Первоначальный вариант
книги,
которая
называлась «Аксиома и догма трехмерности» был
написан в начале 90-х годов в геологической
экспедиции, которая располагалась тогда в селе
Акчи Алма-Атинской области; в 1993 году эта книга
была выпущена Санкт-Петербургским издатель-
ством «Хронограф». Половина 300-штучного
тиража была продана в Петербурге и Алма-Ате,
вторая разошлась по библиотекам и среди друзей. Книга была
представлена автором на нескольких философских, научных и
околонаучных семинарах и конференциях в Петербурге и Алматы.
Темы, затронутые в «Аксиоме и догме», были продолжены в
нескольких научных отчетах и статьях (неполный список приведен в
главе 15 этой книги), ни одна из этих работ ни была опубликована в
более-менее известных изданиях. Сначала этому мешали другие идеи
и начинания, потом проявилась необходимость поправить семейный
бюджет, затем возобладала охота к перемене мест. В результате автор
вернулся к своей профессиональной деятельности в качестве геолога.
Судя по той информации, которая была почерпнута в последние два
года в Интернете и в новой книге Ю.В. Владимирова, никаких
существенных подвижек в означенном направлении ни в
естествознании, ни в философии не произошло. Так что книга, на
взгляд автора, остается столь же актуальной, как и 12 лет назад.
Хочется надеяться, что перерыв пошел ей на пользу - была
ликвидирована часть неточностей, улучшилось оформление, а новое
название более точно отражает смысл.
На обложке книги можно было бы поместить изречение, некогда
начертанное на дверях платоновской Академии: «Пусть тот, кто не
знает геометрии, не входит сюда». Однако автор уверен, что для
восприятия основных идей книги вполне достаточно знания
геометрии на школьном уровне. Отчасти это подтверждается тем
интересом, который проявляли к первому изданию «Догмы» и
последующим работам не только представители естественных наук,
но и философы и психологи.
Все рисунки и фотографии, за исключением тех, к которым
приведены ссылки, а также снимков небесных тел, выполнены
автором.
Дмитрий Гуревич
Санкт-Петербург, 24 августа 2005 г.

ДОГМА
ТРЁХМЕРНОСТИ
Д. В. Гуревич
Санкт Петербург
Издательский Дом «ПапиРус»
2007

© Гуревич Д. В. текст, 2007
© ИД «ПапиРус», 2007
ISBN 5 87472 206 8
Подписано в печать 04.12.2006. Формат 60 88/16. Усл. печ. л. 6,75. Тираж 1000 экз. Заказ No 43.
Издательский Дом «ПапиРус» 191028, Санкт Петербург, наб. р. Фонтанки, 18, оф. 77 н.
Тел.: 273 16 18, e mail: info@papy.ru
Гуревич Д. В.
Догма трехмерности. -- СПб.: ИД «ПапиРус», 2007. -- 108 с.
Является ли трёхмерность собственным свойством простран
ства и тел? Связана ли размерность геометрических моделей ок
ружающего с особенностями физиологии и психологии? Входит
ли «аксиома трёхмерности» в число фундаментальных положе
ний физики и геометрии? Можно ли предложить более конструк
тивное определение размерности? Эти и некоторые другие вопро
сы обсуждаются в книге. Широкому и неопределенному кругу
читателей.

3
Введение
Мы не должны считать основами действитель
ного мира те интеллектуальные вспомогатель
ные средства, которыми мы пользуемся для по
становки мира на сцене нашего мышления.
Эрнст Мах
Абсолютное пространство, абсолютное время,
даже абсолютная геометрия. . . так же мало
предваряют существование механики, как мало
французский язык логически предваряет суще
ствование истин, выражаемых по французски.
Анри Пуанкаре
«...предполагается само собою разумеющимся
или где то и кем то абсолютно доказанным, что
никаких форм в природе не существует, -- не су
ществует как живущая каждая своим мирком, --
ибо вообще не существует никаких реальностей,
имеющих в себе центр и потому подлежащих
своим законам; что посему все зримое и воспри
нимаемое есть только простой материал для
заполнения некоторой общей, извне на него на
кладываемой схемы упорядочения, каковою слу
жит канто евклидовское пространство».
Павел Флоренский
«Обратная перспектива»
«Вопрос о трехмерности» имеет давнюю историю. Может быть,
она началась в те времена, когда впервые были произнесены сло

4
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
ва «длина», «ширина» и «высота», а может быть, еще раньше --
когда в первозданном Хаосе возникали первые микроскопичес
кие островки Порядка. . . Вот об этом, собственно говоря, и пойдет
речь. Мы с Вами попытаемся разобраться, является ли трехмер
ность пространства и тел их собственным, изначально присущим
им свойством, или это есть субъективное порождение нашего вос
приятия и осмысления окружающего, свойство не столько самих
объектов, сколько их геометрических моделей. Исследуем конст
руктивность бытующих в науке определений размерности и, мо
жет быть, наметим подходы к иному толкованию этого термина.
Попытаемся ответить на вопрос: в какой мере трехмерность про
странства является аксиомой, обуславливающей возможность
геометрического описания реальности, а в какой -- догмой, пре
пятствующей пониманию реальности.
. . .Вопрос весьма сложный. Все здесь переплетено и взаимо
связано -- физика и философия, геометрия и реальность, логи
ка и здравый смысл. Ухватив за одну нить, невольно тянешь к
себе весь узел; вступив в какую либо одну, знакомую область
знания, попадаешь во все более далекие. Это работа для мно
гих специалистов, и она еще предстоит. Автор ставил своей за
дачей показать только направление решения проблемы и созда
ние эскиза, наброска возможного «нетрехмерного» понимания
реальности.
. . .Вопрос чрезвычайно простой. Ведь речь, прежде всего, идет
об окружающей нас реальности, о непосредственно данном, зри
мом и ощущаемом, обжитом нами «макромире». Здесь, может
быть, важна не столько изощренность в той или иной области зна
ния, сколько широкий и непредвзятый, антитрадиционный и
даже антипрофессиональный взгляд на вещи. Не столько знание
всего, что уже сказано по этому поводу, сколько способность от
казаться от «идолов площади» и «призраков театра». Не слож
ные математические выкладки, но способность почувствовать
«простую и потому прекрасную» истину. Это и дает возможность
надеяться, что школьная по уровню используемого логикомате
матического аппарата работа способна стать не только очередной
«постановкой проблемы». Во всяком случае, я бы не стал зани
мать Ваше внимание, если бы не был уверен в актуальности и но
визне многих изложенных здесь соображений.

5
Книга практически не касается весьма близкой по смыслу и
значению темы, связанной с пониманием времени и его размер
ности. Отчасти это объясняется желанием ограничить изложение
некоторыми естественными, а точнее -- пространственными гра
ницами; отчасти -- принципиальными соображениями: проблема,
по мнению автора, может быть решена только если вычленить ее
«в чистом виде», в максимально возможной степени упростив и
оградив от влияния таких сложных синтетических конструкций,
как четырехмерное пространство время Минковского.
Несмотря на многочисленные пожелания и менее многочислен
ные попытки в самом начале книги изложить все «четко и в трех
словах», она сохраняет первоначальную «детективность» изложе
ния. Если Вы -- идеальный, то есть абсолютно последовательный
читатель, то хочется верить, что Ваше внимание будет вознаграж
дено где то ближе к середине книги или, может быть, в ее конце.
Если же Вам, как обычно и мне самому, прежде чем тратить вре
мя на что то, нужно сначала убедиться, что оно того стоит (как
будто это возможно!), начинайте с середины.
Выражаю искреннюю благодарность Гуревичу Михаилу, вдох
новившему автора на переработку и издание этой книги, Шатко
вой Светлане -- за постоянную духовную поддержку, Гуревичу
Даниле -- за небезуспешные, хочется верить, попытки избавить
изложение от ошибок и неточностей, Тютюнник Анастасии за
творческую работу с оформлением текста и Мишиной Наталье --
за замечательные заметки на полях рукописи (часть из них поме
чена инициалами Н.М. и приведена в тексте и примечаниях).
Буду рад узнать Ваше мнение о книге и Ваши соображения по
поводу (пишите на адрес: dmgurevich@mail.ru). На сайте изда
тельства Папирус www.papy.ru, Игоря Токовищева www.geohit .ru
можно будет найти информацию о подготовке к изданию следую
щей книги, которая называется «Теория Игры в Бисер».
Автор
ВВЕДЕНИЕ

6
Аксиома (греч. ac...oma -- удостоенное, принятое
положение, от acioÒ -- считаю достойным) --
положение некоторой данной теории, которое
при дедуктивном построении этой теории не до
казывается в ней, а принимается за исходное,
отправное, лежащее в основе доказательств дру
гих предложений этой теории. Обычно в качестве
аксиом выбирают такие предложения, которые
являются заведомо истинными или могут в рам
ках этой теории считаться истинными.
Большая Советская Энциклопедия
«...аксиомы геометрии суть не более чем замас
кированные определения»
Анри Пуанкаре
В современной геометрии «аксиома трехмерности» имеет су
губо частный характер. Математики, как правило, исследуют бо
лее общие варианты: n мерные декартовы и евклидовы (Rn), псев
доевклидовы (Rn
n 1,1) и другие пространства и топологические
многообразия (Мn)1. Размерность оказывается величиной пере
менной и изменяется от 0 до  . Однако число 3 в этом ряду зани
мает особое положение. Три -- это число измерений евклидовой и
декартовой геометрий, геометрий «естественных», адекватно от
ражающих нашу «макроуровневую» реальность.
Евклидово пространство трехмерно. Это утверждение вос
принимается как нечто само собой разумеющееся. Однако, если
Глава 1.
«Три измерения суть все», или
трехмерность как аксиома

7
верить многочисленным пересказам и изложениям (к сожале
нию, автор не знаком с текстом «Начал» ни в подлиннике, ни в
более менее полном переводе), то Евклид почти ничего не гово
рит о пространстве как таковом, и совсем ничего -- о его размер
ности как и о размерности геометрических фигур. В его геомет
рии аксиома трехмерности явным образом отсутствует.
Нельзя ли вывести трехмерность пространства, используя име
ющуюся аксиоматику?
В евклидовой геометрии изначально содержатся неопредели
мые понятия точки, прямой и плоского угла («наклонение друг к
другу двух линий»)2. В четвертом постулате («все прямые углы
равны между собой»)3 закрепляется представление о прямом угле.
Похоже, что мы располагаем всем необходимым для построения
ортогонального базиса. По Галилею: «Тремя перпендикулярами,
как тремя линиями, единственными, определенными и кратчай
шими, определяются три измерения: АВ -- длина, АС -- ширина,
АД -- высота. Так как ясно, что через ту же точку не может про
ходить еще какая нибудь линия, которая образовала бы с данны
ми прямые углы, а измерения должны определяться только пря
мыми линиями, образующими между собой прямые углы, то
существуют только три измерения. . .»4.
Но откуда, однако, ясно, что линии и углы должны быть имен
но прямыми? Галилей вынужден выйти за пределы евклидовой
геометрии и непосредственно обратиться к физическому опыту:
«. . .Несомненно, они (линии измерения. -- Д.Г.) образуют прямые
углы, если эта нить снабжена грузом и если пол действительно
плоский и горизонтальный»5. Очевидно, что Галилей говорит
здесь о размерности не геометрического, но реального простран
ства. Возможно, последнее и трехмерно, но это не следует из евк
лидовой геометрии. Насколько известно автору, примерно так же
обстоит дело и со всеми другими существующими «доказательства
ми» трехмерности, которые строятся на аксиоматике Евклида.
Евклидово пространство, если и может быть усмотрено в «Нача
лах», то лишь как «чистая возможность» существования геомет
рических фигур; без них, само по себе, оно лишено каких бы то ни
было собственных свойств, в том числе и размерности.
Трехмерно пространство аналитической геометрии. Про
странство Декарта субстанциально, первично по отношению к на
«ТРИ ИЗМЕРЕНИЯ СУТЬ ВСЕ», ИЛИ
ТРЕХМЕРНОСТЬ КАК АКСИОМА

8
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
ходящимся в нем телам. Оно само -- включая и «пустоту» («мес
то, где нет ничего из того, что, как мы думаем, должно бы в нем
быть»)6, и находящиеся в нем геометрические тела, -- есть еди
ное, непрерывное, всеохватывающее и всепорождающее трехмер
ное тело. Все и каждая из его точек задаются и описываются имен
но тремя -- ни больше ни меньше -- параметрами. Точнее говоря,
трехмерность является здесь максимально возможной размерно
стью: можно зрительно представить себе декартову геометрию на
плоскости и на линии, но нельзя -- в четырехмерном пространстве
(«так как ясно, что через ту же точку не может проходить еще
какая нибудь линия. . . »). И если мы вместе с Грассманом и совре
менными геометрами допускаем существование координатных
пространств любой размерности, мы теряем возможность зримо
го, адекватного изображения реального объекта, а с тем -- и самую
сущность декартовой геометрии. Трехмерность, таким образом,
это необходимая аксиома, фундаментальное положение декарто
вой геометрии; ее упразднение или замена порождает другую гео
метрию (подобно тому, как отказ от 5 го постулата порождает не
евклидовы геометрии).
Трехмерность («трехвекторность») пространства -- это
аксиома векторной геометрии. В том, конечно, случае, если по
следняя не выводится из декартовой, а строится как самостоятель
ная дисциплина с собственной аксиоматической базой. По Вейлю:
«. . .существуют три линейно независимых вектора, любые четы
ре вектора линейно зависимы»7. Суть дела не изменится и в том
случае, если мы будем рассматривать эту аксиому как «свойство»:
«Векторы евклидова пространства обладают следующим свой
ством: существуют три линейно независимых вектора, любые
же четыре вектора линейно зависимы. Это свойство характери
зует трехмерность рассматриваемого множества векторов»8.
Трехмерно топологическое пространство. Определение раз
мерности в топологии строится на основе рекуррентного метода,
т. е. на выведении свойств всех членов ряда из свойств предше
ствующих им членов.
По Аристотелю: «Величина, делимая в одном измерении, есть
линия, в двух -- плоскость, в трех -- тело, и кроме них нет ника
кой другой величины, так как три измерения суть все. . .»9.

9
По Пуанкаре: «Непрерывность имеет n измерений, когда ее
можно разбить на несколько частей, производя в ней одно или не
сколько сечений, которые сами являются непрерывностями n -- 1
измерений»10.
По Менгеру: «а) пустое множество имеет размерность --1,
б) размерность пространства Х есть наименьшее целое число n,
такое, что каждая точка p X обладает произвольно малыми
окрестностями, границы которых имеют размерность, мень
шую, чем n»11.
Таким образом, в том случае, когда мы говорим о топологии
реальности (или о «реальной топологии»), мы имеем ряды, начи
нающиеся либо с минус одномерной пустоты, либо с нульмерной
точки, либо с одномерной линии и всегда заканчивающиеся трех
мерным телом. Нетрудно заметить, что в этих рядах именно ко
нечный член наиболее соответствует реальным объектам. Отме
тим также, что ряды обратимы. Следовательно, с равным и даже
большим успехом можно строить и нисходящий ряд; принять как
данность трехмерность пространства и тела и уже от нее возвра
титься к двумерности плоскости, к одномерности линии, к нуль
мерности точки.
Что же касается современной топологии, то ситуация в ней в
точности соответствует той, что сложилась в аналитической гео
метрии: «трехмерная топология» древних стала ныне частным
случаем абстрактной n мерной. Современная математика отказа
лась от аксиоматизации трехмерности, «вышла» из реального в
абстрактные многомерные пространства.
«ТРИ ИЗМЕРЕНИЯ СУТЬ ВСЕ», ИЛИ
ТРЕХМЕРНОСТЬ КАК АКСИОМА

10
Пожалуй, мало найдется столь же очевидных и столь баналь
ных истин, как утверждение, что все окружающие нас тела трех
мерны. Достаточно посмотреть или пощупать, или только пред
ставить себе любое тело, чтобы увидеть и почувствовать эти
неизбежные «длину», «ширину» и «высоту». . . Впрочем, вообра
зить можно и не имеющую толщины плоскость, и одномерную ли
нию, и нуль мерную точку. Можно вообразить многое, но, вернув
шись к реальности, нельзя не заметить, что все эти вещи сами по
себе в природе не существуют, все это -- поверхности объемных
тел, их ребра, лезвия, вершины, острия. . . Либо это сами тела, но
тела «плоские», «тонкие» и «точечные». Если мы приглядимся
внимательнее, возьмем в руки увеличительное стекло, заглянем
в микроскоп, просто поразмыслим, то неизбежно придем к выво
ду, что все тончайшее и мельчайшее столь же объемно трехмер
но, как и все «большое и толстое». И только в «микромире», при
величинах непредставимо и ненаблюдаемо малых (порядка 10--33 см
и менее), что то, возможно, происходит с размерностью элементар
ных частиц, но нас пока интересует привычный нам «макромир».
Итак, трехмерность тел может быть принята как эмпиричес
кий факт. Факт, не требующий доказательств, не выводимый и не
подлежащий сомнению. Сложнее обстоит дело с размерностью про
странства. Пространство прозрачно -- ничего в нем самом непосред
ственно не углядишь и не ущупаешь. Но если размерность нельзя
чувственно воспринять, то можно понять, рассчитать, определить
с помощью логики. Можно доказать от обратного -- как это сделал
уже более 200 лет назад Иммануил Кант. Приведем оба кантовских
доказательства в развернутом и «логизированном» виде12.
Глава 2.
Евклидово -- следовательно, трехмерно, или
трехмерность как эмпирический факт

11
Доказательство через существование энантиоморфов
1. Имеется эмпирический факт существования энантиоморфов --
правых и левых рук, кристаллов кварца, башмаков и т.п. объек
тов, зеркально симметричных, но не совместимых пространствен
ным переносом.
2. Энантиоморфные фигуры, изображенные на плоскости, мо
гут быть совмещены, но только при условии «выхода в третье из
мерение» -- одна из фигур должна быть оторвана от плоскости,
перевернута «в воздухе» и тогда уже совмещена с другой.
3. Аналогичным образом, посредством «выхода во второе из
мерение», могут быть совмещены линейные энантиоморфы -- рав
ные по модулю, но противоположно направленные векторы.
4. Объемные энантиоморфные пары могли бы быть совмеще
ны аналогичным образом -- при условии «выхода в четвертое из
мерение».
5. Так как этого не происходит (предположение 4 противоре
чит посылке 1), то, следовательно, пространство не четырехмер
но. Так как выполняются пункты 2 и 3, то пространство не дву
мерно и не одномерно. Следовательно, пространство трехмерно.
Доказательство через закон притяжения
1. Существует закон природы: сила притяжения двух тел об
ратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
2. Квадратичная зависимость силы от расстояния объясняет
ся сферически симметричным пространственным распростране
нием гравитационного поля, т.е. квадратичной зависимостью пло
щади сферы от ее радиуса R.
3. В пространствах иной размерности «площади» соответству
ющих «сфер» были бы пропорциональны n--1 степени радиуса.
Так, в двумерном пространстве эта «площадь» совпадает с нашим
обычным периметром и пропорциональна R1, в четырехмерном --
«площадь» (не имеющая трехмерных аналогов) была бы пропор
циональна R3. Соответственно изменился бы и характер зависи
мости силы взаимодействия от расстояния.
4. Последнее противоречит первому, следовательно, простран
ство трехмерно -- по крайней мере, в тех областях, в которых со
блюдается пункт 1.
Отметим, что не только гравитационное, но вообще все клас
сические физические поля -- электростатическое, магнитное и
ЕВКЛИДОВО -- СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ТРЕХМЕРНО, ИЛИ
ТРЕХМЕРНОСТЬ КАК ЭМПИРИЧЕСКИЙ ФАКТ

12
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
«электродинамическое» (взаимодействие проводников с током) --
изменяются пропорционально квадрату расстояния.
Можно вспомнить и о топологическом доказательстве. Топо
логические определения размерности, как мы видели выше, все
гда рассматривают окрестности данной точки пространства или
тела. Отсюда следует, что эти определения корректны только для
непрерывных сред. Если бы какой либо объект оказался дискрет
ным, т.е. состоящим из одномерных «струн» или нуль мерных то
чек, то его размерность как целого так же была бы равна единице
или нулю. Точнее говоря, этот объект просто не существовал бы
как целое -- ведь топология по определению «не пользуется кле
ем»! Так проблема трехмерности оказывается жестко связанной с
представлениями о непрерывности--дискретности пространства и
тел. «Последний предел» квантования поля и вещества по мере
развития науки постоянно сдвигается в сторону все меньших и
меньших, чудовищно уже малых значений. Соответственно, дол
жна расти и точность нашего знания о размерности пространства.
Таким образом, принимая существование так называемой «план
ковской длины», мы можем считать, что пространство трехмерно
с точностью до 10--33 см. «Непрерывность макроскопических об
ластей реального пространства является реальным фактом и
не может быть ничем поколеблена. Следовательно, не может
быть поколеблен факт трехмерности реального простран
ства»13.
Наконец, множество астрономических наблюдений и физичес
ких экспериментов убедительно показали, что и околоземное про
странство, и дальний космос подчиняются евклидовой геометрии.
Суммы внутренних углов параллактических треугольников всю
ду составляют 180° (или отличаются на крайне незначительную
величину), параллельные световые лучи не пересекаются. Искрив
ления пространства происходят (или могут происходить) либо
локально, в достаточно редких случаях (скажем, вблизи так на
зываемых «черных дыр»), либо они практически не различимы
(как искривление траекторий световых лучей вблизи Солнца).
Физическое пространство -- евклидово пространство. «. . .Евк
лидов характер геометрии, как оказывается, полностью опре
деляется тем, что квадрат расстояния между точкой Р с ко
ординатами (x1,x2,x3) и точкой Р с координатами (y1,y2,y3) равен

13
r2 = (х1 -- y1)2 + (х2 -- y2)2 + (х3 -- y3)2 (1). Это равенство следует из
теоремы Пифагора, и, в свою очередь, следствием этого равен
ства оказывается вся евклидова геометрия, каждое утвержде
ние которой можно переформулировать, используя только поня
тие расстояния между двумя точками. Формула (1), как говорят,
задает метрическую (в данном случае -- евклидову) структуру
пространства»14. Пространство евклидово -- следовательно, трех
мерно, трехмерно -- следовательно, евклидово. . .
Проблема соответствия трехмерности и известных физических
законов была рассмотрена в 1917 году Паулем Эренфестом, а поз
же и некоторыми другими учеными. Исследуя возможные вари
анты видоизменений законов Кулона и распространения элект
ромагнитных волн в пространствах иной размерности, «вписывая»
в них атомы и другие физические системы, авторы приходят к
результатам, противоречащим эмпирическому опыту, снова и
снова подтверждая кантовский вывод. Наше пространство трех
мерно и иным быть не может, иначе не было бы ни различия меж
ду правой и левой руками, ни атомов, ни звездно планетных сис
тем, ни галактик, ни нас с Вами.
Еще раз отметим: трехмерность пространства выступает в рас
смотренных примерах именно как эмпирический факт, как не
кая «естественная аксиома», которая не может быть сведена к
более фундаментальным законам.
ЕВКЛИДОВО -- СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ТРЕХМЕРНО, ИЛИ
ТРЕХМЕРНОСТЬ КАК ЭМПИРИЧЕСКИЙ ФАКТ

14
Доказательства трехмерности пространства, основанные на
законах полевого взаимодействия тел, обратимы. Это означает,
что сами законы Кулона и всемирного притяжения (точнее, их
конкретный «квадратичный» вид) могут рассматриваться как
следствия «закона трехмерности». Неудивительно поэтому, что
положение о трехмерности пространства можно усмотреть в фун
даментах самых, казалось бы, разных физических теорий.
Трехмерно пространство классической механики. Твердые
тела имеют по три инерционные оси, причем расположены они
взаимоперпендикулярно. Для исчерпывающей характеристики
инерционных свойств тела при вращении достаточно знать три
момента инерции относительно этих осей -- наибольший, наимень
ший и средний. Именно прямой угол образуют центробежные
(центростремительные) силы и оси вращения, именно под прямым
углом пересекаются направленный к центру вращения вектор
ускорения тела и вектор скорости.
Трехмерно гравитационное поле--пространство общей тео
рии относительности (ОТО). Формально это есть следствие более
общего положения о четырехмерном физическом пространственно
временном континууме. Однако, во первых, не «четырехмерие» по
родило пространство и время, но само было порождено в результате
их объединения. Во вторых, «четырехмерие» не сняло, не уничто
жило различие между собственно пространственными и временной
размерностями. Наконец мы, прежде всего, говорим о реальном про
странстве реальных (не субсветовых и не вселенских) скоростей и
масштабов, которое можем и должны рассматривать в рамках ОТО
как локальное или («вырожденно») трехмерное.
Глава 3.
Размерности некомпактифицированные
и компактифицированные, или
трехмерность как закон природы

