Г. Е. ШИЛОВ, Б. Л. ГУРЕВИЧ
ИНТЕГРАЛ, МЕРА
И ПРОИЗВОДНАЯ
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Издание второе,
переработанное
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1967

517.2
Ш 59
УДК 519.53
Интеграл, мера и производная (общая теория), Ш и л о в Г. Е.,
Г у ре в ич Б. Л.
В книге излагаются в современном виде общая теория инте-
интеграла для числовых функций и весь круг проблем, связывающих
интеграл, меру и производную.
В основу изложения теории интеграла положена схема Да-
Даниэля. В § 1 излагается общая теория n-кратного интеграла Римана
как предела нижних интегральных сумм или, что то же, как
предела интегралов возрастающей последовательности некоторых
ступенчатых функций. Такое определение интеграла допускает
широкое обобщение путем аксиоматизации некоторых свойств ин-
интегралов от ступенчатых функций. В § 2 исходным объектом является
совокупность элементарных функций на произвольном множестве
с интегралом, подчиненным некоторым аксиомам. При расширении
совокупности элементарных функций путем монотонных предель-
предельных переходов и образования разностей получается пространство
суммируемых функций, полное относительно нормы, связанной с
интегралом.
В §§ 3—5 рассматриваются классические интегралы Лебега,
Римана—Стнлтьеса и Лебега—Стилтьеса от функции п переменных.
В §§ 6—8 строится теория меры на основании общей схемы
§ 2. В § 9 на пространстве с мерой рассматриваются аддитивные
функции множеств и устанавливается их каноническое разложение
на абсолютно непрерывную, сингулярно непрерывную и дискрет-
дискретную части. Абсолютно непрерывные составляющие как функции
множеств суть интегралы по этим множествам от некоторой сум-
суммируемой функции — это известная теорема Радона—Никодима.
В § 10 рассматриваются три типа дифференцирования функ-
функций множеств: относительно сети де Посселя, относительно систе-
системы Витали и относительно системы всех суммируемых подмно-
подмножеств. Во всех случаях устанавливается существование производ-
производных и их совпадение с плотностью абсолютно непрерывной состав-
составляющей. Иллюстраций 2. Библиографических ссылок 10.
2-2-3
9S-67

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Интеграл
§ 1. Интеграл Римана и ступенчатые функции 8
1. Интеграл Римана (8). 2. Верхний и нижний интегралы A0).
3. Ступенчатые функции A3). 4. Множества меры 0 и множества
полной меры A5). 5. Дальнейшие свойства ступенчатых функ-
функций A8). 6. Применения к теории интеграла Римана B0). 7. Инва-
Инвариантное определение верхней и нижней функции и критерий
Лебега B2). 8. Идея обобщения B3). Задачи B5).
§ 2. Общая теория интеграла 26
I. Элементарные функции и элементарный интеграл B6). 2. Мно-
Множества меры 0 и множества полной меры B7). 3. Класс L н
интеграл в нем B9). 4. Свойства интеграла в классе L+ C0).
5. Класс L и интеграл в нем C2). 6. Теорема Беппо Леви C4).
7. Теорема Лебега C7). 8. Вопрос о суммируемости предельной
функции при сходимости почти всюду. Лемма Фату C9). 9. Тео-
Теорема о полноте пространства L D0). 10. Теорема Фубнни D3).
II. Знакоиеопределенный интеграл D7). 12. Пространство сумми-
суммируемых функций для знаконеопределенного интеграла E1).
13. Другие возможные разложения E2).
§ 3. Интеграл Лебега в n-мерном пространстве 53
1. Соотношение между интегралом Римана н интегралом Ле-
Лебега E3). 2. Несобственный интеграл Римана и интеграл Ле-
Лебега E4). 3. Теорема Фубинн для функций нескольких перемен-
переменных E6). 4. Непрерывные функции как элементарные функции
с интегралом Римана как элементарным интегралом E8). За-
Задачи F1).
Глава II. Интеграл Стилтьеса 63
§ 4. Интеграл Римана — Стилтьеса 63
1. Брусы и листы F3). 2. Квазиобъемы F5). 3. Квазидлина и
производящая функция F7). 4. Интеграл Римана —Стилтьеса F9).
5. Предельные теоремы G4). 6. Применения в анализе G8).
7. Структура квазиобъема с ограниченным изменением (80). 8. Опи-
Описание других возможных разложений (82). 9. Формулы для поло-
положительного, отрицательного н полного изменения (83). 10. Слу-
Случай л = 1; теорема Жордана (85). Задачи (86).
§ 5. Интеграл Лебега — Стилтьеса 88
1. Определение интеграла Лебега—Стилтьеса (88). 2. При-
Примеры (90). 3. Интеграл Лебега —Стилтьеса для квазиобъема
с ограниченным изменением (93). 4. Интеграл Римана—Стилтьеса
как общий вид линейного непрерывного функционала в простран-
пространстве непрерывных функций (95). 5. Соотношение между квазн-
1»

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
объемами а и <т(97). 6. Непрерывные квазнобъемы A00). 7. Кано-
Каноническое разложение непрерывного квазиобъема а и канони-
каноническое разложение функционала I„ A02). 8. Эквивалентные квазн-
квазнобъемы A03). 9. Построение интеграл i Лебега — Стилтьеса на
основе ступенчатых функций в качестве элементарных A06). За-
Задачи A08).
Глава III. Мера 110
§ 6. Измеримые функции и измеримые множества .... ПО
1. Измеримые функции (ПО). 2. Измеримые множества A13). 3. Тео-
Гма о счетной аддитивности меры A14). 4. Аксиомы Стона A16).
Характеристика измеримых функций в терминах меры A17).
6. Определение интеграла Лебега по Лебегу A19). 7. Интегриро-
Интегрирование по измеримому подмножеству A20). 8. Мера на произве-
произведении множеств A23). 9. Пространство Lp A24). Задачи A29).
§ 7. Конструктивная теория меры 131
1. Полукольца подмножеств A31). 2. Подпространство, порожден-
порожденное совокупностью характеристических функций A33). 3. Доста-
Достаточное полукольцо A34). 4. Вполне достаточное полукольцо A38).
5. Верхняя мера и критерий измеримости A40). 6. Мера на л-мер-
иом брусе. Примеры A-2). 7. Мера Лебега при л = 1 A46). За-
Задачи A47).
§ 8. Аксиоматическая теория меры 148
1. Элементарная, борелевская и лебеговская меры A48). 2. Боре-
левские и лебеговские расширения элементарной меры A51). 3. По-
Построение интеграла по лебеговской мере A58). 4. Разложение
знаконеопределеиной борелевской меры в разность двух неотри-
неотрицательных A59). 5. Квазиобъемы и теория меры A62). 6. Разло-
Разложение Хаиа A64). 7. Общий вид непрерывного линейного функ-
ниоиала в пространстве С (X) A67). Задачи A69).
Глава IV. Производная 172
§ 9. Мера и функции множеств 172
1. Основные типы функций множеств. Разложение функции мно-
множеств иа непрерывную и дискретную части A72). 2. Усиление тео-
теоремы Хаиа A75). 3. Разложение непрерывной функции множеств
иа абсолютно непрерывную и сингулярную части. Теорема Ра-
доиа —Никодима A76). 4. Некоторые приложения теоремы Ра-
Радона—Никодима A80). 5. Положительное, отрицательное и пол-
полное изменения суммы двух счетно-аддитивных функций A83).
Б. Случаи Х = |а. Ь). Абсолютно непрерывные функции точки A84).
7. Сингулярные функции точки A88). 8. Дискретные функции
точки A90). 9. Теорема Лебега о каноническом разложении функ-
функции с ограниченным изменением A92). Задачи A93).
§ 10. Производная функции множеств 194
1. Различные определения производной A94). 2. Дифференциро-
Дифференцирование по сети A98). 3. Дифференцирование по системе Витали.
Теорема Лебега —Витали A99). 4. Некоторые следствия теоремы
Лебега —Витали B0S). 5. Дифференцирование функции множеств
относительно о-кольца B12). Задачи B15).
Предметный указатель 218

ВВЕДЕНИЕ
Одним из основных понятий математического анализа
является понятие интеграла. Классическое определение инте-
интеграла, завершенное в прошлом веке Коши и Риманом, доста-
достаточно для разрешения многих задач математики, механики
и физики. Но для ряда существенных областей математики
и физики, возникших в недавнее время, оно оказывается
недостаточным. Во-первых, оно применимо лишь к функциям
одного или нескольких переменных, тогда как в настоящее
время необходимо иметь возможность интегрирования на
многообразиях, не описываемых никаким конечным числом
вещественных параметров. Это требуется, в частности, в тео-
теории вероятностей, в теории уравнений с частными производ-
производными, а также в гидродинамике и в квантовой физике.
Во-вторых, даже в случае одного или нескольких перемен-
переменных классическое определение Римана дает возможность инте-
интегрировать сравнительно узкий класс функций — непрерывных,
кусочно непрерывных и некоторых других. Но можно по-
построить последовательность функций fx (х), .... /„ (х), ....
например, на отрезке а <С х -^.Ь, такую, что она будет удовле-
удовлетворять «в среднем» условию сходимости Коши, т. е. вели-
чина \\fn(x) — fm(x)\dx будет стремиться к нулю при
а
п->оо и т->оо, а никакой предельной функции среди инте-
интегрируемых по Риману не окажется. Класс функций, инте-
интегрируемых по Риману, является, таким образом, неполным.
А требование полноты класса интегрируемых функций пред-
представляется необходимым чуть ли не в каждой области, имею-
имеющей дело с современным анализом. В-третьих, в класси-
классическом определении интеграла многообразие, по которому
интегрируют, — прямая, плоскость и т. д. — является факти-

6 ВВЕДЕНИЕ
чески однородным; это сказывается на том, что величина
интеграла от любой функции не меняется при ее сдвиге.
Но по существу во многих вопросах нельзя считать область
интегрирования однородной. Иногда можно учесть неодно-
неоднородность введением переменной плотности, например, как это
делается в задачах, связанных с неоднородной струной.
Но этот прием не всегда спасает от затруднений (пример:
струна, нагруженная точечными бусинками).
Общая концепция интеграла, развитая в работах круп-
крупнейших математиков нашего века (от Лебега до наших дней),
свободна от указанных трудностей; она не нуждается в ко-
конечномерности области интегрирования и в ее однородности
и приводит к достаточно широкой совокупности интегрируе-
интегрируемых функций (полной относительно сходимости в среднем).
Эта концепция и является предметом нашей книги.
Несколько замечаний для специалистов. Известно, что
существуют различные подходы к изложению общей теории
интеграла; одни из них начинаются с аксиоматической теории
меры (схема Лебега), другие — с понятия элементарного инте-
интеграла на совокупности элементарных функций (схема Даниэля).
В конечном счете оба подхода эквивалентны. Если элемен-
элементарные функции в схеме Даниэля — конечнозначные (типа
ступенчатых), прямая связь схемы Лебега и схемы Даниэля
очевидна; но в иных случаях, например, при рассмотрении
линейных функционалов в пространстве непрерывных функ-
функций, схема Даниэля также действует и непосредственно при-
приводит к нужным результатам, в то время как анализ про-
проблемы с позиций схемы Лебега требует значительных вспо-
вспомогательных построений. В пользу схемы Даниэля говорит
и то, что, имея дело с элементарным интегралом, она не
требует в приложениях предварительного построения теории
меры (более того, теория меры получается, как почти сама
собою разумеющаяся цепь следствий теории интеграла). Воз-
Возможно, что всеми этими обстоятельствами и было вызвано
известное высказывание Винера A933): «В идеальном курсе
по теории интеграла Лебега все теоремы устанавливались бы
с точки зрения интеграла Даниэля» (Н. Винер и Р. П э л и,
Преобразование Фурье в комплексной области, русск. пер.:
«Наука», 1964, стр. 214). Этим объясняется выбранный нами
подход, основанный на систематическом использовании схемы
Даниэля.

ВВЕДЕНИЕ 7
В числе первоисточников мы должны указать на следую-
следующие книги: Ф. Рисе и Б. Секефальви-Надь, Лекции
по функциональному анализу (ИЛ, 1954), где схема Даниэля
проводится для случая одного или нескольких вещественных
переменных; Л. Люмис, Введение в абстрактный гармони-
гармонический анализ (ИЛ, 1956), где схема Даниэля дана в обще!,
форме, хотя и несколько иным образом.
Первое издание книги вышло в 1964 г. в издательстве
«Наука». В 1966 г. в издательстве Prentice — Hall (США)
вышло английское издание в весьма квалифицированном
переводе доктора Р. А. Силвермена. Для английского изда-
издания книга была подвергнута авторами существенной пере-
переработке. Был значительно расширен § 1 (интеграл Римана4
полностью написана заново гл. 11 (интеграл Стилтьеса),
знаконеопределенпые интегралы были переведены в самое
начало, сразу после знакоопределенных, что повлекло и ряд
других перемен. Были устранены замеченные недочеты в изло-
изложении теории дифференцирования функций множеств и в не-
некоторых других местах. Во втором русском издании, есте-
естественно, сделаны все те улучшения, которые были произведены
для английского издания; кроме того, все задачи были пере-
пересмотрены, расположены более систематично и был добавлен
ряд новых задач.
Авторы приносят глубокую благодарность Д. А. Рай-
Райкову, прочитавшему всю книгу в рукописи и высказавшему
ряд важных замечаний, и доктору Р. А. Силвермену, крити-
критические замечания которого в процессе работы над английским
переводом много способствовали улучшению книги. Мы бла-
благодарим также М. Г. Сониса и М. С. Аграновича, внима-
внимательно просмотревших рукопись второго русского издания
и сверивших ее с английским изданием.
Авторы

ГЛАВА I
ИНТЕГРАЛ
§ I. Интеграл Римана и ступенчатые функции
1. Интеграл Римана. Под «-мерным прямоугольным
параллелепипедом В мы будем понимать множество точек
x = (xv .... х„) вида
В=[х: «,<*,<* <*„<*„<?„},
причем естественно предполагается, что
Такие прямоугольные параллелепипеды назовем для крат-
краткости брусами. Максимальное из чисел Ьх — а Ьп — ап
назовем размером бруса В. Величина
s (В) = 0, -ах)...фп-ап)
есть объем бруса В. Функция s(B) есть аддитивная функ-
функция своего аргумента; это означает, что если брус В разбит
на подбрусы Вг Вр, не имеющие общих внутренних
точек (такой набор подбрусов назовем разбиением бруса В),
то «(?) = «(?,)+ ... +s(Bp).
Брус, фиксированный в продолжение всего курса, назо-
назовем основным и обозначим через В.
Напомним теперь схему построения интеграла Римана. Пусть
f(x)—вещественная ограниченная функция, т. -^ / (х) -^ Ж,
заданная в основном брусе В. Рассмотрим разбиение II
бруса В на подбрусы Bv .... Вр и в каждом из брусов Вк
выберем произвольно точку Ъ,к F=1, .... р). Составим
инте!ральную сумму Римана
2

1| § I. ИНТЕГРАЛ РИМАНА И СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ 9
Обозначим через d(H) наибольший из размеров брусов
В1 Вр. Пусть теперь имеется последовательность раз-
разбиений П,, .... П^ для которой d(UQ)-*-0. Если
числа /?п (/) имеют при <7~>оо предел, не зависящий от
выбора последовательности Wq (лишь бы d (П^) ->• 0) и выбора
точек \к ? Вк, то этот предел называют интегралом Римана
от функции f(x) по брусу В; таким образом,
Г/(*)</* = lim /?п(/).
I <1(П)-»0
Возникает вопрос, для каких функций f(x) существует
указанный предел. О. Коши в своем «Курсе алгебраического
анализа» A821) доказал существование интеграла для непре-
непрерывной функции f (х) *).
Уже Дирихле в 1837 г. заметил, что имеются (разрыв-
(разрывные) функции, для которых интеграл Римана не существует **).
Далее Римаи, Дю Буа Раймонд, Лебег нашли необходимые
и достаточные условия интегрируемости функции по Риману;
каждое из них показывало, что интегрируемая по Риману
функция обязана быть не «очень» разрывной (мы укажем
признак Лебега в п. 7).
В дальнейшем различные потребности теории заставили
искать более широкие определения интеграла, применимые
к значительно большему запасу функций. Важнейшее опре-
определение было дано Лебегом в 1902 г. (для п= 1). далее
Радоном и Фреше в 1912—15 гг. в общем случае. Суще-
Существуют различные подходы к построению интеграла Лебега;
по соображениям, указанным во введении, мы избираем путь.
*) Доказательство Коши нельзя считать строгим, поскольку
он не располагал еще понятием равномерной непрерывности. Впер-
Впервые строгое доказательство существования интеграла от непрерыв-
непрерывной функции получил Дарбу в 1875 г. Определение равномерной
непрерывности и теорема о равномерной непрерывности функции,
непрерывной в каждой точке замкнутого интервала, были даны
Гейне A870).
**) Примером может служить функция х(х), 0<л:<1, рав-
равная 0 при х иррациональном и 1 при х рациональном (функция
Дирихле). При любом разбиении П, выбирая все точки ?* иррацио-
иррациональными или, наоборот, рациональными, можно в качестве /?п(х)
получить по желанию 0 или 1.

10 ГЛ. t. ИНТЕГРАЛ 12
указанный Даниэлем A918). Но вначале следует более вни-
внимательно рассмотреть построение Римана.
2. Верхний и нижний интегралы. Пусть П есть раз-
разбиение основного бруса В на подбрусы В, Вр; по-
положим тк = inf /(х), Мк = sup /(х) (k—1 р). Выра-
<,'. Я. гС Я
жение
ft-i
называется нижней интегральной суммой Дарбу для функ-
функции f(x), отвечающей разбиению П. Аналогично,
называется верхней интегральной суммой Дарбу для функ-
функции / (х). Очевидно, при любом выборе точек Ъ,к ? Вк
(fc= I р) мы имеем
ms (В) < Оп (/) < Ra (/) < Dn (/) < Ms (В),
где m = inf/(;t), M = su p / (л;).
Сравним значения нижней и верхней суммы для двух
различных разбиений II и 1Г основного бруса В. Пусть
сначала П' получено дальнейшим подразбиением брусов раз-
разбиения П. Каждое слагаемое суммы Dn вида mks(Bk) при
переходе к П' заменится на сумму вида 2"t*/s(^*/)> гле
J
Вк = М Bkj, a mkj = inf / (х). Так как тк ^ mkj, то
ftiks \Вк)=== тк ^^j s \Bkj) -^ ^2j тр j$ \Bfc i)i
J i
откуда
Таким образом, при переходе от разбиения П к разбиению П'
нижняя сумма может лишь увеличиться. Аналогично, при
переходе от разбиения П к разбиению П/ верхняя сумма
может лишь уменьшиться.

2) § I. ИНТЕГРАЛ РИМАНА И СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ 11
Пусть теперь II и П'—произвольные разбиения. Рас-
Рассмотрим всевозможные пересечения брусов разбиения П
с брусами разбиения П'; их совокупность определяет новое
разбиение П", более мелкое как по сравнению с П, так и
по сравнению с П'. В силу предыдущего мы имеем
?а СО < Dn- (/) < Dn- (/) < Dn- (/)•
Следовательно, всякая нижняя сумма Дарбу не превос-
превосходит любой из верхних сумм Дарбу.
Положим
sup Dn (/) = f / (*) dx, inf Dn (/) = f / (x) dx,
в B
где верхняя и нижняя грани берутся по всем разбиениям
бруса В. Эти величины называются соответственно нижним
и верхним интегралами функции / (х) по 6pycjj В. В силу
доказанного мы имеем
в в
Пусть П,, ..., П^, ...—произвольная последовательность
разбиений бруса В, для которой d(Hg)->0; покажем, что
всегда
Dnq (/) -> J / (х) dx, б„9 (/) -> J / (*) dx.
Для заданного е > 0 найдем разбиение П такое, что
О < J
в
Оценим, далее, величину DIT (/). Брусы разбиения Ylq объ-
объIT
единим в две группы: в первую отнесем те (обозначим их Bj ),
которые целиком лежат в брусах разбиения П, во вто-
вторую — те, которые пересекаются с гранями брусов Вг раз-
разбиения П (их обозначим B{f). Теперь представим рПд(/)
в форме Aie(/) = 2(A(fi(/)J(A(M?))
2

12 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ |2
Далее, добавим к системе брусов B^f еще некоторые
/«' >
брусы Bj , являющиеся пересечениями брусов В\- с бру-
сами Вг, чтобы получить полное разбиение Ид основного
бруса В, более мелкое, чем разбиение II. В итоге мы
получим
2n,W=9nqW ~ 2тТз(в''/) + 2тУз(вГ), A)
и, следовательно,
/(х) dx - i-< D(i(/) < Dn. (/)<{/ (х)dx.
в " в
Пусть Оц есть общая площадь всех граней разбиения П.
Так как брусы Bj и Щ пересекаются с гранями разбие-
разбиения II и имеют размеры, не превосходящие d(IIfl), то
каждая из двух последних сумм в A) не превосходит по
модулю М • Gn • d(Ug).
Выберем q так, чтобы иметь МОцй (П?) <^ -^-; тогда,
очевидно, мы получим
в
откуда
О < J / (х) dx -Dn (/)< J / (x) dx - Dn- (/) +1 < e.
в"
что и требуется.
Для верхних сумм доказательство аналогично.
Если интеграл Римана от функции f(x) существует, то
верхние и нижние суммы должны иметь общий предел,
так что для любой последовательности разбиений П
с
lim Dlt {f) = f / (x) dx = f / (x) dx =
в в
' f(x)dx= lim Du
1

3) § I. ИНТЕГРАЛ РИМАНА И СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ 13
Обратно, если хотя бы для одной пары последовательностей
разбиений Ц,, П^ (q=l, 2, ...) такой, что d(UQ) >0,
() - 0, имеет место равенство
Mm Dn (/)= lim D '(/),
<7->co q q -»go x q
то и для любой последовательности Uq с </(п?)->0
lim D •(/)= Mm D (/)= lim D ¦ (/) = lim D . (/),
откуда следует, что функция f(x) интегрируема по Риману.
3. Ступенчатые функции. Пусть имеется разбиение
основного бруса В на подбрусы Вх, .... Вр без общих
внутренних точек. Функция h(x), принимающая постоянное
значение в каждом из брусов Bv .. ., Вр, так что
А, при x?B]t
hp при х ? Вр,
называется ступенчатой функцией. На граничных плоско-
плоскостях подбрусов Вк, являющихся плоскостями разрыва функ-
функции h (x), ее можно определять различными способами или
вовсе не определять: значения h (x) на плоскостях разрыва
не являются существенными для дальнейших построений.
Всю совокупность ступенчатых функций в брусе В мы
обозначим через Н или, при необходимости, Я (В). Сово-
Совокупность Н есть линейное пространство с обычными опера-
операциями сложения и умножения на вещественные числа: если
h (х) и k(x) — ступенчатые функции, то их линейная ком-
комбинация l(x) = ah(x)-{-pk(x) с вещественными коэффициен-
коэффициентами аир также есть ступенчатая функция. Именно, если
?[ Вр—система подбрусов, на которых постоянна
функция h(x), а В[ В'я — система подбрусов, на кото-
которых постоянна функция k (х), то пересечения В\В\, . . ., ВРВ^
образуют систему подбрусов, на каждом из которых посто-
постоянна функция /(*)*).
*) Среди указанных пересечений могут оказаться пустые; их
мы, естественно, отбросим.

14 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ П
Отметим еще некоторые операции, которые можно про-
производить в пространстве Н. Абсолютная величина |A(jc)|
ступенчатой функции h (x) есть ступенчатая функция. Далее,
если даны две ступенчатые функции h(x) и k (x), то
Л, (jc) = max {h(x), k(x)}, ?, (jc) = min \h{x), k{x))
суть также ступенчатые функции. В частности, для каждой
ступенчатой функции h (jc) являются ступенчатыми также ее
положительная часть h+ (jc), определяемая равенством
п*~(х)=тах{п(х), 0].
и отрицательная часть h~ (jc), определяемая равенством
Введем понятие интеграла от ступенчатой функции.
(Мы не связываем это понятие с уже введенным интегралом
Римана и поэтому применяем иное обозначение.) Интегралом
функции h (jc) по брусу В будем называть величину
Интеграл от ступенчатой функции обладает следующими
свойствами:
а) / (ah-\-fik) = afh-\-fifk для любых двух ступенча-
тых функций h и k и любых вещественных чисел а и Р;
б) если h(x)-^k(x) при каждом х, то Ih^Ik; в част-
частности, если й(д:)>0, то lh^-0.
Для установления свойства а), имея систему брусов {fl,},
на которых постоянна функция п(х), и систему брусов {Bj\,
на которых постоянна функция k (jc), мы рассмотрим, как и
выше, систему брусов BjBi, на которых постоянны обе
эти функции; мы имеем, далее,
s (B'j) = 2 s {B'jBb s (В,) = 2 s (B'jBb

4] § I. ИНТЕГРАЛ РПМАНЛ II СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ 15
откуда
In = S V (В/) 2 2
/Л = S М (j) S
у
/ (аи -f- Р*) = 2 2 (<*л/ +- Р*у)«(B'jBi) = «/Л
что и требуется. Аналогично доказывается свойство б).
4. Множества меры 0 и множества полной меры.
В дальнейшем существенную роль будут играть покрытия
множеств системами брусов. Мы будем говорить, что мно-
множество А (в основном брусе В) покрыто системой бру-
брусов {Ва}, если каждая точка множества А является внутрен-
внутренней точкой хотя бы одного из брусов Ва. Для замкнутого
множества А имеет место лемма о конечном покры-
покрытии: из любого покрытия множества А системой бру-
брусов [Ва] можно выделить покрытие конечным числом
брусов из этой системы.
Введем теперь определение множества меры 0.
Определение. Множество Z в брусе В называется
множеством меры 0, если для любого е > 0 его можно
покрыть конечной или счетной системой брусов Bv B2
сумма объемов которых не превосходит е.
Так, лист, т. е. сечение бруса В некоторой плоскостью,
параллельной координатной плоскости, есть множество меры 0,
поскольку для любого е > 0 имеется брус Ве < В, содер-
содержащий данный лист и при достаточно малой толщине имею-
имеющий объем меньше е.
С другой стороны, весь брус В заведомо не есть мно-
множество меры 0. Действительно, предположим, что он покрыт
системой брусов /3,, В2, ... По лемме о конечном покры-
покрытии из этой системы можно выбрать конечную подсистему,
также покрывающую брус В; сумма объемов брусов даже
этой конечной подсистемы превосходит объем 5(В) бруса В
и поэтому не может быть меньше числа e<s(B).
Пустое множество также будем считать множеством
меры 0.
В дальнейшем мы часто будем использовать следующее
свойство множества меры 0:

16 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ I*
Объединение конечной или счетной совокупности мно-
множеств меры О есть множество меры О.
Доказательство. Рассмотрим сразу случай счетной
совокупности Zx Zm, ... множеств меры 0. Для за-
заданного е > 0 и для каждого т покроем множество Zm
счетной системой брусов с суммой объемов, меньшей -щ-
(т=\, 2, ...). Тогда все множество Z = Z, -f- Z2 ~Ь •••
окажется покрытым счетной системой брусов (сумма счетного
множества счетных множеств) с суммой объемов, меньшей е.
Следовательно, Z имеет меру 0, что и требовалось.
Множество в брусе В, дополнительное к множеству меры 0,
называется множеством полной меры.
Пересечение конечной или счетной совокупности мно-
множеств полной меры есть снова множество полной меры.
Действительно, если Q,, Q2, ...—множества полной меры
и Z| = CQj, Z2=CQ2, ...—дополнительные множества
меры 0, то множество
в силу леммы имеет меру 0; отсюда следует, что f|Qm есть
т
множество полной меры, что и утверждалось.
Если некоторым свойством обладают все точки некото-
некоторого множества полной меры в брусе В, то мы говорим,
что это свойство выполняется почти для всех точек бруса В.
Бывают функции, почти всюду непрерывные, т. е. непрерыв-
непрерывные в каждой точке, кроме, может быть, множества меры 0.
Для функций, которым разрешается принимать и бесконеч-
бесконечные значения, имеет смысл название «конечная почти всюду»;
это означает, что множество, на котором функция беско-
бесконечна, есть множество меры 0.
Множество точек разрыва ступенчатой функции, которое
всегда располагается на конечном числе листов, есть мно-
множество меры 0. Множество точек непрерывности ступенчатой
функции — множество полной меры.
Можно дать новое определение множества меры 0 в тер-
терминах интегралов от ступенчатых функций. А именно, мно-
множество ZaB есть множество меры 0, если для любого
е > 0 существует такая последовательность неотри-

ц § 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА И СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ 17
цательных ступенчатых функций hV (x) -< йBЕ) (х) -< .. .
... <Ад(х)< .... что sup^(x)>l всюду на мно-
tn
жестве Z и Ы% < е при любом т~\, 2
Проверим, что это новое определение эквивалентно ис-
исходному. Пусть Z есть множество меры 0 в смысле исход-
исходного определения, так что при любом е > 0 существует
система брусов Bv В2, .. . с суммой объемов, меньшей е,
покрывающая множество Z. Обозначим через й(ш(х) сту-
ступенчатую функцию, равную 1 на брусах В1 Вт и О
вне этих брусов. Очевидно,
MVX^ (*)<... и /АИ' < е;
далее, любая точка xo?Z входит в некоторый брус Вт,
откуда ^(хЛ=\ и, следовательно, sup ^^(хЛ > 1 на
/Л
множестве Z, что и требуется.
Обратно, пусть Z есть множество меры 0 в смысле но-
нового определения, так что при любом е > О имеется после-
последовательность неотрицательных ступенчатых функций ftf'(x)^
< hf (x) < . . . со свойствами /А(е) < е, sup /h(%(x) > 1
т
на множестве Z. Рассмотрим систему брусов В\ В,,
на которых функция Ai (x) принимает значения ^s- 72. Функ-
Функция й^е)(х) на этих брусах также принимает значения ^-'/г
и, кроме того, ^> '/г еще на некоторой системе брусов
flfln. •¦•. #/у Функция йзе)(х) принимает значения ^> '/г
на брусах В{ Вг, и, кроме того, еще на некоторой
системе брусов Вг,+ \ ВГл. Продолжая так далее, мы по-
получим бесконечную систему брусов В{ Вг В, , . . ,
без общих внутренних точек. Множество Z содержится
в объединении всех Bj, поскольку в каждой точке xo?Z
по условию sup ^2{хЛ~^-1. Оценим сумму объемов бру-
сов Bj. Если мы ограничимся брусами В\ Вг , на ко-
которых функция hfn{x) принимает значения ^ 1/2, то, по-
т
скольку fh(S <e, мы будем иметь 2 $(?,)<2е. Устремляя т
2 Г. С. Шилов, D. Л. Гурсвич

18 ГЛ f. ИНТЕГРАЛ |б
к бесконечности, получаем
Брусы Bj могут не образовывать покрытия множества Z,
поскольку точки множества Z не обязательно являются
внутренними точками брусов Bj. Но если каждый брус Bj
заменить концентрическим и вдвое большим по объему бру-
брусом B'j, то получим уже покрытие множества Z брусами Bj,
имеющими сумму объемов <^4е. Так как е произвольно
мало, то Z есть множество меры 0 в смысле первого опре-
определения, что и требуется.
Отметим простой частный случай предыдущего правила:
Пусть множество ZcB обладает следующим свой-
свойством: для любого е > 0 существует ступенчатая функ-
функция й(е)(*)>0 такая, что fh(e\x)<e и А(е\лг)> 1 на Z.
Тогда Z есть множество меры 0.
Действительно, можно положить
и условие предыдущего критерия будет выполнено.
5. Дальнейшие свойства ступенчатых функций.
Лемма 1. Если последовательность неотрицатель-
неотрицательных ступенчатых функций hx{x) hp(x), ...не воз-
возрастает (так что А, (х) > /г2 (х) > . . .) и lhp -> 0, то почти
всюду lim hp(x) = 0.
р-»оо
Доказательство. Положим g(x)= lim hp(x). Функ-
р-*оо
ция g(x) определена всюду в брусе В и неотрицательна.
Множество О=\х: g"(jt)>0) есть объединение последова-
последовательности множеств Gffl = ]jc: ё{х)~^ — \. Для того чтобы
показать, что О есть множество меры 0, достаточно пока-
показать, что каждое От есть множество меры 0. На каждом От
имеем hp {x) ^> g (х) ^ —, так что
«*„(*)>! (р=1. 2, ...).
Функция тпр(х) — ступенчатая функция и I(mhp) = mlhp—*Q
при /j—>оо. Поэтому для заданного е ;> 0 всегда можно

rj § I. ИНТЕГРАЛ РИМАНА И СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ 19
найти такое р, что / (mhp) < e. В силу последнего замечания
в п. 4 множество Gm есть множество меры 0, что и требуется.
Лемма 2. Если последовательность неотрицатель-
неотрицательных ступенчатых функций h}(x), ..., hp(x), ... не воз-
возрастает (так что A,(jc)> Й2(л:)> .. .) и почти всюду
lim hp(x) = 0, то Ihp->0.
Доказательство. Предположим сначала, что функ-
функции hp(x) всюду стремятся к нулю. Множество всех точек
разрыва всех hp обозначим через Z; это множество меры 0.
Покроем его системой брусов Вх, В2, . .. с общим объемом,
меньшим заданного е > 0. Каждой из оставшихся точек х'
сопоставим номер т = т (х'), для которого выполняется
неравенство hm(x')<.e, и брус В'(хг), в котором содер-
содержится эта точка х' и функция hm сохраняет свое значение.
Брусы Вх, В2, ... в,\:есте с брусами В'(х') образуют покры-
покрытие бруса В, из которого мы можем выбрать конечное
покрытие. Обозначим брусы конечного покрытия через
В\ Вг, В], ..., Bj. Если р — наибольший из номеров
т(х'), отвечающих соответствующим точкам х'{, ..., х', то
функция hp(x) и все последующие на брусах В\ Вц
не превосходят е. На брусах Вх Вг, сумма объемов
которых по построению меньше е, эти функции не превос-
превосходят числа М1 — максимума функции Л, (х) в В. Брусы
Blt ..., B'q можно считать попарно не имеющими общих
внутренних точек, поскольку мы всегда можем добиться
этого, перейдя к более мелкой системе брусов и исключив
общие части. Поэтому сумму объемов брусов Вх Вч
можно считать не превосходящей объема всего основного
бруса В. Теперь ясно, что для интеграла от функции hp(x)
по брусу В и для интеграла от всех последующих функций
получается оценка вида /Лр-^ /И,е-f-es (В). Так как е можно
было взять произвольно малым, то мы приходим к выводу,
что /kp->0, что и требовалось.
Если hp(x) не всюду, а только почти всюду стремятся
к 0, то мы рассмотрим множество Z меры 0, на котором
последовательность hp(x) не стремится к нулю. Для задан-
заданного е > 0 имеется неубывающая последовательность неотри-

20 ГЛ f. ИНТЕГРАЛ I«
цательных ступенчатых функций kp(x), для которых Ikp<. тг-
и sup?p(jt)^>l в точках множества Z. Очевидно, что суще-
р
ствуют числа Пт/Лр'>0и lim/?p<; -^-. Разность ftp— Щкр
не возрастает и имеет всюду неположительный предел; отсюда,
в силу доказанного,
и, следовательно,
lim Ihp — Мх lim Ikp = lim / (hp — Mxkp) <; 0.
Но тогда
0 < lim Ihp < M, lim lkp < Ml -^- = г,
и так как е произвольно мало, то Пт/Лр = 0, что и тре-
бовалось.
6. Применения к теории интеграла Римана. Нижняя
интегральная сумма Дарбу (и. 2)
может быть истолкована как интеграл от «нижней» ступен-
ступенчатой функции йп (х), принимающей в брусе В,, значение тк.
Аналогично, верхняя сумма
есть интеграл от «верхней» ступенчатой функции Аи (х),
равной в брусе Вк значению Мк. Последовательности раз-
разбиений П,, .... П?, .. . бруса В отвечает последовательность
нижних функций А, (х), ..., hq{x), ... и последовательность
верхних функций hl(x) hq{x) Если при этом каждое
разбиение П?+1 является подразбиением разбиения П?, то
последовательность нижних функций А Ах) не убывает, а по-

f, § Т. ИНТЕГРАЛ РИМАНЛ И СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ 21
следовательносгь верхних функций hq (x) не возрастает. Пред-
Предположим, что при этом d(Ug)->0. Функцию
/(*)=1Ип А,(дс)
назовем нижней функцией, а функцию
/(*) = llm^V*)
— верхней функцией. Очевидно, /(*X f (*)</(х).
Теорема. Функция f(x) тогда и только тогда
интегрируема по Риману, когда функции f (х) и f(x)
совпадают почти всюду (и совпадают тем самым почти
всюду с функцией f(x)).
Доказательство. Пусть / (х) интегрируема по Риману;
тогда
lim /A, = J / (х) dx = J / (х) dx = lim /A,.
* в" в ч
откуда
\imj(hl]-hq) = 0.
Но последовательность hq — hq не возрастает; применяя
лемму 1 (п. 5), получаем, что почти всюду 0 = 1пп(Л?—hq)^1
= lim hq— lim hq —f — /, что и требуется.
Обратно, пусть почти всюду f(x) = f(x). Это означает,
что почти всюду
llm(hq-he) = Q.
По лемме 2 мы имеем
VmJ(hg — hq) = 0.
откуда
Г f(x)dx= limM.= l\mlh.= Jf(x)dx

22 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ [7
и функция f(x) согласно п. 2 интегрируема по Риману
что и утверждалось.
7. Инвариантное определение верхней и нижней функ-
функции и критерий Лебега. Определение верхней и нижней
функции, данное в п. 6, явно зависит от выбора последова-
последовательности разбиений Yiq. Покажем, что нижнюю и верхнюю
функции можно определить прямо по функции f(x), во вся-
всяком случае с точностью до множества меры 0.
Положим для любого х0 ? В
/ (лс0) = lim inf / (х). /(*„) = !im sup / (x) *).
~ X -> Xo X -»Xo
Пусть теперь Uq (q ~ 1, 2, ...)—последовательность раз-
разбиений бруса В (такая, что разбиение П?_, j есть подразбиение
разбиения Ylq), a f(x) и f(x) — соответствующие нижняя
и верхняя функции. Покажем, что почти всюду выполняются
равенства
/(*) = /(*). f(x) = f~(x).
Именно, эти равенства выполняются в каждой точке х0
которая при любом q является внутренней точкой некоторого
бруса BQ(x,j) разбиения l\q. В самом деле, для заданного
е>0 мы можем найти шар Qe(xQ) с центром в точке х0
такой, что из x^Qe(x0) следует f(x)>f(x0) — е. Брус
Bq {xQ) при достаточно большом q лежит в шаре Qe (x0),
так что и во всех точках бруса Bq(x0) также /(х) > f(xo)—e.
Но тогда h (xQ)= inf / (*)>/(¦*(>) —е- откуда и
/(*0)=IimA (*0)>/(*0)-е. A)
— <7-»оо— ~
С другой стороны, в брусе Bq(x0) заведомо имеются точки х,
для которых f (х) < /(-го)-|-е; поэтому
А,(*о)= inf
*) lim inf f(x) означает нижний предел — наименьшее из пре-
предельных значений функции / (х) при х -> х0. Аналогично lim sup / (х)
означает верхний предел, т. е. наибольшее из предельных значений
функции f (х) при x->x0.

8] § I. ИНТЕГРАЛ РИМАНА И СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ 23
и, следовательно,
/(*o)=limA (*о)</(*о) + е. B)
Переходя к пределу при е-»0 в неравенствах A) и B),
находим f(xa) = f(x0).
Аналогично доказывается, что / (х0) = f(x0).
Очевидно, точка х0 есть точка непрерывности функ-
функции f (х) тогда и только тогда, когда f(xo) = f(xo) = f(xo).
Если функция f (х) интегрируема по Риману, то почти всюду
мы имеем
/(*) = /(*) = /(*) = / (*) = /(*)•
так что почти каждая точка х есть точка непрерывности
функции f (х). Обратно, если имеется множество полной
меры точек непрерывности функции f (х), то имеется и мно-
множество полной меры, где выполняются равенства
/(*) = /(*) = /(*) = /(*) = / (*)•
так что функция f (х) интегрируема по Риману. Мы полу-
получаем критерий Лебега интегрируемости функции f(x) по
Риману: функция f (х) интегрируема по Риману тогда
и только тогда, когда множество ее точек разрыва
есть множество меры нуль.
8. Идея обобщения. Как мы видели в п. 6, если функ-
функция / (х) интегрируема по Риману, то она является пределом
(в смысле сходимости почти всюду) некоторой возрастающей
последовательности ступенчатых функций (именно, функций
hq(x)) и одновременно пределом (в том же смысле) убываю-
убывающей последовательности ступенчатых функций (именно, hq(x)).
Верно и обратное: если функция f (х) является пределом
(в смысле сходимости почти всюду) какой-то возрастающей
последовательности ступенчатых функций kq{x) (не обяза-
обязательно типа h (x)) и одновременно пределом какой-то убы-
убывающей последовательности ступенчатых функций lq(x),
причем всюду kq(х)</(х)</(/(х), то f (х) интегрируема.
Действительно, если мы обозначим через П^ разбиение бруса В
на брусы, на которых постоянна функция kq{x), и построим

24 ГЛ t. ИНТЕГРАЛ J8
соответствующую функцию hq(x), то, обозначая через Bq(x0)
брус подразбиения Uq, содержащий точку х0, мы будем иметь
*,(*„)< inf f(x)=h (xo)^f(xo).
Так как почти всюду kq(x0)-* f(x0), то почти всюду
и hq(x0)-*f(x0), так что /(*„) = /(*„).
Аналогично почти всюду f(xo) = f(xo), и, следовательно,
функция /(л:) интегрируема. При этом, так же как и в п. 6,
мы имеем
f f(x)dx= lim Ik = lim It .
Пусть теперь относительно функции f (x) известно только
то, что она является пределом в смысле сходимости почти
всюду возрастающей последовательности ступенчатых функ-
функций hq(x), причем числа lhq имеют предел (для этого доста-
достаточно, чтобы они были ограничены в совокупности). Назовем
величину //= lim Ih «интегралом» от функции /; это опре-
<7-+оо
деление, во всяком случае, не противоречит определению
интеграла Римана для функций, интегрируемых по Риману.
Прежде всего возникает вопрос, зависит ли число // только
от функции f(x) (может быть, оно зависит от выбора после-
последовательности hq (х)). Ответ оказывается положительным;
помимо того, развитие этого определения приводит к такой
теории интеграла, которая будет удовлетворять всем выска-
высказанным выше общим требованиям.
Более того — и это очень важное обстоятельство — для
построения новой теории уже нет надобности учитывать кон-
конкретную природу области В и функций hq(x); для этих
функций и интеграла от них существенно лишь то, что они
обладают некоторыми общими свойствами из числа тех, ко-
которые мы установили для ступенчатых функций и интегралов
от них на брусе В в n-мерном пространстве. Чтобы под-
подчеркнуть это обстоятельство, мы будем проводить дальнейшее
построение для функций, определенных на абстрактном мно-
множестве X. Мы будем предполагать, что для некоторой
совокупности Н «элементарных» функций h(x) на мно-
множестве X интегралы Ih уже известны и обладают некоторыми

§ I ИНТЕГРАЛ РИМАНА И СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ 25
простыми свойствами; эти свойства мы сформулируем в виде
нескольких аксиом. Дальнейшее расширение запаса интегри-
интегрируемых функций мы будем проводить по намеченной здесь
схеме. Все это придаст построению интеграла значительно
большую общность н откроет возможности самых разно-
разнообразных применений.
ЗАДАЧИ
1. Даио. что замкнутог множество F на замкнутом интер-
интервале \а, Ь\ получается в результате выбрасывания из этого замк-
замкнутого интервала счетной совокупности непересекающихся интер-
интервалов Alt ..., Дд, ... с суммой длии, равной b — а. Показать, что F
имеет меру 0.
2. Канторово множество. Из замкнутого интервала [0,1 ]
выбрасывается интервал A/3,2/3) длины 1/3, составляющий среднюю
из трех третей всего замкнутого интервала. Затем подобная опера-
операция производится с каждым из двух оставшихся замкнутых интер-
интервалов [0, 1/3] и [2/3, 1], т. е. нз каждого из них выбрасывается его
средняя третья часть, именно, интервал A/9, 2/9) из [0, 1/3] и интер-
интервал G/9, 8/9) из [2/3, 1]. Далее аналогичная процедура производится
с каждым из четырех оставшихся замкнутых интервалов [0, 1/9],
[2/9, 1/31, [2/3, 7/9] и [8/9, 1] — и процесс продолжается неограни-
неограниченно. Оставшееся в результате замкнутое множество С называется
канторовым.
Показать, что каиторово множество:
а) имеет меру 0;
б) имеет мощность континуума.
3. Известно, что сумма длин смежных к замкнутому множеству
F с: [а, Ь] интервалов меньше Ь — а. Показать, что множество F
не есть множество меры 0.
4. Обобщить конструкцию канторова множества следующим
образом. Пусть иа первом этапе отрезок [0, 1] разделяется на т.\
равных частей и выбрасываются kx из иих; иа втором этапе каждая
из оставшихся частей длины 1/т, разделяется иа т2 равных частей,
из которых выбрасываются k2 и т. д. При каком условии на после-
последовательности натуральных чисел ти т2, ... и ku k2, ... после
всех выбрасываний остается лишь множество меры 0?
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
1. F покрывается конечной суммой отрезков, получающихся при выбрасыва-
выбрасывании из \а, t>\ интервалов Af Д^.
2. а) Использовать задачу I; 6) рассмотреть запись точек множества С
в троичной числовой системе и сопоставить с записью точек замкнутого интер-
вала [0, 1] в двоичной числовой системе.
3. В предположении противного весь замкнутый интервал la, b\ можно
было бы покрыть конечной системой интервалов с общей длиной, меньшей ft — a.
4. При условии Т| (i —-j?-
1
я-1

26 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ И
§ 2. Общая теория интеграла
Этот параграф играет центральную роль во всей книге.
Намеченное в § 1 обобщение понятия интеграла получает
здесь свою реализацию. Результат построения — пространство
суммируемых функций на абстрактном множестве X с задан-
заданным семейством элементарных функций и с заданным элемен-
элементарным интегралом — будет служить опорным пунктом для
всех дальнейших рассмотрений.
1. Элементарные функции и элементарный интеграл.
Нам дано семейство Н вещественных ограниченных функций,
определенных на некотором множестве X; мы будем их
называть в дальнейшем элементарными функциями.
Относительно семейства Н мы предположим следующее:
\) И—линейное пространство с обычными операциями
сложения и умножения на вешественные числа;
2) вместе с каждой функцией h (х) в семейство И входит
ее модуль |А(лс)|.
Отсюда следует, что вместе с функцией h(x) в семей-
семейство Н входит ее положительная часть h+ (x) = max [h (x), 0}
и отрицательная часть h~ (x)— max {0, —h(x)), поскольку
эти функции линейно выражаются через h(x) и |/г(л;)| из
уравнений
hJ (x)-\-h-(x)= \h(x)\, h' ¦(*)- /Г (х) = h (x).
Далее, вместе со всякими двумя функциями h и k в семей-
семейство Н входят тах{Л(лс), k(x)} и mm \h(x), k(x)} как
решения уравнений
tmx{h(x), k(x)} + m\n[h(x). k (x)} = h (x)-\-k (x),
max[h(x), k(x)} — min \h(x), k(x)} = \h{x) — k(x)\.
Предполагается, что каждой функции h ?# сопоставлено
число Ih, называемое (элементарным) интегралом от Л и
удовлетворяющее условиям:
I. l(ah-\-§k) = alh-\-$lk для любых функций h, k из Н
и любых вещественных чисел аир (аксиома линейности
интеграла).
II. !h !> 0, если /г(х)^-0 (аксиома неотрицательности
интеграла).

2j § 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА 27
III. Если последовательность hn(x), убывая, стремится
к нулю при каждом х?Х, то /Ал-»0 (аксиома непрерыв-
непрерывности).
Из II и I следует, что /A^/ft, если h(x)^,k(x); в част-
частности, для любой h(x)?H всегда /Л</Л+ <У(|Л|),
>(|| | ||
2. Множества меры 0 и множества полной меры. Вве-
Введем определение множества меры нуль. Из двух эквивалент-
эквивалентных определений, приведенных в § 1, в данной ситуации
пригодно второе, которое мы и принимаем.
Множество ZaX называется множеством меры О, если
для любого е > 0 имеется неубывающая последовательность
неотрицательных функций hp(x)?H, для которых Ihp < e и
A()^l на множестве Z.
/'
Пустое множество мы будем также относить к множествам
меры 0.
Легко проверить, что объединение конечной или счетной
совокупности множеств ZIf .... Zn, ... меры 0 есть снова
множество меры 0. В самом деле, при заданных е > 0 и п
имеется неубывающая последовательность функций Ар
(р=1, 2, ...), для которых /А?)<4- и sup hf (х) > 1
/'
на множестве Zn. Последовательность элементарных функций
р
hp~ max [h^ h{p\ не убывает; далее, /Лр< 2 /Ар' < е
и на множестве Z мы имеем swphp(x)^ 1, что и требуется.
р
Множество, дополнительное к множеству меры 0, назы-
называется множеством полной меры. Из доказанного свойства
множеств меры 0 переходом к дополнениям получается, что
пересечение конечной или счетной совокупности множеств
полной меры есть снова множество полной меры.
Как обычно, мы говорим, что некоторый факт имеет место
почти всюду на множестве X, если он имеет место всюду
на X, кроме, быть может, множества меры 0, или, иначе го-
говоря, если он имеет место на множестве полной меры.
Например, последовательность функций hp(x)?H, кото-
Рую мы будем рассматривать далее, почти всюду стремится
к нулю; это означает, что имеется множество полной меры,

28 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ 12
в каждой точке которого эта последовательность стремится
к нулю.
Лемма. Если невозрастающая последовательность
неотрицательных функций пр(х)?Н стремится к нулю
почти всюду, то /Ар-»0.
Доказательство. Пусть М, = sup А, (х) и Z—мно-
жество меры 0, па котором последовательность Ар не стре-
стремится к нулю. Для заданного е > 0 имеется неубывающая
последовательность неотрицательных функций kp ? Н, для ко-
которых /?,„ <-тг- и supkp^l в точках множества Z. Оче-
Очевидно, что существуют числа lim /Ар^0 и lim /?p<^-vr-.
Разность h0 — MYkp не возрастает и имеет всюду неполо-
неположительный предел; отсюда, в силу III,
/(А,- М,йр)</(А,- Ж,kp)+ ->О
и, следовательно, lim Ihp—Ml lim fkp— lim I(hp— Ж,А>р)<0.
p-*oo p->co p->oo
Но тогда
0< liin /йр<Ж, lim /^p<Afj-^- = e,
и так как е произвольно, то lim /Лр=0, что и требовалось.
Функция п?Н, отличная от нуля только на мно-
множестве Z меры 0, имеет и интеграл fh, равный нулю.
Для доказательства достаточно применить лемму к последо-
последовательности |А[, |А|, ...; мы получим /(|Л|) = 0, откуда и
|<(||
Поэтому две функции h?H и k?H, различающиеся
только на множестве меры 0, имеют равные интегралы.
Этот последний результат позволяет еще больше усилить
результат предыдущей леммы. Именно, 1пр—>0, даже если
последовательность hp не возрастает только почти всюду
и стремится к нулю почти всюду. Действительно, заменяя
h2 на Aj^min^Ap hX h.6 на h'3 = m'm(h'2, hX мы изменяем
функции нашей последовательности лишь на множестве меры О,
так что интегралы от них не меняются; но мы получаем уже
всюду невозрастающую последовательность, стремящуюся
к нулю почти всюду; применяя лемму, получаем требуемое.

