Текст
Задачи
вступительного экзамена
по математике
в Оксфордский университет
В этом номере мы публикуем задачи вступительного экзамена по математике в Оксфордский университет — старейший английский университет, основанный в 1168 году. В течение многих веков его выпускники составляли славу страны. И ныне, наряду с Кембриджем, Оксфордский университет является наиболее авторитетным высшим учебным заведением Великобритании.
Задачи, которые мы предлагаем вниманию читателей, предназначались для абитуриентов 1988 года, избравших своей будущей специальностью математику и механику. Оксфордский экзамен по математике проводится по традиции в два дня (в прошлом году — 21 и 22 ноября), причем оценивается лишь лучшая из двух попыток.
В первый день предлагалось 12 задач, разбитых на группы А, Б и В. Никаких ограничений на число решенных задач не накладывалось, однако при выводе общей оценки учитывалась задача 1 и три лучшие решения задач 2—12, причем наивысшая оценка за задачу 1 вдвое превышала оценку за любую другую задачу. Во второй день предлагалось 16 задач, разделенных на группы А, В, В, Г. Все задачи оценивались одинаковым количеством баллов, но в зачет шло только пять лучших решений. Баллы, полученные абитуриентом в лучшей из двух попыток, возводились в квадрат и складывались. Поскольку сумма квадратов максимальных чисел баллов примерно равна числу поступающих, это позволяет легко упорядочить абитуриентов по результатам.
В прошлом году конкурс на математическое отделение Оксфордского университета составлял примерно 2 человека на место.
Математика I
Группа А 1. а) Разложите функцию
на простейшие дроби
б) Найдите f'(x), где .
Л*)
У2*+1
в)
выми
Найдите площадь, ограниченную кри
= х3 и ys=16x.
г) Найдите корни уравнения tg 2a: = 2sin х, принадлежащие отрезку [0; 2л].
д) Найдите наибольшее значение функции 3 22 + 2 на отрезке [0; 2].
е) Вычислите J arcsin xdx.
о
ж) Упростите выражение
з) Пусть А (2; 1; —1), В (3; 2; —1), С (3; 1; 0) — точки в пространстве. Найдите величину угла ВАС.
и) Пусть max \a,b) — наибольшее из чисел а и Ь. Постройте график функции у = = m(:r) = max{l; х\ при jcs[0; 3] и вычислите
m(x)dx.
к) Постройте график j/2 = je3 — х.
Группа Б
2. а) Пусть п[, Ь\, а2, Ь2 — действительные числа. Докажите, что если для каждой пары действительных чисел С\ и с2 система
(1)
имеет единственное решение, то а\Ьг — Докажите также, что при О|Ь2—а2Ь^ф0 и любых С) и С2 система (1) имеет единственное решение.
б) Докажите, что если для каждой пары действительных чисел Ci и с2 уравнения
2г3 — z + c,=0, 3
имеют общий корень, то
Кроме того, если общий корень у этих уравнений имеется, то
(— с2 — с, Ь2)(2 Ь2+a2f=(a2ci — 2с2)3.
3. Пусть S — окружность с центром О и радиусом I.
а) Пусть Q=?0 — точка внутри S, а Т — точка на S такие, что OQ_LQT, a R точка на отрезке OQ, для которой TR1OT. Постройте чертеж и докажите, что OQ- OR==l2.
б) Пусть Р — произвольная точка и Р' точка на луче ОР такая, что ОР- ОР' = 12. Приняв точку О за начало координат, докажите, что если точка Р лежит на прямой je = J/2, to Р' лежит на окружности радиусом I с центром {I. 0).
а) Докажите, что До- Л.г = До + ^?- Найдите все значения 6, для которых Rg=J, где J — единичная матрица.
71
б) Докажите, что Я_0 = (Де) •
в) Пусть п — натуральное число. Докажите, что Rq=J тогда и только тогда, когда 6=2лт/п, где т — целое число.
г) Пусть 6 = 2л/п, где п — натуральное число и RV=A 'RoA для некоторой матрицы А. Докажите, что ф = 2л*/п, где k — целое.
