ПРОСТРАНСТВОДА ТУРЫЛАР
ҺӘМ ЯССЫЛЫКЛАРНЫҢ ҮЗАРА ТОРЫШЫ
Турылар параллель
Турылар кисешә
Турылар чалышма
Туры һәм яссылык
параллель
Туры яссылыкта ята
Туры һәм яссылык
кисешә
\	7
/ ' /
/ ______' /
Яссылыклар параллель
Яссылыклар кисешә

мду-мәктәпкә
Геометрия
Татар телендә гомуми
белем бирү мәктәбе
өчен дәреслек
Төп һәм профильле белемнәр
10-11
I ⅝r ■ I СЫЙНЫФЛАР
Россия Федерациясе
Мәгариф һәм фән министрлыгы
тарафыннан тәкъдим ителгән
Казан · Татарстан китап нәшрияты
Москва · «Просвещение»
2013

УДК 373.167.1:514*10/11
ББК 22.151 я721
Г39
Геометрия. 10—11 классы : учеб, для общеобразоват. учреждений :
базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Ка¬
домцев и др.]. — 21-е изд. — М. : Просвещение, 2012. (МГУ —
школе).
«МДУ — мәктәпкә» сериясе 1999 нчы елдан нәшер ителә.
Авторлары: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев.
Л. С. Киселёва, Э. Г. Позняк
Әлеге басмага, математикадан белем бирүнең яңа стандартларына туры
китереп, С. Б. Кадомцев һәм В. Ф. Бутузов тарафыннан әзерләнгән мө¬
һим өстәмәләр кертелгән. Яңа материалның күп өлеше төп белем бирү
мәктәпләре өчен мәҗбүри түгел, ул * тамгасы белән билгеләнгән.
Дәреслекнең фәнни җитәкчесе — академик А. Н. Тихонов
Охраняется действующим законодательством об авторских и смежных
правах (Гражданский кодекс РФ, ч. 4, гл. 70). Воспроизведение всей книги
или её части на любых видах носителей запрещается без письменного
разрешения издательства.
Переводное издание учебника выпущено в свет по Сублицензионно¬
му договору 3/28-13 от 22.03.2013. Экземпляры переводного издания
подлежат распространению исключительно в Республике Татарстан,
а также среди татарской диаспоры на территориях других субъектов
Российской Федерации.
Шартлы тамгалар:
25 — төп белем бирү мәктәбендә өйрәнү өчен мәҗбүри булмаган пункт
20 — төп белем бирү мәктәбендә мәҗбүри булмаган мәсьәлә
— төп белем бирү мәктәбендә өйрәнү өчен мәҗбүри булмаган материал
башы
Λ — төп белем бирү мәктәбендә өйрәнү өчен мәҗбүри булмаган мате¬
риал ахыры
Геометрия. 10—11 сыйныфлар : татар телендә гомуми белем
Г39 бирү мәкт. өчен д-лек / [ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Ка¬
домцев һ. б.; русчадан 3. X. Билалова, Л. X. Мөхәммәтҗанова
тәрҗ.].— Казан : Татар, кит. нэшр., 2013.— 256 б. : рэс. б-н. —
(МДУ — мәктәпкә)
ISBN 978-5-298-02460-0
УДК 373.167.1:514*10/11
ББК 22.151 я721
ISBN 978-5-298-02460-0
© Издательство «Просвещение», 1992
© Издательство «Просвещение», 2006, с изменениями
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2006
Все права защищены
© Татарчага тәрҗемә. «Мәгариф» нәшрияты, 2005
© Татарчага тәрҗемә. Татарстан китап нәшрияты,
2013, үзгәрешләр белән

Кереш
1	Стереометрия фәне
Геометриянең мәктәп курсы ике кисәктән:
планиметрия һәм стереометриядән тора. Планиметриядә
яссылыктагы геометрик фигураларның үзлекләре өйрә¬
нелә. Стереометрия — геометриянең пространствода-
гы фигураларның үзлекләрен өйрәнә торган бүлеге.
«Стереометрия» сүзе «стереос» — күләмле, простран-
стволы һәм «метрео» — үлчәү дигән грек сүзләреннән
алынган.
Нокта, туры һәм яссылыклар пространст-
водагы иң гади һәм шул ук вакытта төп фигуралар
булып тора дип әйтергә мөмкин. Бу фигуралар белән
беррәттән без геометрик җисемнәрне һәм аларның өс¬
лекләрен тикшерербез. Әйләнә-тирәбездәге әйберләр
безгә геометрик җисемнәрне күзалларга мөмкинлек
бирә. Мәсәлән, өслеге күппочмаклардан торган кри¬
сталлар геометрик җисем формасында була. Андый өс¬
лекләрне күпкырлыклар дип атыйлар. Иң гади күпкыр¬
лыкларның берсе — куб (рәс. 1, а). Сыеклык тамчылары
авырлык югалу халәтендә шар дип аталган геометрик
җисемне хәтерләтә (рәс. 1,6). Футбол тубы шундый ук
формада. Консерв банкасы цилиндр дип аталган геоме¬
трик җисем рәвешендә була (рәс. 1, в).
Геометрик җисемнәр,— реаль тормышта¬
гы предметлардан аермалы буларак, һәртөр геометрик
фигуралар кебек үк күзаллана торган объектлар. Без
геометрик җисемне пространстводан өслек яки әлеге
җисемнең чиге белән аерып алынган пространствоның
бер өлеше буларак күз алдына китерәбез. Мәсәлән,
шарның чиге — сфера, ә цилиндрның чиге ике түгәрәк¬
тән — цилиндрның нигезләреннән һәм ян өслегеннән
гыйбарәт.
а)
Куб
б)
Шар
в)
Цилиндр
Рәс. 1
3
Кереш

Геометрик фигураларның — күзаллана тор¬
ган объектларның үзлекләрен өйрәнеп, без реаль тор¬
мыштагы предметларның геометрик үзлекләре (алар-
ның формалары, үзара торышлары һ. б.) турында
беләбез һәм бу үзлекләрдән көндәлек тормышта файда¬
ланабыз. Геометриянең тормыштагы гамәли әһәмияте
менә шуннан гыйбарәт. Геометрия, аерым алганда сте¬
реометрия, төзү эшендә, архитектурада, машина тө¬
зелешендә, геодезиядә, фән һәм техниканың күп кенә
башка өлкәләрендә киң кулланыла.
Пространство фигураларын, атап әйткәндә
геометрик җисемнәрне өйрәнгәндә, аларның сызым¬
дагы сурәтләреннән файдаланалар. Пространство фи¬
гурасының сурәте булып аның теге яки бу яссылыкка
проекциясе хезмәт итә. Бер үк фигура төрлечә сурәт¬
ләнергә мөмкин. Гадәттә, фигураны дөрес күзалларга
мөмкинлек бирә торган һәм аның үзлекләрен өйрәнү
өчен, иң уңай сурәте сайлап алына. 2, а, б рәсемнәрендә
ике күпкырлык — параллелепипед һәм пирамида, ә
2, в рәсемендә конус сурәтләнгән. Анда бу фигураларның
күренми торган өлешләре өзекле сызыклар белән күр¬
сәтелгән. Пространство фигураларын сурәтләү кагый¬
дәләре 1 нче кушымтада бирелгән.
Без ике ел дәвамында туры һәм яссылык¬
ларның үзара торышын, күпкырлыкларны, простран-
ствода векторларны һәм координаталар методын, «түгә¬
рәк» геометрик җисемнәрне — цилиндр, конус, шарны
өйрәнербез һәм җисемнәрнең күләмнәре турындагы
мәсьәләләрне тикшерербез.
2	Стереометрия аксиомалары
Планиметриядә нокта һәм турылар төп фи¬
гуралар иде. Стереометриядә алар белән беррәттән та¬
гын бер төп фигура — яссылык тикшерелә. Өстәл яки
стенаның шома өслеге яссылыкны күзалларга мөмкин¬
лек бирә. Яссылыкны геометрик фигура буларак бар¬
лык якка да чиксез җәелгән дип күзалларга кирәк.
Элекке кебек үк нокталарны — латин ал¬
фавитының баш хәрефләре А, В, С һ. б., ә турылар¬
ны юл хәрефләре а, Ь, с һ. б. белән яки латин алфа¬
витының ике баш хәрефе белән AB, CD һ. б. рәвешендә
тамгаларбыз. Яссылыкларны грек хәрефләре α, β, γ
һ. б. белән тамгаларбыз. Рәсемдә яссылык параллело¬
грамм (рәс. 3, а) яки ирекле рәвештә сызылган өлкә
(рәс. 3, б) рәвешендә сурәтләнә.
Параллелепипед
Пирамида
в)
Конус
Рәс. 2
Рәс. 3
4 Кереш

Билгеле, һәр яссылыкта пространствоның
нинди дә булса нокталары ята, ләкин пространствоның
барлык нокталары да бер үк яссылыкта ятмый. 3, б рә¬
семендә А һәм В нокталары β яссылыгында ята (β яс¬
сылыгы бу нокталар аша үтә), ә Μ, Ν, Р нокталары бу
яссылыкта ятмый. Кыскача аны болай язалар: A ∈ β,
В ∈ β, Μ ί β, N ί β, Ρ £ β.
Нокта, туры һәм яссылыкларның үзара
торышына кагылышлы төп үзлекләр аксиомалар рә¬
вешендә әйтеп бирелгән. Стереометрия аксиомала¬
рының тулаем системасы күп өлеше безгә планимет¬
рия курсыннан таныш булган аксиомалардан тора.
Аксиомаларның тулы исемлеге һәм аларның кайбер
нәтиҗәләре 2 нче кушымтада бирелгән. Биредә без про-
странстводагы нокта, туры һәм яссылыкларның үзара
торышы турындагы бары тик өч аксиоманы бирербез.
Алар түбәндә A1, A2, А3 хәрефләре белән тамгаланып
бирелә.
A1
Μ·Ι·Ι^^··Ι·········ΙΙ·ΙΙ···············ΙΙ^·
Бер турыда ятмаган теләсә нинди өч нокта аша яссы¬
лык үтә һәм бары тик бер генә.
4 нче рәсемдә сурәтләнгән модель бу аксио¬
маның иллюстрациясе булып хезмәт итә. Бер турыда
ятмаган А, В һәм С нокталары аша үтүче яссылыкны
кайвакыт ABC яссылыгы дип атыйлар.
Ирекле рәвештә өч кенә нокта түгел, ә бәл¬
ки дүрт нокта алсак, алар аша бер яссылык та үтмәве
мөмкин икәнен искәртеп китәбез. Икенче төрле әйт¬
кәндә, дүрт нокта бер яссылыкта ятмаска мөмкин. Бу
фактны тормышта ачык итеп раслап булуын һәркем
белә: әгәр урындык аякларының озынлыгы тигез бул-
маса, ул өч аякта тора, ягъни өч «нокта»га таяна, ә
дүртенче аягының очы (дүртенче «нокта») идән яссы¬
лыгында ятмый, һавада асылынып кала.
А2
A1 аксиомасына иллю¬
страция: пластинаны
бер турыда ятмаган өч
нокта: А, В һәм С нокта¬
лары тотып тора
Рәс. 4
Турының ике ноктасы бер яссылыкта ятса, турының
барлык нокталары да шул яссылыкта ята*.
Биредә һәм алга таба да «ике нокта» («ике туры», «ике яссылык»)
турында сөйләгәндә, бу нокталарны (турыларны, яссылыкларны)
төрле дип исәпләрбез.
5 Кереш

Мондый очракта туры яссылыкта ята яки
яссылык туры аша үтә, диләр (рәс. 5, а).
А2 аксиомасында күрсәтелгән үзлек сызым
линейкасының «тигезлеген» тикшергәндә файдаланы¬
ла. Моның өчен линейканы өстәл өслеге яссылыгына
кырые белән куялар. Линейканың кырые тигез (туры
сызык) булса, ул үзенең барлык нокталары белән өстәл
өслегенә ята. Кырый тигез булмаса, кырый белән өстәл
өслеге арасында буш ара калыр.
А2 аксиомасыннан туры бирелгән яссылык¬
та ятмаса, аның яссылык белән бердән артык уртак
ноктасы булмавы килеп чыга. Әгәр туры белән яссы¬
лыкның бер генә уртак ноктасы булса, алар кисешәләр,
диләр (рәс. 5, б).
A3
а)
АВ турысы α яссылы¬
гында ята
а турысы һәм α яссы¬
лыгы М ноктасында
кисешәләр
Әгәр ике яссылыкның уртак ноктасы булса, аларның
барлык уртак нокталары яткан уртак турысы була.
Мондый очракта яссылыклар туры буенча
кисешәләр, диләр (рәс. 5, β). Бүлмәдәге чиктәш ике
стенаның, стена белән түшәмнең кисешү сызыгы А3 ак¬
сиомасына ачык иллюстрация булып тора.
Бирелгән аксиомалардан чыккан беренче
нәтиҗәләргә күчкәнгә кадәр, алга таба файдаланылачак
бер мөһим хәлгә тукталыйк. Пространствода яссылык¬
лар чиксез күп, һәм һәр яссылыкта планиметриянең
барлык аксиомалары һәм теоремалары урынлы. Мон¬
нан тыш, планиметрия курсыннан таныш булган өч¬
почмакларның тигезлек һәм охшашлык билгеләре төрле
яссылыкларда урнашкан өчпочмаклар өчен дә дөрес
(2 нче кушымтаны кара).
α һәм β яссылыклары а
турысы буенча кисешә¬
ләр
Рәс. 5
3	Аксиомалардан кайбер нәтиҗәләр
Теорема
Туры һәм анда ятмаган нокта аша яссылык үтә һәм
бары тик бер генә.
Исбатлау
а турысын һәм бу турыда ятмаган М нок¬
тасын карыйк (рәс. 6). а турысы һәм М ноктасы аша
Кереш

яссылык үткәнен исбатларбыз, а турысында Р һәм Q
нокталары билгелибез. М, Р һәм Q нокталары бер туры¬
да ятмыйлар, шуңа күрә A1 аксиомасы буенча бу нок¬
талар аша ниндидер ос яссылыгы үтә. а турысының ике
ноктасы (Р һәм Q) α яссылыгында ятканга күрә, А2
аксиомасы буенча a яссылыгы а турысы аша үтә.
а турысы һәм М ноктасы аша үтүче яссы¬
лык М, Р һәм Q нокталары аша да үткәнгә күрә, мон¬
нан а турысы һәм М ноктасы аша үтүче яссылыкның
бердәнберлеге килеп чыга. Димәк, ул a яссылыгы белән
тәңгәл килә, чөнки A1 аксиомасы буенча М, Р һәм Q нок¬
талары аша бер генә яссылык үтә. Теорема исбатланды.
Рәс. 6
Теорема
Кисешүче ике туры аша яссылык үтә һәм бары тик
бер генә.
Исбатлау
М ноктасында кисешүче а һәм Ъ турыларын
карыйк (рәс. 7) һәм бу турылар аша яссылык үткәнен
һәм бары тик бер генә икәнен исбатлыйк.
Ь турысында М ноктасы белән тәңгәл кил¬
мәгән нинди дә булса N ноктасы билгеләп, N нокта¬
сы һәм а турысы аша үтүче a яссылыгын тикшерик.
Ь турысының ике ноктасы a яссылыгында ята, шуңа
күрә А2 аксиомасы буенча a яссылыгы Ь турысы аша
үтә. Шулай итеп, a яссылыгы а һәм Ъ турылары аша
үтә. а һәм Ь турылары аша үтүче теләсә нинди яссы¬
лык N ноктасы аша да үткәнгә күрә, моннан андый
яссылыкның бердәнберлеге килеп чыга. Шулай бул¬
гач, N ноктасы һәм а турысы аша бер генә яссылык
үткәнлектән, ул яссылык a яссылыгы белән тәңгәл
килә. Теорема исбатланды.
Рәс. 7
Сораулар һәм мәсьәләләр
1	8 нче рәсем буенча: а) РЕ, МК, DB, AB, EC турылары яткан яссы¬
лыкларны; б) DK турысының ABC яссылыгы белән, СЕ турысының
ADB яссылыгы белән кисешү ноктасын; в) ADB һәм DBC яссылык -
ларында яткан нокталарны; г) ABC белән DCB, ABD белән CDA,
PDC белән ABC яссылыкларының кисешү турыларын әйтегез.
2	9 нчы рәсем буенча: а) DCC1 һәм BQC яссылыкларында яткан нок¬
таларны; б) AA1 турысы яткан яссылыкларны; в) МК турысының
ABD яссылыгы белән, DK һәм ВР турыларының A1B1C1 яссылыгы
белән кисешү нокталарын; г) AA1B1 белән ACD, PB1Cl белән ABC
7 Кереш

3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
яссылыгының кисешү турыларын; д) МК
һәм DC, -B1C1 һәм BP, C1M һәм DC турыла¬
рының кисешү нокталарын әйтегез.
Болар дөресме: а) теләсә нинди өч нокта бер
яссылыкта ята; б) теләсә нинди дүрт нок¬
та бер яссылыкта ята; в) теләсә нинди дүрт
нокта бер яссылыкта ятмый; г) теләсә нин¬
ди өч нокта аша яссылык үтә һәм бары тик
бер генә?
А, В, С һәм D нокталары бер яссылыкта ят¬
мый. а) Аларның кайсы да булса өчесе бер
турыда ятуы мөмкинме? б) АВ һәм CD ту¬
рыларының кисешүе мөмкинме? Җавабы¬
гызны нигезләгез.
Турыда ятучы бирелгән өч нокта аша яс¬
сылык үткәнен исбатлагыз. Шундый ничә
яссылык бар?
Бирелгән өч нокта пар-пар кисемтәләр бе¬
лән тоташтырылган. Барлык кисемтәләрнең
бер яссылыкта ятканын исбатлагыз.
Рәс. 9
Ике туры М ноктасында кисешә. М ноктасы аша үтмәүче һәм
бирелгән турыларны кисүче барлык турыларның бер яссылыкта
ятканын исбатлагыз. М ноктасы аша үтүче барлык турылар бер
яссылыкта ятамы?
Мондый раслама дөресме: а) әйләнәнең ике ноктасы яссылыкта
ятса, әйләнә тулысынча шул яссылыкта ята; б) әйләнәнең өч нок¬
тасы яссылыкта ятса, әйләнә тулысы белән шул яссылыкта ята?
Параллелограммның чиктәш ике түбәсе һәм диагональләренең
кисешү ноктасы α яссылыгында ята. Параллелограммның калган
ике түбәсе a яссылыгында ятамы? Җавабыгызны нигезләгез.
Туры: а) өчпочмакның ике ягын кисеп үтсә; б) өчпочмак түбә¬
ләренең берсе аша үтсә, ул бирелгән өчпочмак яссылыгында ята
дип раслау дөресме?
Туры һәм бу турыда ятмаган бер нокта бирелгән. Бирелгән нокта
аша үтеп, бирелгән турыны кисүче барлык турыларның бер яссы¬
лыкта ятканын исбатлагыз.
А, В, С, D нокталары бер яссылыкта ятмый. А, В, С һәм А, В, D
нокталары аша үтүче яссылыклар кисешәме?
Ике яссылыкның: а) бер генә уртак ноктасы; б) ике генә уртак
ноктасы; в) бер генә уртак турысы булуы мөмкинме?
Өч туры бер нокта аша үтә. Аларның һәр икесе аша яссылык
үткәрелгән. Барлыгы ничә яссылык үткәрелгән?
Өч туры пар-пар кисешәләр. Аларның я бер яссылыкта ятканын,
я уртак нокталары булуын исбатлагыз.
8 Кереш

I	бүлек
Турыларның һәм яссылыкларның
параллельлеге
Турыларның, туры белән яссылыкның
параллельлеге
4	Пространствода параллель турылар
Пространствода параллель турылар төшенчәсен бирик.
Билгеләмә
Пространствода ике туры бер яссылыкта ятса һәм кисешмәсә,
алар параллель дип атала.
а һәм Ъ турыларының параллельлеге болай
тамгалана: a II b. 10 нчы рәсемдә а һәм b турылары па¬
раллель, ә а һәм с, а һәм d турылары параллель түгел.
Параллель турылар турындагы теореманы
исбатлыйк.
Теорема
ииаиганямнншинииа·······
Пространствоның бирелгән турыда ятмаган теләсә
нинди ноктасы аша әлеге бирелгән турыга параллель
туры үтә һәм бары тик бер генә.
Исбатлау
а турысын һәм бу турыда ятмаган М нокта¬
сын карыйк (рәс. 11). а турысы һәм М ноктасы аша яс¬
сылык үтә һәм бары тик бер генә (п. 3). Бу яссылыкны
α хәрефе белән тамгалыйк. М ноктасы аша а турысына
параллель үтүче туры М ноктасы һәм а турысы белән
бер яссылыкта, ягъни a яссылыгында ятарга тиеш.
Ләкин, планиметрия курсыннан билгеле булганча, a
яссылыгында М ноктасы аша а турысына параллель
туры үтә һәм бары тик бер генә. 11 нче рәсемдә бу туры
b хәрефе белән тамгаланган. Шулай итеп, b — М нок¬
тасы аша үтүче һәм а турысына параллель бердәнбер
туры. Теорема исбатланды.
Алга таба безгә кисемтәләрнең параллельле¬
ге, кисемтә белән турының параллельлеге, нурларның
параллельлеге төшенчәләре кирәк булачак. Ике кисемтә
параллель турыларда ятса, алар параллель дип ата¬
ла. Кисемтә белән турының параллельлеге, шулай ук
Рәс. 10
Рәс. 11
Турыларның һәм яссылык¬
ларның параллельлеге
9

ике нурның параллельлеге шушыңа охшаш рәвештә
билгеләнә. 12 нче рәсемдә CD һәм EF кисемтәләре па¬
раллель (CD IIEF), ә АВ һәм CD кисемтәләре параллель
түгел, АВ кисемтәсе а турысына параллель (АВ II а).
5	Өч турының параллельлеге
Алга таба аңлатуны дәвам итү өчен, яссы¬
лыкның параллель турылар белән кисешүе турындагы
лемманы исбатларбыз.
Лемма
Әгәр ике параллель турының берсе яссылыкны кисеп үтсә, ул ва¬
кытта икенче туры да бу яссылыкны кисеп үтә.
▼ Исбатлау
а һәм Ъ параллель турыларын карыйк, ал ар¬
ның берсе — а турысы — α яссылыгын М ноктасында
кисеп үтә (рәс. 13, а). Ъ турысының да a яссылыгын ки¬
сеп үтүен, ягъни аның белән бер уртак ноктасы булуын
исбатлыйк.
а һәм Ъ параллель турылары яткан яссы¬
лыкны β хәрефе белән тамгалыйк. Төрле ике яссы¬
лык: a һәм β ның уртак М ноктасы булганлыктан, А3
аксиомасы буенча, алар ниндидер р турысы буйлап
кисешәләр (рәс. 13, б). Бу туры β яссылыгында ята һәм
a турысын кисеп үтә (М ноктасында), шуңа күрә ул аңа
параллель булган Ъ турысын ниндидер N ноктасында
кисеп үтә. р турысы шулай ук a яссылыгында ята, шу¬
лай булгач, N — а яссылыгы ноктасы. Димәк, N — Ь
турысы белән a яссылыгының уртак ноктасы.
Ь турысының a яссылыгы белән N нокта¬
сыннан башка уртак ноктасы юклыгын исбатлыйк.
Бу Ь турысының a яссылыгын кискәнен белдерер дә.
Дөрестән дә, Ь турысының a яссылыгы белән тагын
бер уртак ноктасы булса, ул тулысынча a яссылыгын¬
да ятар иде. Шулай булгач, a һәм β яссылыкларының
уртак турысы булыр, ягъни р турысы белән тәңгәл ки¬
лер иде. Ләкин моның булуы мөмкин түгел, чөнки шарт
буенча а һәм Ь турылары параллель, ә а һәм р турыла¬
ры кисешә. Лемма исбатланды. Δ
Планиметрия курсыннан, әгәр өч туры бер
яссылыкта ятса һәм аларның икесе өченче турыга па¬
раллель булса, ул вакытта бу ике турының параллель
булуы билгеле. Шушыңа аналогик расламаны простран-
стводагы өч туры өчен исбатлыйк.
б)
Рәс. 13
Турыларның һәм яссылык¬
ларның параллельлеге
10

Теорема
Әгәр ике туры өченче турыга параллель булса, алар
параллель була.
Исбатлау
а II с һәм Ь 11 с булсын, а IIЪ икәнен исбатлыйк.
Моның өчен а һәм Ь турыларының: 1) бер яссылыкта
ятуын һәм 2) кисешмәвен исбатларга кирәк.
1)	Ь турысында нинди дә булса К ноктасы
билгелик тә а турысы һәм К ноктасы аша үтүче яссы¬
лыкны α хәрефе белән тамгалыйк (рәс. 14). Ь турысының
бу яссылыкта ятуын исбатлыйк. Дөрестән дә, Ь турысы
α яссылыгын кисә дип уйласак, яссылыкның парал¬
лель турылар белән кисешүе турындагы лемма буенча
с турысы да α яссылыгын кисә. Ләкин с II α булганлык¬
тан, а турысы да α яссылыгын кисә, ә а турысы α яс¬
сылыгында ятканлыктан, моның булуы мөмкин түгел.
2)	а һәм Ь турылары кисешми, шулай бул¬
маган очракта аларның кисешү ноктасы аша с туры¬
сына параллель ике туры (а һәм Ь) үтәр иде, ә моның
булуы мөмкин түгел. Теорема исбатланды.
Рәс. 14
6	Туры белән яссылыкның параллельлеге
Әгәр турының ике ноктасы бирелгән яссы¬
лыкта ятса, А2 аксиомасы буенча туры тулысынча шул
яссылыкта ята. Моннан пространствода туры белән
яссылыкның үзара торышының өч очрагы булуы
мөмкин икәнлеге килеп чыга:
а)	туры яссылыкта ята(5, а рәсемен кара);
б)	туры белән яссылыкның бер генә уртак
ноктасы бар, ягъни кисешәләр (5, б рәсемен кара);
в)	туры белән яссылыкның бер генә дә
уртак ноктасы юк.
Билгеләмә
Туры һәм яссылыкның уртак нокталары булмаса, алар параллель
дип атала.
а турысы һәм α яссылыгының параллель¬
леге болай тамгалана: а II а. Троллейбус яки трамвай
өчен тарттырылган үткәргечләр турының яссылыкка
параллельлеген ачык күзалларга мөмкинлек бирә — бу
үткәргечләр җир яссылыгына параллель. Икенче мисал
итеп стена белән түшәмнең кисешү сызыгын алырга
була, бу сызык идән яссылыгына параллель (рәс. 15, а).
Турыларның һәм яссылык-
1 1 ларның параллельлеге

Идән яссылыгында бу сызыкка параллель туры барлы¬
гын искәртәбез. Мәсәлән, идәннең шул ук стена белән
кисешү сызыгы шундый туры була.
15, а рәсемендә күрсәтелгән турылар а һәм
b хәрефләре белән тамгаланган. Әгәр α яссылыгында
бу яссылыкта ятмаган а турысына параллель b турысы
булса, ул вакытта а турысы һәм α яссылыгы параллель
икән (рәс. 15, б).
Икенче төрле әйткәндә, α яссылыгында
а турысына параллель b турысының булуы — а туры¬
сының α яссылыгына параллельлеге турында нәтиҗә
ясарга мөмкинлек биргән билге ул. Бу расламаны тео¬
рема рәвешендә әйтеп бирик.
а)
Теорема
Әгәр бирелгән яссылыкта ятмаган туры бу яссылык¬
та яткан нинди дә булса турыга параллель булса, ул
туры бирелгән яссылыкка параллель.
Исбатлау
α яссылыгын һәм ике параллель туры — а
һәм Ъ ны карыйк; b турысы α яссылыгында ята, ә а ту¬
рысы бу яссылыкта ятмый (рәс. 15, б). α II α икәнен
исбатлыйк.
а турысы α га параллель түгел дип уйлыйк.
Ул вакытта а турысы α яссылыгын кисә, димәк, яссы¬
лыкны параллель турылар белән кисү турындагы лемма
буенча, b турысы да α яссылыгын кисә. Ләкин моның
булуы мөмкин түгел, чөнки Ъ турысы α яссылыгында
ята. Шулай итеп, а турысы α яссылыгын кисми, шуңа
күрә ул бу яссылыкка параллель. Теорема исбатланды.
Мәсьәләләр чишүдә еш кулланыла торган
тагын ике расламаны исбатларбыз.
1°. Әгәр яссылык икенче яссылыкка парал¬
лель булган бирелгән туры аша үтсә һәм бу яссылык¬
ны киссә, яссылыкларның кисешү сызыгы бирелгән
турыга параллель була.
α яссылыгына параллель булган бирелгән
а турысы аша α яссылыгын Ъ турысы буйлап кисүче
β яссылыгы үтсен, ди (рәс. 16). b II а икәнен исбатлыйк.
Дөрестән дә, бу турылар бер яссылыкта (β яссылыгын¬
да) ята һәм кисешмиләр: шулай булмаганда а турысы
α яссылыгын да кисәр иде, ә шарт буенча а II α булган¬
лыктан, моның булуы мөмкин түгел.
Турыларның һәм яссылык¬
ларның параллельлеге
12

2°. Әгәр ике параллель турының берсе би¬
релгән яссылыкка параллель булса, икенче туры да я
бирелгән яссылыкка параллель, я шул яссылыкта ята.
Дөрестән дә, а һәм Ь ■— параллель турылар,
өстәвенә а турысы α яссылыгына параллель булсын.
Ул вакытта а турысы α яссылыгын кисми, димәк,
яссылыкның параллель турылар белән кисешүе турын¬
дагы лемма буенча Ъ турысы да α яссылыгын кисми.
Шуңа күрә Ь турысы α яссылыгына параллель, я бу
яссылыкта ята.
Рәс. 17
Сораулар һәм мәсьәләләр
16	Параллель а һәм Ь турылары α яссылыгында ята. а һәм Ъ турыла¬
рын кисүче с турысы да а яссылыгында ятуын исбатлагыз.
17	17 нче рәсемдә Μ, N, Q һәм Р — DB, DC, АС һәм АВ кисемтә¬
ләренең урталары. AD = 12 см, ВС = 14 см булса, MNQP дүрт¬
почмагының периметрын табыгыз.
18	С ноктасы АВ кисемтәсендә ята. А ноктасы аша — яссылык, ә В
һәм С нокталары аша бу яссылыкны тиңдәшле рәвештә B1 һәм C1
нокталарында кисүче параллель турылар үткәрелгән, a) С нокта¬
сы — АВ кисемтәсенең уртасы, BBl = 7 см; б) АС : СВ = 3:2 һәм
ВВ} = 20 см булса, CC1 кисемтәсенең озынлыгын табыгыз.
19	ABCD параллелограммының АВ һәм ВС яклары а яссылыгын
кисә. AD һәм DC турылары да α яссылыгын кисүен исбатлагыз.
20	Трапециянең урта сызыгы α яссылыгында ята. Трапециянең ни¬
гезләрен эченә алган турылар α яссылыгын кисәме? Җавабыгыз¬
ны нигезләгез.
21	ABC һәм ABD өчпочмаклары бер яссылыкта ятмый. CD кисемтә¬
сенә параллель теләсә нинди туры бирелгән өчпочмакларның яс¬
сылыкларын кисүен исбатлагыз.
22	А һәм В нокталары α яссылыгында ята, ә С ноктасы бу яссы¬
лыкта ятмый. АС һәм ВС кисемтәләренең уртасы аша үтүче туры
а яссылыгына параллель икәнен исбатлагыз.
23	М ноктасы ABCD турыпочмаклыгы яссылыгында ятмый. CD ту¬
рысы АВМ яссылыгына параллель икәнен исбатлагыз.
24	М ноктасы нигезе AD булган ABCD трапециясе яссылыгында ят¬
мый. AD турысы ВМС яссылыгына параллель икәнен исбатла¬
гыз.
25	Бирелгән туры ике яссылыкның кисешү турысына параллель бу¬
лып, ул яссылыкларда ятмаса, бу туры әлеге яссылыкларга па¬
раллель икәнен исбатлагыз.
26	ABC өчпочмагының АС ягы α яссылыгына параллель, ә АВ һәм
ВС яклары бу яссылык белән М һәм N нокталарында кисешәләр.
ABC һәм MBN өчпочмакларының охшаш икәнен исбатлагыз.
Турыларның һәм яссылык-
13 ларның параллельлеге

27	С ноктасы АВ кисемтәсендә ята, өстәвенә д
АВ : ВС = 4:3. 12 см га тигез булган CD / \ /	/a
кисемтәсе В ноктасы аша үтүче α яссылы- / \/м	/
гына параллель. AD турысы α яссылыгын / У	/
ниндидер Е ноктасында кискәнен исбатла- ∖ В*
гыз һәм BE кисемтәсен табыгыз.	\а/
28	ABC өчпочмагының АВ һәм АС якларын- \г	β
пп 9	Д	7
да, DE = 5 см һәм -=r-τ = , булырлык итеп, / \	/
тиңдәшле рәвештә D һәм Е нокталары ∖a∕
алынган, a яссылыгы В һәм С нокталары
аша үтә һәм DE кисемтәсенә параллель. ВС Рәс. 18
кисемтәсенең озынлыгын табыгыз.
29	ABCD трапециясенең ВС нигезе 12 см га
тигез. М ноктасы трапеция яссылыгында
ятмый, ә К ноктасы — ВМ кисемтәсенең уртасы. ADK яссылыгы
МС кисемтәсен ниндидер Н ноктасында кискәнен исбатлагыз һәм
КН кисемтәсен табыгыз.
30	ABCD трапециясенең АВ нигезе a яссылыгына параллель, ә С тү¬
бәсе бу яссылыкта ята. а) Трапециянең CD нигезе a яссылыгын¬
да ятуын; б) трапециянең урта сызыгы a яссылыгына параллель
икәнен исбатлагыз.
31	a яссылыгы ABC өчпочмагының ВС ягына параллель һәм АВ
ягының уртасы аша үтә. a яссылыгы АС ягының уртасы аша да
үтүен исбатлагыз.
32	а һәм β яссылыклары АВ турысы буйлап кисешәләр, а турысы
a яссылыгына да, шулай ук β яссылыгына да параллель, а һәм
АВ турыларының параллель икәнен исбатлагыз.
Чишү
А ноктасы аша а турысына параллель AM турысы үткәрәбез’
(рәс. 18). а турысы a һәм β яссылыкларына параллель булгач,
AM турысы a яссылыгында да, β яссылыгында да ята (п. 6,
2° раславы). Шулай итеп, AM — a һәм β яссылыкларының кисешү
турысы, ягъни ул АВ турысы белән тәңгәл килә. Шулай булгач,
АВ На.
33	Әгәр бер туры аша үтмәүче өч яссылык пар-пар кисешсәләр, алар-
ның кисешү турылары я параллель, я уртак ноктага ия икәнен
исбатлагыз.
«Туры үткәрәбез», «яссылык үткәрәбез» әйтелмәләрен туры мәгънәсендә аң¬
ларга кирәк түгел (без пространствода туры да, яссылык та үткәрмибез). Бу
сүзләр күрсәтелгән туры яки яссылыкның тикшерүгә кертелүен белдерә.
Турыларның һәм яссылык¬
ларның параллельлеге
14

2
Пространствода турыларның
үзара торышы.
Ике туры арасындагы почмак
7	Чалышма турылар
Әгәр ике туры кисешсә яки параллель бул¬
са, алар бер яссылыкта яталар. Ләкин пространствода
ике турының шулай урнашкан булуы да мөмкин: алар
бер яссылыкта ятмыйлар, ягъни бу ике туры аша үтә
торган яссылык юк. Билгеле, андый турылар кисешми
һәм параллель дә түгел.
Билгеләмә
Рәс. 19
Ике туры бер яссылыкта ятмаса, алар чалышма турылар дип
атала.
Берсе эстакада буйлап, икенчесе эстакада
астыннан үтә торган ике юл чалышма турыларны ачык
күзалларга мөмкинлек бирә (рәс. 19).
Чалышма турылар билгесен белдергән тео¬
реманы исбатлыйк.
Теорема
Әгәр ике турының берсе ниндидер яссылыкта ятса,
ә икенче туры бу яссылыкны беренче турыда ятмаган
ноктада кисеп үтсә, ул вакытта бу турылар чалышма
була.
Исбатлау
α яссылыгында яткан АВ турысын һәм бу
яссылыкны С ноктасында кисеп үтүче CD турысын ка¬
рыйк (С ноктасы АВ турысында ятмый, рәс. 20). АВ
һәм CD чалышма турылар икәнен, ягъни аларның бер
яссылыкта ятмавын исбатларбыз. Дөрестән дә, АВ һәм
CD ниндидер β яссылыгында ята дип уйласак, ул ва¬
кытта β яссылыгы АВ турысы һәм С ноктасы аша үтәр
һәм шуңа күрә α яссылыгы белән тәңгәл килер. Ләкин
моның булуы мөмкин түгел, чөнки CD турысы α яссы¬
лыгында ятмый. Теорема исбатланды.
Шулай итеп, пространствода ике турының
үзара торышының өч очрагы булуы мөмкин:
а) турылар кисешә, ягъни бер генә уртак
нокталары бар (рәс. 21, а);
15
Турыларның һәм яссылык¬
ларның параллельлеге

а)
Кисешүче турылар
б)
Параллель турылар
Чалышма турылар
Рәс. 21
б)	турылар параллель, ягъни бер яссылык¬
та яталар һәм кисешмиләр (рәс. 21, б);
в)	турылар чалышма, ягъни бер яссылыкта
ятмыйлар (рәс. 21, в).
Чалышма турылар турында тагын бер тео¬
рема исбатлыйк.
Теорема
Ике чалышма турының һәркайсы аша икенче турыга
параллель яссылык үтә һәм бары тик бер генә.
Исбатлау
Чалышма АВ һәм CD турыларын тикшерик
(рәс. 22). АВ турысы аша CD турысына параллель яс¬
сылык үтүен һәм ул яссылыкның бер генә икәнен ис¬
батларбыз.
А ноктасы аша CD турысына параллель АЕ
турысы үткәрәбез дә АВ һәм АЕ турылары аша үтүче
яссылыкны α хәрефе белән тамгалыйбыз. CD турысы
а яссылыгында ятмаганга һәм бу яссылыкта яткан АЕ
турысына параллель булганга күрә, CD турысы a яссы¬
лыгына параллель.
a — АВ турысы аша үтүче һәм CD туры¬
сына параллель бердәнбер яссылык икәнлеге ачык аң¬
лашыла. Дөрестән дә, АВ турысы аша үтүче теләсә кай¬
сы башка яссылык АЕ турысы белән кисешә, димәк,
аңа параллель булган CD турысы белән дә кисешә. Тео¬
рема исбатланды.
Берсе эстакада буйлап, икенчесе эстакада
астыннан үтә торган ике юл бу теореманың күрсәтмәле
иллюстрациясе булып хезмәт итә (19 нчы рәс. кара).
Астагы юл эстакададагы юлга параллель җир яссылы¬
гында ята. Эстакададагы юл аша да җир яссылыгына
параллель, димәк, астагы юлга параллель яссылык үт¬
кәнлеге ачык аңлашыла.
Рәс. 22
Турыларның һәм яссылык¬
ларның параллельлеге
16

8	Яклары бердәй юнәлешле почмаклар
Аксиомаларның берсе буенча (2 нче кушым¬
таны кара), яссылыкта яткан теләсә нинди а турысы
шул яссылыкны ярымъяссылыклар дип аталган ике
кисәккә бүлә (рәс. 23). а турысы бу ярымъяссылык-
ларның һәркайсының чиге дип атала. Бер үк ярымъ-
яссылыкның теләсә нинди ике ноктасы а турысыннан
бер якта ята, ә төрле ярымъяссылыкларның ике нокта¬
сы бу турының төрле ягында ята (23 нче рәс. кара).
Бер турыда ятмаган ОА һәм O1A1 нурлары
параллель һәм чиге OO1 булган бер ярымъяссылыкта ят¬
салар, алар бердәй юнәлешле дип атала. Бер турыда ят¬
кан ОА һәм O1A1 нурлары тәңгәл килсәләр яки аларның
берсе икенчесен үз эченә алса, алар бердәй юнәлешле
дип атала. 24 нче рәсемдә ОА һәм O1A1 нурлары, шу¬
лай ук A2B2 Һәм O2B2 нурлары бердәй юнәлешле, ә ОА
һәм O2A2, ОА һәм O3A3, O2A2 Һәм O2B2 бердәй юнәлешле
түгел (ни өчен икәнен аңлатып бирегез).
Теорема
■внанвванмвнвм················
Рәс. 24
Әгәр ике почмакның яклары тиңдәшле рәвештә бердәй
юнәлешле булса, андый почмаклар тигез була.
Исбатлау
Тиңдәшле яклары бердәй юнәлешле булган
О һәм O1 почмаклары төрле яссылыкларда яткан оч¬
ракны тикшерербез һәм ZO = ZO1 икәнен исбатлар¬
быз.
О почмагының якларында нинди дә булса А
һәм В нокталары билгеләп, O1 почмагының тиңдәшле
якларында ОА = O1A1 һәм OB = O1B1 кисемтәләре ала¬
быз (рәс. 25). ОА һәм O1A1 бердәй юнәлешле һәм ОА =
= O1A1 булганлыктан, OAA1O1 параллелограмм була,
димәк, AA1 II OO1 һәм AA1 = OO1. Аналогик рәвештә
BB1 II OO1 һәм BBl = OOl. Моннан AA1 II BB1 һәм AA1 =
= BB1 икәнлеге килеп чыга, димәк, ABB1A1 — паралле¬
лограмм һәм АВ = A1B1.
Хәзер АОВ һәм A1O1B1 өчпочмакларын ча¬
гыштырабыз. Алар өч ягы буенча тигез, шуңа күрә
ZO = ZO1. Теорема исбатланды.
▼ Искәрмә
Исбатлаганда без, ачыкламый гына, АВ һәм
A1B1 кисемтәләре кисешмиләр дип алып файдаландык
(шулай булмаганда ABB1A1 фигурасы түгел, ә AB1BA1
параллелограмм булыр иде). Моны исбатлыйк. АВ һәм
A1B1 кисемтәләре кисешәләр дип уйлыйк. Ул вакытта
АОВ һәм A1O1B1 яссылыклары ниндидер а турысы буй-
Рәс. 25
Турыларның һәм яссылык¬
ларның параллельлеге
17

лап кисешәләр. ОА II O1A1 булганлыктан, OA∣∣A1O1B1,
шуңа күрә a II ОА (п. 6 ны кара). Аналогик рәвештә
a II ОВ. Ләкин моның булуы мөмкин түгел, чөнки О
ноктасы аша а турысына параллель бер генә туры үтә.
Димәк, АВ һәм A1B1 кисемтәләре кисешмиләр.
9	Турылар арасындагы почмаклар
Теләсә нинди кисешүче ике туры бер яссы¬
лыкта ята һәм дүрт җәелмәгән почмак төзи. Әгәр бу
почмакларның берсе билгеле булса, калган өч почмакны
да табарга мөмкин (рәс. 26). а — калган өч почмакның
теләсә кайсыннан зур булмаган почмак булсын. Ул ва¬
кытта кисешүче турылар арасындагы почмак а га ти¬
гез, диләр. 0o < a ≤ 90° икәнлеге ачык.
Хәзер чалышма турылар арасындагы поч¬
мак төшенчәсен бирик. АВ һәм CD — ике чалышма туры
булсын (рәс. 27, а). Ирекле рәвештә алынган M1 ноктасы
аша, АВ һәм CD турыларына тиңдәшле рәвештә параллель
итеп, A1B1 һәм C1Z>1 турылары үткәрәбез (рәс. 27, б).
Әгәр A1B1 һәм C1Z>1 турылары арасындагы
почмак φ гә тигез булса, ул вакытта АВ һәм CD чалыш¬
ма турылары арасындагы почмак φ гә тигез, диярбез.
Чалышма турылар арасындагы почмак
M1 ноктасын кайда алуга бәйле түгел икәнен исбат¬
лыйк. Теләсә нинди М2 ноктасы алып, аның аша АВ
һәм CD турыларына тиңдәшле рәвештә параллель A2B2
һәм C2D2 турылары үткәрәбез (рәс. 27, б). AlB1 ∣∣A2B2,
C1D1 ∣∣C2D2 булганлыктан, түбәләре M1 һәм М2 бул¬
ган почмакларның яклары пар-пар бердәй юнәлешле
(27,6 рәсемендә ZA1M1C1 һәм AA2M2C2, AA1M1D1 һәм
Z A2M2D2 һ. б. шундый почмаклар була). Шуңа күрә бу
почмаклар тиңдәшле рәвештә тигез. Моннан A2B2 һәм
C2D2 турылары арасындагы почмак шулай ук φ гә тигез.
Чалышма турыларның берсендәге теләсә
нинди ноктаны M1 ноктасы сыйфатында алырга мөм¬
кин. 27, β рәсемендә CD турысында М ноктасы бил¬
геләнгән һәм аның аша АВ га параллель A'B' турысы
үткәрелгән. A'B' һәм CD турылары арасындагы почмак
шулай ук φ гә тигез.
Сораулар һәм мәсьәләләр
34	D ноктасы ABC өчпочмагы яссылыгында
ятмый, Μ, N һәм Р нокталары — тиңдәшле
рәвештә DA, DB һәм DC кисемтәләренең
урталары, К ноктасы BN кисемтәсендә ята.
a) ND һәм АВ; б) РК һәм ВС; в) MN һәм АВ;
г)	МР һәм АС; д) KN һәм AC; е) MD һәм ВС
турыларының үзара торышын ачыклагыз.
18
Рәс. 26
а)
б)
е)
Рәс. 27
Турыларның һәм яссылык¬
ларның параллельлеге

35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
а турысында ятмаган М ноктасы аша а турысы белән уртак нок¬
талары булмаган ике туры үткәрелгән. Бу турыларның кимендә
берсе һәм а турысы чалышма турылар икәнен исбатлагыз.
с турысы а турысын кисә һәм а турысына параллель булган b ту¬
рысын кисми, b һәм с чалышма турылар икәнен исбатлагыз.
т турысы ABC өчпочмагының АВ ягын кисә, а) т турысы ABC
яссылыгында ятса һәм АС кисемтәсе белән уртак нокталары бул-
маса; б) т турысы ABC яссылыгында ятмаса, т һәм ВС турылары
үзара ничек урнашкан?
ABCD ромбының А түбәсе аша BD диагоналенә параллель итеп —
а турысы, ә С түбәсе аша ромб яссылыгында ятмаган b турысы
үткәрелгән, a) а һәм CD турыларының кисешкәнен; б) а һәм b ча¬
лышма турылар икәнен исбатлагыз.
АВ һәм CD чалышма турылар булса, ул вакытта AD һәм ВС ның
шулай ук чалышма турылар икәнен исбатлагыз.
а һәм Ъ чалышма турыларында тиңдәшле рәвештә М һәм N нокта¬
лары билгеләнгән, а турысы һәм N ноктасы аша — α яссылыгы, ә
b турысы һәм М ноктасы аша β яссылыгы үткәрелгән, a) b туры¬
сы а яссылыгында ятамы? б) a һәм β яссылыклары кисешәләрме?
Җавап уңай булганда, аларның кисешү турысын күрсәтегез.
Ике чалышма турының һәркайсы өченче турыга параллель булуы
мөмкинме? Җавабыгызны нигезләгез.
Бер яссылыкта ятмаган ABCD параллелограммы һәм ЕК нигезе
булган АВЕК трапециясе бирелгән, а) CD һәм ЕК турыларының
үзара торышын ачыклагыз, б) Трапециягә әйләнә камарга мөмкин
һәм АВ = 22,5 см, ЕК = 27,5 см булса, аның периметрын табыгыз.
Пространство дүртпочмагы якларының урталары параллелограмм
түбәләре икәнен исбатлагыз.
ОВ һәм CD турылары параллель, ә ОА һәм CD — чалышма туры¬
лар. а) ZAOB = 40°; б) ZAOB = 135°; в) ZAOB = 90° булса, ОА
һәм CD турылары арасындагы почмакны табыгыз.
а турысы ABCD параллелограммының ВС ягына параллель һәм
аның яссылыгында ятмый, а һәм CD ның чалышма турылар
икәнен исбатлагыз һәм параллелограммның бер почмагы: а) 50°;
б) 121° ка тигез булса, чалышма турылар арасындагы почмакны
табыгыз.
т турысы ABCD ромбының BD диагоналенә параллель һәм ромб
яссылыгында ятмый, а) т һәм АС — чалышма турылар икәнен
исбатлагыз һәм алар арасындагы почмакны табыгыз; б) т һәм
AD ның чалышма турылар икәнен исбатлагыз һәм ZABC =128°
булса, алар арасындагы почмакны табыгыз.
ABCD пространство дүртпочмагының АВ һәм CD яклары тигез.
АВ һәм CD турылары ВС һәм AD кисемтәләренең урталары аша
үтүче туры белән тигез почмаклар төзегәнен исбатлагыз.
Дүртпочмакның түбәләре бер яссылыкта ятмаса, ул пространство дүрт¬
почмагы дип атала.
Турыларның һәм яссылык-
19 ларның параллельлеге

s3
Яссылыкларның параллельлеге
10	Параллель яссылыклар
Әгәр ике яссылыкның уртак ноктасы бул¬
са, аларның уртак туры буйлап кисешкәнен беләбез (А3
аксиомасы). Моннан ике яссылыкның я туры буйлап
кисешүе (рәс. 28, а), я кисешмәве, ягъни бер уртак
нокталары да юклыгы килеп чыга (рәс. 28, б).
Билгеләмә
Ике яссылык кисешмәсә, алар параллель дип атала.
Бүлмәнең идәне һәм түшәме, капма-каршы ике стенасы, өстәл
яссылыгы һәм идән яссылыгы параллель яссылыкларны күзалларга мөмкин¬
лек бирә.
ос һәм β яссылыкларының параллельлеге болай тамгалана: a || β.
Ике яссылыкның параллельлек билгесен тикшерик.
Теорема
^·ι·Β····κ·········ιη·ι·Β
Әгәр бер яссылыктагы кисешүче ике туры икенче яс¬
сылыктагы кисешүче ике турыга тиңдәшле рәвештә
параллель булса, ул вакытта бу яссылыклар парал¬
лель була.
Исбатлау
а һәм β яссылыкларын карыйк (рәс. 29).
α яссылыгында — М ноктасында кисешүче а һәм b ту¬
рылары, ә β яссылыгында α1 һәм b1 турылары ята, өс¬
тәвенә а || α1 һәм h∣∣h1. α || β икәнен исбатларбыз. Ба¬
рыннан да элек, туры һәм яссылыкның параллельлек
билгесе буенча a || β һәм b || β икәнен билгеләп үтәбез.
Турыларның һәм яссылык¬
ларның параллельлеге

а һәм β яссылыклары параллель түгел дип
фараз итик. Ул вакытта алар ниндидер с турысы бу¬
енча кисешәләр. Без, α яссылыгының β яссылыгына
параллель а турысы аша үтеп, β яссылыгын с турысы
буенча кисүен таптык. Моннан (п. 6, 1° үзлеге буенча)
α II с икәнлеге килеп чыга.
Ләкин α яссылыгы шулай ук β яссылыгына
параллель b турысы аша да үтә. Шуңа күрә Ъ || с. Шул
рәвешле, М ноктасы аша с турысына параллель ике
туры (а һәм Ъ) үткәнлеге килеп чыга. Ләкин моның
булуы мөмкин түгел, чөнки параллель турылар турын¬
дагы теорема буенча М ноктасы аша с турысына парал¬
лель бер генә туры үтә. Димәк, безнең фаразыбыз дөрес
түгел һәм α П β. Теорема исбатланды.
11	Параллель яссылыкларның үзлекләре
Параллель яссылыкларның ике үзлеген
тикшерик.
1°. Әгәр ике параллель яссылык өченчесе
белән кистерелсә, ул вакытта аларның кисешү сызык¬
лары параллель.
Бүлмә идәненең һәм түшәменең стена белән
кисешү сызыклары бу фактның ачык расламасы булып
хезмәт итә — бу сызыклар параллель.
Бирелгән үзлекне исбатлау өчен, α һәм
β параллель яссылыкларының γ яссылыгы белән ки¬
сешү сызыгы булган а һәм Ъ турыларын тикшерер¬
без (рәс. 30). а И Ъ икәнен исбатлыйк. Бу турылар бер
яссылыкта ята (γ яссылыгында) һәм кисешмиләр.
Дөрестән дә, әгәр а һәм b турылары кисешсәләр, α һәм
β яссылыкларының уртак ноктасы булыр иде, ә моның
булуы мөмкин түгел, чөнки бу яссылыклар параллель.
Шулай итеп, а һәм b турылары бер яссы¬
лыкта яталар һәм кисешмиләр, ягъни а || Ъ.
2°. Параллель турыларның параллель яс¬
сылыклар арасында урнашкан кисемтәләре тигез.
Бу үзлекне исбатлау өчен, ике параллель
турының α һәм β параллель яссылыклары арасында
урнашкан АВ һәм CD кисемтәләрен тикшерербез (рәс.
31). AB = CD икәнен исбатлыйк. Параллель АВ һәм CD
турылары аша үтүче γ яссылыгы а һәм β яссылыклары
белән параллель АС һәм BD турылары буенча кисешә
(1° үзлеге). Шулай итеп, ABDC дүртпочмагының капма-
каршы яклары пар-пар параллель, ягъни ABDC — па¬
раллелограмм. Ләкин параллелограммда капма-каршы
яклар тигез, шуңа күрә АВ һәм CD кисемтәләре тигез.
21
Рәс. 30
Рәс. 31
Турыларның һәм яссылык¬
ларның параллельлеге

48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
Сораулар һәм мәсьәләләр
Бүлмәдәге әйберләрдән файдаланып, параллель яссылыкларның
модельләрен күрсәтегез.
т турысы а яссылыгын В ноктасында кисеп үтә. т турысы аша
үтүче һәм а яссылыгына параллель яссылык бармы?
α һәм β яссылыклары параллель, т турысы α яссылыгында ята.
т турысы β яссылыгына параллель икәнен исбатлагыз.
а яссылыгындагы кисешүче т һәм п турылары β яссылыгына
параллель булса, а һәм β яссылыкларының параллель икәнен ис¬
батлагыз.
Өчпочмакның ике ягы а яссылыгына параллель. Өчпочмакның
өченче ягы да а яссылыгына параллель икәнен исбатлагыз.
Бер яссылыкта ятмаган өч кисемтә: A1A2, B1B2, C1C2 уртак уртага
ия. A1,B1C1 һәм A2B2C2 яссылыкларының параллель икәнен исбат¬
лагыз.
В ноктасы ADC өчпочмагы яссылыгында ятмый, Μ, N һәм Р нок¬
талары — тиңдәшле рәвештә BA, ВС һәм BD кисемтәләренең
урталары, a) MNP һәм ADC яссылыкларының параллель икәнен
исбатлагыз, б) ADC өчпочмагының мәйданы 48 см2 булса, MNP
өчпочмагының мәйданын табыгыз.
а турысы а яссылыгын кисеп үтсә, ул α яссылыгына параллель
булган теләсә нинди яссылыкны да кисеп үткәнен исбатлагыз.
Чишү
а яссылыгына параллель итеп ирекле рәвештә алынган β яссылы¬
гын тикшерәбез, β яссылыгының нинди дә булса В ноктасы аша а
турысына параллель Ь турысы үткәрәбез, а турысы α яссылыгын
кискәнгә күрә, Ь турысы да бу яссылыкны кисәр. Шулай булгач,
Ь турысы β яссылыгын кисә (анда ятмый). Шуңа күрә а турысы да
β яссылыгын кисә.
а һәм β яссылыклары параллель, А — а яссылыгы ноктасы. А нок¬
тасы аша үткән һәм β яссылыгына параллель булган теләсә нинди
туры а яссылыгында ятканын исбатлагыз.
а турысы үзара параллель ике яссылыкның берсенә параллель.
а турысының икенче яссылыкка я параллель икәнен, я шул яссы¬
лыкта ятканын исбатлагыз.
Әгәр γ яссылыгы параллель а һәм β яссылыкларының берсен
киссә, ул вакытта икенче яссылыкны да кискәнен исбатлагыз.
Чишү
γ яссылыгы а яссылыгын а турысы буенча киссен, ди. γ яссылы¬
гы β яссылыгын да кискәнен исбатларбыз, γ яссылыгында а туры¬
сын кисүче Ь турысы үткәрик. Ь турысы а яссылыгын кисә, шуңа
күрә ул аңа параллель β яссылыгын да кисә (55 нче мәсьәлә). Шу¬
лай булгач, Ь турысы яткан γ яссылыгы да β яссылыгын кисә.
Турыларның һәм яссылык-
22 ларның параллельлеге

59
а яссылыгында ятмаган А ноктасы аша а яс¬
сылыгына параллель яссылык үткәнен һәм
аның бары тик бер генә булуын исбатлагыз.
Чишү
а яссылыгында кисешүче а һәм b турыла¬
ры үткәрәбез, ә А ноктасы аша, тиңдәшле
рәвештә а һәм Ъ турыларына параллель
итеп, a1 һәм b1 турылары үткәрәбез, α1 һәм
b1 турылары аша үтүче β яссылыгын тик¬
шерик. β — эзләнелгән яссылык, чөнки ул
А ноктасы аша үтә һәм ике яссылыкның па¬
раллельлек билгесе буенча а яссылыгына
60
61
62
63
64
65
параллель.
Хәзер β яссылыгының А ноктасы аша үтүче һәм α яссылыгына
параллель бердәнбер яссылык икәнен исбатларбыз. Дөрестән дә,
А ноктасы аша үтүче башка теләсә нинди яссылык β яссылы¬
гын кисә, шуңа күрә аңа параллель булган α яссылыгын да кисә
(58 нче мәсьәлә).
а һәм β яссылыклары γ яссылыгына параллель, а һәм β яссылык-
ларының параллель икәнен исбатлагыз.
Кисешүче а һәм b турылары һәм бу турылар яссылыгында ят¬
маган А ноктасы бирелгән. А ноктасы аша а һәм b турыларына
параллель яссылык үткәнен һәм аның бары тик бер генә булуын
исбатлагыз.
Почмак үлчәгеч инструментларда дискның горизонталь урнашу-
урнашмавын тикшерү өчен, диск яссылыгында кисешүче ту¬
рыларда урнашкан ике тигезләгечтән файдаланалар. Ни өчен
тигезләгечләрне параллель турыларда урнаштырмыйлар?
α һәм β параллель яссылыклары ВАС почмагының АВ ягын —
тиңдәшле рәвештә A1 һәм А2 нокталарында, ә бу почмакның АС
ягын тиңдәшле рәвештә B1 һәм В2 нокталарында кисеп үтәләр.
а)	A1A2 = 2A1A = 12 cm, AB1 = 5 см булса, AA2 һәм AB2 не;
б)	A1B1 = 18 см, A41 = 24 см, A42 = ^Λ1Δ,2 булса, A2B2 һәм AA2 не
табыгыз.
Бер нокта аша үтүче һәм бер яссылыкта ятмаучы өч туры па¬
раллель яссылыкларның берсен—A1, B1 һәм C1 нокталарында,
ә икенчесен A2, В2 һәм С2 нокталарында кисеп үтә. A1B1C1 һәм
A2B2C2 өчпочмакларының охшаш икәнен исбатлагыз.
Параллель A1A2, B1B2 һәм C1C2 кисемтәләре параллель а һәм
β яссылыклары арасында урнашканнар (рәс. 32). a) A1B1B2A2,
B1C1C2B2 һәм A1C1C2A2 дүртпочмакларының төрен билгеләгез,
б) Δ A1B1C1 = Δ A2B2C2 икәнен исбатлагыз.
Турыларның һәм яссылык¬
ларның параллельлеге
23

Тетраэдр һәм параллелепипед
12	Тетраэдр
Безнең курсның бер бүлеге күпкырлык¬
ларга — геометрик җисемнәрнең күппочмаклардан тө¬
зелгән өслекләренә багышланыр. Ләкин инде хәзер
үк, күпкырлыкларны җентекләп өйрәнгәнгә кадәр, без
аларның икесе — тетраэдр һәм параллелепипед белән
танышырбыз. Бу безгә туры һәм яссылыкларның үзара
урнашуы белән бәйле төшенчәләрне ике мөһим геомет¬
рик җисем мисалында аңлатырга мөмкинлек бирер.
Тетраэдр һәм параллелепипед төшенчәләрен
биргәнгә кадәр планиметриядә күппочмак дигәннән
нәрсәне аңлавыбызны искә төшерик. Күппочмакны без
я үз-үзен кисми торган кисемтәләрдән төзелгән йомык
сынык сызык буларак (рәс. 33, а), я яссылыкның, сы¬
зыкның үзен дә кертеп, шул сызык белән чикләнгән
кисәге буларак карадык (рәс. 33, б). Пространствода
өслекләрне һәм җисемнәрне караганда, күппочмакның
икенче аңлатмасыннан файдаланырбыз. Мондый аңлат¬
ма биргәндә, пространствода теләсә нинди күппочмак
яссы өслек буларак күзаллана.
Хәзер тетраэдрга билгеләмә бирик.
Теләсә нинди ABC өчпочмагын һәм бу өч¬
почмак яссылыгында ятмаган D ноктасын карыйк.
D ноктасын кисемтәләр ярдәмендә ABC өчпочмагының
түбәләре белән тоташтырып, DAB, DBC һәм DCA өч¬
почмакларын табарбыз. Дүрт өчпочмак: ABC, DAB,
DBC һәм DCA дан төзелгән өслек тетраэдр дип атала
һәм болай тамгалана: DABC (рәс. 34).
Тетраэдрны төзүче өчпочмаклар — кырлар,
аларның яклары — кабыргалар, ә түбәләре тетраэдр¬
ның түбәләре дип атала. Тетраэдрның дүрт кыры, алты
кабыргасы һәм дүрт түбәсе бар. Тетраэдрның уртак тү¬
бәләре булмаган ике кабыргасы капма-каршы кабыр¬
галар дип атала. 34 нче рәсемдә AD һәм ВС, BD һәм
AC, CD һәм АВ — капма-каршы кабыргалар. Кайвакыт
тетраэдрның бер кырын аерып күрсәтеп, аны нигезе
дип, ә калган өчесен ян кырлары дип атыйлар.
Тетраэдр, гадәттә, 34 нче һәм 35 нче рәсем¬
нәрдә күрсәтелгәнчә, ягъни диагональләре дә сызыл¬
ган кабарынкы яки кабарынкы булмаган дүртпочмак
24
ABCDE күппочмагы —
кисемтәләрдән төзелгән
фигура
ABCDE күппочмагы яс¬
сылыкның ABCDE сы¬
зыгы белән чикләнгән
кисәге
Рәс. 33
Рәс. 34
Турыларның һәм яссылык¬
ларның параллельлеге

рәвешендә сурәтләнә. Рәсемдә күренми торган кабыр¬
галар өзекле сызыклар белән сурәтләнгән. 34 нче рә¬
семдә — АС кабыргасы гына, ә 35 нче рәсемдә ЕК, KF
һәм KL кабыргалары күренми.
13	Параллелепипед
Параллель яссылыкларда AA1, BB1, CC1 һәм
DD1 кисемтәләрен параллель булырлык итеп урнашкан
тигез ABCD һәм A1B1C1D1 параллелограммнарын ка¬
рыйк (рәс. 36, а).
ABBlAl, BCC1B1, CDD1C1, DAA1Di (1)
дүртпочмаклары шулай ук параллелограммнар була,
чөнки аларның һәркайсы берәр пар параллель капма-
каршы якка ия, мәсәлән, ABBlAλ дүртпочмагында A41
һәм BBγ яклары — шарт буенча параллель, ә АВ һәм
A1B1 яклары — ике параллель яссылыкны өченчесе бе¬
лән кистергәндә кисешү сызыкларының үзлеге буенча
параллель (п. 11, 1° үзлеге). Тигез ABCD һәм A1B1C1Z>1
параллелограммнарыннан һәм дүрт (1) параллелограмм¬
нарыннан төзелгән өслек параллелепипед дип атала,
һәм ул болай тамгалана: ABCDA1B1C1D1.
Параллелепипедны төзүче параллелограмм¬
нар — кырлар, аларның яклары — кабыргалар, ә парал¬
лелограммнарның түбәләре параллелепипедның түбәләре
дип атала. Параллелепипедның алты кыры, унике ка¬
быргасы, сигез түбәсе бар. Параллелепипедның уртак ка¬
быргага ия ике кыры чиктәш кырлар дип, ә кабыргала¬
ры уртак булмаган кырлары капма-каршы кырлар дип
атала. 36, б рәсемендә ABCD һәм A1B1C1D1, ABB1A1 һәм
DCC1D1, ADD1A1 һәм BCC1Bl капма-каршы кырлар була.
Бер кырда ятмаган ике түбәсе капма-каршы түбәләр дип
атала. Капма-каршы түбәләрне тоташтыручы кисемтә
параллелепипедның диагонале дип атала. Ьәр паралле¬
лепипед дүрт диагональгә ия. 36, б рәсемендә AC1, BD1,
CA1 һәм DB1 кисемтәләре диагональләр була.
Еш кына кайсы да булса ике капма-каршы
кырны параллелепипедның нигезләре дип, ә калган кыр¬
ларны аның ян кырлары дип атыйлар. Параллелепипед¬
ның нигезләрендә ятмаган кабыргалары ян кабыргалар
дип атала. Әйтик, ABCD һәм A1B1C1D1 кырларын ни¬
гезләре дип алсак, (1) параллелограммнары — ян кырлар,
ә A41, BB1, CC1, DD1 кисемтәләре ян кабыргалар булыр.
Параллелепипед, гадәттә, 36, б рәсемендә
күрсәтелгәнчә сурәтләнә. Бу вакытта кырларның сурәт¬
25
L
Рәс. 35
а)
б)
Параллелепипед
Рәс. 36
Турыларның һәм яссылык¬
ларның параллельлеге

ләре параллелограммнар була; күренми торган кабыр¬
галар һәм башка кисемтәләр, мәсәлән диагональләр,
өзекле нәзек сызыклар белән сурәтләнә”.
Параллелепипедның ике үзлеген карап китик.
1°. Параллелепипедның капма-каршы
кырлары параллель һәм тигез.
Мәсәлән, ABCDA1B1C1D1 параллелепипедын¬
да ABB1A1 һәм DCC1D1 кырларының параллель һәм тигез
икәнен исбатлыйк (рәс. 37, a). ABCD һәм ADD1A1 — па¬
раллелограммнар булганга күрә, AB || DC һәм AA1 || DD1.
Шулай итеп, бер кырның кисешүче АВ һәм A41 турыла¬
ры тиңдәшле рәвештә икенче кырның CD һәм DD1 туры¬
ларына параллель. Моннан яссылыкларның параллель¬
лек билгесе буенча ABB1A1 һәм DCC1D1 кырларының
параллель икәнлеге килеп чыга.
Хәзер бу кырларның тигез икәнен исбат¬
лыйк. Параллелепипедның барлык кырлары да парал¬
лелограммнар булганга, AB = DC һәм A4.1=ΠZ>1. Шул
ук сәбәп буенча A1AB һәм D1DC почмакларының якла¬
ры бердәй юнәлешле, димәк, бу почмаклар тигез. Шу¬
лай итеп, ABB1A1 параллелограммының чиктәш ике
ягы һәм алар арасындагы почмагы тиңдәшле рәвештә
DCCiDλ параллелограммының чиктәш ике ягына һәм
алар арасындагы почмагына тигез, шуңа күрә бу парал¬
лелограммнар тигез.
2°. Параллелепипедның диагональләре
бер ноктада кисешәләр һәм шул нокта белән урталай
бүленәләр.
Бу үзлекне исбатлау өчен, A1C һәм D1B
диагональләре ABCDA1BlC1D1 параллелепипедының
диагональләре булган A1D1CB дүртпочмагын тикшерик
(рәс. 37, a). A1D1 || ВС һәм A1Π1 = ВС булганлыктан,
A1D1CB — параллелограмм. Шуңа күрә A1C һәм D1B
диагональләре кайсыдыр О ноктасында кисешәләр һәм
шул нокта белән урталай бүленәләр.
Аннары ADlC1B дүртпочмагын тикшерербез
(рәс. 37, б). Ул шулай ук параллелограмм була (моны
исбатлагыз), шулай булгач, аның AC1 һәм D1B диаго¬
нальләре кисешәләр һәм кисешү ноктасы белән урталай
бүленәләр. Ләкин D1B диагоналенең уртасы О ноктасы
а)
Рәс. 37
* Пространство фигураларын, атап әйткәндә параллелепипед¬
ны, яссылыкта сурәтләү турында 1 нче кушымтада җентекләп
аңлатылган.
** Параллелепипедның ике кыры параллель яссылыкларда ятса,
алар параллель дип атала.
Турыларның һәм яссылык¬
ларның параллельлеге
26

була. Шул рәвешле, A1C, D1B һәм AC1 диагональләре
О ноктасында кисешәләр һәм шул нокта белән урталай
бүленәләр.
Ниһаять, A1B1CD дүртпочмагын тикшереп
(рәс. 37, в), параллелепипедның дүртенче диагонале
DB1 нең шулай ук О ноктасы аша үткәнен һәм аның
белән урталай бүленгәнен ачыклыйбыз.
14	Кисемнәрне төзүгә мәсьәләләр
Тетраэдр һәм параллелепипедка бәйле күп
кенә геометрик мәсьәләләрне чишү өчен, рәсемдә алар-
ның төрле яссылыклар белән кисемнәрен төзи белү фай¬
далы. Тетраэдр яки параллелепипедның кисеме дигәннән
нәрсә аңларга кирәклеген ачыклыйк. Ике ягында да
бирелгән тетраэдрның (параллелепипедның) нокталары
булган теләсә нинди яссылык әлеге тетраэдрны (паралле¬
лепипедны) кисүче яссылык дип атала. Кисүче яссылык
тетраэдрның (параллелепипедның) кырларын кисемтәләр
буенча кисеп үтә. Бу кисемтәләр яклары булган күппочмак
тетраэдрның (параллелепипедның) кисеме дип атала.
Тетраэдрның дүрт кыры булганга күрә, аның кисемнәре
бары тик өчпочмаклар һәм дүртпочмаклар гына була
ала (рәс. 38). Параллелепипедның алты кыры бар. Аның
кисемнәре өчпочмак, дүртпочмак (рәс. 39, а), бишпочмак
(рәс. 39, б) һәм алтыпочмак (рәс. 39, в) булуы мөмкин.
Рәсемдә параллелепипедның кисемнәрен тө¬
зегәндә түбәндәге фактларны искә алырга кирәк: кисүче
яссылык нинди дә булса кисемтәләр буенча ике капма-
каршы кырын киссә, бу кисемтәләр параллель (п. 11, 1°
үзлеге). Мәсәлән, 39, б рәсемендә кисүче яссылык ике
капма-каршы кырны (сул һәм уң) АВ һәм CD кисемтәләре
буйлап, ә башка ике капма-каршы кырны (алгы һәм
арткы) АЕ һәм ВС кисемтәләре буйлап кисә, шуңа күрә
AB II CD һәм АЕ || ВС. 39, в рәсемендә шул ук сәбәп буенча
AB∣∣EZ), AF,∣∣CD, ВС || EF. Шулай ук кисемне төзү өчен,
кисүче яссылыкның тетраэдр (параллелепипед) кабыр¬
галары белән кисешү ноктасын төзү җиткәнен билгеләп
үтәбез. Шуннан соң бер үк кырда төзелгән һәр ике нокта¬
ны тоташтыручы кисемтәләр үткәрәсе генә кала.
Тетраэдр һәм параллелепипедның төрле ки¬
семнәрен төзүгә мисаллар карыйк.
1	нче мәсьәлә
ABCD тетраэдрының AB, BD һәм CD кабыр¬
галарында Μ, N һәм Р нокталары билгеләнгән (рәс. 40,
а). Тетраэдрның MNP яссылыгы белән кисемен төзергә.
\	27
Рәс. 38
К	N
а)
Е
б)
С
Рәс. 39
Турыларның һәм яссылык¬
ларның параллельлеге

Чишү
Башта MNP яссылыгының ABC кыры яс¬
сылыгы белән кисешү турысын төзибез. М ноктасы бу
яссылыкларның уртак ноктасы була. Тагын бер уртак
ноктаны төзү өчен, NP һәм ВС кисемтәләрен Е нокта¬
сында кисешкәнгә кадәр дәвам итәбез (рәс. 40, б), бу
MNP һәм ABC яссылыкларының икенче уртак ноктасы
булыр да. Димәк, бу яссылыклар ME турысы буйлап
кисешәләр. ME турысы АС кабыргасын ниндидер Q нок¬
тасында кисә. MNPQ дүртпочмагы — эзләнелгән кисем.
Әгәр NP һәм ВС турылары параллель булса
(рәс. 40, β), NP турысы ABC кырына параллель, шуңа
күрә MNP яссылыгы бу кырны NP турысына парал¬
лель булган ME' турысы буйлап кисеп үтә. Q ноктасы,
беренче очрактагы кебек үк, АС кабыргасының ME' ту¬
рысы белән кисешү ноктасы була.
2	нче мәсьәлә
М ноктасы DABC тетраэдрының ADB ян кы¬
рында ята (рәс. 41, a). М ноктасы аша ABC нигезенә па¬
раллель үтүче яссылык белән тетраэдр кисемен төзегез.
Чишү
Кисүче яссылык ABC яссылыгына парал¬
лель булганлыктан, ул АВ, ВС һәм СА турыларына
параллель була. Шулай булгач, кисүче яссылык тет¬
раэдрның ян кырларын ABC өчпочмагының якларына
параллель булган турылар буйлап кисеп үтәр. Моннан
эзләнелгән кисемне төзүнең түбәндәге ысулы килеп
чыга. М ноктасы аша АВ кисемтәсенә параллель туры
үткәреп, бу турының DA һәм DB ян кабыргалары белән
кисешү нокталарын Р һәм Q хәрефләре белән тамгалый¬
быз (рәс. 41, б). Аннары Р ноктасы аша АС кисемтәсенә
параллель туры үткәреп, бу турының DC кабыргасы
белән кисешү ноктасын R хәрефе белән тамгалыйбыз.
PQR өчпочмагы — эзләнелгән кисем.
3	нче мәсьәлә
Параллелепипедның кабыргаларында А, В
һәм С нокталары бирелгән. Параллелепипедның ABC
яссылыгы белән кисемен төзергә.
Чишү
Эзләнелгән кисемне төзү А, В һәм С нокта¬
лары параллелепипедның кайсы кабыргаларында ятуга
бәйле. Бу нокталар бер түбәдән чыгучы кабыргалар¬
да яткан иң гади очракта (рәс. 39, а) АВ, ВС һәм СА
кисемтәләрен үткәрергә кирәк һәм эзләнелгән кисем —
ABC өчпочмагы килеп чыгар. Әгәр бирелгән А, В һәм
28
а)
Рәс. 40
Турыларның һәм яссылык¬
ларның параллельлеге

С нокталары 39, б рәсемендә күрсәтелгәнчә урнашкан	D
булса, башта АВ һәм ВС кисемтәләрен үткәрергә, ан-	Л\
нары А ноктасы аша — ВС га параллель туры, ә С нок-	/ ∣ \
тасы аша АВ га параллель туры үткәрергә кирәк. Бу	/ /	\
турыларның аскы кырның кабыргалары белән кисешүе	I \
Е һәм D нокталарын бирә. ED кисемтәсен үткәрсәк, /	\
эзләнелгән кисем —ABCDE бишпочмагы төзелер.	β∕	/	∖(j
Бирелгән А, В һәм С нокталары 39, е рәсе- ∖	/
мендә күрсәтелгәнчә урнашканда, тагын да авыррак оч-
рак булып тора. Әлеге очракта болай эшләргә мөмкин.	A
Башта кисүче яссылыкның аскы нигез яссылыгы белән а>
кисешү турысын төзибез. Моның өчен АВ турысын	D
үткәрәбез дә АВ турысы яткан кырның аскы нигезен	А\
бу туры белән М ноктасында кисешкәнгә кадәр дәвам	/ ∣ \
итәбез. Аннары М ноктасы аша ВС турысына парал- п / I ∖ d
лель туры үткәрәбез. Бу туры кисүче яссылыкның аскы /X /
нигез яссылыгы белән кисешү турысы була да. Әлеге / М+р \
туры аскы нигез кабыргалары белән Е һәм F ноктала- д/	I

рында кисешә. Аннары Е ноктасы аша АВ турысына х. Г
параллель туры үткәреп, D ноктасын табабыз. Ниһаять,
AF һәм CD кисемтәләрен үткәрәбез, һәм эзләнелгән ки-	A
сем — ABCDEF алтыпочмагы төзелде.	б>
Рәс. 41
Мәсьәләләр
66	ABCD тетраэдрында чалышма (ягъни чалышма турыларда яткан)
кабыргаларның парларын атап китегез. Тетраэдрның шундый
ничә пар кабыргасы бар?
67	DABC тетраэдрында ZADB = 54o, ABDC = 72°, ZCDA = 90°,
DA = 20 cm, BD = 18 cm, DC = 21 см. Бирелгән тетраэдрның: a) ABC
нигезенең кабыргаларын; б) барлык ян кырларының мәйданна¬
рын табыгыз.
68	М һәм N нокталары — ABCD тетраэдрында АВ һәм АС кабырга¬
ларының урталары. MN турысы BCD яссылыгына параллель икә¬
нен исбатлагыз.
69	SABC тетраэдрында АВ һәм ВС кабыргаларының урталары аша SB
кабыргасына параллель яссылык үткәрелгән. Бу яссылык SAB һәм
SBC кырларын параллель турылар буенча кискәнен исбатлагыз.
70	ABCD тетраэдрында АВ, АС һәм AD кабыргаларының урталары аша
үтүче яссылык BCD яссылыгына параллель икәнен исбатлагыз.
71	DABC тетраэдрын сурәтләгез һәм DB, DC һәм ВС кабыргала¬
рында тиңдәшле рәвештә Μ, N һәм К нокталары билгеләгез,
a) MN турысы һәм ABC яссылыгының; б) KN турысы һәм ABD
яссылыгының кисешү ноктасын төзегез.
72	DABC тетраэдрын сурәтләгез һәм a) М ноктасы AD кабыргасының
уртасында; б) М ноктасы ABD кырының эчендә ятканда, бу тет¬
раэдрның М ноктасы аша ABC кырына параллель итеп үткәрел¬
гән яссылык белән кисемен төзегез.
Турыларның һәм яссылык-
29 ларның параллельлеге

73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
ABCD тетраэдрында Μ, N һәм Р ноктала¬
ры — АВ, ВС һәм CD кабыргаларының ур¬
талары, АС = 10 cm, BD = 12 cm. MNP яс¬
сылыгы AD кабыргасының уртасы К аша
үткәнен исбатлагыз һәм тетраэдр MNP яс¬
сылыгы белән кисешкәндә килеп чыккан
дүртпочмакның периметрын табыгыз.
ABCD тетраэдрында BCD кыры медианала¬
рының кисешү ноктасы аша ABC кырына
параллель яссылык үткәрелгән, а) Тетраэдр¬
ның бу яссылык белән кисеме ABC өчпоч¬
магына охшаш өчпочмак икәнен исбатлагыз, б) Кисем мәйданы
белән ABC өчпочмагы мәйданының чагыштырмасын табыгыз.
KLMN тетраэдрын сурәтләгез, а) Бу тетраэдрның KL кабыргасы
һәм MN кабыргасының уртасы А аша үтүче яссылык белән кисе¬
мен төзегез, б) LM, МА һәм МК кисемтәләренең урталары Е, О
һәм F аша үтүче яссылыкның LKA яссылыгына параллель икәнен
исбатлагыз. LKA өчпочмагының мәйданы 24 см2 га тигез булса,
EOF өчпочмагының мәйданын табыгыз.
ABCDA1B1C1D1 параллелепипеды бирелгән. AC || A1C1 һәм BD || B1D1
икәнен исбатлагыз.
ABCDA1B1C1D1 параллелепипедының барлык кабыргалары сум¬
масы 120 см га тигез.	,	= ⅞ икәне билгеле булса,
ВС 5 BB1 6	j
параллелепипедның һәр кабыргасын табыгыз.
42 нче рәсемдә ABCDA1B1C1D1 параллелепипеды сурәтләнгән.
Аның кабыргаларында, AM = CN = A1M1 = C1N1 булырлык итеп,
Μ, N, M1 һәм N1 нокталары билгеләнгән. MBNDM1BlN1D1 нең
параллелепипед икәнен исбатлагыз.
ABCDA1B1C1D1 параллелепипедын сурәтләгез һәм аның: a) ABC1
яссылыгы белән; б) ACC1 яссылыгы белән кисемен төзегез. Тө¬
зелгән кисемнәрнең параллелограммнар икәнен исбатлагыз.
ABCDA1B1C1D1 параллелепипедын сурәтләгез һәм аның ABC1 һәм
DCB1 яссылыклары белән кисемнәрен, шулай ук бу кисемнәрнең
кисешү кисемтәсен төзегез.
ABCDA1B1C1D1 параллелепипедын сурәтләгез дә BB1 һәм CC1 ка¬
быргаларында тиңдәшле рәвештә М һәм N нокталары билгеләгез,
a) MN турысының ABC яссылыгы белән; б) AM турысының A1B1C1
яссылыгы белән кисешү ноктасын төзегез.
ABCDA1B1C1D1 параллелепипедын сурәтләгез һәм AA1B1B кы¬
рының эчке М ноктасын билгеләгез. Параллелепипедның
М ноктасы аша: a) ABCD нигезе яссылыгына; б) BB1C1C кырына;
в) BDD1 яссылыгына параллель үтүче кисемен төзегез.
ABCDA1BlC1D1 параллелепипедын сурәтләгез һәм аның: a) CC1
кабыргасы һәм AA1D1D кыры диагональләренең кисешү ноктасы
аша; б) ABCD кыры диагональләренең кисешү ноктасы аша AB1C1
яссылыгына параллель үтүче яссылык белән кисемен төзегез.
Турыларның һәм яссылык-
30 ларның параллельлеге

84
85
86
87
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
ABCDA1B1C1D1 параллелепипедын сурәтләгез һәм аның B1, D1 нок¬
талары һәм CD кабыргасының уртасы аша үтүче яссылык белән
кисемен төзегез. Төзелгән кисемнең трапеция икәнен исбатлагыз.
ABCDA1B1C1D1 параллелепипедын сурәтләгез һәм аның BKL яс¬
сылыгы белән кисемен төзегез, биредә К — AA1 кабыргасының
уртасы, L — CC1 кабыргасының уртасы. Төзелгән кисемнең парал¬
лелограмм икәнен исбатлагыз.
ABCDA1B1C1D1 параллелепипедын сурәтләгез һәм аның нигез диа¬
гонале АС аша BD1 диагоналенә параллель үтүче яссылык белән
кисемен төзегез. Параллелепипедның нигезе — ромб һәм ABB1
һәм CBB1 почмаклары туры булса, төзелгән кисемнең тигезьянлы
өчпочмак икәнен исбатлагыз.
ABCDA1B1C1D1 параллелепипедын сурәтләгез һәм аның MNK яс¬
сылыгы белән кисемен төзегез, биредә Μ, N һәм К нокталары
тиңдәшле рәвештә: a) ВВ}, A41, AD∙, б) CC1, AD, BB1 кабыргала¬
рында яталар.
I	бүлеккә сораулар
Ике турының уртак нокталары булмаса, алар параллель дип рас¬
лау дөресме?
М ноктасы а турысында ятмый. М ноктасы аша а турысын кисми¬
чә ничә туры үтә? Бу турыларның ничәсе а турысына параллель?
а һәм с турылары параллель, а һәм b турылары кисешәләр, b һәм
с турыларының параллель булуы мөмкинме?
а турысы а яссылыгына параллель. Бу туры: a) а яссылыгында
яткан бер турыны да кисми; б) α яссылыгында ятучы теләсә нин¬
ди турыга параллель; в) a яссылыгында ятучы ниндидер турыга
параллель дип раслау дөресме?
а турысы a яссылыгына параллель, a яссылыгында ятучы ничә
туры а турысына параллель? a яссылыгында яткан бу турылар
бер-берсенә параллельме?
а турысы а яссылыгын кисә, а яссылыгында а турысына парал¬
лель бер булса да туры ятамы?
Ике параллель турының берсе ниндидер яссылыкка параллель.
Икенче туры да бу яссылыкка параллель дип раслау дөресме?
Ике туры ниндидер яссылыкка параллель булса, ул вакытта алар
үзара да параллель дип раслау дөресме?
Ике туры ниндидер яссылыкка параллель. Бу турыларның:
а) кисешүе; б) чалышма турылар булуы мөмкинме?
а һәм b чалышма турылары с турысына параллель булырмы?
Трапециянең ян-яклары а яссылыгына параллель, а яссылыгы
һәм трапеция яссылыгы параллельме?
Параллелограммның ике ягы a яссылыгына параллель, а яссылы¬
гы һәм параллелограмм яссылыгы параллельме?
Параллель яссылыклар арасындагы параллель булмаган ике ки¬
семтәнең тигез булуы мөмкинме?
Кырларының биш почмагы туры булган тетраэдр бармы?
Турыларның һәм яссылык¬
ларның параллельлеге

15
16
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
а) Бер генә кыры турыпочмаклык; б) чиктәш ике генә кыры ромб;
в) кырларының барлык почмаклары да кысынкы; г) кырларының
барлык почмаклары да туры булган; д) кырларының барлык кы¬
сынкы почмаклары саны кырларының барлык җәенке почмакла¬
ры санына тигез булмаган параллелепипед бармы?
а) Тетраэдрның; б) параллелепипедның кисемендә нинди күппоч¬
маклар килеп чыгуы мөмкин?
Өстәмә мәсьәләләр
АС һәм BD параллель турылары а яссылыгын тиңдәшле рәвештә
А һәм В нокталарында кисеп үтә. С һәм D нокталары а яссылы¬
гыннан бер якта яталар. АС = 8 cm, BD = 6 cm, AB = 4 cm. a) CD
турысы α яссылыгын ниндидер Е ноктасында кискәнен исбатла¬
гыз; б) BE кисемтәсен табыгыз.
А, В, С һәм D нокталары бер яссылыкта ятмыйлар. ABC һәм CBD
өчпочмакларының медианалары тиңдәшле рәвештә M1 һәм М2
нокталарында кисешәләр. AD һәм M1M2 кисемтәләре параллель
икәнен исбатлагыз.
ABCD трапециясенең А һәм В түбәләре а яссылыгында ята, ә С һәм
D түбәләре бу яссылыкта ятмый. АВ кисемтәсе: а) трапециянең
нигезе; б) трапециянең ян-ягы булса, CD турысы α яссылыгына
карата ничек урнашкан?
а һәм b параллель турыларының һәркайсы һәм бу турылар яс¬
сылыгында ятмаган М ноктасы аша яссылык үткәрелгән. Бу
яссылыкларның а һәм Ъ турыларына параллель туры буйлап
кисешкәнен исбатлагыз.
а яссылыгы һәм а турысы b турысына параллель, а турысы я a яссы¬
лыгына параллель икәнен, я шул яссылыкта ятканын исбатлагыз.
а һәм b турылары параллель, а турысының М ноктасы аша а ту¬
рысыннан үзгә һәм b турысын кисмәүче MN турысы үткәрелгән.
MN һәм Ъ турылары үзара ничек урнашкан?
Ике чалышма туры һәм бу турыларда ятмаган В ноктасы би¬
релгән. Ьәркайсы бу турыларның берсе һәм В ноктасы аша үткән
яссылыклар кисешәләрме? Җавабыгызны нигезләгез.
а турысы а яссылыгына параллель, β яссылыгы а турысын киссә,
ул а яссылыгын да кискәнен исбатлагыз.
Яссылык һәм аңа параллель булган туры арасында урнашкан па¬
раллель турыларның кисемтәләре тигез икәнен исбатлагыз.
Яклары тиңдәшле рәвештә параллель булган ике почмак я тигез,
я аларның суммасы 180° ка тигез икәнен исбатлагыз.
а турысы а яссылыгына параллель, а турысы аша үтүче һәм a яс¬
сылыгына параллель яссылык бармы? Булса ничә?
Өч параллель яссылык үзләрен кисүче теләсә нинди ике турыдан
пропорциональ кисемтәләр кисеп алганын исбатлагыз.
Ике чалышма туры һәм А ноктасы бирелгән. А ноктасы аша я би¬
релгән турыларга параллель, я аларның берсе аша үтеп, икенчесенә
параллель булган бары тик бер генә яссылык үткәнен исбатлагыз.
Тетраэдрның капма-каршы кабыргаларының урталарын тоташ-
Турыларның һәм яссылык-
32 ларның параллельлеге

102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
тыручы кисемтәләрнең кисешкәнен һәм кисешү ноктасы белән
урталай бүленгәнен исбатлагыз.
Тетраэдрның нигезендәге ике кабыргасының уртасы һәм нигезендә
ятмаган түбәсе аша үтүче а яссылыгы нигезнең өченче кабыр¬
гасына параллель икәнен исбатлагыз. Тетраэдрның барлык ка¬
быргаларының да озынлыгы 20 см булса, тетраэдрның α яссылы¬
гы белән кисеменең периметрын һәм мәйданын табыгыз.
DABC тетраэдрының DA, DB һәм DC кабыргаларында, DM : МА =
= DN : NB = DP : PC булырлык итеп, Μ, N һәм Р нокталары
билгеләнгән. MNP һәм ABC яссылыклары параллель икәнен
исбатлагыз. ABC өчпочмагының мәйданы 10 см2 га тигез һәм
DM : МА = 2:1 булса, MNP өчпочмагының мәйданын табыгыз.
ABCD тетраэдрын сурәтләгез һәм АВ кабыргасында М ноктасы
билгеләгез. Тетраэдрның М ноктасы аша АС һәм BD турыларына
параллель үтүче яссылык белән кисемен төзегез.
DABC тетраэдрын сурәтләгез, BD һәм CD кабыргаларында М һәм
N нокталары, ә ABC кырында эчке К ноктасы билгеләгез. Тет¬
раэдрның MNK яссылыгы белән кисемен төзегез.
DABC тетраэдрын сурәтләгез, DC кабыргасында К ноктасы, ABC
һәм ACD кырларында М һәм N нокталары билгеләгез. Тетраэдр¬
ның MNK яссылыгы белән кисемен төзегез.
ABCD тетраэдрын сурәтләгез һәм АВ кабыргасында М ноктасы
билгеләгез. Тетраэдрның М ноктасы аша BDC кырына параллель
үтүче яссылык белән кисемен төзегез.
DABC тетраэдрының D түбәсе янындагы өч почмагының биссек¬
трисалары ВС, СА һәм АВ кисемтәләрен тиңдәшле рәвештә A1,
B1 һәм C1 нокталарында кисеп үтәләр. AA1, BB1 һәм CC1 кисем¬
тәләренең бер ноктада кисешкәнен исбатлагыз.
Нәркайсы параллелепипедның бер кырда ятмаган ике ян ка¬
быргасын эченә алган ике яссылык а турысы буенча кисешәләр.
а турысы параллелепипедның ян кабыргасына параллель икәнен
һәм аның барлык диагональләрен кискәнен исбатлагыз.
ABCDA1B1C1D1 параллелепипедында A1DB яссылыгы D1CB1 яссы¬
лыгына параллель икәнен исбатлагыз.
Параллелепипедның диагонале уртак түбәгә ия булган өч кабыр¬
гасының суммасыннан кечерәк икәнен исбатлагыз.
Параллелепипедның дүрт диагоналенең квадратлары суммасы
аның унике кабыргасының квадратлары суммасына тигез икәнен
исбатлагыз.
ABCDA1B1C1D1 параллелепипедының A1BCD1 һәм BDD1Bl кисем¬
нәренең яссылыклары нинди туры буйлап кисешәләр?
ABCDA1B1C1D1 параллелепипедын сурәтләгез һәм АВ кабыргасында
М ноктасы билгеләгез. Параллелепипедның М ноктасы аша ACC1
яссылыгына параллель үтүче яссылык белән кисемен төзегез.
М ноктасы ABCDA1B1C1D1 параллелепипедының ВС кабыргасын¬
да ята. Бу параллелепипедның М ноктасы аша BDC1 яссылыгына
параллель үтүче яссылык белән кисемен төзегез.
Туры һәм яссылыкларның
33 перпендикулярлыгы

