APPLIED ELASTICITY
 CHI-TEH WANG, Sc. D.
 Professor of Aeronautical Engineering New York University
 McORAW-HILL PUBLISHING COMPANY LTD NEW YORK LONDON TORONTO

ВАН ЦЗИ-ДЕ
 ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
 Перевод с английского И. Н. ЗЕМЛЯНСКИХ
 Под редакцией А. С. ВОЛЬМИРА
 ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
 МОСКВА 1959

12-5-4
 Ван Цзи-де
 Прикладная теория упругости.
 Редактор Г. И. Фельдмая.
 Техн редактор К, Ф. Брудно. Корректор Е. А. Белицкая
 Сдано в набор 7V 1959 г. Подписано к печати 14IX 1959 г. Бумага 60x 9216.
 Физ. печ. л. 25,0. Условн. печ. л. 25,0. Уч.-изд. л. 25,03.
 Тираж 7 000 экз. Т-0639Э. Цена книги 14 р. Заказ 369.
 Государственное издательство физико-математической литературы.
 Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
 Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза, Ленинград, Измайловский пр., 29.

ОГЛАВЛЕНИЕ
 Предисловие редактора перевода 8
 Из предисловия автора. 10
 Глава 1. Теория напряжений 11
 1.1. Определение и обозначение напряжений 11
 1.2. Дифференциальные уравнения равновесия 13
 1.3. Определение напряжения в точке 17
 1.4. Главные напряжения и круг Мора 20
 1.5. Граничные условия, выраженные через заданные поверхностные силы 25
 Глава 2. Теория деформаций 26
 2.1. Компоненты деформации 26
 2.2. Определение деформации в точке 28
 2.3. Уравнения совместности 32
 Глава 3. Соотношения между напряжениями и деформациями.
 Общие уравнения теории упругости 35
 3.1. Идеализация материалов, применяемых в технике 35
 3.2. Обобщенный закон Гука 36
 3.3. Упругие постоянные, применяемые в технике 40
 3.4. Постановка задач теории упругости 43
 3.5. Энергия деформации. 46
 3.6. Существование решения и его однозначность 51
 3.7. Принцип Сен-Венана 54
 Глава 4. Плоское напряженное состояние и плоская деформация 56
 4.1. Основные дифференциальные уравнения 56
 4.2. Изгиб консоли с узким прямоугольным сечением силой, приложенной на конце 60
 4.3. Основные уравнения в цилиндрических координатах. 66
 4.4. Толстая труба под действием равномерного давления. Соединения с натягом 70
 4.5. Влияние круглых отверстий малого диаметра на напряжения
 в пластинках. Концентрация напряжений 75
 4.6. Напряжения во вращающихся дисках и цилиндрах. 79
 4.7. Вращающийся диск переменной толщины 84
 4.8. Температурные напряжения в тонких дисках и длинных цилиндрах 87
 Глава 5. Кручение стержней различной формы. 94
 5.1. Кручение призматических стержней 94
 5.2. Кручение стержней круглого и эллиптического сечений. 99
 5.3. Кручение стержней прямоугольного сечения 103

б
 ОГЛАВЛЕНИЕ
 5.4. Мембранная аналогия 108
 5.5. Кручение тонкостенных стержней открытого профиля. 114
 5.6. Кручение тонкостенных труб 117
 5.7. Кручение круглых валов переменного диаметра 121
 Глава 6. Метод конечных разностей и метод релаксации 125
 6.1. Конечные разности 125
 6.2. Уравнения в конечных разностях 129
 6.3. Решение уравнений в конечных разностях 131
 6.4. Метод релаксации 134
 6.5. Групповая релаксация и линии симметрии 139
 6.6. Уравнения в конечных разностях высшего порядка 143
 6.7. Метод экстраполяции 151
 6.8. Случай криволинейного контура. Изменение шага клетки.. 159
 6.9. Другие граничные условия 162
 Глава 7. Энергетические принципы и вариационные методы.. 166
 7.1. Принцип потенциальной энергии 166
 7.2. Принцип дополнительной энергии 171
 7.3. Рассмотрение принципов потенциальной и дополнительной
 энергии как вариационных принципов 174
 7.4. Метод Рэлея — Ритца 181
 7.5. Метод Галеркина 187
 7.6. Метод Бицено — Коха 191
 7.7. Теорема взаимности и теоремы Кастильяно 193
 Глава 8. Применение комплексных переменных 197
 8.1. Комплексные переменные и комплексные функции 197
 8.2. Некоторые основные зависимости теории комплексных переменных 200
 8.3. Кручение призматических стержней 205
 6.4. Кручение стержня эллиптического сечения 211
 8.5. Задачи о плоском напряженном состоянии и плоской деформации 214
 8.6. Решение задач о плоском напряженном состоянии и плоской деформации в полярных координатах 219
 8.7. Общее решение задачи для бесконечной пластинки с круговым отверстием 220
 8.8. Бесконечная пластинка, находящаяся под действием сосредоточенных сил и моментов 225
 8.9. Круглая пластинка, произвольно нагруженная по контуру. 227
 8.10. Пластинки, ограниченные двумя концентрическими окружностями 230
 8.11. Растяжение пластинки с эллиптическим отверстием. Метод
 конформных преобразований 233
 Глава 9. Изгиб и сжатие стержней. Устойчивость упругих
 систем 239
 9.1. Чистый изгиб призматических стержней 239
 9.2. Призматические стержни при совместном действии изгиба
 и сжатия Г.. 244
 9.3. Призматические стержни под действием осевого сжатия.
 Устойчивость упругого стержня 247
 9.4. Критические нагрузки для стержней постоянного поперечного сечения 254

ОГЛАВЛЕНИЕ
 9.5. Выпучивание рам. Стержни с упруго защемленными концами 259
 9.6. Выпучивание стержней переменного поперечного сечения 261
 9.7. Разрушение реальных стержней 265
 9.8; Боковое выпучивание балок с узким поперечным сечением 267
 Глава 10. Численные методы определения критических нагрузок 272
 10.1. Применение метода конечных разностей 272
 10.2. Метод релаксации 27
 10.3. Приближения высших порядков в методе конечных разностей 281
 10.4. Методы экстраполяции 282
 10.5. Энергетический метод 289
 10.6. Вывод формулы Рэлея из принципа потенциальной энергии 298
 10.7. Погрешности при определении критических нагрузок энергетическим методом 304
 10.8. Определение нижней границы критических нагрузок для
 стержней переменного поперечного сечения 308
 Глава 11. Изгиб и выпучивание тонких пластинок 314
 11.1 Дифференциальное уравнение изгиба тонких пластинок... 314
 11.2. Граничные условия 319
 11.3. Изгиб шарнирно опертых прямоугольных пластинок. 321
 11.4. Изгиб прямоугольных пластинок с защемленными кромками. Метод Рэлея — Ритца... 325
 11.5. Изгиб круглых пластинок 331
 11.6. Прямоугольные пластинки при совместном действии поперечной нагрузки и сил в срединной плоскости 335
 11.7. Выпучивание шарнирно опертых прямоугольных пластинок, подвергающихся равномерному сжатию в одном направлении 340
 11.8. Выпучивание свободно опертой квадратной пластинки, сжа¬
 той в двух перпендикулярных направлениях. Приближенное решение по методу конечных разностей 342
 11.9. Выпучивание шарнирно опертых прямоугольных пластинок
 при сдвиге. Энергетический метод 345
 Глава 12. Теория тонких оболочек и изогнутых пластинок.... 351
 12.1. Элементы дифференциальной геометрии поверхности... 351
 12.2. Уравнения равновесия 364
 12.3. Безмоментная теория оболочек вращения 369
 12.4. Безмоментная теория круговых цилиндрических оболочек. 376
 12.5. Определение компонентов деформации 378
 12.6. Общая теория круговых цилиндрических оболочек. 384
 12.7. Круговая цилиндрическая оболочка при осесимметричном
 нагружении 386
 12.8. Цилиндрические оболочки при несимметричном нагружении 390
 12.9. Выпучивание круговой цилиндрической оболочки под действием равномерного осевого сжатия 394
 Предметный указатель 398

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
 Данная книга может служить пособием по теории упругости для сравнительно широкого круга читателей: студентов старших курсов высших технических учебных заведений, аспирантов, инженеров, научных работников.
 Первые три главы посвящены общему исследованию поля напряжений и деформаций, формулировке закона Гука и выводу основных уравнений теории упругости. Здесь же излагается теорема об однозначности решений и принцип Сен-Венана. К этому разделу примыкает седьмая глава, в которой формулируются энергетические зависимости и, в частности,принцип дополнительной работы. В седьмой главе изложены также вариационные методы решения задач, причем наибольшее внимание уделено методам Ритца и Бубнова — Галеркина.
 В четвертой главе рассмотрена плоская задача, в пятой главе — теория кручения стержней произвольного сечения. Дополнением к этим разделам служит восьмая глава: в ней для решения тех же задач применяются функции комплексной переменной.
 Девятая глава содержит задачи, относящиеся к продольно-поперечному изгибу балок и устойчивости сжатых стержней, и некоторые сведения по устойчивости рам и по устойчивости плоской формы изгиба полосы.
 Большое место в книге уделено.численным методам решения задач. В шестой и десятой главах подробно изложены метод конечных разностей и метод релаксации. Дан ряд примеров на применение этих методов к задачам по кручению стержней и расчетам на устойчивость и сравнительный анализ результатов решения в различных приближениях.
 Одиннадцатая и двенадцатая главы посвящены теории тонких пластинок и оболочек. Здесь приведен вывод общих уравнений, относящихся к оболочкам произвольного очертания. В качестве частных случаев рассмотрены оболочки вращения и безмоментные оболочки. Разобраны некоторые задачи по устойчивости пластинок. Дано решение одной задачи по устойчивости цилиндрической оболочки, в линейной постановке.
 Изложение многих разделов иллюстрируется числовыми примерами. В конце каждого параграфа помещены задачи для самостоя¬

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
 9
 тельного решения читателями. Математический аппарат книги отвечает примерно уровню подготовки, получаемой студентами втузов. Выкладки проводятся достаточно подробно. Читатели, имеющие математическую подготовку в объеме университетской программы, могут пропустить некоторые вступительные разделы по функциям комплексной переменной, по теории поверхностей и т. д.
 Настоящая книга охватывает лишь часть разделов теории упругости и, конечно, не может заменить таких фундаментальных курсов, какими являются книги Н. И. Мусхелишвили, П. Ф. Папковича, или А. Лява. Ван Цзи-де не приводит ссылок на обширную советскую литературу по теории упругости, за исключением некоторых трудов Б. Г. Галеркина и Н. И. Мусхелишвили. Результаты исследований советских ученых в области теории упругости изложены в курсах
 Н. И. Безухова, В. В. Новожилова, М. М. Филоненко-Бородича и других авторов, а также в монографиях В. 3. Власова по теории оболочек и тонкостенных стержней, А. И. Лурье — по теории оболочек и по пространственным задачам, С. Г. Михлина — по вариационным методам, В. В. Новожилова — по нелинейным задачам и т. д. Большое число статей, относящихся к различным разделам теории упругости, помещено в журнале «Прикладная математика и механика».
 При подготовке перевода книги Ван Цзи-де были сверены американское и английское издания 1953 г. и устранены замеченные опечатки. В числовых примерах английские меры переведены в метрические.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
 В течение последних лет автор читал курс теории упругости студентам Нью-Йоркского университета — будущим инженерам. Настоящая книга отражает содержание прочитанных лекций. При подготовке курса автор преследовал две цели. Во-первых, необходимо было добиться, чтобы студенты твердо усвоили основы теории и умели правильно поставить любую задачу, относящуюся к классической теории упругости. Во-вторых, имелось в виду познакомить студентов с наиболее эффективными аналитическими и численными методами решения задач. Это должно было научить студентов доводить до конца решение поставленной задачи, используя один из рассмотренных методов.
 Автор учитывает, что обычно студенты, изучающие теорию упругости, одновременно с этим проходят специальные главы курса высшей математики. Поэтому при изложении материала предполагается, что слушатель владеет лишь сравнительно простым математическим аппаратом. В тех случаях, когда приходится прибегать к более сложным разделам высшей математики, даются некоторые предварительные сведения. Автор надеется, однако, что это ограничение в отношении математического аппарата не повлияло заметно на строгость изложения.
 Так как эта книга предназначена, главным образом, для инженеров, автор старался осветить физический смысл встречающихся обозначений и математических зависимостей. Задача инженера, специализирующегося в области расчетов на прочность, состоит обычно в том, чтобы в пределах сравнительно короткого периода времени снабдить конструктора необходимыми сведениями и числовыми данными для расчета. Поэтому здесь особенно подробно рассмотрены некоторые эффективные численные методы. В тех случаях, когда точное решение задачи затруднено, подобные методы приводят к приближенному решению, вполне удовлетворительному с точки зрения практических приложений.
 Во всех разделах книги делаются ссылки на источники. Однако автор должен особо отметить труды С. П. Тимошенко, Р. В. Саусвелла и И. С. Сокольникова, повлиявшие на построение данного курса.

ГЛАВА 1 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
 1.1. Определение и обозначение напряжений. Если тело находится под действием внешних сил, то форма и размеры его изменяются, причем влияние сил распространяется на все тело. Выделим внутри тела малую плоскую площадку; действие сил передается через нее от части тела, находящейся по одну сторону площадки, на часть тела, находящуюся с другой ее стороны. Под напряжением понимается внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади. Будем считать, что материал имеет непрерывное строение. Тогда напряжение, передающееся в некоторой точке через малую площадку АЛ, можно выразить как предел отношения:
 1-
 напряжение lim -т -т, дл>о
 А
 где А7 — приходящаяся на площадку А А внутренняя сила.
 Допущение о непрерывности строения материала будет рассмотрено позднее.
 Через данную точку можно провести бесконечное множество площадок. Рассмотрим в качестве примера стержень, подвергающийся простому растяжению. На рис. 1.1 изображены два плоских сечения, проходящих рис через точку Р. Результирующие силы, действующие по этим сечениям, совпадают; однако напряжения, действующие по сечениям, будут различными, так как наклоны площадок, а следовательно, и их величины неодинаковы. Для того чтобы определить напряжение, необходимо знать не только его величину, линию действия и направление, но также и площадку, по которой оно действует. Поэтому мы должны понимать напряжение как тензор: оно зависит не только от вектора усилия, но и от вектора, характеризующего соответствующую площадку. В произвольно выбранной прямоугольной системе декартовых координатных осей сила полностью определяется компонентами вдоль этих осей. Эти компоненты вдоль осей х, у, z удобно обозначать, присоединяя к букве F соответственно один индекс: Fx% Fyt Fz, Однако такие обозначения недостаточны для напряжений;

12
 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
 ГЛ. 1
 чтобы полностью охарактеризовать напряжение, нужно еще определить сечение, в котором напряжение действует. Для этого можно ввести второй индекс, соответствующий направлению нормали к плоскости сечения. Например, нормаль к сечению, параллельному плоскости yz, направлена вдоль оси х поэтому для обозначения такого сечения можно воспользоватся индексом х.
 Напряжение в сечении, проходящем через некоторую точку, можно разложить на две составляющие — нормальное напряжение, перпендикулярное к сечению, и касательное напряжение, лежащее в плоскости сечения. Будем обозначать нормальную составляющую напряжения через о, а касательную — через т. Направление нормальной составляющей, является вполне определенным; здесь достаточно одного индекса, обозначающего соответствующую площадку. Касательную же составляющую напряжения можно снова разложить на два компонента по направлениям координатных осей, лежащих в плоскости сечения; поэтому для определения касательного напряжения необходимы два индекса: первый должен обозначать плоскость,
 в которой напряжение действует, а второй — направление напряжения. При этом, например, три составляющие напряжения, действующие в плоскости yzy следует обозначать через <зх, хху, xxz. Через любую точку тела можно провести три взаимно перпендикулярные координатные плоскости, так что всего мы получим девять составляющих напряжения. Обозначения для остальных компонентов напряжения указаны на рис. 1.2.
 Примем следующее правило знаков. Нормальное напряжение будем считать положительным, если оно является растягивающим, т. е. если напряжение направлено от площадки, на которую оно действует. Сжимающее напряжение, направленное к площадке, будет тогда отрицательным. Как легко видеть, для сечения, расположенного подобно грани A'B'C'D' на рис. 1.2, нормальное напряжение будет положительным, если его направление совпадает с направлением координатной оси; между тем, для такого сечения, как ABCD, положительное нормальное напряжение обращено в сторону, обратную направлению оси. Положительные направления для касательных напряжений условимся выбирать соответственно следующим образом. В площадке, подобной A'B'C'D', где растягивающее напряжение совпадает с направлением одной координатной оси, касательные напряжения будем принимать положительными, если они действуют по направлениям двух

1,2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНЙЯ РАВНОВЕСИЯ 13
 других координатных осей. Если же растягивающее напряжение направлено обратно по отношению к оси, то положительные касательные напряжения будут также действовать в сторону, обратную положительным направлениям координатных осей. Следовательно, положительные направления компонентов напряжения, действующих на правую, переднюю и верхнюю грани элементарного кубика на рис. 1.2, должны совпадать с положительными направлениями координатных осей. Для левой, задней и нижней граней элемента положительными надо, напротив, считать направления, обратные направлениям осей.
 1.2. Дифференциальные уравнения равновесия. Приложенные к телу внешние силы считаются уравновешенными, если при действии этих сил тело находится в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения. Различают, вообще говоря, два рода внешних сил: поверхностные и объемные силы. Например, гидростатическое давление, распределенное по поверхности тела, относится к поверхностным силам. С другой стороны, сила веса и центробежная сила, распределенные по объему тела, являются объемными. Поверхностную силу относят к единице площади, а объемную силу — к единице объема. Чтобы различать эти два рода сил, условимся обозначать компоненты поверхностной силы вдоль осей х% у, z через X, К, Z, а компоненты объемной силы — через Х% У, Z.
 Прежде чем перейти к составлению уравнений равновесия, выпишем выражения, для составляющих напряжения в различных площадках бесконечно малого элемента. Выделим элемент длиной, равной единице, и площадью поперечного сечения dx dy. В общем случае напряжения в теле меняются от точки к точке. Рассмотрим простой случай, когда тело подвергается действию растягивающих напряжений только в направлении х рис. 1.3, а. Обозначим напряжение в точке А
 Рис. 1.3.
 через Так как через dx обозначен бесконечно малый линейный элемент, то напряжение в точке В, равное охВ, можно представить как сумму ох и малого приращения напряжения на отрезке от А до В. Это малое приращение можно определить по известным правилам дифференциального исчисления: скорость изменения ох

14
 теЪрия напряжений
 гл. 1
 по координате х, относящуюся к точке А, надо умножить на длину отрезка АВ:
 °ccB °a>?dx. 1.1
 В выражении 1.1 используется символ частной производной, так как ох зависит не только от координаты х, но и от у. Выражения для напряжений в точках D и С запишутся аналогичным образом:
 4xD °о> аУ> 0 -2
 ЯгС °хв dy ° ■ дхdx 57 а df dxdy
 z0Jr7dxJrfdy-
 Поскольку величины dx и dy являются бесконечно малыми, их квадраты или произведения надо рассматривать как величины второго порядка малости. Поэтому в выражении 1.3 можно было пренебречь
 членом -fixQy dx по сравнению с членами dx или dy.
 Члены, содержащие малые величины в высших степенях, называют членами высшего порядка, и ими можно пренебречь по сравнению с членами, содержащими малые величины в низшей степени.
 Выражения 1.1 — 1.3 могут быть получены также путем разложения в ряд Тэйлора. Рассмотрим произвольную функцию fx, у. Пусть при х х0, у у0 эта функция равна fx0,y0 или 0. Новое значение функции fx0--dx, yo--dy> отвечающее аргументам х х0--dx и у — у0 dy, разложим в ряд Тэйлора:
 л:0 dx, у0 dy 0 dx -§у аУ Цх2
 i i0 dy2 170 dxdy
 через » и т д обозначены первые частные производ¬
 ные для х х0 и у у0. Если принять fx,y ox, dy 0 и отбросить члены высшего порядка, мы придем к выражению 1.1. Принимая dx 0, мы получим выражение 1.2. Сохраняя dx и dy и снова пренебрегая членами высшего порядка, получим выражение 1.3.
 Когда мы пренебрегаем членами высшего порядка, то допускаем тем самым, что вдоль граней AD и ВС напряжения распределяются

1.21
 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
 15
 по линейному закону. Сила, действующая в сечении AD, будет при этом равра
 4-4- dy dy dy 4- -i
 1
 ду
 dy2.
 Аналогичным образом находим силу в сечении ВС:
 FT°dxadxJrWdydy
 °dy dxdy dy
 Результирующая сила, действующая на элемент ABCD, будет равна
 У P F2-Fl-
 да.
 дх
 fdxdy.
 Если предположить, что среднее напряжение по AD равно ах
 то среднее напряжение по ВС будет
 д0„
 и приложено в центре грани, Что касается
 , _Lr»fr«
 -I -> ■
 t,
 —
 V
 L
 X
 a >
 4
 -—dx—
 Т'дх
 дО т
 дх
 результирующей силы, то это второе предположение о равномерном распределении напряжений приводит к тому же результату, что и первое предположение. В уравнения равновесия входят, прежде всего, эти результирующие силы.
 Таким образом, при выводе уравнений равновесия можно взамен первого, более детального подхода пользоваться вторым предположением, упрощая закон распределения напряжений.
 На рисунке 1.4 показан более общий случай, когда тот же элемент находится в двухосном напряженном состоянии, причем усилия считаются положительными и принят упрощенный закон их распределения; изображены также объемные силы. Под двухосным напряженным состоянием понимается случай, когда ох, оу, хху и zyco не зависят от z, а остальные компоненты напряжения равны нулю. Объемные силы X и У принимаются не зависящими от z; величина Z считается равной нулю. Такое напряженное состояние называют плоским напряженным состоянием. Суммируя проекции всех сил на направление х и пользуясь условием 2 ?х 0, получим
 Рис. 1.4.
 'ах -Г dx'j dy — oxdy-- -1
 дх
 ух
 ух
 ду
 dyj dx—тух dx--X dxdy 0.

16
 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
 ГЛ. 1
 Приводя подобные члены, находим
 Произведение dxdy, вообще говоря, не равно нулю; поэтому условие 2 0 сводится к уравнению
 Уравнения 1.4 и 1.5 являются основными дифференциальными уравнениями равновесия в декартовых координатах.
 Обратимся к наиболее общему случаю элемента, находящегося под действием положительных усилий в трех направлениях. Как легко показать, дифференциальные уравнения равновесия в декартовых координатах примут тогда вид:
 Обратимся к рисунку 1.4 и определим моменты всех сил относительно точки О; исходя из условия будем иметь:
 рх dy ■у — 4“ -г Л: dy у — ixy dyх
 1.4
 Таким же образом из условия Fy Q получаем
 1.5
 1.6
 ifT dx аУ dx - к dx 1Г
 ■ ° w dy dx ix Т dxy —
 — V 7%г dy dx dy —Х dx dy у тг
 --Кdxdyx -- 0;

1.3
 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ТОЧКЕ
 17
 здесь моменты, вращающие против часовой стрелки, считаются положительными. Приводя подобные члены и отбрасывая члены высшего порядка малости, получим
 Согласно равенствам 1.4 и 1.5 выражения во второй и третьей скобках уравнения 1.7 обращаются в нуль. Так как произведение dx dy, вообще говоря, не равно нулю, уравнение 1.7 преобразуется к виду:
 Рассматривая общий случай объемного напряженного состояния и определяя моменты сил, действующих на элемент, относительно осей z, у их, получим
 Равенства 1.9 показывают, что компоненты касательных напряжений симметричны. В параграфе 1.1 говорилось о девяти различных составляющих напряжения, действующих по трем координатным плоскостям в. любой точке тела. Теперь мы знаем, что из шести касательных компонентов напряжений только три являются независимыми. Поскольку величины хху и tyx% zxz и тга?, zyz и тгу попарно равны между собой, мы в дальнейшем не будем делать различия между ними.
 Задача 1. Вывести уравнение 1.3, выразив ахС через qxD и вводя производную от напряжения для точки >, вместо того, чтобы пользоваться величинами ахВ и производной для точки Bt как это было сделано в тексте.
 Задача 2. Вывести уравнения 1.6.
 Задача 3. Вывести уравнения 1.9.
 Задача 4. Показать, что в случае, когда имеются пары объемных
 сил, компоненты касательного напряжения не будут симметричными, т. е.
 уравнения 1.9 перестанут быть справедливыми. Примером этого будет случай, когда в упругом теле содержится большое число беспорядочно распределенных малых намагниченных частиц, и поэтому каждый элемент тела находится под действием момента, создаваемого магнитным полем.
 1.3. Определение напряжения в точке. Покажем теперь, что напряженное состояние тела полностью определено, если известны значения шести компонентов напряжения в каждой точке. Рассмотрим снова более простой случай плоского напряженного состояния. Зная компоненты ох, ау, хху напряжения в каждой точке тела, можно вычислить напряжения в любой площадке, проходящей через эту точку перпендикулярно к плоскости ху и наклоненной к осям хну.
 1.7
 тху Тух О
 ИЛИ
 Хху XtJX'
 1.8
 Хху zyx» Zxz — Tzx> xyz — xzy
 1.9

18
 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
 ГЛ. 1
 Рассмотрим произвольную точку О тела; пусть компоненты напря-
 хху рис. 1.5. Для того чтобы
 °у и
 жения в этой точке О равны оа найти напряжение в другой площадке, проходящей через О и наклоненной к осям хну, проведем на бесконечно малом расстоянии dh от О параллельную ей площадку ВС так, чтобы эта площадка вместе с координатными площадками образовала треугольную призму ОВС. Так как напряжения непрерывно меняются по объему тела, то компоненты среднего напряжения, действующего в площадке ОС, будут равны: зх--dsx и 'tXy--d,zxy соответствующие компоненты для площадки ОВ равны Gy--d3y и zxy dzxy. Обозначим через X и Y компоненты по осям х и у напряжения в площадке, параллельной ВС
 и проходящей через О. Тогда соответствующие напряжения в площадке ВС можно выразить в виде X--dX и У--dY. При уменьшении размеров элемента значения этих компонентов напряжения приближаются к тем, которые относятся к точке О. Другими словами, при dh- 0, все приращения
 dax, day, dxXy, d%xy, а также dX и
 dY будут стремиться в пределе к нулю. Рассмотрим равновесие элемента призматической формы. Силы» действующие на элемент, можно определить, умножив компоненты среднего напряжения на площади тех граней, по которым они действуют. Обозначим нормаль к плоскости ВС через N, и косинусы углов между нормалью N и осями хну
 соsN,x l, cos N, у — т.
 Нормаль N условимся считать положительной, если она направлена наружу по отношению к элементу. Если через А обозначить площадь грани ВС призмы, то площади граней ОС и ОВ будут соответственно равны А1 и Ат. Условие 2 приводит к уравнению
 Х dX А—рх dvx Al--zxy 4- dx'xy Ат-Хi A dh> 0, 1.10
 где X—составляющая объемной силы по оси х. Разделив все члены уравнения 1.10 на А и перейдя к пределу при dh-> 0, получаем
 Xl<x m'zxtr 1-П
 Таким же путем из условия 2 — 0 найдем
 Y — hxy Н— тэ
 1.12
 Выражения 1.11 и 1.12 позволяют определить компоненты напряжения в точке, лежащей на любой площадке с направляющими

1.31
 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ТОЧКЕ
 19
 косинусами I и т, если для данной точки известны компоненты напряжения оХ9 оу и хху.
 Введем новую систему координатных осей х' и у' так, чтобы направление х' совпало с N. Пользуясь уравнениями 1.11 и 1.12 для X и Y, легко выразить компоненты напряжения на площадке ВС через о и т:
 ох, — IX т Y 12ах т2оу -- 2яги,
 ху>
 ■ IY тХ I2 — т2 хху 1т ау — <зх,
 1.13
 где l — cosx',x и т соъх'Уу. Уравнения 1.13 дают закон преобразования компонентов напряжения для двухмерной задачи при ортогональном преобразовании координатных осей. •
 В общем случае трехмерного напряженного состояния уравнения, соответствующие 1.11 и 1.12, будут иметь вид:
 X— 1ох —f- МЪху ——
 Y 1ху “ тоу nxyz> Z — 1%гх Ч““ Ш1уг паг,
 1.14
 где X, Y и Z—компоненты по осям х, у, 2 напряжения на произвольной площадке с нормалью N, а
 cosAf, ху m zosN, yt л cos A, z.
 Можно показать, что уравнения, отвечающие преобразованию координатных осей для трехмерной задачи, имефт вид:
 о. 1Ъ- Н-2т 2тлплъ --2п11т,
 X IX 1 1 у 1 1 2 1 11 ху 1 1 1 yz 1 11 ZX
 V 1К т1°у П
 2 2 ху
 2 yz
 V 1РхтРу--П1аг--21зтву2твП3г
 х'у' ккх щт20у пгпг 4- 12 4- т хху -f-
 -f- тхП2 ПхМъ ъуг 4“ nih Ь 1пг Xzx»
 V' hh<x 4- n2nzaz -f- l2mz m2lz <zxy 4“ m2n3 “b n2mz xyz 4“ 23 4“ 2пз Xzx
 Tz'x' “Ь щту -f- tiznxsz -f- lzml tnzl xxy --
 ЩПг rbzmx xyz п31х lztix zzx.
 1.15
 Направляющие косинусы, m, n между новыми координатными

20 ТЕОРИЯ напряжений гл. 1
 осями хУ, z' и первоначальными осями л;, у, 2: приведены в следующей таблице:
 X
 У
 2
 x'
 h
 Щ
 П1
 У’
 h
 щ
 п
 z'
 к
 щ
 Согласно таблице имеем: 1 cosa;, ху т2 соу', 3; и т. д.
 Так как преобразование координат является ортогональным, то направляющие косинусы должны удовлетворять уравнениям такого вида:
 l2l l22lth 2 -f- п2л 1,
 > 1.16
 12 Ш1Ш2 —f— tltl2 о,
 l 	22-h 3Ш3 0.
 Пользуясь первыми тремя уравнениями системы 1.15 и соотношениями ортогональности 1.16, находим
 <x'JC0y-r°z 0x, “bV 1-17
 Таким образом, величина ox--ay--Gz инвариантна по отношению к ортогональному преобразованию координат.
 Задача 1. Установить инвариантность следующих величин:
 а ая°у V — х1у — гуг — х%г>
 ах;ауаг Н“ осууггх axxyz ayxza> °zx2
 Задача 2. Вывести уравнения 1.14 и 1.15.
 1.4. Главные напряжения и круг Мора. Обозначая через а угол между нормалью N и осью л:, получим: cosa и w sin а. Выражения 1.13 для нормальной и касательной составляющих напряжения в площадке ВС можно записать в таком виде:
 Од,' ох cos2 a sin2 a -f- 2тxy sin a cos a, 118
 v тг cos2 a — sin2 a °v — sin a cos a 0 •19
 Как видим, величины ax> и тжу меняются в зависимости от угла а. При определенных значениях а величина ох> может достигать максимума или минимума. Пользуясь известным приемом дифференциального исчисления, определим эти значения а из условия dax'd<xQ. Дифференцируя выражение 1.18 для по а и приравнивая результат нулю, получаем
 2 ру — ох sin a cos a 2xxy cos2 a — sin2 a 0, 1-20

1.4
 ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И КРУГ МОРА
 21
 откуда
 tg2a:
 2 	Sin a COS a
 2т.
 xy
 COS2 a — sin2 a
 1.21
 дает два взаимно что величина о'
 х у
 Так как tg 2a tg т: -f- 2a, то уравнение 1.21 перпендикулярных направления. Можно показать, имеет максимальное значение для одного из этих направлений и минимальное— для другого. Такие направления называются главными направлениями, а соответствующие нормальные напряжения — главными напряжениями. Сравнивая уравнения 1.19 и 1.20, мы видим, что на площадках, перпендикулярных к этим направлениям, касательные напряжения равны нулю. Величины главных напряжений можно получить, подставив значения угла 1.21 в выражение 1.18. После некоторых преобразований имеем
 1 ау
 2
 ах ау
 V
 ху9
 ху
 1.22
 Если выразить ох> и тХ'У’ через главные напряжения, то уравнения 1.18 и 1.19 упрощаются и принимают вид:
 ах» аг cos2 a -» о2 sn2 а»
 х®V -j- °2 — °i sin 2а- J
 1.23
 Зависимость величин оХ’ и хх>У’ от угла а можно изобразить с по¬
 мощью графика, шем выражения
 известного под 1.23 в форме:
 названием круга Мора. Перепи-
 _gl Ч ст2 ql — a2
 cos 2a,
 ai — a2
 Ю-24
 sin 2a.
 J
 Круг Мора можно построить следующим образом: на горизонтальной оси из произвольной точки О откладываем отрезки О А и ОВ, пропорциональные соответственно напряжениям oj и о2 с учетом их знака рис. 1.6. На рисунке 1.6 оба напряжения приняты положительными, т. е. растягивающими. Если напряжения являются сжимающими, т. е. имеют отрицательный знак, то точки А к В будут лежать влево от О. Из точки С, делящей отрезок АВ пополам, как из центра, описываем окружность радиусом СА. Полученная

22
 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
 ГЛ. 1
 окружность и является так называемым кругом Мора, изображающим графически уравнения 1.24; этот круг дает возможность наглядно представить и вывести другие важные соотношения между напряжениями.
 В общем случае главные напряжения не являются известными; тогда круг Мора можно построить следующим образом. Допустим, что заданы компоненты напряжения ох, су, %ху. По горизонтальной оси откладываем отрезки OF и OF', отвечающие в известном масштабе напряжениям ох и оу. В точке F восстанавливаем перпендикуляр к OF и на расстоянии, равном чху, отмечаем точку D. Аналогичным образом от F' откладываем отрезок F'D', направленный противоположно FD и равный хху. Проводим прямую DD', пересекающую горизонтальную ось в точке С. Теперь можно снова начертить круг Мора, как показано на рис. 1.6, с центром С и радиусом CD. Пользуясь кругом Мора, можно найти главные напряжения, соответствующие отрезкам ОЛ и ОВ.
 Чтобы найти напряжения по любой площадке ВС, нормаль к которой составляет угол а с напряжением ъх рис. 1.5, откладываем от оси СА угол 2а и получаем на круге точку D. Из чертежа имеем
 OF ОС CF ±3. __ aJp. cos 2а о.,
 DF CD sin 2а gt ■ 2 sin 2а — тх>у.
 Сравнивая эти соотношения с уравнениями 1.24, видим, что координаты точки D дают компоненты напряжения в площадке ВС.
 Заметим, что угол можно откладывать по часовой стрелке или в обратном направлении; это не влияет на численные результаты.
 Для касательных напряжений, полученных при помощи круга Мора, можно установить правило знаков ; однако мы не будем на этом останавливаться, так как для практических приложений направление касательных напряжений обычно не является существенным.
 Из рассмотрения круга Мора можно сделать несколько важных заключений.
 1. Взяв угол ic-f-2a вместо 2а, т. е. продолжив радиус CD до точки D', получаем напряжения в площадке, перпендикулярной к ВС рис. 1.5. Из рисунка видно, что касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам численно равны между собой; ранее это уже было показано аналитически см. равенства 1.8 и 1.9.
 2. При изменении а сумма нормальных напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам остается постоянной; так как сумма
 См. S. Timoshenko, J. N. Goodie г, Theory of Elasticity, New York, 1951, стр. 15.

1.4 ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И КРУГ МОРА 23
 отрезков OF' -j- OF — 2ОС, то должно быть
 °1 “f °2 °2'
 что соответствует результату 1.17 для двухмерной задачи.
 3. Максимальное касательное напряжение равно радиусу круга Мора и действует в площадках, наклоненных под углом 45° к главным направлениям. Отсюда
 “1‘ °2 л 0я 1-25
 На площадках, отвечающих максимальным касательным напряжениям, нормальные напряжения равны друг другу и определяются выражением
 al a2 Qx-ay Oxf — Зу' — 2 — 2 1.26
 Распространим наши рассуждения на случай трехмерного напряженного
 состояния. Покажем, что существуют три взаимно перпендикулярные главные площадки, для которых три составляющие нормального напряжения имеют стационарное значение максимум, минимум, или минимакс; компоненты же касательного напряжения в этих площадках равны нулю. Такие нормальные напряжения будут главными напряжениями. Рассмотрим нормальное напряжение на площадке, перпендикулярной к оси хг. По формулам 1.15 находим
 «а>- 2да'Ху Zmn-Cyz 2nhzx, 1.27
 где, гп, п — косинусы углов между осью хг и соответственно осями х,
 у z Косинусы, т, п не являются независимыми; они должны удовлегво-
 р1,Ь Н.28
 Следовательно, можно считать I и т в выражении 1.27 независимыми переменными, которым мы вправе придавать произвольные значения, а ах, и
 п — функциями I и т.
 Чтобы найти направляющие косинусы площадки, для которой ах, имеет
 стационарное значение, примем
 до t дз,
 ж-0’
 После дифференцирования и группировки членов находим:
 ах Ч тххг пххг Ч” Uzzx “I” mxyz “Ь паг
 дп
 lxy Н” m<sy nzyz “Ь tezx mzyz nGz
 1.29
 Найдя частные производные выражения 1.28 по и по т, будем иметь:
 дп л, дп
 — 0, т п з— д1 1 дт
 1пд0, тп 0. 1.30

24 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ гл. 1
 1.31
 Подставив эти равенства в 1.29, получим
 тхх1 mzx lxy т<3у nxyz __ zx 4 mzyz mz
 I m n
 Но из уравнений 1.14 вытекают соотношения:
 1ах -- тхху -- nizx Ху тсу ю.уе Y lzx т'уг тг Z>
 поэтому равенства 1.31 можно переписать в виде
 1-32
 I т п v
 Равенства 1.32 показывают, что компоненты по осям л:, у, z результирующего напряжения в площадке, где ах, имеет стационарное значение, будут пропорциональны направляющим косинусам, т, п нормали к площадке, т. е. результирующее напряжение в площадке направлено по нормали к ней. Мы доказали, таким образом, что в площадке, для которой ах, имеет стационарное значение, касательное напряжение равно нулю и что такая площадка является главной.
 Докажем, что через любую точку можно провести три главные площадки. Примем
 К L iL а-
 I т п ’ тогда величина главного напряжения будет
 IX -f- тУ nZ I la т та -f- п па 2 тъ гг2 а а. 1.33 Перепишем теперь равенства 1.31 в форме
 I ах — G m,zxy mzx 0,
 lxy т<3у — а туг 0, У 1.34
 lzx mzyz п °г — а 0. J
 Равенства 1.34 можно рассматривать как уравнения для определения направляющих косинусов, т, п для главных площадок. В силу равенства 2 -- яг2 -f- л2 1 величины, т, п не могут одновременно обратиться в нуль. Уравнения 1.34 являются однородными линейными уравнениями относительно 1> т> п и дают решения, отличные от нуля только в том случае, если детерминант этих уравнений равен нулю. Вычисляя этот детерминант и приравнивая его нулю, приходим к следующему кубическому уравнению относительно а:
 а — °х <у <г °х°у Vх °х°г г TL с “
 cxayaz “Ь 2zxy‘zyzzzx axzyz ayzxz Gzzxy 1.35
 Три корня этого уравнения дают значения трех главных напряжений. Подставляя каждое из этих напряжений в уравнения 1.34 и учитывая 1.28, можем найти три группы направляющих косинусов для трех главных площадок. Заметим, что величина главных напряжений не зависит от положения координатных осей х, у, z. Поэтому в уравнении 1.35 выражения, стоящие в скобках, не должны меняться при произвольном изменении направления коор¬

1.51
 ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
 динатных осей и являются инвариантными относительно ортогонального преобразования координат.
 Задача 1. Определить главные напряжения и определяющий их направления угол а, если дано:
 ах 438 кгсм2> ау — 88 кгсм2, хху 455 кгсм?.
 Задача 2. Определить максимальные касательные напряжения, соответствующие им нормальные напряжения и угол а для напряженного состояния задачи 1.
 1.5. Граничные условия, выраженные через заданные поверхностные силы. Выше было показано, что в том случае, когда тело находится в равновесии под действием внешних нагрузок, компоненты напряжения во всех точках тела должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия.
 Компоненты внутренних усилий меняются по объему тела, и на наружной поверхности, т. е. на границе тела, должны уравновешиваться приложенными там внешними силами. Поэтому систему внешних сил можно рассматривать как «продолжение» напряженного состояния, имеющего место внутри тела.
 Условия равновесия на границе могут быть получены из уравнений 1.14; они носят название граничных условий для тела, находящегося в равновесии.
 Если для некоторой точки поверхности обозначить компоненты внешних сил, приходящиеся на единицу площади, через X, Y, Z, а направляющие косинусы нормали N к поверхности через, ту п, то согласно уравнениям 1.14 граничные условия будут иметь вид:
 X — “К М'Ъд.у —
 у 1хху то у wZvz,
 Z hsx-srm-zy;. mz.
 1.36
 В частном случае плоского напряженного состояния рис. 1.7 выражения 1.36 преобразуются к виду:
 1.37

ГЛАВА 2
 ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
 при
 2.1. Компоненты деформации. Под деформацией тела подразумевается изменение взаимного положения точек тела. Примем, что материал заполняет сплошь объем тела. Тогда в любой точке тела расположена частица материала. Пусть координаты этой частицы до деформации будут х, у, 2. В процессе деформации тела частица получает перемещения и, v, w по направлениям х, у, z и в результате будет иметь координаты х--и, y--v, z--w. В общем случае перемещения и, v, w меняются от точки к точке и потому являются функциями х, у, z.
 Мы начнем исследование деформаций со случая двухмерной или плоской деформации. Под этим мы понимаем такую деформацию, которой все частицы, находившиеся первоначально в одной
 плоскости, останутся после деформации в этой же плоскости. Пусть координатные оси выбраны так, что оси х и у лежат в плоскости деформации; тогда w 0, а и и v не зависят от Рассмотрим малый прямоугольный элемент ABCD недеформированного тела со сторонами dx и dy рис. 2.1. После деформации элемент перемещается в положение A'B'C'D'. С геометрической точки зрения можно различать два основных типа деформации: изменение длины первоначально прямой линии в определенном направлении и изменение величины данного угла. В соответствии с этим будем в дальнейшем различать продольную деформацию и деформацию сдвига.
 Отношение изменения длины к первоначальной длине элементарного отрезка определяется как продольная деформация; будем обозначать ее буквой е. В случае сплошного материала деформацию s в любой точке теля можно выразить через начальную

2.1
 КОМПОНЕНТЫ ДЕФОРМАЦИИ
 27
 длину Д1 отрезка как предел отношения
 . А5 е bin jj,
 Д> 0L
 где А5 — изменение длины отрезка.
 Изменение величины первоначально прямого угла называют деформацией сдвига и обозначают через у. В случае прямоугольного элемента ABCD, показанного на рис. 2.1, до деформации длина отрезка АВ была равна dx. После деформации точка А переместилась в А'. Обозначим составляющие перемещения точки А вдоль осей х, у через и и v. Так как величины и и v изменяются в теле от точки к точке, то их можно разложить в ряд Тэйлора, как это было сделано для компонентов напряжения. Отбрасывая члены высшего порядка малости, мы можем записать составляющие перемещения из В в В' в виде и и v dx. Таким образом,
 проекция отрезка А'В' на ось х равна dx-- dx, а проекция на
 dzf
 ось у окажется равной dx. Квадрат длины отрезка А'В' будет
 A'B'f dx dx dx.
 Составляющая по оси х продольной деформации ех определяется как продольная деформация элемента, направленного до деформации вдоль оси х. Поэтому можно записать
 А'В' — АВ
 или
 АВ
 А'В' 1 гх АВ 1 ех dx.
 Подставив эту величину в выражение для.А'В'2 и разделив на dx2, получаем
 2s 4 2 j ©lr2- 2Л>
 Будем рассматривать случай, когда деформации тела весьма малы; тогда величины 8 и производные от и и v будут малыми. Поэтому квадратами и произведениями этих величин можно пренебрегать по сравнению с самими величинами. Отбрасывая эти члены высшего порядка малости в выражении 2.1, имеем
 ди
 гхдх'
 Подобным же образом найдем составляющую продольной деформации в направлении у:
 dv

28
 ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
 ГЛ. 2
 Чтобы определить деформацию сдвига, рассмотрим искажение первоначально прямого угла. Деформация сдвига ху в точке определяется как изменение величины угла между двумя элементарными отрезками, первоначально параллельными осям х и у. Следовательно, величина ухУ в точке А представляет собой изменение угла между отрезками АВ и AD. Перемещение точки В' в направлении у, dv,
 равно v---dx, а перемещение точки D в направлении л: равно
 u--dy. Пренебрегая членами высшего порядка малости, находим,
 что линия АВ, занимая после деформации положение А'В', окажется
 dv
 наклоненной к ее начальному направлению под малым углом
 а направление A'Df будет наклонено к AD под малым углом
 Как видим, прямой угол DAB между отрезками АВ и AD уменьем, ди шился на угол Отсюда
 dv, ди
 Т ху I фу •
 Компоненты деформации для трехмерной задачи можно получить таким же образом. Они будут равны:
 ди dv dw J
 ХШ' SsJF'
 5“ 2 2
 du, dv_ dv, dw dw, du i '
 хУду'дх’ vzdzdy’ zx dx dz ‘
 Шесть величин ex, ey, eg, jxy, yyz, yzx называются компонентами деформации. Из этих формул легко видеть, что деформации сдвига обладают симметрией:
 1ху лу.х> 7yz7zy> Tzx — Jxz
 Формулы 2.2 показывают также, что к любым выражениям для перемещений и, v, w можно прибавить соответственно величины
 u a--by — cz, v d — bx--ez> w f сх—ey,
 не меняя компонентов деформации. Постоянные a, d, f в приведенных выше выражениях представляют поступательное перемещение тела, а постоянные b, с, е — вращение тела вокруг координатных осей. Поскольку перемещения и, v, w выражают перемещение тела в целом и не определяют каких-либо деформаций в теле, мы будем называть их перемещениями абсолютно твердого тела.
 2.2. Определение деформации в точке. Если заданы три компонента продольной деформации и три компонента деформации сдвига в данной точке, то можно определить удлинение в любом

2.2
 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ В ТОЧКЕ
 29
 направлении и искажение угла между любима двумя взаимно перпендикулярными направлениями.
 Обратимся снова к случаю плоской деформации. Рассмотрим в недеформированном теле малый линейный элемент АВ длиной dL с направляющими косинусами, т рис. 2.2. Проекции элемента на координатные оси будут dx I dL, dy т dL. После деформации отрезок АВ перемещается в положение А'В'; компоненты перемещения точки А равны и и V. Примем длину А'В' равной dL'. Поскольку элемент АВ первоначально наклонен к координатным осям, то, следуя тем же
 рассуждениям, как при выводе уравнения 1.3. получаем компоненты перемещения точки В' равными:
 'u -dx-dy дх ду у
 Рис. 2.2.
 .,, да, - да,
 u-rdua-rdx-- dy,
 ,. i dv.. dv,
 v--dv v--w7dx--dy.
 2.3
 Продольная деформация e в направлении АВ определяется выражением
 А'В' — АВ dL' —dL
 8 -
 или
 АВ dL
 dL 1 —■” s dL•
 Выразим величину dLf через проекции:
 А'В'2 — 1 -J-е2dL2 dx dx dy -f-
 dydx %dtf- <2-4>
 После раскрытия скобок получим: dL2 2е dL2 е2 dL2 dx2 dy2
 2ёг',,23р dx dy 2fcdx dy2i
 ’ 1ГwШ fdx%Шd- <2-5
 Квадрат начальной длины элемента равен dL2 dx2 -- dy2. В случае
 . да да dv dv
 бесконечно малой деформации величины е, будут

30
 ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
 гл. 2
 бесконечно малыми, и их квадратами можно пренебречь по сравнению с ними самими; поэтому выражение 2.5 принимает вид
 sdL dx dxdy dxdy-- dy.
 Разделив на dL2, получим
 •: ш 'Iшы р«'т1
 ху>
 2.6
 где dxdL 1Tin dydL.
 Если обозначить направления новых координатных осей через х'
 и, то будем иметь
 гх, 1ЧХ -f- тЧу 4- Irnxy, 2.7
 где l cosx'x и m — zosxfy.
 Чтобы найти деформацию сдвига для новых направлений, рассмотрим два отрезка О А и ОВ, взаимно перпендикулярных до деформации рис. 2.3. После деформации они соответственно принимают положение О'А' и -х О'В'. Пусть начальные длины отрезков ОА и ОВ равны соответственно dLx и dL2> а компоненты продольной деформации по направлениям ОА и ОВ равны ех и е2. Обозначим направляющие косинусы отрезков ОА и ОВ соответственно через 1и тх и 2, т2. Используя соотношения 2.3, найдем, что направляющие косинусы т отрезка О'А' равны:
 -йх,—А
 Рис. 2.3.
 jf d,X f dtii
 dL1 6l
 1 ddXij?dyi.
 тл
 dL± 1 ej
 1. du, da
 _ dyx dvt _. dv, f dv.
 V- Ч1-1j ’
 dL, 1 ex
 2.8
 здесь после деления были отброшены члены высшего порядка малости. Таким же образом направляющие косинусы ' и т'2 отрезка О'В' будут определяться выражениями:
 l2 1 — ®2 If «2 Щ.
 m2 j2l-e2 g.
 2.9

2 2J ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ В ТОЧКЕ 31
 Пусть угол между О'А' и О'В' равен а. По рисунку 2.3 находим cos а cos 0 — Р cos р cos 0 —sin р sin 0 ' ' —— тт'г 2.10
 Подставляя в уравнение 2.10 значения m?v ' и т'2, определяемые выражениями 2.8 и 2.9, и пренебрегая членами высшего порядка малости, получаем
 cos а lxl2 -f - т1т2 1 — — е2 2 1Х12гх 12 kmi ТхгГ 2 • И
 Из определения деформации сдвига следует, что
 71
 Т Х’у’ 2 а
 Для малой деформации сдвига угол также мал, и потому
 можно записать
 W TasinT —a cosa-
 С другой стороны, имеем
 х2 cos ЛОБ — cos у — 0;
 поэтому, подставляя 2.11 в выражение для тх,у,9 найдем
 тх’у’ 2 Zxffia 2»i Txy. 2.12
 Зависимости 2.7 и 2.12 позволяют для случая плоской деформации определить компоненты продольной деформации и деформации сдвига в любом направлении через еХ9 гу, и уху. Пользуясь соотношениями 2 cos у'х cos тг — х'у — cosAy — пг1 и т2 cos у'у cos х'х 1Ъ перепишем выражение 2.12 в виде
 тV 5 - «О Лху «, - ««• 2-13
 Сравнивая выражения 2.7 и 2.13 с 1.13, убеждаемся, что они будут иметь одинаковый вид при замене 8 на о и у на 2т. Если принять у 2у то все выводы, касающиеся главных напряжений, будут справедливы и для главных деформаций, выраженных через ех, еу и Следовательно, мы можем построить круг Мора для де¬
 формаций аналогично кругу Мора для напряжений.

32
 ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
 ГЛ. 2
 В общем случае трехмерной задачи направляющие косинусы, как и ранее, определяются следующей таблицей:
 X
 У
 Z
 хг
 к
 Щ
 1
 h
 z'
 h
 тъ
 •Формулы преобразования компонентов деформации можно представить в следующем виде:
 V lK тК -1- П1гг lxmiixy rai«lT уг Ч- VlTe.
 V l% mPv ■ П1% l2m2ixy m2n2lyz n2l2lzx,
 lK m3Sy nt% l3m3lcoy n33ZX,
 7 x'y b сп1утггу -- 2i1«2s, -- Z1m2 7 xy
 4“ ПуП1г fyz -f- tli2 -f-jWo Tsa;.
 •y, 2l2l3sx I- 2m2ni3sy -- 2ti2n3ez -f- 1-2тз H щ1з Txy
 2.14
 H nhni п2тз Tyz 4“ hnz Tzx>
 W 2Visa: 2ffi3m1s 2rt3«iez ZjK тжг
 -- «3» «sfflO f «31 3«i Тгж-
 Складывая первые три выражения 2.14 и воспользовавшись условиями ортогональности 1.16, можно показать, что сумма компонентов продольной деформации также инвариантна относительно преобразования прямоугольных координатных осей:
 ЪХ' Sy' ЪХ “Ь гу “Ь Z
 2.15
 Задача. Доказать, что следующие величины также являются инвариантами:
 а ху V Ef — Т Ыу 7уг tzx>
 б хг-тО,
 4 K'xytyzzx'
 x'yz
 ‘ гугх еЛ?у
 2.3. Уравнения совместности. Возвратимся теперь к выражениям 2.2 для компонентов деформации через перемещения. Легко видеть, что здесь шесть компонентов деформации выражены через три компонента перемещений. Поэтому данные соотношения можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно перемещений и, v, w, если компоненты

2.3
 УРАВНЕНИЯ «СОВМЕСТНОСТИ
 33
 деформации гх% ву, е2, ху> уyz и гх являются заданными функциями jc, у, z. Поскольку имеется шесть уравнений относительно трех неизвестных функций, то в общем случае нельзя считать, что эти уравнения будут иметь решение при произвольном выборе компонентов деформации. На компоненты деформации должны быть наложены некоторые условия с тем, чтобы эти шесть уравнений дали систему однозначных непрерывных решений для трех компонентов перемещения. Тот факт, что компоненты деформации не могут быть выбраны произвольно, становится очевидным из следующих геометрических соображений. Представим себе, что упругое тело до деформации разбито на ряд малых элементарных кубиков. Допустим, что каждый элемент подвергается произвольной деформации. После деформации эти элементы примут форму параллелепипедов, и может случиться, что они уже не составят сплошное деформированное тело. Чтобы обеспечить условие, по которому параллелепипеды образуют сплошное тело, компоненты деформации для каждого элемента должны удовлетворять определенным соотношениям.
 Продифференцировав выражение
 ди, dv
 Чу — дут¥х
 по х и у, получим
 ХУ _ а ди. д- dv
 дх ду дх ду ду ' дх ду дх '
 Так как и и v являются однозначными непрерывными функциями, это выражение можно переписать следующим образом:
 dUy _ да д dv
 дхду ду дх дх ду' ',10'
 „ да dv
 Пользуясь зависимостями ех — и еу-, получим
 d2ga? I дту О 7
 ду2 ' дх дхду Продифференцируем далее выражение для уху по х и z и выражение для Чгх —по У и х и сложим полученные выражения; тогда будем иметь:
 I __ д ди. д tdw. ди
 дх дг'дудх дх dz ду ' дх' ду дхдх ' dz'
 Используя по-прежнему то обстоятельство, что и% v и w являются
 однозначными непрерывными функциями, мы можем придать этой зависимости следующий вид:
 9 д2 ди I д2 dv I dw — o ду dz дх ' дх2 dz ' ду ду dz дх2
 или
 2rni-U--tЧ?т?- <218>

34 ТЕОРИЯ де<ьормаций гл. 2
 Другие подобные зависимости могут быть получены циклической перестановкой. В результате мы придем к шести зависимостям, которым должны удовлетворять компоненты деформации:
 д‘гх, 0 гх yz. zx. txy
 dy2 ' dx2 dx dy9 dy dz дх dx ' dy ' dz d lyz 0 гу fyz zx дТа??Д
 dy dz dz dx dy dx dy ' dz
 yz дгХ д-fxy
 dz dx dy dz
 2.19
 dy d
 dz2 ' dy2 dy dz9 dz dx dy dx dy
 dBz, 0 гг d dbyz, zx x
 dx2 ' cte2 dz dx9 dx dy I dx dy
 Эти дифференциальные уравнения называют уравнениями совместности деформации. Если компоненты деформации удовлетворяют уравнениям 2.19, то перемещения и, v, w, связанные с деформациями зависимостями 2.2, будут однозначными непрерывными функциями.
 Задача 1. Показать, что деформированное состояние является возможным, если компоненты деформации заданы выражениями
 гх — k х -f У'» е? — ky ху kxy, г yZ — yZx О,
 и невозможным, если
 kz х' у?, е„ ■>»?, ixy 2kxyz, чуг tzx 0;
 здесь k — малая постоянная величина.
 Задача 2. Упругое тело неравномерно нагрето, причем температура является функцией х, у, z и распределяется по закону Т —Т х, у, г. Если тепловое расширение каждого элемента не стеснено, то компоненты деформации будут равны:
 х гу z — °-Т 1 Чху 1?г Tear
 где а — постоянный коэффициент теплового расширения. Доказать, что такая деформация может иметь место лишь в случав, если Т будет линейной функцией от xf у, z.
 Задача 3. Определить зависимости между постоянными А0 Аъ В0> В, С0 С, С2 так, чтобы имели место следующие компоненты деформаций:
 е Ао Аг х У2 4 У%
 гу Во — 1 х-2 -f- у2 -f- х4 -- у4,
 7ху — Со Ciху л2 у2 С2,
 Ег lyz 7zx 0
 Отв. Аг-- В — 2С2 0, Cj 4

ГЛАВА 3
 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
 3.1. Идеализация материалов, применяемых в технике. Для
 того чтобы математически исследовать поведение материалов, применяемых в технике, необходимо несколько идеализировать их свойства. В теории упругости, так же как и в других разделах математической физики, мы с самого начала сталкиваемся с двумя противоречивыми требованиями. С одной стороны, необходимо, чтобы теория возможно точнее описывала поведение реальных материалов под действием приложенных к ним сил. С другой стороны, теория должна быть настолько простой, чтобы ее можно было применить к широкому кругу задач, доводя решения до числовых результатов.
 Как известно, любое твердое тело, подвергающееся действию внешних сил, испытывает деформацию. Каждому типу напряженного состояния соответствует определенная деформация. Если напряжения не слишком велики, то деформированное тело принимает после снятия нагрузки первоначальную форму и размеры. Это свойство тел восстанавливать первоначальную форму после удаления нагрузок называется упругостью. Если тело возвращается полностью к исходной форме, мы называем его абсолютно упругим. В том же случае, когда после снятия нагрузок начальная форма восстанавливается не полностью, вводят понятие остаточной деформации и говорят, что тело находится в пластическом состоянии. Если к твердому телу приложены постепенно возрастающие силы, то, как показывают эксперименты, его можно считать абсолютно упругим до тех пор, пока не будет достигнут так называемый предел упругости материала. За пределом упругости материал будет находиться уже в пластическом состоянии, и в нем будет накапливаться остаточная деформация. В теории упругости принимают, что материал является абсолютно упругим; таким образом, мы сосредоточим свое внимание на поведении материала до достижения предела упругости.
 В дальнейшем мы будем полагать, что материал обладает свойствами сплошности, однородности и изотропности. Считая
 3

36 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ ГЛ. 3
 материал сплошным, мы не принимаем во внимание дискретности строения реальных тел. Однородным называют тело, если его свойства одинаковы по всему объему, т. е. во всех точках тела. Если упругие свойства тела в любой заданной точке одни и те же по всем направлениям, то оно называется изотропным. При исследовании напряжений и деформаций в главах 1 и 2 мы уже использовали допущение о сплошности материала; понятия же об однородности и изотропности не являлись необходимыми, пока мы не касались зависимости между напряжениями и деформациями.
 Большинство материалов, применяемых в технике, имеют либо кристаллическую структуру, например, латунь, либо волокнистую, например, дерево. Поэтому, на первый взгляд, наши допущения противоречат известным данным о реальных материалах. Однако размеры кристаллов и волокон, как правило, настолько малы по сравнению с размерами всего тела, что в среднем поведение материала будет таким, как если бы он был сплошным и однородным. В случае материалов кристаллического строения кристаллы обычно распределены так хаотично, что тело в целом можно считать изотропным. Следует заметить, что процесс прокатки часто вызывает определенную ориентацию кристаллов, так что многие металлы после прокатки анизотропны. Такой технический материал, как, например, дерево, определенно анизотропен, и упругие свойства дерева в направлении волокон значительно отличаются от свойств в направлении, перпендикулярном к годовым кольцам. Предполагая материалы изотропными, мы, естественно, не сможем дать методов расчета конструкций, состоящих из анизотропных материалов.
 3.2. Обобщенный закон Гука. Все тела, находящиеся в напряженном состоянии, получают деформацию. Зависимость между деформацией и приложенной силой впервые была сформулирована Гуком. Закон Гука о пропорциональности между силами и перемещениями гласит, что «удлинение пропорционально силе», и в нем идет речь о средней величине удлинения тонкого стержня, подвергающегося действию растягивающего усилия. Рассмотрим тонкий стержень с площадью поперечного сечения Л, на который действует растягивающая сила F, и предположим, что растягивающее напряжение а равномерно распределено по площади поперечного сечения; тогда закон Гука можно записать в следующей форме:
 а се, 3.1
 где с — постоянная, а е — продольная деформация.
 Естественно обобщить закон Гука на случай объемного напряженного состояния, при условии, что предел упругости не превзойден: в любой точке сплошной среды каждый из шести компонентов напряжения является линейной функцией шести компонентов деформации, и наоборот. Это положение называется обобщенным

3.2
 ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА
 37
 законом Гука. Выражая его математически, мы получим шесть зависимостей «напряжение — деформация» типа
 ах с11ех 4“ с12ег C13SZ cuTху 4“ С15Тyz 4“ с1бЧгх 3.2
 или, наоборот, шесть зависимостей «деформация — напряжение» вида
 СП°х C'vPy С«°г CUZx„ С15Хуг 3’3>
 причем величины сп,.., с'и,. определяют упругие свойства материала. Для однородных материалов коэффициенты сп,., с'и,. будут постоянными, не зависящими от координат х, у, z. Если известны шесть зависимостей типа 3.2, то из них можно получить шесть зависимостей 3.3, и наоборот.
 Выражая закон Гука с помощью зависимостей 3.2 и 3.3, мы вводим 36 постоянных. Однако не все эти постоянные независимы; покажем, что для изотропных материалов число независимых постоянных можно свести всего к двум.
 Прежде всего, покажем, что направления главных напряжений совпадают с направлениями главных деформаций. Пусть линии, 2,
 3 будут направлениями главных деформаций. Компоненты деформации сдвига относительно этих направлений равны нулю и из уравнений 3.2 получаем
 12 	c4let 4- с42е2 4- с43г3. 3.4
 Введем систему координат 2', 3'' путем поворота системы, 2, 3 на 180° вокруг оси 2 рис. 3.1.
 Тогда оси ' и 3' будут соответственно направлены противоположно
 осям 1 и 3, а оси 2 и 2' совпадут. Для определения направляющих косинусов осей 1 2 3' пользуемся следующей таблицей:
 1
 2
 3
 Г
 h
 т
 2'
 h
 т2
 3'
 Щ
 Эти направляющие косинусы будут иметь следующие значения: пъ cos 180° —1, т2 — cos 01
 и
 2 	3 тх — тъ — tix — п2 — cos 90° 0.
 См. параграф 2.2, стр. 28 и параграф 1.4, стр. 20.

38 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ ГЛ. 3
 Для изотропных материалов упругие постоянные, и в том числе с41.с42 и с43> одинаковы по всем направлениям. Новые координатные оси по-прежнему совпадают с направлениями главных деформаций; поэтому уравнения 3.4 в новых координатных осях принимают вид
 Ti'2' C41S1' 42S2' “Ь чЗЗг • 3.5
 Из формулы преобразования компонентов напряжений 1.15 находим, что только одно произведение направляющих косинусов 1тг окажется отличным от нуля, причем
 т1'2' 1т2х2 т12 3.6
 Из формул преобразования компонентов деформации 2.14 имеем:
 e1»is1 s1, ь2, тг2 —г2, з' %з з- 3.7
 Принимая во внимание зависимости 3.6 и 3.7, можем привести 3.5 к виду
 — 	т12 с41 ех С 42 2 4зз» 3.8
 Сопоставляя равенства 3.8 и 3.4, заключаем, что правые части их одинаковы. Отсюда получаем т12 — т12; но это возможно лишь при условии
 т12 0. 3.9
 Подобным же путем можно получить т23 т31 0. Таким образом, если линии 7, 2, 3 являются главными направлениями деформации, то компоненты касательных напряжений вдоль них равны нулю; но тогда эти линии будут одновременно и главными направлениями напряжения.
 Исходя из сказанного, мы не будем впредь делать различия между главными направлениями напряжения и деформации. Уравнения 3.2, отнесенные к главным направлениям, принимают вид:
 °1 С11е1 “Ь С12е2 l383>
 °2 С21е1 4“ с22е2 “К с23е3>
 °3 — С31е1 С32е2 333-
 3.10
 Отметим, что коэффициент су является упругой постоянной, связывающей напряжение в направлении i с деформацией вдоль линии у. Но для изотропного материала влияние деформации ех на величину напряжения ох должно быть таким же, как и влияние е2 на о2 или в3 на о3. Следовательно, сп с22 с33. Из того же условия изотропности следует, что влияние удлинений е2 и е3 на величину напряжения ох также должно быть одинаковым; но тогда с12 с13. Подобно этому можно показать, что с21 с23 и с31 с32. Далее, влияние е2 или s3 на ох должно быть таким же, как влияние ех или

3.2
 ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА
 39
 63 на ?2, а влияние st или з3 на с2 должно соответствовать влиянию Sj и г2 на а3. Поэтому
 ц С22 Сзз» С12 C2i С13 С31 С23 С32. 3.11
 Из равенств 3.11 следует, что, относя деформацию к главным осям, мы должны вводить только две упругие постоянные. Обозначим эти постоянные через а и Ь. Тогда уравнения 3.10 принимают вид:
 □i ав1--Ь з2 е3,
 о2 	—as2--b 3, „ 3.12
 а3 ае3 8i “Ь 2
 Принимая а — Ъ 2х и Ъ и пользуясь обозначением
 Si ■ Ч ез» мы можем переписать уравнения 3.12 в следующей форме:
 Oj Хя-f-2ielt
 02 в —— 2Х82, ► 3.13
 03 е 2Х83.
 Постоянные X и р были введены Ж. Ламе; в литературе их обычно называют постоянными Ламе.
 Уравнения 3.13 дают соотношения между главными напряжениями и главными деформациями. Зависимости между напряжениями и деформациями в произвольной системе декартовых координатных осей могут быть получены с помощью формул преобразования компонентов напряжения и деформации. Пусть такая произвольная система координатных осей х, yt z определяется направляющими косинусами, приведенными в следующей таблице:
 1
 2
 3
 X
 h
 т
 п1
 У
 h
 т2
 я
 2
 I
 тъ
 Щ
 Поскольку линии 1, 2, 3 являются главными направлениями, то касательные напряжения и деформации сдвига по этим направлениям равны нулю. Из формул для преобразования компонентов напряжения получаем:
 ах 1°1 4“ г
 тху 2°1
 и1ге2о24-п1га2<53.
 3.14

40 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ и ДЕФОРМАЦИЯМИ ГЛ. 3
 Подобно этому из формул для преобразования компонентов деформации следует:
 X 1 1-Г 1 2-Г 1 8 I ЗЛ5
 7ху 2 liksi miтгЧ Ч- га1га2гз- I Подставляя зависимости 3.13 в 3.14, находим:
 l от® rtj ке Н- 2р. 2, 4- щ2 4- rt‘fs;4,
 .5.16
 Uib тШг «1«2> 21-1 2© щт2Ч 4- яз- I
 В главе 2 было показано, что сумма компонентов продольной деформации является инвариантной относительно ортогонального преобразования координат. Следовательно,
 е 81 4“ е2 з гх Ч еу Ч” г '
 Вспомнив зависимости
 l —f— Ш —1% 1, “4“ 12
 и используя соотношения 3.15, можно привести уравнения 3.16 к виду:
 I 31?
 Т3?У IT00у J
 где -f- ег. Аналогичным путем могут быть получены по¬
 добные соотношения для других компонентов напряжения. Таким образом, мы приходим к следующим шести соотношениям, выражающим обобщенный закон Гука для изотропных материалов в произвольно выбранных декартовых координатных осях х, у, z
 4“ 2ASt, ТХу Ахуу в, Х« 2цв,, V 3-18
 ог Хг •• 2д.ег> хга, га,. J
 Решая первые три уравнения системы 3.18 относительно ех, еу> ег, будем иметь:
 X -J- fx X I
 -о»Ч-ог.
 f3X 2fi 2хЗХ 2х
 X fX X еУ X ЗХ 2х 2Х ЗХ 2х '-<3г -Г
 _ h ✓ I г — X ЗХ 2;' а — 2х ЗХ 2л <-3ж V-
 3.19
 3.3. Упругие постоянные, применяемые в технике. Рассмотрим элемент, грани которого параллельны координатным осям. Допустим, что элемент находится под действием нормальных напряжений равномерно распределенных по двум противоположным граням, при-

3.3
 УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ТЕХНИКЕ
 41
 чем все другие грани свободны от напряжений. В этом случае
 отношение напряжения к деформации называется модулем упругости при растяжении. Для большинства материалов, используемых в технике, модуль упругости при растяжении равен модулю упругости при сжатии; будем называть его коротко модулем упругости и обозначать через Е. Понятие модуля упругости впервые
 было введено Юнгом; эту величину часто называют модулем Юнга. В символических обозначениях имеем
 « -ТГ- 3.20
 Экспериментальные наблюдения показали, что удлинение элемента в направлении х сопровождается поперечным укорочением в направлениях у и z это можно выразить следующим образом:
 ey — ez — — 'ex -v-, 3.21
 где v — постоянная, называемая коэффициентом Пуассона.
 Согласно обобщенному закону Гука найдем, что для данного напряженного состояния зависимости 3.19 примут вид:
 X И-11 е — Д. 3. 21 °ж’ — — 21 ЗХ 21 °х'
 Сравнивая их с уравнениями 3.20 и 3.21, приходим к формулам:
 р Iх 3 Ь 2fx А 22
 X fx ’ — 2 X fx •
 Отношение компонента касательного напряжения к соответствующему компоненту деформации сдвига называется модулем упругости при сдвиге модуль сдвига и обозначается через G:
 aj. 3.23
 Из уравнений 3.18 заключаем, что G — х. Так как для изотропных материалов независимыми являются только две упругие постоянные, то величины Е, v, G должны быть связаны между собой. Решая уравнения 3.22 относительно ji, получаем
 021Г <3-24>
 Пользуясь этими, применяемыми в технике, упругими постоянными, можно представить обобщенный закон Гука в виде:
 1 2l-h V
 Х V а2 I а5г Тxy Q Т.
 1
 Г - l°y — V 0г Ох,
 I v °a> ““ °у 1» Tzx
 G
 Е
 yz
 21 4-v
 G
 Е
 zx _
 _ 20-
 ху>
 3.25

42
 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ ГГЛ. 3
 Эти же соотношения, выраженные через компоненты деформации, будут иметь вид:
 p 1
 E
 <r
 e 1 p 1
 1 v S’
 E
 c
 T
 e 1
 1 N
 E
 H
 1 V e’
 Xzx
 21 v
 Е
 2lv
 Ъа>-
 3.26
 В случае плоского напряженного состояния можно использовать уравнения 3.25, полагая а2 чгх 0; тогда получим фор¬
 мулы для деформаций:
 ?х v3?»
 ег °а> ai•
 zxy
 7ху о'
 3.27
 Выражения для напряжений принимают вид:
 Е
 ж “Ь v3»
 °2 j S2 “I” VSa?»
 3.28
 При рассмотрении плоской деформации надо в уравнениях 3.26 положить е2 7 zx 0; тогда найдем следующие формулы для напряжений:
 К1 — v 8® veJ»
 1V1—2v
 iqp;hi_2v v 1 — v eb
 — I %
 GZ — 1 v 1 — 2v e v
 Xxy
 3.29

3.4
 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
 43
 Деформации будут определяться выражениями:. _ 1 '
 Е 1 -
 1 — vax — voj,, •1 — vo„ — voj,
 Чху Q
 3.30
 Сопоставление зависимостей 3.27, 3.28, 3.29 и 3.30 показывает, что в задаче о плоском напряженном состоянии нельзя говорить о соответствующей плоской деформации, и наоборот, при наличии плоской деформации мы не будем иметь соответствующего плоского напряженного состояния.
 Складывая первые три уравнения 3.25 или 3.26, мы получаем следующую зависимость между относительным изменением объема е и суммой нормальных напряжений 0:
 3.31
 где в 0ж 0 0г.
 В случае равномерного гидростатического давления интенсивности р имеем
 °х °у аг —Р> из уравнения 3.31 получим
 g — 312v р. 3.32
 Формула 3.32 устанавливает связь между объемной деформацией е и гидростатическим давлением р. Величина называется
 модулем объемной деформации или объемным модулем.
 3.4. Постановка задач теории упругости. Задача теории упругости сводится обычно к установлению закона распределения напряжений в упругом теле и, в некоторых случаях, к определению деформаций в любой его точке, при заданных объемных силах и заданных условиях на границах тела. Для того чтобы определить напряженное состояние в точке, мы должны найти шесть компонентов напряжения. Эти компоненты удовлетворяют трем уравнениям равновесия. Поскольку трех уравнений недостаточно, чтобы найти шесть неизвестных, мы вводим шесть компонентов деформации; при этом мы располагаем шестью выражениями для компонентов деформации через три компонента перемещения и шестью соотношениями между напряжениями и деформациями. В итоге для определения 15 неизвестных имеется 15 уравнений. Такая система уравнений, вообще говоря, достаточна для решения задачи теории упругости.

44 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ и деформациями гл. 3
 Если нас интересует нахождение только компонентов напряжения в теле, мы можем сократить число уравнений до шести с шестью неизвестными компонентами напряжения. Так как в этом случае мы не интересуемся компонентами деформации, то для того, чтобы обеспечить однозначность перемещений, необходимо удовлетворять условиям совместности. Возьмем, например, уравнение совместности
 », 3 33
 д2 ду2 — dydz' '
 Пользуясь обозначением 0 qx 4- ау -- аг, находим из уравнений 3.25
 -g- 1 ®у— V0.
 e -g- 1 •» —0.
 2 1 V tyg
 V —•
 Подставляя эти выражения в 3.33, получаем
 дСу dz дЮ д20 d4yZ
 <-'<т -Лтт-™тф- «-34»
 Из третьего и второго уравнений системы 1.6 имеем dzyz daz дх.
 ду dz дх
 - Z, 3.35
 4r-w—r-Y-
 Продифференцировав уравнение 3.35 по z и уравнение 3.36 по у и произведя сложение, получим
 г> “У У дху. У dZ
 ду dz dy2 dz2 дх ду dz dy dz
 Воспользуемся первым уравнением системы 1.6 в виде дхху. d<sx
 dy ' Ъг “ — dT “ А;
 тогда будет
 0 'yz °х °у dY dz
 2 ду дг дЖ дуЪ dz дх ду Hz'
 Подстановка этого выражения в уравнение 3.34 дает
 1 V чщ _ - V V20
 дх
 п.дХ дУ dZ
 <1v5F“3y—5ij; 3-37>
 здесь для упрощения записи использован символ
 dx2 dy2 dz2

34
 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
 45
 V20.
 Из двух других уравнений совместности типа 3.33 можно получить два уравнения, аналогичных уравнению 3.37. Складывая эти три уравнения, находим
 1 у дХ >dY_. dZ
 1 — v дх dy ' dz Подставляя выражение для V20 в уравнение 3.37, получим окончательно
 1 аге v_ ах
 1 —— v дх2 1 — v djc ' ду dz
 dY. 2 дХ
 дх'
 3.38
 Вводя выражение для V20 в два других уравнения, придем к трем уравнениям типа 3.38. Подобно этому остающиеся три уравнения совместности могут быть преобразованы к следующему виду:
 1 0
 yz
 1 v ду dz
 -—Щ
 Wy дг'
 3.39
 В результате получаем следующие шесть уравнений для шести неизвестных компонентов напряжения:
 дХ W, dZ ъдХ дх ду dz дх'
 lv
 l vV«,
 l vV4 •» Чху-
 1 dx2
 1—V
 дю
 V
 ду2 —
 1 — V
 дЮ _
 V
 дХ dY,dz_ 0ду
 ду дг ду'
 дХ_,,dZ „dZ W ду дг дг’
 д°-%
 дх ду дЮ
 дв
 1 vVe-'
 дХ дУ Лдудх’ дУ dZ dz ду9 dZ дХ дх дгУ
 3.40
 dzdx
 Исходную систему 15-ти уравнений можно также привести к трем уравнениям относительно компонентов перемещения. Из обобщенного закона Гука 3.26 имеем
 Qx 2GtXi хХу G'ixy, хгх Gzx
 v
 где X — л 9ТФ П°Дставляя эти соотношения в первое из уравне-
 1 -f- V А ний 1.6, находим
 де
 о;
 d'ixy
 - 	0.
 дх dx dy dz Подставляя сюда выражения 2.1 для компонентов деформации:
 3.41
 ди
 du
 dv
 х дх'
 7 ху —
 W
 Tx ’
 dv
 dv
 dw
 Чуг
 dz
 dy'
 dw
 dw
 du
 I м
 Iго
 II
 Izx —
 dx
 dz •

46 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ ГЛ. 3
 получим
 где
 ЛО
 ди
 дх
 dv
 ду
 dw
 dF'
 Аналогичным образом могут быть выведены два других уравнения.
 Окончательно три уравнения равновесия, выраженные через перемещения, получат вид:
 , G GV’u X0, kG-%L GVvY-0, <XQ. <W- Z-0l
 3.42
 Подстановка зависимостей 3.26 и 2.1 в граничные условия 1.36 дает:
 dw
 v л, п 11 ди ди ди да. dv, dw
 X -el Gl шт- п G l n,
 i dv, dv. dv,, du, dv. dw
 Y — em -j- G dx dy IFz fry dy dy ’
 7 i s-1, dw. dw. dw,,du. dv, dw
 Z - len 0 Jx n -t- G l Tz mTz n.
 3.43
 При формулировке задачи теории упругости могут быть известны не поверхностные силы на границе, а перемещения и, vy w точек граничной поверхности. Граничные условия могут также заключаться в том, что на одной части границы будут заданы поверхностные силы, а на другой — перемещения. Уравнения 3.42 совместно с граничными условиями полностью определяют три компонента перемещения иу vt w. При этом нет нужды пользоваться уравнениями совместности; напомним, что единственное назначение последних состоит в том, чтобы наложить ограничения на компоненты деформации, обеспечив однозначность и непрерывность перемещений и, v, w.
 3.5. Энергия деформации. Допустим, что упругое тело находится под действием внешних сил; при деформации тела эти силы производят работу. Если деформированному абсолютно упругому телу дать возможность медленно вернуться в начальное состояние, то может быть возвращена вся работа, произведенная внешними силами. Поэтому работа, затраченная на деформацию такого типа, рассматривается как энергия, накопленная телом, и называется потенциальной энергией деформации.
 Вычислим потенциальную энергию, накопленную в деформированном теле. Выделим для этого внутри тела элементарный параллелепипед со сторонами dxt dy, dz и определим работу внутренних сил, действующих по граням элемента. Допустим вначале, что имеют место только напряжения ах рис. 3.2. Если мы обозначим составляющую перемещения грани A'B'C'D' вдоль оси х через и, то соот¬

3.5J
 ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
 47
 ветствующее перемещение грани ABCD будет u--dx. Для грани
 A'B'C'D' усилие zxdydz и перемещение и будут направлены в противоположные стороны, в то время как на грани ABCD их направления совпадают. В процессе деформации составляющая zx напряжения возрастает от нуля до некоторого значения zxt а перемещение
 возрастает от нуля до и. Таким образом, работа производится усилиями, действующими по граням ABCD и A B'C'D'. Суммарная работа усилий, равная энергии, накопленной в элементе, будет:
 °х а.г
 J oxdи 4- dxj dydz— j -х du dy dz
 °x-° ”x0
 Qx
 f dddxdydz.
 <j 0
 x
 Пользуясь формулой для ex и законом Гука 8, получим
 гхх 4 1
 d°x dx dy dz — dx dy dz - cxex dx dy dz.
 Итак, потенциальная энергия, накопленная в элементе dxdydzy равна:
 dU y охех dx dy dz.
 Примем теперь, что в элементе имеют место напряжения ох и Пусть действие их происходит в следующем порядке: вначале а9

48 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ и деформациями гл. 3
 нулю; затем, при постоянном значении зх, оу возрастает от нуля до величины оу. Для той части процесса, когда ау 0, работа, произведенная усилиями ох, будет такой же, как была вычислена выше. Принимая по-прежнему ех схЕ, получим
 dUt aldxdydz.
 В то время как ох увеличивается от нуля до значения ох, еу также изменяется от нуля до значения —v?xE. Но работа, соответствующая этому перемещению, будет равна нулю, так как в течение этой части процесса имеем ау 0. Возрастание zy от нуля до значения ау будет сопровождаться увеличением деформации ву, равной еу1Е. Этой части Ву будет отвечать потенциальная энергия
 dU2 cr dx dy dz.
 В это же время величина ех изменяется за счет возрастания оу от схЕ до ох— vaуЕ. Но здесь величина ох является постоянной; работа, соответствующая постоянному напряжению оХ9 будет равна
 ix dx dy — чау v
 du з— g — g Qxydxdy.
 В этой формуле множитель х2 отсутствует; это объясняется именно тем, что при изменении ех напряжение ах остается постоянным. Таким образом, полная потенциальная энергия, накопленная элементом, равна
 dU dUx dU2 dU3 — °l — 2vsx9y dx dy dz.
 Для рассматриваемой системы напряжений закон Гука дает:
 8® о — у, гу— °у — ™х-
 Легко видеть, что выражение для dU может быть записано в следующей форме:
 dU Y охгх GyZy dx dy dz. 3.44
 Можно показать, что энергия, накопленная телом, будет точно такой же, если мы примем иной порядок приложения усилий. Иными словами, потенциальная энергия зависит только от окончательного напряженного состояния и не зависит от порядка приложения усилий.
 Рассмотрим, далее, элемент, по граням которого действуют касательные напряжения ixy. Из рисунка 3.3 видно, что усилие, прихо¬

3.5J
 ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
 49
 дящееся на грань элемента, равно 'zxydxdz, а перемещение в направлении усилия будет xydy. Энергия деформации равна
 dU уху dx dz isxy dy —— 2“ xyxy dx dy dz. 3.45
 Из закона Гука можно заключить, что нормальные напряжения не будут вызывать деформации сдвига, а напряжения сдвига не вызовут продольной деформации.
 Следовательно, если на элемент dxdydz одновременно действуют напряжения аж, оу и ххуу общая энергия деформации, накопленная элементом, может быть получена сложением выражений 3.44 и 3.45:
 dU ахвх °угу
 rylxy dx dy dz. 3.46
 Мы получили выражение для энергии деформации, накопленной элементом dxdydz при плоском напряженном состоянии.
 Если напряжения в элементе являются переменными, мы получим для энергии деформации то же выражение 3.46 рис. 3.4. Предположим, что
 Рис. 3.3.
 элемент находится под действием напряжений <зх и чху и объемных сил Х9 Y. В процессе деформации напряжения ах и хху возрастают от нуля до некоторого значения ах и ъху; соответственно возрастут перемещения и и v.

