Автор: Давыдов В.В. Маттес Н.В. Сиверцев И.Н.
Теги: судостроение судовые установки судопроизводство
Год: 1958
Текст
Sgt
El J
A
U Снверцев
I
Продолжение
Стр. Строка Напечатано Следует читать По вине
725 5 снизу = 56,4-10® (2,48—0) — =56,4-10~5 ^(2,48—0)— Автора
9, — 1, 30 28 " 9,30 “6,28
729 19 » 2,35 - 10» - 1,000 ••• 2,35-103-6,440-1,000---
743 Табл. 178 10 графа, 8 строка снизу —161,32 — 151,32 »
753 Формула (799) -.-+4 mfki Mk + 4 мк Типо- графии
ИСПРАВЛЕНИЯ
На стр. 526, рис. 191, направления моментов в области отрицательных
у обратны указанным иа рисунке.
На стр. 686, в табл. 164, рисунок графы 4 изображает 4-й тон, рису-
нок графы 5 изображает 5-й тон, рисунок графы 6 изображает 3-й тон.
На стр. 700 в головке табл. В вместо индекса i в графах 6, 7, 8, 9
читать /.
Зак. 853
Проф. В. В. ДАВЫДОВ, проф. Н. В. .МАТТЕС, проф. II. Н. СИВЕРЦЕВ
УЧЕБНЫЙ СПРАВОЧНИК
ПО ПРОЧНОСТИ СУДОВ
ВНУТРЕННЕГО
ПЛАВАНИЯ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов институтов, '
инженеров водного транспорта по специальности
«Судостроение и судоремонт*
ИЗДАТЕЛЬСТВО «РЕЧНОЙ ТРАНСПОРТ»
Москва — 195ч
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие.......................................................... 9
Обозначения............. ...........................................11
Перевод мер......................................................... 21
ОБЩАЯ ЧАСТЬ
Глава I. Некоторые сведения по математике и механике
§ 1. Алгебра .........................................................23
Главнейшие формулы элементарной алгебры (23). Бином Ньютона (23).
Логарифмы (24). Комплексные числа (24). Определители и их прило-
жение к анализу систем алгебраических уравнений (26). Некоторые
часто встречающиеся числа (30)
§ 2. Круговые и гиперболические функции...............................31
Круговые функции (31). Гиперболические функции (33)
§ 3. Основные формулы дифференцирования и интегрирования............. 52
Дифференцирование (52) Ряд Тэйлора (53). Тригонометрические
ряды (53). Раскрытие неопределенностей (54). Максимум и минимум (54).
Интегрнровавне (55). Некоторые определенные интегралы и линейные
дифференциальные уравнения (56)
§ 4. Основные операции векторного исчисления ........................ 57
§ 5. Силы и момевты сил. Условия равновесия ........................ .61
§ 6. Геометрические параметры плоских фигур ..................... . 63
Глава II. Технические вычисления
§ 7. Условваи запись приближенных чисел и математические операции
с ними............................................................... 71
§ 8. Решение уравнений ........................................... 75
Уравнения с одним неизвестным (75). Система линейных канонических
уравнений (80)
§ 9. Приближенное интегрирование и дифференцирование.................85
Определенный интеграл (86). Интегральная функция (87). Приближенное
дифференцирование (89)
§ 10. Интерполирование ...............................................91
§ 11. Обработка экспериментальных данных и способ наименьших квадратов 94
Глава III. Основы теории упругости и пластичности
§ 12 . Теория напряженного и деформированного состояния . .101
Напряжения (101). Перемещения и деформации (105)
§ 13. Теория упругости...............................................108
Закон Гука (108). Потенциальная энергия и связанные с ней общие
теоремы (109). Методы решения задач теории упругости (114). Плоская
задача (116)
§ 14. Основы теории пластичности................................. . . 118
Условия пластичности (118). Уравнения связи между деформациями и
напряжениями (119). Остаточные деформации (122). Потенциальная энер-
гия (123). Постановка задачи в теории пластичности (123). Плоская за-
дача (124)
§ 15. Общие принципы оценки устойчивости деформированного состояния . 124
4
Оглавление
Стр.
Глава IV. Растяжение, сжатие и скручивание балок
§ 16. Растяжение.......................................................... 129
Растяжение призматического стержня (129). Гибкая нить (130)
§ 17. Сжатие.................................................................131
Потеря устойчивости прямых призматических балок (131). Потеря устой-
чивости круговой арки и кольца (136)
§ 18. Скручивание призматических стержней................................... 137
Глава V. Изгиб балок
§ 19- Опоры, изгибающие моменты и срезывающие силы............................141
Опоры (141). Изгибающие моменты н срезывающие силы (142)
§ 20. Напряжения и перемещения...............................................144
Нормальные напряжения (144). Касательные напряжения (145). Главные
напряжения (147). Упругая линия (148)
§ 21. Методы раскрытия статической неопределимости...........................152
Метод приравнивания перемещений (153). Метод моментов (154). Метод
угловых деформаций (158). Энергетические методы (162) Метод сил (164)
§ 22. Таблицы элементов изгиба простейших балок..............................168
§ 23. Потеря устойчивости плоской формы изгиба . . . . 214
Глава VI. Использование симметрии конструкции в расчетах
§ 24. Симметрия..............................................................220
§ 25. Разложение несимметричных нагрузок на симметричные и антисимметрич-
ные .................................................................222
Глава VII. Сложный изгиб балок на сплошном упругом основании
§ 26. Балки на упругом освовании . ............................227
§ 27. Сложный изгиб балок .......................... . . .... 248
§ 28. Сложный изгиб балок на упругом основании............. . . 255
§ 29. Мвогопролетвые балки . . . . . . 271
Глава VIII. Рамы
§ 30. Простые рамы с неподвижными узлами . . . . 275
§ 31. Простые рамы с подвижными узлами .... 276
Метод сил (277). Метод моментов (280)
§ 32. Сложные рамы с веподвнжнымн узлами ...................282
§ 33. Сложные рамы с подвижными узлами . ......... . 286
§ 34. Таблица для расчета рам............................................ 295
§ 35. Крнволивейвые рамы..................................................303
Глава IX. Перекрытия
§ 36. Метод приравнивания прогибов...........................314
§ 37. Перекрытия с одной перекрестной связью и приводящиеся к ним . . 316
Перекрытие с одной перекрестной связью, нагруженное равномерно
распределенной нагрузкой (316). Перекрытие с одной перекрестной
связью, нагружевное сосредоточенной силой (318). Перекрытие с двумя
перекрестными связями, нагруженное равномерно распределенной на-
грузкой (319)
§ 38. Перекрытия с несколькими перекрестными связями.........................320
Общий порядок расчета и расчетные формулы (321). Частный случай
одинаковых и равноудаленных перекрестных балок (326)
$ 39. Перекрытия с большим числом одинаково устроенных балок каждого
направления..........................................................327
§ 40. Перекрытия с чередующимися рамами и флорами.................330
§ 41. Сложный изгиб днищевых перекрытий . ..331
5 42. Устойчивость днищевых перекрытий . ... 338
Оглавление
5
Глава X. Метод предельных нагрузок
Стр.
§ 43. Упруго-пластический изгиб........ .......... .............340
§ 44. Определение предельной нагрузки ............................... 345
§ 45. Проверка прочности и конструирование по методу предельных нагру-
зок ........................................................... . . . 352
Глава XI. Изгиб пластин
5 46- Классификация пластин судового корпуса........................ 360
5 47. Изгиб жестких пластин...........................................362
Жесткие прямоугольные пластины под действием равномерно распреде-
ленной нагрузки (362). Жесткие непрямоугольные пластины (371). Ука-
затель типов жестких пластин, для которых имеются доведенные до
простых формул решения (373)
§ 48. Изгиб гибких п астин небольшого прогиба.........................373
Пластины, жестко заделанные по двум противоположным кромкам и
свободно опертые по двум другим (373). Пластины, жестко заделанные
иа контуре и сжато-растянутые в одном направлении, под действием
равномерно распределенной нагрузки (377)
§ 49. Изгиб пластин большого прогиба.................................388
Изгиб свободно опертой пластины большого прогиба под действием
равномерно распределенной нагрузки (388). Изгиб пластин по цилиндри-
ческой поверхности с учетом распора и начальной погиби (388)
Глава XII. Устойчивость пластин
§ 50. Устойчивость одиопролетных пластин..............................394
Свободно опертая пластина (394). Пластина, свободно опертая на три
кромки, с четвертой свободной кромкой (396). Жестко заделанная пла-
стина (396). Пластина под действием усилий в ее плоскости по двум
взаимно-перпендикулярным направлениям (397). Устойчивость прямо-
угольной пластины при сдвиге (400). Указатель имеющихся решений по
устойчивости однопролетных пластин (400)
§ 51. Устойчивость пластин с упругими ребрами.........................402
Пластина с одним продольным ребром (402). Пластина с двумя продоль-
ными ребрами (404). Пластина с несколькими продольными равноудален-
ными ребрами (404). Пластина с поперечными ребрами (405). Пластина
с одним продольным н одним поперечным ребром (405). Пластина с не-
сколькими поперечными и с одним или несколькими продольными
ребрами (406)
Глава XIII. Экспериментальное определение деформаций и напряжений
судовых конструкций
§ 52. Типы приборов............................................ .... 407
§ 53. Некоторые указания по организации испытаний . . .............409
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Глава XIV. Общий изгиб корпуса судна
§ 54. Нагрузки от сил веса ........................................412
Эпюра сил веса (412). Выбор расчетного расположения груза, балласта
и топлива (419)
§ 55. Силы поддержания и удифферентовка судна на тихой воде........419
§ 56. Определение общих срезывающих сил и изгибающих моментов иа тихой
воде................................................................428
§ 57. Срезывающие силы и изгибающие моменты на волнении............432
Размеры расчетной волны (433). Удифферентовка и определение общих
срезывающих сил и изгибающих моментов для судна на волнении (435).
Определение срезывающих сил и изгибающих моментов на волнении
по методу А. Н. Крылова (445)
§ 58. Приближенные способы определения общих изгибающих моментов . . 448
§ 59. Влияние перераспределения сил поддержания и переливания жидких
грузов, обусловленного изгибом корпуса, на величину общего изги-
бающего момента.....................................................451
6
Оглавление
Глава XV. Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе
§ 60. Эквивалентный брус ........................................... 454
J 61. Условия включения связей в состав эквивалентного бруса в первом
прнближевии.....................................................456
Условие достаточной протяженности (456). Условие достаточной целост-
ности (разрезы, отверстия и вырезы) (457). Условие достаточной кон-
структивной связанвостн (458). Приведение эквивалентного бруса
к однородности материала (458)
§ 62. Работа пластин корпуса при общем изгибе судна..................460
Качественный авализ работы пластин в составе эквивалентного бру-
са (461). Определение редукционных коэффициентов (463). Элементы
эквивалентного бруса во втором и последующих приближениях (466)
§ 63. Отределение напряжений при общем изгибе .......................469
Нормальные вапряжевня (469). Касательные напряжения (469)
§ 64. Упругая линия при общем изгибе судна...........................471
§ 65. Пример расчета прочности корпуса судна (речной сухогрузной баржи
грузоподъемностью 2000 т)........................................... 474
Удифферентовка судна и определение срезывающих сил и изгибающих
моментов на тихой воде (474). Удифферентовка судна и определение
срезывающих си и изгибающих моментов на подошве волны (478).
Определение нормальных напряжений от общего изгиба в первом при-
ближении (481). Определение нормальных напряжений от общего изгиба
во втором приближении (482). Определение напряжений (487). Опреде-
ление нормальных напряжений от общего изгиба в третьем приближе-
нии (489)- Проверка прочности корпуса судна (490)
Глава XVI. Расчет прочвости уступчатых связей судового корпуса
§ 66. Расчет растянутых уступчатых связей........................495
§ 67. Расчет изогнутых уступчатых связей.........................500
4 68. Расчет прочности палубных надстроек............................502
§ 69- Расчет прочности связей с вырезами.............................503
Круглые вырезы (503). Эллиптические вырезы (507). Прямоугольные
вырезы (508)
Глава XVII. Скручивание корпуса судна
§ 70. Моменты, скручивающие судно на волнении......................510
§ 71. Напряжевия в скрученном отсеке корпуса при свободной депланации
торпевых пер *орок................................................ 515
Общие соображения и обозначевня (515). Скручивание простейшего от-
сека с люком (519)
§ 72. Учет стесневвости крученвя...................................524
Сущность расчета (525). Симметричное по длине отсека расположение
люка (528)
Глава XVIII. Местная прочность корпуса судна
§ 73. Восприятие нагрузки конструкцией .............................. 533
$ 74. Расчетные местные нагрузки......................................536
Нагрузки от давления воды (537). Нагрузки отвеса груза (538). Ледо-
вые нагрузки (540). Нагрузки перекрытий машинного отделения. Усилия,
передаваемые корпусу судна судовыми устройствами (543). Взаимодей-
ствие нагрузок (суммирование нагрузок) (546)
5 75. Расчет мествой прочности отдельных конструкций корпуса судна . 546
Геометрическая схема и основные условия расчета конструкции (546).
Обшивка и настилы (547). Холостые шпангоуты и продольные балки (548).
Бракетные шпангоуты (549). Продольные связи (549). Флорные шпангоу-
ты (550). Рамные шпангоуты (550). Перекрытия машинных отделений (552).
Пиллерсы (552). Переборки (552). Раскосные фермы (553). Палубный
стрингер и продольный комивгс в случае больших вырезов палубы (553)
Оглавление
7
Стр.
Глава XIX. Проверка прочности корпуса металлического судна
§ 76. Классификация нагрузок н коэффициент запаса прочности ..... 556
§ 77. Суммирование общих и местных напряжений..........................557
§ 78. Опасные и допускаемые напряжения.......................... ... 560
§ 79. Конструктивная жесткость........................................563
Глава XX. Расчет прочности швов
§ 80. Сварные соединения . ...........................................565
Прочность сварных соединений (565). Расчет прочности сварных швов,
связывающих элементы профилей между собой (568). Расчет прочности
сварных соединений, работающих на сложное сопротивление (568). Рас-
чет поперечных сварных швов,захватывающих часть сечения балки (571).
Допускаемые напряжения в расчетах прочности сварных швов (571) .
§ 81 Заклепочные соединения...........................................574
Прочность заклепочных соединений (574). Допускаемые напряжения
в расчетах прочности заклепочных швов (578)
Глава XXI. Подбор профилей балок
§ 82. Основные элементы и характеристики профилей......................579
Требования, предъявляв» <е к профилю балки (579). Проектирование
сечений стержней, работающих на растяжение и на сжатие (580). Мо-
мент сопротивления сечения (580). Приведенная площадь сечения (583).
Качество сечения прн изгибе (584)
§ 83. Определение размеров сечения балки ............................. 585
Определение размеров сечения стенки балки (585). Изменения, вноси-
мые условием, что напряжения в обоих поясках сечения заданы (589).
Определение размеров сечения свободного пояска балки (589). Примеры
подбора профиля балки (591).
3 84. Справочные данные о сортаменте стали ............................593
Листовая сталь (593). Полосовая сталь (594). Угловая и полособульбо-
вая сталь (594). Бесшовные трубы (598)
Глава XXII. Расчет прочности судовых железобетонных конструкций
§ 85. Общие соображения...............................599
§ 86. Расчет прочности по допускаемым напряжениям . . ..............604
§ 87. Расчет прочности по разрушающим нагрузкам (растяжение, осевое
сжатие, изгиб)...................................................607
Растяжение (607). Осевое сжатие (607). Изгиб (608)
§ 88. Расчет на сложный изгиб по разрушающим нагрузкам............ . 613
§ 89. Расчет на восприятие главных растягивающих напряжений...........619
Расчет вертикальной арматуры (622). Расчет косой арматуры (622)
§ 90. Расчет трещиноустойчивости......................................623
Осевое растяжение (623). Изгиб (623)
§ 91. Основные положения «Временных правил постройки железобетонных
судов внутреннего плавания» Речного Регистра СССР (1949 г.) ... 628
§ 92. Примеры расчетов прочности судовых железобетонных конструкций . . 631
Расчет плиты (632). Расчет днищевого стрингера (635). Расчет общей
прочвости (640)
Глава XXIII. Расчет прочности корпуса деревянных речных судов
§ 93. Механические качества дерева....................................643
Механические качества сосны и елн (643). Механические качества
дуба (646)
§ 94. Характер работы соединений элементов деревянной судовой конструк-
ции ..................................................................647
§ 95. Расчет деревянных конструкций по допускаемым напряжениям . . 650
Расчет контактных креплений (651). Концевые соединения (замки) (654).
Соедивения нагельного типа (655). Пример расчета общей прочности
методом допускаемых напряжений (657)
§ 96. Расчет деревянных конструкций методом предельных нагрузок . . - 660
§ 97. Опенка » етсдов расчета прочности судовых деревянных конструкций 669
Оглавление
ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Глава XXIV. Основы теории колебаний и расчетов прочности при
динамическом приложении усилий
§ 98. Колебания систем с одной степенью свободы....................671
§ 99. Колебания систем с несколькими степенями свободы.............677
§ 100. Проверка прочности конструкций при динамическом приложении на-
грузки .............................................................681
Глава XXV. Поперечные колебания призматических балок и простых
стержневых конструкций
§ 101. Однопролетные балки с равномерно распределенной нагрузкой .... 683
Свободные колебания (683). Вынужденные колебания призматических
балок (685)
§ 102. Невесомые балки с сосредоточенными массами...................696
§ 103. Балки с равномерно распределенной нагрузкой, лежащие на упругом
освовании ..........................................................700
§ 104. Простые стержневые конструкции........ 701
Глава XXVI. Характер судовой вибрации и определение возмущающих сил
§ 105. Характер судовой вибрации ...................................705
§ 106. Определение неуравновешенных инерционных усилий в двигателе . . 706
§ 107. Определение опрокидывающего момента, передающегося корпусу суд-
на от двигателя ....... ........................................... 710
Глава XXVII. Местная вибрация машинного отделения
$ 108. Определение частот свободных колебаний днищевых перекрытий ма-
шинных отделений....................................................717
§ 109. Приближенный учет влияния усиленных рам в машинном отделении
иа частоту свободных колебаний днищевого перекрытия ..... 720
§ ПО. Вынужденные колебания перекрытий ... . 721
§ 111. Вибрация пластин в машинном отделении . 730
§ 112. Нормы допустимой местной вибрации . . ......... ....... 735
Глава XXVI11. Общая вибрация корпуса судна
§ 113. Определение частоты свободных вертикальных колебаний первого
тона .......................................................... 736
§ 114. Определение частоты свободных вертикальных колебаний второго тона 740
§ 115. Определение горизонтальных свободных колебаний судна.........741
§ 116. Приближенвые формулы для частоты свободных колебаний ... 746
§ 117. Вынужденные колебания судна................................ 747
§ 118. Нормы допустимой общей вибрации судов . 751
§ 119. Демпфрирование вибрации судов . : . . . 752
Основная использованная литература ........................ 755
ПРЕДИСЛОВИЕ
«Учебный справочник по прочности судов внутреннего плавания» ест"
держит справочные материалы и указания по методам расчета прочности
конструкций корпуса судов преимущественно внутреннего плавания.
Первое издание Справочника вышло в 1950 году. При переиздании
Справочника авторы постарались учесть замечания и пожелания, высказан-
ные по первому изданию различными организациями и отдельными специа-
листами, а также собственный семилетний опыт работы с этой книгой.
Помимо общего пересмотра и обновления материала, во второе издание
Справочника внесено много дополнений, учитывающих развитие строитель-
ной механики корабля за последние годы.
Справочник предназначается для учебных целей, в связи с чем в него
не включены многие работы ведомственных научно-исследовательских ин-
ститутов и нормативных организаций, необходимые в производственных
условиях. С учетом этого обстоятельства, как показал опыт, Учебный
справочник может быть полезен и для проектных организаций.
Проф. В. В. Давыдовым написаны главы 1 — VIII, X, XIII и XVII;
проф. Н. В. Маттес — главыIX, XI, XII и XXIV — XXVIII; проф.
И. Н. Сиверцевым — главы XIV,XV и XVIII—XXIII. ГлаваХУ! написайа
канд. техн, наук доц. И. И. Тряниным, а §87—92 главы XXII — канд.
техн, наук доц. Н. М. Егоровым.
Большая и инициативная работа над книгой была проделана ответст-
венным редактором инж. А. А. Перлиным. Инж. В. Н. Зайцева прини-
мала участие в составлении ряда таблиц, подготовке иллюстративного ма-
териала и т. п. Этим товарищам авторы приносят свою благодарность.
Авторы
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Ниже приводятся буквенные обозначения, принятые в настоящем
Справочнике для наиболее часто встречающихся в строительной механике
корабля величин х.
Кроме некоторых групп родственных понятий (разнообразные моменты,
нормальные, касательные и другие напряжения, характеристики упругой
линии и т. п.), все термины расположены в алфавитном порядке, а неко-
торые из них для удобства пользования списком повторены (например:
потенциальная энергия, энергия потенциальная).
Абсолютная ошибка .....................
Абсолютное удлинение (или укороче-
ние) ..................................
Аргументы:
аргументы балки на упругом основании:
отвлеченный......................
имеющий размерность 1/аи, \/м . . . .
аргументы сложного изгиба балки:
отвлеченный........................
имеющий размерность l/см, 1/м . . . .
аргумент, связанный с частотой колеба-
ний призматической балки (1/л, 1/см) . .
Вес объемный (т/мг, кг/см*)............
Время .................................
Высота.................................
Давление на поверхность (кг/см1 2,
т/м2) ............................
Декартовы координаты ..................
Деформаций:
линейные деформации (относительные
удлинения) волокон, параллельных
координатным осям х, у и г.........
Д
Д/
н
т
t
h
Р
х, у, z
£х’ 6у.
1 По строительной механике корабля пока не существует утвержденного стан-
дарта обозначений. Принятая в настоящем Справочнике система обозначений раз-
работана кафедрами строительной механики корабля кораблестроительных факуль-
тетов Горьковского политехнического института им. А А. Жданова и Горьковского
института инженеров водного транспорта.
12
Обозначения
линейная деформация волокна, любым обра-
зом ориентированного.............. е,
главные деформации ..................... ег, е2, е3
деформации сдвига между волокнами,
параллельными координатным осям у и
z, z и X, х и у.......................... Ъ» Ту, Ъ
объемная деформация (относительнее уве-
личение объема) ................... Д = Зе0 = ех 4-
обобщенная деформация (в теории пластич-
ности) ........................... е
средняя деформация ..................е0 = (ех 4- еу 4
Диаметр .................................... d, D
Длина .................................... I, L
Динамический множитель ................. у
Длинадуги ................................у s
Жесткость:
жесткость упругого основания (kz/cjw2,
т/м1) ........................... k
условная жесткость в методе угловых де-
2EI
формаций (кгем, тм) ................. Ко = —j-5
‘О
относительная жесткость пролета балки или
бу 4-е
Ez)
стержня рамы............................... Rtj= j-j-
‘ohj
обобщенная жесткость (в теории колеба-
ний) ......................................... Af
Запас прочности.................. . . п
Интенсивности:
интенсивность распределенной нагрузки на
единицу длины балки (т/м, кг/см) ... q
интенсивность распределенной нагрузки на
единицу поверхности,давление на поверх-
ность (т/м2, кг/см2)................ р
Кинетическая энергия ......................... К
Координаты:
декартовы ................................... х, у, z
полярные................................. р, S
обобщенные.............................. <р, ф, ...
К оэффициенты:
коэффициент заделки на опоре.............. х
коэффициент запаса прочности ............. п
коэффициент линейного расширения от тем-
пературы (1/ГС).......................... а
отвлеченный коэффициент в выражении про-
гиба балки от распределенной нагрузки
в формуле:
Обозначения
13
то же, от сосредоточенной силы в фор-
муле:
Pl*
К’=т£7 .................... т
отвлеченный коэффициент в выражении угла
поворота балки у опоры в формуле:
, Q/2
w ~а6Е1 ................... а
коэффициент податливости опоры при проседа-
нии (мм/т, см/кг, ...)................... А
коэффициент податливости опоры при поворо-
те (1/пьи, 1/кгсм, . ..)...................... а
коэффициент поперечного сжатия (Пуассона) . р.
коэффициент распора ........................ kp
редукционный коэффициент . . •..............
Масса (тм~1 сек2) .................................. т(М)
Модули упругости:
модуль упругости 1-го рода (модуль Юнга)
(кг/см2, т/м2, ...) ......................... Е
модуль упругости 2-го рода (модуль сдвига)
(кг/см2, т/м2, ...) .......................... G
условный модуль сдвига в теории пластично-
сти ......................................... G'
коэффициент Пуассона............................ р.
Мочен ты (тм, кг/см):
сосредоточенный внешний или опорный момент М(/И)
момент, прилагаемый опорой (или узлом рамы) к
стержню ij в точке i (первый индекс) . . .
момент, прилагаемый опорой (или узлом) к стерж-
ню ij в точке i, вызванный только пролет-
ной нагрузкой, при жесткой заделке кон-
цов и отсутствии смещения опор............. ти
изгибающий (крутящий) момент текущий .... Л4
изгибающий момент у опор ...................М,, М , ...
изгибающий момент в пластине вокруг оси х (у)
в сечении, перпендикулярном оси у (х), при-
ходящийся на единицу длины сечения
(тм/м, кгсм/см).......................... Mr(Mv)
крутящий момент от касательных напряже-
ний в пластине, приходящийся на единицу дли-
ны сечения (кгсм/см) Н
Моменты инерции:
момент инерции массы (т м сек2)............. J
осевые моменты инерции площади (и4, ел4) . . /у, lz
полярный момент инерции площади ... 10
центробежный момент инерции площади ... /у2
собственный момент инерции площади
относительно центральной оси . . . . I, i
Моменты сопротивления сечения,
обычный (мя, смя) ............... IF
предельный (м*, смг)................. Wnp
14
Обозначения
Момент статический площади (м*,
см3) ................ S
Нагрузки:
распределенная нагрузка (т, кг, ...) Q
интенсивность распределенной нагрузки
на единицу длины (т/м, кг/см, . ..) q
интенсивность распределенной нагрузки
на единицу поверхности (т/м\
кг'см\ ...) р
нагрузка в виде сосредоточенной силы
(т, кг, ...) Р
осевая сила ................................... Т
критическая (эйлерова) осевая сила . . Та
отношение Т :ТЭ ............................... v
Напряжения1 (кг/см/, т/мг, атм, ...у.
полное напряжение на площадке с внеш-
9 ней нормалью v проекции полного напряжения на оси Pv
координат нормальное напряжение, обобщенное на- Рх. Ру. Рл
пряжение (в теории пластичности) ♦ а
касательное напряжение нормальное напряжение на площадке
с внешней нормалью v касательное напряжение на той же о»
площадке нормальные напряжения на площадках, Т,
перпендикулярных координатным осям касательные напряжения на тех же аХ> °у.
площадках Ту’
октаэдрическое касательное напряжение среднее (октаэдрическое) нормальное хокт
напряжение °0 = -у (3jr + °V + °г) = ° окт
главные напряжения °1» °2> 33
допускаемые напряжения предел прочности (временное сопротпв- [°]. Н
ление)
предел пропорциональности
предел текучести ~‘т
предел упругости 3УП
1 При композитных конструкциях, если это необходимо, указывается русскими
индексами материал, в котором действует данное напряжение: ас—напряжение
в стали, —в дереве, -fof— в сосне. Символы допускаемых напряжений заклю
чаются в квадратные скобки: [af]—допускаемое напряжение в стали и т. д.
Характер происхождения напряжений, если необходимо, указывается также
иидексами: — от общего изгиба, — от местного изгиба, ач — цепное напряже-
ние, |*1пзг — допускаемое напряжение при изгибе, — допускаемое напряжение
в бетоне ва растяжение, и т. д.
Для допускаемых напряжений для дерева, помимо характера происхождения
напряжений, указывается и ориентировка относительно волокон: [ссл{]а=9о«—допу-
скаемое вапряженне на смятие поперек волокон, [ор]в_0 — допускаемое напряжение
вдоль волокон при растяжении и т. д.
Обозначения
15
предел выносливости (усталости) ....... av
эйлерово напряжение...................... . сэ
Объем ............................... и, V
Объемные силы (кг/см3, т/м3)........... а, р, у
Обобщенная жесткость................. N
Обобщенная масса .................... М
Обобщенные координаты................ <р,
Обобщенные силы, соответствующие им ... . Ф, Т,...
Объемный вес {т/м3, кг/см3).......... у
Относительная ошибка ................ 8
Отношение эйлерова напряжения жестко заде-
ланной пластины к эйлерову напряжению сво-
бодно опертой ......................... р
Перемещения (см, м) ............. u,'v,w
Период колебания (сек.)................... т
Площадь................................ f,f
Полярные координаты.................. р, &
Потенциал упругий (т/м3, кг/см2,...) .... п
Потенциальная энергия (тм, кгсм, . ) П
Работа............................... U7
Радиус............................................ Л?, г
Радиус кривизны ................................... р
Размеры:
длина . .......................................... /, L
высота ........................................ h
ширина ........................................ Ь
толщина........................................ t
диаметр........................................ d, D
Размеры пластин (длина, ширина, толщина) . . a, b, t
Размеры пластин (длина, ширина, толщина) в
теории колебаний ................................. a, b, h
Реакции:
вертикальная составляющая опорной реакции . Р
горизонтальная составляющая опорной реакции Н
реакция от пролетных нагрузок при свободно
опертых концах балки .......................
то же, в предположении, что оба пролета
жестко заделаны по концам и опоры смеще-
ния не имеют.................................. г
реактивный опорный момент ................. М
Редукционный коэффициент ..........
Силы:
сосредоточенные силы ............................... Р
распределенная нагрузка ............................ Q
осевая сила......................................... Т
критическая сила (эйлерова)........................ Та
обобщенные силы ........................... . Ф, Т,.,,
срезывающая сила.................................... V
16
Обозначения
Силоваяфункция .................................... U
Статический момент пло,щади................... S
Температура ....................................... t
Толщина............................ . . t(h)
У г л ы:
угол закручивания.................... ... Q
\гол закручивания на единицу длины
(1/л, 1 /см)............................ со
угол поворота балки и узла рамы......... w'
величина, пропорциональная углу поворота сече-
ния у опоры балки или узла рамы......... ы=/Сои/
величина, пропорциональная среднему углу по-
ворота стержня рамы................. ф
Удлинение абсолютное (или укорочение) Д/
Упругая линия (поверхность):
ордината упругой линии (поверхности) .... w
ордината начальной погиби ................... w0
стрелка упругой линии.............. wMattc
стрелка начальной погиби (синусоидальной, коси-
нусоидальной) .......................... h, {hc, hK)
стрелка упругой линии от поперечной равно-
мерно распределенной нагрузки свободно
опертой жестко заделанной) балки............ fo, (f3)
смещение (проседание) опоры f
Упругий потенциал, или удельная потенциаль-
ная энергия (т/м2, кг/см2,. . .) ............. п
Ускорение силы тяжести (м/сек2) ............ g
Формы колебаний...................... ... . f, F
Функции сложного изгиба балки на упру-
гом основании (а также — сложного из-
гиба балки и изгиба балки на упругом осно-
вании) ...................................... <р, Z, ф
Частота колебании (1 /сек)-.
собственных (свободных)................ . . Я
вынужденных ........
Число колебаний (оборотов) в минуту . . п
Ширина . . . ......... В, b
Эйлерово напр я'ж е н и е.......... аэ
Энергия кинетическая (тм, кгсм)............. К
Энергия потенциальная (тм, кгсм,...) . . П
ОБОЗНАЧЕНИЯ В АЛФАВИТНОМ ПОРЯДКЕ СИМВОЛОВ
Латинский алфавит
.4— коэффициент податливости опоры при просадке (мм/т, см/кг,...)
— коэффициент податливости опоры при повороте (1/тм, 1 /кгсм, ...);
д. а .щетины
Обозначения
17
D
В, b — ширина; ширина пояска балки; размер пластины
D, d — диаметр
Et3
----gj — цилиндрическая жесткость пластины;
Е — модуль Юнга (кг/см2, т/м?, ...)
Е — площадь; форма колебаний
/— площадь; смещение опоры; форма колебаний; стрелка
погиби от поперечной нагрузки (/о—свободно опертой
балки; /3 — жестко заделанной балки)
G — модуль сдвига (кг/см2, т/м2, ...); G' — условный модуль
в теории пластичности
g—ускорение силы тяжести (м/сек2)
Н — момент от касательных напряжений в пластине, при-
ходящийся на единицу длины сечения (кгем/см) \ гори-
зонтальная реакция (т, кг)
h — высота; стрелка начальной погиби (hc—синусоидальной
погиби, hk — косинусоидальной); толщина пластины
в теории колебаний
/ — момент инерции площади (ел4, л4); 1Х, 1у — осевые-
10 — полярный, Iyz — центробежный
J — момент инерции массы (т м сек2)
i — собственный момент инерции; индекс
2£/
К — кинетическая энергия (тм)\ Ко = , ? — условная
*0
жесткость пролета балки или стержня рамы (в методе
угловых деформаций) (тм, кгем)
k — жесткость упругого основания (кг/см2, т/м2)-, kt- — от-
носительная жесткость пролета балки или стержня
рамы; kp — коэффициент распора
L, I—длина; А/—абсолютное удлинение
М(Л1) — внешний изгибающий (крутящий) момент; текущий
изгибающий момент; реактивный опорный момент; масса
(т м^1 сек2); обобщенная масса
М/у—момент, прилагаемый опорой к балке или узлом рамы
к стержню (тм, кгем)
т— масса; — момент от пролетной нагрузки, прилагае-
мый опорой к балке или узлом рамы к стержню при
жесткой заделке обоих концов балки
(V — обобщенная жесткость
п — коэффициент запаса прочности; число колебаний (обо-
ротов) в минуту
Р — сосредоточенная сила (т)
р — давление на поверхность; полное напряжение (кг/см2,
т/м2); рх, ру, р,— проекции полного напряжения на
оси координат
Q—распределенная нагрузка (т, кг)
q — интенсивность распределенной нагрузки на единицу
длины балки (т м, кг см)
У чебный справочник
18
Обозначения
R — опорная реакция; радиус; коэффициент, учитывающий
сопротивление в колебательном движении
г— радиус; радиус инерции; опорная реакция балки от про-
летной нагрузки при жесткой заделке обоих концов;
коэффициент, учитывающий сопротивление при колеба-
тельном движении
S — статический момент площади (см3, м3)
s — длина дуги
Т — осевая сила (кг, т); Та—эйлерова сила (кг, ги)
t—толщина; время
U — силовая функция (m.w)
и — аргумент балки на упругом основании (отвлеченный);
перемещение по направлению оси х
V — срезывающая сила
о—аргумент сложного изгиба балки (отвлеченный); пере-
мещение по направлению оси у; объем
IT — момент сопротивления сечения (см*,м3); WnP — пре-
дельный момент сопротивления сечения; работа
и — ордината упругой линии или поверхности; перемещение
по направлению оси z; — стрелка упругой линии
х, у, г — декартовы координаты
Греческий алфавит
а— отвлеченный коэффициент в выражении угла поворота; аргумент
балки на упругом основании (1/см); коэффициент линейного
расширения (l/i°C); объемная сила (кг/см3)
₽ — отвлеченный коэффициент в выражении прогиба балки от распре-
деленной нагрузки; объемная сила (кг/см3, т'м3)
Т — деформация сдвига; уу, — деформации сдвига между во-
локнами, параллельными соответственно осям у и z, г и х, х и у;
отвлеченный коэффициент в выражении прогиба от сосредото-
ченной силы; объемная сила и объемный вес (кг/см3, т/м3); дина-
мический множитель
А —объемная деформация (Д = Зе0 = еж еу -|- ег); абсолютная ошибка
g — относительная ошибка
е — линейная деформация; обобщенная деформация (в теории пласти-
чности); £0—средняя деформация; ех, еу, ez—линейные деформа-
ции волокон, параллельных соответственно осям х, у, z; elt е2,
е, — главные деформации
9 — аргумент сложного изгиба (1/см); полярная координата; темпера-
тура; угол косого изгиба
х — коэффициент заделки балки; коэффициент опорной пары~(отвлечен-
ный)
Обозначения
19
х— частота свободных колебаний (1/сек)
и.— коэффициент поперечного сжатия (Пуассона)
Р, — аргумент, связанный с частотой колебаний призматической балки
£0, —функции сложного изгиба балки на упругом основании
р — радиус кривизны; полярная координата; реакция от пролетной
нагрузки при свободно опертых концах балки; отношение эй-
лерова напряжения жестко заделанной пластины к эйлерову
напряжению свободно опертой; радиус инерции
з— нормальное напряжение (кг/см2, т/м2)-, обобщенное нормальное
напряжение (в теории пластичности); а0— среднее нормальное на-
пряжение; ся — предел прочности (временное сопротивление);
зи— предел текучести; ояр — предел пропорциональности; ауп—
предел упругости; ау— предел выносливости (усталости); ах, ау,
sz— нормальные напряжения на площадках, перпендикулярных
осям х, у, 2‘, аъ а2, а3 — главные напряжения; аэ — эйлерово напря-
жение; [з]—допускаемое нормальное напряжение
~— касательное напряжение (кг/см2, т/м2)\ tx, tv, т2 — компоненты
касательного напряжения; [т] —допускаемое касательное напря-
жение; период колебаний (сек)-,
Ф — обобщенная сила; функции кручения
<р — редукционный коэффициент; обобщенная координата; <р0, —
функции сложного изгиба балок на упругом основании
Z — функция сложного изгиба балок на упругом основании
—обобщенная сила
j — функция сложного изгиба балок на упругом основании; обобщен-
ная координата; величина, пропорциональная среднему углу по-
ворота стержня рамы
2 — угол закручивания балки, вала (отвлеченный)
— угол закручивания на единицу длины (1/см, 1/м); величина, про-
порциональная углу поворота узла рамы и надопорного сечения
балки; частота вынужденных колебаний (1/сек).
Приведенные выше обозначения сравнительно мало отличаются от
применяемых в периодической печати и принятых в конструкторских бюро.
Но оии довольно резко расходятся с обозначениями, введенными проф.
П. Ф. Папковичем в его монографиях — учебниках по теории упругости
и строительной механике корабля.
Ввиду того что книги П. Ф. Папковича являются основными учебными
пособиями по строительной механике корабля,-лиже приводится сопостав-
ление главнейших обозначений в книгах Папковича и настоящем
Справочнике.
Наименование Обозначения, принятые в книгах П. Ф. Папковича Обозначения, принятые в настоящем Справочнике
Аргументы: аргументы сложного изгиба балки аргументы балки на упругом осиованни . . . Деформации линейные пь * «ч га С С - fi Я га N N V, » и, а еу, ег
- 24-jg
20
Обозначения
Наименование Обозначения, принятые в книгах П. ф. Папковнча Обозначения, принятые в настоящем Справочнике
Координатные осн:
координатные оси упругих линий балок . . . координатные оси упругих поверхностей пла- V, W, X
СТИН W, х, у IV, х, у
Коэффициенты:
коэффициент податливости опоры прн пово-
роте коэффициент податливости опоры при про- 21 а
садке А А
коэффициент Пуассона а И
Критическое напряжение Рэ* Ркр °кр
Моменты:
момент внешний или опорный . . ... 30? м
момент на опоре прн жесткой заделке концов
балки MI тп
Напряжения:
напряжение полное на любой площадке . . . Г. р.
его нормальная составляющая av
его ка ггетьная составляющая т "v
его лроекинн на координатные оси напряжения на плоскостях, перпендикуляр- X, > J'v • Рх. Ру. Pz
ных координатные осям:
нормальные у» z ° V» ^у» ^z
касательные У 2» Zд-, Ху тл» Tv»
главные ^2’ 31, а2 За
Площади сечения St W f. F
Полярные координаты р. в р, &
Потенцн: гьная энергия ... и П
Работа я W
Срезывающая сила N, Q V
Угол закручивания (относительный) . . Упругий потенциал (удельная потенциальная энер- т св
гня) ✓ U-’ П
ПЕРЕВОД МЕР
Основными техническими мерами являются метр (м), килограмм (кг),
секунда (сек) и их производные:
1 километр (км) = 1 000 м
1 дециметр (дл*) — 0,1 м
1 сантиметр (ел*) = 0,01 м
1 иллиметр (мм) = 0,001 м
1 микрон (|i) = 0,001 мм
1 миллимикрон (ти.) = 0,001 р
1 тонна (т) — 1 000 кг
1 грамм (г) = 0,001 кг
1 миллиграмм (мг) = 0,001 г
1 час (час) — 60 минут (мин) = 3600 сек
Ниже приводится перевод морских мер, иногда встречающихся в су-
достроительной литературе, в метрические меры.
Меры длины
1 морская миля = 1,852 км
1 кабельтов = 100 морских сажен = 600 фут. = 182,874 м
1 фут = 12 дюймов = 0,304794 м
1 дюйм = 25,39954 мм
Меры площади
1 кв. фут= 144 кв. дюймов = 0,0928994 мг
1 кв. дюйм = 6,45137 с.и2
Меры объема (и момента сопротивления)
1 куб. фут = 1728 куб. дюймов = 0,028315 м*
1 куб. дюйм = 16,386 см*
1 регистровая тонна = 100 куб. фут. = 2,8315 м*
Меры момента инерции площади
1 дюйм* = 41,62 ел:4
Меры веса и силы
1 англ, фунт = 0,453593 кг
1 судовая тонна (short ton) = 2000 англ, фунтов = 0,907185 т
1 англ, тонна (long ton) = 2240 англ, фунтов = 1,016048 т
22
Перевод мер
Меры погонной нагрузки
1 т/м — 1000 кг/м = 10 кг/см
1 англ, фунт/фут = 1,489 кг/м
Меры давления
1 сипм - 1 кг/см* — 10 т/м2 = 0,01 кг/мм* = 10~5 т/мм*
1 англ, тонна/кв. дюйм = 157,5 кг/см*
1 кг см* = 14,223 англ, фунтов/кв. дюйм
Меры объемного веса
1 т/м* = 1 кг/л = 1 г/см3
1 фунт куб. фут. = 0,016019 т/м*
Меры работы, энергии и изгибающего момента
1 кгм — 100 кгсм — 1/427 б. калорий (Са!)=9,81 вт-сек
1 тм = 10s кгсм — 2,342 Cal = 2,72 вт-час
1 фунтофут = 12 фунтодюймов = 13,82 кгсм
Меры скорости
1 м/сек = 60 м/мин = 3,60 км/час
1 км/час — 0,2778 м/сек
1 узел = 1 морской миле/час = 0,514 м/сек = 1,852 км/час
1 фут/сек = 0,3048 м/сек = 1,097 км/час
1 фут/мин = 0,005080 м/сек = 0,3048 м/мин
Меры мощности
1 кгм сек = 1/75 л. с. = 9,81 вт
1 л. с. = 75 кгм/сек — 0,7357 кет
1 киловатт = 1,36 л. с. = 101,9 кгм/сек
1 англ. лош. сила=550 фунтофутов/сек=7б,04/сгл/сек=1,0139л.с,—
= 0,746 кет
ОБЩАЯ ЧАСТЬ
ГЛАВА I
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ И МЕХАНИКЕ
§ 1. АЛГЕБРА
Главнейшие формулы элементарной алгебры
Нижеследующие форм}лы умножения, возвышения в степень и извле-
чения корня справедливы при любых показателях т, п:
(ат)п = (ап)т
_ атп
ап = у ат = (у а)
а°= 1
0" = 0
ат а" — а?п+п
(а — Ь)г = а2 ± 2аЬ + Ь2
(a ft)1 = а3 32 За2 ft + 3aft2 ± Ь*
(a L Ь) (а — Ь) = а2 — Ь2
a* = b* = (а ± b) (а2 — ab ~г Ь2)
(ab)m - ат Ьт
тп г-—— т —т,--—
} ab — > а у/ о
Бином Ньютона
(а + Ь)т = ат + ~ а"~1 Ь + ^^7 °m~2 bZ +
, т(т—1)(/п—2) m , ,, ,
+ 1.2 3---+
При т целом и положительном формула Ньютона содержит конеч-
ное число членов. При т дробном или отрицательном правая часть
представляет собой бесконечный ряд, сходящийся, если первое слагаемое
по абсолютной величине взято большим второго:
а' > b .
24 Некоторые сведения по математике и механике [Гл. I
Логарифмы
Десятичные логарифмы имеют основанием 10. Если a = lgb, то
10“ = Ь.
Для натуральных логарифмов основанием служит число е=2,718282...
Если а = In Ь, то = Ь.
Переход от одной системы логарифмов к другой выполняется по
формулам:
1g а = 0,434294 In а и 1п а = 2,3025811g а.
Для логарифмов обеих систем справедливы соотношения:
lg(ab) = Iga + lgb, lga" = nlga,
!gy = ,ga—lg&. Igl” =
Логарифмы (десятичные и натуральные) чисел, больших единицы,
положительны и 1g оо = . Логарифмы чисел от 0 до 1 отрицательны,
причем 1g 0 = — со и In 1 = 1g 1 = 0; отрицательные числа не имеют
вещественных логарифмов.
Комплексные числа
Комплексным числом называется выражение вида
z = а 4- bi,
гд,е а, b— вещественные (положительные или отрицательные) числа, а
i = ) — 1 — мнимая единица.
Весьма удобна геометрическая интерпретация комплексных чисел,
согласно которой каждой точке плоскости соответствует некоторое число,
пол жительное или отрицательное, если точка лежит на оси х, мнимое,
если точка лежит на оси у, и комплексное, если точка М не находится ни
на одной из координатных осей (рис. 1). Координаты точки (а и Ь) определяют
вещественную и мнимую части числа.
Комплексное число может быть также представлено и в тригонометри-
ческой форме
z = г (cos s 4- i sin <р),
где г и о — полярные координаты точки — модуль и аргумент комплекс-
ного числа. Очевидно, что:
а — г cos s
г = V а--г Ь* и
b = г sin «
. b
? = arc tg— .
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
выполняют по обычным правилам алгебры, рассматривая комплексные
числа как буквенные много 1ены и считая г2 = — 1:
(а 4- bi) ± (с — di) = (а ± с) + (b ± d) i,
(а 4- Ы) (с 4- di) = (ас — bd) 4- (be 4- ad) i,
a-1-bi _(a 4- bi) (c—di) _ (ac 4- bd) 4- (be — ad) i _
c — di (c 4- di) (c — di) c2 4" dr
_ac\ bd be — ad .
c2 + d2 + c2 4- d2 r
§ 11
Алгебра
25
У
Рис. 1
Если комплексные числа записаны в тригонометрической форме, то,
представляя их векторами, можно рассматривать сложение комплексных
чисел как геометрическое сложение
векторов: ОЛ43 явтяется суммой ком-
п ексных чисел, изображаемых век-
торами OMi и ОМг, если МХМ3 равен
и параллелен ОМ2 (рис. 2).
Под умножением понимается
действие, при котором с множимым
проделывается та же операция, ко-
торая необходима, чтобы получить
множитель из вещественной единицы.
Поскольку для получения множи-
теля 0М2(рис. 3) из единицы (ОМ),
надо вектор ОМ удлинить в г2
раз и повернуть на угол э2, для ра-
зыскания произведения (ОМ^)-(ОМ2)
необходимо вектор 0Мг = гг удлинить в г2 раз и повернуть дополни-
тельно к имеющемуся углу <?! еще на угол <р2. Таким образом, при
умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы,
складываются:
pi (cos <?! + i sin <pj] [r2 (cos <p2 + i sin <p2)J =
= i\r2 [cos (?i + ¥2) + i s*n (<fi + fa)]-
у
X
Поскольку деление есть действие, обратное умножению, имеем:
(cost?! 4- i sin-J rlr . . , . . ,
r, (cosy, + , sin Ф,) = К [C“ <* 'sln
Далее, рассматривая возвышение в степень как повторное умноже-
ние, получим:
[г (cos <р + t sin <?)]" = г" (cos ггр 4- i sin nv).
Корень л-й степени из комплексного числа имеет п различных зна-
чений:
г------———г "/-/ <₽4-2£к , . . « + 2Ь
У Г (cos □ + I sin <р) = > Г I COS --—-J- I Sin ---
где
k = 0, 1,2, ..., (п— 1).
26
Некоторые сведения по математике и механике
[Гл. I
Например:
—---------------------- + 2Aw
« / . it \ z . . . z
1 I COS -и- + I Sin ) = COS ---------------b t Sin ----s-----
\ z z / z z
т. е.
1^2 l/2”
Zi = у + i ~2~ ПРИ k = 0
и
z* =
2---ПРИ k= L
Определители и их приложение к анализу систем алгебраических
уравнений
Определителем (или детерминантом) n-го порядка
называется алгебраическая сумма, составленная по особому правилу из
п8 каких-нибудь количеств, называемых элементами. Слагаемые, составляю-
щие упомянутую сумму, называются членами определителя
и их число равно 1. 2. 3 (и—1)п=п!
Определитель не меняет своей величины, если: 1) строки превратить
в столбцы, 2) ко всем элементам какого-нибудь столбца (строки) прибавить
соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно
и то же число:
Oi bi
а2 Ь2
Oi a2 = (ai + bitri) b
bi b2
(a2 + b2 m) b2
Определитель меняет знак, если в нем переставить два любых столбца
или две строки. Как следствие определитель, имеющий два одинаковых
столбца или две одинаковые строки, равен нулю:
ai bi
а2
а-.
Oi Oi bi
a2 a2 b2
«з ^3 b3
элементах какого-либо столбца
= 0.
«1 bi
a2 b2
Общий множите; ь, содержащийся
или строки, может быть вынесен за знак определителя:
ar mbi
az mb2
Минор какого-нибудь элемента есть определитель, получающийся
из основного путем вычеркивания столбца и строки, содержащих этот
элемент. Знак минора (—1)“+₽, где а, р — номера столбца и строки,
содержащих элемент.
Определитель вычисляется последовательным разложением его по
минорам элементов какого-нибудь столбца или строки. Например, разложе-
ние определителя четвертого порядка по минорам элементов второго столбца
будет:
ai bi Ci d2
at b2 c2 dt
az bs o3 d3
b2 dt
Oj ^2 ^2
az CS ^3
at сл d.
Oi Ci di
+ b2 a3 c3 d3
а» c. d»
^3
ах сг di
2
сз сз d3
Qi Ci d]
a2 c2 d2 + &4 a2 c2 d
a4 c4 d,
= — Ь
в
§ 11
Алгебра
27
Для вычисления определителя 3-го порядка следует приписать снизу
две первые строки (можно мысленно) и составить три положительных про-
изведения, указанных сплошными линиями, и три отрицательных, указан-
ных пунктирными:
~Ь ^2^3^1 + ^3^2^*1 ^2^1^3‘
Определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов,
расположенных по диагоналям:
«1 bi
Og f>2
— a^bz— a^b
Матрицей из тп элементов называется совокупностьтп элементов,
расположенных в виде прямоугольника:
сц bi Ci dy ... П\
а^ bz с2 d2 — п2
(1)
a. b ,c_dm... nm
m m 1Я Hl tn
Число строк матрицы (ли) может быть не равно числу столбцов (п).
Рангом матрицы называется такое число •>, что все определи-
тели, которые можно составить из матрицы (путем вычеркивания несколь-
ких столбцов и строк) порядка, высшего v, равны нулю, а среди определи-
телей -го порядка встречаются неравные нулю.
Применительно к системе т линейных уравнений с п неизвестными
Qi х 4- bi у -И t = Pi
а2 х —— Ь2 у -j- п2 t — Pz
(2)
атХ-гЬтУ + - + пт1 = рт
матрицей будет (1), а расширенной матрицей совокупность
di bi... Их Pi
at bz ... n2 Pi
Pm
Ранг этой матрицы обозначим vp.
Для совместности системы (2) необходимо, чтобы v = vp, т. е. что-
бы ранги основной и расширенной матриц были одинаковыми. При этом,
ес :и ранг основной матрицы меньше числа неизвестных, то п — v не-
известных произвольны.
28 Некоторые сведения по математике и механике[Гл. I
Первое условие всегда справедливо для однородных уравнений (для
которых все р! = рг = ... = рт = 0); следовательно, система однородных
уравнений всегда совместна.
Сочетание обоих указанных условий может быть иллюстрировано
табл. 1 и примерами.
Таблица 1
Ранг основной матрицы и число неизвестных Ранг основной и расширен вон матриц Ранг основной матрицы равен числу неизвестных \=п Ранг основной матрицы меньше числа неизвест- ных v<n
Ранги матриц одинаковы v=vp Система совместна и имеет единственную систему корней (при- меры 1, 2 и 3) Система совместна и имеет несколько ре- шений (примеры 4 и 5)
Ранг основной матрицы меньше ранга расширенной Система несовместна (пример 6) Система несовместна (пример 7)
Пример 1.
х±2у=4
2х+3у=7
• ='<р=п=2—единственная система корней:
|4 21 |1 4
-1=-2=2:у=^
2—1 '12
3 [2 3
Пример 2.
*+у=0
л-1-2у=0
>=>р=п=2—единственная система корней
х=у=0.
2
О =0, следовательно, v = vp=n =2—единствен-
ная система корней.
Пример 3.
х —у= 21 1 1
х —у=о| 1—1
2х—2у=4 J 2 2
Отбрасывая первое или третье уравнение, получим
х = у=1.
Пример 4.
х-г У = 1 |
2х -+ 2у = 2 /
к = vp = 1
п= 2
Система имеет бесчисленное множество решений: х = у = ; х = О, у= 1; ...
Алгебра
29
Пример 5.
Зх -f- 2z = О » = vp - - 2
бу = О п = 3
6х + 4z = О
Система имеет бесчисленное множество решений: х = у = z = 0; х = 1, у = 0,
z -—1,5; х =— 2, у = 0, z = 3;.-.
Пример 6.
х + у = 2 v = п = 2
х — у— 0 Vp = 3
2х + 2у = 1
Система несовместна.
Пример 7.
* + у = 1 | v= 1
2х + 2у = 0 I чр = п = 2
Система несовместна.
Частные случаи
1. Система п неоднородных уравнений с п неизвестными
х + Ьг у + + пх t = pi
а2 X 4- Ь2 У + ••• + П2 ~ Pi
anx+bny + —+nnt = pn
имеет единственную систему корней, если определитель системы
a-! bj... nj
^2 ... П2
аП ЬП.:Пп
не равен нулю (v = чр = п). Корни системы выражаются как отношения
двух определителей; в знаменателе стоит определитель системы (Д), а
в числителе тот же определитель, но с заменой в нем элементов столбца,
соответствующего данному неизвестному, свободными членами, перене-
сенными в правую часть (см. пример 1):
X = Pl bi... П1 р2 Ь2 ... Пц Рп Ьп ... Пп «1 Р1 ГЧ ^2 Рз ^2 ап Рп - пп
ar Ьг ... Hi ^2 ^2 ••• ^2 Ьп ••• Чп ’; у = ' Д
В случае, когда определитель системы Д = 0, система п неоднород-
ных уравнений с п неизвестными может иметь бесчисленное множество
корней (см. пример 4) или оказаться несовместной (см. пример 7).
30
Некоторые сведения по математике и механике
[Гл. I
2. Система п неоднородных уравнений с п— 1 неизвестными сов-
местна, если определитель, составленный из коэффициентов при неиз-
вестных и свободных членов, равен нулю (помимо общего условия
v = v„).
Отбрасывая одно из уравнений так, чтобы оставшаяся система п — 1
уравнений имела определитель, отличный от нуля, можно найти неиз-
вестные (см. пример 3).
При несоблюдении второго условия (т. е. если V<CVP) система не-
совместна.