II	бүлек
Туры һәм яссылыкларның
перпендикулярлыгы
Туры һәм яссылыкның
перпендикулярлыгы
15	Пространствода перпендикуляр турылар
Пространстводагы ике туры арасындагы
почмак 90° ка тигез булса, алар перпендикуляр (үзара
перпендикуляр) дип атала, а һәм Ь турыларының пер¬
пендикулярлыгы болай тамгалана: alb. Перпендикуляр
турылар кисешергә дә һәм чалышма булырга да мөм¬
кин. 43 нче рәсемдә а һәм Ь перпендикуляр турылары
кисешә, ә а һәм с перпендикуляр турылары чалышма.
Ике параллель турының өченче турыга пер¬
пендикулярлыгы турындагы лемманы исбат итик.
Рәс. 43
Лемма
Әгәр ике параллель турының берсе өченче турыга перпендику¬
ляр булса, икенче туры да бу турыга перпендикуляр була.
▼ Исбатлау
а || Ь һәм ale булсын. һ±с икәнен исбатлар¬
быз. Пространствода бирелгән турыларда ятмаган теләсә
нинди М ноктасы алабыз, а һәм с турыларына тиң¬
дәшле рәвештә параллель итеп, МА һәм МС турылары
үткәрәбез (рәс. 44). ale булганлыктан, ZAMC = 90°.
Лемманың шарты буенча, Ь || а, ә төзү бу¬
енча, а || МА, шуңа күрә b || МА. Шулай итеп, Ь һәм
с турылары үзара 90° лы почмак төзүче МА һәм МС
турыларына тиңдәшле рәвештә параллель. Бу Ь һәм
с турылары арасындагы почмак шулай ук 90° ка тигез
икәнен аңлата, ягъни Ыс. Лемма исбатланды.
а
Ь
Рәс. 44
16	Яссылыкка перпендикуляр булган
параллель турылар
Билгеләмә
Туры яссылыкта яткан теләсә нинди турыга перпендикуляр бул¬
са, ул шул яссылыкка перпендикуляр дип атала.
Туры һәм яссылыкларның
34 перпендикулярлыгы

а турысының α яссылыгына перпендику¬
лярлыгы болай тамгалана: α±α, a яссылыгы а туры¬
сына перпендикуляр дип тә әйтәләр.
а турысы а яссылыгына перпендикуляр
булса, ул бу яссылыкны кисеп үтә. Дөрестән дә, а ту¬
рысы a яссылыгын кисмәсә, ул я бу яссылыкта ятар,
я аңа параллель булыр иде. Ләкин ул вакытта a яссылы¬
гында а турысына перпендикуляр булмаган турылар да,
мәсәлән, аңа параллель турылар да булыр иде. Болай
булу туры һәм яссылыкның перпендикулярлык билге¬
сенә каршы килә. Димәк, а турысы a яссылыгын кисә.
45 нче рәсемдә а яссылыгына перпендику¬
ляр а турысы сурәтләнгән.
Әйләнә-тирәбездә туры һәм яссылыкның
перпендикулярлыгын күрсәтмәле итеп күзалларга
мөмкинлек бирә торган мисаллар күп. Авышмаган
телеграф баганасы туры тора, ягъни җир яссылыгы¬
на перпендикуляр. Йортның колоннасы — фундамент
яссылыгына, стеналарның кисешү сызыгы идән яссы¬
лыгына шулай ук перпендикуляр урнашкан һ. б.
Турыларның параллельлеге белән аларның
яссылыкка перпендикулярлыгы арасында бәйләнеш ур¬
наштыра торган ике теорема исбатлыйк.
Теорема
Әгәр ике параллель турының берсе яссылыкка пер¬
пендикуляр булса, икенче туры да бу яссылыкка пер¬
пендикуляр була.
Исбатлау
а һәм a1 параллель турыларын һәм а яссылы¬
гын al а булганда тикшерик, a1±a икәнен исбатларбыз.
a яссылыгында нинди дә булса х турысы
үткәрәбез (рәс. 46). a±a булганга күрә, alx. Ике па¬
раллель турының өченче турыга перпендикулярлыгы
турындагы лемма буенча a1lx. Шул рәвешле, a1 туры¬
сы а яссылыгында яткан теләсә нинди турыга перпен¬
дикуляр, ягъни a1±a. Теорема исбатланды.
Кире теореманы исбатлыйк.
Рәс. 46
Теорема
Ике туры яссылыкка перпендикуляр булса, ул вакыт¬
та алар параллель.
Туры һәм яссылыкларның
перпендикулярлыгы
35

▼ Исбатлау
а яссылыгына перпендикуляр булган а һәм Ь
турыларын тикшерик (рәс. 47, а), а || Ъ икәнен исбатларбыз.
Ь турысының нинди дә булса М ноктасы аша
а турысына параллель bl турысы үткәрәбез. Алдагы тео¬
рема буенча, i>1±α. b1 турысының Ь турысы белән тәңгәл
килүен исбатлыйк. Шуның белән a || Ь икәне исбатланыр.
Ь һәм i>1 турылары тәңгәл килми дип уйлыйк. Ул вакытта
Ь һәм b1 турыларын эченә алган β яссылыгында М нокта¬
сы аша ое һәм β яссылыкларының кисешү турысы булган
с турысына перпендикуляр ике туры үтә (рәс. 47, б). Ләкин
бу мөмкин түгел, димәк, а || Ь. Теорема исбатланды. Δ
17	Туры белән яссылыкның перпенди¬
кулярлык билгесе
Бирелгән турының бирелгән яссылыкка пер¬
пендикуляр икәнен ничек тикшерергә? Бу сорау прак¬
тик әһәмияткә ия, мәсәлән, мачталарны, биналарның
колонналарын һ. б. куйганда, аларны туры итеп, ягъни
куела торган яссылыкларына перпендикуляр итеп ур¬
наштырырга кирәк. Моның өчен, билгеләмәдә әйтел¬
гәнчә, теләсә нинди турыга перпендикулярлыкны түгел,
бәлки яссылыкта яткан кисешүче ике турыга перпенди¬
кулярлыкны тикшерү дә җитә икән. Бу хәл туры белән
яссылыкның перпендикулярлык билгесен белдергән тү¬
бәндәге теоремадан килеп чыга.
б)
Рәс. 47
Теорема
Әгәр туры яссылыкта яткан кисешүче ике турыга перпен
дикуляр булса, ул бу яссылыкка перпендикуляр була.
Исбатлау
a яссылыгында яткан һәм О ноктасында ки¬
сешүче р һәм q турыларына перпендикуляр булган а ту¬
рысын тикшерик (рәс. 48, a), a±a икәнен исбатларбыз.
Моның өчен а турысы а яссылыгында ирекле рәвештә
алынган т турысына перпендикуляр икәнен исбатларга
кирәк.
Башта а турысы О ноктасы аша үткән оч¬
ракны тикшерербез (рәс. 48, б). О ноктасы аша т туры¬
сына параллель I турысы үткәрәбез (әгәр т турысы О
ноктасы аша үтсә, I сыйфатында т турысының үзен
алабыз), а турысында, О ноктасы АВ кисемтәсенең урта¬
сы булырлык итеп, А һәм В нокталары билгелибез дә а
яссылыгында р, q һәм I турыларын тиңдәшле рәвештә
36
Туры һәм яссылыкларның
перпендикулярлыгы

P, Q һәм L нокталарында кисүче туры үткәрәбез. Ачык¬
лык өчен Q ноктасы Р һәм L нокталары арасында ята
дип исәпләрбез (рәс. 48, б).
р һәм q турылары АВ кисемтәсенә урта пер¬
пендикуляр булганга күрә, АР = ВР һәм AQ = BQ. Шу¬
лай булгач, өч ягы буенча Δ APQ = Δ BPQ. Шуңа күрә
ZAPQ = ZBPQ.
Хәзер APL һәм BPL өчпочмакларын тикше¬
рик. Алар ике ягы һәм алар арасындагы почмагы бу¬
енча тигез (АР = BP, PL — уртак як, Z.AJPL = ZBPL),
шуңа күрә AL = BL. Ләкин бу ABL өчпочмагы тигезь¬
янлы һәм аның медианасы LO биеклек булганын, ягъ¬
ни Z±α икәнен белдерә. 11| т һәм Z±α булганга күрә,
τn±α (ике параллель турының өченче турыга перпен¬
дикулярлыгы турындагы лемма буенча). Шулай итеп,
а турысы а яссылыгындагы теләсә нинди т турысына
перпендикуляр, ягъни α±α.
Хәзер а турысы О ноктасы аша үтмәгән оч¬
ракны тикшерик. О ноктасы аша а турысына параллель
a1 турысы үткәрәбез. Искә алынган лемма буенча α1±p
һәм a1±q, шуңа күрә беренче очракта исбатлаган буенча
a1±a. Моннан (16 нчы пункттагы беренче теорема буен¬
ча) a±а икәнлеге килеп чыга. Теорема исбатланды.
Түбәндәге мәсьәләне чишү өчен, туры белән
яссылыкның перпендикулярлык билгесеннән фай¬
даланырбыз.
Мәсьәлә
Пространствоның теләсә нинди ноктасы
аша бирелгән турыга перпендикуляр яссылык үткәнен
исбатларга.
Чишү
Бирелгән турыны — а хәрефе белән, ә про-
странствода ирекле рәвештә алынган ноктаны М хәрефе
белән тамгалыйк. М ноктасы аша үтүче һәм а турысы¬
на перпендикуляр яссылык барлыгын исбатларбыз.
а турысы аша, М& а булырлык итеп, а һәм
β яссылыкларын үткәрәбез (рәс. 49)*. а яссылыгында М
ноктасы аша а турысына перпендикуляр итеп — р турысы,
ә β яссылыгында р һәм а турыларының кисешү ноктасы
аша, а турысына перпендикуляр итеп, q турысы үткәрә¬
без. р һәм q турылары аша үтүче γ яссылыгын карарбыз,
γ эзләнелгән яссылык була, чөнки а турысы бу яссылык¬
тагы кисешүче ике турыга (р һәм q) перпендикуляр.
Рәс. 48
Рәс. 49
* 49 нчы рәсемдә М ноктасы а турысында ятмаган очрак сурәтләнгән. Әмма мәсь¬
әләнең китерелгән чишелеше М ноктасың турысында яткан очрак өчен дә ярый.
Туры һәм яссылыкларның
перпендикулярлыгы
37

Искәрмә
γ ның М ноктасы аша үтүче һәм а турысы¬
на перпендикуляр бердәнбер яссылык икәнен исбатлар¬
га мөмкин (133 нче мәсьәлә).
18	Яссылыкка перпендикуляр туры турындагы теорема
Теорема
Пространствоның теләсә нинди ноктасы аша бирелгән яс¬
сылыкка перпендикуляр туры үтә һәм бары тик бер генә.
▼ Исбатлау
Бирелгән яссылыкны — α хәрефе белән,
ә пространствода ирекле рәвештә алынган ноктаны
М хәрефе белән тамгалыйк. Исбатларбыз: 1)М ноктасы
аша а яссылыгына перпендикуляр туры үтә; 2) андый
туры бер генә.
1)	а яссылыгында ирекле рәвештә а туры¬
сы үткәрәбез дә М ноктасы аша үтүче һәм а турысы¬
на перпендикуляр β яссылыгын тикшерәбез (рәс. 50). α
һәм β яссылыкларының кисешү турысын b хәрефе белән
тамгалыйк, β яссылыгында М ноктасы аша b турысына
перпендикуляр с турысы үткәрәбез, с турысы эзләнелгән
туры була да. Дөрестән дә, ул α яссылыгына перпенди¬
куляр, чөнки бу яссылыктагы кисешүче ике турыга пер¬
пендикуляр (c±b — төзү буенча һәм c±α, чөнки β±α).
2)	М ноктасы аша а яссылыгына перпенди¬
куляр тагын бер туры (аны c1 дип тамгалыйк) үтә дип
уйлыйк. Ул вакытта (16 нчы пункттагы кире теоре¬
ма буенча) c11| с, ә моның булуы мөмкин түгел, чөнки
c1 һәм с турылары М ноктасында кисешәләр. Шул рә¬
вешле, М ноктасы аша α яссылыгына перпендикуляр
бер генә туры үтә. Теорема исбатланды. А
Мәсьәләләр
116	ABCDA1BlC1D1 параллелепипеды бирелгән.
а)	ABAD = 90° булса, DC ±B1C1 һәм AB±A1D15
б)	AB~LDD1 булса, AB±CC1 һәм DD1AA1B1 икәнен исбатлагыз.
117	ABCD тетраэдрында BCAAD икәне билгеле. AD±MN (биредә М һәм
N — АВ һәм АС кабыргаларының урталары) икәнен исбатлагыз.
118	А, М һәм О нокталары — а яссылыгына перпендикуляр туры¬
да, ә О, В, С һәм D нокталары а яссылыгында яталар. Түбәндәге
почмакларның кайсылары туры почмак: ААОВ, АМОС, ADAM,
ADOA, ΑΒΜΟΊ
119	ОА турысы ОВС яссылыгына перпендикуляр, һәм О ноктасы —
AD кисемтәсенең уртасы, a) AB = DB; б) ОВ = ОС булса, АВ = АС;
в)	АВ = АС булса, ОВ = ОС икәнен исбатлагыз.
Туры һәм яссылыкларның
38 перпендикулярлыгы

120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
Ягы а булган квадратта диагональләренең кисешү ноктасы О аша
квадрат яссылыгына перпендикуляр О К турысы үткәрелгән. О К = b
булса, К ноктасыннан квадрат түбәләренә кадәр ераклыкны табыгыз.
ABC өчпочмагында бирелгән: ZC = 90°, АС = 6 см, ВС = 8 см, CM —
медиана. С түбәсе аша ABC өчпочмагы яссылыгына перпендикуляр
СК турысы үткәрелгән, өстәвенә СК = 12 см. КМ ны табыгыз.
CD турысы төзек ABC өчпочмагы яссылыгына перпендикуляр.
Бу өчпочмакның үзәге О аша CD турысына параллель ОК турысы
үткәрелгән. АВ = 16>/з см, ОК = 12 cm, CD = 16 см икәне билгеле.
D һәм К нокталарыннан өчпочмакның А һәм В түбәләренә кадәрге
ераклыкларны табыгыз.
а һәм β яссылыклары а турысына перпендикуляр булса, аларның
параллель икәнен исбатлагыз.
Чишү
а һәм β яссылыкларын төрле А һәм В нокталарында кисәрлек
итеп, а турысына параллель нинди дә булса туры үткәрәбез.
16 нчы пункттагы беренче теорема буенча, а һәм β яссылыклары
АВ турысына перпендикуляр.
Әгәр а һәм β яссылыклары параллель түгел, ягъни бер булса да
уртак М ноктасы бар дип фараз итсәк, ул вакытта А һәм В түбә¬
ләре янындагы ике почмагы туры булган АВМ өчпочмагы килеп
чыгар иде, ә моның булуы мөмкин түгел. Димәк, α || β.
PQ турысы α яссылыгына параллель. Р һәм Q нокталары аша бу
яссылыкны тиңдәшле рәвештә P1 һәм Q1 нокталарында кисә тор¬
ган а яссылыгына перпендикуляр турылар үткәрелгән. PQ = P1Q1
икәнен исбатлагыз.
PQ турысының Р һәм Q нокталары аша а яссылыгына перпен¬
дикуляр булган һәм аны тиңдәшле рәвештә P1 һәм Q1 ноктала¬
рында кисүче турылар үткәрелгән. PQ = 15 см, PP1 = 21,5 см,
QQ1 = 33,5 см булса, PlQ1 не табыгыз.
MB турысы ABC өчпочмагының АВ һәм ВС якларына перпенди¬
куляр. MBD өчпочмагының төрен билгеләгез, биредә D ноктасы
АС турысында ирекле рәвештә алынган.
ABC өчпочмагында А һәм В почмакларының суммасы 90° ка ти¬
гез. BD турысы ABC яссылыгына перпендикуляр. CD РАС икәнен
исбатлагыз.
ABCD параллелограммында диагональләренең кисешү ноктасы
О аша, MA = МС, MB = MD булырлык итеп, ОМ турысы үткәрел¬
гән. ОМ турысы параллелограмм яссылыгына перпендикуляр
икәнен исбатлагыз.
AM турысы диагональләре О ноктасында кисешүче ABCD квадра¬
ты яссылыгына перпендикуляр, a) BD турысы АМО яссылыгына
перпендикуляр; б) MOPBD икәнен исбатлагыз.
ABCD квадратының В түбәсе аша ВМ турысы үткәрелгән.
Z MBA = ZMBC = 90°, MB = τη, АВ == п икәне билгеле. М нокта¬
сыннан: а) квадратның түбәләренә кадәр; б) АС һәм BD турылары¬
на кадәр ераклыкларны табыгыз.
Туры һәм яссылыкларның
\	39 перпендикулярлыгы

131	ABCD тетраэдрында M ноктасы — ВС кабыргасының уртасы,
AB =AC, DB = DC. ADM өчпочмагы яссылыгы ВС турысына пер¬
пендикуляр икәнен исбатлагыз.
132	Ике параллель яссылыкның берсе турыга перпендикуляр булса,
икенче яссылык та бу турыга перпендикуляр икәнен исбатлагыз.
133	Пространствоның теләсә нинди ноктасы аша бирелгән турыга пер¬
пендикуляр булган бер генә яссылык үткәнен исбатлагыз.
Чишү
17 нче пункттагы мәсьәлә буенча бирелгән М ноктасы аша би¬
релгән а турысына перпендикуляр булган α яссылыгы үтә. М нок¬
тасы аша бу турыга перпендикуляр тагын бер яссылык α1 үтә дип
фараз итик. Ул вакытта a һәм a1 яссылыклары параллель (123
нче мәсьәләне кара). Ләкин моның булуы мөмкин түгел, чөнки бу
яссылыклар уртак М ноктасына ия. Шулай булгач, безнең фара¬
зыбыз дөрес түгел, һәм М ноктасы аша а турысына перпендику¬
ляр бер генә яссылык үтә.
134	а турысының бирелгән М ноктасы аша үтүче һәм бу турыга пер¬
пендикуляр барлык турылар М ноктасы аша үтүче һәм а турысы¬
на перпендикуляр яссылыкта ятканын исбатлагыз.
135	а турысы a яссылыгына һәм бу яссылыкта ятмаган Ъ турысына
перпендикуляр, b || a икәнен исбатлагыз.
136	Әгәр X ноктасы бирелгән АВ кисемтәсенең очларыннан тигез ерак¬
лыкта булса, ул АВ кисемтәсенең уртасы аша үтүче һәм АВ туры¬
сына перпендикуляр яссылыкта ятканын исбатлагыз.
137	Үзара перпендикуляр ике чалышма турының һәркайсы аша икен¬
че турыга перпендикуляр яссылык үткәнен исбатлагыз.
Перпендикуляр һәм авышмалар.
Туры белән яссылык арасындагы почмак
s2
19	Ноктадан яссылыкка кадәр ераклык
a яссылыгын һәм бу яссылыкта ятмаган
А ноктасын тикшерик. А ноктасы аша a яссылыгына
перпендикуляр туры үткәрәбез һәм бу турының a яс¬
сылыгы белән кисешү ноктасын Н хәрефе белән тамга¬
лыйбыз (рәс. 51). АН кисемтәсе А ноктасыннан а яссы¬
лыгына үткәрелгән перпендикуляр дип, ә Н ноктасы
перпендикулярның нигезе дип атала, a яссылыгында
Н тан үзгә нинди дә булса М ноктасы билгеләп, AM
кисемтәсе үткәрәбез. Ул А ноктасыннан a яссылыгы¬
на үткәрелгән авышма дип, ә М ноктасы авышманың
нигезе дип атала. НМ кисемтәсе авышманың a яссы¬
лыгына проекциясе дип атала. АН перпендикуляры
белән AM авышмасын чагыштырыйк: турыпочмаклы
АМН өчпочмагында АН ягы — катет, ә AM ягы — ги-
Туры һәм яссылыкларның
40 перпендикулярлыгы

потенуза, шуңа күрә AH < AM. Шулай итеп, бирелгән
ноктадан яссылыкка үткәрелгән перпендикуляр шул
ук ноктадан бу яссылыкка үткәрелгән теләсә нинди
авышмадан кечерәк.
Димәк, А ноктасыннан а яссылыгының төрле
нокталарына кадәрге барлык ераклыкларыннан Н нок¬
тасына кадәрге ераклык иң кечкенәсе була. Бу ерак¬
лык, ягъни А ноктасыннан α яссылыгына үткәрелгән
перпендикулярның озынлыгы А ноктасыннан а яссылы¬
гына кадәр ераклык дип атала. Без ниндидер предмет,
мәсәлән, урам фонареның лампасы җирдән 6 м биеклектә
дип әйтәбез икән, лампадан алып җир өслегенә кадәр
ераклык лампадан җир өслеге яссылыгына үткәрелгән
перпендикуляр буенча үлчәнүен күздә тотабыз (рәс. 52).
Искәрмәләр
1.	Әгәр ике яссылык параллель булса, бер
яссылыкның барлык нокталары икенче яссылыктан тигез
ераклыкта булалар. Дөрестән дә, α яссылыгының ирек¬
ле рәвештә алынган А һәм М нокталарыннан бу яссы¬
лыкка параллель булган β яссылыгына үткәрелгән A40
һәм MM0 перпендикулярларын тикшерик. A40±β һәм
MM0±β булганга күрә, AA0∖∖MM0. Моннан MM0=AA0
икәнлеге (п. 11, 2° үзлеге), ягъни а яссылыгының теләсә
нинди М ноктасыннан β яссылыгына кадәр ераклык AA0
кисемтәсенең озынлыгына тигез икәнлеге килеп чыга,
β яссылыгының барлык нокталары а яссылыгыннан шун¬
дый ук ераклыкта булуы ачык аңлашыла.
Параллель яссылыкларның берсендә ирекле
рәвештә алынган ноктадан икенче яссылыкка кадәр
ераклык параллель яссылыклар арасындагы ераклык
дип атала.
Инде әйтеп үткәнебезчә, бүлмәнең идән һәм
түшәм яссылыклары параллель яссылыкларның мисалы
булып тора. Түшәмнең барлык нокталары идәннән бердәй
ераклыкта. Бу — бүлмәнең биеклеге була да инде.
2.	Әгәр туры яссылыкка параллель булса,
турының барлык нокталары шул яссылыктан тигез
ераклыкта урнаша (144 нче мәсьәлә). Бу очракта туры¬
ның ирекле рәвештә алынган нокталарыннан яссылык¬
ка кадәр ераклык туры һәм аңа параллель яссылык
арасындагы ераклык дип атала.
3.	Ике туры чалышма булса, ул вакытта,
7 нче пунктта исбатланганча, аларның һәркайсы аша
икенче турыга параллель яссылык үтә һәм бары тик бер
генә. Чалышма турыларның берсе белән икенче туры
аша беренчесенә параллель үтүче яссылык арасындагы
ераклык чалышма турылар арасындагы ераклык дип
атала.
41
Рәс. 52
Туры һәм яссылыкларның
перпендикулярлыгы

20	Оч перпендикуляр турындагы теорема
Теорема
·β·μ·······················ιμ^^·^··ι
Яссылыкта авышманың нигезе аша аның шул яссы¬
лыктагы проекциясенә перпендикуляр итеп үткәрелгән
туры авышманың үзенә дә перпендикуляр була.
Исбатлау
Игътибарны 53 нче рәсемгә юнәлтик, би¬
редә АН кисемтәсе а яссылыгына перпендикуляр,
AM — авышма, a — а яссылыгында М ноктасы аша
авышманың НМ проекциясенә перпендикуляр итеп
үткәрелгән туры, a A AM икәнен исбатларбыз.
АМН яссылыгын тикшерик, а турысы бу
яссылыкка перпендикуляр, чөнки ул кисешүче АН һәм
МН турыларына перпендикуляр (а!НМ шарт буенча
һәм аААН, чөнки AfΓ±α). Моннан а турысының АМН
яссылыгында яткан теләсә нинди турыга перпендику¬
ляр, аерым алганда аААМ икәнлеге килеп чыга. Тео¬
рема исбатланды.
Бу теорема өч перпендикуляр турындагы
теорема дип атала, чөнки анда өч перпендикуляр: АН,
НМ һәм AM арасындагы бәйләнеш турында әйтелә.
Кире теорема да дөрес: яссылыкта авыш¬
маның нигезе аша аңа перпендикуляр итеп үткәрелгән
туры авышманың проекциясенә дә перпендикуляр
була. 53 нче рәсемнән файдаланып, туры теореманы
исбатлаганга аналогик рәвештә әлеге теореманы үзегез
исбатлагыз (153 нче мәсьәлә).
21 Туры белән яссылык арасындагы почмак
19 нчы пунктта авышманың яссылыкка
проекциясенә билгеләмә бирелгән иде. Хәзер теләсә нин¬
ди фигураның проекциясе* төшенчәсен бирербез. Әгәр
нокта яссылыкта ятмаса, бу ноктадан яссылыкка үт¬
кәрелгән перпендикулярның нигезе, ә нокта яссылыкта
ятса, нокта үзе үк ноктаның яссылыкка проекциясе дип
атала. 54 нче рәсемдә M1 ноктасы — М ноктасының а яс¬
сылыгына проекциясе, ә N исә — үзе үк N ноктасының
шул яссылыкка проекциясе (Nea).
Пространстводагы нинди дә булса фигура¬
ны F хәрефе белән тамгалыйк. Әгәр без бу фигураның
* Бу пунктта фигураның турыпочмаклы проекциясе турында сүз бара.
Фигураның параллель проекциясенең гомумирак төшенчәсе 1 нче
кушымтада карала.
Туры һәм яссылыкларның
42 перпендикулярлыгы

бирелгән яссылыкка барлык нокталарының проекциялә¬
рен төзесәк, F фигурасының бирелгән яссылыкка проек¬
циясе дип аталган F1 фигурасын табарбыз. 54 нче рәсемдә
F1 өчпочмагы — F өчпочмагының а га проекциясе.
Яссылыкка перпендикуляр булмаган туры¬
ның шул яссылыкка проекциясе туры икәнен исбат¬
ларбыз.
Бирелгән яссылыкны — α хәрефе белән, a
яссылыгына перпендикуляр булмаган ирекле рәвештә
алынган турыны а хәрефе белән тамгалыйк (рәс. 55).
а турысының нинди дә булса М ноктасыннан а яссы¬
лыгына МН перпендикуляры үткәрик тә а һәм МН
аша үтүче β яссылыгын тикшерик, a һәм β яссылыкла¬
ры ниндидер a1 турысы буенча кисешәләр. Бу туры а
турысының a яссылыгына проекциясе икәнен исбат¬
лыйк. Дөрестән дә, а турысында ирекле рәвештә Λf1
ноктасы алып, β яссылыгында МН турысына парал¬
лель M1H1 турысы үткәрик (br1 — M1H1 һәм a1 ту¬
рыларының кисешү ноктасы). 16 нчы пункттагы бе¬
ренче теорема буенча, M1H1Ya, димәк, H1 ноктасы
M1 ноктасының а яссылыгына проекциясе була. Без
а турысында ирекле рәвештә алынган ноктаның про¬
екциясе a1 турысында ятканын исбатладык. Шуңа ох¬
шаш рәвештә a1 турысының теләсә нинди ноктасы а
турысының ниндидер ноктасының проекциясе булганы
исбатлана. Шулай булгач, a1 турысы — а турысының a
яссылыгына проекциясе.
Исбатланган расламадан яссылыкка перпен¬
дикуляр булмаган АВ кисемтәсенең проекциясе очлары
А һәм В нокталарының проекцияләре булган кисемтә
икәнлеге килеп чыга. Шуңа күрә авышманың проекция¬
се билгеләмәсе (п. 19) фигура проекциясенең гомуми
билгеләмәсе белән тулысынча туры килә. Турының яс¬
сылыкка проекциясе төшенчәсеннән файдаланып, туры
белән яссылык арасындагы почмак төшенчәсен бирик.
Билгеләмә
Рәс. 55
Рәс. 56
Туры белән бу турыны кисүче һәм аңа перпендикуляр булмаган
яссылык арасындагы почмак дип туры белән аның шул яссы¬
лыкка проекциясе арасындагы почмак атала.
Бирелгән AM турысы белән а яссылыгы ара¬
сындагы φ0 почмагы (рәс. 56) турының а яссылыгында¬
гы А ноктасы аша үткәрелгән турылар белән төзелгән
барлык φ почмаклары арасында иң кечкенәсе булганын
исбат итәргә мөмкин (162 нче мәсьәлә).
Туры һәм яссылыкларның
перпендикулярлыгы
43

Туры яссылыкка перпендикуляр булса, бу
турының яссылык белән кисешү ноктасы аның шул яс¬
сылыкка проекциясе була. Андый очракта туры белән
яссылык арасындагы почмак 90° ка тигез дип исәпләнә.
Әгәр бирелгән туры яссылыкка параллель
икән, аның яссылыкка проекциясе бирелгән турыга па¬
раллель туры була. Бу очракта без туры белән яссылык
арасындагы почмак төшенчәсен бирмибез. (Кайвакыт
параллель туры белән яссылык арасындагы почмакны
0oκa тигез дип исәпләргә килешәләр.)
▼ Искәрмә
Бу пунктта тикшерелгән турыпочмаклы
проекция һәм параллель проекция белән беррәттән, кай¬
вакыт 1 нче кушымтада сөйләнәчәк үзәкле симметрия
дә файдаланыла. Ул болай билгеләнә. Ирекле рәвештә
алынган α яссылыгын һәм бу яссылыкта ятмаган нин¬
ди дә булса О ноктасын тикшерәбез, β — О ноктасы аша
үтүче һәм α яссылыгына параллель яссылык булсын,
β яссылыгында ятмаган М ноктасының а яссылыгына
үзәкле проекциясе (үзәге О булган) дип ОМ турысының
α яссылыгы белән кисешү ноктасы булган Λf1 нокта¬
сы атала, β яссылыгында ятмаган фигураның барлык
нокталарының α яссылыгына үзәкле проекцияләре күп¬
леге фигураның а яссылыгына үзәкле проекциясе дип
атала. Фигураның фотосурәте фигураның үзәкле сим¬
метриясенә мисал булып тора. А
Мәсьәләләр
138	Ниндидер ноктадан бирелгән яссылыкка перпендикуляр һәм поч¬
магы φ гә тигез булган авышма үткәрелгән, а) Перпендикуляр
d га тигез булса, авышманы һәм аның бирелгән яссылыкка про¬
екциясен табыгыз; б) авышма т га тигез булса, перпендикулярны
һәм авышманың проекциясен табыгыз.
139	Ниндидер ноктадан яссылыкка ике авышма үткәрелгән, а) Әгәр
авышмалар тигез булса, ул вакытта аларның проекцияләре дә тигез;
б) әгәр авышмаларның проекцияләре тигез булса, ул вакытта алар¬
ның авышмалары да тигез; в) әгәр авышмалар тигез булмаса, ул ва¬
кытта зуррак авышманың проекциясе дә зуррак икәнен исбатлагыз.
140	а яссылыгында ятмаган А ноктасыннан бу яссылыкка АО пер¬
пендикуляры һәм үзара тигез АВ, АС авышмалары үткәрелгән.
Z ОАВ = ABAC = 60o, AO = 1,5 см икәне билгеле. Авышмаларның
нигезләре арасындагы ераклыкны табыгыз.
141	Бирелгән кисемтәнең бер очы а яссылыгында, ә икенчесе аңардан
6 см ераклыкта ята. Бирелгән кисемтәнең уртасыннан а яссылы¬
гына кадәр ераклыкны табыгыз.
142	Кисемтәнең очлары а яссылыгыннан 1 см һәм 4 см ераклыкта ята.
Кисемтәнең уртасыннан а яссылыгына кадәр ераклыкны табыгыз.
Туры һәм яссылыкларның
44 перпендикулярлыгы

143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
М ноктасыннан төзек ABC өчпочмагының һәр түбәсенә кадәрге
ераклык 4 см га тигез. АВ = 6 см булса, М ноктасыннан ABC яс¬
сылыгына кадәр ераклыкны табыгыз.
а турысы а яссылыгына параллель, а турысының барлык ноктала¬
ры а яссылыгыннан тигез ераклыкта икәнен исбатлагыз.
Чишү
а турысының нинди дә булса ноктасы аша, а яссылыгына параллель
итеп, β яссылыгы үткәрәбез (59 нчы мәсьәлә), а турысы β яссылыгын¬
да ята, чөнки шулай булмаганда ул β яссылыгын кисә, димәк, α яс¬
сылыгын да кисә (55 нче мәсьәлә), ә моның булуы мөмкин түгел,
β яссылыгының барлык нокталары а яссылыгыннан тигез ераклыкта,
шуңа күрә β яссылыгында яткан а турысының да барлык нокталары
а яссылыгыннан тигез ераклыкта, шуны исбатларга кирәк иде дә.
С почмагы туры булган турыпочмаклы ABC өчпочмагының А тү¬
бәсеннән, өчпочмак яссылыгына перпендикуляр итеп, AD турысы
үткәрелгән, a) CBD өчпочмагының турыпочмаклы икәнен исбат¬
лагыз; б) ВС = a, DC = b булса, BD ны табыгыз.
а турысы а яссылыгын М ноктасында кисә һәм бу яссылыкка перпен¬
дикуляр түгел, а яссылыгында М ноктасы аша а турысына перпен¬
дикуляр туры үткәнен һәм бу турының бер генә икәнен исбатлагыз.
М ноктасыннан ABCD турыпочмаклыгы яссылыгына MB перпен¬
дикуляры үткәрелгән. AMD һәм MCD өчпочмакларының туры¬
почмаклы икәнен исбатлагыз.
АК турысы төзек ABC өчпочмагы яссылыгына перпендикуляр,
М — ВС ягының уртасы. MKFBC икәнен исбатлагыз.
AD кисемтәсе тигезьянлы ABC өчпочмагы яссылыгына перпендику¬
ляр. АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, AD = 12 см икәне билгеле. AD ки¬
семтәсе очларыннан ВС турысына кадәрге ераклыкларны табыгыз.
ABCD турыпочмаклыгының А түбәсеннән, турыпочмаклык яссы¬
лыгына перпендикуляр итеп, АК турысы үткәрелгән. KD = 6 см,
КВ = 7 см, КС = 9 см икәне билгеле, а) К ноктасыннан ABCD
турыпочмаклыгы яссылыгына кадәр ераклыкны; б) АК һәм CD
турылары арасындагы ераклыкны табыгыз.
CD турысы ABC өчпочмагы яссылыгына перпендикуляр, a) ABC
өчпочмагы ABD өчпочмагының ABC яссылыгына проекциясе;
б) СН кисемтәсе ABC өчпочмагының биеклеге булса, ул вакытта
DH ның ABD өчпочмагының биеклеге булуын исбатлагыз.
ABCD квадратының В түбәсе аша, квадрат яссылыгына перпенди¬
куляр итеп, BF турысы үткәрелгән. BF = 8 дм, АВ = 4 дм булса,
F ноктасыннан квадрат якларын һәм диагональләрен эченә алган
турыларга кадәр ераклыкларны табыгыз.
а яссылыгында AM авышмасының М нигезе аша аңа перпенди¬
куляр итеп үткәрелгән а турысы авышманың проекциясе НМ га
перпендикуляр икәнен исбатлагыз (53 нче рәс. кара).
Чишү
а турысы АМН яссылыгына перпендикуляр, чөнки ул бу яссылык¬
тагы кисешүче ике турыга перпендикуляр (aFAM шарт буенча һәм
Туры һәм яссылыкларның
45 перпендикулярлыгы

154
155
156
157
158
159
160
161
162
α±AH, чөнки AH la). Моннан а турысы АМН яссылыгында яткан
теләсә нинди а турысына перпендикуляр, аерым алганда, а1НМ
икәнлеге килеп чыга, шуны исбатларга кирәк иде дә.
BD турысы ABC өчпочмагы яссылыгына перпендикуляр. BD =
= 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см икәне билгеле, a) D нокта¬
сыннан АС турысына кадәр ераклыкны; б) ACD өчпочмагының
мәйданын табыгыз.
Тигезьянлы турыпочмаклы ABC өчпочмагының С туры почмагы
түбәсе аша, аның яссылыгына перпендикуляр итеп, СМ турысы
үткәрелгән. АС = 4 см, ә CM = 2λ∕7 см булса, М ноктасыннан АВ
турысына кадәрге ераклыкны табыгыз.
Турыпочмаклы ABC өчпочмагының бер катеты т га тигез, бу
катет янындагы кысынкы почмагы φ гә тигез. С туры почмагы
түбәсе аша, өчпочмак яссылыгына перпендикуляр итеп, CD ту¬
рысы үткәрелгән, CD = п. D ноктасыннан АВ турысына кадәрге
ераклыкны табыгыз.
ОК турысы диагональләре О ноктасында кисешә торган ABCD
ромбы яссылыгына перпендикуляр, а) К ноктасыннан ромбның
якларын эченә алган турыларга кадәрге ераклыклар тигез икәнен
исбатлагыз; б) ОК = 4,5 дм, АС = 6 дм, BD = 8 дм булса, бу ерак¬
лыкны табыгыз.
ABCD ромбының В түбәсе аша, аның яссылыгына перпенди¬
куляр итеп, ВМ турысы үткәрелгән. АВ = 25 см, ABAD = 60°,
ВМ =12,5 см булса, М ноктасыннан ромбның якларын эченә ал¬
ган турыларга кадәр ераклыкларны табыгыз.
ВМ турысы ABCD турыпочмаклыгы яссылыгына перпендикуляр.
ADM һәм ВСМ яссылыкларының кисешү турысы АВМ яссылы¬
гына перпендикуляр икәнен исбатлагыз.
АВ кисемтәсенең очлары бер-берсеннән d ераклыктагы параллель
яссылыкларда ята, өстәвенә d <АВ. АВ кисемтәсенең бу яссы¬
лыкларга проекцияләре тигез икәнен исбатлагыз: АВ = 13 см,
d = 5 см булса, бу проекцияләрне табыгыз.
ВА нуры җәелмәгән CBD почмагы яссылыгында ятмый. Әгәр
ААВС = AABD, өстәвенә ZABC < 90° булса, ВА нурының CBD
яссылыгына проекциясе CBD почмагының биссектрисасы икәнен
исбатлагыз.
МА турысы а яссылыгының А ноктасы аша үтә һәм бу яссылык
белән φ0 ≠ 90° почмагы төзи, а яссылыгында А ноктасы аша үт¬
кәрелгән турылар белән МА турысы төзегән
барлык почмаклардан φ0 иң кечкенәсе икә¬
нен исбатлагыз.
Чишү
М ноктасыннан α яссылыгына үткәрелгән
перпендикулярның нигезен Н хәрефе белән
тамгалыйбыз да α яссылыгында А ноктасы
аша үтүче һәм АН турысыннан үзгә булган
теләсә нинди р турысын карыйбыз (рәс. 57).
Рәс. 57
Туры һәм яссылыкларның
перпендикулярлыгы
46

AM һәм p турылары арасындагы почмакны φ аша тамгалап,
φ > φ0 икәнен исбатларбыз. М ноктасыннан р турысына MN пер¬
пендикуляры үткәрәбез. Әгәр N ноктасы А ноктасы белән тәңгәл
килсә, φ = 90° һәм шуңа күрә φ > φ0. А һәм А нокталары тәң¬
гәл килмәгән очракны тикшерик (57 нче рәс. кара). AM кисем¬
тәсе — турыпочмаклы ANM һәм АНМ өчпочмакларының уртак
гипотенузасы, шуңа күрә sin φ = sin φ0 = ~1I. MN > MH бул¬
гач (MN — авышма, ΜΗ — перпендикуляр), бу ике тигезлектән
sin φ > sin φ0 икәнлеге килеп чыга һәм шуңа күрә φ > φ0.
163	А ноктасыннан бирелгән яссылыкка үткәрелгән AM авышмасы
d га тигез. Әгәр AM турысы белән бирелгән яссылык арасындагы
почмак: а) 45°; б) 60°; в) 30° ка тигез булса, бу авышманың яссы¬
лыкка проекциясе нәрсәгә тигез?
164	α яссылыгына, φ почмагы ясап, авышма үтә. Авышманың проекция¬
се үзеннән ике тапкыр кечерәк икәне билгеле булса, φ не табыгыз.
165	γ яссылыгыннан d ераклыктагы А ноктасыннан, бу яссылыкка 30°
лы почмак ясап, АВ һәм АС авышмалары үткәрелгән. Ал арның γ
яссылыгына проекцияләре 120° лы почмак төзи. ВС ны табыгыз.
s3
Икекырлы почмак. Яссылыкларның
перпендикулярлыгы
22	Икекырлы почмак
Яссылыкта почмак дип бер ноктадан чык¬
кан ике нур белән төзелгән фигураны атыйлар. Сте¬
реометриядә мондый почмаклар белән рәттән поч¬
макларның тагын бер төре — икекырлы почмаклар
тикшерелә. Икекырлы почмак төшенчәсен кертү өчен,
бирелгән яссылыкта үткәрелгән теләсә нинди туры бу
яссылыкны ике ярымъяссылыкка бүлүен искәртеп ки¬
тәбез (рәс. 58, а). Яссылыкны а турысы буйлап бөктек
дип күз алдына китерик, ул вакытта инде чиге а булган
ике ярымъяссылык бер яссылыкта ятмый (рәс. 58, б).
Килеп чыккан фигура икекырлы почмак була да инде.
Шул рәвешле, икекырлы почмакка мондый
билгеләмә бирергә мөмкин: а турысыннан һәм уртак
чиге а булган бер яссылыкта ятмаган ике ярымъяс-
сылыктан торган фигура икекырлы почмак дип атала.
Икекырлы почмакны төзүче ярымъяссылыклар аның
кырлары дип атала. Икекырлы почмакның ике кыры
бар, икекырлы почмак исеме шуннан чыгып алынган.
а турысы — ярымъяссылыкларның уртак чиге — ике¬
кырлы почмакның кабыргасы дип атала.
а)
а турысы яссылыкны
ике ярымъяссылыкка
Икекырлы почмак
Рәс. 58
Туры һәм яссылыкларның
перпендикулярлыгы
47

Кабыргасы АВ булган һәм төрле кырларын¬
да С һәм D нокталары билгеләнгән икекырлы почмак
CABD икекырлы почмагы дип атала.
Көндәлек тормышта без икекырлы почмак
формасындагы әйберләр белән еш очрашабыз. Биналар¬
ның ике кыеклы түбәләре, ярым ачык капка, бүлмәнең
стенасы белән түшәме һ. б. шундый мисаллар булып тора.
Яссылыкта почмаклар (гадәти почмаклар)
градусларда үлчәнгәнен без беләбез. Ә икекырлы поч¬
маклар ничек үлчәнә соң? Бу түбәндәгечә эшләнә. Ике¬
кырлы почмакның кабыргасында нинди дә булса нокта
билгелибез дә һәр кырда шул ноктадан кабыргага пер¬
пендикуляр нур үткәрәбез. Бу нурлар белән төзелгән
почмак икекырлы почмакның сызыкча почмагы дип
атала. 59, а рәсемендә АО В почмагы — кабыргасы CD
булган икекырлы почмакның сызыкча почмагы. OA/CD
һәм OBA.CD булганга, АО В яссылыгы CD турысына
перпендикуляр. Шулай итеп, сызыкча почмак яссылы¬
гы икекырлы почмакның кабыргасына перпендикуляр.
Икекырлы почмакның сызыкча почмаклары чиксез күп
икәнлеге үзеннән-үзе аңлашыла (рәс. 59, б).
Икекырлы почмакның барлык сызык¬
ча почмаклары бер-берсенә тигез икәнен исбатлыйк.
АОВ һәм A1O1B1 сызыкча почмакларын тикшерик (рәс.
59, б). ОА һәм O1A1 нурлары бер кырда яталар һәм
OO1 турысына перпендикуляр, шуңа күрә алар бердәй
юнәлешле. Нәкъ шулай ук ОВ һәм O1B1 нурлары да
бердәй юнәлешле. Шуңа күрә ∕A1O1Bi = /.АОВ (бердәй
юнәлешле почмаклар буларак).
Икекырлы почмакның сызыкча почмагы¬
ның градуслы үлчәме икекырлы почмакның градуслы
үлчәме дип атала. 60, а рәсемендә икекырлы почмак¬
ның градуслы үлчәме 45° ка тигез. Гадәттә, кыскача
икекырлы почмак 45° ка тигез, диләр.
Икекырлы почмак 90° ка тигез (90° тан ке¬
черәк, 90° тан зуррак) булса, ул туры (кысынкы, җәен¬
ке) дип атала. Икекырлы почмакларның 60, б рәсемендә
сурәтләнгәне — туры, 60, а рәсемендәгесе — кысынкы,
Икекырлы почмакның
сызыкча почмагы
Рәс. 59
Туры һәм яссылыкларның
перпендикулярлыгы
48

23	Ике яссылыкның перпендикулярлык билгесе
Кисешүче ике яссылык уртак кабыргалы
дүрт икекырлы почмак төзи (рәс. 61, а). Бу икекырлы
почмакларның берсе φ гә тигез булса, калган өч почмак
180o - φ, φ һәм 180o- φ гә тигез (ни өчен шулай икәнен
аңлатыгыз). Аерым алганда, почмакларның берсе туры
(φ = 90° булса, калган өчесе шулай ук туры почмак
була. Әгәр φ калган почмакларның һәркайсыннан зур
булмаса, кисешүче яссылыклар арасындагы почмак
φ гә тигез, диләр. Биредә 0o < φ ≤ 90° икәнлеге ачык
аңлашыла.
Билгеләмә
Кисешүче ике яссылык арасындагы почмак 90° ка тигез булса,
алар перпендикуляр (үзара перпендикуляр) дип атала (рәс. 61, б).
Бүлмәнең стена белән идән, стена белән тү¬
шәм яссылыклары үзара перпендикуляр яссылыкларга
мисал булып тора. Үзара перпендикуляр яссылыклар
белән төзелгән дүрт икекырлы почмак та туры икәнлеге
үзеннән-үзе аңлашыла.
Ике яссылыкның перпендикулярлык билге¬
сен тикшерик.
Теорема
Әгәр ике яссылыкның берсе икенче яссылыкка пер¬
пендикуляр туры аша үтсә, андый яссылыклар пер¬
пендикуляр була.
Исбатлау
Шундый а һәм β яссылыкларын тикшерик:
а яссылыгы β яссылыгына перпендикуляр булган һәм
аның белән А ноктасында кисешүче АВ турысы аша үтә
Туры һәм яссылыкларның
49 перпендикулярлыгы

(рәс. 62). α±β икәнен исбатларбыз, a һәм β яссылыклары
ниндидер АС турысы буенча кисешәләр, өстәвенә АВ1АС,
чөнки шарт буенча AB±β, димәк, АВ турысы β яссылы¬
гында яткан теләсә нинди турыга перпендикуляр.
β яссылыгында АС турысына перпендику¬
ляр AD турысы үткәрәбез. Ул вакытта BAD почма¬
гы — a һәм β яссылыклары кисешкәндә барлыкка кил¬
гән икекырлы почмакның сызыкча почмагы. Ләкин
Z BAD = 90° (чөнки ABlβ). Димәк, a һәм β яссылык¬
лары арасындагы почмак 90° ка тигез, ягъни a±β. Тео¬
рема исбатланды.
Нәтиҗә
Бирелгән ике яссылыкның кисешү турысына перпендикуляр яссы¬
лык бу яссылыкларның һәркайсына перпендикуляр була (рәс.63).
24	Турыпочмаклы параллелепипед
Параллелепипедның нигезләре — турыпоч¬
маклык, ә ян кабыргалары нигезенә перпендикуляр
булса, параллелепипед турыпочмаклы дип атала. Күп
предметлар турыпочмаклы параллелепипед формасын¬
да: тартмалар, ящиклар, бүлмәләр һ. б. 64 нче рәсемдә
турыпочмаклы ABCDA1B1C1D1 параллелепипеды сурәт¬
ләнгән. ABCD һәм A1B1C1D1 турыпочмаклыклары аның
нигезләре булып хезмәт итә, ә A41, BB1, CC1 һәм DD1 ян
кабыргалары нигезгә перпендикуляр. Моннан AA11AB
икәнлеге килеп чыга, ягъни AA1B1B ян кыры — туры¬
почмаклык. Калган ян кырлары турында да шуны ук
әйтергә мөмкин. Шулай итеп, без турыпочмаклы парал¬
лелепипедның түбәндәге үзлеген нигезләдек.
1°. Турыпочмаклы параллелепипедның
алты кыры да — турыпочмаклык.
Параллелепипедның чиктәш кырлары ур¬
нашкан ярымъяссылыклар параллелепипедның икекыр¬
лы почмаклары дип аталган икекырлы почмаклар төзи.
Тагын бер үзлекне мөстәкыйль рәвештә ис¬
батлагыз.
2°. Турыпочмаклы параллелепипедның
барлык икекырлы почмаклары да туры.
Хәзер турыпочмаклы параллелепипедның
иң мөһим үзлекләреннән берсен карауга күчәрбез.
Уртак түбәгә ия булган өч кабырганың
озынлыклары турыпочмаклы параллелепипедның үлчә¬
нешләре дип атала. Мәсәлән, 64 нче рәсемдә сурәтләнгән
параллелепипедның үлчәнешләре сыйфатында АВ, AD һәм
AA1 кабыргаларының озынлыкларын алырга мөмкин.
50
Әгәр γ±a булса, ул ва¬
кытта γ±a һәм γ±β
Рәс. 63
Турыпочмаклы паралле¬
лепипед
Рәс. 64
Туры һәм яссылыкларның
перпендикулярлыгы

Көндәлек тормышта турыпочмаклы парал¬
лелепипед формасындагы бүлмәнең зурлыгы турын¬
да сөйләгәндә, «үлчәнешләре» сүзе урынына, гадәттә,
«буе», «киңлеге» һәм «биеклеге» сүзләре кулланыла.
Бүлмәнең буе, киңлеге һәм биеклеге аның үлчәнешләре
икәнлеге үзеннән-үзе аңлашыла.
Параллелепипедның үлчәнешләре белән
бәйле үзлеген әйтеп биргәнгә кадәр турыпочмаклыкта
диагональнең квадраты чиктәш якларының квадратла¬
ры суммасына тигез икәнлеген искә төшереп китик.
Чиктәш якларның озынлыкларын турыпоч¬
маклыкның үлчәнешләре дип атарга мөмкин, шуңа
күрә турыпочмаклык диагоналенең квадраты аның
ике үлчәнешенең квадратлары суммасына тигез дияр¬
гә мөмкин. Турыпочмаклы параллелепипед та шушыңа
охшаш үзлеккә ия икән.
Теорема
Турыпочмаклы параллелепипед диагоналенең квадраты
аның өч үлчәнешенең квадратлары суммасына тигез.
Исбатлау
Игътибарны ABCDA1B1ClDl параллелепипе¬
ды сурәтләнгән 64 нче рәсемгә юнәлтәбез һәм
ACf = AB2 + AD2 + АА2
икәнен исбатларбыз.
CC1 кабыргасы ABCD нигезенә перпендику¬
ляр булгач, ACC1 почмагы туры. Турыпочмаклы ACC1
өчпочмагыннан Пифагор теоремасы буенча табабыз:
АС2 = AC2 + CC21.
Ләкин АС — ABCD турыпочмаклыгының
диагонале, шуңа күрә AC2 = AB2 + AD2. Моннан тыш,
CC1 =AA1. Шулай булгач, AC2 = AB2 + AD2 + АА2.
Теорема исбатланды.
Нәтиҗә
Турыпочмаклы параллелепипедның диагональләре тигез.
Өч үлчәнеше дә тигез булган турыпочмаклы
параллелепипед куб дип атала. Кубның барлык кырла¬
ры да — бер-берсенә тигез квадратлар.
25* Өчкырлы почмак
Уртак башлангычы О булган һәм бер яссы¬
лыкта ятмаган өч нур: ОА, ОВ һәм ОС ны тикшерик.
АОВ, ВОС, СОА почмакларыннан һәм аларның эчке
Туры һәм яссылыкларның
51 перпендикулярлыгы

өлкәсеннән торган фигура ОАВС өчкырлы почмагы
дип, ә күрсәтелгән почмаклар бу өчкырлы почмакның
яссы почмаклары дип атала.
Өчкырлы почмакның һәр яссы почмагы
калган ике яссы почмагының суммасыннан кечерәк
икәнен исбатларбыз. ОАВС өчкырлы почмагын тикше¬
рик һәм аныклык өчен ZBOC ~≥ ZAOC ≥ ZAOB дип
исәплик. Безгә ZBOC < ZAOB + ZAOC икәнен исбатлау
җитә (ни өчен икәнен аңлатып бирегез). Әгәр Z ВОС =
= ZAOB булса, тигезсезлекнең дөреслеге күренеп тора.
Киресенчә (ZBOC > ZAOB) булганда, түбәндәгечә эш¬
ләрбез.
ВС нурында М ноктасын МОВ почмагы
АОВ почмагына тигез булырлык итеп сайлап алабыз
(рәс. 65, a). ZBOC > ZAOB булганга күрә, М нокта¬
сы В һәм С нокталары арасында ятар. Аннары ОА ну¬
рында ОМ = ON кисемтәсен салабыз. BON һәм ВОМ
өчпочмаклары өчпочмаклар тигезлегенең беренче бил¬
гесе буенча тигез, шуңа күрә BN = ВМ.
BCN өчпочмагында: ВМ + МС = ВС < BN +
+ NC = ВМ + NC, моннан табабыз: МС < NC.
Кабыргасы ОС булган икекырлы почмакны
Μ, N, О һәм С нокталары бер яссылыкта ятарлык итеп
җәябез һәм MON өчпочмагының OD биссектрисасын
үткәрәбез (рәс. 65, б). MON өчпочмагы тигезьянлы бул¬
ганлыктан, OD кисемтәсе аның медианасы да һәм биек¬
леге дә була: MD = DN, ODZMN. Шулай итеп, OD ту¬
рысы MNC өчпочмагында MN ягының уртасы аша үтә
һәм шул якка перпендикуляр. Димәк, ул МС һәм NC
якларының зуррагын, ягъни NC ягын кисеп үтә (моны
исбатлагыз). Шуңа күрә ZMOC < ZNOC. Хәзер игъти¬
барны 65, а рәсеменә юнәлтик. Без
ZBOC = ZMOB + ZMOC = ZAOB +
+ ZMOC < ZAOB + ZNOC = ZAOB + ZAOC
а)
икәнен күрәбез, безгә шуны исбатларга кирәк иде дә.
26* Күпкырлы почмак
A1OA2 , A2OA3' ... , AnOA1 почмакларыннан
һәм аларның, чиктәш почмаклары (ягъни A1OA2 һәм
A2OA3 , ... , AnOA1 һәм A1OA2) бер яссылыкта ятмаслык
итеп, ә чиктәш булмаган якларының (аларның эчке
өлкәләре белән) уртак нокталары булмаслык итеп, эчке
өлкәләреннән төзелгән фигураны тикшерик. Андый фи¬
гура күпкырлы OA1 А2 ... Ап почмагы дип атала. Бу
Туры һәм яссылыкларның
перпендикулярлыгы
52

күпкырлы почмакны тезүче почмаклар — яссы почмак¬
лар, OA1, OA2 , ... , OAn нурлары — кабыргалар, ә
О ноктасы бу күпкырлыкның түбәсе дип атала. Өчкыр-
лы почмак күпкырлы почмакка мисал булып тора.
Күпкырлы почмак үзенең һәр яссы почма¬
гы яссылыгыннан бер якта ятса, ул кабарынкы дип
атала. Аерым алганда, өчкырлы почмак — кабарынкы
(ни өчен икәнен аңлатып бирегез).
Теләсә нинди кабарынкы күпкырлы поч¬
макның барлык кабыргаларын кисүче яссылык бар¬
лыгын исбатларбыз. Күпкырлы OA1A2 ... Ап почма¬
гының OA1 һәм OA2 кабыргаларын карыйк. Әлеге
күпкырлы почмак кабарынкы булганга күрә, А3, ... , Ап
нокталары OA1A2 яссылыгыннан бер якта яталар.
OA1A2 өчпочмагының ВС урта сызыгын
үткәрәбез (рәс.66) һәм OA3, ... , OAn кабыргалары ара¬
сыннан OBCAi икекырлы почмагының зурлыгы иң
кечкенә кыйммәткә ия булган OAi кабыргасын сайлап
алабыз (рәсемдә бу икекырлы почмакның кырлары бу¬
ялган). OBCAi икекырлы почмагын ике икекырлыкка
бүлүче һәм чиге ВС булган ярымъяссылыкны карыйк
(рәсемдә бу ярымъяссылык сурәтләнмәгән). A1, ... , Ап
түбәләренең барысы да бу ярымъяссылыкны эченә алган
α яссылыгыннан бер якта, ә О ноктасы а яссылыгының
икенче ягында ята (ни өчен икәнен аңлатып бирегез).
Димәк, α яссылыгы OA1, ... , OAn кабыргаларының ба¬
рысын да кисеп үтә. Раслау исбатланды.
Кабарынкы күпкырлы почмаклар тагын бер
мөһим үзлеккә ия.
Рәс. 66
Теорема
Кабарынкы күпкырлы почмакларда яссы почмаклар¬
ның суммасы 360° тан кечерәк.
o
Исбатлау
Түбәсе О булган кабарынкы күпкырлы поч¬
макны тикшерик һәм аның барлык кабыргаларын нин-	/, / \ \
дидер A1, A2 , ..., Ап нокталарында кисүче яссылык үт-	/
кәрик (рәс. 67). Табабыз:	/ ' I \\\
ZA1OA2 + AA2OA3 + ... + ZAnOA1 =	/ /
= (180o - ZOA1A2 - ZOA2A1) + (180o - ZOA2A3 - ZOA3A2) + ...	/ An
... + (180o - ZOAnA1 - ZOA1An) = 180° · п -	/	\
- (ZOA1An + ZOA1A2) - (ZOA2A1 + ZOA2A3) - ...	х/ \/
... - (ZOAnAn _ 1 + ZOArtA1).	РӘС. 67	аз
Туры һәм яссылыкларның
перпендикулярлыгы

Ләкин өчкырлы почмакның ике яссы поч¬
магының суммасы өченче яссы почмагыннан зуррак
(25 нче п.ны кара), шуңа күрә
ZOA1An + ZOA1A2 > ZAnA1A2, ... ,
ZOAnAn _ 1 + ZOAnA1) > ZAn _ 1 AnA1.
Димәк, эзләнелгән сумма
180° ■ п — (ZAnA1A2 ÷ ^A1A2A3 + ... + ZAn _ 1 AnA1) =
= 180° · п - 180° · (п - 2) = 360° тан кечерәк.
Теорема исбатланды.
Мәсьәләләр
166	Перпендикуляр булмаган α һәм β яссылыклары ΛCV турысы буй¬
лап кисешәләр, β яссылыгында А ноктасыннан W турысына
АВ перпендикуляры һәм шул ук А ноктасыннан а яссылыгына
АС перпендикуляры үткәрелгән. ZABC — икекырлы AMNC поч¬
магының сызыкча почмагы икәнен исбатлагыз.
167	DABC тетраэдрының барлык кабыргалары да тигез, М ноктасы —
АС кабыргасының уртасы. ZDMB — икекырлы BACD почмагы¬
ның сызыкча почмагы икәнен исбатлагыз.
168	Икекырлы почмак φ гә тигез. Бу почмакның бер кырында икенче
кыр яссылыгыннан d ераклыгындагы нокта ята. Бу ноктадан ике¬
кырлы почмакның кабыргасына кадәр ераклыкны табыгыз.
169	Бер кыры уртак, калган ике кыры бер яссылыкның төрле ярымъ-
яссылыклары булган ике икекырлы почмак бирелгән. Бу икекыр¬
лы почмакларның суммасы 180° ка тигез икәнен исбатлагыз.
170	АС ягы α яссылыгында яткан ABC өчпочмагының В түбәсеннән бу
яссылыкка BB1 перпендикуляры үткәрелгән. AB = 2 cm, ZBAC =
= 150° һәм BACB1 икекырлы почмагы 45° ка тигез булса, В нок¬
тасыннан АС турысына һәм а яссылыгына кадәр ераклыкларны
табыгыз.
171	Турыпочмаклы тигезьянлы өчпочмакның гипотенузасы a яссылы¬
гында ята, ә катеты бу яссылыкка 30° лы почмак ясап авышкан.
а яссылыгы белән өчпочмак яссылыгы арасындагы почмакны та¬
быгыз.
172	Туры почмагы С булган турыпочмаклы ABC өчпочмагының АС ка¬
теты а яссылыгында ята, ә а һәм ABC яссылыклары арасындагы
почмагы 60° ка тигез. АС = 5 см, АВ = 13 см булса, В ноктасын¬
нан a яссылыгына кадәр ераклыкны табыгыз.
173	ABCD тетраэдрында CD кабыргасы ABC яссылыгына перпенди¬
куляр, АВ = ВС = АС = 6, BD = 3y∣7. Икекырлы DACB, DABC,
BDCA почмакларын табыгыз.
174	ABCD тетраэдрында DAB, DAC, АС В почмаклары туры, АС =
= СВ = 5, DB = 5√5 булса, икекырлы ABCD почмагын табыгыз.
Туры һәм яссылыкларның
54 перпендикулярлыгы

175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
Тетраэдрның барлык кабыргалары да тигез булса, аның барлык
икекырлы почмаклары да тигез икәнен исбатлагыз. Бу почмак¬
ларны табыгыз.
ABCD ромбының AD ягы аша, BADM икекырлы почмагы 60° ка
тигез булырлык итеп, ADM яссылыгы үткәрелгән. Z.BAD = 45°
һәм В ноктасыннан ADM яссылыгына кадәр ераклык 4>/з кә тигез
булса, ромбның ягын табыгыз.
Бирелгән ике яссылыкның кисешү турысына перпендикуляр яс¬
сылык бу яссылыкларның һәркайсына перпендикуляр икәнен ис¬
батлагыз.
а һәм β яссылыклары үзара перпендикуляр һәм с турысы буйлап
кисешәләр, а яссылыгындагы с турысына перпендикуляр теләсә
нинди туры β яссылыгына перпендикуляр икәнен исбатлагыз.
Чишү
а яссылыгында с турысына перпендикуляр теләсә нинди АС туры¬
сы үткәрәбез (С ∈ с). CAlβ икәнен исбатлыйк.
β яссылыгында С ноктасы аша с турысына перпендикуляр СВ
турысы үткәрәбез. СА±с, һәм СВ±с булганга күрә, ZACB —
а һәм β яссылыклары белән төзелгән икекырлы почмаклардан
берсенең сызыкча почмагы. Мәсьәләнең шарты буенча, α±β, шуңа
күрә ZACB — туры, ягъни СА1СВ. Шулай итеп, СА турысы β яс¬
сылыгындагы кисешүче с һәм СВ турыларына перпендикуляр,
шуңа күрә CA±β.
а һәм β яссылыклары үзара перпендикуляр, а яссылыгының
ниндидер ноктасыннан β яссылыгына перпендикуляр туры үт¬
кәрелгән. Бу турының а яссылыгында ятканын исбатлагыз.
Бер үк яссылыкка перпендикуляр булган яссылык һәм аңарда
ятмаган туры параллель икәнен исбатлагыз.
α һәм β яссылыклары а турысы буйлап кисешәләр. М ноктасын¬
нан α һәм β яссылыкларына тиңдәшле рәвештә МА һәм MB пер¬
пендикулярлары үткәрелгән, а турысы AM В яссылыгын С нокта¬
сында кисеп үтә. MCZa икәнен исбатлагыз.
а һәм β яссылыклары үзара перпендикуляр һәм а турысы буйлап
кисешәләр. М ноктасыннан бу яссылыкларга МА һәм MB перпен¬
дикулярлары үткәрелгән, а турысы AM В яссылыгын С ноктасын¬
да кисеп үтә. а) АСВМ дүртпочмагының турыпочмаклык икәнен
исбатлагыз; б) AM = т, ВМ = п булса, а турысыннан М ноктасы¬
на кадәр ераклыкны табыгыз.
α һәм β яссылыклары а турысы буйлап кисешәләр һәм γ яссылы¬
гына перпендикулярлар, а турысының γ яссылыгына перпендику¬
ляр икәнен исбатлагыз.
ABC һәм ABD өчпочмакларының АВ уртак ягы 10 см га тигез.
Бу өчпочмакларның яссылыклары үзара перпендикуляр, а) Өч¬
почмаклар тигезьяклы; б) гипотенузасы АВ булган турыпочмаклы
тигезьянлы өчпочмаклар булса, CD ны табыгыз.
Туры һәм яссылыкларның
55 перпендикулярлыгы

185
186
187
188
189
190
191
192
193
а турысы а яссылыгына перпендикуляр түгел, а турысы аша үтү¬
че һәм а яссылыгына перпендикуляр яссылык барлыгын исбатла¬
гыз.
Чишү
а турысының теләсә нинди М ноктасы аша α яссылыгына пер¬
пендикуляр р турысы үткәрәбез дә а һәм р турылары аша үтүче
β яссылыгын тикшерәбез, β — эзләнелә торган яссылык, чөнки ул
а турысы аша үтә һәм ике яссылыкның перпендикулярлык билге¬
се буенча а яссылыгына перпендикуляр.
Бирелгән а һәм Ъ чалышма турыларын кисүче һәм аларның һәр-
кайсына перпендикуляр туры барлыгын һәм аның бер генә икәнен
исбатлагыз.
Чишү
а турысы аша үтүче һәм Ъ турысына параллель α яссылыгын
тикшерик, β±α һәм γ±α булырлык итеп, а һәм Ъ турылары
аша β һәм γ яссылыклары үткәрәбез (185 нче мәсьәлә), β һәм
γ яссылыкларының кисешү турысы р — эзләнелгән туры икәнен
мөстәкыйль рәвештә исбатлагыз.
р — мәсьәләнең шартын канәгатьләндерүче
бердәнбер туры булуын исбатлыйк. Бирел¬
гән а һәм Ъ чалышма турыларын кисүче
һәм аларның һәркайсына перпендикуляр
ике туры: A1B1 һәм A2B2 бар дип фараз итик
(рәс. 68). A1B1 һәм A2B2 турылары α яссы¬
лыгына перпендикуляр (ни өчен икәнен аң¬
латыгыз), шуңа күрә алар параллель. Моннан
а һәм b чалышма турылары бер яссылыкта
ятканлыгы килеп чыга, бу — чалышма ту¬
рылар билгеләмәсенә каршы килә.
Турыпочмаклы параллелепипедның үлчәнешләре: a) 1, 1, 2; б) 8,
9, 12; в) л/39, 7, 9 га тигез булса, аның диагонален табыгыз.
Кубның кабыргасы а га тигез. Кубның диагонален табыгыз.
а) Куб кырының диагонале т га тигез; б) кубның диагонале d га
тигез булса, аның түбәсеннән бу түбә ятмаган теләсә кайсы кыр
яссылыгына кадәр ераклыкны табыгыз.
ABCDA1B1C1D1 кубы бирелгән, a) ABB1C∙, б) ADDγB∙, в) A1BB1K
(биредә К — A1Z)1 кабыргасының уртасы) икекырлы почмакларын
табыгыз.
ABCDA1B1C1D1 кубы бирелгән. ABCl һәм A1BlD яссылыкларының
перпендикуляр икәнен исбатлагыз.
Кубның диагонале белән аның бер кыр яссылыгы арасындагы
почмагының тангенсын табыгыз.
Турыпочмаклы ABCDA1B1C1Dl параллелепипедында D1B = d,
АС = т, АВ = п. a) AlC1 турысы белән ABC яссылыгы; б) ABB1 һәм
Туры һәм яссылыкларның
перпендикулярлыгы
56

194
195
196
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
197
198
DCC1 яссылыклары; в) DD1 турысы белән ACC1 яссылыгы арасын¬
дагы ераклыкны табыгыз.
Кубның кабыргасы а га тигез, а) Кубның диагонален һәм кубның
кабыргасын; б) кубның диагонален һәм куб кырының диагонален
эченә алган чалышма турылар арасындагы ераклыкны табыгыз.
Турыпочмаклы ABCDA1BγCxDl параллелепипедында AC1 = 12 см
һәм BDl диагонале AAlD1D кыры яссылыгы белән — 30° лы поч¬
мак, ә DD1 кабыргасы белән 45° лы почмак төзесә, аның үлчә¬
нешләрен табыгыз.
ABCDA1BlClD1 кубын сурәтләгез һәм аның a) AA1 кабыргасы аша
үтүче һәм BB1D1 яссылыгына перпендикуляр; б) АВ кабыргасы
аша үтүче һәм CDA1 яссылыгына перпендикуляр яссылык белән
кисемен төзегез.
II	бүлеккә сораулар
Раслама дөресме: әгәр пространствода ике туры өченче турыга
перпендикуляр булса, ул вакытта бу турылар параллель? Өч туры
да бер яссылыкта ятканда, бу раслама дөресме?
Параллель b һәм с турылары а яссылыгында яталар, ә а турысы
b турысына перпендикуляр. Раслама дөресме: a) а турысы с туры¬
сына перпендикуляр; б) а турысы а яссылыгын кисеп үтә?
а турысы а яссылыгына перпендикуляр, ә Ъ турысы бу яссылыкка
перпендикуляр түгел, а һәм Ъ турылары параллель булырмы?
а турысы α яссылыгына параллель, ә Ъ турысы бу яссылыкка пер¬
пендикуляр. а һәм b турылары үзара перпендикулярмы?
а турысы а яссылыгына параллель, ә Ъ турысы бу яссылыкка пер¬
пендикуляр. а һәм Ь турыларына перпендикуляр туры бармы?
Бирелгән яссылыкка перпендикуляр һәм бирелгән турыны кисүче
барлык турылар бер яссылыкта яталар дип раслау дөресме?
Ьәркайсы өченче яссылыкка перпендикуляр булган ике яссылык:
а) параллель яссылыклар; б) перпендикуляр яссылыклар булуы
мөмкинме?
Пространстводагы нокта аша һәр икесе үзара перпендикуляр бул¬
ган өч яссылык үткәреп буламы?
Квадратның диагонале ниндидер яссылыкка перпендикуляр. Квад¬
ратның икенче диагонале бу яссылыкка карата ничек урнашкан?
а) Тетраэдр; б) параллелепипедның ничә икекырлы почмагы бар?
Өстәмә мәсьәләләр
ВМ кисемтәсе ABCD турыпочмаклыгы яссылыгына перпендику¬
ляр. CD турысы МВС яссылыгына перпендикуляр икәнен исбат¬
лагыз.
А ноктасы α яссылыгында ята, ә В ноктасы бу яссылыктан 9 см
ераклыкта урнашкан. М ноктасы АВ кисемтәсен, А ноктасыннан
Туры һәм яссылыкларның
\	57 перпендикулярлыгы

199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
башлап исәпләгәндә, 4 : 5 чагыштырмасында бүлә. М ноктасын¬
нан а яссылыгына кадәр ераклыкны табыгыз.
S ноктасы турыпочмаклы өчпочмак түбәләреннән тигез ераклык¬
та һәм бу өчпочмак яссылыгында ятмый. SM турысы (биредә
М — гипотенузаның уртасы) өчпочмак яссылыгына перпендику¬
ляр икәнен исбатлагыз.
Күппочмакны камаучы әйләнәнең үзәге аша күппочмак яссылы¬
гына перпендикуляр үтүче турының теләсә кайсы ноктасы бу күп¬
почмакның түбәләреннән тигез ераклыкта икәнен исбатлагыз.
Р һәм Q нокталары АВ кисемтәсенең очларыннан тигез ераклыкта
булса, АВ һәм PQ чалышма турылары арасындагы почмакны та¬
быгыз.
Нокта турыпочмаклы өчпочмак түбәләренең һәркайсыннан 10 см
ераклыкта. Өчпочмакның гипотенузага үткәрелгән медианасы
5 см га тигез булса, бу нокта өчпочмак яссылыгыннан нинди ерак¬
лыкта урнашкан?
ABC өчпочмагына камаулы әйләнәнең үзәге О аша, өчпочмак яс¬
сылыгына перпендикуляр итеп, О К турысы үткәрелгән. АВ = ВС =
= 10 см, АС = 12 см, ОК = 4 см булса, К ноктасыннан өчпочмак
якларына кадәр ераклыкны табыгыз.
ОМ турысы төзек ABC өчпочмагы яссылыгына перпендикуляр һәм
бу өчпочмакның үзәге О аша үтә, ОМ = а, AM CO = φ. a) М нокта¬
сыннан ABC өчпочмагының һәр түбәсенә һәм АВ, ВС, СА турыла¬
рына кадәр ераклыкны; б) ABC өчпочмагын камаучы әйләнәнең
озынлыгын; в) ABC өчпочмагының мәйданын табыгыз.
Турыпочмаклы ABC өчпочмагында туры почмагының түбәсе
С аша, өчпочмак яссылыгына перпендикуляр итеп, CD турысы
үткәрелгән. СА = 3 дм, СВ — 2 дм, CD = 1 дм булса, ABD өчпоч¬
магының мәйданын табыгыз.
Өчпочмакның яклары 17 см, 15 см һәм 8 см га тигез. Өчпочмакта
кечерәк почмагының түбәсе А аша, өчпочмак яссылыгына перпен¬
дикуляр итеп, AM турысы үткәрелгән. AM = 20 см икәне билгеле
булса, М ноктасыннан өчпочмакның кечерәк ягын эченә алган
турыга кадәр ераклыкны табыгыз.
ABC өчпочмагында АВ = ВС = 13 см, АС = 10 см бирелгән. М нок-
2
тасы АВ, ВС һәм АС турыларыннан 8^ см ераклыкта урнашкан.
О
М ноктасының ABC яссылыгына проекциясе өчпочмак эчендә
ятса, М ноктасыннан бу яссылыкка кадәр ераклыкны табыгыз.
а яссылыгыннан 9 см ераклыктагы К ноктасыннан KL һәм КМ
авышмалары үткәрелгән. Алар үзара туры почмак, ә α яссылы¬
гы белән тиңдәшле рәвештә 45° һәм 30° лы почмаклар төзи. LM
кисемтәсен табыгыз.
Тигез АВ һәм АС кисемтәләре белән А ноктасы аша үтүче а яссы¬
лыгы арасындагы почмаклар тиңдәшле рәвештә 40° һәм 50° ка
Туры һәм яссылыкларның
58 перпендикулярлыгы

210
211
212
213
214
215
216
217
тигез. В һәм С нокталарыннан а яссылыгына
кадәрге ераклыкларны чагыштырыгыз.
69 нчы рәсемдә икекырлы НАВР һәм PABQ
почмаклары тигез. АВР яссылыгының һәр
ноктасы АВН һәм ABQ яссылыкларыннан
тигез ераклыкта икәнен исбатлагыз.
Төзек KDM өчпочмагының һәм KMNP квад¬
ратының яссылыклары үзара перпендику¬
ляр. KM = а булса, DN ны табыгыз.
С ноктасы — D ноктасының ABC өчпочмагы
яссылыгына проекциясе. ABD өчпочмагының
S	.
мәйданы cθs га тигез икәнен исбатлагыз
Рәс. 69
(биредә S —ABC өчпочмагының мәйданы, α исә —ABC һәм ABD
яссылыклары арасындагы почмак).
Төзек ABC һәм DBC өчпочмаклары D түбәсе ABC өчпочмагының
үзәгенә проекцияләнерлек итеп урнашкан. Бу өчпочмакларның
яссылыклары арасындагы почмакны исәпләп чыгарыгыз.
ABC1D1 квадраты — ABCD турыпочмаклыгының а яссылыгына
проекциясе. АВ : ВС =1:2 булса, а яссылыгы белән ABCD ту¬
рыпочмаклыгы яссылыгы арасындагы φ почмагын исәпләп чыга¬
рыгыз.
Параллель АВ һәм CD турылары 60° ка тигез булган икекырлы
почмакның төрле кырларында ята. А һәм D нокталары икекырлы
почмакның кабыргасыннан тиңдәшле рәвештә 8 см һәм 6,5 см
ераклыкта. АВ һәм CD турылары арасындагы ераклыкны табы¬
гыз.
А һәм В нокталары 120° ка тигез булган икекырлы почмакның
кабыргасында ята. АС һәм BD кисемтәләре икекырлы почмакның
төрле кырларында кабыргасына перпендикуляр итеп үткәрелгән.
АВ = AC = BD = а булса, CD кисемтәсен табыгыз.
Турыпочмаклы параллелепипедның уртак түбәгә ия булган өч кы¬
рының мәйданы 404 дм2, ә аның кабыргалары 3, 7 һәм 8 саннары¬
на пропорциональ. Параллелепипедның диагонален табыгыз.
Туры һәм яссылыкларның
перпендикулярлыгы
59

Ill	бүлек
Күпкырлыклар
Күпкырлык төшенчәсе. Призма
27 Күпкырлык төшенчәсе
I бүлектә без тетраэдр һәм параллелепипед¬
ны тикшердек: тетраэдр — дүрт өчпочмактан төзелгән
өслек (рәс. 70, а), параллелепипед — алты параллело¬
граммнан төзелгән өслек (рәс. 70, б). Бу өслекләрнең
һәркайсы нинди дә булса геометрик җисемне чикли,
шул җисемне пространствоның калган кисәгеннән ае¬
рып тора.
Күппочмаклардан төзелгән һәм ниндидер
геометрик җисемне чикләп торучы өслек күпкырлы
өслек яки күпкырлык дип атала. Тетраэдр һәм паралле¬
лепипед — күпкырлык мисаллары. 71 нче рәсемдә та¬
гын бер күпкырлык — октаэдр сурәтләнгән. Ул сигез
өчпочмактан төзелгән. Күпкырлык белән чикләнгән
җисемне еш кына шулай ук күпкырлык дип атыйлар.
Күпкырлыкны төзүче күппочмаклар
аның кырлары дип атала*. Тетраэдр һәм октаэдрның
кырлары — өчпочмаклар (рәс. 70, а һәм 71), парал¬
лелепипедның кырлары параллелограммнар була
(рәс. 70, б). Кырларның яклары күпкырлыкның ка¬
быргалары дип, ә кабыргаларның очлары түбәләре дип
атала. Күпкырлыкның бер кырда ятмаган ике түбәсен
тоташтыручы кисемтә аның диагонале дип атала.
Яссылыкның ике ягында да күпкырлыкның
нокталары булса, ул кисүче яссылык дип, ә күпкырлык
һәм кисүче яссылыкның уртак кисәге күпкырлыкның
кисеме дип атала.
Кабарынкы һәм кабарынкы булмаган күп¬
кырлыклар була. Күпкырлык аның һәр кыр яссылы¬
гыннан бер якта урнашкан булса, ул кабарынкы дип
атала. Тетраэдр, параллелепипед һәм октаэдр — каба¬
рынкы күпкырлыклар. 72 нче рәсемдә кабарынкы бул¬
маган күпкырлык сурәтләнгән.
—;

а)
Тетраэдр
Параллелепипед
Рәс. 70
* Күпкырлыкның бернинди дә ике күрше кыры бер яссылыкта
ятмый дип уйланыла.
Күпкырлыклар

Кабарынкы күпкырлыкның барлык кырла¬
ры да кабарынкы күппочмаклар икәнлеге ачык. Каба¬
рынкы күпкырлыкта аның һәр түбәсе янындагы бар¬
лык яссы почмакларының суммасы 360° тан кечерәк
икәнен искәртеп китәбез. 73 нче рәсем бу расламаны
ачыклый: күпкырлык кабыргасы буенча «киселгән»
һәм аның уртак түбәгә ия булган барлык кырлары а яс¬
сылыгында урнашкан булып чыкты. А түбәсе янын¬
дагы барлык яссы почмакларның суммасы, ягъни
φ1+ φ2 + φ3, 360° тан кечерәк икәнлеге ачык күренә.
28* Геометрик җисем
Күпкырлык ниндидер геометрик җисемне
чикләгәнен әйткән идек инде. Бу төшенчәне ачыклыйк.
М ноктасына теләсә никадәр якын нокта¬
лар арасында (бу ноктаның үзен дә кертеп) F фигура¬
сыныкы булган нокталар һәм бу фигураныкы булмаган
нокталар да булса, М ноктасы бирелгән F фигурасының
чик ноктасы дип атала. Фигураның барлык чик нокта¬
лары күплеге аның чиге дип атала. Мәсәлән, шарның
чиге сфера була.
Фигураның чик ноктасы булмаган нокта
аның эчке ноктасы дип атала. Фигураның һәр эчке
ноктасы пространствоның аңа җитәрлек дәрәҗәдә якын
булган барлык нокталарының шулай ук фигураныкы
булуы белән характерлана. Әйтик, шарның сферада —
аның чигендә ятмаган теләсә кайсы ноктасы шарның
эчке ноктасы була.
Фигураны нинди дә булса сфера эченә ур¬
наштырып булса, ул чикләнгән дип атала. Шар, тетра¬
эдр, параллелепипед — чикләнгән, ә туры һәм яссылык
чикләнмәгән фигуралар икәне ачык.
Фигураның теләсә нинди ике ноктасын ту-
лысынча бирелгән фигураныкы булган өзлексез сызык
белән тоташтырып булса, ул бәйләнешле дип атала.
Тетраэдр (70, а рәс. кара), параллелепипед (70, б рәс.
кара), октаэдр (71 нче рәс. кара), яссылык бәйләнешле
фигурага мисал булып тора. Ике параллель яссылыктан
торган фигура бәйләнешле фигура түгел.
Пространствода үзенең барлык чик нокта¬
ларын эченә алган (өстәвенә фигураның эчке ноктала¬
рының теләсә кайсы чик ноктадан теләгән кадәр якын
урнашкан) бәйләнешле чикләнгән фигураны геометрик
җисем дип (яки җисем дип кенә) атыйлар. Җисемнең
Кабарынкы булмаган
күпкырлык
Рәс. 72
Рәс. 73
61
Күпкырлыклар

чиген шулай ук өслек дип атыйлар һәм өслек җисемне
чикли, диләр.
Ике ягында да бирелгән җисемнең ноктала¬
ры булган яссылык кисүче яссылык дип атала. Җисем
яссылык белән кисешкәндә барлыкка килгән фигура
(ягъни җисем белән кисүче яссылыкның уртак кисәге)
җисемнең кисеме дип атала.
29* Эйлер теоремасы
Хәзер без чыгышы белән швейцарияле бул¬
ган һәм гомеренең күбрәк өлешен Россиядә эшләгән
атаклы математик Леонард Эйлер (1707—1783) исеме
белән бәйле гаҗәеп бер теореманы исбатларбыз.
Теорема
Теләсә нинди кабарынкы күпкырлыкта кырлар саны¬
ның суммасы һәм түбәләр санының суммасы кабырга¬
лар саныннан 2 гә күбрәк.
Исбатлау
Ирекле рәвештә алынган һәм е түбәсе,
f кыры, k кабыргасы булган кабарынкы күпкырлыкны
тикшерербез.
f + е - k = 2 икәнен исбатлыйк.
Ирекле рәвештә G кырын сайлап алып,
аның эчке өлкәсендә нинди дә булса М ноктасы билге¬
либез, аннан бу кыр яссылыгына перпендикуляр һәм
күпкырлыкның нокталары булмаган якта яткан һ нуры
үткәрәбез. Әгәр кайсы да булса башка кырларының яс¬
сылыклары һ нурын киссәләр, ул вакытта анда М нок¬
тасы һәм М га якын кисешү ноктасы арасында О нок¬
тасы сайлап алабыз; киресенчә булганда О ноктасы
сыйфатында һ нурының ирекле ноктасын алабыз (рәс.
74). Ул вакытта О ноктасы күпкырлыкның һәр кыры
яссылыгының икенче ягында яткан, күпкырлыкның
үзе кебек үк, G дан үзгә нокта булыр.
Хәзер G кырын алып ташлыйк. Нәтиҗәдә,
бирелгән күпкырлык кебек, шул ук кабыргаларга һәм
түбәләргә ия булган һәм кырлары саны f-Ι гә ти¬
гез булган күпкырлы F өслеген табарбыз. Башлангы¬
чы О булган теләсә нинди нур F өслеген бердән күп
булмаган ноктада кисеп үтә (чөнки F өслеге белән ки¬
сешкәннән соң, нур F өслегенең нокталары булмаган
ярымпространствога «китә»). О ноктасын проекцияләү
Рәс. 75
62
Күпкырлыклар

үзәге итеп алып, F өслегенең G кыры яссылыгына
үзәкле проекциясен тикшерик (рәс. 75; G кыры бу
рәсемдә зурайтылган масштабта сурәтләнгән). Ул / — 1
кабарынкы күппочмаклардан — калган кырларның
проекцияләреннән төзелгән G кырын чагылдырыр (бу
күппочмакларның кабарынкы икәнен исбатлагыз).
Бу күппочмакларның түбәләр саны е, ә яклар саны k.
Әгәр аларның кайсысының да булса берсенең диагона¬
лен үткәрсәк, түбәләр саны үзгәрмәс, күппочмаклар
саны 1 гә артыр, яклар саны да 1 гә артыр, шуңа күрә
күппочмаклар саны белән яклар санының аермасы үз¬
гәрмәс (75 нче рәс. кара). Димәк, һәр күппочмакны
диагональләр белән өчпочмакларга бүлсәк, G кыры тү¬
бәләре е' һәм яклары ⅛' булган f өчпочмакка бүленгән
булыр, өстәвенә
f' + e' - k' = (f - 1) + е - k.
п — G кырының яклар саны булсын. Нәр
өчпочмакның өч ягы бар, шуңа күрә k, саны һәркайсы
бер үк вакытта ике өчпочмакның ягы булган яклар
саны кадәр 3 /' саныннан кимрәк, ягъни k' — п:
k' = 3f- (k' - п).
Моннан табабыз: п = 2k' - 3f.
Барлык өчпочмакларның почмаклары сум¬
масы бер яктан f ■ 180°, икенчедән G п-почмагының
почмаклары суммасы плюс 360° ны G ның эчендә яткан
түбәләр саны е' - п га тапкырлаганга тигез:
f ■ 180o = (п - 2) ∙ 180o + 360o · (е' - п).
Моннан табабыз:
f' = 2e'-n-2 = 2e' - (2k' - 3f') - 2,
ягъни f + е' - k’ = 1. Ләкин f' + е' - k' = (f - 1) + е - k.
Димәк, f + е - k = 2. Теорема исбатланды.
30 Призма
α һәм β параллель яссылыкларындагы тиң¬
дәшле түбәләрен тоташтыручы A1B1, A2B2, ..., AnBn
кисемтәләре параллель булырлык итеп урнашкан
A1A2 ... Ап һәм B1B2 ... Вn тигез күппочмакларын тик¬
шерик (рәс. 76).
A1A2B2B1, A2A3B3B2, ... , AnA1B1Bn (1)
\	63
Призма. A1A2 ... Ап һәм
B1B2 ... Вп күппочмак¬
лары — призманың ни¬
гезләре. A1A2B2B1, ...,
ArtA1B1Bn параллело¬
граммнары — ян кыр¬
лары
Рәс. 76
Күпкырлыклар

п дүртпочмакның һәркайсы параллелограмм, чөнки
пар-пар капма-каршы параллель яклары бар. Мәсәлән,
A1A2∙B2^i дүртпочмагында A1B1 һәм A2B2 яклары шарт
буенча параллель, ә A1A2 һәм B1B2 яклары параллель
яссылыкларны өченче яссылык белән кистергәндәге
үзлек буенча параллель (п. 11).
Параллель яссылыкларда урнашкан тигез
A1√42 ... Ап һәм B1B2 ... Вп күппочмакларыннан һәм п
параллелограммнан (1) төзелгән күпкырлык призма
дип атала (76 нчы рәс. кара).
A1A2 ... Ап һәм -B1B2 ... Вп күппочмаклары
призманың нигезләре дип, ә (1) параллелограмм¬
нары ян кырлары дип атала. A1B1, A2B2, ..., AnBn
кисемтәләре призманың ян кабыргалары дип атала.
Бу кабыргалар эзлекле рәвештә бер-берсенә янәшә ур¬
нашкан (1) параллелограммнарының капма-каршы
яклары буларак тигез һәм параллель. A1√42 ... Ап һәм
B1B2 ... Вn нигезе призманы A1A2 ... AnB1B2 ... Вп дип
тамгалыйлар һәм η-почмаклы призма дип атыйлар.
77 нче рәсемдә — өчпочмаклы һәм алтыпочмаклы приз¬
малар, ә 70, б рәсемендә дүртпочмаклы призма, ягъни
параллелепипед сурәтләнгән.
Бер нигезенең нинди дә булса ноктасыннан
икенче нигез яссылыгына үткәрелгән перпендикуляр
призманың биеклеге дип атала.
Әгәр призманың ян кабыргалары нигезлә¬
ренә перпендикуляр булса, ул туры призма дип, ә пер¬
пендикуляр булмаганда авыш призма дип атала. Туры
призманың биеклеге аның ян кабыргасына тигез.
Туры призманың нигезләре төзек күппоч¬
маклар булса, ул төзек призма дип атала. Андый приз¬
маның барлык ян кырлары — тигез турыпочмаклыклар
(ни өчен икәнен аңлатыгыз). 77 нче рәсемдә төзек алты¬
почмаклы призма сурәтләнгән.
Призманың барлык кырларының мәйдан¬
нары суммасы аның тулы өслеге мәйданы дип, ә ян
кырларының мәйданнары суммасы призманың ян өс¬
леге мәйданы дип атала. Призманың тулы өслеге мәй¬
даны Sm аның ян өслеге мәйданы Shh һәм нигез мәй¬
даны Sh аша түбәндәге формула белән аңлатыла:
Sm = 8ЯН + 2Sh.
Рәс. 77
Туры призманың ян өслеге мәйданы турын¬
дагы теореманы исбатлыйк.
64
Күпкырлыклар

Теорема
Туры призманың ян еслеге мәйданы аның нигез пери¬
метры белән биеклегенең тапкырчыгышына тигез.
Исбатлау
Туры призманың ян кырлары — турыпоч¬
маклыклар, аларның нигезләре — призма нигезенең
яклары, ә биеклекләре призманың биеклеге һ ка ти¬
гез. Призманың ян өслеге мәйданы шушы турыпоч¬
маклыкларның мәйданнары суммасына тигез, ягъни ни¬
гез яклары белән һ биеклегенә тапкырчыгышларының
суммасына тигез, һ тапкырлаучысын җәя тышына чы¬
гарып, җәя эчендә призма нигезенең яклары суммасын,
ягъни аның периметры Р ны табабыз. Шулай итеп,
Sjih = Рһ. Теорема исбатланды.
31* Пространствода
Пифагор теоремасы
Башта түбәндәге мәсьәләне чишәрбез.
Мәсьәлә
Күппочмак яссылыгы белән α яссылыгы
арасындагы почмак φ гә тигез (0° < φ < 90°) булганда,
S1 мәйданлы күппочмакның α яссылыгына булган ту¬
рыпочмаклы проекциясенең мәйданы S1 не табарга.
Чишү
а)	Бирелгән күппочмак бер ягы a яссылы¬
гында яткан өчпочмак булган очрактан башларбыз:
игътибарны 78 нче а рәсеменә юнәлтик. Монда ABC
өчпочмагының АВ ягы a яссылыгында ята, CC1 ки¬
семтәсе — С ноктасыннан а яссылыгына үткәрелгән
перпендикуляр, димәк, ABC1 өчпочмагы — ABC өч¬
почмагының a яссылыгына проекциясе. C1H кисемтәсе
ABC өчпочмагының биеклеге булсын. Ул вакытта СН
кисемтәсе — ABC өчпочмагының биеклеге (өч перпен¬
дикуляр турындагы теорема буенча), ә ZCHC1 = φ (ни
өчен икәнен аңлатып бирегез).
S1 = I АВ ■ C1H, S = ⅛AB- CH, C1H = СН ■ cos φ
Δ	Δ
булганлыктан,
S1 = S ■ cos φ.	(2)
б)	Әгәр бирелгән ABC өчпочмагының АВ ягы
а яссылыгына параллель булса (рәс. 78, б; бу рәсемдә
65
Күпкырлыклар