50 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ и ДЕФОРМАЦИЯМИ ГЛ. 3
 Работа, произведенная при деформации элемента, будет равна: dU fox ddxdudx ±%idydydz-
 — J °xd uYydydydz
 1 ди ди Xy -dydu 1ITxdx TydydXdzf xxyd u ±dxdxdz
 fz-yd-dxdvdcdx T%dydyds
 — J xydv dydydz
 f Xdu±ddx dyyxdydz
 fYdvVdxT%dydxdydz
 °xd ёdx dydz f 'vd iёdx dy dz fw d-W Xdadxdyd2d
 .rm- j-Ydvdxdydz-, 3.47
 здесь интегрирование производится в пределах от и 0, v О до значений и и vy соответствующих напряжениям ах и zxy; членами высшего порядка, включающими dx2 dy dz и dx dy2 dz, мы пренебрегаем. Если принять ау О, то условия равновесия примут вид:
 д® х dtjд'Ъ'г'
 х -- у о,
 дх 1 ду 1 дх 1
 и поэтому два последних интеграла в 3.47 обращаются в нуль. Это значит, что полная работа, производимая этими вариациями усилий, равна нулю. Пользуясь зависимостями
 ди __ ди, dv __
 дх и ду дх ху
 придадим выражению 3.47 вид:
 dU J ох dtx dx dy dz J tXy xy dx аУ dz.
 Выполняя интегрирование, найдем:
 dU -i- 0хгх Txytxy dx dy dz.
 Мы получили то же выражение, что и в случае, когда изменение напряжений не учитывалось.

3.61 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ И ЕГО ОДНОЗНАЧНОСТЬ 51
 В общем случае трехмерного напряженного состояния энергия деформации, накопленная в элементе dxdydz, может быть найдена таким же образом; будем иметь
 dU 2 Н” хуЧху “Нyzyz 4“ zxzx dx dy dz. 3.48
 Общая потенциальная энергия U, накопленная в деформированном упругом теле, может быть найдена интегрированием dU по всему объему V:
 и I f f f °vzv агг xy Vtj 1хЪхd dy dz. 3.49
 V
 Пользуясь выражениями 3.25 для деформаций через напряжения, можно выразить величину U только через компоненты напряжения. Тогда формула 3.49 запишется в виде
 U f f Уё ах °г _ Г -- °y°z -4- г°х V
 Ш Ххг dx аУ dz- 3-5°
 В случае плоского напряженного состояния, при az zyz xzx О,
 будем иметь
 и Т «14- - 2yg 1 xjJ dx dy dz. 3.51
 V
 С другой стороны, соотношения «напряжения — деформации» позволяют выразить энергию U только через компоненты деформации. В этом случае
 и 2Г 5 г e2 el sf-l-e:
 Т т< Т»' 4 туdx dy dz- <3-52>
 При плоской деформации, используя 3.28, получаем
 и 2ГТ, г; slе1 ъу т <1dx dy dz.
 3.53
 3.6. Существование решения и его однозначность. Рассматривая систему основных уравнений теории упругости совместно с граничными условиями, мы можем-доказать не только существование решения этих уравнений, но и то, что решение является однозначным.

52 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ и деформациями гл. 3
 Иными словами, можно показать, что заданной внешней нагрузке отвечает только одно определенное напряженное состояние. Строгое доказательство существования решений основных уравнений дали Корн и Лихтенштейн. Требующиеся для доказательства выкладки настолько длинны, что не могут быть приведены в данной книге. Мы займемся здесь только теоремой об однозначности решения, которую можно сформулировать следующим образом.
 Если, в дополнение к объемным силам, заданы усилия или перемещения для граничной поверхности тела, то осуществляется только одна определенная равновесная форма тела, причем распределение напряжений и деформаций в теле является однозначным.
 При выводе этой теоремы надо иметь в виду, что в задачах теории упругости мы оперируем с бесконечно малыми деформациями и перемещениями. Если деформации или перемещения не являются бесконечно малыми, решение основных уравнений может не быть однозначным; это будет показано в последующих главах для задач, касающихся упругой устойчивости.
 Для того чтобы установить однозначность решения краевых задач, предположим сначала, что могут быть получены две системы решений:
 °х V •••• U'> V'> W'
 и
 о, а,..., и, г', W,
 которые удовлетворяют 15-ти уравнениям теории упругости и граничным условиям. Тогда для первого напряженного состояния должны удовлетворяться уравнения
 да' dz dz'
 57-37-ЗГ
 а также граничные условия
 X 1а' —- mz' -4- пх'
 X 1 ху 1 ZX
 A. Korn, Ueber die Losung des grundproblemes der elastizitatstheorie„ Math. Ann. t. 75, 1914, 497—544.
 L. Lichtenstein, Ueber die erste Randwertaufgabe der Elastizitatstheorie, Math. Z., t. 20, 1924, 21—28.
 G. Kirchhoff, Vorlesungen iiber Math. Phys. Mechanik, Leipzig, 1883.

З.б СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ И ЕГО ОДНОЗНАЧНОСТЬ 53
 при заданных усилиях на поверхности, или условия
 и и',
 если заданы перемещения на границе. Для второй системы напряжений должно быть соответственно
 x.h
 или
 и и
 Благодаря линейности задачи, при вычитании мы получим уравнения для напряженного состояния, отвечающего разностям о'х—о, о'—о,.
 д°«—<0, _п дх ду _ дг
 О 1<з'—ог--тт' —т--пх —х V
 X X V ХУ Xlj 1 V Я? XZ;
 Мы пришли, таким образом, к новому, «разностному» распределению напряжений, при котором все внешние силы и перемещения на контуре равны нулю. Если внешние силы или перемещения на контуре отсутствуют, то работа этих сил будет равна нулю. Согласно закону сохранения энергии, мы можем сказать, что потенциальная энергия деформации, накопленная в теле, также должна быть равна нулю. Но из формулы 3.52 видно, что энергия деформации является квадратичной функцией компонентов деформации. Если любой

54 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ и деформациями гл. 3
 компонент деформации отличается от нуля, то энергия деформации будет иметь определенное положительное значение. Она может быть равна нулю только в том случае, если все компоненты деформации будут равны нулю. Поэтому, если потенциальная энергия, накопленная в теле, равна нулю, то в любой точке тела компоненты деформации,
 и, 	соответственно, компоненты напряжения, должны равняться нулю, так что тело будет находиться в ненапряженном состоянии. Таким образом, «разностное» напряженное состояние —а, о'—а,... не может иметь места, и оба решения должны быть тождественны; это значит, что для напряжений и деформаций существует одно определенное решение. Перемещения же будут определены однозначно в том случае, если заданы перемещения на контуре. В том случае, когда на границе заданы силы, перемещения будут определяться с точностью до величин, представляющих движение абсолютно твердого тела.
 При доказательстве теоремы однозначности мы предполагали, что перемещения и, vt w являются однозначными функциями и что начальные напряжения отсутствуют. В тех случаях, когда имеют место начальные напряжения, можно воспользоваться так называемым принципом наложения и сказать, что деформации и напряжения, вызванные внешними силами, не зависят от начальных напряжений и могут быть вычислены точно таким же образом, как если бы начальные напряжения отсутствовали. Полные напряжения представят собой алгебраическую сумму напряжений, вызванных внешними силами, и начальных напряжений. В некоторых случаях принцип наложения неприменим, как например, при изгибе призматического бруса, сопровождающемся осевым растяжением или сжатием; здесь уже нельзя определить напряжения, вызванные внешними нагрузками, если неизвестны начальные напряжения.
 3.7. Принцип Сен-Венана. Применяя методы теории упругости к задачам инженерной практики, мы часто будем обращаться к принципу Сен-Венана; сущность его можно выразить следующим образом.
 Если систему сил, действующих на малом участке поверхности упругого тела, заменить другой, статически эквивалентной системой сил, то такое перераспределение нагрузок оказывает существенное влияние на напряжения лишь в непосредственной близости от места приложения нагрузки; в тех же частях тела, которые находятся от нагруженного участка на расстоянии, значительном по сравнению с линейными размерами этого участка, напряжения существенных изменений не претерпевают.
 Термин «статически эквивалентные системы сил» означает, что в обоих случаях имеются одна и та же результирующая сила и один и тот же результирующий момент.
 Если при решении практических задач граничные условия задаются в строгом соответствии с истинным распределением сил, то решение

3.7
 ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА
 55
 задачи с математической стороны может оказаться весьма сложным. Часто, изменив слегка граничные условия, мы можем сделать решение задачи выполнимым; таким путем мы получим решение, которое для большой части упругого тела дает распределение напряжений, очень близкое к истинному. Поэтому, пользуясь принципом Сен-Венана, можно упростить решение задачи, изменяя граничные условия и рассматривая систему приложенных сил, эквивалентную заданной. Кроме того, во многих практических задачах точное распределение сил на контуре неизвестно, в то время как статически эквивалентную нагрузку легко определить; в подобных случаях мы можем решить задачу, относящуюся к этой статически эквивалентной нагрузке; принцип Сен-Венана указывает, что такой путь должен привести к удовлетворительному приближенному решению.

ГЛАВА 4
 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
 4.1. Основные дифференциальные уравнения. Основной задачей теории упругости является отыскание такого решения общего уравнения 3.40 или 3.42, которое отвечало бы граничным условиям для напряжений или перемещений. Однако осуществление такого решения общей системы уравнений часто оказывается весьма сложным. К счастью, во многих практически важных задачах можно сделать ряд упрощающих предположений, касающихся распределения напряжений или деформаций, благодаря чему решение становится относительно простым.
 Рассмотрим длинный призматический цилиндр, находящийся под действием поперечной нагрузки, равномерно распределенной вдоль оси рис. 4.1. Допустим, что составляющая объемной силы Z равна
 нулю, а X и Y являются функциями только х и у. В этом случае деформация значительной части тела, находящейся на некотором расстоянии от концов, не зависит от координаты z, а перемещения и и v являются функциями только х и у. Если торцы цилиндра не могут смещаться в направлении z, то перемещение w будет там равно нулю. В среднем сечении цилиндра, как это величина w также должна равняться нулю, сделать приближенное предположение, что в любом поперечном сечении цилиндра значение w равно нулю. Тогда компоненты деформации
 Рис. 4.1.
 следует из симметрии, Поэтому мы можем
 да
 dv да. dv
 :ду’ Тжг,— дудх

4.1 ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 57
 будут функциями только х и у, а компоненты деформаций
 dw dw, да dv. dw
 гд1' Хгдхдг’ tvz Jy
 окажутся равными нулю. Такое напряженное состояние носит назва¬
 ние плоской деформации.
 Как видно из соотношений 3.29, выражающих закон Гука, в данном случае компоненты напряжений ох, ау, <зг, хху будут функциями только х и у, а величины хуг и xzx во всех точках окажутся равными нулю. Следовательно, уравнения равновесия примут вид
 ду dxs-bj дхулл да ля
 Ш Х 4.1
 Наибольшее значение для практики имеют два вида объемных сил: сила тяжести и центробежная сила. Здесь мы сосредоточим свое
 внимание на случае, когда объемной силой является сила тяжести;
 в последующих разделах этой главы будет рассмотрен также случай центробежной силы. Если объемной силой является только сила
 тяжести, то мы можем написать: Xpgx и Ypgy, где р — плотность материала, a gx, gyt—компоненты ускорения силы тяжести соответственно по осям х и у. Уравнения 4.1 перепишутся в виде:
 д а уу дхуtnj dx™
 Я?- Р 0. - pft 0. 4.2
 Система уравнений 4.2 будет удовлетворяться, если ввести функцию напряжений фх, у следующим образом:
 д2Ф _ д2Ф _ _ _ 4 оч
 <3х ду’ дх?' Хху дх ду РХУ Рух- 4-3
 Пренебрегая силой тяжести, получим
 дЦ дЧ д2ф
 ' ду 9 у дх2 ’ ху дх ду •
 4.4
 Таким образом, наша задача сводится к определению функции напряжений ф при соответствующих граничных условиях. После того как найдена функция напряжений, можно по формулам 4.3 или 4.4 определить напряжения.
 Если задача решается в напряжениях, необходимо использовать уравнения совместности 2.19. Рассмотрение этих уравнений показывает, что только одно из них не будет удовлетворяться тождественно; это относится к уравнению

58
 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4
 В случае плоской деформации зависимости между деформациями и напряжениями имеют вид:
 1 V
 г j 11 'О х
 '»Чг1 —»> v
 • VO
 г
 4.6
 Подставив эти соотношения в уравнение 4.5 и опуская общий множитель, получим
 <Э2 д2 <Э2т„?
 К1 v GX vаг 2 К1 v ау — vaJ 2 •
 <4.7
 Если выразить компоненты напряжений через функцию напряжений по формулам 4.3 и 4.4, то уравнение 4.7 получит форму:
 • 4-о.
 d4V I о дх “т дх ду2
 ду4‘
 4.8
 аМы получили основное уравнение для ф. Пользуясь обозначением
 д4, д д_ _2 _
 : W2 <ty2J —
 . 2 дх ' дх2 ду2
 ду4
 V22,
 перепишем уравнение 4.8 в виде
 У4ф 0.
 д2 д2
 Оператор V2 называется оператором Лапласа или гар¬
 моническим оператором, а уравнение 4.8 носит название бигармонического уравнения.
 Рассмотрим, далее, случай, когда концы цилиндра могут свободно смещаться. Тогда можно предположить, что продольная деформация ez представляет собой постоянную величину. Такое напряженное состояние можно назвать обобщенной плоской деформацией. Из равенств 3.25 находим:
 °г — v Рх zy “Ь z 4.9
 ee i±i.
 e il-voJ,-v3x
 v <зх — — ve3,
 vez,
 21,
 1 ху
 4.10
 величина вг рассматривается как постоянная. Подставляя выражения 4.10 в уравнение 4.5, после упрощений получаем в качестве основного дифференциального уравнения снова уравнение 4.8. После

4.1
 ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
 59
 определения ах и оу постоянное значение sz можно найти из условия, что результирующая сила, действующая по торцам цилиндра в направлении z, равна нулю:
 Плоская деформация может иметь место в случае длинного цилиндра, размер которого в направлении z велик по сравнению с другими размерами.
 Рассмотрим теперь другой крайний случай, когда размер тела в направлении z весьма мал, т. е. случай тонкой плоской пластинки. Предположим, что пластинка находится под действием сил, приложенных по контуру параллельно ее плоскости и равномерно распределенных по толщине рис. 4.2. Допустим также, что объемная сила Z равна нулю, а силы X
 и У являются функциями J
 J
 только хну. Очевидно, по-.
 1
 верхности пластинки z ± г2
 будут свободны от внешних
 V
 сил, и компоненты напряжений 4
 о., Тд.-, ту_ злесь лолжны быть -А
 г. -
 равны нулю. Если пластинка -А
 С
 тонкая, то без существенной Л
 А
 ошибки можно принять, ЧТО уЧц.
 ■h
 эти компоненты равны нулю
 по всей толщине пластинки, и
 1
 IIT
 что три других компонента—
 Рис. 4.2.
 °х> zxy — практически остаются постоянными по толщине пластинки. Тогда мы получим случай плоского напряженного состояния, для которого ог xxz — iyz — О, а величины сх, <зу, чху являются функциями только х и у. При этом уравнения равновесия сохраняют форму 4.1 или 4.2; для того чтобы эти уравнения удовлетворялись, можно по-прежнему ввести ту же функцию напряжений ф.
 Соотношения между деформациями и напряжениями будут иметь вид:
 4.И
 Т xy Q Хху
 еу °2 wax»
 _ ху __ 21 V mi • с
 ■р % — >Ож;
 4.12
 Подставляя зависимости 4.12 и 4.3 в 4.5, мы вновь получим уравнение 4.8 в качестве основного уравнения для функции напряжений ф.

60 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4
 Обратимся к уравнениям 2.19. Если положить zXz zyz 0, а величины аХ су, тху считать независимыми от z, то, в дополнение к уравнению 4.5, должны быть удовлетворены еще три уравнения совместности. Они имеют вид:
 0 5-0 дЧ -0 413>
 дх2 ’ ду- ’ дх ду _0 4ЛЗ
 Интегрируя эти уравнения, получаем
 — jg- «а> Зу ах Ьу с,
 где a, by с — постоянные интегрирования. Однако при решении задачи о плоском напряженном состоянии с помощью уравнения 4.8 это условие, вообще говоря, не будет удовлетворяться. Очевидно, решение по уравнению 4.8 не может считаться точным, поскольку не все уравнения совместности удовлетворяются. Можно получить точное решение, удовлетворяющее всем уравнениям совместности, если по-прежнему положить az — ixz zyz 0, но не ставить условия, чтобы величины ах, <зу, хху являлись независимыми от z. Будем пренебрегать объемными силами и считать внешние силы расположенными симметрично относительно срединной плоскости пластинки; тогда можно показать, что функция напряжений ф, определяемая уравнением 4.4, имеет следующий вид:
 причем функция должна удовлетворять уравнению 4.8. Для тонкой пластинки значение z обычно весьма мало, и потому вторым членом в выписанном выражении можно пренебречь. Следовательно, решение задач с помощью уравнения 4.8 дает в случае тонкой пластинки достаточную точность, хотя при этом не все уравнения совместности оказываются удовлетворенными.
 Предыдущее изложение показывает, что для задач о плоском напряженном состоянии, о плоской деформации и об обобщенной плоской деформации функция напряжений определяется одним и тем же дифференциальным уравнением, при условии, что объемные силы представлены только силой тяжести. Решение этих задач отличается только тем, как будут определяться компоненты деформации после того, как найдены компоненты напряжения. В случае плоской деформации при этом следует использовать уравнения 4.6, в случае обобщенной плоской деформации — уравнения 4.10, в случае плоского напряженного состояния — уравнения 4.12. То обстоятельство, что все компоненты напряжения можно выразить через одну функцию напряжений, впервые было установлено Эри ; функцию ф обычно называют функцией напряжений Эри.
 4.2. Изгиб консоли с узким прямоугольным сечением силой, приложенной на конце. В качестве первого примера сделаем попытку найти точное решение задачи для случая консольной балки с узким
 S. Т i m о s h е n к о, J. N. О о о d i е г, Theory of Elasticity New York, 1951, стр. 241—244.
 G. В. Airy, Brit. Assoc. Rept., 1862.

г
 d
 i—
 r
 4.2 ИЗГИБ КОНСОЛИ СИЛОЙ, ПРИЛОЖЕННОЙ НА КОНЦЕ 61
 прямоугольным сечением, загруженной на конце силой Р. Если толщина h мала по сравнению с высотой d, то распределение напряжений в такой балке рис. 4.3 можно рассматривать как плоское напряженное состояние.
 Граничные условия заключаются в том, что верхняя и нижняя грани свободны от нагрузки, а результирующая перерезывающая сила при х
 0 равна Р. Если величина Р велика по срав- рис 43
 нению с р, то силой тяжести можно пренебречь.
 Из условий статики вытекает, что изгибающий момент в любом сечении пропорционален л:, а напряжение ох в любой точке сечения пропорционально у. Поэтому положим
 ClXy' где сх — некоторая постоянная. Интегрируя, находим
 Ф -J- ХУ3yfi fz x.
 где fxx и f2x — неизвестные функции координаты х. Подстановка полученного выражения в основное уравнение 4.8
 У4ф 0
 дает
 у dx “ dx
 Так как fx и 2 — функции только х, то второй член в этом уравнении не зависит от у. Но рассматриваемое уравнение должно удовлетворяться для всех значений х и yt относящихся к балке. Это возможно лишь при
 Ш-о ■ 0-0
 или
 х С2Х3 С3 X2 ctx съ, 2 с6х3 с7х2 с8х с9, где с2> с3,., с9 — постоянные интегрирования. Окончательно имеем
 Ф ху34.у с2х3с3х2с4х сь4- сйх34- с,л;2 свх с9. 4.14
 Пренебрегая силой тяжести, получаем согласно выражениям 4.4:
 °у сб х сзУ ci>

62 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4
 Исходя из граничных условий, находим
 ау 0 при у ± у,
 откуда
 6 2 2 х-- 2 сз2-- ст О»
 6 	— с2 у с6х--2 —зтг с7 — О-
 Эти уравнения должны удовлетворяться для всех значений л: от О до L, следовательно,
 с24 с6 0, с3- с7 —0.
 — с22 св —съ2 г ст
 Решая эти уравнения, находим
 2 3 6 7 О,
 откуда
 сл 9
 — -J-У — С4-
 Чтобы удовлетворить условию тху 0 при у — ±dl2, мы должны положить
 1Г2 С4® ИЛИ С4 —.
 На нагруженном конце балки сумма распределенных перерезывающих усилий должна равняться Р:
 d2 d2
 — f zxyh dy — f g-h4yz — d2dy p,
 -d2 -d2
 Следовательно,
 J2P
 C' Учитывая, что величина d3h2 представляет собой момент инерции поперечного сечения, приходим к окончательным выражениям для напряжений:
 3 	-. в, 0. 4.15
 Полученный нами результат полностью совпадает с элементарным решением, которое дается в курсах сопротивления материалов. Из этого решения вытекает, что перерезывающая сила по торцам изменяется по закону параболы, и что напряжение пх в сечении у места заделки зависит линейно от у. Поэтому решение будет точным, если

4.2
 ИЗГИБ КОНСОЛИ СИЛОЙ, ПРИЛОЖЕННОЙ НА КОНЦЕ
 63
 усилия, действующие по торцам, заданы именно таким образом. Если же усилия в граничных сечениях изменяются по какому-либо иному закону, решение не может считаться точным; однако, в соответствии с принципом Сен-Венана, это решение будет отвечать распределению напряжений в некотором поперечном сечении, достаточно удаленном от концов. Мы видели, что постоянные сб, с8 и с9 в выражении для ф не зависят от граничных условий. Определение этих постоянных не входит в решение, поскольку напряжения от них не зависят.
 Найдя напряжения, мы можем перейти к определению перемещений в балке. Используя выражения для компонентов деформации и закон Гука, находим:
 ди
 дх
 dv
 Ту
 Рху
 EI
 7Г
 v ху EI
 4.16>
 ди. dv
 21,
 ху
 1 VP
 ду дх ' Е EI
 Интегрируя первые два уравнения, получаем
 -j-x2yrgi у, V -J-хуg2x,
 гДе giy и Six — некоторые функции от у и х. Подставляя эти
 выражения в третье уравнение 4.16, будем иметь
 E±—JL J--v-y2 dS' I p _хг _0Pp
 dy ' 2 У dx 2EI Ш
 Легко видеть, что члены в левой части равенства зависят только от у, а члены в правой части — только от х. Функция от х может
 быть равна функции от у для всех значений х и у только в том
 случае, если обе онй равны постоянной величине; обозначим ее через ах. Отсюда
 М±—-Р- 4-JLV2_I_c — Р Х2 п v Р At д
 dy Ef ' 2 У Cl’ dx 2EI 4Е
 Интегрируя, получим
 gi -с x3 — d2x — atx a3.

64 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4
 где а2 и аъ — постоянные интегрирования. Перемещения а и v оказываются равными:
 и — 2ЁГ х2У 3ЁТ 2” У а2
 v 2 ХУ2 6EI Х3 5ЁТ Х а±Х 3
 Допустим, что точка х L, у — 0 закреплена. Тогда будем иметь следующие граничные условия:
 dv
 u v 0 при x Ly у 0.
 После подстановки выражений для и и v, находим
 1 	vPrf2 Р1ъ
 а1 ЧЕ1 4EI ’ а2 — 0, а3
 и
 « 2Ш ХУ 3 1 2wLZ vP,. Р, PL2. PZ.»
 V 2EI ХУ 6EI Х 2EI Х 3EI
 Уравнение упругой линии получаем из выражения для v при у 0:
 _ Рх> PL-x PD1
 о— б 2EI 3EI •
 Кривизна упругой линии равна
 J_ _ Рх _ М
 R dxywmQ— EI — El ’
 тде R — радиус кривизны, а М Рх— изгибающий момент в сечении х. Мы получили хорошо известную из элементарной теории изгиба формулу Эйлера — Бернулли. Рассмотрим, далее, сечение х Су являющееся плоским до изгиба. При изгибе балки точка л;, у, лежащая в плоскости х с, переместится в точку с координатами х' с--и, у' y--v. Уравнение полученной поверхности будет иметь вид:
 x' cwZ'2-c2-1v4-x'
 w‘
 Эта поверхность будет мало отличаться от плоскости, если отрезок с мал по сравнению с L, т. е. если сечение достаточно удалено от заделанного конца. Однако вблизи заделанного конца поверхность, очевидно, будет искривленной. Можно показать, что при действии

4.2 ИЗГИБ КОНСОЛИ СИЛОЙ, ПРИЛОЖЕННОЙ НА КОНЦЕ 65
 на балку одного только изгибающего момента см. § 9.1, сечения, являющиеся плоскими до изгиба, продолжают оставаться плоскими после изгиба.
 Задача 1. Пусть на консольную балку, изображенную на рис. 4.3, вместо сосредоточенной нагрузки действует равномерно распределенная нагрузка интенсивности р. Найти функцию напряжений и компоненты напряжений. Граничные условия будут иметь вид:
 II
 1
 при
 43 I'M II
 5“%
 о
 II
 о
 при
 d
 у -у.
 II
 О
 при
 II 1 ю ft.
 d2
 с dy 1 axydy0
 при
 х — 0.
 d2 ■
 -d2 -d2
 Указание• Следует выбрать функцию, исходя из соотношения
 От. f->-§-- Цj Clx c2y c3.
 Задача 2. Допустим, что распределенная нагрузка, действующая на консольную балку рис. 4.3, изменяется по линейному закону как функций от х; эта задача соответствует случаю вертикальной консоли, нагруженной гидростатическим давлением. Плотность жидкости обозначим через р. Граничные условия пусть будут следующими:
 d d dy — px при у 2 » <3У о при у d
 тху 0 при у iy» °х О ПРИ х О
 d2
 хху dy 0.
 -d2
 Найти функцию напряжений и напряжения.
 Указание. Следует воспользоваться функцией, отвечающей выражению
 °х -5- jfi У xft 00.
 Отв. ф -gp- 4у3 - М1у - <» - WL Q6yt-pydc1xciy с3.
 Задача 3. Треугольная пластинка узкого прямоугольного поперечного сечения и постоянной толщины находится под действием равномерно

66 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4
 распределенной нагрузки ?, приложенной вдоль верхнего края, как показано на рис. 4.4. Показать, что функция напряжений
 pctga
 21 —ас tg а
 tg О ху хЧ 4- У2 _ arctgJ
 удовлетворяет основному уравнению и граничным условиям. Для частного случая а 30° выяснить, как распределяются нормальные напряжения в сечении АВ и сравнить их с напряжениями, определяемыми по элементарной формуле изгиба <sx Мс1.
 4.3. Основные уравнения в цилиндрических координатах. При рассмотрении задач для цилиндрических тел круглого очертания удобно пользоваться цилиндрическими координатами г, б, z, В случае плоского напряженного состояния или плоской деформации хгг т9г 0, а остальные компоненты напряжения будут функциями только г и 0; тогда цилиндрические координаты переходят в полярные. Рассмотрим равновесие малого
 элемента ABCD, показанного на рис. 4.5,а. Радиальные компоненты сил, соответствующих напряжениям
 I даг,
 VrSf-dr и 0Г> будут равны: Г -Г dr г -Ь dr db — Grr db.

4.31
 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
 67
 Радиальные компоненты сил, отвечающих напряжениям
 да. дх,
 0б4ТйГ '
 Г0
 дв
 ае
 И Тг0,
 как это видно из рис. 4.56, оказываются равными:
 дзй dO dO
 — aQ -gjp dd J dr sin o6 dr sin
 dz
 dd
 d a
 -f- 4- -gj- dr cos-2 cos T •
 Поскольку угол мал, это выражение принимает вид:
 дай йв db dz й Чв9 “I—Wd®dr2 4dr W dr — Vi dr.
 Обозначим через Fr, F9 компоненты объемных сил, приходящихся на единицу объема, соот-
 тАTffdr
 9 J Jrodr
 dd2 d
 ветственно в радиальном и касательном направлениях. Найдем сумму радиальных компонентов сил. Отбрасывая малые величины высшего порядка и деля все величины на элементарную площадь г dr db, получим следующее уравнение равновесия для радиального направления:
 с9 dr
 даг
 1 дх.
 >9
 дг
 -f
 • дв ' г % <>.
 Рис. 4.56.
 Таким же образом можно получить уравнение равновесия для направления вдоль
 касательной. Окончательно уравнения равновесия для плоских задач в цилиндрических координатах, соответствующие уравнениям 4.1, будут иметь вид:
 cb
 1 дх
 гН
 дг г
 1 даа
 дв
 дх
 ■Fr 0
 г9
 г ае
 дг
 2-f- 7e 0.
 4.17
 Допустим, что объемными силами можно пренебречь; уравнения 4.17 будут при этом удовлетвор>яться тождественно, если ввести

68 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4
 функцию напряжений ф по формулам:
 1 	д<> 1 дЦ
 °г г дг г Э62 ’
 Обратимся к выводу уравнений совместности для плоских задач в цилиндрических координатах. Предположим, что элемент ABCD переходит после деформации в положение A'B'C'D', как показано на рис. 4.6. Пусть через и и v обозначены перемещения точки А, соответственно в радиальном и касательном направлениях. Тогда
 перемещения точки В будут u-i--dr и v--dr квадрат
 отрезка А'В' окажется равным
 Компонент продольной деформации в направлении касательной зависит от величин и и v. До деформации было AD r db. После деформации длина AD за счет перемещения и становится равной Г__ udb. В то же время точка А' получает перемещение v вдоль
 Рассмотрим, далее, деформацию сдвига. Угол В'АЧ' между направлениями АВ и А'В' равен а угол D'A'H между AD и A'D'
 дЦ °е дг 9
 _ 1 1 дЦ _ д 1 д<>
 хгь — Г2 дЬ г дгдд дг г дв '
 4.18
 ков, находим
 о
 Рис. 4.6.
 касательной, а точка D' — перемещение r d®- Отсюда
 A'D'f 1 4- ее г db г и db 4- г dbj г dbj.
 Пренебрегая членами высшего порядка, получаем
 и. 1 dv

4.3 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ G9
 равен Следовательно, изменение угла DAB т. е. деформация
 сдвига 7г6 равно
 Тго L D'A'H LB'AfL D'A'H L В'А'Г — L IA'1'
 du. dv v
 7Ж ' dr T9
 В результате имеем:
 ди и, 1 dv 1 ди, dv v,л 4rkv
 7 7й’ Trt — У-5Г -37-7- 419
 Исключая и и v из формул 4.19, легко установить, что уравнения совместности принимают здесь вид:
 д t дЧг 2 дн 1 дг д%„ 1 дт.
 1 _J а 2 L jy z 4 90
 dr rdV г дг г дг гдгдЪг дЬ e
 Перейдем к случаю плоского напряженного состояния. Соотношения между напряжениями и деформациями в полярных координатах можно выписать, заменив в выражениях 4.12 индекс л: на г и индекс у на 6; тогда получим:
 Zr — F °г — voe.
 еГ - 3Ъ — vor’
 _ 1 _ 21 Ч
 ТгВ Г г9 р
 4.21
 Подставляя эти соотношения в 4.20 и сокращая на 1, будем иметь:
 д2 д- 2d д?г г — « — ™г 7 ®4 — V3r —
 -,,-,- 1.'. 4.22
 При введении функции напряжений, определяемой формулами 4.18, уравнение совместности примет вид:
 д __ 1 д _1_ 1 д W _i_ 1 _1_ 1 —О Г4 2
 Уравнение 4.23 представляет собой основное дифференциальное уравнение для функции напряжений ф. Так как выражение
 . 1 д. 1 д
 дг “г г дг “г т-2 д02
 является оператором Лапласа V2 в полярных координатах, то уравнение 4.23 является просто уравнением 4.8, написанным

70 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4
 в полярных координатах. Отсюда вытекает, что оно будет основным уравнением и для задачи о плоской деформации, и для обобщенной задачи о плоской деформации.
 Задача 1. Показать, что функция напряжений Ф, заданная выражениями 4.18, по существу совпадает с функцией ф, определяемой равенствами 4.4.
 Задача 2. Зависимость между полярными и декартовыми координггами имеет вид:
 Проверить соотношение
 х
 дЦ дЦ _ дЧ 1 дф 1 д2<>
 дх2 ' ду2 дг2 г дг ' г2 дв2
 Пользуясь этим, показать, что уравнение
 д2 1 д 1 д2 дЦ 1 дф 1 дЧ __
 дг2 г дг г2 д02 дг2 г дг г2 д02 представляет собой бигармоническое уравнение
 Щ I о Щ I _л дхА дх2ду2 ду4
 в полярных координатах.
 4.4. Толстая труба под действием равномерного давления. Соединения с натягом. Рассмотрим толстостенный цилиндр, подверженный равномерному давлению по внутренней и внешней поверхностям рис. 4.7. Через а и b обозначим внутренний и внешний диаметры цилиндра, а через pi и р0 соответственно внутреннее и внешнее давление. Тогда граничные условия будут иметь вид:
 °г — Pi при r a, j 4 24 ог — р0 при г Ь.
 Судя по граничным условиям, напряжения в этом случае должны распределяться симметрично относительно рис 47 центральной оси цилиндра, перпенди¬
 кулярной к плоскости ху. Но тогда функция напряжений ф не зависит от 0 и является функцией только г. Уравнения совместности 4.23 принимают вид
 1 L. o
 dr2 ' г dr dr2 ' г dr
 или
 _2 d__ J_ rfi_0 4 25
 “Г, dr ri ЛгЧ ' -8 dr v ' ’

4.4 ТОЛСТАЯ ТРУБА ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНОГО ДАВЛЕНИЯ 71
 Уравнение 4.25 является однородным линекным дифференциальным уравнением; его можно решить, введя новую переменную In г. Имеем:
 d'b _ d<> ds _ 1 d<> dr d% dr r di '
 dty
 dr
 drз r
 d db_ I d4 dty
 1 rfr dr j — r2 V d dl ’ 1 d4 о, 9 d'l
 rB d d dUf
 d4 1 d4 a d4, - - <Гф db
 4F 7t Ж-6Г П-6-
 После подстановки этих выражений уравнение 4.25 принимает форму:
 4 ■ 4 _п я3 ' tfS2 —
 Мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, решение которого хорошо известно:
 ф сх%ё 4- с2е с с4>
 или
 ф cxr2 In г 4— с2г2 4- с3 In г 4- с4; 4.26
 где си с2, сз и с4— постоянные интегрирования. Из уравнения 4.26 находим напряжения:
 °r yjff ci0 2 In г 4- 2с2 4- -Д,
 °е 3 4 2 In г 4- 2с2 — -§-,
 хг9 0.
 В приведенных выше выражениях для напряжений имеются три постоянные, полученные в результате интегрирования, в то время как граничные условия определяют только две постоянные. Для того чтобы однозначно определить эти постоянные, рассмотрим перемещения. В осесимметричной задаче выражения для компонентов деформации имеют следующий вид:
 da а dv v
 er — -aF' ч Т’ r'>4FT
 Ниже будет показано, что при свободно смещающихся торцах цилиндра надо положить аг 0 и использовать соотношения 4.21 между напряжениями и деформациями. Тогда получим
 da 1, ч а 1
 -аГ Ё — и Т 3»-va

72 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4
 Интегрируя первое выражение, находим Еи сх г 1 — 3v —1— 2 1 — v г In г — г
 2с21 —vr —cs1 -f-vl c6,
 где сь — постоянная интегрирования. Второе уравнение дает Еи с1г3 — v 2г 1 — v In г 2с2 1 — v г — с3 1 v у.
 Для того чтобы оба эти выражения для и совпадали, должны быть выполнены условия:
 Ci 0 и с О,
 а также
 Еи 2сг— vr — Cslvl. 4.27
 Отметим, что для рассматриваемой задачи с круговой симметрией мы могли бы не решать уравнения 4.25, а исходить непосредственно из уравнения равновесия 4.17; функцию напряжений при
 этом можно было определить способом, описанным в § 4.6, затем, исходя из уравнения совместности, относящегося к случаю круговой симметрии, можно получить выражения для напряжений, причем величина с1 автоматически обратилась бы в нуль.
 Обратимся к определению остальных постоянных. Граничные условия 4.24 принимают вид:
 2с2 — ри 2с2 — —Ро-
 Решение уравнений дает:
 о 	л _ Р—Ро№ л _ aWp0 — pi zc2 № — ’ 3 № —
 Компоненты напряжений оказываются равными:
 aWPo—Pi 1, Pitf—Pob
 r № — л2 г2 ' № — а2
 _ Д24Po—Pi. 1 Pirf—Pob
 0 62 — а2 г2 ' 62 — л2
 Из уравнения 4.29 видно, что сумма or-f-o0 не зависит от г и остается постоянной по всей толщине стенки цилиндра. Если торцы цилиндра могут свободно смещаться, то
 е2 const.
 Если вместо соотношений между напряжениями и деформациями для плоского напряженного состояния воспользоваться аналогичными зависимостями для случаев плоской деформации или обобщенной плоской деформации, то мы также получим сх 0.
 4.28
 4.29

4.4 ТОЛСТАЯ ТРУБА ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНОГО ДАВЛЕНИЯ 73-
 Из зависимостей между напряжениями и деформациями находим oz v аг ofJ Егг С;
 здесь С — постоянная, которую надо определить из условия, что результирующие силы по торцам равны нулю:
 ъ
 J oz2tz г dr тс С ф2 — а2 О, а
 откуда
 C az 0.
 При определении компонентов деформации следует пользоваться зависимостями между напряжениями и деформациями, относящимися к плоскому напряженному состоянию.
 Уравнения 4.24 и 4.26 можно использовать для исследования распределения напряжений, вызываемых горячей посадкой или
 запрессовкой. На практике имеется ряд случаев, когда на ось или на колесо требуется надеть деталь с натягом. Внутренний диаметр охватывающей детали изготовляется обычно немного меньшего размера, чем внешний диаметр оси или колеса. Если, предварительно нагрев наружный цилиндр, надеть его на ось или колесо, и затем дать ему остыть, то получим так называемую горячую посадку. Подобный метод применяют при насадке стальных бандажей на колеса локомотива. Запрессовка имеет место при насаживании ступицы на ось. В том и другом случае, при соединении двух деталей, они оказывают друг на друга давление, достаточное, чтобы предотвратить какое-либо относительное перемещение.
 Часто требуется определить давление, которое соответствует заданной разности диаметров или натягу.
 Предположим, что после соединения двух цилиндров, выполненного с помощью горячей посадки или запрессовки, радиусы внутреннего цилиндра оказываются равными а и b, а радиусы наружного цилиндра — b и с рис. 4.8. При а 0 будем иметь случай, Рис. 4.8.
 когда цилиндр насажен на сплошной вал.
 Обозначим через р радиальное давление между двумя цилиндрами. Если бы эти цилиндры были разъединены, внутренний цилиндр» очевидно, стремился бы расшириться, а наружный — сжаться. Согласно принципу наложения снятие давления р эквивалентно приложению отрицательной нагрузки р к внешней поверхности внутреннего цилиндра и к внутренней поверхности наружного цилиндра. Если положить р% 0, р0 — р и г — b в уравнениях 4.27 и 4.28„

74 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4
 мы найдем увеличение внешнего радиуса внутреннего цилиндра и>1 Vi fl21 -Vi b2' где Elt vx относятся к материалу внутреннего цилиндра. Аналогично, подставив Pi — р, Ро 0, г с и заменив в уравнении 4.28 а и b соответственно на b и с, найдем радиальное перемещение точек внутренней поверхности наружного цилиндра:
 «2 E,J-b 1 CZ 1 — v>
 где 2, v2 относятся к материалу наружного цилиндра.
 После разъединения труб внешний радиус внутреннего цилиндра будет равен b--uv а внутренний радиус наружного цилиндра будет b -- и2. Следовательно, после разъединения разность радиусов, соответствующая радиальному давлению ?, окажется равной
 «1—«2— 2°Р ЕТЬ-а? 1 «-4 J
 Если оба цилиндра изготовлены из одного и того же материала, то
 „ _ 46» с _ й2 р
 ° — Ь — а? с2 — №Ё'
 В случае цилиндра, насаженного на сплошной вал, будет а О, и полученная формула преобразуется к виду
 Если заданы величины ог или о9 в цилиндрах после соединения, можно из 4.29 определить значение р, а затем из приведенного выше уравнения найти 6. Применение эгих формул для расчета стволов тяжелых орудий было подробно разобрано Саусвеллом.
 Задача 1. На цилиндр, внутренний диаметр которого равен 100 мм9 а толщина стенки 25 мм, в горячем состоянии насажена втулка толщиной 25 мм. Величина натяга такова, что при наличии внутреннего гидростатического давления, максимальные напряжения сдвига в трубе и во втулке равны 1120 кгсм. Вычислить давление жидкости. Определить давление между втулкой и цилиндром при отсутствии давления жидкости.
 О 	те. 1110 кгсм, 200 кг см2-
 Задача. На трубу, внешний и внутренний диаметры которой соответственно равны 460 и 300 мм, насажена в горячем состоянии другая труба, толщиной 76 мм. Внутренний диаметр наружной трубы выполнен на 1,25 мм меньше внешнего диаметра внутренней трубы. Написать выражения для напряжений во внутренней трубе. Трубы изготовлены из стали, причем Ь 2,1 • 10е кгсм1.
 Р. В. С а у с в е л л, Введение в теорию упругости, ИЛ, М., 1948.

4.5 ВЛИЯНИЕ КРУГЛЫХ ОТВЕРСТИЙ НА НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИНКАХ 75
 4.5. Влияние круглых отверстий малого диаметра на напряжения в пластинках. Концентрация напряжений. Рассмотрим напряженную пластинку. Если в какой-либо точке пластинки просверлить круглое отверстие, то это вызовет перераспределение напряжений. В непосредственной близости к отверстию возникнут значительные дополнительные напряжения. Концентрация напряжений по краям круглого отверстия имеет большое практическое значение. Это относится, например, к трещинам в сплошных деталях, к отверстиям в палубах кораблей или в фюзеляжах самолетов.
 Если отверстие мало, влиянием его можно пренебречь на расстоянии нескольких диаметров от его края. Поэтому точки, находящиеся на таком расстоянии, можно рассматривать как бесконечно удаленные от отверстия.
 Рассмотрим сначала задачу о малом отверстии в бесконечной пластинке; из анализа полученных результатов можно установить погрешность, возникающую при замене конечной пластинки на бесконечную. Пусть пластинка находится под действием равномерных растягивающих напряжений 5 в направлении х.
 Начало координат поместим в центре отверстия. Очевидно, при отсутствии отверстия
 Оу ХХу О,
 это соответствует выражению для функции напряжений
 Заметим, что такое выражение для удовлетворяет бигармоническому уравнению и потому является точным решением. В цилиндрических координатах, при sin О,
 у Sr2 sin2 6 -i- Sr2 1 — cos 20.
 Отсюда
 r
 Ъа
 к
 J
 —
 Рис. 4.9.
 1. 1 1 c1 i о n
 °r> T dr SW 2 -h COS 2 0,
 oe, - Sl —cos 26, • 4.30
 - w 4r—T S sin 29‘

76 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4
 Если в пластинке просверлить отверстие радиуса а, то граничные условия запишутся в виде
 ог--тг9 0 при г —а
 и
 Ог <гх» а9 а0,. тг9, ПРИ Г ОО.
 Исходя из выражения для ф1э попробуем принять функцию напряжений в виде
 cos 20,
 где fir и2 г — неизвестные функции г. Подставим это выражение в бигармоническое уравнение
 . 1 д 1 а» дц ii <т
 дгг дг г дв дг2 “г г дг г д№ — и’
 и отметим, что полученное при этом равенство должно удовлетворяться при всех значениях 0. Тогда найдем, что функции Л г и
 2г должны удовлетворять следующим обыкновенным дифференциальным уравнениям:
 -«. <«■»»
 <«2>
 Общее решение уравнения 4.31 было найдено в предыдущем параграфе в виде
 fx г схг2nr-- с2г2 --с3пг-- с4.
 Уравнение 4.32 вновь можно привести к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами путем введения новой переменной 1пг, как при решении уравнения 4.25. После таких преобразований приходим к общему решению уравнения 4.32:
 2 г съг2 -f- свг4 с8.
 Следовательно, функция напряжений имеет вид:
 ф с,г2 In г 4- с2г2 с3 In г с4 съг2 4- С6г4 4---Ч- ся COS 20,
 где си с2, — постоянные интегрирования. Соответствующие
 компоненты напряжений будут равны:
 °r ci 1 “4“ 21п г 2с2 Д — %сь cos 20,
 °9 i3 4” 2 In г —— 2с2 — 5 12c6r2--- cos 20,
 “Ч 2сб 6с6г2 — Щ sin 20.

4.5 ВЛИЯНИЕ КРУГЛЫХ ОТВЕРСТИЙ НА НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИНКАХ 77
 Из граничных условий вытекает, что
 при г а ог хгь 0 для всех значений б; при г со or ori, oe a6l, Tre Tr0i.
 Из условия, что величины ог, а9 и тг0 должны оставаться конечными при бесконечном радиусе г, имеем
 Из полученных формул вытекает, что ое принимает максимальные вначения на концах диаметра отверстия, перпендикулярного к направлению растяжения. Подставив в выражение для значения г а и б тс2 или Зтс2, найдем максимальное значение о0 равным 35. Таким образом, максимальное растягивающее напряжение для плоской пластинки, имеющей малое отверстие и находящейся под действием приложенных по краям равномерных растягивающих усилий S, равно утроенному значению интенсивности равномерно распределенного напряжения.
 Определим, далее, погрешность, связанную с предположением
 о 	бесконечно большом размере пластинки. Для поперечного сечения пластинки, проходящего через центр отверстия перпендикулярно к оси х, будет б 7с2; из выражений 4.33 получаем
 с1 св 0.
 Из остальных граничных условий находим
 Решения этих уравнений будут иметь вид:
 с с — 5 с — — г — — S с —
 с2— сь— 2 б 4 7 4 8— 2
 Компоненты напряжений оказываются равными:
 4.33
 — 0.
 Мы видим, что с увеличением г напряжение о0 быстро приближается к значению 5. Члены, содержащие г в выражении для о0 и соответствующие напряжениям, вызываемым наличием отверстия,

78 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4
 составляют на расстоянии 10а от центра отверстия примерно 1200 от их значения у края. Таким образом, правильно было рассматривать расстояние от центра отверстия, равное пяти его диаметрам, как практически бесконечно большое.
 Рассмотрим, далее, задачу о пластинке с небольшим круговым отверстием при действии равномерно распределенных напряжений сдвига S. При изучении совместного действия различных нагрузок мы видели, что, приложив в направлении х равномерно распределенные растягивающие усилия S, а в направлении у — такие же сжимающие усилия, мы получим по диагональным сечениям равномернб распределенные напряжения сдвига S рис. 4.10. Равномерным усилиям сжатия в направлении у отвечают напряжения
 т0 -й-т ■
 °о—К1 УК1 “cos29_ •§■•
 тг0
 4
 За, 2а» ■ ri-г ri
 : Sin2e—J.
 Накладывая эту систему напряжений на систему, определяемую выражениями 4.33, находим:
 %
 sl-cos20.
 —S 1 cos20,
 с, За4, Чср. ой — Sl —тг-1- sin 20.
 4.34
 Легко видеть, что при г ос и 0 тг4 будет ог ае 0 и тг9 — S. Максимальное значение о9 равно 4S; оно относится к точкам с координатами г а и 0 0, тг2, тс, Зтс2. Следовательно, в случае пластинки больших размеров, находящейся под действием чистого сдвига, максимальное касательное напряжение будет в четыре раза больше приложенного сдвигающего напряжения.
 Напряжения в бесконечной пластинке с эллиптическим отверстием были определены Инглизом, а в дальнейшем Н. И. Мусхе-
 С. Е. I n g И s, Stresses in а Plate due to the presense of cracks and sharp corners, Trans. Inst. Naval. Arch. London, 1913.

4.61 НАПРЯЖЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКАХ И ЦИЛИНДРАХ 79
 лишвили. Решение Н. И. Мусхелишвили будет рассмотрено ниже, в § 8.11. Если одна из главных осей эллиптического отверстия совпадает с направлением растяжения S, то напряжения на концах оси, перпендикулярной к этому направлению, будут равны:
 o 	5l2-J, 4.35
 где 2а — длина оси эллипса, перпендикулярной к направлению растяжения, а 2b—длина другой оси. При а Ь получим о 35, что соответствует максимуму напряжения о в случае круглого отверстия. Если отношение аb весьма велико, то максимальное напряжение по краю отверстия также становится очень большим; следовательно, здесь имеет место значительная концентрация напряжений. Этим объясняется то обстоятельство, что трещины, перпендикулярные к направлению действия приложенных сил, имеют тенденцию расширяться. Для того чтобы задержать развитие трещин, следует просверливать по их концам отверстия; тогда концентрация напряжений станет меньшей.
 Задача 1. Бесконечная пластинка с круглым отверстием малого диаметра находится под действием равномерного растяжения: ах ay S
 при г со. Пользуясь формулами 4.33 и методом наложения, найти закон распределения напряжений в пластинке, а также максимальное напряжение, обусловленные наличием отверстия.
 Ome. or sl— 30 sl 72» т9г 0, 0Юах25.
 Задача 2. Показать, что решение задачи 1 может быть получено из формул 4.29.
 Указание. Сначала показать, что условие ох vy S эквивалентно условию аг — р0 S. Затем принять b оо и pi 0.
 4.6. Напряжения во вращающихся дисках и цилиндрах. Определение напряжений в быстро вращающихся дисках имеет важное значение для многих практических задач, и в том числе для расчета дисков паровых и газовых турбин. Напряжения, обусловленные передаваемыми касательными усилиями, в этих случаях обычно малы; значительные же напряжения вызываются центробежными силами вращающегося диска. Рассмотрим сначала тонкий диск постоянной толщины. Объемные силы здесь представлены центробежной силой
 Рг рсо2,
 где р—плотность материала диска, а а — угловая скорость. Очевидно, напряжения распределяются симметрично относительно оси
 Н. И. Мусхелишвили, Изв. Росс. Акад. наук, 1919, стр. 663. См. книгу Н. И. Мусхелишвили «Некоторые задачи теории упругости », изд. АН СССР, 1935. Прим. ред.

80 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4 вращения диска. Уравнение равновесия имеет следующий вид:
 ё3--ер о,
 или.
 а
 _гог —о0 ра>2г2 0. 4.36
 Легко убедиться в том, что уравнение 4.36 удовлетворяется
 при введении функции напряжений ф по соотношениям
 Г0г ф, o, paV2. 4.37
 Благодаря осевой симметрии величина и является функцией только г;
 «роме того, г> 0. Выражения 4.19 примут следующую форму:
 du и Л 004
 ега;> 4.38
 Исключая и, приходим к упрощенному уравнению совместности для случая осевой симметрии в виде
 гев — г, 0,
 или
 г7Р »-ег 0- 4.39
 Пользуясь законом Гука 4.21 и вводя функцию напряжений ф, преобразуем уравнение 4.39 к виду
 S Р120- 40>
 Придадим этому уравнению иную форму:
 ■ 7 И — 3 V рш2г.
 Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим
 I 3 — 'v п о I I 1
 у- РШ Г 1 Y С2 -J
 dr
 где сг и — постоянные интегрирования. Соответствующие компоненты напряжения равны:
 —p.via.
 Если по контуру сплошного диска радиуса b не приложены внешние силы, то ог 0 при г — Ь. Так как эти напряжения в диске

4.6 НАПРЯЖЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКАХ И ЦИЛИНДРАХ 81
 не могут быть бесконечно большими, то должно быть с2 0. Из граничных условий находим
 Напряжения достигают максимального значения в центре диска и равны:
 Если диск имеет в центре круговое отверстие радиуса а, то из условия отсутствия внешних сил на границе следует, что аг 0 при г Ь и г а.
 Это дает
 Максимальное напряжение имеет место на внутреннем контуре и равно:
 Если круговое отверстие очень мало, то величиной аb2 можно пренебречь по сравнению с единицей и максимальное значение напряжения будет здесь вдвое больше, чем для сплошного диска. Это означает, что при наличии во вращающемся диске кругового отверстия малого диаметра максимальное напряжение в нем удваивается.
 или
 3 	—j V р.п
 Сх —рФ.
 Напряжения будут равны:
 сгЦр а 6—г.
 а9 I рш 3 4- v V — 1 -j- 3v г.
 4.41
 откуда находим
 cj- Р«>2 Ф2 -4- а2, сг — ±2 ралт
 Напряжения оказываются равными:

82 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4
 В случае длинного вращающегося круглого вала или цилиндра мы получаем задачу о плоской деформации. Закон Гука при этом записывается в следующем виде:
 ®г К1 — v — voeJ>
 1 V
 ев —g-Ю — — vor, 4.43
 2 1 v _
 ТГ0 ТГ0»
 Подставляя эти значения в выражения 4.38 и используя функцию напряжений по 4.37, получаем уравнение совместности в виде
 ,1 d<> <, 3 —2v.
 7-75 ТТРВГ0- 4-44
 В задачах, для которых единственной объемной силой является сила тяжести, основное дифференциальное уравнение будет в случаях
 плоского напряженного состояния и плоской деформации одним
 и тем же. Из сравнения уравнений 4.40 и 4.44 видно, что в случае, когда объемной силой является центробежная сила, это совпадение уже не имеет места. Интегрируя уравнение 4.44 тем же путем, что и уравнение 4.40, получаем
 I 13 2v п •> - с л 1
 t —8 TZT7P° ' ТГС27-
 Соответствующие напряжения равны:
 Постоянные интегрирования определяем таким же образом, как и в случае тонкого диска. Окончательно, для сплошного вала радиуса b имеем:
 1 	3—2v
 Cq:
 8ТТРш2-г2- I
 1 <4-45>
 13 	— 2v г»2 — 1 ч- 2v гЦ. J
 Для трубчатого вала, внутренний и внешний радиусы которого соответственно равны а и Ь% получим:
 1 3 —2v 9ио, 9 аЧ2

4.6 НАПРЯЖЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКАХ И ЦИЛИНДРАХ 83
 Максимальные напряжения для сплошного вала имеют место в центре и составляют:
 1 3 — 2v er o TT—
 Максимум напряжения для полного вала на внутренней поверхности будет:
 13 — 2v 2А2 1 i 1 — 2 Vfl2
 T77Pt0 ’ I1 32
 Мы видим, что и здесь значение максимального напряжения удваивается, если в центре сплошного вала просверлено отверстие малого диаметра.
 В предыдущих рассуждениях мы предполагали, что напряжение аг в валу отвечает условию равенства нулю продольной деформации ег. При е20 имеем
 ог V ог О,.
 В случае сплошного вала получим
 °г 471--3-2v_2, 4.47
 а в случае трубчатого вала
 4'48> Если вал может свободно деформироваться в продольном направлении, то удлинение ег будет равномерным. Эту равномерную продольную деформацию ez можно определить из условия 4.11, по которому на торцах отсутствуют продольные силы. Находим
 2тс Ь
 J J огг db dr 0;
 о а
 нижний предел а равен нулю в случае сплошного вала и равен внутреннему радиусу в случае трубчатого вала. Так как ог не зависит от 6, то условие 4.11 можно переписать в виде
 ъ
 ozr dr 0.
 а
 Таким образом, для сплошного вала имеем
 h
 >зг --as г dr Евг 0,
 о

84 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4
 откуда
 г 2 fja22
 и
 °г4Г-2-2''2- 4-49
 Для трубчатого вала ъ
 v У Or -Н зв г dr ег —■-д 0;
 О
 это дает
 St 2gpU2 2 fl2
 И
 °г4Г-2 а2-2г2- 4‘50>
 Задача 1. Тонкий диск внешнего диаметра b плотно посажен на
 несжимаемый вал радиуса а так, что нормальное давление между валом
 и диском равно р кгсм?. Показать, что угловая скорость а>, при которой диск получает свободное перемещение относительно вала, равна
 4р iv l— vfl2
 “ р № — 0? 3v62l — va ’
 здесь а и b измеряются в см, ар — в единицах массы на ел3.
 Задача 2. Тонкий круглый диск постоянной толщины, имеющий радиус b, составлен из двух концентрических частей; радиус разделяющей поверхности равен а. Найти минимальное значение радиального давления по поверхности раздела в случае покоящегося диска из условия, что при вращении с угловой скоростью со внешняя часть диска не должна свободно перемещаться относительно внутренней части.
 Отв. 4 3 v pa2 № — а2.
 О
 Задача 3. Сплошной вал диаметром 60 см вращается со скоростью 300 обмин. Торцы вала закреплены таким образом, что он не может получать деформации растяжения или сжатия в продольном направлении. Вычислить полное осевое давление в поперечном сечении, возникающее при вращении. Удельный вес стали равен 7,5 гсж3, v 0,3.
 Отв. 3170 кг растяжение.
 Задача 4. Показать, что задачу о толстой трубе под действием равномерного давления можно решить, положив а> 0 и следуя методу, изложенному в этом параграфе.
 4.7. Вращающийся диск переменной толщины. Метод, изложенный в предыдущем параграфе, может быть использован для решения задачи о вращающемся диске, толщина которого является функцией расстояния г от оси рис. 4.11. Обозначим через ar и о0 средние значения напряжений вдоль радиуса и по касательной, на расстоянии г от центра, а через h — переменную толщину; уравнение сов-

4.7 ВРАЩАЮЩИЙСЯ ДИСК ПЕРЕМЕННОЙ толщины 85
 местности элемента диска будет иметь вид:
 hr зг — Лз9 ро>2 hr2 0. 4.51
 Это уравнение будет удовлетворено, если ввести функцию напряже¬
 ний ф, удовлетворяющую следующим соотношениям:
 hror ф, га0 -f- ра>2 hr2. 4.52
 Используя закон Гука и выражения 4.52, преобразуем уравнение
 совместности 4.39 к виду
 dr2 ' v h dr dr
 v-jg-1t-3vP<»2Ar: 4.53
 отсюда можно найти ф при заданном зна- рис 4 ц
 чении h.
 Допустим, что толщина диска изменяется по закону
 h сг,
 где с — постоянная, ар — произвольное число; тогда уравнение 4.53 принимает форму
 r2 -S' Рr w -1 3 v Р®сгр-
 Это уравнение можно преобразовать в уравнение с постоянными коэффициентами путем подстановки — In г. С помощью зависимостей, выведенных в § 4.4, находим
 -МРФ — 3-Ирш2се3-1Н
 Общее решение будет иметь следующий вид:
 ф — схе с2е 8—33 vP0 р025 •
 или
 Ф с1г9' Н- <У® — 8-33 vf С •
 где qx и <72 — корни уравнения
 ?2Ч-Р<7-О-Ир 0. 4.54
 Соответствующие компоненты напряжения равны:
 : Т? Т r9,?_1 Тr2lP_1 - 8yvp- Р2°»' JF Рш2г2 -7 Т ‘гг?-1 - r3v> Рш2гг

86 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4
 Из уравнения 4.54 находим
 «-4’avP.
 Примем, что значение q является положительным и что через q2 обозначен меньший корень; тогда
 ?2 Р- — тУ1 VP> •
 Так как У ф22-- vp > р2, то величина <72 Р всегда отрицательна.,
 Для сплошного диска, при положительном значении 3, будет с2 0; в противном случае ог и ое были бы бесконечно большими в центре диска. Если на контуре поверхностные силы отсутствуют, то из условия ог 0 при г Ь получаем
 Отсюда
 3 >
 Zi P
 pa
 . 8-3p ».т’ - тЛ ••
 4.55
 Для диска постоянной толщины имеем 3 0. Из уравнения 4.54 найдем q1l; выражения 4.55 примут вид 4.41.
 Для диска радиуса а с круглым отверстием в центре постоянные интегрирования можно определять тем же путем, что и в предыдущем параграфе, из условия ог 0 при г Ь и г а.
 В теории вращающихся дисков было введено понятие «диска равного сопротивления». Для такого диска закон изменения толщины h должен быть таким, чтобы в любой точке диска было ог ае. Подставляя это условие в уравнения закона Гука 4.21, находим
 ег е9.
 Уравнения совместности 4.39 преобразуются к виду
 0 или е0 const.
 Из закона Гука следует, что аг и а0 не только равны друг другу, но и являются постоянными для любой точки диска.
 Уравнение равновесия 4.51 запишется в виде

4.8 ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ДИСКАХ И ЦИЛИНДРАХ 87
 где о — постоянное значение напряжения. Произведя дифференцирование и группируя члены, находим
 1 dh ро
 h dr а г; после интегрирования получаем
 1пЛ — --г2--с3,
 ИЛИ
 h 0-<р«>гя2аСз — есзе-р Фг2а — 4.56 где сг и сА — постоянные.
 4.8. Температурные напряжения в тонких дисках и длинных цилиндрах. В предыдущих рассуждениях мы предполагали, что деформированное состояние обусловливается исключительно действием приложенных сил. Но имеются и другие факторы, могущие вызвать напряжения в упругом теле. Одним из них является неравномерное нагревание различных частей тела. За редкими исключениями, элементы тела при повышении температуры расширяются. Если элемент может свободно расширяться, то тело будет деформироваться, но никаких напряжений это расширение не вызовет. Однако если температура в теле возрастает неравномерно, а тело является однородным, то расширение элементов уже не может происходить свободно; тогда возникают температурные напряжения. Определение температурных напряжений в упругом теле, возникающих при данном распределении температур, имеет практическое значение при расчете многих деталей машин, и, прежде всего, при проектировании паровых и газовых турбин и двигателей внутреннего сгорания.
 Рассмотрим вначале недеформированное упругое тело при постоянной температуре Т0. Далее представим себе, что тело нагрето до температуры 7 превышающей Т0. Если температура Т меняется от точки к точке, то в теле возникнут напряжения. Деформацию элемента можно считать состоящей из двух частей. Одна часть обусловливается расширением элемента, происходящим в результате изменения температуры. Если через а обозначить коэффициент линейного расширения материала, т. е. относительное удлинение при повышении температуры на один градус, то эта часть продольной деформации будет равна а Г. Деформации сдвига здесь отсутствуют, так как при расширении элемента, обусловленном изменением температуры, в изотропном материале не будет искажения углов. В случае, когда элемент может свободно расширяться, температурная составляющая деформации будет единственной; напряжения в элементе отсутствуют. Если же элемент не имеет возможности свободно расширяться, то в нем возникнут напряжения и общая деформация

88 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4
 элемента будет складываться из составляющей, отвечающей напряжениям, и составляющей, обусловливаемой изменением температуры.
 Возвратимся к декартовым координатам и обозначим напряжения в некоторой точке через ох, og, хху ъху, %yz, rzx; тогда компоненты деформации будут иметь вид:
 1
 ху
 1
 ВУ 1°У
 ®у V ipx I- ®zl УЛ » yz Q xyz'
 I°g v aa? “Ь y Tzx
 4.57
 Из этих формул находим следующие соотношения между напряжениями и деформациями:
 ох е■
 ау — 1е 4gz —— he 1—
 аЕТ
 1 v
 Е
 1—2v аЕТ
 1-j-v 1—2v’
 Е аЕТ
 1 ‘
 4.58
 где X v Z: 1 -— v 1—2v и е ех ъу -Ь ег. Зависимость между т и у остается такой же, как и в случае, когда температурные деформации отсутствуют.
 Рассмотрим тонкий круговой диск при неравномерном распределении температур. Предположим, что температура Т является функцией только радиального расстояния г; тогда получим случай осесимметричного плоского напряженного состояния. Пользуясь цилиндрическими координатами, из уравнения 4.57 находим:
 er 4-or — v3e--ar, e9-ee —vora7’ 4.59
 Уравнение равновесия
 dar. аг — сте ___ q dr ' г
 тождественно удовлетворяется, если ввести функцию напряжений ф по формулам:
 °г у> °9 4-60
 Подставляя выражения 4.59 и 4.60 в уравнение совместности 4.39, получаем
 dzri

4.81 ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ДИСКАХ И ЦИЛИНДРАХ
 8?
 После упрощений находим
 d>_, р dT
 dr2 г rfr г2 — dr 9
 или
 Это уравнение легко проинтегрировать; решение имеет вид:
 <4.62>
 нижний предел интегрирования а можно выбрать произвольно. Для диска с центральным отверстием значение а должно равняться внутреннему радиусу. Для сплошного диска принимаем а 0.
 Напряжения можно найти, подставив выражение 4.62 в формулы 4.60; тогда получим
 г
 °г — -рг 7Vdr.
 О
 «е-7Ч-Тет1'■--•
 ' а '
 Для сплошного диска напряжения в центре должны иметь конечное значение, и потому постоянная с2 должна равняться нулю. Если на контуре отсутствуют внешние силы, то ог 0 приг. Отсюда
 Tr dr.
 Напряжения равны: ог а Е
 <<1
 i Trdr-f TrdrY '0 o'
 j b r
 «e -T if Trir J
 ' 0 0
 4.63
 Рассмотрим в качестве примера тонкий диск, поверхности которого нагреваются и отдают тепло по окружности таким образом, что температура в любой точке диска практически постоянна по толщине диска. Если Т0 — температура у контура, а Т1—температура

90 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4
 в центре диска, то приращение температуры в точке, имеющей радиус г, дается следующей формулой:
 Т Т1-Т0-Т1-Т0.
 Подставляя это выражение для Т в уравнения 4.63 и интегрируя, получаем:
 аг -1«Г1-Г01-1,
 °0
 _аГ1_Г0 1—-.
 Если в центре диска имеется круговое отверстие радиуса а, а контур свободен от внешних сил, то
 ог 0 при г Ь и г — а.
 В этом случае
 отсюда
 Cl
 9
 _l. — Tr dr —o
 b b J ' 2 cfl —u’
 a
 Trdr. Trdr.
 . olE
 a E
 -г 8пгз
 a a
 r b
 -T-LJ TrdrJ
 Tr dr
 Г2 2
 a2 •
 5>2 — a2 У
 Tr dr
 Tr dr-
 Г
 'rb — a J
 Trdr
 4.64
 Обратимся к температурным напряжениям в длинном круговом цилиндре с осесимметричным распределением температур. Если концы цилиндра закреплены таким образом, что в2 0, то получим задачу о плоской деформации. Зависимости между напряжениями и деформациями в цилиндрических координатах имеют вид:
 er -g К — v <j9 -_ог a Т.
 ее К — v Рг °г 1-Ь аТ,
 ®г — р 1аг — v °г Зв 1 “Ь
 4.65

4.8
 ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ДИСКАХ И ЦИЛИНДРАХ
 91
 В случае плоской деформации ег 0, и третье уравнение дает
 az y ог ое — а ЕТ. 4.66
 Подставляя значение 4.66 в первые два уравнения 4.65, находим ег -Цг 1 — vor —voe--a;ri, j
 1 v
 Sj:
 1 — voe —var-t-aer.
 4.67
 Подставим, далее, выражения 4.67 и 4.60 в уравнение совместности 4.39; после ряда преобразований получим
 d?<>.1 dty ф _ аЕ dT
 drа
 г dr
 1 —V dr 4
 4.68
 Сравнивая уравнение 4.68 с 4.61, убеждаемся в том, что эти выражения отличаются только коэффициентом при. Следовательно, решение имеет вид:
 ♦-тёттTr-drif-a;
 a
 7i■'■ % ■
 отсюда
 Для сплошного цилиндра с2 0, так как напряжения в цилиндре будут конечными. На внешней поверхности г Ь имеем ог — 0, откуда
 Следовательно, напряжения равны:
 ъ
 Tr dr-
 08:
 obi-bf Trdr-fT'A’
 ' О О Т-Г ж Тг тгЛ
 ' о о из выражения 4.66 получаем
 if т''-т-
 4.69
 4.70

92 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ГЛ. 4
 Таков закон распределения нормальных напряжений, которые должны быть приложены, чтобы во всех точках было ег 0. Если концы цилиндра свободны, то можно ввести постоянное осевое напряжение ог с3с тем, чтобы результирующая сила по торцам равнялась нулю. Интегрируя, убедимся в том, что условие
 ь
 Jaz2nr dr О
 приводит к значению с3, равному
 2 аЕ
 Ь
 Trdr.
 В этом случае
 4.71
 Постоянные интегрирования в случае кругового цилиндра с концентрическим круговым отверстием могут быть определены из условия ог О при г Ъ и г а. Будем иметь:
 ь
 ci I 1 Г Trdr -I- О
 а
 Решая эти уравнения, получим
 ь
 Cl аЕ 1 -.
 2 — 1—V 2 —J Tr dr>
 а
 b
 а Е а? Г 1 __ V № —a? J
 Сг-
 Tr dr.
 Подставляя значения постоянных, находим
 ь
 гжЛтыг-1 п‘
 'а о
 T7r,S±§™ fTrdr-Tr>.
 а а
 4.72
 Прибавляя к oz постоянное напряжение с тем, чтобы результирующая осевая сила равнялась нулю, получим
 ъ
 аЕ I 2 Г
 l__v b — a2 J
 ' а
 Trdr — Т.
 4.73

4.8J ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ДИСКАХ И ЦИЛИНДРАХ
 93
 Если через 7 обозначена температура на внутренней поверхности цилиндра, а через Т0 — температура на внешней его поверхности, то в случае постоянного теплового потока приращение температуры Т на некотором расстоянии г от центра равно:
 Ъ-т. ±
 m А
 а
 Подставляя это выражение в уравнения 4.69 и 4.70, получаем температурные напряжения равными:
 аЕ 7 — Го Г Ь аЧг-ЬАпЪ
 v,„ Ь L г г2 Ь2 — а2 а У
 2 1 — vln —
 а
 aETt-T0 г Ь аг Ь 1п М
 ,,л, ь L Г гЬ — а ау
 21 —V In — а
 aETt-T0 Г t, Ь 2а2
 l 	— In — 2д2 In —1.
 _ г № — а? а
 4.74
 2 j,
 21 -V In 4
 а J
 При 7 > Т0 радиальные напряжения будут сжимающими во всех точках и обращаются в нуль на внутренней и внешней поверхностях цилиндра. Напряжения ае и az имеют наибольшие числовые значения на внутренней и внешней поверхностях цилиндра.
 Задача 1. На тонкий однородный диск радиуса b насажен жесткий обод, который при равномерной температуре плотно обжимает диск. Диск и обод изготовлены из одного материала. Если поверхности диска нагреваются и отдают тепло по окружности, то приращение температуры на расстоянии г от центра равно
 Т Т — Т0 — Т1 — Го -р--.
 Предположим, что обод воспринимает постоянную температуру Т0 и что деформации, вызванные возникающими при этом напряжениями, незначительны. Показать, что радиальное сжимающее напряжение в диске на расстоянии г от центра равно
 ±.7-, —Г. —-.
 Задача 2. Допустим, что электрический ток вызывает повышение температуры внутри длинного, прямого сплошного проводника радиуса Ь9 постоянное по длине. Можно показать, что относительное повышение температуры в проводнике на некотором расстоянии г от центра определяется формулой Т Ь- — г2, где X — постоянная. Предположим, что напряжения не превышают предела упругости и что отсутствуют внешние силы, препятствующие продольному или поперечному расширению. Доказать, что температурное поле вызовет следующие напряжения:
 ■- — 4inr> <-'>• 5«-. <->•

ГЛАВА 5
 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ
 6.1. Кручение призматических стержней. Прямой метод решения задач теории упругости, заключающийся в интегрировании основных уравнений теории упругости совместно с заданными граничными условиями, не всегда возможен. Для многих задач удобно применять так называемые обратный и полуобратный методы. При пользовании обратным методом выясняют, каким граничным условиям соответствуют некоторые функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям. Таким путем можно получить ряд полезных результатов. Полуобратный метод, впервые предложенный Сен-Венаном, состоит в том, что делают некоторые допущения в отношении напряжений или перемещений. При этом дифференциальные уравнения настолько упрощаются, что решение их не представляет особых математических трудностей. Принимая те или иные допущения, мы, как правило, ограничиваем общность полученного решения; но обычно их можно формулировать таким образом, чтобы все же получить решение частных задач. Например, в рассматриваемой ниже задаче о кручении призматического стержня мы будем задаваться определенными функциями для перемещений и, v% w, сводя таким образом
 дифференциальному уравнению. Но при таких допущениях мы можем найти решение задачи
 о кручении стержней только постоянного сечения; решения же для стержней, не являющихся призматическими, получить этим путем нельзя. Полуобратный метод является одним из самых эффективных методов решения задач теории упругости.
 Предположим, что один конец стержня призматического сечения, длины Z,, закреплен в плоскости ху, а на другой конец действует пара, вектор-момент который направлен вдоль оси z рис. 5.1. Мы полагаем, что закрепленный конец не может вращаться, но что оба конца могут свободно перемещаться друг относительно
 основные уравнения к одному

5.11
 КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
 95
 друга в направлении z. Под действием пары стержень будет закручиваться, причем образующие цилиндра будут превращаться в винтовые линии. Угол поворота любого поперечного сечения зависит от расстояния, на котором находится это сечение от закрепленного конца. При малой деформации можно считать, что угол закручивания а пропорционален расстоянию между сечением и закрепленным концом. Таким образом,
 <x Qz, 5.1
 где 0— угол закручивания на единицу длины. Будем считать угол закручивания а малым. Рассмотрим сечение стержня, которое находится на расстоянии z от закрепленного конца. Точка Р с координатами xf yf z в результате деформации перемещается в точку Р'х--и9 у —— vy z--w. На рисунке 5.2 показана точка Р' являющаяся проекцией Р' на плоскость ху. Предположим, что в плоскости ху точка Р перемещается в Р' при повороте на угол закручивания а, причем ОР ОР г. Если угол а мал, то cosal и sinaa. Следовательно,
 и г соэф 4а — г cos р г cos a cos р — г sin a sin р — г cosp «—усе, v г sin Р -- а — г sin р г sin a cos р г cos a sin р — г sin р « лга.
 Подставляя значение a 5.1, получаем
 и — дуг, v 0xz; 5.2
 таким оказывается закон изменения и и v. В отношении w не будем пока делать никаких допущений, кроме того, что w зависит только от х и у и не зависит от z. Следовательно, можно записать
 w вер дг, у9 5.3
 где ср Ху у — некоторая функция от х и у. Так как w определяет искажение депланацию торцевых сечений, то функцию ср можно назвать функцией депланации. Необходимо выяснить, будут ли отвечать принятые выражения для перемещений, вместе с неизвестной еще функцией ср, напряженному состоянию, удовлетворяющему заданным граничным условиям. Эти условия в данном случае состоят в том, что на обоих торцах должны действовать только крутящие моменты и что боковая поверхность стержня свободна от сил.

