В. Л. БОНЧ-БРУЕВИЧ, С. В. ТЯБЛИКОВ
МЕТОД
ФУНКЦИЙ ГРИНА
В СТАТИСТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКЕ
С предисловием
акад. Н. Н. БОГОЛЮБОВА
'ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬГТйп
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙЛИТЕРА^РЫ
М П П I/ Г> д tn^-
МОСКВА 1961

й
АННОТАЦИЯ
Книга посвящена систематическому изложению но-
нового метода решения задачи многих тел, интенсивно
развивающегося в последние годы как в СССР, так и за
границей. Этот метод — так называемый метод темпе-
температурных квантовых функций Грина — представляет
собой синтез некоторых идей статистической физики
и квантовой теории поля. Он позволяет единым обра-
образом рассматривать как равновесные, так и неравно-
неравновесные процессы и удобен как для исследования общих
свойств систем многих тел, так и для приближенного
решения ряда конкретных задач.
Книга рассчитана на научных работников, аспиран-
аспирантов и студентов-теоретиков старших курсов.
Бонч-Бруевач Виктор Леопольдович,
Тябликов Сергей Владимирович.
Метод функций Грина в статистической механике.
Редактор А. А. Гусев.
Техн. редактор К. Ф. Брудно. Корректор 3. В. Автпонеева
Сдано в набор 25/Х 1960 г. Подписано к печати 3/VII 1961 г. Бумага 84x108/32.
Фнз. печ. л. 9,75. Услови. печ. л. 15,99. Уч.-изд. л. 15,8. Тираж 9500 экз.
Т-01598. Цена книги 94 коп. Заказ № 2126.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Леисовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.
I
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие • 7
От авторов *»
Введение И
Глава I. Основные соотношения 18
§ 1. Статистический оператор и временные корреляци-
корреляционные функции 18
§ 2. Спектральное представление простого произведения 23
§ 3. Функции Грина и их спектральные представления 29
§ 4. Диагональные элементы функций Грина. Дисперси-
Дисперсионные соотношения 34
§ 5. Простейшие функции Грина 37
а) Однофермионная функция Грина 38
б) Однобозонная функция Грина 46
в) Двухчастичная функция Грина при попарно сов-
совпадающих аргументах 47
г) Однофотонная функция Грина 48
Глава II. Уравнения для функций Грина 53
§ 6. Уравнения движения и гамильтонианы 53
а) Заряженные частицы в электромагнитном поле . 55
б) Электроны в фононном поле 56
в) Спиновая система в ферромагнетике 58
§ 7. Цепочки уравнений для двухвременных функций
Грина 59
§ 8. Уравнения в функциональных производных .... 68
§ 9. Массовый и поляризационный операторы. Эффек-
Эффективное волновое уравнение 76
§ 10. Уравнения Дайсона и группа мультипликативной
перенормировки 91
§ 11. Улучшенная теория возмущений 94
Глава III. Функции Грина и макроскопические характе-
характеристики системы 112
§ 12. Функции Грина и термодинамический потенциал . 112
а) Взаимодействие через квантовое поле 112
б) Прямое взаимодействие между частицами ... 118
§ 13. Корреляционные функции 126
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 14. Реакция системы на внешние воздействия. Пред-
Представление через двухвременную функцию Грина . 135
§ 15. Реакция системы на внешние воздействия. Пред-
Представление через вершинную часть 145
§ 16. Квазичастицы 153
Глава IV. Плазменные колебания в твердом теле . . . 157
§ 17. Постановка задачи 157
§ 18. Частоты и затухание плазменных колебаний . . . 160
§ 19. Плазменный спектр электронного газа; случай
Ферми 173
§ 20. Плазменный спектр электронного газа; случай
Больцмана 178
§ 21. Экранирование статического поля свободными за-
зарядами 185
§ 22. Случай вырожденных зон 191
Глава V. Носители тока в твердом теле 195
§ 2?. Идеальный полупроводник 195
§ 24. Неидеальный металл . 201
§ 25. Мелкие локальные уровни в полупроводниках . . 207
§ 26. Константа взаимодействия электронов с фононами
в металле 211
Глава VI. Взаимодействие электронов с фононами . . . 215
§ 27. Теория возмущений 215
§ 28. Энергетический спектр сверхпроводника 223
Глава VII. Ферромагнетизм 232
§ 29. Спиновые волны при конечных температурах . . . 232
§ 30. Намагниченность в различных интервалах темпера-
температуры 237
§ 31. Ферромагнитный резонанс 243
а) Неограниченная среда 246
б) Образец эллипсоидальной формы 247
§ 32. Общие соотношения для ферромагнитного резо-
резонанса . . ¦ 251
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Некоторые сведения из квантовой теории поля 261
а) Представление взаимодействия и матрица рас-
рассеяния 261
б) Теория возмущений для S'-матрицы. Теорема
Вика 266
в) Диаграммы Фейнмана 271
г) Правила перестановки при совпадающих време-
временах ..... 279
оглавление 5
д) Однородная диэлектрическая и магнитная среда 280
е) Взаимодействие через поле и прямое взаимо-
взаимодействие .
И. Операторы Паули •
III. Причинная функция Грина для свободного электромагнит-
ного поля
IV. Спектральные представления многовременных функций
Грина
_ OQ7
V. Уравнение Бете — Сальпетера ^'
VI. Массовый оператор и вершинная часть для систем с пря-
мым взаимодействием
306
Литература

ПРЕДИСЛОВИЕ
Основной задачей квантовой статистической механики,
как и классической, является проблема многих тел. По су-
существу она сводится к разработке эффективных методов
расчета равновесных и неравновесных характеристик системы,
состоящей из чрезвычайно большого числа частиц. За по-
последние годы наметился ряд новых перспективных подходов
к этой проблеме, связанных с систематическим использова-
использованием аппарата теории квантованных полей. Среди них одним
из наиболее эффективных является, по-видимому, метод вре-
временных температурных функций Грина, представляющий со-
собой естественное развитие аппарата, разработанного перво-
первоначально в связи с задачами квантовой электродинамики и
мезодинамики. Уже использование «динамических» функций
Грина, определенных как средние по основному состоянию
системы, оказалось весьма эффективным при решении неко-
некоторых задач статистической физики. Однако только обоб-
обобщение на случай конечных температур, представляющее
собой соединение идей квантовой теории поля и метода ма-
матрицы плотности, позволило выявить все возможности дан-
данного аппарата.
Логика развития статистической механики за последние
годы привела к тому, что метод температурных функций
Грина начал развиваться одновременно в ряде мест как
в Советском Союзе, так и за рубежом. Развитие его шло
весьма интенсивно и по многим направлениям. При этом
наряду с изучением общих вопросов широкое распростра-

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
нение получило применение метода к решению конкретных
задач.
В настоящей монографии излагаются основы метода функ-
функций Грина и его приложения. Книга не охватывает всего
материала ввиду его обширности ив значительной мере ос-
основывается на собственных исследованиях авторов. Она пред-
представляет собой первую попытку систематического изложения
этого круга вопросов и некоторых приложений к теории
плазмы, ферромагнетизма, сверхпроводимости и смежным
проблемам.
Можно надеяться, что монография окажется полезной для
лиц, желающих овладеть методом функций Грина и изучить
отдельные конкретные результаты.
Академик Н. Н. Боголюбов
ОТ АВТОРОВ
Настоящая монография посвящена новому методу реше-
решения задачи многих тел — так называемому методу квантовых
функций Грина. Этому методу в последние годы было по-
посвящено довольно большое число работ. Мы не ставим своей
целью охватить их все — монография основана, в значитель-
значительной мере, на исследованиях авторов. Списки литературы
к отдельным главам ни в коей мере не претендуют на пол-
полноту— цитируются в основном лишь работы, фактически
использованные в тексте. Упор делается на изложение общей
методики. Ей посвящены гл. I—III, содержащие общую
спектральную теорию нерелятивистских температурных функ-
функций Грина, зависящих от двух моментов времени. Здесь же
устанавливается связь функций Грина с термодинамическими
и кинетическими характеристиками системы.
Главы IV—VII посвящены иллюстрациям развитого ме-
метода и приложениям его к различным вопросам физики кон-
конденсированной среды (теории электронной плазмы в твердом
теле, взаимодействию электронов с фононами, теории фер-
ферромагнетизма при конечных температурах). Ряд содержа-
содержащихся там результатов получен впервые, и мы надеемся,
что они могут представить и самостоятельный интерес. В при-
приложения вынесены некоторые сведения, знакомство с кото-
которыми желательно для понимания книги, но заранее не пред-
предполагается. '
Книга рассчитана на лиц, знакомых с основами кванто-
квантовой механики и статистической физики, в частности — с

10
ОТ АВТОРОВ
методами матрицы плотности и вторичного квантования. Неко-
Некоторые результаты квантовой теории поля, используемые
в книге, формулируются в приложениях.
Авторы выражают глубокую признательность своему учи-
учителю академику Н. Н. Боголюбову за указание на перспек-
перспективность метода функций Грина в задачах статистической
механики и за многочисленные обсуждения возникающих
в связи с этим проблем. Постоянное внимание Н. Н. Бого-
Боголюбова к данной работе оказало нам неоценимую помощь.
Б. В. Медведев любезно просмотрел приложения I и III
и сделал ряд весьма ценных замечаний, за что авторы
искренне ему благодарны.
Авторы весьма признательны Ш. М. Когану и В. А. Мо-
Москаленко, прочитавшим рукопись и сделавшим ряд полезных
редакционных замечаний, а также Ю. В. Гуляеву и А. Г. Ми-
Миронову за тщательный просмотр первых трех глав рукописи.
Авторы выражают искреннюю благодарность А. А. Гусеву,
который внимательно прочитал рукопись и внес в нее ряд
улучшений.
Москва,
16 декабря 1959 г.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
Метод квантовых функций Грина представляет собой
объединение наиболее эффективных технических приемов
современной квантовой теории поля [1] с идеей о последо-
последовательности «частичных» функций распределения, сравни-
сравнительно давно уже используемой в статистической физике [2].
Такая комбинация, по-видимому, наилучшим образом при-
приспособлена для разрешения принципиальных трудностей, воз-
возникающих при попытке динамического рассмотрения системы
многих тел в статистической физике1). Трудности, о кото--
рых здесь идет речь, специфичны не для той или иной кон-
конкретной физической системы, а для всего этого класса за-
задач вообще. Они связаны с наиболее характерной особен-
особенностью статистических систем — макроскопически большим
числом степеней свободы2). Макроскопически большие раз-
размеры системы приводят к тому, что полная энергия ее (как
в основном, так и в возбужденном состояниях) оказывается
пропорциональной общему объему V. В то же время раз-
разности между различными энергетическими уровнями системы
(в частности, значения «энергии возбуждения», представляю-
представляющие собой разности между возбужденными и основным уровня-
уровнями) от объема, как правило, зависят весьма слабо, а в пределе
') Здесь и в дальнейшем мы имеем в виду, естественно, задачу
многих тел с учетом взаимодействия между ними. В тривиальном
случае идеального газа обсуждлемые здесь трудности не возникают,
ибо динамическая задача решается точно.
2) В этом обстоятельстве лежит одна из причин глубокого ма-
математического родства задач статистической физики и квантовой
теории поля. Действительно, последняя всегда имеет дело с
системами с бесконечным числом степеней свободы. В этом смысле
любая задача релятивистской квантовой теории поля есть задача
многих тел.

12
ВВЕДЕНИЕ
при V-->oo не зависят вообще1). В большинстве задач
физики конденсированной среды интересно именно асимпто-
асимптотическое исследование энергий возбуждения в пределе при
V—>оо. В этих условиях, очевидно, весьма рискованно
пытаться определять энергии возбуждения, просто составляя
разности двух больших (асимптотически при V —> со неогра-
неограниченно возрастающих) величин. Отсюда вытекает требова-
требование, которому должен удовлетворять любой метод решения
задачи многих тел в статистической физике: спектр энергий
возбуждения должен определяться непосредственно из неко-
некоторой задачи на собственные значения, условия которой
асимптотически (при V^oo) не зависели бы от объема
системы. Мы увидим (§§ 4, 5), что использование спектраль-
спектральных свойств функций Грина автоматически обеспечивает вы-
выполнение этого требования, и в этом состоит первое досто-
достоинство излагаемой ниже методики.
Далее, пропорциональность полной энергии, термодина-
термодинамического потенциала и т. д. полному объему системы де-
делает возможным введение соответствующих удельных величин,
асимптотически не зависящих от объема. Обычно именно
последние и представляют наибольший интерес, и расчет их
составляет одну из важных задач теории. Математически это
сводится к вычислению отношения опять-таки двух неогра-
неограниченно возрастающих величин. При попытке прямого реше-
решения задачи это может привести к известным осложнениям.
Соответственно возникает еще одно требование, предъявляе-
предъявляемое к любой методике решения статистической задачи мно-
многих тел: метод должен обеспечивать четкое разделение
экстенсивных и интенсивных величин. Подчеркнем, что
это — далеко не тривиальная задача. Хорошо известно, на-
например, что при попытке непосредственного вычисления
энергии основного состояния с помощью стандартной кван-
товомеханической теории возмущений могут появиться члены,
содержащие «не физические» высшие степени объема. Хотя
заранее очевидно, что в сумме такие члены должны взаимно
скомпенсироваться, доказать это оказалось далеко не просто.
1) Этот предельный переход здесь и в дальнейшем понимается
в обычном смысле: V -> оо, N -> со (N — число частиц) при —^ —
= п = const.
ВВЕДЕНИЕ 13
К тому Же наличие членов, зависящих от сколь угодно вы-
высоких степеней объема, приводит к исключительно плохой
сходимости ряда (если он вообще сходится). В связи с этим
Ван Ховом [3] и Гугенгольцем [4] была развита специаль-
специальная форма теории возмущений, обеспечивающая выделение
слагаемых, содержащих степени V, в особую группу. Мы
увидим (§ 12), что в методе функций Грина разделение ин-
интенсивных и экстенсивных величин получается само собой и
в этом — другое его достоинство.
Важной особенностью систем многих частиц является воз-
возможность возникновения в них возбужденных состояний
особого типа, обязанных взаимодействию между части-
частицами и потому не имеющих себе аналога в случае иде-
идеального газа (классический пример таких возбужденных со-
состояний представляют плазменные колебания электронов
в газовом разряде или в твердом теле). Поскольку взаимо-
взаимодействие вызывает здесь не просто поправки к энергиям
свободных частиц, а состояния принципиально новой при-
природы, важной задачей теории является создание регулярного
аппарата, позволяющего следить за возникновением новых
ветвей энергетического спектра1). В §§ 4, 5 и 11 будет
показано, что использование спектральных свойств функций
Грина решает и эту задачу и в этом — третье достоинство
данной методики.
С вопросом о различных ветвях энергетического спектра
тесно связано представление об элементарных возбуждениях
системы — «квазичастицах», идеальный газ которых в извест-
известном смысле имитирует поведение свободных частиц и опи-
описывает слабо возбужденные состояния системы многих тел.
Это представление, служа в течение последних двадцати
лет основой теоретического рассмотрения целого ряда во-
вопросов физики конденсированных сред, само до сих пор еще
не имело достаточного общего обоснования. Метод функций
Грина дает, по-видимому, окончательное решение этой за-
задачи, выявляя вместе с тем и пределы применимости понятия
об элементарных возбуждениях.
В этой связи отметим следующие обстоятельства.
') Подчеркнем, что дело здесь не в силе или слабости взаи-
взаимодействия, а в том, что в отсутствие его определенных ветвей
энергетического спектра системы может не быть вообще.

14
ВВЕДЕНИЕ
Во-первых, представление о «квазиодночастичном» харак-
характере некоторых ветвей энергетического спектра системы мно-
многих тел возникает в теории без каких-либо предположений
специального типа. Оно в общем виде вытекает из спект-
спектральных теорем §§ 3—5, касающихся связи особых точек
функций Грина с величинами, определяющими эволюцию
системы во времени. Эти теоремы справедливы при весьма
общих предположениях, и поэтому данное обоснование идеи об
элементарных возбуждениях не связано с какими-либо аппро-
аппроксимациями и в указанном смысле является окончательным.
Во-вторых, из тех же спектральных теорем следует, что,
вообще говоря, число квазичастиц не есть интеграл дви-
движения (волновые функции состояний с заданными числами
квазичастиц, вообще говоря, не осциллируют, а затухают
со временем).
Иначе говоря, идеальный газ квазичастиц описывает не
истинно стационарные, а лишь квазистационарные состояния
системы, и пользоваться этим представлением можно лишь
при достаточно малом затухании — пока ширина уровня мала
по сравнению с энергией возбуждения, отнесенной к одной
частице. В этом смысле понятие об элементарных возбужде-
возбуждениях является приближенным, и метод расчета автоматически
определяет пределы его применимости, ибо позволяет опре-
определять константы затухания. Следует, однако, подчеркнуть,
что в статистической физике конденсированных сред факти-
фактически всегда работают именно с квазистационарными состоя-
состояниями. Действительно, только в этом случае и имеют смысл
такие понятия, как длина и время свободного пробега, длина
диффузии и т. д. Причина этого состоит в невозможности (при
наличии взаимодействия между частицами) полностью исклю-
исключить обмен энергией, импульсом и т. д. между различными
степенями свободы системы. Молчаливо допускаемое прене-
пренебрежение нестационарностью состояний при вычислении тер-
термодинамических величин есть не более чем аппроксимация,
справедливая лишь в указанных выше условиях (малость за-
затухания). Представление об элементарных возбуждениях
с конечным временем жизни, естественно, ничего не меняет
в этой ситуации, а лишь выражает ее наиболее четким
образом.
Наконец, в-третьих, величины, именуемые энергиями
квазичастиц, оказываются, вообще говоря, зависящими от
ВВЕДЕНИЕ
15
температуры (§ 16). Это обстоятельство не должно вызывать
удивления, ибо спектр квазичастиц определяется через вели-
величины, характеризующие временною эволюцию смешанного
ансамбля (с гиббсовым распределением вероятностей отдель-
отдельных «чистых» состояний в начальный момент). Вопрос о «тем-
пературно зависящем энергетическом спектре» неоднократно
дискутировался в литературе. В связи с этим мы хотели бы
подчеркнуть, что прежде всего необходимо точно опреде-
определить, какое именно содержание вкладывается в это понятие.
Метод функций Грина, по-видимому, дает наиболее ясный
ответ на поставленный вопрос.
Одной из наиболее важных и вместе с тем наиболее
трудных задач статистической физики является исследование
фазовых переходов. Мы увидим на конкретных примерах
в гл. VI и VII, что метод функций Грина дает известную
возможность подойти к решению и этого вопроса.
Важное достоинство метода функций Грина состоит, на-
наконец, в том, что он позволяет единым образом решать за-
задачи самого различного типа и притом как равновесные,
так и кинетические. Последнее обстоятельство представляется
нам особенно существенным. Хорошо известно, что в ряде
задач теории твердого тела применение стандартной методики
кинетического уравнения встречается с большими трудностями,
как вычислительными (анизотропные системы), так и прин-
принципиальными (системы с малым временем свободного пробега
и в сильном магнитном поле). Попыткам выхода за рамки
метода кинетического уравнения в последние годы был по-
посвящен целый ряд работ. В §§ 14 и 15 будет показано, что
метод функций Грина дает, по-видимому, наиболее есте-
естественный формальный аппарат для решения кинетических
задач.
Применение метода функций Грина к задачам нереляти-
нерелятивистской теории многих тел (при Т=0) было впервые дано
в 1954 г. в работе [5], выполненной по инициативе и по
предложению Н. Н. Боголюбова. В дальнейшем развитии
важную роль сыграли полученные в связи с задачами кван-
квантовой теории поля спектральные теоремы Челлена — Лемана
[6, 7], перенос которых на случай нерелятивистской задачи
многих тел [8] позволил в общем виде установить связь осо-
особых точек функций Грина с характеристиками энергетиче-
энергетического спектра системы. В дальнейшем метод функций Грина

16
ВВЕДЕНИЕ
(в связи с различными статистическими задачами) развивался
в работах ряда авторов [9—15]; во всех цитированных ра-
работах, однако, рассмотрение ограничивалось случаем 7"= О,
что затрудняло возможность использования развитой мето-
методики для исследования термодинамических систем. Попытка
создания аппарата, пригодного при отличной от нуля темпе-
температуре, была впервые предпринята Мацубара [16]; в назван-
названной работе, однако, рассматривались лишь функции Грина,
не зависящие от времени, что не позволяло непосредственно
применить их для изучения энергетического спектра системы.
Полное обобщение метода на случай произвольной темпера-
температуры было дано в работах [17—26].
Как правило, мы рассматриваем нерелятивистские задачи
многих тел, явно выделяя временные координаты. Реляти-
Релятивистские обозначения и соотношения используются лишь при
формулировке задачи о системе частиц с электромагнитным
взаимодействием, поскольку это ведет к упрощению записи
и облегчает некоторые доказательства. Однако даже и в этом
случае имеется в виду последующее нерелятивистское при-
приближение (для частиц).
Система обозначений, использованная в книге, в основном
общепринятая. Символами а, а обозначаются как фермиев-
ские, так и бозевские операторы вторичного квантования,
коль скоро квантуются поля с сохраняющимся числом частиц.
Для операторов порождения и уничтожения фононного,
электромагнитного и т. д. полей используются обозначения ?., Е.
Временные переменные обозначаются буквами х0, xq , . . .
Буква х обозначает в зависимости от контекста либо сово-
совокупность {X, х0}, где >. — любые динамические переменные
(X—представление), либо — в частном случае — совокупность
\х, х0}, где х — тройка пространственных координат. Раз-
Разложение в четырехмерный интеграл Фурье производится по
правилу
-i**f (Л), / (к) = -±^ f dxe'**f (х).
Здесь kx = koxo — kx, dk — dkdk0, dx — dxdx0.
Латинские векторные индексы всюду принимают значения
I, 2, 3, греческие — 0, 1, 2, 3. Метрический цензор g^,
ВВЕДЕНИЕ 17
фигурирующий в релятивистских формулах, имеет вид
ga? = g*?> goo = — gu = — ?22 = — ?зз = l >
gap = 0 при а ф p.
Коммутаторы и антикоммутаторы обозначаются соответст-
соответственно символами [...]_ и [...]+.
Символ Spur обозначает диагональную сумму по пере-
переменным вторичного квантования от элементов стоящей под
знаком Spur матрицы, символ же Sp означает диагональную
сумму только по спиновым индексам. Всюду, где особо не
оговорено противное, подразумевается суммирование по по-
повторяющимся спинорным и тензорным индексам.
Заряды и токи всегда считаются алгебраическими.
Мы пользуемся системой единиц Хивисайда, полагая,
кроме того, h=\. Однако окончательные формулы в гла-
главах IV—VII выписываются и в обычной гауссовой системе.

ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
§ 1. Статистический оператор и временные
корреляционные функции
Произвольная квантовомеханическая система с максимально
возможной полнотой описывается с помощью статистического
оператора р. Матричные элементы оператора р') (см. [1],
[2]) можно записать в виде
(х|р|х') = 2и^пФдОч. ••¦' \у О^лСМ ^/v' 0* (i-i)
Здесь N — число частиц в системе, \1, . . ., \N — переменные,
от которых зависят собственные функции Ф„ оператора пол-
полной энергии [например, в системе N частиц это может быть
совокупность 3N пространственных координат (или ЗА/ ком-
компонент импульсов) и N спиновых индексов], п — номер
состояния, описываемого функцией Ф„; 0 <! Wа <1 1 (число Wп
обычно интерпретируется как вероятность осуществления
re-го состояния), t—время.
Зная явное выражение для статистического оператора,
в принципе можно вычислить среднее значение F любой
динамической переменной F по формуле
F = SpurpF = (Z7). A-2)
Усреднение здесь (как и всюду в дальнейшем) понимается
как в чисто квантовомеханическом, так и в статистическом
смысле. В частности, когда система находится в состоянии
1) Матрицу, соответствующую оператору р (и даже сам опера-
оператор р), часто называют также матрицей плотности,
§ и
СТАТИСТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР
статистического равновесия и температура Т стремится
к нулю, правая часть A.2) переходит в обычную формулу для
квантовомеханического среднего значения. Уравнение для р,
как известно [1], имеет вид
i -=гт- = Нр — рН, .A-3)
где Н — полный гамильтониан системы. Мы не обсуждаем
здесь в деталях вопроса о граничных условиях к уравне-
уравнению A.3), ибо решение его не входит в наши задачи. На-
Напомним лишь, что для большого ансамбля Гиббса в условиях
статистического равновесия р дается выражением
п Op — (S//+P[iJV (Л Л\
где р= -рр-, [>¦ — химический потенциал, отнесенный к од-
одной частице, N — оператор полного числа частиц в системе,
С —нормировочная постоянная, обычно записываемая в виде
С = е&®
Величина Q представляет собой термодинамический потенциал
в переменных [а и Т и определяется условием нормировки
Spurp=l. A.5)
На основании A.5) и A.4) мы имеем
Q= —-i-lnSpure-W
A.6)
При рассмотрении систем тождественных частиц следует
считать, что операторы Яи JVbA.4) действуют лишь в про-
пространстве функций должной симметрии — симметричных или
антисимметричных относительно перестановок своих аргу-
аргументов— в зависимости от типа статистики, которой подчи-
подчиняются частицы рассматриваемой системы. Об этом обстоя-
обстоятельстве мы будем говорить как о симметрии оператора р.
Подчеркнем, что использование именно большого ансамбля
Гиббса для нас весьма существенно, ибо в дальнейшем не-
неоднократно придется работать с операторами, не сохраняю-
сохраняющими число частиц. По этой причине нам удобно будет
ввести «обобщенный гамильтониан»
Н' = H—
A.7)
2* Зак. 2126. Метод функций Грнна

20
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[гл. i
Величина [г входит сюда как параметр, определяемый
из условия постоянства частиц в системе. Говоря в дальней-
дальнейшем о стационарных состояниях системы, мы будем иметь
в виду собственные значения и собственные функции опера-
оператора A.7).
Равенства A.1) — A.6) содержат в себе, в сущности, всю
термодинамику и всю кинетику любой системы. Однако не-
непосредственное использование их (если исключить мало ин-
интересный случай идеального газа) сопряжено с необычайными
трудностями. Во-первых, уравнение A.3) (в нестационарном
случае) решить обычно не проще, чем уравнение Шредин-
Шредингера для системы многих частиц. Во-вторых, задачу не
меньшей трудности может составить и само вычисление шпура
A.2) даже при известной матрице плотности.
К счастью, однако, для решения подавляющего большин-
большинства задач полная информация, содержащаяся в матрице
плотности, фактически не нужна [2], [3]. Действительно,
чаще всего приходится иметь дело лишь с операторами
аддитивного и бинарного типов. При вычислении средних
значений динамических переменных, описываемых этими опе-
операторами, общая формула A.2) значительно упрощается.
Рассмотрим, например, среднее значение А некоторого ад-
аддитивного оператора А. В силу симметрии оператора р мы
имеем
Л = Spur Aplt
A.8)
где оператор рх получается в результате взятия шпура от piV
по всем переменным Хх \N, Х^ X'N, кроме одной
пары их. Как показано в [2], рх удобно записать в схеме
вторичного квантования. Именно, перейдем к представлению
вторичного квантования с помощью некоторой полной орто-
нормированной системы функций, зависящих каждая от пере-
переменных X одной частицы (как всегда в методе вторичного
квантования, эти «одночастичные» состояния могут не. иметь
ничего общего с фактическими состояниями системы). Обо-
Обозначим через а (к) и а (X) обычные операторы порождения и
уничтожения частиц в состоянии с данным значением X (фер-
миевские, или бозевские, или операторы Паули1) в зависи-
зависимости от природы задачи). Тогда [2] матричные элементы
') См. приложение И.
§ 11
СТАТИСТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР
21
оператора рх даются выражением
(X|Pl[X')=(a(X')a(X)). A.9)
Операторы а, а здесь берутся в представлении Шредингера.
Можно перейти и к представлению Гейзенберга, включив
в число аргументов а, а еще и время t (одно и то же для
обоих операторов). В дальнейшем мы, как правило, будем
пользоваться именно представлением Гейзенберга (сохраняя
те же обозначения).
Будем называть рх «одночастичным» (или первым) стати-
статистическим оператором. Во избежание недоразумений под-
подчеркнем, что термин «одночастичный» отнюдь не следует
понимать в смысле какого бы то ни было пренебрежения
взаимодействием между частицами. Он означает лишь число
аргументов, от которых зависит рг. Для вычисления среднего
значения любого аддитивного оператора достаточно знать
оператор рх. Совершенно аналогично среднее значение лю-
любого бинарного оператора В дается формулой
i A.10)
Матричные элементы оператора р2 даются выражением
(Хг, Х2|р2|Х^, Х'1) = (а(Х;)а(Х2)а(Х2)а(Х1)). A.11)
Будем называть р2 «двухчастичным» (вторым, бинарным)
статистическим оператором.
В полной аналогии с A.9) и A.10) можно ввести «s-
частичные» статистические операторы с матричными элемен-
элементами
A.12)
единственно необходимые для вычисления средних значений
s-частичных операторов. При конечном s и V -> со опера-
операторы ps асимптотически не зависят от V [2].
Фактически для решения большинства задач статисти-
статистической физики достаточно знать только операторы рх и р2,
а отнюдь не весь статистический оператор р. Естественно
возникает вопрос: нельзя ли определять рх и р2 непосред-
непосредственно, не вычисляя предварительно полный статистиче-
статистический оператор р (т. е., в частности, не решая уравнения
Шредингера для системы многих взаимодействующих частиц) ?

Основные соотношения
[гл. t
Можно надеяться, что — хотя бы в силу меньшего числа
аргументов у искомых функций — эта задача окажется зна-
значительно более простой, чем попытка непосредственного вы-
вычисления р. Именно так и была поставлена задача в, работах
[2, 3], где была получена система уравнений для функций
рх, р2, ... Следует заметить, что благодаря наличию взаимо-
взаимодействия между частицами эта система представляет собой,
вообще говоря, бесконечную цепочку зацепляющихся урав-
уравнений, включающую матрицы р^ все более и более высоких
порядков. Именно в необходимости какого-то «расцепления»
этой цепочки и состоит основная трудность задачи; в этом
пункте обычно и приходится вводить различные аппрокси-
аппроксимации.
Заметим, что наряду с pj, p2 существенный интерес пред-
представляют также функции, зависящие от двух времен, назы-
называемые временными корреляционными функциями, например
= {a(Xi, P)...a(\'s, P)a(\, t) . . . a(\, t)). A.13)
При P—>t A.13) переходит в A.12). «Двухвременные»
средние типа A.13) играют важную роль в кинетических
задачах, ибо описывают эволюцию системы во времени.
Действительно, рассмотрим сначала случай 7* = 0. Тогда
правая часть A.13) превращается в квантовомеханическое
среднее по основному состоянию системы
(Фо, а(Хх, P)...a(h's, P)a(\s, t) . . . а(Хх, t) Фо), 0-14)
где Фо — волновая функция основного состояния. Очевидно,
при t <С.Р величину A.14) можно (с точностью до множи-
множителя) интерпретировать как амплитуду вероятности обнару-
обнаружить в момент Р состояние a fk's, t'\ ... a (\'v P\ Фо, если
в момент t мы имели состояние a (ks, t) ... а (Хх, t) Фо
(поскольку названные состояния, вообще говоря, не стацио-
стационарны, эта величина убывает по модулю при Р — t—>oo).
При конечной температуре (Г ф 0) совокупность величин
A.13) описывает эволюцию смешанного ансамбля Гиббса.
Можно ввести, конечно, и «многовременные» корреляци-
корреляционные функции, в которых каждому оператору а, а припи-
приписывается свое время, но это нам пока не понадобится.
§ 2]
СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
23
Заметим также, что часто встречаются средние и от других
комбинаций операторов, например выражения вида
(а(Хх,
, t))
(см. §§ 5, 12). Как мы увидим в дальнейшем, величины
именно такого типа определяют, например, коэффициенты
переноса (электропроводность и т. д.).
Для краткости обозначим через Сх (х) и С2 (х') любые
произведения операторов с, а; при этом х есть совокупность
времени (t == х0) и каких-то переменных X; в частности, X
может обозначать обычную тройку координат (х) или ком-
компонент вектора импульса (р). Равным образом, х' есть сово-
совокупность времени (Р = x'Q Ф xQ, вообще говоря) и пере-
переменных X' (той же природы, что и X). В соответствии со
сказанным выше наша задача будет состоять в исследовании
величин
К(х, jc') = (C1(jc)C2 (*')>• A-15)
Отметим важный частный случай, когда С2 = Сх, х0 > х'о и
Г=0. При этом правая часть A.15) представляет собой
(с точностью до множителя) амплитуду вероятности обнару-
обнаружить в момент х0 состояние Сг (х) Фо, если в момент xq
система находилась в состоянии Сх {х') Фо. В частности, при
Х'=Х функция ДГ(Х, х0; X, х'^ описывает временную эволю-
эволюцию состояния Сх (X, х0) Фо. При Т Ф 0, как и раньше, сле-
следует говорить об эволюции смешанного ансамбля.
В дальнейшем мы будем интересоваться лишь случаем
статистического равновесия, когда оператор р дается выра-
выражением A.4).
§ 2. Спектральное представление простого
произведения
Очевидно, в состоянии статистического равновесия К (х, х')
может зависеть лишь от разности времен х0 — x'0 = t, в силу
чего возможно представление функции К (х, х') = АГ(Х, X'; t)
в виде однократного интеграла Фурье. Эту форму записи К
будем называть спектральным представлением. Мы уви-
увидим, что соответствующий фурье-образ обладает важными

24
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[гл.
свойствами, которые будут в дальнейшем широко использо-
использованы в конкретных приложениях.
Обозначим через Фп и Еп собственные функции и соб-
собственные значения обобщенного гамильтониана Н' A.7).
Здесь п есть некоторая совокупность квантовых чисел, пол-
полностью определяющая состояние Фп. Введем обозначение
Р. =
B.1)
Тогда, используя полноту системы функций Фя, формулу A.15)
можно представить в виде
К {х, х') = S Рп (Ф„. Сх (х) С2 (х') Фп) =
= 2 Ра (Фя-
л, л'
') Ф„). B.2)
Суммы здесь могут обозначать и интегралы по непрерывным
переменным п. Заметим, что хотя в произведении СХС2 инте-
интерес представляет лишь часть, сохраняющая число частиц
(в противном случае усреднение в A.15) дает нуль), опера-
операторы С] и С2 в отдельности могут число частиц и не сохра-
сохранять (так, например, обстоит дело в практически важном слу-
случае С1 = С2 = а(Х, t)). Таким образом, представление B.2)
[равно как и вытекающее из него приведенное ниже выра-
выражение для спектральной функции B.5)], вообще говоря, имеет
смысл лишь для системы с переменным числом частиц. По
этой причине мы и пользуемся усреднением по большому
ансамблю Гиббса.
Воспользуемся теперь уравнениями движения для операто-
операторов Сг и С2:
7 = 1. 2.
B.3)
В силу B.3)
(Ф„, С1(лОФ
(Фп„ С, (*0
B.4)
§ 2] СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
25
Определим спектральную функцию У(Х, )/; Е) с помощью
равенства
/(X, X'; Е) =
,
п) (Ф„, Сх (X, х0 = 0) Ф„,) X
„,.С2(Х', х^=0)Ф„). B.5)
Тогда равенства B.2) и B.4) дают (t = x0 — х'Л
К(х, х') = /С(Х, X'; 0 =
+ оо ¦
= (С1(х)С2(х'))= f dEe-W(k, X'; Е) B.6)
и аналогично
К'(х, х') = К'(к, V; 0 =
= (C2(x')C1(x)) = f
. >/;?). B.7)
Полагая здесь t = 0, получаем выражения для средних по
ансамблю
+ ОО
(С, (К хо)С2(к', хо))= f dEJ(\, \';E),
' —со
B-8)
(С2(Х', хо)С1(Х, хо))= f dEe-№J(k, X'; Е).
—со
Формулы B.6) — B.8) сводят задачу о вычислении равновес-
равновесных и кинетических характеристик системы к определению
соответствующей спектральной функции. В конечном счете
именно это обстоятельство обусловливает эффективность ме-
метода функций Грина, через которые, как мы увидим в сле-
следующих параграфах, спектральная функция выражается непо-
непосредственно.
Из формул B.6) и B.7) вытекает, что спектральные
функции для произведений двух операторов, взятых в раз-
различном порядке (СгС2 и С2Сг), отличаются друг от друга
множителем е~$Е. Отсюда, в частности, следует, что для

26
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. i
коммутирующих или антикоммутирующих (при х'о = jc0) опе-
операторов имеет место тождество %
B.9)
J dEJ(k, X'; E)(l ± е-?Е) =
(верхний знак для антикоммутирующих операторов, нижний —
для коммутирующих). Легко установить также связь между
спектральными функциями произведения, коммутатора и анти-
антикоммутатора двух операторов. Действительно, полагая
, X'; Е)
и пользуясь равенствами B.6) и B.7), мы получаем
J+ (X, X'; Е) = J_ (X, X'; ?)cth-^ = (I -\-e-^)J(k, X'; Е). B.10)
Наконец, сравнивая B.6) и B.7), видим, что
B.11)
Итак, исследование временных корреляций в системе сво-
сводится к изучению аналитических свойств спектральных функ-
функций B.5). В частности, большой интерес представляют дельта-
образные особенности i(X, X'; Е) на вещественной оси при
С2 = Сг и Х' = Х. Действительно, пусть соответствующие
особые точки суть Ег Очевидно, при наличии их функция
К (к, X'; t) при t —> оо осциллирует с частотами Etl). Из вы-
выражения для квантовомеханического среднего A.14) (а также
из определения спектральной функции B.5)) ясно, что при
Г = 0 величины Et представляют собой точные собственные
значения энергии системы. При ТфО величины Et (если они
вообще существуют) суть функции температуры и химиче-
химического потенциала системы и потому не допускают чисто ме-
механического истолкования; из формул B.6) и B.7) видно,
*) Слова «частота» и «разность энергий», в силу принятой си-
системы единиц (Й = 1), употребляются здесь и в дальнейшем на рав-
равных правах.
§ 2]
СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
27
однако, что они характеризуют незатухающие движения в си-
системе. Таким путем мы естественно приходим к определению
понятия «энергетический спектр, зависящий от температуры»,
о котором говорилось во Введении. Как видно из выраже-
выражения B.5), значения Е1 суть разности типа Еп — Еп-. Это
означает, в частности, что при Т=0 они представляют собой
энергии возбуждения системы, вычисляемые независимо от
энергии основного состояния (последнюю можно принять просто
за нуль).
Таким образом, использование спектральных функций по-
позволяет непосредственно определять энергетический спектр
системы.
Во избежание недоразумений заметим следующее. При
7"= 0 можно найти такой оператор Сх (зависящий от п),
что С1ФО = ФЛ и, следовательно, i(X, X'; Е) имеет дельта-
образную особенность (это есть просто определение опера-
оператора Сг). Однако нахождение таких операторов эквивалентно
точному решению уравнения Шредингера для рассматриваемой
системы многих тел и практически невыполнимо (в сколько-
нибудь интересных случаях). Можно лишь с уверенностью
утверждать, что (используемые в дальнейшем) простые ком-
комбинации типа Сх = а или Сх = аа указанным свойством отнюдь
не обладают и соответствующие функции К (х, х') не осцил-
осциллируют, а затухают со временем. Соответственно и особен-
особенности спектральных функций J(к, X'; Е) имеют более сложный
характер и, как правило, не сводятся просто к полюсам.
При Т Ф 0 положение усложняется. Действительно, в этом
случае усреднение производится не по основному состоянию,
а по смешанному ансамблю. Поэтому в правой части B.5)
должна фигурировать вся совокупность матричных элементов
(Ф„, С\Фп') и функции К (х, х') лишь в исключительных
случаях могут оказаться осциллирующими. Например, так
обстоит дело для идеальных бозе- и ферми-газов (в отсут-
отсутствие внешнего поля) при Сг=а(р, s), где а(р, s) — опера-
оператор порождения частицы с заданным импульсом р и спином s.
Действительно, состояния идеального газа свободно движу-
движущихся частиц полностью определяются заданием чисел запол-
заполнения п (/?, s) «одночастичных» состояний с данными импуль-
импульсами и спинами. Индексы п, п' при этом обозначают всю
совокупность чисел п (р, s), а собственные функции Ф„ суть

28
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. I
произведения 8-функций вида
— nQ(p, s)],
р, s
где я0 — заданные числа. Очевидно, операторы а, а перево-
переводят Фп- в другую функцию такого же вида, т. е. выраже-
выражения аФ„', аФ„' также — при любом п' — являются собствен-
собственными функциями Н'. В общем случае, однако, всегда имеет
место затухание. Причина этого состоит в том, что при на-
наличии взаимодействия между частицами в системе с непре-
непрерывным (или почти непрерывным) энергетическим спектром
всегда имеет место обмен энергией, импульсом и т. д. между
различными степенями свободы. Математически наличие зату-
затухания проявляется в том, что полюсы спектральной функции
смещаются с вещественной оси в комплексную плоскость; на
вещественной же оси могут возникнуть особенности более
сложной природы. В зависимости от конкретного вида опе-
операторов Сх и С2 в A.15) полюсы, определяющие затухание,
должны лежать либо в верхней, либо в нижней ?-полупло-
скости (см. § 5).
Таким образом, особенности спектральных функций лишь
в исключительных случаях определяют истинно стационарные
состояния системы. При достаточно малом затухании, однако,
можно ввести представление о квазистационарных состояниях.
Соответствующие величины A.15) (при t > 0) имеют вид
e~laitf(t), где (вещественные) частоты <о связаны с особен-
особенностями функций J (к, X'; Е), а функция / (t) описывает зату-
затухание [f(t)~>0 при |?|->со]. При этом параметры, опре-
определяющие «темп убывания» / (t) («константы затухания»),
должны быть малы по сравнению с частотами <о, отсчитан-
отсчитанными от основного состояния системы (условие квазистацио-
квазистационарности). Именно с такими квазистационарными состояниями
и приходится чаще всего иметь дело в статистической физике
(см. Введение).
Исследование аналитической структуры спектральных
функций в принципе позволяет определить соответствующие
частоты и константы затухания, обеспечивая и автоматическую
проверку условия квазистационарности. В дальнейшем, говоря
об энергетическом спектре системы (в частности, и при
Г=0), мы, как правило, будем иметь в виду именно квази-
квазистационарные состояния.
§ 3] ФУНКЦИИ ГРИНА И ИХ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 29
§ 3. Функции Грина и их спектральные представления J)
Для исследования структуры спектральных функций типа
B.5) полезно иметь возможность выхода в комплексную
^-плоскость. В этой связи представляется целесообразным
ввести функции
Кг (х, х') = i (С, (х) С2 (х')) 8 (f) •=- ((С, (х) С2 (х')»г. C-1)
*J±} (х, х') = * ([Сх (*) С2 (*')]±> 9 @ а
^{{СгСх)\С2(х')))^\ C-2)
Ка (х, х') = — / (С, (х) С2 (х')> 9 (— *) =з «С, (х) С2 (*')»„.
C.3)
C.4)
Здесь б (t) — известная ступенчатая функция
8@ =
при t < 0,
при t > 0.
Таким образом, функции C.1) — C.4) при t = х0 — х'0 = ®
имеют особенности.
Выражения C.1), C.2) и C.3), C.4) называются соот-
соответственно запаздывающей и опережающей функциями Грина
(что и обозначается индексами г и с). Основания для этого
выяснятся в § 7, где мы получим уравнения для некоторых
наиболее часто встречающихся функций типа C.1) — C.4).
Допустим, что спектральная функция /(X, X ; Е), соот-
соответствующая (С1(х)С2(х')), достаточно быстро убывает при
Е—>оо. Все дальнейшие выкладки (§§ 3—5) будут прове-
проведены в этом предположении. Заметим, что обобщение на
случай не убывающих на бесконечности спектральных функ-
функций можно провести точно так же, как это делается в тео-
теории поля [10].
В состоянии равновесия функции C.1) — C.4) зависят
только от разност1 и временных аргументов х0 — x'Q = t.
») См. [4—8].

30
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[гл. i
Введем для компактности индекс j, принимающий значения г
и а, и положим
+ СО
Kj (X, X'; t)= J dE Kj (X, X'; E) e~iEi, C.5)
— CXI
+ °o
Kj (X, X'; ?) = -g- / dt Kj (X, X; t) eiEt. C.6)
—oo
Ha основании C.1), C.3) и C.6) видим, что функция Кг(к, \';Е)
аналитична в верхней полуплоскости комплексной перемен-
переменной Е. Действительно, при ?<0 функция Кг(к, X'; f) = О,
а при t >> 0 экспонента eiEt содержит множитель e~tlmE,
экспоненциально убывающий при ImZ:>>0 и обеспечивающий
сходимость как интеграла в C.6), так и всех его произ-
производных по Е. Равным образом, функция Ка(к, X'; Е) оказы-
оказывается аналитической в нижней ^-полуплоскости.
Фурье-образы функции Грина C.5), C.6) легко связать
с введенной в предыдущем параграфе спектральной функцией
J(k,\';E). Действительно, на основании B.1) — B.5) мы
получаем
К, (к, X'; t) = ib{t) f dEe~lEtJ{\, X'; Е);
сопоставляя это с C.5), получаем (при вещественных Е)
+ 00
Кг (X, X'; Е) = ^ / dE' J^?f
C.7)
где s — положительное число. Здесь и в дальнейшем в ана-
аналогичных выражениях всегда имеется в виду предельный
переход при е—>0.
Аналогично
+
Ka{k,k,t)—2^ j dt. E,_E + U-
— CO
Таким образом, в комплексной f-плоскости мы имеем
>0,
_L Г
2ш J
dE'
Е' — Е
/Са(Х, X'; Е), 1ш?<0.
C.9)
§ 3] ФУНКЦИИ ГРИНА И ИХ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 31
Левая часть C.9) представляет собой интеграл типа Коши.
Следовательно, совокупность Кт и Ка можно рассматривать
как единую аналитическую функцию К (X, X'; Е), определен-
определенную во всей плоскости комплексной переменной Е с разре-
разрезом, вообще говоря, вдоль вещественной оси. Видно также,
что спектральная функция У(Х, X'; Е) непосредственно выра-
выражается через предельные значения К (X, X'; Е) на верхнем и
нижнем краях разреза. Действительно, при приближении
к вещественной оси сверху и снизу (см., например, [11])
соответствующие предельные значения C.9) имеют вид1)
+ СО
f К(К X'; Z?-He) = -i'i(X, X'; Е)-\-~ f dE'
C.10)
I К (X, X'; Е-is) = — 1 /(X, X'; Е) + -~ f dE
— oo
откуда (при вещественных Е)
J(k, X'; E) = j{K(K X'; E-+-ie) — Kfr, X'; Е — /в)} ss
эуК(X, X'; Е) — Ка(X, X'; Е)}. C.11)
Заметим, что вещественность спектральной функции J при
этом отнюдь не предполагается.
Аналогичные спектральные представления имеют место и
для функций К^. Так, например, пользуясь B.2) — B.4),
мы получаем
Ki^ix, jc') = /0(Q 2 р„{(Ф„, Сг(Х, хо =
п, п'
±(Фа,С2(\'. х; =
C.12)
') Можно воспользоваться также равенствами C.7) и C.8) и
'11
тождеством :— = & — т nib (х), х ? Re (& — символ главного
значения).

ОСНОВНЫЕ СООГНОШЕНИЯ
1ГЛ. I
Производя во втором слагаемом в фигурных скобках замену
индексов суммирования п'^-п и пользуясь B.1) и B.5),
находим окончательно
^ X'; 0= J
K X'; ?)«-'». C.13)
где
Z7C «/
dE'
C.14)
4- p-$
Опять видим, что совокупность К^ (k, X'; Е), К[+) (X, X'; Е)
(или АТа~\ АГг-)) можно рассматривать как единую аналити-
аналитическую функцию К комплексной переменной Е (с разрезом
вдоль вещественной оси). Для спектральной функции легко
получается формула типа C.11)
J(X, X'; ?)==
у., X'; E-U)}; C.16)
здесь ?" вещественно.
В § 2 мы видели, что как обычные средние по ансамблю,
так и временные корреляционные функции для двух произ-
произвольных динамических переменных непосредственно выра-
выражаются через соответствующую спектральную функцию J
[см. B.6) — B.9)]. Таким образом, задача о вычислении назван-
названных величин сводится к нахождению фурье-образов соответ-
соответствующих функций Грина. В ряде случаев этот путь оказы-
оказывается более удобным, чем непосредственное решение цепочки
уравнений для последовательности операторов рг, р2, ...
Введем, наконец, функцию Грина еще одного типа, так
называемую «причинную»
Ке(х, x') =
C.17)
§ 3] ФУНКЦИИ ГРИНА И ИХ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 33
Здесь символ Т означает упорядоченное во времени произ-
произведение операторов1)
~ C.18)
х0
х'о.
Величина -ц равна -|-1 или —1 в зависимости от четности
перестановки фермиевских операторов порождения и уничто-
уничтожения при переходе от СХС2 к C2CV Если Сх и С2 составлены
только из бозе-операторов, то т) = 1. Из определения видно,
в частности, что под знаком Г-произведения все бозевские
операторы можно считать коммутирующими друг с другом,
а все фермиевские — антикоммутирующими. Очевидно, функ-
функция Кс(х, х'~) представляет собой линейную комбинацию Кт
и Ка (с разным порядком следования операторов). Подобно
тому, как мы получали C.12) — C.15), легко находим
+ оо
Кс(к, X'; *) =
»,, X'; Е) = ~ f dE'
Е,_
v., X'; E)e~iEt, C.19)
7(X, X7; Е')е~УЕ'
C.20)
Из B.11) можно видеть, что причинная функция Грина
обладает свойством
C.21)
Из формулы C.20) следует, что, в отличие от Kj и KjK
функция Кс(к, X'; Е), вообще говоря, не является аналити-
аналитической и не допускает расширения в комплексную плоскость.
Существенно, однако, что в формулах для всех функций
Грина Kj, К^ и Кс при заданных операторах Сг и С2
фигурирует одна и та же спектральная функция J(k, X'; Е).
Поэтому с точки зрения исследования энергетического спектра
и матричных элементов операторов р^ безразлично, какой
именно функцией Грина мы. будем пользоваться.
') По поводу смысла названия «причинная» функция Грина и ее
роли в квантовой теории поля см. приложение I.
3 Зак. 2126. Метод функций Грина

34
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[гл. i
В заключение следует сделать еще два замечания. Во-
первых, как видно из C.1) — C.4) и C.17), все рассматривае-
рассматриваемые нами функции Грина однозначно определены лишь при
хо ^ хо- ^Ри совпадении временных аргументов они имеют
особенности, которые, в конечном счете, и обусловливают
появление знаменателей Е— Е' + is. Именно это обстоятель-
обстоятельство приводит к представлению Кг, Ка и т. д. в виде инте-
интегралов типа Коши, т. е. позволяет рассматривать функции
Грина во всей комплексной плоскости, но оно же и приводит
к необходимости особо оговаривать, какие именно предель-
предельные значения их при x'Q—>• х0 мы имеем в виду (ср. ниже, § 5).
Во-вторых, в этом параграфе мы ограничились только двух-
временными величинами, поскольку они достаточны для ре-
решения конкретных задач, рассмотренных в этой книге.
Можно, однако, получить спектральные представления и для
многовременных функций Грина (см. приложение IV).
§ 4. Диагональные элементы функций Грина.
Дисперсионные соотношения *)
В настоящем параграфе мы рассмотрим важный случай,
когда С2 = С1 и Х'=Х. Таким образом, мы будем иметь дело
с величинами типа
Kr(k, t) = IQ (t) (С, (X, х0) Сх (X, x'Q)).
D.1)
Аналогично определяются функции Ка, К^\ К^, Кс-
Именно они (см. § 1) определяют диагональные матричные
элементы операторов рг, р2, . . .; с ними же приходится иметь
дело и при исследовании энергетического спектра системы
(§ 2). В непрерывном спектре возможен случай, когда, на-
например, КГ(К X'; Я)~8(Х— X'). (Так, в частности, обстоит
дело в пространственно однородной системе, когда роль X
играют три компоненты импульса.) В таких случаях под
диагональными элементами, фигурирующими в дальнейших
соотношениях, следует понимать коэффициенты при 8-функции.
•) См. [4]-[8].
§ 4]
ДИАГОНАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИЙ ГРИНА
35
В силу B.5) мы имеем теперь
, X; ?)=aJ(X, E) =
(х> *о = 0) Ф„0 X
п, СгФл.)|2>0. D.2)
= 2 Рп (фп-
= 2 Р«*(Е — Еп,
я, л'
Итак, спектральная функция оказывается вещественной
положительной величиной. Равенство C.11) для вещественных Е
дает при этом
У(Х, E) = lmKr(k, E) — \mKa(k, E). D.3)
Таким образом, исследование энергетического спектра системы
сводится к исследованию особенностей мнимой части анали-
аналитической функции К (X, Е) комплексной переменной Е. Далее,
отделяя в формулах C.7) и C.8) вещественную часть от
мнимой, получаем в силу C.11)
У(Х, Е) = 2 Im Kr (X, ?) = —2ImATe(X, E), D.4)
D.5)
Здесь плюс берется для /= г, минус — для j = а. Аналогич-
Аналогичные соотношения получаются и для других функций Грина.
Именно:
' \, Е) 2 Im/С^ (X, Е)
, Е) = -
D.6)
Re
Б>=^ l d
— СО
4-ос
—if
Im
(X, E')
E' — E
D.8)
D.9)
4.10)

36
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[гл. „i
Во всех формулах D.4)—D.10) Е— вещественная величина.
Из формул D.4) и D.6) особенно ясно виден характер особен-
особенностей функций Грина на вещественной оси: вообще говоря,
мнимая часть К (К Е) испытывает там конечный скачок.
Исключение составляет случай дельтаобразной сингулярности
У(Х, Е), когда \т К (к, Е) отлична от нуля лишь в отдель-
отдельных точках Et. (Как мы видели в § 2, эти точки при Г=0
суть точные собственные значения энергии системы.) Поскольку
согласно D.2) спектральная функция J(X, E)^>0, формулы D.4),
D.6) и D.9) определяют также знаки мнимых частей соответ-
соответствующих функций Грина. Обратим внимание на существен-
существенную разницу в поведении ImATrfl и 1тЛГг в зависимости от
того, какие знаки стоят в знаменателях D.6) и D.9). При
знаке плюс названные функции знакопостоянны (im К(г+) > 0,
Im К а < 0, Im Кс > 0), а при знаке минус они меняют знак
в точке ?" = 0. Последнее обстоятельство мы используем
в дальнейшем для определения химического потенциала си-
системы (см. § 5). Заметим также, что при знаке минус
в знаменателях D.6) и D.7) в правых частях этих равенств
может появиться слагаемое СЬ (Е). Величина С определяется
из дополнительных соображений типа условия сохранения
числа частиц.
Соотношения типа D.5), D.7), D.8) и D.10) называются
дисперсионными. Они широко используются в современной
квантовой теории поля [10]. Для нас будет существенно,
что, как видно из этих соотношений, все функции КТ (X, Е),
Ка(к, Е) и т. д. полностью определяются заданием только
мнимой части какой-либо одной из них. Это же относится
и к введенной в § 2 и представляющей уже непосредствен-
непосредственный физический интерес функции К (х, х') (при // = X, С2 = Сг).
Так, например, на основании B.7), D.4), D.6) и D.9) мы
имеем
(Сг(Х,
4-о
= 2 J
dE
4 о
= 2 j
dE
Е) -i
L-±-L
D.11)
§ 5]
ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
37
При x' = x0 эти формулы выражают диагональные ма-
матричные элементы операторов pv p2, ... через мнимые части
соответствующих функций Грина; при х'о Ф xQ они дают вре-
временные корреляционные функции.
Диагональные элементы запаздывающей и опережающей
функций Грина удовлетворяют одному важному неравенству.
Именно, на основании C.5), C.6) и B.5) мы имеем для
фурье-образов по времени
п, п'
D.12)
1(Ф„, С2(Х2, 4 = 0)Ф„')
я, л'
D.13)
=i 2 Рп
=о)
х
n, n'
Здесь, как и выше, знак плюс берется для / = а, минус —
для J' = г.
Составляя произведение абсолютных величин D.12) и D.13),
сравнивая результат с D.14) и пользуясь неравенством Шварца,
видим, что
| ((Сг (Хг) | Сг
=0 | ((С2 (Ха) 1С2 (X,) )) \E=
E=Q
Это и есть искомое неравенствох).
§ 5. Простейшие функции Грина
До сих пор природа операторов Сх и С2 никак не спе-
специализировалась. Рассмотрим теперь частные случаи, кото-
которые представят в дальнейшем наибольший интерес.
') Авторы выражают признательность Н. Н. Боголюбову,
указавшему им на это неравенство и способ его доказательства.

