Оптимизация параметров железобетонных конструкций на ЭВЦМ - Рейтман М.И., Ярин Л.И.

Автор: Рейтман М.И. Ярин Л.И.

Теги: сооружения и части сооружений по виду строительных материалов и методам возведения строительство программирование строительные конструкции эвм стройиздат

Год: 1974

Похожие

Новое в проектировании бетонных и железобетонных конструкций

Усиление железобетонных конструкций промышленных зданий и сооружений

Железобетонные конструкции

Железобетонные конструкции. Расчет и конструирование

Текст

ОПТИМИЗАЦИЯ
ПАРАМЕТРОВ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
НА ЭЦВМ
МИ. Рейтман
Л И. Ярин
М. И. РЕЙТМАН,
Л. И. ЯРИН
ОПТИМИЗАЦИЯ
ПАРАМЕТРОВ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
НА ЭЦВМ
Сканировал и обрабатывал
Лукин А.О.
МОСКВА
СТРОЙИЗДАТ
1974
УДК 624.012.35.04 : 681.3
Рейтман М. И., Ярин Л. И. Оптимизация параметров
железобетонных конструкций на ЭЦВМ. М., Стройиздат,
1974. 96 с.
Излагаются методы определения оптимальных парамет-
ров железобетонных балок, рам, плит и оболочек из усло-
вий минимума стоимости или минимума армирования. Для
решения задач используется линейное, динамическое и вы-
пуклое программирование с помощью алгоритмов, реализо-
ванных на ЭЦВМ. Оптимизация производится с учетом пла-
стических деформаций конструкций как при статическом,
так и при динамическом нагружении. Все методы иллюстри-
руются численными примерами, показывающими возмож-
ность улучшения показателей конструкций за счет оптимиза-
ции на 7—15%.
Книга предназначена для научных работников научно-
исследовательских организаций и инженерно-технических
работников проектных организаций.
Табл. 12, ил. 38.
Научный редактор А. М. Проценко
© Стройиздат, 1974
р
30205 — 319
100 — 74
047(01) —74
ВВЕДЕНИЕ
Задача проектирования заключается в разработке проекта соору-
жения или отдельной конструкции, которые должны выполнять
определенные функции в течение заданного отрезка времени и быть
надежными в эксплуатации. При этом желательно, чтобы затраты
на сооружение и эксплуатацию были минимальные.
В процессе проектирования строительных конструкций инжене-
ру-проектировщику приходится назначать ряд параметров конструк-
ции, исходя из опыта и интуитивных соображений. Так назначают,
например, шаг несущих конструкций, некоторые размеры сечений
элементов и другие параметры. При этом проектировщик неизбежно
отклоняется от оптимального решения. Величина такого отклоне-
ния зависит от квалификации, темпа работы, данных установок и
других факторов, но в первую очередь от сложности конструкции.
Чем сложнее проектируемая конструкция, тем беднее возможности
интуиции в нахождении оптимального решения. Опыт показывает,
что при проектировании простейших железобетонных конструкций
(балок и балочных плит) среднее отклонение от оптимального ре-
шения составляет примерно 5—7%, для более сложных конструкций
типа предварительно-напряженных балок — 10—12%, а при проек-
тировании железобетонных рам, плит, и в особенности оболочек,
оно достигает 30—40%. Эти данные получены в результате сравне-
ния стоимости конструкций из типовых проектов с соответствующими
оптимизированными их вариантами. Аналогичные результаты ра-
нее были получены для проектирования электрических сетей1.
Вполне очевидно, что внедрение методов оптимального проектиро-
вания строительных конструкций имеет большое народнохозяй-
ственное значение. Для сравнения отметим, что снижение стоимости
конструкций, которое можно получить в результате высвобождения
труда проектировщиков за счет механизации и автоматизации рас-
четов строительных конструкций с помощью ЭЦВМ, не превысит
0,5%. Это сравнение, правда, носит несколько условный характер,
так как автоматизация проектирования уже предусматривает опти-
мизацию проекта.
Задача создания оптимальных проектов строительных конструк-
ций намного сложнее задачи поверочного расчета и требует суще-
ственной перестройки процесса проектирования. Этим частично
объясняется сравнительно слабое распространение методов опти-
1 И. Б. М о ц к у с. Многоэкстремальные задачи в проектировании.
«Наука», 1967.
3
мального проектирования, даже при наличии соответствующей вы-
числительной техники. Другой причиной недостаточного внедрения
методов оптимального проектирования конструкций служит малая
осведомленность проектировщиков о существующих научных разра-
ботках в этой области.
Основная цель книги — довести до сведения инженера-проекти-
ровщика имеющиеся»исследования по оптимальному проектирова-
нию железобетонных строительных конструкций, ориентированные
на широкое использование ЭЦВМ. Авторы надеются, что излага-
емые ниже методы могут найти практическое применение.
Следует отметить, что если для расчета строительных конструк-
ций применение ЭЦВМ является важным фактором, в основном оп-
ределяющим производительность труда, то оптимальное проекти-
рование конструкций без ЭЦВМ невозможно. Без применения ЭЦВМ
удавалось в большинстве случаев получать лишь весьма элементар-
ные решения, далекие от нужд практики.
Широкое использование ЭЦВМ определяет математический ап-
парат, используемый в задачах оптимального проектирования кон-
струкций. Это в основном математическое программирование, под
которым принято понимать все известные средства отыскания опти-
мальных решений различных задач при ограничениях, наклады-
ваемых на параметры этих задач. Необходимо сразу же разрушить
представление, существующее у некоторых специалистов, будто бы
использование ЭЦВМ само по себе приводит к отысканию оптималь-
ного решения. Простой перебор вариантов в подавляющем боль-
шинстве практически важных задач проектирования не сулит успе-
ха, так как число возможных вариантов, если оно и конечно, на-
столько велико, что заставляет отказаться от этой мысли, даже если
располагать самой совершенной вычислительной техникой. В то же
время не следует доверять обычному способу сравнения двух-трех
вариантов, из которых выбирают лучший. Это ведет только к дезори-
ентации, поскольку вероятность того, что среди рассматриваемых
вариантов находится оптимальный, чрезвычайно мала. Поэтому
направленный поиск лучшего решения, основанный на Анализе
ограниченного числа определенным образом отобранных вариантов,
является в настоящее время единственным способом принять луч-
шее решение, если не абсолютно лучшее, то близкое к нему. Орга-
низовать такой поиск позволяют методы математического програм-
мирования.
Актуальность постановки задач оптимального проектирования
следует также из строгих количественных методов, которые дает
современная наукометрия1. Обратимся к анализу библиографичес-
кого указателя2, содержащего 1467 названий, в котором учтено при-
1 В. В. Налимов, 3. М. Мульченко. Наукометрия. «Наука»,
1969.
2 Т. Н. Д р и я е в а. Оптимальное проектирование конструкций. Би-
блиографический указатель. М., ОНТИ ЦНИИЭПсельстроя, 1969.
4
Мерно поровну советских и зарубежных изданий. Это составляет при-
мерно 1% общего потока информации по расчету конструкций, из
которых приблизительно одна треть работ не реферировалась ни в
СССР, ни за рубежом. Естественно, что наибольший интерес пред-
ставляет последний период времени, начиная с 1954 г. На рис. 1 пун-
ктирной линией представлено число публикаций в год по вопросам
оптимального проектирования, сплошной — общее число работ по
расчету конструкций. Общее число публикаций по оптимальному
проектированию хорошо описывается логистической кривой, пред-
Рис. 1. Число публикаций за пе- Рис. 2. Динамика публикаций по
риод 1954—1969 гг.:---------- разделам: ------------- упругие рамы;
по строительной механике в (тыс.); ------упругопластические рамы;
-----по оптимальному проекти- — . — железобетонные балки
рованию (в десятках штук)
где b — ордината асимптоты, характеризующей предельное зна-
чение количества публикаций; а и k — константы, определяющие
отклик на публикации.
В нашем случае, если вести счет от 1944 г., можно принять b =
= 180, а = 0,25, k — 0,00041. Период удвоения числа публика-
ций, равный 4,5 годам, характеризует чрезвычайно высокую акту-
альность рассматриваемого направления. По-видимому, сейчас тео-
рия оптимального проектирования находится на экспоненциальном
участке логистической кривой и далека от участка насыщения,
которое может наступить, когда удельный вес публикаций по оп-
тимальному проектированию в литературе по строительной меха-
нике составит не менее 20%.
Значительно сложнее выяснить, из чего складывается этот по-
ток публикаций. На рис. 2 представлены три компоненты процесса,
связанные с оптимальным проектированием упругих, упругопласти-
ческих рам и железобетонных балок. Насыщение для отдельных за-
дач наступило уже в 1963 г., после чего среднее число публикаций
уже не росло. Однако появление новых задач позволило сохранить
5
рост публикаций для всего направления до настоящего времени,
Так, в задаче оптимального проектирования при динамических на-
грузках 26 из 30 публикаций приходятся на 1967—1968 гг.
Железобетонные конструкции —• самый распространенный вид
строительных конструкций, причем возводятся они, как правило,
по типовым проектам. Это делает особенно актуальной задачу опти-
мального проектирования таких конструкций.
В первой главе книги дается постановка задачи оптимального
проектирования конструкций. Особое внимание уделяется учету
экономических соображений и применению наиболее совершенных
физических моделей. Показывается возможность учета таких фак-
торов, как унификация элементов, транспортные расходы и т. д.
Во второй главе рассматриваются статически определимые и
неопределимые железобетонные балки. В том и другом случае пред-
лагаются эффективный математический аппарат и алгоритмы ре-
шения задач.
В третьей главе рассматривается задача оптимального проекти-
рования железобетонных рам. Учитываются переменное и динами-
ческое нагружение и требования всех трех предельных состояний.
В четвертой главе дается решение задач оптимального проекти-
рования железобетонных пространственных конструкций (оболо-
чек и плит).
Известная авторам литература в области оптимального проек-
тирования конструкций превышает уже 3000 названий. Поэтому
невозможно дать хотя бы беглый ее обзор, в связи с чем книга содер-
жит лишь самые необходимые ссылки, а за полной библиографией
по этому вопросу читатели Отсылаются к работам Т. Н. Дрияевой1,
П. Хупфера2, М. И. Рейтмана3, А. А. Чираса4, Н. Д. Сергеева,
А. И. Богатырева5 и 3. Лесняка6.
М. И. Рейтманом написаны глава 1 (кроме разд. 1), разд. 4 главы
2, разд. 6 и 7 главы 3 и глава 4, Л. И. Яриным написаны разд. 1—3,
5 главы 2 и разд. 1—5 главы 3. Разд. 1 главы 1 написан совместно.
1 См. сноску на стр. 4.
2 Р. Hupfer Optimierung von Baukonstruktionen. VEB. Verlag fur
Bauwesen. Berlin, 1970.
3 M. И. Рейт м ан. Новые методы расчета пространственных железо-
бетонных конструкций—В сб.: «Исследования конструкций зданий и сооруже-
ний для сельского строительства», вып. 2—1. Стройиздат, 1968.
М. И. Р ейтм а н. Оптимальное проектирование конструкций методамй
математического программирования. «Строительная механика и расчет соо-
ружений», 1969, № 3.
1 А. А. Ч и р ас. Методы линейного программирования при расчете уп-
ругопластических систем. Стройиздат, 1969.
5 Н. Д. С е р г е е в, А. И. Б о г а т ы р е в. Проблемы оптимального
проектирования конструкций. Стройиздат, 1971.
6 Z. Lesniak. Methoden der Optimierung von Konstruktionen. Ernst
und Sohn, 1970.
6
Глава 1
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
И КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ
1. Критерии оптимальности и параметры проектирования
Цель оптимального проектирования конструкций заключается
в получении проекта конструкции, которая удовлетворяла бы всем
требованиям СНиП и при этом была бы не хуже других конструкций
того же типа по каким-то заданным показателям. Несущие конструк-
ции должны удовлетворять условиям прочности, деформативности,
устойчивости, трещиностойкостн и другим при заданных нагруз-
ках; ограждающие конструкции — требованиям теплозащиты, а те
и другие должны иметь габариты, удовлетворяющие технологичес-
ким, монтажным и транспортным требованиям. Эти требования мож-
но сформулировать в виде системы неравенств
ср; (хъ х2, ..., хп) < 0 (i = 1, 2, ..., m), (1.1)
где Xt — определяющие параметры конструкции, или параметры
проектирования; ср; — некоторые операторы общего вида, которые
в частных случаях могут быть алгебраическими (например, усло-
вия прочности), дифференциальными (условия равновесия и сов-
местности деформаций) или вычислительными алгоритмами.
Часто неравенства (1.1) эквивалентны равенствам или дихото-
мическим соотношениям (или-или). Параметрами проектирования
могут быть высота или ширина сечений элементов конструкций, шаг
или пролет, коэффициенты армирования или теплопередачи, иногда
параметры внешней нагрузки и т. д. Задача состоит в том, чтобы обес-
печить при выполнении условий (1.1) минимум (или максимум)
критерия, по которому оценивается конструкция. Этот критерий
зависит от параметров xt и обычно называется целевой функцией:
С (х1; х2, ..., хп) — мин (макс). (1.2)
Выбор этого критерия осуществляется проектировщиком, или он
проектировщику задается заранее.
Задачу выбора оптимальных параметров конструкции х1; х2,
хп в соответствии с выбранным критерием С (хь х2, ..., хп) бу-
дем называть задачей оптимального проекти-
рования конструкции. Нагрузки, вид материала и
форма сечений (с точностью до некоторых параметров) при этом счи-
таются заданными.
Однако возможны и более общие постановки задачи, при кото-
рых может варьироваться в определенных пределах и нагрузка.
7
Такая задача была названа задачей оптимального
складирования1, так как она возникает, когда нужно рас-
пределить груз по перекрытию склада так, чтобы стоимость конструк-
ций была минимальной. Разумеется, должна быть задана высота
склада, так как иначе решение сведется к концентрации груза над
опорами. Если при этом задана в точности нагрузка, то получаем
как частный случай задачу оптимального проектирования. Если за-
даны геометрия и сечения конструкций, то получаем задачу опти-
мизации нагрузок, которую можно назвать задачей Коллинза2.
Если заданы геометрия и сечения конструкции, а также форма
нагрузки с точностью до параметра, характеризующего ее интен-
сивность, то имеем задачу определения несущей
способности, которая определяется предельным значением
этого параметра. Задачу, в известном смысле обратную ей, когда
задана в точности нагрузка, а сечения элементов — с точностью до
параметра, назовем задачей прямого проектиро-
вания. Она сводится к определению оптимального значения этого
параметра. Наконец, задачу, в которой заданы и сечения, и нагруз-
ки, а нужно лишь определить, выдержит ли их конструкция, на-
зовем задачей поверочного расчета. Она обычно
сводится к отысканию решения системы ограничений(1.1) или к до-
казательству его отсутствия; это наиболее простая задача. В частно-
сти, если ограничения (1.1) линейные, их решение легко находится
(или доказывается противоречивость системы) с помощью симплекс-
метода для отыскания опорного решения.
В этой книге в основном рассматриваются задачи оптимального
проектирования и лишь одна задача оптимального складирования.
Важен выбор механической модели, описывающей поведение
железобетонных конструкций. Дело в том, что использование мо-
дели, не выявляющей основных резервов несущей способности кон-
струкции, в задаче оптимального проектирования бессмысленно:
приближенность модели легко может поглотить эффект оптимиза-
ции, т. е. те 7—15% стоимости конструкции, которые мы рас-
считываем выиграть по сравнению с интуитивным решением.
Поэтому все ограничения по прочности (по I предельному состоя-
нию) сопровождаются учетом пластического перераспределения уси-
лий, что находится в полном соответствии с действующими норма-
ми. Ограничения по II и III предельным состояниям (там, где
они используются) также основываются на наиболее точных из из-
вестных зависимостей.
1 Л. И. Ярин. Предельное состояние и оптимальное проектирование
неразрезных балок из упругопластических материалов. «Строительная меха-
ника и расчет сооружений», 1969, № 5.
2 I. F. С о 1 1 i n s. An optimum loading criterion for rigidplastic materi-
als. J. Meeh. Phys. Solids, 1968, N2, 73—80.
8
Выбор критерия оптимальности С — сложная экономическая
задача. Он должен учитывать как вопросы механического поведе-
ния конструкции, так и соображения технологические, эксплуата-
ционные, эстетические и т. д. Обратимся пока к упрощенным крите-
риям оптимальности.
Оптимизации конструкций по весу посвящено много исследова-
ний. Конструкции минимального веса можно во многих случаях
считать оптимальными с точки зрения расхода материала, хотя ес-
ли учесть соображения раскроя, это может быть и не так. Кроме того,
например, в летательных аппаратах и на транспорте избыточный
вес приводит к повышению эксплуатационных расходов. Иногда этот
фактор оказывается решающим. Как справедливо отмечалось мно-
гими исследователями, для строительных конструкций минимизация
веса сама по себе не дает удовлетворительного решения задачи.
В противном случае строители уже давно отказались бы от тради-
ционных материалов и конструкций, заменив их алюминием, тита-
ном, поролоном или другими подобными материалами.
Для строительных конструкций в большинстве случаев под функ-
цией С следует понимать стоимость конструкции или некоторые ее
обобщения. Поскольку речь идет о стоимости, теория оптимального
проектирования конструкций занимает место на стыке строительной
механики и экономики строительства.
2. Критерий стоимости материалов
Для тех строительных конструкций, эксплуатационные расходы
на которые мало зависят от проектного решения, в качестве крите-
рия можно использовать стоимость материалов.
Остановимся подробнее на критериях оптимальности для железо-
бетонных конструкций. Наиболее естественный критерий — это
общая стоимость бетона и стали в деле:
C = J(C6V6 + CaVa)dV, (1.3)
v
где Vq — объем бетона в конструкции; Va — объем стали; Cq —
приведенные затраты на единицу объема бетона; Са — приведён-
ные затраты на единицу объема стали.
Как мы видим, в этом критерии не учитываются сложность ар-
мирования, число стыков, стоимость опалубки, соображения унифи-
кации и т. д. Однако он довольно прост и может применяться, если
допустить, что сравниваемые конструкции во всех остальных от-
ношениях, помимо стоимости материалов в деле, равноценны. Для
стержневых конструкций этот критерий принимает вид:
C = f(C6F6 + CaFa)d/, (1.4)
i
9
где интегрирование производится по всем длинам стержней I, a Fg
и Fa — площади бетона и стали в каждом сечении. Такой критерий
оптимальности широко использовался в работах Е. П. Вареника,
К- К- Антонова и в других исследованиях1. Для элементов прямо-
угольного сечения этот критерий принимает вид:
С=6Л(1 + нс)> (1-5)
где с = Са/Сб; h — высота сечения; Ь — ширина сечения; р — коэф-
фициент армирования.
Если имеется в виду элемент, работающий на изгиб, то стоимость
падает с ростом /г, если ширина сечения Ь не ограничена снизу,
так как увеличивается плечо внутренней пары. Оптимальные се-
чения, полученные по этому критерию, были бы очень высокими и
узкими. Однако такая форма сечений встречает ряд возражений.
Во-первых, очень высокие сечения могут терять устойчивость плос-
кой формы изгиба. Поэтому, если высота ничем не ограничена, опти-
мальным нужно считать сечение, имеющее равные предельные на-
грузки из условий прочности и устойчивости плоской формы изгиба.
Во-вторых, увеличение высоты сечения ведет к технологическим
затруднениям. Это можно учесть, если ввести дополнительно в це-
левую функцию увеличение стоимости за счет увеличения высоты
С = C6F6 + CaFa + Conh, (1.6)
где Соп — стоимость опалубочных работ на 1 м2.
Наконец, существенным обстоятельством, ограничивающим
рост высоты сечений при заданном внутреннем свободном габарите
помещений, является необходимость увеличивать внутренний бес-
полезный объем помещений, что приводит к увеличению площади,
а следовательно, и стоимости ограждений. С учетом этого критерий
оптимальности принимает вид:
С = C6F6 + CaFa + Cor ha, (1.7)
где Сог — стоимость 1 м2 ограждения; а — шаг несущих конструк-
ций.
Из критерия (1.7) видно, что рост h при заданном внутреннем
габарите помещения будет ограничиваться ростом стоимости ограж-
дения. Здесь мы приходим к выводу, что задача оптимизации кон-
структивного решения здания неотделима от проблемы проектиро-
вания здания в целом. Эта задача, естественно, разработана значи-
тельно хуже задачи оптимизации конструкций. Ее решение для одно-
этажного производственного здания с деревянным каркасом уже
имеется 2, но для железобетонных каркасов она несколько сложнее..
1 Железобетонные конструкции. Спец. курс. Под. ред. П. Л. Пастер-
нака, Госстройиздат, 1962.
2 В. П. К о н ь к о в, М. И. Р е й т м а н. Выбор рациональных парамет-
ров одноэтажных производственных зданий с помощью ЭЦВМ. — В сб.:
«Исследование конструкций зданий и сооружений для сельского строитель-
ства», вып. 3, ОНТИ ЦНИИЭПсельстроя. М., 1969.
10
Другая возможность использования критерия (1.5) открывается
в том случае, когда высота или ширина сечения ограничена. Так,
при оптимизации железобетонных балок ширина Ь не может быть
меньше расстояния, необходимого для размещения двух стержней
арматуры с соответствующим защитным слоем. Часто можно счи-
тать заданной высоту сечения, так как ее изменение приводит к пе-
ресмотру всего архитектурного решения здания. Наконец, для ста-
тически неопределимых конструкций можно считать заданными Ь
и h и привести критерий (1.5) к виду:
С =
где суммирование производится по всем стержням статически не-
определимой системы. Такой критерий использовался в работе
Е. Андерхеггена1 в сочетании с априорным заданием плеча вну-
тренней пары сил, которое позволяет линеаризировать функцию
стоимости относительно изгибающих моментов и в дальнейшем ис-
пользовать линейное программирование. С другой стороны, некото-
рые исследователи задавались условием h/b = const, которое вряд
ли более обосновано, чем описанное выше. При оптимальном проек-
тировании рам обычно принимают, что стержни не обрываются по
длине стержней рамы. Если такой обрыв производится, то его не-
трудно учесть введением соответствующих коэффициентов.
При оптимальном проектировании элементов, если считать вы-
соту элементов заданной, стоимость с достаточной точностью выра-
жается формулой
С=2^Й4-(1+°-55Са^и/^аСб) (1-8)
(обозначения по СНиП), которая получается при максимальной
высоте сжатой зоны, определяемой из условия S6/So = 0,8. Если
расчет производится с учетом пластических деформаций, то реко-
мендуется принимать S6/So 0,6, чтобы не допустить разру-
шения по бетону. С учетом этого условию (1.8) можно придать вид:
С = (1 + 0,37Са 7?и/7?а Сб), (1.9)
где суммирование следует распространить на все стержни рамы.
Достоинство условия (1.9) — его линейность, достигнутая без введе-
ния дополнительных допущений.
Для пространственных железобетонных' конструкций критерий
оптимальности (1.5) может быть обобщен так:
C = fvHdV, (1.10)
v i=l
1 Е. А п d' с г h е g g е п. Optimale Bemessung von Flatten und Stabtrag-
werken, Diss. Doct. techn. Wiss., Eidgenoss, Techn. Hochschule, Zurich,
1966.
11
где ц; — коэффициенты армвирования в заданных п направле-
ниях.
Этот критерий использовался при оптимальном проектирова-
нии плит в работах Г. Рожваны, Г. Вольфенсбергера, Р. Вуда,
С. Калишки, М. И. Рейтмана и Н. И. Карпенко1 и других для слу-
чая, когда заданы два направления армирования и плечо внутрен-
ней пары считается постоянным. В этом случае критерий (1.10) эк-
вивалентен
C = $(MTx+MTy + Mh + M*Ty)dS. (1.11)
s
Здесь Мтх = RaFах^> Mry = RaFayt —предельные пластические мо-
менты в направлениях х и у при восприятии положительных мо-
ментов; Мтх, Мту — то же, при отрицательных; S — площадь
плиты; t — плечо внутренней пары сил.
Использование критерия (1.11) в оболочках и плитах более оп-
равдано, чем использование аналогичного критерия в рамах, так
как в плитах и оболочках коэффициенты армирования обычно на
порядок ниже, чем в рамах, а следовательно, плечо внутренней па-
ры сил меняется в гораздо меньших пределах, если преобладает
изгиб. Критерий (1.11) линейный, что дает ключ к использованию ли-
нейного программирования.
В дальнейшем, как правило, будут использоваться вышеприве-
денные критерии. Однако это не означает, что невозможно исполь-
зование других критериев, более обоснованных или отражающих
индивидуальные особенности конструкций.
3. Учет унификации элементов
Соображения унификации иногда вступают в противоречие с
результатами оптимального проектирования конструкций. Для устра-
нения этого противоречия можно минимизировать не стоимость
одного элемента, а стоимость всей серии
C=V/.C., (1.12)
i= 1
где п — число унифицированных марок; — число элементов в г-й
марке; Ct — стоимость элемента i-й марки. Причем стоимость зави-
сит от числа элементов в марке [Сг = gt (/г) — невозрастающая
функция].
Среди экономистов нет единого мнения о виде функции gt (tt),
и имеющиеся оценки колеблются. Это затрудняет использование
1 М. И. Р е й т м а н. Оптимальное проектирование конструкций мето-
дами математического программирования. «Строительная механика и расчет
сооружений», 1969, № 3.
12
критерия (1.12) с учетом зависимости gt от tt. Однако без учета
этой зависимости задача решается достаточно просто.
Иногда задачу унификации можно разделить на самостоятель-
ную задачу оптимизации некоторой серии элементов конструкций
и последующую оптимальную унификацию. В этом случае эффек-
тивно применяется динамическое программирование1 * *.
Допустим, что найден неунифицированный ряд элементов кон-
струкций, оптимальных с точки зрения стоимости материалов, но
число их слишком велико, что создает технологические трудности
в их производстве.
Задача оптимальной унификации состоит в том, чтобы заменить
ряд неунифицированных элементов конструкции меньшим числом
унифицированных марок так, чтобы потери, связанные с унифика-
цией, стали минимальными. При этом ряд из п изделий разбиваем
на N марок (п > N).
Для каждой марки принимается единая стоимость элементов,
равная стоимости наиболее дорогого элемента, вошедшего в марку.
При этом предполагается, что более дорогой элемент можно ставить
на место более дешевого, но не наоборот. Рассмотрим ряд элементов
с неубывающими стоимостями g (/), g (2), ..., g (п), каждая из ко-
торых повторяется tt раз. Тогда стоимость всей неунифицирован-
ной серии составит:
с = 2/^(0- (1-13)
i= 1
Сгруппируем эти детали в N марок, чтобы достичь минимума суммы
С1=2я(^) 3 th (1.14)
/ = 1 i — 1
где j — номер марки; Sj — номер детали, на которой кончается
/-я марка; S; _ х + 1 — номер детали, на которой начинается /-я
марка.
Вместо Sj — Sj _ j различных деталей принимается деталь со сто-