3] § 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА 29
Мы будем употреблять знак /" для неубывающей число-
числовой последовательности, а также для функциональной, если
она является неубывающей на множестве полной меры.
Так, hn (х) /" f (x) означает, что последовательность функ-
функций hn(x) на множестве полной меры не убывает и сходится
к f(x). В аналогичном смысле для неубывающих последова-
последовательностей будет употребляться знак \.
3. Класс L+ и интеграл в нем. Введем класс функций,
который будем обозначать L+ (X), или, короче, А + . Функ-
Функция f(x) (принимающая, возможно, и бесконечные значения)
по определению принадлежит классу L+, если существует
такая последовательность функций hn(x)?H, что hn/*f,
причем интегралы функций hn ограничены в совокупности:
/А„<С (п=1, 2, ...)•
Покажем прежде всего, что каждая функция f(x)?L+
на самом деле почти всюду конечна. Пусть ZczX — множе-
множество тех точек, где /(*) = +со. Функции hn(x) можно счи-
считать неотрицательными, заменив в противном случае hn (x)
на hn (х) — hx (x). Выбрасывая, если нужно, множество меры О,
мы можем считать, что на всем множестве Z последователь-
последовательность hn(x) не убывает и сходится к -f-oo.
Для заданного е > 0 в каждой точке х ? Z, начиная с неко-
Q
торого номера, выполняется неравенство hn(x) > —, так что Z
покрывается счетной совокупностью множеств < х: hn (х) > — >
(и=1, 2, ...). Таким образом, на множестве Z заведомо
eft,, (x) v. .
sup—!jt-l^ 1.
В то же время
п
Поэтому, в соответствии с определением, множество Z есть
множество меры 0.
Кроме того, из самого определения класса L+ ясно, что
вместе с функцией f(x)?L+ в класс L+ входит всякая функ-
функция fx(x), которая отличается от f(x) лишь па множестве
меры 0. Всякая функция h(x)?H входит, очевидно, в ?+; мы
видим, что в L+ входит и всякая функция Л, (л:), отличаю-

30 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ [1
щаяся от h(x) лишь на множестве меры 0. В частности,
всякая функция, отличная от нуля лишь на множестве меры 0,
входит в класс L+.
Определим теперь интеграл от функции / класса А+ фор-
формулой
//=Пт/Ал, A)
л-»оо
где hn — последовательность функций класса И, участвующая
в определении функции /. Так как последовательность чи-
чисел Ihn не убывает и ограничена, то предел справа суще-
существует; но мы должны еще доказать, что он не зависит от
выбора последовательности hn, определяющей функцию /.
Для этого докажем следующий более общий факт: если кт
и kn — функции класса Н с ограниченными в совокупности
интегралами и почти всюду hm/f, kn/g, f<^.g, то
lim /Лот< lim lkn. B)
m ->oo
Для доказательства фиксируем номер т и рассмотрим
убывающую последовательность функций класса И: hm — kn
(я=1, 2, ...). Ее предел hm — g-Kf— g-^-0; но тогда
(hm—kn)+\Q (почти всюду), откуда по лемме п. 2
/(*« — kn)+\0; так как 1 (hm— йл)</(Лт — kn)\ то ин-
интеграл I (hm—kn) = Ihm — Ikn, убывая, стремится к некото-
некоторому неположительному пределу. Отсюда мы делаем вывод,
что Ihm -^ lim Ikn. Так как это неравенство верно при лю-
п ->оо
бом т, то, переходя к пределу при /и->оо, получаем B),
что и требовалось.
Полагая g — f, получаем If<^,Ig; но в силу полной
равноправности / и g мы имеем также /§¦<!//, откуда сле-
следует lf = Ig. Таким образом, определение интеграла от функ-
функции f?L+ по формуле A) однозначно. Если же f?L+,
g?L+, f^Cg, то имеет место неравенство If-^.fg.
4. Свойства интеграла в классе L+. Теперь обычным
предельным переходом мы можем перенести свойства инте-
интегралов от функций класса И — не все, но некоторые, — на
интегралы от функций класса L+. Именно, легко проверить,
что:

§ 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА 31
а) Класс L+ вместе с функциями fug содержит f-\- g и
б) Класс L+ вместе с функцией / содержит ее произве-
произведение на любое число а>0 и /(а/) —а//.
Заметим, что в классе L+, вообще говоря, нельзя вычи-
вычитать функции и умножать на отрицательные числа, поскольку
мы все время должны иметь дело с возрастающими последо-
последовательностями функций hn класса Н.
в) Класс L+ вместе с функциями / и g содержит min(/, g)
и max(/, g). В частности, функция f* = max(f, 0) принад-
принадлежит классу L+ вместе с функцией /. (Этого нельзя сказать
о функциях / и |/|.)
Следующее свойство показывает, что класс L+ замкнут
относительно предельного перехода по возрастающим после-
последовательностям функций с ограниченными интегралами.
Теорема 1. Если fn?L+ (я=1, 2, . . .), /„// и
//Л<С, то f?L+ и // = lim //.
л->оо
Доказательство. Для каждой из функций /„ по-
построим определяющую ее последовательность функций
класса Н:
Положим, далее, /г„ = max (/г]л Алл). Очевидно,
что hn — также функция класса Н и последовательность
/г„ (я=1, 2, ...) монотонно возрастает. Далее, hn <]
<тах(/, /„) = /„. откуда/Л„ <//„< С. Обозначим
/*= Пт А„; согласно определению класса Z-+ мы имеем
Л>со
f*?L+ и //*= lim //г„. Но так как hkn^hn^.fn при лю-
Л->сс
бом фиксированном 4 и /iJ>J, то, переходя к пределу при
я->оо, находим /*-</*</ и, так как по условию /*/"/,
то /* = / (почти всюду). Таким образом, f?L\ Далее,
lK <ff«<ff; так как /А„///* = //, то и //„///. чем
доказательство и завершается.

32 Г Л I. ИНТЕГРАЛ [5
оо
Следствие. Если для ряда 2 Sk< ?*€^*> S'ft^-O,
интегралы от частичных сумм ограничены в совокупности:
ft-l
оо оо
т0 f — 2 Sk есть 'функция класса L+ и // = 2 Igtr
4-1 4=1
Для доказательства достаточно положить /„ — 2 S"ft и
применить предыдущую теорему.
5. Класс L и интеграл в нем. Теперь мы завершим
построение интеграла, распространив его с класса L+ на не-
некоторый более широкий класс L, в котором уже можно будет
производить все естественные для функций операции.
Будем называть суммируемой (или интегрируемой по
Лебегу) функцией всякую функцию ф(х), которая может быть
представлена на множестве полной меры как разность ф = f—g
двух функций из класса L*. Совокупность всех суммируемых
функций обозначим через L. В классе суммируемых функций
можно производить следующие операции:
а) Сложение. Если Ф = / — g и ф, = /( — g, — сум-
суммируемые функции, /, g, /,, gl—функции класса L +, то
и так как /-+-/i?i+> S'-f-g'iC^. то ф -f-ф, есть функция
класса L.
б) Умножение на любое вещественное число а.
Если а>-0, то из Ф = / — g, /6^+» g^f следует аф =
= а/ — ag, а/ ? L+, ag ? L? и, следовательно, аф ? L; если же
а<0, то — а>0 и равенство аф = (—а)? — (—а)/
показывает, что по-прежнему aq>?L.
Из а) и б) вытекает, что любые линейные комбинации
функций класса L суть также функции класса L.
в) Взятие модуля функции. Пусть ф = / — g,
f?L*, g?L*; тогда max(/, g) и min(/, g) также принад-
принадлежат классу L+; отсюда |ф| = тах(/, g)— min(/, g) при-
принадлежит классу L. Решая уравнения
Ф = Ф+ — Ф", |ф| =Ф+-т-Ф~.

6] § 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА 33
мы видим, что функции ф+ и ф~ также принадлежат классу L
вместе с функцией <р.
Далее, решая уравнения
тах(ср, ф)-^-гшп(ф, xj:) = ф -f- ф,
max (ф, ф) — min (ф, ф) = | ф — ф |,
мы видим, что вместе с функциями ф и ф в класс L входят
их максимум и минимум.
Дадим теперь определение интеграла в классе L Для этого,
имея разложение
Ф = /-*. /6^+. g?L\ A)
ПОЛОЖИМ /ф = // — Fg.
Величина /ф называется интегралом Лебега функции ф (х)
и обозначается также стандартным образом
J cp(x)dx.
Следует заметить, что сам Лебег строил свой интеграл
(в 1902 г.) по иной схеме, с которой мы познакомимся
в п. 6 § 6. Приведенное выше построение принадлежит Да-
Даниэлю A917)*).
Проверим, что число /ф определено единственным образом.
Пусть наряду с разложением A) имеется второе разложение
Докажем, что // — /g" = ^/i — Ig\- Это равенство эквива-
эквивалентно равенству
= lg + lfv B)
Но так как /-{- gl = g -\-fx, то в силу единственности ин-
интеграла в классе Z.1" мы имеем /(/ -+- g{) = / (g -f- f{), откуда
и вытекает B).
Покажем, далее, что полученный интеграл обладает
в классе L обычными линейными свойствами. Пустьф = / — g,
•) P. D a n 1 е 11, A general form of Integral, Ann. of Math. 19
A917), 279—294; см. также Л. Л ю м и с, Введение в абстрактный
гармонический анализ, ИЛ, 1956, гл. 3.
3 Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревнч

34 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ [в
<Pi = /i — gt. где /, g, /,, ?, входят в класс L+. Тогда
ф-Н-ф,== (/-h/i) — (g' + S'i) и согласно определению
= (// ~ lg) + (//. - Ig,) = 'ф + /Ф, ¦
Таким образом, интеграл суммы равен сумме интегралов.
Далее, при а^>0 мы имеем /(а<р) = /(а/ — ag) = I(af) —
— /(ag) = а// — alg — a(lf — lg) = оЛр; с другой стороны,
/(— ф) = /(?— f) — Ig -If = — /ф и, следовательно, при
а < 0 мы имеем /(оир) = /(— |а|ф) — — /(|а|ф)— — |а|/ф =
= а/ф, так что число а можно выносить за знак интеграла,
каков бы ни был знак а.
Заметим теперь, что если ф ? L, ф ;> 0, то /ф ;> 0. Дей-
Действительно, если Ф = / — g\ f ?L+, g?L+ иф^-0, то f^g
и If^-lg; поэтому /ф=// — fg ^-0. Отсюда получаем,
далее, что из Ф]-^Ф2 следует /ф]<^Лр., и, как в п. 1 для
элементарных функций, |Лр|-^!/(|ф|).
Отметим, наконец, что в разложении суммируемой функ-
функции Ф = / — g, f?L + > g?L* можно подчинять функции /
и g дальнейшим условиям. Например, всегда можно выбрать g
так, чтобы иметь g J> 0, fg<^e, где е — заданное положи-
положительное число. Для этого нужно рассмотреть в классе Н
последовательность функций hn/ig, так что fg—\im/ftn,
л->оо
и затем написать
При этом /„ = / — hn = f -f- (— hn) как сумма двух функций
из Z.+ (вторая — даже из Н) сама принадлежит Z.+; анало-
аналогично — и gn. Очевидно, что при достаточно большом п для
функции gn = g — hn заведомо выполняются требуемые усло-
условия gn ^ 0, Ign < е. Заметим при этом, что если ф ^- 0, то
и функция fn—f — Л„ J> / — g = Ф также получается неот-
неотрицательной.
6. Теорема Беппо Леви. Теперь докажем важную тео-
теорему о почленном интегрировании рядов с положительными
слагаемыми.
00
Теорема 2 (Беппо Леви). Если для ряда 2 Ф*.
Ф* !> О, фА ? L, интегралы от частичных сумм ограничены

6) § 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА 3S
в совокупности, так что
С (п=1. 2. ...).
ОО
то ф= 2 Ф* есть суммируемая функция и /ф= 2 ^Фа-
4-1 4 = 1
Доказательство. Используя последнее замечание п. 5,
для каждой из функций ф^, участвующих в формулировке
теоремы, построим разложение
Ф* = /*-**. А6^+. ^6^+.
где fk > 0, g-ft > 0, /?ft < i (^ = 1, 2, .. .)• При этом ряд
ОО
2 S"* удовлетворяет условиям следствия теоремы 1 (п. 4)
*-i
\Sk > °. ^S Sk)< 1 • Поэтому g1 == 2 Sk принадлежит
\ \*-i / / k-i
ОО ОО
классу L+ и fg= 2 Igk- Покажем, что и ряд 2/*также
удовлетворяет условиям этого следствия. Действительно, мы
имеем fk ^ 0 и
ОО 00
Поэтому и / = 2 /ft принадлежит классу ?+и // = 2 Г/*-
ft-i ft-i
Отсюда
ОО ОО ОО
ф= 2ф*= 2/й— 2 ?*=/ — g
ft-1 ft-1 *-l
принадлежит классу L и
r<p = rf-fg= 2 /д- S'**= 1 r(ft-td= S
*-» *=i *-i ft-i
Теорема доказана.

36 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ [6'
Следствие 1. Если суммируемые функции ф„, мо-
монотонно возрастая, стремятся к пределу \р и Л|з„<^С,
то ф — суммируемая функция и
[\р = lim /фл,
Я -> оо
Для доказательства достаточно положить ф1 = 1|51, ф2 =
= ^2 — ^1 Фл+1==11'л + 1 — Фл и применить преды-
предыдущую теорему.
Аналогичный результат справедлив, разумеется, и для
убывающих последовательностей ф„ \„ ipi если только /фл^>С.
Следствие 2. Мы видели, что функция ф (л:), отличная
от нуля лишь на множестве меры 0, имеет интеграл, рав-
равный нулю. Верно ли обратное, т. е. можно ли из равенства
/ф=0 вывести, что ф(лг)=^0 почти всюду? Разумеется, Лр
может равняться нулю в силу взаимной компенсации инте-
интегралов от ф+ и ф~. Поэтому правильная постановка обрат-
обратной задачи должна относиться к функциям, не меняющим
знака, например неотрицательным. В этом случае обращение
оказывается справедливым. Действительно, пусть функция
фо(лг) неотрицательна, суммируема и /фо = 0; покажем, что
фо = О почти всюду. Положим фл — яф0; функции ф„ стре-
стремятся к пределу ф, равному нулю там, где ф0 равна нулю,
и + оотам, где ф0 > 0. Но так как, по следствию 1, пре-
предельная функция должна быть суммируемой, то множество
тех дг, где ф(х) = -(-оо, есть множество меры 0. Поэтому
и множество тех х, где фо(дг) > 0, есть множество меры 0.
Мы получаем: если интеграл от неотрицательной сум-
суммируемой функции %(х) равен нулю, то эта функция
фо(лг) сама почти всюду равна нулю.
Следствие 3. Пусть имеется множество ZcX и
для любого г > 0 можно построить последовательность
суммируемых функций 0 -< ф(?' (х) < фBе) (х) < ... так,
что /ф(„Е) < е и зирф(ле)(л:)> 1 при x?Z. Тогда Z есть
п
множество меры 0.
Действительно, если ф'лЕ) (л:) — элементарные функции, то мы
имеем дело непосредственно с определением множества меры 0.
В общем случае положим ф^)(дг)= lim <$?(х); функция ф<е'(лг)
п > со
суммируема и Лр(е' = lim /ф'^-^е в силу следствия 1. По-

71 § 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА 37
ложим, далее, е=1, 1/2 1/я, ... и ф, == ф(п, ф2 =
= 1шп(ф^', Ф*1'2'), .... ф„ = гшп(фA), ..., фС'")) Функ-
Функции фя неотрицательны и '^ 1 на множестве Z. При этом
Ф! (X) > >|>2 (X) > • • •. Ч'я < /ф<1;л)< 1 /Я. ПОЛОЖИМ ф (ЛГ) =
= lim ф„ (л:); по следствию 1 мы имеем ф ? L и /ф — lim /ф„=0.
Далее, ф(я) неотрицательна и на множестве Z также .> 1.
По следствию 2 множество Z, = (л:: ф(лг) > 0}, содержащее,
очевидно, множество Z, есть множество меры 0. Но тогда
и Z есть множество меры 0, что и требовалось.
7. Теорема Лебега. В дальнейшем мы будем рассматри-
рассматривать произвольные (немонотонные) предельные переходы.
Классические примеры показывают, что нельзя ожидать тео-
теоремы вида «из ф„ -> ф следует /ф„ -> /ф» без дополнительных
предположений о характере сходимости последовательности ф„
к своему пределу. Например, функции
я sin ял: при О-^лг-<—,
г я
0 при — < х -^ я
сходятся к нулю при каждом х ? [0, я], в то время как
интегралы от них остаются постоянными (равными 2) и не
стремятся к интегралу от предельной функции.
Рассмотрим совокупность ?(ф0) всех суммируемых функ-
функций ф, удовлетворяющих (почти всюду) неравенству
— Фо<ф<Ф0. A)
где ф0 — фиксированная неотрицательная суммируемая функ-
функция. Очевидно, что для каждой функции ф^/.(ф0) выполнено
неравенство
— /ф0 ¦< /ф ¦< /%•
Если имеется монотонная последовательность функций ф„ —
убывающая или возрастающая, — принадлежащих совокуп-
совокупности ?(ф0), то предельная функция ф, разумеется, удовле-
удовлетворяет неравенству A) на некотором множестве полной меры
вместе с функциями фя; эта функция является, согласно
следствию 1, и суммируемой. Следовательно, совокуп-
совокупность А(ф0) замкнута относительно монотонных предельных

38 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ [7
переходов. Заметим, далее, что для любой последователь-
последовательности <Г„(;?(Фо) можно утверждать, что функции
sup {ф, (л:) ф„(*), ...},
Л
inf (q>i (x) ф„ (лг), ...}
Л
также принадлежат совокупности ?(ф0): первая из них является
пределом при я—>оо возрастающей последовательности
функций
(ф!(х) ф„ (х)} ? L (<р0).
а вторая — пределом убывающей последовательности функций
min [фх(jf) <fn(x)}?L(%).
Пусть теперь Фл??(фо) — любая последовательность, схо-
сходящаяся почти всюду к некоторой функции ф; покажем, что ф
также принадлежит классу L(q>0). Достаточно показать, что ф
представима в виде предела некоторой монотонной последо-
последовательности функций из класса L(q>0). Положим
Ф«(*). фл+1(лг). ...),
По доказанному, эти функции суммируемы и принадлежат
классу А(фо). Если рассмотреть только те значения х, где
функции фл(л0 имеют предел ф(лг), то очевидно, что почти
при каждом таком значении
Х„(х)< lim
Далее, убирая функцию ф„ из совокупности фл, Фл+1, ....
мы можем только уменьшить верхнюю грань этой совокуп-
совокупности и только увеличить нижнюю грань; поэтому
Следовательно, ф„ (аг) — убывающая, a/n(x)—возрастающая
последовательности. Далее, ясно, что из ф„ (лг)—>ф(лг) сле-
следует 1|'„(Л:)\Ф(Л:) и Хп(х)/*<((х)- Таким образом, функ-
функция ф(х) оказывается пределом возрастающей последователь-

8] § 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА 39
ности функций класса L(<f0) (и одновременно пределом убы-
убывающей последовательности функций этого классу). Отсюда
что и утверждалось. При этом мы имеем
f$n \ /ф и //„ < /ф„ < /ф„, откуда /ф„ -> /ф. Мы
доказали следующую теорему:
Теорема 3 (Лебега). Если последовательность
суммируемых функций ф„ сходится почти всюду к функ-
функции ф и удовлетворяет условию
|ф„ (*)!<% (*)€*• (я=1. 2, ...).
то ф — суммируемая функция и
/<р= iim Лр„. B)
Л -> со
8. Вопрос о суммируемости предельной функции при
сходимости почти всюду. Лемма Фату. В некоторых слу-
случаях, когда из условия ф„ —> ф не вытекает следствия
/ф„->/ф, можно все же делать выводы о суммируемости
предельной функции ф, а для ее интеграла получить неко-
некоторую оценку.
а) Так, например, если в теореме Лебега вместо условия
|ф.(*)|<Фо (*)€*-
предполагать лишь, что фя(л:)?/., фя (х) -> ф(х) и
| Ф (х) |< Фо (*)??. A)
то можно получить суммируемость функции ф(лг), однако
без предельного равенства B) п. 7. Действительно, в ука-
указанном предположении мы имеем
Ф(*)= iim \\\(x),
п ->оо
где фл (х) есть функция ф„ (х), обрезанная сверху по уровню
Ф0(лг) и снизу по уровню — Фо(*). г. е.
фя(*) = тах{т1п[<ря(*). %(*)!. — %(*)}•
Очевидно, что фя(х) суммируема и |фя (х)|-<Фо(^); приме-
применяя теорему Лебега, получаем суммируемость функции ф(х)
и оценку |/ф|</ф0.
В связи с изложенным введем одно важное понятие. Всякую
функцию ф(х), которая является пределом почти всюду
сходящейся последовательности элементарных функций, будем

40 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ (9
называть измеримой. Измеримым функциям будет специально
посвящена, глава III; мы отметим сейчас только некоторые
простые свойства измеримых функций. Все суммируемые
функции по самому построению являются измеримыми, но
класс измеримых функций, вообще говоря, много шире, чем
класс суммируемых. Простое условие, обеспечивающее сум-
суммируемость измеримой функции ф(х), дается неравенством A);
иначе говоря, всякая измеримая функция, ограниченная
по модулю суммируемой функцией, сама является сум-
мируемоп. Для доказательства достаточно заметить, что
ф(л:)= lim Ля(л:), где hn(x)— элементарные, следова-
Л->оо
тельно, — суммируемые функции, и применить только что
полученный результат.
б) Можно заменить условие теоремы Лебега более слабым
условием /(|фп|)-^С; в этом случае также можно доказать
суммируемость предельной функции ф=Нтфл с заменой
предельного равенства B) п. Г на оценку /(|<р|) <! С. Начнем
со случая неотрицательных функций Ф„(х).
Лемма (Фату). Если фя — неотрицательные сумми-
суммируемые функции, ср„ -> ф почти всюду и 1% < С, то ф —
суммируемая функция и
О < /ф < С,
Доказательство. Положим
Как и выше, функции х„ образуют возрастающую последо-
последовательность, сходящуюся почти всюду к функции ф. Далее,
У.я^Фя1 ^Хл-^^Фп^^; в СИЛУ следствия 1 теоремы Беппо
Леви функция ф суммируема и /фд/^/ф. В частности,
О <! /ф — Пт /?я <С С, что и завершает доказательство леммы.
Рассмотрим теперь общий случай ф„(х) —>ф(х), /(|ф„|)^
^ С. В этом случае по лемме Фату |ф(л;)| есть суммируе-
суммируемая функция. Но тогда в силу а) и ф есть суммируемая
функция, причем /(|ф|)-^С, что и утверждалось.
9. Теорема о полноте пространства L. Напомним опре-
определение нормированного линейного пространства. Линейное
пространство R, состоящее из элементов ф, ф, ..., назы-
называется нормированным, если каждому элементу ф ? R по-
поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число

9j § 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА 41
||ф[|, называемое нормой, удовлетворяющее следующим усло-
условиям:
1. ||ф||>0 при ф=^0, И01| — 0.
2. ||сир||= |а| ||ф|| для любого ф?/? и вещественного
числа а.
3. ||ф + Ф1К||ф||-Ы1Ф11 Для любых ф?#, ф?Я.
Мы построим нормированное линейное пространство из
суммируемых функций. Примем в качестве нормы величину
||ф|| = /(|ф|)- A)
Строго говоря, при этом условии уже первая аксиома ока-
оказывается не выполненной, поскольку из /(|ф|) = 0 не сле-
следует, что ф — тождественный нуль. Но если /(|ф|) = 0, то,
как мы знаем (следствие 2 п. 6), ф равна нулю почти всюду;
поэтому положение исправится, если мы будем считать одним
и тем же элементом пространства R функции, различающиеся
лишь на множестве меры 0. В частности, нулем простран-
пространства R будет любая из функций ф ? L, равная нулю почти
всюду, или, если угодно, совокупность всех таких функций.
Выполнение аксиом 2 и 3 теперь легко следует из основных
свойств интеграла.
Следующая важная теорема уже в значительной мере
оправдывает затраченные нами усилия на построение про-
пространства L: речь пойдет о полноте этого пространства от-
относительно нормы A). Напомним, что нормированное про-
пространство R называется полным, если в нем выполняется
критерий Коши: всякая фундаментальная последовательность
Фр Ф2. ... элементов пространства R имеет в этом про-
пространстве предел. При этом элемент ф, по определению,
есть предел последовательности фр ср2, .... если ||ф—ф„||->0
при я->оо, а последовательность фР ф2, ... называется
фундаментальной, если lim |]ф„ — фт|| = 0, иначе говоря,
п, т -> со
если для любого е > 0 существует такой номер N, что при
n~>N, т > N имеет место неравенство ||фя — фт||<?-
Теорема 4. (Э. Фишера и Ф. Рисе а). Простран-
Пространство L является полным: всякая последовательность
суммируемых функций ф,, ф2 фундаментальная по
норме A), имеет предел в пространстве L.
Достаточно показать, что имеется предел ф некоторой
подпоследовательности ф„ , <р„ , ...; этот элемент ф будет

42 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ [9
пределом и всей последовательности ф„ в силу неравенства
Цф-ф-КНф-ф-* 11 + 11 ф»*-ф.||.
поскольку второе слагаемое справа стремится к нулю при
п—>¦ со и nk—>oo в силу фундаментальности последова-
последовательности ф„.
Всегда можно выбрать последовательность индексов
п\ < п2 < • • • так> чтобы при я > nk выполнялись нера-
неравенства
„ — Ф» II < 112" (* = 1. 2. •••)•
В частности, II ф„ —ф„ II < 1/2*; это означает, что
II "»+! * II
Но тогда ряд суммируемых функций 2 Ф —Ф
2
Ф
со-
гласно теореме Беппо Леви сходится почти всюду. Отсюда
со
следует, что сходится почти всюду и ряд 2 (ф„ — ф„ )
с частичными суммами
Это означает существование предела (почти всюду) при
&->со у последовательности функций фп . Обозначим этот
k
предел через ф. При р->со и фиксированном k функции
Ф/г — (ft стремятся почти всюду к пределу ф — ф . Так
р к к
как / (| фп ^ — фяJ) = || фя^ - фя^ || < 1/2*. то в силу п. 8,6)
функция ф — фп суммируема. Следовательно, и сама ф сум-
суммируема. Далее, в силу того же п. 8, б) выполняется нера-
неравенство
Таким образом, последовательность ф сходится к «р по
норме пространства L, и теорема доказана.

10J § 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА 43
Покажем в заключение, что элементарные функ-
функции h (х) образуют в пространстве L всюду плотное
множество. Поскольку каждая функция из L есть разность
двух функций из класса L , достаточно проверить, что каж-
каждая функция /??+ есть предел по норме L некоторой по-
последовательности функций hn?H. Мы иозьмем, естественно,
ту последовательность hn, которая определяла функцию /,
так что Л,,//, Ihn/If. Тогда ||/ —А„|| = /(/ — *„) =я
= //— /Л„—>-0, что и требуется.
10. Теорема Фубини. Мы завершим наши общие рас-
рассмотрения построением интеграла на произведении двух мно-
множеств и формулой приведения двойного интеграла к по-
повторному.
В классическом анализе двойной интеграл Римана от
непрерывной функции f(x, у) сводится к двум однократным
интегралам Римана по правилу
J | /(*, y)dxdy = J | /(*. y)dx\dy.
а, < х < *, flj I a, J
В общей теории интеграла также имеется аналогичное
правило. Чтобы сформулировать его, введем определение
произведения множеств и соответствующих интегралов. Пусть
имеется множество X с заданным на нем пространством L(X)
суммируемых функций ср(лг) и интегралом /хф и аналогичное
множество У с семейством L{Y) суммируемых функций ф(у)
и интегралом /к(ф). Обозначим через W совокупность всех
пар w~(x, у), где х ? X и y?Y.
Множество W называется {декартовым) произведением
множеств X и Y. Пусть на множестве W также имеется
некоторое пространство L(W) суммируемых функций (f(x, у)
с интегралом /ф. Предположим, что это пространство поро-
порождается некоторым семейством И (W) элементарных функ-
функций h (х, у), которые, кроме аксиом п. 1 § 2, обладают
еще следующими свойствами:
1) каждая функция А (х, у)?Н, рассматриваемая как
Функция аргумента х при фиксированном у, суммируема
по х почти при всех у ? Y;
^) ее интеграл fxh(x, у) является суммируемой функцией
от у;

44 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ (»
3) имеет место равенство
/h = fy{/xh(x, у)}.
В этих предположениях мы докажем теорему:
Теорема (Дж. Фубини). Пусть ф(дг, у) — сумми-
суммируемая функция на множестве W. Тогда: 1) рассма-
рассматриваемая как функция аргумента х при фиксирован-
фиксированном у, она суммируема по х почти при всех у?К; 2) ее
интеграл по X, который мы обозначим через Iх<$(х, у),
является суммируемой функцией на У; 3) имеет место
равенство
/к(/хФ(дг, y)}=/q>.
Доказательство. Обозначим через Ф совокупность
всех функций <p?L(W), для которых теорема Фубини вы-
выполняется. По условию совокупность Ф содержит все эле-
элементарные функции Л (л:, у). Далее:
(I) Очевидно, Ф — линейная совокупность, т. е. из
ср^Ф, Ф2?Ф следует с^ф, -+¦ а2ф2?Ф ПРИ любых веществен-
вещественных а, и а2.
(И) Если функции ф! (х, у) ф„ (х, у) обра-
образующие (всюду) монотонную последовательность с огра-
ограниченными интегралами, принадлежат совокупности Ф,
то и ф(дг, у)— lim ф„ (л:, у) также принадлежит Ф.
л->оо
Докажем последнее утверждение. Пусть для определен-
определенности последовательность ф„ (х, у) не убывает, так что
<Pi(*. У)<Ф2(*. У)<--- Положим gn(у) = /хФл(х, у),
Последовательность gn(y) также не убывает и интегралы
от ёп(У) ограничены в совокупности:
hen — /у |/дфя (*. У)} = /ф« / /ф-
По следствию 1 теоремы Беппо Леви функции gn (у) почти
при всех у сходятся к некоторой суммируемой функции g(y)
и при этом
Пусть у — одна из точек того множества EcY полной
меры, на котором функция g(y) определена и ограничена.
При этом значении у функции фя(аг, у) как функции от д;

щ § 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА 45
не убывают и обладают равномерно ограниченными интегра-
интегралами
Поэтому предельная функция <р(лг, у) при данном у сум-
суммируема по л; и в силу того же следствия теоремы Бепщ>
Леви
Пт/Хср„(л;, y)==g(y) = /xq(x, у).
Я->00
В результате получаем равенство
> У)}-
Итак, функция ф(лг, у) принадлежит к совокупности Ф, что
и утверждалось.
(III) Всякая функция z(x, у), отличная от нуля
лишь на множестве Z меры 0, принадлежит совокуп-
совокупности Ф.
Пусть сначала z(x, у) на множестве Z принимает зна-
значения между 0 и 1. Поскольку Z есть множество меры О,
для любого т=1, 2, ... можно построить неубывающую
последовательность неотрицательных элементарных функций
h(/,n)(x, у) такую, что
lhf\x, y)< 1/m, \imhnm\x, у) > 1 на Z.
п ->оо
Можно считать при этом, что при любом от—1, 2, ...
всегда А(п'"+1)(л:, у)<Ллт)(л;, у), поскольку мы можем заме-
заменить А(,Г+1)(а:, у) на т!п(л<„+1) (дг. у). А(пт)(д:, у)).
Положим hUn)(x, y) = lim Лят)(лг, у); так как функции
Л->00
hn\x, у) по условию входят в совокупность Ф, то со-
согласно (II) также и h(m)(x, у)?Ф. Далее, последователь-
последовательность й<т)(дг, у) не возрастает и при от->оо стремится
к некоторому пределу h{x, у), который в силу (II) также
принадлежит Ф. При этом fhim) = lim/A(nml< -^- , Ih =
= lim /Л'т'=0. Так как hT\x. y)> 1 при любых от, я
И!->00

46 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ 110
11 (*. У) € z< т0 h (x< )iY> z (*¦ >')• Положим ?(у) = Ixh (x, у).
Так как по доказанному
то Й"(У) почти для всех у равна нулю; для этих же значе-
значений у и функция h {x, у) почти всюду по х равна нулю,
а следовательно, для этих у и функция z (x, у) почти всюду
по х равна нулю. Отсюда /xz(x, у) —0. Таким образом,
Iz(x, y) = 0 = Гу[Гхг(х, у)],
что и требовалось.
Если z (х, у) ^> 0 — произвольная функция, равная нулю
на множестве Z, то, введя функцию 1(х, у), равную 1 на Z
и 0 вне Z, мы имеем
z (х, у) = lim n min J / (х, у), z (х> у) },
откуда согласно (III) и (II) z(x, у)?Ф. Общий случай при-
приводится к ранее рассмотренным путем представления
г = z+ — г~.
(IV) Любая функция f(x, y)??4 (W) принадлежит Ф.
Действительно, пусть fi1(x, у), Л2(лг, у), ... — последова-
последовательность элементарных функций, которая почти всюду, не
убывая, сходится к f(x, у), так что Ihn/lIf. Обозначим
через/(л:, у) предел всюду неубывающей последовательности
функций h^x, y)=:h1(x, у), h2{x, у) = max (А,, А2)
почти всюду совпадающих с соответствующими функциями
Л, (л:, у), Л2(дг, у), ... и, следовательно, имеющих те же
значения интегралов. Функция f(x, у) почти всюду совпа-
совпадает с / (х, у), и можно написать / = / -\- г, где z (x, у)
отлична от нуля только на множестве меры 0. Так как
в силу (II) и (III) функции f(x, у) и z(x, у) принадлежат Ф,
то согласно (I) и / принадлежит Ф, что и утверждалось.
(V) Любая функция (f>?L(W) принадлежит совокуп-
совокупности Ф как разность двух функций из совокупности ?+ (W).
Теорема доказана.

И] § 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА 47
Замечание 1. Естественно поставить вопрос об обра-
обращении теоремы Фубини; иначе говоря, вытекает ли из суще-
существования повторного интеграла
, у)} A)
суммируемость функции ф(лг, у) на множестве W7
Вообще говоря, это не так (см. задачи 7 и 8 к § 3).
Но если функция ф(лг, у) измерима (т. е. является преде-
пределом последовательности элементарных функций, сходящейся
почти всюду, — см. п. 8, а)) и неотрицательна, то суще-
существование интеграла A) уже влечет суммируемость
функции ц>(х, у) на множестве W и равенство
/Ф = /К{/Хф(лг, у)}. B)
Действительно, пусть существует повторный интеграл
fy[fx(f(x, y)} = A, ф(лг, y) = lim hn(x, у)
л->оо
и пусть
Фя(*. У) = тт(ф(л;, у), max{hv ..., hn) ).
Функция <fn(x, у) сама измерима (ъ силу того, что
Ф„=1пп min{Am, max (А,, .... hn) \\ и ограничена суммируе-
мой функцией max (Л, hn). Поэтому ф„(лг, у) сумми-
суммируема на 1У(в силу п. 8, а)). По теореме Фубини
С возрастанием п функции фл> монотонно возрастая, стре-
стремятся к функции ф; так как f<pn^A, то по следствию 1
теоремы Беппо Леви функция ф суммируема. Но тогда можно
применить теорему Фубини, и мы получим соотношение B),
что и требуется.
Замечание 2. Мы исходили из готового интеграла на
декартовом произведении множеств К и Y, определенным
образом связанного с имеющимися интегралами на А' и на Y.
В п. 8 § 6 мы увидим, как можно построить интеграл на
декартовом произведении X и У по известным интегралам
на X и на Y с выполнением требуемых связей.
П. Знаконеопределенный интеграл. В предыдущих
пунктах было весьма существенным условие неотрицательности

48 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ 111
элементарного интеграла (на неотрицательных функ-
функциях). Но в анализе встречаются и такие случаи, когда функ-
функционал, который мы желали бы считать интегралом, может
принимать на неотрицательных функциях значения обоих зна-
знаков (пример—интеграл Стилгьеса, который мы будем изу-
изучать специально в главе II). Оказывается, что справедлива
следующая теорема:
Теорема (Ф. Рисе, 1928). Любой линейный непре-
непрерывный (знаконеопределенный) функционал на совокупно-
совокупности элементарных функций может быть представлен
в виде разности двух линейных непрерывных неотри-
неотрицательных функционалов.
Доказательство. Введем для неотрицательных функ-
функций h(x)?H функционал Jh по формуле
Jh = sup Ik.
0й
Если бы интеграл / был неотрицательным, как раньше, то,
очевидно, мы имели бы Jh = Ih. В данном случае равенство,
вообще говоря, не имеет места. Во всяком случае, очевидно,
что Jh^-О и Jh ^> Ih, поскольку можно положить k = О
или k = h. Возможно, что Jh — 0 для всех h ^ 0; a priori
не исключено также, что для некоторых h функционал Jh
принимает значение -|-оо. Покажем, что выполняется не-
неравенство
./(й,-г-А2)<УА1+,/*а (А,, А2>0). A)
Действительно, пусть 0 <J ko^ht + А2; функцию k0 всегда
можно представить в форме kt -f- k2, где А, -^ hv k2 -^ h2;
достаточно положить A, = inin(A1, k0), k2=k0 — kv Ясно, что
k^h^, k2— ko—k\ = k0—min(A,, &0) = max(&0—hx, 0)-<А2.
Имея разложение ko=-kt f- k2, мы можем написать !k0 —
— Iki4-Ik2^.Jhl-\-Jh2 и затем перейти в левой части
к верхней грани, что и дает искомое неравенство A).
Покажем теперь, что функционал Jh принимает только
конечные значения. Предположим, что для некоторой функ-
функции h0 ^> 0 мы имеем Уй0 = -т-оо. Мы построим сейчас
такую последовательность функций А„ ^> 0, что Ae^-s-*n-i«
^Лд = -)-оо, \Ihn\^n; последнее, очевидно, будет противо-

П] § 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА 49
речить непрерывности функционала /, так как hn(x)\0.
В качестве начальной функции последовательности возьмем
функцию Ао. Далее, когда построены Ао, А,, ..., Ая_, с вы-
выполнением поставленных условий, найдем функцию ft так,
чтобы иметь 0<А<Ля_,, /ft > |/Л„_, | -f 2я (здесь мы
используем то, что УЛ„_, = со). Если Jk = oo, то мы поло-
k
жим hn=Y> если ¦/? < оо, то заведомо в силу A)
ДАя-1-*) = °° и | /(ft-*„_,)!>/ft-|/Ая_,|>2я.
так что мы можем положить hn — -^ {hn_x — ft). Итак, иско-
искомая последовательность существует, и предположение JhQ = оо
приводит нас к противоречию; таким образом, значение Jh
конечно для всех h !>О из Н.
Покажем, далее, что всегда выполняется и неравенство
УЛ,+^2<-/(Л1 + Л2); B)
в соединении с доказанным уже неравенством A) это даст
равенство
УА,-Г Jh2 C)
для всех h^^-О, Л2^-0 из Н.
Чтобы доказать B), для заданного е > 0 найдем функ-
функции ftj ^ hx и k2^. h2 так, чтобы иметь
Ik1^.Jh1 — е, Ik2^Jh2—е.
Мы имеем
H'li +¦ А2) > / (ft, +¦ ft2) = /ft, 4- /k2 > -/A, +¦ Лг2 — 2е;
поскольку е было взято произвольно малым, справедливо B),
а вместе с тем и C).
Итак, функционал J аддитивен на семействе неотрица-
неотрицательных функций h ? //. Кроме того, очевидно, что он по-
положительно однороден, т. е. если дано вещественное а > О,
то J(ah) = aJh.
Мы сейчас расширим область определения функционала J
ДО всей совокупности Н. Пусть ф ? Н есть разность не-
неотрицательных функций. ф = А1 —А.2, Л, >0, А2>0.
4 Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич

50 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ |Н
Положим Уф = УА,— УА2. Это определение однозначно: если
Ф=А,— h2=h3—А4, где А3>0, А4>0, то
УА, -(- УА4 = У(А, + А4) = У(А2 + А3) = УА2 + JA3.
и, следовательно, УА,— УА2 = УА3—УА4. Покажем, что функ-
функционал У остается аддитивным на всем классе И. Пусть
Ф, = А, — kv ф2 = А2 — ko, Aj>0, А2>0, Aj>0, &2>0,
тогда 9,-1-92 = (Л, + А2) — (A, -f- &2),
= УЛ, -)- УЛ2 — УА, — Jk2 = Уф, + Уф2.
Наконец, при любом вещественном а мы имеем У(аф)==аУф:
для а^>0 это ясно, и достаточно рассмотреть лишь случай
а = — 1. Но если ф = Л — к, Л ^>0, k'^-О, то —ф = А — h
и У(_ф)=:у(^) — У(А)=— [У (Л) — У (?)] = — Уф, что и
требуется.
Покажем, наконец, что из Л„\0 следует УЛп->0. Для
заданного е > 0 построим числа е„ > 0 так, чтобы иметь
со
2ел^?- и найДем функции kn, 0-<!&„<^ Л„ так, чтобы
л = 1 _
/АЯ>УЛ;, — е„. Пусть, далее, An = min(A, А„). Мы
п
утверждаем, что УЛ„ -</An-f- 2 ?,- Для л=1 это выпол-
;1
_
нено по определению функции ?, = &,. Допустим, что это
выполнено для значений /=1, 2 п. Мы имеем Ая+1 =
= min(An, An_j). далее,
тах(Ал, An+1)+inin(An, *„+,) = *„ + *„«.
An + i — ея+1- D)
С другой стороны, учитывая, что kn^kn<^hn, Алч, <;
•^АЯ+1^АЯ, и используя предположение индукции, находим
/(тах(А„. *,tl)

12] § 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА 51
Из D) и E) следует, что
откуда
я + 1
и индукция оправдана. Вместе с тем мы получаем соот-
соотношение
lim //(„< lim /kn-\-E = E,
Л->ОО Л->00
поскольку kn <^ hn \ 0 и, следовательно, Ikn —> 0. Так как е
произвольно, то УЛ„->0, что и требуется.
Рассмотрим также функционал N — J—/, определенный
на совокупности Н. Если h ^ О, то Nh = Jh — Ih ^- 0;
таким образом, N — также неотрицательный функционал.
Он линеен вместе с / и J и вместе с ними удовлетворяет
условию непрерывности: если Л„\0, то Nhn = Jhn — Ihn -> 0
(в действительности даже \0, поскольку он знакополо-
знакоположителен).
12. Пространство суммируемых функций для знако-
неопределенного интеграла. Итак, мы представили функ-
функционал / в виде разности неотрицательных непрерывных
функционалов J и N. Теперь, используя функционалы J и N,
можно строить расширение области определения функцио-
функционала /. Мы используем, собственно, один непрерывный не-
неотрицательный функционал К. = J Л N. Схема расширения
дана в пп. 3—5. Мы выделяем сначала множества К-меры 0;
множество Z с X имеет, по определению, К-меру 0, если
для любого 8 > 0 существует неубывающая последователь-
последовательность функций hn ^ 0, Л„^/У, такая, что supAn(jt) > 1
л
на Z и Khn < 8. (Заметим, что всякое множество А>меры 0
автоматически есть множество /-меры 0 и М-меры 0, так как
0</Лл</СЛл> 0<Л^Ля<А:/гл.) Класс СК состоит из функ-
функций f (х), являющихся пределами ьозрастающих последова-
последовательностей hn?H с ограниченными интегралами Khn. Оче-
Очевидно, что для таких функций имеют смысл не только
КУ= lim Khn, но также J/ и N/. Класс LK образуется
л->оо

52 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ [1Я
из разностей <р = / — g, /6^. g(zLx, и для этих раз-
разностей имеют смысл выражения Kq> = Kf — Kg, Уф и Мр.
Определим для этих же функций и интеграл
/ф = Уф — Мр.
Мы получили расширение функционала / на пространство LK.
В этом пространстве /ф есть линейный функционал, удовле-
удовлетворяющий неравенству
= /СФ+ Ч- /Сф" = /С (| ф |).
13. Другие возможные разложения. Полученное пред-
представление знаконеопределенного функционала / в форме раз-
разности двух неотрицательных
/ = J—N A)
— не единственно возможное. Пусть L — любой неотрица-
неотрицательный линейный непрерывный функционал на Н; наряду
с разложением A) можно написать также другое
B)
Оказывается, что равенство B) дает уже общий вид раз-
разложения функционала / в разность двух неотрицательных
непрерывных функционалов. Действительно, пусть имеется
какое-то разложение
/ = J,-NV C)
где У, и jVj — неотрицательные непрерывные функционалы.
Тогда для любой неотрш ательной функции h(x)?H и
О ^ k (x) -^ h (x) мы имеем
откуда
Jh — sup
0<ft
и. следовательно, J] = J-\-L, где L = JX — Уесть неотрица-
неотрицательный непрерьи ный функционал. Далее, мы имеем Nl =
==У, —/ = У-|-А — I = N-\-L, и, таким образом, C) при-
приведено к виду B).
Мы получаем при этом, что построенное нами конкретное
разложение A) среди всех возможных разложений C) харак-

,, § 3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА В л-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 53
теризуется тем, что фигурирующие в A) функционалы J и
N — наименьшие среди тех, которые могут участвовать в раз-
разложении C). Разложение A) будем называть каноническим
разложением функционала /.
Покажем теперь, что пространство LK, соответствующее
каноническому разложению К = •/-}- N. — наибольшее воз-
возможное в том смысле, что каждая функция ф ? L^, K{ —
s=JlJrNi. также принадлежит LK. Достаточно проверить,
что каждая функция /???, входит в L^. Действительно,
с точностью до элементарной слагаемой такая функция /
есть предел /С^почти всюду сходящейся последовательности
неотрицательных элементарных функций hn (х) с ограничен-
ограниченными интегралами ffcfin- Для неотрицательных элементарных
функций, очевидно, /#¦*„-^/#-,*„, так что интегралы lKhn
также ограничены. Далее, множество /Cj-меры О, на котором
последовательность hn не сходится монотонно к /, есть мно-
множество и /С-меры 0, поскольку из Л^>0, l^h < 8 следует
IKh < 8. Таким образом, последовательность hn сходится
/С-почти всюду к /; отсюда /??.?, что и требуется.
§ 3. Интеграл Лебега в я-мерном пространстве
В этом параграфе мы применим общую схему § 2 к по-
построению интеграла Лебега в конечномерном пространстве.
В качестве элементарных функций мы вначале возьмем сту-
ступенчатые функции, а затем непрерывные функции.
1. Соотношение между интегралом Римана н инте-
интегралом Лебега. Вспомним сначала схему построения инте-
интеграла Римана, приведенную в § 1. Как мы видели там, инте-
интеграл Римана от функции f (х) на основном брусе В есть
предел интегралов от ступенчатых функций, почти всюду
сходящихся к функции f(x). Примем совокупность ступен-
ступенчатых функции за класс Н с естественным определением
интеграла
/h = 'SlkjS(Bj), Bj=[x: h{x) = hj).
Условия п. 1 § 2 здесь выполнены, как это было пока-
показано в § 1. Поэтому вся схема § 2 применима в данном

54 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ {2
случае и приводит к существованию класса L (В) функций,
суммируемых в брусе В. В этом классе определен интеграл
Лебега /ф, и класс L(B), рассматриваемый как нормирован-
нормированное линейное пространство с нормой ||ф|| = /(|ф|), является
полным пространством.
Дальнейшие рассмотрения имеют целью составить пред-
представление, хотя бы частичное, об объеме класса ?(В).
Как следует из рассмотрений § 1, всякая непрерывная
функция, или даже всякая интегрируемая по Риману, является
интегрируемой по Лебегу (притом входит в класс L+), и ее
интеграл Лебега совпадает с ее интегралом Римана. Процесс
интегрирования по Лебегу применим, таким образом, ко всем
функциям, интегрируемым по Риману. Более того, он при-
применим к значительно более широкому классу функций;
функция может не иметь ни одной точки непрерывности и
быть интегрируемой по Лебегу. Такова, например, функция
Дирихле х(*)> равная 1, когда все координаты точки х
рациональны, и 0 — в противном случае. Эта функция не
интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу, по-
поскольку она отлична от нуля лишь на множестве меры 0, —
и тем самым имеет интеграл, равный нулю. Существуют и
более сложные примеры интегрируемых по Лебегу функций,
которые не имеют ни одной точки непрерывности даже после
произвольного изменения их на множестве меры 0 (см. за-
задачу 4 § 7 и указание к ней).
Всякая измеримая функция (т. е. в соответствии
с определением § 2 п. 8, а) — предел почти всюду сходя-
сходящейся последовательности ступенчатых функций), если она
ограничена, является суммируемой; это следует из ре-
результата § 2 п. 8, б), если учесть, что в данном случае
постоянные являются суммируемыми функциями.
Естественно, возникает вопрос, существуют ли вообще
ограниченные несуммируемые функции. Хотя до сих пор не
построено ни одного индивидуального примера такой функ-
функции, общий ответ — утвердительный (см. задачу 6).
2. Несобственный нитеграл Римана и интеграл Ле-
Лебега. Рассмотрим, далее, функции <р(х), несобственно инте-
интегрируемые по Риману. Функция ф (х), непрерывная в брусе
В={л;: |лгу|<^а;) всюду, кроме начала координат (напри-
(например, обращающаяся в начале координат в бесконечность),
называется несобственно интегрируемой по Риману, если

2] § 3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА В л-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 55
прИ е_>0 существует предел интеграла
J <t(x)dx, A)
где Ве есть брус \х: |jt;-|^e, j == 1 я). Если этот
предел существует, то он называется несобственным инте-
интегралом Римана от функции cp(jt). (Например, функция
^ х2-) несобственно интегрируема по Риману, если а < п,
7-1 /
и не является таковой при а^-я.)
Рассмотрим определение несобственного интеграла с точки
зрения операций с интегралом Лебега. Интеграл A) есть
интеграл по всему брусу В от функции ф?(л:), равной <р(х)
вне бруса Ве н 0 внутри этого бруса. Функция фе(л:) кусоч-
кусочно непрерывна, и ее интеграл Римана A) совпадает с ее
интегралом Лебега. Если cp(jt);>0, при ?->0 функции %(х)
образуют возрастающую последовательность, стремящуюся
к ц>(х). Если интегралы A) имеют предел при е->0, то
по следствию 1 теоремы Беппо Леви функция ф(х:) ин-
интегрируема по Лебегу и ее интеграл Лебега есть предел инте-
интегралов A), т. е. совпадает с ее несобственным интегралом
Римана. Если же интегралы A) при е->0 стремятся к беско-
бесконечности, то функция <p(jc) не суммируема по Лебегу, так
как если бы интеграл Ар существовал, то для всех фе вы-
выполнялось бы неравенство /фе -^ /ф. Таким образом, для
функции ф(лг)^-0 с единственной особенностью в начале
координат существование несобственного интеграла по
Риману равносильно существованию ее интеграла по Ле-
Лебегу и значения этих интегралов совпадают друг с другом.
Наша схема может быть использована для построения
интеграла и в бесконечно протяженных областях. Например,
Для построения интеграла во всем «-мерном пространстве Rn
в качестве исходной совокупности Н элементарных функций
может быть взята совокупность ступенчатых функций, прини-
принимающих постоянные значения в конечном множестве (огра-
(ограниченных) брусов любого размера и равная нулю в остальных
точках Rn. В пространство L войдут, в частности, все функ-
функции, интегрируемые по Лебегу в любом фиксированном огра-
ограниченном брусе, а вне его обращающиеся в нуль. Функция

56 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ [3
ф(лг), определенная во всем пространстве Rn, суммируема
тогда и только тогда, когда суммируема любая функция,
равная ф(лг) в любом фиксированном брусе и нулю вне этого
бруса, а интегралы от этих функций ограничены в совокуп-
совокупности. Достаточность этого условия вытекает из следствия 1
теоремы Беппо Леви, необходимость получается путем парал-
параллельного построения интеграла от функции ф(х) во всем
пространстве и в заданном ограниченном брусе.
Рассмотрим функции, несобственно интегрируемые по Ри-
Риману во всем пространстве. Функция ф(лг) называется
несобственно интегрируемой по Риману, если она соб-
собственно интегрируема в любом ограниченном брусе
Вг=[х: \Xj\<^r\ и при г—>оо существует предел ин-
интеграла
J<p (*)</*.
в.
г
Указанный предел принимается за значение интеграла Римана
от функции ф(лг) по всему Rn. Учитывая сказанное выше,
мы видим, что и в данном случае класс интегрируемых
по Лебегу функций содержит в е неотрицательные функ-
функции, несобственно интегрируемые по Риману.
Условие ф(лг)^-0 во всех рассмотренных случаях весьма
существенно; без этого условия утверждение о суммируе-
суммируемости функции, (несобственно) интегрируемой по Риману,
становится неверным (см. задачи 4 и 5).
3. Теорема Фубини для функций нескольких перемен-
переменных. Рассмотрим, что дает теорема Фубини (§ 2, п. 10)
в приложении к функциям нескольких вещественных пере-
переменных. Пусть, например, множество X есть брус
Вх={лг: а, <*
в m-мерном пространстве и Y есть брус
в и-мерном пространстве. Тогда W = X X У есть брус
В = }(лг, у): а} < х} < Ь-}, ск < у„ < dk,
/=1. 2 т; k=\, 2 я}
в (я-f-m)-мерном пространстве.

