].

БИБЛИОГРАФИЯ
Б е н к с (Banks Н. Т.)
[1] Necessary conditions for control problems with variable time lags,
SIAM J. Control 6 (1968), 9—47.
[2] Variational problems involving functional differencial equations, SIAM
J. Control 7 (1969), 1—17.
Бишоп (Bishop E.)
[1] Foundations of Constructive Analysis, McGraw-Hill, New York, 1967.
Важевский (Wazewski T.)
[1] Sur une generalisation de la notion des solutions d'une equation au
contingent, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math. Astronom. Phys.
10 (1962), 11—15.
[2] Sur les systemes de commande non lineaires dont le contredomaine
de commande n'est pas forcement convexe, Bull. Acad. Polon, Sci.,
Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 10 (1962), 17—21.
Варга (Warga J.)
11 Relaxed variational problems, J. Math. Anal. Appl. 4 (1962), 111—128.
2] Necessary conditions for minimum in relaxed variational problems,
J. Math. Anal. Appl. 4 (1962), 129—145.
[3] Minimizing variational curves restricted to a preassigned set, Trans.
Amer. Math. Soc. 112 (1964), 432—455.
[4] On a class of minimax problems in the calculus of variations,
Michigan Math. J. 12 (1965), 289—311.
[6] Unilateral variational problems with several inequalities, Michigan
Math. J. 12 (1965), 449—480.
[6] Minimax problems and unilateral curves in the calculus of variations,
J. Soc. Indust. Appl. Math., ser. A, Control 3 (1965), 91—105.
[7] Variational problems with unbounded controls, J. Soc. Indust. Appl.
Math., ser. A, Control 3 (1965), 424—438.
81 Functions of relaxed controls, SIAM J. Control 5 (1967), 628—641.
9] Restricted minima of functions of controls, SIAM J. Control 5 (1967),
642—656.
[10] the reduction of certain control problems to an «ordinary
differential» type, SIAM Rev. 10 (1968), 219—222.
[11] Relaxed controls for functional equations, J. Functional Analysis 5
(1970), 71—93.
[12] Control problems with functional restrictions, SIAM J. Control 8
(1970), 360—371.
[13] Unilateral and minimax control problems defined by integral
equations, SIAM J. Control 8 (1970), 372—382.
[14] On a class of pursuit and evasion problems, J. Differential Equations
9 (1971), 155—167.
[15] Conflicting and minimax controls, J. Math. Anal. Appl. 33 (1971),
655-673.
615

[16] Normal control problems have no minimizing strictly original
solutions, Bull. Amer. Math. Soc. 77 (1971), 625—628.
Вольтерра, Перес (Volterra V., Peres J.)
[1] Theorie Generate des Fonctionnelles, Gauthier-Villars, Paris, 1936.
ГамкрелидзеР. B.
[1] Оптимальные по быстродействию процессы при ограниченных фазо-
вых коорднатах, ДАН СССР 125, 3 (1959), 475—478.
[2] Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых
координатах, Изв. АН СССР, сер. матем. 24, 3 (1960), 315—356.
[3] On some extremal problems in the theory of differential equations
with applications to the theory of optimal control, J. Soc. Indust. Appl
Math., ser. A, Control 3 (1965), 106—128.
Гамкрелидзе P. В., Харатишвили Г. Л.
[1] Extremal problems in linear topological spaces, I, Math. Systems
Theory 3 (1967), 229—256.
ГелфандИ. M., Ш и л о в Г. Е.
[1] Generalized Functions, Vol. 1, Academic Press, New York, (1964).
[2] Generalized Functions, Vol. 2, Academic Press, New York, (1968).
Г p e й в с (Graves L. M.)
[1] The Theory of Functions of Real Variables, McGraw-Hill, New York, 1946.
Гуйла-Ури (Chouila-Houri A.)
[1] Sur la generalisation de la notion de commande d'un systeme gui-
dable, Rev. Francaise Informat. Recherche Operationnelle, No. 4, 1967,
7—32.
Г у p с a (Goursat E.)