38
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[гл. г
а) Однофермионнал функция Грина. Положим Сх = а,
С2 = а, где а, а — фермиевские операторы порождения и
уничтожения частиц.
В этом случае матричные элементы, фигурирующие в E.2),
суть _
(Ф„, а(Х)Ф„0, (Фп, а(Х)Ф„-). E.1)
Как известно, они отличны от нуля, если числа частиц в со-
состояниях я и п' отличаются друг от друга на единицу. Отсюда
следует, что дельтаобразные особенности спектральной функ-
функции в данном случае определяют изменение энергии ферми-
системы при изменении числа частиц в ней на единицу. При
этом предполагается, что частица добавляется в состояние \
(или изымается из него). Подчеркнем, что состояния \ были
введены нами в § 1 просто как некая базисная система,
с помощью которой был произведен переход к представле-
представлению вторичного квантования. Они, вообще говоря, отнюдь
не обязаны быть стационарными; соответственно, спектраль-
спектральная функция может и не иметь особенностей указанного вида.
В отсутствие взаимодействия между частицами, однако, всегда
можно выбрать в качестве базисной системы собственные
функции гамильтониана; при этом J(X, Е) имеет только дель-
дельтаобразные особенности в точках Е, представляющих собой
просто значения энергии отдельных частиц. При наличии взаимо-
взаимодействия состояния а(к)Фп, строго говоря, всегда не ста-
стационарны. Соответственно особенности спектральной функ-
функции J(k, E) не имеют чисто дельтаобразного характера, и со-
состояние с а (к) Фп затухает при t—>oo (ср. § 2). При доста-
достаточно малом затухании, однако, можно в соответствии с § 2
ввести представление о квазистационарных «одночастичных»
состояниях, характеризующихся некоторой энергией и зату-
затуханием. Действительно, вычисляя вероятности переходов
в системе под влиянием гармонической внешней силы, легко
убедиться, что именно частота, определяющая осцилляции
амплитуды состояния при t-^-oo, входит в закон сохранения
энергии (см. пример в гл. VI). При этом, как всегда в та-
таких случаях, энергия «одночастичного» состояния сохраняется
лишь с точностью до неопределенности, связанной с затуха-
затуханием. Подчеркнем, что фактически энергии «одночастичных»
состояний следует относить уже не к отдельным частицам,
а ко всей системе в целом. На языке квантовой теории поля
§ 5]
ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
39
это обстоятельство принято выражать термином «одетые»
частицы (фермионы). С помощью формулы A.15) при Сх= а,
С2 = а легко убедиться, что затухание фермионных состоя-
состояний определяется полюсами аналитического продолжения
спектральной функции в нижнюю Е- полуплоскость (при
ReE > 0). Полюсы же в верхней полуплоскости (при ReZ: < 0)
описывают затухание соответствующих «дырочных» состояний.
Соответствующие функции Грина называются однофермион-
ными; мы будем обозначать их символом G:
Gc{x, x') =
E.2)
Очевидно, формулы D.11) при Сх = а и хо = х'о дают
функцию распределения /(к) (напомним, что в данном слу-
случае т\ = —1).
Отметим, в частности, два случая:
1) Х= [х, s] —совокупности трех пространственных коор-
координат х и спиновой переменной s. Тогда левая часть D.11)
при х' = х0 есть средняя концентрация электронов с проек-
проекцией спина s в точке х, а полная концентрация электро-
электронов п(х) дается формулами
— oo
s;E)
E.3)
Подчеркнем здесь, что в знаменателе первой из формул E.3)
должен стоять именно знак минус (а не плюс, как могло бы
показаться). Следует обратить внимание на то, • что п (х)
согласно E.2) можно также представить в виде
^i lim SpGc(x, x'). E.4)
= i lim
x' ->x
s; x'
Это соотношение определяет, как следует выполнять пре-
предельный переход- x'Q-+x0 в функции G?(x, x') (ср. замечание

40
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
в конце § 2); именно:
Ое<\, х0; у, хо) = lim ОДХ, х0; X',
[ГЛ. I
E.5)
*
2) X = {р, s) -— совокупности трех компонент импульса р
и спиновой переменной s. Будем рассматривать при этом
пространственно однородную систему, когда функция Gc (X, X'; t)
диагональна по импульсам; пусть, кроме того, она диаго-
нальна также и по спинам. Условимся переходить к импульс-
импульсному представлению по формуле
Ос(др. х0; х', х'о) = fdpQc (p, Ро) е-' Ср. *-*'), E.6)
где рх = рохо—рх, dp=dpdpQ; переменная р0 употреб-
употребляется здесь вместо Е для симметрии записи. Тогда фор-
формулы D.11) (при x'q — Xq} превращаются в общие выраже-
выражения для функции распределения электронов по импуль-
импульсам /(р); с учетом нормировки E.6) мы получаем
+ ОО
/ О) = 2 BТСK f dp,
Функция E.7) нормирована на числа заполнения.
Заметим, что из определения E.2) вытекают следующие
свойства функции О^+Цр, Е) в комплексной плоскости Е1):
<<«(— Р)\а(р)))Е = — «а(р)|а(—р)»^, E.8а)
«а (— р) |Ъ(р)))Е = —<(а (р) | а (— р)))_Е.
Далее, из инвариантности уравнений движения B.3) по
') Авторы признательны Н. Н. Боголюбову, обратившему их
внимание на важность этих соотношений.
§ 5]
ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
41
отношению к замене знака времени (с одновременной заменой
i -> — i) следует
((а (—р) | а(р)))Е = ({а (р) \ а (— р)))Е. E.86)
Наконец, свойство инвариантности по отношению к про-
пространственным отражениям дает
«« (Р) I а (—р)))Е = ((а (—р) | а (р)))Е,
((а (р) | а (—р)))Е = ((а (—р) | а
((а(р)|а(р)))в = ((а(—р)|а
E.8в)
Вспомним теперь, что величины Еп,Еп/ в B.5) суть по
определению собственные значения обобщенного гамильто-
гамильтониана A.7) Н' = Н—\>.N (см. § 1). Принимая во внимание
отмеченные выше свойства матричных элементов E.1),
видим, что в данном случае
где W — разность собственных значений Н, принадлежащих
состояниям, в которых числа частиц отличаются на единицу.
(Приведенное равенство имеет место, поскольку в рассмат-
рассматриваемом случае операторы Н и N коммутируют.) Из фор-
формулы D.9), с другой стороны, вытекает, что в данном слу-
случае (знак минус в знаменателе) функция Im Ос (X, Е) меняет
знак вместе с Е (причем sign Im Oc (X, ?l) = sign?', так что
других точек изменения знака мнимой части Ос (X, Е)~ не
существует). Таким образом, можно сформулировать пра-
правило для определения химического потенциала системы вза-
взаимодействующих ферми-частиц: химический потенциал р ра-
равен энергии W, при которой мнимая часть однофермионной
функции Грина' Im Ос (X, W—\ъ) меняет знак. (Вместо Im Oc
можно взять также ImOr(-)(X, E) или ImG^T^X, ?).)
Рассмотрим специально случай идеального газа — систему
ферми-частиц, движущихся в некотором заданном и постоян-
постоянном во времени внешнем поле, но не взаимодействующих
друг с другом (разбор этого случая не только представляет
методический интерес, но и окажется полезным при прибли-
приближенном решении уравнений для полных функций Грина —
м. § 11). В качестве параметров X здесь удобно выбрать

42
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. I
квантовые числа, характеризующие стационарные состояния
отдельных частиц в данном поле. Соответствующие собствен-
собственные значения энергии и собственные функции (в координат-
координатном представлении) обозначим через Е (X) = W (X) — р и срх (•#)•
Индексы га, га', характеризующие состояния всей системы,
в данном случае указывают, какие именно из одночастичных
состояний срх являются занятыми; полная энергия Еп пред-
представляет собой сумму энергий отдельных частиц по всем
занятым состояниям.
Все функции Грина (которые мы снабдим в этом случае
индексом 0) здесь легко вычисляются. Возьмем, например,
причинную функцию ОсСк, х0; X', х'Л. На основании C.17)
и C.18) мы имеем
хо-
о)а(\'. х'о)}) =
1 —1{а(к', х'0)а(к, х0)), хо<х'о.
Зависимость оператора а(Х, д:0) от времени в данном случае
описывается просто множителем ехр {—iE(\)x0}; соответ-
соответственно
(а(Х'. х'0)а(к. хо)) = (а(к', 0)а(Х, 0)> e~iE^xo + lE^xi
В рассматриваемом случае различным значениям X отвечают
и различные собственные функции системы; поэтому
(а (к', О)а(к, 0)) = 8(Х — У) (а (к, 0)а(к, 0)) = 8 (X—X') га^(Х),
E.9)
где Пр (к) есть среднее значение числа заполнения состоя-
состояния X. Оно, очевидно, дается обычной функцией Ферми (на-
(напомним, что последняя как раз и получается в результате
вычисления шпура, фигурирующего в E.9)I). Аналогично
(а(Х,
-IE (Х)лго+ iE(V)x'Q
E.10)
') См., например, [2].
§ 5] ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
Таким образом,
(X, х0; к', -*го) =
= tb (X — X') е ~шW {хо-х'о) {б (х0 — х'й) [1 — Пр (X)] —
43
где
пр(к) =
Для фурье-образа мы получим
О») (X, Х';?)=_^Г8(Х —Х0(
E.12)
+ ОО
Соответственно в координатном представлении мы имеем
(s, s' — спиновые координаты)
Of)(x. s, x0; x'.s', x'0) =
\(~v' S)V\(X'- s')e-iEixo-xo)Gf)(k, E) E.14)
X -оо
(сумма по X, как всегда, может обозначать и интеграл). Вы-
Выражение в фигурных скобках в E.13) становится разрывным
в условиях полного вырождения: при 7*—>0 га(Х)=1, если
W(X)<p, и га(Х) = 0, если \F(X)>ji. В этом случае может
оказаться более удобным эквивалентное (при Т=0) выра-
выражение
, Е) = —
E.13а)
Аналогично для опережающей и запаздывающей функций
Грина мы получаем
0@,!
E.15)
о«ь • ¦ ' ¦
(X, X'; Е) — т^г о (X X') R }
Г7@)СХ X'- F^— Х 8СХ )/1 Х ~ "f (X) ^
1 —
1
E.16)
; — ?(Х) — i« • J

44
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[гл. i
Любопытно, что «антикоммутаторные» функции Грина ^
для свободного электронного газа вообще не зависят от тем-
температуры.
Видно, что полюсы E.13)„ E.15) и E.16) действительно
связаны с энергетическим спектром системы. Пользуясь ра-
равенством D.3) (или D.9) при знаке минус в знаменателе),
можно найти спектральную функцию
/0)(к.Е) = [1 — пР (X)] Ь [Е — Е (X)].
E.17)
Как и следовало ожидать, она оказывается дельтаобразной.
В данном случае этот результат тривиален: взаимодействия
между частицами нет, поэтому затухание отсутствует, и соб-
собственные значения оператора энергии одной частицы W(X)
определяют точные изменения энергии всей системы при из-
изменении числа частиц в последней на единицу (при добавле-
добавлении частицы в состояние X к полной энергии добавляется
слагаемое W (X) ).
Мнимая часть G^ (к, Е) в силу E.13) есть
Imtff (X, Е) =
1—2Пр(К)
E.18)
Видно, что она в соответствии с общими результатами § 4
меняет знак в точке W(X) = ^.
Пользуясь E.18), легко проверить и справедливость со-
соотношения D.11). При х'0 = х0 оно в данном случае превра-
превращается просто в тождество.
Наконец, выпишем явно функции Грина для случая сво-
свободных частиц, движущихся (в отсутствие внешнего поля)
в кубе объема V. Этот случай представляет особый интерес
для дальнейшего, ибо именно к нему, как мы увидим в гл. 4,
сводится целый ряд задач электронной теории твердого тела.
Роль X в данном случае играет совокупность вектора им-
импульса р и спинового квантового числа а.
В качестве граничных условий на поверхности куба возь-
возьмем обычные условия периодичности (такой подход годится
всегда, пока мы не интересуемся поверхностными эффектами
как таковыми). Таким образом, <px(x) = V~l/2Sa(s)eipx, где
§ 5] простейшие функции грина
5 — спиновая функция, и равенство E.14) дает
(др. s, xQ; х>, s', х'0) =
р —со
45
+ ОО
-iE(xo-x'o) J (р, х-х1 / Пр{р)
e I E—E(p) — U "T
1-пр{р)
Переходя здесь от суммирования к интегрированию, заме-
заменяя Е на р0 и принимая во внимание нормировку E.6), по-
получаем
x, s. х0; х', s', x'Q) = bss, f йре-1{р'х-хГ)О^{р, р0),
E.19)
Р, Ро)— BтсL \ Ро_Е(р) — и^Ро — Е(р) + Ы J— .
р0 —
Аналогично
lpo-E(p)]'+*'
I \—np(p)
Or
@), (+)
(P. Po)= —
pQ—E(p)-\-U
l—nj,{p)
pQ — E (p) — U
1
" >„ — E(p) + U
1
E.20)
E.21)
E.22)
— -
BтсL ро_Е{р)_и •
При Т->0 вместо E.20) более удобной может оказаться
эквивалентная в этих условиях (см. замечание после фор-
формулы E.14)) формула
Ос(р, Ро) = — -ЩГ- Р ЕЦ>) +U sign [Wipy p] ' E>23)
Ро —
U sign
Обратим внимание на тесную аналогию между этим выра-
выражением и известной из квантовой теории поля [9] причинной
однофермионной функцией Фейнмана. Вакууму квантовой
теории поля соответствует здесь основное состояние системы

46
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[гл. i
свободных частиц (все уровни с энергией ниже (л. заполнены,
все уровни с энергией, превышающей [а, свободны). Будем
отсчитывать энергию от р. Тогда функция О(°)(дг, х'), как
и функция Фейнмана, содержит только положительные энер-
энергии при х0 > х'о и только отрицательные — при xQ <C x'Q. Это
свойство иногда используется как граничное условие, выде-
выделяющее именно причинную функцию среди всех прочих
{От, Оа и т. д.). Обычно его называют граничным условием
Фейнмана. Следует заметить, однако, что так просто дело
обстоит лишь в случае свободных частиц; при наличии же
взаимодействия между ними функция распределения по им-
импульсам, вообще говоря, отличается от фермиевской.
б) Однобозонная функция Грина. Пусть теперь, как
и в п. а), Сх = а, С2 = а, но а, а — бозевские операторы
порождения и уничтожения частиц. Соответствующие функции
Грина называются однобозонными. Мы будем обозначать их,
как и однофермионные, символом G. (Поскольку однофермион-
ная и однобозонная функции Грина никогда не будут
употребляться одновременно, недоразумения возникнуть не
может.) Матричные элементы, фигурирующие в разложе-
разложении D.2), в этом случае по-прежнему даются формулой E.1).
Это позволяет немедленно интерпретировать полюсы спек-
спектральной функции как спектр «одетых» бозонов. Формулы
D.11), как и в п. а), дают функцию распределения частиц
по параметрам X; следует, однако, помнить, что в данном
случае -tj == —J— 1. Таким образом, формулы E.3) и E.7)
остаются в силе; следует лишь изменить знаки в знамена-
знаменателях подынтегральных выражений, содержащих Im Oc: вместо
е$Е—1 теперь надо писать е$Е-\-\. Надо также изменить
знак в формуле E.4): плотность числа частиц теперь дается
равенством
п(х) = — I lim SpOc(x, *'). E.4а)
Подобно однофермионной функции Грина, однобозонная
функция G(j~\p, Е), рассматриваемая в комплексной плос-
плоскости Е, удовлетворяет важным соотношениям типа E.8а)—
E.8в), вытекающим из определения G*j~\ а также из свойств
инвариантности уравнений движения относительно временных
§ 5]
ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
47
и пространственных отражений. Единственное отличие связано
с разными правилами коммутации бозевских и фермиевских
операторов, что приводит к изменению знаков правых частей
равенств E.8а).
в) Двухчастичная функция Грина при попарно совпа-
совпадающих аргументах. Положим в формулах C.1)—C.4) и
C.17): Сх = a (xv х0) а(лг2, хо),С2 = ~а(х'х, лгр а (х'2, х'о), где
а, а — либо фермиевские, либо бозевские операторы. Иначе
говоря, будем рассматривать функции вида
a
а
E.24)
Очевидно, функция E.24) есть частный случай более общего
выражения вида
°а.с (*i. хг, х3, *4) = i (T {a(Xl) а (х2) а(х? а(х?)). E.25)
получающийся в пределе при попарно совпадающих времен-
временных аргументах. Величина E.25) называется двухчастичной
функцией Грина (название связано с тем, что оператор,
фигурирующий в E.25) под знаком усреднения, может из-
изменить состояние сразу двух частиц).
Матричные элементы, фигурирующие в спектральной функ-
функций D.2), соответствующей E.24), суть (Фл, а (х, 0) а (х\ 0) Ф/,0-
Они отличны от нуля, лишь если числа частиц в состояниях п
и п' одинаковы. Таким образом, полюсы спектральной функ-
функции в данном случае определяют спектр возбуждений в си-
системе с заданным числом частиц. Для идеального газа функ-
функции типа E.24) нетрудно вычислить. Рассмотрим, например,
запаздывающую функцию Грина для полностью вырожденного
ферми-газа G'=0) в отсутствие внешнего поля. Принимая
во внимание E.5), получаем (при х0 ф х'Л
G2>r(x, x') = i
B
г(х, х')Ог(х', х) =
lwfdpdp'9lW(p) —
{p~p'' х~х'^'1
x Q [Vk _ W (p')l e
(ti — постоянная концентрация частиц).
E.26)

48
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. I
Вводя фурье-образ О2>г(р, р0) по формуле типа E.6),
видим, что полюсы Im (?2, г(р, р0) (они же — полюсы спек-
спектральной функции) суть
O- E-27)
Это — очевидное выражение для спектра возбужденных со-
состояний, возникающих при «перебросе» электронов из сферы
Ферми «наружу».
г) Однофотонная функция Грина. Положим в фор-
формуле C.1) (и следующих за ней) С1 = Аа(х), С2 — А?(х'),
где Аа, Аа — операторы 4-потенциала электромагнитного
поля, а = 0, 1, 2, 3. Нам удобно будет так же, как и в [9],
принять следующую связь между четырехмерными и трех-
трехмерными компонентами потенциала: {А1,А2, А3) =А — вектор-
потенциал; —Л0 = <р — скалярный потенциал. Таким образом,
напряженности электрического и магнитного полей даются
равенствами
Р _ дА0 1
дх.
c0 dx0
f 2> 3); B=xotA =
Здесь с0 есть скорость света в пустоте. Оптические свой-
свойства среды (в отсутствие свободных зарядов) мы будем ха-
характеризовать скалярными вещественными диэлектрической
и магнитной проницаемостями е и |i, не зависящими от про-
пространственных координат (тем самым мы ограничиваемся рас-
рассмотрением оптически однородных и изотропных сред вдали
от области поглощения). Скорость света в среде обозначим
через с= ° .
Как показано в приложении I, в указанных условиях
можно полностью исключить величины s и (J. из уравнений
электродинамики, если .писать последние для «перенормиро-
«перенормированных» величин
(е — заряд, W — любая энергетическая величина, связанная
с электромагнитным полем, например плотность энергии сво-
свободного поля или энергия заряда в поле и т. д.). При этом
скорость света с$ всюду заменяется на с. В дальнейшем
(исключая гл. VII) мы будем пользоваться только перенор-
§ 5]
ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
49
мированными величинами, опуская индекс г. Величина X в дан-
данном случае представляет собой совокупность тензорного
индекса а и тройки пространственных координат X. Мат-
Матричные элементы, фигурирующие в D.2), суть
(Ф А (х хЛ Ф Л (Б 2Я1
Они отличны от нуля, если числа фотонов в состояниях п
и п' отличаются на единицу, и, следовательно, полюсы спек-
спектральной функции в данном случае определяют спектр
«одетых» (т. е. взаимодействующих со своим окружением)
фотонов. При этом, говоря о фотонах, мы имеем в виду не
только обычные кванты поперечного электромагнитного поля,
но и продольные кванты (в среде, а не в вакууме, они, во-
вообще говоря, могут реально распространяться).
Затухание фотонов, как легко установить с помощью
формулы A.15), дается полюсами аналитического продолже-
продолжения спектральной функции в нижнюю полуплоскость (при
ReE > 0). Соответствующая функция Грина (с измененным —
для удобства в дальнейшем — знаком) называется однофотон-
ной; мы будем обозначать ее символом D. Так,
Г) (у. vl\ ; (*р I л /v-\ Л (v'\\\ (К ОСП
UC,aS\X' Х ) i\1 \Ла \х) ЛЙ \х ))/¦ {O.ZVJ
Такие же обозначения мы будем использовать и для фононных
функций Грина, имея в виду, что они не будут рассматри-
рассматриваться одновременно с фотонными. Можно было бы и эти
функции называть однобозонными; мы, однако, сохраним это
название лишь за «корпускулярными» функциями G, в отли-
отличие от «полевых» функций D. Заметим, что в рамках нереля-
нерелятивистской теории различие между первыми и вторыми носит
отнюдь не словесный характер: как мы увидим в следующей
главе, функции G удовлетворяют дифференциальным уравне-
уравнениям первого порядка по времени, а функции D — второго.
Для дальнейшего наиболее интересен будет простран-
пространственно однородный случай; тогда в соответствии с E.6) мы
имеем
Dc,a?(x, x') = f dkdae-iu>(.x°-x°')+i{'t'x-x')Dc,a?(k,u). E.30)
Очевидно, в силу бозевского характера эрмитовых операто-
операторов Аа (х) мы имеем (при вещественных k и ш)
ш).
E.31)
4 Зак. 2126. Метод функций Грина

50
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[гл.
Пользуясь E.31), дисперсионное соотношение D.10) для
данного случая можно переписать в несколько более удобном
виде. Именно, представим интеграл, фигурирующий в D.10),
в виде суммы интегралов, взятых соответственно в преде-
пределах @, оо) и (— оо, 0), и во втором из них произведем замену
переменного: Е' —> — Е'. Принимая во внимание, что в данном
случае tj = 1, легко находим
ReDc(*r,
-t-oc
- f
те J ,
dE>
Im Dc (x, x; E') ,g ^
Следует заметить, что в силу имеющейся в электродина-
электродинамике возможности градиентного преобразования 4-потенциала
функция E.29) определена неоднозначно. Действительно,
всегда возможна замена
E.33)
1 д/
с дх0 '
где / — произвольная скалярная дважды дифференцируемая
функция.
Обозначим для удобства
.2
, (О .2
¦ft2.
Очевидно, при замене E.33) фурье-образ DCt0L^(k, <o) пре-
преобразуется по закону
Dc>^(k, <»)^DCt^(k, ш) + ^Р(А;2), E.34)
где F (k2) очевидным образом связана с фурье-образом /(лг).
В силу градиентной инвариантности электродинамики функ-
функция F (&2) должна выпасть (и фактически выпадает, см. [9])
из всех наблюдаемых величин, вычисляемых с помощью E.30).
Соответственно мы вправе подобрать ее так, чтобы функция
Dc>a^(k, ш) имела наиболее удобный вид.
Заметим в связи с этим, что в изотропной системе вся
«тензорная часть» DCia^(k, ш) может выражаться только через
произведения kak^ и единичный тензор. Ограничимся в даль-
дальнейшем именно этим случаем. Тогда оказывается удобным
положить
\(k, ш), E.35)
§ 5]
ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
51
где
=-gn=-g22 = -g33=l- E-36)
При этом, как легко убедиться, функция Ос>ар(дг, хг) удовле-
удовлетворяет условию «типа Лоренца»
1 дРс> рр (х, х')
с дхп
дРс
, х')
г\
E.37)
При проверке E.37) следует принять во внимание известное
из электродинамики (см. [9] и A.33)) равенство
([Аа(х, х0), А?(х', xQ)\_) = 0.
Заметим, что формула E.37) справедлива также для функ-
функций Dlr~l.
Как мы увидим в гл. 2, условие E.37) обеспечивает
выполнение обычного электродинамического условия Лоренца
для средних (фактически наблюдаемых) потенциалов электро-
электромагнитного поля, вычисленных с учетом взаимодействия
с заряженными частицами. В этом и заключается смысл
выбора E.35).
Таким образом, градиентная инвариантность теории позво-
позволяет свести тензор DCt a^ к одной лишь скалярной функ-
функции, Dc.
В общей теории, развиваемой в следующих двух главах,
мы не будем явно специализировать вида функции DCi a^
(исключая рассмотрение группы перенормировки, где будет
использована форма E.35)). При решении конкретных задач
в гл. IV и V, однако, мы явно воспользуемся калибров-
калибровкой E.35).
Рассмотрим, наконец (подобно п. а), частный случай сво-
свободного электромагнитного поля в диэлектрической среде.
Будем при этом пренебрегать тепловым излучением, не суще-
существенным в интересующих нас задачах. Тогда в отсутствие
взаимодействия с заряженными частицами шпур в E.29) сво-
сводится к среднему по основному состоянию (вакууму свобод-
свободных фотонов); вид функции D® (k, <») хорошо известен из
квантовой электродинамики (см. [9], а также приложение III):

52
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[гл. i
В частности, в нерелятивистском приближении (т. е. в прене-
пренебрежении эффектами запаздывания электромагнитного поля)
мы получаем
/)?>(*,») =
1
Bт:)*
E.39)
Как и должно быть, полюсы E.38) лежат в точках
w = c\k\. С другой стороны, функция E.39) не имеет полю-
полюсов в (о-плоскости (и вообще не зависит от ш). Это и понятно:
формула E.39) соответствует электростатическому приближе-
приближению, принципиально исключающему электромагнитные волны
в диэлектрике. Заметим, что в этой аппроксимации при
а = р = 0 вторым слагаемым в правой части E.35) можно
пренебречь и, следовательно,
?>с%о(?. ">) = ?>f (*.«). E.40)
Обратим внимание на то, что с точностью до постоянного
множителя правая часть E.39) представляет собой трехмерный
фурье-образ кулоновского потенциала -———ту • Это обстоя-
обстоятельство, как будет видно из дальнейшего (§ 8), не случайно.
ГЛАВА II
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
§ 6. Уравнения движения и гамильтонианы
Уравнения для функций Грина мы получим, дифференци-
дифференцируя Кт, Ка, Кс по х0 и пользуясь затем уравнениями дви-
движения для операторов Сх и С2:
1=1.2.
F.1)
На основании F.1) и определений C.1) — C.4) и C.17) мы
получаем
L
1
С1 (*) С* С*')) —
'C,(*) — C1{x)H'\C2{x')))j, F.2)
— S Oo—*6) ( [Ci(jc). C2(jc01±) —
)-C1(x)H'\C2(x'))yf), F.3)
==_b(XQ_ х>о) (Ci {х) С2 (л./} _ ^ {х>)Ci (x)) _
)H', C2(x')}), F.4)
где индексы у, т] имеют тот же смысл, что и в § 3. Из урав-
уравнений F.2) — F.4) видно известное практическое преимуще-
преимущество функций Кj перед Kf в первом случае дельта-функция
§(лг0 — x'q) стоит множителем при коммутаторе или антикомму-
антикоммутаторе операторов Сх и С2. При совпадении временных аргу-
аргументов последний может оказаться дельтаобразным и по дру-
другим переменным, что заметно упрощает структуру уравнений.
Уравнения F.2) — F.4) удобны для исследования функций
Грина, коль скоро волновые функции соответствующих частиц

52
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[гл. i
В частности, в нерелятивистском приближении (т. е. в прене-
пренебрежении эффектами запаздывания электромагнитного поля)
мы получаем
D?0) (fc, ш) = ._ \. ... E.39)
Как и должно быть, полюсы E.38) лежат в точках
(я = с\к\. С другой стороны, функция E.39) не имеет полю-
полюсов в ш-плоскости (и вообще не зависит от ш). Это и понятно:
формула E.39) соответствует электростатическому приближе-
приближению, принципиально исключающему электромагнитные волны
в диэлектрике. Заметим, что в этой аппроксимации при
а = р = 0 вторым слагаемым в правой части E.35) можно
пренебречь и, следовательно,
ш).
E.40)
Обратим внимание на то, что с точностью до постоянного
множителя правая часть E.39) представляет собой трехмерный
фурье-образ кулоновского потенциала -———гг • Это обстоя-
обстоятельство, как будет видно из дальнейшего (§ 8), не случайно.
ГЛАВА II
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
§ 6. Уравнения движения и гамильтонианы
Уравнения для функций Грина мы получим, дифференци-
дифференцируя Кт, Ка, Кс по х0 и пользуясь затем уравнениями дви-
движения для операторов С\ и С2:
1=1,2.
F.1)
На основании F.1) и определений C.1) — C.4) и C.17) мы
получаем
((C (Х) 'Cs (X/)))J = — Ь<-хо — *6) (Ci (х) С2 (х1)) —
— С^х)Н'\С^х')))}, F.2)
- {{Н'С, (х) — С, (х) Н' | С2 (х'Щ±К F.3)
°2 (Х'} — ^С2 (Х>) Сх (ЛГ)) ~
C1(x)H', Ca (*')}>.' F-4)
где индексы j, -ц имеют тот же смысл, что и в § 3. Из урав-
уравнений F.2) — F.4) видно известное практическое преимуще-
преимущество функций /Cjr±) перед К/, в первом случае дельта-функция
§ (лг0 -— лГд) стоит множителем при коммутаторе или антикомму-
антикоммутаторе операторов Сх и С2. При совпадении временных аргу-
аргументов последний может оказаться дельтаобразным и по дру-
другим переменным, что заметно упрощает структуру уравнений.
Уравнения F.2) — F.4) удобны для исследования функций
Грина, коль скоро волновые функции соответствующих частиц

54
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[ГЛ. II
удовлетворяют дифференциальным уравнениям первого порядка
по времени. Так обстоит дело (в нерелятивистском случае)
для любых частиц с конечной массой покоя. С другой сто-
стороны, электромагнитное и фононное поля олисываются диф-
дифференциальными уравнениями второго порядка по времени.
Соответственно и в уравнения для функций Грина оказывается
удобным ввести вторые производные по времени (см. ниже, § 7).
Для явной записи уравнений F.2) — F.4) требуется задать
не только конкретный вид операторов Сх и С2, но и гамиль-
гамильтониан системы Н'. Последний в общем случае имеет вид
F.5)
Здесь Н' есть аддитивный гамильтониан системы невзаимо-
невзаимодействующих частиц, движущихся в некотором классическом
внешнем поле (с учетом члена — [*Л0; Mnt — гамильтониан
прямого (обычно парного) взаимодействия между частицами;
Hf—гамильтониан свободного квантового поля (или полей);
Иу—гамильтониан взаимодействия частице квантовым полем
(полями).
Заметим, что, строго говоря, достаточно было бы прини-
принимать во внимание только взаимодействие с квантовыми полями;
прямое взаимодействие между частицами получилось бы отсюда
как следствие (так же, например, как получается закон Кулона
в квантовой электродинамике). Практически, однако, в ряде
задач удобнее сразу рассматривать прямое взаимодействие.
Именно, так обстоит дело во всех случаях, когда можно
пренебречь запаздыванием взаимодействия через поле и когда
при этом кванты поля участвуют только в виртуальных про-
процессах, а реальное поглощение и испускание их не существенно.
Обозначим через Т и V операторы кинетической и потен-
потенциальной энергии частиц в классическом внешнем поле. Тогда
хо)а(У, х0). F.6)
В частности, может оказаться удобным работать в представле-
представлении, в котором оператор T~\-V — \t.N диагоналей. Обозначим
его собственные значения через Е (X); тогда
F.7)
Нр(*о) = $ d\E(k)~a (X, *„) а (X, х0).
§ 6]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ГАМИЛЬТОНИАНЫ
55
Пусть, далее, бинарный оператор энергии прямого взаимо-
взаимодействия между частицами есть U. Тогда
= \ f
X а (Х2, хоуа (Х;, xQ) а
0).
F.8)
В фермиевском случае, когда операторы а(Х, х0) и а(Х', д:0)
антикоммутируют, функцию (Xj, \ | U | Х^, Х{) будем считать
антисимметризованной относительно перестановок >п ±> \% и
Х^ ^± Х? (в бозевском случае эта функция симметрична).
В координатном представлении большинство недиагональ-
недиагональных элементов U обычно исчезает, и мы имеем
//int(*o)=-2 / dxdx' а(х)а(к') U (х—х')а(х')а(х). F.8а)
Заметим, что поскольку полный гамильтониан есть интеграл
движения, безразлично, к какому именно моменту времени
его относить: следует лишь относить к этому моменту все
слагаемые в F.5), ибо порознь они, вообще говоря, отнюдь
не сохраняются. Удобнее всего выбрать тот же момент д:0,
к которому относится оператор Сг (х) в F.2) — F.4).
Операторы Hj,, Hpf удобно сначала написать для конкрет-
конкретных случаев, с которыми мы только и будем иметь дело.
а) Заряженные частицы в электромагнитном поле. Как
известно из квантовой электродинамики [1], гамильтониан
свободного электромагнитного поля можно написать в виде!)
(^ГП С6.9)
/=1,2,3 )
Здесь символ : {. . .} : означает, что в соответствующем выра-
выражении все операторы порождения фотонов должны стоять слева
от операторов уничтожения. Произведение, упорядоченное
') В интегральном смысле эта формула эквивалентна обычному
выражению //^ = — / (Е2 + Я2) dx.

56
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[ГЛ. II
таким образом, называется нормальным [1] (см. также при-
приложение I).
Гамильтониан взаимодействия поля с заряженными части-
частицами (также в координатном представлении) имеет вид [1]
о) = ~ в / dx а (х) т»а (*) Аа (х).
F.10)
где f — матрицы Дирака. Мы не ставим здесь знака нормаль-
нормального произведения ферми-операторов, так как в рассматри-
рассматриваемых нами задачах никакого ненаблюдаемого фона не будет.
Заметим, что, интересуясь лишь процессами с участием вир-
виртуальных фотонов (и в пренебрежении величинами порядка 1/с),
можно заменить F.10) прямым кулоновским взаимодействием
между электронами, т. е. формулой типа F.8) с кулоновским
потенциалом в качестве U.
б) Электроны в фононном поле. Обозначим через % (у)
и ? (v) операторы порождения и уничтожения фононов типа v,
а через ш (v) — их энергию (символ v представляет собой
совокупность трех компонент квазиволнового вектора k и
индекса, указывающего ветвь фононного спектра). Тогда
гамильтониан свободного фононного поля будет
Как всегда в подобных случаях, сумма 2 может обозначать
v
и интеграл по непрерывным переменным, входящим в состав v;
удобно, однако, сделать компоненты k дискретными, рассма-
рассматривая систему фононов в большом кубе объема V и наклады-
накладывая условия периодичности на границах куба.
Гамильтониан взаимодействия фононов с электронами
запишем в виде
1 Л
ft, р, p'.s
X {/ (*) b{p—p'—k)l {к, xQ)~a (p, s, x0) a Q/, s, x0) -+-
-f-/(fc)8(P—Р' — к)\(к, хо)а(р', s, xo)a(p, s, x0)}. F.12)
Здесь р, р' — квазиимпульсы электрона в кристаллической
решетке, s—-спиновая координата, операторы ^ и % относятся
к продольным фононам (акустическим или оптическим). Вели-
§ 6]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ГАМИЛЬТОНИАНЫ
57
чина g есть константа связи. Она имеет различный вид для
полупроводников и для металлов (подробнее см. §§ 26, 27).
Функция / (к) различна для акустических и оптических фоно-
фононов. Именно, для длинноволновых фононов (&—>0)
/акуст —
F.13)
J ОПТНЧ
F.14)
Выражение F.12) соответствует простейшей аппроксимации,
когда взаимодействие электронов с фононами считается изо-
изотропным и, кроме того, не принимаются во внимание про-
процессы переброса. Обобщение на более сложные случаи не
представляет труда, но в этой книге оно нам не по-
понадобится.
В определенных предположениях выражение F.12) можно
заменить гамильтонианом типа F.8), т. е. исключить из яв-
явного рассмотрения фононное поле, введя взамен прямое
взаимодействие между электронами [23]. Соответствующий
оператор Н1гЛ называется гамильтонианом Бардина и имеет вид
^int = ~2у 2и а (*> s' хо) а (—Р> — s> *o) X
р, р'
X а(—р'. —s, xo)a(p', s, х0), F.15)
где В — некоторая постоянная.
Заметим далее, что выражения F.10) и F.12) можно за-
записать единым образом. Действительно, введем «потенциал
квантового поля» Ф (х, х0) (он может зависеть еще от дис-
дискретных, например векторных, индексов, которые мы явно
не указываем). В случае электромагнитного поля Ф (х, х0)
представляет собой совокупность четырех компонент Аа(х).
В случае фононного поля, переходя в F.12) к координат-
координатному представлению, легко получить
Ф (х, х0) = -^=
(k.
F.16)

58
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[ГЛ. II
Тогда в обоих случаях мы имеем (в электродинамике кон-
константа связи g = e)
Н.Лхд = — g Г dxa (х) Г(О)а(х) Ф (х), F.17)
где
г@)_( "fa~B электродинамике> (б 18)
1 — в теории фононного поля.
Величина Г^0' называется элементарной вершинной частью.
Название связано со специальным приемом графического
изображения уравнений для функций Грина (см. приложе-
приложение I).
Не представляет труда обобщить все дальнейшие рас-
рассуждения (§§ 7—9) и на более общий нелокальный случай,
когда матрица Г@) в F.17) не диагональна не только по
спиновым, но и по пространственным координатам (соот-
(соответственно все операторы берутся в разных точках, и
число интегралов в F.17) утраивается).
«Координатная» форма записи F.17) оказывается весьма
удобной (хотя, конечно, и не обязательной) при формули-
формулировке и исследовании уравнений в вариационных производ-
производных (см. ниже §§ 8—10). Она в равной мере применима и
к любым другим полям; в частности, тензорная размерность Ф
и Г( ) никак не специализируется (с тем лишь очевидным
условием, чтобы произведение Г°Ф было инвариантно отно-
относительно преобразований симметрии, допустимых в данной
системе).
в) Спиновая система в ферромагнетике. Для полноты
приведем еще гамильтониан, с которым приходится иметь
дело при рассмотрении ферромагнитных явлений (гамильто-
(гамильтониан Гейзенберга). Обозначим через b(f) и Ь (/) операторы
Паули, зависящие от координат узла решетки f. Пусть, да-
далее, A (/j—/2) есть обменный интеграл для электронов,
находящихся в узлах fx и f2, a
— его фурье-образ, k—волновой вектор.
Пусть, наконец, Sf6 обозначает напряженность внешнего
магнитного поля, а \ьв — магнетон Бора. Тогда гамильтониан
§ 7] ЦЕПОЧКИ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ДВУХВРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЙ 59
Гейзенберга имеет вид
z_/ s> I rOi» <%P J О Аг(С\\л ^?
^ —— l-^P*rt'^fC' —I—•^¦^i v^/i ^j
/
x&(/,)ftc/2)-2 2'
/l./»
Здесь
—2 2^(/i —/а)Х
ХНА) Ъ С/У — 2 2 А (/, —/2) а (/,) п (/2). F.19)
Ун /з
Л^—общее число узлов решетки. Относительно вывода га-
гамильтониана F.19) см., например, работы [3], [24], [25].
§ 7. Цепочки уравнений для двухвременных
функций Грина1)
Запишем теперь в явном виде уравнения F.2) — F.4) для
некоторых простейших функций Грина. Ограничимся здесь
только системами ферми-частиц. Случай, когда а и а суть
операторы Паули, рассмотрен в гл. VII; перенос результатов
этого и следующего параграфов на случай систем бозе-
частиц требует лишь изменения знаков в некоторых проме-
промежуточных формулах.
Пусть для начала мы имеем систему ферми-частиц с пря-
прямым взаимодействием. Рассмотрим уравнение для одноферми-
онной функции Грина, полагая Сг (х) = а (к, х0), С2(х/) =
= а(к', х'оу Для операторов а, а, взятых в один и тот же
момент времени, справедливы обычные правила перестановки2)
а (к, х0) а (X/, х0) +• а (X'. х0) а (к, х0) = 8 (X — У),
а (X, х0) а (V, х0) -+- а (к', х0) а (к, х0) = 0. .
G.1)
Пользуясь равенствами G.1), F.6) и F.8) и принимая
во внимание свойство антисимметрии матричных элементов
>) См. [7].
2) Как всегда в таких случаях, символ В (\ — X') означает про-
произведение 5-функций от непрерывных параметров и дельта-симво-
дельта-символов Кронекера от дискретных параметров, входящих в состав X.

60
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[ГЛ. II
оператора U [см. замечание после формулы F.8)], легко находим
[Н'р (jc0), а (X, jco)]_ = ^в (X, х0) — f d\' (X | T -+- V \ У) а {У),
G.2)
[Hini(x0), a(k, xo)]_ =
= — Jdy d\" dk'" (X, \'\U\ У", X") a (X') a (X") a (X'"). G.3)
Из соотношений G.1) видно, что в данном случае выгодно
наряду с Gc рассматривать функции G(^ и G(a) [см. заме-
замечание после уравнений F.2) — F.4)]. Действительно, тогда
первые слагаемые в правых частях F.3) и F.4) становятся
дельтаобразными как по д:0—х'о, так и по X — X'. В то же
время уравнения для функций Gr~a и Gr> a имеют несколько
более сложный вид. Разумеется, окончательный результат,
например, для энергетического спектра системы получается
одним и тем же при использовании любых уравнений F.2) —
— F.4). Мы имеем в виду лишь формальное упрощение вы-
вычислений. Введем «двухчастичные» функции Грина, полагая
= iQ(xo~х'0)([а(У, хо)а(к", хо)а(У", х0), а(Х,, х'0)]+). G.4)
G^+^ 7х' X" Xf// х " X х'\ =
= — IB fx' — х0) ([а (У, х0) а (X", х0) a (Xw, х0), а (Хг, х'0)]\
G.5)
= * <Г {а (X', *0) а (к", х0) а (У", х0) а (X,. х'о))). G.6)
Эти функции суть частные случаи общей двухчастичной
функции Грина, зависящей от четырех времен. Другой част-
частный случай дается формулой E.24). Уравнения F.3) — F.4)
для функций G{r+\ G(a+) и Gc теперь примут вид
— Г rfXj (к | Т -(- V | Xj) G (Xlf д:0; X', х'о) —
^2/ ^2 ( I' ^2' ^3» -^0' • Хо) ==П
= -8(х0—<)8(Х —Х0. G.7)
— f dlx dk2
(к,
§ 7] ЦЕПОЧКИ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ДВУХВРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЙ 61
В частности, в координатном представлении для системы
с силами, не зависящими от спинов, мы получаем
— J dx"U(х — х")G2{х", х", х, х0; х', х'0) = —Ь(х — х1),
G.7а)
где U(x) — обычная потенциальная энергия взаимодействия,
причем U(x);=U(—х). Мы'сознательно опустили все ин-
индексы у функций G и G2, ибо уравнения, связывающие G,+)
с G*?l, G^+) с Ог,+2 и Gc с О2, с, оказываются совершенно
идентичными.
Для системы бозе-частиц получаются в точности такие
же уравнения, но вместо функций G^J и G^r, а следует
брать GjrJ и Ог7г, а- Это относится и к приводимым ниже
уравнениям [G.10) и т. д.].
В левой части G.7), помимо искомой функции Грина G,
фигурирует также «двухчастичная» функция G2. Уравнение
для нее составляется совершенно аналогичным образом, и
легко усмотреть, что в него, помимо G2, войдет также
«трехчастичная» функция Грина G3, содержащая уже шесть
операторов а, а под знаком усреднения. .Продолжая этот
процесс, получим бесконечную цепочку зацепляющихся урав-
уравнений. Естественно, наряду с G.7) и т. д. надо рассматри-
рассматривать и цепочку сопряженных уравнений, получающихся при
дифференцировании G, G2, ... по ^ (а не по х0). В даль-
дальнейшем мы, как правило, не будем явно оговаривать это
обстоятельство, лишь подразумевая его. По структуре левых
частей цепочка уравнений для функций Грина вполне ана-
аналогична цепочке уравнений для частных функций распреде-
распределения, найденной в работах [2], [3]. Разница состоит в том,
что в нашем случае искомые функции зависят от двух вре-
времен и система не однородна. Последнее обстоятельство
связано с наличием у рассматриваемых функций особенностей
при совпадении временных аргументов, т. е. именно с тем,
что позволило нам в §§ 4, 5 расширить определение спек-
спектральных функций на всю комплексную плоскость. Мы уви-
увидим, что это действительно весьма облегчает решение кон-
конкретных задач. Появление таких цепочек типично для любого

62
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
1гл. И
§ 7] ЦЕПОЧКИ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ДВУХВРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЙ
63
метода решения задачи многих тел и, по-видимому, в той
или иной форме неизбежно. Действительно, оно отражает
лишь невозможность точной изоляции некоторой группы ча-
частиц от всего остального коллектива при наличии взаимо-
взаимодействия между ними. Как правило, точное решение таких
бесконечных систем оказывается невозможным, и приходится
«расцеплять» цепочку тем или иным приближенным методом
(например, предполагая, что га-я функция Грина опреде-
определенным образом выражается через функции низших порядков).
Именно здесь, как уже указывалось, вступают в силу раз-
различные аппроксимации, которые имеет смысл рассматривать
не в общем виде, а применительно к той или иной конкрет-
конкретной задаче (см. гл. IV—VII).
Как видно из G.7), функции G{r+\ Од+) и Gc суть решения
одной и той же системы уравнений, удовлетворяющие раз-
различным граничным условиям по t. Вид этих граничных условий
формально может быть получен из определений C.1) — C.4)
и C.17); однако непосредственная формулировка их как
условий, накладываемых на искомые функции при х0 — х'о —>
—*±оо или при х0—х'0-^-0, не всегда удобна. Фактически,
однако, такая формулировка и не обязательна, ибо она экви-
эквивалентна тому или иному выбору полученных в §§ 3—5
спектральных представлений или дисперсионных соотношений.
Действительно, как видно, например, из вывода формул C.7)
и C.8), та или иная комбинация 0-функций от х0 — х'о одно-
однозначно предопределяет то или иное правило обхода полюсов
в подынтегральных выражениях (подробнее см. § 10). Таким
образом, чтобы удовлетворить граничным условиям, доста-
достаточно потребовать, чтобы искомая функция допускала спек-
спектральное представление должного вида. Практически удобнее
всего будет воспользоваться дисперсионными соотношениями
типа D.7), D.8), D.10).
Наконец, заметим, что уравнение G.7) отличается от
уравнения движения для матричных элементов оператора
а(\, х0) (в представлении Гейзенберга) только наличием
неоднородного члена в правой части. Этот факт отнюдь не
случаен. Он вытекает из самой структуры выражений
C.1) — C.4) и C.17), отличающихся от средних значений
(С1(х)С2(х')) лишь наличием разрывных множителей, 'диф-
'дифференцирование которых и дает дельтаобразные неоднород-
неоднородности. Именно это обстоятельство и дает основание назы-
называть выражения C.1) — C.4) и C.17) функциями Грина. Мы
действительно имеем дело здесь с функциями Грина (для
уравнений Шредингера, Максвелла и т. д.) в обычном мате-
математическом смысле этого слова.
Совершенно аналогично обстоит дело и при взаимодействии
частиц с квантовым полем. (Мы воспользуемся здесь коор-
координатным представлением.) На основании G.1) и F.17) имеем
[Нр/(х0), а(х, *0)]_=?Г@)а(-*)ФО0. G.8)
Введем теперь «смешанные» фермионно-бозонные функции
Грина вида
Rc(s, х, х0; s', х', х'о) = i {T {a (s, x) a (s', x') Ф (*)}) G.9)
(аналогично по типу C.1) — C.4) вводятся и функции /?^fj
и т. д.).
Тогда для функций Gi+\ Ga и Gc получим единое
уравнение
> х; 5'' Х>) —
", x;s'. *'
s, s") R(s", x; s', х') = — Ъ (xQ — x'o) 8 (x — x') 8„,.
G.10)
Здесь принято во внимание, что в координатном представле-
представлении Тх есть дифференциальный оператор (Дирака или Шре-
Шредингера— судя по характеру задачи), а матрица (лс | V \ х')
диагональна. Вместе с тем, мы не предполагаем диагональ-
ности V по спиновым переменным, сохраняя возможность
учета спиновых взаимодействий. В дальнейшем мы, как пра-
правило, не будем явно указывать спиновые индексы, имея
в виду соответствующее матричное перемножение.
Наряду с однофермионной в данном случае надлежит
ввести еще однобозонную функцию Грина, определив ее со-
соотношением типа E.29)
Ос(х,х') = — 1(Т{Ф(х)Ф(х')}) G.11)
(аналогично D{r~\ D(a~) и т. д.).
Уравнение движения для Dc легко найти с помощью со-
соотношения F.1) и правил перестановки для операторов Ф(х).
Рассмотрим сначала конкретные примеры взаимодействия

64
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[гл. п
фермионов с электромагнитным полем и с полем акустических
фононов.
В первом случае правила перестановки для операторов
Аа(х), Ар(х'), взятых в один и тот же момент времени,
имеют вид (см. приложение I)
[Аа(х, х0), Лр(х , Xq)]_^O,
4а (х, х0) д ,^_, х I =ic2g 8 (х х') G.12)
ГдАа (х, х0)
, Af(x', *„)] =0.
С помощью F.9), F.10) и G.12) легко убедиться, что
уравнение F.1) для оператора Аа(х) дает просто тождество:
дА дА
-^-g- =- л а (это и означает, что в данном случае уравнение
OXq OXq
движения для Аа и, следовательно, для Dc — не первого, а
более высокого порядка по времени). Применяя далее F.1)
дАа (х)
к оператору —" и вновь пользуясь правилами переста-
новки G.12) и формулами F.9), F.10), без труда получаем
J_
с
G.13)
Это, как и следовало ожидать, есть обычное уравнение Да-
ламбера с квантовым током в правой части. Для Dc (x, х')
мы получаем на основании G.11) и G.12)
Принимая во внимание G.13), находим окончательно
а (х) ^а (х)
= g^ (x — х'). G.14)
Заметим, что при проверке уравнения G.14) для того или
иного явного вида Dc(x, x') следует соблюдать осторожность.
Так, если для свободного поля подставить сюда выраже-
§ 7] ЦЕПОЧКИ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ДВУХВРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЙ 65
ния E.30), E.35) и выполнить дифференцирование под зна-
знаком интеграла, то в правой части можно получить дополни-
дополнительные члены типа 8" (х — х'). Это обстоятельство связано
с сингулярностью Г-произведения при совпадении временных
аргументов (или, что сводится к тому же, с расходимостью
получающегося интеграла) и означает лишь недопустимость
такой процедуры.
Обратимся теперь ко второму случаю — взаимодействию
электронов с акустическими фононами. Правила перестановки
для операторов Ф(х) легко найти, пользуясь выражением F.16)
и правилами перестановки для |, ?:
5 (к) 5 {k') — \ (ft') \ (*)¦= 8 (ft — k'),
5 (ft) S (ft')—5 (*')?(*) = 0.
Таким путем получаем
[Ф(х, х0), Ф(х'. *0I_=0,
(*'. х0), i*^
G.15)
G-16)
Вычисляя с помощью F.1), F.17), F.11) и G.16) произвая-
вновь убеждаемся, что уравнение F.1) а при-
дФ (х)
ную .
OXq
менении к Ф(х) в Данном случае обращается в тождество
-5—= -5—. Соответственно применим F.1) к оператору , --;
это дает
+ /(*)
(ft, х0)} — gVla(x) Г(о) а (х). G.17)
Первое слагаемое в правой части G.17) можно преобразовать,
вводя оператор о>2(—/V ); по определению
(— jvj eikx = со2 (ft) eittx.
G.18)
Поскольку (o(ft) есть четная функция, изучаемое выражение
принимает вид
— аР(—Нх)Ф(х). G.19)
5 Зак. 2126. Метод функций Грина

66
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[ГЛ. II
С помощью G.16), G.17) и G.19) немедленно находим урав-
уравнение для Dc(x, x'):
d2Dc (x, x')
дх\
_|_m2(—«
x') —
— igVl {Т{а(х) Г<0)а (х) Ф(*')}) = V*8 (х — х'). G.20)
Теперь легко написать уравнение движения для Dc (x, х')
в общем виде, справедливом для любого бозевского поля1),
взаимодействующего с фермионами по закону F.17). Для этой
цели заметим, что дифференциальные операторы, действующие
на Dc(x, x') в левых частях G.14) и G.20), определяют
уравнения движения соответствующих свободных полей;
с другой стороны, множители (вообще говоря, операторные),
стоящие при 8-функции и при средних значениях тройных
произведений, обусловлены как видом перестановочных соот-
соотношений для операторов поля Ф (х), так и видом гамильто-
гамильтониана взаимодействия. Из структуры уравнений явствует,
что так же будет обстоять дело и в общем случае (от кон-
конкретной природы поля зависит лишь явный вид названных
операторов). Обозначим дифференциальный оператор, фигу-
фигурирующий в уравнении движения свободного бозевского поля,
через L (х) = —= L(x), а множитель при 8-функции и
при тройном произведении — через /(-?). Введем, далее, еще
одну «смешанную» функцию Грина
Qc(s, s', x, x') = l{T{a(s. x)a(s', x), Ф (*')})• G-21)
(Она отличается от Rc другим распределением операторов Ф
и а по моментам времени; аналогично вводятся и функ-
функции Q{r~\ Q(a~) и т. д.)
Тогда общее уравнение для Dc(x, x') можно записать
в виде
L (х) Dc {х, х') + gf Sp r@)Qc (x, x') = /8 (x — x'). G.22)
Здесь шпур берется по спиновым переменным; величины /,
Г@) и Qc могут иметь и векторные индексы. В согласии
с G.14) и G.20) оператор / в электродинамике и в теории
') Имеются в виду поля, для которых не имеет места закон
сохранения числа квантов [как это ясно видно из F.17)].
§ 7] ЦЕПОЧКИ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ДВУХВРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЙ .67
фононного поля имеет вид соответственно с2 и V^ («единичная»
матрица в электродинамике есть gao).
Такие же уравнения получаются и для функций D(r~}
и QU-
В тех случаях, когда / есть дифференциальный оператор,
уравнение G.22) отличается по виду от обычного уравнения
для функции Грина, ибо содержит в правой части не просто
8-функцию, а производные от нее. Легко, однако, получить
и уравнение обычного типа, полагая
Dc(x. x') =
x'),
G.23)
где Ac(jc, x') — некоторая новая функция. Для нее мы полу-
получаем в силу G.22) и G.23)
Z.(jf)Ac(jf.
= Ь {х — х'). G.24)
Таким образом, в данном случае правильнее было бы назы-
называть функцией Грина не Dc, а вспомогательную величину Дс;
функция же Dc получается из Дс с помощью дифференциаль-
дифференциального оператора /. Очевидно, для Д^, справедливы спектраль-
спектральные представления и дисперсионные соотношения, установлен-
установленные ранее для Dc. Мы, однако, сохраним за Dc название
«функция Грина», имея в виду, что это не может повести
к каким-либо недоразумениям по существу.
Функцию Дс для фононного поля легко связать со сред-
средними значениями операторов ?, \. Так, для акустических
фононов на основании F.13), F.16) и G.23) мы получаем
АД*.
xo)J(k,
-Н(— ft, *оM(— к, х'о) — 5(ft. *оШ— ^ хо
—Т(— k,xQH(k, xb
. G.25)
Легко видеть, что эта величина имеет не только вспомога-
вспомогательное, но и самостоятельное значение: в этом случае пра-
правая часть F.12) с точностью до множителя g У р (р — плот-
плотность кристалла) представляет собой дивергенцию вектора и—
вектора смещения атомов решетки из положения равновесия.
Соответственно выражение G.25) определяет временную

68
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[ГЛ. II
корреляционную функцию и (при хг0 = хЛ среднее значение
произведения продольных компонент и.
В некоторых задачах, например при вычислении термо-
термодинамического потенциала фононов, оказывается удобным
вместо G.11) ввести функцию Грина непосредственно для
самих операторов S-, ?, полагая
Fc(k, t) = —
G.26)
(аналогично F\-t ?).
Для определения энергетического спектра системы функ-
функция Fc дает то же, что и Dc, и для нее справедливы спек-
спектральные представления того же типа. Уравнения для функ-
функций Fc, Fi~\ F{^ составляются по той же схеме, что и
описанная выше.
Аналогичным путем составляются и уравнения для «сме-
«смешанных» функций Грина R и Q. В них войдут функции
Грина еще более высоких порядков, т. е., как и в случае
систем с прямым взаимодействием, мы получаем здесь, вообще
говоря, бесконечную систему зацепляющихся уравнений. Гра-
Граничные условия к ним также удобнее всего сформулировать
в виде дисперсионных соотношений типа D.7), D.8) и D.10).
§ 8. Уравнения в функциональных производных1)
При фактическом решении систем типа G.7), G.10), G.22)
всегда приходится «расцеплять» цепочку с помощью того
или иного приближенного приема. Уже по этой причине
весьма полезно иметь различные представления для иссле-
исследуемых уравнений. В настоящем параграфе будет показано,
что в случае причинных функций Грина уравнения типа G.10),
G.22) можно записать в весьма компактном виде, вводя
в рассмотрение функциональные производные от искомых
величин по некоторым вспомогательным аргументам. Мы про-
проведем явные выкладки для системы ферми-частиц; впослед-.
ствии (в § 9) будут указаны изменения, которые следует
внести при переходе к бозе-системе. Несколько иным путем,
не выходя за пределы «двухвременных» структур, можно
') См. [5], [б], [8].
§ 8]
УРАВНЕНИЯ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
69
переписать в функциональных производных и уравнения для
опережающих и запаздывающих функций Грина.
Обратимся прежде всего к уравнению G.10) и рассмотрим
несколько внимательнее фигурирующую там функцию Rc(x, х')
G.9) (мы не выписываем явно спиновых и других дискретных
переменных, считая все величины соответствующими матрицами):
Rc(x, х') = 1(Т{а(х)а(х')Ф(х)}).
Задача состоит в том, чтобы представить это выражение как
некоторую операцию над Ос (или над связанными с ней
функциями). Для этой цели введем (чисто формально) величины
Ос(х, х'; J) =
Rc(x, х'; У) =
= Т \ ехр * Г dz Г dz0J(z) Ф B) у.
I J _» J
(8.1)
(8.2)
(8.3)
Здесь J—некоторая классическая функция, трансформацион-
трансформационные свойства которой обеспечивают инвариантность произве-
произведения ]Ф относительно допустимых в данной системе пре-
преобразований симметрии (так, в электродинамике J есть 4-вектор
с компонентами J°, J1, где J0 = p — «классическая внешняя
плотность заряда», J — вектор «классической внешней плот-
плотности тока», деленный на с).
Очевидно,
Gc(x, x') = \imGc(x, x'\ J),
в (х, x') = \imRc(x, x'; J)
х , J)—
bGe(x,x';J)
l Щх)
¦ (8.4)
Уравнение для функции Gc(x, x'\ J) легко поручить,
принимая во внимание, что операторы Ф и а, взятые в один

70
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[ГЛ. II
и тот же момент времени, по определению коммутируют.
Подставляя (8.4) в G.10), мы получаем
— [Tx-\-V(x)]Gc(x, х'; J) — i
, x';J) —
^_Чх_х,) (g5)
Фигурирующая здесь функциональная производная —i „ . ,
имеет совершенно ясный физический смысл: она определяет
(при J—>0) средний (как в квантовомеханическом, так и
в термодинамическом смысле) потенциал квантового поля Ф (х).
Действительно,
))^^(х)- (8-6)
Соответственно положим формально
Bln<S>
Ф(х; J) =
(8.7)
Ы(х) •
Тогда уравнение (8.5) принимает вид (аргументы у, z, . . .
употребляются на равных правах с х, х')
g; J) _
Совершенно так же преобразуется и уравнение G.22).
Рассматривая Dc и Qc как функционалы от J [построенные
по образцу (8.1) и (8.2)], мы получаем
o {х, х\ J) _
Таким образом, уравнение G.22) принимает вид
L(x)Dc(x, х'; J)-\-gfSPr^Gc(x, x;J)Q>(x'; /
х'). (8.10)
§ 8]
УРАВНЕНИЯ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
71
Соответственно вместо G.24) мы получим, вводя функ-
функцию Ь*с{х, х'\ J) по образцу G.23):
L(x)Ac(x, х'; J) + gSpTi0)Gc(x, x; J)&(x'
=Ь(х-х'). (8.10а)
В частности, для однофотонной функции Грина мы получаем
-x'). (8.11)
В пространственно однородной системе при J = 0 второй и
третий члены в левой части (8.11) можно отбросить, так как
в силу однородности средний потенциал не может зависеть
от х, а постоянный потенциал, естественно, всегда можно
считать равным нулю. Это относится и к общему уравне-
уравнению (8.10).
Заметим, что «внешняя плотность тока» J в формуле (8.3)
и других имеет чисто формальный смысл, и после вычисле-
вычисления вариационных производных ее следует приравнять нулю.
В дальнейшем мы всегда будем иметь в виду эту операцию,
не оговаривая ее особо. В системе заряженных частиц,
однако, Ja входит в уравнение для среднего потенциала Ал (х; J)
как настоящая классическая плотность 4^тока, порождающего
данное поле. Действительно, пользуясь (8.3) и (8.7), мы
получаем
1 д2Аа (х)
„2
= — gaJa (х) — teg.* Sp T-Gc (x, x) (8.12)
(без суммирования по а). В частности, в нерелятивистском
приближении (в том числе и в пренебрежении запаздыванием
поля) для среднего скалярного потенциала ср (= — Ао) нахо-
находим, принимая во внимание связь Gc(x, x) с концентрацией
частиц п(х), E.4):
v?cp = — р (х) — еп (х). (8.13)

72
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[ГЛ. II
Таким образом, уравнениями (8.12), (8.13) можно восполь-
воспользоваться для вычисления среднего потенциала, создаваемого
данной классической плотностью 4-тока. При этом, строго
говоря, и однофермионную функцию Грина следует вычислять
с учетом данного потенциала. Это означает, что в уравне-
уравнении (8.8) надо считать Ф(х, J) Ф 0 при 7 = 0, а функцию J
в (8.3) надо рассматривать как отклонение классической
плотности 4-тока от истинного ее значения.
В заключение обратим внимание на одно важное соотно-
соотношение между функцией Dc и средним потенциалом Ф. Вспом-
Вспомним определение среднего потенциала (8.7) и проварьируем
это равенство по J(x'). Принимая во внимание G.11), легко
находим
Dc {х,
(8.14)
В применении к электромагнитному полю именно это
равенство делает ясным смысл условия E.37): только в силу
E.37) формула (8.14) совместима с обычным условием
Лоренца, накладываемым на компоненты 4-потенциала:
1 дА0(х) dAt(x) _
дх0
(8.15)
В отсутствие второго слагаемого в левой части (например,
в пространственно однородной системе) формула (8.14) очень
ясно демонстрирует роль функции Грина как классической
«функции влияния», определяющей изменение потенциала
при появлении внешних источников. Естественно, имеется
в виду однородность в отсутствие внешних классических
источников (или — в электродинамике — в отсутствие источ-
источников поля сверх компенсирующего заряда). Иногда равен-
равенство (8.14) (без последнего члена) принимается за определе-
определение однобозонной функции Грина
ВФ (х; J)
а/С*') '
D'Ax,
х'; У) =
(8.16)
Это определение эквивалентно G.11) только при Ф = 0
(почему мы и снабдили штрихом функцию Dc в левой
части (8.16)); при Ф Ф 0 функции Dc и D'c различны
см. (8.14)).
§ 8]
УРАВНЕНИЯ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
73
В приближении, линейном по Ф(х) (случай достаточно
слабого поля), формула (8.16) позволяет сразу выразить Ф
через J:
Ф(Х; J) = — fdx'D'c(x, x'; O)J(x'). (8.17)
Отсюда, в частности, следует, что g \ D'c(x, x')dx'oприх' = 0
есть потенциал статического точечного «заряда»1), располо-
расположенного в точке jc' = O [ср. замечание после формулы E.40)].
Это обстоятельство наводит на мысль о возможности заме-
заменить любое прямое (бинарное) взаимодействие между части-
частицами взаимодействием их с некоторым квантовым бозевским
полем. Этот вопрос подробно рассмотрен в приложении I,
п. е, где показано, что при определенных условиях такая
замена действительно возможна.
Уравнение для функции D'c, как легко убедиться, совпа-
совпадает с (8.10), если вычеркнуть там второе и третье слагае-
слагаемые в левой части, т. е. оно никогда не содержит явно
потенциала Ф(х) и тока J. Легко проверить, например, что
вариация уравнения (8.12) по J (х') дает (8.11) без второго
и третьего членов слева. По этой причине функцией D'c
иногда бывает удобнее пользоваться, чем Dc (так, например,
обстоит дело при вычислении среднего потенциала в про-
пространственно неоднородной системе заряженных частиц,
см. § 21). С другой стороны, дисперсионные соотноше-
соотношения §§ 4, 5 явно выписаны именно для Dc, а не для D'c.
Чаще всего, однако, рассматривается однородная система,
когда различие между Dc и /У исчезает. В дальнейшем мы
всегда будем писать уравнения именно для D'c, имея в виду,
что она совпадает с Dc как раз тогда, когда последняя
представляет интерес.
Цепочку уравнений для случая системы с прямым взаимо-
взаимодействием также легко записать в виде уравнения в функцио-
функциональных производных. Действительно, по определению
Gc(x, x') = i
(8.18)
¦) Здесь слово «заряд» написано в кавычках потому, что речь
может идти не только об электродинамических взаимодействиях.