3] § 3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 57
Теорема Фубини утверждала, что: A) каждая функция
<р(*. }'N^(^)' рассматриваемая как функция аргумента х
при фиксированном у, суммируема по х почти при всех у;
B) ее интеграл по х, обозначаемый через /хср(х, у), является
суммируемой функцией на К; C) имеет место равенство
/к{/хср(х, у)}=/ф,
все это при условии, что свойства A) — C) выполняются
для элементарных функций h (x, у).
В нашем случае в качестве семейства Н (W) мы возьмем
семейство всех ступенчатых функций на брусе В, т. е. мно-
множество функций вида
т
h{x, у) = ^ hjluj^x, у),
где брусы B{i представляют собой разбиение основного
бруса В, %,(х, у)—характеристическая функция бруса В[1\
т. е.
{ 1 Для (х, у)?Ви\
W*- у)-{0 для (,V) уNв-^),
и hj — вещественные числа.
Функция хв(;) (х, у) есть, очевидно, произведение
5ЦУ)(а-)Хв(/)(У). где %tfj)(x), %^n(y)— характеристические
функции, соответственно, брусов В(х\ В(у\ являющихся про-
проекциями бруса В('' на Вх, соответственно — Вк. Поэтому
всякая ступенчатая функция f(x, y)?H(W) представима
в виде
h(x, y)= 2
Согласно определению объема (л-\- т)-мерного бруса

8В ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ [4
¦ поэтому элементарный интеграл /Л = 2 Л^(в;)имеет вид
т
Очевидно, функция h(x, у) как функция от х при фикси-
фиксированном у определена почти для каждого у (за возможным
исключением конечного числа листов разрыва функций хлф(У))
и является суммируемой (даже ступенчатой) функцией от х.
Ее интеграл по брусу Вх имеет вид
/я
!xh{x. у) = 2*
у-'
это выражение есть суммируемая (даже ступенчатая) функция
от у. Далее, мы имеем
т
ly {Ixh(х, у)} = 2 A/ VxUPW] ['гХЛМу) 1 = Ih.
Таким образом, предпосылки для теоремы Фубини в данном
случае выполнены. Мы видим, что теорема Фубини приме-
нима к любой функции, суммируемой в (я -(-т)-мерном
брусе В.
Более того, поскольку в данном случае координаты х
и у равноправны, двойной интеграл /<р можно превратить
в повторный любым способом:
- У)}-
4. Непрерывные функции как элементарные функции
с интегралом Римана как элементарным интегралом.
Можно построить пространство L суммируемых по Лебегу
функций и иным способом, взяв в качестве совокупности
элементарных функций все непрерывные функции в (замкну-
(замкнутом ограниченном) брусе Вив качестве элементарного инте-
интеграла— интеграл Римана.
В самом деле, для совокупности Н всех непрерывных
функций f(x) в брусе В, очевидно, выполнены оба условия
1) и 2) п. 1 § 2. Далее, для интеграла Римана // легко
проверить выполнение условий I—III п. 1 § 2 для элемен-
элементарного интеграла; мы будем обозначать его адесь через //»

4] § 3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА В в-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 59
В частности, выполнение условия III проверяется с помощью
следующей леммы Дини:
Лемма. Не возрастающая последовательность непре-
рывных неотрицательных функций /т(х), сходящаяся
к нулю в каждой точке замкнутого бруса В, сходится
к нулю равномерно в В.
Доказательство. Для заданного е > 0 и заданной
точки х0 ? В найдем номер т = т (лг0), для которого fm (л:0) <
< е. Затем найдем такую окрестность U (х0) точки лг0, что
неравенство fm (х) < е выполняется во всех точках этой
окрестности. Очевидно, при /> > т также /р (•*)-^/т (#)< е
для x?U(x0). Окрестности такого типа, построенные для
каждой точки х ? В, образуют покрытие бруса В; из этого
покрытия можно выделить конечное покрытие. Если q— наи-
наибольший из номеров функций, участвующих в определении
окрестностей этого конечного покрытия, то при г > q вы-
выполняется неравенство /r(jc)<e уже для всех точек х ? В,
что и требовалось.
Ясно, что условие III вытекает из леммы Дини и очевид-
очевидного неравенства
/m(x)dx
<s(B)max|/m(*)|.
Итак, предпосылки для построения теории интеграла, ис-
исходя из интеграла Римана как элементарного интеграла, вы-
выполнены. Пространство соответствующих суммируемых функ-
функций мы обозначим через L. Покажем теперь, что наше по-
построение приводит к тому же результату, что и в п. 1, где
мы в качестве элементарных функций брали ступенчатые
функции.
Проверим сначала, что каждая непрерывная функция /(лг)
принадлежит пространству L. Взяв любое е > О, мы можем
найти разбиение П основного бруса В на подбрусы Bv ..., Вт
такое, что
га
/7-2
иными словами,
Се, A)

60 ГЛ. I. ИНТЕГРАЛ [4
где hn(x) — ступенчатая функция, равная f(lj) в брусе В..
Так как последовательность функций hH(x) равномерно схо-
сходится к f(x), когда й(П)->0, где rf(il)—наибольший из
размеров брусов Bv .... Вт, то по теореме Лебега /?А и
If— lim fh =f~f в силу A).
rf(IT)-»0
Покажем теперь, что каждая ступенчатая функция h(x),
входит в L. Характеристическая функция у,в(х) какого-либо
бруса В^Ви вместе с ней всякая ступенчатая функция f(x)
(как линейная комбинация характеристических) может быть
представлена как предел ограниченной и почти всюду схо-
сходящейся последовательности непрерывных функций /т(х),
для которых, как показано выше, ffm = ffm; по теореме
Лебега h ? 1 и
= lim /7m = lim Ifm =
И!->со га->оо
Далее, обе конструкции интеграла дают один и тот же на-
набор множеств меры 0. Действительно, если Z —множество
меры 0 относительно интеграла /, то для любого е > О су-
существует неубывающая последовательность неотрицательных
непрерывных функций f^(x) таких, что //<^<е и sup/W(jc)^l
т
па Z. В силу непрерывности f^?L и //<?) = 7/W. По след-
следствию 3 теоремы Беппо Левн Z есть множество меры 0 от-
относительно /.
Обратно, пусть Z — множество меры 0 относительно /.
Для любого 8 > 0 существует неубывающая последова-
последовательность ступенчатых функций ^'(jc) такая, что
Ih{m < е и sup h^(x) ^ 1 на Z; по тому же следствию Z есть
т
множество меры 0 относительно /.
Итак, понятие «почти всюду» имеет один и тот же смысл
в обоих построениах.
Пусть, далее, функция f(x) принадлежит классу L+, т. е.
является пределом (почти всюду) неубывающей последова-
последовательности ступенчатых функций hm(x), причем //= lim Ihm,
m->oo
Покажем, что/^Z и // = //. Действительно, по доказан*

§ 3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА В я-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 61
ному, мы имеем Л,„ ? L, причем / hm = Ihm ограничены; от-
отсюда /?? и //= l'm /Affl= lim lhm = lf. Обратно, если
m->co m-*oo
/??+. то /?/., что доказывается тем же приемом с заменой
ступенчатых функций hm на некоторые непрерывные функ-
функции fm- Переходя к разностям, получаем, что каждая фукк-
ция ф?? входит в L, каждая функция cp?L входит в i, и
при этом /ф = /<р. Тем самым совпадение результатов обоих
построений установлено.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что функция f (х), равная 1 на открытом множе-
множестве G с [а, Ь) и 0 на его дополнении, входит в 1+ [а, Ь].
2. Построить открытое множество G с [а, Ь) такое, что функ-
функция / (х), равная 0 на G и 1 на его дополнении, ие входит в Z.+ [а, Ь].
3. Если суммируемая функция f(x) равна нулю вне замкнутого
интервала [а, (?], внутреннего по отношению к [а, Ь], так что функ-
функцию f (х) можно «сдвигать», то в пространстве L[a, b] она «не-
«непрерывна в интегральном смысле»: для любого е > 0 можно найти
6 > 0 так, что при | Дл: | < б
-/(*)||<е. A)
4. При каких значениях вещественных параметров а, Р функция
f(x)= xa sin (л:!3) на полуинтервале @, 1]:
а) несобственно интегрируема по Риману?
б) суммируема по Лебегу?
5. При каких значениях вещественных параметров а, р функ-
функция /(х) = ха sin(x^) в интервале A, оо):
а) несобственно интегрируема по Рнману?
б) суммируема по Лебегу?
6. Неизмеримая функция. Для удобства построения будем
представлять себе замкнутый интервал [0, 1] свернутым в окруж-
окружность Г длины 1 и все расстояния будем измерять вдоль этой
окружпо:ти. Назовем точки g и т| окружности Г родственными,
если расстояние между ними рационально, и чуждыми, если оно
иррационально. Счетную совокупность всех точек, родственных
Данной (т. е. находящихся от нее на рациональных расстояниях),
назовем семейством. Вся совокупность точек окружности есть
объединение некоторого множества различных семейств. Показать,
что функция / (а:), определенная на окружности Г и для каждого
семейства принимающая на одном его члене значение 1, а на осталь-
остальных членах — значение 0, не может быть измеримой.
?• Рассмотреть двойные интегралы
ОО ОО II
Jj e-^cosA-cosy</.rrf>', 2) J |
0 0 0
Jj J |
0 0 0 0

62 ГЛ. 1. ИНТЕГРАЛ
Показать, что соответствующие повторные интегралы суще-
существуют при любом порядке интегрирования н в случае 1) совпадают,
в случае 2) различны. Тем не менее двойные интегралы не суще-
существуют, подынтегральные функции не суммируемы. Нет лн здесь
противоречия с теоремой Фубини (точнее, с ее обращением, § 2,
п. 10, замечание 1).
8. (Пример Г. П. Толстова.) Примем два постулата теории мно-
множеств:
1. На множестве точек континуума С={0<|<1) можно
ввести новое отношение порядка, обозначаемое знаком -^, так что
каждое подмножество будет иметь наименьший элемент (гипотеза
о полной упорядочиваемости).
2. При этом упорядочении всякое подмножество {?:?-$|о) при
любом ?,о?С не более чем счетио (континуум-гипотеза).
Рассмотрим на квадрате 0<л:<, 1, 0^у< 1 множество Z всея
точек (х, у), удовлетворяющих неравенству х -i у.
Показать, что каждое горизонтальное сечение множества 2
ие более чем счетно, а каждое вертикальное сечение имеет не бо-
более чем счетное дополнение. Далее, для характеристической функ-
функции h (x, у) множества Z имеют место соотношения
Iy \Ixh (х, у) ] = 0, Ix \Iyh (х, у) ] = 1.
Нет ли зхесь противоречия с замечанием 1 к теореме Фубини?
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
оо оо
1. Если 0= U А,, то f(x)= 2 h,(x), где *,•(*)= I на А, и 0 вне Д,.
У=! ' /-I ' ' I I
ОО 00
2. Взять 0= U Ду= U (a.j, fly), 2 (g^-ciy) < b-a, а так, чтобы кажда*
точка -ff |o, b\ была предельной для О.
3. Показать, что множество всех /, для которых (!) выполнено, замкнуто
с пространстве L. Затем проверить A) для ступенчатых функций.
4. а) при а> — I-IPI; 6) при а> -!-fl ЦЧ>0) и а > -I @ < 0).
Замечание. При Р<0, 0 — 1 < а < — 1 функция /(jr( несобственно инте»
грируема по Римаиу, ио ие суммируема по Лебегу.
5. а) при <х< | PI-1; б) при а< -1 (|i>0) и а < -1-0 ф < 0).
Замечание. При fl>0, —1 < а < —I + р функция / (х) несобственно ин»
тегрируема по Риману, но не суммируема по Лебегу.
6. Если / (х) измерима, то она суммируема и суммируемы также все ее сдвига
/(х ; А), причем Jf{x-{-h) = lf(x). Показать, что ~?.f(x+r)zs\ (r—всевозможны*
г
рациональные числа). По теореме Беппо Левн 2у/ (jr-f r) = i// (.tr) = /l = l, чт»
г т
невозможно ни при //>0, ни при lf=O.
7. Подынтегральные функции не сохраняют зн?ка.
8. Функция п(х,у), конечно, неизмерима.

ГЛАВА II
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
§ 4. Интеграл Римана — Стилтьеса
1. Брусы и листы. Общая схема § 2 может быть при-
применена еще к одному широкому обобщению понятия инте-
интеграла, называемому интегралом Стилтьеса.
В этом параграфе мы введем понятие интеграла Ри-
Римана — Стилтьеса, обобщающее понятие обычного инте-
интеграла Римана в я-мерном пространстве и позволяющее учи-
учитывать «неоднородность пространства» (в смысле, который
будет разъяснен далее).
Предварительно уточним понятие бруса. Мы назвали в § 1
брусом множество точек х = (хх, .... хп), удовлетворяющих
неравенствам
«1 <•»!<* ап<хп^Ьп. A)
Поскольку до сих пор мы имели дело лишь с размерами
и объемами брусов, не играло роли, стоят ли в этих нера-
неравенствах знаки ^ или <, так как граница бруса имела
объем нуль. Теперь мы будем иметь дело с обобщением
объема, «квазиобъемом Стилтьеса», который может быть
«сосредоточен» на границе бруса или даже в отдельных
точках (кроме того, мы будем рассматривать также и квазн-
°бъемы, имеющие отрицательные значения). Поэтому нам не-
необходимо уточнить понятие основного бруса и его подбрусов.
Как и раньше, основной брус В есть множество точек
вида A), но теперь мы не исключаем из рассмотрения бес-
бесконечные брусы, в которых одна или несколько из величин
ei» *i. .... ап, Ьп обращаются в бесконечность соответствую-
соответствующего знака (—оо для aj, -j-oo для bj) и, следовательно,

G4 ГЛ. II. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА И
брус В может содержать бесконечно удаленные точки.
Основной брус всегда является компактом в его естествен-
естественной топологии, т. е. любая последовательность точек из В
содержит подпоследовательность, сходящуюся к конечному
или бесконечному пределу. Впрочем, бесконечный брус всегда
может быть преобразован в ограниченный заменой Xj=tg$j
(у'= 1 я), где одно или несколько чисел из av bv ...
.... ап, Ъп в A) могут быть равны i-s--
Сечение бруса В некоторой гиперплоскостью размерности
и — 1, параллельной координатной гиперплоскости (т. е. ги-
гиперплоскости, имеющей уравнение Xj= const), называется
листом. Заметим, что некоторые или даже все точки листа
могут быть бесконечно удаленными.
Пусть В={лг: ai^xl<Cbl ап^хп^^п)- Множе-
Множество точек вида
1\ = {л:: а, <>
называется Л-м листом нижней границы бруса В; объеди-
объединение всех Гк (Л=1, .... п) называется (полной) нижней
границей В.
Множество точ^к вида
Г(*>={*: а, <*,<*, хк = Ьк ая<х„<*„)
называется ft-ы листом верхней границы бруса В; объеди-
объединение всех Г(*' (?= 1, .... л) называется (полной) верхней
границей бруса В.
Множество всех бесконечно удаленных точек, принадле-
принадлежащих нижней или верхней границам, мы назовем несобст-
несобственной границей бруса В.
Далее, пусть а,, Р[ а„, р„ — произвольный набор
чисел, удовлетворяющих неравенствам
а} < о; < Р; < Ь; (у=1 я).
Подбрусом основного бруса В мы назовем множество то-
точек вида
В=[х: а,
если cty > uj для каждого J; если же для некоторых j
a.j — us, то мы заменяем в определении подбруса неравенстве

4] § 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА-СТПЛТЬЕСА 65
а- < Xj на aj-^.Xj. Таким образом, В содержит любую точку
нижней границы основного бруса В, которая является пре-
предельной точкой В. (Заметим, что основной брус В также
является подбрусом самого себя.) Пустое множество 0 мы
также будем считать подбрусом. В дальнейшем слово «брус»
будет означать либо основной брус, либо его произвольный
подбрус.
Отметим два основных свойства брусов:
а) пересечение двух брусов есть снова брус;
б) если брус В{ содержится в брусе В, то существует
набор попарно непересекающихся брусов В2 Вт тако!'
что В=В,иЯ2и • ¦¦ \}Вт.
Введем определение плотной системы брусов. Пусть
В — {х: а1^х1^Ь а„-^.хП <*„)• Выберем на каж-
каждом из отрезков flft <! лг^, -^ Ьк некоторое всюду плотное под-
подмножество Ek(k=\ я), содержащее, в частности, точки
ак и bk. Множество Q всех брусов вида
у которых граничные координаты a,, pt а„, р„ принад-
принадлежат соответствующим множествам Ех Еп, будем на-
называть плотным в основном брусе В. Таким образом, каж-
каждый набор плотных множеств ?\ Еп определяет неко-
некоторое плотное множество брусов.
2. Квазиобъемы. Пусть каждому брусу В из некоторого
плотного множества Q в основном брусе В, — может быть,
неограниченном, — сопоставлено число о"(В), причем так, что
выполняется свойство аддитивности: если брус В есть объ-
объединение брусов В, Вт без общих точек, то
а (В) = а (В,)+-...+а (Ят).
Кроме того, положим о@)=О.
Функцию о (В), обладающую свойством аддитивности, бу-
будем называть в дальнейшем объемом Стилтьеса или, ко-
Роче, квазиобъемом.
Если a(?f)>0 для каждого бруса B?Q, то квазиобъем a
называется неотрицательным. Квазиобъем о, по определе-
Н"Ю, имеет ограниченное изменение, если для любого
5 Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич

66 ГЛ. If. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА Я
разбиения П бруса В на систему непересекающихся брусов
Bv .... Вт из Q выполняется неравенство
S|(y)|< A)
где постоянная С не зависит от выбора брусов В, Вт.
Наименьшее возможное значение постоянной С в неравен-
неравенстве A), т. е. величина
B 2И/I
II 1=1
(верхняя грань берется по всевозможным разбиениям бруса В),
называется полным изменением квазиобъема а в брусе В.
Если квазиобъем о неотрицателен, т.е. а(В)^0 для лю-
любого В ?Q, то условие A) эквивалентно конечности о (В);
таким образом, требование ограниченности изменения есть
существенное ограничение лишь для квазиобъемов, прини-
принимающих значения обоих знаков.
Вот три примера квазиобъемов (определенных для всех
подбрусов ВсЪ):
1. О] (В) есть s(B) — обычный объем бруса В (если В
ограничен).
2. о2(В) = f g(x)dx, где g(x) — фиксированная сумми-
в
руемая (в основном брусе В) функция.
3. Фиксирована последовательность точек с, ст, ...
в основном брусе В и последовательность вещественных чи-
оо
сел ?] gm, ... с 2 \Sm\^S <oo. Для заданного
Я!-1
бруса ВсЪ число а3(В) есть сумма тех из чисел gm, для
которых соответствующие точки ст лежат в брусе В.
Если в примере 2 ^(х)^-О. то квазиобъем о2 неотри-
неотрицателен; аналогично, если в примере 3 числа gm^0, то
квазиобъем о3 также неотрицателен.
В общем случае, когда функция g(x) в примере 2 — про-
произвольная суммируемая функция, квазиобъем о2 имеет ограни-
ограниченное изменение, поскольку для любого разбиения В1 Вт
j-l У-I
\g{x)dx <j\g(x)\dx.
BJ

3] § 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА - СТИЛТЬЕСА 67
Аналогично, если в примере 3 gf gm, ...—любая
оо
последовательность с 2 \gm \^=ё < °°> квазиобъем о3
имеет полное изменение, не превосходящее величины g.
3. Квазидлина и производящая функция. В случае
п=\ брус В есть замкнутый интервал [а, Ь], произволь-
произвольный брус В с: В — полуинтервал (а, р], а<а<р<#, при-
причем если а = а, то брус В есть просто замкнутый интер-
интервал [а, р). Плотное множество брусов Q задается указанием
всюду плотного на [а, Ь\ множества точек Е, содержащего
точки а и Ь; при этом брус В = (а, р] входит в Q тогда
и только тогда, когда обе точки а, р принадлежат мно-
множеству Е. Квазиобъем для полуинтервалов более естественно
называть квазидлиной.
Можно связать всякую квазидлину а (а, р], а, р??,
с некоторой функцией переменного х, определенной на мно-
множестве Е. Именно, положим для ??
F(x) = a[a, х], F(a) = 0.
Зная функцию F(x) на множестве Е, можно найти значение
квазидлины для любого полуинтервала (a, p]?Q, именно:
о (а. Р) = о[а, Р)-о[а. а) = F (р) - F (а). A)
Эта функция F(x) называется производящей для квазидлины о
(или, иначе, функцией распределения для этой квазидлины).
Очевидно, что любая конечная на ? функция F(x)c F(a) = 0
может служить производящей, поскольку функция полуинтер-
полуинтервалов о (а, р), определенная формулой A) по данной F(x),
всегда является аддитивной. Если правый конец Ь основного
замкнутого интервала [а, Ь\ есть -)-°° (т- е. В = {лг:а<[
¦^л; ^-f-oo}), то функция F(x) определена и для значе-
значения х = 4-°°-
Очевидно, что квазидлина о (а, р] неотрицательна тогда
и только тогда, когда функция F(x) не убывает на Е.
Укажем в терминах производящей функции F(x) опреде-
определение квазидлины о (а, р] с ограниченным изменением. Раз-
Разбиение бруса В = [а, Ь] на непересекающиеся подбрусы
"v -.., Вт в данном случае есть разбиение замкнутого ин-
интервала [а, Ь] на полуинтервалы
[х0, .Y,], (*,. лг2] (xm-v xmb

68 ГЛ. II. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА I*
где а = х0 < л:, < ... < х,„ — Ь, причем точки х0 хт
взяты из множества Е. Неравенство A) п. 2 можно записать
в форме
S I <* Ф}) I - 2 I P (xj) - F (*,-,)! < С. B)
Всякая функция F(x), определенная на множестве Е и при
любом выборе числа т и точек х0 хт из Е удовлет-
удовлетворяющая неравенству B), называется функцией с ограни-
ограниченным изменением. Таким образом, квазидлинам с ограни-
ограниченным изменением отвечают в качестве производящих такие
и только такие функции ^(л:), для которых F(a) = 0 и
которые сами имеют ограниченное изменение.
Аналогично предыдущему, наименьшее возможное зна-
значение постоянной С в неравенстве B), т. е. величину
pi
(верхняя грань берется по всевозможным разбиениям интер-
интервала [а, Ь\), назовем полным изменением функции F(x)
в замкнутом интервале [а, Ь].
Производящую функцию можно определить и для квазиобъема
в и-мерном пространстве, хотя она там и не приносит особой
пользы. Рассмотрим для простоты случай п = 2, и пусть В — основ-
основной брус; можно считать его определенным неравенствами а, ^
< а:, < Ьи аг < дг2 < Ь2. Обозначим через BJ^-' брус, выделенный
неравенствами а, < х, < рь а2 < х? < р2, а,, р, ??,, а2р2??2 (?,,
Е2 плотны соответственно в [а,, *,], [а2, *2] и содержат точки
a,, bt; а2, Ь2 соответственно), и положим
Из равенства
= ^ (Pi, fa) — F (а„ Р2) - f (Р„ а2) + F (а„ «2)
следует, что функция ^(xi, л:2) позволяет восстановить квазиобм
о (В) для каждого бруса B^Q: она называется поэтому проиэЩ
дящей функцией квазиобъема а {В).

4) § 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА - СТИЛТЬЕСА 69
4. Интеграл Римана — Стилтьеса. Мы построим теперь
дальнейшее обобщение понятия интеграла Римана, изучен-
изученного в гл. 1.
Предположим вначале, что основной брус В ограничен
и на некотором плотном множестве Q брусов В с: В задан
квазиобъем о" (В) с ограниченным изменением. Пусть имеется
некоторая функция f (х), определенная в брусе В. Рассмот-
Рассмотрим произвольное разбиение П бруса В на непересекающиеся
подбрусы В, В,„ из Q и, как обычно, обозначим че-
через d(U) максимальный из размеров брусов В, Вт.
Выберем в каждом брусе Bj произвольную точку |у и со-
составим «интегральную сумму Римана — Стилтьеса»:
Jw / (О
Если при неограниченном измельчении разбиения П (т.е.
мри d(U)—>0) сумма A) имеет предел, не зависящий от
вида разбиения и выбора точек ?у, то функция f (х) назы-
называется интегрируемой в смысле Рамана — Стилтьеса
в брусе В по квазиобъему о", а указанный предел назы-
называется интегралом Римана—Стилтьеса от функции f(x)
по брусу В и квазиобъему а; он обозначается символом
/о/=//(*) О (</*).
В
Покажем, что всякая функция f(x), непрерывная
в брусе В, является интегрируемой в смысле Римана —
Стилтьеса в брусе В по любому квазиобъему а с огра-
ограниченным изменением.
Так как основной брус В — компакт, то / равномерно
непрерывна. Для заданного е > 0 будем рассматривать та-
такие мелкие разбиения 11= {By} основного бруса, что из
x'€Bj. х"?В} следует \ f (х') — f (х")\ < с; такие разбие-
разбиения будем называть разбиениями, отвечающими числу е.
Пусть имеется некоторое разбиение П, отвечающее к, и не-
некоторое более мелкое разбиение П'= \Bjk), причем каждый
брус Bjk входит в брус Bj. Пусть, далее, |/ft — любая точка

70 ГЛ. II. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
бруса Bjk. Мы имеем по условию
5п(/) = 2/A/
2
Л *
= 1212 / (I/*) о (Bjk) - f (lj) a (BJ)
2 { 2 eyfta (Byt)} | < e 2 I oB,*
Пусть теперь П, и П2 — любые два разбиения, отвечаю-
отвечающие числу е. Образуем новое разбиение П12 из всех пере-
пересечений брусов, входящих в разбиения П, и Г12. Тогда
(а), 15П2 (/) - 5П,2 (/) | < еVB (а),
откуда
Пусть, наконец, Пя есть последовательность разбиений,
принадлежащих соответственно числам ея->0. По доказан-
доказанному, числа 5п (/) образуют последовательность Коши и,
следовательно, имеют некоторый предел Igf. Если П^ — лю-
любая другая последовательность разбиений, отвечающих чис-
числам ея, то 5 ' (/) — 5п (/)->0, откуда следует, что Iof
не зависит от выбора последовательности П„. Итак, если
квазиобъем а имеет ограниченное изменение, то для любой
функции /(лг), непрерывной в ограниченном замкнутом
брусе В, существует интеграл Римана — Стилтьеса
J
J f{x) a(dx) = Urn^о
в /—i
При этом для всякого разбиения П, отвечающего числу е,
место неравенство
f(x)a{dх)-
m
V
B)

4] § 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА - СТИЛТЬЕСА 71
Рассмотрим классический случай я=1. Если квазиллина
о(а, Р1 обладает производящей функцией F (х) с ограни-
ограниченным изменением, то для любой функции / (х), непрерыв-
непрерывной в замкнутом интервале [а, Ь], существует интеграл Ри-
мана — Стилтьеса
= f
где ?,}?(xj-\' xj]> a предел справа берется при неограни-
неограниченном измельчении промежутков (х^_г, xj\. Этот же ин-
интеграл через производящую функцию обозначается следую-
следующим образом:
ь
J f(x)dF(x)=\f(x)dF(x).
\а, b] a
Это обозначение естественно связано с исходным опреде-
определением интеграла, выраженным через производящую функцию!
2
1-Х
Здесь в качестве F(x) можно брать любую функцию с огра-
ограниченным изменением (не обязательно производящую). В част-
частности, при /(*)= 1
a\a, b) = F(b) — F(a),
f I
|a.»l
в соответствии с классическими формулами.
Отметим некоторые простые свойства интеграла Римана —
Стилтьеса, имеющие место в общем случае (т. е. без спе-
специального предположения о непрерывности подынтегральной
Функции). Если интеграл Римана — Стилтьеса существует для
некоторых функций fx(x) н f2(x) и с^. а2 — вещественные

72
ГЛ. 'I. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
1«
числа, то он существует и для функции / (х) = alfl (x) -\-
-f-a2/2(*), причем
j
в в
Если интеграл Римана — Стилтьеса существует для функции
f(x) и функция /(х) ограничена в брусе В по модулю чи-
числом М, то
J f(x)a(dx)
В некоторых случаях интеграл Римана — Стилтьеса можно
выразить через обычный интеграл Римана. Предположим,
что в примере 2 п. 2, где
02(Я)= \g(x)dx,
функция g(x) сама непрерывна (а значит, и равномерно
непрерывна) в В. Тогда мы имеем для любой непрерывной
функции f (х)
J / (х) a2 (dx) =\ f(x)g (х) dx. C)
в в
Действительно, если П есть подразбиение бруса В, от-
отвечающее числу е одновременно для функции f(x) и для
функции f(x)g(x), то
/ft
J / (х) g (x) rfjf - 2 / &j) g (Ij) s (Bj)
в
m
<e.s(B);
dj> 8
j-\
j-l
j-l
<e.s(B)max|/(je)|
в

4] f 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА - СТИЛТЬЕСА 78
откуда
jf(x)o2(dx)-jf(x)g(x)dx
< е [Кв (а2) + s (В) + s (В) max | / (*) | J,
в
и так как е произвольно, то имеет место C).
Все предыдущие построения легко переносятся на случай
неограниченного бруса В. Следует только уточнить смысл
«неограниченного измельчения». Произведем преобразование
Xj = tg(lj) (п. 1); брус В перейдет в ограниченный брус В*;
будем говорить, что разбиение П бруса В «.неограниченно
измельчается», если соответствующее разбиение бруса В*
неограниченно измельчается в обычном смысле. Далее, функ-
функция f(xx, .... ха), определенная в брусе В, считается
непрерывной, если непрерывна в обычном смысле функция
f (tglv ¦ ¦• '?»«)¦ пли- что то же> если f(x) непрерывна в В
и допускает непрерывное продолжение на бесконечно удален-
удаленные точки. Ясно, что всякая функция / (х), непрерывная в В,
интегрируема по квазиобъему о с ограниченным изменением.
Класс функций, интегрируемых по квазиобъему а, содер-
содержит и некоторые разрывные функции. Можно установить
критерий интегрируемости по квазиобъему а, аналогичный
критерию интегрируемости по Риману в § 1. Мы, однако,
ие будем уже останавливаться на этом, поскольку мы по-
построим в дальнейшем (см. § 5) схему Лебега — Стилтьеса,
которая позволит интегрировать по квазиобъему а значи-
значительно больший класс функций, чем схема Римана—Стилтьеса.
Эквивалентные квазиобъемы. Бывают случаи,
когда различные квазиобъемы а, и а2, определенные на раз-
различных системах брусов Ql=zQl(al) и Q-2 = Q2(a2)< или даже
па одной и той же системе Q = Qi=Q2, приводят к одному
и тому же интегралу Римана—Стилтьеса, так что для лю-
любой непрерывной функции
J /(*H,(rf*) = J f(x)o.2(dx). D)
в в
Пусть, например, и = 1 и квазидлина а (а, (?] равна нулю для вся-
кого полуинтервала (а, р], не содержащего фиксированной точки
С \а < с < Ь) или содержащего ее строго внутри; далее, полагаем

74 ГЛ. II. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА |»
с (а, с] = + 1 при любом а < с и а (с, E] = — 1 при любом Р > с
Легко проверить, что для любой непрерывной функции
J
[а, 6]
хотя а (а, $]ф 0.
Квазиобъемы о, и а2, удовлетворяющие условию D), мы
будем называть эквивалентными. Вопрос об эквивалентных
квазиобъемах мы рассмотрим подробно в п. 8 § 5. Приве-
Приведем уже сейчас некоторые результаты для лучшей ориенти-
ориентировки читателя.
Каждый квазиобъем а с ограниченным изменением
эквивалентен некоторому квазиобъему а, также с ог-
ограниченным изменением, который определен уже на всех
брусах В с: В и непрерывен сверху в том смысле, что
для любой последовательности брусов Вт, сходящейся
сверху к брусу B(Bm\iB) (так что координаты всех гра-
граничных листов брусов Вт убывают с возрастанием т), имеет
место соотношение
а (В) = lima (Я J.
т->оо
Два эквивалентных между собой непрерывных сверху
квазиобъема совпадают на всех брусах fie В. Формула
для определения квазиобъема а по квазиобъему а следую-
следующая:
где Bm?Q(e), Bm\B.
б. Предельные теоремы. Пусть имеется последователь-
последовательность квазиобъемов о,, .... ат, ..., определенных на под-
брусах основного бруса В. Мы желаем определить понятие
сходимости от-+о с тем, чтобы для всякой непрерывной
функции f (х) была справедлива формула
f(x)om(dx)= ( f(x)o{dx)*). A)
в
*) Более краткая запись: lim/a /=/оу.

I 4. Интеграл римана - стилтьеса
75
Будем говорить, что последовательность квазиобъемов ov ...
.... om, . . . сходится в существенном к квазиобъему а,
если 1) полные изменения Vg (о„,) ограничены в совокупно-
совокупности; 2) существует плотное множество брусов Q={B), на
каждом из которых определены все от(В) и выполняется
предельное соотношение
т ->¦ оо
Проверим, что квазиобъем о (В) вместе с квазиобьемами
от(В) имеет ограниченное изменение. Пусть В1 Вр
(fiy^Q) — фиксированное разбиение II основного бруса В.
Мы имеем
m >o
и так как эта оценка не зависит от выбора подразбиения П.
то квазиобъем а имеет ограниченное изменение, что и тре-
требовалось.
(E. Хелли). Если последовательность
Теорема I
квазиобъемов о,,
сходится в существенном
к квазисбъему а, то для каждой непрерывной функции
f(x) имеет место предельное соотношение A).
Доказательство. Возьмем произвольное е>0 и
рассмотрим любое подразбиение бруса В на подбрусы Bv ...
.... Вр из системы Q, настолько мелкое, что колебание
функции f (х) на каждом из этих подбрусов не превосхо-
превосходит е (подразбиение, отвечающее числу е, — как мы гово-
говорили в п. 4).
Тогда, в соответствии с формулой B) в п. 4, мы имеем
B)
<eVB@n.). C)
в i-\
Далее, найдем такой номер N, что при m^-N выполняется
неравенство
р р
И
J f(x)am(dx)- 5J/(fc,)om
Ъ
2

?6 ГЛ. П. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
Из B), C) и D) следует, что при т^> N
f(x)a(dx)- J f(x)om(dx)
в в
<Сг,
где С — постоянная, не зависящая от т. Отсюда следует
искомое соотношение A).
Замечание. Эту теорему можно несколько обобщить, до-
допустив зависимость и функции / (х) от т. Именно, мы утверждаем,
что справедливо соотношение
если выполнены условия:
а) квазнобъемы <тт(В) сходятся в существенном к квази-
квазиобъему а (В);
б) непрерывные функции /т(х) равномерно в брусе В схо-
сходятся к своему пределу / (х).
Доказательство немедленно вытекает из оценок
|om(//m)|<|//m|,
1М/-/тI<Стах|/-/т|,
дг?В
где
C=sup{KB(a); VB(am> /я = 1. 2,...},
и только что доказанной теоремы.
Применение теоремы 1 весьма облегчается следующей
теоремой, дающей возможность из данного множества квази-
квазиобъемов выбрать сходящующся в существенном последова-
последовательность.
Теорема 2 (Е. X е л л и). Из всякого бесконечного
множества 2 квазиобъемов [аа(В)), определенных на од-
одном и том же плотном множестве Q брусов fie В, пол-
полные изменения которых ограничены в совокупности, на-
например, постоянной С, можно выбрать последователь-
последовательность от(В), сходящуюся в существенном к некоторому
квазиобъему о (В).
Доказательство. Очевидно, Q содержит последова-
последовательность брусов Blt B2 плотную в В. Так как для
аа?2 числа аа(В,) ограничены, то существует последователь-
последовательность квазиобъемов alm?2, для которых числа alw(fi,) имеют
предел. Из этой последовательности а1т можно выбрать

5] § 4. ИНТЕГРАЛ РИМЛНА-СТПЛТЬЕСА 77"
подпоследовательность a2m, для которой сходятся числа о2т(В2)
(а также, конечно, и числа a2m(B,)); продолжая таким обра-
образом, получим для каждого р последовательность арт, сходящу-
сходящуюся при т->оо на брусах В,, В2 Вр. Диагональная
последовательность атт — будем ее обозначать просто ат —•
сходится на каждом из брусов В,, В2, ... Предел о(В) после-
последовательности а.п{В), определенный на брусах Bv В2, ..,,
представляет собою некоторый квазиобъем; по доказанному
выше, он имеет ограниченное изменение, что и требовалось.
Для я=1 после перехода к производящим функциям
определение сходимости квазиобъемов в существенном и тео-
теоремы Хелли приобретают следующий вид:
Последовательность Fl(x), F.2(x), ... функций с огра-
ограниченным изменением, определенных на плотном множестве
Е с [а, Ь], называется сходящейся з существенном к функ-
функции F(x), если полные изменения всех функций Fm(x) огра-
ограничены в совокупности и
lim Fm(x) =
для каждого ?
В этом случае предельная функция F(x) также имеет
ограниченное изменение.
Теорема 1 Хелли гласит: если функции Fm(x) схо-
сходятся в существенном к функции F(x), то для любой
функции f(x), непрерывной в замкнутом интерва-
интервале [а, Ь],
ь ь
lim I f(x)dFm(x)=l f(x)dF(x).
Теорема 2 Хелли гласит: из всякого бесконечного
множества неотрицательных функций {Fa(x)\, Fa(a) = 0,
определенных на одном и том же плотном множестве
?c(a, b], полные изменения которых ограничены в сово-
совокупности, можно выбрать последовательность Fm(x), схо-
сходящуюся в существенном к некоторой функции F(x).
Дополнение, касающееся возможной зависимости функции / (х)
°т индекса т, разумеется, остается в снле и для л = I.

78
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
6. Применения в анализе. Теоремы о предельном переходе
под знаком интеграла Стилтьеса имеют многочисленные примене-
применения. Мы приведем в этом пункте некоторые примеры из различных
разделов математического анализа, основанные на этих теоремах.
1. Отображение единичного круга в правую
полуплоскость. Найдем общий вид функции а> = /(г), ана-
аналитической в круге | г | < 1 и имеющей неотрицательную вещест-
вещественную часть, т. е. отображающей круг |г|<1 в правую полу-
полуплоскость. Примером служит по-
постоянная a -J- 'Р. « >• 0, а также
функция
Рис. 1.
е11 — z
с произвольным вещественным t.
В самом деле, при заданном I
н | z | < 1 точки г, = е" + г
и z2 = e" — z находятся в пре-
пределах круга Q радиуса 1 с центром
в точке е" на одном диаметре этого
круга (рис. 1). Весь этот диа-
диаметр виден из начала координат О
(находящегося на окружности кру-
круга Q) под углом л/2; отрезок диа-
диаметра между точками гх н z2 ви-
виден под углом а < я/2. Следова-
Следовательно, | arg Л (z) | = | arg zx —
— arg z21 < л/2, откуда вытекает,
что Re /, (z) > 0.
Оказывается, всякая функция w — f (z), аналитическая в круге
\z\ < 1 н отображающая этот круг в правую полуплоскость, полу-
получается «стилтьесовскнм комбинированием» указаниых простейшнх
функций; именно, имеет место следующая теорема.
Теорема 1 (Г. Херглотца). Всякая аналитическая
в круге | z | < 1 функция с неотрицательной вещественной
частью может быть записана в виде
2л
л i _
(П
где Р — вещественное число, a F (t) — неубывающая ограничен-
ограниченная функция.
Доказательство*). Как известно, аналитическая в круге
|г|<г< 1 функция f(z) может быть представлена через гранич-
*) По книге: Н. И. Ахиезери И. М. Глазман, Теория
линейных операторов в гильбертовом пространстве, нзд. 2, перераб.,
«Наука», 1966. Формулу Шварца см., например, в книге: А. И. Мар-
Марку ш е в и ч, Краткий курс теории аналитических функций, изд. 2,
Физматгиз, 1961, гл. 6.