15
Пространство трехмерно в «релятивистской теории гра
витации»15. В отличие от ОТО, эта теория базируется на идее о
самостоятельном, вне зависимости от гравитационного поля, су
ществовании псевдоэвклидова пространства Минковского. Про
странства по прежнему 3+1 мерного.
Трехмерно пространство хромодинамики -- современной те
ории сильных (ядерных) взаимодействий, оперирующей условны
ми «цветами» гипотетических «кварков». «Хромодинамика стро
ится в рамках заранее заданного классического (координатного)
пространства--времени, что означает использование всех сопут
ствующих этому понятий, таких как координаты, частные про
изводные и т.д.»16.
Трехмерность пространства заложена в фундамент тео
рии калибровочных полей Глешоу -- Вайнберга -- Салама. «Гео
метрия расслоенного пространства, которая составляет мате
матический язык теории калибровочных полей, берет за основу
пространство--время Минковского М3+1, но при этом изменя
ет понятие мировой точки, или события. Каждое событие те
перь характеризуется не только пространственными и времен
ной координатами, но и значениями некоторого набора из N
полей. . . Роль каждой точки исполняет некоторое N мерное
(внутреннее) пространство S (N)»17.
Как это ни парадоксально, пространство трехмерно в многомер
ных теориях типа теории Калуцы -- Клейна. Начало их разра
ботки положил в 20 е годы математик Калуца, предложивший
изящный способ объединения ОТО и теории электромагнитного
поля на основе увеличения размерности пространства--времени до
5 (3+1+1).
В настоящее время, судя по многочисленным публикациям, это
направление одно из наиболее популярных в фундаментальной
физике. «. . .Строится квантовая геометрическая теория. Одна
ко теперь речь идет о геометрии 10 , или 11 , или 26 мерного про
странства. При этом предполагается, что развитие теории
приведет к одному измерению, играющему роль времени, и трем
измерениям, играющим роль пространственных координат. . .
Лишние 6 или 7, или 22 измерения образуют какое то подобие
сверхмалого замкнутого тела. Его масштаб порядка планков
ской длины. Движение по этим измерениям не наблюдается, как
РАЗМЕРНОСТИ НЕКОМПАКТИФИЦИРОВАННЫЕ
И КОМПАКТИФИЦИРОВАННЫЕ, ИЛИ
ТРЕХМЕРНОСТЬ КАК ЗАКОН ПРИРОДЫ

16
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
пространственное движение. Кривизна (или изменение кривиз
ны) лишних измерений воспринимается в обычных 4 х измерени
ях как поля электромагнитное, глюонное и т.д.» 18.
Наиболее серьезные возражения заключались, как известно,
в усмотрении противоречия между теорией и физическим опы
том. В физическом псевдоевклидовом 3+1 мерном пространстве
нет места пятой координате -- точно так же, как в пространстве
евклидовом нет места координате четвертой. Затруднения эти
были, однако, в какой то мере сняты с принятием идеи «цилинд
ричности» пятого измерения, его «компактифицированности» в
чрезвычайно малом объеме пространства. Такой путь не слишком
хорошо согласуется с нашей «макроскопической» интуицией, что
отмечал еще Альберт Эйнштейн (между прочим, создатель теории
относительности, которая также не слишком хорошо согласует
ся со здравым смыслом): «Условие цилиндричности не является
естественным даже формально»19.
С современных позиций трудности, связанные с пониманием
и интерпретацией дополнительных размерностей, подробно рас
смотрены в «Метафизике» Владимирова. Завершая анализ кри
тических замечаний, автор заключает: «Практически все пере
численные выше претензии к 5 мерной теории Калуцы носили
либо психологический характер, связанный с трудностями при
знания новых размерностей и следствий из них, либо были обра
щены именно к теориям пяти измерений, а нужно было дальше
шагнуть по ступеням размерности».
Теория физических структур (ТФС) Ю.И. Кулакова и его
последователей строится по принципу математических теорий20.
В качестве основы берется набор абстрактных элементов, могу
щих образовывать друг с другом парные связи; к этому добавля
ется несколько простейших алгебраических соотношений, опи
сывающих взаимоотношения парных связей.
Некоторое небольшое число элементов берется в качестве эта
лонных и образует базис системы, все остальные элементы ха
рактеризуются через их отношения к эталонным. Для перехода к
более привычным геометрическим и физическим понятиям набо
ру эталонных элементов ставятся в соответствие координатный
базис и система отсчета, а отношения рядовых элементов с эта
лонными понимаются как их координаты или параметры. В соб

17
ственных терминах ТФС число эталонных элементов системы оп
ределяет ее ранг. Конкретный вид получаемой геометрии зави
сит, таким образом, от ранга (чем он выше, тем больше размер
ность системы), а также от изменений в наборе алгебраических
соотношений между парными связями.
В результате возникает практически неограниченное число гео
метрий самой разной кривизны и размерности. Чтобы «спроеци
ровать» их на пространство--время Минковского, вводится блок
специальных процедур и аксиом, определяющих выбор четырех
«пространственно временных» координатных лучей и их сигна
туру (т.е. правило разбиения четырехмерия на три пространствен
ных и одно временное измерения). «Для описания физической ре
альности необходимо произвести 5=2+3 -- расщепление
параметров на две части, где первые два параметра, называе
мые внешними, следует использовать для описания компонент
4 мерного импульса (скорости частиц), а три оставшиеся, на
званные внутренними, должны определять, как и в многомерных
геометрических моделях, заряды элементарных частиц» 21.
Впрочем, автор, похоже, слишком уж далеко ушел за пределы
своей компетенции. Достаточно будет отметить, что большинство
рассмотренных выше теорий при всем их различии сходятся в од
ном -- они претендуют на описание не только микро но и макро
мира. Поэтому все они в обязательном порядке включают алгоритм
«проецирования» многомерности на классическое четырехмерное
пространство--время общей теории относительности. В свою оче
редь, ОТО при описании «медленной» реальности «расщепляет»
четырехмерие на трехмерное пространство и одномерное время.
Другой подход (реализуемый в рамках разрабатываемой им би
нарной геометрофизики) предлагает Юрий Владимиров: «...ис
ходят из ничем не оправданной посылки о первичности неком
пактифицированных координатных размерностей и пытаются
объяснить их компактификацию, тогда как предпочтительней
другой ход рассуждений -- исходя из импульсного представления
теории (первично компактифицированных размерностей), пы
таться обосновать появление четырех классических координат
ных размерностей»22.
Парадоксальным образом идеи «проецирования» многомерно
го пространства микромира на трехмерное «макропространство»
РАЗМЕРНОСТИ НЕКОМПАКТИФИЦИРОВАННЫЕ
И КОМПАКТИФИЦИРОВАННЫЕ, ИЛИ
ТРЕХМЕРНОСТЬ КАК ЗАКОН ПРИРОДЫ

18
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
оказываются близки к представлениям современных (и не очень
современных) парапсихологов, экстрасенсов и т.п. Вот цитата из
замечательной книги Феликса Клейна (речь идет о лейпцигском
астрономе Целнере, время действия -- 1873 год): «Здесь перед нами
один из редких случаев проникновения математической терми
нологии во всеобщее сознание -- ведь теперь каждый человек упот
ребляет обороты речи, содержащие "четвертое измерение". Эта
популяризация четвертого измерения началась с тех опытов,
которые спирит Слейт проделал перед Целнером. Слейт выда
вал себя за медиума, который находится в непосредственном об
щении с духами, и его сеансы состояли, между прочим, в том, что
предметы по его желанию исчезали и вновь появлялись. Целнер
отнесся доверчиво к этим экспериментам и создал такую физи
ко метафизическую теорию, которая получила широкое распро
странение. Согласно этой теории истинные физические процес
сы протекают в пространстве четырех или еще большего числа
измерений, мы же в силу наших природных данных можем вос
принимать только некоторое трехмерное его "сечение"»23.

19
В материалистической философии (сошлюсь на свидетельства
В.И. Ленина, А.М. Мостепаненко, С.Г. Мелюхина и М.Д. Ахун
дова24) трехмерность признается всеобщим атрибутивным свой
ством пространства. «Основными свойствами реального про
странства в современной науке считаются трехмерность,
непрерывность, бесконечность (или конечность), характер мет
рики, кривизна»25. «Естествознание не задумывается над тем,
что вещество которое им исследуется, существует не иначе, как
в пространстве с 3 мя измерениями, а следовательно, и части
цы этого вещества, хотя бы они были так мелки, что видеть
мы их не можем, обязательно существуют в том же простран
стве с 3 мя измерениями»26.
Резким диссонансом звучат и «подвергаются суровой и спра
ведливой критике» высказывания, отвергающие объективный
характер этого свойства. «Опыт не доказывает нам, что про
странство имеет три измерения, он доказывает, что удобно
приписывать ему три измерения, потому что именно таким
образом число ухищрений сводится к минимуму»27. «Всеобщая
трехмерность», по Пуанкаре, -- это не более чем всеобщее согла
шение, конвенция. Похоже, однако, что «конвенциальность» ве
ликого мыслителя сильно преувеличена его последователями и
критиками. Так, исследуя физиологическую обусловленность вос
приятия размерности, он делает вывод, что решающую роль иг
рает здесь непрерывность восприятия нами внешних воздействий,
единство и целесообразность центральной нервной системы -- «рас
пределительного щита». «Если. . . язык трех измерений лучше все
го позволяет нам описать наш мир, то мы не должны этому удив
Глава 4.
Антропный принцип, или
круг в доказательстве?

20
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
ляться. Этот язык скопирован с нашего распределительного
щита, а этот щит установлен для того, чтобы можно было
жить в этом мире»28. Иначе говоря, устройство нашего тела, осо
бенности нашего пространственного мышления так или иначе
«вписаны» в реальность, так или иначе обусловлены ею. По Пу
анкаре, трехмерность скорее нам навязана природой, чем нами --
природе. И не случайно Пуанкаре -- физик и математик -- исполь
зует в своих построениях все то же трехмерное пространство, все
то же одномерное время. . .
Здесь мы подходим к важным идеям, объединяемым в совре
менном естествознании так называемым «антропным принци
пом». Познание конкретизируется, вместо абстрактного вопроса
«каков мир?» возникает другой -- «каков наш мир?» В чем его
отличия от других миров? Какие именно особенности нашей Все
ленной, нашей звездно планетной системы, нашей планеты сде
лали возможным развитие жизни и цивилизации, привели к по
явлению на свет «субъекта вопрошающего»? Вселенная через нас
осознает самое себя в сравнении с другими -- пусть пока только
воображаемыми и вычисляемыми вселенными. Так человек осоз
нает себя через других людей -- через сходства и различия, так
народ осознает себя через общение с другими народами.
Расчеты показывают, что самые незначительные отклонения
в величинах фундаментальных физических констант или в чис
ленных выражениях законов природы приводят к глобальным и
глубинным изменениям. Наш мир покоится на небольшом числе
опор, и малейшее изменение толщины или длины одной из них
чревато потерей равновесия и всеобщей катастрофой. И одна из
главных «несущих конструкций» -- это трехмерная структура
пространства. Вселенная другой размерности если и могла бы су
ществовать, то была бы совершенно, непредставимо иной.
Мы такие, какие есть, благодаря многим и многим свойствам
и особенностям этой Вселенной. Мы «вписаны» в этот мир, в
это пространство. Вписаны -- и потому подобны. Потому и удоб
на наша трехмерная геометрическая схема, что не случайна, что
отражает реальную размерность реального пространства.
Так концепция вписанности позволяет совместить, казалось
бы, несовместимое -- «субъективизм» Пуанкаре и «объективизм»
Ленина. Полагаем ли мы вместе с первым трехмерность «психо

21
физиологическим» продуктом или вместе со вторым настаиваем
на ее независимости от воли и сознания наблюдателя, -- все схо
дится к одному: пространство реальное и пространство иде
альное равно трехмерны, как вписанные одно в другое.
Итак, мы имеем три вектора, три независимых пути, приводя
щих нас к одному результату. Параметрический, рассматриваю
щий трехмерность как необходимое и достаточное число парамет
ров для задания и описания всех точек любого реального объекта;
векторный, выделяющий три как максимально возможное чис
ло линейно независимых векторов; топологический, толкующий
трехмерие как конечный член ряда пустое множество -- точка --
линия -- плоскость -- объем.
Каждое определение в отдельности и все они вместе вполне
согласуются и с современными физическими теориями, и с резуль
татами эмпирических естественнонаучных исследований, и со
здравым смыслом, и с пространственной интуицией. Все сходит
ся в одном: реальность трехмерна.
Мы можем вопрошать себя: «почему именно так?» Можем изоб
ретать концептуальные или просто фантастические много или,
напротив, одномерные пространства. Можем предполагать иную
размерность микромира. Но трехмерность реальных, существу
ющих в действительности, окружающих нас объектов на макро
уровне -- уровне нашего восприятия, -- должна быть принята как
данность, как факт, как отражающая этот факт аксиома.
А теперь посмотрим на это иначе. Известно, что интуиции
и здравому смыслу свойственно ошибаться, -- нам, к примеру, ка
жется, что Земля неподвижна. Фактам свойственно подвергать
ся неверному истолкованию -- так долгое время происходило с тем
же «фактом» вращения Солнца вокруг Земли. Истинное «поло
жение тел» открывает нам наука, опирающаяся на логику и ма
тематику. Так же должно обстоять дело и с размерностью -- вся
кое строгое и обоснованное суждение должно иметь научный
характер. И тут оказывается, что в математике трехмерность яв
ляется сугубо частным случаем! Что логика, напротив, имеет явно
выраженный двоичный, «дихотомический» характер. Что для
обоснования «естественной» геометрии мы вынуждены обратить
ся к практическому опыту, который нам свойственно неверно ис
толковывать, к пространственной интуиции, которой свойствен
АНТРОПНЫЙ ПРИНЦИП, ИЛИ КРУГ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ?

22
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
но заблуждаться. . . К математике и логике, которые мало того,
что рассматривают трехмерность как сугубо частный случай, но
еще и сами основаны на некоторых недоказуемых, «интуитивно
ясных» понятиях и аксиомах.
Вспомним также достаточно категоричные высказывания не
которых весьма уважаемых ученых и философов, -- хотя бы те,
что приведены в начале книги.
Похоже, что мы имеем достаточно оснований для того, чтобы
задаться некоторыми нелогичными вопросами. К примеру: а дей
ствительно ли трехмерно «трехмерное декартово пространство»?
Или, прежде, трехмерно ли пространство Евклида?

23
В действительности пространство аморфно, и
форму ему сообщают те вещи, которые в нем
находятся.
Анри Пуанкаре. «Наука и метод»29
Окружающее нас физическое пространство евклидово. Или
псевдоевклидово -- если мы рассматриваем скорости, близкие к
световым, но мы их не рассматриваем. В современном понимании
это означает, что в этом пространстве справедлива геометрия Ев
клида (включая все его постулаты), что оно трехмерно и непре
рывно, что расстояния в нем определяются в соответствии с «трех
мерной теоремой Пифагора» r2 = (x1 -- x2)2 + (y1 --y2)2 + (z1 --z2)2.
Пространство, как видим, оказывается не только (а может быть,
и не столько) евклидовым, но и декартовым. Ведь, как мы видели
ранее, в геометрии «Начал» отсутствует состоящее из точек про
странство--континуум; отсутствует и не может быть выведено на
базе других аксиом аксиома трехмерности; с другой стороны,
именно Декарт сделал геометрическое пространство ортогональ
но трехмерным и континуально непрерывным.
А каковы тогда были собственные свойства собственно евкли
дова пространства? Очевидно, что пространство для Евклида -- это
«чистый лист» и «чистая возможность». Здесь нет ничего -- и все
может быть. Могут сосуществовать углы прямые и косые, углы
постоянной величины и величины переменной (роговидные), ли
нии не пересекающиеся (в том числе параллельные прямые) или
пересекающиеся (в том числе сами с собой -- как линии окружно
Глава 5.
Преобразование Пифагора --- Декарта, или
как пространство Евклида стало евклидовым
пространством

24
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
стей, в том числе бесконечно большое число раз -- как две «колли
неарные» спирали). Аксиома о параллельных касается самих па
раллельных -- но не пространства, постулат о равенстве прямых
углов касается именно прямых углов -- и ничего более.
Евклидово пространство аморфно, оно лишено собственной
структуры и именно поэтому с легкостью приемлет любые геомет
рические фигуры, принимает их форму. Оно плоско «внутри»
плоскостей, оно объемно внутри тел. Оно с равным успехом и без
различием вмещает в себя и прямоугольный треугольник с пифа
горовым соотношением сторон (c2 = a2 + b2), и любой другой «тре
угольник общего вида» с соотношением сторон сn = аn + bn, где n
изменяется в пределах от 1 (с -- линейная сумма отрезков а и b) до ∞
(треугольник стремится к равнобедренному). В евклидовом про
странстве нет ни координат, ни векторного базиса, ни топологи
ческого ряда. Каждая из его точек (которых, впрочем, тоже акту
ально нет) может принадлежать «одномерной» линии, может --
«двумерной» плоскости, может -- объемному телу. Каждая из точек
может быть задана любым числом параметров любой координат
ной системы. Есть еще, правда, знаменитая «аксиома параллель
ных», которая входит в «Начала». Она как будто бы наделяет «пу
стоту» определенным свойством: пространство Евклида -- это такое
пространство, в котором «параллельные прямые не пересекаются».
Но можно сказать и по другому: «параллельные прямые -- это та
кие прямые, которые не пересекаются». «Аксиома параллель
ных», как это часто бывает с аксиомами, оказывается определе
нием параллельных линий, определением, не имеющим отноше
ния к структуре пространства*.
Евклидово пространство пусто, аморфно и безразмерно.
Если признать это, если быть последовательным, то неизбежно
приходишь к выводу, что оно может «подстроиться» и под дру
гую -- не евклидову и не декартову -- геометрию. Скажем, под гео
метрию Лобачевского, под какую либо из многомерных геомет
рий...
* Скорее всего математики, и Евклид в их числе, не согласятся с таким утверждени
ем. «Пространство Евклида --- это такое пространство, в котором "параллельные
прямые не пересекаются". Может быть, и так, может быть, Евклид действительно
наделил пространство определенной структурой. Если так, то именно им был сде
лан первый шаг в создании того, что мы называем «евклидовым пространством».

25
Такое пространство слишком пусто, аморфно и безразмерно.
Его структура, а точнее, отсутствие оной, не соответствует уни
версальным логическим и математическим схемам. И в интере
сах этих схем, в интересах рационального знания пространство
Евклида делается «евклидовым пространством». Возможны раз
личные варианты этого преобразования, и было бы весьма инте
ресно и поучительно проследить его реальные исторические эта
пы. За неимением необходимых для этого времени и знаний
ограничимся рассмотрением чисто гипотетического ряда. Этот ряд
показан на рисунке 1; номер абзаца соответствует «номеру про
странства», указанномуна рисунке в скобках.
1. Пространство «субстанционализируется». «Заполняется»
множеством актуально существующих «пространственных то
чек». («Геометрия разворачивается в некоем пространстве, ко
торое состоит из точек P, Q. . . »)30.
Это пространство «бессистемно» в том смысле, что оно не име
ет собственной системы координат. Соответственно не имеют смыс
ла понятия расстояния и размерности.
2. Пространство «континуализируется». Пространственные
точки уменьшаются «до нуля», сливаются и превращаются в не
прерывную (дифференцируемую) совокупность -- «континуум».
Поскольку в пространстве континууме отсутствуют центр и вы
деленные направления, постольку отсутствуют расстояние и сим
метрия.
3,4. Пространство центрируется. Появляется центр -- возмож
ность начала координат, возможность для объединения простран
ства вокруг одной точки. Возникают два варианта: максимально
и минимально симметричный. Либо все точки на расстоянии r от
центра тождественны и пространство сферически симметрично
(4), либо каждая из них уникальна, в каждую упирается свой соб
ственный луч (3). Мы имеем, таким образом, два пространства с
различными центрированными системами координат: сферичес
ки симметричной и много («бесконечно много ») лучевой. Пер
вое можно уподобить гравитационному полю Солнца, второе -- его
электромагнитному излучению. И оба пространства не отвечают
математическому идеалу однозначности и универсальности. Пер
вое -- в силу бесконечной неопределенности положения точки на
сфере, второе -- в силу бесконечно большого числа лучей. Необхо
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПИФАГОРА --- ДЕКАРТА, ИЛИ
КАК ПРОСТРАНСТВО ЕВКЛИДА
СТАЛО ЕВКЛИДОВЫМ ПРОСТРАНСТВОМ

26
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
димо найти компромисс между неограниченностью простран
ственных возможностей и ограниченностью наших средств.
5. Пространство «ортогонализируется». Указывается ограни
ченное число лучей и устанавливается правило приведения к ним
всех остальных. И здесь «возможны варианты», и удобнейший из
них, сам того не ведая, отыскал Пифагор, доказав свою знамени
тую теорему. Отныне (точнее «отныне» -- ибо с момента доказа
тельства до «внедрения» теоремы Декартом прошло более двух
тысяч лет) все гипотенузы и все произвольно направленные ра
диус векторы могут и должны быть представлены в виде суммы
c2 = a2 + b2 (r2 = x2 + y2). Но пифагорово разложение хорошо для
плоскости. Для сферы (которая может быть построена, как фигу
ра вращения с одной или двумя ортогональными осями) возника
ет все та же бесконечная «цилиндрическая» или «широтная» не
определенность (искомая точка, как в романе Жюля Верна, имеет
определенную широту, но не имеет долготы).
6. Пространство «трехмеризуется». Добавляется третья, орто
гональная к первым двум, ось. При этом становится содержатель
ным различие между секториальной и полной размерностями: со
седние базисные векторы используются для описания не всего
пространства, а только его части, заключенной между ними. Про
странство застывает, проткнутое тремя спицами. Сфера становит
ся трехмерной фигурой. Но однозначности все нет: каждая из то
чек имеет по 7 неотличимых аналогов -- соответственно общему
числу координатных октантов. Что делать? Ввести ли дополни
тельный, четвертый, луч и построить «тетраэдрическую» коор
динатную систему с углами между лучами в 109°? Но тогда мы
утратим возможность свободно пользоваться пифагоровым соот
ношением, а длину радиуса будем представлять через уравнение
с иррациональным показателем степени. Дать противоположно
направленным лучам разные наименования, сделав пространство
шестимерным? Но тогда утрачивается симметрия и все связанные
с ней выгоды, да и многовато параметров. . .
7. Пространство становится «трехмерно симметричным».
Простое и гениальное решение находят Ферма и Декарт: вводят
ся (точнее -- заимствуются из алгебры) «+» и «--». Мы получаем
возможность «маневра»: когда нам надо и когда позволяют обсто
ятельства (т.е. при описании и конструировании трехмерно сим

27
метричных объектов), мы пользуемся системой как трехмерной,
а нет, так нет -- используем как различные все шесть параметров.
« Фокус» с «+» и «--» позволяет достичь полной определенности,
сохраняя при этом возможность использования преимуществ,
которыми обладает симметричная система. Таким образом, мы
можем задавать сферу не системой из восьми уравнений (по чис
лу октантов), а одним единственным уравнением с тремя пара
метрами. Правда, в сферически симметричной системе для это
го было достаточно одного только радиуса, зато там не было
возможности однозначного определения той или иной точки.
Так, а может быть, и по другому: пространство Евклида было
заменено «евклидовым», а в сущности -- декартовым простран
ством. Последнее оказалось столь удобно, столь глубоко вошло в
наше сознание, что мы просто забыли об этой замене. Что же,
мы забываем и о более важных вещах -- о собственном дыхании,
например.
Несколько тысячелетий происходила эта «трехмеризация пу
стоты». В результате была создана трехмерная геометрическая
модель окружающего -- может быть, одна из самых важных в ис
тории человечества моделей. И весь этот долгий процесс, весь ряд
преобразований стал для нас самое большее черточкой в выраже
нии «евклидово декартово пространство». Теперь для нас все еди
но: пустота и континуальность, трехмерность и шестимерность,
симметрии сферическая, параллелепипеда, куба. . . Мы не просто
заменили евклидову модель декартовой, мы незаметно для себя
подменили одну другой. Декартова система координат «уничто
жила классы» всех остальных координатных систем, присвоив
себе все их достояние. В результате, как в известной сказке, лю
бой пример удачной работы любой из систем, эмпирическое под
тверждение едва ли не чего угодно -- от постоянства скорости све
та до подтверждения сферической симметрии гравитационного
поля -- все доказывает «трехмерную евклидовость» нашего реаль
ного пространства!
Математики создали геометрию, удобную для описания неко
торых реальных объектов и геометрических фигур (прямоуголь
ных треугольников, например). И это стало рассматриваться как
свидетельство истинности и адекватности данной геометрии. Но
разве не существует других объектов, других треугольников?
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПИФАГОРА --- ДЕКАРТА, ИЛИ
КАК ПРОСТРАНСТВО ЕВКЛИДА
СТАЛО ЕВКЛИДОВЫМ ПРОСТРАНСТВОМ

28
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
Математики нашли способы сведения иных систем координат
к «истинной». И заключили, что все они -- не более чем варианты
и вариации декартовой трехмерной. Но разве одно и то же -- одно
параметрическая фигура сферически симметричной системы ко
ординат (сфера, r=const) и однопараметрическая фигура декар
товой системы (плоскость, x=const)?
Попробуйте, кстати, построить окружность не с помощью цир
куля, а с помощью «уравнения, задающего метрику простран
ства», и Вы, несомненно, поймете, как в этом случае поступают
Природа или Создатель, и сколькими параметрами они при этом
пользуются.
Если же мы с Вами не согласны признать шарообразность звезд
и планет и округлость их орбит в качестве закона природы, то нам
совсем не обязательно выводить эти свойства «из трехмерности».
Можно вспомнить, например, о принципе необходимой достаточ
ности Ньютона и истолковать форму Земли как максимально воз
можно простую. Можно обратиться к принципу Ферма и описать
траекторию Земли как кратчайшую (или простейшую) траекто
рию движения в сферически симметричном (т.е. опять же наибо
лее простом) гравитационном поле. Можно говорить о соответ
ствии форм шара, сферы и круга принципу потенциальной ямы,
состоянию минимума гравитационной или иной энергии. . . Тем
более что все эти принципы и так уже известны и широко исполь
зуются в науке.
Примерно так же обстоит дело и с вращением твердого тела.
Ортогональное взаимное расположение его инерционных осей,
как и прямой угол между осью и плоскостью вращения (в изот
ропной среде), отвечают состоянию энергетического минимума
энергии, состоянию наиболее симметричному. Такое поведение
вращающегося тела наиболее просто и в максимально возможной
степени соответствует все тем же принципам: наименьшего дей
ствия, потенциальной ямы, лезвия Оккама, наибольшей просто
ты... Конечно, все эти принципы можно жестко связать с размер
ностью пространства и времени, как это делается в физике с
законами сохранения (см. начало главы 3). Но лучше этого не де
лать, руководствуясь тем же принципом Оккама. Тем более что
трехмерность пространства и одномерность времени все равно прин
ципов не объясняют и объяснить не могут -- на то они и Принципы.