74
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[ГЛ. II
Введем функционал
Gc(x, xr; F) =
где
(8.19)
5 = т| exp / J dldl' dx0F (X, X'; x0) a(k, x0) a (X', x0) \. (8.20)
Введем также, по аналогии с (8.7), величину
(8.21)
Выполняя варьирование, легко убедиться, что
С, (\ \ \ v • \r v'\ . bGc(h< хо> ^'> хо) .
U2,c{Kv К2- V х0' Л' хо) — —l bF(ku Х2; х0) Г
-f-4P"(Xr Хз", ^0)Ос(Х3, х0; X', х'оу (8.22)
Таким образом, уравнение G.7) принимает вид
¦+ fdX.FiK X,; х0)ОДХ„ х0; X', j$—
\(X\ Т-\-УЩОе(^. х0; X', *?)_
, х0; X', x?)J = —8 (* — *'). (8.23)
Величина ч7(Х, X'; х0) имеет ясный физический смысл.
Действительно, на основании (8.20) и (8.21)
ЧГ(Х. X'; хо) =
(г {^(Х Х) а(Х' )s]} (Х> х/; х°}- (8-24)
где pj — первый статистический оператор A.9).
Заметим, что по определению G.6) функция G2>C(X1, X2,
Х3; xQ, X', x'q) антисимметрична (или симметрична, если речь
идет о системе бозе-частиц) относительно перестановки
§ 8]
УРАВНЕНИЯ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
75
индексов Хд, Х3. Это свойство не отражено явно в правой
части (8.22), что могло бы привести к известным осложне-
осложнениям при вычислении фигурирующих там величин каким-либо
приближенным методом. В применении к уравнению (8.23)
это не существенно, ибо G2>c входит туда лишь будучи умно-
умножена на функцию (X, Xj | U \ Х3, Хз), а последняя, как уже
указывалось, обладает должными свойствами симметрии.
Осложнения, однако, могут возникнуть при переходе к коор-
координатному представлению, ибо в уравнении G.7а) вместо пол-
полной матрицы фигурирует уже просто потенциальная энергия
взаимодействия U(x — х"). Поэтому в данном случае целе-
целесообразно явно симметризовать (или антисимметризовать)
правую часть (8.22), полагая
U
2,c
" х" х х • х' х'\ — —I I
, X , X, Хо, X , XQ) — 2 | I
bGc(x", xo;x, x'Q)
*> ¦*')
bF{x",x;x0) ~>г^сУх'х>^\
Т Gc(x", х0; х', x'0)W(x". x; x
(8.22а)
Здесь верхний или нижний знаки надо брать для статистик
Ферми или Бозе соответственно. Тогда уравнение G.7а)
примет вид
dx" F
о) Х
X Gc {х", х0; х', х'о) — ~J dx"U{x — х") \ —
_ bGc(x", х0; х', х'о)
oGc(x; x')
bF(x",x";x0)-
±i
bF (x", x; xa)
Ge(x". x0; x', x'0
x;
= — 8 (x
При этом, естественно,
Gc(x, x')= lim Gc(x, x'\ F),
x;
". x; x0).
x').
(8.23a)
(8.24a)
(8.25)

76
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[гл. п
§ 9. Массовый и поляризационный операторы.
Эффективное волновое уравнение
В конкретных вычислениях удобно явно исключить функ-
функциональные производные от G по J, введя некоторые новые
величины. Для этой цели произведем замену функциональ-
функционального аргумента, рассматривая Gc, Rc, . . . как функционалы
от Ф, а не от J.
Обратимся прежде всего к уравнению (8.8). Мы имеем,
очевидно,
ЬОе{х,х')= Гаг,ЪОЛх,х') ВФ>')
В/ (г) J ВФ (г') Ы (г)
Введем, далее, обратную функцию Грина G^(x, x'), опре-
определив ее очевидным соотношением
fGc(x, jc'OG^", x') dx" = 8 (х — х'). (9.2)
Варьируя (9.2) по Ф (z'), получаем
/ а"с(*. х ) Gc^ix", x')dx" =
= — [gc(x, х")-
", х')
откуда
г')
= -J dy'dy"Gc(x, у')
ВФ (г')
У', У")
dx",
5Ф B')
Gc{y", x').
Соответственно, принимая во внимание (8.16), можем пере-
переписать последнее слагаемое в левой части (8.8) в виде
— ig2^ f
dy'dy"dzGc(x, у'
X
(*)
Введем обозначения
Т(х, у; z) =
(У'' У } D'c{z, x)Gc(.y", x'). (9.3)
1 (х, у)
(9.4)
М{х. y) = — ig2T{0)fdy'dzGc(x, у') Г (у', у; z)D'e(z, x).
(9.5)
§ 9] МАССОВЫЙ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЙ ОПЕРАТОРЫ 77
Тогда вместо (9.3) мы получим
— fdy"M(x,y")Gc(y",x). (9.6)
а вместо уравнения (8.8)
0}
— fdyM(x, y)Gc(y, *') = —8 (* — *')¦ (9-7>
Отметим особо случай системы частиц с электромагнит-
электромагнитным взаимодействием. Тогда в силу FЛ8) равенства (9.4),
(9.5) и (9.7) принимают вид
, x)Gc(x, v)I*(p. у; и),
(9.5а)
b°<x'/K (9.4а)
М(х, y) =
Wo + V- — Т* — V
— ГdyM(x, у)Gc(у, х')=—Ъ(х — х'). (9.7а)
Далее, рассмотрим специальный случай, когда взаимодей-
взаимодействие с квантовым полем исчезает (g—>0). Тогда уравнение
(9.7) дает
«/\ э /у yf\ f'-X ff\
Легко проверить, что при V(jc) = O (свободные частицы
в отсутствие внешнего поля) этому уравнению действительно
удовлетворяет функция E.20). На основании (9.76) равенство
(9.7) удобно переписать в символическом виде, рассматривая
х и х' как непрерывные матричные индексы:
+ МО, = 1.
@.7в)
Совершенно аналогично преобразуется и уравнение для
однобозонной функции Грина. Рассмотрим уравнение типа
(8.10) для D'c(x, х'):
L{x)D'c(x, *';./) — igf Sp Г@) 5Gc5^y' J) = /8 {x-x% (P.8)

78
уравнения для функций грина
[гл. и
где L, /— операторы, введенные в § 7. Подобно (9.1) —(9.3),
Г@)
c' х;
bJ(x')— —
= ig2f SPr@) f dy' dy" dzOc (x, У) X
8G71 (у', у")
X W) °ЛзЛ *W*' *0- (9-9)
Примем во внимание определение (9.4) и введем обозначение
&(х, у) =
= — ig* Sp Г@> J dy' dy" Ос (х, у.) Г (у', у; у) О, (/', Х). (9.10)
Тогда правая часть (9.9) примет вид
fdy^(x, y)D'c(y, xf), (9.11)
и вместо (9.8) мы получим
L (х) D'c (х, xf) —/ fdy^(x, y)D'c(y, x') = /5 (*—*')• (9.12)
Аналогичное уравнение получится и для Д^. В специальном
случае, когда взаимодействие частиц с. квантовым полем
исчезает (g —>-0), мы получаем отсюда
, *') = 8 (* — *'). (9.12a)
Это равенство, как и в случае однофермионной функции
Грина, позволяет переписать (9.12) в символическом виде
jfA/(O)j ^_#*ь'е==.1ш (9.126)
Рассмотрим особо случай однофотонной функции Грина.
В силу (9.10) и F.18) мы получаем
&* (х, у) = — ie2gab Sp т8 fdu dvOc (х, и) Гр (и, v; у) Ос (v, x).
(9.13)
При этом уравнение (9.12) принимает вид
-/
'"• ^ Dc, т? (У' Х') = ^ар8 (X — X'). (9.1 4)
§ 9] МАССОВЫЙ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЙ ОПЕРАТОРЫ
79
Отметим, в частности, пространственно однородный случай,
когда
/ ap (Л, со) в" 'ш ("о-о)-1"'
&1{х. у) = fdkd^Kk, '«o)e-K*o-*o)+«*.*-
Подставляя эти разложения в (9.14), находим (ko =
(9.14а)
Заметим, что если для функции DCiaQ(k) воспользоваться
калибровкой E.35), то в таком же виде можно писать и
(9.15)
Действительно, в силу E.35) добавка типа kak^1 не дает
вклада в произведение S^^DC ^.
Естественно, такая форма записи (без дальнейших огово-
оговорок) пригодна лишь для вычисления калибровочно инвариант-
инвариантных величин. С другой стороны, желая вычислять выражения
типа ?РаяА , формулой (9.15) можно пользоваться, лишь если
потенциалы удовлетворяют условию Лоренца.
Величины М и S0 называются соответственно массовым
и поляризационным операторами. Эти названия заимствованы
из квантовой теории поля и связаны с тем, что М(х, у)
описывает поправку к энергии (массе) частицы за счет взаи-
взаимодействия с квантовым полем (в теории элементарных
частиц — с вакуумом), а S^(x, у) учитывает эффект поля-
поляризации вакуума. Мы увидим, что в электродинамических
задачах тензор &* {х, у) действительно описывает поляризацию
среды в самом прямом смысле этого слова.
Функция Т(х, у; z) именуется полной вершинной частью.
При исчезающе малом взаимодействии она сводится к Г( \
Действительно, умножим уравнение (9.7) справа на G~l (x', х")

80
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[ГЛ. II
и проинтегрируем по х', принимая во внимание (9.2). В пре-
пренебрежении величинами порядка g2 мы получим
' ш+1*—т*—v
<¦* — *"> =
откуда, используя (9.4),
Г (x, у; z) = Г@)§ (x — у) 8 (jc — z) -+- О (g2). (9.16)
Уравнения типа (9.7) и (9.12) были впервые получены
Швингером [4] для случая квантовой электродинамики. Сов-
Совместно с дополнительным условием Лоренца они эквивалентны
обычной системе уравнений Максвелла и Дирака (или
Шредингера). Аналогичные уравнения в функциональных про-
производных можно получить и для функций Грина более вы-
высокого порядка (см. приложение V).
На основании результатов § 5 и уравнений (9.7) и (9.12)
оказывается возможным поставить задачу о вычислении энер-
энергетического спектра системы как некоторую формально «одно-
частичную» задачу на собственные значения [15]. Именно,
допустим, что потенциалы V (х) и Ф (х) не зависят явно от
лг0, а функция М(х, у) зависит лишь от разности времен-
временных координат
М(х, у) = М(х, у; х0 — у0).
Эти предположения суть не что иное, как необходимые
условия возможности стационарной (или квазистационарной)
постановки задачи. Только в этом случае, очевидно, и можно
говорить об энергетическом спектре.
В соответствии с §§ 4, 5 введем фурье-образы, полагая
+ ОО
Gc(x, y)= J dEe-lE(x°-yo)Gc(x, у; Е),
—со
+ ОО
М(х, У)= f dEe-iE(xo-y°)M{x, у; Е).
— со
Тогда мы получим из (9.7)
c(x, х'; Е) —
— 2тг JdyМ(х, у; Е) Ос(у, х'; Е) = —~Ь{х — х'). (9.17)
§ 9] МАССОВЫЙ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЙ ОПЕРАТОРЫ
Это уравнение удобно записать символически в виде
81
(9.17а)
где R — оператор, определяемый левой частью (9.17) (его
можно назвать «эффективным гамильтонианом»). Отсюда
явствует, что полюсы Gc(x, x'\ E) суть собственные значения
оператора R. Таким образом, вычисление спектра в данном
случае сводится к решению однородной задачи
{E — R(E)} г = 0, (9.18)
где х(х' Е) — вспомогательная функция. Это есть «эффек-
«эффективное волновое уравнение», частным случаем которого
является, например, известное уравнение Дирака с радиаци-
радиационными поправками ([1], [4]).
Совершенно аналогично формулируется и задача "о соб-
собственных значениях для полюсов однобозонной функции Грина.
Действительно, положим
+ ОО
&'с(х, у)= J
—¦ по
+ О
S°{x, y)= J
.. у; Е),
x, у; Е).
Тогда в полной аналогии с (9.17) получим
l—E2-\-L(x)}A'c(x, х'; Е) —
— 2тг f
L
х, у; Е) А; (у, х'; Е) = -L о (* — х'),
-L
и, следовательно, полюсы А^(дг, х'\ Е) определяются из
задачи на собственные значения
{—
L'(x)} <р (х, Е) —
х, у; Е) ср (у, Е) = 0. (9.19)
Здесь ср (л:, Е) — вспомогательная функция.
Важно заметить, что специальные свойства функций Gc
и А' никак не использовались при выводе уравнений (9.18)
и (9.19). Поэтому эффективные волновые уравнения такого
типа справедливы (в указанных выше предположениях) для
6 Зак. 2126. Метод функций Грина

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[ГЛ. II
любых двухвременных величин типа C.17). Во всех этих
случаях для определения соответствующей ветви спектра
системы N взаимодействующих частиц получается урав-
уравнение в пространстве, вообще говоря, г измерений, где
г — число независимых переменных, входящих в состав
аргумента X. От конкретной природы операторов Сг
и С2 в C.17) при этом зависит лишь явный вид операторов
типа /?(?).
Уравнения типа (9.18), (9.19) дают, по-видимому, наи-
наиболее наглядное обоснование идеи о газе квазичастиц, спектр
которых может зависеть от температуры.
Подчеркнем, однако, что фактически эта идея обосно-
обосновывается в той мере, в какой она вообще справедлива,
спектральными теоремами §§ 4, 5. Уравнения типа (9.18),
(9.19) имеют лишь преимущество большей наглядности.
В связи со сказанным следует сделать несколько заме-
замечаний.
Во-первых, уравнение (9.18) (и ему подобные) получено
без каких бы то ни было предположений о малости взаи-
взаимодействия, разложимости в ряды и т. п., и интерпретация
его основана исключительно на спектральных свойствах
функций Грина, т. е. на точных соотношениях. Более
того, после установления связи энергетического спектра
системы со спектральными свойствами функций Грина (§ 5)
возможность точно ввести такие формально «одночастич-
ные», «двухчастичные» и т. д. уравнения становится почти
тривиальной.
Во-вторых, задачи на собственные значения типа (9.18),
как правило, не эрмитовские. Так, например, диагональные
элементы массового, поляризационного и им подобных опера-
операторов могут иметь конечные мнимые части. В результате
собственные значения Е могут оказаться комплексными
(имеет место затухание). Соответственно народу с (9.18),
(9.19) и т. д. следует рассматривать и сопряженные с ними
уравнения.
В-третьих, уравнения типа (9.18) только выглядят как
одночастичные; фактически же эффекты взаимодействия между
частицами полностью в них учтены. Это проявляется в том,
что названные уравнения, строго говоря, нельзя рассматри-
рассматривать независимо друг от друга. Например, в массовом опе-
операторе фигурирует однобозонная функция Грина, сама под-
§ 9]
МАССОВЫЙ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЙ ОПЕРАТОРЫ
83
лежащая определению. В конкретных задачах эту трудность
(весьма существенную) иногда удается обойти полуфеномено-
полуфеноменологическим путем (см. ниже, § 24).
В-четвертых, эффективные волновые уравнения, как пра-
правило, нелинейны — массовый и поляризационный операторы
сами зависят от Gc и D'
Наконец, в-пятых, уравнения (9.18) и др. отличаются от
обычных задач на собственные значения тем, что параметр Е
входит в них нелинейно: от Е через М (х, у; Е) зависит и
сам оператор R.
Именно последние два обстоятельства не позволяют
обычным способом выразить Gc (х, у; Е), Д' (лг, у; Е) и
аналогичные им через решения (9.18), (9.19) и сопряженных
с ними уравнений.
Из уравнений (9.18), (9.19) следует один вывод общего
характера. Именно, мы видели в гл. I, что частоты Е,
определяющие особые точки функций Грина, не зависят от
общего объема системы Vх). Следовательно, асимптоти-
асимптотически не зависят от объема и операторы в левых частях
эффективных волновых уравнений, т. е. и массовый и поля-
поляризационный операторы в пределе при V —> оо не зависят
от V. Отсюда следует, что асимптотически при V—>оо
объем системы вообще не входит в уравнения для функций
Грина, т. е. последние представляют собой интенсивные,
а не экстенсивные величины.
Если G'—§ (X.— X/), как это имеет место, например,
в ^-представлении в однородной системе, то сказанное
относится к коэффициентам при 8-функциях.
Рассмотрим теперь частный случай, когда фурье-образ
массового (или поляризационного и т. д.) операторами (л:, у; Е)
а) не зависит от Е, т. е. М (х, у) содержит множитель
S (л;0 — у0), б) задан a priori, т. е. не содержит искомой
функции Грина, и в) эрмитов. Разумеется, фактически такая
ситуация — во всяком случае, для простейших функций
Грина — может иметь место лишь приближенно. Например,
так обстоит дело в системах с мгновенным (в частности,
') Разумеется, речь идет лишь об асимптотических свойствах,
справедливых при К->оо. До выполнения этого предельного пере-
перехода зависимость энергетического спектра системы от ее размеров
вполне возможна и естественна.
6*

84
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[ГЛ. II
кулоновским) взаимодействием, если считать последнее доста-
достаточно слабым и ограничиться первым неисчезающим прибли-
приближением по константе связи (см. § 11).
В указанных условиях уравнение (9.18) превращается
в стандартную линейную эрмитовскую задачу на собствен-
собственные значения и функция Грина допускает обычное билинейное
разложение по функциям х(х- ^0- Последнее при этом имеет
непосредственный физический смысл, который мы выясним,
связав функции ^ с функцией Грина. Действительно, обозна-
обозначим через а совокупность параметров, нумерующих соб-
собственные функции у, и положим
Ос(х, х'; E) = — ±
', в)Х
1 fl(») I bJu) \
\ Е—Б{и) — П ^ E—E(u) + it I
(интеграл может, как всегда, обозначать также сумму, если
уравнение (9.18) имеет и дискретный спектр). Принимая во
внимание условие полноты
, u)x(x', и) = Ъ(х — х'),
видим, что правая часть (9.20) удовлетворяет уравнению
(9.17), коль скоро
\. (9.21)
Отношение ajb определяется из граничных условий, накла-
накладываемых на функцию Gc (x, x'; Е). Как уже указывалось
в §§ б, 7, эти условия можно заменить дисперсионными
соотношениями § 4. В данном случае (поскольку речь
идет о причинной функции) следует воспользоваться равен-
равенством D.10)
G (X х- Е^— l f cLE> l + е~^'
Ос(*. X, ?) — — J dt l_e-pE-
е' —
Удобно перейти в (9.20) к другим переменным, выбирая
в качестве одного из параметров а саму энергию Е(и)^Е'\
совокупность прочих параметров обозначим буквой v, и пусть
Z {Е', v) есть якобиан перехода от и к (Е', v). Тогда мы
§ 9] МАССОВЫЙ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЙ ОПЕРАТОРЫ
получим
+оо
dE' fdvZ(E', v)
85
Заметим, что фактически интеграл по Е' берется, вообще
говоря, не в бесконечных пределах, а естественно обрывается
на верхней и нижней границах спектра. Действительно,
%(х, Е', f) = 0, если Е' не есть собственное значение (9.18).
По этой причине мы не будем впредь указывать пределы
интегрирования в соответствующих формулах.
Допустим, что а и Ъ вещественны и зависят только от
энергии (это будет оправдано последующим расчетом: мы
увидим, что таким путем действительно удается удовлетворить
граничному условию). Тогда, полагая в (9.22) х' — Х и от-
отделяя вещественную часть от мнимой, мы получаем
Im Gc (x, x; E) = — —g— J | x (*, ?, *) p z (E, v) dv, (9.23)
Re Gc (x, x; E) = -1 / ЛЕ'УIm °^^ ?/> ¦ |±|. (9.24)
Отсюда в связи с D.10)
а — * j е~$Е' '
Совместно с (9.21) это дает
«(?')=¦
1
(9.25)
Таким образом,
Gc (дг, X'; E)=—~^JdE' dvZ (E'. v) X (X, Е', v) x (xf, Е', v)X

86
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[ГЛ. II
Совершенно аналогичные представления получаются и для
функций Gr/. Легко видеть, что выражение (9.26) формально
совпадает с функцией Грина для системы независимых ферми-
частиц, подчиняющихся волновому уравнению с гамильтониа-
гамильтонианом R (ср. E.13) и E.14)). Роль суммы по X в данном слу-
случае играет интеграл по о с весом Z (Е', v). Это есть важный
аргумент в пользу целесообразности нашего определения
спектра, зависящего от температуры. Заметим теперь, что
в силу E.4) мы имеем (N — полное число частиц в системе)
I CdxSp lim Gc(x, x') =
J x' -bx
— i f dx\im Г dEe~iEtSpGc(x, х; E) = N,
t<o -°
т. е. на основании (9.26)
J dE dvZ (E, v) nF (E) j dx\x (x, E, v) |2 = N. (9.27)
х принадлежит непрерывному спектру, то
от j х |2 пропорционален V при V—>оо.
Если функция
интеграл по х
Удобно, однако, нормировать х на единицу:
Sp f dx | x (*. 5, v)\2=l. (9.28)
Для этого надо поделить интеграл по х на V, одновремен-
одновременно введя множитель V в Z. Соответственно в дальнейшем
мы будем считать
Z(E, v) = VZ'(E, v), (9.29)
где функция Z' асимптотически при V —> оо не зависит от V.
Сопоставляя (9.23) и (9.25) с D.9), можно найти спек-
спектральную функцию J для произведения двух ферми-операто-
ров а, а (напомним, что спиновые переменные мы явно не
пишем, считая J и Gc спиновыми матрицами). Мы получаем
J(X, Е) =
J dv | г (x, E, v) I
1+е-
(9.30)
§ 9]
МАССОВЫЙ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЙ ОПЕРАТОРЫ
87
и соответственно матричные элементы одночастичного стати-
статистического оператора A.9), связанные с ферми-операторами,
имеют вид
(X | Pl | х% =
J
dv
'' E> «)¦ С9-31)
Формально (9.31), как и следовало ожидать в силу (9.26),
совпадает с матричными элементами оператора р5 для системы
независимых ферми-частиц, волновые функции и энергии
которых суть х Кх> Е, v) и Е. В этом смысле х (•*¦¦ Е, v)
можно назвать «эффективной волновой функцией»; подчерк-
подчеркнем, однако, что она может использоваться для вычисления
средних значений только аддитивных динамических переменных.
Для системы бозе-частиц таким же образом получаем
Ос(х, х'% E)^^f dE'dvZ(E\ v)x(*, Е'. v)x(x', Е>, г»
X
п
1 + пв (Е')
где
Е—Е'~Ы Е — Е'
,ч 1
е^Е' — 1
}, (9.32)
Соответственно матричные элементы оператора pj можно пред-
представить в виде
(x\Pl\x% = f dE dv ^^-Х(х, E, v)x(x', E, v). (9.33)
Следует, однако, иметь в виду, что выражения (9.31),
(9.33) определяют, вообще говоря, лишь часть матричных
элементов оператора A.9). Действительно, в формуле A.9)
фигурируют операторы а, а всех возможных типов, в том
числе и полевые (коль скоро речь идет о системе частиц,
взаимодействующих с квантовым полем). Поэтому, кроме
«корпускулярной» части (9.31), матрица pj должна содержать
и «полевую» часть. Подобно (9.31), (9.33) в указанных выше
условиях ее легко найти, составляя билинейное разложение
типа (9.20) для соответствующей функции Грина. Заметим
для этой цели, что фактически роль собственного значения

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[ГЛ. II
в (9.19) играет величина Е2. Обозначим, как и раньше,
через и параметры, нумерующие собственные функции <р(лг),
и перейдем от них к переменными (Е2, v). В полной аналогии
с (9.22) получаем
АС(Х, х'
(9.34)
причем функции а и b должны удовлетворять равенству (9.21).
Сравнивая (9.34) с дисперсионным соотношением E.32) (на-
(написанным для функции Аг), находим
а — Ъ 1+е-?Е'
откуда (с учетом (9.21))
а = — пв, Ь = \-\-пв.
Таким образом
(9.35)
'2
'2
Дс (дг, х'; Е^) = ~^ dE'2 dvZ (E'2, v) <р (x, E'2, v) X
(легко убедиться, что выражение в фигурных скобках в (9.36)
действительно зависит только от Е' ).
Для функции Fс G.26) также можно написать эффектив-
эффективное волновое уравнение типа (9.19) и, дословно повторяя все
предыдущие рассуждения, получить представление вида (9.34)
(притом с тем же самым спектром). Именно, через спектраль-
спектральную функцию для Fс и выражается «полевая» часть одно-
частичного статистического оператора. Легко убедиться также,
что формулы (9.26), (9.31), (9.32), (9.33) и (9.34) справед-
справедливы и при замене х на произвольные динамические пере-
переменные X..
§ 9]
МАССОВЫЙ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЙ ОПЕРАТОРЫ
89
Массовый оператор естественным образом можно опре-
определить и для системы частиц с прямым взаимодействием
(см. [5], [6]). Именно, положим по определению
, х0;
,, Xa, Х3, xQ; \', x'Q) =
;)Gc(kv х%; \'. х'о). (9.37)
В частности, в координатном представлении формула
(9.37) принимает вид [см. G.7а)]
f dx"U(x — x")G2fC{x", X", X, х0; х', x'Q) =
= jdx"M(x, x")Gc(x", x'). (9.37a)
На основании (9.37) можем написать
M(k. xQ; X', x'0) = fd\1d\d\d\4dxZ(\, \\ U\X3, X2)X
X G2c(\, X2, X3, x0; X4, О G;1 (X4, x%\ V, x'o). (9.38)
Иногда удобно записывать эту формулу в четырехмерном
виде, полагая
(х, xx\U\ хг, х2) =
= S(jc0 — х0,х) S(*0 — х0,2)S(jf0 — xOi3)(К^\U\Ха, IJ. (9.39)
Тогда
М(х, х') =
= f dxx dx2 dx3 dx4 (x, xx \ U\ x3, x2) G2, c (x2, x2; xu x4) X
X GJ1 (jc4, x'), (9.40)
где _ _ •
O2,c(x2,x3; xv xA) = t{T{a{x2)a{xz)a(x1)a{xi)}) (9.41)
есть двухчастичная функция Грина общего вида.
После введения массового оператора уравнение G.7) фор-
формально превращается в интегродифференциальное уравнение
для Gc(x, х')\ фактически, однако, для вычисления М (х, х')
необходимо так или иначе «расцепить» цепочку G.7) !).
') Подробнее см. приложение VI.

90
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[гл. и
Уравнение для фурье-образа Gc(x, х'\ Е) при этом можно
записать в виде, подобном (9.17):
{Е — R (х, Щ Gc (х, X'; Е) = — ± 5 (X — х'), (9-42)
причем оператор R определяется равенством
R(X, Е)ОС(Х, X'; E)={Tx-\-V(x) — p}Gc(x, X'; Е)-\-
-f-2тс f dx"M(x, x"\ E)Gc{x", x'\ E). (9.43)
Очевидно, и в этом случае можно ввести эффективное
волновое уравнение (9.18) со всеми вытекающими отсюда
последствиями. В частности, в указанных выше условиях
имеют место билинейное разложение (9.26) и формула (9.31).
Разложения типа (9.26), (9.34) можно написать и для
двухвременных функций Грина более высоких порядков, коль
скоро выполняются условия эрмитовости и линейности соот-
соответствующих эффективных волновых уравнений. При этом,
однако, функции %, <р будут, вообще говоря, зависеть от
большего числа.аргументов и будут удовлетворять условиям
симметрии или антисимметрии относительно перестановок
своих аргументов. В дальнейшем нам понадобится билинейное
разложение для функции E.24)
°2, с @ = i {Т {а (лгь jco) а (дг2, х0) а (х'ъ х'о) а (х'2, х'а) } ).
Дисперсионное соотношение для нее есть D.10) при tj=1,
и следовательно, билинейное разложение имеет в точности
бозевский вид [ср. (9.32)]
Здесь индекс «2» у Z и ^ напоминает, что речь идет о функ-
функциях, связанных с эффективным волновым уравнением для
G2tC(x, х'; Е).
УРАВНЕНИЯ ДАЙСОНА
91
§ 10. Уравнения Дайсона и группа мультипликативной
перенормировки
Ввиду наличия операторов Тх и L (х) уравнения (9.7)
и (9.12) дифференциальные. Их можно обычным способом
лреобразовать в интегральные, введя в рассмотрение функции
Грина свободных полей G^ и D^0) [решения уравнений (9^76)
и (9.12а)]. Для этого следует лишь формально рассматривать
слагаемые, содержащие константу связи g, как неоднород-
неоднородность и воспользоваться обычным свойством функций Грина
как функций влияния. Таким путем мы получаем из (9.7)
и (9.12)
а-е(х, х') = о^{х,
+ g f dx"G^ (х, х") Г@)Ф (*") Gc {x", х') —
— fdz dz'Gf (x, z) M (г.. zf) Gc (z', xf), A0.1)
D'c (x, x') = D'ci0) (x, x') -\-Jda dvDf> (x, u) ^ {a, v) D'c (v, xf)
A0.2)
или символически
Gc = Of
- &?MGC,
A0.1a)
A0.2a)
Из уравнения A0.2а) особенно ясно виден смысл замены гра-
граничных условий (понимаемых буквально) дисперсионными
соотношениями типа D.7), D.8) и D.10). Действительно, фор-
формально мы получаем из A0.2а)
Фактически, однако, это выражение, взятое само по себе, не
имеет смысла, если собственные значения знаменателя могут
обращаться в нуль. Формула A0.26) становится определен-
определенной, если задать правило обхода полюсов. Последнее,
однако, сводится к предписанию определенной связи между
вещественной и мнимой частями D', т. е. к дисперсионным
соотношениям.

92
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[ГЛ. II
Аналогично можно переписать и уравнение для среднего
потенциала (8.12). Мы получаем в символическом виде
Эта формула есть частный случай общего соотношения, кото-
которое легко получить, составляя уравнение движения для потен-
потенциала Ф:
Ф = — D;@) (j+igT@)Gc). A0. За)
К этим уравнениям следует присоединить еще определения
массового и поляризационного операторов (9.5) и (9.10).
В символической записи они имеют вид
M = — ig2r@)GTD'c, (Ю.4)
?* = — *?2 Sp Г@) ОСГОС. A0.5)
Равенства A0.1) — A0.5) носят название уравнений Дай-
сона. Они чаще всего и используются для фактического
определения причинных функций Грина.
Подчеркнем еще раз, что функции Gc и D'c (и, следова-
следовательно, О^,0) и ?>^0)) должны удовлетворять граничным усло-
условиям C.21) или эквивалентным им дисперсионным соотноше-
соотношениям D.10). (Естественно, речь идет здесь, как и в § 9, о гра-
граничных условиях по переменной t = x0—х'^Л Условие C.21)
можно сформулировать как условие периодичности по «мни-
«мнимой температуре» и соответственно разлагать искомые функ-
функции в ряды Фурье [26], [27]. Нам представляется более
удобным пользоваться непосредственно дисперсионными соот-
соотношениями (аналогичная методика используется в квантовой
теории поля [19]). Это позволяет, разлагать искомые функ-
функции в интегралы (а не ряды) Фурье по частотам. Так дела-
делалось, например, в § 9 при построении функций Грина из
решений эффективного волнового уравнения. Иногда оказы-
оказывается вообще достаточным определять из уравнений Дайсона
только мнимую часть соответствующей функции Грина, вос-
восстанавливая затем вещественную часть непосредственно по
дисперсионным соотношениям. Заметим в связи с этим, что,
как мы видели в § 4, именно мнимые части функций Грина
и нужно знать для вычисления спектральных функций и всех
связанных с ними характеристик системы. Поэтому в некото-
УРАВНЕНИЯ ДАЙСОНА
93
рых приближенных расчетах оказывается возможным вообще
обойтись без восстановления вещественных частей функций
Грина.
. Уравнения Дайсона обладают одним важным свойством,
которое мы используем в дальнейшем для существенного
улучшения приближенных расчетов в рамках теории возму-
возмущений. Именно, непосредственной проверкой легко убедиться,
что рассматриваемые уравнения инвариантны относительно
мультипликативного преобразования
G _>.zn , D'—b-Zr.D'. Г—>z~xY Ф-
'. pi
A0.6)
A0.7)
где zx, z2, z3—непрерывно меняющиеся конечные параметры
(см. [9]). При этом предполагается, что преобразованию под-
подвергаются не только «полные» функции G , D' и Г, но и
«невозмущенные» G®\ Dr^°\ Г@\
Очевидно, преобразования A0.7) образуют группу (име-
(именуемую группой перенормировки) !). Заметим, что она может
заметно упроститься при наличии каких-либо дополнительных
условий (благодаря которым параметры zx, z2, zz могут ока-
оказаться не независимыми). Так, в случае сил электромагнит-
электромагнитного происхождения важное соотношение вытекает из условия
градиентной инвариантности. Действительно, из квантовой
механики известно (см., например, [13]), что при градиент-
градиентном преобразовании потенциалов E.33) волновая функция
системы (в координатном представлении) умножается на
7 S eaf (*a)
е а A0.8)
') Группа перенормировки впервые была обнаружена в связи
с задачами квантовой теории поля. Название связано с тем, что
первоначально параметры zx,22,z3 играли роль перенормировочных
констант (вообще говоря, бесконечных), вводимых на предмет яв-
явного устранения расходящихся выражений из матрицы рассея-
рассеяния [10]. Лишь позднее [11], [12] выяснилось, что и после устране-
устранения бесконечностей уравнения Швингера допускают мультиплика-
мультипликативную группу A0.6) —A0.7) с конечными параметрами zu z2, z3.
Наконец, в работе [9] было показано, что это обстоятельство вообще
не связано с наличием расходимостей и не специфично для реляти-
релятивистской квантовой теории поля, а представляет собой общее свой-
свойство уравнений Дайсона с весьма широким классом гамильтонианов
взаимодействия.

94
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[ГЛ. II
(индекс а нумерует частицы системы, еа — заряд а-й частицы).
В силу A0.6) функция / преобразуется по закону f—^z^f.
С другой стороны, выражение A0.8) должно быть инвариантно
относительно преобразований группы перенормировки (свой-
(свойство градиентной инвариантности не должно зависеть от
выбора параметров zv z2, z3). Следовательно, электрический
заряд должен преобразовываться по закону
<?2->-z^V, A0.9)
т. е. для систем с электромагнитным (в частности, кулонов-
ским) взаимодействием мы имеем тождественно
Z1 = z2. A0.10)
Это соотношение называется тождеством Уорда [14].
В силу A0.10) формулы A0.6), A0.7) для систем с электро-
электромагнитным взаимодействием принимают более простой вид:
гОе. D'c
е.
¦*A
J
A0.11)
Подчеркнем, что формулы A0.11) справедливы и для системы
нейтральных частиц, если действующие между ними силы
обусловлены наложением электрических полей.
§ П. Улучшенная теория возмущений
Решение уравнений A0.1) — (Ю.2) составляет задачу
исключительной сложности, и общих «рецептов» здесь в на-
настоящее время дать нельзя. В этом параграфе мы изложим
простейший приближенный способ вычисления функций Грина
[16], [17], основанный на разложении массового и поляриза-
поляризационного операторов в ряды по степеням константы связи
с последующим улучшением сходимости с помощью группы
перенормировки. (Предполагается, что с помощью введения
той или иной системы единиц константа связи g сделана без-
безразмерной.) Подчеркнем сразу же, что этот прием — даже
при достаточно малой константе связи — имеет лишь ограни-
ограниченную область применимости, ибо исключает из рассмотре-
рассмотрения зависимости, не аналитические по g при g—>0 (важней-
(важнейший пример задач последнего типа составляет теория
§ И]
УЛУЧШЕННАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
95
сверхпроводимости). Вместе с тем целый ряд задач (в част-
частности, связанных с учетом кулоновского взаимодействия
электронов в твердом теле) вполне можно рассматривать
таким способом.
Ограничимся наиболее интересным для дальнейшего про-
пространственно однородным случаем. Производя преобразование
Фурье, мы получаем из A0.1), A0.2)
(ИЛ)
a 1.2)
{p)M(p)
1-B«)и
(ft)
В соответствии со сказанным в § 10 правила обхода
полюсов в формулах A1.1), A1.2) определяются дисперсион-
дисперсионными соотношениями D.10).
Сравним равенство A1.2) (написанное для системы заря-
заряженных частиц с электромагнитным взаимодействием) с фор-
формулой (8.17). Из структуры этих соотношений сразу видно,
что выражение 1-—Bчт) Dc
имеет смысл обобщен-
обобщенной (зависящей от частоты и волнового вектора) диэлектри-
диэлектрической проницаемости, чем и оправдывается название «поля-
«поляризационный оператор».
Равенства A1.1) и A1.2) суть точные нелинейные инте-
интегральные уравнения относительно функций Gc и Dc. Мы будем
решать их, вычисляя М (р) и <&* (к) методом итераций. Этот
метод мы будем называть теорией возмущений. Следует,
однако, иметь в виду, что фактически это — более тонкая
методика, чем стандартная теория возмущений, используемая,
например, при вычислении «S-матрицы (см. приложение I).
Разложению по степеням константы связи подвергаются при
этом отнюдь не сами функции Грина Gc и Dc, а знамена-
знаменатели их, т. е. обратные функции GJ и DJ1. Это обстоя-
обстоятельство весьма существенно. Из результатов § 5 явствует,
что возможные изменения энергетического спектра системы,
связанные с наличием взаимодействия, отражаются на струк-
структуре полюсов Gc и Dc. Следовательно, разлагая в ряд функ-
функции G^1 и DJ1, мы допускаем лишь известную ошибку
в определении спектра; в то же время разложение самих
функций Грина привело бы к полной «потере» влияния

96
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
1гл. н
взаимодействия на спектр системы: полюсы Gc и Dc при этом
остались бы такими же, как и у G^ и Dc .
То же самое можно выразить и несколько иным спосо-
способом. Именно, разложение в ряды величин М(р) и &* (k) при
определенных условиях может иметь смысл во всем про-
пространстве импульсов; с другой стороны, из уравнений A1.1)
и A1.2) ясно видно, что разложение самих функций Gc(p)
и Dc (k) может оказаться совершенно бессмысленным в обла-
областях вблизи полюсов «свободных» функций G?\p) и Dc {k).
На основании (9.5), (9.10) и (9.16) в первом неисчезаю-
щем приближении по константе связи мы имеем х)
М О) S М{0) (р) ==
= — ig2f dp
& (k) ^ ^@) (A) =
= — ig2 Sp f
Смысл аппроксимации A1.3) становится особенно ясным, если
воспользоваться эффективным волновым уравнением (9.18)
и ограничиться для простоты случаем Г@) = 1 и D^ (p) =
= Df* (р) [так обстоит дело в случае нерелятивистских си-
систем с мгновенным взаимодействием, в частности в куло-
новской задаче для твердого тела; ср. E.39)]. Массовый опе-
оператор A1.3) в указанных условиях принимает вид
{p'
Q/ — p),
A1.3)
f — k). A1.4)
+оо
'D^ {p> —p) f dp'
— СО
' —p) n0 (pO == ЛГ@) (р) ? Re. A1.5)
(р) =
Здесь n0 {p') — среднее число заполнения состояния р' в от-
отсутствие взаимодействия [использовано правило E.5)]. Таким
образом, последнее слагаемое в величине Rx (написанной
в /^-представлении) будет
p'D®(p'— p)no(p')x(p). (Ю.5а)
•) Заметим, что в квантовой электродинамике аппроксима-
аппроксимация A1.4) сразу дает результаты работы [18].
И]
УЛУЧШЕННАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Заметим, что формально то же самое получилось бы, если бы
в качестве Gc в A1.3) мы подставили не g?\ а выраже-
выражение (9.26). При этом вместо по(р) мы имели бы 2|хО)|2
(двойка — из-за шпура по спинам), и уравнение (9.18) при-
приобрело бы вид, типичный для метода самосогласованного поля;
отличие от обычного уравнения Хартри состояло бы только:
а) в отличной от нуля температуре и б) в экранирован-
экранированном характере потенциала Ф. Таким образом, представле-
представление Gc(x, х'\ Е) в форме (9.26) с заменой Dc на D^ в мас-
массовом операторе эквивалентно приближению Хартри (обоб-
(обобщенному на случай Т Ф 0); аппроксимация же A1.3), в которой
числа nQ(j>') в A1.5а) считаются заданными, есть линеаризо-
линеаризованный метод Хартри.
Подстановка (П-3) и A1.4) в A1.1) и A1.2) решает
в данном приближении задачу об определении причинных
функций Грина; далее, с помощью соотношения D.9) можно
найти и соответствующие спектральные функции.
Для вычисления следующего приближения надлежит под-
подставить в массовый и поляризационный операторы только
что найденные функции Gc и Dc и т. д. Заметим, что при
этом получаются, вообще говоря, не последовательные раз-
разложения по степеням константы связи, а уже частично
«свернутые» выражения, в которые константа связи может
входить не только степенным, но и более сложным путем
(см. ниже, пример в § 23 гл. V).
Следует подчеркнуть, что пределы применимости полу-
получаемых таким путем выражений, вообще говоря, не опре-
определяются с помощью формальной оценки безразмерной кон-
константы g. Во-первых, фактический параметр разложения
может оказаться (и, как мы увидим в дальнейшем, действи-
действительно оказывается) различным в различных областях про-
пространства импульсов х). Во-вторых, в статистической задаче
(особенно при отличной от нуля температуре) чаще всего
имеется несколько безразмерных параметров, и условия факти-
фактической малости поправок следующего приближения даются
неравенствами, содержащими, как правило, все эти пара-
параметры. По-видимому, для оценки фактического параметра
') Это обстоятельство хорошо известно в квантовой теории
поля [1], [18].
7 Зак. 2126. Метод функций Грииа

98
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[гл. ii
разложения удобнее всего воспользоваться методикой группы
перенормировки, которую мы и изложим здесь примени-
применительно к изотропному случаю. Основная идея состоит в том,
чтобы производить разложения типа A1.3), A1.4) лишь
в малой области пространства импульсов, а затем распро-
распространять результаты на все пространство с помощью груп-
групповых уравнений A0.6), A0.7). Мы увидим, что эти уравне-
уравнения сведутся к дифференциальным, и, следовательно, надо
задать граничные условия к ним. Для этой цели постараемся
a priori определить поведение функции Dc(k) в какой-либо
области пространства импульсов. В дальнейшем мы ограни-
ограничимся только системами с мгновенным взаимодействием и
с силами электрического происхождения (это — либо система
заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона,
либо система нейтральных атомов или молекул). На основа-
основании E.39) и (8.17) в этом случае функция D^ (k) зависит
только от k; возможная же зависимость Dc от k0 есть «радиа-
«радиационная поправка». Таким образом, a priori можно узнать
только вид функции Dc{k, k0) при feo = O (естественно,
в некоторой области значений k). Для этой цели перепишем
формулу (8.17), введя в нее фурье-образ D'c(x, х'). Напом-
Напомним, что в рассматриваемой сейчас пространственно однород-
однородной системе функции D'c и Dc совпадают. (Естественно, как
всегда в таких случаях, имеется в виду система, простран-
пространственно однородная в отсутствие внешнего поля.) Будем счи-
считать при этом, что J(х') не зависит от х'о (статический
«заряд»). Тогда мы получаем
ф (х) = Bя)« (dkDc(k,k0) eik*J{k), (П.6)
где
(П.7)
В частности для точечного источника, локализованного
в точке х='о, J(x)=Imb(x) (Im — константа) и
Ф г д:") =
, k0)
o'lkX .
A1.8)
Отсюда явствует, что отличие Dc (ft, 0) от D^ (k) означает
не что иное, как «экранирование» внешнего поля частицами
§ И}
УЛУЧШЕННАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
99
системы (ср. замечание после формулы A1.2)). Очевидно,
этот эффект ае должен сказываться на достаточно малых
расстояниях от источника поля. Но вид Ф (х) при малых | х \
определяется поведением.функции Dc(k, 0) при больших \k\.
Следовательно, должен иметь место предельный переход
ис W , йо=о > ис' (*). A1.9)
| А |°-> со
Это соотношение мы и будем использовать как граничное
условие при решении уравнений группы перенормировки.
Последние в данном случае имеют вид A0.11)
Qe
zQe, T->
A1.10)
Таким образом, прежде всего надлежит исследовать поведе-
поведение функции €>с, ибо именно с ней связан «заряд» g2.
Положим
Dc (k) = Df (k) d (k), A1.11)
где Dc0) (k) — явно заданная известная функция, a d (k) — новая
неизвестная, для которой мы и будем писать уравнения
группы. Поскольку функция d(k) по определению-безраз-
определению-безразмерна (размерности Dc и D^ совпадают), она может зависеть
только от отношений размерных переменных; далее, будучи
скаляром, она должна явно выражаться только через скаляр-
скалярные комбинации своих аргументов. Выберем систему единиц,
в которой масса безразмерна (и, как всегда, h = 1). Обо-
Обозначим через WQ совокупность независимых характерных
энергий, определяющих свойства системы (например, в металле
это — энергия Ферми, в полупроводнике—/.Т и, может
быть, параметр вида n'l:>/2m0 и т. д.). В силу A1.10) функ-
функции Dc, Gc. и Г содержат произвольный (непрерывно меняю-
меняющийся) параметр. Это позволяет ввести (пока неопределен-
неопределенную) «энергию нормировки» X, полагая
Заметим, что именно в этом пункте сказывается предполо-
предположение об изотропии системы. В анизотропном случае (воз-
(возможном в электронной теории твердого тела) вместо одного
независимого скаляра k2 мы имели бы два, а именно k2
7*

100
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[гл. и
и W (ft) (W (k)— энергия электрона как функция квазиим-
квазиимпульса). Вычисления в этом случае несколько усложняются
(хотя и не изменяются по существу).
Поскольку граничное условие A1.9) накладывается при
ш = 0, рассмотрим сначала именно этот случай. Введем обо-
обозначение
*i. J^L; g2). A1.13)
Равенства A1.10) показывают, что функцию d можно умно-
умножить на произвольную константу (с соответствующим изме-
изменением g2). Следовательно, мы вправе наложить условие
нормировки
dr
A1.14)
Это означает, что при k2 = X функция Dc (ft, 0) не отли-
отличается от Dc0) (k) — «радиационные поправки» отсутствуют.
Надлежит, однако, помнить, что в силу A0.7) преобразова-
преобразование d влечет за собой и преобразование константы связи g;
поэтому при произвольном X в качестве g в A1.14) будет
фигурировать, вообще говоря, отнюдь не настоящий «заряд».
Истинное («реальное») значение g получается в A1.14) лишь,
если согласовать это равенство с граничным условием A1.9).
Это сводится к определенному выбору X: истинному значе-
значению g соответствует X —> оо.
Составим теперь функциональное и дифференциальное
уравнения для do(-j-, -j^-l g2) • Обозначим через Хх и Х2
два различных значения энергии нормировки, а через gt
и g2 — соответствующие константы связи. На основании A1.10)
и A1.14) мы получим
<МтГ
Wo
¦?) = *А(-
g
«)¦
23='
Положим для краткости
= v, ±*- = w. A1.15)
§ 11]
УЛУЧШЕННАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
101
Тогда
d0 (и, v;
= dQ (w. v;
dQ (± , 1L
, v;
A1.16)
Это есть функциональное уравнение группы перенормировки.
Следует, однако, иметь в виду, что это уравнение —
даже с учетом A1.14) и A1.9) — еще недостаточно для одно-
однозначного определения do(u, v; g2): как можно показать [20],
общее решение A1.16) содержит произвольные функции двух
аргументов. Как и в теории поля [1], мы наложим дополни-
дополнительное условие соответствия с теорией возмущений в пре-
предельном случае исчезающе малых значений константы связи.
В связи с этим удобно превратить уравнение A1.16) в диф-
дифференциальное. Именно, дифференцируя A1.16) по а и по-
полагая затем w = а, получим
Равенство A1.17) есть не что иное, как одно из уравне-
уравнений Ли, описывающих непрерывную группу A1.10). Гранич-
Граничное условие к уравнению A1.17) вытекает из A1.14)
и A1.9). В силу конечности величины Wo оно гласит
do (a, v;
1.
A1.18)
Производную по ?, фигурирующую в правой части A1.17),
определим с помощью развитой выше теории возмущений
(чем и гарантируется соответствие с последней при g->0).
В связи с этим следует обратить внимание на два важных
обстоятельства. Во-первых, теория возмущений используется
здесь для нахождения функции d0 не во всем пространстве
импульсов, а лишь в бесконечно малой окрестности «точки
нормировки» S = 1 ¦ Это позволяет, в частности, не опасаться
указанной выше трудности с полюсами. Во-вторых, и это
еще более существенно, параметром разложения является
здесь не сама константа связи g2, а величина,
3?nv=?4O' v' S2\ (И.19)

102
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[ГЛ. II
Мы будем называть выражение A1.19) «инвариантным заря-
зарядом», ибо оно инвариантно относительно преобразований группы
перенормировки A1.10). Очевидно, инвариантный заряд раз-
различен в различных областях пространства импульсов, и именно
так и определяется истинный параметр разложения.
Заметим, что величина g?nv A1.19) имеет совершенно
ясный физический смысл: из сопоставления с A1.8) явствует,
что это есть «экранированная» константа связи, ослаблен-
ослабленная за счет коллективного взаимодействия частиц среды.
Можно сказать, таким образом, что основной смысл группы
перенормировки состоит в разложении искомых величин не
по «истинному», а по экранированному заряду (из физи-
физических соображений очевидно, что последний всегда меньше
первого; это будет подтверждено и прямым расчетом).
В первом неисчезающем приближении теорий возмуще-
возмущений функция d0 дается формулой A1.2) с поляризационным
оператором A1.4) (при ш—0). Поскольку произведение
S"^ (fe) D^ (k) безразмерно, оно может зависеть лишь от
отношения аргументов
B«)8 ***> (ft) D?°> (Л) |ш=0 =
.20)
(явный вид функции /, конечно, различен в различных кон-
конкретных случаях). Таким образом, с точностью до членов
высшего порядка и с учетом условия нормировки A1.14) мы
получаем
do(fj, -?; g*do(u, v; ?2))^
Подставляя это в уравнение A1.17) и пользуясь граничным
условием A1.18), легко находим
<го(«, v. «') = т
'-"(SJ
Условие применимости этого выражения имеет вид
1-Я2/ -
-22>
A1.23)
§ П|
улучшенная Теория возмущений
Ниже мы увидим, что в ряде случаев /(«/г>)<0, и нера-
неравенство A1.23) может оказаться значительно слабее требо-
требования ?2<С^ 1-
Перейдем теперь к определению функции d (ft) при to Ф 0.
Положим
где
и, v;
A1.24)
A1.25)
а величины a, v даются формулами A1.15). Очевидно,
S(u, u,v; g*) = dZx(a,v; ?*) ¦(= 1 при и = 1). A1.26)
Дифференциальное уравнение для функции 5 легко полу-
получается изложенным выше способом
dS(t, и, v; g*)._
dt ~
dZl (t, v; g2) Г d ( и v
Граничное условие к A1.27) дается формулой A1.26). По
соображениям размерности мы имеем
( ) A1.28)
Очевидно, «р( —, —) = f(a/v). Для вычисления производной
в A1.27) опять воспользуемся, как и раньше, теорией воз-
возмущений, предполагая справедливым условие
g2d0(t, v; ^<1. A1.29)
Тогда уравнение A1.27) с учетом A1.26) дает
S(i. а, у; g2)=\ — g2<?(^, ^). (П.30)
Таким образом, в условиях A1.23) и A1.29) для функ-
функции Dc{k) (как при ш = 0, так и при ш Ф 0) оказываются
справедливыми выражения, полученные по теории возмуще-
возмущений; условия применимости их, однако, не сводятся к при-
примитивному требованию ?2<С^1. Особенно существенно, что
из неравенства A1.29), вообще говоря, не вытекает малость

104
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[гл. н
L. JL\ Последняя величина вполне может быть в этих
\v v)
условиях сравнима с единицей, и именно это обстоятельство
в принципе позволяет исследовать развитым здесь методом
появление новых полюсов у функций Грина.
Вполне аналогичным методом можно воспользоваться и
для вычисления Gc (/?). Положим
На основании A1.10) функциональное уравнение для Q имеет
вид (в обозначениях A1.15), A1.25))
Q(t, и, v; g2) =
Q (w, w, v; g*) Q (^ , ¦? , -?¦; g2
», v; g*)j
A1.31)
Функция Q зависит от двух переменных t, а, и в этом смысле
она аналогична вершинной части в квантовой электродина-
электродинамике. Методы решения, развитые в связи с последней зада-
задачей [28], можно было бы без труда применить и к уравнению
A1.31); для дальнейшего, однако, это нам не понадобится.
Для систем с прямым взаимодействием также можно раз-
развить теорию возмущений, аналогичную рассмотренной выше 1).
Первое приближение ее состоит в замене двухчастичной функ-
функции Грина в G.7) ее значением при //int = 0:
G2,C(Y, I", V'.xj \, x'0) =
= lQeQ.". x0; X', xo)GcQ,m, xQ;
— Юс(к'". x0-, X', xo)Gc(l", x
x'o) —
, x'o).
A1.32)
Функции. Грина при совпадающих аргументах определяются
по правилу E.5).
') Легко также развить теорию возмущений и в функциональ-
функциональном виде, введя массовый оператор и вершинную часть в полной
аналогии с § 9. При этом, однако, все равно возникает необходи-
необходимость расцеплять уравнение для двухчастичной функции Грина
(см. приложение VI).
§ 11]
УЛУЧШЕННАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
105
При этом массовый оператор для системы с бинарным
взаимодействием будет в силу (9.40)
М (х, х') = 21 J dxl dx2 (x, x1\U\ x', х2) Gc (x2, xj. A1.33)
Эта формула справедлива как для фермиевской, так и для
бозевской системы. Напомним, что матрица (х, хг | U \ х', х2)
либо антисимметрична, либо симметрична относительно пере-
перестановок х^хг и х' ^х2, а аргументы Хг, Х2, ... включают
также и спиновые переменные.
Аппроксимация A1.33), однако, непригодна для систем,
содержащих потенциалы типа, например, твердых шаров.
Она мало удовлетворительна также для систем с регуляр-
регулярными, но сильными взаимодействиями.
В случае когда силы взаимодействия отличны от нуля
лишь на достаточно малых расстояниях (порядка некоей ха-
характерной длины а), оказывается возможным развить спе-
специальную форму теории возмущений (см. [21], [22]), в кото-
которой роль малого параметра играет не «константа связи» или
инвариантный заряд A1.19), а произведение an1/* (n — кон-
концентрация частиц, а — малая, но конечная величина). Именно,
мы постараемся выразить массовый оператор не через потен-
потенциал взаимодействия, а через амплитуду рассеяния частиц
(сохраняющую смысл и для сингулярных потенциалов).. При
этом, в силу предположения о малости параметра ап>*, до-
достаточно будет рассмотреть лишь случай рассеяния частиц
в пустоте. Иначе говоря, на определенном этапе расчета мы
пренебрежем «экранирующим» действием всего коллектива
частиц, принимая во внимание только парные столкновения
между ними.
Имея в виду переход к амплитуде рассеяния, введем
новый оператор Q, полагая
М
(х, х') = J dxx dx2 (x, x1\Q\ xr, x2) Gc (x2, лгг). A1.34)
(Предполагается, что матричные элементы (х, xl\Q\x', x2)
обладают должными свойствами симметрии — соответственно
статистике частиц, составляющих систему.)
Уравнение для Q мы получим, сопоставляя A1.34) с
определением массового оператора (9.37). Ограничимся
пространственно однородными системами. Тогда удобно

106
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[гл. и
воспользоваться импульсным представлением, полагая X—{р,
(s — спиновая координата). При этом, очевидно,
GC(X, х0; X', xo) = S(p — p')Gc{p; s, s')
и
(X, jc0, \, jc1j0| U\V, x'o, \, x2tQ) =
==8(/>l + P — P' — P2)U'(P> S< Pv sl> P'> s'< P2> S2>- A
Аналогичным путем вводятся и величины Q', G'o . Сравнивая
A1.34) и (9.37), легко находим
dp'Q'(p, s, p', sx, p, s', p', s2)Gc(p'; sx, s2) =
= ОТ1 (р; s4, s') f dp' dp" dp'" ыр~\-рг — p" — p'") X
X U' (P> s< P'> sx; p", s2, p'"', s3) G'2c (p'\ s3, p'", s2; p', sx, p, s4)
A1.36)
(по повторяющимся спиновым индексам подразумевается сум-
суммирование).
Ограничимся в дальнейшем случаем сил, не зависящих
от спинов. Тогда
Gc(p; s. s') = bss.G
Q'(p, s, p', sx\ p", s2, p'", s3) =
= W^,Q4/». P'\ P'"> P")±^sh^Q'iP' P'VP", P'"). (П.37)
Верхний знак (-(-) берется для бозе-частиц, нижний знак
(—) — для ферми-частиц. На функции Q' в правой части
A1.37) уже не следует накладывать условие антисимметрии
(или симметрии). В такой же форме можно представить и
функции G'2 c и U' (достаточно, очевидно, считать антисим-
метризованной лишь одну из них, например U, так как
в A1.36) входит только их произведение). Соответственно
для массового оператора мы получаем (S — спин отдельной
частицы)
l; s, s') =
{BS-\-l)fdpOe(p)Q'(p1. p; Pl. p) ±
± f dpGc (p) Q' (Pv p; p, /g j, A1.38)
^ llj УЛУЧШЕННАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
а уравнение A1.36) принимает вид
10f
X
= f dp2 dp3 dp4
>x. p2; p3, Pi) G-
2>* Рз< Рд =
1
+ p2 — /?3 — p4) X
G{ e (p4, p3; p2, pi), A1.39)
A1.40)
[очевидно, достаточно написать это уравнение лишь для
одного из слагаемых в A1.37)]. Положим, далее,
Q'(Pv Pv Pa- P4> = fd4 uD)S(Pi—q> P2-\-9l Рз> Рд-
A1.41)
Подставляя это в A1.39), видим, что в качестве 5 можно
взять выражение
(рх, р2; Рг, Рд =
уг °с1 (Рг) Ос1 {Pa) G2c (plt р2; р4, р3).
При' этом должно выполняться равенство
A1.42)
PiH-P2 — Рз — />4 = °- A1.43)
На основании A1.42) уравнение для 5 немедленно получается
из уравнения для двухчастичной функции Грина G2tC. По-
Последнее выведено в приложении V. Имея в виду предполагае-
предполагаемую малость параметра an1/*, можно ограничиться прибли-
приближенной формой (V. 11), (V. 12). Переходя в (V. 11) к фурье-
образам и принимая во внимание равенства A1.35) и A1.37)
(написанные для G2iC), мы получаем
O7l (Pi) G~l (р2) С?2, с (рь р2; Рз, Pi) —
—Bтс)8 i J dpi/ (p) Oi с (Pi—р, Р2-\~р; р3. Рд
A1.44)

108
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
[гл. и
причем импульсы рх, р2, р3, р4 связаны условием A1.43).
Комбинируя A1.44) и A1.42), находим с учетом A1.43)
5 (л. Р2; рг. Рд — I B«)8 J* dqU(g) Gc (Pl) Oc (/>2) X
Х5(р:- q, jP2 + ?; Рь> Рд = — ib (Pi — Рз)- (П.45)
Удобно ввести новые переменные, полагая
Pi ~\- Р% = Рз + Ра = Р>
Pi — P2 = 2k'- Рз — Ра = 2k".
A1.46)
Очевидно, р есть 4-импульс центра инерции системы двух
частиц (сохраняющийся при столкновении), a k' и k"— отно-
относительные импульсы до и после столкновения. В этих пере-
переменных уравнение A1.45) принимает вид
S(k', k"; /,) —/B7t)»G (| ) (| )
X f dqU(q)S{k' — q, k"\ p)~ — lb(k1 — k"). A1.47)
Перейдем также к переменным A1.46) в правой части A1.41).
Получим
Q'(k'. k"; p) = fdqU(q)S(k' — q, k"; p). A1.48)
Поскольку взаимодействие не запаздывающее (т. е. U (х)
содержит 8 (х0)), U (q) = U (q), т. е. не зависит от q0. Отсюда
явствует, что достаточно вычислить не саму функцию 5,
а интеграл от нее по четвертой компоненте относительного
импульса
F {k1, k"; p) = fdk'0S (A', k"; р). A1.49)
Интегрируя A1.47) по k'o, получаем
F (к', к"; p) — jfdqU(q)F(k' — q, k"; p) = — ib(k' — k"),
A150)
где
A1.50)
J
= I B«)в f dk'QGc (|
В принятой аппроксимации в качестве Gc сюда следует под-
подставить функцию Грина Gr> vac для одной частицы в вакууме.
§ Щ
УЛУЧШЕННАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
109
Эта функция, как легко убедиться, дается выражением
1 1
Ос, vac (/>) =
и следовательно,
J = ¦
A1.51)
Ро ~ 4т ~ т
Таким образом, уравнение A1.50) принимает вид
Fit,', к"; р) ^ fdqU(q)F(k> — q. к"; р) =
*-¦?- + *•
= — #(*' — к"), A1.52)
где Е = р0-^.
Соответствующее однородное уравнение есть формально
не что иное, как уравнение для относительного движения
двух частиц, написанное в ^-представлении. Следует помнить,
что /га обозначает у нас массу одной частицы, и следова-
следовательно, приведенная масса есть /га/2. Решения однородного
уравнения (точнее, некоторые интегралы от них — см. ниже)
мы будем считать известными и обозначать через у_к (Jfe')
{k — относительный импульс на бесконечности). Принимая
во внимание равенство
J dkxk (&') Xk (*") = 8 (*' — к"),
легко находим
F {к', к"; p) = —
Е —
dk-
m
А2
—
(П.53)
На основании A1.48) и A1.49) получаем теперь
Q' (k\ к"; р) =
= — i\
dq dkU (q)
"). (П.54)
m

llO УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА [гЛ. П
Введем амплитуду рассеяния частиц f (k', k) соотношением
Очевидно,
f(k',k) =
2 — к -f- щ
(q) xk (*' — q) dq,
A1.56)
и следовательно, равенство A1.54) принимает вид
к
Qr(kr, k"; p) = — i\m dk
X* (*")/(*'. *) =
m
k"s
A1.57)
Таким образом, искомая функция Q' выражается только
через амплитуду рассеяния, а потенциал взаимодействия нигде
более в явном виде не фигурирует. Это позволяет развить
специальную форму теории возмущений, в которой искомые
величины разлагаются в ряды по степеням параметра an1*,
а не энергии взаимодействия. В частности, в первом прибли-
приближении вторым слагаемым в фигурной скобке в A1.57) сле-
следует пренебречь. Иначе говоря, здесь можно пользоваться
формально обычной теорией возмущений, заменяя лишь ма-
матрицу U'(pv p2; рх. /?2) на
1 f(P\
2т J \
—pi Pi—р
Для массового оператора мы получаем при этом
М (рг; s, s') =
- (П-58)
§ П]
УЛУЧШЕННАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
ill
Как мы знаем (§ 5), интеграл по р0 от Gc(p, p0) дает (нор-
(нормированную на числа заполнения) функцию распределения
частиц по импульсам п(р):
+ оо
dPoGc (р, Ро) = ±
1.59)
(верхний и нижний знаки — соответственно для частиц Бозе
и Ферми). Соответственно массовый оператор первого при-
приближения принимает вид
М(рх; s, s') =
(П.60)
В следующем приближении надо уже учитывать отличие
функции Грина от «вакуумного» значения A1.51); соответ-
соответственно массовый оператор будет, вообще говоря, зависеть
от температуры.

ГЛАВА III
ФУНКЦИИ ГРИНА И МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ
§ 12. Функции Грина и термодинамический потенциал
Связь функций Грина со статистическим оператором выте-
вытекает из спектральных теорем §§ 4, 5. Как мы видели, зная
s-частичную функцию Грина, можно определить соот-
соответствующую спектральную функцию; последняя как раз и
есть фурье-образ матричного элемента s-частичного стати-
статистического оператора.
В настоящем параграфе мы дадим формулы, связывающие
термодинамический потенциал системы 2 непосредственно
с простейшими функциями Грина — одно- и двухфермионной
и однобозонной (а также с вершинной частью). Явные вы-
выкладки будут проделаны для системы ферми-частиц. Перенос
результатов на случай бозе-системы требует лишь изменения
некоторых знаков (что будет в должном месте указано). Воз-
Возможность такого представления термодинамического потен-
потенциала обусловлена специфическим характером энергии взаимо-
взаимодействия: это — либо парное взаимодействие, либо взаимо-
взаимодействие через квантовое поле. Удобно рассматривать эти
два случая порознь.
а) Взаимодействие через квантовое поле J). В соответ-
соответствии с § 6 гамильтониан системы в этом случае имеет вид
причем в соответствии с F.17)
Hpf = — gf dxa(x)T«»a(x) Ф (х) == gh. A2.2)
') См. [1], [2].
§ 12] ФУНКЦИИ ГРИНА И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 113
Оператор h не содержит константы связи g. Момент вре-
времени, к которому относятся гейзенберговские операторы а,
а, Ф, в A2.1) и A2.2) не существен (Н' — интеграл дви-
движения). В дальнейшем мы будем для удобства считать его
равным нулю.
Согласно A.6)
Положим
где
= — p~MnSpure"
Q = QQ-\-Sipf.
A2.3)
A2.4)
A2.5)
Очевидно, 20 есть термодинамический потенциал системы
невзаимодействующих частиц (как правило, эта величина легко
вычисляется). Дифференцируя A2.3) по g, мы получаем
— J -у-
). A2.6)
20, находим отсюда
A2.7)
ag ч ' g
Принимая во внимание условие 2 -
s
2
о
причем среднее значение {Hpj) в A2.7) надлежит вычислять
при константе связи, равной g'. При Т-^-0 (р—>-оо) эта
формула дает сдвиг Д?о энергии основного состояния системы
за счет взаимодействия частиц с квантовым полем. Следует,
однако, обратить внимание на существенную разницу между
выражениями для АЕ0 и 2 ,. В первом случае формула A2.7)
(при р —> оо) дает явное представление ДЯ0; в то же время
Q, f определяется равенством A2.7) лишь неявно, ибо сред-
среднее значение (Hpf) само зависит от Q. Заметим, что, вообще
говоря, в A2.7) входит и энергия самодействия. В некото-
некоторых задачах (например, при исследовании взаимодействия
электронов с фононами) она представляет реальный фи-
физический интерес, и тогда выражением A2.7) можно поль-
пользоваться непосредственно. В ряде случаев, однако, энергия
самодействия не имеет отношения к рассматриваемым проб-
проблемам и должна быть исключена. Так, например, обстоит
Зак. 2126. Метод функций

114 ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
дело в задаче о системе частиц с электромагнитным, в
частности кулоновским, взаимодействием. Операцию исклю-
исключения собственной энергии мы будем в дальнейшем обозначать
символом [...]'.
Подставим теперь в A2.7) явное выражение A2.2) для
гамильтониана взаимодействия. Получим
. A2.
Это выражение можно преобразовать в двух направлениях.
Во-первых, представим (а (х) а (х) Ф (х)) в спектральном
виде (явно указывая спиновые индексы s, s')
(a(x, s)a(x, s')O(x))= J J(x, s, s'\ E)dE. A2.9)
Тогда
+ 0O
Qpf = — J dg' f dx J с??Г@) (s, s')J(x, s, s'; E). A2.10)
Поскольку операторы аа и Ф, взятые в один и тот же
момент времени, перестановочны, все произведение ааФ
есть эрмитовский оператор, и, следовательно, интеграл
Г dEJ(x, s, s'; E) веществен. Таким образом, Q , ока-
оказывается вещественной величиной, как это, конечно, и
должно быть.
Применяя формулы A2.8), A2.10) к системе заряженных
частиц (взаимодействующих через электромагнитное поле),
следует принять во внимание еще условие нейтральности
системы в целом. Иначе говоря, надо принять во внимание
взаимодействие рассматриваемых частиц не только друг с дру-
другом (через поле), но и с полем классических источников —¦
носителей компенсирующего заряда. Соответствующий гамиль-
гамильтониан есть
— j dxia (х) Ао (х).
§ 12] ФУНКЦИИ ГРИНА И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 115
Здесь ia — 4-вектор плотности тока; мы не используем для
него обозначения f, употребляемого в других местах этой
книги, дабы избежать смешения со спектральной функцией.
Добавляя это выражение к правой части A2.10) и принимая
во внимание формулу F.18) для Гу', мы получаем
( +со
l
Qpf = — / de' fdxl j dEr [-/« (X, E)Y + /« (X) Aa (x) |.
0 l-oo )
A2.11)
Спектральная функция в данном случае, очевидно, пред-
представляет собой 4-вектор /я.
Во-вторых, желая выразить Q . через введенные в § 9
массовый и поляризационный операторы, перепишем A2.8)
в виде
s
Qpf = —fW- f dxb (x0) g> (a (x) Г@) а (х) Ф (x)). A2.12)
Среднее значение тройного произведения преобразуется по
образцу (8.4) и (9.1) — (9.6); таким путем получаем (явно
указывая шпур по спиновым индексам)
= — g' lira 5рГ@)(Г{а(х)а(х/)Ф(л:)}) =
= g> lim Sp Г<°> {E) lG\fcp + tOe (x, x') Ф Ц _
xQ> x0
== lim Spj— I CdyM(x, y)Gc(y, x')
x' -ьх I J -
X
x'0>x0
-\-ig'J?>ae(x.
. A2.13)

116 функций грйна. и характеристики системы [гл. in
Таким образом,
S
= — I ~r- / dxb(x0) lim Sp l — i fdyM(x, у) X
о ¦*¦'-»•¦*¦ ^ "
x'o>xo
XGc(y, x') -+- ig> Г0 Gc (x, x') Ф (x)} . A2.14)
Для системы заряженных частиц мы получаем, подобно
е
QPf = ifdx dy lim f *?- § (x0) Sp [Af (x, y) Gc (y, x')]' —
Г Gc (x, x) Aa (x) +
A2.15)
Выражение Gc(x, x) определяется по правилу E.5). Заметим,
что, как легко убедиться из сравнения (9.5а) и (9.13), послед-
последнее слагаемое в правой части A2.15) тождественно равно
'c^(y, х')]'. A2.15а)
Рассмотрим особо пространственно однородный случай.
Положим, как обычно,
Ос (х, у) = J dp Oc (р) е~10>. *-у)
М (х, у) = j dp М (р) е-1 <J>> х~у).
A2.16)
Подставляя A2.16) в A2.14), проинтегрируем сначала по у
и х0. Получим
fdxdyb(x0) lim M(x, y)Gc(y, x') =
х' -> х
= BтсL" lim С dpM(p)Gc(p)e-lPot f dx.
, t<o
§ 12] ФУНКЦИИ ГРИНА И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ П7
Последний интеграл здесь дает объем системы V. Расходи-
Расходимость при V—>оо совершенно естественна: мы вычисляем
полный (а не отнесенный к одной частице) термодинамиче-
термодинамический потенциал, т. е. экстенсивную величину. Таким обра-
образом, для первых слагаемых в правых частях A2.14) и A2.15)
мы получаем
g
BitLiV f ^iL HmSp f dp[M(p)Gc(p)e-lPot}'. A2.17)
0
Второе слагаемое в A2.15) для пространственно однородной
системы с электромагнитным взаимодействием следует вычерк-
вычеркнуть в силу условия нейтральности. Из других систем пред-
представляет физический интерес либо система электронов, вза-
взаимодействующих с фононами, либо ансамбль нейтральных
частиц, парное взаимодействие между которыми формально
описывается некоторым квантовым полем (см. § 8). В обоих
этих случаях Г@* = 1, и второе слагаемое в правой части
A2.14) принимает вид
s
— ifdg'jdxo(x0)n(x)^(x), A2.18)
о
где п(х) — средняя концентрация частиц в точке х [см. E.4)].
В рассматриваемом случае пространственно однородной си-
системы п (х) = п = const; далее, при /==0 равенство A0.3а)
дает с учетом E.5)
Ф(х, gf)=
A2.19)
Поскольку, как уже отмечалось в § 6, f (х) есть либо кон-
константа, либо дифференциальный оператор, мы имеем
/ (х) е-г &¦ Х~Я = / (р) е-l (P- х~у\
где / (р) получается из оператора / (х) заменой
— I
Pi {i=\, 2, 3); I
дх0
Таким образом,
Ро-
Jp=O'
A2.20)

1 IB ФУНКЦИИ ГРИНА Й ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [гЛ. III
и выражение A2.18) принимает вид
Окончательно мы получаем
I
V
lim Sp
A2.21)
Подчеркнем еще раз, что для пространственно однородных
систем заряженных частиц с электромагнитным взаимодейст-
взаимодействием второе слагаемое в правой части A2.21) писать не надо.
Для систем бозе-частиц, взаимодействующих через поле,
в формулах A2.14) — A2.21) следует изменить знаки слагае-
слагаемых, содержащих массовый оператор.
б) Прямое взаимодействие между частицами !)- Гамиль-
Гамильтониан системы частиц с прямым взаимодействием согласно
§ 6 имеет вид
Н' = Н'р-{-Нш, A2.22)
где операторы Нр и Hlnt даются соответственно формулами
F.7) и F.8).
Можно и в этом случае получить для термодинамического
потенциала 2 формулу типа A2.14). Но мы дадим здесь вы-
выражение для 2 другого типа, которое, в частности, позволит
связать Q с собственными значениями эффективного волно-
волнового уравнения (9.18). Для этой цели продифференцируем
равенство A2.3) по р, считая все прочие параметры неизмен-
неизменными. Получим
|1 1(Я0, ^ A2.23)
где, как всегда, (//') есть средняя- энергия
<//') = Spur {ePe-P"'#'}. A2.24)
Это есть, очевидно, не что иное, как внутренняя энергия
системы в обычном термодинамическом смысле слова, а равен-
') См. [3], [2].
§ 12] ФУНКЦИИ ГРИНА И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 119
ство A2.23) представляет собой обычное уравнение Гиббса —
Гельмгольца.
В силу A2.23) мы имеем
A2.25)
где аргумент Р' у Н' под знаком интеграла означает, что
надо вычислять среднюю энергию при температуре Т =z—-~r ,
С, pm — постоянные.
Заметим, что величина (//') есть функция переменных ;-',
Т, V. Характеристической функцией в этих переменных
является термодинамический потенциал 2, для вычисления ко-
которого мы и будем использовать (//') согласно A2.25).
Легко убедиться, что при Т—>0 (т. е. при р—>оо) пра-
правая часть A2.25), как и должно быть, превращается в энер-
энергию основного состояния системы. Действительно, будем вы-
вычислять шпур в системе собственных функций гамильтониана Н'
(собственные значения И', как и в §§2—4, обозначим через Еп).
Тогда мы получим на основании A2.25)
Q-En ^ p p^co—o-
n
Естественно, заранее делается предположение, что 2 есть
конечная величина, не равная тождественно нулю.
Формула A2.25) сводит задачу о вычислении 2 к нахо-
нахождению средней энергии (#'). Согласно F.7) и F.8) мы
имеем
(Я') = /' dk dk' (к' | Т-\- V — I* | X) (а (X') а (X)) +
—(- -х- / dk' (iXj dX2 dk3 (kf, Xj | U | X3, X2) X
X (a (X')"a (X;) a (Xjj) a (X,)). A2.26)

120 ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
На основании E.2) и G.6) это можно переписать в виде
(Я') = I f dX dX' (X' | Г-Ь V — p | X) Hm Gc (X, x0; X', x'o) -f-
X lira 02>e(X,, X2> X3, jc0; X', x'o). A2.27)
Функцию Грина G2> c выразим с помощью уравнения G.7)
через одночастичную функцию Грина и производную от нее
по времени. При х' Ф х0:
f dV d\ d\ dlz (X', X, I U I X3, X2) G2> e (Х„ Х2> Х3, x0; X', 4) =
¦ — /tfX (X' I Г+V — p.] X)GC(X, jc0; X', x'o)} .
Подставим это выражение в A2.27) и представим Ос в виде
интеграла Фурье по времени. Получим
+ ОО
(Я'} = L Hm J dEe-u* Jd\' \bGc (У, X'; E) +
X (X' | Г+У — (i | X) Gc (X, X'; E)\. A2.28)
Эта формула приобретает особенно простой вид, если опе-
оператор T-\-V — (а диагоналей. Пусть его собственные значения
суть W (X) — р.. Тогда второе слагаемое в правой части A2.28)
есть
+ ОО
4 Hm f dEe~iEt f dX [W (X) — a] G. (X, X; ?) =
p.].
§ 12] ФУНКЦИИ ГРИНА И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 121
Здесь в соответствии с E.4)
+ оо
п (X) = / Hm Г dEe~iEt О. (к, X; Е)
есть функция распределения по X, нормированная на числа
заполнения.
Таким образом, мы получаем
+ СО
X fdXEGc(X,X;E), A2.29)
где N — полное число частиц в системе.
Производя выкладку, совершенно аналогичную только что
описанной, легко убедиться, что эта формула справедлива и
для системы бозе-частиц.
В пространственно однородном случае, когда можно по-
положить V (х) = 0, индекс X представляет собой совокупность
спинового квантового числа 5 и трех компонент импульса р.
Формула A2.29) при этом принимает вид1)
+со
+ ^-Sp fdpUm f dEe-iEt[W(p)-\-E]Gr(p,E). A2.30)
t<o -°°
Здесь V — объем системы [не путать с потенциальной энер-
энергией частицы во внешнем поле V(#)l], а символ Sp, как
всегда, обозначает шпур по спиновым индексам. При Т—>0
выражение A2.30) превращается в формулу для энергии
основного состояния, полученную в работах [4] — [6] (мы
воспользовались здесь приемом, предложенным в [6]).
') Следует помнить, что Gc(p, р'; Е) = Ъ(р — р') Gc(p, E); при
совпадении аргументов 8-функцию здесь следует интерпретировать
.как объем системы, деленный на BхK. Формулу A2.30) легко полу-
получить также, записав A2.27) в координатном представлении и разлагая
затем Gc(x, xr; E) в интеграл Фурье по координатам.