6) § 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА - СтИЛТЬЕСА 79
ные значения своей вещественной части и {г) по формуле Шварца
2я
= jrJ Z'-lu
КЯ + 'Р
6
Этот интеграл можно записать в форме
2л
где
— неубывающая функция от /. Мы имеем, далее, по теорем: о сред-
среднем для гармонических функций
2Л
Fr @ < Fr Bл) = -jj- J и('«/т) <*т = и @),
о
так что полные изменения V^ (Fr) ограничены в совокупности прн
re'1 Л- г
всех г <\. Функции ——3-— (| г \ < 1 фиксировано) сходятся прн
re" — г
eit i 2
г->1 равномерно по t к функции ———. Из последовательности
е" — г
Fr(t)(r->\) согласно теореме 2 Хелли иэжнэ извлечь подпосле-
подпоследовательность, сходящуюся в существенном к некоторой неубы-
неубывающей функции F (t); применяя теорему 1 Хелли, получим
2л 2л
что н утверждалось.
Замечание. По формуле A) может быть представлена и
постоянная o-j-'P. a>0: для этого достаточно положить F(t) = at.
2. Абсолютно монотонные функции. Бесконечно
дифференцируемая функция / (х), определенная на замкнутом ии-
тервале а^дг<6 (—оо<!а, 6<;оо), называется абсолютно
Монотонной, если она сама и все ее производные неотрицательны:
(П = 0, 1, 2, ...).
Абсолютно монотонной функцией является положительная постоян-
постоянная, а также функция вида еах {а > 0). Оказывается, если интервал

80 ГЛ. II. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА 17
я<л:<6 имеет бесконечную протяженность, то всякая абсолютно
монотонная функцня получается «стилтьесовским комбинированием»
простейших абсолютно монотонных функций еах. Ограничимся для
определенности полупрямой —со<л:^0.
Теорема 2 (С. Н. Берн штейна). Всякая абсолютно
монотонная при дг<0 функция f (х) может быть записана
в форме
о
(eaxdF(a), C>0,
где F (а) — некоторая неубывающая ограниченная функция.
3. Положительно определенные функции. Ком-
плекснозначная функция / (х) называется положительно опреде-
определенной, если при любых .*, хп матрица \\/(xj — xk) ||"( и^х
положительно определена; иначе говоря, если квадратичная форма
п
2 /(¦*/ — xk)\j\k принимает ПРИ всевозможных комплексных
J, *-=i
|i ея только неотрицательные значения.
Примером положительно определенной функции является
= e'tx (t вещественно);
действительно, при любых комплексных ? |„
Их,
2
S
Оказывается, всякая положительно определенная функция на
прямой —со < х < го получается «стилтьесовским комбинирова-
комбинированием» простейших положительно определенных функций е'1х.
Теорема 3 (С. Б о х н е р а — А. Я. X и и ч и н а). Всякая
положительно определенная измеримая функция f (лг) на осЛ
— со < х < оо имеет вид
/ (л) = J «"' dF {t),
где F (t) — некоторая ограниченная неубывающая функция.
Доказательства теорем 2 и 3 основаны на применении теоре!
Хелли в бесконечном интервале. Мы не приводим их здесь *).
7. Структура квазиобъема с ограниченным измен
нием. Как мы уже заметили, неотрицательный (ограниченны
квазиобъем всегда имеет ограниченное изменение, Дал&
*) См., например, Г. Е. Шилов, Математический анализ (спе
циальный курс), изд. 2, Физматгиз, 1961, стр. 32G и 404,

7J § 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА - СТИЛТЬЕСА 81
если имеются неотрицательные квазиобъемы р(В) и д(В),
определенные на одном и том же плотном множестве бру-
сов Q, то мы можем образовать разность о (В) = р (В) — q(B);
функция о (В) вместе с функциями р{В) и д(В) является
аддитивной функцией брусов, т. е. представляет собою квази-
квазиобъем. Покажем, что этот квазиобъем а(В) — вообще говоря,
принимающий значения обоих знаков — имеет ограниченное
изменение. Рассмотрим любую систему непересекающихся
брусов В1 Вт; мы имеем
так что сумма слева ограничена фиксированной постоянной,
что нам и требовалось. Оказывается, верно и обратное:
всякий квазиобъем о (В) с ограниченным изменением, опре-
определенный на некотором плотном множестве брусов Q
из В, представим в виде разности двух неотрицатель-
неотрицательных квазиобъемов, определенных на том же множестве Q.
Все брусы, фигурирующие в дальнейших рассуждениях,
берутся из множества Q.
Положим для данного квазиобъема а и данного бруса
вея
т
р (В) =- sup 2 о (В.),
/-1
где Вх Вт — любая система непересекающихся брусов
из системы Q, лежащих в брусе В. Величина р(В) опреде-
определена и неотрицательна для любого бруса В, так как система
непересекающихся брусов может состоять лишь из «пустого»
бруса. Покажем, что функция р(В) аддитивна вместе с о (В).
Пусть брус В есть объединение непересекающихся бру-
брусов В{[) ВE) и В, Вт— любая система непересе-
непересекающихся брусов из системы Q, лежащих в брусе В. Мы
имеем, с одной стороны,
т т s s т 1
2 а (в,) =2 2 0(^*0=2 2°(*/*(*))<2/»Ю.
откуда и
/KB) = sup 2 о (Я/)
6 Г. Е- Шилов, Б. Л. Гурсвнч

82 ГЛ. II. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА (8
С другой стороны, для заданного е > 0 найдем в брусе В( '
систему непересекающихся подбрусов By (/=1, 2, .... гк)
так, чтобы иметь
(*<*>)<?о да-t-f
Суммируя по индексу k, находим
i/>(Sw)<i SaE(/
и так как е > 0 произвольно, то
2/>E<*>)<
Соединяя A) и B), находим
т. е. функция р(В) аддитивна и представляет собою некото-
некоторый новый квазиобъем.
Положим, далее,
q(B) = p(B)-o(B). C)
Так как а (В) и р (В) — квазиобъемы, ioq(B) также является
квазиобъемом. Далее, поскольку р (В) .> о (В), мы имеем
дВ ^- 0, так что q есть неотрицательный квазиобъем. Из C)
мы имеем
D)
и тем самым искомое разложение исходного квазиобъема
с ограниченным изменением получено.
Отметим неравенство, вытекающее из D):
iV(B) E)
Для любого бруса B?Q.
8. Описание других возможных разложений. Разложение
a{B)=p{B)-q{B), p(B)l>0, ?(В)>0, A)
конечно, не единственное, Если г (В)— любой неотрицатед j-

}j § 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА - СТИЛТЬЁСА 83
Ный квазиобъем, то наряду с разложением A) можно запи-
записать и другое:
B)
Оказывается, в форме B) заключено уже любое представле-
представление квазиобъема а (В) в виде разности двух неотрицательных
квазиобъемов. Действительно, пусть известно, что о(?) =
s= p1(B)—Qi(B), где/?, и 01 — неотрицательные квазиобъемы.
Мы имеем для любой системы Bv .... Вт непересекающихся
подбрусов бруса В (Bj ? Q)
откуда и
Положим рг(В) — р(В)= г(В); квазиобъем г (В), очевидно,
неотрицателен. Мы имеем теперь рх (В)~ р (В)-\- г (В) и,
далее,
*,(?) = Pl{B)-o(B)= p(B)-o(B)+ r(B) = q(B)+ r (В).
что и утверждалось.
Одновременно мы нашли, что разложение A), построен-
построенное в п. 7, имеет простую характеристику в классе всех
возможных разложений, а именно: квазиобъемы р (В) и q(В) —
наименьшие возможные. Поэтому разложение A) будем
называть каноническим разложением квазиобъема о.
9. Формулы для положительного, отрицательного и
полного изменения. Функция р(В), как мы помним, была
определена по формуле
/> (S) = sup 2 о
где верхняя грань берется по всем системам [Bj] непере-
непересекающихся подбрусов бруса В (Bj?Q). Построим аналогич-
ные формулы для функций q(B) и v(B) — p(B)~\- q(B).
Функция q (В) играет роль, аналогичную функции р (В)
в разложении квазиобъема — а (В):
-o(B) = q(B)-p(B),

84 ГЛ. II. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА 19
и так как, по доказанному, q и р минимальны, то справед-
справедливо представление
по всем непересекающимся системам подбрусов Bj ? Q бруса В.
Переходим к построению формулы для квазиобъема v(B).
Рассмотрим систему непересекающихся подбрусов Bj бруса В,
для которой 2 о (й/) > /> (й) — е, и пусть {Вt) — дополни-
j
тельная система подбрусов. Тогда
и, далее, если Bj есть любой из брусов Bj и Bj,
i ' i ' 1 '
> Р (В) + q (В) — 2е = v (В) - 2е.
Отсюда
где верхняя грань берется по всем разбиениям бруса В на
непересекающиеся подбрусы.
С другой стороны, если B=\jBj—произвольное раз-
разбиение бруса В на непересекающиеся подбрусы, то согласно
неравенству E) п. 7
Таким образом, квазиобъем v E) может быть определен по
формуле
S|o(B;)|. A)
где верхняя грань берется по всем разбиениям бруса В па
непересекающиеся подбрусы. Мы встречались с этой вели-
величиной еще в п. 2, где назвали ее полным изменением

,0) I 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА-СТИЛТЬЕСА 85
квазиобъема а. В свою очередь, квазиобъем р называется
положительным изменением квазиобъема a, q — отрица-
отрицательным изменением; таким образом, полное изменение v
есть сумма положительного изменения и отрицательного
изменения.
Замечание. Приведенные построения очень похожи на
построения пп. 11 —13 § 2, где мы представляли знаконе-
определенпый функционал в форме разности двух неотрица-
неотрицательных. Возникает мысль о наличии прямой связи между
этими двумя построениями. Ответ будет дан в п. 7. § 5.
10. Случай я=1; теорема Жордана. Рассмотрим слу-
случай я=1, и пусть основной брус В есть замкнутый интер-
интервал [а, Ь\. Пусть F(x)— производящая функция для квази-
длииы о (а, р], т. е. F(x) — а [а, х]. Как было показано
в п. 3, а (а, Р] имеет ограниченное изменение в [а, Ь] тогда
и только тогда, когда F(x) имеет ограниченное изменение
в [а, Ь].
Пусть теперь задана произвольная функция F(x) с огра-
ограниченным изменением. Функция F(x)—F (а) является произ-
производящей для аддитивной функции полуинтервала о (а, р] =
= F (р)—F(a), которая имеет ограниченное изменение и, по
доказанному, есть разность двух неотрицательных квазидлин
о (а, р] = р(а. Р]-<?(а, р].
Полагая Р(х)= р\а, х], Q(x) = q[a, x], мы получаем тео-
теорему Жордана: всякая функция F(x) с ограниченным
изменением может быть представлена с точностью до
постоянной F(a) в форме разности двух неубывающих
неотрицательных функций
Fix)=F(a) + P(x)-Q{x). A)
Функции Р(х), Q(x) и V (х) = Р (х) -4- Q (х) называются:
первая — положительным изменением функции F(x), вто-
вторая — отрицательным изменением, третья — полным изме-
изменением функции F(x). Из равенства A) п. 9 вытекает сле-
следующая формула для функции V (х):
V (х) - sup  I F (хт) - F (Xj) |,

86 ГЛ. II. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬПСА A«
где верхняя грань берется по всем разбиениям д = лсо<
< хх < ... < хт_х < хт = х замкнутого интервала [а, х].
Укажем еще часто встречающиеся обозначения
Можно было бы иаписать аналогичные результаты для любого Л
но они будут сложнее выглядеть из-за сложности связи мел
квазиобъемом и его производящей функцией (см. п. 3).
1. Найти
2
Л-J
0
/2 = J
-1
значения
xdF{x),
xdF(x),
ЗАДАЧИ
интегралов Стилтьеса:
F(x) =
0
1
—1
при
при
при
при
при
0<лг<1,
1 < х < 2,
дс = -1,
— 1 < л- < 2,
2<a:<3.
2. Для функции F(x) = s\nx @<лг<!2л) иайти положитель-
положительное изменение Я (х), отрицательное изменение С? (х) и полное изме-
изменение V (х).
3. Доказать, что непрерывная функция хо sin —s- в замкнутом
интервале [0, 1] имеет ограиичеииое изменение при а > E и не
имеет ограниченного изменения при а-<СE.
4. Кривая y = F(x) (a^.x-^b) называется спрямляемой, если
длииы ломаных с последовательными вершинами в точках
(xi, F (*,)) (х„, F (*„)), где а = хх <хг< ... < хп = Ь,
ограничены фиксированной постоянной, не зависящей от числа л
и выбора точек х2, ..., xn_h Показать, что кривая у =* F (х) спрям-
спрямляема тогда и только тогда, когда функция F (х) имеет ограни*
чениое изменение.
5. Показать, что сумма и произведение двух функций F{ (x)
и F2 (х) с ограниченным изменением есть сиова функция с ограии*
чеииым изменением, причем
К (Л^) < тах | F, (х) | V» (F2) + max | F2 (лг) | Vba
6. Пусть F(л)>-а>0 есть функция с ограниченным измене-
изменением. Показать, что и „ есть функция с ограниченным

,0] § 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА - СТИЛТЬЕСА
изменением, причем
7. В пространстве V всех функций F (х) с ограниченным изме-
изменением в замкнутом интервале [а, Ь] ввести норму
(функции, отличающиеся на постоянную, считаются эквивалент-
эквивалентными). Показать, что при этом получается полное нормированное
пространство.
8. (Функция Кантора). Функция С (х), О <! х < 1, опре-
определяется следующим образом. В каждой точке х канторова множе-
множества С (§ 1, задача 2) с троичным разложением х=*0, б^ • • •
(числа 0„— нули или двойки) функция С (х) имеет двоичное разло-
разложение 0, 0@2 .... где 0^ = 0„/2. При этом в концах каждого смеж-
смежного к множеству С интервала функция С (х) получает равные
значения; она доопределяется далее во всем смежном интервала
как соответствующая постоянная.
Показать, что С (х) непрерывна.
9. Показать, что функция Кантора (задача 8) не может быть
представлена в форме
X
С {х) = J g (х) dx, (I)
а
где g (*) — суммируемая функция.
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
1. /,^2/3-l 1-13/2=19/6; /j = —l-1-f 2(—2) = —5.
2. I sin x при 0<jr<.T/2,
/>(л:)=| I при я/2<л-<Зя/2,
I sin x\1 при Зя/2<дг<2.т;
!O при
- sin л--!-1 при л./2<л:<3гг'2,
2 при Зя/2<лг<2я;
3. Оценить приращение функции F (х) между двумя ее сОСМВИМИ
"Ыми экстремумами.
*• Использовать неравенство
Для второго неравенства использовать соотношение
a fit - *i*j = о, (о, - *,) -i (о, - »,) »,.

88 ГЛ. II. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
в. Использовать равенство = —
7. Так как функции, отличающиеся на постоянную, эквивалентны, можно
Vх
считать, что F (а) =0 для всех F (х) ? V. Использовать неравенство | F (х) | < Vх {F)
и соотношение
р-> jo у'=0
л-1
8. Функция C(jr) не убывает и принимает всюду плотное множество зна-
значений.
9. В предположении справедливости (I) показать, что g (x) должна обра-
обращаться в нуль почти в каждой точке дополнения к канторову множеству; отсюда
получить противоречие.
Примечание. Функция Кантора является производящей для квазидлины,
не сводящейся к типам, указанным в примерах 2 и 3 п. 2 § 4.
§ 5. Интеграл Лебега —Стилтьеса
1. Определение интеграла Лебега —Стилтьеса. Hauii
ближайшая задача состоит в построении интеграла Лебега —
Стилтьеса, обобщающего интеграл Римаиа — Стилтьеса в том же
направлении, в котором интеграл Лебега (§ 3) обобщает
классический интеграл Римана.
Как мы видели в § 3, интеграл Лебега можно было
строить по желанию, исходя либо из совокупности ступен-
ступенчатых функций — в качестве элементарных, либо же из сово-
совокупности непрерывных функций. Для интеграла Лебега —
Стилтьеса эти два пути уже не равноправны. Точнее, мы
всегда можем построить интеграл Лебега—Стилтьеса, беря
за совокупность элементарных функций непрерывные функ-
функции с интегралом Римана — Стилтьеса в качестве элементар-
элементарного интеграла; если же за совокупность элементарны*
функций мы будем брать ступенчатые, то построение воз-
возможно лишь тогда, когда исходный квазиобъем о удовлетво-
удовлетворяет некоторым дополнительным условиям (см. п. 9). М
предпочитаем поэтому начинать с непрерывных функци
с элементарным интегралом — интегралом Римана — Стилтьес!
Пусть имеется квазиобъем о, определенный на плотно
множестве Q подбрусов основного бруса В. Будем вначал
считать квазиобъем а неотрицательным, так что о(В)^
для любого бруса B?Q. Напомним, что основной брус
в его естественной топологии является компактом,

,| § 5. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА - СТИЛТЬЕСА 8Э
Обозначим через Н совокупность всех непрерывных функ-
функций иа В (см п. 4 § 4). Очевидно, совокупность Н удовле-
удовлетворяет условиям п. 1 § 2 для совокупности элементарных
функций. Далее, определим для функций /?# элементарный
интеграл /0/ как интеграл Римана — Стилтьеса (§ 4)
7af=jf(x)a(dx).
в
Интеграл /0/ удовлетворяет условиям п. 1 § 2 для эле-
элементарного интеграла. Действительно, условия I, II выпол-
выполняются очевидным образом; условие III доказывается так же,
как и в п. 4 § 3, с помощью леммы Дини и неравенства
\'ofm\= J fmMa(dx) <VB(t
Теперь мы можем применить общую схему § 2. В резуль-
результате возникает класс L.« (В) функций, являющихся почти
всюду пределами возрастающих последовательностей функ-
функций hm?H с ограниченными интегралами Стилтьеса, и затем
класс /.„(В) разностей функций класса 1„; эти последние
функции, суммируемые в обобщенном смысле, составляют
полное нормированное пространство с нормой |] <р [|„ =/„ (|ф !)•
Суммируемые функции называются в данном случае сум-
суммируемыми по Лебегу—Сти.ьньесу (относительно квази-
квазиобъема о) или, короче, а-суммпруемыми; соответствующий
интеграл обозначается через 70ф или \ (f(x)a(dx).
в
В случае я=1 интеграл Лебега — Стилтьеса по интер-
интервалу а-^x-^b обозначается любым из следующих символов:
ь ь
7оф = | Ф (л:) a (dx) = j Ф (*) dF(x), A)
а а
где F(x) — производящая функция для квазидлины о (a, ft].
Замечание. В указанной конструкции вместо интеграла
Римана—Стилтьеса можно было бы использовать произволь-
"ый линейный неотрицательный функционал / (h) на про-
пространстве С (В) непрерывных функций h(x), который является
Непрерывным в том смысле, что из Ат\0 следует /(Am)->0.

90 ГЛ. II. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА J»
Впрочем, не следует думать, что это обобщение является
существенным; уже в п. 4 мы увидим, что всякий такой
функционал задается с помощью некоторого неотрицательного
квазиобъема в виде интеграла Римана—Стилтьеса.
2. Примеры. Для иллюстрации мы рассмотрим три примера
квазиобъемов, приведенные в п. 2 § 4.
1. Если а, (В) есть s (В)—обычный объем бруса В, то, оче-
очевидно, класс а,-суммируемых функций совпадает с классом сумми-
суммируемых по Лебегу функций.
2. Пусть для каждого ВсВ
°2 (В) = | g W dx,
в
где g(x)'^.Q — суммируемая функция на брусе В.
Пусть, далее, h (х) — непрерывная функция в брусе В. Инте-
Интегральная сумма Римаиа — Стилтьеса по квазиобъему аг от А (х)
имеет вид
А (|у) а2 (Bj) = ^ h ?j) | g (x) dx
J-i J-f
g {x) dx
}-\ Bf
где hn (х) — ступенчатая функция, равная h (%j) в брусе By. T
как функции Лп (х) при иеограничеииом измельчении подразбн
ния П бруса В, т. е. при ^(П)->0, равномерно стремятся к фуи
ции h (х), то по теореме Лебега
т
70 h = \ h(x) a3 (dx) = llm У Л (
где / обозначает обычный интеграл Лебега.
Если последовательность элементарных функций hp, возраста!
стремится (всюду) к фуикцнн /, причем интегралы ^г2(/„) ограия
чены, то это означает, что ограничены интегралы Лебега / (Л^
и, следовательно, предел fg последовательности hpg есть суммй
руемая в обычном смысле функция; при этом
7а/=* Hm 7<,hp- Ит /(Л,*)-/(fg).

1] $ 5. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА - СТИЛТЬЕСА 91
Получаемая таким образом функция / входит в класс Z+. Любая
функция нз класса Z+; отличается от функции / указанного типа
на слагаемое /0, равное нулю почти всюду по а2. Покажем, что
для такой фуикцнн /0 всегда / (fog) = 0. Пусть Z = [х: /0 (х)фО).
Так как Z есть множество а2-меры 0, то прн любом т мы можем
найтн неубывающую последовательность неотрицательных непре-
непрерывных функций /ij,m) (х), для которой sup A*,m) (x) > 1 на Z, в то
время как 7^(h{f>)< —. Можно считать, что AJf+1) (лг)< л?"' (х)
прн любых р н т. Прн р->оо функции h^ (х) возрастая, сходятся
к некоторому пределу /г'т' (х); при т->оэ функции Л'т' (je), убы-
убывая, сходятся к некоторому пределу h (х). функция h (х) > 1 на
множестве 2. По следствию 1 теоремы Беппо Леви /^(Л^ш') =
= l(h^g)->I(hSm)g) и, следовательно, прн любом т мы имеем
/(Л(тMг)<—; отсюда по тому же следствию I(hg) =
т
= lim / (h^g) = 0. Поэтому функция hg равна нулю почти всюду
«1->оо
(по мере Лебега). Но тогда н fog почти всюду равна нулю, так
как, если при некотором х0 мы имеем /0 (х0) g (х0) Ф 0, то /0 (хо)ФО
и g (х0) Ф 0, т. е. h (х0) > 1, g (х0) ф 0, h (x0) g (х0) Ф 0. Поэтому
Ц/оё) = 0. В результате мы получаем: для всякой функции /б^о",
произведение fg суммируемо по Лебегу н / (fg) = 1д (/).
Переходя к разностям, получаем, что класс Lg состоит только
из таких функций <р, для которых произведение yg суммируемо
в обычном смысле; при этом для любой функции <f?Lg имеет
место равенство
A)
Обратное утверждение, что всякая функция <р (д:) с суммируемым
произведением <fg является сама о2-суммируемой, также верно;
мы получим его в § 7 (п. 6) при более углубленном изучении
теории меры.
3. В основном брусе В имеется последовательность точек
ci< «2. • •., с,п, ... н задана последовательность положительных чисел
Sv g2 g ... с ^ gk < эо. Дано, что а3(В) есть сумма тех
Из чисел gk< для которых соответствующие точки ck лежат в брусе В.
Пусть h (x) — непрерывная функция в брусе В. Интегральная
сУМма Рнмана —Стнлтьеса по квазиобъему а3 равна

92 ГЛ. И. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА [J
где Лп (х) — ступенчатая функция, равная Л (?/) в брусе By. Так
как функции Л и (х) при неограниченном измельчении подразбие.
ния П бруса В, т. е. при г/(П)->0, равномерно стремятся к функ-
функции Л (х), то
т оо
/0 А = J Л (х) а3 (dx) = Jim \] A (lj) а3 (В ,) = j] А (
Предположим, что последовательность hp(x) элементарныя
(т. е. непрерывных) функций не убывает и числа Так ограничены!
тогда предельная функция / (х), как мы знаем, принадлежи^
классу Г^. Можно считать, что hp^>0, вычитая прн необходи!
мости из всех функций hp функцию /г,. Мы имеем
откуда А (ск) ?й < С Для всех р, и следовательно, прн кажд<
и p-t-co числа hpic.fi) имеют предел:
hP (с*)/ /(с*).
Далее, мы имеем прн каждом iV
ft = I A» 1
откуда, устремляя jV к :.о, находим
Наконец, при заданном е > 0 и некотором N мы имеем
откуда при достаточно большом р получаем
Это означает, что

31 § 5. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА - СТНЛТЬЕСА 93
Итак, для всякой функции f(~L^ мы получаем, что сходится ряд
со ^
^jf(ck)?k' КОТОРЫИ и представляет собою значение 70з/. При
этом значения / (х) в остальных точках бруса В не играют нчкакой
роли. Саму функцию f (х) можно считать определенной только
в точках с/,.
Переходя к разностям, получаем, что функции <р (х), вхо-
входящие в класс La, определены (однозначно) только в точках с^
(k = 1, 2, ...), причем
со со
'а/Р = 2 Ф (ск) 8 к н S I Ч5 (ск) | * * < °°-
оо
Обратно, любая функция ф (х) с 2 | Ч> (с*) | 8^ < то входит
в класс La . В случае, когда ср отлична от нуля только в одной
из точек С1г, например в точке си функция ф есть предгл убываю-
убывающей последовательности непрерывных функций hp(x), равных ф(а,)
в открытом брусе Вр покрывающем точку хи стягивающемся
при р-> ~о к точке л,, и равных нулю вне этого бруса; поэтому
в этом случае ф^/.а. В общем случае ф есть сумма ряда подоб-
подобных функций с абсолютно сходящимся рядом интегралов, и потому
также принадлежит La, в силу теоремы Беппо Леви. Тем самым
пространство ГОч в данном случае полностью описано.
В рассмотренных примерах интеграл Лебега — Стилтьеса выра-
выражается или через обычный интеграл Лебега, или через числовой
ряд. В общем случае интеграл Стилтьеса имеет более сложную
структуру (см. задачу 9 к § 4).
3. Интеграл Лебега — Стилтьеса для квазиобъема
с ограниченным изменением. Квазиобъем а с ограниченным
изменением, как мы знаем, может быть представлен в форме
разности двух неотрицательных квазиобъемов р и q—поло-
q—положительного и отрицательного изменений квазиобъема о. Рас-
Рассмотрим квазиобъем v=p-\-q—полное изменение квази-
квазиобъема а. По квазиобъемам v, p, q можно построить про-
пространства Lv, Lp, Lq суммируемых функций. Каждая функция
P^LV принадлежит также пространствам Lp и Lq (доказа-
(доказательство приводится ниже петитом). Таким образом, для (p^Lv
имеются интегралы /v(f, /;/p, /^(р, причем, как легко про-
проверить, /7,ф=--7„Ф + Л.ф. Положим для mf Lu

94 ГЛ. И. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА C
Это определение интеграла, — совпадающее, очевидно, для не-
непрерывной функции ф с определением интеграла Римана —
Стилтьеса,—мы принимаем за определение интеграла Лебега—
Стилтьеса. Так как каноническое разложение о — р — q, как
мы видели в § 4, — наиболее «экономное» (при любом ином
разложении о = р1 — q1 мы имеем рх ^ q, qx^ q, vx = px -f-
-+- qx ^- v), то соответствующее пространство Lv — наиболее
широкое (I», c Lv).
Для обоснования приведенных выше рассуждений рассмотрим
какие-нибудь два неотрицательных квазнобъема р н v, для кото-
которых jD(B)<v(B) на каждом брусе B?Q. Построим простран-
пространства Lp и Lv р-суммируемых и v-суммируемых функций. Мы утвер-
утверждаем, что ~Lvc"Lp н для всякой функции <p?Lv имеет место
неравенство
ММХМ1ФП- О)
Если функция ф непрерывна, то неравенство A) очевидно:
МЫ ) = J | ф (Jf) | /»(rfJc) < J \<p(x)\v{dx)=rv(\<f\ ).
в В
Пусть функция ф представима в форме предела (всюду) схо-
сходящейся неубывающей последовательности непрерывных функ-
функций hm (х) с ограниченными интегралами Ivhm. Тогда н lphm
ограничены, функция q> принадлежит Z+ и
7^= Hm Tphm < Hm Tvhm = 7^.
m -*oo
Функция <р, о которой шла речь, не представляет еще произвольную
функцию из класса 2+. Для получения любой функции из Z+ нужно
к функции ф прибавить функцию <р0 (х), почти всюду (относи-
(относительно Iv) равную 0. Покажем, что такая функция <р0 (х) равна
нулю также почти всюду и относительно Iр. При любом е > 0 имеется
последовательность непрерывных функций 0 < hf^ (x) < Л^ (х )< ...
такая, что Tvhm < е и sup hm (x) > 1 на 2= {х: фо(^) ф 0}. Но
т
так как Tphm-^lvhm, то множество Z имеет меру 0 и относи-
относительно 7р, так что <р0 (*)?!+. Отсюда следует, что любая функ-
функция y?Lp' принадлежит классу I+. Далее, любая функция $?19
как разность функций из ZJ" принадлежит пространству Lp.
Наконец, неравенство A), имеющее место для непрерывных
функций, распространяется на все функции y?Lv с помощью пре-

4| § 5. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА - СТНЛТЬССА 95
дельного перехода по норме в 1„ с использованием свойства плот-
плотности совокупности элементарных функций (п. 9 § 2) в простран-
пространстве суммируемых функций.
4. Интеграл Римана — Стилтьеса как общий вид ли-
линейного непрерывного функционала в пространстве не-
непрерывных функций. Имея квазнобъем с с ограниченным
изменением, для любой непрерывной функции f (х) в основ-
основном брусе В мы можем образовать интеграл Римана —
Стилтьеса
/„/=//(*) о (</*).
в
Интеграл /а/, рассматриваемый как функционал на линей-
линейном пространстве С (В) всех непрерывных функций f{x)
с нормой
|||= тах|/(дс)|.
?В
является, очевидно, линейным непрерывным функционалом.
Иными словами, выполняются условия
а)^а(а1/1+а2/2) = а,/а/1 + а/а/2для любых /,, /2?С(В)
и любых вещественных а, и а2;
б) "лн ||/J|->0 при т-*сс, то /а/т-»0.
(Условие б) доказывается, как раньше, с помощью леммы
Дини.)
Теперь обратим полученную связь. Пусть на простран-
пространстве С (В) задан некоторый линейный непрерывный функ-
функционал //. Покажем, что существует такой квазиобъем
о~о{1) с ограниченным изменением, что для любой функ-
функции
//=//(*) о (</*).
Для доказательства рассмотрим сначала случай, когда
Функционал / неотрицателен, так что //>0, если /(л;)>0.
Как было указано в замечании к п. 1, функционал / можно
принять за элементарный интеграл, взяв в качестве элемен-
элементарных функций непрерывные функции. Пусть L{ есть соот-
соответствующее пространство /-суммируемых функций. В это
пространство L, войдет, в частности, всякая функция у.в(х),
характеристическая для бруса В с В, поскольку функцию Хв W

96 ГЛ. II. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА |*
(разными способами) можно представить в виде предела
всюду сходящейся последовательности непрерывных функций
fm(x)?H. Такие функции f,n(x) всегда можно взять неотри*
цательными и не превосходящими 1, так что
применяя теорему Лебега, получаем
/ХВ= lim ffm.
m->6o
Для любого бруса В с В положим
A]
Функция о (В) ограничена (o(fi)<; o(B) —/A)) и предста-
представляет собой, очевидно, некоторый квазиобъем, определенный
уже на всех брусах ВсВ, Покажем, что для любой непре-
непрерывной функции / (х) в брусе В всегда имеет место ра-
равенство
в
Действительно, интеграл Римана — Стилтьеса в пракй
части является пределом сумм
т
(в,) = 2 / (|у) ilB (х)=
где функция hn(x)= ^ f(l/)V.Bj(x) есть ступенчатая функ-
функция, равная /(|.) в 6pj-ce Bj (система брусов Bv .... Вл
представляет собой некоторое подразбиение П основного
бруса В). При неограниченном измельчении подразбиения П
(т. е. при й(П)->0) последовательность функций h\\ равно-
равномерно сходится к функции /(х); отсюда, в силу теореми
Лебега,
lim lhn = lf.
что к утверждалось.

5| § 5. ИНТЕГРАЛ ЛНБЕГА-СТИЛТЬР.СА 97
Если функционал / принимает значения обоих знаков, то,
согласно основной теореме п. 11 § 2, его можно предста-
представить в виде разности двух неотрицательных непрерывных
функционалов f = J—N.
Пусть р и q—неотрицательные квазиобъемы, соответ-
соответствующие функционалам J и N в смысле приведенной выше
конструкции. Тогда для любой функции СВ
= Jf-Nf= jf(x)p(dx)- jf(x) q(dx) = jf (x) o(dx),
где квазиобъем о=р — q есть квазиобъем с ограниченным
изменением.
Итак, интеграл Римана — Стилтьеса дает общий вид
линейного непрерывного функционала в пространстве С (В),
что и требовалось.
5. Соотношение между квазиобъемами о и о. Как мы
видели, каждому линейному непрерывному функционалу /(/)
на пространстве С (В) отвечает квазиобъем а с ограниченным
изменением такой, что
I{f)=\f(x)o{dx).
Пусть функционал I (f) сам определен в виде интеграла
Римапа — Стилтьеса по некоторому квазиобъему а, опреде-
определенному на каком-то плотном множестве брусов Q. Есте-
Естественно было бы ожидать, что для B?Q выражение о(В) =
= /nys совпадает с а (В). Однако, вообще говоря, это не
так (см. задачу 7). Можно утверждать лишь, что
0 = },, A)
т- е. что итерация процесса, приводящего от а к а, уже
ничего нового не дает. Действительно, в данном случае мы
имеем /-/ = / / ,
о J m aJ т'
а(В)= lim /3/m= lim IJm —
m -» oo m -> oo
что и требуется.
' Г. Е. Шилов, D. Л. Гуревнч

98 ГЛ. П. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА (»
Для того чтобы найти прямую связь между о (В) п а (В),
введем предварительно понятие строгого включения брусов
и сходимости сверху для последовательности брусов.
Брус
*, = {*: ап>< *,<!»?> <*<'>< *„<р<'>}
называется строго включенным в брус
В2 = [х: af) < х, < pf), . . ., aB) < хп <
(символически В{тВ2, либо В2шВ{), если, во-первых.
В, с В2 в обычном смысле, т. е.
f ^ ; Р</> С/ = 1 л).
и, кроме того, при всех j
af < a<)> при af ф aJt
p<;)<pf> при &рФЬг
Если аФ = а., то принимается, что а'?' = аФ = а .; анало-
аналогично и с «верхними» координатами рФ и p<J>.
Если ВхшВ2, то существует непрерывная функция /(jcJ
в брусе В, принимающая значения между 0 и 1 и такая, что
1 при x^Bv
О при х?В.2.
В случае п==\ можно, очевидно, взять функцию /(#)
кусочно линейной; для произвольного п можно взять произве-
произведение п таких функций, зависящих каждая от одной коор-
координаты. Из определения интеграла Римана — Стилтьеса легкв
получается, что для любого неотрицательного квазиобъема О
Последовательность брусов Bv . . ., Вт, ... называете*
сходящейся сверху к брусу В (обозначается Bm\iB), если
В={х: а, <дс,<р а
Вт = [х: aj") < хх < р<"»

i\ § 5. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА - СТИЛТЬЕСА gg
где а<«)\а4, P(ftm)\P*. причем
Р* < № ПРИ Р
; рл = pW при f,k = bk (k = 1 я).
Рассмотрим произвольную последовательность брусов Вт\В
и построим две другие последовательности Вщ^В и Вт\В
о' — о о"
так, что Дт © #,„ © #ш.
Пусть fm(x) — непрерывная функция, равная 1 в брусе Вп1
и 0 вне бруса Вт, и gm(x)— непрерывная функция, рав-
равная 1 в брусе Вт и 0 вне бруса Вт. Мы имеем для неотри-
неотрицательного квазиобъема о
J fm (x) a (dx) < а (В,п) < J gm (x) a (dx).
в в
Как функции fm(x), так и функции g",.,(лг) при т-*оо стре-
стремятся к характеристической функции бруса В. Поэтому
аE)= lim ?„/т(х)= Hm 7agm(x).
Ttl ->оо /В ->со
Мы видим, что для любого неотрицательного квазиобъема а
и любой последовательности брусов Br, ?Q(o), сходящейся
сверху к (произвольному) брусу В с В, существует одно-
однозначно определенный предел
а(В)= lim a(Bm). B)
Формула B) и дает искомое выражение квазиобъема а
через исходный квазиобъем а, в предположении неотрица-
неотрицательности последнего. В общем случае, когда квазиобъем a
имеет ограниченное изменение, мы представим его в форме
разности двух неотрицательных квазиобъемов р и q, опре-
определенных на том же плотном множестве брусов Q (§ 4, п. 7).
Интеграл 70 согласно п. 3 определяется как разность неотри-
неотрицательных интегралов Iр и lq. Мы имеем
Го7.в= "«и IJm= Hm Ipfm- lim fqfm =
/B->jo /B->oo /И->со
= p(B)-q(B)= lim />(?},„)- \lm q(B,J= lim a(B).
m->oo m->oo w->oo
7*

100 ГЛ И. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕГЛ |в
так что формула B) сохраняется и для знаконеопределенного
квазиобъема о с ограниченным изменением.
6. Непрерывные квазнобъемы. Квазиобъем о (не обяза-
обязательно неотрицательный), который определен на всех бру-
сах Б с В и удовлетворяет условию
о(В)= lim а{Вя) A)
т-*оо
для любого бруса ScBu всевозможных последовательно-
последовательностей Вт'\В, называется непрерывным квазиобъемом (точ-
(точнее, непрерывным сверху). В частности, таковым является
квазиобъем а (В), определенный формулой A) п. 4; мы уже
видели, что он имеет смысл для всех брусов В с В, а под-
подставляя в равенство B) п. 5 о —а и учитывая A) п. 5,
находим, что для а = а выполнено и условие A).
Можно дать иное определение непрерывного квазиобъема,
которое интересно и в других отношениях. Назовем ква-
квазиобъем о непрерывным на пустом множестве, если для
любой последовательности брусов ВрВ2э... с пустым
оо
пересечением ^>= JJ Вт всегда lim a(Bm) = 0.
т =• I т -> оо
Теорема. Квазиобъем о с ограниченным изменением
непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен
на пустом множестве.
Доказательство. Если квазиобъем а непрерывен,
т. е. о (В) = о (В) — 1аув, то взяв последовательность бру-
брусов Bpfip... с пустым пересечением, полагая В — Вт,
учитывая, что в данном случае Хд 0*0\0< и применяя
следствие 1 теоремы Беппо Леви, находим, что о(Вт)->0,
так что квазиобъем о оказывается непрерывным на пустом
множестве.
Обратное утверждение мы докажем сначала для неотри-
неотрицательного квазиобъема а. Пусть Вт\1В\ положим
В=[х: а,<дс,<р, ая<дся<ря];
Вт = {х: «</»> < хх < р<'«> а» < хп

6| §5. ИНТЕГРАЛ ЛЕВГГА-СТИЛТЬЕСА 101
Мы имеем
откуда, по условию
т > оо /я > оо ~
Далее, очевидно, что
В<=Вт + U В%\ ВтсВ + U В%\
т. е.
2@ B)
i:oEW). C)
Из B) имеем о(S)<! lira о(Вт). ИзC)аналогично lim
m > оо m > оэ
<!o(B). Таким образом, оE)^ lim o(Bm) и, следова-
(П > СО
тельно, квазиобъем о непрерывен.
Для перехода к общему случаю используем следующее
предложение.
Лемма. Если квазиобъем о с ограниченным измене-
изменением непрерывен на пустом множестве, то его поло-
положительное изменение, отрицательное изменение и полное
изменение также непрерывны на пустом множестве.
Предполагая лемму доказанной, разложим квазиобъем о,
непрерывный на пустом множестве, в разность положитель-
положительного и отрицательного изменения: о=р — q.
Квазиобъемы р и q по лемме непрерывны на пустом
множестве и неотрицательны, следовательно, непрерывны; но
тогда непрерывна и их разность о, чем доказательство тео-
теоремы и завершается.
Остается доказать лемму. Пусть квазиобъем о непреры-
непрерывен на пустом множестве и пересечение последовательности
брусов ?<|>=>5B>:э.. . пусто; покажем, что lim p(B{m)) = O.

102 ГЛ. И. ИНТЕГРАЛ СТМЛТЬЕСА |7
Допустим противное, т. е. что для некоторого с > 0 и
любого т
Выберем подпоследовательность брусов в(т*) по следующему
правилу. Пусть в(т>) = ВA>. Далее, если выбрано В('"*\ то
мы найдем в вС1*) систему брусов Я, Вг так, чтобы
иметь
j
(вспомним определение р(В) в п. 7 § 4). Пересечение по-
последовательности брусов BjB(m) (m=l, 2, ...) пусто. По-
Поэтому в силу непрерывности на пустом множестве квази-
квазиобъема о(В) при достаточно большом m = mj+1 мы будем
иметь
так что на долю оставшейся части приходится
I
Так определяется последовательность чисел mk. Вместе с тем
для каждого k определяется система непересекающихся бру-
брусов с общим значением о, ббльшим-^-, и системы эти не
о
пересекаются при разных k; но в таком случае, беря доста-
достаточно большое число k, мы получим как угодно большое
значение для соответствующей суммы о (By), что ведет к про-
противоречию с ограниченностью изменения квазиобъема о.
Итак, квазиобъем р непрерывен на пустом множестве
вместе с о.
Вместе с квазиобъемом р непрерывны на пустом множе-
множестве в данном случае квазиобъемы q = p—о и v = p-\-q.
7. Каноническое разложение непрерывного квази-
квазиобъема о и каноническое разложение функционала /0.
Пусть о — р — q есть каноническое разложение непрерыв-
непрерывного квазиобъема о с ограниченным изменением; пусть, далее,
Io — J—N есть каноническое разложение функционала ft
в пространстве С (В) (п. 13 § 2). Мы утверждаем, что ./ = /..
» '

g] § 5. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА - СТИЛТЬЕСА 103
Функционалы J и N в силу п. 4 являются интегралами
Римана — Стилтьеса по некоторым неотрицательным квази-
квазиобъемам р и q, которые автоматически непрерывны. С дру-
другой стороны, очевидно,
1а = 1~р-'~Я- A)
В силу основного свойства канонического разложения мы
имеем / f &>I~;f Для каждой неотрицательной /?С(В). Так
как по теореме п. 6 квазиобъем р непрерывен, то отсюда
следует, что р(В)^>р(В). Далее, из A) мы имеем о(В) =
= р(В) — q (В) и, используя основное свойство канониче-
канонического разложения а=р — q, мы получаем р(В)^-р(В).
Отсюда р(В)=р(В), q(B) = q(B), что и требовалось.
Итак, каноническому разложению непрерывного ква-
квазиобъема отвечает каноническое же разложение функ-
функционала /0.
8. Эквивалентные квазиобъемы. Мы знаем, что каж-
каждый квазиобъем о, определенный на плотном множестве Q
брусов ВсВ, позволяет построить для любой непрерывной
функции /(х) интеграл Римана — Стилтьеса
/„/ = /(x)o(rfx).
в
При этом не исключено, что различные квазиобъемы о, и о2
могут приводить к одинаковым значениям интегралов /Ol/
и /о2/ для любой функции /(х) и, следовательно, при неот-
неотрицательном о и к одинаковым пространствам /,Я| и L,7l
функций, интегрируемых в смысле Лебега—Стилтьеса. Такие
квазиобьемы ст, и о2 мы назвали в п. 4 § 4 эквивалент-
эквивалентными. Так, всякий квазиобъем о с ограниченным измене-
изменением эквивалентен непрерывному квазиобъему о, построенному
в п. 4. Два непрерывных эквивалентных квазиобъема о, и о2
совпадают; действительно, согласно п. 5и п. 6, если Вт\^В, то
^1 ( ) == 1'm ^l (^ л) =~= ®\ (^)> ^2(^)=1~ ^'^ ^2 (.^т) =™= ^2(^rtl)>
^ m -> оо m ^ оо
а °i и о2 совпадают в силу эквивалентности о, и о2. Таким
образом, в классе всех квазиобъемов, эквивалентных данному,
имеется один и только один непрерывный.

104 ГЛ. И. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА |8
Из приведенных выше рассуждений непосредственно сле-
следует, что квазиобъемы о, и о2 эквивалентны тогда и только
тогда, когда для любого бруса В и любых последователь-
последовательностей В'т\В, Вп\В, B'm?Q(ox), В/й€<Э(°2) мы имеем
Игл 0,E^)= lim о2(в"п)'
т > оо т > от
Для неотрицательных квазиобъемов можно сформулировать
критерий их эквивалентности непосредственно по значениям
О! (В') и o2(Bv), B'?Q(a,), 0"?Q(a2). Он дается следую-
следующей теоремой:
Теорема 1. Неотрицательные квазиобъемы о, и сг2,
определенные соответственно на плотных множествах
Q, и Q2 подбрусов бруса В, эквивалентны тогда и только
тогда, когда для любой пары брусов В' е В" (п. 5) вы-
выполняется соотношение
при
или же
A)
при
Доказательство. Пусть квазиобъемы о, и о2 экви-
экви' Q 'f ? В' В"
у , 2
валентны. Возьмем брусы В' ?QV B'f ?Q2, В' т В", и пусть
f(x) — непрерывная функция, равная 1 на В' и нулю вне В"
и принимающая все значения между 0 и 1. Тогда, очевидно,
о, (В') < | / (х) о, (dx) = J / (х) о2 (dx) < o2 (В"),
что и требуется.
Пусть, обратно, для квазиобъемов о, и о2 выполнены
соотношения A); покажем, чго о, и о2 эквивалентны.
Построим с помощью интегралов Римана — Стилгьеса и
затем Лебега — Стилгьеса новые квазиобъемы о, и о2, экви-
эквивалентные соответственно квазиобъемам а1 и о2, как указано
в п. 4. Мы имеем, по доказанному в п. 5, для любого
бруса ВсВ
a,(S)= !im о,{В%). о2(В)= lim 02(в?>).
т > оо т > оо
где В(??Q} и В&]?Q2 — любые две последовательности
брусов, сходящиеся сверху к брусу В. Если последователь-

8J . § 5. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА -СГИЛТЬЕСА 105
ность B(J дана, то последовательность В(т мы можем, на-
например, устроить так, что
тогда мы получим, по условию,
и, следовательно,
0,E) = lim о2(В?>)< lirn 0,E^ = 0,E). B)
/п >оо
Но мы можем построить также В(т\,В с тем, чтобы вы-
выполнялись обратные включения В{?„ ш Bf^; так как о2 (В) не
зависит от выбора последовательности &„, то мы имеем
также
32 E) = 11 га о2 E?>) > 11 m о, E?>) = 5, E). C)
m>o m >
2 (?)
m>oo m -> оо
Из B) и C) следует, что о, (В) — о2 (В) для любого бруса В.
Но так как о, эквивалентен о,, а о2 эквивалентен о2, то мы
приходим к выводу, что О[ эквивалентен о2, что и требова-
требовалось.
Для п = 1 полученные здесь результаты можно сформу-
сформулировать после перехода к производящим функциям следую-
следующим образом:
Каждая функция F(x) с ограниченным изменением
имеет в каждой точке хо?\а, Ь] предел справа F(хо-\-О)~
= lim F(x). Две функции с ограниченным изменением
х\ха
F(x) и 0(х) эквивалентны (т. е. соответствующие ква-
квазидлины эквивалентны) тогда и только тогда, когда
F(x0+0)^O(^0-)-0)-)-const. Квазидлина а (а, р] является
непрерывной сверху тогда и только тогда, когда функ-
функция F(x) непрерывна справа, т. е. F(х + 0) = F(х) и
F(a -\- 0) = 0. Неотрицательные квазидлины а1 (а, р] и
°z(a. PI эквивалентны тогда и только тогда, когда для
любых точек xi < х2, если x^Q(о^, х26Q(^a). выпол-
выполняется неравенство F{ (л^Х F2(x2), а если xt^Q(a2),
r6Q(,), то выполняется неравенство F2(x1)^. F1(x2).

103 ГЛ II. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА р
9. Построение интеграла Лебега — Стилтьеса на
основе ступенчатых функций в качестве элементарных.
Если мы желаем построить интеграл Лебега — Стилтьеса по
квазиобъему о, принимая в качестве элементарных функций
ступенчатые, — как мы делали в п. 1 § 3 для интеграла
Лебега, — то в качестве элементарного интеграла ступенчатой
функции
А, на 5,,
hm на Вт,
где 5 = В, U ¦ • ¦ U Bm, Bj f| Bft = <j> при Л =? у, естественно
принять выражение
т
Для того чтобы действовала схема Даниэля (§ 2), нужно
квазиобъем о подчинить некоторому дополнительному усло-
условию. Рассмотрим произвольный брус В и последовательность
брусов Bm\iB (п. 5). Так как характеристические функции
Хв (х) брусов Вт сходятся (в каждой точке) к характери-
характеристической функции %в(х) бруса В, то если построение ин-
интеграла возможно (т. е. выполняются условия I, II, III
п. 1 § 2), мы будем иметь
O(S) = /oXb= 1'Ш 1<&B,n— lim °(Bm)- B)
m -> оо т -> оо
Равенство B) показывает, что квазиобъем о должен быть
непрерывным в смысле п. 6. Итак, необходимым условием
является непрерывность квазиобъема о.
Проверим, что это условие является и достаточным. Па
существу надлежит проверить лишь условие непрерывности
сверху:
III) если Аш(х)\0, то /oAm->0.
Прямая проверка его — подобная аналогичной провер*
в § 2—довольно затруднительна, поскольку листы разрыв
функций hm(x) могут совпадать с листами разрыва квази^
объема о. Но косвенная — через интеграл Та — проводите!
просто.

9] § 5. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА - СТИЛТЬЕСА 107
Именно, по квазиобъему о мы можем построить про-
пространство Lo, как указано в п. 1. Функции hm(x) =
= 2 ^fxd^ (x) входят в Lo (п. 4) и, поскольку квази-
объем о непрерывен, согласно формуле A) п. 5 (а(В) =
/А. = 2 hf* {Elf) = 2 A<f 5 «'>) = /a-
Так как Am(x)\,0, то в силу следствия 1 теоремы Беппо
Леви, справедливой для пространства La, мы имеем fahm =
= /oAm->0, что и требуется.
Таким образом, если квазиобъем о непрерывен, то вы-
выполняются все требования, налагаемые па элементарный
интеграл в схеме Даниэля.
Пусть La— соответствующее пространство о-суммируемых
функций, построенное по интегралу /„ на ступенчатых функ-
функциях. Мы покажем теперь, что пространство Lo и интеграл
/0, построенные с помощью непрерывных функций как эле-
элементарных с интегралом Римана — Стилтьеса в качестве
элементарного, совпадают с La н /0.
Предположим сначала, что непрерывный квазиобъем о
неотрицателен (и ограничен). Для доказательства нашего
утверждения можно, как легко проверить, повторить слово
в слово доказательство соответствующего утверждения из
п. 4 § 3, сделав следующие подстановки:
L-*La. /->/„, /->/0, s(Bj)->a(Bj). dx->o(dx).
Пусть теперь а—произвольный знаконеопределенный ква-
квазиобъем с ограниченным изменением, с каноническим разло-
разложением в—р—q и полным изменением v=p-\-q. Тогда
согласно п. 3 § 5 пространства La и La могут быть заме-
заменены пространствами Lv и Lv, причем fg = [p — Iq, /0 =
= /р — / . Но так как квазиобъемы р и q неотрицательны,
то
Lp=Lp.Lq = Lq.Zv = Lv и /„/ = /,/. /,/ = /,/.
откуда следует, что ~IJ = 7pf~-7qf = Ipf-Iqf = Iaf, что
и требовалось.

108 ГЛ. II. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСЛ
ЗАДАЧИ
1. Квазиобъем сг (В) равен I для всякого В. содержащего фик-
фиксированную точку с, и 0 для всех остальных (в ограниченном
брусе В). Построить функцию, суммируемую относительно а (В), но
не суммируемую по Лебегу.
2. В условиях предыдущей задачи построить функцию, сумми-
суммируемую по Лебегу, но ие суммируемую относительно а (В).
3. На замкнутом интервале В = [0, 1] дан квазнобъем
а (а,
Построить функцию ср (х), суммируемую по Лебегу, но не а-сум-
мируемую, и функцию г|> (х), а-суммируемую, но не суммируемую
по Лебегу.
4. Вычислить интеграл Стилтьеса
з
где
0 — 1 при 0< Jf < 1,
fW- 0 при" 1<*ХЦ Г{Х)~ 2 при 1<.<2.
— 2 при 2 < х <, 3.
5. Вычислить интеграл Стилтьеса
1
= J ер (х) dF |
где
1 при 0<лг<1/2, [0 при 0<л:<1/2,
Г 1 при 0<лг<1/2, @ при 0<л:<1/2,
\0 при 1/2 < лг< 1; **'~\1 при 1/2<л:<1.
6. Пусть a (a, fS] — квазидлииа, определенная на замкнуто!
интервале [0, 2] формулой
( 1, если хо=\ лежит внутри (а. р],
а (а, В] = <
I. 0 для остальных полуинтервалов.
Показать, что если В = [0, 1], то а(В) = 0, ио (?(В)— 1.
7. Существует доказательство теоремы об общем виде линей-
линейного функционала в пространстве С (В), В С й,„ опирающееся на
теорему Хана — Банаха о возможности продолжения линейного
функционала с данного нормированного пространства R на любое
более широкое R' э R- Пользуясь этой теоремой, продолжают за-
даииый линейный функционал If с пространства С (В) иа про-
пространство 5 (В) всех ограниченных функций (с той же нормой

5 5. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА - СТИЛТЬЕСА 109
sup | <р (¦*) I )• Значения расширенного функционала // на характе-
характеристических функциях брусов определяют квазиобъем а (В) с огра-
ограниченным изменением (вообще говоря, не непрерывный). По этому
квазиобъему а (В) можно построить интеграл Римана — Стилтьеса,
который на непрерывных функциях совпадает с заданным функ-
функционалом. Заменив а (В) на а (В) (см. пп. 4 и 5 § 5), можно пре-
превратить его в непрерывный; при этом значения интеграла Рнмана —
Стилтьеса на непрерывных функциях не изменятся, а функция
множеств а (Е) станет счетно-аддитивной. Провести это построение
полностью (Л. А. Люстерник).
УКАЗАНИЯ " ОТВЕТЫ
1. Например,
( 0 при х*=с,
-J-jj. при хфс.
?. Например,
(оо при х—с,
О при хфс.
3. Например,
4. Указание. Исправить F (х) до непрерывной справ». ОПШШ. /™— 1-1 +
+3.1 = 2.
в. /=1.