D6 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ ГЛ. 5
 Пользуясь приведенными выше выражениями для перемещений, л а ходим:
 х г ху тет’ 9‘йГ_-у-J 5’4
 Из уравнений 3.26 следует:
 ау az ху О» V g9'57 ’ x™ aeliy- J 5'5
 Подставим эти значения в уравнения равновесия 3.42; уравнения
 эти будут выполняться, если функция ср х, у удовлетворяет уравнению
 72?B- 0 О 5-6
 для всех точек поперечного сечения R стержня; здесь
 V2 — _ц — дх2 ду
 — оператор Лапласа.
 Обратимся к граничным условиям. Так как
 XVZ0
 на боковой поверхности стержня, то последнее из уравнений 1.36 принимает следующий вид:
 — у 1 т 0 на контуре S, 5.7
 где S — контурная линия поперечного сечения стержня. Каждая из частей двух других уравнений 1.36 оказывается тождественно равной нулю; это следует из уравнений 5.5 и из того, что для
 боковой поверхности п cos Nz 0.
 Покажем, далее, что на двух других граничных поверхностях, а именно, на торцах стержня, определяемых плоскостями z 0 и z L, напряжения 5.5 сводятся к скручивающей паре, и результирующие силы отсутствуют. Результирующая сила в направлении х равна
 f f xxzdx dy G% f f L — yyxdy, 5.8
 R R
 это выражение можно привести к виду
 00 Й х ш - ■ 57 Йгdx аУ• <5-9>
 R

5.1J КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ 97
 При получении уравнения 5.9 были использованы соотношения
 К->И-->'Й-
 зг—ух Щг тйIf у У->
 д<> Л
 здесь принято -г 0 в соответствии с уравнением 5.6.
 Рис. 5.3.
 Пусть является некоторой функцией х и у; тогда можно выписать равенства рис. 5.3:
 f f §jdxdyfj dx dy—f, 2 dy,
 где fx и 2 — значения функции на правой и левой частях контура. Выполним интегрирование по у для контурной кривой в границах от у уА до у ув. Если мы будем вести интегрирование функции по контуру в направлении против часовой стрелки, то для правой части контура приращение dy — положительно, а для левой—отрицательно. В результате каждая из величин fidy и —-fdy окажется положительной, и, следовательно,
 жахаУ §аУ-
 Аналогично,
 df
 5.10

98 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ РАЗЛИЧНОЙ формы гл. 5
 Пользуясь формулами 5.10 и 5.11, придадим выражению 5.9 вид:
 § • I?-■у “у— IS-4dx
 • <5-12>
 S
 Будем считать положительными направления вдоль нормали N во внешнюю сторону и вдоль контура — против часовой стрелки; тогда согласно рис. 5.3, б получим
 cosA -g-, т — cos Ny cos - -b P j — sin. 5.13
 Равенство 5.12 принимает вид
 5
 при этом выражение
 5— ylwxm
 обращается в нуль на контуре 5 в соответствии с уравнением 5.7 Мы пришли, таким образом, к равенству
 •
 zzx dx dy 0.
 “д
 Таким же путем можно показать, что составляющая результирующей силы вдоль оси у также равна нулю:
 •
 zzy dx dy 0.
 Следовательно, результирующие силы по торцам цилиндра обращаются в нуль.
 Результирующий крутящий момент Т по торцам стержня, отвечающий принятому распределению напряжений, равен:
 TJf хтуг— yzzxdxdy
 R
 m f f х2У2 х Ущах dy' 5Л4

5.21 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ КРУГЛОГО и ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЙ 99
 Интеграл, фигурирующий в выражении 5.14, зависит от функции кручения ср и, следовательно, от вида поперечного сечения R стержня. Вводя обозначение
 Jffx2y2xi'у-У'шахаУ’ 5Л5>
 В
 получим
 T Grf, 5.16
 где J—постоянная кручения. Уравнение 5.16 показывает, что крутящий момент пропорционален углу закручивания на единицу длины, так что произведение GJ является мерой жесткости стержня, подвергаемого кручению; величина эта называется крутильной жесткостью стержня.
 5,2. Кручение стержней круглого и эллиптического сечений.
 Выше было показано, что для решения задачи о кручении надо найти функцию депланации ср дг, у, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению
 дЖд — 0
 во всех точках поперечного сечения, т. е. в области ?, и условию
 5-7
 на контуре S. Выясним, как найти решение для контура определенной формы.
 Задача о кручении стержней круглого и эллиптического сечений решалась с помощью обратного метода. Простейшее решение уравнения Лапласа имеет вид:
 cp const C. 5.17
 При ср С условие на контуре 5.7 записывается в следующем'виде:
 . dy. dx л
 у1-хту-Х1Г 0.
 Отсюда
 d х у _0 ds 2
 или
 х2 hy2 c°nst, 5.18
 где лс, у — координаты некоторой точки контура. Из аналитической геометрии известно, что уравнение 5.18 отвечает окружности с центром в начале координат. Таким образом, выбор функции <р в виде ср С дает нам решение задачи о кручении стержня круглого сечения. Уравнение 5.3 дает w ftC. Примем граничное

100
 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ
 гл. 5
 условие w 0 при z 0; тогда С — 0. Следовательно, плоское сечение цилиндра, перпендикулярное к оси до закручивания, остается плоским и после деформации. Такое допущение обычно делается при решении этой задачи методами сопротивления материалов. Но уравнение 5.18 показывает, что это предположение справедливо только в случае кругового контура; нельзя ожидать, что оно будет справедливым для сечений другой формы.
 Пусть радиус окружности равен г0. Из формулы 5.15 при ср С получаем величину J:
 J— J f x2 y2dxdy -g-w.
 R
 равную полярному моменту инерции 1р круглого сечения. Далее, из уравнения 5.16 имеем
 TGIpbt 5.19
 а согласно выражению 5.15
 V 	— овх — т х> tzx — ОВу — -у. 5.20
 V 1р
 Результирующее касательное напряжение в некоторой точке Рх, у равно
 x Vxlz-Sr'z2zx-rX2y2'rr' 5‘21
 ЛР 1Р
 где г — радиус-вектор точки относительно центра окружности, наклоненный к оси х под углом р, причем
 Следовательно, результирующее касательное напряжение в некоторой точке направлено по касательной к окружности, проходящей через эту точку.
 Обратимся теперь к функции
 ср Аху. 5.22
 Очевидно, такая функция удовлетворяет уравнению Лапласа. Условие на контуре 5.7, после подстановки в него функции ср 5.22, принимает вид:
 Ау-у%-Ах х%0.
 или

5.2 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ КРУГЛОГО И ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЙ 101
 После интегрирования получим уравнение
 х2 -f- У2 const, 5.23
 где х, у—координаты любой точки контура.
 Выпишем уравнение эллипса с центром в начале координат:
 xi--yi cP, 5.24
 где а и b — полуоси эллипса. Сопоставление уравнений 5.23 и 5.24
 показывает, что они будут идентичными при условии, если
 a? А — 1
 № А 1
 Решая это уравнение относительно А, получим
 . _ Ь — а
 Ъ cfl
 Таким образом, функция
 № — аV с- 0г
 ? 1гр0У <5-25
 представляет собой функцию депланации в задаче о кручении
 цилиндра эллиптического сечения. Постоянная кручения равна:
 J J х2 у2 f Ах2 — Ay2 dx dy
 R
 А 1 j j x2dxdy-1— 1 —A J J y2dxdy
 R R
 А1, 1-АГа. 5.26
 где Iy, Ix — моменты инерции соответственно относительно осей у
 и
 Касательные напряжения в некоторой точке поперечного сечения равны:
 2Тх _ 2Т у
 У — %аЧ ' — nabз
 Результирующее касательное напряжение в точке Рх, у равно
 5.27
 Л 2 I 2 1 Ьх-. ау2 суо
 xKv tw_j 5.28
 Напряжение т достигает максимального значения на концах
 малой оси. Чтобы показать это, построим ряд эллипсов внутри сече¬
 ния. Пусть полуоси эллипсов будут а' и Ь', причем

102
 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ
 ГЛ. 5
 Уравнения этих эллипсов могут быть записаны в параметрической форме следующим образом:
 х а cos 3, y bf sin 3,
 где 3— угол, показанный на рис. 5.4. Подставляя эти значения х и у в уравнение 5.28, получаем результирующие касательные напряжения в любой точке этих эллипсов:
 хSw Vьг 1т-2 cos2 р°2 4г2 sin2 р
 Mia 1Г 2cos2Pa2sin2P
 тicfib
 2 Т
 Tzab
 Если a > b, to t будет максимально при af а и p ± • Таким
 образом, касательное напряжение имеет максимум у концов малой
 оси, величина точках равна:
 2 	т
 nab2
 в этих
 5.29
 При а Ь эта формула переходит в выражение 5.21, относящееся к стержню круглого сечения. Направление напряжения т определяется отношением величин xyz и zzx. Из формул 5.27 видно, что это отношение пропорционально отношению ух и, следовательно, постоянно вдоль линии ОР. Это означает, что результирующее касательное напряжение вдоль линии ОР имеет постоянное направление, совпадающее с направлением касательной Р'Р.
 Если найдено выражение 5.25 для функции депланации, то легко определить перемещение w:
 Т b2 — л2
 w ху,
 5.30
 ncfibG Т
 где б -ду. Линии равной депланации w const будут гиперболами рис. 5.5. Допустим, что цилиндр скручивается крутящим моментом Т, действующим так, как показано на рисунке стрелкой; выпуклые части сечения, для которых w положительно, отмечены сплошными линиями, а вогнутые — пунктирными. В случае свободно

5.31
 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
 103
 депланирующих торцов цилиндра нормальные напряжения на них отсутствуют. Однако, если на одном из концов стержня депланация затруднена, как в случае защемления, то будут возникать нормальные напряжения, положительные в одном квадранте и отрицательные— в другом. Они подобны напряжениям, ’ вызываемым двумя равными и противоположно направленными изгибающими моментами и поэтому называются напряжениями изгиба, возникающими при кручении.
 Задача. Показать, что
 для решения задачи о кручении стержня, сечение которого представляет собой равносторонний треугольник рис. 5.6, функцию депланации следует взять в виде
 <р А у3 — Зх2у,
 где А — постоянная, подлежащая определению. Найти постоянную кручения J и максимальные касательные напряжения. Контур определяется следующими уравнениями:
 х — а 0 для CD,
 x-j-2а — Y3 у 0 для ВС,
 л, 2лУГ3 у 0 для BD.
 Указание. Вначале необходимо установить, что функция ср удовле¬
 творяет дифференциальному уравнению. Чтобы показать, что функция отвечает граничным условиям, надо определить значение постоянной А для линии CD и выяснить, что при этом значении А и при у — ± х 2дУ3 граничные условия удовлетворяются для отрезков ВС и, BD. Для CD имеем 1, 72 0. Для ВС будет cos 120°
 —, т cos 30° —• Для BD I cos 240° т cos 150°
 Отв. А —
 _1_ 6 а
 _ 3 Та
 ттах 2 J
 достигает в точке х
 Yза,
 . Максимального значения т а, у 0.
 б.З. Кручение стержней прямоугольного сечения. Пусть поперечное сечение стержня представляет собой прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами 2а и 2bt направленными

104
 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ
 гл. 5
 параллельно координатным осям, как показано на рис. 5.7. Пользуемся полученными ранее уравнениями: для всей прямоугольной области
 и по контуру
 дх _г ду ’
 5.6
 5.7
 На контурных линиях ЛВ и CD, где х а, будет ± 1 и т 0, а на линиях ВС и AD имеем 1 — 0 п т ± I. Условие на контуре 5.7 можно переписать в следующем виде:
 ду
 шу
 у при д: ± а,
 5.31
 Этим условиям можно придать более удобную форму, вводя новую функцию cpt так, что
 ср ху — ср1 5.32
 Легко показать, что для новой функции cpt основное уравнение по всей прямоугольной области будет иметь вид:
 0;
 5.33
 дх2 ' ду2
 условия на контуре будут следующими:
 0 при х ± а, 5.34
 2х при y—dzb. 5.35
 Примем решение уравнения 5.33 в виде бесконечного ряда
 ?i
 2 Хпх упу>
 710
 5.36
 каждый член которого удовлетворяет дифференциальному уравнению; здесь Хпх и Yny — функции соответственно только х v у. Очевидно, если решение для срх нельзя выразить в форме ряда 5.36» то мы не сможем найти решение для функций Хп и Кп, удовлетворяющее граничным условиям.
 Подставляя Хпх, Упу в уравнение 5.33 и обозначая производные штрихами, находим:
 XXYnyXnxYy 0,
 или
 ,
 Хп х
 Упу
 У«у

5.3 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 105
 Так как левая часть полученного уравнения является функцией только от х, а правая зависит только от у, то уравнение можег быть удовлетворено лишь в том случае, если обе его части равны постоянной величине; обозначим ее через —k%. Таким образом,, мы получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:
 _klYn 0.
 Эти дифференциальные уравнения легко решить с помощью известных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решения их будут следующими:
 Хп Сх sin knx с2 cos knx, 5.37
 Yn c3 sh kny c4 ch kny. 5.38
 Рассмотрим теперь условие на контуре 5.35. Во-первых, можно установить, что выражение
 ду
 пО
 должно иметь одно и то же значение при уЪ и у — Ь. Это условие может быть выполнено, если производные У' у являются симметричными функциями от у. Во-вторых, при у±Ь будем иметь
 %У'пЬХпх 2х.
 п0
 Это условие удовлетворяется, если Хпх являются антисимметричными функциями относительно х. Исходя из этих соображений» находим, что с2 с4 0. Условие 5.34 будет выполнено, если Х'п± а 0, или
 Скп cos kna 0.
 Отсюда находим
 _ 2л1
 п 2а
 Поскольку ct и с2 — произвольные постоянные, функцию срх можно записать в следующем виде:
 СО
 ?1— 2 лп sin knx sh kny, 5.39
 n0
 Постоянную берем со знаком минус, так как иначе граничные условия не будут удовлетворяться.

i 06 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ ГЛ. 5
 где кп 2п--1к2а; постоянные Ап следует определить таким -образом, чтобы удовлетворялось граничное условие 5.35.
 Дифференцируя функцию срх по у и подставляя у ± Ь% из уравнения 5.35 получаем
 оо оо
 2х 2 AAich М sin knx —Bn sin knx 5.40
 n0 n0
 здесь для упрощения записи введено обозначение:
 Вп Ankn ch knb.
 Коэффициенты Ап можно определить, пользуясь схемой, применяемой при разложении функций в ряд Фурье. Умножим обе части уравнения 5.40 на sin 2т 1тсх2а и проинтегрируем все члены по х. Учитывая соотношения
 sin knx sin kmx у cos kn — kmx — cos kn km x
 1 Г cos n - m xx - cos <-”■ lx,
 2 1 a a J
 . о. 1 Г i 2m 1 nx sin2 kmx 2 L —C0S 2 J’
 лолучим
 a
 j sin knx sin kmx dx 0 при тфп,
 -a —а при m n
 «
 a cl
 J 2xsnkmxdx J Bm sin2 kmx dx.
 — a — a
 Вычислив значения интегралов в этом выражении, найдем
 16 — I та °т — я22от-- 12 ’
 или
 _ 32 — па? 1
 из 2л 13 ch knb ’
 следовательно, решение будет иметь вид:
 32а? VI — 1” 1...,
 <р Ху - cpi ху 4Г 2л kl? w s,n k“x sh У- 5.41

5.3
 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
 107
 Постоянную кручения J можно определить по формуле 5.15:
 у 7 7 x2yjrx-ydxdy:
 у—Ь х
 8агЬ
 Г
 1 96 Y 1
 к 4 2л 4
 384а
 П — 0
 2л 4 I4
 2
 Принимая во внимание равенство
 СО
 1
 2
 п0
 u5ь Ы 2л15
 п-0
 2л 4-14-
 96
 приходим к формуле для У:
 J 16 aab
 1 64а V th knb 1
 3 rfb 2d 2л 15 —
 n0 J
 Ka3b.
 5.42
 В таблице 5.1 даны значения К, соответствующие разным величинам отношения Ьа. Ряд 5.42 можно записать в виде
 2
 я-0
 211
 »
 2
 Таблица 5.1
 th knb
 2п 1 5 в
 П — 1
 Мы замечаем, что сумма
 СО
 knb
 Zi th 2л 15 меньше суммы
 оо
 2 1
 П-1
 п 1
 так как
 22 15
 : 0,0046,
 Ыа
 К
 К.1
 К»
 1,0
 2,250
 1,350
 0,600
 1,2
 2,656
 1,518
 0,571
 1,5
 3,136
 1,696
 0,541
 2,0
 3,664
 1,860
 0,508
 2,5
 3,984
 1,936
 0,484
 3,0
 4,208
 1,970
 0,468
 4,0
 4,496
 1,994
 0,443
 5,0
 4,656
 1,998
 0,430
 10,0
 4,992
 2,000
 0,401
 оо
 5,328
 2,000
 0,375
 при Ьа. Следовательно, первый член ряда дает значение суммы с точностью до 0,5%, и для практических расчетов можно пользоваться приближенной формулой
 1 с и 1 64 а,, nb
 16с 6 -J — Уth 2а'
 5.43

108
 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ
 ГЛ. 5
 После некоторых выкладок находим следующие формулы для касательных напряжений:
 ОО
 16Та у — 1” sh kny
 Zi г
 2л12 ch knb и0
 cos k„x,
 yz'
 oo
 Z 2x—— У-bd>LfL»JLsinv
 j J «2 2л12 chknb RX
 n0
 5.44
 Можно показать, что если b > а, то максимальные касательные напряжения имеют место посередине длинных сторон прямоугольника, при х±а. Подставляя в уравнения 5.44 значения х а и у 0, находим
 2.-75 0
 2 Та
 1 -±у 1
 2 —J 2л I2 ch knb
 пО
 Та J в
 5.45
 Бесконечный ряд в правой части уравнения, который мы обозначим через Ci2, сходится очень быстро при b > я, и вычисление вели» чины ттах с достаточной точностью для любого отношения bа не представляет трудностей. Значения Ки соответствующие различным величинам Ьа, включены в табл. 5.1. Подставляя выражения постоянной кручения J из уравнения 5.42 в уравнение 5.45, получаем
 2-. 5.46
 где К2—второй числовой множитель, значения которого также даны в табл. 5.1.
 Горизонтали поверхности, для которых w const, могут быть легко определены из уравнения для функции ср. Для стержня квадратного сечения, т. е. при а bt горизонтали показаны на рис. 5.8; здесь сплошные линии соответствуют положительным значениям wy а пунктирные — отрицательным, по правилу знаков предыдущего параграфа.
 5.4. Мембранная аналогия. Из примера, разобранного в предыдущем параграфе, становится очевидным, что решение задачи о кручении стержня более сложной формы поперечного сечения может оказаться весьма трудным. Для приближенного решения задач о кру¬

5.4
 МЕМБРАННАЯ АНАЛОГИЯ
 109
 чении стержней различных сечений, часто встречающихся в технике, весьма эффективной оказалась так называемая мембранная аналогия. Она основана на математической аналогии между задачами о кручении и о деформации упругой натянутой мембраны, подверженной равномерному поперечному давлению.
 Пусть тонкая однородная мембрана рис. 5.9 имеет постоянное натяжение и закреплена по контуру, который ограничивается кривой, лежащей в плоскости ху. Если мембрана подвергается равномерному поперечному давлению р, то точки ее срединной поверхности получат малые перемещения z, зависящие от х и у, Рассмотрим условие равновесия бесконечного малого элемента ABCD мембраны после деформации.
 Обозначим через F постоянное натяжение, приходящееся на единицу длины мембраны. Усилие F, действующее по стороне AD, наклонено к оси под углом 3.
 Так как деформации малы, то
 можно принять Про¬
 гиб z меняется от точки к точке, поэтому усилие F для стороны ВС наклонено под углом
 о 	I, dz. d2z,
 Таким же путем находим, что углы наклона растягивающих усилий,
 приложенных по сторонам АВ и CD, равны соответственно
 и jyr dy- Складывая составляющие вдоль оси сил, действую¬
 щих по четырем сторонам, получаем
 ё ах-п% i'Fdxi rdy-rPdx<ly <i'
 откуда
 <Pz, d2z р ’Ш'т djT — T для области Я. 5.47

110 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ ГЛ. 5
 На контуре прогиб мембраны равен нулю. Поэтому граничное условие имеет вид:
 z 0 на контуре S. 5.48
 Вернемся теперь к задаче о кручении. Основное дифференциальное уравнение будет:
 0 для области R, 5.6
 а граничное условие имеет вид:
 —.уI 1- дг т 0 на контуре 5. 5.7
 На первый взгляд эти соотношения и уравнения 5.47 и 5.48 не являются аналогичными. Однако им можно придать идентичную форму, если ввести новую функцию ф х, у с помощью соотношений:
 дх ду ду дх • Из уравнений 5.49 имеем
 дър _ д2ф _ д2ф
 дх2 дх ду9 ду2 ду дх9
 Дифференциальное уравнение 5.6 обращается в тождество, так как
 д'-<> _ дЦ дЦ _ 0
 дх2 ' ду2 дхду дудх
 Таким образом, если функция ф определяется по формулам 5.49, то уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно.
 Выражая касательные напряжения xzco и %уг через функцию ф, получаем
 Т ду Т дф
 — Т Ш — у Т Ту '
 — Л — т дф
 “ J <?у J дх •
 5.50
 Если функция ф найдена, то касательные напряжения можно вычислить путем простого дифференцирования. Следовательно, функция ф представляет собой функцию напряжений; определение функции ф равнозначно вычислению напряжений. Далее следует использовать уравнение совместности. Системе напряжений

5.41
 МЕМБРАННАЯ АНАЛОГИЯ
 11
 соответствуют компоненты деформации:
 sy ег Т ху
 — — Тгж GJ ду ' lyz — О дх •
 Подстановка этих величин в уравнения совместности 2.19 показывает, что первые три уравнения и последнее из них тождественно удовлетворяются. Четвертое и пятое уравнения приводятся к виду:
 А _ _L д1 _ а дх дх ду и’
 djzx Г
 дудх ду Интегрируя их, находим
 ув. дЪх
 Jx у const си Эту постоянную можно определить, если подставить сюда выражения
 т — - — у
 •» a GJdx у’
 Тогда получим
 — 	G ОЦ’
 т _ 1 I ду Л — с
 GJ дхду 1 дхду Си
 или
 ct — 2 TQJ.
 Подставляя значение с в уравнение совместности, получим дифференциальное уравнение
 для области Я. 5.51
 которому должна удовлетворять функция ф. Отметим, что уравнение 5.51 можно получить непосредственно, продифференцировав уравнения 5.49 и затем исключив из них функцию ср. Но тогда останется нераскрытым то обстоятельство, что уравнение 5.51 является уравнением совместности.
 Граничное условие 5.8, выраженное через ф, имеет вид:
 — jm 0 на контуре 6.
 В параграфе 5.1 были уже записаны соотношения
 f dx dy

112
 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ
 гл. 5
 Поэтому условие на контуре можно записать в виде
 дф dy, дЬ dx d<l>
 ду ds ' дх ds ds или
 ф const с2 на контуре S.
 5.52
 Заметим, что при вычислении напряжений нам необходимы лишь производные от ф и что значение постоянной с2 в уравнении 5.52 не влияет на решение задачи. Поэтому можно принять с2 0.
 Окончательно решение задачи о кручении сводится к определению функции ф, удовлетворяющей уравнению
 Ш Ту — 2 для области R
 5.51
 и условию
 ф 0 на контуре 5. 5.52
 Сравнивая эти уравнения с уравнениями для мембраны, мы видим, что между ними имеется полная аналогия, если отношение pjF положить равным 2, и если форма контура мембраны совпадает с формой поперечного сечения стержня.
 Мембранная аналогия эффективно используется для экспериментального определения функции напряжений. Техника проведения такого эксперимента, а также опытов, связанных с другими аналогиями, подробно описана в специальных пособиях.
 Мембранная аналогия может быть использована не только для численного определения напряжений; она дает также наглядную картину напряженного состояния. На рисунке 5.10 изображена такая мембрана и нанесены горизонтали изогнутой поверхности. Рассмотрим некоторую точку В срединной поверхности мембраны. Прогиб вдоль горизонтали остается постоянным, так что
 Рис. 5.10.
 dz
 ds
 0.
 См., например, книгу М. Н е t е п у i, Handbook of Experimental Stress Analysis, New York, стр. 700—751, 1950.

5.4
 МЕМБРАННАЯ АНАЛОГИЯ
 113
 Пользуясь аналогией, можем написать Из соотношений
 4 0.
 ds
 di> д> dy. д'1> dx J_ dy dx ds dy ds ' dx ds T гх ds ds
 J_ dx_, dy T vz Ш' ry- In T
 вытекает, что составляющая касательного напряжения, направленная по нормали к горизонтали, равна нулю. Другими словами, касательное напряжение в точке В закручиваемого стержня направлено по касательной к горизонтали, проходящей через эту точку. Величину результирующего касательного напряжения можно найти из следующей формулы:
 dy, dx Т db dx, дф dy Т
 Is'Xzxds 7 Тх dN' ду In Т
 di>
 Ш’
 Следовательно, величина касательного напряжения в точке В определяется уклоном мембраны по нормали к горизонтали, и потому касательные напряжения достигают максимума в тех местах, где горизонтали особенно сгущаются. Рассмотрение поверхности мембраны показывает, что наибольший уклон имеет место на контуре. Отсюда можно заключить, что максимальные значения касательных напряжений будут также в определенных точках контура сечения стержня.
 Обратимся к выводу выражения для постоянной кручения У через функцию ф. Из формулы 5.15 имеем:
 J fj x2yx%-ydWcdxdy
 -ffxry§dxdy
 R
 - If Й хф Ту W - 2dx аУ
 R
 — ф <> dy-- I yidx--f j' 2<bdxdy — 2 f J tydxdy. 5.53
 s s R R
 Здесь использовано то обстоятельство, что по формуле 5.52 на контуре 5 будет ф 0. Из мембранной аналогии вытекает, что постоянная кручения У равна удвоенному объему, заключенному между изогнутой мембраной и плоскостью ху. Полагая с2 0, в 5.52 мы считали, что величина с2 не влияет на решение задачи. Однако значение У, на первый взгляд, зависит от величины с2. Чтобы

114 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ ГЛ. 5
 выяснить это, допустим, что с2 Ф 0 и подставим вместо <> в предпоследнее из выражений 5.53. Так как в точках контура 4» —— с2 с2, то для них 41 0; следовательно, члены, содержащие
 контурные значения будут равны нулю так же, как это было для функции ф. Таким образом,
 J — с2х dy j с2у dx -b
 ■if 2 <> -- c2 dx dy.
 Пользуясь рис. 5.11, приходим к соотношениям
 jydx j у dx-- J у dx
 s BCD ГЕВ
 площади BCDD'В'—площадь BEDD'B' — A, 5.54 где A — площадь поперечного сечения. Подобным же образом можно показать, что х dy — А. Но в то же время J J dx dy А, Следо-
 S R
 вательно, J — — с2А — СоА —j— 2,с2А —— 2фх dx dy 2'dx dy>
 R R
 что совпадает с формулой 5.53.
 5.5. Кручение тонкостенных стержней открытого профиля.
 Рассмотрим вначале кручение стержня с поперечным сечением в форме узкого прямоугольника. Из мембранной аналогии заключаем, что влияние коротких сторон прямоугольника распространяется на небольшие участки. Если отношение bа велико, то в формуле 5.43 величину hjzb2a можно приближенно считать равной 1; второй член в скобках становится пренебрежимо мал. Поэтому имеем
 ЬаЧ
 Обратимся к формуле 5.45. При значительном отношении Ыа величина
 и U и и 2л —— 1 тс Ь
 Ch knb ch —
 будет большой, сумма же бесконечного ряда получает пренебрежимо малое значение. В результате получаем
 2Та

5.5 КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ 115
 закручивания можно вычислить
 5.16
 Если величина J известна, то угол по формуле
 Обозначим через Ьх длину, а через t — толщину прямоугольника рис. 5.12, а; тогда эти формулы примут вид:
 9-W’ 5-56>
 В предыдущем параграфе было показано, что напряжение ттах равно произведению отношения ТJ на максимальный уклон изогнутой мембраны. Из формул 5.55 и 5.56 следует, что в случае узкого прямоугольного сечения наибольший уклон изогнутой мембраны равен 2а или.
 Сопоставим теперь изогнутые мембраны с контурами, изображенными на рис. 5.12, а и б. Очевидно, что если площади поперечного сечения их равны между собой, то равными будут и объемы выпучин
 Jl
 О
 4
 г Ь f -1
 i- b2 »1
 в
 Рис. 5.12.
 ' ь2 А ■<—
 в изогнутых мембранах. Если толщина t мала, то кривизна сечения в случае б незначительно влияет на максимальный уклон мембраны. Поэтому мы делаем вывод, что формула 5.56 может быть использована при получении приближенных решений и для тонкостенных профилей иной формы. Для поперечных сечений такого типа, который показан на рис. 5.12, б, надо только вместо bt в формуле 5.56 подставить развернутую длину дуги. В случае дуги окружности развернутая длина равна г0р, где г0— радиус, а р — угол, стягиваемый дугой, в радианах.
 Для таких тонкостенных профилей, как уголки, швеллера и двутавры, вид изогнутых мембран будет таким, как если бы они были натянуты на несколько отдельных узких прямоугольников. Постоянная кручения J будет равна удвоенному объему, ограниченному изогнутой мембраной и плоскостью ху; максимальный уклон мембраны
 Другие приближенные формулы приведены Трейером и Марчем. О. W. Т г а у е г, Н. W. March, The torsion of members having sections common in aircraft construction, NACA Techn. Rep. 1929, 334.

116
 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ
 ГЛ. 5
 окажется равным причем
 t — большая
 из величин tx или t2.
 Следовательно, для уголкового сечения имеем рис. 5.12, в:
 У;
 v;v 2
 3
 3 т
 Vi3VaG’
 3 Tti
 5.57
 V1 V2
 а для швеллерного и двутаврового сечений рис. 5.12, г:
 V? 2yS
 J-,
 ; 3 т
 V? 2VlG ’
 3 Tt,
 5.58
 Vi 2V2
 Следует заметить, что во входящих углах имеет место значительная концентрация напряжений, зависящая от радиуса закруглений углов профиля. Для малых радиусов закруглений г 0,П Трефц получил следующее уравнение для максимальных напряжений в углах профиля:
 ху г >
 сугл -
 Ь74тп
 5.59
 где г — радиус закругления угла. Уравнение 5.59 выведено для случая полок равной толщины. Если же полки имеют различную
 толщину и t2> то в формулу следует подставить большую из них. Концентрация напряжений во входящих углах изучалась экспериментально, причем была использована аналогия с мыльной пленкой. Отношения угл'Сщах» соответствующие различным значениям отношения rt, приведены в табл. 5.2. Экспериментально полученные величины отно¬
 Таб
 лица
 i 5.2
 r
 t
 1
 8
 1
 4
 1
 2
 1
 Тугл
 Tmax
 2,5
 2,25
 2,00
 1,75
 шения углmax Для малых радиусов закругления ребер профиля значительно меньше вычисленных по формуле 5.59. Это, вероятно, можно объяснить тем, что при малых радиусах закруглений трудно определить истинные значения тугл.
 Е. Trefftz, Ober die Wirkung ein Abrundung auf die Torsionspannungen in der innern Ecke eines Winkeleisens, ZAMM, т. 2, 1922, 263—267.
 P. A. Cushman, Shearing stresses in torsion and bending by membrane analogy, University of Michigan, 1932; см. также ASME, Advance Paper, 1932.

5.6J
 КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБ
 117
 5.6. Кручение тонкостенных труб. Ранее было показано, что на контуре функция ф должна быть постоянной величиной. В случае сплошного сечения эту постоянную можно принять равной нулю. Пусть теперь профиль ограничен двумя замкнутыми кривыми, как изображено на рис. 5.13. Здесь по-прежнему можно принять, что функция ф равна нулю на внешнем контуре Sx; сделать же это допущение для внутреннего контура S2 нельзя. Известно лишь, что для точек внутреннего контура величина ф постоянна. В связи с наличием этой новой неизвестной, для решения задачи необходимо иметь дополнительное уравнение. Такое уравнение можно получить из условия, что перемещения должны быть однозначными.
 Из уравнений 5.5 имеем: м тм О0й — •у0ё — 9-у’ ГТТПТТШТТШ
 v 06 ■ 0 I7е • Рис-5ЛЗ-
 Вычислим интеграл Jт ds вдоль внутреннего контура:
 5, Sa S3
 00 jjxdy—у dx. Sj
 Так как w является однозначной функцией, и интегрирование производится по замкнутому контуру, то первый интеграл обращается
 в нуль. В параграфе 5.4 уже было показано, что второй интеграл равен удвоенной площади, ограниченной контуром S2. Поэтому имеем
 j>vds 2GA2, 5.60
 где Л2 — площадь, ограниченная контуром S2.
 Вернемся теперь к мембранной аналогии. Если мембрану внутри контура S2 заменить невесомой плоской пластинкой рис. 5.13, то уравнение равновесия пластинки будет иметь вид:
 <§Fds pA2, 5.61
 где F — натяжение мембраны, z — прогиб см. § 5.4. Пользуясь
 равенством
 дг р дф р х

118
 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ
 гл. 5
 находим из уравнения 5.61
 что совпадает с выражением 5.60. Таким образом, в случае полого сечения надо считать, что мембрана натянута по внешнему контуру и связана с невесомой плоской пластинкой по внутреннему контуру.
 На рис. 5.13 точки Б, и С, Сх соответствуют уровням внешнего и внутреннего контуров, а линии ВС и В'С' представляют поперечное сечение мембраны, натянутой между двумя контурами. Если стенка тонкая, то линии ВС и В'С' приближаются к прямым отрезкам; изменение уклона мембраны будет незначительно. Это равносильно предположению о постоянстве касательных напряжений по толщине стенки. Если через h обозначить постоянное значение функции ф на контуре S2, то из мембранной аналогии следует, что h равно разности уровней обоих контуров. Пусть t — переменная толщина стенки. Касательное напряжение в любой точке определяется уклоном мембраны и равно
 Формула для постоянной кручения J 5.53 должна быть теперь изменена. При выводе уравнений 5.10 и 5.11 нормаль N принималась положительной, если она была направлена наружу по отношению к поперечному сечению. Для внутреннего контура надо пользоваться тем же правилом знаков, так что положительное направление будет внутрь. Следуя этому условию, придется при интегрировании вдоль 52 изменить знак перед линейными интегралами в уравнениях 5.10 и 5.11. На контуре St функция ф равна нулю, а на S2 будет ф г. Поэтому формула 5.53 принимает вид:
 индекс R соответствует площади Ait заключенной между контурами и S2. Так как профиль является тонкостенным, величину ф во втором интеграле можно заменить средним ее значением между St и S2, равным Н2. Поэтому получаем
 где А — площадь, ограниченная средней линией профиля. Подставляя найденное значение J в уравнение 5.62, находим
 5.62
 Т
 2At’
 5.64

5.61
 КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБ
 119
 Угол закручивания б можно вычислить по формуле 5.60:
 отсюда
 5.65
 здесь S отсчитывается вдоль средней линии профиля. Уравнения 5.64 и 5.65 впервые были получены Бредтом и известны как формулы Бредта.
 Если трубчатый профиль имеет более чем два контура рис. 5.14, то части мембраны, ограниченные внутренними контурами, снова могут быть заменены невесомыми плоскими пластинками. Предполагая, что толщина стенки мала, имеем:
 _ Thx
 Jt i ТЫ
 Jh '
 Т hi —i
 5.66
 где hx и h2— уровни внутренних контуров СС и DD'. Уравнение 5.63 запишется в виде
 J— 2 J ftydxdyr
 R
 Н“ 2 2hiA1 -f- 2h2A2,
 где Ai — площадь, заключенная внутри контура Sit а Ах и А2 — площади, ограниченные средними линиями и S2.
 Отсюда
 Т 2ZtxAx—— 2x2t2A2. 5.67
 Будем считать толщины tu t2, tz постоянными. Через su s2 и s3 обозначим длины средних линий. Находя интеграл из уравнения 5.60 сначала по площади Аи а затем по Л2, получаем
 т353 2 G6At, т 2s2 — т33 2GQA2; 5.68
 напряжения тх, т2, т3 и угол б можно вычислить, решая совместно уравнения 5.67 и 5.68.
 • R. Bredt, Kritische Bemerkungen zur drehungselastizitat, Z. Ver. deut. Jng. 40, 1896, 785—813.

120
 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ
 ГЛ. 5
 Из уравнений 5.66 можно видеть, что для той или иной ветви поперечного сечения произведение тt является величиной постоянной. Если соединяются несколько элементов трубчатого сечения, как в точке Н% то имеем
 Vi Чк Vs- 5.69
 Здесь может быть использована гидродинамическая аналогия, причем величина q xt соответствует объему идеальной жидкости, циркулирующей по каналу; последний должен иметь ту же форму, что и трубчатый стержень. Тогда уравнение 5.69 означает, что объем втекающей жидкости должен быть равен объему вытекающей жидкости. Величина называется поэтому потоком касательных усилий.
 Приведем численный пример определения касательных напряжений для тонкостенных профилей, в которых число контуров превышает три. На рис. 5.15 показано поперечное сечение и нанесены его размеры. Пусть приложенный крутящий момент будет равен 115 000 кг см. Вычисляем площади:
 д12,52- 250 см2, А2 А3 625 см2.
 0
 Примем, что касательные напряжения положительны по направлениям, указанным стрелками. Сопоставляя направления потоков касательных усилий, находим
 Vi V2 V4. i2t2 z.J., z3t3 x6t6. 5.70
 С другой стороны, имеем
 Т 2xxtlA1 —- 2т222 2т33Л3.
 Подставив численные значения, получим
 115 000 2. 250 • 0,062 2 • 625 • 0,075т2 2. 625 • 0,075т3,
 Имеется в виду секундный объем расход жидкости, протекающей в трубе. Прим. ред.

5.7J
 КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ ВАЛОВ ПЕРЕМЕННОГО ДИАМЕТРА
 12Р
 ИЛИ
 З1т1 94т294т3 115000. 5.71>
 По уравнению 5.60 будем иметь:
 Tii-f-T4s4 2GbАи j
 — хЛ 2т22 хб5б 2G0,42, 5.72>
 — Vs2хз5з4-v« 2оел3. j
 Длины контуров равны:
 12,5тг, 52 53 54 56 56 25 см.
 Используя уравнения 5.70, найдем:
 51,7т —15t2 500G6,
 — 1,25т1 9х2 —2,5х3 125G0, 1 5.73>
 — 2,5т29,4т3 12500.
 Решая совместно уравнения 5.71 и 5.73, получим:
 тх 400 кгсм2, т2 545 кгсм2, т3 486 кгсм2,
 т4 —127 кгсм2, тб 67 кгсм2, т6 364 кгсм2.
 Знак минус перед напряжением т4 означает, что оно направлено в сторону, противоположную указанной на рисунке.
 Задача 1. Дана круглая стальная труба внешнего диаметра 10,2 см и толщиной стенки 0,4 см. Сравнить угол закручивания и максимальное касательное напряжение этой трубы с теми же величинами для трубы, разрезанной вдоль образующей. Надо отметить, что стержень открытого сечения относительно слабо сопротивляется кручению. При решении данной, задачи находим, что жесткость замкнутого профиля в 400 раз больше, чем открытого, а максимальные
 напряжения — в 30 раз меньше.
 Задача 2. Дан тонкостенный трубчатый стер¬
 жень, размеры которого показаны на рис. 5.16. На стержень действует момент 115 000 кг см. Найти касательные напряжения в трубе.
 Отв. zt 445 кгсм2, т2 570 кгсм2, т3 400 кгсм2, т4 12 кгсм2,. т5 — 180 кгсм2.
 5.7. Кручение круглых валов переменного диаметра. Рассмотрим кручение круглого вала переменного диаметра, изображенного на рис. 5.17, парами, приложенными по торцам. Когда мы
 встречаемся с телами вращения, удобно пользоваться цилиндрическими

122
 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ
 ГЛ. 5
 координатами г, 0, z. Примем, что ось z совпадает с осью вала. Из рис. 4.5 легко получить уравнения равновесия элемента. Пренебрегая объемными силами, имеем:
 даг
 1 дхг§. dzr
 •о0
 дг г
 dirg
 0,
 дг
 dye
 дг
 dz
 дЧг
 Л0,
 I г
 2тг0
 dz
 0.
 5.74
 'Обозначим перемещения в направлениях г, 0, z соответственно через и, v, w. Выражения для компонентов деформаций ег, ев и могут быть выведены таким же образом, как и в параграфе 4.3; компоненты ег, jfz и yzr можно легко получить из обычных формул iB декартовых координатах. В результате имеем:
 du
 егдг'
 и, 1 dv
 sf> — 7 71’
 1 du
 dv
 77 7 s2 -
 dz ’
 r de
 1 dw.
 -Jo r
 du, dw
 dr dv Jz '
 5.75
 В параграфе 5.2 было найдено, что в случае закручивания ♦сплошного круглого вала парами, приложенными по торцам, перемещения вдоль оси вала будут отсутствовать, и перемещение точек N любого поперечного сечения
 ir 1Г _ происходите направлении ка¬
 сательной. Попробуем решить настоящую задачу, полагая, что в данном случае
 и w 0.
 Докажем, что решение, в
 основе которого лежит такое
 Рис. 5.17. предположение, будет удо¬
 влетворять дифференциальным уравнениям и граничным условиям. Из теоремы об однозначности решения можно сделать вывод, что такое решение является правильным. Благодаря осевой симметрии, перемещение v не может зависеть от угла 0 и будет функцией только г и z. Пользуясь этим,
 мз 5.75 находим:
 8г е9 ег — Izr 0.  dv v dv 5.76
 4rt — dr 7’ Чг’дг'
5.7J КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ ВАЛОВ ПЕРЕМЕННОГО ДИАМЕТРА
 123
 Из формул закона Гука легко получаем:
 °г °Г аг гг 0. ч.-о5. 5'77
 Заметим, что единственные компоненты напряжений тг9 и х02, отличные от нуля, не зависят от угла в. Поэтому первые два уравнения 5.74 тождественно удовлетворяются, а третье уравнение принимает вид:
 . dxfe. 2xrQ п
 дг Т дг г Его можно записать в следующей форме:
 о. 5.78
 Это уравнение тождественно удовлетворяется, если ввести функцию напряжений ф по формулам:
 Г2Т Г2Т
 дг — Г z дг — Г Т’
 «ли
 1 д'Ь 1 д<1> -
 тге— Г2 T0z — Г2 г • 5.79
 Чтобы определить функцию напряжений, надо обратиться к уравнению совместности. Решая совместно уравнения 5.77 и 5.79, находим:
 д v 1 дф д v 1 д'Ь
 дгг г3 дг дг Т 73 дг Дифференцируя первое равенство по z% а второе — по г и вычитая •одно из другого, получаем следующее уравнение совместности: дЧ 3 д<Ь. дЧ
 0. 5.80
 Найдем теперь условие на контуре для функции ф. Так как боковая поверхность вала свободна от внешних нагрузок, то результирующее касательное напряжение должно быть направлено по касательной к контуру осевого сечения, а его проекция на нормаль N к контуру должна равняться нулю. В соответствии с этим имеем
 тг0 COS Nr -f- Чг cos Nz 0.
 С другой стороны,
 cos Nr dzjds, cos Nz — — dr Ids,
 где ds — элемент дуги контура. Подставляя сюда выражение 5.79, получаем
 dz, д'Ь dr дг ds ' дг ds
124
 откуда
 или
 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ
 1 0 ds и’
 гл. 5
 ф const на контуре. 5.81
 Таким образом, задача о кручении круглого вала переменного диаметра сводится к решению уравнения 5.80 при условии на
 контуре 5.81.
 Величину крутящего момента легко вычислить, определив момент касательных усилий т02 в поперечном сечении:
 а а
 Tf цгг 2itr dr 2тг J irfr 2ir<l>a, z — ф0, z. 5.82
 О о
 Если вал имеет коническую форму, как на рис. 5.18, то на
 контуре имеет место зависимость
 2 о
 rr cosB,
 г«г2в г
 причем отношение, фигурирующее в
 левой части равенства, является величиной постоянной. Поэтому любая
 функция этого отношения будет удовлетворять условию на контуре 5.81. Легко проверить, что функция
 С Г» г1. -з„ ’, где С — постоянная, удовлетворяет уравнению 5.80. Постоянную С можно определить, подставив эту функцию в уравнение 5.82; тогда получим
 С
 3 	т
 2п2 — 3 cos р -- cos3 р
 Таким образом, касательные напряжения тг0 и тб2 равны:
 Сг«
 ТГ0 „о, » Т02 СГ2
 <г У
 5.83
 5.84
 где С определяется по формуле 5.83.
 Обычно задачи, с которыми приходится сталкиваться на практике, бывают более сложными. В таких случаях применяют численные методы решения, рассмотренные ниже, в гл. VI.
 См., например, R. V. Southwell, Relaxation methods in theoretical physics, N. Y„ 1940; A. T h о m, J. О r r, Proc. Roy. Soc. London, А, т. 131 „
 1931, 30—37.

ГЛАВА 6
 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ
 6.1. Конечные разности. После того как сформулирована та или иная задача теории упругости, становится необходимым отыскать решение исходных дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях. В главах 4 и 5 для решения ряда задач применялись аналитические методы. Однако в некоторых задачах аналитическое решение не всегда оказывается возможным, и следует обратиться к приближенным численным методам. Одним из таких эффективных методов является метод конечных разностей. Идея этого метода состоит в замене основных дифференциальных уравнений в частных производных и уравнений, характеризующих условия на контуре, соответствующими уравнениями в конечных разностях. При этом задача сводится к решению системы совместных алгебраических уравнений, которое осуществляется без осо- h бых затруднений.
 Перед тем как осуществить
 рис. 6.1 изображена кривая f fx. В точке О, для которой х х0, производная dfjdx по определению равна:
 переход от дифференциальных уравнений в частных производных к уравнениям в конечных разностях, напомним некоторые основные положения, касающиеся метода конечных разностей. Рассмотрим некоторую непрерывную функцию fx, зависящую от переменной х, и допустим, что известны значения дг, относящиеся к равноотстоящим друг от друга значениям х. На
 -2-1 0 12
 х
 Рис. 6.1.
 Да? >01 — Х0 h Q
 lim Ло lim
 Хс h ft Я
 6.i

126 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ fГЛ. 6
 где Длг г— длина интервала, А— разность значений функции в точках 1 и 0, а х и 2 — значения соответственно в точках 1 и 0. Индекс 0 при dffdx обозначает точку, в которой берется производная. Если интервал h мал, то производная dfjdx приближенно равна отношению Д Дл:. Поэтому выражение 6.1 можно для. точки 0 представить в виде
 для любого значения л: будет
 6-2>
 Величина Д л; --h—f х называется первой разностью функции, отвечающей известному значению х. В выражении 6.2 фигурирует разность значений функции в рассматриваемой точке и в точке, лежащей справа от нее. Такая разность называется правой разностью или разностью, взятой вперед. Подобным же образом можно получить приближенное значение производной в точке О с помощью левой разности, или разности, взятой назад:
 для любой точки будет:
 «— — щ. 6.3
 Можно также выразить производную через центральную разность для точки 0:
 А
 или для любой точки х
 — й1- 6-4>
 причем здесь вводится интервал Дл; 2г.
 Пользуясь символами Д, Д, Д для обозначения соответственно первых правой, центральной и левой разностей, получим:
 Д fx Л — fx, Д Y 1X -j- Л — fix — А,
 Д дг —х — А.
 Таким же образом можно приближенно представить вторую производную с помощью второй разности. По правилам дифферен¬
 циального исчисления находим
 dy d I df_ A2

6.11 КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 127'
 где А2—обозначает вторую разность; в дальнейшем символами А2, А2, А будем пользоваться для обозначения соответственна вторых правой, центральной а левой разностей.
 Вторая правая разность в точке 0 рис. 6.1 будет равна:
 А20 А Ао А —о АЛ — Ао
 Л - Л - Л -о Л — 2Л о. Из предыдущих выкладок ясно, что каждым из символов А можно> пользоваться в качестве оператора. Под А2 надо понимать дважды примененный оператор А; величины А0 А0 и АД будут первыми правыми разностями соответственно в точках 0 и. В некоторой точке х имеем:
 А2 х 2г — 2 х А. 6.6
 Таким же образом находим вторую левую разность в точке 0:
 А2о — А А0 А 0 — _ i Ао А_ j
 о -i — -1 -2 — о 2_j -j-_2,
 или в любой точке х:
 А2 х — 2 х — А 2г. 6.7>
 Повторяя выкладки, проведенные при выводе выражений 6.6>
 и 6.7, получим вторую центральную разность в точке 0:
 тхд ад й._2;А;.
 Здесь вторая центральная разность выражена через значения функции в точках, находящихся на два интервала правее и на два интервала левее данной точки. Можно добиться большей точности, если выразить вторую центральную разность через значения функции в точках, отстоящих от данной точки вправо и влево на один интервал. При этом величина А2 определяется следующим образом;
 Д2о Д Дх, или Д2о Д До-
 Так, например, по первой формуле получим
 Д20 А Д0 Д Д -., До - Д_,
 , -о - о -_,.- 2о -•
 К тому же результату придем, воспользовавшись второй формулой. Следовательно, для некоторой точки х будет
 Д24-Л — 2x — А. 6.8
 Вообще говоря, производные в той или иной точке будут аппроксимироваться с большей точностью через соответствующие

128
 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ ГЛ. 6
 центральные разности; при этом рассматриваются точки, расположенные вдоль кривой по обе стороны от данной, так что средние.значения определяются более точно. В дальнейшем, если не будет особо оговорено, мы будем применять лишь центральные разности.
 Выше был указан путь вывода выражений для первой и второй разностей: не представляет затруднений, пользуясь тем же методом, определить центральные разности высших порядков. Так, например, третья центральная разность в точке х равна:
 А» д Д2 Д __ щ _ 2X -
 fx 4- ft — 2Д X д — А
 fx 2h—fx 0 fxh—fx — h, — —2ft _
 2 2 ■ 2
 lfx -h 2ft — 2fx ft 4- 2fx — ft —fx — 2ft; 6.9
 четвертая центральная разность будет
 .Д Д2 Д2 fxrh — 2fxfx — А
 Д 2fx--h — 2Д2 х Д2 x — h
 2А — 2fx A fx — 2 x A — 2 x
 x — A — 2л: — h--f x — 2A J
 fx 2A — 4fx A 6 — 4—A —2A. 6.10
 'В приведенных выше выкладках непосредственно использован оператор А2, определяемый формулой 6.8. Из формулы 6.10 видно, -что коэффициенты при различных членах в разностях четных порядков совпадают с коэффициентами разложения бинома а — Ьп. Можно показать, что это положение справедливо в общем случае. Следовательно, для четных разностей, когда индекс п является четным, п-я центральная разность имеет вид:
 tJtf fx ft — nfx--h — ft
 pM fft-2ft-.
 1Г r n— гй ••• fx №Л1>
 Где г — некоторое число, равное п или меньшее, чем д.
 Для производных нечетного порядка соответствующие разности «выражаются формулой:
 dn1f _ 1 ГДnfxh Дnfx — h-
 dxni 2Л L hn hn у

6.2J
 УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
 129
 или
 Дп7 A Anf Aw h — Anfx — А, 6.12
 где п — четное число; значения knfx--h и Anf х — h определяются формулой 6.11.
 6.2. Уравнения в конечных разностях. В предыдущем параграфе были получены приближенные выражения для производных разного порядка через конечные разности в предположении, что f является функцией только л:. Если будет функцией х и у, то должны быть введены частные производные. Воспользуемся теми же рассуждениями, что и ранее, и примем Ад; Аy — h тогда из определения частных производных вытекают равенства:
 df
 а
 . V
 дх
 2 h ’
 2Л ’
 d-f
 А2
 xJ
 <э2
 А2
 дх2
 Л2
 <ty2
 Л2
 причем индексы в
 Ад. и А у обозначают
 7
 2
 6
 -7 -
 3
 о
 1
 5
 10
 4
 12
 11
 операторах направление, для которого взята разность.
 Допустим, что исследуемая область разделена сеткой на квадратные ячейки, как показано на рис. 6.2, при Алг Аy h; тогда из выражений 6.4 и 6.8 для точки 0 получим:
 Рис. 6.2.
 df дх df ду дУ дх2
 у —fх — h, y -fl—f3, :ix, y h-fx, y-h ±f2-f4,
 jp •> У — 2. yfx — h, 1
 --Л-2оз,
 dy2
 7-5-1. y--h — 2fx, y --fx, y — h:
 2 — 20 4.
 Определим оператор Лапласа
 V2
 dV, df
 дх2
 ду2

130
 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ ГЛ. 6
 Из приведенных выше выражений непосредственно вытекает 2 р- Л 2 Чз 4“ Л — 40.
 Если основным дифференциальным уравнением задачи является уравнение Лапласа V2 0, то соответствующее уравнение в конечных разностях в точке 0 будет:
 123Л — 40 0. 6.13
 Для каждой точки области существует одно уравнение в конечных разностях вида 6.13.
 Если область разделена сеткой, имеющей п внутренних точек или узлов, то можно получить п уравнений в конечных разностях. Из них могут быть найдены значения функции для каждой точки области, причем должны удовлетворяться граничные условия. При этом вместо дифференциальных уравнений будем иметь систему алгебраических уравнений, решение которой не представляет математических трудностей.
 Обратимся к случаю, когда основное дифференциальное уравнение имеет вид уравнения Пуассона. Это относится, например, к уравнению 5.51:
 Vf — 2.
 Тогда соответствующее уравнение в конечных разностях в точке О будет:
 1 -f“2 “Ьз а — 40 — 2 г2. 6.14
 Наконец, рассмотрим бигармоническое уравнение
 V4_ 1 2, ау _0
 J дх ' дх ду ду
 Обращаясь к рис. 6.2 и вычисляя конечные разности для направлений х и у по формуле 6.10, получаем соответственно:
 дЧ д4 f 1
 fr 5 — 4i 60 — 43 9,
 -г %Г Л — 4Л 6о — 44 4-п.
 d4f
 Приближенное выражение для четвертой производной можно
 представить в виде:
 дЧ д а аа»
 дх- ду2 дл:2 ду2 h4
 — t Д — 2о-Ь Л ДЛ
 — дГ Л “Нв “Ню 4“12 — 2t — 22 — 2s — 24 -- 40.

6.3 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 131
 Тогда уравнение в конечных разностях в точке 0 будет:
 -р- 200 — 8 j 4-2 Ч”з Л 4“ 2 6 4“я “ЬЛо 12 Ч
 -бН“Л 911 0. 6.15
 Задача. Преобразовать в уравнение в конечных разностях в точке О следующее дифференциальное уравнение:
 дЧ 3 df, дУ А г “ и‘
 Ответ. Принимаем направления г и -г за направления соответственнох и у рис. 6.2. Уравнение в конечных разностях в точке 0 будет:
 11-ШЛз1'4_4оа
 6.3. Решение уравнений в конечных разностях. Рассмотрим в качестве примера задачу о кручении стержня квадратного сечения. Основное дифференциальное уравнение относительно функции ф будет иметь вид:
 ■0- '37Г — 2 в области? 5.51
 И
 ф 0 на контуре S. 5.52
 Разделим сечение на четыре квадрата и пронумеруем узловые точки сетки, как показано Рис- 6.3.
 на рис. 6.3; тогда получим следующее уравнение в конечных разностях, отвечающее уравнению 5.51 в точке 0:
 Ф2 4“ Фз Ф4 — 4ф0 —2 h2, 6.16
 Из граничных условий 5.51 вытекает
 ф. 0, 1, 2,., 8. 6.17
 Подставляя значения ф по 6.17 в уравнение 6.16 и принимая
 Н ау получаем
 — 4ф0 — 2а2, или ф0 0,5а2.
 Производная в узловой точке 1 может быть приближенно выражена через первую левую разность:
 Согласно формуле 5.53 постоянная кручения равна
 J — 2 J J tydxdy,

132 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ ГЛ. б
 иными словами, величина У равна удвоенному объему области, ограниченной поверхностью ф. Объем легко может быть вычислен по правилу Симпсона см. формулу 6.47 в параграфе 6.7:
 У216ф0 1.778с
 Подставляя это значение У в формулу 5.52, находим
 V. -тИ ■- w О.2811-' <6-18
 Аналитическое решение дает значение ттах 0,60077а3. Приведенное приближенное решение дало результат, лежащий ниже на 53,2%; при выбранной нами крупной сетке такая большая погрешность является естественной.
 Чтобы сравнить приближенные величины ф, и У с точнымй
 значениями, найдем последние аналитически. Из определения функции ф по соотношениям 5.49 следует:
 дф дер дф ду
 дх ду Х ду дх У
 Частные производные легко вычислить, исходя из выраже¬
 ния 5.41. Отсюда можно непосредственно перейти к определению функции напряжений ф; она окажется равной
 оо
 <619
 71 0
 При выводе выражения 6.19 было использовано соотношение 5.40:
 ОО
 V 	16 — па.,
 2xLiismk«x-
 по
 Таким образом, имеем
 ОО
 — 16а У - 1, _ Ch kny б 201
 дх я 2и 2п 12 ch knb п ■ ' -1
 П — 0
 Пользуясь выражением 6.19, находим значение ф0 при х 0, У 0:
 ф 0,5894а2.
 Величина ПРИ х а, у — 0 по 6.20 будет
 Ш,-'’г50а-

6.31
 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
 133
 Точное значение постоянной кручения J получаем по формуле 5.42:
 J 2,250а4.
 Сравнение этих данных с результатами решения в конечных разностях показывает, что приближенное решение приводит к более
 низким значениям искомых величин: для ф0 на 17,9%, для —на
 63%, для J—на 21 %.
 Для получения большей точности разделим область на 16 квадратов со стороной h a2 и пронумеруем узловые точки, как показано на рис. 6.4. При нумерации точек учитывается симметрия задачи: симметрично расположенным точкам придается один и тот же номер. Составляем уравнения в конечных разностях соответственно для точек О,
 7, 2:
 Ц1—Цо2%2>
 Фо ОД <J»3 — 4<j>j — 2,
 2ф 2ф4-4< -2.2.
 6.21
 4
 3
 4
 5
 2
 1
 2
 4 1
 Q
 1
 1
 0
 1
 31
 1
 2
 а —-
 Рис. 6.4.
 6.22, получаем: ф2 0,3438а2.
 На контуре имеем
 Фз Ф4Фб0- 6-22>
 Решая совместно уравнения 6.21 и <>0 0,5625а2, 0,4375а2,
 Пользуясь этими значениями функции ф. находим:
 w,«4 <•-« -0.8750»,
 J2ff dxdym2 •. 4ф6 4ф44-ф34-
 R
 -f- 4ф4 -- 16ф2 4 фз 4фх ф0 2,125а4
 н
 т --Lm о 412 —
 max J дх а3 •
 Снова проведем сравнение с точным решением; приближенные значения и здесь будут ниже точных: для ф0 — на 4,6%, для численной величины — на 35,2%, для J—на 5,6%, для ттах — на
 31,3%.
 Проведем дальнейшее размельчение сетки, разбив область на 64 квадратные ячейки со стороной h aj4. Принимая во внимание

134
 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ ГЛ. 6
 симметричность решения, нумеруем узлы, как показано на рис. 6.5. Составляем уравнения в конечных разностях для узловых точек от 0 до 9; учитываем при этом, что функция ф на контуре равна нулю. Таким образом, для 10 неизвестных значений ф во внутренних узлах получим 10 совместных уравнений. Решение их дает следующие значения:
 ф0 0,5822а2, 0,5509а2, ф2 0,5217а2, ф3 0,4530а2,
 ф4 0,4300а2, ф5 0,3572а2, ф6 0,2761а2, ф7 0,2632а2,
 ф8 0,2219а2, ф9 0,1422а2.
 Пользуясь этими значениями, находим:
 ijl 1,1044а,
 дх ю
 Уда 2,2175а4,
 : 0,498
 а3
 Сопоставим эти данные с аналитическим решением; приближенные значения снова будут ниже точных: для ф0 — на 1,2%, для чис-
 <1
 8
 <>3
 4
 1
 р'
 3
 '6
 а ►
 4 	ленной величины
 т.
 V дх ю
 ■ на
 12
 Ю
 13 22,7%, для J—на 1,4%, для Ттах —На 17%.
 Из приведенного сравнения видно, что при шаге сетки h а4 погрешность в значениях ф0 и J становится достаточно малой. Большая ошибка при определении ттах объясняется погрешностью в значении в параграфах
 6.6 и 6.7 будут рассмотрены пути, ведущие к повышению точности решения.
 Рис. 6.5. 6.4. Метод релаксации. Из
 примеров, разобранных в предыдущем параграфе, видно, что с уменьшением шага h соответственно повышается точность решения. Однако при таком уменьшении шага быстро возрастает число подлежащих решению совместных уравнений, так что получение окончательных результатов становится весьма трудоемким. Вместо обычных схем решения было предложено много методов и среди них метод релаксации, развитый Саусвеллом. Время, требуемое для получения решения с заданной
 Для совместного решения большого числа линейных уравнений можно пользоваться эффективным методом, предложенным Краутом. См. P. D. С г о u tT Yfans. АIЕЕ, т. 60, 1941.

6.41
 МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ
 135
 точностью по методу релаксации, оказывается значительно меньшим по сравнению с другими путями решения; рассмотрим поэтому данный метод более подробно.
 Лучше всего изложить метод релаксации на численном примере. Решение задачи начинается с того, что изображается исследуемая область и наносятся узловые точки сетки. Допустим, что для каждого узла мы располагаем приближенными значениями ф, найденными из экспериментов, из решения аналогичных частных задач, из предварительных подсчетов и т. д. Уравнение в конечных разностях для некоторой точки 0 рис. 6.2 будет иметь вид:
 Фз 4ф0 2г - 0. 6.23
 Если предполагаемые значения ф совпадают с истинными, т. е. если они являются корнями уравнений в конечных разностях, то после подстановки их в уравнения типа 6.23 последние должны обратиться в тождества. Но в общем случае такое совпадение не имеет места. Поэтому мы будем иметь
 Ф1 Ф2 Ф3 Ф4 — 4ф0--2 h2 — Q0t 6.24
 где Q0 — числовая величина, определяющая погрешность решения. Величина Q0 называется невязкой в узловой точке 0. Аналогичным образом вычисляются невязки для всех остальных внутренних узлов. Если величины ф определены точно, то невязки должны быть равны нулю во Есей области. Нашей целью является свести невязки во всех узловых точках либо к нулю, либо к настолько малым величинам, что при дальнейшем уменьшении Q последняя значащая цифра в числовом значении ф будет сохраняться.
 Вернемся к уравнению 6.24. Если изменяется на 1, то Q0 также получает приращение, равное -f-1; это же относится к изменению на -1-1 величин ф2, ф3 или ф4. Между тем, если происходит изменение на 1 величины ф0, то Q0 меняется на —4. Следовательно, изменение невязок происходит по определенному закону, благодаря чему невязки можно последовательно уменьшать. Количество операций по вычислению и изменению невязок может быть известным образом сокращено, если применять так называемый релаксационный оператор. Этот оператор представляет собой по существу уравнение в конечных разностях, изображенное в схематической форме. Например, для рассматриваемой задачи релаксационный оператор имеет вид, показанный на рис. 6.6. Пользуясь релаксационным оператором, легко вычислить невязки в каждой точке. При этом облегчается процесс изменения невязок: оператор указывает, что возрастание значения ф в центре на 1 меняет
 Метод релаксации подробно рассмотрен в книге R. Y. Southwell, Relaxation Methods in Theoretical Physics, N. Y., 1946. См. также H. W. E turn о n s, Quart. Appl. Math., т. 2, 1944, 173—195; F. S. Shaw, Numerical Methods of Analysis in Engineering, N. Y., 1949, 49—65.

136
 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ ГЛ. 6
 невязку в той же точке на —4, а невязку в окружающих ее точках— на 1.
 Приведем числовой пример релаксационного процесса. Примем шаг равным h а2. Пронумеруем точки, как показано на рис. 6.7.
 Из мембранной аналогии мы получаем некоторое представление о том, как меняется ф в различных точках внутри области. Для простейшего случая, когда г а, нам известно, кроме того, что значение ф13 приблизительно равно 0,5а. Намеренно примем, однако, в качестве первого грубого приближения, что значения ф равны нулю во всех точках. Вычисляем невязки для всех внутренних точек по выражению 6.24 и с помощью релаксационного оператора рис. 6.6; записываем невязку ниже и левее данной точки. Принятые значения ф записаны ниже и правее данной точки. Все эти данные нанесены в качестве первого этапа на
 рис. 6.8. Для упрощения записи все значения Q и ф умножены на коэффициент 1000а2.
 Второй этап состоит в том, чтобы найти точку, в которой невязка является наибольшей, и
 приступить к уменьшению Q в „ 6 7 8 9 10
 этой точке. В рассматриваемом случае величина Q—одна и та
 же во всех точках, так что мы I 11 12 13 14 15
 можем в качестве исходной
 выбрать любую из них. Начнем
 с центральной точки и умень- б 17 13 19 20
 шим невязку в ней до нуля. Для этого мы должны увеличить ф
 в этой точке на j или на 22 23 24 25
 1
 2
 3
 4
 п
 б
 7
 8
 9
 и
 11
 12
 13
 14
 16
 17
 13
 19
 21
 22
 23
 24
 •
 а ►
 Рис. 6.7.
 --125. При таком изменении ф значения невязок в каждой из
 соседних четырех точек увели¬
 чатся на —f— 125. Выпишем окончательные значения невязок слева и внизу от каждой точки, а изменение величины ф — справа и внизу. На рис. 6.8 эти данные представлены как второй этап вычислений.
 Будем далее уменьшать невязку в точке 14; ее значение, полученное ранее, равнялось 625. Чтобы сделать эту величину близкой к нулю, придадим значению ф в этой точке приращение, равное или 156. Тогда невязка в точке 14 станет равной 1;

6.4
 МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ
 137
 0
 0
 0
 0
 0 500
 0 500
 0 500
 0
 0 500
 0 500
 0 500
 0
 0 500
 0 500
 0 500
 0
 ооооо
 Этап 1
 0
 0
 0
 0
 0 500
 0 500 625
 0 500
 7Г
 0 500 625
 0 0
 0 500 26 625
 о
 0 500
 0 500 625
 0 500
 0
 0 0 0 0 Этап 3
 Этап 5
 Этап 6
 0
 0
 0
 0
 0 100
 300 25
 400 106
 300
 20
 40 -15
 40 26
 40
 0 25
 400 56
 125 0
 156
 -15
 40 6
 400 -39
 250
 40
 40
 0 юо
 300 25
 № 106
 300
 20
 40 -15
 40 26
 40
 0
 0
 0
 0
 0 0 0 0 0 Этап 2
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0 500
 0 625
 0 500
 0
 0
 0 500
 0 625
 0 656
 0
 656
 925
 -544
 300
 0 625
 0 0
 0 625
 0
 0
 0 625
 0 156
 125 1
 0
 156
 425 1
 156
 600
 156
 0 500
 0 625
 0 500
 0
 0
 0 500
 0 625
 0 656
 0
 656
 925
 -544
 300
 0 0 0 0 0 Этап 4
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0 500 900
 0 925 -675
 0 544 400-144
 300
 0 900 1300 100
 0 -675 300-275 25
 400 -144 106
 300
 0 625
 0 156
 125 600
 0
 0
 0 625
 0 956
 125 600
 156
 956
 156
 1025
 40U -644
 400 ЮОО
 250
 -575
 -244
 0
 25
 56
 0 500
 0 925
 0 -544
 300
 0
 0 900
 0 -675
 400 -14ч
 300
 900
 -675
 400-144
 1300
 300-275
 106
 100
 25
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0 0
 300 -1
 ьо
 344
 400 о
 40
 -2
 438
 300
 40
 144
 0 -1
 ьоо 0
 40
 -2
 438
 >25 - 400 40
 Ш
 >56
 250
 40
 0 0
 ZOO -1 40 4
 344
 400 >0 -2 чЗЗ
 300
 40
 4
 34 •
 Этап 7
 0 0 0 0 Этап 8
 Рис. 6.8

138 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ ГЛ. 6
 невязки в соседних точках даны как третий этап на рис. 6.8. Точка 15 лежит на контуре, так что значение функции в этой точке определяется из граничных условий. Если условие на контуре удовлетворено, то невязка здесь будет равна нулю. Мы замечаем, что уменьшение невязки в точке 14 повлечет за собой новое увеличение невязки в точке 13. Чтобы уменьшить это приращение невязки, мы должны вновь увеличить ф13. Такое обстоятельство имеет место, если в точках, соседних с данной, невязки имеют один и тот же знак. Чтобы сделать сходимость более быстрой, придадим ф13 во втором шаге такое приращение, чтобы значение Q13 не свелось к нулю, а сделалось отрицательным. Такой прием можно сравнить со стрельбой с перелетом. Величина превышения зависит от значений невязок с соседних точках. Если превышение окажется недостаточным или излишним, то это не должно смущать нас, так как будет связано лишь с дополнительной затратой времени на вычисления.
 В точках 9 и 19 невязка равна 656. Чтобы уменьшить ее, придадим ей сначала завышенное значение, прибавив по 300 в обеих точках. Изменения значений невязок и ф зафиксированы в качестве четвертого этапа. Затем, в качестве пятого этапа, прибавляем по 400 к значениям ф в точках 8 и 18; в последующем прибавляем по 400 в точках 13 и 72, по 300 — в точках 7 и 77 и 250—в точке 14. Окончательные невязки даны в виде шестого этапа. Максимальное значение невязок здесь приблизительно равно 100. Если во всех внутренних точках прибавить по 40, это сведет невязки до таких значений, что максимум не будет превышать 40. Вновь полученные невязки показаны в качестве седьмого этапа. После дальнейших изменений, приведенных в восьмом этапе, максимальное значение невязки сводится к 1. Дальнейшее изменение последней значащей цифры в числовой величине ф не может привести к уменьшению невязок, и потому наше решение справедливо с точностью до единицы третьего знака.
 В рассмотренном примере мы заведомо удлинили вычисления, взяв первое приближение явно неудачным и игнорируя симметричное ib решения. Для данней частной задачи решение уравнений в конечных разностях обычным методом может показаться более простым. Преимущества метода релаксации становятся очевидными при большем числе точек, так как он позволяет тогда сократить время, затрачиваемое на вычисления.
 При осуществлении процесса релаксации желательно проверять вычисления, определяя время от времени невязки во всех узловых точках. При наличии ошибок в вычислениях новые невязки не будут совпадать с теми значениями, которые были зафиксированы ранее. Если такое различие имеет место, то нет надобности возвращаться к предыдущим вычислениям; следует выписать правильные значения невязок и вновь продолжать процесс. Это никак не отразится на результатах вычислений, а приведет лишь к дополнительней затрате времени.

6.5
 ГРУППОВАЯ РЕЛАКСАЦИЯ И ЛИНИИ СИММЕТРИИ
 139
 6.5. Групповая релаксация и линии симметрии. В предыдущем параграфе был указан порядок вычислений при пользовании релаксационным методом; мы видели, что этот метод не представляет собой итерационного процесса в обычном смысле слова, поскольку последовательность вычислений не является вполне определенной. Однако именно гибкость релаксационного метода и составляет его основное преимущество; расчетчик может без всяких затруднений изменять порядок выкладок с тем, чтобы наиболее быстро получить конечный результат, т. е. устранить невязки решения. Рассмотрим некоторые приемы, сокращающие процесс релаксации и ускоряющие исключение невязок.
 Один из таких приемов состоит в групповой релаксации вдоль линии или на некотором участке. В этапе 7 примера, приведенного в параграфе 6.4, было найдено, что невязки могут быть сведены к минимуму прибавлением числа 40 к значению ф во всех узлах. Здесь мы имеем одновременное изменение значений функции на одно и то же число для группы точек, расположенных на определенном участке области. Аналогично этому может иметь место одновременное изменение значений функции на одну и ту же величину для группы точек, принадлежащих области и лежащих вдоль некоторой линии.
 Выясним, каков эффект одновременного изменения функции на одну и ту же величину в двух соседних точках. Очевидно, мы можем произвести отдельно каждую из этих операций, а затем сложить полученные результаты. В случае, если речь идет об уравнении Лапласа, можно, пользуясь единичными операторами, выписать операторы релаксации вдоль линии в двух, трех, четырех точках, как показано на рис. 6.9, и различные операторы групповей релаксации для участка площади, изображенные на рис. 6.10 и 6.11. Внимательное изучение операторов, приведенных на рис. 6.9, 6.10 и 6.11, дает возможность сформулировать правило, с помощью которого могут быть быстро составлены все подобные операторы. В случае, когда речь идет об операторах групповой релаксации вдоль линии или на участке площади для уравнений Лапласа или Пуассона, это правило заключается в следующем. Допустим, что одновременно изменились на 1 значения функции для группы точек, принадлежащих области и лежащих вдоль линии или в пределах некоторого участка площади тогда невязки во всех точках, непосредственно связанных с тремя внешними точками,как, например, в точках а на рис. 6.9 « 6.10, изменяются на —3. Невязки в точках, подобных точкам Ь, с двумя внешними точками, изменяются на —2. Невязки в точках типа с, связанных с одной внешней точкой, изменяются на —1. Невязки в точках, подобных точкам d, не связанным непосредственно с внешними точками, не изменяются. Невязки во всех точках типа е, находящихся за пределами области групповой

140 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ ГЛ. 6
 релаксации, но непосредственно связанных с одной из точек внутри области, изменяются на -j-1. Невязка во внешней точке типа, непосредственно связанной с двумя внутренними точками, изменяется на -j-2.
 Преимущества групповой релаксации можно легко выяснить из рассмотрения рис. 6.11. При изменении значений в точках, лежащих
 ED ЕЭ
 Рис. 6.9.
 на границе участка групповой релаксации, невязки во внутренних точках участка не меняются. Удачное применение групповой релаксации может избавить от вычисления ряда последовательных невязок; это позволяет сократить время, требуемое для решения задачи.
 Другой полезный прием в методе релаксации заключается в использовании линий симметрии. Как известно, во многих задачах решение обладает симметрией относительно одной или нескольких линий благодаря симметрии области и граничных условий. При решении таких задач нет необходимости определять неизвестную функцию по всей площади. Например, в случае кручения стержня квад-

6.5
 ГРУППОВАЯ РЕЛАКСАЦИЯ И ЛИНИИ СИММЕТРИИ
 141
 ратного сечения достаточно найти решение для Vs всей области, как показано на рис. 6.12. При этом нет надобности вводить какуюлибо существенно новую процедуру выкладок. Необходимо только помнить об условии сохранения симметрии: каждый раз, когда
 меняется невязка в точке, смежной с линией симметрии, одновременно надо изменить ее и для симметрично расположенной точки. Это значит, что любая операция автоматически сопровождается эквивалентной операцией по другую сторону от линии симметрии. В результате на невязке в точке, лежащей на линии симметрии, отразится изменение невязок в двух симметрично расположенных точках.
 Процесс вычислений с использованием линии симметрии хорошо иллюстрируется на примере параграфа 6.4. Нумеруя точки как показано на рис. 6.4, получаем центральную точку, соответствующую 0, точку типа, лежащую на стороне, и угловую точку типа 2.
 Номера помещены в кружках вверху справа от этих точек на рис. 6.12.
 Процесс релаксации можно разбить на шесть этапов.
 Этап 1-й. Полагаем все значения ф 0; при этом все невязки равны 500.
 Этап 2-й. В точке 0 прибавляем 125. В результате невязка в точке 0 обращается в нуль.
 Этап 3-й. Для того чтобы
 добиться уменьшения невязки в точке 7, не меняя невязки в точке 0,
 •осуществим групповую релаксацию, прибавив по 100 в точках Owl.
 Если мы увеличиваем ф на 100 в точке, то это означает, что в действительности мы прибавляем 100 во всех четырех симметрично расположенных точках. Точка О является «внутренней», и поэтому невязка в ней не меняется.
 Точка 1 связана с тремя внешними точками; поэтому невязка
 в точке 1 меняется на величину —3 • 100. Точка 2 связана с точкой 1 и точкой, расположенной симметрично относительно точки 1; невязка ее меняется на величину 2 • 100.
 Этап 4-й. Групповая релаксация на 350 во всех точках.
 ED—г—Ш
 Рис. 6.10.

142
 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ
 ГЛ. 6
 500 0 5000
 Этапf
 ЕЗ EZ3 ED
 е
 ЕГЬ
 f
 FIT-
 е
 EZ3-
 I
 f
 ЕЮ-
 ЕВ ЕВ
 Рис. 6.11.
 5000 5000
 0125 625
 Этап 2
 ЕВ EJ
 ЕД щ ED
 FjI Щ Щ F7
 E2D ЕВ ЕЭ
 -ЕЛ
 -EL
 Ш
 р
 500
 500'
 ©
 700
 0125 6250 100 325100 i
 Этап 3
 700 'О
 -
 -
 о
 0‘
 0
 Q'
 350
 350
 40
 I
 i
 i
 2.
 I °
 т -25100 350 350
 от юо -ю оо j
 350 350 1
 Этап 5 Рис. 6.12.
 1
 350
 5
 345
 0125 40 ЮО -5 ЮО
 350 350
 -5 -5
 -5 -5
 565 440
 Этап в

6.6 УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 143
 Этап 5-й. Групповая релаксация на —5 в точках 0 и 1.
 Этап 6-й. Групповая релаксация на —5 во всех точках. Алгебраические суммы величин, стоящих внизу справа от точек, представляют окончательные значения ф во всех этих точках.
 Задача. Найти наибольшие касательные напряжения при кручении стержня прямоугольного сечения в случае bа — 2. Принять: 1 h а; 2 h а2; 3 h а4.
 6.6. Уравнения в конечных разностях высшего порядка. Одним из путей для повышения точности метода конечных разностей является применение более мелкой сетки. Даже при использовании метода релаксации объем вычислений, необходимых для решения задачи, существенно возрастает с увеличением числа узловых точек. Чтобы обойти эту трудность, Фокс предложил метод, по которому вместо обычных формул первого порядка см. § 6.1 и 6.2 используются разностные выражения высшего порядка. Хотя этот подход подвергся критике со стороны Саусвелла, нам представляется, что такой метод во многих случаях может дать более точное решение при минимальном увеличении объема вычислений.
 Формулы для конечных разностей высшего порядка могуг быть получены следующим образом. Пусть через некоторую группу точек проведена кривая, уравнение которой аппроксимировано с помощью степенного ряда. Чем выше число известных точек, тем большее число членов степенного ряда может быть найдено; при этом будет лучше аппроксимирована истинная кривая. Если значения функции известны для х х0, х, хъ., то формула Ньютона для аппроксимации кривой будет иметь вид:
 во в дг — дг0 а2 л; — х0 х — л:,
 а3 х — 0 л: — > х — х2
 -4- а4 х Хо дг — дг, дг — х2 х — дг3 -f-. 6.25
 Если приращения х для всех точек одинаковы, и интервал равен h>
 то будем иметь хх х0-- h, х2 x0--2h, и т. д. После подста¬
 новки последовательных значений координат в формулу Ньютона могут быть легко найдены коэффициенты а0, аи а2 и т. д.
 Пусть при х х0 будет 0. Подставляя эти значения в 6.25г найдем а0 0; по формуле Ньютона получим:
 о «I X — х0 4- аг х — х0 х —, 4-
 а3х — х0х — хх — дг2 4-.
 L. F о х, Ргос. Roy. Soc. London, А, т. 190, 1947, 31—52.
 R. V. Southwell, Numerical Methods of Analysis in Engineering, N. Y., 1949, 66—74.

144 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ ГЛ. 6
 При x xi x0--h, f — fi будем иметь:
 fi о ai -о 4“ — о>
 откуда
 п — Л —о __ До.
 aih пг»
 здесь А0 — первая правая разность при х — х0. Это дает
 о — х0 а2 х — х0 х —,
 --а3х — х0х — xix — x2-h. Если продолжить вычисления, то формула Ньютона примет вид:
 т. -
 Подставляя х — x0h и, получим
 X — Х _ 1х — Х0 — xt — х0 __ 1
 h h Подобным же образом получим
 л; — x2h и — 2, л; — x3h и — 3,
 и т. д.
 Вводя величину и в формулу Ньютона, находим:
 J,и I иifcJi 4«. д>.
 »<—1>C-2C-3A 6 26
 Судя по формуле 6.26, производные функции в точке jc лг0 можно выразить через конечные разности в точке х0 с помощью
 простого дифференцирования. Так, полагая и — х — x0h и
 dudxlh, будем иметь:
 df df fL dxQ dxxx0 da dx u0
 1 -г r, 2a — 1 t„.. 3u> — 6и 2 -To f i
 А До 2j Л‘о зГ- ДЗо
 -Д40. «0
 4и» — 18«2 ' 22а — 6
 1л.-54г. -4о-4у. 6.27
 ■. ТГ 5>Л - 1 - • • •. 6.28

6.6 УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 145
 Аналогичным образом легко показать, что производные могут быть выражены через левые разности:
 Ш. тУ Ь,Л Ь’Л т‘‘Л •••• <б'29
 Sr„ V 4% Т5- '. ■ ■ ■ ■ • в.30
 Чтобы выразить производные через центральные разности, надо сначала ввести последние в формулу Ньютона. По определению, имеем
 До —о 1 j -_х i Л - 20 _t До 4 Д2о;
 на втором этапе выкладок вычитается величина _х2 в первых скобках, а такая же величина прибавляется во вторых скобках. Таким же путем получаем:
 Д% Д7о Л3о д4о.
 Д3о Д3о 4 Л4о А5о j Д6о,
 Д4о Д4о 2До 2Ав0 Д7о Л8о-
 Аналогичные выражения могут быть выписаны для разностей высшего порядка. Подставляя эти соотношения в выражение 6.26 и группируя члены, будем иметь:
 , « ДА -§■ 4. д., д% 631
 Теперь мы имеем возможность выразить различные производные для кривой через центральные разности. Дифференцируя выражение 6.31, находим
 df 1 кх. л?. Зм2 — 1 ЛЧг. 4Ф — 2и..
 - ft- 4« “ 4 Л н 5— 4 А 1 я— 44Л
 5,‘-V0
 При л: л:0 будет я 0, и потому производная dfjdx при л; л;0 равна
 ■,—гК—г4’Л-аг.- •••• 6'32>
 Вторая производная будет
 I 	df 1 A,f 1, 1
146
 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ
 ГЛ.6
 Аналогичным образом могут быть найдены производные высших порядков.
 Если в формулах 6.27 — 6.30, 6.32 и 6.33 пренебречь разностями высших порядков, то они перейдут в обычные формулы первого приближения. Сравнивая выражения 6.32 с 6.27 и 6.29, приходим к следующим выводам. При сведении формулы 6.32 к обычной формуле первого порядка, приходится пренебречь рядом
 членов, наибольший из которых равен —--А30. В то же время в формулах 6.27 и 6.29 соответствующие члены равны —уД20 и 1 Д20. Вообще говоря, величина —-jl-A3 меньше, чем величины Д20 иД20. Следовательно, пользуясь централь¬
 ными разностями, мы получаем лучшую аппроксимацию, чем при использовании правых или левых разностей. Такое же заключение можно сделать и в отношении аппроксимации производных высших порядков через соответствующие разности того или иного типа.
 До сих пор мы полагали, что является функцией только переменной х. Если же является функцией двух переменных х и уг то можно легко получить частные производные, заменяя А, А, А соответственно на Дд., Дд., или А, Д, Д. Выпишем выражения для вторых производных через центральные разности:
 тйМ«— • I
 i А2, 1.4,, 1.в, 6-34
 dy о К>- V0 12 90 г 0 • • J • J
 Вернемся теперь к задаче о кручении стержня квадратного сечения. От дифференциального уравнения
 дх2 ду
 можно перейти к уравнениям в конечных разностях с помощью формул 5.34. Уравнение в конечных разностях высшего порядка для точки 0 принимает вид:
 Ф1 ■ Фг Фз Ь Ф4— 4ф0 -f- 2h2 -- 2 0, 6.35
 где
 2 t° Н—до ф0 —
 Окончательно решение для ф можно представить в форме:
 ф0 ф1 -Н Ф2>. 6.36

6.6 УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 147
 где под ф0, ф1,. понимаются решения следующих уравнений: ф10 фз0 фз0 ф10 — 4фо0 2h2 — 0 по области R,
 ф0 0 на контуре S,
 ti1’ 4-14” 4- 4- 20 о,
 а™ - 41ГiJtSя MW<W -. t>0
 6.37
 6.38
 и т. д. Если сложить 6.37 и 6.38 с другими аналогичными членами ряда, то функция ф, определяемая по 6.36, будет удовлетворять уравнению 6.35 и граничному условию:
 ф 0 на контуре 5.
 Вычисления можно произвести следующим образом. Заметим, что под ф0 понимается решение, которое мы уже получили в предыдущем параграфе. Примем, например, шаг равным h a4. Значения ф0 в точках уа 0 и ха 1; 0,75; 0,5 и 0 приведены в табл. 6.1. Вторую центральную разность в направлении х для точки ха 0,750 получаем из формулы:
 Ажфо,75 ф1,0 2фо,75 -f“ фо,5 ф1,0 фо,7б фо.75 фо,б-
 Но выражения ф1,о — фо,75 и ф0,75 — фо,5 представляют собой центральные разности соответственно в точках х 0,875 и х 0,625.
 Таблица 6.1
 Вычисление конечных разностей и Q в различных точках при у 0
 ха
 ф°>
 Д0>
 4Ф0
 о
 Ч <1
 ,0
 д<0
 ■А4ф<Р
 д«ф°
 У<°>
 1,000
 0
 0,875
 —2761
 0,750
 2761
 —992
 —66
 0
 —52
 —44
 9
 0,625
 —1769
 —202
 12
 0,500
 4530
 —790
 —78
 6
 —76
 —26
 13
 0,375
 — 979
 —124
 6
 0,250
 5509
 —666
 —84
 10
 —82
 — 6
 14
 0,125
 — 313
 — 40
 — 4
 0,000
 5822
 —626
 —80
 —8
 —80
 — 8
 13
 Для того чтобы облегчить вычисления, приводим в табл 6.1 также эти нечетные разности в точках, лежащих между узлами. Разность Дф0 в точках х 0,750 не может быть вычислена, так как в ее выражение входят величины, относящиеся к внеконтурным точкам.