29
Когда знакомишься с историей физики ХХ века, создается впе
чатление, что уже не осталось идеи, которая не была бы высказа
на, снабжена необходимым логико математическим аппаратом и
экспериментально подтверждена (может быть, и не сразу, а после
введения необходимых «перенормировок» и «компактификаций»),
что современная математика способна «трансформировать к реаль
ности» практически любую идею. «Проверка на практике» все бо
лее теряет свое значение как главный и единственный критерий
истины. В этой ситуации остается надеяться только на принципы --
наименьшего действия и экономии мышления, лаконизма и сим
метрии, фрактальности и подобия... Истинна та теория, которая не
только (а может быть, и не столько) объясняет и предсказывает
факты, но наиболее проста и красива, наиболее принципиальна.
...А в заключение этой главы хочется привести выдержки из
короткого эссе, написанного «на полях» этой главы психологом
Натальей Мишиной.
...Древние придумали математическую модель реальности.
Довольно простенькую, но вполне подходящую для практическо
го использования. Она им была нужна, чтобы начать как то опе
рировать реальностью; как то ее описывать, как то ее пони
мать, что то в ней создавать.
Тут хороший вопрос сразу возникает: а зачем им было ее по
нимать, эту реальность? Жили бы в ней да жили, принимали как
есть. Но человек -- существо сознающее, понимать -- главная по
требность его сознания. И еще он хотел быть со творцом -- не
просто интуитивно делать что то, как Бог на душу положит,
а делать осознанно, с заранее предусмотренным результатом.
То есть создавать в этой реальности то, что соответствует
его «хочу». (Ведь кроме сознания еще и воля есть.)
Но все же вернемся к сознанию. Оно хочет понимать. И что
оно в результате делает с реальностью?
Первое -- оно себя из реальности изымает: реальность отдельно
и «я» отдельно, т. е. в первую очередь сознание себя отграничивает.
Далее, чтобы в ней творить, реальность должна быть пред
сказуемой, подчиняться правилам или, иными словами, ограни
чениям. Что мы имеем в результате? Отграниченный от реаль
ности «Я творю» в мною же ограниченном куске реальности.
Любая деятельность сознания предполагает эти две вещи: соб
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПИФАГОРА --- ДЕКАРТА, ИЛИ
КАК ПРОСТРАНСТВО ЕВКЛИДА
СТАЛО ЕВКЛИДОВЫМ ПРОСТРАНСТВОМ

Ðèñ. 1. Îò ïðîñòðàíñòâà Åâêëèäà ê «Åâêëèäîâó ïðîñòðàíñòâó»
*  ÷èñëèòåëå ðàçìåðíîñòü ñåêòîðèàëüíàÿ, â çíàìåíàòåëå ïîëíàÿ;
**  ÷èñëèòåëå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ñåêòîðîâ, â çíàìåíàòåëå --- îáùåå ÷èñëî ñåêòîðîâ.
Îáîçíà÷åíèå ýëåìåíòîâ ñèììåòðèè: Ln --- îñü ïîðÿäêà n (ïîðÿäîê îñè -- ýòî ÷èñëî ñîâìåùåíèé òåëà ñàìîãî ñ
ñîáîé ïðè åãî ïîâîðîòå âîêðóã îñè íà 360î), P --- ïëîñêîñòü, C --- öåíòð, 1 --- ñàìîòîæäåñòâåííîñòü. Ïðî÷åðê
îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ äàííîãî ïðîñòðàíñòâà äàííàÿ õàðàêòåðèñòèêà íå îïðåäåëåíà.
*** ×èñëî ñèììåòðè÷íûõ (íåðàçëè÷èìûõ) òî÷åê: 1 (ñàìîòîæäåñòâî) ñîîòâåòñòâóåò max îïðåäåëåííîñòè;
 --
max íåîïðåäåëåííîñòè.

31
ственную отграниченность и ограничения на познаваемое. Ина
че познавать невозможно.
Вернемся к нашим древним ученым мужам. Они взялись по
знавать и создали Евклидову геометрию. В отличие от нас, они
прекрасно понимали, что это -- лишь модель, позволяющая что
то в реальности понимать и что то с ней (реальностью) делать,
но... Эта модель не только не описывает «всю реальность», она
вообще мало чему в реальности соответствует. Ну, просто
это инструмент такой. Не было в реальности топора, но мне
он понадобился, и я его из камня выточил, а теперь мне пони
мать понадобилось, и я для этого тоже инструмент создаю.
Они то это хорошо осознавали. А вот мы, за давностью лет,
об этом забыли, залезли внутрь этого инструмента (благо, он
объемный очень, вмещает нас всех), сидим внутри и сквозь него
на реальность глядим. И очень он нам вид ограничивает, да толь
ко мы этого не замечаем. Впрочем, для большинства людей внут
ренность этого инструмента -- это и есть «реальность».
Заметим, что вся наука наша внутри этого инструмента
сформирована. Математика -- просто язык, на котором там,
внутри, говорить принято. Я не умаляю нисколько величие науки
нашей... Евклид пространство создал, а пространство бесконеч
но по определению; и в этом пространстве бесконечном простор
для творчества грандиозный; вот эти то поля и возделываем.
А находясь в рамках одной парадигмы, очень тяжело допус
тить возможность существования другой. И уж практически
невозможно пытаться описать эту другую парадигму. Просто
потому, что языка для описания нет. Ведь язык, используемый
внутри парадигмы, специально для нее изобретен; он вряд ли
может быть использован для описания чего то вне ее, в нем слов
и понятий нет нужных.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПИФАГОРА --- ДЕКАРТА, ИЛИ
КАК ПРОСТРАНСТВО ЕВКЛИДА
СТАЛО ЕВКЛИДОВЫМ ПРОСТРАНСТВОМ

32
Декартово пространство трехмерно. Это означает, что все и
каждая из принадлежащих ему точек могут быть однозначно за
даны (описаны) именно тремя параметрами. Нетрудно, однако,
заметить, что тремя координатными лучами охватывается не все
пространство, а лишь телесный угол π/2. Всего же в системе ис
пользуется не 3, а 6 лучей, не 3, а 6 параметров. Понятно, что
любой «геометризуемый» объект может быть помещен в один ок
тант, иначе говоря, система координат может быть расположена
таким образом, что угловые размеры объекта будут меньше либо
равны π/2. Для геометрии это условие не представляется невы
полнимым: абстрактный образ сколь угодно большой вещи может
быть сколь угодно мал. Но нельзя забывать о том, что это именно
и не более чем абстрактный, субъективный, геометрический об
раз, что его свойства еще не есть свойства замененного им при
родного объекта.
Но есть предел и геометрическому произволу. В окружающей
нас реальности мы находим множество вещей, на которые «взгляд
со стороны» весьма затруднителен либо вообще невозможен. Та
кова наша Галактика, такова Вселенная. Таково, наконец, миро
вое пространство. Оно может показаться трехмерным только при
взгляде из его начала, из некоей угловой точки, с которой совме
щен центр системы координат. А что тогда окажется сзади, сбо
ку. . . в оставшихся семи квадрантах? Не пространство ли?
Декартово пространство шестимерно, и трехмерным его
может сделать только привычная до полной незаметности опера
ция зеркальной симметрии -- операция удвоения координатных
лучей по другую сторону от их начала. Но, будь декартова систе
Глава 6.
Трехмерно ли трехмерное декартово
пространство, или о различии «+» и «--»

33
ма просто симметричной, в ней не было бы различия между «+» и
«--», и каждая точка получила бы еще семь неотличимых анало
гов. Декартова система знаково антисимметрична. Именно это об
стоятельство, при сохранении числовой (модульной) симметрии,
позволяет то сводить число параметров к трем, то пользоваться
всеми шестью сразу.
С точки зрения логики здесь налицо непреодолимое противо
речие: либо мы признаем законность операций симметрии, и тог
да теряем однозначность, либо отвергаем их, и тогда декартово
пространство оказывается шестимерным. Или симметрия парал
лелепипеда, или отсутствие симметрии. Но это противоречие -- не
недостаток, а достоинство метода, именно оно делает систему столь
универсальной и жизнестойкой. «Внутри» декартова скрывают
ся весьма различные -- по симметрии и размерности -- простран
ства*. Рассмотрим некоторые варианты координатных систем,
которые можно объединить в группу «трехосевых ортогональных»
(порядковый номер соответствует номеру фигуры на рис. 2).
1. Пространство трехосное одномерное. Тре
хосевой ортогональный базис этого простран
ства на первый взгляд напоминает привычный
«трехмерный». Но между ними существует
принципиальное различие. Дело в том, что это
пространство одномерно. Пространство вы
рождено до «скелета», состоящего из трех со
вершенно одинаковых координатных осей,
каждая из которых -- ось x. В нем можно опи
сать только три линии -- биссектрисы объемных углов, которые пе
ресекаются в центре координат и отвечают «уравнению» x=x=x.
Пересекающиеся линии образуют в пространстве некое подобие
противотанкового ежа. Между ними -- ничто, полная пустота. Это
пространство обладает тем же набором элементов симметрии, что
и куб (вдоль каждой из осей проходит ось четвертого порядка и
* Здесь, помимо традиционного «кристаллографического», мы касаемся другого,
более общего понимания симметрии, «симметрии как состояния пространства»
(П.Кюри), как фундаментального структурообразующего принципа. В этом мы
можем опереться на работы П.Кюри, Вернадского (Вернадский В.И. Философские
мысли натуралиста. М., 1988), Урманцева (Урманцев Ю.А. Симметрия в природе
и природа симметрии. М., 1974), Желудева (Желудев И.С. Физика кристаллов и
симметрия. М., 1987) и др.
ТРЕХМЕРНО ЛИ ТРЕХМЕРНОЕ ДЕКАРТОВО
ПРОСТРАНСТВО, ИЛИ О РАЗЛИЧИИ «+» И «--»

34
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
т.д.)*, но ни куб, ни другое объемное или плос
кое тело не могут быть описаны.
2. Пространство двумерное. От группы сим
метрии куба сохраняется только одна ось чет
вертого порядка (совпадает с осью z), 4 оси вто
рого порядка (оси x), 5 плоскостей и центр
симметрии. Появляется двумерный объект --
плоскость, заданная парой независимых пара
метров (x и z).
3. «Псевдотрехмерное» пространство. Опи
сывается параметрами x,z,--z. От предыдущего
отличается отсутствием элементов симметрии,
уравнивающих «верх» и «низ». Полная размер
ность здесь и в большинстве остальных случаев
не совпадает с секториальной. Это значит, что
для задания точки в том или ином секторе и для описания всего
пространства используется различное число параметров. Во всех
таких случаях здесь и далее размерность обозначается в виде дро
би, в числителе которой записана секториальная, в знаменателе --
полная размерность системы. Именно отсутствие третьего незави
симого параметра внутри сектора и делает невозможным описание
объемных (трехмерных) тел.
4. Пространство трехмерное. Описывается параметрами x, y,
z, имеет элементы симметрии кирпича, размерность 3/3, восемь
объемных, трехмерных и тождественных секторов -- октантов.
5. Пространство «четырехмерное». Описывается параметрами
x, y, z, --z, обладает симметрией прямоугольного стола, размерно
стью 3/4, восьмью объемными октантами, объединенными по че
тыре в две антисимметричные группы.
6,7. Два варианта четырехмерных пространств с элементами
энантиоморфизма. К трем параметрам (x, y, z) добавляется четвер
тый -- знак энантиоморфизма, позволяющий различать «левые» и
«правые» октанты. По сравнению с трехмерным пространством
исчезают либо две оси и одна плоскость симметрии, либо сохраня
ются все оси и плоскости, но исчезает центр. Первое по набору эле
* Обозначения элементов симметрии, показанных на рис. 2, соответствуют приня
тым в кристаллографии: L2, L3, L4 -- оси симметрии второго, третьего и четверто
го порядков, P -- плоскость, C -- центр симметрии.

35
ментов симметрии подобно прозрачной игральной карте, второе
подобно двум картам, соединенным друг с другом рубашками.
8. Пятимерное пространство с параметрами x, y, z, --x, --z. В этом
пространстве имеется только один элемент симметрии -- плос
кость, отождествляющая парные октанты, например, «левые» и
«правые».
9. Шестимерное пространство. К пяти параметрам добавляет
ся знак энантиоморфизма, позволяющий различить «левые» и
«правые» сектора. Их симметрия теперь имеет ограниченный ха
рактер и не может уже рассматриваться как «отождествление».
Примерно так (только много более сложным и интересным обра
зом) соотносятся левое и правое в нас: внешняя («телесная») зер
кальная симметрия сочетается с внутренней асимметрией в рас
положении многих органов и с «функциональной антисим метрией»
полушарий мозга.
10. Декартово пространство. Секториальная размерность это
го пространства всегда равна трем, полная изменяется от трех до
шести -- в зависимости от того, в каком аспекте рассматриваются
и используются противоположные числовые лучи. Используют
ся они либо как тождественно симметричные («х» в уравнении
сферы -- это и «+х» и одновременно «--х»), либо как различные и
различимые с помощью знаков.
Итак, мы видим, что трехмерность «трехмерно ортогонально
го» пространства -- сугубо частный случай его состояния, один из
многих вариантов симметрии и размерности. Но к чему, собствен
но, все эти варианты? Если окружающее пространство однородно,
изотропно и симметрично, то не подходит ли для его описания наи
лучшим образом именно четвертый, «истинно трехмерный» ва
риант, и не показывает ли это нам, что трехмерность является
собственным свойством реального пространства? Но если действи
тельно так, если мы действительно имеем дело с пространством
сферически симметричным, то нечего и «огород городить», дос
таточно одного единственного параметра -- пространство одномер
но. Но в том то и дело, что в подавляющем числе случаев реаль
ное пространство не изотропно и не обладает симметрией
сферы. Геометрическое, eвклидово, идеальное, математическое,
ньютоново, абстрактное. . . может быть. Реальное -- никогда. Наше
пространство имеет «верх» и «низ», и они не могут быть совмеще
ТРЕХМЕРНО ЛИ ТРЕХМЕРНОЕ ДЕКАРТОВО
ПРОСТРАНСТВО, ИЛИ О РАЗЛИЧИИ «+» И «--»

Ðèñ. 2. Íåêîòîðûå âàðèàíòû ñèììåòðèè è ðàçìåðíîñòè òðåõîñå-
âîé ïðÿìîóãîëüíîé êîîðäèíàòíîé ñèñòåìû
* Çíàê ýíàíòèîìîðôèçìà.

37
ны операцией симметрии -- как не можем мы падать вверх или
ходить на головах. Уже поэтому из всех рассмотренных вариан
тов наиболее адекватной моделью оказывается пространство не
трех , а четырехмерное (x, y, z, --z). В общем же случае простран
ство имеет и другие выделенные сектора и направления, для опи
сания которых может потребоваться различение всех шести па
раметров. «Верх и низ и прочие из шести направлений суть
части и виды места. Они таковы не только в отношении нас. . .
верх находится не где придется, а куда устремляется огонь и
легкое»31. Впрочем, здесь мы несколько забежали вперед. Мы еще
вернемся к «вопросу о пространстве», а теперь попытаемся отчас
ти прояснить вопрос о размерности тел.
ТРЕХМЕРНО ЛИ ТРЕХМЕРНОЕ ДЕКАРТОВО
ПРОСТРАНСТВО, ИЛИ О РАЗЛИЧИИ «+» И «--»

38
Нет банальнее утверждения, что все реальные тела трехмерны,
что все они имеют «длину», «ширину» и «высоту». По сути дела,
эта трехмерность изначально входит в само определение тела: те
лесность = трехмерность = объемность. Что же, «что положишь,
то и возьмешь»; можно договориться так, а можно и по другому. . .
Но нет: наука настаивает на трехмерности реальных тел. Точ
нее говоря, даже и не настаивает, считая эту истину слишком три
виальной. Но мы уже как будто имели возможность убедиться в
том, что и тривиальные истины могут оказаться ложными.
Итак, столь ли очевидна трехмерность тел? Если мы говорим о
человеке, о шифоньере, о доме -- тогда все просто. Однозначно ясно,
где здесь длина, ширина и высота. Есть, правда, некоторые «раз
ночтения» в наименованиях, но назовем ли мы «длину» человека
«толщиной» или скажем про высокого -- «длинный», суть дела от
этого не изменится -- измерений три.
Но если мы рассматриваем предмет цилиндрической или ко
нусообразной формы, то при его описании мы ограничиваемся уже
только двумя измерениями (высота (длина) и толщина (ширина)).
Если же перед нами куб или шар, то нам достаточно одного изме
рения («длина стороны» или «диаметр»). Безусловно, шар может
Глава 7.
Формы трехмерные и иные, или
об адекватности геометрической модели
А что если наоборот, как раз тогда, когда суж
дения имеют за собой общее признание, когда они
становятся понятными, доступными, самооче
видными и потому непререкаемыми, тогда имен
но они и становятся пошлыми, жалкими, бедны
ми и нужными только для статистики?..
Лев Шестов32

39
быть описан и с помощью трех параметров, но не есть ли два из
них «сущности сверх необходимости»?
А если мы говорим о дереве (пусть это будет, к примеру, ива)?
Мы видим множество длин, множество ветвящихся линий. Мы
можем, конечно, наметить верхнюю точку кроны, назвать какую
то протяженность «длиной», какую то «шириной». . . Но первый
же порыв ветра покажет всю условность и приблизительность
нашего «геометризирования». Мы можем сделать тогда серию
моментальных фотографий и с их помощью определить по три
столь необходимых нам параметра для каждого момента време
ни. Пусть так. Но не ограничиваемся ли мы при этом чисто внеш
ней, сиюминутной и поверхностной характеристикой? Характе
ристикой, которая не учитывает такие действительно важные
особенности дерева, как количество стволов и ветвей, характер и
порядок ветвления?
Что если использовать не три, а n параметров? Считать, что
размерность дерева -- характеристика локальная, которая зави
сит от структуры дерева в этом именно месте? Вполне возможно,
что такое понимание размерности может показаться непривыч
ным и неудобным. Но если уж говорить об удобстве, то тогда луч
ше представить иву как однопараметрическую полусферу, а ки
парис -- как двухпараметрический конус. Но важнее другое: либо
мы заботимся о собственном удобстве, либо хотим понять и
отобразить собственные свойства объекта.
И если мы, занимаясь наукой и следуя ее принципам, выбира
ем второе, то тогда неизбежно должны признать, что проблема
определения размерности тела есть, в конечном итоге, проблема
выбора наиболее адекватной ему геометрической модели той
или иной размерности. Именно модель к объекту должна быть
подобрана и подогнана, но не наоборот. Если мы хотим понять
вещь такой, какая она есть, если мы не удовлетворены «кажимо
стью», которую дает нам внешний, поверхностный взгляд, если
мы изучаем собственные объекта размерность и структуру, мы
неизбежно должны «войти» в объект, приспособив свою систему
координат к его собственной системе, структуру геометрического
пространства -- к его собственной геометрии. Этой собственной
геометрии может и не быть, предмет исследования может оказать
ся бесструктурным. В таких, достаточно редких, случаях мы,
ФОРМЫ ТРЕХМЕРНЫЕ И ИНЫЕ, ИЛИ
ОБ АДЕКВАТНОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

40
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
может быть, и вправе «лепить» из него все, что нам угодно, во всех
других -- «лепке» должны подвергнуться наша модель и сама наша
геометрия. Если признать эту истину, то следует признать и дру
гую: структура декартова пространства, особенно в ее трехмерно
симметричном варианте, адекватна только некоторым природным
объектам. Это минералы прямоугольных (т.е. кубической и тет
рагональной) сингоний, это тела, имеющие форму параллелепи
педа, октаэдра и куба, это бруски и кирпичи.
«Область адекватности» может быть значительно расширена,
если закрыть глаза на «косоугольность» объекта (или допустить
возможность «косоугольности» нашего координатного простран
ства). Тогда в него «впишутся», например, кристаллы полевого
шпата и сахара. Но не обычные, реальные, «эти вот» кристаллы,
которые в подавляющем большинстве случаев имеют внешние и
внутренние дефекты, нарушающие симметрию и структуру, а
лишь некоторые, редчайшие, идеально чистые и идеально огра
ненные экземпляры.
Но мы следуем по пути абстракций и обобщений дальше. Мы
домысливаем и «доделываем» то, что не вышло у природы, мы
«восстанавливаем» утраченную или неразвившуюся симметрию.
И вот уже все кристаллики сахара в мешке и все полевые шпаты в
земной коре (а их там более половины объема) симметричны и,
следовательно, трехмерны.
Но как быть со всеми другими минералами, с теми же сне
жинками с их явно выраженной восьми (или шести , если счи
тать лучи только главной плоскости) лучевой симметрией? Для
их описания в кристаллографии и физике давно уже использу
ется специальная система координат, представляющая собой
плоскую 6 лучевую 60 градусную, проткнутую посередине пер
пендикулярной к ней осью шестого порядка. Но и это не пробле
ма для адептов классического трехмерия. Во первых, и эта сис
тема «разрезает» пространство на трехмерные фигуры -- призмы.
Во вторых, и эту систему координат мы можем свести с помо
щью тригонометрических преобразований к обычной трехлуче
вой ортогональной.
Не проблема для нас, вооруженных теоремой Пифагора, и опи
сание округлых тел. Мы с легкостью протыкаем шары тремя ко
ординатными осями. Мы уравниваем сферическую симметрию и

41
симметрию октаэдра, мы полагаем «вписанными» в линейное про
странство криволинейные фигуры, мы считаем тождественными
радиально лучистую и ортогональную структуры.
Нашей геометрии не помеха и собственная наша, невооружен
ным глазом видимая, анизотропия. Одно незаметное движение --
и мы меняем местами «+» и «--», «верх» и «низ», «правое» и «ле
вое», «вперед» и «назад». Так фокусник «перекидывает» шарик
из одной руки в другую, а руки акробата вдруг оказываются его
ногами. Так становятся «трехмерными» и деревья, и люди, и все
другие участвующие в гравитационном взаимодействии тела, для
которых на самом деле «верх» и «низ» -- это совсем не одно и то
же. Так «уравниваются» «перед» и «зад» у автомобилей и живот
ных. Да хоть дикобразы и осьминоги, амебы и кактусы -- все мо
жет быть спроецировано на три координатные плоскости, все мо
жет быть разложено на бесконечно малые кубики, из которых (не
нам, конечно, но всесильному математику) несложно составить и
куб, и октаэдр, и кирпич.
Воистину, мы творим чудеса. Мы способны встать на головы и
повернуть вспять движение Земли -- только бы сохранить симмет
рию, способны раздробить мир на мельчайшие осколки -- только
бы не усомниться в его трехмерности! Ничто, кажется, не способ
но противостоять абстрагирующей мощи нашего рассудка, ничто
не устоит перед «вписыванием» в прокрустово ложе трехмерного
пространства.
Вот только, может быть, энантиоморфы? Те самые -- подобные
и одновременно иные формы, существование которых мы вместе
с Кантом приняли за доказательство трехмерности пространства.
Энантиоморфы -- это тела, принципиально нетождественные сво
им зеркальным отражениям, не совместимые с ними простран
ственным переносом. К таковым относятся:
-- все тела, имеющие в своем строении не менее трех полярных
направлений;
-- имеющие не менее двух «скручивающих», противоположно
направленных вращений (так заворачивается фантик конфеты);
-- все тела, чье поступательное движение или полярность (на
правленность) строения по одной оси сочетается с вращением вок
руг нее (пропеллеры и буравчики);
-- все тела, имеющие винтовые оси симметрии.
ФОРМЫ ТРЕХМЕРНЫЕ И ИНЫЕ, ИЛИ
ОБ АДЕКВАТНОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

42
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
Энантиоморфы -- это правый или левый кристалл кварца, пра
вая или левая ветка дерева, это наши конечности и то, что мы на
них надеваем. . . Это цветы и деревья, «вкручивающиеся» в про
странство и «буравящие» землю. И это, наконец, сама декартова
система координат.
Факт известный и вопросов, как правило, не вызывающий.
А ведь ситуация парадоксальная. Казалось бы, достаточно снять
по три координаты каждой точки описываемого объекта, чтобы
потом построить его точную геометрическую модель. Но в случае
с энантиоморфами необходимо выполнение еще одного условия:
описание точек и их построение должны вестись в одной и той
же, либо правой, либо левой системе координат. В противном слу
чае мы или перепутаем зеркальных «братьев», или, описав одно
го из них, получим обоих. Мы либо имеем два вложенных одно в
другое трехмерных координатных пространства, либо -- одно, но
четырехмерное, в котором к трем привычным параметрам добав
ляется четвертый -- знак энантиоморфизма.
Последний шанс свести пространство к трехмерию -- это при
менить операцию зеркальной симметрии. Энантиоморфы несов
местимы пространственным переносом. Они и их пространства со
вместимы зеркальным отражением. На каждую левую руку всегда
найдется правая, на каждый левый кристалл кварца -- правый
кристалл (последнее было подтверждено в начале двадцатого века
прямыми подсчетами). Это как будто дает возможность привести
«энантиоморфное четырехмерие» к «четырехмерию обычного
вида» (x, y, z, --y), которое мы уже умеем делать трехмерным. Ле
вая и правая руки попадают тогда в соседние зеркально симмет
ричные октанты (x, y, z и x, --y, z), отождествляемые привычной
операцией антисимметрии: «+ = --». Допустим, что «фокус удал
ся», что зеркальная симметрия -- это то же самое, что простран
ственный перенос, что «y» и «--y», левая и правая руки -- вещи
симметричные, а потому тождественные.
Но наряду с парными существуют и «непарные энантиомор
фы», вообще не имеющие в этом мире зеркальных «братьев». Что
бы увидеть их, опять же не надо далеко ходить, достаточно толь
ко выглянуть в окно или выйти на улицу. Нас обступят тогда
«правосторонние» люди, мы станем участниками правостороннего
движения, может быть, сядем в леворулевую машину. . . Кстати,

43
ФОРМЫ ТРЕХМЕРНЫЕ И ИНЫЕ, ИЛИ
ОБ АДЕКВАТНОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Ðèñ. 3. Ýíàíòèîìîðôû
Ïàðíûå: êðèñòàëëû êâàðöà, áîòèíêè, êèñòè ðóê, âåòêè òîïîëÿ.
Íåïàðíûå ëåâûå: òàéôóí, Çåìëÿ.
Íåïàðíûå ïðàâûå: áóòûëêà, æóðíàë, ìîëåêóëà ÄÍÊ, öèôðû, áóêâû, íàäïèñè.