3. Система п однородных уравнений с п неизвестными всегда сов-
местна, но может иметь не равные нулю корни только в случае v<n,
т. е. если А = 0. В этом случае система имеет бесчисленное множество
решений.
Определитель системы в примере 2 не равен нулю и система имеет
единственное решение (все корни равны нулю). В примере 5 определи-
тель равен нулю
302
050
604
= 0
и система имеет бесчисленное множество решений.
Корни системы п однородных уравнений с п неизвестными при
= п—1 пропорциональны минорам элементов любой строки, соответ-
ствующим данному неизвестному.
В примере 5 миноры второй строки дают неопределенность. Поль-
зуясь же минорами первой или третьей строки
X У г тх ТГ14 X У Z
5 01 1° °1 0 51 0 2| — 3 2 “30
0 4| •б 4 6 О' 5 0 0 0 0 5
х У г X У 2
20 “ 0 ~ — 30 — 10 0 ~ ’ 15 ’
у = 0; z= — 1,5 х.
получим:
Некоторые часто встречающиеся числа
-=3,141 592 654 е = 2,718 281 828 /2 = 1,414 214 /5- 1,259 921
=• = 9.869604 lg„ е = 0.434 294 482 /3= 1,732 051 v‘s = 1,442 250
=•=31,006277 е' =23,140693 /5 = 2,236 068 у 4 = 1,587 401
-* 97.409 091 е2 = 4,810 477 / 6 = 2,449 490 ^5 = 1,709976
=0,318310 е—“ = 0,043213 /7 = 2,645751 Гб- 1,817 121
г = = 1,772454 е 2 = 0,207 880 / 8 = 2,828 427 /= 1,912 931
^2= = 2,506628 /10=3,162 278 yz9 = 2,080 084
у<10 = 2,154 435
§ 2]
Круговые и гиперболические функции
31
§ 2. КРУГОВЫЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Связь круговых и гиперболических функций друг с другом и с пока-
зать ьными функциями выражается нижеследующими главнейшими фор-
мулами. Характер изменения функций и знаки тригонометрических функ-
ций показаны на рис. 4 и 5.
Рис. 4. Тригонометрические и гиперболические функции
Рис. 5. Знаки тригонометрических функций
90*
П(Г
tip udp
Круговые функции
е'1 — ,в я* , а5 а7 .
sina = 2Z = а~ зГ + 5Г -7Г + ' ’ '
е,в + е-/в . а2 я4 ав
c°s я — 2 — 1 2, + 4! 6| + • •
sin я е'“ — е
cos а i (eia + е
2 5 , 17
3 - 5 а ”^32-5-7
3
cos а 1 1 _1 , 2
Ctg2 = ^-T 3 “ 32-5 3«-5-7
32 Некоторые сведения по математике и механике[Гл, I
sin 0° = cos90° = 0 tg 0° = О
sin 30° = cos 60° = -1 tg 30° = = 0,577350
лл‘)
sin 45° = cos 45° = = 0,707107 tg 45° = 1
4 3 —
sin 60° = cos 30° = = 0,866025 tg 60° = /3 = 1,732 050
sin 90° = cos 0° = 1 tg90°=±co
sin2 a + cos2 a = 1
i r\----, n . a a
sina=l 1 — cos-a = 2sin-g-cos== V/
2tg4
i-Mg2|
cosa=] 1—sin2 a = cos2 ~ — sin2-^- =
1 + tg2 ~2
sina sin2a 1—cos2a
tp a =----=----------=-----------==
cos a 1 + cos 2a sin 2a
2«g|
tga
1 — cos 2a
’ 2
1 + cos 2a
2
1 — cos 2a
1 -|- cos 2a
1
»-tg2y
sin 2 a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2 a — sin2 a = 2 cos2 a’— 1=1 — 2 sin2 a
2tg
1 - tg2a
2
ctg a — tg a
a sin a 1—cos a „ / 1—cos a
tg — =---------=------.----= 1 / ---------
1-j-cosa sin a у l-]-cosa
sin (a ± P) = sin a cos p ± cos a sin P
cos (a ± P) = cos a cos p =F sin a sin P
tg(a±p) =
tga± tgp
1 + tgatgp
§ 2]
Круговые и гиперболические функции
33
ctg(a ± 0) =
ctgactgP 1
ctgp ±ctga
• - л . а Ч~ В a -F В
sin а ± sin р = 2 sin —g-- cos —
а 4- 8 а — 8
cos а + cos [3 = 2 cos —cos ——
a + p . a — p
cos а — cos p = — 2 sin - r sin - 2
tga±tgp =
sin (a ± 3)
cos a cos p
Гиперболические функции
sh i =
e* —era
2
a® a5
3! 5!
ch a =
2
a3
2!
a4
41
_ sh a _ e“ — e~a a3
ch a e* 4- e~a ~ a 3
2 s 17
---- ab —-------
3-5 32-5‘7
ch a e3 — e~* 11 1 . , 2
И— sha — e1 —e-1 — a 3 “ 32-5a 3s-5-7
sh ia = i sin a
ch ia — cos a
th ia = i tg a
sin i a = i sh a
cos i a = ch a.
tg ia — i th a
Пользуясь последними шестью зависимостями, из каждого соотно-
шения для круговых функций можно получить аналогичное соотношение
для гиперболических функций, если подставить a = i а, р =/р, ...
ch2 a — sh2 а — 1
sh а = У ch2 а — 1 = 2sh 4ch4 = 1 /--
If X
th а
Vzf— th2 a
2 th у
1 — tli2-|-
ch a — p sh- a ф- 1 = ch- + sh2 -% = 1/ -!— =
1 1 + th2T
= l/l-№=
3 > чебний справочник
34
Некоторые сведения по математике и механике
[Гл.1
.. _ sha _ sh2a ch 2а— 1
a—cha I-у ch 2а ~ sh2a
/ch2a— 1
ch2.a+ 1
2th-|
1+th2T
sh 2а = 2 sh a ch a
ch 2a = ch1 2a — sh2 а = 2 ch2a — 1 = 2 sh2 a + 1
th2“ l+th2a tha + ctha
а __ sha ch а — 1 _ | /ch a'— 1
2 cha-]-l= sha у cha-]-l
sh (a i ?) = sh a ch p ± ch a sh p
th (a ± 3) =
tha±th3
1 ± th a th 3
ch (a + 3) = ch a ch 3 ± sh a sh p
cth(a±p) =
cth acth p ± 1
cthp ± cth a
sh a ± sh p = 2 sh a ch “
cha +ch£ = 2 ch g 4^ ch й
ch a — ch p = 2 sh й 4, sh й
thaith₽ =
sh (a zb Р)
ch a ch p
Если аргумент круговой функции выражен в отвлеченной мере
(радианах), для использования соответствующих таблиц его следует
перевести в градусную меру и привести к углу, меньшему 90°, по фор-
мулам приведения:
cos I -jy- zb g I = -F sin a
tg (y ± a) = =Fctga
sin (- zb а) — Т sin a
cos (t: zb a) = — cos a
tg(~±a) = ±tga
1 радиан = 57°17'44,806"
0,1 > = 5°43'46,481"
0,01 > = 34'22,648"
0,001 » = 3' 26,265"
1° = 0,017 453 293
1' = 0,000 290 888
1" = 0,000 004 848
§ 2] Круговые и гиперболические функции 35
Перевод радианов в градуснлю меру через 0,001 приведен в табл. 2.
Перевод радианов в градусную меру
от 1 до 9
Таблица 2
Радианы 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Эквивалент в градусной мере 57’18' 114=35' 171°53' 229° 1Г 286°29' 343=46' 41=04' (Умей 98°22' ыпено 155°40' на 360°)
от 0,00 до 1,09
Радианы 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,00 0=00' (Г34 1-09' 1-43' 2 18' 2=52' 3-26' 4=01' 4°35' 5=09'
0,10 5’44 618 6’53' 7=27' 8'0 Г 8°36' 9-10' 9°44' 10=19' 10=53'
0,20 11=28' 12'02' 12;36' 13=1Г 13=45' 14=19' 14=54' 15=28' 16=23' 16=37'
0,30 17=11 17=46' 18°20' 18=54' 19=29' 20-03' 20=38' 21=12' 21=46' 22°21'
0.40 22-55 23'29' 24°04' 24=38' 25=13' 25-47' 26=21' 26°56' 27=30' 28=04'
0,50 28=39' 2943' 29=48' 30=22' 30=56' 31-ЗГ 32=05' 32-40* 33=14' 33=48'
0,60 34 23' 34°57 35'31' 36-06' 36=40' 37'15' 37=49' 38-23' 38=58' 39=32'
0,70 40'06' 40 41' 41 = 15' 41°50' 42=24' 42=58' 43=33' 44=07' 44=4 Г 45=16'
ojeo 45=50' 46“ 25' 46=59' 47' 33' 48-08' 48=42' 49=16' 49=51' 50=25' 51=00'
0,90 51=34' 52 08' 52=43' 53'17' 53=51' 54=26' 55 00' 55=35' 56=09' 56=43'
1,00 57=18' 57е52' 58"27' 59° 0Г 59=35' 60-10' 60=44' 61=18' 61=53' 62=27'
от 0,001 до 0,009
Радианы 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009
Эквивалент в градус- ной мере 0=03' 0=07' 0=10' 0=14' 0°17' 0=20' 0=24' 0°28' 0=31'
Пример. 2,753=114=35'+42=58'+0о10' = 157=33'.
В приводимых ниже таблицах1 тригонометрических и других функций
(табл. 3—12) большие концевые пятерки показывают, что за цифрой 5
следуют еще значащие цифры (sin Г=0,01745 =0,0174524...). Малые конце?
вые пятерки показывают, что цифра 5 получена путем округления в боль-
шую сторону (sin 10° = 0,17365 = 0,1736482...). Это обстоятельство следует
учитывать при неполном использовании точности таблиц:
sin 1° = 0,0175; sin 10° = 0,1736.
1 Более подробные таблицы с интервалом аргумента через 0,001 имеются
в книге Сегала Б. И. и Семендяева К. А., Пятизначные математические таблицы,,
изд-во АН СССР, 1950.
3Y®
36
Некоторые сведения по математике и механике
[Гл.1
sin х
Таблица 3
X О' 10' 20' 1 30' 40' 50' 60'
0° 0.00000 G,00291 0,00582 0,00873 0,01164 0,01454 0,01745 89
1 0.0174b 0.02036 0,02327 0,02618 0,02908 0,03199 0,03490 88
2 0.03490 0,03781 0,04071 0,04362 0,04653 0,04943 0,05234 87
3 0,05234 0,05524 0,05814 0,06105 0,06395 0,06685 0,06976 86
4 0.06976 0,07266 0,07556 0,07846 0,08136 0,08426 0,08716 85
5 0,08716 0,09000 0,09295 0,0958s 0,09874 0,10164 0,10453 84
6 0.10453 0,10742 0,11031 0,11320 0,11609 0,11898 0,12187 83
7 0.12187 0,12476 0,12764 0,13053 0,13341 0,13629 0,13917 82
8 0,13917 0,14200 0,14493 0,14781 0,15069 0,15356 0,15643 81
9 0,15643 0,15931 0,16218 0,16505 0,16792 0,17078 0,17365 80°
10° 0,1736а 0,17651 0,17937 0,18224 0,18509 0,18795 0,19081 79
11 0,19081 0,19366 0,19652 0,19937 0,20222 0,20507 0,20791 78
12 0,20791 0,21076 0,21360 0,21644 0,21928 0,22212 0,22495 77
13 0,22490 0,22778 0,23062 0,23345 0,23627 0,23910 0,24192 76
14 0,24192 0,24474 0,24756 0,25038 0,25320 0,25601 0,25882 75
15 0,25882 0,26163 0,26443 0,26724 0,27004 0,27284 0,27564 74
16 0,27564 0,27843 0,28123 0,28402 0,28680 0,28959 0,29237 73
17 0,29237 0,29510 0,29793 0,30071 0,30348 0,3062а 0,30902 72
18 0,30902 0,31178 0,31454 0,31730 0,32006 0,32282 0,32557 71
19 0,32557 0,32832 0,33106 0,33381 0,33655 0,33929 0,34202 70°
20° 0,34202 0,34475 0,34748 0,35021 0,35293 0,35565 0,35837 69
21 0,35837 0,36108 0,36379 0,36650 0,36921 0,37191 0,37461 68
22 0,37461 0,37730 0,37999 0,38268 0,38537 0,38805 0,39073 67
23 0,39073 0,39341 0,39608 0,39875 0,40141 0,40408 0,40674 66
24 0,40674 0,40939 0,41204 0,41469 0,41734 0,41998 0,42262 65
25 0,42262 0,42520 0,42788 0,43051 0,43313 0,43575 0,43837 64
26 0.43о37 0,44098 0,44359 0,44620 0,44880 0.45140 0,45399 63
27 0,45399 0,45658 0,45917 0,46175 0,46433 0,46690 0,46947 62
28 0,46947 0.47204 0,47460 0,47716 0,47971 0,48226 0,48481 61
29 0,48481 0,48730 0,48989 0,49242 0,49495 0,49748 0,50000 60°
30° 0,50000 0,50252 0,50503 0,50754 0,51004 0,51254 0,51504 59
31 0,51504 0,51753 0,52002 0,52250 0,52498 0,52745 0,52992 58
32 0,52992 0,53238 0,53484 0,53730 0,53975 0,54220 0,54464 57
33 0,54464 0,54708 0,54951 0,55194 0,55436 0,556/8 0,55919 56
34 0,55919 0,56160 0,56401 0,56641 0,56880 0,57119 0,57358 55
35 0,57358 0,57596 0,57833 0,58070 0,58307 0,58543 0,58779 54
36 0,58779 0,59014 0,59248 0,59482 0,59716 0,59949 0,60182 53
37 0,60182 0,60414 0,60645 0,60876 0,61107 0,61337 0,61566 52
38 0,61566 0,61790 0,62024 0,62251 0,62479 0,62706 0,62932 51
39 0,62932 0,63158 0,63383 0,63608 0,63832 0,64056 0,64279 50°
40° 0,64279 0,64501 0,64723 0,6494s 0,65166 0.65386 0,65606 49
41 0,65606 0,65825 0,66044 0,66262 0,66480 0,66697 0,66913 48
42 0,66913 0,67129 0,67344 0,67559 0,67773 0,67987 0,68200 47
43 0,68200 0,68412 0,68624 0,68835 0,69046 0,69256 0,69466 46
44 0,69466 0.69675 0,69883 0,70091 0,70298 0,70505 0,70711 45
60' 50' 40' 30' 20' 10' 0' Л
COS Л
Допустимо линейное интерполирование.
§ 2]
Круговые и гиперболические функции
37
Продолжение табл. 3
sin ж
X О' 10' 20' 30' 40' 50' 60'
45° 0,70711 0,70916 0,71121 0,71325 0,71529 0,71732 0,71934 44
46 0,71934 0,72136 0,72337 0,72537 0,72737 0,72937 0,73135 43
47 0,73135 0,73333 0,73531 0,73728 0,73924 0,74120 0,74314 42
48 0,74314 0,74509 0,74703 0,74896 0,75088 0,75280 0,75471 41
49 0,75471 0,75661 0,75851 0,76041 0,76229 0,76417 0,76604 40°
50° 0,76604 0,76791 0,76977 0,77162 0,77347 0,77531 0,7771s 39
51 0,77715 0,77897 0,78079 0,78261 0,78442 0,78622 0,78801 38
52 0,78801 0,78980 0,79158 0,79335 0,79512 0,79688 0,79864 37
53 0,79864 0,80038 0,80212 0,80386 0,80558 0,80730 0,80902 36
54 0,80902 0,81072 0,81242 0,81412 0,81580 0,81748 0,81915 35
55 0,81915 0,82082 0,82248 0,82413 0,82577 0,82741 0,82904 34
56 0,82904 0,83066 0,83228 0,83389 0,83549 0,83708 0,83867 33
57 0,83867 0 84025 0,84182 0,84339 0,84495 0,84650 0,84805 32
58 0,84805 0.84959 0,85112 0,85264 0,85416 0,85567 0,85717 31
59 0.85717 0,85866 0,86015 0,86163 0,86310 0,86457 0,86603 30°
60° 0,86603 0,86748 0,86892 0,87036 0,87178 0,87321 0,87462 29
61 0,87462 0,87603 0,87743 0,87882 0.88020 0,88158 0,88295 28
62 0,88295 0,88431 0,88566 0,88701 0,88835 0,88968 0,89101 27
63 0,89101 0,89232 0,89363 0,89493 0,89623 0,89752 0,89879 26
64 0.89879 0,90007 0,90133 0,90259 0,90383 0,90507 0,90631 25
65 0,90631 0,90753 0,90875 0,90996 0,91116 0,91236 0,91355 24
66 0 91355 0,91472 0,91590 0,91706 0,91822 0,91936 0,92050 23
67 0,92050 0,92164 0,92276 0,92388 0,92499 0,92609 0,92718 22
68 0,92718. 0,92827 0,92935 0,93042 0,93148 0,93253 0,93358 21
69 0,93358 0,93462 0,93565 0,93667 0.93769 0,93869 0,93969 20°
70° 0,93969 0,94068 0,94167 0,94264 0,94361 0,94457 0,94552 19
71 0,94552 0,94646 0,94740 0,94832 0,94924 0,95015 0,95106 18
72 0,95106 0,95195 0,95284 0,95372 0,95459 0,95545 0,95630 17
73 0,95630 0,95715 0,95799 0,95882 0,95964 0,96046 0,96126 16
74 0,96126 0,96206 0,96285 0,96363 0,96440 0,96517 0.96593 15
75 0,96593 0,96667 0 96742 0,96815 0,96887 0,96959 0,97030 14
76 0,97030 0,97100 0,97169 0,97237 0,97304 0,97371 0,97437 13
77 0,97437 0,97502 0,97566 0,97630 0,97692 0,97754 0,9781s 12
78 0,97815 0.97875 0,97934 0,97992 0,98050 0,98107 0,98163 11
79 0,98163 0,98218 0,98272 0,98325 0,98378 0,98430 0,98481 10°
80° 0,98481 0,98531 0,98580 0,98629 0,98676 0,98723 0,98769 9
81 0,98769 0,98814 0,98858 0,98902 0,98944 0,98986 0,99027 8
82 0,99027 •0,99067 0,99106 0,99144 0,99182 0,99219 0,99255 7
83 0,99255 0,99290 0,99324 0 99357 0,99390 0,99421 0,99452 6
84 0,99452 0,99482 0,99511 0,99540 0,99567 0,99594 0,99619 5
85 0,99619 0,99644 0,99668 0.99692 0,99714 0,99736 0,99756 4
86 0,99756 0,99776 0,99795 0,99813 0,99831 0,99847 0,99863 3
87 0,99863 0,99878 0,99892 0,99905 0,99917 0,99929 0,99939 9
88 0,99939 0,99949 0,99958 0 99966 0.99973 0,99979 0,99985 1
89 0,99985 0,99989 0,99993 0,99996 0,99998 1,00000 1,00000 0°
60' 50' 40' 30' 20' 10' 0' X
COS X
Допустимо линейное интерполирование.
38
Некоторые сведения по математике и механике
[Гл. I
tg*
Таблица 4
X О' 10' 20' 30' 40' 50' 60'
0° 0,00000 0,00291 0,00582 0,00873 0,01164 0,01455 0,01746 89
1 0,01746 0,02036 0,02328 0,02619 0,02910 0,03201 0,03492 88
2 ! 0,03492 0,03783 0,0407s 0,04366 0,04658 0,04949 0,05241 87
3 0,05241 0,05533 0,05824 0,06116 0,06408 0,06700 0,06993 86
4 0,06993 0,07285 0,07578 0,07870 0,08163 0,08456 0,08749 85
5 0,08749 0,09042 0,09335 0,09629 0,09923 0,10216 0,10510 84
6 0,10510 0,10805 0,11099 0,11394 0,11688 0,11983 0,12278 83
7 0,12278 0,12574 0,12869 0,13165 0,13461 0,13758 0,14054 82
8 0,14054 0,14351 0,14648 0,14945 0,15243 0,15540 0,15838 81
9 0,15838 0,16137 0,16430 0,16734 0,17033 0,17333 0,17633 80°
10° 0,17633 0,17933 0,18233 0,18534 0,18835 0,19136 0,19438 79
11 0,19438 0,19740 0,20042 0,20345 0,20648 0,20952 0,21256 78
12 0,21256 0,21560 0,21864 0,22169 0,22475 0,22781 0,23087 77
13 0,23087 0,23393 0,23700 0,24008 0,24316 0,24624 0,24933 76
14 0,24933 0,25242 0,25552 0,25862 0,26172 0,26483 0,26795 75
15 0,26795 0,27107 0,27419 0,27732 0,28046 0,28360 0,28675 74
16 0,28675 0,28990 0,29305 0,29621 0,29938 0,30255 0,30573 73
17 0.3U573 0,30891 0,31210 0,31530 0,31850 0,32171 0,32492 72
18 0,32492 0,32814 0,33136 0,33460 0,33783 0,34108 0,34433 71
19 0,34433 0,34758 0,35085 0,35412 0,35740 0,36068 0,36397 70°
20° 0,36397 0,36727 0,37057 0,37388 0,37720 0,38053 0,38386 69
21 0,38336 0,38721 0,39055 0,39391 0,39727 0,40065 0,40403 68
22 0,40403 0,40741 0,41081 0,41421 0,41763 0,42105 0,42447 67
23 0,42447 0,42791 0,43136 0,43481 0,43828 0,44175 0,44523 66
24 0,44523 0,44872 0,45222 0,45573 0,45924 0,46277 0,46631 65
25 0,46631 0,46935 0,47341 0,47698 0,48055 0,48414 0,48773 64
26 0,48’"3 0,49134 0,49495 0,49858 0,50222 0,50587 0,50953 63
27 0,50953 0,51319 0,51688 0,52057 0,52427 0,52798 0,53171 62
28 0,53171 0,53545 0.53920 0,54296 0,54673 0,55051 0,55431 61
29 0,55431 0,55812 0,56194 0,56577 0,56962 0,57348 0,57735 60°
30° 0,57735 0,58124 0,58513 0,5890s 0,59297 0,59691 0,60086 59
31 0,60086 0,60483 0,60881 0,61280 0,61681 0,62083 0,62487 58
32 0,62487 0,62892 0,63299 0,63707 0,64117 0,64528 0,64941 57
33 0,64941 0,65350 0,65771 0,66189 0,66608 0,67028 0,67451 56
34 0,67451 0.67875 0,68301 0,68728 0,69157 0,69588 0,70021 55
35 0,70021 0,70450 0,70891 0,71329 0,71769 0,72211 0.72654 54
36 0,72654 0,73100 0,73547 0,73996 0,74447 0,74900 0,75355 53
37 0,75355 0,75812 0,76272 0,76733 0,77196 0,77661 0,78129 52
38 0,78129 0,78598 0,79070 0,79544 0,80020 0,80498 0,80978 51
39 0,80978 0,81461 0,81946 0,82434 0,82923 0,83415 0,83910 50°
40° 0,83910 0,84407 0,84906 0,85408 0,85912 0,86419 0,86929 49
41 0,86929 0,87441 0,87955 0,88473 0,88992 0,89515 0,90040 48
42 0,90040 0,90569 0,91099 0,91633 0,92170 0,92709 0,93252 47
43 0,93252 0,93797 0,94345 0,94896 0,95451 0,96008 0,96569 46
44 (.96569 0,97133 0,97700 0,98270 0,98843 0,99420 1,00000 45
- 60* 50' 40' 30' 20' 10' 0' X
ctg л
Допустимо линейное интерполирование.
§ 2]
Круговые и гиперболические функции
39
Продолжение табл, 4
X 0' 10' 20' 30' 40' 50' 60'
45° 1,00000 1,00583 1.01170 1,01761 1,0235s 1,02952 1,03553 44
46 1,03553 1,04158 1,04766 1,05378 1,05994 1,06613 1,07237 43
47 1,07237 1,07864 1,08496 1,09131 1,09770 1,10414 1,11061 42
48 1,11061 1,11713 1,12369 1,13029 1,13694 1,14363 1,15037 41
49 1,15037 1,15715 1,16398 1,17085 1,17777 1,18474 1,19175 40°
50° 1,19175 1,19882 1,20593 1,21310 1,22031 1,22758 1,23490 39
51 1,23490 1,24227 1,24969 1,25717 1,26471 1,27230 1,27994 38
52 1,27994 1,28764 1,29541 1,30323 1,31110 1,31904 1,32704 37
53 1,32704 1,35511 1,34323 1,35142 1,35968 1,36800 1,37638 36
54 1,37638 1,38484 1,39336 1,4019s 1,41061 1,41934 1,42815 35
55 1,42815 1,43703 1,44598 1,45501 1,46411 1,47330 1,48256 34
56 1,48256 1,49190 1,50133 1,51084 1,52043 1,53010 1,53987 33
57 1,53987 1,54972 1,55966 1,56969 1,57981 1,59002 1,60033 32
58 1,60033 1,61074 1,62125 1,63185 1,64256 1,65337 1,66428 31
59 1,66428 1,67530 1,68643 1,69766 1,70901 1,72047 1,73205 30°
60° 1,73205 1,74375 1,75556 1,76749 1,77955 1,79174 1,80405 29
61 1,80405 1,81649 1,82906 1,84177 1,85462 1,86760 1,88073 28
62 1,88073 1,89400 1,90741 1,92098 1,93470 1,94858 1,96261 27
63 1,96261 1,97680 1,99116 2,00569 2,02039 2,03526 2,05030 26
64 2,05030 2,06553 2,08094 2,09654 2,11233 2,12832 2,14451 25
65 2,14451 2,16090 2,17749 2,19430 2,21132 2,22857 2,24604 24
66 2,24604 2,26374 2,28167 2,29984 2,31826 2,33693 2,35585 23
67 2.3558Э 2,37504 2,39449 2,41421 2,43422 2,45451 2,47509 22
68 2,47509 2,49597 2,51715 2,53865 2,56046 2,58261 2,60509 21
69 2,60509 2,62791 2,65109 2,67462 2,69853 2,72281 2,74748 20°
70° 2,74748 2,77254 2 79802 2,82391 2,85023 2,87700 2,90421 19
71 2,90421 2,93189 2,96004 2,98869 3,01783 3,04749 3,07768 18
72 3,07768 3,10842 3,13972 3,17159 3,20406 3,23714 3,27085 17
73 3,27085 3,30521 3,34023 3,37594 3,41236 3,44951 3,48741 16
74 3,48741 3,52609 3,56557 3,60588 3,64705 3,68909 3,73205 15
75 3,73205 3,77595 3,82083 3,86671 3,91364 3,96165 4,01078 14
76 4,01078 4,06107 4,11256 4,16530 4,21933 4,27471 4,33148 13
77 4,33148 4,38969 4,44942 4,51071 4,57363 4,63825 4,70463 12
78 4,70463 4,77286 4,84300 4,91516 4,98940 5,06584 5,14455 11
79 5,14455 5,22566 5,30928 5,39552 5,48451 5,57638 5,67128 10°
80° 5,67128 5,76937 5,87080 5,97576 6,08444 6,19703 6,31375 9
81 6,31375 6,43484 6,56055 6,69116 6,82694 6,96823 7,11537 8
82 7,11537 7,26873 7,42871 7,59575 7,77035 7,95302 8,14435 7
83 8,14435 8,34496 8,5555s 8,77689 9,00983 9,25530 9,51436 6
84 9,51436 9,78817 10,0780 10,3854 10,7119 11,0594 11,4300 5
85 11,4300 11,8262 12,2505 12,7062 13,1969 13.7267 14,3007 4
86 14,3007 14,9244 15,6048 16,3499 17,1693 18,0750 19,0811 3
87 19,0811 20,2056 21,4704 22,9038 24,5418 26,4316 28,6362 2
88 28,6362 31,2416 34,3678 38,1885 42,9641 49,1039 57,2900 1
89 57,2900 68,7501 85,9398 114,589 171,885 343,774 CO 0°
60' 50' 40' 30' ctgx 20' 10' 0' X
Линейное интерполирование с использованием всех знаков, даваемых таблицей,
недопустимо (об интерполировании с учетом вторых разностей см. стр. 92).
40 Некоторые сведения по математике и механике [Гл.
Таблица 5
sin х
для аргумента в отвлеченной мере через 0,01 до 5,09
X 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 ! +0,00000' 01000 02000 03000 03999 04998 05996 06994 07991 08988
0,1 0,00983 10978 11971 12963 13954 14944 15932 16918 17903 18886
0,2 0,19867 20846 21823 22798 23770 24740 25708 26673 27636 28595
0,3 0.29552 30506 31457 32404 33349 34290 35227 36162 37092 38019
0,4 0,38949 39861 40776 41687 42594 43497 44395 45289 46178 47063
0,5 0,47943 48818 49588 50553 51414 52269 53119 53963 54802 55636
0,6 0 56464 5“287 58104 58914 59720 60519 61312 62099 62879 63654
0,7 0 64422 65183 65938 66687 67429 68164 68892 69614 70328 71035
0,8 0.71"36 72429 73115 73793 74464 75128 75784 76433 77074 77707
0,9 0,78333 78950 79560 80162 80756 81342 81919 82489 83050 83603
1.0 0,84147 846*3 85211 85730 86240 86742 87236 87720 88196 88663
1.1 0,89121 89570 90010 90441 90863 91276 91680 92075 92461 92837
1.2 0.93904 93562 93910 94249 94578 94898 95209 95510 95802 96084
1.3 0,96356 96618 96872 97115 97348 97572 97786 97991 98185 98370
1,4 0 98710 98865 99010 99146 99271 99387 99492 99588 99674
1.5 0 99749 99815 99871 99917 99953 99978 99994 1,00000 99996 99982
1.6 0 OOQ5" 99923 99879 99825 99761 99687 99602 99508 99404 99290
1,7 0 99166 99033 98889 98735 98572 98399 98215 98022 97820 97607
1,8 0,97385 9~153 969Ц 96659 96398 96128 95847 95557 95258 94949
1,9 0,94630 94302 93965 93618 93261 92896 92521 92137 91744 91341
2 0 0 90Q3O 90509 90079 89641 89193 88736 88271 87796 87313 86821
2,1 0.8F321 85812 85294 84768 84233 83690 83138 82579 82010 81434
2.2 0.86850 80257 79657 79048 78432 77807 77175 76535 75888 75233
2,3 0,745"! 73001 73223 72538 71846 71147 70441 69728 69007 6^280
2.4 0.6"546 66806 66058 65304 64544 63776 63003 62223 61437 60645
2,5 0,5°Я47 59043 58933 57417 56596 55768 54936 54097 53253 52404
2.6 0,51550 5089! 49826 48957 48082 47203 46319 45431 44537 43640
2,7 0 42738 41832 4092! 40007 39088 38166 37240 36310 35376 34439
2,8 0,33409 32555 31608 30658 29704 28748 27789 26827 25862 24895
2,9 0,23925 22953 21978 21002 20023 19042 18060 17075 16089 15101
3,0 0,14112 1312! 12129 11136 10142 09140 08150 07153 06155 05157
3,1 +0,04158 03159 02159 01159 +00159 —00841 01841 02840 03840 04839
3 2 —0,05837 06835 07833 08829 09825 10820 11813 12805 13797 14786
3,3 —0,15775 16761 17"46 18729 19711 20690 21668 22643 23616 24586
3,4 —0,25554 26520 27482 28443 29400 30354 31305 32254 33199 34140
3.5 —0,35078 36013 36944 37871 38795 39715 40631 41542 42450 43353
3.6 —0,44252 45147 46037 46922 47803 48679 49550 50416 51277 52133
3,7 —0,52984 53829 54669 55504 56333 57156 57974 58786 59592 60392
3.8 —0,61186 61974 62755 63531 64300 65063 65819 66568 67311 68047
3,9 —0,68777 69499 70215 70923 71625 72319 73006 73686 74358 75023
4.0 —0.756*0 76330 76972 77607 78234 78853 79464 80067 80662 81249
4.1 —0.81828 82398 82961 *3515 84061 84598 85127 85648 86160 86663
4.2 —0.87158 87643 88121 88589 89048 89499 89941 90373 90797 91211
4.3 —0.91617 92013 92400 92778 93146 93505 93855 94196 94527 94848
4,4 —0 95160 95463 95756 96039 96313 96577 96832 97077 97312 97537
4,5 —0,97753 97959 98155 98341 98518 98684 98841 98988 99125 99252
4 6 —0 99369 99476 99574 99661 99738 99805 99863 99910 99948 99975
4,7 — 0 О0ОО2 1>00000 99997 99984 99962 99929 99887 99834 99772 99699
4,8 —0.99616 °9524 99422 99309 99187 99055 98913 98761 98599 98427
4,9 —0.98246 98054 97853 97642 97421 97190 96950 96700 96441 96171
5,0 -0,95892 95604 95306 94998 94681 94355 94019 93674 93319 92955
Линейное интерполирование допустимо не во всех частях таблицы. Об интер
полировании см. стр. 91.
§ 2]
Круговые и гиперболические функции
41
Таблица 6
COS X
для аргумента в отвлеченной мере через 0,01 до 5,09
X 0,00 0,01 0.02 0.03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 + 1,00000 99995 99980 99955 99920 99875 99820 99755 99680 99595
0,1 0,99500 1 Р9396 99281 , 99156 99022 98877 98723 98558 98384 98200
0,2 0,98007 97803 97590 , 97367 97134 96891 96639 96377 96106 95824
0,3 0,95534 95233 94924 | 94604 94275 93937 93590 93233 92866 92491
0,4 0.92106 91712 91309 90897 90475 90045 89605 89157 88699 88233
0,5 0,87758 87274 86782 86281 85771 85252 84726 84190 83646 83094
0,6 0,82534 81965 81388 80803 80210‘ 79608 78999 78382 77757 77125
0,7 0,76484 75836 75181 74517 73847 73169 72484 71791 71091 70385
0,8 0.69671 68950 68222 67488 66746 65998 65244 64483 63715 62941
0,9 0,62162 61375 60582 59783 58979 58168 57352 56530 55702 54869
1.0 0,54030 53186 52337 51482 50622 49757 48887 48012 47133 46249
1,1 0,45360 44466 43568 42666 41759 40849 39934 39015 38092 37166
1,2 0,36236 35302 34365 33424 32480 31532 30582 29628 28672 27712
1,3 0,26750 25785 24818 23848 22875 21901 20924 19945 18964 17981
1,4 0,16997 16010 15023 14033 13042 12050 11057 10063 09067 08071
1,5 4-0,07074 06076 05077 04079 03079 02079 01080 +00080 —00920 01920
1,6 —0,02920 03919 04918 05917 06915 07912 08909 09904 10899 11892
1.7 —0,12884 13875 14865 15853 16840 17825 18808 19789 20768 21745
1.8 —0,22720 23693 24663 25631 26596 27559 28519 29476 30430 31381
1,9 —0.32329 33274 34215 35153 36087 37018 37945 38868 39788 40703
2,0 —0,41615 42522 43425 44323 45218 46107 46992 47873 48748 49619
2,1 —0,50485 51345 52201 53051 53896 54736 55570 56399 57221 58039
2,2 —0,58850 59656 60455 61249 62036 62817 63592 64361 65123 65879
2,3 —0,66628 67370 68106 68834 69556 70271 70979 71680 72374 73060
2,4 —0.73739 74411 75075 75732 76382 77023 77657 78283 78901 79512
2,5 —0,80114 80709 81295 81873 82444 83005 83559 84104 84641 85169
2,6 —0,85689 86200 86703 87197 87682 88158 88626 89085 89534 89975
2,7 —0.90407 90830 91244 91648 92044 92430 92807 93175 93533 93883
2,8 —0.94222 94553 94873 95185 95486 95779 96061 96334 96598 96852
2,9 —0,97096 97330 j 97555 97770 97975 98170 98356 98531 98697 98853
3,0 —0.98999 99135 99262 99378 99484 99581 99667 99744 99810 99867
3.1 —0,99914 99950 99977 99993 1,00000 99996 99983 99960 99926 99883
3,2 —0,99829 99766 99693 99609 99516 99413 99300 99177 99044 98901
3,3 —0,98748 98585 98413 98230 98038 97836 97624 97403 97172 96931
3,4 —0,96680 96419 96149 95870 95581 95282 94974 94656 94328 93992
3,5 —0,93646 93290 92925 92551 92168 91775 91374 90963 90543 90114
3,6 —0,89676 89229 88773 88308 87835 87352 86861 86361 85853 85336
3,7 —0,84810 84276 83733 83183 82623 82056 81480 80896 80305 79705
3.8 —0,79097 78481 7,857 77226 76587 75940 75285 74624 73954 73277
3,9 —0,72593 71902 71203 70498 69785, 69065 68338 67605 66865 66118
4.0 —0,65364 64604 63838 63065 62286 61500 60709 59911 59107 58298
4.1 —0,5~482 56661 55834 55002 54164 53321 52472 51618 50759 49895
4.2 —0,49026 48152 47273 46390 45501 44609 43712 42810 41904 40994
4,3 —0,40080 39162 38240 37314 36384 35451 34514 33574 32630 31683
4,4 —0.30733 29780 2885 27865 26903 25939 24972 24002 23030 22056
4 5 —0,21080 20101 19120, 18138 17154 16168 15180 14191 13200 12208
4,6 -0.11215 10221 09226 08230 07233 06235 05237 04238 03238 02239
4.7 —0.01239 —00239 +00761 01761 02761 03760 04759 05758 06756 07753
4,8 +0.08750 09746 10740 11734 12726 13718 14708 15696 16683 17668
4.9 0,186511 19633 20612 21590 22565 23538 24509 25477 26443 27406
5,0 0.28366| 29324 1 30278 31230 32130j 33123 34065 35004 35939 36870
Линейное интерполирование допустимо не во всех частях таблипы. Сб интер-
полирования см. стр. 91.
42
Некоторые сведения по математике и механике
[ Гл. I
tg х
для аргумента через 0,01 до 5,09
Таблица 7
X 0,00 0,01 0.02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,о'+0,0000 0,1 0,1003 0,2 0,2027 0,3 0,3093 0,4 0,4228 0,5 0,5463 0.6 0,6841 0,7 0,8423 0,8 1,0296 0 9 1,2602 0,0100 0,1104 0,2131 0,3203 0,4346 0,5594 0,6989 0,8595 1,0505 1,2864 0.0200) 0.1206 0,2236 0,3314 0,4466 0.5726 0,7139 0,8771 1,0717 1,3133 0,0300 0.1307 0.2341 0,3425 0,4586 0,5859 0,7291 0,8949 1,0934 1,3409 0,0400 0,1409 0,2447 0,3537 0,4708 ’ 0.5994 0,7445 0,9131 1,1156 1,3692 0,0500 0,1511 0,2553 0,3650 0,4831 0 6131 0,7602 0,9316 1,1383 1,3984 0,0601 0.1614 0,2660 0,3764 0,4954 0,6269 0,7761 0,9505 1,1616 1,4284 0,0701 0,1717 0,2768 0,3879 0,5080 0,6410 0,7923 0,9697 1,1853 1,4592 0,0802 0,1820 0,2875 0,3994 0,5206 0,6552 0,8087 0,9893 1,2097 1,4910 0,0902 0.1923 0,2984 0,4114 0,5334 0,6696 0,8253 1,0092 1,2346 1,5237
1,0 1,1 1,2 1.3 1.4 1,5 1,6 1,7 1.8 1,9 1,5574 1,9648 2.5721 3,6021 5,7979 +14,101 —34,233 —",6966 —1,2863 —2,9271 1,5922 2,0143 2,6503 3,7471 6.1654 16,428 25,513 7,1373 4.1005 2,8341 1,6281 2.0660 2,7328 3,9033 6,5811 19,670 20,323 6,6524 3,9294 2,7463 1,6652 2,1197 2,8198 4,0723 7,0555 24,498 16,873 6.2281 3,7712 2,6632 1,7036 2,1759 2,9119 4.2556 7,6018 32,461 14,431 5,8535 3,6245 2,5843 1,7433 2,2345 3,0096 4,4552 8,2381 48,078 12,604 5,5204 3,4881 2,5095 1,7844 2,2958 3,1133 4,6734 8,9886 92,620 11,181 5,2221 3,3608 2,4383 1,8270 2,3600 3,2236 4,9131 9,8874 + 1255,8 10,048 4,9534 3,2419 2,3705 1,8712 2,4273 3,3413 5,1774 10,983 -108,65 9,1208 4,7101 3,1304 2,3058 1,9171 2,4979 3,4672 5,4707 12,350 -52,067 8,3492 4,4887 3,0257 2,2441
2,0—2,1850 2,1 — .7098 2.2 —1.3738 2.3—1,1192 2.4-0,9160 2,5—0,7470 2,6—0,6016 2,7—0,472' 2,8—0,3555 2,9—0.2464 2.1285 1,6713 1,3453 1,0969 0,8978 0,7316 0,5881 0,4606 0,3443 0,2358 2,0744 1,6340 1,3176 1,0751 0,8799 0,7163 0,5747 0,4485 0,3332 0,2253 2,0223 1,5978 1.2906 1,0538 0,8623 0,7013 0,5615 0,4365 0,3221 0,2148 1,9725 1,5622 1,2643 1,0269 0,8450 0,6865 0,5484 0,4247 0,3111 0,2044 1,9246 1,5290 1,2386 1,0125 0,8280 0,6719 0,5354 0,4129 0,3001 0,1943 1,8797 1,4961 1,2136 0,9924 0,8113 0,6575 0,5226 0,4013 0,2893 0,1836 1,8340 1,4662 1,1892 0,9728 0,7953 0,6432 0,5100 0,3897 0,2785 0,1733 1,7911 1,4331 1,1653 0,9535 0,7787 0,6292 0,4974 0,3782 0,2677 0,1630 1,7498 1,4031 1,1420 0,9346 0,7627 0,6153 0,4850 0,3668 0,2570 0,1528
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3.8 3.9 —0,1420 —0,0416 +0,058э 0,1597 0,2643 0.3746 0,4935 0,6247 0,7736 0,9474 0,1324 0,1316 0.0685 0,1700 0,2750 0,3860 0,5060 0,6387 0,7897 0,9666 0,1222 0,1121 0,0216 0,0116 0.0786 0,0886 0,1803 0,1907 0,285а 0.2967 0,3976 0,4092 0,5185 0,5313 0,6529- 0.6673 0,8060'0,8227 0,9861) 1.0060 0,1019 —0,0016 0,0987 0,2011 0,3076 0,4209 0,5442 0,6818 0,8396 1,0264 0 0919 +0,0084 0,1088 0,2115 0,3186 0,3328 0,5573 0,6966 0,8568 1,0471 0,0818 0,0184 0,1190 0,2219 0,3296 0,4447 0,5704 0,7115 0,8743 1,0683 0,0717 0,0284 0,1291 0,2325 0,3407 0,4567 0.5838 0,7267 0,8921 1,0899 0,0617 0,0384 0,1393 0,2430 0,3519 0.4688 0,5973 0,7421 0,9102 1,1121 0,0516 0,0484 0,1495 0,2536 0,3632 0,4811 0,6109 0,7577 0,9286 1,1347
4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4.5 4,6 4.7 4,8 4,9 S.Oj 1,1578 1.4235 1,7778 2,2858 3,0963 4,6373 8,8602 +80,713 —11,385 —5,267s —3,3805 1,1815 1,4542 1,8201 2,3477 3,2056 4,8733 9.7325 +418,59 10.212 4.9944 3,2603 1,2057 1,4858 1,8641 2,4163 3,3221 5,1335 10,793 —131,39 9,2568 4,7473 3.1477 1,2306 1,5184 1,9097 2.4864 3,4466 5,4042 12.110 56,777 8.4634 4,5226 4,0419 1,2540 1,5520 1.9570 2,5601 3,5800 5,7433 13,790 36,208 7,7937 4,3173 2,9424 1,2821 1,5866 2,0063 2,6376 3,7190 6,0927 16,008 26.575 7,2209 4,1291 2,8486 1,3089 1,6329 2,0576 2,7193 3,8777 6,5013 19,071 20,988 6,7253 3,9557 2,7600 1,3364 1,6593 2,1110 2,8056 4,0445 6,9755 23,577 17,339 6,2921 3,7956 2,6761 1.3647 1,6974 2,1668 2,8942 4,2254 7,4093 30,864 14,768 5,9102 3,6471 2,5966 1,3937 1,7369 2,2250 2,9936 4,4222 8,1398 44,657 12,859 5,5711 3,5092 2,5211
Линейное интерполирование допустимо для тангенсов, меньших единицы.
§ 2]
Круговые и гиперболические функции
43
Таблица 8
th х
для фгумента через 0,01 до 5,09
X 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 J 0,05 0,06 0,07 * 0,08 0,09
0,0 0,00000 *01000 02000 02999 03998 04996 05993 06989 07983 08976
0,1 0,09967 10956 11943 12927 13909 14889 15865 16838 17898 18775
0,2 0,19738 20697 21652 22603 23550 22492 25430 26362 27291 28213
0,3 0,29131 30044 30951 31852 32748 33638 34521 35399 36271 37136
0,4 0,37995 38847 39693 40532 41364 42190 43008 43820 44624 45422
0,5 0,46212 46995 47770 48538 49299 50052 50798 51538 52267 52990
0,6 0,53705 54413 55113 55800 57490 57167 57836 58498 59152 59798
0,7 0,60437 61068 61691 62307 62915 63515 64108 64693 65271 65841
0 8 0,66404 66959 67507 68048 68581 69107 69626 70137 70642 71139
0,9 0,71630 ~2113 72590 73059 73522 73978 74428 74870 75307 75736
1.0 0,76159 76576 76987 77391 77789 78181 78566 78946 79320 79688
1.1 0,80050 80406 80757 81102 81441 81775 82104 82427 82745 83058
1,2 0,83365 83668 83965 84258 84546 84828 85106 85380 85648 85913
1.3 0.86172 86428 86678 86925 87167 87405 87639 87869 88095 88317
1.4 0,88535 88749 88960 89167 89370 89569 89765 89958 90147 90332
1.5 0,90515 90694 90870 91042 91212 91379 91542 91703 91860 92015
1.6 0,92167 92315 92463 92606 92748 92886 93022 93155 93286 93415
1.7 0,93541 93665 93786 93906 94022 94137 94250 94361 94469 94576
1 8 0,94681 94783 94884 94983 95389 95175 95268 95360 95449 45537
1.9 0,95624 95709 95792 95873 95953 96032 96109 96184 96259 96332
2,0 0,96403 96473 96541 96609 96675 96739 96803 96865 96926 96986
2,1 0,97015 97102 97159 97215 97269 97323 97375 97426 97477 97526
2.2 0,97574 97622 97668 97714 97759 97803 97846 97888 97929 97970
2,3 0,98010 98049 98087 98124 98161 98197 98232 98267 98301 98335
2,4 0,98367 98399 98431 98462 98492 98522 98551 98579 98607 98635
2,5 0.98661 98688 98714 98739 98764 98788 98811 98835 98858 98881
2,6 0,98903 98924 98946 98966 98986 99007 99026 99045 99064 99083
2,7 0,99101 99118 99136 99153 99170 991Й6 99202 99217 99233 99248
2,8 0,99263 99278 99292 99306 99320 99333 99346 99359 99372 99385
2,9 0,99396 99408 99420 99431 99443 99454 99464 99475 99485 99495
3.0 0.99505 99515 99525 99534 99543 99552 99561 99570 99578 99587
3,1 0,99595 99603 99611 99619 99626 99633 99641 99648 99655 99662
3,2 0,99668 99675 99681 99688 99694 99700 99706 99712 99717 99723
3,3 0,99728 99734 99739 99744 99749 99754 99759 99764 99768 99773
3,4 0,99777 99782 99786 99790 99795 99799 99803 99807 99810 99814
3,5 0,99818 99821 99825 99828 99832 99835 99838 99842 99845 99848
3,6 0,99851 99854 99857 99859 99862 99865 99868 99870 99873 99875
3,7 0,99878 99880 99883 99885 99887 99889 99892 99894 99896 99898
3,8 0,99900 99902 99904 99906 99908 99910 99911 99913 99915 99916
3,9 0,99918 99920 99921 99923 99924 99926 99927 99929 99930 99932
4,0 0,99933 99934 99936 99937 99938 99939 99941 99942 99943 99943
4,1 0,99945 99946 99947 99948 99949 99950 99951 99952 99953 99954
4,2 0,99955 99956 99957 99958 99959 99960 99961 99961 99962 99962
4,3 0 99963 99964 99965 99965 99966 99967 99967 99968 99969 99969
4,4 0,99970 99970 99971 99972 99972 99973 99973 99974 99974 99975
4,5 1,99975 99976 99976 99977 99977 99978 99978 99979 99979 99979
4,6 0,99980 99980 99981 99981 99981 99982 99982 99982 99983 99983
4,7 0,99983 99984 99984 99984 99985 99985 99985 99986 99986 99986
4 8 0 99986 99987 99987 99987 99987 99988 99988 99988 99988 99989
4,9 0.99989 99989 99989 99990 99990 99990 99990 99990 99991 99991
5, 0,99991 99991 99991 99991 99992 99992 99992 99992 99992 99992
Линейное иитерполиров анне допустимс в верх ней час :ти таблицы д о х=0,2
в в нижней начиная с х=1,4.
44
Некоторые сведения по математике и механике [Гл. I
е* Таблица 9
для аргумента через 0,01 до 10,09
X 0,00 0.01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0.0 1,0000 1,0100 1,0202 1,0304 1,0408 1,0513 1,0618 1,0725 1,0833 1,0942
0,1 1,1052 1,1163 1,1275 1,1388 1,1503 1,1618 1,1735 1,1853 1,1972 1,2092
0.2 1.2214 1,2337 1,2461 1,2586 1,2712 1,2840 1,2969 1,3100 1,3231 1,3364
0.3 1,3499 1,3634 1,3771 1,3910 1,4050 1,4191 1,4333 1,4477 1,4623 1,4770
0.4 1,4918 1,5068 1,5220 1,5373 1,5527 1,5683 1,5841 1,6000 1,6161 1,6323
0,5 1,6487 1,6653 1,6820 1,6989 1,7160 1,7332 1,7507 1,7683 1,7860 1,8040
0.6 1,8221 1,8404 1,8589 1,8776 1,8965 1,9155 1,9348 1,9542 1,9739 1,9937
0.7 2,0137 2.0340 2,0544 2,0751 2,0959 2,1170 2,1383 2,1598 2,1816 2,2034
0,8 2,2253 2,2479 2,2705 2,2933 2,3164 2,3396 2,3632 2,3869 2,4109 2,4351
0,9 2,4596 2,4843 2,5093 2,5345 2,5600 2,5857 2,6117 2,6379 2,6645 2,6912
1.0 2,7183 2,7456 2.7732 2,8011 2,8292 2,8576 2,8864 2,9154 2,9447 2,9743
1.1 3.0042 3,0344 3,0648 3,0957 3,1268 3,1582 3,1899 3,2220 3,2544 3,2871
1.2 3,3201 3,353з 3,3872 3,4212 3,4556 3,4903 3,5254 3,5608 3,5966 3,6328
1.3 3,6693 3,7062 3,7434 3,7810 3,8190 3,8574 3,8962 3,9353 3,9749 4,0148
1.4 4,0552 4 0960 4,1371 4,1787 4,2207 4,2631 4,3060 4,3492 4,3930 4,437!
1.5 4 4817 4,5267 4,5722 4,6182 4,6646 4,7115 4,7588 4,8066 4,8550 4,9038
1.6 4,9530 5,0028 5,0531 5,1039 5,1552 5,2070 5,2593 5,3122 5,3656 5,4195
1.7 5.4740 5.5290 5,5840 5,6406 5,6973 5,7546 5,8124 5,8708 5,9299 5,9894
1.8 6,0496 6,1104 6,1719 6,2339 6,2965 6,3598 6,4237 6,4883 6,5535 6,6194
1.9 6,6859 6,7531 6,8210 6,8895 6,9588 7,0287 7,0993 7,1707 7,2427 7,3155
2,0 7 3891 7,4633 7,5383 7,6141 7,6906 7,7679 7,8460 7,9248 8,0045 8,0849
2,1 8,1662 8,2482 8,3311 8,4149 8,4994 8,5849 8,6711 8,7583 8,8463 8,9352
2,2 9,0250 9,1157 9,2073 9,2999 9,3933 9,4877 9,5831 9,6794 9,7767 9,8749
2,3 9,9742 10,074 10,176 10,278 10,381 *0,486 10,591 10,697 10,805 10,913
2,4 11,023 11,134 11,246 11,359 11,473 11,588 11,705 11,822 11,941. 12,061
2,5 12,182 12.305 12,429 12,554 12,680 12,807 12,936 13,066 13,197 13.330
2,6 13,464 13 599 13,736 13,874 14.013 14,154 14,296 14,440 14,585 14,732
2,7 14,880 15,029 15 180 15,333 15,487 15,643 15,800 15,959 16,119 16,281
2,8 16,445 16,610 16,777 16,945 17,116 17,288 17,462 17,637 17,814 17,993
2,9 18,174 18,357 18,541 18,728 18,916 19,106 19,298 19,492 19,688 19,886
3,0 20,086 20,287 20,491 20,697 20,905 21,115 21,328 21,542 21,758 21,977
3,1 22,198 22,421 22,646 22,874 23,104 23,336 23,571 23,807 24,047 24,288
3,2 24,533 24,779 25,028 25,280 25,584 25,790 26.050 26,311 26,576 26,843
3,3 27,113 27 385 27,660 27,938 28,219 28,503 28.789 29,079 29,371 29,666
3,4 29,964 30.265 30,569 30,877 31,187 31,500 31,817 32,137 32,460 32,786
3,5 33,115 33,448 33,784 34,124 34,467 34,813 35,163 35,517 35,874 36,234
3,6 36,598 36,966 37,338 37,713 38,092 38,475 38,861 39,252 39,646 40,045
3,7 40,447 40,854 41,264 41,679 42,098 42,521 42,948 43,380 43,816 44,256
3.8 44,701 45,150 45,604 46,063 46.525 46,993 47,465 47,942 48,424 48,911
3,9 49,402 49,899 50,400 50,907 51,419 51,935 52,457 52,985 53,517 54,055
4.0 54,598 55,147 55,701 56,261 56,826 57,397 57,974 58,557 59,145 59,740
4,1 60.340 60,947 61,559 62,178 62,803 63,434 64,072 64,715 65,366 66,023
4.2 66.686 67,357 68,033 68,717 69,408 70,105 70,810 71,522 72,240 72 966
4,3 "3,700 74,440 75,189 75.944 76,708 77,478 78,257 79,044 79,838 80 640
4.4 81,451 82,269 83,096 83,931 84,775 85,627 86,488 87,357 88,235 89,121
4,5 90.017 90,922 91,836 92,759 93,691 94,632 95,583 96,544 97,514 98,494
4,6 99,484 100.48 101,49 102,51 103,54 104,58 105,64 106,70 107,77 108,85
4,7 109,95 111,00 112,17 113,30 114,43 115,58 116,75 117,92 119,10 120,30
4.8 121,51 122,73 123,97 125,21 126,47 127,74 129,02 130,32 131,63 132,95
4,9 134,29 135,64 137,00 138,38 139,77 141,17 142,59 144,03 145,47 146,94
5.0 148,41 149,90 151,41 152,93 154,47 156,02 157,59 159,17 160,77 162,39
Линейное интерполирование допустимо, за исключением интервала *=3,84-4,6.