148 МЕТОД КОНЕЧНЫХ ГАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ ГЛ. 6
 Таблица 6.2
 Вычисление конечных разностей и Q в различных точках при у а 0,250
 ха
 ф<Р
 д0
 д0
 д0
 д>0
 Д<°>
 Д0
 ->
 <1
 Д6ф0
 У
 Q°
 1,000
 0
 1
 0,875
 —2632
 0,750
 2632
 —964
 —88
 1
 —74
 —45
 13
 0,625
 —1668
 —213
 -1
 0,500
 4300
 —751
 —87
 1
 —89
 —12
 15
 0,375
 — 917
 —126
 —2
 0,250
 5217
 —625
 —85
 1
 —85
 1
 14
 0,125
 — 292
 — 41
 —3
 0,000
 5509
 —584
 —82
 —6
 —84
 10
 14
 Мы можем приближенно принять величину в этой точке рав¬
 ной нулю. Однако большая точность будет достигнута, если экстраполировать величину по значениям для трех других точек.
 Это можно сделать графически; экстраполированное значение в этой точке равно — 66. В таблице такие экстраполированные значения, а также величины, найденные с их помощью, даны в скобках. Аналогично, в таблицах 6.2, 6.3 и 6.4 даны значения ф0 и разностей Аф0 в узловых точках соответственно для за 0,25; 0,5 и 0,75. Вследствие симметрии значения в точках ха — 0; 0,25; 0,5;
 0,75 и уа 0 совпадают со значениями Аф0 при ха 0 и уа 0,25; 0,5; 0,75, приведенными соответственно в таблицах 6.1,
 6.2, 6.3 и 6.4. Находим эти значения из указанных таблиц и заносим их в табл. 6.1.
 Таблица 6.3
 Вычисление конечных разностей и Q в точках при уа 0,500
 ха
 4,К»
 дл0
 1
 Д>0
 дУ0
 ДО
 во 55 <1
 дф«»
 Д6ф0
 У'
 Q<°>
 1,000
 0
 0,875
 —2219
 0,750
 2219
 —866
 -163
 -60
 141
 -32
 24
 0,625
 —1353
 —241
 -49
 0,500
 3572
 —625
 —114
 -24
 —114
 -24
 18
 0,375
 — 728,
 —127
 —25
 0,250
 4300
 —498
 — 89
 —12
 — 87
 О
 15
 0,125
 — 230
 — 38
 —13
 0,000
 4530
 —460
 — 76
 —26
 — 78
 6
 13

6.6J УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 149
 Таблица 6.4
 Вычисление конечных разностей и й в точках при уа 0,750
 ха
 «IO
 Даг4'°
 дф<«>
 д0
 Д0
 О
 <1
 А,0
 Д°
 дЧ<°>
 2Г
 Q°>
 1,000
 0
 0,875
 —1422
 0,750
 1422
 —625
 —240
 - 1
 —240
 -1
 40
 0,625
 — 797
 —241
 -99
 0,500
 2219
 —384
 —141
 -32
 -163
 -60
 24
 0,375
 — 413
 —100
 —67
 0,250
 2632
 —284
 — 74
 —45
 - 88
 1
 13
 0,125
 — 129
 — 26
 —22
 0,000
 2761
 —258
 — 52
 —44
 - 66
 0
 9
 Таким образом, легко могут быть найдены величины 0. Если
 известны значения 20, то можно определить величины приме няя обычный метод релаксации. На рис. 6.13 отмечены эти величины, вместе с невязками в различных
 узловых точках. На рис. 6.14 даны значения ф <l0 -fв сопоставлении с данными, полученными аналитическим
 путем; последние записаны сверху справа от точек.
 Как легко видеть, решение получилось более точным: приближенные значения от¬
 клоняются от вычисленных аналитически примерно на
 0,6%. Если желательно провести дальнейшее уточнение, то аналогичным образом можно найти ф2,
 26
 62
 1 68
 46
 52
 -hi
 0 65
 32
 32
 ф3 и т. д.
 -2 54 Рис. 6.13.
 -1 32
 Определим наибольшие касательные напряжения. Производную можно выразить через левые разности:
 д
 дх
 д'Ь
 tx'

150
 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ ГЛ. 6
 Следовательно, для точки а, а будем иметь:
 -i 0 — 0.2793 1 0 — 2 • 0,2793 0,4584
 Н-4-° — 3 • 0,2793 -f- 3 • 0,4584-0,557444- 0—4 • 0,2793 4- 6 • 0,4584 —4.0,5574 4- 0,5890 а — 1,352а. По правилу Симпсона находим
 2,2460а4
 Отсюда
 _ 0,6027'
 тах ф •
 Сравнение со значениями, полученными аналитически, показывает, что погрешность в величине составляет 0,15%, в значении
 J составляет 0,17% и в величине ттах — лишь 0,33%. Такие результаты
 надо считать вполне удозле творительными.
 В параграфе 6.3 было указано, что при использовании первого приближения конечных разностей мы получаем сравнительно большую погрешность в величине ттах, и что ее следует отнести за счет значительной погрешности в величине Вообще говоря, если
 применять обычные формулы для разностей первого порядка, то при определении функции точность получается большей, чем при нахождении производных функции. В том случае, когда необходимо найти производные, значительно лучшие результаты дает применение формул для разностей высшего порядка, даже если сама функция найдена с помощью обычных формул с разностями первого порядка. Если принять в примере параграфа 6.3 шаг равным h — aj4, то погрешности при определении ф0 и J будут равны только 1,2
 и 1,4%, в то время как погрешность для составляет 22,7%.
 0.5894 '0.5822 0.0068 0.5890
 0.3623
 0.1422
 0.0026
 0.448
 0.2255
 05283
 0.3572
 0.0046
 0.3618
 '0.4356
 02219
 0.0032
 0.225
 '0.2665
 05217
 04300
 0.2632
 0.0062
 0.0052
 0.0032
 0.5279
 0.4352
 0.2664
 '0.5578
 '0.4587,
 02795
 05509
 0.4530
 0.2671
 0.0065
 0.0054
 0.0032
 0.5574
 04584
 02793
 Рис.
 5.14.
 Не повышая точности в отношении ф, вычислим
 №
 10
 с помощью

6.7 МЕТОД ЭКСТРАПОЛЯЦИИ 151
 разностей высшего порядка:
 Ц- 0 — 0,2761 --1 0 — 2 • 0,2761 0,4530
 j0 — 3 • 0,2761 4-3 • 0,4530-0,550944-10 —4 • 0,2761 6 • 0,4530 —
 — 4 - 0,5509 4- 0,5822 а2 — 1,3376а;
 ошибка составляет всего 0,91%. Как видим, этот прием позволяет получить более точные результаты.
 Задача. Решить задачу о кручении вала прямоугольного сечения при bja 2, используя конечные разности высшего порядка.
 6.7. Метод экстраполяции. Если функция fx имеет непрерывные производные в интервале х0 — h <; х дг0 -j- h, то функции fxQ--ti и х0 — h могут быть разложены в ряд Тейлора по степеням г:
 зто 4roV 6.39
 IF I hA TV
 0—o— o 2 о 3fo “4f° — •••• 6.40
 где о, о,..., о — соответственно первая, вторая,., я-я производные при х д:0.
 Пользуясь выражениями 6.39 и 6.40, находим первые центральные разности для х х0:
 4о y Со —f хо — о зго - ’ро'...
 погрешность ех при замене первой производной через первое центральное разностное отношение равна:
 Ао А2 т h4 лг
 Определяем далее по выражениям 6.39 и 6.40 вторую центральную разность при х х0:
 f0fx0 h — 20 х0 —h
 u<>tn » й4 ЛУ, h4.VI,
 — А о 4 и ° збо«
 При замене второй производной через второе разностное отношение погрешность е2 будет равна:
 гг ду0 Ъ? AM h4 rVi

152 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ ГЛ. б
 Аналогично можно доказать, что ошибка еп при замене n-Pi производной через д-е центральное разностное отношение равна:
 en f — w 0 hg2 х0 h«g3 х0., 6.41
 где функции gix0 зависят только от х0 и не зависят от h. Судя по уравнению 6.41, погрешность будет зависеть только от четных степеней г; ряд сходится быстро, если значение h мало. Будем называть подобную величину погрешностью порядка г2. Выражение 6.41 было впервые выведено Шеппардом.
 Попытаемся теперь показать, что погрешность при решении задачи, определяемой линейным дифференциальным уравнением и линейными граничными условиями, будет также порядка г2.
 Доказательство может быть проведено в общей форме. Однако с целью упростить изложение, ограничимся рассмотрением уравнения определенного типа, взяв в качестве примера уравнение Лапласа:
 дх2 ' ду2
 Пусть через и 2 обозначены, соответственно, решения дифференциального уравнения в конечных разностях. Тогда будем иметь
 g f; 0. 6.42
 A.z2 Дг 0- 6.43
 Распространяя уравнение 6.41 на случай двух переменных, без труда получим:
 d2f% з
 дх W
 :h2gdх, у Jrh4g2 х, у-г.
 “Ж h2gl х' y hgx> или
 —2 2 h2xxt А4ср 2х, У.
 гДе Su Si и Ъ являются функциями х и у. Вычитая это выражение из 6.42 и замечая, что второй член в левой части равен нулю, согласно 6.43 получим,
 ду, —
 УдхЪ'ду дх2 ' ду2 уд2-'” дуУ
 —, У — > у —
 W. F. Sheppard, Central Differences, Proc. London Math. Soc., т. 31, 1899.

6.7
 МЕТОД ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
 153
 где ef<—2—погрешность решений. Учитывая, что функции cpi
 I д2, д
 и дифференциальный оператор 21 72 не зависят от г, заключаем, что выражение для е может быть записано в форме:
 e h2<?ix, y hy2x, у 6.44
 Где — функции от х и у, не зависящие от h. Как легко показать, подобное доказательство может быть распространено и на линейные дифференциальные уравнения иного типа.
 Пользуясь этим, мы можем с помощью экстраполяции получить новые результаты, исходя из предыдущих данных, относящихся к некоторым значениям h. В параграфе 6.3 были найдены величины:
 ’t'o — 0,5000а2 при h a,
 4-0 0,5625а2 при А -.. 6 45>
 60 0,5822а2 при й -.
 Примем, что функция ф, найденная с помощью дифференциального уравнения, получает в центре квадрата значение ф0. Исходя из выражения 6.44 и пренебрегая членами, содержащими г6 и высшие степени г, получим
 о 	— Фо Й2?1 Л4сргПод cpi и ср2 понимаются новые постоянные, поскольку в качестве исходной здесь избрана определенная точка. Подставляя значения ф и h по 6.45, найдем:
 ф0 — 0,5000а2 a2cpt -f- а4ср2,
 % - 0.5625а2 4?2>
 фо-0,5822« 'ft-
 Решая эту систему уравнений, получаем ф0 0,5891а2, что отличается от точного значения менее, чем на 0,05°о. Зная величины ф и ф2 рис. 6.4, найденные при шаге h а2 и h а4, экстраполируем эти значения с помощью формулы
 ф ф 2cpi«
 Выполняя вычисления, будем иметь фх 0,4582а2 и ф2 0,3617а2, что на 0,11 и 0,16% меньше, чем соответствующие точные значения. Мы получили несколько большие погрешности, так как сохранили в правой части уравнения 6.44 только член, содержащий Л2
 L. F. Richardson, Phil. Trans. Roy. Soc., London, т. 210, 1911.

154 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ 1ГЛ. 6
 Чтобы найти значение в точке х — а, у О, заменим производные левыми разностями. Желая экстраполировать эти разности, определим отвечающую им погрешность. По уравнению 6.40 имеем:
 а I 1,, ч, д<1> № для зф
 М — V. У 1' н> у — h-dj— •••
 Следовательно, погрешность равна:
 e -g7—jrha'ix> y h2«гх, У. 6.46
 ггде ai — функции от х, у.
 Экстраполируя значения ф, найдем для точки х — а, у 0:
 д<Ъ 0 — 0,5891л2 л кош
 г — 0,5891а при h a,
 дф 0 — 0,4582а- п01й, а
 cfj 0— -°-9164а ПРИ Н2-
 Ф
 Обозначая через точную величину, будем иметь:
 0.5891в ва1, 0,9164а в1.
 Из этих уравнений находим:
 — 1,2437а; дх
 эта величина на 7,8% ниже величины, вычисленной аналитически.
 Для того чтобы экстраполировать значение У, определим сначала погрешность, связанную с применением правила Симпсона. Рассмотрим прежде всего применение правила Симпсона в случае одной переменной. По уравнению 6.26 имеем
 о “Ао U И271 А20 и-- 31и 2 А3о.
 где x x0--hu и dx hda. Применим формулу Ньютона для п равноотстоящих интервалов с шагом h. Пределами интегрирования по х будут д:0 и соответствующими пределами для и будут 0
 а п. Находим
 а?0 nh п
 А dx h У о “I- и Ао Н—2— 2-° “I-. J и
 л«о--До:у — ••••

6.7 МЕТОД ЭКСТРАПОЛЯЦИИ 155
 Полагая п 2 и пренебрегая всеми разностями, кроме второй, получаем
 a>02h _
 f А а20 2Д0.§-2>
 h 20 2i — 20 -f- 'з’СЛ — 2j -f-0j — 0 -f- 4х 2. Для следующих интервалов, от аг2 до хг--2к, по аналогии имеем:
 С22Л
 -2 4з4
 и т. д. Складывая подобные выражения для всех интервалов от х0 до хп и считая п четным, найдем:
 x,,nh
 Л <
 у ° 4х 22 -j- 4з24 -j-. -f- 2w_2 -f- 4n_х w. 6.47
 Эта формула известна как правило Симпсона для случая одной переменной. Геометрически это правило можно истолковать так, что мы заменяем график функции через п2 дуг квадратной параболы. Применяя эту формулу, мы должны помнить, что общий интервал интегрирования должен быть разделен на четное число более мелких частей с шагом h.
 Разделим интервал интегрирования, например, на шесть частей. Точное значение интеграла будет:
 х, ЗЛ
 Л f dxF Xxx _lhh F x0 4- ЗА — Fxо - ЗА.
 x — 3h
 где F x J fxdx. Если разложить функции F л;0--3г и
 jc0—3К в ряд Тейлора, подобно уравнениям 6.39 и 6.40, л учесть соотношения F xfxt F х ' л;, и т. д., то получим:
 F х0 3г F0-- 3hf q 0 Н—о.
 Чо—%h — F0—3г0-—2го Отсюда
 Л 6А0 9А3„ Ц- A5oV 4- S • •

156 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ ГЛ. 6
 Величина этого интеграла по правилу Симпсона равна
 л4 озг
 -4-4 f х0—2г--л:0--л:04-2г--2 fx0 — h-- f х0h.
 Раскладывая функции fx0 — 3г, fx0 -f- Зz и т. д. в ряд Тейлора, найдем
 Погрешность, отвечающая правилу Симпсона для одной переменной, оказывается равной
 , i-A --iV-A:>oVI-. h% h2
 6.48
 причем функции не зависят от h.
 Чтобы ввести правило Симпсона для случая двух переменных, распространим сначала на этот случай формулу Ньютона. Повторяя вывод уравнения 6.26 и полагая
 получим
 х> yfo uxfo “ vfo 2»а и — ioЧ
 %uv ДоН- V v— 1 До 1 и и — 1 и — 2 Д.04-
 Ч-Зиг»и— 1 Xyfo 3«f w — 1 xyyfo
 v v — 1 v — 2 д„. 6.49
 где0 л:0, 0. Пренебрегая третьими разностями и учитывая соотношения dx hdu, dy hdv, имеем:
 cc02h у ±2h
 h f J f> ydxdy
 X0 Уо
 2 2
 , nf U xf° Vyfb
 0 0
 и«— 1Йо2«Да?уо — Oo dudv.
 Этот вывод можно найти в книге Biermann О., Mathematische Naherungsmethoden, 138—144; См. также J. В. Scarborough, Numerical Mathematical Analysis, 1930, 104—106.

6.71
 МЕТОД ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
 157
 Выполняя интегрирование и раскладывая разности по степеням значений функции в различных точках рис. 6.15, получим
 h — д 16п -f- 4 io oi 4“i2 Н—У21 4“оо 402 22 42оЬ 6.50
 Формула 6.50 представлена графически на рис. 6.15. Эту формулу можно переписать также в виде
 h з з оо 4“ oi 4“02 2 Ло 4 4ц 12 4
 4- з- Ло 4 421 22»
 или
 h у оо 4 4ю 20 4” з 014-4п 21 4“
 у 02 4- 412 4 22 •
 Как видим, применение формулы 6.50 эквивалентно использованию правила Симпсона сначала для каждого вертикального столбца рисунка, а затем—для горизонтальной строки, или наоборот.
 Определим погрешность формулы 6.50. Сначала найдем интеграл
 Xoh yoh
 Т2 f f fx,ydxdy
 xu—h y0-h
 yh
 f F.x0 h, y — Fx0 — h, ydy
 Vi—h
 0 x0 --h, y0 4- h — G x0 --h, y0 — h —
 — O x0 — h, y0-- h--G x0 — h, y0 — h,
 6.51
 где Fx, y f fx, y dx
 И
 00
 Ш-
 01
 Ш-
 02
 d>
 0
 ■Ш-
 Gx, y f F x, y dy.
 12
 -m-
 Рис. 6.15.
 20
 СП
 21
 -га
 .22 m
 Раскладывая О х, у в ряд Тейлора и обозначая и соот¬
 ветственно через дх и ду, получим:
 дуп
 Ю-
 G о 4-Л, Уо 4 Щ — О0-- h дх - ду О0 -f- дж ду2 G0 --

158 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ ГЛ. 6
 О 	о — Уо 4“ h — ду G0 -4- А- — -f- dy2 G0
 -J- <V>3G0 Gx0-h, y0 — h G0 h—dx — d1>O0--.—dx — dwZG0 4-
 -r--V°o4-.
 где O0 б,.о» Vo-
 Подставим эти выражения в уравнение 6.51. Учитывая соотношение
 дЮ _ ч дхду fx У
 найдем
 2 4г20 -f -3- dj dy о-f-gQ 3d 1 OdidJ - 30 По правилу Симпсона 6.50 имеем
 1г тг 16о. Л 4- 4„. _у0 h fxо — А, _у0 -ЬОо. Л — й4-
 “ЬО0.УоИ“С0.УоЧ” 0 4”0О.Уо “ЬОО 4“» Л “Ь0О“Ь.УоЧ“Ж
 Раскладывая эти функции в ряд Тейлора, получим
 h “9 З60 6г di -f- д 0 Л4 -у- дду -—y j о.. •
 42о у h di d0 -f- 6 Н—тр -yf- j о Погрешность равна 2 h — h —
 - hd'A-d'f 4-W -
 — — l Jo-M 1-ШГ ТШ945о —
 h% h%-t-. 6.52
 причем функции Зг не зависят от h. Используя экстраполированные значения <>, находим по правилу Симпсона для двух переменных;
 7 2,0946а2 при h а,
 7 2,2316а2 при h тг

6.8 СЛУЧАЙ КРИВОЛИНЕЙНОГО КОНТУРА. ИЗМЕНЕНИЕ ШАГА КЛЕТКИ 159’
 0,557-
 Для определения экстраполированного значения постоянной кручения J необходимо решить уравнения:
 7— 2,0946л2 ?«,
 7— 2,2316а4
 Получаем:
 7 	2,2337а4;
 это значение на 0,5% ниже точного.
 Максимальное касательное напряжение оказывается равным:
 Т д<> 1,2437 Т
 Tmax J дх 2,2337 а?
 это значение на 7,3% ниже величины, полученной аналитически.
 В приведенном примере погрешность решения была доведена до значения, вполне удовлетворительного для практических расчетов; при этом объем вычислений увеличился весьма незначительно. В процессе экстраполяции мы отказались от применения густой сетки, чтобы определить более точные значения искомых функций в некоторых точках; при вычислении касательных напряжений шаг к оставался сравнительно большим. Метод экстраполяции особенно’ удобен в том случае, когда нас интересуют значения функции в определенных точках области.
 Задача. Пользуясь методом экстраполяции, определить максимальные касательные напряжения в задаче § 6.5 о кручении стержня прямоугольного сечения.
 6.8. Случай криволинейного контура. Изменение шага клетки.
 На практике во многих случаях контур является криволинейным.
 Если делить область на квадратные клетки, то может оказаться, что по соседству с точкой О рис. 6.16 лежит одна или более точек, для которых расстояния 01, новленный шаг h. Для таких точек торов неуместно; оказывается необходимым операторы.
 Пусть через 0, flt 2, 3, 4 обозначены величины функции соответственно в точках 0,, 2, 5, 4. Разложим fx, у в степенной
 02, 03, 04 меньше, чем устаприменение обычных операполучить специальные
 ряд в области, прилегающей к точке 0, 0:
 х> У о “Ь aix Ч- агУ Н аъХг -f- 4.У2 аьхУ
 6.53

160 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ ГЛ. 6
 При л: 0, y ht6удет х; при х 0, у — h будет 3. Поэтому по 6.53 имеем:
 следовательно, выражение для V20 может быть записано в виде
 где a1 h1lht a4 hjh. При 0 < ocj < 1 и 0 < а4 < 1 имеем:
 Значения Л, В, С, D,, F могут быть табулированы.
 Аналогичным путем могут быть найдены формулы в конечных разностях, отвечающие дифференциальным уравнениям другого типа.
 Подобный эквивалент для оператора Лапласа, выраженный в конечных разностях, может быть использован точно таким же образом, как и стандартный оператор —4, 1, 1, 1, 1. Пример оператора невязка, т. е. оператора, с помощью которого может быть определена невязка, дан графически на рис. 6.17; он относится к нерегулярной системе точек с центром в 0, причем все числа А0,., F0 должны быть известны. Релаксационные операторы
 F. S. S h a w, The torsion of solid and hollow prisms in the elastic and plastic range by relaxation methods, Rept. ACA-II, Australian Council for Aeronavtics, 1944; см. также F. S. Shaw, Introduction to Relaxation Methods, N. Y., 1953.
 ft — fo a2i 41» з — о — а%Н aji.
 Решая эти уравнения, находим:
 “2— hhh hi. Аналогичным образом получаем:
 Л —о Д “Л
 2 ЪЪЛЪЛ-ЪЛ »
 йА-оЛ1 р-з hhj Л —J—
 hhAhh±
 В точке 0 л; 0,,у 0 будет:
 д2 Л о Н1 о Л hh. h-i- h.
 Л р 4 0 2
 4 —о — 4 о —? М4 h -f- Л4
 hfi — fo — hx о—А hhx h гх
 b? V20 « Л, BU С, Dfi --- f „. 6.54

6.8 СЛУЧАЙ КРИВОЛИНЕЙНОГО КОНТУРА. ИЗМЕНЕНИЕ ШАГА КЛЕТКИ 161
 оказываются несколько более сложными. Это объясняется тем, что при изменении функции на —-1 в точке 0, невязка здесь должна измениться на —оЛЬ В то же время для регулярных сочетаний с центрами в точках 2 и 3 рис. 6.18 в каждой из точек
 получаем изменение невязки на 1. Невязки в точках, лежащих на контуре, будут равны нулю. Соответствующий релаксационный оператор представлен на рис. 6.18. Если мы изменим значение функции в точке 2, то невязка в 0 получит изменение в В0 раз большее, чем в точке 2. Релаксационный оператор для точки 2 показан на рис. 6.19.
 При наличии подобных «нерегулярных систем» в той или иной частной задаче релаксационный процесс может быть выполнен тем же путем, что и указано выше. Наличие нерегулярных систем приводит к некоторому увеличению объема вычислений, но не вносит какоголибо усложнения метода с принципиальной стороны; имея определенный навык, можно проводить вычисления автоматически.
 Выводы, приведенные в предыдущих параграфах, дают возможность получить уточненные формулы для такой области см. рис. 6.20, где шаг сетки меняется от значения
 значения в другой части. Подобное изменение сетки иногда выгодно вблизи контура, где функция меняется особенно быстро. Если основное дифференциальное уравнение задачи является уравнением
 Рис. 6.19. h в одной части до удвоенного

162 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ ГЛ. 6
 Лапласа, то типовые формулы будут иметь вид:
 Л Л 4“з Д 4“ Л»
 12 -j 9 4п 4-13 4и
 7 g- 22 4 Л 4 114 2s, 9 -д- 24 4 з8 4”12 4 зю, 15 “4 Л 4- 9 4 и 4- 12.
 8 з4-79 15
 43 4 5Л 4 5в 4и 4“i2
 Путь получения этих формул очевиден.
 6
 2
 7
 11
 3
 X
 12
 14
 1
 4
 ч
 5,
 10
 13
 2h —►
 Рис. 6.20.
 Задача. Решить задачу о кручении стержня с сечением в виде равностороннего треугольника с помощью обычного релаксационного метода, разделяя область на квадратные клетки. Определить максимальное касательное напряжение.
 6.9. Другие граничные условия. В примере, рассмотренном в предыдущих параграфах, были приняты наиболее простые граничные условия: предполагалось что функция принимает на контуре

6.91
 ДРУГИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
 163
 постоянное значение, равное нулю. Во многих практически важных задачах граничные условия являются более сложными; при эточ усложняется и процесс релаксации. Проиллюстрируем применение релаксационного метода на примере изгиба балки с защемленными концами, при действии равномерно распределенной нагрузки р рис. 6.21. Основное дифференциальное уравнение имеет вид:
 dAw
 dx
 El’
 6.55
 где w — прогиб, Е — модуль Юнга, а I—момент инерции. Граничные условия будут:
 л dw л
 w 0, -j- 0 dx
 при
 ±т.
 Принимая h — L4, получим уравнение в конечных разностях
 в точке 0 рис. 6.22:
 wx — Aw2 6w0 — 4w2 6.56
 0 -H—
 2 1'
 H- f
 Рис. 6.22.
 ■ W
 El
 Здесь учитывается симметричность прогиба. На рисунке 6.23 показан релаксационный оператор. Для того чтобы выразить граничные условия через центральные разности, введем две воображаемые точки ' за пределами балки. Тогда граничные pjyj
 -4
 .6
 -4
 -О
 условия примут вид: w2 0
 и Рис. 6.23.
 Wx — wx — 0. 6.57
 Процесс релаксации может быть проведен по следующему плану рис. 6.24.
 Этап 1-й. Полагаем w 0 во всех точках, точках будут иметь вид:
 ph рк
 Невязки во всех
 Q
 El
 El
 Для упрощения записи умножим все невязки на величину lOOEIph4 и запишем значение —100 слева и внизу от точек 0 и 1. Прибавим -f- 40 в точке 0. Невязка в точке 0 изменится на величину 6 • 40 и станет равной —J— 140. Невязка в точке 1 будет
 — 100 —4 • 40 —260.

164
 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ ГЛ. 6
 Этап 2-й. Прибавляем 50 в точке. Согласно граничным условиям будет WyWi. Поэтому, если численное значение прогиба в точке возрастает на 50, то такое же приращение должно иметь место и в воображаемой точке Из условий симметрии надо прибавить 50 и в точке 1 слева от линии симметрии. Следовательно, невязка в точке 1 изменится, с одной стороны, на величину б • 50, благодаря изменению, относящемуся к данной точке,
 1
 0
 1
 2 j
 -100
 140
 0 400 40 -260
 Эта
 0 п 1
 0
 ' 40 -260
 40 -260 140
 Omi
 0
 50
 2П 2
 0
 -260 100
 40 140 60 -100
 Эп
 50
 юпЗ
 0
 100
 0
 40 -100 60 0 юп
 50
 12,5
 S
 0
 О
 50
 50
 50
 12.5
 Этап 4
 Рис. 6.24.
 с другой—на --50, благодаря изменению в точке, и, наконец, на _j_50 за счет точки, расположенной симметрично слева от 0. Окончательная невязка равна
 — 260 8 • 50 140.
 Невязка в точке О меняется на величину 50 • — 4 по обе стороны от точки и становится равной
 140 —8 • 50 —260.
 Этап 3-й. Прибавляем 60 в точке 0. Невязки в точках 0 и будут соответственно 100 и —100.
 Этап 4-й. Прибавляем 12,5 в точке 7; невязки в точках 0 и 1 обращаются в нуль. Окончательно прогиб в центре оказывается

6.9
 ДРУГИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
 165
 равным
 М4_ 0,00391pH
 U EI
 Точное значение wQ равно 0,002604 pUjEL
 Задача 1. Решить предыдущий пример, приняв Л Z.6; пользуясь методом экстраполяции, найти прогиб в центре.
 Задача 2. Решить предыдущий пример, пользуясь формулами в конечных разностях высших порядков.
 Задача 3. Найти наибольший прогиб балки, если оба конца ее шарнирно оперты.
 Указание. Согласно рис. 6.22 граничные условия будут: 0 и
 wi wv что вытекает из условия
 Отв.
 , ч 0,003183?Z,4
 woh-L6 7 0,0026041Z.4

ГЛАВА 7
 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
 7.1. Принцип потенциальной энергии. Для численного решения задач теории упругости легко использовать, наряду с методом конечных разностей, другую группу методов, также являющихся весьма эффективными. Эти методы основаны на том, что исходные дифференциальные уравнения теории упругости могут быть непосредственно получены при минимизации определенного выражения для потенциальной энергии. Вместо того, чтобы решать дифференциальные уравнения, мы можем, следовательно, прямо разыскивать решение, которое отвечает минимуму энергии; это позволяет избежать математических затруднений, связанных с интегрированием дифференциальных уравнений. Техника применения этих методов будет подробно описана в данной главе. При изложении подобных методов используется раздел высшей математики, называемый вариационным исчислением; поэтому их иногда называют вариационными методами.
 Прежде чем обратиться к вариационным методам, напомним принцип возможных работ, сформулированный Иоганном Бернулли в 1717 г. Рассмотрим материальную точку Р рис. 7.1, на которую
 нуть, что это перемещение, вообще говоря, не совпадает с действительным перемещением точки. Достаточно того, чтобы предполагаемое нами перемещение принципиально могло иметь место. Поэтому его называют возможным перемещением, символ 8 используется здесь для обозначения возможной бесконечно малой величины. Как легко видеть, работа, произведенная на таком возможном перемещении, равна
 действуют некоторые силы. Обозначим одну из сил через F. Допустим, что нам
 Р
 Рис. 7.1.
 F неизвестен характер реального движения точки под действием сил; представим себе, что точка совершает произвольное малое перемещение Ьг. Следует подчерк-
 bW Fbr cos 6 Fr Ьг9
 7.1

7.1
 ПРИНЦИП ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
 167
 где Fr — составляющая силы F в направлении or. Работа, отвечающая возможному перемещению, называется возможной работой.
 Предположим, что материальная точка Р находится в равновесии под действием п сил Fu F2,. Fn. Принцип возможных перемещений состоит в следующем.
 Если материальная точка находится в равновесии, то полная возможная работа этих п сил на любом возможном перемещении точки равна нулю.
 Это утверждение легко доказать. Пусть возможное перемещение равно 8г. Из формулы 7.1 следует, что работа силы F 11,
 2 п представляет собой произведение составляющей силы
 в направлении возможного перемещения на величину перемещения:
 8№4 >8гв
 где Fir обозначает составляющую силы F по направлению сг. Общая возможная работа будет иметь вид:
 п п
 Sir yibWi Flrbr F2rbr. Fnr8r 2
 г1 il
 Но равновесие этих статически приложенных сил имеет место при условии, что сумма их проекций на любое направление равна нулю:
 2>1т 0;
 1 1
 отсюда
 bW 0. 7.2
 Таким образом, общая возможная работа, произведенная на любом возможном перемещении, равна нулю.
 Упругое тело можно рассматривать как систему материальных точек. Если упругое тело находится в покое под действием поверхностных и объемных сил, то оно представляет собой систему материальных точек, на каждую из которых действуют некоторые уравновешенные силы. Допустим, что произошло возможное перемещение каждой из точек тела. Так как возможная работа сил, действующих на любую материальную точку, обращается в нуль, то и общая возможная работа, произведенная всеми силами, должна быть равна нулю. Единственная особенность рассмотрения точки в упругом теле по сравнению со свободной точкой заключается в том, что, придавая возможное перемещение первой из них, мы должны соблюдать условие сплошности материала, а также условие, по которому перемещения на контуре имеют заданное значение. Условия сплошности материала будут удовлетворены, если возможные перемещения можно выразить с помощью непрерывных функций. Условие, относящееся к заданию перемещений на границе, удобно пояснить на примере. Рассмотрим случай изгиба свободно

168 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ГЛ. 7
 опертой балки. Здесь граничные условия требуют, чтобы на обоих концах балки поперечные перемещения равнялись нулю. Так как концы балки не могут перемещаться в поперечном направлении, то возможные перемещения в поперечном направлении следует здесь принять равными нулю.
 Обозначим через а, v, w компоненты действительных перемещений в упругом теле под влиянием внешних нагрузок соответственно по направлениям х, у, z, а через Ъи, bv, bw — компоненты возможных перемещений. Примем, что эти компоненты возможных перемещений являются бесконечно малыми величинами, удовлетворяющими условиям непрерывности упругой деформации, т. е.
 ное на рисунке пунктирными линиями. Полная возможная работа сил взаимодействия между частицами, внешних по отношению к данному элементу, будет равна:
 Так как упругое тело является непрерывным, то возможное перемещение Ьи вызовет также изменение деформации. Составляющая деформации в точке А в направлении оси х получит значение
 О
 dY ах
 П II
 Рис. 7.2.
 представляющими собой непрерывные функции Ху у, г, а также согласующимися с заданными граничными условиями. Чтобы упростить рассуждения, будем рассматривать элемент упругого тела dx dy dz, находящийся под действием одномерной системы усилий рис. 7.2. Если мы придадим перемещению и приращение Ъи> то элемент переместится и займет новое положение, показан¬
 ия ---dxdydz—схЬа dy dz dx dy dz. 7.3
 и -g-,ix Ъиdx-a S«
 dx
 отсюда
 Но при sx -j- имеем
 Сравнивая эти результаты, получаем
 да д Ьи

ПРИНЦИП ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
 169
 Следовательно, для величины л;, у, z, являющейся непрерывной функцией х, у, z и имеющей производные, должно выполняться соотношение:
 В параграфе 3.5 мы получили следующее выражение для энергии деформации, накопленной в элементе dxdydz при одномерном напряженном состоянии:
 Сравнивая выражения 7.6 и 7.7, убеждаемся в том, что выражение 7.6 определяет приращение bdU при условии, если для оператора о приняты такие же правила, как и для дифференциального оператора d в дифференциальном исчислении. Единственное различие состоит в том, что символ 8 относится к возможному изменению, а символ d — к действительному изменению. По аналогии с оператором d, называемым первым дифференциалом, оператор 8 называется первой вариацией.
 Пойдем по тому же пути, который был избран в § 3.5 при выводе выражения для потенциальной энергии. Можно показать, что при возможных перемещениях Ьи, bv, bw полная работа усилий взаимодействия между элементами тела, являющихся внешними по отношению к каждому элементу, равна bU, а работа внутренних усилий равна — bU.
 Вычислим, далее, работу объемных сил и сил, приложенных к контуру тела. Пусть составляющие объемных сил вдоль осей х, у, г будут соответственно X, К, Z, а составляющие поверхностных сил вдоль тех же осей, приходящиеся на единицу площади, будут X, К, Z. Работа объемных сил равна
 где dA—площадь элемента; интегрирование производится по той части граничной поверхности тела Alt по которой перемещения не являются заданными. Это объясняется тем, что величины but bv9 bw равны нулю на той части граничной поверхности, где заданы перемещения, а интеграл 7.9 отличен от нуля только для той части граничной поверхности, на которой заданы поверхностные силы.
 bdfdbf.
 Пользуясь выражением 7.4, перепишем 7.3 в виде Gx dx dy dz Егх Ьгх dx dy dz.
 7.5
 7.6
 1 E
 dU у зхех dx dydz — s2 dx dy dz.
 7.7
 Ybv--Z bw dx dy dz,
 7.8
 а работа поверхностных сил
 J J ХЪи-- Ybv--Zbw dA,
 7.9
 a,

170 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ГЛ. 7
 Для определенности будем принимать здесь, что на той части поверхности, где заданы силы, перемещения не являются заданными.
 Как уже было показано, полная работа всех сил, произведенная на возможном перемещении, обращается в нуль. Поэтому приходим к уравнению:
 J J Xbu--Ylv--ZbwdA--
 Д-1
 I f Ybv Zbwdxdydz — bU 0,
 v
 Когда система получает возможное перемещение, внешние силы считаются постоянными; следовательно, оператор 8 в полученном выражении можно вынести за знаки интегралов. Проделывая такое преобразование для всех членов, получаем:
 bU — W 0, 7.10
 где
 W f f XuYv Zw dA--j f J Xu Yv -- Zw dx dy dz.
 A, V
 7.11
 Величина П U — W называется потенциальной энергией системы, поскольку она состоит из потенциальной энергии деформации U и потенциала —W внешних сил, действующих на тело, причем для ненапряженного состояния для и v w — 0 потенциал принят равным нулю.
 Уравнение 7.10 можно выразить следующим образом. В упругой системе, находящейся под действием заданных внешних сил, из различных сочетаний перемещений и, vt w в действительности осуществляются такие перемещения, что для любого возможного отклонения от положения равновесия вариация полной энергии системы оказывается равной нулю.
 Как известно из дифференциального исчисления, равенство
 df 0
 означает, что функция имеет экстремум или значение, соответствующее точке перегиба; равенство
 hTl bU — W 0
 показывает, что потенциальная энергия системы в положении равновесия имеет экстремум или значение, соответствующее точке перегиба. Можно показать, что для устойчивого равновесия при любом возможном перемещении вариации перемещения изменение полной потенциальной энергии системы является положительным и, следовательно, в этом случае полная потенциальная энергия системы имеет минимальное значение. Из теоремы однозначности следует, что

7.2
 ПРИНЦИП ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
 171
 в задачах теории упругости, учитывающих малые перемещения и деформации, определяется только одно равновесное состояние. Может быть показано, далее, что это равновесное состояние является устойчивым. Отсюда можно заключить, что для упругого тела, в котором имеют место малые перемещения и деформации, потенциальная энергия минимальна.
 Принцип потенциальной энергии можно сформулировать следующим образом. Из всех перемещений, отвечающих заданным граничным условиям, те перемещения, которые удовлетворяют условиям равновесия, придают потенциальной энергии II стационарное значение. В случае устойчивого равновесия — потенциальная энергия минимальна.
 7.2. Принцип дополнительной энергии. Вместо того, чтобы рассматривать возможные перемещения от положения равновесия, мы можем варьировать компоненты напряжений. Напомним, что в том случае, когда мы имеем дело с перемещениями, достаточно удовлетворить уравнения равновесия; если же мы обращаемся к компонентам напряжений, то следует, помимо уравнений равновесия, учесть и уравнения совместности. В дальнейшем будет показано, что из всех систем напряжений, удовлетворяющих заданным граничным условиям и условиям равновесия внутри упругого тела, те напряжения, которые удовлетворяют уравнениям совместности, выделяются следующим образом: они придают стационарное значение особому энергетическому выражению, называемому дополнительной энергией.
 Чтобы упростить вывод, рассмотрим случай плоского напряженного состояния в упругой пластинке. Пусть оХ9 оу, хху обозначают составляющие истинных напряжений в упругом теле, удовлетворяющие условиям равновесия и совместности, а также заданным граничным условиям. Обозначим через Во., Ъзу> Ъхху такие малые вариации компонентов напряжений, при которых новые компоненты напряжений Од.-1-8ов, ау--Ъоу, ъху--Ъ%ху удовлетворяют уравнениям равновесия, но не удовлетворяют уравнению совместности. Для той части контура, где заданы поверхностные силы, эти новые составляющие напряжений должны отвечать условию, чтобы поверхностные силы не менялись; для другой же части контура, где вместо поверхностных сил заданы перемещения, значения этих сил могут изменяться.
 Таким образом, имеем:
 дх
 д zxy ЪъХу, v л
 -Х0
 д zxy ху
 7.12
 дх

172 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ и ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ГЛ. 7
 Объемные силы X и У являются внешними заданными силами и потому не должны меняться. Вычитая из 7.12 уравнения равновесия для неварьированных напряжений, получаем
 I 3,9О, —0- 713>
 дх ду дх ' ду
 Для той части контура Л2, где поверхностные силы не заданы, их величины будут меняться в соответствии с изменением компонентов напряжений. Обозначим через ЬХ и ЬУ эти малые изменения поверхностных сил на контуре. Тогда для части контура Л2 должны иметь место равенства:
 ах Ч” Gx I “4” zxy т — X -Ь ЪХ,
 Уху ру “ЬЪ°у т У--ЪУ.
 Вычитая отсюда уравнения, содержащие неварьированные величины, имеем
 4” л Ъхху ЬХ, I Ъхху -- т Ьоу 8 У. 7.14
 Для части контура Л1 на которой заданы внешние силы, должны выполняться условия:
 Ъ<зх--т Ъ%ху 0, 1ЬххугтЬау — 0. 7.15
 По формуле 3.51 находим изменение энергии деформации, приходящееся на единицу толщины пластинки и отвечающее вариациям компонентов напряжений:
 bU U рх -— Ьох, Оу -f- Зу ху тху
 f f -g- °® 8в„ — 8а„ — зу So -I- -i- Sxj dx dy,
 где R — площадь пластинки. Пользуясь законом Гука, находим вариацию bU равной
 ьи — я ех “Ь гу 4“ Jxy Тху dx dy.
 R
 Напряжения ах, ау, хху, а вместе с тем и деформации ех, еу9 уху, должны удовлетворять уравнению совместности. Выпишем поэтому соотношения
 ди dv ди dv
 Вхдх9 evdy9 Чяу — дудх
 ди ди dv dv
 и будем интегрировать частные производные

7.2 ПРИНЦИП ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 173
 с тем, чтобы определить однозначно функции и и v. Имеем:
 ди. ди S. _даоаж t диЪхху J дЬзх дЪху дх х ' ду ХУ дх ' ду U дх ' ду 9
 dv dv dvbxxy dvbiy дЪхху дЪсу
 дх Ъху ду ™у— дх ду дх ду Подставляя эти соотношения в выражение для bU и пользуясь формулой Грина, выведенной в главе 5 соотношения 5.10 и 5.11, получаем
 в
 Н У и ?J°X dy — Ъхху dx v Ьтху dy — Ъоу dx.
 s
 С помощью формул 5.13 находим:
 °°с dy Ътху dx J ds I Ьах -j— тп 8тху ds
 и
 ху dy — Ьау dx I Ьхху m Ъзу ds.
 Окончательно будем иметь:
 --f f№%L''?L%L‘>
 R
 flu l Ьах nt fcxy Ъъху -f- m 83 ds,
 s
 где ds — элементарный отрезок контурной линии. Сопоставляя это уравнение с соотношениями 7.13 и 7.15, получаем
 bU— j ubXvbYds 0,
 s2
 где S2 — часть контура, для которой поверхностные силы не заданы. Так как для этой части контура S2 перемещения и и v не варьируются, то можно вынести оператор 8 за знак интеграла:
 Г —
 Jt— f uX--vYds 0.
 В общем случае трехосного напряженного состояния можно таким же образом прийти к соотношению
 8П bU — W 0; 7.16

174 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ и ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ГЛ. 7
 величина П — W называется дополнительной энергией, а под W понимается выражение
 W j juX--vY--wZdA; 7.17
 Aq
 как и прежде, здесь Л2 — часть контура, для которой поверхностные силы не являются заданными. Уравнение 7.16 выражает принцип дополнительной энергии, который может быть формулирован следующим образом.
 По сравнению с различными системами напряжений, удовлетворяющими условиям равновесия внутри тела и на той части контура, где заданы поверхностные силы, истинное напряженное состояние, удовлетворяющее уравнениям совместности, отличается тем, что для него дополнительная энергия П имеет стационарное значение.
 Для тех случаев, когда рассматриваются малые деформации и перемещения, можно, далее, показать, что величина П принимает минимальное значение. Следует отметить, что в нелинейных задачах потенциальная энергия П определяется по прежней формуле U — W однако, дополнительная энергия П уже не равна U — W; выражение для П надо выводить отдельно в каждом частном случае.
 7.3. Рассмотрение принципов потенциальной и дополнительной энергии как вариационных принципов. В предыдущих параграфах было установлено, что перемещения в упругом теле, находящемся в равновесии, таковы, что для них потенциальная энергия минимальна; компоненты же напряжений обладают тем свойством, что для них минимальна дополнительная энергия. Покажем теперь, что, пользуясь методами вариационного исчисления, из этих минимальных принципов можно вывести основные дифференциальные уравнения.
 Рассмотрим снова случай плоского напряженного состояния упругой пластинки. Основные дифференциальные уравнения, выраженные через перемещения, можно здесь записать в виде
 Е I ди. 1—v ди. Е dv. -г У— 2 ду ' 2 1 —v дхду — I
 Е l-v frv. дЪ. Е ди. у_ 7Л8>
 2 	дхт ду 21— v дхду “■ Поставим перед собой целью показать, что эти уравнения можно вывести из условия минимума потенциальной энергии. Наша задача будет состоять, таким образом, в определении функций и х, у, vx, у, для которых энергия П U — W является минимальной.
 См., например, Chi Teh Wang, Principle and application of complementary energy method for thin homogeneous and sandwich plates and shells with finite deflections, NACA Techn. Note, 2620, 1952.

7.3 ПРИНЦИПЫ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 175
 Будем полагать, что функции ах, у и vx, у отвечают этому
 требованию; под Ьа и bv будем понимать произвольные вариации и
 и v, удовлетворяющие тем же условиям непрерывности, что и
 величины а и v. Если в выражении для П величины и и v заменить через и--гЪи и —— sS-tf, где в — произвольный малый параметр, то потенциальная энергия станет функцией параметра е; согласно принципу потенциальной энергии она должна принимать минимальное значение при е 0. Отсюда
 -1 0. 7.19
 аг I е«0
 Пользуясь соотношением
 <тг _dUz dWs ds. ds ds по формуле 3.53 находим:
 dU e Г Г E Г d иs >и d ou, d u -f- e 5v d by.
 ds J J 1 — 2 L dx dx ' dy dy '
 R
 ■ d u -- e bu d bv, dv вгр d
 ' V dx dy V dy dx J '
 ' d u--s, d v 5г 1 Г d bu dbv
 21
 dU
 ds
 Г Г f E du, dvdbu. dv.,
 0 J J trl v-5r U vj7J
 R
 , E du, dvdbu, <Hi.,
 ”2l v dy dy dx X У
 Далее получаем:
 E du. dv d bu. E du,dvdbu 1 —v2 dx V dy dx ' 21 v dy ' dx dy
 -1 с»Щ <W«> - r f, < % t-
 “I 21 v dy dy 33 8a dx dj 8и —
 Г E d2u. 1 — v d2u. E d2v 1 ТП2”1 2“dy2'jt 21 — v Wdy U>
 E dv. dudbv. E ди, dtA d by 1 — v2 dy dx dy 2l-f-v dy dx dx
 d s i s> Г В 1—d2v. d2v.
 — dxZxy ду 1 _ v2 2“Шс?
 E d?u
 21 — v dxdy J °V‘

176 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ГЛ. 7
 В этих выкладках мы пользовались законом Гука. По формуле Грина
 f f fix Ту Хх« Sa dxdy J ах 8“ dy — Тху Ьи dx,
 R S
 где S — дуга контура пластинки. Пользуясь соотношением
 °х dy ъХу dx ох — тХу — ds
 ох cos N, х -f- хху cos TV, у ds X ds>
 будем иметь
 f I Упс х Ьи Ту ХУ Sm dx аУ Ьи ds-
 R S
 Аналогичным путем находим
 I f TcybvT,ybvdx dy fbvds-
 R S
 Окончательно получаем
 dU I _ Г Г г Е ди - 1 — v. Е dv “u. dt Lo_ J J t U — дхт 2 дуг 21—v дхду J й
 R
 I 	Г 1 — v dv, d2v. E d2u I..
 Hi — ч12 Ttfdyi 2 1 — ч TxTy j ахаУ
 f XbuYbvds.
 St
 На той части контура, для которой задано перемещение, линейный интеграл обращается в нуль; поэтому в последнем интеграле можно вместо 5 подставить St. По формуле 7.11 для W находим, что в случае плоского напряженного состояния
 аг- 1 f Xbu->rYbvds J J.Xbu--Ybudxdy.
 60 Sx R
 Таким образом, условие
 dn s I _dUt 1 dWt 1 _ 0
 dz Lo_ de Lo dz Lo_
 приводит к уравнению
 -rMf5VI2о-- %хь“
 R
 Г E 1 — v dv, d2v. E du. a 2 21 — v Txdy J J dxdy — °
 7.20

7.3J ПРИНЦИПЫ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 177
 Но вариации оа и dv являются произвольными функциями; поэтому интеграл 7.20 обращается в нуль только при условии, что выполняются уравнения
 Е Ши 1 -vd»i Е ду, у А
 1—v22”1 2 ду2 ’ 21 —v дхду Е 1 —vd»t> t; Е ди
 1 — 2 дл?ду 21 — -v дхду и>
 совпадающие с основными дифференциальными уравнениями 7.18.
 В этом выводе мы использовали приемы вариационного исчисления. Тот же результат можно получить, если рассматривать о как оператор, подчиняющийся тем же зависимостям, что и оператор d. Это можно показать на другом примере, относящемся к свободно опертой балке постоянного попе- ю р
 речного сечения, находящейся под t'l действием равномерно распределенной нагрузки рис. 7.3. Энергия деформации, накопленная в балке, состоит, вообще говоря, из двух Рис. 7.3.
 частей: потенциальной энергии изгиба и энергии сдвига. Обычно энергией сдвига можно пренебречь по сравнению с энергией изгиба. Поэтому потенциальную энергию деформации балки можно принять равной энергии изгиба:
 uj f f%tdxdydz-
 V
 В параграфах 4.2 и 9.1 были получены соотношения
 Mz лл crdw
 <з„ —г и M — EI-7—z, х I dx2
 где — момент инерции поперечного сечения относительно оси у и w—прогиб. Обозначим через Л площадь поперечного сечения балки. Используя формулу
 J J z2dydz I,
 находим энергию деформации равной
 о
 Для балок постоянного поперечного сечения величина EI не зависит от х, следовательно, энергия изгиба оказывается равной
 uf 72

178 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ и ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ГЛ. 7
 Потенциальная энергия внешней нагрузки будет
 L
 — W —fpwdx. 7.22
 О
 где р — интенсивность распределенной нагрузки, отнесенная к единице длины балки. Полная потенциальная энергия системы равна
 V Р-23
 О о
 Находим первую вариацию П:
 L L
 -гт EI Г 0 d-w d4w, Г,
 Ш Т J 2IW4Wdx-J P°wdx-
 о о
 Интегрируем первый член по частям:
 L L
 f 0 d2w dbw Г0 d2w d bw 0 f dw d bw J z 14Wax — zdWdFXsa0zJ ШЧГ
 о 0
 »•'ЛБ--
 0
 Условие 8П 0 принимает следующий вид:
 L
 d4w. c.d2w d bw cTdbw XL л
 EId-pbwdxE1--dT-EIbwx_°-
 0
 В силу условий
 M El 0, w 0 при х 0 и х L,
 а также условия
 0 при х 0 и х — L,
 члены в скобках обращаются в нуль для граничных значений х О и x Lm Для всех остальных сечений балки вариация bw имеет произвольное значение; уравнение
 fEIirz-pbwdx0

7.3J ПРИНЦИПЫ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 179
 будет выполнено только при условии
 Е1Ш — р 0- 7-24>
 Уравнение 7.24 представляет собой основное дифференциальное уравнение данной задачи.
 Обратимся теперь к принципу дополнительной энергии. В качестве примера рассмотрим задачу о кручении призматических стержней. Выше была введена функция напряжений ф, связанная с напряжениями тyz и хгх зависимостями
 V -°6S’ Geg;
 остальные компоненты напряжения были приняты равными нулю. Варьирование функции напряжений эквивалентно варьированию компонентов напряжения. Выразим энергию деформации, накопленную в стержне длиной L, через функцию напряжений:
 uwfJI '1'a «'•'‘O’
 R
 где ?, как и ранее, обозначает площадь поперечного сечения стержня. Величина W обращается в нуль для боковой поверхности стержня, так как здесь поверхностные силы надо считать заданными. Для обоих торцов имеем:
 W
 Г «vwdx dy 1
 L R J 2о
 zL
 В главе 5 было найдено, что перемещения а и v равны:
 и — 6zy и v Qzx.
 При z 0 имеем u — v 0; при z L имеем и — бLy, v 6Lx. Отсюда:
 Wi
 L f f R
 mLJ f -ydA-xddXdy
 R
 2GQ2L J J tydxdy — Gb2L§xdy — tyydx

180 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ГЛ. 7
 последнее выражение получаем таким же путем, как и при выводе формулы 5.53 в главе 5. Окончательно дополнительная энергия системы оказывается равной
 U-U.-W <f f g _ 4 ay -
 R
 — G02L j фл; dy — ф_у dx. 7.25
 s
 Вариация дополнительной энергии Ш будет иметь вид:
 R
 — G62L j Щ х dy —у dx.
 s
 Пользуясь соотношением
 «эф<пф.дЛдцд_и ач ЦА_Л Щщ
 дх дх ду ду дх°У дх ду°У ду дх ду
 получаем:
 т--оп?ч%±2ц11х?
 R
 'm'L ё - 4 гу » Н
 _oei.g p2H
 R
 -f — ->с cos TV, дг —cosAO8l,d 7-26
 s
 На контуре S поверхностные силы считаются заданными. Условие на контуре, выраженное через функцию ф, имеет вид:
 ф const.
 Отсюда находим
 8ф 0 на контуре 5, 7.27
 Поэтому линейный интеграл в выражении 7.26 обращается в нуль.
 Поскольку вариация йф имеет произвольное значение для области R,
 то интеграл по поверхности может обратиться в нуль лишь при условии:
 2 ° по области R. 7.28

7.4
 МЕТОД РЭЛЕЯ — РИТЦА
 181
 В параграфе 5.4 было показано, что постоянное значение ф на границе S можно принять равным нулю. Считая на контуре ф 0, найдем дополнительную энергию равной:
 №№-««<’■ <7-29>
 R
 7.4. Метод Рэлея — Ритца. Применяя принципы минимума потенциальной и дополнительной энергии, мы можем подойти с новой точки зрения к решению краевых задач теории упругости. Вместо того, чтобы решать основные дифференциальные уравнения совместно с граничными условиями, что часто связано со значительными математическими трудностями, можно поставить перед собой задачу об определении функций, удовлетворяющих граничным условиям и минимизирующих потенциальную энергию П или дополнительную энергию П. Например, в случае кручения призматического стержня задача будет заключаться в отыскании функции ф, минимизирующей дополнительную энергию
 R
 и удовлетворяющей условию ф 0 на контуре S. Отметим, что, идя этим путем, мы заменяем дифференциальное уравнение условием минимизации. Имеется ряд методов приближенного решения краевых задач, использующих это условие.
 Одним из наиболее эффективных вариационных методов является метод Рэлея — Ритца. Этот метод состоит в следующем. Вначале представляют решение в форме ряда, удовлетворяющего граничным условиям и содержащего неопределенные параметры q. Затем принятые функции подставляют в выражения для потенциальной или дополнительной энергии и производят интегрирование. Полученные таким образом выражения будут являться функциями неопределенных параметров ci9 где 1, 2,. Так как для состояния равновесия потенциальная или дополнительная энергия должны принимать минимальное значение, то. эти параметры можно определить из условий минимизации:
 дп п dR п дП п дп А олч
 дсг ’ дсъ0> ••• ИЛИ дс, “ • дс, °' •' 7-30
 Если в решении используются п параметров, то условие 7.30 приводит к п совместным уравнениям, из которых можно определить эти параметры. Подставляя найденные значения параметров в выбран¬
 Rayleigh, On the calculation of Chladni’s figures for a square plate, Phil. Mag., т. 22, 1911, 225—229; W. Ritz, Ueber eine neue methode zur Losung gewissen variations — problems der mathematischen Physik, J. f. Reine u. Ansew. Math., т. 135, 1908, 1—61.

182 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ГЛ. 7
 ное выражение для функции, получаем приближенное решение рассматриваемой задачи. Можно показать, что полученное таким путем решение является точным решением краевой задачи, если выбранный ряд включает полную последовательность функций. Однако в большинстве случаев удается принять во внимание только конечное число параметров, и потому получаемое решение является лишь приближенным.
 В качестве примера рассмотрим кручение стержня прямоугольного сечения со сторонами 2а и 2b рис. 5.7. Чтобы удовлетворить граничному условию ф 0 для сторон х ± а и у ± Ь, можно выбрать полином в виде
 ty x2 — a2y2—b2cl--c2x2--czy2--cAx2y2--.., 7.31
 где с2,.—неопределенные параметры. Так как мы знаем, что функция ф должна быть симметрична относительно осей х и у, в выражение 7.31 включены только члены с четными степенями х и у. В первом приближении ограничимся только одним неопределенным параметром и запишем 7.31 в виде
 ф сх х2 — а2 у2 — b2.
 После подстановки получаем
 Й зу 4'
 4сх2 у2 — Ь22 -1- х2 — а22у2 — Асу х2 — а2 у2 — Ь2. Интегрируя, находим
 Ттгт-
 х--а у-Ь
 J 2caW а2 b2 — bc.aW.
 Условие минимизации
 dc
 дает
 5
 4 а V '
 Таким образом, получаем приближенное решение для ф:
 См., например, R. Courant, К. О. Friedrichs, Methods of mathematical physics, т. II, N. Y. University, 1943.
 Последовательность измеримых функций класса С называют полной, если произвольная функция в С может быть аппроксимирована с заданной точностью при помощи линейной комбинации конечного числа этих функций.

7.41
 МЕТОД РЭЛЕЯ — РИТЦА
 183
 Постоянная кручения J оказывается равной:
 ха уЬ
 Максимальное касательное напряжение ттах имеет место посредине длинной стороны, при х±а, з> 0, и равно
 В случае ba 1, т. е. для стержня квадратного сечения, приближенное решение дает значение постоянной У, равное 2,222а4, в то время как точное значение будет 2,250а4. Погрешность составляет —1,2%. Наибольшее касательное напряжение равно 0,563а3; погрешность по сравнению с точным значением 0,600а3 составляет
 При Ьа 10 приближенное значение У равно 44,0а4, причем погрешность по отношению к точному значению 49,92а4 составит —11,9%. Максимальное касательное напряжение равно по прибли» женному решению 0,0562Га3; этот результат отличается от точного решения 0,040177а3 на --40,1%.
 Введем теперь три неопределенных параметра clt с2 и с3.
 Будем иметь
 66а2 1ОЬ2 с 4- а2 84Ь2 60а2 схс2 b2 84а2 6062 схсг -■ 12 а2Ь2 а2 b2 сгсъ — 525сх — 1 Оба2 — 105 Ь2сь.
 max
 <—6.2%.
 А
 G№L 64
 aW 210 в ft С» в4 6662 1Qe C2 __
 2 4725
 Условия
 an
 dir

184 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ГЛ. 7
 дают соответственно:
 140 а2 ft2 сг а2 28ft2 20а2 с2 ft2 28a2 20ft2 с3 175,
 84ft2 60а2 Ci а2 132ft2 20а2 с2 12ft2 а2 ft2 с3 105, 84а2 60ft2 сх 12а2 а2 ft2 с2 ft2 132а2 20ft2 с3 105.
 Чтобы упростить решение этих уравнений, подставим сначала в них численное значение отношения га. После определения постоянных съ с2 и с3 могут быть легко вычислены постоянная кручения и наибольшее касательное напряжение; они равны:
 •2 ff iidxdy — aW j c2 c3V
 R
 Traax — ygj у2а2с1 с2а2.
 xa
 X — 0
 Для случая bja 1 находим:
 1295 525
 Cl — 2216a2 ’ c2 — сз — 44324 >
 это приводит к значениям J и ттах соответственно равным 2,246а4 и 0,626Га3. Таким образом, здесь ошибка при определении J и ттах соответственно составляет —0,18% и 4,3%. Для стержня прямоугольного сечения при fta 10 находим постоянные равными:
 0,008988 0,00002853 0,0002359
 °1— ач, с2— й4, с3— ai
 Используя эти значения, получаем J 48,75a4 и ттах 0,0369977а3, Погрешность при определении J составляет —2,3%, а при определении тшах оказывается равной —7,8%.
 Для аппроксимации функции напряжений можно вместо полиномов пользоваться тригонометрическим рядом. Например, можно
 принять
 ОО 	ОО
 2 S „cos2fftlgcos2« lg, 7.32
 т—0 710
 где стп — неопределенные параметры. Заметим, что принятое выражение для функции ф удовлетворяет условию на контуре. Если взять только один член и произвести интегрирование, получим
 R
 G№L Г 2 0 ab I. 1 ал аЬЛ
 — те2с5о т Ьг - 64с«о J •

7.4
 МЕТОД РЭЛЕЯ — РИТЦА
 185
 Минимизирующее условие
 дает
 Далее находим
 • О
 dc00
 128 аЧ2 С00 — аъ __ 62 •
 4096 а3А
 - -11-
 -V
 64 а Га
 При Ьа — 1 эти формулы дают
 , о 1СЛ 4 0,4847’
 J— 2,130а и Ттах
 а
 Погрешность при определении J и ттах составляет соответственно —5,3% и —19,3о0.
 Для случая Ьа 10 находим
 J 4,218а3 и ттах 0,0484
 причем погрешность решения будет соответственно —15,5% и 20,7 %.
 Из приведенных примеров видно, что при возрастании числа неопределенных параметров точность решения повышается. Однако, если аппроксимировать функцию посредством двух различных рядов, то может оказаться, что, взяв небольшое число неопределенных параметров в первом ряду, мы получим значительно более высокую точность решения, чем при использовании второго ряда с большим числом параметров. Вариационные методы применяют лишь в тех случаях, когда точное решение неизвестно. Но при этом весьма трудно оценить точность полученного решения. Единственный путь, который позволяет получить ориентировочное представление о точности решения, состоит в последовательном увеличении числа параметров и сравнении окончательных результатов. Если результаты быстро сходятся, то можно сделать предварительное заключение, что аппроксимация является удачной.
 В качестве второго примера рассмотрим изгиб шарнирно опертой балки под действием равномерно распределенной нагрузки

186 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ГЛ. 7
 см. рис. 7.3. Представим упругую линию с помощью тригонометрического ряда. Граничные условия здесь будут:
 d№w
 w 0 при х 0 и х L.
 Чтобы удовлетворить этим граничным условиям, можно выбрать ряд в виде
 mzx
 сп sm
 п-1
 2и Sin L
 причем съ съ. — неопределенные параметры. Подставив это выражение в 7.23 и произведя интегрирование, находим потенциальную энергию равной
 L L go оо
 „ EI Г dw2. Г. Eln VI 4 2 2pL V сп
 ПТГ« Ы dxJ Pwdx -4LS-1 пс»- 1 -7Г-
 О О п1 п1,3,5
 Минимизируя П по сп, получаем
 0 4 1 Л
 -гпгг1сп 0 для нечетных индексов п
 4L6 n n п
 и
 Е1ъА 0. л
 4ZT ДЛЯ четных
 Отсюда для нечетных я, и cw0 для четных а.
 Таким образом, уравнение упругой линии получает вид:
 оо
 4>I4 V4 1. п%х
 т ХТ k- ?i —н sin ——.
 П1, 3, 5
 Так как в данном случае параметры сп определяются для всех значений г, то рассматриваемый бесконечный ряд дает точное решение краевой задачи. Этот ряд быстро сходится, так что, взяв небольшое число членов, можно получить удовлетворительный результат. Наибольший прогиб имеет место при х — Ц2 и равен
 4pH — —
 — •••
 Eh
 Взяв только один член ряда, получаем
 _ pH Wmax— 76,6 El
 Приближенное решение дает в знаменателе множитель 76,6, в то время как по точному решению этот множитель равен 76,8; таким

7.5 МЕТОД ГАЛЕРКИНА 187
 образом, погрешность при определении -Шщах с помощью одного только первого члена ряда составляем лишь 0,26%.
 Задача 1. Принять уравнение упругой линии в виде
 оо
 V. гтх
 w 2j
 71 1
 Определить сп, если на балку действует сосредоточенная нагрузка Р в сечении х а вместо равномерно распределенной нагрузки р.
 2 PL?. ппа
 Отв. сп— Ejnini sin L •
 Задача 2. В задаче об изгибе консоли силой Р, приложенной на конце, принять уравнение упругой линии в виде w — ax'2 -j- Ьхъ это удовлетворяет граничным условиям w при х 0. Определить параметры а и Ь.
 Задача 3. Учитывая в выражении 7.32 три параметра с00, с01, с10, найти постоянную кручения и наибольшее касательное напряжение для случаев кручения стержня квадратного сечения, а также стержня прямоугольного сечения с отношением сторон bа 10.
 7.5. Метод Галеркина. В параграфе 7.3 было показано, что условие минимума потенциальной или дополнительной энергии приводит к соотношениям
 ? DEi 8J dx dy dz 0; v 1
 здесь под DEi понимаются левые части основных дифференциальных уравнений, а под — произвольные вариации различных функций. Например, в случае кручения призматических стержней условие минимума дополнительной энергии можно выразить в виде
 JV2<j> 2o<jddy0, 7.33
 В
 причем функция ф должна удовлетворять граничным условиям. Примем выражение для ф в виде ряда
 п
 ф». У S CiFix, у, 7.34
 i 1
 в котором постоянные с являются неопределенными параметрами; функции Ft должны удовлетворять граничным условиям. Тогда будем иметь
 ••• bCl F2oc2. 7.35
 Подставляя 7.34 и 7.35 в уравнение 7.33, получаем
 V21>„ -ь 2 Fx SCl Fz 5с2 -Ь. dx dy 0. 7.36

188 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ГЛ. 7
 ИЛИ
 f V 2 Ьсх dx dyf f V2t„ 2 F2bcz dxdy. 0.
 Так как вариации bcv Ьс2,. являются произвольными, то полученное выражение может быть тождественно равно нулю только в том случае, если каждый интеграл в отдельности обращается в нуль. Следовательно, должно быть:
 Так как 8, 8с2. и т. д. не зависят от х и у, то их можно вынести за знак интеграла, и тогда получаем:
 Если выбрать п параметров ci% то получим п совместных уравнений
 7.37, из которых можно определить эти параметры. В отличие от метода Рэлея — Ритца, при использовании данного метода нет необходимости формулировать энергетический принцип. Такой способ решения задачи был предложен Б. Г. Галеркиным и известен как метод Галеркина.
 Метод Галеркина может быть пояснен с другой точки зрения. Рассмотрим двумерную задачу; будем под Qx, у понимать левую часть основного дифференциального уравнения. В случае задачи
 о 	кручении имеем:
 сах упругого равновесия стержней и пластин, Вестник инженеров, т. 1, стр. 897—908, 1915. Этот метод был ранее предложен И. Г. Бубновым в отзыве
 о 	работе проф. С. П. Тимошенко «Об устойчивости упругих систем», сб. Ин-та инж. путей сообщения, вып. 31, 1913; см. И. Г. Бубнов, Избранные труды, Судпромгиз, 1956, стр. 135—139. Прим. ред.
 В
 в
 я Vn 2F1bc1dxdy 0.
 R
 V2fn 2 Ft Ьс2 dx dy 0,
 R
 ff Vn-h2F1dxdy 0.
 R
 7.37
 R
 QXt y V 2.
 Б. Г. Г а л e p к и н, Стержни и пластины. Ряды в некоторых вопро-

7.5
 МЕТОД ГАЛЕРКИНА
 189
 Допустим, что удовлетворяется неравенство
 Я Q х, у dx dy К < -f- оо
 в
 и что последовательность функций Fi является полной в том смысле, что любая функция, удовлетворяющая граничным условиям, может при правильном выборе параметров быть аппроксимирована с заданной степенью точности и единственным образом рядом Т0ГДа из условия
 Чтобы доказать это положение, примем, что функция Qx, у не является тождественно равной нулю в области R. Тогда в области R должна иметься точка лг0,,у0, в которой Qx0t у0 Ф 0. Предположим, что в этой точке Qx0,,у0 > 0 и что такое же неравенство имеет место внутри небольшого круга С радиуса е с центром в дг0, у0. Тогда можно определить функцию V х, у таким образом, что
 где С' обозначает малую окружность внутри С, имеющую, например, радиус е2;
 Vxt j>0 внутри кольцевой области между С' и С;
 Но последовательность Fi является полной; функция же V удовлетворяет тем же граничным условиям, что и ф. Следовательно, функ-
 г1
 большом N для области R будет удовлетворяться неравенство
 N
 i
 И Q У F% dxdy 0
 в
 будет вытекать равенство
 Qx, з 0 для области R.
 Vxt у> 0 в С',
 Vx, у 0 за пределами окружности С. Тогда получим:
 я Q х> У У х> У dx dy ff QX> yVx> ydxdy>
 н
 с
 N
 цию V можно разложить В ряд 2 так» что ПРИ достаточно
 VX, y-'2ldiFi
 i1

190 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ГЛ. 7
 независимо от значений х и у. Отсюда
 < IQI V-diFi dxdyL j JQdxdy l.
 R
 Принимая во внимание соотношение
 я Qx, у Fidx dy 0,
 if Qx, yV x, ydxdy иСу
 7.39
 R
 Сравнивая 7.39 с выражением 7.38, приходим к соотношению
 ция V х, у не равна нулю; следовательно, величина т может быть равна нулю только при
 это положение завершает доказательство.
 Проиллюстрируем применение метода Галеркина, взяв для примера задачу о кручении стержня прямоугольного сечения. Примем, как и в предыдущем параграфе, функцию ф в виде
 R
 отсюда вытекает:
 5 	1
 ci 4 аъ Ъ
 Такое же значение сх было найдено с помощью метода Рэлея — Ритца.
 которое может иметь место только при т 0. Но функ-
 Qx, з 0 для области R;
 сх х2 — а2 у2 — Ь2. Подставляя в дифференциальное уравнение, находим Qi V2 2 2с, х2 — а2 у2 — Ь2 2. По методу Галеркина должно быть
 в
 J f 2су 2 — a2 -f- у2 — Ь2 -4-2 д:2 — а2 у2 — Ь2 dx dy 0;

7.61
 МЕТОД БИЦЕНО — КОХА
 191
 Задача 1. Принимая ф в виде 7.32, определить с00, с01 и с10 с помощью метода Галеркина.
 Задача 2. Решить задачи из параграфа 7.5 по методу Галеркина.
 7.6. Метод Бицено — Коха. Выше было показано, что, приравнивая нулю первую вариацию интеграла энергии, мы приходим в случае двумерной задачи к равенству
 2Dv<d-rfy0- 7-4°
 R
 При использовании методов Рэлея — Ритца и Г алеркина мы аппроксимируем функции с помощью рядов, каждый член которых удовлетворяет граничным условиям; под bfa понимаем бесконечно малое изменение выражения, принятого для fi. В вариационном исчислении считается, что величина bfi может быть выбрана произвольно. Метод Бицено — Коха состоит в том, что выбираются п неопределенных параметров, а затем область R делится на п подобластей Ri> причем величины bfi принимаются равными
 Ъх, у Л ЛЯ R% 7.41
 О в области Rt вне к
 Если в задаче о кручении выбрать Ьф по 7.41, то уравнение 7.40 примет вид
 я Vn 2dxdy 0. 7.42
 Отсюда получим п совместных уравнений, соответствующих числу п параметров; следовательно, эти параметры могут быть определены однозначно.
 Метод Бицено — Коха впервые был выведен при рассмотрении функции погрешности; приведенная выше интерпретация метода была дана Курантом. Величина
 Q» ™W 2
 представляет собой функцию погрешности, связанной с аппроксимацией ф через фп. Мы можем, очевидно, добиться того, чтобы функция погрешности Q была мала, если потребуем, чтобы она обращалась в нуль в п точках внутри области, рассматриваемой в задаче. Этот прием, известный как метод коллонации, сводится к рассмотрению погрешности в п точках; при этом получается п уравнений для определения параметров с.
 Метод Бицено — Коха можно считать модифицированной формой метода коллокации: в нем ставится требование, чтобы в каждой из п подобластей Ri, составляющих область Ry средняя ошибка обращалась в нуль.
 Проиллюстрируем оба метода в применении к задаче о кручении стержня квадратного сечения. Выберем, как и ранее, следующее выражение для ф:
 ф сх 2 — а> у2 — д2; 7.43
 тогда найдем
 Qi Щг 2 2ct 2 _ аЦ у — а? 2. 7.44
 По методу коллокации принимаем
 Q х> У 0 в точке х 0, у 0;
 С. В. В i е z е п о, J. J. Koch, Ingenieur, т. 38, 25—36, 1923; С. В. В i еz е п о, Graphical and Numerical Methods for solving stress problems, Proc. First Intern. Congr. Appl. Mech., Delft, 1924, 3—17.
 В дискуссии по статье Бицено.

192 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ГЛ. 7
 и получаем
 Cl 2о2’
 Приближенные значения постоянной кручения и наибольшего касательного напряжения соответственно равны 1,778а4 и 0,562 Га3; погрешности при определении этих величин составляют —21% и —6,3%.
 В качестве второго приближения примем:
 ф3 - а у - Ь Ci с2 у2 сву. 7.45
 Чтобы определить три параметра с, с2, с3, следует наложить условие, чтобы функция погрешности
 Q3 2Ci jc2 у2 _ 2а2 2с2 6 2х2у2 — cfix2 — а?у2 х — а22
 У2 — Ла1 2с3 JC2 2 — а2 6у2 _ а2 4- -у2 у2 _ а2 62 — Л2 2
 обращалась в нуль в трех точках, например, в точках с координатами 0, 0,
 т ° и S’’ т Тогда П0ЛУчим:
 2а2сх — 2а4с2 — 10,
 28а2с1 — а4с2 — За6с3 — 16 0,
 24 a2ct — 12ас2 3 а6с3 —16 0.
 Решение этих уравнений дает:
 17 2 28
 Cl 26а2 ’ Сз — 13а ’ С — 39а
 Постоянная кручения J при принятом выражении 7.45 для ф будет 2 j j dxdy i -«2C2 -а4сз> а максимальное касательное напряжение равно
 у0
 Подставив найденные значения clt с2, с3, получим приближенные значения J
 и хтах соответственно равными 2,646а4 и 0,610 Таъ; погрешность же соста¬
 вит для первой величины 17,3%, а для второй 1,7%.
 Определим, далее, эти параметры с помощью метода Бицено — Коха. Примем функцию ф снова в форме 7.43; пусть область Ri полностью заполняет область R квадратного сечения. Уравнение 7.42 принимает вид
 а а
 2ci < - а2 у2 - а2 2 0;
 —а —а отсюда следует
 3 Г _ 0,5627.
 С1 “ 2,667а, ттах —,
 погрешности в значениях J и ттах соответственно равны 18,5% и —6,3%.