имостью g (s^). Эта задача аналогична задаче распределения ресур-
са, для которой уравнение Веллмана, позволяющее решать задачу
оптимизации, получаем следующим образом.
Обозначим через Д (sj стоимость всех элементов, попавших в
первую унифицированную марку:
Л (si) = £ (si) 2/ц (1-15)
» = 1
1 М. И. Р е й т м а н. Оптимальное проектирование и унификация эле-
ментов высоких сооружений с помощью динамического программирования.
Изв. вузов. «Строительство и архитектура» № 5, 1968.
13
Первая марка начинается с первой детали и продолжается до sx-n,
поэтому ее стоимость будет функцией sx. Здесь пока еще нет эле-
мента оптимизации, так как стоимость находится однозначно. За-
пишем стоимость первых двух марок:
£(S1) £^+£(52) 2 ^ = fi(8i) + g(s2) 2 if (1-16)
1=1 » = Si+ 1 » = Si + l
При заданном s2 — номере элемента, на котором кончается вторая
марка, стоимость первых двух марок будет функцией от sx. Для оты-
скания минимума ее нужно минимизировать по sx. Обозначим ми-
нимальную стоимость первых двух марок через /2 (s2) и запишем
f2(s2) = min g(sz) 2 ^ + fi(si)
{Si} L Z = St+l
(1.17)
Аналогично для минимальной
имеем:
стоимости первых трех марок
f3(s3) = min g(s3) 2 ii + fAsz)
{$•} _ Z = ss-j-1
(118)
А теперь можно выписать общий вид функционального уравне-
ния Веллмана для рассматриваемой задачи:
/y(sx) = min g(Sj) 2 fi + fj-i(sJ-i)
Sj-1L 1 = 5;_Х+1
(1-19)
Пример. Рассмотрим девятиэтажное здание, на каждом этаже кото-
рого действуют различные нагрузки. Этажи пронумерованы с нижнего до
верхнего. Высота этажей постоянна, что дает право считать стоимости стоек
пропорциональными действующим на них нагрузкам:
Z = s, 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Pi 10 10 20 20 15 25 30 30 30
g (О 10 20 40 60 75 100 130 160 190
fl (sx) 10 40 120 240 375 600 910 1280 1710
Здесь i — это десять минус номер этажа.
Эти условные стоимости g (i), равные сумме всех приложенных выше на-
грузок, приведены в третьей строке таблицы. Если просуммировать все числа
во второй строке, получим стоимость неунифицированного варианта конструк-
ции (785 единиц). В той же таблице приведены стоимости /х (sx) первой унифи-
цированной марки в зависимости от того, где она заканчивается, т. е. от sx,
полученной из (1.15). Так, в частности, если начать первую марку с самого
нижнего этажа (z = 1), получим самый худший вариант, когда вся конструк-
ция стоит 1710 единиц.
14
Пусть требуется девять колонн сгруппировать в четыре унифицирован-
ные марки. Для получения оптимального окончания первой марки Sj при раз-
личных заданных s2 получим следующие функциональные уравнения, вы-
текающие из (1.17) при tt = 1:
Л (1) =10; , ч
/2 (2) = min (10 + 20) = 30;
/2 (3) = min ilO + 40 - 2, 40 + 40) = 80;
/2 (4) = min {10 + 60 • 3, 40 + 60 • 2, 120 + 60} = 160;
f2 (5) = min {10 + 75 • 4, 40 + 75 • 3, 120 + 75-2, 240 + 75} = 265;
f2 (6) = min {10 + 100 -5, 40 + 100 • 4, 120 + 100 3, 240 4-
+ 100 - 2, 375 + 100} = 420;
f2 (7) = min {10 + 130 • 6, 40 + 130 -5, 120 + 130 • 4, 240 + 130 • 3,
375 + 130 • 2, 600 + 130) = 630;
42 (8) = min {10 + 160 -7, 40 + 160 - 6, 120 + 160 • 5, 240 + 160 X
X 4, .375 4- 160 • 3, 600 4- 160 • 2, 910 4- 160} = 855;
f2 (9) = min {10 4- 190 • 8, 40 4- 190 • 7, 120 4- 190 • 6, 240 190 X
X 5, 375 4- 190 • 4, 600 4- 190 • 3, 910 4- 190 • 2, 1280 4х 190}= 1170.
Первый член каждого выражения взят из четвертой строки таблицы и пред-
ставляет собой стоимость первой марки. Результаты вычислений удобно свес-
ти в таблицу:
sa 1 2 3 4 5 6 7 8 0
Si I 1 2 2 2 3 4 5 6
fa (sa) 10 30 80 160 265 420 630 855 1170
По результатам этой таблицы составляем новое уравнение Веллмана,
позволяющее найти условное оптимальное управление, т. е. определить, на
каком номере детали нужно окончить первую марку, если вторая кончается
на номере детали s2*.
Из (1.42) имеем:
fs (1) =10;
Ц3 (2) = min (10 4- 20} = 30;
fa (3) = min {10 4- 40 - 2, 30 4- 40} = 70;
/з (4) = min {10 4- 60 • 3, 30 4- 60 • 2, 80 4- 60} = 140;
f3 (5) = min {10 4- 75 • 4, 30 4- 75 3, 80 4- 75 • 2, 160 4- 75} = 230;
f3 (6) = min <10 4- 100 • 5; 30 4- 100 • 4, 80 4- 100 3, 160 4- 100 X
X 2, 265 4- 100} = 360;
(7) = min {10 4- 130 • 6, 30 4- 130 • 5, 80 4- 130 - 4, 160 4- 130 X
X 3, 265 4- 130 • 2, 420 4- 130} = 525;
fa (8) = min {10 4- 160 • 7, 30 4- 160 • 6, 80 4- 160 • 5, 160 4- 160 X
X 4, 265 4- 160 • 3, 420 4- 160 • 2, 630 4- 160} =• 740;
fa (9) = min {10 4- 190 -8, 30 4- 190 -7, 80 4- 190 • 6, 160 4- 19 0-5,
265 4- 190 • 4, 420 4- 190 • 3, 630 4* 190 • 2, 855 4-
4- 190} = 990.
Сводим результаты решения в таблицу вместе с полученными оптималь-
ными управлениями:
* Термин «оптимальное управление» принят в динамическом програм-
мировании в качестве оптимального решения. (Прим. ред.).
15
83 1 2 3 4 5 6 7 8 9
s2 1 1 2 ( 3 3 4 5 6 6
!, (s.) 10 30 70 140 230 360 525 740 990
Получить последнее уравнение, т. е. узнать, на каком по счету элементе
кончается третья марка, проще, так как последняя четвертая марка заканчи-
вается на i=9. Следовательно, нужно составить лишь одно уравнение Велл-
мана
f. (9) = min {10 + 190 • 8, 30 + 190 • 7,
70 + 190 6, 140 + 190 • 5, 230 + 190 • 4, 360 +
+ 190 • 3, 525 + 190 • 2, 740 + 190} = 905.
Рис. 3. Геометрическая интерпретация задачи
оптимальной унификации. Римскими цифрами
обозначены типоразмеры
Следовательно, минимальная стоимость унифицированных марок рав-
на 905 единицам. Возвращаясь к предыдущим таблицам, находим номера
элементов, на которых оканчиваются другие марки. Графическая интерпрета-
ция решения приведена на рис. 3.
Как видим, минимальное превышение стоимости, связанное с унифика-
цией, равно 905/785 • 100 — 100 = 15% по сравнению с неунифицирован-
ным вариантом.
В рассмотренном примере стоимость gt не зависит от размера
серии, но легко заметить, что если принятьgt = gt (sj, Sj — J, to
уравнение (1.19) будет по-прежнему справедливо и решение задачи
не усложняется. Нетрудно показать, что динамическое программи-
рование намного сокращает время счета по сравнению с простым
перебором всех вариантов.
4. Оптимизация размещения производства
железобетонных изделий
Транспортные расходы на участке завод — строительная пло-
щадка составляют до одной трети стоимости железобетонных изде-
лий. Поэтому при размещении заказов на железобетонные изде-
лия и при определении связанных с ними мощностей предприятий
по их производству можно использовать методы решения транспорт-
ных задач линейного программирования, позволяющих минимизй-
16
ровать транспортные расходы. В критерии (1.3) стоимости единицы
объема бетона и стали принимались заданными. Если в отношении
стали это справедливо, то стоимость бетона в деле в значительной
степени зависит от транспортных расходов. Поэтому задачи опти-
мизации конструкции и размещения ее производства оказываются
взаимосвязанными.
Действительно, транспортные расходы зависят от количества
бетона, которое необходимо потребителям. Это количество зави-
сит от принятого конструктивного решения, но последнее, в свою
очередь, основывается на стоимости бетона, которая включает
транспортные расходы. Следовательно, задачу оптимального раз-
мещения производства сборного железобетона можно сформулиро-
вать в виде требования минимума общих расходов на производство
и транспортирование железобетонных изделий. Эту задачу можно
решить для всей номенклатуры изделий, когда принимаются во
внимание соображения унификации, но возможно ее решение и для
какого-то одного класса изделий. В последнем случае задача сво-
дится к минимизации следующей целевой функции:
т п т п
с = V 2 (С' ZF‘z + Сгб /F^Sij +22 Ctj xl}, (1.20)
»=1/=1 »=!/=!
где Xij — количество железобетона, перевозимое из i-ro пункта про-
изводства в /-й пункт потребления; —стоимость перевозки 1 м3
железобетона из i-ro пункта в /-й; т — число пунктов производства;
л—число пунктов потребления; Со — стоимость 1 м3 бетона в деле
без расходов на транспортирование готового изделия; С‘а — стои-
мость 1 м3 стали в деле; I — длина рассматриваемого железобетон-
ного элемента; Fe — площадь сечения бетона; F а — площадь се-
чения арматуры; s(7- — количество элементов, отвечающее объе-
му Хц.
Здесь предполагается, что рассматриваются железобетонные эле-
менты постоянного по длине сечения и что расходами на транспорти-
рование стали можно пренебречь.
Как видно из первого члена формул (1.20), стоимость бетона и
стали в каждом из пунктов производства может оказаться различ-
ной, а изделия не унифицированы, т. е. поставщик отправляет каж-
дому из потребителей различные изделия. Такой подход может
встретить возражения с точки зрения унификации производства,
кроме того, на одном объекте-потребителе вряд ли возможно при-
менять элементы одной марки с различными конструктивными ре-
шениями. В связи с этим логично предположить, что потребителю
поступают унифицированные изделия. В последнем случае формуле
(1.20) можно придать вид:
т п т п
с= 2 2 (ciF'+^F^)/s'7+ 2 lCt)xu. (1.21)
/ 1= 1 j = 1 I ax 1 / »o 1
17
Если же, по соображениям унификации, все элементы одинаковы,
то целевую функцию можно записать так:
т п tn п
С=2 2 (caFa+‘^F6)/sz/+ 2 2 CijXii. (1.22)
»=1/=1 /=!/=!
Таким образом, неизвестными в данном случае являются размеры
перевозок и конструктивные параметры железобетонного элемента
Fa и Fq. Эти параметры необходимо подобрать так, чтобы удовле-
творялись условия прочности, жесткости и трещиностойкости.
Помимо этих условий, в качестве ограничений следует принимать
обычные ограничения транспортной задачи. Общее количество из-
делий, доставляемых /-му потребителю, должно равняться требуе-
мому:
2 sil = b!, s11 = xi!IF^l, (1.23)
i= 1
а объем продукции, которую должен произвести t-й поставщик, не
должен превышать его мощности а‘:
2 (1.24)
/=1
Здесь s‘i следует округлять до целого числа. При большой величине
s‘i это не приводит к заметной погрешности. Если же s‘i малы, то
для решения на каждом шаге ламбда-задачи необходимо использо-
вать целочисленное линейное программирование.
Численный счет показал, что практически влияние транспортных
расходов незначительно сказывается на оптимальных конструктив-
ных параметрах, поэтому можно ограничиться одной итерацией.
Глава 2
БАЛКИ
1. Балки постоянного сечения (формулировка задачи)
Один из самых распространенных элементов строительных кон-
струкций — статически определимая балка на двух опорах. К это-
му типу можно отнести ребристые плиты покрытий и перекрытий,
пустотные настилы, прогоны, ригели многоэтажных зданий, балоч-
ные плиты, рандбалки и многие другие элементы зданий. Получение
оптимальных проектов этих элементов позволяет экономить зна-
чительные средства. Рассмотрим задачу об оптимальном проектиро-
вании обыкновенных железобетонных балок. Будем считать, что
балка имеет постоянное по длине поперечное сечение и армирова-
18
ние. Форма поперечного сечения представляет собой двутавр, т. е,
сечение балки характеризуется следующими величинами (рис. 4):
ft, b, h'n, Ь„, hn, bn, а, а’. Армирование характеризуется площадя-
ми сечения растянутой Fa и сжатой F'a арматуры; это параметры
проектирования. Критерий оптимальности (1.4) является функцией
этих параметров. Пролет балки и нагрузка считаются заданными.
Для двутавровых железобетонных балок целевую функцию мож-
но привести к следующему виду:
С = bh (1 + у'1 + ?! + стр), (2.1)
где
(2.2)
т — коэффициент, учитывающий наличие сжатой и поперечной
арматуры (т « 1,1).
Необходимо отметить, что в функции (2.1) неявно участвуют и
марки материалов, выраженные через коэффициенты Сб и Са. Эти
величины являются дискретными в отличие от геометрических ха-
рактеристик и армирования, которые можно считать непрерывными.
Строго говоря, это не так, так как армирование производится стер-
жнями из сортаментов, а геометрические размеры подчиняются мо-
дульной системе. В нашем случае мы рассмотрим получение опти-
мального решения при заданных марках материалов и при непре-
рывно изменяющихся геометрических размерах сечения.
Запишем математическую постановку задачи: найти такие h,
b,h„,hn, b„, ba, p., чтобы критерий оптимальности (2.1) был мини-
мальным и выполнялись ограничения:
А^вн Alp,
Sg <- е.
So
ат<[ат],
(2-3)
где Л4ВН — несущая способность самого напряженного сечения;
Д4р — расчетный момент в этом сечении; f, [/] — прогиб и допуска-
емый прогиб в середине пролета; ат, [ат! — ширина раскрытия тре-
щин и допускаемая ширина раскрытия трещин в месте максималь-
19
ного изгибающего момента; S6, So — статические моменты сжатой
части и всего сечения, подсчитанные относительно центра тяжести
сечения растянутой арматуры, .необходимой только из условий проч-
ности; g— нормируемая величина.
Поставленная задача является задачей математического про-
граммирования, однако требуется еще уточнить характер целевой
функции и ограничений. Ввиду сложности зависимостей, определя-
Рис. 4. Балка дву-
таврового сечения
а — поперечное сечение;
б — схема нагрузок бал-
ки на двух опорах
ющих целевую функцию и ограничения, произвели численное их
исследование.
Целевую функцию исследовали совместно с каждым ограниче-
нием в отдельности. При этом принимали, что все геометрические
характеристики сечения, кроме высоты, заданы, а высота элемента
не ограничена сверху. В этом виде имеем задачу с двумя параметра-
ми р. и h0. За основную переменную приняли коэффициент армиро-
вания, a h0 (связанную переменную) определяли из условия удовле-
творения одного из неравенств (2.3) как равенства.
Алгоритм исследования приняли следующий. Принимали зна-
чение pi, равное рмин. При этом отыскивали такое значение h, при
котором принятое ограничение удовлетворялось бы как равенство.
Для найденных значений h и pi подсчитывали целевую функцию С.
Затем величине pi давали приращение и снова находили высоту h
и стоимость С.
Таким образом, получили графики, выражающие зависимость
стоимости балки от процента армирования (рис. 5). Из рисунка яс-
но, что эта зависимость имеет вид выпуклой функции с одним ми-
нимумом. Аналогичные графики можно получить, удовлетворяя
условия прочности или ширины раскрытия трещин как равенства.
Что касается ограничения по высоте сжатой зоны бетона, то оно
сводится к условию
Н Нмакс-
Численным методом исследовали также влияние других геоме-
трических характеристик на функцию стоимости. Эти зависимости
представлены на рис. 6. Оказывается, что если нет ограничения на
высоту сечения, то минимальная стоимость достигается при всех
20
остальных характеристиках, стремящихся к нулю, т. е. самая вы-
годная форма сечения — прямоугольная. Другими словами, име-
ющийся в распоряжении материал лучше располагать в пределах
ширины сечения, увеличивая высоту, чем расходовать его на полки.
Этот численный результат вполне понятен, если вспомнить, что мо-
мент сопротивления сечения пропорционален квадрату высоты, а
момент инерции — кубу высоты.
Рис. 5. Стоимость железобе-
тонной балки в зависимости
от процента армирования для
разных соотношений стоимо-
сти стали и бетона. Пунктир-
ной линией соединены опти-
мальные значения
Рис. 6. Стоимость балки в оптимальном
варианте при различных характеристи-
ках сечения
1 — ширина сжатой полки (г = Ьп); 2 — ши.
рииа стенки (г=Ь) ; 3 — толщина сжатой пол-
ки (г = Нп); 4 — ширина растянутой полкн
(г = £>п); 5 — толщина растянутой полки
(г=Лп)
Проведенные численные исследования позволили сделать вы-
вод, что все геометрические характеристики сечения, кроме высоты,
следует назначить минимальными, исходя из конструктивных требо-
ваний.
2. Балки постоянного сечения (метод решения)
Поскольку установлено, что в поставленной задаче математи-
ческого программирования область, ограничиваемая условиями
(2.3), выпуклая, то оптимальное решение всегда единственно. Кро-
ме того, задача может интерпретироваться как одномерная, и в этом
случае граница области представляет собой выпуклую унимодаль-
ную функцию (рис. 7). Границы отрезка, на которых локализован
минимум, известны заранее — его концами служат величины р,мин
И Р-макс- Минимум унимодальной функции на заданном отрезке мож-
но найти с помощью выгодного с вычислительной точки зрения ал-
горитма Киффера-Джонсона1. Этот алгоритм был запрограммирован
для ЭВМ «Минск-22».
1 Р. Беллман, С. Дрейфус. Прикладные задачи динамического
программирования. «Наука», 1965.
21
Основным блоком программы, реализующей метод Киффера-
Джонсона, является блок выхода на границу по заданным ограни-
чениям. Этот блок работает так. При заданной величине р назначают
произвольно высоту балки h, подсчитывают изгибающие моменты
с учетом собственного веса балки и находят сечение с наибольшим
расчетным изгибающим моментом. В этом сечении подсчитывают мо-
мент внутренних сил. Если этот момент больше расчетного, то умень-
шают высоту сечения и снова подсчитывают момент внутренних
сил. Если момент меньше расчетного, то увеличивают высоту. Дро-
бя шаг изменения высоты сечения, можно добиться равенства рас-
четного момента и момента внутренних сил с любой заданной точ-
Рис. 7. Область возможных состоя-
ний конструкции:------ граница по
прочности М(х)=Мвн-,----------гра-
ница по деформативности f=[f];
-----граница по ширине раскрытия
трещины а= [а]
ностью. В результате такой операции получается значение h, при
котором выполняются ограничения по прочности как равенства.
Это соответствует выходу на границу допустимых значений по ус-
ловию прочности.
Затем проверяют значение прогиба в центре балки. Если про-
гиб меньше допустимого, значит при принятом значении из двух
предельных состояний определяющими являются требования проч-
ности. Если прогиб больше допустимого, увеличивают значение h
и методом последовательных приближений добиваются выполнения
равенства прогиба балки допустимому прогибу. Это соответствует
переходу на другую границу области допустимых значений по ус-
ловию ограниченности прогиба. Затем повторяют такую же опера-
цию, проверяя ширину раскрытия трещины в самом напряженном
сечении.
В результате трех вышеперечисленных операций получают зна-
чение Л, при котором по крайней мере одно из ограничений выпол-
няется как равенство, а два других— как неравенства. Изменяя за-
тем значения р. по алгоритму Киффера-Джонсона, получают такое
его значение, при котором функция цели достигает минимума. От-
метим, что выбор величины р. как основной переменной, a h как
вспомогательной не случаен. Известно, что жесткость сечения
с трещинами определяется как геометрией сечения, так и его арми-
рованием. Если задаться величиной h как независимой переменной
и удовлетворить требование жесткости, увеличивая значение р,
то необходимой жесткости можно и не получить. Это следует из
анализа формулы (172) СНиП П-В. 1-62*, по которой вычисляется
22
приведенная жесткость сечения. При армирований, стремящемся
к бесконечности, величина жесткости стремится к некоторой асим-
птоте. Поэтому для увеличения жесткости сечения необходимо уве-
личивать его высоту и, следовательно, за основную переменную сле-
дует принимать коэффициент армирования, а за вспомогательную —
высоту сечения.
После получения оптимального решения значение высоты окру-
гляют до величины, кратной заданному модулю, и пересчитывают
армирование.
Пример. Рассмотрим балку таврового сечеиия иа двух опорах под равно-
мерно распределенной нагрузкой. Сечение балки характеризуется следующими
величинами: b = 10 см; hn = 8 см, Ьп — 25 см, пролет /0 = 600 см,
нагрузка qv = 8 кгс/см, (?дЛИТ — 4 кгс/см, (/норм — 6 кгс/см, кратность
изменения высоты 5 см. Допускаемый прогиб в середине балки 3 см, допу-
стимая ширина раскрытия трещин не ограничена. Стоимость материалов бе-
тона и стали приняты согласно табл. X. 18 п Х.19*. Требуется найти высоту
и армирование, отвечающие минимальной стоимости. Результаты решения
следующие: для стали А-П и бетона марки 200 h~ 35 см, р. = 1,88%; для
стали А-Ш и бетона марки 200 h = 35 см, р = 2,02 %. Для обоих вариантов
определяющим оказалось предельное состояние по прогибу. Стоимость
1 пог. м балки в первом случае составила 2,55 руб., во втором — 2,71 руб.
В заключение заметим, что по приведенному выше алгоритму
можно учитывать ограничения как по трем предельным состояниям,
так и по прочности или по комбинациям прочность и деформатив-
ность, прочность и ширина раскрытия трещин.
3. Балки с переменными по длине
армированием и сечением
Может быть такой случай, что второе и третье предельные со-
стояния не учитываются в расчете; тогда армирование определяется
первым предельным состоянием, и задача решается просто. Однако
во многих случаях определяющим является второе предельное
состояние. В то же время армирование балки принято постоянным
по всей длине, что является не самым экономичным проектом.
Интересно поэтому рассмотреть вопрос о распределении жесткости
сечений балки по ее длине.
Пусть имеется произвольная статически определимая система,
состоящая из п элементов, подверженная действию произвольной
нагрузки. Перемещение какой-либо точки этой системы можно вы-
разить с помощью интеграла Мора:
* Железобетонные конструкции. Специальный курс под редакцией
П. Л. Пастернака. «Высшая школа», 1961.
23
где п — число элементов, составляющих_систему; s; — усилие
в элементе от действия внешней нагрузки; s,— усилие от действия
единичной нагрузки; Bt — жесткость элемента; — длина эле-
мента; f — перемещение.
Пусть далее все элементы нашей системы удовлетворяют усло-
виям прочности и некоторым возможным конструктивным требова-
ниям. Однако при этом жесткость системы недостаточна. Для уве-
личения жесткости необходимо увеличить сечения элементов.
При этом параметры сечений нужно изменить так, чтобы функция,
выражающая затраты, стремилась к минимуму:
С = 2 Q Ft lt = min. (2.5)
i= 1
Если форма поперечного сечения элементов задана, то функция
податливости в уравнении (2.4) вычисляется так:
(Вг)-1 = Ф(Тг), (2.6)
где Tt — варьируемый параметр сечения.
Обозначим далее
= (2.7)
‘i
Теперь поставленную задачу можно сформулировать следующий
образом: найти такие значения Тг (i = 1, 2, 3...и), при которых
сумма (2.5) имеет минимум и удовлетворяются условия:
(2.8)
(= I
уЧИИН <-- р* учМЯКС ^2 gj
Здесь (2.8) является ограничением по деформациям; /0 — заданное
допустимое перемещение. Неравенство (2.9) учитывает условия проч-
ности и другие конструктивные ограничения. Величины 7“ин и
Т“акс предполагаются известными для каждого элемента.
В таком виде задача представляется как задача о распределе-
нии некоторого ограниченного ресурса /0 между «-элементами
(«потребителями») с целью минимизации затрат С при ограничениях
(2.8) и (2.9). Такую задачу можно решить методом динамического
программирования.1
Остановимся на некоторых вопросах оптимального проектиро-
вания обыкновенных железобетонных балок. Прогиб балки от дей-
1 Э. Р. Даниелов, Л. И. Ярин. Применение динамического про-
граммирования для оптимального проектирования железобетонных балок,—
В сб.: «Оптимальное планирование и проектирование в сельском строитель-
стве», ЦНИИЭПсельстрой. М., 1969.
24
ствия длительной и кратковременной нагрузок с учетом образова-
ния трещин определяется согласно СНиП по формуле
+ (2.Ю)
Раскрывая (2.10), запишем для участка с однозначной эпюрой
моментов:
f = [~M^dl~ (2.11)
J “i J B3 J B3
Разбивая балку на достаточное число участков и заменяя интеграл
знаком суммы, получим:
--------- + — (2.12)
\ Pli Psi Psi /
В (2.12) согласно СНиП кривизна 1/р = M/В вычисляется при
кратковременном действии всей нагрузки, кратковременном дей-
ствии длительной части нагрузки и длительном действии длительной
части нагрузки. Приняв
-1---+ — = Ф(^)- (2-13)
Pli Psi Psi
придем к условию (2.8). Стоимость участка железобетонной балки
длиной It с постоянным сечением и армированием можно определить
по формуле
Ci = (CaFa + CqFq), (2.14)
а стоимость всей балки
C~Sct. (2.15)
i= 1
Таким образом, задача оптимального проектирования железо-
бетонной балки сводится к задаче о распределении ограниченного
ресурса. Приведем описание нескольких конкретных задач, кото-
рые встречаются в условиях реального проектирования.
Задача о построении оптимальной эпюры армирования. Железо-
бетонную балку постоянного сечения с заданной эпюрой моментов
разбиваем на п участков так, чтобы в пределах каждого участка
величины момента и площади арматуры можно было считать посто-
янными. Так как при постоянном поперечном сечении варьируемым
параметром (управлением) будет площадь растянутой арматуры
Fi( задачу можно представить в следующем виде: найти значения
Ft (i = 1, 2, 3, ..., п), при которых выполняются ограничения
(2.16)
i = 1
Г*МИН_-- Г? " f-’MSKC /0 1 *74
25
и достигается минимум стоимости
С = (2-18)
<= 1
В неравенстве (2.17) минимальное сечение арматуры принимает-
ся:
Е-унн /г р р у
т. р. F”™ должно обеспечить на i-м участке условие прочности,
ширины раскрытия трещин и быть более минимального допустимого
Сечения арматуры. При известной эпюре моментов и заданном по-
перечном сечении вычисление /7“ин не представляет затруднений.
Значение р^акс дает верхний предел площади арматуры. Функ-
ционал (2.18) представляет собой объем растянутой арматуры. При
решении методом динамического программирования Назначение
величины армирования на каждом участке является многошаго-
вым процессом принятия решений. Оптимальное решение на k-м
шаге определяется следующим функциональным уравнением:
Ck (fft) = min {Fk 1к-Ск.г [fft-cp (Fft)]} (2.19)
при ограничениях
j
(2.20)
где fk — доля ресурса, распределяемая на k-м. шаге.
После п шагов решения получаем значение целевой функции и
значения Fi на каждом участке. При этом удовлетворяются усло-
вия прочности и трещиностойкости.
Пример. Приведем результат построения оптимальной эпюры армирова-
ния для железобетонной прямоугольной балки на двух опорах при равномер-
но распределенной нагрузке и следующих данных: h = 60 см, Ь -= 30 см,
1р = 7 м, qD — 2,8 тс/м, qB = 2,4 тс!м, qan — 1,4 тс/м. Бетон марки 300,
арматура класса А-П. Допустимый прогиб в центре пролета 2 см. Допусти-
мая ширина раскрытия трещин 0,03 см. Число участков, на которые разбива-
лась балка, п = 14.
По результатам расчета получились следующие сечения арматуры по семи
участкам (для половины балки):
№ участка 1 2 3 4 5 6 7
Fa, см2 4,43 10,46 13,78 17,15 23,7 24,15 27,5
F™H, см2 4,24 8,26 10,58 12,15 13,33 14,35 14,69
26
Задача о балке переменного сечения. Иногда требуется констру-
ировать балки переменной высоты и переменного армирования.
Описанный подход можно применить и к этой задаче, если прибли-
женно учесть распределение веса балки по длине для получения ис-
ходной эпюры моментов. После решения эту эпюру можно уточнить
и снова решить задачу. Рассчитаем такую балку. Задана эпюра
моментов и все геометрические характеристики сечений балки, ис-
ключая высоту. Балка разбивается на п участков. В пределах каж-
дого участка высота балки и сечение арматуры считаются постоян-
ными. Требуется определить Ft и /ix (i = 1, 2, 3 ,..., п), чтобы выпол-
нялись ограничения