[1] Cours d'Anaiyse Mathematique, Tome III, Cauthier-Villars, Paris, 1942.
Данфорд, Шварц (Dunford N., Schwartz J. T.)
[1] Linear Operators, Part I, Wiley (Interscience), New York, 1967.
((Русский перевод: Линейные операторы. Общая теория, М.,
ИЛ, 1964.)
Д у б о в и ц к и й А. Я., Милютин А. А.
[1] Задачи на экстремум при наличии ограничений, ЖВМ и МФ 5
(1965), 395-453.
Дьедонне (Dieudonne J.)
[1] Foundations of Modern Analysis (enlarged and corrected printing),
Academic Press, New York, 1969. (Русский перевод: Основы
современного анализа, М., «Мир», 1964.)
К а с т е н (Castaing С.)
[1] Sur les multi-applications mesurables, Rev. Francaise Informat.
Recherche Operationnelle, No. 1, (1967).
КеленджеридзеД. Л.
[1] К теории оптимального преследования, ДАН СССР 138, 3 (1961).
Кёте (Kothe G.)
[1] Topological Vector Spaces, Vol. I, Springer-Verlag, New York, 1969.
Красносельский M. A.
[1] Положительные решения операторных уравнений. Главы нелинейного
анализа, М., Физматгиз, 1962.
Мак Ш е й н (McShane Е. J.)
[1] On multipliers for Lagrange problems, Amer. J. Math. 61 (1939),
809—819.
[21 Generalized curves, Duke Math. J. 6 (1940), 513—536.
[3] Necessary conditions in generalized-curve problems of the calculus of
variations, Duke Math. J. 7 (1940), 1—27.
[4] Existence theorems for Bolza problems in the calculus of variations,
Duke Math. J. 7 (1940), 28—61.
[5] Relaxed controls and variational problems, SIAM J. Control 5 (1967),
438—485.
M о н p о у (Munroe M. E.)
[1] Introduction to Measure and Integration, Addison — Wesley, Cambridge,
Massachusetts, 1953.
6W

фон Нейман (von Neuman J.)
[1] Zur Theorie der Geselschaftsspiele, Math. Ann. 100 (1928), 295—320.
Нойштадт (Neustadt L. W.)
[1] The existence of optimal controls in the absence of convexity
conditions, J. Math. Anal. Appl. 7 (1963), 110—117.
[2] A general theory o* minimum-fuel space trajectories, J. Soc. Indust
Appl. Math., ser. A., Control 3 (1965), 317—356.
[3] An abstract variational theory with applications to a broad class of
optimization problems. I, General Theory, SI AM J. Control 4 (1966),
505—527.
[4] An abstract variational theory with applications to a broad class of
optimization problems. II, Applications, SIAM J. Control 5 (1967),
90—137.
[5] A general theory of extremals, J. Comput. System Sci. 3 (1969), 57—92.
Огусторели (Oguztoreli M. N.)
[1] Time-Lag Control Systems. Academic Press, New York, 1966.
Понтрягин Л. С, Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В.,
Мищенко Е. Ф.
[1] Математическая теория оптимальных процессов, М., Физматгиз, 1961.
Рисе, Секефальви (Riesz F., Sz.-Nagy В.)
[1] Functional Analysis, Ungar, New York. 1955.
Ришель (Rishel R. W.)
[1] An extended Pontryagin principle for control systems whose control
laws contain measures, SIAM J. Control 3 (1965), 191—205.
Роксин (Roxin E.)
[1] The existence of optimal controls, Michigan Math. J. 9 (1962), Л09—119.
Рудин (Rudin W.)
[1] Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 1966.
Сакс (Saeks R.)
[1] Causality in Hilbert space, SIAM Rev. 12 (1970), 357—383.
Соболев С. Л.
[1] Некоторые применения функционального анализа в математической
физике, Новосибирск, Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1962.
Фан (Fan К.)
[1] Convex Sets and Their Applications (Summer Lectures 1959), Agronne
Nat. Lab., Appl. Math Div. (bound mimeographed notes), 1959.
Филиппов А. Ф.
