/
Теги: физика
Текст
Часть 1
ЗАДАЧА 1. Преобразовать двойной интеграл в двукратный и расставить пределы по заданной D
области интегрирования D. Изменить порядок интегрирования Перейти к полярным координатам (условие в табл. 1).
ЗАДАЧА 2. Изменить порядок интегрирования, изобразив на чертеже область интегрирования (табл. 2).
ЗАДАЧА 3. Вычислить объе.м тела, ограниченного данными поверхностями, с помощью двойного интеграла, (табл. 3).
ЗАДАЧА 4. Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями, с помощью тройного интеграла (табл. 4).
ЗАДАЧА 5. Вычислить площадь части поверхности S, которая вырезается поверхностями а\(табл. 5).
ЗАДАЧА 6. Найти массу тела, заданного в пространстве неравенствами и имеющего плотность у (табл. 6).
ЗАДАЧА 7. Найти координаты центра масс (вар. 1-10. 21-30) или моменты инерции (вар. 11-20) тела, имеющего плотность д (табл. 7).
Т'аблциа 1 (к задаче 1)
№ | Неравенства, задающие область D
1 1 х24-(у-2)2 >4, (х-2)2 + у2 <4
О 1 у>0, х2+уг <Г16, (х-2)2 4-у2 >4
3 х2 4-(у-2)2 <4, у <^у-х + 2
4 у £ 0, (х-2)2 4- j 2 < 4} U {у < 0. у < х, х2 + уг < 16}
5 | Х2+(у-2)2 <4)U {(х-2)2 4-у2 <4}
6 J х2 4-(у —2)2 <4} U {х2 +>'2 ^3|
7 1 2х - 2 £ у < 2х + 2, х< у<х + 2
8
9
10
11
э
«2
13
14
15 [у > 0. х > 0, х2 + у2 < 8, х2 + (у -2)2 > 4}U {у < 0, х2 + у2 < 8
16 у>|-2, у<4-х, у <х
17 l(x + 2)<^si(x + 2),.r><4
18 -l^y<Vx , 0<x<yj2-y2
19 х < -2. (х + 2)2 + у2 < 4}U 2: -2, х2 + у2 <8
20 х2 + (у - 2)! <; 4 . у х2
21 (х-2)2 +у2 <4 , 4х2 <4 + Зу2
22 у>0, х2 +у2 <8, (х-2)2 + у2 >4
23 (х - 2)2 + у2 < 4 , - х < у < - х + 4 . у > ~~
24 Х? +у" <4, (х-2)2 +у2 <4
3
25
26
г
2
27
28
29
30
V2 +уг X2 4- (у - I)2 > 1 , У > О
1 a >• IklllllJ - *4 JJUJ’IV Интеграл № i Интеграл 4
1 2x 2 2/* Jdr f/(x,y)dy+ jdx jf(x,y)dy 0x2 1 x/2 2 3 j2x/3 6 J2c 3 1
( dx- [/(x,y)dv^ fdr I7(x, y)dv
о -J&3 3 2/X-3V3
3 1 l-y2 fdy f/(x,y)dx -1 /-I 4 0 1 -4 2x*l 4 3 71 >t' J/U.vWz* Jdr J/(x,y)dy 1 - Jl r t! 0 2x-l
5 4 > Jdy J/(x,y)dr 2 у 2 6 3 3-2x Jdc J/(x,y)dy 0 x’
7 * 42 У'/2 J dy J/(.r,y)dr -41 y2-l 8 2 2x Jdr [/(x,y)d. «