122 ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ (гЛ. Ill
В условиях когда справедливы билинейные разложения
(9.26), (9.32), равенство A2.29) позволяет выразить среднюю
энергию (и, следовательно, термодинамический потенциал)
через собственные значения эффективного волнового уравне-
уравнения (9.18). Действительно, подставляя (9.26) или (9.32)
в A2.29), мы получаем без труда
^ J'
XxQ.;E,v)\R — W(K) — ^]X(}.; Е, v). A2.31)
В знаменателях знак плюс берется для фермиевской системы,
знак минус — для бозевской. При этом
п(к) = f dEdv J'
; E, v)\*. A2.32)
Интегрирование по Е в формулах A2.31) — A2.32) произво-
производится по всему спектру эффективного волнового уравнения
(9.18). Заметим, что в силу (9.29) интегралы по Е, v в A2.31)
пропорциональны полному числу частиц в системе, как это,
конечно, и должно быть.
Еще одно полезное представление для средней энергии
можно получить, несколько иначе группируя слагаемые
в A2.26), а именно, полагая
<#') = J dk dk' (У | Т-\- V — (i | X) (а (к') а (>.)) ¦+-
-f- f dk' dkl dk2 dk3 (У, \\U\ X3, k2) (a (X') a (X,) a (X2) a (X3)> —
k' dkt dk2 dk3 (>/, kx\U\ X3, X2) (a (X') a (X,) a (X2) a
Первые два слагаемых здесь преобразуются точно так же,
как и раньше, и в результате дают [ср. A2.28)]
i lim f dEe-iE* f dkEGc(k, M E) A2.33)
t<0 -c
§12] ФУНКЦИИ ГРИНА И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 123
(X — любые переменные). В условиях применимости фор-
формулы (9.26) это выражение принимает вид [ср. A2.31)]
Ei,Vffi!)JL (И.34)
(знак плюс для систем ферми-частиц, минус—для бозе-частиц).
Здесь функция Z' определяется равенством (9.29) и интеграл
в правой части A2.34) асимптотически при V—>оо не
зависит от объема системы V. Для преобразования послед-
последнего слагаемого (которое мы временно обозначим буквой А)
удобно воспользоваться координатным представлением. Тогда
А = — 4- f dxdx' U {х — х') (а(х) а(х') а (хг) а (х)) =
= .1 Г dxdx' U(x — x') (— а (х') а (х') ~а(х) а {х) -4-
о (лг — х ) а (X) а (Х)) = -\- -^ и (vj i\ —
— 4т lim f dxdx' U(x — x')G2iC(x, x').
Xn > Xn
Здесь G2 c(x, x')—функция E.24) при xl = x2=x x'l = x'2 = x'
(ее не следует смешивать с функцией G2 с(\, Х2, Х3, х0; к',х'0\
которая определена формулой G.6); в последней аргументы рас-
расставлены иначе). В системе заряженных частиц функция U (х)
обращается в бесконечность при х—>0; соответствующее
слагаемое, однако, представляет собой не энергию взаимо-
взаимодействия, а энергию самодействия частиц и его следует вы-
вычеркнуть. Формально этого можно добиться, вводя вместо U (х)
регуляризованное выражение по образцу известного предель-
предельного Х-процесса в квантовой электродинамикег) [7]. Опуская
' е2 е2 Г eikx
') Пусть, например, U\х) = — = -^-^ I dk 2 (г = | х |).
Заменим коэффициенты Фурье 2 регуляризованным выраже-
нием
cos
, где X — малая величина (X > 0). Тогда получим
- е2 IS I Г"Х А
- 2г ^-Г \r-\\)
I о,
г=0.

124
ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
слагаемое -~-NU@) и вводя обычным способом фурье-
образ G2iC(x, х'\ Е), получаем
А
= — 4 Hm f dE e~iEi f dx dx' U (x—x;) G2 , (дг, х'; Е).
A /<o J J
A2.35)
В условиях применимости билинейной формулы (9.44) инте-
интегрирование по Е легко выполняется, и равенство A2.35) при-
принимает вид
= у f dEdvZ2(E, v)nB(E)X
xdx' U{v — x')x2{x, x\ E,
x'; E, v). A2.36)
Положим по определению
\z2{E, v) J dxdv' U(x—x')x2(X, x; E, v)x2(*', x'\ E, v)=
= VEZ'2{E, v). A2.37)
Комбинируя формулы A2.34), A2.36) и A2.37), находим
окончательно
= dE dv
EZ'(E, v)
e$E ± 1
dE' dv'
e'zUe?, v')
A2.38)
Первое слагаемое здесь формально совпадает с выражением
для удельной средней энергии идеального газа (Бозе или
Ферми); второе слагаемое есть формально удельная средняя
энергия некоторого идеального бозе-газа. Напомним в связи
с этим, что переменные v, Е и v', Е' в первом и втором
слагаемых имеют, вообще говоря, разный смысл [см. (9.26)
и (9.44)]. Различны и области интегрирования по Е и Е'.
Поскольку спектральная функция, принадлежащая G2iC,
асимптотически при V—>оо не зависит от. V, то же спра-
справедливо и для Z2.
§ 12] ФУНКЦИИ ГРИНА И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 125
Для термодинамического потенциала мы получаем на
основании A2.25) при рга^-0 и A2.38)
dE' dv'
EfZf2 (?', v')
A2.39)
Как показано в работах [27], [28]!), в известных условиях
82/8М = 0. При этом выражение A2.39) превращается в
обычную формулу для термодинамического потенциала двух
идеальных газов
= ^-Т$-х f
dEdvZ'(E, v)\n{\
f dE'dv' Z2(E', v')\n(l—e-P
A2.40)
(верхний и нижний знаки соответственно для систем ферми-
и бозе-частиц).
Представление типа A2.25), A2.31) можно получить и
для термодинамического потенциала системы частиц, взаимо-
взаимодействующих с квантовым полем. Именно, рассуждая совер-
совершенно так же, как и выше, легко находим для этого случая
(в условиях применимости (9.26))
{И') = (Н'р) + (Я,) ¦+- (Hpf) =JdE
dv Е^ ^ +¦ (Я,),
A2.41)
где Е — собственные значения эффективного волнового урав-
уравнения для корпускулярной функции Грина. Среднее значе-
значение (Ht) также можно выразить через функции Грина;
однако для систем этого типа, по-видимому, удобнее поль-
пользоваться формулой A2.21).
Отметим в заключение, что в развитой здесь методике
не возникает никаких трудностей с зависимостью Q (и, сле-
следовательно, энергии основного состояния Ео) от объема си-
системы V. Действительно, как отмечалось в § 10, при V—>оо
уравнения для функций Грина не содержат V. Поэтому
') Авторы признательны А. Клейну за присылку препринта
работы [28].

126
ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
асимптотически вся зависимость от объема дается множителем
V в формулах типа A2.21), A2.30). Соответственно можно
непосредственно определить асимптотически не зависящие от
объема удельные величины (термодинамический потенциал,
отнесенный к единице объема или к одной частице), и этим
решается вторая задача, сформулированная во Введении.
§ 13. Корреляционные функции3)
На основании результатов §§ 1—3 корреляционные функ-
функции различных типов непосредственно выражаются через пре-
предельные значения соответствующих функций Грина. В на-
настоящем параграфе мы рассмотрим некоторые представления
для корреляционных функций с помощью функциональных
производных, а также исследуем более подробно важную
для дальнейшего функцию временной корреляции токов.
По определению E.2) и A.2)
WT{a(K хо)а(У, x'o)}. A3.1)
ОДХ, х0; У, x'0) =
Напомним, что оператор Н' представляет собой обобщенный
гамильтониан
Представим фигурирующий здесь оператор полного числа
частиц А-г в виде '
N =
k", хо)а(\", х0).
A3.2)
Оба оператора Н и N следует взять в один и тот же момент
времени — безразлично, какой именно: как всегда, мы рас-
рассматриваем случай, когда операторы Н и N, взятые в один
и тот же момент времени, коммутируют. Произведем в A3.1)
формальную замену fa—>F(k", A'")-|-Pjj. и соответственно
-|-| dk"dk'"F(k", У") а (к", хо)а(кт, х0). A3.3)
Полученную таким путем функцию обозначим через G'c {F);
очевидно,
Gc(X, jc0; X', х^=ПтО'с(\. xQ; X', x'Q; F). A3.4)
•) См. [1], [6], [8].
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Для краткости мы будем в дальнейшем в этом параграфе
говорить просто о предельном переходе и писать символ lim,
не указывая явно условия F —> 0. Непосредственно видно,
что функциональное дифференцирование О' по F дает,
во-первых, слагаемое вида ft bFCk" \'"\ ®' и> во-вторых,
функцию Грина более высокого порядка, содержащую четыре
оператора а, а под знаком усреднения 1). Последняя связана
с оператором р2; таким путем легко находим, выполняя обыч-
обычный предельный переход:
(\,\\р2\К>К)=
A3.5)
Здесь символ [. . . . ]д s означает, что по индексам А.' \' и
Xj, Xj выражение в скобках надлежит подвергнуть антисим-
антисимметризации или симметризации в зависимости от того,
являются ли операторы а, а фермиевскими или бозевскими;
функция р[ связана с G'c так же, как pj связана с Gc.
Матрица р2 описывает корреляции по любым переменным
X в данный момент времени.
Рассмотрим, в частности, корреляционную функцию по
импульсам в пространственно однородной и изотропной си-
системе без спинового взаимодействия. В качестве X здесь
удобно выбрать три компоненты импульса р и спиновую
координату 5. Воспользуемся дискретным импульсным пред-
представлением (т. е. будем считать, что система заключена
в большом «кубе периодичности» объема V) и введем сред-
средние числа заполнения п (р, s) состояний (р, s). Матрица рг
при этом, очевидно, диагональна по спиновым переменным,
и вместо A3.3) можно произвести замену
j F(p, s)a(p, s)a(p, s).
') Это есть частный случай общей двухчастичной функции
Грина, соответствующий специальному распределению операто-
операторов а, а по временам.

128
функции грина и Характеристики системы [гл.
Специализируя формулу A3.5) на этот случай, получаем
РзО»', s'; p, s)==(a(p', s')a(p, s)a(p, s)a(p', s')} =
= n(p, s)n(pr, s') — A(/»'—p)k(s' — s)n(p, s)-\-
. ,. dn'(p, s) ,,o C4
+hmwuhk' A3-6)
где Л есть дельта-функция дискретного аргумента. В част-
частности, для идеального электронного газа, когда числа запол-
заполнения даются обычной функцией Ферми, равенство A3.6)
принимает вид
Р2(р', s'; p, s) — n(p, s)n(p', sr) —
— Д(р— p')A(s — sr)n2(p, s). A3.7)
Второе слагаемое в правой части A3.7) описывает «кинема-
«кинематическую» корреляцию, связанную с принципом Паули:
вероятность обнаружить два электрона с одинаковыми импуль-
импульсами и проекциями спина равна нулю. В остальном электроны
движутся независимо друг от друга, что и естественно
(идеальный газ). При наличии взаимодействия вид функции
распределения п(р, s), вообще говоря, усложняется; при этом
согласно формуле A3.6) появляется еще дополнительная
(динамическая) корреляция по импульсам, обусловленная
силами взаимодействия.
Аналогичным путем, произведя замену
k" d\'
можно получить и выражения для временных корреляцион-
корреляционных функций. Непосредственно производится также обобще-
обобщение на случай многочастичных корреляционных функций (для
этого, очевидно, надо лишь взять функциональные производ-
производные более высокого порядка от G').
Для систем с прямым взаимодействием можно получить
еще одно полезное представление бинарной корреляционной
функции через функциональную производную от термодина-
термодинамического потенциала Q по потенциалу взаимодействия.
151
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Действительно, мы имеем в -этом случае согласно A2.3),
A2.22), F.7) и F.8)
2 = — р-1 In Spur exp { — §Н'р — |- f d\ d\d\[ d\r2 X
X(\- \\U\K- K)"(\)"(\)a(K)a(K) A3-8)
(все операторы а, а относятся к одному и тому же моменту
времени — безразлично, какому именно). Отсюда
bQ ; = I
2
U\
, ; = I (а (к.) а (к2) а (К) а (\[)) е==
^ Х() 2 ч \Ц \V W V. \)i
*• М-
Формула A3.9) особенно удобна для вычисления корреля-
корреляционной функции по координатам в пространственно одно-
однородной системе. В этом случае в качестве X удобно взять
спиновую и три пространственные координаты; оператор
энергии взаимодействия имеет вид
"int~YJ
и следовательно,
bU(x, x') '==~2
¦s, s'
_s,s'
, s)a(x', s')X
, x')a(x', s')a(x, s), A3.10)
x', s')a(x', s')a(x, s))=>
s-l^/C* — x'), A3.11)
где
s's'
*• S)"(,X', s')a(X', s')a(X, s)).
A3.12)
Функция f (x — x') описывает корреляцию в конфигура-
конфигурационном пространстве; постоянный множитель в правой
части A3.12) подобран так, чтобы интеграл | / {x)dx был
конечной величиной, асимптотически (при N—>co, V—>oo
О < -—=.п < оо V не зависящей от N и V. Таким образом,
9 Зак. 2126. Метод функций Грина

130
ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [гЛ. XXX
Для термодинамического потенциала 2 можно воспользоваться
одной из формул предыдущего параграфа.
Отметим, в частности, случай, когда прямое бинарное
взаимодействие заменено взаимодействием с эффективным
квантовым полем, гриновская функция которого определяется
равенством A.62). Тогда термодинамический потенциал Q
дается формулами A2.4), A2.21). Положим
Принимая во внимание A2.15а) и выполняя варьирование,
указанное в A3.13), мы получаем
/(*) =
N2g2
f*gL f
J g' J
X W\ Ит / dk'e~ о [^(й', gr)Dc(k',
t <о
A3.14)
В случае систем заряженных частиц с электромагнитным
взаимодействием последнее слагаемое писать не надо.
Из формулы A3.14) видно, что фурье-образ корреля-
корреляционной функции / (k) определяется в конечном счете полю-
полюсами функции Грина Dc. Но эти же полюсы, как мы знаем,
определяют и некоторые ветви спектра элементарных воз-
возбуждений в системе. Таким образом, между видом корре-
корреляционной функции и спектром возбуждений имеется глубо-
глубокая связь х).
До сих пор в этом параграфе мы рассматривали только
«одновременные» корреляционные функции, характеризующие
взаимосвязь между вероятностями обнаружения тех или иных
величин, взятых в один и тот же момент времени. Рассмот-
Рассмотрим теперь один специальный случай двухвременных кор-
корреляционных функций, а именно корреляционную функцию
плотностей тока 2), взятых в различные моменты времени:
Л (*%.)• A3.15)
') Эта связь была впервые обнаружена Фейнманом [10] на кон-
конкретном примере жидкого гелия II. *
2) Мы имеем в виду только ток проводимости, но не спино-
спиновый ток.
§ 13]
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
131
Эта величина понадобится нам в дальнейшем в теории элек-
электропроводности. Ограничимся пространственно однородным
и изотропным случаем. В применении к теории твердого тела
последнее означает, что мы рассматриваем только кристаллы
кубической системы. Тогда
;, jc') = dE
A3.16)
В силу эрмитовости оператора jt (x) мы имеем, очевидно,
F(iV (k, E) = /?(z|) (— k, —E) = F{iV (k, E). A3.17)
Далее, в силу D.2)
Таким образом, функцию Fty (&. Е) можно представить
в виде
\V F2{k\ E), A3.19)
где
F1 — k2F2^0, F2>0 A3.20)
(и, следовательно, Fj^-O). В силу закона сохранения заряда
функция Fy (k2, E2) удовлетворяет одному важному тождеству
(см. [9], [11]). Мы получим его, связав Fn (k, E) с комму-
коммутатором плотностей тока и воспользовавшись уравнением
непрерывности и хорошо известными правилами перестановки
для плотностей заряда и тока, взятых в один и тот же
момент времени. Прежде всего на основании B.10) мы имеем
(IAW, Л(*')]_) =
= / dE
f
^-)FW(k, E) =
+со
=г JL J
tll
M.
(Jfe, E).
A3.21)
9*

132
ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
Далее, обозначим через р (х) оператор плотности заряда
В силу уравнения непрерывности
A3.22)
В сочетании с A3.21) и A3.19) это дает
+ СО
= _*/- f dE Г
th
M.
k2, E2).
A3.23)
Положим в A3.23) x'0 = xQ. Тогда коммутатор в левой
части легко вычисляется.
Рассмотрим сначала простейший случай, когда оператор
скорости есть просто р/т0 (т0 — истинная масса частицы).
Тогда
mo dxi
где я = (р (х)) — постоянная (в силу условия однородности)
плотность частиц.
Результат A3.24), однако, справедлив лишь в отсутствие
внешних полей. Им нельзя пользоваться в теории твердого
тела, где, благодаря периодическому полю решетки, вели-
величина я есть не константа, а периодическая функция коор-
координат. В ряде задач теории твердого тела периодический
потенциал решетки можно явно исключить из рассмотре-
рассмотрения [12] — [15], заменяя обычный оператор кинетической
энергии р2/2т0 оператором Т(р), представляющим энергию
электрона в периодическом поле решетки. Здесь р есть
квазиимпульс электрона; при переходе к координатному
представлению р следует заменить на — /Vх. При этом
система в отсутствие дефектов решетки становится простран-
пространственно однородной, и я есть константа, но зато скорость
') Смешения с операторами рь р2) ... произойти не может, ибо
последние всегда имеют индексы 1, 2, ..., s.
§ 13] КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
дается выражением
133
Скорость V, вообще говоря, не параллельна вектору р даже
в кубическом кристалле, так как сама поверхность T(p)=const
может иметь выделенные направления. Из соображений сим-
симметрии ясно, что в выражение для плотности тока jt может
входить лишь величина vt (p), усредненная по всем таким
направлениям. Очевидно, ее можно представить в виде
Pif (Р2)> гДе / (Р2) — некоторая скалярная функция (в част-
частном случае, когда Т(р)=р2/2т0, имеем / = 1//га0). Для
интересующего нас коммутатора при этом получим
Up О*. *о)> Мх'>
и следовательно,
, A3.24a)
+ СО
th
i(b, x-x')
Поскольку /(—vj) elhx = f (ife2) elbx, это дает
th
dE
, Е )=
2. E2).
A3.25)
Отметим, в частности, случай квадратичной зависимости
энергии от квазиимпульса
Т(р) = V KPi 9mPi } . A3.26)
Здесь pf> — некоторые заданные числа, определяющие
положение минимума энергии в зоне Бриллюэна, mt — глав-
главные значения тензора эффективной массы. Вычисляя отсюда
компоненты скорости vl(p) и производя указанное выше

134 ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ш
усреднение, находим
Соответственно формула A3.25) принимает вид
A3.27)
+со
Г
j
dE
ас
A3.28)
Замечательно, что правая часть A3.28) не зависит от k.
Соотношение A3.25) и есть искомое тождество. Мы вывели
его в предположении, что имеется лишь один тип заряженных
частиц; обобщение на случай нескольких типов состоит
в том, что правая часть A3.25) заменяется на
B*)
Индекс а здесь нумерует типы частиц, и суммирование
производится по всем возможным его значениям. Тожде-
Тождество A3.25) послужит нам в дальнейшем (§ 14) исходным
пунктом для вывода «правила сумм» в теории электропро-
электропроводности.
Заметим в заключение, что, зная /*у(л\ x'), можно опре-
определить и временную корреляционную функцию для плотно-
плотностей заряда. Действительно, в силу уравнения непрерывности
мы имеем [ср. A3.22)]
)9(х)
¦dxL oxt
и, следовательно,
(IpW. р(аг/)]+) =
+ СО
= fdEf'
дх.
l) ^Fx{k\ &). A3.29)
§ 14]
РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ НА ВНЕШНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
135
§ 14. Реакция системы на внешние воздействия.
Представление через двухвременную функцию Грина 1)
В этом и следующем параграфах мы покажем, что зна-
знание простейших функций Грина, определенных в условиях
термодинамического равновесия, позволяет исследовать не
только равновесные свойства системы, но и величины, харак-
характеризующие ее реакцию на всякого рода внешние воздей-
воздействия. В частности, оказывается возможным вычислять потоки
заряда, энергии и других величин, возникающие в системе
при наложении электрического поля и т. д. Тем самым полу-
получаются формально замкнутые выражения для электропровод-
электропроводности и других кинетических коэффициентов.
Мы ограничимся случаем малых отклонений от равнове-
равновесия, рассматривая внешнее воздействие как возмущение и
вычисляя средние значения всех интересующих нас величин
лишь в первом неисчезающем приближении.
Пусть на систему, находившуюся первоначально в со-
состоянии термодинамического равновесия, начинает действовать
адиабатически включающееся внешнее возмущение. Удобно
выбрать начальный момент при х0 ->—оо; тогда часть га-
гамильтониана АН, описывающую взаимодействие системы
с возмущением, можно представить в виде
Д// = —Л,,,*-'«*>-• I*, id. A4.1)
Здесь Ат есть с-число («амплитуда» внешнего воздействия),
Cj — некоторый оператор, зависящий от природы взаимо-
взаимодействия, но не зависящий от параметров X. Обычно С1
содержит интеграл по X (см. ниже). Выбор АН в виде гар-
гармонически осциллирующей функции A4.1) не снижает общности
рассмотрения, коль скоро мы ограничиваемся первым — ли-
линейным по АН — приближением.
Среднее значение некоторого оператора С2(х) в присут-
присутствии возмущения легко найти по общей формуле A.2),
причем статистический оператор р следует вычислять с уче-
учетом возмущения A4.1). Обозначим через Н' гамильтониан
системы в отсутствие возмущения; на основании A.3) мы
имеем
^H'p — рЯ' + ЛЯр — рАН.
A4.2)
>) См. [9], [11], [16] —[18].

136
ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [гЛ. Ш
Пусть р0 есть статистический оператор в отсутствие возму-
возмущения, характеризующий систему в состоянии термодинами-
термодинамического равновесия. В дальнейшем для краткости мы будем
его именовать просто равновесным статистическим операто-
оператором. Очевидно, [р0, //']_ = 0. Положим
A4.3)
и ограничимся членами первого порядка по Ар, Л//. Прини-
Принимая во внимание граничное условие р
получаем
-*¦„->—со
р0, из A4.2) мы
, ро]_е
у, л л\
A4.4)
Следовательно, для среднего значения некоторого опера-
оператора C2(xQ) в момент времени х0 согласно A.2) будем
иметь
— tf ([C2(x0), LH(x'0)]_)dx'Q. A4.5)
Здесь С$ есть среднее значение С2 в отсутствие возмуще-
возмущения (при Ат — 0), и имеются в виду операторы, гейзенбер-
гейзенберговские относительно невозмущенного гамильтониана Н'.
Для краткости мы не пишем индексов X, могущих характе-
характеризовать оператор С2, а указываем лишь момент времени,
к которому относится С2. Естественно, и усреднение произ-
производится по невозмущенному ансамблю, характеризуемому
оператором р0.
Вспоминая определение запаздывающей функции Грина
C.2), мы получаем из A4.5)
+ оо
С, (дф
+ оо
<-). A4.6)
Поскольку функция Грина <(С2(лг0) | Сх (х'о) »^)= )
при учете диссипативных процессов неизбежно затухает со
§14] РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ НА ВНЕШНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ .137
временем, можно сразу положить е = 0. Полагая далее
i
0, x'Q) =
находим
Здесь
т. е.
С2 (хо) =ci0) (х0
'Q) =
ш)
+ СО
(9 <[С2 (*„).
A4.7)
A4.8)
A4.9)
A4.10)
Величина х(ш) иногда называется комплексным адмиттансом
системы. С помощью формул C.7) и B.10) легко выра-
выразить х(ш) непосредственно через спектральные функции,
соответствующие коммутатору или антикоммутатору операто-
операторов С2 и Сх:
+ СО +С
= / d? 21 v ;. == /
J Е—со — гг J
dE
Е—о>
. A4.11)
Таким образом, величины, описывающие реакцию системы на
произвольное внешнее воздействие (в частности, и поглоще-
поглощение энергии системой), непосредственно выражаются через
временные корреляционные функции для соответствующих
операторов Сх и С2.
Особенно интересен случай С1 = С2. Тогда корреляцион-
корреляционная функция
+ ОО
= f dEe~iEtJ{+\E)
описывает временную эволюцию спонтанных флуктуации ве-
величины, описываемой оператором С2(х0) в условиях термо-
термодинамического равновесия. В силу A4.8) и A4.9) она же
в конце концов определяет и диссипацию энергии внеш-
внешнего поля в данной системе. Это обстоятельство составляет

138
ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
содержание так называемой «флуктуационно-диссипационной
теоремы» [19].
В применениях, как правило, интересен случай, когда
оператор С2 эрмитов (оператор Сх, конечно, всегда эрмитов).
Тогда, очевидно, J(+)(?f) = J(+) (—Е), и, как легко усмо-
усмотреть из A4.11), то же справедливо и для адмиттанса
Re X («О = ReX (—«О. (Н.12)
Imx(<o) = — Imx(—со). A4.13)
Если, сверх того, спектральная функция оказывается еще и
вещественной, то для Кп,г(^) справедливы дисперсионные
соотношения § 4. Отделяя в A4.11) вещественную часть от
мнимой, мы получаем в этом случае
ReX(«)= f dEtht*FlJj№
A4.15)
A4.16)
+ 00
+ OO
A4.16a)
Дисперсионные соотношения A4.16), A4.16a), как и анало-
аналогичные равенства в § 4, написаны в предположении, что
1тх(Е) достаточно быстро убывает с увеличением \Е\, и
интеграл сходится. (Именно такая ситуация типична для задач
статистической физики.) Если бы это условие не выполнялось,
пришлось бы прибегнуть к вычитательной процедуре, раз-
развитой в связи с задачами квантовой теории поля [20] (в про-
простейшем случае это свелось бы к появлению в A4.16) раз-
разности Im х (?") — Im х (оо) ).
Формулы A4.9), A4.10) описывают реакцию системы
на внешнее воздействие любой физической природы; тре-
требуется лишь, чтобы соответствующий гамильтониан взаимо-
взаимодействия можно было представить в форме A4.1). Специа,-
РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ НА ВНЕШНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
139
лизируем теперь эти выражения для двух важных частных
случаев, относящихся к поведению системы, соответственно
в однородном магнитном и однородном электрическом полях.
Пусть для начала
Д//= —М/?^(*о), A4.17)
где Mt — магнитный момент единицы объема, а &в =
= е%?те~1шх° — напряженность внешнего магнитного поля.
Очевидно, роль оператора Сх в данном случае играет век-
вектор М; он же представляет собой и оператор С2, ибо нас
интересует именно средняя намагниченность в образце. Адмит-
танс х 0°) в данном случае есть не что иное, как тензор
комплексной магнитной восприимчивости Хц О0)- Поскольку
магнитный момент есть аддитивный оператор
Щ (х0) = fdX dV (k\Mt\ X') a(k, xQ) a (V, х0),
формула A4.10) дает выражение Х/у (ш) через двухчастичную
функцию Грина типа E.25)
Mt I XJ) X
[; X2, X'2; ш). A4.18)
+ CO
Х2, У2; ?) = A.
A.
-a(\2,x'Q)a(X2,x>0)]_)e
lEt
Kv xQ)a(X{, x0).
A4.19)
Спектральная функция в данном случае, очевидно, веще-
вещественна, и следовательно, справедливы равенства A4.16) и
A4.16а) и дисперсионные соотношения, связывающие веще-
вещественную и мнимую части магнитной восприимчивости.
Обратимся теперь ко второму частному случаю — пове-
поведению системы в однородном электрическом поле напряжен-,
ности $ = Ъте~1шх*~е |л:о1. Гамильтониан A4.1) при этом имеет
вид
АН = — ($т, d(xo))e-iwJC°-^x<>\, A4.20)
где d—полный дипольиый момент системы. Очевидно, он и
играет роль оператора Сх; усредняемый же оператор С2
есть плотность тока J. Функция / (ш) в данном случае

140
ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ц1
представляет собой комплексный тензор электропроводности,
который мы обозначим через ои(ш). Равенство A4.16а) превра-
превращается при этом в хорошо известное дисперсионное соотноше-
соотношение Крамерса — Кронига[21] — [22], связывающее веществен-
вещественную и мнимую части диэлектрической проницаемости в. Дей-
Действительно, тензоры электропроводности и диэлектрической
проницаемости связаны хорошо известными равенствами
Im atJ ((о) = — (о Re ey (ш),
Re atj (со) = со Im ey (со).
A4.21)
Подставляя A4.21) в A4.16а), принимая во внимание A4.13)
и замечая, что Re stj (ш) —> 8^. при со—>оо, легко находим
+ оо
1^1A4.22)
Re sy (о» - 8|, =1 / dE<? 1^
Это есть соотношение Крамерса — Кронига, написанное в тен-
тензорной форме.
Формула A4.9) в данном случае принимает вид
аи
= I J dtQ (/) ( [У.
—оо
Интегрируя по частям, получим
A4-24)
В первом слагаемом коммутатор надо вычислять лишь
при x'Q = x0. Мы ограничимся, как и в § 13, рассмотрением
пространственно однородных систем. Имея в виду возможные
применения в теории твердого тела, при этом уже нельзя
писать оператор кинетической энергии в виде Т(р)=р2/2т0,
и соответственно скорость v{p) = VpT(p) ф pfm0 [см. заме-
замечания после формулы A3.24) в § 13]. Обозначая, как и
в § 13, результат усреднения v по выделенным направлениям
§ 14] РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ НА ВНЕШНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЙ 141
на поверхности Т(р) = const через р/ (р2), без труда получаем
S л (/») {btlf (р2) + 2piPlf (p2)}. A4.25)
р
Здесь штрих обозначает производную по всему аргументу,
а п (р) есть функция распределения, нормированная обычным
образом. В соответствии со сказанным в начале этого пара-
параграфа п (р) надлежит вычислять в отсутствие поля 8, т. е.
в условиях равновесия. При этом п(р) = п(—р), и следо-
следовательно, правая часть A4.25) пропорциональна единичному
тензору. Введем обозначение
= -=г-. . A4.26)
Тогда
). <*i(*o)]_)= —
m
A4.27)
Величину m можно назвать средней эффективной массой.
В частности, если Т(р) дается формулой A3.26), то m пре-
превращается в эффективную массу ш* A3.27).
Обобщение формулы A4.27) на случай нескольких типов
заряженных частиц, как и в § 13, не представляет труда и
пе2 ж-, пае\
сводится к замене множителя —^г- на J^ —^— , где индекс а
тп
гпа
нумерует различные типы частиц, и суммирование произво-
производится по всем таким типам.
Далее,
В результате мы получаем
+ ОО
. . ine2 ^ , 1 Г
A4.28)
Поскольку плотность тока есть аддитивный оператор*
соотношение A4.10) немедленно позволяет выразить ап через

142
Функций грина и характеристики системы [гл. Ш
двухчастичную функцию Грина A4.19). Можно воспользо-
воспользоваться формулой A4.18), полагая там Х={д:, s} и заменяя
матричные элементы магнитного момента на матричные эле-
элементы оператора плотности тока.
Иногда, однако, может оказаться более удобным рассма-
рассматривать «токовое поле», отождествляя j\ (x) и jl(x') с «пер-
«первичными» операторами С1 и С2 в общих формулах § 4.
Тензор электропроводности при этом легко выразить
через корреляционную функцию токов A3.15). Действительно,
полагая
+ оо
ИМ*).
]_> = / dEe-iEtF{fi\x, х'\ Е) A4.29)
и пользуясь формулой B.10), мы получаем
+ СО
« («О = "^ \i + — f dt f
/Исо со J J
/Исо
+ oo
X
, x'; E) =
T
oe
ine* й i f
= -^—ьи /
7ИС0 CO e/
— CO
= U^Lbu—L } dE Ш1Г г
— it
— CO
+ oo
OB /\2 f dx'FW (*. x", E).
A4.30)
В интересующем нас пространственно однородном случае
функция F^Vix, х'\ Е) дается формулами A3.15) — A3.19);
соответственно равенство A4.30) принимает вид
°и (<«) = i?-ba—L BuK f dE&> -g_L- FW @, E) +
ma> со J !-• —m
;th
A4.31)
Как и следовало ожидать, ток в однородном поле (и в одно-
однородной среде) определяется лишь фурье-компонентами кор-
§ 14] РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ НА ВНЕШНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
143
реляционной функции при k = 0. Из формулы A3.19) сле-
следует, что в этих условиях функция F и переходит просто
в Fx: FV| @, Е) = buFx @, Е2). Таким образом, тензор элек-
электропроводности сводится к скаляру а (как и должно быть
в среде с такой симметрией); вещественная часть его поло-
положительна [см. A3.20)]. Из A4.31) мы имеем
Re а (ш) = BтсK
, ш2) = Re a (— ш). A4.32)
В частности, статическая электропроводность есть
Rea@) = ^|-B7uK/='1@> 0). A4.33)
Для мнимой части а мы получаем
Im
= ne^ B^K Г с
mu> со «/
A4.34)
Последнее равенство можно переписать также в виде
lma(») = -^_Bic)» f dE-^^ff'E2K A4.34а)
/исо J Ц ?¦ —w
— со
Из формул A4.31) и A4.34) непосредственно вытекают не-
некоторые утверждения общего характера.
Во-первых, в предельном случае очень больших частот
вторым слагаемым в правой части A4.34) можно пренебречь.
Тогда
2
Imo(o)) =
и следовательно,
Re e (со) = 1 —
пе2
/Исо2
A4.35)
Таким образом, при больших частотах вещественная часть
диэлектрической проницаемости стремится к значению, харак-
характерному для системы свободных зарядов,. если под массой
понимать величину т. Для заряженных частиц в пустоте (при
наличии лишь равномерно распределенного в пространстве

144
ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
компенсирующего заряда) это была бы истинная масса ча-
частицы т0. Однако в твердом теле это — величина более
сложной природы. В частности, согласно A4.26) она может
зависеть от температуры.
Во-вторых, составим интеграл от Re а (со) по всем часто-
частотам. Принимая во внимание четность функции а (со) и поль-
пользуясь тождеством A3.25), мы получаем
y*Rea(«))rfa) = ^!-/(O),
A4.36)
где f (k) — функция, определенная в § 13.
Соотношение A4.36) носит название правила сумм. При
наличии нескольких типов носителей тока в правой части его
стояла бы сумма -^ "V n-ae2afa @), где индекс а нумерует раз-
а
личные типы частиц, и суммирование производится по всем
таким типам.
Выражение A4.32) приобретает особенно наглядный вид
в специальном случае, когда корреляционная функция токов
затухает по простому экспоненциальному закону
. 0), у, (*'• 0I+)
",A4.37)
где x— некоторая постоянная. Очевидно, соответствующая
спектральная функция имеет вид С/1 -\~Е2^2, где С — вели-
величина, не зависящая от?". Таким образом, аппроксимация A4.37)
означает предположение о чисто мнимых полюсах спектраль-
спектральной функции. Для вещественной части тензора электропро-
электропроводности мы получаем при этом
Re a (со) =
я,..
th
'. 0), J'i(x\
A4.38)
Величину т в этом случае можно интерпретировать как время
свободного пробега. В пренебрежении квантовыми.поправками
/J_JW >C/2j частотная зависимость A4.38) принимает вид,
§ 15]
РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ НА ВНЕШНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
145
хорошо известный из обычной кинетической теории. Под-
Подчеркнем, однако, что возможность представить корреляцион-
корреляционную функцию в простом виде A4.37) заранее не очевидна.
§ 15. Реакция системы на внешние воздействия.
Представление через вершинную частьх)
Для применения формул предыдущего параграфа к кон-
конкретным задачам требуется предварительно вычислить двух-
двухчастичную (или еще более сложную) функцию Грина. Это,
как правило, сводится к решению уравнений типа кинетиче-
кинетического, т. е. к довольно сложной задаче. По этой причине
весьма желательно получить и другие представления для ки-
кинетических коэффициентов, в которые входили бы функции:
иного типа. Одна такая возможность будет рассмотрена в на-
настоящем параграфе. Конечно, и здесь мы можем ожидать
получения лишь формально замкнутых выражений, содержа-
содержащих величины, фактически неизвестные. В некоторых случаях
может оказаться более удобным вычислять именно эти вели-
величины, а не двухчастичные функции Грина.
Для конкретности мы рассмотрим тензор электропровод-
электропроводности в условиях применимости закона Ома; из вывода,
однако, будет ясно, что развиваемый метод в равной мере
пригоден для вычисления любых кинетических коэффициентов.
Оператор плотности тока проводимости во внешнем поле
с 4-потенциалом АХ={АО, А] имеет вид
). A5.1)
Следовательно, для средней плотности тока мы получаем
Ji(x)=fy(x)-+-j{V(x). A5.2)
где в согласии с E.2)
>pGc(x, xf; A), A5.3)
=_!- lim
lim (?
?
lim SpGc(x, x'; A). A5.4)
') Cm. [23].
JO Зак. 2126. Метод функций Гринд

146
ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
Здесь Ос (х, х'\ А) есть одночастичная причинная функция
Грина, вычисленная как с учетом внешнего электромагнит-
электромагнитного поля (на что указывает функциональный аргумент А),
так и с учетом взаимодействий, обусловливающих затухание.
Интересуясь лишь линейными по внешнему полю эффектами
и принимая во внимание определение вершинной части (9.4а),
мы имеем
Ос(х, х'; А) =
(У) =
= Gc(x, *')+¦
-^efdydy'dy"Gc(x, /)П(У, /'; у)Ос(у", х') Лв(у), A5.5)
где
у"
ЬеАа (у)
A5.6)
— «электромагнитная» вершинная часть, a Gc(x, x') — функ-
функция Грина для системы без электромагнитного поля. Вообще
говоря, пределы интегрирования в A5.5) следует выбирать
с учетом условия причинности. Дабы избежать связанных
с этим вычислительных осложнений, мы будем рассматривать
лишь предельный случай х0—>со. В дальнейшем это обстоя-
обстоятельство явно не оговаривается, но подразумевается.
Как правило, в отсутствие внешнего поля средний ток
в системе равен нулюг). Поэтому первое слагаемое в правой
части A5.5) не дает вклада в j(p(x). С другой стороны,
в линейной аппроксимации только его и надо подставлять
в формулу для уЧ2). Таким образом, комбинируя формулы
A5.2) — A5.5), мы получаем
y)Aa(y)dy,
A5.7)
!) Исключение составляют сверхпроводники. Однако во всех
без исключения случаях тензор электропроводности определяется
только частью тока, обращающейся в нуль вместе с полем; поэтому
последующие формулы применимы всегда.
§ 15] РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ НА ВНЕШНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ 147
где
xo>xo
;е2
'.У\ У)Ос{у", х')
A5.8)
Сопоставим A5.8) и (9.13). Поскольку в нерелятивистском
приближении -[i-b-itjc, видно, что правая часть A5.8) сво-
сводится просто к о^5?.
Совокупность величин № связана с тензором электропро-
электропроводности at. Действительно, по определению
Л С*) = / °{ С*. y)&j(y)dy,
A5.9)
где $j (у) — напряженность внешнего электрического поля,
связанная с 4-потенциалом равенством
дА0(у)
ду<>
A5.10)
На основании A5.7), A5.9) и A5.10) мы имеем
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением систем,
пространственно однородных в отсутствие внешнего поля,
а потенциал Аа (у) возьмем в видех)
A f\i\—A (k\p~ltty (\*\ 1 04
а. \У/ а \™) ** • \\.О,\ ?}
') Чтобы учесть условие адиабатического включения и выклю-
выключения взаимодействия при у0 -> ± ее, достаточно было бы ввести
фиктивное затухание, придавая k0 бесконечно малую мнимую часть
соответствующего знака. Фактически это не требуется, ибо в си-
системах с конечной электропроводностью всегда имеет место и реаль-
реальное затухание.
10*

148 функции грина и характеристики системы [гл. ш
Очевидно, в такой же форме можно будет представить и
плотность тока
л (*)=Л (*)«"**. о5-13)
и формулы A5.7), A5.8) и A5.11) примут вид
Л (Л) = *?(*) Л (Л). A5.14)
+ оо
XHk) = I?-BvL lim f
+oo
Р f dpQelPot f dpGAp), A5.15)
— oo
iaikj=\°i, A5.16)
Здесь фурье-образ вершинной части определяется равенством
, У"\ У) = -щг f
Формулы A5.15), A5.16) определяют тензор электропро-
электропроводности с полным учетом как временной, так и простран-
пространственной дисперсии. Пользуясь ими, следует иметь в виду
одно важное обстоятельство. Именно, выражая в формуле A5.5)
функциональную производную
через вершинную часть,
мы должны были произвести умножение на Ос. Последняя
операция, однако, вообще говоря, сингулярна, соответственно
чему получающиеся формулы могут оказаться неоднознач-
неоднозначными. Для устранения неоднозначности надо принять во вни-
внимание общие свойства тензора электропроводности как функ-
функции комплексной переменной k0. Как мы знаем (см. преды-
предыдущий параграф), эта функция аналитична в верхней полу-
полуплоскости. Следовательно, в сомнительных случаях мы должны
§ 15] РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ НА ВНЕШНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
149
рассматривать k0 как комплексную переменную с положи-
положительной мнимой частью Im k0 = •у > 0 и лишь в конечном
результате совершать предельный переход f —>¦ 0 (то же са-
самое получается, естественно, и при учете адиабатического
включения взаимодействия при уо—> — со).
Рассмотрим, в частности, систему заряженных частиц во
внешнем поле, достаточно медленно меняющемся как во вре-
времени, так и в пространстве. Первое условие позволяет по-
положить векторный потенциал равным нулю (формально можно
совершить предельный переход с0—> со), благодаря чему вы-
выпадает последнее слагаемое в правой части A5.15); в силу
второго условия можно оставить в A5.15) лишь низшие члены
по k. Тогда легко находим
+ СО
Заметим, что величина т в A5.1) и, следовательно, в A5.17),
есть по определению истинная масса заряженной частицы.
Желая использовать полученные выше соотношения в теории
твердого тела и ограничиться вместе с тем рассмотрением
лишь пространственно однородных систем, надлежит (как и
в предыдущих параграфах) произвести замену
dpi
A5.18)
где' W (р) — энергия электрона как функция его квазиим-
квазиимпульса р.
Для иллюстрации рассмотрим случай свободного электрон-
электронного газа. Тогда для функции Gc мы имеем (см. E.20))
¦+о,
2*)*

i50 ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
Отсюда
+ ОО
__ а [
+-
A5.19)
В соответствии с замечанием на стр. 148, интеграл от. A5.19)
по р следует вычислять, рассматривая k0 как комплексную
переменную
H T>0. A5.20)
Производя разложение по степеням к, мы получаем на
основании A5.19) и A5.17)
2 8,, [doifi d^iPl * . , A5.21)
т2
2
dnF{p)
A5.22)
Правая часть A5.21) по форме точно совпадает с результа-
результатом решения кинетического уравнения, если под *f подра-
подразумевать время релаксации. Этому обстоятельству, однако,
не следует придавать слишком большого значения: в нашем
случае f есть просто мнимая часть комплексного аргумента k0.
Согласно условию адиабатического включения взаимодействия
ее следует считать бесконечно малой, и тогда статическая
проводимость (Re aj (ад) при <о = 0\ конечно, расходится, как
это и должно быть в системе без затухания. Формулы A5.21),
A5.22) нельзя непосредственно перенести на случай системы
с затуханием, ибо тогда функция Грина не имеет простого
вида E.20). Формула A5.22) после интегрирования по ча-
частям дает
A5.23)
тш
где
П ^ ~(bef~ J
§15]
РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ НА ВНЕШНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
151
есть полная концентрация электронов. В соответствии с A4.21)
формула A5.23) приводит к хорошо известному выражению
для диэлектрической проницаемости свободного электронного
газа
(напомним, что заряд у нас выражен в системе Хивисайда).
Возвратимся тгперь к общей формуле A5.17). Как уже
отмечалось в начале этого параграфа, фигурирующие в ней
функции Ос и Г° относятся к равновесной системе, и в ки-
кинетических задачах их формально можно считать известными.
Фактически функцию Грина надлежит определять из урав-
уравнений §§ 9, 10; с другой стороны, замкнутое уравнение для
вершинной части, как мы сейчас покажем, можно сформули-
сформулировать только приближенно. Будем рассматривать систему
заряженных частиц, взаимодействующих с медленно меняю-
меняющимся классическим электромагнитным внешним полем и,
кроме того, с неким квантовым бозевским полем, характе-
характеризуемым «потенциалом» Ф (х) и константой связи g (именно
это последнее взаимодействие и обусловливает процессы ре-
релаксации, приводящие к конечной электропроводности). При-
Причинную функцию Грина для этого поля, как и раньше, обозна-
обозначим через Dc, массовый оператор, описывающий взаимодей-
взаимодействие электронов с ним, — через М, вершинную часть — че-
через Г (в отличие от «электромагнитной» вершинной части Ге).
Задача о движении электронов в поле Ф считается решен-
решенной, т. е. функции De и Г известны. Уравнение движения
для Gc(x, x') в данном случае имеет вид (ср. (9.7))
— f dyM(x, y)Gc(y, х/) =
Отсюда по определению A5.6)
— х'). A5,25)
-^-. A5.26)

152
ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
Для вычисления функциональных производных удобно восполь-
воспользоваться символической записью. Средний потенциал Ф дается
равенством A0.3а)
Варьируя это выражение по Ай, получаем
5Ф
A5.27)
В пространственно однородном случае DC = DC. Далее, со-
согласно (9.5)
и, следовательно,
По определению вершинной части (9.4)
&г
ЬеЛа
8Г"
A5.28)
A5.29)
Для вычисления функциональной производной от Dc за-
запишем ее в виде
ЬеА0
= — D,
¦?>,
с ЬеА0 с
A5.30)
и воспользуемся уравнением A0.26)
причем, как мы знаем,
= — ig2r{0)GcVGc.
Таким образом,
A5.31)
§16]
КВАЗИЧАСТИЦЫ
153
Собирая формулы A5.26) — A5.31), получаем
Gc
1*= 1 -^O)/T(O)GCI*GC+ Ц
Г^ОД1 — —|._|_ГОД* GCDC |. A5.
32)
Все величины в правой части A5.32) должны вычисляться
для системы без внешнего электромагнитного поля. Наличие
функциональных производных от Ге означает, что фактически
мы имеем здесь дело с бесконечной системой уравнений.
Оборвать ее можно лишь с помощью какого-либо прибли-
приближенного приема. В частности, если взаимодействие заряженных
частиц с квантовым полем Ф достаточно мало, можно оста-
оставить лишь члены низшего порядка по g2. Таким путем на-
находим замкнутое линейное интегральное уравнение для Г^
(мы выписываем его в импульсном представлении):
tg* Bu)8 f dk'Dc {k') Gc (k'
X Г° (&'
Решение этого уравнения в конечном виде удается получить
лишь в некоторых частных случаях.
§ 16. Квазичастицы
Формулы, полученные в трех предыдущих параграфах,
несмотря на. внешнюю простоту, отнюдь еще не являются
окончательными: для фактического их применения требуется
предварительное вычисление тех или иных функций Грина,
что, как уже указывалось, обычно удается сделать только
приближенно. Весьма характерной для излагаемой методики,
однако, является возможность делать ряд качественных выво-
выводов общего характера, справедливых независимо от каких-
либо аппроксимаций. В настоящем параграфе мы применим

154
ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
полученные ранее соотношения для исследования общего
вопроса об элементарных возбуждениях системы многих тел.
Представление об элементарных возбуждениях («квазича-
(«квазичастицах») занимает одно из центральных мест в современной
физике конденсированной среды. Неоднократно высказывалось
общее утверждение (см., например, [24]), что слабо возбуж-
возбужденные состояния любой квантовой системы взаимодействую-
взаимодействующих частиц можно представить как состояния идеального
(или почти идеального) газа тех или иных элементарных воз-
возбуждений («квазичастиц»). Поскольку последний имитирует
поведение системы свободных частиц, таким путем сразу
получается, например, объяснение успехов так называемой
«одноэлектронной» теории твердого тела (подробнее см. [25],
[26]). Постулируя существование того или иного спектра
квазичастиц, удалось успешно объяснить целый ряд явлений
самой различной природы. В тех случаях, когда оказывалось
возможным получить приближенное решение динамической
задачи о той или иной системе многих тел, гипотеза элемен-
элементарных возбуждений действительно получала подтверждение.
Общее обоснование ее, однако, до сих пор не было дано,
равно как и не были точно известны пределы ее примени-
применимости. Метод функций Грина позволяет внести известную
ясность в этот вопрос.
Прежде всего, как уже отмечалось выше, сам факт суще-
существования «квазиодночастичного» спектра возбужденных со-
состояний непосредственно вытекает из общих спектральных
теорем §§ 3—5, устанавливающих связь энергетического
спектра системы с особыми точками одно- и двухчастичных
функций Грина [см. замечания к E.1), E.25), (9.18), (9,19)].
В этом смысле представление об элементарных возбуждениях
обосновывается точно, без всяких аппроксимаций. Следует,
однако, иметь в виду, что одного лишь «квазиодночастичного»
характера спектра еще недостаточно для полного обоснования
гипотезы элементарных возбуждений в том виде, в каком
она обычно употребляется. Надо еще показать, что термо-
термодинамические величины, связанные с данной ветвью энерге-
энергетического спектра, можно вычислять по формулам теории
идеального газа. В §§ 9 и 12 мы видели, что в усло-
условиях применимости билинейных разложений типа (9.26)
это действительно имеет место [см. равенства (9.31), (9.33)
и A2.38)].
§ 16]
КВАЗИЧАСТИЦЫ
155
Так, средняя энергия системы взаимодействующих частиц
представляется в виде суммы средних энергий идеальных
газов квазичастиц, уровни энергии которых определяются
собственными значениями эффективных волновых уравнений
для функций Gc(x, X'; Е) и G2tC(x, x'; Е); величины
Z'(E, v) и Z'2{E', v') при этом играют роль плотностей
состояний, отнесенных к единице объема и соответственно
к интервалам dEdv и dE'dv'. Существенно, что хотя бы
один из этих газов (второе слагаемое в формуле A2.38))—
всегда бозевский, даже в системе ферми-частиц.
Это означает, что в системе ферми-частиц сами собой выде-
выделяются минимум две ветви спектра возбуждений: фермиев-
ская1) и бозевская. Возможно, конечно, и наличие нескольких
фермиевских, равно как и нескольких бозевских ветвей. Так
обстоит дело, если собственные значения соответствующих
эффективных волновых уравнений образуют несколько раз-
различных групп (возможно — перекрывающихся).
В связи со сказанным сделаем следующие замечания.
Во-первых, билинейные разложения типа (9.26) не есть
точные соотношения. Как указывалось в § 9, они справедливы
лишь в пренебрежении мнимыми частями собственных значе-
значений уравнений типа (9.18), т. е. в пренебрежении затуханием
соответствующих возбуждений. Иначе говоря, идея об опи-
описании возбужденных состояний системы в терминах газа
квазичастиц справедлива лишь постольку, поскольку квази-
квазистационарные состояния этого газа можно рассматривать
просто как стационарные. В этом смысле представление об
элементарных возбуждениях является приближенным; им можно
пользоваться лишь до тех пор, пока «ширина линии» мала
по сравнению с удельной — отнесенной к одной частице —
энергией возбуждения.
Во-вторых, как уже отмечалось в § 9, выражения (9.31),
(9.33) позволяют вычислять по формулам теории идеального
газа термодинамические величины только аддитивного типа.
Для вычисления средних значений бинарных (и еще более
сложных) операторов необходимо знать высшие статистические
операторы —р2 и т. д., связанные с функциями Грина соот-
соответствующих порядков. Как мы видели, последние также
') Возбуждения фермиевской ветви, несущие электрический
заряд, обычно называются носителями тока.

156
ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
можно при определенных условиях представить в виде раз-
разложений типа (9.26); однако фигурирующие там собственные
функции и собственные значения, вообще говоря, отличны
от величин, входящих в выражение для Gc. Это означает,
что термодинамическим величинам различных типов (аддитив-
(аддитивным, бинарным и т. д.) могут соответствовать различные
газы квазичастиц. Следует также иметь в виду, что условия
применимости билинейных разложений для разных функций
Грина определяются разными параметрами малости.
В-третьих, даже в условиях применимости формулы (9.26)
величины, именуемые энергиями квазичастиц, отнюдь не
являются чисто механическими: как уже неоднократно отме-
отмечалось, они, вообще говоря, зависят от температуры. Иначе
говоря, характеристики спектра квазичастиц суть величины
термодинамические. Это обстоятельство влечет за собой
ряд следствий, которые, однако, пока еще весьма мало
исследованы.
ГЛАВА IV
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
§ 17. Постановка задачи
Одним из важнейших объектов применения методики,
развитой в предыдущих главах, является многоэлектронная
теория твердого тела. Речь идет здесь прежде всего о по-
последовательном учете кулоновского взаимодействия между
электронами.
В ряде случаев это не обязательно делать в явной форме —
достаточно просто постулировать существование некоторого
спектра элементарных возбуждении J); однако есть целый
класс важных задач, в которых явное динамическое рас-
рассмотрение многоэлектронной системы, по-видимому, неизбежно.
К числу таких задач относится прежде всего сама проблема
обоснования метода элементарных возбуждений. Как мы
видели в § 16, методом функций Грина она решается в
общем виде.
Для выявления всех возможных в данной системе типов
элементарных возбуждений требуется, однако, явное решение
уравнений Швингера для данного конкретного случая. В част-
частности, так обстоит дело в теории плазменных колебаний,
для изучения которых аппарат функций Грина является, по-
видимому, наиболее естественным. В твердом теле могут
оказаться существенными квантовые поправки, что делает
несколько рискованным применение стандартной методики
кинетического уравнения Больцмана.
Далее, динамический подход необходим при изуче-
изучении влияния различного рода структурных дефектов на
') Так, например, обстоит дело в теории гальваномагнитных
явлений в металлах (см., в частности, [1]).

156
ФУНКЦИИ ГРИНА И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
можно при определенных условиях представить в виде раз-
разложений типа (9.26); однако фигурирующие там собственные
функции и собственные значения, вообще говоря, отличны
от величин, входящих в выражение для Gc. Это означает,
что термодинамическим величинам различных типов (аддитив-
(аддитивным, бинарным и т. д.) могут соответствовать различные
газы квазичастиц. Следует также иметь в виду, что условия
применимости билинейных разложений для разных функций
Грина определяются разными параметрами малости.
В-третьих, даже в условиях применимости формулы (9.26)
величины, именуемые энергиями квазичастиц, отнюдь не
являются чисто механическими: как уже неоднократно отме-
отмечалось, они, вообще говоря, зависят от температуры. Иначе
говоря, характеристики спектра квазичастиц суть величины
термодинамические. Это обстоятельство влечет за собой
ряд следствий, которые, однако, пока еще весьма мало
исследованы.
ГЛАВА IV
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
§ 17. Постановка задачи
Одним из важнейших объектов применения методики,
развитой в предыдущих главах, является многоэлектронная
теория твердого тела. Речь идет здесь прежде всего о по-
последовательном учете кулоновского взаимодействия между
электронами.
В ряде случаев это не обязательно делать в явной форме —
достаточно просто постулировать существование некоторого
спектра элементарных возбуждений !); однако есть целый
класс важных задач, в которых явное динамическое рас-
рассмотрение многоэлектронной системы, по-видимому, неизбежно.
К числу таких задач относится прежде всего сама проблема
обоснования метода элементарных возбуждений. Как мы
видели в § 16, методом функций Грина она решается в
общем виде.
Для выявления всех возможных в данной системе типов
элементарных возбуждений требуется, однако, явное решение
уравнений Швингера для данного конкретного случая. В част-
частности, так обстоит дело в теории плазменных колебаний,
для изучения которых аппарат функций Грина является, по-
видимому, наиболее естественным. В твердом теле могут
оказаться существенными квантовые поправки, что делает
несколько рискованным применение стандартной методики
кинетического уравнения Больцмана.
Далее, динамический подход необходим при изуче-
изучении влияния различного рода структурных дефектов на
') Так, например, обстоит дело в теории гальваномагнитных
явлений в металлах (см., в частности, [1]).