^внг^^р.; атг<[а];
TTH< Ft < F™aKC; /гГи < ht /i”aKC
и достигался минимум стоимости
(2-21)
(2.22)
2(СаРа4 + СбРб<)/4, (2.23)
i = 1
где /1г — высота i-ro участка; Л4внЬ Mpi — соответственно внутрен-
ний и расчетный момент в i-м сечении; aTi — ширина раскрытия тре-
щин в i-м сечении.
Как видно из (2.21), необходимо варьировать два параметра,
поэтому принят следующий алгоритм решения задачи. Пусть на
k-м шаге распределяется прогиб fk (доля полного прогиба). Выделим
из fh на /?-й участок часть прогиба fm. Тогда необходимо выбрать
такие значения hk и Fk, которые бы удовлетворяли неравенствам
(2.22) и условию
Ф (Fk> hk) = fm ±е> (2.24)
где 8 — заданное малое число.
Условию (2.24) удовлетворяет множество значений F и h.
Среди них выбираются такие Fk и hk, при которых для данного fm сто-
имость материалов на участке k была бы минимальной. Таким обра-
зом, внутри задачи динамического програх&тирования решается за-
дача нелинейного программирования. Алгоритм решения такой за-
дачи описан ранее.
Оставшаяся доля ресурса (/\— /т) распределяется оптимально
между предыдущими участками. Функциональное уравнение этой
задачи имеет вид:
ck (fk) = min [С (Fh hk)+ Ck^
{^k’ ^k}
при ограничениях
o J
O^fk<fo- J
(2.25)
(2.26)
27
4. Неразрезные балки, рассчитываемые по прочности
(линейная задача)
В рассмотренных задачах даны примеры оптимального проек-
тирования статически определимых балок. В таких конструкциях
усилия в сечениях однозначно определяются внешней нагрузкой.
В статически неопределимых конструкциях, к которым относятся и
неразрезные балки, усилия в сечениях зависят от соотношения жест-
костей элементов конструкции и в них возможно перераспределение
усилий как в стадии эксплуатации (вследствие возникновения тре-
щин), так и в стадии предельного равновесия (вследствие пласти-
ческих свойств бетона и арматуры). Естественно, что в такой кон-
струкции учет ограничений всех трех предельных состояний пред-
ставляет собой сложную задачу, решение которой рассматривается
в главе 3. Здесь мы остановимся на задаче оптимального проектиро-
вания, исходя только из условий прочности. Во-первых, существу-
ет значительная область конструкций, для которых расчет по вто-
рому и третьему предельному состоянию не требуется; во-вторых,
решение задачи из условия прочности может служить хорошим на-
чальным приближением для решения более общей задачи.
Оптимальное проектирование по первому предельному состоя-
нию основано на статической теореме предельного равновесия
А. А. Гвоздева, следствие из которой гласит, что конструкция не
разрушится, если в ней возможно найти статически допустимое поле
усилий, т. е. поле такое, при котором выполняются урав-
нения равновесия и во всех сечениях усилия не превосходят пре-
дельных.
Теоремы предельного равновесия описывают поведение упруго-
или жесткопластических тел. Физическая модель железобетона как
упругопластического тела обоснована в работах многих авторов
и теперь уже не встречает серьезных возражений. Поскольку при
дальнейшем изложении, при оптимальном проектировании только
по прочности, будет сохраняться подход, основанный на теории пре-
дельного равновесия, имеет смысл подробно остановиться на раз-
боре простого примера — оптимального проектирования двухпро-
летной неразрезной балки.
Под оптимальной конструкцией мы понимаем такую, которая
способна выдержать в пластической стадии работы заданные
нагрузки и стоимость которой минимальна. В первом приближении
можно считать, что стоимость элемента пропорциональна предель-
ному изгибающему моменту и длине элемента
(2.27)
z = i
Функция (2.27) — целевая функция задачи линейного программиро-
вания для определения оптимальных параметров балки. Ограни-
28
ченйямй служат уравнения равновесия и условия прочности. В ре-
зультате решения задачи линейного программирования получаем
распределение внутренних усилий и предельные пластические мо-
менты, которые в соответствии с теоремой А. А. Гвоздева отвечают
безопасному проекту конструкции. Иначе говоря, можно утвер-
ждать, что запроектированная в соответствии с нашими рекоменда-
циями конструкция при заданной нагрузке не разрушится (в пре-
делах правильности физической расчетной модели), хотя линеариза-
ция условия оптимальности (2.27) и может привести к уклонению
Рис. 8. Двухпролетная
иеразрезиая балка
О — схема; б — механизм
разрушения левого проле-
та балки; в — механизм раз-
рушения правого пролета
белки
от оптимального варианта. Следовательно, стоимость полученной
таким образом конструкции будет верхней границей действительной
оптимальной стоимости.
Рассмотрим двухпролетную неразрезную балку из симметричных
относительно оси элементов (рис. 8, а), определяемых предельными
пластическими моментами Л401 и Л402 соответственно для первого
и второго пролетов. Требуется запроектировать ее так, чтобы до-
биться минимума стоимости
z = 2Л401 + 2Л402. (2.28)
Рассматривая механизмы разрушения, представленные на рис.
8, б и в, составим уравнения равновесия. Правило знаков обычное:
если момент растягивает нижнее волокно — он положителен, если
верхнее — отрицателен. Для первого механизма запишем уравне-
ние работ
—М$ + 2Л126 — Л436 = 26. (2.29)
Положительный момент в точке 1 совершает отрицательную работу,
так как в механизме (рис. 12, б) в этой точке растянуто верхнее
волокно. В точке 2 знак положительного момента и знак перемеще-
ния механизма совпадают, а в точке 3 — снова разнятся. Правая
часть уравнения (2.29) — работа внешней силы на перемещении 6,
причем направление силы совпадает с направлением перемещения.
Аналогично для второго механизма уравнение работ такое:
—Ж36 + 2Ж46 = 36. (2.30)
29
Сокращая на 6, получим два независимых уравнения равновесия
балки:
М1—2М2 + М3 + 2 = 0;
М3—2М4 + 3 = 0.
(2.31)
Других независимых уравнений равновесия получить невозмож-
но, так как конструкция имеет четыре опасных сечения и две лишние
связи, следовательно, число независимых уравнений равновесия
4 — 2 = 2. Условия прочности задачи имеют вид:
— Moi '-С М4 Л401<Л42<Л401; 1
-Л401<Л43<Л401; -Л402 < М3 < Мо2; (2.32)
^02 ^02 • '
Для момента в сечении 3 нужно поставить два условия прочности,
для первого и второго пролетов, так как мы не знаем, сечение како-
го пролета в оптимальном варианте окажется слабее. Введем новые
переменные, прибавив к первым четырем неравенствам Л401, а
к последнему — Л402-
0 М} + Л401 s-C 2Л401;
О<Л42 + Л4о1<2Л4о1;
0 "йС Л43 Л401 2Л4о1;
AIqi Л402 М3 + Л401
Л41 — М4 4- Л401;
М.2 — М2 4" 4401;
Л43 = Ж34- Мо1;
С Л402 4- Л40ь
м4 = М4 4- A4o2;
0 М4 4- Л402 "С 2М02.
(2.33)
Как видим, новые неизвестные позволяют избавиться только
от четырех неравенств из десяти. Оставшиеся шесть неравенств мож-
но переписать в виде:
Z/i = 2Al01—44i>0;
у2 = 2М01—Л42>0;
Уз = 2Л401—М3 > 0;
Уз= ^02 ~Ь М01 М3 0>
Уз ~ Мд М01 -{- М02 0;
Уз = 2Л4о2—М4 > 0.
(2.34)
Пользуясь выражением старых переменных через новые, получим:
30
м^м^м^,'
М2= Af2 ^Wqi>
Л43 = Л43
М4 = М4—Мо2.
(2.35)
Перепишем уравнения равновесия, но с новыми неизвестными:
Mj-Moi-2 (М2-М01) + (М3-М01) + 2 = 0; (2 36)
Д, -М01 -2 (Д - Л4о2) + 3 = 0,
или
Мх~2М2 + Л43 + 2 = 0; ) „
_ _ 3 (2.37)
Мй—2М4-Мо1 + 2Л4о2 + 3 = О. ,|
Таким образом, получена задача линейного программирования,
которая состоит в минимизации функции Z (2.28) при ограничениях
в виде двух равенств (2.37) и шести неравенств (2.34). Воспользуем-
ся для решения задачи линейного программирования алгоритмом
симплекс-метода1. Так как алгоритм решает задачи максимизации,
учтем, что min z = —max (—z) и запишем в матрицу симплекс-
метода целевую функцию с коэффициентом обратного знака:
— Ml — М2 -М3 —м4 -м01 — Моа 1
0 = — 1 2 — 1 0 0 0 2
0 = 0 0 — 1 2 1 —2 3
1/1= 1 0 0 0 —2 0 0
Уг = 0 1 0 0 — 2 0 0
Уз = 0 0 1 0 — 2 0 0
Vt — 0 0 1 0 — 1 — 1 0
Уъ = 0 0 — 1 0 1 — 1 0
Уз — 0 0 0 - 1 0 — 2 0
0 0 0 0 2 2 0
(2.38)
1 С. И. 3 у х о в и ц к и й, Л. И. А в -д е е в а. Линейное и выпуклое про-
граммирование. Изд. 2-е, «Наука», 1967.
31
Оптимальные значения новых переменных составляют:
^ = 0; М2=1; М8 = 0; <М4 = 2,5; Мо1 = 0,5; Мо2=1,25.
Переходя к старым переменным по формулам (2.35), получаем:
Af1=— 0,5; М2 = 1 — 0,5; М3= — 0,5; ]
М4 = 2,5—1,25= 1,25. } (2’39)
Рис. 9. Оптимальное распределение момен-
тов в балке
Эпюра моментов при нагружении оптимальной конструкции
представлена на рис. 9.
5. Неразрезные балки, рассчитываемые ло прочности
(нелинейная задача)
В линейной постановке стоимость конструкции принимается про-
порциональной моменту Мо, который может воспринять элемент
в предельном состоянии. Естественно, чтобы более обоснованно оце-
нить расход материала, необходимо задаться формой сечения и ка-
кими-то его параметрами. Можно в ряде случаев сечение балки при-
нимать прямоугольным и, задавая высоту, определять необходимую
ширину сечения и армирование, которые соответствуют принятой
величине Мо. Если же задаться и высотой, и шириной, то для того
чтобы подсчитать расход арматуры, необходимо задаться плечом
внутренней пары сил.
И первый, и второй способ приводят к неточностям в решении,
так как плечо внутренней пары зависит от армирования. Правда,
можно решать задачу методом последовательных приближений. За-
даться плечом внутренней пары сил, подсчитать Мо, решить зада-
чу, снова подсчитать плечо внутренней пары и т. д. до выполнения
некоторого критерия сходимости. Однако можно ввести дополни-
тельное условие, которое поможет связать расход арматуры с пре-
дельным моментом при заданных размерах сечения. Этим условием
может служить условие равнопрочности. Для этого необходимо по-
требовать, чтобы в каждом сечении балки расчетный изгибающий
момент был точно равен предельному, т. е. такому моменту, при ко-
тором в арматуре достигались бы расчетные напряжения. Из этого
условия можно вычислить величину площади поперечного сечения
арматуры в каждом сечении.
Физически равнопрочная конструкция вся одновременно пере-
ходит в предельное состояние и представляет собой в этом состоянии
кинематическую цепь. Естественно, что на практике такой случай
не встречается, но из условия равнопрочности можно получить ре-
32
шение, которое окажется хорошей оценкой проекта. Другими сло-
вами, решив задачу из условия равнопрочности, получим оптималь-
ную эпюру армирования балки.
Рассмотрим некоторые подходы к задаче оптимального проекти-
рования равнопрочных неразрезных балок.
Задача о максимальной интегральной нагрузке. Рассмотрим мно-
гопролетную балку (рис. 10). Число пролетов равно п. Нагрузку
На каждом пролете зададим в виде произведения
q = Kqi W, (2.40)
где qt (х) — форма нагрузки; — неопределенная интенсивность.
Заданы сечения на каждом пролете и объем арматуры V, из ко-
торого выполняется конструкция. Требуется так распределить ар-
Рис. 10. Схема мно-
гопролетной нераз-
резной балки
матуру по длине балки, чтобы выполнился некоторый экстремаль-
ный принцип в отношении нагрузки и удовлетворилось требование
равнопрочности в предельном состоянии. Неизвестные в задаче —
площади сечения арматуры и ее распределение по длине балки, а
также интенсивности пролетных нагрузок.
Прежде чем непосредственно перейти к рассмотрению задачи,
отметим следующее. Если задаться каким-либо распределением опор-
ных моментов Mt, исходную неразрезную балку можно рассматри-
вать как п однопролетных балок, каждая из которых нагружена
опорными моментами и Mi+1 и нагрузкой Kiqi (х). Рассмотрим
одну из таких балок. При заданном поперечном сечении предельный
момент в сечении можно записать в виде:
Л1т = Л1х = RafaZ, (2.41)
где г— плечо внутренней пары сил; Ra — расчетное сопротивле-
ние арматуры; fa — площадь поперечного сечения арматуры.
Естественно, что для определения плеча внутренней пары сил
г необходимо составить еще уравнение, связывающее напряжения
в арматуре и бетоне:
z = h0-Rafa/2R„b. (2.42)
Подставив (2.42) в (2.41), найдем площадь сечения арматуры:
(2-43)
2 Зак. 524
33
Подставив в (2.43) значения Мх в зависимости от нагрузки и опор-
ных моментов, подсчитаем расход арматуры Vt на каждый пролет:
Vt = J fa dx =
(2.44)
Из (2.44) можно получить зависимости:
= Ф1 (Mit Mi+1, Vt)\ (2.45)
= <P2 qt, Vt). (2.45')
Если задаться соотношением интенсивностей пролетных нагру-
зок, то в предельном состоянии можно получить такое распределе-
ние арматуры объемом V по длине балки, которое характеризуется
максимальным значением параметра нагрузки. Задавшись другими
соотношениями между нагрузками, получим другое распределение
того же объема материала, соответствующее уже иному значению
параметра нагрузки, максимального при выбранных соотношениях
интенсивностей нагрузки в пролетах. Другими словами, существует
много способов распределения заданного объема арматуры по дли-
не балки, и каждый способ соответствует предельному состоянию
при определенном соотношении нагрузок. Среди этого множества
способов армирования интересно найти такой, который максимизи-
рует следующую функцию, определяющую общую нагрузку:
(2.46)
i=1
т. е. суммарная нагрузка на всю балку максимальна. Такая задача
может возникнуть, например, при проектировании балок перекры-
тий складских помещений, поэтому ее можно назвать задачей
оптимального складирования.
Итак, нужно найти такие Mt (i = 1, 2, ..., п), чтобы достигался
максимум функционала (2.46) и выполнялись ограничения
п
,-?/г
М <М-<М •
Я1мин lvli 2Г1макс’
Мх = Л4Т.
Эта задача может рассматриваться как задача динамического про-
граммирования. При подобном подходе арматура распределяется
по пролетам при общем ограничении наееобъем. Процесс распреде-
ления представляется многошаговым процессом. На k-м шаге варь-
34
ируются только величины опорных моментов на /f-м пролете Mh и
Ж+i-
На первом шаге решения для первого пролета будем последова-
тельно выделять объем арматуры V*, от А V до V с шагом А V. При
этом для каждого значения объема V* с помощью соотношения (2.45)
ищется такое сочетание Л1Х и Л42, которое соответствует макси-
мальному значению величины Лх. Достигается, это, например, пол-
ным перебором между Л1Х и М2, хотя иногда возможно и аналити-
ческое решение. Полученные значения моментов запоминаются для
каждого V* и являются условными оптимальными управлениями
на первом шаге решения.
В терминах динамического программирования приведенную про-
цедуру можно записать так:
Х; = max [Хх (У*, Мъ М2)] (2.48)
{ЛЦ, м2\
при ограничениях
Мнив <МХ ^макс»
;^-МИН ^макс»
А7< V* < V.
(2.49)
На втором шаге решения выделенное количество арматуры V* будем
распределять между двумя пролетами. Рассмотрим процедуру /(-го
шага. Выделенный объем арматуры необходимо так распределить
между k-м и всеми предыдущими пролетами, чтобы максимизиро-
вать функционал (2.46) для первых k пролетов. Это достигается
с помощью функционального уравнения
Qh = max [ J4 Яп W dl + Qft_x (V*- Vft)],
где
4 = max [<px(Alft, Mh+X> О
{Mft,
при ограничениях
^млв "У: ^fe+1 Ммакс» j
XA7<7ft<7* — [(k— 1)AVJ;
(2.50)
(2.51)
k\V < V* < V.
На последнем n-м шаге процесса получим требуемое распределе-
ние материала. Необходимо отметить, что максимальная интеграль-
ная нагрузка не является границей несущей способности, так как
балка может разрушиться и при меньшей интегральной нагрузке.
Эта нагрузка представляет собой нижнйю границу несущей способ-
ности лишь для получившегося соотношения между интенсивно-
стями пролетных нагрузок.
35
Оптимальное проектирование равнопрочных неразрезных балок.
Рассмотренной задаче соответствует обратная задача — минимизация
объема материала. Не вдаваясь более в вычислительные аспекты
метода динамического программирования, приведем постановку
и функциональные уравнения двух следующих задач оптимального
проектирования.
При заданных пролетных нагрузках найти такие
Mt (i = 1, 2....n+1), (2.52)
чтобы общий объем арматуры
7=V 7. (2.53)
1 = 1
был минимален и выполнялись ограничения
^мин ;7Макс- (2-54)
Решение достигается с помощью функционального уравнения
V h+i И*й+1) “ т'П 1ф ^h+l> + (2.55)
{^}
при ограничениях
'^.чин Л4Л+1 М макс*
Другая задача ставится следующим образом.
Найти такие Л4; (i = 1, 2... п + 1), чтобы минимизировать
объем арматуры
7= 2 Vi
i=* 1
при выполнении ограничений
!^мип ^макс!
^Тмив ^"гмакс.
Это задача о распределении ресурса Q между п пролетами.
Функциональное уравнение для k-ro шага
min {<Р (Mft, Л1Й_15 ХА)-Н Vft_:i [Q*— С (2.58)
(2.56)
(2.57)
36
при ограничениях
KAQ^f уы (x)dZ<Q*- [(k- 1)AQJ;
lk
K\Q < Q* < Q;
KbQ^\fk(x)dl^Q*-
(2.59)
Q — общая нагрузка на балку; AQ — шаг изменения нагрузки.
Решение задачи об оптимальном проектировании неразрезных
балок из упругопластического материала методом динамического
программирования приводится в работе Палмера1. В этой работе
принято, что сечение балки постоянно в каждом пролете, т. е. за
расчетный момент принимается максимальным из трех моментов
Л1р = тах(|Л1й|; |Л4Л+1|; | М |), (2.60)
где М — максимальный момент в пролете. Такой подход дает воз-
можность решить поставленную выше задачу с использованием су-
ществующих каталогов типовых конструкций.
Во всех приведенных задачах условие равновесия опорных уз-
лов обеспечивается автоматически, так как выбор условного опти-
мального управления на предыдущем шаге включает выбор опор-
ного момента.
Был рассчитан ряд оптимальных по стоимости многопролетных
балок прямоугольного сечения, для которого использовали алго-
ритм задачи (2.52) — (2.54). Объем арматуры в каждом пролете опре-
деляли по формуле (2.44). Максимальные значения пролетных мо-
ментов подсчитывали из условия, чтобы высота сжатой зоны бетона
не превышала нормируемую величину. Это же условие накладыва-
ли и на максимальный момент в пролете. Другими словами, к огра-
ничениям задачи добавилось ограничение
| Mh | < 0,3bh> Ra. (2.61)
Производили расчет серии железобетонных пятипролетных ба-
лок с равными и разными пролетами, разными нагрузками из бето-
нов марок 200, 300 и арматуры классов A-I, А-П, А-Ш.
Исходные данные в задаче — длины пролетов, интенсивности
нагрузок, ширина поперечного сечения балок, марка бетона, класс
арматуры, стоимости арматуры и бетона. Определяли высоту попе-
речного сечения балок и распределение моментов по длине, при ко-
торых стоимость материалов минимальна. Алгоритм решения соста-
вили таким образом, что процедуру расчета начинали с заведомо
1 А. С. Р а 1 m е г. Optimal structural design by bynamic programming.
Proc. ASCE. Journal of Eng. Meeh. Div. ST8, 1968, vol. 94.
37
Таблица 1
Марка «а. Моменты в тс-м
бетона кгс/см2 Ml | Af3 | Мг | М4 | М, | М, h, см В %
При /1—^2 = h = h —1б~б м; ?i = 72 = <7з = 74 =?5 =6 тс/м
200 2100 15,87 15,87 15,87 15,87 15,87 15,87 50 100
200 2700 15,87 15,87 15,87 15,87 15,87 15,87 50 94
200 3400 15,87 15,87 15,87 15,87 15,87 15,87 50 89,5
300 2100 20,17 20,17 20,17 20,17 20,17 20,17 45 103,5
300 2700 15,55 15,55 15,55 15,55 15,55 15,55 40 97,5
300 3400 15,55 15,55 15,55 15,55 15,55 15,55 40 91,5
При ! =8 м /2 = 5 м; 13~- = 7 м; / 4 — 4 М J /5 — 7 м
200 2100 27,9 22,33 16,74 16,74 11,16 27,9 65 131
200 2700 27,9 22,33 16,74 16,74 11,16 27,9 65 122
200 3400 27,9 22,33 16,74 16,74 11,16 27,9 65 117
300 2100 25,39 20,31 15,24 15,24 15,24 25,39 50 133
300 2700 25,39 25,39 15,24 15,24 15,24 25,39 50 124
300 3400 25,39 25,39 15,24 15,24 15,24 25,39 50 117
недостаточной высоты поперечного сечения, которую увеличивали
до тех пор, пока не удовлетворялись ограничения по величине вы-
соты сжатой зоны .бетона.
При первой высоте сечения, удовлетворяющей ограничениям, по
описанному выше алгоритму определяли распределение моментов,
соответствующее минимуму расхода арматуры, и подсчитывали
стоимость материалов.
Далее увеличивали высоту поперечного сечения и расчет повто-
ряли. При получении стоимости, большей предыдущей, расчет пре-
кращали.
Функцию (1.Ю) для балки принимали в виде:
Ограничения были такие:
(Л<( Mi+1) = 0,3^ Ra-M(x) > 0,
где — интенсивность равномерно распределенной нагрузки; b —
ширина поперечного сечения; h0 — полезная высота сечения;
Z; — длина пролета; 7?и — расчетное сопротивление бетона сжатии
при изгибе; Ra — расчетное сопротивление арматуры; Mit Mi+1 —,
опорные моменты; М (х) — изгибающий момент в сечении с коорди-
натой х. Функцию стоимости принимали такую:
с=2(бй0/г+гг^у
<=1\ сб I
38
где Са — стоимость 1 л/3 арматуры; Сб — стоимость 1 л? бетона.
Результаты расчета приведены в табл. 1.
Рассчитали ' трехпролетную железобетонную балку (/j = 6 м;
/а = 8 лг, 1Я = 5 м), нагруженную равномерно распределенной на-
грузкой <7 = 6 тс/м. Расчет производили описанным выше способом.
Для сравнения вели расчет той же балки в предположении постоян-
ства плеча внутренней пары сил. Получили оптимальные проекты
балок со стоимостью 83,4 руб. в первом случае и 89 руб. во втором
случае. В данном примере принятие постоянного плеча внутренней
пары сил дало отклонение от оптимального плана на 6,5%.
Глава 3
РАМЫ
1. Статически определимые рамы
Одним из распространенных типов одноэтажных зданий яв-
ляются здания с несущими конструкциями в виде трехшарнир-
ных железобетонных рам (рис. 11). Рассмотрим задачу опти-
мального проектирования такой железобетонной рамы. В данном
случае параметры проектирования следующие: геометрические
размеры сечений рамы, площади сечения арматуры в стойке и ри-
геле, шаг рам, уклон ригеля, марки материалов и т. д. Однако в це-
лом такая постановка является достаточно сложной, поэтому здесь
рассмотрен более узкий подход к задаче, который позволяет полу-
чать удовлетворительные результаты, а с другой стороны, может
быть всегда расширен.
Рассмотрим раму с заданными погонными нагрузками, заданной
высотой и уклоном ригеля. Марки материалов также считаются за-
данными. Требуется так подобрать параметры конструкции, чтобы
стоимость материалов была минимальной, т. е. за критерий оптималь-
ности примем критерий (1.4). Будем считать также, что поперечное
сечение рамы представляет собой двутавр (рис. 11, а).
Поскольку сечения статически определимых рам работают на
Внецентренное сжатие, рассмотрим оптимальное проектирова-
ние внецентренно сжатых железобетонных элементов. Если гео-
метрия сечения задана, то при известных усилии и моменте можно
найти площади сечения арматуры в сжатой и растянутой зонах так,
чтобы общий расход арматуры был минимальным из условия проч-
ности1. Этому отвечает случай, когда нейтральная ось расположена
1 Железобетонные конструкции. Спец. курс. Под ред. П. Л. Пастернака.
Госстройиздат, 1962.
39
S)_____________ _ ft
у и I H m Hi н m 11 Л I TT.O
" шинчтп i ini nmrrrt
Рис. 11. Трехшарнирная железобетонная рама
а схема полурамы; б — расчетные комбинации постоянной и временной нагрузок;
/—временная нагрузка на всем пролете; // — временная нагрузка на половине пролета'
на расстоянии х от сжатой грани, определяемом соотношением
_ (/г0 —о')/?а ,
Яа + Яас
(3-1)
т. е. нейтральная ось делит расстояние между центрами тяжести
сжатой и растянутой арматуры пополам, если Ra = Rac. Однако
условие (3.1) может привести к тому, что площадь сечения какой-ли-
бо арматуры получается отрицательной. При этом следует соответ-
ствующую арматуру принять из конструктивных соображений, а
площадь сечения другой арматуры получить из уравнений равно-
весия сечения. Далее сечение проверяют на ширину раскрытия тре-
щины. Если ширина раскрытия трещины больше нормируемой, то
соответствующую арматуру добавляют до тех пор, пока удовлетво-
рится и это условие. После этого можно снова пересчитать сжатую
арматуру по условию прочности. Подсчитав расход арматуры, мож-
но подсчитать и целевую функцию (1.4). Если теперь построить зави-
симость С от h, т. е. менять высоту сечения и каждый раз подбирать
оптимальное армирование, то получится картина, качественно сов-
падающая с зависимостью для обыкновенных железобетонных ба-
лок (см. рис. 7) — функция стоимости выпукла относительно пере-
менной h по ограничениям прочности и трещиностойкости.
Следовательно, отыскание оптимальных характеристик сечения
представляет собой уже описанную ранее задачу. Необходимо отме-
тить, что при расчете внецентренно сжатых элементов требуется
учет деформаций при подсчете усилий в сечениях. Этого в данном
случае можно добиться вычислением распора по деформированной
схеме, т. е. методом последовательных приближений учесть пере-
мещение конькового шарнира и изгибание стержней рамы.
Поскольку в статически определимой системе при расчете по
прочности и ширине раскрытия трещин усилия не зависят от харак-
теристик сечений элементов, минимум стоимости всей конструкции
слагается из стоимости отдельных участков рамы, характеристики
40
которых подобраны оптимальным образом. Это позволяет построить
для статически определимой железобетонной рамы оптимальные
эпюры материалов. На практике, однако, чаще всего стержни рам
либо имеют постоянное сечение, либо их высота изменяется по ли-
нейному закону. Такому случаю соответствует и рама, изображенная
на рис. 11. Геометрия этой рамы будет определена, если задаться
величинами hp и hc, т. е. высотами сечения у шарниров, которые под-
бираются из условия восприятия поперечных сил, а также парамет-
рами k и z (см. рис. 11, а). Опасными сечениями будут места измене-
ния армирования, сечения I—I и II—II, а также сечение в зоне
ригеля, прилегающей к коньковому шарниру при действии одно-
сторонней снеговой нагрузки. При такой постановке основным па-
раметром проектирования является параметр г. Что же касается
остальных геометрических параметров bn, b'a, hn, h'n, b, то, как
и в железобетонных балках, оказалось, что стоимость полурамы тем
меньше, чем меньше эти величины. Поэтому их необходимо назна-
чать, исходя из конструктивных соображений, условий транспорти-
рования, изготовления и др. Таким образом, задачу можно свести
к отысканию одной переменной г, определяющей оптимальный про-
ект конструкции. При этом для каждого значения г можно постро-
ить и соответствующую оптимальную эпюру армирования.
2. Рама лри постоянной нагрузке,
рассчитываемая по прочности
(формулировка задачи)
Задачу оптимального проектирования статически неопределимых
рам можно свести к линейной подобно тому, как это сделано для
неразрезных балок (см. главу 2). При этом стоимость элементов ра-
мы принимается пропорциональной предельным моментам /Ио. Как
уже было указано, такой подход требует принятия некоторых упро-
щающих предположений. Поэтому рассмотрим подход, основанный
на использовании условия равнопрочности. Сечения элементов ра-
мы заданы, надо определить оптимальную эпюру армирования ра-
мы. Критерий оптимальности (1.3) будет в этом случае выражать
общий расход арматуры.
В применении к статически неопределимой стержневой системе
типа рамы поле усилий можно определить заданной системой на-
грузок и узловыми изгибающими моментами. Поскольку известно,
что перераспределения усилий в системе можно добиться измене-
нием узловых моментов, эти моменты следует принять за варьиру-
емые переменные задачи. Будем считать, что заданы геометрическая
схема конструкции, форма поперечного сечения стержней и расчет-
ное сопротивление арматуры. Примем также, что горизонтальная
ийгрузка приложена в уровне ригелей рамы в узлах, а вертикаль-
ная нагрузка — на ригелях.
Пусть мы рассматриваем п раз статически неопределимую раму.
Зададимся значениями усилий в лишних связях, например, момен-
41
тами в п узлах Mt (t = 1, 2, 3.п). Это означает выбор одной из
возможных основных систем для отыскания статически допустимых
полей внутренних сил. Действительно, задавшись величинами п уз-
ловых моментов, мы вправе исходную конструкцию рассматривать
как статически определимую, нагруженную заданной системой на-
грузок и моментами Mit а в статически определимой системе нагруз-
ка полностью определяет поле усилий. Зная усилия в каждом сече-
нии и форму поперечного сечения, через условие равнопрочности
можно перейти к площади поперечного сечения и расходу армату-
ры V. Распределение арматуры объемом V, соответствующее ка-
кому-либо допустимому полю усилий, будем называть допустимым
распределением. Поскольку известно, что предельной нагрузке мо-
жет соответствовать несколько статически допустимых полей, то
в равнопрочной конструкции ей соответствует и несколько допусти-
мых распределений арматуры; однако обратное утверждение не-
верно. Можно показать, что при заданной величине внешней нагруз-
ки допустимому распределению арматуры объемом V в равнопроч-
ной конструкции соответствует единственное статически допустимое
поле усилий. Для доказательства зададимся статически допусти-
мым полем усилий М*. Этому полю соответствует допустимое рас-
пределение арматуры V*. Поскольку равнопрочная конструкция в
предельном состоянии представляет собой кинематическую цепь,
то ее несущая способность точно равна заданной нагрузке и перерас-
пределение усилий в ней невозможно. Следовательно, при допусти-
мом распределении материала V* конструкция не может воспринять
другого поля усилий, кроме Mf, при заданной величине внешней
нагрузки. Если теперь проварьировать значения моментов в лиш-
них связях Mi, то можно получить такое статически допустимое поле
усилий, при котором расход арматуры на всю конструкцию был бы
минимальным.
Математическую модель задачи оптимального проектирования
можно представить в следующем виде. Найти такие Mi(i = 1, 2,
..., п), чтобы оптимизировать общий объем арматуры
V= 1>Й(МЙ, Мй)
k= i
(3 2)
(где Vk = /айД/й — объем арматуры, отнесенный к сечению й;
Д/й — длина элемента, отнесенная к сечению k\ t — количество всех
сечений конструкции; Mk — изгибающий момент в k-ы. сечении;
Nk — продольная сила в &-м сечении) и удовлетворить ограничения
ФЙ(Л1Й, Мй)^0;
п
Мк- 3Ф/(Л1г) = 0;
i= 1
(3-3)
п
Nh- ф<(Л1<) = 0.
I
42
Расход арматуры (3.2) определяется из следующих соотноше-