9 2/Л * 4 1 J dy J/(x,y)dr -2/45 y2 10 1, l-Vlx-r3 Jdr Jf(x,y)dy о -1-V2x-x’
’1 V4 2 т j JT7 J dr J/(x,y)dv + | dr f/(x.y)dy 0 -2x 3/4 -vT27 12 2v 2 Uy Jdv j f (x,у)dx + J dy jf (x, у )dr 2y-3 1 2>-3
0 Jr*4 Jdy J/(x.y)dr -I --J-y 14 V2 l-y2 . \ J dv [f(x.y)dr -V2 -/ 2
15 4з r2 J dy 'J/(x,y)dr -V3 -v'!+/ 16 4 J4.c-x’ Jdr f/(x,y)dv o 2-j8-(x-2)’
17 2-45 J4x-.d 2+Ji 2-x J dr J/(v,y)dv + 1 dr J/(x,.vWv о -v'4t-x! . 2-72 18 2 -2-rj4 -x’ Jdr J/(r.y)dv о -4^7
IM 1 */2+3 4 r,2+3 f dr J/(.r,y)d>,+Jdr J./’(x,v)dv -2 -x 1 2r-3 20 I (x-l)/2 Jdr J/(x.y)dy 0 2x-l
21 o 4^ 2 x J dr J/(x,y)di -r Jdr J/(x,y)dy -2 -x-2 0 x-2 22 2 2+<j4 Jdr \/{X,y)dy -2
23 8 3 Ja+x2 J dr J/(.r,y)d>> 0 2.T-2 24 1 (y+l)/2 Jdy J/(.r,y)dr 0 2.У-1
25 0 2-x fdr Jf(x,y)dy -4 -JT7 26 0 ,1+c2 J dr J/(x,y)dy -7з -4^7
27 0 3+* 3 3 + x J dr J/(x,y)dy -r Jdr J/(r,y)dy ~3 0 0 2x 28 0 J 4+3x 3 4t2x dv J/(x,y)d> •+ Jdr J/(x,y)dy з x-2 о -2
29 © 2x+l2 6 2x+l2 12 n4 Jdr J/(x.y)dy4- Jdv J/(.v.y)dy+ Jdr J/(r,y)dj 30 — . ° 0 2r 6 2c 30 6 y-3 Jdv J/(x. v)dr+Jdy J/(x.y)dr I <> y-3 3 0 Л
Т аблица 3 (к 1адачс 3)
№ Уравнения поверхностей, ограничивающих тело
1 з' - 9х . х = у, х - у = 2
2 II и и 1 'ы -и II О * II 4-
3 z~ - 4х, х + j = 2, у = 0
4 х2 = 4у, у 4 х = 4, у + 2з = 4
5 N II Ли 4 S-14 II •< tu II 11 II О
6 О II И Г1 1 II II X II И
7 з = 1-х2, з = 1-у2. з = 0
8 з = 4 xv, z = 0, у > 2, г 4 у = 4
9 з2 = у, z2 = 4-у. х = 0, х * у = 4
10 з = 4- х~, у = 0. i = у
11 z~ - 4 ; , х = у, х 4 у = 2
12 у = 0, з = 0, х + у - з = 4, 2х + з = 4
13 у = х2, з = у. з = 2- у
14 И II X 14 4 14 1 1 II О Ч II ( J II сч 1
15 о Л1 о и х Г1 II II о’ II И Г-1 4 ~х 1 II и
16 11 II 1> и II 4- II |^> 1 X II О
17 х = ^У, У = у/х . з + х = 3. з = 0
18 о II 11 II н II 4, II Г1 4 н II ч
19 <ч1 1 Г I1 Г-1 1 К II 0© II й.. еч 4 ГЧ ч
20 3 = 2/у , X + у + 3 = 3, - 2х - V 4- 3 = 3
21 и II 1 Лч 1-1 II о II W 1 (4
22 у = 4 - з2 , х 4 у = 4 , х = 0 у = 0
23 у = 4-з2, х-у, х = 0
24 у = 0, у = 4 - з, 4з = х“
25 V 4- з = 2 , 3 = 0, 4з 4 2у 4л=8, 2з 4 у 4 у = 4