[1] О некоторых вопросах теории оптимального регулирования, Вестник
МГУ, сер. матем., мех., астроном., физ., хим. 2 (1959), 25—32.
Фридман (Friedman А.)
[1] Optimal control for heredilary processes, Arch. Rational Mech. Anal.
15 (1964), 396—416.
[2] Differential games of pursuit in Banach space, J. Math. Anal. Appl.
25 (1969), 93—113.
X а л а н а й (Halanay A.)
[1] Optimal controls for systems with time-lag, SIAM J. Control в (1968),
215—234.
Ч e з a p и (Cesari L.)
[1] An existence theorem in problems of optimal control, J. Soc. Indust.
Appl. Math., ser. A, Control 3 (1965), 7—22.
[2] Existence theorems for optimal solutions in Pontryagin and Lagrange
problems, J. Soc. Indust. Appl. Math., ser. A, Control, 3 (1965), 475—
498.
[3] Existence theorems for optimal controls of the Mayer type, SIAM J.
Control 6 (1968), 517-552.
[4] Existence theorems for multidimensional Lagrange problems, J.
Optimization Theory Appl. 1 (1967), 87—112.
[5] Multidimensional Lagrange problems of optimization in a fixed domain
and an application to a problem of magneto-hydrodynamics, Arch.
Rational Mech. Anal. 29 (1968), 81—104.
617

[6] Closure, lower closure, and semicontinuity theorems in optimal control
SIAM J. Control 9 (1971), 287—315. '
Шварц (Schwartz L.)
[1] Theorie des Distributions, Hermann, Paris. 1966.
[2] Seminaire Schwartz, 1953—1954, Faculte des Sciences de Paris.
HI м e д e к e (Schmaedeke W. W.)
[1] Optimal control theory for nonlinear vector differential equations
containing measures, SIAM J. Control 3 (1965), 231—280.
Я н г (Young L. C.)
[1] Generalized curves and the existence of an attained absolute minimum
in the calculus of variations, C. R. Sci. Lettres Varsovie, С III 30
(1937), 212—234.
[2] Necessary conditions in the calculus of variations, Acta Math. 60
(1938), 239—258.
[3] Lectures on the Calculus of Variations and Optimal Control Theory,
Saunders, Philadelphia, 1969. (Русский перевод: Лекции по
вариационному исчислению и теории оптимального управления, М.
«Мир», 1974.)
БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛАВЕ XI
Варга (Warga J.)
[17] Necessary conditions without differentiability assumptions in optimal
control, J. Diff. Eqs. 18 (1975), 41—62.
[18] Necessary conditions without differentiability assumptions in unilateral
control problems, J. Diff. Eqs. (to appear).
[19] Controllability and necessary conditions in unilateral problems
without differentiability assumptions, SIAM J. Control and Optimization
14 (1976).
[20] Derivate containers, inverse functions and controllability, Proc. of
International Symposium on Calculus of Variations and Optimal
Control, Univ. of Wisconsin, Sept. 22—24, 1975 (D. L. Russell, editor),
Academic Press, New York.
Гамкрелидзе P. B.
[4] О скользящих оптимальных режимах, ДАН СССР, 1962, 143, № 6,
1243—1246.
К л а о к (Clarke F. Н.)
[1] Necessary conditions for nonsmooth problems in optimal control and
the calculus of variations, Doctoral dissertation, University of
Washington, 1973.
[2] Generalized gradients and applications, Trans. Amer. Math. Soc, 205
(1975), 247—262.
[3] The Euler — Lagrange differential inclusion, J. Diff. Eqs., 19 (1975),
80—90.
[4] Extremal arcs and extended Hamiltonian systems, Trans. A. M. S.
[5] The maximum principle under minimal hypotheses, SIAM J. Control
Optim. (to appear).
[6] The generalized problem of Bolza, SIAM J. Control Optim.
[7] Necessary conditions for a general control problem, Proc. of
International Sysposium on Calculus of Variations and Optimal Control,
University of Wisconsin, Sept. 22—24, 1975 (D. L. Russell, editor),
Academic Press, New York.
Рейдмахер (Rademacher H.)