ний. Для ригелей прямоугольного сечения
с bh Ra I < i / < 2 21Mk | \ /q л \
/й = — I I/ Л°/г----7 г, " / > (3-4)
Ла \ г f
где hOh — рабочая высота элемента в сечении k\ Ьк — ширина k-ro
сечения; 7?и — расчетное сопротивление бетона изгибу; Ra — рас-
четное сопротивление арматуры растяжению.
Для стоек прямоугольного сечения при первом случае внецен-
тренного сжатия
/ай =-----5---Г| Mh | — Nk + —------1 ; (3.5)
Ra (hok-a'k) L 2 26ft/?„ J V
при втором случае внецентренного сжатия
/ай = р <h 1 п'к\ Р I -°’4Mo% RB + ^(4--ah} 1. (3.6)
—ak) \ z /J
Первое ограничение (3.3) — ограничение на прочность в сжато-
изогнутых элементах рамы. В первом случае внецентренного сжа-
тия для прямоугольных элементов это ограничение имеет вид:
Mh + Nhh-^-Nkh~fakRah0 +
+ Rac fak а'+(Ra fah ~ gac/aj0 (3 7)
2/?и b
Во втором случае внецентренного сжатия
Mh + Nh - Rac fak (h0 - а) - Ao макс Яи bhl C 0. (3.8)
Для случая изгиба из (3.7), если принять Nk = 0, получается
ограничение
Mh-fah Ra h0 + Rac f'ka' + o. (3.9)
/ли b
Второе ограничение системы (3.3) представляет собой ограни-
чение высоты сжатой зоны бетона и записывается так:
f fakRac Л habilR„ Л /Q 1А\
/ай Л0макс D 5=; О.
Ка ^<а
В выражениях (3.8) и (3.10) ЛОмакс — величина, зависящая от
марки бетона.
Третье и четвертое ограничения — это уравнения равновесия,
так как они выражают усилия в сечении в зависимости от лишних
неизвестных и нагрузок.
43
Сформулированная таким образом задача является нелинейной,
но выпуклой задачей математического программирования, что су-
щественно упрощает ее решение. Это подтверждается следующим.
На поперечное сечение элемента в общем случае действуют про-
дольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М. Как
правило, поперечную силу воспринимают бетон, поперечная и ото-
гнутая арматура. Поэтому прочность сечения можно рассматри-
вать только в зависимости от силы N и момента М.
Рис. 12. Изолинии расхода арматуры в балке в зависимости от опорных мо-
ментов Mi и М2
а — при армировании из условия равнопрочности; б — при армировании тремя стержня-
ми по максимальным моментам. Штриховкой обозначена допустимая область
Из ограничений (3.7) — (3.10) видно, что при фиксированных
М и N прочность сечений зависит от величин b, h0, fa и f'a.
Как показал анализ1, проведенный В. Г. Назаренко, ограниче-
ния типа (3.7) выпуклы при заданном h0.
Анализ условия (3.8) показывает, что при заданном h0 это огра-
ничение является линейной функцией М, N, b и fa. Также линей-
но и условие (3.10). В (3.3) два последних ограничения представля-
ют собой линейные уравнения равновесия для Mt, что не нарушает
1 В. Г. Назаренко. Использование метода выпуклого програм-
мирования при проектировании железобетонных балок и рам. «Строитель-
ная механика и расчет сооружений», 1970, № 3.
44
выпуклости ограничений. Целевая функция задачи (3.2) выпукла,
так как представляет собой выпуклый многогранник, длины ребер
которого стремятся к нулю при числе сечений t, стремящемся к бес-
конечности. Следовательно, рассмотренная задача относится к клас-
су выпуклых задач математического программирования. Графиче-
ски вид целевой функции в линиях уровня для ригеля, нагруженного
равномерно распределенной нагрузкой, а также ограничения (3.10)
представлены на рис. 12 при различном армировании.
Рис. 13. Схема рамы, нагрузки и эпю-
ра моментов в оптимальном проекте
армирования
В качестве примера оптимизации была рассчитана рама, пред-
ставленная на рис. 13. Материалы: бетон марки 200, арматура клас-
са А-П. Ширина элементов рамы 20 см, высота сечений стоек 30см,
ригелей — 40 см. Расход арматуры подсчитывали следующим об-
разом: по ригелям — из условия равнопрочности, а в стойках бы-
ло принято симметричное армирование, постоянное по длине. Об-
щий расход арматуры составил 36 500 сдх3.
В качестве метода решения задачи выпуклого программирова-
ния в данном случае был принят метод градиентного спуска с не-
которой модификацией.
3. Рамы с постоянной и временной нагрузками,
рассчитываемые по прочности
Пусть п раз статически неопределимая конструкция находится
под действием постоянной нагрузки G и системы временных нагру-
зок Р. Требуется так запроектировать конструкцию, чтобы она не
разрушилась ни при каком сочетании нагрузок и чтобы расход ар-
матуры при этом был минимальным.
Точное решение такой задачи основывается на следующем.
Предположим, что нам известны все комбинации постоянных и
временных нагрузок. Тогда исходную конструкцию можно рассма-
тривать как множество конструкций, каждая из которых подвер-
жена действию постоянной нагрузки и одной из комбинаций вре-
менной нагрузки. Примем для каждой такой /-Й системы одну ОС-
45
новную систему, определяемую лишними неизвестными Мц. Если
задаться усилиями в отброшенных связях для всего множества кон-
струкций, то для каждой из них можно получить статически до-
пустимое поле усилий.
Наложив эти поля друг на друга, получим огибающее поле уси-
лий, которое характеризуется тем, что при любом сочетании нагру-
зок всегда найдется статически допустимое поле усилий в кон-
струкции, и, следовательно, конструкция не разрушится (это сле-
дует из построения полей). Число переменных в такой задаче рав-
но произведению п X т, где п — степень статической неопреде-
лимости; т — число различных комбинаций нагрузок.
Запишем математическую модель задали. Найти такие =
= 1, 2, 3, ...,«;/ = 1, 2, 3, ..., m), чтобы минимизовать объем арма-
туры
v = S (з.и)
k= i
где Fah = max/aft(Mfij, Nhj)', j— номер комбинации-нагрузок;
{/}
Mkj, Nhj— изгибающий момент и продольная сила в сечении k при
действии /-й комбинации нагрузок, и выполнялись ограничения
(3.2) для каждой /-й комбинации нагрузок.
Можно показать, что эта задача также относится к классу вы-
пуклых задач. Отметим, что полученная в результате расчета по
модели (3.11) конструкция является равнопрочной в том смысле, что
каждое сечение, хотя бы при одном из сочетаний нагрузок, оказы-
вается в предельном состоянии. Описанный подход к задаче в пре-
делах метода является точным. Однако он обладает одним сущест-
венным недостатком, препятствующим его реализации. Дело в том,
что число сочетаний нагрузок т для реальной конструкции может
быть огромным, что приводит к большой размерности задачи. Пони-
жение размерности может быть достигнуто тем, что по известным
правилам можно рассматривать только так называемые «опасные
сочетания» нагрузок. Но в этом случае нет гарантии, что не бу-
дет пропущено какое-нибудь опасное сочетание. Ниже рассмотрены
два метода решения задачи, каждый из которых имеет свою область
эффективного приложения.
а) Метод спуска в пространстве лишних неизвестных. Рассмо-
трим метод, который не гарантирует получение глобального эк-
стремума, но который гарантирует получение прочной конструкции
и резко снижает размерность задачи.
Пусть имеется п раз статически неопределимая конструкция
с заданной геометрией, приведенная к дискретной расчетной схеме.
На конструкцию действует постоянная нагрузка, и система времен-
ных нагрузок такая, что каждая компонента нагрузки Р удовлетво-
ряет условию Р~ <Р < Р+. Таким образом, нагрузка Р в процессе
эксплуатации может принимать любое значение в заданных преде-
46
лах. Требуется так запроектировать конструкцию, чтобы она не
разрушилась ни при каком сочетании нагрузок и чтобы расход арма-
туры был минимальным.
Назначим произвольно усилия в п отброшенных связях М{. Та-
ким образом мы превратим систему в статически определимую. Вы-
числим усилия в конструкции от совместного действия нагрузок
G, Р+, М. Это сочетание соответствует случаю, когда на конструк-
цию действуют все максимальные временные нагрузки. Назовем это
сочетание нагрузок максимальным, а соответствующее ему по-
ле обозначим через М+. Затем получим поле усилий от действия сис-
темы нагрузок G, Р~, М. Это соответствует одновременному дей-
ствию постоянной и всех минимальных временных нагрузок. На-
зовем это сочетание минимальным и обозначим соответствующее
поле усилий через М~. С помощью полей М+ и М~ можно получить
огибающее поле М для участков с однозначной эпюрой моментов по
правилу
Alft = max{|W|, (Al* |), (3.12)
где Mk — момент в сечении k.
Если теперь запроектировать конструкцию согласно огибающей
Mh, получим распределение арматуры объемом V. Это распреде-
ление назовем допустимым, так как для любого сочетания нагрузок
возможно статически допустимое поле усилий. Полученная кон-
струкция также обладает свойствами равнопрочности в том виде,
в каком это условие было определено ранее для случая действия вре-
менных нагрузок. Таким образом мы можем получить некоторую
прочную конструкцию. Однако вектор был принят произволь-
но. Если теперь проварьировать его, можно получить конструкцию
с минимальным расходом материала. Математическая модель этой
задачи отличается от приведенной выше тем, что минимум веса бе-
рется не по множеству комбинаций нагрузок, а по множеству лиш-
них неизвестных.
Сравним рассмотренные постановки. При точном решении спуск
осуществляется в пространстве п X т переменных, причем т мо-
жет быть очень большим числом. При приближенном решении
спуск осуществляется в пространстве п переменных. На каждом
шаге спуска в первом случае для построения огибающей требуется
рассчитать статически определимую раму т раз, во втором — два
раза. Хотя приближенный метод не гарантирует получение гло-
бального экстремума, бывают случаи, когда последнее несущест-
венно. Например, когда на варьируемые переменные Mt наклады-
ваются жесткие ограничения по величине, скажем, ограничения,
накладываемые СНиП на предельный момент в железобетонном из-
гибаемом стержне из условия ограничения высоты сжатой зоны бе-
тона. Это подтверждает решение примера. Рассчитывалась такая
47
же рама, как и в п. 2. Расчет производили в точной и приближенной
постановках. На рис. 14 представлены схема рамы, нагрузки и раз-
меры поперечных сечений. Из урловий унификации было принято,
что крайние стойки армируются одинаково, на каждом этаже, а ри-
гели могут быть взаимозаменяемы поворотом вокруг центральной
Рис. 14. Схема рамы, нагрузки
и размеры поперечных сече-
нии элементов
стойки. При этих предположениях число возможных комбинаций
нагрузок составляет т = 6 (рис. 15). Рама 12 раз статически не
определима, так что при точном решении число переменных задачи
составит 72, а при приближенном — всего 12. Места приложения уси-
лий Mt показаны на рис. 14. Задача решалась с помощью ЭВМ
«Минск-22» тем же методом спуска, что и ранее. Результаты точно-
го решения в виде эпюр моментов для всех комбинаций нагрузок
представлены на рис. 15. Огибающая эпюра моментов показана на
рис. 16. Расход арматуры составил 42 000 см3. Решение приближен-
ным методом дало такой же результат. Это подтверждает вывод
о том, что при жестких ограничениях на величины предельных
моментов можно получать точное решение приближенным методом.
Как видно из сравнения этого результата с расчетом той же рамы,
при действии только максимальных нагрузок (см. рис. 13) разница
в расходе арматуры довольно значительная.
б) Применение теории игр. К задаче оптимального проектиро-
вания рам при действии временных нагрузок, меняющихся в пре-
делах
(3.13)
возможен иной подход. Если учесть, что целевая функция С за-
висит от моментов и действующих нагрузок, то ее можно записать
в виде:
с= %ch(Mh, ps), ses, (3.14)
k 6 k
48
где S — множество нагрузок, которые могут изменяться независи-
мо одна от другой. Помимо оптимальности по Мк, требуется, чтобы
конструкция не разрушилась при любых нагрузках, в том числе
и при самых невыгодных. Тогда задача оптимизации сводится к удов-
летворению условия
С = min шахс(М/, Prs) (3.15)
И {ря
Рис. 15. Эпюры моментов в оптимальной раме для каждой
комбинации нагрузок
49
при выполнении для каждой s-й нагрузки всей системы ограничений.
Здесь М\ — момент в i-м сечении при действии r-го сочетания пере-
менных нагрузок; Ps—удовлетворяют условию (3.13); г— 1, 2, ..., R,
где R — число унифицированных марок элементов конструкции,
не обязательно равное числу стержней.
Если рассматривать эту задачу как игру между предельными
моментами Ml и внешними силами Р8, в которой первые стараются
Рис. 16. Огибающая эпюра моментов в оп-
тимальном проекте при действии системы
постоянных и временных нагрузок
снизить значение целевой функции С, а вторые — повысить его,
то можно считать, что партнер Ml имеет в этой игре один ход, а
нагрузки Ps имеют/? ходов, которые они используют для разруше-
ния элементов всех R марок по очереди. Здесь, предполагая худшее,
мы наделяем нагрузки «злым умыслом», которого они, конечно, ли-
шены. Однако только такой подход позволяет учесть все опасные
сочетания нагрузок.
4. Рамы, рассчитываемые по всем предельным состояниям
(формулировка задачи)
В этой главе рассматривались ограничения только по условиям
прочности и решение задачи основывалось на статической теореме
предельного равновесия. Однако совершенно очевидно, что кон-
струкция, оптимальным образом запроектированная, по первому
предельному состоянию может не отвечать требованиям других
предельных состояний. Например, прочная конструкция может не
отвечать требованиям по деформативности и ширине раскрытия тре-
щин. В то же время для большинства конструкций требуется про-
изводить расчет по двум или трем предельным состояниям. Поэтому
при решении задачи оптимального проектирования правомерными
являются попытки одновременно учесть все предъявляемые к кон-
струкции требования. Расчет по эксплуатационной стадии основы-
вался ранее на гипотезе об упругой работе железобетона, однако
практика показала, что уже в эксплуатационной стадии происходит
перераспределение усилий вследствие изменения жесткостей се-
чений. Изменение жесткости в конструкции обусловливается как
неупругими свойствами бетона сжатой зоны, так и образованием
50
трещин в растянутых зонах элементов конструкции. Методика расче-
та с учетом этих явлений развита в работах С. М. Крылова1. Идея
состоит в использовании метода последовательных приближений,
когда физически нелинейная задача на каждом приближении решает-
ся как линейная. Например, исходя из упругого решения рассчи-
тываем жесткости в сечениях, затем рассматриваем эту конструкцию
как систему стержней с переменной жесткостью и снова ищем поле
усилий и т. д. до выполнения какого-то критерия сходимости. Одна-
ко расчет в эксплуатационной стадии производился только как по-
верочный при заданной нагрузке и заданных характеристиках кон-
струкции. Методы оптимального проектирования в настоящее время
только разрабатываются. При формулировании задачи оптималь-
ного проектирования с учетом требований прочности, деформа-
тивности и трещиностойкости встречаются два основных затруд-
нения. Первое затруднение связано с тем, что при расчете по пер-
вому предельному состоянию расчет ведется по расчетным значе-
ниям нагрузок и расчетным характеристикам материалов, а при рас-
чете по эксплуатационной стадии — по нормативным нагрузкам
и нормативным характеристикам материалов. Второе затруднение
связано с техникой решения задач. Параметрами проектирования
при расчете по первому предельному состоянию являются усилия
в лишних неизвестных, и их значения получаются из решения стати-
ческой задачи предельного равновесия, т. е. мы получаем при этом
статически допустимое поле, усилий, а не действительное. При рас-
чете по эксплуатационной стадии ищется также поле усилий, но
уже действительное. Связать эти два поля усилий не представляется
возможным. Поэтому необходимо было перейти к новым переменным
проектирования, которые могли бы связать эти поля. Такими пе-
ременными при заданной опалубке элементов могут служить пло-
щади поперечного сечения арматуры Ft. Тогда задачу оптимального
проектирования можно сформулировать следующим образом2. Най-
ти такие Fk, k^K, чтобы выполнялись ограничения:
Фх(/Ч, Рр)<0; (3.16)
ФД^РрХО; (3.17)
Ф3(ГЙ, Р„) <0; (3.18)
(3.19)
1 С. М. Крылов, А. И. К о з а ч е в с к и й. Применение ЭВМ для
расчета сложных стержневых систем с учетом неупругих свойств железобе-
тона. «Бетон и железобетон», 1966, № 1.
2 В. Г. Назаренко, Л. И. Ярин. Оптимальное проектирование
стержневых железобетонных конструкций с учетом трех предельных состоя-
ний. ЦИНИС. — В реферат, сб.: Межотраслевые вопросы стр-ва. Отечест-
венный опыт, № 12, М., 1970.
51
и расход арматуры был минимальным:
V = S Fh (х) Ах,
k Р‘К
(3.20)
где /с — множество всех сечений конструкции; Рр — система рас-
четных нагрузок; Рн — система нормативных нагрузок. Кроме того,
должны выполняться уравнения равновесия, а в эксплуатационной
стадии еще и условия совместности деформаций.
Ограничения (3.16) являются ограничениями по прочности,
(3.17) ограничивают высоту сжатой зоны бетона, (3.18) ограничи-
вают перемещение в заданных точках и (3.19) — ширину раскры-
тия трещин. Ограничения по прочности подробно рассмотрены вы-
ше, поэтому мы здесь на них не останавливаемся.
Рис. 17. Портальная рама
Рис. 18. Изолинии ограничений
а— прогиб в центре ригеля; б — ширина рас*
крытия трещины на правой опоре ригеля
Исследуем далее ограничения по перемещениям и ширине рас-
крытия трещин. Ясно, что, пользуясь соотношениями СНиП, нель-
зя получить аналитический вид ограничений (3.18) и (3.19) в зави-
симости от принятых переменных проектирования. Следовательно,
необходимо разработать какой-либо приближенный метод получе-
ния этих ограничений. Для этого произвели численное исследо-
вание этих ограничений на простом примере.
В качестве модели исследования приняли трижды статически
неопределимую портальную раму, нагруженную по ригелю верти-
кальной равномерно распределенной нагрузкой и горизонтальной
силой в уровне ригеля (рис. 17). Поперечные сечения ригеля и стоек
прямоугольные. Армирование симметричное, причем в обеих стой-
ках площадь поперечного сечения арматуры одинаковая.
Таким образом, основными переменными проектирования явля-
ются две переменные: Fp — площадь сечения арматуры ригеля и
Fc — площадь сечения арматуры стойки. В пространстве этих двух
переменных необходимо получить поверхности ограничений на пе-
ремещения и ширину раскрытия трещин в характерных точках ра-
мы. В качестве перемещений рассматривали вертикальный про-
52
гиб в центре ригеля и горизонтальное смещение верха стоек по на-
правлению действия горизонтальной сосредоточенной силы. Ширину
раскрытия трещин определяли в месте максимального момента в про-
лете ригеля, в опорных сечениях ригеля, а также в сечениях по кон-
цам обеих колонн.
Перемещения и ширину раскрытия трещин вычисляли следующим
образом. При заданной нагрузке и каких-либо значениях армиро-
вания Fp и Fc производили статический расчет рамы с учетом изме-
нения жесткостей. В результате этого расчета (методом последова-
тельных приближений) получали поле усилий в раме, по которому
вычисляли перемещения и ширину раскрытия трещин в характер-
ных точках рамы. Затем расчет производили при других значениях
переменных Fp и Fc. Полученные результаты обрабатывали и после
достаточного количества таких вычислений строили линии одинако-
вых деформаций и ширины раскрытия трещин в характерных точ-
ках, или иначе — изолинии ограничений по второму и третьему пре-
дельному состоянию. Дальше для краткости будем просто употреб-
лять термин «изолинии». Вид изолиний представлен на рис. 18 и 19.
Как видно из рисунков, изолинии близки к прямым, а поверхности
обладают следующими свойствами: при Fp и Fc, стремящихся
к бесконечности, величина деформации убывает и стремится к неко-
торому пределу. Физически этот предел представляет собой дефор-
мацию в конструкции при наибольших жесткостях, возможных для
железобетонных сечений при данных размерах поперечного сече-
ния элементов. При этом ширина раскрытия трещин во всех сече-
ниях стремится к нулю. При Fp и Fc, стремящихся к нулю, величи-
ны деформаций и ширина раскрытия трещин стремятся к бесконеч-
ности. Характерный разрез одной из поверхностей ограничений по-
казан на рис. 19. Как показывают расчеты, поверхности ограниче-
ний можно довольно точно аппроксимировать линейчатыми поверх-
ностями в виде гиперболических цилиндров, уравнение которых
имеет вид:
mkp fp+^fec fc
(3.21)
53
где ткс и ftifep — направляющие косинусы углов между нормалью
к образующей цилиндра и осями Fp и Г с; ак и Ьк — константы;
кроме того, требуется соблюдение условия
m^p + m|c=l. (3.22)
Для любого количества поверхностей ограничений при их ап-
проксимации неизвестными являются bh, ткр и ткс. Следо-
вательно, необходимо иметь некоторое количество значений z'k,
рассчитанных при различных значениях Fv и Fс. В данном примере
необходимо рассчитать раму при трех, различных значениях
Fp и Fc и вычислить при каждом расчете все величины огра-
ничений zft. После этого, чтобы получить уравнения поверхностей,
необходимо для каждой поверхности решить систему уравнений
(3.21) и (3.22) относительно ak, bh, mhp и ткс.
Имея уравнение поверхностей ограничений, можно наложить
ограничения на переменные проектирования Г а, задавшись норми-
руемыми величинами перемещений и ширины раскрытия трещин.
При заданных гк и известных mkp, ткс, ah и bh из (3.21) получим:
(zft—bh)mkpFp + (zk — bh)mhc Fc—ak > 0. (3.23)
Другими словами, мы получим столько ограничений типа (3.23),
сколько ограничений на перемещения и ширину раскрытия трещин
наложено в характерных точках рамы. Так как аппроксимирующая
поверхность является линейчатой, то при заданной предельной
величине деформации или ширины раскрытия трещин мы получили
линейные ограничения относите'льно переменных проектирования.
Это ограничения и будут ограничениями (3.18) и (3.19).
Ограничения (3.16) — (3.19) образуют область возможных сос-
тояний конструкции, отвечающей требованиям прочности, жестко-
сти и ширины раскрытия трещин в пространстве переменных Fp и
Fc. Графически ограничения по прочности представлены на рис. 20
в виде изолиний несущей способности. На рис. 21 представлена бо-
лее полная система ограничений для случая Р — 1,5. Ломаная
ACD представляет собой изолинию несущей способности при Рр =
= 1,5 тс. По этой линии выше точки А реализуется балочный ме-
ханизм разрушения ригеля с шарнирами в пролете на опорах ри-
геля. На участке АС реализуется механизм с шарнирами в пролете
ригеля и в верхних узлах колонн. На участке CD шарниры образу-
ются в пролете ригеля, в верхнем и нижнем узлах правой стойки и
в нижнем узле левой стойки. По горизонтальной линии правее точ-
ки/) реализуется механизм с шарнирами в верхних и нижних узлах
стоек (этажный механизм). В точках А, С uD реализуются соответ-
ствующие смешанные механизмы. Рассматривая уравнения работ
на возможных перемещениях в соответствующих механизмах, мож-
но получить уравнение участков ломаной ACD. Линия EF —
изолиния прогибов в центре ригеля; LM — изолиния горизонталь-
ного смещения верха колонны рамы; GH — изолиния ширины рас-
54
крытия трещин на правой опоре ригеля; линии GN и NM ограничи-
вают максимальное армирование ригеля и стойки. Пересечение
этих ограничений образует выпуклый многогранник GPQBMN, ко-
торый является областью возможных состояний конструкции в про-
странстве переменных Fp и Fc. На этом же рисунке показаны изоли-
нии целевой функции задачи. Любая точка в области возможных
состояний и на границе области даст нам допустимый проект. Но
только проект, соответствующий точке В, даст при этом минималь-
ный расход арматуры. Данный пример рассчитывается для следую-
Рис. 20. Изолинии несу-
щей способности пор-
тальной рамы. Пунктир-
ные линии отделяют об-
ласти с различными схе-
мами образования пла-
стических шарниров
щих характеристик рамы: ригель 60 X 30 см, колонны 30 X 30 см,
Р» = 1,5 тс, Ps = 1,2 тс. Равномерно распределенная нагруз-
ка на ригель qp = 75 кгс/см, qn = 60 кгйсм.
Полученная задача представляет собой задачу выпуклого про-
граммирования. Однако в данном случае возможна ее линеариза-
ция благодаря постоянному плечу внутренней пары сил в сечениях
55
с симметричным армированием. В рассматриваемом примере целе-
вая функция линейна и имеет вид:
V = 4FCH + 2FP/. (3.24)
Ограничения линейны или сведены к линейным. Таким образом,
задача может быть сведена к задаче линейного программирования.
Все же поверхность допустимых значений области не является стро-
го линейчатой, поэтому более точно задачу можно решить методом
последовательных приближений, аппроксимируя ограничивающие
поверхности в окрестностях точек полученного решения. Такой про-
цесс сходится в силу выпуклости задачи. В рассматриваемой раме
ограничения на переменные проектирования F с и Fp получали из
условия ограничения ширины раскрытия трещины на правой опо-
ре ригеля, прогиба в центре ригеля и смещения верха колонн. Эти
ограничения уточняли от итерации к итерации, тогда как ограни-
чения по прочности оставляли неизменными. Для решения при-
мера составили программу на АЛГОЛе и реализовали ее на ЭВМ
«Минск-22». Программа работала следующим образом. При задан-
ных армировании (Fp и Fc), нормативных значениях нагрузки и
нормативных характеристиках материалов методом последователь-
ных приближений вычисляли моменты в раме, прогибы и ширину
раскрытия трещин в заданных точках. Такие же расчеты производи-
ли для армирования Fp, Fc + AF и Fc, FP+AF. Имея величины де-
формаций и ширину раскрытия трещин в трех точках пространства
Fc, Fp, вычисляли коэффициенты в аппроксимирующих уравнениях
поверхностей ограничений. Задаваясь нормируемыми ограничени-
ями (ширина раскрытия трещины на правой опоре ригеля at =
= 0,02 см, прогиб в центре /1 = 3 см, боковое смещение /2 = 5 см),
по соотношениям (3.23) получали ограничения на переменные Fp и
Fc. Эти ограничения вместе с ограничениями по прочности составля-
ли матрицу задачи симплекс-метода линейного программирования.
Из решения задачи получали оптимальные значения Fc и Fp, а за-
тем в окрестности этой точки.уточняли аппроксимирующие уравне-
ния поверхностей. Процесс начали сточки Fp = 20cm2,Fc = 14 см2.
При этом Д = 0,315 см, - 3,12 см, at = 0,014 см. После реше-
ния задачи линейного программирования получили значения Fp =
= 21,5 см2, Fc = 6,07 см2, = 0,32 см, f2 = 5,13 см, at =
= 0,013 см. Вторая итерация дала следующий результат: Fp =
= 20,07 см2, Fc = 6,408 см2, ^ — 0,33 см, /2 = 5 см, at = 0,0144 см.
Процесс сошелся на третьей итерации с результатом Fp = 20,07 см2,
Fc = 6,407 см2. Из анализа решения задачи следует, что по
условиям прочности выполнились ограничения, соответствующие
балочному механизму разрушения ригеля (шарнир в пролете и
по верху колонн), а по деформациям определяющим оказалось бо-
ковое смещение рамы. Таким образом, проведенный численный эк-
сперимент показал сходимость процесса последовательных прибли-
56
жений и возможность применения данного подхода к задачам опти-
мального проектирования железобетонных рам с учетом требований
по всем трем предельным состояниям.
5. Рамы, проектируемые по всем предельным состояниям
(методы расчета)
Численный эксперимент по описанию ограничений второго и
третьего предельных состояний позволяет перейти к более сложным
по геометрической схеме рамам. Предыдущая задача решалась
в пространстве двух переменных, что позволило привести наглядную
геометрическую интерпретацию ограничений задачи. Малая раз-
мерность пространства проектирования позволила аналитически
найти коэффициенты аппроксимирующих поверхностей ограниче-
ний. При переходе к более сложным системам требуется рассмо-
треть методы аппроксимации и проверить сходимость метода по-
следовательных приближений. Кроме того, необходимо решить воп-
рос об армировании ригелей, так как размерность задачи зависит
в большой степени от принятой схемы армирования. Разумно при-
нять следующую схему армирования. Опорные зоны ригелей снаб-
жают верхней арматурой от края до нулевой точки огибающей эпю-
ры моментов, а средние зоны между нулевыми точками огибающей
эпюры моментов имеют нижнюю арматуру постоянного сечения.
Огибающую эпюру строят наложением полей моментов в предель-
ном состоянии и в эксплуатационной стадии.
Как было показано ранее, поставленная задача является зада-
чей выпуклого программирования. Однако, поскольку решать за-
дачу предполагается методом последовательных приближений, есть
возможность свести задачу к задаче линейного программирова-
ния. Для этого необходимо на каждой итерации использовать ре-
шение из предыдущей итерации для получения следующих вели-
чин: плеча внутренней пары сил в характерных точках, мест мак-
симальных моментов в ригелях и величин продольных сил в стой-
ках. Эти значения далее уточняют от итерации к итерации. В про-
цессе последовательных приближений уточняют также целевую
функцию задачи, так как длину участков армирования ригелей уточ-
няют на каждой итерации. Схема рассматриваемой рамы, нумера-
ция опасных сечений рамы и нагрузки приведены на рис. 22. Ригели
и колонны будем нумеровать по этажам слева направо, начиная
с верхнего этажа. Число характерных точек рамы, в которых необ-
ходимо проверить условие прочности, т = 24. На рис. 23, а приве-
дена схема армирования рамы. Из соображений унификации приня-
ты взаимозаменяемые по этажам стойки и ригели, т. е. прилежащие
и противолежащие к стойкам концы ригелей, их пролеты и край-
ние колонны на этаже армируют одинаково. Степень статической
неопределимости рамы п = 12. Следовательно, необходимо оста-
вить т—п = 12 уравнений равновесия рамы и наложить ограниче-
ния по прочности в 24 характерных точках.
57
Запишем уравнения равновесия для приведенной рамы. Урав-
нения равновесия ригелей:
— М1Н М9 4 —l-G о = 0;
Х1 Xi (/ — Xi) l — Xi 2 2
— М3- р ,! л0- ^-G4 = 0;
*2 х2 (Z —х2) / —х2 2 (3.25)