ГЛАВА III
МЕРА
§ 6. Измеримые функции и измеримые множества
При построении теории интеграла мы исходили из опре-
определения объема (или квазиобъема) элементарных фигур — бру-
сов. Теперь мы применим развитую выше теорию интеграла
к построению объемов (и квазиобъемов) неэлементарных фи-
фигур — множеств более или менее общей природы. Естественно,
чго объем (квазнобъем) фигуры М должен быть определен
как интеграл от ее характеристической функции %^(х), рав-
равной 1 на М и 0 вне М. На этом пути появляются трудности,
преодоление которых становится наиболее простым при пе-
переходе к абстрактной точке зрения.
1. Измеримые функции. Мы рассмотрим снова совокуп-
совокупность Н элементарных функций, определенных на абстрактном
множестве X, с аксиомами 1) и 2), указанными в начале § 2.
Определим класс функций, с которым мы будем иметь дело
в этом параграфе. Это будут измеримые функции. Эпизо-
Эпизодически они встречались уже нам в некоторых местах гл. I.
Функция f(x), определенная на множестве X, называется
измеримой, если она конечна почти всюду и на множестве
полной меры может быть представлена как предел сходящейся
последовательности элементарных функций. Из этого опреде-
определения прежде всего следует, что любая функция, отличаю-
отличающаяся от измеримой функции только на множестве меры О,
сама измерима.
Если / и g—измеримые функции, т. е. f=-\\mhn (на
множестве полной меры Е), g = \\mka (на множестве полной
меры F), то при любых вещественных а и р мы имеем а/ +
—f- р^1" = !im (аЛя —f- pА„). причем последнее равенство имеет
место на множестве полной меры EF; таким образом, функ-

1] § 6. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА Ц1
ция af-\-fig также измерима. Аналогично, если измерима
функция f — \\mhn, то измерима и функция |/|=Пт|йл|.
Отсюда следует, что вместе с функцией / измеримы /+ и /~
и вместе с двумя измеримыми функциями / и g являются
измеримыми
max(/,ff) = (/-ff)+-r-«r+ и min(/, g)=-max(— f, — g).
Всякая функция /?? + измерима, поскольку она является
i р.уделом (даже возрастающей) последовательности элемен-
элементарных функций. Всякая суммируемая функция ср измерима
как разность двух функций из класса L+.
Лемма. Предел f возрастающей последовательности
суммируемых функций /„, сходящейся (к конечному пре-
пределу) почти всюду, есть измеримая функция (хотя она,
вообще говоря, уже не является суммируемой).
Доказательство леммы получается из рассуждений,
похожих на те, которые мы использовали при доказательстве
теорем 1 и 2 из § 2.
Пусть скачала функции /я принадлежат L+ и hnk (& = 1,
2, ...) — последовательность элементарных функций, сходя-
сходящаяся при &->оо, возрастая, к функции /„. Положим hn =
= max(Aln> .... hnn). Последовательность элементарных функ-
функций пп возрастает и, следовательно, при я->оо имеет неко-
некоторый предел /*, который является измеримой функцией.
Из неравенства hkn^hn^fn, справедливого при n~^>k,
предельным переходом по я—>со мы выводим, что /*<!
*С/*-С/> но так как fk/Af< то / = /* и> следовательно,
/ есть измеримая функция.
Пусть теперь /„ — произвольные суммируемые функции.
Мы имеем
со
/=- iim /я=2ф„.
П->со /1=0
где фо = /,, фя = /„+! — /„ (я=1. 2, ...)*-неотрицатель-
...)*-неотрицательные суммируемые функции. Можно положить (см. п. 5 § 2)
Vn~gn — ?'„< где 5"я>° и S"«>° принадлежат Lh, и при
этом lg'n<_—. Ряд 2^ имеет суммой функцию g' из
класса L+, ряд 2 ?« = 2 Фя + 2 ?л СХ°ДИТСЯ почти всюду

112 ГЛ. III. МЕРА |1
к конечному пределу g, который представляет собою, по до-
доказанному, измеримую функцию. Отсюда
есть измеримая функция, что и требовалось.
Вообще говоря, не всякая измеримая функция суммируема
(пример: ф(л:) = — на отрезке [О, 1]). Но как было отме-
чено в § 2 п. 8, а), если измеримая функция ф(лг) удо-
удовлетворяет неравенству
|ф (*)!<%(*).
где ф0 — неотрицатегьнап суммируемая функция, то$(х)
сама суммируема.
Пользуясь этим фактом, мы можем получить для неотри-
неотрицательной измеримой функции обращение предыдущего свой-
свойства, именно: всякая неотрицательная измеримая функ-
функция есть предел возрастающей последовательности сум-
суммируемых функций. Действительно, если/(л:)= Mm
и Л„(х)>0 (чго не нарушает общности), то мы можем на-
написать также, что
/(*)= liin min {/(л;), max(ftj(A;) hn(x))\.
Функция, стоящая под знаком предела, суммируема, по-
поскольку она измерима, неотрицательна и не превосходит
суммируемой функции тах(Л,(х), . . ., пп(х))\ очевидно также,
что последовательность этих функций не убывает при воз-
возрастании я и стремится к функции f(x).
Теорема 1. Предел f(x) почти всюду сходящейся
последовательности измеримых функций fn{x) есть изме-
измеримая функция.
При доказательстве можно ограничиться случаем, когда
f (х) и fп{х) не отрицательны (рассмотрев в противном случае
по отдельности /+ = Пт/„+ и /" = lim/^). Измеримая функ-
функция /„(л:)есть предел последовательности элементарных функ-
функций h(p\x) (p~>cc), которые также можно считать неогри-

21 § 6 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА ЦЗ
цательными, и, более того, имеющими положительные инте-
интегралы. Введем в рассмотрение функцию
*«- Ё **&¦ <•>
И, р-1 Р
оо
где числа с'р' выбраны так, чтобы ряд 2 с^ сходился. При
я, /)=1
этом условии конечность почти всюду и суммируемость функ-
функции (ро(х) обеспечены теоремой Беппо Леви, поскольку по
построению ряд из интегралов от отдельных слагаемых в A)
сходится. Там, где / (л:) > 0, заведомо и фо(-*0>О. Отсюда
следует, что функция f (х) может быть представлена также
как предел возрастающей последовательности функций
gn(x)=miu{f(x).
Учитывая доказанную лемму, нам достаточно проверить, что
измеримость fn{x) влечет за собою суммируемость gn(x).
Но мы имеем в данном случае
Яфо(д;)]= Игл min (/да(дг)
функции, стоящие под знаком предела, измеримы, ограничены
суммируемой функцией яфо(л:), следовательно, сами сумми-
суммируемы, и по теореме Лебега их предел gn(x) также является
суммируемой функцией, что нам и требуется.
Следствие. Если /, (х), /2 (х), ... — произвольная по-
последовательность измеримых функций, то функции
sup/„(*)= Mm max 1/Д*). f2(x) /„(*)].
/I Л->00
inf/„(*)= llminin [/,(*). /2(x) fn(x)\
tt n-*co
также измеримы, если они почти всюду конечны. Далее, функции
Йт /„ (*) = Ilin sup \fn (jt), /„ f, (jt), .. . ],
Я-»сх> л->оо
^fn(x)— lim inf[/„(x), fntl(x), ...]
n-too n->uo
также измеримы, если они почти всюду конечны.
2. Измеримые множества. Множество ЕсХ называется
измеримым, если измерима его характеристическая функция
Г. С. Шилов, D. Л. Гуреинч

114 ГЛ III. МЕРА [1
Х?(х) (равная 1 на Е и 0 вне Е). Если функция у,Е(х) не
только измерима, но и суммируема, то и множество Е назы-
называется суммируемым, и число ц(Е) — [%Е называется мерой
множества Е. Мера измеримых, но не суммируемых множеств,
принимается равной 4-сю. Неизмеримому множеству не при-
приписывается никакой меры — ни конечной, ни бесконечной.
Измеримое подмножество суммируемого множества сама
является суммируемым (его характеристическая функция из-
измерима и ограничена сверху суммируемой, следовательно, сама
суммируема).
Любое подмножество множества меры 0 является также
измеримым и имеет меру 0.
Пустое множество считается измеримым и суммируемым.
и ему приписывается также мера 0.
Равенства
показывают, что объединение, пересечение и разность изме-
измеримых множеств суть измеримые множества.
Аналогично, объединение, пересечение и разность сулщ
мируемых множеств суть суммируемые множества, т
справедливы формулы
(Ее/7),
3. Теорема о счетной аддитивности меры. Основно!
в теории меры является теорема о «счетной аддитивности»
меры.
Теорема 2. Объединение Е последовательности из-
измеримых множеств ?,, . . ,, Еп, .. . есть снова измеримой
множество. Если, кроме того, множества Ех Еп, . ..
попарно не пересекаются, то
причем не исключается случай, когда обе частя рвйен-
ства обращаются в бесконечность.

3) § 6. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА Ц5
Доказательство. Характеристическая функция /„(х)
множества Е„ согласно условию измерима. Характеристическая
функция множества Е
X?W = suP{Xi Хя. . ..}= lim max{xi Х„).
Л Л -> -О
по доказанному, также измерима, поэтому Е есть измеримое
множество, чем доказана первая часть теоремы. Если хотя бы
одно из чисел \и(Еп) бесконечно, то \х (Е) ,^> \\. (Еп) (так как
Ez>En) также бесконечно и равенство A) выполнено. Поэтому
мы можем ограничиться случаем, когда все Еп суммируемы;
по условию A (Ея) =/у.я. Если Еп не пересекаются, то ряд
2 Хл (х) представляет характеристическую функцию %Е(х)
множества Е.
Если ряд ^ !%„ сходится, то по теореме Беппо Леви Хя
суммируема и 1%Е = 2 ^Хл- Обратно, если Хя суммируема,
N со
то 2 ^Хл ^ 'Хя ПРИ Л1°бом N и, следовательно, ряд 2 /Х«
л=1 л=1
сходится; поэтому, если он расходится, то %Е не суммируема.
В обоих случаях равенство A) выполнено, что и завершает
доказательство.
Следствие. Ест Е^Е.,с . . . измеримы, то ?=з
со
= \^Еп измеримо и
\i.{E)— lim ц.(?„),
л-»со
причем не исключается случай, когда обе части равен-
равенства обращаются в бесконечность.
Для доказательства достаточно представить Е в форме
объединения непересекающихся измеримых множеств,
и применить теорему 1; мы получим, в частности,
л
= lim 2 м
n-»oo ft-l
что и требуется.

116 ГЛ. III. МЕРА |*
Теорема 3. Пересечение F измеримых множеств
?,, ?2, ... есть снова измеримое множество. Если, кроме
того, С,зС2з ... и ц(Ст) < со хотя бы для одного т, то
mF~ lim цЕп,
Л-»со
причем условие ц.(?т)<сх> существенно (см. задачу 2).
Доказательство первой части теоремы получается перехо-
переходом к дополнениям (до Ет) и применением теоремы 1. До-
Доказательство второй части получается путем представления Ет
в виде объединения последовательности измеримых множеств
без общих точек, Ет = (Ет — Ет , ,)U (Ет и — Ет b2)U ...
00
... U Р|?р, и использования теоремы 1.
4. Аксиомы Стона. Начиная с этого места, мы наклады-
накладываем на семейство Н, сверх аксиом 1) и 2) § 2, следующие
две аксиомы Стона:
3) Вместе с каждой функцией А (л:) в пространство Н
входит функция min [h(x), 1} — срезка функции h(x) сверху
по уровню 1.
4) Существует последовательность неотрицательных функ-
функций hn(x)?H такая, что Ihn > 0 и supAn(x)>0 при лю-
п
бом х ? X.
Оба эти условия заведомо выполнены, если функция,
тождественно равная 1, принадлежит//. Но последний случай
характерен для схемы интегрирования по области X конеч-
конечного объема \1(Х) — П, в то время как общий случай вклю-
включает интегрирование и по областям бесконечного объема.
Аксиома 3) предельным переходом немедленно переносится
и на измеримые функции: если ф —liniAn измерима, то
тш(ф. 1) = lim min (Л„, 1) также измерима.
Из аксиомы 4) следует существование суммируемой функ-
функции, положительной на всем X; именно, можно положить
-^. си
где hn — элементарные функции, фигурирующие в аксиоме.
Ряд A) сходится в силу теоремы Беппо Леви.

5] 5 6 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА 117
Наличие функции фо(*) позволяет сформулировать неко-
некоторые новые факты относительно совокупности измеримых
функций. Покажем, что функция/(х)= 1 измерима. Мы имеем
1 — lim ruin [1, яфо(л')!.
п->оо
Функции, стоящие под знаком предела, измеримы по аксиоме 3)
(справедливой, как мы видели, и для всех измеримых функ-
функций). В силу доказанного измерима и функция /(х)=1.
Тем самым установлена и измеримость самого множества X,
для которого функция / (х) является характеристической.
Дополнение X — Е любого измеримого множества до
всего X, как разность двух измеримых множеств, также
является измеримым множеством.
Далее, вместе с функцией /(х)=1 измеримы и все функ-
функции-константы f(x) = c. Отсюда следует, что вместе с функ-
функцией ф являются измеримыми при любом с:
ruin {ф, с} —срезка функции (р(х) сверху по уровню с,
max {ф, с] —срезка функции ф(лг) снизу по уровню г,
а также при любых а и b, a^b, функция
max jmin {ф, b], a] — срезка функции ф сверху по уровню b
и снизу по уровню а.
5. Характеристика измеримых функций в терминах
меры. Следующая теорема дает характеристику измеримых
функций в терминах меры.
Теорема 4. Функция (f>(x), конечная почти всюду,
измерима тогда и только тогда, когда любое множество
?(Ф; с)=\х: ф(*)>с]
является измеримым.
Доказательство. Пусть сначала функция ф(х)
измерима. Тогда измерима при любых сие функция
тт{ф, с + е} — пПп{ф, с)
Нес \Л) — g
Она равна 0 при (р(х)^.с и равна 1 при ф (х) ]> с 4 р.
а в остальных точках принимает значения, заключенные между
О и 1. При е->0 она стремится к пределу, равному 0 при
Ф(д;)<с и 1 при ф(л;)>с. Таким образом, характеристи-
характеристическая функция я множества Е(ф; с) есть предел изме-
измеримых функций и потому измерима; следовательно, ?(ф; с)
измеримо.

118 ГЛ. III. МЕРА [5
Обратно, пусть известно, что множество ?(<р; с) при лю-
любом с измеримо; покажем, что функция Ц>(х) измерима.
Для любых с и d, с < d, измеримо также множество
{х: с<ф(лг)<</| = 1*: (f(x)>c}~ [x: <p(x)>d].
Для заданного я рассмотрим функцию (f>n(x), которая равна —
на измеримом множестве
(k = 0, ±1, ±2, ...). Функция ц>„(х) определена почти при
всех х и отличается от функции <р(лг) не более, чем на —.
Далее, (fn(x) можно записать в форме
откуда следует, что она измерима. Наконец, при й->оо функ-
функции фл(лг) (равномерно на X) сходятся к функции <р(х);
отсюда следует измеримость ф(лг). Теорема доказана.
Заметим, что если ф — неотрицательная суммируемая функ-
функция, то при с > О
0<!гш'п {ф, с) <ф,
следовательно, ruin (ф, с) есть также суммируемая функция.
В этом случае и множество Е(ф; с)={х: ф(л;)>с] также
суммируемо. Действительно, по теореме 4 это множество из-
измеримо; далее, для характеристической функции у_Е, сЛх)
множества ?"(ф; с), очевидно, выполняется неравенство
7Ф(*).
Откуда вытекает суммируемость Хещ-сЛ*I
Мы видели выше, что функция/ (х) ^ 1 измерима. Если она
при этом и суммируема, то и все X суммируемо и ц(А') = /1.
В общем случае функция /(л:)=1 измерима, но не сумми-
суммируема, множество X также измеримо, но не суммируемо ¦
ц. (X) = -j- oo. Легко видеть, что множество X при этом есть

6| § 6. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА Ц9
объединение расширяющейся последовательности суммируемых
множеств, именно, множеств
где Ф,)(^) — всюду положительная суммируемая функция (п. 4).
6. Определение интеграла Лебега по Лебегу. Мы мо-
можем теперь связать определение интеграла от суммируемой
функции ф с мерами некоторых суммируемых множеств,
построенных по функции ф. Будем вначале считать ^0
При заданном 8 > 0 рассмотрим множества
(я^1)8} (я = 0. 1, 2,
Множество Егп при п^>\ суммируемо как разность сумми-
суммируемых множеств [х: ф(х)>яе} и [х: ф(х) > («+ 1)е}.
Рассмотрим функцию %(х), равную яе на каждом множе-
множестве Егп и 0 во всех остальных точках (т. е. там, где
ф(х) = 0). Поскольку фе (х) < (f(x), эта функция суммируема.
Далее, О-^ф(лг) — сре(х)<Се> поэтому функции Фе(л:) при
е->0 стремятся к (р(х), откуда по теореме Лебега
/ф= Ijm /фЕ.
0
Но интеграл от функции фе (х) легко сосчитать. Мы имеем
где Хел (•*)—характеристическая функция множества Вю\
поэтому
оо оо
/ф = 2 nz!itn = V Яец (? ).
Это дает следующее правило вычисления интеграла от неот-
неотрицательной суммируемой функции (р{х):
00
1<Р~ lim /фе = Ь"т ^ яец (д;: яе <ф(лг)<:(я4-1)е}. A)
0 0 1
Обратно, если для некоторой неотрицательной функции ф(лг)
все множества Егп (я= 1, 2, ...) суммируемы и выражения
?яем(Ям) B)

120 гл. т. мера р-
конечны и равномерно (по е) ограничены, то можно утвер-
утверждать, что функция ц(х) суммируема. Действительно, выра-
выражения B) суть интегралы от функций <Ге(х). При е-*0
функции Фе(*), как мы видели, стремятся к функции (f(x);
так как /<ре по условию ограничены, то ц>(х) суммируема
в силу леммы Фату.
Вопрос о суммируемости функции ф(л;) любого знака
приводится к предыдущему, поскольку ц>(х) суммируема
вместе с |ф(хI- Мы получаем, что <р(л;) суммируема тогда
и только тогда, когда при любом е > 0 сходится ряд
со
Уцге[11{х: яе<ф (*)<(« + 0е) +
+ |i{*: -(«f 1)е<<р(*)<- ле]]
и его сумма равномерно (по е) ограничена; предел этих сумм
при б->0 и будет значением интеграла от |ф|. Интеграл же
от самой ф есть предел выражений
*: ле<«Р(*К(л-4 1*1 —
-яе}]. C)
7. Интегрирование по измеримому подмножеству.
До сих пор областью интегрирования было множество X.
Но легко определить интегрирование и по любому измери-
измеримому подмножеству Е с X.
Заметим вначале, что произведение измеримых функций /
и g есть снова измеримая функция. Действительно, ограни-
ограничиваясь неотрицательными функциями — что, очевидно, не
ограничивает общности — мы имеем при с > 0
[*•¦ /<*)*(*) ><} = U({*:/(*)>!•) П \х: g{x)>y}).
где г — произвольное неотрицательное рациональное число.
В частности, произведение произвольной измеримой функции
f(x) на характеристическую функцию %Е (х) измеримого
множества Е—срезка f (х) по множеству Е — есть снова
измеримая функция. Аналогично, срезка суммируемой функ-
функции f(x) по измеримому множеству Е является суммируемой
функцией.

7| § 6 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА ^1
Пусть теперь у(х)—произвольная функция на X. Мы
назовем ее суммируемой (измеримой) на множестве Е,
если произведение х?ф суммируемо (измеримо) на X,
и положим, по определению.
Интеграл по множеству Е обладает, очевидно, всеми обыч-
обычными свойствами интеграла. Отметим некоторые специфиче-
специфические свойства.
а) Если на Е выполняется неравенство \ <р (х) | -^ М,
то
Действительно, мы имеем У.? | ф |-^ Л*х?, откуда
J |<р|</* = /(Х?| <р|)< М/Х? = Мц(Е).
б) Если ф суммируема (измерима) на Е = Ег [} Е2 \) . ,.
и измеримые множества Ev E2, ... попарно не пере-
секаются, то ф суммируема (измерима) на каждом Еп,
и если ф суммируема на Е, то
Действительно, так как
(
есть суммируемая (измеримая) функция на Еп (как срезка
суммируемой (измеримой) функции по измеримому множеству).
Далее, Хя,-Ьхе2+ ••• =Х?. откуда
причем в случае, когда ф суммируема на Е, частичные суммы
Этого ряда ограничены суммируемой функцией Хя|ф|- Инте-
Интегрируя ряд почленно, получаем формулу A).

122 гл. in. мера р
в) Если функция ф измерима на каждом из множеств
Ek (k = 1, 2, . . .), то она измерима и на их объединении
Е — Е, U E2U • • •. поскольку
У.?Ф = Хг, и ft U -ф
где, по предположению и свойству б), каждая функция
в правой части измерима. Поэтому /?<р измерима как предел
почти всюду сходящейся последовательности измеримых
функций.
Но вывод о суммируемости функции ф на Е (при усло-
условии, что Ek попарно не пересекаются, ср суммируема на ка-
каждом Ek и ряд A) сходится), вообще говоря, несправедлив
(см. задачу 11); мы получим его при дополнительном усло-
условии ф(х)>-0 на каждом Еп.
В этом случае у^ф есть предел неубывающей последова-
последовательности частичных сумм ряда ХЯФ + ХРФ +¦ • • •• интегралы
которых ограничены общей постоянной; применяя теорему
Беппо Леви, мы получаем, что /? суммируема и равенство A)
имеет место.
Это свойство применяется иногда в следующей эквива-
эквивалентной форме: если функция ф неотрицательна, сумми-
суммируема на каждом из множеств Ех с Е2 с . . . и инте-
интегралы Г (fdx ограничены фиксированной постоянной,
Еп
со . .
то ф суммируема на Е~ М Еп и J <pdx = llm J (fdx.
в-1 в п>^еп
г) Абсолютная непрерывность интеграла по множе-
множеству. Оказывается, что интеграл от суммируемой функции <р
по суммируемому множеству Е стремится к нулю вместе
с мерой этого множества незазисимо от его расположения
на множестве А". Иными словами, для любого е > 0 можно
указать такое 6 > 0, что из ц (Е) < 6 следует [ | ф | dx < e.
Е
Для доказательства мы найдем по данному е > 0 элементар-
элементарную функцию A(jO>O, для которой /(||ф|—А|)<е/2.

Sj § 6. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА 123
Элементарная функция h{x) ограничена, например, чис-
числом М, 0<Л(лг)<Ж. Тогда для любого суммируемого
множества ? меры меньше 6— -g^f
что и требовалось.
8. Мера на произведении множеств. В свое время,
в связи с теоремой Фубини о приведении двойного интеграла
к повторному (§ 2, п. 10), мы рассматривали интеграл Ле-
Лебега на произведении X X У двух множеств А" и К (т. е.
на совокупности W всех пар (х, у), где х ? X, у ? Y). Мы
предполагали тогда, что на множестве W имеется семейство
H(W) функций h(x, у), порождающих интеграл на W, для
которых результат теоремы Фубини уже выполнен. Наличие
такого семейства мы проверили в п. 3 § 3 только для слу-
случая произведения двух конечномерных брусов. Теперь мы
можем построить семейство И (W), удовлетворяющее требуе-
требуемым условиям, для произвольных множеств А' и К с семей-
семействами // (X) и Н (Y) и интегралами /xh(x) и lYk(y).
В качестве класса W мы возьмем, естественно, класс
функций Н(W) вида
h(x, у) — S a/.? (x)lf (>')>
где уЕ (х)—характеристические функции суммируемых под-
подмножеств Ej с X, уF (у) — аналогичные функции на Y, т
произвольно. Эти функции образуют «линейное» семейство
на W, Как и обычно, для данной функции h(x, у) можно
считать соответствующие суммируемые подмножества EjcX,
так же, как и F, с К, непересекающимися. Поэтому, в част-
частности, вместе с каждой функцией h(x, у)?Н(Ш) ее модуль
т
также входит в класс И (W). Таким образом, совокупность
" (W) удовлетворяет условиям 1) и 2) § 2.

124 ГЛ. III. МЕРА |9
Введем для функций h(x, y)?H(W) интеграл по фор-
формуле
lh= S
Очевидно, для функций Л(х, у) выполнены предпосылки
теоремы Фубини: каждая функция h(x, у) как функция ар-
аргумента х при фиксированном у суммируема по х. ее инте-
интеграл 1ХЬ— 2 aAl(Ej)XF (У) еСТЬ суммируемая функция от у
и, кроме того, имеет место равенство
т
lh= %ajVi(EJ)n(FJ) = fy{[xh(x, у)}.
Легко проверить, что интеграл lh удовлетворяет условиям
1—III § 2 для элементарного интеграла:
(I) / (аА + Р*) = a/A-[-р/6;
(II) /Л>0, если А(лг)>0;
(III) если *я\0, то /Ая\0.
В частности, (III) проверяется так: если hn(x, y)\fi при
каждом х и у, то [xhn(x, y)\fi при каждом у согласно
следствию 1 теоремы Беппо Леви, откуда и Iy(lxhn(x, }')) —
=z/hn\iO согласно тому же следствию. Следовательно, усло-
условия построения интеграла по схеме Даниэля выполнены.
Таким образом, теорема о приведении двойного инте-
интеграла к повторному получает положительный (а не условный)
смысл и в общем случае.
9. Пространство Lp. Если / (х) — измеримая функция, то прн
любом р > 0 функция | / (х) \р также измерима, поскольку для лю-
любого С > О
[я \/(х)\Р>С} = {х: |/(*)|>С1/р}.
Пространство Lp = Lp (X), по определению, состоит Вз всех
измеримых функций / (х), определенных на множестве X, для ко-
которых
Stot кмсс фуякций при любом р > 0 есть wroeftuoe простраистви
Дейстштельно, очевидно, что о/ при любом веществентюм а прИ

9| § 6 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА 125
надлежит Пр вместе с /. Далее, если f^Lp, g?Lp, то и f-\-g?Lp,
так как функция \f-\-g\p измерима вместе с / и g и
Мы покажем далее, что при р > 1 это линейное пространство мс
жет быть превращено в полное нормированное линейное простран-
пространство введением нормы
Этот факт для р = 1 уже был установлен в п. 9 § 2. Поэтому
ограничимся теперь случаем р > 1. Очевидно, что норма A) удо-
удовлетворяет условию ||/]|/,>0, и ||/||р = 0 влечет /(*)=0 почти
всюду; далее, очевидно, ||а/||/)= 1« 111/11/; при любом веществен-
вещественном а. Неравенство треуголь-
треугольника устанавливается сложнее.
Рассмотрим сначала следующую
лемму.
Лемма. Пели т) = <»(?)— воз-
возрастающая непрерывная функ-
функция, ш@) = 0 и 1= ц(п)— об-
обратная функция (также, очевид-
очевидно, непрерывная н возрастающая),
то при любых х > О, у > О
J w(g)rf- + J
Рис. 2.
Доказательство немедленно получается из геометрических со-
соображений, если рассмотреть рис. 2.
Положим, в частности, « (|) = |р~' (р > 1), ц(т])г=г)р-
получим тогда, что
хР vi
^ i j
мы
B)
Здесь число q определено равенством
7+7-
Применяя неравенство B) к функциям
получим
D)

123 ГЛ. III. МЕРА [9
Допустим, что ||/||/, = /1//'A/|р) = 1. ||*||, = /1Л/(к1«)---1;«>гда,
интегрируя неравенство D), мы получим, что
Если же f?Lp и g?Lq— любые (ненулевые) функции, то для
функций /а= * - н go= 1,5м выполняются условия ||/0||р =
II / Ич Ns II?
i — 1, отсюда
n\fogo\)
II /lip II «¦ II,
и, следовательно, для любых f^Lp, g^_L4 справедливо неравен-
неравенство
n\fg\)<\\f\\iAe\\q
(неравенство Гельдера). Очевидно, оно остается справед-
справедливым и в том случае, когда хотя бы одиа из функций /, g равна
нулю.
Предположим теперь, что f^Lp, g^Lp; оценим
Имеем
Число р—l равно p'q (как видно из C)); поэтому
причем
Интегрируя E) и применяя неравенство Гельдера, получаем
/ KI/I + \gw<\\f\\p\\ (i/i+\g\)"-1 К+
Разделив на /1'?[(|/|-f-|^|)')] и вспоминая, что 1 — \jq — 1 />,
находим
Таким образом, при р > 1 выполняется неравенство треугольника.
Доказательство полноты пространства Lp проводится аналогично
доказательству теоремы Фишера — Рисса о полноте пространства
/.i = Z.. Имея фундаментальную последовательность уи ..., цп, ¦••

9) § 6. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА 127
достаточно показать, что некоторая ее подпоследовательность {ф,,*}
имеет предел <р. Этот предел <р в силу неравенства
будет пределом и всей последовательности ф„, поскольку втсрзе
слагаемое справа стремится к нулю при я -» оэ и Яд->оэ в силу
фундаментальности последовательности фл.
Очевидно, всегда можно выбрать последовательность индексор
я, < л2 < ... так, чтобы при п > п^
п^-чи,^ <*=»¦ *¦•¦)•
В частности,
откуда следует, что ряд 2 |ФяА+|—Флл | сходится почта всюду.
Действительно,
N
N
и утверждение вытекает после перехода к пргделу при N -> оо из
теоремы Беппо Леви.
со
Из сходимости ряда 2 \4>пк+, ~fnk\ сразу же слгдует схо-
со
димость ряда 2 ((Рпл+1 — ФлА) с частичными суммами
N
Это означает существование предела (почти всюду) при к -> ос
У последовательности функций ф„4.
Обозначим этот предел через ф. При т -> оо и фиксирован-
фиксированном ft функции ф;| — ф„ стремятся почти всюду к пределу ф — ф„ .
1ак как

123 гл. т. мера |9
то в силу п. 8,6), § 2 функция ф —фя ^Lp н, следовательно,
p. Далее, в силу того же п. 8, б), § 2 выполняется неравенство
Таким образом, последовательность фя сходится к ф по норме
пространства ?,,, что и требовалось.
Проверим теперь, что все элементарные функции принадлежат
пространству Lp и образуют в нем всюду плотное множество.
Возьмем любую элементарную функцию h (x). Как н всякая
элементарная функция, она ограничена; пусть, например, | h (х) \ <Af.
Образуем множество Е = {х; | Л (л:)| > 1}; это множество сумми-
суммируемо и
на множестве Е,
вне множества Е.
Иначе говоря,
им
I A (jf) |" < М"хв (х) + | Л (х) | хх_? (*) < М\ (x)+\h (х) |;
и так как оба слагаемых справа суммируемы, то и | Л (х) \р сумми-
суммируема. Таким образом, HcLp.
Пусть теперь f(x)?Lp — люЗая функция. Та< кач /4 н /~
принадлежат Lp вместе с функцией /(х), то мо.кио считать бя
ограничения общности, что /(л:)>0. Положим
(я =1.2, ...)
\ / (х) для х $ ?„,
I 0 для .*??„.
Очевидно, /„ / /, (/ - /„)" \ 0, откуда Ц / - /„ ||р =
= /' р ((/ — /я)") ->0 в силу следствия I теоремы Беппо Леви. При
заданном е>0 фиксируем я так, чтобы иметь ||/ —/я||р <е,2.
Множество Еп суммируемо, так как %Е = Хе ^ я У- Функция /я (л)
суммируема, поскольку но неравенству Гельдера
Так как элементарные функции плотны в пространстве Ц
(§ 2, п. 9), то существует последовательность Л* элементарных
функций, сходящаяся (при k->oo) к функции /„ по норме ?,.
Можно считать, что функции Л* неотрицательны, поскольку
без нарушения сходимости hk ->/,, можно заменить hk на Л^. Далее,

§ 6. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА 123
можно считать, что функции Л* ограничены числом я, поскольку
без нарушения сходимости /*?->/„ можно заменить hk на
min (Л*, и) = и min I—hk, l], а эти последние функции снова
являются элементарными по аксиоме 3) Стона (п. 4). При выпол-
выполнении этих условий мы покажем, что Л*->/л и по норме Lp.
Действительно,
|/я —ЛА|)->0 при
Выберем k так, чтобы иметь ||/„ — Л*||р<е/2, тогда
что и завершает доказательство плотности элементарных функций
в пространстве Lp.
ЗАДАЧИ
1. Непрерыввая функция от одной илн нескольких измеримых
функций есть измеримая функция.
2. Построить последовательность измеримых множеств Ех zd
СО
/СО ч
..., для которой |t ( М Еп ) ф lim \\Еп.
\я-1 I «">»
3. Доказать, что звак > в теореме 4 можно заменить на >.
4. На суммируемом мвожестве X даиа последовательность
/i {*)> /j (*). • • • измеримых функций, сходящаяся (почти всюду)
к некоторой функции /, Доказать, что при любом е > 0 сущест-
существует множество EczX, \jl (E) > ц (X) — е, на котором сходимость
/„ к / равномерва (теорема Егорова).
5. На множестве А дана произвольная последовательность
/ь /г, ... измеримых фувкций. Показать, что множество Е точек,
где существует lim /n (х), измеримо.
6. Если /п(х) — измеримые функции на суммируемом множе-
множестве X и /„ ->/ почти всюду, то при любом с > О
limn {дг :|/(лг)-/„<*)!> с} «0. A)
7. Последовательность измеримых функций /я (х), удовлетво-
удовлетворяющих при любом с > 0 соотношению A), называется сходящейся
по мере к функции /. Показать, что хотя такая последователь-
последовательность /я может ке сходиться почти всюду к /, она заведомо со-
содержит подпоследовательность, сходящуюся почти всюду к /.
8. Если каждая подпоследовательность даииой последователь-
последовательности измеримых функций /п содержит подпоследовательность, схо-
сходящуюся почти всюду к фиксированной функции /, то /п сходится
к / но мере.
9. Если /л(л-)>0и //„->• 0, то /л->0 по мере. (Сходимость
почти всюду не вытекает из этих условий.) Условие /„ > 0 нельзя
отбросить.
9 Г. Е. Шялоа, Б. Л. Гурмяч

130 ГЛ HI. МЕРА
10. В пространстве веет измеримых функций / (х) на сумми-
суммируемом множестве X введена метрика по формуле
Проверить выполнение аксиом метрического пространства. Пока-
Показать, что сходимость по метрике B) совпадает со сходимостью по
мере. Показать, что это метрическое пространство полно.
Замечание. Измеримые функции, принимающие только два
значения 0 и 1, образуют замкнутое множество в построенном
метрическом пространстве. Поскольку точки этого множества можно
отождествить с определенными измеримыми множествами на X,
оказывается возможным в совокупность I всех измеримых мно-
множеств ЕсХ ввести метрику так, чтобы выполнялись условия:
а) р (?„ ?2) = 0 означает: |i (?, — ?,?2) 4- \к (В2 — ?,Я2) = 0;
б) сходимость Еп-> Е по метрике равносильна сходимости по
мере соответствующих характеристических функций; иначе говоря,
?„->?, если для любого е найдется номер N ~ N (t) такой, что
|i (Я — ЕЕп) -f-)((Е„ — ЕЕп) < е при всех п > N;
в) пространство 2 с указанной метрикой полно (Ннкодим).
(^ ] 1- 2. • ')•
) рр у р
11. Пусть ? = @, 1], ?л = (^г. ~г]
Построить функцию <p(.v), суммируемую на каждом Е„ со схо-
сходящимся рядом интегралов по Еп и не суммируемую на Е.
УКАЗАНИЯ
1. Непрерывная функция есть продел многочленов.
Примечание. Наоборот, измеримая функция от непрерывной фупкцн
уже не обязана быть измеримой; см. задачу 7 к § 9.
2. Например, множества Еп= {ж: я <дг < оо) (я = 1, 2, ...) с пустым пере
сечением и бесконечной мерой. (Для конечных значений д?„ такое построеиЯ
невозможно в силу теоремы 3.)
4. Можно считать / =0 и /„\0. Положим f,, = {дг: 0 < f n < 1//яj; для ЭЯ
данного е > 0 можпо иайти л = я (т) так, что ц ( E^m)) > й (¦*) - -^- ; рассмоя
реть?= П47
fit = I
».?=П U п{*-\'п^-!т^\<т\-
к n m
оо оо
в. Множество П U [х: \ f (х) — /я (х) |> е} имеет меру 0.
Ш — 1 Я ж Я1
7. Для любых натуральных turn найдется номер n = n(ft, m), для которш
Функции /я М при *->оо сходятся к / (х) на множестве меры >\1(Х)
Далее рассмотреть последовательность /л ,

II $ 7. КОНСТРУКТИВНАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 131
8. Доказательство от противного с использованием результата задачи 7.
9. Использовать задачу 8.
10, Для вывода неравенства треугольника использовать монотонность функ-
функции У —]"т— ПРИ *>G-
П. Выбрать ф (ж), например, так, чтобы на Еп
Г q," ix)dx= Г ф~
§ 7. Конструктивная теория меры
Этот параграф мы начинаем с описания аппроксимации
измеримых множеств множествами более простой природы,
каковыми в я-мерном случае являются брусы и их конечные
и счетные комбинации. Это дает возможность дать конст-
конструктивное определение измеримых множеств и меры.
1. Полукольца подмножеств. Система ?( подмножеств
АаХ называется полукольцом, если выполняются следую-
следующие условия:
1) если Л6?{, Я??(, то АВ ?2(;
2) если Л,??(, А?% а АхсА, то существуют множества
А2, .... Ат ? % такие, что
причем А{, А2, . ••, А,п попарно не пересекаются.
Примером полукольца может служить совокупность всех
подбрусов «-мерного бруса (§ 4 п. 1).
Установим некоторые простые свойства полуколец.
3) Пусть даны попарно непересекающиеся множества
Л), .... Ak из полукольца ?(, содержащиеся в некотором
множестве А ? ?(. Утверждается, что существуют множе-
множества В„+1, .... Вт?% такие, что
Л,и ... lMftUfiftf,U ••• UBm = A, A)
причем все слагаемые слева также попарно не пересекаются.
Для k = 1 это утверждение вытекает из определения
полукольца. Примем, что оно справедливо для некоторого А,
" докажем его для A-f-1. По предположению, существует
разложение A). Множество ЛАц1 содержится в А и не пере-
пересекается с Л, Ак, поэтому
А* , 1 = Л, И ^ ^*+А-. 1U ... U Л„+1ВМ. B)
9*

132 ГЛ. Ш. МЕРА
Так как
то по определению полукольца можно написать разложения
C)
где слагаемые справа попарно не пересекаются. В итоге,
подставляя C) в A) и используя B), получаем требуемое.
4) Пусть имеется произвольная конечная совокупность
Л, Ат множеств полукольца 51. Утверждается, что их
объединение можно представить в форме
Aid ... \}Ат =
= А[1> U ... U 4*'} U ... U 4'1 U ... U А^т), D)
где А^] А^А принадлежат ЛД/—1 /я); кроме
того, все они являются элементами полукольца % и попарно
не пересекаются.
Для т — 1 предложение очевидно. Примем, что оно верно
для некоторого т, и докажем его для /м + 1. По предпо-
предположению, имеет место разложение D). В силу свойства 3)
существует разложение
причем слагаемые справа принадлежат 21 и попарно не пере-
пересекаются. Отсюда и из D) следует, что
Л, U ... UAm[)
причем слагаемые справа принадлежат 91 и снова попарно
не пересекаются, что нам и требуется.
Заметим, что добавление слагаемого Ат+1 сводится
к добавлению слагаемых А'^+1, .... ^(*™,+'' без изменения
предыдущих слагаемых в общей сумме. Это позволяет рас-
распространить свойство 4) также и на случай счетной сова

2) S 7. КОНСТРУКТИВНАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 133
купности множеств А1 Ат, .... что нам впоследствии
понадобится.
2. Подпространство, порожденное совокупностью
характеристических функций. Мы продолжаем рассматри-
рассматривать пространство измеримых функций на абстрактном мно-
множестве X, определенных через исходную совокупность эле-
элементарных функций (§ 6), и соответствующее семейство из-
измеримых множеств.
Пусть Нц есть совокупность всех конечных линейных
комбинаций характеристических функций для некоторого полу-
полукольца 91 суммируемых подмножеств множества X. Для
функций к(х)?Й<ц нам известно значение интеграла: если
т
1, ( v\ V ,, v ( v\ /к\
ft-1 * *
ТО
ft=1
Поставим вопрос, можно ли принять совокупность //« с имею-
имеющимся на ней интегралом /Л за исходную совокупность для
построения интеграла, как мы делали в § 2, и что получится
при этом построении. В силу свойства 4) для каждой функ-
функции Л(х), определенной формулой E), соответствующие
множества Ек можно считать непересекающимися. Если Ек
не пересекаются, то
также принадлежит совокупности Н%. Кроме того, совокуп-
совокупность И*, очевидно, линейна. Тем самым для совокупности
//.,(=. Н выполнены условия § 2. Интеграл /Л, определен-
определенный формулой F), естественно, удовлетворяет условию ли-
линейности; далее, если Л„\0, то /Ля->0 по следствию
теоремы Беппо Леви. Итак, условия для построения интеграла
выполнены. Посмотрим, что нам дает это построение.
Пусть последовательность hn?Hy возрастает и обладает
ограниченными интегралами lhn. Тогда согласно следствию
теоремы Беппо Леви функция / — ПтА„ является сумми-
суммируемой. Следовательно, класс L%, построенный по совокуп-
совокупности //я, лежит в пространстве L(X). Разности функций

134 гл. ш. мера Ш
класса L$, которые следует рассмотреть для завершение
построения интеграла, также, конечно, лежат в классе L{X).
Таким образом, класс функций Llt(X), построенный по со-
совокупности 91, является частью пространства L(X). Класс Z.vl
удовлетворяет условию полноты относительно нормы /(|ф|)
и, следовательно, является замкнутым подпространством
в L{X). С другой стороны, как мы видели, элементарные
функции Л?Ял образуют в Z.3( всюду плотное множество;
таким образом, мы получим снова все L^, если произведем
замыкание совокупности Н^ по норме /(|<р|). Итак, класс
L'[ есть просто замыкание совокупности Ни по норме
/(|ф|).
3. Достаточное полукольцо. Рассмотрим совокупность fiQ
всех линейных комбинаций характеристических функций всех
суммируемых множеств.
Покажем, что она всюду плотна в пространстве L(X). До-
Достаточно проверить, что всякая неотрицательная функция
<р?? принадлежит замыканию Но по норме /(|ф|). Рас-
Рассмотрим сначала функцию
TV oo
= 2 «?.*„(*) + S ntlzn{x) (n. 6, §6).
В указанном представлении первое слагаемое входит в Но,
второе же стремится по норме к 0 вместе с N, так как
при /v —> оо.
= Л'т 1
Таким образом, ць(х) принадлежит замыканию Яо. Далее,
при е—>0, например, по последовательности е^ —2~ , мы
имеем Ф?//"ф, поэтому
/(ф— фе)=||ф — ф?||->0,
откуда следует, что ф принадлежит замыканию Яо. Таким
образом, Z.//o = L (х).
Поставим вопрос: в каком случаеL%— L(X), иными сло-
словами, в каком случае линейные комбинации характе-
характеристических функций множеств полукольца % образуют
множество, всюду плотное в пространстве L(X)}

si « г. конструктивная тгория меры ta5
Будем называть полукольцо 91, обладающее указанными
свойствами, достаточным. Ответ на наш вопрос дается
следующей теоремой.
Теорема 1. Полукольцо 91 суммируемых множеств
является достаточным тогда и только тогда, когда
для любого суммируемого множества Е и любого е > О
найдется множество F, являющееся объединением ко-
конечного числа множеств полукольца 91 и такое, что
b. A)
Доказательство. Неравенство A) означает, что
Поэтому при выполнении условия теоремы характеристическая
функция любого суммируемого множества Е есть предел
(по норме L) линейных комбинаций характеристических функ-
функций множеств полукольца 21. Отсюда следует, что линейные
комбинации характеристических функций множеств полу-
полукольца 91 плотны в L. Обратно, пусть известно, что линей-
линейные комбинации характеристических функций множеств полу-
полукольца 91 плотны в Ц покажем, что выполняется условие
теоремы. Пусть Е — суммируемое множество; по условию
Л->пО
где
Можно считать, что множества Ekn (& = 1, 2 г„) не
пересекаются при фиксированном п. Рассмотрим функцию
Y
где сумма распространена только па те множества Екп, для
которых скп~^ 1/2. Обозначим их объединение по индексу k
через Е„.
Мы имеем: для х?ЕЕп

136 ГЛ III MFPA
дл« x?E(X—Ett)
yE(x)=l, gn(x) = O, ?„(*)<-*.,
| x? (x) - gu (x) | = 1 < 2 | lE(x) - gn (x)|;
для x?(X — E)Ea
= 0. gn(x)=l. gn(x)^~,
е» (*)| = 1 < 2 | XE(x)~gn(x)\',
для х?{Х — E)(X— En)
Поэтому всюду на X
и, следовательно,
Функция gn(x) сама есть характеристическая функция
для некоторого множества Вп, являющегося конечной суммой
множеств полукольца 91. Мы утверждаем, что при достаточно
большом п множество F = Bn удовлетворяет поставленному
условию. Для доказательства этого рассмотрим функции
(in~ Хя)+ и (gn — XE)~. Функция (gn — lE)+ есть харак-
характеристическая функция множества 58Я тех точек, которые
принадлежат множеству Вп и не принадлежат множеству Е;
функция (§¦„ — "/я)~ есть характеристическая функция мно-
множества Щ.п тех точек, которые принадлежат Е и не принад-
принадлежат Вп. Множество Е получается из множества Вп при-
прибавлением множества %а и вычитанием множества dtt. С дру-
другой стороны,
что н завершает доказательство.
Следующая теорема показывает, что, используя счетные
пересечения и объединения множеств достаточного полу-
полукольца, можно получить любое суммируемое множество с точ-
точностью до множества меры 0.

8) $ 7. КОНСТРУКТИВНАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 137
Если 5( — некоторая система множеств, то через ?@
обозначают систему тех множеств, которые получаются из
системы 91 путем образования счетных объединений, и через
2(й — систему тех множеств, которые получаются из 91 путем
образования счетных пересечений; далее полагают \б=:(^о)б>
?fouo = (?foi)o и т- Д-
Лемма 1. Пусть 91— достаточное полукольцо; тогда
для каждого е > 0 и каждого суммируемого множества Е
можно найти такое множество F из системы 2(„, для
которого n(E — EF) — 0, n(F — EF)<e.
Доказательство. Для заданного суммируемого мно-
множества Е и натуральных чисел т и п, пользуясь теоремой 1,
найдем такое множество Fwn — конечное объединение мно-
множеств полукольца 9(, для которого
V. (Е - EFma) < ^L_, ]i (F,nn - EFmn) < ^L-.
Положим Fm — [J Fmn\ множество Fm принадлежит
n
Мы имеем
поэтому
ц (Е - EFJ < inf |х (Е - EFmn) = 0.
- EFJ
ml i__
n
Таким образом, при каждом т та часть множества Fm, ко-
которая лежит в Е, исчерпывает все Е с точностью до мно-
множества меры 0, а та часть, которая не лежит в Е, имеет
меру, не превосходящую 1,'/я. Очевидно, множество Fm
для \\т < е удовлетворяет условию.
Теорема 2. Пусть 91 — достаточное полукольцо;
тогда для любого суммируемого множества Е можно
найти такое множество F?%аЬ, что \\{Е — EF) —
EF Q

138 ГЛ. III. МЕРА |4
Доказательство. Согласно лемме 1 при каждом
/и—1, 2, ... существует множество Fm такое, чго
Положим F = f] Fm; множество F принадлежит системе ?(„
m
При этом
р рр— I \(р рр \ р рр—f\(F FF \
т т
откуда
т
li(F-EF)<iniii (Fm -EFJ = 0.
т
Если записать (что всегда возможно)
' — EF) — (F — EF),
то мы видим, что множество Е получается из множества F
прибавлением некоторого множества меры 0 н вычитанием
некоторого множества меры 0, что и утверждалось.
4. Вполне достаточное полукольцо. Несколько усили-
усиливая условия на полукольцо 9(, мы можем добиться того,
чтобы каждое суммируемое множество не только аппрокси-
аппроксимировалось множеством системы ?(о6 с точностью до мно-
множества меры 0, но и содержалось при этом в аппроксими-
аппроксимирующем множестве. Введем следующее определение.
Достаточное полукольцо % называется вполне доста-
достаточным, если оно удовлетворяет следующему дополнитель-
дополнительному условию: для любого множества Z меры 0 и любого
с > 0 можно найтн множество А из 9[„, покрывающее мно-
множество Z и имеющее меру < е.
Достаточное полукольцо может не быть вполне доста-
достаточным; простым примером может служить система 2 всех
измеримых подмножеств F с: X, не содержащих фиксирован-
фиксированной точки х0 с мерой О,

<1 4 7. КОНСТРУКТИВНАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 139
Лемма 2. Пусть ?1 — вполне достаточное полу-
полукольцо; при любом г > О каждое суммируемое множество
Е с: X можно покрыть некоторым множеством G ? ?@
меры, меньшей, чем \i(E)-\-e.
Доказательство. Согласно лемме 1 для заданного
е > 0 существует множество Fe ? ?(„ такое, что \х (E—EFg)—Q,
H(Fe— EFE) < г; мы можем написать
где Z = E — EFt есть множество меры О, B — FR — EFt
имеет меру, меньшую е. В частности, ii (/%) -^ ji (?)-j- ц (В) —
= и (Е) -\- г. Рассмотрим включение Е с: Fe U Z. Множество Ft
принадлежит системе %0, множество Z как множество меры
нуль можно покрыть множеством АЕ ? 2F с мерой < е.
В итоге все множество Е оказывается покрытым множеством
Ое = Ft[} Ле ? ?F с мерой, меньшей, чем n(?)-f-2e.
Теорема 3. Пусть % — вполне достаточное полу-
полукольцо; каждое суммируемое множество Е с: X можно
покрыть некоторым множеством О ? ?(о6 той же меры.
Доказательство. В силу леммы 2 при любом
т=1, 2, ... множество Е можно покрыть множеством
От ? 9@ меры, меньшей, чем ц(Е)-\- 1/т. Положим G =
оо
= Р| От ? ?1о6; для множества О мы имеем
Так как это неравенство справедливо при любом т = 1, 2
то ц(?) —ц(О) и, следовательно,
что и утверждалось.
Аналогичное предложение справедливо для измеримых
множеств: всякое измеримое множество ЕсХ есть раз-
разность некоторого множества О ? 91ово н множества Z
меры 0.
В самом деле, имея последовательность суммируемых
множеств <Y, с: <Y2 с: . . ., исчерпывающую всё -Y, мы можем
представить множество ? в форме объединения частей, со-
содержащихся соответственно в Xv X2, ..•, именно:

140 ГЛ. lit. МЕРА I*
Каждое из множеств EXn суммируемо и, по предыду-
предыдущему, может быть представлено как разность Оя — Zn, где
О6 31 B = 0. Поэтоцу
где О == (J Оя ? ?lo6o, Z — \JZn имеет меру 0, что и тре-
п и
буется.
5. Верхняя мера и критерий измеримости. В этом
пункте мы будем называть множества, составляющие вполне
достаточное полукольцо, простыми множествами.
Покроем произвольное множество ЕсХ, если это воз-
возможно, конечной нли счетной системой простых множеств и
найдем сумму мер этих простых множеств. Точная нижняя
граница получающихся чисел при всевозможных покрытиях
множества Е системами простых множеств обозначается ц*(?)
и называется верхней нли внешней мерой множества Е.
Возможно, что ц*(/:) —со или вовсе не существует (если
не существует ни одного указанного покрытия).
Всякое множество меры 0 по самому определению вполне
достаточного полукольца имеет и внешнюю меру 0.
Теорема 4. Для каждого суммируемого множе-
множества Е его верхняя мера существует и совпадает
с числом м (Е).
Доказательство. Прежде всего мы можем рассма-
рассматривать лишь покрытия множества Е неперекрывающимися
простыми множествами. А именно, если Л,, А2, ..., Ak, ...—
произвольная последовательность простых множеств, покры-
покрывающая множество Е, то как было показано в п. 1, мы
можем заменить множество Ak на множества А%\, .... Аы,
из которых состоит разность самого Ak и той части Ak,
которая вошла в предыдущие множества; ясно, что мно-
множества Akj при всевозможных k и j4^rk уже не имеют
взаимных пересечений. Сумма же мер множеств системы {Ajk)
может быть лишь равна сумме мер множеств ЛА или быть
меньше этой суммы.
Если G есть объединение неперекрывающихся множеств
Лл?21. покрывающее множество Е, то О есть измеримое
множество с мерой, равной сумме мер множеств Ак; так

«1 $ Г. КОНСТРУКТИВНАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ U1
как EcG, то ц(?Хц(б) и, следовательно, верхняя
мера множества Е, если она существует, не может быть
меньше |i(f):
[i*(E)= inf
С другой стороны, если множество Е суммируемо, то
по лемме 2 при любом т = 1, 2, ... существует множество
бщб^о- содержащее ? н имеющее меру <^i(?)-f-1//и.
Поэтому
при /я —> со получаем
откуда и следует требуемое.
Естественно, возникает вопрос, можно ли определить
сами измеримые множества в терминах внешней меры. Ответ
на этот вопрос мы дадим для случая, когда множество X
суммнрзгемо.
Теорема 5. Если X суммируемо, то множество
Е а X измеримо тогда и только тогда, когда сумма
внешних мер множества Е и его дополнения СЕ (до
всего X) равна мере X:
Ji*(?) + H*(C?) = n(A'). A)
Доказательство. Необходимость указанного условия
очевидна: если Е измеримо, то и его дополнение СЕ изме-
измеримо н из равенства ii(X)=\.i(E)~\-\.i(CE) следует равен-
равенство A). Докажем достаточность этого условия. Пусть для
множества Е выполнено равенство A). Тогда для любого
целого т > 0 можно найтн покрытие множеств Е и СЕ
системами неперекрывающихся простых множеств Ge и G{cb
с общей суммой мер
Обозначим через "/^ и у}се характеристические функции
множеств О'^ и G<^. Функция 1 — у^ отлична от нуля
только в пределах множества Е, и поэтому
О < 1 - х{$ (*) < 1Е (*) < X(?ffl) (*).
где %е(,х)—характеристическая функция множества Е.