44
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
с появлением в нашем «леворулевом» (западном) пространстве
«праворулевых» (восточных) машин началась столь характерная
для природы война за обладание пространством -- одна из важней
ших разновидностей борьбы за существование, за благоприятное
для особи «нарушение симметрии».
Можно вспомнить еще о строго правовинтовой молекуле ДНК.
О Земле, «нанизанной» на ось магнитного поля (силовые линии
выходят из южного полюса и входят в северный) и вращающейся
при этом в определенную (левую) сторону. О людях, чьи сердца
всегда бьются слева. Наконец, достаточно просто поднять голову
и оглядеться. Энантиоморфно едва ли не всё, что сейчас находит
ся перед Вами. Вот эта страница имеет как минимум три поляр
ных направления, вентилятор -- это сочетание истинного (повер
нут в Вашу сторону) и аксиального (вращается по часовой стрелке)
векторов, окно имеет верх и низ, правую и левую, переднюю и зад
нюю стороны. . . Только, пожалуй, Ваш карандаш был бы полнос
тью идентичен своему «энантиоморфному брату», родившемуся
в другом октанте, -- да и то, только в том случае, если не обращать
внимания на надпись на одной из граней.
...Или опустите взгляд и присмотритесь к этим вот словам и
строчкам. Они, как и большинство букв, несимметричны и «не
парноэнантиоморфны».
Как видим, большинство окружающих нас предметов -- это «не
парные энантиоморфы», требующие для своего описания: одни --
трехмерной правой, другие -- трехмерной левой, а все вместе --
четырехмерной координатной системы. Энантиоморфы и де
картова система с ними кричат о нетрехмерности пространства!
А мы с Кантом слышим прямо противоположное -- хор во славу
трехмерия. . .

45
А стоило ли вообще пускаться в эту долгую и многотрудную
дорогу? Зачем все эти манипуляции со знаками, тригонометри
ческие пересчеты и квадратичные разложения? Не проще ли было
нам подобрать в каждом конкретном случае какую либо свою,
отвечающую структуре изучаемого объекта, координатную сис
тему с определенным, не фиксированным заранее числом и взаи
морасположением координатных лучей? Что двигало нами в
стремлении непременно вписать все структуры и формы именно
в эту вот систему координат? Ведь не одно лишь упорное нежела
ние замечать своеобразие окружающих нас вещей? Иначе говоря:
каковы критерии выбора той или иной координатной системы,
каковы критерии истинности наших определений параметриче
ской размерности?
Универсальность. Понятно наше желание иметь на все случаи
жизни одну единственную геометрическую схему. Но если нам
даже при всем желании не удается «унифицировать» простран
ство, и мы нет нет, да и прибегнем к помощи не декартовых сис
тем, то почему так же не может поступать и природа? Может быть,
универсальность касается только самого принципа обладания
Глава 8.
Одна из многих, или
тест на оптимальность
«...поиски прекрасного приводят нас к тому же
выбору, что и поиски полезного; и совершенно
таким же образом экономия мысли и экономия
труда, к которым, по мнению Маха, сводятся
все устремления науки, являются источника
ми как красоты, так и практической пользы».
Анри Пуанкаре. «Наука и Метод» 33

46
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
структурой и размерностью, но не точных числовых значений?
Может быть, если уж и стоит говорить о единой геометрической
системе, то нужно понимать ее как систему достаточно гибкую,
обладающую переменной размерностью, структурой, кривизной. . .
Необходимость. Декартово трехмерие славится минимальным
числом параметров для задания всех и каждой точек простран
ства. Но в нем, как мы видели, используются и 3 (в отдельном сек
торе октанте), и 6 (пространство в целом) параметров. Какое из
этих двух чисел считается минимально необходимым? Если мы
говорим о секториальной размерности, то в многолучевой сис
теме координат (рис. 4.2) она равна всего лишь единице, в спи
рально проективной системе (рис. 4.3) -- двум, и трем -- в великом
множестве n лучевых систем, имеющих трехмерные сектора. Если
мы минимизируем общее число параметров, то в сферической
системе (рис. 4.1) их всего 1, в спирально проективной -- 3, в «тет
раэдрической»-- 4. Может быть, мы заинтересованы в уменьшении
числа секторов? Но тогда даже 4/8 мерная, 6 секториальная «ку
бическая» система (рис. 4.6) имеет преимущества перед декарто
вой, не говоря уже о четырехсекториальной «тетраэдрической».
Современные так называемые «цифровые» технологии позво
ляют перевести «в цифру» любую информацию, в том числе и
объемные изображения. Фактически это происходит посредством
бинарной кодировки информации, через ее представление в виде
линейной последовательности импульсов. И это касается не толь
ко современных технологий. Природа «изобрела» бинарные коды
сотни миллионов лет назад. Именно в линейные последователь
ности импульсов трансформируются в нервной системе любые
внешние раздражения. Можно ли считать, что все, что представ
лено в одномерном виде и на самом деле одномерно? Или все таки
объект сам по себе, а его представление -- само по себе?
Достаточность. Три понимается как максимально возможное
число независимых параметров, описывающих все и каждую точ
ки описываемого объекта. Но, во первых, мы уже видели, что в
общем случае это не 3, а 6. Во вторых, достаточной в полном смыс
ле слова декартова система координат могла считаться только
тогда, когда все происходящее объясняли через движение мно
жества неделимых и тождественных упругих шариков. Тогда то
действительно казалось, что для описания всего и вся достаточно

Ðèñ. 4. Ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü íåêîòîðûõ êîîðäèíàòíûõ
ñèñòåì
* Ïîêàçàòåëü ñòåïåíè n ðàññ÷èòàí ïî ôîðìóëå: n=ln2/ln(2cos α)/2, ãäå α ---
óãîë ìåæäó ëó÷àìè.

48
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
указать их положение на каждый момент времени. Но с тех пор
многое изменилось. Теперь физик «навешивает» на эти «трехмер
ные точки» великое множество дополнительных параметров, ха
рактеризующих температуру и плотность, «спин» и «цветность»,
напряженность электрического и магнитного, сильного и слабо
го полей. . . Достаточными оказываются уже не трех и не четы
рехмерные, а семи , одиннадцати и даже двадцатипятимерные ко
ординатные системы. . . В третьих, трех параметров оказывается
недостаточно даже для описания чисто механической системы --
тех же «упругих шариков», -- уже потому, что они могут выле
теть за пределы одного сектора. Но главное другое: как только
шарики начинают двигаться, у нас появляется необходимость
использования векторных величин (скорость, импульс, сила. . .)
и знаков «+» и «--». По сути дела, описывая ту или иную динами
ческую систему, расположенную в одном секторе координатной
(точнее -- координатно векторной) системы, мы используем все
шесть координатных осей, все шесть единичных векторов.
Достаточность декартовой системы -- это достаточность при по
строении статичного геометрического образа. (Но опять таки:
в ней для этого используется в общем случае 6 параметров, в тетра
эдрической -- 4, в спирально проективной системе -- только 3.)
Адекватность. Какую модель можно считать адекватно отобра
жающей объект? Если мы рассматриваем чисто геометрическую
модель и при этом полагаем нашу геометрию единственной, не
погрешимой и общеобязательной, то ответ ясен: адекватна та мо
дель, которая построена в соответствии с правилами нашей гео
метрии. А если «дать слово» самому объекту? Не «вписывать» его
в заранее готовую систему, а подбирать ее с учетом его собствен
ной формы и (или) структуры? Найти такую «собственную» сис
тему координат, в которой объект был бы описан наиболее про
стым и естественным образом. Тогда «всеобщая адекватность»
3/6 мерных геометрических моделей оказывается далеко не
очевидной. В случае с кубами, кирпичами, октаэдрами, письмен
ными столами, регулярными трехмерными атомными решетка
ми. . . да, декартова система может быть признана адекватной
(хотя и не одна она). Ортогональность осей позволяет отобразить
многие и многие ортогонально трех и шестимерные тела, создать
«скелет» чертежа корабля и самолета, гаража и пятиэтажки. Во

49
многих других случаях адекватными следует признать совсем дру
гие системы. Пятилучевым формам морской звезды и цветка огур
ца гораздо более, нежели декартова, соответствует пятилучевая
система, ромбододекаэдру -- система 4/14 мерная. . .
Удобство. Система описания, система координат удобна тогда,
когда она адекватно отражает геометрические (пространственные)
свойства объекта, когда она ему со структурна и со размерна.
Именно тогда сводятся к минимуму сложности с «проектирова
нием», «преобразованием», «вписанием». С другой стороны, хо
рошо, если система привычна и со структурна субъекту, т.е. нам
с Вами, и соответствует нашим способам восприятия и осмысле
ния окружающего. В этом случае минимизируются трудности,
связанные с переходом к непривычной системе координат. Мы
уже видели ранее, что реальным объектам могут быть адекватны
самые разные параметрические системы. А какая система наибо
лее близка человеку? Понятно, что если он свято верит Декарту и
не в состоянии ни на миг усомниться в «аксиоме трехмерности»,
то ответ однозначен -- это декартова система координат. Но она
вряд ли сумела бы прижиться и стать главной и почти единствен
ной, если бы к этому не было внутренних, психологических и фи
зиологических предпосылок. Мы здесь ограничимся только не
которыми замечаниями на сей счет, отчасти сославшись при этом
на работы Пуанкаре.
Отметим, во первых, единство восприятия. Человек един и
неделим и воспринимает окружающее как целое. Целостность
восприятия дает возможность выделить главное, т.е. то, на что
надо реагировать в первую очередь. В этом можно видеть источ
ник стремления к единой и единственной геометрической системе.
Отметим, во вторых, непрерывность восприятия. Ощущения
наши по преимуществу последовательны и связны, важнейший
орган чувств -- зрение -- имеет дело с практически непрерывным
световым «потоком». Здесь -- первопричина «континуализации»
пространства*.
* Да, причина континуализации именно здесь. Но! Световой поток действитель
но «практически непрерывен», а вот восприятие... Оно связно и последователь
но только в осознаваемой части, да и то не всегда. --- Н.М. Не станем спорить --
похоже, что наш мир действительно становился трехмерным по мере того, как
«сознательное» брало верх над «бессознательным»...
ОДНА ИЗ МНОГИХ, ИЛИ ТЕСТ НА ОПТИМАЛЬНОСТЬ

50
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
Отметим, в третьих, «трехвекторность» восприятия. Из
всех «чувств» и соответствующих каналов получения информа
ции можно выделить два основных -- зрительный (световой) и гра
витационный. Чувство силы тяжести задает один, вертикально
вниз направленный, вектор, бинокулярное зрение определяет еще
два. К тому же угол бинокулярного (объемного, телесного) зре
ния (около 80° по вертикали и 120° по горизонтали) оказывается
достаточно близок к прямому. Так мы получаем готовый прооб
раз прямоугольного координатного базиса с его вертикальным и
двумя горизонтальными лучами.
Отметим, в четвертых, быстроту мышления человека, позво
ляющую ему считать окружающее статичным и неизменным, точ
нее говоря -- выделять в окружающем инвариантную основу, фон,
«евклидово пространство». . .
Ко всему этому следует добавить очевидную ортогональную
трехосность строения человеческого тела, как, впрочем, и тел
многих других млекопитающих, рыб, птиц и насекомых. Такая
форма соответствует самым существенным особенностям жизне
деятельности человека и среды его обитания. Вертикальная ось
есть следствие постоянного противодействия организма действию
силы тяжести, ось «перед--зад» связана со способностью к направ
ленному движению, а взаимоперпендикулярное расположение
осей и зеркальная симметрия тела наиболее рациональны и свя
заны с поддержанием равновесия при движении в поле действия
силы тяжести.
Очевидно, что речь идет о конкретных животных, живущих в
конкретном воздушном пространстве у поверхности Земли, а не
в абстрактном «трехмерном пространстве». Организмы, суще
ствующие в других условиях, имеют другие формы. Так скелеты
радиолярий, мельчайших организмов, населяющих приповерх
ностный слой морской воды, могут вовсе не иметь выраженных
осей либо эти оси могут быть расположены самым неожиданным
образом. (Скелеты двух радиолярий можно видеть на рисунке,
взятом из книги «Жизнь животных»34, один из них явно пароди
рует декартову систему координат.) Радиолярии настолько лег
ки, что сила тяжести на них практически не влияет -- отсюда не
обязательность вертикальной оси, перемещаются они весьма
медленно -- отсюда отсутствие оси продольной.

51
Растения, кораллы, губки и другие «прикрепленные» организ
мы, как правило, не имеют продольной оси -- «оси движения».
Большинство микроскопических и подвижных жгутиконосцев
имеют симметричное веретенообразное тело, вытянутое по направ
лению движения и т. д.
Возвращаясь в «реальное трехмерие», вспомним еще об орто
гональной трехосности строения жилищ, одежды, средств пере
движения... Их симметрия, с одной стороны, повторяет симмет
рию наших тел, с другой -- они, как и мы сами, со структурны
среде обитания. Геометрия изначально имела дело с предмета
ми, изготовленными или обработанными самим человеком, либо
с соразмерными человеку объектами из его окружения. Ничего
удивительного в том, что их формы нередко оказывались подоб
ны человеческому телу -- ведь на них действовала та же гравита
ция и дул тот же ветер, и они должны были быть устойчивы и
лаконичны...
Как утверждает Евдем Родосский, геометрия обязана своим
рождением потребностям египетских земледельцев. Но это каса
ется скорее планиметрии -- геометрии на плоскости, имеющей
дело с «двумеризацией» пространства -- выравниванием (или, как
говорят, «планированием») земельных участков.
ОДНА ИЗ МНОГИХ, ИЛИ ТЕСТ НА ОПТИМАЛЬНОСТЬ
Ðèñ. 5. Ñêåëåòû ðàäèîëÿðèé

52
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
Архитектура и строительство -- сферы деятельности человека
не менее древние, чем земледелие -- напротив, изначально имели
дело с организацией объемов. И здесь тенденция к «трехмериза
ции пространства» проявилась с самого начала. Кромлехи (вклю
чая знаменитый Стоунхендж) и дольмены состоят из вертикаль
но стоящих камней -- «стоек» и камней, горизонтально уложенных
на них сверху, -- «перекрытий». В Шумере и Древнем Египте эта
«вертикально ортогональная» система была дополнена «ортого
нальностью по горизонтали» (квадратные и прямоугольные в пла
не зиккураты, пирамиды и храмы) и в этом законченном виде
сохранилась вплоть до наших дней*. Особенно отчетливо «трехмер
ная архитектура» проявлялась тогда, когда строителям недоста
вало времени, средств и/или воображения. Она может показать
ся воплощением конструктивизма, т.е. простоты, дешевизны и
эффективности. На самом деле это не так -- в конкретной ситуа
ции наиболее эффективным решением могут быть и цилиндры
(башни), и сферы (купола), и спирали (лестницы). . . И если сей
час, как и сотни лет назад, архитектор хочет создать здание выда
ющееся или хотя бы выделяющееся, один из самых надежных
рецептов -- минимальное использование прямоугольных конструк
ций и планов.
Добавим сюда и великое множество магических и вполне обы
денных свойств числа Три. Это и минимально возможное число
ножек у табуретки, и Троица, и размерность вальса, и «три ис
точника и три составные части», и одно из трех оснований «архи
тектуры математики»**.. . Таких примеров можно привести, на
верное, больше, чем с числами Четыре, Семь или даже Пять, хотя,
по видимому, и меньше, чем с числами Один и Два. На взгляд ав
тора, пристрастие Природы к Трем ничем особо не отличается от
пристрастия ко всем другим простым и малым числам, что мож
* «Нижний заупокойный храм при пирамиде Хефрена --- первое из дошедших до
нас сооружений, где в законченном виде была применена стоечно балочная систе
ма. Логичная и предельно простая, она нашла широчайшее применение во всей
мировой архитектуре, вплоть до нашей современности». Очерки истории архи
тектурных стилей. Бартенев И.А., Батажкова В.Н. М., 1983. С. 14.
** «То отношение, которое фигурирует в групповых структурах, называют "зако
ном композиции"; это такое отношение между тремя элементами, которое одно
значно определяет третий элемент как функцию двух первых». Бурбаки Н. Очер
ки по истории математики. М., 1962.

53
но трактовать как проявление Принципа Лаконизма и совсем не
обязательно связывать с трехмерностью пространства.
Итак, ни один «критерий истинности» не выделяет нашу сис
тему в качестве единственной и неповторимой. Скорее всего, здесь
работает весь комплекс. Трехмерная координатная система --
это одна из систем, использующих небольшое число парамет
ров, достаточная для «аналитико геометрического» описа
ния тел, адекватная строению многих окружающих объектов,
система, психологически, физиологически и исторически обус
ловленная.
Ко всему прочему, если не брать слишком неопределенную
сферически симметричную и слишком громоздкую многолучевую
системы, именно декартова система координат обладает одним
уникальным преимуществом: она описывает сферу уравнением с
целочисленным показателем степени.
Если уж необходимо было выбрать одну какую то систему в
качестве универсальной, то выбор был сделан правильный. Имен
но эта система является самой удобной. Но еще удобнее использо
вать не одну, а несколько систем различных структур и размер
ностей. Что мы практически и делаем -- и когда рисуем с помощью
циркуля круг, и когда описываем гексагональные кристаллы в
гексагональной системе координат. . .
Значит ли все вышесказанное, что декартова система врожден
но неизбежна, что человек и человечество никогда не научатся
представлять себе реальность иначе как помещенной в трехмер
ное пространство? Нет, не значит. Мы наделены мыслью, способ
ной «разорвать круг», увидеть конкретную историческую обу
словленность и нашего аппарата восприятия, и нашего тела.
Способной вернуться к началу -- к аморфным, многолучевым, шаро
и спиралеобразным организмам и проследить от них иные пути
эволюции, приведшие к появлению пятилучевых морских звезд
и n лучевых деревьев. Мы можем, взглянув на себя со стороны, уви
деть собственную ограниченность -- а значит, можем ее преодолеть.
Есть к этому и другие, внерассудочные, предпосылки. Так, в
строении тела, помимо декартовых, явно присутствуют и другие
типы структур и симметрий, например, элементы симметрий сфе
рических, шести и пятилучевых. Помимо зрения и «чувства гра
витации» нам даны и другие чувства, способные сделать (и дела
ОДНА ИЗ МНОГИХ, ИЛИ ТЕСТ НА ОПТИМАЛЬНОСТЬ

54
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
Ðèñ. 6. Òðåõìåðíûå è äðóãèå àðõèòåêòóðíûå ôîðìû
1) Æèëàÿ çàñòðîéêà â ã. Àëìà-Àòå; 80-å ãîäû XX âåêà; 2) Íîâãîðîäñêèé
êðåìëü. XII âåê; 3) Íèæíèé çàóïîêîéíûé õðàì ïðè ïèðàìèäå Õåôðåíà;
IV äèíàñòèÿ. XXVII âåê äî í.ý; ñîâðåìåííîå ñîñòîÿíèå; 4) Öåðêîâü Ñâÿ-
òîé Åêàòåðèíû â ã. Êèíãèñåïïå (ßìáóðã), àðõ. Àíòîíèî Ðèíàëüäè. 1782 ã.;
5) Õðàì Êðèøíû â Ïàòàíå (ã. Êàòìàíäó), ñåð. XVI âåêà.
2
1
4
5
3

55
ющие) наше восприятие, наш мир реально многомерным и «мно
гопространственным».
Итак: восприятие и моделирование окружающего «по Декар
ту» -- это, может быть, и лучший, может быть, и главный для нас
способ восприятия и моделирования, но, к счастью, не единствен
ный. Параметрическая трехмерность структур и форм, может
быть, и нередкий в природе случай, но, слава Богу, есть и другие
формы и структуры.
Так то оно так, но существуют еще векторное и топологичес
кое определения размерности. И если они вполне однозначно ука
зывают на трехмерность того же реального (евклидова) простран
ства, то возникает явное противоречие с нашим выводом о его
безразмерности. Это противоречие мы рассмотрим далее, но пе
ред тем мы еще раз должны вернуться к «вопросу о пространстве»,
но уже не геометрическом, а реальном.
ОДНА ИЗ МНОГИХ, ИЛИ ТЕСТ НА ОПТИМАЛЬНОСТЬ

56
Глава 9.
Поле пространство, или поле в пространстве?
С таким абсолютным пространством --- про
странством древней геометрии трех измере
ний --- пустым, однородным, изотропным --- ис
следователь природы реально не встречается.
Может идти речь только о небольших относи
тельно участках, где к такому состоянию фи
зическое пространство приближается, но и то
по мере уточнения научной методики давно
стало ясно, что такие части пространства
неизменно уменьшаются в размерах и сходят
на нет.
В.И. Вернадский
...даже при наибольшем своем приближении к
пространству Евклида физиологическое про
странство еще немало отличается от него.
Различие правого и левого, переднего и заднего
наивный человек легко преодолевает, но не так
легко преодолевает он различие верха и низа,
вследствие сопротивления, которое оказывает
в этом отношении геотропизм. Эрнст Мах35
Геотропизм (от гео... и греч. tropos -- поворот,
направление) -- способность органов растений
принимать определенное положение под влия
нием земного притяжения.
БСЭ

57
Многие столетия в науке и философии ведется спор между сто
ронниками реляционной и субстанциальной концепций простран
ства. Первые -- и среди них Беркли, Юм, Лейбниц и отчасти сам
Декарт -- утверждают, что пространства -- самого по себе -- нет.
«Пустое пространство. . . место, где нет ничего из того, что, как
мы думаем, должно бы в нем быть»36.
Вторые -- а это и Ньютон, и Локк, и Клиффорд, и Логунов, и
Кант (ранний) -- настаивают на его субстанциальности, «само зна
чимости», наличии у него собственных свойств, и даже на его пер
вичности по отношению к телам. Клиффорд: «. . . вариация кривиз
ны пространства отражает то, что действительно
происходит при явлении, которое мы называем движением ма
терии, эфирной или телесной. В реальном физическом мире не
происходит ничего, кроме этих вариаций, вероятно, удовлетво
ряющих закону непрерывности»37. В этой концепции трехмер
ность «макропространства» оказывается атрибутом уже не толь
ко пространства самого по себе, но и всей физической реальности.
Можно сказать, что две эти концепции стали полюсами, созда
ли поле напряжений, в котором и родились наиболее популярные
«реляционно субстанциальные» идеи -- сначала концепция меха
нического эфира, затем полевая концепция общей теории относи
тельности. Согласно последней, реальное физическое пространство
представляет собой не что иное, как гравитационное поле. Благо
даря Эйнштейну пространство «искривилось», приобрело центры
источники (источники гравитационного поля), стало вокруг них
сферически симметричным. И при этом локально не изменилось!
Юрий Владимиров: «С точки зрения. . . общей теории относитель
ности физическое пространство имеет структуру так называе
мого псевдориманова многообразия, структура которого локаль
но, т.е. в малой окрестности каждой точки, совпадает со
структурой обычного евклидова пространства»38.
Пространство «раскололось», будучи глобально и при скоро
стях, близких к скорости света, искривленным и неотделимым от
времени («четырехмерным»), оно сохранило трехмерность и евк
лидовость на макроуровне. Затем, с созданием современных мно
гомерных и «калибровочных» теорий, пространство раскололось
во второй раз, утратив эти свои качества и на микроуровне, ока
завшись там многомерным и «расслоенным».
ПОЛЕ--ПРОСТРАНСТВО, ИЛИ ПОЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ?