158
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [ГЛ. IV
энергетический спектр электронов в полупроводниках и метал-
металлах. Наконец, он, по-видимому, обязателен в задачах об обмене
энергией между носителями тока и их окружением в кри-
кристалле. Важнейший пример задач этого типа составляет
теория рекомбинации носителей тока в полупроводниках. "
Следует подчеркнуть, что полностью микроскопический
подход к исследованию энергетического спектра электронов
в твердом теле связан с чрезвычайными математическими
трудностями общего характера, не специфичными именно для
многоэлектронной задачи. Эти трудности возникают и в обыч-
обычной «одноэлектронной» теории и связаны с необходимостью
решения задачи о движении одного электрона в периодиче-
периодическом поле идеальной решетки. Дело в том, что обычно
в коллектив электронов, определяющих электрические, ма-
магнитные и др. свойства твердого тела, естественно включать
электроны не всех вообще, а лишь одной-двух внешних
атомных оболочек. Конкретное разделение на «коллектив
электронов» и «атомные остовы» зависит, естественно, от
природы вещества и характера задачи (см. ниже). Однако
вид электронной плотности даже в изолированном атоме
обычно не удается представить в простой аналитической форме.
В результате приходится либо апеллировать к более или
менее грубым приближенным методам, либо иметь дело с урав-
уравнением неизвестного вида. По этой причине представляется
целесообразным вообще отказаться от полного вычисления
энергетического спектра электронов в идеальной решетке,
определяя его параметры из опыта. В полупроводниках для
этой цели удобно использовать, например, явление цикло-
циклотронного (диамагнитного) резонанса [2], [3]; в металлах успех
сулит использование гальваномагнитных данных [1] и иссле-
исследование поглощения ультразвука в магнитном поле [4]. Дина-
Динамическая теория при этом должна давать ответ на следующие
вопросы:
а) как меняется в результате взаимодействия энергети-
энергетический спектр «свободных» частиц?
б) какие новые (по сравнению с идеальным газом) ветви
спектра возникают в результате взаимодействия?
в) как меняется энергия системы при изменении числа
электронов в ней?
Первый из поставленных вопросов связан с исследованием
фермиевской ветви спектра (в частности, сюда относится и
§
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
15§
проблема обоснования так называемой «одноэлектронной»
теории), второй — с возникновением возбуждений типа Бозе
(экситонов, плазменных квантов и т. д.), к третьему (в со-
сочетании с первым) сводится задача о влиянии структурных
дефектов на электронный спектр твердого тела. При этом
под структурным дефектом совершенно не обязательно по-
понимать нечто, находящееся внутри решетки, — роль «дефек-
«дефектов» могут играть и атомы (или молекулы), адсорбированные
на поверхности кристалла. Таким образом, например, про-
проблема хемосорбции на металлах оказывается в пределах ком-
компетенции электронной теории.
В связи с данной постановкой задачи следует сделать
два замечания.
Во-первых, ясно, что полуэмпирический подход (опреде-
(определение спектра электронов в идеальной решетке из опыта)
может быть успешен лишь, если фактически из опыта потре-
потребуется определить только небольшое число параметров.
(Именно так ставится задача, например, в методе эффек-
эффективной массы [5] — [9].) Заранее очевидно, что такую про-
программу можно эффективно провести лишь для состояний,
описываемых достаточно «гладкими» волновыми функциями
(длинноволновая часть спектра бозевских возбуждений,
неглубокие локальные уровни): только в этих условиях пери-
периодический потенциал «смазывается», и тонкие детали его
не играют роли. С другой стороны, в задачах, где сущест-
существенную роль играют волновые числа, сравнимые с посто-
постоянной обратной решетки, использование полуэмпирического
метода может дать результаты, представляющие лишь умо-
умозрительный интерес. В частности, такой подход вряд ли
имеет смысл при вычислении энергии основного состояния
многоэлектронной системы в металле (если не говорить
о чисто методической стороне дела).
Во-вторых, первая из поставленных задач представляет
интерес для полупроводника, но не для металла. Действи-
Действительно, в полупроводнике концентрация свободных электро-
электронов (и, следовательно, средняя энергия взаимодействия между
ними) может в зависимости от условий опыта меняться
в чрезвычайно широких пределах (при неизменной хими-
химической природе вещества). Поэтому задача о вычислении
параметров энергетического спектра в зависимости от кон-
концентрации свободных носителей тока в образце имеет вполне

160
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЁРДОМ ТЕЛЕ
[ГЛ. i
реальный смысл. Равным образом вполне осмысленным яв-
является здесь и представление о системе практически невзаи-
невзаимодействующих электронов проводимости, ибо при пониже-
понижении температуры концентрация их может быть сделана
весьма малой (параметры именно такой системы определяются
в опытах по диамагнитному резонансу в микроволновой об-
области). С другой стороны, в металле концентрация электро-
электронов практически всегда фиксирована, а средняя энергия
взаимодействия между электронами отнюдь не мала по
сравнению со средней кинетической. Поэтому представление
о спектре «свободных частиц» здесь лишено физического
содержания.
Ряд результатов, связанных с исследованием энергети-
энергетического спектра электронов в металлах и в полупроводни-
полупроводниках (в частности, с исследованием плазменной ветви спектра),
был получен в последние годы с помощью так называемого
метода «дополнительных переменных» [10] — [17]. Однако,
в отличие от случая статистики Бозе [18], в применении
к ферми-системам этот метод встречается с известными —
именно для него специфическими — трудностями. Во-первых,
дополнительное условие, появляющееся в связи с введением
лишних переменных, осложняет исследование кинетических
процессов с участием плазменных квантов. Во-вторых, связь
бозе- и ферми-возбуждений, предполагаемая малой в рабо-
работах [12] и [16], [17], фактически, по-видимому, таковой не
является. Наконец, в третьих, логически не вполне удовле-
удовлетворительным представляется искусственное введение предель-
предельного импульса плазменного кванта kc. Ограничение возмож-
возможных значений волнового вектора плазмона должно было бы
не навязываться, а получаться само собой. В следующих
параграфах мы увидим, что при решении задачи методом
функций Грина «естественные границы» плазменного спектра
действительно определяются из самой теории.
§ 18. Частоты и затухание плазменных колебаний х)
Рассмотрим нерелятивистскую систему заряженных частиц
одного знака (в дальнейшем именуемых для краткости просто
электронами) с чисто электростатическим взаимодействием
1) См. [20], [21].
§ 18] ЧАСТОТЫ И ЗАТУХАНИЕ ПЛАЗМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
1б1
в отсутствие магнитного поля. Будем считать систему в це-
целом нейтральной благодаря наличию (не обязательно равно-
равномерно размазанного) классического компенсирующего заряда.
Именно такая ситуация типична как для металла (свобод-
(свободные электроны и ионы решетки), так и для полупровод-
полупроводника (свободные электроны или дырки и заряженные при-
примесные центры). Рассматривая электростатическое взаимо-
взаимодействие частиц как взаимодействие через поле, можно
непосредственно воспользоваться уравнениями A0.1), A0.2)
и (9.5а), (9.13); следует лишь специализировать фигурирую-
фигурирующие в них величины G^ и D^ в соответствии с конкретной
природой данной физической системы. Ограничимся неферро-
неферромагнитными веществами. Будем считать также, что валент-
валентные электроны достаточно отделены (энергетически) от всех
остальных, чтобы можно было рассматривать атомные остовы
просто как источники поляJ). В качестве невозмущенной
задачи, решение которой считается известным, естественно
выбрать «одноэлектронную» задачу в данной идеальной кри-
кристаллической решетке. Под словом «одноэлектронная» по-
понимается задача об одном электроне в периодическом поле
атомных остовов, нейтрализованных равномерно распреде-
распределенным зарядом всех остальных электронов. Предположим,
что соответствующие собственные значения энергии не зави-
зависят от спина2), и обозначим их через W(к), а принадлежа-
принадлежащие им собственные функции — через <рх(.г) (>. — совокуп-
совокупность всех квантовых чисел кроме спинового). Тогда в соот-
соответствии с E.14) невозмущенная фермиевская функция Грина
принимает вид
(х, х') = — -L д E _ s*) J
') X
[(О — W
') Ср., однако, ниже замечание б) на стр. 191.
2) Тем самым из рассмотрения исключаются не только фер-
ферромагнетики, но и вещества, в которых заметную роль играет
спин-орбитальное взаимодействие. Обобщение на случай, когда
названное взаимодействие существенно, дано в § 22.
11 Зак. 2126. Метод функций Грина

№
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [ГЛ. IV
Здесь я@) (X) — среднее число заполнения состояния X в от-
отсутствие взаимодействия
Нам удобно в этой главе явно выделить химический потен-
потенциал \х; при этом W (к) суть, очевидно, собственные значе-
значения не обобщенного, а обычного гамильтониана. Для соб-
собственных значений обобщенного гамильтониана мы сохраним
символ Е. Подчеркнем, что речь идет сейчас о гамильтониане,
по определению не содержащем взаимодействия между
частицами. Поэтому спектр W (X), вообще говоря, не совпа-
совпадает с экспериментально определяемым. В частности, эффек-
эффективные массы, которые будут введены в дальнейшем, суть
«затравочные» массы (в смысле квантовой теории поля).
В металлах они никогда не совпадают с определяемыми,
например, из гальвакомагнитных явлений; с другой стороны,
в полупроводниках можно реализовать условия, когда взаи-
взаимодействие между электронами практически исчезает, и тогда
параметры, характеризующие функцию W (к), непосред-
непосредственно определяются из опыта. Явные вычисления с выра-
выражением A8.1) весьма затруднительны, так как фактически
функции <рх(.&) можно эффективно определить лишь в весьма
грубом приближении. По этой причине, как уже говорилось
в предыдущем параграфе, целесообразно воспользоваться
каким-либо из вариантов метода эффективной массы, рас-
рассматривая срх (х) как «эффективные» волновые функции
и учитывая периодическое поле просто путем введения неко-
некоторых параметров в невозмущенный гамильтониан. При этом
рассматриваемая система делается пространственно одно-
однородной (соответственно, компенсирующий заряд надлежит
считать равномерно размазанным по пространству). Как из-
известно, при этом следует различать два случая:
а) «Невырожденный»J) (к этому же типу относится
и случай чисто спинового вырождения). Расстояния между
') Не следует смешивать рассматриваемые сейчас «невырож-
«невырожденный» и «вырожденный» случаи с ферми-вырождением. В смысле
статистики, которой подчиняются частицы системы, последняя мо-
может быть как вырожденной, так и невырожденной в обоих
случаях а) и б).
§ 18] ЧАСТОТЫ И ЗАТУХАНИЕ ПЛАЗМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 163
зонами в невозмущенной задаче велики по сравнению с ха-
характерной энергией взаимодействия, и виртуальными между-
междузонными переходами можно пренебречь. При этом учет
периодического поля осуществляется просто заменой опера-
оператора кинетической энергии на W (—iVx), где W (k) — соб-
собственное значение энергии в невозмущенной задаче, k — ква-
квазиимпульс электрона (изменяющийся, строго говоря, в пре-
пределах первой зоны Бриллюэна).
б) «Вырожденный». Расстояния между некоторыми из
зон не слишком велики, и соответствующие виртуальные
переходы следует принимать во внимание. Для учета перио-
периодического поля здесь следует заменить обычный оператор
кинетической энергии квадратной матрицей Tt-(—j'V^.), где
индексы I, j пробегают конечный набор значений; «эффек-
«эффективная волновая функция» при этом также является матри-
матрицей. Такая постановка задачи, в частности, необходима, если
валентные электроны энергетически не слишком сильно от-
отделены от всех остальных, и электроны внутренних оболо-
оболочек надо рассматривать на равных правах с валентными.
Этот же случай надо рассматривать при наличии несколь-
нескольких типов заряженных частиц.
В настоящем параграфе мы будем рассматривать только
случай а). Соответственно выражение A8.1) принимает вид
A8.2)
где
B*)* '. [ко — W (ft)]* + е2 '
Принятая аппроксимация, очевидно, несколько шире
метода эффективной массы в стандартном его варианте: послед-
последний получается, если, помимо всего прочего, аппроксимиро-
аппроксимировать зависимость W (к) квадратичной формой, что в метал-
металлах возможно отнюдь не всегда. В этом смысле устоявшееся
название «метод эффективной массы», по-видимому, не
вполне удачно (лучше говорить об «эффективной кинетиче-
кинетической энергии»).
Векторный потенциал электромагнитного поля, перено-
переносящего взаимодействие между частицами, в рассматриваемом
случае можно считать равным нулю. Следовательно, из всех
11*

164
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [ГЛ. IV
компонент тензора Dc> ^ (х, х') остается лишь компо-
компонента Dc>oo:
причем для D^oo(&. <°) можно воспользоваться нереляти-
нерелятивистским выражением E.39)
,(*, a))=D^0)(fe. <•>) =
A8.5)
Это означает, в частности, что уравнения Максвелла в дан-
данном случае сводятся просто к уравнению Пуассона. Обратим
внимание, что в излагаемом методе не возникает никаких
затруднений с учетом дополнительного условия Лоренца,
накладываемого на 4-потенциал: оно обеспечивается автома-
автоматически благодаря специальному виду тензоров D^ и S^^
E.35) и (9.15); в данном случае дополнительное условие
должно выполняться, естественно, лишь с точностью до ве-
величин порядка 1/с2.
Заметим, наконец, что в принятом приближении Г(о) = 1.
Как видно из A8.5) (и очевидно заранее — по поста-
постановке задачи), в исходном приближении никаких возбужде-
возбуждений бозевского типа нет, иначе говоря, функция Dc (k, ш)
не имеет полюсов в плоскости ш (и вообще не зависит от ш).
Из формулы A1.2), однако, явствует, что фактически такие,
возбуждения могут существовать, будучи обусловлены взаи-
взаимодействием между частицами (и связанным с ним перерас-
перераспределением плотности заряда1)). Для исследования этого
вопроса достаточно найти полную бозонную функцию
Грина Dc(k, ш), т. е. в силу A1.2) поляризационный опе-
оператор системы, 3й (k, ш) [вследствие нерелятивистского ха-
характера задачи тензоры D^ (k, ш) и ^^ (k, ш) сводятся
к скалярам подобно переходу от E.35) к E.40)]. Вычислив
поляризационный оператор и, следовательно, функцию Dc (k, ш),
мы в соответствии с общей теорией §§ 4, 5 определим спектр
1) Возбуждения, представляющие собой колебания объемной
плотности заряда, многократно служили предметом исследования
в связи с физикой плазмы газового разряда. В соответствии
с установившейся терминологией мы будем называть их плазмен-
плазменными колебаниями.
§ 18] ЧАСТОТЫ И ЗАТУХАНИЕ ПЛАЗМЕННЫХ КОЛЕ БАНИЙ 165
плазменных колебаний, разыскивая особые точки спектральной
функции
Согласно A1.2) и A8.5) мы имеем
Im Dc (k, ш) == Im
1 -
(ft) & (ft, со)
[1 — Brc)8 Df (ft) Re f (fe, со)]2 + [Btc)8 Df» (fe, a.) Im ^ (fe, a>)f '
и следовательно, задача сводится к решению уравнения1)
[1 — Bu)8 D{? (к) Re ^ {к, ш)]2 +
2u)8 D(c0) (к, ш) Im S* {к, о))]2 = 0 A8.6)
или
1 —
Re S* (к, ш) ± I Bтг)8 D(c0) (к) Im &> (k, ш) = 0.
A8.6а)
Пусть решение этого (вообще говоря, трансцендентного)
уравнения есть ш (k) = шр1 (&) — i*[ (k). Здесь шр1 (k) и 7 (&)
суть вещественные функции, причем следует считать 7 (fe) ^> 0
(см. гл. I). Этим определяется выбор знака в уравне-
уравнении A8.6а). Как уже неоднократно отмечалось (см., напри-
например, § 16), представление об элементарных возбуждениях
имеет смысл лишь постольку, поскольку затухание доста-
достаточно мало. В связи с этим предположим заранее, что u>pi^> T-
Соответственно припишем мнимой части поляризационного
оператора формальный малый параметр е и будем искать ре-
решение уравнения A8.6) [или A8.6а)] в виде ряда по степеням е.
') Естественно, для решения A8.6) следует вычислить поляри-
поляризационный оператор <?• как функцию комплексного аргумента со.
Подчеркнем, что это ни в коей мере не означает аналитического
продолжения функции Dc (k, a>) в комплексную плоскость ^послед-
^последнее, как мы знаем, невозможно).

166
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [ГЛ. IV
В нулевом приближении величина и> г(&) определяется как
вещественный корень уравнения
1
D?] (ft) Re S? (к. ш) = 0.
A8.7)
Это уравнение называется дисперсионным, ибо оно опре-
определяет закон дисперсии квазичастиц—вид функции <opl(k).
Далее, для «константы затухания» -f (k) получим
Im & (к, <у (к))
A8.8)
Естественно, определив (ор1 и -f. надлежит проверить выпол-
выполнение неравенства <»pi^§>Y. ^ связи с этим в принципе воз-
возможны три случая. Во-первых, может оказаться, что в не-
некоторой области значений волнового вектора величина
1т<^(&, ш) = 0 и, следовательно, ~{(k) = 0. Тогда уравне-
уравнение A8.7) будет точным, и вещественные корни его опре-
определят незатухающие колебания. Комплексные корни A8.7),
по-видимому, не представляют интереса, ибо вещественные
и мнимые части их будут, вообще говоря, одного порядка.
Во-вторых, возможен случай, когда \mS^(k, шрг(&)) = 0,.
где «>.(&) — вещественный корень уравнения A8.7). Тогда:
в данном приближении -j- (k) = 0; иначе говоря, затухание
есть величина высшего порядка по е. Наконец, может слу-
случиться (в § 20 мы увидим, что это действительно бывает),
что при определенных значениях k неравенство <apl ~^> -j- не
выполняется. Это будет обозначать невозможность сущест-
существования плазменных колебаний с такими волновыми числами,
и таким путем возникает одна из «естественных границ»
плазменного спектра.
Заметим, что сам факт существования чисто веществен-
вещественных корней уравнения A8.7) отнюдь не тривиален (в прин-
принципе их могло бы и не быть). В §§ 19 и 20 мы увидим,
что уравнение A8.7) имеет вещественные корни лишь при
достаточно малых значениях k; тем самым получается еще
одна «естественная граница» плазменного спектра. Это
обстоятельство было, по-видимому, впервые обнаружено
в работе [20]. Впоследствии (другим методом) такой же
результат был получен в [22], [23].
§ 18] ЧАСТОТЫ И ЗАТУХАНИЕ ПЛАЗМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 167
Для вычисления поляризационного оператора восполь-
воспользуемся развитой в § 11 улучшенной теорией возмущений.
В первом неисчезающем приближении мы получаем со-
согласно A1.4)
2*1 r
Bти)8 J
+оо
dk,
[и' —
^ [„>'_<„_ if (ft'— ?)p_j_?2 •
Здесь множитель 2 возник благодаря взятию шпура по спи-
спиновым индексам. Проинтегрируем по ш', замыкая контур
в верхней ш'-полуплоскости (в соответствии с правилом E.5)).
Получаем
W (?') — W(k' + k) -+-
()
2Unm{k'—k)
A8.10)
Примем теперь во внимание известные равенства
Шпо з^-j^j-= *8(*). A8.11)
х 1
lim -
«-»0
lim
1
— х nib (х).
A8.12)
A8.13)
Здесь х — вещественная величина, и \/х в правых частях
A8.12) и A8.13) надо понимать в смысле главного зна-
значения. Тогда равенство A8.10) дает (при вещественных ш)
1
Re ^ (k, ш) = -?L f
W (к') — W (к' — k) — со ~+~
<* Г A8Л4>
Мнимая часть & появляется, если при е = 0 хотя бы
один из знаменателей в A8.10) обращается в нуль, т. е.
если хотя бы для некоторых значений k, имеет место равенство
W (&') — W(kr±fc)± со = 0.

168
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [ГЛ. 1V
При вычислении затухания по формуле A8.8) в качестве о>
сюда следует подставить (вещественную !) частоту плазменных
колебаний шpl(Jt). Таким образом, условие обращения знаме-
знаменателя в нуль есть не что иное, как закон сохранения энер-
энергии (и импульса), который должен выполняться при реальном
(а не виртуальном) испускании и поглощении плазменных
квантов носителями тока. С другой стороны, поправки к энер-
энергии, описываемые вещественной частью поляризационного
оператора A8.14) с этим условием отнюдь не связаны, будучи
обусловлены виртуальными процессами. Это обстоятельство
ни в коей мере не специфично для данного конкретного
случая, а носит вполне общий характер.
Для достаточно длинных волн (малые fc) правую часть A8.14)
в интересующем нас сейчас случае можно приближенно вы-
вычислить, не специализируя ¦ вида функции W (&). Именно,
предположим заранее (это будет оправдано последующим
расчетом), что плазменная частота ^pl(k) остается конечной
при fe->0. Тогда правую часть A8.14) можно разложить
в ряд по степеням k. Введем тензоры
. села)
Интегрирование по к' здесь (как и в A8.9)) производится,
строго говоря, в пределах первой зоны Бриллюэна. В не-
некоторых задачах, однако, существенную роль играет лишь
сравнительно небольшая область fe'-пространства [в которой
заметно отлична от нуля функция п@) (&')]• Тогда без боль-
большой ошибки можно интегрировать и в бесконечных пределах.
В обозначениях A8.15) — A8.17) равенство A8.14) (при
конечном со) принимает вид
ш) =
A8.18)
§ 18] ЧАСТОТЫ И ЗАТУХАНИЕ ПЛАЗМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
169
Очевидно, \1у есть среднее (по занятой электронами области)
значение тензора обратной эффективной массы; тензоры же atjmn
и vi/m/i характеризуют более тонкие детали изоэнергетической
поверхности. Подставляя A8.18) в уравнение A8.7) и при-
принимая во внимание A8.5), получаем (с принятой степенью
точности)
Это выражение определяет (при малых k) плазменные частоты
в твердом теле при любой степени ферми-вырождения носи-
носителей тока и при любой зависимости W (k) (лишь бы энер-
энергетические зоны оставались невырожденными в указанном
выше смысле). Оно обобщает и уточняет результат работы [19],
в которой, по-видимому, вследствие недостаточной точности
примененного там метода расчета пропущен характерный
для анизотропных систем член с чцтп. Нетрудно было бы
выписать и следующие члены разложения Re#* и шр1 по сте-
степеням к, но они в силу своей малости не представляют
интереса. Заметим, что в общем случае произвольной ани-
анизотропии функция A.8.19) не аналитична при k—>0: предель-
предельная частота ш^ зависит от ориентации вектора к. В более
общей форме этот результат был получен (другим методом)
в работе [28].
Легко видеть, что волны, частоты которых даются фор-
формулой A8.19), продольные. Действительно, напряженность
электрического поля в данном случае дается просто гра-
градиентом скалярного потенциала (с обратным знаком); следо-
следовательно, для данной компоненты Фурье она параллельна (или
антипараллельна) волновому вектору k. Из формулы A8.19)
следует, что предположение о конечности ш2г(&) при &—>0
справедливо лишь, если тензор |л.у не равен нулю. Равенство
\ху — О имеет место, например, для целиком заполненной
зоны, когда п@> (&') = 1 при всех k'. Если тензор (л.г- равен
нулю, то разложение A8.18) оказывается несостоятельным
при ш = шр1. Однако решение уравнения A8.7) при малых k

170
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [ГЛ. IV
можно найти и в этом случае; мы получаем (при \ку = О,
v, афО)
i^pl{k) = ai.klkj, A8.20)
где а1} — некоторый постоянный тензор. Легко найти и явное
выражение для а1}.
Заметим, что равенство A8.19) имеет смысл лишь при
условии положительной определенности квадратичной формы
y.tfkfij (ш„г6Ке по определению). Это условие, однако,
ни из каких общефизических соображений не вытекает. Отсюда
следует, что решения вида A8.19) (представляющие собой,
как мы сейчас увидим, плазменные колебания обычного типа)
возможны не при любом виде функций W (&) и л@) (?).
Чтобы окончательно уяснить себе физическую природу
возбуждений, спектр которых дается формулой A8.19), вычис-
вычислим тензор ру для частного случая, когда W (&) есть ква-
квадратичная функция
= \ mT/ {ki — к\йу) 0/ — kf).
A8.21)
Здесь величины kf^ суть координаты точки, в которой функ-
функция W (k) имеет минимум, а тяг,1 — компоненты тензора
обратной эффективной массы. Начало отсчета энергии выбрано
так, что М^(&@))^>0. В частности, в системе координат,
определяемой главными осями тензора тпт1 мы имеем
3
'" ^bW' A8.22)
2m,
Подчеркнем, что даже в кубическом кристалле главные
значения тензора эффективной массы mlt /ra2> даз отнюдь
не обязаны совпадать друг с другом. Действительно, минимум
энергии может лежать и не в центре зоны Бриллюэна,
а в точке низшей симметрии*) (тогда вектор &@) отличен
от нуля). При этом функция W (k) имеет, разумеется, не один,
а несколько минимумов, координаты которых связаны друг
с другом допустимыми в данной кристаллографической системе
?. ') Именно так обстоит дело, например, в кристаллах германия
и кремния [3].
§ 18] ЧАСТОТЫ Й ЗАТУХАНИЕ ПЛАЗМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
171
преобразованиями симметрии. Если расстояния между мини-
минимумами в ^-пространстве достаточно велики, то интеграл
в A8.15) (как и в A8.16), A8.17)) можно приближенно
представить в виде суммы членов, в каждом из которых
интегрирование производится лишь в окрестности одного
из минимумов. Очевидно, для вычисления интеграла достаточно
явно вычислить лишь одно слагаемое, усреднив затем по всем
ориентациям вектора fe@) относительно осей кристалла. Именно
так мы и будем поступать в дальнейшем. Следует, однако,
заметить, что в настоящее время еще не ясно, в какой мере
оправдана эта аппроксимация для тех или иных конкретных
кристаллов. Таким путем легко находим (для кристалла
кубической системы)
(ft'),
A8.23)
A8.24)
2 = 1
Интеграл, фигурирующий в A8.23), дает полную концентра-
концентрацию электронов п:
Таким образом,
A8.25)
Легко вычислить также тензоры -j и о. Первый из них
в данном случае, очевидно, равен нулю, а для второго
мы получаем (до усреднения)
% „ W{T,n)
ijmn
A8.27)
Подставляя выражения A8.26) и A8.27) в формулу A8.19)
для uJ и переходя к обычной гауссовой системе единиц
(для чего надо заменить е2 на 4тге2), получаем окончательно
. A8.28)
Здесь W (Т, п) есть средняя (невозмущенная) энергия элек-
электрона, а символ (...)Av означает усреднение по всем

172
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [гл- IV
минимумам. В частности, если /raj = да2 =/ге3 =/га (изотропная
модель), то т* = т, и мы получаем хорошо известную фор-
формулу Лэнгмюра для предельной плазменной частоты
(к) ^*l =
A8.29)
Напомним, что в диэлектрике под величиной е2 следует
понимать квадрат заряда, деленный на диэлектрическую
проницаемость решетки. Второе слагаемое в A8.28) при этом
также принимает известный вид
2W(T, n)-~. A8.30)
Как видно из A8.23), значение предельной частоты (в0 не за-
зависит от степени вырождения электронного газа, определяясь
только полной концентрацией заряженных частиц (функ-
(функция »(°) (к) может быть как фермиевской, так и больцма-
новской).
Итак видно, что наша методика действительно позволяет
без труда получить как хорошо известное классическое
выражение для плазменной частоты, так и обобщение его
на случай произвольной анизотропии изоэнергетических по-
поверхностей. Это обстоятельство не вызывает удивления, ибо
мы фактически точно следуем обычной процедуре разыскания
плазменных частот (см., например, обзор [24] ). Действительно,
в классической теории плазменные частоты определяются как
корни уравнения Ree(u), k) = 0. В § 11 мы видели, однако,
что выражение 1 — Bтс) D^S^ как раз и играет роль обоб-
обобщенной диэлектрической проницаемости. Таким образом,
уравнение A8.7) тождественно условию Ree(u>, fe) —О1).
Однако даже и в этом случае метод функций Грина обладает
известными преимуществами перед обычной техникой кинети-
кинетического уравнения, так как
а) дает выражения, справедливые не только в класси-
классической, но и в квантовой области;
б) позволяет легко установить фактические пределы приме-
применимости получающихся формул (см. следующие два параграфа,
а также § 11).
') Заметим также, что формулу для cog можно было бы полу-
получить и непосредственно из выражения для вещественной части
диэлектрической проницаемости A4.35).
§19] Спектр электронного газа; случай ферми
173
Дальнейшее исследование плазменного спектра, в част-
частности, исследование затухания и естественной границы спектра,
удобно проводить раздельно для полностью вырожденного
и невырожденного газа, о которых мы в дальнейшем будем
говорить как о случаях Ферми и Больцмана.
§ 19. Плазменный спектр электронного газа;
случай Ферми *)
В этом параграфе мы исследуем электронную плазму
в металле, где систему электронов можно считать полностью
вырожденной: в отсутствие взаимодействия все состояния
с энергией ниже (л, заняты, все состояния с энергией выше (а
свободны. Таким образом,
и для средней энергии W в квадратичной аппроксимации A8.22)
мы получаем W = -=-ji,. Следовательно,
fe4). A9.2)
т"
Температура, естественно, не входит в выражение A9.2),
так как мы приняли условие полного вырождения A9.1);
функции Грина определяются при .этом усреднением лишь
по основному состоянию системы.
В изотропном случае (т1 = т2 — т3 — т) второе»слагае-
мое в правой части A9.2) принимает хорошо известный вид
(-F- vp\ k2 \vp=y скорость на поверхности Ферми].
Заметим, однако, что в применении к металлам фор-
формула A9.2) имеет в основном лишь методический интерес:
в реальном металле зависимость W(k), как правило, не сво-
сводится к простой квадратичной форме A8.22), а имеет гораздо
более сложный вид. Соответственно для вычисления плазмен-
плазменных частот надлежит пользоваться общими формулами A8.19),
A8.15) — A8.17) с функцией A9.1) в качестве га<°> (&')• Для
кристаллов кубической системы можно воспользоваться также
формулой A4.35), определяя плазменные частоты из условия
Re е (ш, k) — 0.
') См. [20], [21], [25].

174
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [ГЛ. IV
Обратимся теперь к вопросу о затухании и границе плазмен-
плазменного спектра. Из формулы A9.2) в сочетании с A8.11) —
A8.13) непосредственно вытекает, что при вещественных и>
и достаточно малых k мнимая часть поляризационного опе-
оператора A8.10) равна нулю. Действительно, как мы видели,
появление конечной мнимой части SP при вещественных зна-
значениях ш связано с обращением в нуль знаменателей в A8.10):
W(k') — W{k'±k) ±m = 0. A9.3)
При малых k мы имеем
_ . dW(k') __ .
W (ft') — W(kr±k)
+
dk
где v (к) = VkW (к)— скорость электрона с квазиволновым
вектором k. Далее, в качестве ш следует подставить инте-
интересующую нас величину шр1(к). Тогда условие A9.3) при-
принимает вид
] (ft, v(fc)) | = (opl (ft), W (ft) < p. A9.4)
Иначе говоря, мнимая часть поляризационного оператора
в указанных условиях может быть отлична от нуля лишь,
если
т. е., в частности,
!<*)
W (ft) <
A9.5)
A9.6)
Здесь •Ощах есть максимальная скорость электронов; если
скорость v (к) монотонно возрастает с энергией W (к), то
vmaj. = vjp. Равенство A9.6) неявно определяет нижний предел
волновых векторов, при которых имеет место затухание.
Таким образом, при достаточно малых k уравнение A8.6)
имеет чисто вещественные решения, т. е. в рассматриваемом
приближении достаточно длинные плазменные волны в металле
не затухают вообще 1). Причина этого видна непосредственно
') Здесь имеется в виду лишь затухание, обусловленное
взаимодействием электронов друг с другом. Фактически плазменные
волны в твердом теле всегда затухают благодаря рассеянию элек-
электронов на неидеальностях кристаллической решетки (фононах, ато-
атомах примеси и т. д.). В металле, однако, это обстоятельство не
играет существенной роли, так как соответствующие «времена
§ 19]
СПЕКТР ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА; СЛУЧАЙ ФЕРМИ
175
из формул A9.5), A9.6): в отсутствие взаимодействия с коле-
колебаниями решетки, примесями и т. д. затухание плазменных
колебаний обусловлено только переходом их энергии в фер-
миевскую ветвь. Однако для достаточно длинных волн этот
переход невозможен, так как фазовая скорость плазменных
волн (правая часть A9.5)) превышает максимальную скорость
электронов.
Значение k, определяемое формулой A9.6), можно было бы
принять за естественную верхнюю границу плазменного спек-
спектра. При более коротких длинах волн плазменные колебания
начинают затухать. Однако, как уже отмечалось в § 18,
естественная граница плазменного спектра может быть обу-
обусловлена и другой причиной: уравнение A8.7) не обязано
иметь вещественные корни при любых k. Для исследования
этого вопроса надо явно вычислить 3й (k, u>) при всех зна-
значениях аргументов, что, очевидно, возможно лишь, когда
известен вид W(k). Фактически, однако, функция W (к) изве-
известна лишь для достаточно малых волновых векторов (при
значениях k, близких к постоянной обратной решетки, ста-
становится непригодным и сам метод эффективной массы). По-
Поэтому здесь имеет смысл рассмотреть какой-либо модельный
пример, и результаты, таким путем полученные, будут иметь,
вообще говоря, лишь методическую ценность. Исключение
составляет случай, когда вещественные решения A8.7) исче-
исчезают уже при достаточно малых k. В следующем параграфе
мы увидим, что именно так обстоит дело в больцмановской
плазме в полупроводниках. Мы ограничимся здесь простей-
простейшим случаем — квадратичной изотропной аппроксимацией,—
полагая
W(k) = ^. A9.7)
Тогда поляризационный оператор A8.10) легко вычисляется
до конца. Удобно ввести безразмерные переменные, выра-
выражая k в единицах kF = mvp, а ш -— в единицах ^ (мы
затухания» (порядка времени свободного пробега) велики по срав-
сравнению с периодами плазменных колебаний. Заметим, что при же-
желании можно было бы легко исследовать это затухание в рамках
•излагаемой методики: стоит лишь ввести в гамильтониан системы
энергию взаимодействия электронов с соответствующими полями
(например, фононным).

176
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [ГЛ. IV
сохраним для новых переменных прежние обозначения, имея
в виду, что это не сможет повести к недоразумениям).
Выполняя интегрирование в A8.14), получаем
где
4ft2 _ QJ _ ft4
8ft3
— 4ft 1П
S —
In
o>2 — Bft — ft2J
o>2 — Bft -f- ft2J
(со —2ftJ —ft*
(»-f-2ftJ —ft4
tru.
l}, A9.8)
A9.9)
Здесь заряд е выражен в гауссовых единицах. Величина g2
играет роль безразмерной константы связи и, вообще говоря,
отнюдь не мала.
Разложение правой части A9.8) в ряд для малых k
(и конечных «о), естественно, вновь дает формулу A8.18)
(если подставить в последнюю соответствующие значения
тензоров (л, v и о). С другой стороны, из формулы A9.8)
непосредственно видно, что при o>?Re и k<~"\ (т. е. при
волновом векторе порядка фермиевского) Re <&*(/{, to) < 0,
и следовательно, дисперсионное уравнение A8.7) не имеет
вещественных корней (мнимая часть поляризационного опе-
оператора при этом может быть еще равна нулю). Таким образом,
естественная граница спектра плазменных колебаний (k <] kc)
действительно не навязывается, а вытекает из самой теории.
Определение предельного волнового числа kc сводится к иссле-
исследованию области существования вещественных корней урав-
уравнения A8.7) с учетом A9.8). Мы, однако, не будем этого
делать, ибо, как уже отмечалось, весь расчет носит чисто
методический характер.
Перейдем теперь в соответствии с общей схемой § 11
к оценке точности принятого приближения с помощью группы
перенормировки. Для выяснения существа дела достаточно
ограничиться простейшим случаем изотропной квадратичной
аппроксимации A9.7).
Все необходимые выкладки уже проделаны в § 11; надо
лишь найти явное выражение для фигурирующей в A1.20)
функции /. Положим, как и в § 11, й==2да=1, Wq = (a.
§ 19]
СПЕКТР ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА; СЛУЧАЙ ФЕРМИ
177
ft2
Тогда согласно A1.15)— ==— s=.z, и мы получаем в силу
A1.13) и A9.8)
<19Л0>
Равенство A9.10) в сочетании с A1.19) и A1.22) опре-
определяет инвариантный заряд, служащий фактическим пара-
параметром разложения. Поскольку / (z) < 0 при любом конеч-
конечном z, видно, что инвариантный (экранированный!) заряд
действительно всегда меньше g, как и указывалось в § 11.
В частности, в области малых импульсов (и —>0) инвариантный
заряд стремится к нулю, и наша аппроксимация для функ-
функции d(u, v; g2) делается сколь угодно точной1). Это обстоя-
обстоятельство окажется существенным в связи с законом экрани-
экранирования внешнего поля (см. ниже § 22). С другой стороны,
в интересующем нас здесь «плазменном» случае инвариантный
заряд, как видно из A1.22) и A1.30), есть
2e2/fivp е2
A9.11)
1 — 2-
Отсюда видно, что:
а) фактический параметр разложения зависит от волно-
волнового вектора и частоты, отнюдь не сводясь к безразмерной
константе g2; иначе говоря, наш способ определения плаз-
плазменных частот оправдан в том смысле, что следующие члены
разложения не представляют собой просто степеней g2/v>2;
б) степень фактической применимости разложения при
малых k определяется соотношением между плазменной ча-
частотой и энергией Ферми — аппроксимация тем лучше, чем
больше отношение ^/юрг.
Последнее обстоятельство не связано с предположе-
предположением A9.7); однако конкретная численная оценка параметра
разложения зависит, разумеется, от вида изоэнергетических
поверхностей. В квадратичной аппроксимации A9.7), как
') Легко убедиться, что это утверждение не связано с предпо-
предположением A9.7). Оно означает лишь невозможность распростра-
распространения волн с нулевой энергией и конечным импульсом (т. е. отсут-
отсутствие вещественных полюсов у бозонной функции Грина при
а, = о, k ф 0).
12 Зак. 2126. Метод функций Грнна

178
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [ГЛ. IV
показывает исследование, достаточным условием применимости
нашего разложения в области плазменных частот является
неравенство
Р A9.12)
1+2
При типичных для металлов значениях концентрации элек-
электронов п в левой части A9.12) стоит величина, близкая
к единице. Следует, однако, иметь в виду, что в металле
квадратичная аппроксимация едва ли имеет смысл; фор-
формулы, полученные в ее рамках, строго говоря, относятся
не к металлу, а к модельному примеру свободного элек-
электронного газа. Неравенство A9.12) есть условие примени-
применимости так называемой аппроксимации высокой плотности.
Оно выполняется тем лучше, чем больше концентрация элек-
электронов и чем меньше их эффективная масса. В этом смысле
развитую методику можно рассматривать как уточнение и
улучшение неоднократно применявшихся разными авторами
(см., например, [22], [23]) простых разложений по константе
связи A9.9).
§ 20. Плазменный спектр электронного газа;
случай Больцмана *)
Плазменный спектр больцмановского электронного газа
неоднократно служил предметом исследования в связи с вопро-
вопросами физики газового разряда. Ряд полученных там резуль-
результатов можно непосредственно — простым изменением обозна-
обозначений— перенести и на случай полупроводников. Однако
последние обладают и известными специфическими особен-
особенностями, что делает изучение электронной (или дырочной)
плазмы в них интересным не только в методическом отно-
отношении. Именно, концентрация свободных электронов в полу-
полупроводниках, как правило, больше (иногда значительно,
больше), чем в газовом разряде; соответственно плазменные
эффекты в полупроводниках выступают гораздо ярче. Следует
также иметь в виду, что концентрацию свободных зарядов
в полупроводнике экспериментально сравнительно легко варьи-
1) См. [26], [27].
§ 20] спектр элЕктронногд газа; случай больцмана ' 179
ровать в широких пределах, оставляя все прочие условия
неизменными. С повышенной по сравнению с газовым раз-
разрядом концентрацией электронов связана и вторая особен-
особенность плазмы в полупроводниках: там могут оказаться
довольно заметными квантовые эффекты. Действительно,
последние вступают в игру, коль скоро среднее расстояние
между электронами (—n~'fy становится сравнимым с «тепло-
«тепловой» длиной волны ~кг = —-р=~-. Наконец, в отличие от газо-
Ут
вого разряда, при исследовании плазменных явлений в полу-
полупроводниках тяжелые частицы (доноры, акцепторы и т. д.)
практически всегда можно считать неподвижными; соответ-
соответственно с биполярной плазмой приходится иметь дело только
в случае собственной проводимости. Для полупроводников
типа германия и кремния наибольший интерес представляет
как раз исследование плазмы с одним типом свободных
зарядов, поскольку именно в таких образцах легче всего
достигается желаемая большая концентрация носителей тока.
Применяя методику § 18 к полупроводникам, следует
иметь в виду следующие обстоятельства.
Во-первых, полная концентрация электронов, которую
мы все время считали заданной, в полупроводниках, строго
говоря, отнюдь не задана, а способна флуктуировать (ибо
носители тока создаются тепловым движением). Практически,
однако, это не вносит каких-либо изменений в расчет, так как
время рекомбинации (определяющее темп изменения п со вре-
временем), как правило, на несколько порядков превосходит
период плазменных колебаний.
Во-вторых, в силу медленности процесса рекомбинации
концентрация носителей тока может быть и не равновесной:
неравновесные электроны и дырки, инжектируемые в образец
светом или электрическим полем, также успевают принять
участие в плазменных эффектах до того, как рекомби-
нируют.
В-третьих, как мы увидим, все плазменные эффекты
в полупроводниках разыгрываются в области сравнительно
малых волновых чисел, когда аппроксимация A8.22) довольно
надежна. Напомним, что мы рассматриваем случай невыро-
невырожденных зон (в смысле § 17). Вырожденный случай будет
рассмотрен в § 22. Соответственно результаты, которые мы
получим, будут иметь не только методическое значение.
1.2*

i80
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [ГЛ. IV
В этом параграфе мы все время будем пользоваться аппро-
аппроксимацией A8.22).
В-четвертых, в отличие от металлов, периоды плазменных
колебаний в полупроводниках (при типичных концентрациях
электронов) обычно сравнимы с временами свободного про-
пробега (обусловленными рассеянием на фононах, примесях и т. д.)
или, во всяком случае, не слишком превосходят их. Поэтому
плазменные частоты, которые мы вычислим из уравнения A8.7),
фактически представляют собой лишь «центры тяжести»
довольно широких линий, а трактовка затухания не может
быть достаточно полной без учета взаимодействия носителей
тока с фононами, примесями и т. д.
Функция распределения в отсутствие взаимодействия в дан-
данном случае имеет вид
п (к) = е*~ W{k), B0.1)
причем по смыслу аппроксимации мы должны считать
п (&) <С^ 1 • сохраняя всюду только величины первого порядка
по n'(Jt). Соответственно
W = ^ = JL х 7*
и формула A8.27) принимает вид
,»2
ш<
т*
тг
B0.2)
В частности, в изотропной аппроксимации отсюда получается
хорошо известный результат
, Л9 О.. Т1
B0.3)
С другой стороны, при достаточно больших значениях k
уравнение A8.7), как и в случае фермиевского газа, не имеет
вещественных корней. В этом легко убедиться, явно вычи-
вычисляя вещественную часть поляризационного оператора при
вещественных значениях со. В аппроксимации A8.22) мы по-
получаем (в гауссовых единицах)
, <•>) =
4пе2
cos
sin
B0.4)
§ 20] спектр электронного газа; случай больцманА 181
Правая часть легко выражается через интегралы Френеля,
но удобнее оставить ее именно в таком виде. Разложение
интеграла в ряд по степеням k — fc@) (при конечном значе-
значении ю) с последующим усреднением по всем возможным
ориентациям k ' вновь дает формулу B0.2). Наоборот, при
достаточно больших \k — fc@) | правая часть B0.4), как легко
убедиться, становится отрицательной: исследование уравне-
уравнения A8.7) с вещественной частью поляризационного опера-
оператора в виде B0.4) (и k^ — 0) показывает, что вещественные
корни существуют лишь при условии
и ^ и ~ 0-53
D
где
B0.5)
B0.6)
есть дебаевский радиус (в гауссовых единицах). Таким обра-
образом, и в больцмановском случае существование естественной
границы плазменного спектра не навязывается ad hoc, а выте-
вытекает из самой теории [см., однако, ниже замечание после
формулы B0.13)].
Переходя к рассмотрению затухания, обусловленного
кулоновским взаимодействием между электронами, заметим
прежде всего, что здесь, в отличие от фермиевского случая,
мнимая часть поляризационного оператора никогда не обра-
обращается точно в нуль. Действительно, в больцмановском газе
есть частицы, движущиеся с любыми скоростями; поэтому
неравенство A9.5) может быть удовлетворено при любых k
(т. е. всегда найдутся электроны со скоростями, превышаю-
превышающими фазовую скорость плазменной волны *)). Отсюда сле-
следует, что уравнение A8.6) не имеет чисто вещественных
решений, и затухание плазменных волн происходит всегда
') Напомним, что мы имеем дело с нерелятивистской теорией,
и следовательно, принципиально скорости электронов ничем не
ограничены. Правда, при достаточно малых k скорости, удовлетво-
удовлетворяющие неравенству A9.5), могут возрасти настолько, что нереля-
нерелятивистское приближение сделается неприменимым. Из дальнейшего
будет- видно, однако, что в таких условиях затухание, связанное
с кулоновским взаимодействием между электронами, вообще очень
мало, и этот механизм не играет роли по сравнению с другими
причинами, приводящими к диссипации энергии плазменных волн

182
Плазменные колебания в твёрдом теле [гл. iv
при любых k. Таким образом, вычисляя мнимую часть поля-
поляризационного оператора S^ (k, ш), мы должны сразу по-
положить (ср. § 5)
— ш' — по", со" > 0.
B0.7)
Величиной е в формуле A8.10) при этом можно сразу пре-
пренебречь, так как функция W {k) вещественна, и следова-
следовательно, знаменатели не имеют нулей.
В результате из A8.10) получаем
==~Bnylmj dR'
j
W(k')—W{k' — k) — m
1
ш"
B0-8)
Вычисление интеграла в правой части в общем виде несколько
громоздко. Это, однако, и не требуется, ибо в дальнейшем
нас будет интересовать лишь значение поляризационного опе-
оператора при ю'—wpZ, ил" = -[\ соответственно можно считать
а/ ~^§> со". Тогда можно воспользоваться формулой A8.13),
рассматривая to" формально как бесконечно малую величину:
1
¦W (k' ± k) ± Q>' T «<¦>" —
1 -г ± */8
&') — W(*' ±й) ±
На основании B0.9) имеем
1т^(*,ш') = —тЦ
— b\W(h')~ W(fc'
¦W(ft' ± ft) ± Ш'].
B0.9)
B0.10)
Это есть предельное значение Im ?Р {к, со) при и/'—>0, т. е.
как раз то, что нужно для вычисления -у по формуле A8.8).
В аппроксимации A8.22), когда W (k) есть квадратичная
.форма, фигурирующий здесь интеграл легко вычисляется при
любой степени вырождения электронного газа. В частности,
в больцмановском случае, когда функция п^ (k) дается фор-
§ 20] спектр электронного газа; случай больцмана 183
мулой B0.1), мы получаем (переходя к гауссовым единицам)
^ЬУ-ЖЩ - 2 " B°Л1)
Поскольку вещественная часть поляризационного оператора
нам уже известна, по формуле A8.8) легко найти множитель
затухания плазменных колебаний. В частности, для малых
волновых векторов мы получаем (в гауссовых единицах)
— sh
B0.12)
При Й —> 0 это выражение переходит в известную формулу
Ландау [29].
В силу конечности затухания вопрос о естественной гра-
границе плазменного спектра приобретает, как всегда в таких
случаях, несколько условную форму. Наличие многих меха-
механизмов рассеяния вносит в него еще дополнительные осложне-
осложнения. Поэтому мы не будем подробно его рассматривать; отме-
отметим лишь, что как неравенство B0.5), так и условие доста-
достаточной малости 1 по сравнению с а> г дают примерно одно
и то же значение критического волнового числа kc. Действи-
Действительно, подставляя в B0.12) значение k = kJ2, получаем1)
f д^0,05шр1 — затухание еще мало; в то же время при k = kc
формула.B0.12) дает -у — шр1.
Как правило, в полупроводниках дебаевский радиус не менее
чем на два-три порядка превышает постоянную решетки.
Таким образом, длины плазменных волн оказываются действи-
действительно весьма большими, что и оправдывает использование
аппроксимации A8.22). Заметим также, что в указанных усло-
условиях все плазменные частоты лежат в очень узкой области,
отличаясь от оH всего на 10—15%.
Обратимся теперь к оценке точности принятого прибли-
приближения с помощью группы перенормировки. Как и в §§ 11
') При этом следует принять во внимание, что в типичных для
полупроводников условиях (и при комнатной температуре) sh —^—
не превышает единицы.

184 ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [ГЛ. IV
и 19, ограничимся изотропной аппроксимацией, полагая
W(k) = ~. B0.13)
В отличие от § 19, в данном случае имеется не один незави-
независимый безразмерный параметр, содержащий заряд е, а не-
несколько. Поэтому вид безразмерной константы g нельзя
навязывать a priori, а надо определить из условия представи-
представимости произведения Bтс)8 <^@) (k, to) D^ (k) в виде A1.20).
Пользуясь формулами E.39) и B0.4), легко усмотреть, что
роль параметра WQ в данном случае играет величина р~ =хТ;
для функции / мы получаем
B0.14)
где
Далее,
V г/2
S(z) = е— J ePdt.
k=r'T
Вводя эффективное число состояний в зоне
и «тепловую» скорость
Bтсй)з
= 1/ 3
хТ
m
можно представить константу связи B0.15) в виде
рЗ_4 VIL._?! *L
ь у 9тг. bit- M
B0.15)
B0.16)
B0.17)
B0.18)
(в гауссовых единицах). Эта величина не обязательно очень
мала; однако, как мы видели в §11, она и не является
ЭКРАНИРОВАНИЕ СТАТИЧЕСКОГО ПбЛЯ
185
параметром разложения. Роль последнего при определении
функции Dc(k, w) при (о = 0 играет инвариантный заряд A1.22)
- v> S2)=-
1 — :
В данном случае мы имеем на основании B0.14)
B0.19)
Как и следовало ожидать, g?av < g2 при любых значениях а
и v. В частности, при малых волновых числах (&<СС>'я1)
параметр разложения g?nv делается сколь угодно малым.
Далее, из формулы A1.30) явствует, что при определении
функции D(k, to) для не равных нулю значений to (т. е.,
в частности, при определении плазменных частот to г) пара-
параметром разложения служит величина
. B0.20)
r.T
J
Отсюда, как и в § 19, следует, что наш способ определения
плазменных частот всегда корректен в том смысле, что сле-
следующие члены разложения не имеют вида g^/to2 в некоторой
степени. Условие фактической применимости использованных
разложений определяется соотношением между у.Т и плазмен-
плазменной частотой: сходимость тем лучше, тем больше отноше-
отношение %Т/(ор1.
§ 21. Экранирование статического поля свободными
зарядами')
Для исследования фермиевской ветви энергетического
спектра с помощью, например, уравнения (9.18) необходимо
знать Ф — средний (экранированный) потенциал, создаваемый
классическими источниками поля (например, заряженными
См. [21], [25], [26].

186
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Ё ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
ГЛ. IV
донорами и акцепторами в полупроводнике). Как мы видели
в § 8, в линейной аппроксимации
Д. (*) = —
• у) J* О»)-
Здесь D'c . есть функция Грина, вычисленная в отсутствие
внешнего поля. Если в качестве D' подставить сюда «невоз-
С
мущенное» значение D^°) A8.5), мы получим выражение для
потенциала Аа в пространстве, не содержащем свободных
зарядов. Замена D'c^ на D'c означае.т учет реакции свободных
зарядов на внешнее поле, т. е. учет экранирования.
В данном случае нас интересует только компонента
Ао = — <р; классическая плотность тока J сводится к плот-
плотности заряда J° = p(x). Представим D'c и р в виде интегра-
интегралов Фурье; тогда мы получим по образцу A1.6) — (И.8)
Лкх
?(*)=/ dk
P(*)
k2
1 —
B«L
k2
B1.1)
, 0)< 0, как это и
Заметим, что Im $P (k, 0) = 0, Re e
должно быть.
Рассмотрим специально случай точечного заряда, когда
p(y) = eZb(y), B1.2)
где Z — целое число. Задача об экранировании поля такого
центра свободными зарядами рассматривались неоднократно.
В приближении Дебая закон экранирования оказывается экспо-
экспоненциальным (формулы B1.3) — B1.9) в гауссовых единицах):
Ze -r It.
/-= х
B1.3)
С другой стороны, в методе дополнительных переменных
(см. [10], [16], [17]) обрезание длинноволновых компонент
поля дает
Ze 2 Г sin и ,
= —— / du,
Г It J U
B1.4)
где kc — «предельное» плазменное волновое число.
§ 21]
ЭКРАНИРОВАНИЕ СТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
187'
Мы покажем, что фактически эти два закона не противо-
противоречат друг другу, а представляют собой две различные асимпто-
асимптотические формы некоторого более сложного выражения.
м.
Рассмотрим сначала простейший случай W (k) — -^—.
Тогда в правой части B1.1) можно проинтегрировать по
полярным углам вектора k (в качестве полярной оси выби-
выбираем направление вектора х). Это дает
Ze 1 Г
^-r-WFJ
dk
sin kr
1—¦
(k, 0)
B1.5)
На больших расстояниях от центра главную роль в интеграле
играют малые k. Соответственно функцию S* (k, 0) можно
приближенно заменить ее значением при & = 0, и мы полу-
получаем из B1.5)
где
B1.6)
B1.7)
Заметим, что вычисление «^@, 0) по формуле, например, A8.10)
требует известной осторожности. В рассматриваемом случае,
однако, можно воспользоваться явными выражениями A9.8)
и B0.4). Это дает
а) в случае Ферми
1.8)
где kp — значение волнового числа на поверхности Ферми;
б) в случае Больцмана
B1.9)
Таким образом, формула B1.6) представляет собой обычный
закон Дебая. Расстояния, для которых он здесь получен,
определяются условием
S=0 при
B1.10)

188
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [ГЛ. IV
В случае Ферми условие B1.10) принимает вид
а в случае Больцмана
т
B1.10а)
B1.106)
С другой стороны, при малых г главную роль в интег-
интеграле B1.6) играют большие волновые числа. Как видно
из A8.10), при этом независимо от типа статистики
0) ^ - J^L. f dW л
fe0 + O(i/**) =
пте2
1&2
ОA/?4). B1.11)
Подставляя B1.11) в B1.5), находим асимптотический вид
потенциала на малых расстояниях (в гауссовых единицах)
ср(г) = — е »rcosar; a = ]/ 2 ^ fi2 j . B1.12)
Этой формулой можно пользоваться, коль скоро г < гс. Фор-
Формула B1.12) заменяет классический закон Дебая в области,
где существенно сказываются квантовые эффекты (расстояния
сравнимы со средней длиной волны де-Бройля для экранирую-
экранирующих зарядов гс). Точнее, она справедлива в «ультраквантовой»
области г<^гс. Подчеркнем, что формулы B1.11) и B1.12)
не зависят от степени вырождения электронного газа; послед-
последняя определяет лишь пределы их применимости.
Аппроксимация типа B1.4) подобно B1.12) получается
из B1.5) в случае малых расстояний* если вместо разложения
поляризационного оператора B1.11) воспользоваться более
грубым приемом: просто отбросить второе слагаемое в зна-
знаменателе B1.5), обрывая вместе с тем интеграл на некотором
нижнем пределе k0. Последний должен удовлетворять условию
- B1.13)
Тогда для потенциала мы получаем формулу типа B1.4),
пригодную для расстояний r^-ko1. Теперь, однако, пара-
параметр k0 никак не связан с предельным волновым числом kc.
§ 21]
ЭКРАНИРОВАНИЕ СТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
189
Более того, он вообще не имеет четкого физического смысла,
определяясь лишь неравенством B1.13).
Обратимся теперь к произвольному закону дисперсии.
При малых k разложение правой части A8.10) дает
[ft. 0) =
lim
*->о
пап
ап?
>0
dW(k')
' dk'
е2
и мы вновь получаем формулу B1.6), причем
k2
B*)'
B1.14)
B1.15)
При W{k) = -^ формула B1.15), переходит в B1.8) или
B1.9). В квадратичной анизотропной аппроксимации A8.22)
получаются те же формулы с заменой
т —> у т1т2т3.
При больших k результат существенно зависит от вида
функции W (k) и не может быть выписан в общем виде, если
только не оборвать интеграл B1.5) на некотором нижнем
пределе, отбросив вообще поляризационный оператор. В этом
последнем случае, разумеется, вновь получается формула
B1.4) независимо от вида изоэнергетических поверхностей.
Степень фактической применимости полученных выше
асимптотических формул для потенциала <р зависит, есте-
естественно, от конкретного характера задачи. В металлах заранее
ясно, что, поскольку все существенные расстояния — порядка
постоянной решетки, обе аппроксимации B1.6) и B1.12)
мало удовлетворительны (не говоря уже о сугубой нена-
ненадежности квадратичного закона дисперсии). С другой стороны,
в полупроводниках параметр гс оказывается близким к Ю~6 см
(при комнатной температуре); таким образом, может найтись
область, в которой следует пользоваться квантовой форму-
формулой B1.12). Следует, однако, иметь в виду, что на слиш-
слишком малых расстояниях формула B1.12) может оказаться

190
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [ГЛ. IV
несостоятельной ввиду недопустимости линейной аппроксима-
аппроксимации (8.17). Так, в этой аппроксимации теряется (в принципе
возможный) эффект возникновения локальных плазменных
колебаний. Это обстоятельство может сузить фактические
пределы применимости выражения B1.12).
Могло бы показаться, что подобно взаимодействию элек-
электронов с внешним полем можно рассмотреть и взаимодей-
взаимодействие их друг с другом. Именно так и ставится задача,
например, в работах Бома и Пайнса (см., например, обзоры [ 10],
[11]). Строго говоря, однако, представление о потенциале
взаимодействия между электронами в твердом теле лишено
смысла, ибо, благодаря обмену виртуальными плазменными
квантами, взаимодействие между электронами оказывается
запаздывающим. Рассмотрим здесь этот вопрос применительно
к случаю полностью вырожденного ферми-газа (Т = 0). Тогда
можно воспользоваться обычной теорией 5-матрицы (см.
приложение I) и ввести эффективную матрицу взаимодействия
U
(x, х') = 2ъе'>f
, k0)
=-Дш
B1.16)
Здесь Ди> есть изменение энергии одного из электронов при
рассеянии на другом. Если это изменение энергии достаточно
малб,
(k), B1.17)
то D(k, Ato)^D(&, 0). При этом выражение B1.16) пере-
перестает зависеть от начального и конечного состояний элек-
электронов и может рассматриваться как обычная потенциальная
энергия взаимодействия. Правая часть B1.16) при этом,
разумеется, совпадает с еср, если для <р воспользоваться
выражением B1.1) с учетом B1.2) (при Z= 1). В частности,
в аппроксимации A1.4) для энергии взаимодействия. между
двумя электронами справедливы все выводы, сделанные ранее
в этом параграфе применительно к взаимодействию электро-
электронов с точечным центром. Случай, характеризуемый неравен-
неравенствами B1.17), представляет, вероятно, наибольший интерес
в теории металлов. Принципиально, однако, возможен и слу-
случай, когда существенны конечные значения Аш; при этом
?в полной аналогии с квантовой электродинамикой) предста- •
вление о потенциале взаимодействия между электронами
ввести вообще невозможно.
§ 22] случай вырожденных зон
§ 22. Случай вырожденных зон г)
191
До сих пор мы ограничивались невырожденным (в смысле
§ 18) случаем. Охватывая довольно широкий круг задач,
развитая методика все же не позволяет рассматривать ряд
систем, интересных как с теоретической, как и с экспери-
экспериментальной стороны. Именно, из рассмотрения выпадают все
случаи, когда в невозмущенной задаче следует принимать
во внимание зависимость энергии электрона не только от ква-
квазиимпульса, но и от каких-то дискретных квантовых чисел.
К числу систем такого типа, в частности, относятся вещества,
в которых:
а) невозмущенные значения энергии носителей тока обра-
образуют вырожденные зоны (например, дырочный германий и
дырочный кремний);
б) не удается провести четкое энергетическое различие
между валентной и внутренней оболочками (например, пере-
переходные металлы);
в) невозмущенная энергия носителя тока зависит от его
спина (ферромагнетики, вещества с заметным спин-орбиталь-
спин-орбитальным взаимодействием);
г) заметную роль играют носители тока с зарядом как
того, так и другого знака (полупроводники и металлы со сме-
смешанной проводимостью).
В настоящем параграфе будет показано, что развитая
ранее методика в значительной мере может быть перенесена
и на эти более сложные случаи.
Как известно [6], [8], [9], во всех перечисленных выше
задачах простой «метод эффективной массы» неприменим:
вместо одного уравнения с «эффективной кинетической энер-
энергией» W (— i4x) невозмущенная задача описывается системой
уравнений
{Wab(k) — babW}cb=0, B2.1)
где WаЬ — некоторая квадратная матрица, а индексы а, Ъ
нумеруют типы носителей тока, компоненты спина и т. д.
(соответственно набор значений, ими принимаемых, специфи-
специфичен для каждой данной задачи). Собственные значения системы
B2.1) суть собственные значения энергии в невозмущенной
См. [30].