7.7 ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ И ТЕОРЕМЫ КАСТИЛЬЯНО 193
 Во втором приближении примем ф3 в виДе 7.45. Здесь надо разделить поперечное сечение на три области. Из соображений симметрии можно выбрать эти области следующим образом:
 Rt для 0<у<у,
 ?2 для а, 0< у < у,
 Rs для < д,
 Подставляя 7.45 в уравнение 7.42 и интегрируя по площади каждой из этих областей, получаем следующие уравнения:
 440а-сг — 186 а4с2 — 17а6с3 240,
 320аЧг 564ас2 19л«с8 240,
 200аЧх -f- 594а4с2 -- 235я6с3 240.
 Решая их, находим:
 149 5 20
 Cl 252а? ’ Сг — 63а ’ Cs — 63й«
 Постоянная кручения оказывается равной 2,260а4, что на 0,46% превы-
 0,593т1
 шает точное значение. Максимальное касательное напряжение ттах -1—-—
 будет на 1,2% меньше точного значения.
 Задача 1. Принимая ф в форме 7.32, определить параметры с по методу Бицено — Коха.
 Задача 2. Решить задачу 2 из § 7.4 с помощью метода Бицено — Коха.
 7.7. 	Теорема взаимности и теоремы Кастильяно. Теорема взаимности и теоремы Кастильяно получили широкое применение в элементарных расчетах конструкций. Покажем, что эти теоремы справедливы и в общем случае упругого тела. Проведем доказательство для случая плоского напряженного состояния плоской пластинки; этот вывод может быть легко распространен на трехмерную задачу.
 Рассмотрим два равновесных положения упругой пластинки; пусть первое из них отвечает перемещениям и% v, вызванным объемными силами X, Y и поверхностными силами на контуре Х% К, а второе — перемещениям и', v', полученным при действии объемных сил X', Y' и поверхностных сил Х Y'. Работа, приходящаяся на единицу толщины пластинки, которую произведут силы первого состояния с обозначениями без штриха на перемещениях второго состояния со штрихом, будет равна
 Xu' Yv' dxdy-- j Xu' -f- Yv' ds.
 И s

194 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ГЛ. 7
 Из уравнений равновесия имеем:
 J J Хи' -- Yv' dx dy —
 -f“'%iу-
 it
 Воспользуемся соотношениями:
 fan.. dzasfi. д.. д.. du' du'
 1 om -s-- 4- -— 1 -
 дха >rdya dxxU xvdy'
 d-.,,v dau, d, f r dv' dv' “I 57''1’ a3Ft’ 37 V —
 По формуле Грина, аналогично выводу в § 7.3, получаем:
 J f Хи' Кг;' dx dy
 °ж Т'Й 'Са, бг'‘Й
 — f Xu' — Fv' rfs. или 5
 У AV -f- Yv' dxdy-- У AV 4- Yv' ds
 -к■ wы f1 ■
 R
 Пользуясь законом Гука и выражениями для компонентов деформации, находим:
 Е du. dv Е dv. du
 °х 1 — v2 dx V dy 9 °v 1 — dy dx
 n I du, dv
 Xxy y d’
 Подстановка этих выражений в последний интеграл приводит к соотношению
 Г Г Е du dv du', dv. du dv' 1,
 J J T- vr-5T d7 vaj-aFj
 °'-
 Г Г f E ГI dur. dv' du. dv', du' dv 1,
 ; J i-iLlrvrl7vTri7J
 o-‘<

7.7
 ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ И ТЕОРЕМЫ КАСТИЛЬЯНО
 195
 С другой стороны, имеем:
 , Е да' _j_ dv' 1 — дх V ду I9
 , Е dv', да' °у 1 — ду V дх •
 Применение теоремы Грина дает:
 J J Ха' -f- Yv' dxdy-- f Xu-f- Yv' ds
 R S
 ff X'u Y'v dxdy f x'u Yv ds. 7.46
 R S
 Таким образом, мы пришли к теореме взаимности Бетти и Рэлея. Если упругое тело подвергается действию двух систем объемных и поверхностных сил, то работа первой системы внешних сил на перемещениях, вызванных второй системой, равна работе второй системы сил на перемещениях, вызванных первой системой.
 В соответствии с принципом дополнительной энергии должно быть
 _U7 0,
 или
 W f f и ЬХ-f-v ЬУ -1- w bZ dA, 7.47
 а2
 где Л2— часть контура, на которой не заданы поверхностные силыРассмотрим случай, когда поверхностные силы не являются непрерывно распределенными, а представляют собой сосредоточенные нагрузки. Пусть такими сосредоточенными нагрузками будут силы Р:, Р2, перемещения в точках приложения сил по их напра¬
 влению примем равными dt9 d2,. Мы можем формулировать задачу таким образом, что перемещения dl9 d2,. заданы на контуре, а нагрузки Р19 Р2» • • • являются независимыми неизвестными величинами. Тогда энергию деформации U можно выразить через нагрузки Ри Р2,. Изменение энергии деформации, вызванное изменением в величине сил, равно
 Ш Я78Р--8Р’ •••
 Далее, имеем
 f f ubX--vbY-w62dA dlbPt--dtbP2--.

196
 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ГЛ. 7
 Таким образом, уравнение 7.47 принимает вид:
 dp Ч” фр °2 4 • • • — dx ЬРХ -j- d2 ЪР2
 или
 -Щ- — — <22. 0.
 Так как силы Pl9 Р2,.. статически независимы, то изменения или вариации ЬР1 ЬР2,... совершенно произвольны; следовательно, все вариации, кроме одной, можно принять равными нулю. Отсюда получаем:
 ди, л dU
 — 0» яо— d2 — 0,.
 дРг дР2 2'
 или
 dU _. dU _
 дРх а дР2 йъ
 Итак, если энергия деформации U упругой системы выражена как функция статически независимых внешних сил Plt Р2,..., то частная производная от энергии по любой из этих сил равна истинному перемещению точки приложения силы в ее направлении. В этом состоит так называемая первая теорема Кастилъяно.
 Если в граничных условиях заданы поверхностные силы, то интеграл по поверхности в правой части уравнения 7.47 обращается в нуль. Уравнение 7.47 принимает вид
 ьи 0.
 Этот результат можно интерпретировать следующим образом.
 Пусть имеется упругая система с заданными силами, действующими на контуре. Если варьировать компоненты напряжений таким образом, что они во всех случаях удовлетворяют уравнениям равновесия и граничным условиям, то истинными компонентами напряжений будут те, для которых энергия деформации минимальна. Так формулируется вторая теорема Кастилъяно, или теорема наименьшей работы.

ГЛАВА 8
 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
 8.1. Комплексные переменные и комплексные функции. Решение многих задач теории упругости может быть значительно упрощено благодаря применению комплексных переменных. В комплексную переменную z входят две вещественные переменные х и у:
 z х iy,
 где i Y— 1— так называемая мнимая единица. Будем называть л: вещественной частью комплексной переменной z, а коэффициент у при I — мнимой частью. Поскольку i не принадлежит к системе вещественных чисел, следует установить смысл соотношений, включающих равенство, сложение, вычитание, умножение и деление рассматриваемых величин.
 Если мы говорим, например, о равенстве двух комплексных чисел, то это означает, что вещественная и мнимая части обоих чисел в отдельности равны между собой. Следовательно, равенство
 Xi--lyi x2--iy2
 равносильно равенствам
 i x2 и угу2.
 Подобным же образом при сложении или вычитании двух комплексных чисел надо производить отдельно сложение или вычитание вещественных частей комплексных чисел и отдельно — мнимых частей. Учитывая равенство i2 —1, можно установить, что действия умножения и деления комплексных чисел производятся по тем же правилам, что и для вещественных чисел. Например,
 z2 х iy2 х2 -- 2lxy -f- iy2 x2 — у2 -f - i2xy. 8.1
 Приведенные правила показывают, что комплексная переменная z x--iy геометрически может быть представлена точкой Ах> у в плоскости х% у рис. 8.1. Ось х в этом случае называют вещественной осью, а ось у — мнимой. Обращаясь к полярным коордичатам, будем иметь
 z х -f- iy г cos 0 -f- sin 6 re<e.

198
 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
 ГЛ. 8
 Из рис. 8.1 видим, что число 2 может быть представлено с помощью вектора О А. Комплексная переменная, отвечающая вектору ОА будет
 z x — iy r cos б — sin б reib.
 Эта переменная z носит название сопряженной комплексной переменной z. Имеем:
 гг г2> 8.2
 причем г Ух2--у2 называется абсолютной величиной или модулем комплексного числа zt а б — его аргументом.
 Функция комплексной переменной z носит название комплексной функции. Подобно комплексной переменной, комплексная функция может быть разделена на вещественную и мнимую части:
 г х iy
 <Р. y tyxt у,
 где ср и ф являются функциями х и у. Например, вещественная и мнимая части комплексной функции fz z2 согласно 8.1 равны
 ср л:2—у2, ф 2 ху.
 Функцию ф называют иногда сопряженной с функцией ср, и наоборот. Аналогично случаю комплексных переменных, функция, сопряженная с комплексной функцией z, будет иметь вид
 7 5 ср х, у — ЦX, у,
 причем символ f z будет относиться именно к сопряженной функции. Допустим, что функция f z представлена в виде степенного комплексного ряда
 fz A0--A1z A2z2-h.
 где А0, Аи А2,. —комплексные постоянные; тогда можно показать справедливость равенства
 8.3
 здесь через А0, Аи А2. и т. д. обозначены числа, сопряженные соответственно с числами Л0, Аи Л2. и т. д.
 Часто для сопряженной функции применяется обозначение fz Прим. ред.

8.1 КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ 199
 Обозначением fz иногда пользуются для определения функции
 z А0 -4“ Axz Axz2 -f- 8.4
 это обозначение не надо смешивать с обозначением для сопряженной функции fz.
 Обратимся к правилам дифференцирования комплексной функции. Комплексная функция f г называется аналитической или регулярной в области R, если она имеет единственную производную в каждой точке этой области. Точки, в которых функция z не имеет производных, называются особыми точками аналитической функции. Примем, что fz является аналитической функцией и найдем частные производные от нее по х и у. Учитывая равенство
 z х -- iy,
 имеем:
 dz - dz.
 dx — А tyl
 и
 df df dz df_ _d df_ dz_ df
 dx dz dx dz dy dz dy dz
 Если производная должна быть единственной, то будем иметь
 dy dx
 С другой стороны,
 JL — л-i df — дс? I j W
 dx dx' dx 9 dy dy dy
 Следовательно,
 dcp дф dcp дф
 dy1 dx dx-
 Разделяя вещественную и мнимую части, имеем
 dy дф дер дф
 dx dy 9 dy dx
 Эти уравнения выражают так называемые условия Коши — Римана и являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы функция z была аналитической.
 Можно показать, что если функция fz является аналитической в области R, то в этой области существуют не только первые производные от <р и ф, но и производные всех высших порядков.
 Исключим ф путем дифференцирования первого из уравнений 8.5 по х, а второго — по у; произведя сложение, получим
 д2у, d2<р л 0 _
 8.5

200
 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
 ГЛ. 8
 Аналогичным образом, исключая из этих уравнений ср, найдем
 ,ф_0 87
 дхт ду2 — ° 87
 Из 8.6 и 8.7 видно, что вещественная и мнимая части любой аналитической функции комплексной переменной удовлетворяют уравнению Лапласа. Допустим, что необходимо решить дифференциальное уравнение типа уравнения Лапласа; эта задача сводится к нахождению аналитической функции, вещественная или мнимая части которой удовлетворяют граничным условиям. Уравнение Лапласа носит также название гармонического уравнения; функции ср и ф, удовлетворяющие подобному уравнению, называют иногда гармоническими функциями.
 8.2. Некоторые основные зависимости теории комплексных переменных. В последующем изложении будут использованы некоторые основные зависимости теории комплексных переменных. Ниже дается краткая сводка этих зависимостей.
 1. Теорема Коши — Гурса. Если функция z является однозначной и аналитической внутри замкнутой линии S и на самой линии, то интеграл от этой функции, взятый вдоль линии, равен нулю:
 §fzdz 0. 8.8
 Доказательство. В силу равенств z срф и dz dx dy имеем:
 J z dz j cp dx — ф dy -f- cp dy ф dx.
 По теореме Грина находим:
 ср dx — tydy — ff g g dx dy,
 S R
 §<dy dx - t dx dy,
 S R ‘
 где R— область, ограниченная кривой S. Согласно условиям Коши — Римана 8.5 выражения, стоящие под знаком обоих двойных интегралов, обращаются в нуль во всей области R. Отсюда следует
 j z dz 0. s
 Область R называется односвязной, если любая простая замкнутая кривая, расположенная внутри нее, содержит только точки

8.2 ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 201
 области. Если взять, например, кольцевую область, лежащую между двумя концентрическими кругами, то она не будет односвязной. Подобную область называют многосвязной. Многосвязную область можно представить как односвязную, если ввести линии, соединяющие внутренние контуры с внешними, как показано на рис. 8.2. Идя по контуру S в направлении, указанном стрелками на рисунке и принимая, что функция f z является аналитической в области R и на контуре, мы получаем из формулы 8.8
 J z dz -- j z dz j z dz 0,
 S Sx S2
 или
 Jfzdz j fzdz-- fzdz 8.9 s s, s2
 здесь интегралы с чертой соответствуют обходу контура по часовой стрелке, а остальные интегралы отвечают обходу против часовой стрелки.
 Таким образом, интеграл от fz, взятый по внешнему контуру 5, равен сумме интегралов, взятых по внутренним контурам при условии, что интегрирование везде ведется в одном и том же направлении.
 2. Интегральная формула Коши. Рассмотрим функцию fz, однозначную и аналитическую внутри замкнутого контура S и на контуре. Если С — любая точка внутри S, то
 значение функции в этой точке определяется формулой
 1® Ыт1Лг- 810>
 Доказательство. Проведем вокруг С окружность Si достаточно малого радиуса
 z — q ri,
 так, чтобы эта окружность находилась внутри контура 5 рис. 8.3. По 8.9 имеем
 <8-“>
 S S, s, S,
 Но на контуре St будет z — r1i9 и dz irxeibdb% поэтому для любого положительного гх должно выполняться равенство

202
 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
 ГЛ. 8
 Функция fz является непрерывной при z C, поскольку понятие регулярности включает свойство непрерывности. Следовательно, если задано некоторое положительное число е, то имеется такое положительное число Ь, что неравенство
 —01 < 8
 выполняется для всех z, при которых z —
 Полагая г1 о, получим
 IW-«I дг< у2«8 гта.
 Is,
 5i
 Если принять rt достаточно малым, то абсолютное значение полученного выше интеграла может стать сколь угодно малым. Так как два других интеграла в 8.11 не зависят от rlt то этот интеграл должен также быть независимым от гх и равняться нулю. Таким образом, имеем
 ,ILdz2ifQ;
 S
 теорема доказана.
 Формулу для производной 'С можно получить, дифференцируя интегральную формулу Коши по С под знаком интеграла. Будем иметь
 J w 2nt J z — C2
 s
 и, вообще говоря,
 53 <8ЛЗ>
 s
 3. Степенные ряды. Если функция z является аналитической во всех точках внутри круга S с центром а, то в любой точке z внутри этого круга
 » а
 fzf а ' a z — а z — an. 8.14
 Это значит, что бесконечный ряд сходится к fz. Мы получили
 разложение функции z в точке z а в ряд Тейлора. Приа 0
 это разложение преобразуется в ряд Маклорена:
 в0 -». 8.15
 Если функция fz является аналитической и однозначной на двух концентрических окружностях St и S2 и внутри кольцевой области между ними, то в каждой точке z внутри этой области эта

8.2 ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 203
 функция может быть представлена сходящимся степенным рядом по положительным и отрицательным степеням z — а:
 ОО оо
 в„
 где
 > Апz — an V -паП, 8.16
 п—о п—1
 B” Si§ -а-’' »1. 2.
 S'2
 Ряд 8.16 называется рядом Лорана.
 4. Теорема вычетов. Как мы видели, функция fz всегда может быть представлена с помощью ряда Лорана в окрестности особой точки zx. Проинтегрируем теперь ряд Лорана вдоль контура Slt включающего особую точку z zlt но не охватывающего каких-либо других точек.
 При положительном п из формулы 8.8 находим
 j z — zj1 dz 0.
 При п —1 по 8.12 имеем
 dz
 г — гл
 8г
 : 2ТГ.
 Чтобы вычислить интеграл j при п > 1, построим внутри Sx
 St 1
 малую окружность Si радиуса г с центром в z zv Так как функция 1 lz — ztn является аналитической внутри области, заключенной между контурами Si и Sx и вдоль этих контуров, то
 dz dz flred п.
 J z — zf J z — zxn j rneinft 0 ПРИ n > l-
 s, s ft
 Отсюда
 §fzdz ■■•Axz — zl-sr
 Si 8i
 4- A2 z — zj2 4-. dz 2tciBx.
 Коэффициент Bx при Ifcz — zt называется вычетом функции в особой точке z zx и обозначается через Кг.

204
 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
 ГЛ. 8
 Если область R охватывает п изолированных особых точек zx, z2,., zn, то можно построить п малых окружностей Sj так, чтобы каждая точка была заключена в окружность, и чтобы контур 5 и все п окружностей не соприкасались. Эти окружности совместно с контуром S образуют многосвязную область, в которой функция f z является аналитической. Из формулы 8.9 имеем
 § fzdz ф fz dz -f- j fz dz j> fz dz.
 s s, s, gn
 В силу равенства
 j fz dz 2ttiKj j 1, 2,., nt
 полученная выше формула преобразуется в формулу 8.17. Это доказывает справедливость следующей теоремы. Пусть функция fz является аналитической во всех точках внутри замкнутой кривой S и на этой кривой, за исключением нескольких особых точек, лежащих внутри S. Если через Ки К2,... Кп обозначены вычеты функции z в этих точках, то будем иметь
 §fzdz 2TziKt-hK2. Кп. 8.17
 S
 5. Конформные отображения. Вещественная функция вещественной переменной, например, y fxf может быть изображена графически, если нанести значения х и у в качестве прямоугольных координат точек в плоскости х, у. Можно сказать, что функция х отображает каждую точку на оси х в точку плоскости, лежащую на расстоянии у вдоль вертикали выше или ниже исходной точки. В результате отображения всех точек оси х получаем кривую, являющуюся графиком функции. Если переменные являются комплексными, то графическое изображение функций будет более сложным. Если имеется функция 2 С, где С т, то каждой точке, т в плоскости С, на которой определена функция 73, будет соответствовать точка дг, у в плоскости z. Соответствие между точками в двух плоскостях называется отображением точек плоскости С на точки плоскости z с помощью функции отображения.
 Допустим, что некоторая точка перемещается вдоль кривой S, лежащей в плоскости С; тогда соответствующая точка z опишет кривую S' в плоскости z. Кривая S' называется образом кривой S. Если функция С является аналитической и 'С 0, а две кривые Sx и S2 лежат в плоскости С и пересекаются под углом а, то соответствующие кривые Si и S2 в плоскости z также будут пересекаться под углом а. Отображение, произведенное с помощью

8.3
 КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
 205
 аналитической функции z fQ при ' С ф 0, всегда сохраняет углы неизменными и называется конформным. В дальнейшем термином конформное отображение мы будем пользоваться для обозначения преобразования с помощью аналитических функций, при условии ' С Ф 0.
 Заметим, что с помощью конформной функции z C, осуществляющей конформное отображение, аналитическая функция комплексной переменной z преобразуется в другую аналитическую функцию комплексной переменной С; вещественная и мнимая части этой новой функции должны удовлетворять уравнению Лапласа. Допустим, однако, что для контурной кривой, охватывающей область R в плоскости z, решение задачи оказывается сложным. Тогда эту кривую можно отобразить на плоскость С таким образом, что удовлетворение граничным условиям будет более простым.
 8.3. Кручение призматических стержней. Основное дифференциальное уравнение в задаче о кручении призматических стержней имеет форму уравнения Лапласа. Используем комплексные переменные и обозначим через ср функцию депланации; тогда задача сведется к определению аналитической функции F z ср ф, вещественная часть которой удовлетворяет граничному условию 5.7. Однако это условие применять неудобно. Поэтому рассмотрим граничное условие, которому должна удовлетворять функция ф.
 Вещественная и мнимая части аналитической функции связаны между собой условиями Коши — Римана, которые в данном случае имеют вид
 Подставляя эти зависимости в граничное условие 5.7, получаем
 Так как постоянная С, фигурирующая в полученной формуле, не влияет на значения напряжений, то ее можно не определять. Учитывая соотношение
 дф д<р дф дер
 дх ду ду дх
 , dy dx
 I и т — —после группировки членов получим
 ф -7fx2--y2--C на контуре 5.
 х2 Н У2 г2 zz,

206 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ГЛ. 8
 полученное выше граничное условие, выраженное через комплексную переменную z, приводим к виду
 ty l-zz -4-С на контуре S. 8.18
 Решение задачи о кручении сводится, следовательно, к определению
 мнимой части аналитической функции Fz при условии, чтобы она
 с 1 -
 принимала на контуре о значение izz.
 При этом необходимо конформно отобразить поперечное сечение стержня, лежащее в плоскости z, на единичный круг в плоскости С с помощью функции
 С. 8.19
 Если функцию F z выразить через комплексную переменную С, то
 получим
 F г ср <> • С FiQ; 8.20
 условие на контуре 8.18 принимает вид
 ф -1С С на контуре S,,
 где через St обозначен единичный круг С 1. Из определения
 сопряженных функций имеем
 Рг С ср -<>;
 отсюда
 2l<b F1Q — F,C.
 Приведенное выше граничное условие преобразуется к виду:
 Fl — Fii ifQfiC' на контуре St. 8.21
 Будем считать, что функция отображения С задана. На еди¬
 ничном круге она обращается в функцию одной только переменной О и может быть разложена в комплексный ряд Фурье:
 ОО
 в Е Апе; 8.22
 — ОО
 коэффициенты ряда определяются по формуле
 Ап ± f f t ein'> db. 8.23
 О
 В приведенных формулах через t elH обозначены точки единичного круга.

8.3 КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ 207
 Так как функция FtQ является аналитической внутри круга Su то ее можно разложить в степенной ряд
 ОО
 ?i<02»?‘. 8-24
 П—0
 На единичном круге имеем:
 F,i 2 Впе«• и Fi 2 Впе-™
 П 0 п 0
 где Вп — величины, сопряженные с Вп. Подставляя эти ряды в уравнение 8.21, находим
 2 Впеш — 2 впе- ll 2 АпемY 2 Ane-in--C'
 0 О —оо —оо 2с',
 — ОО
 где
 оо
 2 пшт С—п Т1 0, 1, 2,..., ОО.
 т — оо
 Так как постоянные члены в выражении для С не играют роли в задаче о кручении, то можно оставить их не определенными. Приравнивая попарно коэффициенты при einQ в обеих частях уравнения для всех п, кроме п 0, находим
 Вп iCn, Вп — iCn
 и
 оо •
 Ft С i 2 const. 8.25
 П—1
 Разделение вещественной и мнимой частей в формуле 8.25 сразу определяет функцию депланации ср и сопряженную с ней функцию ф.
 Чтобы выразить J через FxС и С, надо поступить следующим образом. Из формулы 5.15 имеем:
 Js If гJt,2 dx dy г7 “■>©dx dy
 R R
 <2>ff 57 ш M4?
 ft R
 — — § xyx dx —ydy — § <P x dx ydy; s s

208 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ГЛ. 8
 последнее преобразование проведено с помощью формулы Грина. Имея
 24-2 2 — 2
 У 2Г’
 находим
 J ху х dx —у dy j z2 — z2 z dz--z dz s s
 Ш -z2 zdz — z2zdz— zdz.
 s
 Но по теореме Коши — Гу pea
 zzdz 0, zzdz 0. s s
 Интегрируя другие члены подынтегрального выражения по частям и учитывая, что функция zz2 является однозначной, находим
 j z2zdz j z2d-- — j z2 z dz. s s s
 Отсюда
 Jh§'pzdsl
 s s
 Используя соотношение
 перепишем приведенную выше формулу в виде
 711 С2С 1 С F,ССdf I-Ь
 5 S,
 fidf®. 8.26
 Из формул 5.5 и 5.16 получаем
 Й-«-«•
 С другой стороны, имеем
 df,<Эф _ dFi С Л _ К W дх1дх dC dz Г С’

8.3
 КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
 209
 где Fi С обозначает » а ' С обозначает или.
 ас яс
 Это дает т 1>' О - -1
 тга? тг “J CJ. 8.27
 Таким образом, полное решение задачи о кручении осуществимо, если область, ограниченная контуром поперечного сечения стержня, может быть конформно отображена на единичный круг.
 Рассмотрим в качестве примера случай кручения стержня, поперечное сечение которого представляет собой кардиоиду. Уравнение кардиоиды в полярных координатах будет иметь вид:
 г 2с 1 —-cos 6,
 где с — постоянная. Задача о кручении стержня с сечением такой формы представ- рис 34
 ляет некоторый практический интерес: она
 позволяет учесть отверстие профильного очертания в круглом вале. Сечение, имеющее форму кардиоиды и лежащее в плоскости z
 рис. 8.4, можно отобразить на единичный круг в плоскости С
 с помощью функции отображения
 С с1-С2. 8.28
 На единичном круге С е1ь
 ft c 1 — 2> 2i0 и J c —2eib --e2ib. Находим
 СОС 0 2 2<e — 4ie — 4eie -ь 6,
 откуда
 С2 с2, Сг — 4с2.
 Это дает
 Fх С ic2 С2 — 4Q const.
 По формуле 8.25 может быть теперь вычислена постоянная кручения У. Учитывая, что на единичном круге С 1 будет t 1 получим:
 J —T i —24“2—2--2fdt —
 -«■■- <0 - < i —i И - 4 fi ,’-7'121'-35т-?ж—й--¥-'“-6<8'6-т11-—•<»•
 dt

210
 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
 ГЛ. 8
 По теореме вычетов
 J 2ir Ц. • 35 — • — 18 17itc4.
 Отметим, что полученная при интегрировании неопределенная постоянная в выражении для С, как и следовало ожидать, не влияет на величину J.
 Касательные напряжения можно вычислить по формуле 8.27:
 т т — 7 Г сЧ 2 — 4 72 _ Г с Q п Г2 1
 xzx nyz у — 2с1 — С u yJ 1704 1—С 1 ' J
 Полученная формула позволяет определить касательные напряжения для различных значений С ?. Координаты соответствующих точек в плоскости z можно найти с помощью функции отображения 8.28.
 Задача 1. Сечение гофрированной формы в плоскости z> как показано на рис. 8.5, может быть отображено на единичный круг в плоскости С при помощи функции отображения
 гС сС1 тСп,
 где с, т и п — положительные вещественные постоянные. Найти функцию ф, постоянную кручения J и напряжения в случае, если стержень такого сечения подвергается кручению.
 Задача 2. Сечение призматического стержня получено инверсией эллипса относительно его центра. Стержень подвергается кручению рис. 8.6. Контур поперечного сечения 5 задан в параметрической форме:
 — sh k sin и,
 Рис. 8.5.
 Х 1 U
 — ch k cos w,
 где и — параметр, с ■
 1
 и th k —.
 а
 V а? Ъп-
 Это параметрическое уравнение можно переписать в виде
 z с sec w -f- ikt v 0, где w и iv.
 Такое поперечное сечение может быть конформно отображено на единичный круг С 1 с помощью функции
 2 сеК
 , апепи>,
 п 0
 • См. А. С. Stevenson, The torsion of a fluted column, Phil. Mag., Ser. 7, т. 34, 1943, 115—120.
 См. T. J. Higgins, The torsion of a prism with cross section the inverse of an ellipse, J. Appl. Phys., т. 13, 1942, 457—459. См. также J. S. S о k о 1 n i k о f f, R. D. S p e с h t, Mathematical Theory of Elasticity, N. Y., 1946, 183-185.

8.4
 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ
 211
 г
 0 при л 0, 2, 4, •••,
 ап — 1 п1
 2с—1 2 е-пк при 2 1, 3, 5,.
 Найти постоянную кручения и касательные напряжения.
 Отв. J пс4 2 csch2 2k -- csch4 2k,
 _ T о» Г csch 2k ch v -f k. sh -- 1
 zsx — j c s n и cos 2U — ch 2 v k ' cos 2tt ch 2 v k 9
 __ T 9 Г csc 2k sh v k cht-- l
 Zyz 7 ° C0S U Lcos 2и — ch 2 v k cos 2u -f- ch 2 t kJ
 8.4. Кручение стержня эллиптического сечения. В предыдущем параграфе было получено полное решение задачи о кручении в предположении
 что область, ограниченную контуром поперечного сечения, можно конформно
 отобразить на единичный круг. При этом имелось в виду, что отсутствуют
 особые точки преобразования, для которых — 0. Однако имеются поперечные сечения простой конфигурации, для которых такой прямой путь преобразования оказывается невозможным. Примером может служить эллиптический цилиндр; функция конформного преобразования эллиптической области на единичный круг настолько сложна, что задача представляет значительные трудности. Но решение задачи можно значительно упростить, если разрезать эллипс вдоль отрезка, соединяющего его фокусы, и отобразить рассеченный эллипс на круговое кольцо. Тогда функция отображения будет простой; чтобы перейти к сплошному эллиптическому сечению, необходимо лишь удовлетворить условию непрерывности функции Fz при приближении к разрезу с одной и другой стороны.
 Рассмотрим функцию отображения
 .« т г’ 8-29
 где с — вещественная положительная постоянная. Решение относительно С дает
 Cc z± Vz' — cii z±Yz — czc.
 Рассмотрим функцию
 С, ± V z-с г е.
 Если принять
 z — c ггегЬ'. z с — геъ
 то
 с, W i9i9a2.
 Если не вводить каких-либо ограничений, то Ci может принимать два значения для каждого г, имеющие разные знаки, в зависимости от выбора 0j и Ц. Это можно показать, приняв, что z описывает кривую, включающую только точку г с и не включающую точку z — с рис. 8.7, а. Если за начальную точку принять 0г 0J, 02 02, то после полного обхода контура получим 0j » 0j -f- 2тг, 02 02, и аргумент функции возрастет на величину тс Это будет означать, что z возвращается к начальному значению, в то время как Ct не принимает своей исходной величины. То же относится к случаю, когда z описывает кривую, включающую точку z — с, но не охватывающую

212 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ГЛ. 8
 точку z с. Обратимся к случаю, когда z описывает кривую, охватывающую обе точки рис. 8.7, б; тогда 0Х возрастает от 0 до 0 2п, а 02 возрастает от 02 до 02 2л; следовательно, возвращается к своему первоначальному значению. Точки Аг с и В z — с называются точками разветвления. Чтобы обеспечить однозначность функции Ci, надо исключить возможность обхода точкой г такой кривой, которая охватывает только одну из точек разветвления. При этом может быть сделан произвольный разрез, включающий АВ, т. е. разрез вдоль точек разветвления. Тогда функция Ci будет однородной в вырезанной полоске. Разрез удобнее всего производить вдоль отрезка АВ на вещественной оси.
 Рис. 8.7.
 Вернемся теперь к функции отображения, определяемой выражением 8.29. Отметим, что контур Si единичного круга С 1 соответствует отрезку АВ на оси z. Это значит, что разрез в плоскости z отображается на единичный круг в плоскости С. Когда точка С t е9 описывает круг С 1, то соответствующая точка z дважды описывает отрезок АВ; это соответствует зависимости
 с cos е -L,
 причем точки t efi и t eiB в плоскости С соответствуют одной и той же точке отрезка АВ. Круг S' радиуса pj в плоскости С соответствует эллипсу в плоскости z, полуоси которого равны:
 Выражая pi и с через а и Ь, получим
 р2 ±. „ о2 а2 — Ь2. 8.30
 Следовательно, точки А—с, 0 и В с, 0 являются фокусами эллипса.
 Очевидно, контурное условие 8.21 должно удовлетворяться в плоскости С на круге 5', или при С pi. Условие Fit Fxt должно выполняться на единичном круге Slt так как точки t — e и t е-в соответствуют одной и той же точке отрезка АВ в плоскости z; функция F z будет приближаться к одному и тому же значению при приближении z к разрезу АВ с обеих сторон. Иными словами, функция Fz будет аналитической в неразрезанном круге.

8.4 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ 213
 Функция Ft С должна быть однозначной и аналитической внутри кольца между Si и S'. Поэтому ее можно разложить в ряд Лорана,
 Л С 2 В«г”> 8.Э1
 П——оо
 который сходится при 1 <; С ■< pi- На единичном круге должно быть
 ОО 	ОО
 F1t F1T или 2 Ве<пГ> 2 впем
 — ОО —ОО
 это возможно при
 Вп — В-п.
 Приведенные выше зависимости были получены для случая, когда разрез сделан вдоль отрезка АВ вещественной оси. Отметим, однако, что подобные же зависимости могут быть выведены при условии, что разрез сделан вдоль любой другой кривой, соединяющей А и В. Условие 8.21 должно удовлетворяться на круге S' при С pje. Отсюда
 оо оо
 2 Вп?уп« - 2 Впеш -мИ Ple-<9 -1 —ОО —оо
 С' J >9 i-j e-i2H j С.
 Сравнивая коэффициенты при einb в обеих частях уравнения, находим
 «2P1-S-2 ?Г2Т' В-2РГ2-адХ'
 С другой стороны,
 В„ В_„ или Вп 2_„;
 отсюда
 в2р?-ё2рг2 т'
 Решая эти уравнения, получим
 1C2
 В, :
 4 Р J Г
 все остальные значения будут равны нулю. Отсюда
 л2 2
 Учитывая соотношение
 будем иметь
 >■. Pi
 Pi 1 ’-т5-р'2'
 Р?
 F г 4 1 г const. Pi 1

214 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ГЛ. 8
 Подставляя в полученное уравнение величину рь выраженную через большую и малую полуоси а и Ь, найдем
 ч I сР — Ь,
 FW2WbtS const‘
 Это дает
 сС2 — b2 <p-6?.const;
 такое же выражение было получено в § 5.2.
 Чтобы вычислить У, подставим С и Zp1e9 в формулу 8.26, На круге S' имеем:
 т у pi9 9; 7Т у p,-rt -. rfC p,e<e _ JL e-ti'jdO,
 did -f - Pi4'9 -i- e> rf0.
 Отсюда
 и, далее,
 2ic
 - i Г ♦- IV-
 0
 2те
 . ->J V LtrfA'1 t; x -w - -л
 т И 77f - “• л
 Непосредственное интегрирование дает
 7cc4 pj — 1
 8 p» l
 ««. о» < “>- nabS
 4 ' ' 4 a 6 6 •
 Касательные напряжения можно вычислить по формуле 8.27.
 8.5. Задачи о плоском напряженном состоянии и плоской
 деформации. В параграфе 4.1 было показано, что решение задачи
 о 	плоском напряженном состоянии или плоской деформации при наличии объемных сил тяжести можно свести к определению функции напряжения ф, удовлетворяющей бигармоническому уравнению
 У4ф 0.

8.5 ЗАДАЧИ о плоском состоянии И ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ 215
 Зададимся целью дать решение этого бигармонического уравнения с помощью комплексных переменных.
 Перепишем это уравнение в виде
 V2 V2<10 0.
 Отсюда следует, что функция
 ? V2<>
 удовлетворяет уравнению Лапласа V2? 0. Если обозначить величину, сопряженную с р, через q% то функция
 fizp--tq
 будет аналитической, и интеграл этой функции по z будет также аналитической функцией. Примем
 Fz P iQ ±- f hzdz 8.32
 тогда
 F'2 Шс 1Ш 1 % Т1 Ю Т р
 отсюда
 dQ__dP__±
 ду дх 4
 Эти соотношения дают
 V4xPyQ2d 2?Qp.
 Имеем У2ф р, следовательно,
 V2 ф — хР — yQ 0.
 Таким образом, функция ф— хР — yQ является гармонической функцией; обозначим ее через Рх. Функцию напряжений можно выразить в виде
 ф хР yQ -4- Р1а 8.33
 Функция напряжений ф, определяемая по 8.33, может быть
 представлена с помощью нескольких различных выражений. Составим
 функцию
 Xz Pi iQu где Qj — функция, сопряженная с Ри Учитывая соотношение
 zF z х — iy Р IQ хР -4“ yQ - i xQ — уР,
 имеем
 Ф Re >; 8.34

216
 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
 ГЛ. 8
 здесь символ Re обозначает вещественную часть данной функции. Обозначая функции, сопряженные с F z и xz, соответственно через F z и xz, получим
 Fz P-iQ, Pi — tQi;
 при этом формула 8.34 перепишется в виде
 Ф у I zF z zFz 4-Х Xzl • 8.35
 Судя по уравнениям 8.34 и 8.35, любую функцию напряжений можно выразить через надлежаще выбранные аналитические функции.
 Найдем теперь выражения для перемещений и напряжений через эти аналитические функции. Из соотношений 3.27 и 4.4 следует, что в случае, когда объемные силы отсутствуют, будет:
 ди 1. 1 дЦ
 дх Е °х V° Е dy2 v дх2 j
 dv 1, ч 1 дЦ д2ф
 ду Е V<3 — Е d V <?у2 >
 dv. ди _ 2 1 v _ 2 1 v
 дх ’ ду Е Zxv Е дх ду
 8.36
 Учитывая зависимости
 р У дх ду и ду дх 4Pt
 из первых двух уравнений получаем:
 дх Ер дхУ дхЦ
 ър <1,Й М43?'—1,й
 Произведя интегрирование, находим:
 и 7; 4Я — 1 v Ц- gx Су1,
 v — -g Q — 1 -4v-gy2С
 гДе giOO и ёгх—произвольно выбранные функции соответственно от у и д:. Подставляя эти выражения в третье уравнение 8.36 и сокращая на общий множитель 1 Е, будем иметь
 л дР I 9 п 1ч дЦ. dg±. dfb 9,л. ч д2ф
 ду дх ' дх ду dy dx ' ' дх ду

8.5J ЗАДАЧИ О ПЛОСКОМ СОСТОЯНИИ И ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ 217
 С другой стороны, имеем
 дР_ __dQ ду дх 9
 следовательно,
 dg I
 dy ' dx
 это дает
 dy dx
 где С — постоянная. Отсюда
 gi Cy--- Съ g2 — Сх -f- С2.
 Из определения компонентов деформации следует, что данные компоненты перемещения не вызывают какой-либо деформации и представляют перемещения абсолютно твердого тела. Отбрасывая эти члены, окончательно получаем:
 Эта формула позволяет вычислить составляющие перемещения для задачи о плоском напряженном состоянии, если известны функции F z и xz. Подобную же формулу легко вывести для задач о плоской деформации.
 или
 а IV 1 4 Р IQ - 1 v Ц- J1. 8.37
 Учитывая соотношения
 dz dz л dz dz
 dx dx dy dy
 по формуле 8.35 найдем:
 -4 zF' z Fz zF' z Fz - z у. zF' z — F z — zF' z Fz x' - X' •
 Отсюда
 i--Fz zF'zX'ji. 8.38
 Учитывая зависимость P--iQ F z, имеем
 и 4-tv F Z — ±- zF' Z у г. 8.39

218
 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
 ГЛ. 8
 Рассмотрим теперь составляющие напряжения. Дифференцируя уравнение 8.38 по х и у, находим:
 дх
 дЦ
 -И
 : F' г zF z F' г Х.
 дхду
 т -3 П7' -ZF Р' Z -X г.
 Умножив второе уравнение на и вычитая полученное уравнение из первого, а затем, сложив его с первым, будем иметь
 о 	оу 2F' г 2F' г 4 Re F’. о, — — 2хУ 2 zFn z г.
 8.40
 8.41
 Уравнению 8.41 можно придать более удобную форму, заменив в обеих частях i на —,
 °у — ах “Ь 21ху 2 zF” z х • В.42
 Формулы 8.40 и 8.42 определяют компоненты напряжения, если известны функции F г и хг-
 Вычислим теперь результирующую силу, действующую в пластинке по дуге АВ. Пусть Xds и Yds представляют составляющие
 по осям х и у силы, действующей на элемент ds дуги АВ и совпадающей с положительным направлением нормали N. Тогда получим:
 Хо„ cos
 . cos а тху sin а,
 Y су sin а -f- ъху cos а,
 где а — угол между положительным направлением нормали и осью х. Дуге ds соответствуют проекции dx и dy, как показано на рис. 8.8, б. Если принять положительное направление дуги ds от А к В% то с возрастанием 5 значение х будет уменьшаться, и отрицательному значению dx будет отвечать положительное значение ds. Тогда
 dx ds
 Рис. 8.8.
 dy
 cosa-df
 и sin а -
 Вспомнив соотношения _ сРф
 °Х — •
 _ Щ °у дх •
 ху ‘
 дЦ
 дхду 9

8.6 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ О ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
 найдем:
 ду2 ds дхду
 219
 дф dx д дф X dy. д д<> dx d д<>
 ds ду ду ds ' дх ду ds ds 3Г9
 дф dx dy _ d дф
 дх2 ds дх ду ds ds дх Компоненты результирующей силы, действующей по АВ, оказываются равными:
 А А
 4 Л
 лВ
 8.43
 здесь скобки А обозначают разности значений в точках В и А.
 Момент силы, действующей по дуге АВ относительно начала О, равен
 M fxY-yXds -fxdwydwl
 А
 получаем
 А А
 Интегрируя по частям, получаем М
 8.44
 8.6. Решение задач о плоском напряженном состоянии и плоской деформации в полярных координатах. Обратимся к общему решению задач о плоском напряженном состоянии и плоской деформации в полярных координатах. Обозначая через vr и vb компоненты перемещения в точке Р по направлениям изменения полярных координат гиб рис. 8.9, получим:
 u vr cos б — v9 sin б,
 v vr sin 6 -- Vq cos 6.
 Так как —1 2, получим
 u iv vr cos 6 —j— sin 6 -f-
 -f ivb cos 6-- sin 6vr--ivb eib.
 Для задач о плоском напряженном состоянии находим отсюда vr -- iv9 eibu iv
 -ТГ F — 4zF> <> >1.
 8.45

220 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ГЛ. 8
 Подставляя в правую часть уравнения 8.45 z reiB и z reib и разделив вещественную и мнимую части, придем к выражению для перемещений vr и vf в полярных координатах.
 Чтобы выразить составляющие напряжения через полярные координаты, обозначим здесь координатные оси гиб соответственно через х' и у'. Тогда
 С г Ох' > °0 Gy'» 'Vs
 Учитывая обозначения
 l cos 6, тх sin 0, 2 — sin0, т2 cos 9,
 из формул 1.15 находим:
 °r сх cos2 ® ау sin2 0 2тху sin б cos б,
 °8 °х sin2 0 cos2 0 — 2тху sin б cos б, тг9 — оу sin б cos б т cos2 б — sin2 б.
 Из этих формул непосредственно вытекают соотношения:
 °Г °9 °Х “Ь
 °0 — 4- 2тг9 ау — ах 2ixxy
 По формулам 8.40 и 8.42 имеем:
 сг а9 4 Re F' z 2 F' z Fr zt 8.46
 c9 - or 2т 2 zF z z e™. 8.47
 Вычитая 8.47 из 8.46, получим
 ar - тг9 Fr z F7 I - zF z x Ш 2i9- 8.48
 8.7. Общее решение задачи для бесконечной пластинки с круговым отверстием. Выберем начало координат в центре кругового отверстия. Если граничные условия выражены через заданные напряжения на контуре отверстия, то величины ог и тг9 будут известны при z aeib, где а — радиус отверстия.
 Аналитические функции F'z и х z можно разложить в степенные ряды. Так как напряжения должны оставаться конечными при г-»оо, то из формул 8.46 и 8.48 находим, что эти функции должны оставаться конечными и при г оо. Следовательно, эти функции должны иметь вид:

8.7
 БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНКА С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ
 221
 где Ап% Вп — комплексные постоянные. Из формул 8.46 и 8.48 видим, что напряжения на бесконечности определяются постоянной В0 и вещественной частью постоянной Aq. Мнимая часть комплексной постоянной Aq не влияет на напряженное состояние.
 Интегрируя 8.49 по z, находим:
 П—2
 где С и с2 — комплексные постоянные. Учитывая соотношения
 Исследуем функцию nz. Положив z reiB, будем иметь
 In z In г --0.
 Эта функция не является однозначной, так как при обходе вокруг отверстия величина 0 возрастает от некоторого значения 0Х до 014-2тг. Приращение vr--ivb при обходе отверстия будет тогда
 Условие того, чтобы величина vr--ivb была однозначной, имеет вид
 ОО
 FZ A0z Alnz-%-± Cl,
 ОО
 оо
 X'z B0z--Binz — 2 L”1 с2.
 ос
 F'z2>Anz-
 ОО
 г' z b0zg't in г— - _”1-с2.
 112
 из выражения 8.45 получаем
 3-vi41 lvB1 0.

222 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ переменных гл. 8
 Так как напряжения ог и тг9 заданы при г at выражение or— можно разложить в комплексный ряд Фурье:
 ОО
 оr — iXrdrma 2 Спеш; 8.52
 п- — СО
 коэффициенты Сп находим по формуле
 C» i 1°гФ — лФгша-шМ> п 0. 1,-1,— 2.. 8.53
 о
 По формуле 8.48 имеем
 ог — хг9 F' 2 F' — zF г х 1 2i8-
 Подставляя в полученное выше выражение ряды 8.49 и 8.52 и учитывая, что на контуре кругового отверстия г а, находим:
 ОО
 2 Спе
 П - со
 со оо оо оо
 2 4”- eineS ine2 e_iree - 2 г-i п2 9
 П-0 71 0 71 0 п»0
 оо оо S о ■> ■Ап- -4Lei9-fio«i2eS ш-
 п—0 п0
 Сравнивая коэффициенты при eim в обеих частях полученного уравнения, имеем:
 4> Л>—§г С0. 8-54
 А_ С1. 8.55
 А_в0 С2, 8.56
 -г С„ при «>3, 8.57
 f C_„ при я>1. 8.58
 Поскольку величины Л0--Л0 и 0 характеризуют напряженное состояние на бесконечности, будем считать их известными. Выше отмечалось, что величина напряжений не зависит от мнимой части постоянной Л0. Из формулы 8.50 следует, что при определении перемещений мнимая часть Л0 будет соответствовать смещению абсо¬

8.7 БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНКА С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ 223
 лютно твердого тела. Следовательно, величина мнимой части постоянной Aq не существенна при решении задачи, и ее можно принять равной нулю. Тогда постоянная А0 станет вещественной; будем иметь
 А А 2i40.
 Из 8.51 находим
 I v я
 Подставляя это значение в выражение 8.55 и решая его относительно Ви получим
 Вх — 3 Сха. 8.59
 Из выражения 8.51 следует
 <1а. 8.60 Из уравнения 8.56 будем иметь
 А2 В0а2 -f- С2а2. 8.61
 Имея в виду, что постоянная Aq считается здесь вещественной, из 8.54 находим
 В2 2А0а2 — С0а2. 8.62
 Уравнения 8.57 и 8.58 дают
 Ап Спап при пЪ 8.63
 и
 вп п — 1я2А»-2 — апС_п2 при п>3. 8.64
 Таким образом, все коэффициенты оказываются известными. Задача будет полностью решена, если задано распределение напряжений по круговому контуру.
 В качестве примера рассмотрим задачу о широкой плите, имеющей в средней части малое круговое отверстие радиуса а и подвергающейся равномерному растяжению в направлении х. Эта задача была решена в параграфе 4.5 другим методом. Граничные условия здесь будут следующими:
 при г оо о S, о,. 0,  v v I 8.65
 а при г а ог тг9 0. J
 Из формул 8.40 и 8.41 находим для г оо:
 S 4A0, — S2B0
 отсюда
 S 	ft 5

224 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ переменных гл. 8
 Далее, из 8.52 и 8.65 находим, что все коэффициенты Фурье Сп обращаются в нуль. Тогда формулы 8.59 и 8.64 дают:
 Аг О, В1 О,
 л _ р __ Sa
 л2 — 29 2 — 2
 Ап 0 при 3,
 в3 — о, В4 -i,
 Вп 0 при и Соответственно, функции F' z и г будут иметь вид:
 г., ч S, 2а2 ч 5. я2, За4
 F z— 4 у г2 » X 2 г2 <г4 Подставляя эти выражения в формулы 8.46 и 8.47, находим:
 ог--а9 51 —2 cos26j,
 О, _ аг 2хг9 5 2 «-«» _ «26 _ 3 е-.
 Это дает:
 a, -1---i3-4cos2e.
 “ f О 37cos20’
 —т12— 37sin20-
 Мы пришли к тем же выражениям для напряжений, которые были получены в параграфе 4.5.
 Отбрасывая несущественные постоянные интегрирования сх и с2 в формуле 8.50 и разделяя вещественную и мнимую части, имеем:
 »r1w1Tf2“'Tr2-C0s;4
 v, — 2> т7 2“2'г 7>sin 2в-
 Задача 1. Пользуясь методом, изложенным в данном параграфе, найти закон распределения напряжений в бесконечной равномерно растянутой пластинке с малым круговым отверстием в средней части. Граничные условия здесь будут ох Су S, хху 0 на бесконечности и аг хг0 О при г а.
 Отв. F' г -, г г,
 cfi „ I л. а?
 , 51 ““72» a9 sl тгв 0,
 9 0.
 Sl V — V Ег

8.8 БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНКА ПОД ДЕЙСТВИЕМ сил И МОМЕНТОВ 225
 Задача 2. Найти распределение напряжений в бесконечной пластинке с круговым отверстием, если по краю отверстия приложено равномерно распределенное нормальное давление р. Напряжения на бесконечности принимаются равными нулю. Граничные условия будут следующими:
 ху 0 при г оо, аг — — р, тг6 0 при г а. ра?
 Отв. F'z 0, Хг ра>
 Qr — уг ?а21 ае
 IV -
 Ег
 ра?
 г’
 t0 O.
 ХГ0 0,
 Задача 3. Найти распределение напряжений в бесконечной пластинке с круговым отверстием, если давление р% приложенное вдоль кромки отверстия, изменяется по закону
 ar р0 cos 0 при — а < 0 < а
 и
 Qr — р0 COS тс — 0 при л — а <; 0 <; тс -- а; напряжения на бесконечности считаются равными нулю.
 8.8. Бесконечная пластинка, находящаяся под действием сосредоточенных сил и моментов. Метод, описанный в предыдущем параграфе, можно также использовать для исследования, напряженного состояния в бесконечной пластинке, находящейся под действием сосредоточенных сил и моментов.
 Начнем с рассмотрения бесконечной пластинки толщины h с круговым отверстием радиуса а. Предположим, что распределение напряжений по краю отверстия задано в следующей форме:
 Y а на
 2пah 9 бесконечности
 2тсah 9
 напряжения
 равны нулю. Величины Рх и Ру в этих выражениях являются постоянными, это — составляющие результирующей внешних сил, действующих по кромке отверстия. Заметив, что положительная нормаль N составляет с положительным направлением оси х угол 0тг рис. 8.10, получим:
 Prra — 2ah Рх C0S 0 Р9 Sin 9
 хгвга — 2nah Р Sin 6 Р« C0s 6-

226 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ГЛ. 8
 Следовательно, на круге будем иметь
 °г - - 2л Р - iP« е
 Из этого уравнения следует, что коэффициент разложения 8.53, не обращающийся в нуль, равен
 Cl 7ЫаК Рх lPvПримем, что напряжения на бесконечности равны нулю. Тогда
 А0 В0 0.
 По формулам 8.59 и 8.64 находим:
 О 	»
 Ау, Л» ° ПРИ « > 2.
 о 	3 — V Рх — IP у
 В' Ш ’ В2 0-
 ,lvPetf>y 0 п
 В3 — о2 Вп 0 при и >4.
 Отсюда
 1 	v Px iPyl
 F z Ш 7’
 „ _ 3 - V Рх - IPy 1 1 V Рх 1РУ а?
 1 2Г — 8nh г 4ith г8 '
 Пусть радиус отверстия а стремится к нулю, и в то же время компоненты поверхностной силы X и V возрастают так, что результирующая сила все время остается постоянной по величине и направлению. По мере приближения радиуса а к нулю второй член в выражении для х z стремится к нулю. Тогда
 3 — v Рх — iPл 1 у Z _: 41 _
 87ih г
 Подставляя эти выражения Ff z и х z в формулы 8.46 и 8.47, получим:
 1v Рх cos 0 Ру sin 0
 °г 9 2hr ’
 Рх cos в Ру sin 0 1 — v Рх sin 0 — Py cos 0
 °е —°г 2хгв И 2Ш- : •
 Это дает:
 3 v Рх cos ® Руsin ®
 °в— 4яг 'С,'е:
 4тсЛ г
 1 — v Рх cos 0 Ру sin I
 1 — v Рх sin 0 — Ру cos 0
 8.66

8.9 КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА, ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЕННАЯ ПО КОНТУРУ 227
 Формулы 8.66 дают распределение напряжений в бесконечной пластинке, вызываемое сосредоточенной силой, приложенной в начале координат.
 Определим, далее, напряжения в бесконечной пластинке, возникающие под действием момента, приложенного в центре координат. Вначале рассмотрим случай равномерного касательного усилия 7 приложенного вдоль кромки кругового отверстия радиуса а. При г а
 ог 0, тг0 Т.
 Снова примем, что на бесконечности напряжения обращаются в нуль, и потому А0 В0 0. В силу условия
 °г — Кьга — iT
 все коэффициенты ряда Фурье 8.52 обращаются в нуль, за исключением постоянного члена
 С0 — 1Т.
 Из формул 8.59 и 8.64 находим:
 Ап 0 для всех значений п,
 Вп 0 для всех значений г, кроме п 2,
 Я> —С0а2 iTa2.
 Момент внешних сил, приложенных к контуру отверстия, равен
 М — 2 тш2кТ
 отсюда
 D Ш Г?Г, Г Н 1М 1
 2 Ыг и '<> 0. Простые вычисления дают:
 — п - 2тzhr ‘
 <г о» 0. V — оZTTX • 8-67
 Этот результат отвечает распределению напряжений в бесконечной пластинке, находящейся под действием момента Ж, равномерно распределенного по кромке отверстия радиуса а. Эти формулы не изменятся, если радиус отверстия будет стремиться к нулю, а усилие Т будет возрастать так, чтобы момент М оставался постоянным. В предельном случае формулы 8.67 дают распределение напряжений в бесконечной пластинке под действием сосредоточенной пары с моментом Ж, приложенной в начале координат.
 8.9. Круглая пластинка, произвольно нагруженная по контуру.
 Общее решение задач, относящихся к круговому контуру, может быть легко составлено в форме ряда. Так как напряжения являются конечными и однозначными, то функции F' z и у z будут аналитическими и однозначными в области га, где а—радиус

228 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ переменных гл. 8
 круглой пластинки. Следовательно, имеем
 оо оо
 г 2 2 Anzn. f z 2 Впгп. 8 68>
 по по
 Допустим, что круглая пластинка находится в равновесии под действием заданной контурной нагрузки
 ОО
 or — Hrbrafв 2 <V«, 8.69
 П —оо
 причем комплексные коэффициенты Фурье Сп. определяются по формуле
 2тг
 С« Ъ; f fWe-bfidB. 8.70
 О
 Так как круглая пластинка уравновешена, то результирующее усилие Fx--iFy и момент М вдоль контура должны обращаться в нуль. Учитывая соотношения
 2к
 Fx -f IF у f ar 4 nrera eif>a dd,
 0
 2k
 M T'-eraa2 0.
 0
 имеем
 C_i 0 и C0 C0.
 Таким образом, величина C0 будет вещественной.
 Изменив теперь в формуле 8.69 знак перед i на обратный, подставим полученный ряд, а также ряд 8.68, в 8.48. Учитывая зависимость z aeiB при г —а, найдем
 со оо
 2 спе™ А0 А0 2 Апае™ —
 —оо п1
 оо 	ОС
 — 	2 я — 1 лпа — 2 Впапе <п2>9.
 п1 п0
 Приравнивая коэффициенты при eini в обеих частях полученного уравнения, будем иметь:
 А •■ Д — с0.
 Ап — Спап, п 1. 2, 3 —а-»л 1С„г С_п21. п — 0, 1. 2. 3,.
 8.71

8.9J КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА, ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЕННАЯ ПО КОНТУРУ 229
 В качестве примера рассмотрим круглую пластинку, находящуюся под действием нагрузки, приложенной по двум одинаковым и расположенным друг против друга дугам контура. В этом случае имеем:
 ог — —р при —аба и тс — а б тс -- а, тг0 0 при всех значениях 0.
 Из формулы 8.70 следует:
 ло
 с — —
 2п
 а гса -
 J— ре-™ db-- f — pein9 db I —а тс—a J
 или
 C0-, C, sln2iia. C2nl 0.
 Таким образом, из выражений 8.71 находим:
 AA-L.
 2w l » 2nl 0
 - p sin 2na R 2p sin 2 n -- 1 a
 2 n mtcfin 2n Ticfin
 Так как мнимая часть А0 не оказывает влияния на значения напряжений, можно принять ее равной нулю. Тогда
 ОО % ОО
 •>g S,м У
 П 1 W—О
 Подставляя эти выражения в формулы 8.46 и 8.47, получаем: — cos2re6j»
 — °г 2гв sin 2 я 1 a l — ei2nl9f
 n—О
 1
 s аг - 5sin 2 a c°s 2 rei 6 j •
 --а Ё-5'Г1 т5зп21асоз2л10-
 ОО
 хг» 1Г 2ir 0 — -S' sin 2 г -Н 1 a sin 2 го 16.
 откуда °е
 П-0

230
 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
 гл. 8
 8.10. Пластинки, ограниченные двумя концентрическими окружностями. Перейдем к рассмотрению пластинки, ограниченной двумя концентрическими окружностями; внешний радиус обозначим через b и внутренний — через я. Выберем начало координат в центре окружностей и примем, что внешние силы приложены по контурам пластинки. Тогда граничные условия будут иметь вид:
 8.72
 ar — ixrdra fl 0 — 2
 П —оо
 ОО
 аг —хг,г6 2е 2 С'еШ>
 п —со
 причем коэффициенты ряда Фурье Сп и С' определяются по формулам:
 С» ЦШеш dB,
 0
 2%
 С» Ше-db.
 8.73
 Судя по формуле 8.40, условие однозначности напряжений будет выполнено, если вещественная часть функции Ff z является однозначной. Функция F'z, выраженная в виде комплексного ряда, имеет вид
 СО
 F'z A'nz 2 Anzn. 8.74
 П—-00
 Из выражения 8.41 следует, что напряжения будут однозначны, если функция xz однозначна. Следовательно, выражение для х z можно записать в виде
 ОО
 xz 2 Bnzn. 8.75
 ft — — ОО
 Если произвести интегрирование функций Ff z и х z> определяемых по формулам 8.74 и 8.75, и полученные выражения подставить в 8.39, то условие однозначности компонентов перемещения примет вид:
 А' 0 и 3 — v А _ 1 — v_i 0. 8.76
 Подставляя ряды 8.74 и 8.75 в формулу 8.48, получаем:
 оо оо оо
 2 1 — » Ап — вп-г апеш 2 Ana»e-in 2 Спе->,
 —оо —оо —оо
 оо оо ОС
 211 - а Ап - Вп_фг ьпеш 2 АпЬпеш 2 C'nein

8.77
 8.10J ПЛАСТИНКИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ ДВУМЯ КОНЦЕНТРИЧ. ОКРУЖНОСТЯМИ 231
 здесь было использовано условие А' 0. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях eiB в обеих частях полученных уравнений, находим: _
 А0 А0 — В__2а2 С0.
 А0 А0 — В_ф 2 Со,
 1 	— п Апап — Вп_2аП2 А-пап Сп>
 п ± 1, ± 2,.
 1 	—п АпЬп — Вп_фп2 Л_пГп с'п,
 п ± 1, ±2 Решая первое из этих уравнений, будем иметь:
 л J С0Ь2 CQU о _ С0 Соа2 О 7 0
 Ао-ГАо № — а2 2 ь2— а2 8.78
 Так как величина Л0--Ло вещественна, то и выражение C'J2— С0а2' будет вещественным. В самом деле, простые выкладки показывают, что такое требование эквивалентно условию равенства нулю результирующего момента всех внешних сил. Поскольку прибавление мнимой постоянной к Ff z не повлияет на распределение напряжений, можно принять, что величина Aq является вещественной и положить А0 Aq.
 Принимая в третьем уравнении 8.77 п 1, получим А_ 1 — В_1 Сха.
 Найдя сопряженную величину и учитывая второе из уравнений 8.76, будем иметь:
 Л 1 V СЛ о 3 v CCL Q 7Q4
 А-1 — 2 — » — — — 8.79
 Разделив третье уравнение 8.77 на —ап2, а четвертое — на Ьп2, и затем сложив их, получим
 <1 — пЬ2 — а2 Ап--г,-21 _ йТ2”-1 А_п С'пЬп2 — Спап2.
 8.80
 Заменяя в выражении 8.80 п через —п и найдя величину, сопряженную с окончательным выражением, придем к следующему уравнению:
 62П2 - ап2 Ап 1 п 62 - а2 Л_„ С' _пдп2 - С_пап2.
 8.81
 Как легко видеть, условие равенства нулю результирующей всех сил, приложенных к контурам, получает вид
 СЬ — С1а 0.

232 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ГЛ. 8
 Для п 1 уравнение 8.80 тождественно удовлетворяется. Уравнение 8.81 дает
 04 _ а Ах 2 62 — а2 Л Cle — С_га
 Определяем отсюда Аг:
 C'b3 — C_taz 1—v Сла Al Ь± — а± “28.82
 Остальные коэффициенты я ± 2, ±3,. можно найти, решая систему уравнений 8.80 и 8.81:
 1 Я2-в2с>-П2-Сяв“я2--2я2_в-2п2?'_яП2_С-лап 2
 Лп _ „2 2 _ а22 _ 2п2 _ а2п2,-22 __ д-2п2
 8.83
 Остальные коэффициенты Вп можно определить из третьего уравнения 8.77:
 Вп-2 1 - п Лпя2 А_па-2” — Спа-п2. 8.84
 В качестве примера рассмотрим толстостенный цилиндр, подверженный равномерному внутреннему давлению ? и внешнему давлению р0. В этом случае
 or — pi при г а,
 0Г —р0 при г ЬУ
 тг9 0 при г — а и г — Ь.
 Все коэффициенты в ряде Фурье 8.72 обращаются в нуль, за исключением С0 и С'; последние будут равны:
 С0 —pi, Со А
 Формула 8.75 дает:
 л _ P№—Pi о _Pi — РоаЬ.
 2ЬЪ — а? 2__ Ь — а? ’
 все остальные коэффициенты в выражениях 8.71 и 8.72 обра¬
 щаются в нуль. Находим:
 F4?— Pob — Pia Pi — PoaW 1.
 1 	2 62 — а ' w — 2 — a? я
 отсюда
 ptjb — pifl, Ро — Рда 1
 °г“ —Л2 “Г 62_Л2 Г2 »
 _ _ рф—рга ро-раЧ 1
 а0 Ьъ — а? Ь-сР г2 ’
 тг9 0.
 Эти формулы в точности совпадают с теми, которые были получены в параграфе 4.4.

8.111 РАСТЯЖЕНИЕ ПЛАСТИНКИ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ 233
 Задача 1. Показать, что условия равенства нулю результирующих сил и моментов на контурах равнозначны следующим:
 сь — С> 0;
 выражение С'Ь2 — С0а2 должно быть вещественным.
 Задача 2. Найти распределение напряжений в круглой пластинке, если по равным и лежащим друг против друга дугам внешнего контура действует равномерное давление, а на внутреннем контуре давление равно нулю. Граничные условия в этом случае имеют вид:
 аг — р при Г Ь и — а <; 0 <; а и те — а -< 0 < тс -- а,
 аг 0 при г а,
 TrQ 0 при г а и г Ь.
 8.11. Растяжение пластинки с эллиптическим отверстием.
 Метод конформных преобразований. В предыдущих параграфах был решен ряд важных задач для случаев, когда исследуемые области имели круговой контур. Если контурные линии не являются окружностями, то изложенные выше методы надо видоизменить, использовав конформные преобразования. В качестве примера рассмотрим бесконечную пластинку с эллиптическим отверстием. Область, лежащую вне эллиптического отверстия в комплексной плоскости z, можно отобразить в область, лежащую вне единичного круга в комплексной плоскости С, с помощью функции отображения
 z 0 cc-bf-, 8.85
 где 0<я< 1. Легко показать, что контур единичного круга С 1 соответствует эллипсу с центром в начале координат для плоскости z полуоси эллипса будут:
 а с т, b c 1—т. 8.8Б
 Выразим величины с и т через большую и малую полуоси:
 <, 8.87,
 Примем, что большая полуось эллиптического отверстия совпадает с осью х, а равномерно распределенное растягивающее усилие 5 действует под углом 3 к оси х рис. 8.11. Через Ох', О у'
 обозначим декартовы оси, полученные при повороте оси Ох на угол р
 до совмещения с направлением 5. Как легко видеть, зависимости 1.15 и 1.17 получают вид:
 о®' <V Qx <V <V — 2Ta,ryr e2i? py — ox 2HXy.
 Поскольку на бесконечности
 Ox’ S, Oyf Txy> 0,

234
 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
 гл. 8
 будем иметь:
 ах--Оу S, Gy — 3x--2izХу — на бесконечности.
 Далее, по формулам 8.40 и 8.42 находим
 4 Re F' z — S, 2 zF z -f- % z — Se2i>3 на бесконечности.
 8.88
 Так как по контуру отверстия внешние нагрузки не приложены, то
 Рис. 8.11.
 результирующее усилие в любой точке контура должно равняться нулю. Таким образом, для эллиптического отверстия имеем:
 F х № у 0
 Fz zF'zx' 0.
 8.89
 С помощью функции отображения z С можно выразить функции F z и %z через переменную С:
 Тогда
 Fz F С F, С, х X ©I Xi <0- 89°
 dx dy. dQ
 y' Z _ _ y ’ dz d4 dz f 0 '
 ' C ’ Xx' C
 p-■» K«>1
 F z — « L ' о J
 d X1 C 1 л ъC C _ 7-lC <c>
 x Z L'0 J dz — 'OP
 ' op
 8.91

8.1 1J РАСТЯЖЕНИЕ ПЛАСТИНКИ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ 235
 Подставляя эти выражения в формулы 8.39, 8.40, 8.42, 8.43 и 8.44, получаем:
 U IV F, С - F С - С. 8.92
 , _,D К -
 ах Оу — 4Re
 8.93
 О О ' 0 - 0 0 С
 ХГГ’'С — Xi0CJ, 8.94
 r.tr,■- л ГО Л F; ГО'. 8.95
 М Re Zl Q О - К С • 8.96
 Для того чтобы напряжения были однозначными, функции Fr Q и % С должны иметь вид:
 ОО
 Fi ч> 2 АГ-». x'l С S
 п0
 8.97
 Из уравнений 8.89 и 8.95 видно, что на круге С1 имеет место соотношение
 7' Q Л С СЭ Ж Q x'i Q 0.
 Переходя к сопряженным функциям, будем иметь
 '0iy7y7QZQ 0 при С 1. 8.98
 Интегрируя 8.97, получаем:
 П 1
 л С а>»лш: л ’
 п 2
 оо
 SD “ W-f 1
 _в Ч-Д.
 гг2
 8.99
 где Л и Л — комплексные постоянные интегрирования. Подставляя выражения 8.99 в 8.92, находим, что компоненты перемещения будут однозначными при условии
 3 — vx l vBl 0. 8.100

236
 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
 ГЛ. 8
 Постоянные А, В и вещественная часть А0 характеризуют только перемещение абсолютно твердого тела, поэтому эти величины можно принять равными нулю. Для 1 имеем:
 ' 9 с l _ 1 - те-. 7C с С j с «-« те.
 — — — — — — VI А Я1
 П 2
 f С 2 А,-?
 п0
 D л—i Т2“1 9
 х; Q П п_1-
 8.101
 Подставляя эти выражения в 8.98, получаем:
 tt—1 6
 _ Л Jin-.
 А0е9 — L4X0 — nnZTf
 71 2
 -h
 н- с -» те» Апеш В0е -- tBfi — J 0-
 'п—0 п—2
 Приравнивая коэффициенты при 0 и eim в последнем уравнении, находим:
 сАх —— Вх 0,
 Ап 0 при л>3,
 — сА2 -I—А4 —стА0 В0 — 0, сАх стА3 y 0,
 сА§ —— стА2 f Н мА2 — В2 — 0,
 g
 — cmAq -j- сА2 стА4 0,
 Вп 0 при я 5.
 8.102

8.11 РАСТЯЖЕНИЕ ПЛАСТИНКИ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ 237
 Граничные условия на бесконечности дают:
 л _cS D _ Se-
 2
 Решая первое уравнение 8.102 совместно с 8.100, получаем
 AX BX 0.
 Решая остальные уравнения 8.102, будем иметь:
 А2 т — 2e2it В2 Ар О --rti2 — 2т cos 3,
 в3 — 0. в4 —
 Тогда найдем:
 F' 0 -- §- т — 2е2Р Г2,
 х С — eW — — cos 2р Г2 — е2«С-4;
 отсюда следует
 0a> af, 4Re  S 1 — т2 — 2 cos2p — 0 2тcos 20 cos 2 Р — 0 — 2m sin 20 sin 2 P — 0
 — 1 m? — 2m cos 20
 8.103
 Максимальное напряжение имеет место на конце большой полуоси 0 0 при р тс2. Поскольку в этой точке ох — 0, имеем
 1 — т? 2 — 2т 3 -- т
 °шах 1 -f- т2 — 2т 1 — т Из формул 8.87 находим
 а — b т —j—г; а--Ь ’
 отсюда
 Таким образом, величина отах возрастает по мере того, как эллипс становится более вытянутым.
 Задача 1. Определить функции F' С и х G в случае, если бесконечная пластинка с эллиптическим отверстием подвергается равномерному растяжению. Показать, что в этом случае максимальное напряжение, имеющее место на конце большой полуоси, равно
 2 	Sa
 amax — u •

238
 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
 ГЛ. 8
 Задача 2. Определить функции F' г и х для бесконечной пластинки с круглым отверстием, находящейся в условиях простого растяжения на бесконечности. Применить вместо формулы 8.48 формулу 8.43, как было сделано в этом параграфе.
 Задача 3. Бесконечная пластинка, ослабленная криволинейным полигональным отверстием, подвергается простому растяжению; усилия растяжения на бесконечности наклонены к оси х под углом 3. Криволинейное полигональное отверстие в плоскости может быть отображено на единичный круг в плоскости С с помощью функции отображения
 г с1 тГя,
 где с, т — вещественные положительные постоянные, и 0•< mл — 11» Найти закон распределения напряжений в пластинке.

ГЛАВА 9
 ИЗГИБ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ
 9.1. Чистый изгиб призматических стержней. Если стержень изгибается двумя равными и противоположно направленными моментами М рис. 9.1, то говорят, что стержень подвергается чистому изгибу. Из физических соображений вытекает, что в этом случае все компоненты напряжения, кроме должны обратиться в нуль. Поэтому предположительно примем:
 , ахх, у, Z, оу <
 vху '
 vx°;
 9.1
 здесь охх, у, z — неизвестная функция от х, у, г. Пользуясь законом Гука, находим ком¬
 поненты деформации:
 %
 Z
 б
 О
 Ъу — г— ■ рис< 9Л-
 Т ху 7yz 7гх
 Подставим эти выражения в уравнения равновесия; последние будут удовлетворяться тождественно при условии
 4л1о-
 дх
 9.2
 Это значит, что ох не зависит от х и является функцией только у и z. Если учесть условие 9.2, то уравнения совместности преобразуются к виду:
 : 0, 9.3
 ду <х dz2
 дх
 ду dz
 0.
 0.
 9.4
 9.5

240 ИЗГИБ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ гл. 9 Интегрируя уравнение 9.3, получаем
 °a,yfiZf2z. 9.6
 где fiz и 22 — неизвестные функции, зависящие только от z. Подставляя выражение 9.6 в равенство 9.5, находим
 4 0, ИЛИ 12 С1,
 где Сх — постоянная. Подстановка 9.6 в равенство 9.4 приводит к уравнению
 - 0.
 dz2
 После интегрирования находим
 2 4“ С3»
 где С2 и С3 — постоянные. Отсюда
 C,jf C2z C8. 9.7
 Выберем начало координатной системы в центре тяжести поперечного сечения, а плоскость xz совместим с плоскостью изгибающего момента. Тогда для любого плоского сечения, параллельного плоскости yz, должны иметь место равенства:
 Fx — J j oxdA 0,
 А
 My j J axz dA — Mt
 M2 f f axy dA 0,
 9.8
 причем интегрирование распространяется на всю площадь поперечного сечения А. Подставив 9.7 в первое из уравнений 9.8
 и произведя интегрирование, получим
 С3 0;
 третье условие дает
 CJZ -f- C2Iyz 0,
 где — центробежный момент инерции поперечного сечения стержня относительно осей у и z, a lz — момент инерции относительно
 оси z. Для симметричных сечений Iyz 0 и, соответственно, 0. Из второго уравнения 9.8 находим
 СгК или С2 -г-.
 1у

9.1
 ЧИСТЫЙ ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
 241
 Отсюда следует:
 Mz О 04
 °х — г > 9.9
 ЛУ
 где 1у — момент инерции поперечного сечения стержня относительно
 оси у. Это выражение для ох совпадает с расчетной формулой на
 чистый изгиб, известной из курса «Сопротивление материалов».
 Определим, далее, перемещения при чистом изгибе. Из уравнений 9.1, 9.9 и соотношений закона Гука имеем:
 ди М
 дх Ely
 9.10
 т-ж,г’ 9Л1
 -Ж' 9Л2
 Й 9ЛЗ
 Из уравнения 9.10 после несложного интегрирования получаем
 М 14
 - 	■«оУ, •
 где и0у, z — неизвестная функция у и z. Второе и третье уравнения 9.13 дают:
 dv ди
 du0
 дх
 ду
 dy 9
 dw ди
 М
 du0
 дх
 dz
 El Х
 dz 9
 откуда
 v — yx voy> z.
 W :
 M x2 du
 STx wo.y. г.
 где Vq у, z и w0y, z — неизвестные функции у и z. Подставляя
 эти выражения в 9.11 и 9.12 и группируя члены, находим:
 d2u dvQ. чМ d2u0 dwQ. чМ
 ——х Н“ ЁГ7 о X -тту- z.
 ду2 ду 1 Ely dz2 dz 1 EIy
 Так как члены в правой стороне этих уравнений не зависят от х,
 то должно быть:
 д2и0 л д2а0

242 ИЗГИБ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ гл. 9
 Имеем
 уМ,, ч vM г2., ч
 г,о — w0 — -EI--Yg2y,
 где gxz и g2y— соответственно функции от z и у. Перемещения оказываются равными:
 ди0 уМ,, ч
 V WX-
 М х2 ди0 уМ г2'., ч
 ■—Щ2—§Г х-щт О-
 Подставляя эти выражения в третье из уравнений 9.13,
 dv dw dzTdy'
 находим
 dy dz 1 dz dy Ely Последние три члена не зависят от х поэтому можно записать:
 _ п и аёч §г
 dy dz du EIV У dz
 Рассматривая второе из этих уравнений, замечаем, что члены, стоящие в левой его части, являются функциями только от у, а член в правой части — функцией только от 2. Функция от у может быть
 равна функции от z для всех значений у и z только в том случае,
 если обе функции равны постоянной величине; обозначим ее через ах. Следовательно, функции gx, g2 и и0 должны удовлетворять урав¬
 нениям:
 dg± dgn vM_
 dz l' dy EIy
 у— a
 а д2н0 Л diiQ dy2 — dz2 — u dydz u
 Сравнивая эти зависимости с уравнениями 9.3 — 9.5, находим
 u0 a2y-ra3z--a4.
 Прямое интегрирование дает
 I У2 I I
 gi -alz--ab, g2 — 2—-raly alt,
 где а2, я3, 4, аъ и а6 — постоянные. Выражения для перемещений принимают вид:
 м, а — pj xz 4“ агУ Ч- azz “1“ а»
 CJy
 vM
 v ру- yz — а2х — axz аъ,
 W- — -щ- х2 — vy2 vz2 — asx а6.

9. 11 ЧИСТЫЙ ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ 243
 Чтобы определить постоянные интегрирования, будем считать, что центр тяжести сечения стержня, а также элементарный отрезок оси х и элемент плоскости xz, закреплены в начале координат. Следовательно, при х у z — 0 должно быть
 а dv dv dw q
 dx dz дх
 Отсюда вытекает
 CL — CL2 — 3 — 4 — 5 — 6 ■ 0.
 Окончательно перемещения получаются равными:
 At
 ЁГхг'
 у
 уМ
 Е1У
 W — 2 — ЧУ2 4- V22.
 9.14
 Из формул 9.14 находим, что в плоскости z 0 будет и 0 и 0. Следовательно, плоскость z 0 является нейтральной плоскостью стержня при изгибе. Чтобы определить - изогнутую ось стержня, рассмотрим какую-либо точку оси, например, точку, имеющую до деформации координаты х, 0, 0. После изгиба эта точка будет иметь координаты х у', zft причем
 х' х-- и х, у 0 4- 0. z' — 0--w — или У
 - М х'
 — 2 Еи
 Таким образом, изогнутая ось представляет собой параболу с радиусом кривизны R, определяемым из уравнения
 rfV М
 1 _ dx,2 _ Щ _ М
 R r.dz'2 EI' 9.15
 ыт
 Мы принимаем здесь, что величина является малой. Получен-
 у
 ные соотношения совпадают с формулой Бернулли — Эйлера из элементарной теории изгиба.
 Рассмотрим поперечное сечение стержня х С, плоское до изгиба. После деформации точки этого поперечного сечения будут иметь следующие новые координаты:
 ' C „ C-1-ZC C1
 z' z--w z — 2С2 — vy2 -J- VZ2.

244 ИЗГИБ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ гл. 9
 Решая совместно эти уравнения и пренебрегая членами, содержаМ
 щими -pj- в степени выше первой, получаем
 ✓»с.4
 Это значит, что при чистом изгибе плоские поперечные сечения остаются плоскими, как это предполагается в элементарной теории. Чтобы исследовать искажение поперечного сечения в его плоскости, рассмотрим стороны у ±Ьг см. рис. 9.1. После изгиба будет
 y'±bl v±-z±l>1l-z'.
 Обе стороны остаются прямыми, но оказываются наклоненными к своему первоначальному положению, как показано на рис. 9.1 пунктирными линиями. Для двух других сторон z i b2 поперечного сечения после изгиба находим уравнения
 z' ± b2-- w ± Ьг
 М
 2EL
 ± Ьо
 м
 2 Ыи
 Следовательно, эти стороны переходят в параболические кривые, как изображено на рисунке.
 Задача. Определить величины Съ С2, С3 в уравнении 9.7, если изгибающий момент приложен в наклонной плоскости и поперечное сечение стержня не является симметричным.
 Отв.
 Mylz Мг1гу
 г; ъ 2'
 лгу
 М21у Му1гу
 II I2
 1г1у zy
 9.2. Призматические стержни при совместном действии изгиба и сжатия. Рассмотрим случай сосредоточенной поперечной нагрузки,
 действующей на сжатый стержень со свободно или шарнирно опертыми концами рис. 9.2. Свободным или шарнирным ониранием считается такой вид закрепления, когда эги концы могут свободно вращаться, но не могут перемещаться в направлении z. Будем пользоваться обычным в теории сопротивления материалов правилом знаков для изгибающих моментов: момент будем считать положительным, если он вызывает напряжения сжатия в верхних волокнах

9.2 ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СТЕРЖНИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ИЗГИБА И СЖАТИЯ 245
 балки. Таким образом, слева от нагрузки Q изгибающий момент равен
 m Pw9L,
 а справа от нагрузки Q
 M PwQL-alax,
 где L —длина балки, а — расстояние от точки приложения нагрузки Q до правой опоры В, w — прогиб.
 Можно показать, что в данном случае справедлива та же формула Бернулли—Эйлера, которая применялась в параграфах 4.2 и 9.1 :
 ж я EI
 м-пг.
 Здесь под понимается момент инерции относительно оси у. Для малых прогибов имеем
 1 dw лл ст d't-w
 и М « — EI
 Отсюда
 diw - €>„. QaX
 EI-j — Pw— - при xL—a, 9.16
 EIL — Pw—QL-aL-x при xL — a. 9.17
 Введем обозначение
 P
 EI
 Уравнение 9.16 принимает вид
 к2.
 dw. Qa
 - kW wrrX
 dx4 -r EIL
 Знак плюс или минус в формуле Бернулли — Эйлера зависит от правила знаков, принятого для моментов М, и от выбранных координатных осей. Определить знак можно следующим образом. Примем, что на балку действуют положительные изгибающие моменты. Найдем упругую линию, отвечающую этим моментам. Если кривизна упругой линии отрицательна, то в формулу Бернулли — Эйлера надо подставлять знак минус. Если же кривизна положительна, то в формуле берется знак плюс. Например, в рассматриваемом примере упругая линия балки под влиянием положительных изгибающих моментов будет иметь вид, показанный на рис. 9.2. При такой упругой линии уклон уменьшается с увеличением х, и поэтому кривизна будет отрицательной. Следовательно, в формуле Бернулли — Эйлера надо выбрать знак минус. С другой стороны, если направление вверх принять для оси z за положительное и оставить то же правило знаков для М, то прогиб wf направленный вниз, становится в этом случае отрицательным.
 Здесь уклон будет уже увеличиваться с возрастанием х. Кривизна
 окажется положительной, так что в формуле Бернулли — Эйлера надо брать знак плюс.