[1] Uber partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer
Variabeln und uber die Transformation der Doppelintegrale, Math. An-
nalen 79 (1919), 340-359.
Ф e д e p e p (Federer H.)
[I] Geometric measure theory, Springer-Verlag, New York, 1969.
Фридман (Friedman A.)
[1] Differential Games, Wiley Interscience, New York, 1971.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома выбора 15
Алгебраическая структура 36
Альтернатива Фредгольма 238
Аргумент функции 11
База топологии 16
Барицентрические координаты 187
Вариационное исчисление 271
Вариация функции 65
отрицательная 65
положительная 65
Вейерштрасса ^-условие 289
Вершина подразбиения 186
— симплекса 186
Взаимно однозначное соответствие 12
Вложение множеств 12
Внутренность множества 17
Внутренняя точка 17
Выделение подпоследовательности
15
Выпуклая комбинация 161
— оболочка 161
Выпуклое замыкание 162
— тело 162
Гамильтониан 288
Гомеоморфизм 22
Гомеоморфные пространства 22
Граница верхняя 15 , 19 , 20
— множества 17
— нижняя 19 , 20
Грань симплекса 186
График функции 11
Диаметр множества 21
Дифференциальное включение 403
Дополнение множества 9
Достаточные условия минимума 286
Завершение индукции 15
Задача анормальная 291
— быстродействия 434
— компактифицированная
параметрическая 412
— конфликтная 481
— односторонняя 271 , 337 , 446
— оптимального управления 270 , 271
— убегания 496
— с бесконечным временем 436
— с начальным условием 184
— со свободным временем 434
— ступенчатая 438
— управления минимаксная 483
Замыкание множества 17
Запаздывание 185
Значение функции 11
Игра с нулевой суммой 508
Изоморфизм 41
— алгебраический 38
— изометрический 38
— топологический 22
Изоморфные пространства 38 , 41
Индукция 15
Интеграл 90 , 93
— Бохнера 100
Интеграндт 100
Интервал 20
— замкнутый 20
— открытый 20
Компакт 17
— секвенциальный 17
— условный 17
Компактификация топологического
пространства 23
метрическая 23
Константа 11
Коэффициент Лагранжа 288
—- матрицы 43
Критерий оптимизации 267
619

Лебеговское расширение меры 73
Лемма Цорна 15
Линейная комбинация 36
— оболочка 37
Матрица 43
— единичная 43
— квадратная 43
— отображения 44
Мера 64
— абсолютно непрерывная
относительно меры \i 66
— Бореля 65
на отрезке 65 , 81
— вероятностная 64
— Дирака 65
— конечная 64
внешняя 77
— JJe6era 81 , 129
— неатомическая 65
— ^-непрерывная 66
— полная 66
— положительная 64
— Радона 65
— регулярная 65
— сосредоточенная на множестве 64
Метрика 18
— Хаусдорфа 171
Метрики эквивалентные 18
Минимизирующая точка 267
Минимизирующее Rtop-решение 410
— ^'-решение 327
— ^-решение 271
•— Ф-управление 481
— ^"-управление 517
— <U X В-управление 518
Минимум обобщенный 277
— условный 267
— функции 267
Многозначное отображение 170
^-измеримое 173
непрерывное 171
полунепрерывное сверху 170
Множество 9
— бесконечное 14
— вполне ограниченное 19
— выпуклое 161
— допустимых управлений 268 , 274 ,
312
— замкнутое 16
— измеримое по Лебегу 81 , 129
— конечное 14
— линейно зазисимое 37
независимое 37
— — не более чем счетное 14
— ц-нулевое 66
— ограниченное 19 , 41
— открытое 16
— относительно открытое 16
Множество отрицательное для меоы
М 71
— положительное для меры [х 71
— решений 181
— секвенциально замкнутое 17
— симметричное 161
— счетное 14
— функций равностепенно
непрерывное 23
—< частично упорядоченное 15
Множитель Лагранжа 288
Модуль непрерывности 23
Мощность множества 12
Начало координат 36