5. Пусть гф\ — положительное число и
2+1
и получите отсюда, что
а) Докажите, что г =
———
б) Докажите, что если z=ia, где <u=R, то |и>| = 1 и, наоборот, если |и)|= 1, то z=ia, где
HER.
в) Докажите, что если z = itg 6, то w=e ~2'".
г) Выразите tg 46 через tg 6.
6. а) Разложите на линейные множители многочлен jc2 + 2i.
б) Разложите х*-\-4 на 4 линейных множителя.
в) Докажите, что х4-\-4 является произведением двух квадратичных многочленов с целыми коэффициентами.
г) Для каких натуральных п число п* + 4 — простое?
7. Пусть S — множество действительных чисел вида a + fty2, где а и ft — целые, причем а2— 2Ь2=±1. Докажите, что
а) если rsS, то 1/reS;
б) если rsS и seS, то rs^S.
Найдите (подбором) число гgS такое, что г> 1. Докажите, что S — бесконечное множество и что уравнение х2— 2j/2 = l имеет бесконечное число решений в целых числах.
Группа В
8. а) Вычислите
sin 2rx — sin 2(j— 1)jc sin x
dx,
где г — натуральное число.
Пользуясь этим результатом (или как- нибудь иначе), докажите, что при натуральном п
2
" sin 2nx sin x
dx =
tgx)dx=— eincosG.
9. Пусть т(а) наименьшее значение функции f(x) = x2 — 2a(x — 2) — 4а2 на отрезке 0<х<1, где а — произвольное действительное число. Найдите т(а) и постройте график этой функции. Найдите наибольшее значение т(а).
10.
|. Пусть J(a)= j -j-j-— dx, где а > 0. Поль
зуясь интегрированием по частям (или иначе), докажите, что для любого целого
г=о а
-
"dx
Отсюда получите оценку
H5r
11. Проверьте, что функция у=е2х является решением дифференциального уравнения
2 [l 1- + ... +(-l)"-'/2n —1 | Математика II
Покажите, что подстановка у = ие2х, где и — функция от х, приводит к дифференциальному уравнению относительно функции w=du/dx. Решите это уравнение относительно w и получите в качестве следствия общее решение уравнения (*).
Найдите решение (*), удовлетворяющее условиям j/(0) = 0, у'(0)=1.
12. Докажите, пользуясь графиком, что уравнение х = tg x имеет бесконечную последовательность положительных решений 0(1,0(2, ..., «„, где лп<сс„<лп + л;/2.
Затем докажите, также пользуясь графиком, что уравнение
sin x=ax, х>0,
не имеет решений при а>1, имеет одно решение при cosa2<a<l, имеет 2л—1 решение при cos a2n<a<;cos а2(п —1) (при п>1).
б) Докажите, что
в е
= \f(e-x)dx.
в) Для любого — < 6 < — докажите, что
tex)dx =
Группа А
1. В треугольнике ABC точка D на ВС и Е на АС таковы, что прямая AD перпендикулярна ВС, а прямая BE перпендикулярна АС.
Докажите, что треугольники ADC и' ВЕС подобны.
Пусть BE пересекает AD в точке Н, а СН пересекает АВ в точке F. Докажите, что АЕ/ЕВ=НЕ/ЕС.
Докажите, что прямая CF перпендикулярна АВ.
Пусть точки X, У, Z и W — середины отрезков ВН, АВ, АС и СН. Докажите, что
72
XY, AD и WZ параллельны. Докажите также, что параллельны YZ, XW и ВС.
Докажите, что XYZW — прямоугольник.
2. Рассмотрим окружность С , задаваемую в прямоугольной системе координат уравнением х'2-\-у2— 2xsec ft+ 1=0, где Ъ — действительное число такое, что 0<Ь<л/2.
Найдите центр А\ и радиус rt окружности С,.
Рассмотрите прямую I, проходящую через начало координат 0 и касающуюся окружности С\ в точке Р. Найдите длину отрезка ОР и величину угла РОА\.