A1B1C1 өчпочмагы — ABC өчпочмагының проекциясе,
ABC2 яссылыгы а яссылыгына параллель), ул вакытта
исбатлау буенча, ABC2 өчпочмагының мәйданы S ∙ cosφra
тигез. Ләкин ABC2 өчпочмагы A1B1C1 өчпочмагына ти¬
гез (моны исбатлагыз), шуңа күрә аның мәйданы S1 гә
тигез. Шулай итеп, бу очракта S мәйданлы ABC өчпоч¬
магының проекциясе мәйданы S1 (2) формуласы белән
белдерелә.
в)	Ниһаять, мәйданы S булган ирекле рә¬
вештә алынган күппочмакны тикшерербез. Аны өч¬
почмакларга бүләбез. Әгәр дә аның бер ягы да а яс¬
сылыгына параллель булмаса һәм анда ятмаса, ул
вакытта өчпочмакның бер түбәсе аша а яссылыгына
параллель (рәс. 78, в) яки а яссылыгының үзендә ят¬
кан (рәс. 78, г) кисемтә үткәреп, аны ике өчпочмакка
бүләбез. Ь.әр өчпочмакның проекциясе мәйданын (2)
формуласы аша күрсәтеп, әлеге мәйданнарны кушабыз.
Уртак cos φ тапкырлаучысын җәя тышына чыгарып,
җәя эчендә өчпочмакларның мәйданнары суммасын,
ягъни бирелгән күппочмакның мәйданы S ны табарбыз.
Шул рәвешле, күппочмакның проекциясе мәйданы S1
(2) формуласы белән күрсәтелә.
Моны пространствода Пифагор теоремасы
дип аталган раслауны исбатлау өчен файдаланыйк.
Теорема
Әгәр тетраэдрның бер түбәсе янындагы барлык яссы
почмаклары туры почмак булса, бу түбәгә каршы ят¬
кан кыры мәйданының квадраты калган кырлары
мәйданнарының квадратлары суммасына тигез.
Исбатлау
ААОВ = АВОС = АСОА = 90° булган ОАВС
тетраэдрын тикшерербез. Sc, Sa, Sb Һәм S — ОАВ, ОВС,
ОСА һәм ABC өчпочмакларының мәйданнары; α, β, γ —
кабыргалары АВ, ВС, СА булган икекырлы почмаклар¬
ның зурлыклары; D ноктасы — О ноктасының ABC
кыры яссылыгына проекциясе булсын (рәс. 79). α < 90°,
β < 90o, γ < 90° булганлыктан (моны исбатлагыз), D нок¬
тасы ABC өчпочмагының эчендә ята. ОАВ, ОВС һәм
ОСА өчпочмаклары исә ABC өчпочмагының проекция¬
ләре була, шуңа күрә Sc = S cos ос, Sa = S cos β, Sb =
= S cos γ.
ABD, BCD һәм CAD өчпочмаклары — ОАВ,
ОВС һәм ОСА өчпочмакларының ABC кыры яссылы¬
66
Күпкырлыклар

гына проекцияләре, өстәвенә бу өчпочмакларның мәй¬
даннары суммасы ABC өчпочмагының мәйданы S ка
тигез. Шулай итеп,
(S cos α) ∙ cos a + (S cos β) ∙ cos β + (S cos γ) ■ cos γ =
= S (cos2 a + cos2 β + cos2 γ) = S.
Димәк, cos2 a + cos2 β + cos2 γ= 1. Шуңа күрә
Sc2 + Sa2 + Sb2 = S2 (cos2 a + cos2 β + cos2 γ) = S2.
Теорема исбатланды.
Мәсьәләләр
218	а) Туры призманың барлык ян кырлары — турыпочмаклыклар;
б) төзек призманың барлык ян кырлары тигез турыпочмаклыклар
икәнен исбатлагыз.
219	Турыпочмаклы параллелепипедның нигез яклары 12 см һәм 5 см
га тигез. Параллелепипедның диагонале нигез яссылыгы белән
45°лы почмак төзи. Параллелепипедның ян кабыргасын та¬
быгыз.
220	Туры параллелепипедның нигезе — диагональләре 10 см һәм
24 см булган ромб, ә параллелепипедның биеклеге 10 см га тигез.
Параллелепипедның зур диагонален табыгыз.
221	Өчпочмаклы төзек призманың нигез ягы 8 см га, ян кабыргасы
6 см га тигез. Өске нигез ягы һәм аскы нигезнең каршы яткан
түбәсе аша үтүче кисем мәйданын табыгыз.
222	Туры призманың нигезе — нигезләре 25 см һәм 9 см, биеклеге
8 см га тигез булган тигезьянлы трапеция. Призманың ян кабыр¬
галары янындагы икекырлы почмакларын табыгыз.
223	Кубның капма-каршы яткан ике кабыргасы аша мәйданы
64>∕2 см2 га тигез булган кисем үткәрелгән. Кубның кабыргасын
һәм диагонален табыгыз.
224	Дүртпочмаклы төзек призманың диагонале нигез яссылыгына
60°лы почмак ясап авышкан. Нигез диагонале 45∕2cm га тигез
булса, аскы нигез ягы һәм өске нигезенең капма-каршы ягы аша
үтүче кисем мәйданын табыгыз.
225	Дүртпочмаклы төзек призманың диагонале ян кыр яссылыгы
белән 30°лы почмак төзи. Диагональ белән нигез яссылыгы ара¬
сындагы почмакны табыгыз.
226	Дүртпочмаклы төзек призманың нигез диагонале аша призманың
диагоналенә параллель кисем үткәрелгән. Призма нигезенең ягы
2 см га, ә призманың биеклеге 4 см га тигез булса, кисем мәй¬
данын табыгыз.
227	Призманың нигезе — төзек ABC өчпочмагы. √L41 ян кабырга¬
сы нигезенең АС һәм АВ яклары белән тигез почмаклар төзи,
а) ВС -LAA1∙, б) CC1B1B турыпочмаклык икәнен исбатлагыз.
Күпкырлыклар

228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
Тигезьянлы ABC өчпочмагы —ABCA1B1C1 авыш призмасының ни¬
гезе, анда АС = АВ = 13 см, ВС = 10 см, ә призманың ян кабыр¬
гасы нигез яссылыгы белән 45°лы почмак төзи. ABC өчпочмагы
медианаларының кисешү ноктасы A1 түбәсенең проекциясе була.
CC1B1B кырының мәйданын табыгыз.
η-почмаклы төзек призманың нигезенең ягы а га, биеклеге һ ка
тигез, а) п = 3, a = 10 см, һ = 15 см; б) п = 4, a = 12 дм, һ = 8 дм;
в) η = 6, a = 23 см, һ — 5 дм; г) п = 5, а = 0,4 м, Һ = 10 см булса,
призманың ян өслеге һәм тулы өслеге мәйданын табыгыз.
Туры призманың нигезе — яклары 5 см һәм 3 см га, алар арасын¬
дагы почмагы 120oκa тигез булган өчпочмак. Ян кырларыннан
зуррагының мәйданы 35 см2. Призманың ян өслеге мәйданын та¬
быгыз.
Туры параллелепипедның нигез яклары 8 см һәм 15 см га тигез
һәм 60°лы почмак төзиләр. Диагональ кисемнәренең кечерәгенең
мәйданы 130 см2 га тигез. Параллелепипедның өслек мәйданын
табыгыз.
Турыпочмаклы параллелепипедның d га тигез диагонале нигез
яссылыгы белән φ почмагы, ә бер ян кыры белән α почмагы төзи.
Параллелепипедның ян өслеге мәйданын табыгыз.
Туры ABCA1BlC1 призмасының нигезендә туры почмагы В бул¬
ган турыпочмаклы ABC өчпочмагы ята. BB1 кабыргасы аша,
AA1C1C кыры яссылыгына перпендикуляр итеп, BB1D1D кисеме
үткәрелгән. AA1 = 10 см, AD = 27 см, DC = 12 см булса, кисем
мәйданын табыгыз.
Турыпочмаклы өчпочмак туры призманың нигезе булып хезмәт
итә. Гипотенузаның уртасы аша аңа перпендикуляр яссылык
үткәрелгән. Катетлары 20 см һәм 21 см, ә ян кабыргасы 42 см га
тигез булса, кисем мәйданын табыгыз.
Кысынкы почмагы φ булган турыпочмаклы өчпочмак туры приз¬
маның нигезе булып хезмәт итә. Бу почмакка каршы яткан ка¬
теты һәм призманың бу катетка каршы яткан түбәсе аша нигез
яссылыгы белән Ө почмагы төзүче кисем үткәрелгән. Призманың
ян өслеге мәйданы белән кисем мәйданының чагыштырмасын та¬
быгыз.
Авыш призманың ян өслеге мәйданы перпендикуляр кисем пери¬
метры белән ян кабыргасының тапкырчыгышына тигез икәнен
исбатлагыз.
Дүртпочмаклы авыш призманың ян кабыргасы 12 см га тигез,
ә перпендикуляр кисеме — ягы 5 см га тигез булган ромб. Приз¬
маның ян өслеге мәйданын табыгыз.
* Параллелепипедның кисеме аның кайсы да булса диагонален
һәм ян кабыргасын эченә алса, ул диагональ кисеме дип атала.
** Авыш призманың ян кабыргаларга перпендикуляр һәм аларны
кисеп үтүче яссылык белән кисеме перпендикуляр кисем дип
атала.
Күпкырлыклар

238 Өчпочмаклы авыш призманың ике ян кыры үзара перпендику¬
ляр, ә аларның ике ян кабыргадан 12 см һәм 35 см ераклыкта
урнашкан уртак кабыргасы 24 см га тигез. Призманың ян өслеге
мәйданын табыгыз.
2
Пирамида
32	Пирамида
A1A2 ... Ап күппочмагын һәм бу күппочмак
яссылыгында ятмаган Р ноктасын тикшерик. Р нокта¬
сын кисемтәләр ярдәмендә күппочмак түбәләре белән
тоташтырып, п өчпочмак табабыз (рәс. 80):
PA1A2, PA2As, ..., PAnAl.	(1)
A1A2...An η-почмактан һәм п өчпочмактан
(1) төзелгән күпкырлык пирамида дип атала. A1A2 ... Ап
күппочмагы — пирамиданың нигезе, ә (1) өчпочмакла¬
ры ян кырлары дип атала. Р ноктасы — пирамиданың
түбәсе, ә PA1, PA2, ..., PAn кисемтәләре аның ян ка¬
быргалары дип атала. Нигезе A1A2 ... Ап һәм түбәсе Р
булган пирамиданы болай тамгалыйлар: PA1A2 ... Ап
һәм η-почмаклы пирамида дип атыйлар. 81 нче рә¬
семдә дүртпочмаклы һәм алтыпочмаклы пирамидалар
сурәтләнгән. Өчпочмаклы пирамиданың тетраэдр дип
аталуы безгә мәгълүм.
Пирамиданың түбәсеннән нигез яссылыгы¬
на үткәрелгән перпендикуляр аның биеклеге дип атала.
80 нче рәсемдә PH кисемтәсе — пирамиданың биеклеге.
Пирамиданың барлык кырларының (ягъ¬
ни нигезенең һәм ян кырларының) мәйданнары сумма¬
сы аның тулы өслеге мәйданы дип, ә ян кырларының
мәйданнары суммасы пирамиданың ян өслеге мәйданы
дип атала.
S = S ÷ s
HI	ίΐχΐ	Η
икәнлеге ачык.
33	Төзек пирамида
Пирамиданың нигезендә төзек күппочмак
ятса, ә пирамиданың түбәсен нигезнең үзәге” белән
тоташтыручы кисемтә аның биеклеге булса, ул төзек
пирамида дип атала (рәс. 82).
Пирамида. A1A2 А3 ... А„
күппочмагы — пирами¬
даның нигезе. A1PA2,
A2PAa, ..., ArlPA1 — ян
кырлары, Р — пирами¬
даның түбәсе
Рәс. 80
Рәс. 81
* Төзек күппочмакның үзәге дип аңа камалган (яки аны камаучы) әйләнәнең
үзәге аталуын исегезгә төшерәбез.
Күпкырлыклар

Төзек пирамиданың барлык ян кабырга¬
лары тигез, ә ян кырлары тигез тигезьянлы өчпоч¬
маклар булганын исбатларбыз.
PA1A2 ... Ап төзек пирамидасын тикшерик
(рәс. 82). Башта бу пирамиданың барлык ян кабырга¬
лары тигез икәнен исбатлыйбыз. Пирамиданың теләсә
кайсы ян кабыргасы турыпочмаклы өчпочмакның ги¬
потенузасы булып тора. Бу өчпочмакның бер кате¬
ты — пирамиданың РО биеклеге, икенчесе — нигезне
камаучы әйләнәнең радиусы (мәсәлән, OP = һ, OA1 = R
булган OPA1 өчпочмагының гипотенузасы — PA1 ян ка¬
быргасы). Пифагор теоремасы буенча, теләсә кайсы ян
кабырга ∖∣h2 + R2 га тигез, шуңа күрә
PA1 = PA2 = ... = PAn.
Без төзек PA1A2 ... Ап пирамидасының ян
кабыргалары бер-берсенә тигез икәнен исбатладык,
шуңа күрә ян кырлар — тигезьянлы өчпочмаклар. Бу
өчпочмакларның нигезләре шулай ук бер-берсенә тигез,
чөнки A1A2..∙An — төзек күппочмак. Шулай булгач, ян
кырлар өчпочмаклар тигезлегенең өченче билгесе буен¬
ча тигез, шуны исбатларга кирәк иде дә.
Төзек пирамидада ян кырының түбәдән үт¬
кәрелгән биеклеге пирамиданың апофемасы дип ата¬
ла. 82 нче рәсемдәге РЕ кисемтәсе — апофемаларның
берсе. Төзек пирамидада барлык апофемаларның тигез
икәнлеге ачык.
Төзек пирамиданың ян өслеге мәйданы ту¬
рындагы теореманы исбатлыйк.
Рәс. 82
Теорема
Төзек пирамиданың ян өслеге мәйданы нигезенең пе¬
риметры белән апофемасы тапкырчыгышының ярты¬
сына тигез.
Исбатлау
Төзек пирамиданың ян кырлары — нигез¬
ләре пирамида нигезенең яклары булган тигез тигезь¬
янлы өчпочмаклар, ә биеклекләре апофемаларга тигез.
Пирамиданың ян өслеге мәйданы S нигезе яклары белән
d апофемасының яртысы тапкырчыгышлары суммасына
тигез, ⅛d тапкырлаучысын җәя тышына чыгарып, җәя
эчендә пирамида нигезе якларының суммасын, ягъни
аның периметрын табабыз. Теорема исбатланды.
Күпкырлыклар

34	Кисек пирамида
Теләсә нинди PA1A2 ... Ап пирамидасы алып,
пирамиданың нигез яссылыгы а га параллель һәм ян ка¬
быргаларын B1, B2, ..., Вп нокталарында кисүче β яссы¬
лыгы үткәрәбез (рәс. 83). β яссылыгы пирамиданы ике
күпкырлыкка бүлә. Кырлары параллель яссылыклар¬
да урнашкан A1A2 ... Ап һәм B1B2 ... Вп п-почмаклары
(аскы һәм өске нигезләр) һәм п дүртпочмак A1A2B2B1,
A2A3B3B2, ... , AnA1BlBn (ян кырлар) булган күпкыр¬
лык кисек пирамида дип атала.
A1B1, A2B2, ..., AnBn кисемтәләре кисек пи¬
рамиданың ян кабыргалары дип атала.
A1A2 ... Ап һәм B1B2 ... Вn нигезләре булган
кисек пирамида болай тамгалана: A1A2 ... AnB1B2 ... Вп.
Бер нигезнең нинди дә булса ноктасыннан
икенче нигез яссылыгына үткәрелгән перпендикуляр
кисек пирамиданың биеклеге дип атала. 83 нче рәсемдә
СН кисемтәсе — кисек пирамиданың биеклеге.
Кисек пирамиданың ян кырлары тра¬
пецияләр булуын исбатлыйк. Мәсәлән, A1A2B2B1 ян
кырын тикшерик (рәс. 83). A1A2 һәм B1jB2 яклары
параллель, чөнки алар PA1A2 яссылыгының а һәм
β параллель яссылыклары белән кисешү турыларын¬
да яталар. Бу кырның калган ике ягы A1B1 һәм A2B2
параллель түгел — аларның дәвамнары Р ноктасында
кисешәләр. Шуңа күрә бирелгән кыр — трапеция. Кал¬
ган ян кырларның да трапецияләр булуын шулай ук
исбатларга мөмкин.
Кисек пирамида төзек пирамидадан аның
нигезенә параллель яссылык белән кистереп алынса,
ул төзек кисек пирамида дип атала. Төзек кисек пи¬
рамиданың нигезләре — төзек күппочмаклар, ә ян кыр¬
лары — тигезьянлы трапецияләр (моны исбат итегез).
Бу трапецияләрнең биеклекләре апофемалар дип ата¬
ла. Кисек пирамиданың ян кырларының мәйданнары
суммасы кисек пирамиданың ян өслеге мәйданы дип
атала.
▼ Түбәндәге теореманы мөстәкыйль рәвеш¬
тә исбатлагыз. Д
Р
Кисек пирамида
Рәс. 83
Теорема
Төзек кисек пирамиданың ян өслеге мәйданы нигез
периметрлары ярымсуммасын апофемага тапкырла¬
ганга тигез.
Күпкырлыклар

239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
Мәсьәләләр
Пирамиданың нигезе — ягы 5 см булган ромб, ә диагональләренең
берсе 8 см га тигез. Пирамиданың биеклеге нигез диагональләре¬
нең кисешү ноктасы аша үтсә һәм 7 см га тигез булса, аның ян
кабыргаларын табыгыз.
Пирамиданың нигезе — яклары 20 см һәм 36 см га, ә мәйданы
360 см2 га тигез булган параллелограмм. Пирамиданың биеклеге
нигез диагональләренең кисешү ноктасы аша үтә һәм 12 см га ти¬
гез. Пирамиданың ян өслеге мәйданын табыгыз.
Пирамиданың нигезе — яклары 5 м һәм 4 м, ә кечерәк диаго¬
нале 3 м булган параллелограмм. Пирамиданың биеклеге нигез
диагональләренең кисешү ноктасы аша үтә һәм 2 м га тигез.
Пирамиданың тулы өслеге мәйданын табыгыз.
Пирамиданың нигезендә квадрат ята, аның бер ян кабыргасы
нигез яссылыгына перпендикуляр. Пирамиданың биеклеге аша
үтмәүче ян кыр яссылыгы нигез яссылыгына 45°лы почмак ясап
авышкан. Иң зур ян кабыргасы 12 см га тигез, а) Пирамиданың
биеклеген; б) пирамиданың ян өслеге мәйданын табыгыз.
DABC пирамидасының нигезендә яклары AB = АС =13 см,
ВС = 10 см булган ABC өчпочмагы ята, AD кабыргасы нигез яссы¬
лыгына перпендикуляр һәм 9 см га тигез. Пирамиданың ян өслеге
мәйданын табыгыз.
DABC пирамидасының нигезе — турыпочмаклы ABC өчпочмагы,
аның АВ гипотенузасы 29 см га, АС катеты 21 см га тигез. DA
кабыргасы нигез яссылыгына перпендикуляр һәм 20 см га тигез.
Пирамиданың ян өслеге мәйданын табыгыз.
Пирамиданың нигезе — диагонале 8 см га тигез булган турыпоч¬
маклык. Ике ян кырының яссылыклары нигез яссылыгына пер¬
пендикуляр, ә калган ике ян кыры нигез белән 30° һәм 45°лы
почмаклар төзи. Пирамида өслегенең мәйданын табыгыз.
Өчпочмаклы пирамиданың биеклеге 40 см га, ә һәр ян кырының
пирамида түбәсеннән үткәрелгән биеклеге 41 см га тигез,
а) Пирамиданың биеклеге аның нигезенә камалган әйләнәнең
үзәге аша үткәнен исбатлагыз; б) пирамида нигезенең периметры
42 см га тигез булса, нигезнең мәйданын табыгыз.
Пирамиданың нигез янындагы икекырлы почмаклары тигез,
а) Пирамиданың биеклеге нигезгә камалган әйләнәнең үзәге
аша үткәнен; б) барлык ян кырларында пирамида түбәсеннән
үткәрелгән биеклекләре тигез икәнен; в) пирамиданың ян өслеге
мәйданы нигез периметры белән ян кырының түбәдән үткәрелгән
биеклеге тапкырчыгышының яртысына тигез икәнен исбатлагыз.
Пирамиданың нигезе — яклары 12 см, 10 см һәм 10 см булган
өчпочмак. Нәр ян кыры нигезгә 45° лы почмак ясап авышкан.
Пирамиданың ян өслеге мәйданын табыгыз.
72 Күпкырлыклар

249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
Пирамиданың барлык ян кабыргалары тигез, а) Пирамиданың
биеклеге аның нигезен камаучы әйләнә үзәге аша үткәнен;
б) пирамиданың барлык ян кабыргалары нигез яссылыгы белән
тигез почмаклар төзегәнен исбатлагыз.
Пирамиданың нигезендә почмагы 120oκa тигез булган тигезьянлы
өчпочмак ята. Ян кабыргалары аның 16 см га тигез булган биек¬
леге белән 45° лы почмаклар төзи. Пирамиданың нигез мәйданын
табыгыз.
DABC пирамидасының нигезе — гипотенузасы ВС булган туры¬
почмаклы өчпочмак. Пирамиданың ян кабыргалары бер-берсенә
тигез, ә биеклеге 12 см. ВС = 10 см булса, пирамиданың ян ка¬
быргасын табыгыз.
DABC пирамидасының нигезе — тигезьянлы ABC өчпочмагы,
анда AB = АС, ВС = 6 см, АН биеклеге 9 см га тигез. Шулай ук
DA = DB = DC = 13 см икәне билгеле. Пирамиданың биеклеген
табыгыз.
Пирамиданың нигезе булып нигезләре 6 см һәм 4>/бсм, биеклеге
5 см булган тигезьянлы трапеция хезмәт итә. Пирамиданың һәр
ян кабыргасы 13 см га тигез. Аның биеклеген табыгыз.
Өчпочмаклы төзек пирамидада нигезенең ягы а га, биеклеге Н ка
тигез. Пирамиданың: а) ян кабыргасын; б) түбәсе янындагы яссы
почмагын; в) ян кабыргасы белән нигез яссылыгы арасындагы
почмагын; г) ян кыры белән нигезе арасындагы почмагын; д) ян
кабыргасы янындагы икекырлы почмагын табыгыз.
Өчпочмаклы төзек пирамидада нигезенең ягы 8 см га, ә түбә
янындагы яссы почмагы φ гә тигез. Пирамиданың биеклеген та¬
быгыз.
Дүртпочмаклы төзек пирамидада нигез ягы т га, ә түбә янын¬
дагы яссы почмагы а га тигез. Пирамиданың а) биеклеген; б) ян
кабыргасын; в) ян кыры белән нигез яссылыгы арасындагы
почмагын; г) ян кабыргасы янындагы икекырлы почмагын та¬
быгыз.
Өчпочмаклы төзек пирамиданың биеклеге һ ка, ә нигез ягы янын¬
дагы икекырлы почмагы 45°ка тигез. Пирамиданың өслек мәй¬
данын табыгыз.
Дүртпочмаклы төзек пирамиданың ян кабыргасы нигез яссылы¬
гы белән 60°лы почмак төзи. Ян кабыргасы 12 см га тигез булса,
пирамиданың өслек мәйданын табыгыз.
Дүртпочмаклы төзек пирамиданың нигез ягы 6 см га, ә ян кы¬
рының нигез яссылыгына авышлык почмагы 60°ка тигез. Пи¬
рамиданың ян кабыргасын табыгыз.
Өчпочмаклы төзек DABC пирамидасында DC ян кабыргасы
һәм пирамиданың DO биеклеге аша а яссылыгы үткәрелгән.
а)	АВ кабыргасының а яссылыгына перпендикуляр икәнен;
б)	С түбәсеннән ADB кырының апофемасына үткәрелгән пер¬
Күпкырлыклар

пендикулярның ADB яссылыгына да перпендикуляр булганын ис¬
батлагыз.
261	Өчпочмаклы төзек пирамидада чалышма кабыргаларның үзара
перпендикуляр икәнен исбатлагыз.
262	Төзек пирамиданың биеклеге һәм ян кырының биеклеге аша үтүче
яссылык ян кыр яссылыгына перпендикуляр икәнен исбатлагыз.
263	Төзек MABCD пирамидасында К, L һәм N нокталары тиңдәшле
рәвештә ВС, МС һәм AD кабыргаларында яталар, өстәвенә
KN II BA, KL II ВМ. а) Пирамиданың KLN яссылыгы белән ки¬
семен төзегез һәм кисемнең төрен билгеләгез; б) KLN яссылыгы
АМВ яссылыгына параллель икәнен исбатлагыз.
264	Алтыпочмаклы төзек пирамидада нигезенең ягы а га тигез, ә ян
кыр мәйданы пирамиданың биеклеге һәм нигезенең зур диагонале
аша үткәрелгән кисем мәйданына тигез булса, пирамиданың ян
өслеге мәйданын табыгыз.
265	Өчпочмаклы төзек пирамидада ян кабыргасы нигез яссылыгына
60°лы почмак ясап авышкан. Нигез ягы аша, нигез яссылыгына
30°лы почмак ясап, яссылык үткәрелгән. Нигезнең ягы 12 см га
тигез булса, кисем мәйданын табыгыз.
266	Пирамиданың биеклеге 2 дм га тигез, ә ян кабыргалары бер-бер-
сенә тигез, нигезендә исә яклары 6 дм һәм 8 дм булган турыпоч¬
маклык ята. Нигезенең диагонале аша ян кабыргага параллель
үткәрелгән кисем мәйданын табыгыз.
267	Пирамида нигезенә параллель булган яссылык белән кистерелгән.
Пирамиданың ян кабыргалары һәм биеклеге бу яссылык белән
пропорциональ кисемтәләргә бүленгәнен исбатлагыз.
268	Дүртпочмаклы төзек пирамиданың нигез яссылыгына парал¬
лель яссылык пирамиданың биеклеген, пирамида түбәсеннән
исәпләгәндә, 1 : 2 чагыштырмасында бүлә. Килеп чыккан кисек
пирамиданың апофемасы 4 дм га, ә аның тулы өслеге мәйданы
186 дм2 га тигез. Кисек пирамиданың биеклеген табыгыз.
269	Өчпочмаклы төзек кисек пирамиданың нигез яклары 4 дм һәм
2 дм га, ә ян кабыргасы 2 дм га тигез. Пирамиданың биеклеген
һәм апофемасын табыгыз.
270	Кисек пирамиданың нигезләре — яклары 5 см һәм 3 см га тигез
булган төзек өчпочмаклар. Ян кабыргаларының берсе нигез яссы¬
лыгына перпендикуляр һәм 1 см га тигез. Кисек пирамиданың ян
өслеге мәйданын табыгыз.
Күпкырлыклар

s3
Төзек күпкырлыклар
35 Пространствода симметрия
Планиметриядә без ноктага карата һәм ту¬
рыга карата симметрик фигураларны тикшердек. Сте¬
реометриядә ноктага, турыга һәм яссылыкка карата
симметрияне тикшерербез.
О ноктасы AA1 кисемтәсенең уртасы булса,
А һәм A1 нокталары О ноктасына (симметрия үзәгенә)
карата симметрик дип атала (рәс. 84, α). О ноктасы үз-
үзенә симметрик дип исәпләнә.
а турысы AA1 кисемтәсенең уртасы аша үтсә
һәм бу кисемтәгә перпендикуляр булса, А һәм A1 нокта¬
лары а турысына (симметрия күчәренә) карата симме¬
трик дип атала (рәс. 84, б). а турысының һәр ноктасы
үз-үзенә симметрик дип исәпләнә.
α яссылыгы A41 кисемтәсенең уртасы аша
үтсә һәм бу кисемтәгә перпендикуляр булса, А һәм A1
нокталары а яссылыгына (симметрия яссылыгына) ка¬
рата симметрик дип атала (рәс. 84, β). α яссылыгының
һәр ноктасы үз-үзенә симметрик дип исәпләнә.
Фигураның симметрия үзәге, күчәре һәм яс¬
сылыгы төшенчәсен бирик. Әгәр фигураның һәр нок¬
тасы ноктага (турыга, яссылыкка) карата шул ук фи¬
гураның ниндидер ноктасына симметрик булса, әлеге
нокта (туры, яссылык) фигураның симметрия үзәге (кү¬
чәре, яссылыгы) дип атала. Фигураның симметрия үзәге
(күчәре, симметрия яссылыгы) булса, ул үзәк (күчәр
симметриясенә, көзгедәгечә) симметриягә ия, диләр.
85, а, б, в рәсемнәрендә турыпочмаклы па¬
раллелепипедның симметрия үзәге О, а күчәре, α яссы-
Рәс. 84
75
Күпкырлыклар

лыгы күрсәтелгән. Турыпочмаклы түгел, ләкин туры
призма булган параллелепипедның симметрия яссылы¬
гы (әгәр нигезе ромб булса — яссылыклары), күчәре
һәм үзәге бар.
Фигураның бер яки берничә симметрия үзә¬
ге (симметрия күчәре, симметрия яссылыгы) булырга
мөмкин. Мәсәлән, кубның бер генә симметрия үзәге,
берничә симметрия күчәре һәм яссылыгы бар. Симме¬
трия үзәкләре, күчәрләре яки яссылыклары чиксез күп
булган фигуралар да бар. Туры һәм яссылык шундый
фигураларның иң гадиләре. Яссылыкның теләсә кай¬
сы ноктасы аның симметрия үзәге була. Бирелгән яс¬
сылыкка перпендикуляр теләсә нинди туры (яссылык)
аның симметрия күчәре (яссылыгы) була. Икенче як¬
тан, симметрия үзәкләре, күчәрләре һәм яссылыкла¬
ры булмаган фигуралар да бар. Мәсәлән, туры призма
булмаган параллелепипедның симметрия күчәрләре юк,
ләкин симметрия үзәге бар һәм симметрия яссылыгы
булуы мөмкин (кайсы очракта булуы мөмкин икәнен
уйлагыз); гомумән алганда, призма һәм пирамиданың
симметрия яссылыгы да, күчәре дә, үзәге дә юк (бу
күпкырлыкларның симметрия яссылыгы, күчәре яки
үзәге бары тик кайбер аерым очракларда гына булуы
мөмкин).
Без симметрия белән табигатьтә, архитек¬
турада, техникада, көндәлек тормышта еш очрашабыз.
Күп биналар яссылыкка карата симметрик, мәсәлән,
Мәскәү дәүләт университетының төп бинасы (рәс. 86),
кайбер детальләрнең симметрия күчәре бар. Табигатьтә
очрый торган барлык кристалларның да диярлек сим¬
метрия үзәге, күчәре яки яссылыгы бар (рәс. 87). Гео¬
метриядә күпкырлыкның симметрия үзәге, күчәре һәм
яссылыгы бу күпкырлыкның симметрия элементлары
дип атала.
Рәс. 86
Рәс. 87
36	Төзек күпкырлык төшенчәсе
Кабарынкы күпкырлыкның барлык кырла¬
ры тигез төзек күппочмаклар булса һәм, моннан тыш,
аның һәр түбәсендә бер үк сандагы кабыргалары очраш¬
са, ул төзек күпкырлык дип атала. Куб төзек күпкыр¬
лыкның мисалы булып тора. Аның барлык кырлары —
квадратлар, һәм һәр түбәсендә өч кабыргасы очраша.
Төзек күпкырлыкның барлык кабыргалары
бер-берсенә тигез икәнлеге ачык аңлашыла. Уртак ка¬
76
Күпкырлыклар

быргага ия ике кырын эченә алган барлык икекырлы
почмаклар шулай ук тигез икәнен исбатларга мөмкин.
Кырлары төзек алтыпочмаклар, җидепоч¬
маклар һәм гомумән re-почмаклар (га ≥ 6) булган төзек
күпкырлыкларның юклыгын исбатларбыз. Дөрестән
дә, га ≥ 6 булганда, төзек га-почмакның почмагы 120°
тан кечерәк түгел (ни өчен икәнен аңлатыгыз). Икенче
яктан, күпкырлыкның һәр түбәсендә кимендә өч яссы
почмак булырга тиеш. Шуңа күрә кыры га ≥ 6 булган
төзек га-почмаклардан торган төзек күпкырлык бар дип
уйласак, андый күпкырлыкның һәр түбәсе янындагы
яссы почмаклары суммасы 120° · 3 = 360° тан да кечерәк
булмас иде. Ләкин моның булуы мөмкин түгел, чөнки
кабарынкы күпкырлыкның һәр түбәсе янындагы яссы
почмакларының суммасы 360°тан кечерәк (п. 27).
Шушы ук сәбәп буенча төзек күпкырлык¬
ның һәр түбәсе я өч, дүрт яки биш тигезьяклы өчпоч¬
макның, я өч квадратның, я өч төзек бишпочмакның
түбәсе була ала. Башка мөмкинчелекләр юк.
Шушыңа ярашлы рәвештә түбәндәге төзек
күпкырлыкларны табабыз.
Төзек тетраэдр* (рәс. 88) дүрт тигезьяклы
өчпочмактан төзелгән. Аның һәр түбәсе өч өчпочмак¬
ның түбәсе булып тора. Шулай булгач, һәр түбә янын¬
дагы яссы почмакларның суммасы 180oκa тигез.
Төзек октаэдр (рәс. 89) сигез тигезьяклы
өчпочмактан төзелгән. Октаэдрның һәр түбәсе дүрт өч¬
почмакның түбәсе булып тора. Димәк, һәр түбә янында¬
гы яссы почмаклары суммасы 240oκa тигез.
Төзек икосаэдр (рәс. 90) егерме тигезьяклы
өчпочмактан төзелгән. Икосаэдрның һәр түбәсе биш
өчпочмакның түбәсе булып тора. Димәк, һәр түбә янын¬
дагы яссы почмакларның суммасы 300°ка тигез.
Куб (рәс. 91) алты квадраттан төзелгән.
Кубның һәр түбәсе өч квадратның түбәсе була. Шулай
булгач, һәр түбә янындагы яссы почмакларның сумма¬
сы 270oκa тигез.
Төзек додекаэдр (рәс. 92) унике төзек биш¬
почмактан төзелгән. Додекаэдрның һәр түбәсе өч төзек
Төзек тетраэдр
Рәс. 88
Төзек октаэдр
Рәс. 89
Төзек икосаэдр
Рәс. 90
* Без төзек тетраэдрны өчпочмаклы төзек пирамидадан аерабыз.
Барлык кабыргалары да тигез булган төзек тетраэдрдан аерма¬
лы буларак, өчпочмаклы төзек пирамиданың ян кабыргалары
бер-берсенә тигез, ләкин алар пирамиданың нигез кабыргала¬
рына тигез булмавы мөмкин.
Күпкырлыклар

бишпочмакның түбәсе була. Шулай булгач, һәр түбә
янындагы яссы почмакларның суммасы 324°ка тигез.
Санап кителгән биш төрдән тыш, башка
төзек күпкырлыклар юк.
▼ Искәрмәләр
1.	Ьәр төзек күпкырлыкның кырлары саны
f, кабыргалары саны k һәм түбәләре саны е ны Эйлер
теоремасы ярдәмендә табарга мөмкин. Дөрестән дә, п —
һәр кабырганың кабыргалары саны, т — һәр түбәдә
очрашучы кабыргалар саны, ди. Нәр кабырга ике кыр¬
ныкы булганлыктан, nf = 2k. Моннан тыш, me = 2⅛ (һәр
кабырга ике түбәгә ия) һәм Эйлер теоремасы буенча
/ + е - ft = 2. Бу өч тигезлектән табабыз:
f = 4raι jj = 2mn e = 4га
' 2т ■ 2n ■ тп’ 2m ∙ 2n ∙ тп’ 2т ■ 2п ■ тп'
Шул рәвешле,
төзек тетраэдрда (га = 3, т = 3):
f = 4, k = 6, е = 4;
төзек октаэдр да (п = 3, т = 4):
/ = 8, k = 12, е = 6;
төзек икосаэдрда (п = 3, т = 5):
/=20, k = 30, е=12;
кубта (п = 4, т = 3) : f = 6, k = 12, е = 8;
төзек додекаэдрда (и = 5, т = 3):
f=12, k = 30, e = 20.
2.	Без төзек күпкырлыкларның биш төрдән
күп булмавын исбатладык, ләкин күрсәтелгән бу күп¬
кырлыкларның чынлыкта барлыгын исбатламадык.
Нигезенең ягы а га, биеклеге ^-а га тигез булган тө-
О
зек өчпочмаклы пирамиданың — төзек тетраэдрның,
кубның барлыгы ачык. Куб кырының үзәкләре төзек
октаэдрның түбәләре була (моны исбатлагыз), шуңа
күрә төзек октаэдрның барлыгы шик тудырмый. Төзек
икосаэдр ике төзек бишпочмаклы пирамидадан һәм
күпкырлыктан төзелгән, ул бишпочмаклы призманы
хәтерләтә. Бу күпкырлыктагы пирамидаларның биек¬
лекләре а кабыргасы аша җиңел күрсәтелә (ничек?),
шуңа күрә төзек икосаэдрның да барлыгы шик тудыр¬
мый. Ниһаять, төзек икосаэдр кырларының үзәкләре
78
Куб
Рәс. 91
Төзек додекаэдр
Рәс. 92
Күпкырлыклар

төзек додекаэдрның түбәләре була (моның дөреслеген
үзегез тикшерегез), шуңа күрә төзек додекаэдр да бар.
Искәртеп китәбез: барлык биш төзек күп¬
кырлыкның да булуына, аларның җәелмәләрен ябыш¬
тырып, үз күзегез белән күреп инанырга мөмкин (271—
275 нче биремнәр).
37	Төзек күпкырлыкларның
симметрия элементлары
Төзек күпкырлыкларның симметрия элемент¬
ларын карап китик. Төзек тетраэдрның симметрия үзә¬
ге юк. Капма-каршы ике кабыргасының уртасы аша
үтүче туры аның симметрия күчәре була. Төзек ABCD
тетраэдрының АВ кабыргасы аша капма-каршы CD ка¬
быргасына перпендикуляр үтүче а яссылыгы симметрия
яссылыгы була (рәс. 93). Төзек тетраэдрның өч симмет¬
рия күчәре һәм алты симметрия яссылыгы бар.
Кубның бер симметрия үзәге — диаго¬
нальләренең кисешү ноктасы бар. Кубның тиңдәшле
рәвештә капма-каршы кырларының үзәкләре һәм бер
кырда ятмаган капма-каршы ике кабыргасының уртасы
аша үтүче а һәм Ъ турылары аның симметрия күчәрләре
була (рәс. 94). Кубның тугыз симметрия күчәре бар.
Симметрия күчәрләре барысы да симметрия үзәге аша
үтә. Теләсә кайсы ике симметрия күчәре аша үтүче яс¬
сылык кубның симметрия яссылыгы була. Кубның ту¬
гыз симметрия яссылыгы бар.
Төзек октаэдр, төзек икосаэдр һәм төзек
додекаэдрның симметрия үзәге, берничә симметрия
күчәре һәм яссылыгы бар. Аларны исәпләп чыгарырга
тырышып карагыз.
Практик биремнәр
271	Төзек тетраэдрның җәелмәсен калын кәгазь
битенә зуррак масштабта күчереп сызыгыз
(рәс. 95). Җәелмәне кисеп алыгыз һәм ан¬
нан тетраэдр ясап ябыштырыгыз.
272	Кубның җәелмәсен калын кәгазьгә зуррак
масштабта күчереп сызыгыз (рәс. 96). Җә¬
елмәне кисеп алыгыз һәм аннан куб ясап
ябыштырыгыз.
273	Төзек октаэдрның җәелмәсен калын кәгазьгә
зуррак масштабта күчереп сызыгыз (рәс. 97).
Җәелмәне кисеп алыгыз һәм аннан октаэдр
ясап ябыштырыгыз.
Рәс. 94
Рәс. 95
Рәс. 96
79
Күпкырлыклар

Рәс. 97
Рәс. 98
Рәс. 99
274	Төзек додекаэдр җәелмәсен калын кәгазьгә зуррак масштабта
күчереп сызыгыз (рәс. 98). Җәелмәне кисеп алыгыз һәм аннан до¬
декаэдр ясап ябыштырыгыз.
275	Төзек икосаэдр җәелмәсен калын кәгазьгә зуррак масштабта кү¬
череп сызыгыз (рәс. 99). Җәелмәне кисеп алыгыз һәм аннан ико¬
саэдр ясап ябыштырыгыз.
Сораулар һәм мәсьәләләр
276	а) Параллелепипед; б) өчпочмаклы төзек призма; в) икекырлы
почмак; г) кисемтәнең ничә симметрия үзәге бар?
277	а) Кисемтә; б) төзек өчпочмак; в) кубның ничә симметрия күчәре
бар?
278	а) Куб булмаган дүртпочмаклы төзек призма; б)дүртпочмаклы
төзек пирамида; в) өчпочмаклы төзек пирамиданың ничә симме¬
трия яссылыгы бар?
279	Куб кырларының уртак очы булган ике диагонале арасындагы
почмагын табыгыз.
280	Кубның кабыргасы а га тигез. Аның ике кырының диагональләре
аша үтүче кисем мәйданын табыгыз.
281	ABCDA1B1C1D1 кубының D1 түбәсеннән кырларының D1A, D1C
һәм DlBl диагональләре үткәрелгән һәм аларның очлары ки¬
семтәләр белән тоташтырылган. D1AB1C күпкырлыгы төзек тетра¬
эдр икәнен исбатлагыз. Куб һәм тетраэдр өслекләренең мәйдан¬
нары чагыштырмасын табыгыз.
282	Төзек октаэдрның уртак түбәгә ия булган, ләкин бер кырда ятма¬
ган ике кабыргасы арасындагы почмакны табыгыз (89 нчы рәс.
кара).
283	DABC төзек тетраэдрының кабыргасы а га тигез. Тетраэдрда ABC
кырының үзәге аша: a) BDC кырына параллель; б) AD кабырга¬
сына перпендикуляр үтүче яссылык белән кисеменең мәйданын
табыгыз.
284	Кабыргасы 2 гә тигез булган төзек тетраэдрның һәр түбәсеннән ка¬
быргасы 1 гә тигез булган төзек тетраэдр кисеп алалар. Нәтиҗәдә
нинди фигура килеп чыгар?
285	Төзек тетраэдрда кырларының үзәкләрен тоташтыручы кисемтә¬
ләрнең бер-берсенә тигез икәнен исбатлагыз.
Күпкырлыклар

286
287
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
288
289
290
Төзек тетраэдрда һ — биеклек, т — кабырга, ә п — кырларының
үзәкләре арасындагы ераклык, а) т ны һ аша; б) п ны т аша
аңлатыгыз.
Төзек октаэдрның кабыргасы а га тигез, а) Аның капма-каршы
ике түбәсе; б) чиктәш ике кырының үзәкләре; в) капма-каршы
кырлары арасындагы ераклыкны табыгыз.
III	бүлеккә сораулар
Күпкырлыкның кимендә ничә кабыргасы була?
Призманың п кыры бар. Аның нигезендә нинди күппочмак ята?
Призманың чиктәш ике ян кыры нигез яссылыгына перпендику¬
ляр булса, ул туры призма буламы?
Нинди призмада ян кабыргалар аның биеклегенә параллель?
Барлык кабыргалары да бер-берсенә тигез булса, призма төзек
буламы?
Авыш призмада бер ян кырының биеклеге призманың да биеклеге
була аламы?
а) Ян кабыргасы нигезенең бары тик бер генә кабыргасына пер¬
пендикуляр; б) бары тик бер генә кыры нигезгә перпендикуляр
булган призма бармы?
Өчпочмаклы төзек призма нигезләренең урта сызыклары аша
үтүче яссылык белән ике призмага бүленә. Бу призмаларның ян
өслекләренең мәйданнары чагыштырмасы нинди?
Пирамиданың ян кырлары төзек өчпочмаклар булса, ул төзек пи¬
рамида буламы?
Пирамиданың ничә кыры нигез яссылыгына перпендикуляр бу¬
луы мөмкин?
Капма-каршы ян кырлары нигезгә перпендикуляр булган дүрт¬
почмаклы пирамида бармы?
Өчпочмаклы пирамиданың барлык кырлары да турыпочмаклы
өчпочмаклар булуы мөмкинме?
66 см озынлыктагы тимерчыбык кисәгеннән нигезенең ягы 10 см
га тигез булган дүртпочмаклы төзек пирамиданың каркас моделен
ясап буламы?
Өчпочмаклы призма өске нигезенең түбәсе һәм аскы нигезенең
аңа каршы яткан ягы аша үтүче яссылык белән нинди күпкыр¬
лыкларга бүленә?
Өстәмә мәсьәләләр
Теләсә нинди призманың түбәләре саны — җөп сан, ә кабыргала¬
ры саны 3 кә кабатлы икәнен исбатлагыз.
Кубның тулы өслеге мәйданы 2 d2 ка (биредә d — кубның диагона¬
ле) тигез икәнен исбатлагыз.
Турыпочмаклы параллелепипедның I га тигез нигез диагонале
белән нигезенең бер ягы арасындагы почмагы φ гә тигез. Бу як
белән параллелепипед диагонале арасындагы почмак Ө га тигез.
Бирелгән параллелепипедның ян өслеге мәйданын табыгыз.
Күпкырлыклар

291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
Турыпочмаклы параллелепипедта d га тигез диагонале — нигез
яссылыгы белән φ, нигезенең бер ягы белән Ө почмагы төзи. Па¬
раллелепипедның ян өслеге мәйданын табыгыз.
Дүртпочмаклы төзек призмада нигезенең ягы 6 см га, ян кабыр¬
гасы 8 см га тигез. Призманың нигез ягыннан аны кисмәүче диа¬
гоналенә кадәр ераклыкны табыгыз.
Дүртпочмаклы төзек ABCDAiB1C1D1 призмасында B1D һәм D1B
диагональләре үзара перпендикуляр. Призманың A1C һәм B1D диа¬
гональләре арасындагы почмагы 60°ка тигез икәнен исбатлагыз.
Дүртпочмаклы төзек призма ике диагонален эченә алган яссылык
белән кистерелгән. Килеп чыккан кисем мәйданы So гә, ә нигезе¬
нең ягы а га тигез. Призманың ян өслеге мәйданын исәпләгез.
Авыш ABCDA1B1C1D1 параллелепипедының нигезе булып ромб
хезмәт итә. CC1 ян кабыргасы нигезенең CD һәм СВ яклары белән
тигез почмаклар төзи, a) CC1lBZ>j б) BBiDγD — турыпочмаклык;
в) BDlAAlCγ∙, г) A41C1-LBBrD1 икәнен исбатлагыз.
Өчпочмаклы төзек призманың биеклеге һ ка тигез. Аскы ниге¬
зенең урта сызыгы һәм өске нигезенең аңа параллель ягы аша
үткәрелгән α яссылыгы аскы нигез яссылыгы белән кысынкы
икекырлы <р почмагы төзи. Призманың а яссылыгы белән кисеме¬
нең мәйданын табыгыз.
Өчпочмаклы ABCA1B1C1 призмасының нигезе — төзек ABC өчпоч¬
магы, BD — бу өчпочмакның биеклеге, ә A1 түбәсе аның үзәгенә
проекцияләнә. a) A1BDlAAlCl∙, б) AA1OJJ3B1Cj в) BB1C1C кыры
турыпочмаклык икәнен исбатлагыз.
Ян кабыргасы b га тигез булган параллелепипедның нигезендә
ягы а га тигез квадрат ята. Өске нигезнең бер түбәсе аскы ни¬
гезнең барлык түбәләреннән тигез ераклыкта урнашкан. Парал¬
лелепипедның тулы өслеге мәйданын табыгыз.
Өчпочмаклы төзек пирамиданың нигез ягы т га тигез, ә ян өс¬
лек мәйданы нигез мәйданыннан ике тапкыр зуррак булса, пира¬
миданың биеклеген табыгыз.
Төзек өчпочмаклы DABC пирамидасында Е, F һәм Р нокталары —
ВС, АВ һәм AD якларының урталары. Бу нокталар аша үтүче
кисемнең төрен билгеләгез һәм пирамиданың нигез ягы а га, ян
кабыргасы b га тигез булса, кисемнең мәйданын табыгыз.
Төзек өчпочмаклы DABC пирамидасының ян кабыргасы янындагы
икекырлы почмагы 120°. В түбәсеннән DA ян кабыргасына кадәр
ераклык 16 см га тигез. Пирамиданың апофемасын табыгыз.
Пирамиданың нигезендә яклары 3 см, 7 см һәм бер диагонале
6 см булган параллелограмм ята. Пирамиданың биеклеге нигез
диагональләренең кисешү ноктасы аша үтә һәм 4 см га тигез.
Пирамиданың ян кабыргаларын табыгыз.
Пирамиданың нигезе — ромб. Ике ян кыры нигез яссылыгына
перпендикуляр һәм 120°лы икекырлы почмак төзи, ә калган ике
ян кыры нигез яссылыгына 30°лы почмак ясап авышкан. Пира¬
миданың биеклеге 12 см булса, аның өслек мәйданын табыгыз.
Күпкырлыклар

304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
Дүртпочмаклы төзек пирамиданың түбә янындагы яссы почмагы
60°ка тигез. Пирамиданың ян кыры белән нигезе арасындагы ике-
кырлы почмагы ян кабыргасы янындагы икекырлы почмагыннан
ике тапкыр кечерәк икәнен исбатлагыз.
Дүртпочмаклы төзек пирамиданың биеклеге һ ка, түбә янындагы
яссы почмагы ос га тигез. Пирамиданың ян өслеге мәйданын табыгыз.
Дүртпочмаклы төзек пирамиданың биеклеге һ ка тигез һәм ян
кыр яссылыгы белән φ почмагы төзи. Пирамиданың тулы өслеге
мәйданын табыгыз.
Төзек MABCD пирамидасында AM = Ъ, AD = а. а) Пирамида
нигезенең BD диагонале аша МА кабыргасына параллель үтүче
α яссылыгы белән пирамиданың кисемен төзегез һәм кисем мәй¬
данын табыгыз; б) М һәм С нокталары а яссылыгыннан тигез
ераклыкта икәнен исбатлагыз.
Ягы 5 см, кечерәк диагонале 6 см га тигез булган ромб пирами¬
даның нигезе булып хезмәт итә. Пирамиданың биеклеге 3,2 см га
тигез һәм ромб диагональләренең кисешү ноктасы аша үтә. Пира¬
мида кырларының түбәдән үткәрелгән биеклекләрен табыгыз.
Ян кабыргалары тигез булган пирамиданың нигезендә яклары
6 дм һәм 8 дм га тигез турыпочмаклык ята. Пирамиданың биек¬
леге 6 дм га тигез. Кечерәк ягы һәм биеклегенең уртасы аша
үткәрелгән кисемнең мәйданын табыгыз.
DABC пирамидасында DA кабыргасы ABC яссылыгына перпен¬
дикуляр. AB = АС = 25 см, ВС = 40 см, DA = 8 см булса, пира¬
миданың ян өслеге мәйданын табыгыз.
Яклары АС = 13 см, АВ = 15 см, СВ = 14 см булган өчпочмак —
DABC пирамидасының нигезе. DA ян кабыргасы нигез яссылы¬
гына перпендикуляр һәм 9 см га тигез, а) Пирамиданың тулы
өслеге мәйданын табыгыз; б) А түбәсеннән В DC кыры яссылыгына
үткәрелгән перпендикулярның нигезе шул кырның биеклегендә ят¬
канын исбатлагыз һәм перпендикулярның озынлыгын табыгыз.
η-почмаклы төзек пирамиданың ян кырлары нигез яссылыгы бе¬
лән φ почмагы төзиләр. Нигез яссылыгы белән ян кабырга ара¬
сындагы почмакның тангенсын табыгыз.
Өчпочмаклы төзек кисек пирамиданың нигез яклары 12 дм һәм
6 дм, биеклеге 1 дм. Пирамиданың ян өслеге мәйданын табыгыз.
Дүртпочмаклы төзек кисек пирамиданың биеклеге 63 см га, апо-
фемасы 65 см га тигез, ә нигезенең яклары 7 : 3 чагыштырмасын¬
да. Пирамиданың нигез якларын табыгыз.
Төзек октаэдр кырларының үзәкләре кубның түбәләре булуын ис¬
батлагыз.
Төзек тетраэдр кырларының үзәкләре икенче төзек тетраэдрның
түбәләре икәнен исбатлагыз.
Куб кырларының үзәкләре — төзек октаэдр түбәләре. Исбатлагыз.
Төзек тетраэдрның икекырлы почмагы белән төзек октаэдрның
икекырлы почмагының суммасы 180°ка тигез икәнен исбатлагыз.
Төзек тетраэдрның түбәсе аша ничә симметрия яссылыгы үтә?
Күпкырлыклар

IV	бүлек
Пространствода векторлар
Пространствода вектор төшенчәсе
38	Вектор төшенчәсе
Планиметрия курсында без яссылыктагы
векторлар һәм алар белән эшләү гамәлләрен өйрәндек.
Пространстводагы векторлар өчен төп төшенчәләр яссы¬
лыктагы векторлар өчен бирелгән кебек үк бирелә.
Кайсы очы — башлангычы, кайсысы ахы¬
ры икәнлеге күрсәтелгән кисемтә вектор дип атала.
Рәсемнәрдә векторның юнәлеше (башлангычыннан ахы¬
рына таба) ук белән күрсәтелә. Пространствоның теләсә
кайсы ноктасын шулай ук вектор дип карарга мөмкин.
Андый вектор нуль-вектор дип атала. Нуль-векторның
башлангычы белән ахыры тәңгәл килә, һәм ул нинди дә
булса билгеле бер юнәлешкә ия түгел. 100, а рәсемендә
нуль булмаган АВ һәм CD векторлары һәм ТТ нуль-
векторы, ә 100, б рәсемендә уртак башлангычка ия һәм
нуль булмаган a , Ь һәм с векторлары сурәтләнгән.
Нуль-вектор шулай ук 0 символы белән дә тамгалана.
Нуль булмаган АВ векторының озынлыгы
дип АВ кисемтәсенең озынлыгы атала. АВ векторының
(а векторының) озынлыгы болай тамгалана: ∣AB I (∣α I).
Нуль-векторның озынлыгы нульгә тигез дип исәпләнә:
ΙθΊ= 0.
Нуль булмаган ике вектор бер турыда яки
параллель турыларда ятса, алар коллинеар дип атала.
Әгәр нуль булмаган АВ һәм CD векторлары колли¬
неар һәм шул ук вакытта АВ һәм CD нурлары бердәй
юнәлештә булсалар, АВ һәм CD векторлары бердәй
юнәлешле дип, ә бу нурлар бердәй юнәлештә булмаса-
—  >	—- >
лар, АВ һәм CD векторлары капма-каршы юнәлешле
дип атала. Нуль-векторны теләсә нинди вектор белән
бердәй юнәлешле дип исәпләрбез, a ?Т Ь язылышы —
Пространствода
векторлар
84

а һәм b векторларының бердәй юнәлешле, ә с 14 d язы¬
лышы с һәм d векторларының капма-каршы юнәлешле
икәнлеген белдерә. 101 нче рәсемдә параллелепипед
сурәтләнгән. Бу рәсемдә AM↑↑DK, AD↑↑EK, АВ 14
DC, ә AD һәм AM векторлары бердәй юнәлешле дә,
капма-каршы юнәлешле дә була алмый, чөнки алар
коллинеар түгел.
Яссылыкта векторларны өйрәнгәндә, без
күп кенә физик зурлыкларның, мәсәлән, көч, күчү,
тизлекнең вектор зурлыклар булуын билгеләп үттек.
Электр һәм магнит күренешләрен өйрәнгәндә, вектор
зурлыкларга яңа мисаллар өстәлә. Пространствода ко¬
рылмалар тудырган электр кыры пространствоның һәр
ноктасында электр кырының көчәнешлелек векторы
белән күрсәтелә. 102, а рәсемендә ноктадай уңай ко¬
рылма тудырган электр кырының көчәнешлелек век¬
торлары сурәтләнгән.
Пространствоның һәр ноктасында магнит
индукциясе векторы белән күрсәтелә торган магнит
кыры пространствода электр тогы, ягъни корылмалар¬
ның юнәлешле хәрәкәтен тудыра. 102, б рәсемендә ток¬
лы туры үткәргечнең магнит кырында магнит индук¬
циясе векторлары сурәтләнгән.
39	Векторларның тигезлеге
Векторлар бердәй юнәлешле һәм аларның
озынлыклары тигез булса, алар тигез дип атала.
101 нче рәсемдә АЕ = DK, чөнки АЕ 14 DK һәм ∣AE∣ =
= |РК| , әАВ ≠DC, чөнки АВ 14 DC.
А ноктасы а векторының башлангычы бул¬
са, а векторы А ноктасыннан салынган, диләр. Теләсә
нинди ноктадан бирелгәнгә тигез вектор салырга
мөмкин һәм бары тик берне генә, моны җиңел исбатлап
була. Дөрестән дә, а — бирелгән вектор, М — бирелгән
нокта булсын (рәс.103). а векторының башлангычы,
ахыры һәм М ноктасы аша яссылык үткәрәбез дә бу яс¬
сылыкта a = MN векторы төзибез. MN — эзләнелә тор¬
ган вектор икәнлеге күренеп тора. Шулай ук төзүдән
MN— башлангычы М булган һәм а векторына тигез
бердәнбер вектор икәнлеге ачык аңлашыла.
85
а)
Рәс. 103
Пространствода
векторлар

Сораулар һәм мәсьәләләр
320	ABCD тетраэдрында Μ, N һәм К ноктала¬
ры — тиңдәшле рәвештә АС, ВС һәм CD
кабыргаларының урталары, АВ = 3 см,
ВС = 4см, BD = 5 см.
а)	АВ, ВС , RD, NM, BN, NK;
б)	СВ , BA , DB, NC, KN векторларының
озынлыгын табыгыз.
321	Турыпочмаклы ABCDA1B1C1D1 параллеле¬
пипедының үлчәнешләре: AD = 8 см, АВ =
= 9 см һәм AA1 = 12 см.
а)	CC1, СВ , CD;
б)	DCi, DB, DB1
векторларының озынлыгын табыгыз.
322	104 нче рәсемдә ABCDA1B1C1D1 параллеле¬
пипеды сурәтләнгән. М һәм К нокталары —
B1C1 һәм A1D1 кабыргаларының урталары.
Бу рәсемдә: а) бердәй юнәлешле векторлар¬
ның; б) капма-каршы юнәлешле векторлар¬
ның; в) тигез векторларның барлык парла-
Рәс. 104
Рәс. 105
рын күрсәтегез.
323	105 нче рәсемдә кабыргалары тигез булган ABCD тетраэдры
сурәтләнгән. Μ, N, Р һәм Q нокталары—АВ, AD, DC, ВС якла¬
рының урталары, а) Бу рәсемдә сурәтләнгән тигез векторларның
барлык парларын язып алыгыз; б) MNPQ дүртпочмагының төрен
билгеләгез.
324	Раслама дөресме: а) нуль булмаган векторга коллинеар ике вектор
үзара коллинеар; б) нуль булмаган вектор белән бердәй юнәлешле
ике вектор бердәй юнәлешле; в) нуль булмаган векторга коллине¬
ар ике вектор бердәй юнәлешле?
325	AA1= BB1 икәне билгеле. Бер-берсенә карата ничек урнашканнар:
а) АВ һәм A1B1 турылары; б) АВ турысы һәм A1, B1 нокталары
аша үтүче яссылык; в) берсе А һәм В нокталары аша, икенчесе A1
һәм B1 нокталары аша үтүче яссылыклар?
326	104 нче рәсемдә параллелепипед сурәтләнгән, М һәм К ноктала¬
ры — B1C1 һәм AlD1 кабыргаларының урталары, a) С ноктасын¬
нан DD1 векторына тигез; б) D ноктасыннан СМ векторына тигез;
в)	Al ноктасыннан АС векторына тигез; г) C1 ноктасыннан СВ
векторына тигез; д) М ноктасыннан KA1 векторына тигез итеп
салынган векторны атагыз.
Пространствода
векторлар
86

«2
Векторларны кушу һәм алу.
Векторны санга тапкырлау
40	Векторларны кушу һәм алу
Теләсә нинди а һәм b векторларын кушу
кагыйдәсен бирик. Нинди дә булса А ноктасыннан я
векторына тигез булган АВ векторын салабыз (рәс.106).
Аннары В ноктасыннан Ъ векторына тигез ВС векторын
салабыз. АС векторы а һәм Ъ векторларының суммасы
дип атала: AC = a + Ъ .
Векторларны кушуның бу кагыйдәсе өчпоч¬
мак кагыйдәсе дип атала. 106, а рәсеме бу кагыйдәне
ачыклый. Коллинеар векторларны кушканда өчпочмак
килеп чыкмаса да, аларның да шушы ук кагыйдә буен¬
ча кушылганын искәртеп китәбез. 106, б, β рәсемнәре
коллинеар векторларны кушуны иллюстрацияли.
Нәкъ планиметриядәге кебек үк, а + Ь
суммасы, кушканда а векторын сала башлау өчен,
А ноктасын кайда сайлап алуга бәйле түгел. Икенче
сүзләр белән әйткәндә, а һәм Ъ векторларын өчпочмак
кагыйдәсе буенча кушканда, А ноктасын икенче бер A1
ноктасы белән алмаштырсак, ул вакытта АС векторы
аңа тигез A1C1 векторы белән алмашыныр (рәс. 107).
Бу расламаны үзлегегездән исбатлагыз.
Өчпочмак кагыйдәсен мондый формада әй¬
теп бирергә мөмкин: теләсә нинди өч нокта А, В һәм С
өчен түбәндәге тигезлек урынлы була:
AB +BC=AC .
Коллинеар булмаган ике векторны кушу
өчен, шулай ук планиметрия курсыннан билгеле булган
параллелограмм кагыйдәсеннән файдаланырга мөмкин.
Бу кагыйдә 108 нче рәсемдә ачыклана.
Векторларны кушуның планиметриядә өй¬
рәнелгән үзлекләре пространстводагы векторлар өчен дә
урынлы. Аларны искә төшереп үтик.
Теләсә нинди а , Ъ һәм с векторлары өчен
түбәндәге тигезлекләр дөрес:
а + Ъ = b + а (урын алыштыру законы);
—> ^=÷ —> —► —* —>
(α + o)+c = а + (Ь + с) (оештыру законы).
Нуль булмаган ике векторның озынлыкла¬
ры тигез һәм алар капма-каршы юнәлгән булсалар,
87
Рәс. 107
Пространствода
векторлар

алар капма-каршы векторлар дип атала. Нуль-векторга
нуль-вектор капма-каршы дип исәпләнә. ВА векторы
АВ векторына капма-каршы икәнлеге ачык аңлашыла
(рәс. 109).
Ь векторы белән суммасы а векторына ти¬
гез булган вектор а һәм Ь векторларының аермасы
дип атала, а һәм Ь векторларының аермасы а-b ны
a-b=a+(-b)	(1)
формуласыннан табарга мөмкин, биредә (-&) векторы
Ь векторына капма-каршы.
110, а, б рәсемнәрендә бирелгән а һәм Ь век¬
торларының аермасын төзүнең ике ысулы күрсәтелгән.
Пространстводагы векторлар өчен кушу за¬
коннарын һәм (1) тигезлеген исбатлау яссылыктагы
векторлар өчен исбатлаудан берни белән дә аерылмый.
41	Берничә векторның суммасы
Пространстводагы берничә векторны кушу
яссылыктагы кебек үк башкарыла: беренче вектор икен¬
чесе белән кушыла, аннары аларның суммасы өченче
вектор белән кушыла һ. б. Векторларны кушу за¬
коннарыннан берничә векторның суммасы аларны нин¬
ди тәртиптә кушуга бәйле түгел икәнлеге килеп чыга.
111 нче рәсемдә a, Ь һәм с векторларының
суммасын төзү күрсәтелгән: ирекле рәвештә алынган
О ноктасыннан a = ОА векторы салынган, аннары
—>   >
А ноктасыннан b = АВ векторы салынган һәм, ниһаять,
В ноктасыннан с = ВС векторы салынган. Нәтиҗәдә а +
—÷ —>	>
+ Ь + с га тигез ОС векторы табыла.
Теләсә нинди сандагы векторлар сумма¬
сын да шушыңа охшаш юл белән табарга була. 112 нче
рәсемдә биш вектор: a, b, с, d һәм е ның суммасы
ОЕ векторы төзелгән. Берничә векторның суммасын
төзүнең бу кагыйдәсе күппочмак кагыйдәсе дип ата¬
ла. Шулай да, яссылыктагы векторлар очрагыннан аер¬
малы буларак, пространстводагы векторлар суммасын
төзегәндә пространство «күппочмагы» килеп чыгуы,
ягъни күппочмакның барлык түбәләре дә бер яссылык¬
та ятмавы мөмкин икәнен искәртеп китәбез. Мәсәлән,
шундый юл белән ОС векторын төзегәндә, 111 нче
рәсемдә килеп чыккан О ABC «дүртпочмагы» шундый
дүртпочмак була.
88
Коллинеар булмаган
ике векторны кушуның
параллелограмм
кагыйдәсе
Рәс. 108
АВ Һәм ВА — капма-
каршы векторлар
Рәс. 109
О
ОА = а, АВ = -Ь
OB = a +(-b) = а-Ь
а)
А
ОА = a, OB = Ь
ь
ВА = а-Ь
б)
Рәс. 110
Пространствода
векторлар

Күппочмак кагыйдәсен болай әйтеп бирергә
дә мөмкин: A1, A2, ..., Ап — ирекле рәвештә алынган
нокталар булса, ул вакытта
■4ι-,^2 + y⅛4-3 + ∙∙∙ + An~1An = A1An .
113 нче рәсемдә бу кагыйдә п = 7 өчен су¬
рәтләнгән. Аерым алганда, әгәр A1 һәм Ап нокталары,
ягъни беренче векторның башлангычы белән соңгы век¬
торның ахыры тәңгәл килсә, векторларның суммасы
нуль-векторга тигез була.
42	Векторны санга тапкырлау
Нуль булмаган векторның k санына тап¬
кырчыгышы дип озынлыгы I k I ∙ I a | га тигез булган
Ъ векторы атала, өстәвенә k > 0 булганда, а һәм Ь
векторлары бердәй юнәлешле, k < 0 булганда, капма-
каршы юнәлешле була. Нуль-векторның теләсә нинди
санга тапкырчыгышы нуль-вектор дип исәпләнә.
а векторының k санына тапкырчыгышы бо¬
лай тамгалана: ka. Векторның санга тапкырчыгышы
билгеләмәсеннән теләсә нинди k саны һәм теләсә нин¬
ди α векторы өчен a һәм ka векторларының колли-
неар икәнлеге килеп чыга. Бу билгеләмәдән шулай ук
теләсә нинди векторның нуль санына тапкырчыгышы
нуль-вектор икәнлеге килеп чыга.
Векторны санга тапкырлауның яссылыкта¬
гы векторлар өчен безгә таныш төп үзлекләрен искә
төшереп китик. Алар пространстводагы векторлар өчен
дә урынлы. Теләсә нинди а, Ь векторлары һәм теләсә
нинди fe, I саннары өчен түбәндәге тигезлекләр дөрес:
(feZ) a = k(la) (оештыру законы);
fe(a + Ь) = ka + kb (беренче тарату законы);
(ft + Z) a = ka + la (икенче тарату законы).
(-1) а векторы а векторына капма-каршы,
ягъни (~l)a = ~a икәнен билгеләп үтәбез. Дөрестән
дә, (-l)a һәм а векторларының озынлыклары тигез:
I(-1)a I = ∣-11 ∙ I a I = I a I. Моннан тыш, a — нуль бул¬
маган вектор булса, (-1) а һәм а векторлары капма-
каршы юнәлгәннәр.
Нәкъ планиметриядәге кебек үк, әгәр а
һәм Ъ векторлары коллинеар һәм a ≠ 0 булса, b = ka
үтәлердәй k саны барлыгын исбатларга мөмкин.
89
ОС = а + Ъ + с
Рәс. 111
-^1-^2 +-^2-^3 ÷^32^4 +
+A4A5 + а5 а6 +
+ AqA? = AγAγ
Рәс. 113
Пространствода
векторлар

327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
Мәсьәләләр
104 нче рәсемдә ABCDA1B1C1D1 параллелепипеды сурәтләнгән.
Озынлыгы a) АВ + A1B1j б) АВ + AD1', в) DA + B1B ; г) DD1+ DB ;
	> 	>
д)	DB1 + ВС векторларының суммасына тигез, ә башлангычы һәм
ахыры параллелепипед түбәләре булган векторны атагыз.
ABCD тетраэдры бирелгән, a) АВ +BD = AC + CD ; б) АВ + ВС =
= DC + AD; в) DC + BD= AC + BA икәнен исбатлагыз.
ABCDA1B1C1D1 параллелепипедының кабыргаларыннан барлык-
——* 	*
ка килгән һәм a) СВ векторына капма-каршы; б) B1A векторына
капма-каршы; в) -DC векторына тигез; г) ~A1B1 векторына тигез
булган барлык векторларны атагыз.
ABCDA1B1C1D1 параллелепипедын сызыгыз һәм C1Dl , BA1, AD
—> —> —►	—> —*
векторларын тиңдәшле рәвештә а, Ъ, с дип билгеләгез, а) а- Ь;
б)	а - с; в) Ь — а; г) с - Ъ; д) с - а векторларын рәсемдә сурәт¬
ләгез.
ABCD — параллелограмм, ә О пространствода ирекле рәвештә
алынган нокта булсын, а) ОВ - ОА = ОС - OD; б) ОВ - ОС = DA икә¬
нен исбатлагыз.
		>
104 нче рәсемдә ABCDA1BlC1D1 параллелепипеды сурәтләнгән. AB1
һәм DK векторларын башлангычы һәм ахыры рәсемдә билгеләнгән
нокталар белән тәңгәл килүче ике векторның аермасы рәвешендә
күрсәтегез.		 	*
Пространствода A, В, С һәм D нокталары бирелгән, a) (АВ + СА +
+ DC) + (ВС + CD); б) (AB - AC) + DC векторлары суммасына ти¬
гез, ә бирелгән нокталар башлангычы һәм ахыры булган векторны
атагыз.
Турыпочмаклы KLMNKlL-iMrN-i параллелепипеды бирелгән.
а)	∖MK + MM11 = \МК- ММ\ I; б) ∣X⅛ - NL11 = ∖ML +MM11;
в)	∖NL-M1L∖ = ∖K1N-LN∖ икәнен исбатлагыз.
Аңлатманы гадиләштерегез: a) AB + MN + ВС + СА + PQ + NM;
б)	FK + MQ +KP+AM+QK+PF; в) KM +DF+AC + FK + CD +
+ СА+МР; г) АВ + BA+CD +MN+DC + NM.
A, В, С һәм D нокталары бирелгән. АВ векторын: a) AC , DC,
BD; б) DA, DC, СВ ; в) DA, CD, ВС векторларының суммасы
рәвешендә күрсәтегез.
Аңлатманы гадиләштерегез: a) ОР-ЕР + KD-KA; б) AD + МР +
+ ЁК-ЕР -MD; b)AC-BC-PM-AP +ВМ.
Пространствода
векторлар

338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
ABCDA1B1C1D1 параллелепипеды бирелгән. ОА + OC1 = ОС + OA1
икәнен исбатлагыз (биредә О — пространствода ирекле алынган
нокта).

ABCDAlB1C1D1 параллелепипеды бирелгән, a) DC + D1A1 + CZ>1+
+ х + A1C1 = DB; б) DA + х + D1B + AD1 + BA = DC булса, баш¬
лангычы һәм ахыры параллелепипед түбәләре булган х векторын
күрсәтегез.		*		 1
Өчпочмаклы ABCA1B1C1 призмасы бирелгән, a) AA1 + B1C - х =
= ВА ; б) AC1 - BB1+ х = АВ ; в) AB1 + х = АС -х + BCx булса,
башлангычы һәм ахыры призма түбәләре булган х векторын күр¬
сәтегез.
Түбәсе Р булган дүртпочмаклы пирамиданың нигезендә ABCD тра¬
пециясе ята. О ноктасы — трапециянең урта сызыгының уртасы.
PA + РВ + PC + PD = APO икәнен исбатлагыз.
Р ноктасы — алтыпочмаклы төзек пирамиданың түбәсе. Пирами¬
даның ян кабыргалары тәшкил иткән, башлангычы Р ноктасында
булган барлык векторларның суммасы башлангычы Р ноктасын¬
дагы апофемаларыннан торган векторларның суммасына тигез
икәнен исбатлагыз.
AO = ⅜AB икәне билгеле. А һәм В нокталары О ноктасына карата
симметрик икәнен исбатлагыз.
ABCDA1B1C1D1 кубының диагональләре О ноктасында кисешә,
a)	AB = k ■ CD; б) AC1 = k · АО; в) OB1 = k ∙ BiD үтәлердәй k са¬
нын табыгыз.
Е һәм F нокталары — ABCD параллелограммында АВ һәм ВС ни¬
гезләренең урталары, ә О — пространствода ирекле рәвештә алын¬
ган нокта, а) ОА - ОС векторын EF векторы аша; б) ОА - ОЕ
векторын DC векторы аша күрсәтегез.
М һәм N нокталары — ABCD трапециясендә АВ һәм CD нигез¬
ләренең урталары, О — пространствода ирекле рәвештә алынган
нокта. ОМ — ON векторын AD һәм ВС векторлары аша күрсә¬
тегез.
Аңлатманы гадиләштерегез: a) 2(m + п) - 3(4m- п) + т·, б) тп -
- 3(n - 2m + p) + 5(p - 4т).
ABCDA1B1C1D1 параллелепипеды бирелгән. AC1 + BiD = 2ВС
икәнен исбатлагыз. 		>
А, В һәм М нокталары AM = λ ∙ MB (биредә λ≠-l) шартын
канәгатьләндерә. Бу өч ноктаның бер турыда ятканын һәм
„	—→ OA + λOB
пространствоның теләсә нинди О ноктасы өчен ОМ =

тигезлеге төгәл үтәлгәнен исбатлагыз.
1 + λ
Пространствода
векторлар

Чишү
AM = λ ∙ MB тигезлегеннән AM һәм MB векторларының колли-
неар икәнлеге килеп чыга, шуңа күрә AM һәм MB турылары я
параллель, я тәңгәл килә. Бу турылар уртак М ноктасына ия,
шуңа күрә алар тәңгәл киләләр, димәк, А, В һәм М нокталары бер
турыда ята. AM =ОМ- О A, MB = OB - ОМ булганлыктан, AM =
= λ ∙ MB тигезлегеннән чыгып яза алабыз: ОМ — ОА = λ(OB - ОМ),
яки (1 + λ) ОМ = О A + λ ∙ OB. Моннан 1 + λ га бүлеп, эзләнелгән
тигезлекне табабыз.
350	р = a + Ь + с, шуның белән бергә, а, Ъ һәм с векторлары пар-
пар бердәй юнәлешле түгел икәне билгеле. ∣ р ∣ < ∣ а | + | b | + | с |
икәнен исбатлагыз.
351	а һәм с, ә шулай ук Ь һәм с векторлары коллинеар. a) a + Ь һәм
с; б) a — Ь һәм с; в) a +3fe һәм с; г) -а + 2Ъ һәм с векторлары кол¬
линеар икәнен исбатлагыз.
352	a + Ь һәм а - Ь векторлары коллинеар. а һәм Ь векторлары кол¬
линеар икәнен исбатлагыз.
353	a + 2Ь һәм a -ЗЬ векторлары коллинеар. а һәм Ь векторлары кол¬
линеар икәнен исбатлагыз.
354	а + Ъ һәм а - Ъ векторлары коллинеар булмаса, а) а һәм Ъ вектор¬
лары коллинеар түгел; б) a + 2Ь һәм 2a - Ь векторлары коллинеар
түгел икәнен исбатлагыз.
Компланар векторлар
43	Компланар векторлар
Бер үк ноктадан салганда, векторлар бер яс¬
сылыкта ятса, алар компланар векторлар дип атала.
Икенче сүзләр белән әйткәндә, әгәр векторларга бер яс¬
сылыкта яткан башка тигез булган векторлар булса,
алар компланар дип атала.
Теләсә нинди ике векторның компланар
икәнлеге ачык; өч векторның икесе коллинеар булса,
алар шулай ук компланар (ни өчен икәнен аңлатыгыз),
ә теләсә нинди өч векторның компланар булуы һәм
компланар булмавы да мөмкин. 114 нче рәсемдә парал-
лелепипед сурәтләнгән. BB1 , OD һәм ОЕ векторлары
компланар, чөнки О ноктасыннан ВВ} гә тигез вектор
салсак, ОС векторы табылыр, ә ОС , OD һәм ОЕ век¬
92
Рәс. 114
Пространствода
векторлар

торлары бер үк ОСЕ яссылыгында яталар. ОА , ОВ һәм
ОС векторлары компланар түгел, чөнки ОС векторы
ОАВ яссылыгында ятмый. Өч векторның компланар-
лык билгесен карыйк.
Әгәр с векторын а һәм Ь векторлары буен¬
ча таркатып, ягъни
с = χa + yb	(1)
рәвешендә күрсәтеп булса (биредә х һәм у — ниндидер
саннар), ул вакытта а, Ь һәм с векторлары компланар.
Бу билгене исбатлыйк, а һәм Ъ векторлары
коллинеар түгел дип исәплик (әгәр а һәм Ь векторла¬
ры коллинеар булса, a, Ь һәм с векторларының ком¬
планар икәнлеге үзеннән-үзе аңлашыла). Теләсә нинди
О ноктасыннан а = ОА һәм Ь = ОВ векторларын сала¬
быз (рәс. 115). ОА һәм ОВ векторлары ОАВ яссылы¬
гында ята. Билгеле инде, шушы ук яссылыкта OA1 =
= х ■ ОА һәм OB1 = у ■ ОВ векторлары да ята, шулай бул¬
гач, ал арның с векторына тигез булган суммасы — ОС =
= х ■ ОА + у ■ ОВ векторы да бу яссылыкта ята. Шулай
—■ > —>  > ^τ÷		>  >
итеп, ОА = a, ОВ = Ь Һәм ОС = с векторлары бер яссы¬
лыкта ята, ягъни а, Ъ һәм с векторлары компланар.
Кире раслама да дөрес: әгәр а, Ь һәм с
векторлары компланар булса, ә а һәм Ь векторлары
коллинеар булмаса, ул вакытта с векторын а һәм Ь
векторлары буенча таркатырга (ягъни (1) рәвешендә
күрсәтергә) мөмкин, өстәвенә таркату коэффициент¬
лары (ягъни (1) формуласындагы х һәм у саннары)
бертөрле генә билгеләнә. Планиметрия курсыннан бил¬
геле булган векторны коллинеар булмаган ике векторга
таркату турындагы теоремадан файдаланып, бу расла¬
маны мөстәкыйль рәвештә исбатлагыз.
44	Параллелепипед кагыйдәсе
Компланар булмаган өч векторны кушу
өчен, параллелепипед кагыйдәсеннән файдаланырга
мөмкин. Аны тасвирлап бирик, a, Ь, с —компланар
булмаган векторлар булсын. Пространстводагы теләсә
нинди О ноктасыннан а = ОА , Ь = ОВ , с = ОС век¬
торларын салабыз да, ОА, ОВ һәм ОС кисемтәләре ка¬
быргалары булырлык итеп, параллелепипед төзибез
(114 нче рәс. кара). Ул вакытта бу параллелепипедның
\	93
a » OA1 = хОА
Рәс. 115
Прос транс твода
векторлар

OD диагонале a, b һәм c векторларының суммасын
сурәтли: OD = a + Ь + с. Дөрестән дә, OD = ОЕ + ED =
= (ОА +AE) + ED =OA + OB +OC =a+b + с.
45	Векторны компланар булмаган өч
вектор буенча таркату
Әгәр р векторы
р = ха + yb + ZC	(2)
рәвешендә күрсәтелгән булса (биредә х, у һәм z — нин¬
дидер саннар), р векторы a, Ь һәм с векторлары буен¬
ча таркатылган, диләр, х, у, z саннары таркату коэф¬
фициентлары дип атала.
Векторны компланар булмаган өч вектор
буенча таркату турындагы теореманы исбатлыйк.
Теорема
Теләсә нинди векторны бирелгән өч компланар булма¬
ган вектор буенча таркатырга мөмкин, өстәвенә тар¬
кату коэффициенты бертөрле генә билгеләнә.
Исбатлау
a, Ь Һәм с бирелгән компланар булмаган
векторлар булсын. Башта теләсә нинди р векторын (2)
рәвешендә күрсәтергә мөмкин икәнен исбатларбыз.
Теләсә нинди О ноктасын билгеләп, бу нок¬
тадан (рәс. 116):
ОА = a, OB = b t ОС =с j ОР = р	(3)
векторларын салабыз.
Р ноктасы аша ОС турысына параллель
туры үткәреп, бу турының АО В яссылыгы белән кисешү
ноктасын P1 аша тамгалыйбыз (әгәр Р ∈ ОС булса,
P1 ноктасын О ноктасы буларак алабыз). Аннары P1
ноктасы аша ОВ турысына параллель туры үткәреп, бу
турының ОА турысы белән кисешү ноктасын Р2 аша
тамгалыйбыз (әгәр P1 ∈ ОВ булса, Р2 урынына О нокта¬
сын алабыз). Күппочмак кагыйдәсе буенча
OP = OP2 +p2l∖ + PiP>.	(4)
OP2 һәм ОА , P2P1 һәм ОВ , P1P һәм ОС
векторлары коллинеар, шуңа күрә OP2 = х · ОА , P2P1 =
		> 	> 	>
= у ∙ ОВ , P1P = z · ОС үтәлердәй х, у, z саннары бар. Бу
аңлатмаларны (4) тигезлегенә куеп табабыз:
ОР = х ■ ОА + у - ОВ + ζ-OC .
р
Рәс. 116
Пространствода
векторлар
94

Моннан, (3) тигезлеген исәпкә алып, (2) ти¬
гезлегенә киләбез.
Хәзер (2) формуласындагы таркату коэф¬
фициентлары бертөрле генә билгеләнгәнен исбатлыйк
р векторының (2) таркатмасы белән рәттән тагын икен-
—*	—►	—*	—>
че таркатмасы: р = x1a + y1b + z1c бар дип фараз итик.
Бу тигезлекне (2) тигезлегеннән алып, векторлар белән
гамәлләр үзлеген куллансак табабыз:
3= (х - x1)α + (у - y1)b + (z - z1)c.
Бу тигезлек х - x1 = 0, у - y1 = 0, z - z1 = 0
булганда һәм бары тик шул вакытта гына үтәлә. Дө¬
рестән дә, 2 - z1 ≠ 0 дип фараз итсәк, бу тигезлектән
табабыз:
Т·©
⅜∣ N
1 1
⅜ N
1
Та
Н N
1 1
Η N
1
II
т©
Моннан a, b һәм с векторларының компланар
икәнлеге килеп чыга. Ләкин бу — теореманың шартына
каршы килә. Димәк, безнең фаразыбыз дөрес түгел һәм
х = x1, у = y1, z = z1. Шулай булгач, (2) таркату коэффи¬
циентлары бертөрле генә билгеләнә. Теорема исбатланды.
р, а һәм b векторлары компланар булса, ул
вакытта z = 0 (ни өчен икәнен аңлатыгыз), һәм р векто¬
ры а һәм b векторларына таркатылган булып чыга.
Сораулар һәм мәсьәләләр
355	ABCDA1B1C1D1 параллелепипеды бирелгән. Түбәндәге өч вектор¬
ның кайсылары компланар: a) AA1, CC1, BB1∙, б) AB , AD , AA1',
в) B^B,AC, DD1∙, τ)AD, CC1, A1B1* ?
356	Е, F нокталары — ABCZ) тетраэдрында АС һәм BD кабыргалары¬
ның урталары. 2FE = BA + DC икәнен исбатлагыз. FE , ВА һәм
DC векторлары компланармы?
357	ABCD һәм AB1C1D1 параллелограммнары бирелгән. BB1, CC1 һәм
DDl векторларының компланар икәнен исбатлагыз.
358	ABCDA1B1C1D1 параллелепипеды бирелгән, a) AB + AD +AA1∙,
б)	DA +DC +DD1∙, в) AlB,1 + C1B1' +BB1j г) AlA + A1D'1 +АВ;
д) B1A1 + BB1 + ВС векторларының суммасына тигез булган һәм
башлангычы белән ахыры параллелепипед түбәләрендә яткан век¬
торны атагыз.
359	ABCDA1B1C1D1 параллелепипеды бирелгән, a) BD1 векторын
BA, ВС һәм BB1 векторлары буенча таркатыгыз; б) B1D1 векто¬
рын A1A , A1B Һәм A1D1 векторлары буенча таркатыгыз.
Пространствода
векторлар

360	Кабыргасы а га тигез булган ABCDA1B1C1Dl кубының A1, В һәм D
түбәләрендә ноктадай q корылмалары урнаштырылган, a) А һәм C1
нокталарында бу корылмалар тудырган нәтиҗә көчәнешлелекне
AC1 векторы аша күрсәтегез; б) С, B1 нокталарында, A1BlC1D1
кырының үзәгендә һәм куб үзәгендә нәтиҗә көчәнешлелекнең аб¬
солют зурлыгын табыгыз.
361	ABCDAlB1C1D1 параллелепипедының диагональләре О ноктасында
кисешә. CD һәм D1O векторларын AA1, АВ һәм AD векторлары
буенча таркатыгыз.