§ 2]
Круговые и гиперболические функции
45
Продолжение табл. 9
X 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
5.1 164,02 165,67 167,34 169,02 170,72 172,43 174,16 175,91 177,68 179,47
5,2 181,27 183,09 184,93 186,79 188,67 190,57 192,48 194,42 196,37 198,34
5,3 200,34 202,35 204,38 206,44 208,51 210,61 212,72 214,86 217,02 219,20
5,4 221,41 223,61 225,88 228,15 230,44 232,76 235,10 237,46 239,85 242,26
5,5 244,69 247.15 249,64 252,14 254,68 257,24 259,82 262,43 265,07 267,74
5,6 270,43 273,14 275,89 278,66 281,46 284,29 287,15 290,03 292,95 295,89
5,7 298,87 301,87 304,90 307,97 311,06 314,19 317,35 320,54 323,76 327,01
5,8 330,30 333,62 336,97 340,36 343,78 347,23 350,72 354,25 357,81 361,41
5,9 365,04 368,71 372.41 376,15 379,93 383,75 387,61 391,51 395,44 399,41
6,0 403,43 407,48 411,58 415,72 419,89 424,11 428,38 432,68 437,03 441,42
6,1 445,86 450,34 454,86 459,44 464,05 468,72 473,43 478,19 482,99 487,85
6,2 492,75 497,70 502,70 507,76 512.86 518,01 523,22 528,48 533,79 539,15
6,3 544,57 550,04 555,57 561,16 566,80 572,49 578,25 584,06 589,93 595,86
6,4 601,85 607,89 614,00 620,17 626,41 632,70 639,06 645,48 651,97 658,52
6,5 665,14 671,83 678,58 685,40 692,29 699,24 706,27 713,37 720,54 727,78
6,6 735,10 742,48 749,95 757,48 765,09 772,78 780,55 788,40 796,32 804,32
6,7 812,41 820,57 828,82 837,15 845,56 854,06 862,64 871,31 880,07 888,91
6,8 897,85 906,87 915,99 925,19 934,49 943,88 953,37 962,95 972,63 982,40
6,9 992,27 1002,2 1012,3 1022,5 1032,8 1043,2 1053,6 1064,2 1074,9 1085,7
7,0 1096,6 1107,7 1118,8 1130,0 1141,4 1152,9 1164,4 1176,2 1188,0 1199,9
7,1 1212,0 1224,2 1236,4 1248,9 1261,4 1274,1 1286,9 1299,8 1312,9 1326,1
7,2 1339,4 1352.9 1366,5 1380,2 1394,1 1408,1 1422,3 1436,6 1451,0 1465,6
7,3 1480,3 1495,2 1510,2 1525,4 1540,7 1556,2 1571,8 1587,6 1603,6 1619,7
7,4 1636,0 1652,4 1669,0 1685,8 1702,8 1719,9 1737,1 1754,6 1772,2 1790,1
7,5 1808,0 1826,2 1844.6 1863,1 1881,8 1900,7 1919,8 1939,1 1958,6 1978,3
7,6 1998,2 2018,3 2038,6 2059,1 2079,7 2100,6 2121,8 2143,1 2164,6 2186,4
7.7 2208,3 2230,5 2253,0 2275,6 2298,5 2321,6 2344,9 2368,5 2392,3 2416,3
7,8 2440,6 2465,1 2489,9 2514,9 2540,2 2565,7 2591,5 2617,6 2643,9 2670,4
7,9 2697,3 2724,4 2751,8 2779,4 2807,4 2835,6 2864,1 2892,9 2921,9 2951,3
8,0 2981,0 3010,9 3041,2 3071,7 3102,6 3133,8 3165,3 3197,1 3229,2 3261,7
8,1 3294,5 3327,6 3361,0 3394,8 3428,9 3463,4 3498,2 3533,3 3568,9 3604,7
8,2 3641,0 3677,5 3714,5 3751,8 3789,5 3827,6 3866,1 3904,9 3944,2 3983,8
8,3 4023,9 4064,3 4105,2 4146,4 4188,1 4230,2 4272,7 4315,6 4359,0 4402,8
8,4 4447.1 4491,8 4536,9 4582,5 4628,6 4675,1 4722,1 4769,5 4817,4 4865,9
8,5 4914,8 4964,2 5014,1 5064,4 5115,3 5166,8 5218,7 5271,1 5324,1 5377,6
8,6 5431,7 5486.2 5541,4 5597,1 5653,3 5710,1 5767,5 5825,5 5884,0 5943,2
8,7 6002,9 6063,2 6124,2 6185,7 6247,9 6310,7 6374,1 6438,2 6502,9 6563,2
8,8 6634,2 6700,9 6768,3 6836,3 6905,0 6974,4 7044,5 7115,3 7186,5 7259,0
8,9 7332,0 7405,7 7480,1 7555,3 7631,2 7707,9 7785,4 7863,6 7942,6 8022,5
9,0 8103,1 8184,5 8266,8 8349,9 8433,8 8518,5 8604,2 8690,6 8778,0 8866,2
9.1 8955,3 9045,3 9136,2 9228,0 9320,8 9414,4 9509,1 9604,6 9701,2 9798,7
9,2 9897,1 9996,6 10097 10198 10301 10405 10509 10615 10721 10829
9,3 10938 11048 11159 11271 11384 11499 11614 11731 11849 11968
9,4 12088 12210 12333 12456 12582 12708 12836 12965 13095 13227
9,5 13360 13494 13630 13767 13G05 14045 14186 14328 14472 14618
9,6 14765 14913 15063 15214 15367 15522 15678 15835 15994 16155
9,7 16318 16482 16647 16815 16984 17154 17327 17501 17677 17854
9,8 18034 18215 18398 18583 18770 18958 19149 19341 19536 19732
9,9 19930 20131 20333 20537 20744 20952 21163 21375 21590 21807
19,0 22026 22248 22472 22697 22926 23156 23389 23624 23861 24101
Линейное интерполирование допустимо не везде.
46
Некоторые сведения по математике и механике
[Гл. I
Таблица 10
е х
для аргумента через 0,01 до 10,09
X 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 1,00000 0,99005 0.98020 0,97045 0,96079 0,95123 0,94176 0,93239 0,92312L,91393
0,1 0,90484 89583 88692 87810 86936 86071 85214 84366 83527 82696
0,2 0.81873 0,74082 81058 80252 79453 78663 77880 77105 76338 75578 74826
0,3 73345 72615 71892 71177 70469 69768 69073 68386 67706
0,4 0.67032 66365 65705 65051 64404 63763 63128 62500 61878 61263
0,5 0.60653 60050 59452 58860 58275 57695 57121 56553 55990 55433
0,6 0,54881 54335 53794 53259 52729 52205 51685 51171 50662 50158
0.7 0.49659 49164 48675 48191 47711 47237 46767 46301 45841 45384
0,8 0.44933 44486 44043 43605 43171 42741 42316 41895 41478 41066
0.9 0,40657 40252 39852 39455 39063 38674 38289 37908 37531 37158
1.0 0,36"88 36422 36059 35701 35345 34994 34646 34301 33960 33622
1.1 0,33287 32956 32628 32303 31982 31664 31349 310371 30728 30422
1.2 0.30119 29820 29523 29229 28938 28650 28365 28083 27804 27527
1.3 0.27253 26982 26714 26448 26185 259241 25666 25411 25158 24908
1,4 0,24660 24414 24171 23931 23693 23457| 23224 22993 22764 22537
1,5 0.22313 22091 21871 21654 21438 21225 21014 20805 20598 20393
1,6 0.20190 19989 19790 19593 19398 19205 19014 18825 18637 18452
1.7 0.18268 18087 17907 17728 17552 17377 17204 17033 16864 16696
1.8 0.16530 16365 16203 16041 15882 15724 155671 15412 15259 15107
1.9 0,14957 14808 14661 14515 14370 14227 14086 13946 13807 13670
2.0 0.13534 13399 13266 13134 13003 12873 12745 12619 12493 12369
2,! 0,12246 12124 12003 11884 11765 11648 11533 11418 11304 11192
2.2 0.11080 10970 10861 10753 10646 10540 10435 10331 10228 10127
2.3 0.10026 09926 09827 09730 09623 09537 09442 09348 092551 09163
2,4 0.09072 08982 08892 08804 08716 08629 08543 08458 08374 08291
2,5 0,08208 08127 08046 07966 07887 07808 07730 07654 07577 07502
2.6 0,07427 07353 07280 07208 07136 07065' 06995 06925 06856 06788
2.7 0,06721 06654 06587 06522 06457 06393 06329 06266 06204 06142
2,8 0,06081 06021 05961 05901 05843 05784 05727 05670 05613 05558
2,9 0,05502 05448 05393 05340 05287 05234 05182 05130 05079 05029
з.о 0,04979 04929 04880 04832 04783 04736 04689 04642 04506 04550
3.1 0,04505 04460 04416 04372 04328 04285 04243 04200 04159 04117
3.2 0,04076 04036 03996 03956 03916 03877 03839 03801 03763 03725
3,3 0,03688 03652 03615 03579 03544 03508 03474 03439 03405 03371
3,4 0,03337 03304 03271 03239 03206 03175 03143 03112 03081 03050
3,5 0,03020 02990 02960 02930 02901 02872 02844 02816 02788 02760
3.6 0,02732 02705 02678 02652 02625 02599 02352 02128 02573 02548 02522 02497
3.7 0.02472 02448 02423 02399 02375 02328 02305 02282 02260
3.8 0,02237 02215 02193 02171 02149 02107 02086 02065 02045
3.9 0.02024 02004 01984 01964 01945 01925 01906 01887 01869 01850
4.0 0.01832 01813 01795 01777 01760 01742 01725 01708 01691 01674
4.1 0,01657 01641 01624 01608 01592 01576 01561 01545 01530 01515
4,2 0,01500 01485 01470 01455 01441 01426 01412 01398 01384 01370
4.3 0.С1357 01343 01330 01317 01304 01291 01278 01265 01253 01240
4,4 0,01228 01216 01203 01191 01180 01168 01156 01145 01133 01122
4.5 0.01111 01100 01089 01078 01067 01057 01046 01036 01025 01012
4.6 0,01005 00995 00985 00976 00966 00956 00947 00937 00928 00919
4.7 0.00910 00900 00892 00883 00874 00865 00857 00848 00840| 00831
4 8 0.00823 00815 00807 00798 00791 00783 00775 00767 00760, 00752
4,9 0.00745 00737 00730 00723 00716 00708 00701 00694 00607, 00681
5,0 0.00674 00667 00660 00654 00647 00641 00635 00628 00622 00616
I <
Линейное интерполирование до х = 0,6 недопустимо.
Круговые и гиперболические функции
47
Продолжение табл.г10
X 0,00 0,01 0,02 ,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
5,1 0,00610 604 598 592 586 580 574 568 563 557
5.2 0,00552 546 541 535 530 525 520 514 509 504
5 3 0,00499 494 489 484 480 475 470 465 461 456
5,4 0,00452 447 443 438 434 430 425 421 417 413
5,50,00409 405 401 397 393 389 385 381 377 374
5,6,0,00370 366 362 359 355 352 348 345 341 338
5,7 0,00330 331 328 325 321 318 315 312 309 306
5,8 0,00303 300 297 294 291 288 285 282 279 277"
5,9 0,00274 271 269 266 263 261 258 255 253 250
6,00,00248 245 243 241 238 236 233 231 229 227
6 10,00224 222 220 218 215 213 211 209 207 205
6,2 0,00203 201 199 197 195 193 191 189 187 185
6,30,00184 182 180 178 176 - 175 173 171 170 168
6,4 0,00166 164 163 161 160 158 156 155 153 152
6,50,00150 149 147 146 144 143 142 140 139 137
6 6 1,00136 13э 133 132 131 129 128 127 126 124
6, / 0,00123 122 121 119 118 117 116 115 114 112
6,80,00111 НО 109 108 107 106 105 104 103 102
6,90,00101 100 988* 978* 968* 959* 949* 940* 930* 921*
7.00,000912 903 894 885 876 867 859 850 842 833
7,1 0,000825 817 809 801 793 785 777 770 762 754
7,2 0,000747 739 732 725 717 710 • 703 696 689 682
7,30,000676 669 662 656 649 643 636 630 624 617
7,4 0,000611 605 599 593 587 581 576 570 564 559
7,50,000553 548 542 537 531 526 521 516 511 505
7,6 0,000500 495 491 486 481 476 471 467 462 457
7,7 0,000453 448 444 439 435 431 426 422 418 414
7,8 0,000410 406 402 398 394 390 386 382 378 374
7,9 0,000371 367 363 360 356 353 349 346 342 339
8,0 0,000335 332 329 326 322 319 316 313 310 307
8.1 0,000304 301 298 295 292 289 286 283 280 277
8,2 0,000275 272 269 267 264 261 259 256 254 251
8 3 0,000249 246 244 241 239 236 234 232 229 227
8.4 0,000225 223 220 218 216 214 212 210 208 206
8,5 0,000203 201 199 197 195 194 192 190 188 186
8.6 0,000184 182 180 179 177 175 173 172 170 168
8,7 0,000167 165 163 162 160 158 157 155 154 152
8 8 0,000151 149 148 146 145 143 142 141 139 138
8,9 0,000136 135 134 132 131 130 128 127 126 125
9.00,000123 122 121 120 119 117 116 115 114 113
9.10.000112 111 109 108 107 106 1о5 104 103 102
9,20,000101 100 990* 981* 971* 961* 951* 942* 933* 923*
9.30.0000914 905 896 887 878 870 861 852 844 836
9.4 0,0000827 819 811 803 795 787 779 771 764 756
9,5 0.0000749 741 734 726 719 712 705 698 691 684
9 6 0.0000677 671 664 657 651 644 638 632 625 619
9,70.0000613 607 601 595 589 583 577 571 566 560
9.^0.0000555 549 544 538 533 527 522 517 512 507
9,90.0000502 497 492 487 482 477 473 468 463 459
10,0 0.0000454 449 445 441 436 432 428 423 419 415
Звездочка * означает, что нули, стоящие левее значащих цифр, нужно взять
из левой графы следующей строки. Допустимо линейное интерполирование.
48
Некоторые сведения по математике и механике
[Гл. I
sh х т а б л и ц а 11
для аргумента через 0,01 до 10,09
X 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0.6 0,7 0,8 0,9 1,0 0.00000 0,10017 0,20134 0,30452 0.41075 0,52110 0,63665 0, 585е 0.8881] 1,0260 1.1752 0,01000 0.11022 0.2115s 0.31499 0,42158 0,53240 0,64854 0,77117 0,90152 1,0409 1,1997 0.02000 0,12029 0,22178 0,32549 0,43246 0.54375 0,66049 0,78384 0,91503 1,0554 1,2063 0,03000 0,13037 0,23293 0,33602 0.44337 0,55516 0,67251 0,79659 0,92863 1,0700 1,2220 I 0,04001 0,14046 0,24231 0,34659 0,45434 0,56663 0,68459 0,80941 0.94233 1,0847 1,2379 0,05002 0,15056 0,25261 0,35719 0,46534 0,57815 0,69675 0,82232 0,95612 1,0995 1,2539 0,06004 0,1 о'>68 0,26294 0,36783 0,47640 0,58973 0,70897 0,83530 0,97000 1,1144 1,2700 0,07006 0,17082 0,27329 0,37850 9,48750 0,60137 0,72126 0,8483s 0,98398 1,1294 1,2862 0,08009 0,18097 0,28367 0.38921 0,4.i865 0,61307 0,73363 0,86153 0,9. 806 1.1446 1.3025 0,09012 0,19115 0,2.408 0,39996 0,50984 0.62483 0,74607 0,87478 1,0122 1,1598 1,3190
1.1 1.2 1.3 1,4 1,5 1.6 1,7 1.8 1.9 2,0 1.3356 1,509s 1,6954 1.9043 2. 293 2,3’56 2.6456 2,9422 3.2682 3,6269 1,3524 1,5276 1,7182 1,9259 2,1529 2,401s 2,6740 2.9734 3,3025 3,6647 1.3693 1,5460 1,7381 1,9477 2,1768 2,4276 2,7027 3,0049 3.3372 3.7028 1,3863 1,5645 1,7583 1,9697 2,2008 2,4540 2,7317 3,0367 3,3722 3,7414 1,4035 1,5831 1,7786 1,9919 2,2251 2,4806 2,7609 3,0689 3,4075 3,7803 1,4208 1,6019 1,7991 2,0143 2,2496 2,5075 2,7974 3,1013 3,4432 3,8196 1,4382 1,62о9 1,8198 2,0369 2,2743 2,5346 2,8202 3,1340 3,4792 3,8593 1,4558 1,6400 1.8406 2,0596 2,2993 2,5620 2,8503 3,1671 3,5156 3,8993 1,4735 1,6593 1,8617 2,0827 2.3245 2,5896 2,8806 3,2005 3,5523 3.9398 1,4914 1,6788 1,8829 2,1059 2,3499 2,6175 2,9112 3,2341 3,5894 3,9806
2,1 2,2 2,3 2,4 2.5 2,6 2,7 2.8 2.9 3,0 4,0219 4,4571 4,9370 5.4662 6.0502 6,6947 7 4063 8.1919 9.0596 10,018 4,0635 4,5030 4,9876 5,5221 6,1118 6,7628 7,4814 8,2’49 9,1512 10,119 4,1056 4,5494 5,0387 5,578э 6,1741 6,8315 7,5572 8,3586 9.243т 10.221 4,1480 4,5962 5,0903 5.6354 6,2369 6,9009 7,6338 8,4432 9.3371 10,324 4,1909 4,6434 5,1425 5,6929 6,3004 6,9709 7,7112 8.5287 9.4315 10,429 4,2342 4,6912 5,1951 5,7519 6,3645 7,0417 7,7894 8,6150 9,5268 10,534 4,2779 4,7394 5,2483 5,8007 6,4293 7,1132 7,8683 8,7021 9,6231 10,640 4,3221 4,7880 5,3020 5,8689 6,4946 7,1854 7.9480 8,7902 9,7203 10,748 4,3666 4,8372 5,3562 5.9288 6,5607 7,2583 8,028s 8,8791 9,8185 10,856 4,4117 4,8868 5,4109 5.98J2 6,6274 7,3319 8.1098 8,9689 9,9177 10,966
3,1 3,2 3.3 3,4 3.5 3.6 3,7 3,8 3.9 4,0 11,076 12,246 13,538 14,965 16,543 18,280 23,211 22,339 24,691 27,290 11,183 12.369 13.674 15,116 16,709 18,470 29,415 22,564 24,939 27,564 11.301 12,494 13,812 15,268 16,877 18.65Э 29,620 22,791 25,199 27,842 11,415 12,620 13,951 15,422 17.047 18,843 29,828 23,020 25,444 28,122 11,530 12,747 14,092 15,577 17,219 19,033 21,037 23,252 25,700 28,404 11,647 12,876 14,234 15,734 17,392 19,224 21,249 23,486 25,958 28,690 11,764 13,006 14.377 15,893 17,567 19,418 21,463 23,722 26,219 28,979 11,883 13,137 14,522 16,053 17,744 19,613 21,679 23,961 26.483 29,270 12,003 13,269 14,668 16,214 17,923 19,811 21,897 24,202 26,749 29,564 12,124 13,403 14,816 16,378 18,103 20,010 22,117 24,445 27,018 29,862
4,1 4.2 4.3 4,4 4.5 4.6 4,7 4,8 4,9 5.0 30,162 33.336 36,843 40.719 45,003 49.737 54,969 60,751 67.141 74.203 30.465 33,671 37.214 41,129 45.45Э 50,237 55.522 61,362 67.816 74,949 39.772 34,009 37,588 41,542 45,912 50,742 56,080 61,979 68,498 75,702 31,081 34,351 37,966 41,960 46,374 51,252 56,643 62,601 69,186 76,463 31,393 34,697 38,347 42,382 46,840 51,767 57,213 63,231 69,882 77,232 31,709 35,046 38,733 42,808 47,311 52,288 57,788 63,866 70,584 78,008 32,028 35,398 39,122 43,238 47,787 52,813 58,369 64,508 71,293 78,792 32,350 35,754 39,515 43,673 48,267 53,344 58,955 65,157 72,010 79.584 32,675 36,113 39,913 44,112 48,752 53,880 59.548 65.812 72,734 80,384 33,004 36,476 40,314 44,555 49,242 54,422 60,147 66,473 73,465 81,192
Линейное интерполирование: допустимо от х = 0 до х = 2,0 и в интервале от
х = 3,0 до х = 4,2.
§ 2]
Круговые и гиперболические функции
49
Продолжение табл. И
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
5,1 82,008 82,832 83,665 84,506 85,355 86,213 87,079 87,955 88,839 89,731
5,2 90.633 91,544 92,464 93,394 94,332 95,281 96,238 97,205 98,182 99,169
5,3 100,17 101,17 102.19 103,22 104,25 105,30 106,36 107,43 108,51 109,60
5,4 110.70 111,81 112,94 114,07 115,22 116,38 117,55 118,73 119,92 121,13
5,5 122,34 123,57 124,82 126,07 127,34 128,62 129,91 131,22 132,53 133,87
5,6 135,21 136,57 137,94 139.33 140,73 142,14 143,57 145,02 146,47 147,95
5,7 149,43 150,93 152,45 153,98 155,53 157,09 158,67 160,27 161,88 163,50
5,8 165,15 166,81 168,48 170,18 171,89 173,62 175,36 177,12 178,90 180,70
5,9 182,52 184,35 186,20 188,08 189,97 191,88 193,80 195,75 197,72 199,71
6,0 201,71 203,74 205,79 207,86 209,95 212,06 214,19 216,34 218,51 220,71
6,1 222.93 225,17 227,43 229,72 232,03 234,36 236,71 239,09 241,49 243,92
6,2 246,37 248,85 251,35 253,88 256,43 259,01 261,61 264,24 266,89 269,58
6,3 272.29 275.02 277,79 280,58 283,40 286,25 289,12 292,03 294,96 297,93
6.4 300.92 303,95 307,00 310,09 313,20 316,35 319,53 322,74 325,98 329,26
6,5 332,57 335,91 339,29 342,70 346,14 349,62 353,14 356,68 360,27 363,89
6,6 367,55 371,24 374,97 378,74 382,55 386,39 390,27 394,20 398,16 402,16
6," 406,20 410,28 414,41 418,57 422,78 427,03 431,32 435,66 440,03 444,46
6,8 448,92 453,43 457,99 462,59 467,24 471,94 476,68 481,47 486,31 491,20
б.» 496.14 501,12 506,16 511,25 516,38 521,57 526,82 532,11 537,46 542,86
7,0 548,32 553,83 559,39 565,01 570,69 576,43 582,22 588,07 593,98 599,95
7.1 605,98 612,07 618,22 624,44 630,71 637,05 643,46 649,92 656,45 663,05
7.2 669,72 676,45 683,24 690,11 697,05 704,05 711,13 718,27 725,49 732,79
7,3 740,15 747,59 755,10 762,69 770,36 778.10 785,92 793,82 801,79 809,85
7,4 817,99 826,21 834,52 842,90 851,37 859,93 868,57 877,30 886,12 895,03
/ ,0 904,02 913,11 922,28 931,55 940,91 950,37 959,92 969,57 979,31 989,16
7.6 999.10 1009,1 1019,3 1029,5 1039,9 1050,3 1060,9 1071,5 1082,3 1093,2
7. t 1104,2 1115.3 1126,5 1137,8 1149,2 1160,8 1172,5 1184,2 1196,1 1208,2
7,8 1220,3 1232,6 1245,0 1257,5 1270,1 1282,9 1295,8 1308,8 1321,9 1335,2
7.9 1348,6 1362,2 1375,9 1389,7 1403,7 1417,8 1432,0 1446,4 1461,0 1475,6
8.0 1490.5 1505,5 1520,6 1535,9 1551,3 1566,9 1582,6 1598,6 1614,6 1630,8
8.1 1647,2 1663,8 1680,5 1697,4 1714,5 1731,7 1749,1 1766,7 1784,4 1802,4
8,2 1820,5 1838,8 1857,3 1875,9 1894,8 1913,8 1933,0 1952,5 1972,1 1991,9
8,32011,9 2032,2 2052,6 2073,2 2094,0 2115,1 2136,3 2157,8 2179,5 2201,4
8.4 2223,5 2245,9 2268,5 2291,2 2314,3 2337,5 2361,0 2384,8 2408,7 2432,9
8.52457,4 2482,1 2507,0 2532,2 2557,7 2583,4 2609,3 2635,6 2662,1 2688,8
8,62715,8 2743,1 2770,7 2798,5 2826,7 2855,1 2883,8 2912,7 2942,0 2971,6
8.7 3001,5 3031,6 3062,1 3092,9 3123,9 3155,3 3187,1 3219,1 3251,4 3284,1
8.8 3317,1 3350,5 3384,1 3418,1 3452,5 3487,2 3522,2 3557,6 3593,4 3629,5
8.93666,0 37 2.8 3740,0 3777,6 3815,6 3853,9 3892,7 3931,8 3971,3 4011,2
9.0 4051,5 4092,3 4133.4 4174,9 4216,9 4259,3 4302,1 4345,3 4389,0 4433,1
9.1 44“7,6 4522,6 4568.1 4614,0 4660,4 4707,2 4754,5 4802,3 4850,6 4899,3
9.2 4948,6 4998,3 5048,5 5099 3 5150,5 5202,3 5254,6 5307,4 5360,7 5414,6
9.35469,0 5524,0 5579,5 5635,6 5692,2 5749,4 5807,2 5865,6 5924,5 5984,0
9.4 61'44,2 6104,9 6166,3 6228.3 6290,9 6354,1 6417,9 6482,4 6547,6 6613,4
9.56679,9 6747,0 6814,8 6883,3 6952,5 7022,3 7092,9 7164,2 7236,2 7308,9
9,6 "382.4 456,6 7531.5 7607,2 7683,7 7760,9 7838,9 7917,7 7997,2 8077,6
9,7 8158.8 8240,8 8323,6 8407,3 8491,8 8577,1 8663,3 8750,4 8838,3 8927,2
9,89616,9 9107,5 9199,0 9291.5 9384,9 9479.2 9574,4 9670,7 9767,9 9866,0
9.99965.2 l(k.i65 10166 10269 10372 10476 10581 10688 10795 10904
10.011013 11124 11236 11349 11463 11578 11694 11812 11930 12050
Линейное интерполирование допустимо не везде.
4 Учебный справочник
50
Некоторые сведения по математике и механике
[Гл. I
Таблица 12
ch х
для аргумента через 0,01 от 0,00 до 5,09
X 0,00 0,01 0.02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 1.000Q 1,0001 ' 1,0002 1,0005 1,0008 1,0013 1,0018 1,0025 * 1,0032 1,0041
0,1 1,0050 1,0061 1,0072 1.0085 1,0098 1,0113 1,0128 1,0145 1,0162 1,0181
0,2 1,0201 1,0221 1,0243 , 1,0266 1,0289 1,0314 1,0340 1,0367 1,0395 1,0423
0.3 1.0453 1,0484 1,0516 1,0549 1,0584 1,0619 1,0655 1,0692 1,0731 1,0770
0.4 1.0811 1,0852 1,0895 1,0939 1,0984 1, ЮЗО 1,1077 1,1125 1,1174 1,1225
0,5 1.1276 1,1329 1,1383 1,1438 1,1494 1,1551 1,1609 1,1669 1,1730 1,1792
0.6 1.1855 1,1919 1,1984 1,2051 1,2119 1,2188 1,2258 1,2330 1,2402 1,2476
0.7 1.2552 1,2628 1,2706 1,2785 1,2860 1,2947 1,3030 1,3114 1,3199 1,3286
0.8 1,33"4 1,3464 1,3555 1,3647 1,3740 1,3835 - 1,3932 1,4029 1,4128 1,4229
0.9 1.4331 1.4434 1,4539 1,4645 1,4753 1,4862 1,4973 1,5085 1,5199 1,5314
1,0 1,5431 1,5549 1,5669 1,5790 1,5913 1,6038 1,6164 1,6292 1,6421 1,6552
1.1 1,6680 1,6820 1.6956 1,7093 1,7233 1,7374 1,7517 1,7662 1,7808 1,7956
1,2 1.8107 1,8258 1,8412 1,8568 1,8725 1,8884 1,9045 1,9208 1,9373 1,9540
1.3 1,9709 1.9880 2,0053 2.0228 2,0404 2,0583 2,0764 2,0947 2,1132 2,1320
1.4 2.1509 2,1700 2,1894 2,2090 2,2288 2,2488 2,2691 2,2896 2,3103 2,3312
1,5 2,3524 2.3738 2,3955 2,4174 2,4395 2,4619 2,4845 2,5073 2,5305 2,5538
1.6 2,57/5 2,6013 2,6255 2,6499 2,6746 2,6995 2,7247 2,7502 2,7760 2,8020
1.7 2,8283 2.8549 2,8818 2,9090 2,9364 2,9642 2,9922 3,0206 3,0492 3,0782
1,8 3.1075 3.1371 3,1669 3.1972 3,2277 3,2585 3,2897 3,3212 3,3530 3,3852
1.9 3.4177 3,4506 3,4838 3,5173 3,5512 3,5855 3,6201 3,6551 3,6904 3,7261
2,0 3,7622 3 7987 3,8355 3,8727 3,9103 3,9483 3,9867 4,0255 4,0647 4,1043
2,1 4,1443 4,1847 4,2256 4,2669 4,3086 4.3507 4,3932 4,4362 4,4797 4,5236
2,2 4,5679 4,6127 4,6580 4,7037 4,7499 4,7966 4,8437 4,8914 4,9395 4,9881
2.3 5,0372 5,0868 5,1370 5,1876 5,2388 5,2905 5,3427 5.3954 5,4487 5,5026
2.4 5,5570 5.6119 5,6674 5,7235 5,7801 5,8373 5,8951 5,9535 6,0125 6,0721
2.5 6,1323 6,1931 6,2545 6,3166 6,3793 6,4426 6,5066 6,5712 6,6365 6,7024
2.6 6,7690 6,8363 6,9043 6,9729 7,0423. 7,1123 7,1831 7,2546 7,3268 7,3998
2.7 7,473а 7,5479 7,62311 7,6991 7,7758 7,8533 7,9316 8,0106 8,0905 8,1712
2.8 8,2527 8,3351 8,4182 8,5022 8,5871 8,6728 8,7594 8,8469 8,9352 9,0244
2.9 9,1146 9.2056 9,2976 9.3905 9,4844 9,5792 9,6749 9,7716 9,8693 9,9680
3,0 10.068 10,168 10,270 10,373 10,477 10,581 10,687 10,794 10,902 11,011
3,1 11.121 11,233 11,345 11,459 11,574 11,689 11,807 11,92s 12,044 12,165
3,2 12,287 12,410 12,534 12,660 12,786 12,915 13,044 13.175 13,307 13,440
3,3 13,575 13,711 13,848 13,987 14,127 14,269 14,412 14,556 14,702 14,850
3,4 14,999 15 149 15.301 15,45s 15,610 15,766 15,924 16,084 16,245 16,408
3,5 16,573 16,739 16,907 17,077 1 17,248 17,421 17,596 17,772 17,951 18,131
§ 2]
Круговые и гиперболические функции
51
Продолжение табл. 12
X 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
3,6 18,313 18,497 18,682 18,870 19,059 19,250 19,444 19,639 19,836 20,035
3,7 20,236 20,439 20,644 20,852 21,061 21,272 21,486 21,702 21,919 22,140
3,8 22,362 22,586 22,813 23,042 23,273 23,507 23,743 23,982 24,222 24,466
3,9 24,711 24,960 25,210 25,463 25,719 25,977 26,238 26,502 26,768 27,037
4,0 27,308 27,583 27,860 28,139 28,422 28,707 28,996 29,287 29,581 29,878
4,1 I 30,178 30,482 30,788 31,097 31,409 31,725 32,044 32,365 32,691 33,019
4,2 33,351 33,686 34,024 34,366 34,711 35,060 35,412 35,768 36,127 36,490
4,3 36,857 37,227 37,601 37,979 38,360 38,746 39,135 39,528 39,925 40,326
4,4 40,732 41,14! 41,554 41,972 1 42,393 42,819 43,250 43,684 44,123 44,566
4,5 45,014 45,466 1 45,923 46,385 46,851 47,321 47,797 48,277 48,762 49,252
4,6 49,747 50,247 50,752 51,262 51,777 52,297 52,823 53,354 53,890 54,431
4,7 54,978 55,531 56,089 56,652 57,221 57,796 58,377 58,964 59,556 60,155
4,8 60,759 61,370 61,987 62,609 63,239 63,874 64,516 65,164 65,819 66,481
4,9 67,149 67,823 68,505 69,193 69,889 70,591 71,300 72,017 72,741 73,472
5,0 74,210 74,956 75,709 76,470 77,238 78,014 78,798 79,590 80,390 81,198
5,1 82,014 82,838 83,671 84,512 85,361 86,219 87,085 87,960 88,844 89,737
5,2 90,639 91,550 92,470 93,399 94,338 95,286 96,243 97,211 98,187 99,174
5,3 *00,17 101,18 *02,19 103,22 104,26 105,31 106,36 107,43 108,51 109,60
5,4 110,71 111,82 112,94 114,08 115,22 116,38 117,55 118,73 119,93 121,13
5,5 122,35 123,58 124,82 126,07 127,34 128,62 129,91 131,22 132,54 133,87
5,6 135,22 136,57 137,95 139,33 140,73 142,15 143,58 145,02 146,48 147,9s
5.7 149,44 150,94 152,45 153,99 155,53. 157,10 158,68 160,27 161,88 163,51
5,8 165,15 166,81 168,49 170,18 171,89 173,62 175,36 177,13 178,91 180,70
5,9 182,52 184,35 186,21 188,08 189,97 191,88 193,81 195,75 197,72 199,71
6,0 201.72 203,74 205,79 207,86 209,95 212,06 214,19 1 216,34 218,52 220,71
При х > 6 можно принимать ch х = sh х с ошибкой не более 1 В по-
следвей значащей цифре, даваемой табл. 11.
Лввейвое интерполирование с использованием всех цифр допустимо в верхней
части таблицы до х = 2,0 в в интервале х = 3,0 4,2.
Об интерполирование с учетом вторых разностей см. стр. 92.
4'Fffi
52
Некоторые сведения по математике и механике
[Гл. I
§ 3. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Дифференцирование
Если у есть функция от х: y = f(x), то производной ее называется
новая функция f' (х), равная .
г,, , dy [f(x —Дх)— f(x)l .. Ду
f (х) = У = ^ = ,lrn ———А~—~ — = hm .
dx д*-*о[ Дх J дх->оДх
В нижеследующих формулах для нахождения производной под сим-
волами х, у, z, ... понимаются переменные величины, под и. т, п, ...—
постоянные.
(оУ = О,
(ах)' = а,
f(x) — ® (х)]' = Г (х) -J- ©' (х),
[Z (х) z (х)]' = f (х) с (х) + f (х) е (х),
Гf(x> 1 = Г (х) ? (х) — f (х) ?'(х)
[s(x)J [?(х)]2
(х',У mxm~i,
(е*У = e*,
(cP)' = cP In a = 2,303 ax 1g c*,
(tax)'-J-.
(Igx) = 0,4343 ^-,
OgaX) — ]nc .
(sin x)' = cos x
(cos x)' = — sin x,
(tg XY = —I-.
cos2 x
. . v 1
(ctgx)' =
sin2 x ’
(sh’xV = ch x,
<chx)' = hr
(thx)' = —Д-
cn-x
(cthx)'= --V-,
ok X
/ • V 1
(arc sin x; = - ,
V 1--X2
/ V 1
(arc cos x) =---:— ,
I 1 — x2
(arctgx)'--r^.
Если и есть функция нескольких переменных: и = f (х, у, г), то пол-
ный дифференциал
л df , df ,
du = — dx -|—dy Ч" dz,
дх ду dz
где ч-. —частные производные, получающиеся по обычным фор-
ах оу
мулам, в "предположении, что все переменные, кроме той, по которой
производится частное дифференцирование, являются постоянными.
* In, 1g — натуральный и десятичный логарифмы, lga — логарифм при осно-
вании а.
§ 3] Основные формулы дифференцирования и интегрирования 53
Ряд Тэйлора
Если f(x) и ее производные конечны и непрерывны, то
f(x + Ax) = f(x)-Lf (х)Дх + 1/'(х)Дх2 + 4?Г',(*)Дх’ + ... +я*.
х! о!
Для функций нескольких переменных ряд Тэйлора имеет вид:
f (х + Дх, у + Ду, z +Ди,...) = f (х, у, z, ...) +
— ^Дх-}-^Ду+^Д2-}-... (слагаемые высших
порядков малости относительно Ах, Ду, Ди, ...).
Тригонометрические ряды
Всякая непрерывная функция на участке от х = 0 до х = 2к может
быть разложена в тригонометрический ряд:
У = f (*) = 4" cos х + А2 cos 2х -1- Д3 cos Зх + ... +
4- В± sin х + В2 sin 2х -f- В3 sin Зх + .. .
Численные значения коэффициентов ряда Ао, А1? ... выражаются
нижеприводимыми интегралами и, если функция задана графически,
находятся путем приближенного вычисления этих интегралов. При делении
исследуемого участка на 20 частей:
2- 20
О 1=0
2п 20
1 Г j 1 VI 2тг/
Л=— ycosxdx— 2jy‘cos^0 ’
О i =0
_ 2л 20
Л2=-^ Jycos2xdx~j^ у£ cos2 .
О I =0
и вообще
2ж 20
С j ‘ VI 2-i
lycosmxdx — jo V^cosm-20
О 1=0
2л 20
о If- j 1 V 2-i
Bm = ~ lysinmxdx^ jo 7j ?isinm ~2Q '
0 i=0
R — остаточный член.
54
Некоторые сведения по математике и механике
[Гл.1
Раскрытие неопределенностей
Если функция f (х) при х = а
видов
принимает один из неопределенных
; О-оо; 0°; оо°; 1°°,
0 со
то функцию f(x) следует привести
Н») “-О'-
? (х).
к виду дающему при х = а
0
По формуле Тэйлора
© (а + Дх)
6 (а + Д х)
® (а) + ?' (а) Л х + у о' (а) Дх2 + . . .
Ф («) + (а) Дх + ф" (а) Дх2 + . ..
Следовательно,
I -У (а) *
„ ©' (а) 0
Если отношение также дает неопределенность вида , то
По) = Н5 “ Т-Л
Максимум и минимум
Значения х, при которых можно ожидать максимальных или мини-
мальных значений функции /(х), найдутся как корни уравнения
Г (X) = 0.
Если при подстановке какого-либо из найденных корней последнего
уравнения, например x = xf, во вторую производную она оказывается
меньшей нуля, то f(x) при этом корне имеет максимум, если же
(х,) >0, то — минимум.
В случае, если вторая производная при подстановке х = хг обра-
щается в нуль, то надлежит подстановку х = xz производить в после-
дующие производные. При этом, если первая из необращающихся в нуль
четных производных (четвертая, шестая,...) окажется меньше нуля, имеет
место максимум, а если больше нуля,—минимум. Если первая из необ-
ращающихся в нуль производных окажется нечетной (третья, пятая...),
то нет ни максимума, ни минимума,— график функции имеет точку
перегиба.
Корни, которые могут дать минимум или максимум функции несколь-
ких переменных / (х, у, г,...), определяются из системы уравнений:
д>0, д'о. д'=о,...
дх ду дг
§ 3] Основные формулы дифференцирования и интегрирования
55
Интегрирование
Задачей интегрального исчисления является разыскание первообраз-
ной функции f (х) по ее производной f' (х)
Jf' (х) dx = f (х) + const.
Основные формулы:
Г . r>n+> \ xmdx = c*. J 1 1 a Y i
Jsin»x- ct£*-bC’
f dx , ~ I — = in x — C, J x dx
i — die sin x -t- о — иге cos x c#* Jy l-x2
C e* dx = e* — C, Г dx
J I axdx = C, J lna 1 । — dlL Lg X ’ dlL L tg X -r- G, J shxdx = ch x C,
J sinxdx =— cosx— C, J chx dx = sh x + C,
J cos x dx = sin x 4- C, jX-th*+c’
|’ dx , , J cos’x tgX C’ (-§L = -cthx + C. J sh2x
Если ?Цх, у, z) — есть искомая функция нескольких переменных,
частные производные которой известны, то
f (х, у, Z) =
f df , . I
| ч— dx+ I
J °x J
о 0
Z
dz -f- С.
х=0
у=о
о
У казанные частные производные не могут быть заданы произвольно
и должны^быть подчинены условиям интегрируемости:
д / д[\ = д (д[\
ду I дх ) дх уду Г
При любом m, кроме m = — I
56 Некоторые сведения по математике и механике [Гл. I
Некоторые определенные интегралы и линейные дифференциальные
уравнения
при т нечетном;
I
С . тг.х п
I sm —j— dx = О при т четном;
Jm~X J п
cos—-—ах = О при всяком целом т;
о
. т-х . п~х ,
sin —2— sin -j— ах =
тих trr.x , „
cos —j— cos -j- ax = 0.
если m, n — целые числа, не равные друг другу;
„ткх . I
cosz —j— ах = -g- при всяком целом т.
о
о
J sin4 xdx = J cos4 xdx = .
о о
1. т<п) = f (x)... сводится к n-кратному взятию интеграла.
2. у* 4- а2у = Ь... у = ~ + Ci sin ах + С2 cos ах.
3. у" 4- k2y = f (х).. .у = Ci sin kx 4- С2 cos kx 4-
X •
4- J f (z) sin k(x — z) dz.
о
4. i''—a2v = b... v =-------4* G sh ax 4- C2 ch ax.
a2
5. y* — 2ry' 4- Л2у = [ sin w x,
где г(>0),/. и f — некоторые заданные постоянные.
§ 4] Основные операции векторного исчисления 57
Общий интеграл заданного уравнения состоит из суммы общего
интеграла этого уравнения без правой части и частного интеграла урав-
нения с правой частью:
v = Сг e~rx sin (х |/ — г2 4- С2) 4-
f
где Clf Са—произвольные постоянные, определяемые по начальным
условиям,
1 — угол, определяемый из уравнения
6. yIV — a*v - f (х).
Если f (х) — целая алгебраическая функция степени не выше третьей, то
v = — '-— -J- Cj ch ах 4- С2 sh ах + С. cos ах + С4 sin ах.
а*
7. yIV — а*у - f (х).
Если f(x) — петая алгебраическая функция степени не выше третьей,
то общий интеграл этого уравнения может быть представлен в одном из
следующих видов:
f СхЛ
у = -5-у- C1eaxcosax — C2eavsinax -1- C3e~axcosax 4- Cte~ax sin ax
или
f tx)
у = —- Di ch ax cos ax 4- D2 ch ax sin ax 4- D3 sh ax cos ax 4-
4- D4shoxsin ax.
8. y,v — &2 у* = a... у = — ° x2 4- Cj 4- C2 &x 4* C3 ch &x 4- Ct sh &x.
9. yIV 4- У” = a... у = x2 4- Cj 4- C2 &x 4- C3cos &x 4- sin &x.
§ 4. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Величины, вполне определяющиеся положительными или отрицатель-
ными числами, называются скалярными (масса, потенциальная
энергия, температура), в отличие от векторных величин, определяе-
мых как размерами, так и направлением в пространстве (сила, скорость,,
перемещение точки и т. д_).
В векторе различают его начало, конец и длину его или модуль а.
Различают векторы связанные, начало которых закреплено в опре-
деленной точке пространства, скользящие, начало которых может
быть перенесено вдоль направления вектора, и свободные.
Векторы, параллельные друг другу, называются коллинеар-
ными, а параллельные одной и той же плоскости—к омпланарными.
58 Некоторые сведения по математике и механике [Гл. I
Каждый вектор может быть определен его проекциями на коорди-
натные оси ах, ау, а.; эти проекции (скалярные величины) называются
координатами вектора. Длина вектора, или его модуль, равна
а = У а2 4- а2у а*.
Единичные векторы (т. е. векторы, модуль которых равен единице),
параллельные координатным осям, называются ортами i, J, k:
а = axi -f- ayj + azk.
Сложение и вычитание векторов выполняется геометрически.
При умножении вектора а на скаляр с получается вектор, параллель-
ный умножаемому и направленный в ту же сторону (при отрицательном
с — в противоположную), с модулем, увеличенным в с раз.
Рис. 6 Рис. 7
При умножении векторов различают скалярное их произведение
и векторное.
Скалярным произведением а-b двух векторов а и b будет скаляр,
равный
ab cos®,
где s— угол между векторами; например, работа силы на определенном
пути, составляющем с силой угол з.
Векторным произведением la Xb] двух векторов а и b называется
вектор, направление которого перпендикулярно плоскости, определяемой
перемножающимися векторами. При этом вектор произведения должен быть
направлен в такую сторону, чтобы поворот от первого сомножителя кратчай-
шим путем ко второму с конца вектора произведения казался совершаю-
щимся против часовой стрелки (вектор с на рис. 6*). В связи с этим пра-
вилом векторное произведение не коммутативно
[а>6] — [Ьха],
т. е. произведение [Ь ха] есть вектор обратного направления (с')- Абсо-
лютная величина произведения (модуль вектора с) равна
с = ab sin о
и геометрически представляет собой площадь параллелограмма, построен-
ного на векторах.
Примером векторного произведения [Fxr] может служить момент силы F
относительно полюса О, находящегося на расстоянии г от точки приложе-
ния силы. Вектор момента направлен на читателя, смотрящего на рис. 7,
и модуль его равен произведению модуля силы F на длину перпендикуляра,
опущенного из точки О на направление силы (г sin з).
* Если применяется правая система координат. При левой системе координат
(рис. 26 и 27) направление вектора произведения противоположно указанному в
тексте.
§ 4] Основные операции векторного исчисления
59
Скалярные и векторные величины могут быть функциями некоторых
скалярных, а также векторных величин. Например, векторная величина —
скорость в определенной точке реки — может быть функцией скалярной
величины — времени. Но та же скорость, рассматриваемая как скорость
в различных точках текущей реки, является функцией трех координат или
вектора, им соответствующего, т. е. вектора, проведенного из начала коор-
динат до рассматриваемой точки. В последнем случае, т. е. в случае зависи-
мости скалярных или векторных величин от вектора, образуются ска-
лярные или векторные поля. Таковы, например, скалярное
поле давления воды во время волнения и векторное поле скоростей частиц
воды в той же волне.
В скалярных полях поверхностями или линиями (в пло-
скостных, а не пространственных задачах) уровня называются поверх-
ности, во всех точках которых рассматриваемая скалярная величина
постоянна.
Градиентом скалярного поля величины ® называется вектор,
имеющий направление нормали к поверхности уровня в сторону быст-
рейшего увеличения с и величину, равную производной по этому на-
правлению:
. <5 с . , д<9 . . dtp,
grad с = г? = + -V1J +
6 VT дх ду dz (3)
где — проекции градиента на оси координат. Абсолютная
величина градиента (его модуль), очевидно, равна
Градиент скалярного поля grade играет по отношению к функции
ту же роль, что и обыкновенная производная [' (х) некоторой функции [ (х)
по отношению к самой функции.
Вектор, изображающий градиент скалярной функции, перпендикуля-
рен к поверхности уровня и направлен в ту сторону нормали, куда воз-
растает скалярная функция.
Изменение векторного поля вблизи какой-нибудь точки его характе-
ризуется до некоторой степени дивергенцией (расхождением) и вихрем.
* Дивергенцией вектора А называется скалярная величина,
равная сумме трех частных производных от проекций вектора на оси
координат:
.. . 5 А, , dAv д Az ...
divA =^-^- + -3-^ + ^-^-. (4)
дх ду dz '
Примером может служить относительное увеличение объема в какой-
нибудь точке упругого тела
ди dv dw
дх ду dz ’
являющееся дивергенцией вектора перемещения, проекции которого на
оси координат равны и, о, w.
60
Некоторые сведения по математике и механике Гл.1}
Дивергенцию можно представить в виде потока вектора через поверх-
ность, окружающую исследуемую точку, к объему, ограниченному этой
поверхностью при стремлении указанного объема (и поверхности) к
нулю:
d iv А = lim
о-*-0 U
где а„ — проекция вектора на внешнюю нормаль к поверхности \
Вихрем вектора A (rot А или curl Л) называется вектор, проекции
которого на оси координат равны:
rot^ А д А? дАу
dv дг
roty А дЛ, дг д Az дх » (5)
rotz А д Av дАх
дх ду
где Лх, Лу, Аг — проекции вектора Л на оси координат.
Применительно к векторному полю скорости жидкости V rot V будет
удвоенной угловой скоростью вращения бесконечно малого объема
жидкости, окружающего рассматриваемую точку (в предположении, что
этот объем в рассматриваемый момент внезапно отвердел). Отсюда и про-
исхождение наименования «вихрь».
Вихрь вектора перемещения s (с проекциями и, о, w) в теории
упругости будет вектором с проекциями
, дю до , ди дю , до ди
ГО1 S = — л- > rot S = л------а . ГОТг S = д----д—
ду dz у дг дх дх ду
и дает представление о среднем вращении элемента упругого тела в рас-
сматриваемой точке.
Деиствител ь но,
если,
например, сумма углов
до . ди
-=—F ч— = Yz есть
дх ду '
уменьшение прямого угла между волокнами, параллельными осям х и у,
то разность тех же величин
до ди
дх д у
дает удвоенный угол поворота элемента относительно оси z (в направ-
лении от оси х к оси у). Точно так же rotx s есть удвоенный угол
поворота элемента относительно оси у (в направлении от оси z к х).
В заключение заметим, что:
div rot А = 0,
rot grad А = 0.
1 Дивергенция от градиента некоторой скалярной функции представляет собой
так называемую операцию Лапласа:
,. , cF<f д1 2 э д’ е
d,V grad <?= ^ + ду2 + = V2
§ 5] Силы и моменты сил. Условия равновесия
61
§ 5. СИЛЫ И МОМЕНТЫ СИЛ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ
Момент силы относительно то ч к и в задачах, касаю-
щихся плоской системы сил (сил, действующих в одной плоскости), обычно
рассматривается как величина скалярная, равная произведению величины
силы на длину перпендикуляра, опущенного из рассматриваемой точки
на линию действия силы. Моменту приписывается знак плюс или минус
в зависимости от направления вращения, создаваемого силой относительно
точки (против или по часовой стрелке). Например, момент силы Р, ле-
жащей в плоскости Л'Л’, относительно точки О, находящейся в той же
плоскости (рис. 8), равен Р • О А — Р • г sin?.
Рис. 8
В пространственной системе сил момент силы относительно точки рас-
сматривается как вектор и равен векторному произведению вектора силы Р
на вектор г, проведенный от начала вектора силы к рассматриваемой точке
М = [Р X г].
Модуль вектора момента, как и в плоской задаче, равен произведе-
нию модуля силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на
линию действия силы
М = Pr-sin ?.
Направление же вектора момента определяется правилом векторного
произведения (см. § 4), а именно: вектор момента направлен по перпенди-
куляру к плоскости, в которой расположены векторы Р и г, и притом в такую
сторону, чтобы, смотря с конца этого вектора на силу Р, мы видели эту
силу направленной против движения часовой стрелки относительно точки О
(вектор /И на рис. 8).
Момент силы относительно оси равен моменту про-
екции силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси, относительно
точки пересечения оси с указанной плоскостью. Момент силы/? относительно
оси ОВ равен вектору М (см. рис. 8), величина (модуль) которого равен
(/?-cos<x) г-sin?.
Парой сил называются две параллельно, но в противоположную
сторону направленные силы, равные по абсолютной величине;
Моментом пары называется вектор, модуль которого равен
произведению одной из сил на расстояние (плечо) между линиями дейст-
вия сил, составляющих пару. Вектор момента пары направлен перпендику-
лярно плоскости действия пары в сторону правого винта, т. е. так, чтобы,
смотря с конца вектора момента, видеть napj вызывающей вращение против
часовой стрелки.
62 Некоторые сведения по математике и механике [Гл. I
Б и п а р о и называются две пары сил разного направления, плоскости
действия которых параллельны. Хотя равнодействующий момент обеих
пар сил равен нулю, при известных условиях бипара может вызвать напря-
жения. Например, в случае, изображенном на рис. 9, бипара изгибает
в противоположные стороны полки заделанного одним концом двутавра,
вызывая одновременно и его закручивание.
Расстояние между плоскостями пар, составляющих бипару, называется
ее плечом, а произведение момента одной из пар на плечо бипары — момен-
том бипары, или бимоментом (размерность тм~).
Равнодействующая сил, пересекающихся в общей точке,
равна их геометрической сумме и проходит через точку пересечения сил..
Для геометрического сложения сил, лежащих в одной плоскости
(безразлично, пересекающихся ли в
одной точке или нет), необходимо от
произвольной точки провести линию,
параллельную первой силе, и отло-
жить на ней в выбранном масштабе
величину этой силы. Далее, от конца
Рис. 10
вектора первой силы провести линию, параллельную второй силе, и отло-
жить на ней от конца вектора первой силы по направлению действия второй
силы величину второй силы в том же масштабе. К концу вектора второй
силы таким же образом пристроить вектор третьей силы и т. д. Геометриче-
ская сумма системы сил будет по величине и направлению изображаться
вектором, проведенным от начала первой силы до конца последней.
На рис. 10 показано сложение трех сил: Pi, Ръ и Рз; их сумма Р
изображается вектором АВ.
Равнодействующая сил, расположенных в одной плоскости и не пере-
секающихся в одной точке, либо также равна их геометрической сумме,
либо, в случае если эта геометрическая сумма равна нулю, может оказаться
эквивалентной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов
всех составляющих сил относительно любой точки плоскости. В первом
случае положение равнодействующей силы определяется из условия, чтобы
момент равнодействующей силы относительно какой-нибудь точки плоско-
сти равнялся сумме моментов всех составляющих сил относительно той же
точки. Во втором случае (приведение к паре) положение пары на плоскости
не фиксируется, поскольку пару можно передвигать как угодно в плоскости
без изменения ее действия на твердое тело, к которому она приложена.
Систему’ сил в плоскости, не приводящуюся к паре, всегда можно
также привести к силе, проходящей через заданную точку, и к паре. Вели-
чина указанной силы равна геометрической сумме сил, а момент пары —
сумме моментов составляющих сил относительно заданной точки.
Например, если к судну приложены показанные на рис. 11 сплошными линиями
силы Pi и Рих можно заменить либо равнодействующей J?lt проходящей через
точку Л, либо силой Rt, приложенной на миделе, и дифферентующим моментом М.
§ 6]
Геометрические параметры плоских фигур
63
Расстояние х силы от миделя определится из уравнения моментов сил от-
носительно миделя:
^1х = Р120+Р,8,
откуда х = 15 м.
Момент пары во втором случае равен сумме моментов заданных сил относи-
тельно миделя М = ?! 20+ Рг 8= 120 тм (по абсолютному значению).
Для равновесия сил, расположенных в одной плоскости и
пересекающихся в общей точке, необходимо, чтобы суммы проекций всех
сил на два различных на-
правления равнялись нулю.
Обычно при проектировании
сил выбирают два взаимно-
перпендикулярных направле-
ния.
Если силы, расположен-
ные в одной плоскости, не
пересекаются в общей точке,
то для равновесия их необхо-
димо соблюдение трех усло-
вий: суммы проекций всех
Рис. 11
сил на два различных направления и суммы моментов всех сил относи-
тельно какой-нибудь точки должны быть равны нулю.
Для равновесия сил в пространстве необходимо соблюдение шести
условий: суммы проекций всех сил на три различных направления и суммы
моментов всех сил относительно трех различно направленных осей должны
быть равны нулю.
§ 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ПЛОСКИХ ФИГУР
Уг
^dydz.
Площадь плоской фигуры равна
Ьг,
F=^My-
a z, с у.
Первое выражение площади соответствует суммированию элементар-
ных площадок dydz (рис. 12) сначала вдоль направления оси z (в резуль-
тате чего получается площадь полоски АВ между zx и z2), а затем
вторичному интегрированию по у (суммированию отдельных полосок,
заключенных между крайними абсциссами у = а, у = Ь).