26 Г1 । и н ► гч II I» о II Г1 II 1ч 4
27 у2 = х44, у2 = 2(Х42). з = 0, з = -х
28 14 II UJ 1 м II о X II X II ^1
29 з2 = 4 - х . у2 = 4 - х, v = 0
30 X2 4 (у + I)2 = 1 , 3 = 0. х-у 43 = 4
Таблица 4 (к задаче 4) ’
№ Уравнения поверхностен, ограничивающих тело
1 Х24-у24-2‘<'=5, 2 > X2 4- У'2 4-1
2 го + ч. 1 и г» 4- bJ II >4 t-l II О <1 11 ’Л 1
•э э z = x2 4-у2, 2 = 2х
4 х“ 4-у2 = 1, х2 4- у" = 4 , х + у + z = 4. с = 0
5 Л.’-+/+г2=9, Z>1
6 1 М 4-tJ II ч II ° + + II
7 x2+y2+z2 =25. 3<z<4
8 и г\ + Г 1 О II н ГЧ 1 со II ' 1
Q Л1 Г-1 4-Г1 И О II । > П1 1 ГЛ и 1 О II 14
10 Ох II Г-1 Г1 И г II гч t-l 1 Г» =4 4-гч И
11 <4 + ГЧ Л1 'О 1! °'. •ч 4-ГЧ 4- Г-1 X
12 7 *> 7 Г=Х", 2 = 0, X" 4-у = 1
' 13 »•» II о> 1 и и II о Vj 4- 1 tsj t-J II 4- 1 * N> II •—4
14 2 2 2 n 2 2,2., 2 =Х 4-у , 2z = Х 4-у 4-1
15 гч ? Г4 и 1 II N »- + П| ? - II 11
16 7 2 , 7 2 2 л Х“ 4-у > 1 , Х“ 4-у 4-Z =4
17 Z = X2 4-у2 , Z = 2(Х2 4- у2) . (х - I)2 4- у~ = 1
18 гч II »—* о 1 bj м II о ьэ 4-t-J II о И NJ 4* Г' > II
19 л/З г- 2 = 4-X "-у", 2=0, V = X , V = X Зх , V > 0, у > 0 3
20 и t > Г1 >> + г> и II t4
21 to II N гл 1 гч И 1 II t4
22 к II О N II О 1 bJ 1
23 н II '-Л 1 bJ 1 SJ »ч II
24 z = x2 4-у2, 1 <z<4
25 Z = X2 4-у2, Z = 0, (х-1)2 4-у2 = 1
26 N II СЛ 1 к> лч II О И •-J 4- 1 bJ 1Л
27 7 7 у = -х , у = X , X- 4- yz > 1 , Z = 0 , Z = X . X < 4
28 о гч II гл 4-гч н •» II Г| N 1 гч + гч И
29 Z = X2 4-у2 , 2 = 4, у > I
30 — 2 = Х2 4-у2 4-1, Z = 0. X2 4-у2 =4
Габлпца 5 (к задаче 5) _
№ Поверхность S' Поверхность (T
1 х + у + ~ = б 2 2 , У = л , у = 4 - x
2 х2^2=4 2x -1 < у < 2x + /
3 z2 =х2 + у2 x + у - 4 , x = 4 , у = 4
4 н »ч1 + 1 I'J II х = ±^2(у-Г)
5 7 7 7 х" + у* -Z~ z2 = 2у
6 2 2 2 У + - = * l<x<4
7 х = V7 z = l ,z = Q, 4x2-y2 =-/
S z = 2(!-x2) z = 0. y2 - 16x2 = 1
9 2 2 2 у + Z = X у = x-2 , i = x - . у = 2~ x , у = 4-x
10 х = 4-(х-/)2 z = Q, у = x-1, у = 1 -x, x = 3
н х2 = 2: у = x, у = -г. x = \3
12 z = 9- у2 и 'S "T- 1 о II >1
13 X2 +Z2 =1 VI 11 1 < i 1-H
14 2 2 2 , X +у +Z = / 0 < — г < I < у 3
15 z = х'+у‘ 4<z<9
16 х2 + у2 = 1 2x2 + y- -z2 < I