362	К ноктасы—ABCD тетраэдрында ВС кабыргасының уртасы. DK
векторын DA =а, АВ = Ъ һәм АС =с векторлары буенча тарка¬
тыгыз.
Чишү		>	1 	>
К ноктасы ВС кисемтәсенең уртасы булганлыктан, DK = [DB +
+ ПС). Ләкин ZλB = DA + АВ =a + b, DC = DA +AC =а + с. Шуңа
күрә
DK = ■— (α + b + п + с) = п+ — & + — с.
ζ	Δ Δ
363	Түбәсе О булган пирамиданың нигезендә диагональләре М нок-
	* 		►
тасында кисешүче ABCD параллелограммы ята. OD һәм ОМ век¬
торларын ОА = a, OB = b һәм ОС = с векторлары буенча таркаты¬
гыз.
364	К ноктасы — ABCDA1B1C1D1 кубында BiC1 кабыргасының урта-
> ■■■'■’ > —> —> —> > —»
сы. АК векторын АВ = a, AD = Ъ, AA1 = с векторлары буенча тар¬
катыгыз һәм кубның кабыргасы т га тигез булса, бу векторның
озынлыгын табыгыз.
365	ABCD параллелограммыннан читтә О ноктасы алынган. М нок¬
тасы — АВ ның уртасы, ә К ноктасы — MD ның уртасы. ОМ һәм
ОК векторларын ОА. = а, О В = b, ОС ≈^c векторлары буенча тар¬
катыгыз.
366	М — ABC өчпочмагы медианаларының кисешү ноктасы, О — про-
странствода ирекле рәвештә алынган нокта булса,
ОМ = I (ОА + ОВ + ОС )	(5)
икәнен исбатлагыз.
* Ноктадай q корылмасы О ноктасында урнашса, М ноктасында
—* feff ~—*
ул тудырган электр кырының көчәнешлелеге Е =	× ОМ
формуласы белән аңлатыла, биредә k коэффициенты берәм¬
лекләр системасын сайлап алуга бәйле.
Пространствода
векторлар

367
368
369
370
371
372
Чишү
Өчпочмак медианаларының кисешү нокта¬
сы турындагы теорема буенча AM = 2MA-i ,
биредә AA1 — ABC өчпочмагының медиана¬
сы (рәс. 117). 349 нчы мәсьәлә буенча
θ→ _ QA + 2QA1 _ OA + 2OA1
1 + 2	3
Ләкин OA1 = ∙i (θB + ОС ) (ни өчен икәнен
аңлатыгыз), шуңа күрә
Ш = ОА+ОВ+ОС
О
ABCD тетраэдрында ABC кырының A41 ме¬
дианасы К ноктасы белән АК : KA1 = 3:7 ча-
> >
гыштырмасында бүленә. DK векторын DA ,
DB , DC векторлары буенча таркатыгыз.
М һәм N нокталары — ABCDA1B1C1D1 па¬
раллелепипедында АВ һәм A1D1 кабырга¬
ларының урталары. Мөмкин булса, a) АС ;
б) СМ; в) C1N ; г) AC1 ; д) A1N; е) AN ;
Рәс. 117
ж) MD векторын АВ һәм AD векторлары буенча таркатыгыз.
ОАВС тетраэдрында ABC кырының медианалары М ноктасында
кисешәләр. ОА векторын ОВ, ОС , ОМ векторлары буенча тарка¬
тыгыз.
Төзек ABCD тетраэдрында AM һәм DN биеклекләре К ноктасын¬
да кисешәләр, a) DN ; б) DK∙, в) AM·, г) МК векторын DA =а,
DB = Ъ, DC = с векторлары буенча таркатыгыз.
ABCD тетраэдрында BCD кырының медианалары О ноктасында ки¬
сешәләр. АО кисемтәсенең озынлыгы уртак түбәсе А булган кабыр¬
галары суммасының өчтән береннән кечерәк икәнен исбатлагыз.
ABCDA1BlCxDr параллелепипедының AC1 диагонале A1BD һәм
CB1D1 өчпочмаклары медианаларының кисешү нокталары аша
үткәнен һәм бу нокталар белән өч тигез кисемтәгә бүленгәнен ис¬
батлагыз (рәс. 118).
Чишү
A1BD өчпочмагы медианаларының кисешү ноктасын M1 аша там¬
галыйк. A41-B-D тетраэдрына (5) формуласын кулланып табабыз:
Ам\ = I (Z41 + АВ + AD ). Параллелепипед кагыйдәсе буенча
о v	z
AA1 + АВ + AD = AC1, шуңа күрә AM1 = AC1. Моннан M1 нок-
θ 1
тасының AC1 диагоналендә ятканлыгы һәм А7И1 = — AC1 икәнлеге
килеп чыга.
Пространстпвода
векторлар

373
Нәкъ шулай ук CB1D1 өчпочмагы медиана¬
ларының кисешү ноктасы М2 нең AC1 диа¬
гоналендә ятканын һәм C1M2 = ⅛ AC1 икә-
О
нен исбат итәргә мөмкин. AM1 = ± AC1 һәм
О
C1M2= ⅛ AC1 тигезлегеннән M1 һәм М2 нок-
О
талары параллелепипедның AC1 диагонален
өч тигез кисәккә: AM1, M1M2 һәм M2C1
кисемтәләренә бүлгәнлеге килеп чыга.
A1, B1, C1 һәм M1 нокталары — ABC өч¬
почмагының түбәләреннән һәм шул ук өчпочмакның медиана¬
лары кисешү ноктасы М нан а
яссылыгына үткәрелгән перпен¬
дикулярларның нигезләре (рәс. 119). MM1 = ~ (AA1 + BB1 + CC1)
О
икәнен исбатлагыз. ABC өчпочмагының кайсыдыр яклары а яс¬
сылыгы белән кисешсәләр, тигезлек дөрес буламы?
374 АВ һәм CD кисемтәләре бер яссылыкта ятмыйлар, М һәм N нок¬
талары — бу кисемтәләрнең урталары.
MN < I (AC + BD)
икәнен исбатлагыз.
375 ABCD тетраэдрында К һәм М нокталары—АВ һәм CD кабырга¬
ларының урталары, КС, KD, МА һәм MB кисемтәләренең урталары
ниндидер параллелограммның түбәләре булганын исбатлагыз.
IV	бүлеккә сораулар
1	Раслама дөресме: а) капма-каршы юнәлгән теләсә нинди ике век¬
тор коллинеар; б) теләсә нинди коллинеар ике вектор бердәй юнә¬
лешле; в) теләсә нинди тигез ике вектор коллинеар; г) бердәй
юнәлешле теләсә нинди ике вектор тигез; д) әгәр α14b, b Тi с бул¬
са, ул вакытта а1Чс; е) а һәм с коллинеар булмаган, b һәм с
коллинеар булмаган, ә а һәм b коллинеар булган a, b һәм с век¬
торлары бармы?
2	А һәм С нокталары О ноктасына карата симметрик һәм AD = ВС .
В һәм D нокталары О ноктасына карата симметрикмы?
3	А һәм С нокталары а турысына карата симметрик һәм AD =
= ВС. В һәм D нокталары: а) а турысына карата симметрик бу¬
луы; б) а турысына карата симметрик булмавы мөмкинме?
4	А һәм С нокталары, шулай ук В һәм D нокталары а яссылыгына
карата симметрик. АВ һәм CD векторларының: а) тигез булуы;
б) тигез булмавы мөмкинме?
Пространствода
векторлар

5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
376
377
378
379
а һәм a +b векторларының коллинеар икәнлеге билгеле, а һәм Ъ
векторлары коллинеармы?
Ике вектор суммасының озынлыгы һәр кушылучының озынлы¬
гыннан кечерәк булуы мөмкинме?
Нуль булмаган берничә вектор суммасының озынлыгы бу век¬
торларның озынлыклары суммасына тигез булуы мөмкинме?
Нуль булмаган ике вектор аермасының озынлыгы бу векторлар¬
ның озынлыклары суммасына тигез булуы мөмкинме?
Нуль булмаган ике векторның аермасы озынлыгы бу векторлар¬
ның аермасына тигез булуы мөмкинме?
Нуль булмаган ике векторның суммасы озынлыгы бу векторлар¬
ның аермасы озынлыгына тигез булуы мөмкинме?
a) b ТТ а һәм | & ∣ = ∣α |; б) & Tiα һәм ∣fe | = 3 ∣α |; в) Ъ T4-α һәм | =
= ⅛∣α I; г) Ь =0 шартын канәгатьләндерүче Ь векторын табу өчен,
нуль булмаган а векторын нинди санга тапкырларга кирәк?
AB = k ■ CD, шуның белән бергә, А, В һәм С нокталарының бер
турыда ятмавы билгеле, k ның нинди кыйммәтендә АС һәм BD
турылары: а) параллель; б) кисешәләр? АС һәм BD ның чалышма
турылар булуы мөмкинме?
Векторлар компланармы: a) a, Ь, 2а, ЗЬ; б) a, b, a + b, а - Ь?
a, Ь Һәм с векторларының компланар икәне билгеле, а) а, 2Ъ,
Зс; б) a + b, a + 2c, 2Ь - Зс векторлары компланармы?
А, В һәм С нокталары әйләнәдә яталар, ә О ноктасы бу әйләнә
яссылыгында ятмый. ОА, О В һәм ОС векторларының компланар
булуы мөмкинме?
Өстәмә мәсьәләләр
MNPQM1N1P1Q1 параллелепипеды бирелгән,
a) MQ + M1Q1 = N∖p1 + NP; б) PQ + NP1 =
= NQ1∙, в) Q1P1 + QQ1 = QP1 икәнен исбат¬
лагыз.
120 нче рәсемдә төзек октаэдр сурәтләнгән.
а)	AB +FB =DB; б) АС - CF = EC ;
в)	AB + AC + AD + АЕ = 2AF икәнен исбат¬
лагыз.
а һәм Ъ векторларының аермасы а - Ъ =
—>	—*
= а + (-Ь) формуласы белән аңлатылганын
исбатлагыз.
ABCD тетраэдры бирелгән. Векторларның
суммасын табыгыз: a) AB + BD + DC ;
б)	AD+CB + DC∙,a)AB +CD +BC + DA.
Прос транс mβo∂α
векторлар
99

380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
ABCDA1B1C1D1 параллелепипеды бирелгән. Векторларның сум¬
масын табыгыз: a) AB + B1C1 + DD1 + CD ; б) B1C1 + AB + DD1 +
+ CB1+BC + A1Aj в) BA + АС +СВ +DC + DA.
ABC, A1B1C1 өчпочмаклары һәм пространствоның О һәм Р нокта-
лары бирелгән. ОА + OP = OA1, OB + OP = OB1, ОС + OP = OC1
икәне билгеле. A1B1C1 өчпочмагының яклары ABC өчпочмагының
якларына тиңдәшле рәвештә тигез һәм параллель икәнен исбатла¬
гыз.
k ның нинди кыйммәтләре өчен a = kb (биредә b ≠ 0) тигезлегендә
а һәм Ъ векторлары: а) коллинеар; б) бердәй юнәлешле; в) капма-
каршы юнәлешле; г) капма-каршы булалар?
k һәм I саннары бер-берсенә тигез түгел. Әгәр a + kb һәм а +
—>	—>	—*
+ lb коллинеар булмаса: a) а һәм b векторлары коллинеар түгел;
б) a + kxb һәм a + l1b векторлары тигез булмаган теләсә нинди
fe1hθM l1 саннары өчен коллинеар түгел икәнен исбатлагыз.
A1, B1 һәм C1 нокталары — ABC өчпочмагында ВС, АС һәм АВ
якларының урталары, О ноктасы — пространствода ирекле рә¬
вештә алынган нокта. OA1 + OB1 + OC1 = ОА + OB + ОС икәнен
исбатлагыз.
ABCD дүртпочмагында капма-каршы якларының урталарын то¬
таштыручы кисемтәләр М ноктасында кисешәләр. О ноктасы —
пространствода ирекле рәвештә алынган нокта. ОМ — ~ (θA +
+ OB +ОС + OD') икәнен исбатлагыз.
ABCD параллелограммының диагональләре О ноктасында ки¬
сешәләр. Пространствоның теләсә нинди М ноктасы өчен МО <
< ^(mA + MB + МС + MZ)} тигезсезлеге дөрес икәнен исбатлагыз.
Μ, N һәм Р нокталары бер турыда ята, ә О ноктасы бу турыда
ятмый, a) NP = 2MN; 6)MP = -^PN ∙,A)MP = k∙ MN (биредә k —
бирелгән сан) булса, ОР векторын ОМ һәм ON векторлары аша
күрсәтегез.
а)	Бирелгән векторларның берсе — нуль-вектор; б) бирелгән век¬
торларның икесе коллинеар булса, р , а һәм b векторларының
компланар икәнен исбатлагыз.
Чалышма ике турыда өчәр нокта билгеләнгән: A1, A2, А3 һәм B1,
B2, В3, өстәвенә A1A2 = k ■ A1A3 , B1B2 =k ■ B1B3 . A1B1, A2B2, A3B3
турыларының ниндидер яссылыкка параллель икәнен исбатла¬
гыз.
AB = AD = a, AA1 = 2a булган турыпочмаклы ABCDA1B1C1D1 па¬
раллелепипеды бирелгән. B1, D1 түбәләрендә — q корылмасы,
ә А түбәсендә 2q корылмасы урнаштырылган, a) A1 ноктасында;
б)	С ноктасында; в) A1B1C1Z)1 кыры үзәгендә; г) ABCD кыры үзә-
Пространствода
векторлар

лыйбыз (рәс. 122). М ноктасының беренче координатасы
(ул абсцисса дип атала һәм, гадәттә, х хәрефе белән там¬
галана) болай табыла: х = OΛ11, әгәр M1 уңай ярымкүчәр
ноктасы булса; х = -OM1, әгәр Ml — тискәре ярымкүчәр
ноктасы булса; х = 0, әгәр M1 ноктасы О ноктасы белән
тәңгәл килсә. М ноктасының икенче координатасы у (ор¬
дината) М2 ноктасы ярдәмендә аналогик рәвештә табыла,
ә М ноктасының өченче координатасы z (аппликата) М3
ноктасы ярдәмендә табыла. М ноктасының координата-
лары нокта тамгаланышыннан соң җәя эчендә языла:
М (х; у, г), шуның белән бергә, беренче булып — абсцис¬
са, икенче — ордината, өченче аппликата күрсәтелә. 123
нче рәсемдә А(9; 5; 10), В(4; -3; 6), С(9; 0; 0), -0(4; 0; 5),
Е(0; 3; 0), Г(0; 0; -3) нокталары сурәтләнгән.
Әгәр М(х; у; г) ноктасы координаталар яс¬
сылыгында яки координаталар күчәрендә ятса, аның
кайбер координаталары нульгә тигез була. Әйтик,
М ∈ Оху булса, М ноктасының аппликатасы нульгә
тигез: г = 0. Аналогия буенча М ∈ Oxz булса, у = 0, ә
М ∈ Oyz булса, х = 0. Әгәр М ∈ Ох булса, ул вакытта
М ноктасының ординатасы һәм аппликатасы нульгә
тигез: у = 0 һәм z = 0 (мәсәлән, 123 нче рәсемдә С нок¬
тасының). Әгәр М еОу булса, ул вакытта х = 0 һәм
2 = 0; әгәр М ∈ Ог булса, ул вакытта х = 0 һәм у = 0.
Координаталар башлангычының өч координатасы да
нульгә тигез: 0(0; 0; 0).
47	Векторның координаталары
Пространствода турыпочмаклы Oxyz коор¬
динаталар системасын бирик. Уңай ярымкүчәрләрнең
һәркайсында координаталар башлангычыннан берәмлек
вектор, ягъни озынлыгы берәмлеккә тигез булган век¬
тор салабыз. Абсциссалар күчәренең берәмлек векторын
i аша, ординаталар күчәренең берәмлек векторын аша,
аппликаталар күчәренең берәмлек векторы k аша там-
галыйк (рәс. 124). ι , j , k векторларын координаталар
векторлары дип атыйбыз. Бу векторларның компланар
түгеллеге ачык аңлашыла. Шуңа күрә теләсә нинди
α векторын координаталар векторлары буенча тарка¬
тырга, ягъни
a = xi + yj + zk рәвешендә күрсәтергә мөм¬
кин, шул ук вакытта таркату коэффициентлары х, у, z
бертөрле генә билгеләнә.
а векторының координаталар векторлары
буенча таркатмасындагы х, у һәм z коэффициентлары
103
X
Рәс. 123
fψτ
^yo ' у
'х
Рәс. 124
Пространствода
координаталар методы.
Хәрәкәтләр
2

391
392
393
394
395
396
397
398
399
гендә электр кырының нәтиҗә көчәнешлелегенең абсолют зурлы¬
гын табыгыз.
ABCD тетраэдрында К ноктасы — BCD кырының BB1 медиана-
— *■ 	> —>  > —>  > —>
сының уртасы. АК векторын AB = a, AC = b,AD =с векторлары
буенча таркатыгыз.
Компланар булмаган р = AB , q = AD , г = A41 векторларында
ABCDA1B1C1D1 параллелепипеды төзелгән. Бу параллелепипедның
диагональләреннән барлыкка килгән векторларны р , q һәм г век¬
торлары буенча таркатыгыз.
ABCDArB1CxDx параллелепипедында К ноктасы — CC1 кабырга¬
сының уртасы, а) АК векторын AB , AD, AA1 векторлары буенча;
б) DA1 векторын AB1, BC1, CD1 векторлары буенча таркатыгыз.
ABCDA1B1C1D1 параллелепипедында DCC1D1 кырының диагональ¬
ләре М ноктасында кисешә. AM векторын AB , AD һәм AA1 век¬
торлары буенча таркатыгыз.
ABC һәм A1B1C1 өчпочмакларында медианаларының кисешү нок¬
талары тәңгәл килсә, ул вакытта AA1, BB1 һәм CC1 турыларының
ниндидер яссылыкка параллель икәнен исбатлагыз.
ABCD тетраэдрында М ноктасы — ВС кабыргасының уртасы. ВС ,
CD , DB һәм DM векторларын AB = b, AC = с, AD = d векторла¬
ры аша күрсәтегез.
ABCD тетраэдрында М һәм N нокталары — тиңдәшле рәвештә
ADB һәм BDC кырлары медианаларының кисешү нокталары.
MN II АС икәнен исбатлагыз һәм бу кисемтәләрнең озынлыклары
чагыштырмасын табыгыз.
ABC, A1B1C1 һәм A2B2C2 өчпочмаклары А, В, С нокталары тиң¬
дәшле рәвештә A1A2, B1B2, C1C2 кисемтәләренең урталары булыр¬
лык итеп урнашкан. ABC, A1B1C1 һәм A2B2C2 өчпочмаклары
медианаларының кисешү нокталары бер турыда ятканын исбат¬
лагыз.
Тетраэдрда ян кырлары медианаларының кисешү нокталары түбә¬
ләре булган өчпочмак тетраэдрның нигезенә охшаш икәнен исбат¬
лагыз.
-f л - Пространствода
101 векторлар

V	бүлек
Пространствода координаталар методы.
Хәрәкәтләр
Ноктаның координаталары
һәм векторның координаталары
46	Пространствода турыпочмаклы
координаталар системасы
Әгәр пространство ноктасы аша, пар-пар
перпендикуляр итеп, өч туры үткәрелсә, аларның һәр-
кайсының юнәлеше (ул ук белән күрсәтелә) һәм кисем¬
тәләрне* үлчәү берәмлеге сайлап алынган булса, про¬
странствода турыпочмаклы координаталар системасы
бирелгән, диләр (рәс. 121). Юнәлеше сайлап алынган
турылар — координаталар күчәрләре, ә аларның ур¬
так ноктасы координаталар башлангычы дип атала.
Гадәттә, ул О хәрефе белән тамгалана. Координаталар
күчәрләре исә Ox, Оу, Ог дип тамгалана һәм абсцисса¬
лар күчәре, ординаталар күчәре, аппликаталар күчәре
дип исемләнә. Координаталар системасы тулаем Oxyz
дип тамгалана. Координаталар күчәрләре Ох һәм Оу,
Оу һәм Oz, Oz һәм Ох аша үтүче өч яссылык координа¬
талар яссылыклары дип атала. Тиңдәшле рәвештә алар
болай тамгалана: Oxy, Oyz, Ozx.
О ноктасы һәр координаталар күчәрен ике
нурга бүлә. Юнәлеше күчәр юнәлеше белән туры килгән
нур уңай ярымкүчәр дип, ә икенче нур тискәре ярым-
күчәр дип атала.
Турыпочмаклы координаталар системасын¬
да пространствоның һәр М ноктасына аның коорди¬
наталары дип аталган өч сан тиңдәш була. Алар яссы¬
лыктагы нокталарның координаталарына аналогия
буенча билгеләнә. М ноктасы аша, координаталар кү¬
чәрләренә перпендикуляр итеп, өч яссылык үткәрәбез
һәм бу яссылыкларның абсциссалар, ординаталар һәм
аппликаталар күчәрләре белән кисешү нокталарын тиң¬
дәшле рәвештә M1, М2 һәм М3 нокталары аша тамга-
* Исегезгә төшерәбез: кисемтәләрне үлчәү өчен сайлап алынган берәмлек¬
ләрдә һәр кисемтәнең озынлыгы уңай сан белән аңлатыла. Бу бүлектә ки¬
семтәнең озынлыгы дигәннән шул санны күз алдында тотабыз.
Пространствода
координаталар методы.
Хәрәкәтләр
102

а векторының координатлар системасындагы коор¬
динаталары дип атала, а векторының координатала-
рын вектор тамгаланышыннан соң фигуралы җәяләр
эчендә язарбыз: а{х; у; z}. 125 нче рәсемдә түбәндәге
үлчәнешләргә ия булган турыпочмаклы параллелепи¬
пед сурәтләнгән: OA1 = 2, OA2 — 2, OA3 = 4. Бу рәсемдә
сурәтләнгән векторларның координаталары түбәндәгечә:
а{2; 2; 4}, К{2; 2; -1},А^А{2; 2; 0},Т{1; 0; 0},/{0; 1; 0},
k {0; 0; 1}.
Нуль-векторны 0=0i + 0/ + 0⅛ рәвешендә
күрсәтергә мөмкин булганга күрә, нуль-векторның бар¬
лык координаталары да нульгә тигез. Аннары тигез
векторларның координаталары тиңдәшле рәвештә ти¬
гез, ягъни әгәр a{x1∙, y1∙, z1} һәм b{x2; у2; z2} векторлары
тигез булса, ул вакытта x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2 (ни өчен
икәнен аңлатыгыз).
Бирелгән векторларның координаталары
буенча аларның суммасының, аермасының, векторның
санга тапкырчыгышының координаталарын табарга
мөмкинлек бирүче кагыйдәләрне тикшерик.
1°. Ике яки аннан да күбрәк вектор¬
лар суммасының һәр координатасы бу векторлар¬
ның тиңдәшле координаталарының суммасына ти¬
гез. Икенче сүзләр белән әйткәндә, a {x1∙, y1∙, z1} һәм
Ь{х2; у2> 22} бирелгән векторлар булса, а + Ъ векторы
{x1 + х2; yi + у2; z1 + z2} координаталарына ия.
2°. Ике вектор аермасының һәр координа¬
тасы бу векторларның тиңдәшле координаталарының
аермасына тигез. Икенче сүзләр белән әйткәндә,
a{x1∙, y1∙, z1} hθM+fe {х2; у2; z2} бирелгән векторлар булса,
ул вакытта a - b векторы {x1 - х2; y1 - у2; z1-z2} коорди¬
наталарына ия.
3°. Векторның санга тапкырчыгышының
һәр координатасы векторның тиңдәшле координата-
сын шул санга тапкырлаганга тигез. Икенче сүзләр
белән әйткәндә, а{х; у; z} — бирелгән вектор, а— би¬
релгән сан булса, ул вакытта аа векторы {ах; ay; az}
координаталарына ия.
1°—3° расламалары яссылыктагы векторлар
өчен исбатлаган кебек үк исбатлана.
Әле карап киткән кагыйдәләр координата¬
лары билгеле булган бирелгән векторларның алгебраик
суммасы рәвешендә күрсәтелгән теләсә нинди вектор¬
ның координаталарын табарга мөмкинлек бирә. Мисал
карыйк.
104
Z
Рәс. 125
Пространствода
координаталар методы.
Хәрәкәтләр

Мәсьәлә
α{1; -2; 0}, К{0; 3; -6}, с{-2; 3; 1} булса,
р = 2a - ~Ь + с векторының координаталарын табарга.
Чишү
3° кагыйдәсе буенча 2а векторы {2; -4; 0}
координаталарына, ә (~^&) векторы {0; -1; 2} коор-
динаталарына ия. р = (2α)+(-∙∣b)+с булгач, аның
{х; у; z} координаталарын 1° кагыйдәсе буенча исәпләп
чыгарырга мөмкин: x = 2 + 0- 2 = 0, y = -4-l + 3 = -2,
2 = 0 + 2 + 1 = 3. Шулай итеп, р векторы {0; -2; 3} ко¬
ординаталарына ия.
48	Вектор координаталары белән нокта
координаталары арасындагы бәйләнеш
Ахыры — бирелгән нокта белән, ә башлан¬
гычы координаталар башлангычы белән тәңгәл килгән
вектор бирелгән ноктаның радиус-векторы дип атала.
Теләсә нинди ноктаның координаталары аның радиус-
векторының тиңдәшле координаталарына тигез икәнен
исбатлыйк.
Бирелгән М ноктасының координатала¬
рын {х; у; z} аша тамгалыйбыз. Λf1, M2, М3 — биредә
М ноктасы аша бу күчәрләргә перпендикуляр үтүче яс¬
сылыкларның координаталар күчәрләре белән кисешү
нокталары булсын (рәс. 126). Ул вакытта
Рәс. 126
ОМ — OM1 + ОМ2 "Ь ОМз.	(1)
OM1 = xi икәнен исбатлыйк. Дөрестән дә,
әгәр M1 ноктасы, 126 нчы рәсемдәгечә, абсциссаларның
уңай ярымкүчәрендә ятса, ул вакытта х = OM1, ә
OM1 һәм i векторлары бердәй юнәлешле. Шуңа күрә
OM1 =OM1 ∙ i = xi . Әгәр M1 ноктасы абсциссаларның
тискәре ярымкүчәрендә ятса, ул вакытта x = ~OM1, ә
OM1 һәм i векторлары капма-каршы юнәлгән. Шуңа
күрә OM1 =-OMl ∙ i = xi . Ниһаять, M1 ноктасы О нок¬
тасы белән тәңгәл килсә, ул вакытта х = 0, OΛf1=0.
Шуңа күрә xi = 0 һәм яңадан OM1 = xi тигезлеге дө¬
рес. Шул рәвешле, теләсә нинди очракта OM1 = xi .
ОМ2= yj , OM3 = zk икәнлеге шушыңа охшаш рәвештә
исбат ителә.
Бу аңлатмаларны (1) тигезлегенә куеп таба¬
быз: ОМ = xi + yj + zk .
105
Пространствода
координаталар методы.
Хәрәкәтләр

Моннан ОМ векторының координаталары
{х; у; z} ка тигез, ягъни М ноктасының координатала-
		>
ры аның ОМ радиус-векторының тиңдәшле координа-
таларына тигез икәнлеге килеп чыга, шуны исбатларга
кирәк иде дә.

Исбатланган расламадан файдаланып, АВ
векторының координаталарын аның башлангычы А һәм
ахыры В координаталары аша күрсәтик. А ноктасының
координаталары (x1j y1∙, 21), В ноктасының координа-
талары (х2; у2; z2) булсын. АВ векторы ОВ һәм ОА
векторларының аермасына тигез (рәс. 127), шуңа күрә
аның координаталары тиңдәшле рәвештә ОВ һәм ОА
векторларының координаталары аермасына тигез. Лә¬
кин ОВ һәм ОА векторларының координаталары В һәм
А нокталарының тиңдәшле координаталары белән тәң-
гәл килә: ОВ {х2; у2; z2}, ОА {xl∙, y1∙, z1}. Шуңа күрә АВ
векторы {x2 - x1i Уг~ y-i'∙> z2~ 21} координаталарына ия.
Шулай итеп, векторның һәр координатасы
аның ахыры һәм башлангычының тиңдәшле коорди¬
наталары аермасына тигез.
В(х2; у2; z2)
∖ AB{x2-x1',
/	\	г/2-z/i;
О ∖	∖	22-21}
∙A(Xιi y1∙, z1)
Рәс. 127
49	Координаталар белән иң гади мәсьәләләр
а) Кисемтә уртасының координатала¬
ры. Oxyz координаталар системасында координатала¬
ры (x15 y1∙, z1) булган А ноктасы һәм координаталары
(х2; y2, z2) булган В ноктасы билгелибез. АВ кисемтә¬
сенең уртасы С ның координаталары (х; у; z) ны аның
очларының координаталары аша күрсәтик (рәс. 128).
С ноктасы — АВ кисемтәсенең уртасы бул¬
ганлыктан,
ос =∣(qa +ов).
A(xj y1∙, z1)
f^^^C(χ∙, у, г)
^>-<B(X2i У2, 22)
х/О	*У
(2)
Рәс. 128
(Бу тигезлекнең дөреслеге планиметрия кур¬
сында исбатүтандьк)
ОС , ОА һәм ОВ векторларының коорди¬
наталары С, А һәм В нокталарының тиңдәшле коор¬
динаталарына тигез: ОС {х; у; z}, ОА {x1j y1∙, z1}, һәм
ОВ {x2, у2; z2}. (2) тигезлеген координаталарда язып та¬
бабыз:
x = ∣(xι +x2)> У = ∣(≈∕ι +Уг)> 2 = ∣(21 +22)∙
Шул рәвешле, кисемтә уртасының һәр ко¬
ординатасы аның очларының тиңдәшле координата-
ларының ярымсуммасына тигез.
Пространствода
координаталар методы.
Хәрәкәтләр
106

б)	Векторның озынлыгын аның координа¬
талары аша исәпләп чыгару. а{х; у; z} векторының
озынлыгы

∣α I = √x2 + y2 +z2	(3)
формуласы буенча исәпләп чыгарылганын исбатлыйк.
Координаталар күчәрләрендә OA1= хТ,
OA2 = уУ, OA3 = zk векторларын салыйк һәм ОА —
= OA1 + OA2 + OA2 = xi + yj" + zk = а векторын тикше¬
рик (рәс. 129). ОА векторының озынлыгы OA1 , OA2 һәм
OA2 векторларының озынлыклары аша түбәндәгечә күр¬
сәтелә:
I ОА I = √∣δA1∣2+∣0A2∣2+∣δA3∣2.	(4)
Дөрестән дә, әгәр А ноктасы координаталар
яссылыкларында ятмаса (рәс. 129), турыпочмаклы па¬
раллелепипед диагоналенең үзлеге нигезендә (4) тигез¬
леге дөрес: ОА2 = ОА2 + ОА2 + OA3. А ноктасы башка¬
ча урнашкан (А ноктасы координаталар яссылыгында
яки координаталар күчәрендә яткан) барлык очраклар¬
да да (4) тигезлеге шулай ук дөрес (бу очракларны
мөстәкыйль рәвештә тикшерегез).
	„ _ IOA11 = I χΐ I = I х I, IOA21 = I у I, IOA31 = I z I һәм
ОА = а булганга күрә, (4) тигезлегеннән (3) формула¬
сын табабыз:
I a I = √∣x∣2 + ∣∑∕∣2 + ∣z∣2 = λ∕x2 +y2 + z2 .
в)	Ике нокта арасындагы ераклык. Теләсә
нинди ике нокта: координаталары (x1j y1∙, z1) булган
M1 ноктасын һәм координаталары (х2; у2; z2) булган
М2 ноктасын тикшерик (рәс. 130). M1 һәм М2 ноктала¬
ры арасындагы ераклык d ны аларның координаталары
аша күрсәтик.	i,
Шул максатта M1M2 векторын карарбыз.
Аның координаталары {x2 — x1∙, у2~Уу> 22 - z1} гә ти¬
гез. Шулай булгач, (3) формуласы буенча ∣M1M2∣ =
=7(x2 -Xi)2 +(Уг ~У1)2 +(z2 ~z1)2. Ләкин d = IM1M21.
Шулай итеп, M1(x1∙, y1∙, z1) һәм Λf2(χ2, У 2’ 22) ноктала¬
ры арасындагы ераклык
d =λ∕(x2 - *ι)2 + (У2 - У1)2 + (¾ - *ι)2
формуласы буенча исәпләнә.
Рәс. 129
Пространствода
координаталар методы.
Хәрәкәтләр
107

400
401
402
403
404
405
406
407
408
Сораулар һәм мәсьәләләр
А (3; -1; 0), В(0; 0; -7), С(2; 0; 0), ΰ(-4; 0; 3), Е(0;-1; 0), F(l; 2; 3),
С(0; 5; -7), Л(->/5; 73; 0) нокталары бирелгән. Бу нокталарның
кайсылары: а) абсциссалар күчәрендә; б) ординаталар күчәрендә;
в) аппликаталар күчәрендә; г) Оху яссылыгында; д) Oyz яссылы¬
гында; е) Oxz яссылыгында ята?
А(2; -3; 5), в(3; -5; ∙^) һәм с(—73;	ч/5->/з) нокталарының
а)	Oxz, Оху һәм Oyz координаталар яссылыкларына; б) Ох, Оу
һәм Oz координаталар күчәрләренә проекциясе нокталарының ко-
ординаталарын табыгыз.
ABCDA1BγCrD1 кубының дүрт түбәсенең координаталары бирел¬
гән: А(0; 0; 0), _В(0; 0; 1), 0(0; 1; 0) һәм Аг(1; 0; 0). Кубның калган
түбәләренең координаталарын табыгыз.
Векторларның координаталарын языгыз: a = 3i +2j -5k ,
b = -6i +Sj*- k , с = ι -^j, d = j + k , m = k - i , n = 0,7k .
α{5; -1; 2}, b{-3; -1; 0}, 7{0; -1; 0}, d{0; 0; 0} векторлары
бирелгән. Бу векторларның координаталар векторлары i ,	, k
буенча таркатмасын языгыз.
131 нче рәсемдә ОА = 2, ОВ = 3, OO1 = 2 булган турыпочмаклы
параллелепипед сурәтләнгән. Oxyz координаталар системасында
OA1, OB1, QQ1, ОС , OC1, BC1, AC1, O1C векторларының координа¬
таларын табыгыз.
Ике вектор суммасының (аермасының) һәр координатасы бу век¬
торларның тиңдәшле координаталарының суммасына (аермасына)
тигез икәнен исбатлагыз.
а{3; -5; 2}, ft{0; 7; -1}, с|-|·; θ; θj һәм d{-2,7; 3,1; 0,5} векторла¬
ры бирелгән. Векторларның координаталарын табыгыз: а) а + Ь;
б)	а +~с; в) b +с; г) d + Ь; д) d + a; e)a +Ь + ~с; ж) b + a + d; з) а +
+ Ъ + с + d.
ОА = 4, ОВ = 9, ОС = 2, ә Μ, N һәм Р нокталары — АС, ОС һәм СВ
кисемтәләренең урталары булса, 132 нче рәсемдәге бирелгәннәр
буенча АС , СВ , AB , MN, NP, ВМ, ОМ, ОР векторларының коор¬
динаталарын табыгыз.
Пространствода
108 координаталар методы.
Хәрәкәтләр

409	a{5-, -1; 1}, b{-2∙, 1; 0}, 7{0; 0,2; 0} һәм	2 j; -∣∣ векторла-
ры бирелгән. Векторларның координаталарын табыгыз: а) а-Ь;
б) b - а; в) α - с; г) d -а; д) с - d; е) α - b + с; ж)а-Ь - с*; з) 2а;
и) -3&; к) -6с; л) м) 0,2һ.
410	п{-1; 2; 0}, һ{0; -5; -2} һәм с{2; 1; -3} векторлары бирелгән. Р =
= 3b - 2 а + с һәм q = Зс - 2b + а векторларының координатала¬
рын табыгыз.
411	α{-1; 1; 1}, һ{0; 2; -2}, с{-3; 2; 0} һәм d{-2; 1; -2} векторлары
бирелгәш Векторларның координаталарын табыгыз: a) За + 2b -
- c∙,G) -^a + 2c - d; в) 0,1α + 3b + 0,7c-5d; г) (2α + 3b) - (a - 2b) +
+ 2(α -b).
412	Түбәндәге векторларга капма-каршы векторларның координатала¬
рын табыгыз: Т, 7, k, а{2; 0; 0}, ЬЦ-З; 5; -7}, 7{-0,3; 0; 1,75}.
413	Векторлар коллинеармы: а) а{3; 6; 8} һәм Ь{6; 12; 16};
б) с{1; -1; 3} һәм d{2; 3; 15}; в) Т{1; 0; 0} һәм /{0; 1; 0};
г)	ΐη{0; 0; 0} һәм п{5; 7; -3}; д) р -⅛ - 1; 5∣ һәм д{-1; -3; -15}?
Чишү	д
а)	а{3; 6; 8} векторының координаталары &{6; 12; 16} векторының
координаталарына пропорциональ:	=	= ft, биРеДә ^ = 2'
Шуңа күрә a =kb, димәк, а һәм b векторлары коллинеар;
б)	с{1; -1; 3} векторының координаталары d{2; 3; 15} векторының
координаталарына пропорциональ түгел, мәсәлән: ⅜≠-⅛∙ Шуңа
күрә с һәм d векторлары коллинеар түгел. Дөрестән дә, с һәм d
векторлары коллинеар дип уйласак, с =kd үтәлерлек k саны була.
Ләкин ул вакытта с векторының координаталары d векторының
координаталарына пропорциональ, ә бу — мәсьәләнең шартына
каршы килә.
414	Түбәндәге векторлар _коллинеар булганда, т һәм п ның кыйм¬
мәтләрен табыгыз: а) а{15; ти; 1} һәм Ь {18; 12; п}; б) с {т; 0,4; -1}
һәм c4-⅜! п; 5}.
415	Түбәндәге векторлар компланармы: а) а{-3; -3; 0}, i һәм /;
б) Ь{2; 0; -3}, i һәм /; в) с{1; 0; -2}, Т һәм k; г) d{l; -1; 2},
7{-2; 0; 1} һәм / {5; -1; 0}; д) т{1; 0; 2}, п {1; 1; -1} һәм
р {-1; 2; 4}; е) q{0; 5; 3}, г{3; 3; 3} һәм s{l; 1; 4}?
Чишү
г) d{l; -1; 2} һәм е {-2; 0; 1} векторлары коллинеар түгел,
чөнки берсенең координаталары икенчесенең координаталарына
пропорциональ түгел. Әгәр f {5; -1; 0} векторын d һәме векторла¬
ры буенча таркатырга мөмкин булса, ул вакытта d, е һәм /
векторлары компланар. Әгәр дә f векторын d һәм е векторла¬
ры буенча таркатып булмаса, ул вакытта d, е һәм / векторла¬
Пространствода
109 координаталар методы.
Хәрәкәтләр

ры компланар түгел (шулай булмаган очракта f векторын d һәм
ё*векторлары буенча таркатырга мөмкин булыр иде). Шул рә¬
вешле, мәсьәләне чишү өчен, / векторын d Һәм е векторлары
буенча таркатырга мөмкинме икәнен, ягъни f = xd + уе үтәлердәй
х һәм у саннары бармы икәнен ачыкларга кирәк. Бу тигезлекне
координаталарда язып табабыз: 5 = х - 2y, -1 = -х, 0 = 2х + у.
Әгәр бу тигезләмәләр системасының х һәм у ка карата чишелеше
булса, f векторын d һәм е векторлары буенча таркатырга мөмкин,
чишелеше булмаса, f векторын d һәм е векторлары буенча тар¬
катырга ярамый. Бу очракта системаның чишелеше бар: х = 1,
у = -2. Шуңа күрә f векторын d һәм е векторлары буенча тарка¬
тырга мөмкин, димәк, d, е һәм f векторлары компланар.
416	ОА{3; 2; 1}, ОВ{1; -3; 5} һәм ОС{—|; 0,75; -2^} векторлары
бирелгән. О ноктасы координаталар башлангычы булса, А, В һәм
С нокталарының координаталарын языгыз.
417	А (2; -3; 0), В (7; -12; 18) һәм С (-8; 0; 5) нокталары бирелгән.
О ноктасы координаталар башлангычы булса, ОА, ОВ һәм ОС
векторларының координаталарын языгыз.	.	.
418	а) А (3; -1; 2), В (2; -1; 4); б) А (-2; 6; -2), В (3; -1; 0); в) А (1;
/1 1 1 \	—>	θ
В	; —; —) булса, АВ векторының координаталарын табыгыз.
419	АВС өчпочмагының түбәләре: А (1; 6; 2), В (2; 3; -1), С (-3; 4; 5)
координаталарына ия. АВ , ВС һәм СА векторларын i , j һәм k
векторлары буенча таркатыгыз.
420	A (3; -1; 5), В (2; 3; -4), С (7; 0; -1) һәм D (8; -4; 8) нокталары
бирелгән. АВ һәм DC векторларының тигез икәнен исбатлагыз.
ВС һәм AD векторлары тигезме?
421	а)А(3; -7; 8), В(-5; 4; 1), С(27; -40; 29); б)А(-5; 7; 12), В(4; -8; 3),
С(13; -23; -6); в) А(-4; 8; -2), В(-3; -1; 7), С(—2; -10; -16) булса,
А, В һәм С нокталары бер турыда яталармы?
Чишү
а) АВ һәм АС векторлары коллинеар булса, А, В һәм С ноктала¬
ры бер турыда ята, ә коллинеар булмаса, А, В һәм С нокталары
бер турыда ятмый. Бу векторларның координаталарын табабыз:
АВ {-8; 11; -7}, АС {24; -33; 21}. АС = -ЗАВ , шуңа күрә АВ һәм
АС векторлары коллинеар, димәк, А, В һәм С нокталары бер ту¬
рыда ята.
422	а) А (-2; -13; 3), В (1; 4; 1), С (-1; -1; -4), D (0; 0; 0); б) А (0; 1; 0),
В (3; 4; -1), С (-2; -3; 0), D (2; 0; 3); в) А (5; -1; 0), В (-2; 7; 1),
С (12; -15; -7), D (1; 1; -2) булса, А, В, С һәм D нокталары бер
яссылыкта яталармы?
423	A (x1∙, y1. z1), В (х2; y2∙t z2), С (х3; уз; z3) түбәләре булган ABC
өчпочмагы медианаларының кисешү ноктасы
∕x1+x2+x3 . y1 + y2 + y3 . z1+z2+z3
\	3	’	3’3
координаталарына ия икәнен исбатлагыз.
Пространствода
110 координаталар методы.
Харакэтлэр

424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
М ноктасы —ΑΒ кисемтәсенең уртасы, а) А (0; 3; -4), В (-2; 2; 0)
булса, М ноктасының; б) А (14; -8; 5), Μ (3; -2; -7) булса, В нок¬
тасының; в) В (0; 0; 2), Μ (-12; 4; 15) булса, А ноктасының коор-
динаталарын табыгыз.
АВ кисемтәсенең уртасы Ох күчәрендә ята. а) А (-3; т; 5),
В (2; -2; и); б) А (1; 0,5; -4), В (1; т; 2п); в) А (0; т; п + 1),
В (1; п; -т + 1); г) А (7; 2zn + п; -п), В (—5; -3; т -3) булса, т
һәм п ны табыгыз.
а) А (-1; 0; 2), В (1; -2; 3); б) А (-35; -17; 20), В (-34; -5; 8) бул¬
са, АВ векторының озынлыгын табыгыз.
Векторның озынлыгын табыгыз: а{5; -1; 7}, fe{2v3; -6; 1}, 7 =^ι +
+ 7 + k , d = -2⅛ , т =X - 2j*.
α{3; -2; 1}, b{-2; 3; 1} һәм c{-3; 2; 1} векторлары бирелгән. Табыгыз:
a) ∣α + b I ; 6) ∣α ∣ + ∣ b ∣; в) ∣α |- |К |; г) ∣α - b ∣; д) ∣3c ∣; e) V14 ∣c ∣;
ж) 12a - 3c I.
M (-4; 7; 0) һәм N (0; -1; 2) нокталары бирелгән. Координаталар
башлангычыннан MN кисемтәсенең уртасына кадәр ераклыкны
табыгыз.
A (^; 1; -2), В (2; 2; -3) һәм С (2; 0; -1) нокталары бирелгән,
a) ABC өчпочмагының периметрын; б) ABC өчпочмагының медиа¬
наларын табыгыз.
a) A (9; 3; -5), В (2; 10; -5), С (2; 3; 2); б) А (3; 7; -4), В (5; -3; 2),
С (1; 3; -10); в) А (5; -5; -1), В (5; -3; -1), С (4; -3; 0);
г) А (-5; 2; 0), В (-4; 3; 0), С (-5; 2; -2) булса, АВС өчпочмагының
төрен билгеләгез.
А (-3; 4; -4) ноктасыннан: а) координаталар яссылыкларына ка¬
дәр; б) координаталар күчәрләренә кадәр ераклыкны табыгыз.
Координаталар яссылыгының һәркайсында бу координаталар яс¬
сылыгы нокталарыннан А (-1; 2; -3) ноктасына кадәр булган бар¬
лык ераклыклар арасыннан иң кечкенәсен табыгыз.
Координаталар күчәренең һәркайсында бу күчәр нокталарыннан
В (3; -4; V7) ноктасына кадәр булган барлык ераклыклар арасын¬
нан иң кечкенәсен табыгыз.
А (1; 0; ⅛), В (-1; 2; 3), С (0; 0; 1) нокталары бирелгән, k нинди
кыйммәтләр алганда, ABC өчпочмагы тигезьянлы була?
A (4; 4; 0), В (0; 0; 0), С (0; 3; 4) һәм D (1; 4; 4) нокталары
бирелгән. ABCD трапециясенең тигезьянлы икәнен исбатлагыз.
A (-2; 3; 5) һәм В (3; 2; -3) нокталарыннан тигез ераклыктагы
һәм а) Ох; б) Оу; в) Oz күчәрендә урнашкан ноктаны табыгыз.
A (-1; 2; 3), В (-2; 1; 2), С (0; -1; 1) нокталары бирелгән. Бу нок¬
талардан тигез ераклыктагы һәм а) Оху; б) Oyz; в) Ozx координа¬
талар яссылыгында урнашкан ноктаны табыгыз.
О (0; 0; 0), А (4; 0; 0), В (0; 6; 0), С (0; 0; -2) нокталары бирелгән,
а) АОВ өчпочмагын камаучы әйләнә үзәге координаталарын һәм
радиусын; б) О ABC тетраэдры түбәләреннән тигез ераклыктагы
ноктаның координаталарын табыгыз.
Пространствода
111 координаталар методы.
Хәрәкәтләр

440 пг озынлыгындагы CD кисемтәсе катетлары АС = Ъ һәм ВС = а бул¬
ган турыпочмаклы ABC өчпочмагы яссылыгына перпендикуляр.
Яраклы координаталар системасы алып, ике нокта арасындагы
ераклык формуласы ярдәмендә D ноктасыннан бу өчпочмакның
гипотенузасы уртасына кадәр ераклыкны табыгыз.
s2
Векторларның скаляр тапкырчыгышы
50	Векторлар арасындагы почмак
Теләсә нинди а һәм b векторларын алыйк.
Нинди дә булса О ноктасыннан башлап, а = ОА һәм
b = О В векторларын салыйк. Әгәр а һәм b векторлары
бердәй юнәлешле булмаса, ОА һәм ОВ нурлары АОВ
почмагы төзиләр (рәс.133). Бу почмакның градуслы
үлчәмен α хәрефе белән тамгалап, а һәм Ъ векторла¬
ры арасындагы почмак а га тигез диярбез. Әгәр дә а
һәм b векторлары бердәй юнәлешле, аерым очракта,
аларның берсе я икесе дә нуль-вектор булса, алар ара¬
сындагы почмак 0oκa тигез дип исәпләрбез. Векторлар
арасындагы почмак 90° ка тигез булса, ул^вакытта век¬
торлар перпендикуляр дип атала, аһәм b векторлары
арасындагы почмак болай тамгалана: а Ъ.
134 нче рәсемдә берничә вектор сурәтлән¬
гән. Алар ^арасындатч>1 почмаклар мондый: αfr=30o,
a~c = 120°, ad = 60o, b~c = 90o, d^f = 0o, d~c = 180°. Бу рә¬
семдә fe±c, b.Ld, b_Lf .
Рәс. 134
51	Векторларның скаляр тапкырчыгышы
Ике вектор озынлыгы белән алар арасын¬
дагы почмак косинусының тапкырчыгышы бу вектор¬
ларның скаляр тапкырчыгышы дип атала, а һәм b
векторларының скаляр тапкырчыгышы болай тамгала-
—> —
на: a b. Шулай итеп,
a b = \а | ∙ ∣fe ∣cos(α Ъ).
Планиметриядәге кебек үк, түбәндәге расла¬
малар дөрес:
нуль булмаган ике векторның скаляр тап¬
кырчыгышы бу векторлар перпендикуляр булганда
һәм бары тик шул вакытта гына нульгә тигез;
Пространствода
координаталар методы.
Хәрәкәтләр
112

векторның скаляр квадраты (ягъни век¬
торның үзенә скаляр тапкырчыгышы) аның озынлы¬
гының квадратына тигез.
Бу расламаларны үзлегегездән исбатлагыз.
Ике векторның координаталарын белгәндә,
аларның скаляр тапкырчыгышын исәпләп чыгарырга
мөмкин: a {x1∙, y1∙, z1} һәм b{x2; у2; z2} векторларының
скаляр тапкырчыгышы
ab=x1x2 + y1y2 + z1z2
формуласы белән аңлатыла. Бу раслама нәкъ плани-
метриядәге кебек үк исбатлана.
Нуль булмаган a{x1', y1', z1} һәм b{x2; у2; z2}
векторлары арасындагы а почмагының косинусы
cos α = , xιx2+y1y2+z1 + z2	(1)
∖∣xι + J∕ι +zι ' ∖∣xz +У2 +z2
формуласы буенча исәпләнә.
Дөрестән дә,
a b = ∖a I ∙ ∣b ∣cos a
булганга күрә,
a b
cos oc= T→^j—Γ→τ.
la I · |&|
—> —♦	—»	—>
Биредә a b өчен а һәм b векторларының ко¬
ординаталар аша I a | һәм ∣ b | ның аңлатмаларын куеп,
(1) формуласын табарбыз.
Векторларның скаляр тапкырчыгышының
төп үзлекләрен әйтеп бирик
Теләсә нинди a, Ъ, с векторлары һәм теләсә
нинди k саны өчен түбәндәге бәйләнешләр дөрес:
lo.	«2 ≥ 0, өстәвенә a ≠ 0 булганда a2 > 0.
2o. ab =Ьа(урын алыштыру законы).
3°. (а + Ь)с = ас + Ъ с (тарату законы).
40.	fe(a Ь) = (ka)b (оештыру законы).
1°—4° расламалары нәкъ планиметриядәге
кебек үк исбатлана.
Тарату законы теләсә нинди сандагы кушылу¬
чылар өчен урынлы икәнен исбатлавы кыен түгел. Мәсә¬
лән, (a + b + c)d = ad +bd +cd (458 нче мәсьәләне кара).
52	Турылар һәм яссылыклар арасын¬
дагы почмакларны исәпләп чыгару
Ике туры арасындагы, ә шулай ук туры һәм
яссылык арасындагы почмакны исәпләп чыгару өчен,
күп очракта скаляр тапкырчыгыштан файдалану уңай
113
Пространствода
координаталар методы.
Хәрәкәтләр

була. Почмакларны исәпләп чыгаруга шундый ике
мәсьәлә тикшергәнгә кадәр турының юнәлдерүче векто¬
ры төшенчәсен бирик.
Нуль булмаган вектор я а турысында, я
а турысына параллель турыда ятса, ул а турысының
юнәлдерүче векторы дип атала. 135 нче рәсемдә АВ
векторы а турысының юнәлдерүче векторы була.
1 нче мәсьәлә
Ике турының юнәлдерүче векторларының
координаталары билгеле булса, бу ике туры (кисешүче
яки чалышма турылар) арасындагы почмакны табарга.
Чишү
p{xi∙, y1∙, z1} һәм д{х2; у2; z2} — а һәм b ту¬
рыларының юнәлдерүче векторлары булсын. Бу туры¬
лар арасындагы эзләнелгән почмакны φ хәрефе белән
тамгалыйк. Мәсьәләне чишү өчен, cos φ не табу җитә,
чөнки cos φ нең кыйммәте φ почмагын табарга мөм¬
кинлек бирә. /\
θ=pq тамгаланышын кертик. Ул вакытта
θ ≤ 90° булганда, φ = Ө (рәс. 136, α), Ө > 90° булганда,
(p=180o-θ (рәс. 136, б). Шуңа күрә cos φ = cos Ө, яки
cos φ = -cos Ө. Теләсә кайсы очракта ∣cos φ∣ = ∣cos θ∣, ә
φ ≤ 90° булганга, cos φ ≥ 0, димәк, cos φ = ∣ cos θ ∣. 51 нче
пункттагы (1) формуласыннан файдаланып табабыз:
∖x1x2+y1y2+z1z2∖
C0S φ = ∕x2 + ι,2+z2 ∕√ + √+√∙	(2)
Vxl +⅛,1 +г1 Vx2 + У2 + 22
Рәс. 135
а)
φ = Ө
2	нче мәсьәлә
Турының юнәлдерүче векторының коорди¬
наталары һәм нуль булмаган яссылыкка перпендику¬
ляр векторның координаталары билгеле булса, туры
һәм яссылык арасындагы почмакны табарга.
Чишү
р {x1j y1∙, z1} — а турысының юнәлдерүче
векторы, п{х2; у2; z2} — а. яссылыгына перпендикуляр
нуль булмаган вектор булсын. Бу исә п векторы яткан
туры а яссылыгына перпендикуляр икәнен белдерә.
а турысы һәм α яссылыгы арасындагы эзләнелгән поч¬
макны — φ хәрефе белән, ә р п почмагын Ө хәрефе белән
тамгалыйбыз.
137 нче рәсемнән файдаланып, sin φ= ∣cos θ∣
икәнен исбатлау кыен түгел (моны үзлегегездән эшләгез).
Шуңа күрә sin φ өчен дә (2) тигезлегенең уң кисәгендәге
кебек үк аңлатма килеп чыга, sin φ не белгәч һәм φ ≤ 90°
икәнен искә алып, φ почмагын табарга мөмкин.
114
Рәс. 136
Пространствода
координаталар методы.
Хәрәкәтләр

53* Яссылык тигезләмәсе
Турыпочмаклы координаталар системасы
Oxyz һәм ниндидер F өслеге, мәсәлән, яссылык бирелгән
булсын. Өч үзгәрешле х, у, z кергән тигезләмәдә, әгәр
бу тигезләмәне F өслегенең теләсә кайсы ноктасының
координаталары канәгатьләндерсә, ә бу өслектә ятма¬
ган бернинди ноктаның да координаталары канәгать-
ләндермәсәләр, ул F өслегенең тигезләмәсе дип атала.
Искәртеп китәбез: өслек тигезләмәсе төшенчәсе плани¬
метрия курсында бирелгән сызык тигезләмәсе төшен¬
чәсенә охшаш.
Λf0 (∙⅞! Усй ⅞) ноктасы аша үтүче һәм нуль
булмаган п (а; Ь; с) векторына перпендикуляр α яссы¬
лыгының тигезләмәсен чыгарыйк.
Әгәр Мо белән тәңгәл килмәгән М (х; у; z)
ноктасы α яссылыгында ятса, п (а; Ь; с) һәм M0M (х — х0;
у - у0; z- z0) векторлары үзара перпендикуляр, шуңа
күрә аларның скаляр тапкырчыгышы нульгә тигез:
a(x-x0) + b (у- y0) + c (z-z0) = 0.	(3)
Мо ноктасының координаталары да бу ти¬
гезләмәне канәгатьләндергәнен әйтеп китәбез. Әгәр дә
М (х; у; г) ноктасы а яссылыгында ятмаса, п һәм M0M
векторлары арасындагы почмак 90° тан (M0M турысы
белән а яссылыгы арасындагы почмак зурлыгы кадәр)
аерыла, шуңа күрә бу векторларның скаляр тапкырчы¬
гышы нульгә тигез түгел, димәк, (3) тигезлеге үтәлми.
Шулай итеп, (3) тигезләмәсен а яссылыгы¬
ның теләсә кайсы ноктасының координаталары канә¬
гатьләндерә, ә бу яссылыкта ятмаган бернинди нокта¬
ның да координаталары канәгатьләндерми. Шуңа күрә
(3) тигезләмәсе Мо (х0; у0; z0) ноктасы аша үтүче һәм
нуль булмаган n (a; Ъ; с) векторына перпендикуляр
яссылыкның тигезләмәсе була.
Искәрмә.
(3) тигезләмәсен шулай ук
ах + by + cz + d = 0
(биредә a2 + b2 + c2 ≠ 0) рәвешендә язарга мөмкин. Шул рә¬
вешле, турыпочмаклы координаталар системасында яс¬
сылыкның тигезләмәсе беренче дәрәҗә тигезләмә була.
Яссылык тигезләмәсен бирелгән ноктадан
әлеге яссылыкка кадәр ераклыкны исәпләп чыгару өчен
файдаланырга мөмкин.
Рәс. 137
Пространствода
координаталар методы.
Хәрәкәтләр
115

3	нче мәсьәлә
Ноктаның координаталары һәм яссылык¬
ның тигезләмәсе билгеле булганда, ноктадан яссылык¬
ка кадәр ераклыкны табарга.
Чишү
Мо (х0; у0; z0) — бирелгән нокта, ах + by +
+cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0) — бирелгән а яссылыгының
тигезләмәсе, M1 (x1∙, y1∙, z1) — Мо ноктасының а яссы¬
лыгына проекциясе булсын. M1 ноктасы а яссылыгын¬
да ятканга күрә, аның координаталары бу яссылыкның
тигезләмәсен канәгатьләндерә:
ax1 + by1 + cz1 + d = 0.	(4)
M0M1 векторы (әгәр M0M1 ≠ 0 булса),
п (а; Ь; с) векторы кебек үк, α яссылыгына перпендику-
ляр, шуңа күрә M0M1 || п (әгәр Λf0M1 = 0 булса, шулай
ук M0M1 II п). Димәк, M0M1 =kn үтәлердәй k саны бар.
Бу тигезлекне координаталарда язабыз:
x1 - x0 = ka, y1- y0 = kb, z1- z0 = kc.	(5)
Эзләнелгән ераклык I ның M0M векторының
озынлыгына, ягъни ∖∕(x1 - x0)2 + (y1 - y0)2 + (z1 - z0)2 га
тигез икәнен искәрәбез. Шул рәвешле, (5) тигезлеген
исәпкә алып табабыз:
l = ∖k∖y∣a2 +b2 +с2.	(6)
Хәзер M1 ноктасының координаталарын (5)
тигезләмәсен кулланып табабыз һәм аларны (4) тигез¬
ләмәсенә куябыз:
a (ka + x0) + b (kb + y0) + с (kc + z0) + d = 0.
Моннан табабыз:
_ ax0+by0 +cz0+d
α2 + b2 + c2
Шул рәвешле, (6) формуласы түбәндәге рә¬
вешне ала:	∣	∣
г_ ∖ax0+by0 + czn+d∖
/„2 , .2 . 2
√α +0 +с
Мәсьәләләр
441 ABCDA1B1C1Dl кубы бирелгән. Түбәндәге векторлар арасындагы
почмакны табыгыз: a) B1B һәм B1C ; б) DA һәм B1Dl ; в) A1C1^
һәм A1B ; г) ВС һәм АС; д) BB1 һәм АС ; е) B1C һәм AD1∙, ж) A1D1
һәм ВС; 3) AA1 һәм C1C .
Пространствода
116 координаталар методы.
Хәрәкәтләр

АВ һәм CD векторлары арасындагы почмак
φ гә тигез. BA DC , BA CD , AB DC почмакларын табыгыз.
ABCDA1B1C1D1 кубының кабыргасы а га тигез, O1 ноктасы —
A1B1C1D1 кырының үзәге.
a) AD һәм B1C1 ; б) АС һәм C1A1 ; в) D1B һәм АС ; г) BA1 һәм
BC1∙, д) A1O1 һәм A1C1 ; е) D1Ol һәм B1O1 ; ж) BO1 һәм C1B
векторларының скаляр тапкырчыгышын табыгыз.
а{1; -1; 2}, fe{-l; 1; 1} һәм с{5; 6; 2} векторлары бирелгән. Исәп¬
ләп чыгарыгыз: Εc, ab , be, a a, J b b ■
—>	—>	—>	—*	—*	-7÷	—*
a = 3i - 5j + k һәм b = j - 5fe векторлары бирелгән. Исәпләп чы¬
гарыгыз: a) ab; б) αT; в) Ъ j ; г) (a + b)k; д) (а —2Ь) (k +7 - 2/ ).
α{3; -1; 1}, h{-5; 1; 0} һәм с {-1; -2; 1} векторлары бирелгән, а) а
һәм b; б) b һәм с; в) а һәм с векторлары арасындагы почмакның
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
нинди (кысынкы, туры яки ж,әенкеме) икәнен ачыклагыз.
а{3; -5; 0} векторы бирелгән, a) аТ < 90°; б) a j > 90°; в) a k = 90°
икәнен исбатлагыз.
α{-1; 2; 3} һәм Ь{5; х; -1} векторлары бирелгән, a) a Ъ = 3;
—> —>	—÷ —>
б)	ab≈ -1; в) а]_Ь шарты х ның нинди кыйммәте өчен үтәлә?
a = mi + 3j + 4⅛ һәм b = 4i + mj - 7⅛ векторлары бирелгән.
т ның нинди кыйммәтендә а һәм b векторлары перпендикуляр?
А (0; 1; 2), В (√2jlj 2), С (√2j 2; 1) һәм D (0; 2; 1) нокталары
бирелгән. ABCD ның квадрат икәнен исбатлагыз.
Векторлар арасындагы почмакны исәпләп чыгарыгыз:
а) а{2; -2; 0} һәм Ь{3; 0; -3}; б) α{√2ι √2j 2} һәм К{-3; -3; 0};
в)	а{0; 5; 0} һәм &{0; -√3i 1}; г) а{-2,5; 2,5; 0} һәм &{-5; 5; 5√2}j
д)	α{-√2j -72; -2} һәм fe{2yS 2γ', -1}·
а{2; 1; 2} векторы һәм координаталар векторлары арасындагы
почмакларны исәпләгез.
A (1; 3; 0), В (2; 3; -1) һәм <7(1; 2; -1) нокталары бирелгән. СА
һәм СВ векторлары арасындагы почмакны исәпләгез.
А(1; -1; 3), В(3; -1; 1) һәм С(-1; 1; 3) нокталары түбәләре булган
өчпочмакның почмакларын, периметрын һәм мәйданын табыгыз.
ABCDA1B1C1D1 кубы бирелгән, a) AA1 һәм AC1; б) BD1 һәм
DB1', в) DB һәм AC1 векторлары арасындагы почмакның косину¬
сын исәпләп чыгарыгыз.
AB = 1, ВС = CC1 = 2 булган турыпочмаклы ABCDA1B1C1D1 парал¬
лелепипеды бирелгән. DB1 һәм BC1 векторлары арасындагы поч¬
макны исәпләп чыгарыгыз.
Пространствода
117 координаталар методы.
Хәрәкәтләр

457
458
459
460
461
462
463
a c = b^ = 60o, ∣α | = 1, ∣b | = |с | = 2 икәне билгеле, (a + b)c ны
исәпләп чыгарыгыз.
(α + ft + с)d = ad + bd + cd тигезлегенең дөреслеген исбатлагыз.
Чишү
a , b һәм с векторларының суммасын a + b + с = (α + b) + c рәве¬
шендә язабыз. Векторларның скаляр тапкырчыгышының тарату
		—♦ —► —>	—> ^^^* —> —4
законыннан файдаланып табабыз: (a + b + c)d =((α + b) + c)d =
= (a + b)d + cd = (ad + b d) + ~c d = ad+bd + Hd
a Һәм b векторлары с векторына перпендикуляр, a b = 120°, ∣α ∣ =
= I b I = I с I =1. Скаляр тапкырчыгышны исәпләп чыгарыгыз:
а)	(a + b +7) (2b) һәм (a - b +7) (a -7); 6) ∣α - b ∣ һәм ∣a + b -7∣.
Турыпочмаклы координаталар системасында нуль булмаган век¬
торның координаталары {∣a ∣ cos φ1j ∖a ∣ cos φ2; ∖a ∣ cos φ3} (биредә
φ1= a i , φ2= a j , φ3= ak) кә тигез икәнен исбатлагыз.
Чишү
Әгәр а векторы {х; у, z} координаталарына ия булса, ул вакытта
a = xi + yj + zk . Бу тигезлекне i векторына скаляр тапкырлап
һәм скаляр тапкырчыгыш үзлегеннән файдаланып табабыз:
a i = (xι + yj* + zk) i = x(7T) + y(j*~ι ) + z(k7 ).X i = l,J*^ι = 0,
k i = 0 булганга күрә, a i = х. Икенче яктан, скаляр тапкырчы¬
гышның билгеләмәсе буенча ai = ∣a∣∣i ∣ cos φ1= ∣a∣ cos φ1.
Шул рәвешле, х — ∣a ∣ cos φ1. Шундый ук юл белән табабыз: у =
= I a I cos <p2, z = I a ∣ cos φ3.
ABCD тетраэдрының барлык кабыргалары да тигез. М һәм N нок¬
талары — AD һәм ВС кабыргаларының урталары. MN AD =
= MN ВС = 0 икәнен исбатлагыз.
ABCDA1BlC1D1 параллелепипедында AA1=AB=AD = 1, ZDAB =
= 60o, ZA1AD = ZA1AB = 90°. Исәпләп чыгарыгыз: а) BA D1C1 ;
б)	BC1 D(B; в) AC1 AC1-, г) ∣iλδ11; д) ∣Al<7 ∣; e) cos (DA1 D(B);
ж) cos (AC1 DB1).
ABCD тетраэдрында AD һәм ВС — капма-каршы кабыргалар, ә BD
һәм АС перпендикуляр. Капма-каршы кабыргалары CD һәм АВ
шулай ук перпендикуляр икәнен исбатлагыз.
Чишү
DA = a, DB =b,DC =с векторларын кертик (рәс. 138). Ул вакыт¬
та AB = b - a, AC = ^c - a, ВС = 1: - b. Шарт буенча AD ± ВС һәм
BD 1 АС, шуңа күрә a ± (с - b) һәм b 1 (7 - а). Димәк, a (с - b) =
—♦	—>	—>	—»—►	—»—*	—*—►	^τ÷—>
= 0 һәм b	(с - а)	= 0. Моннан a с = a b	һәм b с	= b а икәнен	таба-
Пространствода
координаталар методы.
Хәрәкәтләр

Рәс. 138
Рәс. 139
быз. Бу ике тигезлектән ас =Ь с, яки (t>- а) с =0 икәнлеге килеп
чыга. Ләкин b -a = AB, с =DC, шуңа күрә ABDC = 0, димәк,
464
AB ± DC, шуны исбат итәргә кирәк иде дә.
a) А (3; -2; 4), В (4; -1; 2), С (6; -3; 2), D (7; -3; 1); б) А (5; -8; -1),
В (6; -8; -2), С (7; -5; -11), D (7; -7; -9); в) А (1; 0; 2), В (2; 1; 0),
С (0; -2; -4), D (-2; -4; 0); г) А (-6; -15; 7), В (-7; -15; 8);
С (14; -10; 9), D (14; -10; 7) булса, АВ һәм CD турылары арасын¬
465
дагы почмакны исәпләп чыгарыгыз.
Өчпочмаклы төзек ABCA1B1C1 призмасында AA1 = ∖∣2AB (рәс. 139, а).
AC1 һәм A1B турылары арасындагы почмакны табыгыз.
Чишү
AB = а булсын, ул вакытта AA1 = ^2a. 139, б рәсемендә күрсә¬
телгәнчә, турыпочмаклы координаталар системасын бирик.
A, В, A1, C1 түбәләре түбәндәге координаталарга ия (ни өчен икә¬
нен аңлатыгыз): A (a^ ’ ⅜ ’ θ) ’	(θ’ a', θ)> -^ι	’ a^) ’
C1 (0; 0; a>∣2)∙ Моннан AC1 һәм B√41 векторларының координатала-
рын табабыз:
AC1
2
BA1
AC1 һәм BA1 векторлары AC1 һәм A1B турыларының юнәлдерүче
векторлары булып торалар. Алар арасындагы эзләнелә торган
φ почмагын (2) формуласыннан табарга мөмкин:
cos φ -	⅛g2+∕αΛ2fl2∣	- 1
COS ψ /-—2 =—2	2^ Γ~2 :—5	Т 9
∖∕4α + ⅜α + 2α ∙ λ∕4α + ½-a + 2a	z
V 4	4	V 4	4
466.
моннан φ = 60o.
ABCDA1B1C1D1 кубында М ноктасы A41 кабыргасында ята, өстәвенә
AM : MA1 = 3 : 1, ә N ноктасы — ВС кабыргасының уртасы, a) MN
һәм DD1∙, б) MN һәм BD; в) MN һәм B1D∙, г) MN һәм AlC турылары
арасындагы почмакның косинусын исәпләп чыгарыгыз.
Пространствода
координаталар методы.
Харакатлар
119

467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
Турыпочмаклы ABCDA1B1C1D1 параллелепипедында AB = ВС = -∣ AA1.
a) BD һәм CDl∙. б) АС һәм AC1 турылары арасындагы почмакны та¬
быгыз.
Турыпочмаклы ABCDA1B1C1Dl параллелепипедында AB = 1,
ВС = 2, BB1= 3. a) АС һәм D1B∙, б) AB1 һәм BC1∙, в) A1D һәм AC1 ту¬
рылары арасындагы почмакның косинусын исәпләп чыгарыгыз.
ABCDA1B1C1D1 кубында ABCD кырының диагональләре N нок¬
тасында кисешәләр, ә М ноктасы A1D1 кабыргасында ята, шу¬
ның белән бергә, A1M : MDl = 1:4. MN турысы белән: a) ABCD;
б) DD1C1C∙, в) A41D1Z) кыры яссылыгы арасындагы почмакның си¬
нусын исәпләп чыгарыгыз.
ABCD тетраэдрында AABD = ААВС = ADBC = 90o, AB = BD = 2,
ВС = 1. AD һәм ВС кабыргаларының урталары аша үтүче туры
белән: a) ABD; б) DBC; в) ABC кыры яссылыгы арасындагы поч¬
макның синусын исәпләп чыгарыгыз.
Берсе — куб диагонален, икенчесе куб кырының диагонален эченә
алган чалышма турылар арасындагы почмакның 90° ка тигез икә¬
нен исбатлагыз.
MNPQM1N1P1Q1 кубында PM1 турысының MN1Q1 һәм QNP1 яс¬
сылыкларына перпендикуляр икәнен исбатлагыз.
ОА, ОВ һәм ОС нурлары туры АОВ, АОС һәм ВОС почмакларын
төзиләр. СОА һәм АОВ почмакларының биссектрисалары арасын¬
дагы почмакны табыгыз.
Турыпочмаклы ABCDA1B1C1D1 параллелепипедында ABAC1=
= ADAC1= 60o, AA1AC1 = φ не табыгыз.
Чишү
140 нчы рәсемдә күрсәтелгәнчә, турыпочмак¬
лы Oxyz координаталар системасын бирик
һәм AC1 векторы белән бердәй юнәлештәге
а берәмлек векторын тикшерик, а векторы
{cos 60°; cos 60°; cos φ}, яки 1; cosφ∣
координаталарына ия. ∣α∣ =1 булганга
күрә, 4 + 4 ÷ c°s2 ф = 1∙ Моннан cos2 φ = -∣,
яки cos φ = ÷^- икәнен табабыз, φ почмагы
z	\/2
кысынкы булгач, cos φ = -^i-, моннан φ = 45o.
DABC тетраэдрында DA = 5 cm, AB = 4 см, АС = 3 cm, ABAC = 90°,
ADAB = 60o, ADAC = 45°. А түбәсеннән DBC өчпочмагы медиана¬
ларының кисешү ноктасына кадәр ераклыкны табыгыз.
Турыпочмаклы ABCDAlBiCvDγ параллелепипедының AC1 диаго¬
нале белән АВ һәм AD кабыргаларының һәркайсы арасындагы
почмак 60oκa тигез. ACACl не табыгыз.
К ноктасының ABCD квадраты яссылыгына проекциясе бу квад¬
ратның үзәге белән тәңгәл килә. АК һәм BD турылары арасында¬
гы почмакның 90°ка тигез икәнен исбатлагыз.
Пространствода
120 координаталар методы.
Хәрәкәтләр

s3
Хәрәкәт
54	Үзәкле симметрия
Планиметрия курсында без яссылыкның хә¬
рәкәте, ягъни нокталары арасында ераклыклар саклан¬
ган рәвештә яссылыкны үзенә чагылдыру белән таныш¬
тык. Хәзер пространство хәрәкәте төшенчәсен бирербез.
Башта пространствоны үзенә чагылдыру сүзләреннән
нәрсә аңларга кирәклеген ачыклыйк. Пространствоның
һәр М ноктасына ниндидер Λf1 ноктасы тиңдәш итеп ку¬
елган, шуның белән бергә, пространствоның теләсә нин¬
ди M1 ноктасы ниндидер М ноктасына тиңдәш ителгән
булып чыга дип уйлыйк. Ул вакытта пространствоның
үзенә чагылдыруы бирелгән, диләр. Шулай ук әлеге ча¬
гылдыруда М ноктасы M1 ноктасына күчә (чагылды-
рыла), диләр. Пространство хәрәкәте дигәннән, теләсә
нинди А һәм В нокталары, AB = A1B1 булырлык итеп,
ниндидер A1 һәм B1 нокталарына күчкәндә (чагыл-
дырылганда), пространствоның үзенә күчүен аңларга
кирәк. Икенче сүзләр белән әйткәндә, пространство
хәрәкәте — нокталары арасындагы ераклыклар сак¬
ланган рәвештә пространствоны үзенә чагылдыру ул.
Хәрәкәткә мисал булып үзәкле симметрия — бирелгән
О үзәгенә карата теләсә нинди М ноктасы аңа симме¬
трик булган M1 ноктасына күчкәндә пространствоның
үзенә чагылдырылуы хезмәт итә ала.
Үзәкле симметрия хәрәкәт икәнен исбат¬
лыйк. Симметрия үзәген О хәрефе белән тамгалыйбыз
да башлангычы О ноктасында булган турыпочмаклы
Oxyz координаталар системасын кертәбез. О ноктасына
карата симметрик булган М (х; у; г) һәм M1(x1j yi∙, z1)
нокталарының координаталары арасында бәйләнеш
урнаштырыйк. Әгәр М ноктасы О үзәге белән тәңгәл
килмәсә, ул вакытта О ноктасы MMl кисемтәсенең
уртасы була. Кисемтә уртасының координаталары өчен
формуладан файдаланабыз: x + x' — о, V + Ui = 0, 2^t21 = 0,
Zj	Zj
моннан x1 = -х, y1 = -у, z1 — -г. Бу формулалар М һәм
О нокталары тәңгәл килгән очракта да дөрес кала (ни
өчен икәнен аңлатыгыз).
Хәзер теләсә нинди A (x1j y1ι z1) һәм
В (х2; у2; z2) нокталарын тикшереп, аларга симметрик
121
Пространствода
координаталар методы.
Хәрәкәтләр

булган A1 һәм B1 нокталары арасындагы ераклык АВ
га тигез икәнен исбатларбыз. A1 һәм B1 нокталары
A1 (—x1j -y1j -z1) һәм jB1(-x25 -y2> ~z2) координаталары-
на ия. Ике нокта арасындагы ераклык формуласын¬
нан табабыз: AB = ∖∣(x2 — x1)2 + (у2 ~ У1)2 ÷ (⅞ ~ 21)2 >
Aι∙B1= ^(-x2 + Xi) + (— у2 ÷ У1) + (~z2 ÷ 21) · Бу бәй¬
ләнешләрдән АВ = A1B1 икәнлеге ачык күренә, шуны
исбатларга кирәк иде дә.
55	Күчәрле симметрия
а күчәренә карата пространствоның теләсә
нинди М ноктасы аңа симметрик булган Λf1 ноктасына
күчсә, пространствоны болай үзенә чагылдыру күчәре
а булган күчәрле симметрия дип атала.
Күчәрле симметрия хәрәкәт икәнен исбат¬
лыйк. Моның өчен Oz күчәре симметрия күчәре белән
тәңгәл килерлек итеп, турыпочмаклы Oxyz координа-
талар системасын кертәбез һәм Oz күчәренә карата
симметрик булган М (х; у; z) һәм M1 (хх; y1∙, z1) нок¬
таларының координаталары арасында бәйләнеш урнаш¬
тырабыз. Әгәр М ноктасы Oz күчәрендә ятмаса, Oz кү¬
чәре: 1) MMl кисемтәсенең уртасы аша үтә һәм 2) аңа
перпендикуляр. Беренче шарттан кисемтәнең уртасы
координаталары формуласыннан табабыз: x + x* = 0 һәм
^2 ' = 0, моннан x1 - -х һәм y1 = -у. Икенче шарт М һәм
M1 нокталарының аппликаталары тигез икәнен белдерә:
z1 = z. Табылган формулалар М ноктасы Oz күчәрендә ят¬
кан очрак өчен дөрес кала (ни өчен икәнен аңлатыгыз).
Хәзер теләсә нинди A(x1∙, y1∙, z1) һәм
В(х2; у2; z2) нокталарын тикшереп, аларга симмет¬
рик булган A1 һәм B1 нокталары арасындагы ераклык
АВ га тигез икәнен исбатлыйк. A1 һәм B1 нокталары
A1(-x1i -y1∙, z1) һәм B1 (—х2; -у2; z2) координаталарына
ия. Ике нокта арасындагы ераклыкны формула буен¬
ча табабыз: АВ = √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2,
A1B1 = ∖∣(~x2 +x1)2 +(-y2 +У1)2 + (¾ -z1)2. Бу бәйлә¬
нешләрдән АВ =A1B1 икәнлеге ачык күренә, шуны исбат
итәргә кирәк иде дә.
Пространствода
122 координаталар методы.
Хәрәкәтләр

56	Көзгедәгечә симметрия
а яссылыгына карата теләсә нинди М нок¬
тасы аңа симметрик булган M1 ноктасына күчкәндә,
пространствоны үзенә чагылдыру көзгедәгечә симме¬
трия (а яссылыгына карата симметрия) дип атала.
Көзгедәгечә симметрия хәрәкәт икәнен ис¬
батлыйк. Моның өчен Оху яссылыгы симметрия яссы¬
лыгы белән тәңгәл килерлек итеп, турыпочмаклы Охуг
координаталар системасын кертәбез һәм Оху яссылы¬
гына карата симметрик М(х; у, г) һәм M1(x1! yγ∙, z1)
нокталарының координаталары арасында бәйләнеш
урнаштырабыз. Әгәр М ноктасы Оху яссылыгында ят-
маса, бу яссылык: 1) MM1 кисемтәсенең уртасы аша
үтә һәм 2) аңа перпендикуляр була. Беренче шарттан
кисемтә уртасының координаталары формуласы буен-
Z ~∖~ Z
ча —2^j^ ~ θ икәнен табабыз, моннан z1 = -z. Икенче
шарт MM1 кисемтәсенең Oz күчәренә параллель икәнен
белдерә, димәк, x1 = х, y1 = у. Табылган формулалар М
ноктасы Оху яссылыгында яткан очрак өчен дә дөрес
кала (ни өчен икәнен аңлатыгыз).
Хәзер теләсә нинди A(x1j y1∙, z1) һәм
В(х2; у2; z2) нокталарын тикшереп, аларга симметрик
булган A1 һәм B1 нокталары арасындагы ераклыкның
АВ га тигез икәнен исбатлыйк: A1 һәм B1 ноктала¬
ры A1(x15 y1', -z1) һәм ∙B1(x25 г/2; -z2) координаталары-
на ия. Ике нокта арасындагы ераклык формуласын¬
нан табабыз: AB = ^(x2 - x1)2 + (y2 — y1)2 + (¾ — z1)2,
A1B1 = λ∕(x2 - x1)2 + (y2 -y1)2+ (~z2 + z1)2. Бу бәйлә¬
нешләрдән AB =A1B1 икәнлеге ачык күренә, шуны ис¬
бат итәргә кирәк иде дә.
57	Параллель күчерү
Пространство хәрәкәтенә тагын бер мисал
китерик. Нинди дә булса р векторы алыйк. Теләсә нин¬
ди М ноктасы MM1 = р булган M1 ноктасына күчәрлек
итеп, пространствоның үзенә чагылдырылуы р векторга
параллель күчерү дип атала (рәс. 141, а).
Параллель күчерү хәрәкәт икәнен исбат
итик, р векторга параллель күчерүдә теләсә нинди А һәм
В нокталары A1 һәм B1 нокталарына күчә, биредә A41 =
~р һәм BB1 =p . A1B1 = АВ икәнен исбат итәргә кирәк.
Өчпочмак кагыйдәсе буенча AB1 = AA1 + A1B1 . Икенче
123
м
а)
А	В
б)
Рәс. 141
Пространствода
координаталар методы.
Хәрәкәтләр

яктан, AB1 = AB + BBγ (рәс. 141, б). Бу ике тигезлектән
табабыз: A41 + ΛlB1 = AB + BB1, яки р +A1B1 = АВ +
+ р , моннан A1B1 =АВ. Соңгы тигезлектән A1B1=AB
икәнлеге килеп чыга, шуны исбат итәргә кирәк иде дә.
Теләсә нинди хәрәкәттә кисемтә — кисем¬
тәгә, туры — турыга, яссылык яссылыкка күчкәнен
исбат итәргә мөмкин (бу — планиметриядәге кебек үк
эшләнә). Шулай ук безнең курста фигураларның тигез¬
леген (2 нче кушымтаны кара) биргәндә кулланылган
өстенә салып карау төшенчәсенең хәрәкәт төшенчәсе
белән тәңгәл килгәнен, ягъни теләсә нинди салып ка¬
рауның хәрәкәт икәнен һәм, киресенчә, теләсә нинди
хәрәкәтнең салып карау икәнен исбат итәргә мөмкин.
Бу раслама планиметриядәге кебек үк исбат ителә.
58* Охшаш үзгәртү
Пространствоның һәр М ноктасы OM1 =
= kOM булган М1 ноктасына күчәрлек итеп үзенә ча-
гылдырылуы үзәге О һәм коэффициенты k ≠ 0 булган
үзәкле охшашлык дип атала.
Коэффициенты ⅛ булган үзәкле охшашлык¬
та А һәм В нокталары A1 һәм B1 нокталарына күчсә,
A1B1 = kAB икәнен җиңел исбатларга мөмкин (1 нче
кушымтаны кара). Аерым алганда, үзәкле охшашлыкта
өчпочмак — үзенә охшаш өчпочмакка, О ноктасы аша
үтүче яссылык — О ноктасы аша үтмәүче аңа параллель
яссылыкка, ә үзәге С булган г радиуслы сфера (ягъни
пространствоның С ноктасыннан г ераклыкта урнашкан
барлык нокталарыннан торган өслек) үзәге C1 булган
kr радиуслы (ягъни OC1= kOC булган) сферага күчә. Бу
раслауны мөстәкыйль рәвештә исбатлагыз.
Үзәкле охшашлык охшаш үзгәртүнең аерым
очрагы булып тора. Яссылыкның теләсә нинди А һәм
В нокталары k ∙ AB =A1B1 булырлык A1 һәм B1 нокта¬
ларына күчкән үзенә чагылдырылуы k > 0 коэффици¬
ентлы охшаш үзгәртү дип атала. Хәрәкәт (бу вакытта
k = 1), үзәкле охшашлык, ә шулай ук аларны эзлекле
рәвештә башкару нәтиҗәләре охшаш үзгәртү мисалла¬
ры икәне күренеп тора.
Киресен раслау да дөрес булып чыга: теләсә
нинди охшаш үзгәртү — хәрәкәт һәм үзәкле охшаш¬
лыкны эзлекле башкару нәтиҗәсе ул.
Моны исбатлыйк, k коэффициентлы охшаш
үзгәртүне тикшерик. Ирекле рәвештә алынган А һәм В
124
Пространствода
координаталар методы.
Хәрәкәтләр

нокталары ул вакытта, A1B1 = k · АВ булырдай, A1 һәм
B1 нокталарына күчә. Хәзер ирекле рәвештә алынган
О үзәкле һәм коэффициенты γ булган үзәкле охшаш-
лыкны тикшерик. Бу вакытта A1 һәм B1 нокталары
А В
A2B2 = 1⅛ 1 булган A2 Һәм В2 нокталарына күчә. Әлеге
охшаш үзгәртү һәм үзәкле охшашлыкны эзлекле
рәвештә башкару нәтиҗәсендә, ирекле рәвештә алынган
k · А В
А һәм В нокталары A2B2 = —⅛— = АВ булган A2 һәм B2
нокталарына күчә. Бу исә әлеге үзгәртүләрне эзлекле
рәвештә башкару нәтиҗәсенең хәрәкәт икәнен белдерә.
Үз чиратында хәрәкәтне һәм үзәге О, коэффициенты
k булган үзәкле охшашлыкны башкару нәтиҗәсендә,
ирекле рәвештә алынган А һәм В нокталары охшаш
үзгәртүнең башта алынган шул ук A1 һәм B1 ноктала¬
рына күчә. Ләкин бу — баштагы охшаш үзгәртүнең күр¬
сәтелгән хәрәкәтне һәм үзәге О, коэффициенты k булган
үзәкле охшашлыкны эзлекле башкару нәтиҗәсе булуын
белдерә. Раслау исбатланды.
Охшаш үзгәртү геометриядә еш кулланы¬
ла. Мәсәлән, аның ярдәмендә теләсә нинди җисемнең
охшашлык төшенчәсен бирергә мөмкин: әгәр җисем¬
нәрнең берсе икенчесенә күчә торган охшаш үзгәртү
булса, ике җисем охшаш дип атала.
Мәсьәләләр
478	а) Координаталар башлангычына карата үзәкле симметриядә;
б) координаталар күчәрләренә карата күчәрле симметриядә; в) ко¬
ординаталар яссылыкларына карата көзгедәгечә симметриядә
А (0; 1; 2), В (3; -1; 4), С (1; 0; -2) нокталары күчкән нокталар¬
ның координаталарын табыгыз.
479	Үзәкле симметриядә: а) симметрия үзәге аша үтмәүче туры аңа
параллель турыга чагылдырылуын; б) симметрия үзәге аша үтүче
туры үзенә чагылдырылуын исбатлагыз.
480	Үзәкле симметриядә: а) симметрия үзәге аша үтмәүче яссылык
аңа параллель яссылыкка чагылдырылуын; б) симметрия үзәге
аша үтүче яссылык үзенә чагылдырылуын исбат итегез.
481	Күчәрле симметриядә: а) күчәргә параллель туры күчәргә парал¬
лель турыга чагылдырылуын; б) күчәр белән φ почмагы төзүче
туры күчәр белән шулай ук φ почмагы төзүче турыга чагылдыры¬
луын исбат итегез.
482	Көзгедәгечә симметриядә а турысы a1 турысына чагылдырыла.
а һәм α1 турылары бер яссылыкта ятканын исбат итегез.
483	α яссылыгына карата көзгедәгечә симметриядә β яссылыгы β1 яс¬
сылыгына чагылдырыла. a) β II а булса, ул вакытта β1 II а икәнен;
Пространствода
125 координаталар методы.
Хәрәкәтләр

484
485
486
487
488
489
1
2
3
4
5
6
7
8
6) β ± а булса, ул вакытта β1 белән β ның тәңгәл килгәнен исбат
итегез.
р векторга (биредә р ≠ 0) параллель күчерүдә: а) р векторына па¬
раллель булмаган һәм бу векторны эченә алмаган туры аңа парал¬
лель турыга чагылдырылуын; б) р векторына параллель яки бу
векторны эченә алган туры үзенә чагылдырылуын исбатлагыз.
A1B1C1 өчпочмагы ABC өчпочмагын р векторга параллель күчереп
табыла. M1 һәм М нокталары — тиңдәшле рәвештә A1B1C1 һәм
ABC өчпочмаклары медианаларының кисешү нокталары, р век¬
торга параллель күчерүдә М ноктасы M1 ноктасына күчкәнен ис¬
батлагыз.
Хәрәкәттә: а) туры турыга чагылдырылуын; б) яссылык яссылык¬
ка чагылдырылуын исбатлагыз.
Хәрәкәттә: а) кисемтә кисемтәгә чагылдырылуын; б) почмак аңа
тигез почмакка чагылдырылуын исбатлагыз.
Хәрәкәттә: а) параллель турылар параллель турыларга чагылды¬
рылуын; б) параллель яссылыклар параллель яссылыкларга ча¬
гылдырылуын исбатлагыз.
Хәрәкәттә: а) әйләнә шул ук радиуслы әйләнәгә чагылдырылуын;
б) турыпочмаклы параллелепипед үлчәнешләре шундый ук булган
турыпочмаклы параллелепипедка чагылдырылуын исбатлагыз.
V	бүлеккә сораулар
Ноктаның: а) бер координатасы нульгә тигез булса; б) ике коор-
динатасы нульгә тигез булса, ул турыпочмаклы координаталар
системасына карата ничек урнашкан?
Ни өчен Оху яссылыгына параллель турыда яткан барлык туры¬
лар бер үк аппликатага ия икәнен аңлатып бирегез.
А (2; 4; 5), В (3; х; у), С (0; 4; z) һәм D (5; ί; и) нокталары бирелгән,
х, у, 2, t һәм и ның нинди кыйммәтләре өчен бу нокталар: а) Оху
яссылыгына параллель яссылыкта; б) Oxz яссылыгына параллель
яссылыкта; в) Ох күчәренә параллель турыда ята?
AB {x1∙, y1∙, z1}, BC{x2', У2', z2} булса, СА векторы нинди координа-
таларга ия?
Нуль булмаган а векторының беренче һәм икенче координаталары
нульгә тигез, a) Oz; б) Ох; в) Оу күчәренә карата а векторы ничек
урнашкан?
Нуль булмаган а векторының беренче координатасы нульгә тигез.
а векторы: a) Oxz яссылыгына; б) Ох күчәренә карата ничек ур¬
нашкан?
Векторлар коллинеармы: а) а{-5; 3; -1} һәм һ{6; -10; -2};
б) а{-2; 3; 7} һәм 5{-1; 1,5; 3,5}?
М ноктасының радиус-векторының озынлыгы 1 гә тигез. М нок¬
тасының абсциссасы: a) 1 гә; б) 2 гә тигез булуы мөмкинме?
Пространствода
координаталар методы.
Хәрәкәтләр

9
10
11
12
13
14
15
16
17
490
491
492
493
а векторының озынлыгы 3 кә тигез, а векторының координата-
ларының берсе: а) 3 кә; б) 5 кә тигез булуы мөмкинме?
M1 ноктасының абсциссасы 3 кә тигез, ә М2 ноктасының абсцис¬
сасы 6 га тигез, a) M1M2 кисемтәсенең озынлыгы 2 гә тигез булуы
мөмкинме? б) M1M2 кисемтәсенең озынлыгы 3 кә тигез булса, ул
Ох күчәренә карата ничек урнашкан?
а һәм b векторларының озынлыклары а һәм b га тигез, a) а һәм b
векторлары бердәй юнәлешле; б) а һәм b векторлары капма-каршы
юнәлешле; в) а һәм b векторлары перпендикуляр; г) α һәм b век¬
торлары арасындагы почмак 60°ка тигез; д) a JhaM b векторлары
арасындагы почмак 120oκa тигез булса, а һәм b векторларының
скаляр тапкырчыгышы нәрсәгә тигез?
Нинди шарт үтәлгәндә, а һәм b векторларының скаляр тапкыр¬
чыгышы: а) уңай; б) тискәре; в) нульгә тигез була?
ABCDA1B1C1D1 кубы бирелгән. Векторлар перпендикулярмы:
а)	AD һәм D1C1 ; б) BD һәм CC1∙, в) A1C1 һәм AD; г) DB һәм
D1C1 ; д} ВВ һәм АС 1
а һәм b векторларының^беренче координаталары тиңдәшле рә¬
вештә 1 һәм 2 гә тигез, а һәм b векторларының скаляр тапкыр¬
чыгышы: а) 2 дән кечерәк; б) 2 гә тигез; в) 2 дән зуррак булуы
мөмкинме?
Үзәге А ноктасында булган үзәкле симметриядә В (1; 0; 2) нокта¬
сы С (2; -1; 4) ноктасына күчсә, А ноктасы нинди координаталар-
га ия?
Яссылыкка карата көзгедәгечә симметриядә М (2; 1; 3) ноктасы
M1 (2; —2; 3) ноктасына күчсә, бу яссылык Ох һәм Oz координата-
лар күчәрләренә карата ничек урнашкан?
Көзгедәгечә симметриядә (күчәрле симметриядә, үзәкле симме¬
триядә) уң перчатка кайсы перчаткага (уңынамы яки сулынамы)
күчә?
Өстәмә мәсьәләләр
а{-5; 0; 5}, Ь{-5; 5; 0} һәм с{1; -2; -3} векторлары бирелгән.
Векторның координаталарын табыгыз: а) 36 - За + Зс; б) -0,17 +
+ 0,8а - 0,56.
Векторлар коллинеармы: а) а{-5; 3; -1} һәм 6 {6; -10; -2};
б)	а{-2; 3; 7} һәм 6{-1; 1,5; 3,5}; в)а{-|; -1} һәм 6 {6; -5; 9};
г) а{0,7; -1,2; -5,2} һәм 6{-2,8; 4,8; -20,8}?
А(-5; 7; 3) һәм В(3; -11; 1) нокталары бирелгән, а) Ох күчәрендә
АВ кисемтәсенең уртасына иң якын ноктаны табыгыз; б) Оу һәм
Ог күчәрләрендә шундый ук үзлеккә ия нокталарны табыгыз.
Векторлар компланармы: а) α{—1; 2; 3}, 7 + 7 һәм 7-6;
б) 6{2; 1; 1,5}, 7 +7 + ⅛ һәм 7-7; в) а{1; 1; 1}, 6{1; -1; 2} һәм
?{2; 3; -1}?
Пространствода
127 координаталар методы.
Хәрәкәтләр

494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
А (3; 5; 4), В (4; 6; 5), С (6; -2; 1) һәм D (5; -3; 0) нокталары
бирелгән. ABCD ның параллелограмм икәнен исбатлагыз.
А (2; 0; 1), В (3; 2; 2) һәм С (2; 3; 6} нокталары бирелгән. ABC
өчпочмагы медианаларының кисешү ноктасының координатала-
рын табыгыз.
ABCDA1B1C1D1 параллелепипедының дүрт түбәсенең координата-
лары бирелгән: А (3; 0; 2), В (2; 4; 5), A1 (5; 3; 1), D (7; 1; 2). Кал¬
ган түбәләренең координаталарын табыгыз.
АВ кисемтәсенең уртасы Оху яссылыгында ята. a) А (2; 3; —1),
В (5; 7; k); б) А (0; 4; k), В (3; -8; 2); в) А (5; 3; k), В (3; -5; 3/г)
булса, k ны табыгыз.
а {2; 1; -2} һәм 5{1; 3; 0} векторлары белән тиңдәшле рәвештә
бердәй юнәлешле берәмлек векторларының координаталарын та¬
быгыз.
a {х; у; z} векторының озынлыгы 5 кә тигез, х = 2, z = —Js булса,
а векторының ординатасын табыгыз.
М (2; -1; 3), N (-4; 1; -1), Р (-3; 1; 2) һәм Q (1; 1; 0) нокталары
бирелгән. MN һәм PQ кисемтәләренең урталары арасындагы ерак¬
лыкны исәпләп чыгарыгыз.
В (-2; 5; >/3) ноктасыннан координата күчәрләренә кадәр ерак¬
лыкны табыгыз.
Ординаталар күчәрендә А (13; 2; -1) һәм В (-15; 7; -18) ноктала¬
рыннан тигез ераклыктагы ноктаны табыгыз.
А (0; 2; 2), В (2; 1; 1), С (2; 2; 2) түбәләре булган өчпочмакны ка¬
маучы әйләнә үзәгенең координаталарын табыгыз.
ABC өчпочмагының түбәләре а яссылыгыннан бер якта урнашкан¬
нар һәм бу яссылыктан 4 дм, 5 дм һәм 9 дм ераклыкта торалар.
Өчпочмак медианаларының кисешү ноктасыннан а яссылыгына
кадәр ераклыкны табыгыз.
Тетраэдрның түбәсен каршы яткан кыры медианаларының кисе¬
шү ноктасы белән тоташтыручы кисемтә тетраэдрның медиа¬
насы дип атала. Тетраэдрның медианалары түбәдән исәпләгәндә
һәр медиананы 3:1 чагыштырмасында бүлә торган бер ноктада
кисешкәнен исбатлагыз.
a {-1; 5; 3}, й{3; 0; 2}, <?{0,5; -3; 4} һәм d{2; 1; 0} векторлары
бирелгән. Исәпләп чыгарыгыз: a) a b; б) а с; в) d d; г) (а + Ъ + с )d;
д) (a -b) (с -d).
DABC тетраэдрында DA = DB = DC, AADB = 45o, ZBDC = 60o.
a) DA һәм BD; 6) DB һәм СВ; в) BD һәм BA векторлары арасын¬
дагы почмакны исәпләп чыгарыгыз.
ABCD тетраэдрының барлык кабыргалары бер-берсенә тигез, D1
ноктасы — D ноктасының ABC яссылыгына проекциясе. Түбәндәге
		> * 	> 	>
векторлар перпендикулярмы: a) D1B һәм D1D; б) DD1 һәм ВС ;
в) DA һәм ВС ; г) D1B һәм DC Ί
Пространствода
128 координаталар методы.
Хәрәкәтләр

509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
а)	А (7; -8; 15), В (8; -7; 13), С (2; -3; 5), D (-1; 0; 4);
б)	А (8; -2; 3), В (3; -1; 4), С (5; -2; 0), D (7; 0; -2) булса, АВ һәм
CD турылары арасындагы почмакның косинусын исәпләп чыгары¬
гыз.
ABCDA1B1C1D1 кубында М ноктасы — BB1C1C кырының үзәге,
a) AiD һәм AM; б) MD һәм BB1 векторлары арасындагы почмак¬
ны исәпләп чыгарыгыз.
ABCDA1B1C1D1 параллелепипедында ZBAA1 = ZBAD = ZDAA1 =
= 60o, AB = AAl = AD = 1. AC1 һәм BD1 векторларының озынлык¬
ларын исәпләп чыгарыгыз.
М ноктасының ABCD ромбы яссылыгына проекциясе аның диа¬
гональләренең кисешү ноктасы О белән тәңгәл килә. N нокта¬
сы — ВС ягының уртасы, АС = 8, DB = MO = 6. MN турысы белән:
а) ВС; б) DC; в) АС; г) DB турысы арасындагы почмакның косину¬
сын исәпләп чыгарыгыз.
ABCDA1B1C1D1 кубында М ноктасы ВВг кабыргасында ята, шу¬
ның белән бергә, ВМ : MB1 = 3 : 2, ә N ноктасы AD кабыргасын¬
да ята, шуның белән бергә, AN : ND = 2 : 3. MN турысы белән:
a) DD1C1C∙, б) A1B1C1D1 кыры яссылыгы арасындагы почмакның
синусын исәпләп чыгарыгыз.
ОА, ОВ, ОС һәм ОМ нурлары ZAOB = ZBOC = ZCOA = 90°,
ZAOM = φ1, ZBOM = φ2, ZCOM = φ3 булырлык итеп урнашкан.
cos2 φ1 + cos2 φ2 + cos2 φ3 = 1 икәнен исбатлагыз.
ОА, ОВ һәм ОС нурлары ZBOC = ZBOA = 45o, ZAOC = 60° булыр¬
лык итеп урнашкан. ОН турысы АО В яссылыгына перпендику¬
ляр. ОН һәм ОС турылары арасындагы почмакны табыгыз.
φ гә тигез (φ < 90°) икекырлы CABD почмагы бирелгән. AC ± АВ
һәм ZDAB = Ө икәне билгеле, cos ZCAD ын табыгыз.
СА һәм DB кисемтәләре 120oκa тигез булган икекырлы CABD
почмагының кабыргасына перпендикуляр. AB = т , СА = п, BD = р
икәне билгеле. CD ны табыгыз.
Хәрәкәт вакытында а турысы a1 турысына, ә а яссылыгы α1 яс¬
сылыгына чагылдырыла. a) a II α булса, ул вакытта a1 II α15 б) а±а
булса, ул вакытта a1 ± a1 икәнен исбатлагыз.
a яссылыгына карата көзгедәгечә симметриядә β яссылыгы β1 яс¬
сылыгына чагылдырыла. Әгәр β яссылыгы а яссылыгы белән φ
почмагы төзесә, β1 яссылыгы да а яссылыгы белән φ почмагы
төзегәнен исбатлагыз.
—►	—>
р векторга параллель күчерү вакытында: а) р векторына парал¬
лель булмаган һәм бу векторны эченә алмаган яссылык аңа па¬
раллель яссылыкка чагылдырылганын; б) р векторына параллель
яки бу векторны эченә алган яссылык үзенә чагылдырылганын
исбатлагыз.
Күпкырлыклар