7—-Ми- — м. -G.=Q-
*3 х3(1—х3) 1 — х. 2
—м7- Ь Л112- {—— м9 ^-G6 = 0.
х4 х4 (1 — Х&) l — xt 2 °
Рис. 22. Схема, нагрузки и опасные сечения
двухэтажной двухпролетной рамы
Рис. 23. Схема рамы
а — армирование; б — места действия ограниче-
ний по второму и третьему предельным состоя-
ниям (/—6 — по перемещениям, 1—2Q — по шири,
ие раскрытия трещин)
Здесь xt — расстояние от левой опоры ригеля до места максималь-
ного момента.
Уравнения равновесия узлов:
=0;
М15-М4 = 0;
М2-М3-М14 = 0;
Al5 М1в Л119 = 0;
Л16—М7—М17 —М20 = 0;
М-М18-М21 = 0.
(3.26)
58
(3.27)
Уравнения равновесия этажей:
—^1в—+ -Mi? -J- Л114 + М18 + М4 — Gi Н2 = 0;
^22---^19 4" ^23 4~ ^20 + М24 + М21-(G4 + G2) Н1=0.
Условия прочности для характерных точек ригелей принимают
как для прямоугольных сечений с одиночным армированием в виде
(3.7). Перепишем их в более удобном виде:
FiZiRa-Mi^O, (3.28)
где Fi — искомая арматура в i-м сечении; ML — изгибающий
момент в i-м сечении; zt — плечо внутренней пары сил, опреде-
ляемое по результатам предыдущей итерации:
гг = 0,5 (ао+ 1/ hl—). (3.29)
Ограничения на усилия в сечениях колонн соответственно при-
мут вид ограничений (3.6) и (3.7), в которых величины продольных
усилий определены по результатам счета на предыдущей итерации.
Кроме этих ограничений, необходимо включить еще ограничения
конструктивного характера, к которым относятся ограничения на
процент армирования в стойках и ограничения на величину изги-
бающего момента в ригелях
| |< 0,Ш2 /?и. (3.30)
Система ограничений по первому предельному состоянию и урав-
нения равновесия составят матрицу задачи линейного программи-
рования. Для данного примера размер задачи линейного програм-
мирования только по условиям прочности составляет п = 32, т —
= 75.
Как было показано ранее, поверхности ограничений по второму
и третьему предельным состояниям можно аппроксимировать линей-
чатыми поверхностями в виде гиперболических цилиндров. В дан-
ной задаче размерность $ = 10. Для многомерного случая аппрокси-
мирующие поверхности будут гиперболическими гиперцилиндрами,
и их уравнение может быть представлено в виде
= ----+ bk, (3.31)
2 m‘kFi
i= 1
причем выполняется условие
2^ = 1- (3.32)
i =1
Для каждого вида ограничений здесь неизвестны ah, bh, mtk
(i = 1, 2, ..., s), т. e. s + 2 неизвестных. Следовательно, кроме урав-
59
нения (3.32), необходимо еще s + 1 уравнение типа (3.31). Из этой
системы следует найти параметры аппроксимирующих поверхно-
стей. Так как система нелинейная, при вычислении возникают зна-
чительные трудности. Покажем, что исходя из физических сообра-
жений систему (3.31), (3.32) можно преобразовать в линейную. Из
структуры соотношений (3.31) понятно, что величина являет-
ся асимптотой, к которой стремится величина ограничения zk
при знаменателе, стремящемся к бесконечности. В нашем случае,
если речь идет о ширине раскрытия трещин, значение этой асимпто-
ты — нуль. Если жеай представляет собой перемещение в какой-ли-
бо точке, то bh можно представить как перемещение в этой же точке
при максимально возможном коэффициенте армирования всех се-
чений. По этим соображениям для подсчета всех Ьк следует рассчи-
тать раму с учетом перераспределения жесткостей один раз при
Ft -> оо. Зная bk и вводя новые переменные по правилу mih =
= X/feMfe, перепишем систему (3.31) в виде:
2%гйгг—-Ц- = о. (з.зз)
i = 1 zk
В этой линейной системе неизвестными для каждой поверхности
являются величиных,, число которых s. Таким образом, необходимо
s раз рассчитать статически неопределимую раму с учетом перерас-
пределения усилий для определения коэффициентов всех аппрок-
симирующих поверхностей ограничений при различных значе-
ниях Fi-
В рассматриваемом примере ограничения по второму и третьему
предельным состояниям назначались в точках, отмеченных на рис.
23, б. Ограничивались прогибы в центрах ригелей, сдвиг верхних
узлов каждого этажа и ширина раскрытия трещин на опорах и сере-
дине ригелей (в местах максимальных моментов), а также в стойках.
Вычисление усилий в раме вели методом деформаций. Единичные
реакции для коэффициентов канонических уравнений метода дефор-
маций подсчитывали как реакции стержней с переменными жестко-
стями. Жесткости в сечениях стержней вычисляли по формулам
СНиП П-В. 1-62*, в зависимости от усилий, действующих в се-
чении, и от характеристик сечения. На первой итерации усилия
в сечениях определяли из расчета рамы с упругими стержнями. Для
удобства вычислений использовали следующие формы узловых ре-
акций:
312 (Д2Р— Д) .
----Я----- — Д1Р —Ф