17 z = x2-y2 z = jx" + i “ -2 . z = 3x~ + v' - 4
18 z = 2y z = x2+y2
19 (х-1)2^2 = / 2 7 7 x + y~ +: ^4
20 л + v + z = 5 у = x*, у = 4 - x‘
21 V- x~4 < у <,x
22 2 2 2 х +у = Z и •v»| К * и II * и II * II 1 •ч> | и
23 х у Z . 4 6 6 х = 0, i = 0, х = 2, у = 3, ху = 1
24 x2=y2+z2 у = 2х2
25 y = z2 у=х2, у = 3
26 x2+y2=4z2 у = 0, v = 2. г = 2х
27 z2=x2 + y2 7V _ .2
28 z2 = 4x у2 =4х. х - 3
29 7 7 7 z- = x* + »- х > 0, у >0, z iO, г + v = а
30 7 *» > Л’ + V* = z* !•* = сп . .V = а
Таблица 6 (к задаче 6)
№ Неравенства, определяющие тело Плотность /л
1 х2 + у2 + г2 < 36; 7-v2 + У 2 - z J у > 0 ^2+у2
2 л’2 + у2 < 2у; yjx2 + у2 < z < д/зб - х2 - у2
3 х2 + у2 £ 3z; х2 + у2 + z2 <18, х > 0 (х2+у2)/з
4 х" + у2 < 2z; х~ + у~ + z~ < 8 ; у > 0 -> 7 х-+у-
5 ? ? /77 /-77 х“ + у~ <, 4у, ух~ + у~ < z < у36 - х“ - у~
6 х2 + у2 + -2 < 9; х > 0; у > 0; z > 0 Z
7 у2+г->1б, х“+у‘+з“<25; г>0 }/y2+z2
8 1<х2+у2+з2 <4; 0<х<^/з(х2 +у2) н
9 х2+у2 £з<8-х2-у2 У
10 х2 + у2 £ 25, х" + у2 + з“ <36 ^х2+у2
11 X2 4-у2 -Z2 <0; 0<z < 3
12 х2 + у2 + г2 < 9; \/х2 + У2 - - - з/з(х2 + У2 )• * - 0
V, 7 .x, - “
13 z > х2 - 3; х < 11 - х2 - 2у2; у < 0 1
14 2х + з > 2; x-?-z <2; 0 £ у <-У2х, ?Г^Г) У/5
15 7 ? , 7 7 \х~ +.у~ < z < 6 - х“ - у ~; - х £ у £ х X
16 1 2 2 2 2 . ух -гу <“,х + у +х <4х -73
17 ^^(х2 + у2 j < z £ ^4 -х2 - у2 ; у > 0 у
18 9 < х“ +у“ +з“ <36 (х2+у2+.-^'У-
19 7 7 7 „ 7 7 7 + у" + < 4; х~ + + з" < 4з .2
20 z>y2+3; х<11-2х2 -у2; х>0 1
21 х2 +у2 +з2 <36; у2 +г2 <9 4
22 >)х2 + у2 < z < 6 - х2 - у2; |у| < |х| *1
23 7 7 /77 х + у" < - < у 2 - х" - у2 ; х > 0 -
24 1 7 7 7 7 7 т]х~+у <z, х +у2+х"<4х г
25 0<у<7вх-х2 , 0<з£3 7 х2 +>'2
26 X2 +у2 +х2 £16; X2 4-у2 +z* <8х А-7-t
27 х2+ з2 <9; х2+у2+z2 £25; тгО / -2 2 V V +-
28 4<х2 +у2 +з2 <9; 0£z£^v2 +у2 3‘
29 0 £ х < ^4у - у2 ; 0 £ х < 2 1 7 7 гу х~ + у
30 - >* и + IV Г» tJ + '• J + и 1Л tu « • tl IV о / 2 2 V v +• у
Таблица 7 (к задаче 7)
№ I Уравнения поверхностей, ограничивающих тело 1 (или неравенства, определяющие тело) 11лотность p. Требуется найти