Рассмотрим затем окружность Сг, задавае- ю уравнением х2-\-у—2j/tga —1 = 0, где
мую
0<а<у-
Найдите центр Аг и радиус г2 окружности С2.
Выразите расстояние А,А2 через Г\ и г?.
Пусть С, и Сг пересекаются в точках Ь и S. Докажите, что углы A\RA2 и AtSA? - прямые.
3. Три различные точки В, С, D, лежащие ь плоскости, определяются тремя векторами Ь, с и d с общим началом О.
Докажите, что В, С и D лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда ab-\- + |ic-|-vd = 0 для некоторых чисел a, \i, v, не равных одновременно нулю и удовлетворяющих условию a-|-|x + v = 0.
Далее докажите, что точки В, С и D лежат на одной прямой и точка D делит ВС в отношении у.р тогда и только тогда, когда
Четвертая^ точка А плоскости определяется вектором ОА=а с тем же началом О и не лежит на прямой ВС. Докажите, что всякая точка Р, принадлежащая треугольнику ABC и лежащая на AD, задается вектором
где а — некоторое положительное число.
Если точке Q соответствует вектор q = OQ такой, что
то точка Q лежит на прямой АР.
4. Пусть а и с — действительные числа, а ft — комплексное число такое, что ac<Lbb (Ь — число, комплексно сопряженное с Ь).
Докажите, что множество точек комплексной плоскости z = x + iy, удовлетворяющих уравнению
azz+bz+bz + c = O,
являются окружностью при а ф 0 и прямой при а = 0.
В случае а = 0 докажите, что если прямая касается единичной окружности «=_1, то ft и с удовлетворяют соотношению c2 = ubb.
Докажите, что при преобразовании
1
Z-- IV = —
Z
а) точки единичной окружности неподвиж
ны;
б) прямая, заданная уравнением bz + bz-\- с = 0 и касающаяся единичной окружности.
преобразуется в окружность, проходящую через начало координат. Чему равен радиус этой окружности?
Группа Б
5. Легкая лестница длиной / прислонена к стене под углом 6 от вертикали.
Человек весом W стоит на лестнице на высоте У от пола.
Докажите, что в момент, когда лестница начинает скользить, нормальные реакции Hi и йг пола и стенки равны соответственно
W n,W Ri = гг—. ; Яг = т~, 1
l+|Xl|X2 1+Ц1Ц2
где Ц1 и (гг — коэффициенты трения лестницы о пол и стену, соответственно.
Докажите, что лестница будет соскальзывать, только если
Отсюда покажите, что человек сможет взобраться на самый верх лестницы, если
6. Теннисист, находящийся в точке jc = O на оси Ох посылает мяч в стенку, перпендикулярную оси Ох в точке х=Х. Пусть при своем n-м ударе он посылает мяч с высоты h,,co скоростью vn под углом 6 к горизонту. На какой высоте над осью Ох мяч ударится о стенку (сопротивлением воздуха пренебречь)? При отражении от стенки вертикальная составляющая скорости мяча не меняется, а горизонтальная умножается на коэффициент восстановления е. Докажите, что высота Л„+1. на которой окажется мяч при возвращении к теннисисту, удовлетворяет соотношению
п„+,=п„ + U + — Vtge-
\ е I
и | М2
(пфед возвращением мяч не ударяется о горизонтальную поверхность).
Докажите, что теннисист может поддерживать «стационарный режим» (т. е. Л„ + |=Л„ при всех п), если он посылает мяч со скоростью
v =(g(l + e)X/esin 26)l/2.