(3.34)
60
где
Смысл обозначений ясен из рис. 24. По полученным на предыдущей
итерации усилиям снова определяли жесткости элементов, вычис-
ляли коэффициенты канонических уравнений и значения лишних не-
известных. Счет продолжали до достижения требуемой точности.
Для увеличения скорости сходимости счета использовали средние
значения лишних неизвестных в текущей и предыдущей итерациях.
Экспериментально установили, что по затратам времени счета при
соблюдении необходимой точности оптимальной оказалась разбив-
ка стержней на 20 участков.
После получения поля усилий вели вычисление перемещений
и ширины раскрытия трещин в заданных точках и формирование
необходимого количества линейных ограничений на перемещения
и ширину раскрытия трещин (20 ограничений).
Для решения применили алгоритм, состоящий из четырех бло-
ков.
I. Блок подготовки исходной информации. В этом блоке обраба-
тывают исходные данные, вычисляют некоторые вспомогательные
величины и записывают информацию на магнитную ленту.
II. Блок деформационного расчета. Здесь вычисляют прогибы
и раскрытие трещин, вектор моментов в эксплуатационной стадии,
а также формируют подматрицу линейных ограничений на перемен-
ные Ft и эту информацию записывают на магнитную ленту.
III. Блок формирования матрицы задачи линейного программи-
рования. В этом блоке по результатам предыдущей итерации вы-
числяют следующие величины: плечо внутренней пары сил в опас-
ных сечениях, места максимальных моментов в ригелях, величины
продольных сил в стойках,, а также нулевые точки эпюры моментов
в предельной и эксплуатационной стадиях для формирования коэф-
фициентов целевой функции. На основе вычисленных величин фор-
мируют матрицу задачи линейного программирования. Сформули-
рованную матрицу записывают на магнитную ленту.
61
&
g 1 1 ^Л'1 i
l]n , l]n, i/n,_ __4^Д;
: 1 i _______
Рис. 24. К вычислению единичных
реакций метода деформаций
а — разбивка на участки; б — обобщенные
усилия н перемещения
IV. Блок решения задачи линейного программирования. Реша-
ют задачу симплекс-методом. Полученное решение сравнивают с пре-
дыдущим. Если разница не превосходит заданной точности, реше-
ние прекращают; в противном случае результаты обрабатывают
и записывают их на магнитную ленту.
Программа, составленная на основе такого алгоритма, работает
в трех режимах: I режим — прочностной расчет; II режим — дефор-
мационный расчет; III режим — комплексный расчет.
Конкретный пример рассчитывали при следующих исходных
данных: G" = Gg = 3,3 тс/м-, G% — Cg = 2,8 тс/м-, Gj =
= 0,8 тс-, G% = 1,2 me; G₽ = Gg = 4 тс/м-, G₽ = Gg = 3,3 тс/м-,
G% = 1 me; Gf = 1,5 me; hh = 30 cm\ hp = 40 cm\ 1=6 m; Hi =
= 3,6 m\ H2 = 3,3 Ra — 180 кгс/см2-, Ra = 2700 кгс/см2-,
7?p = 16 кгс/см2-, Ra = 100 кгс/см2-, Ea=2,l • 106 кгс/см2-, E5 —
= 265 000 кгс/см2-, относительная точность = 0,01. В режиме
прочностного расчета задачу решали при ограничениях только по
первому предельному состоянию. За начальное поле моментов
в предельной стадии принимали поле, когда на опорах ригелей мо-
менты имели величину Л4нач = 0,26 hlRa. Сначала работал блок I,
Ю.9
336
2,79
• S3S
0,36
352