246 ИЗГИБ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ гл. 9
 общее его решение будет иметь вид:
 w Cxcos kx --С2 sin kx— 9.18
 Аналогичным образом находим общее решение уравнения 9.17:
 w С3 cos kx -- С4 sin kx — Р. х 9.19
 где Сх С2, С3, С4 — постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий.
 При х 0 и x L должно быть w Q. Поэтому имеем
 Сх О и С3 — С4 tg kL.
 В точке приложения нагрузки Q при x L — а оба отрезка упругой линии согласно уравнениям 9.18 и 9.19 должны иметь одинаковый прогиб и одинаковый уклон. Получаем:
 С2 sin k L — а L — а
 С sin k L — а — tg kL cos kL — a J L — a
 и
 C2k cos k L — a — C4k cos kL — a tg kL sin k L — a %
 Решая эти уравнения, находим:
 Q sin ka р Q sin kL — a
 2 Pk sin kL 9 4— Pk tg kL e
 Уравнения для обеих частей упругой линии при таких значениях постоянных будут иметь вид:
 Q sin ka., Qa,
 w PkstokL smkx—pj-x при xL-a,
 QsinkL— a.. ч Q L — a L — x,
 ” ->ft-8lnVL anftL->--—m 1 при x>L-u.
 В частном случае нагрузки, приложенной посередине балки, упругая линия будет симметричной; наибольший прогиб имеет место
 при х --. Подставляя х - и a в каждую из приведенных выше формул, находим
 kL

9.3J ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СТЕРЖНИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОСЕВОГО СЖАТИЯ 247
 Пользуясь соотношением Р k2EI, запишем это выражение для wmajL в следующем виде:
 При увеличении осевой силы Р значение k возрастает. Если
 то прогиб стержня окажется бесконечно большим даже при весьма малой поперечной нагрузке Q. Бесконечно большое значение для прогиба было получено нами из-за того, что кривизна определялась по приближенной формуле. Этой формулой можно пользоваться только при малых прогибах. Расчет показывает, однако, что при действии на стержень сжимающей нагрузки, равной Р 9.21, стержень получит большие прогибы и разрушится вследствие интенсивного изгиба, независимо от того, как бы мала ни была поперечная сила. Эта продольная сжимающая нагрузка носит название критической нагрузки или нагрузки, вызывающей продольный изгиб buckling load. Задача о продольном изгибе стержней впервые была рассмотрена Эйлером; поэтому критическую нагрузку называют также эйлеровой силой. В следующем параграфе мы вновь вернемся к определению этой силы.
 9.3. Призматические стержни под действием осевого сжатия. Устойчивость упругого стержня. Рассмотрим случай, когда стержень, шарнирно опертый по концам, находится под действием сжимающей нагрузки Р, приложенной в центре тяжести сечения. Допустим, что величина нагрузки Р лежит ниже критического значения. Можно показать, что при этом стержень будет оставаться прямым, подвергаясь только осевому сжатию. Эта прямолинейная форма упругого равновесия называется устойчивой. Иными словами, если в результате бесконечно малого возмущения например, благодаря действию малой поперечной силы стержень окажется выведенным из равновесия, то он будет возвращаться к прямолинейной форме, как только прекратится действие возмущающего фактора. В том же случае, когда нагрузка Р превышает критическую, оказываются возможными две равновесные формы ♦. Стержень может остаться
 w
 шах
 9.20
 параметр -у- приближается к значению то tg стремится
 ч kL я
 к бесконечности. Следовательно, если положить — 2 или
 9.21
 Теорема об однозначности решения, о которой говорилось в параграфе 3.6, здесь теряет силу, так как соотношения между деформациями и перемещениями становятся нелинейными см. об этом параграф 10.6.

248 ИЗГИБ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ гл. 9
 прямолинейным, либо принять изогнутую форму. Мы увидим ниже, что прямолинейная форма равновесия является неустойчивой, а изогнутая форма—устойчивой. При критическом значении нагрузки состояние равновесия будет безразличным. Говоря о неустойчивом равновесии, мы имеем в виду, что тело, будучи выведено из состояния равновесия в результате приложения малой силы, получает нарастающую деформацию и после удаления этой силы. Если же деформация тела сохраняется после удаления нагрузки, то принято говорить, что тело находится в состоянии безразличного равновесия.
 Допустим, что стержень оказался изогнутым вследствие действия малого возмущения. Координатные оси выберем, как показано на рис. 9.3; изгибающий момент в любом поперечном сечении тп окажется равным Pw, а дифференциальное уравнение упругой линии
 здесь 5 — длина кривой, отсчитываемая от конца Л изогнутого стержня, а 0 — угол между касательной к кривой и осью х, как изображено на рис. 9.3. Следовательно,
 Дифференцируя уравнение 9.22 по 5 и учитывая соотношение
 Умножим оба члена уравнения на dQ и проинтегрируем по 0. Принимая во внимание зависимость
 будет иметь вид:
 Точное выражение для кривизны имеет вид
 Рис. 9.3.
 1 	db.
 R ds 9
 EI Pw 0.
 9.22
 получаем
 Е41.-I-Р sin 0 0.
 as2
 9.23
 найдем
 где С — постоянная интегрирования. Отсюда El I ев 2

9.3 ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СТЕРЖНИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОСЕВОГО СЖАТИЯ 249 На конце А должно быть
 0 а и М Е 0,
 as
 следовательно, величина С равна —Pcosa. Введем обозначение
 Р
 Ь2-т> тогда
 ± к cos б — cos a.
 Y 2 ds
 При увеличении дуги 5 угол 0 уменьшается. Поэтому производная
 db
 отрицательна, и перед корнем следует выбрать знак минус.
 Отсюда
 ds dd k у 2 У cos 0 — cos a
 Общую длину L стержня получим, интегрируя выражение для ds:
 t •_ т, - г, •
 J J k у 2 У cos 0 — cos a J ky 2 у cos 0 — cos a
 a —a
 _j_ г M n-« sin2l-sin54
 Обозначим sin-- через p и введем новую переменную ср, определяемую соотношением
 . 0
 sin у р sin ср.
 При изменении б от —а до -f-a величина sin ср меняется от —1 до 1, а угол ср принимает значения от — до Выразим
 dB и L через ср:
 _ 2> cos 9
 У1 — ?2 sin2 ср
 L f -т—. 9.24
 k • VI— sin2 9 k
 Величина

250 ИЗГИБ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ гл. 9
 называется полным эллиптическим интегралом первого рода. Значения К для разных параметров р помещены в таблицах.
 Если прогиб весьма мал, то угол а, а следовательно, и параметр р будут очень малы, и величиной р2 sin2 ср можно пренебречь по сравнению с 1. В этом случае
 Litfd'? T'KV-T--
 о
 Отсюда находим выражение для критической силы:
 р_ЛШ Z,2 ’
 Вычислим, далее, прогиб посередине стержня при 0 0. Учитывая соотношение dw ds sin 0, имеем
 а
 g_ J_ Г sin 6 db 2 	isinD-slnA
 Выражая 5 через угол ср, найдем
 8 -у- f sin<?d<? Ц-. 9.25
 О
 Из таблиц эллиптических интегралов определяем величину К для разных значений а или р. Из уравнения 9.24 имеем
 Р PL? 4 К?.
 Ркр — пЕ — ;
 максимальный прогиб определяется равенством
 о 	2р
 Краткие таблицы значений К можно найти в книге В. О. Peirce, A short table of integrals, Boston, 1929. Такие таблицы приведены в «Справочнике по математике» И. Н. Бронштейна и К. А. Семендяева и многих других справочных книгах. Прим. ред.

9.3 ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СТЕРЖНИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОСЕВОГО СЖАТИЯ 251 Координату хв можно вычислить следующим образом:
 cos 0 db
 xBfdxfcos0d wf
 lsin2ir-sln2
 С
 ___2 Г 1 — 2p- sin2 у df
 k J yrl
 У1 — p sin2 9
 Учитывая соотношение 1—2p2sin2cp 2l—рг sin2?— 1, находим
 хв т f У1 P2sin2cpdcp— 2- f dte r- 70
 k J y YT k J у I sins k
 ИЛИ
 _— 2 — 1
 L К ’
 где E— так называемый полный эллиптический интеграл второго рода.
 В таблице 9.1 приведены величины РРкр, хвЕ и oL, вычисленные для различных значений а.
 Таблица 9.1
 а
 20°
 40°
 О
 S
 О
 О
 ОО
 100°
 О
 О
 140°
 О
 О
 СО
 176°
 рр р
 xbl
 ЪL
 М
 1,015
 0,970
 0,110
 0,112
 1,063
 0,881
 0,211
 0,224
 1,152
 0,741
 0,296
 0,341
 1,293
 0,560
 0,359
 0,464
 1,518
 0,349
 0,396
 0,601
 1,884
 0,123
 0,402
 0,757
 2,541
 —0,107
 0,375
 0,953
 4,029
 —0,340
 0,313
 1,261
 9,116
 —0,577
 0,211
 1,923
 Выясним теперь, в какой мере устойчивы различные формы равновесия. Изгибающий момент в середине стержня, отвечающий равновесному состоянию стержня, равен РЬ. В безразмерной форме имеем
 Р Ь _ 4Кр
 М
 Ркр L
 В таблице 9.1 даны безразмерные параметры момента М, относящиеся к разным значениям а. На рис. 9.4 дан график изменения М в зависимости от bL. Будем считать, что на стержень действует сжимающая нагрузка Р' и что стержень имеет некоторую стрелу прогиба Ъ, причем величины Р' и 8 не обязательно

252 ИЗГИБ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ гл. 9
 соответствуют равновесному состоянию. Наибольший безразмерный параметр изгибающего момента равен
 М' --±
 Рк р L •
 Так как величина Р' не зависит от 8, то график зависимости момента М' от 8L будет иметь вид прямой линии.
 Стержень окажется в состоянии равновесия при условии
 М М
 т. е. если кривая М 8L пересекается с кривой М' 8L. На рисунке 9.4. видно, что при Р' < Ркр эти кривые пересекаются только в одной точке, совпадающей с началом координат. Таким образом,
 Рис. 9.4.
 стержень будет иметь только одну возможную форму равновесия — прямолинейную, при которой 8L 0. При Р' > Ркр имеют место уже две точки пересечения; одна из них соответствует ординате bL 0, а другая — некоторому значению 8L, отличному от нуля. Следовательно, в этом случае имеются две равновесные формы стержня — прямолинейная и изогнутая.
 Примем, что в исходном состоянии было 8 0. Пусть некоторое малое возмущение вывело стержень из состояния равновесия и придало ему прогиб 8Х. Из графика видно, что при Р' <С кр будет М > Ж'. Это означает, что величина изгибающего момента, вызываемого силой Р недостаточна, чтобы удержать стержень в изогнутой форме; стержень возвращается к первоначальной прямолинейной форме, как только возмущение будет прекращено. Таким образом, при Р' <С Якр прямолинейная форма равновесия

9.3J ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СТЕРЖНИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОСЕВОГО СЖАТИЯ 253
 является устойчивой. При Р' > Ркр имеем Ж < Ж'. Момент Ж' вызывает дальнейший прогиб стержня; прогиб будет увеличиваться. Отсюда вытекает вывод, что при Рг > Ркр прямолинейная форма равновесия является неустойчивой. Стержень, будучи выведен из прямолинейной формы, будет продолжать изгибаться, пока oL не достигнет значения, при котором линии Ж и Ж' вновь пересекутся. Если стержень выведен из состояния равновесия так, что наибольший прогиб превышает Ъ2Ь, то Ж > Ж', и стержень вернется к равновесному положению, определяемому точкой А на рис. 9.4. В том же случае, когда после возмущения наибольший безразмерный прогиб стержня будет меньше, чем о2L, то Ж окажется меньше М и стержень будет изгибаться дальше, переходя
 к положению равновесия А. Следовательно, эта изогнутая форма равновесия является устойчивой. При Р' РК? линия Ж' ЬL совпадает с касательной к кривой Ж SL в начале координат. Таким образом, если возмущение бесконечно мало, то стержень
 останется в равновесии в смещенном положении. Это соответствует понятию безразличного равновесия •
 На рис. 9.5 вычерчена кривая зависимости прогиба от нагрузки, полученная по данным таблицы 9.1. Из графика ясно, что при заданной' нагрузке Р стержень имеет одну равновесную форму bL 0 при РРкр< 1, и две формы равновесия, если РРкр >1. Принимая прогиб весьма малым, получим ту самую критическую
 нагрузку, которая отвечает точке бифуркации на графике зависи¬
 мости РРк? от ЪL. Напомним о сделанном нами выше допущении, по которому при возрастании нагрузки материал остается упругим. В некоторой точке В на рис. 9.5 совместные напряжения сжатия и изгиба во внешних волокнах достигнут предела упругости. За этой точкой сопротивление стержня быстро уменьшается, и кривая «нагрузка— прогиб» будет следовать по пунктирной линии ВС. Таким образом, максимальная нагрузка, которую может выдержать стержень, соответствует ординате точки В и несколько превышает критическую нагрузку. Ниже будет показано, что максимальную сжимающую нагрузку, которую может выдержать реальный стержень, можно также приближенно считать равной Аср. Вычисления, которые надо провести для определения максимальной нагрузки, весьма громоздки; между тем критическая нагрузка может быть найдена
 См. F. L. R у d е г, A rational explanation of column behaviour, Trans. ASCE, т. 113, 1948, 40—78.

254 ИЗГИБ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ гл. 9
 относительно просто. Исходя из этих соображений, в практических расчетах в качестве максимальной нагрузки, которую может выдержать стержень, принимают именно критическую силу.
 9.4. Критические нагрузки для стержней постоянного поперечного сечения. В предыдущем параграфе было показано, что расчет на продольный изгиб может быть значительно упрощен, если требуется определить только критическую силу. При этом можно считать прогибы малыми и применять приближенную формулу для кривизны. Воспользуемся этим методом и вычислим критические нагрузки для стержней постоянного поперечного сечения при разных условиях закрепления концов. Если определять кривизну по приближенной формуле
 1 	dw
 Rd'
 то для стержня с шарнирно опертыми концами уравнение 9.22 принимает вид
 EILpw 0. 9.26
 Это уравнение вытекает из условия, что сумма моментов относительно любого сечения равна нулю. Простота структуры уравнения объясняется тем, что в рассмотренном выше случае моменты и поперечные силы в концевых опорах были равны нулю. При
 других граничных условиях поперечная сила и момент в опорных сечениях будут, вообще говоря, неизвестны; поэтому уравнение равновесия примет следующий вид:
 EI-Pw Q0x M0- 9.27
 здесь Q0 — поперечная сила, а М0 — изгибающий момент для концевого сечения стержня. Дифференцируя уравнение 9.27 по х,
 получаем
 Выполняя повторное дифференцирование, находим
 Se'-SpS-°- <9-28>
 Мы пришли к дифференциальному уравнению равновесия стержня, имеющего любые граничные условия. Это уравнение можно выразить так, что результирующая поперечных сил, действующих на элемент стержня, равна нулю.
 Для стержней постоянного сечения, изготовленных из однородных материалов, величина EI не зависит от х; при этом уравне-

9.4
 КРИТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ
 255
 ние 9.28 приводится к виду
 d4w
 dx±
 ¥ k2
 0,
 9.29
 где по-прежнему k2 PEI. Уравнение 9.29 представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами; метод решения его хорошо известен. Общее решение уравнения будет иметь вид:
 w С± sin kx —j— С2 cos kx —— C§x -j- C4, 9.30
 где Ci, C2, C3 и C4— постоянные.
 Рассмотрим задачи с различными граничными условиями. Случай 1. Оба конца стержня оперты шарнирно. В случае стержня с шарнирно опертыми концами рис. 9.6, а граничные условия выражаются в том, что прогиб и изгибающий
 р
 о
 Рис. 9.6.
 момент на обоих концах равны нулю. Здесь должно быть, следовательно,
 л d2W г г
 w 0 и — 0 при х 0 и х L.
 Пользуясь выражением 9.30, находим:
 С2 С4 0, Ct sin kL -f- C2 cos kL -- CZL -- C4 0,
 C2 0, —Cxk2 sin kL— C2k2 cos kL 0.
 Решая эти уравнения, получаем:
 С2 0, С4 0, С3 0, Сх sin kL 0.

256 ИЗГИБ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ гл. 9
 Последнее условие будет выполнено, если Сг 0 или sin kL 0. При Ci 0 прогиб w тождественно равен нулю. Это означает, что одна из возможных равновесных форм стержня является прямолинейной формой. Если величина w не равна нулю, то должно быть
 sin kL 0,
 откуда
 kL mг, п 1, 2, 3,.
 или
 п?т?р
 PnLjifL’ 9.31
 Если Рп определяется выражением 9.31, то прогибы стержня, находящегося в равновесии, могут быть отличны от нуля. Другими словами, изогнутая равновесная форма оказывается возможной лишь при том условии, что значение Рп отвечает равенству 9.31. Наименьшее значение Рп имеет место при п 1; таким образом, критическая сила равна
 р _ EI 'кр •
 Уравнение упругой линии имеет вид
 л. пх
 w Ct sin -j-.
 Величина прогиба зависит от постоянной Си которую нельзя найти, исходя из приближенной теории. Определить прогибы становится возможным лишь с помощью точной формулы для кривизны. Решение
 Сп 0 д1, 2, 3, 4
 называется тривиальным решением исходного уравнения. Задачу определения значений, при которых Сп Ф 0 и решение не является тривиальным, называют иногда задачей о собственных значениях. Таким образом, применяя приближенную формулу для кривизны, мы сводим задачу к определению наименьшей нагрузки, при которой становится возможной изогнутая форма равновесия.
 Случай 2. Оба конца стержня защемлены. В этом случае рис. 9.6, б граничные условия будут:
 w — 0 и 0 при л: 0 и х L.
 После подстановки выражения 9.30 эти условия принимают вид:
 1— С4 0, С1 sin kL —j— С»2 cos kL —— CL —j— С 0,
 kCx -- C3 0, kCt cos kL — kCt sin kL --Съ 0.

9.4
 КРИТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ
 257
 Отсюда находим:
 С4— — С2, — kC±,
 Ci sin kL — kLC2 cos kL— 1 0, cos kL — 1 — C2 sin kL 0.
 Исключая из последних двух уравнений, получаем С2 cos kL — l2 sin kL sin kL — kL 0 После упрощений приходим к уравнению
 Желая найти нетривиальное решение, мы должны положить
 Наименьшая нагрузка имеет место при п 1 и равна
 D _ 4тzEI
 Рассмотрим, далее, уравнение
 которое можно записать в иной форме:
 где cp L2. Это уравнение можно решить графически. Начертим кривые, изображающие зависимость tgcp от ср рис. 9.7. Корням уравнения 9.32 отвечают точки пересечения этих кривых с линией, имеющей уравнение tg ср ср и наклоненной к оси абсцисс под углом 45°. Наименьший корень оказывается равным
 4г2тс2
 р — Т?-.п Z2
 Рис. 9.7.
 tg ср — ср 0,
 9.32
 <р 4,493,

258 ИЗГИБ и СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ гл. 9
 что соответствует величине силы
 D 80,64
 L? в
 Но это значение Р больше Рх из этого сопоставления заключаем, что в данном случае критическая нагрузка равна Рх:
 D _ тЕ1 КР — L?
 Принимая sinZ,2 О, находим С1 0, следовательно, уравнение упругой линии будет иметь вид
 W
 C2l-cos;
 значение С2 остается неопределенным.
 Случай 3. Один из концов стержня защемлен, а другой — свободен. Граничные условия запишутся в данном случае рис. 9.6, в следующим образом: для защемленного конца:
 при х 0 w 0 и -- 0;
 для свободного конца:
 , Pw Л dw х и<> dw Л
 при x L 0 и _g- ft_ 0;
 последнее уравнение выражает условие равенства нулю поперечной силы на свободном конце. Пользуясь выражением 9.30, получаем:
 С2 —Ь“ >4 0, Ck —— 0,
 Сх sin kL С2 cos kL 0, C3 0.
 Из этих уравнений находим:
 С1 С3 0, С4 — С2, С2 coskL 0.
 Последнее условие будет выполнено при С2 0, что приводит к тривиальному решению, либо к уравнению cosL 0; в последнем случае будет
 L 2n l-J- п 0, 1,.
 или
 D _ 2л 11с
 п Ш
 Минимальное значение Р отвечает п 0 и равно
 _ кр — 4Z.2 в Уравнение упругой линии имеет вид
 ® C2l-cos.

9.5 ВЫПУЧИВАНИЕ РАМ. СТЕРЖНИ С УПРУГО ЗАЩЕМЛЕННЫМИ КОНЦАМИ 259
 Случай 4. Один конец стержня защемлен, а дру гой — оперт шарнирно. В этом случае рис. 9.6, г граничные условия имеют вид:
 л a dw А
 при л; 0 w-О и --- 0;
 7 л d<?w А
 при х L w 0 и 0.
 Подставляя в эти условия выражения 9.30, получаем C2-f-C4 0, Cxk-- С3 0,
 2Х sin kL —— cos kL —— С%L —f— С — 0, sin kL —— cos kL 0,
 Отсюда
 С2 — CxkL, С3 — Cxk,
 С4 CxkLt Сх sin kL — kL cos kL 0.
 Последнее условие приводит либо к тривиальному решению Сх 0Г либо к уравнению
 sin kL — kL cos kL 0,
 из которого можно определить параметр k. Это уравнение можно переписать в виде 9.32:
 tgCp__Cp о,
 где сp kL. Наименьший корень уравнения равен
 kL 4,493;
 он соответствует критической силе
 D _ 20,16
 Кр _,2
 Уравнение упругой линии принимает вид
 w Сх sin kx — kL cos kx 4-
 4- kL — л:.
 9.5. Выпучивание рам. Стержни с упруго защемленными концами.
 Исследуем выпучивание симметричной рамы, изображенной на рис. 9.8. Узлы рамы будем считать жесткими. Это означает, что узел может воспринимать изгибающие моменты и что углы между различными элементами рамы, сходящимися в узле, остаются неизменными. Примем также, что узлы не получают боковых

260 ИЗГИБ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ систем гл. 9 смещений. Граничные условия для стержня АВ будут:
 л п dw а
 при л: 0 w 0 и -- 0;
 ш ГУ dw л
 при х L w 0 и — 0.
 Пользуясь выражением 9.30, получим:
 С2 ——С4 0, Cxk —f—С30,
 Cj sin kL —— C2 cos kL —J— CjL —— С 0,
 Cxk cos kL -J- C2k sin kL —j— Cg — 0.
 Решая эту систему уравнений, находим:
 c2 -L° ™Lc с
 1 sin kL 1 3
 _ c°s kL с e
 4 sin kL 1 1
 Отсюда
 w C, sin kx 4- 1 cos kx Момент, действующий на конце А стержня АВ, равен
 m'-e,S-Ll sl “тгаг “s “ •
 Рассмотрим, далее, деформацию элемента АС под действием концевых моментов Мг. Расположим систему координат, как показано на рис. 9.9. Уравнение равновесия получит вид
 е7 1 w' лл
 El1 —2 Мг.
 dx
 После интегрирования будем иметь
 w'
 Г7
 Рис. 9.9. w' 2 Сьх' ■■ С«-
 Граничные условия будут иметь вид:
 w' 0, -gr 0 при х' 0,
 и
 w' 0, 4т- — при х' — Ь.
 dx г
 Это дает:
 С6 0, С5 — б,
 -g-- -hC6 0. Ь--Сь 0.

9.6 ВЫПУЧИВАНИЕ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ 261
 Решая эти уравнения, получаем
 МХЬ
 2 Е1Л
 Подставляем сюда соотношение б kCx, а также выражение для Мх
 Ml EIk2Cl sin kL 1 TkLLCOskL •
 После упрощений находим
 п Л kL. Ib kL Л
 C4tg-Ar-r-
 Нетривиальному решению отвечает уравнение
 . kL. Ib kL л
 'ZirTjir 0;
 из него можно определить к и Ркр. В случае квадратной рамы с элементами одинаковой жесткости надо положить b L и х; тогда будем иметь
 tg 4;— -у- — 0. 9.33
 Это уравнение может быть решено таким же образом, как уравнение 9.32. Если вычертить график зависимости tc ср от ср, то значения ср, соответствующие уравнению tgcp —ср, определятся точками пересечения линии tg ср и пунктирной прямой, наклоненной под углом —45° к оси ср см. рис. 9.7.
 Наименьший корень оказывается равным
 <р -- 2,029;
 критическое значение силы будет п 16,47
 кр
 Z.2
 9.6. Выпучивание стержней переменного поперечного сечения. Можно показать, что стержень постоянного поперечного сечения не является наиболее экономичным конструктивным элементом, предназначенным для восприятия сжимающих нагрузок.
 Чтобы получить более экономную конструкцию, следует вводить в нее стержни переменного поперечного сечения. В данном параграфе будут решены некото- Рис. 9.10. рые задачи такого типа.
 В качестве первого примера рассмотрим стержень, изображенный на рис. 9.10. Он состоит йз двух частей, каждая из которых имеет постоянное поперечное сечение. Обозначим через fx и 2 моменты инерции поперечного сечения, соответственно в более тонкой и более

262 ИЗГИБ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ гл. 9
 толстой частях стержня. Предполагается, что один конец стержня защемлен, а другой — свободен. Если выбрать координатные оси, как показано на рисунке, то уравнения равновесия примут вид:
 EIi-JrPwi ° при 0OCZ.J,
 Т
 i2 nn-f l.2
 EI2- --Pw2 0 при,1<ЛГ<.
 Введем обозначения к PjElх и k2 РEI2. Решения выписанных уравнений будут име;ь вид:
 ‘a1 C1sin kxx --C2cosk1x при 0 л:
 С3sink2x С4cosk2x при x Lt
 где Clf C2, C3, C4 — постоянные интегрирования. Граничные условия
 здесь таковы:
 wx 0 при х 0 и 0 при х L.
 Из этих условий находим:
 С2 О, С3 С± tg k2L.
 При х Lx должно быть
 «1 ® и отсюда
 Сх sin kxLx C4 tg k2L sin k2Lx cos k2L,
 u
 Cikx cos kiLx C4k2 tg k2L cos k2Lx — sin k2Lt.
 Решая эти уравнения, будем иметь:
 и г cos kL
 Cl — cAg
 и
 c4 tg k2L tg k2Ly 4-1 — A tg tg k2L — tg 0.
 Мы получим либо тривиальное решение при С4 0, либо уравнение tg k2L tg k2Ly 1 — A tg kyLy tg k2L — tg k2Ly 0. Учитывая соотношение
 tgкЩ tg2L-Lt •
 можно переписать это уравнение в следующем виде:
 tg i-i tg k2L2 — ; 9.34
 « 2

9.6 ВЫПУЧИВАНИЕ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ 263
 из него может быть определена величина Ркр. Уравнение 9.34 можно решить следующим путем. Выразим критическую нагрузку в форме
 п _ тЕч
 кр 2 »
 где т2— численный множитель, зависящий от параметров a1 LllL и о2 уг21. Уравнение 9.34 принимает вид:
 tg maxa2 tg т 1 — ax a2. 9.35
 Допустим, что параметры ах и а2 заданы; тогда можно вычислить выражения tg tg т 1 —ах, соответствующие различным
 значениям т. Наименьшее значение т, удовлетворяющее уравнению 9.35, можно определить путем аналитического или графического интерполирования. Так, например, для параметров ах 0,4 и а2 2,5 находим т 1,46, что соответствует критической нагрузке D _ 2,12Е12
 кр — Z •
 В качестве второго примера исследуем выпучивание стержня, состоящего из четырех уголков, связанных диагоналями рис. 9.11; примем снова, что нижний конец стержня защемлен, а верхний — свободен. Момент инерции произвольного сечения АЛ с достаточной точностью может быть определен по формуле
 ,±
 где 1Х — момент инерции верхнего сечения стержня, а х — расстояние по вертикали от сечения до точки, в которой пересекаются направления ветвей.
 Располагая координатные оси, как изображено на рис. 9.11, выпишем дифференциальное уравнение упругой линии в виде
 Sp»o- <9-м>
 В параграфе 4.4 было показано, что это однородное линейное дифференциальное уравнение может быть приведено к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами с помощью
 Рис. 9.11.

264 ИЗГИБ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ гл. 9
 подстановки 1 пх. Уравнение 9.36, выраженное через переменную S, принимает вид
 dw dw, Ра2 Л п о 7
 9-37
 Решением уравнения 9.37 будет
 qi
 W е.
 Подставив это выражение в уравнение 9.37 и разделив на eq получим
 2 I Pa<i Г
 Я2-Я Ж 0;
 отсюда
 1 	_1_ Г
 q 2 V Е1Х 4 ‘
 Ра2 Г
 Обозначим р —; общее решение уравнения 9.37 будет
 иметь вид
 п' ?i0E, г’
 w C1e 2 7 --С2е 2 ' ;
 это выражение можно представить следующим образом:
 w Yх сх sin р In —-— С2 cos In
 где С, С2, Ct и С2— постоянные интегрирования. Граничные условия будут иметь вид:
 л dw Л, г
 -о; 0 при х а и 0 при д: а
 Чтобы удовлетворить этим условиям, надо положить
 С2 0 и Cjftgpina— 21 0,
 причем a2 L. Тривиальному решению отвечает значение
 Сх 0. Критическую нагрузку можно определить из уравнения
 tg2plna 2p. 9.38
 Если параметр а задан, то это уравнение можно представить в форме
 tgCcp cp;
 коэффициент К равен In а и является постоянным. Решение этого уравнения можно получить подобно тому, как это было сделано при рассмотрении уравнений 9.32 и 9.33. При а4 0,5 получим Р 4,82; тогда
 п __ 4,04РЯД
 — 12 -

9.7
 РАЗРУШЕНИЕ РЕАЛЬНЫХ СТЕРЖНЕЙ
 265
 9.7. Разрушение реальных стержней. В предыдущем изложении было принято, что стержень изготовлен из однородного материала, имеет в первоначальном состоянии прямолинейную форму и подвергается центральному нагружению. Реальный стержень является в той или иной степени несовершенным: он может иметь начальный прогиб, а материал может быть несколько неоднородным. Что касается неоднородности материала, то этот фактор трудно учесть в теоретических исследованиях, и здесь мы его рассматривать не будем. Обратимся к случаю центрально-нагруженного стержня, имеющего начальный прогиб. Примем, что стержень имеет постоянное поперечное сечение. Обозначим через w0 начальный прогиб оси стержня от линии действия силы, как показано на рис. 9.12. Изменение кривизны в произвольном
 dw d?WQ'
 и дифференциаль-
 сечении равно ное уравнение для прогиба имеет вид:
 <9-39>
 здесь, как и ранее, к2 РЕ1. Закон изменения прогиба w будет зависеть от того, как w0 меняется по длине. Примем для w0 выражение:
 0п sin-
 ппх
 р
 1
 —►
 , 4-
 ь
 1 1 1 1 1
 1
 1
 1
 0„
 р
 Рис. 9.12.
 п1
 где 8П — заданные постоянные. Решение уравнения 9.39 можно выразить в виде тригонометрического ряда
 w
 8nsin-
 mix
 nl
 После подстановки этого выражения в 9.39, найдем
 где
 L
 9.40
 Прогиб стержня посередине длины можно определить, положив в полученном уравнении х Ц2:
 8' 8ша, 81-8з-Мб---. 9.41
 График зависимости прогиба от нагрузки для реального стержня, в соответствии с найденным выше графиком дня аналогичного идеального» стержня, показан на рис. 9.13. Закон нагружения для реаль-

266 ИЗГИБ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ систем гл. 9
 «ого стержня отвечает кривой FG, построенной по уравнению 9.40. Однако при значительных прогибах нельзя пользоваться приближенной формулой для кривизны. Если находить кривизну по точной формуле, то изменение нагрузки будет определяться кривой FIH.
 В некоторой точке или Г кривой наибольшее напряжение достигает предела упругости; в последующем истинная кривая FIJ или FVJ' будет проходить ниже, чем кривая FH.
 Отметим, что для реального стержня имеет место только одна изогнутая форма устойчивого равновесия. Таким образом, здесь не происходит разветвления равновесных форм; нельзя говорить и о соответствующей критической нагрузке. Вместе с тем, линия АВ является асимптотой для кривой FG. Однако реальная кривая нагружения отклоняется от кривой FG раньше, чем прогибы становятся значительными. Разрушающая нагрузка, отвечающая точке или Г на рис. 9.13, может лежать выше или ниже, чем критическая нагрузка для соответствующего идеального стержня; тем «не менее, если критическое напряжение для стержня не превышает предела упругости, то значения этих нагрузок оказываются, как.правило, близкими между собой.
 Пользуясь зависимостью Рп п2Ркр, из уравнения 9.40 получим
 Рис. 9.13.
 9.42
 Л2Р
 Если Р приближается к Ркр, то
 кр
 9_
 8
 Следовательно, 8Х 82 > 83 >..
 Подставим выражение 9.42 в 9.41; прогиб посередине длины 8' будет приблизительно равен 8Х, если сила Р не мала по сравнению с Рк
 Кр
 1 —
 9.43
 Лер
 в этом случае выражение 9.43 может с достаточной степенью точности заменить 9.41. Кривая зависимости Р от 8' будет близка к равносторонней гиперболе, имеющей в качестве асимптоты горизонталь Р Р р.

9.8 БОКОВОЕ ВЫПУЧИВАНИЕ БАЛОК С УЗКИМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ 267
 Так как при проведении испытаний прогибы обычно определяют как отклонение от начальной формы стержня, то вместо о' целесообразно ввести разность 8' — о. И здесь величина 8Х обычно близка к 8. Примем 8 8'— 81в тогда уравнение 9.43 примет форму:
 8 8j — Si -р—.
 КР 1
 Р
 или
 Рщ> —р о о1в 9. 44
 Если результаты испытаний представлены в виде графика зависимости 8Я от 8, то при значениях силы Я, близких к Якр, мы должны, очевидно, получить линию, приближающуюся к прямой; величина, обратная уклону этой прямой, соответствует критической силе Якр. С. П. Тимошенко показал, что подобная зависимость остается справедливой также в случае приложения нагрузки с некоторым эксцентриситетом. Уравнение 9.44 лежит в основе известного метода Саусвелла, этот метод широко применялся для определения критической нагрузки по результатам испытаний в пределах упругости. Однако то счастливое обстоятельство, что в пределах упругости разрушающая нагрузка близка к теоретическому значению критической силы, позволяет обычно на практике рассматривать разрушающую нагрузку как критическую силу; поэтому методу Саусвелла не придавалось должного значения. Это связано с тем, что для несовершенных стержней понятие собственно критической нагрузки отпадает, а все реальные стержни являются в той или иной мере несовершенными; следовательно, строго говоря, определение критической силы из эксперимента осуществить невозможно. Вместе с тем, метод Саусвелла позволяет провести теоретически хорошо обоснованный анализ экспериментальных данных; он дает возможность по результатам испытаний несовершенного стержня установить критическую нагрузку соответствующего идеального стержня.
 9.8. Боковое выпучивание балок с узким поперечным сечением. Балка с узким поперечным сечением, изогнутая в своей плоскости, может потерять устойчивость при некотором критическом значении нагрузки и выпучиться в сторону, как показано на рис. 9.14 и 9.15. Начнем со случая свободно опертой балки, изгибаемой по торцам парами с моментами М. Вычисляя критическое значение М, будем пользоваться теми же определениями, что и для стержней. Примем, что в условиях, когда на балку действуют пары М
 С. П. Т и м о ш е н к о, Устойчивость упругих систем, Гостехиздат, 1957
 R. V. Southwell, On the analyse of experimental observations in problems of elastic stability, Proc. Roy. Soc. London, А, т. 135, 1У32,601—616.

268 ИЗГИБ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ гл. 9
 М
 О
 М cos ос sinjd
 м COS ОС'
 М COS ОС COSр
 б
 г
 ОС
 М COS ОС о
 М sin ОС
 в
 Рис. 9.14.
 а
 б
 Рис. 9.15.

9.8 БОКОВОЕ выпучивание балок с узким поперечным сечением 269
 в вертикальной плоскости, имеет место возмущение, которое придает балке малые боковые прогибы; из уравнений равновесия определяем наименьшее значение момента Ж, при котором возможна такая изогнутая форма.
 На рис. 9.14 изображена подобная балка. Представим момент М, действующий на грань с положительной нормалью, в виде вектора по правилу правого винта. Для некоторого сечения тп% находящегося на расстоянии х от начала координат, имеем см. рис. 9.14, г и в:
 Mcosacos3 — ElyМ cos a sin f — EIZ,
 M sin a GJ--;
 dx 9
 здесь Ix и Iy — моменты инерции соответственно относительно осей х и у, GJ—жесткость балки на кручение. Для прямоугольного поперечного сечения имеем:
 1Х— 2 » — 12 —
 значения k для различных значений отношения blh даны в табл. 5.1.
 Величины и, v, w, а и J считаются малыми, поэтому можно принять
 sinaa cosal, sinfip, cosl.
 С учетом этих приближенных соотношений уравнения равновесия примут вид:
 е,-§ -м- 0lb->TS- М5>
 Первое уравнение 9.45 не представляет для нас интереса, так как оно определяет вертикальные прогибы балки под действием концевых моментов М. Дифференцируя третье уравнение по л; и исключая
 dv
 с помощью второго уравнения производную --%> получаем
 п, х М а л
 оужр0-
 или
 где k2 M2GJEIZ. Для балок постоянного поперечного сечения параметр k2 не зависит от х общее решение уравнения 9.46 имеет вид
 Р Сг sin kx С2 cos kx.

270 ИЗГИБ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ гл. 9
 Граничные условия будут иметь вид:
 3 	0 при лг 0 и x L.
 Это дает
 С2 0 и Сх sin kL 0.
 Положив 0, получаем тривиальное решение, которое отвечает начальной равновесной форме. Изогнутая форма с боковыми перемещениями оказывается возможной при
 sin kL 0;
 отсюда
 MKpnV°JEI. 9.47
 Рассмотрим, далее, случай изгиба консоли под действием силы Р, приложенной в концевом сечении. Примем, что сила Р проходит через линию центров тяжести поперечных сечений и действует в плоскости лг2. Будем считать, что вследствие малого возмущения балка получает боковое выпучивание см. рис. 9.15. В некотором поперечном сечении тп, находящемся на расстоянии х от начала координат, изгибающий момент равен Р L — х, а крутящий момент равен Р Ь — v. Рассуждая так же, как при выводе уравнений 9.45, приходим к следующим уравнениям равновесия для этого случая:
 Ely PL х,
 у dx2
 Elz PL-x,
 9.48
 Исключая функцию v из второго и третьего уравнений, имеем
 , PL
 :l —-z-P 0. 9.49
 dx ' GJElz Введем обозначения:
 ft? P-LIGJEIZ и 51— xL.
 Уравнение 9.49 примет вид
 -g- 2p 0. 9.50
 Решение уравнения можно выразить в виде степенного ряда р ag а3Га •••
 Подставляя этот ряд в уравнение 9.50, получим
 --а2т2т2— Чт2а3т.3т3— 15’“.
 . -j- kW™,2 klam'i. 0

9.8 БОКОВОЕ ВЫПУЧИВАНИЕ БАЛОК С УЗКИМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ 271
 Данное уравнение будет удовлетворено, если выполнены условия:
 — 1 О,
 а2т2т2— 1 — kau т2 — 2 т1--2, > 9.51
 аътътъ—1 — ka2t т3 — 2 яг2 2 и т. д.
 В более общем виде эти условия будут иметь вид:
 а — klaj-i
 i 	mjimj-l’ j у2. 3,. 9.52>
 Из выражений 9.51 находим
 ТП 0, или т1-1-1.
 Этим двум решениям для т1 отвечают два ряда, удовлетворяющие уравнению 9.50; общее решение этого уравнения принимает вид:
 Й k р с, l _inlJ-6--HsT7-5Ee_.
 C-E-TV, 4-A-9P’- •••• <9'53>
 где Cj и С2 — постоянные.
 Воспользуемся условием 3 0 при л; 0. С другой стороны, при x L крутящий момент равен нулю, и поэтому ddx 0. Таким образом, граничные условия будут: р 0 при 1 и
 ddx 0 для 5 0.
 Из последнего условия вытекает: С2 0. Чтобы получить нетривиальное решение задачи, необходимо решить уравнение
 k k k
 1—1Г7-- 3.4-7.8 3.4.7.8.11.12 •’ ° 9-54
 Таблица численных значений выражения, стоящего в левой части уравнения 9.54, как функции klt была составлена Прандтлем. Наименьший корень будет равен
 1 	4,013;
 ему соответствует критическая нагрузка
 Р, «в. 9.55
 L. Р r a n d 11, Kipperscheinungen, 1899.

ГЛАВА 10
 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК
 10.1. Применение метода конечных разностей. Примеры, разобранные в главе 9, показали, что определение критической нагрузки с помощью аналитических методов может привести к утомительным и сложным выкладкам. Во многих случаях, когда поперечное сечение стержня меняется по длине, аналитическое решение может вообще оказаться невыполнимым; тогда приходится переходить к численным методам. Ознакомимся прежде всего с методом конечных разностей.
 Применение метода конечных разностей к решению задач устойчивости удобнее всего пояснить на нескольких примерах.
 Пример 1. Свободно опертый стержень постоянного поперечного сечения. Дифференциальное уравнение в этом случае будет иметь вид:
 граничные условия имеют вид:
 0 при х 0 и х L.
 Воспользуемся прежним обозначением: k2 PlEI. Уравнение в конечных разностях для некоторой точки х получает вид
 wxh — 2w х --wix-h,. _ Q
 ИЛИ
 W X К k2h2 — 2wxwx — h 0; 10.1
 здесь h Ljny где п — число интервалов, на которые разделена длина стержня. Если принять п 2 или h L2, это уравнение в конечных разностях в точке х L2 примет форму
 0 -f- k2h2 — 2 wl 4- 0 0, или 2jw1 0.

10.1
 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
 273
 Отсюда можно получить либо тривиальное решение
 w 0,
 либо соотношение
 Р 8
 k2— El L’
 откуда находим
 р
 кр — -jy.
 По точному аналитическому решению в этом случае имеем
 р
 кр L
 9,86960-.
 L1
 Таким образом, решение по методу
 конечных
 разностей
 дает
 погрешность —19%.
 о
 о
 Примем, далее, п — Ъ или h L3. Замечая, что упругая
 Z
 1 ■
 0
 и>,
 0
 линия будет симметричной отно¬
 о
 сительно средней точки кривой
 рис. 10.1, а и пользуясь уравне¬
 2
 1
 2
 I
 нием 10.1 при х — ЦЪ, находим
 0
 ш,
 Ш,
 0
 wi -f- k2h2 — 2 wt -f- 0 0,
 С
 или
 2_ lWl 0.
 3
 2
 1 2
 3
 0
 ш2
 ш, шг
 “ ' 1 г 0
 Отбрасывая тривиальное решение
 б
 wl 0, находим:
 р _ 9 EI.
 КГ Го- 1
 3
 2 1
 1 2
 3
 погрешность составляет —9%.
 При п 4 или h L4 уравнения в конечных разностях, составленные для точек х L4 и Lj2, будут иметь вид:
 w14- k2h2 — 2 w2 0 0, w2 -j- k2h2 — 2 w1--w2 — 0, или
 wx k2h2 — 2w2 0,.
 k2h2 — 2тг-- 2w2 -
 Ug
 a,
 w,
 2
 —ь-
 г
 1
 ш2
 w3 w2
 u>,
 d
 UJ2
 0, • > 0. J
 10.2
 0 u3 w2 ш, w,
 e
 Рис. 10.1.
 w2
 Как известно, решение системы совместных уравнений
 а11Х1 а12Х2 “Ь... апхп — аЮ»
 21Х1 Ь а22Х2 2 пХп — а20
 4
 -Ч
 0
 пО>

274 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 можно представить в виде
 О о
 «г «г •
 а1Ч •.
 • • а1п
 • hn
 аи
 а10. аХп л20. ап
 ап0
 апч •
 • • апп
 ап
 апо. •. а>пп
 ап
 ап •
 • • ап
 > Х2 — -
 ап
 12 • • • а1п
 21
 .
 . ап
 21
 Лсд.. • Л2п
 ani
 апъ •
 • • пп
 ат
 Лп2. • • лпп
 и т. д. Полагая а10 а20. Дпо 0, получим отсюда тривиальное решение xl x2.„ 0, при условии, что детерминант, стоящий в знаменателе, не равен нулю. Если же имеет место равенство
 ап
 я12.
 . dn
 <hi
 а22 •.
 • 2п
 ап
 П2 • •
 • апп
 0,
 10.3
 то придем к нетривиальному решению. Следовательно, нетривиаль ное решение системы уравнений 10.2 имеет вид
 0,
 или
 k2hz — 22 — 2 0.
 Решая последнее уравнение, имеем
 k2h2 — 2 ±V2.
 Чтобы найти наименьшее значение k2, выбираем перед корнем знак минус; получаем
 9,3726EI
 Р —
 Г кр погрешность составляет — 5 %.
 Если принять п 5 или г,5, то уравнение 10.1 для точек L5, 2L5 рис. 10.1,2 будет иметь вид
 wi “b k2h2 — 2 w2 0, k2h2 — 1 w1-rw2 0.
 Для получения нетривиального решения надо положить
 I 1 — 2
 2г2_1 1
 0,

10.11 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 275
 ИЛИ
 2> _ 2 2Д2 1 10.
 Определяем корень, при котором k2 имеет наименьшее значение
 22_ о,380.
 Отсюда
 D _ 9,549El
 К
 кр
 погрешность равна —3,2%.
 При п — 6 или h L6 уравнение 10.1 для точек х — Ц6, L3, 12 принимает вид:
 2 22 — 2 0,
 ‘“'I k2h2 — 2 wz —
 tk2h2 — 2 22 0.
 Приравниваем нулю соответствующий детерминант:
 0 1 kW — 2
 1 — 2 1 0,
 W — 2 2 0
 откуда
 k2h2 — 2 k2 — h2 — 22 — 3 0.
 Корень, отвечающий наименьшему значению 2, будет k2h2 0,27, откуда
 D _ 9,64б. кр — L? ’ погрешность равна — 2,3%.
 Наконец, при п 7 или h L7 рис. 10.1, е уравнение 10.1 в точках х Ц7, 2L7, 3L7 будет иметь вид:
 2 	4 k2h2 — 2 13 0, wi “h k2h2 — 2 w2--'Wz 0,
 k2h2 — 1 -- 2 0
 Условия получения нетривиального решения оказывается следующим:
 0,
 0 1 W — 2
 1 2Д2_2 1
 kW — 2 1 0
 или
 k2h2 — 23 -f- 0k2h2 — 22 — 2 k2h2 — 2 — 1 0.
 Решая это уравнение, находим, что наименьшее значение k2 будет

276 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 при
 Ш2 — 2 —1,80,
 что соответствует значению силы
 9,705EI л
 погрешность равна —1,7%.
 В приведенном примере было осуществлено большое число приближений. Следует отметить, что в приближениях, отвечающих п 3, 5, 7, используются детерминанты того же порядка, что и при п — 2, 4, 6; поэтому на практике вычисления проводятся только для нечетных значений п.
 Пример 2. Свободно опертый стержень с переменным моментом инерции сечения. Примем, что у стержня, описанного в предыдущем примере, момент инерции сечения меняется по закону
 где 0 — постоянная величина; тогда уравнение в конечных разностях для любой точки х примет вид:
 Если принять п 2 или h Lj2 рис. 10.1, а для х Ц2, то уравнение 10.4 принимает форму
 Из этого примера видно, что наличие переменного момента инерции не вводит дополнительных трудностей в решение задачи. Единственное различие между данным и предыдущим случаями заключается в том, что коэффициент при wx в уравнении 10.4 теперь является функцией л;; поэтому, выписывая уравнение для разных
 i sin
 пх w х-- h — 2 w x --wx — h T Л2
 или
 де k2 PEI0. Граничные условия будут такими: 0 при х — 0 и х L.
 отсюда

10.1 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 277
 точек, следует подставить соответствующие значения х. Решение для других значений п может быть выполнено таким же образом, как в предыдущем примере. Значения PKvL2EI0 при п 3 и п 4 соответственно равны 16,79 и 17,24. Точное решение рассматриваемой задачи отсутствует. Если принять, что упругая линия имеет форму синусоиды, то с помощью энергетического метода критическая сила получается равной 18,05EI0L2 см. параграф 10.5. Предполагаемые погрешности в определении критических сил, вычисленных при п 2, 3, 4, соответственно равны —11,4%, — 7%, — 4,5%.
 Из двух предыдущих примеров видно, что с возрастанием п значение Ркр приближается к точному решению, полученному аналитическим путем. Но в случае, если момент инерции является переменным, такой результат не всегда имеет место. Чтобы показать это, примем, что момент инерции изменяется по следующему закону:
 ol х при 0<ЛГ<-,
 1х 2. L
 ° г при
 Уравнение в конечных разностях для любой точки х принимает вид:
 wx--h--l 2 wx--wx — h 0, при 0
 1 	_Г I 10.5
 В таблице 10.1 даны результаты вычислений. Если упругая линия принята в виде синусоиды, то энергетический метод приводит к значению критической силы Ркр 16,53 EI0L2. Возможные погрешности по сравнению с этим значением приведены в таблице 10.1.
 Пример 3. Боковое выпучивание консольной балки с узким поперечным сечением. Основное уравнение для этого случая было выведено в параграфе 9.8; они имеет вид
 dx- GJEIZ L Р ' граничные условия будут иметь вид:
 р—0 прих 0, 0 при х L.
 Соответствующее уравнение в конечных разностях для произвольного сечения х запишется в виде
 x h kh2l -2— 2р р— 0 0, 10.6
 Таблица 10.1
 п
 AcpZ
 Е10
 Предполагаемая погрешность в И
 2
 16,000
 —3,23
 3
 15,000
 —9,27
 4
 16,000
 —3,23
 5
 15,892
 —3,83
 6
 16,253
 —1,70
 7
 16,179
 —2,15

278 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 причем
 Здесь Р L IQJEIZ, а индекс т отвечает точке х L. Величина рто1 соответствует воображаемой точке. Пользуясь рис. 10.2, а, находим следующие уравнения в конечных разностях при x — L2, и х L:
 9 А А РФ
 О
 А
 Рг А б
 о р, А
 А
 о
 А
 А А
 АА
 ' p2 iA2l—i-2-2pI 0.
 kh2 1 — I2— 2 p2-f-2px 0.
 Уравнение, дающее нетривиальное решение, имеет вид
 1
 — 2
 34
 0,
 или
 О fi J2 ft fis
 г
 Рис. 10.2.
 Отсюда
 I kh2 41Щ
 P кр — ■
 Z.2
 погрешность составляет — 0,32 %.
 Таким же образом можно провести вычисления для п 3, 4, 5; тогда найдем значения PK?L2yGJEIz, соответственно равные 3,933, 3,959 и 3,976. Точное значение равно 4,013 уравнение 9.55; погрешность равна для каждого из этих случаев — 1,9 %, — 1,3 % и — 0,92%.
 10.2, Метод релаксации. Примеры, приведенные в предыдущем параграфе, показывают, что при уменьшении длины интервала h точность определения критической нагрузки обычно повышается. Но с увеличением числа узловых точек возникают трудности двоякого рода. Во-первых, быстро возрастает затрата времени на раскрытие детерминанта. Во-вторых, повышается степень результирующего уравнения, и потому решение его становится сложным. В задачах на упругую устойчивость интерес представляет только тот корень, который соответствует наименьшей критической нагрузке. Были предложены различные релаксационные методы ; ниже будет описан метод, наиболее удобный в применении к задачам устойчивости.
 См., например, R. V. Southwell, Relaxation methods in engineering science, N. Y., 1940; A. Vazsonyi, A numerical method in the theory of vibrating bodies, J. Appl. Phys., т. 15, № 8, 1944, 598—606.

10.2
 МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ
 279
 Для примера обратимся к задаче об устойчивости свободно опертого стержня постоянного поперечного сечения. Рассмотрим случай, когда число интервалов п — 1. Метод релаксации можно осуществить следующими этапами.
 Этап 1. Примем w1> w2 0,8 и w3 0,4. Отметим, что в задачах на устойчивость точное значение амплитуды упругой линии не может быть определено; представляют интерес лишь отношения прогибов в различных точках, расположенных вдоль стержня. Так, например, в параграфе 9.4 все упругие линии были получены без определения максимальной амплитуды Сх. Принятые значения wlt w2, w3 в действительности являются относительными величинами. Эти значения записаны в первом столбце справа от узловых точек.
 Перепишем уравнение в конечных разностях 10.1 в следующей форме:
 wx--ti — 2wx--wx — h — — k2h2w л;,
 или
 л; — k2h2w л;. 10.7
 Исходя из принятых величин w9 вычислим значения для каждой узловой точки и запишем их во второй столбец. В нашем примере имеем рис. 10.1, е:
 в точке 1 в точке 2 в точке 3
 A2w_ — w1 — 2wx --w2 — 1,0 — 2 • 1,0 -j- 0,8 — 0,2, k2w2 — 2w2 --wz — 0,2,
 A23 w2 — 2wz —1— 0 0.
 Далее, из трех разностных уравнений вычислим значения k2h2 для трех узловых точек. Получим
 1 	U9UZ 0,2 0
 в точке 1: k2h2 i—— 0,2,
 W-l 1,0
 о 	и>ио 0 2
 в точке 2: k2fi2 -77-q — 0,25,
 0,8
 0,9У9 A2w3 0 л
 в точке 3: k2h2 —— 0.
 wB 0,4
 Эти величины записаны в третьем столбце. Полученные результаты приведены на рис. 10.3 в качестве первого этапа.
 Этап 2. Если соотношения между wu w2, wb выбраны правильно, то значения k2h2t вычисленные из этих трех уравнений, будут одними и теми же. Очевидно, в нашем примере такого совпадения мы не получили. В предыдущих выкладках для п Ъ было найдено k2L2 9. Следовательно, наименьший корень в данном случае должен дать значение k2L2, близкое к 9. Приближенное значение 2L2 равно:
 Ь22 О
 22 -5- §- 0.18.

280 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 Имея это в виду, изменим значения wl9 w2, w3. Мы замечаем, что наибольшая погрешность при определении величины k2h2 имеется в точке 3. Увеличим w3 на 0,444, не меняя w2 и wx. Тогда получим
 — 0,088, k2h2 з 0,198
 и
 Д22 — 0,156, k2h22 0,195.
 Эти данные представлены в качестве 2-го этапа на рис. 10.3.
 U>4
 ш3 Агш3 K2h2w2 A2w2 k2h2w, Л2щ H2h2w,
 0.4
 0.8 -0.2 0.25
 Этап 1
 1.0 -0.2 '0.2
 1.0
 Л
 0.444-
 0.8 -0.156 Q1951.0 -0.2 Q2
 Этап 2
 0.444-0.088 0.198 0.8 -0.1585 0.198 0.9975-01975 0198
 ЭтапЗ Рис. 10.3.
 Этап 3. Уменьшим теперь wx до величины 0,9975, не изменяя w2 и w3. Тогда
 _ о, 1975, т2 0,198,
 Д22 — о,1585, k2h22 0,198.
 Эти данные приведены в виде 3-го этапа на рис. 10.3.
 Мы получили одни и те же значения k2h2 для всех точек; это показывает, что решение является правильным. Критическая нагрузка оказывается равной
 о _ 9,70EI
 кр — 2 •
 Снова отметим, что указанные значения wl9 w2 и w3 являются лишь относительными величинами. Может быть выписан ряд значений wlt tw2, w3, удовлетворяющих этим уравнениям в конечных разностях. Но если их разделить на некоторый коэффициент, то мы получим одни и те же относительные величины; следовательно, критическая сила останется прежней.

10.3J ПРИБЛИЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ В МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 281
 10.3. Приближения высших порядков в методе конечных разностей. При решении задач устойчивости мы можем дополнительно улучшить результаты, используя формулы для конечных разностей высшего порядка; такие формулы были выведены в параграфе 6.6. Проиллюстрируем этот метод, взяв снова в качестве примера задачу об устойчивости свободно опертого стержня постоянного поперечного сечения. По формуле 6.33 имеем
 cfiw
 5гД2®-ТТА4® ЖАда- •••'
 Если воспользоваться этой формулой, то дифференциальному уравнению
 будет соответствовать уравнение в конечных разностях
 hw А6 —. k2h2w 0. 10.8
 Если пренебречь конечными разностями шестого и более высоких порядков, то уравнение 10.8 в некоторой точке л: будет иметь вид:
 w х -j- Щ — х --wx — h w x 2г — 4wx--h--
 -f- л: — 4w x — h -J- w x — 2г k2h2w x 0,
 ИЛИ
 — wx 2h —f— 16wx--h-- 12k2h2 — 30 w л: --
 16w x — h — w x — 2г 0. 10.9
 В это разностное уравнение входят значения w для двух точек левее л; и двух точек правее х поэтому значением wm1 надо пользоваться при составлении уравнения для точки т—1, причем индекс т относится к граничным точкам. Введем по соседству с каждой граничной точкой воображаемую внеконтурную узловую точку. Имея в виду, что для случая свободного onnpaHHHj на концах стержня должно быть
 dw л w -j-- 0 на границах,
 dw
 и выражая производную через разность первого порядка, на¬
 ходим
 «W1 — 2wm wm1 0.
 ИЛИ
 >т1 т — 1»
 имеется в виду, что значение wm равно нулю.

282 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 Поступая таким же образом, как в параграфе 10.1, получим следующие результаты.
 Приближение п 2. Применяя уравнение 10.9 для точки x L2 рис. 10.4, а, находим
 wi 0 --l2k2 30 --0 0;
 это дает
 k2L2 9,33,
 или
 а _ 9,33EI
 КР 2 »
 погрешность составляет —5,5%.
 Приближение п 3. Используя уравнение 10.9 для точки
 х ЦЪ рис. 10.4, б, будем •Щ 0 Ц 0 -Щ иметь
 щ 0 12k2 — зо wx
 16»о о
 0
 щ
 0
 а
 ; о
 w, W,
 0
 б
 — 1 1—
 -Wt 0 W, W, 0 -W,
 -W, О W2 Wf w2 О -Щ D 9JSEI e
 б ™кр _JT2 5
 Рис. 10.4.
 погрешность равна —1,21%. Приближение п 4. Пользуясь уравнением 10.9 для точки x L4, 12 рис. 10.4, в, имеем:
 2 302 1610 —w2 0,
 0-_16w2 l22iJ_3oJWl4-16w24- 0 0.
 Отсюда получаем уравнение, содержащее детерминант:
 0J5L 2 — 30, 16
 32 0,752Z.2 — 30
 Решая его, находим
 D _ 9,83EI.
 кр — 2 9
 погрешность равна —0,4%.
 Сравнивая полученные результаты, убеждаемся в том, что точность решения повышается по мере возрастания п.
 10.4. Методы экстраполяции. При решении задач устойчивости должна быть определена критическая нагрузка. При этом весьма эффективным должен оказаться метод экстраполяции. Прежде
 0.

10.4
 МЕТОДЫ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
 283
 чем излагать метод экстраполяции, докажем следующее положение: погрешность при определении критической нагрузки с помощью метода конечных разностей будет порядка h2, если только основное уравнение имеет постоянные коэффициенты.
 Пусть решение дифференциального уравнения будет w% а решение соответствующего уравнения в конечных разностях будет w. Допустим, что при решении дифференциального уравнения мы получим значение k2, а при решении соответствующего уравнения в конечных разностях k2. Рассмотрим случай свободно опертого стержня постоянного поперечного сечения. Дифференциальное уравнение имеет вид
 Соответствующее разностное уравнение имеет вид
 wx-- г — 2w --wx — h-- k2h2w jc 0, 10.10
 с граничными условиями
 Уравнение в конечных разностях 10.10 может быть решено, если принять w в форме
 где с — постоянная. Подставляя выражение 10.11 в уравнение 10.10. имеем
 Отсюда могут быть получены три решения для т% соответствующие значениям
 с граничными условиями
 w 0 при л: 0 и х L.
 w 0 при 0 и х L.
 w сетх,
 10.11
 или
 cemxmh — 2 сетх -- сетхтП -J- ck2h2emx — 0, етП __ е-тЪ __ 2Д2 — 2 сешх 0.
 При этом должно быть
 emh e-mh 22 _ 2 о,
 или
 10.12
 М. Q. Salvador 1, Numerical computation of buckling loads by finite differences, Trans. ASCE, т. 116, 1951, 590—636.

284 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 Можно показать, что в первых двух случаях полученное решение для w не удовлетворяет граничным условиям; поэтому в последую-
 I k2№ I
 щем мы их не будем рассматривать. При — 1 < 1 будет
 иг < 1; это возможно лишь при чисто мнимом значении т. Положим т — 1; тогда уравнение 10.12 принимает вид
 cos h—l — ' • 10.13
 откуда
 •, г 1, k?№
 ±Tzrccos 2-.
 После подстановки этих значений X в 10.11 можно определить значения k2 из граничных условий. Так как такие выкладки являются довольно трудоемкими, можно сначала определить X из граничных условий, а затем найти k2 из уравнения 10.13. Поскольку параметр X может иметь либо положительное, либо отрицательное значение, общее решение для w будет иметь вид
 w сх sin х -f- с2 cos Хх. 10.14
 Чтобы удовлетворялись граничные условия, надо принять
 Х 10.15
 где п — целое число; для определения критической нагрузки следует положить п 1. Учитывая соотношение 1—cos 20 2 sin2 б, преобразуем уравнение 10.14; подставляя значение X, полученное из 10.15, найдем
 -t sinT7- <016>
 Воспользуемся разложением функции sin 0 в ряд
 sin е 0 —5-I-—.
 Подстановка этого ряда в 10.16 дает
 -Г4-жШ‘•
 После деления на h22 получим
 ■—®‘т‘ •••
 причем коэффициенты alt а2 не будут зависеть от h. Это вытекает из соотношения k2 iz2L2. Таким образом, мы приходим к заклю¬

10.4
 МЕТОДЫ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
 285
 чению, что в данном случае погрешность будет порядка й2, т. е. определяется выражением
 e k2-k2 a1h2--<x2hi--.
 10.17
 Если условия закрепления стержня по концам отличны от свободного опирания, то следует пользоваться дифференциальным уравнением 9.29; тогда аналогичным путем можно доказать, что ошибка будет также порядка г2.
 Пренебрегая в выражении 10.17 величинами сс2, а3 и т. д., будем иметь
 2_2 а1г2.
 Пусть через щ и rij обозначаются числа интервалов, на которые разделена длина L. Тогда имеем hi Lrii и hj Lrij; при этом
 Таблица 10.2 Экстраполяция порядка №
 KjПг
 nj
 k2 — k ah2
 k2 kj OLiflj -
 nz
 i
 atL
 n
 10.18
 Здесь kl и kj — значения k, отвечающие соответственно пщ и п tij. Исключая из этих двух уравнений atZ,2, находим
 п22 _ гр.Щ Г2 njK пг г
 2 Ь j 2 2
 п-п2
 10.19
 21
 ± 1,33333
 о
 ± 0,33333
 32
 Ь'.»
 ± 0,8
 43
 у 2,28571
 у 1,28571
 54
 j 2,77778
 1,77778
 53
 9е»
 1,5625 1о
 0,5625 1о
 65
 55 3,272727
 9S
 2,272727
 75
 49
 ЗГ 2,041667 24
 9S
 g 1,041667
 76
 49
 3,769234
 2,769234
 где kt j — экстраполированное значение k2. Таблица 10.2 содержит коэффициенты an,t ап., входящие в формулу для экстраполяции
 порядка г2 10.19 при наиболее часто встречающихся значениях
 Щ И Пу
 Так как уравнение 10.19 является однородным относительно п, то коэффициенты экстраполяции порядка г2 в табл. 10.2 будут функциями только отношения пп например, формула экстраполяции для 2,1 может быть применена и при 4,2.
 Примем во внимание в выражении 10.17 первые два члена ряда и применим основную формулу для трех приближений, отвечающих значениям kf, k2j, kl; последние получены делением

286 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 характерного размера L на щ < tij < пк частей. Тогда будем иметь:
 k—kl
 atL. aL
 Т2 2. <x2Z,4
 k кк ё—
 пк пк
 Исключая aXL2 и a2LA из этих трех уравнений, получаем формулу экстраполяции порядка г2, г4:
 р _ 4 я - ni kl — п К — «I Щ п «I — « ki _
 < „5 - „о - 04 - л?nj 4 - »5 -
 a,, ftiijki 10.20
 где j,je — экстраполированное значение k2.
 В таблице 10.3 даны коэффициенты экстраполяции порядка Л2, г4 для наиболее часто встречающихся значений ni9 п% пк. Здесь по-
 прежнему значения п могут быть умножены на общий множитель»
 причем формула останется без изменения.
 Таблица 10.3
 Экстраполяция порядка Л2, Л4
 nknjni
 ащ
 nj
 321
 432
 543
 654
 765
 531
 753
 ТЯГ-2'025
 ig._ 3,04762
 таг-4’34028
 w-5’89091
 26 411 j 69551
 3432-7’69551
 W-1’62760
 тйи-2да04
 -гаг-1’06667
 2 31429
 420
 S-4’06349
 W6’31313
 W-9-06294
 ж-0’63281
 1,62760
 120
 112
 420
 729
 1008
 2816
 1980
 8125
 3432
 16
 . 0,04167 0,26667
 3072
 1944
 15360
 0,72321 1,42222 2,36742 0,00521 0,12656
 Проиллюстрируем метод экстраполяции на примерах, разобранных в параграфе 10.1. В применении к первому примеру формула экстраполяции порядка Л2 уравнение 10.19 и таблица 10.2,

10.4
 МЕТОДЫ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
 287
 с учетом нескольких первых значений k2L2, дает следующие результаты погрешность указана в скобках:
 k,zL2 1.8- 9 — 0,8- 8 9,8 —0,71%,
 fef, iZ.2 2,28571 • 9,37264 —1,2857 - 9 9,852 —0,18%,
 kt, 5L2 2,77778 • 9,549 — 1,77778 • 9,373 9,862 — 0,08%.
 Экстраполяция порядка й2, А4, уравнение 10.20 и табл. 10.3 дают:
 Ъ, 3,4L2 3,04762 • 9,37264 — 2,31429. 9
 4 	0,26667.8 9,8690 —0,006%,
 kl 5>,L2 2,50104 • 9,7054 — 1,62760 • 9,549
 -1-0,12656.9 9,8696 0%.
 Как видим, экстраполированные значения лежат весьма близко к истинным; таким образом, практически второе приближение с экстраполяцией порядка h2 дает более чем достаточную точность.
 Вывод формулы 10.17 не может быть распространен на случаи когда основное дифференциальное уравнение имеет переменные коэффициенты. Однако результаты, относящиеся ко многим разобранным задачам, показывают, что и здесь методом экстраполяции можно пользоваться в качестве эмпирического метода. При этом следует сделать несколько замечаний:
 1. По формуле экстраполяции предполагается, что в последовательных приближениях значение k2 будет все время приближаться к к2 с одной стороны. Если же процесс приближения к k2 носит колебательный характер, то формулой надо пользоваться различным образом в зависимости от того, имеет ли место приближение сверху или снизу. Два экстраполированных значения, полученные таким образом, следует сравнить между собой. Не рекомендуется применять экстраполяцию, если имеется меньше трех приближенных значений k2.
 2. Даже в том случае, если приближенные значения k2 монотонно приближаются сверху или снизу к истинному значению, нельзя сразу сказать, будет ли экстраполированное значение выше или ниже истинного.
 3. Вообще говоря, экстраполяция порядка г2, г4 дает лучшие результаты, чем экстраполяция порядка к2, но невозможно сказать заранее, будет ли экстраполяция h2 при ббльших щ давать лучшие результаты, чем экстраполяция г2, г4 при малых п это относится и к тому случаю, когда имеется три значения nit и наибольшее из них совпадает с наибольшим г в экстраполяции h2.

288 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 Во втором из примеров, разобранных в параграфе 10.1, для случая
 0lsinL
 приближение k2 к k2 оказывается монотонным. Метод экстраполяции дает следующие результаты погрешность указана в скобках:
 kt,3L2 1,8 • 16,79 — 0,8 • 16 17,42, _3,5%,
 kl,iL2 2,286- 17,24-1,286- 16,79 17,81, — 1,3%.
 k,з,4-2 3,0476 • 17,24-2,3143- 16,79
 --0,2667-16 17,95 — 0,55%,
 Примем
 0l при 0<<
 И
 оз —-7- при
 тогда можно видеть, что к2 будет приближаться к k2 с одной стороны, но не монотонно, в то время как сами по себе обе последовательности для четных и нечетных п являются монотонными. В таблице 10.4 помещены экстраполированные значения, полученные с использованием обеих последовательностей.
 Таблица 10.4
 п
 №
 Погрешность в процентах
 Экстраполяция №
 Экстраполяция Д2, Л4
 п
 погрешность в процентах
 п
 Погрешность в процентах
 2
 16,0000
 —3,23
 2,4
 16,0000
 —3,23
 2, 4, 6
 16,5114
 —0,13
 3
 15,0000
 —9,27
 3,5
 16,3933
 —0,85
 3, 5, 7
 16,4964
 —0,22
 4
 16,0000
 —3,23
 4,6
 16,4546
 —0,48
 5
 15,8917
 —3,83
 5,7
 16,4774
 —0,34
 6
 16,2526
 —1,70
 7
 16,1786
 —2,15
 В задаче о боковом выпучивании консольной балки, имеющей узкое поперечное сечение, получается, что приближение к2 к к2 будет монотонным при 3. Экстраполяцию h2 можно применить
 Монотонно возрастающей функцией называется такая, в которой каждой последовательности возрастающих значений аргумента соответствуют неизменно возрастающие значения функции; аналогично, функция является монотонно убывающей, если ее значения убывают с возрастанием аргумента.

10.5 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД 289
 для п 3, 4 и п 4, 5, в то время как экстраполяцию г2, г4 можно использовать для любой последовательности, и в частности, для п 2, 3, 4 и 13, 4, 5. В таблице 10.5 даны результаты вычислений.
 Таблица 10.5
 п
 2Z,2
 Погрешность в процентах
 Экстраполяция 2
 Экстраполяция Л2, Л4
 п
 №
 погрешность в процентах
 п
 2L2
 погрешность в процентах
 2
 4,000
 —0,32
 3,4
 3,992
 —0,52
 2, 3, 4
 4,030
 0,42
 3
 3,933
 —1,9
 4,5
 4,006
 —0,17
 3, 4, 5
 4,014
 0,025
 4
 3,959
 —1,3
 5
 3,976
 —0,92
 10.5. Энергетический метод. Рассмотрим равновесное состояние стержня при сжимающей нагрузке, равной критической силе. Как было указано в параграфе 9.3, здесь возможны две формы равновесия: прямолинейная и изогнутая. Примем, что стержень имеет прямолинейную форму; будучи неустойчивой, при действии любого малого возмущения эта форма скачком перейдет в изогнутую. При переходе от одной формы равновесия к другой энергия деформации стержня возрастает, так как к энергии сжатия добавляется некоторая энергия изгиба. В то же время потенциальная энергия нагрузки уменьшается благодаря сближению концов стержня. Это уменьшение потенциальной энергии равно работе сил, приложенных по концам стержня. Обе формы стержня—прямолинейная и изогнутая — являются возможными формами равновесия при одной и Рис. 10.5.
 той же нагрузке; но тогда переход от одной формы к другой не должен сопровождаться потерей или накоплением энергии. Поэтому энергия изгиба, дополнительно накопленная в стержне, должна быть равна работе, совершенной силами.
 В параграфе 7.3 было найдено, что энергия изгиба, накопленная в стержне, равна
 L
 U-
 4
 где под w по-прежнему понимается прогиб. Укорочение стержня за счет изгиба можно найти следующим образом. Рассмотрим элемент АВ оси стержня, имеющий до изгиба длину dx рис. 10.6. Заметим, что этот элемент уже подвергался сжатию. После изгиба элемент АВ переместится в положение А'В'. Так как сжимающая

290 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 нагрузка не меняется, то в стержне будут действовать те же осевые напряжения, что и до изгиба; следовательно, удлинение вдоль нейтральной оси должно отсутствовать, и длина дуги А'В' должна быть равна dx. Поэтому укорочение элемента АВ цо направлению х будет
 АВ — А'В' — dx — dx2 — dx 2J2
 -‘-Ч>ИГ-
 последнее выражение получено в предположении, что членами высшего порядка можно пренебречь. Окончательно сближение концов стержня оказывается равным
 L
 рис jq В процессе сближения концов стержня
 сила Р остается постоянной. Работа, совершаемая нагрузкой Р, будет поэтому равна
 Рит2<1х-
 Условие сохранения энергии имеет вид:
 U Pu,
 или
 L
 О
 отсюда
 2
 dx
 Р -—г. 10.22
 ’«
 О
 Мы получили так называемую формулу Рэлея. Чтобы получить наименьшее значение силы, которое определяет критическую нагрузку.

10.5
 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД
 291
 мы должны положить
 L
 Аср — Pmin —
 и
 о
 10.23
 —min
 Обозначение Pmin в уравнении 10.23 в действительности отвечает наименьшему значению Р в дискретной последовательности собственных значений. Однако можно показать, что по сравнению со всеми функциями прогиба w, удовлетворяющими граничным условиям, истинная функция прогиба, соответствующая первой собственной форме, придаст силе Р минимальное значение в том смысле, как это понимается в вариационном исчислении.
 Для доказательства положим
 П U — Pu.
 Взяв вариацию по w, будем иметь
 L L
 dw d bw
 Ш
 -f
 CTd2w d2 bw, El —o j—7Г dx dx2 dx2
 pf
 dx dx
 dx
 - и ‘ Ш - h и Ш‘°Ш ь» С
 SESjpSw-
 о
 причем последнее выражение получено интегрированием по частям. Граничные условия для концевых точек х 0 и x L представляют собой сочетания условий, относящихся к изгибающему моменту
 лr cjdW А
 мЕ1ш0'
 и поперечной силе
 при заданных значениях dwdx и w. Следовательно, члены в скобках обращаются в нуль. Условие равновесия внутреннего элемента стержня будет
 dx dx dx — и’
 отсюда
 Ш 0, или W — РЬи — 0.

292 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 Подставим в последнее уравнение соотношение
 тогда условие 8П 0 примет вид
 и bU — U Ьи 0.
 Но это соотношение совпадает с условием
 г» ubU — U Ьи
 ——°Это означает, что из всех функций прогиба, удовлетворяющих граничным условиям, только истинная функция прогиба придает силе Р минимальное значение.
 Установив это положение, перейдем к нескольким примерам определения критических нагрузок с помощью метода Рэлея — Ритца.
 Пример 1. Свободно опертый стержень постоянного поперечного сечения. Граничные условия в этом случае будут:
 Чтобы найти критическую силу, надо определить параметры С2С1, CgCi и т. д. таким образом, чтобы нагрузка Р была мини-
 w 0 и d2wdx2 при х 0.и х L.
 Чтобы удовлетворить этим условиям, можно принять
 ОО
 ОО
 П 1
 Интегрируя, находим
 L
 СО
 и, далее,
 00
 U
 2 4С« я2ш С2 1бС2 __ si С2 __ _
 Ct 4Ci 9Cl.

10.5 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД 293
 мальной; для этого следует положить
 :0, UV0
 V77777? ' 1 ►J
 д С,Сг дСдСг
 и т. д. Как показывают вычисления, эти условия будут удовлетворяться при
 С2Сi С3Сх. 0;
 отсюда
 р р кр — min — JJl »
 что совпадает с точным решением. Такой результат получен благодаря тому, что принятая форма упругой линии отвечает точному решению.
 Пример 2. Стержень, один конец которого защемлен, а другой — свободен. Граничные условия в этом случае будут:
 w 0, dwjdx — 0 при х 0.
 Чтобы удовлетворить этим условиям, примем
 ОО
 п О U
 При такой форме упругой линии мы после ин- Рис- Ю»7
 тегрирования не получим общего выражения
 для всех значений п поэтому воспользуемся только первыми двумя членами ряда и примем
 «с,с
 Если поперечное сечение стержня является постоянным, то после подстановки выражения для w в формулу 10.22 и интегрирования, получим
 4 El Cl 3C0Cl 3Cl _AEI 1 3§ 3
 24 о Q 24 С Q ■3CJ 3C0QI-C 1 4 3СгСо
 Если мы из этого ряда возьмем только один параметр и положим Ci 0, то найдем минимальное значение Р равным
 Р _ 3
 KP JJL
 Погрешность в этом случае равна --21,6%. При двух параметрах минимальное значение Р можно найти, дифференцируя 10.24

294 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 по СхС0 и приравнивая результат нулю:
 отсюда
 — 0,301 или —0,92.
 Со Со
 Подставляя эти значения в 10.24, находим, что корень
 »—0,301 Со
 дает наименьшее значение Р; таким образом,
 D _ 2,49 rp Z,2 В этом случае погрешность уже будет равна -f-0,92%. Отметим, что величина Сх остается здесь неопределенной, как это было и в предыдущих случаях.
 Если удержать более чем два параметра, то соотношения между ними можно определить из следующих условий:
 др — л др — л
 д CiCo д СУС0 И Т> Д‘
 Мы не встретимся здесь с математическими трудностями, но выкладки могут стать достаточно длинными. Можно выбрать другой путь вычислений, который представляется более простым. Ранее было доказано, что условие
 ЬР 0
 эквивалентно равенству
 8П 0.
 Из уравнения 10.24 находим
 П' clзс<А -h ЗС? — Р' j clЗСА J cl,
 где под П' понимается произведение П на некоторый коэффициент, а под Р' — выражение PL2j4EI. Условия
 дй' n dTV

10.5
 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД
 295
 принимают вид:
 2l —1я'с0 31— Р'С10.
 31 	— Р'С0 2г —
 Уравнение, содержащее детерминант и выражающее условие нетривиального решения, будет иметь вид:
 21 —i-P' 31-Я' 31— Р’ 23 —
 0.
 Приходим к уравнению
 или
 отсюда
 р, 26 ± У262 — 34.15
 6
 ЗР'2 —26Р' 15 0,
 0,6217 или 8,045;
 EI
 EI
 РЕр 4 • 0,6217 t± 2,487
 После определения Р' можно вычислить, если это необходимо, отношение CJC0 из уравнения
 дп'
 дСа
 :0.
 Пример 3. Свободно опертый стержень переменного поперечного сечения. Примем, что момент инерции площади поперечного сечения стержня изменяется по закону
 0lsin.
 Так как выбранное выражение для w должно удовлетворять чтолько граничным условиям, снова примем
 W
 VI • пкх
 — Сп Sin —j— •
 п 1
 Поскольку упругая линия должна быть симметрична относительно середины стержня, то все четные параметры должны равняться нулю. Если удержать только два параметра, будем иметь
 Зпх.

296 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 Интегрируя, найдем L
 u if О
 1 E0l sin - С, f sin н _ Сз Sin dx
 О
 -Т-Ш Т-АМ
 о
 отсюда
 р_ „ т С1 “Т ClCs 8ЬС
 v С19С1
 Условия
 <?П' _л <ЭП' л
 дС, и <ЭС3—0
 принимают вид:
 2 т-P'c,-fc,°.
 - f С, 2 ?§? 81. - 9Р- С, О,
 где Р' PL2Er0те. Приравниваем нулю детерминант для разыскания нетривиального, решения:
 9р,_2 81124 911р,81158®81,_2.о.
 После вычислений находим
 Р' 5,746, или Ркр 18,05-. 10.25
 Соответствующее значение отношения С3Сх равно 0,01297.
 Для стержней со свободно опертыми концами и стержней, у которых один конец защемлен, а другой—свободен, уравнение равновесия можно записать в виде
 ESr Pw 0: 10-26
 во втором случае начало координат берется у свободного конца.