Второе выражение площади предполагает другой порядок: сначала
интегрирование по у (получение горизонтальных полосок между и у2),
затем по z (от с до d).
Центр тяжести плоской фигуры определяется двумя коорди-
натами:
Уо = у j УЛ?, z0 = у J zdF,
где интегрирование должно быть распространено на всю площадь фигуры.
Если фигура может быть разбита на части, положение центров
тяжести которых известно, то
где yt, zz — координаты центров тяжести (ц. т.) отдельных площадей
составляющих фигуру, относительно условных осей.
€4 Некоторые сведения по математике и механике [Гл. I
Условные оси могут быть выбраны произвольно, однако моменты
инерции фигуры (см. далее) определяются с большей точностью, если
условные оси располагаются бл иже к ц. т. фигуры. Часто условные оси
совмещаются с кромкой фигуры, более близко расположенной к ее ц. т.
Моментом инерции площади плоской фигуры
относительно оси называется сумма произведений элементарных площадей
на квадраты их расстояний от этой оси. Так (рис. 13):
Полярным и центробежным моментом инерции называются
соответственно величины:
/0 = J?2dF и /yz = pzdF.
При этом очевидно, что полярный момент инерции равен сумме
осевых:
/„ = f dF = j (у2 4- z2) dF = J y*dF -J- f z2 dF = Iz + Iy.
Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центро-
бежный же момент инерции может быть в зависимости от положения осей
как положительным, так и отрицательным.
Две взаимно-перпендикулярные оси, дтя которых 1у2 = 0, называются
главными. Если при этом начало осей координат, для которых Iyz=0,
расположено в ц. т. фигхры, оси называются главными централь-
ными, а соответствующие моменты инерции — главными централь-
ными моментами инерции Ц и /2.
Один из главных центральных моментов инерции является наиболь-
шим из всех центральных моментов инерции (соответствующая ось назы-
вается первой главной осью), другой (относительно второй
главной оси) — наименьшим.
Для некоторых фигур (круг, квадрат, равносторонний треугольник)
оба главных центральных момента инерции равны друг другу; для этих
фигур моменты инерции относительно любых осей, проведенных через
ц. т., одинаковы.
Оси симметрии фигуры являются главными осями, поскольку для них
центробежный момент равен нулю.
§6]
Геометрические параметры плоских фигур
65
Если ц. т. фигуры, положение главных центральных осей и главные
центральные моменты инерции Д и Д известны, то момент инерции относи-
тельно любой прямой CD определяется по формуле (рис. 14)
Icd = Il cos2 3 + /2 sin2 + a2 F.
Первые два слагаемых правой части дают момент инерции относительно
центральной оси АВ, параллельной рассматриваемой CD, третье (так назы-
ваемый переносный момент инерции) учитывает расстоя-
ние оси CD от ц. т. фигуры. \
Для определения положения 1 iZ^
главных центральных осей и соответ- Т \-= т
Рис. 14
Рис. 15
ствующих моментов инерции следует выбрать условные оси у, г (рис. 15)
так, чтобы относительно их удобно было вычислять 1у, 1г и 1уг. Эти
моменты инерции вычисляются как суммы переносных моментов инерции
отдельных частей фигуры и их собственных моментов инерции (т. е.
моментов инерции относительно центральных осей соответствующей части
фигуры, параллельных условным осям):
/,= 2 (^Л+/я),
i
i
Iyz= ~ +fyfi)
i
Найдя попутно расстояния ц. т. фигуры от условных осей (у0, z0),
вычисляют моменты инерции относительно осей уц, гц, проходящих через
ц. т. фигуры параллельно условным осям У и z:
Iz — Iz —Уо E Flt
ч i
гч = — Уо zo p Л-
Наконец, по центральным моментам инерции /уч, 1гц, 1уцгц находят
положение главных центральных осей инерции. Углы, составляемые этими
5 Учебный справочник
66 Некоторые сведения по математике и механике [Гл. I
осями с осью у, отсчитываемые от оси у против часовой стрелки, опре-
деляются из уравнения
Последнее уравнение в диапазоне от 0 до 180° дает два угла:
и а2, отличающиеся на 90°.
Соответствующие главные центральные моменты инерции будут
равны:
Л = / cos2 ^i + Izu sin2 — 1у г sin 2 аь
X ц *1 ' *1 *Т
/,==/„ cos2 а2 + /2, sin2 а2 — / г sin2a2 =
Ч -'ц ч
= /v sin2 а! +/г cos^-J- I г sin2aj.
Они могут быть найдены также по выражениям
ь .г=4 (;«+ч) ± 4 _ ч )2+4 'J,
При этом очевидно, что
Л + ^2 = ^уч + •
пример, для сечения, показанного на рис. 15,
Обычно приходится разыскивать лишь одну координату ц. т. и один
центральный момент инерции относительно оси заданного направления.
Моментами сопротивления (осевыми моментами сопро-
тивления) площади поперечного сечения изгибаемой балки называются от-
ношения момента инер-
ции площади относитель-
но главной центральной
оси к расстояниям наи-
более удаленных точек
от той же оси (размер-
ность— см?, м3,..)*.
Поскольку эти рас-
стояния могут быть не
равными друг другу,
различают минимальный
и максимальный момен-
ты сопротивления. На-
при изгибе его в плоскости
второй главной оси (вектор изгибающего момента совпадает с первой
осью) будем иметь:
W = WMUH = WMaKC= . (6)
"Цмакс Ъмин
Минимальный момент сопротивления характеризует наибольшее на-
пряжение в профиле от изгибающего момента и иногда называется просто
моментом сопротивления (UZ).
Пример. Найти момент инерции и момент сопротивления профиля, показан-
ного на рис. 16, относительно осн, проходящей через ц. т. площади параллельно
кромке листа.
Все вычисления ведут в табличной форме (табл. 13).
* О предельных моментах сопротввления — см. стр. 341.
§ 6]
Геометрические параметры плоских фигур
67
Таблица 13
Наименование и размеры связей Площадь Ft • Расстояние г, от услов- ной осн АВ Статиче- ский момент F i г; Моменты инерции
переносный FjZ,2 собственный
см3 СМ см3 см*
Лист 360x6 .... 21,6 0,30 6,5 2 1*
Угольник 75x50X5 . 6,11 5,71 34,9 199 35
27,7 1,49** 41,4 237
Для прокатных элементов, составляющих фигуру, данные заимствуют из сор-
таментов (так взяты цифры 6,11 см2, 35 см* и 5,71 =0,6 + 5,11; стр. 595)
/ =237—1,492-27,7=175 см*
175
W — 7,5+0,6—1,49 = 26,5 CJtf3-
Площади, моменты инерции и моменты сопротивления простейших
фигур приведены в табт. 14.
Таблица 14
Таблица площадей, моментов инерции н моментов сопротивления простейших фигур
Фигура
Площади, моменты инерции н моменты
сопротивления
Прямоугольник
„ ,, , bh3 h3
F — bh-, Iy — J2 = F 12 ;
bh3 bh3
1^ = -^: ^ = -6-
Треугольник
b
3
n bh t bh3 r bh3
F = “Г : = "36 : !У* = "12 :
bh3
мин = если у—главная центральная ось
Круг
-d*
64
rd3
^=32
itd2
О 6^
* Собственный момент инерции листа 21,6 —jg— = 0,65 см* ~ 1 см* мал. Весьма
часто собственными моментами инерции листов относительно оси, параллельной их
длинной кромке, можно пренебречь.
** Расстояние ц. т. фигуры от условной оси вычислено по формуле:
^ztFi 41,4
2о— v F- —27,7 = 1'49
5Y®
68
Некоторые сведения по математике и механике
[Гл. I
Продолжение табл. 14
Фигура
Площади, моменты инерции и моменты
сопротивления
f = 4 (*i + М;
У 36(bj+b2)
h* (ft, + 3fe2)
ly, =-------------- относительно
основания br\
™мин — —* ' ;;если у—главная
12(2^+Ьа) 7
центральная ось
1
г = у№:
/у = 0,1098г4; W мин = 0,1908г’;
\l'Mahc = 0,2587г’
Эллипс
F = nab;
nab3 nab3
— ; U/y=^~
F = 21>G+ (* — 2G) Z;
/ G\« th
uz = hp-z)z1 [i-г) +~e +
(Ь —0
ЗЛ’ J '
При достаточно малой толщине полок в
сравнении с высотой батки, полагая f = ht,
fi = можно пользоваться формулами
F = 2G + /;
h3! f\
ly = -2\fi + gj :
понимая в них под h расстояние между внут-
ренними поверхностями полок
§ 6]
Геометрические параметры плоских фигур
69
Продолжение табл. 14
Фигура
Площади, моменты инерции и моменты
сопротивления
Несимметричный двутавр
достаточно малой толщине полок в
сравнении с высотой балки, полагая / = ht,
fi = < /2 = b2t2, можно пользоваться фор-
мулами:
f + fi + /2
Iy=h*
fih + i(h + fz + ^
f + fi + Гг
f 4f2-2A + /\*
6 2/2 + / )
Полагая /j = ОД можно получить соответ-
ствующие формулы для тонкостенного тавро-
W мин — h
вого сечения:
W7 _ 1 4*±L
wmuh- 6 2/2 + f
Крест
F = ht + b1t1+btt2 = f + f1 + f2,
,fh* + fit* 1 2x + fA
12
2/_/^+hZ? + /2^
h 6h
Дуга окружности
F = 2а/г
(1 . „ X г sin а
а —-g sin 2а); у0 =—-— ;
Iz, = tr* sin 2а j ;
Iz = Iz. — Уо 2а(Г =
1 1 1 1
= tr* la + -g- sin 2a — — (1 — COS 2a) ,
где r — средний радиус
2 незначительно повышает минимальный мо-
* Увеличение большего пояска
мент сопротивления.
70
Некоторые сведения по математике и механике
[Гл. I
Продолжение табл. 14
Фигура
Площади, моменты инерции и моменты
сопротивления
Круговое кольцо
E = /v=/, = ntrs^0,39W3;
ж / d, t \
W х-7-d4 [I—-г-г] ,
4 I d2 d I ’
где d = 2r = A (dt + ^i) — средний диаметр.
Если < 0,06, то с ошибкой, не превы-
d
шающей 2%,
W = 0,76d27
Полуокружность’
4 lz
где г — средний радиус
Четверть окружности
1У1 = tr3 = 0,78540 tr3 ;
/к 2 \
= lz, = I — — — jtr3 = 0,14878 tr3-,
ly^ = (- - у I tr3 = 0,13662tr3;
(3 \
T" — 2 tr3 = 0,35619fr3;
4 j
Ц = — уj tr3 = 0,28 540/r3;
7 г. 1 4 \
It = I -4+y — —) tr3 = 0,012167г3,
где г — средний радиус
ГЛАВА П
ТЕХНИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 7. УСЛОВНАЯ ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ОПЕРАЦИИ С НИМИ
Громадное большинство числовых данных, с которыми приходится
иметь дело в технике, получено путем испытаний материалов, измерений
или математических операций с экспериментальными данными. Ввиду
этого технические числовые данные не могут быть абсолютно точными.
Неточность величины характеризуется либо абсолютной ошиб-
кой Д х, показывающей возможное отклонение рассматриваемой величи-
ны х от ее приближенного среднего значения х0, либо пределами,
в которых заключается величина
X = Хд 1 Дх 7 Хмин “ %макс> (7)
либо относительной ошибкой Зх:
(8)
хо
причем, очевидно,
х = х0(1 + 3 х). (9)
Однако запись технических величин в форме (7) или (9) сделала бы
все расчеты и пояснительные записки к проектам чрезвычайно громоздкими.
Поэтому на практике применяют условную запись чисел, форма которой
позволяет судить об абсолютной ошибке числа, а именно, записывая число,
оставляют лишь те цифры, в которых можно быть уверенными, и отбра-
сывают остальные.
При таком отбрасывании лишних цифр (округлении) надлежит руко-
водствоваться след ющими правилами:
1. Оставляются лишь те цифры, порядок которых выше порядка абсо-
лютной ошибки.
Например, если ошибка в тысячных, оставлять следует только сотые
и стоящие левее их цифры 17,4223 ± 0,0046 ~ 17,42; если ошибка в де-
сятых, — оставлять только целые 17,4223 ± 0,81 = 17.
2. Отбрасывая целые, десятки и т. п., следует либо переходить на дру-
гую размерность, либо пользоваться множителем 10" . ,
1 300,3 мм — 42 мм ~ 1,3 • 103 мм = 1,3 м.
3. При отбрасывании цифры менее 5 крайнюю правую из оставленных
не меняют:
2,5648 ± 0,008 = 2,56.
4. При отбрасывании цифры более 5 (или если за цифрой 5 следует еще
одна или несколько цифр, не нулей) последнюю из оставляемых цифр
увеличивают на единицу:
25,691 + 0,026 25,7; 25,651 ± 0,026 = 25,7.
72
Технические вычисления
[Гл. II
5. При отбрасывании цифры 5, если за ней нет других значащих цифр,
рекомендуется оставлять предыдущую цифру или делать ее четной:
1,65 ± 0,03 1,6; 1,75 ± 0,03 1,8; 1,95 ± 0,03 ~ 2,0.
6. Если об абсолютной ошибке нет иных сведений, кроме формы записи
числа, то при обратном переходе от округленного значения к значению
с указанием ошибки принято абсолютную ошибку принимать равной поло-
вине единицы последнего из оставленных разрядов:
[17,3= 17,3±0,05 = 17,25+17,35,
2,15-10* (2,15 - 0,005) • 10®=2 145 0004-2 155 000.
Восстанавливая ошибку числа по форме его записи, следует быть
уверенным, что при округлении были соблюдены правила 1—5.
О величине относительной ошибки легко судить по числу значащих
цифр. Двухзначные числа имеют относительную точность от 0,5 до 5%
(наибольшее из двухзначных чисел 99 имеет абсолютную ошибку 0,5
0 5
и относительную 100=0,5%, наименьшее двухзначное число 10 имеет
относительную ошибку 5%. Трехзначные числа имеют ошибку от 0,05
до 0,5% и т. д.) Ч
Судостроительные расчеты и, в частности, расчеты прочности произ-
водятся на уровне 1—2% точности и, следовательно, приводить числовые
результаты и итоговые данные в расчетах более чем с тремя значащими
цифрами неправильно. Только в исходных данных и только в особых слу-
чаях допустимо оставление четырех значащих цифр.
Всякая математическая операция с группой каких-либо величин
эквивалентна вычислению значения функции этих величин при некоторых
заданных значениях переменных. Если эти значения переменных не абсо-
лютно точны, то и результат математических операций с ними не будет
точным. Абсолютная ошибка результата математических операций с неточ-
ными числами оценивается по формуле
Ду ±
(dw
dz
Д z±...,
о
(Ю)
...—значения частных производных функции
ш= f(x, у, z,...) при подстановке в них задан-
ных значений аргументов;
Дх, ДV, Az — абсолютные ошибки аргументов.
Поскольку знаки ошибок заранее неизвестны, все слагаемые формулы
(10) должны быть арифметически сложены.
Пример. Определить ошибку w = 17,301-0,825.
Рассматривая w как значение функции w = х1 у при хв — 17,30, А х = 0,005
«у, - 0,825, А у = 0,0005, находим:
Л w = 2 х0 у0 А х + А У = 2-17,30-0,825-0,005+17,32-0,0005 = 0,29.
Результат вычислений следует округлить до целых:
к = 17,30*-0,825 = 247,
и было бы иевервым примитивное применение правил арифметики (17,30’-0,825 =
= 246.914251.
В табл. 15 приведены абсолютные и относительные ошибки результата
главнейших математических операций, полученные по формуле (10).
1 В число значащих цифр не включаются нули, стоящие слева от остальных
вфр, ио нули, стоящие справа, — учитываются:
242; 0,0242; 200; 0,200; 25,0—трехзиачиые числа.
§ 7]
Математические операции с приближенными числами
73
Таблица 15
Относительные и абсолютные ошибки результата математических операций
Наименование и вид функции Относительная ошибка Абсолютная ошибка Примечания
Сумма w = х + у + г Произведение w = хуг Частное х W = У Степени и корни w = х" Алгебраические одночлены xP)fl W- е Показательные фун- кции w — е* W = 0х w = у* Логарифмические функции W = 1п X w = 1g X Три гонометри ческне функции w = sin х Ш = COS X w = tgx Г иперболические функции w = sh х w = ch x w = th x Дш о® = бш = 6х + 8у + ?г = Ъх + бу ОШ = пбх = рбх + рбу+гбг 8® = х08х его = 2,3 1g а*’ Бх t®=2,31gy0x*£x+x08y Сш = — ®о ого= 0,43~ Ь-О Дс® О® = А® сх = Д® 6® = »о Д® о® = — ш0 Дго Вш = Дш бш = > I* > S > > в > > > 8 II 6 s II 8 в > > > > > О > II ЗИП -з II II в I* е е g в II е Ь' > 7 4 | + 2. о И в II II II И л II II х , а" =т ^.3° Р II Е* тГ о* £ °°» о* * й S.’ « % [> % 1 °- % > * > X Н * При числе сла- гаемых (из кото- рых некоторые мо- гут быть и отрица- тельными) не более четырех 1 Считая показа- тель п абсолютно точным Считая показа* тели р, д, г, . .. точными Считая основа- ния е, а точными Дх должен быть выражен в ради- анах То же > >
1 Если число слагаемых больше четырех, то следует учитывать возможную
компенсацию ошибок при суммировании
в=х1+х,+ . . . + хп . .. Д® = 2 Дх? 4- Дх? + ... + Дх„.
Для слагаемых с одинаковыми абсолютными ошибками (Axt = Дх, = ... = Дх„)
приведенная формула дает
Д® = 2Дху/ТГ.
74
Технические вычисления
[Гл. II
В случаях особенно ответственных вычислительных операций общий
порядок организации работы должен быть следующим: 1) по форме записи
числовых значений величин, на основании экспериментальных данных или
по иным соображениям, устанавливаются абсолютные и относительные
ошибки всех исходных данных; 2) по формуле (10) или по табл. 15 находят
ошибку результата; 3) сообразуясь с этой ошибкой, выполняют вычисле-
ния на уровне определенной точности (логарифмическая линейка1, упро-
щенные приемы сокращенного умножения, деления и т. д.); 4) руководствуясь
величиной ошибки результата вычислений, производят округление его.
Однако для обычных вычислений весьма часто руководствуются сле-
дующими правилами, в большинстве случаев не приводящими к потере
точности и скорее несколько занижающими ошибку результата.
1. Сложение (вычитание): округлить слагаемые до точности наименее
точного из них по абсолютной ошибке и произвести затем сложение обычным
образом. В случае, если число слагаемых более 20 — 30, сумму следует
округлить еще на один порядок.
125,83+6,3+0,0629= 125,8+6,3+0,1 = 132,2.
2,0+4,2+16,2+18,2+ . . -+12,1+3,2
{всего тридцать слагаемых, исе с точностью до десятых). Формально сумма оказа-
лась 418.6. Следует взять 419-
2. Умножение (деление): число значащих цифр в произведении должно
быть равно наименьшему из чисел значащих цифр сомножителей:
5,421-3,1=17; 146-671.639= 9,80-10‘; 2,52 = 6,2.
3. В трансцендентных функциях обычно оставляют столько значащих
цифр (не считая характеристик логарифмов), сколько их в аргументе:
ctg 24 16'=2,218: sin 30° = 0,50; 1g 21,3 = 1,328.
Для упрощения вычислений с числами, близкими к единице, удобно
пользоваться следующими приближенными формулами:
Ошибка менее 0,5% при
а и р < 0,07
Вид формулы
(1 _ а)(1 +3)^1 +а~?
(1 ±з)3~ 1 ±31
3 ~ 1 а
а <0,07
а <0,066
а<0,18
a <0,045
а<0,19
1 Относительная тотость 25-сантиметровой шкалы линейки 0,10.-0,15% (0,2%
при изношенной линейке и небрежном вычислении). Точность верхних шкал
0,2—0,25%.
Вычисления на линейке не требуют дополнительного анализа точности резуль
тэта, если исходные данные имеют соответствующую точность. Если исходные дан-
ные очень неточны илн ие требуется большой точности результата, следует раоотать
на верхних шкалах. Если онн имеют точность ~0,05% и сохранение точное
в расчете необходимо, приходится работать иа длинных 50-сантиметровых линей-
ках или арифмометре.
Решение уравнений.
75
Следует иметь в виду, что в результате большинства математических
операций с неточными величинами относительная точность понижает-
ся — относительная ошибка результата оказывается больше относитель-
ной ошибки исходных данных. Особенно это следует иметь в виду при
вычитании двух близких по абсолютной величине чисел (и родственной
операции — дифференцировании приближенных зависимостей).
Если w = х — у, то
В w --
Дх +Ду
Хе — Го
х0ох +)ооУ
Хр— У о
хр У о Хр
т. е. 8tei>ox: относительная ошибка разности всегда больше относи-
тельной ошибки уменьшаемого.
Пример, а.'= 26,1—25,6. Несмотря на то что относительные ошибки исход-
/ 50 \
ных данных невелики 6 26 1 = gg] 0,2'0 I , относительная ошибка разности
/ 0,05+0,05 \
1 gg J_g- 6 100 = 20% I недопустимо велика, и результат (0,5) негоден для даль-
нейшего использования.
Часто в подобных случаях расчет приходится прекращать из-за
потери точности и вести его другим методом, где бы подобное
вычитание не встретилось.
Лишь немногие математические операции не ведут к уменьшению от-
носительной точности. К ним относятся сложение (и родственная опера-
ция — приближенное интегрирование), извлечение корня и некоторые
другие.
§ 8. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Уравнения с одним неизвестным
Уравнение с одним неизвестным любого типа, алгебраическое или транс-
цендентное1,
f(x,p,q,. ..) = 0 (11)
(где р, q,... численно заданные параметры) может быть всегда решено гра-
фическим методом и методом итерации.
Графический метод разыскания вещественных корней осно-
ван на представлении левой части уравнения (11) как функции от х:
y = f(x,p,q,...).
Эту функцию всегда можно изобразить графиком, приняв в декарто-
вых координатах х за абсциссу, у — за ординату и вычисляя у по ряду
значений х. Очевидно, что абсциссы точек пересечения кривой с осью х
(рис. 17), при которых функция равна нулю, и будут корнями уравнения (11).
Указанный прием весьма прост по идее, но довольно утомителен по
вычислительной и графической работе, так как требует, помимо общего
графика, на котором видны все корни, еще и дополнительных графиков
в увеличенном маштабе для более точного определения корней.
1 Линейное уравнение ay + Ь = 0 и квадратное х* + рх + q = 0 решаются эле-
ментарно:
,.=-4 .
76
Технические вычисления
[Гл. II
Некоторое облегчение при решении представляет предварительное
отделение корней: если в интервале Xi+x2 функция непрерывна и f(xi),
f (х2) имеют разные знаки, то очевидно, что один из искомых корней
заключается в пределах хг < х < х2.
Разновидностью графического метода, особенно удобной для реше-
ния трансцендентных уравнений, является преобразование данного уравне-
ния */(х) = 0 к виду:
?1(«) = ?а(х)
и построение в общей координатной системе двух кривых у = (х) и у=
=»2 (х). Очевидно, что абсциссы точек пересечения кривых будут кор-
нями исходного уравнения (рис. 18).
да» 4 Ц43 О.Я 0.51052 0,53 0.54
0". Район.Д'гпого же графика б
. 5е.ченном масштабе
Рис. 17. Графическое решение у рав-
нения с одним неизвестным
Рнс. 18. Графическое решение трансцен-
дентного уравнения
2и
tg 2и = , + 0>5
Метод итерации — последовательных повторений одних и тех же
операций, каждая из которых дает все более и более точное значение
корня, основан на преобразовании исходного уравнения (11) к виду:
х = ?(х),
что, вообще говоря, можно сделать самыми различными способами. При
решении по методу итерации необходимо в правую часть уравнения под-
ставить грубо приближенное значение корня хх и определить x2=<f(x1)\
затем повторять операции х3 = ® (х2), х4 = (х3) до тех пор, пока
Х/_1~ХГ
Процесс итерации сходится не при всяком преобразовании, а лишь
в случае, когда вблизи искомого корня ?'(х)<1.
Пример. Найти вещественный корень уравнения
х» — 2,053 х» = 0,275.
Преобразуем заданное уравнение к виду:
0,275
х =2,053 + —.-.
§ 8]
Решение уравнений
77
За приближенное значение корня принимаем х1 = 2,
0,275 • 0,275
хг = 2,053 4-~«р- = 2,121; ** = 2,053 4- 2,114s = 2,115;
0,275 0,275
*3 = 2,053 4- £j2lF==2’I14: *6= 2,053 4- 21Ц5« = 2,115;
искомый корень х = 2,115.
Найденные корни должны быть обязательно проверены путем под-
становки их в исходное уравнение (11).
Если некоторые из параметров р, q ,... — числа приближенные (что
практически чаще всего и бывает), то величина незамыкания, т. е. зна-
чение левой части уравнения (11) после подстановки в нее найденного
корня xt не должна превышать
f (xlP, q,--)< ДР + Д? + - • •, (12)
где ^4) , ,... — значения частных производных при подстановке
в них средних значений параметров и проверяемого корня. Условие (12)
не гарантирует от ошибочного завышения точности найденного корня.
Возможная ошибка корня вычисляется по формуле
(13)
Все слагаемые в формуле (12) и в числителе формулы (13) арифме-
тически складываются.
Таким образом, решение уравнения (11), если некоторые из его па-
раметров являются числами приближенными, заключается в определении
таких значений х-„ при которых удовлетворяются неравенства (12), при-
чем эти корни необходимо дать с таким числом значащих цифр, кото-
рое было бы в близком соответствии с формулой (13)*. ,
Пример. Допустимое иезамыкание уравнения Xs — 2,053** — 0,275 = 0 (вида
х* — рх*— 9 = 0) для корня * = 2,115 равно: ’ ' А
А = xsAp 4- д9 = 2,115» - 0.0005 4- 0,0005 = 0,0027
(фактически 2,115s —2,053 - 2,115s— 0,275 = 0,0023).
Возможная ошибка корня;
хг bp+Xq 0,0027
— 3*s — 2рх “ 3-2,115s—2 - 2,053 • 2,115 = °-0006,
н он должен быть дан с точностью до десятитысячных.
Для решения кубических уравнений вида х3 4- рх2 4~ q = 0 и
хзл рх 4- <7 = 0, часто встречающихся в расчетах по строительной меха-
нике корабля, полезны номограммы, приведенные на рис. 19 и 20.
• В отступление от указанного выше правила в значении корня иногда приходит-
ся оставлять цифры, порядок которых равен порядку ошибки, вычисляемой по фор-
муле (13).
78
Технические вычисления
[Гл. II
Рис. 19. Номограмма для решения уравнения х3 + рх3 + q = 0. Соединяя р
и q, находим положительные корни на шкале хА, хв или хс в зависимости
от того, какими из отметок (Л, В или С) на шкале q мы пользуемся. Со-
единяя р и q с обратными знаками, находим абсолютные значения отрицатель-
ных корней
Решение уравнений
79
Рнс. 20. Номограмма для решения уравнения х3 + рх + q == 0.
Соединяя р и q, находим положительные корни уравнения. Со-
единяя р н — q, находим абсолютные значения отрицательных кор-
ней. Корни уравнения х3— 8х — 3=0 равны:
х = 3,00, х, = — 2,62, х, = — 0,38
80
Технические вычисления
[Гл. II
Приведем примеры пользования номограммой (см. рис. 19).
Пример 1.x* -»-5х* — 7 = 0. Соединяя 5 и —7, находим х1 = 1,08 на шкале
хА. Соединяя —5 и 4-7 иа той же шкале, ваходим х2 =— 1,40 и хв =— 4,68.
Пример 2.x* — 2х*— 75 = 0... один вещественный корень х = 5 на шка-
ле хв-
Увеличивая (или уменьшая) рв 10 раз, следует увеличить (уменьшить)
<7 в 1 000 раз, а х взять в 10 раз меньше (больше) его значения по
соответствующей шкале.
Пример 3. х* —0,40 х* — 0,69 = 0 . . . один вещественный корень
10,4 . «
* — 10 — 1.04.
Пример 4. х* — 56х* — 4000 = О . . . один вещественный корень
х = 5,72 - 10 = 57,2.
Номограмма на рис. 20 построена для коэффициентов р, q в преде-
лах от —10 до -г 10. Если один из коэффициентов больше 10, следует
сделать подстановку х = ky, взяв £> 1.
Например, уравнение х*—32х—24=0 подстановкой х = 2у приводится к урав-
нению у*—8у—3=0, решенному на номограмме.
Если параметры р и q в уравнении х3 -f- рх + q = 0 меньше едини-
цы, решение по номограмме рис. 20 получается мало точным, и подста-
у
новкой х = — (при k > 1) следует увеличить параметры.
у
Например, уравнение х*—0,89 х—0,111=0 подстановкой x = -g- приводится к
тому же уравнению у*—8у—3=0, решенному на номограмме.
Обратный переход от корней у к х очевиден.
Система линейных канонических уравнений
Система п линейных уравнений с п неизвестными
аи х 4- аг1 у -j- а13 z -j- .. - -г aln t + Pl= 0... (1)
х — аи У — а2а г -р... + аг„ t + рг = 0... (2)
авт х т аз2у + a33z +... TQ3„ t + р3 = 0... (3)
(14)
anix + an,y + antz + ...± annt + рп = 0... (п) ’
называется канонической в том случае, если коэффициенты при неизвест-
ных, расположенные симметрично относительно главной диагонали (диа-
гонали, проходящей через сх1, а22,...»а^), равны между собой (a2i=ol2,
о32 — п23 • • ч вообще — Qji)'
Все системы уравнений, служащие для раскрытия статической неопре-
делимости многопролетных балок на упругих опорах, рамных конструкций,
перекрытий и другие, встречающиеся в расчетах прочности судна, являются
каноническими или легко приводятся к ним делением или умножением
некоторых уравнений на 2 или другой множитель.
Сущность табличного метода решения канонических уравнений1 со-
состоит в преобразовании системы (14), каждое из уравнений которой
содержит, вообще говоря, все неизвестные, к такой системе, в которой
второе уравнение не содержит первого неизвестного, третье — первых
1 При условии, что определитель, составленный из коэффициентов при неиз-
вестных, не равен нулю (см. выше, стр. 29).
§8]
Решение уравнений
8J
двух ц т. д. вплоть до последнего уравнения, которое оказывается содержа-
щим всего одно последнее неизвестное:
п11Х4с12у 4 «i3z4 . • • 4 <44 4 Pi = 0 (I)
^22 У 4 ^23 Z 4 - • • 4 &2Л 4 Г2 = 0 (Н)
^33 2 4 • • + ^Зп^ + гз = 0 (Ш) (15)
&лл^4^„ = 0 (N)
Первое уравнение при этом оставляется без изменения: (I) = (1).
Для получения каждого последующего уравнения системы (15) надо
из соответствующего уравнения основной системы вычесть все предыдущие
преобразованные уравнения, предварительно помноженные на отношение
коэффициента при текущем неизвестном к первому (левому) коэффициенту
этого преобразованного уравнения.
Система (15) по сравнению с (14) имеет то преимущество, что не пред-
ставляет затруднений для решения: из последнего уравнения находится
t, после подстановки t в предпоследнее уравнение сразу определяется пред-
последнее неизвестное и т. д. вплоть до неизвестного х, которое находится
из первого уравнения после подстановки в него найденных ранее остальных
неизвестных. Таким образом, решение системы (15) сводится к «-кратному
последовательному решению линейных уравнений с одним неизвестным.
Порядок отдельных операций виден из табл. 16 и примечаний к ней.
Табличный метод решения линейных уравнений резко облегчает вычис-
лительную работу, когда число уравнений больше трех, и тем выгоднее,
чем больше число уравнений. Иногда по соображениям промежуточного
контроля табличный метод применяют и при трех уравнениях, систему же
двух линейных уравнений с двумя неизвестными проще всего, конечно,
решить обычными приемами алгебры (исключением одного из неизвестных).
Корни системы (14) х, у,..Л могут считаться найденными достаточно
точно, если незамыкания уравнений не превышают:
Д1 — х ЛОц 4 у Ла12 . .. + t Аа1п 4 Дрг
А; = х Ло21 4 У Догг 4 • - • 4 Ao2n 4 Др2
(16)*
Д„ — л' Дал1 + у &ап2 4 ... 4 / Д«лл 4 Дрл
Возможные ошибки в корнях системы определяются достаточно сложно
и обычно не вычисляются. Однако полезно отметить, что ошибки корней
весьма сильно зависят от величины главного определителя системы: они
тем больше, чем меньше этот определитель. Поэтому всюду, где это возможно,
надо стремиться при составлении уравнений к тому, чтобы главный опре-
делитель системы был возможно больше. Для системы двух уравнений:
4* т 4У 4 Рг- О и а21 х 4 а22 у 4 р2 = О
ошибки корней равны:
д % °22 Д1 ~Г 1Q12 Д-2 . Ду_ I । 4 Agl (I?)
°ii °22 °i2 о2] | Сц а22 — а12 а211
Пример. Решить систему уравнений [вида (14)]:
6,00х—3,00у4 1,02г =-10,1 (1)
— 3,00x45,12у 4 2,06 г 4 0,99 £ = 31,0 (2)
1,02x42,06у42,92г— 1,05£ = 40,0 (3)
4 0,99у — 1,05 г 4 7,00 / =—112,4 (4)
* В соответствии с возможностью разных знаков ошибок Аа,,, Дди, . - все
слагаемые правых частей формул (16) складываются арифметически (т. е. знаки кор-
чей не учитываются).
6 J чебвыб справочник
82
Технические вычисления
[Гл. II
Таблица 16
Преобразование канонических уравнений
Операции Коэффициент при Свобод- ный член, разде- ленный на 10 Контроль
X У Z t
1
(!) = (!) 6,000 —3,000 1,020 0,000 —1,ою| 3,010 (сумма)
(2) —3,000 5,120 2.С60 0,990 3,100 8,270 (сумма)
.1=3^ 6,00
= 0,500 (I) — — 1,500 0,510 0,000 -0,505 1,505 (произведе-
(II) = сумме двух 9,775/9,775 (суммы) 8,950 (сумма)
предыдущих строк — | 3,620 2,570 0,990 2,595 |
(3) 1,020 2,060 2,920 — 1,050 4,000
1,020
— 6,000 — 0,512(произве- дение).
= — 0,170 (I) 2,5‘и — — —0,173 0,000 0,172
3,620 I11!
= —0,710 (II) (III) = сумме трех — — —1,825 -0,703 —1,842 — 6,940 (произве- дение) 1,499/1,498 (суммы) —4,300 (сумма)
предыдущих строк — — 0,922 —1,753 2,330 |
(4) 0,000 0,990 — 1,050 7,000 — 11,240
0,000
6,000 — 0 0,990 •— — — — •—•
- 3,620 (,,,= = —0,2734 (II) -0,270 —0,709 —2,672 (произве-
(—1,-53) % дение)
0,992 = 1,901 (III) -3,332 4,429 2,848 (пронзведе-
(IV) = сумме че- тырех предыду- нне)
ших строк — — — 1 3,398 —7,520 । —4,122/—4,124 (суммы)
1
Примечания:
1. Во избежание потери точности точность всех коэффициентов фиктивно завы-
шена на одни знак.
Иногда встречаются системы, в которых коэффициенты одного какого-нибудь
неизвестного или свободные члены сильно разнятся по своему порядку. В этом
случае полезно привести все коэффициенты примерно к одному порядку так, как это
в данном примере сделано со свободными членами.
2. Числа контрольной колонки являются суммой чисел соответствующей строки
(отмечено словом «сумма») или получаются как произведения на указанный в пер-
вой колонке множитель. В юследнем случае они отмечены словом «произведение».
Так, 8,270 = —3,000 + 5,120 + 2,060 + 0,990 + 3,100, а 1,505 = 3,010-0,500.
3. Промежуточный контроль заключается в сравнении итогов по строке н столб-
цу: 0,922— ,.53 + 2,330=1,499; 8,950 — 0,512 — 6,940= 1,498, причем допустимы
лишь небольшие иезамыкания. Таким образом, после получения каждого преобразо-
ванного уравнения имеется возможность убедиться в отсутствии ошибок. Если же
итоги не сойдутся, то ошибку следует искать лишь после предыдущего контроля.
4- В силу каноничности уравнений целый ряд умножений отпадает, что показано
в таблице черточками (—).
Решение уравнений
83
Полученная преобразованная система
6,00 х — 3,000 у + 1,020г =—10,10
3,620 у + 2,570 г + 0,990 t = 25,95
0,922 г — 1,753 7 = 23,30
3,398 t = — 75,20
решается, начиная с последнего уравнения, и имеет корни:
х = 13,7, у = 25,1, г = —16,8, 7 = — 22,1.’
Проверяем правильность решения, подставляя корни в исходную заданную си
стему:
82,2 — 75,3— 17,1 + Ю,1 = — 0,1
— 41,1+ 128,5 —34,6 —21,9 —31,0 = —0,1
14,0 + 51,7 —49,1 + 23,2 —40,0 = —0,2
24,8+17,6—154,7+112,4= 0,1
Сравнивая полуденные иезамыкания с допустимыми их значениями (16), кото-
рые в данном примере равны
Д1 = Л, = А, = Д4 = (13,7 + 25,1 + 16,8 + 22,1) 0,005 + 0,05 = 0,44,
убеждаемся в правильности решения.
Система канонических линейных уравнений вида:
77ц -*i “I- 7^12 Х3 = by f
a2i 771 т 77гг Х2 Ч- 7723 Х3 —Ь%
Я32 xg — G33 х3 + a3i Х4 — Ь3
..................................... , (18)
+ + = b(
<inm хт + апп хп Ьп
в которой два крайних уравнения содержат по два неизвестных, а осталь-
ные не более трех последовательных неизвестных1, может быть решена
следующими последовательными операциями.
Сначала вычисляются переходные коэффициенты
Л1 = Оц
А -а -°*2
Zl2 — «22--
2
А - а —ЕП.
.3 — С33
2
А^а“~ЕГ-
(19)
2
А п—а —
п пп д
гп
1 Такую структуру имеют уравнения трех моментов и трех углов поворота
при раскрытие статической неопределимости балок.
6Т®
84
Технические вычисления
[Гл. II
затем главные части неизвестных
(20)
при этом последнее значение (х„) оказывается окончательным точным зна-
чением последнего неизвестного.
Последней операцией является последовательное получение оконча-
тельных значений всех остальных неизвестных по формулам:
(21)
а-2 =х2 — х3
_ ~ °12
Л'1 — Лх — -д- л2
Пример. Решить систему уравнений:
18х,+ 4xt = 40
4х 4 — 16х2 -j— 0X3 — 52
5xg -f- 20x3 “Г 6X4 = 100
6x, + 12x4 = 72
Решение. Переходные коэффициенты по формулам (19):
А= 18,
42
Л,= 16— 18 = 15,11,
*52
Л, = 20— = 18,345,
&
= 12 — 18 35 = 10,038.
Главные части неизвестных по формулам (20):
40
^ = 18=2.222.
52-4- 2,222
15,11
= 2,853,
§ 9]
Приближенное интегрирование и дифференцирование
85
100— 5 - 2,853
= 18,345
Окончательные значения неизвестных по формулам (21):
6
х, = 4,673 — 18 345 • 4,380 = 3,241,
5
х,= 2,853 — ту-ц • 3,241 = 1,781,
4
х1= 2,222 — jg- 1,781 = 1,826.
Итак, корни заданной системы равны:
Xi = 1,826, х, = 1,781, х, = 3,241 н х< = 4,380.
Приведенный метод требует меньше вычислительных операций, чем
табличный, но применим лишь к неполным каноническим уравнениям вида
(18).
§ 9. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Приближенное интегрирование встречается в двух вариантах: вычисле-
ние определенного интеграла
ь
I=$f(x)dx
а
и нахождение интегральной функции
F(x) = Jf(x) dx.
В обоих случаях /(х) предполагается известной, не имеющей бесконеч-
ных значений в исслед^ емом интервале, и может быть задана в виде
математической зависимости, в виде графика или в табличной форме. Все
указанные случаи задания функции могут быть приведены к табличной
форме.
Если функция задана математическим выражением, следует для ряда
значений х (через равные промежутки Дх = const) вычислить значения
У = f (х) или (если функция задана графиком) снять их с графика и соста-
вить таблицу
х У = /(х)
х0 Уо
Xi У1
х2 у2
х3 Уз/У1Р
В случае разрывов в таблицу вносится два значения У/, у"р, соот-
ветствующие ветвям кривой, отходящим влево и вправо.
86
Технические вычисления
[Гл. II
Определенный интеграл
Плавная кривая, не имеющая разрывов (рис. 21,а).
Определенный интеграл вычисляется табличным
трапеций:
путем по формуле
ь
Уо
2
Уп
2
= Д х [ у0 — у
Уо+У„\
2 / ’
Поправка на полусумму крайних слагаемых может быть введена от-
дельной строкой внизу табл. А (см. пример ниже) или, при некоторых
навыках работы на счетах, учтена в процессе суммирования (табл. Б).
Пример. Вычислить определенный интеграл функции, заданный графиком
(рис. 2 ,о) в пределах от х = 4 до х = 28.
Разбиваем заданный интервал на 6 частей (Дх = 4) н составляем таблицу, сни-
мая ординаты непосредственно с графика.
Таблица А
Таблица Б
Номера ординат
Ординаты у
Ординаты у
Номера ординат
0 1.0 0 1,0
1 2,0 1 2,0
2 2,2 2 2,2
3 1,9 3 1.9
4 1,2 или 4 1,2
5 0,0 5 0,0
6 —2,0 6 —2,0
6,8
1
поправка —(1,0— 2,0)
6,3
0,5
Sy
испр
п7р I 6,8
Искомый интеграл равен
/ = Лх1у = 4 6,8 = 27,2
испр
и представляет собой площадь ABCDA минус площадь DEFD.
Ступенчатая линия. Если, как это иногда встречается f(x)
задана в виде ступенчатой линии (рис. 22,а), правило трапеций заменяет-
ся правилом прямоугольников, и поправка на полусумму крайних слага-
емых не вводится.
(У0—1 + У1—2 + • • . + У(п— 1) — п) •
Таблица В
Номера интервалов Ординаты, т/м
0—1 7
1—2 13
2—3 10
3-4 20
4—5 4
54
Пример. Определить заштрихованную площадь,
показанную на рис. 22,а, принимая ширину полос
17
Дх = -- - - 3,4 м.
о
Искомый интеграл равен (см. табл. В)
„ 17
/ = Дх 2 У = ~5 54 = 184 т.
§ 9]
Приближенное интегрирование 'и дифференцирование
87
Интегральная функция
Интегральная функция F (х) = J f (х) dx обычно разыскивается не для
всего диапазона значений х от — оо до +<», а от некоторого значения
х = х0 в сторону возрастания до х = х;-. Для нахождения интегральной
функции F (х) необходимо знать какое-нибудь значение F (х) при опреде-
ленном х, так как в противном случае задача неопределенна: целое се-
мейство кривых F (х) -1- С, отличающихся различным возвышением их над
осью х (показанных пунктиром на рис. 21,6), имеет одинаковые углы ка-
сательных /(x) = F'(x) при определенных абсциссах х.
Рис. 21
Рис. 22
Плавная кривая, не имеющая разрывов. Вычисление
искомой интегральной функции выполняется табличным способом, осно-
ванным на формуле трапеций:
X
[/ (х) dx = F (х0) - [/ (х0) +2/ (хО+2/ (Х2)+ • • + 2/ (х,_.) + [ (х,)].
При. ме р. Вычислить F (х) от хл = 4 до х,- = 32, принимая f (4)=0, по заданным
в графе 2 приводимой табл. 17 значениям /(х), записанным для значений х через Дх=4.
Каждое последующее значение цифр графы 3 табл. 17 получается
как сумма трех чисел: вышестоящего (уже отложенного на счетах), числа,
стоящего слева от вышестоящего, и числа, расположенного левее иско-
мого (показано стрелками). Указанный процесс суммирования носит назва-
ние интегрального суммирования, или суммирования с перемен-
ным верхним пределом. Если бы F (х0) =А 0, то вместо обведенного прямо-
угольником в табл. 17 значения следовало бы поставить F
поступать по-прежнему.
, ч 2
(х0) д-х и дальше
88
Техничёские вычисления
[Гл. II
Интегрирование плавной линии
Таблица 17
Номера ординат /(х) L/(x) Г(х)= 4" 2/(*)
1 2 3 4
2
0 1.0 0.0 |=^о) -дГ 0,0
2,0 — 3.0 6,0
1
2,2 7 2 14,2
2
3 1.9 11,3 22,6
4 1.2 14,4 28,8
0,0 15,6 31,2
5
6 —2,0 13,6 27,2
7 —4,6 7,0 14,0
... . . - *
Искомая интегральная кривая построена по числам четвертой графы
табл. 17 и показана на рис. 21,5 сплошной линией.
Ступенчатая линия. В этом случае правило трапеций заме-
няется правилом прямоугольников, и числа, пропорциональные интеграль-
ной функции, получаются последовательным суммированием значений
подинтегральной функции
X
J f(x)dx = F(x0) Ax[/(xo-i)+/(xi_2) + /:(^2-3) + /(x(i_|)_I) + ...]
ИЛИ
х
j f (X) dx = F (x0) + Дх X y<t-i)-z.
x. ‘ 1
Сказанное иллюстрируется табл. 18, в которой выполнено интегри-
рование ступенчатой линии, показанной на рис. 22, а.
Таблица 18 j
Интегрирование ступенчатой линии
Номера интервалов Ординаты y = f(x) суммы е верх у F (х) = Дх vy Номера ординат
1 2 3 4 5
— — 0 0 0
0—1 7 7 24 1
1-2 13 20 68 2
2-3 10 30 102 3
3—4 20 50 170 4
4—5 4 54 184 5
. ..
Следует иметь в виду, что в этом случае цифры граф 3 и 4 при
графической их интерпретации должны быть отнесены не к интервалам,
а к абсциссам, разделяющим интервалы (графа 5 табл. 18 и рис. 22,6).
§ 9]
Приближенное интегрирование и дифференцирование
89
Приближенное дифференцирование
Нахождение производной функции от функции, заданной рядом таб-
личных значений при Дх = const, относится к категории операций, сопро-
вождающихся потерей точности. Следует, кроме того, быть уверенным, что
функция, подлежащая дифференцированию, является плавной. Если функ-
ция, подлежащая дифференцированию, не абсолютно точна, а получена
путем вычислений с неточными числами или путем эксперимента, перед
дифференцированием необходимо произвести так называемое сглажи-
вание (особенно в случае, если функция получена экспериментальным
путем).
Процесс сглаживания заключается в выполнении следующих операций:
1. Вычисляются первые разности заданной функции Ду,- = yt-+1—yt-
(графа 3 табл. 19).
Табл и_ц а 19
Сглаживание
Номера ординат У Ду *Ус Д’Ус Д! Усс Ду<-с Усс
1 2 3 4 5 6 7 8
0 0,0 2,9 2,90 —0,28 —0,280 2,900 0,000
1 2,9 2,6 2,62 —0,26 —0,264 2,620 2 900
2 5,5 2,3 2,36 -0,26 —0,250 2,356 5,520
3 7,8 2.2 2,10 —0,23 —0,236 2,106 7,876
4 10,0 1.8 1,87 —0,23 —0,225 1,870 9,982
5 П.8 1,6 1,64 —0,21 —0,212 1,645 11,852
6 13,4 1,6 1,43 -0,21 —0,196 1,433 13,497
7 15,0 1,1 1,22 -0,16 —0,177 1,237 14,930
8 16,1 1.1 1,06 -— — 1,060 16,167
9 17,2 — — — — 17,227
— V 17,2 17,20 — 1,84 — 1,84 17,227 —
рис. 23 в укрупненном масштабе
от фиксированных точек для полу-
2. Откладывая Ду на графике
проводят по точкам кривлю, отступая
чения плавной линии. Сняв с кри-
вой сглаженные разности Дус, зано-
сят их в таблицу (графа 4 табл. 19).
Надлежит проверить Еус; она долж-
на быть равна разности крайних
значений функции и сумме несгла-
женных разностей:
ЕДуг = у„-у0 = ЕДу.
В случае надобности несколько
подправляют числовые значения Дуг.
3. По значениям Дус вычисляют-
ся вторые разности Д2 ус и заносятся
в графу 5 табл. 19.
4. Аналогично предыдущему
откладывают на новом графике Д2уг,
ды сглаженные вторые разности Д2уС(
Рис. 23. Сглаживание первых разностей
проводят кривую, получают дваж-
и добиваются соблюдения условия
Е Д2 усс = ЕД2 ус = Ду„_] — Ду0.
90
Технические вычисления
[Гл. II
В случае надобности можно получить таким же путем №уссс и т. д.,
однако процесс сглаживания следует остановить, если очередные разности
перестают быть плавными. Обычно дальше вторых разностей (Д2Усг.)
не идут.
5. По вторым дважды сглаженным разностям получают дважды сгла-
женные первые разности
Дуй,- = &>’«,-_! -г ABycfi_, (графа 7 табл. 19)
и самую функцию
)+, =У«1-_1 + ЛУ«;_, (графа 8 табл. 19).
Сопоставляя полученные значения усс с первоначальными (графы 2 и
8), убеждаются в правильности проделанной работы. После того как
процесс сглаживания закончен, отдельные значения производных при
заданных абсциссах находят по формуле, учитывающей соседние с рас-
сматриваемым районом значения функции, а именно:
п Дх = у (Ду,- + ду,-,) - -1 (Д’у.-i + Д’у,-_2) +
+ ^(Д5у1._2 + Д5у1._3)_ ... (22)
Выражая разности через значения функции и ограничиваясь одним,
двумя, тремя членами правой части формулц (22), можно соответственно
получить:
У/Дх=у(У,+1—У/-,); (22а)
2 1
у, Дх = V(yi+I — У,_,) —^(у.+г-Уг-г); (226)
О 1Z
, з 3 1
У/ Дх = т (У,-+, — У/-1) — 20(У£+2 + Ух—2) + 60 (У/+3 — у.-з). (22в)
В табл. 20 показано вычисление производных функции, значения
которой, приведенные в графе 2, сняты с рис. 21,6 (см. также графу 4
табл. 17).
Таблица 20
11 омсра ординат Орди- наты У — У«-1 У«+2 — У1—2 1 W КЗ Г + Г "1 ~L(y -( ~ 12'У«+2 — у,-г) у' Дх=[5]+ + 16] , 17] у = дТ (Дх=4)
1 2 3 4 5 6 7 8
0 0,0 — — —
1 6,0 — — — — — —
2 14,2 16 6 28,8 11,05 —2,40 8,65 2,16
3 22 6 14,6 25,2 9,72 —2,10 7,62 1,91
4 28,8 8,6 13,0 5,73 — 1,08 4,65 1,16
D 31 2 —1.6 —8,6 — 1,07 0,72 —0,35 —0,09
6 27 2 — — — — — —
7 14,0 — — — — — —
Вычисление выполнено с точностью до третьих разностей, т. е. по
формуле (22 б), полагая в ней Дх = 4.
§ Ю]
Интерполирование
91
Для вычисления производных в начале и в конце таблицы пользуются
формулой Ньютона, учитывающей значения функции по одну сторону
от рассматриваемой абсциссы:
Ус Дх = Ду, — 4- Д2У,- + 4- Д Ус — - (23)
Z о
ИЛИ
У с Дх = Ду,--, + у Д2У/-2 + у двУ*-з +
(24)
В табл. 21 показано вычисление по формуле (23) при Дх = 4 для
начала таблицы и (24) для конца с точностью до третьих разностей.
Таблица 21
Орди-
наты
У
Ду
№у
у' Д х У'= [6] — Дх уг с уче- том табл. 20 у' из табл. 17
6 7 8 9
0
1
2
3
4
5
6
7
0,0
6,0
14,2
22,6
28,8
31,2
27,2
14,0
—2,0
—2,4
2,2 2,0
6,0 —у — у
0,2 2,4
8'2 — 2 — 3
= 4,23
= 7,30
8,4—2,2
6,2—3,8
2,4—6,4
—4,0—9,2
6,4 2,6
—4,0—у —-g-=—8,06
9,2 2,8 ,
-13,2——у-—18,73
1,06
1,82
—2,02
—4,68
1,06
1,82
2,16
1,91
1,16
0,09
—2,02
—4,68
1,0
2,0
2,2
1,9
1,2
0,0
—2,0
—4,6
В графе 9 табл. 21 приведены значения функции, которая первоначально
была взята за исходную для получения функции у интегрированием
(см. рис. 21, а и табл. 17). Расхождение цифр двух последних граф табл. 21
до известной степени характеризует ошибки, накапливающиеся в резуль-
тате двух приближенных операций интегрирования и дифференцирования.
§ 10. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
Интерполирование, т. е. нахождение значения функции у при
определенном значении аргумента х по ряду известных значений функ-
ции Vj, у2, .... Уп при соответствующих значениях аргумента хъ х2, х„
основывается на формуле проведения параболы п—1 степени через п
известных точек:
(х — х2) (х —х3) ... (х —хп)
У 1 (хх — х2) (хх — х3) ... (хх — х„)
v (х — xj (х — х3) ... (х — Х„) _|_
- 2 (х2 — Xj) (х2 — х3) ... (х2 — х„)
(X —Xi) (х —Х2) ... (х — Хп-1)
Уп (Х„ — Х1) (х„ — Х2) ... (хп — Хп-1)
92
Технические вычисления
[Гл. II
Интерполирование применяется обычно для^нахождения промежу-
точного, отсутствующего в таблице, значения функции. Пусть х заклю-
чается в пределах от xi до х7 и таблица составлена для равных интер-
валов аргумента:
Xi — Xh = Xj—Xl = Xk — X}=- ...
X У х \ у
Ч Ук У1 У} t x-xt
х. У, Xk Ук Xj — Xt
xi У,
хк Ук
Учитывая в формуле (25) лишь две ближайшие точки, т. е. полагая
хг = Xj, x3 = Xj, получим формулу линейного интерполи-
рования:
У = yi + t(yj~yi)- (26)
Если учесть три последовательных значения функции у2, уу- и yk,
из той же формулы (25) можно получить интерполяционную
формулу:
У = У, + t (^ - У/) + 1( 1 - 0 (2^ -у- yk). (27)
Получив аналогичную формулу с учетом значений yh, у,, У- и осред-
няя результат, получим формулу с учетом четырех последовательных
значений:
У = У,- + t (yj — yj + -р (! — О (У/ 4- У; — Ул — Ул). <28>
более точную, чем предыдущая. Поэтому формулой (28) — формулой интер-
полирования сучетом вторых разносте й—пользоваться пред-
почтительнее, чем формулой (27). Последнюю следует применять лишь
когда нельзя воспользоваться формулой (28), т. е. в начале или в конце
таблицы.
Аналогично могут быть получены формулы с учетом пяти, шести и
более значений функций. Они могут быть получены на основании выше-
приведенной формулы (25), а также формулы
t (t — n f(f—l)(t—3)
(x -i-1 Ax) = w (x) 4- t A'J -i—J 2 - A2K) 4--gj------ДЭК,'+ ...
Выбор той или другой интерполяционной формулы (и, в частности
решение вопроса о том, следует ли применять интерполирование с учетом
вторых разностей или можно ограничиться линейным интерполированием)
основан на соображениях желаемой точности. При этом можно руководство-
ваться следующим весьма простым критерием; выписав из таблицы в нужной
области ее несколько значений функции с тем числом значащих цифр, кото-
рое желательно получить (сплошь и рядом полное число знаков, даваемое
таблицей, не нужно), следует вычислить вторые разности. Если вторые
разности не превышают четырех единиц последнего оставляемого разряда,
можно ограничиться линейным интерполированием по формуле (26). Если
§ Ю]
И нтерполирование
93
вторые разности более четырех, следует применять одну из формул (27)
или (28)*.