Рис. 25. Поле моментов в предель-
ном состоянии при ограничениях
только по прочности
62
а затем в цикле последовательно блоки III и IV. Процесс сошелся
на четвертой итерации. Целевая функция задачи, т. е. расход арма-
туры из условий прочности, составила 41 435 см3. Оптимальное
поле моментов в предельной стадии в этом случае приведено на
рис. 25. Сходимость остальных величин, характеризующих предель-
ное состояние конструкции, можно проследить по табл. 2. Эти ре-
зультаты позволяют сделать вывод о том, что принятый метод рас-
чета сходится и может быть рекомендован для получения точного
решения задачи оптимального проектирования рам по условиям
прочности.
Была предпринята попытка оптимального проектирования ра-
мы из условия ограниченности только прогибов и ширины раскры-
тия трещин, т. е. только по эксплуатационным требованиям.'Зада-
чу также решали методом последовательных приближений. Програм-
ма работала во втором режиме. Процесс начинали со случайно взя-
тых величин армирования сечений рамы. Затем описанным ранее спо-
собом формировали линейные ограничения на площади сечения арма-
Таблица 2
Результирующие параметры Номер итерации
I II III IV V VI
N, 11,34 11,05 10,9 10,83 10,78 10,76
N2 23,22 23,82 23,87 23,89 23,91 23,91
Продольные усилия Ns 9,23 8,92 9,02 9,07 9,11 9.12
в стойках в тс Nt 20,37 19,61 19,47 19,15 19,28 19,33
N, 46,23 47,68 47,83 48,14 47,99 47,95
Mt 20,8 20,3 20,3 20,31 20,32 20,32
Абсциссы максималь- Xl 283,7 320,2 276,2 329,6 272,6 326,7 270,8 325,2 269,5 324 269 323,6
них моментов в ригелях Х3 273,3 259,5 259,5 259,2 257,8 259,6
в см x.i 310,7 315,6 317,9 319 319,8 320
Плечо внутренней па- Z3 28,63 29,54 29,98 30,19 30,36 30,41
ры сил в ригелях в ме- Ze 28,63 27,75 27,27 27,03 28,35 28,75
стах максимальных мо- Z9 28,63 27,75 27,27 27,03 26,84 26,77
ментов в см Z12 29,42 29,05 28,81 28,77 28,71 28,69
Fi 3,86 1 3,91 3,86 3,83 3,81 3,79
Ft 13,43 14,17 14,6 14,87 15 15,15
F3 13,43 14 14,6 14,87 15 15,15
Fi 7,12 7,13 7,07 7,07 7,07 7,07
Площади сечения ар- Fb 13,43 14,17 14,6 14,87 15 15,15
.матуры в см2 Fe 11,79 12,03 12,19 12,24 12,22 12,29
F-; 2,63 3, 18 3,32 3,37 3,38 3,39
F3 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2
f9 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2
F io 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2
63
туры в сечениях рамы и решали задачу линейного программирова-
ния. Затем ограничения уточняли по полученным результатам и все
повторяли заново. Процесс сошелся на шестой итерации. Такая от-
носительно быстрая сходимость показывает, что принятая аппрокси-
мация удачно описывает действительное деформированное состояние
конструкции. Это подтверждается также тем, что в результате ре-
шения задачи величины деформаций в точках, число которых рав-
но числу варьируемых параметров конструкции, достигают пре-
дельных значений.
Изменение поля моментов в процессе счета и целевой функции
можно проследить по табл. 3. Ширину раскрытия трещин ограни-
чивали величиной 0,3 мм, прогибы ригелей — 2 см, смещение каж-
дого этажа рамы — 1 см. В результате расчета выяснилось, что
в центральных стойках с малым эксцентриситетом рабочей арма-
туры не требуется.
Основной численный эксперимент состоял в расчете по всем трем
предельным состояниям. Этот результат был получен при работе
программы в режиме комплексного расчета, когда сначала работал
блок I, а затем последовательно блоки II, III и IV. После того как
результаты двух соседних итераций не отличались один от другого
больше заданной точности, процесс прекращался. Результаты рас-
чета (процесс сошелся на восьмой итерации) приведены в табл. 4.
Расход арматуры в оптимальном варианте составил 46 760 см3.
Перемещения везде меньше заданных. Ширина раскрытия трещин
равна или меньше заданной. Эпюры моментов для оптимальной ра-
мы в эксплуатационной стадии и в стадии предельного равновесия
Рис. 26. Эпюры моментов в оптимальном проекте рамы
---------в стадии предельного равновесия при действии расчет-
ных нагрузок; ------- в эксплуатационной стадии при действии
нормативных нагрузок
64
Таблица 3
Результирующие параметры Номер итерации
1 1 11 HI IV v 1 VI
5,61 5,97 5,61 5,58 5,62 5,63
12,95 12,17 12,26 12,44 12,51 12,56
Поле опорных момеп- м2л 10,6 10,56 10,51 10,67 10,74 10,79
тов в ригелях в предель- м2 5,38 5,51 5,26 5,13 5,16 5,15
нон стадии по деформа-
циям и ширине раскры- 5,98 5,09 5,15 5,21 5,24 5,25
тия трещин в тс-м 10,6 11,54 11,56 11,59 11,61 11,63
м* 9,69 10,26 10,24 10,31 10,35 10,38
м* 9,53 8,85 8,98 9,03 9,06 9,06
Д1 6,35 1,11 1,57 1,62 1,64 1,64
Прогибы в центре ри- Д2 4,93 0,81 1,19 1,23 1,24 1,25
гелей в см Дз 4,3 0,73 1,05 1,07 1,07 1,07
Д1 5,63 0,96 1,4 1,42 1,43 1,43
Смещение этажей в см Аз А6 0,95 0,79 0,26 0,31 0,34 0,38 0,33 0,38 0,33 0,38 0,33 0,38
а, 6,81 0,11 0,24 0,28 0,29 0,3
а8 14,99 0,08 0,28 0,3 0,31 0,31
«9 5,61 0,09 0,2 0,22 0,24 0,24
аю 6,35 0,12 0,32 0,32 0,31 0,31
Ширина раскрытия aii 5,21 0,09 0,24 0,25 0,26 0,26
трещин в характерных а12 12,25 0,12 0,32 0,32 0,32 0,31
сечениях в мм й13 6,16 0,1 0,28 0,29 0,3 0,3
а14 11,19 0,1 0,32 0,32 0,32 0,31
5,73 0,1 0,31 0,31 0,31 0,31
^16 5,57 0,09 0,28 0,28 0,28 0,28
а19 1,23 0,1 0 0,36 0,34 0,31
Л 11,44 2,84 3,83 4,54 4,62 4,63
F2 25,71 4,31 5,75 6,87 7,02 7,03
F3 16,01 5,77 4,18 4,91 4,97 4,96
Ft 19,34 3,67 4,95 5,92 6,04 6,05
Площадь поперечного f5 20,73 4,92 5,6 6,65 6,78 6,79
сечения арматуры в см2 Fe 15,55 3,79 3,87 4,55 4,63 4,62
Fi 14,43 2,42 3,57 4,31 4,36 4,35
Fs 0 0 0 0 0 0
f9 8,56 1,68 2,44 3,06 3,16 3,17
Flo 0 0 0 0 0 0
Целевая функция в дм2 V 88,72 19,35 22,73 27,27 27,77 27,77
3 Зак. 524
6$
Таблица 4
Результирующие параметры Номер итерации . . . . - — - — -
I II III IV V VI VII VIII
12,65 11,78 11,31 11,07 10,95 10,88 10,35 10,83
„ N. 20,65 22,15 23,27 23,63 23,66 23,73 23,77 23,8
Продольные 10,5 9,87 9,21 9,19 9,18 9,18 9,18 9,16
усилия в стойках у3 23,08 22 20,51 20,19 19,63 19,41 19,31 19,26
в тс N* 41,37 43,27 45,91 46,5 47,2 47,5 47,63 47,7
\Ne 23,15 22,32 21,18 20,9 20,76 20,7 20,66 20,63
Абсциссы макси- хг 316,3 294,5 282,7 276,7 273,6 272,1 271,2 270,8
мальных расчет- х2 281,7 300,8 320,8 321,4 321,6 321,7 321,8 322,3
них моментов в ри- ,г3 315,9 309,8 278,7 276,6 263,5 258,3 256,2 255,3
гелях в см х4 283,7 288,6 300,8 307,3 310,5 312,1 312,9 313,3
Плечо внутрен- г3 33,86 32,18 31,3 30,85 30,63 30,51 30,46 30,43
ней пары сил в ха- г6 31,97 33,26 30,46 28,79 27,83 27,32 27,05 26,91
рактерпых сечени- г9 28,63 28,31 27,83 27,48 27,28 27,17 17,11 27,08
ях в см г12 28,63 27,75 28,85 29,27 29,46 29,54 29,58 29,6
Aj 0,74 1,02 1,02 1,02 1,01 1 1 1
Прогибы в цент- Д2 0,51 0,77 0,79 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8
рах ригелей в см Д3 0,48 0,6 0,66 0,69 0,67 0,67 0,67 0,67
А« 0,62 0,82 0,9 0,91 0,92 0,92 0,92 0,92
Смещение этажей ( Д5 0,2 0,27 0,28 0,28 0,29 0,29 0,29 0,29
в см | Д6 0,24 0,33 0,33 0,33 0,33 0,33 0,33 0,33
0,03 0,18 0,25 0,28 0,3 0,3 о,з 0,3
Ширина раскры- а1г 0,02 0,03 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
тия трещин в ха- а14 0,03 0,09 0,11 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12
рактерных точках а15 0,02 0,22 0,28 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3
в мм а1б 0,02 0,21 0,25 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27
аю 0,02 0,3 0,29 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3
14,78 5,68 4,72 4,4 4,3 4,27 4,26 4,26
25,99 12,42 13,48 14,2 14,64 14,88 15,01 15,08
F3 16,27 13,06 13,83 14,26 14,48 14,6 14,67 14,71
П „ Fa 19,67 10,1 9,76 9,38 9,31 9,26 9,22 9,21
Площадь попе- 21,05 7,1 12,52 13,55 14,24 14,66 14,89 15,02
речного сечения 15,79 14,16 11,38 11,18 11,04 10,98 10,95 10,94
арматуры в см2 рв 14,75 4,47 4 3,89 3,91 3,91 3,9 3,9
F3 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2
f9 8,94 2,29 2,91 2,92 2,95 2,96 2,96 2,96
Ию 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2
Целевая функ- V ция в дм3 83,52 44,99 45,06 46,43 45,98 46,44 46,66 46,76
66
Приведены на рис. 2б. При этом анализ системы ограничений задачи
линейного программирования показал, что как равенства выпол-
нились ограничения, соответствующие образованию пластических
шарниров в середине первого, третьего и четвертого пролетов ри-
гелей и на правой опоре первого ригеля, у средней стойки в третьем
и четвертом ригелях. Максимально допустимая ширина раскрытия
трещин была в сечениях 10, 15, 16 и 19 (см. рис. 23).
Три описанных примера были просчитаны при начальной пло-
щади сечения арматуры, Ft = 1 см2 (t = 1, 2... 9, 10). Это не
о) I,
Рис. 27. Эпюры моментов в раме в предположении
упругой работы
а — при действии расчетных нагрузок; б — при действии эк-
сплуатационных нагрузок
3*
67
очень удачное приближение, что и обусловило большое количество
итераций в решении. Для уменьшения количества итераций при
комплексном расчете был просчитан пример по следующей схеме:
сначала работал блок I, затем блоки III и IV, т. е. было получено
приближение из условий первого предельного состояния, а затем
уже комплексное решение продолжалось по прежней схеме. При
таком подходе решение сошлось на четвертой итерации и пол-
ностью совпало с полученным ранее, что позволяет рекомендо-
вать именно такую схему.
Интересно провести следующее сравнение. В случаях неком-
плексной оптимизации наложим эпюры армирования одну на дру-
гую. Определим площади сечения арматуры и места обрыва стерж-
ней. Такое армирование определяет допустимый проект, так как
на оптимальное решение по прочности накладывается оптимальное
армирование в эксплуатационной стадии. Расход арматуры сос-
тавил 50 388 см3. При комплексной оптимизации расход арматуры
46 760 см3. Разница составила:
50 388—46 760
46 760
Для сравнения ту же раму рассчитывали в предположении упру-
гой работы. Эпюры моментов в расчетной и эксплуатационной ста-
диях приведены на рис. 27. По расчетной эпюре моментов подобра-
ли арматуру из условия прочности, а по эксплуатационной проверя-
ли ширину раскрытия трещин и при необходимости корректирова-
ли армирование для обеспечения необходимых ограничений по ши-
рине раскрытия трещин. Получили следующие площади сечения
арматуры: F{ = 6,45 см2, Рг = 19 см2, F3=10,Зсж2, К4 = 12,6 см2,
F5 = 17,86 см2, Fe = 8,9 см2, F- = 6,84 см2, Fs = 4,18 см2, Fa =
= 2,91 см2, FJ0 = 1,2 см2.
Кроме того, потребовалась арматура в сжатой зоне F% = 3,84 см2
и Fs = 2,7 см2. Расход арматуры при схемах армирования по
нулевым точкам огибающей эпюры моментов составил 48 952 см3.
Разница по сравнению с оптимальным проектом составила:
48 952 — 46 760 1АА с
------------1UU » О % .
46 760
100 = 7,8%:
6. Учет динамического нагружения
В отношении железобетонных конструкций, работающих при
сейсмических и взрывных нагрузках, особенно важен учет пласти-
ческих деформаций, так как предположение, что конструкция при
такого рода нагрузках целиком остается в упругой стадии, приводит
к значительному перерасходу материала. В то же время точный
учет динамического поведения конструкции с некоторой диа-
граммой пластического упрочнения ведет к слишком большим мате-
матическим трудностям. Для задачи оптимального проектирования
68
Эти трудности становятся непреодолимыми. В связи с этим для опи-
сания поведения железобетонных конструкций предлагается исполь-
зовать модель жестко- идеально-пластического тела, которая во
многих случаях дает удовлетворительные результаты.
Первая постановка задачи оптимального проектирования для
жесткопластической конструкции принадлежит И. М. Рабинови-
чу1. Им рассмотрена балка ступенчато-переменного сечения, при-
чем предельные пластические моменты сечений балки должны быть
подобраны так, чтобы заданный импульс дал остаточный прогиб,
не превышающий заданный, а расход материала был минимальным.
Покажем, как эту постановку можно обобщить на произвольную
конструкцию с преобладающим изгибом. Пусть имеется стержне-
вая система, имеющая п. опасных сечений. Моменты в опасных се-
чениях связаны со скоростями пластической деформации 0; зави-
симостями:
0; = О,
0г >0,
0;<О,
если — Мо < Mi < Л40;
если Mi = Л10;
если Mt = —Л40,
(3.35)
где 7И0 — предельный пластический момент стержня, которому
принадлежит i-e сечение. Условие (3.35) носит дихотомический ха-
рактер и может быть описано с помощью введения целочисленных
булевых переменных и 62i:
0^<su0?; -W+A*o<(i-6u)M; Mi = Mr-Mr-,y
0?<62f0*; -Мг+М0<(1-61г)М*; 0. = 0t-0f, Р'
где 0*, M*o — грубые верхние оценки | 0г | и Мо.
Для каждого дискретного момента времени можно записать
в каждом сечении условия (3.35), добавив к ним
6п+62г<1, (3.37)
а также уравнения движения конструкции и условия совместности
скоростей пластической деформации. Конечная сумма этих скоростей
в дискретные моменты времени даст суммарное перемещение в виде:
k
Uj = uj At', (3.38)
i= I
гдеи,г —нормативное значение перемещения в данной конструкции.
Кроме того, исходя из условия раскрытия трещин можно ограни-
чить некоторые деформации или углы поворота. Таким образом,
при условии малости перемещений получается система линейных
1 И. М. Рабинович. Проектирование конструкций минимального
веса. — В сб.: Исследование по теории сооружений, вып. 12, 1965.
69
уравнений и неравенств. Условие оптимальности можно переписать
в следующем линеаризованном виде (2.27):
•т
z=^MOrlr, (3.39)
г= 1
где 1Г — длина стержней. Задача минимизации целевой функции
(3.39) при линейных ограничениях (3.36) — (3.38), а также при урав-
нениях движения и совместности деформаций в дискретные моменты
времени представляет собой задачу целочисленного линейного про-
граммирования. Для ее решения можно использовать комбинатор-
ный метод. Однако он не универсален, так как решение задач цело-
численного линейного программирования возможно лишь для отно-
сительно небольших задач. Применение же более эффективных аппа-
ратов ограничивается дихотомическим характером условия (3.39).
Выход из положения может заключаться в использовании прибли-
женной модели деформирования конструкции, основанной на тео-
реме Дж. Мартина1, которая дает некоторую интегральную верхнюю
оценку поля перемещений при деформировании жестко- идеально-
пластической конструкции под действием на последнюю заданного
начального импульса.
Рассмотрим жесткопластическую среду, характеризуемую плот-
ностью р, полем перемещений ut, напряжением огу, скоростями де-
формаций ег;, и занимающую некоторый объем V с поверхностью S.
Применим к рассматриваемому телу начало возможных скоростей
и запишем:
$(-рцг)цг^ = $ог/еоДИ, (3.40)
V V
где Vt — компоненты вектора скорости.
Согласно ассоциированному закону течения, для выпуклых по-
верхностей текучести справедливо неравенство
(3.41)
где оц — статически допустимое напряжение. Интегрируя послед-
нее неравенство, получаем:
$ в а dV > °'и dV. (3.42)
v v
Рассмотрим некоторое статически допустимое поле внешних
усилий Р[ и внутренних усилий (напряжений) о /у, для которых
1 Л. М. Качанов. Основы теории пластичности. «Наука», 1969.
Дж. Мартин. Теоремы для импульсного нагружения жесткопластиче-
ской среды. «Механика», 1965, № 3.
70
согласно началу возможных скоростей в результате интегрирова-
ния получаем:
$ <*и е-ц dV = $ P't Vi ds < $ <jtj eu dV
V SV
d dV
dt J; 2
(3.43)
Проинтегрируем последнее неравенство по времени от момента на-
чала движения t = 0, когда vt = vi0, ut = 0, до момента остановки,
когда t — t, vt = 0, ut = Ui. Меняя при этом местами части не
равенства, имеем:
[PiUidS^-^pvtidV.
S 2 V
(3.44)
Рис. 28. К динамическому расчету нераз-
резной системы
Последнее неравенство позволяет определить верхнюю оценку для
перемещений конструкции при упругопластическом поведении ма-
териала и действии начального импульса. Оно носит название вто-
рой теоремы Мартина. Первая теорема устанавливает аналогичную
оценку для времени деформирования конструкции. В статье
Дж. Мартина приведено несколько примеров приложения теорем
для определения верхней границы перемещений несложных кон-
струкций.
Отметим прежде всего, что теорема Мартина дает способ подбора
сечений статически неопределимых конструкций при динамическом
нагружении. Рассмотрим неразрезную железобетонную балку за-
данного сечения (рис. 28) под действием равномерно распределен-
ного импульса, который характеризуется начальной скоростью дви-
жения балки v0. Прогиб в середине каждого пролета балки ограни-
чен величиной и. Требуется подобрать предельный пластический
момент Мо, что при заданной форме сечения и постоянном плече
внутренней пары сил равносильно заданию армирования, которое
считается общим для обоих пролетов. Пусть на балку действуют две
71
независимые сосредоточенные силы Рг и Р2, приложенные в центре
пролетов. Для них согласно теореме Мартина
P1u1^2p1lv2-, 1
г> I о (
P2u2^2prlv2, J
где Рх — масса единицы длины балки, которая считается заданной
(изменением массы арматуры пренебрегаем).
Предельные значения сосредоточенных сил выражаются через
предельный пластический момент формулами:
Рг = ЗМ0/1- Р2 = Шо/1, (3.46)
которые нетрудно получить из рассмотрения соответствующих ме-
ханизмов разрушения. Подстановка (3.45) в (3.46) дает:
С 2рх /у2; С 2рг /о2о; (3.47)
иг и;