VI	бүлек
Цилиндр, конус һәм шар
Цилиндр
59	Цилиндр төшенчәсе
Ирекле рәвештә алынган а яссылыгын
һәм α яссылыгында яткан, радиусы г га тигез булган
0 үзәкле L әйләнәсен тикшерик. L әйләнәсенең һәр нок¬
тасы аша ос яссылыгына перпендикуляр туры үткәрәбез.
Бу турылардан төзелгән өслек цилиндрик өслек дип,
ә турылар үзләре цилиндрик өслекнең төзүчеләре дип
атала. Барлык төзүчеләр һәм күчәр а яссылыгына пер¬
пендикуляр булганга күрә, алар бер-берсенә параллель
(16 нчы п. ны карагыз).
Хәзер α яссылыгына параллель β яссылы¬
гын тикшерик (рәс. 142). Төзүчеләрнең а һәм β яссы¬
лыклары арасында урнашкан кисемтәләре параллель
һәм бер-берсенә тигез (11 нче п. ны карагыз). Төзү буен¬
ча бу кисемтәләрнең α яссылыгында урнашкан очлары
L әйләнәсен хасил итәләр, ә β яссылыгында урнашкан
очлары радиусы г га тигез булган O1 үзәкле (биредә
O1 — β яссылыгының цилиндрик өслек күчәре белән
кисешү ноктасы) L1 әйләнәсен хасил итә.
Бу расламаның дөреслеге төзүчеләрнең β яс¬
сылыгында яткан очлары күплеге L әйләнәсен OO1 век¬
торга күчереп табылуыннан килеп чыга. Параллель

күчерү хәрәкәт була, димәк, шулай ук салып карау да,
ә бер урыннан икенче урынга алып салганда, теләсә
нинди фигура аңа тигез фигурага күчә. Шулай булгач,
OO1 векторга параллель күчерүдә L әйләнәсе радиусы г
булган O1 үзәкле аңа тигез L1 әйләнәсенә күчә.
Цилиндрик өслек һәм чикләре L һәм L1
булган ике түгәрәк белән чикләнгән җисем цилиндр
дип атала (142 нче рәс. карагыз). Түгәрәкләр цилиндр¬
ның нигезләре дип, төзүчеләрнең нигезләре арасында
урнашкан кисемтәләре цилиндрның төзүчеләре дип,
ә цилиндрик өслекнең алар белән төзелгән кисәге ци¬
линдрның ян өслеге дип атала. Цилиндрик өслекнең
күчәре цилиндрның күчәре дип атала.
Цилиндрның барлык төзүчеләре, а һәм β
параллель яссылыклары арасында урнашкан парал¬
лель турыларның кисемтәләре буларак, параллель
һәм бер-берсенә тигез. Төзүченең озынлыгы цилиндр¬
ның биеклеге дип, ә нигезнең радиусы цилиндрның ра¬
диусы дип атала.
Цилиндр турыпочмаклыкны бер ягы тирә¬
сендә әйләндерү юлы белән табылырга мөмкин. 143 нче
рәсемдә ABCD турыпочмаклыгын АВ ягы тирәсендә
әйләндереп табылган цилиндр сурәтләнгән. Бу вакыт¬
та цилиндрның ян өслеге — CD ягын әйләндереп, ә ни¬
гезләре ВС һәм AD якларын әйләндереп табыла.
Цилиндрның төрле яссылыклар белән ки¬
семнәрен карыйк. Әгәр кисүче яссылык цилиндрның
күчәре аша үтсә, кисем — ике ягы цилиндрның төзүче¬
ләре, ә калган ике ягы цилиндрның нигез диаметрлары
булган турыпочмаклыктан гыйбарәт (рәс. 144). Андый
кисем күчәр кисеме дип атала.
Әгәр дә кисүче яссылык цилиндр күчәренә
перпендикуляр булса, кисем дә түгәрәк була. Дөрестән
дә, әгәр шундый кисүче яссылык булса (145 нче рәсемдә
γ яссылыгы), ул без караган цилиндрдан шулай ук
цилиндрик булган җисем кисеп ала. Бу цилиндрның
нигезләре булып ике түгәрәк хезмәт итә, аларның берсе
без тикшергән кисем була да инде.
Искәрмә
Тормышта формалары цилиндрдан катлау¬
лырак булган предметлар да очрый. 146, а рәсемендә
һәр нигезе парабола кисәге һәм кисемтә белән чиклән¬
гән фигурадан торган цилиндр сурәтләнгән. 146, б рәсе¬
мендә нигезләре түгәрәкләр булган, ләкин төзүчеләре
131
Цилиндр ABCD турыпоч¬
маклыгын АВ ягы тирә¬
сендә әйләндереп табыл¬
ган
Рәс. 143
Цилиндрның күчәр
кисеме
Рәс.144
Күчәргә перпендикуляр
булган яссылык белән
цилиндрның кисеме
Рәс. 145
Цилиндр, конус һәм шар

нигез яссылыгына перпендикуляр булмаган цилиндр
(авыш цилиндр) сурәтләнгән. Әмма без киләчәктә бу
пунктта тикшерелгәнгә охшаш цилиндрларны гына
карарбыз. Аларны кайвакыт туры түгәрәк цилиндрлар
дип атыйлар.
60	Цилиндр өслегенең мәйданы
147, а рәсемендә цилиндр сурәтләнгән.
Цилиндрның ян өслеге АВ төзүчесе буйлап киселгән
һәм аның барлык төзүчеләре ниндидер а яссылыгын¬
да урнашырлык итеп җәелгән дип күз алдына китерик
(рәс. 147, б). Нәтиҗәдә α яссылыгында ABB'A' туры¬
почмаклыгы килеп чыгар. Турыпочмаклыкның АВ һәм
A'B' яклары цилиндрның ян өслеген АВ төзүчесе буен¬
ча кискәндә килеп чыккан кисем кырыйлары бу¬
лып тора. Бу турыпочмаклык цилиндрның ян өслеге
җәелмәсе дип атала. Турыпочмаклыкның А4' нигезе
цилиндр нигезендәге әйләнәнең җәелмәсеннән гыйба¬
рәт, ә АВ биеклеге — цилиндрның төзүчесе, шуңа күрә
А4' = 2πr, АВ = һ, биредә г — цилиндрның радиусы,
һ — аның биеклеге.
Цилиндрның ян өслеге мәйданы итеп аның
җәелмәсенең мәйданы кабул ителә.
ΑΒΒΆ' турыпочмаклыгының мәйданы
АА' ∙ АВ = 2πrh ка тигез булганлыктан, радиусы г, биек¬
леге һ булган цилиндрның ян өслеге мәйданы Shh ны
исәпләү өчен,
Shh = 2πrh
формуласы килеп чыга.
Шулай итеп, цилиндрның ян өслеге мәй¬
даны нигезенең әйләнә озынлыгы белән цилиндрның
биеклеге тапкырчыгышына тигез.
Рәс. 146
Рәс. 147
Цилиндр, конус һәм шар

Цилиндрның ян өслеге мәйданы белән ике
нигезенең мәйданы суммасы цилиндрның тулы өслеге
мәйданы дип атала. Ьәр нигезнең мәйданы πr2 ка тигез
булганлыктан, цилиндрның тулы өслеге мәйданы 8ЦИЛ ны
исәпләү өчен,
Зцил = 2πr(r + һ)
формуласын табабыз.
Мәсьәләләр
521	Цилиндрның күчәр кисеме, капма-каршы ике ягы — төзүчеләр,
калган ике ягы цилиндрның нигез диаметрлары булган турыпоч¬
маклыктан гыйбарәт икәнен исбатлагыз. Цилиндрның радиусы
1,5 м, ә биеклеге 4 м булса, күчәр кисеменең диагонален табыгыз.
522	Цилиндрның күчәр кисеменең диагонале 48 см га тигез. Бу диаго¬
наль белән цилиндрның төзүчесе арасындагы почмак 60° ка тигез.
Цилиндрның: а) биеклеген; б) радиусын; в) нигез мәйданын табыгыз.
523	Цилиндрның күчәр кисеме — диагонале 20 см га тигез булган ква¬
драт. а) Цилиндрның биеклеген; б) цилиндр нигезенең мәйданын
табыгыз.
524	Ике цилиндрның күчәр кисемнәре тигез. Бу цилиндрларның күчәр
кисемнәре тигез булса, аларның биеклекләре тигез дип раслау дөресме?
525	Цилиндрның күчәр кисеменең мәйданы 10 м2 га, ә нигез мәйданы
5 м2 га тигез. Цилиндрның биеклеген табыгыз.
526	Цилиндрның нигез мәйданы күчәр кисеме мәйданына чагыштыр¬
масы д/Зл : 4 кебек була, а) Цилиндрның күчәр кисеме диагонале
белән нигез яссылыгы арасындагы почмакны; б) күчәр кисеменең
диагональләре арасындагы почмакны табыгыз.
527	АВ кисемтәсенең очлары цилиндрның нигез әйләнәләрендә ята.
Цилиндрның радиусы г га, биеклеге һ ка, ә АВ турысы белән
цилиндрның күчәре арасындагы ераклык d га тигез, а) г = 10 дм,
d = 8 дм, АВ = 13 дм булса, һ ны; б) һ = 6 см, г = 5 см, АВ = 10 см
булса, d ны табыгыз.
528	Цилиндрны кисүче яссылык цилиндрның күчәренә параллель һәм
әлеге яссылык белән цилиндрның күчәре арасындагы ераклык
аның радиусыннан кечерәк булса, цилиндрның кисеме капма-
каршы яклары аның төзүчеләре булган турыпочмаклык икәнен
исбатлагыз.
529	Цилиндрның биеклеге 8 см га, радиусы 5 см га тигез. Цилиндр¬
ның күчәренә параллель яссылык белән күчәре арасындагы ерак¬
лык 3 см га тигез булса, цилиндрның бу яссылык белән кисеменең
мәйданын табыгыз.
530	Цилиндрның биеклеге 12 см га тигез, ә нигез радиусы 10 см га ти¬
гез. Цилиндр күчәренә параллель яссылык белән кистерелгән, һәм
кисемдә квадрат килеп чыккан. Цилиндрның күчәреннән кисүче
яссылыкка кадәр ераклыкны табыгыз.
531	Цилиндрның биеклеге 10 дм га тигез. Цилиндрның күчәренә па¬
раллель һәм аннан 9 дм ераклыктагы яссылык белән кистергәндә
Цилиндр, конус һам шар

532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
килеп чыккан кисем мәйданы 240 дм2 га тигез. Цилиндрның ра¬
диусын табыгыз.
Цилиндрның AA1 төзүчесе аша кисүче ике яссылык үткәрелгән,
аның берсе цилиндрның күчәре аша үтә. Цилиндрның бу яссы¬
лыклар белән хасил булган кисемнәре арасындагы почмак φ гә
тигез булса, аларның мәйданнары чагыштырмасын табыгыз.
Цилиндрның биеклеге һ ка, ә күчәр кисеме мәйданы S ка тигез.
Цилиндр күчәренә параллель яссылык белән кистерелгән. Ци¬
линдрның күчәре белән кисүче яссылык арасындагы ераклык d га
тигез булса, кисем мәйданын табыгыз.
Цилиндрның күчәренә параллель яссылык нигез әйләнәсеннән
120° лы дуга кисеп ала. Цилиндрның биеклеге һ ка, ә цилин¬
дрның күчәре белән кисүче яссылык арасындагы ераклык d га
тигез булса, кисем мәйданын табыгыз.
Цилиндрның күчәренә параллель яссылык нигез әйләнәсеннән
60° лы дуга кисеп ала. Цилиндрның төзүчесе 10>∕3 см га, күчәрдән
кисүче яссылыкка кадәр ераклык 2 см га тигез. Кисем мәйданын
табыгыз.
Цилиндрның төзүчесе аша үзара перпендикуляр ике яссылык
үткәрелгән. Килеп чыккан кисемнәрнең һәркайсының мәйданы
S ка тигез. Цилиндрның күчәр кисеме мәйданын табыгыз.
Цилиндр нигезенең диаметры 1 м га тигез, цилиндрның биекле¬
ге нигез әйләнәсенең озынлыгына тигез. Цилиндрның ян өслеге
мәйданын табыгыз.
Цилиндрның ян өслеге мәйданы S ка тигез. Цилиндрның күчәр
кисеме мәйданын табыгыз.
Бер квадрат метрга 200 г буяу сарыф ителсә, нигез диаметры 1,5 м га,
биеклеге 3 м га тигез булган цилиндр формасындагы бакны буяр¬
га күпме буяу кирәк булыр?
Цилиндрның биеклеге аның радиусыннан 12 см га озынрак, ә тулы
өслек мәйданы 288π см2 га тигез. Цилиндрның нигез радиусын
һәм биеклеген табыгыз.
Озынлыгы 4 м, диаметры 20 см булган торбаны ясау өчен, ничә
квадрат метр табаклы калай кирәк? Җөйләргә ян өслек мәйда¬
нының 2,5 % ы китә.
Цилиндрның төзүчесе һәм күчәр кисеме диагонале арасындагы
почмагы φ гә, цилиндр нигезенең мәйданы S ка тигез. Цилиндр¬
ның ян өслеге мәйданын табыгыз.
Цилиндрның ян өслеге җәелмәсенең диагональләре арасындагы
почмагы φ гә, диагонале d га тигез. Цилиндрның ян өслеген һәм
тулы өслеген табыгыз.
Диагонале d га тигез булган квадраттан цилиндрның ян өслеге
төрелгән. Цилиндрның нигезе мәйданын табыгыз.
Цилиндр ягы а га тигез квадратны аның бер ягы тирәсендә әйлән¬
дереп табылган, а) Цилиндрның күчәре кисеме; б) цилиндрның ян
өслеге; в) цилиндрның тулы өслеге мәйданын табыгыз.
Цилиндр, конус һәм шар

546	Бер цилиндр — ABCD турыпочмаклыгын пространствода АВ ту¬
рысы тирәсендә әйләндереп, ә икенче цилиндр шул ук турыпоч¬
маклыкны ВС турысы тирәсендә әйләндереп табылган, а) Бу
цилиндрның ян өслекләренең мәйданнары тигез икәнен исбат¬
лагыз. б) АВ = а, ВС = Ь булса, бу цилиндрларның тулы өслеге
мәйданнары чагыштырмасын табыгыз.
2
Конус
61	Конус төшенчәсе
Үзәге О булган L әйләнәсен һәм бу әйләнә¬
нең а яссылыгына перпендикуляр ОР турысын тикше¬
рик. Р ноктасы һәм әйләнәнең һәр ноктасы аша туры
үткәрәбез. Бу турылардан төзелгән өслек коник өслек
дип (рәс. 148), ә бу турылар үзләре коник өслекнең
төзүчеләре дип атала. Р ноктасы коник өслекнең түбә¬
се дип, ә ОР турысы күчәре дип атала.
Коник өслек һәм чиге L булган түгәрәк
белән чикләнгән җисем конус дип атала (рәс. 149).
Түгәрәк — конусның нигезе, коник өслекнең түбәсе —
конусның түбәсе, төзүчеләрнең түбә белән нигез ара¬
сындагы кисемтәләре — конусның төзүчеләре, ә коник
өслекнең алар белән төзелгән кисәге конусның ян өсле¬
ге дип атала. Коник өслекнең күчәре конусның күчәре
дип, ә аның түбә белән нигез арасындагы кисемтәсе
конусның биеклеге дип атала. Конусның барлык төзү¬
челәре бер-берсенә тигез икәнен искәртеп китәбез (ни
өчен икәнен аңлатыгыз).
Конусны турыпочмаклы өчпочмакны бер
катеты тирәсендә әйләндереп табарга мөмкин. 150 нче
рәсемдә турыпочмаклы ABC өчпочмагын АВ катеты
тирәсендә әйләндереп табылган конус сурәтләнгән. Бу
вакытта ян өслек — АС гипотенузасын, ә нигезе ВС ка¬
тетын әйләндергәндә барлыкка килә.
Конусның төрле яссылыклар белән кисемен
карыйк. Кисүче яссылык конусның күчәре аша үтсә
(рәс. 151), кисем тигезьянлы өчпочмак була, аның ниге¬
зе — конус нигезенең диаметры, ә ян-яклары конусның
төзүчеләре була. Бу кисем күчәр кисеме дип атала.
Кисүче яссылык конусның ОР күчәренә
перпендикуляр булса (рәс. 152), конусның кисеме O1
Рәс. 148
I^конусның күчәре
pl	конусның
k	түбәсе
//lift	төзүчеләре
/
/ / I V∖∖ ~~ конусның
'Г ■ г ү\ ян өслеге
конусның
нигезе
Рәс. 149
Рәс. 150
135
Цилиндр, конус һәм шар

үзәге конус күчәрендә яткан түгәрәктән гыйбарәт. Бу
РО,
түгәрәкнең радиусы r1 = -^θ-r (биредә г — конус нигезе¬
нең радиусы) икәнен РОМ һәм PO1M1 турыпочмаклы
өчпочмакларының охшашлыгыннан җиңел чыгарып
була. Бу фактны исбатлау 556 нчы мәсьәләнең чише¬
лешендә китерелгән.
62	Конус өслегенең мәйданы
Конусның күчәр кисеме
Рәс. 151
Конусның ян өслеген, цилиндрның ян өс¬
леге кебек үк, бер төзүчесе буйлап кисеп, яссылык¬
та җәяргә була (рәс. 153, а, б). Конусның ян өслеге
җәелмәсе түгәрәк секторыннан гыйбарәт (153, б рәс.
кара), аның радиусы — конусның төзүчесенә, ә сек¬
тор дугасының озынлыгы конус нигезенең әйләнә
озынлыгына тигез.
Конус җәелмәсенең өслеге аның ян өсле¬
генең мәйданы итеп алына. Конусның ян өслеге мәй¬
даны Shh ны аның төзүчесе I һәм нигез радиусы г аша
күрсәтик. Түгәрәк секторының мәйданы — конусның
»2
ян өслеге җәелмәсе (153, б рәсемен кара) — 3gθ^α га
тигез (биредә α — АВА' дугасының градуслы үлчәме),
шуңа күрә
sHH = ⅛a.	(1)
01 ны I һәм г аша күрсәтик. АВА' дуга¬
сының озынлыгы 2πr га (конус нигезенең әйләнә
7ТI
озынлыгына) тигез булганлыктан, 2πr = -37- а, мон-
lol)
нан а = —— . Бу аңлатманы (1) формуласына куеп
табабыз:
«ян = πrZ.	(2)
Шулай итеп, конусның ян өслеге мәй¬
даны нигез әйләнәсе озынлыгының яртысы белән
төзүченең тапкырчыгышына тигез.
Конусның ян өслеге мәйданы белән ниге¬
зенең мәйданы суммасы аның тулы өслегенең мәй¬
даны дип атала. Конусның тулы өслегенең мәйданы
Skoh ны исәпләү өчен, түбәндәге формула табыла:
Конусның күчәренә перпен¬
дикуляр үткән яссылык ха-
сил иткән кисеме — үзәге O1
.	PO1 ,
һәм радиусы r1=y÷r бул¬
ган түгәрәк	rυ
Рәс. 152
Рәс. 153
«кон = MZ + г).
136
Цилиндр, конус һәм шар

63	Кисек конус
Нинди дә булса бер конус алыйк та, күчә¬
ренә перпендикуляр итеп, кисүче яссылык үткәрик. Бу
яссылык, конус белән түгәрәк буенча кисешеп, конус¬
ны ике кисәккә бүлә. Аның бер кисәге (154 нче рәсемдә
өске кисәге) конус була, ә икенче кисәге кисек конус
дип атала. Башта бирелгән конусның нигезе белән
конусны яссылык белән кистерүдән килеп чыккан
түгәрәк кисек конусның нигезләре дип, ә аларның үзәк¬
ләрен тоташтыручы кисемтә кисек конусның биек¬
леге дип атала.
Коник өслекнең кисек конусны чикләүче
кисәге аның ян өслеге дип, ә нигезләре арасында ур¬
нашкан коник өслекне төзүче кисемтәләр кисек конус¬
ның төзүчеләре дип атала. Кисек конусның барлык
төзүчеләре бер-берсенә тигез (моны мөстәкыйль рәвештә
исбатлагыз).
Турыпочмаклы трапецияне нигезенә перпен¬
дикуляр ян-ягы тирәсендә әйләндереп, кисек конусны
табарга мөмкин. 155 нче рәсемдә турыпочмаклы ABCD
трапециясен AD һәм ВС нигезләренә перпендикуляр
булган CD ягы тирәсендә әйләндереп табылган кисек
конус сурәтләнгән. Биредә АВ ян-ягын әйләндереп — ян
өслек, ә трапециянең СВ һәм DA нигезләрен әйләнде¬
реп, кисек конусның нигезләре табыла.
Кисек конусның ян өслеге мәйданы нигез
әйләнәләре озынлыкларының ярымсуммасы белән тө¬
зүчесенең тапкырчыгышына тигез, ягъни
∙s,,h = π (г + r1) I,
биредә г һәм r1 — нигез радиуслары, I — кисек конус¬
ның төзүчесе.
▼ Р — кисек конус табылган конусның тү¬
бәсе, AA1 — кисек конусның бер төзүчесе, r > r1, О һәм
O1 нигезләренең үзәкләре булсын (рәс. 156). (2) форму¬
ласыннан файдаланып табабыз:
Shh = πr ∙ PA - πr1 ∙ PA1 =
= πr (PA1 + AA1 ) -πr1∙ PA1.
Моннан AA1 = I икәнен искә алып табабыз:
Ssm = πrl + π(r-r1)PA1.
(3)
конусның нигезе
Кисек конус
Рәс. 154
Кисек конус турыпоч¬
маклы ABCD трапеция¬
сен CD ягы тирәсендә әй¬
ләндереп табылган
Рәс. 155
Рәс. 156
137
Цилиндр, конус һәм шар

PA1 не I, г һәм r1 аша күрсәтәбез. Турыпоч¬
маклы PO1A1 һәм РОА өчпочмаклары охшаш, чөнки
кысынкы Р почмагы уртак, шуңа күрә
PA1 r1 PA1 r1
РА - r, яки рА^+1
Моннан
икәнлеге килеп чыга. Бу аңлатманы (3) формуласына
куеп,
-sHH = π(r + r1)Z
формуласы табыла. Л
Мәсьәләләр
547	Конусның биеклеге 15 см га, ә нигезенең радиусы 8 см га тигез.
Конусның төзүчесен табыгыз.
548	Конусның 12 см га тигез булган төзүчесе нигез яссылыгына α поч¬
магы ясап авышкан, a) a = 30° ; б) a = 45°; в) а = 60° булса, конус
нигезенең мәйданын табыгыз.
549	Конусның биеклеге 8 дм га тигез. Конусның кисем мәйданы: а) ни¬
гез мәйданының яртысына; б) нигез мәйданының дүрттән беренә
тигез булсын өчен, конусның нигезенә параллель яссылыкны
аның түбәсеннән нинди ераклыкта үткәрергә кирәк?
550	Конусның күчәр кисеме — турыпочмаклы өчпочмак. Конусның ни¬
гез радиусы 5 см га тигез булса, бу кисемнең мәйданын табыгыз.
551	Конусның күчәр кисеме — ягы 2г булган төзек өчпочмак. Конус¬
ның үзара: а) 30°; б) 45°; в) 60° лы почмак ясаучы ике төзүчесе
аша үткәрелгән кисеменең мәйданын табыгыз.
552	Конусның биеклеге һ ка, ә биеклеге белән төзүчесе арасындагы
почмагы 60° ка тигез. Конусның үзара перпендикуляр ике төзүче¬
се аша үткәрелгән яссылык белән кисеменең мәйданын табыгыз.
553	Конусның күчәр кисеменең мәйданы 6 дм2 га, ә нигез мәйданы
8 дм2 га тигез булса, конусның биеклеген табыгыз.
554	Конусның төзүчесе I га, ә нигез радиусы г га тигез. Конусның
түбәсе һәм: а) 60° лы; б) 90° лы дуганы тартып торучы нигез хор¬
дасы аша үтүче кисем мәйданын табыгыз.
555	Конусның биеклеге 10 см га тигез. Конусның түбәсе һәм 60° лы
дуганы тартып торучы нигез хордасы аша үткәрелгән яссылык
конусның нигез яссылыгы белән: а) 30°; б) 45°; в) 60° лы почмак
төзесә, кисем мәйданын табыгыз.
556	Түбәсе Р булган конусның нигезе үзәге О булган г радиуслы
түгәрәктән гыйбарәт. Кисүче a яссылыгы конус күчәренә пер¬
пендикуляр булса, конусның кисеме үзәге O1 булган r1 радиуслы
Цилиндр, конус һәм шар

түгәрәк икәнен исбатлагыз, биредә 01 ноктасы — а яссылыгының
РО
РО күчәре белән кисешү ноктасы, ә r1 = г (152 нче рәс. кара).
Чишү
Башта α яссылыгындагы үзәге O1 булган r1 радиуслы әйләнәдә
ятучы M1 ноктасы конусның кайсыдыр төзүчесендә ятканын,
ягъни тикшерелә торган кисем ноктасы икәнен исбатлыйк.
PMi нурының конусның нигез яссылыгы белән кисешү ноктасын
М хәрефе белән тамгалыйбыз. Турыпочмаклы PO1M1 һәм РОМ
өчпочмакларының охшашлыгыннан (алар охшаш, чөнки кысын-
РО	РО
кы Р почмагы уртак) табабыз: ОМ = ——- ∙ O1Mx= —— r1 = г, ягъни
PO^	PO1
М ноктасы конус нигезендәге әйләнәдә ята. Шулай булгач,
M1 ноктасы яткан РМ кисемтәсе конусның төзүчесе була.
Хәзер а яссылыгында да, шулай ук конусның ян өслегендә дә
яткан теләсә нинди Ml ноктасы үзәге O1 булган r1 радиуслы
әйләнәдә ятканын исбатларбыз. Дөрестән дә, PO1M1 һәм РОМ
өчпочмакларының охшашлыгыннан (РМ — M1 ноктасы аша үтүче
РО.	РО.
төзүче) табабыз: O1M1 =	■ ОМ = ~^Qr = rι∙ Шулай итеп, үзәге
O1 булган r1 радиуслы әйләнә конусның ян өслегенең α яссылыгы
белән кисеме була, шуңа күрә әлеге әйләнә чиге булган түгәрәк
конусның а яссылыгы белән кисеме була да.
557	Кисүче ике яссылык конус күчәренә перпендикуляр. Конусның бу
яссылыклар белән кисем мәйданнары чагыштырмасы конусның
түбәсеннән бу яссылыкларга кадәр ераклыкларның квадратлары
чагыштырмасына тигез икәнен исбатлагыз.
558	Конусның ян өслеге җәелмәсе а дугалы сектор була. Конусның би¬
еклеге 4 см га, ә нигез радиусы 3 см га тигез булса, а ны табыгыз.
559	Конусның төзүчесе нигез яссылыгы белән 60° лы почмак төзесә,
конусның ян өслегенең җәелмәсе булган сектор дугасын табыгыз.
560	Конусның ян өслеге җәелмәсенең дугасы: а) 180°; б) 90°; в) 60° ка
тигез сектор булса, аның күчәр кисеменең түбә янындагы поч¬
магын табыгыз.
561	Әгәр конусның ян өслеге җәелмәсенең радиусы 9 см га, ә дугасы
120° ка тигез сектор булса, конусның биеклеген һәм нигез мәй¬
данын исәпләп чыгарыгыз.
562	Конусның төзүчесе белән күчәре арасындагы почмак 45° ка, төзү¬
чесе 6,5 см га тигез. Конусның ян өслеге мәйданын табыгыз.
563	Конусның күчәр кисеменең мәйданы 0,6 см2 га тигез. Конусның
биеклеге 1,2 см. Конусның тулы өслеге мәйданын табыгыз.
564	Конусның төзүчесе нигез яссылыгына φ почмагы ясап авышкан.
Конусның нигезенә бер ягы а га, ә каршы яткан почмагы а га
тигез булган өчпочмак камалган. Конусның тулы өслеге мәйданын
табыгыз.
Цилиндр, конус һәм шар

565	Катетлары 6 см га һәм 8 см га тигез булган турыпочмаклы өчпоч¬
мак кечерәк катеты тирәсендә әйләнә. Шушы әйләнү нәтиҗәсендә
барлыкка килгән конусның ян һәм тулы өслеге мәйданнарын
исәпләп чыгарыгыз.
566	Ян-ягы т га, ә нигез янындагы почмагы φ гә тигез булган тигезь¬
янлы өчпочмак нигезе тирәсендә әйләнә. Өчпочмак әйләнгәндә
килеп чыккан җисемнең мәйданын табыгыз.
567	Кисек конус нигезләренең радиуслары 3 см һәм 6 см га, ә биекле¬
ге 4 см га тигез булса, аның төзүчесен табыгыз.
568	Кисек конус нигезләренең радиуслары 5 см һәм 11 см га, ә төзү¬
чесе 10 см га тигез, а) Кисек конусның биеклеген; б) күчәр кисе¬
менең мәйданын табыгыз.
569	Кисек конус нигезләренең радиуслары R һәм г га тигез (биредә
R > г), ә төзүчесе нигез яссылыгы белән 45° лы почмак төзи. Күчәр
кисеменең мәйданын табыгыз.
570	Конусның ян өслеге мәйданы 80 см2 га тигез. Конус биеклегенең
уртасы аша биеклегенә перпендикуляр яссылык үткәрелгән. Бу
вакытта барлыкка килгән кисек конусның ян өслеге мәйданын
табыгыз.
571	ZA = 90o, ZD = 45o, ВС = 4 см, CD= Зд/2 см булган ABCD трапециясе
бирелгән. Әлеге трапецияне АВ ягы тирәсендә әйләндереп табыл¬
ган кисек конусның ян һәм тулы өслекләрен исәпләп чыгарыгыз.
572	Чиләк нигезләренең радиуслары 15 см һәм 10 см га, төзүчесе
30 см га тигез булган кисек конус формасында. 1 м2 га 150 г буяу
тотылса, шундый 100 чиләкнең ике ягын да буяр өчен, күпме
буяу кирәк? (Чиләк калаеның калынлыгын исәпкә алмаска.)
s3
Сфера
64	Сфера һәм шар
Пространствоның бирелгән ноктадан бил¬
геле бер ераклыктагы барлык нокталардан торган
өслеге сфера дип атала (рәс. 157).
Бирелгән нокта — сфераның үзәге (157 нче
рәсемдә О ноктасы), ә билгеле дип исәпләнгән ераклык
сфераның радиусы дип атала. Сфераның радиусын еш
кына R хәрефе белән тамгалыйлар.
Сфераның үзәген һәм нинди дә булса нок¬
тасын тоташтыручы теләсә нинди кисемтә шулай ук
сфераның радиусы дип атала. Сфераның ике ноктасын
тоташтыручы һәм аның үзәге аша үтүче кисемтә сфера¬
ның диаметры дип атала. Сфераның диаметры 2R га
тигез икәнлеге ачык күренә. Сфераны ярымәйләнәне
аның диаметры тирәсендә әйләндереп табарга мөмкин
икәнен әйтеп китәбез (рәс. 158).
Цилиндр, конус һәм шар

Сфера белән чикләнгән җисем шар дип
атала. Сфераның үзәге, радиусы, диаметры шулай ук
шарның үзәге, радиусы, диаметры дип атала. Радиусы
R булган О үзәкле шар пространствоның О ноктасыннан
R дан зур булмаган ераклыктагы барлык нокталарын
эченә алганлыгы (О ны да кертеп) һәм башка нокта¬
ларны эченә алмаганлыгы үзеннән-үзе аңлашыла.
65	Сфера тигезләмәсе
Үзәге С (х0; у0; z0) булган R радиуслы сфера¬
ның тигезләмәсен чыгарыйк (рәс. 159).
Ирекле рәвештә алынган М(х; у; z) нокта¬
сыннан С ноктасына кадәр ераклык
МС = λ∕(x - x0)2 +(y-y0)2 +(z- z0)2
формуласы буенча исәпләп чыгарыла. Әгәр М нок¬
тасы бирелгән сферада ятса, ул вакытта МС = R яки
MC2 = R2, ягъни М ноктасының координаталары
(х - x0)2 + (у - y0)2 + (z - z0)2 = R2	(1)
тигезләмәсен канәгатьләндерә.
Әгәр дә М(х; у; z) ноктасы бирелгән сферада
ятмаса, ул вакытта MC2 ≠ R2, ягъни М ноктасының
координаталары (1) тигезләмәсен канәгатьләндерми.
Шулай булгач, турыпочмаклы координаталар систе¬
масында үзәге С (х0; уц, z0) булган R радиуслы сфера¬
ның тигезләмәсе
(х - x0)2 + (у - <∕0)2 + (z- z0)2 = R2
рәвешендә була.
АСВ ярымәйләнәсен АВ
диаметры тирәсендә әй¬
ләндереп табылган сфера
Рәс. 158
Рәс. 159
66	Сфера белән яссылыкның
үзара торышы
Сфера белән яссылыкның үзара торышын
сфераның радиусына һәм яссылыктан сфера үзәгенә
кадәрге ераклык арасындагы чагыштырмага бәйле рә¬
вештә тикшерик.
Сфераның радиусын — R хәрефе белән,
ә сфера үзәгеннән а яссылыгына кадәрге ераклыкны
d хәрефе белән тамгалыйк. Координаталар системасын
160 нчы рәсемдә күрсәтелгәнчә бирик: Оху яссылыгы
α яссылыгы белән тәңгәл килә, ә сфераның С үзәге уңай
Oz ярымкүчәрендә ята. Бу координаталар системасында
С ноктасының координаталары (0; 0; d) була, шуңа күрә
х2 + y2 + (z - d)2 = R2 — әлеге сфераның тигезләмәсе.
141
Цилиндр, конус һәм шар

а яссылыгы координаталар яссылыгы Оху белән тәңгәл
килә, һәм шуңа күрә аның тигезләмәсе z = 0 рәвешендә
була (ни өчен икәнен аңлатыгыз).
Әгәр нинди дә булса М(х; у; z) ноктасының
координаталары ике тигезләмәне дә канәгатьләндерсә,
М ноктасы α яссылыгында да, сферада да ята, ягъни
сфера белән яссылыкның уртак нокталары була. Әгәр
бу ике тигезләмәләр системасының чишелеше булма-
са, сфера белән яссылыкның уртак нокталары булмый.
Шул рәвешле, сфера белән яссылыкның үзара торышы
турындагы мәсьәлә
(z = 0
[x2 + y2 + (z~ d)2 = R2
тигезләмәләр системасын тикшерүгә кайтарып кал¬
дырыла.
z = 0 не икенче тигезләмәгә куеп табабыз:
x2 + y2 = R2- d2.	(2)
Өч очрак булуы мөмкин.
1)	d<R. Ул вакытта R2 - d2 > 0, һәм (2) ти¬
гезләмәсе үзәге Оху яссылыгындагы О ноктасында бул¬
ган r = ∖∣R2-d2 радиуслы әйләнәнең тигезләмәсе була.
Бу әйләнәнең теләсә кайсы М (х; у; 0) ноктасының ко¬
ординаталары α яссылыгы тигезләмәсен дә һәм сфера
тигезләмәсен дә канәгатьләндерә, ягъни бу әйләнәнең
барлык нокталары яссылык белән сфераның уртак нок¬
талары була (160, а рәс. кара). Шулай итеп, бу очракта
сфера белән яссылык әйләнә буенча кисешәләр. Димәк,
әгәр сфера үзәгеннән яссылыкка кадәр ераклык сфе¬
раның радиусыннан кечерәк булса, сфераның яссы¬
лык белән кисеме әйләнә була.
Шарның яссылык белән кисеме түгәрәк
икәнлеге ачык аңлашыла. Әгәр кисүче яссылык шар¬
ның үзәге аша үтсә, ул вакытта d = 0 һәм кисемдә R
радиуслы түгәрәк, ягъни радиусы шар радиусына ти¬
гез түгәрәк килеп чыга. Андый түгәрәк шарның зур
түгәрәге дип атала (рәс. 161). Әгәр кисүче яссылык шар
үзәге аша үтмәсә, ул вакытта d > 0, һәм кисем радиусы
r = y∣R2-d2, билгеле, шар радиусыннан кечерәк була
(160, а рәс. кара).
2)	d = R. Ул вакытта R2 - d2 = 0, һәм (2)
тигезләмәсен бары тик х = 0, у = 0 кыйммәтләре генә
канәгатьләндерә. Шулай булгач, бары тик 0(0; 0; 0)
ноктасының координаталары гына ике тигезләмәне дә
канәгатьләндерә, ягъни О — сфера белән яссылыкның
142
d = R
б)
в)
Рәс. 160
Цилиндр, конус һәм шар

бердәнбер уртак ноктасы (160, б рәс. кара). Шулай
итеп, әгәр сфераның үзәгеннән яссылыкка кадәр ерак¬
лык сфераның радиусына тигез булса, сфера белән
яссылыкның бер генә уртак ноктасы була.
3)	d > R. Ул вакытта R2 - d2 < 0, һәм (2)
тигезләмәсен бернинди дә ноктаның координаталары
канәгатьләндерми. Шулай булгач, әгәр сфера үзәгеннән
яссылыкка кадәрге ераклык сфераның радиусыннан
зуррак булса, сфера белән яссылыкның уртак нокта¬
лары булмый (160, в рәс. кара).
67	Сферага орынма яссылык
Сфера белән яссылыкның бер генә уртак
ноктасы булган очракны җентекләбрәк тикшерик. Сфе¬
ра белән бер генә уртак ноктасы булган яссылык сфе¬
рага орынма яссылык дип, ә аларның уртак ноктасы
яссылыкның сфера белән орыну ноктасы дип атала.
162 нче рәсемдә а яссылыгы — үзәге О булган
сферага орынма, А — орыну ноктасы. Сферага орынма
яссылык әйләнәгә орынма үзлекләренә аналогик үзлек¬
ләргә ия. Ул түбәндәге теоремада аңлатып бирелгән.
Рәс. 161
Рәс. 162
Теорема
Сфераның яссылык белән орыну ноктасына үткәрелгән
радиусы орынма яссылыкка перпендикуляр була.
Исбатлау
Үзәге О булган сферага А ноктасында оры¬
нучы а яссылыгын тикшерик (рәс. 162). OALo. икә¬
нен исбатлыйк.
ОА радиусы а яссылыгына перпендикуляр
түгел дип уйлыйк. Ул вакытта ОА радиусы α яссы¬
лыгына авышма була, шулай булгач, сфераның үзәген¬
нән a яссылыгына кадәр ераклык сфераның радиусын¬
нан кечерәк. Шуңа күрә сфера белән яссылык әйләнә
буйлап кисешәләр. Ләкин бу a яссылыгының орынма
булуына, ягъни сфера белән a яссылыгының бер генә
уртак ноктасы булуга каршы килә. Килеп чыккан кар¬
шылык OALo. икәнен исбатлый. Теорема исбатланды.
Кире теореманы исбатлыйк.
Теорема
Әгәр сфераның радиусы аның сферада яткан очы аша
үтүче яссылыкка перпендикуляр булса, бу яссылык
сферага орынма була.
Цилиндр, конус һәм шар

Исбатлау
Теореманың шартыннан радиус сфераның
үзәгеннән бирелгән яссылыкка үткәрелгән перпенди¬
куляр булуы килеп чыга. Шуңа күрә сфераның үзәген¬
нән яссылыкка кадәрге ераклык сфераның радиусына
тигез, димәк, сфера белән яссылык бер генә уртак нок¬
тага ия. Бу бирелгән яссылык сферага орынма икәнен
белдерә. Теорема исбатланды.
68	Сфераның мәйданы
Цилиндр яки конусның ян өслегеннән аер¬
малы буларак, сфераны яссылыкта җәеп салып булмый,
шулай булгач, аның өслек мәйданын җәелмә ярдәмендә
билгеләү һәм исәпләп чыгару мөмкин түгел. Сфераның
мәйданын билгеләү өчен, камаучы күппочмак төшенчә¬
сеннән файдаланырбыз. Сфера күпкырлыкның барлык
кырларына да орынса’, ул күпкырлык сфераны (шар¬
ны) камаучы күпкырлык дип атала. Бу вакытта сфера
күпкырлыкка камаулы дип атала. 163 нче рәсемдә сфе¬
раны камаучы тетраэдр һәм куб сурәтләнгән.
Сфераны камаучы күпкырлыкларның эзлек-
лелеген тикшерик. Камаучы күпкырлыкның һәр кыры¬
ның иң зур үлчәме нульгә омтылырлык итеп, п ны
чикләнмәгән рәвештә арттырабыз.
Сфераны камаучы күпкырлыкның һәр кы¬
рының иң зур үлчәме нульгә омтылганда, әлеге күп¬
кырлыкның өслек мәйданнары эзлеклелегенең чик¬
ләмәсен сфераның мәйданы итеп кабул итәрбез. 84 нче
пунктта бу чикләмәнең, чыннан да, барлыгын исбат
итеп, R радиуслы сфераның мәйданын исәпләү өчен,
түбәндәге формуланы табарбыз:
S	= 4πR2.
Рәс. 163
69* ** Сфера һәм турының үзара торышы
О үзәкле сфераның һәм а турысының сфера¬
ның радиусы R белән сфера үзәгеннән а турысына кадәрге
d ераклыгына бәйле рәвештә үзара торышын тикшерик.
Сфера үзәге һәм а турысы аша а яссылы¬
гын үткәрик (сфераның үзәге а турысында ятса, а яссы¬
* Күпкырлык кырының яссылыгы сферага орынса һәм орыну
ноктасы кырныкы булса, сфера күпкырлыкның кырына орына,
диләр.
** Кырның иң зур үлчәме дип кырның ике ноктасы арасында¬
гы иң зур ераклык атала. Мәсәлән, кыр турыпочмаклык булса,
аның иң зур үлчәме диагональгә тигез була.
Цилиндр, конус һәм шар

лыгы сыйфатында а турысы аша үтүче теләсә нинди
яссылыкны алабыз). Ул сфераны радиусы R булган
О үзәкле L әйләнәсе буенча кисеп үтә. Сфераның һәм
а турысының уртак нокталары (әгәр алар булса) α яс¬
сылыгында һәм, димәк, L әйләнәсендә яталар. Өч очрак
булуы мөмкин.
1.	d>R. Бу очракта L әйләнәсенең һәм
а турысының уртак нокталары булмый, шуңа күрә
сфераның һәм а турысының уртак нокталары булмый
(рәс. 164, а).
2.	d=R. Бу очракта L әйләнәсенең һәм а ту¬
рысының төгәл уртак бер ноктасы була, шуңа күрә
сфераның һәм а турысының шулай ук төгәл бер уртак
ноктасы була (рәс. 164, б).
3.	d < R. Бу очракта L әйләнәсенең һәм а ту¬
рысының шулай ук ике уртак ноктасы була, шуңа күрә
сфераның һәм а турысының төгәл ике ноктасы була
(рәс. 164, в).
Сфера белән төгәл бер уртак ноктасы булган
туры сферага орынма дип, ә уртак нокта туры белән
сфераның орыну ноктасы дип атала.
Үзлегегездән исбатлагыз:
сфераның һәм турының орыну ноктасына
үткәрелгән сфераның радиусы бу турыга перпенди¬
куляр була;
сфераның радиусы аның очы аша үтүче
сферада яткан турыга перпендикуляр булса, бу туры
сферага орынма була.
Хәзер О үзәкле сферага А ноктасы аша үтүче
һәм сферага В һәм С нокталарында орынучы ике орын¬
маны тикшерик (рәс. 165). АВ һәм АС кисемтәләрен
А ноктасыннан үткәрелгән орынма кисемтәләре дип
атыйк. Алар мондый үзлеккә ия: бер ноктадан үткәрел¬
гән сферага орынма кисемтәләре тигез һәм бу нокта
һәм сфера үзәге аша үтүче туры белән тигез почмак¬
лар төзиләр.
Бу үзлек турыпочмаклы АВО һәм АСО өч¬
почмакларыннан килеп чыга (аларның уртак АО гипо¬
тенузасы һәм сфераның радиусына тигез булган ОВ һәм
ОС катетлары бар).
TJ
Рәс. 164
Рәс. 165
70* Цилиндрик өслеккә камалган сфера
Әгәр сфера цилиндрик өслекнең барлык
төзүчеләренә орынса, сфера цилиндрик өслеккә камал¬
ган, диләр.
145
Цилиндр, конус һәм шар

Радиусы г булган О һәм O1 үзәкле түгәрәк¬
ләр һәм цилиндрик өслек белән чикләнгән цилиндрны,
шулай ук О үзәкле радиусы г булган S сферасын тик¬
шерик (рәс. 166). О ноктасыннан һәр төзүчегә кадәрге
ераклык сфера радиусына тигез булганлыктан, бу сфера
барлык төзүчеләргә орына, ягъни цилиндрик өслеккә
камалган сфера була. S сферасының һәм цилиндрик
өслекнең барлык уртак нокталарының күплеге цилиндр
нигезе әйләнәсеннән гыйбарәт булуын билгеләп үтик.
Ә хәзер тикшергән цилиндрик өслекнең бер
төзүчесен кисеп үтүче һәм, димәк, барлык төзүчеләрен
кисеп үтүче нинди дә булса α яссылыгын тикшерик,
a яссылыгына һәм цилиндрик өслеккә орынучы сфера
булуын исбатлыйк.
О ноктасыннан а яссылыгына ОН перпен¬
дикуляры үткәрик (а яссылыгы О ноктасы аша үткән
очракны үзлегегездән тикшерегез) һәм А хәрефе белән
ОН нурының һәм S сферасының кисешү ноктасын там¬
галыйк (рәс. 167, а). А һәм Н нокталары тәңгәл кил¬
сәләр, <S эзләнелгән сфера була (моны нигезләгез). Әгәр
инде А һәм Н нокталары тәңгәл килмәсәләр, А нокта¬
сы аша төзүчегә параллель булган туры үткәрәбез һәм
В хәрефе ярдәмендә аның а яссылыгы белән кисешү
ноктасын тамгалыйбыз. АВ векторына параллель кү¬
чештә S сферасы OO1 турысында яткан үзәге О' бул¬
ган г радиуслы S' сферасына күчә (рәс. 167, б), шуңа
күрә бу сфера цилиндрик өслеккә орына, О' ноктасын¬
нан а яссылыгына кадәрге ераклык O'B = ОА га тигез
(ни өчен икәнен аңлатыгыз), ягъни г радиусына тигез.
Димәк, S' сферасы а яссылыгына орына, ягъни эзлә¬
нелгән була. Раслау исбатланды.
71* Коник еслеккә камалган сфера
Әгәр сфера коник өслекнең барлык төзүче¬
ләренә орынса, сфера коник өслеккә камалган, диләр.
О үзәкле түгәрәк һәм коник өслек белән чик¬
ләнгән түбәсе Р булган конусны тикшерик (рәс. 168).
φ — РО турысы һәм төзүче арасындагы почмак, S — ра¬
диусы РО ■ sin φ булган О үзәкле сфера. О ноктасын¬
нан төзүчеләрнең һәрберсенә кадәрге ераклык сфера¬
ның радиусына тигез булганлыктан, бу сфера барлык
146
Рәс. 166
8
а)
I S
б)
s
Рәс. 167
Цилиндр, конус һәм шар

төзүчеләргә орына, ягъни коник өслеккә камалган
сфера була. S сферасының һәм коник өслекнең бар¬
лык уртак нокталары күплеге конус нигезе өслегенә
параллель булган өслектә ятучы һәм конус түбәсеннән
РО ■ cos2 φ ераклыгына ераклашкан әйләнәдән гыйбарәт
(моны, 168 нче рәсемнән файдаланып, үзлегегездән ис¬
батлагыз).
РА — конус төзүчеләренең берсе, ди. Ко¬
ник өслекнең РА төзүчесен РА нурында ятучы В нокта¬
сында кисеп үтүче ниндидер а яссылыгын тикшерик,
α яссылыгына һәм коник өслеккә орынучы сфера
булуын исбатлыйк.
О ноктасыннан а яссылыгына ОН перпен¬
дикуляры үткәрик (а яссылыгы О ноктасы аша үткән
очракны үзлегегездән тикшерегез) һәм С хәрефе белән
ОН нурының һәм S сферасының кисешү ноктасын там¬
галыйк (рәс. 169). С һәм Н нокталары тәңгәл килсәләр,
S сферасы — эзләнелгән сфера (моны нигезләгез). С һәм
Н нокталары тәңгәл килмәсә, С ноктасы аша S сфера¬
сына орынучы β яссылыгын үткәрик. РМ һәм PN —
Р ноктасыннан a һәм β яссылыкларына үткәрелгән
перпендикулярлар, ди. Үзәге һәм коэффициенты га
тигез булган үзәкле охшашлык вакытында (58 нче
п. ны карагыз) β яссылыгы а яссылыгына күчә, ә коник
өслеккә һәм β яссылыгына орынучы S сферасы коник
өслеккә һәм a яссылыгына орынучы S' сферасына күчә
(моны исбатлагыз). Димәк, S' сферасы — эзләнелгән
сфера. Раслау исбатланды.
Рәс. 168
Рәс. 169
s
72* Цилиндрик өслекләрнең кисемнәре
Кисүче өслек цилиндрик өслекнең төзүче¬
сенә перпендикуляр булса, кисемнең әйләнә булуын
беләбез инде. Кисүче өслек цилиндрик өслекнең төзү¬
чесенә параллель булса, кисем ике параллель туры була
(ни өчен икәнен аңлатыгыз). Әгәр а яссылыгы төзүчегә
карата φ почмагы (0 < φ < 90°) белән үтсә, бу өслекнең
а яссылыгы белән кисеме нинди рәвештә булыр?
М — кисемнең теләсә нинди ноктасы, F1 —
а яссылыгының һәм цилиндрик өслеккә орынучы
S1 сферасының орыну ноктасы, L1 — сфераның һәм ци¬
линдрик өслекнең орыну нокталарыннан торган әйләнә,
147
Цилиндр, конус һәм шар

M1- М ноктасы белән бер төзүчедә яткан L1 әйләнәсе¬
нең ноктасы, ди (рәс. 170, a). MF1 һәм MM1 кисемтә¬
ләре — М ноктасыннан S1 сферасына үткәрелгән орын¬
ма кисемтәләре, шуңа күрә
MF1=MM1.
Хәзер цилиндрик өслеккә L2 әйләнәсе бу¬
енча, ә а яссылыгына ниндидер F2 ноктасында орыну¬
чы S2 сферасын тикшерик (S2 сферасы S1 сферасына
а яссылыгының һәм цилиндрик өслек күчәренең кисе¬
шү ноктасына карата симметрик). М2 — М ноктасы
белән бер төзүчедә яткан L2 әйләнәсенең ноктасы. MF2
һәм MM2 кисемтәләре S2 сферасына М ноктасыннан
үткәрелгән орынма кисемтәләре буларак тигез:
MF2 = MM2.
Шулай итеп,
MF1 + MF2 = MM1 + MM2 = M1M2.
Тикшерелә торган кисемнең теләсә нинди
М ноктасы өчен MF1 + MF2 суммасы MlM2 гә тигез,
ягъни L1 һәм L2 әйләнәләренең параллель яссылыклары
арасындагы ераклыкка тигез булуын күрәбез, һәм шуңа
күрә М ноктасын сайлауга бәйле түгел. Димәк, кисем¬
нең барлык нокталары а яссылыгында яткан фокуслары
F1 һәм F2 булган эллипста ята (97 нче п. ны карагыз).
Хәзер күрсәтелгән эллипсның теләсә нинди
N ноктасы кисемнең ноктасы булуын исбатлыйк. N нок¬
тасы аша цилиндрның ике төзүче аша үтүче ниндидер
β яссылыгы үткәрик (мәсәлән, күчәр кисеме яссылыгы).
Ул тикшерелә торган кисемне а һәм β яссылыкларының
кисешү сызыгы а да ятучы ике ноктада кисеп үтә,
өстәвенә бу нокталарның һәрберсе эллипсныкы була
(исбатланган буенча). Ләкин а турысының эллипс белән
икедән артык уртак ноктасы була алмый (97 нче п. ны
карагыз). Димәк, N ноктасы бу ике ноктаның берсе,
ягъни кисем ноктасы була.
Шулай итеп, цилиндрик өслекнең α яссы¬
лыгы белән кисеме эллипс була.
Рәс. 170
Искәрмә
Кисемнең барлык нокталары фокусы F1
булган эллипста ятуын башкача ачыкларга була, b —
а яссылыгының L1 әйләнәсе яссылыгы белән кисешү
сызыгы, МН — кисемнең М ноктасыннан b турысына
148
Цилиндр, конус һәм шар

үткәрелгән перпендикуляр булсын (рәс. 170, б; бу рә¬
семдә b турысының сурәте булып Н ноктасы хезмәт
итә). Ул вакытта ZHMM1 = φ һәм шуңа күрә
MM1
мн
= cos φ.
Ләкин MM1=MF1. Димәк, кисемнең һәр
М ноктасыннан F1 ноктасына кадәрге ераклыгының
М ноктасыннан b турысына кадәр ераклыгына чыгыш-
тырмасы М ноктасына бәйле булмаган һәм 1 дән кече¬
рәк cos φ санына тигез. Икенче төрле әйткәндә, кисем¬
нең һәр ноктасы фокусы F1, директрисасы Ъ һәм экс¬
центриситеты cos φ булган эллипста ята.
73* Коник өслекнең кисемнәре
Төрле яссылыклар белән коник өслекнең
кисемнәрен тикшерик. Кисүче яссылык коник өслекнең
түбәсе аша үтсә, кисем булып я ике төзүче, я бер
төзүче, я бер нокта — коник өслекнең түбәсе тора ( ни
өчен икәнен аңлатыгыз). Түбәсе аша үтмәгән α яссылы¬
гы белән кисем нинди рәвештә булыр?
φ — а яссылыгы белән коник өслек, ягъ¬
ни түгәрәк һәм бу өслек белән чикләнгән ниндидер
конусның күчәре арасындагы почмак, ди. φ = 90° бул¬
са, белгәнебезчә, кисем булып әйләнә тора, φ ≠ 90°,
Ө — коник өслек һәм аның төзүче арасындагы почмак,
М — кисемнең теләсә нинди ноктасы, F — а яссылы¬
гының һәм коник өслеккә орынучы S сферасының оры¬
ну ноктасы, L — сфераның һәм коник өслекнең орыну
нокталарыннан торган әйләнә, M1 — М ноктасы белән
бер төзүчедә яткан L әйләнәсенең ноктасы (рәс. 171),
ди. MF һәм MM1 кисемтәләре М ноктасыннан S сфе¬
расына үткәрелгән орынмаларның кисемтәләре булып
торалар, шуңа күрә MF = MMl.
М ноктасыннан L әйләнәсенең β яссылыгы¬
на МК перпендикуляры үткәрәбез, Ъ хәрефе белән α
һәм β яссылыкларының кисешү сызыгын тамгалыйбыз
һәм М ноктасыннан b турысына МН перпендикуляры
үткәрәбез. Ул вакытта ZXMMl = θ, ZKMH = φ һәм ту¬
рыпочмаклы MKM1 һәм МКН өчпочмакларыннан таба¬
быз: МК = MM1eos Ө, МК = MHcos φ. MM1 = MF булу¬
ын исәпкә алып, түбәндәге тигезлекне табабыз:
MF _ cos φ
МН ~ cos Ө ’
Рәс. 171
149
Цилиндр, конус һәм шар

cos φ < cos θ булса, кисемнең барлык нок¬
талары фокусы F һәм директрисасы Ъ булган эллип¬
ста, cos φ = cos Ө булса, фокусы F һәм директрисасы Ъ
булган параболада, cos φ > cos Ө булса, фокусы F һәм
директрисасы Ъ булган гиперболада ята. Күрсәтелгән
сызыкларның һәр ноктасы кисем ноктасы булуының
исбатланышын үзлегегездән (72 нче п. тагы исбатлауга
охшаш) үткәрегез.
Шулай итеп, кисүче яссылык һәм коник
өслекнең күчәре арасындагы почмакка бәйле рәвештә
кисем эллипс, парабола яки гипербола булырга
мөмкин. Моңа сәбәпле эллипс, парабола һәм гипербо¬
ланы коник кисемнәр дип гомуми исем белән бер¬
ләштереп йөртәләр.
Искәрмәләр
1.	cos φ ≠ cosθ булган очракта, а яссылы¬
гына һәм коник өслеккә орынучы тагын бер сфераны
тикшерергә һәм кисемнең һәр ноктасы эллипста я ги¬
перболада ята дигән тагын бер исбатлауны китерергә
була. Моны ничек эшләргә булуын уйлап карагыз.
2.	Исбатланган раслаудан әйләнәнең үзәк
проекциясе я эллипс, я парабола, я гиперболаның бер
тармагы булуы чыга (ни өчен икәнен аңлатыгыз). Бу
факт безгә тәҗрибәдән билгеле. Мәсәлән, автомобиль
фарасының якын уты — асфальтның эллипс белән,
ә ерак уты гипербола белән чикләнгән өлешен яктырта.
Мәсьәләләр
573	А һәм В нокталары ОеАВ үзәкле сферада ята, ә М ноктасы АВ
кисемтәсендә ята. а) М ноктасы АВ кисемтәсенең уртасы булса,
ОМ .LAB икәнен; б) ОМ 1АВ булса, М ноктасы АВ кисемтәсенең
уртасы икәнен исбатлагыз.
574	М ноктасы —АВ кисемтәсенең уртасы, аның очлары үзәге О бул¬
ган R радиуслы сферада ята. a) R = 50 см, АВ = 40 см булса,
ОМ ны; б) R = 15 мм, АВ = 18 мм булса, ОМ ны; в) R = 10 дм, ОМ =
= 60 см булса, АВ ны; г) R = а, ОМ = b булса, AM ны табыгыз.
575	А һәм В нокталары R радиуслы сферада ята. АВ = т булса, сфера
үзәгеннән АВ турысына кадәр ераклыкны табыгыз.
576	а) А (2; -4; 7), R = 3; б) А (0; 0; 0), R = √2j в) А (2; 0; 0), R = 4 булса,
үзәге А булган R радиуслы сфераның тигезләмәсен языгыз.
577	a) А (-2; 2; 0), N(5; 0; -1); б) А (-2; 2; 0), N (0; 0; 0); в) А (0; 0; 0),
N(5; 3; 1) булса, N ноктасы аша үтүче А үзәкле сфераның тигез¬
ләмәсен языгыз.
Цилиндр, конус һәм шар

578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
a)	x2 + y2 + z2 = 49; б) (г — З)2 + (у + 2)2 + z2 = 2 тигезләмәсе белән
бирелгән сфераның үзәге һәм радиусы координаталарын табыгыз.
Түбәндәге тигезләмәләрнең һәркайсы сфера тигезләмәсе булганын
исбатлагыз. Бу сфераның үзәге һәм радиусы координаталарын
табыгыз: a) х 2 - 4x + у2 + z2 = 0; б) x2 + y2 + z2 - 2у = 24; в) х2 +
+ 2x + y2 + z2 = 3; г) х2 - х + y2 + 3y + z2 - 2z = 2,5.
41 дм радиуслы шар үзәгеннән 9 дм ераклыкта торган яссылык
белән кистерелгән. Кисем мәйданын табыгыз.
ABC өчпочмагының түбәләре 13 см радиуслы сферада ята. АВ =
= 6 см, ВС = 8 см, АС = 10 см булса, сфера үзәгеннән өчпочмак
яссылыгына кадәр ераклыкны табыгыз.
Турыпочмаклыкның түбәләре 10 см радиуслы сферада ята. Туры¬
почмаклыкның диагонале 16 см га тигез булса, сфера үзәгеннән
турыпочмаклык яссылыгына кадәр ераклыкны табыгыз.
Өчпочмакның яклары 5 см радиуслы сферага орына. Өчпочмакның
яклары 10 см, 10 см һәм 12 см га тигез булса, сфера үзәгеннән
өчпочмак яссылыгына кадәр ераклыкны табыгыз.
ABC өчпочмагының барлык яклары да 5 см радиуслы сферага
орыналар. АВ = 13 см, ВС = 14 см, СА= 15 см булса, сфера үзә¬
геннән өчпочмак яссылыгына кадәр ераклыкны табыгыз.
Диагональләре 15 см һәм 20 см га тигез булган ромбның барлык
яклары да 10 см радиуслы сферага орыналар. Сфера үзәгеннән
ромб яссылыгына кадәр ераклыкны табыгыз.
ОН кисемтәсе — ОАВС тетраэдрының биеклеге, a) R = 6 дм,
ОЯ = 60 см; б) R=3 м, ОН = 95 см; в) R=5 дм, ОН = 45 см;
г)7? = 3,5 дм, ОН = 40 см булса, үзәге О ноктасы булган R ради¬
услы сфера белән ABC яссылыгының үзара торышын ачыклагыз.
R радиуслы шар үзәгеннән кисүче яссылыкка кадәр ераклык d га
тигез, a) R = 12 см, d = 8 см булса, кисем мәйданы 8 ны; б) кисем
мәйданы 12 см2 га тигез, d = 2 см булса, R ны исәпләп чыгарыгыз.
Сфераның радиусын урталай бүлүче нокта аша, шул радиуска пер¬
пендикуляр итеп, кисүче яссылык үткәрелгән. Сфераның радиусы
R га тигез, а) Барлыкка килгән кисемнең радиусын; б) сфераның
үзәге — түбәсе, ә барлыкка килгән кисем нигезе булган конусның
ян өслеге мәйданын табыгыз.
Кисүче яссылык R радиуслы сфера диаметрының очы аша аның
белән α га тигез почмак ясап үтә. a) R = 2 см, a = 30°; б) R = 5 м,
a = 45° булса, килеп чыккан кисемнең әйләнә озынлыгын табыгыз.
Бирелгән шарның чиге булган R радиуслы сфераның ноктасы
аша ике яссылык үткәрелгән, аларның берсе — орынма яссылык,
ә икенчесе орынма яссылыкка φ почмагы ясап авышкан. Бирел¬
гән шарның кисем мәйданын табыгыз.
Сфера 120° лы икекырлы почмакның кырларына орына. Сфера
үзәгеннән икекырлы почмакның кабыргасына кадәрге ераклык
а га тигез булса, сфераның радиусын һәм орыну нокталары ара¬
сындагы ераклыкны табыгыз.
Цилиндр, конус һәм шар

592
593
594
595
596
597
598
599
600
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Сфераның радиусы 112 см га тигез. Сферага орынма яссылыктагы
нокта орыну ноктасыннан 15 см ераклыкта урнашкан. Бу нок¬
тадан сфераның иң якын ноктасына кадәр ераклыкны табыгыз.
Радиусы: а) 6 см; б) 2 дм; в) y∣2 м; г) 2л/з см га тигез булса, сфера¬
ның мәйданын табыгыз.
Сфераның үзәге аша үтүче кисем мәйданы 9 м2 га тигез. Сфераның
мәйданын табыгыз.
Сфераның мәйданы 324 см2 га тигез. Сфераның радиусын табыгыз.
Ике сфераның мәйданы аларның радиусларының квадратына про¬
порциональ икәнен исбатлагыз.
Мәйданы 5 м радиуслы сфера мәйданына тигез булган түгәрәкнең
радиусын исәпләп чыгарыгыз.
Сфераның ике параллель кисеменең радиуслары 9 см һәм 12 см га
тигез. Ике кисүче яссылык арасындагы ераклык 3 см га тигез.
Сфераның мәйданын табыгыз.
Сфераның үзара перпендикуляр яссылык белән кисеменең радиус¬
лары r1 һәм r2 гә тигез. Кисемнәрнең бердәнбер уртак ноктасы
булса, сфераның мәйданын табыгыз.
Квадратны бер ягы тирәсендә әйләндерүдән килеп чыккан ци¬
линдрның тулы өслеге радиусы квадратның ягына тигез булган
сфера мәйданына тигез икәнен исбатлагыз.
VI	бүлеккә сораулар
Цилиндрның нигез яссылыгы белән цилиндрның төзүчесе аша
үтүче яссылык арасындагы почмак нәрсәгә тигез?
Цилиндрның аның төзүчесенә параллель яссылык белән кисеме
нәрсәдән гыйбарәт?
Цилиндрның нигезендә бер-берсенә параллель булмаган ике хор¬
да алынган. Бу хорда нокталары арасындагы иң кыска ераклык:
а)	цилиндрның биеклегенә тигез; б) цилиндрның биеклегеннән
зуррак; в) цилиндрның биеклегеннән кечерәк булуы мөмкинме?
Ике цилиндрик деталь бердәй калынлыктагы никель катламы
белән каплана. Беренче детальнең биеклеге икенчесенең биекле¬
геннән ике тапкыр зуррак, ләкин аның нигез радиусы икенче
детальнең нигез радиусыннан ике тапкыр кечерәк. Кайсы детальгә
күбрәк никель тотылыр?
Конусның төзүчеләре белән: а) нигез яссылыгы; б) күчәре ара¬
сындагы почмаклар бер-берсенә тигезме?
Конусның түбәсе аша үтүче яссылык белән кисеме нәрсәдән гый¬
барәт?
А һәм В — шар нокталары. АВ кисемтәсенең теләсә кайсы нокта¬
сы бу шарныкы буламы?
Катетлары 4 см һәм 2y∣2 см булган турыпочмаклы өчпочмакның
барлык түбәләре дә √5^см радиуслы сферада ятуы мөмкинме?
Уртак үзәкле һәм радиуслары тигез булмаган ике сфера уртак
орынма яссылыкка ия булуы мөмкинме?
Цилиндр, конус һәм шар

10
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
Пространствоның бирелгән кисемтә туры почмак булып күренә
торган барлык нокталары күплеге нәрсәдән гыйбарәт?
Өстәмә мәсьәләләр
Цилиндрның күчәр кисеме мәйданы S ка тигез. Нигез радиусы¬
ның уртасы аша шул радиуска перпендикуляр үтүче яссылык
белән цилиндрның кисем мәйданын табыгыз.
ABCD турыпочмаклыгының А һәм В түбәләре — цилиндр нигезе¬
нең бер әйләнәсендә, ә С һәм D түбәләре икенче нигез әйләнәсендә
ята. Цилиндрның төзүчесе а га тигез, АВ = а, ә ВС турысы белән
нигез яссылыгы арасындагы почмак 60° ка тигез булса, аның ра¬
диусын исәпләп чыгарыгыз.
Яссылык цилиндр күчәренә параллель һәм бу яссылык белән күчәр
арасындагы ераклык цилиндрның радиусына тигез булса, яссылык
цилиндрның бары тик бер генә төзүчесен эченә алганын исбатлагыз.
(Бу очракта яссылык цилиндрга орынма яссылык дип атала.)
Турыпочмаклыкны тигез булмаган яклары тирәсендә әйләндер¬
гәндә, тулы өслегенең мәйданнары S1 һәм S2 гә тигез булган ци¬
линдрлар килеп чыга. Турыпочмаклыкның диагонален табыгыз.
Цилиндрның күчәр кисеме: а) квадрат; б) AB ∙.AD= 1 : 2 булган
ABCD турыпочмаклыгыннан торса, цилиндрның тулы өслеге мәй¬
данының аның ян өслеге мәйданына чагыштырмасын табыгыз.
Цилиндрның ян өслеге мәйданы аның күчәр кисемен камаучы
түгәрәк мәйданына тигез. Цилиндр радиусының аның биеклегенә
чагыштырмасын табыгыз.
Цилиндрның күчәр кисеменең периметры 2р булганда, иң зур ян
өслек мәйданына ия булган цилиндрның биеклеген һәм радиусын
табыгыз.
Цилиндрик формадагы стаканның ян-ягының һәм төбенең ка¬
лынлыгы 1 см га, стаканның биеклеге 16 см га, ә эчке радиусы
5 см га тигез. Стаканның тулы өслеген исәпләп чыгарыгыз.
Түгәрәкнең чирек өлеше коник өслек итеп төрелгән. Конусның тө¬
зүчесе нигез радиусыннан дүрт тапкыр зуррак икәнен исбатлагыз.
Өч парлы-парлы перпендикуляр төзүчеләргә ия булган конуста
күчәр кисеменең түбә янындагы почмагының косинусын табыгыз.
Конусның нигез мәйданы S1 гә, ян өслеге мәйданы So гә тигез.
Конусның күчәр кисеме мәйданын табыгыз.
Конусның ян һәм тулы өслегенең мәйданнары чагыштырмасы гә
8
тигез. Конусның төзүчесе белән нигез яссылыгы арасындагы поч¬
магын табыгыз.
Конусның түбәсе һәм нигезенең 120° лы дуганы тартып торучы
хордасы аша нигез яссылыгы белән 45° лы почмак ясаучы кисем
үткәрелгән. Нигезенең радиусы 4 см га тигез булса, кисем мәй¬
данын табыгыз.
Конусның ян өслегенең җәелмәсе 270° лы сектор булса, аның биек¬
леге белән төзүчесе арасындагы почмакны табыгыз.
Цилиндр, конус һәм шар

615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
Катетлары а һәм b булган турыпочмаклы өчпочмак гипотенузасы ти¬
рәсендә әйләнә. Килеп чыккан җисемнең өслек мәйданын табыгыз.
Нигезләре 6 см һәм 10 см га тигез, ә кысынкы почмагы 60° булган
тигезьянлы трапеция зур нигезе тирәсендә әйләнә. Килеп чыккан
җисемнең өслек мәйданын табыгыз.
Конусның биеклеге 4 см га, ә нигез радиусы 3 см га тигез, а) п = 3;
б)	п = 4; в) п = 6 булса, конуска камаулы η-почмаклы төзек пира¬
миданың тулы өслек мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
Кисек конуста күчәр кисеменең диагональләре перпендикулярлар.
Күчәр кисеменең бер нигезе 40 см га, ә мәйданы 36 дм2 га тигез.
Кисек конусның ян һәм тулы өслекләрен исәпләп чыгарыгыз.
а)	Сфера үзәге сфераның симметрия үзәге икәнен; б) сфераның
үзәге аша үтүче теләсә нинди туры сфераның симметрия күчәре
икәнен; в) сфераның үзәге аша үтүче теләсә нинди яссылык сфера¬
ның симметрия яссылыгы икәнен исбатлагыз.
Катетлары 1,8 см һәм 2,4 см га тигез булган турыпочмаклы өчпоч¬
макның түбәләре сферада ята. а) Сфераның радиусы 1,5 см га ти¬
гез булса, сфераның үзәге өчпочмак яссылыгында ятканын исбат¬
лагыз. б) Сфераның радиусы 6,5 см га тигез булса, сфера үзәгеннән
өчпочмак яссылыгына кадәрге ераклыкны табыгыз.
А ноктасы О үзәкле бирелгән сфераның радиусында ята һәм бу
радиусны, сфераның үзәгеннән исәпләгәндә, 1 : 2 чагыштырмасын¬
да бүлә. А ноктасы аша, а яссылыгына орынучы О үзәкле сфера¬
ның радиусы бирелгән сфераның радиусыннан 6 тапкырга кечерәк
булырлык итеп, а яссылыгы үткәрелгән, а) ОА турысы белән а яс¬
сылыгы арасындагы почмакны; б) бирелгән сфераның α яссылыгы
белән кисем мәйданының сфераның үзенең мәйданына чагыштыр¬
масын табыгыз.
(х — 3)2 + y2 + (z + 5)2 = 25 тигезләмәсе белән бирелгән сфераның
координата күчәрләре белән кисешү нокталарының координата-
ларын табыгыз.
x2 + y2 + z2 = 36 сферасының М(2; 4; 5) ноктасы аша үтүче һәм абс¬
циссалар күчәренә перпендикуляр яссылык белән кисеменең ра¬
диусын табыгыз.
Ике турыпочмаклык төрле яссылыкларда ята һәм уртак якка ия.
Бирелгән турыпочмаклыкларның барлык түбәләре дә бер сферада
ятуын исбатлагыз.
Ике тигез сфераның үзәкләре арасындагы ераклык аларның диа¬
метрыннан кечерәк, а) Бу сфераларның әйләнә буйлап кисешкәнен
исбатлагыз, б) Сфераларның радиусы R га, ә аларның үзәкләре
арасындагы ераклык 1,61? га тигез булса, бу әйләнәнең радиусын
табыгыз.
А, В, С һәм D нокталары R радиуслы сферада яталар, шуның белән
бергә ZADB = ZBDC = ZCDA = 2φ, AD = BD = CD. a)AB һәм AD ны;
б)	сфераның ABC яссылыгы белән кисеменең мәйданын табыгыз.
Пирамиданың нигезе конус нигезенә камаулы, ә түбәсе конус түбәсе белән
тәңгәл килсә, ул конуска камаулы пирамида дип атала.
154 Цилиндр, конус һәм шар

627	Сфераның радиусы 10 см га тигез. Сферадан читтә — аның иң
якын ноктасыннан 16 см ераклыкта — М ноктасы бирелгән. Сфе¬
рада барлык нокталары М ноктасыннан 24 см ераклыктагы әйлә¬
нәнең озынлыгын табыгыз.
628	Җисем уртак үзәкле ике сфера белән чикләнгән. Бу җисемнең
сфераларның үзәге аша үтүче яссылык белән кисеменең мәйданы
эчке сферага орынма яссылык белән кисеменең мәйданына тигез
икәнен исбатлагыз.
Күпкырлыклар, цилиндр, конус һәм шар белән
төрле мәсьәләләр
Бу бүлектәге мәсьәләләрдә очраячак кайбер терминнарны ачыклап
китик. Сфера күпкырлыкның барлык кырларына да орынса, ул
күпкырлык сфераны камаучы дип аталганын исегезгә төшерәбез.
Бу вакытта сфера күпкырлыкка камаулы дип атала. Күпкыр¬
лыкның барлык түбәләре сферада ятса, ул сферага камаулы дип
атала. Бу вакытта сфера күпкырлыкны камаучы дип атала.
629	Цилиндрга камаулы өчпочмаклы призманың* бер кыры цилиндр¬
ның үзәге аша үтсә, аның калган ике кыры үзара перпендикуляр
икәнен исбатлагыз.
630	Биеклеге 12 см га тигез конуска пирамида камалган. Пирами¬
даның нигезе — яклары 6 см һәм 8 см булган турыпочмаклык.
Пирамида һәм конусның тулы өслекләренең мәйданнары чагыш¬
тырмасын табыгыз.
631	Кисек конуска η-почмаклы төзек кисек пирамида камалган (ягъни
пирамиданың нигезләре кисек конусның нигезләренә камалган).
Кисек конусның нигез радиуслары 2 см һәм 5 см га, ә биеклеге
4 см га тигез, а) и = 3; б) η = 4; в) η = 6 булганда, пирамиданың
тулы өслек мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
632	Төзек призмага сфера камап булса, бу призма нигезенең үзәкләрен
тоташтыручы кисемтәнең уртасы сфераның үзәге булганын исбат¬
лагыз.
633	Төзек пирамидага камаулы сфераның үзәге бу пирамиданың биек¬
легендә ятканын исбатлагыз.
634	Сфераның радиусы R га тигез. Күпкырлык а) куб; б) алтыпочмак¬
лы төзек призма; в) төзек тетраэдр булса, сфераны камаучы
күпкырлыкның тулы өслеге мәйданын табыгыз.
635	R радиуслы сфераны түбә янындагы яссы почмагы α га тигез бул¬
ган дүртпочмаклы төзек пирамида камап тора, а) Пирамиданың
ян өслеге мәйданын табыгыз, б) Бу мәйданны R = 5 см, а = 60°
булганда исәпләп чыгарыгыз.
636	Дүртпочмаклы төзек кисек пирамидага сфера камап булса, пира¬
миданың апофемасы аның ян кырының нигез яклары ярымсумма-
сына тигез икәнен исбатлагыз.
Призманың нигезләре цилиндрның нигезләренә камалган булса, призма
цилиндрга камаулы дип атала.
Цилиндр, конус һәм шар

637	а) Төзек призманы камаучы сфераның үзәге бу призманың нигез
үзәкләрен тоташтыручы кисемтәнең уртасында ятканын; б) төзек
пирамиданы камаучы сфераның үзәге бу пирамиданың биекле¬
гендә яки аның дәвамында ятканын исбатлагыз.
638	а) Теләсә нинди тетраэдрны сфера белән камап булганын; б) теләсә
нинди тетраэдрга сфера камалырга мөмкин икәнен исбатлагыз.
639	Сфераның радиусы R га тигез, а) Сферага камаулы кубның; б) биек¬
леге R га тигез булган камаулы алтыпочмаклы төзек призманың;
в)	камаулы төзек тетраэдрның тулы өслеге мәйданын табыгыз.
640	Өчпочмаклы төзек пирамиданың нигезенең ягы а га, ә ян кабыр¬
гасы 2а га тигез. Камаулы һәм камаучы сфераларның радиус¬
ларын табыгыз.
641	Дүртпочмаклы төзек пирамидага камаулы һәм аны камаучы сфе¬
раларның радиуслары 2 см һәм 5 см га тигез. Пирамида нигезенең
ягын һәм биеклеген табыгыз.
642	Сфера цилиндрга камалган (ягъни ул цилиндрның нигезләренә
һәм һәр төзүчесенә орына, рәс. 172, а). Сфера мәйданының ци¬
линдр тулы өслеге мәйданына чагыштырмасын табыгыз.
643	Күчәр кисеменең түбә янындагы почмагы — φ гә, нигез радиу¬
сы г га тигез булган конуска R радиуслы сфера камалган (ягъни
сфера конусның нигезенә һәм һәр төзүчесенә орына, рәс. 172,6).
a) R һәм φ билгеле булса, г ны; б) г һәм φ билгеле булса, R ны;
в)	R = 1 см, г = ү/з см булса, φ не табыгыз.
644	Конуска г радиуслы сфера камалган. Конусның төзүчесе белән ни¬
гезе арасындагы почмагы α га тигез булса, конусның тулы өслеге
мәйданын табыгыз.
645	Цилиндр сферага камалган (ягъни цилиндрның нигезләре сфе¬
раның кисемнәре булып тора, рәс. 173, а). Цилиндрның биекле¬
ге нигезенең диаметрына тигез булса, цилиндрның тулы өслеге
мәйданының сфера мәйданына чагыштырмасын табыгыз.
646	Күчәр кисеменең түбә янындагы почмагы φ гә, нигезенең радиу¬
сы г га тигез булган конус R радиуслы сферага камалган (ягъни
конусның түбәсе сферада ята, ә конусның нигезе сфераның кисеме
булып тора, рәс. 173, б). a) R һәм φ билгеле булса, г ны; б) г һәм
φ билгеле булса, R ны; в) R = 2г булса, φ не табыгыз.
Цилиндр, конус һәм шар

VII	бүлек
Җисемнәрнең күләмнәре
Турыпочмаклы
параллелепипед күләме
74	Күләм төшенчәсе
Җисемнең күләм төшенчәсе яссы фигура¬
ның мәйдан төшенчәсенә охшаш рәвештә кертелә.
Планиметрия курсыннан һәр күппочмакның мәйданы
сайлап алынган мәйдан үлчәү берәмлеге ярдәмендә
үлчәнгәне билгеле. Гадәттә, мәйдан үлчәү берәмлеге
сыйфатында ягы кисемтәләрне үлчәү берәмлегенә тигез
булган квадрат алына.
Аналогик рәвештә тикшерелә торган һәр
җисемнең күләмен сайлап алынган күләмнәрне үлчәү
берәмлеге ярдәмендә үлчәргә мөмкин дип исәпләрбез.
Күләмнәрне үлчәү берәмлеге итеп кабыргасы кисемтә¬
ләрне үлчәү берәмлегенә тигез булган кубны кабул итәр¬
без. Кабыргасы 1 см га тигез кубны куб сантиметр дип
атыйлар һәм см3 рәвешендә тамгалыйлар. Куб метр (м3),
куб миллиметр (мм3) һ. б. аналогик рәвештә билгеләнә.
Күләмне мәйданнарны үлчәгән кебек үк үл¬
чиләр. Сайлап алынган үлчәү берәмлегендә һәр җисем¬
нең күләме уңай сан белән аңлатыла, бу сан күләмнәрне
үлчәү берәмлегенең һәм шул берәмлек өлешләренең би¬
релгән җисемдә ничә тапкыр урнашуын күрсәтә. Бил¬
геле, җисемнең күләмен аңлаткан сан күләмнәрне үлчәү
берәмлеген сайлап алуга бәйле, шуңа күрә бу саннан
соң күләмнәрне үлчәү берәмлеге күрсәтелә. Мәсәлән,
күләмнәрне үлчәү берәмлеге сыйфатында 1 см3 алынса
һәм ниндидер җисемнең V күләме 2 гә тигез булса, ул
вакытта V = 2 см3 дип язалар.
Әгәр ике җисем тигез булса, аларның һәр-
кайсы күләмнәрне үлчәүнең бер үк сандагы берәмлеген
һәм аның өлешләрен эченә алырлар, ягъни күләмнәр¬
нең түбәндәге үзлеге урынлы булыр:
1°. Тигез җисемнәр тигез күләмгә ия.
Искәрмә
Ике фигураның, аерым алганда ике җисем¬
нең, тигезлеге стереометриядә дә планиметриядәге кебек
үк билгеләнә: бер җисемне икенчесенә салып карау
юлы белән тәңгәл китереп булса, алар тигез дип атала.
Җисемнәрнең, күләмнәре

Тигез җисемнәргә мисал итеп, тиңдәшле үлчәнешләре
тигез булган ике турыпочмаклы параллелепипедны
(рәс. 174, а), нигезләре һәм биеклекләре тигез булган
ике туры призманы, тиңдәшле рәвештә нигезләренең
яклары һәм биеклекләре тигез булган ике төзек пира¬
миданы (рәс. 174, б) алырга була. Күрсәтелгән очрак¬
ларның һәркайсында ике җисемнең тигезлеген салып
карау һәм фигураларның тигезлеге аксиомалары ниге¬
зендә исбатларга мөмкин (2 нче кушымтаны кара).
Күләмнәрнең тагын бер үзлеген тикшерик.
Җисем берничә җисемнән төзелгән булсын, ди. Ул ва¬
кытта бу җисемнәрнең теләсә кайсы икесенең уртак
эчке нокталары булмый, ләкин уртак чик нокталарга
ия дип исәпләнә (175 нче рәс. кара, Q цилиндры белән
F конусы уртак чик нокталарга ия, болар — аларның
уртак нигез нокталары). Җисемнең тулаем күләме әлеге
җисемне төзүче җисемнәрнең күләмнәрен кушып табы¬
луы билгеле. Шулай итеп,
2°. Җисем берничә җисемнән төзелгән булса,
аның күләме бу җисемнәрнең күләмнәре суммасына тигез.
1° һәм 2° үзлекләре күләмнәрнең төп үзлек¬
ләре дип атала. Кисемтәләрнең озынлыклары һәм күп¬
почмакларның мәйданнары аналогик үзлекләргә ия
икәнен исегезгә төшереп үтәбез. Киләчәктә без, бу үз¬
лекләргә нигезләнеп, параллелепипед, призма, пирами¬
да, цилиндр, конус, шарның күләмен исәпләү өчен,
формулалар чыгарырбыз.
Башта 1° һәм 2° үзлекләреннән чыгучы бер
нәтиҗәне билгеләп үтик. Күләмнәрне үлчәү берәмлеге
итеп кабул ителгән кубны тикшерербез. Аның кабыр¬
гасы кисемтәләрне үлчәү берәмлегенә тигез. Бу кубның
һәр кабыргасын п тигез кисәккә бүләбез (га — ирекле
рәвештә алынган бөтен сан) һәм бүлү нокталары аша бу
кабыргага перпендикуляр яссылыклар үткәрәбез. Куб
кабыргасы булган га санына тигез кечкенә кубларга
бүленә. Барлык кечкенә кубларның күләмнәре сум¬
масы кубның тулы күләменә тигез (2° үзлеге), ягъни
1 гә тигез булганга, һәр кечкенә кубның күләме ка
тигез (кечкенә кубларның күләме, 1° үзлеге буенча,
бер-берсенә тигез). Шулай итеп, кабыргасы — булган
1	n
кубның күләме -А ка тигез.
п
Бу факт безгә киләсе пунктта турыпочмак¬
лы параллелепипедның күләм формуласын чыгарганда
кирәк булачак.
Рәс. 175
158
Җисемнәрнең күләмнәре

75	Турыпочмаклы параллелепипедның
күләме
Теорема
Турыпочмаклы параллелепипедның күләме аның өч
үлчәнешенең тапкырчыгышына тигез.
▼ Исбатлау
Турыпочмаклы Р параллелепипедының үл¬
чәнешләрен а, Ь, с хәрефләре белән, ә күләмен V хәрефе
белән тамгалыйк һәм V = abc икәнен исбатлыйк.
Ике очрак булуы мөмкин.
1) a, Ь һәм с ның үлчәнешләре өтердән соң
тамгалар саны п нан зур булмаган (n ≥ 1 дип исәпләргә
мөмкин) чикле унарлы вакланмалардан гыйбарәт. Бу
очракта a∙10", Ь·10" һәм с·10" бөтен саннар була.
Параллелепипедның һәр кабыргасын —; озынлыкта¬
гы тигез кисәкләргә бүлеп, һәр бүлү ноктасы аша бу
кабыргага перпендикуляр яссылыклар үткәрәбез. Р па¬
раллелепипеды кабыргасы булган abc ■ Ю3" нә ти¬
гез кубка бүленер. Мондый һәр кубның күләме нә
тигез булганга күрә (74 нче п. ны кара), Р параллеле¬
—V- = abc була.
103n
пипедының тулаем күләме abc ■103n
Шулай итеп, V=abc.
2) a, Ь һәм с үлчәнешләренең берсе булса
да чиксез унарлы вакланмадан тора, а, Ь, с саннарын¬
да өтердән соңгы, (п + 1) нче урыннан башлап, барлык
цифрларны алып ташлаганнан соң килеп чыккан an, bn,
сп чикле унарлы вакланмаларын тикшерик, an ≤ a ≤ a'n
(биредә a'n = an+ ^) икәнлеге ачык, шундый ук тигез¬
сезлекләр Ь һәм с өчен дә дөрес. Бу тигезсезлекләрне
тапкырлап табабыз:
anbncn≤abc≤a'nb'nc'n, биредә b'n=bn + -⅛, c'n=cn+^. (1)
Беренче очракта исбатлаган буенча, (1) нең
сул кисәге — үлчәнешләре an, bn, сп булган турыпоч¬
маклы Рп параллелепипедының күләме Vn, ә уң кисәге
үлчәнешләре a'n, b'n, c'n булган турыпочмаклы P'n парал¬
лелепипедының күләме V'n була. Р параллелепипеды
Рп параллелепипедын үз эченә алганга, ә үзе исә P'n
параллелепипеды эчендә урнашканга күрә (рәс. 176),
Җисемнәрнең күләмнәре

Р параллелепипедының V күләме Vn = anbncn һәм
V'n = a,nb'nc'n күләмнәре арасында урнаша, ягъни
anb∏cn ≤ v ≤ a'nb'nc'n.	(2)
п ны чикләнмәгән рәвештә зурайтыйк. Ул
вакытта ψpj77 саны теләгән кадәр кечкенә булачак, һәм
шуңа күрә a'nb'nc'n саны anbncn саныннан теләгән кадәр аз
аерылыр. Моннан (1) һәм (2) тигезсезлекләре нигезендә
V санының abc саныннан теләгән кадәр аз аерылганлы¬
гы килеп чыга. Димәк, алар тигез: V = abc, шуны исбат
итәргә кирәк иде дә. Л
1	нче нәтиҗә
Турыпочмаклы параллелепипедның күләме нигез мәйданы белән
биеклегенең тапкырчыгышына тигез.
Дөрестән дә, кабыргалары а һәм b булган
кырын нигез итеп алыйк. Ул вакытта нигезнең мәй¬
даны S = ab була, ә параллелепипедның биеклеге һ исә
с га тигез. Шулай булгач,
V=abc = Sh.
2	нче нәтиҗә
Нигезе турыпочмаклы өчпочмак булган туры призманың күләме
нигез мәйданы белән биеклегенең тапкырчыгышына тигез.
Бу раслауны исбатлау өчен, нигезе ABC
(ZA — туры) булган өчпочмаклы туры призманы, 177 нче
рәсемдә күрсәтелгәнчә, турыпочмаклы параллелепипед¬
ка кадәр җиткерәбез. 1 нче нәтиҗә буенча, бу парал¬
лелепипедның күләме 2Sabc · һ ка тигез, биредә Sabc —
ABC өчпочмагының мәйданы, һ — призманың биеклеге.
B1BC яссылыгы параллелепипедны ике тигез туры
призмага бүлә, аларның берсе — бирелгән параллелепи¬
пед. (Бу призмалар тигез, чөнки аларның нигезләре һәм
биеклекләре тигез.) Шулай булгач, бирелгән призманың
күләме V параллелепипед күләменең яртысына тигез,
ягъни: V = Sabc ■ һ, шуны исбатларга кирәк иде дә.
Искәрмә
Ягы а булган квадратны тикшерик. Пифа¬
гор теоремасы буенча, аның диагонале y∣2a га тигез,
шуңа күрә аның өстендә төзелгән квадратның мәйданы
бирелгән квадратның мәйданыннан ике тапкырга зур¬
рак. Шулай итеп, мәйданы әлеге квадрат мәйданыннан
ике тапкырга зуррак булган квадрат ягын төзү кыен¬
лык тудырмый.
160
Рәс. 177
Җисемнәрнең күләмнәре

Хәзер ягы а булган кубны тикшерик. Со¬
рау: циркуль һәм линейка ярдәмендә күләме әлеге
куб мәйданыннан ике тапкырга зуррак булган кубның
ягын төзергә, ягъни √2 а га тигез булган кисемтә
төзергә буламы? Кубны икеләтү турындагы мәсьәлә
дип аталып йөртелгән бу мәсьәлә борынгы заманда ук
тәгъбирләнгән булган. Ләкин 1837 елда гына француз
математигы Пьер Лоран Ванцель (1814—1848) мон¬
дый төзүне башкарып булмаганлыгын исбатлаган. Бер
үк вакытта аның тарафыннан төзүгә карата тагын бер
мәсьәләнең — почмакның трисекциясе (теләсә нинди
бирелгән почмакны өч тигез почмакка бүлү) турында¬
гы мәсьәләнең хәл ителмәве исбатланган. Төзүгә кара¬
та классик хәл ителмәүче мәсьәләләр рәтенә шулай ук
түгәрәкнең квадратурасы (мәйданы бирелгән түгәрәкнең
мәйданына тигез булган квадратны төзү) турында
мәсьәлә керә. Мондый төзүне башкарып булмаганлы¬
гы 1882 елда немец математигы Карл Луиз Фердинанд
Линдеман (1852—1939) тарафыннан исбатланган.
Мәсьәләләр
647.
648
649
650
651
652
653
654
R җисеме тиңдәшле рәвештә күләмнәре V1 һәм V2 булган Р һәм Q
җисемнәреннән тора, а) Р һәм Q җисемнәренең уртак эчке нокта¬
лары булмаганда; б) Р һәм Q җисемнәренең күләме — V1 гә тигез
О
булган уртак кисәге булганда, R җисеменең күләме V ны V1 һәм
V2 аша күрсәтегез.
a) а = 11, b = 12, һ = 15; б) a = 3√2, b = √5, һ = lθ√Γθ! в) а = 18,
b — 5л/з, һ = 13; г) a = 3-^-, b = √5, һ = 0,96 булса, нигезенең яклары
О
а һәм Ъ га, биеклеге һ ка тигез турыпочмаклы параллелепипедның
күләмен табыгыз.
а) АС =12 см; б) AC1 = 3√2 м; в) DE = 1 см (биредә Е —АВ кабырга¬
сының уртасы) булса, ABCDAγBlCxDi кубының күләмен табыгыз.
Турыпочмаклы параллелепипедның үлчәнешләре 8 см, 12 см һәм
18 см га тигез. Күләме шушы параллелепипед күләменә тигез бул¬
ган кубның кабыргасын табыгыз.
Кирпеч үлчәнешләре 25 см, 12 см һәм 6,5 см булган туры¬
почмаклы параллелепипед формасында. Кирпечнең тыгызлыгы
1,8 г/см3 га тигез. Аның массасын табыгыз.
AC1 = 13 см, BZ)=12 см һәм BC1 = 11 см булса, ABCBA1B1C1B1
турыпочмаклы параллелепипедының күләмен табыгыз.
Турыпочмаклы параллелепипедның диагонале 18 см га тигез һәм
ян кыр яссылыгы белән 30° лы почмак, ә ян кабыргасы белән
45° лы почмак төзи. Параллелепипедның күләмен табыгыз.
Турыпочмаклы параллелепипедның диагонале ян кыр яссылы¬
гы белән α почмагы һәм нигез яссылыгы белән β почмагы төзи.
Параллелепипедның биеклеге һ ка тигез булса, аның күләмен та¬
быгыз.
Җисемнәрнең күләмнәре