Пример. Определить с точностью до десятитысячных tg 0,924.
Выписываем из табл. 7 значения, ближайшие к искомому, и вычисляем разности:
X tg* Д Д’
0,91 1,2864 269 7
0,92 1,3133 276 7
0,93 1,3409 283
0,94 1,3692
Применяем формулу (28):
tgO,924= 1,3133 + 0,4(1.3409— 1,3133) + 0,4(1 — 0,4) (1,3133 +
+ 1,3409— 1.2864— 1,3692)= 1,3133 + 0,0110 — 0,0001 = 1,3242.
Если бы для того же аргумента нужно было определить тангенс с точностью
до тысячных, то вторые разности оказались бы менее четырех:
X tg* Д Д«
0,91 1,286 27 1
0,92 1,313 28 0
0,93 1,341 28
0,94 1,369
и можно было бы применить линейное интерполирование
tg 0,924 = 1,313 + 0,4(1,341— 1,313)= 1,324.
Сложнее обстоит дело с интерполированием таблиц с двумя «входами» —
для функций от двух аргументов а? = f (х, у). Если ни один из аргументов
не совпадает с табличными значениями, приходится интерполировать между
четырьмя числами:
Интерполирование может быть произведено по формуле
® = Си + tz (ц?21 — u'n) -г ty (ьУ12 — i) (29)
-- ^x ty (^22 + t^'ll- ^'12-^21)»
причем если разность сумм диагональных значений, стоящая в последних
скобках, мала, можно ограничиться линейным интерполированием, т. е.
отбросить в вышеприведенной формуле последнее слагаемое.
К интерполированию по формуле (29), в частности, приходится при-
бегать при пользовании таблицей прогибов жестко заделанных балок
(см. табл. 27), если необходима полная точность этой таблицы.
Пример. Найти прогиб жестко заделанной балки в точке х = 0,479/ под
действием сосредоточенной силы, приложенной в точке а = 0,492 /.
По табл. 27, стр. 203 интерполируя между четырьмя числами
5154 I 5165
5184 5190
при
°’009 „„ . —0,008
0,010 = 0,9 и <в = —С, 16 = °’8'
* Интерполирование до вторых разностей оказывается недостаточно точным,
если третьи разности более 7 единиц последнего оставляемого разряда.
94
Технические вычисления
[Гл. II
имеем
I 10’ = 5154 — 0,9(5184 — 5154) + 0,8(5165 — 5154) + 0,9- 0,8(5154 +
+ 5190 — 5184 — 5165) = 5154 + 27 + 9 — 4 = 5186.
Следовательно,
Pls
w = 0,005186 .
§ 11. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ И СПОСОБ
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Всякий процесс измерения неизбежно сопровождается ошибками.
Ошибки, вызванные дефектами измерительного прибора, могут быть учтены
заранее в виде поправок к показаниям и исключены путем тщательного
исследования прибора и сравнения его с более надежными инструментами
(тарировка). Случайные же ошибки, вызванные непредвиденным ослабле-
нием внимательности наблюдателя, недостаточной остротой зрения при
отсчете по мелкой шкале и т. п., ошибки, вызванные неизвестными нам при-
чинами или причинами хотя и известными, но не поддающимися количест-
венному учету, при массовых испытаниях подчиняются некоторому закону,
предложенному Гауссом1.
Задача по обработке экспериментальных данных в ее простейшем виде
может быть сформулирована следующим образом. Дана серия п наблюдений
одной и той же величины2:
zlt z2, z3, . . ., z,., zy, .... z„.
Требуется выяснить, нет ли среди этих наблюдений явно недоброкачест-
венных, которые следует отбросить, и из оставшихся наблюдений извлечь
наиболее вероятный результат. Необходимо также оценить и точность
полученного результата.
Поставленную задачу решают в следующем порядке.
Сначала определяют наибольшую возможную ошибку
отдельных наблюдений3:
А = 2,6 1 / (30)
у п — 1 4
где —среднее арифметическое из всех наблюдений.
Далее сопоставляют абсолютные величины отклонений отдельных
наблюдений с А и те наблюдения, у которых
подвергают специальному рассмотрению. Выясняют, был ли исправен соот-
ветствующий прибор, не было ли каких-либо особых причин, не учтенных
при постановке эксперимента. В тех случаях, когда внимательный анализ
не вскроет причин резкого отклонения данного наблюдения, это наблюдение
принято исключать из дальнейшей обработки как недоброкачественное.
1 Подробнее, см. например В. В. Д а в ы д о в. Технические вычисления, Речгсздат,
1948.
1 Под z следует понимать ие только результаты повторных измерений одной
и той же величины одним тарированным прибором, но и приборами одинаковой точ-
ности, или даже измерений различных величин, которые теоретически предпола-
гаются равными (например, напряжения при общем изгибе судна в симметричных
относительно диаметральной плоскости точках).
Величины г.; предполагаются уже откорректированными по данным о тарировке
приборов, и систематические ошибки исключенными-
3 Вероятность совершения ошибок при отдельных наблюдениях, превышающих
Д по абсолютней величине, равна 0,01, т. е- крайне мала.
§ 11]
Обработка экспериментальных данных
95
Затем определяют по оставшимся т наблюдениям новое среднее ариф-
метическое
(31)
и принимают его за наиболее вероятное значение искомой величины г.
О точности полученного результата (т. е. величины z0) судят чаще всего
по так называемой квадратичной ошибке его
9о =
L(z0-z,)»
т (т — 1) ’
(32)
z = z0 i Но
и, если необходимо, округляют значение z0, руководствуясь порядком
величины и0 и приведенными выше правилами (§7, стр. 71).
Вероятность квадратичной ошибки, т. е. вероятность, что отличие
найденного среднего арифметического z0 от истинного значения z не будет
по абсолютной величине больше р0, равна 0,683.
Иногда для оценки точности z0 пользуются также вероятной ошибкой
2
Ро — з Н°
или наибольшей возможной
До = 2,6 и.о.
Вероятность, что ошибка z0 не превышает по абсолютной величине
Ро и До, соответственно равна 0,5 и 0,99.
Пример 1. Временное сопротивление по пробным плаикам полученной партии
материала оказалось равным 35, 40, 38, 37, 41, 34 , 42 и 37 кг/мм*. Определить
низшую границу временного сопротивления.
Среднее арифметическое
35 + 40 + . . . + 37
zcp= ---------g--------- = 38,0 кг! мм*.
Наибольшая возможная ошибка отдельных наблюдений
А = 2,6 у у [(38 — 35)» 4- (38 — 40)» + ... + (38 — 37)»] =7,4 кг/лл»
и, следовательно, низшая граница временного сопротивления исследуемой партии
38 — 7,4 = 30,6 кг!мм1 2.
Пример 2. Три тензометра, которые наставлены в точках с одинако-
выми напряжениями, дали показания 30, 26 и 31 (в десятых долях миллиметровой
шкалы прибора). Увеличение приборов — 1 000, база —20,0 мм, модуль — (2,15 +
-0,04) 10’ кг см*. Определить напряжение.
Среднее показание
1
гср = у (30 + 26 + 31) = 29,0.
96
Технические вычисления
[Гл. II
Наибольшая возможная ошибка отдельных наблюдений
1 (29 — 30)1 + (29 — 26)»+ (29 — 31 )2
Л = 2,6 | -------- ч-------Н—“----------= 6-9 кг!см
* о — 1 •
Ни одно из отклонений (гср — Zj) не превышает 6,9. Поэтому все наблюдения
могут быть оставлены и
= гср = 29,0.
Квадратичная ошибка гв равна
р,= у 3(3 — 1) ~ = >.53, или5,3%.
Искомое напряжение
X 2 9- 10— 3
а = Е у = 2,15 10’ ’ 20 0 — = 312 кг/см*.
Его относительная ошибка
0,04 50
6i = ЪЕ + 6л + 8Z = g 100 + 5,3-|-^qq = 7,4%,
а абсолютная
Лз = 0,074 - 312 = 23 кг/см*.
Итак,
о = 312 + 23 кг/см?.
Метод наименьших квадратов применяется в тех случаях,
когда искомые величины не могут быть непосредственно измерены или
выражены в виде явных функций от измеренных величин.
Обычно задача сводится к совместному решению системы линейных
уравнений:
аг х 4- &л У — G z 4-
at х -- 62 У — сг z +
• +Л^ + Гл — 0
• 4* М 4~ = 0
(33)
апХ ~ &пУ + CnZ +4i^ + rn = 0
число которых п больше числа неизвестных т. Коэффициенты уравне-
ний (ах, blt 1п, г^, все или некоторые, получены путем измерений,
наблюдений и не могут считаться абсолютно точными. В обычном алгеб-
раическом смысле система (33), как правило, несовместна (ранг расши-
ренной матрицы больше ранга основной, см. стр. 28).
Решение условных уравнений (33) заменяется разысканием таких
величин х0, у0,... , /0, которые, не удовлетворяя, вообще говоря, ни одному
из уравнений (33), обращали бы сумму квадратов незамыканий уравне-
ний, т. е. сумму
“ (ai хо 4" Уо 4“ • • • 4- t0 4- г,)2 — Е ег ,
§ П]
Обработка экспериментальных данных
97
в минимум. Последнее условие будет соблюдено, если х0, у0, .... i0
удовлетворяют следующим нормальным уравнениям:
( ) х0+(-а/ &/)У0 — (-0^)20+ ... + (-a/<Vo + - azrz = 0
\I=1 / »=i
( -ft, а) x0 + (-fe2) y0 4- (- ft/ g) - + (- li) fo + Eft/ ri = 0
Цл/к + (-//&/)Уо + ('-//C/)^+ ... + (П?К+ S //G= 0
/-1 / i=l
число которых равно числу неизвестных.
Корни системы (34) х0, у0, ..., 10 являются наивероятнейшими зна-
чениями искомых неизвестных х, у, .. ., I.
Квадратичные ошибки найденных неизвестных определяются фор-
мулами:
/ -г,2 Г L s2 Л £ е2
~ Т рх (л — т) ’ !Ау — lz pv (п — т) ’ ‘ — \ pt(n — m)’
где:
S sj—сумма квадратов правых частей уравнений (33) после
i=l
подстановки в них найденных корней системы (34);
(л— т)—превышение числа условных уравнений над числом
неизвестных;
рх, ру, .... pt—«веса» неизвестных, равные отношениям главного опре-
делителя системы (34) к его минорам, соответствующим
данным неизвестным:
Sa® -ab Lac ... Lal
-ba Lb1 -be ... Lbl
Lea - cb Sc®... - cl
Lla Lib Lie ... LI2
- b- Lbc ... Lbl
Lcb - <? ... Scl
Sa2 Lab S ac . . . Lal
S ba Lb2 Lbc . . . Lbl
Lea Lcb Sc2 .. . Lcl
Lla '-lb Lie .. . LI2
S a2 'Lac ... S al
Lea Sc2... Scl
Lib Lie ... S/2
Lla Lie ... 'Ll2
Способ наименьших квадратов применяется также при обработке
статистических данных, при подборе функциональных зависимостей и
в других случаях.
Следует иметь в виду, что условные уравнения нельзя упрощать
путем умножения или деления их на постоянные множители или других
преобразований, так как это вносит погрешность в результаты (в зна-
чения хв, у„ ...). Можно лишь умножать (или делить) все уравнения
на одно и то же число, чтобы избавиться от вычислений с громоздкими
числами, и производить замену неизвестных: х= 10* £, у= 10г т].
7 : чебный справочник
98
Технические вычисления
[Гл. II
Это относится и к нормальным уравнениям (34): умножение или
деление одного из иих на какое-либо число исказит оценку точности
корней.
Пример. Решить систему пяти уравнений с двумя неизвестными:
— 2х + у — 0,1 = О,
х + у — 1,5 = О,
Зх-[- у — 2,0 = 0,
5х + у — 3,4 = 0,
7х + у — 3,9 = 0.
Система нормальных уравнений (34):
88х0 — 14у0 — 51,6 = 0 1
14х0 + 5у0 — 10,9 = 0 J х° ~ °'432’
Уо = 0,971.
88 14'
14 5|
рх~ |5|
244 244
5 = 48,8, Ру = -gg- = 2,78.
? = (—2 - 0,432 4- 0,971 — 0,1)» 4- (0,432 4-0,971 — 1,5)2 4-
4- • - - -г (7 • 0,432 4- 0,971 — 3,9)» = 0,161.
if 0,161 „ if 0,161
Г 48.8(5 — 2) — 0,033 “у— Г 2,78 х3 = 0'14’
Следовательно:
х = 0,432 ± 0,033 (точность 8%),
у = 0,971 + 0,14 (точность 14%).
ГЛАВА III
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ
В теории упругости и пластичности изучаются действие сил на строи-
тельные материалы и возникающие при этом напряжения и деформации,
т. е. те же вопросы, что и в сопротивлении материалов и в строительной
механике.
Однако в отличие от инженерных дисциплин (сопротивления материалов
и строительной механики) в теории упругости, основные предпосылки кото-
рой отличаются большой широтой и общностью, не пользуются, как правило,
всякого рода упрощениями, стремясь получать по возможности полные и
строгие решения.
Теория упругости построена на некоторых предпосылках, о свойствах
материала, не вполне точно соответствующих действительным свойствам
Рис. 24. Кривые напряжение — деформация:
а — линейная теория упругости: б — нелинейная теория упругости.
Процесс нагружения характеризуется линией ОА, разгрузки —
линией АО
строительных материалов, но достаточно близких к ним. Так, в теории
упругости материалу приписывается свойство абсолютной упру-
гости, т. е. точного восстановления своей первоначальной формы после
удаления внешних нагрузок. При этом предполагается, что в процессе
разгрузки тело возвращает и всю работу, затраченную на его деформацию.
В линейной теории упругости дополнительно принимается, что
существует прямая пропорциональность между напряжениями и деформа-
циями (обобщенный закон Гука). Диаграмма «напряжение —•
деформация» представляется наклонной прямой, выходящей из начала
координат (рис. 24, а). В нелинейной теории упругости такое предположе-
ние не делается (рис. 24, б). В теории пластичности принимается, что процесс
разгрузки тела, если напряжения в нем превзошли известный предел (см.
ниже — условие пластичности), характеризуется иной зависимостью, чем
процесс нагрузки (рис. 25, а).
7ТЖ
100 Основы теории упругости и пластичности 1Гл. III
Большинство решений в теории пластичности получено в предполо-
жении, что материал идеально пластичен. Зависимость между напряжениями
и деформациями для идеально пластичных тел показана на^рис. 25, б;
после достижения напряжением предела текучести дальнейший рост дефор-
маций происходит без увеличения напряжений.
Как в трории упругости, так и в теории пластичности не принимаются
во внимание ни молекулярное строение вещества, ни молекулярные силы,
действующие между частицами тела. Материал предполагается непрерывно
распределенным в объеме, ограниченном внешними контурами тела, и
начальные напряжения при отсутствии внешних сил, действующих на тело,
принимаются равными нулю1.
Многочисленные эксперименты и весь инженерный опыт показывают,
что решения, базирующиеся на гипотезе спло шности, оказываются
Рис. 25. Кривые напряжение — деформация:
Ппо°цесГпепво?о1^о^енвя%лтРИЯ плас™чности для идеально пластичных тел.
Р Поопесс втоончио?^нагпс(2^В) " РаагРузк« (ВС) показан сплошными стрелками.
Процесс вторичного нагружения (Сад) и разгрузки (ГС) показан штриховыми
стрелками
вполне надежными и подтверждаются практикой. Представление о мате-
риале как о сплошной непрерывной среде без пустот позволяет применить
к изучаемым вопросам анализ бесконечно малых.
В обеих теориях (в теории упругости и в теории пластичности) в боль-
шинстве случаев материал считается однородным (под однородностью
понимается одинаковость свойств во всех точках) иизотропным (под
изотропностью понимается независимость упругих постоянных и других
характеристик от направления).
Наконец, последним свойством, приписываемым материалу обеими
теориями, является свойство относительнойжесткости, т. е.
предположение, что деформации и перемещения малы по сравнению с раз-
мерами тела. Это свойство позволяет при математическом анализе явлений
пренебрегать квадратами деформаций и перемещений по сравнению с их
первыми степенями, а часто и самими деформациями по сравнению с едини-
цей2.
1 Имеются, впрочем, попытки построить и дискретную теорию упругости и
пластичности, базирующуюся на представлении о молекулярном строении вещества
и учитывающую ывкронапряжения.
* В некоторых случаях (например, при тонких пластинах большого прогиба)
указанное допущение не делается.
§ 12] Теория напряженного и деформированного состояния ЮГ
Правильность применения методов теории упругости и пластичности,
базирующихся на перечисленных выше свойствах, к основному судострои-
тельному материалу — стали — полностью подтверждается практикой.
К таким материалам, как дерево, бетон и т. п., основные уравнения-
теории и ее выводы могут применяться лишь с некоторыми ограничениями.
Значительная часть приводимых ниже зависимостей теории упругости
и пластичности используется в дальнейших главах справочника: теория
напряжений применяется в гипотезах прочности при выборе допускае-
мых напряжений, закон Гука является основой почти всех разделов
строительной механики корабля, уравнения плоской задачи используются
в теории изгиба и устойчивости пластин, некоторые зависимости теории
пластичности — в методе предельных нагрузок и т. д.
Некоторые более сложные уравнения из числа приводимых ниже не
нужны инженеру-кораблестроителю в его повседневной работе, и лишь
изредка, для установления степени приближенности какого-нибудь реко-
мендованного решения или для сознательного использования его, бывает
необходимо восстановить в памяти все взаимные связи между переменными.
Содержание следующего параграфа этой главы о напряжениях
и деформациях в равной мере относится как к теории упругости, так и
к теории пластичности. Отличие между этими теориями проявляется лишь
в связи между напряжениями и деформациями.
§ 12. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Напряжения
Мысленно рассекая тело, находящееся под действием внешних сил
какой-нибудь плоскостью, мы должны компенсировать действие удаленной
части тела силами, распределенными по площади сделанного сечения. Интен-
сивность этих внутренних сил, т. е. отношение силы, приходящейся на
какой-нибудь элемент площади сечения, к площади этого элемента при бес-
конечном его уменьшении, и называется полным напряжением
в данной точке тела по рассматриваемому сечению. При этом, как указыва-
лось выше, учитываются не действительные молекулярные силы взаимодей-
ствия частиц тела друг с другом, а лишь величина их изменений под дей-
ствием внешней нагрузки.
Для исчерпывающей характеристики напряжения необходимо указать
координаты точки, где оно действует, величину напряжения (в размер-
с ил а , о \ >
ности -------- например, кг/см?, атм, ... 1 , направление напряжения
площадь /
(можно указать косинусами углов вектора напряжения с осями коор-
динат х, у, z) и, наконец, положение площадки, проведенной через дан-
ную точку (обычно задаются косинусами 1,т,п углов, составляемых внешней
нормалью к площадке v с осями координат). На рис. 26 показано полное
напряжение действующее на площадке с внешней нормалью v, и два
варианта разложения этого напряжения: 1) на вектор, направленный по
нормали к площадке (нормальное напряжение а,) и вектор, ему
перпендикулярный (касательное напряжение т,) и 2) на векторы,
параллельные осям координат: рх, ру, pz.
Очевидно,
р2 = с2 + ^ = р2 + р2+р2. (36)
102
Основы теории упругости и пластичности
[Гл. III
В данной точке тела можно получить бесконечно много вариантов
напряжений в зависимости от положения площадки, проведенной через
эту точку. Однако для характеристики напряженного состояния в данной
точке достаточно знать всего шесть величин, а именно, напряжения на пло-
щадках, параллельных координатным плоскостям. Напряжения эти пока-
заны на рис. 27 (кроме напряжений на задней грани xz) и носят название
компонентов напряженного состояния (или компо-
нентов напряжения).
Напряжение считается положительным, если и само напряжение и
внешняя нормаль к площадке направлены в сторону положительных осей
или если и напряжение и внешняя нормаль направлены в сторону отрица-
тельных осей. Все 15 векторов на рис. 27 положительны.
Касательные напряжения, действующие на двух взаимно-перпенди-
кулярных гранях и направленные к линии пересечения этих граней (или
Рис. 27
от этой линии), равны между собой и обозначаются одинаковым символом,
например ~у на грани yz и ту на грани ху; это свойство называется
законом парности касательных напряжений.
Зная шесть компонентов напряженного состояния в данной точке,
можно найти полное, нормальное и касательное напряжения на любым
образом ориентированной площадке, проходящей через эту точку. Если
положение этой площадки задано косинусами углов ее внешней нормали
с осями координат /, т, п (см. рис. 26), то проекции полного напряжения
на оси координат равны:
Рх = 3х1 + Tzm + ту«
Py = ~zl +ayfn+ Тхп
р. = Ту/ +ixm + сгп
(37)
а его абсолютная величина равна геометрической сумме проекций [фор-
мула (36)]. С осями координат полное напряжение составляет углы,
косинусы которых равны рх : р„; ру : р„; pz : р„.
Нормальное напряжение, действующее на этой же площадке (/, т, п),
определяется формулой
о, = ахР + сут2 4- з/г2 -|- 2тг/ип -f- 2-ynl -|- 2tz/m.
(38)
§ 12] Теория напряженного и деформированного состояния
103
Наконец, касательное напряжение может быть получено как геомет-
рическая разность между полным и нормальным напряжениями:
Как бы ни было сложно напряженное состояние в данной точке, всегда
можно разыскать три взаимно-перпендикулярные площадки, проходящие
через эту точку, на которых не будет касательных напряжений. Нормаль-
ные напряжения, действующие на этих площадках, являющиеся одновре-
менно и полными, носят название главны хнапряженийи обла-
дают тем свойством, что среди них имеются самое большое и самое малое
(в алгебраическом смысле) нормальные напряжения из бесконечного разно-
образия нормальных напряжений, вообще действующих в данной точке.
Главные напряжения являются корнями следующего кубического
уравнения относительно о:
=’ — (Зг + Зу + Зг) 32 + (3.r3y + °y3z + 3А — Т® — ty — Та) а —
— (3r3y+ 2'гт>”г —— Зу"х — °гТг) = (39)
или, что то же,
(39а)
Коэффициенты при а2, а и свободный член в уравнении (39) назы-
ваются инвариантами напряженного состояния. При преобразовании
координат компоненты напряженного состояния (ах, ау, ..., тг) изменяются,
инварианты же остаются неизменными.
Три корня уравнения (39) — суть три главных напряжения оь о2 и
а3; при этом обычно принимают, что
Для разыскания положения площадок действия главных напряже-
ний необходимо решить следующую систему уравнений относительно /,
т, п*:
(ov — я) Z + -гт + Tj, п = 0
Т--/Л-(3 -3)^ + л« = 0
S./ + Tvm + (3z-3)n = 0 ’
I- + т2 + п- = 1
подставляя в эти уравнения вместо а сначала aj, затем з2 и, наконец, а3.
Корни уравнений (40) — li, mlt пр, l2, т2, пр, l3, т3, п3— дают значения
косинусов углов нормали к площадкам действия соответственно aj, s2 и о3.
В некоторых случаях бывает необходимо выяснить наибольшие каса-
тельные напряжения, действующие в данной точке. Удобнее находить их
после определения главных напряжений. Наибольших значений касатель-
ные напряжения достигают на площадках, составляющих углы 45° с пло-
щадками действия главных напряжений:
_ °1 32 НЯ ГТ ПАШ Я ПК Я V / — 1 V? — п — 0,
2 па 11.1TJL1X ла л £ ± 2
а2 — '3 ут
2 » т = ± 2 = п, 1 = 0;
а3— °1 / -1 )/2 •
2 Л Л1 4 — 2 — п, tn — 0.
* Правильность решения кубического уравнения (39) обеспечивает совместность
четырех уравнений (40) относительно трех неизвестных.
104
Основы теории упругости и пластичности
[Гл. III
Наибольшим по абсолютному значению, при условии, что Oi^-o2^-a3,
оказывается третье из указанных касательных напряжений, т. е.
G| - Со
'макс = о • (41)
На рис. 28 приведен пример нахождения касательных напряжений и
площадок их действия, не требующий дополнительных пояснений.
Рис. 28
Октаэдрическими на-
пряжениями называются нор-
мальные и касательные напря-
жения, действующие на гранях
октаэдра (рис. 29), образован-
Рис. 29
ного плоскостями, равнонаклонными к главным
плоскостям.
мали к октаэдрическим
(54=44') с главными осями
составляют одинаковые
площадкам
I = т - п = ± |. На всех восьми
Нор-
углы
окта-
эдрических площадках напряжения одинаковы и равны:
— -д- (3i — 3, + з3) = — (зх + ау 4- аг), (42)
'окт — 3 (”1 ^2) (°2 Зз)' + (Зз 31)2 —
= -3- (=х - =У)2 - (зу - =J2 + (сг - <\)2 + 6 (т 2 + г2 + т2). (43)
Если компоненты напряженного состояния заданы в виде функций от
координат точки, то эти функции не могут быть произвольными и должны
удовлетворять уравнениям сплошности (69) и уравнениям равновесия.
Уравнения равновесия имеют вид:
дх ду dz
д'-z , дз,, дт,
дх ду dz
дх 1 ду dz
(44)
§ 12] Теория напряженного и деформированного состояния
105
Под объемной силой, проекции которой а, ₽, у на оси коор-
динат входят в уравнения (44), понимается сила (сила тяжести, сила инерции
и тому подобные внешние нагрузки), распределенная по всему объему упру-
гого тела и отнесенная к единице его объема; а,р, у имеют размерность
объемного веса (т/м*)-
Перемещения и деформации
Под действием внешних сил форма и положение упругого тела изме-
няются. Связав с телом координатные оси х, у, z, можно считать искажен-
ную форму тела известной, если найдены изменения координат всех его точек.
Эти изменения, называемые перемещени ями, являются, вообще
говоря, функциями координат:
и = /\ (х, у, z) — перемещение, параллельное оси х;
t = [г (х, у, z); w = f3(x,y, z) — перемещения по осям у и г.
При изменении формы тела отдельные волокна его удлиняются или
укорачиваются, и первоначальные углы между различными волокнами
искажаются1.
Линейной деформацией (или относительным удли-
нением) называется отношение абсолютного удлинения отрезка, про-
Рис. 30
ходящего через рассматриваемою точку, к его первоначальной длине (до-
деформации) при стремлении величины этого отрезка к нулю.
Деформацией сдвига между двумя взаимно-перпендикуляр-
ными волокнами, проходящими через заданную точку, называется умень-
шение первоначально прямого угла между этими волокнами (при увеличе-
нии угла деформация сдвига считается отрицательной).
Как бы ни было сложно деформированное состояние упругого тела
в данной точке, оно может быть вполне охарактеризовано шестью ком-
понентами деформации: тремя линейными деформациями ех, е и ег в на-
правлениях, параллельных осям координат, и тремя деформациями сдви-
га I, и уг между направлениями, параллельными осям координат
(между осями yz, zx и ху— соответственно).
Два из указанных шести компонентов деформации изображены на
рис. 30.
1 Термин «волокно» здесь и ниже употребляется в смысле совокупности частиц
материала, расположенных на общей линии, которую любым образом можно мысленно
провести внутри тела. Будем приписывать волокнам также направления (положи-
тельное и отрицательное).
106
Основы теории упругости и пластичности
[Гл. III
С перемещениями и, v,w деформации связаны следующими диффе-
ренциальными зависимостями:
о = V = — 4- '* дх ' х dz Qy
dv dw ди
£j~dy Гу=дх+дг (45)
да) ди до
£z~dz = дУ + дх
Компоненты деформации ex, ev, ..., уг являются также функциями
х, у, z— координат различных точек тела и, поскольку шесть компонен-
тов зависят, как видно из уравнений (45), от трех функций и, v, w,
компоненты деформации не могут быть заданы в виде произвольных
не зависимых друг от друга функций. Связь между компонентами дефор-
мации выражается следующими уравнениями, носящими название урав-
нений сплошности:
, д2г, дРух
дудг
д2уу
dz2 dv2
д*. _
дх2 1 dz2 дгдх
d2^, , d^Sy д2у:
д\- дх2 дхду
Л_/ ду д. дуу . дуД _ 9
дх у дх ' ду dz j дудг
д (дух дуу дуЛ = д2еу
ду дх ду dz J дгдх
д (д'!* дтУ дуЛ = 2
dz дх 1 ду dz j дхду
(46)
Зная шесть компонентов деформации, можно вычислить линейную
деформацию г, в любом направлении, заданном косинусами его углов
с осями координат
s, = гх12 -L гут2 -f- ггп2 + ухтп + yynl + уг/т, (47)
и деформацию сдвига между двумя любыми взаимно-церпендикулярными
направлениями, заданными косинусами /ь mlt пг и /2, т2, п2*:
— 2/j/2 "4“ ”4— ^^1^2 +
+ (^1»2 + ^2«1)ух+ («Л + Wi) Ту + Ц1т2 — /2тх)
(48)
Аналогично напряженному состоянию можно доказать, что каково бы
ни было деформированное состояние в точке, через эту точку можно про-
вести три взаимно-перпендикулярные прямые, углы между которыми не
изменяются (деформаций сдвигов между которыми нет). Эти прямые для
изотропного упругого тела совпадают с направлениями главных напряжений.
Соответствующие этим направлениям линейные деформации еь е2, г3 носят
название главныхдеформацийи обладают свойством экстре-
мальности, т. е. среди них имеются самая большая и самая малая
* Ввиду перпендикулярности заданных направлений должно быть
lilz + т1тг + пхпг = 0.
§12] Теория напряженного и деформированного состояния
107
в алгебраическом смысле линейные деформации, вообще существующие
в рассматриваемой точке.
Главные деформации и их направляющие косинусы могут быть
найдены из уравнений х:
2(гх — гН + тгт + туп = 0
уг/ -р 2(еу — г)т + ухп = 0
vy/ + ухт + 2(s„ — г)п = 0
Г- + т2 + п2 = 1
(49)
По главным деформациям может быть найдена и наибольшая дефор-
мация сдвига
У макс = £1 — £3-
В пределах справедливости закона Гука главные деформации могут
также быть определены по формулам (51) при подстановке в них вместо
оу, сг главных напряже-
ний 01, с2, <т3-
С помощью формул (45)
можно простым дифференци-
рованием находить деформа-
ции по перемещениям, задан-
ным в виде функций от коор-
динат.
Обратная задача — на-
хождение перемещений по
деформациям — возможна
лишь в слхчае, когда дефор-
мации удовлетворяют уравне-
ниям сплошности (46), и не-
сколько сложнее, так как
приходится интегрировать
систему шести совокупных
дифференциальных уравне-
ний (45).
Шесть произвольных по-
стоянных интегрирования
определяются при этом из
условий закрепления координатных осей к упругому телу. Эти усло-
вия должны быть такими, чтобы координатные оси не имели возмож-
ности смещаться относительно тела и в то же время не стесняли любые
деформации его. Можно, например, положить, что начало координат не
должно смещаться относительно тела (и = v = w = 0 при х = у = z = 0);
точка, расположенная на оси z в непосредственной близости от начала
tdv ди _ _\
координат, должна находиться на этой оси I =0 при x—y=z= 0 I
и, наконец, для того, чтобы тело не могло вращаться около оси z, по-
ставить шестое условие — точка на оси х (в непосредственной близости)
Рис. 31. Вариант прикрепления осей координат
к упругому телу:
при х = у = z =» 0 должно выполняться каждое из при-
веденных иа рисунке шести равенств
1 Сначала, рассматривая первые три из уравнений (491 как однородные отно-
сительно неизвестных /, т, п, следует приравнять нулю определитель из коэффи-
циентов при I, т, п, поскольку они не могут быть все одновременно равны нулю
'см. случай 3, стр. 30'1. Этот определитель, представляющий собой кубичное урав-
нение относительно г, позволит найти три корня е1т е2. ез. подставляя которые
в систему 49 найдем и все девять направляющих косинусов /х, mi..п3г
108 Основы теории упругости и пластичности [Гл. III
от начала координат) не должна выходить из плоскости zOx = 0
\дх
при х = у = z = 0^. Этот вариант закрепления осей показан на рис. 31;
на нем стрелками изображены направления, по которым исключаются
смещения.
§ 13. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Закон Гука
В линейной теории упругости изотропного тела упругие свойства
характеризуются тремя постоянными: модулем Юнга Е, модулем
сдвига (или модулем упругости второго рода) G
и коэффициентом Пуассона у.. Первые две постоянные имеют
размерность напряжения (кг/см2), коэффициент Пуассона — величина от-
влеченная и для большинства материалов близкая к 0,3.
Указанные три характеристики связаны соотношением, вытекающим из
основных уравнений линейной теории упругости:
<50>
Зависимость (50) позволяет считать, что упругие свойства вполне
определяются двумя постоянными, третья является функцией.
Принятая прямая пропорциональность между деформациями и напря-
жениями называется законом Гука:
1 .
ех = (Зх — Н°у — Наг)
1 ,
_ 1
Ту — G ""у
1
Tz — G Tz
Складывая первые
увеличение объема
Л еу + ez =
ИЛИ
три из выражении (о1), получим относительное
1 — 2 р. . , , ч 3 (1 — 2И) ax+ay+<3z
—Ё----+ ау + = ----Ё--------3---
3(1—2,и)
Д =--------------а.
т. е. относительное изменение объема пропорционально октаэдрическому
нормальному напряжению.
Теория упругости
109
Если известными величинами являются деформации, а разыскиваются
напряжения, соотношения (51) употребляются в форме, решенной отно-
сительно напряжений:
°х = 2G J'. = GTz
= 2G еу Н J _2[i У ту ~ GTy
= 2G f £z + 1 —2ZT У’ Zz ~ G Tz
(53)
Можно привести и другие формы записи закона Гука, вытекающие
«з вышеприведенных, например:
av—ау = 2С(гЛ—£у); tx = Gyx
5у az 2G (су =z). Ту = G Yy
=z-=v=-2G(Sz-£.v); tz=G7z
(53a)
или с введением октаэдрического напряжения аокт = s0 — (av4- ay4-az)
и средней деформации г0 = -*- A = -А (гх + гу + гг)
Зх — =о = 2G (г.г — £о); 'х = Gb
Зу — 30 = 2G (£у — £о); ту = GTy
a2 —a0 = 2С(гг —г0); = <Пг
(54)
Подобные же соотношения существуют и между главными напряже-
ниями и главными деформациями.
Потенциальная энергия и связанные с ней общие теоремы
Механическая работа внешних сил, деформирующих упругое тело,
аккумулируется телом в виде потенциальной энергии. При удалении
внешних сил у прутое тело полностью отдает накопленную им потенциаль-
ную энергию.
Потенциальная энергия распределена по объему упругого тела,
вообще говоря, неравномерно. Некоторые сильно деформирующиеся части
его накапливают больше энергии, другие, слабо напряженные,—меньше.
Интенсивность распределения энергии, иначе — энергия какой-нибудь
части, отнесенная к объему этой части, носит название упругого
потенциала (и) или удельной потенциальной энергии.
энергия кгсм кг
Размерность упругого потенциала —-f----— —— = —г, т. е. размер-
объем см3 см2
ность напряжения. Полная потенциальная энергия тела
77 = J J J п dxdydz, (55)
где интегрирование должно быть распространено по всему объему упру-
гого тела.
по
Основы теории упругости и пластичности
[Гл. III
Упругий потенциал зависит от характеристик деформированного со-
стояния— компонентов напряжения и деформации:
л = 4 + Vx + Vz + + Vy + VTz)- (56)
При помощи закона Гука (51) упругий потенциал может быть пред-
ставлен как функция от компонентов напряженного состояния в виде
целой однородной алгебраической функции 2-й степени от этих величин:
п — ~2£ X 'у аг) — -pr (3х3у + 3y3z + °z3x) +
4-2^* + ^+-2) (57)
или в виде функции компонентов деформации
G/ 2 , 2 , 2 1,0/2, 2 , 2\ zr-r,v
£х т sy + £г -г -] _ 2;jl ) + -g-(Yz + Ту + Yz), (58)
где
Л = sx + еу + ez
или через главные и октаэдрические напряжения:
« = <31 + Зз)2 - [(=1 - =2)2 + (=2 - =3)2 -• (33 - =1)2J; (59)
2f &окт ^окт. (60)
Первые слагаемые в выражениях (59) и (60) называют удельной
э не р г и е й и зм е н е н и я объема, вторые — удельной энергией
изменения формы.
Дифференцируя выражения (58) и (57) соответственно по деформа-
циям и напряжениям и учитывая формулы (50) и (53), можно получить:
дп . дп . дп
= = ... ^tI = v’ (61>
и
дп_ _ . дп_ _ _ дп__
дзх ~ =jr’ дзу ....... д-.2~ (
Формулы (61), как и вытекающие из них формулы (64), могут быть
получены и иным путем, без использования закона Гука. Таким обра-
зом, эти формулы обладают большей общностью и применимы не только
в линейной теории упругости, а также в нелинейной и в теории пла-
стичности.
Иногда бывает удобнее вычислять потенциальную энергию не по
формулам (55) — (60), а непосредственно как работу деформирующих
упругое тело сил:
Я = 4 (ф? + +-)- (63)
Здесь Ф.’Г,. —внешние усилия <р, ф...— соответствующие им пере-
мещения.
Под внешними усилиями Ф, 1Г в формуле (63) можно подразумевать
любые группы статически независимых усилий, например сосредоточен-
§ 13]
Теория упругости
111
ную силу, создающую изгиб балки, и опорные реакции, ей соответствую-
щие, два скручивающих момента, приложенные по концам вала, и т. п.
В таком, более широком смысле усилия Ф, Ч' носят название обоб-
щенных сил, а соответствующие им перемещения — обобщенных
координат. Вообще, обобщенными координатами называется совокуп-
ность независимых величин, определяющих положение системы, в част-
ности деформированное состояние упругого тела. Выбрав какую-нибудь
обобщенную координату ф, за обобщенную силу Ф, соответствующую
этой координате, следует принять множитель в выражении приращения
работы при приращении этой обобщенной координаты-.
ей/ = Фоф
или, поскольку приращение работы c>W равно приращению потенциаль-
ной энергии ьП,
(65)
дП дп ,т.
д? ’ дф
Аналогичные соотношения (Кастильяно)
дП дП ,
аФ“®’
справедливы лишь для упругих тел, подчиняющихся закону Гука.
Формулы (65) находят широкое применение в тех случаях, когда
требуется определить перемещение немногих точек или сечений сооружения
(см. ниже. стр. 151).
Они удобны также для нахождения статически неопределимых (лиш-
них) опорных реакций. В этом случае, т е когда перемещения у опор (про-
гиб, угол поворота) отсутствуют, в правых частях формул (65) будут нули:
»-« ^=0,... (66)
Формулы (66) носят название начала наименьшей работы,
поскольку с математической точки зрения совокупность этих равенств выра-
жает условие минимума функции П или равной ей работы, т. е. под дейст-
вием заданной системы внешних сил упругое тело деформируется таким
образом, что его потенциальная энергия оказывается минимальной. Если
вместо усилий будут заданы перемещения отдельных точек упругого тела,
то опять-таки перемещения и деформации всех остальных его точек будут
такими, при которых П минимальна.
Формулы (66) могут служить также для определения усилий в «лиш-
них» стержнях фермы или вообще лишних внутренних усилий в системе.
Для пользования формулами (65), (66) необходимо выразить потенциаль-
ную энергию в функции обобщенных сил или лишних реактивных воздей-
ствий. Поскольку между обобщенными силами и координатами существует
линейная пропорциональность, формулу (63) всегда можно привести к виду:
П = ЛФ2 4- + СФ'К + ... (67)
(64)
или
П = а-?+Ь& + СФф + ..., (67а)
где А, В, С, ..., а, Ь, с, ... — некоторые постоянные.
Из рассмотрения выражений для потенциальной энергии упругого тела
под действием двух различных комбинаций внешних сил вытекает теорема
взаимности перемещений.
112 Основы теории упругости и пластичности
[Гл, III
Если рассматривать два состояния системы: одно, определяемое коор-
динатами cpj, Oj,... и вызываемое силами Фь Wj,..., и второе, определяемое
численно другими значениями тех же координат <р2, ф2,... и вызываемое
численно другими значениями тех же сил Ф2, то суммы работ
одной группы сил, приложенных к упругому телу на перемещениях,
соответствующих другой группе, взаимно равны:
Ф1?» ______Ч Г-Р» ______________I 4f8'-pi
2 2 “г — 2 2
(68)
В частном случае, когда на балку последовательно действуют две
равные силы, прогиб в месте приложения первой силы, вызванный второй
силой, равен прогибу, вызванно-
му первой силой в месте при-
ложения второй силы.
На рис. 32, а показаны упругие линии балки, заделанной левым концом и
свободно опертой правым, под действием сил, приложенных в точках 1 и 2. Можно
считать, что в первой группе обобщенные силы равны Фх = Р, '£х = 0. во второй
Фг = 0, = Р; поэтому (68) превращается в равенство
Р(р2 = Р^,
т. е.
= •
Хотя и формы упругих линий и максимальные прогибы в обоих случаях
различны, прогиб в точке 2 первого случая равен прогибу в точке 1 второго
случая.
Точно так же на рис. 32, б
Ma — Pw.
В табл. 22 приведены формулы для определения потенциальной
энергии простейших напряженных состояний.
Пример. Определить потенциальную энергию изгиба призматической балки
пренебрегая влиянием срезывания.
В этом случае должны быть учтены лишь напряжения
М
°х = -у г.
Значит [по формуле (57)]
2
м* г2
" = 2£ = 2£Р-
Подставляя это выражение в формулу (55), получим
о
dx.
J 2Eldx'
Интеграл, заключенный в квадратные скобки, есть момент инерции площади
поперечного сечения /. Следовательно,
I
П =
как и дано в таблице.
§ 13]
Теория упругости
ИЗ
Таблица 22
Форма и нагрузка
упругого тела
Потенциальная энергия
I Растяжение (сжатие)
призматической балки дву-
мя равными силами Т . .
2 Чистый сдвиг прямо-
. угольного параллелепипеда
силой V . '.......
3 Чистый изгиб призмати-
ческой балки ................
4 Изгиб балки:
энергия изгиба (энер-
гия от нормальных на-
пряжений) .............
I
энергия срезывания
(энергия от касательных
напряжений)...............
ТЧ EF „
П ~ 2EF = 21 №
V4 1
П = 2GF = 2 GFl'?
МЧ
П= 2EI
AHdx =
2EI
f V2 .
I----- ах
J 2Gf„p
(обычно мала по сравнению с энергией изгиба).
Приведенная площадь поперечного сечения
Fnp равна для прямоугольного сечения 0,833
действительной площади поперечного сечения.
Для тонкостенных балок приведенная площадь
приблизительно равна площади стенки, парал-
лельной срезывающей силе V
6
Энергия пластины
Скручивание круглого
вала......................
Скручивание призмати-
ческого сплошного стерж-
ня с плошадью поперечного
сечения F и полярным мо-
ментом инерции его /0 . .
8 Учебный справочник
D Гf Г/ й2ипг
= tjj
дгш й2щ
йх2" ду3
I Й2иЛ’
\^УТ/ +
Первый член этого выражения дает энергию
изгиба пластины, второй — энергию, обуслов-
ленную деформацией срединной поверхности
В
приведенном выражении D =
Et3
12(1—и2)
ци-
линдрическая жесткость пластины, t — ее тол-
щина, w— прогиб; еЛ, еу, у — деформации сре-
динной поверхности пластины; интегрирование—
по всей площади пластины
МЧ Gin
П~ 2GIB = 21 П*’
где £i — угол закручивания (в радианах)
П =
20 1В1
GF*
М3
(приближенная формула)
114 Основы теории упругости и пластичности [Гл. Ш
Методы решения задач теории упругости
При прямой постановке задачи заданными являются внешние уси-
лия, действующие на тело (объемные — а, р, у и поверхностные — рх, ру,
р2), и разыскиваются:
зж, 3 . ~х, ~у, ~z— компоненты напряжения;
£ . £-, Уу, Уг — компоненты деформации;
и, v, w — компоненты перемещения.
В зависимости от того, что разыскивается раньше — напряжения или
перемещения, различают две схемы решения прямой задачи теории упру-
гости: непосредственное определение напряжений и непосредственное
определение перемещений.
При непосредственном определении напряжений прежде всего должна
быть проинтегрирована система уравнений равновесия (44)
дах д~, ,д-у _п
дх ~г ду dz а —
и уравнения сплошности (46).
Уравнения сплошности (46) с помощью закона Гука (51) могут быть
преобразованы таким образом, чтобы получить шесть дифференциальных
связей между компонентами напряжений и проекциями объемной силы:
1 д26 _ да р / да д₽ ду\
’ Jjc ”г 1 — р дх2 дх 1— р удх ‘ ду dz)
1 д2б д$ р (да д₽ ду\
v * 1 + р ду2 - ду Х — ^удх'ду^дг)
, , 1 д2® _ „ду р (да д^ ду\
4 "г 1 - u dz2 dz 1 — р \дх ду + dz )
v,____________1 d2(J (д? ду\
' х 1 -f р д\ dz ( dz ду )
2_ ,_________1 д2е /ду
y 1 — p dzdx [dx ~ dz J
____1 d^___/ da d£\
’ ’ 1 -r p dxdy — dy dx )
(69)
где 0 = зг — ay -|- а символом V2 обозначена сумма вторых частных
производных (см. сноску на стр. 60). Например:
, d2 а, .д2 ах д2ах
V“a* = дх2" + 'дУ^ + dF ‘
Символ V принято называть «набла».
В случае отсутствия объемных сил правые части уравнений (69)
равны нулю1.
1 Ураввевия сплошности (69) не вполне эквивалентны уравнениям сплош-
ности (46). Последние не зависят от закона Гука и применимы к любым телам,
уравнения же (69)—только к телам, подчиняющимся закону Гука.
§ 13]
Теория упругости
115
На поверхности напряжения должны принимать значения заданных
внешних усилий, т. е. во всех точках наружной поверхности должны
быть удовлетворены уравнения (37)
Рх = + Л'у
которые следует рассматривать, как граничные условия при интегриро-
вании системы девяти дифференциальных уравнений (44) и (69).
После того как шесть неизвестных функций напряжений ах, су, az,
ту и т. будут определены, деформации найдутся с помощью’ закона
Г тка. <
По найденным деформациям с помощью уравнений (45) определяются
перемещения, что не представляет больших трудностей. Граничными
условиями при интегрировании уравнений (45) будут шесть условий закреп-
ления упругого тела к осям (см. стр. 107 и рис. 31).
Прямая задача теории упругости не может быть решена в общем виде
вследствие чисто математических трудностей. Имеются лишь решения для
отдельных частных случаев.
Поэтому весьма часто приходится прибегать к иному приему, основан-
ному на предугадывании некоторых из искомых функций (напряжений,
деформаций) и корректировке их путем проверки по основным уравнениям.
Этот способ (так называемый полуобратный метод Сен-В ен а-
н а) основан на том, что если бы заданы были перемещения, то определение
всех остальных переменных не вызвало бы никаких затруднений — неизвест-
ные найдутся путем всегда выполнимого дифференцирования или из алге-
браических соотношений. Иными словами, обратный путь от деформирован-
ного состояния к силам,его вызвавшим, возможен всегда. Несмотря на не-
совершенство этого метода, он позволил найти ряд частных решений, пред-
ставляющих большой практический интерес.
Решение конкретных задач теории упругости и строительной механики
часто значительно облегчается возможностью при сложных нагрузках
разбивать их на отдельные, более простые, и, решив эти более простые
задачи, все элементы заданного сложного напряженного состояния (напря-
жения, деформации, перемещения)} получать алгебраическим (иногда гео-
метрическим) суммированием соответствующих величин. Это положение,
называемое принципом независимости действия сил
или принципом наложения, справедливо лишь для материалов,
подчиняющихся закону Гука и деформирующихся настолько слабо, что
перемещения, вызванные одной из составляющих нагрузок, не отражаются
на результатах действия другой нагрузки. Так, применительно к балкам
можно кручение и изгиб рассматривать порознь и результативное их дей-
ствие получать суммированием. Но комбинированное действие изгибающих
сил и сил, направленных вдоль оси балки (особенно сжимающих), при зна-
чительных прогибах приходится изучать одновременно (см. ниже, § 27),
поскольку прогиб, вызванный поперечной изгибающей нагрузкой, меняет
характер действия продольной силы — при наличии прогибов она создает
не только растяжение или сжатие, но и вызывает в сечениях балки изгибаю-
щие моменты, т. е. влияет в свою очередь на прогиб.
Большое количество точных решений, полученных для изгиба и кру-
чения стержней, может быть распространено благодаря постулату
Сен-В ен а н а и на те случаи, когда распределение внешних усилий
в районе приложения их не соответствует распределению, свойственному
точным решениям. По этому постулату система взаимно уравновешивающих-
8V®
116 Основы теории упругости и пластичности[Гл. III
ся сил, приложенных к ограниченному району тела, составляющему малую
часть его общего объема, вызывает напряжения, сравнительно быстро убы-
вающие по мере удаления от этого района. Вследствие этого вдали от рай-
она, нагруженного внешними силами, напряженное состояние не зависит
от действительного характера нагружения, а зависит лишь от величин сум-
марных усилий (равнодействующих), действующих в непосредственно на-
груженных сечениях.
Например, если консольную балку, заделанную одним концом, нагру-
зить сосредоточенной силой на свободном конце, сначала приложив эту силу
к верхнему, а затем к нижнему пояску, то напряженное состояние вблизи
нагруженного конца балки в обоих случаях будет различным; но в сече-
ниях, удаленных от нагруженного конца, в соответствии с постулатом
Сен-Венана напряженное состояние в обоих случаях будет одинаковым.
Пользуясь точным решением задачи для случаев, когда характер рас-
пределения внешних усилий в районе приложения их отличен от принятого
точным решением, мы пренебрегаем только местными напряжениями, кон-
центрирующимися в районе приложения внешних усилий.
Плоская задача
Плоской задачей в теории упругости называется совокупность двух
родственных задач, а именно: задачи о плоской деформации
и задачи о плоском напряженном состоянии.
В сбеих этих задачах часть переменных, характеризующих напряжен-
ное и деформированное состояние, можно считать равной нулю.
Плоская деформация имеет место в средней части весьма
длинных призматических тел, нагруженных усилиями, одинаковыми во всех
сечениях тела и притом нормальными к оси тела. При плоской деформации
все поперечные сечения будут деформироваться одинаково и оставаться
плоскими.
Если ось z направить вдоль оси тела, то
и = и (х, у); и = v (х, у) w = О
и, следовательно,
= Y.r = Yv = °.
zx = = 0.
Плоское напряженное состояние наблюдается
в весьма тонкой пластинке, нагруженной усилиями, лежащими в ее плос-
кости. В связи с малой толщиной пластинки можно считать, что
az = = т =0
не только на наружных плоскостях, но и внутри пластинки (ось z на-
правлена перпендикулярно плоскости пластины).
Вследствие этого
Yx = Yy = °-
Поскольку не равные нулю перемещения, деформации и напряжения
являются функциями только координат х, у и не зависят от z, все основные
уравнения теории упругости для случая плоской задачи упрощаются.
Например, для плоского напряженного состояния вместо уравнений
(44) будем (при отсутствии объемных сил) иметь:
• ^З.г I
дх ду
§ 13]
Теория упругости
117
а вместо шести уравнений сплошности — всего одно первое уравнение
группы (46)
д2гх д2еу д2у
ду2 дх2 дхду ’
(71)
Если положить, что напряжения выражаются производными от неко-
торой функции Ф(х, у), называемой функцией напряжений
СрФ 02ф ^2ф
3r = ly’ °y=dF: т = — дхду’
(72)
то уравнения равновесия (70) будут удовлетворены при любом виде этой
функции. Чтобы удовлетворить условию сплошности, необходимо подчи-
нить функцию напряжений условию:
<Э4Ф 04ф 04ф
дх1 + 2 дх2ду2 1 ду*
(73)
Задача сводится, таким образом, к подбору функции напряжений,
удовлетворяющей уравнению (73) и граничным условиям на поверхности
упругого тела (37).
Некоторые задачи теории упругости 0 _____________________р
значительно проще решаются в поляр-
ных координатах. z/j \ fa
Выделяя из упругого тела элементар-
ный объем, ограниченный двумя плоско-
стями z = const, двумя плоскостями
&=const и двумя цилиндрами p=const (про-
екция этого объема на плоскость, перпен-
дикулярную оси z, показана на рис. 33),
мы должны ввести новые обозначения для
компонентов напряжения, а именно: ср.
3& И т.
Под деформациями =р> г» будем понимать относительное удлинение
волокон, ориентированных вдоль радиуса р и перпендикулярно ему, а под
деформацией сдвига у — уменьшение прямого угла между упомянутыми
волокнами. Точно так же и будет перемещением точки вдоль радиуса,
a v — перпендикулярно ему.
Основные уравнения теории упругости применительно к плоской
задаче в полярных координатах имеют следующий вид.
Статические уравнения равновесия (при отсутствии объемных сил):
д? р д&
а? 1 2-
д? + р р
(74)
Геометрические
мациями;
уравнения связи
между перемещениями
и дефор-
ди
е₽-¥
1 до , и
— -- до Н----
р да р
до 1 ди о
dp р р
(75)
118 Основы теории упругости и пластичности [Гл. III
' Физические уравнения (закон Гука) для плоского напряженного со-
стояния:
к И3®
1 ,
£Ч =~ £ (’» — И3?)
1
T = -GT
Уравнения на поверхности (граничные условия):
Рр = Зр I + ™
Р^
(76)
(77)
Условия сплошности и уравнения равновесия будут удовлетворены,
если ввести функцию напряжений Ф (р, 8), удовлетворяющую урав-
нению
& , 1 д , 1
--------------------1 Ф — О*.
dP2 р др р2 д&2)
Тогда напряжения выразятся производными от этой функции:
и
1 дФ 1 д2Ф _^Ф
7 ~д? ~р2 д&2 ’ “ ф2
д дФ\
др р d& J
(78)
(79)
§ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Условия пластичности
Согласно современным взглядам пластическое состояние, т. е. такое
состояние, начиная’с которого всякое увеличение нагрузки вызывает
появление пластических (остаточных) деформаций, наступает, если окта-
эдрическое касательное напряжение (43) достигло некоторого предела,
характерного для данного материала. Этот предел может быть найден из
опыта с простым растяжением образца, когда одно главное напряжение
становится равным пределу текучести (^ = =т), а два другие остаются
равными нулю. Подставляя эти данные в (43), получим лимитирующее
октаэдрическое напряжение, начиная с которого появляется пластическая
деформация. Оно равно токт = L-? зт. Следовательно, условием появле-
О
ния пластических деформаций будет
- >
окт -у °т-
Обычно последнее неравенство записывают в форме
(80)
* Условное возведение круглых скобок в квадрат указывает, что операции,
казанные в скобках, должны быть повторены дважды.
Основы теории пластичности
119
где
а = । Z (=Х— Зу)8 + (3У — °J* 2 -t («2— °.r)2 + 6(*X + Ту 4- 4) =
= j (31 — °2)2 + (32 — °з)2 + (з8 — °1)2 (81)
носит название обобщенного напряжения или интенсивности на-
пряженного состояния.
Если аналогично з ввести понятие об обобщенной деформации или
интенсивности деформированного состояния
г = -j-(£х— s)2 + (ey— sJ2+(£2 — •J2+4(Yx+Yy + Yz) =
= 7, \iZol/(£1-£2)2+(£2-ез)2+(^з-^)2*. (82)
(1 — W V 2JZ
то условие пластичности может быть записано и в виде:
£>ет, (83)
где гт — линейная деформация растягиваемого образца, начиная с кото-
рой в образце появляется текучесть.