10.51
 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД
 297
 С. П. Тимошенко отметил, что в выражение для U можно подставить —PwEI вместо d2wdx2; тогда найдем
 Это — так называемая формула Тимошенко; можно показать, что приближенное значение критической нагрузки, найденное по формуле Тимошенко, всегда ближе к точному значению, чем вычисленное по формуле Рэлея.
 Вычислим снова критическую нагрузку для примера 3, с использованием формулы Тимошенко. Будем учитывать только один параметр Сх. Тогда получим:
 что отличается всего на 0,05% от значения, вычисленного с учетом двух параметров в примере 3.
 Так как уравнение 10.26 не является общим дифференциальным уравнением при любых граничных условиях, то и формула 10.27 не будет общей. Например, в случае стержня, один конец которого
 L
 L
 о
 о
 или
 10.27
 L
 О
 L
 Е10
 II
 отсюда

298 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 защемлен, а другой—свободен, дифференциальное уравнение принимает форму:
 Е1-РФ™ 0;
 начало координат взято так, как показано на рис. 10.7; В — прогиб свободного конца стержня. Формула Тимошенко в этом случае принимает вид:
 - L
 Ркр —
 Л
 dw 2 dx
 dx
 > — W2
 dx
 10.28
 —min
 Задача 1. Момент инерции сечения свободно опертого стержня изменяется по закону
 >
 при
 при
 Примем w Ci sin -- Q sin —• Найти критическую силу по формуле
 Рэлея. Вычислить критическую силу, пользуясь формулой Тимошенко с одним параметром.
 Задача 2. Определить критическую силу в примере 2 с помощью формулы Тимошенко 10.28.
 Задача 3. Момент инерции стержня, один конец которого защемлен, л другой — свободен, изменяется по закону
 пх
 Приняв функцию прогиба в виде w С± sinr, вычислить критическую силу по формуле Рэлея и по формуле Тимошенко.
 Отв. По формуле Рэлея: Ркр — 0;
 по формуле Тимошенко: Р
 кр
 4,22 Е0 L2
 10.6. Вывод формулы Рэлея из принципа потенциальной энергии. В параграфе 3.5 была выведена теорема однозначности Кирхгофа, которая заключается в следующем. При заданной внешней нагрузке упругое тело может принять одну определенную форму равновесия. С энергетической точки зрения это означает, что потенциальная энергия П внутренних и внешних сил см. параграф 7.1 имеет одно определенное экстремальное значение, и именно минимальное значение. Теорема единственности справедлива в том слу-

10.6 ВЫВОД ФОРМУЛЫ РЭЛЕЯ ИЗ ПРИНЦИПА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 299
 чае, если компоненты напряжения являются линейными функциями компонентов деформации, а последние являются линейными функциями перемещений. Тогда потенциальная энергия П будет функцией не выше второй степени от перемещений; из геометрических соображений очевидно, что «парабола» второй степени может иметь один, и притом единственный, минимум. Однако этот вывод уже не будет справедливым в случае больших перемещений, когда нельзя пользоваться с достаточной точностью линейными соотношениями между деформациями и перемещениями. Это относится, в частности, к телам, у которых одно измерение мало по сравнению с другими, и к элементам конструкций, имеющих форму стержней, тонких пластинок и тонких оболочек. Например, стержень может получить в пределах пропорциональности прогибы, в несколько раз превышающие его толщину, и тогда квадрат поперечного перемещения в формуле, связывающей деформацию с перемещением, уже нельзя считать малым по сравнению с линейным членом. В выражение для энергии деформации и, следовательно, в выражение для потенциальной энергии П, перемещение уже будет входить в степени выше второй; но парабола высокого порядка может, конечно, иметь несколько экстремумов, что будет отвечать нескольким положениям равновесия.
 Найдем соотношение между деформацией и перемещением. Рассмотрим элемент АВ недеформированного стержня. После деформации этот элемент перемещается в положение А'В' рис. 10.8. Заметим, что рис. 10.8 отличается от рис. 10.6. На рис. 10.6 элемент АВ считался уже подвергнутым действию сжимающей нагрузки Ркр, так что его изгиб имел место при постоянной силе Якр; на рис. 10.8 изображен элемент АВ в том виде, какой он имеет до приложения нагрузки. Находим
 А'В' — АВ АВ
 Srf22 -dx
 du
 dx
 dx
 1 dwV
 2 dx ’
 здесь, как уже было указано в предыдущем параграфе, величина <dwldx2 имеет тот же порядок, что и dudx, а такими членами, как <dujdx2 и dwdxz, можно пренебречь. По закону Гука соответствующее напряжение будет иметь вид
 du, 1 dw2

300 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10 Таким образом, энергия сжатия равна
 о
 где А — площадь поперечного сечения стержня. Энергия деформации изгиба будет равна
 и>т SV-
 о
 Сближение концов стержня равно —uL — а0, а нагрузка, сжимающая стержень, будет равна
 Р — вхА.
 Потенциал внешних сил —W согласно формуле 7.11 равен —W PuL — u 0.
 Потенциальная энергия системы оказывается равной
 П и, У, - Г g’ V Н-
 О
 L
 7 EISf dx pl“ L — « 01. 10.29
 О
 Вычислим, далее, вариации этой величины:
 П a -f- оа9 w-- bw — П и, w 8П 82П
 -т“иЙт®Тл'
 о
 lSS’pi“s“i»
 о
 if '«--
 о о
 f ЕШШж«
 о

10.6 ВЫВОД ФОРМУЛЫ РЭЛЕЯ ИЗ ПРИНЦИПА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 301 L
 I г? лйи I dwdw dlw. г?, dw d bw,.
 J ЛЬ2Ы1етгжж
 о
 U“y'“<
 0 0
 т“Ш
 0
 Отсюда находим: L
 тт Сел du I 1 dw 31 d Ьи..
 ЛЬ2-Ы
 о
 L
 . Г I 1 rfw а1 Sw. cjdw to, - _r _г 1л олч
 J Pfc25rJrzrrfJfpiH> 10.30 0
 т',п41ЕАж'“EA‘-i--<‘
 о о
 L
 . 1 Гг?Adwdbw,,
 гУ “Ы лг л
 О
 т л « ет г л шш ш к <■ °-3»
 о
 Интегрируя по частям, из условия оП 0 получим
 еаШ7 ’ р 8“- тАЕАШ 7 Ш s“ «
 О
 “e7i-B“S-“S‘®.‘
 ш, Е1 ш -hEAti ’ »-«-«.

302 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10 Для концевых точек
 исходя из граничных условий, мы должны, следовательно, получить в одном случае
 Поэтому для граничных точек члены, заключенные в первые скобки, будут равны нулю. Так как величины Ьи и bw для внутреннего элемента произвольны, то коэффициенты при Ьи и 8w в подынтегральных выражениях должны равняться нулю. Отсюда
 из граничных условий находим эту постоянную величину равной —Р„ Таким образом, имеем
 Мы получили основное дифференциальное уравнение продольного изгиба.
 Упругое тело находится в равновесии, если первая вариация потенциальной энергии равна нулю:
 это означает, что величина П имеет либо экстремальное значение, либо стационарную точку. При выяснении устойчивости равновесных положений надо обратиться ко второй вариации от потенциальной энергии. Можно показать, что равновесное положение будет устойчивым, если потенциальная энергия любого соседнего положения
 и в другом случае
 Из 10.32 получаем
 10.34
 Уравнение 10.33 с учетом 10.34 преобразуется к виду
 10.35
 т

10.6 ВЫВОД ФОРМУЛЫ РЭЛЕЯ ИЗ ПРИНЦИПА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 303
 имеет большее значение. Другими словами, наличие устойчивого равновесного положения обусловливается тем, что потенциальная энергия П минимальна; при этом должно быть
 Подобно этому, в случае максимума П, когда Ш 0 и 52П < 0, равновесие будет неустойчивым. В задаче о продольном изгибе стержня прямолинейная форма равновесия является устойчивой при Р < Ркр. неустойчивой при Р > Ркр и безразличной при РРкр. Таким образом, в процессе возрастания силы Р от некоторого значения, меньшего Ркр, до значения, превышающего Ркр, вариация 52П меняет знак, переходя от положительной величины к отрицательной. При Р Ркр должно быть 2П 0. Следовательно, условие 2П О определяет предел устойчивости.
 Рассмотрим теперь вариацию 82П, определяемую выражением 10.31. Полагая Ш 0, будем иметь
 Первые три интеграла в 10.31 можно сгруппировать и записать
 в виде
 судя по равенствам 10.36, это выражение обращается в нуль. Используя 10.34, получим
 8П 0 и 82П > 0.
 или
 d Ъи. dw d bw dx dx dx
 10.36
 L
 dx dx
 dw d bw
 dx dx J dx dx
 dw d bw dw d bw
 0
 L
 0
 окончательно условие Ь2Л принимает вид:
 L
 L
 О
 О
 ИЛИ
 L
 L
 10.37
 О

304 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 где bw— любая малая вариация w по отношению к прямолинейной форме стержня. Так как для прямолинейной формы 0, то величина bw отвечает истинному прогибу стержня при потере устойчивости. Следовательно, формула 10.37 совпадает с формулой Рэлея. Приведенный выше вывод принадлежит Маргерру.
 10.7. Погрешности при определении критических нагрузок энергетическим методом. В параграфе 10.5 было показано, что приближенные значения критических нагрузок могут быть вычислены при помощи метода Рэлея — Ритца, по формулам Рэлея или Тимошенко. Покажем, что критические нагрузки, вычисленные таким путем, всегда превышают точные значения, и что значения, полученные из формулы Рэлея, должны быть больше значений, найденных по формуле Тимошенко.
 Основное дифференциальное уравнение имеет вид:
 dx'2 dx dx ’
 причем величина может быть функцией х. Обозначим через wu w2 • • •» wn Функции прогиба, соответствующие силам Plt Р2>.., Рп. Каждая из функций wn удовлетворяет, следовательно, граничным условиям и уравнению
 МЕ1Р0- <10'38>
 где Рп — п-я критическая нагрузка см. параграф 9.4. Например, для свободно опертого стержня постоянного поперечного сечения
 Рп пЧ2ЕЦ и Рi Ркр.
 Допустим теперь, что прогиб w аппроксимируется с помощью некоторой функции, которую можно представить в виде бесконечного ряда
 ОО
 w — Ciwl--C2w2.. 2 Cnwn;
 1 	1
 здесь Clf С2..—постоянные, определяемые из условия, что
 ОО
 сумма 2 Cnwn будет представлять прогиб w с любой заданной
 П-1
 степенью точности, причем
 L
 о
 К. М а г g и е г г е, Ueber die Anwendung der energetischen Methode uf Stabilitatsprobleme, Jahrb. 1938 DVL, 252—262.

10.7 ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК 305
 Тогда
 ,'-с'Бс •••’“-
 о о
 ОО L, оо со »
 2'» 2 2 Ю.39
 71 1 О tt l Ш 1 где т Ф п. Чтобы доказать, что интегралы от произведений в 10.39 обращаются в нуль, умножим оба члена уравнения 10.38 на wmdx и проинтегрируем по частям. Получим
 f f %%<-<>. 10.40,
 о о
 Обратимся, далее, к граничным условиям. Если конец стержня свободно оперт, то граничные условия будут иметь вид:
 wn 0 и 0.
 п dx2
 Для защемленного конца имеем
 A dwn г
 и w
 на свободном конце
 еф ° » иЕФр °-
 Таким образом, независимо от того, являются ли концы свободно опертыми, защемленными или свободными, члены, отвечающие граничным точкам в 10.40, обращаются в нуль; тогда будем иметь
 о о
 Подобно этому, умножив уравнение
 рт I р d wm dx2 У dx2 ■ ш dx'2 — U на wndx и произведя интегрирование, получим
 L L
 Н <701 Н<7П1 fEIw?db»dx_p Г
 J dx2 dx2 ш J dx dx

306 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 Вычитая полученное уравнение из 10.41, находим
 0
 При п Ф т будет
 Р Ф Р
 1 п ' 1 т
 и, следовательно,
 L L
 ptZdx о, f EId-d-dx 0.
 . dx dx J dx2 dx2
 о
 0
 отсюда
 Имеем, далее,
 SW“2C'
 L L со 2
 dw,
 dx2
 о xni
 L
 dx
 -zf s
 0 11 ml o
 Если в уравнении 10.41 принять m — nt то получим
 A S2T р« wf ? •
 о о п
 Это дает
 E'S’IP-
 ,Jrt.
 n1
 Приближенное значение критической нагрузки Р, вычисленное по формуле Рэлея, равно
 2»„
 — -
 Л _n
 А ».
 2j л

10.7 ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК 307
 При п > 1 имеем PnPi>l; поэтому должно быть
 >1 ИЛИ Ptf>Plt
 где Рх—точное значение критической нагрузки. Величина Рд Р1 если значения 2, 3,. равны нулю.
 Допустим, что граничные условия для стержня отвечают дифференциальному уравнению
 S 	Р™ °-> 10.42
 тогда из формулы 10.27 найдем, что критическая нагрузка Pyt отвечающая формуле Тимошенко, будет равна:
 L
 Р — —
 7» Т— L
 : dX Г U
 О
 При п Ф тп имеем
 L L
 п л 00 2
 flndxf-mL сл dxz
 О 	о 'п1 '
 СО » 9 оо оо Jjf
 2 с«2 с«с«
 nt о n—1 1
 Принимая во внимание уравнение 10.42, получим:

308 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 здесь учитываются граничные условия wn 0 при х — 0 и x L. Отсюда
 ОС
 2 7»
 р n1 р h н 4 Ь h -f • V ln I 4- I Pl 4- I Pl -4-
 2j Р h-T h-p-Г hpT Г --
 nlF
 Так как для я> 1 будет PiPn < 1, находим
 -.1рз_А---->1> или РГ>Р1.
 А А 4 Чтобы показать справедливость соотношения PrPt надо уста¬
 новить наличие неравенства
 У1 У?. >■■■
 12 Aj_А_. ’
 или
 Я11 Р22. Й.>l 24 2.
 Если произвести умножение, то необходимое условие получит вид
 оо оо со со
 или Кпк>2-
 пт пт
 п > т п >
 Но, как легко видеть, из неравенства
 Рп—Рт2> 0
 вытекает
 Pl P2m> 2РпРт, ИЛИ Р'Ь — 2РпРт Рт> 0.
 Таким образом, мы пришли к соотношению PRPT.
 10.8. Определение нижней границы критических нагрузок для стержней переменного поперечного сечения. В предыдущем параграфе было показано, что энергетические методы всегда дают значение критической нагрузки, более высокое, чем величина, которая определяется из решения дифференциального уравнения, или равное ей. Условимся называть это значение верхней границей для критической нагрузки. Так как критическая нагрузка принимается при расчете сжатых стержней в качестве расчетной, то завышение ее значения делает расчет ненадежным; поэтому важно установить для данной задачи наибольшую возможную погрешность. Для этого необ¬

10 8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЫ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК 309
 ходимо найти метод, который позволял бы определять нижнюю границу для критической нагрузки.
 Выпишем выражение
 Как и в предыдущем параграфе, представим w в виде бесконечного
 ряда
 ОО
 «2 cnwn-,
 П —
 функции wn подчиняются прежним условиям. Тогда
 L
 L
 10.43
 О
 о
 оо L со оо -S'vMSrl’-SSA'
 d’iWn dw„, dx
 nI m-l 0
 где n Ф т. Согласно параграфу 10.7 имеем
 L
 L
 Подстановка этих соотношений в выражение 10.43 дает

310 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 Далее получаем:
 Ра
 Pc-Pr
 Pi
 — I
 ■Pr
 Рг-Рс
 ОО
 У I Р2
 Zj Tin
 ОО
 со
 2 пп
 Ръ-
 71 1
 СО
 Р2 2 пР91 —
 2 V5»
 71 1
 2 р1
 71 1
 71 1
 711
 2 Jn 711
 2 InPn
 n1
 OO
 2
 71 1
 p 2 » 2 fnpn
 ii я2 - Pi - h »„ - >, - r4 p, - p2 g.,
 <pt.
 Pr
 liP%-Pi-hP3-P-hP-Pi----
 Таким образом, мы пришли к формуле, которая дает верхнюю и нижнюю границы для критической нагрузки:
 Рп —Рп
 PijpR—1 Рр Рв‘
 Так как значение Р2 для стержня переменного поперечного сечения неизвестно, то будем пользоваться величиной Р2 для стержня с такими же граничными условиями, но с постоянным поперечным сечением, равным минимальному поперечному сечению рассматриваемого стержня. Можно видеть, что при такой подстановке приведенное выше неравенство остается в силе. Окончательно получаем
 Pr
 Pth
 <Якр<Р,
 — 1
 10.45
 при условии Я2щП > Pr значения Р2тт для стержней с различными условиями будут следующими: оба конца свободно оперты:
 ' 4л2т0
 Эта формула была впервые дана в иной форме и для одного частного случая в книге G. Temple and W. В i с k 1 е у, Rayleigh’s principle and its applications, N. Y., 1933. Этот метод был обобщен Коллатцем в книге «Eigenwertpobleme und ihre numerische Behandlung», Leipzig, 1945. См. также С. С. M i e s s e, Determination of the buckling load for column of variable stiffness, J. Appl. Mech., Trans. ASME, т. 71, 406—410. Приведенный здесь вывод намного проще, чем в упомянутых работах.

10.8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЫ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК 311 оба конца защемлены:
 16л.
 р v 'пип
 V 2min 2 »
 один конец защемлен, другой — свободен:
 9я2 <Е.
 р v 'mm
 V. 2min 4,2 один конец защемлен, другой — оперт шарнирно:
 59,68.
 v min
 2min
 Проиллюстрируем этот метод на нескольких примерах.
 Пример 1. Стержни с шарнирно опертыми концами. Примем, что момент инерции поперечного сечения стержня изменяется по закону
 0lsin.
 Подобно тому как это было сделано в параграфе 10.5, примем
 . 71Х
 w — C1sm —.
 Подставляя это выражение в 10.45 и производя интегрирование получим
 <т
 dx
 Рс-0 г 2-19,74§.
 2
 dx
 В параграфе 10.5 уже было найдено
 1,849тс20 Z.2
 PR 18,25
 Так как в этом случае EImin EI0t то
 р 4п2Ец
 V 2min ЦЬ
 Подставляя эту величину в формулу 10.45, находим
 17,50ЕГ0 D 18,25Е10 22 кр •

312 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ГЛ. 10
 Это показывает, что наибольшая погрешность при определении Р равна -f-4,5%. Чтобы получить лучший результат, можно принять
 _
 w Ci sin -j- -f- С3 sin -j-,
 где величина С3 согласно параграфу 10.5 равна 0,01297 Сх. Вычисления будут аналогичными; предоставляем читателю выполнить их в качестве задачи.
 Пример 2. Стержень, один конец которого защемлен, а другой — шарнирно оперт. Допустим, что величина EI изменяется по закону
 В этом случае граничные условия будут иметь вид:
 г dw А А
 w 0 и — 0 при х 0,
 п л г
 w 0 и 0 при х L.
 Чтобы удовлетворялись эти условия, можно принять
 Подставляя это выражение в формулу 10.44 и интегрируя, находим
 Рс 17,98§.
 По формуле 10.23
 Pr17,S8.
 С другой стороны,
 .niDo;
 отсюда
 P2rain 39,79 По ставляя эти значения в формулу 10.45, находим 17,79><PKp<17,88f°.
 Величина Ркр определяется с точностью до 0,3%.
 Если граничные условия стержня таковы, что дифференциальное уравнение может быть записано в форме

10.8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЫ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК 313
 то критическую нагрузку можно определить по формуле Тимошенко. В этом случае можно вывести другую формулу, которая дает более тесные границы, чем формула 10.45. Пользуясь результатами, полученными в параграфе 10.7, получим
 Р D Р ГГ _ Рп P. D
 Рт — 4 - рТ12 R -
 El- i ру
 Рт
 Следовательно,
 рп 10.46
 Pi ■
 4 П11П
 ПРИ Pi:n,n> Рт.
 В примере 1 можно принять
 п. пх w — С sin -j-;
 тогда
 Рт 18.06°.
 Пользуясь выражением 10.46, получаем
 17,90<Ркр<18,06§.
 Таким образом, величина РКр найдена с точностью до 0,5%.
 Задача 1. Используя формулу 10.45, определить верхнюю и нижнюю границы для критической нагрузки в случае стержня из примера 1. Принять
 ’ Сх sin 0,01297 sin.
 Задача 2. Определить критическую нагрузку для стержня длиной L, один конец которого защемлен, а другой — свободен. Жесткость изменяется по закону
 Е1х Ео 1 cos g.

ГЛАВА 11
 ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
 11.1. Дифференциальное уравнение изгиба тонких пластин.
 Упругое тело, толщина которого мала по сравнению с другими размерами, называют тонкой пластинкой. Обозначим толщину пластинки через h. Плоскость, параллельная поверхности пластинки и делящая ее толщину пополам, называется средней плоскостью недсформированной пластинки. Выберем систему координат таким образом, чтобы оси х и у лежали в срединной плоскости пластинки, а ось z
 была перпендикулярна к
 срединной плоскости.
 Если прогибы такой пластинки малы, т. е. если прогиб срединной плоскости мал по сравнению с толщиной h, можно сделать сле¬
 дующие допущения.
 1. Нормали к срединной плоскости до изгиба переходят в нормали к срединной плоскости после изгиба.
 2. Напряжение о2 мало по сравнению с другими компонентами
 напряжения, и потому в соотношениях между напряжениями и дефор¬
 мациями им можно пренебречь.
 3. Срединная плоскость остается после изгиба нейтральной.
 Рассмотрим элемент сечения пластинки, параллельного плоскости xz, как показано на рис. 11.1. При изгибе пластинки точка А,
 принадлежащая срединной плоскости, получает перемещение w и переходит в положение А'. Согласно первому допущению, некоторая точка В, лежащая на нормали к недеформированной срединной плоскости на расстоянии 2 от А, перемещается в точку В', которая после изгиба снова находится на нормали к срединной поверхности. Из рис. 11.1 можно видеть, что перемещение точки В' в направлении д: будет иметь вид:
 и — — <га.

11.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗГИБА ТОНКИХ ПЛАСТИН 315
 Так как прогиб считается малым, то можно принять
 dw дх
 dw
 a«tga -j-
 « П-D
 Аналогично, перемещение точки В' в направлении у равно
 <п-2>
 Допущение о том, что нормали к срединной плоскости до изгиба переходят в нормали к срединной плоскости после изгиба, равносильно допущению о том, что деформации сдвига чХ2 и равны нулю. Это следует непосредственно из определений деформации сдвига. Рассмотрим, например, деформацию сдвига fxz; она определяется как происходящее в процессе деформации изменение прямого угла между линейными элементами, параллельными осям х и г. В данном случае нормаль совпадает с направлением г. Прямой угол между нормалью и осью х, согласно сделанному допущению, остается прямым и после изгиба и, следовательно, fxz — 0. Аналогичным образом убеждаемся в том, что чуг также равняется нулю. Допущение о равенстве нулю величин -xz и 7 приводит в теории к некоторым противоречиям. Поэтому правильнее принять, что деформации, хотя и не равны нулю, но настолько малы, что ими можно пренебречь.
 При выводе формул 11.1 и 11.2 можно не пользоваться геометрическими соображениями, а получить их непосредственно из предположения, что хг и 7 пренебрежимо малы. Будем, например, исходить из формулы
 Г ди
 U J дг‘
 - dz.
 Так как значение z мало, можно написать Но при z 0
 ИЛИ
 ди dw
 0г г_0 дх'
 где w — прогиб точек срединной плоскости. Отсюда
 dw
 и — -г-з—. дх
 Подобным путем может быть выведено и уравнение 11.2. Этим методом удобно будет пользоваться при определении компонентов деформации для тонких оболочек.

316
 ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
 гл. 11
 Выпишем формулы для деформаций:
 ди dv ди
 dv
 хдх' гУ д у’ ЧхУдудх'
 Используя соотношение 11.1 и 11.2, получаем
 — z
 dw
 дЖ'
 d?w
 гу 21 ’ ТХу
 — 2 г
 dw
 11.3
 дхду
 В соответствии со вторым допущением, получим следующие зависимости для тонкой пластинки при изгибе:
 1
 Ga? у— у v3a?» 7ху q хуу 014
 отсюда
 1
 1 V?
 °Лху
 ■ s.r Ч vej• ' ву “Ь veaj>
 11.5
 'ху ху — 2 1 V Чху
 Подстановка зависимости 11.3 в приведенные выше формулы дает:
 Ez д-w, dw
 1 — T- v ду ’
 Ez
 dx d'w
 v
 1 —
 Ez d'w
 I d'w, d2w ■
 dx 9
 11.6
 xy 1 -j- у dx dy
 Пользуясь этими соотношениями, можно путем интегрирования определить изгибающий и крутящий моменты, приходящиеся на еди-
 ►2
 Mxltdx
 г
 и дМУ
 Рис. 11.2.
 ницу длины сечения пластинки; рассматриваются сечения, параллельные плоскостям xz или yz рис. 11.2. Момент Мх равен
 fl2 h2
 м,
 Г, Г Ez I d'w. dw,
 , J оxzdz - J
 —h2
 -h 2

1.1.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗГИБА ТОНКИХ ПЛАСТИН 317
 Так как через w нами обозначен прогиб точек срединной плоскости, то w не зависит от 2. Следовательно,
 па
 %я dw, dw Гол гл, dw
 ' 1 — V _V ду J z 7hfl v дуЧ'
 -Л2
 П.7
 Е№
 где В — так называемая цилиндрическая жесткость
 IZ V.I у
 пластинки,
 hi 2
 лr С ri п w I Му J °yZdZ D ду2 V дхЪ »
 -Л2
 Л2
 м
 ху Мух — j vxyzdz D 1—V -Л2
 11.8
 знак минус перед интегралом в выражении для Мху объясняется тем, что для положительных значений хху и z величина dMxy будет отрицательной.
 Рассмотрим, далее, равновесие элемента пластинки dxdy, изображенного на рис. 11.2. Примем, что пластинка находится под действием поперечной распределенной нагрузки интенсивности ?. Помимо изгибающих и скручивающих моментов, по граням элемента будут действовать вертикальные поперечные силы, соответствующие касательным напряжениям zzx и xyz. Обозначим через Qx и Qy поперечные силы в сечениях, параллельных соответственно осям у и х, приходящиеся на единицу длины сечения. Имеем
 Л2 Л2
 Qa> J izx dz, Qy J тyzdz. 11.9
 -Л2 — Л2
 Как уже было сказано, первое из- принятых допущений равносильно предположению о том, что величины Zx zzxl и Тyz — xyzG пренебрежимо малы. Но при составлении уравнений равновесия в них надо включить результирующие силы, соответствующие касательным напряжениям zzx и xyz. Это можно объяснить следующим образом. Прежде всего заметим, что интенсивность нагрузки р равна напряжению ог на верхней поверхности пластинки и, следовательно, является величиной того же порядка, что и аг. Согласно второму допущению, величина oz также пренебрежимо мала. Принимая, что в выражениях
 ди dw, zzx dv dw, хуг
 Hz dz dy
 члены xzxG и tyZlG пренебрежимо малы по сравнению с другими членами, мы будем считать вместе с тем поперечные силы Qx и Qv

318
 ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
 гл. 1 1
 величинами того же порядка, что интенсивность нагрузки р и моменты Мх% Му и Мху.
 Для равновесия элемента пластинки необходимо, чтобы суммы проекций сил на оси х, у, z, а также моменты относительно этих осей были равны нулю. Так как компоненты напряжений имеют разное значение в различных точках пластинки, то результирующие моменты и поперечные силы должны быть также функциями х и у. Не будем учитывать объемные силы, так как они обычно малы по сравнению с поперечной нагрузкой р. Срединную плоскость мы считаем недеформируемой; поэтому суммы проекций сил на направления х и у тождественно равны нулю. Условие, по которому сумма проекций сил на ось z равна нулю, принимает вид
 - dx dy dydx --р dx dy О,
 ИЛИ
 11Л0>
 Определяя моменты всех сил, действующих на элемент, относи¬
 тельно оси х и отбрасывая члены высших порядков, получаем уравнение равновесия
 дЛ4Х1, дМу
 dx dy gp- dy dx Qv dx dy 0,
 ИЛИ
 dMxy дм„, л „1 11V
 дх ду Q' —° 11.11
 Аналогичное уравнение равновесия моментов относительно оси у
 будет иметь вид
 -0» о.
 Из уравнений 11.7, 11.8, 11.11 и 11.12 находим:
 dAdx дМух ду
 д Ггьдт I W Гпi 1
 Их дх3 V ду2 J ду L дхду J
 дМу дМху
 ду дх
 д Гг,дт, дт 1 д Гп>1 ч dw 1
 ду L dy2 V дх -1 дх L дхду J
11.2
 ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
 319
 Для пластинки постоянной толщины значение D будет постоянным, следовательно,
 q-°Uw--
 Подставляя 11.13 в 11.10, получаем дифференциальное уравнение
 d4w. 0 d4w. d4w р
 дх' дхду ду D
 или
 11.14
 мы пришли к основному уравнению теории малых прогибов пластинок, относящемуся к пластинкам постоянной толщины.
 11.2. Граничные условия. Сформулируем вначале граничные условия для прямоугольной пластинки, кромки рис которой параллельны осям х и у.
 Шарнирно опертый край. Если опертый край пластинки может свободно поворачиваться, то его называют шарнирно опертым рис. 11.3. Допустим, что край х — а шарнирно оперт; тогда прогиб и изгибающий момент вдоль края должны равняться нулю:
 Но условие w — 0 вдоль края х а означает, что одновременно
 dw dw q
 ду ду2
 Следовательно, граничные условия для шарнирно опертого края могут быть записаны в виде
 <»>„-. 0.
 Заделанный или защемленный край. Если край х а защемлен или заделан, то прогиб и угол поворота в точках края должны равняться нулю:
 <«-«°- 4f °- 11Л6>
 ха
 Свободный край. Если край х — а свободен, то вдоль него изгибающие и крутящие моменты, а вместе с тем и вертикальные поперечные силы, должны быть равны нулю:
 хха 0» №хуха Qxxa

320
 ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
 ГЛ. 11
 Однако Кирхгоф показал, что для полного определения прогиба w, удовлетворяющего уравнению 11.14, достаточно двух граничных условий; третье условие, полученное из физических соображений, является излишним. Это противоречие происходит из-за допущения, что нормали к срединной плоскости до изгиба переходят в нормали к срединной поверхности после изгиба. Если не пользоваться таким допущением, то можно получить дифференциальное уравнение шестого порядка, при использовании которого могут быть удовлетворены все три граничных условия. Можно, впрочем, установить, что за исключением области, находящейся в непосредственной близости к краю, это новое уравнение по существу отвечает такому же распределению напряжений, как и уравнение 11.14. Если пластинка тонкая, то членами шестого порядка можно пренебречь, и более точное уравнение обращается в уравнение 11.14. Это оправдывает применение уравнения 11.14 при исследовании изгиба тонких пластинок. Чтобы избежать противоречий при формулировке граничных условий, два условия, определяющие Мху и Qx> по предложению Кирхгофа заменяются одним. Это объясняется тем, что крутящий момент, действующий на элемент кромки пластинки, можно представить в виде двух статически эквивалентных сил; последние могут быть затем рассмотрены в сочетании с вертикальными поперечными силами. Такая замена, естественно, окажет влияние на распределение напряжений в непосредственной близости к кромке, но на
 остальной части пластинки распределение напряжений останется без изменений.
 Рассмотрим край х а. На элемент длины dy действует крутящий момент Mxydy его можно заменить двумя вертикальными силами, равными Мху и действующими на расстоянии dy друг от друга,
 Рис. 11.4.
 как показано сплошными стрелками на рис. 11.4. Для следующего элемента dy крутящий момент будет равен Ма
 дМ
 ху
 dyJ dy.
 жхуГ ду
 который можно снова представить в виде вертикальных сил величи-
 дМхи
 ной Мху-1 dy они изображены пунктирными линиями. Пере¬
 ходя таким образом к статически эквивалентной системе сил, мы убеждаемся, что в точке А действует вертикальная сила, величина
 которой равна
 дМ.
 ху
 ду
 dy; на единицу длины будет приходиться
 G. Kirchhoff, Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe, J. reine u. angew. Math., т. 40. 51—88, 1850.

11.3 ИЗГИБ ШАРНИРНО ОПЕРТЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК
 321
 вертикальная сила величиной
 дМ
 XIJ
 В
 случае положительного
 момента Мху статически
 ду
 эквивалентные силы направлены вверх; в соответствии с принятым правилом знаков они будут отрицательны. Следовательно, для свободного края, вместо условий равенства нулю величин Мху и Qy, вводим условие, по которому равна нулю статически эквивалентная им вертикальная сила:
 о.
 Пользуясь уравнениями 11.8 и 11.13, можно выразить это условие через w в следующем виде:
 11.17
 г d3w.,0. d3w I л
 -2-vtofL.0-
 Из условия Мх 0 вытекает, что
 dw
 дт л
 11.18
 Равенства 11.17 и 11.18 выражают гра ничные условия для свободного края.
 Рис. 11.5.
 11.3. Изгиб шарнирно опертых прямоугольных пластинок. Рассмотрим шарнирно опертую прямоугольную пластинку, находящуюся под действием поперечной нагрузки; интенсивность нагрузки пусть будет
 Р Рх У•
 Выберем координатные оси, как показано на рис. 11.5. В параграфе 11.1 было установлено, что прогиб пластинки должен удовлетворять дифференциальному уравнению
 dw, 0 d4w, d4w рх, у
 дх ' дх ду2 ду
 при следующих граничных условиях:
 при х 0.У 0
 w 0, w 0,
 dw
 дх
 d2w
 ду
 0 0
 при
 D
 и х а.
 и у Ь.
 11.19
 11.20
 Как легко видеть, эти граничные условия удовлетворяются, если прогиб выражается с помощью ряда Фурье:
 w
 rmzx. mzy. Sin Sin —г-
 <1L21>
 m 1 n1
 где Amn— неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты можно Определить таким образом, чтобы уравнение 11.19 удовлетворялось.

322 ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК гл. II
 Разложим вначале функцию рх> у в ряд Фурье:
 ОО ОО
 11.22
 т п—1
 Чтобы вычислить какой-либо коэффициент Фурье am>n't умножим обе части уравнения 11.22 на snmfTzxlasnnrTzylbdxdy и проведем интегрирование по а: в пределах от 0 до а и по у от 0 до bi
 а Ъ
 Я, ч. т'кх. п’ тту, р х, у sin —-— sin —jf- dx dy
 о о
 со со a Ь
 SV Г Г • rrnzx. m'nx. rnzy. n'ny,.
 2j J J amn sin —— sin —— sin -f- sin dx dy.
 ml 721 0 0
 Используя соотношения
 и
 . mizx. т'ъх, л.
 sin—-—sin—-—dx — 0 при тФт,
 при m m'
 и
 J sin sin -п- У dy 0 при пФп
 о
 b
 — при n n,
 после интегрирования находим
 00 00 i
 VI Vi. яте. т'тсх. mcy. л'тсу,, ab
 2d 2a J J amn Sln “a- Sln a sin r Sln T dxdy -- a>n'n
 wl nl 0 0
 Отсюда
 G Ь
 aw,n, -i_ y J px> y sin — ™x- sin dx dy. 11.23
 о 0
 Чтобы определить коэффициент Amn в выражении для w, подставляем выражения 11.21 и 11.22 в 11.19. Это приводит к уравнению
 30 оо т1 тг1

11.31 ИЗГИБ ШАРНИРНО ОПЕРТЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК 323
 Так как полученное уравнение должно удовлетворяться для всех значений х и у, то должно быть
 А 4 т I.551У атп — Q
 -Г D
 или
 л _1 атп шп — nD т пу а Ь
 Отсюда
 1 V1 V1 атп тпх ♦ п™У
 W D 1 1 71 Г VSin “Sin 7> 11-24
 га_1 №
 т—1
 причем коэффициенты атп определяются по формуле 11.23. Выражение 11.24 для w является результатом решения задачи об изгибе тонкой прямоугольной пластинки под действием поперечной на¬
 грузки рх, у.
 В частном случае прямоугольной пластинки, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивностью
 рх, у ?0, из формулы 11.22 находим
 а Ь
 4?о Г Г • лтту j j 16?0
 J 51п—яп-ТГахаУ 1Ш>
 о о
 где m и г—нечетные числа. Все коэффициенты ашп при четных ш и п равны нулю. Окончательно будет
 °° оо. тпх, ппу
 1 _ ХН Х”1 sin sin
 '’ % 2 2 rL „А,- 4-25
 ш1> 3,5
 Тому обстоятельству, что все члены ряда 11.25 с четными индексами тип обращаются в нуль, можно дать следующее физическое объяснение. При равномерной нагрузке изогнутая поверхность пластинки должна быть симметричной. Если координатные оси расположены так, как показано на рис. 11.5, то члены с четными т и п отвечают несимметричным прогибам и, естественно, должны равняться нулю. Наибольший прогиб пластинки имеет место в центре и равен
 тп „
 СО -г 1
 “лЕГ S J rfi у ' п-26
 2 2 га1, 3, 5 п1, 3,5 тп “р-
 Этот ряд сходится достаточно быстро, и первые несколько членов дают, вообще говоря, удовлетворительный результат. Например

324
 ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
 гл. 11
 в случае квадратной пластинки, принимая v 0,3, находим, что прогиб, определяемый первыми четырьмя членами ряда, равен
 «Л
 6 	0,0443>0
 а
 А» ;
 коэффициент здесь точен до третьей значащей цифры.
 Если выражение для прогиба пластинки найдено, то можно найти изгибающие моменты в пластинке, подставляя 11.25 в формулы 11.7 и 11.8:
 М.
 W» l, 3, 5 п
 mJ — I J2.Y
 1,3,5 д2 “Г 2 °° °°, rfi _ 16p0 X’ V a j Bjn mnx cin
 я I п V
 1, 3,5 nl, 3,5 д2 “Г J
 . тя. nny
 sin sin —r
 a b
 11.27
 Наибольший изгибающий момент будет также в центре пластинки.
 Для квадратной пластинки при а Ь первые пять членов ряда дают
 Жд. а ъМу а ь 0,0479?0а2.
 ХятТ У2 Х2’ У2
 Сравнивая формулы 11.6 с 11.7 и 11.8, выразим изгибные
 напряжения через изгибающие моменты:
 чг
 12 Myz
 W
 Наибольшие напряжения изгиба
 имеют место при z±. Для
 равномерно нагруженной квадратной пластинки
 аз
 °тах 0,287?о
 Рис. 11.6.
 Задача 1. Шарнирно опертая прямоугольная пластинка находится под действием гидростатического давления. В этом случае нагрузка распределяется по формуле
 Р х, у.
 Найти прогиб, моменты и напряжения в пластинке.

11.4 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК С ЗАЩЕМЛЕННЫМИ КРОМКАМИ 325 Отв.
 оо оо
 Spo V V — 1, тжХ. пкУ
 w TD ri 2s я 6 •
 т-1 п-1, 3, 5 -г
 Задача 2. Шарнирно опертая квадратная пластинка находится под действием равномерно распределенной нагрузки. Найти приближенно наибольший прогиб методом конечных разностей и методом релаксации.
 Указание. Для шарнирно опертой пластинки граничные условия вдоль кромок можно записать в виде
 л dw, dw л
 w — О и “dffi “Ь ' — 0 вдоль кромок.
 При таких граничных условиях дифференциальное уравнение можно представить в следующей форме:
 Vw М.
 Следовательно, задачу можно решить в два этапа. Вначале определяем функцию М по уравнению
 уш
 причем М О вдоль кромок. Затем определяем функцию прогиба w по уравнению М> причем w О вдоль кромок. Такое преобразование позволяет нам пользоваться оператором Лапласа V2, значительно более простым, чем бигармонический оператор V4.
 11.4. Изгиб прямоугольных пластинок с защемленными кромками. Метод Рэлея — Ритца. В главе VII рассматривалось решение задач теории упругости с помощью метода Рэлея — Ритца. Применим теперь метод Рэлея — Ритца к решению задач о пластинках. Общее выражение энергии деформации, накопленной в упругом теле, дается формулой 3.49:
 Iff ayQy f” 4“ xyxy 'zyz4yz'zzx4zx dx dy dz.
 V
 В случае тонких пластинок, в соответствии с допущениями, сделанными в параграфе 11.1, напряжения о2, ууг являются малыми
 величинами, и потому ими можно пренебречь. Отбрасывая в полученном выше выражении члены, содержащие ог, уууг, и исключая компоненты деформации с помощью выражений 11.4, имеем
 u ff fm Кв1 ХЪ«dx аУ dz;
 V
 здесь используется соотношение G E21 —v. Подставляя в приведенную формулу выражение 11.6 для <зх% ow и %хгл через w%

326
 ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК.
 ГЛ. 11
 получим
 it D Г Гд2здЛ2 I d2?e> 2, 0 dw dw.
 U2j J -l?-2v---
 2<>-ЧШ§Шж’-
 где Л — площадь пластинки.
 Полученную формулу можно привести к значительно более простому виду для пластин произвольной формы, у которых все кромки
 защемлены, и для прямоугольных пластинок, вдоль кромок кото¬
 рых w-О. Интегрирование по частям дает
 Ядт d2w,, Г dw dw, Г Г dw dsw,,
 dx dy дх ду Х § дхду дх Х J J ТГх дх ду2 -
 А о А
 . dw dw, Г dw dw,, Г Г d2w d?w,,
 y-d7dt-tedx-§-d7-WdyJ J -шдахаУ-
 8 a
 Но для пластинок с защемленными краями должно быть
 dw dw гл dw dw л
 -- 0 и, соответственно, -- О вдоль кромок.
 В случае прямоугольной пластинки будем иметь w Q по всем кромкам
 и, 	кроме того,
 dw л,
 __- 0 вдоль кромок у — const
 и
 dw dw
 ду ду2
 : 0 вдоль кромок х const.
 Таким образом, первые два интеграла в полученном выше выражении будут тождественно равны нулю и мы получим
 f «»•»>
 А
 Энергия изгиба будет равна:

11.41 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК С ЗАЩЕМЛЕННЫМИ КРОМКАМИ 327
 Чтобы проиллюстрировать применение метода Рэлея — Ритца, рассмотрим изгиб прямоугольной пластинки с защемленными краями. Расположим координатные оси, как показано на рис. 11.5. Граничные условия будут иметь вид:
 p. dw А л
 w 0, -- 0 при Jt 0 и х а
 w 0, 0 при у 0 и у Ь.
 Эти условия удовлетворяются, если принять w в следующем виде:
 оо оо
 ® S S Amni-S-l-COS; 11.31
 w l 721
 здесь параметры Ашп надо определить из условия минимума потенциальной энергии системы, равной
 I1 U — W.
 Подставляя выражение 11.31 в 11.30 и интегрируя, находим
 а b
 ° ''IV V Г я> in I, 2пяу
 0 0 711
 , л
 a‘cos
 ОО оо V т1 п1
 2 4-
 мп
 оо оо оо оо оо оо
 S2S2-N'4-22
 ш1 Г1 81 Г18 1п1
 Г ф В Г ф
 Если пластинка находится под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности ?0, то потенциальная энергия внешних сил равна
 а b
 — W — j J p0w dx dy
 о о
 а b
 -Pof S 2nl-cosl-cos-
 dx dy
 О О L ш1 п1
 оо оо
 рфЬ Ашп.
 т—1 71—1

328 ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК гл. 11
 Условие - дП ■ 0 дает оАтп
 тп
 Для различных значений тип получим столько уравнений относительно Атп, сколько параметров было взято. Решая совместно эти уравнения, можно найти эти параметры, а затем прогибы, моменты и напряжения во всех точках пластинки. Если, для примера, взять только один параметр Ап, то будем иметь
 Для квадратной пластинки Ап р0а432тг4. Подставляя это значение в 11.31 и принимая v 0,3, находим наибольший прогиб пластинки при х а2, у Ь2 а2 равным
 Эта величина всего на 1,5% выше значения, вычисленного значительно более громоздким методом.
 Возьмем теперь большее число параметров; будем учитывать, например, параметры Ап, Л12, А21, Л22, А1г, Л31, Л33. Тогда условие 11.32 принимает вид:
 Т. Н. Evans, Tables of moments and deflections for a rectangular plate fixed on all edges and carrying a uniformly distributed load, J. Appl. Mech., т. 6, 1939; см. также С. П. Тимошенко, Пластинки и оболочки, Гостехиздат, 1948.
 w
 max
 0,0140р0а Eh3
 2у Л21 2Л13 2-- A3l —
 2Дц 3 48 4 8 2 Аа 2А13 32 А22.
 2 i 4 Аа 48 3 4 8 I-2 Л21 2 4 Л31 32Л22.
 Роа
 4Dn '
 32А21 16 3 3 2 J А224- 32 у Al2 —

11.4 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК С ЗАЩЕМЛЕННЫМИ КРОМКАМИ 329
 21,, 2Л„ з 243 I4 18 ' Да 162 Л„ •Р' 2 ‘ Аа 2 i‘ Аг, 243 4- 3.у
 4Dk
 18 у2 Л31162А р°а
 162 т4 162Д31 -4-81 зч-з 4 4- 2 2 л зз
 33 — 4Dti4 ” РоД4
 Для квадратной пластинки, при а Ь, решение последних уравнений дает следующие значения параметров:
 Ап 0,11774р А12 А21 0,01184,
 А22 0,00189р А13 А31 0,00268?',
 Л33: 0,00020,
 где р' p0aA4DTz. Подставляя эти величины в 11.31, находим максимальный прогиб равным
 _ 0,0138?0д4
 max ДЗ что в точности совпадает со значением, полученным Ивенсом.
 В качестве второго примера рассмотрим изгиб прямоугольной пластинки сосредоточенной силой Р, перпендикулярной к плоскости пластинки и приложенной в точке х хи у у1%
 В этом случае потенциальная энергия внешней силы равна
 — W — Pw —
 ' 'xxlt yyl
 ОО ОО
 ->S
 ш—Х л—1
 Условие 0 принимает вид:
 4DizAab
 г— 1
 Г Ф п
 2-jirn-Pl-cosal-cosp 0; 11.33
 1
 г фт
 отсюда могут быть найдены параметры Ашп.
 I

330
 ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
 гл. 1 1
 Обратимся к частному случаю, когда сосредоточенная сила приложена в центре квадратной пластинки. Учитывая семь параметров п» 12 A2i, 22» 13 Ази Аз» найдем:
 Ап 0Д2662Р', Л12 А21 — 0,00601Р',
 А22 0,00301Р' А13 А31 0.00278Я',
 А33 0,00015Р',
 •где Р' — Ра2Ок4. Наибольший прогиб будет в центре пластинки:
 0,0593Рд2
 w max дз »
 что на 3% меньше значения, полученного С. П. Тимошенко.
 Задача 1. Прямоугольная пластинка находится под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности р0 см. рис. 11.5. Если края шарнирно оперты, можно принять
 Задача 2. Определить параметры Атп в предыдущей задаче, если пластинка находится под действием сосредоточенной силы Р, приложенной в точке х у у. Найти наибольший прогиб центрально нагруженной квадратной пластинки.
 За tа ч а 3. Для прямоугольной пластинки, у которой два края защемлены, а два других шарнирно оперты, можно принять
 Определить параметры Атп методом Рзлея — Ритца в случае, если пластинка находится под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивностью р0.
 Задача 4. Решить предыдущую задачу, если пластинка находится под действием сосредоточенной силы Р в точке х xt и у уг.
 С. П. Тимошенко, Пластинки и оболочки, Гостехиздат, 1948,
 оо оо
 771 1 П 1
 Определить параметры Атп по методу Рэлея — Ритца.
 6Ро 1
 Отв. Атп --ф- — Для нечетных
 для нечетных тип;
 Атп 0 для четных тип.
 таха
 0,0115Ря2 D г
 2 тпх а
 т»1 n« 1

11.5
 ИЗГИБ КРУГЛЫХ ПЛАСТИНОК
 331
 11.6. Изгиб круглых пластинок. При рассмотрении изгиба круглых пластинок удобно пользоваться полярными координатами. Примем координатную систему, как показано на рис. 11.7. Зависимости между полярными и декартовыми координатами будут следующими:
 г2 х2 -f- у2, 0 arctg ;
 отсюда находим:
 дг. х «
 — 7 cos0,
 дх
 дг
 Ту
 дЬ
 дх
 dti
 -sinl
 sin 0
 Г2 X
 ду
 Г2
 Пользуясь этими выражениями и рассматривая w как функцию г и 0, получаем:
 dw дг. dw дЬ dw а 1 dw
 dw
 dx
 dr dx
 dw
 ¥¥ дГСО80-7-5Гзш'
 — sin
 dw dy dr
 Чтобы определить операцию: d2w
 cos6--Tsin0ww>
 T -W cos 6 sin 9 W -r cos 9 ww-
 вторые производные, повторим предыдущую
 dx2
 _icos2fl_2 dw sin 6 cos 0
 1 dw
 TW
 dw sin2 0
 sin 0
 2
 1 dr dw sin 0 cos 0
 35 r2
 dw
 sin2 0
 Аналогичным образом находим
 dw
 ду2
 dw
 d2w. о л, о dw sin 0 cos 0
 sm292w—?—
 dr
 d2w. л n i
 sin 0 cos 0 4
 dw cos2 0 dr r
 dw sin 0 cos 0 d0
 r2
 dw cos2 0
 <Э02
 dx dy
 dw cos2 0 — sin2 0
 dr2
 drdb dw cos2 0 — sin2 0
 dw sin 0 cos 0 d2zer sin 0 cos 0
 db
 r2
 dr
 При таком преобразовании координат получим _9 dw, dw dw. 1 dw.
 dx2 dy2 d2 '' r2
 d02
 1
 dr
 r2 d02
 11.34

332
 ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
 ГЛ. 11
 оператор V2 можно выразить следующим образом:
 Напомним формулу для оператора V4:
 Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности тонкой пластинки, находящейся под действием поперечной нагрузки, будет в полярных координатах иметь вид
 д2 1 д. 1 д2 dw. 1 dw, 1 dw р п -
 дг г дг г2 г дг г2 д№ J D '
 Чтобы написать выражения в полярных координатах для моментов и поперечных сил, рассмотрим элемент пластинки, ограниченный двумя смежными осевыми плоскостями, образующими угол db9 и двумя цилиндрическими поверхностями, радиусы которых соответственно равны г и r--dr рис. 11.8. Примем, что ось х совпадает с радиусом г. Моменты Mr> Mv Mrt и поперечные силы Qr, Qt имеют те же значения, что и моменты Мх, Му, Мху и поперечные
 силы QXi Qy в той же точке. Подставляя 6 0 в выражения для
 dw dw dw
 dx2 dy dxdy
 , получаем:
 «ж н ч r dw A
 p. 1 dw. 1 dw, dw
 r dr r2 dO2 ' v dr2 J ’
 dw
 11.36
 — D
 d I dw drdr
 1 dw
 1 dw
 r dr
 1 dw, 1 dw
 ■
 r dr ' r2 <Э0»

11.5
 ИЗГИБ КРУГЛЫХ ПЛАСТИНОК
 333
 Граничные условия по краю круглой пластинки радиуса а будут следующими. Если часть края г а шарнирно оперта, то для нее при 0 б2
 w — 09 Мг 0. 11.37
 В случае защемленного края
 т 0, 4г 0- 11.38
 Для свободного края
 мг о, V Qr—f 0. 11.39
 Если нагрузка, действующая на круглую пластинку, распреде¬
 ляется симметрично относительно оси, перпендикулярной к пластинке и проходящей через ее центр, то и граничные условия будут
 симметричными; изогнутая поверхность пластинки будет также осесимметричной. В этих случаях прогиб w не будет зависеть от б, а будет функцией только г. Тогда уравнение 11.35 примет вид
 d.1 d dw, 1 dw р 1t лгл
 ЫТ1711?гТЧГ Т- <1L4°
 Выражение, стоящее в скобках, равно
 d2w, 1 dw Id dw
 dr2 ' r dr r dr dr
 Таким образом, уравнение 11.40 можно переписать в следующей форме:
 Это уравнение легко проинтегрировать при заданной интенсивности нагрузки рг.
 Рассмотрим частный случай круглой пластинки радиуса а, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки р0.
 Умножая обе части уравнения 11.41 на г и производя интегриро¬
 вание, получаем

334 ИЗГИБ и ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК гл. II
 ИЛИ
 d
 dr
 т'--«-. <<2>
 где Сх — постоянная интегрирования. Не представляет труда провести и последующие операции интегрирования; тогда будем иметь:
 iH'Z-4S-bto'b
 “, иЙ Т1'пг-1-Т'с>пгс‘- <п'43>
 где С2, С3, С4 — новые постоянные.
 В случае симметрично нагруженной пластинки из уравнения 11.36 имеем
 d Г1 d I dw d dw. 1 dw Q
 dry dr dF 4rdr rbdFj 77
 Для круглой пластинки без центрального отверстия по формуле
 11.42 находим, что при г О величина Q становится бесконечно большой. Так как это невозможно, то должно быть 0. Аналогично из 11.43 следует, что w обращается в бесконечность при г 0. Чтобы исключить такую возможность, надо положить С3 0.
 Если край пластинки защемлен, имеем
 п dw А
 w 0’ чг °
 при г а. Следовательно,
 ?0д4,, г _ л ?о3 t Счр _
 64Di —4““rW — “
 отсюда
 г — Pa г —ML
 °2 — 8D ’ 4 — 64D
 Прогиб такой пластинки будет равен
 w6ша2г2У- 11.44
 Наибольший прогиб имеет место в центре пластинки и равен
 <®>г-о 1Я25-Подставляя 11.44 в 11.36, получаем:
 Мг аЦ 1 4-v — r3--vl.
 16
 Ро
 16
 Aft -a2lv—rl3v.
 11.45

11.6 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНКИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ 335
 Наибольший изгибающий момент имеет место на кромке пластинки:
 М -.
 шгГт.а 8
 Наибольшее напряжение изгиба оказывается равным
 6 Мг 3р0а?
 °гп
 Задача 1. Круглая пластинка с шарнирно опертым краем находится под действием равномерно распределенной нагрузки. Примем, что пластинка не имеет отверстия. Найти наибольший прогиб, момент и напряжение изгиба. Отв.
 w -
 Роа-г« 5 у _ 64 D 1 v I
 Задача 2. Круглая пластинка радиуса а изгибается моментом М, равномерно распределенным вдоль края. Найти выражение для прогиба w, если край оперт шарнирно.
 Отв.
 W 2D 1 v — л2'
 Задача 3. Пусть круглая пластинка, рассмотренная в задаче 2, имеет в центре отверстие радиуса b. Найти выражение для прогиба пластинки.
 Отв.
 — ЬМ,, 9Ч, аЧШ, г
 W 2 1 v D а — 2 а 1 — v Z < — № а '
 Задача 4. В центре пластинки радиуса а имеется отверстие радиуса Ь Считаем, что пластинка находится под действием равномерно распределенной нагрузки и что внутренний край ее защемлен, а внешний — свободен Найти наибольший прогиб, момент и напряжение изгиба при b а4.
 11.6. Прямоугольные пластинки при совместном действии поперечной нагрузки и сил в срединной плоскости. Ранее мы полагали, что пластинка получает малый прогиб, находясь под действием только поперечных сил. Если в дополнение к поперечной нагрузке имеются силы, действующие в срединной плоскости пластинки, то в основное дифференциальное уравнение войдут члены, учитывающие влияние этих сил. Обозначим напряжения в срединной поверхности через ож0, оу0, тху0. Тогда усилия в срединной поверхности, приходящиеся на единицу длины сечения, будут равны:
 N х хо у h-ZyQ и NХу АуХ fcxyo
 Примем, что прогиб w пластинки достаточно мал, так что первые два допущения из параграфа 11.1 остаются в силе, и вместе с тем настолько велик, что произведения сил, лежащих в срединной плоскости, или их производных на производные от w% будут величинами того же порядка, что и производные от поперечных сил Qx и Qy. В этом случае напряжения изгиба в пластинке определяются попрежнему выражениями 11.6, выведенными в параграфе 11.1» а моменты и поперечные силы — выражениями 11.8 и 11.13.

336
 ИЗГИБ и ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
 гл. И
 Рассмотрим условия равновесия элемента пластинки со сторонами dx и dy. Помимо сил, показанных на рис. 11.2, имеем еще силы Nx, Ny и Nxy Nyx, лежащие в срединной поверхности. Так как проекции сил, приведенных на рис. 11.2, на направления х и у равны нулю, то при составлении суммы проекций сил на эти оси следует учитывать только силы, лежащие в срединной поверхности
 рис. 11.9. Сумма проекций на ось х сил Nxdy и dx dy
 равна
 ndxdy cos а' — Nxdycos а, 11.46
 где а' a--jdx. Воспользуемся соотношениями
 jl_
 cos а 1 — sin2 а 2 1 — sin2 а-f-. 1 — у Н“ •••
 11
 Для малого угла а величина значительно меньше 1, и cosal.
 Точно так же cosa'l. Таким образом, выражение 11.46 получает вид

lf.6 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНКИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ 337
 Подобным же путем можно показать, что сумма проекций на ось х
 Г dNyx 1
 сил Nyxdx и Nyx-—--dydx равна
 dNXy
 -gy--dxdy.
 Суммируя эти компоненты, приводим условие Fx — 0 к виду
 dNx dNxy
 n-47>
 Аналогично, условие jFy 0 приводит к уравнению
 dNT1. dN,u
 у 1 -,0. 11.48
 дх 1 ду
 Выпишем, далее, уравнение равновесия в проекциях на ось z. Здесь надо рассматривать, помимо компонентов сил, показанных на рис. 11.9, еще и силы, изображенные на рис. 11.2. Проекции на
 ось z сил Nxdy и dxdy дают результирующую
 — Nx dy sin а -f- мж dx dy sin а'.
 Для малых углов а и а' имеем
 dw
 sin а « а «-з— дх
 и
 , да, dw, dw,
 sin'«e'«a-r ах шшйх.
 Следовательно, выражение для результирующей силы принимает вид: кт j dw. кт. dNx,, I dw, d?w,
 — Ndy аТN»' ITdxdy 17 Шdx
 KT d?w,,, dNx dw,,
 x The У дх Их йУ ’
 членами высшего порядка малости пренебрегаем. Таким же путем можно показать, что результирующая компонентов вдоль оси z сил
 dN„ Ny dx, Nу - dy j dx
 равна
 dw dNy dw
 Nvdx аУ ддJdxdy-
 f dNxv Чтобы найти проекции на ось 2 сил Nxy dy и ЛЛ-f- --dxj dy, обратимся к рис. 11.10. Прогиб в точке О' изогнутой срединной

338
 ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
 ГЛ. II
 dw
 поверхности равен w% а прогиб в В' равен dy. Следова-
 О п dlSJ
 В повернута вниз и находится под углом
 к оси у. Таким же образом устанавливаем,4 что линия А'С' накло-
 dw. dw. _
 нена вниз и находится под углом -f- dx к оси у. Поэтому
 поперечные силы Nxydy и tixy-—-dxjdy будут
 ху дх
 тирующую в направлении z, равную
 dw.. dN„„ _ dw
 иметь резуль-
 dw
 NXy У
 N.
 ху
 dx
 ■dx
 dw dw д
 dУW дхду dX
 dy ' дхду dw _. и
 NxVdxdydxd-y дх
 dNxy dw ду
 dx dy •
 Аналогичное выражение можно получить для суммы проекций на
 ось z сил N.
 ух
 dx и Nyx
 dM,
 N,
 d-w
 vxd7dy
 dy dx dy-
 dx:
 dNyx dw dy dx
 dx dy.
 Сложив эти величины с проекциями на ось z сил, показанных на
 _dx. рис. 11.2, и разделив на dx dy,
 получим
 dQx dQy.. dw
 dx
 dy dw
 ' -gjz 2ЛГ
 fdNx
 dw
 xvdTdy dN„x dw
 v I
 dN,
 xy
 dy dx dNy dw
 dx dy dy
 Но из уравнений 11.47 и 11.48 следует, что выражения, стоящие з скобках, равны нулю. Так как силы, лежащие в срединной поверхности, не создают моментов вдоль кромок элемента, то уравнения 11.11, 11.12 и соответственно формулы 11.13 останутся без изменения. Пользуясь этими зависимостями, можно придать уравнению равновесия в проекциях на ось z следующий вид:
 dw. 0 d±w dw 1 „, hT dw, AT d2w, OAT d?w
 dx ' dx dy •“ dy D pTNxTjdy x» dxdy I
 11.49

11.61 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНКИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ 339
 Уравнения 11.47 и 11.49 являются основными дифференциальными уравнениями для тонкой пластинки, находящейся в условиях совместного действия изгиба и сил, лежащих в срединной плоскости.
 Рассмотрим прямоугольную пластинку с шарнирно опертыми краями при совместном действии поперечной нагрузки и усилий равномерного растяжения Nx в направлении х. В этом случае имеем
 Ах ■— const, Ау — А1 ху —
 Уравнения 11.47 и 11.48 тождественно удовлетворяются, и остается выписать только уравнение 11.49. В параграфе 11.3 было показано, что равномерно распределенная поперечная нагрузка р0 может быть представлена в виде ряда Фурье:
 ОО ОО
 — 2 2 4: Sin sin
 тп а b
 т1,3,5 п1,3,5
 Уравнение 11.49 принимает вид
 d4w n d4w. d4w Nx dw
 дх4 ‘ дхду ' ду4 D дх2
 ОО ОО
 16?о V' V1 1 milX • ппУ 11 сл -пГТ Л. 7j —sin sm “»“• 11.50
 >u2 mn a b v J
 m l,3,5 nl,3,5
 Граничные условия будут иметь вид:
 Л п
 при х 0 и х а w 0,
 dw
 при у 0 и у b w 0.
 Эти условия будут удовлетворяться, если принять w в виде двойного ряда:
 со оо
 yv л • тгтх mzy
 >, Лтп sin —— sm -
 а b
 т1 71—
 Подставляя это выражение в уравнение 11.50, находим: г гт« 165у, >«1 при нечетных т и «.
 Ат г 0 при четных т или г.
 Окончательно получим
 ГО ОО
 Ifyfy V V 1 milX • ПпУ 11 Civ
 L 1 Гmi - W-. Nx,n« I Sltl — Sln T ' 1L51>
 m1,3,5 n-1,3,5 2 j

340
 ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
 ГЛ. 11
 Сравнивая выражения 11.51 и 11.25, находим, что при наличии растягивающей силы прогиб пластинки уменьшается. С другой стороны, если сила Nx, лежащая в срединной плоскости, будет сжимающей, то прогиб пластинки возрастает.
 Задача 1. Шарнирно опертая прямоугольная пластинка находится под действием гидростатического давления
 рх.
 Найти прогиб, моменты и напряжения в пластинке, если на нее действует вдоль сторон х 0 и х — а равномерно распределенное растягивающее усилие Nx.
 Задача 2. Шарнирно опертая прямоугольная пластинка находится в условиях совместного действия равномерного поперечного давления р0 и сил Ny лежащих в срединной плоскости и равномерно распределенных вдоль четырех кромок. Найти прогиб, моменты и напряжения в пластинке.
 11.7. Выпучивание шарнирно опертых прямоугольных пластинок, подвергающихся равномерному сжатию в одном направлении. Если подвергнуть плоскую пластинку действию сжимающих усилий, лежащих в срединной плоскости, то при некотором критическом значении сил плоская форма равновесия станет неустойчивой, и пластинка начнет выпучиваться. Это явление аналогич но продольному изгибу стерж-
 t ней. Рассмотрим шарнирно опер-
 л тую прямоугольную пластинку
 рис. 11.11, сжатую в срединной плоскости силами Nx, равномерно распределенными вдоль сторон х 0 и х а. В этом случае
 Nx — const,
 N у NХу р 0.
 Уравнения 11.47 и 11.48 тождественно удовлетворяются; остается лишь одно уравнение 11.49. Подставляя в это уравнение —Nx вместо Nx, получим
 DV4» We- 0. 11.52
 Граничные условия будут выполнены, если принять
 оо оо
 VI V4. тих. гтгу
 2j 2иАтп sin sin г
 га1 n1
 Подставляя это выражение в уравнение 11.52, будем иметь
 со оо
 2 2 D4 5■V - N2 5sin sinЧ-°-
 m-l п1
 Рис. 11.11.

11.7 ВЫПУЧИВАНИЕ ШАРНИРНО ОПЕРТЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК 341
 ИЛИ
 Тривиальное решение приводит к значениям Атп 0, или w 0. Отбрасывая это решение, мы должны положить
 MS-5-'
 2Г т I П< Y
 _ _«W mb л2
 N Ш жут ш • 11<53
 Если Nx достигает значения, определяемого правой частью последней формулы, то параметры Атп и прогиб w могут быть отличными от нуля; это отвечает выпучиванию пластинки. К такому же заключению можно прийти, рассматривая уравнение 11.51. Мы видели, что в случае сжимающей силы величину Nx в уравнении 11.51 следует заменить через —Nx. Когда Nx достигает величины, определяемой выражением 11.53, знаменатель в уравнении 11.51 обращается в нуль; если р0 отличается от нуля, то w обращается в бесконечность. Физически это означает, что как бы мала ни была поперечная нагрузка, пластинка получит весьма большие прогибы. Другими словами, пластинка будет выпучиваться.
 Из уравнения 11.53 следует, что значение Nx будет наименьшим при п— 1. Отсюда вытекает, что при выпучивании пластинки может образоваться несколько полуволн в направлении сжатия, и только одна полуволна в перпендикулярном направлении. Следовательно, критическая нагрузка равна
 ,КТ ч mb, а 2 tD,лл _.ч
 Кр -гЬг-Ныг kw> <п-54>
 где k L -j2 — численный множитель, величина которого зависит от п< место при
 висит от m и от отношения аЬ. Наименьшее значение Акр имеет
 dNxKp 2пЮ mb
 d mba
 2n?D mb a
 № a mb
 1 —
 J
 0,
 или
 Отсюда минимальное значение ЛЛкр оказывается равным 4тг2D2. При определенных значениях множителя m величина k зависит только от отношения аЬ. На рис. 11.12 нанесены значения к в зависимости от отношения аЬ для m 1, 2, 3, 4, 5. Имея эти кривые, можно определить величину критической нагрузки и число полуволн при любом отношении аЬ. Для этого надо найти ординату кривой, соответствующую наименьшему значению k для заданного

342
 ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
 ГЛ. 11
 отношения аb. Например, при аЬ 2УЪ по рис. 11.12 находим: k 4,133 и т 3. Это означает, что выпучивание пластинки сопро¬
 вождается образованием трех полуволн в направлении действия нагрузки, причем критическое усилие равно
 N жкР 4,1 33tt2D2.
 Задача 1. Шарнирно опертая прямоугольная пластинка находится под
 действием равномерного сжатия в двух направлениях. Найти критическую нагрузку.
 N
 пн
 I t 1 1,
 с
 7
 7v
 0
 Г9
 X
 U ►
 t t 1
 t 111
 11.8. Выпучивание свободно опертой квадратной пластинки, сжатой в двух перпендикулярных направлениях. Приближенное решение по методу конечных разностей. Критическую нагрузку можно вычислить также с помощью метода конечных разностей, как это было сделано ранее для стержней. Проиллюстрируем применение метода конечных разностей на численном примере.
 Рассмотрим выпучивание шарнирно опертой квадратной пластинки, находящейся под действием равномерного сжатия. Пусть длина стороны равна а. Если выбрать координатные оси, как показано на рис. 11.13, то при
 Рис. 11.13.
 Nx Ny -N, p N<
 ху
 О

11.8J ВЫПУЧИВАНИЕ ОПЕРТОЙ КВАДРАТНОЙ ПЛАСТИНКИ ПРИ СЖАТИИ 343 получим уравнение устойчивости 11.49 в виде
 V2w 0
 при следующих граничных условиях:
 d2w п, а
 W 0 вдоль кромок X ±,
 CL
 W 0 вдоль кромок у ±
 d2w
 Так как производная тождественно равна нулю вдоль кромок
 . a d2w
 х ± 2, а производная тождественно равна нулю вдоль кро-
 . Ь
 мок y±Y> то граничные условия можно записать в следующей форме:
 V2w 0 вдоль всех кромок.
 Таким образом, дифференциальное уравнение может быть переписано в виде
 V2M M 0 11.55
 при М 0 на контуре, и
 Vw М 11.56
 при w 0 на контуре. Сопоставление уравнения 11.56 и условия на контуре для w показывает, что при тривиальном решении М 0 мы получим также тривиальное решение w 0. Следовательно, для решения
 задачи на устойчивость необходимо найти нетривиальное решение уравнения 11.55.
 Обратимся теперь к рис. 11.14; соответствующее уравнение в конечных разностях для произвольной точки О принимает вид
 Mi —- 4 Н 0, 11.57
 и на контуре
 Мь 0.
 В этих выражениях индекс относится к точкам контура и введено обозначение
 r> Nna? м kn
 п — пЮ
 где kn Nna2D. Под Nn понимается приближенное значение критической нагрузки, вычисленное при условии, что стороны пластинки разделены на п отрезков.

344
 ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
 ГЛ. 1 I
 Приближение п нумеруем узловые точки, уравнение 11.57 для л; М2 М3 0. Уравнение
 2. Принимая во внимание симметрию как показано на рис. 11.15. Применяем у а2. Из граничных условий находим 11.57 дает
 СпМ 1 0;
 отсюда Сп 0 или „ 4я2 16,00; погрешность решения соста вляет —19%.
 Пр ибл ижение птривать только восьмую
 4. В связи с симметрией можно рассмачасть пластинки рис. 11.16. Составляем
 2 ■ о-
 'Г 3
 1
 2
 -У -W
 Рис. 11.15.
 Рис. 11.16.
 уравнение 11.57 для узловых точек 1, 2, 3. Принимая во внимание граничные условия М4 МЬ М6 0,
 получим
 С4Мг 4АГ2 0, Мх 4- С,М2 2М3 0, 2М2 -4- С4Л43 0.
 Это уравнение дает решение для М, отличное от нуля, при условии
 С4 4 0
 1 С4 2
 0 2 С
 0.
 Отсюда С4 —2,8284, и 4 18,75; погрешность равна —5,1% После экстраполяции получим 2,4 19,67; погрешность будет —0,35%. Точное значение k составляет 19,739.
 Задача 1. Шарнирно опертая прямоугольная пластинка с отношением сторон а — 2Ь3 подвергается равномерному сжатию вдоль кромок. Вычислить критическую нагрузку методом конечных разностей.
 Задача 2. Квадратная пластинка с защемленными краями подвергается равномерному сжатию вдоль двух противолежащих сторон. Определить кри тическую нагрузку методом конечных разностей. '
 1957.
 С. П. Тимошенко, Устойчивость упругих систем, Гостехиздат

11.9J ВЫПУЧИВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН ПРИ СДВИГЕ
 345
 Задача 3. У квадратной пластинки две противоположные стороны шарнирно оперты, а две другие — защемлены. Предполагается, что вдоль двух шарнирно опертых сторон равномерно распределены сжимающие усилия. Вычислить критическую нагрузку.
 11.9. Выпучивание шарнирно опертых прямоугольных пластин при сдвиге. Энергетический метод. Критическая нагрузка для пластинок может быть вычислена, как и в случае стержней, энергетическим методом. Принимаем, что к пластинке приложены некоторые силы в срединной плоскости, отвечающие моменту выпучивания» т. е. что величины этих сил в точности равны критическим значениям. Предполагается, далее, что пластинка подвергается действию некоторых малых возмущений, вызывающих выпучивание. При таком переходе от одной равновесной формы к другой полная энергия не изменяется; поэтому работа усилий в срединной поверхности должна быть равна энергии изгиба, накопленной в пластинке.
 Рассмотрим элемент dxdy, изображенный на рис. 11.17.
 При изгибе пластинки элемент АВ перемещается в положение А'В'. Так как напряжения в срединной поверхности и деформации не изменяются, то длина А'В' будет по-прежнему dx, но ее горизонтальная проекция теперь равна
 Если пренебречь членами высшего порядка малости, то работа, совершенная усилиями Nxdy, будет равна
 f fN-dxdy'
 Аналогичное выражение для работы, произведенной усилиями Nydx„ имеет вид
 где А — площадь пластинки.

346
 ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
 ГЛ. 11
 Чтобы вычислить работу, произведенную касательными усилиями Nxy dx и Nyx dx, найдем деформацию сдвига, сопровождающую изгиб пластинки. Обращаясь к рис. 11.18, находим направляющие.косинусы llt mlt и 2, т2, п2 соответственно элементов 01Л1 л ОгВ:
 hl
 т1 О,
 dw дх
 dx
 Пл.
 1 dx
 2 о,
 dx
 дх ’
 л 1 dw
 'Ы'
 т2-
 dy
 1 dw 2
 2 п2
 dw, dy У dy
 dw
 Деформация сдвига уху определяется выражением
 1ху — 2 AO.Bi
 sin -5- — < Afii
 cos < А1О1В 2
 ,, dw dw
 Jrm,ml nlni -sf-s-.
 Работа касательных усилий
 Nxy Nyx равна
 If
 лг dw dw,,
 Nv-dF-dfdxdy-
 Общая работа, произведенная силами в срединной поверхности, оказывается равной
 Ш 71КШ •%' г ““У- <“-58>
 Накопленная в пластинке энергия изгиба согласно параграфу 11.4 равна
 ■ d2w dw I dw 2
 dx2 dy2 ddy Jj X У'
 fsr-2<—>

11.9 ВЫПУЧИВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН ПРИ СДВИГЕ 347
 При выпучивании должно быть
 П а — W 0. 11.59
 Чтобы проиллюстрировать энергетический метод, рассмотрим в качестве примера выпучивание шарнирно опертых прямоугольных пластин под действием касательных усилий Nxy, равномерно распределенных вдоль кромок рис. 11.19. Выражение для w, удовлетворяющее граничным условиям, можно принять в виде
 W
 V4 V1 л тпх. ппу
 2d 2d Атп sin trsin г
 т 1 ю1
 В данном случае Nх Ny0; поэтому работа, произведенная внешними силами во время выпучивания, оказывается равной
 а Ъ
 dw dw,,
 - dx dy.
 w
 U U «■
 О о
 dx dy
 Подставим сюда принятое нами выражение для w и проведем интегрирование по всей площади. Отметим соотношения
 0
 а
 1
 тпх рпх, г,,
 sin cos -—dx 0, если т± р — четное число,
 а а
 т
 тпх рпх, 2а
 sin cos -— dx — _ „
 а а пт? — р2
 , если т ± р —
 нечетное число.
 mnpq
 Таким образом, будем иметь
 W ANxV 2222 А™АР<1 m2—р2 9а_„2
 т п р q
 где т> п, ?, q — такие индексы, для которых т ± р и п ± q будут нечетными числами.
 После интегрирования находим энергию изгиба выпученной пластинки равной

348
 ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
 ГЛ. 11
 Уравнение 11.59 принимает вид
 ОО п w»l 711
 am V V V V Л А rnnpq — q
 ™ху j-U Li Zd mnpq m2 _-3 2 _ л2 — и
 т п р q
 Определим критические касательные усилия; для этого необходимо подобрать параметры Атп, отвечающие минимальному значению Nxy.
 Как мы видели в параграфе 10.5, это условие эквивалентно тре¬
 бованию, чтобы энергия II была минимальной. Продифференцировав
 и дп л
 энергию по Ашп, получим условие —— 0 в виде
 Dniab л ?_ У у А mnpq 4 тп а ' № ХУ АЛ Ы PQ m2 — р q _ п2 и»
 р я.
 11.60
 здесь р и q должны быть такими, чтобы т ± р и п ± q были нечетными числами.
 Если ввести обозначения
 a Dn4
 а—Г — S2abmxy
 то уравнение 11.60 примет вид:
 _ Л m2 ла2 V V I ™пРЯ г м, с, ч
 а2 2d 2и Мт?—рЪ№ — п П.61
 1> я.
 Мы пришли к системе однородных линейных уравнений относительно Для вычисления 0VKp приравниваем нулю детерминант, составленный из коэффициентов при Ашп. Так как число уравнений бесконечно, то точное решение будет получено, если мы раскроем детерминант с бесконечным числом рядов и столбцов. Практически находим приближенное решение, взяв некоторое конечное число параметров Атп.
 Будем учитывать вначале два параметра Ап и А22 и будем считать, что все остальные параметры равны нулю. В этом случае уравнение 11.61 принимает вид:
 <?1 «22 и I 4

11.9 ВЫПУЧИВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН ПРИ СДВИГЕ 349
 Приравниваем нулю детерминант этой системы уравнений:
 ? 1 дЗ2
 <Х2
 _4
 9
 «4
 9
 16<р 1 а2
 0.
 Отсюда находим
 или
 _, 1 У - 9 1 а22 '
 N 9«Р, ■»«
 ls хуко — 322 пЬ
 11.62
 Знаки плюс и минус указывают, что критическое значение касательных сил не зависит от их направления. Уравнение 11.62 дает приближенное значение NXyK? с погрешностью около 15% для квадратных пластинок и с еще большей погрешностью при других отношениях alb.
 Для того чтобы получить более точный результат, следует ввести большее число параметров. Будем учитывать шесть параметров Ап, А22, 13» 31» зз> А42- Уравнение 11.61 примет вид:
 Ап
 А22
 А13
 31
 33
 А42
 1 а«
 4
 0
 0
 0
 о.
 а2
 9
 45
 4
 16ср1а22
 4
 4
 36
 0 0,
 9
 а2
 5
 5
 25
 0
 4
 5
 <р 1 9а22
 а2
 0
 0
 — — 0 75 и’
 0
 4
 5
 0
 ср 9 а22
 а2
 0
 — 0 21 и’
 0
 36
 25
 0
 0
 ср 9 9а22
 а2
 --0 35 и
 8
 0
 24
 24
 72
 ср16 4а22_
 45
 75
 21
 35
 а2
 0.
 Приравниваем нулю детерминант, составленный из коэффициентов при Атп в этих уравнениях. Решая полученное уравнение, находим
 кр
 k
 пЮ
 w
 где k — постоянная, зависящая от отношения аЪ. Значения k даны в табл. 11.1 для разных отношений ajb.

350 ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ тонких ПЛАСТИНОК гл. 11
 Таблица 11.1
 а
 Ъ
 1,0
 1,2
 1,4
 1,5
 1,6
 1,8
 2,0
 2,5
 3
 k
 9,4
 8,0
 7,3
 7,1
 7,0
 6,8
 6,6
 6,3
 6,1
 Задача 1. Шарнирно опертая прямоугольная пластинка подвергается равномерному сжатию вдоль двух противолежащих сторон. Вычислить критическую нагрузку с помощью энергетического метода.
 Задача 2. Шарнирно опертая прямоугольная пластинка равномерно сжимается по двум направлениям. Определить критическую нагрузку энергетическим методом.
 Задача 3. Прямоугольная пластинка с защемленными краями равномерно сжимается вдоль двух противолежащих сторон. Вычислить критическую силу с помощью энергетического метода.
 Задача 4. Два противолежащих края прямоугольной пластинки шарнирно оперты, два других—защемлены. Принимаем, что вдоль двух шарнирно опертых краев на пластинку действует равномерное сжатие. Определить критическую силу энергетическим методом.

ГЛАВА 12
 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ИЗОГНУТЫХ ПЛАСТИНОК
 12.1. Элементы дифференциальной геометрии поверхности.
 В предыдущей главе мы рассматривали теорию тонких плоских пластинок. Распространим теперь наши рассуждения на тонкие оболочки. Так как изогнутую пластинку можно рассматривать как часть оболочки, то общие уравнения для тонких оболочек приложимы также и к изогнутым пластинкам. Обозначим толщину оболочки через h. В случае тонкой оболочки толщина h мала па сравнению с другими измерениями и радиусом кривизны. Поверхность» делящая толщину оболочки пополам, называется срединной поверхностъю. Геометрия оболочки полностью определяется, если задана форма срединной поверхности и толщина оболочки в каждой точке.
 Прежде чем перейти к теории тонких оболочек, рассмотрим некоторые важные геометрические свойства поверхности. В последующем мы будем пользоваться некоторыми понятиями векторного анализа. Поверхность определяется как геометрическое место точек, радиус-вектор которых г относительно некоторого фиксированного центра О является функцией двух независимых параметров lf 52Таким образом, декартовы координаты.х, у, z точки на поверхности являются известными функциями i, 2; их можно записать в виде
 i5i. У. Л51. У. sSi. 12.1
 Уравнения 12.1 являются по сути дела параметрическими уравнениями поверхности. Если из этих уравнений исключить и то получим уравнение поверхности в обычной форме:
 F х, у, z 0.
 Любое соотношение между параметрами, например, ?lf 2 0, представляет кривую на поверхности. В этом случае радиус-вектор г становится функцией только одного независимого параметра; геометрическое место точек образует кривую линию. В частности, кривые на поверхности, вдоль которых один из параметров остается постоянным, называются параметризованными кривыми. Поверхность можно полностью определить как двойную сеть бесконечно большого числа параметризованных кривых. Параметры Е1э S2 составляют

352
 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ИЗОГНУТЫХ пластинок гл. 12
 систему криволинейных координат для точек на поверхности: положение любой точки на поверхности определяется значениями и ;2 в этой точке, как показано на рис. 12.1. В ка¬
 честве примера такого метода описания поверхности рассмотрим
 случай сферы; воспользуемся при
 trCy
 этом обычными сферическими координатами г, ср, б, изображенными на рис. 12.2. Если черезR обозначить радиус сферы, то декартовы координаты точки на сфере будут:
 х R sin ср cos 0, y R sin ср sin 0, z R cos ср.
 В качестве параметров, определяющих поверхность и заменяющих обобщенные параметры и 2, здесь можно принять величины ср и 0.
 Рассмотрим, далее, две соседние точки Р и Q на поверхности рис. 12.3, радиусы-векторы которых соответственно равны г
 и r--drt а параметрические координаты имеют значения ?А, Е2
 Рис. 12.1
 и Si dSi. 2 2- Радиус-вектор г является функцией и ?2, поэтому
 агЩа Жг' 12,2
 Проведем кривую через обе точки, лежащие бесконечно близко друг от друга; длину ds элемента дуги, соединяющей Р и Q, можно считать равной модулю dr вектора dr в пределе точка Q будет сливаться с точкой Р.