655	Турыпочмаклы параллелепипедның нигезенең яклары а һәм b га
тигез. Параллелепипедның диагонале нигезенең b ягын эченә
алган ян кыры белән 30° лы почмак төзи. Параллелепипедның
күләмен табыгыз.
656	Турыпочмаклы ABCDA1B1C1D1 параллелепипедында BlD диагона¬
ле нигез яссылыгы белән 45° лы почмак төзи, ә икекырлы A1B1BD
почмагы 60° ка тигез. Нигезенең диагонале 12 см га тигез булса,
параллелепипедның күләмен табыгыз.
657	a) AC1 = 1 м, ZC1AC = 45o, ∠C1AB = 60°; б) AC1 = 24 см, ZC1AA1 =
= 45o, AC1 диагонале ян кыр яссылыгы белән 30° лы почмак төзе¬
сә, турыпочмаклы ABCBA1B1C1I)1 параллелепипедының күләмен
табыгыз.
658	ZBAC = 90°, ВС = 37 см, АВ = 35 см, AA1 = 1,1 дм булса, туры
ABCA1B1C1 призмасының күләмен табыгыз.
s2
Туры призманың һәм цилиндрның күләме
76	Туры призманың күләме
Теорема
Туры призманың күләме нигезенең мәйданы белән
биеклегенең тапкырчыгышына тигез.
▼ Исбатлау
Башта теореманы өчпочмаклы туры приз¬
ма өчен, аннары ирекле рәвештә алынган туры призма
өчен исбатларбыз.
1.	Күләме V, биеклеге һ булган өчпочмаклы
туры ABCA1B1C1 призмасын тикшерик. ABC өчпочмагын
ике өчпочмакка бүлә торган биеклек (178 нче рәсемдә
BD кисемтәсе) үткәрик (өчпочмакның кимендә бер би¬
еклеге бу шартны канәгатьләндерә). BBγD яссылыгы
бирелгән призманы нигезләре турыпочмаклы ABD һәм
BDC өчпочмаклары булган ике призмага бүлә. Шуңа
күрә бу призмаларның күләмнәре Vl һәм V2 тиңдәшле
рәвештә SABD-h һәм SBDC-h ка тигез. Күләмнәрнең 2°
үзлеге буенча, V= V1 + V2, ягъни V = Sabd ■ һ + Sbdc ■ һ =
~ (Sabd + &bdc ) ‘ Шул рәвешле,
V= Sabc ■ һ.	(1)
2.	Хәзер теореманы биеклеге һ һәм нигез
мәйданы S булган ирекле рәвештә алынган туры призма
өчен исбатлыйк. Андый призманы биеклеге һ ка тигез
булган өчпочмаклы туры призмаларга бүләргә мөмкин.
Рәс. 178
162
Җисемнәрнең күләмнәре

Мәсәлән, 179 нчы рәсемдә бишпочмаклы призма сурәт¬
ләнгән, ул өч өчпочмаклы туры призмага бүленгән. Ь.әр
өчпочмаклы призманың күләмен (1) формуласы буенча
күрсәтәбез һәм бу күләмнәрне кушабыз. Уртак тапкыр¬
лаучы һ ны җәя тышына чыгарып, җәя эчендә өчпоч¬
маклы призмаларның нигез мәйданнарының суммасын,
ягъни баштагы призманың нигез мәйданы S ны таба¬
быз. Шул рәвешле, баштагы призманың күләме S · һ
тапкырчыгышына тигез. Теорема исбатланды. Δ
77	Цилиндрның күләме
Призманың нигезләре цилиндр нигезләренә
камалган булса, аны цилиндрга камалган диләр (рәс.
180, а), ә призманың нигезләре цилиндрның нигезләрен
камаса, аны цилиндрны камаучы диләр (рәс. 180, б).
Цилиндрга камаулы яки аны камаучы теләсә нинди
призманың биеклеге цилиндр биеклегенә тигез булуы
үзеннән-үзе аңлашыла.
Теорема
Е
Рәс. 179
Цилиндрның күләме нигезенең мәйданы белән биек¬
легенең тапкырчыгышына тигез.
▼ Исбатлау
Радиусы г һәм биеклеге һ булган бирелгән
Р цилиндры эченә га-почмаклы төзек Рп призмасын ка¬
мыйбыз (рәс. 181). Бу призманың нигезе мәйданы Sn
түбәндәге формула белән белдерелә:
призма	призма
Рәс. 180	Рәс. 181
Җисемнәрнең күләмнәре

Pn призмасы белән бергә Р цилиндрын ка¬
маучы Qn призмасын тикшерик (рәс. 182). Аның ниге¬
зенең мәйданы түбәндәгегә тигез:
Sn
cos2--
п
Рп призмасы Р цилиндрында, ә Р цилиндры
Qn цилиндрында булганлыктан, Р цилиндрының күлә¬
ме V түбәндәге тигезсезлекләрне канәгатьләндерә:
cos2≡
п
Sn'h
<v
п санын чиксез зурайтабыз, п ∞ кә омтыл¬
ганда, cos —> 1, ә S,1-÷ πr2 булганлыктан, (2) тигез¬
сезлегенең уң һәм сул кисәкләре πr2h зурлыгына омты¬
лалар. Шулай итеп,
V=πr2h.	(3)
Цилиндр нигезенең мәйданы πr2 ны S хә¬
рефе белән тамгалап, (3) формуласыннан табабыз:
V=S∙h.
Теорема исбатланды. Λ
Сораулар һәм мәсьәләләр
659	a) ZBAC= 120°, AB = 5 см, АС = 3 см һәм ян кырлары мәйдан¬
нарының иң зурысы 35 см2 га тигез; б) ZAB1C = 60o, AB1 = 3,
CB1 = 2, BB1 кабыргасы янындагы икекырлы почмагы туры бул¬
са, туры ABCA1B1C1 призмасының күләмен табыгыз.
660	AB = ВС = т, ZABC = φ һәм BBl = BD (биредә BD — ABC өчпоч¬
магының биеклеге) булса, туры ABCA1B1C1 призмасының күләмен
табыгыз.
661	АВ = ВС, ЛАВС = α, A1C диагонале I га тигез һәм нигез яссылыгы
белән β почмагы төзесә, туры ABCA1B1C1 призмасының күләмен
табыгыз.
662	Туры призманың нигезе — параллелограмм. Нигезенең а га тигез
ягы һәм икенче нигезенең бу якка каршы яткан ягы аша кисем
үткәрелгән, кисем нигез яссылыгы белән β почмагы төзи. Кисем
мәйданы Q га тигез. Призманың күләмен табыгыз.
663	а) л = 3; б) п = 4; в) τι = 6; г) τι = 8 булса, һәр кабыргасы а га тигез
булган тг-почмаклы төзек призманың күләмен табыгыз.
664	Өчпочмаклы төзек призманың аскы нигезенең ягы һәм өске ниге¬
зенең аңа каршы яткан түбәсе аша нигез яссылыгы белән 60° лы
почмак төзүче кисем үткәрелгән. Нигезенең ягы а га тигез булса,
призманың күләмен табыгыз.
Җисемнәрнең күләмнәре

665	Алтыпочмаклы төзек призманың иң зур диагонале 8 см га тигез
һәм ян кабырга белән 30° лы почмак төзи. Призманың күләмен
табыгыз.
666	Цилиндрның күләме, радиусы һәм биеклеге тиңдәшле рәвештә
V, г һәм һ булсын, a) r=2y∣2 см, 7i = 3cm булса, Уны; 6)V=120cm3,
һ = 3,6 см булса, г ны; в) r=h, V = 8π см3 булса, һ ны табыгыз.
667	4 мм диаметрлы алюмин үткәргечнең массасы 6,8 кг. Үткәргечнең
озынлыгын табыгыз (алюминның тыгызлыгы 2,6 г/см3).
668	Нефтьнең тыгызлыгы 0,85 г/см3 булса, диаметры 18 м, биеклеге
7 м булган цилиндрик цистернага күпме микъдардагы (тонналар¬
да) нефть сыя?
669	Цилиндрның нигез мәйданы Q га, ә күчәр кисеменең мәйданы
S ка тигез. Цилиндрның күләмен табыгыз.
670	Стенасының калынлыгы 4 мм булган кургаш торбаның (кур¬
гашның тыгызлыгы 11,4 г/см3) эчке диаметры 13 мм. Торбаның
озынлыгы 25 м булса, аның массасын табыгыз.
671	Цилиндрга η-почмаклы төзек призма камалган, а) п = 3; б) п = 4;
в) η = 6; г) п = 8; д) п ирекле алынган бөтен сан булса, призма һәм
цилиндрның күләмнәре чагыштырмасын табыгыз.
672	Цилиндрга нигезе турыпочмаклы өчпочмак булган призма камал¬
ган, өчпочмакның катеты а га, ә шул катет янындагы почмагы
а га тигез. Призманың биеклеге һ ка тигез булса, цилиндрның
күләмен табыгыз.
53
Авыш призманың, пирамиданың
һәм конусның күләме
78	Җисемнәрнең күләмнәрен
анык интеграл ярдәмендә исәпләү
Җисемнәрнең күләмнәрен алгебра һәм ана¬
лиз башлангычлары курсыннан билгеле булган интеграл
төшенчәсенә нигезләнеп исәпләү ысулын тикшерик.
Күләмен исәпләп чыгарырга кирәк булган
Т җисеме параллель а һәм β яссылыклары арасында
урнашсын, ди (рәс. 183). Координаталар системасын
Ох күчәре а һәм β яссылыкларына перпендикуляр булыр¬
лык итеп алыйк һәм Ох күчәренең бу яссылыклар белән
кисешү нокталарының абсциссаларын а һәм b хәрефләре
белән тамгалыйк (а < Ъ). Җисемнең х абсциссалы нокта
аша Ох күчәренә перпендикуляр үтүче яссылык белән
кисеме Ф(х) я түгәрәк, я теләсә нинди х ∈ [а; һ] өчен
күппочмак була дип исәпләрбез (кисем, х = а һәм х = b
булганда, ноктага әйләнергә мөмкин, мәсәлән, 183 нче
Җисемнәрнең күләмнәре

рәсемдә х = а булгандагы кебек). Ф(х) фигурасының
мәйданын S(x) аша тамгалап, S(x) ны исә [a; й] санлы
кисемтәсендә өзлексез функция дип уйлыйк.
▼ [а; й] санлы кисемтәсен α = x0, x1, х2, ...,
xn = b нокталары белән п тигез кисемтәгә бүләбез һәм
х; абсциссалы нокталар аша Ох күчәренә перпендику¬
ляр яссылыклар үткәрәбез (рәс. 184). Бу яссылыклар
Т җисемен п җисемгә бүлә: T1, T2, ..., Тп .
Әгәр Φ(xi) кисеме түгәрәк булса, ул вакыт¬
та Ti җисеменең күләме (184 нче рәсемдә кызыл төс
белән күрсәтелгән) якынча нигезе Φ(xi) һәм биеклеге
∆xi = xi - xi _ 1 = na булган цилиндр күләменә тигез.
Әгәр Φ(xi) күппочмак булса, ул вакытта
Ti җисеменең күләме якынча нигезе Ф (xi) һәм биеклеге
∆xi булган туры призманың күләменә тигез.
Һәр ике очракта да Ti җисеменең күләме
якынча S(xi)∙∆xi гә тигез, ә Т җисеменең тулаем
күләме V ны якынча түбәндәге формула буенча исәп¬
ләргә мөмкин:	η
V≈Vn=∑S(xi)Δxi.
i = l
Т җисеменең күләме Vn ның якынча кыйм¬
мәте п зуррак булган саен, димәк ∆xi кечерәк булган
саен, төгәлрәк булыр. Исбатламыйча гына, lim Vrl җисем-
n→∞
нең күләменә тигез, ягъни V = lim Vn дип кабул итәрбез,
n→∞
Икенче яктан, Vn суммасы S(x) өзлексез
функциясе өчен [a; й] санлы кисемтәсендә интеграль
сумма булып тора, шуңа күрә
166
Җисемнәрнең күләмнәре

b
lim Vn = ∖ S(x)dx. Δ
n→x a
Нәтиҗәдә, җисемнең күләмен интеграл яр¬
дәмендә исәпләү өчен, түбәндәге формула килеп чыга:
ь
V=^S(x)dx.
a
Аны, җисемнәрнең күләмнәрен исәпләү
өчен, төп формула дип атарбыз. Бу формуладан файда¬
ланып, III һәм VI бүлекләрдә өйрәнелгән кайбер җисем¬
нәрнең күләмнәрен исәпләп чыгарыйк.
▼	Искәрмә
Җисемнәрнең күләмнәрен исәпләү өчен бул¬
ган төп формуладан охшаш җисемнәрнең күләмнәре
чагыштырмасы охшашлык коэффициентының кубына
тигез булуы килеп чыга. Моны ничек исбатларга була,
уйлап карагыз. Δ
79	Авыш призманың күләме
Теорема
Авыш призманың күләме нигезе мәйданы
белән биеклегенең тапкырчыгышына тигез.
▼	Исбатлау
Башта теореманы өчпочмаклы призма өчен,
ә аннары теләсә нинди призма өчен исбатларбыз.
1.	Күләме V, нигез мәйданы S һәм биекле¬
ге һ булган өчпочмаклы призманы тикшерик. Призма
нигезләренең берсендә О ноктасы билгелибез һәм
Ох күчәрен нигезләргә перпендикуляр итеп юнәлтәбез
(рәс. 185, а). Призманың Ох күчәренә перпендикуляр
һәм, димәк, нигез яссылыгына параллель булган яссы¬
лык белән кисемен тикшерик. Бу яссылыкның Ох күчә¬
ре белән кисешү ноктасының абсциссасын — х хәрефе
белән, ә кисем мәйданын S(x) аша тамгалыйбыз.
S(x) мәйданы призма нигезенең мәйданы
S ка тигез икәнен исбатларбыз. Моның өчен ABC (приз¬
маның нигезе) һәм A1B1C1 (призманың тикшерелә
торган яссылык белән кисеме) өчпочмакларының ти¬
гез икәнен искәртик. Дөрестән дә, AA1B1B дүртпочма¬
гы — параллелограмм (AA1 һәм BB1 кисемтәләре ти¬
гез һәм параллель), шуңа күрә A1B1 = AB. B1C1=BC
һәм A1C1=AC икәнлеге аналогик рәвештә исбатлана.
167
а)
V=(S1 + S2+S3)h = Sh
б)
Рәс. 185
с
Җисемнәрнең күләмнәре

Шулай итеп, A1B1C1 һәм ABC өчпочмаклары өч ягы бу¬
енча тигез. Димәк, S(x) = S. Хәзер җисемнәрнең күләм¬
нәрен исәпләү өчен, төп формуланы a = 0 һәм Ь = һ бул¬
ганда кулланып табабыз:
V =,∖S(x)dx = ∖Sdx = S,∖dx = S ∙ х I = S · һ.
J	J	J	I и
0	0	0
2.	Хәзер теореманы биеклеге һ һәм нигез
мәйданы S булган ирекле рәвештә алынган призма өчен
исбатларбыз. Андый призманы биеклеге һ уртак булган
өчпочмаклы призмаларга бүлгәләргә мөмкин (185, б
рәсемендә бишпочмаклы призманы бүлгәләү күрсәтел¬
гән). Нәр өчпочмаклы призманың күләмен исбатлаган
формула ярдәмендә күрсәтәбез һәм бу күләмнәрне куша¬
быз. Уртак тапкырлаучы һ ны җәя тышына чыгарып,
өчпочмаклы призмаларның нигезләре мәйданнарының
суммасын, ягъни бирелгән призманың нигез мәйданы
S ны табабыз. Шулай итеп, бирелгән призманың күләме
S · һка тигез. Теорема исбатланды. Λ
Искәрмә
Авыш призманың күләмен исәпләүнең икен¬
че ысулы да бар, атап әйткәндә, авыш призманың күлә¬
ме призманың ян кабыргаларына перпендикуляр һәм
аларны кисеп үтүче яссылык кисеменең мәйданы белән
ян кабыргасының тапкырчыгышына тигез. Кыскача бо-
лай әйтәләр: авыш призманың күләме ян кабыргасы
белән аңа перпендикуляр кисем мәйданының тапкыр¬
чыгышына тигез (682 нче мәсьәләне кара).
80	Пирамиданың күләме
Теорема
Пирамиданың күләме нигезенең мәйданы белән биек¬
леге тапкырчыгышының өчтән беренә тигез.
▼ Исбатлау
Теореманы башта өчпочмаклы пирамида
өчен, ә аннары ирекле рәвештә алынган пирамида өчен
исбатларбыз.
1. Күләме V, нигез мәйданы S һәм биеклеге
һ булган өчпочмаклы О ABC пирамидасын тикшерик.
Ох күчәре үткәрик (рәс. 186, а, биредә ОМ — пирами¬
даның биеклеге) һәм пирамиданың Ох күчәренә перпен¬
дикуляр һәм, димәк, нигез яссылыгына параллель яс¬
сылык белән кисеме A1B1C1 не карыйк. Бу яссылыкның
Җисемнәрнең күләмнәре

Ох күчәре белән кисешү ноктасы M1 нең абсциссасын —
х аша, ә кисем мәйданын S(x) аша тамгалыйк. S(x) ны
S, һ һәм х аша күрсәтәбез. A1B1C1 һәм ABC өчпоч¬
макларының охшаш икәнлеген күрәбез. Дөрестән дә,
A1B1∣∣AB, шуңа күрә ΔOA1B1 ∞ ΔΟΑΒ. Шулай булгач,
А В ОА
~Aβi = ^QA^∙ OA1M1 һәм ОАМ турыпочмаклы өчпочмак¬
лары охшаш (алар түбәсе О булган уртак кысынкы
OA1 OM1 x
почмакка ия). Шуңа күрә =	= ■ Шулай итеп,
-A-∣B,	X	BιCι	X	, CιAι	х
—7—l = — · - * 1 = -г һәм 1 1 = ~ икәнлеге нәкъ шулай
АВ	һ	ВС	һ СА	һ	y
ук исбатлана. Шулай итеп, A1B1C1 һәм ABC өчпочмак¬
лары охшаш, аларның охшашлык коэффициенты ка
ттт - «	S(x) /x∖2	, S 2 Һ
тигез. Шулай булгач, — - = — , яки S(x) = -⅛x,
о	\ Һ /	Һ
Хәзер төп формуланы, a = 0, Ъ = һ булганда,
җисемнәрнең күләмнәрен исәпләү өчен кулланып табабыз:
һ	һ	h	з
V = ∖s(x)dx = ∖-⅜x2dx = -⅛ ∖ x2dx = -⅜ " 1*= 7- 8 ■ Λ.
„	„ Λ	Λ j	һ о о 3
0	0	о	υ
2. Хәзер теореманы биеклеге һ, нигез мәй¬
даны S булган теләсә нинди пирамида өчен исбатлар¬
быз. Андый пирамиданы һ биеклеге уртак булган өч¬
почмаклы пирамидаларга бүлгәләргә мөмкин (186, б
рәсемендә бишпочмаклы пирамиданы бүлгәләү күрсә¬
телгән). Ьәр өчпочмаклы пирамиданың күләмен әле
исбатлаган формула ярдәмендә табып, ул күләмнәрне
кушабыз. Уртак тапкырлаучы 1 һ ны җәя тышына чы-
О
гарып, җәя эчендә өчпочмаклы пирамидаларның нигез
мәйданнары суммасын, ягъни башта бирелгән пирами¬
даның нигез мәйданы 8 ны табабыз. Шулай итеп, пира¬
миданың күләме ½rSh ка тигез. Теорема исбатланды. Λ
О
а)
б)
Рәс. 186
Нәтиҗә
Биеклеге һ ка, ә нигез мәйданнары S һәм S1 гә тигез булган
кисек пирамиданың күләме V = ⅜⅛(S + S1 + y∕s∙S1) формуласы
буенча исәпләп табыла.
Кисек пирамида гадәти пирамидадан кече¬
рәк пирамиданы кисеп алу юлы белән табылудан һәм,
шулай булгач, кисек пирамиданың күләме бирелгән пи¬
рамида белән кисеп алынган пирамиданың күләмнәре
аермасына тигез булудан файдаланып, бу формуланы
мөстәкыйль рәвештә чыгарыгыз.
Җисемнәрнең күләмнәре

81	Конусның күләме
Теорема
Конусның күләме нигезенең мәйданы белән биеклеге
тапкырчыгышының өчтән беренә тигез.
▼ Исбатлау
Күләме V, нигезенең радиусы R, биеклеге
һ һәм түбәсе О ноктасында булган конусны тикшерер¬
без. Ох күчәрен 187 нче рәсемдә күрсәтелгәнчә бирәбез
(ОМ — конусның күчәре). Конусның Ох күчәренә пер¬
пендикуляр теләсә нинди яссылык белән кисеме шул
яссылыкның Ох күчәре белән кисешү ноктасы Λf1 үзәге
булган түгәрәк була (п. 61). Бу түгәрәкнең радиусын —
R1, ә кисем мәйданын S(x) аша (биредә х — M1 ноктасы¬
ның абсциссасы) тамгалыйбыз. Турыпочмаклы OM1A1
һәм ОМА өчпочмакларының охшашлыгыннан
OMi
ОМ
Rλ
R
х ∙^ι
яки — = —
һ R
икәнлеге килеп чыга, моннан R↑ = —х. S(x) = πR2, бул-
ft
ганга күрә,
S(x) = ⅛fx2.
Җисемнәрнең күләмнәрен исәпләү өчен,
a = 0, Ъ = һ булганда, төп формуланы кулланып та¬
бабыз:
Л 9	9 A	9
V=∖⅛x2dx = ⅛^⅛ = ⅛⅞Γ = ⅛^2Λ.
J ft2	Λ2 g ft2 3 ∣0 3
Конусның нигез мәйданы S = πR2, шуңа күрә
V=-^Sh. Теорема исбатланды. Λ
О
Нәтиҗә
Биеклеге һ ка, ә нигез мәйданнары S һәм S1 гә тигез булган ки¬
сек конусның күләме
V	= ⅜ft(S + S1 +√S∙S1)
о
формуласы буенча исәпләп табыла.
188 нче рәсемнән файдаланып, бу формула¬
ны мөстәкыйль рәвештә чыгарыгыз.
Җисемнәрнең күләмнәре

Рәс. 189
Рәс. 190
Мәсьәләләр
673 189 нчы рәсемдә сурәтләнгән җисемнең Ох күчәренә перпендику¬
ляр һәм х абсциссалы нокта аша үтүче яссылык белән кисеме —
ягы ка тигез булган квадрат. Бу җисемнең күләмен табыгыз.
874	190 ячы рәсемдәге штрихланып күрсәтелгән фигура Ох күчәре
тирәсендә әйләнә. Килеп чыккан җисемнең күләмен табыгыз.
675	191 иче рәсемдәге штрихланып күрсәтелгән фигура Оу күчәре
тирәсендә әйләнә. Килеп чыккан җисемнең күләмен табыгыз.
676	Нигезендә яклары 10 см, 10 см һәм 12 см булган өчпочмак яткан
авыш призманың 8 см га тигез ян кабыргасы нигез яссылыгы
белән 60° лы почмак төзи. Призманың күләмен табыгыз.
677	АВ = ВС = СА = a, ABB1A1 — ромб, AB1 < BA1, AB1 = b, АВ кабыр¬
гасындагы икекырлы почмагы туры булган авыш ABCA1B1C1
призмасының күләмен табыгыз.
678	Ягы т булган тигезьяклы ABC өчпочмагы—ABCA1B1C1 призма¬
сының нигезе. A1 түбәсе бу нигезнең үзәгенә проекцияләнә, ә AA1
кабыргасы нигез яссылыгы белән φ почмагы төзи. Призманың
күләмен табыгыз.
679	Катетлары АВ = 7 см һәм АС = 24 см булган турыпочмаклы ABC
өчпочмагы авыш ABCA1B1C1 призмасының нигезе булып тора.
A1 түбәсе А, В һәм С түбәләреннән тигез ераклыкта ята. AA1 ка¬
быргасы нигез яссылыгы белән 45° лы почмак төзесә, призманың
күләмен табыгыз.
680	Авыш параллелепипедның нигезендә яклары a һәм Ъ булган ту¬
рыпочмаклык ята. с озынлыгындагы ян кабыргасы нигезенең
чиктәш яклары белән φ гә тигез почмаклар төзи. Параллеле¬
пипедның күләмен табыгыз.
681	Параллелепипедның барлык кырлары да — диагональләре 6 см
һәм 8 см булган тигез ромблар. Параллелепипедның күләмен та¬
быгыз.
682	Авыш призманың күләме аның ян кабыргаларына перпендикуляр
һәм аларны кисеп үтүче яссылык кисеменең мәйданы белән ян
кабыргасының тапкырчыгышына тигез икәнен исбатлагыз.
Җисемнәрнең күләмнәре

683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
Өчпочмаклы авыш призманың ян кабыргалары арасындагы ерак¬
лыклар 37 см, 13 см һәм 30 см га, ә ян өслеге мәйданы 480 см2 га
тигез булса, аның күләмен табыгыз.
Биеклеге һ булган пирамиданың күләмен табыгыз:
а)	һ = 2 м, нигезе ягы 3 м булган квадрат;
б)	һ = 2,2 м, нигезе АВ = 20 см, ВС = 13,5 см, ZABC = 30° булган
ABC өчпочмагы.
Өчпочмаклы төзек пирамиданың биеклеге 12 см га, нигезенең ягы
13 см га тигез. Пирамиданың күләмен табыгыз.
Өчпочмаклы төзек пирамиданың ян кабыргасы I га тигез, а) Ян
кабыргасы нигез яссылыгы белән φ почмагы төзесә; б) ян кабыр¬
гасы нигезенең янәшә яткан ягы белән ос почмагы төзесә; в) түбә
янындагы яссы почмагы β га тигез булса, пирамиданың күләмен
табыгыз.
Өчпочмаклы төзек пирамиданың түбә янындагы яссы почмагы
φ гә, ә нигезенең ягы а га тигез. Пирамиданың күләмен табыгыз.
Дүртпочмаклы төзек пирамиданың: а) биеклеге Н ка, ә нигез
янындагы икекырлы почмагы β га тигез; б) нигезенең ягы т га,
ә түбә янындагы яссы почмагы ос га тигез булса, аның күләмен
табыгыз.
Дүртпочмаклы төзек пирамиданың ян кабыргасы т га тигез, һәм
ул нигез яссылыгы белән φ почмагы төзи. Пирамиданың күләмен
табыгыз.
Алтыпочмаклы төзек пирамиданың ян кабыргасы 13 см га, ә ни¬
гезенә камаулы түгәрәкнең радиусы 6 см га тигез. Пирамиданың
күләмен һәм ян өслеге мәйданын табыгыз.
Пирамиданың нигезе булып тигезьянлы ABC өчпочмагы хезмәт
итә, анда АВ = ВС = 13 см, АС = 10 см. Пирамиданың һәр ян ка¬
быргасы аның биеклеге белән 30° лы почмак төзи. Пирамиданың
күләмен исәпләп чыгарыгыз.
Пирамиданың нигезендә катетлары а һәм b булган турыпочмаклы
өчпочмак ята. Аның һәр ян кабыргасы нигез яссылыгына φ поч¬
магы ясап авышкан. Пирамиданың күләмен табыгыз.
Пирамидага шар камап булса, аның күләмен V = ±S · г формуласы
О
буенча исәпләргә мөмкин булуын исбатлагыз, биредә 8 — пира¬
миданың тулы өслеге мәйданы, ә г — пирамидага камалган шар
радиусы.
Пирамиданың нигезе булып ягы 6 см га тигез ромб хезмәт итә.
Нигез янындагы икекырлы почмакларының һәркайсы 45° ка ти¬
гез. Пирамиданың биеклеге 1,5 см булса, аның күләмен табыгыз.
Өчпочмаклы SABC пирамидасында: a) Z.CAB = 90°, ВС = с,
Z.ABC = φ һәм һәр ян кабыргасы нигез яссылыгы белән Ө поч¬
магы төзесә; б) АВ = 12 см, ВС = СА = 10 см һәм нигез янындагы
икекырлы почмаклары 45° ка тигез булса; в) ян кабыргалары
Җисемнәрнең күләмнәре

696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
пар-пар перпендикуляр һәм а, b, с озынлыкларына ия булса, аның
күләмен табыгыз.
DABC пирамидасының нигезендә АВ = 20 см, АС = 29 см, ВС =
= 21 см булган өчпочмак ята. DAB һәм DAC кырлары нигез яссы¬
лыгына перпендикуляр, ә DBC кыры нигез белән 60° лы почмак
төзи. Пирамиданың күләмен табыгыз.
Өчпочмаклы төзек кисек пирамидада нигезенең яклары а һәм
0,5α га, ә ян кырының апофемасы а га тигез. Кисек пирамиданың
күләмен табыгыз.
Кисек пирамиданың нигезләре — гипотенузалары т һәм п га тигез
булган (т > п) тигезьянлы турыпочмаклы өчпочмаклар. Катетлар¬
ны эченә алган ике ян кыры нигезгә перпендикуляр, ә өченчесе ни¬
гез белән φ почмагы төзи. Кисек пирамиданың күләмен табыгыз.
Пирамиданың нигезендә катетлары 24 дм һәм 18дмга тигез бул¬
ган турыпочмаклы өчпочмак ята. Ь.әр ян кабыргасы 25 дм га тигез.
Пирамида ян кабыргасын урталай бүлүче һәм нигез яссылыгы¬
на параллель яссылык белән кистерелгән. Килеп чыккан кисек
пирамиданың күләмен табыгыз.
Дүртпочмаклы төзек кисек пирамидада нигезләренең яклары 6 см
һәм 4 см га тигез, ә пирамиданың бер кырныкы булмаган ике ян
кабыргасы аша үтүче яссылык белән кисеменең мәйданы 15 см2 га
тигез. Кисек пирамиданың күләмен табыгыз.
Конусның биеклеге, нигез радиусы һәм күләме тиңдәшле рәвештә
һ, г һәм V га тигез, а) һ = 3 см, г = 1,5 см булса, V ны; б) г = 4 см,
V = 48π см3 булса, һ ны; в) һ = т, V = p булса, г ны табыгыз.
Конусның биеклеге 5 см га тигез. Аны түбәсеннән 2 см ераклыкта
нигезенә параллель яссылык кисеп үтә. Кисеп алынган кечерәк
конусның күләме 24 см3 га тигез булса, бирелгән конусның күлә¬
мен табыгыз.
Конусның нигез мәйданы Q га, ян өслегенең мәйданы Р га тигез
булса, конусның күләмен табыгыз.
Конусның биеклеге аның нигез диаметрына тигез. Конусның биек¬
леге Н ка тигез булса, аның күләмен табыгыз.
Конусның төзүчесе 13 см га, ә күчәр кисеменең мәйданы 60 см2 га
тигез булса, конусның күләмен табыгыз.
Конусның биеклеге 12 см га, күләме 324 π см3 га тигез. Конусның
ян өслеген яссылыкта җәюдән килеп чыккан секторның почмагын
табыгыз.
Конусның тулы өслеге мәйданы 45π дм2 га тигез. Конусның яссы¬
лыкка җәелгән ян өслеге почмагы 60° булган сектордан гыйбарәт.
Конусның күләмен табыгыз.
Кисек конусның нигез радиуслары 3 м һәм 6 м га, ә төзүчесе 5 м га
тигез. Кисек конусның күләмен табыгыз.
Кисек конусның биеклеге һ, төзүчесе I, ян өслеге мәйданы S булуы
билгеле. Конусның күчәр кисеме мәйданын һәм күләмен табыгыз.
Җисемнәрнең күләмнәре

Шарның күләме һәм сфераның мәйданы
82	Шарның күләме
Теорема
R радиуслы шарның күләме τtR3 ка тигез.
 	 	о
▼ Исбатлау
Үзәге О ноктасында булган R радиуслы
шарны карыйк һәм Ох күчәрен ирекле рәвештә сайлап
алыйк (рәс. 192). Шарның Ох күчәренә перпендикуляр
һәм шул күчәрнең М ноктасы аша үтүче яссылык белән
кисеме үзәге М ноктасында булган түгәрәк була. Бу
түгәрәкнең радиусын г, ә мәйданын S(x) аша тамгалыйк
(биредә х — М ноктасының абсциссасы). S(x) ны х һәм
R аша күрсәтик. Турыпочмаклы ОМС өчпочмагыннан
табабыз:
r = y∣OC2-OM2 = ^R2~x2 .
S(x) = πr2 булганга,
S(x) = π(R2 - х2).	(1)
Бу формуланың АВ диаметрында М нокта¬
сының теләсә нинди торышы өчен, ягъни -R ≤ х ≤ R
шартын канәгатьләндерүче барлык х лар өчен, дөрес
икәнен искәрик, a = -R, Ъ = R булганда, җисемнәрнең
Рәс. 192
күләмнәрен исәпләү өчен, төп формуланы кулланып та¬
бабыз:
R	R	R
V = ∖ π (R2 - x2) dx = πR2 dx -π^ x2dx =
-R	-R	-R
|Я з Iя λ
=π^l-H-2⅞-∣-β=tπβ3∙
Теорема исбатланды. Δ
83	Шар сегментының, шар катламының
һәм шар секторының күләме
а)	Шарның нинди дә булса яссылык белән
кистереп алынган кисәге шар сегменты дип атала.
193 нче рәсемдә В ноктасы аша үткән кисүче α яссылыгы
шарны ике шар сегментына бүлә. Кисемдә килеп чыккан
Җисемнәрнең күләмнәре

түгәрәк һәр ике сегментның да нигезе дип атала, ә ки¬
сүче яссылыкка перпендикуляр булган АС диаметры¬
ның АВ һәм ВС кисемтәләренең озынлыклары сегмент¬
ларның биеклекләре дип атала.
Әгәр шарның радиусы R га, ә сегментның
биеклеге һ ка тигез булса (193 нче рәсемдә һ =АВ), шар
сегментының күләме
V = πh2(R-±h^
формуласы буенча исәпләп табыла.
▼а яссылыгына перпендикуляр итеп, Ох кү¬
чәре үткәрик (рәс. 193 ). Ул вакытта шар сегментының
Ох күчәренә перпендикуляр итеп үткәрелгән теләсә нин¬
ди кисеменең R- һ ≤ х ≤ R булгандагы мәйданы S(x)
(1) формуласы белән аңлатыла. Җисемнәрнең күләмнә¬
рен исәпләү өчен, төп формуланы a = R - һ, b = R бул¬
ганда кулланып табабыз:
V=π ∖ (R2-x2)dx = πlR2x-½-h )	=πh2(R-½h∣. Δ
r-һ	\	3	V 3 )
б)	Шарның параллель ике кисүче яссылык
арасында урнашкан кисәге шар катламы дип атала
(рәс. 194). Шарны бу яссылыклар белән кистергәндә
килеп чыккан түгәрәкләр шар катламының нигезләре
дип атала, ә шул яссылыклар арасындагы ераклык шар
катламының биеклеге дип атала.
Шар катламының күләмен ике шар сегмен¬
тының күләмнәре аермасы буларак исәпләп табарга
мөмкин. Мәсәлән, 194 нче рәсемдә шар катламының
күләме биеклекләре АС һәм АВ га тигез булган шар
сегментларының күләмнәре аермасына тигез.
в)	Почмагы 90° тан кечерәк булган түгәрәк
секторын аны чикләүче радиусларның берсен эченә ал¬
ган туры тирәсендә әйләндерүдән килеп чыккан җисем
шар секторы дип атала (рәс. 195). Шар секторы шар
сегментыннан һәм конустан тора. Әгәр шарның радиу¬
сы R, ә шар сегментының биеклеге һ ка тигез булса,
шар секторының күләме V түбәндәге формула буенча
исәпләнә:
V = ½πR2h.
О
Шар сегменты
Рәс. 193
Шар катламы
Шар секторы
Рәс. 195
Бу формуланы мөстәкыйль рәвештә чы-
гарыгыз.
Җисемнәрнең күләмнәре

84* Сфераның мәйданы
68 нче пунктта без, R радиуслы сфераның
мәйданы S ны исәпләү өчен, формуланы исбатлаусыз
гына биргән идек:
S = 4πR2.
Бу формуланы шар күләме формуласыннан
файдаланып чыгарырбыз.
Үзәге О ноктасында булган R радиуслы сфе¬
раны һәм аны камап торучы п кырлы күпкырлыкны
карыйк. Кырларын ирекле бер тәртиптә номерлап, i нче
кырның (i = 1, 2, ... , п) мәйданын Sl аша тамгалыйк.
Сфераның О үзәген кисемтәләр ярдәмендә күпкырлык¬
ның барлык түбәләре белән тоташтырып, уртак О түбәле
п пирамида табарбыз, аларның нигезләре — күпкыр¬
лыкның кырлары, ә биеклекләре — күпкырлык кырла¬
рының сфера белән орыну ноктасына үткәрелгән сфера
радиуслары. Шулай булгач, i нче пирамиданың күләме
-~SiR га тигез, ә камаучы күпкырлыкның тулаем
О
күләме Vn:
Vn = ∑⅜SiR = ⅜R⅛Si = ∣RPn,
i=lo	i=l
п
биредә Рп = У Si — күпкырлыкның өслек мәйданы.
i = l
Моннан табабыз:
Р = ¾
n R
(2)
Хәзер камаучы күпкырлыкның һәр кыры¬
ның иң зур үлчәме нульгә омтылырлык итеп, п ны
чикләнмәгән рәвештә зурайтабыз. Бу вакытта камау¬
чы күпкырлыкның күләме Vn шар күләменә омтылыр.
Дөрестән дә, камаучы күпкырлыкта һәр кырының иң
зур үлчәме δ дан зур булмаса, камаучы күпкырлык
үзәге О ноктасында булган R + δ радиуслы шарда урна¬
шыр. Икенче яктан, камаучы күпкырлык R радиуслы
бирелгән шарны үз эченә ала. Шуңа күрә
∣πR3<Fn<∣π(R + δ)3.
О	о
δ зурлыгы 0 гә омтылганда, ⅛π(R + δ)3 —> ⅛tR3
О	о
булгач, δ 0 гә (n->∞) омтылганда, Vn —> ⅛πR3.
О
Җисемнәрнең күләмнәре

(2) тигезлегендә чикләмәгә күчеп табабыз:
lim Pn = lim ∙^a∙ = -∣ lim Vn = ⅜ ∙ ½πR3 - 4πR2.
∏→∞	n→∞ R R n→∞ ‘ R 3
Сфера мәйданының билгеләмәсе буенча,
S = lim Pn, шулай булгач,
n→∞
S = 4πR2.
Сораулар һәм мәсьәләләр
710	R радиуслы шарның күләме V, аның өслек мәйданы S булсын,
a)	R = 4 см булса, S һәм V ны; б) V = 113,04 см3 булса, R һәм S ны;
в)	S = 64π см2 булса, R һәм V ны табыгыз.
711	Айның диаметры Җир диаметрының (якынча) дүрттән бер өлешен
тәшкил итә. Ай һәм Җирне шар дип исәпләп, аларның күләм¬
нәрен чагыштырыгыз.
712	Шар һәм цилиндрның күләмнәре тигез, ә шарның диаметры ци¬
линдр нигезенең диаметрына тигез. Цилиндрның биеклеген шар
радиусы аша күрсәтегез.
713	Туңдырманың стаканы коник формада, аның тирәнлеге 12 см,
өске өлешенең диаметры 5 см. Аңа диаметры 5 см булган ярым¬
шар формасындагы ике кашык туңдырма салалар. Туңдырма
эресә, стакан тулырмы?
714	2,5 см диаметрлы цилиндрик мензуркага берникадәр биеклектә
су салынган. Аңа 1 см диаметрлы 4 тигез металл шар төшерәләр.
Мензуркадагы суның биеклеге күпмегә үзгәрер?
715	Нигез радиусы 5 м, биеклеге 60 см булган шар сегменты форма¬
сындагы чәчәклек ясау өчен, ничә кубометр җир кирәк булыр?
716	Ике тигез шар берсенең үзәге икенчесенең өслегендә ятарлык
итеп урнашкан. Шарларның уртак кисәге күләменең бер шарның
күләменә чагыштырмасын табыгыз.
717	Шар сегментында нигез әйләнәсенең радиусы 60 см га, ә шар ра¬
диусы 75 см га тигез. Шар сегментының күләмен табыгыз.
718	Шарның диаметры өч тигез кисәккә бүленеп, бүлү нокталары аша
диаметрга перпендикуляр яссылыклар үткәрелгән. Шарның ра¬
диусы R га тигез булса, килеп чыккан шар катламының күләмен
табыгыз.
719	Шарда диаметрына перпендикуляр булган һәм аны 6 см һәм
12смлы кисәкләргә бүлүче яссылык үткәрелгән. Шарның килеп
чыккан ике кисәгенең күләмнәрен табыгыз.
720	Шар сегментының нигез әйләнәсе радиусы 60 см га, ә шарның
радиусы 75 см га тигез булса, шар секторының күләмен табыгыз.
721	Почмагы 30°, радиусы R булган түгәрәк секторы үзен чикләүче
радиусларның берсе тирәсендә әйләнә. Килеп чыккан шар секто¬
рының күләмен табыгыз.
Җисемнәрнең күләмнәре

722
723
724
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Q
Су Җир өслегенең якынча — өлешен каплап тора. Коры җир Җир
өслегенең ничә квадрат километрын тәшкил итә? (Җир радиусын
6375 км дип исәпләргә.)
10 см радиуслы футбол тубының тышлыгына күпме күн кирәк?
(Җөйләр өчен туп өслеге мәйданының 8% ын өстәргә.)
Сфераның мәйданы биеклеге сфераның диаметрына, ә нигез диа¬
метры конусның төзүчесенә тигез булган конусның тулы өслеге
мәйданына тигез икәнен исбатлагыз.
VII	бүлеккә сораулар
a)	P1 җисеме Р2 җисемендә урнашса; б) P1 һәм Р2 җисемнәренең
һәркайсы кабыргасы 1 см га тигез булган п кубтан төзелсә, P1 һәм
Р2 җисемнәренең күләмнәре V1 һәм V2 нинди бәйләнештә булыр?
Бирелгән өчпочмаклы туры призмадан нигезләренең урта сызык¬
лары аша үтүче яссылык белән кистереп алынган өчпочмаклы
призманың күләме бирелгән призма күләменең нинди өлешен
тәшкил итә?
Цилиндрның нигез диаметрын 2 тапкыр зурайтып, биеклеген
4 тапкыр кечерәйтсәк, аның күләме үзгәрерме?
Төзек пирамиданың биеклеген п тапкыр зурайтып, нигезенең
ягын п тапкыр кечерәйтсәк, аның күләме ничек үзгәрер?
Биеклекләре тигез булган ике пирамиданың нигезләре — якла¬
ры тиңдәшле рәвештә тигез булган дүртпочмаклар. Бу пирамида¬
ларның күләмнәре тигезме?
Ике конусның биеклекләре тигез, ә нигез радиусларының чагыш¬
тырмасы 2 гә тигез булса, аларның күләмнәре нинди чагыш¬
тырмада булыр?
Тигезьянлы трапецияне зур нигезе тирәсендә әйләндерүдән килеп
чыккан җисем нинди җисемнәрдән тора?
Бер конус тигезьянлы булмаган турыпочмаклы өчпочмакны — ка¬
тетларының берсе тирәсендә, икенче конус икенче катеты тирә¬
сендә әйләндерүдән килеп чыккан. Бу конусларның күләмнәре
тигезме?
Бер шарның диаметры икенчесенең радиусына тигез. Бу шарлар¬
ның: а) радиуслары; б) күләмнәре нинди чагыштырмада булыр?
2 см радиуслы шарларның күләмнәре суммасы 6 см радиуслы
шарның күләменә тигез булсын өчен, андый ничә шар алырга
кирәк?
Кубны камаучы шарның күләме бу кубка камаулы шар күлә¬
меннән ничә тапкыр зуррак?
Сфераның радиусын: а) 2 тапкыр кечерәйтсәң; б) 3 тапкыр зурайт¬
саң, аның өслек мәйданы ничек үзгәрер?
Ике шарның күләмнәре чагыштырмасы 8 гә тигез. Аларның өслек
мәйданнары нинди чагыштырмада булыр?
Ике шарның өслек мәйданнары m2 : п2 чагыштырмасында булса,
аларның күләмнәре нинди чагыштырмада булыр?
Җисемнәрнең күләмнәре

725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
Өстәмә мәсьәләләр
Турыпочмаклы параллелепипедның пар-пар чиктәш өч кырының
мәйданнары S1, S2 һәм S3 кә тигез. Бу параллелепипедның күлә¬
мен S1, S2, S3 аша күрсәтегез һәм аны S1 = 6 дм2, Б2=12дм2,
S3 = 18 дм2 булганда исәпләп чыгарыгыз.
Турыпочмаклы параллелепипедта бер түбәдән чыгучы өч кыры¬
ның диагональләре 7 см, 8 см һәм 9 см га тигез. Параллелепипед¬
ның күләмен табыгыз.
Турыпочмаклы параллелепипедның ян кабыргасы а га тигез.
Төрле нигезләренең ике ягы аша үткәрелгән кисеменең мәй¬
даны — Q га тигез булган квадрат. Параллелепипедның күләмен
табыгыз.
Туры параллелепипед нигезенең яклары 7 см һәм 3y∣2 см га, ә кы¬
сынкы почмагы 45° ка тигез. Параллелепипедның кечерәк диа¬
гонале нигез яссылыгы белән 45° лы почмак төзи. Параллелепи¬
педның күләмен табыгыз.
Туры ABCDA1B1C1D1 параллелепипедында BD1 һәм AlC диаго¬
нальләре үзара перпендикуляр һәм 6 см, 8 см га тигез, АВ = 3 см.
Параллелепипедның күләмен табыгыз.
Туры призманың нигезендә турыпочмаклы өчпочмак ята, аның
биш кабыргасы а га тигез, ә калган дүрт кабыргасы үзара тигез.
Призманың күләмен табыгыз.
Нигезендә турыпочмаклы өчпочмак яткан туры призманың кү¬
ләме 3 м3 га, ә ян кырлары мәйданнарының иң кечкенәсе һәм иң
зурысы 3 м2 һәм 3y∣5 м2 га тигез. Призма кабыргаларының озын¬
лыгын табыгыз.
Өчпочмаклы төзек призмада ян кырының диагонале d га тигез
һәм икенче ян кыр яссылыгы белән φ почмагы төзи. Призманың
күләмен табыгыз.
Өчпочмаклы призманың күләме ян кырының мәйданы белән шул
кырдан аңа параллель кабыргага кадәр ераклык тапкырчыгы¬
шының яртысына тигез икәнен исбатлагыз.
Бер яссылыкта ятмаган өч параллель турыда AA1, BB1 һәм CC1 ти¬
гез кисемтәләре салынган. Бу кисемтәләр ян кабыргалары булган
призманың күләме бирелгән турыда әлеге кисемтәләрнең торы¬
шына бәйле түгел икәнен исбатлагыз.
Өчпочмаклы авыш призмада ян кырларының мәйданнары 20, 37,
51 саннарына пропорциональ. Ян кабыргасы 0,5 дм га, ә ян өсле¬
генең мәйданы 10,8 дм2 га тигез. Призманың күләмен табыгыз.
Өчпочмаклы төзек пирамиданың ян кыры нигез яссылыгы бе¬
лән φ почмагы төзи, ә нигезенең бу кырда ятмаган түбәсе аннан
т ераклыгында урнашкан. Пирамиданың күләмен табыгыз.
Дүртпочмаклы төзек пирамиданың ян кабыргасы нигезе белән
φ почмагы төзи, ә бу кабырганың уртасының пирамида нигезен¬
нән ераклыгы т га тигез. Пирамиданың күләмен табыгыз.
Җисемнәрнең күләмнәре

738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
Өчпочмаклы тезек пирамиданың биеклеге һ ка, ә кабыргасы пира¬
миданың ян кабыргасы булган икекырлы почмагы 2φ гә тигез.
Пирамиданың күләмен табыгыз.
η-почмаклы төзек пирамиданың түбә янындагы яссы почмагы
α га, ә нигезенең ягы а га тигез. Пирамиданың күләмен табыгыз.
Пирамиданың нигезендә ике почмагы φ1 һәм φ2 гә тигез булган
өчпочмак ята. Пирамиданың биеклеге һ ка тигез, ә һәр ян ка¬
быргасы нигез яссылыгы белән φ3 почмагы төзи. Пирамиданың
күләмен табыгыз.
Биеклеге Н ка тигез булган дүртпочмаклы пирамиданың ниге¬
зендә параллелограмм ята. Параллелограммның диагональләре
α почмагы ясап кисешәләр. Пар-пар тигез булган кабыргалары
нигез яссылыгы белән β һәм γ почмаклары төзиләр. Пирамиданың
күләмен табыгыз.
Пирамиданың нигезе — ягы а га тигез ромб. Пирамиданың ике
ян кыры нигез яссылыгына перпендикуляр һәм φ гә тигез җәенке
икекырлы почмак төзи. Калган ике ян кыры нигез яссылыгы
белән Ө га тигез икекырлы почмак төзи. Пирамиданың күләмен
табыгыз.
Тетраэдрның ике кабыргасы b га, ә калган дүрт кабыргасы а га
тигез. Ъ озынлыктагы кабыргаларның: а) уртак ноктасы булса;
б)	уртак нокталары булмаса, тетраэдрның күләмен табыгыз.
Кисек пирамидада нигезенең тиңдәш яклары 2 : 5 кә чагыштыр¬
масында. Бу пирамиданың күләме биеклегенең уртасы аша нигез
яссылыкларына параллель үтүче яссылык белән нинди чагыш¬
тырмада бүленә?
Цилиндрның: а) ян өслеге мәйданы S ка, ә нигез мәйданы Q га
тигез; б) күчәр кисеме квадрат, ә биеклеге һ ка тигез; в) күчәр
кисеме квадрат, ә тулы өслеге мәйданы S ка тигез булса, аның
күләмен табыгыз.
Ян өслеге мәйданнары тигез булган ике цилиндрның күләмнәре
чагыштырмасы радиуслары чагыштырмасына тигез икәнен исбат¬
лагыз.
Коник бакның тирәнлеге 3 м, ә аның өске түгәрәгенең радиусы
1,5 м га тигез. Ул ничә литр сыеклык сыйдыра?
Күпкырлыклар, цилиндр, конус һәм шар белән төрле мәсьәләләр
Конуска нигезе турыпочмаклык булган пирамида камалган. Туры¬
почмаклыкның кечерәк ягы а га, ә диагональләре арасындагы
кечерәк почмагы φ1 гә тигез. Нигезенең кечерәк ягын эченә алган
ян кыры нигез яссылыгы белән φ2 почмагы төзи. Конусның күлә¬
мен табыгыз.
Пирамиданың нигезендә ягы а га, кысынкы почмагы φ гә тигез
булган ромб ята. Пирамидага конус камалган, аның төзүчесе ни¬
гез яссылыгы белән θ почмагы төзи. Конусның күләмен табыгыз.
Җисемнәрнең күләмнәре

750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
Цилиндрга шар камалган. Цилиндр һәм шарның күләмнәре ча¬
гыштырмасын табыгыз.
Конус нигезенең радиусы 6 дм га тигез, ә конуска камалган сфе¬
раның радиусы 3 дм. Конусның күләмен табыгыз.
Нигезенең радиусы г га, төзүчесе / га тигез булган конуска сфера
камалган. Конусның ян өслегенә сфераның орыну сызыгы озын¬
лыгын табыгыз.
Нигез радиуслары г һәм r1 гә тигез булган кисек конуска шар камал¬
ган. Кисек конус һәм шарның күләмнәре чагыштырмасын табыгыз.
Нигез янындагы икекырлы почмагы а га тигез булган өчпочмак¬
лы төзек пирамидага шар камалган. Шарның күләме V га тигез.
Пирамиданың күләмен табыгыз.
Нигезе ягы а га, почмагы а га тигез ромб булган пирамидага шар
камалган. Пирамиданың һәр ян кыры нигезе белән β почмагы
төзесә, шарның күләмен табыгыз.
R радиуслы сферага күчәр кисеменең диагонале нигезе белән α поч¬
магы төзүче цилиндр камалган. Цилиндрның күләмен табыгыз.
Шарга күчәр кисеменең диагональләре арасындагы почмагы α га
тигез булган цилиндр камалган. Цилиндрның төзүчесе I га тигез.
Шарның күләмен табыгыз.
Шарга нигез радиусы г га, биеклеге Н ка тигез булган конус ка¬
малган. Шарның өслек мәйданын һәм күләмен табыгыз.
Шарга пирамида камалган. Пирамиданың нигезендә гипотенузасы
2 см га тигез булган турыпочмаклы өчпочмак ята. Пирамиданың
һәр ян кабыргасы нигезе белән α почмагы төзесә, шарның өслек
мәйданын һәм күләмен табыгыз.
Шарга пирамида камалган, аның нигезе — диагонале 10 см бул¬
ган турыпочмаклык. Пирамиданың һәр ян кабыргасы нигезе белән
β почмагы төзи. Шар өслегенең мәйданын һәм күләмен табыгыз.
Цистерна нигезләренә тигез шар сегментлары тоташтырылган ци¬
линдр формасында. Цилиндрның радиусы 1,5 м га, ә сегментның
биеклеге 0,5 м га тигез. Цистернаның сыешлыгы 50 м3 булсын
өчен, цилиндрның төзүчесе нинди озынлыкта булырга тиеш?
Куб, шар, цилиндр һәм конусның (соңгы ике җисемнең нигез
диаметрлары биеклекләренә тигез) өслек мәйданнары тигез. Бу
җисемнәрнең кайсысы — иң зур күләмгә, кайсысы иң кечкенә кү¬
ләмгә ия?
Диаметры 10 см га тигез, ә стенасының калынлыгы а) 2 мм;
б)	1,5 мм булган куыш бакыр шар суда йөзәрме? (Бакырның ты¬
гызлыгы 8,9 г/см3.)
Кабатлау өчен мәсьәләләр
Төзек өчпочмаклы ABCA1B1C1 призмасында нигезенең ягы 6 см га
тигез, ә ян кабыргасы 3 см га тигез.
а)	Призманың ABC1 яссылыгы белән кисем мәйданын табыгыз.
Җисемнәрнең күләмнәре

б)	A1B1 турысының AC1B яссылыгына параллель булуын исбатлагыз.
в)	B1C турысының ABC яссылыгы белән төзелгән почмакны табыгыз.
г)	AB1C һәм ABC яссылыклары арасындагы почмакны табыгыз.
д)	BB1 - ВС + 2A1A - C1C векторларының озынлыгын табыгыз.
е)	Призманың күләмен табыгыз.
765	Төзек дүртпочмаклы MABCD пирамидасында нигезенең АВ ягы
6>/з см га тигез, ә ян кабыргасы МА 12 см га тигез. Табыгыз:
а)	пирамиданың ян өслеге мәйданын;
б)	пирамиданың күләмен;
в)	ян кырның нигез яссылыгына авышу почмагын:
г)	ян кабырга белән нигез яссылыгы арасындагы почмакны;
д)	(ав +ad)am векторларының скаляр тапкырчыгышын;
е)	пирамиданы камаучы сфераның мәйданын.
766	Төзек өчпочмаклы DABC пирамидасында DO биеклеге 3 см га ти¬
гез, ә ян DA кабыргасы 5 см га тигез. Табыгыз:
а)	пирамиданың тулы өслегенең мәйданын;
б)	пирамиданың күләмен;
в)	ян кабырга белән нигез яссылыгы арасындагы почмакны;
г)	ян кырның нигез яссылыгына авышу почмагын;
д)	⅜(-DB + DC) МА векторларының скаляр тапкырчыгышын, би-
редә М — ВС кабыргасының уртасы;
е)	пирамидага камалган шарның радиусын.
767	Төзек дүртпочмаклы MABCD пирамидасында 8 см га тигез булган
ян кабыргасы МА нигез яссылыгына 60° лы почмак белән авыш¬
кан. Табыгыз:
а)	пирамиданың ян өслеге мәйданын;
б)	пирамиданың күләмен;
в)	капма-каршы ян кырлары арасындагы почмакны;
г)	ян кыры һәм нигез яссылыгы арасындагы почмакны;
д)	-⅛(ΛfB + MD) МК векторларының скаляр тапкырчыгышын,
биредә К — АВ кабыргасының уртасы;
е)	пирамиданы камаган шарның радиусын.
Катлаулырак мәсьәләләр
768	МАВС пирамидасы нигезендә ABC өчпочмагы ята, анда Z.C = 180°,
АС = 4 см, ВС = 3 см. MAC кыры нигез яссылыгына перпендику¬
ляр, ә башка ике ян кыры нигез яссылыгы белән тигез почмаклар
төзиләр. Пирамиданың МН биеклеге нигезеннән МВС кырына
3√2	π
кадәрге ераклык 	 см га тигез. Пирамиданың ян өслеге мәй¬
данын табыгыз.
769	Тетраэдр биеклекләренең берсе каршы яткан кырының биеклек¬
ләре кисешү ноктасы аша үтсә, бу тетраэдрның калган биеклекләре
Җисемнәрнең күләмнәре

770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
дә каршы яткан кырларының биеклекләре кисешү нокталары аша
үткәнен исбатлагыз.
ОАВС тетраэдрының О түбәсе янындагы барлык яссы почмаклары
да 90° ка тигез. АОВ өчпочмагының мәйданы ABC һәм O1AB (бире¬
дә O1 — О ноктасының ABC яссылыгына проекциясе) өчпочмакла¬
ры мәйданнарының геометрик уртасына тигез икәнен исбатлагыз.
Тетраэдрның кабыргасы аша бу кабырга янындагы икекырлы
почмакны урталай бүлүче яссылык үткәрелгән. Бу яссылыкның
тетраэдрның капма-каршы ягын икекырлы почмак эченә кергән
кырлар мәйданнарының чагыштырмасына тигез булган чагыш¬
тырмада бүлүен исбатлагыз.
Бер яссылыкта ятмаган бирелгән дүрт ноктадан һәркайсы тигез
ераклыкта булган ничә яссылык бар?
Икекырлы почмакның ике кырын кисүче турының кисешү нокта¬
лары аның кабыргасыннан тигез ераклыкта булганда һәм бары
тик шул вакытта гына кырлар белән тигез почмаклар төзегәнен
исбатлагыз.
Кубның кисеме төзек өчпочмак, квадрат, төзек алтыпочмак булуы
мөмкин, ләкин төзек бишпочмак һәм яклар саны алтыдан артыг¬
рак булган төзек күппочмак була алмавын исбатлагыз.
Кубның түбәләреннән аның үзәге аша үтүче турыга кадәр ерак-
лыкларының квадратлары суммасы бу турының торышына бәйле
түгел икәнен исбатлагыз.
Кубны алты тигез тетраэдрга бүлегез.
Бүлмә куб формасында. Кабырганың уртасында утырган үрмәкүч,
иң кыска юл белән хәрәкәт итеп, кубның иң ерак түбәләренең бер¬
сендә утырган чебенне тотып алырга тели. Үрмәкүч ничек хәрәкәт
итәргә тиеш?
Үзе зурлыгындагы яки хәтта аннан да зуррак куб үтәрлек итеп,
кубта үтәли тишем тишәргә мөмкин икәнен исбатлагыз.
Алтыпочмаклы төзек пирамидада ян кырының мәйданы 8 ка тигез.
Пирамида биеклегенең уртасы аша ян кырына параллель итеп үткә¬
релгән яссылыкның пирамида белән кисеменең мәйданын табыгыз.
Ягы 1 см га тигез куб формасындагы тартмага урнашкан төзек те¬
траэдр кабыргасының иң зур озынлыгы нинди булырга мөмкин?
ABCDA1B1C1D1 кубы бирелгән. AB1CD1 һәм C1BA1D тетраэдрлары
кисешкәндә, төзек октаэдр килеп чыкканын исбатлагыз.
Чикле сандагы төрле куб парларыннан турыпочмаклы параллеле¬
пипед төзеп булмавын исбатлагыз.
Кабыргасы 1 см булган куб эчендә сынык сызык урнашкан,
шуның белән бергә, кубның теләсә кайсы кырына теләсә нинди
параллель яссылык аны бердән дә артык булмаган ноктада кисә.
Сынык сызыкның озынлыгы 3 см дан кечерәк икәнен исбатлагыз.
Озынлыгы 3 см дан теләсә никадәр аз аерыла торган, күрсәтелгән
үзлеккә ия сынык сызык төзергә мөмкин икәнен исбатлагыз.
Җисемнәрнең күләмнәре

784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
АВ һәм CD кисемтәләре чалышма турылар буенча күчеп хәрәкәт итә¬
ләр. Бу вакытта ABCD тетраэдрының күләме үзгәрмәвен исбатлагыз.
Төзек додекаэдр кырларының үзәкләре төзек икосаэдр түбәләре
икәнен исбатлагыз.
Төзек икосаэдр кырларының үзәкләре төзек додекаэдр түбәләре
икәнен исбатлагыз.
Төзек ABC өчпочмагының ягы а га тигез, а озынлыктагы AS ки¬
семтәсе ABC яссылыгына перпендикуляр. АВ һәм SC турылары
арасындагы ераклыкны һәм почмакны табыгыз.
Төзек ABC өчпочмагының ягы а га тигез. ABC яссылыгына пер¬
пендикуляр бердәй юнәлешле BD һәм СЕ нурларында, BD = -⅞=,
√2
СЕ = ay∣2 булырлык итеп, D һәм Е нокталары алынган. ADE өч¬
почмагы турыпочмаклы икәнен исбатлагыз һәм ABC белән ADE
яссылыклары арасындагы почмакны табыгыз.
Векторлардан файдаланып, параллелепипедның дүрт диагонале¬
нең квадратлары суммасы аның унике кабыргасының квадрат¬
лары суммасына тигез икәнен исбатлагыз.
ОАВС тетраэдрының ABC нигезе үтә күренмәле, ә барлык калган
кырлары көзгеле. О түбәсе янындагы барлык яссы почмаклары
туры. Тетраэдрга ABC нигезе аша аңа теләсә нинди почмак ясап
кергән яктылык нуры, аның кырларыннан кайтарылып, керүче
нурга карата капма-каршы юнәлештә чыкканын исбатлагыз.
(Атап әйткәндә, лазер ярдәмендә Айга кадәр ераклыкны үлчәү
өчен, иярченгә урнаштырылган почмакча үлчәгечнең төзелеше
шушы үзлеккә нигезләнгән.)
А ноктасыннан АВ, AC, AD һәм АЕ нурлары чыга, һәм ABAC = 60°,
ABAD = ADAC = 45°, ә АЕ нуры ABD яссылыгына перпендикуляр.
САЕ почмагын табыгыз.
Тетраэдрның биеклекләре аның капма-каршы кабыргалары пер¬
пендикуляр булганда һәм бары тик шул вакытта гына бер ноктада
кисешкәнен исбатлагыз.
Тетраэдрның өч ян кабыргасы бер-берсенә тигез. Бу кабыргалар
белән тигез почмаклар төзүче туры нигез яссылыгына перпенди¬
куляр икәнен исбатлагыз.
ОАВС тетраэдрының О түбәсе янындагы барлык яссы почмаклары
туры. О түбәсенең ABC яссылыгына проекциясе ABC өчпочмагы
биеклекләренең кисешү ноктасы икәнен исбатлагыз.
Сфера ноктасыннан өч пар-пар перпендикуляр хорда үткәрелгән.
Аларның квадратлары суммасы бу хордаларның торышына бәйле
түгел икәнен исбатлагыз.
Шарны кисеп узмаучы бирелгән туры аша үткән барлык яссылык¬
ларның шар белән кисемнәренең үзәкләре күплеген табыгыз.
Бирелгән сферага пар-пар перпендикуляр өч орынма туры үткә¬
рергә мөмкин булган барлык нокталар күплеген табыгыз.
Җисемнәрнең күләмнәре

798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
Биеклекләре h1, h2, h3, h4 булган тетраэдрга R радиуслы шар ка¬
малган. ⅛ = t- + t- + tl-+∙t^ икәнен исбатлагыз.
R Λ] h2 h3 һ4
Пар-пар бер-берсенә орынучы өч шарга уртак орынма яссылык үт¬
кәрергә мөмкин булсын өчен, аларның радиуслары нинди шартны
канәгатьләндерергә тиеш?
Яссылыкта R радиуслы дүрт шар ята, шуның белән бергә, аларның
өчесе пар-пар бер-берсенә орына, ә дүртенчесе аларның икесенә
орына. Бу шарлар өстенә бер-берсенә орынучы г радиуслы кечерәк
ике шар куелган, шул ук вакытта аларның һәркайсы өч зур шар¬
га орына. Кечкенә шарларның радиусын табыгыз.
Яссылыкта R радиуслы бер-берсенә пар-пар орынучы өч шар ята.
Конусның нигезе әлеге яссылыкта ята, ә бирелгән шарлар аңа
тышкы яктан орыналар. Конусның биеклеге λR га тигез. Аның
нигез радиусын табыгыз.
AB1C1 һәм A1BC яссылыклары өчпочмаклы төзек ABCA1B1C1 приз¬
масын дүрт кисәккә бүлә. Бу кисәкләрнең күләмнәре чагыштыр¬
масын табыгыз.
Тетраэдрның күләме ^^abc sin φ гә тигез икәнен исбатлагыз, биредә
а һәм Ъ — капма-каршы кабыргалар, ә φ һәм с — тиңдәшле рәвеш¬
тә алар арасындагы почмак һәм ераклык.
Тетраэдрның кабыргасы һәм каршы яткан кабыргасының урта¬
сы аша үтүче яссылык аны күләмнәре тигез булган ике кисәккә
бүлгәнен исбатлагыз.
ABCD параллелограммы — OABCD пирамидасының нигезе. АВ ту¬
рысы һәм OCD кырының урта сызыгы аша үтүче яссылык пира¬
миданың күләмен нинди чагыштырмада бүлә?
Бер яссылыкта ятмаган өч параллель туры бирелгән. Аларның
берсендә — АВ кисемтәсе, ә калган икесендә тиңдәшле рәвештә
С һәм D нокталары алынган. ABCD тетраэдрының күләме С һәм D
нокталарын ничек алуга бәйле түгел икәнен исбатлагыз.
Е һәм F нокталары —ABCDA1B1C1D1 кубында DC һәм BB1 кабыр¬
галарының урталары. Кубның кабыргасы 1 см га тигез. ADiEF
тетраэдрының күләмен табыгыз.
Ике параллель яссылыкта ике күппочмак алынган. Аларның түбә¬
ләре, килеп чыккан күпкырлыкның барлык кырлары, трапеция¬
ләр, өчпочмаклар һәм параллелограммнар булырлык итеп, кисем¬
тәләр белән тоташтырылган.
V = ∣(S1 + S2 + 4S3)
икәнен исбатлагыз, биредә V — күпкырлыкның күләме, һ — аның
биеклеге, S1 һәм S2 — нигез мәйданнары, S3 — нигез яссылык¬
ларына параллель һәм алардан тигез ераклыкта урнашкан яссы¬
лык белән кисем мәйданы.
Җисемнәрнең күләмнәре

809	Биеклекләре диаметрларыннан зуррак булган ике тигез цилиндр
күчәрләре туры почмак ясап кисешерлек һәм күчәрләренең кисе¬
шү ноктасы цилиндрларның нигезләреннән тигез ераклыкта бу¬
лырлык итеп урнашкан. Ьәр цилиндрның радиусы 1 см га тигез
булса, аларның уртак кисәгенең күләмен табыгыз.
810	Бирелгән шарны күчәр кисеменең түбә янындагы почмагы а бул¬
ган конус камый, α ның нинди кыйммәте өчен конус иң кечкенә
күләмгә ия?
811	Конуска шар камалган. Конус белән шарның күләмнәре чагыш¬
тырмасы конусның тулы өслеге белән шарны чикләүче сфера
өслеге мәйданнары чагыштырмасына тигез икәнен исбатлагыз.
812	Нигезенең ягы а га, ә түбә янындагы яссы почмагы а га тигез
булган дүртпочмаклы төзек пирамида аның түбәсе аша нигезенең
ягына параллель үтүче туры тирәсендә әйләнә. Килеп чыккан
әйләнү җисеменең күләмен табыгыз.
813	Шар ярымтүгәрәкне аның диаметрын эченә алган туры тирәсендә
әйләндереп табыла. Бу вакытта бер очы бирелгән диаметрның очы
белән тәңгәл килгән ниндидер хорданы әйләндерү юлы белән төзел¬
гән өслек шарны күләмнәре тигез булган ике кисәккә бүлә. Бу
хорда белән диаметр арасындагы почмакның косинусын табыгыз.
814	Тетраэдрның барлык биеклекләре Н ноктасында кисешәләр.
Н ноктасы, камаучы сфераның үзәге О, тетраэдрның түбәләрен
каршы яткан кырлары медианаларының кисешү нокталары белән
тоташтыручы кисемтәләрнең кисешү ноктасы G бер турыда ятка¬
нын (Эйлер теоремасы), өстәвенә О һәм Н нокталары G ноктасына
карата симметрик икәнен исбатлагыз.
815	Барлык биеклекләре бер ноктада кисешә торган тетраэдр бирел¬
гән. Барлык кырлары медианаларының кисешү нокталары, тетра¬
эдр биеклекләренең нигезләре һәм биеклекләренең кисешү нокта¬
сын түбәләре белән тоташтыручы кисемтәләрнең һәркайсын, түбә¬
дән исәпләгәндә, 2 : 1 чагыштырмасында бүлүче нокталар үзәге
Эйлер турысында урнашкан бер сферада ятканын исбатлагыз (Эй¬
лер сферасы).

VIII	бүлек
Планиметриядән кайбер мәгълүматлар
Әйләнмә белән бәйле
почмаклар һәм кисемтәләр
85	Орынма һәм хорда арасындагы почмак
Камаулы почмакның үзе таянган дуга¬
ның яртысы белән үлчәнгәнен без беләбез инде. Орынма
һәм хорда арасындагы почмак турындагы теореманы
исбатлыйк.
Теорема
ΙΗ·Μ··Η·^Μ··ΙΙ^····Ι^^Μ
Орынма һәм орыну ноктасы аша үтүче хорда арасын¬
дагы почмак үз эченә алынган дуганың яртысы белән
үлчәнә.
Исбатлау
АВ— бирелгән хорда, CC1 —А ноктасы аша
үтүче орынма, ди. АВ диаметр булса (рәс. 196, а), ВАС
почмагы (һәм шулай ук BAC1 почмагы) эченә алынган
дуга ярымәйләнә була. Икенче яктан, бу очракта ВАС
һәм BAC1 почмаклары — туры почмаклар, шуңа күрә
теореманың раславы дөрес.
Ә хәзер АВ хордасы диаметр булмасын.
Төгәллек өчен орынмада С һәм C1 нокталары САВ поч¬
магы кысынкы булырлык итеп сайлап алынган дип
исәплик һәм а хәрефе белән аның эчендәге дуга зур¬
лыгын тамгалыйк (рәс. 196, б). AD диаметрын үткәрик
һәм ABD өчпочмагының турыпочмаклы икәнен күрәбез,
шуңа күрә ZADB = 90° - ZDAB = ZBAC. ADB почмагы
камаулы булганлыктан, ZADB = ^, димәк, шулай ук
гу
ZBAC = — була. Шулай итеп, АС орынмасы һәм АВ хор-
дасы арасындагы ВАС почмагы аның эчендәге дуганың
яртысы белән үлчәнә.
Мондый раслау BACγ почмагы өчен дә дө¬
рес. Дөрестән дә, ВАС һәм BACi почмаклары чиктәш,
шуңа күрә ZBACl = 180o - = 360°~ α. Икенче яктан,
(360° - a) — BACx почмагы эчендәге ADB дугасының
зурлыгы. Теорема исбатланды.
Рәс. 196
Планиметриядән кайбер
мәгълүматлар
187

86	Әйләнә белән бәйле кисемтәләр
турында ике теорема
Камаулы почмаклар турындагы теоремадан
бер үк дугага таянучы почмаклар тигез икәнлеге чыга.
Бу күзәтүне кисешүче хордалар кисемтәләре турында
теореманы исбатлау өчен файдаланыйк.
1	нче теорема
Ике кисешүче хорданың берсенең кисемтәләре тап¬
кырчыгышы икенче хорданың кисемтәләре тапкыр¬
чыгышына тигез.
Исбатлау
АВ һәм CD хордалары Е ноктасында кисеш¬
сеннәр, ди (рәс. 197). АЕ ∙ BE = СЕ ∙ DE.
ADE һәм СВЕ өчпочмаклары өчпочмаклар
охшашлыгының беренче билгесе буенча охшаш: Z1 = Z2,
бу почмаклар бер үк BD дугасына таянганлыктан, 3 һәм 4
почмаклары вертикаль почмаклар буларак тигез. Димәк,
⅛^τ = γrzl, яки АЕ ∙ BE = СЕ ■ DE. Теорема исбатланды.
Орынма һәм хорда арасындагы почмак ту¬
рындагы теоремадан мөһим нәтиҗә — орынма квадраты
турындагы теорема чыга.
Рәс. 197
2	нче теорема
М ноктасы аша әйләнәне А һәм В нокталарында кисеп
үтүче кисүче һәм МК орынмасы (К — орыну ноктасы)
үткәрелгән булса, MA ■ MB = МК2 була.
Кыскача бу теореманы болай әйтәләр: кисү¬
че белән аның тышкы өлешенең тапкырчыгышы
орынманың квадратына тигез.
Исбатлау
АК һәм ВК кисемтәләре үткәрик (рәс. 198).
АКМ һәм КВМ өчпочмаклары охшаш: аларның М почма¬
гы уртак, ә АКМ һәм В почмаклары тигез, чөнки алар¬
ның һәрберсе АК дугасының яртысы белән үлчәнә. Димәк,
4√τ = 7777 > яки МА ’ MB = МК2. Теорема исбатланды.
МА МК
Искәрмә
Исбатланган теоремадан, әгәр М ноктасы
әйләнә тышында ятса һәм аның аша әйләнәне А һәм
В нокталарында кисеп үтүче кисүче үткәрелгән булса,
MA ■ MB тапкырчыгышы кисүченең торышына бәйле
Планиметриядән кайбер
мәгълүматлар
188

түгел, бу тапкырчыгыш М ноктасыннан үткәрелгән
орынманың квадратына тигез. Икенче яктан, МК
орынмасының квадраты ОМ2 - R2 ка тигез, биредә
О — әйләнә үзәге, R — аның радиусы (рәс. 199, а). Шу¬
лай итеп,
МА ■ MB = OM2 - R2.	(1)
Хәзер әйләнә эчендә яткан М ноктасын тик¬
шерик. Аның аша нинди дә булса АВ хордасын үткәрик
(рәс. 199, б). 1 нче теоремада MA- MB тапкырчыгышы
хорданың торышына бәйле түгел, ул М ноктасы аша
үтүче диаметр кисемтәләренең тапкырчыгышына тигез,
ягъни (R + ОМ) ■ (R- ОМ) = R2 — ОМ2. Шулай итеп, бу
очракта
МА ■ MB = R2 - ОМ2.	(2)
(1) һәм (2) формулалары бер-берсенә охшаш.
Векторларның скаляр тапкырчыгышыннан файдалан¬
сак, аларны хәтта бер формулага берләштерергә була:
МА ∙MB = OM2-R2.
87	Түбәләре әйләнәнең эчендә
һәм тышында булган почмаклар
Камаулы почмак турында һәм орынма белән
хорда арасындагы почмак турындагы теоремалар түбә¬
ләре әйләнә эчендә һәм тышында булган почмаклар¬
ны алар эчендәге дугалар аша белдерергә мөмкинлек
бирәләр. Шундый почмакларга мисаллар карыйк.
Ике кисешүче хордалар арасындагы поч¬
мак алар эченә алынган дугаларның ярымсуммасы
белән үлчәнә.
М ноктасында кисешүче АС һәм BD хорда¬
ларын тикшерик һәм ВС хордасын үткәрик (рәс. 200).
ZAMB ВМС өчпочмагының тышкы почмагы булган¬
лыктан, ZAMB = Z1 + Z2. Камаулы почмак турындагы
теоремадан Z1 = -∣∙ uCLD, Z2 = — ∖jAKB, шуңа күрә
Λ	Z
ZAMB = 4 (∖jCLD + <jAKB),
шуны исбатларга кирәк иде дә.
Бер ноктадан үткәрелгән ике кисүче ара¬
сындагы почмак аның эченә алынган дугаларның
ярымаермасы белән үлчәнә.
201 нче рәсемне карыйк. 1 почмагы —
AMQ почмагының тышкы почмагы, шуңа күрә
Рәс. 199
Планиметриядэн кайбер
мәгълүматлар
189

Zl = Z2 + ZAMB. 1 һәм 2 почмаклары камаулы булган¬
лыктан, Zl = -∣∙ <jAB, Z2 = -∣∙ ∖jPQ. Димәк,
Λ	л
ZAMB = ~ (иАВ - uPQ),
шуны исбатларга кирәк иде дә.
Бер ноктадан үткәрелгән орынма һәм кисү¬
че арасындагы почмак үз эченә алынган дугаларның
ярымаермасы белән үлчәнә.
202, а рәсемен карыйк. 1 почмагы AMК
почмагының тышкы почмагы булып тора, шуңа күрә
Zl = Z2 + ZAMK. Орынма һәм хорда арасындагы почмак
турындагы теоремадан Z1 = -∣∙ и АК-, ә камалган почмак
турындагы теоремадан Z2 =-∣∙ <jBK икәне чыга. Димәк,
ZAMK = ⅜ (и АК - <jBK),
Z.
шуны исбатларга кирәк иде дә.
Бер ноктадан үткәрелгән ике орынма ара¬
сындагы почмак аның эченә алынган ярымәйләнәдән
кечерәк дуга зурлыгын 180° тан алганга тигез.
Дөрестән дә, бер ноктадан үткәрелгән орын¬
маларның кисемтәләре тигез булганлыктан, 202, б
рәсемендәге KML өчпочмагы тигезьянлы. Орынма һәм
хорда арасындагы почмак турындагы теоремадан аның
нигезе янындагы К һәм L почмакларының суммасы
uKL на тигез. Димәк, ZKML = 180o - <jKL, шуны ис¬
батларга кирәк иде дә.
88	Камаулы дүртпочмак
Барлык түбәләре дә әйләнәдә яткан күппоч¬
мак әйләнәгә камалган, ә әйләнә үзе бу күппочмакны
камаучы дип аталганын искә төшерик.
Өчпочмактан аермалы дүртпочмакны һәрва¬
кытта да әйләнә белән камап булмый. Әгәр дә дүрт¬
почмакны әйләнә белән камап булса, андый дүртпочмак
кабарынкы дип атала (моны исбатлагыз), аның почмак¬
лары түбәндәге әһәмиятле үзлеккә ия: теләсә нинди
камаулы дүртпочмакта капма-каршы почмакларның
суммасы 180° ка тигез.
Бу үзлекне 203 нче рәсемен карап һәм ка¬
маулы почмак турындагы теоремадан файдаланып ис¬
батларга җиңел. Дөрестән дә,
Рәс. 202
Планиметриядән кайбер
мәгълүматлар

∠A = ∣ <jBCD, ZC = I <jBAD,
шуңа күрә
ZA + ZC = 4 (uBCZ> + и BAD) = ⅜ ∙ 360o = 180o.
Δ	Δ
Икенче төрле раслау да дөрес (камаулы дүрт¬
почмак билгесе): дүртпочмакның капма-каршы поч¬
макларының суммасы 180° ка тигез булса, аны әйләнә
белән камарга була.
Кабарынкы ABCD дүртпочмагын тикшерик,
анда ZA + ZC = 180°, һәм С түбәсе А, В һәм D нокталары
аша үтүче әйләнәдә ятуын исбатлыйк (203 нче рәс. кара).
Бөл ай түгел дип уйлыйк. Ул вакытта СВ
һәм CD турылары күрсәтелгән әйләнәгә я орынма була¬
лар (рәс. 204, а), я аларның берсе булса да, мәсәлән СВ
турысы, бу әйләнәгә карата кисүче була (рәс. 204, б, в).
Бу очракларны аерым карыйк.
СВ һәм CD турылары орынма булсалар,
ZC = 180o - <jBD (87 нче п. ны кара), шуңа күрә
ZA + ZC = -∣∙ uBD + 180o - ^BD = 180o - ⅜uBD < 180o,
Δ	Δ
ә бу шартка каршы килә.
СВ турысы кисүче булса, ул әйләнәне та¬
гын бер Е ноктасында кисеп үтә (204, б, β рәс. кара).
ABED дүртпочмагы камаулы булганлыктан, ZA + ZE =
= 180°. Ләкин ZE≠ZC, чөнки бу почмакларның бер¬
се — DCE өчпочмагының почмагы, ә икенчесе бу өчпоч¬
макның тышкы почмагы була. Димәк, бу очракта
ZA + ZC ≠ 180°, без тагын шартка каршы килдек.
Шулай итеп, С түбәсе А, В һәм D нокталары
аша үтүче әйләнәдә ята, шуны исбатларга кирәк иде дә.
Искәрмә
Исбатланган раслаудан ABCD дүртпочмагы¬
ның А һәм С почмаклары туры булса, аны әйләнә белән
камарга була, өстәвенә АС диагонале бу әйләнәнең диа¬
метры була (ни өчен икәнен аңлатыгыз). Икенче төрле
әйткәндә, В һәм D нокталары диаметры АС булган әй¬
ләнәдә ята. Гомумирәк раслау да дөрес: бирелгән ике
нокта А һәм В дан һәм АМВ почмагы туры булган
барлык М нокталарыннан торган күплек диаметры
АВ булган әйләнәдән гыйбарәт.
Дөрестән дә, диаметры АВ булган әйләнәнең
А һәм В нокталарыннан аермалы теләсә нинди М ноктасы
191
В)
Рәс. 204
Планиметриядэн кайбер
мэгълүма тлар

өчен камаулы АМВ почмагы туры почмак булганлык¬
тан (рәс. 205), бу әйләнәнең теләсә нинди ноктасы
бирелгән күплекнеке була. М ноктасы тикшерелә тор¬
ган күплекнеке булса, ул диаметры АВ булган әйләнәдә
ятуын исбатлыйсы гына калды. Моны исбатлыйк.
АМВ өчпочмагын камаучы әйләнәне тик¬
шерик (205 нче рәс. кара). Бу әйләнәгә карата камау¬
лы булган АМВ почмагы туры, шуңа күрә АВ ки¬
семтәсе — аның диаметры. Шулай итеп, М ноктасы
диаметры АВ булган әйләнәдә ята, шуны исбатларга
кирәк иде дә.
Ниндидер геометрик үзлеккә ия булган бар¬
лык нокталарның күплеген кайвакыт нокталарның
геометрик урыны дип аталуын билгеләп үтик. Аерым
алганда, болай әйтергә була: АМВ почмагы (А һәм В
бирелгән нокталар) туры почмак булган М нокталары¬
ның геометрик урыны булып А һәм В нокталары алын¬
ган АВ диаметрлы әйләнә тора.
89	Камаучы дүртпочмак
Барлык яклары әйләнәгә орынган күппоч¬
мак әйләнәне камаучы дип, ә әйләнә бу күппочмакка
камалган дип аталганын искә төшерик.
Өчпочмактан аермалы буларак, теләсә нин¬
ди дүртпочмакка да әйләнәне камап булмый. Әгәр дә
дүртпочмакка әйләнәне камап булса, аның яклары
түбәндәге мөһим үзлеккә ия: теләсә нинди камаучы
дүртпочмакта капма-каршы якларының суммасы
тигез була.
206 нчы рәсемне карыйк, анда бер үк хәреф¬
ләр белән орынмаларның тигез кисемтәләре тамгалан¬
ган. Түбәндәгене искәртәбез:
АВ + CD — π + t> + c + d, ВС + AD — о + b + с + d,
шуңа күрә АВ + CD = ВС + AD.
Кире раслау да дөрес (камаучы дүртпочмак
билгесе): кабарынкы дүртпочмакның капма-каршы
якларының суммасы тигез булса, аның эченә әйләнә
камарга була.
Кабарынкы ABCD дүртпочмагын тикше¬
рик, анда АВ + CD = ВС + AD. А һәм В почмакларының
биссектрисалары кисешкән О ноктасы АВ, AD һәм ВС
якларыннан тигез ераклашкан, шуңа күрә күрсәтелгән
өч якка орынучы О үзәкле әйләнә үткәрергә мөмкин
Рәс. 205
Планиметриядән кайбер
мәгълүматлар

(рәс. 207, а). Бу әйләнә шулай ук CD ягына орыну¬
ын һәм, димәк, ABCD дүртпочмагына камаучы булуын
исбатлыйк.
Бу болай түгел дип фаразлыйк. Ул вакытта
CD турысының әйләнә белән уртак ноктасы булмый,
я ул кисүче була. Беренче очракны тикшерик (рәс.
207, б). CD турысына параллель булган C'D' орынмасы
үткәрик (C' һәм D' — орынманың ВС һәм AD яклары
белән кисешү нокталары). ABC'D' камаучы дүртпочмак
булганлыктан, AB + C’D' = ВС' +AD,, яки
AB + C'D’ = BC-C'C+AD- D'D.
Бу тигезлекнең уң ягында ВС + AD суммасын
AB + CD суммасына алмаштырып, CD’ + СС + D'D = CD
тигезлеген табабыз, ягъни C'CDD' дүртпочмагында бер
як башка өч якның суммасына тигез. Ләкин моның
булуы мөмкин түгел, һәм, димәк, безнең фаразыбыз
(CD турысының һәм әйләнәнең уртак нокталары бу¬
луы мөмкин түгел дигән) дөрес түгел. Шул рәвешле,
CD турысының әйләнәгә карата кисүче булуы мөмкин
түгеллеге исбатлана. Димәк, әйләнә CD ягына орына,
шуны исбатларга кирәк иде дә.
В
Рәс. 207
Мәсьәләләр
816	О үзәкле әйләнәнең ОА радиусында яткан D ноктасы аша ОА га
перпендикуляр булган ВС хордасы, ә В ноктасы аша әйләнәгә ОА
турысын Е ноктасында кисеп үтүче орынма үткәрелгән. ВА нуры
СВЕ почмагының биссектрисасы булуын исбатлагыз.
817	Ике әйләнәнең бер уртак ноктасы М бар. Бу нокта аша бер
әйләнәне—А һәм A1 нокталарында, ә икенчесен В һәм B1 нок¬
таларында кисеп үтүче ике кисүче үткәрелгән. AA1 II BB1 булуын
исбатлагыз.
818	АС турысы — O1 үзәкле әйләнәгә орынма, ә BD турысы —
О2 үзәкле әйләнәгә орынма (рәс. 208). Исбатлагыз: a) AD II ВС;
6)AB2 =AD BC; в) BD2 : AC2 =AD∙.BC.
819	М ноктасы ABCD дүртпочмагы эчендә ята. АВМ һәм MCD өч¬
почмакларын камаучы әйләнәләрнең М ноктасында уртак орын¬
масы булганда һәм бары шул вакытта гына
ZAMD = ZABM + AMCD тигезлеге дөрес була.
820	Әйләнә ABC өчпочмагының АВ һәм АС якла- [	^A \
рына орына һәм ВС ягын Р һәм Q нокта- I	X I I ]∖.o
ларында кисеп үтә, BP = CQ. ABC өчпочма- ∖	°1 ч1/ \ 2
гының тигезьянлы икәнен исбатлагыз. ∖	3x^~~—-
821	Әйләнәдә ятмаган ноктада кисешүче ике ту- 		—--≡*c,
рыдан әйләнә тигез хордалар кисеп ала. Бу Рәс. 208
Планиметриядэн кайбер
мәгълүматлар
193

822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
турыларның кисешү ноктасыннан ике хор¬
даның һәрберсенең очларына кадәрге ерак¬
лыкларның үзара тигез булуын исбатлагыз.
О үзәкле әйләнәдә яткан К ноктасы аша
КА хордасы һәм КВ орынмасы үткәрелгән,
ә О ноктасы аша ОА турысына перпендику¬
ляр булган һәм КА хордасын М ноктасында,
ә КВ орынмасын N ноктасында кисүче туры
үткәрелгән. NK = NM булуын исбатлагыз.
B1 һәм C1 нокталары — АВ һәм АС дугала¬
рының урталары (рәс. 209). AM=AN икә¬
нен исбатлагыз.
А, В, С һәм D нокталары бер әйләнәдә ята, BD нуры ABC өчпочма¬
гының ВМ биссектрисасын эченә ала. ZAMD = ZBAD икәнен ис¬
батлагыз.
АВ һәм СВ хордалары үзара перпендикуляр, АВ нуры — ВАЕ
почмагының биссектрисасы, AEZBC икәнен исбатлагыз. Барлык
мөмкин булган очракларны тикшерегез.
A41 һәм BB1 кисемтәләре—ABC өчпочмагының биеклекләре.
A, В, A1 һәм B1 нокталарының бер әйләнәдә ятуын исбатлагыз.
Камаулы дүртпочмакның диагональләре үзара перпендикуляр
булсалар, дүртпочмакның капма-каршы якларының квадратлары
суммасы камаучы әйләнәнең диаметры квадратына тигез булуын
исбатлагыз.
Әйләнәгә камалган ABCD өчпочмагында А һәм В почмакларының
биссектрисалары CD ягында яткан ноктада кисешәләр. CD = ВС +
+ AD икәнен исбатлагыз.
Әйләнәгә камалган теләсә нинди дүртпочмакта диагональләренең
тапкырчыгышы капма-каршы яклары тапкырчыгышларының
суммасына тигез булуын исбатлагыз (Птоломей теоремасы).
Күрсәтелгән тәртиптә әйләнәдә дүрт нокта А, В, С һәм D бирел¬
гән. М ноктасы — АВ дугасының уртасы, К — АВ һәм MD хорда¬
ларының кисешү ноктасы, Е — АВ һәм МС хордаларының кисешү
ноктасы. CDKE дүртпочмагын камаучы әйләнә үткәрергә мөмкин
булуын исбатлагыз.
Кабарынкы дүртпочмакның капма-каршы яклары кисешкәнгә ка¬
дәр дәвам ителгән. Дүртпочмакны камаучы әйләнәне хасил булган
почмакларның биссектрисалары үзара перпендикуляр булганда
һәм бары шул вакытта гына үткәрергә мөмкин булуын исбатлагыз.
Кабарынкы күппочмакка әйләнәне шул вакытта һәм бары шул
вакытта гына камарга була, әгәр диагональ белән күппочмак
кисешкәндә хасил булган ике өчпочмакка камалган әйләнәләр бу
диагональгә бер ноктада орынсалар. Моны исбатлагыз.
Әйләнәне камаучы турыпочмаклы трапециянең мәйданы аның
нигезләренең тапкырчыгышына тигез булуын исбатлагыз.
Планиметриядэн кайбер
мәгълүматлар