58
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
По мнению автора, и этот «макроостров» трехмерности со
хранился только благодаря субъективной привычке к евкли
дово декартовой геометрии. Благодаря тому, что именно на этом
привычном нам уровне мы более всего изощрились во «вписыва
нии» реальности в геометрическое трехмерие -- настолько, что
перестали замечать все необходимые для этого преобразования и
возникающие при этом нелепости.
Реальное пространство анизотропно, -- поверим на слово Арис
тотелю, -- «. . .верх находится ни где придется, а куда устремля
ется огонь и легкое. . .», низ соответственно находится там, куда
падает тяжелое. Если где либо в мире есть гравитационное поле--
пространство, то с необходимостью есть и его источники, есть гра
диент, верх и низ. . .
Может быть, оно и изотропно для геометра с его неизменными
«твердыми стержнями» и транспортиром. Но не для нас с Вами.
И утверждать обратное -- то же, что приравнивать прогулку по
городу восхождению на Эверест. Может быть, оно, как показал
опыт Майкельсона, изотропно и для почти невесомых, почти не
участвующих в гравитационном взаимодействии световых лучей.
Но ведь не считаем же мы Землю «изотропной и отсутствующей»
на том основании, что она изотропна и прозрачна для нейтрино!
Мы не станем исследовать электрическое поле с помощью гирь или
измерять температуру с помощью барометра. То или иное поле
воздействует на соответствующие тела -- источники такого же
поля, по отношению к ним проявляются все его свойства. Физи
ческая анизотропия гравитационного поля--пространства реаль
на для нас, как и для всех гравитирующих тел.
Кстати говоря, все это «хорошо известно» нашей пространствен
ной интуиции, воспринимающей окружающее не только глазами,
но и «средними ушами», не только в световом, но и в гравитацион
ном измерении. Вертикально стоящий предмет кажется нам длин
нее лежащего предмета «той же самой длины». Интуиция уважает
и учитывает анизотропию реального поля--пространства, его раз
номасштабность по горизонтали и вертикали. Чего нельзя сказать
про абстрагировавшийся от реальности рассудок.
У нас нет ни нужды, ни оснований априорно приписывать гра
витационному полю--пространству параметрическую трехмер
ность. Рассмотрим простой пример. Отрешимся на время от не

59
относящегося к делу электромагнитного поля -- выключим звез
ды или закроем глаза. Единственное выделенное направление тог
да -- это направление «вниз», направление вектора градиента гра
витационного поля Земли. Единственный способ «трехмери
зации» пространства -- это конструирование системы координат,
связанной с собственным «трехмерным» телом наблюдателя, одна
из осей которого совпадает с указанным вектором. Если же мы
отрешимся и от этой собственной (а значит, субъективной) фор
мы и примем нейтральную форму шара, то будем иметь тогда толь
ко одно выделенное направление -- «вниз», только одно направле
ние, в котором возможно какое либо измерение. Только одно
измерение гравитационного поля пространства. Но если мы за
хотим избавиться и от него, захотим выйти, наконец, в «чистое
пространство» и с этой целью сделаемся невесомыми сами или сде
лаем совершенно изотропным поле вокруг себя, то попадем не в
трех , а в нуль мерие, в полное отсутствие какой бы то ни было
размерности. Джордж Беркли: «Итак, предположим, что все
тела уничтожены. То, что остается, называют абсолютным
пространством, при этом все отношения, следующие из распо
ложения тел и расстояний между телами, исчезли вместе с
ними. Кроме того, такое пространство является бесконечным,
неподвижным, неделимым, не воспринимаемым чувствами, ли
шенным связей и различий. Другими словами, все его атрибуты
отрицательны или негативны. Таким образом, оказывается,
что это есть просто ничто»39. Эрнст Мах: «Об абсолютном про
странстве и абсолютном времени никто ничего сказать не мо
жет; это чисто абстрактные вещи, которые на опыте обнару
жены быть не могут»40.
У нас нет нужды прибегать к «трехмерности пространства» и
при объяснении законов полевого взаимодействия. Так, для вы
вода закона гравитационного взаимодействия достаточно считать
величину потенциала обратно пропорциональной расстоянию до
тела: P~1/r. Тогда «квадратичность» можно считать следствием
пересечения двух полей в одном пространстве: 1/r2 = 1/r ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ 1/r. Как
видим, оказалось достаточно одного измерения.
Но не возвращает ли нас к первому из кантовских доказа
тельств эта «обратная пропорциональность» потенциала? Нет,
если последовательно придерживаться основного положения об
ПОЛЕ--ПРОСТРАНСТВО, ИЛИ ПОЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ?

60
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
щей теории относительности. Если свойства пространства обу
словлены свойствами гравитационного поля, то, следовательно,
не «распределение поля в пространстве» надо «объяснять» и обо
сновывать (через «сферическое распределение» или как то еще),
но принять как факт, как соглашение, как данность: простран
ственное протяжение есть величина, обратно пропорциональ
ная потенциалу гравитационного поля. Не «поле ослабевает
пропорционально увеличению расстояния от источника», но рас
стояние есть мера ослабевания поля! Вместо закона «сила взаи
модействия между двумя телами обратно пропорциональна квад
рату расстояния между ними» (или «величина потенциала поля
обратно пропорциональна расстоянию до источника») -- «квадрат
расстояния между телами обратно пропорционален силе их взаи
модействия» (или «расстояние до источника поля есть величина
обратно пропорциональная потенциалу поля»). Вместо F~1/r2 и
P~1/r будет r~(1/F)1/2 и r~1/P. В итоге обращение к какой либо
«размерности пространства» совершенно излишне: закон зависи
мости силы от расстояния справедлив потому, что таково
определение силы и таково определение расстояния.
Стоит также вспомнить, что согласно ОТО и многочисленным
физическим наблюдениям гравитационная масса эквивалентна
инерционной, действие поля силы тяжести -- ускоренному дви
жению. Следовательно, любое ускоренное (в том числе и всякое
вращательное) движение подобно силе притяжения определяет
анизотропию реального пространства. Эту анизотропию удобно
было бы назвать динамической и, может быть, поставить в один
ряд с гравитационной и электромагнитной. Так, вращение Земли
определяет «восточно западную» околоземную асимметрию, во
многом определяя при этом и динамику воздушных и водных по
токов. И если какой либо предмет движется по поверхности Зем
ли в любом направлении, кроме широтного, то на него действует
вполне реальная «сила анизотропии» -- сила Кориолиса, стремя
щаяся сдвинуть предмет в северном полушарии вправо, в южном --
влево. (Хотелось написать: «Может, эта сила и не сбрасывает с
рельсов паровозы. . . », но, оказывается, случается и такое. Дело в
том, что правая сторона железнодорожного полотна в нашем по
лушарии изнашивается сильнее -- со всеми вытекающими послед
ствиями.)

61
Гравитационное притяжение Луны, направление действия
мощной приливной силы, определяет третье выделенное направ
ление, третий вектор поляризации реального пространства. Оно
становится «трижды анизотропным», а с тем и «непарноэнантио
морфным», требующим для своего однозначного описания (даже
в том случае, если нам удастся поместить его в один трехмерный
октант) четыре параметра -- x, y, z и знак энантиоморфизма. А ведь
есть еще притяжение Солнца, планет, галактического ядра и «ру
кавов» галактической спирали. Есть движение Земли в Солнеч
ной системе, движение последней в Галактике, которая сама дви
жется в расширяющейся Вселенной.
Реальные движения, реальные силы, реальная анизотропия,
реальное поле--пространство. Вещи очевидные, невнимание к
которым можно объяснить только одним: мы не поняли и не при
няли основную идею ОТО, мы не отказались от Ньютоновой фик
ПОЛЕ ПРОСТРАНСТВО, ИЛИ ПОЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ?
Ðèñ.7. «Ðåàëüíîå èçîòðîïíîå êîñìè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî»
Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ àíèçîòðîïèÿ: ñîëíå÷íûé ñâåò, ñâåò Ëóíû, çâåçä,
ïëàíåò è Ìëå÷íîãî Ïóòè; àíèçîòðîïèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè è Ñîë-
íå÷íîé ñèñòåìû.
Ãðàâèòàöèîííàÿ àíèçîòðîïèÿ: ïðèòÿæåíèå Çåìëè, Ëóíû, Ñîëíöà, ïëà-
íåò, ãàëàêòè÷åñêîãî ÿäðà è çâåçäíûõ ñêîïëåíèé.
Äèíàìè÷åñêàÿ àíèçîòðîïèÿ: âðàùåíèå Çåìëè âîêðóã îñè è âîêðóã Ñîë-
íöà, äâèæåíèÿ Ëóíû, ïëàíåò, Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû.

62
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
ции -- абсолютного, ни от чего решительно не зависящего трех
мерного «вместилища», мы забыли убрать «строительные леса»
физической теории*.
Парадокс в том, что все вышесказанное, прямо следуя из ос
новных положений ОТО, попадает в явное противоречие с ее же
3+1 мерной структурой. Дело в том, что сам Эйнштейн не был
последователен в воплощении своей идеи поля--пространства, при
писав ему целый ряд рудиментарных «декартово ньютоновских»
черт, в том числе и трехмерность; дело в том, что важнейшие идеи
ОТО не были восприняты, прочувствованы во всей своей глубине.
Парадокс в том, что, отождествив «на словах» пространство и
гравитационное поле, мы «на деле» соотносим его свойства ско
рее со свойствами электромагнитного -- светового, да при этом еще
и полагаем его «компактифицированным» -- «свернутым» в не
видимо и непредставимо малые «шарики»! В прямизне хода сол
нечных и звездных лучей видим проявление евклидовости про
странства, через скорость их распространения, через углы, ими
образуемые, определяем расстояния. . . Мы остались в плену ста
рой доброй привычки во всем полагаться на зрение, с его именно
помощью строить субъективный образ окружающего. Так, может
быть, именно световому пространству присуща искомая атрибу
тивная трехмерность?
Кажется естественным для ответа на этот вопрос обратиться к
векторной геометрии.
* «Эта система отсчета, к которой мы относим все наши наблюдения, построенная
из твердых неизменяемых тел, --- своеобразные механические леса, --- называет
ся системой координат» Эйнштейн А., Инфельд Л. Эволюция физики. М., 1966.

63
Положим, что «реальное трехмерное физическое простран
ство» действительно существует и что его структура определяет
ся некоторым реально существующим физическим полем вектор
ной природы. Задача состоит в том, чтобы определить, какое из
физических полей может претендовать на данную «структурооб
разующую» роль.
По сути, мы можем выбирать только из двух «глобальных»
полей -- гравитационного и электромагнитного. Гравитационное
поле рассматривают обычно как пример скалярного (характери
зуется через пространственные точки, каждой из которых при
своено определенное числовое значение); электромагнитное поле --
как поле векторное (для каждой точки задано не только числовое
значение, но и направление, т.е. вектор определенной длины).
В конечном итоге это значит, что гравитационное поле удобнее
описывать в терминах аналитической («скалярной») геометрии,
световое -- в терминах геометрии векторной. Обратный вариант
также возможен (и используется в физике). Это значит, что в дан
ной главе мы сможем рассмотреть с позиций векторной геомет
рии и электромагнитное, и гравитационное поля. Говоря об элек
тромагнитном поле, мы прежде всего будем иметь в виду поле
световое, поскольку, как мы уже отмечали ранее, именно оно чаще
всего используется при описании и исследовании «реального фи
зического пространства».
Естественно предположить, что свойства искомого поля долж
ны более или менее совпадать со свойствами порождаемого им
«реального пространства». В соответствии с темой изложения
Глава 10.
«Реальное пространство» с точки зрения
векторной геометрии, или тест
на линейную независимость

64
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
логично будет попытаться определить и выбрать те свойства по
следнего, которые непосредственно связаны с его размерностью.
Чтобы какое либо пространство было трехмерным, чтобы оно
вообще обладало определенной размерностью, в нем должна со
блюдаться аксиома линейной независимости*. Эта аксиома спра
ведлива и содержательна только при соблюдении определенных
условий (рис. 8), каждому из которых соответствует определен
ное свойство пространства. Таким образом, мы получаем список,
состоящий из семи свойств условий:
1) непрерывность,
2) бесконечность,
3) определенность (неизменность) базиса,
4) евклидовость (линейность),
5) единственность (единичность),
6) сплошность,
7) целостность (связность, единство).
Похоже, что, оттолкнувшись от размерности, мы получили
едва ли не полный перечень всех возможных свойств простран
ства. Это и не удивительно -- в нашем «реальном трехмерном фи
зическом пространстве» все взаимосвязано, как шестеренки в ча
сах. Рассмотрим теперь каждое из свойств применительно к
нашему гипотетическому векторному «пространствообразующе
му» полю и сравним их с реальными свойствами гравитационно
го и электромагнитного (светового) полей.
1. Непрерывность. Чтобы задавать очевидно непрерывную (или
«практически непрерывную») структуру реального пространства,
структурообразующее поле само должно быть непрерывно. (На
помним, что речь идет прежде всего о реальном пространстве,
пространстве «человеческого уровня восприятия».) Базис непре
рывного поля--пространства образован векторами переменной дли
ны. Если же базисные векторы имеют неизменную длину, то про
странство обладает дискретно точечной структурой; в нем могут
* Размерность пространства определяется числом линейно независимых векторов,
необходимых и достаточных для построения любого другого вектора, принадле
жащего этому пространству. Собранные вместе, линейно независимые векторы
образуют базис пространства. Один вектор задает и описывает объекты линейные
(одномерные), два, не лежащие на одной прямой, -- объекты плоские (двумерные),
три, не лежащие на одной плоскости, -- объемные (трехмерные).

65
Ðèñ.8. Íåêîòîðûå ñëó÷àè íåâûïîëíèìîñòè àêñèîìû ëèíåéíîé íåçà-
âèñèìîñòè
1) Äèñêðåòíîñòü ïðîñòðàíñòâà è áàçèñà. Åñëè ïðîñòðàíñòâî äèñêðåòíî è/èëè
áàçèñíûå âåêòîðû îáëàäàþò (ÿâëÿþòñÿ) îðòàìè ôèêñèðîâàííîé äëèíû, òî ëè-
íåéíî çàâèñèìûìè ìîãóò áûòü ïðèçíàíû òîëüêî òå âåêòîðû, íà÷àëà è êîíöû
êîòîðûõ ïîïàäàþò íà «óçëîâûå òî÷êè» äèñêðåòíî-òî÷å÷íîãî ïðîñòðàíñòâà S;
âåêòîð v íå ÿâëÿåòñÿ íè áàçèñíûì, íè çàâèñèìûì.
2) Êîíå÷íîñòü áàçèñà è ïðîñòðàíñòâà. Ìîæåò áûòü íàéäåí òàêîé âíóòðåí-
íèé âåêòîð v (íàõîäÿùèéñÿ âî âíóòðåííåì óãëå áàçèñíûõ âåêòîðîâ), êîòîðûé
îêàæåòñÿ íåçàâèñèìûì â ñèëó íåñâîäèìîñòè ê áàçèñíûì.
3) Íåîïðåäåëåííîñòü áàçèñà. Âåêòîð v íå ìîæåò áûòü îäíîçíà÷íî îïðåäåëåí.
4) Íååâêëèäîâîñòü ïðîñòðàíñòâà. Åñëè â ïðîñòðàíñòâå S íå ñîáëþäàåòñÿ
«àêñèîìà î ïàðàëëåëüíûõ», òî åãî áàçèñíûå âåêòîðû è ñîîòâåòñòâóþùèå èì
ãåîäåçè÷åñêèå ïðÿìûå ìîãóò èìåòü áîëåå îäíîãî ïåðåñå÷åíèÿ, â ýòîì ñëó-
÷àå îíè íå áóäóò íåçàâèñèìûìè.
5) Ìíîæåñòâåííîñòü ïðîñòðàíñòâ. Âåêòîð v, ïðåäñòàâëåííûé êàê ëèíåéíî çà-
âèñèìûé â ïðîñòðàíñòâå S1, ÿâëÿåòñÿ áàçèñíûì âåêòîðîì ïðîñòðàíñòâà S2.
6) Íåñïëîøíîñòü ïðîñòðàíñòâà. Âíóòðåííèé âåêòîð v íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî
çàâèñèìûì â ñèëó òîãî, ÷òî îí íå ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó S.
7) Ïðåðûâèñòîñòü ïðîñòðàíñòâà. Âåêòîð v íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî çàâèñè-
ìûì, à âåêòîðû x è y íå ñîñòàâëÿþò åäèíîãî áàçèñà, åñëè ïðîñòðàíñòâî ïðå-
ðûâèñòî, ò.å. ðàçäåëåíî ëèíèÿìè (ïîâåðõíîñòÿìè, îáúåìàìè...) ðàçðûâà íà
íåñêîëüêî íåñâÿçàííûõ.
«РЕАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО» С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ВЕКТОРНОЙ
ГЕОМЕТРИИ, ИЛИ ТЕСТ НА ЛИНЕЙНУЮ НЕЗАВИСИМОСТЬ

66
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
быть представлены только те зависимые векторы, чьи начала и
концы совпадают с узловыми точками, то есть в точности равные
суммам элементарных векторов (рис. 8.1).
Это свойство можно считать присущим обоим полям. Вероят
но, не только электромагнитное, но и гравитационное поле имеет
непрерывно дискретный характер, однако в подавляющем боль
шинстве случаев (и на все том же «человеческом» уровне воспри
ятия!) уровень квантования неразличимо мал.
2. Бесконечность. Чтобы соответствовать структуре бесконеч
ного (или «практически бесконечного») реального пространства,
искомое поле (поле--пространство) само должно быть бесконечно.
Или «практически бесконечно» (рис. 8.2).
Это свойство вполне присуще световому, но не гравитацион
ному полю. Мы с Вами практически видим бесконечность, и в то
же время, как и все другие массивные тела, прижаты к Земле
силами тяготения. Если мы отрываемся от поверхности Земли
или просто возвышаемся над нею, то делаем это не благодаря гра
витационному полю, но вопреки ему. Иными словами, все вер
тикально вверх направленные пространственные векторы (или
таковые их составляющие) не могут быть обусловлены собствен
ным векторным базисом гравитационного поля. Мы не летаем, а
если и летаем, то, как правило, в узком слое околоземного про
странства.
3. Определенность (неизменность) базиса. Векторный базис
поля--пространства определенной размерности должен быть вы
делен и закреплен как один определенный базис из всех возмож
ных. В противном случае неизбежна путаница -- ни мы, ни сама
природа не сможем ни сосчитать независимые векторы, ни отли
чить их от зависимых, при этом определение размерности поте
ряет смысл (рис. 8.3).
Свойство это как будто присуще электромагнитному полю... но
только в астрономии. Правда, здесь, как и следовало ожидать, для
описания небесных сфер используются не три, а пять векторов:
три истинные -- направленные на два «полюса мира» и точку ве
сеннего равноденствия, и два аксиальные, задающие направле
ние отсчета склонения и восхождения. Простые же смертные го
раздо чаще используют другие выделенные направления -- на
Солнце, на Луну, на свет окна. . .

67
Гравитационное поле, если мы говорим об околоземном про
странстве, имеет один единственный выделенный вектор, направ
ленный (с небольшими отклонениями) к центру земли. Если же
мы переходим на уровни Солнечной системы, Галактики... то те
ряем и эту минимальную определенность. В целом же в околозем
ном пространстве, в пространстве Солнечной системы существу
ет великое множество никак друг перед другом не выделенных
базисов. Вселенная не имеет ни гравитационного, ни светового
центра, тем более не имеет она единого векторного базиса, единой
координатной решетки.
4. Свойство евклидовости (линейности). Структура поля--про
странства должна подчиняться постулату Евклида о параллель
ных прямых. В неевклидовом (нелинейном) пространстве «парал
лельные» могут иметь хотя бы одну точку пересечения, а все
прочие -- более одной (рис. 8.4).
И гравитационное, и световое поля -- по крайней мере, если
верить общей теории относительности, по крайней мере, локаль
ны и в нашем масштабе восприятия -- линейны. Параллельные
световые лучи не пересекаются (это можно считать установлен
ным фактом), гравитационное поле линейно и плоско (достаточ
но взглянуть на линии отвеса и горизонта). Однако. . .
Земля имеет форму шара, и мы уже так давно знаем и прак
тически используем это обстоятельство, что, по видимому, не
вправе были бы совсем исключить его из «нашей реальности»,
отнести к «другому масштабу». Но это значит, что теперь мы
реально имеем дело со сферически искривленным гравитацион
ным полем. Все его «параллельные», его собственные векторы --
векторы градиента -- пересекаются в одной точке, центре Земли.
И кроме них нет других собственных векторов. А если бы и были
еще два, взаимо перпендикулярные и лежащие в плоскости го
ризонта, то они пересекались бы на своем продолжении на про
тивоположной стороне Земли. (А если бы они «оторвались от
Земли» и, невзирая на силу ее притяжения, устремились бы в
«космическое пространство», то это были бы не физические, ре
альные, полевые, а абстрактные векторы такового же простран
ства.) Наше гравитационное поле неевклидово, и это не сразу
становится заметным только потому, что величина его кривиз
ны (1/6378 км) чрезвычайно мала.
«РЕАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО» С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ВЕКТОРНОЙ
ГЕОМЕТРИИ, ИЛИ ТЕСТ НА ЛИНЕЙНУЮ НЕЗАВИСИМОСТЬ

68
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
Не должны ли мы на этом же основании безоговорочно при
знать евклидовость светового поля--пространства? Его кривизна
в силу колоссально большого удаления от Солнца мала настолько
(1/149 млн км), что мы, казалось бы, вправе считать, что в нашем
«кусочке» солнечного пространства мы имеем дело с практичес
ки параллельно лучевой структурой. «Лучи от бесконечно удален
ных источников параллельны. . . ». Но посмотрите на детские ри
сунки. Или вспомните, как снопы лучей прорезают облака. . . На
взгляд удаленного наблюдателя (марсианина, например) или аб
страгировавшегося от реальности математика, все это -- парал
лельные. На наш взгляд -- нет. Почему мы с Вами больше должны
доверять марсианину, чем собственным глазам? Почему не при
знать, что солнечные лучи на самом деле независимы, что, следо
вательно, образуемое ими световое пространство почти бесконеч
но «растяжимо» и «расщепляемо», что его сектор, составляющий
с точки зрения того же удаленного наблюдателя, не более одной
угловой минуты, может быть «растянут» до 90 и более градусов. . .
Но мы вроде не о том. Параллельные то по прежнему не пере
секаются! Они, конечно, не пересекаются, но дело в том, что их,
параллельных, нет. А если и есть, то не они определяют структу
ру светового пространства -- будь то пространство солнечное или
«минипространство» Вашего карманного фонарика. Световое про
странство «составлено» из пересекающихся «ежиков», а не «со
ткано» из параллельных нитей. Вспомним еще, что всякие, в том
числе и параллельные, лучи могут пересекаться не только в цент
рах их источников, но и в фокусах глазной оптики. «Параллель
ные» светового поля--пространства могут иметь, таким образом,
даже не одну, а две точки пересечения!
В таком пространстве базисные векторы, выйдя из одной точ
ки, могут сойтись в другой, при этом определение их линейной
независимости утратит смысл.
5. Единственность. Искомое поле--пространство должно быть
единственно (единично). В противном случае всякий «линейно
независимый вектор» может на деле оказаться линейно зависи
мым вектором другого пространства, и наоборот. Со всеми выте
кающими последствиями относительно их размерностей (рис 8.5).
Что мы имеем в реальности? Гравитационное поле практичес
ки однонаправленно, силы притяжения Луны, Солнца, планет в