7. Частица массой т прикреплена с помощью легкой упругой нити жесткостью а и длиной а к другой частице массой М. В начальный момент обе частицы находятся в одной точке О. Частицу массой т бросают со скоростью v, а частицу массой М отпускают. Пусть х и у — расстояния от первой и второй частиц до точки О соответственно в момент времени t. Докажите, что расстояние между частицами станет равным а через время a/v; найдите положения частиц и их скорости в этот момент. Докажите, что при х—у>а, х к у удовлетворяют системе уравнений
d2x __ _^_(JC а)
dt2 та
73
Выполнив замену переменной z = je — у— а (или иначе), докажите, что нить в следующий раз достигнет длины а через время
8. Пуля летит в горизонтальном направлении со скоростью Ус, ударяется изнутри о вертикальную стенку круглой арены и продолжает отражаться от стенок арены. Пренебрегая сопротивлением воздуха и притяжением Земли и считая, что тангенциальная составляющая скорости пули при рикошете не меняется, а радиальная составляющая скорости умножается на е при каждом рикошете, докажите, что
где а„ — угол, образуемый траекторией пули с радиусом арены после л-го отражения, а оо — начальный угол отражения.
л Выведите отсюда, что если е<1, то а„ —>- —
при п —*¦ оо.
Пусть 6„ — угол, образуемый направлением радиуса n-й точки соударения пули и стены с некоторым фиксированным направлением.
Докажите, что 6„ +, = 6„ + л — 2а„. Докажите, что 6„ = 6|+(п — 1)(л—2ссо) при е=1. Отсюда получите, что в этом случае пуля в конце концов вернется в точку первого соударения тогда и только тогда, когда существуют такие целые р и q, что 2ао/л=р/д.
Группа В
9. Люстра состоит из семи ламп, расположенных по окружности. В течение года каждая из ламп может перегореть с вероятностью 1/2. Предполагая, что лампы перегорают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что к концу года перегорят не менее чем четыре лампы.
Если перегорели 3 лампы, то какова вероятность, что никакие две из них не были соседними?
Я решил, что в конце года буду заменять все перегоревшие лампы, лишь если какие-то две из них окажутся соседними. Найдите вероятность этого события. Если это произойдет, то какова вероятность, что мне потребуется больше двух ламп? (Полная оценка будет выставлена лишь в случае ясного и точного объяснения, какие события должны быть рассмотрены на каждой стадии решения.)
10. Дует сильный западный ветер. Дерево Т высотой 20 м может быть вырвано с корнем и повалено. Пусть В — угол возможного направления падения дерева с направлением север — юг. Известно, что
*) Через Р(0^В< 180л:) обозначена вероятность того, что градусная мера угла направления падения дерева с направлением север — юг лежит в указанных пределах.
Докажите, что направления падения дерева на север или на юг относительно направления на восток равновероятны.
Железная дорога идет прямо на север на расстоянии 10V2 к востоку от дерева. Найдите вероятность того, что ствол дерева попадет на рельсы.
В 50 м к северу и в 50 м к югу от дерева Т находятся еще два таких же дерева. Каждое из деревьев независимо от остальных падает от ветра с вероятностью 4/5. Предполагая, что железная дорога заблокирована по крайней мере одним деревом, найдите вероятность того, что более чем одно дерево придется убирать с путей.
11. Пусть jci, Жг,... независимые случайные величины с математическим ожиданием jx и дисперсией a2, a n — положительное целое число. Найдите математические ожидания и дисперсии величин: а) пх\, б) Х\-\-Х2-\- ...+ х„.
Массы стандартных европейских яблок распределены по нормальному закону со средним значением 125 г и средне-квадратичным уклонением 11,6 г. Ленивый британский торговец фруктами продает яблоки предположительно по 40 пенсов за фунт, но в действительности берет 40 пенсов за пакет с четырьмя случайно выбранными яблоками. Вычислите сред-. нее значение и дисперсию веса пакета.
Торговый инспектор регулярно инкогнито посещает магазин и каждый раз покупает один пакет. Какова вероятность р, что при одном визите в магазин он купит пакет, весящий меньше фунта?
Допустим, что в первый раз он обнаружит «недовес» при К-м визите. Выразите P(K = k) для k = 1, 2,... через р, а затем найдите математическое ожидание этого события. Предполагая, что инспектор покупает один пакет из двухсот, найдите ожидаемое число пакетов, проданных торговцем до этого, а отсюда получите ожидаемое число пакетов, проданных с «недовесом». (Считайте при этом, что 1 кг = = 2,2 фунта. Можете также пользоваться тем,
что 1+2е+зе2+...=(1-ег2 при |е|<1.)