834
835
Нигезләре АВ һәм CD булган (AB > CD)
ABCD трапециясенә әйләнә камалган.
CD = a, DK = b һәм AK = d, К әйләнә белән
AD ягының орыну ноктасы булса, трапеция¬
нең мәйданын табыгыз.
Кабарынкы дүртпочмакның һәр ягында ике
нокта билгеләнгән. Бу нокталар, 210 нчы
рәсемдә күрсәтелгәнчә, кисемтәләр белән
тоташтырылган. Буялган һәр дүртпочмакка
әйләнә камарга мөмкин булуы билгеле.
Бирелгән дүртпочмакка да әйләнә камарга
мөмкин булуын исбатлагыз.
Рәс. 210
2
Өчпочмакларны чишү
90	Медиана турында теорема
Өчпочмакны чишү дип, аны билгеләүче
билгеле өч элементы буенча, өчпочмакның калган эле¬
ментларын табу икәнен искә төшерик. Өчпочмакны
чишү өчен, кагыйдә буларак, синуслар һәм косинуслар
теоремалары кулланыла. Исбатланышы өчпочмакларны
чишүгә нигезләнгән теорема мисалы китерик.
Теорема
ABC өчпочмагының AM медианасы квадраты
. 1-2 AB2 1 АС2 ВС2 .	-
AM = ——I—		— формуласы аша белдерелә.
А Δ. 4
Исбатлау
ABC өчпочмагының якларын белеп, мәсә¬
лән, В почмагының косинусын табарга мөмкин. Моның
өчен косинуслар теоремасыннан файдаланырга кирәк
(рәс. 211): АС2 = АВ2 + ВС2 - 2АВ · ВС cos В, моннан
d ab2+bc2-ac2
COSB	2ΛB∙BC '
D/n
Хәзер АВМ өчпочмагын тикшерик. ВМ = -у
икәнен исәпкә алып, косинуслар теоремасыннан табабыз:
AM2=AB2+^-2AB-^. ab∖+ab^c2 -
4	2 2√Lo*jdC
АВ2 АС2 ВС2
2	2	4 ’
Теорема исбатланды.
Планиметриядэн кайбер
мәгълүматлар
795

Нәтиҗә
Параллелограмм диагональләренең квадратлары суммасы аның
яклары квадратлары суммасына тигез.
Диагональләре О ноктасында кисешкән
ABCD параллелограммын тикшерик (рәс. 212). Парал¬
лелограммның диагональләре кисешү ноктасы белән
урталай бүленгәнлектән, АС ның яртысына тигез бул¬
ган АО кисемтәсе ABD өчпочмагының медианасы
була. Димәк, AC2 = 4АО2 = 2АВ2 + 2AD2 - BD2, моннан
AC2 + BD2 = 2АВ2 + 2AD2 = AB2 + CD2 + AD2 + ВС2, шуны
исбатларга кирәк иде дә.
Рәс. 212
91	Өчпочмакның биссектрисасы турында теорема
Теорема
Өчпочмакның биссектрисасы аның ягын башка ике
ягына пропорциональ булган өлешләргә бүлә.
AD — ABC өчпочмагының биссектрисасы,
DC
ди. = булуын исбатлыйк (рәс. 213).
_/ι_ο АС
Башта ABD өчпочмагын тикшерик. Синус-
DD AD
лар теоремасы буенча, =	, моннан
sιnZl sιnZ3
DB _ sinZl
AB sinZ3'
ACD өчпочмагын тикшереп, аналогик рә¬
вештә табабыз:
DC = sinZ2
AC sinZ4'
Ләкин Z2 =Z1 — шарт буенча, Z4 = 180o -Z3,
шуңа күрә sin Z2 = sin Z1 һәм sin Z4 = sin Z3. Димәк,
DD DC
= jgy. Теорема исбатланды.
Нәтиҗә
Яклары АВ = с, ВС = a, СА = Ь һәм биссектрисасы AD булган
ABC өчпочмагы өчен
DB = τgγ-, DC = ~~	(1)
Ь + с Ь + с
тигезлекләре дөрес.
Исбатланган теоремадан DB ∙ b = DC ■ с булуы
чыга. Моннан тыш, DB + DC = а. Бу ике тигезлектән,
DB һәм DC ны чыгарып, (1) формулаларына киләбез.
Планиметриядән кайбер
мәгълүматлар

Бу нәтиҗәне түбәндәге мәсьәләне чишү өчен
кулланабыз.
Мәсьәлә
ABC өчпочмагының AD биссектрисасын
АВ = с, АС = Ъ яклары һәм А почмагы аша белдерергә.
Чишү
ВС = а булсын, ди. ABD өчпочмагына ко¬
синуслар теоремасын кулланып һәм (1) дән беренче
формуланы кулланып табабыз (213 нче рәс. карагыз):
-^¾=AD2 + c2-2cADcos4∙ (2)
(b + c)2	2
Аналогик рәвештә ACD өчпочмагыннан та¬
бабыз:	22
-Zf-2=AD2 + b2-2bADcθs½	(3)
(о + с)	Л
(2) һәм (3) тигезлекләрен тиңдәшле рәвештә
b2 ка һәм - с2 ка тапкырлап, аннары аларны кушып,
түбәндәге тигезлеккә киләбез:
0 =AD2(b + с) (b-c)-2bc(b -c)AD cos^·
Шулай итеп, b ≠ с булганда табабыз:
AD^⅛cosf.	(4)
(4) формуласы b = с булганда да дөрес (моны
үзлегегездән тикшерегез).
Искәрмәләр
1.	К — D ноктасы аша AD га перпендикуляр
булып үтүче турының АВ һәм АС якларының зурысы
белән (214 нче рәсемдә АС турысы белән) кисешү нок¬
тасы, ди. (4) формуласыннан АК кисемтәсенең озын¬
лыгы бу якларның озынлыкларына гына бәйле булуы
һәм А почмагының зурлыгына бәйле булмавы килеп
д П 2bc
чыга: АК =	т = 		. Бу фактны турыдан-туры да
cosy b + с
күрергә була. Дөрестән дә, АЕ =АВ булсын, ди. Ул ва¬
кытта DK — DCE өчпочмагының биссектрисасы (моны
үзлегегездән исбатлагыз). Димәк,
АК - с .EK DE DB . с
Ъ - АК КС DC DC b'
моннан АК =
b + с
2.	Әгәр cos 2 зурлыгын, (4) формуласыннан
чыгарып, (2) формуласына куйсак, AD биссектрисасын
197
А
В D	С
Рәс. 214
Планиметриядән кайбер
мәгълүматлар

өчпочмакның яклары белән бәйләүче формула та¬
была:
(b + с)2
(1) формуласын исәпкә алсак, ул бик гади
рәвешне ала:
AD2 = bc-DB∙ DC.
92	Өчпочмак мәйданы формулалары
1 нче теорема
Өчпочмакның мәйданы
S=pr	(5)
формуласы белән белдерелә, биредә р — өчпочмакның
ярымпериметры, г — аңа камалган әйләнәнең радиусы.
Исбатлау
Өчпочмакның түбәсен аңа камалган әйләнә	с
үзәге белән тоташтырабыз (рәс. 215). Ул вакытта өчпоч-	/К
мак өч өчпочмакка бүленгән булып чыга, аларның / ∖ X.
һәрберсенең мәйданы тиңдәшле ягы белән камалган Az∖J∕z х.
әйләнә радиусы тапкырчыгышының яртысына тигез. / J∕p∖ x4
Бу мәйданнарны кушып һәм уртак тапкырлаучы не	r∣
җәя тышына чыгарып, (5) формуласын табабыз. Теоре- А
ма исбатланды.	Рәс. 215
Шулай итеп, без өчпочмакның мәйданын
аңа камалган әйләнә радиусы белән бәйләүче форму¬
ланы таптык. Өчпочмакның мәйданын аны камаучы
әйләнә радиусы белән бәйләүче формуланы табу өчен,
синуслар теоремасын ачыклаучы түбәндәге теореманы
исбатлыйк.
2 нче теорема
АВ = с, ВС = а һәм СА = Ь булган ABC өчпочмагында
-√4 =	= ~~ = 2R
sin A sin В sin С
тигезлекләре дөрес булса, биредә R — ABC өчпочма¬
гын камаучы әйләнә радиусы.
Исбатлау
ABC өчпочмагында бер почмак булса да
кысынкы. Мәсәлән, А почмагы кысынкы булсын, ди.
BD диаметрын үткәрик (рәс. 216) һәм DBC өчпочмагын
тикшерик. Бу өчпочмакның С почмагы туры, ZD = Z.A,
Планиметриядән кайбер
мәгълүматлар
198

чөнки күрсәтелгән камаулы почмаклар бер үк ВС ду¬
гасына таяналар. Димәк, a = BC = BD sin A = 27? sin A,
моннан - --- = 2R. Синуслар теоремасыннан файдала-
sιnA
нып табабыз:
_о_ = -b_ = с = 2R.	В
sin A sin В sin С
Теорема исбатланды.
1	нче НӘТИҖӘ	Рас. 216
Яклары а, Ь һәм с булган өчпочмакның мәйданы
S	= ⅛	(6)
формуласы белән белдерелә, биредә R — аны камаучы әйләнәнең
радиусы.
Дөрестән дә, А — а ягына каршы ятучы
почмак булса, S = ⅜fecsinA, ә sinA = ⅛ була, моннан
Δ	Δ.Κ
күрсәтелгән формула табыла да инде.
2	нче нәтиҗә
ABC өчпочмагының мәйданы
S = 2R2 sin A sin В sin С
формуласы белән белдерелә, биредә R— аны камаучы әйләнәнең
радиусы.
Бу раслауны исбатлау өчен, (6) формуласын¬
нан һәм 2 нче теоремадан файдалану җитә.
93	Герон формуласы
Бу пунктта без яклары a, Ь һәм с булган
өчпочмакның мәйданы формуласын чыгарырбыз, аны
борынгы грек математигы һәм инженеры Герон Алек¬
сандрийский (як.б.э. I г.) исеме белән бәйләп йөртәләр.
S = y∣p(p - a)(p -b)(p- с),
биредә р =	~ — өчпочмакның ярымпериметры.
Яклары АВ = с, ВС = а һәм СА = Ь булган
ABC өчпочмагын тикшерик һәм аның мәйданы S ны а,
Ь һәм с аша белдерик.
S = -⅛csinA	(7)
Δ
булганлыктан, sinA ны табу җитә. Моны косинуслар
теоремасыннан һәм төп тригонометрик бердәйлектән
файдаланып эшләргә була. Дөрестән дә, косинуслар
Планиметриядэн кайбер
мәгълүматлар

теоремасыннан cos A = -7— (b2 + c2 - a2) чыга, sinA ≥ О
2 be
икәнен исәпкә алып, төп тригонометрик бердәйлектән
табабыз:
sin A = y∣l-cos2A = —7—^4 b2c2 - (b2 + c2-a2)2.
2 be
Тамырасты аңлатмасын тапкырлаучыларга
түбәндәгечә таркатырга була:
(2bc + b2 + c2 - α2) (2bc - b2 - c2 + α2) =
= (Ь + с + α) (∂ + с - а) (а - b + с) (a + b - с) =
= 2р ■ 2(р - а) · 2(р - Ь) · 2(р - с).
sin А өчен табылган аңлатманы (7) формула¬
сына куеп, Герои формуласын табабыз.
Искәрмә
һа, һь һәм һс — өчпочмакның a, Ь һәм с
якларына үткәрелгән биеклекләре, S — аның мәйданы,
R һәм г — камаучы һәм камаулы әйләнәләренең ради¬
услары.
ha = 2S,	= h 2S R = ^ г=2^
a b Ь с 4S а+Ь+с
булганлыктан (92 нче п. ны кара), Герон формуласы һа,
hb, hc, R һәм г зурлыкларын өчпочмакның яклары аша
күрсәтергә мөмкинлек бирә.
94	Эйлер мәсьәләсе
Бу пунктта без геометриянең иң искиткеч
мәсьәләләренең берсенең чишелешен китерербез, ул Эй¬
лер мәсьәләсе дигән атама алган. Ләкин башта шундый
билгеләмәдән башлыйбыз: үзәге О һәм коэффициен¬
ты fe ≠ 0 булган үзәкле охшашлык дип, һәр М нокта¬
сы OM1 - k ОМ булырлык M1 ноктасына күчкәндәге
яссылыкның үзенә чагылдыруы атала.
Коэффициенты k булган үзәкле охшашлык
вакытында А һәм В нокталары A1 һәм B1 нокталары¬
на күчсә, A1B =⅛AB икәнен исбатларга кыен түгел.
Дөрестән дә,
A^B1 = OB1 -QA1 = kOB -kOA = k(θB -ОА) = kAB .
Моннан үзәкле охшашлык вакытында
О ноктасы аша үтүче туры — үзенә, О ноктасы аша
үтмәүче туры аңа параллель булган турыга күчә, ки¬
семтә кисемтәгә күчә, өчпочмак үзенә охшаш бул¬
ган — өчпочмакка, үзәге С, радиусы г булган әйләнә
Планиметриядән кайбер
мәгълүматлар

үзәге C1, радиусы ∣ k | г булган әйләнәгә күчә, биредә
0C1 = kOC . Бу раслауларны үзлегегездән исбатлагыз.
Хәзер Эйлер мәсьәләсенә күчәбез.
Эйлер мәсьәләсе
Түбәндәгеләрне исбатларга:
1)	ирекле өчпочмакта өчпочмакларның
якларына һәм аларның урталарына карата биеклекләр¬
нең (яки аларның дәвамнарының) кисешү ноктасы Н ка
симметрик нокталар камаучы әйләнәдә яталар;
2)	якларның урталары, биеклекләрнең
нигезләре һәм Н ноктасын түбәләр белән тоташтыру¬
чы кисемтәләрнең урталары үзәге Н ноктасын камаучы
әйләнәнең үзәге белән тоташтыручы кисемтәнең уртасы
булган, ә радиусы камаучы әйләнә радиусыннан ике
тапкырга кимрәк булган бер әйләнәдә (бу әйләнә Эйлер
әйләнәсе дип атала) яталар;
3)	медианаларның кисешү ноктасы Н нок¬
тасын камаучы әйләнәнең үзәге белән тоташтыручы
кисемтәдә ята һәм бу кисемтәне, камаучы әйләнәнең
үзәгеннән алганда, 1 : 2 чагыштырмасында бүлә (дүрт
нокта — Н ноктасы, медианаларның кисешү ноктасы,
камаучы әйләнәнең үзәге һәм Эйлер әйләнәсенең үзәге
яткан туры Эйлер турысы дип атала);
4)	өчпочмакның урта сызыгын эченә алган
турыга карата камаучы әйләнәнең үзәгенә симметрик
нокталар Эйлер әйләнәсендә яталар.
Чишү
ABC — бирелгән өчпочмак, ди (рәс. 217).
Мондый тамгаланышлар кертик: G — медианаларның
кисешү ноктасы, О — камаучы әйләнәнең үзәге,
R — аның радиусы, A1, Bl һәм C1 — ВС, СА һәм АВ
якларының урталары, A2, В2 һәм С2 — бу яклар¬
га үткәрелгән биеклекләрнең нигезләре, A3, В3 һәм
С3 —АН, ВН һәм СН кисемтәләренең урталары, A4, Bi
һәм С4 — өчпочмакның якларына карата Н ноктасы¬
на симметрик нокталар. A5, В5 һәм С5 — бу якларның
урталарына карата Н ноктасына симметрик нокталар,
A6, В6 Һәм С6 — B1C1, C1A1 һәм A1B1 турыларына ка¬
рата О ноктасына симметрик нокталар (рәсемдә алар
билгеләнмәгән). Хәзер мәсьәләләрне чишә башлыйк.
1)	ABC өчпочмагының бер почмагы, мәсә¬
лән А почмагы, туры булса, Н, Bi һәм Ci нокталары —
Планиметриядэн кайбер
мәгълүматлар

в
Вя
C5
A3
Рэе. 217
А ноктасы белән, B5 ноктасы — С ноктасы белән, ә C5
ноктасы В ноктасы белән тәңгәл киләләр. ZBAiC =
= ZBA5C = ZA = 90° булганлыктан, A, А4 һәм А5 нок¬
талары диаметры ВС булган әйләнәдә яталар (88 нче
п. ны карагыз). Шулай итеп, A4, A5, B4, B5, C4, С5 нок¬
талары ABC өчпочмагын камаучы әйләндә яталар.
ABC өчпочмагы турыпочмаклы түгел, ди.
ZAB2H = ZAC2H = 90° булганлыктан, В2 һәм С2 ноктала¬
ры АН диаметрлы әйләнәдә яталар (88 нче п. ны карагыз).
Димәк, бу әйләнәгә карата камаулы B2AC2 һәм B2HC2
почмаклары һәм, димәк, ВАС һәм ВНС почмаклары
я тигез, я суммасы 180° тәшкил итә. Теге һәм бу очрак¬
та да sin ZBHC = sin ZBAC.
Планиметриядэн кайбер
мәгълүматлар
202

R1 — НВС өчпочмагын камаучы әйләнә ра¬
диусы, ди. 2 нче теорема буенча, 92 нче п. тан ВС =
= 2R1 sin ZBHC = 2R sin ABAC чыга. Ләкин sin ZBHC =
= sin ZBAC. Димәк, Rl = R. Моннан ABC һәм НВС өч¬
почмакларын камаучы әйләнә ВС турысына карата һәм
ВС кисемтәсе уртасына карата симметрик. Н ноктасы
НВС өчпочмагын камаучы әйләнәдә ята. Димәк, аңа
симметрик А4 Һәм А5 нокталары ABC өчпочмагын кама¬
учы әйләнәдә ята. Аналогик рәвештә B4, B5, С4 һәм С5
нокталарының шулай ук бу әйләнәдә ятуы исбатлана.
2)	Үзәге Н һәм коэффициенты булган
үзәкле охшашлыкны тикшерик. Бу охшашлык вакы-
D
тында камаучы әйләнә радиусы булган әйләнәгә күчә
(рәс. 217), аның О9 үзәге ОН кисемтәсенең уртасы була,
камаучы әйләнәнең Aδ, B5, C5, A4, B4, С4, А, В, С нокта¬
лары тиңдәшле рәвештә A1, B1, C1 (якларның урталары),
A2, В2 Һәм С2 (биеклекләрнең урталары), A3, В3 һәм С3
(АН, ВН, СН кисемтәләренең урталары) нокталарына
күчә. Димәк, A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, С3 нокталары
R
үзәге Од радиусы — әйләнәсендә ята. Раслау исбатланды.
3)	Үзәге G һәм коэффициенты --∣∙ булган
үзәкле охшашлыкны тикшерик. ABC өчпочмагының
медианалары G ноктасы белән 1 : 2 чагыштырмасында
бүленәләр, шуңа күрә тикшерелә торган үзәкле охшаш¬
лыкта А, В һәм С түбәләре капма-каршы якларның A1,
B1 һәм C1 урталарына күчәләр. Димәк, өчпочмакның
биеклекләрен эченә алган турылар аның якларына пер¬
пендикуляр булган һәм аларның урталары аша үтүче ту¬
рыларга, ягъни якларына урта перпендикулярга күчә¬
ләр. Шуңа күрә Н ноктасы камаучы әйләнә үзәге О га
күчә. Бу — G ноктасының ОН кисемтәсендә ятуын һәм
аны, О ноктасыннан исәпләгәндә, 1 : 2 чагыштырмасын¬
да бүлүен аңлата. Шуны исбатларга кирәк иде дә.
4)	Үзәге G һәм коэффициенты --∣∙ булган
үзәкле охшашлыкта А, В һәм С түбәләре капма-каршы
якларның A1, B1 һәм C1 урталарына, ә Н ноктасы
О ноктасына күчүен билгеләп үткән идек. Моннан:
a) ABC өчпочмагын камаучы әйләнә Эйлер әйләнәсенә
күчүе чыга; б) Н ноктасына ВС, СА һәм АВ турыларына
карата симметрик булган камаучы әйләнәнең A4, В4 һәм
Планиметриядэн кайбер
мәгълүматлар

C4 нокталары Эйлер әйләнәсенең B1C1, C1A1 һәм A1B1
турыларына карата О ноктасына симметрик булган А6,
В6 һәм С6 нокталарына күчәләр. Шулай итеп, Aβ, Вв
һәм С6 нокталары Эйлер әйләнәсендә яталар.
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
Мәсьәләләр
ABC өчпочмагының ВС ягында, BD : AB = DC : АС булырлык
итеп, D ноктасы билгеләнгән AD кисемтәсе ABC өчпочмагының
биссектрисасы булуын исбатлагыз.
ABC өчпочмагының А түбәсе янындагы тышкы почмагының бис¬
сектрисасы ВС турысын D ноктасында кисеп үтә. BD :АВ = DC :АС
булуын исбатлагыз.
Яклары АВ = с, ВС = а һәм СА = b булган ABC өчпочмагының A41,
BB1 һәм CC1 биссектрисалары О ноктасында кисешәләр, a)
OA1
-20. чагыштырмаларын табыгыз, б) -^О. + ВО_ + СО_ _ 2,
OB1 OC1	BBγ CC1
ОА, ОВ, ОС, _ „	„	s λ
———I-	ι +	1 = 1 булуын исбатлагыз, в) Өчпочмакның бер
15J∑>, C√C∕J
генә биссектрисасы булса да О ноктасы белән урталай бүленә ала¬
мы? г) Биссектрисаларның берсе, О ноктасы белән өчпочмакның
түбәсеннән исәпләгәндә, 2 : 1 чагыштырмасында бүленә шул ва¬
кытта һәм бары шул вакытта, әгәр өчпочмак якларының берсе
калган ике ягының ярымсуммасына тигез булса.
Өчпочмакның ике ягының тапкырчыгышы өченче ягына үткә¬
релгән биеклек белән камаучы әйләнәнең диаметры тапкырчыгы¬
шына тигез булуын исбатлагыз.
ABC өчпочмагы эчендә М ноктасы алынган. Әгәр М ноктасы ABC
өчпочмагының В түбәсеннән үткәрелгән медианасында ятса, ВАМ
һәм ВСМ өчпочмакларының мәйданнары шул вакытта һәм бары
шул вакытта гына тигез.
Бирелгән өчпочмакның медианаларыннан өчпочмак төзергә мөм¬
кин булуын исбатлагыз һәм аның мәйданының бирелгән өчпочмак
мәйданына чагыштырмасын табыгыз.
Өчпочмакның биеклекләре 3 см, 4 см һәм 6 см га тигез булса,
аның мәйданын табыгыз.
Өчпочмакның мәйданнары 9 см, 12 см һәм 15 см га тигез булса,
аның мәйданын табыгыз.
ABC өчпочмагына камалган әйләнә аның якларына L, М һәм
N нокталарында орына. LMN өчпочмагы мәйданының ABC
өчпочмагы мәйданына чагыштырмасы ABC өчпочмагына камал¬
ган әйләнә радиусының бу өчпочмакны камаучы әйләнәнең диа¬
метрына чагыштырмасына тигез булуын исбатлагыз.
Өчпочмакның ягына һәм башка ике ягының дәвамнарына оры¬
нучы әйләнә тышкы камаулы дип атала. Исбатлагыз: a) ABC
Планиметриядэн кайбер
мәгълүматлар

846
847
848
849
850
өчпочмагының мәйданы S = rα(p - a) фор¬
муласы белән белдерелә, биредә ra — ВС = a
ягына орынучы тышкы камаулы әйләнә
радиусы, р — өчпочмакның ярымпериме-
тры; б) S = ψrarbrc , 7 + 7 + 7 = 7, биредә
'a 'b 'с '
г — өчпочмакка камаулы әйләнә радиусы,
ra, rb> rc — тышкы камаулы әйләнә радиус¬
лары.
Яклары a, b, с, d һәм ярымпериметры р
булган кабарынкы дүртпочмакның 8 мәй¬
даны S = ra(p - a) + rc(p - с) формуласы аша
белдерелүен исбатлагыз, биредә ra һәм rc —
а һәм с га тигез булган якларына орынучы
тышкы камаулы әйләнәләрнең радиуслары
(рәс. 218).
Исбатлагыз: а) яклары a, b, с, d һәм ярым¬
периметры р булган кабарынкы дүртпоч¬
макның 8 мәйданы квадраты	Рәс‘ 218
S2 = (р - a)(p - b)(p - c)(p - d)- abed cos2 - 7 -
Zu
формуласы белән белдерелә; б) камаулы дүртпочмакның 8 мәй¬
даны S = y∣(p - a)(p - b)(p - c)(p - d) формуласы белән белдерелә;
бу формуладан чыгып, өчпочмакның мәйданы өчен Герон форму¬
ласын табыгыз.
Исбатлагыз: а) әйләнәне камаучы яклары a, b, с, d булган
дүртпочмакның 8 мәйданы S = y∣abcd sin - формуласы белән
£
белдерелә; б) яклары a, b, с, d булган дүртпочмак бер үк вакытта
камаучы һәм камаулы булса, аның S мәйданы 8 = yjabed формула¬
сы белән белдерелә.
AD, АН һәм AM кисемтәләре — ABC өчпочмагының биссектри¬
сасы, биеклеге һәм медианасы, өчпочмакка камалган әйләнә ВС
ягына К ноктасында орына. MK2 = MD ■ МН икәнен исбатлагыз.
Яклары АВ = с, ВС = а һәм СА = b булган ABC өчпочмагында г һәм
R — камаулы һәм камаучы әйләнәләрнең радиуслары, 8 — мәйдан,
О ноктасы — камаучы әйләнәнең үзәге, Н — биеклекләрнең кисе¬
шү ноктасы, AD һәм AM кисемтәләре — биеклек һәм медиана.
lΛ ∩∩i-) Т ГГЯ ГҺТ ч *
a) а + Ь - 4Я sin cos ⅛⅛ 6) ∣a - »| - 4Я cos	sin ⅛¾
∣a-⅜∣ _ ⅛^2
в) iu ϊ1 = —7	; г) — — = a cos В - b cos A;
a + b tg∣(A+B) c
Планиметриядэн кайбер
мәгълүматлар

ABC
д)	a + b + c = SR cos — cos — cos —;
л л л
е)	cos2A = sin2 В + cos2C - 2sinAsinBcosC;
л ∏ г	a sin 4sin ⅜
ж)	r = 4Ή sin у sin sin з) r =	———;
cos y
H)AH = -⅛(fe2 + c2-α2h к) ОН2 = 9B2 - a2 - b2 - с2; л) ДМ =	~	.
40	2 а
s3
Менелай һәм Чева теоремалары
95	Менелай теоремасы
АВС өчпочмагын тикшерик һәм АВ, ВС һәм
СА турыларында аның түбәсе белән тәңгәл килмәгән C1,
A1 һәм B1 нокталарын билгелик (рәс. 219). AC1 = pC1B,
BA1 = qA1C , CB1 = rB1A булсын, ди. C1, A1, B1 нок¬
талары ABC өчпочмагының түбәләре белән тәңгәл
килмәгәнлектән, р, q, г саннары нульдән аермалы була.
Моннан тыш, бу саннарның һәрберсе -1 дән аермалы.
Дөрестән дә, әгәр, мәсәлән, р = -1 булса, AC1 = -C1B ,
моннан AC1 + C1B = АВ = 0, ягъни А һәм В түбәләре
тәңгәл килә, ә бу шартка каршы килә.
Хәзер шундый сорау куябыз: р, q, г саннары
нинди чагыштырмада булганда, C1, A1, B1 нокталары
бер турыда яталар. Бу сорауга җавапны б. э. ның I гасы¬
рында яшәгән борынгы грек математигы һәм астрономы
Менелай Александрийский исеме белән бәйле теорема
бирә.
Теорема
Рәс. 219
ABC өчпочмагының AB, ВС һәм СА якларында яки
аларның дәвамнарында аның түбәсе белән тәңгәл
килмәгән C1, A1, B1 нокталары билгеләнгән булсын,
өстәвенә AC1 = pC1B , BA1 = qA1C, CBl = rBlA . Ул ва¬
кытта, әгәр C1, A1, В] нокталары бер турыда ятсалар,
pqr = -1 була; киресе: әгәр pqr = -1 булса, C1, A1, B1
бер турыда яталар. * 1
Исбатлау
1) Башта C1, A1, B1 нокталары бер турыда
яталар дип фараз итик һәм pqr= -1 булуын исбатлыйк.
Планиметриядән кайбер
мәгълүматлар

Турыпочмаклы Оху координаталар системасын C1,
A1, Bl нокталары Оу күчәрендә ятарлык итеп кертик
(рәс. 220). a, b һәм с —А, В һәм С нокталарының абсцис¬
салары, ди. AC1 = pC1B тигезлегеннән 0 - a = р(Ь - 0) бу-
		► 	►
луы чыга, ягъни a = -рЪ. Аналогик рәвештә BA1 = qA1C
һәм CB1 = rB1A тигезлекләреннән табабыз: b = -qc
һәм с = -га. Шулай итеп, a = -pb = pqc = -pqra, яки
a(pqr + 1) = 0, шуңа күрә яки a — 0, яки pqr=-l. Әгәр
a = 0 булса, с = -га = 0 һәм Ъ = -qc = 0, ягъни А, В һәм
С нокталары бер турыда (Оу күчәрендә) яталар, ә бу
шартка каршы килә. Димәк, pqr= -1, шуны исбатларга
кирәк иде дә.
2) Хәзер pqr = -l дип фараз итик һәм C1,
A1, B1 нокталарының бер турыда ятуын исбатлыйк.
Турыпочмаклы Оху координаталар системасын C1
һәм A1 нокталары Оу күчәрендә ятарлык итеп кер¬
тик (220 нче рәс. карагыз). Баштагыча a, b һәм с—А,
В һәм С нокталарының абсциссалары, х — B1 нокта¬
сының абсциссасы, ди. AC1 = pC1B һәм BA1 = qA1C ти¬
гезлекләреннән, күргәнебезчә: a = -pb һәм b = -qc булуы
чыга. Шулай итеп, a = pqc. CBi = rB1A тигезлегеннән
х - с = г(а - х) булуы чыга. Бу тигезлекнең ике кисәген
дә pq га тапкырлап һәм pqr= -1, pqc = а булуын исәпкә
алып табабыз, pqx - a = -а + х, яки (pq - 1)х = 0. Әгәр
pq = 1 булса, pqr = -1 тигезлегеннән r = —1 булуы чыга,
ә бу алда әйтелгәнчә булуы мөмкин түгел. Шулай итеп,
pq ≠ 1, димәк, х = 0. Димәк, C1, A1, B1 нокталары бер
турыда (Оу күчәрендә) яталар. Теорема исбатланды.
Рәс. 220
96	Чева теоремасы
Яңадан ABC өчпочмагын тикшерик һәм АВ,
ВС һәм СА турыларында аның түбәләре белән тәңгәл
килмәгән C1, A1, B1 нокталарын билгелик (219 нчы рәс.
карагыз). AC1 = pC1B , BA1 = qA1C , CB1 = rB1A булсын.
Бу вакытта р, q, r ≠ 0 һәм р, q, r≠ -1 (95 нче п. ны ка¬
рагыз). Мондый сорау куйыйк: р, q, г саннары нинди
чагыштырмада булганда, AA1, BB1 һәм CC1 турылары
бер турыда яталар? Бу сорауга җавапны итальян ма¬
тематигы һәм инженеры Джованни Чева (1648 —1734)
исеме белән бәйле теорема бирә.
Планиметриядән кайбер
мәгълүматлар
207

Теорема
ММНМНМНШМШМННШ··»···
АВС өчпочмагының АВ, ВС һәм СА якларында яки
аларның дәвамнарында аның түбәсе белән тәңгәл
килмәгән C1, A1, B1 нокталары билгеләнгән, өстәвенә
AC1=pC1B, BA1 = qA1C, CB1 = rB1A. Ул вакытта,
әгәр AA1, BB1, CC1 турылары бер ноктада кисешсәләр
яки пар-пар параллель булсалар, pqr = 1 була; киресе:
әгәр pqr = 1 булса, AA1, BB1, CC1 турылары бер нокта¬
да кисешәләр яки пар-пар параллель булалар.
Исбатлау
1) AA1, BB1 һәм CC1 турылары ниндидер
О ноктасында кисешәләр, ди (рәс. 221, a, б). LMN
өчпочмагының мәйданын, әгәр L, Μ, N түбәләренең
йөреше сәгать теле йөрешенә каршы булса, « + » тамга¬
сы белән алынган S(L, Μ, N) аша тамгаларга килешә¬
без, һәм «—» тамгасы белән — капма-каршы очракта.
S(A,B,A1)
S(A,A1,C)
= q һәм
S(O,B,A1)
S(O,A1,C)
— q булганлыктан (бу ти¬
гезлекләрне дәлилләгез), S(A, В, A1) = qS(A, A1, С) һәм
S(O, B,A1) = qS(O,A1, С). Димәк,
S(A,B,O) S(A,B,A1)-S(O,B,A1)
S(A,O,C) S(A,A1,C)-S(O,Aι,C)
S(A,A1,C)-S(O,Aι,C) _
4 S(A,A1,C)-S(O,A1,C) l'
Шулай итеп, q =
S(A, В, О)
S(A, О, C)'
Аналогик рә¬
вештә
S(B,C, О) , S(C,A, О)
Г S(B,O,A) ҺӘМ Р S(C,O,B)'
Бу тигезлек¬
ләрне тапкырлап һәм S(A, В, О) = S(B, О, A), S(A, О, С) =
= S(C,A, О), S(B, С, O) = S(C, О, В) икәнен искәреп
табабыз:
= S(C,A, О). S(B,O,A). S(C,O,B) =
РЧ S(C,O,B) S(C,A,O) S(B,O,A) ’
шуны исбатларга кирәк иде дә.
AA1, BB1 һәм CC1 турылары пар-пар парал¬
лель дип фараз итик. Турыпочмаклы Оху координа-
талар системасын Оу күчәре AA1 турысына параллель
булырлык итеп кертәбез, a — А һәм A1 нокталарының
абсциссасы, b — В һәм Bl нокталарының абсциссасы,
с — С һәм C1 нокталарының абсциссасы, ди (рәс. 222).
Планиметриядэн кайбер
мәгълүматлар

AC1=pC1B, BA1 = qA1C һәм CB1=rB1A
тигезлекләреннән (с - a) = p(b - с), (a-b) = q(c-a) һәм
(b - с) = r(α - Ь) чыга, с ≠ b, c≠ а һәм a≠b булуын исәп¬
кә алып (башкача булганда, А, В һәм С нокталары Оу
күчәренә параллель турыларда ятарлар иде) табабыз:
с - a a-b	Ь-с ,	с- а
р = т	, Q =	, г =	г , һәм, димәк, pqr = т	×
Ь - с 4 с- a	a-b	b - с
a - b b - с 1	c,
× —— ∙ —2T = 1» шуны исбатларга кирәк иде дә.
С CL CL и
2) Хәзер pqr=∖ дип фараз итик һәм AA1,
BB1 һәм CC1 турыларының бер ноктада кисешкәннәрен
яки пар-пар параллель булуын исбатлыйк.
Күрсәтелгән өч турының бернинди икесенең
уртак нокталары булмаса, алар пар-пар параллель була.
Әгәр дә аларның нинди дә булса икесе,
мәсәлән AA1 һәм BB1 турылары, ниндидер О ноктасын¬
да кисешсәләр, болай эшлибез: СО турысы үткәрәбез
(221 нче рәс. карагыз), pqr=l һәм р ≠ -1 булганлык¬
тан, 1 пунктында исбатланган буенча,
~S(A,B,O) S(B,C, O)_S(B, С, О)_ S(B,C,O) 1
qr S(A,O,C) ' S(B,O,A) S(A,O,C) S(A,C,O)≠	’
шуңа күрә S(B, С, О) ≠ S'(A, С, О). Моннан CO һәм АВ
турыларының параллель булуы чыга (ни өчен икәнен
аңлатыгыз). С2 — аларның кисешү ноктасы, AC2 = tC2B
булсын. AA1, BB1 һәм CC2 турылары бер ноктада кисеш¬
кәнгә күрә, π. 1) дә исбатланган буенча, tqr=l була,
моннан t = — = р.
qr
Шулай итеп, AC1 = pC1B һәм AC2 =qC2B.
Бер тигезлектән икенчесен алып табабыз: AC2 -AC1 =
= p(C2B — C1B), яки C1C2 = -pC1C2, ягъни (р + 1)C1C2 = 0.
р ≠ -1 икәнен исәпкә алып, C1C2 = 0 тигезлеген таба¬
быз. Димәк, C1 һәм С2 нокталары тәңгәл килә. Бу AA1,
BB1 һәм CC1 турыларының бер ноктада (О ноктасында)
кисешүен аңлата. Теорема исбатланды.
Мәсьәләләр
851	AA1 һәм BB1 кисемтәләре — ABC өчпочмагының биссектрисалары,
CC1 нуры — аның тышкы почмагының биссектрисасы, өстәвенә
C1 ноктасы АВ турысында ята. A1, B1 һәм C1 нокталарының бер
турыда ятуын исбатлагыз.
852	ABC өчпочмагының тышкы А, В һәм С почмакларының биссек¬
трисалары капма-каршы якларның дәвамнарын A1, B1 һәм C1
нокталарында кисәләр. A1, B1 һәм C1 нокталарының бер турыда
ятуын исбатлагыз.
Планиметриядән кайбер
мәгълүматлар

853	ABC өчпочмагының ВС, СА һәм АВ якларында яки аларның дәвам¬
нарында бер турыда ятучы тиңдәшле рәвештә A1, B1 һәм C1 нок¬
талары билгеләнгән. ВС, СА һәм АВ якларының урталарына кара¬
та тиңдәшле рәвештә A1, B1 һәм C1 нокталары симметрик булган
A2, В2 һәм С2 нокталары шулай ук бер турыда ятуын исбатлагыз.
854	Трапеция нигезләренең урталары, аның диагональләре кисешү
ноктасы һәм ян-якларының дәвамнары кисешү ноктасы бер туры¬
да ятуларын исбатлагыз.
855	ABCD дүртпочмагының AB, ВС, CD һәм DA якларында дүртпоч¬
макның түбәләре белән тәңгәл килмәүче тиңдәшле рәвештә К, L,
М һәм N нокталары билгеләнгән. Исбатлагыз: a) KL, MN һәм АС
турылары, ∙ v⅛ ■	= 1 булганда һәм бары шул вакытта,
KB LC MD NA
бер ноктада кисешәләр яки бер-берсенә параллель булалар; б) KL,
MN һәм АС турылары кисешәләр яки бер-берсенә параллель була¬
лар шул вакытта һәм бары шул вакытта, әгәр дә бу KN, LM һәм
BD турыларына карата да дөрес булса.
856	ABCD дүртпочмагына камалган әйләнә АВ, ВС, CD һәм DA якла¬
рында тиңдәшле рәвештә Р, Q, R һәм S нокталарында орына.
PQ, RS һәм АС турыларының бер ноктада кисешүләрен яки бер-
берсенә параллель булуын исбатлагыз.
857	О үзәкле әйләнә үзәкләре O1 һәм О2 булган тигезсез ике әйләнәгә тиң¬
дәшле рәвештә A1 һәм А2 нокталарында орына. A1A2 турысының O1O2
турысы белән үзәкләре O1 һәм О2 булган әйләнәләргә уртак орын¬
маның (тышкы яки эчке) кисешү ноктасы аша үтүен исбатлагыз.
858	ABC һәм A1B1C1 өчпочмаклары АВ һәм A1B1, ВС һәм B1C1, СА һәм
C1A1 турылары Р, Q, R нокталарында кисешерлек итеп урнашкан¬
нар. AA1, BB1, CC1 турылары бер ноктада кисешәләр яки пар-пар
параллель булалар шул вакытта һәм бары шул вакытта Р, Q һәм R
нокталары бер турыда ятсалар (Дезарг теоремасы), шуны исбатлагыз.
859	ABC өчпочмагының ВС ягында ВС ның уртасына карата сим¬
метрик булган A1 һәм А2 нокталары билгеләнгән, ә АС һәм АВ
якларында бу якларның урталарына карата симметрик булган
тиңдәшле рәвештә B1, В2 һәм C1, С2 нокталары билгеләнгән. AA1,
BB1 һәм CC1 кисемтәләре бер ноктада шул вакытта һәм бары шул
вакытта кисешәләр, әгәр AA2, BB2 һәм CC2 кисемтәләре бер нокта¬
да кисешсәләр, шуны исбатлагыз.
860	Әйләнә ABC өчпочмагының ВС ягын — A1 һәм А2 нокталарында,
АС ягын — B1 һәм В2 нокталарында, АВ ягын C1 һәм С2 ноктала¬
рында кисеп үтә. AA1, BB1 һәм CC1 кисемтәләре бер ноктада шул
вакытта һәм бары шул вакытта кисешәләр, әгәр AA2, BB2 һәм CC2
кисемтәләре бер ноктада кисешсәләр, шуны исбатлагыз.
861	ABC өчпочмагының АС ягында — Р һәм Е нокталары, ә ВС ягын¬
да М һәм К нокталары билгеләнгән, өстәвенә АР : РЕ : ЕС =
= СК : KM : MB. AM һәм ВР кисемтәләре О ноктасында, ә АК
һәм BE кисемтәләре Т ноктасында кисешәләр. О, Т һәм С нокта¬
ларының бер турыда ятуын исбатлагыз.
Планиметприядэн кайбер
мәгълүматлар

862	ABC өчпочмагының AB, ВС һәм СА якларында (яки якларның бер¬
сендә һәм башка ике якның дәвамнарында) тиңдәшле рәвештә C1,
A1 һәм Bl нокталары билгеләнгән. AA1, BB1 һәм CC1 турылары бер
ноктада кисешәләр шул вакытта һәм бары шул вакытта, әгәр:
sinZACC1 sinZBAA1 sinZCBB1
a sinZC1CB sinZA1AC sinZB1BA ’
б) AB, ВС һәм СА турыларында ятмаган теләсә нинди О ноктасы
sin ZAOC, sin Z BOA, sin Z COB, 1
өчен ——. _ * ∙ ——-■·. --■ ——,p „ . = 1 тигезлеге үтәлсә,
sin ZC1OB sin ZA1OC sin ZB1OA
Эллипс, гипербола һәм парабола
97	Эллипс
Эллипс әле борынгы заманнан ук — геомет¬
рия үзенең сүзгә-сүз тәрҗемәсенә (Җир үлчәү) туры
килгән вакыттан билгеле булган. Ул вакытта, җир
өстендә төзү эшләре башкару өчен, туры һәм әйләнә
үткәрергә ярдәм итүче төп инструментлар булып казык
һәм баулар торган, хәзер аларны циркуль һәм линейка
ярдәмендә төзүләр дип атыйлар.
Күрсәтелгән инструментлар ярдәмендә әйлә¬
нәне ничек төзергә икәне ачык аңлашыла: бауның бер
очын беркетергә һәм тарттырылган килеш икенче очы
белән сызык сызарга кирәк. Шундый сорау туа: тартты¬
рылган бауның ике очын беркетеп, тарттырылган ки¬
леш сызык сызсаң, нәрсә килеп чыга? Эллипс килеп
чыга. Шулай итеп, түбәндәге билгеләмәне табабыз.
Билгеләмә
Ике билгеләнгән ноктасына кадәрге ераклыклар суммасы даими
булган яссылыкның барлык шундый нокталары күплеге эллипс
дип атала.
Билгеләнгән нокталар эллипсның фокусла¬
ры дип атала.
2с — фокуслар арасындагы ераклык, 2а —
эллипс ноктасыннан фокуска кадәрге ераклыклар сум¬
масы. Турыпочмаклы Оху координаталар системасын
F1 һәм F2 фокусларының координаталары F1(-c∙, 0)
һәм F2(c; 0) булырлык итеп кертәбез (рәс. 223) һәм
бу координаталар системасында эллипс тигезләмәсен
Планиметриядән кайбер
мәгълүматлар
211

чыгарабыз. Безнең алда торган мәсьәләләрне болай
тәгъбирләргә була:
MF1 + MF2 = 2а
булырлык барлык М(х; у) нокталары күплеген табарга.
Өчпочмак тигезлегеннән MFx + MF2 ~≥ F1F2,
ягъни α ≥ с булуы чыга, a = с булганда, эллипс F-iF2
кисемтәсенә әверелә, шуңа күрә а > с дип исәплибез.
MFx = y∣(x + c)2 + y2, MF2 = y∣(x-c)2 + y2 бул¬
ганлыктан, эллипсның тигезләмәсе түбәндәге рәвештә
була:

y(x + c)2 + y2 + y(x-c)2 + y2 = 2a.	(1)
Бу тигезлекнең ике кисәген дә анда булган
тамырларның аермасына тапкырлыйбыз, ә аннары 2а га
бүләбез. Нәтиҗәдә табабыз:
√(x÷c)2 + y2 - √(x-c)2 + z∕2 = ⅛(x + с)2 — (х — c)2) =
ΔCL	U
Бу тигезлектән һәм (1) тигезлегеннән фай¬
даланып, бу тамырларның һәрберсен чыгарырга була:
λ∕(x + c)2 + <∕2= a + ^∙,	(2)
√(x-c)2 + y2 = a - ≡.	(3)
(2)	тигезлегенең ике кисәген дә квадратка
күтәреп һәм охшаш буыннарны китереп табабыз:
х2 + c2 + y2 = a2 + -⅛x2.	(4)
(3)	тигезлегенең ике кисәген дә квадратка
күтәрү шундый ук нәтиҗәне бирә.
(4)	тигезләмәсен түбәндәге рәвештә язабыз:
2	2
⅛iχ2 + j∕2 = a2-C2.
a ≠ с булганлыктан, табылган тигезлекне бо¬
лай күчереп язарга була:
яки a > с шартын исәпкә алып болай язабыз:
S+⅛=1>	(6)
биредә b2 = a2 - c2 ≤ a2.
(2) һәм (3) тигезлекләренең ике кисәген дә
квадратка күтәргәндә, a ±	< 0 очрагына туры килгән
артык тамырлар чыгарга мөмкин. Ләкин ул булмый:
Планиметриядэн кайбер
мәгълүматлар
212

(6) тигезлегеннән күренгәнчә, ∣ х ∣ ≤ а, шуңа күрә
∣^-∣≤e<α, һәм, димәк, a±^->0. Шулай итеп, (6)
тигезләмәсе (1) тигезләмәсенә эквивалент. Ул эл¬
липсның каноник тигезләмәсе дип атала.
(6) тигезләмәсе эллипсның түбәндәге үзлек¬
ләрен табарга мөмкинлек бирә.
1.	Эллипсның ике симметрия үзәге (коорди-
наталар башлангычы О) һәм ике үзара перпендикуляр
симметрия күчәрләре (Ох һәм Оу күчәрләре) бар. Бу
күчәрләр эллипсның күчәрләре дип атала: фокуслар ят¬
каны зур күчәр дип, ә икенчесе кечкенә күчәр дип ата¬
ла; а һәм b зурлыклары зур һәм кечкенә ярымкүчәрләр
дип атала.
2.	⅛=l-4≤lhθM-⅛=l-⅛≤l булган-
a2 b2	b2 a2 y
лыктан, эллипс тулаем яклары аның күчәрләренә парал¬
лель булган турыпочмаклыкта ята (∣х∣ ≤ a, | у ∣ ≤ Ъ).
3.	х ≥ 0, у ≥ 0 булганда, (6) тигезләмәсе
r2
"=fc√1-⅛
рәвешендә язылырга мөмкин.
у(х) функциясе, х = 0 булганда, у = Ъ кыйм¬
мәтеннән, х = а булганда, у = 0 кыйммәтенә кадәр моно-
тон кими. Ачыкланган симметрияләр эллипсны төзергә
мөмкинлек бирә (рәс. 224, а).
Искәрмәләр
1.	(2) тигезләмәсен тикшерик:
y∣(x + c)2+y2 = a +
Аннан, белгәнебезчә, (6) тигезләмәсе чыга.
Икенче яктан, (6) тигезләмәсеннән (4) тигезләмәсе һәм
α + ^ > 0 тигезсезлеге чыга. (4) тигезләмәсен
(х + c)2 + y2 = (a +
Рәс. 224
рәвешендә язып һәм a +	> 0 тигезсезлеген исәпкә
алып, (2) тигезләмәсен табабыз. Аны болай итеп күче¬
реп язабыз:

y∣(x+c)2+y2 _ c
x + ^-	~a'
с
Планиметриядән кайбер
мәгълүматлар
213

Бу тигезләмәнең сул ягының санаучысы
„2
MF, гә тигез, ә аның ваклаучысы М ноктасыннан х = -—
с
тигезләмәсе белән бирелгән турыга кадәрге ераклыкка
тигез (рәс. 224, б). Бу туры эллипсның F1 фокусы¬
на туры килгән директрисасы дип атала. Шулай ук
тигезлекнең сул ягы М ноктасына бәйле түгел һәм
1 дән кимрәк икәнен билгеләп үтәбез. Шулай итеп, эл¬
липс дип яссылыкның билгеләнгән ноктага (фокуска)
кадәрге ераклыкның билгеләнгән турыга (директри-
сага) кадәрге ераклыкка чыгыштырмасы даими һәм
бердән кимрәк булган барлык нокталарының күплеге
атала.
Күрсәтелгән чагыштырма га тигез булган)
эллипсның эксцентриситеты дип атала.
(2) тигезләмәсенә кулланылган фикер йөр¬
түләрне (3) тигезләмәсенә дә кулланырга мөмкин.
Димәк, (3) тигезләмәсе (6) тигезләмәсенә тигезкөчле.
Аны болай язарга була:
yJ(x-c)2+y2 c
--X a'
c ∩2
Шулай итеп, F2 фокусына х = — тигезлә¬
мәсе белән бирелгән директриса туры килә.
2.	Координаталар системасындаpx + qy + r=0
тигезләмәсе белән бирелгән (биредә p2 + q2 ≠ 0) теләсә
нинди турыны тикшерик. Мәсәлән, р ≠ 0 булсын, ди.
Туры тигезләмәсеннән х ны у аша белдереп һәм аны (6)
тигезләмәсенә куеп, у өчен туры һәм эллипсның бар¬
лык уртак нокталарының координаталары канәгатьлән¬
дергән квадрат тигезләмә табабыз. Квадрат тигезләмә¬
нең икедән артык чишелеше булмый. Димәк, теләсә
нинди турының эллипс белән икедән артык булмаган
уртак ноктасы бар.
98	Гипербола
Табигый сорау туа: эллипсның билгеләмәсендә
ераклыклар суммасын аларның аермасы модуле белән
алмаштырсак, нәрсә чыгар? Гипербола дип аталган сы¬
зык чыгар. Шулай итеп, түбәндәге билгеләмәне табабыз.
Билгеләмә
Гипербола дип яссылыкның ике билгеләнгән ноктага кадәрг
ераклыклар аермасы модуле даими уңай зурлык булган барльп
нокталар күплеге атала.
Планиметриядән кайбе
мәгълүматлар

Билгеләнгән нокталар гиперболаның фо¬
куслары дип атала.
2с — фокуслар арасындагы ераклыклар,
2а — гипербола ноктасыннан фокусларга кадәрге ерак¬
лыклар аермасы модуле булсын. Турыпочмаклы коор-
динаталар системасы Оху ны F1 һәм F2 фокуслары¬
ның координаталары F1 (-с; 0) һәм F2 (с; 0) булырлык
итеп кертик (223 нче рәс. карагыз) һәм бу координа-
талар системасында гиперболаның тигезләмәсен чыга¬
рыйк. Безнең алда торган мәсьәләне болай әйтергә
була: MF1 — MF2 аермасы яки 2а га, яки -2а га, ягъ¬
ни MF1 - MF2 = ±2а га тигез булырлык итеп, барлык
М(х; у) нокталары күплеген табарга.
Өчпочмак тигезлегеннән ∖MF1- MF2∖ ≤F1F2
булуы чыга, ягъни a ≤ с. a = с булганда, гипербола F-iF2
турысының ике нурына үзгәрә, шуңа күрә а < с дип
исәпләрбез.
Координаталарда гиперболаның тигезләмәсе
∙√(x + c)2 + z∕2 - "7(x-c)2 + y2 = +2а рәвешендә була.
Бу тигезлекнең ике кисәген дә андагы
тамырларның суммасына тапкырлыйбыз, аннары ±2а га
бүләбез. Нәтиҗәдә табабыз:
√(x + c)2 + y2 + √(x-c)2+y2 =
өстәвенә уң якта, беренче тигезләмәдәге кебек, шундый
ук тамыр (плюс яки минус) була. Хәзер тамырларның
һәрберсен чыгарырга була:
√(x + c)2 + y2 = ∣α+^∙∣, √(x-c)2 + y2 =∣α-^∣.	(7)
Бу тигезлекләрнең ике кисәгенең теләсә
кайсын квадратка күтәрәбез (бу вакытта артык тамыр¬
лар килеп чыкмавын исбатлагыз) һәм аны
fi⅛!χ2 + j∕2 = a2-c2
a2 y
рәвешенә китерәбез.
a ≠ с булганлыктан, килеп чыккан тигезлекне
рәвешендә күчереп язарга була.
Бу — гиперболаның эзләнелгән тигезләмәсе
була да инде. Табылган нәтиҗәне (5) тигезләмәсе белән
чагыштырып, бер дә көтелмәгән нәтиҗәгә киләбез:
гиперболаның тигезләмәсе төгәл эллипсныкы кебек
икән! Ләкин җитди аермалыгы шунда: эллипс өчен —
П ланиметриядэн кайбер
мәгълүматлар

a> с, ә гипербола өчен — а < с. Бу шартны исәпкә алып,
гиперболаның тигезләмәсен болай күчереп язарга була:
х~ _	_ 1	/о\
fl2 &2-1’	(8)
биредә b2 = с2 - а2.
(8) тигезләмәсе гиперболаның каноник
тигезләмәсе дип атала. Ул гиперболаның түбәндәге
үзлекләрен табарга мөмкинлек бирә.
1. Гиперболаның симметрия үзәге (коорди-
наталар башлангычы О) һәм ике үзара перпендикуляр
симметрия күчәрләре (Ох һәм Оу күчәрләре) бар. Бу
күчәрләр гипербола күчәрләре дип атала: фокуслары
ятканы реаль күчәр дип, ә икенчесе уйланма күчәр
дип атала; а һәм b зурлыклары реаль һәм уйланма
ярымкүчәрләр дип атала.
2.<=1+⅛≥1
a2 b2
булганлыктан, гипербола¬
ның уйланма күчәрен үз эченә алган полосада (| х | < а)
гипербола нокталары юк.
У2 х2	х2
3. — = —7-l<j⅛ булганлыктан, ике кисе-
b2 a2	а2
шүче турылар арасында (| у ∣ ≥ — | х Н гипербола нокта¬
лары шулай ук юк. v
	4. х ≥ а, у ≥ 0 булганда, (8) тигезләмәсен
ix2
у = Ь. —х - 1 рәвешендә язарга мөмкин.
V а
у(х) функциясе, х = а булганда, у = 0 кыйм¬
мәтеннән монотон һәм чиксез үсә.
5. х —> +∞ булганда, у(х) функциясе якынча
—х ка тигез булып бара. Бу үзлекне ачыклыйк. Табабыз:
ίΖ	2	9	9
-	/ч Һ	Һ Г~9 9 Һ х -х +а
х —> +∞ булганда, 0 < — х - — ух -а = —	,	=
a	a ,	a v , О
X "Г ∙v X — U
=	≤ — → 0. Шулай итеп, гиперболаның асим-
x + y∣x2-a2	x
птотасы (y = ^-x^ була.
Хәзер гиперболаны сурәтлик (рәс. 225, а).
Аерым очракта гиперболаның ике тармагы булуын
күрәбез.
Искәрмәләр
1. (7) тигезләмәсен болай язарга була:
а)
_ с
а’
y∣(x-c)2+y2 c
≈-ι∣
б)
Рәс. 225
Планиметриядэн кайбер
мәгълүматлар
216

Бу тигезләмәләрнең һәрберсе (8) тигезләмә¬
сенә тигезкөчле (моны исбатлагыз) һәм, димәк, гипер¬
боланың тигезләмәсе була. 97 нче пункттагы 1 нче
искәрмәдә үткәрелгәнгә охшаш фикер йөртүләр безне
мондый нәтиҗәгә китерә: яссылыкның билгеләнгән
ноктага (фокуска) кадәр ераклыгының билгеләнгән
турыга (директрисага) кадәр ераклыгына чагыштыр¬
масы даими һәм бердән зуррак (чөнки гипербола өчен
с > а) булган нокталарының күплеге гипербола була.
Күрсәтелгән чагыштырма гиперболаның
„2
эксцентриситеты дип атала. F1 фокусына — х = - —
тигезләмәсе белән бирелгән директриса, ә F2 фокусы¬
на х = тигезләмәсе белән бирелгән директриса туры
килә (рәс. 225, б).
2.	Теләсә нинди турының гипербола белән
икедән артык булмаган уртак ноктасы булуын исбат¬
ларга авыр түгел (моны үзлегегездән исбатлагыз).
3.	Алгебра курсында гипербола дип туры¬
почмаклы Оху координаталар системасында у = (k ≠ 0)
тигезләмәсе белән бирелгән кәкре аталган иде. Ох һәм
Оу күчәрләрен О ноктасы тирәли сәгать теле йөре¬
шенә каршы 45° ка борып табылган Ox'y' координата¬
лар системасында, k > 0 булганда, бу гиперболаның
тигезләмәсе (рәс. 226) каноник рәвештә була:
¼2 - 1
(√2fe)2 (λ∕2⅛)2
Моны үзлегегездән исбатлагыз.
99	Парабола
Яссылыкның билгеләнгән ноктага кадәр
ераклыгының билгеләнгән турыга кадәр ераклыгы¬
на чагыштырмасы даими һәм бердән кимрәк (зуррак)
булган барлык нокталарының күплеге эллипс (гипер¬
бола) булуын без беләбез.
Үзеннән-үзе мондый сорау туа: нинди кәкре
сызык 1 гә тигез булган чагыштырмага туры килә? Бу
кәкре сызык парабола дип атала. Шулай итеп, түбәндәге
билгеләмәне табабыз.
Билгеләмә
Парабола дип яссылыкның билгеләнгән ноктага кадәр ераклыгы
бу нокта аша үтмәүче билгеләнгән турыга кадәр ераклыгына тигез
булган барлык нокталар күплеге атала.
Планиметриядэн кайбер
мәгълүматлар

Билгеләнгән нокта параболаның фокусы
дип, ә билгеләнгән туры директрисасы дип атала.
р — F фокусыннан директрисага кадәр ерак¬
лык, ди. Турыпочмаклы координаталар системасын
фокусның координаталары F Us 0 булырлык, ә ди-
I £ I
р
ректриса х =-— тигезләмәсе белән бирелерлек итеп
£1
кертәбез (рәс. 227, а). Бу координаталар системасында
параболаның тигезләмәсе
рәвешендә була.
Бу тигезлекнең ике кисәген дә квадратка
күтәреп (бу вакытта артык тамырлар чыкмавын исбат¬
лагыз),
г/2 = 2рх	(9)
тигезләмәсен табабыз.
Бу тигезләмә параболаның каноник тигез¬
ләмәсе дип атала. Ул параболаның түбәндәге үзлеклә¬
рен табарга мөмкинлек бирә.
1. Параболаның бер симметрия күчәре (Ох
күчәре) бар. Бу күчәр парабола күчәре дип, ә аның
парабола белән кисешү ноктасы парабола түбәсе дип
атала.
2 x = ^-
ώ. Λ η
2р
0 булганлыктан, парабола тулаем
чиге парабола күчәренә перпендикуляр булган ярымъ-
яссылыкта (х ≥ 0) ята.
3.	х ≥ 0 булганда, (9) тигезләмәсе у = y∣2px
рәвешендә язылырга мөмкин.
z∕(x) функциясе монотон һәм, х = 0 булган¬
да, у = 0 кыйммәтеннән чиксез үсә. Бу, симметрияне
исәпкә алып, параболаны сурәтләргә мөмкинлек бирә
(рәс. 227, б).
Теләсә нинди турының парабола белән
икедән артык уртак ноктасы булмавын исбатларга
авыр түгел (моны үзлегегездән исбатлагыз).
Эллипс, гипербола һәм парабола күптөрле
ситуацияләрдә очрарга мөмкин. Мәсәлән, футбол тубы¬
ның күләгәсе эллипс белән чикләнгән, ыргытылган
таш парабола буенча хәрәкәт итә, ә күк җисемнәренең
(планеталарның, кометаларның, метеоритларның һ.б.)
хәрәкәте Кояшның тарту тәэсире нәтиҗәсендә эллипс
Планиметриядэн кайбер
мәгълүматлар
218

яки гипербола буенча була. Билгеле, күк җисемнәре
тәэсирне Кояштан гына түгел, башка җисемнәрдән
дә алалар, шуңа күрә аларның чын траекторияләре
төгәл эллипсныкы яки гиперболаныкы түгел, әмма
бу сызыкларга бик якын торалар. Шулай итеп, Кояш
системасының һәр планетасы, шул исәптән безнең
Җир дә, эллиптикка якын орбита буенча хәрәкәт итә,
өстәвенә Кояш эллипс фокусларының берсендә була.
Мәсьәләләр
863	Эллипсның ике фокусы арасындагы ераклык гә тигез, ә зур
һәм кече ярымкүчәрләр чагыштырмасы 3 кә тигез, а) Бу эллипс¬
ның Оху координаталар системасындагы тигезләмәсен языгыз,
биредә О — Ох күчәрендә ятучы, фокусларны тоташтыручы кисем¬
тәнең уртасы, б) Эллипсның эксцентриситетын табыгыз, в) Оху
координаталар системасында эллипс директрисаларының тигез¬
ләмәсен языгыз.
χ2 „2
864	^9^^,^ 4 =1 ЭЛЛИПСЬ1НЬЩ һәм координаталары (1; -1) һәм (3; 1)
булган нокталар аша үтүче турының үзара торышын тикшерегез.
X2 „2
865	— + 2-r = 1 һәм а) үзәге координаталар башлангычында радиусы
1о 4
√7 гә тигез булган әйләнәнең; б) үзәге (2; 0) ноктасында радиусы
2 гә булган әйләнәнең үзара торышын тикшерегез.
866	Гиперболаның асимптоталары координаталар башлангычы
аша үтәләр һәм Ох күчәре белән 60° лы почмаклар төзиләр. Ох
күчәрендә ятучы фокуслар арасындагы ераклык 4 кә тигез, а) Оху
координаталар системасында бу гиперболаның тигезләмәсен язы¬
гыз. б) Гиперболаның эксцентриситетын табыгыз, в) Оху коорди¬
наталар системасында гиперболаның директрисалары тигезләмәсен
языгыз.
χ2	2д/2
867	^9^ + 4 = 1 эллипсының һәм у = —— гиперболасының үзара торы¬
шын табыгыз.
868	у = (k > 0) гиперболасының эксцентриситетын табыгыз һәм
директрисасының тигезләмәсен языгыз.
869	Парабола у = ax2 + by + с тигезләмәсе белән бирелгән. Бу парабола¬
ның директрисасы тигезләмәсен языгыз һәм аның фокусының ко-
ординаталарын табыгыз.
870	у = х2 параболасының һәм радиусы R үзәге (0; R) ноктасында бул¬
ган әйләнәнең R га бәйле үзара торышын тикшерегез.
Планиметриядэн кайбер
мәгълүматлар

Кушымталар
Пространство фигураларын
сурәтләү
Стереометрияне өйрәнгәндә, пространство
фигураларын сызымда сурәтләү зур әһәмияткә ия. Без
монда сурәтләрне төзүнең кайбер кагыйдәләре белән та¬
нышырбыз. Шул максат белән башта фигураның парал¬
лель проекциясе төшенчәсен, ә аннары аның ярдәмендә
фигураларның сурәтләре төшенчәсен бирербез һәм яссы
фигураларны, пространство фигураларын сурәтләүгә
мисаллар карарбыз.
1	Фигураның параллель проекциясе
π — ниндидер яссылык, I бу яссылыкны
кисүче туры булсын. Пространствода ирекле Ao ноктасы
билгелибез. Әгәр Ao ноктасы I турысында ятмаса, Ао нок¬
тасы аша I турысына параллель туры үткәрәбез һәм бу
турының π яссылыгы белән кисешү ноктасын А хәре¬
фе белән тамгалыйбыз (рәс. 228). Әгәр дә Ао ноктасы
I турысыныкы булса, I турысының π яссылыгы белән
кисешү ноктасын А аша тамгалыйбыз. А ноктасы π яс¬
сылыгына I турысына параллель проекцияләнгәндә
Ао ноктасының проекциясе дип атала. Гадәттә, π яссы¬
лыгы һәм I турысы бирелгән дип исәпләнә, шуңа күрә
А ноктасын кыскача Ао ноктасының параллель проек¬
циясе дип атыйлар.
Fo — яссы фигура яки пространство фигу¬
расы, ди. Fo фигурасының барлык нокталарының
параллель проекцияләре π яссылыгында ниндидер
F фигурасын барлыкка китерәләр (228 нче рәс. кара).
F фигурасы Fo фигурасының параллель проекциясе
дип атала. Шулай ук F фигурасы Fo фигурасыннан па¬
раллель проекцияләү юлы белән табылган, диләр.
Проекцияләнә торган кисемтәләр һәм туры¬
лар I турысына параллель булмаганда, параллель проек¬
цияләүнең төп үзлекләрен бирик.
1°. Турының проекциясе туры була (рәс. 229).
Рәс. 228
т турысы т0 турысының
проекциясе була
Рәс. 229
220
Кушымталар

АВ кисемтәсе A0B0 кисем¬
тәсенең проекциясе була
Рәс. 230
АВ һәм CD параллель
кисемтәләре A0B0 һәм C0D0
параллель кисемтәләренең
проекциясе була
Рәс. 231
AqCq CqBq
АВ = РЕ
AnBa d0e0
Рәс. 232
2°. Кисемтәнең проекциясе кисемтә була
(рәс. 230).
3°. Параллель кисемтәләрнең проекциялә¬
ре параллель кисемтәләр (рәс. 231) яки бер турыныкы
булган кисемтәләр була.
4°. Параллель кисемтәләрнең проекция¬
ләре, һәм шулай ук бер турыда яткан кисемтәләрнең
проекцияләре кисемтәләрнең үзләренә пропорциональ
була (рәс. 232).
4° үзлегеннән кисемтә уртасының про¬
екциясе кисемтә проекциясенең уртасы икәнлеге
килеп чыга.
2	Фигураның сурәте
Нинди дә булса π яссылыгы сайлап алабыз
да аны сурәтләү яссылыгы дип атыйбыз. Аннары π яс¬
сылыгын кисүче I турысы алабыз һәм бирелгән Fo фигу¬
расын, I турысына параллель итеп, π яссылыгына про¬
екциялибез. π яссылыгында килеп чыккан F' фигурасын
яки аңа охшаш булган теләсә нинди F фигурасын Fo
фигурасының сурәте дип атыйбыз (рәс. 233). Шул рә¬
вешле, фигураның сурәтен төзү аннан ерак урнашкан
ноктадан караганда фигураны күзаллауга туры килә.
Төрле сурәтләү яссылыклары һәм төрле про¬
екцияләү юнәлешләре (ягъни төрле I турылары) сайлап
алып, бирелгән фигураның төрле сурәтләрен табарбыз.
Гадәттә, фигураның иң күрсәтмәле һәм анда өстәмә
төзүләр башкару иң уңайлы булган сурәте алына. Сы¬
зымда шундый сурәт ясала да.
221
бирелгән
фигура
сурәтләре
Рәс. 233
Кушымталар

3	Яссы фигураларны сурәтләү
Фигураларның сурәтләрен төзү параллель
проекцияләүнең 1 нче пунктта бирелгән үзлекләренә
нигезләнгән. Яссы фигураларны сурәтләүгә берничә ми¬
сал карарбыз.
Кисемтә
2° үзлеге буенча, кисемтәнең проекциясе
кисемтә була, шуңа күрә кисемтәнең сурәте кисемтә
була. Моннан сызымда ирекле рәвештә алынган
кисемтәне бирелгән кисемтәнең сурәте дип исәпләргә
мөмкин икәнлеге ачык күренә.
Өчпочмакның, параллелограммның һ. б. ның
сурәтләрен караганда, бу фигураларның яссылыклары
проекцияләү юнәлешенә (/ турысына) параллель түгел
дип исәпләрбез.
Өчпочмак
A0B0C0 — пространствода урнашкан өчпоч¬
мак, A', В' һәм С' исә Ao, Во һәм Со нокталарының
π яссылыгына проекцияләре булсын (рәс. 234, а).
Кисемтәнең проекциясе кисемтә булганга күрә, A'B'C'
өчпочмагы (шулай ук A'B'C' өчпочмагына охшаш теләсә
нинди ABC өчпочмагы) A0B0C0 өчпочмагының сурәте
була. Бирелгән өчпочмакның сурәте сыйфатында
сызымда теләсә нинди өчпочмакны алырга мөмкин.
Мәсәлән, 234, б рәсемендә тигезьянлы турыпочмаклы
A0B0C0 өчпочмагының сурәте булып төрле яклы ABC
өчпочмагы хезмәт итә.
Параллелограмм
Тигез параллель кисемтәләрнең проекция¬
ләре тигез параллель кисемтәләр булганга (п. 1, 3° һәм
4° үзлекләре), параллелограммның сурәте параллело¬
грамм була. Өчпочмак очрагындагы кебек үк, сызымда
ирекле рәвештә алынган параллелограммны бирелгән
параллелограммның сурәте дип, аерым алганда, бирел¬
гән турыпочмаклык, ромб, квадратның сурәте дип исәп¬
ләргә мөмкин (рәс. 235).
Трапеция
Нигезләре A0JB0 һәм C0Z>0 булган A0B0C0D0
трапециясенең сурәте ABCD трапециясе икәнен күрү
кыен түгел, шуның белән бергә, 1 нче пункттагы 4° үз¬
леге буенча,	,„ „„
AB _ CD	m
A0B0 C0D0,	v >
ягъни трапеция сурәтенең нигезләре трапециянең
үзенең нигезләренә пропорциональ. Шуңа күрә теләсә
б)
Рәс. 234
A0B0C0D0 — турыпоч¬
маклык. ABCD — парал¬
лелограмм
Рәс. 235
Кушымталар

нинди трапецияне бирелгән трапециянең сурәте дип
исәпләп булмый. Бирелгән A0B0C0D0 трапециясенең
сурәтен төзү ысулын күрсәтербез. Шул максатта A0Z>0
кисемтәсенә параллель һәм трапецияне A0D0C0E0 парал¬
лелограммына һәм B0C0E0 өчпочмагына бүлә торган
C0E0 ярдәмче кисемтәсен тикшерербез (рәс. 236, а).
AqD0C0E0 параллелограммының сурәте сыйфатында телә¬
сә нинди ADCE параллелограммын алабыз (рәс. 236, б).
АЕ = DC булганлыктан, (1) пропорциясен
АВ = АЕ	i2∖
АА C0D0	v ’
рәвешендә язарга мөмкин.
Хәзер (2) пропорциясеннән файдаланып,
Во ноктасының сурәтен — В ноктасын җиңел төзеп була.
Бу төзү 236, б рәсемендә башкарылган, анда AA2 = C0D0,
AA1=A0B0. Төзелгән ABCD трапециясе A0B0C0Z>0
трапециясенең сурәте була (аның өчен (1) пропор¬
циясе үтәлгән).
Тигезьянлы A0B0C0D0 трапециясенең сурәте
тигезьянлы булмаган ABCD трапециясе дә булуы мөм¬
кин икәнен искәртеп китәбез. Бу вакытта AD һәм ВС
нигезләренең уртасы аша үтүче EF турысы тигезьянлы
трапециянең симметрия күчәре сурәте була, һәм, шулай
булгач, EF кисемтәсе тигезьянлы трапеция биеклегенең
сурәте була (рәс. 237).
Әйләнә
Әйләнәнең параллель проекциясе эллипс
дип атала (рәс. 238). Әйләнә эллипсның аерым очрагы
булып тора, чөнки аның әйләнә яссылыгына параллель
яссылыкка проекциясе бирелгәнгә тигез әйләнә була
(ни өчен икәнен аңлатып бирегез). Параллель проекция¬
ләрнең үзлекләреннән бирелгән әйләнәнең үзәге О ның
проекциясе эллипсның симметрия үзәге булуы килеп
чыга (238 нче рәсемдә О' ноктасы). Бу ноктаны эллипс¬
ның үзәге дип атыйлар.
Шул рәвешле, әйләнәнең сурәте эллипс була,
шуның белән бергә, әйләнә үзәгенең сурәте эллипсның
үзәге була.
Яссылыкта цилиндрларны, конус, кисек
конус һәм сфераларны сурәтләгәндә, эллипстан файда¬
ланалар (VI һәм VII бүлекләрне кара). Табигать беле¬
меннән төрле мәсьәләләр чишкәндә дә, эллипс еш
очрый. Мәсәлән, планеталар Кояш тирәли эллипска
якын орбита буйлап хәрәкәт итәләр.
Рәс. 236
Рәс. 238
223
Кушымталар

4	Пространство фигураларын сурәтләү
Хәзер, күпкырлык кырлары яссылыклары-
ның берсе дә проекцияләү юнәлешенә параллель булма¬
ганда, кайбер күпкырлыкларның яссылыкка сурәтен
тикшерик. Бу вакытта без күпкырлыкның сурәте дип
аның барлык кабыргаларының проекцияләреннән төзел¬
гән фигураны күз алдында тотарбыз.
Тетраэдр
A0B0C0D0 — ирекле рәвештә алынган тет¬
раэдр, А, В, С һәм D нокталары аның түбәләренең
сурәтләү яссылыгына параллель проекцияләре булсын
(рәс. 239). АВ, ВС, СА, AD, BD, CD кисемтәләре ABCD
дүртпочмагының яклары һәм диагональләре булып хез¬
мәт итә. Бу кисемтәләрдән төзелгән фигура (яки аңа
охшаш теләсә нинди башка фигура) A0B0C0D0 тетраэд¬
рының сурәте була.
Теләсә нинди дүртпочмакның (кабарынкы
яки кабарынкы булмаган) якларыннан һәм диагональлә¬
реннән торган фигура, тиешле сурәтләү яссылыгын һәм
проекцияләү юнәлешен сайлап алганда, тетраэдрның
сурәте булганын исбатларга мөмкин (рәс. 240, а, б, в).
(Бу рәсемнәрдә күренми торган кабыргалар өзек сызык¬
лар белән сурәтләнгән.)
Параллелепипед
Ирекле A0B0C0D0A'0B'0C'0D'0 параллелепипе¬
дының сурәтен төзү өчен, Ao, Bo, Do һәм A'o ноктала¬
ры A0B0D0A'0 тетраэдрының түбәләре булуын искәртик
(рәс. 241). Шуңа күрә теләсә нинди ABDA' дүртпочма¬
гының түбәләрен аларның сурәте итеп алырга мөмкин.
Икенче сүзләр белән әйткәндә, сурәтләү яссылыгындагы
А очлары уртак булган AB, AD һәм AA, кисемтә¬
ләренең һәр икесе бер турыда ятмаса, аларны парал¬
лелепипедның A0B0, A0Z)0 һәм A0A'0 кабыргаларының
сурәтләре дип исәпләргә мөмкин. Ләкин ул вакытта
калган кабыргаларның да сурәтләре бертөрле төзелә,
чөнки параллелепипедның барлык кырлары да —
параллелограммнар, шулай булгач, аларның сурәтләре
шулай ук параллелограммнар булыр. 241 нче рәсемдә
ABCDA'B'C'D' параллелепипеды A0B0C0D0A'0B'0C'0D'0
параллелепипедының сурәте була.
Пирамида
Пирамида нигезенең сурәте 3 нче пунктта
тасвирланган кагыйдәләр буенча төзелә, ә түбәсенең
сурәте итеп нигез сурәтенең якларында ятмаган теләсә
нинди ноктаны алырга була. 242 нче рәсемдә A0B0C0D0
квадраты нигезе булган төзек S0A0B0C0D0 пирамидасы-
Рәс. 239
224
Кушымталар

Al	Bq
Рәс. 241	Рәс. 242
ның сурәте бирелгән. ABCD параллелограммы нигезнең
сурәте була.
Искәрмә
Турыпочмаклы проекция параллель проек¬
циянең аерым очрагы (21 нче п. ны кара). Турыпоч¬
маклы проекцияләр техник сызымда киң кулланыла.
Гадәттә, нинди дә булса деталь ике яссылыкка — го¬
ризонталь һәм вертикаль яссылыкка проекцияләнә,
һәм ике проекция дә сызым яссылыгында сурәтләнә.
243 нче рәсемдә цилиндрик втулканың ике проекциясе
сурәтләнгән.
2
Рәс. 243
Геометрия аксиомалары турында
Геометрия аксиомалары башлангыч төшен¬
чәләрнең төп үзлекләреннән тора, аннары аларга нигез¬
ләнеп бөтен геометрия төзелә, ягъни логик фикер йөртү
юлы белән геометрик фигураларның үзлекләре анык¬
лана. Аксиомаларда төп геометрик төшенчәләрнең
үзлекләре аңлатылган. Безнең курста шундыйларга
нокта, туры һәм яссылык төшенчәләре, туры ноктала¬
ры өчен «арасында яту» төшенчәсе һәм салып карау
төшенчәсе керә. Моннан тыш, геометрия аксиомала¬
рында һәм алардан чыгучы расламаларда «нәрсәнекедер
булу» (яки «... да яту»), «күплек», «сан» һ. б. кебек го¬
муми математик төшенчәләр дә файдаланыла.
Монда без кереш сүздә әйтеп бирелгән, нок¬
та, туры һәм яссылыкның үзара торышы турындагы өч
аксиоманы да кертеп, геометриянең барлык аксиома¬
ларын китерербез, шулай ук стереометрия курсында
файдаланылган ачык күренеп торган расламаларны ак¬
сиомалар нигезендә исбатлауларны бирербез.
Кушымталар

Аксиомаларның беренче группасы нокта,
туры һәм яссылыкларның үзара торышын чагылдыра.
1.	Һәр турыда һәм һәр яссылыкта кимендә ике нокта бар.
2.	Бер турыда ятмаган кимендә өч нокта һәм бер яссылыкта
ятмаган кимендә дүрт нокта бар.
3.	Теләсә нинди ике нокта аша туры үтә һәм бары тик бер генә.
4.	Бер турыда ятмаган теләсә нинди өч нокта аша яссылык үтә
һәм бары тик бер генә.
5.	Әгәр турының ике ноктасы яссылыкта ятса, ул вакытта туры¬
ның барлык нокталары да шул яссылыкта ята.
6.	Әгәр ике яссылыкның уртак ноктасы булса, ул вакытта алар-
ның шул яссылыкларда барлык уртак нокталары яткан уртак
турысы була.
7.	Турыдагы өч ноктаның берсе һәм бары тик берсе генә калган
икесенең арасында ята.
Кайвакыт «В ноктасы А һәм С нокталары
арасында ята» диясе урынга А һәм С нокталары В нок¬
тасыннан төрле якта яталар яки А һәм В нокталары
С ноктасыннан бер якта яталар (аналогик рәвештә В һәм
С нокталары А ноктасыннан бер якта яталар), диләр.
8.	Турының һәр О ноктасы аны шундый ике кисәккә — ике нур¬
га бүлә, бер үк нурның теләсә нинди ике ноктасы О нокта¬
сыннан бер якта ята, ә төрле нурларның теләсә нинди ике
ноктасы О ноктасыннан төрле якта ята. Шуның белән бергә,
О ноктасы күрсәтелгән нурларның берсенеке дә түгел.
А һәм В нокталарыннан һәм АВ турысының
алар арасында яткан барлык нокталарыннан торган
геометрик фигура АВ кисемтәсе дип аталуын исегезгә
төшерәбез. Әгәр АВ кисемтәсе һәм а турысы бер яссы¬
лыкта ятсалар һәм уртак нокталары булмаса, А һәм В
нокталары а турысыннан бер якта яталар, диләр; әгәр
дә АВ кисемтәсе а турысы белән А һәм В арасында ят¬
кан ниндидер ноктада кисешсәләр, ул вакытта, А һәм В
нокталары а турысыннан төрле якта яталар, диләр.
9.	Яссылыкта яткан һәр а турысы бу яссылыкны, бер үк ярымъ-
яссылыкның теләсә нинди ике ноктасы а турысыннан бер якта,
ә төрле ярымъяссылыкларның теләсә нинди ике ноктасы а ту¬
рысыннан төрле якта ята торган булырлык итеп, ике кисәккә
(ике ярымъяссылыкка) бүлә. Шуның белән бергә, а турысының
нокталары бу ярымъяссылыкларның берсенеке дә түгел.
а турысы һәр ярымъяссылыкның чиге дип
атала.
Әгәр кисемтәнең бирелгән яссылык белән ур¬
так нокталары булмаса, кисемтәнең очлары яссылыктан
Кушымталар

бер якта ята, диләр, әгәр кисемтә яссылык белән үзенең
ниндидер эчке ноктасында кисешсә, кисемтәнең очлары
яссылыктан төрле якта ята, диләр.
10.	һәр α яссылыгы пространствоны, бер үк ярымпространство-
ның теләсә нинди ике ноктасы α яссылыгыннан бер якта,
ә төрле ярымпространстволарның теләсә нинди ике нокта¬
сы α яссылыгыннан төрле якта ята торган булырлык итеп,
ике кисәккә (ярымпространствога) бүлә. Шуның белән бергә,
α яссылыгының нокталары күрсәтелгән ярымпространство¬
ларның берсенеке дә түгел.
а яссылыгы һәр ярымпространствоның чиге
дип атала.
Аксиомаларның киләсе группасы берсен
икенчесенә салып карау һәм фигураларның тигезлеге
төшенчәләренә керә.
Берсен икенчесенә салу дигәннән, без про¬
странствоны үзенә чагылдыруны аңлыйбыз. Шулай да
пространствоның һәр үзенә чагылдыруы берсен икен¬
чесенә салу дип аталмый. Салып караулар — простран¬
ствоның 11—17 нче аксиомаларында күрсәтелгән үзлек¬
ләргә ия булган үзенә чагылдыруы ул. Бу аксиомаларны
әйтеп биргәндә, фигураларның тигезлеге төшенчәләре
файдаланыла. Ул болай билгеләнә: Ф һәм Φ1 ике фигура
булсын, әгәр Ф фигурасы Φ1 фигурасына чагылдырыла
торган салып карау булса, берсен икенчесенә салу юлы
белән Ф фигурасын Φ1 фигурасы белән тәңгәл китереп
була, яки Ф фигурасы Φ1 фигурасына тигез, дибез.
11.	Әгәр берсен икенчесенә салганда, ике кисемтәнең очлары
тәңгәл килсә, кисемтәләр үзләре дә тәңгәл киләләр.
12.	Теләсә нинди нурда аның башлангычыннан бирелгән кисем¬
тәгә тигез кисемтә салырга мөмкин һәм бары тик берне генә.
13.	Бирелгән яссылыкта теләсә нинди нурдан башлап бирел¬
гән җәелмәгән почмакка тигез почмак салырга мөмкин һәм
бары тик берне генә.
14.	Р һәм P1 ярымпространстволарының чикләре булган яссы¬
лыкларда яткан hk һәм h1k1 тигез почмакларын берсен
икенчесенә салу юлы белән шулай тәңгәл китерергә мөмкин,
бу вакытта Р һәм P1 ярымпространстволары тәңгәл килә,
шуның белән бергә, моны ике ысул белән эшләп була: бер
очракта — һ һәм ħ1, k һәм ⅛1 нурлары, икенче очракта һ һәм
fe1, k һәм ħ1 нурлары тәңгәл килә.
15.	Теләсә нинди фигура үз-үзенә тигез.
16.	Әгәр Ф фигурасы Φ1 фигурасына тигез булса, Φ1 фигурасы
Ф фигурасына тигез була.
17.	Әгәр Φ1 фигурасы Ф2 фигурасына тигез, ә Ф2 фигурасы Ф3 фигу¬
расына тигез булса, Φ1 фигурасы Ф3 фигурасына тигез була.
Кушымталар

Киләсе ике аксиома кисемтәләрне үлчәүгә
бәйле. Аларны әйтеп биргәнгә кадәр кисемтәләрнең
ничек үлчәнгәнен искә төшерик. АВ — үлчәнә тор¬
ган кисемтә, PQ кисемтәләрнең сайлап алынган үлчәү
берәмлеге булсын. АВ нурында AA1 = PQ кисемтәсен,
θA1B нурында A1A2 = PQ кисемтәсен салабыз һәм, Ап
ноктасы В ноктасы белән тәңгәл килгәнче яки В нок¬
тасы Ап белән An+1 арасында калганчы, шулай дәвам
итәбез. Беренче очракта, PQ ны үлчәү берәмлеге итеп
алганда, АВ кисемтәсенең озынлыгы п саны белән
аңлатыла (яки PQ кисемтәсе АВ кисемтәсендә п тапкыр
салына), диләр. Икенче очракта, PQ кисемтәсе үлчәү
берәмлеге булганда, АВ кисемтәсенең озынлыгы якынча
п саны белән аңлатыла дияргә мөмкин. Төгәлрәк үлчәү
өчен, PQ кисемтәсен тигез кисәкләргә, гадәттә, 10 тигез
кисәккә бүләләр һәм бу кисәкләрнең берсе ярдәмендә
тасвирланган ысул белән AnB калдыгын үлчиләр. Әгәр
бу вакытта PQ кисемтәсенең уннан бер кисәге үлчәнә
торган калдыкта бөтен сан тапкыр салынып бетмәсә, бу
кисәкне тагын ун тигез кисәккә бүлеп, үлчәү процес¬
сын дәвам итәләр. Без теләсә нинди кисемтәне шушы
ысул белән үлчәргә, ягъни аның озынлыгын бирелгән
үлчәү берәмлегендә чикле яки чиксез унарлы вакланма
белән күрсәтергә мөмкин дип кабул итәбез. Бу раслау
кыскача болай әйтелә:
18.	Кисемтәләрнең сайлап алынган берәмлегендә һәр кисемтәнең
озынлыгы уңай сан белән күрсәтелә.
Моннан тыш, без бирелгән озынлыктагы ки¬
семтәнең барлыгы турындагы аксиоманы кабул итәрбез.
19.	Кисемтәләрне үлчәүнең сайлап алынган берәмлегендә теләсә
нинди уңай сан өчен озынлыгы шул сан белән күрсәтелгән
кисемтә бар.
Нәм, ниһаять, планиметриядәге кебек үк,
стереометриянең соңгы аксиомасы булып параллель ту¬
рылар аксиомасы тора.
20.	Теләсә нинди яссылыкта бу яссылыкта бирелгән турыда ят¬
маган нокта аша бирелгәнгә параллель бер генә туры үтә.
Геометрик фигураларның үзлекләре турында
нинди дә булса интуитив күзаллауларны җәлеп итмичә,
аксиомаларга таянып, мәсьәләләр чишәргә һәм теоре¬
малар исбат итәргә мөмкин булуы турында без IX клас¬
ста (Геометрия, 7—9, 1 нче кушымта) сөйләгән идек
инде. Мисалга өчпочмаклар тигезлегенең беренче билге¬
сен аңлаткан теореманы аксиомаларга нигезләнеп исбат¬
лау китерелгән иде. Тагын берничә мисал китерербез.
Кушымталар

1	иче мәсьәлә
Һәр нурда бер генә булса да нокта барлыгын
исбат итәргә.
Чишү
а турысының бер кисәген тәшкил иткән
һәм башлангычы А ноктасында булган нурны тикше¬
рик. а турысында А ноктасыннан үзгә бер генә булса да
В ноктасы бар (1 нче аксиома). Әгәр В ноктасы нурда
ятса (рәс. 244, а), ул вакытта әлеге нокта барлыгын без
исбат итә торган нокта була да инде. Әгәр В ноктасы
нурның дәвамында ятса (рәс. 244, б), ул вакытта бо-
лай эшлибез: нурда, башлангычыннан алып, AC=AB
кисемтәсе салабыз (12 нче аксиома). Ул вакытта С нок¬
тасы нурда ята. Раслама исбатланды.
2	нче мәсьәлә
Әгәр А ноктасы а турысында ятса, В нок¬
тасы бу турыда ятмаса, ул вакытта АВ нурының бар¬
лык нокталары чиге а булган бер ярымъяссылыкта ята,
шуны исбатларга.
Чишү
С — АВ нурының В дан үзгә ирекле нокта¬
сы булсын (ә андый нокта бармы? Бу сорауга җавапны
мөстәкыйль рәвештә табыгыз). С ноктасы В ноктасы
яткан шул ук чиге а булган ярымъяссылыкта ятканын
исбатларбыз. В һәм С нокталары А ноктасыннан бер
якта ятканга күрә, 7 нче аксиома буенча, А ноктасы
ВС кисемтәсендә ятмый. Шуңа күрә, әгәр В һәм С нок¬
талары чиге а булган төрле ярымъяссылыкларда ята
дип фараз итсәк, а турысы ВС кисемтәсен А дан үзгә
D ноктасында кискәнлеге килеп чыга. Икенче сүзләр
белән әйтсәк, А һәм D нокталары аша ике туры: а һәм
АВ турылары үтәр иде. Ләкин бу 3 нче аксиомага кар¬
шы килә. Шулай булгач, безнең фаразыбыз дөрес түгел:
В һәм С нокталары чиге а булган бер ярымъяссылыкта
ята, шуны исбат итәргә кирәк иде дә.
Геометрияне өйрәнгәндә, без, әлегә кадәр
почмаклар турындагы анык күзаллауларга таянып,
җәелмәгән почмакның эчке өлкәсе төшенчәсеннән фай¬
даланып килдек. Хәзер бу төшенчәгә билгеләмә бирик.
Ике яссылыкның — В ноктасын эченә ал¬
ган чиге ОА булган ярымъяссылыкның һәм А нок¬
тасын эченә алган чиге ОВ булган ярымъяссылык¬
ның — уртак кисәге җәелмәгән АОВ почмагының эчке
өлкәсе дип атала.
3	нче мәсьәлә
Әгәр нур, җәелмәгән почмакның түбәсеннән
чыгып, бу почмакның эчке өлкәсендәге нокта аша үтсә,
θ¬
а)
* t 4 l 9
а
б)
Рәс. 244
α
Кушымталар

нурның барлык нокталары почмакның эчке өлкәсендә
ятканын исбатларга.
Чишү
АОВ почмагын һәм бу почмакның эчке
өлкәсендәге С ноктасы аша үтүче ОС нурын тикше¬
рик (рәс. 245). С ноктасы В ноктасын эченә алган чиге
ОА булган ярымъяссылыкныкы булганлыктан, ОС
нурының барлык нокталары да шулай ук бу ярымъ¬
яссылыкныкы була (2 нче мәсьәләне кара). Шул ук
сәбәп буенча ОС нурының барлык нокталары А нокта¬
сын эченә алган чиге ОВ булган ярымъяссылыкныкы
була. Шулай булгач, ОС нурының барлык нокталары
күрсәтелгән ярымъяссылыкларның уртак кисәгенеке,
ягъни АОВ почмагының эчке өлкәсенеке була. Раслама
исбатланды.
4	нче мәсьәлә
Әгәр туры ABC өчпочмагының АВ ягын
киссә һәм бу өчпочмакның түбәсе аша үтмәсә, аның
я ВС ягын, я АС ягын кискәнен исбатларга.
Чишү
Бирелгән туры яссылыкны ике ярымъяссы-
лыкка бүлә (9 нчы аксиома), өстәвенә А һәм В ноктала¬
ры төрле ярымъяссылыкларда яталар. Шуңа күрә әгәр
С ноктасы А ноктасы белән бер ярымъяссылыкта ятса,
ул вакытта В һәм С нокталары төрле ярымъяссылык¬
ларда яталар, димәк, бирелгән туры ВС кисемтәсен ки¬
сеп үтә. Ә инде С ноктасы В ноктасы белән бер ярымъ¬
яссылыкта ятса, ул вакытта А һәм С нокталары төрле
ярымъяссылыкларда яталар, димәк, бирелгән туры АС
кисемтәсен кисеп үтә. Раслама исбатланды.
5	нче мәсьәлә
Әгәр нур, җәелмәгән почмакның түбәсеннән
чыгып, бу почмакның эчке өлкәсендәге нокта аша үтсә,
ул вакытта аның бу почмакны ике почмакка бүлгәнен
исбатларга.
Чишү
Эчке өлкәсенең С ноктасы аша ОС нуры
үткәрелгән АОВ почмагын тикшерик (рәс. 246). АОС
һәм ВОС почмакларының эчке өлкәләре ОС турысының
төрле ягында ятканын исбатларбыз.
D — башлангычы О ноктасында һәм ОА ну¬
рының дәвамы булган нурда ирекле рәвештә алынган
нокта булсын. А, В һәм D нокталары ОС турысында
ятмыйлар, һәм бу туры ABD өчпочмагының AD ягын
кисеп үтә. Шулай булгач, ул я АВ ягын кисә, я BD
ягын кисә (4 нче мәсьәләне кара). Ләкин D ноктасы
АОВ почмагының эчке өлкәсендә ятмый, ул А ноктасын
Рәс. 245
230
Кушымталар