69
большинстве случаев слишком незначительны, чтобы обусловить
«явления отрыва от земной поверхности и возвышения над нею».
Все это происходит под действием других сил, других полей. В свою
очередь, и электромагнитное поле не может быть ответственным
за явления, связанные с действием силы тяжести. Гравитацион
ное и электромагнитное поля переплетены, вложены одно в дру
гое, пронизаны одно другим.
6. Сплошность. Чтобы определять структуру всего реального
пространства, наше искомое поле--пространство должно быть пол
ностью лишено пространственных и временных «дыр» (рис 8.6).
Очевидно, что сплошность не может быть присуще световому
полю, которое вряд ли можно считать ответственным за структу
ру пространства внутри темных комнат и непрозрачных тел.
Здесь, однако, могут действовать другие, невидимые глазу элект
ромагнитные поля. Гравитационные же силы действуют всегда,
везде и на все. На все, кроме света и тел, находящихся в состоя
нии свободного падения. Падающий камень или прыгающий со
ступеньки человек на то или иное время «выпадают» из гравита
ционного взаимодействия, стало быть, и из гравитационного поля
Земли. Едва ли при этом они сохраняют свою структуру за счет
продолжающегося пребывания в «мировом гравитационном про
странстве», скорее за это ответственны их внутренние электромаг
нитные и другие поля.
7. Целостность (связность, единство). Чтобы обеспечить уни
версальные свойства единого (по определению) мирового про
странства, наше поле--пространство само должно быть целостным
(единым). Именно целостность поля--пространства обеспечивает
взаимодействие независимых векторов, тем самым делая содер
жательными рассуждения об «образовании зависимых» (рис 8.7).
Целостность вряд ли возможно считать собственным свойством
электромагнитного поля. «Световая Вселенная» воспринимается
как единая, но это единство «по приемнику», единство в силу и
меру единства самого субъекта (неважно, есть ли это один чело
век, или «человечество», или «сообщество астрономов»). На са
мом деле источников света множество, и большинство из них не
зависимы. Свет звезд, Солнца и фонарика не связаны в единую
систему, не образуют единого пространства. Но и «единство по
источнику» еще не гарантирует связности пространства: солнеч
«РЕАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО» С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ВЕКТОРНОЙ
ГЕОМЕТРИИ, ИЛИ ТЕСТ НА ЛИНЕЙНУЮ НЕЗАВИСИМОСТЬ

70
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
ные лучи расходятся как независимые, произошедшее с одним
весьма слабо сказывается на поведении соседних. Пространство
«рассыпается» ворохом «одномерных» лучей. Или «расслаивает
ся» бесчисленными «скорлупами» волновых фронтов -- если при
держиваться волновой теории света. Корпускулы не имеют ниче
го более мелкого, чтобы обменяться взаимодействием, волны не
могут догнать одна другую, чтобы «вступить в контакт». Может
быть, лучи (или волны) как то и взаимодействуют друг с другом,
но, во всяком случае, это взаимодействие определяется не тем, что
они распространяются внутри некоего «базиса»; кроме того, оно
практически не связано с величиной угла между ними. А если бы
такая связь и была, то «самыми независимыми» лучами оказа
лись бы противоположно направленные лучи, т.е. лучи в «трех
мерной идеологии» тождественные!
Напротив, гравитационное пространство для нас едино. Для
нас, по крайней мере, в пределах родного околоземного простран
ства, в пределах гравитационно связанной системы. Связность ос
лабевает по мере удаления в открытый космос, по мере роста
иерархического ранга систем. Вплоть до полного разрыва между
разбегающимися скоплениями галактик. Но это уже, наверное,
выходит за пределы «нашей реальности».
Как видим, ни то, ни другое поле не обладают полным переч
нем свойств «реального пространства» и не удовлетворяют усло

71
виям справедливости аксиомы линейной независимости. Отме
тим, что при примерно равных основаниях претендовать на роль
«пространствообразующего поля» гравитационное и электромаг
нитное поля отчетливо дополняют одно другое. Именно сообща
они, похоже, и служат прообразом нашего субъективно геомет
рически синтетического «пространства». Но даже вместе им не
под силу обосновать «атрибутивную трехмерность» последнего.
Чтобы сохранить в неприкосновенности столь дорогие нам
трехмерность и линейную независимость, нам неизбежно придет
ся предположить существование ньютоновского «абсолютного
вместилища» и отказаться от любых попыток когда нибудь увя
зать его с реальными физическими полями. Полями, чьи структу
ры определяются не абстрактными геометрическими аксиомами,
а конкретным, всюду разным взаиморасположением источников;
полями переменными и динамическими; полями, обладающими
связностью внутри связанных ими систем, и «рвущимися» между
ними; полями пересекающимися и перекрывающими одно другое.
Мы уже рассматривали ряд «превращений» пространства. Те
перь мы можем дополнить его еще одним пунктом.
7. Пространство абсолютизируется. «Абсолютное простран
ство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то
ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвиж
ным»41. «Пространство» становится «вместилищем», вещью, бо
лее фундаментальной, чем сама реальность. Сценой, на которой
великие актеры и постановщики разыгрывают спектакли о жиз
ни Вселенной. Из за школьных парт наблюдаем мы «драму идей»,
и подчас, захваченные игрой, забываем, что эта сцена, этот театр
построены людьми, что, помимо этой, призрачной, есть еще и дру
гая реальность.
«РЕАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО» С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ВЕКТОРНОЙ
ГЕОМЕТРИИ, ИЛИ ТЕСТ НА ЛИНЕЙНУЮ НЕЗАВИСИМОСТЬ

72
Что то все таки не дает признать многомерность окружающего,
что то мешает. . . Ну, конечно же, это топология! Это ее математи
чески строгий и обывательски ясный ряд: пустота -- точка -- линия --
плоскость -- объем. Такова топология. Но, чтобы судить по ее заклю
чениям о реальности, необходимо прежде доказать или показать ее,
этой реальности, соответствие. А есть ли, существуют ли в природе
этот «рекуррентный ряд» и сами «топологические объекты»?
Пустота. Современная физика после долгих споров вернулась
к Аристотелю и Декарту: «природа боится пустоты», пустота --
это лишь «место, в котором нет ничего из того, что, как мы дума
ем, должно бы в нем быть». Все сколь угодно удаленные и малые
уголки мироздания пронизаны, наполнены полями, виртуальны
ми частицами, реликтовым излучением. . . Пустота относительна,
пустоты нет в действительности, она лишь в возможности, в не
достижимом пределе, в абстракции.
Глава 11.
Логика и диалектика топоса, или
«антипология»
«...в современной физике установлено, что не
возможна не только реальная разделенность
пространства и времени на точки, но принци
пиально невозможно осуществить процесс их
реального бесконечного разделения. Следова
тельно, геометрические понятия точки, кривой,
поверхности являются абстракциями, отра
жающими пространственные свойства матери
альных объектов лишь приближенно. В действи
тельности объекты отделены друг от друга не
абсолютно, а лишь относительно».
Большая Советская Энциклопедия

73
Точка. Вся история естествознания показывает нам, что «то
чечность», т.е. малость и неделимость природных объектов, все
гда относительна. По мере совершенствования технических воз
можностей и развития физических теорий «элементарные
кирпичики» уменьшились от «невидимых глазом» атомов до «не
вообразимых умом» «суперструн» (10--33 м). Но чем ближе к идеа
лу малости, тем менее объекты напоминают «точки», тем более
похожи на размытые облака (Гейзенберг), бегущие (Де Бройль)
или стоячие (Шредингер) волны.
Линия. То, что нам кажется линией -- будь то тонкая нить или
световой луч, -- оказывается при ближайшем рассмотрении поло
сой, цилиндром и т.п. вещами. Толщина нити не может быть мень
шей, чем размеры атома, толщина светового луча имеет порядок
длины его волны. Можно, конечно, говорить о линиях траекто
рий -- но только в том случае, если рассматривать движение не
реальных объемных, но абстрактных точечных объектов.
Плоскость. Любая плоская поверхность, будь то поверхность
кристалла или воды, всегда «бугриста», уже вследствие того, что
сложена шарообразными атомами и молекулами. Но и атомы, и
молекулы не имеют плоских поверхностей -- и в силу дискретнос
ти своего строения, и в силу размытости электронных облаков.
В реальности нет собственно топологических объектов -- толь
ко некоторые их прообразы. Нет и абсолютных различий между
«объектами разной размерности». Квант поля («пустоты») -- фо
тон («точка») не существует, не двигаясь, не образуя при этом
светового луча («линии»); световой луч как электромагнитная вол
на «состоит» из «плоскостей», в которых колеблются электричес
кая и магнитная составляющие. . . Объемна -- «трехмерна» «ми
нус одномерная» пустота -- пустое пространство. Объемна «куча»
сколь угодно дискретных, точечных (а стало быть, «нульмерных»)
тел. У всех реальных «точек» всегда можно обнаружить «двумер
ные» поверхности... Все не так в жизни: брызги сливаются в плен
ки и заполняют объемные сосуды. Скрученные нити формируют
клубки, нити сплетенные -- плоские листы ткани, те сматывают
ся в толстые рулоны и собираются в стопы. . . Жизнь, в отличие от
топологии, не обходится «без клея и ножниц», без разрывов и
ниток. Без этих простейших инструментов не было бы ни роста и
разрушения, ни ассоциации и диссоциации. . . -- ничего бы не было.
ЛОГИКА И ДИАЛЕКТИКА ТОПОСА, ИЛИ
«АНТИПОЛОГИЯ»

74
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
Ðèñ. 9. Íåêîòîðûå «àíòèòîïîëîãè÷åñêèå» âàðèàíòû ðîñòà ïðèðîä-
íûõ ñèñòåì
1) Âåòâëåíèå: çàïîëíåíèå ïëîñêîñòè òðåùèíû âåòâÿùåéñÿ «ëèíèåé» (äåí-
äðèòîâèäíûå êðèñòàëëû ãèäðîîêèñëîâ ìàðãàíöà, ôîòî).
2) Ðîñò ïî ñïèðàëè: ïðåîáðàçîâàíèå «îäíîìåðíîé ëèíèè» â «äâóìåðíóþ
ïëîñêîñòü» (çàðèñîâêà ðàêîâèíû ôîðàìèíèôåðû, óâåëè÷åíî â 10 ðàç).
3) «Ðàäèàëüíî-öèëèíäðè÷åñêèé»: òðåõìåðíûé îáúåì êàê ñîâîêóïíîñòü öè-
ëèíäðè÷åñêèõ è ðàäèàëüíûõ ïëîñêîñòåé (çàðèñîâêà ñðåçà âåòêè òàìàðèñêà).
4) Ãåëèêîèäàëüíûé: êðèñòàëë, îáðàçîâàííûé åäèíè÷íîé àòîìíîé ïëîñêî-
ñòüþ, çàêðó÷åííîé â ãåëèêîèäàëüíóþ ñïèðàëü (ïàðàôèí, ðèñóíîê ïî ôîòî-
ãðàôèè èç êíèãè «Ñòðóêòóðû ðàçâèòèÿ ñëîæíûõ ñèñòåì» (Åëèñååâ Ý.Í. Ì.,1981).

75
Природа как будто смеется над топологией, демонстрируя все
возможные варианты «антитопологических» преобразований.
Плоская раковина образуется спирально закрученной линейной
камерой, объемный кристалл -- в результате нарастания самой на
себя атомной плоскости, трещина заполняется тончайшими ни
точками дендритов марганца. . .
Мы, понятное дело, можем делать вид, что «ничего не происхо
дит». Можем считать, что ветви и корни дерева «растут» из зерна
подобно ложноножкам амебы, что снежинка -- это «растянутый»
кристаллик, а данный текст -- раздутая мысль «о не трехмерности
пространства». И это очень интересно и, несомненно, отражает ка
кие то аспекты реального положения дел. Но утверждать, что
только так оно и происходит на самом деле, было бы, по крайней
мере, не совсем корректно.
Здесь работает закон исключенного третьего: либо мы прини
маем соответствие природных объектов топологическим и тогда
должны признать «законность» всех «антитопологических» пре
образований, либо мы считаем, что эти преобразования не изме
няют размерности, -- тогда мы теряем сами природные аналоги
топологических объектов. Либо размерность в природе -- величина
переменная, либо ее тела всегда объемны («трехмерны»), и в ней
отсутствуют аналоги математических точек, линий, плоскостей.
Сказанное о телах нельзя не отнести и на счет полей. Поля не
могут быть непрерывны и аморфны, они, как это все явственнее
утверждает физика, всегда «склеены» из квантов, из лучей, из
«корпускул», из «волновых фронтов», «эквипотенциальных по
верхностей», «силовых линий». . . Они расслоены или закручены
в вихри, они ламинарны или турбулентны, они всегда имеют ту
или иную структуру.
Вообще все в природе как то склеено, составлено, собрано. Все
как то выросло, как то распространилось «в пространстве». И этот
рост, это распространение всегда сопровождались изменением
размерности -- самой ли развивающейся системы, поглощенных
ли ею полей и «веществ». Почему же не предположить, что так
же происходит и с «мировым пространством»? Почему не пред
положить, что пространство живет той же жизнью, что и вся ос
тальная реальность? Что оно растет вместе с растущими система
ми -- как их внутренне (и внешне) необходимая часть, их поле?
ЛОГИКА И ДИАЛЕКТИКА ТОПОСА, ИЛИ
«АНТИПОЛОГИЯ»

76
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
Принимает и обуславливает их структуру -- спиральную структу
ру Галактики, сферически симметричную («скорлуповатую»)
структуру гравитационного поля Земли, многолучевую -- свето
вого поля Солнца? Гибнет вместе с системами, «размазываясь»,
превращаясь в безразмерный хаос. . .
Скажем иначе: почему не попытаться взамен жесткой и неиз
менной конструкции трехмерия создать именно такую -- много
вариантную и полиструктурную модель «реального физического
пространства»? Что препятствует этому? Логика? Но эта строгая
дама готова запретить вообще все, что сколько нибудь живо и
жизненно, в том числе и саму топологию. Если бы последняя сле
довала ее предписаниям и нигде не противоречила самой себе, если
бы она действительно обходилась «без клея и ножниц», если, сле
довательно, ее объемы не были бы группировками точек, линий и
листов, если бы они действительно были абсолютно слитны и не
прерывны. . . Тогда Пуанкаре не смог бы «рассечь» их «непрерыв
ностями n--1 измерений», а Менгер -- разбить на точки и их окре
стности. Откуда он узнал бы, что они (точки) там есть? Логическое
противоречие: или объект размерности n состоит (собран, склеен)
из объектов размерности n--1 и тогда не непрерывен, или он не
прерывен и тогда не может быть ни «рассечен», ни «разобран».
Это не недостаток топологии, не небрежность математиков. Это
диалектическое противоречие, и именно оно обеспечивает подо
бие, -- в определенной мере, в определенном аспекте, -- топологии
и реальности. Остается немногое -- признать возможность изме
нения объектами своих размерностей, может быть, найти другое
определение размерности, которое бы не было столь жестким,
которое не превращалось бы при его приложении к реальности в
излишний синоним объемности.
Может быть, необходимо так переосмыслить существующие
определения, чтобы наличествующие в топологии «n мерия» не
уводили в «иные миры», а приближали бы нас к пониманию на
шей многомерной реальности. Что если, к примеру, связать по
нятие топологической размерности с используемым в кристалло
химии понятием координационного числа? Это мы и сделаем
дальше, а пока я предлагаю Вам преодолеть еще одно препятствие
на пути к пониманию реального многомерия.

77
Объем трехмерного тела определяется через произведение
трех параметров: V (или V3) = x⋅
⋅
⋅
⋅
⋅y⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ z . Площадь двумерной
поверхности рассчитывается как произведение двух парамет
ров:S(илиV2)=x⋅
⋅
⋅
⋅
⋅y. «Объем» одномерной линии равен ее длине:
V1 = x. А вот объем четырехмерного тела (V4) как будто ни сосчи
тать, ни представить нельзя.
Но посмотрим внимательнее. Процедура определения объема
сводится в конечном итоге к подсчету числа элементарных «ку
биков», «выполняющих» тот или иной объект. А что если на са
мом деле объект сложен совсем не «кубиками»? Не предопреде
ляем ли мы размерность заполняемого объекта выбором именно
трехмерной элементарной ячейки, именно трехмерной системы
координат?
Реальные объекты могут иметь самые разные структуры и им
соответствующие элементарные ячейки. Это могут быть и ромбо
Глава 12.
«Трехмерность--объем--объемность», или
о различиях между трехмерностью и
объемностью
«...если раньше понятие числа предпосылалось
геометрии как логически предшествующее, и мы
поэтому, располагая систематически разрабо
танным понятием числа, не зависящим от при
менений, могли подходить с ним к величинам са
мого разного рода, то теперь мы возвращаемся
к точке зрения древних греков, согласно которой
каждая область вещей влечет свою, на собствен
ной основе определяемую числовую систему».
Герман Вейль

78
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
додекаэдры, и шары, и комбинации различных фигур. . . Эти «ку
бики» уже не сосчитаешь простым произведением x⋅
⋅
⋅
⋅
⋅y⋅
⋅
⋅
⋅
⋅z. Способы
этого подсчета могут быть различны, включая тривиальную раз
борку объекта на составляющие и их выстраивание в виде «одно
мерной линии». Если нам удобно определять с помощью перемно
жения трех параметров объем параллелепипеда, то это потому,
что он действительно трехмерен. Если объем шара удобнее рас
считывать с помощью одного единственного параметра, то это
тоже не случайно: шар параметрически одномерен. В любом слу
чае: проблема счета -- это наша проблема, природу не должно за
ботить, как нам удобнее считать и сравнивать. Точнее говоря, мы
не должны думать, что природу это заботит.
Процедура определения объема -- это все то же «вписывание»
тела произвольной формы, симметрии и размерности в декартово
координатное пространство. Суть дела не меняется от того, ис
пользуем ли мы при этом дифференциальное или механическое
«разбиение» тела на бесконечно малые кубики, или по методу Ар
химеда измеряем объем вытесненной жидкости, сливая ее в
градуированные, т.е. заранее «приведенные к кубу», сосуды.
Сама же по себе природа (да и современная технология) исполь
зует великое множество различных заполнений. Особое место сре
ди них занимают различные варианты «плотнейшей упаковки».
Если элементарные (заполняющие) объекты тождественны и
имеют форму шара (и сохраняют ее), то получается ее «кристал
лохимический» вариант. Если они податливы, способны к дефор
мациям, то -- вариант «органический». Последний представля
ет собой плотную упаковку разнообразных изометричных
многогранников, формы которых варьируют около некоторой
оптимальной, отвечающей минимуму поверхностной энергии.
В настоящее время наиболее точной моделью этой статистичес
ки оптимальной формы считается 14 гранник Вильямса, огра
ниченный попарно противолежащими восьмью пятиугольника
ми, четырьмя шестиугольниками и двумя четырехугольниками.
Таковы растительные ткани, фирн, состоящий из сплавившихся
кристалликов снега, пенопласт и мыльная пена. Особый случай --
когда заполнение пространства происходит поэтапно.
Например, при образовании магматической породы, называе
мой габбро, первыми начинают кристаллизоваться призматичес

79
Ðèñ. 10. Íåêîòîðûå âàðèàíòû ïîëèöåíòðè÷åñêèõ ñòðóêòóð
1) «Ïðÿìîóãîëüíûé»: ïëîòíàÿ óïàêîâêà ýëåìåíòàðíûõ ÿ÷ååê, èìåþùèõ ôîð-
ìó êóáà èëè ïàðàëëåëåïèïåäà.
2) «Ïëîòíåéøàÿ óïàêîâêà»: ìàêñèìàëüíî-ïëîòíîå ðàñïîëîæåíèå îäèíà-
êîâûõ øàðîâ.
3) «Ðîìáîäîäåêàýäðè÷åñêèé»: àíàëîã «ïðÿìîóãîëüíîãî», íî ñ ýëåìåíòàð-
íîé ÿ÷åéêîé â âèäå ðîìáîäîäåêàýäðà.
4) «Ðàäèàëüíî-ëó÷èñòûé»: ñðàñòàíèå ðàäèàëüíî-ëó÷èñòûõ âûäåëåíèé õàë-
öåäîíà (ïðîçðà÷íûé øëèô, ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò, óâ.  100).
5 -- 7) «Ïðîèçâîëüíî-îïòèìàëüíûé»: 5 -- ïåíîïëàñò, 6 -- êëåòî÷íàÿ ñòðóê-
òóðà ëåïåñòêà öâåòêà (óâ.  150), 7 -- ÷åòûðíàäöàòèãðàííèê Âèëüÿìñà.
8) «Ïîëèñòàäèéíûé»: êðèñòàëëû ïëàãèîêëàçà (âûòÿíóòûå ïðèçìû) è êðèñ-
òàëëû îëèâèíà (èçîìåòðè÷íûå) â êðóïíîì êðèñòàëëå ïèðîêñåíà â îëèâèíî-
âîì ãàááðî (ïðîçðà÷íûé øëèô, ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò, óâ.  100).
«ТРЕХМЕРНОСТЬ--ОБЪЕМ--ОБЪЕМНОСТЬ», ИЛИ
О РАЗЛИЧИЯХ МЕЖДУ ТРЕХМЕРНОСТЬЮ И ОБЪЕМНОСТЬЮ

80
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
кие кристаллы основного плагиоклаза, чуть позже начинается
кристаллизация изометричных, округлых кристаллов оливина,
при этом те и другие имеют хорошо выраженную собственную,
характерную для них форму (это так называемые «идиоморфные»
кристаллы). Последними образуются крупные кристаллы пиро
ксена; из за ограниченности пространства для роста они не обра
зуют собственные формы («ксеноморфные» кристаллы) и захва
тывают плагиоклаз и оливин. Каждый из этих трех главных
компонентов породы имеет свою собственную форму, структуру,
элементарную ячейку.
Объем любого объекта мы можем измерить в кубометрах, ку
бических сантиметрах, миллиметрах... Топология позволяет
деформировать объект требуемым образом, а аналитическая гео
метрия позволяет разобрать его на мельчайшие кубики. Но по
чему мы должны поступать таким именно образом? Скорее все
го, потому, что так нам удобнее сравнивать объемы между собой,
приводить их, так сказать, к общему знаменателю. Нам ведь все
нужно сравнивать между собой. Итак: объемные объекты трех
мерны потому, что мы располагаем методами их «трехме
ризации», и потому, что так нам удобнее их сравнивать.
Очевидно, что речь здесь идет о свойстве, мягко говоря, не со
всем объективном. А если мы хотим быть объективными, то долж
ны ли тогда навязывать реальности свои собственные проблемы?
Мы можем считать и сравнивать так, как нам удобнее, надо лишь
признать, что объемность и трехмерность -- это разные вещи.

81
Что важнее в естествознании: объективность или удобство?
К чему прежде должна стремиться наука -- к познанию вещей как
они есть или к преобразованию реальности в соответствии с соб
ственным понятийным аппаратом? Вопросы риторические. На
ука -- не технология, формующая расплавленное и измельченное
сырье. Собственная структура объекта для нее не досадная помеха,
а самоцель, предмет изучения. Ее идеал -- максимально точное,
адекватное описание, ее средство -- гибкая и сколь угодно тонкая
математика, способная создавать модели, которые действитель
но подобны оригиналу. Исследователь (точнее -- некий «идеаль
ный исследователь») не навязывает, а сознательно подчиняет себя
реальности, в соответствии с ее законами строит свой собствен
ный математический и понятийный аппарат.
Глава 13.
Концепция вписывания, или
принцип объективности?
«... ни один человек, сущий в здравом уме, не счи
тает свою точку зрения единственной и при
знает каждое место, каждую точку зрения за
ценность, дающую особый аспект мира, не ис
ключающий, а утверждающий другие аспекты.
Одни точки зрения более содержательны и ха
рактерны, другие менее, притом каждая в своем
отношении, но нет точки зрения абсолютной.
Следовательно, художник старается посмо
треть на изображаемый им предмет с разных
точек зрения, обогащая свое созерцание новы
ми аспектами действительности и признавая
их более или менее равнозначительными».
Павел Флоренский42

82
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
Однако с начала двадцатого века стало отчетливо ясно, что на
блюдатель, сколь ни был бы он деликатен, всегда так или иначе
искажает и деформирует объект, вторгаясь «на его территорию»
со своими законами, математикой и техникой. Субъект всегда
присутствует в построенной им модели; полная объективность,
как и абсолютная истина, недостижимы. И слава Богу -- ведь это
именно и оставляет нам возможность для поиска, это именно и
заставляет сомневаться в самых, казалось бы, несомненных по
ложениях.
Полная объективность недостижима -- и все же именно она есть
главная цель и принцип науки. Если же мы хотим руководство
ваться так называемым «антропным принципом» (см. главу 4), то
должны быть в этом крайне осторожны. Главное, мы не должны
забывать, что антропный принцип -- это нечто противоположное
принципу объективности (так сказать, «принцип субъективности»
в хорошем смысле слова). Без своей «половины» он мертв, он вы
рождается в антропо и эгоцентризм. История обращается тогда в
«эволюционную пирамиду», увенчанную тем или иным «обще
ственным строем», мир поглощается «физической картиной мира»,
в центре которой оказывается догматизированная научная теория,
реальность ставится на «опоры» -- «фундаментальные постоянные»
во всей их субъективно исторической обусловленности. Тогда по
являются неизбежные «теория отражения» и «концепция вписан
ности», которые, в сущности, оказываются одним и тем же -- пре
тензией на абсолютное знание абсолютной истины.
Если «естествознание не сомневается» -- значит, оно находит
ся в плену собственной аксиоматики, в порочном кругу жестко и
однозначно увязанных друг с другом «истин». И познание пре
вращается тогда во «вписывание» наблюдений в этот именно круг,
а в нашем случае -- в это именно трехмерное геометрическое про
странство. Это требует все большей и большей математической
изощренности и насилия над здравым смыслом и объективной
реальностью, все большего ее «измельчения» -- на части, точки и
«уровни». . . , что все дальше и дальше отодвигает науку от жиз
ни. Вместо того, чтобы приближать нас к пониманию нашего мира,
«всеобщая трехмеризация» заводит нас во все более густой, по
чти совсем уже непроходимый лес абстракций, в иные, нами са
мими сконструированные, но нам совершенно чуждые «миры».