142 ГЛ. Ill МЕРА
Отсюда
С другой стороны, по условию,
При /и->со функции Xf'KO образуют последователь-
последовательность, которую можно считать монотонно убывающей, и тем
самым последовательность 1—ХЙК*) можно считать моно-
монотонно возрастающей. Поэтому последовательность y}j?'(x) —
— Р—XcfW] также монотонно убывает. Ее предел f (х)
есть неотрицательная измеримая ограниченная функция, инте-
интеграл от которой согласно следствию теоремы Беппо Леви,
равен нулю; поэтому /(х) по<ти всюду равна нулю. Но
так как
то %Е(х)= lim уУ^{х) и тем самым есть измеримая и сум-
мнрз'емая функция. Это доказывает и достаточность сформу-
сформулированного условия.
6. Мера на n-мерном брусе. Примеры. Рассмотрим, что
дает общая теория меры в применении к ограниченному
л-мерпому брусу В.
Пусть о E) — непрерывный неотрицательный квазиобъем,
заданный на полукольце 21 всех брусов В с В. Строим
пространство /.„(В) о-суммируемых функций с интегралом
Лебега — Стилтьеса, используя в качестве элементарных сту-
ступенчатые функции. Функции, которые (а-почтн всюду) яв-
являются пределами последовательностей ступенчатых функций,
о-пзмеримы. о-измеримыми множествами являются множества
с а-нзмеримыми характеристическими функциями. Так как
брус В конечен, то всякое о-измеримое множество автома-
автоматически ст-суммируемо. Согласно § 6 семейство всех о-изме-
римых множеств ?сВ замкнуто относительно счетной сово-
совокупности операций объединения, пересечения и дополнения.
Кроме того, мы получаем, что всякий неотрицательный и
непрерывный квазиобъем а (В) может быть распространен
с брусов на счетно-аддитивное семейство множеств — о-изме-

в| $ Г. КОНСТРУКТИВНАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ ДО
рнмых множеств, — на котором он обладает свойством счет-
счетной алдитивности. Какие же подмножества ? с В оказываются
а-измеримыми?
Заметим сначала, что пространство ?0(В) порождается
соответствующими характеристическими функциями брусов
дсВ и, следовательно, система брусов 91 образует доста-
достаточное полукольцо. Из теоремы 1 следует, что для любого
а-нзмеримого множества ?сВ и любого е > 0 можно ука-
указать такую конечную систему брусов ??,, .... Вт, что
o? — FF) + a(F — EF)<e, где F = B{[) ... \}Вт.
Иначе говоря, каждое а-измери.иое множество с точ-
точностью до множества произвольно малой меры есть
объединение конечного числа брусов.
Заметим, далее, что полукольцо ?1 не только достаточно,
но и вполне достаточно, так как если множество Z имеет
о-меру 0 относительно интеграла /0, то Z может быть по-
покрыто не более чем счетным набором брусов Вх, #>, ...
с суммой квазиобъемов, меньшей любого е.
Поэтому в данном случае применимы результаты п. 5,
которые принимают здесь следующую форму.
Верхней мерой множества ЕсВ называется величина
а*{Е) = inf a(G),
где G = 5, U В., U . .. — произвольная (конечная или счетная)
система брусов, покрывающая множество Е.
Множество Е является а-измеримым тогда и только
тогда, когда
о*(Е) 4-а*(В- ?) = а(В);
при этом а-мера множества Е совпадает с его верхней
мерой о*{Е). Наконец, любое а-измеримое множество
есть разность счетного пересечения счетных систем бру-
брусов и некоторого множества а-меры 0.
Всякое множество, полученное из прусов применением
счетной совокупности операций объединения, пересечения и
дополнения, называется борелевским множеством (точнее,
классическим борелевским). Всякое открытое множество
(т. е. множество, состоящее целиком из внутренних точек)
является борелевскнм (поскольку каждую его точку можно
покрыть брусом с рациональными координатами граничных

144 гл. ш. мера I»
листов, лежащим внутри данного открытого множества) и по-
поэтому 0-измеримо. Всякое замкнутое (в В) множество яв-
является борелевскнм (как дополнение открытого), т. е. о-нз-
меримо. Всякое борелевское множество, очевидно, является
а-измеримым. Разность борелевского множества и множества
а-меры 0 (среди последних могут быть и не борелевскне,
см. задачу 2) также а-нзмернма. И обратно, всякое а-изме-
римое множество есть разность борелевского множества
и множества мери О (теорема 3 п. 4).
Примеры. 1. Если квазиобъем а (В) бруса В есть его обыч-
обычный объем s(B), то 5-измеримые множества называются измери-
измеримыми по Лебегу (или просто измеримыми), а величина s (E) на-
называется мерой Лебега множества Е (или просто мерой Е). Таким
образом, для меры Лебега справедливы все результаты п. 5, свя-
связанные с верхней мерой и аппроксимациями конечными или счет-
счетными системами брусов.
2. Рассмотрим меру, порожденную квазиобъемом
o(fi)-= [ g(x)dx,
где g (x) > 0 суммируема по Лебегу в основном брусе В (п. 2 § 5,
пример 2). Выясним структуру а-измернмых множеств. Всякое бо-
борелевское множество G является а-измеримым; при этом, со-
согласно формуле B) из п. 2 § 5
x. A)
о
Всякое множество Z лебеговской меры 0 является а-изме-
а-измеримым, и при этом также a (Z) = 0; для доказательства возьмем
борелевское множество G 1Э Z, fiG=O; тогда по формуле A)
= \
6
6
откуда И a(Z)^a (G) = 0.
Всякое множество Е, измеримое по Лебегу, есть разность
борелевского множества и множества лебеговской меры 0 н поэтому
а-измеримо; при этом, очевидно,
Е
8 частности, множество Go = {x: g (л) =»0} соизмеримо в

«1 § 7. КОНСТРУКТИВНАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 145
Всякое подмножество Q с Go также имеет а-меру 0 (хотя оно
может и не быть измеримым по Лебегу!).
Поэтому объединение множества Е, измеримого по Лебегу,
и множества Q с О0 является а-измеримым.
Покажем, что верно и обратное: всякое а-измеримое множе-
ство Е есть объединение множества, измеримого по Лебегу, и
множества Q с: Go.
Пусть множество ? с: В является а-измерпмым. Тогда его ха-
характеристическая функция хЕ(х) о-суммнруема и, по доказанному
в п. 2 § 5, функция %Eg суммируема по Лебегу; при этом
(Е) « /дхЕ = / (X?g) = J %Е (х) S
Обозначим G+ = [х: g(x) > 0); это множество измеримо по Ле-
Лебегу. Мы Имеем
? = ?G0U?G+.
Множество ?G j. = {х: %Е (х) g (л) > 0} также измеримо по Лебегу.
Таким образом, ? есть сумма двух множеств, из которых одно из-
измеримо по Лебегу, а на другом функция g (л) равна нулю, что и
требовалось.
В п. 2 § 5 было доказано, что если функция / а-суммнруема,
то произведение fg суммируемо по Лебегу. Покажем, что верно и
обратное: если для некоторой функции / произведение fg сум-
суммируемо по Лебегу, то / а-суммируема. Проверни сначала, что
/ есть а-измеримая функция. Рассмотрим при заданном С множе-
множество ?с (/) тех точек, где выполняется неравенство / {х) < С. Это
множество совпадает с множеством А, где выполняется неравен-
неравенство / (х) g (x) < Cg (x) за вычетом некоторого множества В с А,
на котором g (х) равна нулю. Множество А измеримо по Лебегу
и, следовательно, а-нзмеримо, множество В имеет а-меру 0; поэтому
Ес (/) а-нзмеримо. Так как С произвольно, то мы приходим к вы-
выводу, что функция / а-нзмерпма. Для доказательства а-суммп-
руемости функции / нам достаточно доказать, что ограничены ин-
интегралы /,/д,, где fN(x) = m\n { \/(x)l N]. Но функция /д, (л)
ограничена н а-измерима вместе с функцией /, следовательно,
а-суммируема, а тогда но формуле A)
что и требуется. Итак, мы получили полную характеристику сг-сум-
мнруемых функций: это—те и только те функции f (х), для
которых произведение fg суммируемо в обычном смысле.
3. Рассмотрим меру, порожденную квазнобъемом
10 Г. Е. Шилов, Б. Л. Гурсвич

146 ГЛ 1!!. МЕРА |7
(п. 2, § 5, пример 3). Здесь любое множество Ее В а-штцтт и
его о-мера вычисляется по формуле
g
k.
Действительно, множество Е отличается на множество а-меры 0 от
множества точек {с*}, лежащего в Е, а это последнее а-измеримо
(как ие более чем счетное), поэтому и Е а-измеримо. Далее,
а(Е) = о| [J сЛ= 2 ?*> чт0 " утверждалось.
7. Мера Лебега при »= 1. Рассмотрим в заключение про-
простейший случай /1=1, В = [а, Ь] и лебеговской меры.
Как известно, каждое открытое множество О с В есть
объединение конечной илн счетной совокупности составляющих
интервалов Gj. Поэтому G измеримо и его мера равна сумме
длин интервалов Gj. Верхняя мера ц*(?) множества ЕсВ
может быть определена как точная нижняя граница мер от-
открытых множеств, покрывающих множество Е. Множество Е
измеримо тогда и только тогда, когда выполняется равенство
ц(В) = Ь-а. A)
В своем построении теории меры и интеграла создатель
этой теории А. Лебег отправлялся от определения измери-
измеримого множества как раз в форме, установленной в послед-
последней теореме. Именно, множество Е с [а, Ь] он называл из-
измеримым, если выполнялось соотношение A)
Иногда это определение высказывается в несколько иной
форме, а именно: определяется внутренняя (нижняя) мера
множества Е по формуле
ц,(?)= sup n(F),
где верхняя грань берегся по всем замкнутым множествам F,
содержащимся в данном множестве Е; при этом мерой замк-
замкнутого множества F называется число Ь — и — ц (CF), где
CF — дополнительное к F открытое множество. Далее, Е на-
называется измеримым множеством, если
,i.(E) = H*(Ej. BJ

4 1. КОНСТРУКТИВНАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 147
Легко проверить, что определения A) и B) равносильны.
Действительно,
Ц.(Е)= sup \\(F) = sup (b — a —
Fl F
— b—a~ inf \x(CF).
FCE
Но если множество F замкнуто и заключено в множестве Е,
то его дополнение CF открыто и покрывает множество СЕ;
отсюда непосредственно следует, что
и, следовательно, равенства
р,(Е) = ц\Е) и
эквивалентны.
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что совокупность всех борелевских множеств на
замкнутом интервале [0, 1] имеет мощность континуума.
2. Доказать, что совокупность всех измеримых по Лебегу мно-
множеств иа [0, 1]—даже только множеств меры 0—имеет мощность
выше мощности континуума.
3. Доказать, что совокупность измеримых множеств, каждые
два из которых различаются более чем на множество меры 0, имеет
мощность не выше мощности континуума.
4. Какую меру имеет обобщенное канторово множество, опи-
описанное в задаче 4 к § 1?
5. Построить измеримое множество Е, которое иа каждом ин-
интервале имеет положительную меру, так же как и его дополнение.
6. Всякая измеримая функция в ограниченном брусе В при лю-
любом е > 0 непрерывна па некотором замкнутом множестве F а В,
|i (F) > и (В) — е (Н. Н. Лузин).
7. Измеримая функция g (у), оцределенная на множестве У
с мерой Я, называется равноизмеримой с измеримой функцией / (х),
определенной на множестве X с мерой н, если для любого С мы
имеем Я [у: g (у) < С) = и {л-: /(х) < С).
Доказать, что для любой измеримой функции f (х) на абстракт-
абстрактном множестве X с мерой \\ существует неубывающая равноизме-
римая функция g (у) па замкнутом интервале [0, 1] с обычной ме-
мерой Лебега.
8. Назовем функцию f(x), определенную в брусе В, боремв-
ской, если каждое множество ?(/, с)= {х: / (х) < с) борелевское.
Показать, что всякая измеримая функция f(x) в брусе В стано-
становится борелевской после надлежащего исправления на множестве
меры 0.
10*

148 ГЛ. «П. МЕРА fl
УКАЗАНИЯ
1. Борелевское множество можно задать с помощью последовательности замк-
замкнутых множеств. (Подробнее см. Ф. X d у с д о р ф, Теория множеств, ОНТИ,
Ш7, стр. 195.)
2. Любое подмножество множества меры 0 также имеет меру 0. Использовать
задачу 2 к $ 1.
Примечал и е. Задачи 1 и 2 покалывают, что существуют неборелевские
измеримые множества.
3. Всякое измеримое множество с точностью до множества меры 0 является
борелевским.
Ш--У-
4. ЦЕ=
я-1
оо
5. Пусть /) >0, р2 >0, ... и S я < 1. Построить на отрезке [О, 1) обобщен-
ное канторово множество Я, с мерой />, (задача 4). На каждое из его смежных ин-
интервалов Дд (* = 1, 2, ...) построить обобщенное канторово множество с мерой
Pj-цД^; в результате к Е2 прибавится множество Е с мерой рг A — pty На каж-
дом из оставшихся интервалов Д .^ построить обобщенное каиторово множество
с мерой /K'ЦДу? и т.д.
Замечание. Тем не менее, не существует такого измеримого множества Е,
мера пересечения которого с любым интервалом была бы равна половине длины
»того интервала (см. задачу 4 к § 10).
в. Для ступенчатых функций доказательство элементарно. Для перехода к об-
общему случаю исиольэовать теорему Егорова (§ 6, задача 4).
7. Положим F(a) = fi {.r: /(-tr)<a); тогда
?(>')= inf a.
f)<
8. Каждое из счетной совокупности множеств ?(/, —— ] — El /, J СТШ
\. 1" ] \ 2" J
новнтся борелевским после выбрасывания некоторого множества меры 0. Объеди-
Объединение всех выброшенных множеств —борелевское множество; можно на иеч по-
положить, например, /(»')з0.
§ 8. Аксиоматическая теория меры
Существует построение теории интеграла, в котором ис-
исходным пунктом является семейство подмножеств произволь-
произвольного множества X с определенной па нем счетно-аддитивной
мерой. Здесь мы рассмотрим это построение; схема Даниэля,
которую мы уже знаем, позволит обозреть его без каких-
либо осложнений.
1. Элементарная, борелевская и лебеговская меры. Си-
Система 91 подмножеств множества X называется кольцом, если
вместе со всякими двумя множествами Л, В она содержит
их пересечение А П В, объединение A U В и, если В с А,
разность А — В. Множества, входящие в кольцо 91, будеш
называть элементарными множествами. Само X может при!
надлежать кольцу 91 или не принадлежать; в последнем слу!

1) §8. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 149
чае предполагается, что X есть счетное объединение мно-
множеств из кольца 91.
Счетно-аддитивной мерой будем называть конечную
аддитивнз'ю неотрицательную функцию множеств [i (Л), оп-
определенную на кольце 91 и удовлетворяющую следующему
условию:
(а) для любой последовательности непересекающихся мно-
множеств Ах Л„, ... кольца 91, для которой А = \J Л„
я
также входит в кольцо 9Т, всегда
Как следствия, получаем:
(б) для любой последовательности множеств Л, с... с
сА„с... кольца 91, для которой Л=Млл также входит
л
в кольцо 9(,
цА = lim \iAn;
я->со
(в) для любой последовательности множеств Л,1Э...э
эЛя1Э... кольца 2(. для которой А~[]Аа также входит
л
в кольцо 91,
цА — lim AЛЯ.
Свойство (б) следует из (а): при условиях (б) А = А{ U
U (Л2 — Л,) U ... U (А„ — Ап_{) U ••• есть разложение на не-
непересекающиеся слагаемые; отсюда ц(Л) — ц(Л,)-|- .. . -4-
-Н<(Ля — An_x)-\- . .. = lim Ц(ЛЯ). Свойство (в) следует
Л-+ОТ
из (б) переходом к дополнениям (до Л,).
Мера \i на кольце 91 называется элементарной мерой.
Кольцо 91 называется о-кольцом, если вместе с любой
последовательностью непересекающихся множеств Лр . ..
.... Л„, .... содержащихся в (любом) фиксированном мно-
множестве Лос91, их объединение ^4 = II ^4„ принадлежат
л
кольцу 91.
Если 91 есть а-кольцо, то вместе с любой последова-
последовательностью множеств Лх Лд, .. . (?91) (множества Av . ..

150 ГЛ. III. МЕРА fl
..., Ля, ... могут пересекаться), содержащихся в фиксиро-
фиксированном множестве Ло ? 9(, их объединение А — М Ля входит
л
в 91; действительно, А можно записать в виде объединения
непересекающихся множеств
А = А, U (А, — Л, Л2) U (Л3 — Л, Лз - Л2А3) [)....
каждое из которых содержится в Ло » входит в 91. Далее,
пересечение любой последовательности множеств Ах, ...
.... Ап, ... о-кольца 91 также входит в это кольцо 9(; дей-
действительно,
поэтому я f]Aa = Al — /Л, — ^ЛЯЛ,\ входит в 91.
п \ п I
Множества, входящие в а-кольцо, будем называть (аб-
(абстрактными) борелевскими множествами.
Счетно-аддитивная мера (i на о-кольце 9t назывяется бо-
боре леве кой мерой.
о-кольцо 91 с борелевской мерой ц называется аA-коль-
цом, если всякое подмножество множества меры 0 также
входит в 91 (и имеет, следовательно, также меру 0). Мера ,н
в этом случае называется конечно-леб его ее кой, мерой.
Кольцо 9( подмножеств множества X называется 2-коль-
цом, если вместе с любой последовательностью непересекаю-
непересекающихся множеств Л,, ..,, Л„, ... кольцо 91 содержит их
объединение Л =М Ап. Легко проверить, что Е-кольцо вместе
л
с любой последовательностью множеств Л, Л„, ... со-
содержит их объединение и пересечение. Всегда предполагается,
что множество X само является элементом S-кольца. Эле-
Элементы 2-кольца мы будем называть обобщенными борелев-
борелевскими множествами.
Неотрицательная аддитивная функция (х(Л), определенная
на обобщенных борелевских множествах (принимающая, воз-
возможно, значение -j- oo), называется обобщенной борелевской
мерой, если для любой последовательности Л,, .... Л„, ...
непересекающихся множеств кольца 91
(WU лп) = ii (л,) + ...-Hi (ля) +

2] § 8. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 151
причем допускаются и бесконечные значения правой и левой
частей.
По отношению к мере и. множества А ? 91 называются
измеримыми (точнее, ц-измеримыми) множествами; те из них,
для которых ц.(Л)<со, называются суммируемыми (jx-сум-
мируемыми) множествами.
Предполагается, что само множество X, если u.(,Y) = co,
является счетным объединением множеств конечной меры.
Если 2-кольцо ?[ вместе со всяким множеством меры О
содержит все его подмножества, то оно называется 2^-коль-
цом. Мера (i в этом случае называется лебегоеской мерой.
Примеры. 1. Пусть на X определено пространство
элементарных функций с элементарным интегралом в смысле
§ 2 и построен интеграл по схеме Даниэля. Измеримые мно-
множества «по Даниэлю» (§ 6) образуют Е^-кольцо, мера \к на
этом 2д-кольце — лебеговская мера. Суммируемые подмно-
подмножества образуют о^-кольцо, мера \х на нем — конечно-лебе-
конечно-лебеговская мера.
2. Ограниченные классические борелевские множества на
оси — со < х < оо (§ 7, п. 6) образуют о-кольцо, обычная
мера Лебега (или Стилтьеса) па нем есть борелевская мера
(но не конечно-лебеговская). Все борелевские множества на
оси — оо < х < со образуют --кольцо, мера Лебега па
нем — обобщенная борелевская мера. Наконец, полуинтер-
полуинтервалы (а, Р) и их конечные объединения образуют кольцо,
не являющееся о-кольцом, мера Лебега (или Стилтьеса) на
нем есть элементарная мера.
2. Борелевские и лебеговские расширения элемен-
элементарной меры.
Лемма. Пусть на ко.)ьце ?( подмножеств множе-
множества X задана элементарная мера \i. Пусть Н есть
совокупность конечных линейных комбинаций /;(.*•) —
— -j aj7.Ei (x) характеристических функций элементар-
элементарных множеств.
Утверждается, что совокупность Н удовлетворяет
условиям 1) и 2) § 2 и 3) и 4) § 6 для системы элемен-
элементарных функций, а интеграл

152 гл. Ш. мера Р
удовлетворяет условиям I—III § 2 для элементарного
интеграла.
Доказательство. Очевидно, Н — линейная совокуп-
совокупность. Далее, для всякой функции /г?# возможно дать
представление
где уЕ,{х) — характеристические функции непересекающихся
множеств.
Отсюда видно, что
I h (х) | = 2 Iа; I Хе • (¦*)
также принадлежит совокупности Н. Таким образом, усло-
условия 1) и 2) § 2 здесь выполнены.
Проверим далее, что выполняются также условия 3), 4)
п. 4 § 6.
3) Вместе с каждой функцией п(х) в пространство И
входит функция min {Л, 1J.
В нашем случае
miii [A, 1]= V)niin(uA, 1) ¦ fa (x)?H,
что и требуется.
4) Существует последовательность неотрицательных
функций Л„6# такая, что lhn > 0 и supA,,(A;)>0 при
п
любом х ? X.
В нашем случае, если \l(X)<.go, to можно положит*
Л„(л;)=1; если [х(Х) = оо, то, по условию, X есть объеди-
объединение расширяющейся последовательности элементарных шиш
жеств X„ и можно положить пп(х) = у_х (*)•
Таким образом, условие 4) также выполнено.
Покажем теперь, что для интеграла /Л выполнены ус^и
вия (I), (II), (III) схемы Даниэля (§ 2), именно:
(I) /(аЛ+ (}&) —а/Л+ (}/&,
(II) /Л>0, если Л(л:)>0,
(III) если Л„\0 всюду, то lhn -у О,

Si § 8. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ .МЕРЫ 153
Согласно условию для функции ti(x)=. 2 ад?.(Допре-
ад?.(Допределен интеграл по формуле
т
J h (х) [i (dx) = lh = \] a,u (Е}).
Нам понадобится также интеграл от функции h(x) и по эле-
элементарному подмножеству A cz X, который определяется
естественной формулой
J Л (*) (I (Лс) = /ДА = V O/Ii (Е;.Л).
Если | Л (л:) | -^ Л1, то для последнего интеграла справедлива
очевидная оценка 11Ah j <! Мц (А). Имеет место очевидное
равенство IA+Bh = IAh-f lBh, если А и В не пересекаются.
Выполнение условий (I) и (II) очевидно; следует прове-
проверить лишь выполнение условия (III). Пусть Нп\^0 всюду
па множестве X; мы ограничимся далее лишь тем элемен-
элементарным подмножеством ЕаХ, где Л,(д:)>0. Пусть
Л(„т)= {х: *„(*)< \jm)E и Ж = Л
Поскольку А (д:)== S Ч"^^ (^). причем ?<"> (при фнкси-
рованном и) можно считать непересекающимися, множество Л(„ш)
есть конечное объединение некоторых из ?* (тех, для ко-
которых а'я) <; — I и потому также элементарно.
При фиксированном т множество А^ расширяется с уве-
увеличением индекса л, и объединение всех А\',к (по всем п)
есть все множество Е. Поэтому в силу свойства (б) п. 1 мы
имеем lim ц (л(лт)) = |i (E) и можно наПти такой номер
«->оо
п = п (т), что Ц (/t',"^)) > ц (?) — — ; следовательно.
m

154 ГЛ. III. МЕРА
Отсюда для л > п(т)
Так как т можно взять произвольно большим, то Ihn -> О
и паша лемма доказана.
Теперь мы покажем, что каждую элементарную меру
можно расширить до лебеговской меры; именно, имеет место
Теорема 1. Пусть на кольце 91 задана элементар-
элементарная мера и. Тогда кольцо % можно включить в некото-
некоторое ^-кольцо 91 с определенной на нем лебеговской ме-
мерой [1, причем % zd 9( и на множествах А ?91 мера ц
будет совпадать с мерой и.
Доказательство. Обозначим через Н совокупность
линейных комбинаций h (х) = 2 aj7.Ei (x) характеристических
функций элементарных множеств и определим на этих функ-
функциях элементарный интеграл /Л = V ац (? ).
Только что приведенная лемма позволяет применить здесь
результаты §§ 2 и 6, т. е. построить пространство L (X)
суммируемых функций и ?и-кольцо 91 ^з 9( измеримых мно-
множеств с некоторой мерой ц. Мера », как мы уже заметили,
есть лебеговская мера. Для каждого элементарного множе-
множества А мы имеем |х (Л) — I/А = %п (А), так что мера ц может
служить искомым расширением элементарной меры (i. Тео-
Теорема доказана.
Присоединим к этой теореме некоторые замечания. Исход-
Исходное кольцо 9(, очевидно, является достаточным кольцом для
интеграла /, поскольку мы его строили, исходя из характе-
характеристических функций кольца 91. Покажем, что это кольцо
является и вполне достаточным. Пусть имеется множество Z
ц-меры 0. Для заданного е > 0 имеется неубывающая после-
последовательность неотрицательных функций hn(x)?H такая, что
///„ < е и suphn(x)^. 1 па Z. Пусть, например, ha(x) =
п
— З^яХеь (¦*)¦ где суммируемые по Лебегу множества Екп
не пересекаются при различных k. Пусть О —объединение

2] § 8. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 155
тех из Екп, при которых соответствующие коэффициенты
^ак как '^л < е" т0 ^(^л)-^2е. Поскольку на Z
мы имеем supA,, (*)> 1, G=JjGn3Z. Но из /*,(*)<;
" л-1
¦^ Ло (х) <! . . . следует, что О, с G2 cz . . .; поэтому ц (О) =
= lim u,(G,,)<J 2e, что и требовалось.
Рассмотрим случай, когда №(Х) конечна и исходная эле-
элементарная мера (.1 с самого начала является лебеговской ме-
мерой. В этом случае можно утверждать, что полученное ука-
указанной конструкцией лебеговское расширение ц в действи-
действительности не является расширением, иными словами, область
определения % меры н, совпадает с областью определения }(
исходной меры ц.
Для доказательства рассмотрим вначале множество Z
ц-меры 0. Поскольку элементарные множества, как мы ви-
видели, образуют вполне достаточное полукольцо, множество Z
при любом /и=1, 2, ... покрывается счетным объедине-
объединением Ет элементарных множеств Emk (А = 1, 2, . . .) с сум-
суммой ц-мер < 1//и. Множество Ет само входит в систему 9t
и имеет меру, меньшую 1/т. Мы имеем, далее, ZaE=^ f\Em.
Множество Е также входит в систему 21 и щ?Г) = 0. Так
как \i — лебеговская мера, то также и Z??l н n(Z) = 0.
Пусть теперь А — любое ц-суммируемое множество. Со-
Согласно п. 4, § 7 множество А можно представить в форме
G — Z, где G ? ?(о6, (i(Z) = 0. Множество G входит в си-
систему ?f в силу своей структуры, множество Z также вхо-
входит в систему ?1 — по доказанному, поэтому и А = О — Z
входит в систему 9(; при этом очевидно, что }i(A) — \i(A).
Замечание. Предположим, что мы исходим из
ац-кольца % подмножеств Л'(АГ^?() с конечно-лебеговской
мерой A. Тогда в общем случае 1Н больше 91 не только
потому, что оно содержит множества бесконечной ц-меры,
но также потому, что оно содержит множества конечной
[я-меры, не содержащиеся в ??. Например, пусть?!— оц-кольцо
ограниченных измеримых по Лебегу множеств на веществен-
вещественной прямой - со < х < со с обычной мерой Лебега. Тогда %

156 ГЛ. III. МЕРА I*
содержит все измеримые по Лебегу множества, включая не-
неограниченные суммируемые множества.
Вообще говоря, имеется много лебеговских мер, определенных
на системах подмножеств множества X, включающих систему -К
и совпадающих на 9( с исходной элементарной мерой ц. Мы будем
все этн меры называть лебеговскими расширениями элементар-
элементарной меры ц. Сейчас мы'выясним, какое место среди них занимает
лебеговская мера ]1, которуТЬ мы только что построили.
Пусть даны две лебеговскне меры |»i и |<2, являющиеся рас-
расширениями элементарной меры и. и определенные соответственно
на кольцах кЯ| и 2С, подмножеств множества X. В частности, для
?^3( мы имеем и, (?) = |i2 (?) = !'(?)• Образуем совокупность 33
всех подмножеств А с X, на которых определены обе меры ц, и и2
и при этом U| (A) = |i2 (А). Совокупность SB содержит, во всяком
случае, всю совокупность 9f. Покажем, что мера v, определенная
на системе 93 равенством v (А) = и, (Л) = ц2 (А), также является
лебеговской. Действительно, пусть имеется пара множеств А а В
системы 93; тогда В— А также содержится в системе 93, так как
А?Ч1 (B A) (B) (A) (B)
ВА1Ц, ?ь Hi( ) \l() \l() \i()
— ц2 (А) = |B (В — А). Далее, если А Ап, ... — совокупность
непересекающихся множеств системы 93 н Л = [^Ля, то Л также
п
принадлежит 93, так как Л??С,, Л?Ч?Г2 н |(, (А)= 2 Ш (Л|) =
п
— 2 Pi (^") ~ ||2 (^' ^ем самым на к°льЧе S меРа v является
п
борелевской мерой. Наконец, если Е cz ?0 ? $ и (i, (?0) = Из (?о) = °-
то множество ? входит в лебеговскую систему 21, и в лебеговскую
систему ?f2, имеет в каждой из них соответствующую меру, рав-
равную 0, а следовательно, входит и в систему 93. Итак, мера v на
системе 93 — лебеговская.
Мера v, определенная, как выше, на кольце 93, называете!
пересечением мер и, и ц2. Мы показали, что пересечение двуж
лебеговских расширений элементарной меры ц снова является ле-
лебеговским расширением меры и.
Можно определить аналогичным образом пересечение проиЗ"
вольной совокупности лебеговских расширений элементарной меры ft
и доказать, что оно всегда также является лебеговским ее расши-
расширением. В частности, можно рассмотреть пересечение ц* всех лебе-
лебеговских расширений меры ц. Очевидно, что оно является вместе
с тем и наименьшим лебеговским расширением элемеитарной меры и-
Покажем, что лебеговское расширение ц, построенное выше,
совпадает с наименьшим лебеговским расширением ц*. Доста-
Достаточно показать, что пересечение щ любого лебеговского расши-
расширения меры и с лебеговским расширением ц совпадает с н. Для
соответствующих областей определения 9(, ЭГ,, 91 мы имеем, оче-
очевидно, соотношения 9(c9CiCz7f. Обозначим, далее, через L, Ц, L

2] $ 8. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 157
соответствующие пространства суммируемых функций: простран-
пространство /.(/.], L) строится как пополнение совокупности Н(Ни //) ли-
линейных комбинаций характеристических функций множеств EQiC
(?2fi, ??С). Мы имеем Нd Я, с: Я, причем значения интегралов
элементарных функций, принадлежащих меньшей совокупности,
сохраняются при переходе к большей совокупности. Пополне-
Пополнение Н(//,, 7?) по норме /(|Л|) совпадает с L(L[y L). Но по по-
построению L = L. Поэтому и /., = L, откуда следует, что ?fr = 9f, u
наше утверждение доказано.
Оказывается, для любого ц-неизмсримого множества Ad X
всегда можно найти лебеговское расширение меры ц, в котором
множество А будет измеримо (см. задачу 2).
Теперь мы можем решить вопрос и о существовании
борелевских расширений дайной элементарной меры |i. Имею-
Имеющееся у нас Оц-кольцо ц-суммируемых множеств, разумеется,
определяет некоторое борелевское расширение меры р. Но
оно, вообще говоря, не является наименьшим борелевским
расширением меры и. Для построения наименьшего борелев-
борелевского расширения мы рассмотрим все о-кольца, содержащие
кольцо 91, и возьмем их пересечение ?(; оно, очевидно, будет
также о-кольцом и притом, конечно, наименьшим, содержа-
содержащим кольцо 91. В частности, оно содержится в о^-кольце VI
[i-суммируемых множеств, и потому на нем определена мера
и. — лебеговское продолжение меры ц; рассматриваемая только
на 9f, она является борелевским расширением (i меры ц.
Любое другое борелевское расширение ц* меры \i является
вместе с тем и борелевским расширением меры ц (иными
словами, область определения ?{* меры (х* содержит о-кольцо 91
и для каждого Е?% всегда \.i*(E) = ц(?)). Действительно,
совокупность всех Е а X, на которых определены меры
\i*(E) и (Г(Е) и имеет место равенство ц*(Е) = jl(E), как
легко проверить, есть о-кольцо, содержащее кольцо 9t и,
следовательно, содержащее 91. Таким образом, по данной
системе 21 однозначно определяется о-кольцо 9(, по данной
мере (.1 — ее борелевское расширение ц. Заметим, что в от-
отличие от борелевского расширения о^-кольцо 91, на котором оп-
определено лебеговское расширение ц меры ц, зависит не толь-
только от кольца ?f, но и от меры ji. Можно показать, что наимень-
наименьшее лебеговское расширение 9( получается из наименьшего

158 гл. ш. мера |3
борелевского расширения ?1 добавлением к каждому из мно-
множеств Е?У1 подмножеств Z множеств Zo ? % меры 0.
3. Построение интеграла по лебеговской мере. Теперь
мы покажем, как строится теория интеграла Лебега на
множестве X с лебеговской мерой ц, заданной на 2^-кольце ?1
подмножеств множества X.
Функция ц>(х), определенная на множестве X, называется
ц-измеримой, если для любого вещественного с каждое
из множеств
является ^-измеримым.
Если ф(дг) (i-измерима, то множества {х: с < ф(л.-)<^} =
= ?(ф; с) — ?(ф; d) также (i-измеримы. Интеграл Лебега
от неотрицательной измеримой функции Ф(дг) определяется
по формуле
со
/ф= lim 2]лец.(л:: пг < <p(jc) <(n -f l)e), A|
0
если указанный предел существует; функция ф(л:) в этом слу-
случае называется \1-сум.иируемой. it-измеримая функция <p(.v)
любого знака называется ц-"уммируемой, если суммируемы
ее положительная часть ф+ (д:) и отрицательная часть ф~ (х);
интеграл Лебега от функции ц> определяется в этом случае
как разность /ф+ — /ср~.
Следует показать, что определенный этим путем инте-
интеграл / обладает всеми привычными свойствами интеграла,
указанными, например, в теоремах пп. 6—9 § 2. Прямое
доказательство довольно кропотливо; но у нас нет в нем
нужды. Имея лебеговскую меру ц, мы строим совокупность Н
линейных комбинаций характеристических функций ^-сумми-
^-суммируемых множеств с интегралом A) п. 2 и, пользуясь лем-
леммой п. 2, расширяем ее процессом Даниэля (§ 2) до про-
пространства L. Затем рассматриваем, как в § 6, получающиеся
измеримые «по Даниэлю» множества и измеримые «по Дани-
Даниэлю» функции. В силу доказанного в п. 2 совокупность по-
получающихся измеримых «по Даниэлю» множеств совпадает
с исходной совокупностью (.(.-измеримых множеств. В силу
результатов п. 5 § 6 совокупность функций, измеримых
«по Даниэлю», совпадает с совокупностью функций, ii-изме-
ii-измеримых 8 смысле последнего определения. Далее, в силу

41 $ Й. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ TtOMlfl MEf>bt 15§
результатов п. 6 § 6, совокупность функций, суммируемых
«по Даниэлю», совпадает с совокупностью функций, ц-сум-
мируемых в смысле последнего определения, причем и зна-
значения интегралов «по Даниэлю» н по Лебегу от данной сум-
суммируемой функции совпадают друг с другом. Тем самым все
свойства интеграла, установленные в § 2, оказываются спра-
справедливыми для интеграла Лебега в последнем определении.
4. Разложение знаконеопределенной борелевской меры
в разность двух неотрицательных. В пп. 1—3 мера и,
заданная на кольце 9J подмножеств множества X, предпола-
предполагалась неотрицательной. Теперь мы будем рассматривать
меры, которые могут принимать значения разных знаков.
Конечная аддитивная функция множеств Ц(Я), определен-
определенная на о-кольце 91 (принимающая, возможно, значения обоих
знаков), называется (знаконеопределенной)борелевской мерой,
если для любой последовательности непересекающихся мно-
множеств Е} Еп, ... из ?(, принадлежащих некоторому
множеству Ло?9(, выполняется условие счетной аддитивности
оо
U
= 2 И
Очевидно, следствия б) и в), указанные в п. 1, имеют место
также и для зпаконеопределепной меры.
Мы покажем, что знаконеопреде ленная боре.невская
мера |i может быть представлена в форме разности
неотрицательных борелевских мер.
Определим функцию .u-измернмого кпюжества Е
?.(?)= sup п(Л),
где верхняя грань берется по всем }1-нзмернмым подмноже-
подмножествам множества Е. Так как в качестве А можно взять,
во-первых, пустое множество, а во-вторых, само Е, то
во всяком случае Я(Е)^>0 н h(E)^>|.i(E). Не исключено,
что Х(Е) = -\-оо.
Покажем, что выполняется неравенство
k{E1\}E2\}...)^k{Ei) + k{E2)+.... A)
какова бы ни была конечная или счетная последовательность
ц-нзмеримых множеств Ej, E2, • ¦ ¦ без общих точек, содер-
содержащихся в фиксированном u-измеримом множестве Е.

160 ГЛ. III. МЕРА t4
Действительно, возьмем ц-измеримое множество АаЕ, U
U Е2 U ...; ясно, что А — AEl U AE2 U ... есть разложе-
разложение А на слагаемые снова без общих точек. Поэтому в силу
счетной аддитивности меры |i
Переходя слева к верхней грани по А, получаем тре-
требуемое.
Покажем теперь, что на самом деле число h(E) всегда
конечно. Допустим противное, и пусть для некоторого ц-из-
меримого множества Е мы имеем л(?') = оо. В таком слу-
случае мы беремся построить последовательность ц-измеримых
множеств Eoz>Etz>. .. з?,„гз..., для которых Х(Ет) = оо,
|(i(?m)| ^>/и. Построение будем вести по индукции. Поло-
Положим Ео — Е; очевидно, требуемые условия при /и = 0 здесь
выполнены. Далее предположим, что уже построены мно-
множества fpfp^.D^.,, удовлетворяющие заданным ус-
условиям. Так как k(Em_i) — oa, то имеется ц-измеримое
множество АЯ1сЕт_1, для которого и (<4,„) >-/я-j- |(j,(?'m_1)|.
Если при этом h(Arn)= со, то можно положить Ет — Апг
и условие индукции будет выполнено. Если же Я(Л,„) ко-
конечно, то Х(Ет_1 — Ат) заведомо бесконечно (иначе полу-
получилось бы противоречие с A)). Кроме того, |}х(?т_( — Ат)\ ^>
^ц(Ат) — ||Li(Ет_1)| >-т, так что в данном случае можно
положить ?т = Ят_] — Ат. Таким образом, выбирая в ка-
качестве Ет множество Ат или Ет_1 — Ат, мы всегда можем
удовлетворить нужным условиям. Итак, искомая последова-
последовательность EgZiEyZi... гз?тгз... существует. Но так как
мера ц счетно-аддитивна, то числа ц(?,„) должны иметь
предел / = \i f f\Eт\\ что приводит нас к противоречию
v Vя' II
с построением. Отсюда следует, что Х(Е) конечно, что и
утверждалось.
Покажем теперь, что функция к (Е) также является ад-
аддитивной и даже счетно-аддитивной функцией множества.
Пусть ?,, Е2, ... — непересекающиеся ц-измеримые множе-
множества, лежащие в (^-измеримом множестве Е, так что согласно
условию также и Я, U Z:2 U ... ц-измеримо. Для любого
е>0 и заданного /я—1, 2, ... найдем множество АтсЕт
такое, что Я (?,„)< \у(Ат)-\-^ц, и пусть A = AlU^2[i ...

4\ § 8. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 161
Мы имеем
, 2 ?,
откуда, устремляя е к нулю, получаем
Я.(?1)+А(?2)+...<Я,(?,и?2и •••)• [2)
Неравенство B) в соединении с неравенством A) дает
счетную аддитивность функции Я, (?).
Таким образом, функция к(Е) является неотрицательной
борелевской мерой (§ 8, п. 1). Положим v(E)=k(E) — \i{E).
Функция v(?) счегно-аддитивна вместе с мерами к(Е) и
li(E). Кроме того, она неотрицательна, так как к (Е) ^ ц (Е).
Следовательно, v(?) также является борелевской мерой. Ра-
Равенство
ц(Е) = к(Е) — v(?) C)
показывает, что мера \ь(Е) представима в виде разности двух
неотрицательных борелевских мер.
Замечание. Разложение C) не единственно. Если
т^)—любая неотрицательная борелевская мера, опреде-
определенная на 91, то наряду с разложением C) можно записать
и другое:
ц (Е) = [к (?) -+- т (?)] — [v (?) + т (?)] = кх (Е) - v, (E). D)
По тем же соображениям, что и в п. 8, § 4, в формуле
D) заключено уже любое представление меры \х в виде
разности двух неотрицательных борелевских мер и меры к
и v—-наименьшие возможные (таким образом, разложение
C) является каноническим разложением меры \i). Кроме
того, мы имеем формулу
где верхняя грань берется по всем ц-измеримым подмно-
подмножествам А множества Е, так как v играет такую же роль
в разложении — \i — v — к, какую к играет в разложении C).
Неотрицательные меры Я,, ц и p = A. + v называются:
первая — положительным изменением, вторая—отрица-
вторая—отрицательным изменением, третья — полныр изменением ме-
меры ii.
11 Г. Е. Шим, Б. Л. Гуревич

162 ГЛ. III. МЕРА (S
Как мы знаем из п. 2, § 8, борелевские меры к, v и р
могут быть расширены до лебеговских мер к, v и р соот-
соответственно. При этом в силу причин, аналогичных изложен-
изложенным в п. 3, § 5, всякое р-суммируемое множество будет од-
одновременно Х,-суммируемым и v-суммируемым.
На совокупность всех р-суммируемых множеств расши-
расширяется и мера ц по формуле
Используя терминологию пп. 1, 2 § 8, можно сказать,
что мы тем самым построили конечно-лебеговское расши-
расширение элементарной меры ц. О лебеговском ее расширении
говорить нельзя (если p(,Y) —оо) по причине необходим»
появляющихся неопределенностей вида оо—х>.
Переходим к определению ц-суммируемых функций и
ц-интеграла. Мы будем говорить, что функция ф(лг) является
yi-азмеримой или ^-суммируемой, если она является соот-
соответственно р-измеримой или р-суммируемой. Как мы знаем,
для р-суммируемой неотрицательной функции ее р-интеграл
определяется по формуле A) п. 3 § 8:
/-ф —lim 2j "еР [х '¦ пе
Для этой же функции ее ц-интеграл мы определим по
формуле
/(l(p = lim ^ «ем {х : пе ф( )} ji J
На функции произвольного знака это определение пере-
переносится обычным образом с помошью разложения ф = ф' —ф~.
Очевидно, что построенный (J-интеграл обладает, вместе
с р-интегралом, всеми обычными свойствами интеграла (за
исключением, естественно, знакоположительности).
5. Квазиобъемы и теория меры. Рассмотрим некото-
некоторый неотрицательный квазиобъем о, определенный на ка-
каком-то плотном множестве Q брусов В в основном брусе
Всг/?„. Квазиобъем о есть аддитивная функция брусов; спра-
спрашивается, можно ли продолжить эту функцию до некоторой

S] § 8. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 163
борелевской (счетно-аддитивной) меры на каком-нибудь
о-кольце? Поскольку о (В) определен только на полукольце,
а не на кольце, и вообще говоря, не является счетно-адди-
счетно-аддитивной функцией множеств, утверждения п. 2 непосредст-
непосредственно не приложимы. Но мы знаем из § 5 гл. II, что если
квазиобъем о непрерывен, то существует пространство La
о-суммируемых функций, содержащее все характеристиче-
характеристические функции брусов /в(аг), причем ГоХв = о(В). о-кольцо %
всех с-измеримых (т. е. и с-суммируемых) подмножеств ?сВ,
порожденное интегралом /„, дает искомое расширение ква-
квазиобъема о на о-кольцо (даже о^-кольцо) множеств Е со
счетно-аддитивной мерой а(Е); это кольцо во всяком слу-
случае содержит все классические борелевские множества в В.
То же имеет место для знаконеопределенного квазиобъ-
квазиобъема о с ограниченным изменением, который мы всегда мо-
можем разложить в разность двух неотрицательных квазиобъ-
квазиобъемов р и <7, непрерывных вместе с квазиобъемом о.
С другой стороны, рассмотрим счетно-аддитивную неот-
неотрицательную борелевскую меру ц (Е) на о-кольце борелев-
ских подмножеств л-мерного бруса В. У нас имеются меры X
и v—положительное и отрицательное изменения меры ц.;
они определяются по формулам
?.(?)= sup м (A), v(?) = sup(—ji(H)), (I)
АСЕ АС1Е
где А пробегает все ц-измеримые подмножества множества Е.
Кроме того, меру ц можно рассматривать на брусах BczB,
и тогда она будет квазиобъемом в смысле п. 6 § 5, непре-
непрерывным и имеющим ограниченное изменение. Можно по-
построить его разложение на неотрицательные составляющие —
обозначим их сейчас р и q — так, как это делалось в п. 7 § 4:
по всем непересекающимся системам подбрусов В} бруса В.
Спрашивается, совпадают ли квазиобъемы р и q, определен-
определенные равенством B), соответственно с мерами к н v, опре-
определенными равенством A), на каждом брусе В? Из фор-
формулы A) вытекает, что
асе

164 ГЛ. III. МЕРА [6
поскольку верхняя грань берется по более широкой сово-
совокупности множеств, чем в B).
С другой стороны, как мы видели в п. 6 § 7, всякое
(i-измеримое множество Е может быть заменено объединени-
объединением F конечной системы брусов Bv .... Вт с произвольно
малой ошибкой по ц-мере, так что
\i(E—FE)-\-li(F—FE)<&. D)
Собственно говоря, там это доказывалось для неотри-
неотрицательного квазиобъема ц. Но легко проверить, что этот
факт справедлив и для знаконеопределенного квазиобъема
ц(В) с заменой в неравенстве D) величины ц на | ц |. Дей-
Действительно, возьмем разложение \i= р — q квазиобъема \i
на неотрицательные составляющие и для квазиобъема v =
— p-\-q при заданном Е найдем объединение конечной си-
системы брусов F так, чтобы иметь
v (E — EF)-\- v (F — EF)< e.
Тогда и
что и требуется.
Отсюда следует, что при любом е > 0 имеет место не-
неравенство
т
A.(B)<sup 2
и так как е произвольно, то
КР(В). E)
Соединяя C) и E), получаем
Поэтому и v(B)=q(B), и мы видим, что ответ на наш
вопрос положителен: мера А, на всех брусах совпадает с ква-
квазиобъемом р.
6. Разложение Хана. Наряду с разложением знаконе-
определенной борелевской меры \i в разность двух неотри-
неотрицательных имеет место другое разложение, связанное с раз-
разложением самого множества X.