192
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЁРДОМ ТЕЛЕ [гл. IV
задаче, а волновые функции представляют собой матрицы
caeikx. Будем нумеровать собственные значения B2.1) ин-
индексом v. Очевидно,
2 са (v, ft) ca (у', ft) = Д (v — v'),
а
2са0, k)cb(y, k) = bab.
B2.2)
B2.3)
Далее, из общих свойств движения частиц в периоди-
периодическом поле следует, что Wab и W — четные функции ft.
Очевидно, в этом случае фермионная функция Грина
представляет собой матрицу: вместо A8.3) мы имеем
~w (v' k) +/e [2д@) <N> k) ~
B2.4)
С другой стороны, невозмущенная бозонная функция
Грина сохраняет прежний вид A8.5), а поляризационный
оператор представляет собой шпур по индексам а, Ъ. Поль-
Пользуясь, как и раньше, развитой в § 11 улучшенной теорией
возмущений, для вещественной части поляризационного опе-
оператора получаем
Re 3» (ft, to) =
/
{V, v) X
Здесь
<22-5>
2
а, Ь
^ (v'. *7 — *) cft (v, ft') C& (v'f ft' — ft). B2.6)
Если кристалл обладает центром симметрии, то в силу чет-
четности функций ca(v, k) имеем
S(v, v'; —ft', ft) = 5(v, v'; ft', —ft).
§ 22]
СЛУЧАЙ ВЫРОЖДЕННЫХ ЗОН
193
Далее, из B2.2) следует, что
, v'; k', &) = A(v —
— A(v, v')] 2 k
га>1
B2.7)
Здесь ij, ...,Jm — векторные индексы, а величины А суть
некоторые тензоры, зависящие от структуры зон в невоз-
невозмущенной задаче. Их легко вычислить с помощью уравне-
уравнения B2.1), однако соответствующие выражения нам не пона-
понадобятся. Заметим лишь, что тензоры А содержат в знамена-
знаменателях (в разных степенях) величины ?sW (у, v'; k) — расстояния
между v-й и v'-й зонами при квазиимпульсе ft. Именно на-
наличие этих (обычно неизвестных) функций и затрудняет
практическое использование выражений для А.
На основании B2.7) мы имеем
Re<^°(ft, to) = 2 Re <^\ (ft, w) + Д<^ (ft,
B2.8)
где <^°v(ft, to) — поляризационный оператор вида A8.10),
вычисленный для v-й зоны, а добавка Д<^* (ft, to) содержит
члены с v ф V.
Первое слагаемое в правой части B2.8) представляет
собой просто сумму формально независимых вкладов отдель-
отдельных зон; взаимное влияние последних проявляется при этом
только при определении уровня Ферми. Если пренебречь
вторым слагаемым, то все полученные ранее результаты пе-
переносятся на случай вырожденных зон с помощью простого
суммирования по v. Это относится, в частности, к предель-
предельной частоте плазменных колебаний и к радиусу экранирова-
экранирования. Так,
¦S^
B2.9)
Чтобы получить в этом приближении радиус экранирования,
надо в правой *части B1.15) выполнить суммирование по v,
снабдив этим индексом величину Ъ.
13 Зак. 2126. Метод функций Грина

194
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЁРДОМ ТЕЛЕ
[гл-
С другой стороны, при учете члена кеР (k, со) появляются
особенности, специфические именно для вырожденного слу-
случая: плазменные частоты могут расщепляться на несколько
ветвей, а также может иметь место затухание, связанное
с реальными междузонными переходами за счет энергии
плазменных квантов. Вычисление этих эффектов в общем
виде, однако, вряд ли целесообразно, так как результаты
существенно зависят не только от констант, которые можно
было бы определять эмпирически, но и от функций типа
AW(y, У; k).
ГЛАВА V
НОСИТЕЛИ ТОКА В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
§ 23. Идеальный полупроводник 1)
В предыдущей главе были исследованы коллективные
(«плазменные») колебания в твердом теле. Как мы видели,
они существенно обусловлены взаимодействием между элек-
электронами: при исчезновении его исчезают и соответствующие
полюсы функции Dc(k, to). Статистика, которой подчиняются
плазменные кванты, очевидно, бозевская. Тем самым решена
вторая из задач, поставленных в § 17, — задача об исследо-
исследовании новых (по сравнению с идеальным газом) ветвей энер-
энергетического спектра системы 2). В настоящем параграфе мы
рассмотрим фермиевскую ветвь энергетического спектра
(т. е. спектр носителей тока) в идеальном кристалле. Тем
самым будет дан ответ на первый из поставленных ранее
вопросов — об изменениях, вносимых взаимодействием в спектр
«свободных» частиц. Как уже отмечалось в § 17, такая
постановка задачи имеет смысл для полупроводников, но не
для металлов. По этой причине мы ограничимся только слу-
случаем больцмановского газа, полагая /г<0) (Jt) = «Pp-PW'W (фор-
(формально нетрудно было бы провести все выкладки и для
полностью вырожденного ферми-газа). Далее мы будем
1) См. [1]-[4].
2) Это решение, однако, не. является исчерпывающим. При на-
наличии свободных зарядов обоих знаков (электроны и дырки) плаз-
плазменные колебания представляют собой лишь одну из возможных
бозевских ветвей; другую составляют экситоны Мотта. В рамках
нашего метода их удобно рассматривать с помощью двухфермион-
ной функции Грина: часть полюсов последней — при учете взаимо-
взаимодействия — будет отвечать связанным состояниям системы «элек-
«электрон — дырка» (в этом смысле ситуация здесь аналогична задаче
о позитронии в квантовой электродинамике).
13*

194
ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТВЁРДОМ ТЕЛЕ [ГЛ. IV
С другой стороны, при учете члена Д^°(?, о>) появляются
особенности, специфические именно для вырожденного слу-
случая: плазменные частоты могут расщепляться на несколько
ветвей, а также может иметь место затухание, связанное
с реальными междузонными переходами за счет энергии
плазменных квантов. Вычисление этих эффектов в общем
виде, однако, вряд ли целесообразно, так как результаты
существенно зависят не только от констант, которые можно
было бы определять эмпирически, но и от функций типа
№(, V; к).
ГЛАВА V
НОСИТЕЛИ ТОКА В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
§ 23. Идеальный полупроводник 1)
В предыдущей главе были исследованы коллективные
(«плазменные») колебания в твердом теле. Как мы видели,
они существенно обусловлены взаимодействием между элек-
электронами: при исчезновении его исчезают и соответствующие
полюсы функции Dc(k, to). Статистика, которой подчиняются
плазменные кванты, очевидно, бозевская. Тем самым решена
вторая из задач, поставленных в § 17, — задача об исследо-
исследовании новых (по сравнению с идеальным газом) ветвей энер-
энергетического спектра системы 2). В настоящем параграфе мы
рассмотрим фермиевскую ветвь энергетического спектра
(т. е. спектр носителей тока) в идеальном кристалле. Тем
самым будет дан ответ на первый из поставленных ранее
вопросов — об изменениях, вносимых взаимодействием в спектр
«свободных» частиц. Как уже отмечалось в § 17, такая
постановка задачи имеет смысл для полупроводников, но не
для металлов. По этой причине мы ограничимся только слу-
случаем больцмановского газа, полагая д@) (k) = e^~^w^ (фор-
(формально нетрудно было бы провести все выкладки и для
полностью вырожденного ферми-газа). Далее мы будем
1) См. [1]-[4].
2) Это решение, однако, не. является исчерпывающим. При на-
наличии свободных зарядов обоих знаков (электроны и дырки) плаз-
плазменные колебания представляют собой лишь одну из возможных
бозевских ветвей; другую составляют экситоны Мотта. В рамках
нашего метода их удобно рассматривать с помощью двухфермион-
ной функции Грина: часть полюсов последней — при учете взаимо-
взаимодействия — будет отвечать связанным состояниям системы «элек-
«электрон — дырка» (в этом смысле ситуация здесь аналогична задаче
о позитронии в квантовой электродинамике).
13*

196
НОСИТЕЛИ ТОКА В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
[ГЛ. V
рассматривать лишь систему, не вырожденную в смысле § 18,
и притом в изотропной аппроксимации W(й)=^¦
Для решения интересующей нас задачи достаточно вы-
вычислить однофермионную функцию Грина. Мы воспользуемся
теорией возмущений § 11, предполагая справедливыми два
неравенства
Nc hvT
Nc
Формулы B3.1) написаны в гауссовой системе единиц. Основ-
Основную роль играет первое неравенство; второе введено лишь
для упрощения выкладок. Для большинства полупроводников
неравенства B3.1) фактически выполняются в довольно
широком интервале концентраций электронов и температуры.
Напомним, что под е1 следует понимать квадрат заряда,
деленный на диэлектрическую проницаемость решетки.
В гомеополярных полупроводниках это обстоятельство может
быть весьма существенно (у германия, например, е = 16).
Заметим также, что в невырожденном газе по определению
всегда
п <f^- 1 я(о) (h\ <^-1 /23 2"»
В дальнейшем мы всюду, где возможно, будем пренебрегать
левыми частями B3.2) по сравнению с правыми. Далее, пер-
первое из неравенств B3.1) можно переписать в виде
B3.3)
Соответственно можно считать Й«о < —, чем мы и будем
в дальнейшем пользоваться.
Общее выражение (9.5а) для фурье-образа массового
оператора в нерелятивистском случае принимает вид
ь\ п (k' ЬЛ Г23 4">
где T(k', k) есть фурье-образ Г(х, у; z). В первом прибли-
приближении мы имеем
М@) (ft) = — ie2 j* dk'Gf (kr) Df> (k' — k). B3.4a-)
§ 23]
ИДЕАЛЬНЫЙ ПОЛУПРОВОДНИК
На основании A8.3) и A8.5) получаем
4B*)*
J V7
197
B3.5)
Таким образом, в первом неисчезающем приближении мас-
массовый оператор оказывается вещественным (и, естественно,
не зависит от k0). Соответственно мнимая часть функции
Грина (и, в силу D.9), спектральная функция J(k, E)) сохра-
сохраняет дельта-образный вид. На основании B3.5) и A1.1) мы
имеем, пренебрегая величиной n@) (k) по сравнению с единицей:
Im Gc (k, k0) =
W (к) 4- B
(k) — k0]. B3.6)
Это означает, что в данном приближении взаимодействие
приводит лишь к некоторому изменению («перенормировке»)
энергии носителя тока: последняя равна теперь
Wr(k) = W(k)-^BTzLM(V(k). B3.7)
В то же время затухание квазичастиц отсутствует, и функ-
функция распределения их по импульсам не изменяет своего вида.
Действительно, функция распределения дается формулой E.7)
+ СО
/ (*) = 2 B*K f dk0
Подставляя сюда значение lmGc(k, kQ) из B3.6), находим
=e^-?wrW. B3.9)
Как и должно быть, сюда входит именно «перенормирован-
«перенормированная» (т. е. наблюдаемая) энергия электрона WT (k).
Заметим, что правая часть B3.6) нигде не меняет знака.
Так, конечно, и должно быть: в § 5 мы видели, что функ-
функция lmGc(k, k0) меняет знак в точке ko = \x.; в силу дельта-
образного характера B3.6) это возможно лишь, если уровень
химического потенциала [л лежит в области значений WT (k).
Последнее, однако, исключено, ибо принята аппроксимация
Больцмана.
Из формулы B3.7) видно, что взаимодействие может
изменить не только параметры энергетического спектра, но

198
НОСИТЕЛИ ТОКА В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
[ГЛ. V
и вид его: функция Wr(k) — не квадратичная. При достаточно
малых k, разлагая правую часть B3.5) в ряд, мы получаем
Wr(b) = ?7-iM, B3.10)
где тт — «перенормированная масса»:
B3.11)
Второе слагаемое в правой части B3.10) дает перенорми-
перенормировку химического потенциала
В связи с вопросом об изменении электронного спектра
следует обратить внимание на следующее обстоятельство.
Формулы B3.7), B3.10) описывают изменение энергии элек-
электронов за счет, так сказать, непосредственного взаимодей-
взаимодействия между ними. Мы знаем, однако, что, сверх того,
взаимодействие приводит еще к экранированию внешнего
поля, создаваемого какими-либо классическими источниками.
(Действительно, массовый оператор входит в эффективное
волновое уравнение (9.18) наряду с экранированным потен-
потенциалом Ф, а не вместо него.) В частности, такими источни-
источниками являются регулярно расположенные атомы (или ионы)
кристаллической решетки, создающие периодическое поле.
При учете экранирования поле, конечно, остается периоди-
периодическим, однако точная форма его изменяется, равно как
изменяются и параметры, определяющие его величину. Это
приводит к дополнительному изменению электронного спектра,
не учитываемому формулами B3.7) и B3.10). Таким обра-
образом, последние, строго говоря, еще не дают полного реше-
решения задачи. В большинстве полупроводников, однако, это
обстоятельство не существенно. Действительно, в гомеопо-
лярных полупроводниках типа германия силы взаимодействия
атомов решетки с электронами короткодействующие, и эк-
экранирование при типичных (довольно больших) значениях
радиуса экранирования мало влияет на них: из формулы B1.1)
ясно видно, что функция р (к) отлична от нуля лишь для
волновых векторов, сравнимых с обратной величиной радиуса
действия сил R; при этом член с поляризационным операто-
§ 23]
ИДЕАЛЬНЫЙ ПОЛУПРОВОДНИК
199
ром в знаменателе оказывается малым — порядка (а/?L, где
величина а дается формулой B1.12). В ионных полупровод-
полупроводниках это рассуждение, конечно, несправедливо, но там
обычно концентрация свободных зарядов столь мала, что
подробное рассмотрение эффектов экранирования вообще не
представляет интереса для большинства задач.
Ситуация, описываемая формулой B3.6), весьма типична
для приближенного метода § 11, коль скоро он применяется
к ферми-системам с мгновенным взаимодействием. В первом
неисчезающем приближении имеет место только тривиальное
изменение спектра, и спектральная функция остается дельта-
образной. В следующих приближениях, как мы сейчас уви-
увидим, появляются и более тонкие эффекты — затухание и
изменение функции распределения; соответственно услож-
усложняется и аналитическая структура спектральной функции:
вместо отдельных полюсов появляются точки ветвления на
вещественной оси.
Поправки к массовому оператору B3.4) могут быть
обусловлены;
1) заменой Gf)(k) на исправленное выражение, содержа-
содержащее м@)(?);
2) использованием более точного выражения для вершин-
вершинной части;
3) заменой Dc' (ft) более точной функцией Dc (k), опре-
определяемой равенством A1.2).
Непосредственно видно, что поправки первого типа дают
в М вклад порядка g4 (и выше). Также обстоит дело и с
поправками второго типа, в чем легко убедиться прямым рас-
расчетом: вычисляя поправку следующего приближения к Г по
образцу (9.16), видим, что Г= 1 -\-О (g2). С другой стороны,
замена Df* (k) на Dc (й) дает поправку уже порядка | g |3.
Действительно, в результате такой замены подынтегральное
выражение B3.4) приобретает полюсы в точках ku=- ±topl(k)
(обходимые по обычному правилу); соответствующий вычет
дает член порядка g2<op[, т. е. порядка | g |3. Таким образом,
при выполнении условий B3.1) можно ограничиться лишь
поправками третьего типа. Для упрощения расчета аппрок-
аппроксимируем плазменный спектр первым слагаемым в A8.28)
и пренебрежем затуханием плазменных колебаний; мы видели
в § 20, что в полупроводниках эта аппроксимация вполне

200
НОСИТЕЛИ ТОКА В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
[ГЛ. V
удовлетворительна. Тогда, выполняя интегрирование в B3.4)
в области значений k, близких к тепловым, с принятой сте-
степенью точности легко находим
@) B3.13)
Im M (k) = ¦
где
41
\-V2a.
ЪТП (kg -f (Op)
k2
B3.14)
B3.15)
Формула B3.14), равно как и последующие равенства
B3.18) — B3.21), написана в обычных гауссовых единицах.
Заметим, что в силу B3.1) и B3.2) ImM(ft) = 0, если ko = \t.
(в принятой нормировке энергии [х < 0). В интересующей
нас области Im M (k) Ф 0 и для мнимой части функции Грина
получаем
lmGc(k) =
imM(k)
[k0 — W(k) — Bтс)" Re M (A)]2 + [Bic)" Im M (k)]2 '
B3.16)
Соответственно легко найти функцию распределения носи-
носителей тока по импульсам, а также «множитель затухания»
7 (к). Введем параметр
<*»=*/=? к
**•
-/;
B3.17)
Следует обратить внимание на характер зависимости р от
заряда: при е2—>0 параметр р стремится к нулю, как
e2lne2. Пользуясь формулой B3.8), мы получаем
/(*) = вЭиЧИ*-г(*){1_1_<р(*)}. B3.18)
Функция cp(fe), описывающая квантовые поправки к распре-
распределению Больцмана, дается равенством
ср (к) = — 1 Н~— I ci p sin р — si p cos p
B3.19)
§ 24]
НЕИДЕАЛЬНЫЙ МЕТАЛЛ
201
где ci р и sip — интегральные косинус и синус. При р—>0
(исчезновение взаимодействия) cp(fe)—>0, как это и должно
быть. Для множителя затухания (вычисляемого по рецепту
§ 4) мы получаем на основании B3.16) и B3.14)
_ me^0
~ 2kb2 Ш
k —
^~p. B3.20)
В наиболее интересной области k —¦ т— это дает
те2а>а
12
B3.21)
Заметим, что значение f может оказаться и не слишком ма-
малым, несмотря на малость параметров B3.1).
Таким образом, использование спектральных теорем § 4, 5
в сочетании с «итерационной» теорией возмущений § 11
позволяет получить выражения, выходящие за пределы про-
простых разложений по степеням константы связи. Аналогичная
ситуация имеет место и в квантовой электродинамике (ср. [5]).
На языке графического метода (см. приложение I) можно
было бы сказать, что развитая методика сразу суммирует
важнейшие диаграммы Фейнмана.
§ 24. Неидеальный металл1)
В настоящем и следующем параграфах мы наметим один
возможный путь решения третьей из поставленных ранее
основных задач (см. § 17) — задачи о влиянии структурных
дефектов того или иного типа на электронный энергетиче-
энергетический спектр твердого тела. Спектр носителей тока в идеаль-
идеальной решетке при этом будем считать известным.
В металлах, очевидно, в настоящее время речь может
идти только о качественном исследовании спектра. Действи-
Действительно, в результате сильного экранирования (радиус экра-
экранирования-—'AJ1) существенную роль играют только поля
на малых расстояниях от дефектов, а в этой области могут
сказаться все (как правило, неизвестные) детальные особен-
особенности структуры микрополей в кристалле. Имея в виду это
См. [6] и [7].

202
НОСИТЕЛИ ТОКА В.ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
[гл. v
обстоятельство, мы рассмотрим простейшую модель, когда
роль дефектов играют растворенные в решетке (или адсор-
адсорбированные на поверхности) водородоподобные атомы. Задача
состоит тогда в исследовании изменения энергии и электрон-
электронной плотности системы при добавлении в нее одного элек-
электрона (с сохранением условия нейтральности). Как мы знаем,
для этой цели достаточно найти однофермионную функцию
Грина Gc (х, х') в присутствии поля, создаваемого структур-
ными дефектами. Полюсы ее определяют искомые изменения
энергии, а предельная форма при х'о —>х0 (х'о > х0) дает
матричные элементы «одночастичного» статистического опе-
оператора.
Для вычисления полюсов функции Грина мы восполь-
воспользуемся эффективным волновым уравнением (9.18). В рас-
рассматриваемом случае оно принимает вид
/Vx) X (*) — VX (*) + / dx'M (х — х'; Е) х (х') +
<24Л>
где <?(х) — потенциал поля, создаваемый структурными де-
дефектами. Для простоты записи мы опускаем возможные
матричные индексы у W, М и х- Все содержание настоящего
параграфа в равной мере относится и к случаю вырожден-
вырожденных зон.
Следует иметь в виду, что в зависимости от постановки
задачи функция W может содержать еще аддитивную кон-
константу, связанную с энергией атома вдали от металла (так,
например, обстоит дело в случае химической адсорбции).
Наличие этой константы никак не влияет на дальнейшие
рассуждения.
Как уже отмечалось в § 9, задача на собственные зна-
значения B4.1), вообще говоря, не эрмитовская: массовый опе-
оператор может иметь «неэрмитовскую» часть. Мы уви-
увидим, однако, что для наших целей особый интерес пред-
представляет случай Re Я —0 (поверхность Ферми). Как было
показано в § 5, при этом мнимая часть однофермионной
функции Грина (а следовательно, и мнимая часть массового
оператора) обращается в нуль. Соответственно мы будем
рассматривать B4.1) как обычную эрмитовскую задачу на
24]
НЕИДЕАЛЬНЫЙ МЕТАЛЛ
203
собственные значения, имея в виду, что получающиеся таким
путем результаты, строго говоря, верны лишь при Е —>0.
Формально «эрмитизация» B4.1) достигается заменой
М (х, х'\ Е) на М {х, х'\ 0). При этом первые три слагае-
слагаемых в левой части B4.1) можно объединить в один опера-
оператор Wr:
Wr x (x) = W(— iVx) x (x) —
M(x, x'; 0)x(*0.
B4.2)
и уравнение B4.1) принимает вид
Wr.X (*) + «? (*) X (*) = Ex (x). B4.3)
Оператор Wr интегральный или, что сводится к тому же,
дифференциальный бесконечно высокого порядка. То же,
однако, относится и к исходному оператору W, так что
в этом смысле никаких новых трудностей не возникает.
Очевидно, собственные значения Wr как раз и определяют
спектр носителей тока в идеальной решетке (вблизи поверх-
поверхности Ферми). В частности, форма поверхности Ферми (опре-
(определяемая экспериментально) дается уравнением
Wr(ft) = W(k)-\-BтгLЖ(ft, 0) — jx = 0, B4.4)
где k — квазиволновой вектор носителя тока.'
Рассмотрим сначала случай малой концентрации примеси,
когда эффекты, производимые отдельными ее атомами, адди-
аддитивны, и потенциал в B4.3) можно связывать лишь с одним
атомом. В рассматриваемом случае этот потенциал опреде-
определяется формулами B1.1) и B1.2) при Z=l, причем кон-
конкретный вид поляризационного оператора для нас безраз-
безразличен. Уравнение B4.3) при этом имеет, вообще говоря, два
класса решений, соответствующих непрерывному и дискрет-
дискретному спектру. В первом случае влияние примесных атомов
сводится лишь к некоторым незначительным изменениям
в распределении электронной плотности, коль скоро кон-
концентрация дефектов достаточно мала. Никакой локализации
электронов вблизи примесных центров при этом не проис-
происходит. Эти решения описывают обычную фермиевскую ветвь
спектра в данном металле; соответствующие собственные
значения при достаточно малой концентрации примеси даются

204
носители тока в твердом теле
[гл. v
просто функцией Wт (к) (с чем и связано утверждение о воз-
возможности экспериментального исследования ее вида).
Решения второго класса описывают неравномерное рас-
распределение электронов с максимумом вблизи структурного
дефекта. В этом смысле соответствующие значения энергии
можно назвать локальными уровнями х); следует лишь иметь
в виду, что, как указывалось в § 9, это — не «одноэлек-
тронные» уровни в буквальном смысле слова. Очевидно, эти
состояния, если они существуют, энергетически выгоднее ре-
решений первого класса (если отсчитывать энергию от фер-
миевской, то в первом случае Е > 0, а во втором Е < 0).
Крайне существенно, однако, что (независимо от характера
аппроксимации) потенциал ср в B4.3) всегда экранированный,
с радиусом экранирования —-• к^1 (—¦> 10~8 см, ибо речь идет
о металле). Это означает, что в зависимости от параметров
задачи решений второго класса может и не быть. В этом
случае атомы, внедренные в решетку (или адсорбированные
на ее поверхности), неизбежно ионизуются. Вопрос о нали-
наличии или отсутствии «локализованных» решений можно выяс-
выяснить путем исследования уравнения B4.3) при Е—> 0,
и именно в этом смысле оправдана замена М (х, х'\ Е) на
М(х, х'; 0).
Следует подчеркнуть, что общий вывод о возможности
двух типов электронных состояний в неидеальном металле
никак не связан со сделанным ранее специальным предполо-
предположением о природе растворенной примеси. Существенно лишь,
что мы имеем дело со структурными дефектами «локаль-
«локального» типа. В частности, изложенные соображения относятся
и к энергетическому спектру не вполне упорядоченных
сплавов, когда роль структурных дефектов играют нерегу-
нерегулярно расположенные атомы одной из компонент.
• Растворение примеси, не создающей локальных уровней,
приводит к увеличению концентрации свободных носителей
тока. В том интервале температур, где доминирует рассея-
') Они представляют собой многоэлектронный аналог локаль-
локальных уровней стандартной одноэлектронной теории полупроводников.
Во избежание недоразумений отметим, что наличие таких состоя-
состояний ни в коей мере не противоречит принципу Паули, так как не-
непрерывный спектр описывается, строго говоря, не плоскими вол-
волнами, а решениями уравнения B4.3).
§ 24]
НЕИДЕАЛЬНЫЙ МЕТАЛЛ
205
ние на колебаниях решетки, это может привести к специ-
специфическому влиянию примеси на электропроводность вещества:
последняя будет не уменьшаться, а слегка увеличиваться
(пропорционально увеличению концентрации носителей).
Итак, все металлы по отношению к данному типу струк-
структурных микродефектов (или все микродефекты по отношению
к данному металлу) можно разделить на два класса соот-
соответственно наличию или отсутствию локальных состояний.
Следует подчеркнуть, однако, что это деление на классы,
определяясь параметрами задачи, отнюдь не носит абсолют-
абсолютного характера. При изменении концентрации электронов
в металле (за счет изменения атомного состава сплава) воз-
возможен переход системы из одного класса в другой. На
опыте это могло бы проявиться в изменении влияния при-
примеси на электропроводность или, если речь идет об адсор-
адсорбированных атомах, в специфической зависимости теплоты
адсорбции от состава сплава — адсорбента.
Перейдем теперь к системам с большей концентрацией
примеси, когда аддитивность эффектов, обусловленных от-
отдельными атомами, заранее не очевидна. В этом случае функ-
функция ср (дг) представляет собой сумму экранированных потен-
потенциалов сра, и мы получаем задачу «молекулярного» типа.
В наиболее интересном случае наличия локальных уровней
будем, в соответствии с хорошо известной методикой кван-
квантовой химии, искать решение B4.3) в виде
* — Яг), B4.5)
где I — номер примесного атома, радиус-вектор которого
есть Rt, ct — коэффициенты, подлежащие вычислению,
а Ха(х — Rt) — собственная функция «атомной» задачи, вы-
вычисленная в пренебрежении в B4.3) потенциалами всех ато-
атомов, кроме i-ro. Суммирование в правой части B4.5) про-
производится по всем примесным атомам (или иным структурным
дефектам «атомного» типа). Для коэффициентов ci полу-
получается обычная система уравнений {Е и Еа суть соответ-
соответственно собственные значения «молекулярной» и «атомной»
задач)
)=0. k = 1, 2, ... B4.6)

206
Здесь
НОСИТЕЛИ ТОКА В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
{гл. V
= / 1а (•* — Я*) X* (* — **) dX, B4.7)
**> Ъ» (* — *7> ** (* — Я,) <**• B4.8)
Заранее ясно, что линейный размер «области локализации»
функций ia порядка радиуса экранирования (или еще меньше).
Как мы видели в § 21, на расстояниях, в несколько раз
превышающих постоянную решетки, «атомный» потенциал
с хорошей точностью дается формулами B1.6), B1.7),
B1.15). Отсюда следует, что величины Sik и Vik при IФ k
экспоненциально малы, т. е.
B4.9)
Здесь d представляет собой среднее расстояние между при-
примесными атомами, г0, как всегда, — радиус экранирования.
Таким образом, концентрация примеси оказывается «до-
«достаточно малой» (в смысле принятого выше условия) практи-
практически всегда, когда вообще имеет смысл говорить о примеси
в данном металле (очевидно, если среднее расстояние между
примесными атомами приближается к постоянной решетки,
то представление о микродефектах структуры вообще теряет
смысл и следует говорить об образовании смешанной фазы).
Причина этого совершенно ясна: влияние данного структур-
структурного дефекта ограничено окружающей его областью с линей-
линейными размерами порядка радиуса экранирования, т. е.
(в металле) порядка постоянной решетки. В применении
к теории химической адсорбции это означает, что в металле
практически отсутствуют эффекты «граничного слоя» [8], [9].
Подчеркнем, однако, что речь идет здесь о металлах
с идеально чистой поверхностью, в частности без полупро-
полупроводниковой пленки. Наличие последней может совершенно
исказить положение вещей.
Изложенные соображения позволяют немедленно распро-
распространить на металлы ряд качественных результатов, полу-
полученных ранее разными авторами в электронной теории
хемосорбции и катализа на полупроводниках (см., например,
обзор [10]). Так, если в данном металле возможно образо-
образование локальных состояний, то в применении к нему имеет
смысл вся феноменологическая картина образования связей
§ 25] МЕЛКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ УРОВНИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ 207
адсорбата с адсорбентом. Следует, однако, обратить внима-
внимание на следующие обстоятельства:
Во-первых, речь идет о переносе на случай металла
только некоторых феноменологических представлений элек-
электронной теории адсорбции и катализа на полупроводниках,
но отнюдь не расчетных ее методов.
Во-вторых, статистика заполнения локальных уровней
в данном случае оказывается гораздо более простой, чем
в полупроводниках: благодаря большой концентрации соб-
собственных электронов в металле, уровень Ферми в нем прак-
практически фиксирован, и следовательно, характерные для полу-
полупроводников эффекты «взаимодействия через электронный
газ» [11] здесь полностью отсутствуют. В этом смысле
именно металл, а не полупроводник, весьма похож на клас-
классический адсорбент теории Лэнгмюра.
Подчеркнем, что во всех рассуждениях настоящего па-
параграфа мы не вводили модельных аппроксимаций и не
делали никаких предположений специального типа. Были ис-
использованы только два утверждения: о возможности поставить
задачу в «квазиодночастичном» виде B4.1) и о сильно экра-
экранированном характере потенциала примеси, фигурирующего
в B4.1). Первое, однако, есть общее следствие спектраль-
спектральных свойств функций Грина (§ 9), а второе вытекает хотя бы
из соображений размерности.
§ 25. Мелкие локальные уровни в полупроводниках *)
Общий метод § 24, естественно, можно применить
и к полупроводникам. Здесь, однако, имеются некоторые
характерные особенности, позволяющие в ряде случаев по-
получить и количественное решение задачи о локальных
уровнях.
Во-первых, радиус экранирования в полупроводниках,
как правило, весьма велик по сравнению с постоянной ре-
решетки независимо от того, определяется ли он форму-
формулой B1.7) или B1.12). Это позволяет при определенных
условиях воспользоваться методом эффективной массы в од-
одном из стандартных его вариантов, аппроксимируя функцию
W (k) выражением A8.22) (или соответствующим матричным
1) См. [12].

208
НОСИТЕЛИ ТОКА В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
[ГЛ. V
обобщением, см. .§ 22). Именно, так можно поступать
в теории мелких, так называемых водородоподобных, ло-
локальных уровней, образуемых, например, примесями элементов
третьей и пятой групп в германии и кремнии.
.Во-вторых, как мы видели в § 23, в полупроводниках
в довольно широком интервале значений концентрации носи-
носителей тока и температуры возможно явное вычисление мас-
массового оператора М; при этом мнимая часть его действи-
действительно оказывается малой по сравнению с вещественной,
и эрмитовская задача B4.3) приобретает смысл не только
при Е = 0. Обычная теория локальных уровней в полупро-
полупроводниках получается из B4.3) в пренебрежении как массовым
оператором, так и экранированием.
Учет экранирования в теории локальных уровней пред-
представляется существенным не только (и не столько) в чисто
количественном, сколько в принципиальном отношении. Дей-
Действительно, радиус экранирования в силу B1.7) и B1.12)
зависит от концентрации свободных зарядов и от темпера-
температуры. Последняя неявно входит и в выражение B1.12), ибо
от нее зависит концентрация п. Это означает (в полном
соответствии с общей дискуссией § 16), что энергия иони-
ионизации примеси в полупроводнике есть не чисто механическая,
а термодинамическая величина. То же относится, очевидно,
и к энергиям возбуждения (если кроме основного примес-
примесного уровня есть и возбужденные), к числу уровней, созда-
создаваемых данным структурным дефектом, и вообще ко всем
без исключения характеристикам примесных состояний: они
зависят от Т и п, т. е. от положения уровня Ферми в кри-
кристалле (в частности, и от концентрации как данной, так и
посторонней примеси). Таким образом, оказывается возмож-
возможным, меняя значения Т и п, в известной мере управлять
энергетическим спектром полупроводника. При этом суще-
существенно, что в экранировке принимают участие не только
равновесные, но и неравновесные носители тока. Действи-
Действительно, время жизни последних определяется процессами
рекомбинации, экранировка же, очевидно, устанавливается
полностью, коль скоро достигается равновесное распределе-
распределение свободных зарядов (при заданном общем их числе) и
устанавливается статическое значение поля. Первый из на-
названных процессов характеризуется временем свободного
пробега, второй—максвелловским временем релаксации. Оба
§ 25] МЕЛКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ УРОВНИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ 209
эти параметра, как правило, на несколько порядков меньше
рекомбинационного времени жизни, откуда и вытекает наше
утверждение: неравновесные носители полностью успевают
принять участие в экранировании до того, как они реком-
бинируют. Это означает, что концентрацию экранирующих
зарядов можно изменять независимо от концентрации при-
примеси в образце — путем инжекции.
Подчеркнем, что в принципе оказывается возможным
управлять не только расположением локальных уровней, но
и общим их числом и даже самим фактом их существования:
при достаточно малых значениях радиуса экранирования ло-
локальные электронные состояния могут исчезнуть вообще
(ср. § 24). Экспериментально исчезновение возбужденных и
основного локальных уровней могло бы проявиться, напри-
например, в исчезновении примесного инфракрасного поглощения
при изменении концентрации свободных носителей тока.
Для оценки соответствующих критических значений Т и
п необходимо явно решить уравнение B4.3) в том или ином
конкретном случае. Мы рассмотрим здесь простейший вариант
«водородоподобной» модели, считая зоны невырожденными,
пренебрегая анизотропией тензора эффективной массы и рас-
рассматривая остов примесного атома просто как точечный
заряд. Такая постановка задачи является, разумеется, до-
довольно приближенной; по этой причине нет смысла учитывать
(сравнительно малые) поправки на массовый оператор в B4.3).
В качестве потенциала примеси ср (х) мы возьмем здесь вы-
выражение B1.12). Действительно, наибольший интерес в рас-
рассматриваемой задаче, очевидно, представляют расстояния
порядка радиуса боровской орбиты в кристалле h2fme2;
последние — при типичных значениях эффективной массы и
диэлектрической проницаемости — как правило, заметно
меньше средней длины волны де-Бройля.
Таким образом, задача свелась к решению обычного
уравнения Шредингера
ar)X^4- B5.1)
~
Собственное значение X отличается от Е выбором начала
отсчета энергии: в уравнении B5.1) энергия отсчитывается
от дна зоны проводимости, ее следовательно, абсолютное зна-
значение энергии низшего уровня | Xmin | есть непосредственно
Зак. 2126. Метод функций Грина

210
НОСИТЕЛИ ТОКА В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
[ГЛ. V
энергия ионизации J. Для определенности мы рассматриваем
здесь, как и всегда в этой книге, случай электронного полу-
полупроводника. Перенос результатов на случай дырочного
образца (в рамках сделанных предположений) требует лишь
очевидного изменения обозначений.
При малых значениях а (слабое экранирование) можно
воспользоваться стандартной теорией возмущений, выбрав
в качестве невозмущенной задачи уравнение типа B5.1)
с чисто кулоновским потенциалом взаимодействия (очевидно,
это есть не что иное, как рассматриваемый в стандартной
теории случай весьма малой концентрации носителей, когда
экранирование не играет роли). В первом приближении мы
получаем для уменьшения энергии ионизации по сравнению
с чисто «водородным» случаем (в гауссовых единицах)
' = Ы0=У
т
B5.2)
Как уже указывалось, зависимость энергии ионизации от
концентрации электронов влечет за собой и соответствую-
соответствующую зависимость ее от концентрации примеси. Последнее
обстоятельство давно уже было обнаружено на опыте (см.,
например, [13]). Следует, однако, иметь в виду, что эта за-
зависимость может быть обусловлена целым рядом различных
причин, не обязательно связанных с экранированием; поэтому
сопоставление следствий из формулы B5.9) с опытом пока
еще преждевременно.
По смыслу теории возмущений формулой B5.2) можно
пользоваться лишь пока величина AJ/J достаточно мала. При
более сильном экранировании уравнение B5.1) следует ре-
решать численно. Подробное описание методики расчета можно
найти в работе [7]. Мы приведем здесь только критическое
значение концентрации пс, при которой энергия ионизации
обращается в нуль:
8 / те2 \з ,ок „ч
ЬН B5-3)
Множитель 8/Зтс2 возник в связи с переходом от системы
обозначений [7] к принятой в этой книге.
Отметим в заключение, что возможность исчезновения
локальных уровней заставляет вновь переоценить основан-
основанную на этой идее теорию металлической проводимости полу-
§ 26]
КОНСТАНТА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
проводников [14], отвергнутую в свое время именно в
силу аргументов, связанных с кулоновским характером
потенциала примеси. (Этим, конечно, отнюдь не дискре-
дискредитируется другое возможное объяснение металлической
проводимости, основанное на представлении о примесной
зоне [15].)
§ 26. Константа взаимодействия электронов
с фононами в металле1)
Одно из возможных применений развитой в § 21 общей
теории экранирования составляет задача о константе взаимо-
взаимодействия носителей тока с фононами в металле. Действи-
Действительно, это взаимодействие есть в основном не что иное,
как взаимодействие электронов с дополнительным электри-
электрическим полем, возникающим при смещении ионов решетки
из положений равновесия2). Именно так и была постав-
поставлена задача в работах [17] — [19]. Проблема состоит здесь
только в должном учете экранирования поля свободными
зарядами.
В цитированных работах эффект экранирования учиты-
учитывался либо по способу Томаса — Ферми, либо в прибли-
приближении самосогласованного поля, либо, наконец, с помощью
метода дополнительных переменных. Однако первый способ
в применении к твердому телу вызывает серьезные сомнения
в силу своей квазиклассичности; приближение самосогла-
самосогласованного поля в металлах также связано с рядом математи-
математических трудностей (см., например, [20]); наконец, учет экра-
экранирования в методе дополнительных переменных, как пока-
показано в § 21, является лишь приближенным. Мы увидим, что
метод функций Грина позволяет дать в принципе точное ре-
решение задачи, коль скоро известен закон дисперсии носите-
носителей тока в идеальной решетке.
Рассмотрим для простоты решетку с одним атомом
•в элементарной ячейке. Интересуясь только длинными вол-
волнами, можно считать ионы точечными.
Обозначим вектор смещения иона из положения
равновесия через и(х). Дополнительная плотность заряда,
Ч См. [16].
2) Есть еще поправки магнитного типа [17], но они, очевидно,
гораздо менее существенны.
14*

212
НОСИТЕЛИ ТОКА В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
[гл. V
возникающая при таком смещении, есть
op=Nedivu, B6.1)
где N — концентрация ионов. Данному значению 8р соответ-
соответствует дополнительная потенциальная энергия электронов
и = — щ, Bб-2)
где экранированный потенциал ср дается формулой B1.1).
Подчеркнем, что мы не делаем здесь никаких предположе-
предположений о виде поляризационного оператора. Аппроксимация
Г=1 в области длинных волн решетки оправдана, ибо
означает лишь пренебрежение небольшой «размазкой»
электрона.
Для вектора смещения воспользуемся обычным выраже-
выражением:
. сопряж.}.
B6.3)
^i
Здесь V — фундаментальный объем, d — плотность кристалла,
k и со — волновой вектор и частота фонона, v=l, 2, 3 —
номер колебаний (v = 1 соответствует продольным волнам),
е (k, v) — орт смещения, ? и \— бозе-операторы рождения
и уничтожения фононов. Подставляя B6.3) в B6.1) и при-
принимая во внимание A1.2), получаем
V
<л (k,
к2 —
(k, <o (k) ) + U
fc, l)}. B6.4)
Как мы знаем (§ 18), вещественные корни уравнения
связаны с плазменными волнами. Частоты последних в ме-
металле гораздо больше звуковых, и, следовательно, знамена-
знаменатель в B6.4) в нуль не обращается. Более того, поскольку
энергии фононов малы по сравнению с фермиевской, поляри-
поляризационный оператор можно заменить его значением при
ш = 0. (Мы видели в § 11, что фактически в ?7* входит лишь
отношение со/р, но не эти величины порознь.)
§ 26]
КОНСТАНТА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
213
Далее, в области длинных волн (единственно интересной,
например, в теории электропроводности) можно пренебречь
величиной k2 по сравнению с \^{k, 0)J, а спектр фононов
считать дебаевским: со (k, \) = ck; таким образом, принимая
во внимание B1.14), окончательно получаем стандартную
формулуJ)
<%1) {е1ьх-ы (fc) *01 (Л> 1} _ эрм сопряж>}§
B6.5)
где безразмерная константа связи G (в обычных гауссовых
единицах) дается выражением
B6.6)
Здесь z есть эффективное число электронов на атом, М —
масса иона решетки, а |л — энергия Ферми. В частности,
в обычно используемой в задачах о взаимодействии элек-
электронов с фононами квадратичной изотропной аппроксимации
мы получаем
1'' Ы
тс
М
B6.7)
Эта величина, по-видимому, составляет около 0,3 — 0,4.
Заметим, что в формулу B6.6) входит только значение
поляризационного оператора при ka — k = O. Как было по-
показано в § 11, эту величину можно вычислить весьма точно.
Таким образом, возможная неточность выражения B6.7)
может быть связана не с учетом экранирования, а лишь
с законом дисперсии фононов или носителей тока. В реаль-
реальном металле' последний беспорно не укладывается в про-
простую квадратичную аппроксимацию (тем более изотропную),
а имеет гораздо более сложный вид. В связи с этим по-
полезно указать на связь константы G с радиусом экраниро-
экранирования статического поля свободными зарядами. На
основани B1.15) мы имеем (при любом законе дисперсии
') Подчеркнем, что все эти аппроксимации по существу не
нужны и приняты лишь из соображений соответствия с обычно
используемым выражением.

214 НОСИТЕЛИ ТОКА В ТВЁРДОМ ТЕЛЕ
электронов)
0 =
{гл. V
B6.8)
Причина этой связи совершенно очевидна: в силу малости
фононных частот по сравнению с фермиевской дополнитель-
дополнительное поле, связанное с колебаниями решетки, действует на
носители тока практически как статическое.
Нелишне обратить внимание на то, что в рамках раз-
развитой здесь методики вывод формулы B6.8) носит почти
тривиальный характер. Это (равно как и содержание § 24)
иллюстрирует возможности полуфеноменологического под-
подхода в рамках метода функций Грина.
ГЛАВА VI
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОНОНАМИ
§ 27. Теория возмущений О
Взаимодействие носителей тока с колебаниями кристал-
кристаллической решетки до сравнительно недавнего времени рас-
рассматривалось лишь в связи с теорией неравновесных про-
процессов типа электропроводности. Предполагалось, что энерге-
энергетический спектр носителей тока «формируется» под влия-
влиянием сильного взаимодействия их с полем идеальной ре-
решетки и, может быть, друг с другом; роль же колебаний
решетки состоит лишь в том, что они обусловливают срав-
сравнительно редкие переходы между состояниями электронов
в идеальном кристалле. Постепенно, однако, выяснилось,
что в ряде случаев такая постановка вопроса недостаточна,
и взаимодействие с фононами надо явно принимать во
внимание уже при определении энергетического спектра
системы.
Во-первых, в ряде кристаллов это взаимодействие
ни в каком смысле не мало [3] — [6]. Учет его уже при
вычислении энергетического спектра системы привел к пред-
представлению о специальном типе носителей тока в ион-
ионных кристаллах — электронах, движущихся совместно с
созданной ими инерционной поляризацией решетки. Эле-
Элементарные возбуждения этого типа получили название поля-
ронов [6].
Во-вторых, выяснилось, что в металле взаимодействие
электронов с фононами, даже будучи сравнительно слабым,
может привести к радикальному изменению спектра носите-
носителей тока: именно оно обусловливает сверхпроводимость
') См. [1], [2].

214 НОСИТЕЛИ ТОКА В ТВЁРДОМ ТЕЛЕ
электронов)
[гл. V
B6.8)
Причина этой связи совершенно очевидна: в силу малости
фононных частот по сравнению с фермиевской дополнитель-
дополнительное поле, связанное с колебаниями решетки, действует на
носители тока практически как статическое.
Нелишне обратить внимание на то, что в рамках раз-
развитой здесь методики вывод формулы B6.8) носит почти
тривиальный характер. Это (равно как и содержание § 24)
иллюстрирует возможности полуфеноменологического под-
подхода в рамках метода функций Грина.
ГЛАВА VI
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОНОНАМИ
§ 27. Теория возмущений *)
Взаимодействие носителей тока с колебаниями кристал-
кристаллической решетки до сравнительно недавнего времени рас-
рассматривалось лишь в связи с теорией неравновесных про-
процессов типа электропроводности. Предполагалось, что энерге-
энергетический спектр носителей тока «формируется» под влия-
влиянием сильного взаимодействия их с полем идеальной ре-
решетки и, может быть, друг с другом; роль же колебаний
решетки состоит лишь в том, что они обусловливают срав-
сравнительно редкие переходы между состояниями электронов
в идеальном кристалле. Постепенно, однако, выяснилось,
что в ряде случаев такая постановка вопроса недостаточна,
и взаимодействие с фононами надо явно принимать во
внимание уже при определении энергетического спектра
системы.
Во-первых, в ряде кристаллов это взаимодействие
ни в каком смысле не мало [3] — [6]. Учет его уже при
вычислении энергетического спектра системы привел к пред-
представлению о специальном типе носителей тока в ион-
ионных кристаллах—электронах, движущихся совместно с
созданной ими инерционной поляризацией решетки. Эле-
Элементарные возбуждения этого типа получили название поля-
ронов [6].
Во-вторых, выяснилось, что в металле взаимодействие
электронов с фононами, даже будучи сравнительно слабым,
может привести к радикальному изменению спектра носите-
носителей тока: именно оно обусловливает сверхпроводимость
') См. П], [2J.

216
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОНОЛАМИ [ГЛ. VI
[7] — [9]. Этот случай весьма интересен и с чисто методи-
методической точки зрения: мы имеем здесь очень ясный пример
того, как даже слабое взаимодействие фермионов с кванто-
квантовым полем приводит к эффектам, принципиально не уклады-
укладывающимся в рамки теории возмущений и описываемым не-
неаналитическими функциями константы связи.
В-третьих, выяснилось [10] — [12], что взаимодействие
электронов с фононами в гомеополярных полупроводниках
приводит к температурной зависимости ширины запрещенной
зоны, энергии ионизации локальных уровней и т. д. (хотя,
может быть, и не объясняет всю эту зависимость).
В настоящем параграфе мы исследуем взаимодействие
электронов с акустическими фононами в рамках теории воз-
возмущений § 11 (без группы перенормировки). Это приближе-
приближение не учитывает эффектов сверхпроводимости, однако, для
некоторых задач оно достаточно.
Мы примем простейшую изотропную аппроксимацию для
невозмущенного спектра электронов, полагая
^(р)=й- <27Л>
Соответственно будем считать изотропным и взаимодействие
электронов с фононами, описывая его гамильтонианом
F.17) с полевой функцией F.16).
Вычислим прежде всего функцию Грина для свободного
фононного поля Dc0) (k)x). Обозначим через v (Ar) среднее
(по невозмущенному ансамблю) число фононов2) с квази-
квазиволновым вектором k:
Частоту фононов, как и в § 6, обозначим через ш(к). Оче-
Очевидно,
v («) = „ (k) — ¦ B7.2)
') В настоящей главе мы не рассматриваем эффектов, связан-
связанных с кулоновским взаимодействием; поэтому использование для
фононной функции Грина того же обозначения, что и для фотон-
фотонной в гл. IV, не может повести к недоразумениям. <
2) В соответствии с постановкой задачи речь идет о фононах
продольной акустической ветви.
§ 27]
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
217
Заметим, что ш (k) есть четная функция. В дальнейшем при
малых волновых числах мы будем пользоваться изотропной
аппроксимацией Дебая
ш (k) = ck,
= \k
B7.3)
Константа с есть «затравочная» скорость звука — та, кото-
которая наблюдалась бы в отсутствие взаимодействия с носите-
носителями тока. На основании F.16) и G.11) мы получаем
D<?> (х, х') = — i(T {Ф (х) Ф (х')}) =
B7.4)
Интеграл здесь берется по первой (фононной) зоне Бриллю-
эна. В дальнейшем мы будем отмечать это обстоятельство
чертой сверху над знаком интеграла по k. Удобно выра-
выразить Dc (x, х') в виде четырехмерного интеграла Фурье.
Для этой цели воспользуемся соотношением, справедливость
которого легко проверить непосредственно:
+ оо
dko
0
— iko{xa—хЛ
B7.5)
На основании B7.5) выражение B7.4) можно переписать
в виде
D<0) (х, х') = J dke-1 (*. *-*'
@) (ЬЛ _
B7.6)
B7.7)
В частности,
Im DP (k) = —
j- [2v (Ar) + 1 ] 8 [a§ —
^ . B7.8)
Как и должно быть (ср. § 4), эта функция имеет дельта-об-
дельта-образные особенности в точках | ko\ =:<»(?).
Невозмущенную одноэлектронную функцию Грина по-
прежнему возьмем в виде E.20). Это означает, в частности,
что мы рассматриваем носители тока лишь в одной зоне.

218
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОНОНАМИ [ГЛ. VI
Поляризационный оператор такой системы в первом не-
исчезающем приближении по константе связи имеет тот же
вид, что и в гл. IV: в полученных там выражениях надо
лишь заменить заряд электрона е константой связи g. По-
Последняя для металлов получена в § 26, а для гомеополяр-
ных полупроводников дается выражением
константа потенциала
8~
где d — плотность кристалла, а ?"? ¦
деформации (см. [23], [24]).
Таким образом, для фононной функции Грина с учетом
взаимодействия с электронами мы получаем в силу A1.2)
Ь2
7~4 /t-\ K - •»
X
B7.9)
Вещественная часть поляризационного оператора при
вещественных kQ s= о/ дается формулой
+оо
2mg2 Г
~ Bтс)«& J
k2
Для мнимой части находим
B7.10)
8 B
i . /о
1+exp {^-
где
B7.11)
F. (Ви.) =
§ 27]
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
219
Если система не полностью вырождена, то, как мы
знаем, правая часть B7.11) отлична от нуля при лю-
любых ft, и в B7.9) можно сразу совершить предельный пере-
переход: е—>-0.
Исследование спектра фононов, взаимодействующих с элек-
электронами, производится в принципе так же, как и исследова-
исследование плазменного спектра в §§ 18—22. Предполагая зату-
затухание фононов достаточно малым, получаем дисперсионное
уравнение для определения частот ?
— о2 (Л) — BтсL k2 Re
= O. B7.12)
Ограничимся областью малых k и воспользуемся аппрокси-
аппроксимацией B7.3). Исследование показывает, что, в отличие от
A8.7), уравнение B7.12) не имеет корней kQ(k), остающихся
конечными при к—>0. Так, конечно, и должно было полу-
получиться: спектр реальных акустических фононов должен
начинаться от нуля. То же самое получилось бы и при более
сложной зависимости u> (Ar); существенно лишь условие u> (k) —> 0
при к—>0. В соответствии с этим положим
(*) == C2rk2,
B7.13)
где сг — «перенормированная» (т. е. фактически наблюдаемая)
скорость звука. Тогда при малых k правая часть B7.10)
стремится к некоторой константе
lim
к ->0
*о) —
k'2dk'
k'2-m2c\
'), B7.14)
что и доказывает справедливость предположения B7.13).
Подставляя B7.13) и B7.14) в B7.12), получаем уравнение
для определения наблюдаемой скорости звука при любой
степени вырождения электронного газа:
mg-
J
k'*-
mrczT
B7Л5)

220
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОНОНАМИ [ГЛ. VI
Интеграл в левой части B7.15) можно преобразовать сле-
следующим образом:
Г g> k'2n^(k')dk' =
о k'2 — m2c2r
ОС
-/
/v "@)<^>f;.
Как правило, величина тсг весьма мала по сравнению
с характерными импульсами электронов. Поэтому второе
слагаемое здесь можно отбросить, и тогда уравнение B7.15)
сразу дает искомую скорость звука
B7.16)
Непосредственный расчет для невырожденного и пол-
полностью вырожденного газов показывает, что в первом слу-
случае при этом совершается ошибка порядка фтс2, а во вто-
втором — порядка (ntCj-kp1) . Обе эти величины в обычных усло-
условиях совершенно ничтожны.
Для невырожденного электронного газа формула B7.16)
принимает вид (в обычных единицах)
B7.17)
Таким образом, скорость звука оказывается линейно завися-
зависящей от концентрации носителей тока п.
Заметим, что величины, стоящие в правых частях B7.16)
и B7.17), не являются положительно определенными при
произвольном значении константы связи. С другой стороны,
величина ст по определению должна быть вещественной
(противное означало бы, что дисперсионное уравнение B7.12)
не имеет вещественных корней вида B7.13), т. е. в решетке
не может распространяться звук обычного типа). Это обсто-
обстоятельство накладывает формальное ограничение на возмож-
§ 27]
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
221
ные значения константы связи. Надо заметить, однако, что
формулы B7.16) и B7.17) получены в рамках теории воз-
возмущений, и заранее неясно, можно ли применять их в об-
области, где поправка к с2 сравнима с самой этой величиной.
Для окончательного решения этого вопроса следовало бы
воспользоваться группой перенормировки подобно тому,
как это было сделано в гл. IV при определении плазмен-
плазменных частот. Мы не будем здесь останавливаться на этом;
заметим лишь, что вопрос о предельном значении g2 в ме-
металле исследовался разными методами рядом авторов (см.,
например, [13] — [15]). В работе [15] существование верхней
границы g2 установлено в адиабатическом приближении.
Легко вычислить также «множитель затухания» фононов
(считая его малым). Поступая по образцу § 20, мы получаем
B7.18)
BTtLft2 lim Ii
Y-MO
2co' (ft) B-K.Yk
( ) ( л)
n 3
Re
(e.
to —
(A)
В качестве о/ сюда следует подставить решение дисперсион-
дисперсионного уравнения B7.12). В частности, при малых k имеем
ш' = cTk. В этом случае главную роль в знаменателе играет
первое слагаемое; принимая во внимание B7.11), находим
B7.1 9)
Малые члены порядка фтс2 здесь отброшены. При
C—>со G—>0) выражение B7.19) переходит в формулу,
полученную в работе [22].
Обратимся теперь к фермиевской ветви спектра. Для
массового оператора мы имеем в силу A1.3) и F.18)
М
@)
(yfe) =: _ i^2 J d^G@) (k _|_ A/) D(j» (A,/). B7.20)
Подставим сюда выражения E.20) и B7.7) и проинтегрируем
по k' (в соответствии с правилом E.5) контур интегриро-

222
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОНОЛАМИ [ГЛ. VI
вания следует замыкать в верхней полуплоскости). В резуль-
результате получаем
м@)(k) = --^- Jdk'k'2{«(о)(fe+fe') X
X
[k0 — w (fe + ft')]2 — со" (к') — и [2v (fe') +1]
{[k0 — W (fe + ft')]2 — »2 (ft')}2 + e2
•v(fe') co(fe') + ^0—lF(fe+ fe')+^[2«@)(A + fe') —И
2co(fe')* [co(fe')-f-&o— W(k\- ft')]2 + TJ2
•v (ft') 4-1 —co(fe') + ^0—TF(fe + fe')+/T;[2/I<0)(fe+fe') —1]
}¦
B7.21)
В дальнейшем нас будет интересовать либо вещественная
часть массового оператора при вещественных значениях kQ,
либо мнимая его часть при ?0 = о>' — /-у, ^<^tor. Поступая
так же, как и в § 23, мы получаем
2со (ft') [со (fe') + ?0 — W (fe + ft')]
2co(fe')[— ш(л'L-*о —
Im Af@) (fe, k0 = ш' — /т) =
X {[v(i
B7.22)
r>o
8 [со' — св(*О —
B7.23)
В случае статистики Больцмана интеграл в B7.23) легко
вычисляется до конца. Поскольку основной вклад в интеграл
дает область сравнительно малых волновых чисел, можно
воспользоваться аппроксимацией B7.3); видно также, что в су-
существенной области v (к) :Э> 1 ^Э> «@) (*) и ш (fe) <C W (*)
(столкновения почти упругие). Тогда, пренебрегая величи-
величинами порядка Рягс^, мы получаем
lim Im
т>о
fe, k0 = •' - *
- B7.24)
§ 28]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР СВЕРХПРОВОДНИКА
223
Формулы B7.21) — B7.24) позволяют исследовать влия-
влияние взаимодействия электронов с фононами на различные
характеристики системы электронов и фононов, как равно-
равновесные, так и неравновесные.
§ 28. Энергетический спектр сверхпроводника1)
До сих пор мы проводили все конкретные вычисления
в рамках теории возмущений § 11. В настоящем параграфе
будет рассмотрен важнейший пример, в котором такая трак-
трактовка невозможна, и функция Грина, рассматриваемая в за-
зависимости от константы связи g, имеет существенно особую
точку при ?->0. Мы имеем в виду задачу об энергети-
энергетическом спектре сверхпроводника в модели Бардина, в кото-
которой взаимодействие электронов с фононным полем заменяется
специальным видом прямого взаимодействия между элек-
электронами (см. § 6). На основании F.5) и F.15) гамильтониан
данной задачи имеет вид
B8.1)
B8.2)
B8.3)
X, X'
— i*} а(Х)а(к),
Заметим, что формально к такому же виду можно при-
привести и гамильтонианы некоторых других систем. Помимо
конкретного приложения к теории сверхпроводимости, га-
гамильтониан B8.1) —B8.3) представляет и самостоятельный
интерес, поскольку он допускает асимптотически точную
диагонализацию [19]. В данном случае символ X обозначает
совокупность трех компонент импульса р и спиновой коор-
с);
динаты а\\ = -\р, с); — Х={—р, — о}
Функция В (X, У) обладает следующими свойствами:
t = B(k', X)<0. B8.4)
См. [16] —[18].

224
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОНОНАМИ [ГЛ. VI
Сведение электронно-фононного взаимодействия к неко-
некоторому эквивалентному электрон-электронному эффективно
можно сделать лишь для электронов, лежащих в тонком
слое вблизи поверхности Ферми. В соответствии с этим
функция В (к, X') должна заметно отличаться от нуля лишь
в этом слое. (В собственно модели Бардина считается, что
она равна константе в слое толщины 2о>0 около поверхности
Ферми и равна нулю вне его.)
В этом параграфе мы обратимся к непосредственному
решению цепочки уравнений типа G.7), расцепляя ее с по-
помощью асимптотически точного приема. Введем функции
Грина
О (к, х0 — x'Q) = ({а (к, хо)\ а (к. х'0))}(+\ B8.5)
О2(к,У; хо — х'о) =
= «^-Х. *0)а(—X', *0)а(Х', хо)\а(к, *?)»(+). B8.5')
На основании B8.1) — B8.3) уравнения G.7) в данном слу-
случае принимают вид (х0 — x'0 = f\
— X') —
\2V (X') — Г (X)] O2 (U';
B8.6)
]
. X") X
X"
X ((a(k",x0M—V, xo)a(—X', xo)a(k', xo)a(k, xo)\a(k', ^)
0O2(X, X"; OX
—X')], B8.7)
T>(k)~T(k)— (x.
Здесь, как всегда, А есть дельта-функция дискретного аргу-
аргумента (символ Кронекера),
n(X)=a(X)a(X).
B8.8)
V
1
§ 28] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР СВЕРХПРОВОДНИКА Й25
Физический интерес представляет исследование асимптотиче-
асимптотического поведения уравнений B8.6) и B8.7) при V—>оо. Это
позволяет заметно упростить задачу. Действительно, можно
показать [16], что средние значения операторов п(Х) и
¦у- ^ В(к', X") a (— X') а (— X") а (X") а (к') остаются конечными
X"
при V—>оо. Поэтому можно предположить, что асимптоти-
асимптотически эти операторы коммутируют, и тогда среднее значе-
значение их произведения есть произведение средних
(([1— п(— X') — it(X')]a(— X)a(— X")a(X")|a(X')))(+) =
= [ 1 — п (к') — п (— X')] О2 (X, X"; t). B8.9)
Здесь п (к') = (п (X')) = (а (X') а (к')). Аналогично преобра-
преобразуется и третье слагаемое в правой части B8.7). Этот прием
расцепления, однако, требует обоснования. Последнее выте-
вытекает из результатов работы [20], где было показано, что он
позволяет асимптотически точно решить всю цепочку урав-
уравнений для функций Грина. Математическое доказательство
того, что полученное решение отличается от точного чле-
членами порядка 1/ЛЛ дано в работе [21].
Далее член G2 входит в уравнение B8.6) с множителем
1/V; поэтому в B8.7) можно асимптотически пренебречь
слагаемыми, содержащими А(Х±Х').
Как первое, так и второе упрощения связаны в конеч-
конечном счете со специальным видом бинарного члена B8.3)
в гамильтониане B8.1): суммирование ведется в нем лишь
по двум (а не по четырем) переменным.
Итак, уравнения движения принимают вид
A, V; О
-v 2 в
X
V 2 В (Х> к') °2 <Х- Х" Ъ B8.10)
X'
_,. [2 Т (х') _ Т (X)] G2 (X, X'; t) ¦+-
' X'O^X'OaC—k")a{—X')a(XO)<?(X, f)-\-
2 (X> x/; t}- B8-11}
15 Зак, 2126, Метод функций Грина

¦226
ЙЗАИМОДЕЙСТВИЁ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОНОНАМЙ [гЛ. VI
Все четыре оператора, стоящие под знаком среднего во вто-
втором члене правой части B8.11), берутся в один и тот же
момент времени — безразлично в какой именно, поскольку
среднее значение от времени не зависит. Введем, как обычно,
фурье-образы функций Грина, полагая
О(Х, t)= j dEG(X, E)e
~iEt
—oo
+ CO
B8.12)
O2(X, \',t)= f dEG2(X, X'; E)e~'Et.
Получим
EG (к, ?¦) = — ~
EG2 (X, X', E) = [27" (X') — T (X)] O2 (X, X', E) +
?(Х, Х')О2(Х, X', ?¦), B8.13)
"F 2 B <x> x"> & &"> ~a (•— x")a (- x')a (x')>G <*.
'« X"> [ 1 — я (Х0 — n (— X')] O2 (X, X"; ?¦). B8.14)
Эту систему мы будем решать уже точно.
Положим
(а (к")~а (— X") а (— X') а (X')) = / (X") / (X'), B8.15)
О2(Х, X', ?) = ср(Х, E)f(\'), B8.16)
где/ и ср — новые неизвестные функции, причем /(Х) = /(Х).
Подставляя эти выражения в B8.13) и B8.14), найдем
[?-7'(Х)]0(Х, Е) = —± + ±г%В(к. Х')ср(Х, E)f(k'),
X'
[? + Т (X)] ср (X, ?) / (X') = 1.2 В (X, X") / (Х'О О (X, Б) / (Х') +
-+-2Г(Х')ср(Х,
'' х//)/Ю[1—«(ХО —/г(—Х')]ср(Х, ?). B8.17)
§ 28] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР СВЕРХПРОВОДНИКА 227
Введем обозначение
± ^ В (X, X") / (X") = L (X) B8.18)
X"
и подчиним функцию /(X') условию
2Г(Х')-Ьу|^-[1— я(Х') — я(— X')]—0. B8.19)
Тогда система B8.17) приобретет простой вид
[? - Т' (X)] О (X, Е) - L (X) ср (X. Е) = - ^ ,
B8.21)
B8.22)
системы
^). B8.23)
Легко найти также спектральную функцию для произведе-
произведения ферми-операторов и среднюю энергию системы. Именно,
пусть
Отсюда
О (X, ?) = L .
In
ср(Х, ?) = _J_.
2тс
Полюсы О(Х, Я) определяют энергетический спектр
ш(Х) =
(а(Х, х'0)а(к. хо))= f dEJ(k, E) e~iE\x^
— со
Тогда в силу B.7), C.11), B8.21) и B8.23)
E. B8.24)
Таким образом, в рассматриваемом приближении спектраль-
спектральная функция оказывается дельтаобразной, и затухание отсут-
отсутствует. Это есть характерная особенность модельного гамиль-
гамильтониана B8.1) (которая, собственно, и делает возможной
асимптотически точную его диагонализацию).
15"

228
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОНОНАМИ [ГЛ. VI
Формулы B8.21)—B8.25) еще не носят окончательного
характера, ибо содержат неизвестную функцию L (X). Для
определения последней воспользуемся равенством B8.18),
выразив / (X) через L (X) с помощью дополнительного усло-
условия B8.19). Полагая в B8.24) х'0 = xQ и пользуясь B8.25),
получаем
+оо
В силу B8.26) и B8.19)
/W = —
. B8.26)
B8.27)
подставляя это в B8.18), находим уравнение для функции L (X):
.th^P-. B8.28)
Определив отсюда L (X), мы найдем как энергетический
спектр B8.23), так и среднюю энергию системы. Действи-
Действительно, в силу B8.1), B8.15), B8.18) и B8.27) мы имеем
X
X, X'
B8.29)
В частности, при р—>оо формула B8.29) дает энергию
основного состояния системы.
Приступим теперь к решению уравнения B8.28), следуя
работе [17]. Перейдем от суммирования по k к интегрирова-
интегрированию и введем новую переменную
= Т' (X).
B8.30)
§ 28] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР СВЕРХПРОВОДНИКА 229
Из симметрии задачи ясно, что L (X) фактически зависит
только от Ё; соответственно уравнение B8.28) принимает вид
Xth [i^il] ,Щ- / Я F. V; l)dl, B8.31)
где l='cos(k, k'). Роль ядра в B8.31) играет интеграл
по / от В(%, %'; I). Для дальнейшего удобно нормировать
ядро так, чтобы оно обращалось в единицу при ? = ?' — ().
Соответственно положим
+1
где F — безразмерная функция, а
В = ^ f dlB@, 0;
Очевидно, при этом
0.
F@, 0)= 1.
B8.32)
B8.33)
B8.34)
Введем также новую неизвестную функцию ¦/_ (?), полагая
Z.E) = Cx№). Х@) = 1 (С = const). B8.35)
Ввиду узости области интегрирования по ? (в 28.31) яко-
якобиан k' —тгг можно вынести за знак интеграла при k — kp\
таким образом, перед интегралом появится множитель
B8-36)
Наконец, удобно ввести безразмерные величины, полагая
. С
о — — , а =
<0
B8.37)

230
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОНОНАМИ
[ГЛ. VI
Тогда уравнение B8.31) преобразуется к виду
= pf dx'F(x. х^
о
B8.38)
Предполагая взаимодействие электронов с фононами до-
достаточно слабым, а температуру — низкой, мы можем считать
параметры а и Ъ малыми величинами. Однако непосредст-
непосредственное разложение хС*-) в Ряд по степеням Ь оказывается
невозможным, так как при ?—>-0, а—>0, a/b = const уравне-
уравнение B8.38) имеет логарифмическую особенность в точке х =0.
Именно это обстоятельство делает невозможным применение
стандартной теории возмущений к данной задаче.
Чтобы избавиться от особенности, положим в B8.38)
JC —0, умножим полученное выражение на F (х, 0) и вычтем
результат почленно из B8.38). Принимая во внимание B8.35),
получим
оо
— Pfdx'{F(x, x') —
0)F@.
X
B8.39)
В силу B8.34) фигурная скобка здесь обращается в нуль
при jc = O, что и позволяет совершить предельный пере-
переход а—>-0, Ъ—>0. При этом получается регулярное линейное
уравнение
= F(x, 0) —
dx
.F (х, х'\ — F (х, 0) F @, х')
'—у—i р ' к
B8.40)
которое можно решать обычными методами. В частности,
в модели Бардина F {х, х') = 1 при 0<;л;<;1, O^jc'^Ih
F (л:, х') = 0 вне этой области; следовательно, х (х) = F (х, 0).
Соответственно
8 (X) = V
подставляя это выражение в B8.38), получаем уравнение
§ 28]
Энергетический спектр сверхпроводника
для определения константы С (и тем самым L):
I
231
B8.41)
Из формул B8.23) и B8.35) следует, что при СфО в рас-
рассматриваемой системе спектр элементарных возбуждений
(фермиевской ветви) начинается не от нуля, а от некоторого
конечного значения, равного | С \ (щель). Именно это обстоя-
обстоятельство в конечном счете и ответственно за явление сверх-
сверхпроводимости [18]. Исследование уравнения B8.41), выпол-
выполненное в [17], [19], показывает, что фактически щель имеется
лишь при достаточно малых значениях параметра а, что и
определяет критическую температуру перехода в сверхпро-
сверхпроводящее состояние. Мы ограничимся здесь лишь вычислением
спектра при абсолютном нуле ф —>¦ оо). Тогда уравнение B8.41)
дает
и, следовательно,
«> (ft) = j/>'2 (ft) +
B8.42)
2/P. B8.43)
Обращаясь к B8.36), видим, что энергия ш (ft), рассма-
рассматриваемая как функция «параметра взаимодействия» В, имеет
существенно особую точку при В —> 0. Это есть следствие
сингулярности уравнения B8.38), т. е., в конечном счете,
следствие особенностей системы, которые отображаются спе-
специальной структурой гамильтониана B8.1).