12.1J ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ 353
 Как известно, скалярным произведением двух векторов А и В называют произведение их модулей А и В на косинус угла 0 между векторами:
 А • ВАВ cosQ.
 Скалярное произведение будем в дальнейшем обозначать точкой
 между соответствующими буквами. Пусть, у, k будут единичными векторами в направлениях х, у, z, а Ах% Ayt Аг, Вх, Bz — соответственно компонентами векторов А и В вдоль этих осей, тогда
 А —- Axi Ayj 1 Azk%
 В — Bxi Byj -j- Bzk
 и
 A • В AXBX Д,, 4“ ДвДг
 Скалярное произведение двух векторов является скалярной величиной и подчиняется распределительному закону:
 А--В • C--D — A - CADB- C-B D. Основываясь на этом, получаем
 даI ■р - • • St■% ъ ■ ■.% «
 дг <Эг „ дг дг „,е. дг дг. „
 — aet c>i ‘ ’2 d •
 Введем обозначения:
 дг дг дх 2, ду V, дг
 517 •557 ж Ыт W ’
 р дг дг дх дх, ду ду. dz dz
 г дг_ дг_ дх у, дУ_ i дг V
 U — аб ’ диЛдЬ dtj MdSj ‘
 Пользуясь ими, находим
 ds2 Е 0dSi2 -h 2F dHx dl2 -- G Л22. 12.3
 Величины E, Z7, G называются коэффициентами первой квадратичной формы поверхности; выражение 12.3 определяет квадрат дифференциала длины дуги. Отсюда следует, что величины векторов jjp и соответственно равны УЕ и f G. Если обозначить
 через 0 угол между этими двумя векторами, то по определению скалярного произведения имеем
 р-ъ'ъгуъуъая'‘- 12-4>

354 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК и ИЗОГНУТЫХ ПЛАСТИНОК гл. 12
 Принимая во внимание соотношение O<;cos0<;i, находим
 F<lE6;
 это означает, что величина EG— F2 не может быть отрицательной. Можно, таким образом, ввести обозначение
 Н2 EG — F2.
 Вдоль параметрической кривой const будет 0; из выражения 12.2 вытекает, что вектор РР' см. рис. 12.3 равен
 dr2 щ2.
 По 12.3 длина элемента РР' составляет
 ds2 d2.
 Аналогично, вдоль параметрической кривой ?2 const имеем dt2 0. Вектор PQ' в свою очередь равен
 а длина PQ' окажется равной
 .ds Ve d?,.
 Если параметризованные кривые образуют на поверхности ортогональную криволинейную систему координат, то векторы РР' и PQ' должны быть взаимно перпендикулярны. Но тогда косинус угла между этими двумя векторами должен быть равен нулю; вместе с тем, обращается в нуль их скалярное произведение:
 dr • dr2 — • d%2 F d.%x d2 0.
 Отсюда можно сделать заключение, что при F 0 параметризованные кривые образуют на поверхности ортогональную криволинейную систему координат; в этом случае уравнение 12.3 принимает вид
 ds2 а d2 а % dk22, 12.5
 где
 аг Jf Е и а2 G.
 Обозначим через С и С' две кривые на поверхности, пересекающиеся в точке Р; под s и а будем понимать длины друг вдоль С и С'. Тогда
 dr dr d, dr d

12.1 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ 355
 Если обозначить через 0 угол между С и С', то косинус этого угла равен
 ds da ds da ds da da ds ds da
 Необходимое и достаточное условие ортогональности С и С' имеет вид
 о-1 0. 12.6
 ds da 1 ds da ’ da ds 1 ds da 4
 Для того чтобы исключить 5 и а из 12.6, выпишем соотношения
 ds 2 J о ds da d% с
 Здесь под понимается производная, вычисленная вдоль С;
 V “Ъ q
 аналогичный смысл имеет индекс С'. Подставим эти выражения в 12.6; после деления на получим
 Et0tif©cliU0 0- 12-7
 Таково условие ортогональности кривых С и С'.
 Плоскость, содержащая три соседние точки пространственной кривой, или, иными словами, содержащая две соседние касательные к кривой, называется соприкасающейся плоскостью в точке Р. Нормаль, перпендикулярная к касательной в точке Р и лежащая
 в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью
 к кривой в точке Р.
 Нормальным сечением поверхности в некоторой точке Р называется сечение некоторой плоскостью, содержащей нормаль к поверхности в этой точке. Такое сечение представляет собой плоскую кривую, главная нормаль к которой совпадает по направлению с нормалью к поверхности в данной конкретной точке Р; в некоторой другой точке такое совпадение может уже не иметь места. На рисунке 12.4 изображены нормаль щ к поверхности в точке Р, а также содержащая эту нормаль плоскость Sx. Если кривая АВ является линией пересечения плоскости с поверхностью, то пх будет также главной нормалью к кривой АВ в точке Р. Допустим, с другой стороны, что сечение поверхности некоторой другой плоскостью
 Имеется в виду предельное положение плоскости, проходящей через данную точку кривой и через две другие точки, неограниченно приближающиеся к первой. Прим. ред.

356 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ИЗОГНУТЫХ ПЛАСТИНОК гл. 12
 Рис. 12.4.
 например, S2 на рис. 12.4 не является нормальным сечением. Тогда кривая пересечения окажется по-прежнему плоской кривой, но ее главная нормаль будет иметь некоторое новое направление п2% лежащее в ее плоскости. Кривизна нормального сечения, например
 линии АВ на рис. 12.4, называется нормальной кривизной поверхности в точке Р для направления АВ.
 Нормали, проведенные в соседних точках поверхности, вообще говоря, не пересекаются между собой. Можно показать, однако, что в любой точке Р имеются два таких направления на поверхности, для которых нормаль, проведенная в соседней точке, пересекает
 нормаль в точке Р. В самом деле, обозначим через г радиус-вектор точки Р на поверхности и через п — единичную нормаль в той же точке. Пусть г --dr будет радиусомвектором соседней по отношению к Р точки, лежащей на направлении d%Y или d2% a n--dn —
 единичной нормалью в этой точке. Необходимым условием пересечения этих двух смежных нормалей является компланарность векторов я, dn и dr.
 Векторным произведением двух векторов А и В, обозначаемым через АХВ, называют вектор С, направление которого перпендикулярно к плоскости, проходящей через А и В, а модуль равен площади параллелограмма, образованного
 А и В. Иными словами, модуль равен А В sin 0, где 0 — угол между этими векторами. Условимся проводить вектор С, пользуясь правилом правого винта: если смотреть на плоскость в сторону
 положительного направления С, то поворот на наименьший угол от первого вектора А ко второму В должен осуществляться по часовой стрелке рис. 12.5.
 Нормаль к поверхности 5 в точке г перпендикулярна к векторам
 дг дг дг дг
 и но при этом она будет параллельна вектору X •
 Определим единичную нормаль п к поверхности S в точке г как ‘ отношение
 дг дг

12.11 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ 357
 в знаменателе содержится модуль векторного произведения, равный
 I ЁИ 11 дг
 д дЬ
 Как мы видели, модули производных равны
 sin
 с другой стороны, согласно 12.4
 » У1 — cos20 -
 Sin
 EG
 отсюда
 жШУЕ0-р1и
 и
 дг_ dr
 n dil 12.8
 Условие компланарности векторов п, dr в векторной записи
 имеет вид
 n-dnXdr 0. 12.9
 Выпишем выражения для dtt и dr
 12.10
 Заметим, что для векторных произведений справедлив распределительный закон:
 А В X С--D А X С -f- D В X C--D —
 АХ CAXD BXCBXD.
 Подставим выражения 12.10 в 12.9; после преобразований получим:
 -■ к х <■>-■ Щ х ■ -■ fc ■X <. л
 “ 5хш<лг,0-<1211
 ,т db
 Мы пришли к квадратному уравнению относительно или
 корни этого уравнения определяют два направления на поверхности, для которых имеет место указанное свойство. Эти два направления называются главными направлениями в точке Р.
 Чтобы доказать, что два главных направления являются ортогональными, запишем уравнение 12.11 в более удобной форме. Так

358 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК и изогнутых пластинок гл. 12
 как вектор щ- касателен к параметризованной кривой 2 const в точке г, то он перпендикулярен к нормали п но тогда
 0. 12.12 Дифференцируя левую часть по lt получим
 ж<12ЛЗ>
 или
 дп дг dV f
 ае, ‘517 а
 Продифференцируем, далее, 12.12 по S2, а затем соотношение 0 по и 2. Тогда получим дополнительные зависимости:
 dtt дг дг w
 дп дг дг лл
 37- — п • -дё-Зё- — М, дг д
 дп дг дг кт
 12.14
 Величины L, М, N представляют собой проекции векторов—
 на направление нормали к поверхности; их называют oti дц
 коэффициентами второй квадратичной формы. Так как п является единичной нормалью или вектором постоянной длины, то первые производные от п должны быть перпендикулярны к п и параллельны
 плоскости, содержащей векторы и. Поэтому производные
 дп дп дг дг п
 и можно выразить через и Представим эту зависи¬
 мость в виде
 • 12Л5 где а и b — величины, подлежащие определению. Если составить скалярное произведение из каждой части уравнения 12.15 на вектор дг
 , то получим
 дп дг дг дг,, дг дг_
 Щ ' Щ — а 517 ' 51; ■■ Щ ' 517
 Используя соотношение 12.13 и выражения для Е и F, получим
 -L aE--bF. 12.16

12.1 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ 359
 Подобным же образом, если скалярно умножить векторное уравнение 12.15 на вектор будем иметь
 О 9
 — M aF--bO.
 Решая совместно уравнения 12.16 и 12.17, находим:
 PM — LG FM — LG
 12.17
 Ъ
 Окончательно
 дп
 EG — F2 ' FL — ЕМ ш
 №■ ’
 FM — LG дг
 Я
 FL — ЕМ дг 68,
 д8г Я
 Аналогичным путем приходим к соотношению
 дп __ FN—GM дг, FM— EN дг
 'д
 Я
 12.18
 12.19
 д82 — Я dSj
 С помощью этих зависимостей и уравнения 12.8 легко показать справедливость следующих равенств:
 дп
 дп
 п
 «7 х Ж
 дп
 д<ъ Х
 дг
 ЕМ — FL
 dit
 И
 дг
 FM — GL
 д
 Н
 дг
 EN — FM
 дЬ
 Н
 дг
 FN—GM
 д
 Н ‘ j
 12.20
 Уравнения 12.11 можно теперь записать в виде
 ЕМ — FL EN — GL FN — GM 0. 12.21
 Обозначим два корня уравнения 12.21 через и • Из
 алгебры известны соотношения:
 тст
 EN — GL
 dbc
 EM — FL ’
 GM
 с аЪС' С>А
 Подставляя эти выражения в левую часть уравнения 12.7, получаем Е FN — GM —F EN — GL -- G ЕМ — FL 0.
 Ял агл _FN-1 с с’ — FL
 Это означает, что два направления на поверхности, определяемые корнями уравнений 12.11 или 12.21, взаимно ортогональны.

360 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ИЗОГНУТЫХ ПЛАСТИНОК гл. 12
 Другими словами, два главных направления являются ортогональными.
 Если кривая С на поверхности 5 обладает тем свойством, что нормали к поверхности в соседних точках кривой пересекаются между собой, то ее называют линией кривизны. Таким образом» на поверхности имеется два семейства линий кривизны, причем через любую заданную точку Р проходит одна кривая каждого семейства. Как мы увидим ниже, в теории оболочек в качестве параметризованных кривых поверхности удобно выбирать ее линии кривизны. Вдоль параметризованных кривых должно быть
 J о и J 0.
 Если эти величины удовлетворяют дифференциальному уравнению 12.21 для линий кривизны
 ЕМ — FL 0dS,2 EN — GL dx d2 FN — GM <%2 0,
 то должно быть
 EM—FL 0, FN — GM 0, EN — GL0. 12.22
 Умножая первое из уравнений 12.22 на N, а второе — на L и складывая, получим
 EN — GL М 0.
 Аналогично, умножая первое уравнение 12.22 на G, а второе — на Е и складывая их, получим
 EN — GLF 0.
 Принимая во внимание третье из уравнений 12.22, найдем:
 М 0, F 0. 12.23
 Таковы условия того, что параметризованные кривые являются линиями кривизны.
 Допустим, что точка Р и бесконечно близкая к ней точка лежат на линии кривизны; проведем через них нормали к поверхности. Точка пересечения этих нормалей называется центром кривизны поверхности «S в точке Р. Расстояние от центра кривизны до точки Р, измеряемое в направлении единичной нормали п, называется главным радиусом кривизны поверхности 5 в точке Р. Величина, обратная главному радиусу кривизны, называется главной кривизной поверхности S в точке Р. Таким образом, для каждой точки поверхности можно определить две главные кривизны, являющиеся нормальными кривизнами поверхности в направлении линий кривизны. Можно показать, что главным направлениям в точке Р соответствуют кривизны, одна из которых является максимальной, а вторая — минимальной по отношению ко всем нормальным кривизнам для данной точки. Следует подчеркнуть, что главная нормаль к линии кривизны,

12.1 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ 361
 вообще говоря, не совпадает с нормалью к поверхности; иными словами, соприкасающаяся плоскость для линии кривизны не является» как правило, нормальным сечением поверхности. Следовательно, нормальная кривизна поверхности в направлении линии кривизны в общем случае не является кривизной этой линии.
 Поставим себе целью определить главные кривизны. Обозначим через г— радиус-вектор поверхности в точке Р, через п — единичную нормаль и через R— главный радиус кривизны в той же точке.
 Рис. 12.6.
 Центр кривизны определяется при этом вектором р рис. 12.6, а:
 р г Rn.
 Пусть точка Q будет соседней к Р точкой, лежащей на линии кривизны рис. 12.6, б; тогда имеем
 dp dr--d Rri dr -f- R dri n dR.
 Вектор dr--Rdn касателен к поверхности; в то же время из условия, что вектор dr расположен вдоль линии кривизны, следует, что вектор dp должен иметь направление п. Отсюда вытекает
 dr —R dti 0.
 Обозначая соответствующую главную кривизну через х, получим
 %dr dn 0. 12.24
 Это условие выражает в векторной записи так называемую формулу Родрига. С другой стороны,
 , дг,,, дг. дп. дп,,
 1 Ж 2'
 Подставляя эти соотношения в 12.24 и группируя члены, будем иметь

362 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ИЗОГНУТЫХ ПЛАСТИНОК гл. 12
 Составляя скалярное произведение этого уравнения на векторы
 дг дг
 и -37-, соответственно получим:
 дъ J
 kE — L dx ■ —А1Д2 О,
 kF—Md.Kl kG—Nd'i2 0. j 12.25
 Эти два уравнения определяют главные кривизны поверхности и, вместе с тем, направления линий кривизны. Исключая отношение и производя упрощение, находим
 Я2Х2 _ EN _ 2рм __ QU __ дг — м2 — 0. 12.26
 Мы получили уравнение второй степени относительно х; два его корня дают искомые значения.
 В технике широко применяются тонкие оболочки, срединная поверхность которых представляет собой поверхность вращения. Обратимся поэтому к некоторым понятиям дифференциальной геометрии, относящимся к поверхностям вращения. Подобные поверхности образуются при вращении плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости. Эта кривая носит название меридиана, а соответствующая плоскость— плоскости меридиана. На рис. 12.7, а и б' за ось вращения принята ось z% а расстояние от оси до точки Р, лежащей на
 поверхности, обозначено через R0. Положение меридиана определяется углом 0, отсчитываемым от плоскости xz. Уравнение меридиана имеет вид R0 R0z. Линии пересечения поверхности с плоскостями, перпендикулярными к оси z, являются параллельными кругами и носят название параллелей. Положение параллели определяется уравнением z const.

12.1 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ 363
 Если воспользоваться такими обозначениями, то декартовы координаты точки Р окажутся равными:
 Ar ?0Ocos6, y R0z sin б, z z.
 Радиус-вектор г точки Р будет:
 г iRQ z cos б --jR0 z sin 6 -f - kz.
 Примем меридианы и параллели в качестве параметризованных кривых и заменим на б и Е2 на z- Тогда получим:
 0 — iR0 sin б —— jRo cos б —— АЮ,
 iRo cos 0 -t-у'Яо sin 0 ft, где Ro dR0dz. Коэффициенты первой квадратичной формы равны:
 г? гх2 • 2 л I п2 2 д г2
 • -ggj- Ro sin б cos б R0t
 F 4f-• 4f- — ?oosin 0 cos 0 ?oo sin 0 cos 0 0, Ro2cos2b Ro sin20 1 1 -j-Ro,
 ОО52
 2
 Я0 — 7« Л0 1 ?o2
 Так как выполнено условие F 0, то параллели и меридианы будут ортогональны.
 Для определения коэффициентов второй квадратичной формы вычислим вторые производные от г и вектор п. Имеем:
 дЧ
 дЧ
 Я,
 дг
 - iR0 cos б —jR0 sin б -- k0,
 — iRo sin б cos б -- ftO,
 «г Ро cos б -—jRo sin 6 —— jfcO. <2
 я
 X
 1
 1
 H
 я
 У — 0 sin 0 R0 cos 0 0
 ?o cos ® R'o sin 0 1
 Wo cos 6 4-yo sin 6 — kRoRo.

364 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ИЗОГНУТЫХ ПЛАСТИНОК гл. 12
 Отсюда
 L — tl • JL_ cos20 — Rl sin2 0 ——,
 Н Н
 М — п • — ?о?о cos 0 sin 0 R0R'0 cos 6 sin 0 0.
 N n- —r — — RoRo COS2 0 -f- RoRo sin2 0 —.
 02 H H
 Так как величины F и M одновременно обращаются в нуль, то параметризованные кривые являются линиями кривизны.
 Подставим найденные выражения в 12.26; уравнение для определения главных кривизн принимает в данном случае вид:
 Решая его, находим
 0 О
 — 1
 3
 '2 2
 0.
 00
 <
 ЯоОЯо21
 1<Г
 Как легко видеть, величина х2 представляет собой кривизну плоской меридиональной кривой R0 R0 z.
 Чтобы выяснить геометрический смысл величины klt рассмотрим треугольник АР В на рис. 12.7, б. Из чертежа следует:
 Но с другой стороны, Отсюда
 tg а Ro.
 АВ АР tg а RoRoBP V APf ABf Royr 1 С
 Таким образом, величина обратна длине нормали, заключенной между кривой и осью вращения. Знак минус указывает, что радиус кривизны и нормаль имеют противоположные направления. Отметим, что для меридиональной кривой, показанной на рис. 12.7, величина будет отрицательна. Вместе с тем, как и следовало ожидать, отрицательной будет кривизна х2.
 12.2. Уравнения равновесия. Как мы видели в предыдущем параграфе, положение любой точки, принадлежащей оболочке, опре- деляется тремя параметрами; два из них определяют положение точки относительно срединной поверхности оболочки, а третий изменяется

12.2
 УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
 365
 вдоль нормали к срединной поверхности. Выберем линии кривизны для точки срединной поверхности так, чтобы они были параметризованными; тогда будем иметь трехмерную ортогональную координатную систему. Пусть эти параметризованные кривые будут const и 2 const. Допустим, что точка находится на расстоянии z от срединной поверхности; тогда ее ортогональные криволинейные координаты будут lt 2 и 2.
 Исследуем распределение внутренних сил. Рассмотрим элемент оболочки, ограниченный поверхностями const, const,
 2 	const, 2--rf2 const и z±h2. Длины сторон элемента равны OLidUx и a2d2; и a2, как и прежде,—множители, при
 которых квадрат линейного элемента ds на срединной поверхности оболочки выражается в виде
 ds2 aldtl o%dll
 Возьмем в качестве примера полярную систему координат.
 Криволинейными координатами будут величины г и 6. Примем Si г и Квадрат линейного элемента ds равен
 ds2 dr2 г2 db2
 следовательно, в этом случае
 ax 1 и а 2 г.
 На рис. 12.8 линии х и у совпадают с направлениями каса¬
 тельных к криволинейным координатным линиям и 2 в точке О. Обозначим через Rx и R2 главные радиусы кривизны в точке О, относящиеся соответственно к плоскостям xz и yz. Угол, стягиваемый дугой длины а2д?2, равен а22?2; длина дуги элемента, находящегося иа расстоянии z от срединной поверхности в плоскости yz, равна
 _1 -•«,
 Напряжения, действующие по плоским граням элемента, равны ot, о2, т12 т21, т1г, т22. Если обозначить через Nt результирующую нормальную силу, действующую по плоской грани yz и отнесенную к единице длины сечения, то будем иметь
 Ы 2
 N,<2 йг У °1 1 — т-«2ddz.

366
 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ИЗОГНУТЫХ пластинок гл. 12
 или
 hi 2
 N-
 ■ AO-i-
 -h2
 Аналогичным путем получим выражения для других результирующих сил и моментов на единицу длины нормальных сечений, показанных на рис. 12.8 и 12.9. Окончательно получаем:
 h 12
 -М2
 h2
 г 12 121
 -h2 hi 2
 Qi f 1 —
 -h2
 h2
 ,.,i
 лл
 ж
 ж,
 -h2
 Ч1
 -h2
 h2
 fz4l—kdz-
 -h2
 h2
 41-i
 -h2
 h2
 ”'■—ггЛ
 ж,
 -h2
 h2 h2 f ul—ZdZ’ M2i— f 4—-zdZ.
 —h2
 -h2
 12.27
 так как в
 Судя по этим выражениям, величина TV12, вообще говоря, не равна W21,
 общем случае RR2y между тем как т12 т21.
 Момент Мп по той же причине, вообще говоря, не равен уИ21. Однако для тонких оболочек размер h мал по сравнению с Rx и ?2» и членами zRx и zR2 в выражениях 12.27 можно пренебречь по сравнению с 1. Тогда получим N12 — W21 Mi2 M2l; при этом выражения для результирующих сил и моментов будут теми же, что и в случае тонких пластинок.
 Для составления уравнений равновесия определим прежде всего составляющие по оси х сил, действующих на элемент
 рис. 12.10. Результирующая составляющая сил и dbi

12.2
 УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
 367
 по направлению дг равна:
 — W.O, Дг «, Д. «, Дг Sjfc Д, Д,
 “> • Ж Л‘ ТГГ 'Л'
 Таким же образом находим результирующую составляющую сил V2l и А21 вД°ль оси
 ■“ ■■ 2i жd1 d2 д2
 Так как значение а2 изменяется от точки к точке, то сила
 А Т
 N2
 d2» действующая по нор¬
 мали к грани ВС, будет наклонена к направлению у под малым углом 3. Изменение направления легко видеть на рис. 12.10, в; стороны элемента щ здесь условно приняты прямолинейными. В виду малости угла р имеем
 о
 да%
 ж
 Следовательно, составляющая этой силы по оси х будет равна
 dNа
 6
 2 дет
 dNr.
 Таким же образом составляющая силы Л12Н—зД по оси л; ока-
 OSi
 жется равной
 l2-gf-tdS2.

368 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК и ИЗОГНУТЫХ ПЛАСТИНОК гл. 12
 Из рис. 12.11 видно, что поперечная сила Qx dbx j дает
 составляющую по оси х, равную
 — <?. «2 2 -Г Л1 d -<3. 2-
 Если интенсивность внешней нагрузки имеет в направлении х составляющую ?1э то полное усилие будет
 Plate dx dt2.
 Составим сумму проекций сил и разделим все члены на d%t d%2. Тогда условие 0 примет вид
 д a<>N д I дг да дг да% _ ai®2 „ л ло oq
 —aei—I щ—l“A'i2- — 2-—— 12.28
 Таким же образом уравнение 0 приводится к форме
 Ц_№ d«ga Nzi_Nig_Qz __а1а2?2 0; 12.29
 наконец, из условия 0 находим
 jLAN л'ЗДЛ 0; 12.30
 здесь р1э р2 и ?3 — составляющие внешней нагрузки, приходящейся на единицу площади, соответственно вдоль осей х, у и 2.
 Составим далее уравнения равновесия для моментов. Представим каждый момент в виде вектора по правилу правого винта, как показано на рис. 12.12. Величины моментов относительно оси х

12.31
 БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
 369
 можно найти, проектируя эти вектор-моменты на ось х. Тогда получим
 - М12а2 м12 rf?i о Лх rffe
 4- Мл rfS, - ж2 dSj а, -g- . 17lrflgt SrrfSl'rfS2dSl
 «14--
 _ ж Л1г1 Момент поперечной силы Q2 относительно оси х равен
 <?2 4 г «1 <l«2 dl2 Q2ala2 1 Л2.
 Окончательно условие 2 0 принимает вид
 а у _ Mi Мп дщ Q Q 1231
 Подобно этому условие, 2 Му О приводит к уравнению
 >Ж«1‘1“‘ 0- <1232>
 12.3. Безмоментная теория оболочек вращения. Во многих задачах, относящихся к тонким оболочкам, основное значение имеют усилия Nu 7V2, jV12 в срединной поверхности, а напряжения изгиба весьма малы. При этом можно получить достаточно точное решение, полностью пренебрегая напряжениями изгиба. Приравнивая нулю моменты и поперечные силы, придем к трем уравнениям равновесия с тремя неизвестными Nu N2 и Nl2. Если заданы действующие на оболочку внешние силы, то задача становится статически определимой; искомые усилия можно найти, не пользуясь соотношениями между деформациями. При этом исследование напряженного состояния значительно упрощается. Усилия Nu N TV12, полученные таким путем, могут быть названы мембранными. Теорию тонких оболочек, основанную на допущении об отсутствии напряжений изгиба, называют безмоментной теорией.
 Рассмотрим вначале безмоментную теорию оболочек, очерченных по поверхностям вращения. Такого рода тонкие оболочки широко

370 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ИЗОГНУТЫХ ПЛАСТИНОК гл. 12
 применяются в различного типа сосудах и баках, а также в куполах зданий. Как уже было сказано в параграфе 12.1, та или иная поверхность вращения может быть получена, если вращать кривую меридиана вокруг оси, лежащей в ее плоскости. Будем совмещать кривые 5i const с линиями меридианов, а кривые 2 const— с окружностями в плоскостях, пердендикулярных к оси вращения. Пользуясь обозначениями, показанными на рис. 12.13, получим 1 0 и 2 сР- Касательные к криволинейным координатным
 линиям 0 и ср, проходящим через точку Л, обозначены соответственно через х и у.
 Мы видели, что в случае поверхности вращения плоскость меридиана содержит один из главных радиусов кривизны. Второй главный радиус кривизны относится к кривой AL, образуемой при пересечении плоскости xz со срединной поверхностью оболочки. Эти два радиуса кривизны лежат на одной прямой, но имеют различную длину. Обозначим радиус кривизны кривой AD в точке Л, равный отрезку АН, через R2, и радиус кривизны кривой AL в точке Ау равный Л, через Rx, Под R0 будем понимать радиус параллельного круга в точке А; на рис. 12.13 он изображен в виде отрезка Ж. Таким образом, линейный элемент ds срединной поверхности обо-» лочки будет определяться выражением
 ds2 Rldd2--R22d<?2;
 отсюда находим
 GCi Rq, 2 R2

12.3
 БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
 371
 Если пренебрегать изгибными напряжениями в оболочке, то надо принять
 Afj М2 М. 2i Qi Q2 0.
 Учитывая равенства б и %2 ?, введем обозначения:
 Л Ле, Л2 Л, Nl2 N N.
 Допустим, далее, что оболочка нагружена симметрично относительно ее оси; тогда будет pt 09 9 0, а величины Nb, N9 не будут
 зависеть от б рис. 12.14. Таким образом, в этом случае уравнение 12.28 будет удовлетворяться тождественно. Из уравнения 12.29 получим
 ±-RN9-N, dR«
 dy
 - R0R2P2 0.
 Так как величины N и N? являются функциями только ср, в обоих уравнениях, выписанных выше, введены символы полных дифференциалов. По рис. 12.13 получим теперь
 dR0 А dy
 dy A'D AD cos ср R2 dy cos ср,
 или
 dRо
 dy
 : ?2 COS Ср.
 Следовательно, условие 2 0 приводит к уравнению
 -щ RJ9 — RzNе cos ср R0R2p2 — 0.
 12.33

372 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК и ИЗОГНУТЫХ ПЛАСТИНОК гл. 12
 Радиус кривизны в плоскости xz равен Rx. Судя по уравнению 12.30, условие 2 — 0 получает в рассматриваемом случае вид
 Щ Дг
 --Ч---Рз °. 12.34
 Решая эти два уравнения, определяем величины Nb и N9.
 Учитывая соотношения ?0 Rx sin ср, перепишем уравнение 12.34
 следующим образом:
 pj <р ЯоРз
 9 ?2 Sin ср sin ср
 Подставляя это выражение в 12.33 и умножая полученное уравнение на sin ср, будем иметь
 sin V W -h R0N,f cos cp -f Ro%2 Pz sin <f --ps cos cp 0. или
 -fRoN? sin <p4-
 R0R2 P2 sin <p Ь Ръcos ? — 0 Интегрируя в пределах между 0 и ср, получим
 R0N9 sin tp J R0R2 рг sin tp cos ср dtp 0.
 О
 Судя по рис. 12.15, имеем
 рг sin ср -f-?3 cos ср р.
 Кольцевая поверхность отрезка оболочки, по которой действует давление р% будет
 2тг?0?2 dcp.
 Отсюда
 <Р
 f RoRi Pi sin ср ?з cos ср dtp О
 и
 2tzR0N'P sin ср F 0. 12.35
 Здесь под F понимается результирующая всей нагрузки, приходящейся на отрезок оболочки, отвечающий углу ср. Вместо того, чтобы решать систему уравнений 12.33 и 12.34, более удобно определить Ny из уравнения 12.35, после чего переходить к вычислению Ае с помощью 12.34.

12.31
 БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
 373
 В качестве первого примера рассмотрим случай сферического купола постоянной толщины, находящегося под действием собственного веса рис. 12.16. Обозначим через р удельный вес материала оболочки. Сила веса, приходящаяся на единицу площади оболочки, будет равна рh. Если радиус оболочки равен а, то результирующая
 всей нагрузки, приходящейся на отрезок сферической оболочки, соответствующий углу ср, будет равна
 F J ph • 2тса • sin ср • a tfcp.
 Для сферических оболочек Rt R2 a. Уравнения 12.35 и 12.34 приводят к выражениям:
 а?рк 1—cos <р ар h
 N  asin<p
 —aph cos cp -
 1
 1 cos <p
 1 COS <p 9 •
 12.36
 Отрицательные знаки в этих уравнениях соответствуют сжатию. Рассмотрение этих уравнений показывает, что усилие будет сжимающим для всей оболочки; между тем, N становится растягивающим, если угол ср превышает 51°50'.
 Иногда в конструкциях сферических куполов верхняя часть отсутствует; при этом применяют кольцо жесткости, поддерживающее верхнюю конструкцию рис. 12.17. Если угол, отвечающий верхней части, равен 2ср0, а вертикальная сила, приходящаяся на единицу длины кольца жесткости, равна Р, то результирующая сила F, соответствующая углу ср, будет
 ф
 F J ph • 2iza sin ср • a flfcp 2тиа2рг cos ср0 — cos ср.

3ТА теория тонких Оболочек и изогнутых пластинок гл.' 12
 Вычисление интеграла
 СО
 дает
 2ir?0V? sin — 2it0N, sin cp.
 Обозначим вертикальную силу, действующую на единицу длины кольца жесткости, через Р. Тогда
 Np-fn — ■Psin <роУравнение 12.36 принимает вид
 2KCiNy sin2 ср 2тzaP sin ср0 -f- 2iza2ph cos ср0 — cos ср О,
 или
 л г COS Фл — COS Ф
 ? flP sin Пользуясь уравнением 12.34, находим
 sin ср0
 sin2 ср
 Nb aph cos с
 COS cp0 — COS cp
 p
 sincpo
 12.37
 sin2 <p 1 sin2 cp
 В качестве второго примера рассмотрим оболочку, имеющую форму эллипсоида вращения. Такие оболочки находят практическое применение в конструкциях днищ цилиндрических котлов; при этом используется лишь одна половина эллипсоида, как показано на
 рис. 12.18. Длину большой и малой полуосей эллипсоида обозначим
 соответственно через а и Ь. Уравнение эллипсоида имеет вид
 b2x2 -f- а2у2 а2Ь2.
 Главный радиус кривизны можно вычислить по формулам, выведенным в параграфе 12.1. Заметим, что в данном случае величина R0 равна х; следовательно,
 D' dx а? у
 Ио dy Wx'
 dx л4
 Но dy Ш
 Подставляя эти значения в формулы для главных кривизн и отбра¬
 сывая знак минус, находим:
 Ri-
 1
 я4у2 bW
 xi
 Л2 — 2 2
 Ь2
 я4у2 б422 д464

12.SI
 БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
 375
 Если равномерное давление пара в котле равно ?, то результирующая сила F, соответствующая углу ср, равна
 F — р • тг?о — KpRi sin2cp.
 Пользуясь равенством ?3 —р, из уравнений 12.35 и 12.34 получаем
 AL
 pR р я4у2 Ь±хЪ
 2 — 262
 Nb Rd>-N--
 найдем
 р ау Ьх
 2-
 12.38
 22 a2-f-64x2“‘
 Для вершины оболочки при д; 0, у — Ь из уравнений 12.38
 ра?
 AL
 2 b
 На экваторе ЛЛ при х а, >у 0 будем иметь AL
 Задача 1. Найти напряжения в оболочке сферической формы, наполненной жидкостью удельного веса р и закрепленной вдоль параллели АА
 <рис. 12.19. Давление ?3, действующее на сферическую поверхность для произвольного угла ср, равно
 Рг —9а 1 — cos ср.
 Отв.
 2 cos2 ср
 Nt
 ILi ’ б 1 COS ср
 хг Р2 с л. 2cOS2cp
 Ne — 5 — 6 cos ср -f- — —
 6 т 1 1.COS ср
 м - 5 I 2cos2y
 Nf 6 V5 1 — COS cp j ’
 P2 Л A 2cOS2cp
 TVq Г— 11 — 6 COS cp 0 6 T l — cos cp;
 при cp < cp0,
 Задача 2. Коническая оболочка наполнена жидкостью удельного веса р. Определить напряжения в оболочке рис. 12.20.

376
 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ИЗОГНУТЫХ пластинок гл. 12
 Отв.
 Nв
 ФУ 3d — 2у tg а
 6 COS а
 Nb
 ?d—yytga
 COS а
 12.4. Безмоментная теория круговых цилиндрических оболочек.
 Будем вращать прямую линию вокруг параллельной ей оси так, чтобы каждая точка этой линии описывала окружность в плоскости, перпендикулярной к оси; тогда мы получим круговую цилиндрическую оболочку. Указанную прямую называют образующей цилиндра. Совместим координатную линию с образующей, а линию S2 — с дугой
 ов
 о
 дх
 Рис. 12.21.
 круга в плоскости, перпендикулярной к оси. Пользуясь обозначениями рис. 12.21, находим Чх х и 2 б- Обозначим радиус круга через а; тогда длина линейного элемента ds срединной поверхности оболочки будет определяться по формуле
 ds2 dx2--a2dd2;
 отсюда
 ах 1 и а 2 а.
 Главные радиусы кривизны равны
 ? оо, R2 а.
 Если принять в уравнениях равновесия 12.28 — 12.30 поперечные силы и моменты равными нулю, то эти уравнения будут иметь вид:
 dN
 dNxb
 дх 1 dNxb
 дх
 -арг 0,
 _р_ар2 0, Мварз 0,
 <Э0
 dN9
 12.39

12.4 БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 377
 где Nxt и N соответствуют Nu N2 и Nl2. При заданной внешней нагрузке из третьего уравнения может быть найдено Nb; затем можно определить Nxb и Nxt интегрируя второе и третье уравнения.
 В качестве примера рассмотрим горизонтально расположенную круговую цилиндрическую оболочку, наполненную жидкостью и жестко защемленную по торцам рис. 12.22. Давление в любой точке внутри оболочки равно весу столба жидкости в этой точке с площадью основания, равной единице. Обозначим через р удельный вес жидкости, а через б—угол, измеряемый от вертикальной линии.
 х0
 xL
 Рис. 12.22.
 atcos6
 как показано на рис. 12.22; тогда давление в некоторой точке В
 равно
 р АВ pa 1 — cos 6.
 Принимая во внимание, что нагрузка направлена по радиусу от
 центра, имеем
 р3 — pa 1—cos 6 и Pi ?2 0.
 Подставляя эти значения в уравнения 12.29 и производя интегрирование, находим:
 Мн pa2 1 — cos б,
 NхЦ — j pa sin б dx 4“Л б — рах sin б 4-i б,
 Nx f pxcosbdx — - J dx 2 0
 12.40
 где fi б и 2б — функции от б, которые подлежат определению из граничных условий.
 Мы приняли, что по краям оболочка жестко защемлена. Следовательно, составляющая деформации е6 должна здесь равняться нулю. Как известно,
 1

378' ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЁК и изогнутых пластинок гл, 12
 Подставим в это выражение значения 12.40; тогда из условий 6q 0 при я —0 и х L находим:
 к 6 -1— cos 6, 16 sin6C.
 Судя по выражению для Nxb, постоянная С соответствует усилиям Nxq, равномерно распределенным по сечению трубы. Если к оболочке не приложен скручивающий момент, то такое усилие не может иметь места; следовательно, величина С должна равняться нулю. Решение уравнений 12.40 принимает вид:
 Nb pa2l—cos б,
 МаА — — sine.. 12.41
 Nx — fL — x cos0 -- 1 —cos 6.
 Если опоры являются жесткими и не могут смещаться в направлении х, то, на первый взгляд, длина образующей не должна измениться. Однако изменение длины образующей, соответствующее усилиям 12.41, оказывается не равным нулю:
 L ' L
 U еяах — ш — »Nbdx.
 О о
 Это означает, что имеет место изгиб оболочки; следовательно, в данном случае нельзя удовлетворительно описать деформацию с помощью безмоментной теории. Более точное решение задачи можно получить, если учесть влияние как изгибных, так и мембранных усилий.
 Задача 1. Горизонтально расположенная тонкая круговая цилиндрическая оболочка наполнена паром постоянного давления р. Радиус цилиндра обозначим через а, длину — через толщину — через h. Найти мембранные усилия в оболочке, принимая, что края ее жестко защемлены.
 Задача 2. Горизонтально расположенная тонкая круговая цилиндрическая оболочка находится под действием собственного веса. Введем следующие обозначения: р — плотность материала, из которого изготовлена оболочка, а — радиус, L—длина цилиндра, h — толщина. Найти мембранные усилия в оболочке, приняв, что концы ее закреплены жестко.
 12.5. Определение компонентов деформации. Приступим к определению составляющих деформации для тонких оболочек. Предварительно составим общие выражения компонентов деформации для произвольного тела, отнесенных к ортогональным криволинейным координатам. Обозначим криволинейные координаты через 5lt S2 и Рассмотрим две точки Я, 2, 3 и 2 2» 3 3»
 находящиеся на малом расстоянии ds друг от друга. На рис. 12.23

12.51
 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПОНЕНТОВ ДЕФОРМАЦИИ
 79
 изображены касательные хх, хг, хъ к координатным линиям ?1Р 2> з> проведенные в точке Р. Пусть направляющие косинусы отрезка PQ по отношению к этим касательным будут, т, п. Обозначим через Ах, А2, А3 множители, которые преобразуют в точке Р криволинейные координаты в линейные отрезки; проекции отрезка ds на направления хх, х2 и х3 окажутся равными:
 lds Ax dXt mds A2d2, 12.42 n ds Аг dlz. j
 Складывая квадраты этих выражений, получим
 ds2
 Ах dW А2 dZ2f Л3 d32.
 Допустим, что частицы, находившиеся при ненапряженном состоянии в точках Р и Q, перемещаются в процессе деформации в точки Р' и QПусть проекции перемещения РР' на направления хх, х2, х3
 равны их% и2, иъ примем величины --ji, 2 2 2» 3 3 Н 1з в качестве криволинейных координат в точке Р Будем считать, что перемещения являются малыми. Тогда
 их Ах Xj, ti2 А2 х2, и3 А3 А3. 12.43
 . j. Криволинейные координаты в точке Q 5i, s2, 5з можно представить в первом приближении в виде:
 Si 1 4“ 1 1 P-i 1 4“ d2 -- d3,
 2 — 2 4“ dZ2 4 2 — 2 4 2 4 4 d 1 2 4“
 dts “'2 <Э3 Лз>
 3 — -f- <з — з Рз з -щ- d 1 4- d;3.
 Так как величины А1% Л2, Л3 изменяются от точки к точке, то функции Л2, Л3 для точки Р можно выразить через значения Ах, А2, А3 в точке Р следующим образом:
 дАх
 а' л I дАл
 Ai — 4” Iх ‘
 А2 — Ао
 Аз — Ао
 дА
 dti
 дА3
 Н-i-
 li-
 дА2
 Ж2'
 дА
 дАх
 дЬ
 дА
 Я
 дАл
 1%
 Н-з.
 ’Рз-
 Обозначим через ds' длину элемента P'Q', а через я', правляющие косинусы отрезка P'Q'; последние отнесены тельным к координатным линиям ?2, 3» проведенным через Р'
 — накаса-

380
 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ИЗОГНУТЫХ пластинок гл. 12
 Проекции отрезка P'Q' на эти касательные можно выразить с достаточной точностью с помощью трех формул типа
 l'ds' A — Пренебрегая членами высшего порядка, получим
 1--л, л, л,д,
 Подставим выражения 12.42 и 12.43 в написанное выше уравнение и примем во внимание соотношение
 дА „ м,дН л dt _ Mi И dt. dSj ait— flit,
 тогда найдем
 '-'л«тДЯ-г4
 -35
 Аналогичным путем получим
 п'а°'-““%ттШ
 '','«Ё'',теШ
 _ 1 I Ц? дАъ, их аля
 -i-nasy 1 -- Ая d?9 -t- -t- AiAs j.
 Вводя обозначение s для продольной деформации линейного элемента вдоль PQ, найдем
 P'Q'-PQ
 PQ
 ИЛИ
 P'Q' PQ 1 -f - в ds 1 в.
 Но, с другой стороны, имеем
 P'Q'2 ' ds'2 4- m' ds'2 n' ds'2.

12.5
 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПОНЕНТОВ ДЕФОРМАЦИИ
 381
 Таким образом, деформация е определится из уравнения
 1 j о, Г 1 I 1 dui. dAi < “а I
 1 е — Д Al dil 4- AlAt AlA
 I 	At d I at i A u M2 i
 Пренебрегая квадратами и произведениями alt и2, я3, мы можем выписать результат в виде
 8 8 х 2 е2 ш2 -- е3 п2 -j- 712 Tis Т23
 12.44
 где
 1 ди,
 tiy дАх
 Щ дАх
 Ах д1х
 1 дщ
 АхА2 д ii дА%
 АгАъ д'ъ ц3 дА2
 А% дч 1 дил
 АА%
 % дА%
 ААз д3 ах дАъ
 12.45
 3— Л3 dg3 А9А9 1 АгАъ д±  А_ _д_ jh 1 Ах д I их
 Т12 - Л, dh Ащ j-1- At Я, Л J'
 v _ “i 1 д ия
 113 Ая dlB Ut-1 At dix UJ’
 A д щ, A> d u
 23 Сравнивая выражение 12.44 с первым из уравнений 2.14, убеждаемся в том, что величины ех, е2, е3 являются компонентами продольной деформации по направлениям соответственно 1, 2 и 3, а величины 12, Т13» Т23 являются компонентами деформации сдвига.
 Переходя к определению компонентов деформации для тонких оболочек, сделаем следующие допущения:
 1. Линии, нормальные к срединной поверхности до деформации, преобразуются в прямые линии, нормальные к деформированной срединной поверхности.
 2. Компоненты напряжений, направленные по нормали к срединной поверхности, малы по сравнению с другими составляющими напряжений, так что в соотношениях между напряжениями и деформациями эти компоненты можно не учитывать.
 Оставляя ту же координатную систему для тонких оболочек, принимаем S3 z и, вместе с тем, Ej и Е2 Е2. Мы не делаем здесь допущения о том, что срединная поверхность остается недеформированной, как это было в случае плоских пластин малого прогиба; поэтому выражения для перемещений в некоторой точке по направлениям Ех и Е2 примут следующий вид если сохранить члены первого порядка относительно z:
 «1mh>4t-2_0’ «2“2о-ё-г_0> 12-46>

382
 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ИЗОГНУТЫХ пластинок гл. 12
 где я10 и и2о — перемещения их и и2 для точек, лежащих на срединной поверхности, т. е. для z — 0.
 В параграфе 11.1 было уже сказано, что первое допущение эквивалентно предположению о равенстве нулю деформаций сдвига: iz J2z — 0- Дифференцируя выражения 12.45, получим 1 dux щ дЛл, Аа
 Tiz —
 As dz AxAz dz
 А% д щ, 1 о
 T2z М-Аъ АЦ
 i-L д 4 дгх Aj'
 а
 дАо
 12.47
 А<% А’ А% dz A%A% dz
 Обозначим через ах, а2 множители, преобразующие криволинейные координаты в линейные отрезки срединной поверхности оболочки; тогда будем иметь
 . Л. —0,1 —-з-. Л»1.
 Подставляя эти величины в формулы 12.47 при z 0, найдем
 и to 1 dw дач щ 0 1 dw
 Rx ах dtx dz гшя0 R? «9 где ад соответствует перемещению и3 точек срединной поверхности. Отсюда
 12.48
 Пренебрегая отношениями zRx и г?2 по сравнению с 1, имеем
 Ах ссх, А2 0С2-
 Учитывая равенства
 ai дА а2 „ — т
 dz — Rx 9 dz R9 9 u3 — w'
 получим компоненты деформации в следующем виде: da10 а0 dax w
 1

12.51
 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПОНЕНТОВ ДЕФОРМАЦИИ
 383
 Формулы 12.49 могут быть записаны в виде
 Si - ею — zxv s2 s2o — •%. Т12 То — zXi2’
 12.50
 где
 1 дм,о, tho <а
 du о
 a-jfltj d2 «10 da2
 de2
 W
 Я'
 ata2 dSi
 g2 d «20 1 al «10
 T°— ttl tU, de aj9
 J__ d a10, 1_ dw j 1_ Hop, l_ dw dat
 at dt Rt «i dt ai«2 R a2 d2 W. 1 «10, 1 dw da2
 %2 -
 1 dw
 dn R% Я2 d;
 _ 1 Г a2 d a20, 1 dw, at d a10,1 dw 1
 12— 2 ttl d6j a, “Г a2 de2 «2 d2 «Л a2 dg, j J
 Величины s10, s20, j0 в этих выражениях могут быть физически интерпретированы как деформации в срединной поверхности оболочки, а Хи Х2> Ул2 —как изменения кривизны.
 Пользуясь вторым допущением, получим следующие выражения для компонентов напряжения:
 °1 J— ею 4- v®20 — 2 Oci 4- %,
 °2 ®20 VS10 — г Х2 vXll •
 12.51
 Tl2 91 —— -v To 2212 •
 Подставляя эти выражения в уравнения 12.27 и пренебрегая величинами zRx и zR2 по сравнению с 1, найдем
 1 1 _-2 ю “Ь ve2o»
 N2 fkwi e20 VSlo.
 n12 n2 —
 '21 :
 12.52
 I
 2 1 v ’
 Mt — D 14- vx2.
 M2 — D x2 4- vXi-
 M12 M21 D1 — vXi2-
 В приведенном выше выводе основных уравнений мы следовали Рейсснеру.
 Е. R е i s s п е г, A new derivation of the equations for the deformation of elastic shells, Am. J. Math., т. 63, № 1, 1941, 177—184.

384
 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ИЗОГНУТЫХ пластинок гл. 12
 12.6, Общая теория круговых цилиндрических оболочек. Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку. Выберем координатную систему так, чтобы координата х изменялась вдоль образующей, 0—вдоль дуги, a z— вдоль нормали к срединной поверхности оболочки. При этом будем иметь: %1 х, 2 0. Пусть радиус кругового цилиндра равен а. Тогда линейный элемент срединной поверхности будет определяться формулой
 отсюда находим
 ds2 dx2 a2db2; ccj 1, а2 а.
 Совместим ось у с касательной к окружности; тогда радиусы кривизны в плоскостях xz и yz будут главными радиусами кривизны:
 Rx оо, R2 а.
 Примем Nt Nx, N2 Nb, N12 Мг Мх, М2 МЬ, М12 МхЬ М21 МЬх, Q1 QX, Q2 Q0. Вводя в систему уравнений 12.28 — 12.32 эти обозначения и используя найденные выше значения а и ?, придем к следующим уравнениям равновесия для круговых цилиндрических оболочек:
 dNx
 дМхЬ
 дх 1 dNXb
 дд
 ■hap О,
 дх
 dQ:r
 дЬ
 dQb
 Qe аРг — О,
 дх
 а
 дЬ
 ■ аРг — О»
 дМхЬ дМь
 дх дМхЬ дЬ
 дЬ
 дМх
 дх
 0,
 “Ь aQx — о •
 12.53
 Из последних двух уравнений находим
 1 дМв дМхв дм?
 Qe:
 дх
 Qx —
 1 дмх 9
 дх
 а дЬ
 12.54
 Подставляя эти соотношения в первые три уравнения системы 12.53, будем Аметь:
 Л АТ А АТ.
 -ару - 0,
 adN.v j dNx9
 а
 dNx в 1 dNa дх дШх дх
 дх дМх е
 дЬ 1 <Ш9
 дв дА дхдб
 2 дШхЬ 1 дШь
 дх 1
 а д¥
 ■ар2 0,
 а дв
 Ыьар3 0.
 12.55

12.61
 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
 385
 Для определения компонентов деформации введем обозначения:
 и10 а, и20 v,
 е1 sx> е2 88» Tl2 Ta?e
 Xi Xx> Х2 Хе» Xi2 XxbИз соотношений 12.49 и 12.50 получаем
 где
 х — х0 zXx
 ди
 ех0д1’
 I dv w
 е90 h Т '
 dv, 1 ди
 дх а д0 1
 0 — 0О %Хъ ЧхЪ : d?w
 :То —2%. 12.56
 Хх
 1 д I у. 1 dw
 11 dv. d?w
 хЬ2дхдхШ'
 Подставляя эти выражения в равенства 12.52, найдем: Eh
 Na
 Eh Ydu I 1 dv w 1
 1 — v2 L dx ' V a dO a J
 AT Eh 1 dv w, du
 0 1 — a dO a ' v dx 7 Eh dv. 1 du
 Nxb 9 J_ dx ' aW
 M,
 2l v
 dw
 •-DbH
 MX, D1 -vi
 dv. dw 1
 dx2 1 a W W JJ ’
 dv, dw
 d0 г дв2 J 1 dv, d2w
 d2w 1
 v “5jc2J ’
 -•
 , 2 dx ' dxd0
 Вводя в уравнения 12.55 компоненты перемещения получим:
 д2и. 1 — v д2и, 1 -j- v d2v v dw. px 1 — v2
 dx2 2a а 02 “ 2a 1 -f- v du, 1 — v d2v
 dx db a dx, 1 dv 1
 Eh
 0,
 dx2
 a2 d02
 v
 dd
 ааавз12аЧ 2
 д2 <Э0
 ■v
 d2t
 d2 “ я2д02,, 1-v2
 ди, dv w №
 ' d;c ' a d0 я 12
 W> I 1
 12 a
 dw
 d4w
 dBv
 dxdb
 1
 a dx2dO2 dv
 Eh d4w
 “ adW
 ■ 0,
 a3 03
 , ap% 1 — _ ft J Eh —v-
 12.57
 12.58
 и, г>, да,
 12.59

386 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ИЗОГНУТЫХ ПЛАСТИНОК гл. 12
 Любая конкретная задача для круговой цилиндрической оболочки сводится к решению этой системы дифференциальных уравнений. В следующих двух параграфах будут приведены некоторые примеры решения таких задач.
 12.7. Круговая цилиндрическая оболочка при осесимметричном нагружении. Для круговых цилиндрических оболочек, нагруженных симметрично относительно оси, решение уравнений 12.59 можно значительно упростить. Оболочки такого типа имеют широкое практическое применение; к ним относятся, например, цилиндрические котлы, испытывающие нагрузку от давления пара, и вертикальные цилиндрические резервуары, подверженные изнутри давлению жидкости. В рассматриваемом случае вследствие симметрии будем иметь р2 0, v 0; величины и и w являются функциями только х. Если радиус цилиндра равен а, то уравнения 12.59 преобразуются к виду:
 с№и v dw рг 1 — v2 dx2 a dx Eh da w №a dw, ар» 1 — v -
 V-5F“Г УГ-Ш —ЁН 0-
 12.60
 Допустим, что на оболочку действует только поперечная нагрузка; тогда будет рх 0. Интегрирование первого уравнения приводит к соотношению
 du_jw__c 12.61
 dx а
 где С — постоянная интегрирования. Из уравнений 12.58 находим
 da w Nx 1—v
 dx a Eh
 Из соотношения 12.61 можно видеть, что усилие Nx сохраняет постоянное значение.
 Исключая из второго уравнения 12.60, получаем
 ■15- 4?Ч,. 12.62
 где р4 31—v2a2z2. Мы пришли к обыкновенному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Общее решение соответствующего однородного уравнения будет иметь вид:
 w Схё1'х C2eqx Czex
 где Clt С2, С3, С4 — постоянные величины, a ql9 q2, qz, Qa — корни уравнения
 4 0.

12.7 КРУГОВАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА 387
 Если мы в левой части этого уравнения прибавим и вычтем 4 то получим
 2-h2P22 —Vp2 0.
 Отсюда
 <72-t-2p±2<7p,
 или
 ?±р±р.
 Общее решение однородного уравнения принимает вид w е-Р Сгех С2ех 4- ех Сгех С4
 Если частный интеграл обозначить через дг, то общее решение исходного уравнения 12.62 можно записать в следующей форме:
 w ех Сх cos рх С2 sin х -f- ех С3 cos фх-Ь-С4 sin фх --С»
 12.63
 где Си С2, С3, С4 — произвольные постоянные.
 В качестве первого примера рассмотрим длинную трубу, подвергающуюся изгибу под действием нагрузки, равномерно распределенной вдоль кругового сечения. Расположим оси, как показано на рис, 12.24. и рассмотрим половину цилиндра, находящуюся
 •ч>1
 у'
 Рис. 12.24.
 справа от оси z. Здесь отсутствует давление ?3, распределенное по поверхности оболочки; если при заданных условиях на торцах Nх 0, то л: 0. Длина цилиндра считается значительной; в сечении у опоры, для которого координата х велика, величина w должна равняться нулю. Это возможно при условии, если в выражении 12.63 будет С3 С4 0. Таким образом, имеем
 w — ех Сх cos фх --С2 sin х. 12.64
 Из соотношений 12.58 находим
 NqcQ Мхц 0,
 Для другой половины цилиндра, находящейся слева от оси г, ось х будет направлена в противоположную сторону.

388
 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ИЗОГНУТЫХ ПЛАСТИНОК гл. 12
 а также
 Eh I du w dw
 Ма Dv
 dw
 12.65
 12.66
 Считая, что величина Nx равна нулю, имеем
 du w
 Чх VT;
 тогда выражение для Nb можно записать в виде
 хт Ehw
 N>——
 Пользуясь выражением 12.64, получим
 п dMx n dw
 Чх dx и dx
 В рассматриваемом случае каждая половина цилиндра воспринимает половину внешней нагрузки; поэтому при х — 0 будет Qx— Р2. Для длинного цилиндра функция w должна быть симметрична относительно а: 0; отсюда следует условие, что в этом сечении
 0. Постоянные интегрирования Сх и С2 можно определить из
 двух условий:
 х 0 I — рСгв-Эeos рл:-J- sin лг-f-
 cos p — sin xx-m0 — Cj C2 0,
 о 2P3CieNcosVх — sinN
 2р«Си-Р cos 3 sin p 2 C, C2
 Решая эти уравнения, находим
 С i С2 ■
 Таким образом, выражение для прогиба w принимает вид
 Рех
 W ™8рЩ si Рх COS
 Подставляя 12.67 в соотношения 12.65, получим:
 Ehw
 12.67
 Ne
 ЛУГ ч dW
 х dx?
 dw
 EhPe?x,. 0,
 83»Da Sln cos P.
 Op'-
 Pe-№
 Же — D>
 Qa>- — D'dx»
 4p
 Pe№
 2
 cos — sin Зл;, cos Зх — sin xt cos рлс.
 12.68

12.71
 КРУГОВАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА
 389
 Из этих формул видно, что наибольший прогиб и наибольший изгибающий момент имеют место при д: 0 и равны:
 _ Р _ Рам _Р_ wmxx 8p3D 2Eh ’ ma 4p
 Легко установить, что всеми величинами, которые определяются этими формулами, можно пренебречь при х > 7с3. Это означает, что изгиб здесь имеет местный характер; для цилиндра длиной L 2itp, нагруженного посередине, получим тот же наибольший прогиб и такие же изгибающие моменты, как и для весьма длинного цилиндра
 Напряжения изгиба можно вычислить по формулам 12.51 и 12.52:
 12 Mxz
 _ АГе, 12Afe
 г3
 Наибольшие напряжения изгиба имеют место при д: 0 и z h2:
 3Р х Ра 3vP
 max
 Во втором примере рассмотрим цилиндрический резервуар, наполненный жидкостью с удельным весом р. Расположим координатные оси, как показано на рис. 12.25. Давление, действующее в любой точке х на стенку цилиндрического резервуара, равно
 pz — pL—x;
 внак минус указывает, что давление р3 направлено в противоположную сторону по отношению к положительному направлению z. Уравнение 12.62 получает форму 4х
 Частный интеграл этого уравнения будет ?—_ Р L — • а
 лГ:
 Eh
 Рис. 12.25с
 4
 а общее решение имеет вид: w ех Сх cos фх -- С2 sin рлг -4ех С3 cos х 4- С4 sin рдг — Р—гУ
 12.69
 Если длина Z, велика по сравнению с а и h9 то цилиндр можно рассматривать как бесконечно длинный. Тогда постоянные С3 и С4 окажутся равными нулю. Можно принять, что у днища цилиндр жестко заделан; тогда
 dw
 w 0 и
 д: 0.

390
 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ИЗОГНУТЫХ пластинок гл. 12
 Из этих условий находим:
 и СГ
 ре2.
 Eh
 :0,
 Отсюда
 4Н-.-р«-с->-а
 Г —■ faL Г ра г ±_
 1Eh' 2— Eh РГ
 Прогиб то оказывается равным
 «о
 _ р а
 ш
 l — х— ех L cosPat psin Н-
 Подставляя это выражение в соотношения 12.65, получим:
 Nb — РaL — х —0-Lcos x--L — ysin Р>
 .■ -°шттщ -- еi-Й-“»Н-
 Мл — — Dv
 vTwetehs,nPx, -?rcosH'
 Имея эти выражения для Ne, Мх и Мв, легко вычислить максимальные напряжения. Наибольший изгибающий момент имеет место у днища резервуара и равен
 path
 a?max у 121—v2
 12.8. Цилиндрические оболочки при несимметричном нагружении. Перейдем к общему случаю цилиндрических оболочек, находящихся под действием несимметричной нагрузки; здесь следует
 Рис. 12.26.
 совместно решать три уравнения 12.59. В качестве примера рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку, наполненную
 жидкостью с удельным весом р рис. 12.26. Допустим, что края

12.8 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ ПРИ НЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ 391
 оболочки можно рассматривать как шарнирно опертые. На опорах х 0 и х L должно быть
 v0, w 0, Nx О, Мх 0.
 Как легко видеть, эти условия, а вместе с тем ц условия симметрии деформации оболочки, удовлетворяются, если компоненты перемещения взять в виде следующих рядов:
 . л тпх
 Атп cos nb cos—-
 1 n0
 оо оо
 о л. тпх
 2л Bmnsmnbsrn—j—,
 т1 п—0
 оо оо
 0 	Cm»cosw9sln
 wln0
 12.70
 здесь L — длина цилиндра, б—угол, который откладывается, как показано на рис. 12.26.
 Интенсивность давления ръ выражается следующим образом:
 ръ — — рa cos б — cos а
 Рз 0
 J
 12.71J
 где угол а определяет уровень жидкости. Удобно представить ?3, заданное выражениями 12.71, в форме следующего ряда Фурье:
 Рг — 2 °тп C0S 0 Sin Т'
 12.72
 Коэффициенты Dmn можно вычислить обычным путем по следующим формулам:
 А,
 где
 причем
 8?а
 mm л2 — 1 т— 1, 3, 5,
 cos a sin па—п cos га sin а, 12.73
 ,. и п — 2, 3, 4,...
 Апо г sin а — cos а,
 miс3
 Dmi <2а — sin 2а>-
 12.74
 I. A. Wojtaszak, Deformation of thin cylindrical shells subjected to internal loading, Phil. Mag., ser. 7, т. 18, 1934, 1099—1116,

392
 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ИЗОГНУТЫХ пластинок гл. 12
 В случае цилиндра, заполненного жидкостью рис. 12.27, будем через рd обозначать давление на уровне оси оболочки. Тогда
 Рг — Р d a cos 0;
 выражения 12.73 и 12.74 принимают вид:
 4рd
 DM —
 4р а
 т 1, 3, 5,
 12.75
 Для тонких цилиндров отношение h2j2a2 будет малб; тогда во втором из уравнений 12.59 можно пренебречь членами, в которые это отношение входит. Подставим выражения 12.70 и 12.72 в 12.59 и введем обозначения L h
 Х —’ 4 7гГ-
 Тогда получим Атп2т2ъ2 1 — ч2п2 —
 — Втп 1 — v тпп Cmn2krmz 0,
 Атп% О v — Втп 3 1 —V т2тс2 к2п2—Стп22п 3Т2 т2к22п20,
 Рис. 12.27.
 АтпШтк-
 -Втпк2п2 3 т2 т22 2п2 1-
 тп№Ь,
 —стп 3X2 т2 т22 Х2г22
 2D
 12.76
 Коэффициенты Dmn определяются из соотношений 12.73, 12.74 или 12.75; следовательно, пользуясь выражениями 12.76, можно
 величины Атп, Втп,
 в каждом отдельном случае вычислить при любых значениях тип. Из выражений 12.58 и 12.70 можно, далее, определить результирующие усилия, моменты и компоненты перемещений для любой точки цилиндрической оболочки.
 Основываясь на приведенном выше теоретическом решении задачи, рассмотрим цилиндрическую оболочку, заполненную жидкостью, при следующих числовых данных:
 а d 50 см, Будем иметь
 L 25 см, h 7 см, v 0,3.
 X2 0,25, По формулам 12.75 находим
 0,14, 72 0,0196.

ие
 12.8 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ ПРИ НЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ 393
 2лр LPh, „ л
 Воспользуемся обозначением ср — • “ри О решен
 уравнений 12.76 будет иметь вид:
 А
 т 0 m2 3X2 1 — V2 гртп 9
 Вт о О»
 сртс
 m 3X2 1 __ V2 т2т
 Если принять п 1 и выразить коэффициенты через эти параметры, то получим весьма громоздкие формулы. Численные значения коэффициентов для т 1, 3, 5 даны в табл. 12.1. Как видим, значения этих коэффициентов уменьшаются очень быстро; поэтому можно взять лишь несколько первых членов в рядах 12.70, чтобы определить деформацию с достаточной точностью.
 Таблица 12.1
 т
 Ат№хЬ X 10
 Стof-iA X ЮЗ
 Amlf1h X 103
 X ЮЗ
 Cmtf-'h X 10
 1
 28,94
 —606
 24,38
 —35,95
 —593
 3
 0,0537
 — 3,371
 0,0520
 — 0,372
 — 3,352
 5
 0,00251
 — 0,263
 0,00247
 — 0,00183
 — 0,263
 Максимальные значения wt Nxt Aq, Мх и имеют место при x Lj2, 0 0; они легко могут быть вычислены. Принимая
 т1, 3, 5 и я 0,1, находим
 11,75Р
 см,
 mai 0’02375P кг1см> W>max »61Р KZCM,
 Мта% 5’67р кг, Л4ета1 1,763р кг.
 Наибольшие напряжения изгиба по окружности и вдоль образующей равны:
 _<е max 1
 6Л4„
 max
 авц
 °a?max
 h
 Wrn
 №
 бЩ»,
 h
 №
 0,4435р кгсм2,
 0,694р кгсм2.
 Задача. Принимая в предыдущем числовом примере h 0,64 см и оставляя все остальные данные без изменения, вычислить наибольшие значения прогиба и напряжений.

394 ТЕОРИЯ тонких ОБОЛОЧЕК и изогнутых пластинок гл. 12
 N
 12.9. Выпучивание круговой цилиндрической оболочки под действием равномерного осевого сжатия. Если цилиндрическая
 оболочка находится под действием равномерного осевого сжатия
 рис. 12.28, то при определенном значении сжимающей нагрузки цилиндрическая форма равновесия становится неустойчивой, и цилиндр выпучивается. Примем здесь, что все усилия в срединной поверхности, за исключением Nx> весьма малы. Значения произведений Nx на производные от перемещений становятся достаточно велики и должны быть включены в уравнения
 равновесия, в то время как произведениями других усилий на производные от перемещений можно пренебречь Будем рассуждать аналогично тому, как это сделано в параграфе 11.6. Тогда найдем, что в уравнение следует включить результи¬
 рующую проекцию на ось у от усилий Nxt равную
 N ikdxad6’
 соответственно в уравнение 2 0 должна быть
 включена результирующая проекция на оси z, равная
 VU- I t lP
 Рис. 12.28.
 Na
 дх
 dx a db.
 Разделим выражения для этих составляющих на dxdb и введем их в уравнения 12.53. Тогда уравнения равновесия примут вид:
 dNa
 dNb
 db
 dQa
 дх
 dN
 дх
 dQb
 db
 дх
 -aN
 dNx а
 0,
 ■aN
 <Pv_ ® dx dw
 a
 dMxi
 de
 — Qe 0» Nb 0,
 dx
 dMx
 db
 dx
 db
 - aQb 0,
 - aQx 0;
 12.77
 здесь величины pt, p2, Рз приняты равными нулю. Если из этих уравнений исключить поперечные силы Qx и Qj, то получим:
 dN„
 aN
 dv
 dx “T дМхЬ
 dx
 dNXf A
 ЛЙ — V»
 o.
 db
 dMB
 °2w l M In дШ o °‘Mxh
 Хдх ьг- д Oxdb
 дШ
 a dti d?M„
 ad№
 ■0.
 12.78

12.9
 ВЫПУЧИВАНИЕ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
 395
 Чтобы найти решение этих уравнений, введем в них функции перемещений и9 vt w по формулам 12.58. Считая сжимающие напряжения положительными и вводя обозначения
 12 	а? ' Eh т
 окончательно получаем следующие уравнения:
 д2и 1 v dv v dw. 1 — v ди
 12.79
 1
 дх2 ' 2 а дхдЬ а дх'
 ди, 1 — dv, dv dw
 2 a? <Э02
 0,
 2 a dx dd ■ dv
 2 dx a?d№ adb dw, dw, 1 — v dv
 adds du, dv
 dw.,
 adb
 a
 ai
 2
 d3v
 dxJ r dx, d3t
 ¥ ли —
 <Э0з
 дл? d0
 n d4w л a djt4 a d04 a dx2 d02 12.80
 Эти уравнения удовлетворяются, если положить
 0, ‘Ш С1,
 и — — лг С2,
 v 1 12.81
 где Сх и С2—постоянные. Такое решение относится к начальной цилиндрической форме равновесия сжатой оболочки, с учетом расширения в поперечном направлении. Выберем начало координат у одного из торцов оболочки и примем длину цилиндра равной L; тогда общее решение уравнений 12.54 можно выразить с помощью следующих рядов:
 va
 тпх
 Лтп sin nb cos L
 W
 , sin nb sin -
 12.82
 Для длинных цилиндров условия на торцах мало влияют на величину критической нагрузки; тогда решение по 12.82 определит критическую нагрузку для цилиндрической оболочки, находящейся под действием осевого сжатия, независимо от характера закрепления торцов.
 Подставляя 12.82 в уравнения 12.80 и вводя обозначение

396 ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК и ИЗОГНУТЫХ ПЛАСТИНОК
 придем к соотношениям:
 -12'ХЛ <W 0,
 л 1 Ч-''О XZ. D Г1 — v 1 4- а о 2 1 I
 Атп Y— - Втп 2 1 П—Щ J
 гл. 12
 4“ Стп 1п “К аАг 2 Ч“ X2 — О,
 h тп 11 а я2 X2
 1 — Х2ср а X2 л22 О.
 12.83
 Приравнивая нулю детерминант, составленный из коэффициентов в этих уравнениях, придем к нетривиальному решению. Величины а и ср обычно малы, так что членами, содержащими их квадраты, можно пренебречь. Раскрывая детерминант, найдем, что наименьшая величина ср будет отвечать большим значениям X2 и г2. Принимая во внимание это обстоятельство, отбросим малые члены; тогда окончательно получим
 о а
 П2__Х22 1—
 Х2 л 2
 Введем обозначение
 тогда
 р
 Л Х22
 а8 -
 1 	—V
 Величина ср принимает минимальное значение при -- 0. Находим
 0;
 отсюда
 и, далее,
 1 —
 <pmin 2lAi-v2. Пользуясь обозначениями 12.79, имеем
 К
 икр -
 кр
 Eh
 а У 31 — v« '
 12.84
 Выражение 12.84 определяет критическое напряжение для длинной цилиндрической оболочки, находящейся под действием осевого ежа-

12.9 ВЫПУЧИВАНИЕ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 397
 тия. Однако это теоретическое значение во многих случаях втрое или вчетверо превышает экспериментальные данные. Объяснение этого несоответствия было дано Карманом и Цянь Сюэ-сенем с помощью нелинейной теории выпучивания. Они приняли, что квадраты производных от прогиба w являются величинами того же порядка, что и производные от других перемещений. Однако эта теория является слишком сложной, чтобы ее можно было включить в данную книгу.
 См. Th. К а г m a n and Н. S. Т s i е n, The buckling of thin cylindrical shells under axial compression, J. Aeron. Sci., т. 8, 303, 1941; D. Legg et and R. Jones, The behaviour of a cylindrical shell under axial compression when the buckling load has been exceeded, Brit. ARC Tech. Rept. № 2190, 1942; L. Donnell and С. C. W a n, Effect of imperfection on buckling of thin cylinders and columns under axial compression, J. Appl. Mech., т. 17, № 1, 1951. См. также книги: X. М. Муштари и К. 3. Галимов, Нелинейная теория упругих оболочек, Таткнигоиздат, 1957; А. С. Воль мир, Гибкие пластинки и оболочки, Гостехиздат, 1956. Прим. ред.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
 Аналогия гидродинамическая 120
 — мембранная 108, 109, 117 Аргумент комплексного числа 198
 Балка консольная 277
 — с узким поперечным сечением 267 Бицено — Коха метод 192 Бредта формула 119
 Вал вращающийся 82
 — — сплошной 83 трубчатый 83
 — конический 124
 — круглый 124 Вариация 169 Вектор единичный 353 Выпучивание пластинок 340 Вычет функции 203
 Галеркина метод 187, 190, 191 Горизонталь поверхности 108 Грина формула 97, 173, 176, 195 Гука закон 36 обобщенный 36, 40
 Депланация 95 Деформация 26
 — главная 37, 39
 — остаточная 35
 — плоская 26, 56, 57, 60, 70, 214, 219 обобщенная 58, 60, 70
 — продольная 26, 27, 31, 68
 — сдвига 26, 27, 28, 30, 31, 68 Диск вращающийся 84
 Жесткость крутильная 99 —цилиндрическая 317
 Задача о собственных значениях 256 Закон Гука 36
 обобщенный 36, 40
 Запрессовка 79
 Изгиб балки 163, 177, 185
 — консоли 60, 270
 — оболочки 378
 — пластин круглых 331 прямоугольных 325
 — — тонких 314, 321
 — продольный 247
 — стержня 239
 — чистый 239 Инварианты 25
 Интеграл эллиптический второго рода 251 первого рода 250
 Кардиоида 209 Кастильяно теорема 193 Кирхгофа теорема 298 Кольцо жесткости 373 Компоненты деформации 28, 37, 378
 — напряжения 17, 38, 218
 — перемещения 217 Концентрация напряжений 75, 116 Координаты криволинейные 352
 — полярные 66
 — сферические 352
 — цилиндрические 352 Котел цилиндрический 386 Коши —Гурса теорема 200, 208 Коши —Римана условия 199, 205 Коши формула 201
 Коэффициент линейного расширения материала 87
 — второй квадратичной формы поверхности 358, 363
 — первой квадратичной формы поверхности 353, 363
 — Пуассона 41
 — экстраполяции 286
 Кривая параметризованная 351, 360 Кривизна 248, 254
 — главная 360
 — максимальная 360
 — минимальная 360
 — нормальная 356, 360 Круг Мора 20, 21 Кручение 94
 — призматических стержней 94
 Лапласа оператор 53, 69, 96, 129
 — уравнение 200, 215 Линия равной депланаций 102
 — симметрии 139, 141 Лорана ряд 203
 Маклорена ряд 202 Маргерра формула 304 Метод Бицено —Коха 192
 — вариационный 166
 — Галеркина 187, 190, 191
 — коллокации 192
 — преобразований конформных 233
 — разностей конечных 125, 272, 281
 — релаксации 134, 278
 — решения обратный 94
 — — полуобратный 94 прямой 94
 — Рэлея —Ритца 181, 191, 292, 325
 — экстраполяции 151, 283

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
 399
 Метод энергетический 289, 345 Модуль жесткости 41
 — комплексного числа 198
 — объемный 43 —• сдвига 41
 — упругости 41
 — Юнга 41 Момент инерции 62 Мора круг 20, 21
 Нагрузка критическая 247, 254, 282 Направления главные 21, 357 деформации Я8
 — — напряжения 38 Напряжение И
 — главное 20, 21, 39
 — изгиба при кручении 101 — касательное 12
 — нормальное 12
 — радиальное 93
 — растягивающее 12
 — сжимающее 12
 — среднее 15
 — температурное 7, 90 Натяг 70. 73 Невязка 135 Нормаль главная 355
 — единичная 356
 Ньютона формула 143, 144, 154
 Область многосвязная 201
 — односвязная 200
 Оболочка в форме эллипсоида вращения
 374
 — круговая цилиндрическая 376, 384, 390,
 J95
 — сферическая 373
 — тонкая 351 Образ кривой 204
 Оператор гармонический или Лапласа 58, 69, 96, 129
 — невязки 160
 — релаксационный 135, 160 групповой 139
 Ось изогнутая 243 Отображение 204
 — конформное 204
 Переменные комплексные 197
 сопряженные 198
 Перемещение 26
 — возможное 166
 — тела абсолютно твердого 28 Пластинка бесконечная с отверстием 75, 220,
 225
 — изогнутая 351
 — квадратная 342
 — кольцевая 230
 — круглая 287
 — прямоугольная 335, 340, 345
 — с отверстием эллиптическим 233
 — тонкая 314
 Плита широкая с отверстием 223 Плоскость соприкасающаяся 355 Площадка главная 24
 Поверхность срединная тонкой оболочки 351 Погрешность 151, 304
 — Шеппарда 152 Посадка горячая 73
 Постоянные кручения 99, 101, 113, 183
 — Ламе 39
 — упругие 40
 Потенциал внешних сил 170, 300 Поток касательных усилий 120
 Правило Симпсона 150, 154, 155, 156 Предел упругости 35 Преобразования конформные 233 Принцип вариационный 174
 — возможных перемещений 167 работ 166
 — наложения 54
 — Сен-Венана 54
 — энергии дополнительной 171, 174, 195
 потенциальной 166, 171
 Пуассона уравнение 130
 Работа, возможная 167
 Равновесие безразличное 248, 253, 303
 — неустойчивое 248, 303
 — устойчивое 170, 247, 303 Радиус кривизны главный 360 Разность конечная 126, 128, 143, 181 Рама 259
 Резервуар вертикальный цилиндрический 386, 389
 Релаксация групповая 139
 Родрига формула 361
 Рэлея — Ритца метод 181, 191, 292, 325
 Рэлея формула 290, 298
 Ряд Лорана 203
 — степенной 202
 — Тейлора 202
 — тригонометрический 184, 186
 — Фурье 321
 — — комплексный 206
 Свойство анизотропности 31
 — изотропности 35, 36
 — однородности 35
 — сплошности 35 Сен-Венана принцип 54 Сечение нормальное 355 Сила критическая 250
 — объемная 13, 57, 82
 — поверхностная 13
 — тяжести 57, 82
 — Эйлера 247
 Силы уравновешенные 13
 — центробежные 57, 79, 82 Система нерегулярная 161 Состояние напряженное двухосное 15 объемное 17
 плоское 15, 56, 59, 60, 69, 214, 219
 — пластическое 35 Стержень 259
 — круглого сечения 99
 — переменного поперечного сечения 254, 272
 — постоянного поперечного сечения 254, 272
 — призматический 94, 179, 205, 244, 247
 — прямоугольного сечения 103, 182, 190
 — тонкостенный открытого профиля 114
 — эллиптического сечения 99, 211 Структура волокнистая 36
 — кристаллическая 36
 Тейлора ряд 202 Тело абсолютно упругое 35 Тензор напряжений 11 Теорема взаимности 193, 195
 — вычетов 203
 — Кастильяно 193, 196
 — Кирхгофа 298
 — Коши —Гурса 200, 208
 — наименьшей работы 196
 — однозначности 52, 170, 298 Теория безмоментная 369
 оболочек 369, 376
 Тимошенко формула 297

400
 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
 Точка особая аналитической функции 199
 — разветвления 212 Труба 70, 117, 387
 Угол закручивания 95, 119 Упругость 35
 Уравнение бигармоническое 58, 70, 130
 — дифференциальное изогнутой поверхности тонкой пластинки 319, 332
 — — основное для тонкой пластинки 339
 — — продольного изгиба 302
 — изгиба тонких пластин 314
 — Лапласа или гармоническое 200, 219
 — Пуассона 130
 Уравнения в конечных разностях 125, 130, 143
 — поверхности параметрические 351
 — равновесия 16, 56, 66, 105, 205, 254, 364
 — совместности 32, 34, 68 Усилие критическое касательное 348
 — мембранное 369 Условия граничные 25, 319
 — компланарности векторов 357
 — Коши —Римана 199, 205
 — минимизации 178, 181, 182, 183, 185 Устойчивость упругого стержня 247
 Формула Бредта 119
 — Грина 97, 173, 176, 195
 — Коши 201
 — Маргерра 304
 — Ньютона 143, 144, 154
 — преобразования компонентов деформации 32
 — Родрига 361
 Формула Рэлея 290, 298
 — Тимошенко 297
 — Эйлера — Бернулли 64, 245
 — экстраполяции 286 Функция аналитическая 199
 — вещественная 200
 — гармоническая 200
 — депланации 95, 101, 207
 — комплексная 198
 — мнимая 200
 — напряжений 68, 110 Эри 60
 — отображения 204
 — регулярная 199
 — сопряженная 198 Фурье ряд 206, 321
 Центр кривизны 360 Цилиндр 74, 79 82, 90, 392, 395
 Шеппарда формула 152
 Эйлера —Бернулли формула 64, 24J Эйлерова сила 247 Энергия деформации 46, 325
 — дополнительная 170, 171, 179, 181
 — изгиба 300, 326
 — потенциальная 170, 300 Эри функция напряжения 60
 Юнга модуль 41