6) « *. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 165
Напомним, что множество EczX, являющееся объедине-
объединением последовательности борелевских множеств Ev Е2, . . .
(без предположения, что все Еп содержатся в одном и том же
борелевском множестве Ео), называется обобщенным боре-
левским множеством. Так, само X есть обобщенное бо-
релевское множество, если \i(X) не определена.
Теорема. Множество X с определенной на нем
борелевской мерой ц (и а-кольцом 91 борелевских под-
подмножеств X) можно разложить на два обобщенных
борелевских множества X* и X' без общих точек так,
что ц(С)^0 для всех борелевских ЕсХ + , \i(F)^0
для всех борелевских FcX~.
Для доказательства предположим сначала, что X ? 91.
Для любого га=1, 2, ... найдем множество Епс:Х так,
чтобы иметь
ц(?„) >*,(*) —~,
где А, — положительное изменение меры \i.
Положим теперь
т—\ п—т
иными словами, точку отнесем к множеству Х + , если она
входит во все множества Еп, начиная с некоторого. Далее,
положим
=X-X=f) \J(X-En);
f J
т—\ п—т
покажем, что X* и Х~ удовлетворяют условию теоремы.
Иными словами, докажем, что Х(Х~) = х(Х+) = 0. Мы имеем,
очевидно,
12 Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич

166 ГЛ. III. МЕРА
Отсюда при любом от
оо
О<*- Е
п-т
и, следовательно, к(Х~)=О. С другой стороны, при лю-
любом т и п^-т
откуда
чем теорема доказана, пока, еще для случая, когда X ?21.
В общем случае X можно представить как объединение по-
последовательности непересекающихся множеств Х„ с конеч-
конечными значениями \х,(Хп). Для каждого Хп найдем разложе-
разложение на составляющие Х% и XZ- Положим A"+=(J^; та*
л
ким образом, Х+ есть обобщенное борелевское множество.
Если Е — борелевское множество и ЕсХ + , то Е = \\ЕХ„>
п
M(?)=2M.(?*nf)>0. Далее, положим X~^\JX~; та-
л
ким же образом для каждого борелевского FcX~ мы имеем
^(^)=2^(/?л'п)<0- Очевидно. Х+[}Х~ = Х; тем са-
самым теорема полностью доказана.
Найденное разложение X = Х+ \}Х~ называют разло-
разложением Хана.
Рассмотрим еще, как ведут себя на множествах Х+ и Х~
неотрицательные меры X и v — положительное и отрица-
отрицательное изменения меры \а. Поскольку для любого борелев-
борелевского ЕсХ
р() v(?) = eup(—ji(i4)). A)
AdE АСЕ
для любого борелевского подмножества ЕсХЛ мы имеем
Х.(С) = ц(С), v(?) = 0, а для любого борелевского под-
подмножества FcX~ мы имеем k(F) = O, v(/?)= — ^(F). По-

71 $ 8. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 167
этому для произвольного ЕсХ мы имеем
Е = ЕХ + \]ЕХ',
Подчеркнем результат: значение меры X на любом боре-
левском множестве ЕсХ равно значению меры \i на
пересечении Е с Х + , а значение меры v на этом мно-
множестве Е равно модулю значения меры \i на пересече-
пересечении Е с Х~.
Формулу, аналогичную A), можно получить и для пол-
полного изменения р меры \i. А именно, мы утверждаем, что
для каждого борелевского ЕсХ
р(Я) = 8ир2!Ил*)|. B)
где верхняя грань берется по всем конечным системам непе-
непересекающихся борелевских подмножеств Е. В самом деле,
|| ||
|| |((D
то SIM-(^*)K2p(^*)<p(?'). откуда и
C)
S
С другой стороны, по доказанному р (Е) = А, (Е) -f- v (E) =
= \i(EX + )-\i(EX-)=\\i(EX+)\ + \\i(EX-)\; таким об-
образом, заведомо
sup ? 1A(^I- D)
Соединяя C) и D), получаем B), что и требуется.
7. Общий вид непрерывного линейного функционала в про-
пространстве С (X). Продолжим теперь рассмотрения п. 4 § 5, заме-
заменив основной брус В произвольным компактным метрическим про-
пространством X. Пусть |л — (знаконеопределенная) борелевская мера,
определенная иа а-кольце 91 подмножеств X, содержащем X и все
его открытые подмножества. Для всякой непрерывной на X функ-
функции / (х) и произвольного вещественного числа с множество
{x:f(x)>c} ц-измеримо (так как оио открыто), и поэтому функ-
функция / (х) также ц-измерима. Кроме того, так как f (х) ограни-
ограничена, то она ц-суммируема и поэтому можно образовать интеграл
Лебега
V= $ f(x)\i(dx)
х
для любой непрерывной на X функции f (х).
12*

168 ГЛ. III МЕРА |7
Пусть С (X) — линейное нормированное пространство всех
непрерывных на X функций с нормой
||/|| = max|/(jt)|.
jt( X
Тогда интеграл /ц/ определяет непрерывный линейный функционал
в С (X). Действительно, линейность его очевидна, и если после-
последовательность функций /m?C(X) равномерно (т. е. по норме про-
пространства С(Х)) сходится к нулю, то /ц/ш->0 в силу нера-
неравенства
J fm(x)\i(dx)
где р—полное изменение меры ц.
Найдем теперь общий вид непрерывного линейного функцио-
функционала в С (X). Оказывается, что для любого непрерывного линей-
линейного функционала If, определенного в пространстве С (X), су-
существует борелевская мера |Л, определенная на а-кольце 91 под-
подмножеств X, содержащем X и все его открытые подмно-
подмножества, такая, что
If = j / (*) и (dx). A)
х
В самом деле, выбрав С (X) в качестве пространства элемен-
элементарных функций и функционал / в качестве элементарного инте-
интеграла мы построим пространство Lt /-суммируемых функций. Един-
Единственным нетривиальным местом рассуждения является доказатель-
доказательство того, что / удовлетворяет условию III п. 1, § 2. Но согласно
лемме Дини (см. п. 4, § 3), которая справедлива и в случае ком-
компактного метрического пространства, из того, что /m\i0, следует
равномерная сходимость к нулю последовательности /т; так как
функционал / непрерывен, то //„,->• 0.
Теперь функционал / можно представить в форме разности
неотрицательных функционалов У — N, и вместе с тем на компакте Л
выделяется класс Ж /(-измеримых подмножеств (К — J -\- N). В их
число входят все открытые множества, так как любое открытое
множество О может быть представлено в форме {х:ц>(х)>0}
где ip (х) — расстояние от точки х?Х до множества X — G (<j> (x).
как легко видеть, непрерывная функция).
На /(-измеримых множествах определены лебеговские меры
соответствующие функционалам У, jV н / = У—N, и функционал /jl
для каждой функции / есть интеграл от нее по мере ц:
//= J / (.*) Ц (<*•*)•
х
что мы и утверждали.
Замечание 1. Теорема легко обобщается на случай про-
пространства непрерывных функций на локально компактном простраи-

§ 8. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 169
стве X, обращающихся в нуль «на бесконечности» (последнее озна-
означает, что для любой функции f?C(X) и любого е> О найдется
компакт ХгаХ, вне которого выполняется неравенство! / (х) | < е).
В качестве совокупности Н следует взять совокупность непрерыв-
непрерывных функций, каждая из которых вне некоторого компакта равна
нулю.
Замечание 2. В неметризуемых компактах X могут быть
открытые множества, не представимые в виде {х:/(х)>С,
/?С(Х)}. Доказывается, что данное открытое множество обладает
таким представлением тогда и только тогда, когда оно есть счет-
счетное объединение замкнутых множеств (множество «типа Fo»). Все
построения этого пункта переносятся на неметризуемые компакты
с заменой произвольных открытых множеств на открытые /^-мно-
/^-множества. При этом возможно, что некоторые (не Fa) открытые мно-
множества будут неизмеримыми относительно меры, порожденной дан-
данным непрерывным линейным функционалом на С (X) (задача 13).
Однако существует лебеговское расширение этой меры, включаю-
включающее все открытые подмножества X *).
ЗАДАЧИ
1. Полукольцо 91 множеств АсХ всегда может быть включено
в кольцо подмножеств X, например, в кольцо всех подмножеств X.
Описать наименьшее кольцо S3 подмножеств X, содержащее дан-
данное полукольцо 91.
2. Показать, что аддитивная (не обязательно знакоположитель-
знакоположительная) функция множеств, определенная на полукольце Ж подмножеств
множества X, всегда может быть продолжена на кольцо 33 (задача 1)
с сохранением аддитивности, причем единственным образом.
3. Счетно-алдитивиая функция множеств при продолжении
с полукольца % на кольцо 33 (задача 2) остается счетно-аддитивной.
4. Показать, что для неотрицательной функции множеств, опре-
определенной на полукольце 91, из условия а) п. 1 вытекают б) и в);
если же 91-кольцо, то условия а) — б) — в) эквивалентны.
5. Рассмотреть полукольцо 9С, образованное из множеств А
рациональных чисел на отрезке [0, 1], удовлетворяющих всевоз-
всевозможным неравенствам вича а < х < р, а <^ х < E, а < х<, р,
а<;д-^Р(а = E не исключается), и функцию множеств по фор-
формуле \хА = р — а. Получить следующие выводы: 1) для неотрица-
неотрицательной аддитивной функции множеств на полукольце из условий б)
и в) п. 1 не следует условие а); 2) условия б) и в) не сохраняются
при расширении аддитивной функции множеств с полукольца на
кольцо (задача 4).
6. Рассмотреть кольцо 83 всех конечных подмножеств несчет-
несчетного множества X и нх дополнений до X и функцию множеств,
равную числу элементов множества S, если В конечно, и числу
недостающих элементов, взятому с минусом, если конечно допол-
дополнение В. Получить следующие выводы: 1) счетно-аддитивная знако-
*) См. М. А. Н а й м а р к, Нормированные кольца, Гостехиздат,
1956, гл. 1, § 6.
13 Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич

170 гл. in. мера
неположительная функция на кольце 8, не являющемся а-кольцом,
может не разлагаться в разность знакоположительных счетно-аддн-
тивиых функций; 2) при тех же условиях счетно-адхитивная функ-
функция может не иметь полного изменения (О. Г. Смолянов).
7. Пусть на множестве X с лебеговской мерой и задана сум-
суммируемая неотрицательная функция g (х) и с ее помощью опре-
определена новая счетно-адднтнвная функция множеств G (Е) = Ig%p.
Функцию О (?) можно рассматривать как новую элементарную
меру; мы можем расширить ее до новой лебеговской меры и по-
построить пространство LQ суммируемых функций. Показать, что
функция ф (х) принадлежит пространству LQ тогда и только тогда
когда <$g ? L; при этом IQ(f = I g.
8. «Эффективное построение неизмеримого множества». Рас-
Рассмотрим на квадрате X = {х :0< х{ < 1, 0<х2<1) кольцо 91
множеств ч = Е X [0, 1], где ?с[0, 1] измеримо по Лебегу и
имеет меру тЕ. Положим [ig = тЕ. Мера \к% на кольце 91 борелев-
ская, но не лебеговская. Показать, что множество [О, 1]Х[0, 1/2],
не принадлежащее кольцу 91, не входит и в область определения
лебеговского расширения меры |л.
9. Пусть на вещественной прямой задана лебеговская мера [л
и, кроме того, задано неизмеримое подмножество К; при этом
|л„ (К) = а, (х* (К) = р, а < р. Построить лебеговское расширение v
меры ц, в котором множество Y будет v-измеримым с заданным
значением у = v (У), где а < у <; р.
10. Пусть X—компакт, жос X — фиксированная точка. Дока-
Доказать, что (одноточечное) множество х0 измеримо относительно
меры и, порожденной функционалом If = f(xQ) в С (X), тогда и
только тогда, когда х0 есть Счетное пересечение своих окрестно-
окрестностей (Л. Ш. Гринблат).
11. При тех же условиях множество Е^х0 измеримо тогда и
только тогда, когда существует множество Е$ типа Gj, E Z3 ?оЭхо
(Э. В. Хавин).
УКАЗАНИЯ
1. Кольцо Э составляется из конечных объединений непересекающихся
множеств полукольца Я.
п п
2. Для каждого ?= U ^ РЗЗ положить по определению цВ= il и А .
Ш =¦ 1 /71=" 1
оо
3. Имея равенство Е= U Е , использовать представление множеств Е и Я.
л= 1
т
через множества из полукольца SI, взаимно не пересекающиеся: Е= U А,,
4. Представить разности B^ — ^/l_l через объединения иепересекающихс!
множеств из полукольца.
б. Каждое из множеств А есть счетное объединение одноточечных множеств
6. Предложенная функция множеств ие ограннчена.
7. Обобщить построения п. 2 § 5 и п. 6 § 7.

§ 8. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 171
8. Использовать последнее замечание п. 2.
Примечание. В отличие от этой задачи трудной задачей является
эффективное построение неизмеримого множества на отделимом (хаусдорфовом)
топологическом пространстве с условием измеримости всех открытых множеств.
9. В случае ц*A') = C, щ (К)=0 ц-измеримие множества Л и В опреаеляются
однозначно с точностью до множества меры 0 по множеству C = AY\]B(X — У).
Положим %V=[AY\}B(X-Y)} и V (AY\)B (Х- П) = у V Я т Л - ^\ И (В).
В общем случае имеются ц-нзмеримые множества Ех и Е2 такие, что Ехс YсЕ2,
ц(?,)=»а, ц(?2) = р. На разности Ё, — Е,=Е следует произвести приведенное
построение. В результате к системе Я присоединяются все подмножества мно-
множества Е, имеющие b,ii
К), Дс?, Всё,
где Л, В и,-измеримы, причем
Примечание. Процесс построения лебеговских расширений можно про-
продолжать, присоединяя за К = К, дальнейшие неизмеримые множества Yb У„ ...
Естественно вошикает мысль, возможно ли, применив трансфинитную индукцию,
распространить меру ц как счетно-аддитивную функцию на совокупность всех
подмножеств множества X. В действительности такое распространение возможно
лишь с сохранением конечной аддитивности: счетная аддитивность не сохранится
уже при переходе к первому предельному трансфиииту x<j. Как доказали Банах
и Куратовский (с применением континуум-гипотезы, см. Fundamenta Matheni.,
т. 14, 1929, стр. 127—131), не существует счетно-аддитивиой функции множеств, опре*
деленной на всех подмножествах |0, 1| и равной нулю на кажаом одноточечном мно-
множестве.
10, Точка дг0 не есть множество меры 0. Всякая последовательность /п (х),
сходящаяся почти всюду, сходится в точке _г0. Если ЯЭ'о измеримо, то и,?=1,
если ?Э-г0 измеримо, то цЯ=0. Если X — хо измеримо, то ц(Х —jro) = O, и суще-
существует последовательность Ап (х,?С (X) такая, что 0<A1(jr)< ... < A (jr)< ..,,
suphn{x)>l BHejr,, /ЛП = Л„(^О)<^: тогда X —jro= U { xJln(x)>l)-
11. Проанализировать решение задачи 10.

ГЛАВА IV
ПРОИЗВОДНАЯ
§ 9. Мера и функции множеств
1. Основные типы функций множеств. Разложение
функции множеств на непрерывную и дискретную части.
Пусть 51— о-кольцо подмножеств множества X с неотрица-
неотрицательной борелевской мерой ц. Если X(?51, то, как обычно,
мы будем считать, что X есть объединение последователь-
последовательности борелевских множеств XlczX2cz ... из 51.
Кроме меры (Д., мы будем рассматривать на о-кольце 51
другие, вообще говоря, знаконеопределеиные, счетно-адди-
счетно-аддитивные (конечные) функции Ф(Е) борелевских множеств ? ?9{.
Как мы знаем из пп. 2 и 3 § 8, борелевскую меру (i
можно продолжить с о-кольца 51 на некоторое оц-кольцо 51
как лебеговскую меру, и по ней можно определить интегри-
интегрирование суммируемых функций. Но функция Ф(Е), вообще
говоря, уже не продолжается на о-кольцо 51. (Из п. 4 § 8
мы знаем, что функцию Ф(Е) как знаконеопределенную меру
можно расширить до некоторой конечно-лебеговской меры
на некотором Оф-кольце 51; но оц-кольцо 51 можег не содер-
содержаться в 57. См. задачу 10.)
Во всяком случае, функция Ф(Е) допускает разложение
на положительное и отрицательное изменения Р(Е) и Q(E),
определенные на том же о-кольце 51.
Введем несколько определений.
1. Мы будем говорить, чго функция Ф(Е) сосредоточенй
на множестве Ео, если Ф{Е) определена и равна нулю Hi
каждом борелевском множестве EczX — Ео.
Если Ф(Е) сосредоточена на множестве Ео, то составляю-
составляющие Р{Е) и Q(E) и их сумма V(E) = P(E) + Q(E) также

11 § 9. МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 173
сосредоточены на множестве Ео. Действительно, если Ф(Е)
равна нулю на любом борелевском EczX— Ео, то на этих
Е также
Р(Е) = sup Ф(Л) = 0, Q(?)= sup [—Ф(Л)] = 0.
АсЕ АсЕ
V(E)=P(E)+Q(E) = 0 (Л?Я).
2. Счетно-аддитивная функция Ф(Е) называется непре-
непрерывной, если Ф определена и равна нулю на всяком одно-
одноточечном множестве Е меры 0.
3. Счетно-аддитивная функция Ф (Я) называется абсолютно
непрерывной, если Ф определена и равна нулю на всяком
множестве Е меры 0.
4. Счетно-аддитивная функция Ф(Е) называется сингу-
сингулярной, если она сосредоточена на некотором множестве Ео
меры 0.
5. Счетно-аддитивная функция Ф(?) называется дискрет-
дискретной, если она сосредоточена на некотором множестве Ео
меры 0, содержащем не более, чем счетное множество точек.
Вот несколько простых утверждений, легко следующих
из определений и предыдущих рассмотрений.
Всякая абсолютно непрерывная функция является
и непрерывной.
Всякая дискретная функция множеств сингулярна.
Мера ц (Е) — абсолютно непрерывная функция мно-
множества.
Положительное изменение Р(Е), отрицательное изме-
изменение Q(E) и полное изменение V(Е) абсолютно непре-
непрерывной функции Ф(С) также абсолютно непрерывны.
Функция Ф(Е), одновременно абсолютно непрерывная
и сингулярная, равна нулю.
Пусть g(x) — ^-суммируемая функция; тогда
Ф(?)= f gd\i
Е
есть абсолютно непрерывная функция множества Е.
Существуют непрерывные, но не абсолютно непрерывные
функции множеств. Например, пусть X есть квадрат 0<^х<С1,
О-^У-^1 с обычной двумерной мерой Лебега, а Ф(Е) —
Обычная линейная мера Лебега пересечения множества Е

174 ГЛ. IV. ПРОИЗВОДНАЯ П
с замкнутым интервалом 0 <; *<; 1. Тогда функция Ф(Е) не-
непрерывна и сингулярна, но не абсолютно непрерывна. Более
тонкие примеры даны в задачах 4 и 6 к этому параграфу.
Если Ф(Е) дискретна, то
2 ), A)
где с,, ..., ст, ... —последовательность точек из X с ну-
нулевой мерой, a gl gm, ... — соответствующая последо-
последовательность вещественных чисел такая, что
оо
2 UJ= 2 I*J<OO. B)
где X ?%.*). Если же Я"(?21. то мы заменим условие B)
условиями
2 |gffl|<co (Я=1, 2, ...).
Легко описать положительное и отрицательное изменения
дискретной функции Ф(?). Именно, положительное измене-
изменение Р(Е) равно сумме положительных чисел gm с теми номе-
номерами, для которых точки ст лежат в множестве Е, а отри-
отрицательное изменение Q(E) равно сумме модулей отрицательных
чисел gm с такими же условиями на их номера. Полное
изменение V (Е) дискретной функции Ф(Е) равно сумме мо-
модулей всех соответствующих чисел gm.
Теорема 1. Любая счетно-аддитивная функция Ф (Е)
может быть представлена в виде
где С(Е)—непрерывная, a D (Е) — дискретная функция
множеств.
Доказательство. Достаточно рассмотреть неотрица-
неотрицательную функцию Ф(Е). Отметим точки нулевой меры, в ко-
которых Ф(?) как функция одноточечных множеств принимает
положительные значения, большие постоянной е > 0; число
*) Как в примере 3 п. 4 § 4, A) обозначает сумму всех чисел gm
таких, что точки ст с теми же номерами принадлежат Е. Заметим,
что Ф({ст}) = ?т.

2J § 9. МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 175
таких точек конечно на каждом борелевском множестве Е
и, следовательно, не более чем счетно на всех X. Полагая
ill *
е=1, -j- —, ..., получаем, что имеется не более счет-
счетного множества точек нулевой меры с положительными зна-
значениями Ф(?).
Обозначим эти точки через с,, ..., сп Тогда для
любого множества ??91 функция множеств
D(E)= ^ Ф({сга})«Ф(?)<оо),
очевидно, дискретна и конечна. Разность С(Е) = Ф(Е)~ D(E)
на каждой точке с нулевой мерой имеет нулевое значение и,
следовательно, непрерывна. В дальнейшем мы будем рассма-
рассматривать в основном непрерывные счетно-аддитивные функции.
2. Усиление теоремы Хана. Для всякой счетно-адди-
счетно-аддитивной функции множеств Ф(?), заданной на о-кольце 91 под-
подмножеств множества X, согласно п. 6 § 8 имеется разло-
разложение в смысле Хама, т. е. все множество X можно разбить
на два обобщенных борелевских подмножества Х+ и Х~ так,
что на всяком борелевском множестве Е с Х+ мы имеем
Ф (?);>(), а на всяком борелевском множестве F с Х~ мы
имеем Ф(/?)-^0. Используя меру ц, мы можем усилить
последний результат следующим образом.
Лемма. Если Ф(?)— неотрицательная счетно-адди-
счетно-аддитивная функция, то для любого а > 0 существует раз-
разложение множества X на обобщенные борелевские мно-
множества:
где слагаемые не имеют попарно общих точек, таксе,
что для каждого борелевского Е с Еп (Е ? 91)
а(п— 1)ц(Е)<Ф(Е)<ояц(Е) A)
« для каждого борелевского Z с Zo (Z ? 91)
Доказательство. Рассмотрим функции
(Я = О. 1. 2.

176 ГЛ IV. ПРОИЗВОДНАЯ 13
они счетно-аддитивны вместе с Ф(Е) и \л(Е). Пусть
X = Xl, U Хп есть разложение Хана для функции Ф„
(Xq — X, Хп = 0). так что Ф (Е) ^> ana (E) для любого
ЕсХ„ и Ф(/7Халц(/7) для любого FczX^. Очевидно,
если мы выберем в качестве Еп какое-либо подмножество
множества О„ = Xп-\Х„, то неравенство A) будет выпол-
выполняться при любом Е аЕп. Мы имеем
=: (^ — Xп- I) Xя — vYn — л п_ L/Yn ....
Далее, объединение О = G\ |J ... (J О„(J ... = Х\ U • ••
... U XJ, U ... имеет своим дополнением (до X) множество
— Xn)=*(\Xt. Пусть ZcZo,
Z — борелевское; поскольку Zc-Yj, при любом п, мы имеем
Ф (Z) ~^>-апц (Z) и, следовательно, |i(Z) = 0.
Множества Gn, вообще говоря, пересекаются. Положим
Ei=X] —G\, Ei = Хч —X<iX\ с Ог Ец =
==А'л — X „X п~\ — ••• — X п X1 с О„, . ..
Множества Еп содержатся в соответствующих множествах Gn,
уже попарно не пересекаются и имеют то же самое объеди-
объединение G = U?n = (jGn. дополнение к которому, как мы
л п
видели, в пересечении с любым борелевским множеством
имеет меру 0. Лемма доказана.
3. Разложение непрерывной функции множеств на
абсолютно непрерывную и сингулярную части. Теорема
Радона — Никодима. Следующая основная теорема дает выра-
выражение произвольной счетно-аддитивной функции через функ-
функции более простых видов.
Теорема 2. В условиях п. 1 всякая счетно-адди-
счетно-аддитивная функция множеств Ф(?) может быть пред-
представлена в форме
где А (Е) абсолютно непрерывна и, более того, на
дом Е?% является интегралом от некоторой фиксш

31 § 9. МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 177
рованной ^.-суммируемой функции f (x), S(E) непрерывна
и сингулярна, D(E) дискретна. Указанное разложение
единственно, функция f (x) определена однозначно с точ-
точностью до множества меры 0.
Доказательство*). Так как всякая счетно-аддитив-
счетно-аддитивная функция есть разность двух неотрицательных (§ 8),
то с самого начала можно считать Ф(?) неотрицательной.
Согласно п. 1 Ф (Е) = С (Е)-\- D (Е), где С(Е) непрерывна,
D(E) дискретна; поэтому можно без ограничения общности
сразу считать Ф(Е) непрерывной. В силу предыдущей леммы
для каждого т=\, 2, ... существует разложение множе-
множества X в последовательность обобщенных борелевских мно-
множеств без общих точек
X = Z(m) U Е\т) и ... ЦЕ^Ц ...
так, что
где Е—любое борелевское множество, содержащееся в Е„,
Z—-любое борелевское множество, содержащееся в Z(m).
оо
Пусть, далее. 2О = М2('Л\ Любое борелевское множество Z,
содержащееся в Zo также имеет меру 0. Положим fm{x) =
= !^sL при *6ЕГ (т. я=1. 2. ...); функция /„(*)
определена этим выражением всюду на X, кроме множе-
множества Z(m'. Мы имеем для любого борелевского множества Е
E=EZim)u[\jEElnm)),
СО
Ф(?) = Ф(Вг'т>) 4- 2 Ф (ЕЕ{пт)) >
1
^ I* {EEin)) = J /m (х) ц (rfx), A)
я-1
я-I
•) По книге: С. Сакс, Теория интеграла, ИЛ, 1949, гл. 1, § 14,

178 ГЛ. IV. ПРОИЗВОДНАЯ Р
чем, в частности, доказана ц-суммируемость функции fm(x)
на Е\ далее.
Ф (?Z0) - ? ¦?¦ vl (EET") =
я—I
= Ф (EZ0) + J /m (*) I* (rf*) -Ь ^г I* (?)• B)
E
Оценим теперь разность между функциями fm(x) и /т+1(х).
Поскольку Е{^п)Е^*1) содержится в ?Sf° и в ?*"+1), мы имеем
для любого борелевского множества Е а ?(л""?(Лт+1)
п 1 п
¦ 2т ^ (?) -^ Ф (Е) <С ~гш М- (Е),
fc [ ^
следовательно,
Отсюда, если (i(f)>0, мы имеем fe— 1 <! 2n и 2(n— l)<^ft,
т. е. 2п —2 ^ k <! 2п -|- 1. При других значениях k мы имеем,
очевидно, A (?) = 0. Отсюда следует, что
p(m+l) .. л(т) ,,/'л(тЛ П
На множестве ?вт) функция fm(x) принимает значение "„w .
Мы видим, что в каждой точке ?«"" функция /т+.1(-*0.
за исключением, может быть, множества меры 0, принимает
значения от
2п — 3_ п — \ _ 1 In п — 1 , 1
Таким образом, всюду на ?"ЯИ)> кроме множества меры О,
выполняется неравенство
Следовательно, функции fm(x) образуют последовательность,
равномерно сходящуюся (почти всюду на X) к некоторой

3} § 9. МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 179
функции f(x). Поскольку /т(х), как мы видели, ц-сумми-
руема на каждом борелевском множестве Е, функция /(*) =
= litn fm(x) также ц-суммируема на каждом борелевском
т-»оо
множестве (по теореме Лебега). Переходя к пределу при
т->со в неравенствах A) и B), получаем
J / (х) |i (dx) < Ф (?)< Ф (EZ0) + J / (*) |i dx. C)
Е Е
Определим функцию множеств S(E) равенством
Ф (?) = | / (х) |i (dx) + 5 (?) = А (Е) + 5 (Е)\ D)
Е
функция S(E) неотрицательна и счетно-аддитивна. Как видно
из C), 5(?)<Ф(EZ0), так что S(E) сосредоточена на мно-
множестве Zo, которое имеет меру 0; следовательно, 5(Е) син-
сингулярна. Второе слагаемое А(Е) в D) является интегралом
от функции f(x), суммируемой на каждом борелевском мно-
множестве Е, и тем самым абсолютно непрерывной функцией
множеств. Таким образом, основная часть теоремы 2 доказана;
нам остается проверить единственность разложения и одно-
однозначную определенность функции /(х). Если имеются два
разложения функции Ф(?) на абсолютно непрерывную и син-
сингулярную составляющие
то
Справа стоит сингулярная функция, слева—абсолютно не-
непрерывная; но равенство между ними возможно лишь тогда,
когда обе они равны нулю. Отсюда Л, = Л2, 51 = 52. Если
имеются две функции /, (х) и /2(х) такие, что для любо-
любого борелевского множества Е
= J/2(x)[i(flfx),
Е Е
ТО ДЯЯ их разности f = fi — /2 мы получаем

180 ГЛ. IV. ПРОИЗВОДНАЯ И
Беря в качестве Е множество, где /(х)>0, получаем
/|"(х) = 0 почти всюду. Аналогично, /~ (х) = 0 почти
всюду и, следовательно, f(x) = f+ (х) — /~ (х) = 0 почти
всюду. Итак, функция / в интеграле из D) определена одно-
однозначно с точностью до множества меры 0.
Следствие (теорема Радона — Никодима).
Абсолютно непрерывная счетно-аддитивная функция Ф (Е)
есть интеграл от некоторой суммируемой на каждом
борелевском множестве Е функции /(х), определенной
однозначно с точностью до множества меры 0.
4. Некоторые приложения теоремы Радона — Никоднма.
С помощью теоремы Радона — Никодима мы продолжим изучение
линейных функционалов в нормированных пространствах, начатое
в п. 4, § 5 и в п. 8, § 8.
1. Общий вид непрерывного линейного функ-
функционала в пространстве L = L {X) всех суммируемых
функций на множестве X. Нормой в пространстве L (X) служит
величина
И/11 = /A/|)= J \f(x)\dx.
х
Пусть функция ф (х) измерима и существенно ограничена на X,
т. е. существует (конечное) число С такое, что |ф(*)| < С на мно-
множестве полной меры (наименьшую верхнюю грань всех таких
чисел С называют существенной верхней гранью и обозначают
ess sup | ф (х) | — Ьэгпе superieure essentielle.)
Интеграл
/ (х) ф (х) dx
== J
существует и определяет непрерывный линейный функционал
на L (X). Действительно, линейность его очевидна, и если последо-
последовательность fm?L (X) такова, что ||/ml|->0, to I^fm ->0 в силу не-
неравенства
IV.
V*
J /га (х) Ф (х) dx
A /,« i) ess sup |
? Х
.. ex
х
Докажем, что для любого непрерывного функционала, J/, опре-
определенного в пространстве L (X), существует измеримая суще-
существенно ограниченная функция ф (х) такая, что
Jf= j f(x)<p(x)dx,

4) § 9. МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 181
и, кроме того, норма |!У||Л= sup \Jf\\ имеет вид
|| У || = ess sup | «р (дг) |.
В самом деле, определим для каждого суммируемого множе-
множества ? с характеристической функцией %Е (•*) счетно-аддитивную
функцию множеств Ф (?) =- JxE- Так как
), A)
то Ф (?) абсолютно непрерывна. Согласно теореме Радона — Ни-
кодима
Ф(?) = Jcp (*)</* = /(ХЕФ>
Е
где ф (х) суммируема на каждом суммируемом множестве ?. Далее
ess sup | ц>(х) |< || У ||.
jrgx
Действительно, пусть | ф С*) | > ||У || на множестве Е @ < \i (E) < со).
Тогда Е =?+U^-, где ?4 = {х: ip (х) > || J \\ } и ?_ = \х:у(х) <
< —1| У || }. Тогда по крайней мере одно из множеств ?+ или ?_
имеет положительную меру. Если ц(?+)>0, то
J?.E+ = Ф (?+ ) = J Ф (х) dx > || У || ц (?+);
если же \i (?_) > 0, то
Е+
С другой стороны, согласно A)
|Ф(?±)|<||У||ц(?±).
Полученное противоречие показывает, что ц(?) = 0. Функцио-
Функционалы У/ и /ф/ оба линейны и непрерывны и совпадают на харак-
характеристических функциях суммируемых множеств; но так как линей-
линейные комбинации этих функций плотны в L (X), то У/ = I^f для
всех f?L(X). Кроме того,
ess sup | ф (*) |< || У || = || /q, II < ess sup | <j> (x)
что и требовалось.
2. Общий вид линейного функционала в про-
пространстве Lp (X). Пространство Lp — Lp (X) определяется как
совокупность всех измеримых функций /, для которых \ f f <z L (X),

182 гл. iv. производная
с нормой \\f\\p = U(\f\)"]l") (см. § 6, п. 9). Пусть
где 1 =1. Тогда интеграл
V = / (/ф) - J / (*) Ф (х) dx
существует и определяет непрерывный линейный функционал
в Lp(X). Действительно, линейность его очевидна, и если после-
последовательность fm^Lp(X) такова, что |l/ml|/,->0, то /«,/„,->0
в силу неравенства
/
т
X
' m II/? I
(здесь мы воспользовались неравенством Гельдера из п. 9 § 6).
Аналогично предыдущему докажем, что для любого непрерыв-
непрерывного функционала Jf, определенного в Lp(x), существует функ-
функция ip (л:) ? Lp (X) такая, что
Предположим сначала, что мера пространства X конечна.
Топа LpczL, так как | /(/) |< /A?) / (|/|р).
Определим для каждого измеримого (и потому суммируемого)
множества Е с характеристической функцией %Е (X) счетно-аддн-
тивную функцию множеств Ф(?) = УХр- Тогда
Следовательно, Ф(?) абсолютно непрерывна и по теореые
Радона — Никодима представима в виде
где ф—суммируемая функция. Покажем, что q>(x)?Lq(X) и
IIФ И? < II ^11- Для этого оценим /(/?), гдеО< /< | ф | и /ограничена.
Функцию /9~1 sgn/ *) можно представить как цредел равномерно
*) sgn х =
1, если х > О,
О, если х = О,
—1, если х < 0.

5) § 9. МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 183
сходящейся последовательности функций hn — линейных комбина-
комбинаций характеристических функций суммируемых множеств; поэтому
/ if) < / (f~l I ф I) = / if'' sgn ф ¦ ф) = lim / (ЛлФ) =
я->оо
откуда
[/ (/¦<?)] = [/ (/<?)]1 ~1/р < || У ||
Выбирая //Чф|, получаем, что и /(|q>|?) ?<||У||, т. е. ф??в и
IIФ II? < II-/II-
Функционалы У/ и /<,,/ оба линейны и непрерывны и совпадают
на всех характеристических функциях измеримых множеств, линей-
линейные комбинации которых плотны в Lp(X). Поэтому У/ = /ф/ для
всех f^Lp(X). Кроме того,
откуда
и теорема доказана для случая X конечной меры.
В общем случае, когда ц (X) = со, мы представляем X в виде
со
М Хп, где Хп имеют конечные меры и Л, с Хг с ... С^,С,
л-1
Функционал У определен на каждом нз пространств Lp (Xn) и имеет
в каждом из них норму, не большую, чем в Lp (X). Поэтому суще-
существуют функции ф„ (х) ? Lq (Xn), определяемые единственным обра-
образом и потому, в сущности, задающие единственную функцию ср (х)
на всем X, такие, что для любой f^_Lp(Xn)
У (/) = / (/Ф),
и при этом ||ф||? в пространстве Lq{Xn) не превосходит ||У||. От-
Отсюда следует, что на всем X функция ф (х) принадлежит Lq и
IIФ \\q < II У II- что и требовалось.
5. Положительное, отрицательное и полное изменения
суммы двух счетно-аддитивных функций. Пусть даны
счетно-аддитивные функции Ф( (Е) и Ф2 (Е). Рассмотрим их
сумму Ф(Е) = Ф,(Я)-)--Ф2(?) и обозначим через РХ(Е), Рг{Е)
и Р{Е) соответствующие положительные изменения этих функ-
функций. Для любвго АсЕ мы имеем
Ф (А) - Ф, (А) + Ф2 (А )< Р, (?) + Р2 (?).
откуда, переходя слева к верхней грани, находим
P(E)^Pl(E)i-P2(E). A)

184 ГЛ. IV. ПРОИЗВОДНАЯ [в
Равенство
Р(Е) = Р1(Е) + Р2(Е). B)
вообще говоря, не имеет места (например, для Ф2(Е) =
== — Ф1(Е)ф0). Но если Ф\(Е) сосредоточена на мно-
множестве Е",, а Ф2(?) — на множестве Е2, не пересекаю-
пересекающемся с Ev то равенство B) уже имеет место. Дей-
Действительно, для заданного Е и е > 0 можно найти такие
AlczEEl и А.2сЕЕ2, что Р, (?) = Р, (??¦,.)< Ф, (Л,)-f-e,
Р2 (Е) = Р2 (??2)< Ф2(Л2) 4-е, и так как Л, и Л2 не пере-
пересекаются, то
= Ф, (Л,) + Ф2 (А2) > Р, (?) +- Р2 (?) - 2е.
Полагая е->0, находим Р(Е)^-Рх(Е)-\-Р2{Е), что в со-
соединении с A) и дает B).
Обозначим, далее, отрицательные изменения функций Ф,,
Ф2, Ф через Qj, Q2, Q и их полные измененения через V,,
V2, V. При тех же условиях аналогично получаем
Пусть, в частности, Ф, абсолютно непрерывна, Ф2 сингулярна
и сосредоточена на множестве Z меры 0. Так как Ф, (Е) =
= Ф,(Е — EZ) при любом Е, то функция Ф, сосредоточена
на множестве X — Z. Применяя C), получаем: полное изме-
изменение любой непрерывной счетно-аддитивной функции Ф
равно сумме полных изменений абсолютно непрерывной
и сингулярной составляющих функции Ф.
Аналогично, рассматривая разложение функции Ф на не-
непрерывную и дискретную составляющие, получаем следующий
результат: полное изменение любой счетно-аддитивной
функции Ф равно сумме полных изменений непрерывной
и дискретной составляющих функций Ф.
6. Случай Х—[а, Ь]. Абсолютно непрерывные функ-
функции точки. Применим полученные результаты к случаю
счетно-аддитивных функций на конечном замкнутом интер-
интервале а ^ х -^.Ь, снабженном мерой Лебега ц. Мы предполо-
предположим, что в область определения 91 функции Ф(?) входят,
во всяком случае, все полуинтервалы (а, 0]; отсюда следует,

6] § Я. МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 185
что в систему 4Л входят все классические борелевские мно-
множества. Счетно-аддитивная функция Ф(?) характеризуется
производящей функцией F(х) = Ф[а, х], имеющей ограни-
ограниченное изменение и непрерывной справа. Выясним, какими
свойствами обладают производящие функции введенных нами
классов счетно-аддитивных функций. Непрерывной функции
Ф(?), очевидно, отвечает функция F(x), непрерывная в каждой
точке х, потому что
F(x)—F(x — 0)= Hi
Для характеристики производящей функции абсолютно не-
непрерывной функции множеств введем следующее определение.
Функция точки F (х) (а <^ х ^ Ь), для которой при любом
е > 0 существует 6 > 0 такое, что для любой системы не-
непересекающихся полуинтервалов kk — (ak, fik] (k — 1, 2 п)
¦ п
с ^j (Р*—а.к) < б выполняется неравенство
;е. A)
называется абсолютно непрерывной на \а, Ь].
Заметим, что условие A) эквивалентно (при тех же пред-
предположениях) более сильному по форме условию
п
2\F(?t)-F(ak)\<e. B)
Покажем, что на самом деле изA) следует B). Для задан-
заданного е > 0 найдем 6 > 0 так, чтобы для любой системы не-
непересекающихся полуинтервалов (а,, 0,], .... (а„, р„] с сум-
суммой длин < б иметь
Обозначим через 2 сумму положительных прираще-
приращений функции F(x) на этих полуинтервалах и через 2~
сумму ее отрицательных приращений. В силу условия A),

186 ГЛ. «V. ПРОИЗВОДНАЯ I*
примененного к каждой из указанных подсистем полуинтер-
полуинтервалов, мы имеем
[F(pk)-F{ak)\
откуда
2 V(P») - F(ak))
и, следовательно, условие B) выполнено.
Отметим несколько простых свойств абсолютно непрерыв-
непрерывных функций точки.
Всякая абсолютно непрерывная на [а, Ь\ функция
является и равномерно непрерывной на [а, Ь\.
Всякая абсолютно непрерывная на [а, Ь] функция
имеет ограниченное изменение. Действительно, для задан-
заданного е > 0, например для е=1, найдем соответствующее б
из условия B). В силу этого условия функция F(x) на каждом
полуинтервале длины < б имеет ограниченное изменение, не
превосходящее 1. Весь замкнутый интервал [а, Ь] можно
представить как соединение фиксированного числа (не более
—-г—¦+!) полуинтервалов длины <[б; поэтому изменение
Va(F) функции F(x) на всем [а, Ь] не превосходит
—г 1- 1 • 1, что нам и требуется.
Вместе с функцией F(x) абсолютно непрерывными
являются ее положительное, отрицательное и полное
изменения. Пусть, например, V(x)=-Vxa{F) есть полное
изменение функции точки F(х). Пусть задано е>0 и най-
найдено 6 > 0 из условия B) и рассматривается система полу-
полуинтервалов (ak. Pa] с общей длиной < 6. Рассмотрим сумму
S [V (Р*) -V (а*)] = 2 lA(F). C)
k=\ k~\ ft
Эта сумма есть точная верхняя грань величин
N тЬ
л1

в| § 9. МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 187
где ак = xK0R) < .. . < лс<?' = Рл есть произвольное разбиение
полуинтервала (а^, pft]. Так как сумма длин полуинтервалов
(jf(*2,. xl.k)] равна длине (ak, $k\ и общая сумма длин полу-
полуинтервалов (ак, (>к\ меньше б, то в силу условия B) каждое
из выражений D) не превосходит е. Но тогда и сумма C)
не превосходит е, так что функция V(х) также удовлетво-
удовлетворяет условию B). Отсюда следует, далее, что вместе с функ-
функцией F(x) ее положительное изменение Р{х) и отрицатель-
отрицательное изменение Q(x) также удовлетворяют условию B).
Теорема 3. Счетно-аддитивная функция множеств
Ф(?), определенная на а-кольце 91 = 91 [а, Ь] подмножеств
фиксированного конечного замкнутого интервала [а, Ь],
обладающая производящей функцией F(x), абсолютно
непрерывна тогда и только тогда, когда F(x) абсолютно
непрерывна на [а, Ь].
Доказательство. Пусть F(x) абсолютно непрерывна
на [а, Ь]; без ограничения общности можно считать, что
F(x)^-0. Для любого е>0 выберем 6>0 так, что
п
для любой системы непересекающихся полуинтервалов
(ak, f>k\cz[a, b] с суммой длин < б.
Покажем, что соответствующая функция множества Ф(?)
абсолютно непрерывна. Если Zc[a, b\ есть множество меры О,
то мы можем заключить его в систему (конечную или счет-
счетную) непересекающихся полуинтервалов Д,, Д2, ... с общей
длиной, меньшей числа б > 0, соответствующего заданному
е >0 по условию A). На каждой конечной подсистеме
Д, Д„ в силу A) мы имеем
ф
Так как Ф(?) счетно-аддитивна, то

188 ГЛ. IV. ПРОИЗВОДНАЯ
и, следовательно, O(Z)^e, потому что Zc|lAft; так как
е>0 произвольно, то O(Z) = 0, что и требовалось.
Обратно, если Ф(Е) абсолютно непрерывна, то по тео-
теореме Радона — Никодима
= J g(x)dx.
Е
J
Е
где g(x)—суммируемая функция. В частности,
Отсюда
и в силу абсолютной непрерывности интеграла (п. 7, г), § 6)
это выражение стремится к нулю вместе с 6.
Следствие. Если F(x) абсолютно непрерывна на
[а, Ь], то
X
F(x)=F(a)+j g(t)dl, E)
а
где g{x) суммируема на [а, Ь]. Обратно, каждая функ-
функция вида E) абсолютно непрерывна на [а, Ь\.
7. Сингулярные функции точки. Обратимся теперь
к характеристике производящей функции F{x) сингулярной
функции множеств Ф(Е); такую функцию точки F(x) будем
также называть сингулярной.
Теорема 4. Счетно-аддитивная функция множеств
Ф(Я), определенная на а-кольце 91 = 91 [а, Ь\ подмножеств
конечного замкнутого интервала [а, Ь], обладающая про-
производящей функцией F (х), тогда и только тогда сингу-
сингулярна, когда для любого е > 0 найдется конечная си-
система полуинтервалов Д1 = (а1, pj Дл = (ал, р„]

7] § 9. МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 189
п
такая» что 2 (Р* — «*)< е и
где vi(F) есть полное изменение функции F(x).
Доказательство. Пусть Ф(?) = 5(?) сингулярна
и Z—множество меры 0, на котором сосредоточена функ-
функция множеств S(E), а следовательно, и ее полное изменение
V (?"). Напомним, что производящей функцией функции мно-
множеств V (Е) является функция
2
где верхняя грань берется по всем разбиениям а = х0 <
< хг < ... < хя = х замкнутого интервала [а, х] (п. 3 § 4).
Для заданного е > 0 рассмотрим счетную систему неперекры-
неперекрывающихся полуинтервалов \k = (ak, pj (ft=l, 2 п),
00
покрывающую Z и такую, что 2 (Р* — а*) < е>
Так как функция V (?") сосредоточена вместе с 5(?") на
со
множестве Z, то 2 ^a*(F)= V*(F). Найдем номер ге=ге(е)
п
*(FI
так, чтобы иметь ^,V^*(F)> V*(F) 1-. Далее, в каждом
из п полуинтервалов (aft, рА] найдем такое разбиение ак =
4*' ?Ц
Наконец, суммируя по k, находим
что доказывает необходимость условия теоремы.
14 Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич

160 ГЛ. «V. ПРОИЗВОДНАЯ [8
Для доказательства достаточности представим функцию
Ф(?) в форме суммы абсолютно непрерывной и сингулярной
(но, вообще говоря, не непрерывной*)) составляющих:
Одновременно и производящая функция F{x) представится
в форме суммы соответствующих производящих функций:
. A)
По условию теоремы для заданного е > 0 существует
система непересекающихся полуинтервалов (ак, рА}С[с, Ь\
с суммой длин < е такая, что
и в силу A)
Сумма в правой части неравенства стремится к нулю при
0 в силу абсолютной непрерывности А(х). Поэтому
где f/ > 0 произвольно мало.
Таким образом, полное изменение функции S(x) не
меньше, чем Va(F). С другой стороны, согласно п. 5, пол-
полное изменение суммы А(х) и S(x) равно сумме их полных
изменений. Поэтому в данном случае полное изменение функ-
функции А {х) равно нулю. Но тогда и сама А {х) равна нулю,
откуда F(x) = S(x) сингулярна, что и требовалось.
8. Дискретные функции точки. Наконец, рассмотрим
производящую функцию F (х) дискретной функции мно-
множеств Ф(Е). Согласно п. 1 для дискретной функции мно-
множеств имеются конечная или счетная последовательность точек
*) Заметим, что дискретная функция всегда сингулярна, и будем
считать, что в нашем случае S (?) представляет собой сумму диск-
дискретной части и сингулярной и непрерывной частей в разложении
теоремы 2 п. 3.

8J § 9. МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 191
сх, с2, ... ?[а, Ь] и последовательность чисел gx, g2, ...
оо
с 2 \Sk\ < с*3 таких, что Ф(?) есть сумма чисел g\ с такими
номерами, для которых соответствующие точки ск попадают
в множество Е. В частности, производящая функция F{x) =
¦=Ф[а, х] есть сумма чисел gk с такими номерами, для ко-
которых соответствующие точки ск попадают в замкнутый интер-
интервал [а, х]. Функция F (х), обладающая этим свойством, на-
называется функцией скачков.
Теорема 5. Счетно-аддитивная функция множеств
Ф(?), определенная на 2t = 2([a, b], обладающая произ-
производящей функцией F(x), тогда и только тогда дискретна,
когда F(х) непрерывна справа*) на [а, Ь] и для любого
е>0 существует конечное число точек разрыва q с„
функции F(x)**) таких, что
|1|/7Ы-^(^-0)|>^(^)-е. A)
Доказательство. Пусть Ф(?) дискретна и cv c2, ...;
gx, g2, ... — соответствующие последовательности точек и
чисел. Мы знаем, что
отсюда вытекает необходимость условия A).
Для доказательства достаточности представим производя-
производящую функцию F(x) в форме суммы непрерывной и дискрет-
дискретной составляющих: F {х) = С(х)-\- D (х). Для заданного е > О
найдем точки разрыва cv ..., сп функции ^(x) так, чтобы
иметь
2
*) Напомним, что производящая функция счетно-аддитивной
функции множества Ф(?) автоматически непрерывна справа, так
как Ф(?) непрерывна (сверху) как квазиобъем (см. п. 6, § 5).
**) В частности, F (х) может иметь не более чем счетное число
точек разрыва.
14*

192 ГЛ. IV. ПРОИЗВОДНАЯ
Поскольку С(х) непрерывна, вместе с тем и
Таким образом, полное изменение функции D(x) не меньше,
чем Vba{F). Но полное изменение Vba(F) функции D(x) равно
сумме полных изменений функций С (х) и D(x), поэтому
полное изменение функции С (х) равно 0. Отсюда
С(х) = 0. F(x)==D(x).
что и требовалось.
9. Теорема Лебега о каноническом разложении функ-
функции с ограниченным изменением. Резюмируем теперь ре-
результат общей теоремы разложения (п. 3) для производящих
функций.
Теорема 6 (разложение Лебега). Если F(х) —
производящая функция счетно-аддитивной функции мно-
множеств Ф(Е), определенной на 51 [a, b], то F(х) допускает
разложение
, A)
где А (х) абсолютно непрерывна а может быть представ-
представлена в виде
X
j g(x)€L[a.b].
S(x) непрерывна и сингулярна, D(x) — функция скачков
(непрерывная справа); разложение A) единственно, и сум-
суммируемая функция g(x) определена однозначно с точ-
точностью до множества меры 0.
Заметим, что теорема 6 имеет место и в том случае, когда
F(x) имеет ограниченное изменение и непрерывна справа,
но не является производящей (т. е. F (а) Ф 0). При этом
B)
в чем легко убедиться, рассмотрев производящую функцию
F{x)-F{a).