и.
откуда находим:
f2Pi /24q Pi 1 vo
Ма = max {----=— , -----=—
° 3 и 2и
(3.48)
Формула (3.48) дает верхнюю оценку для требуемого сечения балки.
В более общих случаях следует решить задачу линейного програм-
мирования о минимуме целевой функции z = Мо при ограничениях,
определяемых условиями равновесия и пластичности для Рг, Р2, а
также при приведенных выше условиях (3.48). Таким образом,
задача принимает вид, сходный с задачей прямого проектирования
конструкции, основанной на статической теореме теории предель-
ного равновесия.
Приведенное решение уже содержало в себе элементы оптими-
зации, так как оно дало минимально возможное с точки зрения теоре-
мы Мартина значение пластического момента Мо. Однако подобным
образом можно также определять и оптимальные пластические мо-
менты каждого пролета. Пусть на систему действуют неизвестные
статические силы Рг и Р2, которые должны удовлетворять уравне-
ниям равновесия и условиям пластичности:
2М{ —M^PJl;—Л4‘+2Л4‘— Л4‘=0; М‘ <Л401;
М‘<Л402; Л4><Л402; М\ ^Мй2,-М2 + 2Л423-М2 = Р2Ц-
2М2+М2 = 0; М2^М01; М2^М01; М2^М02;
М2^М02; М2^М02.
(3.49)
Каждый из пролетов характеризуется неизвестными пока предель-
ными пластическими моментами Л401 и Л402. Согласно теореме Мар-
тина, справедливы неравенства:
Рг u1^2plv2; 1
Р2 и2 < 2р/v2 J
72
или, требуя выполнения неравенства в форме равенств,
2pt>g I2
2М[ — М12 = —-^—;
«1
2ot>2 I2
— М2 + 2М 2 — М2 = —. (3.50)
и2
Но иг и и2 должны удовлетворять условиям иг и, и2 и, откуда
2pt>2 /2
2М{ — М\ ; — ЛД + 2ЛД — ЛЦ = 0;
“ (3.51)
2рц2 /2 v ’
— М2 + 2М2 — М2^ -±-4— ; 2М2+М2 = 0.
Найдем теперь такое распределение внутренних усилий в каждом
из нагружений, при котором выполняется условие минимума об-
щего количества материала:
V2 = 21М01 + 2/Л402. (3.52)
Задача минимизации функции (3.52) при ограничениях (3.49) —
(3.51) есть задача линейного программирования, решение которой
дает:
Зрг>2 /2
Мо1 = -Ч—
4и
•^02
I2
2и
5pug Р
z =----—
2 и
(3.53)
(3.54)
Сравним полученный расход материала с тем, который получается,
если принять в обоих пролетах одно и то же сечение Af0 = 2p/2<yg/3u:
Vi~~Vz 1
У2 15
Снижение расхода материала составляет в этом случае всего
лишь 6,7%, однако в других случаях оно может быть значительно
большим.
Полученный выше результат основывается на представлении
расхода материала как функции, зависящей линейно от предель-
ных моментов. В общем случае приходится прибегать к нелиней-
ному представлению этой зависимости.
1. Использование каталога или сортамента
В предыдущих задачах оптимального проектирования конструк-
ций мы предполагали, что их параметры могут меняться непрерыв-
но. Однако практически, особенно при проектировании из элемен-
тов каталога, эти параметры меняются дискретно с шагом, опре-
деляемым модульной сеткой или имеющимся сортаментом. Допу-
стим, рамную конструкцию нужно построить из типовых элементов,
несущая способность которых Мо, Мо, .... М”, и стоимости
73
С1, С2, С3, , Сп. Тогда предельный момент и стоимость г-го эле-
мента можно представить формулами:
Л1ог-Л1561г + <62г + ... «Чг(- (i= 1,2, ...,&); |
Сг = С161г + С2 62г+ ... +c«6ni, J
где 8л — булевы переменные, которые принимают значения 0 и 1;
k — число стержней.
Наложим на эти переменные ограничение
6ii4-S2i + 63Z4-... 4-6ni = 1. (3.56)
Понятно, что для каждого стержня лишь одна из переменных
(например, 62i) может отличаться от нуля и равняться единице.
Соответственно и все остальные члены в формулах (3.55) обращают-
ся в нули, MOi = Мо и = С2.
Условие оптимальности конструкции примет вид:
k п
С = 2 2 с' 8Л = min- (3-57)
/= 1 i= 1
В остальном постановка задачи не отличается от описанной выше.
Она состоит в определении целочисленных переменных 8tJ и обыч-
ных переменных, представляющих собой моменты в опасных сече-
ниях. Как видим, здесь не понадобилось линеаризации.
Глава 4
ОБОЛОЧКИ И ПЛИТЫ
1. Армированные оболочки положительной гауссовой
кривизны
В железобетонных конструкциях наиболее легко варьируемым
параметром является армирование, поскольку его изменение не
связано с переделкой опалубки и изменением архитектурного ре-
шения здания. Поэтому задача оптимального проектирования обо-
лочки может ставиться как поиск такого распределения арматурь
в железобетоне при заданной опалубке, при котором удовлетворя-
лись бы уравнения равновесия и условия прочности и при этом об-
щее количество арматуры было бы минимальным1. При этом счита-
ются известными также направления армирования, так как арми-
1 М. И. Р е й т м а н. К расчету и оптимальному проектированию бето-
на и железобетона. «Строительная механика и расчет сооружений»,
1967, № 3.
74
рование, следующее сложному рисунку, теоретически, быть может,
и более выгодное, оказывается нетехнологичным. Ввиду того что
получаемое при этом распределение усилий статически допустимое,
найденный оптимальный проект всегда безопасен, т. е. его истин-
ная несущая способность не ниже расчетной.
Рассмотрим пологую оболочку, поверхность которой описывает-
ся уравнением
z = 0,5/Л"2 (х2 + у2). (4.1)
Если оболочка в плане представляет квадрат, то Л—сторона квад-
рата в плане; f — стрела подъема. В результате пологости кривиз-
ны оболочки могут считаться постоянными и равными:
К = Кх = Ку = г>ях = г>уу = М"2. (4-2)
В (4.2) и ниже индексами после запятой указано дифференцирова-
ние по соответствующей переменной.
Уравнения равновесия оболочки имеют вид1:
Мх, х4~ Хху, у—-0; ^у, у ^ху, х —
—KNX—/C7Vy + ха.—2Л4ЖУ1 ху +-44У( уу + <? = 0,
где q (х, у) — вертикальная распределенная нагрузка; Мх, Му)
Мху — изгибающие и крутящий моменты; Nx, Ny, Nxy — нормаль-
ные и сдвигающие силы. Вводя безразмерные силы и моменты
l6Nxy t
16^/ . _____16АГУt
~ qA2 ’ Пу~ qA2 ’
tn — 16Л4Х . 16Л4У
fUX qA2 ’ '"'и qA2 ’
16Afxy
эд qA2
приводим уравнение (4.3) к форме
^х, х И- ^ху, у= 0; tiy, у И-^ху,х== 0, k — КА It = fIt,
---^(nx + ny) + mx<xx—,lmxy>Xy + mytyy-\-^ = ^.
Используя конечно-разностную сетку (рис. 29, а), можно перепи-
сать (4.4) в конечных разностях:
пх—пу-^-пХу— пху — 0; пу Пу -г пху tiXy — 0;
---А" п°---пу + тх~2т° + тл +
16 х 16 ух XX
+ °-5 (тх« + тЛ2~тП2—т™\ -j- т*—2т° + 1 = 0.
\ л>у л,у лу/ у у у
(4.5)
Обозначения узлов соответствуют рис. 29, б.
Поле усилий и моментов в оболочке должно удовлетворять ус-
1 Н. В. Колкунов. Основа расчета упругих оболочек. «Высшая
школа», 1964.
75
ловиям прочности. В качестве таковых примем условия, предложен-
ные одновременно Н. И. Карпенко и С. Т. Морли
Мх — — tNx—Л4 <0; М„ — — tNv — Л4т„<0;
/ 1 V I 1 \ (4-6)
Mxv — — tNxll] —( —Mx— — tNx—M$x]x
где t — плечо внутренней пары сил, которое полагается всюду по-
стоянным; Мтх, Мту, М*х, М*у — предельные пластические мо-
менты, соответствующие текучести нижней и верхней арматуры.
Графически это условие изображено для одного из октантов на
рис. 30. Условия (4.6) являются обобщением условия К- Иогансена
для армированных плит, которые можно представить в виде:
М1 2ЗД - (Мх - Мтх) (Му - Мту) < 0;
Мх — Мтх < 0; Му — Мту < 0.
Это получается, если рассмотреть равновесие элементарного тре-
угольного элемента, вырезанного из плиты2. Такие условия под-
тверждаются многими экспериментальными данными. Заметим,
1 Н. И. Карпенко. О работе железобетонных плит с трещинами.
Труды VI Всесоюзной конференции по железобетону. Рига, 1966.
С. Т. М о г 1 е у. On the yield criterion of an orthogonally reinforced concrete
slab element. Jourmal Meeh. Phys. Solids, 1966, vol. 14, Nl.
2 H. И. Карпенко, M. И. P e й т м а н. Нижняя граница несущей
способности и оптимальное проектирование железобетонных плит. Труды VI
Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. «Наука», 1966.
76
однако, что излагаемый здесь метод вполне применим и для лю*
бого другого вида условия пластичности:
F (Мх, Му, Мху, Nx, Ny, Nxy, Мтх, Мту, М*тх, М^О,
если его линеаризовать.
Объем армирования можно записать в виде (см. главу I):
V = $ + МТЙ + М*х + М*у) dS (4.7)
s
Рис. 30. Графическая интерпретация условия
прочности Карпенко-Морли
и затем заменить интеграл конечной суммой
п
2 Ft 4“ Ч" (4-8)
1= 1
где Ft — площади, относящиеся к каждой из рассматриваемых то-
чек конечно-разностной сетки. Таким образом, следует найти такие
Мтх, Мту, М*х, М*у, Мх, Му, МХу, Nx, Ny, во всех точках сет-
ки, чтобы они доставляли минимум сумме (4.8) при ограничениях
(4.5) и (4.6), а также с учетом граничных условий для усилий.
Это задача нелинейного программирования, которая решается,,
например, методом выпуклого программирования. Такой путь пока
не может рекомендоваться для массового применения из-за отсутст-
вия надежных способов реализации. В то же время имеется достаточ-
но много стандартных программ для решения задач линейного про-
граммирования, которые могут применяться, если целевая функция
и все ограничения линейны. В данной задаче нелинейны только вы-
пуклые ограничения (4.6); однако путем замены выпуклой поверх-
ности вписанным многогранником, как это показано на рис. 30,
они могут быть линеаризованы. При этом согласно следствию из
теории предельного равновесия проект будет менее выгодным, но
останется безопасным. В линеаризованном виде эти неравенства
имеют вид:
4-0,5 пХ7.4- тх—0,5 пх—тТХ 0;
тхи 4-0,5 пхи 4- т, — 0,5 s^0;
0,5 пхи—тх — 0,5 пх—т*х 0;
тх„ — 0,5 пХ!1—т.,—0,5 п,. —т*у 4С 0,
Ау г Лу у 'У 9
(4.9)
77
где tnTX = 16 MTX7qA2-, tnTy — 16 MTy/qA2. Для случая плиты сис-
тема (4.9) упрощается:
тху + тх—тху + ту —тту^0-, 1
тХ7,—тх—m* *x^Q- тхи—т,.—т*у^.О.] '
В таком виде ее впервые предложил Г. Вольфенсбергер1.
Остановимся на вопросе о граничных условиях задачи. Если
опирание производится на диафрагмы, абсолютно гибкие из плос-
кости и абсолютно жесткие в своей плоскости, то граничные усло-
вия имеют вид:
при х=±А Мх = 0, Nx = 0-,\
при у=±А Му = 0, Ny = 0. / ( '
Аналогичным образом получаются граничные условия для всех дру-
гих видов опирания. Например, в случае заделки контура гранич-
ные условия для усилий отсутствуют.
Если оболочка опирается на арки, что представляет собой наи-
более распространенный на практике случай, то требуется добавить
условия равновесия арки
-kN + M,xx + Qy = 0; NtX = Nxy, (4.11)
где Qy обозначает поперечную силу на краю оболочки;
Qy = Myty—Mxy> х, (4.12)
а место продольной нагрузки занимает сдвигающее усилие Nxy.
Крутильной жесткостью арки пренебрегаем. Далее, если имеется
затяжка, то на конце арки
М = 0, (4.13)
если же затяжки нет и распор на конце не воспринимается (кри-
волинейная балка), то к условию (4.13) следует добавить
N = 0. (4.14)
Усилия М и N должны связываться одно с другим условием
(3.8), определяющим прочность стержней из железобетона. При
этом к (4.8) добавится член, характеризующий общее количество
арматуры в арках.
Случай плоской плиты получается из вышеописанного, если по-
ложить Nx = Ny = Nxy = 0*.
1 G. Wol f еп s b erger. Traglast und optimal.e Bemessung von Plat-
ten. Eidgenoss. Techn. Hochschule, Zurich, 1964.
* M. И. P e й т м а н. Оптимальное проектирование пространственных
железобетонных конструкций. — В сб.: Организационная и вычислитель-
ная техника в проектировании и строительстве, вып. Н-З. Гипротис, 1967.
78
Таблица 5
Усилие Номер ТОЧКИ
1 2 3 4 С) 7 8 9 10 11 12 13 14 15
тх 16 15,75 1,5 11,5 2,5 0,75 6,25 1,75 1 0,25 0 0 0 0 0
ту 16 0 1,5 0 0 0,75 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Мху 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ттх 16 15,75 1,5 11,5 2,5 0,75 6,25 1,75 1 0,25 0 0 0 0 0
16 0 1,5 0 0 0,75 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Такой подход можно использовать и для осесимметричных обо-
лочек. Однако в ряде случаев здесь возможно существенное упро-
щение (см. п. 2). Получающиеся задачи линейного программирова-
ния решали на ЭЦВМ при разных значениях параметра k. При
k = 0 (плоская плита) решение задачи линейного программиро-
вания приведено в табл. 5.
Рис. 31. Схема оптимального
армирования пологой оболочки
Остановимся на результатах счета1. Для пологой железобетонной
оболочки, опирающейся на гибкие диафрагмы, поле усилий, момен-
тов и армирования при k = 32 приведено в табл. 6. Полученное арми-
рование представлено на рис. 31. Как видим, в оптимальном вариан-
те требуется установка нижнего армирования в углу оболочки. Верх-
нее армирование не требуется нигде. Это примерно согласуется с тем,
как армируются оболочки на практике, но площадь армированной
1 М. И. Р е й т м а н, Б. Ю. М и р з а б е к я н. Определение несущей
способности оболочек с помощью линейного программирования. — В сб.:
Организационная и вычислительная техника в проектировании н строи-
тельстве, вып. П-4. Гипротис, 1968.
Б. Ю. Мирзабекян, М. И. Рейтман. Определение несущей спо-
собности и оптимальное проектирование железобетонных оболочек с помо-
щью линейного программирования. — В сб.: Исследования конструкций зда-
ний и сооружений для сельского строительства, вып. П-1. Стройиздат, 1969.
79
зоны несколько меньше. Общее количе-
ство арматуры оказалось равным:
G = 0,687л4/tRa = D1qAi/tRa. (4.15)
Безразмерный множитель D в дальней-
шем будем использовать как показатель
эффективности конструкции, пропор-
циональной расходу арматуры.
Совершенно иное распределение уси-
лий и армирования получено для плос-
кой плиты (см. табл. 5). Обратим вни-
мание, что в оптимальном распределе-
нии усилий отсутствуют крутящие
моменты.
На рис. 32 показано оптимальное
армирование, которое представляет со-
бой «крест» с обрывающимися стержня-
ми. Общее количество арматуры равно::
С2 = 33,77Л4 HRa = HRa, (4.16)
т. е. намного больше, чем в оболочке.
Любопытно, что такая схема армирова-
ния была предложена из других сообра-
жений и затем проверена эксперимен-
тально в работе Г. Рожваны1. Можно
сравнить полученные оптимальные про-
екты плиты и оболочки с проектами,
в которых армирование принималось
равномерно распределенным по всей по-
верхности. Несущая способность для
этих проектов также отыскивалась с по-
мощью линейного программирования.
Кроме того, для плиты известно точное
решение. Оказалось, что оптимальный
вариант позволяет снизить общее потреб-
ление арматуры по сравнению с арми-
рованием равномерной сеткой для пли-
ты на 32,5%, для оболочки — в 5,2'
раза. Очевидно, что такое снижение
расхода арматуры окупит технологиче-
ские неудобства, связанные с обрывом
стержней.
1 G. Rozvany. Rational approach to>
plate design. Journal of ACI, v. 63, № 10,
1966.
&a
Подобное решение нельзя рассматривать как окончательный
проект, так как он неудовлетворителен в эксплуатационном отно-
шении. Из-за чрезмерной концентрации арматуры произойдет преж-
девременное раскрытие трещин в углах плиты, причем рост трещин
ничем не будет сдерживаться. В данном примере показано, что из
соображений одной только несущей способности оптимальной будет
не плита, воспринимающая изгибающие и крутящие моменты, а пе-
рекрестная балочная система.
Рассмотрим влияние высоты подъема оболочки на расход арма-
туры в оптимальном проекте (рис. 33). Переход от плиты к весьма
пологой оболочке дает резкое снижение расхода арматуры, скачком
Рис. 33. Влияние высоты оболочки на рас-
ход арматуры в оптимальном варианте
W
30
20
10
5 Ю /5 20 25 30 35f/t
меняется и схема армирования, но в дальнейшем с ростом подъема
снижение сильно замедляется, не имея, разумеется, асимптоты.
Однако увеличение подъема сверх некоторых пределов, по-видимо-
му, нецелесообразно.
Описанная постановка задачи допускает ряд обобщений. Так,
можно накладывать на предельные пластические моменты конструк-
тивные ограничения вида —MTi < из условия трещи-
ностойкости или заданных пределов армирования. Допущение о
постоянстве плеча внутренней пары можно снять путем использо-
вания процедуры последовательных приближений (как это делалось
в рамах). Наконец, можно одновременно оптимизировать толщину
оболочек h, введя в целевую функцию дополнительный член ^C^Fth
и представив MTi как Faikh, где k < 1 — заданный множитель.
Тогда получаем задачу параметрического программирования с па-
раметром h. Заметим, что задача оптимального армирования плиты
рассматривалась и с учетом ограничения минимального армирова-
ния, что не отразилось существенно на схеме армирования: она
по-прежнему представлялась в виде «креста».
Приведенные решения задач основывались на конечно-разно-
стной дискретизации дифференциальных уравнений. Другой путь
состоит в'волновой дискретизации задач1. При этом все неизвест-
1 Б. Ю. Мирзабекян, М. И. Рейтман. Определение несущей
способности оболочек с помощью линейного программирования. «Механика
твердого тела», 1968, № 1.
81
ные (Мх, Му, Мху, Nx, Ny, Nxy, Мтх, Мту, М*х, М*у) .представ-
ляются в виде конечных сумм:
Х= X «г фг,
где <рг — координатные функции; аг — коэффициенты, которые на-
ходят из решения задачи линейного программирования. Если пред-
ставления такого вида действуют в локальных областях оболочки,
то приходим к методу конечного элемента. Возможно использование
и смешанного представления, когда одни переменные дискретизи-
руются волновым методом, а другие — конечно-разностным. За-
метим, что конечно-элементное представление эффективно лишь для
оболочек со сложной формой в плане, а волновое приводит к боль-
шим погрешностям, так как поля всех перемещений могут иметь
слабые разрывы1.
2. Армированные осесимметричные оболочки и плиты
при статических и динамических нагрузках
Изложенный выше метод является достаточно общим, однако
постановка задачи оптимального проектирования оболочек на основе
принципа максимума Л. С. Понтрягина для осесимметричных оболо-
чек позволяет добиться упрощения задачи по сравнению с непосред-
ственным использованием метода линейного программирования.
Любая осесимметричная оболочка при осесимметричном нагружении
в предельном состоянии представляет собой систему с тремя степе-
нями свободы2, тогда как при решении задачи описанным выше ме-
тодом она рассматривается как система с большим числом степеней
свободы, что, по-видимому, нерационально.
Осесимметричные оболочки представляют собой одномерные
системы, что позволяет упростить всю задачу. Система уравнений
для осесимметричных оболочек такая:
(А^ф/-0)ф — Л^еНсовф — /•oQ<p + /'or1y = O; '
Мр r0 + Me sin ф + (Qv г0)ф 4- г0 Г\ Z = 0;
(4.17)
(Мф т0)ф — ^0 r-i.cos ф -- Q<p Го Г1 == о,
где Ny, Ne — меридиональное и кольцевое нормальные усилия;
М9, Me — меридиональный и кольцевой изгибающие моменты;
Qv — поперечная сила; г0 — текущий радиус рассматриваемого
кольцевого сечения оболочки, имеющего координатный угол ф;
Гх—радиус кривизны в меридиональном направлении; Y, / — ком-
поненты нагрузки.
1 М. I. Reitman. The analysis of equations of elastic-plastic shells.
Arch. Meeh. Stos., 1967, N3.
2 H. B. A x в л e д и а н и. К расчету железобетонных оболочек враще-
ния по методу предельного равновесия. Сообщение АН ГССР, т. 18, вып. 2,
1957.
82
Представим эту систему уравнений в форме:
Ф = Ф1 = V1 (—N<p r'o + Ne rt cos <р + r0 Qv—r0 i\ Y);
Qq>, ф = Ф2 = nr1 (—Qvr’t—Ntpr0~Ne i\ sin ф—r0 z^Z);
Мф, ф = <p3 = zy1 (—Мф r'f, + Mq rt cos ф + r0 i\ Qv).
В результате задачу оптимизации оболочки можно
как задачу теории оптимальных систем:
t = фг(*i, х2, .... хп; иг.ur>t);
т
J = хй = (р0 dt-> min, и £ й,
'о
(4-18)
записать
(4-19)
где лу...... хп — координаты системы; ип — управления;
Фг — известные функции. В нашем случае роль координат системы
играют величины #ф, (?ф, М9, а также значение критерия оптималь-
ности J; управлениями служат функции Ne, Me и параметры ар-
мирования, которые не входят в уравнение равновесия в виде произ-
водных; й — область допустимых управлений.
Рассмотрим случай, в котором на одном из кольцевых сечений
оболочки с координатой ф = 0 заданы величины Д7ф, Qv, и J.
Такой случай имеет место, например, если рассматривается оболоч-
ка с осесимметричным отверстием, защемленная на контуре. Для
получения оптимальных значений неизвестных удобно воспользо-
ваться принципом максимума Д. С. Понтрягина1.
Предлагаемый алгоритм проще всего проиллюстрировать при-
мером цилиндрической оболочки при осесимметричном нагружении.
Для этого случая уравнение равновесия имеет вид:
М^н + Ne/R — Р = 0, (4.20)
где t — координата вдоль образующей.
Для армированных оболочек условие оптимальности можно пос-
тавить в виде требования минимума общего количества арматуры
при заданных высоте сечения, геометрии оболочки и нагрузке. Ес-
ли считать плечо внутренней пары сил постоянным, а для армирован-
ных оболочек такого типа это оправдано, то коэффициенты продоль-
ного и кольцевого армирования определяются из формул:
р1 = |Мф|/67?а/г; И2 = |^е|/7?а/г, (4.21)
где 7?а — расчетное сопротивление арматуры; h — высота сечения;
б — плечо внутренней пары сил.
1 JI. С. П о н т р я г и н, В. Г. Б о л т я н с к и й, Р. В. Г амкрели-
д з е, Е. Ф. М и щ е н к о. Теория оптимальных процессов. «Наука», 1969.
М. И. Р ейт м а н. Оптимальное проектирование оболочек с помощью
принципа максимума Л. С. Понтрягцна. МТТ, ЛВ, 1971. «Механика твер-
дого тела», 1971, № 3.
83
Объем армирования записывается в виде
т
у= + (4.22)
о
или в обозначениях теории оптимальных процессов
т
*о(П= $(|*11 + 6ЫИ. (4.23)
о
где и = N2 — управление, которое меняется в пределах 0 <
< pR. Другие обозначения остаются прежними. В этом случае сис-
тема уравнений задачи запишется так:
х1 = х2; х2 = Р—u/R; х0 = | %i | Ц-б | и |.
При начальных условиях х0 (0) = х2 (0) = хг (0) = 0. Знаки моду-
ля у хг и и можно опустить, так как и 0, а из и < pR и началь-
ных условий следует, что х2 0, откуда > 0 и ^0. Таким
образом, получаем:
Н = -фо (*1 + М + ФЛ + ф2 (-Р ~ u/R) = max (4.24)
и систему сопряженных уравнений
Фо=О; Ф1 = — ф3; ф2 = —Ф1, (4.25)
которую следует решать при граничных условиях % (71) = ф2 (Т) =
— 0; фо (Т) = — 1> чт0 Дает
ф0 = — 1; фх = — Т + /; ф2 = — 0,5 (Т — t)\ (4.26)
Отсюда конечный вид гамильтониана (4.24):
Нг = (T—f) х2 — 0,5 (Т — 0 р — Х1 + [(Т — 02/(2а)—
—6]ы. (4.27)
Оптимальные уравнения определяются из условия максимума
((, х, и) по переменной и (см. теорему 7 из книги, цитируемой в
сноске 1 на с. 83).
Следовательно, управление и задается соотношением
| 0 при (Т—/)2<26Т?;
(PR при (Т—/)2>27?6.
Из (4.23) получается соответствующая зависимость для
(4.28)
изгибаю-
щего момента:
*1 =
t t
§ dt^Pdt при (Т—/)2<27?6;
t о ^0
0 при (Г—/)2>2/?6; (4.29)
t0 = T- /27?6.
84
В качестве практического примера рассмотрена задача об опти-
мальном проектировании силоса для хранения сыпучего материала.
Ее решение представлено на рис. 34. Как видим (рис. 34, а), в ниж-
ней части цилиндра всегда должна быть зона моментного краевого
эффекта. Для коротких оболочек она может простираться на всю
длину, однако при реальных геометрических соотношениях оболоч-
ки всегда имеется зона безмоментного напряженного состояния.
Рассмотрим защемленную по внешнему краю кольцевую плиту
с внутренним и внешним радиусами г и R под действием равномер-
но распределенного импульса, сообщающего ей в начальный момент
Рис. 34. Схема силоса, эпюры момен-
тов и нагрузки
а — геометрические размеры; б — нагруз-
ка; в — кольцевое армирование; г — про-
дольное армирование
Рис. 35. Схема круг-
лой плиты с отвер-
стием
р — текущее значение
радиуса
времени скорость ц0 (рис. 35). В соответствии с теоремой Мартина
задача оптимизации армирования такой плиты сводится к оптимиза-
ции плиты на статическую нагрузку
R
л f pmv% dp
г _ mv2 (R2—r2)
2ли Дги
(4.30)
где и — заданный предельный прогиб края отверстия.
Пусть плита армирована в радиальном и кольцевом направлени-
ях арматурой, массой которой можно пренебречь по сравнению с
массой бетона. Тогда критерий оптимальности записывается в виде,
аналогичном (4.7) в полярной системе координат:
R
С= $ (|M0| + |MJ)pdp.
(4.31)
В данной задаче второй знак модуля несуществен, так как Мг <
0. Введем переменные
85
р
Мг=~х1; Мв = и; х0 = § (| и | + хх) р dp, (4.32)
приводящие задачу к каноническому виду задач теории оптимальных
систем:
х0 = (|и|4-Х1)р;
• Xi + U Qr
xi —
Р Р
(4.33)
Здесь точкой обозначено дифференцирование по р.
Для решения задачи снова используем принцип максимума
Л. С. Понтрягина, введя гамильтониан
Я==фо(|«| + х1)р-ф1^+-^-), (4.34)
где функции фо и Ф1 удовлетворяют сопряженным уравнениям:
фо=О; Ф1= —ФоР + ФхР”1. (4.35)
Решив эти уравнения при условии ф0 (R) = — L Ф1 (R) — О
и подставив решение в гамильтониан, получим:
Н = — (R — 2р)|и|... (4.36)
Здесь опущены члены, не содержащие управления.
Отсюда получаем условия максимума:
при г^р^-^- м>0, Л4г = 0, Me = Q(p—г).
р Ол / г3 \ (4-37)
при 7?>р>— « = 0, М0 = О, Мг=^ -------------р2),
2 3 \ р /
определяющие оптимальные параметры плиты. При г = 0 получаем
известный ранее результат для круглой плиты при произвольном
нагружении: внутри круга радиуса 7?/2 — кольцевое армирование,
вне его — радиальное. При г R/2 в оптимальной плите ставят
только радиальное армирование. В случае иных граничных усло-
вий задача может быть существенно осложнена и будет выглядеть
как проблема оптимизации при неопределенных граничных усло-
виях.
3. Безмоментные оболочки минимального веса
при заданной форме срединной поверхности
Рассмотрим задачу о назначении поля толщин статически не-
определимой безмоментной оболочки из чистого бетона. Безмо-
ментные оболочки внутренне статически определимы: число диф-
ференциальных уравнений равновесия равно числу переменных уси-
86
лий. Однако, если неизвестны усилия на контуре, эти конструкции
статически неопределимы внешне из-за недостаточности статических
граничных условий.
Пусть задана срединная поверхность оболочки, причем необходи-
мо, чтобы оболочка выдержала заданные внешние нагрузки с уче-
том пластического перераспределения усилий и общий вес (объем)
материала был минимальным1. Эта задача актуальна в связи с про-
ектированием бетонных арочных плотин, в которых по условиям
эксплуатации не допускаются растягивающие напряжения и арма-
тура обычно не принимается в расчет.
Общая задача о назначении оптимальной высоты сечения оболоч-
ки произвольной геометрии была поставлена М. Ш. Микеладзе2.
Однако, во-первых, она ведет к очень большим математическим труд-
ностям, которые нельзя разрешить даже с помощью ЭВМ; во-вто-
рых, она требует формулировки условия пластичности через мем-
бранные усилия и моменты, чего сделать достаточно точно для одно-
родного материала до сих пор не удалось. Поэтому в основу настоя-
щего исследования положено следующее упрощающее допущение:
если геометрия оболочки и условия опирания допускают безмо-
ментные состояния, удовлетворяющие условиям равновесия и ус-
ловиям прочности, то одно из этих состояний соответствует мини-
муму веса оболочки. Как ясно из интуитивных соображений и из ана-
лиза цилиндрических оболочек (см. п.2), это допущение не может
вести к серьезным погрешностям, если оболочка не слишком тол-
стая и не слишком пологая. Если же при заданной форме средин-
ной поверхности безмоментных состояний нет, то множество опти-
мальных проектов пусто и следует изменить форму.
Отметим, что подобное допущение использовалось в задаче оты-
скания оптимальной геометрии статически определимых оболочек
с заданным напряженным состоянием, которую решали Г. Р. Рама-
свами, П. М. Варвак, А. П. Варвак, А. К. Бодунов и Л. Окутюрье3.
Согласно статической теореме теории предельного равновесия,
оболочка из упругопластического материала не разрушится, если
усилия в ней удовлетворяют следующим условиям:
1 М. И. Р е йтм а н, Л. И. Я р и н. Упругопластические безмоментные
оболочки минимального веса при заданной форме срединной поверхности.
«Механика твердого тела», 1970, № 4.
2 М. Ш. М и к е л а д з е. Расчет веса п прочности ортотропных жестко-
пластичных оболочек. Arch, inech. stos, № 1,11, 1959.
’ М. И. Ре й т м а п, Г. С. Шапиро. Оптимальное проектирование
в строительной механике, теории упругости и пластичности.— Итоги науки,
серия «Механика», ВИНИТИ, 1966.
V. V. Bolotin, I. I. Goldenblat, A. F. Smirnov, М. I. Reit-
m a n, G. S. S ch ар i г о. Moderne Probleme der Baumechanik, Handbibliotek
Bauwesen, Heft 4, Berlin, 1968.
87
а) уравнениям равновесия
д / i r cos <р \ , dS , , _
“Г N Hr + — + P tg <P = 0;
dx \ cos ip / dy
d I rr, cos ip \ , dS . , . yh n
— T------- H----Fp tg ф--------------= 0;
dy \ cos <p ) dx cos <p cos ip
A AsAH + ЛАА1Л +
dx \ cosip ) dy \ sincp )
4-A(s tg<p)+ A(S tgi|?)—p = 0,
dy ox
(4-38)
где N, T — нормальные мембранные усилия в направлении осей
х и у, S — сдвигающее усилие; ф и ф — углы наклона касатель-
ных в рассматриваемой точке к осям х и у\ р — внешнее давление;
h — толщина оболочки; у — объемный вес (ось у считается верти-
кальной);
б) статическим граничным условиям на части контура
N cos <р 4- S sin <р = X; 1
_ (4.39)
S sin ф 4- Тcos ф —Y, J
где ф — угол между нормалью к контуру и осью х\ X, Y — состав-
ляющие внешней нагрузки на контуре;
в) условию прочности
F (N, Т, S, h, <гт) < 0, (4.40)
где от — предел прочности материала.
Для получения оптимального распределения усилий' и толщин
нужно минимизировать общий объем оболочки
С = h X1 4- tg2 ф 4- tg2 ip + tg ф tg ip dx dy. (4.41)
s
Эта задача представляет собой задачу теории оптимальных сис-
тем, описываемых уравнениями в частных производных. Ее решают
с помощью дискретизации. Как и в задачах определения несущей
способности оболочек, возможны два способа дискретизации — вол-
новой и конечно-разностный. Остановимся на втором способе. По-
кроем план оболочки конечно-разностной сеткой. Заменив дифферен-
циальный оператор систем (4.38) конечно-разностным оператором
L, получим вместо (4.38) систему алгебраических уравнений:
L (N, Т, S, р, h, у) = 0. (4.42)
В общем случае граничных условий система алгебраических урав-
нений (4.42) не определена [если статические граничные условия
заданы на всем контуре, то из (4.42) получается единственно возмож-
88
ное распределение усилий]. Интеграл (4.41) можно приближенно
представить конечной суммой вида:
С=2Г/?Мг, (4.43)
« = 1
где г — число краевых узлов сетки; Ft — площади срединной
поверхности, относящиеся к каждому из узлов сетки, в общем слу-
чае неравные. Наконец, потребуем выполнения условий (4.40) в каж-
дом узле сетки:
F(Nt, Tt, Sh
(4.44)
a) Sl L-L
Рис. 36. Схема плотины и нагрузка
а — поперечный разрез ущелья; б — разрез
плотины вдоль ущелья
Задача минимизации функции (4.43) при ограничениях (4.42)
и (4.44) является задачей выпуклого программирования. Выпуклость
ее следует из того, что условие пластичности (4.44) выпукло со-
гласно основным постулатам теории пластичности, а условия (4.42)
и целевая функция (4.43) линейны. Для ее решения можно исполь-
зовать любой из алгоритмов выпуклого или линейного програм-
мирования с заменой области (4.44) многогранником вида:
ak Ni + bkTt Sj + dh 0
(k = 1, 2, ...., co), (4.45)
где ah, bk, dh — некоторые коэффициенты, определяемые из усло-
вий линеаризации.
Рассмотрим задачу оптимизации оболочки арочной плотины,
имеющей с фасада вид трапеции, под действием гидростатической
нагрузки (рис. 36). В качестве условия прочности принято специфи-
ческое условие, хорошо описывающее пластическое состояние бе-
89
тона при неравномерном сжатии1 (на рис. 37, а оно представлено
графически):
№ + Л + 2S2— 1,576 (ЛН- Т) Г 0,576 о2 Л2 0. (4.46)
Напряженные состояния, отличные от неравномерного сжатия, ис-
ключаются спецификой работы плотины, где недопустимы растяги-
вающие напряжения. Это накладывает дополнительное условие
S2—NT < 0. (4.47)
Вместе условия (4.46) и (4.47) ограничивают в пространстве N, Т,
S выпуклую область. След ограничивающей ее поверхности на
плоскости N, Т показан на рис. 37, а. Покрыв фасад оболочки
конечно-разностной сеткой, получим конечно-разностный аналог си-
стемы уравнений (4.38).
Рис. 37. Условия прочности
для неармированного бетона
а — геометрическая интерпретация
условий прочности сжатого ' бетона
(жирная линия — квадратичное
условие; тонкие линии — линеари-
зованные условия; 1—VI— видимые
грани предельной поверхности);
б — след условий прочности на
плоскости Т — S
Геометрическую форму срединной поверхности плотины прини-
мали такую же, как и для одного из вариантов Ингурской ГЭС.
Ее дискретные геометрические характеристики представлены
в табл. 7.
Условия прочности (4.46) и (4.47) были линеаризованы, как по-
казано на рис. 37, а, тонкими линиями и представлены системой
линейных неравенств:
—N±S<0; —T±S<0; 2N ± 2S < 3<гт Л; ]
2Т±25<3(ттЛ; — N4-T± 2S < сгт Л; (4.48)
N — T±2S^oTh. J
Практически в системе линейных неравенств сохранялись лишь те,
которые соответствуют плоскостям I, II, III (см. рис. 37, а), так как
остальные явно далеки от оптимального решения. Получившуюся
задачу линейного программирования решили с помощью ЭВМ сим-
плекс-методом и получили результат, представленный в табл. 8.
Отметим, что не всегда условие прочности выполняется как строгое
1 М. И. Р е й т м а и. К расчету и оптимальному проектированию бето-
на и железобетона. «Строительная механика и расчет сооружений», 1967, № 3.
90
Таблица 7
X, м Геометри- ческая характе- ристика У, м
0 45 90 135 180 225
0 z tgfP tgip 0 0 —0,445 —18,76 0 —0,387 —34,53 0 —0,309 —46,09 0 0,197 —51,26 0 —0,0 —44,69 0 0,365
45 z tg ф tg гр 2,91 0,13 —0,44 —15,6 0,142 —0,38 —30,98 0,158 —0,3 —42,03 0,182 -0,183 —46,32 0,222 0,011 —37,94 0,308 0,431
90 г tg Ф tg г|> 11,76 0,266 —0,423 —5,87 0,292 —0,358 —20,1 0,329 —0,269 —29,41 0,383 —0,135 —30,78 0,48 0,101 —15,43 0,727 0,705
135 z tg Ф tg ф 27,1 0,418 —0,392 11,05 0,464 —0,316 —0,9 0,531 —0,208 -6,6 0,638 —0,034 —1,47 0,853 0,318 —
180 z tgф tg Я? 49,84 0,6 —0,34 36,57 0,68 —0,243 28,69 0,801 —0,094 29,99 1,028 0,184 —
225 z tgф tg Ip 81,92 0,84 —0,253 73,51 0,986 —0,109 73,7 1,253 0,152 — — —
равенство — часть материала плотины в оптимальном варианте иг-
рает роль балласта, без которого не нашлось бы безмоментного на-
пряженного состояния.) Соответствующее значение функции объе-
ма оболочки 16,7. В то же время решение нелинейной задачи мето-
дом сопряженных градиентов дало несколько меньшее значение
функции объема, а в полях толщин и внутренних усилий наблю-
даются еще большие расхождения. Как показал анализ, такое
расхождение объясняется грубой аппроксимацией условия плас-
тичности в окрестностях точки Т = S =0, N—o^h (см. рис. 37, б):
линеаризация приводит к отсечению важной части допустимой об-
ласти. Такое расхождение в запас прочности говорит о том, что
при оптимальном проектировании надо осторожно подходить к
линеаризации и предпочитать более точные методы.
Тот факт, что условие (4.46) исключает точку N = Т = S =
= 0, несуществен: эта точка вне активной зоны условия теку-
чести.
91
Таблица 8
Номер точки Линейное программирование
N, тс/см Т, тс/см S, тс/см h.t м
1 170,83 17,84 0 6
2 173,96 14,58 0 6,3
3 173,61 14,33 3,01 8,2
4 175,12 20,53 6,8 10,6
5 170,2 14,28 0 6,1
6 173,97 6,59 0 6,6
7 275,51 48,76 0 13,7
8 278,99 29,63 0 9,8
9 282,13 22,83 16,14 11,4
10 243,23 36,29 36,29 13,5
11 194,67 33,62 33,62 8,9
12 358,07 53,94 0 11,9
13 303,66 43,43 20,74 11,8
14 298,73 34,08 20,65 12
15 305,54 36,79 36,79 13,4
16 273,76 58,8 0 8,8
17 330,93 46,5 8,54 11,8
18 335,38 27,77 27,77 14,2
19 240,47 47,36 0 7,6
20 225,6 30,46 0 7,6
Если разбить оболочку по высоте на N слоев, записать уравне-
ния равновесия в односторонних разностях по у и предположить,
что объем i-ro слоя зависит лишь от усилий в i-м и (i — 1)-м слоях, то
удовлетворительное решение задачи дает метод динамического про-
граммирования (см. сноску 1 на с. 87). Однако этот метод
применим лишь при достаточно грубой разбивке на слои по
высоте.
В заключение отметим некоторые общие тенденции, которые не
отвечают существующей практикелроектирования арочных плотин.
Распределение толщин в двух верхних арках (см. рис. 36, точки
1—6 и 7—11) показывает, что толщина в оптимальной плотине по
мере удаления от середины вначале возрастает, достигает макси-
мума примерно в одной четверти, а затем начинает уменьшаться.
Отметим, что аналогичное распределение главных напряжений по-
лучается при обычном упругом расчете плотин. Кроме того, обра-
тим внимание на уменьшение толщины в самой нижней части плоти-
ны. Эти результаты получились во всех трех, методах расчета, хотя
количественно они разнятся. По-видимому, их следует подвергнуть
экспериментальной проверке.
4. Фундаментные конструкции
Проектирование фундаментных конструкций на основе выше-
изложенной методики следует связать с некоторыми допущениями.
Предположим, что фундаментные конструкции не могут создавать
92
йа грунт давление, большее некоторого значения Rrp. Ограничения
на осадки можно приближенно учесть соответствующим выбором
7?гр по коэффициенту постели К- Так, если ограничен прогиб
и^и°, то RTp = min {Ku,° R}, где R — расчетное сопротивление
грунта.
Допустим, что заданы форма в плане, h — высота фундаментной
плиты и нагрузка на нее q, удовлетворяющие условию
\qdS^RTp\dS. (4.49)
Требуется назначить армирование, определяемое предельными мо-
ментами Мтх, Мт„, М*х, М*у (плечо внутренней пары сил по-преж-
нему считается заданным). Условие (4.49) необходимо для существо-
вания допустимого проекта, так как в отличие от задач, описанных
выше, не для всякой нагрузки найдутся такие моменты, которые ее
уравновесят.
Исходя из принятых предположений допустимым следует счи-
тать проект плиты, для которого выполняется следующее условие:
д2Мх d2Mxv д2Му
0<------- 4-2-----^-4-----
дх2 дх ду ду2
{-q^Rrp.
(4.50)
Левая часть неравенства — условие односторонности связей меж-
ду плитой и грунтом, а правая — условие непревышения предель-
ного давления. Моменты в плите должны удовлетворять условию
(4.6) или в линеаризованном виде условию (4.9 а). Критерий опти-
мальности (4.7) или (4.8) должен быть минимальным, и кроме того,
на краю плиты должны выполняться граничные условия в виде ра-
венства нулю поперечных сил и моментов.
Пример. Рассмотрим квадратную плиту при действии сосредоточенной на-
грузки в центре. На рис. 38, а изображена одна из симметричных четвертей
плиты. Граничные условия здесь такие:
, „ дМх дМху
при х = ±А Мх=0, Qx=—---1----
дх
дМу
при у=±А Afy = O, Qy=--
ду °’
дМху Q
ду ‘ дх
(4.51)
Матрица ограничений задачи в дискретизированном виде имеет почти тот же
вид, что и при оптимизации плиты, опертой по контуру. Изменятся лишь
свободные члены в уравнениях, которые превратятся в два неравенства вида
(4.50), и добавятся граничные условия для Qx и Qv. В результате решения
задачи получается армирование, которое показано на рис. 38, б. Из рисунка
видно, что схема оптимального армирования отличается от схемы армирова-
ния плиты, опертой по контуру. Эпюры армирования показаны на рис. 38, в.
Обратим внимание, что часть плиты, в которой нет арматуры, можно без
ущерба удалить, и фундаментная плита примет вид, показанный на рис. 38, б
пунктиром.
Полученная схема оптимального армирования имеет еще более неожидан-
ный вид, чем для свободно опертой плиты. Заметим, однако, что этот проект
получен по критерию минимума армирования, но результат сильно влияет
93
и на итоговое количество бетона. Постановка задачи с критерием Минимума
стоимости дала бы, по-видимому, иное решение. Но получение его затруд-
няется дихотомическим условием (нет арматуры — нет и бетона).
В условиях плоской задачи (для фундаментной балки или беско-
нечно длинной плиты) условие (4.50) упрощается:
0<
d2 М
dx2
+ <7 'С Rrp,
(4.52)
где q и RrP отнесены к погонному метру.
При аналогичном условии для уравнения равновесия можно
производить оптимизацию железобетонных свай:
Рис. 38. Оптимальное проектирование фундаментной плиты
а — конечно-разностная сетка; б — схема армирования (жирными линиями
показана расстановка арматуры); в — профили армирования
d2M
dx2
гр-
(4.53)
Выше принималась винклеровская модель основания. Однако
одновременно с учетом пластических деформаций в конструкции
можно допустить их и в грунте. В этом случае к системе условий
(4.52) и (4.53) нужно добавить условия Кулона — Мора, характе-
ризующие переход грунта в пластическую стадию, которые в лине-
аризованном виде можно представить так:
ау~ стж + 2(/2— 1)тжг, — sinq>(aJ, + ff3C +
-f- 2с ctg гр) < 0;
(l 2 — 1) (сту—стх) + 2тхг/—sin<p(ory + orx 4-
+ 2с ctg ф)^0,
(4.54)
94
где с — коэффициент связности; <р — угол внутреннего трения.
Кроме того, при плоской деформации в ограничения задачи нужно
включить уравнения равновесия грунта:
д°х дт:ху q д^у . дхху
дх ду ду дх
переписанные в конечных разностях для некоторой области под
конструкцией, и учесть условия сопряжения плиты с грунтом.
Аналогично можно рассматривать и пространственные задачи.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение.................................................... 3
Глава 1. Постановка задачи и критерии оптимальности........... 7
1. Критерии оптимальности и параметры проектирования ... 7
2. Критерий стоимости материалов.......................... 9
3. Учет унификации элементов..............................12
4. Оптимизация размещения производства железобетонных изде-
лий ..................................................... 16
Глава 2. Балки............................................... 18
1. Балки постоянного сечения (формулировка задачи)........18
2. Балки постоянного сечения (метод решения)..............21
3. Балки с переменными по длине армированием и сечением ... 23
4. Неразрезные балки, рассчитываемые по прочности (линейная
задача)...................................................28
5. Неразрезные балки, рассчитываемые по прочности (нелиней-
ная задача)...............................................32
Глава 3. Рамы.................................................39
1. Статически определимые рамы............................39
2. Рама при постоянной нагрузке, рассчитываемая по прочности
(формулировка задачи).....................................41
3. Рамы с постоянной и временной нагрузками, рассчитываемые
по прочности..............................................45
4. Рамы, рассчитываемые по всем предельным состояниям (форму-
лировка задачи)...........................................50
5. Рамы, проектируемые по всем предельным состояниям (методы
расчета)..................................................57
6. Учет динамического нагружения..........................68
7. Использование каталога или сортамента..................73
Г л а в а 4. Оболочки и плиты.......•.........................74
1. Армированные оболочки положительной гауссовой кривизны 74
2. Армированные осесимметричные оболочки и плиты при статиче-
ских и динамических нагрузках ........................... 82
3. Безмоментные оболочки минимального веса при заданной
форме срединной поверхности...............................86
4. Фундаментные конструкции...............................92
Марк Исаевич Рейтмаи, Лев Исаакович Ярин
Оптимизация параметров железобетонных конструкций на ЭЦВМ
Редактор издательства С. Б. Обухова
Внешнее оформление художника ГО. И. Смурыгина
Технические редакторы И. В. Панова, Т. В. Кузнецова
Корректоры Г. А. Кравченко, В. Г. Штайге
Сдано в набор 1.Х. 1 973 г. Подписано к печати 8/V—1974 г.
Формат 60 X 90’/ie Бумага типографская №2
6,0 печ. л. (уч.-изд. 5,97 л.)
Тираж 5000 экз. Изд. № A VI-3390 Зак. № 524 Цена 36 к.
Стройиздат
103777, Москва, Кузнецкий мост, д. 9
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Москва, И-41, Б. Переяславская ул., дом № 46