ГЛАВА VII
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
§ 29. Спиновые волны при конечных температурахJ)
В этой главе мы применим метод функций Грина для
исследования простейшей задачи теории ферромагнетизма —
задачи о вычислении намагниченности изотропного ферро-
ферромагнетика как функции температуры и внешнего поля. Сле-
Следует заметить, что для области низких и для области высо-
высоких температур здесь имеются достаточно разработанные и
эффективные методы расчета. Так, для случая низких темпе-
температур (Т<^ТС, где Тс — температура Кюри) разработаны
методы спиновых волн или приближенного вторичного
квантования (изложение основных идей последнего см. в [3]),
ведущих свою родословную от известной работы Ф. Блоха [4].
Существенный шаг вперед в этой области составили работы
Ф. Дайсона [5]. В них были получены регулярные разложе-
разложения по степеням температуры, что позволило расширить
область применимости метода спиновых волн до температур
порядка -г Тс, В последнее время эти результаты получены
также иным методом [6]. В области высоких температур
положение несколько хуже, и для температур Т'~ Тс имеется,
по существу, только весьма грубый метод молекулярного
поля [7]. Наконец, при Г^> Тс можно воспользоваться
обычным методом теории возмущений. Применение его поз-
позволило построить регулярные разложения намагниченности
по обратным степеням температуры [8].
Таким образом, имеющиеся в теории ферромагнетизма
различные методы расчета свободной энергии, намагничен-
1) См. [1], [2].
§ 29] спиновые волны при конечных температурах 233
ности и т. д., применимы каждый лишь в своем температур-
температурном интервале. Мы увидим, что с помощью функций Грина
оказывается возможным развить единую приближенную мето-
методику расчета намагниченности, применимую во всем интервале
температур [2].
Пусть исследуемый ферромагнетик состоит из N атомов
ферромагнитного элемента, образующих правильную простую
решетку. Будем считать далее, что каждый атом имеет по
одному «ферромагнитному» электрону и что взаимодействием
этих электронов с электронами проводим ости можно прене-
пренебречь. Наконец, будем учитывать только обменное взаимо-
взаимодействие электронов и считать, что в магнитном отношении
наш ферромагнетик изотропен. В сделанных предположениях
рассматриваемая система описывается гамильтонианом Гей-
зенберга, который, будучи выражен через операторы Паули
[см. F.19)], имеет вид
Н = С + [2[xJ?? + 2/4' (О)] 2 п (/) —
/
_
(Д — /2) Ь (Д) Ь (/2) — 2 2А (Д
Д) п (Д) п (/2).
B9.1)
— 2 2
л, л
Здесь
А' (Щ = 2 А (/) е1 (*. П; А @) = 0; B9.2)
/—номер узла решетки, Л(Д—/2) — обменный интеграл
для электронов, находящихся в узлах Д и/2, A' (k)—фурье-
образ A(f), ЗУ? — внешнее магнитное поле, ;х — магнетон
Бора.
Следуя методу, изложенному в § б, введем функции
Грина
O(g. /; x
O2(gv gv
o)\b(f,
>. B9.3)
B9.3a)
и составим для них уравнения движения типа F.1). Поль-
Пользуясь выражением B 9.1) для гамильтониана, правилами

234
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
перестановки *для операторов Паули и полагая л: -—x'=;t,
легко находим
.
-f- [2[х&в + 2 А' @)] G (g, /; 0
'. /; О 4-
— G2(g', g, /; *];... B9.4)
Здесь л — среднее значение оператора Ъ (g) b (g):
n = (b(g)b(g)), B9.5)
не зависящее от координат узла g. Таким путем нетрудно
получить далее и уравнения для функций G2(gv g2, f\ i)
и т. д. Мы не выписываем здесь последующих уравнений,
поскольку ниже ограничимся учетом лишь первой функции
Грина.
Расцепим цепочку уравнений B9.4) на первом из них,
полагая
2, xQ)\~b(f, x'o))y-)^
)){-) = nG(g2, f;t). B9.6)
Подставляя это выражение в B9.4), получим следующее
уравнение первого приближения:
¦ dG(g,f,t)
dt
f; t) =
g'
= —A—
B9.7)
Заметим, что в применении к теории ферромагнетизма
предложенный способ расцепления в первом приближении
соответствует методу приближенного вторичного квантова-
квантования [9]. Действительно, в названном методе (применительно
к ферромагнетикам) операторы Паули Ъ (/), b (/) прибли-
приближенно объявляются бозевским, и, кроме того, отбрасывается
последний член в гамильтониане B9.1). Если в этих пред-
предположениях написать уравнения для функций Грина, то они
§ 29] СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ 235
совпадут с уравнением B9.7) при п = 0. При этом цепочка
уравнений расцепится на первом из них. Далее можно улуч-
улучшить этот способ, выделяя из отбрасывавшегося доселе члена
части типа nn(g) и принимая их во внимание; при этом
также можно получить уравнения вида B9.7).
Перейдем теперь от функций G(g, /; t) к их фурье-
образам
+ оо
G(g. /; 0 = / О (ST. f; E) e~lEtdE. B9.8)
Тогда уравнение B9.7) примет вид
{Е — 2[х36 — A — 2л) 2А' @)} G (g, /;¦ Е) +
+ 2J(I_ 2nJA(g — g')G(g\ f; E) =
8'
Полагая далее
о(sr. f->E) = -w
~l(8~f-k)
B9.9)
получаем [ср. E.15) и E.16)]
G{k. E) = —
1—2л
где
2* * E—W(k) '
B9.11)
W (k) = 2;x36 + A — 2я) [2Л' @) — 2A' (k)]. B9.12)
Отсюда получаем, согласно D\6), следующее выражение для
спектральной функции:
J(k, Е)=
B9.13)
Далее, согласно B9.10),
к)-B9л4)

236
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
Воспользуемся теперь формулой B.7), выражающей среднее
значение произведения операторов через спектральную
функцию
+ ОО
B9Л5)
Полагая здесь x'Q = x0, g=f, получаем уравнение для
определения величины п B9.5), остававшейся пока не опре-
определенной:
или, переходя от суммирования по волновым векторам k
к интегрированию:
B9.17)
у
Здесь г»=-др- есть объем элементарной ячейки, а интеграл
по k берется по ячейке обратной решетки.
Введем для удобства относительную намагниченность о,
определяя ее как намагниченность на один узел. Замечая,
что г-компонента спина связана с оператором спинового
отклонения п—ЬЬ по формулам (II. 3), можем записать
a^{ag(g)) = {l—2n(g)) = l—2n. B9.18)
При этом уравнение B9.17) принимает вид
Как видно из формулы B9.11), фурье-образ функции Грина
G (k, Е) имеет полюс npn/:=W(&), и, следовательно, W(k)
есть энергия элементарного возбуждения в ферромагнетике
(энергия «спиновой волны»). Выражение для W (k) имеет
такой же вид, как и обычная формула для энергии спино-
спиновой волны
0) — 2А(к), B9.20)
W
СП. ВОЛНЫ
§ 30]
НАМАГНИЧЕННОСТЬ
237
отличаясь от нее тем, что часть, зависящая от волнового
вектора, пропорциональна относительной намагниченности
о = 1—2я B9.18). Благодаря этому обстоятельству энергия
элементарного возбуждения W (k) оказывается зависящей от
температуры.
§ 30. Намагниченность в различных интервалах
температуры *)
Задача об определении относительной намагниченности
как функции температуры и поля сводится в первом прибли-
приближении к решению уравнения B9.19). Покажем теперь, что
оно дает достаточно удовлетворительную интерполяцию для
намагниченности во всем интервале температур. Для этой
цели установим, что при 7*<^ Тс для а получается извест-
известный приближенный результат Блоха [4], при Т<^.ТС — резуль-
результат приближения молекулярного поля, а при 7*^> Тс — ре-
результаты теории парамагнетизма.
Введем для удобства безразмерные величины
L =
1
А' @) '
' @) '
(константа А' @) = ^ A(f) представляет собой среднюю ве-
величину обменного взаимодействия и пропорциональна тем-
температуре Кюри) и запишем уравнение B9.19) в безразмер-
безразмерной форме
а Bя)з J CW
C0.2)
Рассмотрим сначала случай низких температур. Тогда ве-
величина х
0,
и для котангенса в C0.2)
удобно взять разложение
>) См. [2].

238 ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
Тогда уравнение C0.2) можно переписать в виде
[ГЛ. VII
?, -§¦):
1=1
Отсюда нетрудно найти главный член в разложении о по
степеням безразмерной температуры х. Следует лишь принять
во внимание, что основной вклад в интеграл C0.3) дает
область малых волновых векторов, и, соответственно, можно
приближенно положить
e(k)^<zk2, ol= 6J 0 ^PA(f). C0.4)
/
В результате получим для величины е/*:
где
= 2 Г'е-1'.
C0.6)
Соответственно уравнение C0.3) запишется следующим
образом:
Будем решать это уравнение итерациями, полагая в нулевом
приближении <з0 = 1. Тогда с точностью до членов порядка х 3
включительно
что совпадает с результатом метода спиновых волн Блоха.
Чтобы получить выражение для о в виде ряда по "степеням х,
разложим е (k) по степеням k и вычислим <^° как функцию
отношения х/о с заданной степенью точности:
S 30]
НАМАГНИ ЧЕННОСТЬ
239
Здесь av а2, а3, . . . суть некоторые функции от Z./x. Решая
затем уравнение C0.3) относительно о, получаем
л*Ь, C0.10)
где Aj — функции от Z./x, зависящие также от структуры
кристаллической решетки. В частности,
Л4 = 0. C0.11)
Рассмотрим, например, простую кубическую решетку,
принимая во внимание взаимодействие только между ближай-
ближайшими соседями. Тогда для нескольких первых коэффициен-
коэффициентов Ау мы получим
=2 Ш
= 6тс ("fe J
33*2
Как видно из формул C0.10) — C0.12), для относительной
намагниченности в случае низких температур первые два
члена разложения дают результаты Блоха, а следующие
члены — поправки к ним.
Представляет интерес сравнение C0.10) — C0.12) с ре-
результатами работы Дайсона [5], согласно которой в разложении
вида C0.10) Л4 = Л6 = 0 и для простой кубической решетки
As= 10id—j z3/ • zc, (в наших обозначениях). Можно
думать, что расхождение наших результатов с результатами
Дайсона связано с недостаточностью расцепления цепочки
уравнений для функций Грина на первом из них.
Обратимся теперь к случаю высоких температур в отсут-
отсутствие внешнего поля G*<С Тс, /. = 0). Заметим прежде всего,
что рассматриваемая система имеет точку фазового.превра-
фазового.превращения, выше которой спонтанная намагниченность исчезает.
Действительно, при х —> оо величина о ^ 1, и потому

240
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
о. Поскольку при
дает при этом
а~ а ' B*)» J
[ГЛ. VII
cth 5->1/?,'уравнение C0.2)
dk
C0ЛЗ)
Отсюда следует, что при достаточно больших температурах
решение отсутствует. Чтобы исследовать поведение решения
в зависимости от х, предположим, как обычно, что о—>0
при х —>• хс (х < тс). Константу хс будем называть температу-
температурой Кюри. При малых Ц?= Ст?' M мы имеем
оо
r+h Р — -L _4_ V О21 В*1 Р21-1
где Л2г — числа Бернулли (В2 = 1/6, В4 = —• Y3o> • • •)• Под-
Подставим это разложение в C0.2) и введем обозначение
Получим
^ ~ B*K J
dk
B/)!
e(ft) •
и U/ 2?-1>
C0.14)
где
C0.15a)
(очевидно, Сх = 1). Отсюда находим
22-2
I /
I '3
C0.16)
Уравнение в такой форме удобно решать методом итераций.
В частности, в нулевом приближении мы имеем
оя^х|/ ^(l — -^-Л , C0.17)
что соответствует обычному приближению молекулярного
поля,
§ 30]
НАМАГНИЧЕННОСТЬ
241
Из выражения C0.17), равно как и из C0.16), видно, что
решение существует лишь при х ^ хс и обращается в нуль
при х = хс. Величина хс, определяемая формулой C0.14),
есть температура Кюри.
В приближении ближайших соседей принятая здесь еди-
единица энергии есть А' @) — \А (А — величина обменного инте-
интеграла, v — число ближайших соседей). Температуру Кюри
при этом легко найти численно. Для трех кубических ре-
решеток— простой, объемноцентрированной и гранецентриро-
ванной — мы получаем соответственно
т. = 0,66; 0,725; 0,745.
C0.18)
Для температур, близких к хс, можно построить разло-
разложение для о в виде ряда по степеням корня квадратного
из разности тс — т. Мы приведем здесь, как и выше, не-
несколько первых членов ряда для простой кубической ре-
решетки в приближении ближайших соседей
= zu {"l
—5- KTV+ . ..},
¦)¦
C0.19)
Наконец, рассмотрим область выше точки Кюри в при-
присутствии внешнего поля (т!>,хс; L М= 0).
Здесь желательно получить решение в форме, допускаю-
допускающей сопоставление с результатами работы Опеховского [8].
Для этой цели придадим уравнению C0.2) вид
Ik v,
C0.20)
Л V (— 1>* Н_ Л
Подставляя сюда разложения гиперболического тангенса по
степеням аргумента и ограничиваясь членами порядка (а/хJ
включительно, получаем следующее приближенное уравнение
для а:
!
«
C0,21)
Зак. 2126. Метод функций Гринз

242
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
Коэффициент С2 определяется согласно C0.15а). Отсюда
с точностью до членов порядка 1/х2 находим
" = 'о + *оA —Фт + 'оС1 — $B — С2 — 2$1/т3.
C0.22)
Для случая ближайших соседей (число которых есть v)
1 + v
С2 = ——
и следовательно*;
~- 2^I. C0.23)
При температурах выше точки Кюри мы придали такой
вид уравнению C0.20) для удобства сравнения с результа-
результатами [8], полученными по стандартной термодинамической
теории возмущений (применение последней в этой области
температур не вызывает сомнений). В наших обозначениях
намагниченность, рассчитанная по формулам C0.23), отли-
отличается от результатов [8] на величину порядка 1/vt2:
0C0.23) ООпехов. =
C0.24)
так что и здесь согласие нашего приближенного результата
с точным можно считать достаточно удовлетворительным.
Итак, уравнение C0.2) действительно дает достаточно
удовлетворительные результаты для намагниченности во всем
интервале температур.
Особо следует отметить, что оно описывает, в частности,
и фазовый переход из ферромагнитного состояния в пара-
парамагнитное. Напомним в связи с этим, что так же обстояло
дело и в теории сверхпроводимости, рассматривавшейся
в предыдущей главе. Мы видим, таким образом, что в со-
соответствии со сказанным во введении к книге метод функ-
функций Грина дает известную возможность подойти к изучению
фазовых превращений.
Зная корреляционную функцию (b(f)b(g)), нетрудно
было бы вычислить и другие термодинамические величины,
например среднюю энергию и др. Мы не будем здесь оста-
останавливаться на этом.
Следует отметить, что исследованные решения суще-
существуют для всех полей <Щ! лишь при положительном знаке
Обменного интеграла,
§ 31]
ФЕРРОМАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС
243
При А < 0 (случай антиферромагнетизма) рассмотренное
выше решение существует лишь в достаточно сильных полях
{Ае%? > 2<з | А' @) |.. В противном случае спектральная функ-
функция J(E) была бы отрицательна, что невозможно в силу D.2)
(это означало бы в данном случае, что среднее число за-
заполнения п отрицательно). Для исследования случая А < 0,
у-<з?в < 2<з | А' @) | изложенную схему необходимо несколько
видоизменить, вводя две или несколько подрешеток (см. [21]),
подобно тому, как это делается при решении задачи об
антиферромагнетике в методе приближенного вторичного
квантования или в методе молекулярного поля.
Желая перейти далее ко второму приближению, мы
должны были бы написать уравнение для двухчастичной
функции Грина и приближенно выразить входящие в него
трехчастичные функции через низшие.
§ 31. Ферромагнитный резонанс1)
Как известно, явление ферромагнитного резонанса состоит
в том, что система спинов, связанных обменными силами,
будучи помещена в постоянное магнитное поле и перемен-
переменное радиочастотное поле, поглощает энергию последнего.
Кривая поглощения как функция частоты поля имеет более
или менее резко выраженный максимум при некоторой ча-
частоте (частоте резонанса), зависящей главным образом от
величины постоянного внешнего поля. Классический и кван-
квантовый аспекты теории ферромагнитного резонанса были пред-
предметом многочисленных исследований ряда авторов (см., на-
например, сборник [11]).
Мы рассмотрим здесь вопрос о частоте ферромагнитного
резонанса с помощью общей методики § 14. Это позволит
нам в сочетании с результатами предшествующего параграфа
получить формулы, пригодные для всех температур.
В задаче о ферромагнитном резонансе нужно уметь на-
находить приращения средних значений намагниченности Ьт1 (х0)
(г = 1,2,3), обязанные влиянию радиочастотного поля ht(xQ).
Именно с ними связана комплексная восприимчивость у\
Ьт (*0) = -jh (xQ),
C1.1)
См. [10].
16*

244
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
определяющая передачу энергии от радиочастотного поля
к спиновой системе. Замечая, что
bml(xd = v&SiOt. *o). C1-2)
видим, что задача свелась к вычислению средних прираще-
приращений спиновых операторов 85^ (f, xQ) (в силу трансляционной
инвариантности величина 85г (f, xQ) фактически не зависит
от аргумента /).
При наличии внешнего радиочастотного поля гамильто-
гамильтониан системы можно представить в виде
Я = Я0 + ДЯ(х0). C1.3)
Оператор АН описывает взаимодействие системы с радио-
радиочастотным полем, а Но включает все остальные взаимо-
взаимодействия: обменное, с внешним постоянным магнитным полем
и др.
Примем для определенности, что постоянное магнитное
поле <^6 направлено по оси z, а поле h—лежит в пло-
плоскости (л:, у). Кроме того, предположим, как обычно, что
длина волны радиочастотного поля велика по сравнению
с размерами образца, так что поле можно считать про-
пространственно однородным. Тогда для АН(х0) будем иметь
*о) = — |* 2 А?Х*о) 5р (х0, /).
Р. /
C1.4)
Здесь и ниже в этой главе греческие индексы, в отличие
от остальной части книги, принимают значения 1 и 2. Функ-
Функцию hs(xQ) представим в виде
fepW=HA?(m)e"iulJ:o"E|Xo1' C1.5)
Тогда гамильтониан C1.4) оказывается суммой стандартных
выражений типа A4.1) и для магнитной восприимчивости
можно воспользоваться общей формулой A4.10). Следует
лишь специализировать ее для данной конкретной системы,
понимая под С2 и Сг операторы спинового магнитного мо-
момента.
Рассмотрим случай плоскополяризованного радиочастот-
радиочастотного поля. Так как мы ограничиваемся здесь приближением
§ 31]
ФЕРРОМАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС
245
линейным по внешнему полю, то формулу C1.4) можно
взять в виде
д//(*0)=—р*-*"*' 2 Vp </)• Ci -6)
р>/
На основании A4.10) имеем тогда
x.P = -t*2S 2* <($.(*) U
C1.7)
Таким образом, для вычисления магнитной восприимчивости
нужно найти фурье-образы функции Грина ((Sa(gI5р(/))).
Удобно перейти от спиновых операторов к операторам
Паули (см. приложение II)
1(
S3=l—2n(/).. C1-8)
Тогда формула C1.7) принимает вид
Хп = 2 V 2 {Оц (?. /) + G22 (g, f) -h O31 (g, /) +
-+-O12(g,f))E=a>, C1.9)
X21 == 2тп>2 2 {— Gu (g, f) -+- G22 (g, f) + G21 (g, f) —
Xl2 =
2 {Gu (g, f) — O22 (g, /) -hG21 (g, f)
O
Х22 = 2^ 2 {«„ (?. /) + G-n (g. /) — О21 (g, /) —
— o12(g,f)}E=a>.
Здесь введены обозначения [ср. B9.3)]
Gii (.g. f) = ((* (g) \b if)»(-). O22 (g, f) = ((b (g) | b {f) ))(-),
C1.10)
OM (g, f) = ((ft(g) 1 Hf) »(-), G12 (g, f) = ((b (g) | b (/) ))(-).
C1.11)
Функции Gn, Gl2, G21, G22 определяются из решения соот-
соответствующих уравнений, вид которых зависит от конкретной
формы гамильтониана Но. Для изотропного ферромагнетика,

246
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
[гл. vn
находящегося в постоянном поле, направленном по оси z,
мы имеем
и0 = — ч.$е 2 sz (/)—\ 2 А to—¦?> <5 to). 5 (Л) )•
C1.12)
Для образца ограниченных размеров нужно учитывать также
размагничивающее действие его концов. Классическое выра-
выражение для энергии размагничивания (на один атом) для
образца эллипсоидальной формы имеет вид
Я
размагн
. == ^ 2 N1М* (' = 1' 2' 3>'
где N — число узлов решетки, Nt — фактор размагничива-
размагничивания и Mt — компонента вектора намагниченности по оси L
Для того чтобы перейти от классического выражения
р
под Mt компоненты опера-
операк квантовому, будем понимать
тора полного момента [12]:
Mi = V^iSlif). C1.14)
Соответственно для образца эллипсоидальной формы гамиль-
гамильтониан Ио представляет собой, вообще говоря, сумму C1.12)
и C1.13).
В операторах Паули часть гамильтониана, соответствую-
соответствующая C1.13), принимает вид
2 « (Л +
Л.Л
Л'Л C1-15)
Рассмотрим отдельно случай неограниченной среды и случай
образца эллипсоидальной формы.
. а) Неограниченная среда. В этом случае гамильто-
гамильтониан HQ совпадает с C1.12), и для определения функций
Грина можно непосредственно воспользоваться результа-
§ 31]
ФЕРРОМАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС
247
тами § 29. В первом приближении мы имеем согласно B9.10)
и B9.11)
Oll(g,/;?) = -? • jyS*"*-**» E-w{k) ' C1Л6>
ft
Оъ(е./;Е) = Оп(вг,/;—Е), C1.17)
G21(g,f;E) = G12(gr,f;E) = 0, C1.18)
W (k) = 2^^? + о [2/Г @) — 2 A' (k)]. C1.19)
Так как фурье-образы запаздывающих функций Грина
определены лишь при 1тЕ^> 0 (см. § 3), то ниже мы всюду
будем полагать
E-W(k) =^E-W(k) -^[E~W(k)l C1.20)
Подставляя в C1.9) выражения C1.16) — C1.18) и принимая
во внимание C1.20), находим
Х,т=Х99. Xv> = — X^> C1.21)
где
Хо— Р_ —^. ?0—
C1.23)
Формула C1.23) определяет резонансную частоту Ео для не-
неограниченной среды. Из опыта известно, однако, что форма
образца оказывает существенное влияние на условия резо-
резонанса; поэтому формула C1.23) представляет в основном
лишь методический интерес.
б) Образец эллипсоидальной формы. В этом случае
гамильтониан Но дается суммой C1.12) и C1.13), и функ-.
ции Грина надлежит определять заново. Уравнения для них
получаются обычным методом. Как и в § 29, оборвем це-
цепочку уравнений на первом из них, полагая
b(f) »(->
{(b (?) \b~{f) ))(-) =
C1.24)
1&
C1.25)

248
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
В результате для функций О получим следующую систему
уравнений:
Оп &. f) + {2[x^? -f- a [2Л' @) —
G
n
C1-26)
a [2Л' @) —
O21 (ff, f) +
Производя обычное преобразование Фурье
+ ОО
+
(&. /; 0 = i- 2 в/СвР"Л A) Г
C1-27)
получим алгебраическую систему
[E — W (fc)] Gn (k, E) - Д (*) a^ (N, — N2) G21 (*, E) = - ^ ,
C1.28)
Д (*) o^ (N, — N2) On (k, E)-\-\E->r W (к)] G21 (ft.E) = 0.
Здесь
W (ft) = 2p (^ — ojWj) -f-
-f- о [2Л' @) — 2Л' (A)] 4- 0^2 (ATj 4- Л/2) Д (ft). C1.29)
§ 31]
ФЕРРОМАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС:
Система C1.28) решается раздельно для i=fO и для k = 0.
При кфО мы имеем из C1.28)
t
[? - W {к)] Gu (k;E) = -^, G21 (k, E) = 0,
IF' (ft) = 2[jl (J^ — ojjJVa) + o [2Л' @) — 2A' (ft)].
Далее по найденной функции Gn (ft, E) строим уравнение
для остававшейся пока неизвестной величины о. В полной
аналогии с B9.19) получаем
1_ v f
а — B*K J
Нетрудно убедиться, что это уравнение, как и B9.19), обла-
обладает достаточно хорошими интерполяционными свойствами
и может быть использовано для всех температур. Вели-
Величина W (ft) определяет спектр элементарных возбуждений
в системе и не может быть отрицательной (предположение
о возможности отрицательных значений W (ft) ведет к про-
противоречию: п < 0). Поэтому решение C1.30) возможно лишь,
если W (ft) ^ 0 для всех ft. Так как второе слагаемое
в W (ft) неотрицательно, рассмотренное решение имеет место
лишь в достаточно сильных полях:
0.
C1.32)
Это обстоятельство имеет ясный физический смысл: внешнее
поле должно «преодолевать» размагничивающее действие
концов образца.
Пусть теперь ft = 0. Тогда система C1.28) принимает вид
(E—E0)Gn@, ?)-<^(Wi —
причем
Отсюда легко находим
C1.33)
C1.34)
C1.35)

250
и аналогично
Ов@, Е) = —
Здесь
введено
фёрромаГне-гизм
а Ео — Е с п
2тг Е2 — Е2 ' 12
обозначение
Е)
= G21
@,
Е).
[ГЛ
C1.
. VI!
35а)
C1.36)
Подставляя теперь выражения C1.35), C1.35а) в формулы C1.9)
и пользуясь, как и раньше, равенством C1.20), получим
окончательные выражения для компонент тензора воспри-
восприимчивости
V V —1—
Afltft Лав 1
F '
°Хо
1 —
-г, C1.37)
1
Величина х" характеризует поглощение энергии радио-
радиочастотного поля спиновой системой. В рассмотренном прибли-
приближении это поглощение имеет место при частоте радиочастот-
радиочастотного поля со = Е/, при этом одновременно происходит
наиболее сильное «раскачивание» системы спинов радиочастот-
радиочастотным полем. Иначе говоря, имеет место резонанс при совпадении
частоты внешнего поля со с собственной частотой системы Ет.
Первые расчеты значения резонансной частоты с учетом
влияния факторов размагничивания (т. е. Nf) были выполнены
Киттелем [13], который получил следующую формулу (в на-
наших обозначениях):
E, = 2pV{&e-\-v.(Nl — NJ} {3V-\-\>.(N2 — N?}. C1.38)
Значения резонансных частот, рассчитанные по этой формуле,
оказались в хорошем согласии с экспериментальными дан-
данными.
§ 32] ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ФЕРРОМАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА 251
Формула C1.36) представляет собой обобщение формулы
Киттеля C1.38) на случай произвольных температур.
Следует заметить, что форма линий ферромагнитного
резонанса оказалась у нас дельтаобразной. Это связано с тем,
что в рассматриваемом приближении функции Грина имеют
только полюсы на вещественной оси, и затухание возбужде-
возбуждений отсутствует. Учет затухания, необходимый для рас-
рассмотрения формы и ширины резонансной линии, требует
перехода к более высоким приближениям (процессам рассея-
рассеяния спиновых волн друг на друге). Следует, однако, иметь
в виду, что фактически затухание спиновых волн (и, сле-
следовательно, уширение линии поглощения) связано еще с целым
рядом других факторов — магнитной анизотропией кристалла,
взаимодействием спиновых волн с фононами, электронами
проводимости и т. д. Вопрос о доминирующем механизме
затухания пока еще не вполне ясен.
§ 32. Общие соотношения для ферромагнитного
резонанса1)
В предыдущем параграфе мы применили метод функций
Грина к теории ферромагнитного резонанса. Выражения для
восприимчивости х были записаны через гриновские функции
для данного гамильтониана спиновой системы //0- При кон-
конкретных вычислениях там были использованы определенные
модельные представления относительно гамильтониана спино-
спиновой системы Но, и, кроме того, сделаны некоторые аппро-
аппроксимации, связанные с расцеплением уравнений для функ-
функций Грина.
' Ниже мы рассмотрим вопрос о ферромагнитном резонансе
в линейном приближении в более общей постановке и поста-
постараемся получить некоторые сведения относительно поведения
восприимчивости при возможно более общих предположениях
о гамильтониане Но самой спиновой системы. При этом мы
будем опираться лишь на аналитические свойства запазды-
запаздывающих функций Грина, через которые выражается величина х>
и на вид оператора взаимодействия спиновой системы с радио-
радиочастотным полем. Ограничимся прежней постановкой задачи,
'") См. [14].

252
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
считая, что постоянное поле направлено по оси z, а радио-
радиочастотное (плоскополяризованное) расположено в плоско-
плоскости ху. Нетрудно, далее, заметить, что формулы C1.9)
для восприимчивости не ограничены какими-либо специаль-
специальными предположениями о виде гамильтониана спиновой
системы.
Для последующего удобно переписать гамильтониан взаимо-
взаимодействия C1.4) в несколько ином виде:
о>> О
C2.1)
где
= — V- 2 К (ш) Sa (х0, /); Vm = У_
Тогда согласно A4.10) для приращения среднего значе-
значения вектора намагниченности C1.14)
будем иметь следующее выражение:
а@) 2 {вр(
0, ш>0
C2.2)
Здесь компоненты Ха3 связаны с -/_ар, которые даются фор-
формулами C1.9) очевидными соотношениями
'¦аЗ = -—I
g
0°.
C2.3)
Особенности отдельных задач (вид гамильтониана, форма
образца и 1др.) входят согласно C1.9) через функции Gap.
В этом параграфе мы не будем касаться вопроса об их
непосредственном определении, а займемся вместо этого
выяснением общих свойств тензора восприимчивости, не
связанных со специализацией задачи.
Введем вместо операторов Ъ (/), Ъ (/) новые операторы
= 2* (Л Л^ = 2
/ /
C2.4)
§ 32] ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ФЕРРОМАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА 253
и соответственно функции Грина
Ои (?) = ((В | В))<ь\ Оп (Е) = ((В
^), 5
1?\
Здесь Е — комплексная переменная. В формулах C2.5) не
указано, с какой именно функцией Грина мы имеем дело,
так как в комплексной плоскости запаздывающую и опере-
опережающую функции можно рассматривать как единую аналити-
аналитическую функцию (см. § 3). Лишь при вещественных значе-
значениях Е (Е = ш) их нужно различать, для чего и будет служить
индекс г сверху.
Перепишем теперь тензор восприимчивости X в стандарт-
стандартном виде
f X,(<o)-bX2(a>) /
Х((о)= — /[Г,(«) — Г2(о>)]
I 0
, (со) + Т2 («)] 0
,(«) — Х2(со) 0
0 Х
C2.6)
Здесь введены обозначения
Хг (со) = и {Grn (со) -+- Gr22 (ш)}, Х2 = и {G\2 (ш) + G\x (a>)}.
Т, (ш) = и [G\x (u)-Gr22 (со)}, Г2(ш) = и {-Grn (ш)+О^(ш)},
C2.7)
Примем теперь во внимание, что для функций Грина
данного вида при вещественных значениях аргумента (Е = ш)
справедливо соотношение
{(А\В)Уш=((А\В))г_ш.
Следовательно,
Grn (ш) = Gr22 (— со), G\2 (<о) = Gr2i (— ш). C2.8)
Используя C2.7) и C2.8), получаем известные соотно-
соотношения [15], [16]
Л. о (О)) _Л. д ( Ш), ^oZ.y^
X! (ш) = X, (— ш). Х2 (со) = Х2 С— ш), C2 Ш)
Т, (ш) = — Т, (— ш), Т2 (ш) = — Х2 (— ш).

254
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
В работе [16] этот результат был получен с помощью
метода, весьма близкого к методу функций Грина (подробнее
см. § 14 и обзор [17]).
Для вещественных (Х^) и мнимых (Х^р) частей воспри-
восприимчивости получаем отсюда
х:0(ш)=х:э(-ш), х^(ш)=—х^(—ш), C2.П)
х^ш^х^-ш), х;'2(ш) = _х;'2(-со), 02.12)
Ti2 (ш> = - Т12 (— «)• Ти («) = ТГ2 (— «)• C2.13)
Предположим теперь, что уравнения движения для опе-
операторов В, В допускают инверсию времени, т. е. инва-
инвариантны относительно преобразования
¦t. i-
i.
C2.14)
Тогда, помимо всегда справедливых равенств C2.8) и
вытекающих из них формул C2.9) — C2.13), появляется еще
одно соотношение, связывающее компоненты G?p. Именно,
при вещественных Е мы имеем
Следовательно,
и, далее,
Г2 (ш) = 0, Х2 (ш) = 2«Gi2 (ш).
C2.15)
C2.16)
Рассмотрим более подробно поведение восприимчи-
восприимчивости в области резонанса. Оно определяется, очевидно,
в основном полюсами функций Gap C2.5). Поэтому будем
далее рассматривать функции Gap в комплексной плос-
плоскости.
Следуя работе [14], введем матрицу G{E):
C2.17)
где величины Ga? определяются формулами C2.5).
ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ФЕРРОМАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА 255
В комплексной плоскости для функций Грина имеет место
соотношение типа E.8)
И, следовательно, для элементов матрицы C2.17) имеем
ОП(?) = ОИ(— Е), О12(?) = О12(— Е). C2.18)
Введем матрицу F, обратную матрице G. Нетрудно пока-
показать, что ее элементы Fap(E) связаны соотношениями
вида C2.18). Выразим теперь Gap через Fap:
B2)
где
А (Е) = Fn (E) F22 (Е) — Fn (E) F2X (Е) = Д (— Е). C2.20)
Пусть функция G (Е) имеет полюс в точке Е —Е#. Так
как F (Е) в этой точке регулярна, то ER есть корень урав-
уравнения Д(?) = 0. Но согласно C2.20) и —ER будет кор-
корнем этого уравнения. Следовательно,
= (?2 — Е\)А(Е), А(—Е) =
где А (Е) — некоторая функция от Е.
Полагая далее по определению
C2.21)
C2.22)
F12 (Е) = F12 (— Е) ез Ф, (?), F21 (Е) = F21 (— Я) ^ Ф2 (Я),
и используя C2.21), получаем из формул C2.19)
О12(Е) =
где
¦R(E). ...
1
C2.23)
C2.24)
Подставим C2.23) в формулы C2.7) для величин Хх (Е), ...

256 ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
В результате будем иметь
[fVI. VII
2ERA (Е)
C2.25)
где R и А определяются формулами C2.24) и C2.21).
Величины Xj Г„ связаны в сшгу /3 19Y СЯ
соотношением
Г2 связаны в силу C3.19), C2.20)
X? (Я) - XI (Е) - rf (?) + П (Е) =
или
„
— Х12(?)Х21(?) =
(?)
R(E), C2.26)
C2.27)
Рассмотрим теперь поведение X! (?") при ?, близких к Ец.
Замечая, что множители при R (Е) в формулах C2.25) яв-
являются регулярными функциями Е при Е, достаточно близ-
близких к Е#, произведем в них замену Е на Ер. Ошибка при
этом будет невелика, так как, выделив R(E), мы учли осо-
особенности точно. Тогда для Е близких к Er можем прибли-
приближенно записать формулы C2.25) следующим образом:
F (—
(ER\
2ERA (ER)
Далее, принимая во внимание, что
Д (ER) = F(— ER) F (ER) — Ф:
получаем окончательно
X! (Е) « С A +/Ci/C2) /? (Е), X
,C(\—KxKdR(E), T
R
Ф2 (Ер) = 0,
С (Кг — К2) R (Е).
C2.28)
§ 32] ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ФЕРРОМАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА 257
Здесь введены обозначения
" C2.29)
Если уравнения движения для операторов В, В допускают
инверсию времени C2.14), то
Ф2 (Я) =
C2.30)
Формулы C2.7) определяют магнитную восприимчивость
через значения запаздывающих функций Грина на веще-
вещественной оси. Получим теперь формулы, соответствующие
C2.25) — C2.30) для вещественных Е и ER.
Прежде всего примем во внимание соотношения C2.8).
Далее, рассуждая аналогично предыдущему, получим
Z9 (со) Fr (— со)
— F' (со)
(со) Rr(
г (— со)
C2.31)
где
Дг (ш) = F' (ш) F' (— ш) — Фг (ш) Фг (— ш), C2.32)
Дг (ш) == Дг (— ш) = @J — <^)ЛГ (ш). Аг (<о) = Д. (— ш),
I1——. , г , ¦. } C2.33)
= lim
и где (о# — полюс функции О на вещественной оси. Нако-
Наконец, величины
Fr (ш) = FTn (")) = -Р22 (—<о), Фг (<о) = ^гз (">) = ^21 (— <»
C2.34)
суть элементы матрицы Fa3 (ш).
17 Зак. 2126. Метод функций Грина

258 ферромагнетизм
В результате получаем
[гл. vii
с»)=«
<32-35>
X? (ш) - Х§ (ш) - X? (со) + Г| (ш) =
Х„ (ш) Х22 (ш) - Х12 (ш) Х21 (ш) =
р
V '
Rr
C2.37)
и приближенно для области резонанса
X, (со)« С A + ATj/Ca) Я' (ш), Х2 (ш) » — С (/С, + /Q /У (ш).
C2.38)
Г, (со) « С A — /ад Я' (ш), Г2 (ш) « С (Кг — К2) Rr (ш).
где C,KVK2 — постоянные, определяемые по формулам
C2.39)
Точно так же, если уравнения движения для операторов В, В
допускают преобразование C2.14), то
= Фг(—ш), /d =
Т2(ш) = 0. C2.40)
Энергия, поглощаемая спиновой системой из радиоча-
радиочастотного поля за единицу времени, численно равна работе.
§ 32] ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ФЕРРОМАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА 259
совершаемой радиочастотным полем над системой за еди-
единицу времени. Эта работа может быть определена как
dl(x0)
dxa
d
или согласно C2.1), C2.2)
«, P
со, a>r > О
Отсюда, принимая во внимание C2.9), находим выражение
для средней энергии, поглощаемой системой в единицу
времени:
г
\ С dA(x0) .
7"-*m^ J dXQ
= I S ш {Хор (ш) Ла (ш) Ap (ш) — Xap (ш) ha (ш) Ар (ш)}. C2.41)
в. Р
со>0
Для случая плоскополяризованного поля, рассматривав-
рассматривавшегося в этом и предыдущем параграфах, мы должны вы-
выбрать, например,
*«(«>) = *«(<•>). а=1, 2.
Тогда формула C2.41) принимает вид
= ' S ш (Х«р («>) — Хар (ш)} А. (ш) Ар (ш) =
а, Р
<о>0
= 2 2шХГэ((о)йа(ш)йр(ш).
а, Э
<о>0
C2.42)
Несколько иной вывод этой формулы имеется в работах [15],
[16] и [18]. Отсюда следует известный вывод о том, что
поглощение энергии радиочастотного поля определяется мни-
мнимой частью тензора восприимчивости. В окрестности полю-
полюсов функций Грина величины Хар резко возрастают, и погло-
поглощение энергии носит резонансный характер.
17*

260
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
Из предыдущих результатов видим, что ряд сведений от-
относительно поведения магнитной восприимчивости при фер-
ферромагнитном резонансе можно получить без какой-либо спе-
специальной информации о гамильтониане спиновой системы.
Попытаемся теперь включить в рассмотрение затухание
в спиновой системе. В соответствии с этим предположим,
что в некотором приближении рассматриваемые функции
Грина имеют полюсы Ец в комплексной плоскости. (Это
может быть верно лишь приближенно и отнюдь не всегда,
так как вообще функции Грина могут иметь особенности
и более сложной природы.) Пусть Г = Im Е„, тогда, очевидно,
Г будет представлять затухание в спиновой системе для про-
процессов, описываемых с помощью введенных нами функций
Грина (см. § 3). Принимая во внимание, что при Г—>0 соот-
соответствующие формулы должны переходить в формулы C2.31)—
C2.33), предположим, что сингулярная функция C2.33)
имеет вид
«»-4-Г»-2*.Г 32.43)
Подставляя C2.43) в C2.38), приходим к результатам
классической теории ширины линии ферромагнитного резо-
резонанса [19]. Разница состоит лишь в том, что в классической
теории предполагается существование «члена с трением»
в уравнениях движения [19], [20], а здесь предполагается
существование особенностей определенного вида у функций
Грина.
I
1
ПРИЛОЖЕНИЯ
!. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
В этом приложении мы изложим элементы техники кван-
квантовой теории поля, знакомство с которыми желательно для
ясного понимания основного текста книги. Следует, однако,
иметь в виду, что здесь дается не подробное изложение
теории, а лишь более или менее конспективная сводка не-
некоторых ее результатов.
а) Представление взаимодействия и матрица рассеяния
Рассмотрим динамическую систему с гамильтонианом
Н = Н0 + Нг, A.1)
причем оператор Но не зависит явно от времени. Собствен-
Собственные значения и собственные функции Но будем считать из-
известными (нумеруя их в случае необходимости символом я).
Уравнение движения для волновой функции всей системы
в представлении Шредингера имеет вида)
Ц A.2)
Произведем каноническое преобразование с помощью уни-
унитарного оператора U = е~1^ох«, полагая
A.3)
') Операторы в представлении Шредингера снабжаются знач-
значком Л сверху; тем же значком мы будем отмечать и волновые функ-
функции в этом представлении.
18 Зак. 2126. Метод функций Грина

260
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
Из предыдущих результатов видим, что ряд сведений от-
относительно поведения магнитной восприимчивости при фер-
ферромагнитном резонансе можно получить без какой-либо спе-
специальной информации о гамильтониане спиновой системы.
Попытаемся теперь включить в рассмотрение затухание
в спиновой системе. В соответствии с этим предположим,
что в некотором приближении рассматриваемые функции
Грина имеют полюсы Ец в комплексной плоскости. (Это
может быть верно лишь приближенно и отнюдь не всегда,
так как вообще функции Грина могут иметь особенности
и более сложной природы.) Пусть Г = Im Е„, тогда, очевидно,
Г будет представлять затухание в спиновой системе для про-
процессов, описываемых с помощью введенных нами функций
Грина (см. § 3). Принимая во внимание, что при Г—>0 соот-
соответствующие формулы должны переходить в формулы C2.31)—
C2.33), предположим, что сингулярная функция C2.33)
имеет вид
l/? 4- /г со -|-
со2-4-Г2-2/соГ
и2_^_г2J + BсйГJ-
Подставляя C2.43) в C2.38), приходим к результатам
классической теории ширины линии ферромагнитного резо-
резонанса [19]. Разница состоит лишь в том, что в классической
теории предполагается существование «члена с трением»
в уравнениях движения [19], [20], а здесь предполагается
существование особенностей определенного вида у функций
Грина.
I
1
ПРИЛОЖЕНИЯ
f. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
В этом приложении мы изложим элементы техники кван-
квантовой теории поля, знакомство с которыми желательно для
ясного понимания основного текста книги. Следует, однако,
иметь в виду, что здесь дается не подробное изложение
теории, а лишь более или менее конспективная сводка не-
некоторых ее результатов.
а) Представление взаимодействия и матрица рассеяния
Рассмотрим динамическую систему с гамильтонианом
Н = Н0^-Н1, A.1)
причем оператор Но не зависит явно от времени. Собствен-
Собственные значения и собственные функции Но будем считать из-
известными (нумеруя их в случае необходимости символом п).
Уравнение движения для волновой функции всей системы
в представлении Шредингера имеет видJ)
A.2)
Произведем каноническое преобразование с помощью уни-
унитарного оператора U = e~iHox°, полагая
A.3)
') Операторы в представлении Шредингера снабжаются знач-
значком Л сверху; тем же значком мы будем отмечать и волновые функ-
функции в этом представлении.
18 Зак. 2126. Метод функций Грина

262
ПРИЛОЖЕНИЯ
т. е.
. дФ'
1 -fa- =
о
х0) =
A.4)
A-5)
Очевидно, формулами типа A.5) будут определяться и все
прочие динамические переменные в новом представлении
(указываемом штрихом при операторах и волновых функ-
функциях). Оно носит название представления взаимодействия.
Название связано с тем, что в применениях оператор Йй
обычно описывает систему свободных частиц, а Нг — взаимо-
взаимодействие между ними. Видно, что волновая функция системы
в этом представлении меняется со временем лишь за счет
оператора Н\. С другой стороны, динамические переменные
подчиняются гейзенберговским уравнениям движения с га-
гамильтонианом Но. Решение уравнения A.4) будем искать
в виде
Ф' (х0) = S' (х0) Ф' (— оо), A.6)
где S' (х0) — так называемый оператор рассеяния (матрица
рассеяния, 5-матрица). Очевидно,
: (*о)- A.7)
В силу A.6) волновые функции системы при х0 —> — оо
и х0—>-\-оо связаны соотношением
Ф' (оо) = S' (оо) Ф' (— оо). A.8)
Таким образом, величина S'(oo) (обозначаемая обычно про-
просто через S') определяет вероятности всех возможных пере-
переходов в системе, эффективные сечения рассеяния и т. д.
В теории рассеяния частиц, когда оператор Н\ описывает
взаимодействие между ними и рассеивающей системой, есте-
естественно считать, что взаимодействие медленно (адиабатиче-
(адиабатически) включается и выключается в начале и конце процесса
(при лг0—>• — оо ях0—>-\-оо): Н^— е~е !•*¦<>I. При этом Ф'(—со)
I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 263
совпадает с соответствующей волновой функцией Ф в пред-
представлении Гейзенберга для задачи с //( = 0. В этом смысле
можно сказать, что S' (х0) есть унитарный оператор, осу-
осуществляющий переход от представления Гейзенберга к пред-
представлению взаимодействия
Ф'(оо)=5'(оо)Ф.
, A.9)
где. А — любой оператор.
Соотношения A.9) позволяют, в частности, получить
выражения для произвольной функции Грина в представле-
представлении взаимодействия. Рассмотрим для этого матричный эле-
элемент вида
п = (Фя. Т {С, (х) С2 {х')} Фя).
A.10)
Переходя к представлению взаимодействия с помощью фор-
формул A.9), получаем
Мп = {Фп- Т {С[ (*) С2 (*') 5' (°°)} 5'"! (°°) Ф^). О- П)
Вообще говоря, выражение S' (оо)Ф^ может представлять
собой линейную комбинацию волновых функций самых раз-
различных стационарных состояний. Допустим, однако, что по
какой-либо причине
5'-х(со)Ф; = аяФ;. К 1 = 1. 0-12)
где аа — некоторая постоянная. Тогда выражение A.11)
резко упрощается, принимая вид
мп=% (ф;. т (с; w с2 (*о 5' (оо)} ф;>
Константу ап легко найти, усредняя (I. 12) по состоянию Ф^:
««=(*;. 5'(оо)©;)-1. A.13)
В частности, если равенство (I. 12) имеет место для всех п.,
то произвольную причинную функцию Грина можно пред-
представить в виде
Ке(х, x>) =
18*

264
ПРИЛОЖЕНИЯ
где усреднение по ансамблю производится с весом
.'_ Рп.
Заметим, однако, что выполнение равенства (I. 12) при всех п
может иметь место лишь в некоторых тривиальных случаях.
Действительно, это равенство означает, что возмущение Н'х
не вызывает в системе никаких реальных процессов, приводя
лишь к изменению волновых функций на фазовые множи-
множители ап. Поэтому формула (I. 14) обычно не имеет места.
Исключение составляет случай Т= 0, когда усреднение
в C.17) производится лишь по основному состоянию системы.
Эту операцию мы будем обозначать символом (. . .H. Для
волновой функции основного состояния равенство (I. 12) спра-
справедливо: взаимодействие дает лишь поправку к энергии
основного состояния [см. ниже формулу (I. 30)]. Таким обра-
образом, при 7"= 0 мы имеем
Кс(х, x') = J^
Для матрицы рассеяния можно получить формально
замкнутое выражение, интегрируя уравнение (I. 7) с началь-
начальным условием S' (—оо)=1. Следует лишь принять во вни-
внимание иекоммутативность операторов Н[(хЛ и H[(x'^j при
х'о Ф xQ. В силу этого обстоятельства нельзя написать реше-
решение (I. 7) в простом экспоненциальном виде
[ х° \
S' (х0) = ехр \ — / f H[ @ dt \.
\ —оо J
(I. 16)
Легко убедиться, что правильная формула имеет вид
S' (х0) = Г exp (—if H[ (t)dt\ j,
где Т—символ Т-произведения, определенного равенствами
C.18). При этом существенно лишь то, что Т-произведение
операторов упорядочено по времени. Соглашение о знаках
C.18) при этом не играет роли, ибо в гамильтонианах, нас
интересующих, фермиевские операторы фигурируют лишь
I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 265
в билинейных (или четверных) комбинациях. Выбор знаков
в C.18) существен в другой связи (см. определение нор-
нормального произведения на стр. 268). Начальный момент
можно было бы выбрать в любой точке x'Q (не обязательно
x'Q—> — ooY Тогда вместо A.16) мы получили бы
S' (х0, х'о) = Т exp l—
[ (t)dt
(I. 16a)
Если оператор Н'х(хЛ не содержит производных по времени
от функций поля, то //j(jc0) — — Z,j(a:0), где L'x получается
по образцу (I. 5) из соответствующего лагранжиана взаимо-
взаимодействия. Тогда
S' (х0)
= А ехр 11 f L[ @ dt\ > .
(I- 17)
Можно показать [1], что это выражение справедливо и
в общем случае любого (локального) лагранжиана взаимо-
взаимодействия. Проще всего убедиться в этом, если строить
^'-матрицу не с помощью уравнений движения, а непосред-
непосредственно исходя из физических требований унитарности, при-
причинности и ковариантности.
Формула (I. 17) позволяет получить общее выражение
для вероятности какого-либо перехода в системе (см. [2]).
Именно, поскольку время входит в Н[(хЛ только в виде
осциллирующих экспоненциальных множителей [см. (I. 5)},
можно утверждать, что матричные элементы Sr (оо), вычи-
вычисленные и системе собственных функций Н'о, будут иметь вид
+ ОО
(Фя.
= — iUnm f
О- 18)
Здесь Unm — величина, не зависящая от времени, множи-
множитель —/ выделен для удобства, a v — некоторая величина,
которая, как легко убедиться, оказывается просто разностью
энергий начального и конечного состояний. Множитель e-sl'l
учитывает условие адиабатического включения и выключения

266
ПРИЛОЖЕНИЯ
i. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 267
взаимодействия. Вероятность перехода, отнесенная к единице
времени, есть
(I. 19)
Как. правило, представляет интерес предельное значение
при х0 —>со. Соответственно введем величину
х0
9' /х \— ;П Г
Snm\xo) — lunm J
которая совпадает с матричным элементом (Ф„, 5'ФОТ) лишь
в пределе при х0 —> оо. Выполняя интегрирование и поль-
пользуясь затем определением (I. 19), легко находим
0(v).
(I. 20)
Величину Unm иногда называют матрицей эффективной энер-
энергии возмущения.
б) Теория возмущений для S'-матрицы.
Теорема Вика
Формулу (I. 17) еще нельзя сразу использовать для прак-
практических расчетов, ибо она содержит упорядочивающий сим-
символ Т. Общих рецептов реализации операторов (I. 17) не
существует; чаще всего пользуются просто разложением
экспоненты в ряд, иногда — с последующим суммированием
важнейших его членов. Мы рассмотрим здесь этот метод,
представляющий собой просто теорию возмущений для S'-
матрицы, применительно к гамильтониану F.5), когда Н-ш\ = 0.
Роль Н'х здесь играет оператор взаимодействия частиц с кван-
квантовым полем
Н\ ?=H'pf = — gf dx~a' (х) Г(V (х) Ф' (х), A.21)
а Но есть сумма гамильтонианов свободных частиц и поля.
Будем считать, что Г( * не содержит операторов дифферен-
дифференцирования по времени; тогда функция Лагранжа L\ дается
правой частью (I. 21) с обратным знаком. Разлагая S'-матрицу
в ряд по степеням константы связи g, получаем из (I. 17)
S' (со) — 1 = ig j dxa' (х) r(V (х) Ф' (x) — ^-f dx dx' X
XT [a' (x) r(V (x) Ф' (х)а/(х/)Г@)а' (х') Ф' (x')} -f- . . . (I. 22)
В первом порядке по константе связи в правой части
(I. 22) остается лишь первое слагаемое. Оно, очевидно, опи-
описывает процессы испускания и поглощения бозевских кван-
квантов с одновременным изменением состояния одного из фер-
мионов. Для того чтобы вычислить вероятность перехода
по формуле (I. 20), надо обычным способом представить а'',
а', Ф' как линейные комбинации операторов порождения и
уничтожения частиц в интересующих нас состояниях и вы-
выбрать из получающейся таким путем суммы произведений
интересующие нас члены. В данном — простейшем — случае
это легко делается непосредственно.
Члены второго порядка в правой части (I. 22) описывают
четыре группы процессов: а) без изменения состояния бозо-
бозонов; б) без изменения состояния фермионов; в) с испусканием
{или поглощением) двух бозонов в одном акте; г) с испу-
испусканием одного бозона и поглощением другого (в частности,
это — рассеяние бозонов). В последних двух случаях, есте-
естественно, меняется и состояние ферми-частиц (одной или двух).
Для вычисления соответствующих вероятностей переходов
можно было бы поступить так же, как в случае процессов
первого порядка, однако здесь это привело бы уже к более
длинным выкладкам. В дальнейшем при переходе к каждому
новому приближению громоздкость выкладок возрастает
в неимоверной степени. По этой причине необходимо сфор-
сформулировать какие-то регулярные правила, которые позво-
позволили бы сразу выписать в нужном порядке матричный эле-
элемент S' для того или иного конкретного процесса. Соответ-
Соответствующие правила были сформулированы Фейнманом ]3].
Математической основой их является так называемая теорема
Вика [4], которую мы сейчас и рассмотрим.
Введем прежде всего понятие нормального произведения
операторов г). Будем говорить, что произведение элементарных
;) Здесь и в дальнейшем мы имеем в виду только представле-
представление взаимодействия.

268
ПРИЛОЖЕНИЯ
(фермиевских или бозевских) операторов порождения
и уничтожения частиц (квантов) расположено в нормальном
порядке, если все операторы порождения стоят слева от
операторов уничтожения. Пусть теперь мы имеем набор опе-
операторов С'х (aTj), С'2 (хЛ, .... С'п (*„). представляющих собой
линейные комбинации элементарных операторов порождения
и уничтожения. Чтобы получить нормальное произведение,
надо явно перемножить операторы C'v .... С'п и затем при-
привести каждый член полученного выражения к нормальному
порядку, считая при этом все коммутаторы бозевских и анти-
антикоммутаторы фермиевских операторов равными нулю. Иначе
говоря, произведение операторов называется нормальным,
если, независимо от порядка написания их на бумаге, все
операторы порождения действуют на волновую функцию
после операторов уничтожения. Принято обозначать нормаль-
нормальное произведение двоеточиями справа и слева от перемно-
перемножаемых операторов.
Из определения явствует, что все бозевские операторы
[в том числе и а' (К), а' (X)] под знаком нормального произ-
произведения коммутируют, а все фермиевские — антикоммутируют.
Последнее обстоятельство есть в конце концов отражение
принципа Паули, который при таком определении нормаль-
нормального произведения принимается во внимание наиболее простым
и естественным путем.
Основная особенность нормального произведения опера-
операторов состоит в том, что вакуумное среднее от него равно
нулю. В применении к теории твердого тела, как уже не-
неоднократно указывалось, роль вакуума играет основное
состояние системы. В отсутствие взаимодействия между части-
частицами основное состояние системы таково, что одна часть
уровней целиком заполнена, а другая — полностью свободна.
Это позволяет очевидным образом ввести операторы поро-
порождения и уничтожения возбуждений, по отношению к кото-
которым и надо определять нормальное произведение. Обычно
операторы а' и а', фигурирующие в A.21) представляют
собой линейные комбинации операторов порождения и уни-
уничтожения возбуждений. Чтобы не загромождать изложения,,
мы будем в дальнейшем говорить просто об операторах
а' и а', лишь подразумевая изменения, которые надлежит
ввести при такой замене. Для операторов порождения и уни-
I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 26&
чтожения возбуждений основное состояние системы является
вакуумом и, следовательно, среднее значение нормаль-
нормального произведения в основном состоянии равно нулю. (При
наличии взаимодействия дело обстоит сложнее, но именно
взаимодействие обычно и включается в Hi; оператор же Но
описывает систему свободных частиц.) Далее, записав произ-
произведение операторов в нормальном виде, легко непосред-
непосредственно усмотреть, какие именно переходы оно описывает.
По этой причине для конкретных расчетов удобно было бы
представить Г-произведения, фигурирующие в ряду для S'-
матрицы, в виде суммы нормальных произведений и, может
быть, еще каких-то слагаемых неоператорной природы. Это
преобразование как раз и составляет содержание теоремы
Вика. Пусть для начала мы имеем Т-произведение двух опе-
операторов T\C'V С'Л. Положим по определению
i 1 2{ * 12 " —' 1 2* *- ¦^t-)/
где величина С'ХС'2 определяется этим соотношением и назы-
называется хронологической сверткой (или, короче, просто сверт-
сверткой) операторов С'х и С'2. Поскольку вакуумное среднее нор-
нормального произведения равно нулю, мы получаем из A.23)
(I. 24)
Допустим теперь, что свертка С[С'2 есть с-число. (Так
обстоит дело в практически наиболее интересных случаях.)
Тогда вместо (I. 24) можно написать просто
(I. 25)
Иначе говоря, если хронологическая свертка двух операто-
операторов есть с-число, то она с точностью до множителя t сов-
совпадает с соответствующей причинной функцией Грина. С этим
и связано название «причинная функция»: свертки определяют
элементы ^'-матрицы, описывающей причинную эволюцию
квантовомеханической системы во времени. При этом фор-
формула A.23), очевидно, решает поставленную задачу для
частного случая двух операторов: выражение TICjC^} пред-
представлено в виде суммы нормального произведения и члена

270
ПРИЛОЖЕНИЯ
неоператорной природы. Чтобы обобщить этот результат
на случай произвольного числа операторов, следует ввести
еще одно понятие — нормального произведения со свертками.
Подчеркнем, что все дальнейшее относится лишь к специаль-
специальному случаю, когда хронологическая свертка любых двух
линейных комбинаций операторов порождения и уничтожения
есть с-число.
Пусть мы имеем произведение
в котором два оператора, С. и С'к, подвергаются хронологи-
хронологическому свертыванию. Положим по определению
C'ixn)l> <f-
где <^° есть четность перестановки ферми-операторов при
переходе от порядка
1. .... У—1, J. У+1, .... А—1. А, А+1, .... п
к порядку
У, А. 1 У—1, У+1. •••• k— 1, А+1, .... п.
Теорема Вика для Г-произведений гласит: Г-произведе-
ние п линейных комбинаций операторов порождения и уни-
уничтожения равно сумме их нормальных произведений со всеми
возможными свертками (в том числе и вообще без свертки).
Доказательство этого утверждения можно найти в любом
современном учебнике по квантовой теории поля (gm., на-
например, [1J).
Вид сверток, фигурирующих в теореме Вика, легко уста-
установить: уже отмечалось, что это —просто функции Грина
для соответствующих операторов. Заметим, однако, что
фактически здесь следует говорить о невозмущенных функ-
функциях Грина. Действительно, легко видеть, что свертка двух
бозе-(ферми)-операторов есть с-число тогда и только тогда,
когда коммутатор (антикоммутатор) их есть с-число. Так
I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 271
обстоит дело в представлении взаимодействия, когда опера-
операторы подчиняются уравнениям движения для свободного
поля, но не в представлении Гейзенберга. Таким образом,
мы имеем
а' (х) а' (х') = — Ю^ (х, х').
Ф' (х) Ф' (хО = id® (х, х'),
а' (х') аг (х) = ~аг (х') ~аг (х) = 0.
Ф' (х) a' (xQ == Ф' (хО~а (х) = 0.
(I. 27)
(I. 28)
(I. 29)
Равенства A.29) легко получаются из закона сохранения
числа частиц.
Итак, представление ^'-матрицы в нормальном виде дей-
действительно оказывается возможным. Для дальнейшего удобно
принять специальное соглашение о записи нормальных про-
произведений. Именно из формулы A.21) явствует, что в я-м
порядке теории возмущений член без сверток содержит нор-
нормальное произведение п пар ферми-операторов
: а' (хг) а' (хг) . . . а' (х„) а' (хп): .
В силу A.27) во всех прочих слагаемых также будет содер-
содержаться по равному числу фермиевских операторов порожде-
порождения и уничтожения. Разобьем их на пары так, чтобы члены
каждой пары соответствовали аргументам сверток. Например,
если свертываются операторы а'(хг) и а'(ху), то пару обра-
образуют а'{хь) и a' (Xj). Условимся писать члены пары рядом,
причем в каждой паре а' слева от а' (порядок следования
пар в нормальном произведении, очевидно, безразличен). Это
соглашение позволит нам в дальнейшем сформулировать пра-
правило определения знака перед произвольным членом Г-про-
изведения.
в) Диаграммы Фейнмана
Фактическое приведение членов разложения S'-матрицы
к нормальному виду удобно производить графическим спо-
способом. Из формул A.21) и A.27) — A.29) видно, что все
члены разложения строятся из трех основных «элементов»:
сверток iGf\x, x'), Ю(°\х, х') и произведения операторов

272
ПРИЛОЖЕНИЯ
ga' {х) Г@)а' (х) Ф' (х). Соответственно введем графические
символы, представленные в нижеследующей таблице:
Множитель
Наименование
Ф' (х) (под знаком
нормального произ-
произведения)
а' (х) (под знаком
нормального произ-
произведения)
а' (х) (под знаком
нормального произ-
произведения)
gT@) (из лагран-
лагранжиана ij (х) )
Внутренняя бозон-
ная линия
Внутренняя фер-
мнонная линия
Внешняя бозонная
линия
Внешняя входя-
входящая фермионная
линия
Внешняя выходя-
выходящая фермионная
линия
Вершина (узел)
Название «внутренние» и «внешние» линии связано с тем,
что первые начинаются и кончаются в пределах диаграммы,
вторые же уходят в бесконечность. Из структуры разложе-
разложения «S'-матрицы непосредственно видно, что внешние линии
описывают частицы, реально поглощаемые и испускаемые
в ходе данного процесса; с другой стороны, внутренние
линии соответствуют виртуальным переходам.
Таблица дает правила соответствия между множителями
в членах разложения З'-матрицы и символами на диаграмме.
Рассмотрим, в частности, некоторые диаграммы первого
и второго порядка, соответствующие членам, явно выписан-
выписанным в A.22). Типичная диаграмма, соответствующая членам
I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 273
первого порядка, приведена на рис. 1. Наличие двух фермион-
ных и одной бозонной внешних линий соответствует, как мы
знаем, испусканию или поглоще-
поглощению бозона с изменением состоя-
состояния одного из фермионов.
Среди диаграмм, соответствую-
соответствующих членам второго порядка,
отметим представленные на рис. 2
и 3. Первая из них описывает
влияние виртуальных электрон- * * *~
ных переходов на распростране- Рис. 1.
ниеJ) бозона, т. е. эффект «по-
«поляризации вакуума», вторая — влияние испускания и поглоще-
поглощения виртуальных бозонов на движение фермиона («собственная
Ф(Х)
a(x')afx)
Ф(х')
энергия фермиона»). Обратим внимание еще на одну из диа-
диаграмм третьего порядка (рис. 4). Если вычеркнуть в ней вну-
внутренние линии, это была бы просто диаграмма, приведенная на
рис. 1. Внутренние линии описывают влияние виртуальных
'Ф(х) Ф'(х')
а(х) х ,_ _, х'
а(х')а(х)
Рис. 3.
Sfx'J
процессов на элементарный акт испускания или поглощения
бозона: взаимодействие из точечного превращается в нело-
нелокальное (с областью «размазки», определяемой расстоянием,
на котором обращаются в нуль фермионная и бозонная
свертки).
]) По этой причине функции Грина иногда называют функциями
распространения.