83
Стоит только уверовать в ту или иную теорию, стоит ненадол
го отказаться от «бодрствующего сомнения», как сразу же начи
нается или подгонка «плохого мира» под «хорошую теорию», или
конструирование новых, теоретических миров, абсурдность ко
торых воспринимается уже не как свидетельство ущербности те
орий и ограниченности теоретиков, а как показатель ограничен
ности нашего мира. Наша теория больше уже не нуждается в
«проверке на практике», она вообще не может быть проверена --
ведь сама эта практика, этот мир, этот «проверяющий» «со всеми
потрохами» и принципами -- все это лишь главы, слова и буквы
этой «супертеории»! Воистину мы превзошли в умении творить
миры «по слову» и «по образу нашему» самого Создателя!
Но если вернуться «в нашу грешную Вселенную». . . Тогда мож
но предположить, что, «установив ограниченность мира», мы на
самом деле установили ограниченность механистической парадиг
мы, что «выход за фундаментальные границы» (в том числе и раз
мерностные) -- это не что иное, как попытка этой парадигмы пре
одоления. Но можно ведь поступить и по другому, поставив своей
целью не «конструирование» других вселенных, отвечающих тем
или иным вариациям нашей «раз и навсегда» сложившейся гео
метрии, а поиск других геометрий, описывающих эту же самую,
неисчерпаемо многообразную Вселенную. Не изобретение «про
странств», отвечающих этому пониманию размерности, но вы
работка другого понимания размерности этого пространства.
Упомянутые выше работы Анри Пуанкаре, Павла Флоренс
кого и Эрнста Маха демонстрируют совершенно четкое понима
ние того, что геометрия и реальность -- разные вещи, что евкли
дова геометрия (как и любая другая геометрия) потому и может
быть абсолютно верна, что не имеет прямого отношения к реаль
ному пространству. Пуанкаре: «. . .то, что в геометрии называ
ется прямой линией, есть просто траектория светового луча.
Если, следовательно, сверх ожидания, удалось бы открыть от
рицательные параллаксы или доказать, что все параллаксы
больше известного предела, то представлялся бы выбор между
двумя заключениями: мы могли бы или отказаться от евкли
довой геометрии, или изменить законы оптики и допустить,
что свет распространяется не в точности по прямой линии.
Бесполезно добавлять, что всякий счел бы второе решение бо
КОНЦЕПЦИЯ ВПИСЫВАНИЯ, ИЛИ ПРИНЦИП ОБЪЕКТИВНОСТИ?

84
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
лее удобным. Таким образом, евклидовой геометрии нечего опа
саться новых опытов»43.
Открытие отрицательных параллаксов звезд, т.е. искривления
световых лучей гравитационным полем Солнца, было сделано спу
стя несколько лет после смерти Пуанкаре. Физики действительно
не отказались от евклидовой геометрии и допустили криволиней
ное распространение света. Но они не сделали главного -- не при
знали различия между геометрией и реальностью, не захотели
убирать «строительные леса» (пользуясь сравнением Альберта Эй
нштейна) физической теории. Место евклидовой геометрии заня
ла геометрия Римана, по геодезическим линиям которой и стали
распространяться лучи света. Тем самым физика, как это принято
считать, окончательно отказалась от того, чтобы ее построения со
гласовывались со здравым смыслом и интуицией. Ненаглядность
и сложность перестали восприниматься как недостатки и стали
восприниматься скорее как свидетельство профессионализма.
Возможен ли другой путь? Безусловно, да. Путь взаимного при
мирения, встречного движения теории и интуиции. Должны из
меняться -- и изменяются -- не только научные, но и «интуитивно
ясные» принципы и понятия. Интуиция не сводится к физиоло
гии и врожденным инстинктам, но формируется по мере роста
индивида под влиянием его окружения, включая и господствую
щие на это время научные парадигмы. Банальная истина: наука
развивается быстрее человечества (или некоего усредненного ин
дивида), развитие интуиции, как правило, отстает от усложнения
математического аппарата и накопления фактов. Так случилось
и в начале ХХ века, когда многомерные теории фундаментальной
физики вступили в противоречие с интуицией, сформировав
шейся в достаточно продолжительный период господства ме
ханицизма. После Эйнштейна физики в своем большинстве при
знали «реликтовость» интуитивного отождествления реального
пространства и «линейно трехмерной» евклидовой (а точнее ска
зать -- декартовой) геометрии. То же самое необходимо сделать
в отношении «интуитивной ясности» по поводу трехмерности
пространства.
Необходима не замена одной «реальной геометрии» (т.е. декар
товой) на другую (риманову), а отказ от попыток подмены реаль
ного пространства той или иной геометрией. Реальность многооб

85
разна, и ее конкретным областям и процессам могут отвечать раз
ные модели и разные геометрии либо единая геометрия -- если это
будет геометрия переменной кривизны и размерности.
Если не смешивать геометрию и реальное пространство, то со
всем не сложно представить себе искривленный луч света. Для
примирения интуиции с многомерием достаточно признать, что
реальная «структура общего вида» может иметь любое число не
зависимых направлений. И что такой структуре могут быть сопо
ставлены векторные базисы и/или координатные системы с соот
ветствующим (т.е. в общем случае -- любым) числом базисных
векторов и/или координатных лучей.
Рассмотрите фигуры на рисунке 11. По мнению автора, так
именно и выглядят четырех и пятимерные фигуры. Они не слиш
ком сложны и вполне реалистичны -- их, например, можно скле
ить из спичек или кусочков бумаги. Вопрос об их адекватности
«реальному пространству» не покажется сложным, если опять
таки не смешивать пространство с его трехмерной моделью.
. . .Понятно, что ни одно общество на может существовать без
более или менее стабильной мировоззренческой системы. Как и
то, что ни одна система не может существовать без своей «аксио
матической базы», без истин и ценностей, не подлежащих сомне
нию и переоценке. Но всякая система смертна, смертна и механи
стическая парадигма. Правда, она уже как будто и похоронена,
уже отвергнута и преодолена наукой. . . Но нет -- она по прежнему
держит науку в клетке «декартова пространства», все так же на
низывает на булавку «одномерного времени» все новые и новые,
уже «совершенно новые» теории. Она слишком глубоко сидит в
нашем сознании -- много глубже, чем показалось большинству
ученых двадцатого столетия. Все прошедшие научные революции
мало изменили ее «понятийное ядро», и, может быть, только те
перь наступает время коренного пересмотра важнейших понятий
и принципов, таких как «масса», «сила», «пространство», «вре
мя». . . И в этом числе -- «размерность».
КОНЦЕПЦИЯ ВПИСЫВАНИЯ, ИЛИ ПРИНЦИП ОБЪЕКТИВНОСТИ?

86
Еще раз мысленно поместим объект (сколь бы ни был он велик
и многомерен) в один трехмерный квадрант и создадим его трех
мерную модель. Почему это возможно?
Потому, во первых, что речь идет об эксперименте мысленном.
Потому, во вторых, что при увеличении расстояния между тела
ми их угловые размеры действительно уменьшаются. Следует ли
это из трехмерности пространства? Нет -- уже хотя бы потому, что
точно так же ведут себя и плоские объекты, существующие в про
странстве в традиционном понимании двумерном. Тригономет
рические соотношения между угловыми размерами и расстояни
ями могут быть описаны в любой координатной системе. Наконец,
в третьих, модели, которые построены в трехмерной системе
координат, трехмерны по определению. Это есть свойство этих
моделей, построенных в этой системе. Безусловно, трехпара
метрические геометрические модели отражают какие то аспекты
реальности, какие то свойства объектов. Свойства тем более важ
ные, что, как мы видели ранее, трехмерная (а точнее -- шести
мерная) система координат по своему устройству достаточно
близка нашей врожденной психофизиологической системе вос
приятия реальности.
Все яснее факт: трехмерная система координат -- это именно
система координат, задающая математическое пространство удоб
ной структуры. Она не может, да и не обязана абсолютно точно и
однозначно отражать свойства своего природного прообраза. При
рода и математика -- разные сферы бытия, суверенные, не своди
Глава 14.
Почему в метре 100 сантиметров, или
трехмерность как артефакт и догма

87
мые одна к другой. Любой природный объект, пространство в том
числе, не есть объект логический или математический, к нему не
могут быть применены математические операции, включая и «до
казательство» в прямом и строгом смысле слова. Забвение этого и
производит на свет разного рода некорректные «доказательства
трехмерности», именно и прежде всего в силу изначального сме
шения, подмены реальных объектов их абстрактными моделями.
Все последующие рассуждения касаются уже только их собствен
ных -- Декартом, Минковским ли -- придуманных свойств. Попыт
ки обречены, ибо заранее требуют абсолютной, абстрактной, ма
тематической, не существующей в природе строгости; ибо
фигурирующая в них «реальность» -- это не что иное, как одна из
логико математических конструкций.
Все это можно сравнить с рассмотрением вариантов изменения
«размерности времени» в формуле, выражающей силу через мас
су и время: F=m⋅
⋅
⋅
⋅
⋅s/t2. Можно задаться вопросом, почему время
присутствует в формуле во второй, а не в первой, третьей или чет
вертой степени. Нельзя сказать, что эти вопросы будут совершен
но лишены смысла. К примеру, m⋅
⋅
⋅
⋅s/t1 окажется определением
импульса, m⋅
⋅
⋅
⋅s/t3 покажет скорость изменения ускорения... Но
главное в том, что все эти трансформации будут происходить
внутри существующего круга определений.
Если эта аналогия Вам (как, впрочем, и автору) не вполне по
нятна, то вот намного более простая и точная аналогия Пуанкаре.
«Если мы теперь обратимся к вопросу, является ли евклидова
геометрия истинной, то найдем, что он не имеет смысла. Это
было бы все равно, что спрашивать, какая система истинна --
метрическая или же система со старинными мерами, или какие
координаты вернее -- декартовы или же полярные. Никакая гео
метрия не может быть более истинна, чем другая; та или иная
геометрия может быть только более удобной»44. Продолжим ряд
аналогий: «Почему пространство трехмерно?»; «Почему в метре
100 сантиметров?»; «Почему нельзя нарисовать четвертое изме
рение?»; «Почему в двухсотграммовом стакане помещается имен
но двести миллилитров воды?».
Трехмерное «реальное пространство» оказывается на поверку
чисто геометрической моделью. Как и вообще наша «идея про
странства», этот синтетический образ, созданный за многие ты
ПОЧЕМУ В МЕТРЕ 100 САНТИМЕТРОВ, ИЛИ
ТРЕХМЕРНОСТЬ КАК АРТЕФАКТ И ДОГМА

88
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
сячелетия коллективным разумом человечества, ежесекундно
воспроизводящимся каждым из нас. Как и вообще все наши, нами
созданные, модели и образы. Разум -- как рыба в воде -- живет в
особой среде, в особом, неповторимом «мире идей» и не может
выйти за его пределы. Между реальностью и геометрией, размер
ностью природной и векторной всегда есть и будет, и должно быть
некое незаполняемое пространство. Пропасть, тончайшая зана
весь. . . «кожа вещей». Именно в этом пустом пространстве и су
ществует «градиент исследования», именно эта пустота обеспечи
вает свободу творчества, свободу выбора каждый раз новой,
единственной, именно здесь, именно в этом неповторимом случае
наиболее удобной и адекватной геометрии. . . *
Если же этого нет, если мы подменили реальность одной из
многих, пусть даже самой лучшей моделью. . . -- тогда «чем лучше --
тем хуже». Чем разработаннее, чем законченнее модель, тем силь
нее ощущение, что мы уже достигли или вот вот достигнем пос
леднего предела, за которым -- конец истории, скука и безвременье
всезнания. Мир отмирает вследствие окостеневания объявшей его
теории. «Горе вам, пресытившиеся ныне!»
Трехмерное пространство, трехмерная геометрия, при всех
достоинствах, при всей нашей к ней привычке превратилась из
одной из лучших, из самой, может быть, лучшей и универсаль
ной системы, из мощного инструмента познания и преобразова
ния в сковывающую догму, в форму для штамповки. Хорошо,
однако, что природа оказалась менее склонной к догматизации
трехмерности, чем человечество. Представьте себе «кирпично
(блочно ) трехмерный мир». . . Впрочем, многим из нас не требу
ется напрягать воображение, а достаточно выглянуть в окно. Но
мы привыкаем и к этому, мы «вписываемся» в этот, нами самими
сконструированный мир, мы штампуем не только кирпичи, но и
собственные головы.
* Эту занавесь можно и нужно убирать. И все, что для этого нужно, -- смелость.
Смелость увидеть реальность такой, какая она есть, а не прятаться от нее за
моделями, геометриями и «незаполняемыми пространствами». В реальности
действительно много пустоты, она вполне годится для творчества. Только по
чему мы должны создавать науку, которая отделена от реальности «пропас
тью», «занавесью» или еще чем нибудь? --- Н.М. Может быть, автору действительно
недостает смелости... А может быть, он просто хотел лишний раз подчеркнуть,
что не надо смешивать модели и объекты. -- Автор.

89
Безусловно, трехмерная геометрическая система не лишена
изящества. Она не раз доказала и еще докажет свою полезность, в
ее появлении и власти над умами гораздо больше закономернос
ти, нежели случайности. Все это я старался хоть в какой то мере
отразить в этой работе. Однако основная ее тема состояла все же в
другом. Трехмерность исследовалась нами как артефакт и догма.
Как нечто, появляющееся в природе, когда она попадается на
наши глаза и становится объектом наших притязаний. Как одеж
да, сшитая фабрикой «по технологии», а не по фигуре и вкусу за
казчика. Замутившееся стекло, через которое не различить истин
ную симметрию, реальную гармонию окружающего. Привычка
на все глядеть «из своего угла», привычка к старым и удобным
истинам. Абстракция, подменившая в нашем сознании реаль
ность. Клетка, в которую мы до сих пор пытаемся втолкнуть Ми
роздание.
ПОЧЕМУ В МЕТРЕ 100 САНТИМЕТРОВ, ИЛИ
ТРЕХМЕРНОСТЬ КАК АРТЕФАКТ И ДОГМА

90
В этой главе автор предлагает рассмотреть эскиз нового пони
мания размерности пространства. Этот подход может сделать бо
лее простой и объективной и теорию размерностей, и всю «есте
ственную геометрию», и современные физические теории. Может
быть, речь может идти даже о построении новой геометрии, кото
рую удобно было бы назвать «естественной геометрией перемен
ной размерности (ЕГПР)», отличив тем самым ее и от «естествен
ной трехмерной», и от «многомерной абстрактной». Разумеется,
в задачу автора не входит и не может входить сколько нибудь за
Глава 15.
Как нарисовать четвертое измерение, или
естественная геометрия переменной
размерности
«...такой геометрический язык в случае n и даже
бесконечно большого числа переменных достав
ляет действительную пользу; благодаря ему все
рассуждения становятся гораздо живее, чем
если держаться одних только аналитических
выражений, и вскоре достигается такая лов
кость в употреблении новых геометрических
представлений, как если бы мы в Rn и в R∞ нахо
дились у себя дома. Вопрос о том, что именно в
действительности скрывается за этим явлени
ем, и не сказывается ли здесь некоторое есте
ственное предрасположение человека, которое
только из за ограниченности нашего опыта обык
новенно развивается лишь в двух и трех измере
ниях, пусть решают психологи и философы!»
Феликс Клейн45

91
конченное ее построение -- это дело профессиональных математи
ков. Мы рассмотрим здесь только некоторые возможности, кото
рые открывает перед естествознанием отказ от аксиомы трехмер
ности. С другой стороны, автор вполне отдает себе отчет в том,
что новизна ЕГПР весьма условна -- многомерные геометрии раз
виваются уже почти 150 лет! Дело вообще не столько в том, что
бы создавать новое, а в том, чтобы отбросить лишнее. Разо
брать наконец «строительные леса» физических теорий,
отказаться от их обязательного «проецирования» на «3+1 мерное
пространство--время»*...
Прежде всего попробуем «нарисовать четвертое измерение».
Не раз было сказано, что это невозможно, -- «ибо не может суще
ствовать четвертая линия, перпендикулярная трем другим, уже
взаимоперпендикулярным». Мы, однако, уже имели возможность
видеть, что «трехмерное декартово пространство» оказывается в
общем случае шестимерным, а действительно трехмерным -- толь
ко в пределах 1/8 своей части. Но это, так сказать, «слабая мно
гомерность», многомерность, которая может быть «нарезана» на
трехмерные «куски». Эта процедура «сведения» размерности це
лого к размерности части вызывает серьезные возражения и на
водит на некоторые мысли по поводу «арифметики размернос
тей». Мы еще коснемся этого ниже, а пока перейдем к «сильной
многомерности», к изображению форм и структур, построенных
в системах координат (векторных базисах), секториальная раз
мерность которых превышает три. Но прежде еще одно, послед
нее, отступление.
А можно ли нарисовать трехмерие, передать на плоскости то,
что объемно? В этом деле нам никак не обойтись без простран
* Если разобрать «строительные леса», то мерность вообще не получится. Эти
леса -- конструкция несущая. Ну, нет в реальности никакой мерности, это же
очевидно! «Реальное пространство» действительно «пусто и аморфно»... Мер
ность нужна нам как инструмент --- чтобы изучать реальность. И возьмем ли
мы линейку или сверхсложный и тонко устроенный прибор какой то, смысл от
этого не изменится. Эта штуковина все равно останется инструментом, ко
торого не было в реальности, который мы туда принесли; а потому и спор о том,
чему реальность соответствует, --- линейке или прибору нашему сложному, ---
смысла не имеет. Другое дело, что при помощи прибора этого мы можем увидеть
наконец новые грани реальности, которые «линейка» видеть не позволяла в силу
несовершенства своего. И это здорово. --- Н.М.
КАК НАРИСОВАТЬ ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ, ИЛИ
ЕСТЕСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПЕРЕМЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ

92
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
ственного воображения. Именно оно помогает нам видеть объем
ную фигуру там, где нарисовано несколько соединяющихся свои
ми концами черточек, именно оно позволяет видеть три прямых
угла там, где на самом деле нарисованы один прямой и два тупых,
именно оно «восстанавливает» объем -- сжимая или растягивая
соответствующие углы и отрезки. Правила этого «восстановле
ния», правила проецирования могут быть формализованы и за
креплены в специальном разделе геометрии, но это не меняет глав
ного: рисунок, сколь бы реалистичен он ни был, чертеж, сколь бы
ни был точен, -- это не реальность, но лишь намек, лишь повод к
размышлению, канва к построению объемного образа.
Итак, мы уже умеем видеть три прямых угла там, где нарисо
вано три острых. Нам предстоит теперь научиться видеть прямые
углы, т.е. углы линейной независимости, там, где нарисовано 4,
5, 6. . . острых, к примеру, признавать ортогональность всех две
надцати тридцатиградусных углов 12 лучевой плоской коорди
натной системы. Научиться мысленно раздвигать или сжимать
пространство, научиться видеть его различную угловую плот
ность. Нам необходимо проникнуться мыслью, что эта «растяжи
мая геометрия» и есть геометрия, адекватная реальности, что
именно так мы можем максимально объективным способом ото
бразить реальное уплотнение -- разряжение реального поля про
странства, его, к примеру, различную световую и гравитацион
ную плотность вблизи Солнца и на удалении в 150 млн километров.
Мы должны будем признать, что транспортир и линейка ученого,
в отличие от инструментов конструктора, должны хотя бы иног
да менять свою градуировку в зависимости от «градуировки» из
меряемого пространства.
Положим, что мы уже научились видеть столько «углов ли
нейной независимости», сколько их есть на самом деле. Что мы,
к примеру, можем мысленно «раздвинуть» ночное небо, сделав
ортогонально независимыми все реально независимые лучи, на
правленные на нас от всех видимых звезд. Теперь нам не составит
труда представить базис, состоящий из четырех линейно незави
симых векторов.
Полученный базис (рис. 11.3) задаст совершенно особую
структуру, не сводимую к структуре одного (рис. 11.1) и даже двух
(рис. 11.2) секторов трехмерного пространства. А именно: 4 ба

93
зисных вектора определят -- складываясь по 2, по 3, по 4, -- один
надцать линейно зависимых векторов второго, третьего и четвер
того порядков. В то время как 3 базисных вектора зададут всего
лишь 4 зависимых, а 4 базисных, взятых по 3 (т.е. разбитых на
два обычных трехвекторных базиса), -- только 5 зависимых век
торов второго и третьего порядка. Четырехмерие имеет, таким об
разом, более сложную структуру, оно богаче возможностями, оно
несводимо к сумме «трехмерий».
Еще богаче 5 , 6 и 12 мерия, и природа, несомненно, исполь
зует это обстоятельство -- хотя бы тогда, когда «конструирует» цве
ты с их чашелистиками, лепестками, пестиками и тычинками.
Куда как проще ей для этого не ограничиваться тремя вектора
ми, а потом возиться с дифференцированием, тригонометрией и
иррациональными величинами, а взять 4, 5, 12 независимых век
торов и просто складывать их по 2, по 3, по 4. . .
Еще нагляднее эта несводимость видна при обращении к коор
динатному методу. Процедура определения координат в трехмер
ном пространстве может быть представлена как последователь
ное проецирование точки на координатные плоскости, затем -- на
координатные лучи, затем -- в центр системы координат. После
довательность этих операций рисует в пространстве «проекцион
ную фигуру» типа полого параллелепипеда (рис. 11.4). Соответству
ющая фигура в четырехмерном пространстве -- это «четырехмерный
параллелепипед» (рис. 11.6). Одно из принципиальных отличий
последнего состоит в наличии у него внутренней структуры. Если
же мы попытаемся заменить четырехмерный сектор двумя смеж
ными трехмерными (рис. 11.5), то получим не «полный четырех
мерный параллелепипед», а нечто совсем другое -- два полых трех
мерных параллелепипеда.
Мы можем разобрать четырехмерную фигуру на серию фигур
трехмерных -- так, как это показано на рисунке 11.6. Точно так
же пятимерная фигура может быть разобрана на четырехмерные.
Точно так же, как фигуры трехмерные могут быть разобраны на
плоские, фигуры плоские -- на линейные (рис. 11.7). У нас нет ни
каких оснований ограничивать рассмотренный выше топологи
ческий ряд, связывающий тела и пространства разной размерно
сти, трехмерием. Разве что тот факт, что при размерности более
трех проекционная фигура обладает внутренней структурой. Но
КАК НАРИСОВАТЬ ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ, ИЛИ
ЕСТЕСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПЕРЕМЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ

94
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
Ðèñ. 11. Òðåõ- è ÷åòûðåõìåðíûå âåêòîðíûå è êîîðäèíàòíûå ñèñòåìû
1) Òðåõìåðíàÿ âåêòîðíàÿ ñèñòåìà. Ñëîæåíèå òðåõ ëèíåéíî íåçàâèñè-
ìûõ âåêòîðîâ äàåò 3 âåêòîðà âòîðîãî è 1 âåêòîð òðåòüåãî ïîðÿäêîâ.
2) Âåêòîðíàÿ ñèñòåìà ðàçìåðíîñòè 3/4 (äâóõñåêòîðíàÿ). ×åòûðå áà-
çèñíûõ âåêòîðà ñî÷åòàíèÿìè ïî òðè çàäàþò â äâóõ ñìåæíûõ ñåêòîðàõ 5 âåê-
òîðîâ âòîðîãî è 2 --- òðåòüåãî ïîðÿäêà.
3) ×åòûðåõìåðíàÿ âåêòîðíàÿ ñèñòåìà. ×åòûðå áàçèñíûõ âåêòîðà îïðåäåëÿ-
þò 11 ëèíåéíî çàâèñèìûõ: 6 --- âòîðîãî, 4 --- òðåòüåãî, 1 --- ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.
4) Òðåõìåðíàÿ êîîðäèíàòíàÿ ñèñòåìà. Îïðåäåëåíèå êîîðäèíàò òî÷êè
êàê «ðåäóêöèÿ ðàçìåðíîñòè»: òðåõìåðíàÿ òî÷êà À3 ïðîåöèðóåòñÿ íà äâó-
ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî --- â òî÷êè À2, Â2 è Ñ2 (èç òî÷êè À3 ïðîâîäÿòñÿ ëó÷è,
ïàðàëëåëüíûå êîîðäèíàòíûì --- äî èõ ïåðåñå÷åíèÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè
ïëîñêîñòÿìè); çàòåì äâóìåðíûå òî÷êè ïðîåöèðóþòñÿ â 3 îäíîìåðíûå (X1,
Y1 ,Z1); îäíîìåðíûå ñâîäÿòñÿ â îäíó íóëüìåðíóþ (òî÷êà 0). «Ïðîåêöèîííûé

95
КАК НАРИСОВАТЬ ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ, ИЛИ
ЕСТЕСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПЕРЕМЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
ïàðàëëåëåïèïåä» ïîñëåäîâàòåëüíî ðàçáèðàåòñÿ íà òðè ïàðû ãðàíåé, ãðàíè
ðåäóöèðóþòñÿ â ðåáðà, ðåáðà - â òî÷êè.
5) Êîîðäèíàòíàÿ ñèñòåìà ðàçìåðíîñòè 3/4 (äâà ñìåæíûõ òðåõìåðíûõ ñåê-
òîðà). Åé ñîîòâåòñòâóþò äâà ïðîåêöèîííûõ ïàðàëëåëåïèïåäà ñ îáùåé ãðàíüþ.
6) ×åòûðåõìåðíàÿ êîîðäèíàòíàÿ ñèñòåìà. ×åòûðåõìåðíàÿ òî÷êà À4 ïðî-
åöèðóåòñÿ íà òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî --- â òî÷êè À2, Â2, Ñ2, D2 (èç òî÷êè À4
ïðîâîäÿòñÿ ëó÷è, ïàðàëëåëüíûå êîîðäèíàòíûì --- äî èõ ïåðåñå÷åíèÿ ñ ñî-
îòâåòñòâóþùèìè òðåõìåðíûìè ôèãóðàìè). Òðåõìåðíûå òî÷êè ïðîåöèðóþò-
ñÿ â 6 äâóìåðíûõ (À2...F2); äâóìåðíûå --- â 4 îäíîìåðíûå (X1,Y1,Z1,P). «×åòû-
ðåõìåðíûé ïàðàëëåëåïèïåä» «ðàçáèðàåòñÿ» íà 4 ïàðíûõ ïîëûõ ïàðàëëå-
ëåïèïåäîâ, òå --- íà ãðàíè, íà ðåáðà, íà òî÷êè.
7) Îäíà èç âåòâåé ðàçáîðêè (ñáîðêè) «ïÿòèìåðíîãî ïàðàëëåëîãðàììà».