Уравнения связи между деформациями и напряжениями
Зависимость между напряжением и деформацией в случае возрастания
последней (активная деформация) для растягиваемого образца получается
экспериментально и выражается уравнением (см. рис. 25,а).
(84)
Процесс разгрузки (пассивная деформация) подчиняется линейному
закону при модуле Е, характерном для данного материала.
Многочисленными опытами подтверждается, что указанные положения
справедливы и для объемного напряженного состояния при условии, что
нагружение (активная деформация) и разгружение (пассивная деформация)
являются п р о с т ы м и, т. е. такими, когда все внешние силы одновременно
возрастают или убывают пропорционально некоторому общему параметру.
При объемном напряженном состоянии зависимость, аналогичная (84),
имеет место между обобщенным напряжением (81) и обобщенной деформа-
цией (82):
а = /(е) (85)
и может быть получена из зависимости (84) простым пересчетом1.
Таким образом, изучение объемного упруго-пластического состоя-
ния может базироваться на простейших опытах с растяжением об-
разцов.
* Иногда за обобщенную деформацию принимают несколько меньшую величи-
ну, равную
2
у (1 + И) е-
1 Для растяжения = = ;г, но е =£= ех и должно быть определено по формуле (82)
по иайдеииым из опыта ех, ev, £г.
120 Основы теории упругости и пластичности[Гл. III
В теории пластичности связям между компонентами напряжений и
деформаций придают форму, напоминающую закон Гука (54):
— Зо = 2G' (е т — е0), тг = G'y г
’у — Зо = 2G'(ey — е0), ту=С%
— Зо = 2G' (ez — е0), = G'yz
(86)
где:
3у т Зг) — среднее напряжение,
Ч = j(«ж т е. т г2)- средняя деформация.
Однако в уравнениях (86) условный модуль G', начиная с момента
начала пластических деформаций, перестает быть постоянным и является
функцией обобщенных напряжения
и деформации
1
1 + н
с
е
2G' =
(87)
Рис. 34
или одной из этих величин, посколь-
ку они связаны уравнением (85).
Весьма часто зависимость (е)
приближенно принимают в виде пря-
мой, имеющей излом (рис. 34). В
этом случае
Здесь, как и всюду, символами Е, G, р. обозначены модули линейной
теории упругости, постоянные для данного материала.
Постоянный коэффициент /. (меньший единицы) характеризует угол
излома ОАВ (см. рис. 34). Так, при /. = 0,95 тангенс утла наклона вто-
рой ветви АВ составляет 5% от тангенса угла первой ветви1.
• Символ ет, широко применяемый в строительной механике корабля, обо-
значает, что до значения аргумента, равного индексу, стоящему внизу вертикаль-
ной черты, в написанном выражении учитывается лишь то, что стоит левее черты,
а при значениях аргумента, больших этого индекса, принимаются во внимание
слагаемые, стоящие как левее черты, так и правее ее. В данном случае (88) экви-
валентно двум зависимостям:
г = Ее при е < ет,
а = Е[е — 1(е — ет)] при е> ет.
Следует иметь также в виду, что, строго говоря, вместо ет— линейной дефор* ••
мании, соответствующей пределу текучести, — следовало бы ввести деформацию,
соответствующую пределу пропорциональности или пределу упругости, но для
металлов все эти три характеристики близки друг другу.
•• J равнение (89) получается из (88), если в левую часть (88) подставить ст
из (87), а в правой заменить Е по (50).
1 В некоторых случаях целесообразно ввести вместо переменного условного
модуля два постоянных модуля: основной Е и пластический 0£. Эти модули про-
порциональны тангенсам углов наклона прямых ОА и АВ соответственно. При
X = 0,95 коэффициент 0 = 0,05 и вообще 0 = 1 — X.
§ «4]
Основы теории пластичности
121
При л = 1 получается диаграмма для идеально пластичного матери-
ала (см. рис. 25, б).
Геометрически условный модуль G' пропорционален тангенсу угла
наклона прямой ОВ, соединяющей начало координат с точкой В, соответ-
ствующей рассматриваемому состоянию: до точки А он постоянен, а
затем непрерывно уменьшается (см. рис. 34).
Если в (89) заменить s через обобщенное напряжение, получим
(90)
При действии всестороннего давления любой величины изменение
объема является упругим, причем между средним напряжением о0 =
= у (зг -J- az) и объемной деформацией 3 е0 = ех-}- еу -|- ez существует
линейная связь.
Таким образом, уравнение (52)
3 (1 - 2р.)
0 Е
°о
справедливо как в пределах упругих деформаций, так и в области
пластических.
Вследствие этого уравнения (86) могут быть переписаны в следую-
щем виде, удобном для разыскания напряжений по деформациям:
зх = 2G' (ех — 1 1— 2р.'1” "х = G'b
S = 2G'(ev~ Е ~о) + 1 - 2g с°’ ту = G'b
S.. = 2G'UZ- (> о 7 7 м ГО V 0) е>. = G'Yz
(91)
Если пишутся искомыми так: являются деформации, то эти же уравнения пере-
ег = 2^-К — °о) + 1 — 2р Е ао’. Yx h’Io II
еу = 2Gr + l-2g Е зо; Ъ _ TV G' (92)
£z = 2(jr (Зг Зо) + 1 — 2р. Е ао; Yz Ъ _ G'
В уравнениях (91) G' должно быть выражено через обобщенную
сформацию, например, по уравнению(89), а в системе (92) его надо взять
"О(90). При этом очевидно, что для идеально пластичного материала (X— 1)
сравнения (90) и (92) теряют смысл, т. е. найти пластические деформа-
_ни по напряжениям нельзя.
122
Основы теории упругости и пластичности
[Гл. III
Остаточные деформации
Имеющиеся в упруго-пластическом состоянии деформации можно счи-
тать состоящими из упругих деформаций, исчезающих при разгрузке тела,
и пласта гских, остающихся в нем:
_ Упр ост _ у , „ост _ у . ост
х — I СХ > -- еу I , ... Yz— Tz ~г Yz
Процесс разгрузки тела от напряжений, как указывалось выше, под-
чиняется закону Гука, и потому упругие деформации могут быть вычислены
по формулам (51) при подстановке в них компонентов напряжений, соот-
Рис. 35. Распределение нормальных напряжений по высоте по-
перечного сечения изгибаемой балки:
а — напряжения в упруго-пластнческом состоянии; б — напряжения
от снятия нагрузки; в — остаточные напряжения
ветствующих заданному упруго-пластическому состоянию. Остаточные
деформации можно получить как разность полных (92) и упругих:
(93)
Процесс разгрузки характеризуется прямой ВС (см. рис. 34), и между
обобщенными деформациями имеет место то же соотношение:
gOcm g _ &упр
После снятия внешней нагрузки, вызвавшей упруго-пластическую
деформацию, в отдельных частях тела могут остаться напряжения. Так,
§14] Основы теории пластичности 123
если в изогнутой балке под действием изгибающего момента установились
напряжения, распределенные по высоте, как показано на рис. 35,а, то от
приложения обратного момента (т. е. от снятия нагрузки) в сечении появятся
дополнительные напряжения, линейно изменяющиеся по высоте (рис. 35,6).
В результате суммирования указанных напряжений друг с другом в раз-
личных точках сечения будут действовать остаточные напряжения. Они
показаны на рис. 35,в. В своей совокупности эти остаточные напряжения
эквивалентны нулю (т. е. не приводятся ни к силе, ни к паре).
Потенциальная энергия
Потенциальной энергией единичного элемента называется та часть
работы, потраченной на деформацию, которая может быть возвращена при
полной разгрузке элемента от напряжений. Поэтому упругий потенциал
может быть определен по формуле
n==Y т* + Ъ '(у +
где ах, з , ..., z2 — напряжения в упруго-пластическом состоянии;
г-х, ....у* — упругие части компонентов полной деформации.
Через обобщенное и среднее напряжения упругий потенциал выра-
жается формулой
1 , 3(1 — 2И)
6G ‘ 2Е
2
°0-
Первое слагаемое (интенсивность энергии изменения формы) пропор-
ционально площади заштрихованного на рис. 34 треугольника. Второе
слагаемое есть интенсивность энергии изменения объема.
В связи со сказанным об остаточных напряжениях в теле после снятия
внешней нагрузки иногда остается и некоторая потенциальная энергия,
т. е. тело в процессе разгрузки не всегда отдает всю накопленную им энер-
гию.
Постановка задачи в тёории пластичности
Задача теории пластичности в самом общем случае заключается
в определении напряжений, деформаций и перемещений по заданным
внешним силам (объемным и поверхностным), форме и материалу тела.
Известными считаются все модули упругости (Е, G, р.), ат й зависимо-
сти G' = <р (е) или G' = 9 (о).
Определению подлежат напряжения, деформации и перемещения.
Подобно теории упругости, возможны различные схемы решения задач
теории пластичности. Например, при непосредственном определении на-
пряжений прежде всего подлежит интегрированию система уравнений
равновесия (44) совместно с уравнениями сплошности (46). Эти послед-
ние с помощью зависимостей (92) преобразуются так, чтобы в них вхо-
дили только напряжения.
Во всех вариантах решения задачи в качестве граничных условий
должны быть учтены уравнения на поверхности (37).
124
Основы теории упругости и пластичности
[Гл. III
Плоская задача
В плоской задаче теории пластичности, как и в теории упругости
упрощаются уравнения равновесия (44) и уравнения сплошности (46). Кроме
того, для случая плоского напряженного состояния (при отсутствии объем-
ных сил):
§ 15. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ
Всякое инженерное сооружение должно быть не только прочным,
но и устойчивым.
Сжатые длинные стержни при некоторой величине сжимающей силы
теряют устойчивость (начинают заметно изгибаться в плоскости наимень-
шей жесткости). Пока сжимающая сила не достигает этой величины, попере-
чная нагрузка, если она приложена к стержню, вызывает небольшие про-
гибы и при снятии этой нагрузки стержень возвращается в первоначальное
положение. Если же сжимающая сила достигает величины, являющейся
для данного стержня критической, то приложение даже очень малой попере-
чной нагрузки вызывает неопределенно большой прогиб.
Точно так же при изгибе высокой балки, когда один из моментов инер-
ции сечения значительно меньше другого, если момент, изгибающий балку
в плоскости большей жесткости, достигает критического значения, может
произойти потеря плоской формы изгиба балки, т. е. появляется значитель-
ный дополнительный изгиб в плоскости наименьшей жесткости балки,
и вместо плоского изгиба произойдет изгиб по линии двоякой кривизны,
сопровождающийся закручиванием балки.
Состояние хпругого тела, при котором оно после малого отклонения
принимает первоначальное положение, называется состоянием устой-
чивого равновесия.
Состояние ynpjroro тела, при котором приложение даже очень малой
добавочной нагрузки может вызвать весьма большую деформацию или рез-
* В случае плоского напряженного состояния
(1 + р.) G — (1 — 2р) G'
~z~ (1-}-р) G + 2 (1 — 2р.) G' +
и, если (как это часто делают) принять р = 0,5,
ez = ~ (Ех + Ej)>
в
2
> 3
§ 15] Принципы оценки устойчивости деформированного состояния 125
кий переход в другую форму равновесия, называется состоянием неустой-
чивого равновесия.
Нагрузка системы, при которой равновесие становится неустойчивым
в отношении какого-либо из возможных отклонений, называется крити-
ческой нагрузкой системы.
Основной признак устойчивости формулируется следующей теоремой.
Если в каком-либо положении равновесия разность силовой функции
и потенциальной энергии U—П достигает максимума, то рассматриваемое
положение равновесия есть положение устойчивого равновесия.
Здесь потенциальная энергия П эквивалентна той работе, которую надо
затратить на преодоление действующих в системе внутренних сил при пере-
ходе от положения, при котором все перемещения равны нулю, в положе-
ние, при котором эти перемещения принимают рассматриваемые значения.
Составляющие всех внешних сил х, действующих на систему, могут быть
выражены как частные производные некоторой функции U по изменяемости
соответствующих координат этой точки; функция эта и носит название с и-
ловой функции.
Для нахождения критической нагрузки достаточно разыскать ту наи-
меньшую нагрузку, при которой система теряет стремление вернуться
в исходное положение, какое бы малое отклонение от этого положения ей
ни дали. Следовательно, при разыскании критических значений нагрузки
упругой системы как при сжатии, так и при потере плоской формы изгиба
можно рассматривать малые отклонения от исходного положения равнове-
сия.
Критическую нагрузку, вычисленную таким способом и в предположе-
нии, что материал, вплоть до потери устойчивости, подчиняется закону Гука,
принято называть эйлеровойнагрузкойупругого тела.
Напряжения, соответствующие эйлеровой нагрузке, называются
эйлеровыми напряжениями.
Критическим же напряжением называется величина
напряжения, соответствующая критической нагрузке, определенной с уче-
том действительной зависимости между напряжениями и деформациями,
которая может и отличаться от линейной, зависимости (закона Гука). В част-
ное™ такое отличие будет иметь место, если потеря устойчивости происходит
наир-кениях, превышающих предел пропорциональности.
В настоящее время имеется ряд методов нахождения эйлеровой нагрузки
упругих систем. Из них основными являются следующие.
Первый метод Эйлера заключается в непосредственном инте-
грировании основного дифференциального уравнения изгиба балки при
действии только сжимающей силы и нахождении такого минимального
значения этой силы, при котором дифференциальному уравнению и гранич-
ным условиям на концах балки удовлетворяет не только прямая, но и
искривленная форма оси балки. Он может применяться также при разыска-
нии критического изгибающего момента при потере плоской формы изгиба.
В этом случае приходится находить наименьшие значения изгибающего
момента, действующего в плоскости наибольшей жесткости балки, при кото-
ром возможен изгиб также и в плоскости наименьшей жесткости и скручи-
вание балки.
В качестве примера рассмотрим балку, показанную на рнс. 36. При действии
только сжимающей силы Т дифференциальное уравнение нзгнба этой балки будет:
EIw" + Tw = 0.
1 Предполагается, что внешние силы имеют потенциал, т. е. работа нх
является функцией только от перемещений точек нх приложения.
126
Основы теории упругости.и пластичности
[Гл. III
Обозначив = у , где £ — модуль Юнга, а I — момент инерции сечения
балкн, можно написать дифференциальное уравнение в виде
ui" + = 0.
Общий интеграл его будет
w = D-i sin + О2 cos ftx.
Подставляя это выражение для w в граничные условия на концах балки
ш = 0 при х = 0 н х = 1,
можно получить, что
D, = 0 н 1\ sin SZ = 0.
Чтобы искривленное состояние равновесия (соответствующее потере устойчи-
вости) имело место, надо положить D1 0 н, следовательно,
si п -87 = 0,
откуда получается, что наименьшее значение -&Z = л. Учитывая связь S с Т, полу-
чим, что
Второй метод Эйлера заключается в определении наименьшего
значения сжимающей силы, при котором приложение даже очень малой
поперечной нагрузки дает бесконечно большие прогибы.
Рассмотренную выше балку со свободно опертыми концами можно представить .
себе нагруженной, помимо продольных снл, еще н какой-либо поперечной нагруз-
кой, например, сосредоточенной силой посередине (рнс. 37).
Прогиб в середине пролета такой’балки будет (см. ниже, табл. 45 и 46)
Р1г , . . pi3
— 48£/ Vo (t'l) — 48£/ v3 •
Как бы ни была мала сила Р, прогиб w будет бесконечно велнк, если
I 1 /~Т~ -
Г1 = 2 | ~£j = ~2 ’ ПОСКОЛЬКУ ПРИ этом значении t'j
tg I'l -> ОС.
Следовательно,
п2£7
Рэ - [г
Для нахождения эйлеровой нагрузки можно непосредственно исполь-
зовать и теорему о разности О—П и еще ряд энергетических методов.
Для получения критической нагрузки за пределом справедливости
закона Гука, т. е. в области пластических деформаций, имеются решения
лишь для отдельных частных случаев поперечных сечений балок. Боль-
шинство из них приводит к введению в обычные формулы для критических
нагрузок некоторого приведенного модуля упругости (например модуля
Кармана), меньшего обычного модуля Е.
В большинстве современных гражданских норм, в том числе и в строи-
тельных нормах СССР, критические нагрузки нормируются только в пре-'
§ 15] Принципы оценки устойчивости деформированного состояния 127
делах, при которых напряжения не превосходят предела текучести мате
риала. Действительно, критические нагрузки при напряжениях,превосходя
птих предел текучести, большого практического значения не представляют
так как упругая система все равно
получает при этом значительные
остаточные деформации.
Кривую зависимости крити-
ческого напряжения от гибкости
стержня, полученную опытным
путем или вычисленную теорети-
чески, например, кривую, пока-
занную на рис. 38 сплошной ли-
нией, можно заменить прибли-
женно ломаной линией АВС,
выделенной штриховкой на том же
рисунке1.
На рис. 38 }. есть гибкость
стержня, определяемая по формуле
Рис. 38
где I — минимальный момент инерции поперечного сечения;
F — площадь этого сечения;
I — длина стержня.
Введение упрощенной пограничной линии АВС для акр математически
может быть выражено следующим образом :
при sB sm <зкр — аэ,
при аэ ат iKp = ст.
Если опорные сечения конструкции могут свободно сближаться, то
в отношении допускаемых напряжений критическое напряжение следует
рассматривать как предел прочности, беря соответствующие запасы проч-
ности.
В том случае, когда опорные сечения не могут сближаться вследствие
присутствия соприкасающихся с ними других деталей сооружения, избыток
сжимающей силы сверх критического напряжения будет воспринят этими
частями сооружения за счет соответствующего повышения действующих
в них напряжений. При расчете прочности таких сооружений следует вво-
дить площади связей,теряющих устойчивость, с редукционными коэффициен-
тами (см. § 62).
Судить о поведении упругих систем после потери устойчивости можно
на основании точного дифференциального уравнения изгиба, остающегося
справедливым не только при малых, но и при конечных прогибах системы.
1 В ряде проектных организаций для учета отличия критических напряжений
от кривой Эйлера пользуются «табл. 59» справочника по судостроению, т. II, 1934
ГЛАВА IV
РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СКРУЧИВАНИЕ БАЛОК
Балкой или стержнем называется конструкция, один из габа-
ритных размеров которой (длина) значительно превышает два других габа-
ритных размера. Балка называется призматической, если ее по-
перечное сечение одинаково по всей длине.
Совокупность внешних усилий, действующих на балку, может вызвать
в ней весьма сложное напряженное состояние: комбинацию изгиба, круче-
ния и продольного растяжения или сжатия:
Выберем оси координат таким образом, чтобы у и г совпадали с глав-
ными центральными осями какого-нибудь поперечного сечения и, следова-
тельно, ось х была направлена по линии, проходящей через ц. т. попереч-
ных сечений — по так называемой оси балки (рис. 39).
Отсекая мысленно одну часть балки от другой, в самом общем случае
можно заменить действие удаленной части балки на оставшуюся силой R-
приложенной в ц. т. сечения, и парой М. Проектируя векторы R и М на
составляющие по выбранным осям, получим шесть компонентов:
усилие Т — растягивающая или сжимающая сила;
усилия V , V2 — срезывающие силы, вызывающие сдвиг, а при неко-
торых условиях (см. § 19) и скручивание;
момент Мх— крутящий момент, вызывающий скручивание стержня
относительно продольной оси;
моменты Му, Мг — изгибающие моменты, вызывающие изгиб стержня
соответственно в плоскостях гх и ху.
Согласно принципу наложения (стр. 115) результативное напряженное
состояние, устанавливающееся в балке, обычно может быть получено сум-
мированием напряжений, вызванных простейшими нагрузками порознь:
напряжений изгиба, кручения, растяжения.
Следует заметить, что напряженное состояние в балке может иметь
место и в случае, когда все шесть перечисленных выше составляющих равны
§ 16]
Растяжение
129
нулю (см., например, рис. 9 — напряжения в балке, вызванные действием
бипары, и рис. 35, в — напряжения, остающиеся после пластического
изгиба балки).
§ 16. растяжение
Растяжение призматического стержня
При растяжении призматической балки попереч?
ного сечения F силой Т, направленной по оси стержня, лишь одно из глав-
ных напряжений будет отлично от нуля и равно 1
Т
=Х=Т- =i- (95)
Во всех точках стержня оно будет одинаковым и направленным вдоль
оси стержня. На плоскостях, параллельных оси стержня, никаких напря-
жений не будет. Наибольшие касательные напряжения, действующие на
площадках, наклоненных под углом 45° к оси стержня, равны
'макс — 2 *
Относительное и ""абсолютное удлинения стержня длиной / будут
соответственно равны:
Т Т1
гх = -^ и А/= 44-. (96)
EF EF
В поперечном направлении размеры стержня уменьшаются; относи-
тельные деформации еу и ег будут равны
еу = Ez = ~ P-e.v
Если призматический стержень подвешен вертикально и помимо
растягивающей силы Т, приложенной к его нижнему концу, учитывается
собственный вес стержня, то напряжения линейно возрастают снизу
вверх и в произвольном сечении, расположенном на расстоянии х от
нижнего конца (от точки приложения силы Т}, равны
= у- + Ух. (97)
Общее хдлиненне стержня равно
Tl Ч2 * *
Ы = ЁЁ + 1>Ё' <98)
'где у — объемный вес материала стержня (т/мг, кг/см*, ...).
1 Вследствие поперечного сжатия и уменьшения в результате этого работаю-
щей площади Рфакт = (1—Hs.r)2 Рнач фактические напряжения будут несколько
выше даваемых формулой (95).
Принято, однако, ввиду крайне незначительного изменения площади всегда
относить иапряжеиия к первоначальной неизменной площади. Это относится также
и к другим напряженным состояниям, например, к изгибу, при котором попереч-
ное сечение также искажается.
9 Учебвый справоч ннк •
130
Растяжение, сжатие и скручивание балок
[Гл. IV
Гибкая нить
Напряженное состояние, близкое к простому растяжению, возникает
в весьма тонком тяжелом стержне (проволока, трос), точки подвеса
которого расположены не на одной
вертикали. Линия провисания гибкой
тяжелой нити выражается уравне-
нием (рис. 40)
z = a ch * — а, (99)
где а — некоторый параметр; его
можно разыскать, зная полупролет I
и длину нити О А = s (или зная I и
стрелку провисания f), из соотно-
шений:
s = a sh — и f = a ch ----а*,
а а
Растягивающее усиливав любой точке нити равно
Т = <?ach ,
где q — вес единицы длины (кг/м).
Минимальное и максимальное усилия будут иметь место соответ-
ственно в точках О и А; они равны:
То = qa и Тмакс = ^cch . (100)
( f 1 \
Если стрелка провисания невелика 1у<^^-1, т0 с ошибкой, не
превышающей 2°о, можно уравнение гибкой тяжелой нити взять в виде
уравнения параболы:
х
2 = / 7
(Ю1)
при этом
(102)
• Параметр а приходится искать путем подбора при помощи таблиц гипербо-
лических функций.
§ 17]
Сжатие
131
§ 17. СЖАТИЕ
Напряжения и деформации в балке, вызываемые продольной сжи-
мающей силой, вполне аналогичны напряжениям и деформациям при
растяжении балки. Отличительной особенностью сжатия является лишь
возможность потери устойчивости. При постепенном увеличении сжи-
мающих сил Т наступает момент (при Т = Ткр), когда балка перестает
просто сжиматься и начинает искривляться. Искривление, если соседние
части конструкции не препятствуют ему, развивается весьма быстро,
иногда даже сопровождается уменьшением величины сжимающей силы
(Т становится меньшим Ткр) и может привести к разрушению балки.
Если сечение балки состоит из тонких полос (например, тонкостен-
ный двутавр), то кроме потери устойчивости балки, сопровождающейся ис-
кривлением ее оси, может иметь место потеря устойчивости частей
балки, например, широкого и тонкого пояска двутавровой балки или стенки
ее.
Ниже приводятся расчетные формулы и уравнения для определения
эйлеровых сил при общей потере устойчивости сжатых балок в зависимости
от условий закрепления их концов. О местной потере устойчивости частей
балки — см. § 50 и 83.
Все приводимые ниже формулы справедливы лишь в пределах дей-
ствия закона Гука. Поэтому всюду помимо эйлеровых усилий надлежит
определять и напряжения, ими вызываемые, и если окажется, что эти напря-
жения превышают предел пропорциональности (для стали приблизительно
равный пределу текучести), фактическим критическим усилием следует(как
указывалось в конце главы III) считать усилие, вызывающее напряжения,
равные пределу текучести.
Потеря устойчивости прямых призматических балок
Критическое сжимающее усилие для призматических балок опреде-
ляется как меньшая из величин, даваемых выражениями:
„ (2vs)2EI
7 э —---7 т, и 1 кр — стг, (ЮЗ)
где: ь*
I — минимальный момент инерции (относительно второй главной цен-
тральной оси инерции поперечного сечения);
L — длина ба тки;
2va — отвлеченный коэффициент, зависящий от устройства опор1
и определяемый согласно табл. 23.
Приведенные в табл. 23 трансцендентные уравнения удобнее всего ре-
шать графическим методом (см. стр. 75). При этом во всех случаях следует
брать минимальный положительный корень, так как именно он будет соот-
ветствовать минимальной критической силе. Необходимые корни для несколь-
ких значений параметров, входящих в уравнения табл. 23, приведены
в табл. 24.
Пример 1. Определить эйлерову нагрузку однопролетного стержня (швеллер
№ 20 а) из ст. 4 длиной L = 3,0 м, свободно опертого на одном конпе и упруго
заделанного (а = 5,35 1/тм) на другом.
По сортаменту находим 1мин — 128 см*, F — 28,8 см2. Балка относится к 8-му
типу (табл. 23). Аргумент
aEI 5,35 - 10“ 5 • 2,15. 106 • 128 _ 0 4д
L 300
1 Об опорных закреплениях и коэффициентах податливости а и А—см. стр. 141.
94’gj
132
Растяжение, сжатие и скручивание балок
[Гл. IV
Таблица 23
Устойчивость простейших бвлок при сжатии
п < 2 v3 < 1,43-
- < 2 V3 < 2 *
Г а Е 1
Н— (2 оэ)2 I
*
tg 2 v3 = 2 v3
2 аЕ I
tg ^э = —-£-- v3
1,43" < 2 v3 < 2r.
sin v3 sin v3— v3 cos v3
v3 2 v3 cos 2 v3 — sin 2 v3
a E I *
= 2L
A e I *
tg 2 v3 = 2 v3 — —£3 (2 o3)8
Несколько частных решений этого уравне ния приведено в табл. 24.
5 17]
Сжатие
133
Продолжение табл. 23
1 № н/п Тип балки Значение коэффи- циента 2оэ или пределы, в кото- рых ои заклю- чается Уравнение для определения 2v3
12 г. с 2 о, 2г. t 16 AEI , tg v3 - v3 — L3 v* . * Если опора достаточно жестка и ее податливость А< Ч л 16 к2 Е1 • то опора не смещается и 2 v3 = 2я
\ А. Л L-X-J
.fl \ (L — 1 \ sin ( £ 2 v3 I sin 1 2 v3 1 — Vl(L—l) AEI 1 —2оэ £2 — £3 (2 u3)2 sin 2
13 “ А А. А г. < 2 v3 2 я Потеря устойчивости без смеще- ния опоры может произойти только, если 1, L— длины соизмеримые. В этом случае при потере устойчи- вости на левом и правом участках образуется некоторое число полу- волн одинаковой длины
14 1г<2оэ Г k L* "2 + Лш* ’ где п — любое целое число, начиная с единицы, выбираемое таким обра- зом , чтобы 2 v3 было минимальным. Приблизительно 1/ kL* "2 ~ V ТА Е I
где
2r 4EI
Несколько частных решений этого уравнения приведено в табл. 24.
134
Растяжение, сжатие и скручивание балок
[Гл. IV
Продолжение табл. 23
№ п/п Тип балки Значение коэффи- циента 2п5или пределы, в кото- рых он заклю- чается Уравнение для определения 2v э
16 “—/Г Л 7Г*~ Г . 1,43* < 2иэ < 2п ! 1 \ lL — l \ sin 2 v3 1 sin 1 £ 2 v3 i — I (L — I) — £2 2v3 sin2o3*. Прн приближении промежуточной опоры к краю (Z -> 0) настоящий случай переходит в случай 4; при приближении к середине настоящий случай переходит в слу- чай 2 при половинном пролете
17 —А 7.—Т'- к L — 2- < 2 v3 < Зг L — 21 fg L / 1 1 , / \ * = — 1 / 1 1 у-£- 2 v3 tg -£- 2 va ) При приближении промежуточных опор к краям (/ -> 0) настоящий случай переходит в случай 5, а при приближении их к середине — в случай 4 при половинном пролете
18 ""Л L ф А А L 2 v3 < ~Т~ При достаточно жестких опорах, когда А < Акр (значения Акр при- ведены в табл. 24), опоры ие сме- L щаются, [и 2 v3 — -г- п, как и в слу- чае 19. Если А > Акр, отдельные опоры можно заменить сплошным упругим основанием, полагая k = и 2оэ определять как для случая 14. Ука- занная замена дает несколько завы- шенные значения 2v3, однако при Л >1,3 Акр погрешность не превы- шает 5% и только в пределах Л =(1,04-1,3) Акр доходит до 104-12%**
19 — — _ — _ * . Д £ — £ V. Л Л Л Л А Л” • L , L 2 v3 = — ж —
20 „ , £=са k 0<Тв Тэ = 2 |/ kEI Для полубесконечной балки на упругом основании без опор крити- ческое усилие вдвое меньше
* Несколько частных решений этого уравнения приведено в табл. 24.
** Точное решение имеется в книге проф. П. Ф. Папковича, Строительная
механика корабля, ч. II, стр. 307—318.
§ 17]
Сжатие
135
Таблица 24
Корни уравнений табл. 23
2гэ Л 4 *3 л h 2у3 J Л ^кр для с лучая 18
аЕ1 L случай 7 случай 8 случай 9 1 о о АЕ1 L1 случай 11 случай 12 1 । случай 14 случай 15 L 1 случай 16 случай 17
со 20 10 5 3 2 1 0,80 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,15 0.10 0,08 0,06 1 0,04 0,02 0,01 0 ! 0,00 t --- 0,028 0,100 0,138 0,174 0,208 0,274 0,297 0,326 0,343 0,363 0,388 0,417 0,436 0,454 0,461 0.471 0,481 0,490 0,493 0,500 1,00 1,01 1,02 1,03 । 1,05 1,08 1,10 । 1,12 1,16 1,20 1,24 1,28 1,32 ..34 1,37 1,38 1,40 1,42 1,43 1,00 1.01 1,02 1,04 1,08 1,10 1.16 1.20 । 1,25 । 1,29 1,35 1,41 1,51 1,59 1.68 1,74 1,79 । 1,85 1,92 1,96 2,00 1.43 .1,43 1,44 1,45 '1,47 1,48 1,49 1.53 ,.Ю 1,59 1,62 1,67 1,73 1,78 1,83 1,86 1,89 Я 1,96 1,98 2,00 СО 15 3 II 1 0,8 0,6 0,4 0,3 0,2 0,15 । 0,10 0,09 0,08 0,06 0,04 0,02 0,015 0,010 0,009 0,008 0,007 0,006 0,002 0 0,50 0,52 0,53 0,58 0,60 0,62 0,67 0,72 0,80 0,88 1,00 1,04 1,07 1,19 1.29 1,39 1,40 1,41 1,41 1,41 1,42 1,42 1,42 । 1.43 1,00 1,00 1,00 11,01 | 1,01 ,1,02 1.02 1,03 1,05 l.OT1 1,10 1.11. 1.121 । 1.16 1,23 1,42 1,53. 1,72 1,78 1,85( 1,931 11 2,00(| 2,оо;| 2,0С^ 1 0 0,5 : 0,6 1 0,7 0.8 0,9 1,0 1,1 1.2 1.3 1.4 1.5 1,6 1,7 .,8 1,9 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 00 1,00 1,02 1,04 1,08 1,13 1,20 1,29 1,40 1,54 1,67 1,88 2,08 2,25 2,31 2,40 2,48 2,58 3,23 3,86 4,47 5,15 5,70 6,42 оо 2,00 2,02 2,12 2,24 2,41 2,66 2,96 з.зо 3,92 4,36 4,84 5,40 6,72 оо оо 20 15 10 9 8 7 6,5 6,0 5,5 5,0 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,43 1,46 1,51 1,54 1,57 1,58 1,59 1,60 1,62 1,64 1,66 1,72 1,79 1,84 1,94 2,00 2,00 2,17 2,20 2,31 2,35 2,39 2,46 2,51 2,56 2,62 2,69 2,87 2,97 3,00 2,95 2,86 Z3 0,0257^у /з 0,026 Iя °-026 ~ЕТ Is 0,026 ~ L I Iя 0,026 тп- £ 1 Is 0,026 тгг £ I Is 0,027 -=Г7 £ 1 Iя 0,027 Iя 0,027 777 El Is 0,027 ту £ 1 Iя 0,028 777 £1 Is 0,029 777 ’ El Is 0,034 Is 0,0507^7
136
Растяжение, сжатие и скручивание балок
[Гл. IV
По табл. 24 находим 2иэ = 1,14л* и, следовательно.
(2о5)® Е1 мин
1 3— £8
(1,14л)2 2,15 - 10е - 128
-----------STjTS----------= 39 600 кг = 39,6 т.
Эйлерово напряжение
Тэ 39 600 , ,Л
с3 = = gg & = 1 370 кг /см2
не выше предела текучести и, следовательно, значение критической силы 39,6 т
может считаться окончательным.
Приле р 2. Определить эйлерову нагрузку стержня (Е = 2 10® кг/см2, zm —
= 2 400 кг/см2', F = 40 см2, 1мин = 2000 см*), свободно опертого на крайние опоры
н иа пять промежуточных проседающих опор (одинаковой податливости А =
0,125 мм/т), делящих полную длину балки L =6 м на 6 равных частей.
Критическая податливость, если вычисления вести в миллиметрах и тоннах,
по табл. 24:
Is 1 000»
АКр — 0,027 — 0,027 gg . 2000 10® —0,0675 мм/tn.
Поскольку заданная податливость больше, ведем расчет как для балки на
сплошном упругом основании (случай 14);
1 1
k ~ Al ~ 0,125 - 1 000 = 0,008 ,п!мм2-
Находим аргумент и:
и_£ 4 6000 4 Г 6Ж _45
2 1/ 4£7 2 I/ 4-20-2000 - 10®
• 2аз
и по табл. 24 определяем = 5.70; следовательно,
(2v3)2EI _ (5,70л)*- 20 • 2 000- 10® _
7Э— £2 — 6 0002 — 3 560 m.
Одиако такой громадной сжимающей силы балка воспринять не может, так как
иапр) жения при этом были бы равны
3 560
сэ = -—TjgT = 0,89 т/мм2* = 89000 кг/см2.
Фактически балка потеряет устойчивость при
Ткр = zmF = 2 400 • 40 = 96 000 кг = 96 т.
Потеря устойчивости круговой арки и кольца
Арка, очерченная по дуге окружности, под действием равномерно
распределенного давления,
Рис. 41. Потеря устойчивости
круговой арки
нормального к контуру (рис. 41), теряет
устойчивость, если концы ее шарнирно опер-
ты, при нагрузке, интенсивность которой на
единицу длины равна
где:
_ /"2 Л EI
q3 (^2 Г3 •
(Ю4)
I — момент инерции поперечного сечения
стержня арки относительно оси, про-
ходящей через ц. т. поперечного сече-
ния перпендикулярно плоскости арки,
2а — центральный Угол арки
* На рис. 18 показаво графическое решение уравнения [ 1 + 0,5 (2пэ)2] tg 2иэ=
= 2оэ, которое дает 2оэ = 8,59 = 1,14л, т. е то же значение.
§ 18]
Скручивание призматических стержней
137
Из формулы (104) при а= получаем для полукольца
ЗЕ/
(Ю5)
Ч3 ~~ /3
Эта же погонная нагрузка
кольца. Для трубы со стенками
будет критической и для замкнутого
толщиной t, подверженной внешнему
давлению, подставляя
Е
получим
EJ =
I/3
1 — [Л2 12 ’
Е
Рэ ~ 4(1 —р2)
(106)
§ 18. СКРУЧИВАНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
Два одинаковых по абсолютной величине, но противоположно направ-
ленных скручивающих момента, приложенных по концам призматического
стержня, вызывают касательные напряжения кручения в его поперечных
сечениях.
Если концы стержня свободны и загружены лишь скручивающими
моментами, то отдельные поперечные сечения поворачиваются на некоторый
угол 2, линейно зависящий от расстояния рассматриваемого сечения от сече-
ния, которое выбрано неповорачивающимся. Положение продольной оси х,
около которой происходит закручивание, относительно стержня произ-
вольно, но, конечно, ось х должна быть параллельна оси стержня и ее удоб-
нее выбирать на оси или в центре симметрии сечения.
~ dQ
Относительный угол закручивания ® (угол
поворота вокруг
оси х стержня одного сечения по отношению к другому, поделенный на
расстояние между этими сечениями) одинаков по всей длине стержня.
Помимо перемещений £2 р, где р — расстояние точки сечения от полюса
(точка пересечения оси х с сечением), отдельные точки сечения получают
также и продольные перемещения (параллельно оси х), как правило, неоди-
наковые для отдельных точек сечения: сечение не остается плоским — оно
депланируется. Депланация отсутствует, и поперечные сечения
остаются плоскими только у стержней (валов) круглого сечения и труб,
поперечное сечение которых есть круглое кольцо со стенками одинаковой
толщины, и у стержней с некоторыми другими сечениями.
На поперечных сечениях при описанном свободном кручении
призматических стержней возникают лишь касательные напряжения.
Напряжения и депланация точек, лежащих на прямой, параллельной
оси стержня, одинаковы. Направления касательных напряжений на попереч-
ных сечениях таковы, что напряжения как бы обтекают контур: вблизи
контура сечения они всегда параллельны ему и по абсолютной величине
больше, чем в середине сечения (рис. 42,а и б).
Если имеются причины, препятствующие свободной депланации -(на-
пример, жесткое закрепление одного из сечений, неодинаковость крутящего
момента по длине и др.), то на поперечных сечениях появятся помимо каса-
тельных также нормальные напряжения. Такое кручение называется
стесненным или изгибным кручением. Все формулы настоящего
138 Растяжение, сжатие и скручивание балок[Гл. IV
параграфа относятся к свободному кручению и к стесненному кручению
только таких призматических стержней, поперечные сечения которых не
депланируются.
Напряжения в круглом сплошном валу диаметром d на поперечном
сечении будут
и у поверхности
16М _5М
'макс~ — di
(107)
-d*
Здесь 10 — ---полярный момент инерции сечения; р— расстояние рас-
О/-
сматриваемой точки от оси вала.
Главные напряжения сд = —о3 = а2 = 0.
Угол закручивания
Рис. 42. Распределение касательных напряжений по сеченню
при кручении
(Ю8)
Для полого круглого вала (D — наружный диаметр, d — внутренний)
соответствующие формулы имеют вид:
16MD ,
-макс = ^Di~dtj (У поверхности),
2 = ^-
С ’
где:
C=GI0 = ^G(D*-d*).
Если стенки трубы достаточно тонки, то, обозначая (Р— d) — t
толщину стенки, ~ (D + d) = d0 — средний диаметр и —F, можно
принять
и C^GFd^t.
§ 18] Скручивание призматических стержней 139
(109)
(ПО)
При свободном кручении стержня с поперечным сечением в виде
открытого1 тонкостенного профиля (угольники, швеллеры, двутавры)
напряжения обтекают контур (рис. 42, в). По толщине каждой полосы, из
которой составлен профиль, они меняются по линейному закону, т. е. равны
нулю на центровой линии АВС и достигают наибольших значений у поверх-
ностей (например, DEF).
Наибольшие касательные напряжения на поперечном сечении равны
3 MtMaKC
~макс — s
f Р ds
о
Угол закручивания стержня выражается формулой
С’
где:
C=~G f t3ds.
О
о
Если поперечное сечение скручиваемого стержня задано чертежом,
его следует разбить на участки одинаковой толщины и заменить интеграл,
входящий в вышеприведенные формулы, суммой
р3 ds = 2 sz t3.
b
Например, для двутаврового сечения
\t3ds = 1^ +М3-J-b2t%,
о
где:
bj, Ь2 — ширины полок;
^2 — соответствующие им толщины;
h.t—высота и толщина стенки.
Наибольшие напряжения имеют место вблизи контура в наиболее тол-
стых частях профиля (например, у двутавра — в полках).
В стержнях с поперечным сечением в виде закрытого тонкостенного
двухсвязного профиля (тонкостенная призматическая труба) напряжения
г*т кручения по толщине стенки (т. е. в точках А, В, С, см. рис. 42,а) оди-
наковы и равны
де F— площадь, ограниченная контуром сечения (площадь полости).
Наибольшее напряжение имеет место там, где стенка всего тоньше,
наименьшее — в наиболее толстых частях.
Относительный угол закручивания
г ds ... о.
a~TGFi$ 1 ’ ( 2)
Интеграл по контуру обычно приходится вычислять как сумму, раз-
бивая контур на участки одинаковой толщины.
1 Открытым или односвязиым называется контур, который можно обвести, не
отрывая карандаша: двухсвязный контур можно обвести в два приема (трубчатое
не), трехсвязный — в три и т. д.
ГЛАВА V
ИЗГЦБ БАЛОК
- Состояние изгиба возникает в призматическом стержне, если внешние
силы приложены к стержню перпендикулярно его продольной оси и про-
ходят через эту ось (рис. 43, а). В этом случае, разлагая внешние силы
на составляющие по главным центральным осям инерции сечения и мыс-
ленно рассекая балку по произвольному сечению AW, перпендикулярному
оси, мы будем иметь в этом сечении четыре компонента, к которым
Рве. 43. Правила знаков и расположение осей. Все нагрузки, реак-
тивные усилия, изгибающие моменты и срезывающие силы на про-
- екциях бив положительны
приводится нагрузка, действующая на левую или правую из отсеченных
частей: изгибающие моменты Му и Мг и срезывающие силы V? и V
(рис. 43,6 и в).
Изгибающие моменты AL и срезывающие силы Vz вызывают изгиб
стержня в плоскости wOx * (см. рис. 43,6), а Мг и Vy — в плоскости vOx
(см. рис. 43, в). На основании принципа наложения картина результа-
тивного изгиба может быть получена геометрическим сложением напря-
жений, деформаций, прогибов и т. п., вызванных изгибами в указанных
двух плоскостях, независимо один от другого. Поэтому ниже приводятся
необходимые формулы лишь для изгиба в одной плоскости wOx. Начало
координат выбрано на левом конце балки, ось х — идущей слева направо
по оси стержня, ось z— вверх **.
* Случай, когда срезывающая сила вызывает также и закручивание, см.стр. 146.
• * По одной из главных центральных осей инерции поперечного Сечения.
§ 19]
Опоры, изгибающие моменты и срезывающие силы
141
Положительными считаются:
а) сосредоточенные силы Р, распределенные нагрузки <7, опорные реак-
ции R, — если они направлены вниз (см. рис. 43,6);
б) срезывающие силы, если они направлены вниз при действии их на
правую отсеченную часть (или если они направлены вверх при действии на
левую отсеченную часть);
в) внешние и опорные моменты,
если они направлены против часовой
стрелки;
г) изгибающие моменты, если они
направлены против часовой стрелки
при действии на правую отсеченную
часть (или — по часовой стрелке при
действии на левую часть);
д) прогибы — вниз, т. е. в сторо-
ну положительного направления оси
zz< (обратного положительному на-
правлению оси г).
Все усилия и моменты, показан-
ные на рис. 43,6 и в, положитель-
ны, обратные им — отрицательны.
Угол наклона изогнутой оси бал-
ки и кривизна будут положительными
при положительном значении соот-
ветствующих производных (w' и w"),
т. »е. угол наклона положителен при
повороте по часовой стрелке, а кри
визна положительна при изгибе вы
1 Л Л Л Л ^боОодная непроседоющая
'"''ют опара, устраняющая прогиб
и не препятствующая ов-
> борату банки
_ Д а Проседающая опора. не
Ж препятствующая повороту
3 |— Опора, осуществляющая
я абсолютную поделку, устра-
няющая прогиб и поворот
Опора, упруго препятству-
ющая повороту и устра-
няющая прогиб
i й Опора наиболее общего типа,
я упруго препятствующая как
повороту^таки прогибу
пуклостью вверх. Рис. 44. Условные обозначения различ-
Если опорные реакции могут быть ных типов опор
определены из уравнений теоретиче-
кой механики (статики), то балка называется статически опре-
делимой. Если опорных усилий более двух1, для разыскания их при-
ходится прибегать к различным приемам строительной механики. Балка
считается однократно статически неопределимой,
если не хватает одного уравнения для определения всех реакций, дву-
кратно статически неопределимой при двух недостаю-
щих уравнениях и т. д.
§ 19. ОПОРЫ, ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ И СРЕЗЫВАЮЩИЕ СИЛЫ
Опоры
Конструкции опор с точки зрения расчетов прочности могут быть отне-
сены к одному из следующих пяти типов (рис. 44; на рисунке показаны
принятые в дальнейшем условные обозначения опор).
1. Свободная (ножевая) опора, полностью устраняющая прогиб и не
препятствующая повороту надопорного сечения балки. В зависимости от
своего устройства эта опора может развивать только вертикальную реак-
цию (опора на катках) или, устраняя горизонтальные смещения, прилагать
к балке также и горизонтальную реакцию.
1 Предполагается, что все внешние силы, действующие на балку, параллельны
оси и», в связи с чем одно нз трех условий равновесия сил, лежащих в одной пло-
скости, отпадает. Остаются лишь два условия статики: условие равенства нулю
алгебраической суммы всех внешних нагрузок н реакций, действующих на балку,
и равенства нулю суммы моментов всех сил относительно какой-нибудь точки.
142
Изгиб балок
[Гл. V
2. Смещающаяся опора, проседающая под действием давления на нее.
Предполагается, что между просадкой опоры и реакцией существует линей-
ная зависимость
t = -AR.
Коэффициент пропорциональности А принимается всегда положитель-
ным и называется коэффициентом податливости при про-
садке; физически А представляет собой прогиб, вызванный единичной
силой, и имеет размерность мм/т, см!кг и т. п. Принимается, что опора
с тем же коэффициентом А препятствует не только опусканию, но
и подъему надопорного сечения балки*. Повороту оси балки эта опора
совершенно не препятствует.
3. Опора, осуществляющая абсолютно жесткую заделку, т. е. полностью
устраняющая как прогиб балки у опоры, так и угол поворота.
4. Опора, упруго препятствующая повороту оси балки и полностью
устраняющая прогиб. Момент, прилагаемый опорой к балке, принимается
прямо пропорциональным углу поворота:
.. 1 dw dw ..
М =-----j- или -.= аМ.
a dx dx
Коэффициент пропорциональности а называется коэффициентом
податливости при повороте и имеет размерность l/тм, 1/кгсм.
5. Опора наиболее общего типа, упруго препятствующая как проседанию
(с коэффициентом податливости А), так и повороту оси балки у опоры
(с коэффициентом а).
Опоры первых двух типов могут прилагать к балке только силу — реак-
цию; остальные — как реакцию, так и реактивный момент. ' ,
Иногда вместо коэффициента податливости при повороте вводят коэф-
фициент заделки х, представляющий собой отношение момента,
фактически осуществляемого опорой, к моменту, который имел бы место
на опоре, если бы угол поворота у опоры отсутствовал (т. е. к максимально
возможному моменту при абсолютно жесткой заделке).
Для симметрично загруженной двухопорной балки с одинаковой за-
делкой концов (аправ = алев — а)
Определение коэффициентов А, а, хсвязано чаще всего с анализом
работы конструкции, соседней с рассматриваемой балкой. Коэффициент
податливости при повороте, а следовательно, и коэффициент заделки, зави-
сит не только от конструкции соседних балок, но и от нагрузки на них.
Проседающей опорой может являться, например, балка поперечного направ-
ления, работающая на изгиб, упругая оттяжка и т. п.
(ИЗ)
Изгибающие моменты и срезывающие силы
Если опорные реакции тем или иным способом найдены и, следовательно,
известны все внешние силы, действующие на балку, то для определения
напряжений необходимо знать величину изгибающего момента и срезываю-
щей силы в соответствующем сечении балки.
* Знак минус необходим ввиду того, что при положительных прогибах, т. е.
при опускании опоры, реакция опоры, препятствующая опусканию, направлена
вверх и, в соответствии с принятым правилом знаков, отрицательна.
§ 19] Опоры, изгибающие ’моменты и срезывающие силы 143
Изгибающий момент в любом сечении может быть получен как сумма
моментов всех внешних сил (в том числе и реактивных усилий), действую-
щих по одну сторону от рассматриваемого сечения относительно этого
сечения.
Срезывающая сила в любом сечении есть алгебраическая сумма всех
внешних сил (в том числе и реакций), действующих по одну сторону от
рассматриваемого сечения.
. Изгибающий момент М и срезывающая сила V могут быть представ-
лены в виде функций от координаты сучения [уравнение изгибающих момен-
тов М = f(x) и уравнение сре-
зывающих сил V = »(х) ] и иллю-
стрированы графически (эпюры
изгибающих моментов и срезы-
вающих сил).
При составлении уравне-
ний изгибающих моментов и
срезывающих сил в случае од-
ной или нескольких сосредото-
ченных сил или прерывистых
распределенных нагрузок по
соображениям компактности и
общности (для того чтобы не
выписывать для каждого участ-
ка особого уравнения), приме-
няют условную запись проф.
И. Г. Бубнова — вертикальную
черту с индексом а, которая
обозначает, что для участка от
х = 0 до х — а должны быть
приняты во внимание лишь
слагаемые, стоящие левее этой черты, а все стоящее правее для этого
участка не принимается во внимание. Для участка х^>а принимается
во внимание все, т. е. как выражение левее черты, так и правее ее.
Например, для балки, изображенной на рис. 45, a, J имеющей три
участка, вместо уравнений
М1 = Р1х для 0<х<;а,
Л12 = /?1х — Р(х — а) для а <х<6,
и
М3 = Р1х — Р(х— a) + ~q(x—b)2 для fc<x</
пишут
Л1 = /?1Х — | Р(х — а) +
q(x — b)2.
ь z
(а)
Последнее выражение в случае необходимости дифференцируют и инте-
грируют обычным путем. При интегрировании, однако, необходимо писать
произвольные постоянные не в конце выражения, а в
начале (чтобы они относились ко всем участкам) и само интегриро-
вание вести без раскрытия скобок (чтобы для всех участков
произвольные постоянные были одинаковыми).
144
Изгиб балок
[Гл. V
Для рассмотренного примера
™ I
Зх^П
rfix—b),
(б)
jWx = C+^^—। /’(x fl)2
b
(Jjx — b)3
6
X3
P (x — <?)’
6
g(x—fe)«
24
2
ь
ь
• о о
Эпюру изгибающих моментов принято строить, откладывая моменты
от оси балки в сторону растянутых волокон, т. е. вверх — при положитель-
ных моментах (рис. 45,6), а ординаты срезывающей силы — в сторону фак-
тического действия ее на правую отсеченную часть. На рис. 45, б и в по-
казаны эпюры М и V для указанных на рис. 45,а числовых данных.
Между интенсивностью распределенной нагрузки, срезывающей силой
изгибающим моментом в любом сечении существуют зависимости:
dVd2M
dx dx2
dM
dx
(П4)
Vdx— J J qdx2
V = J qdx
Таким образом, уравнение срезывающих сил может быть получено
как непосредственно, так и путем дифференцирования уравнения изгибаю»
щих моментов. Например, выражение (6) представляет собой уравнение сре-
зывающих сил балки, для которой момент задан уравнением (а).
Расчет балки может выполняться для определения напряжений в любой
точке балки, а также для разыскания прогибов любой точки оси балки.
В следующем параграфе и рассматриваются эти две задачи.
§ 20. НАПРЯЖЕНИЯ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Нормальные напряжения
На основании гипотезы плоских сечений нормальное напряжение,
возникающее при изгибе в любой точке любого поперечного сечения балки,
равно
a-yZ, (115)
где:
М—изгибающий момент в данном сечении (А4у— для изгиба в вер-
тикальной плоскости);
I— момент инерции площади сечения относительно главной цен-
тральной оси сечения, перпендикулярной плоскости изгиба,.—
плоскости действия изгибающего момента (7у — для изгиба
в вертикальной плоскости);
— координата рассматриваемой точки сечения (от главной цен-
тральной оси сечения, перпендикулярной плоскости изгиба).
§ *)]
Напряжения и перемещения
145
В соответствии с формулой (115) нормальные напряжения одинаковы
для всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от главной цен-
тральной оси, на самой оси отсутствуют (отчего эта ось называется ней-
тральной) и по высоте меняются по линейному закону. Нейтральная
ось проходит через ц. т. сечения1.
Наибольших значений нормальные напряжения достигают в тех сече-
ниях, где действует наибольший изгибающий момент, и в точках сечения,
наиболее удаленных от нейтральной оси.
Для вычисления наибольших напряжений в сечении пользуются фор-
мулой
М
W ’
где W= —------минимальный момент сопротивления.
%макс
Касательные напряжения
Для балок, составленных из прокатных профилей и листов, сечение
которых представляет собой тонкостенный односвязный контур, касатель-
ные напряжения на поперечных сечениях могут быть с достаточной точ-
ностью вычислены по формуле
7F
(П6)
где:
V — срезывающая сила, действующая в сечении (Vz — для изгиба
в вертикальной плоскости);
/ — момент инерции сечения относительно нейтральной оси (1у — для
изгиба в вертикальной плоскости);
.S — статический момент относительно нейтральной оси части пло-
щади поперечного сечения, мысленно отсеченной от профиля
путем проведения через точку, в которой определяется напря-
жение, линии кратчайшего разреза;
t — толщина профиля в рассматриваемой точке по линии кратчай-
шего разреза.
При определении касательного на-
пряжения, действующего по линии
(рис. 46), кратчайшим разрезом будет
NN\ статический моментS следует вы-
числить для заштрихованной площади
A BCD (умножая эту площадь на
расстояние ее ц. т. до нейтральной
оси) и толщину сечения принять рав-
ной t = AD. Для напряжений по
N
1 В балках с сильно развитыми по ширине поясками нормальные напряжения
неодинаковы при одном и том же z (гипотеза плоских сечений для них не оправды-
вается). Однако эта неравномерность нормальных напряжений по ширине не превы-
шает, как показали исследования проф. П. Ф. Папковича, 4% даже для сечений
с такими широкими поясками, какие свойственны поперечному сечению корпуса
судна. Поэтому в дальнейшем прн расчетах балок и при определении нормальных
напряжений, вызванных общим изгибом судна, применяется формула (115).
10 Учебный справочник
146
Изгиб балок
[Гл. V
сечению ЕК статический момент надо вычислить для заштрихованной на
рис. 46 справа площади1.
По толщине стенки или полки (по линии AD или ЕК, рис. 46) каса-
тельные напряжения приблизительно одинаковы и направлены параллельно
контуру сечения.
На рис. 47 показан общий характер распределения касательных напря-
жений по двутавровому и коробчатому сечению при вертикально направ-
денной срезывающей силе.
В полосах, составляющих
профиль и параллельных
срезывающей силе, напря-
жения направлены в сторо-
ну действия срезывающей
силы и величина их изме-
няется по параболическо-
—у му закону, достигая мак-
симума у нейтральной оси.