274
ПРИЛОЖЕНИЯ
Способ приведения S'-матрицы к нормальному виду те-
теперь становится совершенно очевидным: интересуясь членами
я-го порядка, надо начертить п точек, в каждой из кото-
которых встречаются три линии — две фермионные (входящая и
выходящая) и одна бозонная. Фермионные линии при этом
будут либо образовывать замкнутые циклы, либо уходить
к краям диаграммы («свободные концы»). Далее надлежит
воспользоваться правилами соответствия, приняв во внимание
Ф(х')
Ф(Х) Ф(Х")
Рис. 4.
а(х")
еще правило знаков. Легко убедиться, что при наличии замк-
замкнутых фермионных циклов все выражение надо помножить
на (—1)г, где / — число циклов.
Изложенная процедура есть не что иное, как стандарт-
стандартная квантовомеханическая теория возмущений, приведенная
лишь к виду, максимально удобному для практического ис-
использования. В связи с этим возникает вопрос о суммирова-
суммировании ряда или хотя бы о нахождении частичных его сумм.
(Об этом обычно говорят, как о суммировании диаграмм.)
Очевидно, при рассмотрении того или иного конкретного
эффекта надо суммировать лишь диаграммы с одним и тем
же числом и типом внешних линий — различные порядки
теории возмущений отличаются друг от друга лишь различной
степенью учета виртуальных процессов. Иначе говоря, прежде
всего надо начертить простейшую диаграмму, описывающую
исследуемый процесс в наинизшем возможном порядке теории
возмущений (такая диаграмма называется скелетной). Далее
I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 275
надо всеми возможными способами вставить в нее внутрен-
внутренние линии (соответственно увеличивая число вершин). Сумма
всех таких диаграмм (если она сходится) дает точное значе-
значение элемента ^'-матрицы для исследуемого процесса. Отме-
Отметим, в частности, один специальный класс диаграмм — диа-
диаграммы, вообще не содержащие внешних линий (см., напри-
например, рис. 5) или содержащие изолированные части беа
внешних линий («несвязные» диаграммы, рис. 6). Они опи-
описывают «процессы», не со-
сопровождающиеся какими- х"' "* 'х
либо реальными изменениями
в системе (переходы «ва-
1 oyx/\yx^\y"v/"^/\/\/x>.r'
"¦«•- * -¦
X
X'
Рис. 5.
Рис. 6.
куум — вакуум»). В квантовой теории поля матричные эле-
элементы такого типа не имеют смысла и должны быть исклю-
исключены (мы увидим сейчас, что фактически в выражениях
типа A.15) они исключаются автоматически); с другой сто-
стороны, в нерелятивистской задаче многих тел именно эти вели-
величины определяют энергию основного состояния. Из правил
соответствия явствует, что переходы рассматриваемого типа
отвечают «полностью свернутым» (вообще не содержащим
операторов) членам разложения ^'-матрицы. Следовательно,
сумма их равна вакуумному среднему (S')Q. Исходя из-
выражения A.16а), легко получить формулу
— iAE (xn—хЛ
(S'(x0 x'0))Q-e ^ °>. A.зо>
где АЕ — сдвиг энергии основного состояния за счет взаимо-
взаимодействия. Знаменатель (S')o в A.15) как раз и гарантирует
исключение вкладов от несвязных диаграмм. (В задаче мно-
многих тел именно благодаря этому обстоятельству спектральное
разложение функций Грина содержит только разности энер-
энергий различных состояний системы, но не сами эти энергии.)
Другой важный класс составляют диаграммы с двумя
внешними линиями. Легко видеть, что сумма всех диаграмм
с двумя заданными внешними линиями есть не что иное, как

276
ПРИЛОЖЕНИЯ
соответствующая полная одночастичная функция Грина J).
Так, например, сумма всех диаграмм с одной входящей и
одной выходящей фермионными линиями есть однофермион-
«ая функция Грина E.2) при Г=0. Справедливость сказан-
сказанного видна непосредственно из определения полных функ-
функций Грина как вакуумных средних от гейзенберговских
операторов. Действительно, взаимодействие как раз и пре-
превращает операторы а', а', Ф' в а, а, Ф.
Аналогично двухчастичные, трехчастичные и т. д. функ-
функции Грина также представляют собой частичные суммы ряда
теории возмущений, изображаемые диаграммами с соответст-
соответствующим числом внешних линий того или иного типа. Это
обстоятельство позволяет выполнять суммирование диаграмм
«по этапам». Именно, введем, обобщая случаи, представлен-
представленные на рис. 2—4, понятия части собственной энергии, по-
поляризации вакуума и вершинной части. По определению, частью
собственной энергии называется диаграмма (или часть диа-
диаграммы), соединенная с остальными ее частями (или краем
чертежа) лишь двумя внешними фермионными линиями. Оче-
Очевидно, она получается из диаграммы рис. 3, если вставить
ъ последнюю все возможные внутренние линии. Аналогично
частью поляризации вакуума именуется диаграмма, имеющая
лишь две внешние бозонные линии, а вершинной частью —
диаграмма с двумя фермионными и одной бозонной внеш-
внешними линиями. Таким образом, разность Gc—G*?) опреде-
определяется суммой всех частей собственной энергии, Dc — D(?) —
суммой всех частей поляризации вакуума, а Г — Г° — суммой
всех вершинных частей диаграмм. Введем далее понятие
неприводимой диаграммы как диаграммы, не содержащей
вершинных частей, частей собственной энергии и частей
поляризации вакуума. (Неприводимая диаграмма, вообще го-
говоря, не совпадает со скелетной, ибо может содержать до-
дополнительные внутренние линии.) Неприводимые диаграммы,
получающиеся из данной скелетной добавлением различных
внутренних линий, мы будем называть принадлежащими ей.
Из определения вытекает, что для вычисления элемента S'-
матрицы, соответствующего какому-либо процессу, надо
а) начертить скелетную диаграмму;
\
') Напомним, что здесь функции Грина определяются как сред-
средние по вакууму — основному состоянию системы.
1
I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 277
б) составить сумму всех принадлежащих ей неприводимых
диаграмм;
в) заменить в ней невозмущенные функции Грина Gf\ Df>
и вершинную часть Г(°) на точные Gc, Dc, Г. Во внешних
линиях при этом следует поставить «перенормированные» —
вычисленные с полным учетом взаимодействия — энергии фер-
мионов и бозонов. Эту процедуру мы будем называть пра-
правилом Дайсона, ибо она впервые была предложена Дайсоном
[5] в рамках квантовой электродинамики.
В задачах квантовой теории поля «перенормированные»
энергии — при надлежащем доопределении Т- произведений
при совпадающих аргументах — совпадают с «исходными»
(«затравочными») [1], почему иногда и говорят, что во внеш-
внешних линиях ничего менять не надо. В задаче многих тел,
однако, отличие «перенормированных» энергий от «затра-
«затравочных» описывает реальные физические явления (например,
возникновение плазменных колебаний), и указанная здесь
замена обязательна. В этом проще всего убедиться, вычисляя
элементы S'-матрицы с помощью преобразования Фурье по
времени и принимая во внимание связь спектра возбуждений
с полюсами функций Грина (§§ 4, 5, 16). При наличии не-
нескольких типов возбуждений появится — соответственно числу
различных полюсов у функций Грина — столько же типов
внешних линий.
Заметим, что приведенное выше определение неприводи-
неприводимых диаграмм не является «абсолютным», а зависит от того,
по отношению к каким функциям Грина оно дается. Именно,
в общем случае диаграмма называется неприводимой, если
она не содержит элементов, сумма которых дает функции
Грина, явно принимаемые в данном случае во внимание (ра-
(разумеется, кроме скелетных элементов). Так, введя в рассмот-
рассмотрение, помимо уже указанных, еще и двухфермионные функ-
функции Грина, мы должны были бы считать неприводимыми
диаграммы, не содержащие также и «четырехполюсников» -—ча-
-—частей, соединенных с остатком диаграммы только двумя парами
фермионных линий. Соответственно следовало бы перефор-
переформулировать и правило Дайсона, дополнив его требованием
замены G\c на G^c-
Разумеется, само по себе ни правило Дайсона, на какое-
либо другое правило, ему аналогичное, еще не решает

278
ПРИЛОЖЕНИЯ
задачу о вычислении «S'-матрицы, а лишь делит ее на несколько
стадий (в чисто вычислительном отношении это может ока-
оказаться очень полезным). Во всех случаях, однако, приходится
вычислять те или иные частичные суммы ряда теории воз-
возмущений, что сводится, как правило, к решению некоторых
интегральных уравнений. Упрощения, которые приходится
при этом делать, основаны на сравнительной оценке вкладов
от диаграмм разного вида. При достаточно малой константе
связи иногда действительно удается выделить класс диаграмм,
дающих главный вклад в те или иные элементы матрицы
рассеяния. Отбрасывая все остальные поправки, приходим
к так называемой процедуре суммирования главных диаграмм,
эквивалентной (при Т= 0) улучшенной теории возмущений,
изложенной в § 11.
л
Рис. 7.
Сами уравнения Дайсона для функций Грина (при 7*=0)
также можно представить графически. Для этой цели усло-
условимся снабжать заштрихованными кружками внутренние линии,
содержащие уже все возможные «вставки». Тогда, принимая
во внимание правила соответствия, можем изобразить урав-
уравнения A0.1) и A0.2) в виде рис. 7. При этом массовый и
поляризационный операторы, A0.4) и A0.5), изображаются
схемами рис. 8.
В заключение этого пункта сделаем еще два замечания.
Во-первых, все рассуждения о суммировании диаграмм
носили чисто формальный характер, ибо основывались на
определенных предположениях об аналитических свойствах
искомых функций. В частности, неявно предполагалась схо-
сходимость ряда теории возмущений в точке g = 0. Фактически,
однако, это. предположение может оказаться и несправедли-
несправедливым. Так, например, в квантовой электродинамике ря*д теории
возмущений, по-видимому, является асимптотическим [1].
I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 279
Соответственно, процедура суммирования «главных диаграмм»
может потерять однозначность (см. [6], [7]).
Во-вторых, метод диаграмм в изложенной здесь форме
связан с усреднением по Основному состоянию системы
г
X
Рис. 8.
G"=0). Обобщение его на случай температурных функций
Грина требует известных модификаций, на которых мы здесь
не будем останавливаться.
г) Правила перестановки при совпадающих временах
Лагранжиан свободного электромагнитного поля имеет вид
(см. [1])
(
1, 2, 3
Роль обобщенных координат играют здесь компоненты 4-по-
тенциала Аа (х). Следовательно, обобщенные импульсы суть
дхп
(,.32)
Соответственно канонические правила перестановки имеют
вид
[Аа(х, х0), А^{х', хо)]_ = О, A.33)
[дА = ^ В(*-*0. A-34)

280 - приложения
Дифференцируя (I. 33) по xi% получим
ГдАя(х, х0)
L dxi
', х0)] =0.
(I. 35)
д) Однородная диэлектрическая и магнитная среда
Рассмотрим электромагнитное поле в отсутствие свобод-
свободных зарядов в пространственно однородной среде, характе-
характеризуемой вещественными скалярными диэлектрической и
магнитной проницаемостями е и [а.
Как известно, систему классических уравнений Максвелла
при этом можно записать в виде J)
¦=-i-w-+v^
6(* <?2^g V2 и
= 0.
(I. 36)
(I. 37)
с0 dt
¦— div,4 = 0,
D=eE.
Пара уравнений
div В = 0,
(I. 38)
(I. 39)
при этом представляет собой следствие определений A.36),
другая же пара
с0 at
div/> = 0,
эквивалентна (I. 36)—(I. 37) с учетом материальной системы
(I. 39) и дополнительного условия Лоренца (I. 38).
;) Мы пользуемся только системой отсчета, связанной со сре-
средой. Формулировку, ковариантную относительно .преобразований
Лоренца, можно найти, например, в работах [8], [9].
!. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 281
Легко убедиться, что уравнения A.37) непосредственно
получаются из лагранжиана
п2 — 1 Y1
2 ** \
1 = 1, 2, 3
с0 дх0 I 2с? \ дха /
Со дх0 \ с0
i-l, 2, 3
Здесь п2 = ер,. Выражение (I. 40) есть непосредственное обоб-
обобщение A.31) на случай рассматриваемой диэлектрической
и магнитной среды. При переходе к квантованию все про-
произведения в (I. 40) следует понимать как нормальные, а ра-
равенство (I. 38) заменить аналогичным условием, наложенным
на допустимые волновые функции системы или (что сводится
к тому же) на средние значения операторов Аа. В полной
аналогии с (I. 32) для обобщенных импульсов находим
л2 —1
дх0
дх,
п2 dAj
Со дх0
—! дА0
с0 dxt
A.41)
(I. 42)
При этом правила перестановки A.33) и A.35) остаются
в силе, а вместо (I. 34) мы получаем
дАа(х, х0)
(I. 43)
Здесь суммирование по а не производится. Нетрудно найти
и соответствующие четырехмерные правила перестановки [9],
но нам они не понадобятся.
Рассматривая выражения A.36) — A.43), нетрудно убе-
убедиться, что можно полностью исключить величины е и (х
из уравнений поля, если
а) всюду заменить скорость света в вакууме с0 на ско-
скорость света в среде с — cjYep,
19 Зак. 2126. Метод функций Грниа

282
ПРИЛОЖЕНИЙ
б) заменить фактические компоненты потенциала (и поля)
«Перенормированными» величинами
- 44)
в) заменить истинную энергию поля W «перенормирован-
«перенормированной» величиной
Например, для плотности энергии электромагнитного поля
Е2 + В2
в вакууме имеем ——g- ; рассматривая эту величину как Wr,
для плотности энергии в диэлектрике получаем согласно (I. 44)
и A.45)
2ц
2
как и должно быть. При этом для перенормированных полей В
и Е получаются обычные уравнения Максвелла в пустоте
(с заменой с0 на с).
При наличии токов и свободных зарядов величины е и (*
также можно формально исключить из уравнений Максвелла,
если ввести, помимо перенормированного потенциала, также
и перенормированные заряд и ток
-е, Jr = y^J. (I.46)
Чтобы убедиться в этом, достаточно написать уравнения (I. 37)
с соответствующими правыми частями.
При наличии дисперсии диэлектрической и магнитной
проницаемостей правила A.44) — A.46) остаются в силе для
соответствующих компонент Фурье.
В основном тексте книги (кроме гл. VII) мы пользуемся
перенормированными величинами, опуская при этом значок г.
е) Взаимодействие через поле и прямое взаимодействие
Формулы (I. 18) и A.22) в сочетании с правилом Дайсона
позволяют, в частности, рассмотреть вопрос о связи взаимо-
взаимодействия через поле с прямым бинарным взаимодействием
между частицами и выяснить, когда эти два представления
эквивалентны.
I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 283
Рассмотрим систему ферми-частиц, взаимодействующих
с квантовым полем согласно (I. 22). Как мы видели в п. б),
во втором приближении матрица рассеяния содержит эле-
элементы, описывающие изменение фермионных состояний
при неизменном состоянии бозевского поля. Физически эти
элементы соответствуют, например, процессам рассеяния фер-
мионов друг на друге; бозевское поле при этом играет
лишь роль передатчика взаимодействия. Такие процессы могут
происходить и в отсутствие бозевских квантов (в «бозонном
вакууме»). Соответствующие элементы S'-матрицы мы полу-
получим, вычисляя среднее значение (I. 22) в состоянии без бозо-
бозонов («усреднение по бозонному вакууму»). Будем обозначать
эту операцию символом {• • -)в, о и снабдим Sr индексом 2,
указывающим, что речь идет лишь о членах второго порядка.
Согласно (I. 22) мы имеем
X Т(а' (х)Г<°>а' (*)а' (*')Г@)а' (*'
(х- х')> С1- 47)
где
D?' 0) (х, х') = — / <Ф' (х) Ф' (х'))л, о-
Индекс @, 0) [а не просто «0», как в G.11)] поставлен
в связи с тем, что усреднение здесь производится по бозон-
бозонному вакууму в системе двух частиц (а не по состоянию
системы многих частиц).
Процессы взаимодействия между фермионами описываются
матричными элементами A.47), связывающими состояния
системы с двумя частицами в каждом (мы будем обозначать
их через {S' (оо))в, о, F, 2)- Будем считать, что в начале и
конце акта взаимодействия частицы находятся в стационарных
состояниях, характеризуемых какими-то квантовыми числами X.
Соответственно запишем фигурирующие в (I. 47) операторы а',
а' в Х-представлении
а' (х) = Zi Фх (*) е-
А
а' (¦«) = S Фх С*) el
А
оа' (X),
x°a' (к).
(I. 48)
Здесь
19*
суть, как всегда, собственные функции опера-

284
ПРИЛОЖЕНИЯ
тора, соответствующего динамической переменной X (они же,
по условию, собственные функции «одночастичного» га-
гамильтониана), W (X) — принадлежащие им собственные зна-
значения энергии, а'(К) и а' (К) — операторы порождения и уни-
уничтожения частицы в состоянии X. Пусть в начальном и конеч-
конечном состояниях значения X для наших двух частиц суть \, Х2
и Х3, Х4. Матричные элементы Г-произведения в (I. 47) теперь
легко вычислить. Мы получим при этом две пары слагаемых,
причем слагаемые, входящие в данную пару, при интегри-
интегрировании дают одинаковые результаты (с учетом симметрии
функции ?К°'°>). Таким образом, {S'2(po))m р2 представляется
в виде суммы двух членов
Здесь
51/2,34 = — (g2f>
2, 43-
(I. 49)
dx' ?>(?, °> (x, x') ф4 (х'
X
1*e. a-so)
a 5j2 43 получается из (I. 50) заменой индексов 3^4 (этот
член называется обменным по отношению к первому). Знак
минус в (I. 49) связан с тем, что мы имеем дело с ферми-
частицами; для системы бозе-частиц мы получили бы ту же
формулу A.49), но со знаком плюс. Разложим функцию
?°0)( '
р
>°'0)
?>с°'0)(х, х') в интеграл Фурье по времени
+ ОО
+
D?' °\x, x')=: f
(x, x'; ш) A.51)
и введем сокращенные обозначения
Й?(Х4) — 1Г(Х2) = Ш42
Тогда формула (I. 50) примет вид
и т. д.
34
8 (°>43
, х';
A.52)
*') X
A.53)
I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 285
В силу A.52)
<°42 + «31 = °>32 + «« = W (Х4)
(Х3) — W (Х2) — W (к,).
Таким образом, дельта-функция в A.53), как и следовало
ожидать, выражает просто закон сохранения энергии при
рассеянии. На основании (I. 18) находим теперь матрицу
эффективной энергии возмущения
^12. 34 ^
12. 34
12, 43*
2,34 = 2«g* fdxdx' ф4 (х') Г@)ф2 (х') X
X dt0) (*. х'; ^^) ф3 (х
(I. 54)
(х). (I. 55)
a>42~Q>31
Величина Ul2i 43 получается отсюда перестановкой индек-
индексов 3 ^ 4.
Формула (I. 55) похожа на обычное квантовомеханическое
выражение для средней энергии парного взаимодействия (если
под энергией взаимодействия понимать величину 2~Kg2D<f>- Щ.
Следует, однако, обратить внимание на одно весьма суще-
существенное обстоятельство: функция Df'
зависит от того, между какими состояниями происходит
переход. По этой причине сходство (I.. 55) со средней энер-
энергией взаимодействия — чисто внешнее, и в общем случае
представление о потенциальной энергии прямого взаимо-
взаимодействия между частицами ввести нельзя. Исключение со-
составляет случай, когда функция D^'0^(x, x'\ со) фактически
не зависит от ш (или, что сводится к тому же, «частотами
переходов» ш42 и и>31 можно пренебречь по сравнению
с какой-то константой, фигурирующей в d[ ' *). Тогда правая
часть A.55) есть действительно средняя энергия парного
взаимодействия, описываемого оператором
a>(x. лг')Г<°>
(I. 56)
(индекс 0 при U поставлен в связи с тем, что формула (I. 56)
есть результат лишь первого неисчезающего приближения).
Из формулы (I. 51) явствует, что при этом функция Dc ' ) (х, х')
дельтаобразно зависит от своих временных аргументов:

286
ПРИЛОЖЕНИЯ
?)№. °)(лг, х')—'S(-f0 — JCg)- Иначе говоря, в рассматриваемом
случае взаимодействие носит мгновенный характер — запазды-
запаздывание отсутствует.
Итак, в пренебрежении запаздыванием и во втором при-
приближении по константе связи g оказывается возможным
ввести оператор потенциальной энергии прямого взаимо-
взаимодействия между частицами (I. 56). Это утверждение в равной
мере справедливо как для фермионов, так и для бозонов.
В последнем случае надо лишь переменить знак в фор-
формуле (I. 54) (плюс вместо минуса). Согласно A.20) вероят-
вероятности всех процессов, при которых не изменяется состояние
поля, определяются матричными элементами этого оператора.
Это означает, что интересуясь только такими процессами,
мы можем вообще «забыть» о существовании квантового
поля и заменить точный гамильтониан (I. 21) гамильтонианом
бинарного взаимодействия типа F.8а). Заметим в связи с этим,
что оператор ?/0 A.56) имеет привычный вид функции
от Jt — х' (л: и х' — координаты взаимодействующих частиц),
умноженной, может быть, на некоторые матрицы Г( \ В этом
ограниченном смысле можно говорить об эквивалентности
описания системы с помощью «тройного» и «четверного»
гамильтонианов (I. 21) и F.8а).
Переход от второго («первого неисчезающего») прибли-
приближения к точной формуле для S'-матрицы, учитывающей
эффекты всех приближений, производится по правилу Дай-
сона. При этом могут возникнуть дополнительные осложне-
осложнения, еще более ограничивающие применимость стандартного
представления о потенциальной энергии взаимодействия.
Чтобы выяснить их природу, достаточно рассмотреть прибли-
приближение, в котором производится только замена функций Dc *
и Г@) на соответствующие точные выражения. В этом слу-
случае интересующие нас элементы ^'-матрицы примут вид
(ср. A.53))
sk 34 = —tg2 f Dc (*. z') ф4 (у) Г (у, у'; z') ф2 (У) X
х'
I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 287
, х', z; «/, со"),
Полагая
De (z, гГ) = f dmе~1<о (г°~ О Dc (z, г'; со), (I. 58)
Г (х, х'; z) =
получаем отсюда
Si2.34 = — ig2 J d* dz' dx dx' dy dy' BтгJ 8 (ш42 -|- со31) X
У. у', г'; W4, W2)^(y')Dc(z, z';
X Ь {X) Г (х, X'; z; Wz, W{) Ц>х (*') (I. 59)
и, следовательно,
^12, 34 ==
= гтг^2 J dz dzr dx dx' dy dy' ф4 (у) Г (.у, у', z'\ WA, W2) X
, x'; z; Wz, WJ^ix').
(I. 60)
Как и в простейшем случае A.55), правая часть A.60)
напоминает выражение для матричного элемента некоторого
оператора; однако и здесь такой «оператор энергии взаимо-
взаимодействия» фактически можно ввести лишь в пренебрежении
запаздыванием. Более того, здесь это пренебрежение связано
с еще большими ограничениями, ибо надо иметь возможность
пренебречь частотной зависимостью фурье-образов как пол-
полной функции Грина Dc, так и вершинной части Г. Как
правило, это можно сделать лишь приближенно — даже если
фурье-образ «невозмущенной» функции Df' °^ от частоты
не зависел.
Если, наконец, указанные аппроксимации все же воз-
возможны, то и тогда мы не получаем простой и привычной
«классической» ситуации (I. 56). Действительно, согласно (I. 60)
оператор энергии прямого взаимодействия между частицами
(если его можно ввести) имеет вид
*\ У. *') =
dz dz' Г (у, у', z') X '
XDc(z,z')V(x, x', z). A.61)

288
ПРИЛОЖЕНИЯ
Он зависит не от одной пары точек, а от двух (т. е. от трех
векторов, например, от х— х', х—у, у—У). Соответ-
Соответствующий бинарный гамильтониан прямого взаимодействия
имеет общий вид F.8) без каких-либо упрощений, приводя-
приводящих к F.8а).
Итак, замена взаимодействия через поле прямым бинар-
бинарным взаимодействием возможна лишь при определенных
ограничительных условиях и для определенного класса задач.
С другой стороны, обратная замена — описание прямого
взаимодействия с помощью представления о взаимодействии
через поле, очевидно, возможна всегда, коль скоро функ-
функция U конечна J): следует лишь определить фурье-образ
Dc(x, x'\ to) равенством A.61); вершинные части при этом
можно по определению считать дельта-образными. Таким
образом, в координатном представлении мы имеем в этом
случае
gWc (х, х') = §(*0 — х'о) U(x — х'). (I. 62)
Во избежание недоразумений заметим, что под точной функ-
функцией Грина Dc здесь подразумевается выражение, точное
относительно взаимодействия двух, частиц с виртуальными
квантами поля. Эффекты, связанные с коллективным взаимо-
взаимодействием частиц (экранирование), здесь не учитываются
по самому смыслу дела — они возникают лишь в системе
многих частиц. Таким образом, с точки зрения системы.
многих тел функция (I. 62) есть d?\ Именно по этой при-
причине «невозмущенную» функцию Грина мы обозначили выше
через D?-°\
1) Тем самым исключаются сингулярные потенциалы типа, на-
например, твердых шаров.
II. ОПЕРАТОРЫ ПАУЛИ1)
Операторами Паули называются операторы b(X),
удовлетворяющие следующим перестановочным соотношениям:
ь(хоъ(X) — Ъ(к)ь(хо = о, , „ ^, (П 1}
в0- 1 х'
1=0, J
Ь (X) b(X)-\-b(X) b (X) = 0.
(II. 2)
Нетрудно заметить, что равенства (II. 1) и (II. 2) пред-
представляют собой комбинацию перестановочных соотношений
для операторов Бозе (при X' Ф X) и Ферми (при Х/=Х).
Операторы Паули тесно связаны с операторами спина.
Действительно, положим Х^/ — номеру узла решетки, и
введем величины
(II. 3)
где п(/)= Ъ
или
.
Пользуясь (II. 1) и (II. 2), легко убедиться, что величины S{
удовлетворяют перестановочным соотношениям для компонент
вектора спина электрона (записанного в единицах й/2). Общее
представление операторов 5г(/) через ?(/). b(f) имеет вид
^ t (/) F(f), (II. 5)
•) См. [10], [11].

290 приложения
где аД/) — компоненты классического единичного вектора;
Л (/) =
(И. 6)
Сравнивая (II. 3) и (II. 5), получаем формулы канониче-
канонического преобразования для операторов Паули. Для практи-
практических целей достаточно рассмотреть частный случай о2 (/) = 0.
Тогда имеем (р, р— новые операторы Паули)
(П 7)
= ^2 (/) -г-1«2
«(/)«
Здесь й(/), ¦»(/)— вещественные функции, связанные соот-
соотношением
!. (»• 8)
Из (II. 7) следует, в частности, что линейное преобразо-
преобразование не является каноническим для операторов Паули.
Ш. ПРИЧИННАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ СВОБОДНОГО
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Как и в основном тексте, мы будем называть свобод-
свободным электромагнитное поле в однородной диэлектрической
среде, характеризуемой скалярными диэлектрической и маг-
магнитной проницаемостями, е и [л; скорость света с есть ско-
скорость света в данной среде. По определению причинная
функция Грина есть
D%{x, *') = — 1{Т{Аа{х)А^х')}). (Ш. 1)
Усреднение здесь производится по состояниям свободного
электромагнитного поля. В частности, при Т= 0 это есть
усреднение по основному состоянию поля — вакууму свобод-
свободных фотонов. Этим случаем мы в дальнейшем и ограни-
ограничимся. Поскольку потенциал Аа(х) удовлетворяет уравне-
уравнению Даламбера, легко убедиться, что функция (III. 1) есть
одно из решений уравнения
(III. 2)
В силу A.34) правая часть (III. 2) есть gaHb (x — х'). Для
формулировки граничных условий, выделяющих нужное нам
решение, представим (III. 1) в спектральной форме типа C.19),
C.20):
+со ,
f#{x, JtO= f dEe-'^-^D^ix.x'-.E). (III. 3)
+OO
x'-
, x ,
+
(III. 4)

292
ПРИЛОЖЕНИЯ
где
Jx(x, x'; Е') =
. 0) Ф?>) {Ф$\ Лр (*'. 0) Ф&0)) 8 (Я' — Ея),
(III. 5)
Jt(X.-x';E') =
(III. 6)
Здесь уже принято во внимание, что усреднение произ-
производится по вакууму свободных фотонов, волновая функция
которого есть Фо°\ а энергия принята за нуль. Очевидно,
Еп^>0, т. е. функция Jx содержит только положительные
частоты, a J2— только отрицательные. Подставляя (III. 4)
в (III. 3) и интегрируя по Е, видим, что функция D^^x, х')
при х'о <С х0 содержит только положительные частоты,
а при х0 >¦ дг0 — только отрицательные. Это и есть искомое
граничное условие (условие Фейнмана). Представляя D® (•*. х')
в виде четырехмерного разложения Фурье и пользуясь урав-
уравнением (III. 2) с граничным условием Фейнмана, получаем
формулы E.35) и E.38).
Заметим, что с помощью спектрального представления
типа (III. 4) (но при Т Ф 0) легко найти функцию d?0) (х, х')
и в общем случае, когда тепловое излучение принимается
во внимание.
IV. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
МНОГОВРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЙ ГРИНА1)
Рассмотрим тройное произведение вида
К (лг, *', х") = (Ci (х) С2 (х') С3 (х")). (IV. 1)
В состоянии термодинамического равновесия эта величина
зависит только от разностей временных аргументов. Поло-
Положим д:0 — x'0 — t, x'Q — XQ = t'. Поступая точно по образцу
§ 2, имеем
К (х, х', х") =
= 2 Ря (Ф„. Ci (х) Фт) (Фт, С2 (х') Фг) (Фг, С3 (х") Ф„) =
/1, tn, I
+ ОО
= J dEdE' e'iEt-lElt'J(k, X', X"; Е, Е% (IV. 2)
— со
где спектральная функция / дается равенством
/(X, X', X"; Е, ^ 0 =
п- С, (X, хо= 0) Фт) X
. (IV. 3)
Наряду с (IV. 1) введем функции, в известном смысле
аналогичные ранее введенным запаздывающим и опере-
опережающим:
Кг(.х, х', x")=B(t)B(t')K(x. x', х"),
К2 {х, х', х") = 6 (— t) 6 (— Г) К (х, х'. х"),
К3 (х, х'. х") = — 6 (— 0 6 {t') К (х, х', х"),
К4(х, х', х") = — 6 @ 6 (— t')K{x, x', х")
F@=1, ^>0, 6@ = 0, *<0).
(IV" 4)
') См. [12].

294 приложения
Полагая
4-со
К?(х, х', х") — j dEdE'Kt(k, X', X"; Е, Е')е-Ш-1Е'*'
— СО
(/=1. 2, 3, 4) (IV. 5)
и опуская для краткости аргументы X, X', X", легко находим
— со
-t-co
«г,(в. *>-(^
(IV. 6)
+ СО
— оо
т-оо
ъ—
Рассматривая Е и Е' как комплексные переменные, видим,
что К1(Е, Е') есть аналитическая функция в области \тЕ > О,
1т?"'>0; /С20Е\ ?"') — в области Im?'<0, Im?''<0 и
т. д. Таким образом, совокупность {Кх, К2, К3, К4} можно
рассматривать как единую аналитическую функцию ^/^ двух
комплексных переменных Е и Е' с особенностями (типа ли-
линий разреза) при Im?' = O, Im?v=O. Спектральную функ-
функцию J легко выразить через предельные значения &%" при
стремлении мнимых частей Е и Е' к нулю. Именно, на
основании (IV. 6) при вещественных Е и Е' легко находим
J(E, Е>) =
— ^. f' + fe')
— /е. f' — is') —
ie, f' — is') =a
4(E,E') (IV. 7)
(e, s' > 0, s, e'->0).
IV. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МНОГОВРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЙ 295
Обратимся теперь к причинной функции
Ке = ( Г {Сх (х) С2 (л:') С3 (л:")}).
(IV. 8)
Для ее вычисления требуется знать спектральные функции
для тройных произведений операторов, взятых в различном
порядке. Снабдим рассмотренную ранее функцию индексом
A, 2, 3) сверху и обозначим через JB-1>3) и т. д. спект-
спектральные функции для соответствующих произведений. Поль-
Пользуясь формулой (IV. 3), легко установить справедливость
равенств
2, з,
JC,
, 2,3) (_ Eit Е
2, 3) (?/ _?>
. 9)
1-3>2) (?\ Я') = ^'JB. J'3)
> ?¦/) __ eVEJB, 1, 3)
", Е — Е'), (IV. 11)
Е, —Е). (IV. 12)
Таким образом, причинная функция (IV.8) выражается, вообще
говоря, через две спектральные функции: J(J.2>3) ==Jj и
jB, i,3) =J2 [вторую из них можно найти по способу, анало-
аналогичному (IV. 7)]. Заметим, однако, что в частном случае
C2 = Clt C3G Re мы имеем J2=/1.
Обозначим, как и раньше, через ч\ц знаковый множи-
множитель, равный -f-1 или —1 в зависимости от четности или
нечетности перестановки ферми-операторов, в результате
которой из Cfij получается CjCt (i, /=1, 2, 3). На осно-
основании (IV. 9) — (IV. 12) легко находим
Кс(х, х', х")=
, X', X"; Е, Е'),
(IV. 13)

296
где
ПРИЛОЖЕНИЯ
1
;—to-f ie)(?' —to'-f/e')
_ ?' + to + ге) (?' — to + to' — iV) J
1
' — E' — to + to' + /s) (?' — to' — iV)
(? — to' + со + is) (?' — ? -f- to' — is')
e-P<o' -n
(? _|_ со' _ ,-e) (?' _ со 4. o,' _ W) Jj •
(IV. 14)
Функция КС(Е, Е'), естественно, не аналитична.
Совершенно аналогично можно рассмотреть и я-времен-
ные структуры. В условиях равновесия они будут зависеть
от (я—1) временных аргументов. Соответственно надо
ввести 2я «запаздывающих» и «опережающих» функций
К{A=\, .... 2"~1). Фурье-образ каждой из них, будучи
представлен (я—1)-мерным интегралом типа Коши, ока-
окажется аналитической функцией (я—1) переменных, Elt . . .
. . ., Еп_г (в области с соответствующими знаками мнимых
частей Ех, .... Еп_1). Совокупность всех Kt образует еди-
единую аналитическую функцию <?? с линиями разреза вдоль
гиперплоскостей Imi^^zO (i = 1 я — 1). Подобно
(IV. 7), спектральную функцию J(Elt .... Еп_{) можно вы-
выразить через предельные значения <?%* при стремлении мни-
мнимых частей Еь к нулю всеми возможными способами.
V. УРАВНЕНИЕ БЕТЕ—САЛЬПЕТЕРА
В этом приложении мы получим в явном виде уравнение
для двухчастичной функции Грина
G2c(xv x2; хи X2) =
G2c(Xl> X2> X'\> XX J) = -J
> х2; х[, х2; f), (V.I)
S= r{ exp (i fj(x) Ф (x) dx} } .
Проведем выкладки для системы ферми-частиц, взаимо-
взаимодействующих с квантовым полем. На основании приложе-
приложения I, п. д) результаты, таким путем полученные, можно
будет непосредственно перенести и на случай систем с пря-
прямым взаимодействием.
Обозначим через F (х) — /^Г<°) ^ оператор, стоящий
в левой части уравнения (8.8). Пользуясь уравнением движе-
движения . для оператора а (х) и поступая точно по образцу §§ 7
и 8, найдем
Отсюда
fdx'2G7\x2, x'2
(V.2)
х2, х[,
(хг - О Ь {Х2 -
20 Зак. 2126. Метод функций Грин?

298
ПРИЛОЖЕНИЯ
Для дальнейшего удобно воспользоваться символической
записью, рассматривая все фигурирующие здесь величины
как матрицы. Уравнение (V. 3) при этом принимает вид
: — "i2»
(V.3a)
где /12 — матрица с элементами
x.
Индексы 1 и 2 указывают, на какие именно переменные
(jtj или дг2) действует данная матрица (индекс «с» можно
опустить, ибо мы имеем дело сейчас только с причинными
функциями).
На основании (9.7) мы имеем
OT1 = — F1-\-M1. (V.4)
где Мх — массовый оператор. Следует подчеркнуть, что мас-
массовый оператор по определению действует только в про-
пространстве динамических переменных с соответствующим индек-
индексом; в то же время функциональная производная в (V. 3)
действует, конечно, на функции от любых переменных. По
этой причине операторы
-^j и Мх совпадают
лишь
в пространстве функций, аргументы которых содержат только
один индекс; в случае же, сейчас рассматриваемом, их ото-
отождествлять нельзя. Иначе говоря, второй сомножитель в левой
части (V. За) мы представим в форме
(V.5)
б»/ о*/
Соответственно уравнение (V. За) примет вид
— Мг + /?г<0) jj) G12 = il12. (V. 6)
С другой стороны, всегда можно написать
(V. 7)
V. УРАВНЕНИЕ БЕТЕ САЛЬПЕТЕРА
299
где V12 — оператор, определяемый этим равенством. Оче-
Очевидно, он описывает взаимодействие между частицами (в от-
отсутствие взаимодействия матрица G12 с точностью до мно-
множителя совпадала бы с антисимметризованным произведе-
произведением Gfiz). Выразив произведение V12G12 через функции
Грина и вершинные части, мы получим для G12 уравнение
типа (9.7), в чем как раз и состоит наша задача.
Сравнивая (V. 6) и (V. 7), получаем
= О2Л1]О12
о/
@)
5 С,
5/
На основании (V. 7)
87 V^2 w
Таким образом,
) = Gi-ST<VvtOi2) — Gi-zr
8
igrwG11T(yi2G12)-+-igT«» О,
На основании (9.5) и (9.4) можем написать
2- (V.8)
1Г1
и, следовательно, первое и четвертое слагаемые в (V. 8)
взаимно уничтожаются. Второе слагаемое можем переписать
в виде
Таким образом,
Vi2G12 = lg^V2D'2G12 —igT^ Gj ^j (V12O12). (V. 9)
Это есть уравнение для Vl2Gl2, которое можно решать,
20*

300
ПРИЛОЖЕНИЙ
например, итерациями. В частности, в первом приближении
второе слагаемое можно отбросить, и мы получаем
V12G12 ^
или, явно выписывая все аргументы,
(V. 10)
х2; ха, х4)О2с(х3, х4; х{
H»D'e(xv x2)G2c(xv x2; x[, x'2). (V. 10а)
При этом уравнение (V. 7) принимает вид
g^Oi. x')G7\x2> x")G2c(x', x"; x[, x'2)dx' dx" —
— ig^V^D'c{xx, x2)G2c{xx, x2; x{, xr2) =
= /8 (xx - x[) 8 (x2 - xf2) - /8 (a:1 - x'2) 8 (x2 - x[). (V. 11)
В качестве граничных условий к (V. 11) (в нерелятивист-
нерелятивистском случае), по-видимому, удобнее всего использовать тре-
требование представимости функции G2c в виде (IV. 14).
Уравнение (V. 7) [и, следовательно, (V. 11)] получено нами
для любой температуры. При Т= 0 оно превращается в хо-
хорошо известное в квантовой теории поля уравнение для свя-
связанных состояний [13] — [16]. В частности, если в духе
аппроксимации (V. 10) заменить в (V. 11) Gc и Dc на (?с0)
и D{c\ то при Т= 0 мы получим так называемое уравнение
Бете — Сальпетера [13] (выведенное названными авторами
1
+ ¦
Рис. 9.
для случая квантовой электродинамики). Пользуясь прави-
правилами приложения I, легко изобразить это уравнение графи-
графически. Именно, функция G2c, ему удовлетворяющая, пред-
представляет собой результат суммирования диаграмм, показанных
на рис. 9. Диаграммы такого типа называются иногда «лест-
У{>АВНЕНИЕ БЕТЕ САЛЬПЕТЕРА
aoi
ничными»; соответственно об аппроксимации (V. 10) говорят
как о «лестничной».
Равенство (I. 62) позволяет немедленно перенести урав-
уравнение (V. 11) на случай систем с прямым взаимодействием:
следует лишь произвести во втором слагаемом замену
(V. 12)
Нетрудно получить также уравнение типа (V. 7) (или
(V. 11)) для системы бозе-частиц. Действительно, свойство
антисимметрии С2с мы явно использовали лишь один раз при
вычислении правой части (V. 3). Отсюда следует, что в бо-
зевском случае достаточно лишь изменить знак второго сла-
слагаемого в правой части (V. 7) (или (V.11)).

VI. МАССОВЫЙ ОПЕРАТОР И ВЕРШИННАЯ ЧАСТЬ
ДЛЯ СИСТЕМ С ПРЯМЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
Массовый оператор и вершинную часть для системы ча-
частиц с прямым бинарным взаимодействием можно ввести
в полной формальной аналогии со случаем взаимодействия
через поле (§ 9). Удобно воспользоваться координатным
представлением, исходя из равенств (8.20а) — (8.23а). При
этом для компактности мы введем величины
W (je _ Х") =
F'(x, x') =
{x — х") 8 (х0 —
(VI. 1)
(VI. 2)
Тогда
= Г j exp (/ J dz dz'F' (z, z') ~a (z) a (zr)\ \, (VI. 4)
а уравнение (8.23а) принимает вид
+- fdx"Fr (x, x")Gc(x", x')~
i
1 bF(x",x")
C x')W(x", *")
bF{x",x)
+ Gc (x", x') W (x", x) X = — 8 (x — *'). (VI. 5)
Для краткости функциональная зависимость Gc от F явно
не указывается, но подразумевается; верхний знак для частиц
Ферми, нижний — Бозе.
VI. МАССОВЫЙ ОПЕРАТОР
303
Как и в § 9, произведем замену функционального аргу-
аргумента, полагая
bGAx'\x') ^ Г
dadvdzdz'Gc(x", a)
bW (z, z')
X
Введем обозначения
bG-1 (и,
, xr)
= Г (a, v, г, г'),
(VI. 6)
(VI .7)
bW {z, z') —
, x) —
Величины (VI, 7) и (VI. 8) представляют собой, очевидно,
аналоги вершинной части и полевой функции Грина (с чем
и связаны их обозначения). Из дальнейшего будет видно,
что эта аналогия носит не только формальный, но и более
глубокий характер: функция D окажется связанной с двух-
двухчастичной функцией Грина E.24), полюсы которой, как мы
знаем, описывают «парные» возбуждения системы.
На основании (VI. 6) — (VI. 8) уравнение (VI. 5) можно
переписать в виде
fdx"F'(x, x")Qc(x", x') —
— J dyM (x, y) Gc (y, x') = — Ь (x — x'), (VI. 9)
где массовый оператор М(х, у) определяется равенством
М (х, у) = 4- [ dx" dz dz' dz"W (x — x") {Gc (x, z) X
/¦
ХГ(г, у; z', z")D(z', z"; x", x") —
— Gc{x", z)V(z, y; z', z")D(z', z"; x", x) } —
Y f dx" U' (x ~~ x
(VI. 10)
Такая форма записи массового оператора удобна при реше-
решении уравнения (VI. 9) методом итераций (по образцу § 11). По-

304
ПРИЛОЖЕНИЯ
лучим прежде всего первое приближение для «вершинной
части», считая формально, что величина Ur. пропорцио-
пропорциональна некоему малому параметру а. Как и в § 11, эта
операция носит чисто формальный характер; фактически
параметр разложения можно найти только с помощью мето-
методики типа группы перенормировки. Умножая уравнение (VI.9)
матрично на GJ. получаем
откуда в силу (VI.7) и (VI. 10)
, v; z, z') = ~
~U'{a- z') 8 {z - z>) 8 (u - v)} -
+ О (*>). (VI.ll)
Далее, для функции D мы получаем, явно выполняя
варьирование в (VI.8) и (VI.3) и полагая затем F = 0:
D(z, zr; x", x) = — i{(Tja(z)a(z')a(x)a(x")}) —
— Oe(x.x")Qe(z'.z)}. (VI. 12)
В силу (VI. 1) и (VI.2) фактически всегда z'0 = z0 и х'^ — х^
и следовательно, первое слагаемое в фигурной скобке тесно
связано с функцией E.24), как и отмечалось выше.
Из формулы (VI. 12) следует, что введение массового
оператора, вообще говоря, не избавляет нас от необходи-
необходимости определять двухчастичную функцию Грина того или
иного типа. Иначе говоря, уравнение (VI.9), как и G.7), не
является «замкнутым»*). Разница состоит, однако, в кон-
конкретной форме двухчастичных функций Грина, входящих
в то и другое уравнение, что может оказаться существен-
существенным при использовании того или иного приближенного ме-
метода решения.
]) Так же обстоит дело, конечно, и для системы частиц, взаи-
взаимодействующих с квантовым полем: в уравнении для Gc фигури-
фигурирует и полевая функция Грина Dc,
vi. массовый оператор
Согласно определению (VI.8) мы имеем
Ш(г'% D(Z' *'• У- У) dzdZ' = 8 (« — З')
305
—У). (VI. 13)
Далее в нулевом приближении
D(z, z'\ x", x)= —iQc{z", x")O(x, z).
На основании (VI.10), (VI.11) и (VI.13) видим, что в пер-
первом приближении массовый оператор дается формулой
Мг (дг, у) = — J dx"U' (х — *") {§ {х" — у) W {х", х) —
— Ъ(х — у)Ф(х", х")). (VI. 14)
Принимая во внимание (VI. 1) и (8.24а) и обозначая, как
всегда, среднюю концентрацию частиц в точке х через а (х),
получаем окончательно
= — \U(x— у)рг(у, х; х0) —
— X')n{X')8(х — у)} 8(х0 — у0). (VI. 15)
При этом рх и п следует вычислять с помощью функций
Грина нулевого приближения.
Во втором приближении массовый оператор складывается
из двух членов
М2(х, у) = М^(х, у) + МЦх, у). (VI. 16)
Первое слагаемое М'2 получается итерацией формулы (VI. 15)
(в качестве рх и я следует взять результат первого прибли-
приближения). Второе слагаемое М^ происходит от первого члена
в правой части (VI. 11) и имеет вид
Ж2(дг, у) = — fdzdzfU(x — z)U(y — г-') X
X{OC(X^ хо> z'< Уо)°с(г'> Уо'> г> xo)°c(z> хо> У> Уо) —
— Gc(z, x0; z', yo)Gc(z', y0; z, xo)Gc(x, x0; у, у0)}. (VI. 17)
В качестве Gc здесь следует взять функцию нулевого при-
приближения (т. е. вычисленную в отсутствие взаимодействия).

ЛИТЕРАТУРА
К введению
1. J. Schwinger, . Proc. Nat. Acad. Sci. 37, 452, 455 A951).
(Имеется перевод в сборнике «Проблемы современной физики»,
№ 3, ИЛ, 1955.)
2. Н. Н. Боголюбов, Проблемы динамической теории в стати-
статистической физике, Гостехиздат, М., 1947.
3. L. Van Hove, Physica 21, 901 A955); 22, 343 A956). (Имеется
перевод в сборнике «Вопросы квантовой теории многих тел»,
ИЛ, 1959.)
4. N. М. Hugenholtz, Physica 23, 481 A957). (Имеется пере-
перевод в сборнике «Проблемы современной физики, № 3, ИЛ,
1958.)
5. В. Л. Бонч-Бруевич, ЖЭТФ 28, 121 A955); 30, 342 A956).
6. G. Kallen, Helv. Phys. Acta 25, 417 A952).
7. Н. Lehmann, Nuovo Cimento 11, 324 A954).
8. В. Л. Б о н ч - Б р у е в и ч, ЖЭТФ 31, 522 A956).
9. В. М. Галицкий, А. Б. Мигдал, ЖЭТФ 34, 139 A958).
10. В. М. Галицкий, ЖЭТФ 34, 151 A958).
11. Л. П. Горько в, ЖЭТФ 34, 735 A958).
12. С. Т. Беляев, ЖЭТФ 34, 417, 433 A958).
13. А. Б. Мигдал, ЖЭТФ 32, 399 A957); 34, 1438 A958).
14. A. Klein, R. Prange, Phys. Rev. 112, 994, 1008 A958).
(Имеется перевод в сборнике «Проблемы современной физики»,
№ 3, ИЛ, 1959.)
15. А. А. Абрикосов, Л. П. Г о р ь к о в, ЖЭТФ 35, 1558 A958).
16. Т. Mat sub а г a, Progr. Theor. Phys. 14, 351 A956).
17. В. Л. Бонч-Бруевич, Ш. М. Коган, ФТТ 1, 12-21 A969).
18. Ш. М. Коган, ДАН СССР 126, 546 A959). •
19. Ш. М. Коган, ФТТ 2, 1186 A960).
20. Н. Н. Боголюбов, С. В. Т я б л и к о в, ДАН СССР 126, 53
A959).
21. В. Л. Бонч-Бруевич, Ш. М. Коган, Ann. of Phys. 9, 125
A960).
22. В. Л. Бонч-Бруевич, ДАН СССР 126, 539 A959).
23. Л. Д. Ландау, ЖЭТ?> 34, 262 A958); 35, 957 A958),
24. Е. С. Фрадкин, ЖЭТФ 36, 1286 A959).
ЛИТЕРАТУРА
307
25. А. А. Абрикосов, Л. П. Г о р ь к о в, И. Е. Дзялошин-
ский, ЖЭТФ 36, 900 A959).
26. Р. С. Martin, J. Schwinger, Phys. Rev. 115, 1342 A959).
К главе I
1. J. Neumann, Mathematischs Grundlagen der Quantenmechanik,
oerlin, 173o2,.
2. H. H. Боголюбов, Лекции по квантовой статистике, Изд.
«Советская школа», Киев, 1949. (на укр. языке).
3. Н. Н. Б о г о л ю б о в, Проблемы динамической теории в стати-
статистической физике, Гостехиздат, М., 1947.
4. В. Л. Бонч-Бруевич, ЖЭТФ 31, 522 A956).
5. Л. Д. Л а н д а у, ЖЭТФ 34, 262 A958).
6. Н. Н. Боголюбов, С. В. Т я б л и к о в, ДАН СССР 126, 53
A959).
7. Ш. М. Коган, ДАН СССР 126, 546 A959).
8. В. Л. Бонч-Бруевич, Ш. М. Коган,
A960).
9. Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ш и р к о в,
квантованных полей, Гостехиздат, М., 1957.
10. Н. Н. Боголюбов, Б. В. Медведев, М. К. Поливанов,
Вопросы теории дисперсионных соотношений, Физматгиз, М.,
1958.
11. И. И. Привалов, Введение в теорию функций комплексного
переменного, 7-е издание, Гостехиздат, М. — Л., 1945.
Ann. of Phys. 9, 125
Введение в теорию
К главе II
1. Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ш и р к о в, Введение в теорию
квантованных полей, Гостехиздат, М., 1957.
2. Н. Н. Боголюбов, Проблемы динамической теории в стати-
статистической физике, Гостехиздат, М., 1947.
3. Н. Н. Боголюбов, Лекции по квантовой статистике, Изд.
«Советская школа», Киев, 1949 (на укр. языке).
4. J. Schwinger, Proc. Nat. Acad. Sci. 37, 542, 455 A951).
5. Ш. М. Коган, ФТТ 2, 1186 A960).
6. A. Klein, R. Prange, Phys. Rev. 112, 994 A958).
7. H. H. Боголюбов и С. В. Т я б л и к о в, ДАН СССР 126, 53
A959).
8. В. Л. Бонч-Бруевич и Ш. М. Коган, Ann. of Phys. 9,
125 A960).
9. В. 3. Бланк, В. Л. Бонч-Бруевич, Д В. Ш и р к о в
ЖЭТФ 33, 265 A957).
10. F. Dyson, Phys. Rev. 75, 1736 A949).
11. Е. С. G. Stueckelberg, A. Petermann, Helv. Phys. Acta
24, 153 A953).
12. H. H. Боголюбов, Д. В. Ш и р к о в, ДАН СССР 103, 203,
391 A955).
13. Д. И. Б л о х и н ц е в, Введение в квантовую механику, Гостех-
Гостехиздат,. М., 1951.

308
ЛИТЕРАТУРА
14. J. С. Ward, Phys. Rev. 78, 182 A950).
15. В. Л. Бонч-Бруевич, ДАН СССР 126, 539 A959).
16. В. Л. Бонч-Бруевич, ЖЭТФ 30, 342 A956).
17. В. Л. Бонч-Бруевич, ФММ 4, 546 A957).
18. Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников,
ДАН СССР 95, 1177 A954).
19. Н. Н. Боголюбов, А. А. Логунов, Д. В. Ш и р к о в,
ЖЭТФ 37, 805 A959).
20. Л. В. Овсянников, ДАН СССР 109, 1121 A956).
21. В. М. Галицкий, ЖЭТФ 34, 151 A958).
22. С. Т. Беляев, ЖЭТФ 34, 433 A958).
23. В. В. Толмачев, С. В. Т я б л и к о в, ЖЭТФ 34, 66 A958).
24. Н. Н. Б о г о л ю б о в, С. В. Т я б л и к о в, ЖЭТФ 19, 251 .A949)\
25. Н. Н. Боголюбов, СВ. Т я б л и к о в, Вестник МГУ, № 3,
35 A949).
26. Р. С. Martin, J. Schwinger, Phys. Rev. 115, 1342 A959}.
27. E. С. Ф р а д к и н, ЖЭТФ 36, 951; 1286 A959).
28. В. 3. Бланк, Д. В. Ширков, Nucl. Phys. 2, 356 A956).
К главе III
1. В. Л. Бонч-Бруевич, ФММ 7, 174 A959).
2. Ш. М. Коган, ДАН СССР 126, 546 A959); ФТТ 2, 1186 A960).
3. В. Л. Бонч-Бруевич, Укр. матем. журнал № 3 A961).
4. В. М. Галицкий, А. Б. Мигдал, ЖЭТФ 34, 139 A958L.
5. С. Т. Беляев, ЖЭТФ 34, 417 A958).
6. N. М. Hugenholtz, D. Pines, Phys. Rev. 116, 489 A959).
7. Г. Вентцель, Введение в квантовую теорию волновых полей,
Гостехиздат, М., 1947.
8. В. Л. Бонч-Бруевич, ДАН СССР 126, 539 A959).
9. Р. С. Martin, J. Schwinger, Phys. Rev. 115, 1342 A969).
10. R. P. Fey nm a nn, Phys. Rev. 94, 262 A954?.
11. R. Kubo, Journ. Phys. Soc. Jap. 12, 570 A957).
12. С. И. Пек ар, ЖЭТФ 16, 933 A946).
13. J. С. Slater, Phys. Rev. 76, 1592 A949).
14. С. Kittel, Mitchell, Phys. Rev. 96j, 1488 A964). (Перевод
в сборнике «Проблемы физики полупроводников», ИЛ, 1957.)
15. J. M. Luttinger.W. Kohn, Phys Rev. 97, 869 A955). (Пере-
(Перевод в сборнике «Проблемы физики полупроводников», ИЛ, 1957.)
16 Д. Н. Зубарев, УФН 71, 71 A960).
17. С. В. Тяб ликов, ФТТ 2, 361 A960).
18. М. И. Клингер, ФТТ 1, 674 A959).
19. Н. В. С alien, T. A. Welton, Phys. Rev. 83, 34 A951).
20. Н. Н. Боголюбов, Б. В. Медведев, М. К. Поливанов,
Вопросы теории дисперсионных соотношений, Физматгиз, М.,
1958.
21. R. Кг о nig, Journ. Opt. Soc. Am. 12, 547 A926).
22. у. A. Kramers, Atti. Congr. Intern. Fisici. Como 2, 545 A927).
23. В. Л. Бонч-Бруевич, ЖЭТФ 36, 924 A959).
24. Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц, Статистическая физика
(классическая и квантовая), Гостехиздат, М., 1951.
ЛИТЕРАТУРА
309
акад. С. И. Вавилова,
25. С. В. Вонсовский, Сборник памяти
Изд. АН СССР, 1952, стр. 363.
26. В. Л. Бонч-Бруевич, УФН 56, 55 A955).
27. J. M. Luttinger, J. С. Ward, Phys. Rev. 118, 1417 A960).
28. A. Klein, Phys. Rev. 121, 950 A961).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
M.
К главе IV
Я. А з б е л ь,
М. И. Каганов, ЖЭТФ
по электронной теории ионных
АН
1,
И. М. Лифшиц,
31, 63 A956).
Я. Г.Дорфман, ДАН СССР 81, 765 A951).
G. Dresselhaus, A. F. Kip, С Kittel, Phys. Rev. 100, 618
A955).
B. Л. Гуревич, ЖЭТФ 37, 71 A959).
C. И. Пекар, Исследования
кристаллов, Гостехиздат, 1951.
М. Ф. Д е й г е н, С. И. Пекар, Труды Института физики
УССР, вып. 7, 108 A956).
J. С. Slater, Phys. Rev. 76, 1592 A949).
J. M. Luttinger, W. Kohn, Phys. Rev. 97, 869 A955).
C. Kittel, M. Mitchell, Phys. Rev. 96, 1488 A954).
D. Pines, Статья в сборнике: Solid State Physics, vol.
New York, 1956.
D. Pines, Rev. Mod. Phys. 28, 184 A956)')¦
Д. Н. 3 у б а р ев, ЖЭТФ 25, 548 A953).
H. Kanazawa, Progr. Theoret. Phys. 13, 227 A955).
E. N. Adams, Phys. Rev. 98, 947 A955).
P. Nozieres, D. Pines, Phys. Rev. 109, 741, 762, 1062
A958).
В. Л. Бонч-Бруевич, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 87
A957).
В. Л. Бонч-Бруевич, ЖЭТФ 32, 1092 A957).
Н. Н. Боголюбов, Д. Н. Зубарев, ЖЭТФ 28, 129 A955).
P. Wolff, Phys. Rev. 92, 18 A953).
В. Л. Бонч-Бруевич, ФММ 4, 546 A957).
B. Л. Бонч-Бруевич, ФММ 6, 590 A958).
К. S a v a d а, К. A. Brueckner, О. N. Fukuda, R. Brout,
Phys. Rev. 108, 50 A957).
R. Brout, Phys. Rev/108, 515 A957).
C. Н. Ге-ршман, В. Л. Гинзбург, Н. Г. Денисов, УФН
61, 561 A957).
В. Л. Бонч-Бруевич, ФММ 6, 769 A958)\
В. Л. Бонч-Бруевич, Ш. М. Коган,
тела 1, 1921 A959).
B. Л. Бонч-Бруевич, А. Г. Миронов,
тела 2, 489 A960).
C. И. Пекар, ЖЭТФ 35, 522 A958).
Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 16, 574 A946).
В. Л. Бонч-Бруевич, ФММ 7, 448 A958)
Физика
Физика
твердого
твердого
') В статьях [10] и [11] имеются ссылки на предыдущие работы
Бома и Пайиса.

310
ЛИТЕРАТУРА
К главе V
1. В. Л. Бонч-Бруевич, ДАН СССР 126, 539 A959).
2. В. Л. Бонч-Бруевич, Ш. М. Коган, Annals of Physics
9, 125 A960).
3. Ш. М. Коган, ДАН СССР 126, 546 A959).
4. Ш. М. Коган, ФТТ 2, 1186 A960).
5. Н. Н. Боголюбов, А. А. Логунов, Д. В. Ш н р к о в,
ЖЭТФ 37, 805 A959).
6. В. Л. Бонч-Бруевич, В. Б. Г л аско, ДАН СССР 124, 1015
A959).
7. В. Л. Бонч-Бруевич, В. Б. Гласно, Вестник МГУ 5, 91
A958).
8. Ф. Ф. Волькенштейн, В. Б. Сандомирский, сборник
«Проблемы кинетики и катализа» 8, 189, Изд. АН СССР, М.
A955).
9. Н. J. Engell, в книге Halbleiterprobleme, Bd. I A954).
10. Ф. Ф. В о л ь к е н ш т е й н, УФН, 50, 253 A953).
11. Ф. Ф. Волькенштейн, Изв. АН СССР, сер. хим. № 5, 788;
№ 6, 972 A953).
12. В. Л. Бонч-Бруевич, Физика твердого тела (сборник ста-
статей), том 2, Изд. АН СССР, М., 1959, стр. 177.
13. G. L. Pearson, J. Bardeen, Phys. Rev. 79, 865 A949).
14. Б. И. Давыдов, И. М. Шмушкевич, УФН 24, 21 A940).
15. С. И. Пек ар, М. А. Кривоглаз, сборник памяти С. И. Ва-
Вавилова, стр. 334, Изд. АН СССР, М. A952):
16. В. Л. Бонч-Бруевич, ДАН СССР 124, 1233 A959).
17. A. Overhauser, Phys. Rev. 89, 689 A953).
18. J. Bardeen, Phys. Rev. 52, 688 A937).
19. J. Bardeen, D. Pines, Phys. Rev. 99, 1140 A955).
20. С. И. Пек ар, ЖЭТФ 18, 225 A948).
К главе VI
1. Н. Н. Боголюбов, С. В. Тяб ликов, ДАН СССР 126, 53
A959).
2. В. Л. Бонч-Бруевич, ФТТ 2, 1857 A960).
3. С. И. П е к а р, Исследования по электронной теории ионных
кристаллов, Гостехнздат, 1952.
4. Н. Н. Боголюбов, Укр. матем. журнал 2, 4 A950).
5. С. В. Тя бликов, ЖЭТФ 21, 397 A951).
6. С. И. Пек ар, ЖЭТФ 16, 341 A946).
7. Н. Frohlich, Phys. Rev. 79, 845 (I960).
8. Н. Н. Боголюбов, ЖЭТФ 34, 58 A958).
9. J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. S с h r i e f f e r, Phys. Rev.
106, 162 A957); 108, 1175 A957).
10. С. В. Тябликов, ДАН УССР, № 4, 239 A951).
11. A. Radkowsky. Phys. Rev. 73, 749 A947).
12. Н. Fan, Phys. Rev. 82, 900 A951).
ЛИТЕРАТУРА
311
A952).
ЖЭТФ 34,
1254
13. H. Frohlich, Ргос. Roy. Soc. A215, 291
14. Gs-Wentzel, Phys. Rev. 83, 168 A952).
15. В. В.' Толмачев, С. В. Тябликов,
A958).
16. Д. Н. Зубарев УФН 71, 71 A960).
17. Д. Н. Зубарев, Ю. А. Церковников НДВШ, фнз мат.
науки, № 2, 133 A959).
18. Н. Н. Боголюбов, В. В. Толмачев, Д. В. Ширков,
Новый метод в теории сверхпроводимости, Изд. АН СССР, М.,
1958.
19. Н. Н. Боголюбов, Д. Н. Зубарев, Ю. А. Церковни-
Церковников, ДАН СССР 117, 788 A957).
20. Н. Н. Боголюбов, Д. Н. Зубарев, Ю. А. Церковни-
Церковников, ЖЭТФ 39, 120 A960).
21. Н. Н. Боголюбов, К вопросу о модельном гамильтониане в
теории сверхпроводимости, препринт ОИЯИ A960).
22. А. Б. Ми гд а л, ЖЭТФ 34, 1438 A958).
23. В. Ш о к л и, Теория электронных полупроводников, ИЛ,
1953.
24. С. И. Пекар, М. Ф. Дейген, ЖЭТФ 21, 803 A951).
A959).
АН СССР, се-
К главе VII
1. Н. Н. Боголюбов, С. В. Тябликов, ДАН СССР 126, 53
A959).
2. С. В. Тябликов, Укр. матем. журнал 11, 287
¦ 3. Н. Н. Боголюбов, С. В. Тябликов, Изв.
рия физ. 21, 849 A957).
4. F. В loch, Z. Phys. 61, 1293 A929).
5. F. Dyson, Phys. Rev. 102, 1217, 1230 A956).
6. W. Opechowsky, Physica 25, 476 A959).
7. См., например, С. В. В о н с о в с к и й, Я. С. Шур, Ферромаг-
Ферромагнетизм, Гостехиздат A948).
8. W. Opechowsky, Physica 4, 715 A937).
9. Н. Н. Боголюбов, С. В. Тябликов, ЖЭТФ 19, 256.
A949)..
10. С. В. Тя бликов, ФТТ 2, 361 A960).
11. Сб. «Ферромагнитный резонанс», ИЛ, 1958.
12. Т. Oguchi, Progr. Pheoret. Phys. 17, 659 A957).
13. С. Kit t el, Phys. Rev. 73, 155 A948).
14. С. В. Тябликов, ФТТ 2, 2009 A960).
15. Л. Д. Л а н д а у и Е. М. Л и ф ш и ц, «Электродинамика сплош-
сплошных сред», Физматгиз, М., 1959, стр. 316.
16. R. Kubo, J. Phys. Soc. Jap. 12, 570 A957).
17. Д. Н. Зубарев, УФН 71, 71 A960).
18. R. Kubo, К. То mi t a, J. Phys. Soc. Jap. 9, 888 A954).
19. W. Bloembergen, Phys. Rev. 78, 572 A950).
20. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшнд, Sow. Phys. 8, 157
A935).
21. Пу Фу-чо, ДАН СССР 130, 1244; 131, 546 A960).

312 ЛИТЕРАТУРА
К приложениям
1. Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в теорию
квантованных полей, Гостехиздат^ 1957.
2. В. Б. Берестецкий, УФН 46, 231 A952).
3. R. P. Feynmann, Phys. Rev. 76, 749, 769 A949). (Имеется
перевод в сборнике «Новейшее развитие квантовой электроди-
электродинамики», ИЛ, 1954.)
4. G. С. Wick, Phys. Rev. 80, 268 A950). (Имеется перевод в
сборнике «Новейшее развитие квантовой электродинамики», ИЛ,
1954.)
5. F. Dyson, Phys. Rev. 75, 1736 A949). (Имеется перевод
в сборнике «Новейшее развитие квантовой электродинамики»,
ИЛ, 1954.)
6. P. J. Redmond, Phys. Rev. 112, 1404 A958).
7. Н. Н. Боголюбов, А. А. Логунов, Д. В. Ширков,
ЖЭТФ 37, 805 A959).
8. J. М. Jauch, К. М. Watson, Phys. Rev. 74, 950, 1485 A948);
75, 1247 A949).
9. М. И. Р я з а н о в, ЖЭТФ 32, 1244 A957).
10. С. В. Тяб ликов, ФММ 2, 193 A956).
11. Н. Н. Боголюбов, ЖЭТФ 34, 73 A958).
12. В. Л. Бонч-Бруевич, ДАН СССР 129, 529 A959).
13. Е. Sal peter, H. Be the, Phys. Rev. 84, 1232 A951). (Имеется
перевод в сборнике «Новейшее развитие квантовой электроди-
электродинамики», ИЛ, 1954, стр. 334.)
14. М. G ell-Mann, F. Low, Phys, Rev. 84, 350 A951). (Имеется
перевод в сборнике «Проблемы современной физики», № 10, ИЛ,
1955.)
15. J. Sch winger, Proc. Nat. Acad. Sci, 37, 459, 451 A951).
(Имеется перевод в сборнике «Проблемы современной физики»,
№ з, ИЛ, 1955.)
16. М. К. Поливанов, Дипломная работа, МГУ, 1954.