Независимая переменная 11
Неизвестное 181
Необходимые условия минимума 286
386
обобщенного минимума 277 ,
288 , 330
обычного минимума 288 , 340
слабые 288 , 353
Непересекающиеся множества 9
Неподвижная точка 187
Неравенство Гёльдера 145
— Гронуола 219
— Минковского 147
Норма 38 , 41
— евклидова 426
— сильная 41 , 295
— слабая 41 , 291
Нормаль внутренняя 161
Носитель меры 64
Область значения функций 11
— определения функции 11
Обобщенная кривая 277
— неэкстремаль относительно
множества Й 578
— экстремаль относительно
множества Q 577
Образ множества 11
Общее положение 186
Объединение множеств 9
Однозначная ветвь 176
Окрестность 16
— открытая 16
Оператор вполне непрерывный 41
— компактный 41
— линейный 37
— непрерывный 41
— положительно определенный 426
Отношение частичной
упорядоченности 15
— эквивалентности 12
620

Отображение инъекгивное 11
— сюръективное 11
_ тождественное 12
Отождествление элементов множества
12
Параметр уравнения 182
Параметризация множества 408
Пересечение множеств 9
Перестановка 36
Платежная матрица 508
Подмножество 9
— вполне упорядоченное 15
— всюду плотное 17
Подпокрытие 17
Подпоследовательность 14
— диагональная 15
Подпространство векторное 37
— линейное 37
Подынтервал 20
Поимка 497
Покрытие множества 10
— -- открытое 17
Поле борелевское 65
— множеств 64
Полу метрика Хаусдорфа 171
Полунорма 38
Пополнение меры 73
Последовательность 14
— конечная 11
— Коши 19
двойная 19
— сходящаяся 16
Предбаза топологии 16
Предел 16
— равномерный 23 , 12
— ^-равномерный 84
Предельная точка множества 16
последовательности 16
Преобразование ^-наследственное 233
— уравнения 182
Преследователь 497
— ^-решение 276 , 327
— О-управление 481
Приближенное ^'-управление 481
Программирование линейное 267
— математическое 267
— нелинейное 267
Продолжение функции 13
Произведение декартово 13
— мер 123
— а-полей 123
— пространств 39
с мерой 123
Производная 112 , 195
— вторая 198
— полная 196
— по направлению 198
*- частная 196
Производное множество 558
относительно аргумента v 568
Прообраз множества 11
Простая нумерация 187
Пространство банахово 38
— бесконечномерное 37
— векторное 36
— евклидово 39
— измеримое 64
— компактное 17
— конечномерное 37
— локально выпуклое 162
— метризуемое 19
— метрическое 18
— секвенциально компактное 17
— сепарабельное 17
— с мерой 64
— сопряженное 41
— топологически двойственное 41
— топологическое 16
-— хаусдорфово 18
Процесс диагонализации Кантора 15
Равномощные множества 12
Разбиение множества 10
Разложение Жордана 67
— Хана 70
Размерность пространства 37
Расстояние 18
— между множествами 21
точками 18
— от точки до множества 21
Регулярное /?*ор-решение 410
Резольвентное ядро 237
Решение единственное 181
— локальное 184 , 234
— минимизирующее обобщение 277 ,
327
обычное 327
— уравнения 181
Ряд 39
— абсолютно сходящийся 40
— мажорирующийся 40
— сходящийся 39
Свойство конечного пересечения 17
— неподвижной точки 187
Секвенциальное замыкание множества
17
Семейство с индексом 11
Симплекс 186
Симплициальное подразбиение 186
Система уравнений 182
Слабая неэкстремаль относительно
множества Q 596
— экстремаль относительно
множества Q 596
Сопряженные числа 145
621

Состояние 271
Стандартный подсимплекс 187
Столбец матрицы 43
Стратегия смешанная 509
— чистая 508
Строгое /?*ор-решение 410
— ^-решение 291 , 346
Строка матрицы 43
Структура топологическая 16
Сужение функции 13
Суперпозиция функций 11