В полосах, перпендику-
лярных срезывающей си-
ле, напряжения распреде-
лены по линейному закону,
В двутавре, положен-
ном плашмя, напряжения
в стенке отсутствуют, так
как статический момент S
Рис. 47
части профиля для любого сечения NN равен нулю (см. рис. 47,а).
В швеллере, изгибаемом в плоскости наименьшей жесткости
(см. рис. 47,6), напряжения в стенке равны нулю на оси симметрии и линейно »'
увеличиваются в обе стороны от этой оси. В полках напряжения распределены
по параболическому закону и до-
стигают максимума на нейтраль-
ной оси.
Эпюры касательных напряже-
ний, характеризующие величину
напряжений, принято откладывать
вправо от направления напряже-
ния.
Напряжения в полках швел-
лера, срезаемого параллельно стен-
ке (рис. 47,в), не уравновешивают
друг друга и приводятся к паре.
Элементарные усилия в стенке
приводятся к силе, проходящей
посредине толщины ее. Эта сила
и упомянутая выше пара эквивалентны силе, проходящей вне габа-
ритов профиля. Таким образом, для распределения скалывающих уси-
лий по сечению швеллера в соответствии с формулой (116) и рис. 47,в необ-
ходимо, чтобы линия действия срезывающей силы проходила через точку С,
называемую центром сдвига2. В противном случае на напряже-
*’ Разумеется, можно вычислять статический момент любой из отсеченных
частей: статические моменты заштрихованных и незаштрихованных частей равны
по абсолютной величине.
2 Иногда эту точку называют также центром жесткости или центром
изгиба.
§ 20]
Напряжения и перемещения
147
ния (116) необходимо наложить напряжения от скручивания (см. §.18).
Если срезывающая сила проходит по стенке, напряжения от скручивания
в несколько раз превышают напряжения от сдвига и должны быть обяза-
тельно учтены.
Центр сдвига есть точка, вокруг которой вращается равнодействующ
щая внутренних касательных сил при изменении наклона срезывающей силы,
или, что то же, — точка, через которую проходят срезывающие силы раз-
личного по отношению к профилю сечения направления, не вызывая напря-
жений скручивания \ Центр сдвига всегда лежит на оси симметрии, а
в случае, если сечение имеет две оси симметрии, совпадает с ц. т.
При срезывании закрытых профилей (тонкостенных труб) силой, про-
ходящей по оси симметрии (рис. 48), достаточно рассмотреть половину сече-
ния под действием половинной срезывающей силы8 или, что то же, вычислить
напряжения по той же формуле (116), вводя в нее полную срезывающую
силу V, момент инерции всего сечения /, толщину сечения в данном месте,
и только статический моментS определить, учитывая половину сечения. На
рис. 48 заштрихованы площади, статический момент которых следует ввести
в формулу (116) для определения напряжений в точках А и В
VSn., АС VВОЕ
' е, - 11Л -
Главные напряжения
При проверке прочности балки, подверженной действию изгибающих
моментов и срезывающих сил, необходимо разыскать наиболее опасное сече-
ние по длине балки и в этом сечении найти наиболее напряженную точку.
В этой точке,, вообще говоря, будут действовать нормальные напряжения
(115) на поперечном сечении и касательные напряжения (116) как на попереч-
ном сечении, так и (по закону парности касательных напряжений) на про-
дольном сечении.
Необходимые для проверки прочности главные напряжения будут равны:
=i = y + y/=>1 2 + 4-2; с2 = 0
(П7)
Нельзя дать точного рецепта разыскания опасной точки, так как все
зависит от комбинации эпюр изгибающих моментов и срезывающих сил.
Можно лишь дать следующие общие указания:
1) необходимо проверить крайние волокна на нормальные напряже-
ния в районе действия Ммакс',
2) у многопролетных и защемленных балок следует проверить опорные
сечения, где могут иметь место значительные изгибающие моменты и срезы-
вающие силы;
3) в обоих случаях надо проверить район примыкания полки и стенки
по формулам (117);
4) в районе действия наибольшей срезывающей силы необходимо про-
верить напряжения на нейтральной оси; касательные напряжения там
максимальны, а главные по формулам (117) равны
32 = 0, а3 = — т.
1 Для разыскания центра сдвига достаточно рассмотреть два взаимно-перпен-
дикулярных направления срезывающей силы.
2 Поскольку напряжения на оси симметрии (в точках С и Е рис. 48) отсутст-
вуют. :•
ЮТ®
148
Изгиб балок
[Гл. V
Упругая линия
Общий прогиб балки в каком-нибудь сечении складывается
из прогиба w, вызванного нормальными напряжениями изгиба, прогиба
от касательных напряжений и, наконец, смещения ш2, вызванного про-
седаниями опор .
И’полн = W + + и>2.
Основную часть обычно составляет прогиб w от нормальных напря-
жений, связанный с изгибающим моментом М, модулем упругости Е
и моментом инерции / сечения бфлки относительно главной центральной
оси, перпендикулярной к плоскости изгиба, дифференциальным уравне-
нием
Е1~ = М, (118)
ах2
или, учитывая (114) и считая балку призматической:
dx4
(Н9)
Правые части этих уравнений (М, V, q) представляют собой известные
функции от координаты х, поэтому интегрирование не представляет за-
труднений и всегда может быть выполнено. Например, при интегрировании
уравнения (118) получим:
X X
w = D + Cx + ~A (* Mdx2.
Ei ] J
b о
Произвольные постоянные интегрирования находятся из гранич-
ных условий. Так, например, для балки, лежащей на двух ножевых
опорах (1-го типа), постоянные при интегрировании уравнения (118)
могут быть найдены из условия равенства нулю прогибов на обеих опо-
рах: 1) w = 0 при х = 0 и 2) w = 0 при х = I. Для балки, абсолютно
заделанной одним концом, прогиб и угол наклона упругой линии равны
нулю на опоре и т. д.
При интегрировании уравнения (119) получится четыре постоянных,
поэтому необходимо иметь всего четыре граничных условия. Помимо про-
гибов и углов поворота, граничными условиями могут быть известные зна-
чения изгибающих моментов или срезывающих сил на опорах. Вообще, для
каждого конца балки всегда можно написать два условия. На рис. 49 при-
ведены граничные условия для различных закреплений концов балок с уче-
том принятых правил знаков.
Прогиб w± от касательных напряжений связан с модулем упругости
2-го рода G и площадью стенки F уравнением
dw± V *
dx GF ’
(120)
* Уравнение (120) является приближенным и выведено путем осреднения каса-
тельных напряжений по высоте профиля. Доказано (см. П. Ф. Папкович, Строи-
тельная механика, ч. 1, стр. 82), что приведенная площадь профиля, которая
фактически должна была бы стоять в знаменателе формулы (120), близка к действи-
тельной площади стенки.
§ 201
Напряжения и перемещения
149
Постоянная С есть некоторый независимый от х угол поворота балки
Постоянная С и получающаяся в результате интегрирования произ-
вольная постоянная D
кг = П + Сх—~\ Vdx
(jr 1
b
определяются из граничных условий.
Прогибы от касательных напряжений Wj обычно весьма малы по
сравнению с прогибами от нормальных напряжений w и для большинства
балок ими можно пренебречь. Только для очень коротких и высоких
aPU 1-0 л ПР1*
Ш-Ш*=0 Ъ--------------------------------иг"=^0
и=-ЯЕ1иг“£
ui‘=dEIw" 5
иг=0
* 1 uf=-aEIw“
Рис. 49
балок, с высотой h, большей ~ пролета I, прогиб от касательных напря-
1 о
жений может превысить 5% от прогиба, вызванного нормальными на-
пряжениями.
Третья составляющая полного прогиба — прогиб от просадки опор
— выражается уравнением
ш2 = Л + (/2-Л)~,
(121)
где /1, /а — проседания левой и правой опор.
Пример. Построить упругую линию балки, показанной на рис. 50, учитывая
все три составляющие полного прогиба; коэффициенты А для обеих опор считать
равными 0,3 мм)т.
Находим опорные реакции:
Ъ 1,2
= — ~у Р = — 20’6 = —3,6 т; /?2 = — 2,4 т.
Прогибы от нормальных напряжений могут быть найдены с помощью уравне-
ния (118)
b
EIw” = Л1 = — -у Рх 4- Р (х — а),
РЬх3 I 1
EIw=D + Cx — + -^Р(х-а)3.
о I „ о
150
Изгиб балок.
[Гл. V
Из условия: t» = 0 при х = 0 находим D — 0. Из условия: w = 0 при х — 1
иаходим
РЫ3 1 РЬ
0= Cl Р (I -а)3 .... С = Qi (Р - Ь3).
Следовательно:
Р13 [Ьх^ Ь3 \ ] /X — а \3~]
w = 6£7 [ТTV~'2 — 12 /+ |ак 1 ) J
Подставив числовые данные
Е = 20 mfMM3,
h3 ' f \ 242 / 19 2\
Z = y (А+ б^) = ^( 12 4-1-^2 880 сл4 = 2,88-10’ мм*
и другие, получим
Последнее выражение представляет собой уравнение двух кубичных парабол,
х
переходящих одна в другую при -у = 0,4. Сами параболы могут быть построены
х
по точкам, соответствующим различным значениям вычисления приведены в ни-
жеследующей таблице.
X ~Г I3 X3 0,64— О,6у(0.64— _ х2 \ "К/ / х X* Г^-0,4 [....I w ~ — 13.9 [...J мм
0,0 0,00 0,64 0,000 0,000 0,00
0,2 0,04 0,60 0,072 — 0,072 1,00
0,4 0,16 0,48 0,115 0,000 0,115 1,60
0,6 0,36 0,28 0,102 0,008 0,110 1,53
0,8 0,64 0,00 0,000 0,064 0,064 0,89
1.0 1,00 —0,36 —0,216 0,216 0,000 0,00
По данным крайних колонок построена упругая линия от нормальных напря-
жений (рис. 50, б).
Переходим к вычислению прогибов от смещения опор.
Смещения опор
А = — AR = — 0,3 (—3,6) = 1,08 мм,
f2 = 0,72 мм.
Уравнение упругой линии от смещения опор будет иметь вид:
Ц'а = 1,08-4 (0,72 — 1,08) ~j~ : 1,08 — 0,36 {мм).
Упругая линия, соответствующая этому уравнению, показава на рис. 50, в.
Наконец, для упругой линии от касательных напряжений по уравнению (120)
имеем:
dwl 1 1
~dx = C~GFV = C~GF
I
Wi = D 4- Cx — -др
P (x — a)
a
Условия k'i = О при x = 0 и при x = l дают С = D = 0.
Следовательно:
__ Р/ R x I /х а'
GF I Z Z — {Т~Т
l la \ 4
§ 20]
Напряжения и перемещения
151
Подставляя G = 8 т'мм1, F = 240-8 = 1 920 мм* и другие числовые данные,
получим
Последнее уравнение соответствует двум прямым: одной, отходящей наклонно
вниз от левой опоры и идущей до места приложения нагружающей силы Р, и дру-
X
гой, поднимающейся от точки -у = 0,4 к правой опоре (рис. 50, г). Наибольший
прогиб от касательных напряжений равен
w, мпкг = 0,78-0,^0,4 = 0,19 мм.
1 микс
Суммарная упругая линия wnOjlH = w + показана на рнс. 50, д.
В тех случаях, когда вся упругая линия в целом не нужна и не-
обходимо лишь определить прогиб (или угол поворота) в каком-нибудь
Рис. 50. Определение упругой линии
балки:
а—схема нагрузки и поперечное сечение
балки: 6—упругая линия от нормальных
напряжений; в—от проседания опор; г—
ст касательных напряжений; д—суммар-
ная
Рис. 51
одном определенном сечении, с
успехом может быть применен ме-
тод,. основанный на формулах (65):
дП
--- — (Р
дФ
— частная производная от потен-
циальной энергии по обобщенной
силе равна обобщенному перемеще-
нию, соответствующему этой силе.
Для иллюстрации этого мето-
да приведем два примера.
Пример 1. Определить прогиб
свободного конца заделанной одним
концом балки под действием сосредо-
точенной силы на свободном конце
(рис. 51; показанный на рисунке кон-
цевой момент не имеет отношения к
данному примеру). •
Приняв за обобщенную координату
искомый прогиб левого конца балки f,
следует считать обобщенной силой заданную силу Р (поскольку при приращении
прогиба будет совершена работа б № — Ъ П = Р Ъ f. Потенциальная энергия балки
(случай 4 табл. 22) равна
I I I . ,
ip ip р* с p*ls
П = 2Е1 ) M2dx = 2EI J Wdx = 2T7JxS dx = 2-3£/'
b о b
Следовательно, согласно вышеприведенной теореме, прогиб под силой будет
равен
дП РР_
f= д Р~ЗЕ1 ’
152
И хаб балок
[Гл. V
Пример 2 (использование той же теоремы с дополнительным введением
фиктивных сил).
Определить для предыдущего примера угол поворота свободного конца балки
(см. рис. 51).
Приняв за обобщенную координату угол поворота левого конца балки, необ-
ходимо считать обобщенной силой внешний момент, приложенный в этом сечении.
Добавим временно к внешней нагрузке балки сосредоточенный момент М. Тогда
выражение текущего изгибающего момента примет вид:
М = М + Рх,
а потенциальная энергия балки будет
I J
1 г 1 т
П = 2£7 I М* dx = 2£7 I + Рх^ dx‘
о о
Угол поворота левого конца балки под действием фактической и фиктивной
нагрузок будет по формуле (65)
I
дП 1 С
Е О — д М = El J <М рх^ dx‘
о
Теперь, когда произведено дифференцирование, можно отбросить фиктивную
нагрузку, т. е. положить в последнем выражении М = 0. Искомый угол поворота
левого конца балки, загруженной только силой Р, будет
I
1 С РР
с0= El J Pxdx = 2EI*
о
§ 21. МЕТОДЫ РАСКРЫТИЯ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ
Как определение напряжений, так и разыскание упругой линии балки
возможно лишь после того, как будут найдены все внешние усилия (в том
числе и реакции), действующие на нее. Если уравнений статики недоста-
точно для определения реактивных усилий (сил и моментов), то предвари-
тельно должна быть раскрыта статическая неопределимость.
Все методы, излагаемые ниже, могут быть разделены на две группы.
В первой — за основные неизвестные принимаются силовые факторы (силы,
опорные моменты) и уравнения для их определения имеют деформационный
характер — приравниваются друг другу некоторые перемещения (прогибы
или углы наклона балки). К этой группе относится большинство излагаемых
ниже методов: метод приравнивания перемещений, метод моментов и др.
Ко второй группе относятся методы раскрытия статической неопреде-
лимости, в которых за основные неизвестные выбираются некоторые дефор-
мационные характеристики (прогибы, углы наклона оси балки), а уравне-
ниями .для их определения служат некоторые силовые соотношения (на-
пример, равенство нулю всех внутренних и внешних моментов, приложен-
ных к элементу балки). Из этой группы ниже излагается лишь метод угловых
деформаций, получивший широкое применение в судостроительных расче-
тах (особенно в расчетах рамных конструкций).
Следует заметить, что раскрытие статической неопределимости любой
конструкции может быть выполнено любым методом; существование различ-
ных методов объясняется лишь тем, что для разных конкретных случаев
некоторые методы оказываются более выгодными, чем другие, с чисто вычи-
слительной точки зрения, т. е. приводят к менее трудоемким алгебраиче-
ским и арифметическим операциям. Только этим обстоятельством и объяс-
няется равноправное существование нескольких методов раскрытия ста-
тической неопределимости вместо одного, применяемого во всех случаях.
§ 21] Методы раскрытия статической неопределимости 153
В случае, если конструкция симметрична отнобительно некоторой
плоскости или оси, раскрытие статической неопределимости значительно
упрощается, хотя бы нагрузка и не обладала симметрией. Об этих упро-
щениях — см. главу VI.
Метод приравнивания перемещений
При раскрытии статической неопределимости по методу приравнивания
перемещений необходимо прежде всего мысленно отбросить лишние опорные
закрепления и заменить их реактивными усилиями (силами или моментами).
Эти реактивные усилия и принимаются в методе приравнивания перемеще-
ний за основные неизвестные, для определения которых необходимо соста-
вить соответствующее количество уравнений.
Если отброшена свободная опора, необходимое уравнение можно по-
лучить, приравнивая прогиб в точке расположения опоры нулю (для
непроседающей опоры) илй — AiRl (для смещающейся):
f (<?) fi (₽i) - f2 (Я2) + - 4- ?i (Мг) + ?2 (М2) + ... = - At R,
В полученное уравнение входят все неизвестные лишние реактивные
усилия: силы Rlt Rz, ... и моменты Mlf М2, ...
Для отброшенного защемления (в опорах, препятствующих углу по-
ворота или устраняющих его) аналогичное уравнение составляется путем
приравнивания углов поворота:
s-' (Ql — т ^'2 (Rz) + ••• т ai (МО + «2 (М2) + ... = а(М(-.
Следует заметить, что число уравнений точно равно числу лишних
неизвестных реактивных усилий, а сами уравнения, во-первых, будут ли-
нейными и, во-вторых (если их со-
ставить в определенном порядке и в
том же порядке расположить неиз-
вестные), — каноничными, что значи-
тельно облегчает их решение (см.
стр. 80).
Пример 1. Раскрыть статическую
неопределимость балки, показанной на
рис. 52,а. Коэффициент податливости
средней опоры принять равным А=1,1 мм/т
и EI = 3 000 тмг.
Отбрасывая среднюю опору и защем-
ление в правой, принимаем за неизвестные
реакцию средней опоры R и реактивный момент на правой опоре (рис. 52, б).
Пользуясь табл. 25 (случаи 2, 3, 4 и 7) и следующими, получим для прогиба
в середине пролета
Q1* 1 И
48EI 2 I 4
Аналогично для угла поворота на правой опоре получим
QZ2 Pl* I* I
— 0,2188 ттг, — 0,3570 тп — 0,3750 f~et R ~ М = 0.
bt! bcl bcl AL!
После умножения обоих уравнений иа 100 Е1 и деления первого из них на Z8,
а второго—на Z2 получим два уравнения относительно неизвестных R и М:
100 AEI \ „Л4
1 \ Р1* 1г Is
2 - -jr -J- 0,0165 тт -J-0,0625 тт М -1- 0,0208 т1 R = — AR.
4 1 Г.1 Г.1 Г 1 ~
— 1,300 Q — 1,65 Р;
М
6,25 R + 33,33 у = — 3,63 Q — 5,97 Р.
154
Изгиб балок
[Гл. V
Подставляя числовые данные и решив уравнения, найдем:
R = —4,38 т и М = — 10,7 тм.
После этого нетрудно найти остальные реакции, построить эпюры изгибающих
моментов и срезывающих сил, иайти опасное сечение и расчетную точку на нем
и проверить прочность.
Точно так же, если необходимо, можно построить упругую линию.
Метод моментов
В методе моментов за основное статически неопределимые величины
принимаются изгибающие моменты, действующие в балке у опор: Л40,
М1г МЛ, М/, Мр..., Мт, Мп (рис. 53).
Если промежуточные опоры являются свободными не проседающими
(1-го типа), а крайние — не проседающими и упруго препятствующими
Рис. 53
повороту (4-го или при а = 0—3-го типа), то раскрытие статической неопре-
делимости приводится к решению системы уравнений, в каждое из которых
входит не более трех последовательных неизвестных моментов (поэтому
данный метод называется методом трех моментов). Указанная
система уравнений имеет вид:
для левой (0-й) опоры
2 (/01 -4- 3 а0Е1) Мо + /01= 6 EI [<х0 (Qol)]
ДЛЯ i-Й опоры
lhiMh -2(1Ы + ltJ) М{ + 1иМ, = 6 EI [- а,- (QJ + а/ (Qy)]
для правой (п-й) опоры
lmn МЛ -4- 2 (1тп + 3 апЕ1) Мп = 6. EI [- а„ (<?от„)]
(122)
Здесь: •
а0, ап — коэффициенты податливости при повороте соответственно край-
ней левой и крайней правой опор (для остальных опор а = оо);
угол поворота упругой линии балки на i-й опоре, вызванный
нагрузкой на пролете hi (т. е. нагрузкой Qw) в предположении,
что балка на этом участке свободно оперта на непроседающие
опоры (см. рис. 53 внизу);
a/(Qy) — угол поворота у той же i-й опоры, но от нагрузки Qy на про-
лете ij при тех же допущениях.
Углы поворота от нагрузок входят в уравнение с присущими им зна-
ками (-)- по часовой стрелке, —против часовой). Таким образом, если
§21] Методы раскрытия статической неопределимости 155
нагрузка действует сверху вниз, то все члены правой части уравнений (122)
оказываются положительными:
at-(Q0)>o.
Уравнения (122) составляются только для тех опор, где в балке могут
возникнуть изгибающие моменты. В частности, если крайняя опора является
опорой 1-го типа (изгибающий момент в балке у этой опоры равен нулю),
для нее соответствующее уравне-
ние составлять нельзя.
При составлении уравнения
для промежуточной (х-й) опоры
полезно запомнить следующую
словесную формулировку уравне-
ния (122).
Длина левого пролета, умно-
женная на левый момент, плюс
удвоенная сумма длин соседних про-
летов, умноженная на текущий
момент, плюс правый пролет,
умноженный на правый момент,
равняется шести жесткостям
(6ЕГ), умноженным на сумму углов
на рассматриваемой опоре от на-
грузок слева и справа.
Найдя из системы (122) опор-
ные изгибающие моменты, можно
путем наложения построить эпюры изгибающих моментов, а если это
необходимо, найти опорные реакции и срезывающие силы.
Изгибающий момент в пролете hi выражается уравнением
Al = Mh -4- (М, — + M (Qhi). (123)
*hi
Первые два члена правой части последнего выражения соответствуют
прямой линии, которую легко построить, отложив у опор h и i момен-
ты МЛ и (в сторону растянутых соответствующими моментами волокон)
и соединив их прямой. От указанной прямой линии следует отложить
эпюру от внешней нагрузки на этом пролете (в сторону растянутых этой
нагрузкой волокон, т. е. в сторону действия нагрузки), вычисленную
в предположении, что обе опоры ножевые. Результирующими будут
моменты, отсчитанные от оси балки.
Опорные реакции, необходимые для построения эпюры срезывающих
сил, находятся по формуле 1
п , Mh — Mt м.—м.
Pi - Pi ---7------- ----
lhi lij
где о,—реакция на х-й опоре от нагрузок на двух соседних пролетах
(Qftl и Qo) в предположении, что балка над опорами разрезана.
Пример. Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюры для балки,
показанной на рис. 54.
Уравнение для 0-й опоры (поскольку а0 равно нулю)
2 /01 Л1(, -J- /01 Mi — 6 El I a g I .
1 Напоминаем, что R, и р, считаются положительными при направлении сверху
вниз.
156
Изгиб балок
[Гл. V
Подставляя числовые данные и пользуясь табл. 30 для нахождения а, получим
10 Л40-J-5 ТИл = 0,2645 Q/2 = 26,4. (а)
Уравнение для первой опоры
Г / Q/2 \ Р/2 ']
5 Л10 + 2 (5 + 3,2) Л<! = 6 £/ — I — 0,2155 j -j- 0,3750 I .
5Л10+ 16,4 Мх = 33,1. (б)
Решив систему (а), (6), получим: Л40 = 1,925 тм и Мг = 1,430 тм.
От точек 0,1 откладываем вверх (поскольку Л40, Mi — положительны *) в мас-
штабе Мо и Ah н проводим ломаную АВС (рис. 54 внизу). От этой ломаной вниз
(так как от нагрузок Q и Р растянуты Ьгажиие волокна) строим эпюры моментов
от Q и Р; например, для второго пролета от середины ВС откладываем
Р1 Л
~г = 2,4 тм.
4
В случае, если моменты инерции балки различны на каждом из про-
летов /01, /12....1тп (но на протяжении пролета постоянны) и опоры не
находятся на прямой линии, а имеют заданные смещения /0, /1, ...,/„
(4-при смещении вниз), вместо системы (122) надо пользоваться сле-
дующей:
2 (/от А 4- 3 с0 Е10\ Мо 4- /01 Л11 =6 Е10 а0 (<?ет) + 6 ^10
\ 101 I *01 Z01
А Л1А - 2 (1М 4- 1и 1 °- ) Я- 4- 1и Г Mi = 6 £/о [ - “«' +
* hi \ * hi * ij / * ij
+ад -6 ei0 4- e eiJj^
lhi
(125)
lmn r~Mm + 2 (lmn £-+3a„ EI0\ Mn = - 6 EI0 an (Qmn) +
\ 1mn /
+ 6EI0f-^p^
Здесь Io — любой момент инерции, введенный для удобства вычис-
лений.
Более сложная система уравнений, в каждое из которых входит' до
пяти последовательных опорных изгибающих моментов, применяется в том
случае, если некоторые из’ промежуточных опор являются проседающими
опорами 2-го типа (см. рис. 44); крайние опоры могут быть при этом опо-
рами наиболее общего (5-го) типа.
Для левой (0-й) опоры:
ИЧг А + 3 а0 Е10\ 4- 6£/о(^о + л») | Мд +
L \ у01 / /01 J
, Г, /о 6Е70(Д04-А) 6Е4ДД „ ,
“Г I г01 г Л . , 741 I
[ 01 *01 *01 *12 J
, 6 EI0 Ai д4 Сс.г_//-1^|6 EI0 t Л л \
, ~; 7 Л4г — 6 EIс a (Qol) -| (Ао р0 — Лл рл)
*01*12 *01
1
(126)
Отрицательные надопориые моменты откладываются вниз.
§ 21]
Методы раскрытия статической неопределимости
157
Для любой промежуточной (х‘-й) опоры:
6EI0Ah GEI^A^A,) 6EZ04f 1
^h‘ thill] J
I
hiI
‘hi
6EI0A
I I s ‘
* trh • hi
, 6Е/О(ДЙ+Д) 12£Z„A ,
I hl I hi lij
6£/„(Д.+ДЛм ,
fi-
ll!
f Io GEIoAj GEI^A^A,) 6EI0Aj\ M
. iJIij Ihfii] & kjljh Г -
~ Ц^~Мк ^-GEI0 a, (Qft/) + 6 EIa,(Qy) |
lij l/k
+ (A-ь- Ahoh) + (4lPi- Д/Р/) *
lhi
. (126)-
Для последней (n-й) опоры
6Ш0Д Г 10 6Е10Ат 6Е10(Ат + АП)] ,
Т~1-----Щ -г 1тп -----------------------р----— Мт -г
1 тп ‘lm‘mn ‘тп J
- 2 IZ. А 3 апЕ10 Х-^ЕЦ (Ат + А„)
\ тп / 1тп J
= - 6 Е10 Лп (Qm„) + (А„ Р„ - Ат Ри).
Lmn
В этой системе, отображающей метод пяти моментов,
принята нумерация опор в порядке букв латинского алфавита
О, 1, 2, .... в левой оконечности балки;
. . .g, h, i, f, k . ... в середине балки (для х-й опоры);
... I, т, п в правой оконечности.
Все остальные обозначения прежние, как и для метода трех моментов.
Точно так же справедливы и уравнения (123) и (124) для текущего изгибаю-
щего момента в х-м пролете и для реакций.
Геометрически правые части уравнений моментов [(122), (125) и (126)]
представляют собой умноженные на 6£70 углы излома балки у соответст-
вующих опор (положительные, если острие излома направлено вверх),
которые получились бы у балки от поперечных нагрузок, смещения или
проседания опор в предположении, что балка над всеми опорами разрезана.
Уравнения трех и пяти моментов получаются всегда каноническими,
что дает возможность до известной степени контролировать их составление
и сильно облегчает решение (см. стр. 80).
Метод моментов обладает двумя преимуществами по сравнению с мето-
дом приравнивания перемещений: во-первых, в каждое уравнение входят
не все неизвестные, а не более трех или пяти, во-вторых, в результате реше-
ния получаются изгибающие моменты у опор, часто являющиеся и расчет-
ными, тогда как при методе приравнивания перемещений после раскрытия
статической неопределимости моменты надо вычислять дополнительно.
* Применяя это уравнение для первой или предпоследней опор, следует вы-
пустить слагаемые, содержащие длины несуществующих пролетов.
158
Изгиб балок
[Гл. V
Метод угловых деформаций
Если на какой-нибудь пролет многоопорной балки действуют на-
грузки Q/J и концевые моменты Miy и Мд и если, кроме того, известно,
что опоры А, В смещены на величины fit fj и занимают положение A, Bj
(рис. 55, а), то углы поворота концов w\ и w'} легко определить, учиты-
вая причины, их вызвавшие:
Рис. 55
Решив эти уравнения относительно Mi?- и М/7, можно получить:
М/ух=т/у-йг7.(2а/ + <а/-Зфу) 1
Мд = щ7/-^(2^+а>4.-3^) р
где'
М,у—.момент, фактически приложенный к пролету ij балки в точ-
ке i (первый индекс), обусловленный всеми обстоятельствами
изгиба балки—заданными нагрузками, смещениями опор,
устройством балки и опор и т. д. Моменты М/у, Му/ рассматри-
ваются как внешние по отношению к данному пролету и потому
считаются положительными при действии против часовой стрелки
независимо от того, к правому или левому концу пролета они
приложены (оба момента на рис. 55 положительны);
kif— относительная жесткость пролета ij, вычисляемая по формуле
= Г". (128)
'О
в которой /0, 10— произвольные момент инерции и длина, вводи-
мые в расчет по соображениям упрощения вычислений. Удобно
выбрать /0 равным минимальному из пролетных моментов
инерции балки, a Zo — длине наиболее длинного из пролетов;
<в7, ыу — величины, пропорциональные углам поворота (наклона) оси
балки у опор i и /, принимаемые в методе угловых деформаций
за основные неизвестные (размерность тм, кгсм,С действи-
§ 21] Методы раскрытия статической неопределимости 159
тельными углами поворота WtHWj они связаны соотношениями:
со,- = Ко w'i и <1>7 = Ко w'ii
в которых
„ 2Е1о .
Ао — 7 .
«о
- Ф//— Ко
-— ---величина, пропорциональная углу наклона пролета от
смещения опор, т. е. углу между прямыми, соединяющими
опоры после и до приложения нагрузок (см. рис. 55, а);
ту—момент, равный моменту М/у, когда u>i = ш, = = О,
т. е. момент, прикладываемый к балке ij в точке i
(первый индекс), вычисленный в предположении, что
пролет ij обоими своими концами жестко заделан, опоры
имеют одинаковые смещения и что на этот пролет
действует лишь заданная внешняя нагрузка Qy
(рис. 55,6). Моменты ту также рассматриваются как
внешние по отношению к указанному пролету и потому
считаются положительными, если они направлены против
часовой стрелки, независимо от того, к левому или
правому концу пролета они
приложены. Они легко могут
быть вычислены по таблицам
элементов простейших жестко
заделанных балок.
Основные уравнения для определения ве-
личин «> получаются путем составления урав-
нений равновесия. Момент, прикладываемый
опорой, упруго препятствующей повороту, рас-
пределяется на два момента, действующих на
левый и правый пролеты (рис. 56):
М'=|£==М'й + М'>*-
Заменив в этом уравнении моменты МгЛ,
М-у. их выражениями (127), получим систему
уравнений для определения всех ы многопро-
летной балки (рис. 57):
для крайней левой (нулевой) опоры
1
2 ( koi п„ v
\ - «о Ао)
-р &01 Ы1 — т01 "Г 3 koi Фог
для любой промежуточной (i-й) опоры
khi - 2 ( + k.j + 2^) + k‘j =
=mZh - ту - 3 khi + 3 ky Ьу
(129)
для крайней правой (n-й) опоры
kmn ыт 2 ( kmn~\~ тУ~“’л тпт Т 3 kmn фтп
f
В случае ножевых опор Му + М,Л = 0.
160
Изгиб балок
[Гл. V
Уравнения (129) составляются только для тех опор, у которых воз-
можны углы поворота. После решения систем» (129) по формулам (127)
находят изгибающие опорные моменты.
Метод угловых деформаций особенно удобно применять, когда опоры
относятся к категории непроседаюших, т. е. к’1, 3 и 4-му типам (см. рис. 44),
но может быть применен также в случаи, если балка оперта на какие угодно
опоры; в этой общности метода — венозное его преимущество.
При проседающих опорах 2-го или 5-го типа (см. рис. 44) за основ- •
ные статически неопределимые величины, помимо величин, пропорцио-
Рис. 57
нальных углам поворота балки у опор <в0, ш,,..., <лп, выбираются еще
и величины, пропорциональные прогибам %, <₽!,...,
Для определения всех этих неизвестных составляется более сложная
система уравнений из двух групп: в первую группу входят уравнения,
составляемые для каждого неизвестного угла, во вторую — для каждого
неизвестного прогиба.
Для z-й опоры, около которой ней честен угол поворота,
khi + 2 ( khl + k-:j + Tr" i ' kij + 3 khl T~ 4h +
+ (— 3 khi + 3 ) % “ 3 kij ТЪ = mih + mU- (13°)
\ llj f lif
Для Z-й опоры, имеющей неизвестную просадку,
~ 3 khiЛ -Г ( - 3 khi + 3 ki}.^\ + 3 ktj
‘hi \ lhi Ч/ Ч
/\2 Г / / \2 / / \2 /2) / / \2
-вЧ£) »»+K(fc) + 6Ч^)+адГ--6Ч1>=
= -гДо- (J31)
В системе (130) и (131), помимо прежних, введены следующие обо-
значения:
Ко
^0
2 EI
—— величина, пропорциональная фактическому прогибу
опоры f{. Размерность <pz — тм, кгем,... С ранее
введенными величинами ф величины <р связаны
очевидными соотношениями
T^j~ ч>');
•и
(132)
§ 21] Методы раскрытия статической неопределимости 161
az, At— коэффициенты податливости i-й опоры при повороте
и просадке;
rz— реакции, действующие на балку (+ вниз, — вверх),
от внешних нагрузок на двух соседних пролетах
(hi и i/) в предположении, что каждый из этих
пролетов жестко заделан обоими концами и опоры
смещения не имеют. Эти реакции могут быть вы-
числены по формулам, приведенным в табл. 25
(случаи 26—34).
Система (130) — (131) всегда канонична1 11 и решается обычным таблич-
ным способом (см. стр. 80).
Если некоторые из углов или прогибов отсутствуют, то соответствующие
им уравнения не составляются,
прогибы следует положить
равными нулю.
В случае, если прогибы
некоторых из опор заданы,
то соответствующие слагае-
мые как известные должны
быть перенесены в правые
части уравнений.
Например, если прогиб fh
задан, то в правую часть
уравнения (130) следует пе-
а в остальных уравнениях эти углы или
г
i —1
*1.
Рис. 58
чь _ ч ъ f
° КЫ 1 УЛ ~ ° Rhi 1 ‘h’
lhi lhi
ренести величину
а в уравнении (131) величину
в*„(£-УтЛ = в»„Ь.Ь-к,.
\1Ы/ 1М1Ш
Еще раз подчеркиваем, что уравнения типа (130) составляются только
для тех опор, где неизвестен угол (для опор всех типов, кроме 3-го),
а уравнения (131) — только для опор, где неизвестен прогиб (т. е. только
для опор 2-го или 5-го типов, см. рис. 44). Для опор, где угол или прогиб
известны, уравнения (129)—(130) или соответственно (131) составлять нельзя.
Пример. Раскрыть методом угловых деформаций статическую неопределимость
балки, показанной на рис. 58, а, с постоянным по всей длине моментом инерции.
Обозначим крайние опоры цифрами 0 и 2, а промежуточную—цифрой 1.
2
Выбрав Zo = Z12 = -у I, находим
ZeOi=p- = 2 и й„=1.
Z01
Поскольку со0 = о>2 = 0, необходимо составить всего одно уравнение типа (125)
для 1-й опоры:
^01 ’ ^(,1 "г ^12 “Т 9 д’ Т “ ^12 <02 = “Ь ^12 “Ь 3 фот “Ь 3 £12 фта*
Подставив <п0 = со2 — ф01 = ф12 == 0, — 00 и вычислив предварительно
Q 1_ £ _2
3 3 QI 3 Q 3 1 QI
= ~ 12 = — 108 и т1г~ 12 — 27’
1 Что, кстати, является одним из критериев правильности ее составления.
11 Учебный справочник
162
Изгиб балок
|Гл. V
ГЮЛХ'ЧИМ
Ql- Ql
2 (2 > 1 > <»! = — ]Og 4- 27 ,
или
Ql
6“!=36.
откуда
Ql
“1 = 216-
По формуле (127)
И,-; = m -tj (2«, + <’>/)
находим-опорные моменты:
Ql ' Ql\ Ql 1
Mio = "iio — (2 “i + шо) - — 408 — 2 ^2 2I6 ---------36 в cyMMe
Ql / Ql x Ql 'равны нулю
Мц — iiiia ^12 (2 o^i 1 ^2 215 ! ~ 35
Ql ! Ql\ Ql*
M,1 = Ши — ^12 (2 “г i ":,i) — 27 — 1 216 /---------24 ’
Энергетические методы
Одним из приемов раскрытия статической неопределимости, особенно
удобным в тех случаях, когда число неизвестных невелико и выражение для
потенциальной энергии не слишком сложно, является использование прин-
ципа минимума потенциальной энергии под действием внешних 'усилий. ,
Согласно формулам (66), стр. 111 частные производные от потенциальной
энергии упругого тела по статически неопределимым усилиям равны нулю:
^ = 0- ^ = 0-
ЭФ ЭФ и’--'
Выбрав за неизвестные «лишние реактивные воздействия», необходимо
прежде всего оставшиеся реакции выразить, пользуясь уравнениями ста-
тики, через указанные неизвестные и внешнюю заданную нагрузку.
Далее следует составить выражение для текущего изгибающего момента
для всей балки или всех ее частей (если одного общего уравнения составить
нельзя, например, в случаях приложения сосредоточенных сил) в функции
лишних неизвестных и внешней нагрузки.
Для использования формул (66) необходимо затем составить выраже-
ние потенциальной энергии балки в функции внешних заданных нагрузок
и упомянутых статически неопределимых усилий. ,
Потенциальная энергия в случае изгиба, когда изгибающие моменты на
различных участках выражаются различными функциями, равна
(см. табл. 22)
f Ml ,
I 2 El2 dX ' ’ ’
где:
0 Z,
М2, —текущие изгибающие моменты на участках 1, 2,...;
/2,...—моменты инерции балки на этих участках.
При раскрытии статической неопределимости той же балки методом трех
моментов потребовалось бы составить и решить систему трех уравнений с тремя
неизвестными.
§ 21]Методы раскрытия статической неопределимости 163
После составления выражений потенциальной энергии и до интег-
рирования применяют формулы (66), т. е. производят дифференциро-
вание под знаком интеграла. После этого выполняют интегрирование,
в результате чего и получается система уравнений, необходимая для опре‘
деления неизвестных *.
Пример. Раскрыть статическую неопределимость балки, изображенной
на рис. 58,а.
За неизвестные принимаем реактивны^- воздействия на нулевой опоре (силу
и момент) и реакцию на первой опоре. После отбрасывания соответствующих закреп-
лений и замены их указанными усилиями балка станет статически определимой
(смирне. 58,6).
Уравнения текущих изгибающих моментов
Q \ f 1\
М = 1И0 — /?0 X + 21 х2 * — I J /?1 ( х— -д 1 .
3 ' '
Потенциальная энергия
I
з
Три уравнения, раскрывающие статическую неопределимость, имеют вид:
I
j
з
i
3 I
dFl 1- f Qx- - С Г Qxz / I \“] .
dRB = 0 ... | ( Мо RB x-j- 21 ) xrfx j I Mo /?о x-f- 21 Ri (х з у J xt^x
о 4 ' z_L
з
dRx~['"'
dx = О,.
(х-з)](х~ з)
или, что то же:
i I
— ^Мо — Ро х 4- ^j~\xdx-\- J Rx (x — -yj xdx — 0,
'° L ' '
3
1
— Цм0 —/?ox 4-^- —
з
•Возможен, разумеется, и другой порядок—сначала интегрирование, потом
дифференцирование, но обычно выкладки проще, если поступать, как указано
в тексте.
, ПТ®
164
Изгиб балок
[Гл. V
После взятия интегралов получим систему:
/’ „ 2 QZ2
Z^o — 2 — 9 Z® 7?г + 6 ~ О’
Р „ , /’ ,14 Q13
— ~2 мо + з" R0 + si /3/?i — V = °’
2 14 8 17
- О’ + 81 -/3Z?o + 81 - 243 <2'3 = 0.
решая которую, получим:
Q 9
Л1в = 0, 7?0 = Jr, > /?1 = "jg <2*.
Метод сил
Весьма общим приемом раскрытия статической неопределимости яв-
ляется метод сил, основанный на следующих соображениях* 1.
Под действием текущего изгибающего
момента Mt стержень получит кривизну
1 . Mi
Pi
и правое сечение элемента стержня дли-
ной ds по отношению к левому повернет-
ся на угол (рис. 59)
, d s Mt ,
d'-fi = — = ~F^ds.
Pi El
Если на тот же уже изогнутый и на-
пряженный стержень подействует другая
система сил, в рассматриваемом элементе
стержня возникнет дополнительный изги-
бающий момент Mj, который вызовет до-
полнительный поворот сечения:
М-
d.^^ds.
Прежний изгибающий момент
вершит при этом работу
М;М,- J
~er‘ds'
Mi со-
(<2)
а внутренние силы, сопротивляющиеся этому повороту, — работу, такую
же по величине, но обратную по знаку.
* Момент на левой опоре получился равным нулю только вследствие того
соотношения пролетов, которое^имеет место в данном конкретном примере.
1 Метод сил получил очень широкое распространение в расчетах гражданских
сооружений. Однако в судостроительных расчетах метод сил распространен срав-
нительно мало. В связи с этим в настоящем справочнике дано только понятие о нем
с иллюстрацией лишь одной области применения этого весьма общего приема.
§ 21] Методы раскрытия статической неопределимости 165
Для всего стержня работа внутренних сил выразится интегралом
от (а) со знаком минус, а при наличии в системе п стержней суммарная
работа внутренних сил будет равна
где k — номер стержня.
Метод сил базируется на следующей теореме Мора:
Если на напряженное упругое тело, находящееся в равновесии под
действием некоторой (i-й) системы внешних усилий, подействует другая
(j-я) система внешних усилий, вызывая дополнительные перемещения
и деформации, то работа первоначальной системы усилий на этих
дополнительных перемещениях в сумме с работой внутренних сил при
той же дополнительной деформации тела должна быть равна нулю.
Применительно к стержневой системе (с учетом, помимо изгиба
и среза, также продольных сил в стержняхJ) сформулированная выше
теорема может быть математически изображена так:
£-1
в I k
Ь ,|-Е7ГЛ
*=1 о
о
ds —
*=1 о
G(Fnp)k
ds =
0.
£
Здесь первое слагаемое есть работа первоначальных внешних уси-
лий иа дополнительных перемещениях, а остальные—работа внутрен-
них усилий.
Индексы суммирования (g—номер усилия, т—число внешних усилий
i-й системы, k — номер стержня, п — число стержней) обычно опускаются.
(133)
где:
•S, — одно из усилий (сила или момент) одной систе-
мы (i-й);
5,у — перемещение (соответственно линейное или угловое)
точки приложения усилия Sz в направлении этого
усилия под действием новой (j-й) системы усилий;
Л1(, Mj, Tit Tj, V,, — текущие изгибающие моменты, продольные и срезы-
вающие силы в стержне под действием i-й и /-Й
систем сил;
I, F, F„p — момент инерции, Площадь и приведенная площадь
(воспринимающая срез) поперечного сечения стержня
в районе действия текущих изгибающих моментов,
продольных или срезывающих сил.
1 Выражение для работы внутренних сил в случае растяжения и сдвига по-
лучается аналогично выражению (с).
166
Изгиб балок
[Гл. V
Перемещения могут быть найдены, если предположить, что 1-я
система усилий состоит всего из одного усилия Хг= 1; тогда уравнение
(133), если пренебречь продольными и срезывающими силами, даст
% = (134)
Здесь Mt — относительный текущий изгибающий момент в стержне,
обусловленный единичным усилием = 1.
Если вторая система усилий (/-я) также состоит всего из одного усилия
Sf, перемещение о/7 должно быть прямВ пропорционально ему:
Коэффициент пропорциональности может быть найден, если в (134)
положить Sy = 1:
*»=S (|з6)
V
здесь' Mj — относительный текущий изгибающий момент, вызванный уси-
лием Ху = 1.
Для прямых призматических стержней в случае, когда один из мо-
ментов, входящих в формулы (133), (134) и (135), линейно меняется
по длине стержня (как чаще всего и бывает), вычисление интегралов типа
(0
выполняется по правилу Верещагина. Например, если эпюра 7И?- — kx
(рис. 60) линейна, то
= k^M'Xdx = kQ,x° = е,.(Лхр) =
где:
2, — площадь эпюры Л4,-;
хч — абсцисса ее ц.т.;
Л19 —значение Л1у в сечении по ц.т. эпюры
Таким образом,
ЬЧ-М/х = 2,-МО.
§ 21] Методы раскрытия статической неопределимости 167
т. е. искомый интеграл равен произведению площади криволинейной эпюры
на ординату прямолинейной эпюры в сечении по ц. т. криволинейной.
Раскрытие статической неопределимости с использованием формул
(134) и (135) по идее не отличается от описанного выше метода приравни-
вания перемещений и состоит в использовании положения о том, что
суммарное перемещение, вызванное всеми нагрузками по направлению
какого-либо «лишнего» усилия, равно нулю.
Нужно прежде всего сделать конструкцию балки статически опреде-
лимой, отбросив лишние закрепления, и принять соответству ющие усилия Sj,
.......S;,.... Sm за лишние
неизвестные.
Далее следует рассмотреть
конструкцию — уже статически
определимую — при действии
порознь: внешней нагрузки Q *,
усилия = 1, усилия S2 = 1
и т.д. и для каждой из этих
нагргзок построить эпюры: Mq,
Пользуясь этими эпюрами
и приемом Верещагина, надо
вычислить по формулам (134) и
(135) все необходимые и о/у-:
41. Чг. Чз, - - • °1-п> Чр
41 Д-s. ---
г , Д , ... г о о
1’ mQ
Окончательные уравнения,
на основании указанного выше положения, равносильного принципу воз-
можных перемещений, будут иметь вид:
41-^1 Ч_ -$2 — о13 S3 4- ... o1(2=0
-r So -r ... -p G2in Srn 4- '4Q — 0
(136)
' ml $1 $2 -+ Gm3 S3 4- . . . 4- Sm 4- emQ = 0
Пример. Раскрыть статическую неопределимость балки, показанной на рис. 61
вверху.
Отбрасывая левую реакцию 5П строим эпюры изгибающих моментов от Q
и Si= 1 для консольной балки.
Вычисляем: _ 112 Р
41 = ЁТ ~2Р 3" 1 = ЗЁГ1
_ _ 1 QP 3 QP **
r'lQ~~EI = ‘
Система (136) б\дет состоять всего из одного уравнения
Р ОР
3£/ S1~ 8Е/ ~°’
отсюда
si = 8" <2-
* Под символом Q понимается совокупность всех заданных нагрузок и реакций
от нее, действующих на конструкцию.
** Центр тяжести параболы второго порядка отстоит на - Z от левой опоры
балки. 4
168
Изгиб балок
[Гл. V
§ 22. ТАБЛИЦЫ ЭЛЕМЕНТОВ ИЗГИБА ПРОСТЕЙШИХ БАЛОК
Во всех таблицах даны элементы изгиба балок, вызванные только
нормальными напряжениями. Прогибы и углы поворота от касательных
напряжений и от смещения опор не учтены.
В табл. 25 начало координат принято на левом конце балки. Положи-
тельное направление нагрузок Р, Q, q, опорных реакций Я1, Дг, срезываю-
щей силы V (при действии ее на правую отсеченную часть) и прогибов w—
вниз.
Положительное направление текущеф изгибающего момента М (при
действии его на правую отсеченную часть балки), опорных реактивных
моментов Мъ Мг и внешних сосредоточенных моментов М — против часо-
вой стрелки, углов — по часовой стрелке.
В выражениях для упругой линии, углов поворота и текущих изги-
бающих моментов члены, стоящие за вертикальной чертой, относятся
лишь к сечениям, для которых х а.
Индексы 1, 2 относятся соответственно к левой и правой опорам
(т. е. при х — 0, х — I).
На эскизах (схемах нагрузки балок) эпюры изгибающих моментов пока-
заны сплошными линиями и отложены в сторону волокон балки, испыты-
вающих растяжение.
Эпюры срезывающих сил даны пунктиром и отложены в сторону дей-
ствия срезывающей силы на правую отсеченную часть.
В т а б л. 26 приведены коэффициенты прогибов свободно опертой на
две опоры балки под действием на нее сосредоточенной тсилы при любом рас-
положении ее между опорами.
В таблице даны коэффициенты у, увеличенные в 105 раз в зависи-
(х \
-j-j и точки приложения сосредоточенной
/ а \
силы ( у ) в формуле
РР
Таблица разделена наискось на две части: для верхней следует поль-
зоваться аргументами, расположенными по левой и верхней сторонам кон-
тура таблицы, для нижней — по правой и нижней.
На основании теоремы взаимности аргументы, характеризующие
(х\ / а \
у I и силы I у I , можно менять местами:
(х а\ /а х \
7 ’ 7) ~ Y \ 7 ’ ~Т) ‘
Точно так же оба аргумента можно вычитать (одновременно) из
единицы, что эквивалентно отсчетам от правой опоры. Пользуясь этими
двумя свойствами, можно найти у по таблицам для любого сечения от
у = 0,01 до у = 0,99 при любом положении силы от у = 0,01 до у =
= 0,99, с интервалом в 0,01 пролета.
Чтобы быстрее ориентироваться, в какой из таблиц и в какой ее части
искать результат, необходимо прежде всего, если сумма аргументов больше
единицы, заменить их дополнениями до единицы. Далее найти ту таблицу,
§ 22] Таблицы элементов изгиба простейших балок 169
где больший из аргументов имеется в верхней или нижней строке — в соот-
ветствующей части этой таблицы и будет находиться искомый коэффициент у.
Об интерполировании между табличными значениями см. § 10.
Пример 1. Определить прогиб свободно опертой балки в точке х = 0,31/ (на-
чало координат на левой опоре) под действием сосредоточенной силы, приложенной
на расстоянии а — 0,44/ от левой опоры.
Больший из аргументов (0,41) находится в верхней строке табл. 26 на стр. 194.
В верхней части этой таблицы находим 1708 и, следовательно,
w - 0,01708 ~ет.
Г.1
П р и м е р 2. Свободно опертая балка, аргументы 0,88 и 0,90; найти у.
По дополнениям (0,12 и 0,10) находим в нижней части табл. 26 7 = 316 • 10—5.
Т а б л. 27 отличается от предыдущей лишь тем, что относится к жестко
заделанной обоими концами балке и коэффициенты 7 увеличены в 106 раз.
Все сказанное о пользовании табл. 26 (взаимозаменяемость х и а, вычи-
тание из единицы, поиски нужной страницы по большему аргументу) отно-
сится и к этой таблице.
Пример. Определить прогиб жестко заделанной балки на расстоянии х = 0,62/
от левой опоры под действием силы, приложенной на расстоянии с = 0,55/ от той
же опоры.
Поскольку сумма аргументов больше единицы, вычитаем нх из единицы: 0,38
и 0,45. Больший из аргументов находится в верхней строке на стр. 198. На .этой
же стравице находим 7 = 4572 - 10—6. Следовательно,
РР
w = 0,004572 -р р .
Г 1
В табл. 28 приведены коэффициенты прогиба 7, увеличенные в 105-
раз, для балки, жестко заделанной левым концом и свободно опертой пра-
вым. под действием сосредоточенной силы, в формуле
Р13
Положение силы и сечения характеризуется их относительными
,а х.
отстояниями от левой жестко заделанной опоры (у и у).
По таблице можно найти прогиб в любом сечении от х = 0,05/ до х—
=0,95 / в зависимости от любого положения силы в пределах от a=0,05t
до ц=0,95/ через 0,01 пролета.
Как и в двух предыдущих таблицах, аргументы можно мен ять местами:
а
Т'
।
(х
Т ’
а
7
но нельзя оперировать дополнительными аргументами (нельзя аргументы
вычитать из единицы).
Приме р ы:
' (а = 0,8/; х = 0,4/) = 452 - 10~5 (стр. 203);
7 (а = 0,6/; х = 0,8/) = 662 - 10—5 (стр. 206); аргументы приш-
лось поменять местами.
Пользование табл. 29—32 настолько просто, что не требует пояснений-
170
Изгиб балок
[Гл. V
Элементы изгиба
I Способ нагрузки. Эпюры,
j Опорные реакции
Прогибы
MZ2 (х_ MZ2
w = 6EI Z ~ Z3 ) = 1 EI •
Значения коэффициента -у в зависимости от
х
-j—см. табл. 29
MZ2
ымакс = 0,0641 -gj- при х = 0,5774 Z
I
§ 22]
Таблицы элементов изгиба простейших балок
171
простейших балок
Таблица 25
Углы Моменты
тые на две опоры “ <= 6EI [* — 3F — Зр + <а6(—Г~)] MZ . б»\ wt =6£Т(* ~ 3Р) при х=0 MZ / а»\ W2~6EI I1 “ 3Р ) при Х~1 . HU . ЗаЬ\
M = —Hi (у — 1) <1 !
^макс М ИЛИ Ъ Ммакс ~ М , в зависимости от того, который из иих по абсолютному значению больше
wa — 3EI ! 1 р 1 ПрИ х ~ а
Ml Лх»\ Z w' ~ 24EI I1 ~ 12 Р / ДЛЯ Х < 2 ’ М/ аТ ~ wi ~ 24EI Ml 1 W^ = ~12ET при х=2 £ II Г I! - * 3! ' 2 /
ни / х« . - ~ЬЕ1 I1 ~ 3Р 1 MZ X] — при х — 0 ни f при X — 1
РР Г Ь ' fc' х»\ /х—й\!1
ю' — QEl [ I I — Р ~ 3 Р ) + а 3 ( I ) J i
РаЬ Ь\ РР ।
Ei-6£Zl + Z/~'1,6£Z при ।
РаЬ а\ РР
~ ~ f>EI ( + lj---апр 6Е1 при х=/-|
Значения коэффициентов аЛ и зпр в зависи-
а
мости от — — см. табл. 30.
i
М = — Р1
РаЬ
Ммакс = — — при х = а.
Площадь эпюры моментов рав-
1
на -% РаЬ, а ее ц. т. находится
1
на расстоянии -g (2с+6) от левой
опоры
§ 22J Таблицы элементов изгиба простейших балок 173
174
Изгиб балок
[Гл. W-
Способы нагрузки. Эпюры.
Опорные реакции
____________________________
Прогибы
§22]
' Таблицы элементов изгиба простейших балок
175
Продолжение табл. 25
Углы
Моменты
401 Ь . о д ~ f.j\ А* *~аТ\
ж ~ 24 EI + 2 I ~I* б1*+[в4 /И j
Qlb . а а*\ QI»
24 EI ( 1 + 2 I ~ Pj ~a*6EI
Qlb д\2 QI*
»2 —— 24£I !/+ I J = —“«Р6Е/’
Значения коэффициентов а, и anp в зависи-
a
мости от у — см. табл. 30.
qp г 7 „х* . ],„/ г iyq
* — 48£7^4 6Z«+|16(l 2/J
7 QP . 9 QP
®i~I92EI: ®2_—192Е/
QI* / х» , х»
® — 211:7 у ,—6i* + 4I»
wi ~ w2 24 EI
QI [х х»\
М~ 2 I — I* J
QI
Ммакс = — 1Г = — 0,125 QI
I
при X = у.