§ 9. МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 193
Если же F(x) имеет ограниченное изменение, но не является
непрерывной справа, то теорема все же остается в силе, при-
причем сохраняется представление B), но функция скачков, ра-
разумеется, не будет уже непрерывной справа.
Действительно, по теореме Жордана (см. п. 10, § 4) F(x)
может быть представлена в виде разности двух неотрицатель-
неотрицательных неубывающих функций. Поэтому, как легко видеть, для
всех х? [а, Ь] существуют F(x— 0) и F(x-{-0). Кроме того,
существует не более чем счетное множество точек, в кото-
которых F(x — 0) Ф F (х -\- 0). Следовательно, существует такая
функция скачков /),(*), что функция F(x) — D^x) непре-
непрерывна справа, и поэтому можно применить предыдущее за-
замечание.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что абсолютно непрерывные функции на [а, Ь]
образуют замкнутое подпространство пространства К функций с огра-
ограниченным изменением (§ 4, задача 8).
2. Показать, что непрерывные сингулярные функции на [а, Ь]
образуют замкнутое подпространство в пространстве V.
3. Показать, что функции скачков иа [а, Ь] образуют замкнутое
подпространство в пространстве V.
4. Показать, что функция Кантора С (х) (§ 4, задача 2) сингу-
сингулярна.
5. Всякая абсолютно непрерывная функция множеств Ф(?) на X
(\lX < со) может быть однозначно определена на метрическом про-
пространстве 2 измеримых множеств (см. задачу 10 к § 6 и замечание
после нее); Ф(?) оказывается непрерывной функцией на 2. Обратно,
всякая непрерывная функция на метрическом пространстве 2 отве-
отвечает абсолютно непрерывной функции множеств на X.
6. Построить непрерывную сингулярную функцию на [0, 1], не
имеющую интервалов постоянства.
7. Используя функцию задачи 6, показать, что измеримая функ-
функция от непрерывной функции не обязана быть измеримой.
8. Неубывающая функция F (х), отличная от постоянной, тогда
и только тогда сингулярна, когда она отображает некоторое мно-
множество меры 0 на множество полной меры, а дополнительное мно-
множество полной меры — на множество меры 0.
9. Функция О (у), обратная к непрерывной сингулярной функ-
функции без интервалов постоянства, сама сингулярна.
10, Пусть Ф(?) — счетно-аддитивная функция множеств, опре-
определенная на а-кольце Ж подмножеств множества X с борелевской
мерой ц и, кроме того, предположим, что Ф(?) не абсолютно не-
непрерывна относительно ц. Показать, ч_то, вообще говоря, Ф (?) не
может быть продолжена на а^-кольцо Ж, являющееся лебеговскнм
расширением а-кольца 81.
11. Пусть Ф„ (С) — последовательность абсолютно непрерывных
функций множеств на X (цХ < со), сходящаяся на каждом миоже-

194 гл. iv. производная [1
стве ? из а-кольца 2(. Доказать, что из ц?т->0 следует
lim Ф„ (Ет) = 0 равномерно по я, и функция lim Ф„ (?) счетио-
т->оо л->оо
аддитивна.
12. Пусть Ф„ (?) — последовательиость счетно-аддитивных функ-
функций множеств на X, \iX < со (не предполагаемых абсолютно непре-
непрерывными), сходящаяся на каждом множестве ? из а-кольца 91.
Доказать, что lim Ф„(?) есть счетно-аддитивная функция множеств
(Никодим, 1933).
УКАЗАНИЯ
1. Фундаментальная в V последовательность абсолютно непрерывных функций
равностепенно абсолютно непрерывна (т. е. для каждого е > 0 можно найти Л > О,
не зависящее от выбора f Ах), так что из VJ (Рь — ал <6 следует V! I /„($ь\ —
к к
2. Использовать критерий п. 7.
8. Использовать критерий п. 8.
4. Соответствующая функция множеств С(Е) обращается в нуль на каждом
смежном интервале канторова множества.
6. Построить функцию F(x) в виде ряда функций типа функции Кантора (см.
тдачу 4), так что г (х) сосредоточена на множестве Z, плотном в [0, 1). Далее ис-
использовать результат задачи 5.
7. Пусть функция F(x) переводит некоторое множество Е полной меры в мно-
множество меры 0. Рассмотреть неизмеримое подмножество WCE ц функцию С? (у),
характеристическую для множества r(W); показать, что Q\F(y)] неизмерима.
8. Использовать критерий п. 7.
9. Испольчовать задачу 8.
10. Пусть X есть замкнутый интервал \а, Ь\, ц —мера Лебега, Ф(Я) — счетно-
аддитивная функция множеств, определенная на борелевскнх подмножествах мно-
множества X. Если Ф(Е) непрерывна, но не абсолютно непрерывна, то существует не-
несчетное множество Е„СХ, ц(?о)=°. «ля которого Ф(Ец)фО. Можно построить
множество /?, С ?* уже Ф-иензмеримое. В то же время Е\ измеримо по Лебегу (и
11. Для каждого е > 0 множества
(т, л = 1, 2, ...),
П
л,
замкнуты в метрическом пространстве ? (задача 5). Из условия задач» следует, что
оо
? = II ? . Поскольку 2 полно, одно из множеств ? содержит внутреннюю точку.
р—\
12. Функции Фп (Е) абсолютно непрерывны относительно функцн» множеств
2" VniX) •
где V„(E) — полное изменение функции Фп(Е). Испольчовать задачу 11.
§ 10. Производная функции множеств
1. Различные определения производной. Пусть Ф(Е) —
счетно-аддитивная (конечная) функция множеств, определен-
определенная на о-кольце 21 лодмножеств EczX с неотрицательной

t] § 10. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 193
борелевской мерой ц. Как и в п. 9, если X (??1, то мы будем
считать, что X есть объединение последовательности боре-
левских множеств XxczX2cz . .. из 2(.
Предположим, что Ф(?) абсолютно непрерывна относи-
относительно меры \i. Согласно теореме Радона — Никодима Ф(Е)
может быть представлена в форме интеграла от какой-то
суммируемой функции по мере ц:
Функцию точки g(x) будем называть плотностью функ-
функции множеств Ф(Е). Спрашивается: какой процедурой можно
получить плотность функции множеств Ф(?), зная саму Ф(.Е)?
В простых случаях такая процедура хорошо известна.
Пусть, например, Х~[а, b], \i — мера Лебега и F(x)~ про-
производящая функция для функции множеств Ф(Е), так что
Если g(x) непрерывна, то, как известно, g(x) получается
из F{x) обычным дифференцированием:
Л->0 Л Л->0
Аналогично, если Х=В есть брус в и-мерном простран-
пространстве, ц — мера Лебега и g(x) = g(xv .... хп)—~иеирерыв-
ная функция, то также
g(x)= llm jj^ j g(l)dl.
где s(B) есть объем бруса В, а предельный переход совершается
по произвольной последовательности брусов, стягивающихся
к точке х0 (в том смысле, что размеры брусов В стремятся
к нулю и их пересечение совпадает с точкой х0).
Заметим, что определение дифференцирования A) по от-
отношению к обычной мере (Лебега) на оси — не единственно
*) Если h <0, то Ф(х, x-\-h] означает — Ф(дг-|- h, x].

196 ГЛ. IV. ПРОИЗВОДНАЯ [I
возможное определение; его можно, с одной стороны, осла-
ослабить, с другой — усилить с сохранением полной естественности.
В формуле A) используются промежутки вида (х, je-f A].
Но можно рассмотреть значительно меньшее число проме-
промежутков, например, только «двоично рациональные» проме-
жутки 1-^-, ~-2„ , содержащие заданную точку х0, в которой
ищется производная. Именно, для данной счетно-аддитивной
функции множеств Ф(Я) мы можем в качестве производной
в точке х0 рассматривать выражение
.... ... . F[ Щ I ^ ("On")
/"(*„)= lim ^ * J^lim V 2 ;, Ш-, B)
n->oo ' n->oo
2" 2"
*„е;(?.-^].
если этот предел существует. Определение по формуле B)—
более слабое, чем определение по формуле A); точнее говоря,
из существования предела A) следует существование предела
B), но не наоборот.
Действительно, допустим, что в некоторой точке л:0 су-
существует предел A). Тогда мы имеем
2" Х 2"
что стремится к Fr(x0) как среднее взвешенное двух пере-
переменных величин с общим пределом.
С другой стороны, для данной иррациональной точки х0
всегда можно построить непрерывную функцию с ограничен-
ограниченным изменением, обращающуюся в нуль в граничных точках
полуинтервалов -Д- < х<! р^ и не имеющую обычной про-
производной в точке х0 (см. задачу 1). Производная же в смысле
B) у такой функции будет существовать и будет, очевидно,
равна нулю.

>I § 10. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 197
Усилить определение A) можно следующим образом. Вместо
отношения A), в котором рассматриваются полуинтервалы
(х0, xo-\-h\, мы можем рассмотреть предел
л->оо
где Еп — любая последовательность борелевских множеств,
«правильно» стягивающаяся к точке х0. Последнее свойство
мы понимаем следующим образом: множество Еп содержится
в полуинтервале А„, содержащем точку х0, концы которого
с возрастанием п стремятся к х0, и при этом для всех п
выполняется «неравенство регулярности» \i (En) ^ c\i (А„), где
с — фиксированная положительная постоянная.
Если в некоторой точке х0 существует предел C), то су-
существует и предел A)—поскольку в качестве множеств Еп
мы можем выбрать полуинтервалы (хи, xo-\-hn\, а в качестве
А„ — полуинтервалы (jc0 — hn, jc0 —|- Л„], где пп— произволь-
произвольная сходящаяся к нулю последовательность. Тогда Еп «пра-
«правильно» стягиваются к точке х0 (константа «регулярности»
с =1/2), так что предел
л> л->со "л
эквивалентный A), существует. Но из существования пре-
предела A) не следует, вообще говоря, существования предела C);
так, например, у функции л:2 sin— производная в точке л:0=0
в смысле A) существует и равна 0, а производная в смысле C)
не существует (см. задачу 2). Таким образом, определение C)
сильнее, чем определение A).
Тем не менее указанные различия оказываются существен-
существенными лишь в отдельных точках. Мы покажем в дальнейшем,
что для функций с ограниченным изменением — или, что то же,
для счетно-аддитивных функций множеств — существуют
производные в смысле каждого из трех определений
A), B), C) на множестве полной меры и на множестве
полной меры совпадают друг с другом.
Мы будем устанавливать теоремы о существовании произ-
производных в общем случае для счетно-аддитивной функции на
произвольном пространстве X с мерой ц.
Мы заранее исключим из множества X точки, несущие
положительную меру, поскольку определение производной

198 ГЛ. IV- ПРОИЗВОДНАЯ Р
в таких точках не имеет смысла. Множество таких точек не
более чем счетно. Каждая точка оставшегося множества — мы
сохраним за ним прежнее обозначение X — имеет меру 0.
Далее введем определения, обобщающие специальные конст-
конструкции A), B), C).
2. Дифференцирование по сети. Аналогом дифферен-
дифференцирования в смысле B) является дифференцирование по сети
множеств. Пусть дано множество X с лебеговской мерой ц.
Пусть имеется разбиение X в конечную или счетную сово-
совокупность Ш1 суммируемых непересекающихся борелевских
множеств Л\1\ ..., А()\ .. , Множества А^\ А%\ . . . будем
называть множествами первого ранга. Пусть, далее, каждое
множество первого ранга А у' разбито в конечную или счет-
счетную совокупность непересекающихся суммируемых множеств
A(jl, .... A(jl; обозначим через !R2 совокупность всех таких
множеств (для всех у) — множеств второго ранга, — и далее
процесс разбиения продолжен неограниченно, так что для
любого п у нас имеется некоторая совокупность Шп непере-
непересекающихся суммируемых множеств и-го ранга, объединение
которых составляет все X. Для каждой точки х0 и любого п
имеется одно и только одно множество и-го ранга, содер-
содержащее точку х0; обозначим его через Ап(х0). Совокупность
Э^ = ^J ЭТ^ (заметим, что № — полукольцо) всех множеств
п
всех конечных рангов мы назовем сетью, если она является
вполне достаточной системой (§ 7, п. 4).
Пусть имеется счетно-аддитивная функция Ф(?), опреде-
определенная, в частности, на всех множествах сети *R. Производ-
Производной функции Ф(?) по сети Ш в точке х0 называется выра-
выражение
D)
lim
л-»ои V- \.лп \ха)\
если этот предел существует.
Имеется теорема (теорема де Посселя), согласно которой
производная по сети для каждой функции Ф(Е) существует
на множестве полной меры и совпадает с плотностью абсо-
абсолютно непрерывной составляющей функции Ф(Я) (тем самым
эта производная не зависит от выбора сети 91).
Если X есть замкнутый интервал [0, 1], то в качестве
множеств и-го ранга можно взять множества [0, 1/2"],

3] § 10. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 199
A/2", 2/2"] A — 1/2", 11, Производная по сети из таких
множеств и есть производная в смысле B).
Ниже, в п. 4, мы получим теорему де Посселя из более
общей теоремы, дающей аналог обычного дифференцирова-
дифференцирования A).
3. Дифференцирование по системе Витали. Теорема
Лебега — Витали. В этом пункте мы рассмотрим обобщение
дифференцирования в смысле A). Пусть снова дано множе-
множество X с мерой ц, но, кроме того, предположим, что каждсе
одноточечное множество \x\czX измеримо и имеет меру 0.
Под системой Витали мы понимаем систему 23 боре-
левских множеств Е сX (называемых множествами Витали),
если она обладает следующими свойствами:
1) для любого борелевского (или обобщенного борелев-
ского) множества Е и любого е > 0 существует счетная со-
совокупность множеств Витали А{, Л,, .. . таких, что
т. е. система 93 вполне достаточна (см. лемму 2, п. 4, § 7);
2) каждое множество Е ? Ц имеет границу Г (?), т. е. су-
существует множество Г(Е) такое, что (х[Г(?')] = 0 и
а) если х?Е — ЕГ(Е), то каждое множество Витали до-
достаточно малой меры, содержащее х, содержится в Е — ЕГ(Е),
б) если х (? Е = Е U Г (Е), то каждое множество Витали
достаточно малой меры, содержащее х, не пересекается с Е;
3) если множество Е покрыто некоторой системой 23 мно-
множеств А ? 93 так, что для любой точки х?Е и любого е > 0
имеется покрывающее множество АЕ(х)^ х меры <е, то можно
выбрать счетную подсистему {Лу)<=2? уже из непересекаю-
непересекающихся множеств, снова покрывающую все множество Е, кроме,
возможно, множества меры 0.
Пусть Ф(Е)—счетно-аддитивная функция множеств, опре-
определенная, в частности, на всех множествах системы Витали,
и Ае(х0) — любое множество системы Витали, содержащее х0
и имеющее меру < е. Производной функции Ф(Е) в точке х0
по системе Витали 23 называется выражение
Д,Ф (*0)» D<D (х0) = lim
е->0
если этот предел существует.

200 ГЛ. IV. ПРОИЗВОДНАЯ C
Во всяком случае, всегда существуют (конечные или бес-
бесконечные) выражения
первое из них называется верхней производной функции Ф{Е)
в точке х0 относительно системы Витали 23, второе —
нижней производной функции Ф(Е) в точке х0 относи-
относительно той же системы. Равенство ОФ (х0) = ОФ (х0) Ф оо
представляет собою необходимое и достаточное условие су-
существования у функции Ф{Е) произв эдной в точке х0 отно-
относительно системы Витали 5У.
Вообще говоря, значения величин ОФ(х0), ОФ(х0) и
ОФ(х0) зависят в данной точке х0 не только от функ-
функции Ф(Е), но и от системы Витали, по которой произво-
производится построение производных. Но в действительности воз-
возможные различия могут обнаружиться лишь на множестве
меры 0.
Имеет место следующая теорема о дифференцировании
по системе Витали:
Теорема 1 (Лебега — Витали). Для каждой
счетно-аддитивной функции Ф(Е) на множестве полной
меры существует производная по системе Витали, рав-
равная плотности абсолютно непрерывной составляющей
функции Ф(Е) *).
Доказательство основано на двух следующих леммах:
Лемма 1. Если в каждой точке х0 некоторого изме-
измеримого множества Е, ц(Е) > 0, выполняется неравенство
ОФ(х0)~~Нт —пг}~1 > с (с фиксировано), то для лю-
е->о V 1ле,(хй)\
бого е > 0 найдется множество Q сЕ, \х(Е — Q) < е, для
которого Ф (Q) > сц (Q).
*) Первая абстрактная формулировка теоремы Лебега — Витали
(для абсолютно непрерывных функций множеств) была даиа
Ю. Н. Юновичем в заметке «О дифференцировании абсолютно адди-
аддитивных функций множества», ДАН СССР, 1941, т. 30, 112—115.

3J § 10. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 201
Доказательство. Для заданного е > 0 покроем до-
дополнение СЕ множества Е (конечной или) счетной совокуп-
совокупностью множеств Витали Вх Вп, . . . так, чтобы иметь
[I I\J Вп\ < n(C?)-j-e. Обозначим через В объединение мно-
множеств Вп = Вп у Г (Вп). Мы построим, далее, последователь-
последовательность множеств Qj о Q9 => • • •, каждое из которых есть (не
более чем) счетное объединение множеств Витали, так, что
выполняются условия Ф (Q,,) > ciiQn и
Е — BE — Zn с Qn а С (Bl U ... U Вп),
где Zn (я=1, 2, ...) — некоторые множества меры 0.
Построение будем проводить по индукции. Фиксируя я= 1,
для каждой точки X ? Е — BE найдем все множества Витали
), содержащие х, не пересекающиеся сд, и такие, что
-ттт—г > с. В силу свойства 2, б), такие множества А^ (х)
имеются, причем с произвольно малой мерой. Пользуясь усло-
условием 3, выделим из получающегося покрытия множества
Е — BE множествами Витали счетную подсистему непересе-
непересекающихся множеств Витали [А{Р(х) (/= 1, 2, . . .)}, покры-
покрывающую Е — BE с точностью до множества Zx меры 0, так что
оо
E — BE — Z1<=Ql cCBlt где Q, = (J А{)](х).
Очевидно,
оо оо
Ф (Ql) = 2 Ф №? (Х)) > с S V (АУ (х)) = CJAQl-
]-\ J-1
Предположим, что уже построены множества Qj3 ... =>Qrt_,=
со
= М Л*/' и множества Zv .... 7Л_! меры 0. Покажем,
как построить множества Qn и Zn. Положим Y п =
со оо
= U Г^'/') Л(/}; очевидно, \iYn == 2 ^Г (^'/"'^ °-
Для каждой точки х?Е — BE — Zn_x—Yn найдем все мно-
множества Витали A^ix), содержащие х, содержащиеся в Qn-u
не пересекающиеся с Bl\j ... [} Вп и такие, что

202 гл. iv. производная I*
> с'> свойства 2, а) и 2, б) обеспечивают сущест-
вование таких множеств произвольно малой меры. Используя
условие 3, построим множество Qn — счетное объединение
непересекающихся множеств Витали Af](x), покрывающее
Е — BE — Zn_x—Yn с точностью до множества у'„ меры 0,
так что
Можно написать, что
E-BE-Zn^Qn^C(Bxu ... и Я,),
где Zn = Zn-i-\-Yn-{-Yn есть снова множество меры 0.
При этом
Таким образом, искомая последовательность множеств Q
сю
э Q2 э . ,. построена. Положим Q = Q Q,,. Мы имеем
и = !
Ф(<?)= Пт Ф@„)>с lim Ц(ОЯ) =
и->оо л->оо
С другой стороны,
л=1 и=1
причем
со
ц (Е - 0)< ц (fi?) + S M (ZJ = и (В) - цС (?)< е,
1
л лемма доказана.
Заменяя функцию Ф(?) на 2см.(?) —Ф(?), приходим
к следующему утверждению:
Лемма 1'. Если в каждой точке некоторого измери-
измеримого множества Е выполняется неравенство ДФ(хо) =
= lim —г ле/ °\i < с (с фиксировано), то для любого г > 0
найдется множество QcE, \i(E — Q) < е, для которого

3| § 10. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 203
Замечание. При доказательстве леммы 1 мы неявно
ограничились случаем, когда X — борелевское множество
(т. е. X ?91) и ЕфХ. Снимем эти ограничения.
Предположение о том, что X — борелевское, было исполь-
использовано для того, чтобы показать, что СЕ ? 91. Если же X (? 9(,
то X = Xl U X2 U .... где Х1 с Х2 а . . . и каждое Хп ? 9(.
Пусть ??91, положим Е^^ = ЕХ„, так что Е= \J Е<пК
Для любого е > 0 по лемме 1 найдем множество ф(л)с?Г(л)
такое, чтоц(?(Л)—<3(Л))<е. Ф(ф(л>)>сц(Ф(л)) (я=1. 2, ...).
Переходя к пределу при и—>со, получим
— Q)<e, Ф(ф)>сц(ф), где Q = М Q(">,
что и требовалось.
Если Е=Х, то выбрав подмножество ?A)с?' = А'
(?<О ^= X) и обозначив его дополнение через Е^2\ мы полу-
получим по лемме 1
— QB)) = ц (? — Q)< 2е.
где Q = Q(»U<3B) и Ф(Ф)>Ф(<2) (заметим, что QA) и QB),
подобно ?A) и ?B), не пересекаются).
Лемма 2. Множество Ес=[х: ОФ(х)^-с) измеримо
при любом с.
Доказательство. Для заданного е > 0 каждую точку
a;??c можно покрыть множеством Витали АЕ(х) меры < е,
для которого—. ,Е .. > с — е. Обозначим через Qe объ-
единение всех АЕ(х). Покажем, что QE измеримо. Пусть 93
есть совокупность всех таких множеств Витали, каждое из
которых содержится хотя бы в одном из множеств АЕ(х).
(В частности, 23 содержит каждое множество Ае(х).) Оче-
Очевидно, объединение всех множеств совокупности 33 совпадает
с Qe и система 33 есть покрытие множества Q?, удовлетво-
удовлетворяющее условию C). Поэтому система 93 может быть заме-
заменена счетным объединением множеств Витали и множества
меры 0; следовательно, Qe измеримо.
Пусть ej, e2, ... — сходящаяся к нулю последователь-
последовательность положительных чисел.

204 ГЛ. IV. ПРОИЗВОДНАЯ I'
оо
Положим, далее, Q = f\Q ; очевидно, что Q также из-
я-1 »
меримо. Покажем, что Q = EC. Включение QcEc очевидно.
Возьмем какую-либо точку xo?Q; для любого е>0 най-
найдется по крайней мере одно множество Ае (х) меры < е„,
содержащее х0 (так как х0 принадлежит всем QE \. Мы имеем
lim
lim й_1
л-»оо ^ L ея ^ °'J
откуда следует, что л:0 ? Ес. Итак, QcEc и, следовательно,
Q — Ec, тем самым EC~Q измеримо, что и требовалось.
Переходим теперь к доказательству теоремы 1.
Пусть сначала (I>(E) = S(E) есть сингулярная (но не обя-
обязательно непрерывная) функция множеств относительно
меры ц; покажем, что у нее существует почти всюду произ-
производная по системе Витали, равная 0.
Можно считать, что S(E) — неотрицательная функция
множеств (т. е. DS(x)^O), разложив ее в противном случае
на положительную и отрицательную составляющие, которые
обе также сингулярны. Пусть Z — то множество меры 0, на
котором сосредоточена функция S(E). Мы покажем, что почти
всюду на дополнении множества Z имеет место равенство
DS(x) = 0. __
Пусть с > 0. Множество Ес={х: DS(x)^ c)CZ изме-
измеримо в силу леммы 2. Покажем, что оно имеет меру 0.
В предположении противного по лемме 1 мы смогли бы по-
построить множество Q сЕс также положительной меры, для
которого было бы S(Q) ^> c[i(Q) > 0; но это невозможно,
так как множество Q не пересекается с множеством Z, где
сосредоточена функция S(E). Таким образом, ц{Ес) = 0. Но
тогда и ii([x: DS(х) > 0) CZ) = lim ^(Ес) = 0 и, следова-
с->о _
тельно, почти всюду вне Z ми имеем DS(x) = Q, что и тре-
требовалось.
Пусть теперь Ф(?Г) = А{Е) абсолютно непрерывна. Пред-
Предположим, что во всех точках измеримого множества FQ с X
выполняется неравенство DA(x)~> с; покажем, что

3] § Ю. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 205
). Действительно, в силу абсолютной непрерывности
интеграла
A(E) = jg(x)[i(dx)
для заданного е > 0 можно найти б > 0 так. что из ц(??) < б
следует | А (Е) | < е. По лемме 1 для заданного б можно
найти множество Q с Fo, для которого [i(F0— Q) < б и
A(Q)>c[i(Q). Отсюда
A(F0)=A{Q)+A(F0 — Q)>c[i(Q)- е > сц (/>„) —е — сб.
Так как е и б произвольно малы, то A (Fo) ^> c[i (Fo), что
и требовалось. Аналогично, если во всех точках множества Fo
выполняется неравенство DA (х) < с, то A(F0)<^cn(F0).
Покажем, что почти всюду на Eab~ \х: a < #(*)< b]
имеют место неравенства
ОЛ (*)<#. DA(x)^>a.
Действительно, если бы нашлось измеримое подмножество
Е с ЕаЬ положительной меры, на котором было бы DA (х) > Ь,
то, по доказанному, на этом подмножестве Е мы имели бы
также А (Е) ^ Ьц (Е), что невозможно, так как
Аналогично, невозможно и выполнение неравенства
DA (х) < а на подмножестве Е с ЕаЬ положительной меры.
Рассмотрим теперь счетную совокупность множеств
Ernsn = {x: rn<g(x) <sn].
где rn<.sn — произвольные рациональные числа. Из ка-
каждого Er s выбросим множеств 0
остатке выполнялись неравенства
nn р р
ждого Er s выбросим множество меры 0 так, чтобы на
В результате и из всего X будет удалено некоторое мно-
множество меры 0. Покажем, что во всех оставшихся точках, где
g(x) конечна, существует DA(x) и совпадает с^(д;). Дейст-
Действительно, пусть л; — любая из оставшихся точек, в которой
15 Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревнч

205 гл. iv. производная [«
величина g(x) конечна. Тогда л; ? П Er s , rn<. f (*)< sn,
и, следовательно,
г„ < Ш (*) < DA (х) < s,,;
так как это верно при любых /*„¦</(я)<Сsn, то выбирая гл
и sn сколь угодно близкими, получаем DA (x)=DA (x)=g (x),
чем теорема и доказана, так как произвольную функцию
множеств Ф(?) можно представить в виде
Ф(?) = Л (?) + ?(?),
где А{Е) абсолютно непрерывна, a S(E) сингулярна.
4. Некоторые следствия теоремы Лебега — Витали.
1. Пусть X— множество с мерой ц такое, что каждое
одноточечное множество {л;}?Л' измеримо и имеет меру 0.
Тогда всякая сеть У1 подмножеств множества X является
системой Витали.
По определению, сеть Ш является вполне достаточной си-
системой, т. е. свойство 1 установлено. В качестве границы Г(?)
произвольного множества Е с 1R выберем пустое множество ф.
Всякая сеть ЭТ обладает следующим свойством: два раз-
различных элемента А и В сети Ш либо не пересекаются (и так
всегда обстоит дело, если эти элементы имеют одинаковый
ранг), либо один из них содержится целиком в другом. По-
Поэтому, если х ?Е — ЕГ(Е) = Е, то каждое множество Е'
достаточно малой меры, содержащее х, содержится в Е =
= Е — ЕГ(Е) (свойство 2, а)).
Если л; (? Е = Е [} Г (?) = Е, то л; принадлежит множе-
множеству Е', Е'Е—ф и поэтому каждое множество Витали до-
достаточно малой меры, содержащее л;, не пересекается с Е—Е.
Для установления свойства 3) предположим, что множе-
множество ЕсХ покрыто подсистемой 23 с VI. Заметив, чго лю-
любая сеть Ш. счетна (и, следовательно, счетно любое подмно-
подмножество сети 5R), мы можем совокупность 33 элементов сети 1R
заменить (не более чем) счетной подсовокупностью непере-
непересекающихся элементов с тем же объединением: именно, мы
можем вначале отобрать из системы 23 все элементы первого
ранга, затем из оставшихся элементов, не содержащихся в уже
отобранных, выбрать все элементы второго ранга и т. д.;
очевидно, что получающаяся в этом процессе подсовокупность

4] § 10. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 207
состоит из непересекающихся элементов, не более чем счетна
и имеет то же объединение, что и исходная система 93.
Применяя теорему Лебега — Витали, получаем, что для
сети Ш имеет место теорема де Посселя (п. 2): всякая
счетно-аддитивная функция множеств Ф(Е) имеет на
множестве полной меры произзодную по сети, равную
плотности своей абсолютно непрерывной составляющей.
В частности, для всякой функции F(x) с ограниченным
изменением на замкнутом интервале [а, Ь] получаем сущест-
существование почти всюду производной в смысле B) и ее равен-
равенство плотности g (х) абсолютно непрерывной составляющей
функции F(x).
2. Пусть В есть замкнутый брус в «-мерном простран-
пространстве. Покажем, что совокупность всех замкнутых кубов
В = [х: а, < х, < в,+А а„ < х„ < an-\-h\ ? В (Л > 0)
представляет собою систему Витали.
Границей Г (В) куба В будем считать его обычную топо-
топологическую границу; множество В\}Г(В) замкнуто в В,
а множество В — ВТ (В) открыто в В.
Выполнение условий A) — B) системы Витали в данном
случае очевидно. Проверим выполнение условия C).
Пусть измеримое множество Е с В покрыто некоторой
совокупностью кубов 93= {Ва} так, что для каждого х?Е
и каждого е>0 в системе 93 имеется куб Ва$х, имеющий
объем s(fia)<f,. Покажем, что из системы 93 можно вы-
выбрать не более чем счетную подсистему, покрывающую все Е,
кроме, может быть, множества меры 0.
Объемы кубов системы 23 ограничены сверху числом
*,=asup s(Ba) B3, = 93).
Возьмем любой из кубов системы 23, объема > -у- и
обозначим его через Q,. Если Q, не покрывает с точностью
до множества меры 0 всего Е, то в системе 23, имеются
кубы, не пересекающиеся с кубом Q,. Совокупность всех
таких кубов обозначим через 232. Их объемы ограничены
сверху (точно) числом
k2= sup s(Ba).

208 ГЛ. IV. ПРОИЗВОДНАЯ I*
Выберем из 932 в качестве Q2 любой из кубов объема > -~.
Продолжая таким образом дальше, мы либо после конечного
числа шагов получим покрытие множества Е (с точностью до
множества меры 0) конечным числом непересекающихся кубов
Qv ...,Qm — и теорема будет доказана, — либо же получим
бесконечную последовательность систем 93! = 93 о 932 о ...
... о 93Ш о .... чисел kx > k2 > . .. > km ^ . . . и непере-
непересекающихся кубов Qv Q2, . ... Qm, ... таких, 4ToQm?5Bm,
s(Qm)^> ~f~ (m—l, 2, ...). Покажем, что полученная по-
последовательность кубов Q,, .... Qm, ... покрывает все мно-
множество Е, кроме, возможно, множества меры 0. Обозначим
через Z множество точек Е, не попавших ни в один из ку-
кубов Qm. Обозначим через Qm куб, концентрический с ку-
кубом Qm и имеющий ребро, в 5 раз большее, чем ребро
куба Qm; мы покажем, что при любом р—1, 2, ... мно-
множество Z попадает в объединение QpUQp+iU ¦ • •. откуда и
будет вытекать, что Z имеет меру 0.
Итак, пусть х0 ? Z. При заданном р > 1 эта точка не при-
принадлежит кубам Qv . . ., Qp_j. Но поскольку точка д;0 лежит
в Е, в системе 93 имеются кубы, притом произвольно малых
размеров, содержащие точку д;0; в частности, имеется некото-
некоторый куб Q9 хо> не пересекающийся с кубами Qp .... Qp-V Тем
самым он принадлежит к системе ЗЗр. Если Q не пересекается,
далее, и с кубами Qp Qr-v то он принадлежит к системам
93/,+1, ...,93,. и, следовательно, его объем не превосходит
числа kr. Но ряд 2 *т<С2 2 5 (Qm)< 25 (В) сходится, так
что числа km стремятся к нулю; поэтому найдется такой пер-
первый номер г^р, что куб Q пересечется с кубом Qr. Обо-
Обозначим через / ребро куба Q, а через 1Г — ребро куба Qr.
" г— 1
Так как s(Q)^Ckr, то / <! у kr; так как s(Qr) >-j Аг, то
~j- • Так как Q и Qr пересекаются, то куб Q содер-
содержится в кубе, концентрическом с кубом Qr и имеющем ребро
", </,+2 У?/, < 5/,, т. е. во всяком

4J § 10. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ '209
со
случае в кубе Qr Поэтому х0 ? Qr с. М Qk, что и требова-
ЛОСЬ.
Замечание. Приведенное доказательство (принадлежащее
Банаху) можно перенести и на случай произвольного множества X
с лебеговской мерой ц. Именно, рассмотрим систему измеримых
подмножеств {Q} множества X, покрывающих некоторое измеримое
множество Е ел с выполнением условий:
(а) inf nQ = 0 при любом х ? Е\
Qix
(б) если x(^Q0, (Q0?[Q)), то для достаточно малого е > 0 из
х ? Q, |iQ < ?t следует, что Q не пересекается с Qo;
(в) существуют два положительных числа а и Ь такие, что для
каждого Qo'cfQ}
wfl Оо не пусто/
Тогда существует не более чем счетная последовательность мно-
множеств Qi, Q2, ... из системы {Q}, снова покрывающая все Е, кроме,
может быть, множества меры 0.
Доказательство приводится по схемг предыдущего, с заменой
в последнем этапе рассуждений о ребрах кубов Q и Qr на исполь-
использование свойства (в) (В. П. Яшников).
Применяя теорему Лебега — Витали, получаем:
Теорема 1. У каждой счетно-аддитивной функции
Ф(?) в брусе В почти в каждой точке xo = (xf) №
имеется производная в смысле
НтЖ.
h ->• 0 .ll (ah>
где Bh есть куб
[х : xf) < *, + А *<л°>< хп < *Я> + п).
При п = 1 получаем слудующую теорему.
Теорема 2 (Лебега). Всякая функция F(х) с огра-
ограниченным изменением в замкнутом интервале \а, Ь\
обладает почти всюду в [а, Ь\ производной
А->-0

210 ГЛ. IV. ПРОИЗВОДНАЯ [4
причем эта производная суммируема и совпадает с плот-
ностъю абсолютно непрерывной составляющей функ-
функции F(x).
Отметим два существенных следствия для сингулярной
и абсолютно непрерывной функции.
Следствие 1. Всякая сингулярная в замкнутом
интервале [а, Ь] функция F(x) имеет почти всюду про-
производную F'(x), равную нулю.
Обратно, функция F(x) с производной, почти всюду рав-
равной нулю, если она имеет при этом ограниченное изме-
изменение, сингулярна; для доказательства мы можем разложить
F(x) на сингулярную и абсолютно непрерывную составляю-
составляющие S(x) и А(х) и, используя следствие 1, заметить, что
производная абсолютно непрерывной составляющей почти
всюду равна 0; но тогда абсолютно непрерывная функция
множеств
А(Е) = J A'(x)dx
равна нулю на каждом борелевском множестве Е, и следо-
следовательно, А(х) = А [а, х]~0.
Предположение, что функция F(x) имеет ограниченное
изменение, существенно; могут быть функции, даже непре-
непрерывные, с производной, почти всюду равной нулю, и не обла-
обладающие ограниченным изменением (и тем самым не являю-
являющиеся производящими для функции множеств). Пример такой
функции указывается в задаче 3.
Следствие 2. В;якая обсолютно непрерывная в зам-
замкнутом интервале [а, Ь\ функция F(x) имеет почти
всюду производную в смысле (\)Fr(x) = g(x), которая
представляет собою суммируемую функцию; при этом
F(x) восстанавливается по g (х) интегрированием:
Следствие 2 можно рассматривать как далеко идущее
обобщение классической формулы Ньютона — Лейбница, свя-
связывающей производную с первообразной.
Следствие 3. Абсолютно непрерывную и сингуляр-
сингулярную составляющие функции F(x) с ограниченным изме-

4] § 10. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 211
пением в [а, Ь\ можно найти по самой функции F (х)
по следующим формулам:
X X
А (х) = J Ff (?) d\; S(x)=F (x) - J F' (?) d\.
а а
Следствие 4. Если F(x) — производящая функция
ограниченного изменения на [a, b], Р(х), Q(x) и V(x)—
ее положительное, отрицательное и полное изменения,
то почти всюду
P'(x) = [F'(x)]+, Q'(x) = [F'(x)]-, V'{x)=\F'(x)\.
Кроме того, если F (х) абсолютно непрерывна, то
х х
Q(x)= j[F'Q,)fdl, V(x)= j\F'(l)\dl.
a a
Доказательство. Пусть Ф(Е) — функция множеств
с производящей функцией F(x), и пусть X и Х~ — два
множества, участвующие в разложении Хана на X = [а, Ь\
(см. п. 6, § 8). Тогда Ф(?)^>0 на любом борелевском
множестве ЕсХ + . Это означает, что почти всюду на X+
справедливо неравенство F'(х)^0; в противном случае,
если бы на множестве Еп положительной меры в Х+ F'(x)<^,
¦^ — с < 0, то лемме 1' п. 3 существовало бы множество
Qcfj положительной меры такое, что Ф(ф)<<^ — Ф(ф).
Аналогично, почти всюду на Х~, справедливо неравенство
/"(х)<0. Пусть далее, F(х) = Р(х) — Q(х) есть раз-
разложение функции F (х) на неубывающие составляющие (по-
(положительное изменение Р(х) и отрицательное изменение
Q(x)) и Ф(Е) = Р(Е)—Q (?) — соответствующее разло-
разложение функции множеств Ф(?); функция Р(х) — произво-
производящая для меры Р(Е), функция Q(x)—производящая для
меры Q (Е). На множестве X и на всех его борелевских
подмножествах мера Q обращается в нуль, откуда следует,
что почти всюду па X мы имеем Q'(x) = 0; аналогично,

212 ГЛ. IV. ПРОИЗВОДНАЯ IS
почти всюду на Х~ мы имеем Р'(х) = 0. Так как F'(x) =
= Р'(х) — Q'(x), то мы имеем F'(х) = Р'(х) почти всюду
на Х+ и F'(x) = — Q'(x) почти всюду на Х~.
Таким образом, Р'(х) = \F'(x))+, Q'(x)=[F'(х)]~. и
для полного изменения V{х) = Р(х)-|-Q(х) функции F{x)
мы получаем равенство
Пусть, далее, F(x) абсолютно непрерывна; тогда функции
Р(х), Q(x) и V (х) также абсолютно непрерывны (§ 9, п. 6).
Так как абсолютно непрерывная функция есть интеграл от
своей производной, то для функций F, P, Q, V мы полу-
получаем выражения:
X X
а
х
5. Дифференцирование функции множеств относи-
относительно (х-кольца (дифференцирование в самом сильном
смысле). Как и раньше, рассмотрим множество X с боре-
левской мерой |х, о-кольцо 21 борелевских множеств Е <ц. X
и систему Витали 33 ^множеств Е с 31.
Введем определение точки Лебега суммируемой функции.
Будем говорить, что точка х0 ? X есть точка Лебега сум~
мируемой функции Ф(х) относительно системы Витали S3,
если
= 0 A)
e->oo t* 1"г клап -¦
Покажем, что почти каждая точка хо?Х является
точкой Лебега для функции ф(*).
Пусть г — фиксированное число. Тогда на некотором
множестве Ег полной меры в силу теоремы 1 п. 3 выпол-
выполняется предельное соотношение
lim7p-W J
е'>0 е ° М*о)

S) § 10. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 213
Рассмотрим всюду плотное счетное множество значений г,
например, множество рациональных г. Пересечение Е всех
множеств Ет есть также множество полной меры. Пусть
хо?Е такова, что ф(х0) имеет конечное значение; покажем,
что х0 есть точка Лебега. Действительно, для заданного 6 > 0
можно указать такое рациональное г, что |(р(х0) — г\ <-т!
далее, можно написать
Со)
ц[Л(*оI
\ (*о)
Г
М'о)
J \
При достаточно малом е выражение в фигурных скобках
становится меньше, чем 6/3; поэтому при таких е вся сумма
справа будет меньше, чем 6, откуда и вытекает требуемое
равенство A), так как ц>(х) конечна почти всюду.
Будем говорить, что последовательность Ev E2, ... боре-
левских множеств правильно стягивается к точке х0,
если Еп помещается на множестве Ап системы Витали, со-
содержащем точку х0 и имеющем меру \i(An)-+0, причем
\i (En) ^ c\i (Ап), где с > 0—постоянная, не зависящая от я.
Пусть имеется счетно-аддитивная функция Ф(?), опре-
определенная на о-кольце 31 измеримых множеств Е с X, содер-
содержащем некоторую систему Витали 33. Производной функции
Ф(Е) в точке *о€-^ относительно кольца *U называется
выражение
D«O(x0)= lim
Я->оо
где ЕпХп-т*'\, 2, ...-)—любая последовательность множеств
кольца .Я. правильно стягивающаяся к точке х0.

214
ГЛ. IV. ПРОИЗВОДНАЯ
[5
Теорема 3. Производная функции Ф(Е) относи-
относительно кольца 91 существует почти во всех точках
х0 ? X и равна плотности абсолютно непрерывной со-
составляющей функции Ф(?).
Для доказательства используем следующую лемму.
Лемма. Если х0 — точка Лебега суммируемой функ-
функции ф(х) и Еп — последовательность измеримых мно-
множеств, правильно стягивающаяся к точке х0, то
?1Т f Ф(*) !*(**) = Ф (¦*(»)¦
П -> со
Доказательство. Мы имеем, очевидно,
— ТГПГТ
п
) I Ф (хо) — Ф О) I И- (<**) -^ 0.
Как следствие получаем, что в каждой точке Лебега
функция (р(х) равна производной относительно системы %
От своего «неопределенного интеграла»
Доказательство теоремы 3. Всякая абсолютно
непрерывная функция множеств Ф(?), как мы знаем, есть
интеграл от некоторой суммируемой функции. Таким обра-
образом, для абсолютно непрерывной функции Ф(?) наша тео-
теорема справедлива.
Рассмотрим сингулярную функцию Ф(Е) = 5(?). Без огра-
ограничения общности ее можно считать неотрицательной. Пусть
хй — точка, в которой ее производная D$,S(x) по системе
Витали Ц равна нулю; как мы знаем, для сингулярной функ-

51 § 10. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 215
ции такие точки образуют множество полной меры. Пусть
измеримое множество Еп, принадлежащее к области опреде-
определения функции S, находится на множестве Витали Ап, со-
содержащем точку х, и таково, что |i (?„) ^ ср. (А„). Мы имеем
при я -> оо
S (Д„) ^ 1 S
ц (?„)
Таким образом, теорема 3 справедлива и для сингуляр-
сингулярных функций. (Следует иметь в виду, что функция S(E]
может быть определенной не на всех измеримых подмноже-
подмножествах Е с X, как это имеет место для абсолютно непрерыв-
непрерывной функции А (?), а только на некоторых.) Вместе с тем
теорема 3 оказывается справедливой для всех счетно-адди-
счетно-аддитивных функций множеств Ф(?).
В применении к функциям F(x) с ограниченным измене-
изменением на замкнутом интервале [а, Ь] получаем: всякая такая
функция F(x) имеет почти в каждой точке х0 произ-
производную в смысле
Г(*о) = "т Щ'Ш• Ф[а, x] = F(x),
л->оэ !* 1ьл \хо)\
где Еп(х0)—борелевское множество, правильно стягиваю-
стягивающееся к точке х0 в том смысле, что Еп (хо)с(хо — hn, xo-{- hn],
А„-^0 и
с фиксированной постоянной с > 0.
ЗАДАЧИ
1. Построить непрерывную функцию с ограниченным изме-
изменением, обращающуюся в нуль в граничных точках полуинтерва-
полуинтервалов -jLf < -У<1 ът— н не имеющую обычной производной в дай-
дайной иррациональной точке х0.
2. Показать, что функция хг sin — = F (х) в точке х0 = 0 не
имеет производной в смысле C) п. 1 (хотя ее обычная производ-
производная, очевидно, существует и равна 0).
3. Функция a; sin — ие имеет ограниченного изменения на [— я, я].
Заменив ее иа участках монотонности функцией типа канторовой.

216 ГЛ. IV. ПРОИЗВОДНАЯ IS
получить непрерывную функцию с производной, почти всюду равной
пулю и не имеющей ограниченного изменения.
оо
4. (Малая теорема Фубини.) Дан ряд 2 ®п(^) не"
отрицательных счетио-адднтивиых функций, сходящихся на всех
Е ? St к конечной функции Ф (?). Показать, что почти всюду
оо
2 D<bn (х) = DO (х).
5. Пусть X и Y — два множества, снабженные (неотрицатель-
(неотрицательными) мерами ц н v. Предположим, что отображение у — /(х)
переводит X в Y взаимно однозначно (или хотя бы почти взаимно
однозначно, т. е. взаимно однозначно после выбрасывания некото-
некоторого множества меры 0 из А!" и некоторого множества меры О
из У), причем множества из X меры 0 переводятся в множества
нз У меры 0. Пусть, далее, на множестве X выделена система
Витали 58. Определим «якобиан преобразования у = / (х)» по
формуле
где Ае(х0) — любое множество системы 93, содержащее точку хл
и имеющее меру < е. Показать, что D ( J существует почти всюду
па X и суммируем иа каждом суммируемом множестве Ее X.
6. (Продолжение.) Справедлива формула
Ф (У) v (dy) = J Ф [/ (*)] D ( х \ |i (dx),
у х
причем из существования одной из частей следует существование
другой.
УКАЗАНИЯ
1. При га->оо правые граничные точки полуинтервалов —^j- <дг<-^-^—,
содержащих точку xt, образуют строго убывающую последовательность {*-,}. схо-
сходящуюся к -г0, причем, очевидно,
Пусть F(*) —непрерывная функция, равная нулю в точках х п линейная в ни-
тервалах (хт+1, 1„,), (\т, хт), где 1т<**т *™+Х , причем Р (х) в точ-
ках |т принимает значение ^--^о' ^огла ''W не имеет производной в обычном
смысле в точке дг0. Доказать, что Р (х) имеет ограниченное изменение.
2. Принять за Е совокупность полуинтервалов (а^, р^| С (— •/"> '/. на
которых У7 (дг) возрастает.

S) § 10. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 217
4. На множестве полной меры, где существуют все 0ФЛ (х) я Оф(х), пере-
переходам к пределу из неравенства
ФЛ[Л(*оI . фИ(*о)]
1ЧА(ха)\ Ч ЩА(хо)\
00
Получить 2 ?>ф (*)< ?>Ф (ж).
Если для заданного ft > 0 выбрано Л'ь так, что
Nk
Ф{х)-2 Ф
1 "
то ряд из функций Ф'Ь(?) = Ф (?)— 2 ф. (Е) сходится иа всех Е. На множестве
" л=1 *
полной меры сходится ряд из функций С?йй=/)Фй- 2 ОФп(х). Отсюда
2 йФ (_г)->СФ(-г), а следовательно, и 2 ОФ (х)¦+ ОФ(х).
я-1 " я-1 "
5. Функция Ф(Е) = \ |/ (Е)\ счетно-аддитивна и абсолютно непрерывна.
6. Ввести на суммируемых подмножествах ЕСХ новую меру
мдачу 7 к § 8.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная непрерывность интеграла
по множеству 122
Абсолютно непрерывная функция
множеств 173, 187, 195
Аксиомы Стона 116
Борелевская мера 150
обобщенная 150
— функция 147
Борелевское множество 143, 150
классическое 143
обобщенное 150
Брус 8, 63
—, граница верхняя 64
—, — несобственная 64
—, — нижняя 64
—,объем 8
— основной 8, 63
—, разбиение 8, 69
—, размер 8
—, строгое включение 98
Граница бруса верхняя 64
¦ несобственная 64
— — нижняя 64
Дискретная функция множеств 173
, производящая функция 190
точки 190
Замкнутое множество 144
Измеримая функция 40, ПО
Измеримое множество 113, |44
Интеграл верхний II
— Даниэля 3.4
— Лебега 33, 119
в п-мерком пространстве 53
— Лебега—Стилтьеса 89
— незнакоположительнын 48
— нижний II
— но множеству 120
, абсолютная непрерывность
122
— Рнмана 9
несобственный 54
, соотношение с интегралом
Лебега 55
— Римана— Стилтьеса 69
— ступенчатой функции 14
— элементарный 26
Интегральная сумма верхняя,
няя 10
— — Рнмана — Стнлтьсса 69
Каноническое разложение квазиобъе-
квазиобъема 83
меры 161
функции с ограниченным изме-
изменением 192
— — функционала 53
Канторово множество 25
Квазндлина 67
— неотрицательная 67
— непрерывная (сверху) 105
—, производящая функция 67
Квазиобъем 65
—, каноническое разложение 83
— неотрицательный 65
— непрерывный (сверху) 100
на пустом множестве 100
—, полное изменение 66, 84
—, производящая функция 68
— с ограниченным изменением 65,66,
84, 85
Квазиобъемы эквивалентные 73
Класс L 32
— L* 29
Кольцо множеств 118
Лемма Диии 59
— Фату 40
Лист 15, 64
Мера борелевская 150
незнакоположительная 159
— — обобщенная 150
— верхняя 140
— внешняя 140
— внутренняя I Hi
— измеримого множества 132
—, каноническое разложение 161
— конечно-лебеговская 150
— лебеговская 1Г»1
— на п-мерном брусе 142
— на произведении множеств 123
— нижняя 146
— счетно-аддитивная 149
— элементарная 149, 151
Множество борелевское 143, 150
классическое 143
обобщенное |50
— замкнутое 144
— измеримое 113, 144, 146
по Лебегу 144
— канторово 25
— меры нуль 13, 27
— неизмеримое 170
— открытое 143
— полной меры 10, 27

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
219
Множество 0-нзмернмое 142
— суммируемое 114
— элементарное 148
Неизмеримая функция 61
Неизмеримое множество 170
Непрерывная функция множеств 173
Неравенство Гёльдера 126
Пересечение мер 156
Плотность функции множеств 195
Подбрус 61
Покрытие множества брусами 15
Полукольцо множеств 131
— — вполне достаточное 138
— — достаточное 134
Последовательность борелевских мно-
множеств, правильно стягивающаяся 213
— брусов, сходимость сверху 9S
Произведение множеств 43
— —, мера на нем 123
Производная верхняя 200
— нижняя 200
— по сети 198
— по системе Витали 199
— по а-кольцу 212
Производящая функция 67
Пространство измеримых множеств
130
функций 130
— линейное нормированное 40
— С(Х) 95, 167
— L 41, 51
, линейные функционалы в нем
180
, полнота 41
~ Lp m
, линейные функционалы в нем
181
— функций с ограниченным измене-
изменением 87, |93
Разбиение бруса 8
.отвечающее числу е 69
Разложение Хана 164
Сингулярная функция множеств 173
— , производящая функция 188
точки 188
Система брусов плотная 65
— Витали 199
Спрямляемая кривая 86
Ступенчатая функция 13
, интеграл 14
Суммируемая функция 32
— — по Лебегу — Стнлтьесу 89
Суммируемое множество 114
Сходимость в существенном 75
— по мере 129
Счетно-аддитнвная мера 149
— функция множеств 149
абсолютно непрерывная 173
дискретная 173
непрерывная 173
, производная верхняя, ниж-
нижняя 200
,— по сети 198
, — по системе Внталн 199
Счетно-аддитивная функцм множе-
множеств, производная по п-кольцу 212
сингулярная 173
Теорема Беппо—Леви 34
— Бернштейна 80
— Бохиера—Хинчииа 80
— Егорова 129
— Жордана 85
— Лебега о дифференцировании 209
— — о почленном интегрировании 37
— — о разложении функции с огра-
ограниченным изменением 192
— Лебега—Витали 200
— Лузина 147
— де Пчоселя 198
— Радона—Никодима 176
— Рисса 48
— Фишера— Рнсса 41
— Фубиии 43
для функции л-перемениых 50
малая 216
— Хеллн вторая 76
первая 75
— Херглотца 78
Точка Лебега 212
Функционал, каноническое разложе-
разложение 53
Функции равиоизмернмые 147
Функция абсолютно непрерывная 184
— борелевская 147
— верхняя 21
— дискретная 190
— измеримая 40, ПО
— интегрируемая по Лебегу 32
по Риману 9
по Рнмаиу—Стилтьесу 69
— Кантора 87
— — абсолютно непрерывная 173
, плотность 195
, производящая функция 187
сингулярная 173
. сосредоточенная на множестве
172
счетио-аддитивиая 149
— — — абсолютно непрерывная 173
непрерывная 173
сингулярная 173
— неизмеримая 61
—, отрицательная и положительная
части II
—. полное изменение 67
— производящая для квазидлины 67
— — — квазнобъемов 68
— распределения 67
— с ограниченным изменением 67, 85
— , каноническое разложение
192
— сингулярная 188
— скачков 91
— ступенчатая 13
— суммируемая 32
—, — по Лебегу — Стилтьесу 89
— точки абсолютно непрерывная 184
сингулярная 188
— элементарная 26
Якобиан 216

Георгий Евгеньевич Шилов
н Борис Лазаревич Гуревич
Интеграл, мера и производная
М„ 1967 г., 220 стр. с нлл.
Редактор М. Г. Сонас
Техн. редактор И, Ш. Аксельрод
Корректор О. А. Бутусова
Сдано в набор 2S/XII 1966 г. Подписано к печа-
печати 31 III 1967 г. Бумага 84xlO8'/s2- Фнз. печ. л. 6,87.
Условн. печ. л. 11,54. Уч.-изд. л. 11,23. Ти-
Тираж 25 000 экз. Т-04710. Цена книг» 91 коп.
Заказ № 492.
Издательство сНаука».
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, B-7I, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография Кя 2 имени Евгении
Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29.