1 х2 +z2 = 4, у-1\ у = 3\ z = 0 (г>0) ' 1 <оординаты центра масс
2 z = 4 - х2 - у2; z = / ; л =0\ у = 0 , (х > 0; у >0) 1 Координаты центра масс
”» э I 2г = .г 2 4- 4х + у 2 — 2у + 5; z = 2 Cx + 2)2+(>-/)^ Координаты центра масс
4 \y2=4-x2-z2\ у>1\ х = 0\ z = 0\{x>0 \ z>0) 1 Координаты центра масс
5 z2 >x2+j x2 + у2 +z2 <2;(х>0‘,у<0; z>0) 1 Координаты центра масс
1 6 1 z2 > x~ + y2; x2 + y2 + z2 < 8; (x < 0;у > 0 ; z > 0) - 1 Координаты центра масс
в 7 I 2z = x2 — 4x 4- у + 2у 4- 5 j z — 2 Координаты центра масс
Г 8 1 x2 + z2 = 9, у = Г, у = 3, z = 0 (z > 0) 1 Координаты центра масс
9 II N t, A II II -> II •N * 1 Координаты центра масс
10 z = 4 - x2 - y2; z = 1, x = 0, у = 0,{x>0, y>0) 1 Координаты центра масс
11 x2 + y2 <4, x2 + y2 + z2 <8; z>0 2z Момент инерции отн. оси ОХ
12 1 2 = 4-X2 - y2; z = 1; x = 0, у = 0; (x > 0; у > 0) 1 Момент инерции о1Н. оси OY
Момент
13 1 инерции отн. оси OZ 1
Момент
14 x2 + у2 4- z2 = I; z < yjx2 + y2 1 инерции отн. оси 07.
15 x2 + y2 + z2 = 4; y = 1; y>l 1 Момент инерции отн. нач. коорд.
16 x2 + y2 +z2 = 2; x = -l ;(x<-/) I Момент инерции отн. | нач. коорд.
17 x2 + y~ > 1; x2 + y~ <4\ z = 0, z = 2n 1 I Момент инерции отн. оси ОХ
18 z = 4-x2 -y2\ z = 1\ x = 0, у = 0;(x>0, y>0) 1 I Момент инерции отн. оси OY
19 z = 8-x2-y2; x2 +y2 >4; z = 0 (x>0;y>0; z>0) 1 I Момент инерции отн 1 оси ОХ
20 z = 4-x2-y2; z = Г, x = 0, у = 0;(x<,0; y>0) 1 Момент инерции отн оси OY
21 2z = x2 + y2; z = 2 2<x2 +y2) Координагы центра масс
22 x2 + y2 + z2 = 2z x2+y2 + z2 Координагы центра масс
23 x = y2 +z2; x = 4 1 Координаты центра масс
24 z = 4x j y2 = 4z ’ z = Ix = 0 1 Координаты цен гра масс
25 y2 +z2 = 16; x = l; x = 3; z = 0 (z>0) • 1 Координагы цен гра масс
26 x2 + y* + z2 = 12; x2 + y‘ <4z 1 Координаты центра масс
27 у = Jx ; у = 2 y/x ; z = 0\ x + z = 6 I Координаты центра масс
28 2 2 z = x +y ; z = 4; Z(.V +J?') Координаты центра масс
29 2z = x2 - 4x 4- y2 4- 2у 4- 5; z = 2 (x-2): ь(у >/Г Координаты центра мае ?
30 -2 +x2 =1; y = l: y = 3; : = U;(:>0) I Координаты центра масс