Теорема Алаоглу 55
— Александрова 76
— Арцела 34
— Асколи 131
— Бержа 172
— Бишопа 53
— Брауера 190
— Данфорда — Петтиса 299
— Егорова 85
— Каратеодори 78 , 163 , 214
— Кастэна 172 , 173 , 175 , 177
— Лебега 104
— Линделёфа 23
— Лузина 87
— Мазура 192
— Неймана — Аумана — Кастэна 176
— о неявной функции 204
— о среднем 203
— Радона —Никодима 107
— Рейдмахера 558
— Рисса 55 , 138
— Сакса 74
— Тихонова 195
— Филиппова 406
— Филиппова — Кастэна 179 , 404
— Фубини 123
— Хана — Банаха 51
— Шаудера 195
— Шпернера 190
Топология 16
— индуцированная 16
— метрическая 18
— нормы 38 , 41
— произведения 18
— сильная 16
— слабая 16
со звездой 41
Убегающий 496
Управление 268 , 271 , 327
— Гамкрелидзе 595
— допустимое 268
— конфликтное 481
~ минимизирующее обобщенное 518
— оптимальное 269
Управление преследования 497
оптимальное 508
— противника 481
— убегания 496
оптимальное 507
Управления аддитивно
распадающиеся 489
Управляющая функция 268 , 271 , 327
гиперобобщенная 517
обобщенная 277 , 283
Управляющий параметр 268 , 271 , 327
противника 517
Уравнение 181
— движения 271
— дифференциальное обыкновенное
182
автономное 213
линейное 221
матричное 221
с запаздыванием 185
с обобщенным запаздыванием
440
— интегральное с
псевдозапаздыванием 230
типа Урысона 184
— функциональное 181
— функционально-интегральное 230
— Эйлера —Лагранжа 289
Фазовое состояние 268
Функционал 11
— линейный 37
— отделяющий 161
— платы 267
Функция 11
— абсолютно непрерывная 111 , 112
— биективная 12
— возрастающая 21
— выпуклая 161
— дифференцируемая 196
— , — дважды 198
— я-дифференцируемая 199
— ц-измеримая 82
— 2-измеримая 82
— fx-интегрируемая 93 , 100
— калибровочная 162
— Каратеодори 212
— класса С1 555
— кусочно-непрерывная 22
— кусочно-постоянная 22
— логарифмическая 62
— метрическая 18
— множества 64
аддитивная 64
счетно-аддитивная 64
— монотонная 21
— невозрастающая 21
— непрерывная 22
— неубывающая 21
— обратная 12
622

функция ограниченная 23
— платы 508
— , полунепрерывная сверху 22 , 146
— , — снизу 22
— постоянная 11
— jbi-простая 90
— равномерно непрерывная 23 , 43
— — ограниченная 23
— разрывная 22
— секвенциально непрерывная 23
— состояния 268
— jn-существенно ограниченная 144
— убывающая 21
— удовлетворяющая условию
Липшица 555
— управляемая 556
— характеристическая 82
— целевая 267
— экспоненциальная 61
Функции ц-эквивалентные 83
Цена игры 509
Член ряда 39
Число бесконечное 20
— действительное 19
расширенное 19
— конечное 20
Шар единичный 38
— замкнутый 18
— открытый 18
Эквивалентные управляющие
функции 403
— уравнения 181
Эквивалентный класс 12
Экстремаль 291 , 330
— анормальная 291 , 331
— допустимая 291 , 331
— нормальная 291 , 331
Элемент максимальный 15
— множества 9

Дж. Варга
Оптимальное управление
дифференциальными
и функциональными уравнениями
М„ 1977 г., 624 стр. с илл.
Редакторы Н. Л. Григоренко, Е. Ю. Ходан
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректоры 3. В. Автонеева, Н. Б. Румянцева
Сдано в набор 10.06.1976 г. Подписано к печати
11.01.1977 г. Бумага 60 X ЭО'Ае. Физ. печ. л. 39.
Условн. печ. л, 39. Уч.-изд. л. 40,51.
Тираж 11 900 экз. Цена книги 3 р. 18 к.
Заказ № 223
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической
литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном
комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли, 198052, Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29