эченә алмаган О В чикле ярымъяссылыкта ята. Шуңа
күрә BD нурының барлык нокталары АОВ почмагының
эчке өлкәсенеке түгел (2 нче мәсьәләне кара), димәк,
ОС нурының BD нурын кисеп үтүе мөмкин түгел, бу
нурның барлык нокталары АОВ почмагының эчке нок¬
талары була (3 нче мәсьәләне кара). Шулай булгач, ул
АВ ягын кисә. Бу исә А һәм В нокталарының, димәк,
ОА һәм ОВ нурларының да (2 нче мәсьәләне кара),
ОС турысының төрле ягында ятканын белдерә. Ләкин ул
вакытта АОС һәм ВОС почмакларының эчке өлкәләре дә
ОС нурының төрле ягында яталар. Раслама исбатланды.
Кереш сүздә билгеләп үтелгәнчә, геометрия
аксиомаларыннан планиметрия курсыннан таныш бул¬
ган өчпочмакларның тигезлеге һәм охшашлыгы билге¬
ләре төрле яссылыкларда урнашкан өчпочмаклар өчен
дә дөрес икәнлеге килеп чыга. Мәсәлән, өчпочмаклар
тигезлегенең беренче билгесен исбатлыйк.
Теорема
Әгәр бер өчпочмакның ике ягы һәм алар арасында¬
гы почмагы икенче өчпочмакның ике ягына һәм алар
арасындагы почмагына тиңдәшле рәвештә тигез бул¬
са, андый өчпочмаклар тигез була.
Исбатлау
ABC өчпочмагы — α яссылыгында, ә A1B1 C1
өчпочмагы α1 яссылыгында урнашкан һәм АВ =A1B1,
AC =A1C1, zA = ZA1 булсын. Стереометриядә өчпочмак
дигәннән, гадәттә, өч якны гына түгел, бәлки аның
тиңдәшле эчке өлкәсен дә эченә алган фигураның
исәпкә алынуын күз алдында тотып, ΔABC = ΔA1B1C1
икәнен исбатлыйк. АВ нуры—A1B1 нуры белән, ә АС
нуры A1C1 нуры белән тәңгәл килерлек итеп, А почмагы
A1 почмагы белән тәңгәл китерелә торган салып карау¬
ны тикшерик. 14 нче аксиома нигезендә, андый салып
карау бар. 12 нче аксиома буенча, A1B1 нурында аның
башыннан АВ нурына тигез бер генә кисемтә салып
булганга, В ноктасы B1 ноктасы белән тәңгәл килер.
Аналогия буенча, С ноктасы C1 ноктасы белән тәңгәл
килер. Шулай булгач, 11 нче аксиома буенча, АВ һәм
A1B1, АС һәм A1C1, ВС һәм B1C1 кисемтәләре тәңгәл ки¬
лер, ягъни ABC һәм A1B1C1 өчпочмакларының яклары
тәңгәл килер.
Хәзер күрсәтелгән салып карауда ABC өч¬
почмагының эчке өлкәсе A1B1C1 өчпочмагының эчке
өлкәсе белән тәңгәл китерелгәнен исбат итәрбез. Моның
өчен ABC өчпочмагының эчке өлкәсендәге теләсә нинди
ноктасы A1B1C1 өчпочмагы эчке өлкәсенең кайсыдыр
Кушымталар

ноктасы белән тәңгәл килгәнен һәм киресенчә: A1B1C1
өчпочмагы эчке өлкәсенең теләсә нинди ноктасына ABC
өчпочмагы эчке өлкәсенең кайсыдыр ноктасы салын¬
ганын исбатларга кирәк. М—ABC өчпочмагы эчке
өлкәсенең ирекле рәвештә алынган ноктасы булсын.
М ноктасы аша очлары ABC өчпочмагының АВ һәм АС
якларында булган нинди дә булса PQ кисемтәсе үткәрик.
АВ ягы A1B1 ягы белән тәңгәл килгәнгә күрә, Р ноктасы
A1B1 ягындагы ниндидер P1 ноктасы белән тәңгәл килер.
Шулай ук Q ноктасы A1C1 ягындагы ниндидер Q1 нокта¬
сы белән тәңгәл килер. Шуңа күрә, 11 нче аксиома бу¬
енча, PQ кисемтәсе P1Q1 кисемтәсе белән тәңгәл килер,
димәк, PQ кисемтәсенең М ноктасы P1Q1 кисемтәсе¬
нең ниндидер M1 ноктасы белән тәңгәл килер, ягъни
A1B1C1 өчпочмагы эчке өлкәсенең M1 ноктасына салы¬
ныр. Шулай ук киресен дә исбатларга мөмкин: A1B1C1
өчпочмагы эчке өлкәсенең теләсә нинди ноктасына ABC
өчпочмагы эчке өлкәсенең ниндидер ноктасы салыныр.
Шулай итеп, әле күрсәтелгән берсен икенчесенә салу¬
да ABC һәм A1B1C1 өчпочмаклары тулысынча тәңгәл
киләләр, ягъни алар тигез. Теорема исбатланды.
6	нчы мәсьәлә
Әгәр бер өчпочмаклы туры призманың ни¬
гезе һәм биеклеге икенче өчпочмаклы туры призманың
нигезе һәм биеклегенә тигез булса, андый призмалар¬
ның тигез икәнен исбат итәргә.
Чишү
ABCDEF һәм A1B1C1D1E1F1 туры призма¬
ларының ABC һәм A151C1 нигезләре тигез, AD һәм
A1Z)1 биеклекләре тигез булсын, шуның белән бергә,
AB=A1B1, AC=A1C1 һәм ZA = ZA1. ABC яссылыгы
чиге булган, D, Е һәм F нокталарын эченә алган ярым-
пространствоны — Н хәрефе белән, ә A1S1C1 яссылы¬
гы чиге булган, D1, E1 һәм F1 нокталарын эченә алган
ярымпространствоны H1 хәрефе белән тамгалыйк.
А почмагы A1 почмагы белән тәңгәл ките¬
релгәндә, АВ нуры—A1B1 нуры белән, АС нуры
A1C1 нуры белән тәңгәл килә, ә Н ярымпространствосы
H1 ярымпространствосы белән тәңгәл килә торган берсен
икенчесенә салуны тикшерик. 14 нче аксиома нигезендә,
андый берсен икенчесенә салу бар. Мондый берсен
икенчесенә салу вакытында, ABC өчпочмагы (ягъни
аның яклары һәм эчке өлкәсе) аңа тигез булган A1B1C1
өчпочмагы белән тәңгәл килә. Аннары AD нуры H1
ярымпространствосында урнашкан ниндидер A1D2 нуры
белән тәңгәл килер, шуңа күрә DAB һәм DAC почмак-
Кушымталар

лары тиңдәшле рәвештә Z>2A1B1 һәм Z>2A1C1 почмакла¬
ры белән тәңгәл килерләр. Ләкин DAB һәм DAC туры
почмаклар булганга, D2A1B1 һәм	почмаклары
шулай ук туры, димәк, A1D2 нуры A1B1C1 яссылыгына
перпендикуляр, шулай булгач, A1D1 нуры белән тәңгәл
килә. Шулай итеп, күрсәтелгән салып карауда AD нуры
A1Z>1 нуры белән тәңгәл килә, ∂AD=AlD1 булганлык¬
тан, D ноктасы D1 ноктасы белән тәңгәл килә. Шул ук
сәбәп буенча Е һәм F нокталары тиңдәшле рәвештә E1
һәм F1 нокталары белән тәңгәл килерләр. Димәк, бер
призманың DEF нигезе һәм ян кабыргалары икенче
призманың тиңдәшле рәвештә Z>1E1F1 нигезе һәм ян ка¬
быргалары белән тәңгәл килерләр. Хәзер инде тиңдәшле
ян кырларның һәм шулай ук призманың эчке ноктала¬
ры да тәңгәл килгәнен исбат итү кыен түгел. Моны,
өчпочмаклар тигезлегенең беренче билгесен исбатлаган¬
да, ABC һәм A1B1C1 өчпочмакларының эчке өлкәләренең
тәңгәл килүен исбатлаган кебек үк эшләргә мөмкин.
Шулай итеп, ABCDEF һәм AiBiCiDiEiFi призмалары
тулысынча тәңгәл килерләр, ягъни алар тигез.
Тиңдәшле рәвештә үлчәнешләре тигез бул¬
ган ике турыпочмаклы параллелепипедның тигезлеген
һәм нигезләре һәм биеклекләре тигез булган ике төзек
пирамиданың тигезлеген шулай ук исбатларга мөмкин.
IX класста (Геометрия, 7—9, 1 нче кушым¬
та) без кабул иткән кайбер аксиомаларны башка ак¬
сиомалар нигезендә исбат итәргә мөмкин булуы, ягъни
чынлыкта аларның аксиома түгел, ә бәлки теоремалар
икәнлеге турында әйткән идек. Мәсәлән, 5, 8 нче һәм
10 нчы аксиомаларының раслаулары теоремалар була.
Моны мөстәкыйль рәвештә исбатлагыз.
Әгәр аксиомалар санын минимумга калдырыр¬
га омтылсак, 17 нче аксиоманы башкача әйтергә кирәк:
Әгәр Φ1 фигурасы Ф3 фигурасына тигез, ә Ф2 фигурасы Ф3 фи¬
гурасына тигез булса, ул вакытта Φ1 фигурасы Ф2 фигурасына
тигез була.
Аксиоманы болай тәгъбир иткәндә, 16 нчы
аксиоманы кулланмаска мөмкин — ул теоремага әве¬
релә. Дөрестән дә, Ф фигурасы Φ1 фигурасына тигез
булсын, ди, һәм ул вакытта Φ1 фигурасы Ф фигурасы¬
на тигез икәнен исбат итәрбез. Φ1 = Φ1 икәне билгеле
(15 нче аксиома), Φ = Φ1 — шарт буенча. Димәк, Φ1 = Φ,
шуны исбат итәргә кирәк иде дә.
Шулай итеп, геометрия курсын төзү өчен,
20 аксиома түгел, ә 16 аксиоманы әйтеп бирү дә җиткән
булыр иде.
Кушымталар

Җаваплар һәм күрсәтмәләр
Кереш
3. а) Әйе; б) юк; в) юк; г) юк. 5. Чиксез күплек. 7. Юк. Күрсәтмә.
А2 аксиомасыннан файдаланырга. 8. а) Юк; б) әйе. 9. Әйе. 10. а) Әйе;
б)	юк. 12. Әйе. 13. а) Юк; б) юк; в) әйе. 14. Турылар бер яссылыкта
ятмаса — өч яссылык һәм турылар бер яссылыкта ятса — бер яссылык.
I бүлек
17. 26 см. 18. а) 3,5 см; б) 12 см. 20. Юк. 27. 48 см. 28. 8 | см.
29. 6 см. 33. Күрсәтмә, a, β һәм γ — бирелгән яссылыклар, ә а —
а һәм β яссылыкларының кисешү сызыгы булсын, а турысы белән γ яс¬
сылыгының үзара торышын тикшерергә. 34. а), б) Кисешәләр; в), г) па¬
раллельләр; д), е) чалышма. 37. а) Кисешәләр; б) чалышма. 40. а) Юк;
б) әйе, ΜΝ турысы. 41. Юк. 42. а) Параллельләр; б) 100 см. 44. а) 40°;
б) 45°; в) 90°. 45. а) 50°; б) 59°. 46. а) 90°; б) 64°. 49. Юк. 54. б) 12 см2.
56. Күрсәтмә. 55 нче мәсьәләдән файдаланырга. 57. Күрсәтмә.
56 нчы мәсьәләдән файдаланырга. 60. Күрсәтмә. 58 нче мәсьәләдән
файдаланырга. 63. a)AA2 = 18 см, AB2 = 15 см; б) A2B2 = 54 см, AA2 = 72 см.
65. а) Параллелограммнар. 66. Кабыргаларның өч пары. 67. a) ≈17cm,
» 23 см, »29 см; б) »146 см2, »210 см2, »180 см2. 72. Күрсәтмә,
а)	Кисүче яссылык тетраэдрның DB һәм DC кабыргаларының уртасы аша
үткәнен исәпкә алырга; б) кисүче яссылык тетраэдрның ян кырларын ABC
өчпочмагының якларына параллель кисемтәләр буйлап кискәнен искә
алырга. 73. 22 см. 74. б) |. 75. б) 6 см2. 77. 8 см, 10 см, 12 см. 79. a)ABC1D1
параллелограммы; б) ACC1A1 параллелограммы. 81. a) MN һәм ВС туры¬
ларының кисешү ноктасы; б)АМ һәм A1B1 турыларының кисешү нок¬
тасы. 82. Күрсәтмә. Мәсьәлә 14 нче пунктның 2 нче мәсьәләсе кебек
үк чишелә. 83. Күрсәтмә. Башта кисүче яссылык a) A4ι∏1Z>5 б) ABCD
кырын кисеп үткән кисемтәне төзергә кирәк. 84. Күрсәтмә. Башта
ABCD кырын кисүче яссылык кисеп үткән кисемтәне төзергә кирәк.
85. BKDγL параллелограммы. 86. Күрсәтмә. Башта кисүче яссылык¬
ның DDλ кабыргасы белән кисешү ноктасын төзергә. 87. Күрсәтмә.
Башта кисүче яссылыкның a) BCC1B1 кырын; 6)A41Z)1Z) кырын кисеп
үткән кисемтәне төзергә. 88. б) 12 см. 90. CD турысы a) α яссылыгына
параллель; б) α яссылыгын кисә. 92. Күрсәтмә. 6 нчы пунктның 2° үз¬
легеннән файдаланырга. 93. MN һәм b — чалышма турылар. 94. Әйе.
95. Күрсәтмә. 55 нче мәсьәләдән файдаланырга. 98. Бер генә яссылык
бар. 100. Күрсәтмә. 7 нче пунктның икенче теоремасыннан һәм 59 нчы
мәсьәләдән файдаланырга. 102.10(2^ +1) см һәм 25√1T см2. 103. 4∙∣- см2.
108. Күрсәтмә. Алдан ADA1, BDB1 һәм CDC1 яссылыкларының туры
Җаваплар һәм
күрсәтмәләр

буйлап кисешкәнен исбатларга. 112. Күрсәтмә. Параллелограммның
диагональләренең квадратлары суммасы аның якларының квадратлары
суммасына тигез булуын искә алырга. 113. BD1 турысы.
II	бүлек
118. ZAOB, AM ОС һәм ZZ>OA. 120. ^4⅛+2α2. 121. 13 см. 122. KA = KB =
2
= 20 см, DA = DB = 32 см. 125. 9 см. 126. Турыпочмаклы. 130. a) МА =
= yjm2 + n2∙, MB = m, МС = y∣m2 + n2, MD = y∣m2 + 2п2; б) Jm2 ^ln2, т.
136. Күрсәтмә. 134 нче мәсьәләдән файдаланырга. 138. a) cθ^ , dtg<p;
б)	mcos φ, main φ. 140. 3 см. 141. 3 см. 142. 2,5 см яки 1,5 см. 143. 2 см.
145.6) ~∖jα2 + b2. 146. Күрсәтмә. Өч перпендикуляр турындагы теоре¬
мадан һәм аңа кире теоремадан файдаланырга. 149.4 см һәм 4\10 см.
150. а) 2 см; б) 4^2 см. 152. 8 дм, 8 дм, 4y∣5 дм, 4√5 дм, 8 дм, 6л/2 дм.
154. а) 15 см; б) 75 см2. 155. 6 см. 156. y∣n2 + m2sin2φ . 157. б) 5,1 дм.
158.12,5 см, 12,5 см, 25 см, 25 см. 160.12 см. 161. Күрсәтмә. А нок¬
тасыннан ВС һәм BD турыларына һәм CBD яссылыгына үткәрелгән
перпендикулярларны файдаланырга. 163. a) - б) -∣∙; в) . 164.60°.
165. 3d. 168.^-. 170.1 см һәм^см. 171.45°. 172. 6√3 см. 173. 90°, 45°
sin φ	2	ү	,
Һәм 60°. 174. 60°. 175. cosα = ∣∙, a ≈ 70032'. 176. 8√2. 179. Күрсәтмә.
178 нче мәсьәләдән файдаланырга. 180. Күрсәтмә. 179 нчы мәсьәләдән
файдаланырга. 182. б) y∣m2 + n2. 184. а) 5√6 см; б) 5√2 см. 187. а)л/б;
б) 17; в) 13. 188. a√3. 189. а) б) 190. а) 90°; 6)45°; B)tgφ=⅜,
Δ	3	2
φ ≈ 26°34'. 192.	193. а) y∕d2-m2∙, б) y∣m2-n2∙, в) n'∣m^n . l94. а)^;
6)~^∙. 195. 6 см, 6 см һәм 6√2 см. 198. 4 см. 199. Күрсәтмә. О нок¬
тасы S ноктасының өчпочмак яссылыгына проекциясе булсын. О нок¬
тасының М ноктасы белән тәңгәл килгәнен исбатларга. 201.90°.
202. 5 л/з см. Күрсәтмә. 199 нчы мәсьәләдән файдаланырга. 203. 5 см.
204. a)-≠-, ≈r-√1 + 4tg2q>! б)^-; в) 3V3 а'. 205. 3,5 дм2. 206. 25 см.
'smφ, 2tgφ ' s ψ, 'tg<p, 4tg2 <р
207. 8 см. 208. 9√6 см. 209. В ноктасыннан a яссылыгына кадәрге
ераклык С ноктасыннан бу яссылыкка кадәрге ераклыктан кечерәк.
211.a√2. 213. cos φ = |; φ ≈ 70o33'. 214.60°. 215.∣√217 см. 216. 2a.
217. 2√122 дм.
Җаваплар һәм
күрсәтмәләр

Ill	бүлек
219. 13 см. 220. 26 см. 221. 8√21 см2. 222. 45°, 135°, 45°, 135°. 223. 8 см
һәм 8√3 см. 224. 16√7 см2. 225. 45°. 226. 2√3 см2. 228. 80√2 см2.
229. а) 450 см2 һәм ≈ 536 см2; б) 384 дм2 һәм 672 дм2; в) 69 дм2 һәм
≈ 97 дм2; г) 0,2 м2 һәм ≈ 0,8 м2. 230.75 см2. 231. 20 (23 + б-^З ) см2.
232. 2d2 sin φ (λ∕cos2 φ - sin2 а + sin α).	233. 180 см2. 234. 580 см2.
2λ∕2* cos Г— - sinθ
235. 	. 236. К γ р с ә т м ә. Авыш призманың ян кыр-
sin |
лары параллелограммнар икәнен искә алырга. 237. 240 см2. Күр¬
сәтмә. 236 нчы мәсьәләдән файдаланырга. 238. 2016 см2. 239. ∖i58 см,
√58cm, √65cm, √65cm. 240. 768 см2. 241. (2√34 + 22) м2. 242. a) 4√3 см;
6)48(√2 + 1)см2. 243. 192 см2. 244.790 см2. 245. 8 (3 + 3√3 + √6 ) см2.
246.6) 189 см2. 248. 48√2 см2. 250. 64√3 см2. 251.13 см. 252.12 см.
253. 12 см. 254. a) ^H2 + 3a2.∙ б) 2 arcsin——⅛	: в) arctg
3	2√9H2 + 3α2	a
r)arctg^⅛ д) 2 arctg	∙ 255. ^-√l-∣tg2∣.
tg 2
256. a) "L∞≡≈;
2 sin∣
6)
m
2 sin I
в) arccos (tg— );
∖	2 /
r) 2 arcsin
257. 3√3(1 +√2)⅛2.
258. 72 (1 + y∣7) cm2. 259. 3y∣~5 cm. 263. а) Трапеция. 264. За2. 265. 54 см2.
266. 13 дм2. 268. y∣7 дм. 269. у y∣β дм, л/з дм. 270.16 см2. 276. а) Бер; б) юк;
в)	юк; г) бер. 277. а) Чиксез күп; б) өч; в) тугыз. 278. а) Биш; б) дүрт; в) өч
яки алты. 279. 60°. 280. Чиктәш кырларының диагональләре аша үтүче
„	a2y∣3	τj∙
кисем мәйданы —гә тигез. Капма-каршы кырларының диагональ¬
ләре аша үтүче кисем мәйданы a2y∣2 . 281. y∣3 . 282. 90°. 283. a) a ;
б) α . 284. Төзек октаэдр. 286. a) т =-y∙⅛! 6)n=-∣^m. 287. a) ay∣2 ;
б) —а; в) 290. 2y∣2 l2 —	4— y∣sin(θ + φ) sin(θ - φ). 291. 2d2 sin φ ×
3	3	cos U
× (cos θ + ∙√sin(θ + φ) sin(θ - φ)). 292.4,8 см. 294. 4λ∕sθ - α4 яки 2y∣2 So.
296.	c°stP—. Күрсәтмә. Эзләнелә торган кисем трапеция булуын
sin φ
исәпкә алырга. 298. 2а2 + 2a yj⅛b2 - a2. 299. 0,5 т. 300. Турыпочмаклык,
S=∙ψ. 301. 4√6cm. 302.5 см, 5 см, 6 см, 6 см. 303. 288 (3+√3 ) см2.
Җаваплар һәм
күрсәтмәләр

305. 2h2tgα. 306. 4⅛2tg2φ fl+-4-). 307. a) ⅛-ab. 308. 4 cm, 4 cm,
∖ sin φ 7	'4
4	cm, 4 cm. 309. ≡ дм2. 310. 540 cm2. 311. a) 315 cm2; 6) 7,2 cm.
312. tg φ cos .180° . 313. 54 дм2. 314. 56 см, 24 см. 319. Өч.
η
IV	бүлек
320. а) 3 см, 4 см, 5 см, 1,5 см, 2 см, 2,5 см; б) 4 см, 3 см, 5 см, 2 см,
2,5 см. 321. а) 12 см, 8 см, 9 см; б) 15 см, л/145 см, 17 см. 323. a) MN =
= QP , QM = PN, DP = PC ; б) квадрат. 324. а) Әйе; б) әйе; в) юк.
325.	а) Параллель яки тәңгәл киләләр; б) туры яссылыкка параллель
яки анда ята; в) яссылыклар параллель, кисешәләр яки тәңгәл киләләр.
326.	a)CCl', 6)DK; в)ҖС\; г) C^Bl∙, n)MB1. 327. а) АС; б) AC1∙, в) С^В;
r)DBl∙, n)DOi. 329. а) ВС, AD, A1Dl, B^C1∙, 6)AB1, DCl∙, b)CD, ВА,
BvAl, C1D1∙, г) B1Al, C^D1, CD, ВА. 333. а) б; б) DB . 335. a) PQ ; б)АК;
в) СР ; г) б. 336. а) AC -DC-BD; 6)DC +CB -DA; в) -(DA + CD+BC).
337. a)AD + OE∙, б) АК ; в) б. 338. Күрсәтмә. ОА - ОАl = ОС - OCl
булуын искә алырга. 339. a) C1B; б) АС . 340. а) АС ; б) СВ; в) ВС.
344. а) -1; б) 2; в) 345. a)-2EF∙, б) -jDC. 346. -∣(AD + BC).
347. а) 5п -9т; б) 2p-13m -Зп. 355. а), в). 356. Әйе. 358. a) AC1-,
б)	DB,1-, в) DB1; г)ҖС; д) BD1. 359. a) BD1 = BA+BC + BBl∙, б) B1d∖=A^A-
-ҖВ+ҖКр 360. a)-⅛ACl, ^⅛-AC1∙, 6)-⅛√19 + 4√3, -¾√19 + 4√3,
1	11	α3 1	2α3	3α2	За2
¾√105,	361. CD = 0-AA.-AB+0 AD, DJ3 = -⅛AA1 + ⅜АВ -
9a	За	1	2	1 2
~jAD- 363. OD = α-b +с, ОМ = ∣ a + 0 ∙ ⅛ + 16. 364. АК = a + ∣ b + с,
∣AK∣=⅜m. 365. ⅜ 6 +	+ 0∙c, ⅜a--i-F+⅜c, 367. DK = 0,7 DA +
Δ	Δ ω	4	4 Δ
+ 0,15ΛB + 0,15OC.368. а)АС =AB + AD-,6)CM=-⅛AB -AD∙,b)C^N =
= -AB -jAD ; λ)A1N = 0 ■ АВ + ±AD; ж) MD =АВ + AD. 369. ОА =
= 3OM - ОВ -ОС. 370. а) DN = ⅜a+⅛6 + ⅛C!6) DK = ⅛ a+ ⅜F+icj
3	3	3	4	4	4
в)	AM = -а + т? b + I с;	г) МК = у а - τ⅛ b - ∙i∙ с.	371. Күрсәтмә.
о о	4	12	12
350 нче һәм 366 нчы мәсьәләләрдән файдаланырга. 373. Юк. Күрсәтмә.
Башта M1 — AlB1C1 өчпочмагы медианаларының кисешү ноктасы икәнен
исбатларга, ә аннары 366 нчы мәсьәләдән файдаланырга. 379. а) АС ;
Җаваплар һәм
күрсәтмәләр

6) АВ; в) 0. 380. a)AD1j б) ACl∙, в) DB. 381. Күрсәтмә. Башта АВ =
= A1Bl, ВС = B1C1, СА = C1A1 икәнен исбатларга. 382. a) ⅛ — теләсә нинди;
б) fe ≥ 0; в) ⅛ < 0; г) ⅛ = -l. 386. Күрсәтмә. Башта МО = (МА + МВ +
+ МС + MD) икәнен исбатларга. 387. a) 3ON-2OM; б) 2OM-ON;
в) kON + (1 - ⅛) ■ ОМ . 389. Башта A1B1, A2B2 һәм A3B3 векторларының
,	опа ч 3 ,	,4	√143+10√10	,	. 4 ,
компланар икәнен исбатлагыз.	390. a) 7^2	б)	-—⅛∙j- 2	kq;
r>^27^^kq' 391∙	= 2 “ +4^ + 4	392∙^C1=P+? + r; CA1=-p-
-q+r; BD1=q-p + r∙, DB1 = -q+p +r. 393.a)AK≈AB +AD+^AA1∙,
б) DA1 = AB1 ~BC1 + CD1. 394. AM =jAB +AD + ±AA1. 395.Күрсәт-
мә. Башта AA1, BB1 һәм CC1 векторларының компланар икәнен исбатла¬
гыз. 396. ВС = c-b, CD = d,-c, DB = b~d, DM = ±⅛ + ⅜7-d. 397. |.
Δ Δ	о
398. Күрсәтмә. 366 нчы мәсьәләдән файдаланырга. 399. Күрсәтмә.
397 нче мәсьәләдән файдаланырга.
V	бүлек
400. а) С; б) Е; в) В; г) A, С, Е, Н; д) В, Е, G; е) В, С, D. 402. B1(lj 0; 1),
С (0; 1; 1), C1 (1; 1; 1), Z>1(lj 1; 0). 403. а{3; 2; -5}, ?{-5; 3; -1},с{1; -1; 0},
?{0; 1; 1},	0; 1}, n{0; 0; 0,7}. 409. a) {7; -2; 1}; б) {-7; 2; -1};
в)	{5; -1,2; 1}; г) {-5∣ι з|; -1|}; д) -2,2; |}; е) {7; -1,8; 1};
ж)	{7; -2,2; 1}; з) {10; -2; 2}; и) {6; -3; 0}; к) {0; -1,2; 0}; л)
м) {-0,4; 0,2; 0}. 410. р{4; -18; -9}, q{5; 15; -5}. 411. а) {0; 5; -1};
б)	{-3; 2; 1}; в) {7,8; 2,5; 4,1}; г) {-3; 9; -3}. 412. -Г{-1; 0; 0}, -7{0; -1; 0};
— ?{0; 0; -1}, -а {-2; 0; 0}, - b {3; -5; 7}, -с{0,3; 0; -1,75}. 413. в) Юк; г) әйе;
д) юк. 414. а) т = 10, п = 1·|·; б) т = 0,1, п = -2. 415. а) Әйе; б) юк; в) әйе;
д) юк; е) юк. 418. а) {-1; 0; 2}; б) {5; -7; 2}; в) |-|;	--jj.	419. АВ =
= 7-37-3⅛, ВС = -5Ϊ + 7 + 6?, СА= 4л +2^j,- 3⅛. 420. Әйе. 421. б) Әйе;
в)	юк. 422. а) Әйе; б) юк; в) әйе. 423. Күрсәтмә. 366 нчы мәсьәләдән
файдаланырга. 424. а) Μ(-1; 2,5; -2); б) В(-8; 4; -19); в) А(-24; 8; 28).
425.	а) т = 2, п = -5; б) т = -0,5, п = 2; в) т = 1, п = -1; г) т = 2, п = -1.
426.	а) 3; б) 17. 427. ∣α∣=5√3, ∣F∣=7, ∣7∣=√3, |<Л=2, ∣m∣=√5.
428. a) √6j б) 2√145 в) 0; г) 5√2 ; д) ЗлД4; е) 14; ж) √326. 429. √14 .
430. а) 3 + 2γ2 ; б) 0,5;	—-. 431. а) Төзек; б) төрле яклы турыпочмаклы;
4	4
Җаваплар һәм
күрсәтмәләр

в) төрле яклы турыпочмаклы; г) тигезьянлы турыпочмаклы. 432. а) 4,
4, 3; б) 4√2, 5, 5. 433.(0; 2; -3), (-1; 2; 0), (-1; 0; -3). 434. (3; 0; 0),
(0; -4; 0), (0; 0; √7 ). 435. 3,75; 2; 4; 1 - 2y∣2 һәм 1 + 2y∣2.436. Күрсәтмә.
а)	А, В һәм С нокталары бер турыда ятмаганын; б) АВ һәм DC — бердәй
юнәлешле тигез булмаган векторлар; в) ∣AD | = | СВ | икәнен исбатларга.
437. а) (-1,6; 0; 0); б) (0; 8; 0); в) (0; 0; 1). 438. а) о); б) (О; 1;
в)	0;	. 439. a) (2; 3; 0), √13; б) (2; 3; -1). 440.	+ γ +
441.	a) 45°; б) 135°; в) 60°; г) 45°; д) 90°; е) 90°; ж) 0°; з) 180°.
442.	BAΠC=φ, BA CD = АВ DC = 180o - φ. 443. а) а2; б) -2а2; в) 0;
г)	а2; д) а2; е) ж) -∙∣∙α2. 444. ac=3, ab = O, b7∙ = 3, а а =6,
y∣b b = л/з . 445. а) -10; б) 3; в) 1; г) -4; д) 28. 446. а) Җәенке; б) кысынкы;
в) туры. 448. а) 5,5; б) 3,5; в) 4. 449. пг = 4. 450. Күрсәтмә. AB=DC,
АВ AD=0, ∣AB I = ∣AD I икәнен исбатлагыз. 451. а) 60°; б) 135°;
в) 150°; г) 45°; д) 90°. 452. αΐ ≈ 50o46', a∕≈ 63o26', a k ≈ 50o46'. 453. 60°.
454. ZA=120°, ZB = ZC = 30o, P=2√2(2+√3), S = 2√3. 455. а)
О
б)	-|; в) 0. 456. 90°. 457. 3. 459. а) 1, б) √3 , √2.461. К ү р с ә т м э. MN
Һәм ВС векторларын a = DA, F = DB, с = DC векторлары аша күрсәтергә.
462. a) -1; б) -1,5; в) 4; г) √2 ; д) 2; е)	ж) ү. 464. а) 30°; б) 60°;
в)	0°; г) 45°. 466. а) -ү=; б) -β=; в)	г)	467. a) ≈ 71°34'; б) ≈ 59044'.
√29	√58	√87	√29
468. а) ~=; б) -j½=∙, в) -⅛=. 469. а) б) -Д=; в) -7⅛=. 470. a) ⅜j
γ70	√130	√182	√134	√134	√134	3
2	2
б) д·; в) д-. 471. К үр с әт м ә. ABCDA1B1C1D1 бирелгән куб булсын. Мәсә¬
лән, AC1-LA1B икәнен исбатларга кирәк. AC1 һәм A1B векторларын
α = AB , b =AD, с = AA1 векторлары буенча таркатырга һәм AC1-A1B = 0
икәнен исбатларга. 473. 60°. 475. -⅛√70 + 15√2. 476. 45°. 477. Күрсәтмә.
АК ∙BD = 0 икәнен исбатларга. 479. Күрсәтмә. Симметрия үзәге һәм
бирелгән туры аша үтүче яссылыкны тикшерергә һәм мәсьәләне «Геомет¬
рия, 7—9» дагы 1149 нчы мәсьәләгә китерергә. 481. Күрсәтмә. Хәрә¬
кәтнең түбәндәге үзлекләреннән файдаланырга: хәрәкәт вакытында ту-
Ры — турыга, параллель турылар — параллель турыларга, ә почмак үзенә
тигез почмакка чагылдырыла. 484. Күрсәтмә. Параллель күчерү хәрәкәт
икәнен искә алырга, шуңа күрә параллель күчерүдә туры турыга чагыл-
Җаваплар һәм
ic∖JZ7 күрсәтмәләр

дырыла. 485. Күрсәтмә. MM1= AA4= р икәнен исбатларга. 487. Күр¬
сәтмә. Расламалар «Геометрия, 7—9»дагы 114 нче пункттагы теорема
кебек үк исбатлана һәм 1150 нче мәсьәлә кебек үк чишелә. 488. Күр¬
сәтмә. а), б) Каршы кую методы белән исбатларга. 490. а) {3; 9; -24};
б) {-1,6; -2,3; 4,3}. 491. а) Юк; б) әйе; в) әйе; г) юк. 492. а) (-1; 0; 0);
б) (0; -2; 0), (0; 0; 2). 493. а) Әйе; б) әйе; в) юк. 494. Күрсәтмә, а) А, В
һәм С нокталары бер турыда ятмаганын; б) АС һәм BD кисемтәләренең
урталары тәңгәл килгәнен исбатларга. 495. fy; -j-; з). 496. С(6; 5; 5),
.0,(9; 4; 1), В,(4; 7; 4), С,(8; 8; 4). 497. a) 1; б) -2; в) 0. 498. -⅛ ⅜! -⅜k
ol. 499. 4 яки -4. 500. 1. 501. 2y∣7^, y∣7 , ∖''29.502. (0; 42,4; 0).
I √10 √10 J
503. (1; 1,5; 1,5). Күрсәтмә. ZACB = 90° икәнен искә алырга. 504. 6 дм.
505. Күрсәтмә. Координаталар системасы кертергә һәм бирелгән ABCD
тетраэдрының түбәләренең координаталарын A(x1∙, y1∙, z1), В(х2; j/2; z2),
С(х3; г/3; z3), D(x4; у4; z4) дип тамгаларга. Медианаларның кисешү нок-
∕x1+x2+χ3+χ4 y1+J⅛+⅜+J'4 z1+22+z3+24∖
тасы ( — =l---—i', ——~-i—-; ——i---—1 координаталарына ия
I 4	4	4	/
икәнен искә алырга. 506. а) 3; б) -3,5; в) 5; г) 7; д) -10. 507. а) 135°;
б) 60°; в) 67o30'. 508. а) Әйе; б) әйе; в) әйе; г) юк. 509. а) 2 ; б) -∣-.
√114	9
510. а) 90°; б) ≈ 114o06'. 511. a) √6 ; б) √2 . 512. a) ⅛ б) ⅛ в) ⅛ г) -⅛.
ОӘ 1о 1О
513. a) -p=∙, б)-Д=. 515.45°. 516. sin θ cos φ. 517. λ}λ2 + m2+p2+pn .
√38	√38
518. Күрсәтмә, а) Каршы кую методы белән исбатларга; б) М — а туры¬
сының а яссылыгы белән кисешү ноктасы, А — а турысындагы нокта,
В һәм С — а яссылыгындагы М нан үзгә нокта булсын. АМВ һәм АМС
өчпочмакларына Пифагор теоремасын кулланырга. 519. Күрсәтмә.
а һәм β, а һәм β1 яссылыклары белән ясалган икекырлы почмакларның
сызыклы почмакларын тикшерергә. 520. Күрсәтмә, а яссылыгында
кисешүче ике туры алырга һәм 484 нче мәсьәләдән файдаланырга.
VI	бүлек
521. 5 м. 522. а) 24 см; б) 12√3 см; в) 432π см2. 523. a) 10√2 см;
б) 50π см2. 524. Юк. 525. √5π м. 526. а) 30°; б) 60°. 527. а) 5 дм; б) 3 см.
529. 64 см2. 530. 8 см. 531. 15 дм. 532. -j-. 533. √S2-4Λ2d2.534. 2√3 dh.
* cos φ v	v
535. 40 см2. 536. S√2. 537. π2 м2. 538.	539. l,125π кг. 540. 6 см,
18 см. 541. 0,82π ≈2,58 м2. 542. 4S∙ctgφ. 543. SiIH = ^d2 sin φ, 8ЦИЛ =
= у d2 sin φ + у- d2sin2y яки S = -у d2 sin φ + y±d2cos2 -∣. 544. у-.
Z	£ It	Δ	&	4 It	О It
Җаваплар һәм
күрсәтмәләр

545. а) 2α2; б) 2πα2; в) 4πα2. 546.6)—. 547.17 см. 548. a) 108π см2;
а
б) 72π см2; в) 36π см2. 549. а) 4^2 дм; б) 4 дм. 550. 25 см2. 551. а) г2;
6)r2√2j в) r2√3. 552. 2Л2. 553. б^дм. 554. a) rV4^~r2. б)
555. а) 200 см2; б) ≡^-√6 см2; в) ^°2⅛m2. 558. a = 216°. 559. 180°.
560. а) 60°; б) 2 arcsin-1-; в) 2 arcsin-∣-. 561. 9π cm2,6√2 см. 562.—~^~^ см2.
4	0	о
πα2cos2 4-
563. 0,9π см2. 564.	5	565. Shh = 80π см2, Sκ = 144π см2.
2	sin a cos φ	ян	koh
566. 2πτn2 sin φ. 567. 5 см. 568. а) 8 см; б) 128 см2.569. R2 - г2. 570. 60 см2.
571. 33 √2 π см2, (33√2 + 65)π см2. 572. 2,55π ≈ 8,011 кг. 574. а) 10√2T см;
б)	12 мм; в) 16 дм; г) yja2~b2 . 575. 4-9~-~∙ 576. а) (х - 2)2 + (у + 4)2 +
+ (z - 7)2 = 9; б) х2 + y2 + z2 = 2; в) (х - 2)2 + у2 + г2 = 16. 577. а) (х + 2)2 +
+ (у - 2)2 + z2 = 54; б) (х + 2)2 + (у - 2)2 + z2 = 8; в) x2 + y2 + z2 = 35.
578. а) (0; 0; 0), 7; б) (3; -2; 0), √2 . 579. а) (2; 0; 0), 2; б) (0; 1; 0), 5;
в)	(-1; 0; 0), 2; г) (|; -|; 1), √6 . 580. 1600π дм2. 581. 12 см. 582. 6 см.
583. 4 см. 584. 3 см. 585. 8 см. 586. а) Яссылык сферага орынма була; б),
в) яссылык сфераны кисеп үтә; г) яссылык белән сфераның уртак ноктала¬
ры юк. 587. а) 80π см2; 6)^ + 4 см. 588. a)^R; 6)^R2. 589. а) 2√3 π см;
6)5√2πM. 590. πR2 sin2 φ. 591.·^·, ∙^∙. 592.1 см. 593. а) 144π см2;
б) 16π дм2; в) 8π м2; г) 48π см2. 594. 36 м2. 595. -⅛∙cm. 597. 10 м.
У π
598. 900π см2. 599. 4π (r,2+r2). 601.	602.	604. J0Δ+⅞
1	2	2	3	∖2π(S1÷S 2)
605. а) 4; б) 2 яки 606. 2±⅛ 607. -2. яки -2-, 608. 414π см2.
’ 2	4	2	2	4
610.-4-.	611.	'c,'1^^ .	612. arccos 4-.	613.	4√6 см2.	614. arcsin-γ.
3	π	7	’	4
615. π-a.¾a + ⅛ 616.40√3πcM2. 617. a)-^-(√73 + 3) см2; б) (18 + 6√41) см2;
y∣a2 + b2	4
b)-∣∙(√91+3√3 ) см2. 618. 12√10π дм2, 4(3√10 +5)π дм2. 620.a)Kγp-
с ә т м ә. Сфераның диаметры өчпочмакның гипотенузасына тигез икә¬
нен исбатларга; б) 2√10 см. 621. а) 30°; б)^. 622. (3; 0; 0), (0; 0; -9),
(0; 0; -1). 623. 4√2.625. б) 0,6R. 626. a) 2R J—--⅛-⅛, 4R sin φJ3~4^n2φ∙,
V о	ν о
Җаваплар һәм
күрсәтмәләр

6) ~πR2 sin2 φ (3 - 4 sin2 φ). 627. ^∙π см. 630.4^ + 4λ^7+8. 631. a)^∙×
9	io	15π	4
× (29 + 7√73 ) см2; б) (58 + 14√41) см2; в) + 87^ см2. 634. а) 24В2;
б) 12√3 Я2; b)24√3B2.	635. а)—4B2cosα—. б) 100√3 (2 + √3 ) см2,
(l-sinα)tg у
636. Күрсәтмә. Бирелгән пирамиданың нигез ягының уртасы аша
аңа перпендикуляр үтүче яссылык белән кисемен карарга. 639. a) 8В2;
б)	в) ^R2. 640. — —1a,	641. 4√3 см, 6 см яки 4√2 см,
4	3	4√33	11
о	/ „	\	/ „	m ∖	2πr2 cos2∙⅛
8 см. 642.f. 643. a) R tg (-≡∙ + -⅞∙ ; 6) rtg (-г--·5?-); в) 60o. 644.

3	∖4	4/	∖4	4/	tg2ycosα
645. ⅜. 646. a) R sin φ; 6)	-r-;	в) 30o яки 150o.
4	’	v	’	sin φ	’
VII	бүлек
647. a) V= V1 + V2; 6)V = -^-V1 + V2. 648. a) 1980; 6)300; b)1170√3!
r)3,2√5. 649. a)432√2 см3; б) 6√6 м3; b)0,32√5 см3. 650. 12 см.
651. 3,51 кг. 652. 240√2 см3. 653. 729√2 см3. 654. Л- slnα≠os^ ~ sln2 α .
655. aby∣3a2-b2.	656. 432√3 см3. 657. a) ⅜ ∙ √2 м3; б) 1728√2 см3.
О
658.2310см3.	659. a) см3; 6)l,5-√2.	660. 0,5m3sin φ cos ∙^∙.
661. f3-i"P'cos2β .662. Q2s„in2P.663. a) ^¾6) а3; в) 1,5√3 а3;г)———.
4 tg a.	2α	4	v tg 22°30'
_ . 3y∣3a3	q	о 1∩
664.—-—. 665.72 см3. 666. a) 24π см3; б) -7=· см; в) 2 см. 667. ≈ 208 м.
8	√3π
668. ≈ 1513 т. 669.-∣-S√πQ.	670. ≈ 61 кг. 671. a) 3√3 : 4π; б) 2 : π;
в) 3√3 : 2π; г) 2√2 : π; д) (⅜n ∙ sin—) : π. 672.	. 673. 0,5. 674. ⅞.
\ 2	п )	4 cos α	2
675. ⅞. 676. 192 √3 см3. 677. afe^12fl2 ~ 3fe2-. 678. ⅛m3tg φ. 679. 1050 см3.
5	8	4
680. abc γj-cos 2φ. 681. У=18л/39 см3. 683.1080 см3. Күрсәтмә.
Үткән мәсьәләдән файдаланыгыз. 684. а) 6 м3; б) 4950 см3. 685. 169√3 см3.
686. a) — Z3 sin 2φ cos φ; б) -∣- Z3 cos2 а л/з - 4cos2 α; в) 4√3sin2 ⅛/.3-4 sin2 ^∙.
8	θ	ο Z ∖	2
a3
687. —
∕3-4sin2^	4Нз
l-	.	688. a) -≡-;
24 sin	3tg2β
6)
m3y∣cos a
6siny
689. -5-7n3cos2 φ ∙ sin φ.
О
Җаваплар һәм
күрсәтмәләр
242

690. 6√471cm3, 6√498 см2. 691. см3. 692. ±abyja2 + b2tg φ. 694. 9 см3.
695. a)-^c3 sin 2φ tgO; б) 48 см3; в) ±abc. 696.1400√3 см3. 697. 7 ^--
698. ± (m3 - n3)tg φ. 699.1260 дм3. 700. 38√2 см3. 701. a) 2,25π см3;
б) 9 см; в) Ж 702. 375 см3. 703.	704. -⅛πH3. 705. 240π см3
’ '∖πm	3π	12
яки 100 л см3. 706. 216°. 707. Цг2 дм3. 708. 84π м3. 709. ⅛πh(l2 -h2 +
(	Ти 12	\
+ -^=∙∖ 710. а) 64π см2, -^-лсм3; б) ≈ 3 см, ≈ 36л см2; в) 4 см, -^∣^∙πcM3.
тг г /	4	0
4
711. Җирнең күләме Ай күләменнән 64 тапкырга зуррак. 712. H = -^R,
биредә Н — цилиндрның биеклеге, R— шарның радиусы. 713. Юк.
714. Су тигезлеге — см га күтәрелә. 715. jyr лм3. 716. 5:16.
717. 58 500π см3 яки 504 000 π см3. 718. ~ πR3. 719. 252 π см3 һәм 720 π см3.
о!
720.112 500л см3. 721. 2~-- лЛ3. 722. 63 752л ≈ 1,28 ∙ 108 km2 = 128×
3
×106 км2. 723. 432π≈ 1357 см2. 725. √S1∙S2∙S3, 36 дм3. 726. 48√11 см3.
727. a √Q2-Qα2.728. 105 см3. 729. 16√∏ см3. 730. -ψ. 731. 1 м, 2 м, √5 м,
3	м, 3 м, 3 м. 732. ~d3 sin2 φ ∖,3cos2φ - sin2φ яки ^d3 sin2 φ л/З - 4 sin2φ.
о	о
733. Күрсәтмә. Өчпочмаклы призманы параллелепипедка тутыры¬
гыз. 734. Күрсәтмә. 733 нче мәсьәләдән файдаланырга. 735. 6,12 дм3.
∕∏3 ∖ι'3
Күрсәтмә. 682 нче мәсьәләдән файдаланырга. 736.	-	.
27 sin φcosφ
737∙⅛i∙	738. f73θ.^⅛ J⅛-s⅛∙
η ’
740. 2⅞3 sin φ1-sin φ2∙sin (φ1 + (P2).	741 2H3sina. 742. ⅜a3sin2φtg θ.
3tg2φ3	3tgβtgγ	3
743. a)-⅜√4a252-a4-64j	6)⅛√4α2-2b2. 744.31:73. 745. a)fJ⅜
12	12	2 у 71
6) 7⅛	747. ≈7065 л. 748. —πα'3tg,t⅛—. 749. 5⅛sin3φtgθ.
4	6^3π	24sin2⅛∙tg∣	24
750. ⅜. 751. 96л дм3. 752. 2πrl-r½. 753. + "^1+ Γχ. 754. tg α ctg3 ⅛ ∙ V.
2	ί	∆rr J	4 τι
755. ⅞α3 sin3 a tg3 ⅛. 756. лЛ3 sin 2a cos a. 757. —⅛-. 758. -¾(H2 + r2)2,
6	2	6 cos3 A
-ΛH2 + r2)3. 759.
4π 2 4π я	100 π _ л 500 π ___з
			 см , 	т	см . 760. 			см , 			см .
sin2 2a 3 sin3 2a	sin2 2β 3sin32β
Җаваплар һәм
күрсәтмәләр

761. ≈ 6,56 м. 762. Шар иң зур күләмгә ия, конус иң кечкенә күләмгә ия.
763.	а) Юк; б) әйе. Күрсәтмә. Шарның тыгызлыгын, бериш дип исәп¬
ләп, су тыгызлыгы белән чагыштырыгыз.
Кабатлау өчен мәсьәләләр
764.	a) 9√3 см2; в) arctg 0,5; г) arctg ; д) 6 см; е) 27√3 см2.
765.	a) 72y∣^7 см2; б) 144 \3 см3; в) arctg√6j г) 60°; д) 72; е) 192π см2.
766.	a) 6√3(2+√13) см2; б) 12√3 см3; в) arcsin 0,6; г) arctg 1,5; д) 12;
е) (12 - 6√3) см. 767. a) 32y∣7 см2; б) — см3; в) arctgу[б; г) 2 arctg^5-;
3	6
, .q , 8√3
д) 48; е) —— см.
О
Катлаулырак мәсьәләләр
768. 3(l + 2√2) см2. 769. Күрсәтмә. Тетраэдрның түбәсе нигезенең
биеклекләре кисешү ноктасына проекцияләнә дип уйлыйк. Ул
вакытта тетраэдрның теләсә кайсы кабыргасы каршы яткан кабыргага
перпендикуляр. Аннары өч перпендикуляр турындагы кире теореманы
кулланырга. 770. Күрсәтмә. O1 — ABC өчпочмагы биеклекләренең
кисешү ноктасы булуын искә алырга. 771.Күрсәтмә. Тетраэдр күлә¬
ме формуласыннан файдаланырга. 772. Җиде. 773. Күрсәтмә. Бирел¬
гән икекырлы почмакның сызыклы почмагының биссектрисасы һәм
аның кабыргасы аша яссылык үткәрергә, бу яссылыкның бирелгән
туры белән кисешү ноктасын кырларга проекцияләргә. Аннары килеп
чыккан өчпочмакларның тигезлегеннән файдаланырга. 775. Күрсәтмә.
А — ирекле рәвештә алынган түбә, О — кубның үзәге, A1 — А ноктасының
бирелгән турыга проекциясе булсын: ул вакытта AA1 = ОА ∙ sin φ, биредә
φ — ОА һәм OA1 арасындагы почмак. OA1 турысыннан кубның түбәләренә
кадәр ераклыкларның квадратлары суммасын язарга һәм косинуслар тео¬
ремасыннан файдаланырга. 776. Күрсәтмә. Күрсәтелгән тетраэдрлар
уртак түбәгә ия, ә аларның нигезләре — катетлары кубның кабыргасына
тигез булган тигезьянлы турыпочмаклы өчпочмаклар. 777. Күрсәтмә.
Кубның җәелмәсен карарга. 778. Күрсәтмә. Тишемнең күчәре сыйфа-
25	Г~
тында кубның диагонален алырга. 779. — S. 780. \2 см. Күрсәтмә.
Тетраэдр кубны камаучы сфера эчендә урнашырга тиеш булудан файдала¬
нырга. 781. Күрсәтмә. Килеп чыккан күпкырлыкның барлык түбәләре
куб кырларының урталары икәнен исбатларга. 782. Күрсәтмә. Парал¬
лелепипедның кайсы да булса кырын алырга, бу кырга янәшә иң кечкенә
кубны сайлап алырга һәм аңа калган кубларны ничек куярга икәнен
ачыкларга. 783. Күрсәтмә. Сынык сызыкның түбәләрен кубның түбә¬
ләре уртак булган өч кабыргасына проекцияләргә һәм өчпочмакның як¬
лары арасындагы бәйләнештән файдаланырга. 784. Күрсәтмә. Башта,
_ . . Җаваплар һәм
244 күрсәтмәләр

АВ кисемтәсе кузгалмаса, ә CD кисемтәсе хәрәкәт итсә, тетраэдрның күлә¬
ме үзгәрмәвен исбатларга. 785. Күрсәтмә. Симметриядән файдаланыр¬
га. 786. Күрсәтмә. Симметриядән файдаланырга. 787. ^a, arccos^∣∙.
788. arccos J½. 789. Күрсәтмә. Диагональләрне бирүче векторларны
кабыргаларны бирүче векторлар аша күрсәтергә. 790. Күрсәтмә. Тө¬
шүче һәм кайтарылган нурларның юнәлешен билгеләүче векторларны
тикшерергә. 791. Ике чишелеше: 45° һәм 135°. 792. Күрсәтмә. Мәсь¬
әләнең шартыннан чыгып, тетраэдрның очлары уртак булган өч кабыр¬
гасын бирүче векторлар өчен бәйләнешне язарга. 793. Күрсәтмә. Ян
кабыргалар белән тигез почмаклар төзүче векторны тикшерергә һәм аның
нигезенең ике кабыргасын бирүче векторларга перпендикуляр икәнен
исбатларга. 794. Күрсәтмә. O1 — О ның ABC яссылыгына проекциясе.
O1A · ВС = BO1 ■ AC = CO1 · АВ = 0 икәнен исбатларга. 795. Күрсәтмә.
Бу зурлык шар диаметрының квадратына тигез икәнен исбатларга.
796. Диаметры шар үзәгеннән бирелгән турыга кадәр ераклыкка тигез
булган шар эчендә урнашкан әйләнә дугасы, ә әйләнәнең яссылыгы бирел¬
гән турыга перпендикуляр. 797. Үзәге бирелгән сфераның үзәге белән
тәңгәл килгән, ә радиусы ^^R га тигез булган сфера, биредә R — бирел¬
гән сфераның радиусы. 799. r3 ≥ —r-r' ,^2r- , биредә ra — кечерәк шарның
(√rl+√Γ2)
eon √3 d on, -1jq ≈	2√3(λ - l)-^9λ2-18λ + 12 d
радиусы. 800. r = -*-R. 801. λ≠ 2 булганда, ——		—	R
3	3(λ — 2)
Һәм, λ = 2 булганда, ^-R. 802. -⅛∙Vr, -⅛-V, ½-V һәм -⅛F, биредә V — призма-
6	12	4	4	12
ның күләме. 803. Күрсәтмә. Тетраэдрны өчпочмаклы призмага кадәр
төзергә һәм 733 нче мәсьәләдән файдаланырга. 804. Күрсәтмә. Килеп
чыккан тетраэдрларның уртак нигезгә һәм тигез биеклеккә ия икәнен
исбатларга. 805.5:3. 806. Күрсәтмә. Нигез итеп кабыргасы АВ бул¬
ган нинди дә булса кырын алып, аның мәйданы да, тетраэдрның биек¬
леге дә С һәм D нокталарының торышына бәйле булмавын искәрергә.
5	я
807. — см . Күрсәтмә. 803 нче мәсьәләдән файдаланырга. 808. Күр¬
сә т м ә. Кисем эчендә А ноктасы алырга һәм күпкырлыкны А түбәсе уртак
булган пирамидаларга бүлгәләргә. 809. см3. Күрсәтмә. Фигураның
О
цилиндрларның күчәрләренә параллель яссылыклар белән кисемнәрен
тикшерергә. 810. 2 arcsin-j-. 812.
3	12
3ctg2⅛-^
2 sin2f
.813. ^j∙814. Күр-
сәтмә. Тетраэдр түбәсе һәм капма-каршы кырның Эйлер турысы яткан
яссылыкны тикшерергә (94 нче п. ны кара). 815. Күрсәтмә. Үзәге G
һәм коэффициенты --у булган үзәкле охшашлыкны һәм шулай ук Н һәм
О
коэффициенты булган үзәкле охшашлыкны тикшерергә.
О
Җаваплар һәм
күрсәтмәләр

VIII	бүлек
817. Күрсәтмә. Әйләнмәләргә М ноктасындагы уртак орынманы кул¬
ланырга. 818. Күрсәтмә. Башта Δ ABC∞ Δ BAD икәнен исбатларга.
820.	Күрсәтмә. 86 нчы п. тагы 2 нче теоремадан файдаланырга.
821.	Күрсәтмә. Ике очракны карарга: турыларның кисешү ноктасы
түгәрәк эчендә һәм түгәрәк тышында ята һәм 86 нчы п. тагы 1 нче һәм 2 нче
теоремалардан файдаланырга. 822. Күрсәтмә. Башта A.NMK = AMKN
икәнен исбатларга. 823. Күрсәтмә. Башта ZLAMN = /ANM икәнен
исбатларга. 825. Күрсәтмә. Ике очракны карарга: АЕ турысы — кисүче
һәм АЕ турысы — әйләнәгә орынма. 826. Күрсәтмә. Камаулы дүрт¬
почмак билгесеннән файдаланырга. 827. Күрсәтмә. ABCD — бирелгән
дүртпочмак, ди. BB1 диаметрын үткәрергә һәм башта AB1 — CD икәнен
исбатларга. 828. Күрсәтмә. Күрсәтелгән биссектрисалар кисешү нок¬
тасы аша АВ га параллель булган һәм AD һәм ВС турыларын Е һәм
F нокталарында кисүче туры үткәрергә һәм EF = CD икәнен исбатларга.
829. Күрсәтмә. ABCD дүртпочмагының АС диагоналендә ZABK = ZCBD
булырлык К ноктасын билгеләргә һәм алга таба АВК һәм DBC, ВСК
һәм ABD өчпочмакларының охшашлыгыннан файдаланырга. 830. Күр¬
сәтмә. CDKE дүртпочмагының С һәм К почмакларының суммасын та¬
барга. 831. Күрсәтмә. Күрсәтелгән биссектрисалар арасындагы поч¬
макны дүртпочмакның ике капма-каршы почмаклары аша белдерергә.
833.	Күрсәтмә. Трапециянең нигезләре а һәм b га тигез булсын.
Башта камаулы әйләнәнең радиусы га тигез икәнен исбатларга.
834.	a + y∣bd. 835. Күрсәтмә. Әйләнәгә бер ноктадан үткәрел¬
гән орынмаларның кисемтәләре тигезлегеннән һәм шулай ук ике әйлә¬
нәгә тышкы орынмаларның кисемтәләре тигезлегеннән файдаланырга.
836. Күрсәтмә. Өчпочмак биссектрисасы турындагы теоремадан фай¬
даланырга (п. 91). 837. Күрсәтмә. ABD һәм ACD өчпочмаклары мәй¬
даннарының чагыштырмасы, бер яктан, BD һәм CD кисемтәләренең
чагыштырмасына, икенче яктан, В һәм С түбәләреннән үткәрелгән биек¬
лекләр чагыштырмасына тигез. 838. a) τ~^ =	, -^§- = c t a, 7¾7r= a + b .
r	’ OAi a OB1 b ’ OC1 с
АО
Күрсәтмә, од- чагыштырмасын табу өчен, BB1 гә параллель булган
A1D кисемтәсен үткәрергә (D ноктасы АС кисемтәсендә ята) һәм алга таба
табылган өчпочмакларның охшашлыгыннан һәм өчпочмакның биссектри¬
сасы турындагы теоремадан файдаланырга (п. 91). в) Юк. Күрсәтмә,
б) , в) , г) пунктларында а) пунктындагы формуладан файдаланырга.
839.	Күрсәтмә. 92 нче п. тагы (6) формуласыннан файдаланырга.
840.	Күрсәтмә. ВМ турысы АС ягын D ноктасында кисеп үтә. AMD
һәм CMD өчпочмакларының уртак биеклеге булуыннан файдаланырга.
841.	3:4. Күрсәтмә. Бирелгән өчпочмакны параллелограммга кадәр
төзергә. 842. См2. 843. 72 см2. Күрсәтмә. 841 нче мәсьәлә нәти¬
җәсеннән файдаланырга. 844. Күрсәтмә. £ ноктасы— АВ ягында,
Җаваплар һәм
күрсәтмәләр

М ноктасы АС ягында ятсын, ди. О — ABC өчпочмагының биссектриса-
slom -⅛-r2 -sin ZLOM 9
лары кисешү ноктасы, OL = ОМ — г. —	= -т	= ———— тигез-
sabc ±-AB-AC-sinA ABAC
легеннән һәм s^ioff Һәм ^nol чагыштырмалары өчен булган аналогик ти-
&лвс &авс
тезлекләрдән һәм 92 нче п. тагы (5) һәм (6) формулаларыннан файдала¬
нырга. 845. б) Күрсәтмә, а) пунктындагы формуладан һәм шулай ук
92 нче п. тагы (5) формуласыннан файдаланырга. 846. Күрсәтмә, b
һәм d якларын кисешкәнгә кадәр дәвам итәргә һәм 845 а) мәсьәләсенең
нәтиҗәсеннән файдаланырга, b һәм d яклары параллель булса, трапеция
мәйданы формуласыннан файдаланырга. 847. Күрсәтмә, a) S = Sabc +
+ Sadcp,αh файдаланырга; б) а) пунктындагы формуладан файдаланырга.
848. Күрсәтмә. 847 нче а) мәсьәлә нәтиҗәсеннән һәм камаучы дүрт¬
почмак якларының үзлегеннән (п. 89) файдаланырга; б) а) пункты фор¬
муласыннан файдаланырга. 849. Күрсәтмә. Башта BD, ВН, DM һәм
В К кисемтәләрен ABC өчпочмагының яклары аша күрсәтергә. 851. Күр¬
сәтмә. Өчпочмагының биссектрисасы турындагы теоремадан (п. 91),
837 нче мәсьәлә нәтиҗәсеннән һәм Менелай теоремасыннан файда¬
ланырга. 852. Күрсәтмә. 837 нче мәсьәлә нәтиҗәсеннән һәм Мене¬
лай теоремасыннан файдаланырга. 853. Күрсәтмә. Менелай теоре¬
масыннан файдаланырга. 854. Күрсәтмә. Менелай теоремасыннан
ике тапкыр файдаланып, трапециянең диагональләре кисешү ноктасы
һәм ян-якларының дәвамнары кисешү ноктасы аша үтүче туры нигез¬
ләренең урталары аша үтүен исбатларга. 855. Күрсәтмә. ABC һәм
ADC өчпочмакларына карата Менелай теоремасын файдаланырга.
856. Күрсәтмә. Камаучы өчпочмакның яклары үзлегеннән (п. 89)
һәм 855 а) мәсьәләсе нәтиҗәсеннән файдаланырга. 857. Күрсәтмә.
OO1O2 өчпочмагына карата Менелай теоремасын файдаланырга.
858. Күрсәтмә. Менелай теоремасыннан файдаланырга. 859. Күр¬
сәтмә. Чева теоремасыннан файдаланырга. 860. Күрсәтмә. Чева
теоремасыннан файдаланырга. 861. Күрсәтмә. СТ нуры АВ ягын
C1 ноктасында, ә CO нуры АВ ягын С2 ноктасында кисә, ди. Чева тео¬
ремасыннан файдаланып, C1 һәм С2 нокталары АВ кисемтәсен бер үк
чагыштырмада бүләләр, һәм, димәк, тәңгәл килгәннәрен исбатларга.
τ.	, _ sinZACC1
862. Күрсәтмә, а) Башта	-
’ sin ZC1CB
sinZBA41 sinZCBB1AC1 BA1 CB1
sinZA1AC sin ∕,BlBA ClB AlC B1A
в) x = -θ⅛ һәм χ==θΑ 864. (0; -2) һәм
4	4
икәнен исбатларга, аннары Чева теоремасыннан файдаланырга, б) Мәсьәлә
а) пунктындагы мәсьәләгә охшаш чишелә. 863. a) — +ι∕2= 1; б)
9	3
—) нокталарында Knee¬
in /
36. 10
13’
шәләр. 865. а)Дүрт ноктада кисешәләр: (-2; -√3), (-2; √3 ), (2; -√3),
(2; д/з ); б) (4; 0) ноктасында орыналар,	һәм (·|·; ноктала¬
рында кисешәләр. 866. a) x2 - — = 1; б) 2; в) х = —1∙ һәм х = -∣∙. 867. Дүрт
3	∆	∆
Җаваплар һәм
күрсәтмәләр
247

ноктада да кисешәләр: y-y∣6∙--^=j, ^-√3j-2^j, ^y∣3∙2^j, y∖∣6∙-^=j.
868. Эксцентриситет y∣2 га тигез, директрисалар тигезләмәләре: у + х -
-y[2k = O һәм y + x + y[2k=0. Күрсәтмә. 98 нче п. тагы 3 нче искәр¬
мәдән файдаланырга. 869. Директрисаның тигезләмәсе у =
фокусның координаталары (-■£-;	+1 ). Күрсәтмә. Башта, коор-
\ Ла 4α /
динаталар башлангычы парабола түбәсе белән тәңгәл килерлек итеп,
координаталар күчәрләрен параллель рәвештә күчерергә кирәк. 870. R = -∣∙
булганда, (0; 0) ноктасында орыналар, 7? > ү булганда, (0; 0) ноктасында
орыналар һәм (-y∣2R- 1; 27? - 1) һәм (y∣2R- 1; 2R - 1) нокталарында кисе¬
шәләр.
Татарча-русча атамалар күрсәткече
Авыш призманың күләме — объём
наклонной призмы 167
Авышманың нигезе — основание
наклонной 40
—	яссылыкка проекциясе — проек¬
ция наклонной на плоскость 40
Бәйләнешле фигура — связная фи¬
гура 58
Берәмлек вектор — единичный век¬
тор 96
Бердәй юнәлешле векторлар — со-
направленные векторы 84
	нурлар — сонаправленные лу¬
чи 17
Бирелгәнгә каршы вектор — век¬
тор противоположный данному 87
Вектор — вектор 84
Векторлар арасындагы почмак —
угол между векторами 112
Векторларны алу — вычитание век¬
торов 88
—	кушу — сложение векторов 87
—	кушуның урын алыштыру зако¬
ны — переместительный закон сло¬
жения векторов 87
—	оештыру законы — сочетатель¬
ный закон сложения векторов 87
—	скаляр тапкырлауның тарату
законы — распределительный за¬
кон скалярного умножения векто¬
ров 113
Векторларның аермасы — разность
векторов 88
—	коллинеарлыгы — коллинеар¬
ность векторов 84
—	компланарлыгы — компланар¬
ность векторов 92
—	перпендикулярлыгы — перпен¬
дикулярность векторов 112
—	скаляр тапкырчыгышы — ска¬
лярное произведение векторов 112
		тапкырчыгышының алыш¬
тыру законы — переместительный
закон скалярного произведения
векторов 113
	оештыру законы — сочета¬
тельный закон скалярного произве¬
дения векторов 113
—	тигезлеге — равенство векторов 85
Векторны ноктадан башлап салу —
откладывание вектора от точки 85
—	санга тапкырлау — умножение
вектора на число 89
	тапкырлауның оештыру за¬
коны — сочетательный закон умно¬
жения вектора на число 89
	тарату законнары — рас¬
пределительные законы умножения
вектора на число 89
—	өч компланар булмаган векторга
таркату — разложение вектора по
трём некомпланарным векторам 94
Татарча русча атамалар
күрсәткече

Векторның координаталары —
координаты вектора 103
—	озынлыгы — длина вектора 77
—	озынлыгын аның координатала¬
ры буенча исәпләү — вычисление
длины вектора по его координа¬
там 106
—	скаляр квадраты — скалярный
квадрат вектора 113
Геометрик фигураның чиге — гра¬
ница геометрической фигуры 61
—	җисем — геометрическое тело 61
—	җисемнең өслеге — поверхность
геометрического тела 62
Җисемнең кисеме — сечение тела 62
—	күләме, төп үзлекләре — объём
тела, основные свойства 157, 158
Җисемнәрнең күләмнәрен анык
интеграл ярдәмендә исәпләү — вы¬
числение объёмов тел с помощью
определённого интеграла 165
Ике нокта арасындагы ераклыкны
исәпләү — вычисление расстояния
между двумя точками 107
Ике параллель яссылык арасын¬
дагы ераклык — расстояние между
двумя параллельными плоскостя¬
ми 41
Ике яссылыкның параллельлек
билгесе — признак параллельности
двух плоскостей 20
	перпендикулярлык билгесе —
признак перпендикулярности двух
плоскостей 49
Икекырлы почмак — двугранный
угол 47
—	почмакның градуслы үлчәме —
градусная мера двугранного угла 48
		кабыргасы — ребро двугран¬
ного угла 47
	кыры — грань двугранного уг¬
ла 47
	сызыкча почмагы — линей¬
ный угол двугранного угла 48
Капма-каршы юнәлешле вектор¬
лар — противоположно направлен¬
ные векторы 84
Кисек конус — усечённый конус 137
—	конусның биеклеге — высота усе¬
чённого конуса 137
	күләме — объём усечённого ко¬
нуса 170
	нигезләре — основания усечён¬
ного конуса 137
	тулы өслеге мәйданы — пло¬
щадь полной поверхности конуса 136
		төзүчесе — образующая усечён¬
ного конуса 137
	ян өслеге — боковая поверх¬
ность усечённого конуса 137
	ян өслеге мәйданы — площадь
боковой поверхности усечённого ко¬
нуса 136
Кисек пирамида — усечённая пира¬
мида 71
	төзек — правильная усеченная
пирамида 71
	пирамиданың апофемасы —
апофема правильной усечённой пи¬
рамиды 70
	биеклеге — высота усечённой
пирамиды 71
	күләме — объём усечённой пи¬
рамиды 169
	нигезләре — основания усечён¬
ной пирамиды 71
	ян кабыргалары — боковые
рёбра усечённой пирамиды 71
	ян кырлары — боковые грани
усечённой пирамиды 71
	ян өслеге мәйданы — площадь
боковой поверхности усечённой пи¬
рамиды 71
Кисемтә уртасының координатала-
рын исәпләү — вычисление коорди¬
нат середины отрезка 106
Кисешүче яссылыклар — пересе¬
кающиеся плоскости 6
Кисүче яссылык — секущая плос¬
кость 27, 60
Коник өслек — коническая поверх¬
ность 135
Конус — конус 135
Конусның биеклеге — высота ко¬
нуса 135
—	кисеме — сечение конуса 135,149
—	күләме — объём конуса 170
—	күчәр кисеме — осевое сечение
конуса 136
—	күчәре — ось конуса 135
—	нигезе — основание конуса 135
—	төзүчесе — образующая кону¬
са 135
—	түбәсе — вершина конуса 135
Татарча-русча атамалар
күрсәткече

—	тулы өслеге мәйданы — площадь
полной поверхности конуса 136
—	ян өслеге — боковая поверхность
конуса 135
	җәелмәсе — развёртка боко¬
вой поверхности конуса 135
	мәйданы — площадь боко¬
вой поверхности конуса 136
Координата векторлары — коорди¬
натные векторы 103
—	күчәрләре — оси координат 102
—	яссылыклары — координатные
плоскости 102
Координаталар башлангычы — на¬
чало координат 102
Көзгедәгечә күчәр симметриясе —
симметрия зеркальная осевая 75,
121, 122
—	үзәкле симметрия — симметрия
зеркальная осевая 75,121, 122
Куб — куб 78
Куб метр, миллиметр, сантиметр —
кубический метр, миллиметр, сан¬
тиметр 157
Күләмнәрне үлчәү берәмлеге — еди¬
ница измерения объёмов 157
Күпкырлык — многогранник 60
—	кабарынкы (кабарынкы булма¬
ган) — многогранник выпуклый (не¬
выпуклый) 60
—	төзек — многогранник правиль¬
ный 76
Күпкырлыкка камаулы сфера —
многогранник описанный около сфе¬
ры 144,155
Күпкырлыкны камаучы сфера —
многогранник вписанный в сферу 155
Күпкырлыкның диагонале — диа¬
гональ многогранника 60
—	кабыргасы — ребро многогранни¬
ка 60
—	кыры — грань многогранника 60
—	симметрия элементлары — эле¬
менты симметрии многогранника 76
—	түбәләре — вершины многогран¬
ника 60
Күппочмак кагыйдәсе — правило
многоугольника 88
Нокта — точка 3
Ноктага карата симметрик нокта¬
лар — точки симметричные относи¬
тельно точки 75
Ноктадан яссылыкка кадәр ерак¬
лык — расстояние от точки до плос¬
кости 41
	үткәрелгән авышма — наклон¬
ная, проведённая из точки плоскос¬
ти 40
	перпендикуляр — перпен¬
дикуляр, проведённый из точки
к плоскости 40
Ноктаның абсциссасы — абсцисса
точки 102
—	аппликатасы — аппликата точ¬
ки 103
—	координаталары — координаты
точки 102
—	ординатасы — ордината точки
102
—	параллель проекциясе — парал¬
лельная проекция точки 220
—	яссылыкка проекциясе — проек¬
ция точки на плоскость 42
Нуль-вектор — вектор нулевой 84
Октаэдр — октаэдр 60
—	төзек — правильный октаэдр 77
Өслек тигезләмәсе — уравнение по¬
верхности 115
Өчпочмак кагыйдәсе — правило
треугольника 87
Параллелепипед — параллелепи¬
пед 25
—	турыпочмаклы — прямоуголь¬
ный параллелепипед 49
—	кагыйдәсе — правило параллеле¬
пипеда 93
Параллелепипедның диагонале —
диагональ параллелепипеда 25
—	кисеме — сечение параллелепи¬
педа 27
—	нигезләре — основания паралле¬
лепипеда 25
—	ян кабыргалары — боковые реб¬
ра параллелепипеда 25
—	ян кыры — боковая грань парал¬
лелепипеда 25
Параллелограмм кагыйдәсе — пра¬
вило параллелограмма 87
Параллель күчерү — параллельный
перенос 123
Перпендикулярның нигезе — осно¬
вание перпендикуляра 40
Пирамида — пирамида 69
—	төзек — правильная пирамида 69
Татарча-русча атамалар
күрсәткече

Пирамиданың биеклеге — высота пи¬
рамиды 69
—	күләме — объём пирамиды 168
—	нигезе — основание пирамиды 69
—тулы өслеге мәйданы — площадь
полной поверхности пирамиды 69
—	түбәсе — вершина пирамиды 62
—	ян кабыргалары — боковые рёб¬
ра пирамиды 69
—	ян кыры — боковая грань пира¬
миды 69
—	ян өслеге мәйданы — площадь бо¬
ковой поверхности пирамиды 69
Призма — призма 63
—	авыш — наклонная призма 64
—	туры — прямая призма 64
—	төзек — правильная призма 64
Призманың биеклеге — высота
призмы 64
—	нигезләре — основания призмы 64
—	тулы өслеге мәйданы — площадь
полной поверхности призмы 64
—	ян кабыргалары — боковые рёб¬
ра призмы 69
—	ян кыры — боковая грань приз¬
мы 64
	мәйданы — площадь боко¬
вой поверхности призмы 64
Пространство фигураларын сурәт¬
ләү — изображение пространствен¬
ных фигур 22
Пространствода турыпочмаклы ко-
ординаталар системасы — прямо¬
угольная система координат в про¬
странстве 102
—	фигураларның тигезлеге — ра¬
венство фигур в пространстве 227
Салып карау һәм хәрәкәтләр —
наложения и движения 123, 124
Стереометрия аксиомалары — ак¬
сиомы стереометрии 4
Сфера — сфера 140
—	белән яссылыкның үзара торы¬
шы — взаимное расположение сфе¬
ры и плоскости 141
—	тигезләмәсе — уравнение сфе¬
ры 141
Сферага камаулы күпкырлык —
сфера, описанная около многогран¬
ника 155
—	орынма яссылык — касательная
плоскость к сфере 143
Сфераны камаучы күпкырлык —
сфера, вписанная в многогран¬
ник 144, 155
Сфераның (шарның) диаметры —
диаметр сферы (шара) 131
—	(шарның) радиусы — радиус сфе¬
ры (шара) 140, 141
—	мәйданы — площадь сферы 144,
176
—	(шарның) үзәге — центр сферы
(шара) 140
Тетраэдр — тетраэдр 24
—	төзек — правильный тетраэдр 77
Тетраэдрның кисеме — сечение тет¬
раэдра 27
Туры — прямая 3
Туры белән яссылык арасындагы
ераклык — расстояние между пря¬
мой и плоскостью 41
Туры белән яссылык арасында¬
гы почмак — угол между прямой и
плоскостью 43
Турылар белән яссылыклар ара¬
сындагы почмакларны исәпләү —
вычисление углов между прямыми
и плоскостями 113
Туры белән яссылыкның парал¬
лельлеге — параллельность прямой
и плоскости 11
	параллельлек билгесе —
признак параллельности прямой и
плоскости 12
	перпендикулярлыгы — пер¬
пендикулярность прямой и плоскос¬
ти 34
	перпендикулярлык билге¬
се — признак перпендикулярности
прямой и плоскости 33
Туры призманың күләме — объём
прямой призмы 162
Турыга карата симметрик нокта¬
лар — точки симметричные относи¬
тельно прямой 75
Турылар һәм яссылыклар арасын¬
дагы почмакларны исәпләү — вы¬
числение углов между прямыми и
плоскостями 113
Турыларның параллельлеге — па¬
раллельность прямых 9
Турыларның перпендикулярлы¬
гы — перпендикулярность пря¬
мых 34
_ _ . Татарча-русча атамалар
⅛O 7 күрсәткече

Турының юнәлтүче векторы — на¬
правляющий вектор прямой 114
Турыпочмаклы параллелепипед¬
ның күләме — объём прямоугольно¬
го параллелепипеда 159
		үлчәнешләре — измерения пря¬
моугольного параллелепипеда 50
Төзек додекаэдр — додекаэдр пра¬
вильный 78
Төзек икосаэдр — икосаэдр правиль¬
ный 77
—	күпкырлыкларның симметрия
элементлары — элементы симмет¬
рии правильных многогранников 79
—	пирамиданың апофемасы — апо¬
фема правильной пирамиды 70
Фигураларны берсен икенчесенә са¬
лып карау — наложение фигур 227
Фигураның параллель проекция¬
се — параллельная проекция фигу¬
ры 220
—	симметрия күчәре — ось симмет¬
рии фигуры 75
	яссылыгы — плоскость сим¬
метрии фигуры 75
	үзәге — центр симметрии фи¬
гуры 75
—	чик ноктасы — граничная точка
фигуры 61
—	яссылыкка проекциясе — проек¬
ция фигуры на плоскость 43
—	эчке ноктасы — внутренняя точ¬
ка фигуры 58
Хәрәкәтләр — движения 121
Цилиндр — цилиндр 131
Цилиндрик өслек — цилиндриче¬
ская поверхность 130
Цилиндрның биеклеге — высота ци¬
линдра 131
—	кисеме — сечение цилиндра 131,
147
—	күләме — объём цилиндра 163
—	күчәр кисеме — осевое сечение
цилиндра 136
—	күчәре — ось цилиндра 131
—	нигезләре — основания цилинд¬
ра 131
—	радиусы — радиус цилиндра 131
—	тулы өслеге мәйданы — площадь
полной поверхности цилиндра 136
—	төзүчесе — образующая цилинд¬
ра 131
—	ян өслеге — боковая поверхность
цилиндра 131
	җәелмәсе — развёртка боко¬
вой поверхности цилиндра 132
		мәйданы — площадь боко¬
вой поверхности цилиндра 132
Чалышма турылар — скрещиваю¬
щиеся прямые 15
	арасындагы ераклык — рас¬
стояние между скрещивающимися
прямыми 41
	почмак — угол между скре¬
щивающимися прямыми 18
Чикләнгән фигура — фигура огра¬
ниченная 61
Шар — шар 141
—	катламы — шаровой слой 175
—	катламының биеклеге — высота
шарового слоя 175
	күләме — объём шарового
слоя 175
Шар сегменты — шаровой сег¬
мент 174
—	сегментының биеклеге — высота
шарового сегмента 175
	күләме — объём шарового сег¬
мента 175
	нигезе — основание шарового
сегмента 174
Шар секторы — шаровой сектор 175
—	секторының күләме — объём ша¬
рового сектора 175
Шарның зур түгәрәге — большой
круг шара 142
—	кисеме — сечение шара 142
—	күләме — объём шара 160
Эллипс — эллипс 211
Яссы фигураларны сурәтләү — изо¬
бражение плоских фигур 222
Яссылык — плоскость 3
Яссылыкка карата симметрик нок¬
талар — точки, симметричные отно¬
сительно плоскости 75
Яссылыкларның параллельлеге —
параллельность плоскостей 48
—	перпендикулярлыгы — перпен¬
дикулярность плоскостей 112
Татарча-русча атамалар
күрсәткече

Эчтәлек
Кереш	 3
1.	Стереометрия фәне	 —
2.	Стереометрия аксиомалары	 4
3.	Аксиомалардан кайбер нәтиҗәләр	 6
Сораулар һәм мәсьәләләр 	 7
I	бүлек
Турыларның һәм яссылыкларның параллельлеге
§ 1. Турыларның, туры белән яссылыкның параллельлеге	 9
4.	Пространствода параллель турылар	 —
5.	Өч турының параллельлеге	 10
6.	Туры белән яссылыкның параллельлеге	 11
Сораулар һәм мәсьәләләр 	 13
§ 2. Пространствода турыларның үзара торышы. Ике туры арасын¬
дагы почмак	 15
7.	Чалышма турылар	 —
8.	Яклары бердәй юнәлешле почмаклар	 17
9.	Турылар арасындагы почмаклар 	 18
Сораулар һәм мәсьәләләр 	 —
§ 3. Яссылыкларның параллельлеге 	 20
10.	Параллель яссылыклар	 —
11.	Параллель яссылыкларның үзлекләре 	 21
Сораулар һәм мәсьәләләр 	 22
§ 4. Тетраэдр һәм параллелепипед	 24
12.	Тетраэдр	 —
13.	Параллелепипед	 25
14.	Кисемнәрне төзүгә мәсьәләләр	 27
Мәсьәләләр	 29
I бүлеккә сораулар 	 31
Өстәмә мәсьәләләр	 32
II	бүлек
Туры һәм яссылыкларның перпендикулярлыгы
§ 1. Туры һәм яссылыкның перпендикулярлыгы 	 34
15.	Пространствода перпендикуляр турылар 	 —
16.	Яссылыкка перпендикуляр булган параллель турылар ....	—
17.	Туры белән яссылыкның перпендикулярлык билгесе 	 36
18.	Яссылыкка перпендикуляр туры турындагы теорема 	 38
Мәсьәләләр	 —
§ 2. Перпендикуляр һәм авышмалар. Туры белән яссылык арасын¬
дагы почмак	 40
19.	Ноктадан яссылыкка кадәр ераклык 	 —
20.	Өч перпендикуляр турындагы теорема	 42
21.	Туры белән яссылык арасындагы почмак 	 —
Мәсьәләләр	 44
§ 3. Икекырлы почмак. Яссылыкларның перпендикулярлыгы		47
22.	Икекырлы почмак 	 —
23.	Ике яссылыкның перпендикулярлык билгесе 	 49
24.	Турыпочмаклы параллелепипед	 50
25*. Өчкырлы почмак 	 51
26*. Күпкырлы почмак 	 52
253 Эчтәлек

Мәсьәләләр	 54
II	бүлеккә сораулар	 57
Өстәмә мәсьәләләр	 —
III	бүлек
Күпкырлыклар
§ 1. Күпкырлык төшенчәсе. Призма 	 60
27. Күпкырлык төшенчәсе 	 —
28*. Геометрик җисем 	 61
29*. Эйлер теоремасы 	 62
30. Призма	 63
31*. Пространствода Пифагор теоремасы 	 65
Мәсьәләләр	 67
§ 2. Пирамида	 69
32.	Пирамида 	 —
33.	Төзек пирамида	 —
34.	Кисек пирамида	 71
Мәсьәләләр	 72
§ 3. Төзек күпкырлыклар	 75
35.	Пространствода симметрия 	 —
36.	Төзек күпкырлык төшенчәсе	 76
37.	Төзек күпкырлыкларның симметрия элементлары 	 79
Практик биремнәр	 —
Сораулар һәм мәсьәләләр 	 80
III	бүлеккә сораулар 	 81
Өстәмә мәсьәләләр	 —
IV	бүлек
Пространствода векторлар
§ 1. Пространствода вектор төшенчәсе	 84
38.	Вектор төшенчәсе	 —
39.	Векторларның тигезлеге	 85
Сораулар һәм мәсьәләләр 	 86
§ 2. Векторларны кушу һәм алу. Векторны санга тапкырлау 	 87
40.	Векторларны кушу һәм алу	 —
41.	Берничә векторның суммасы	 88
42.	Векторны санга тапкырлау	 89
Мәсьәләләр	 90
§ 3. Компланар векторлар 	 92
43.	Компланар векторлар	  —
44.	Параллелепипед кагыйдәсе	 93
45.	Векторны компланар булмаган өч вектор буенча таркату ...	94
Сораулар һәм мәсьәләләр 	 95
IV	бүлеккә сораулар 	 98
Өстәмә мәсьәләләр	 99
V	бүлек
Пространствода координаталар методы. Хәрәкәтләр
§ 1. Ноктаның координаталары һәм векторның координаталары .... 102
46.	Пространствода турыпочмаклы координаталар системасы ...	—
47.	Векторның координаталары 	 103
48.	Вектор координаталары белән нокта координаталары ара¬
сындагы бәйләнеш	 105
49.	Координаталар белән иң гади мәсьәләләр 	 106
254 Эчтәлек

Сораулар һәм мәсьәләләр 	 108
§ 2. Векторларның скаляр тапкырчыгышы 	 112
50.	Векторлар арасындагы почмак 	 —
51.	Векторларның скаляр тапкырчыгышы	 —
52.	Турылар һәм яссылыклар арасындагы почмакларны исәпләп
чыгару	 113
53*. Яссылык тигезләмәсе 	 115
Мәсьәләләр	 116
§ 3. Хәрәкәт 	 121
54.	Үзәкле симметрия 	 —
55.	Күчәрле симметрия 	 122
56.	Көзгедәгечә симметрия	 123
57.	Параллель күчерү 	 —
58*. Охшаш үзгәртү 	 124
Мәсьәләләр	 125
V	бүлеккә сораулар 	 126
Өстәмә мәсьәләләр	 127
VI	бүлек
Цилиндр, конус һәм шар
§ 1. Цилиндр 	 130
59.	Цилиндр төшенчәсе 	 —
60.	Цилиндр өслегенең мәйданы	 132
Мәсьәләләр	 133
§ 2. Конус	 135
61.	Конус төшенчәсе 	 —
62.	Конус өслегенең мәйданы 	 136
63.	Кисек конус 	 137
Мәсьәләләр	 138
§ 3. Сфера	 140
64.	Сфера һәм шар 	 —
65.	Сфера тигезләмәсе 	 141
66.	Сфера белән яссылыкның үзара торышы 	 —
67.	Сферага орынма яссылык 	 143
68.	Сфераның мәйданы 	 144
69*. Сфера һәм турының үзара торышы	 —
70*. Цилиндрик өслеккә камалган сфера	 145
71*. Коник өслеккә камалган сфера 	 146
72*. Цилиндрик өслекләрнең кисемнәре 	 147
73*. Коник өслекнең кисемнәре 	 149
Мәсьәләләр	 150
VI	бүлеккә сораулар 	 152
Өстәмә мәсьәләләр	 153
Күпкырлыклар, цилиндр, конус һәм шар белән төрле мәсьәләләр 155
VII	бүлек
Җисемнәрнең күләмнәре
§ 1. Турыпочмаклы параллелепипед күләме	 157
74.	Күләм төшенчәсе 	 —
75.	Турыпочмаклы параллелепипедның күләме 	 159
Мәсьәләләр	 161
§ 2. Туры призманың һәм цилиндрның күләме	 162
76.	Туры призманың күләме	 —
77.	Цилиндрның күләме 	 163
255 Эчтәлек

Сораулар һәм мәсьәләләр 	 164
§ 3. Авыш призманың, пирамиданың һәм конусның күләме 	 165
78.	Җисемнәрнең күләмнәрен анык интеграл ярдәмендә исәпләү. .
79.	Авыш призманың күләме 	 167
80.	Пирамиданың күләме	 168
81.	Конусның күләме	 170
Мәсьәләләр	 171
§ 4. Шарның күләме һәм сфераның мәйданы 	 174
82.	Шарның күләме	 —
83.	Шар сегментының, шар катламының һәм шар секторының
күләме

84*. Сфераның мәйданы	 176
Сораулар һәм мәсьәләләр 	 177
VII	бүлеккә сораулар	 178
Өстәмә мәсьәләләр	 179
Күпкырлыклар, цилиндр, конус һәм шар белән төрле мәсьәләләр 180
Кабатлау өчен мәсьәләләр 	 181
Катлаулырак мәсьәләләр 	 182
VIII	бүлек
Планиметриядән кайбер мәгълүматлар
§ 1.	Әйләнә белән бәйле почмаклар	һәм	кисемтәләр	 187
85.	Орынма һәм хорда арасындагы	почмак	 —
86.	Әйләнә белән бәйле кисемтәләр турында ике теорема	 188
87.	Түбәләре әйләнәнең эчендә һәм тышында булган почмаклар	189
88.	Камаулы дүртпочмак 	 190
89.	Камаучы дүртпочмак 	 192
Мәсьәләләр	 193
§ 2.	Өчпочмакларны чишү 	 195
90.	Медиана турында теорема

91.	Өчпочмакның биссектрисасы	турында теорема	 196
92.	Өчпочмак мәйданы формулалары 	 198
93.	Герон формуласы	 199
94.	Эйлер мәсьәләсе	 200
Мәсьәләләр	 204
§ 3.	Менелай һәм Чева теоремалары 	 206
95.	Менелай теоремасы 	 —
96.	Чева теоремасы 	 207
Мәсьәләләр	 209
§ 4.	Эллипс, гипербола һәм парабола	 211
97.	Эллипс 	 —
98.	Гипербола	 214
99.	Парабола	 217
Мәсьәләләр	 219
Кушымталар
1.	Пространство фигураларын сурәтләү 	 220
1.	Фигураның параллель проекциясе	 —
2.	Фигураның сурәте 	 221
3.	Яссы фигураларны сурәтләү	 222
4.	Пространство фигураларын сурәтләү 	 224
2.	Геометрия аксиомалары турында	 225
Җаваплар һәм күрсәтмәләр 	 234
Татарча-русча атамалар күрсәткече	 248
256 Эчтәлек

Учебное издание
Серия «МГУ—школе»
Атанасян Левон Сергеевич
Бутузов Валентин Фёдорович
Кадомцев Сергей Борисович
Киселёва Людмила Сергеевна
Позняк Эдуард Генрихович
ГЕОМЕТРИЯ
10—11 КЛАССЫ
Учебник для общеобразовательной школы
с татарским языком обучения
Базовый и профильный уровни
Казань. Татарское книжное издательство. 2013
Перевод с русского на татарский язык
Уку-укыту басмасы
«МДУ—мәктәпкә» сериясе
Атанасян Левон Сергеевич
Бутузов Валентин Фёдорович
Кадомцев Сергей Борисович
Киселёва Людмила Сергеевна
Позняк Эдуард Генрихович
ГЕОМЕТРИЯ
10—11 СЫЙНЫФЛАР
Татар телендә гомуми белем бирү
мәктәбе өчен дәреслек
Мөхәррирләре Л. X. Мөхэммэтҗанова, 3. X. Билалова
Бизәлеш мөхәррире Л. Р. Вафина
Техник мөхәррирләре һәм компьютерда биткә салучылары
Р. Ф. Мөбарэкҗанова, Л. И. Матвеева
Корректорлары А. А. Дәулэтова, Г. Р. Ногманова
Оригинал-макеттан басарга кул куелды 11.06.2013. Форматы 70×901∕ιθ.
Шартлы басма табагы 18,72+ форз. 0,29. Тиражы 5000 д. Заказ С-1343.
«Татарстан китап нәшрияты» ДУП. 420111. Казан, Бауман урамы, 19.
Тел./факс: (843) 519-45-22.
http://tatkniga.ru; e-mail: mfo@tatkniga.ru
«Татмедиа» ААҖ филиалы
«Идел-Пресс» полиграфия-нәшрият комплексы.
420066. Казан, Декабристлар урамы, 2.

КҮПКЫРЛЫКЛАРНЫҢ
КҮЛӘМНӘРЕ
Призма
Турыпочмаклы
параллелепипед
V = ⅛Sh	V=lfc(S + S1+√SS1)

мду-мәктәпкә
• ПРОФИЛЬЛЕ
т ө
п
Б
Е Μ Н Ә Р
Геометриядән 10-11 сыйныфлар өчен
уку укыту методик комплектына
түбәндәгеләр керә:
Л.С. Атанасян,
В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев,
Л.С. Киселёва, Э.Г. Позняк
ГЕОМЕТРИЯ
Учебник для 10-11 классов
Б.Г. Зив
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
по геометрии для 10 и 11 классов
В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков, И.И. Юдина
РАБОЧИЕ ТЕТРАДИ
по геометрии для 10 и 11 классов
Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский
ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ
для 7-11 классов
С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов
ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ
в 10 и 11 классах
Книга для учителя