12. Установите точные предположения, при которых число случаев данного заболевания в некоторой группе населения хорошо описывается распределением Пуассона.
В некотором избирательном округе S вблизи от ядерной установки наблюдались четыре случая редкого заболевания. По средним данным национальной статистики, было подсчитано, что число X случаев в округе ¦Si имеет математическое ожидание Х=0,25.
Полагая, что X распределено по Пуассону с ожиданием Х=1/4, вычислите Р(Х = 4) и Р(Х~^4). Какая-нибудь из этих вероятностей свидетельствует о том, что риск в S\ выше среднего? Коротко объясните ваши доводы.
Предположим, что медицинский статистик может разделить регион, содержащий Si, на п субрегионов Si, S2,..., Sn таким образом, что в каждом из них ожидаемое число случаев было бы равно К — тому же значению, что в среднем по стране.
74
Полагая, что средняя частота действительно отражает риск заболевания, вычислите вероятность того, что по крайней мере в одном из субрегионов будет по меньшей мере 4 случая заболевания при п = 225. Повторите вычисления для п 23 900 (числа, описывающего всю Англию и Уэльс). Объясните значение обнаруженных 4-х случаев в избирательном округе Si.
Группа Г
13. Докажите следующие неравенства (*, у иг — произвольные положительные действительные числа):
а) х2+у2+г2^ху+уг+гх:
б) min (1, х3, у4, z5) ^ хуг, где min (a,,a2 а„)
означает наименьшее из чисел а., а2,..., а ;
в) ж In *> — е '.
14. а) Функция f(x) равна 1 для 0^л;<!1, равна 1/2 при 1<jc^2, вообще равна 1/п при п — 1<:г^п, п = 3, 4,... Постройте на одном чертеже графики функции f(x) при х^О и
у = — при *>0.
б)*) Получите из графиков, что
у + "3" +¦¦¦+ — ^ln m Для целых т>2. в) Аналогично докажите, что
lnmsgl + i- +...+
т — 1
для целых
г) Замените 1/х другой функцией и примените аналогичный метод для доказательства
неравенств
In (m —
m!
для любого целого т^2.
15. Пусть m — натуральное число.
а) Докажите, что биноминальный коэффициент Cfm удовлетворяет неравенству Cfm ^ 4m. Указание: рассмотрите бином (1 + 1)2т.
б) Используя формулу
т _ 2го(2т— 1)... (2т —(т — 1)) 2т 1- 2- ...- т '
докажите, что Cfm делится на каждое простое число р, такое что т<р^.2т.
в) Используйте пункты а) и б) для доказательства неравенства р<4"1, где р — произведение всех простых чисел, для которых
*) Сравните с решением задачи МНЮ («Квант» № 11 — 12, 1988).
г) Докажите, что если т является степенью двойки, то Qm^i"1, где Qm — произведение всех простых чисел р^т. Указание: используйте пункт в) для оценки сверху отношения Q2m/Qm.
16. Буквами, а, Ь, с, d обозначены 4 различных натуральных числа, ни одно из которых не равно 1. Рассмотрите следующие утверждения:
а) Ь=а+7 и b<e<d;
б) ab=cd;
в) а и Ь — простые числа;
г) Ь делит а.
Докажите, что лишь два из этих утверждений могут быть справедливы одновременно.
Редакция благодарит чл.-корр. АН СССР В. И. Арнольда, любезно предоставившего этот материал.
Публикацию подготовил А. А. Егоров
<7
Еще раз
о золотом
сечении
Золотым сечением называ-
1+V5
ется число ф=
¦. Это
число издавна интересует не только математиков, но и художников, скульпторов, архитекторов. Считается, что золотому сечению подчиняются пропорции хорошо сложенного человека.
Если группе людей предложить выбрать самый гармоничный из большого набора прямоугольников, большинство выберет тот, стороны которого относятся как ср.
Известны две красивые формулы для золотого сечения :
Наши читатели А. М. и В. М. Соломины из Киева предлагают еще две формулы, которые мы предлагаем доказать вам:
2+-
2— -.
75