96
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
кто сказал, что предметом геометрии являются только пустоте
лые объекты?
Мы не могли нарисовать четвертое измерение только потому,
что пытались пристроить его «где то сбоку» к трехмерию, кото
рое изначально отождествляли с объемностью. И это оказывалось
невозможным -- мы не могли мыслить реальными нереальные
образы.
Неудивительно, если нам показалось, что «другие измерения»
имеют чисто абстрактный характер.
Рассмотрим теперь один из простейших, наиболее изученных
и «геометризованных» природных объектов -- кристалл, чья внут
ренняя структура может быть охарактеризована как «плотнейшая
упаковка» атомов, или атомоподобных (т.е. субсферичных) моле
кул (рисунок 12). Это может быть пирит FеS , молибденит MoS ,
моноэлементный металл, поваренная соль NaCl и многое другое.
Сразу же отметим два основных варианта, соответствующие двум
типам упаковки: «кубический» (трехслойная упаковка) и «гекса
гональный» (двухслойная упаковка). Мы видим, что уже несколь
ко соединенных вместе шариков, в зависимости от способа этого
соединения, способны породить кристаллические пространства
различной структуры, симметрии, размерности: оптически изо
тропное, с элементами симметрии куба, и анизотропное, с сим
метрией шестигранной призмы.
Но и внутри этих типов (групп) скрывается великое множество
пространственных структур и (или) структурированных про
странств. Чем больше шариков, тем больше они могут образовать
различных линий (ребер) и плоскостей (граней). Так, «кубичес
кие» минералы оказываются способны к кристаллизации в фор
мах тетраэдра, октаэдра, пентагондодекаэдра. . . Один кристалл
может демонстрировать самые разные комбинации этих форм.
И каждой форме можно подобрать свою, наиболее удобную при
описании, наиболее отвечающую ее симметрии систему коорди
нат и координатное пространство особой размерности: 3/4 для тет
раэдра, 3/6 для октаэдра, 4/8 для куба, 4/14 для ромбо и 5/20
для пентагондодекаэдра (в числителе указывается секториальная,
в знаменателе -- полная размерности). Можно построить «смешан
ные» координатные пространства. . . Можно сделать метод коор
динат столь же многовариантным, как и форма природного крис

97
Ðèñ. 12. «Ìåòàìîðôîçû» ïëîòíåéøåé óïàêîâêè. Ïëîòíåéøàÿ óïà-
êîâêà àòîìîâ èëè øàðîîáðàçíûõ ìîëåêóë «ñîäåðæèò â ñåáå» ñòðóêòóðû,
îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íîé ïàðàìåòðè÷åñêîé ðàçìåðíîñòè.
«Êóáè÷åñêèé» âàðèàíò óïàêîâêè.
1) Øàðîâàÿ ìîäåëü. Ñíèçó ïðîñâå÷èâàþò øàðû (àòîìû) íèæíåãî ðÿäà, ïî-
âåðíóòîãî îòíîñèòåëüíî âåðõíåãî íà 60°. 2) Ãðàííàÿ ìîäåëü. Âåðøèíû ñîîò-
âåòñòâóþò öåíòðàì àòîìîâ, ãðàíè -- âàæíåéøèì ïëîñêîñòÿì àòîìíîé ðåøåòêè.
3) Êóá ñ âîñüìèëó÷åâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò. 4) Îêòàýäð ñ «ñîáñòâåííîé»
øåñòèëó÷åâîé (äåêàðòîâîé) ñèñòåìîé êîîðäèíàò. 5) Êðèñòàëë ïèðèòà îêòà-
ýäðè÷åñêîé ôîðìû, óñëîæíåííîé ãðàíÿìè ïåíòàãîíäîäåêàýäðà è êóáà.
6) Êóáè÷åñêèé êðèñòàëë ïèðèòà, óñëîæíåííûé ãðàíÿìè ïåíòàãîíäîäåêàýäðà.
«Ãåêñàãîíàëüíûé» âàðèàíò óïàêîâêè.
7, 8) Øàðîâàÿ è ãðàííàÿ ìîäåëè. Àòîìû íèæíåãî ðÿäà ðàñïîëàãàþòñÿ ïîä
àòîìàìè âåðõíåãî. 9, 10) Ïèðàìèäû, îáðàçîâàííûå ãðàíÿìè äâóõ ðàçëè÷íûõ
ïèðàìèä è òàê íàçûâàåìûì «áàçîïèíàêîèäîì», ò.å. ãðàíüþ, ïåðïåíäèêóëÿð-
íîé îñè z; ñîáñòâåííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò --- òðèãîíàëüíûå ÷åòûðåõëó÷åâûå.
11) «Áèïèðàìèäà», îáðàçîâàííàÿ ãðàíÿìè äâóõ ïèðàìèä è áàçîïèíàêîèäà ñ
ãåêñàãîíàëüíîé âîñüìèëó÷åâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò. 12) Êðèñòàëë ìîëèá-
äåíèòà (ðèñóíîê ïî êíèãå À.À. Ãîäîâèêîâà «Ìèíåðàëîãèÿ» (Ì., 1975))
КАК НАРИСОВАТЬ ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ, ИЛИ
ЕСТЕСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПЕРЕМЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ

98
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
талла, сделать возможным «вписывание» геометрического про
странства в пространство кристаллическое (да и любое другое) --
подобно тому, как кристалл врастает в окружающую среду, «учи
тывая» в своих форме и строении ее симметрию, структуру, раз
мерность.
Топологическую размерность мы могли бы ввести как локаль
ную величину, характеризующую окрестности данной точки
(тела, атома. . .) через число точек, с ней соприкасающихся, т.е.
как координационное число -- используя в несколько расширен
ном понимании существующее кристаллохимическое понятие.
Мы имели бы весьма информативную характеристику струк
туры объекта внутри и снаружи, в «рядовых» и особых точках.
«Отдельно стоящая» точка получила бы размерность 0, точки на
линии -- 2, а по ее концам -- 1; точка на пересечении двух линий --
4, стоящая в начале декартовых координат -- 6. Размерность плос
кости не была бы априорно равна двум, а зависела бы от ее струк
туры. Скажем, если плоскость образована скрученной в спираль,
но не «слипшейся» линией, то ее размерность -- 2, если она пред
ставляет собой слой, состоящий из соприкасающихся кругов, -- 6.
«Локально координационное» понимание топологической раз
мерности позволяет увидеть и «откартировать» объект как пере
менное размерностное поле. К примеру, структура металла
«плотнейшей упаковки» во внутренних, бездефектных частях
кристалла будет иметь размерность 12 (число атомов в окрестнос
тях данного), понижаясь вблизи одноатомных «дырок» до 11, на
Ðèñ. 13. Ëîêàëüíî-êîîðäèíàöè-
îííàÿ ðàçìåðíîñòü íà ïðèìåðå
êóáè÷åñêîãî âàðèàíòà ïëîòíåé-
øåé óïàêîâêè. Ïîêàçàííàÿ íà
ðèñóíêå ïèðàìèäà îãðàíè÷åíà ãðà-
íüþ îêòàýäðà (ñíèçó) è òðåìÿ ãðà-
íÿìè êóáà. Öèôðû è èíòåíñèâíîñòü
îêðàñêè øàðîâ îòðàæàþò êîîðäè-
íàöèîííûå ÷èñëà è/èëè ëîêàëüíóþ
ðàçìåðíîñòü ñòðóêòóðû.

99
гранях октаэдра -- до 9, на его ребрах -- до 8, в вершинах, образо
ванных тремя октаэдрическими гранями, -- до 4. Грани, ребра и
вершины куба будут иметь уже другие размерности -- соответ
ственно 8, 5, 3 (как это показано на рисунке 13).
Отметим еще одну метаморфозу плотнейшей упаковки. Меж
ду шарообразными атомами остаются два типа пустот -- октаэд
рические и тетраэдрические. Пустоты могут быть заполнены ато
мами другого элемента, как это происходит, например, в галите,
где мелкие ионы Na+ заполняют октаэдрические пустоты между
крупными ионами Cl--. Координационное число атома в октаэд
рической «дырке» -- 8, в тетраэдрической -- 4. Соответственно,
можно говорить о существовании восьмимерных и четырехмер
ных областей пространства внутри 12 мерной структуры.
Локально координационное определение размерности было бы
легко увязано с соответствующими параметрическим и векторным
определениями (рисунок 14). Координационное число в локальной
области совпадает с числом независимых векторов -- трансляций
этой же области, иначе -- с числом векторов, необходимых для того,
чтобы построить всю структуру на основе ее элементарной ячейки.
«Картированию» поддается и векторная размерность объекта.
Каждой его точке (области) мы можем сопоставить определенное
число, отражающее число выделенных, независимых направле
ний, видимых из этой точки (области), различая при этом направ
ления потенциальные (полевые, пространственные) и «веществен
ные», т.е. реализованные, заполненные веществом или энергией.
КАК НАРИСОВАТЬ ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ, ИЛИ
ЕСТЕСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПЕРЕМЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
Ðèñ. 14. Êîîðäèíàöè-
îííàÿ (òîïîëîãè÷åñêàÿ)
è òðàíñëÿöèîííàÿ (âåê-
òîðíàÿ) ðàçìåðíîñòè.
Òîïîëîãè÷åñêàÿ è âåêòîð-
íàÿ ðàçìåðíîñòè ïëîñêî-
ãî òåëà, îáðàçîâàííîãî
ïëîòíî óïàêîâàííûìè øà-
ðàìè, ðàâíû øåñòè; â ñëó-
÷àå «ïðÿìîóãîëüíîé óïà-
êîâêè» -- ÷åòûðåì.

100
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
Теперь внутреннее поле--пространство снежинки (рисунок 15)
окажется в объеме восьми , а в плоскости «с» (основной плоско
сти снежинки) -- шестимерным (это будет шестимерный «срез»
восьмимерного пространства). Размерность же собственно крис
таллической структуры «как она есть» будет величиной перемен
ной, изменяющейся от 8 (6) в центре и 5 -- в некоторых узловых
точках на лучах («эпицентрах») до 1 -- на концах лучиков.
На примере снежинки можно еще раз рассмотреть соотношение
размерностей целого и частей. Пространство снежинки в плоско
сти «с» всюду, даже в пределах «двумерных» секторов, шести
мерно, т.е. имеет в каждой точке 6 выделенных независимых век
торов, которые определяют направления кристаллизации и (или)
таяния. В то же время размерность самого кристалла внутри сек
торов может действительно иметь тенденцию к двоичности (в каж
дом из них нередко выделяются два основных направления роста).
Но лишь тенденцию. Чем ажурнее снежинка, чем менее похожа она
на градину, тем больше реализованных и запечатленных в ее форме
направлений, тем разнообразнее размерность.
Еще одно важное обстоятельство касается концепции супер
симметрии. Отказ от «атрибутивности» 3+1 мерной метрики
гравитационного поля позволяет рассматривать «физическое про
странство» как модельный синтетический образ «вложенных»
полей. Это, в свою очередь, позволяет отказаться от «компакти
фикации» электромагнитного поля и подойти к установлению
явной (а не скрытой или «калибровочной») симметрии электро
магнитного и гравитационного полей.
Мы имеем теперь больше оснований предполагать отсутствие
фундаментальных различий в устройствах микро и макро
Ðèñ. 15. Øåñòèâåêòîðíîå
ïðîñòðàíñòâî ñíåæèíêè.
 êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà
ïëîñêîé ñíåæèíêè èìååòñÿ
øåñòü âûäåëåííûõ íàïðàâëå-
íèé, îïðåäåëÿþùèõ øåñòü
ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé ðîñòà
è/èëè òàÿíèÿ. Ðèñóíîê ïî ôî-
òîãðàôèè èç êíèãè «Íàóêà î
ëüäå» (Ìàýíî Í. Ì., 1988).

101
миров. Автор вполне убежден, что само это разделение является
артефактом, следствием нежелания отказаться от «догмы трех
мерности».
Итак, мы имеем теперь принципиально новое понимание раз
мерности и множество вариантов его применения. Понятно, что
при этом возникают и некоторые проблемы. Так, например, в
ЕГПР как будто пропадает различие между линией, плоскостью
и объемом: линия и плоскость могут теперь иметь и одинаковую
размерность (2), а плоскость может иметь размерность бо льшую,
чем некоторый объем. Может быть, следует признать, что наш
метод применим только к отдельным объектам, объемные, т.е.
внутренние части которых, как мы это видели на примере крис
таллов, всегда имеют бо льшую размерность, чем их плоские гра
ни, а те -- размерность бо льшую, чем ребра и вершины. Но лучше
было бы найти другое, не размерностное, отличие. Скажем, вос
пользоваться все тем же различением поля и вещества. Плоскость --
это частный случай поверхности, поверхность -- это граница. Гра
ница между полем и веществом, пространством и телом, бытием
потенциальным и бытием актуальным. Тогда граница, поверх
ность, плоскость -- это области, в которых меняется качествен
ный тип размерности: снаружи -- только потенциальная размер
ность, внутри -- размерность и потенциальная, и «вещественная».
...Хочется надеяться, что нам еще представится возможность
для обстоятельного рассмотрения упомянутых и многих других
проблем и перспектив. Мы, как мне кажется, стоим в самом нача
ле пути, ведущего к осознанию нового способа видения и описа
ния окружающего, к созданию геометрии, не отказывающейся от
имеющихся математических истин и разработок, но открываю
щей в них новое звучание, приближающей их к реальности и ин
туиции.
КАК НАРИСОВАТЬ ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ, ИЛИ
ЕСТЕСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПЕРЕМЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ

102
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
Идеи Дм. Гуревича могут способствовать выработке несравненно
более богатого и тонкого, чем ныне, мировосприятия, восприятия от
крытого, не имеющего заранее установленных рамок, не заключенного
в раз и навсегда данный объем. Этой открытости мироотношения как
раз и не хватает сегодняшнему человеку; а между тем именно она дает
возможность отнестись к реальности с доверием, без шор и стереоти
пов вечных сомнений и опасений.
С.Ю. Колчигин,
доктор философских наук,
главный научный сотрудник Института Философии
АН Казахстана
Данная книга предлагается вниманию не только специалистов по
математическим и естественным наукам, но и убежденным привер
женцам гуманитарных знаний, ибо многие положения, сформулирован
ные автором, позволяют по новому взглянуть на ряд сложных и нере
шенных проблем источниковедения, искусствознания, культурологии.
А.А. Амосов, доктор исторических наук,
Санкт Петербург

103
Литература
1 Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геомет
рия. М., 1986. С. 18, 24, 61, 407.
2 Цитата по книге: Клейн Ф. Элементарная математика с точки
зрения высшей: в 2т. М., 1986, Т.2. С. 253.
3 Там же. С. 302.
4 Галилей Г. Избранные труды. Т.1,2. М., 1964. С. 110.
5 Там же. С. 109.
6 Декарт Р. Избранные произведения. М., 1950. С. 17.
7 Цитата по книге: Клейн Ф. Элементарная математика с точки
зрения высшей: в 2 т. М., 1986, Т.2. С. 409.
8 Большая Советская Энциклопедия, статья «Векторное исчисле
ние».
9 Аристотель. Сочинения. М., 1971, Т.3. С. 265.
10 Пуанкаре А. О науке. М., 1990.
11 По книге: Гуревич В., Генри В. Теория размерности. М., 1948. С. 22.
12 По книгам: Кант И. Сочинения: в 6т. М.,1963, Т.2. С. 378 и 70--
71; Владимиров Ю.С. Пространство--время. М., 1989. С. 34--41.
13 Мостепаненко А.М., Мостепаненко В.М. Четырехмерность
пространства и времени. М.:Л., 1966. С. 59.
14 Горелик Г.Е. Почему пространство трехмерно? М., 1982. С. 31.
15 Логунов А.А., Мествиришвили М.А. Основы релятивистской
теории гравитации. М., 1985.
16 Владимиров Ю.С. «Метафизика». М., 2002. С.127.
17 Горелик Г.Е. Почему пространство трехмерно? М., 1982. С. 122.
18 Зельдович Я.Б. Драма идей в познании природы. М., 1988. С.162.
19 Эйнштейн А., Майер В. Единая теория гравитации и электри
чества. Собрание научных трудов. Т.2. М., 1966. С. 367.
20 Кулаков Ю.И. Элементы теории физических структур (Допол
нение Г.Г. Михайличенко). Новосибирск, 1968; Владимиров Ю.С.
«Метафизика». М., 2002.

104
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
21 Владимиров Ю. «Метафизика». М., 2002. С. 415.
22 Владимиров Ю. «Метафизика». М., 2002. С. 302.
23 Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Гео
метрия. М., 1987. С. 98.
24 Ахундов М.Д. Концепции пространства и времени: истоки, эво
люция, перспективы. М., 1964.
25 Мостепаненко А.М., Мостепаненко В.М. Четырехмерность
пространства и времени. М.:Л., 1966. С. 28.
26 Ленин В.И. Материализм и эмпириокритицизм. С. 187.
27 Пуанкаре А. Наука и гипотеза. В кн.: «О науке». М., 1990. С. 274.
28 Пуанкаре А. Наука и метод. В кн.: «О науке». М., 1990. С. 453.
29 Пуанкаре А. В кн.: «О науке». М., 1990. С. 441.
30 Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геомет
рия. М., 1986. С. 18, 24, 61, 407.
31 Аристотель. М., 1983, Т.3. С.124.
32 Шестов Л. Potestas Clavium. M., 1993. С. 63.
33 Пуанкаре А. В книге «О науке». М., 1983. С. 379.
34 Жизнь животных. Т.1. М., 1987.
35 Мах Э. Познание и заблуждение. Очерки по психологии иссле
дования. М., 1909. С. 346.
36 Декарт Р. Избранные произведения. М., 1950.
37 Цитата по кн.: Клайн М. Математика. Поиск истины. М.,1988.
С.180.
38 Владимиров Ю.С. Пространство--время. М., 1989. С.5.
39 Беркли Д. Сочинения. М., 1978. С. 379.
40 Мах Э. Механика. Историко критический очерк ее развития.
Ижевск, 2000. С. 195.
41 Ньютон И. Математические начала натуральной философии.
М., 1989. С. 30.
42 Флоренский П.А. Обратная перспектива. В книге «У водоразде
лов мысли». М., 1990. С. 96.
43 Пуанкаре А. Наука и гипотеза. В кн.: «О науке». М., 1990. С. 67.
44 Пуанкаре А. Наука и гипотеза. В кн.: «О науке». М., 1990. С. 49.
45 Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. М.,
1987. Т. 2. С. 89.

105
Summary
Are the three dimensions the immanent property of space and
bodies or are they a phantom caused by the individual perception? Is
the axiom of the three dimensions among the necessary foundations
of geometry and physics? Is it possible to propose more constructive
definition of dimensions? These and some other questions are the
subject of this book.
Chapters 1 4 explain the three dimensions of space as a necessary
axiom of topology, vector and parametric geometries. It is represent
ed as an essential feature of our universe and one of the basic natural
laws used in most physical theories.
Chapters 5 shows historical transformation of the empty and
formless space of Euclid's «Elements» in the continual, differentiab
le, and orthogonal parallel «Euclidean» space of the modern physics
and geometry.
Chapter 6 demonstrates that the three dimensions of space are
just a particular case of the Cartesian space metric structure.
Chapter 7 is devoted to the analysis of correspondence of differ
ent natural forms to the structure of space. Insufficiency of Carte
sian coordinates for the description of enantiomorphs is shown.
Chapter 8 is about criteria of choice of different coordinate sys
tem with various full and sectorial dimensionalities. The Cartesian
coordinate system is shown here as one of many systems, which are
symmetric and use a few parameters. It is adequate to structures of
many natural bodies, handly, usual, and possess of some geometric
advantages. It is conformable to the psychophysiological apparatus
of human perception and historically determined mentality.
Chapter 9 reveals gravitational, electromagnetic and dynamic
anisotropy of real space of field nature, its general inadequacy to the

106
ДМИТРИЙ ГУРЕВИЧ. «ДОГМА ТРЁХМЕРНОСТИ»
model of the «Euclid's Cartesian space». Possibility to deduce laws
of field interaction without reference to the attributive three dimen
sions is shown.
Chapter 10 contains the analysis of additional conditions to the
«axiom of orthogonal trivectorial linear independence». These con
ditions are discussed with respect to the light and gravity fields. It
shows their inadequacy to the vectorial geometrical space of 3 di
mensions. A concept is proposed that space is a subjective and syn
thetic image of superposed fields.
Chapter 11 reveals some internal and external contradictions of
the topologic definition of number of dimensions. Examples of natu
ral «anti topological» structures are shown.
Chapter 12 reveals difference between volume and three dimen
sional form. Manner of volume calculation does not reflect the real
multitude of manners of space organization (infilling).
Chapters 13 and 14 conclude that the three dimensions of space
and bodies in modern sense is a dogma and an artifact, rudiment and
framework of mechanistic conscience.
Chapter 15 contains a description of study of some fundamental
features of «natural geometry of variable number of dimensions».
The concept of number of dimensions is connected to well known con
cepts of symmetry, coordination number and number of independent
vectors. Some properties of spaces and bodies with 3, 4 and 5 dimen
sions are compared. Some examples and results of new concept are
given applied to description of crystals, symmetry of gravity and elec
tromagnetic fields.
This book is the first volume of a series of planned books devoted
to the critics of mechanistic aspects of the modern natural philoso
phy. The positive program of the author is aimed to the construction
of a «natural geometry of variable curvature and variable number of
dimensions».
The author looks forward to contacts with interested persons.
e mail: dmgurevich@mail.ru

Содержание
Введение ....................................................................... 3
Глава 1. «Три измерения суть все», или трехмерность как
аксиома ........................................................................ 6
Глава 2. Евклидово -- следовательно, трехмерно, или трехмер
ность как эмпирический факт .......................................... 10
Глава 3. Размерности некомпактифицированные и компакт
ифицированные, или трехмерность как закон природы ....... 14
Глава 4. Антропный принцип, или круг в доказательстве? ... 19
Глава 5. Преобразование Пифагора Декарта, или как простран
ство Евклида стало евклидовым пространством .................. 23
Глава 6. Трехмерно ли трехмерное декартово пространство,
или о различии «+» и «--» ................................................ 32
Глава 7. Формы трехмерные и иные, или об адекватности
геометрической модели ................................................... 38
Глава 8. Одна из многих, или тест на оптимальность ........... 45
Глава 9. Поле пространство, или поле в пространстве? ........ 56
Глава 10. «Реальное пространство» с точки зрения векторной
геометрии, или тест на линейную независимость ................ 63
Глава 11. Логика и диалектика топоса, или «антипология» .. 72
Глава 12. «Трехмерность -- объем -- объемность», или о разли
чиях между трехмерностью и объемностью ....................... 77
Глава 13. Концепция вписывания, или принцип объектив
ности ............................................................................ 81
Глава 14. Почему в метре 100 сантиметров, или трехмерность
как артефакт и догма ...................................................... 86
Глава 15. Как нарисовать четвертое измерение, или естествен
ная геометрия переменной размерности ............................. 90
Литература ................................................................................ 103
Summary .................................................................................... 105

...«Вопрос о трехмерности» имеет давнюю ис
торию. Может быть, она началась в те време
на, когда впервые были произнесены слова «дли
на», «ширина» и «высота», а может быть, еще
раньше -- когда в первозданном Хаосе возникали
первые микроскопические островки Порядка...
...Реальные тела трехмерны «сами по себе», или
они становятся такими в процессе нашего вос
приятия и осмысления? Трехмерность про
странства ---это аксиома, необходимая для гео
метрического описания реальности, или догма,
препятствующая ее пониманию? Существует
ли более конструктивное определение размер
ности?
...Работы Анри Пуанкаре, Павла Флоренского и
Эрнста Маха демонстрируют совершенно чет
кое понимание того, что геометрия и реаль
ность -- разные вещи, что евклидова геометрия
(как и любая другая геометрия) потому и мо
жет быть абсолютно верна, что не имеет пря
мого отношения к реальному пространству.