QP
Площадь эпюры моментов
QP
180 EI
Qlb {. „a na*\ QP
®« ~ 180E/(7 + 6 I ~3Pj ~a*6EI
^макс
Qb I а
= ~~^3 Г
1'
-I I 6\2
у 4-0,3849 ly j
Qlb f a a*\ QP
vs = ~H80Eiye + 9 i +3pJ = —“AP6EZ '
при х = а
Значение коэффициентов a, и anp в зависимо-
a
ста or -j-—см. табл. 30
176
Изгиб балок
[Гл. V
Я
Способы нагрузки. Эпюры.
Опорные реакции и моменты
Прогибы
QP I х х3 *5\ Q/»
® - 180 £7 V I ~ 10 I3 +3 /6 ) Е1
Q13
•*^= 0.01304^
при * = 0,5193/.
Значения коэффициента ₽ в зависимости от
*
у — см. табл. 29
QI3 I х х3 х* *®\
w~Q0EI\T ~1013 + 15 7* ~6/*|
„ /
а> = 0 при х = ~2
QP
wMaKC = 0,00163 ~
при * = 0,24/
и * = 0,76/
§22]
Таблицы элементов изгиба простейших балок
177
Продолжение табл. 25
Углы
Моменты
»'=4юЫ7"30£ + 15
Ммакс = ~ 0,1283 QI
7 QZ1
180 Е1~
2QI*
ш2 - — 45 EI
цри х = 0,5773/.
Площадь эпюры моментов рав-
QZ2 8
на -jjjr а ее ц. т. отстоит «а jg I от
левой опоры
QI* / х* х*
— 301* +60/» —30z\)
. QI*
»1 =»2 = 90E/
. i Ql* I
i_=~72OEI n₽H '“2
2
Ммакс = 0,0642 Ql
при * = 0,2113 Z и 0.7887 Z
Площадь каждой части эпюры
ф»
моментов равна , а отстоя-
ние ц. т. каждой части от сере-
4
дины равно у!- Z
12 Учебны! справочник
00
§ 22]'Таблицы элемента» Изгиба Простейших балок 179
Углы
Продолжение табл. 25.
Моменты
. <2^* Г А , _ЕЛХ 2е* , I <х~g)* I
® - 2Е1 [Д1 + I) I ~ /* + !а ЗЫ* ]
W, = 0
QP Г а а*\
®2 — б£7 \ * + I + I* )
Qla
®о = 2£7 "РИ х=о
"►М =
для х~^>а
'^макс —
<2(а+0
2
при%Ф= 0
6Е1\а d I
"-^(-2T+?)
QP
W2~6E1
_g£'
~ 12£/
/XX* Х*\ X
(4-б7г+41г—р)т
QP
w2 “ 12Е/
.. Ql I. х х* х*\
~ "У —3-z + 37» — 7*)
QI
Мткс = -у При X = 0
12Т®
180
Изгиб балок
[Гл. V
Способ нагрузки. Эпюры.
Опорные реакции и моменты
Прогибы
Балки, жестко заделанные одним
ли» .(*• Г, „6*
® ~ 4Я/'| /» |_1 ~ 3 Z* ~
М/» /. X \ х*
• “ 4£/ “ Z / I*
2 ,
^макс — %7Е1 ПРИ Х— 3 *
§ 22]
Таблицы элементов иргибц простейших балок
1Ш;
Продолжение табл. 25
Углы Моменты
концом и свободно опертые другим
ш — 3 HU 1х ~ 4Е1( 1 “М) Г / ь*\ |^2 (1 — 3 j М Г Ь2 м = -о- р-з-р-
— з у(г- --V1+ 1) 1J + .М а
n+L4 и ))
MZ ® ~2Е1 |<-И \ х^ ) 1 м = - IV|S 1 ~,|н
w2 = MZ ~ 4Е1 ^жакс ~ М при х ^1
W Р/« (х ~2Е1 | Z ab 1 ~Р (’ + ь \ Т)~ M = pz{^ Г 1 L1 ~ 2 1 ай /, b 1г(1 + т ~(з -VI Z» Z JJ X ~7 +
Г1 — 2 */3_ а \ ] х2 — 1Н.- 4- 1 Iх — “VI Ц_'п +1 Iх — а\)
2 Р \ < /1 Z2 1 Д 1 л
w2 “ Ра2Ь ~~4ЕП Р&Ь (21+Ь) Ма = — 2Р п₽и х = а
Млиисс = 0,192 Р1 прих = 0
И а = 0.4226 Z
РР ® ~9БЕ1 [f (18-33 ^) + РР U ~2^/ J + | 1( м==—1 [(3- 11 -yj / х 1 \1 3( Z j Pl при X + Z и 2
32EI
Л4 /1'1мякс 1=3 о ig Pl при х=»0
Равномерно распределенная нагрузка
на части пролета со стороны
свободно опертого конца
Равномерно распределенная нагруз-
ка на части пролета со стороны
жестко заделанного конца
00
N5
Две симметричные сосредоточенные
силы
№ п/п
я «
cv
§22]
Таблицы элементов изгиба простейших балок
к
"НагруекГ’пЬ треугольнику'
с вершиной на закрепленном
конце
I
§ 22]
Таблицы элементов изгиба простейших балок
185
табл. 25
Углы Моменты
QP х 1 х , № \ ® — 48£/ / (6 ~ 15 / +8 Р ) 1 QP w2 - 48 EI 01 1 х х»\ m = v(,-5t+4is-) .Относительный максимум 9 01 М = = ~ 14J? при * = 0,625/
♦ • М- М 20/Д Ч а а*\ 4 — 3j Q_(x —а)* 3 Ь*
QP х ( х w “ 60£/ / \8~24 1 + _ х* _ х3 \ + 20 /» — •> /з 1 QI* ®2 —— 6О£/ Qi 1 х М~ 15 (2~12/ + X* Xs \ + 15^-5^) Относительный максимум QI М=—Jg“g при х=0,553/
186
Изгиб балок
[Гл. V
Способ нагрузки. Эпюры
Опорные реакции и моменты
Прогибы
Балки, жестко заделанные
(а b а х\х2
~Г~2Г'ТТ)1*
для х < а
ГМ* х* /
W~8EI /«
/
для X < ~2
& = 0 при х =
Pl* /о а За+b х\ (
w ~ 6EI [ /» I* I ~ / / ) +
2Р/з
Wmkc— 3EI it(3a+b)*
2а/
при х = и при а > о
Pl* а» Ь*
Wa = ЗЁТ 1*1» при х = с.
Значения коэффициента f в зависимости
от -j- и у — см. табл. 27
§ 22]
Таблицы элементов изгиба простейших балок
187
Продолжение табл. 25
Углы Моменты
обоими концами • Mb fa ах \ х = ЕТ V3 Г ~ 1 — 31» ) Г для х < а > . 1 .. — 6 /„ а 6а х\ М — 1Л —1— + |СМ
t HU / х\ х . w ~ 4Е/\ 3 1 ) 1 1 ДЛЯ X < % пи 1 16Л7 ПРИ х~ 2 2 «-"1 6х \ I 1—1-1+ * . * / |а ^макс= "2*
« + |ОР(Х-в) 2Ро»Ь» Ма = — —р— при х = а 4Р1 1 АЛвапкг—' при х—0 и а— g
ь
§ 22]
Таблицы элементов изгиба простейших балок
>89
Углы
Продолжение табл. 25
Моменты
I
для х<у
. Pl 1
М = — -g- при х = g
для х < а
Раг
М =-----J- для а < х < Ь
М = М, при х = О
Af = -P(5-fl)ys
при х=а
I
М == 0 при х = 2
190
Изгиб балок
[Гл. V
Способ нагрузки. Эпюры.
Опорные реакции и моменты
Прогибы
Значения коэффициентов
а
иар в зависимости от у —
QP х* ( , п х „ Q/»
® “ 24EI Р \ 1 ~2 / + Р ) = ₽ ЁТ
I QP I
- »лч1ке^з84£/ при X — 2
Значения коэффициента 6 в зависимости
х
от у—см. табл. 29
§22]
Таблицы элементов изгиба простейших балок
191
Продолжение табл. 25
Углы
Моменты
Q&
\2Е1
I ~~
Я
2(x—a)*
6s
1
QP X !
W~\2EI I I
Z 'Г^Р
м =
_ X „ хг
6 I + 6
QC I
М ~~ при х —- g
192
№зеаб балок
[Гл. V
/?, = — 0,3(2
R,= — 0,7(2
"1- 15
М —
W =
Qf8 Л> о5 I х*V1
60£7 — а I + 13 } р
“₽ EI
1 Q19
^макс — 382 ЕI при * — 0,5251.
Значения коэффициента р в зависимо-
сти от у— см. табл. 29
Опорные реакции и моменты
Q 6» I а\
*^•-10/Ц3 + 2т)
Q1 Ь* аР\
R»---10^10 Зр- 2 у у
ОЬ Ъ/ а\
~ зо т( ‘Ь ~ Qi
Qb / a W \
*«=-зо(1От + 37г) =
=• Рлр Q^
Значения коэффициентов рл
а
в в зависимости от у —
см. табл. 31
§ 22]
Таблицы элементов изгиба простейших балок
шз;
Продолжение табл. 25
Углы Моменты
QF / х х2 „ Xs \ = 15£Гг ~6 Г + lOj? —5-^ j <?/« 1 wl_ 240£7 прИ Х~ 2 2 X QI 1 • м = Тб(1-121 + 30 -р- — 20 -jj- +
QP х ^х*\ х ® — 60/:7 И ~ 9 1 + ° Р ) 1 M-£)(2-9./+10 р) Относительный максимум м *L тмакс — — 23,3 при х = 0,548/ ♦
Упругая линия QP | Ь х* Г а а* ®— 60/7 ( / Р [ 2 + 1 3 /« + х / а1 а \1 I (х—а)* -Ь/(2/> + /-3)| + |в РЪ> 1 1 Cis? o' м 1 а Iм + 1 L±J «Н ° в . । + 5 1 3^- О ^2 X 1 т] +
13 Учебный справочник
194
Изгиб балок
[Гл. V
Таблица 26
Прогибы свободно опертой балки под действием сосредоточенной силы
Р/З
в таблице даны коэффициенты 7, увеличенные в 10® раз, в формуле w =
^\a/l 0,50 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 0,44 0,43 0,42 0,41 0,40 0,39 0,38
0.01 0.02 0.03 0.04 0,05 0.06 0.07 0.08 0.09 0,10 0,11 0,12 0.13 0.14 0,15 0.16 1/6 0,17 0.18 0.19 0.20 0,21 0.22 0,23 0,24 0.25 0.26 0.27 0,28 0.29 0.30 0.31 0.32 0,33 1/3 0,34 n 35 62 5 62,9 63,2 63,5 63.7 63,9 64.1 64,1 64,1 64,1 64,0 63,8 63,6
125 126 126 127 127 128 128 128 128 128 128 128 127
187 188 189 190 191 192 192 192 192 192 192 191 190
249 251 252 253 254 255 256 256 256 256 255 255 254
311 313 315 316 318 319 319 319 319 319 319 318 317
373 375 378 379 381 382 382 383 383 382 382 381 379
435 496 437 499 440 501 442 504 443 505 444 507 445 508* 446 508 446 508 445 508 445 507 443 506 442 504
556 560 563 565 567 569 570 570 570 570 569 567 565
617 620 624 626 628 630 631 632 632 631 630 628 626
676 680 684 687 689 691 694 693 693 692 691 689 686
736 740 74' 747 749 751 753 753 753 752 751 748 /45
794 799 803 806 809 811 812 813 813 812 810 808 804
852 857 861 865 868 870 871 872 872 870 868 866 862
909 914 919 923 926 928 929 930 930 928 926 923 919
966 971 976 980 983 985 987 987 987 985 983 980 975
1003 1010 1014 1018 1021 1023 1025 1025 1024 1023 1020 1017 1012
1022 1027 1032 1036 1039 1042 1043 1044 1043 1041 1039 1035 1031
1076 1082 1088 1092 1095 1097 1099 1099 1098 1096 1094 1090 1085
ИЗО 1136 1142 1146 1149 1152 1153 1153 1152 1150 1147 1143 1138
1183 1190 1195 1200 1203 1205 1207 1207 1206 1203 1200 1195 1190
1235 1242 1248 1252 1255 1258 1259 1259 1258 1255 1251 1246 1240
1286 1293 1299 1303 1307 1309 1310 1310 1308 1306 1302 1296 1289
1336 1343 1349 1353 1357 1359 1360 1360 1358 1355 1350 1345 1337
1385 1392 1398 1402 1406 1408 1409 1408 1406 1402 1398 1392 1384
14.49 1439 1445 1450 1453 1455 1456 1455 1453 1449 1444 1437 1429
147R И 486 1492 1496 1499 1501 1502 1500 1498 1494 1488 1481 1472
1523 1567 1529 1537 1541 1544 1546 1546 1545 1542 1537 1531 1524 1514
1574 1580 1585 1587 1589 1589 1587 1584 1579 1572 1564 1554
1609 1616 1622 1627 1629 1630 1630 1628 1624 1619 1612 1603 1593 _
1650 1657 1663 1667 1669 1670 1670 1668 1663 1658 1650 1641 1629 '
1689 1727 1696 1702 1706 1708 1709 1708 1705 1701 1694 1686 1676 1664
1734 1739 1743 1745 1745 1744 1741 1736 1729 1720 1710 1697
1763 1770 1775 1779 1780 1780 1779 1775 1770 1762 1753 1741 1728
1776 1783*51788 1791 1793 1793 1791 1786 1780 1773 1763 1751 1738
1797 1804 1809 1812 1814 1813 1811 1807 1801 1793 1783 1771 1 /5/
1830 1836 1842 1844 1845 1845 1842 1837 1831 1822 1811 1798 1783
0.36 0.37 0,38 0.39 0,40 0,41 0.42 0.43 0,44 0,45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50 1861 1867 1872 1874 1875 1874 1871 1866 1858 1849 1837 1824 1808
1890 1896 1901 1903 1903 1901 1898 1892 1884 1874 1861 1847 1830
1918 1923 1927 1929 1929 1926 1922 1916 1907 1896 1883 1868 1850
1943 1948 1953 1953 1952 1950 1945 1938 1928 1917 1903 1887 1868
1967 1971 1975 1975 1974 1971 1965 1957 1947 1935 1920 426 0,13 0,12 0,11
1988 1992 1996 1995 1993 1989 1983 1975 1964 1950 372
2008 20H 2014 2013 2011 2006 1999 1990 1978 319 398
2025 2028 2030 2029 2026 2020 2013 2002 270 344 368
12040 2043 2044 2042 2038 2032 2024 294 316 338 0,10 0,09
2053 2055 2056 2053 2049 2042 224 246 267 287 307
2064 2065 2065 2062 2056 180 201 220 239 257 274 0,08 0,07 0,06 0,05
12072 12073 2072 2068 141 160 177 = 194 211 227 242
2078 2078 2077 106 122 138 153 168 182 195 208
2082 2081 75,2 89,2 103 116 128 141 152 164 174
2083 49.2 60,7 71.9 82,8 93,2 103 113 122 131 140 0,04 0,03
27,9 37,2 45,9 54.3 62,4 70,2 77,8 85,1 92,1 98,9 105
6,5 3,3 12 8 19.0 25,0 30,7 36.3 41,8 47,0 52,0 56,9 61,6 66,1 70,4 0,02 0,01
6,5 9.5 12,5 15,4 18.2 20,9 23,5 26,1 28,5 30,8 33,1 35,2
0,01 . 0,02 0,03 0,04 0,05 0.06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12^0,13
Примечание.
к
§ 22]Таблицы элементов изгиба простейших балок 195
Продолжение табл. 26
\в// 0.37 0.36 0.35 0.34 1/3 0,33 0,32 0,31 0,30 0,29 0,28 0,27 0,26
0.01 63.3' 63.0 62.5 62.1 61,7 61,5 60,9 60,2 59,5 58,7 57,8 56,8 55,8
0.02 126 126 125 124 123 123 122 120 119 117 115 114 111
0.03 190 189 187 186 185 184 182 180 178 176 173 170 167
0.04 253 251 249 248 246 245 243 240 3Ut 237 234 230 226 222
0.05 315 314 311 309 307 306 303 296 292 287 283 277
0.06 378 376 373 370 368 367 363 359 354 350 344 338 332
0.07 440 437 434 431 428 427 423 418 412 407 400 394 386
0.08 501 498 495 491 488 487 482 476 470 463 456 448 440
0.09 562 559 555 551 547 546 540 534 527 519 511 503 493
0.10 623 619 615 610 606 604 598 591 583 575 566 556 546
0.11 683 678 674 668 664 662 655 647 639 630 620 609 597
0.12 742 737 732 726 722 719 712 703 694 684 673 661 648
0,13 800 795 789 783 778 776 767 758 748 737 725 712 698
0.14 858 852 846 839 834 831 822 812 801 789 776 762 747
0.15 914 909 902 894 888 885 876 865 853 840 826 811 795
0.16 970 964 956 948 942 939 928 917 904 891 876 859 842
1/6 1007 1000 993 984 977 974 963 951 938 923 908 891 873
0.17 1025 1018 1010 1001 995 991 980 968 954 939 924 906 888
0.18 1079 1071 1063 1053 1046 1043 1030 1017 1003 987 970 952 932
0.19 1131 1123 1114 1104 1097 1093 1080 1066 1050 1034 1016 996 976
0.20 1182 1174 1164 1154 1146 1141 1128 1113 1097 1079 1060 1039 1017
0.21 1233 1224 1213 1202 1193 1189 1174 1159 1141 1123 1102 1081 1057
0.22 1281 1272 1261 1249 1240 1235 1220 1203 1185 1165 1144 1121 1096
0.23 1329 1319 1307 1294 1285 1280 1263 1246 1226 1206 1183 1159 1133
0.24 1375 1364 1352 1338 1328 1323 1306 1287 1267 1245 1221 1195 1168
0.25 1419 1408 1395 1380 1370 1364 1346 1326 1305 1282 1257 1231 1202
0.26 1462; 14501 1436 1421 1410 1404 1385 1364 1342 1318 1292 1264 1234
0.27 1503' 1490 1476 1460 1448 1442 1422 1400 1377 1351 1324 1295 1264.
0.28 1543 15291 1514 1497 14&5 1478 1457 1434 1410 1383 1355
0.29 1580 1566 1550 1532 1519 1512 1490 1467 1441 1413 1172 0.2$
0.30 1616 1601 1584 1566 1552 1545 1522 1497 1470 1109 1140 0,24
0.31 1650 1634 1617 1597 1583 1575 1551 1525 1045 1076 1106 0,23
0.32 1682 1666 1647 1626 1611 1603 1578 982 1013 1042 1070 0,22
0.33 1712 1695 1675 1653 1638 1630 917 949 978 1006 1033 0,21
1/3 1722 1704 1684 1662 1646 853 884 914 942 969 994 0,20
0.34. 1740 1722 1701 1678 790 820 850 878 904 930 953 0,19
0.35 1766 1747 1725 726 757 786 814 840 866 889 911 0,18
0.36 1790 1770 664 694 723 750 777 802 825 847 868 0,17
0.37 1811 643 653 683 711 738 764 788 811 833 854 1/6
602 622 632 660 688 713 738 761 783 804 824 0.16
512 542 571 590 599 625 651 675 698 720 740 760 778 0,15
483 512 539 556 564 589 613 635 657 677 696 714 731 0.14
454 480 505 521 529 552 574 595 614 633 651 668 683 0,13
423 447 470 485 492 514 534 553 571 588 605 620 635 0,12
391 414 435 448 455 474 493 510 527 543 558 572 585 0,11
359! 379 398 4Ю 416 434 451 467 482 496 510 522 534 0,10
325 343 361 372 377 393 408 422 436. 449 461 472 483 0,09
291 307 323 332 337 351 364 377 389 401 411 422 431 0,08
256 270 284 292 296 309 320 331 342 352 361 370 378 0,07
221 233 244 252 255 266 276 285 294 303 311 318 325 0,06
185 195 204 210 213 222 230 238 246 253 260 266 272 0,05
148 156 164 169 171 178 185 191 197 203 208 213 218 0,04
112 118 123 127 129 134 139 144 148 152 156 160 164 0,03
74.5 78.5 82.3 84,8 86,0 89,4 92,7 95,9 98,9 102 104 107 109 0,02
37.3 39.3 41.2 42,3 43,0 44,8 46.4 48,0 49,5 50.9 52,2 53,5 54,7 0,01
0,14 0.15 0.16 1/6 0,17 0.18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 \х//
а//\
Примечание. Об иитерполнронаннн — см. § 10.
13^®
156
Изгиб балок
[Гл. V
Продолжение табл. 26
x/Z •.50 0.51 0,52 0,53 0.54 0,55 0.56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62
0.01 62.5 62.0 61,6 61.0 60.4 60,0 59.1 58,4 57,6 56,8 56,0 55,1 54,2
0,02 125 124 123 122 121 120 118 117 115 114 112 ПО 108
0.03 187 186 184 183 181 179 177 175 173 170 168 165 162
0.04 249 248 246 244 >41 239 236, к 233 230 227 224 220 216
0.05 311 309 308 304 301 298 295^ г291 287 283 279 275 270
0.06 373 371 368 364 361 357 353 349 344 340 335 329 324
0.07 435 432 428 424 420 416 411 406 401 396 390 384 377
0.08 496 492 488 484 480 475 469 464 458 451 445 438 430
0.09 556 552 548 544 538 533 527 521 514 507 499 491 483
0,10 617 612 608 602 597 591 584 577 570 562 553 545 536
о.п 676 672 667 661 655 648 641 633 625 616 607 598 588
0.12 736 731 725 719 712 705 697 689 680 670 661 650 639
0.13 79- 789 783 776 769 761 753 744 734 724 713 702 690
0,14 852 846 840 833 825 817 808 798 788 777 766 754 741
0.15 909 903 897 889 881 872 862 852 841 830 818 805 791
0.16 966 959 952 944 936 926 916 905 894 882 869 855 841
1/6 1003 996 989 981 972 962 952 940 928 916 902 888 874
0,17 1022 1015 1007 999 990 980 969 958 946 933 920 905 890
0.18 1076 1069 12 1053 1043 1033 1022 1010 997 983 969 954 938
0.19 ИЗО 1123 1115 1106 1096 1085 1073 1061 1047 1033 1018 1003 986
0,20 1183 1176 1167 1158 1148 1136 1124 1111 1097 1082 1067 1050 1033
0.21 1235 1228 1219 1209 1198 1187 1174 1160 1146 ИЗО 1114 1097 1079
0,22 1286 1278 1269 1259 1248 1236 1223 1209 1194 1178 1161 1143 1125
0,23 1336 1328 1319 1308 м 297 1284 12/1 1256 1241 1224 1207 1189 1169
0.24 1385 1376 1367 1356 1345 1332 1318 1303 1287 1270 1252 1233 1213
0,25 1432 1424 1414 1403 1391 1378 1364 1348 1332 1314 1296, 1276 1256
0.26 1478 1470 1460 11449 1437 1423 1409 1393 1376 1358 1339 1319 1298
0.27 1523 1515 1505 1494 1481 1467 1452 1436 1419 1400 1381 1360 1338
6.28 1567 1558 1548 1537 1524 1510 1495 1478 1461 1442 1422 1400 1378
6.29 1609 1601 1590 1579 1566 1552 1536 1519 1501 1483 1461 1440 1417
0.30 1650 1641 1631 1619 1606 1592 1576 1559 1541 1521 1500 1478 1455
0.31 1689 1681 1670 ;1658 1645 1631 1615 1597 1579 1559 1537 1515 1491
о.;« 1727 1718 1708 51696 1(3 1668 1652 1635 1615 1595 1573 1551 1526
0.33 1763 1754 1744 1732 1719 1704 1688 1670 1650 1630 1608 1585 1561
1/3 1776 1766 1756 1744 1731 1716 1700 1682 1662 1642 1620 1596 1572
0,34 1797 1789 1779 1767 1754 1739 1722 1705 1685 1664 1642 1618 1593
0.35 1830 1822 1812 1800 1787 1772 1755 1737 1718 1697 1674 1650 1625
0.36 1861 1853 1843 1831 1818 1803 1787 1769 1749 1728 1705 1681 1655
0.37 11 0 1 12 1873.1861 1848 1833 1816 1798 1779 1757 1734 1710 1684
0.38 1918 1909 1901 1889 1876 1861 1845 1827 1807 1785 1762 1738 1712
6,39 1943 1936 1927 1915 1903 1888 1871 1853 1833 1812 1789 1764 1738
0.40 1967 1960 195111940 1927 1912 1896 1878 1858 1836 1813
0.41 1988 1982 1973 1962 1950 1935 1919 1901 1881 1860 272 0,13
0.42 2008 2001 1993,1983 1970 1956 1940 1923 1903 233 252 0,12
0.43 2025 2019 2011 '2001 1990 1976 1960 1942 197 214 231 0,11
0.44 2040 2035 2028 2018 2007 1993 1977 163 179 195 211 0,10
0.45 2053. 2048 2042.2033 2022 2008 133 147 162 176 190 0,09
0,46 2064 2060 2053 2045 2034 105 118 131 144 157 169 0,08
0.47 2072 2069 2063 2055 80,9 92,3 104 115 126 137 148 0,07
0.48 2078 2076 2071 59,6 69,4 79,2 89,0 98,7 108 118 127 0,06
6,49 . 21 2 2 Ю 41.4 49.7 57,9 66,1 74,2 82,3 90,6 98,3 106 0,05
0.50 2083 26,6 33,2 39.8 46,4 52,9 59.4 65,9 72,3 78,7 85,1 0,04
15,0 20,0 24.9 29.9 34,8 39,7 44,6 49,5 54,3 59,1 63,8 0,03
3.3 6.7 10,0 13.3 16,6 19,9 23,2 26,5 29,8 33,0 36,2 39,4 42,6 0,02
“ 1.7 3,3 5,0 6.7 8,3 10,0 П,6 13,2 14,9 16,5 18,1 19,7 21,3 0,01
Л--’
0.99- -0.98 -0,97 0,96 0.95 0.94 0,93 0.92 0.91 0,90 0,89 0,88 0,87
а/l
§ 22]Таблицы элементов изгиба простейших балок 197
Продолжение табл. 26
X. в// x/Z\ 0.63 0.64 0.65 0.66 2/3 0.67 0.68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 . 0,74
0,01 53,2 52.2 51,2 50.1 49,4 49.0 47,8 46.7 45,$- 44,3 43,0 41,7 40,4
0.02 106 104 102 100 98.7 98.0 95.7 93,4 91.0 88,5 86,0 83.4 • 80,8
0.03 160 157 153 150 148 147 143 140 136 133 129 125 121
0.04 213 209 204 200 197 196 191 186 182 177 172 167 161
0.05 265 260 255 250 246 244 239 2334 227 221 214 208 201
0.06 318 312 ; 6 299 295 293 286 279 272 265 257 249 241
0.07 370 364 356 349 344 341 333 325 317 308 299 290 281
0.08 423 415 406* 398 392 389 380 371 361 352 342 331 321.
0.09 475 466 456 447 440 437 427 417 406 395 384 372 360,
0.10 526 516 506 496 488 485 473 462 450 438 425 413 4оо:
0.11 577 566 555 544 536 532 519 507 494 480 467 453 439
0.12 628 616 604 592 583 579 565 552 537 523 508 493 4’77
0.13 678 666 653 639 630 625 611 596 580 565 549 532 516
О.И 728 715 701 686 676 671 656 640 623 606 589 572 554.
0.15 778 763 748 733 722 717 700 683 666 648 629 611 591
0.16 826 811 795 779 767 •762 744 726 708 688 669 649 629
1/6 858 843 826 809 797 791 773 754 735 715 695 674 653.
0.17 875 858 841 824 812 806 788 769 749 729 708 687 666
0.18 922 905 887 869 857 850 831 811 790 769 747 725 702
0,19 969 951 932 913 900 893 873 852 830 808 785 762 ,738
0.20 1015 996 977 957 943 936 915 893 870 847 823 798- 773
0.21 1061 1041 1021 1000 986 978 956 933 909 885 860 834 808
0.22 11(6 1085 1064 1042 1027 1020 996 972 948 922 896 870 843
0.23 1149 1128 1106 1084 1068 1060 1036 1011 986 959 932 905 877,
0.24 1192 1170' 1148 1125 1108 1100 1075 1049 1023 996 968 939 910
0.25 1234 1212 1188 1164 1148 1139 1113 1087 1059 1031 1002 973 942
0.26 1276 1252 1228 1203 1186 1178 1151 1123 1095 1066 1036 1006 974
0.27 1316 1292 1267 1242 1224 1215 1187 1159 ИЗО 1100 1069 1038 1006
0.28 1355 1331 1305 1279 1261 1252 1223 1194 1164 1133 1102
0.29 1393 1368 1342 1315 1297 1287 1258 1228 1198 1166 911 0,25
0.30 1430 1405 1378 1351 1332 1322 1292 1262 1230 849 880 0,24
0.31 1466 1440 1413 1385 1365 1355 1325 1294 788 818 848 0,23
0.32 1501 1475 1447 1418 1398 1388 1357 729 758 787 815 0.22
0.33 1535 1508 1479 1450 1430 1420 670 699 727 755 782 0.21
1/3 1546 1519 1490 1461 1440 6.13 641 669 695 722 748 0,20
0.34 . 1567 1540 1511 1481 558 585 612 638 663 689 714 0,19
0,35 1509 1571 1541 505 531 557 582 607 631 655 679 0,18
0.36 1628 1600 454 479 503 528 552 575 598 621 644 0,17
0.37 1657 437 445 470 494 518 541 565 587 610 632 1/6
405 421 429 452 475 498 521 543 565 587 608 0,16
335 358 381 396 403 425 447 469 490 511 532 552 572 0.15
314 335 356 370 377 398 419 439 459 478 498 517 535 0,14
292 312 332 345 351 371 390 409 427 446 463 481 499 0,13
270 289 307 319 325 343 361 378 395 412 429 445 462 0,12
248 265 282. 293 299 315 332 348 363 379 394 409 424 0,11
226 242 257 267 272 287 302 317 331 345 359 373 386 0.10
204 218 232 241 245 259 272 286 299 311 324 336 348 0,09
182 194 207 215 219 1 243 254 266 277 288 299 310 0,08
159 170 181 188 192 202 213 223 233 243 253 262 272 0,07
137 146 155 161 164 174 182 191 200 209 217 225 233 0,06
114 122 130 135 137 145 152 160 167 174 181 188 195 0,05
91.3 97.6 104 108 ПО 116 122 128 134 139 145* 151 156 о;о4
68,6 73.2 77.9 80,9 82,5 87.0 91,5 95.9 100 105 109 113 117 0,03
45,7 48.9 51,9 54,0 55,0 58.0 61.0 64,0 66.9 69,8 72,6 75,4 78,1 0,02
22.9 24,4 26,0 27,0 27,5 29,0 30,5 32.0 33,5 34,9 36,3 37,7 39,1 0,01
I 5/6 0,80 \х//
0,8® 0.85 0.84 0,83 0,82 0.81 0,79 0,78 0,77 0,76 0,75
1 аЦ
Примечание. Об интерполировании — см. стр. 91
198
Изгиб балок
[Гл. V
Таблица 27
Прогибы жестао заделанной балки иод действием сосредоточенной силы
’ PZ3
в таблице даиы коэффициенты 7, увеличенные в 10е раз, в формуле w =7-7—
Е •
аЛ */<к 0.50 0.49 0,48 0.47 0,46 0.45 0,44 0.43 0,42 0,41 0,40 0,39 0,38
0.01 6.2 6.3 6.4 6.5 6,6 6.7 6,8 6.9 7.0 7.0 7,1 7,1 7.2
0.02 24.3 24,8 25.3 25.7 26.1 26.5 26,8 27,1 27,4 27,7 27,9 28,1 28,3
0.03 54.0 55.0 56.0 57.0 57,8 58.7 «У 60,2 60,8 61,4 61,9 62,3 62,7
0,04 94.7 96.5 98,2 99.8 101 103 105 106 107 108 109 ПО
0.05 146 149 151 154 156 158 160 162 164 1Ь5 166 168 168
0.06 207 211 215 218 2! 224 227 230 238 234 236 237 239
0,07 278 283 288 292 297 301 304 308 311 313 316 318 319
0.08 357 364 370 376 381 387 391 395 399 403 406 408 410
0.09 446 454 461 468 475 481 487 492 497 501 504 507 509
0.10 542 551 561 569 577 585 592 598 603 608 612 615 618
0.11 645 657 568 678 687 696 704 711 717 723 727 731 734
0.12 756 769 782 794 805 815 824 832 839 845 850 854 857
0.13 873 888 903 916 928 940 950 959 967 974 980 984 987
0.14 996 1013 1030 1045 1058 1071 1083 1093 1102 1109 1115 1119 1122
0.15 1125 1144 1162 1179 1194 121 1221 1232 1241 1249 1256 1260 1263
0,16 1259 1280 1300 1318 1335 1350 1364 1376 1386 1394 1401 1405 1408
1/6 1350 1373 1394 1413 1431 1447 1462 1474 1485 1493 1500 1504 1507
0.17 1397 1420 1442 1462 1480 1496 1511 1524 1535 1544 1550 1555 1557
0,18 1539 1564 1587 1609 1629 1647 1662 1676 1687 1696 1703 1707 1709
0.19 1685 1712 1737 1760 1781 1800 1817 1831 1843 1852 1858 1862 1863
0.20 1833 1862 1889 1914 1936 1956 1974 1988 2000 2010 2016 2019 2019
0,21 1984 2015 2044 2070 2094 2114 2133 2148 2160 2169 2175 2178 2177
0.22 2138 2170 2200 2228 2253 2274 2294 2308 2321 2330 2335 2336 2334
0,23 2292 2327 2358 2387 2413 2435 2454 2470 2482 2490 2495 2495 2492
0.24 2448 2484 2517 2547 2573 2596 2616 2631 2643 2651 2654 2653 2648
0,25 2604 2642 2676 2707 2734 2757 2777 2792 2803 2810 2812 2810 2803
0,26 2760 2799 2834 2866 2894 2917 2937 2952 2962 2968 2969 2965 2955
0,27 2916 2956 2992 3025 3053 3076 3095 3110 3119 3124 3123 3117 3105
0.28 3071 3112 3149 3182 3210 3233 3252 3266 3274 3277 3274 3265 3251 .
0.29 3224 3266 13303 3336 3365 3388 3406 3418 3425 3426 3421 3410 3392
0.30 •3375 3418 ,ЗИ 5 3489 3517 3539 3556 3567 3573 3572 3564 3550 3529
0.31 3524 3605 3638 3665 3687 3702 3712 3716 3712 3701 3684 3660
0.32 3669 3713 3751 3783 3810 3831 3845 3853 3854 3847 3834 3813 3784
0.33 3812 3855 3893 25 3950 3970 3982 3988 3986 3978 3960 3935 3901
. 1/3 3858 3902 3939 3971 3996 4015 4026 4031 4028 4018 4000 3974 3939
0.34 3960 3993 4030 4061 4086 4103 4113 4116 4112 4100 4078 4049 4011
0,35 4083 4126 4163 4192 4215 4231 4239 4239 4231 4214 4190 4156 4112
0.36 4212 41 4 4289 4318 4338 4352 4357 4354 4342 4322 4292 4253 4205
0.37 4335 41 6 4410 4436 4455 4466 4468 4461 4446 4421 4386 4342 4287
0.38 4452 4492 4524 4548 4564 4572 4571 4560 4540 4511 4471 4420 4359
0.39 0,40 4563 4667 4601 4703 4631 4730 4653 4749 4666 4759 4670 4759 4665 4750 4650 4731 4625 4701 4590 4660 4545 4608 4488 4420
0.41 4763 4796 4821 4837 4843 4839 4825 4801 4765 4718 482 0,13
0.42 4851 4881 4903 4915 4917 4909 4890 4860 4818 393 434 0,12
0.43 4931 4958 4976 4984 4982 4969 4944 4908 313 349 384 0,11
0.44 5001 5025 5040 5043 5036 5017 4987 243 275 305 333 0,10
0.45 5062 5083 5092 5091 5078 5054 183 210 235 260 283 0,09
0.46 5114 5129 5134 5128 5109 133 155 176 196 215 233 0,08
0,47 5154 5165 5165 5152 92,0 110 127 143 158 173 187 0,07
0.48 5184 5190, 5183 59.8 73,5 86,5 99.0 111 122 133 143 0,06
0,49 5202 5202* 35,7 45.7 55,1 64,2 72.8 81,0 88,8 96,5 103 0,05
0.50 5208 8.2 18.9 «2.1 25.5 15.8 31,9 19.4 37,9 22,8 43.7 26,1 49.2 29.1 54,4 32.1 59,4 34,9 64,1 37,5 68,5 40,0 0,04 0,03
0.8 2.5 4,3 6.0 7.7 9,3 10,8 12,2 13,6 14.9 16,1 17,3 18,4 0,02
0.3 ! 0.8 1.2 1.7 2,1 2,5 ь 2,9 3.2 3,6 3,9 4,2 4,5 4.8 0,01
0.01 0.02 0.03 0.04 0,05 0.06 0,07 0,08 0.09 0,10 0,11 0,12 0,13 \ -V// а/Л\
$ 22]Таблицы элементов изгиба простейших балок 199
i Продолжение табл. 27
4
"\в//
0,37 0.36 0,35 0,34 1/3 0,33 0,32 0,31 0,30 0,29 0,28 0,27 0,26
0,01 7,2 7,3 7.3 7,3 7,3 7,3 7,3 7,3 7,2 7,2 7,1 7,1 7,0
0,02 28,4 28.6 28,6 28,6 28,6 28,6 28,6 28,5 28,4 28,2 27,9 27,7 27,4
0,03 63.0 63.2 63,3 63,4 63,3 63,3 63,2 62,9 62,6 62,2 61,7 61,1 60,3
0,04 110 110 111 111 111 111 № ПО 109 108 107 106 105
0,05 169 169 170 170 170 169 168 167 166 165 163 161
0,06 239 240 240 240 240 240 239 238 236 234 232 229 226
0,07 320 321 321 321 321 320 319 318 315 313 309 306 301
0,08 411 412 412 411 411 4Ю 409 406 403 400 395 390 385
0,09 511 512 512 511 510 509 507 504 500 495 489 483 475
0,10 619 620 620 619 617 616 613 609 604 598 591 583 573
о.п 735 736 735 734 732 731 727 722 715 708 699 688 677
0.12 858 859 858 856 853 852 847 841 833 823 812 799 785
0.13 988 988 987 984 981 979 973 965 955 944 930 915 898
0,14 1123 1123 1121 1117 1113 1111 ПОЗ 1094 1082 1068 1053 1035 1015
О.1о 1264 1263 1260 1255 1250 1247 1238 1227 1213 1196 1178 1157 1134
0.16 1408 1406 1402 1396 1391 1387 1376 1363 1346 1327 1306 1281 1254
1/6 1507 1504 1500 1492 1486 1482 1470 1455 1437 1416 1392 1365 1335
0,17 1557 1554 1549 1541 1534 1530 1517 1501 1482 1460 1435 1407 1375
0.18 1708 1704 1697 1688 1680 1676 1660 1641 1619 .1594 1565 1533 1497
0,19 1861 1856 1848 1837 1827 1822 1804 1782 1757 1728 1695 1659 1618
0,20 2016 2010 2000 1986 1975 1969 1948 1923 1895 1862 1825 1783 1738
0.21 21721 2164 2152 2136 2123 2116 2092 2064 2031 1994 1952 1906 1855
0.22 2318 2304 2285 2271 2262 2235 2203 2166 2124 2077 2026 1968
0,23 2484 2472 2455 2433 2416 2407 2376 2340 2298 2252 2199 2142 2078
0.24 2638 2624 2604 2579 2560 2549 2514 2474 2427 2375 2317 2253 2183
0,25 2791 2773 2751 2722 2701 2689 2649 2604 2552 2494 2430 2359 2282
0.26 2940 2920 2894 2862 2838. 2824 2780 2729 2672 2608 2537 2459 2374
0.27 3087 3063 3034 2998 2970 2955 2906 2849 2786 2716 2638 2552 2459
0.28 3230 3203 3109 3129 3097 3081 3026 2964 2894 2817 2731
0,29 3368 3337 3299 3253 3219 3200 3140 3071 2995 2910 2197 0,25
0,30 3501 3465 3422 3372 3333 3313 3246 3171 3087 2023 2106 0,24
0,31 3627 3587 3539 3483 3441 3418 3345 3262 1852 1933 2009 0,23
0,32 3747 3702 3649 3586 3540 3515 3434 1624 1764 1838 1906 0,22
0,33 3860 3809 3750 3681 3630 3603 1522 1599 1671 1737 1798 0,21
1/3 3896 3843 3782 3711 3658 1365 1440 1509 1573 1632 1687 0,20
0,34 3964 3908 3842 3767 1215 1286 1353 1414 1472 1525 1574 0,19
0,35 4060 3997 3925 1072 1139 1203 1262 1317 1368 1415 1458 •0,18
0,36 4146 4077 936 1000 1060 1116 1168 1217 1262 1303 1341 •0,17
0,37 4222 893 914 975 1033 1086 1136 1183 1226 1266 J302 1/6
809 849 869 925 978 1027 1073 1115 1155 1191 1224 0,16
633 691 746 781 798 847 893 936 976 1013 1047 1079 1107 0,15
577 633 г680 71! 726 768 808 845 879 911 941 968 992 0,14
524 572 613 639 652 689 722 754 783 810 835 858 879 0,13
469 510 545 567 577 608 637 664 688 711 733 752 769 0,12
413 .447 476 495 504 529 553 576 596 615 633 649 664 0,11
357 385 409 424 432 453 472 491 508 523 538 551 562 0,10
302 325 344 356 362 379 395 410 423 436 447 458 467 0.09
249 267 282 291 296 309 322 333 344 354 362 371 378 0,08
198 212 223 23! 234 244 254 262 270 278 285 291 296 0,07
151 161 170 175 178 185 192 198 204 209 214 219 223 0,06
109 116 122 125 127 132 137 141 145 149 152 155 158 0,05
72,1 76.7 80.0 82,7 83,8 87,1 90,1 92,8 95,4 97,7 99,9 102 103 0,04
41,9 44.5 46.6 47,9 48,5 50,3 52,0 53,6 54,9 56,3 57,5 58,5 59,5 0,03
19.3 19,9 21,3 21,9 22,2 22,9 23,7 24,4 25,0 25,6 26,1 26,6 27,0 0,02
4.9 5,3 5.5 5,6 5,7 5,9 6,1 6,3 6,4 6,5 6,8 6,8 6,9 0,01
- 0,18 'ХХ/7
0,14 0,15 0.16 1/6 0,17 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25
а/7\
200 ' - Изгиб балок [Гл. У
Продолжение табл. 27
\a/Z 0.50 0.51 0.52 — 0.53 0,54^ 0.55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62
0.01 6.2 6.0 5.9 5.8 5.6 i 5.5 5,3 5.2 5,0 4,9 4,7 4,6 4,4
0,02 24.2 ! 23.9 23.3 22.1 22,3 21.7 21,1 20,5 19,9 19,3 18,7 18,1 17,5 ,
0,03 54.0 1 52.9 51.8 50,6 49.4 48.2 46.9 45.6 44,3 43,0 41,6 40,2 38,8
0,04 94.7 192.8 90,8 88,8 86,7 84,6 82.3 80.1 76,9 75,4 73,0 70,6 68,2
0,05 146 1 143 140 137 134 130 127 123 120 . 116 113 109 105
0,06 207 199 194 190 185 180 175 170 165 160 155 149
0,017 267 261 255 248 242 *912 236 229 222 215 208 201
0.08 343 336 328 320 303 295 286 277 268 259
0;09 1 428 419 409 399 389 379 368 357 346 335 323
0,10 531 I 521 509 498 486 474 461 448 435 421 408 394
0.11 645 633 621 607 594 579 565 550 534 519 503 486 470
0,12 742 727 712 696 679 662 645 627 608 590 571 551
0,13 873 857 i 840 823 804 785 766 746 725 704 682 660 638
0,14 996 978 1105 1236 959 939 918 897 875 852 828 804 780 755 729
0,15 1125 1083 1061 1038 1014 989 963 937 910 882 854 825
0,16 12 1212 1188 1162 1135 1107 1079 1049 1019 988 957 925
1/6 1350 1326 1301 1275 1247 1219 1189 1158 1127 1095 1062 1028 994
0,17 1397 1372 1346 1319 1291 1261 12 1199 1166 1133 1099 lOf 1029
0,18 1539 1512 I 1484 • 1454 1423 1391 1357 1323 1287 1250 1213 1175 1136
0.19 №85 1656 1625 1593 1559 1524 1488 1450 1411 1371 1330 1289 1246
0.20 1833 1802 1769 1735 1698 1660 1622 1580 1538 1495 1451 1405 1359
0.21 1984 1951 2102 1916 1879 1840 1799 1757 1713 1668 1621 1573 1525 1475
0.22 2138 2065 2026 1984 1940 1895 1848 1800 1750 1698 1645 1592
0.23 2255 2216 2174 2130 2083 2035 1985 1933 1880 1825 1769 1712
0.24 2448 2409 236/ 2323 2277 2228 2177 2124 2069 2012 1954 1894 1833
0.2S 2604 2563 2520 2474 2425 2373 2319 2263 2205 2145 2083 2020 1955
0,26 2760 2718 2673 2624 2573 2519 2462 2403 2342 2279 2214 2147 2078
0,27 2916 2872 2825 2775 2721 2665 2605 2543 2479 2413 2344 2274 2202
0,28 3071 3025 29/7 2924 2869 2810 2748 2684 2616 2547 2475 2402 2326
0,29 ’ 3224 3177 3127 3073 3016 2955 2890 2823 2753 2681 2606 2529 2450
0,30 3375 3328 3276 3221 3161 3098 3032 2962 2889 2814 2736 2656 2573
0.31 ; 24 3476 3423 3366 3305 3240 3172 3099 3024 2946 2865 2782 2696
0,32 3669 3621 3!57 3509 3447 3380 3309 3235 3157 3077 2993 2906 2817
0,33 3812 3762 3708 3649 35i 3517 3445 3369 3289 3205 3119 3029 2937
1/3 3858 3809 3755 3695 3631 3562 3490 3413 3332 3248 3160 3070 2977
0.34 3900 3846 3786 3721 3652 3578 3500 3418 3332 3243 3151 3056
0.35 4034 3980 3919 3854 371 3708 36! 3544 3456 3365 3270 3172
0.36 4212 4163 41091 Ю 39i 3910 3834 3753 3667 3577 3483 3386 3286
. 0.37 4287 1233 4172 4106 4034 3956 3873 3787 3695 3599 3500 3397
0JJ8 4405 4352 4291 4225 4152 4074 3991 3902 3809 3712 3611 3506
0.39 4517 d 4405 4338 4266 4187 4103 4014 3919 3821 3718 3611
0.40 4667 4623, 4571 4512 4 16 4374 .4295 4211 4121 4025 3925
0.41 4763 4721 4 4613 4548 4476 4398 4313 4223 4126 107 0,13
0.42 4851 4811 4763 4707 4643 4572 4494 4410 4319 79,8 92,5 0,12
0,43 4931 4894 4848 4794 4731 4662 4584 4500 57,7 67.8 78.7 0,11
0.44 5001 4968 4924 4812 4744 4668 27,1 40,3 48,2 56,7 65,8 0,10
0.45 52| 50321 4992 4885 4818 33,0 39,5 46,5 53.9 0,09
0.46 5114 5087 5051 4949 17,3 21,6 26,4 31,6 37,2 43,1 0,08
0.47 5154 5132 5100 50! 10,3 13,4 16.7 20,4 24,5 28,5 33,4 0,07
0.48 5184 5167 5138 5.7 7,7 9,9 12,4 15,2 18.2 21,4 24,8 0,06
0.49 5202 5190 2,9 4,0 5,4 6,7 8,7 10,7 12,8 15,0 17,4 0,05
0.50 5208 1,2 1.4 2.6 3,5 4,5 5,7 6,9 8,3 9,7 11,3 0,04
0.4 0.7 1.Q 1.5 2,0 2,6 3,2 3,9 4,7 5,5 6,4 0,03
0.0 0.1 0.2 о.з 0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,8 2,1 2,5 2,9 0,02
0,0 ч 0.0 0,1 0.1 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 0,6 0,7 0,01
0.99 0,98 0,97 0.96 0,95 0.94 0,93 0,92 0,9! 0,90 0,89 0,38 0,87 a//\
Примечание. Сб интерполировании — см. § 10.
f 22|Таблицы элементов иэгиба простейших балок 201
Продолжение табл. 27
\о,'/ JC//X 0,63 0.64 0.65 0.66 2/3 0.67 0,68 0,69 0,79 .0,71 0,72 0,73 0,74
0,01 4,2 4.1 3,9 3.8 3,7 . 3.6 3,4 3.3 3.1 3,0 2,8 2,6 2,5
0.02 16,8 16.2 15,5 14,9 14,5 14.3 13,6 13,0 12.3 11,7 11,0 10,4 9,8
0.03 37,4 36.0 34.6 33,1 32,2 31,7 30,2 28,8 27.4 25,9 24,5 23,1 21,8
0.04 65.7 63,2 60,7 58,2 56,5 55,7 53,1 50,6 48,1 45,6 43,1 40,7 38,2
0,05 101 97.3 93,7 89,8 87.2 85,9 82,0 78,1 74,2 70.4 66,6 62,8 59,0
0.06 144 139 133 128 124 122 117 ^111 106 100 94.7 89,3 84,0
0,07 194 186 179 172 167 164 157 149 142 135 127 120 113
0,08 250 240 300 231 221 215 212 202 193 183 174 164 155 146
0,09 312 288 276 268, 265 253 241 229 217 205 194 182
0,10 380 365 351 337 327 322 308 293 279 265 250 236 222
0,11 453 436 419 402 391 385 368 350 333 316 299 282 265
0,12 532 512 492 472 459 452 432 412 391 371 351 332 312
0.13 615 593 570 546 531 523 500 477 453 430 407 384 361
0.14 704 678 651 625 607 598 572 545 519 492 466 440 414
0,15 796 767 737 707 688 677 647 617 587 557 527 498, 468
0,16 893 860 827 793 771 760 726 693 659 625 592 559 526
1/6 959 924 889 853 829 817 781 744 708 672 636 601 565
0,17 993 957 920 883 858 846 808 771 733 696 659 622 586
0.18 1096 1056 1016 975 948 934 893 852 811 769 729 688 647
0.19 1203 1159 1115 1071 1041 1026 981 935 890 845 800 756 711
0,20 1312 1265 1217 1168 1136 1119 1070 1021 972 923 874 825 777
0.21 1424 1373 1321 1268 233 1215 1162 1109 1056 1002 949 897 844
0.22 1538 1483 1427 1370 1133 13131 1256 1199 1141 1084 1027 970 913
0.23 1654 SJ595 1535 1474 1434 1413 1352 1290 1228 1167 1105 1044 983
0.24 1771 1708 1644 1579 1536 1514 1449 1383 1317 1251 1185 1119 1054
0.25 1889 1822 1755 1686 1640 1616 1547 1477 1406 1336 1266 1196 1127-
0.26 2009 1938 1866 1793, 1744 1720 1646 1571 1497 1422 1348 1273 1200
0,27 2129 2054 1978 1901 1850 1824 1745 1667 1588 1509 1430 1351 1273
0.28 0,29 2249 2369 2170 2286 2090 2203 2010 2118 1955 2061 1928 2032 1845 1946 1763 1859 1679 1771 1596 1684 1513 1058 0,25
0.30 2489 2402 2315 2226 2167 2137 2046 1955 1863 926 990 0,24
0,31 2608 2518 2427 2334 2272 2241 2146 2051 805 864 923 0,23
0,32 2726 2633 2538 .2442 2377 2344 2245 694 747 802 857 0,22
0,33 2843 2746 2648 2548 2481 2447 593 641 691 741 792 0,21
1/3 0.34 0,35 3072 2784 2858 2969 2684 2757 2864 2583 2653 2514 347 420 382 501 459 417 545 499 454 590 540 491 635 582 529 682 624 568 729 667 607 0,20 0,19 0,18
0,36 3183 3077 284 314 345 377 410 444 479 514 549 0,17
0,37 3292 264 274 303 333 364 396 429 462 496 530 1/6
228 246 255 282 310 339 368 399 430 461 493 0,16
160 182 203 219 227 251 276 301 328 355 383 411 439 0,15
141 160 179, 193 200 221 243 266 289 313 338 363 388 0,14
123 140 157* 168 175 193 212 232 253 274 295 317 339 0,13
106 121; 135 145 151 167 183 200 218 236 255 273 292 0,12
90,2 103 115 124 128 142 156 171 186 201 217 233 249 0,11
75,4 85,7 96,1 103 107 119 130 143 155 168 181 195 208 0,10
61,8 70,3 78,8 84,7 87.8 97,2 107 117 127 138 149 160 171 0,09
49,4 56.2 63,0 67,7i 70,2 77,7 85,5 93.5 102 ПО 119 128 137 0.0’8
38.2 43.4 48,8 52,5. 54,4 60,2 66.2 72.5 78.9 85,4 92,1 99,0 106 0,07
28.4 32.3 36,2 39,0 40,4 44,7 49,2 53.9 58.6 63,5 68,5 73,6 78,7 0,06
20.0 22.7 25,5 27,4 28,4 31,4 34.6 37.8 41,2 44,6 48,1 51,7 55,3 0,05
12.9 14.7 16.5 17,7 18,4 20,3 22,4 24,5 26.7 28,9 31,2 33,5 35,8 0,04
7,4 8.4 9,4 10,1 10,4 11,6 12.7 13,9 15.2 16,4 17,7 19,0 20,4 0,03
3.3 3,8. 4,2 4,5 4,7 5,2 5,7 6,3 6,8 7,4 8,0 8,6 9,2 0,02 0,01
0.8 0.9 1.1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,6 Г,7 1,9 2,0 2,2 2,3
0.86 0.84 5/6 0,83 0,82 0,81 0,80 0,79 0,78 0,77 0,76 0,75
202
Изгиб балок.
[Гл. V
Таблица 28
Прогибы балки, жестко задела иной левым и свободно опертой
правым концом под действием сосредоточевной силы; в таблице даны
коэффициенты т, увеличенные в 10*раз, в формуле w =
0.95 0,94 0,93^0,92 0.91 0.90 0.89 0,88|0,87 0,86|0,85 0,84 5/60,830,82^0,81
0.05 2.9 3,5 4.1 4.7 5.1 5.9'6.4 7,0 UL 7,6 8,1 8,7 9,2 9,6 9,8 10 11
0.06 4.2 6,0 5,9 6,7 7.3 8.4 9.2 11 12 12 13 14 14 15 15
0.07 5.6 6.8 7,9 9,0 9.8 11 12 1У 15 16 17 18 18 19 20 21
0,08 7,2 8,8 10 12 13 15 16 17 19 20 22 23 24 24 26 27
0.09 9J Н 13 15 16 18 20 22 24 25 27 29 30 30 32 34
0.10 11 13 16 18 20 22 24 27 29 31 33 35 36 37 39 41
0,11 13 16 19 21 25 27 29 32 34 36 39 42 44 44 47 51
0.12 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 51 52 55 58
0.13 18 22 26 29 33 36 40 43 47 50 54 57 59 . 61 64 67
0.14 21 25 30 33 38 42 46 50 54 58 62 65 68 69 73 77
0.15 24 29 33 38 43 47 52 57 61 65 70 74 77 79 83 87
0,16 27 32 371 43 48 53 58 63 69 74 79 84 87 88 93 98
1/6 29 35 40 46 52 57 63 68 74 79 85 90 93 95 100 105
0,17 30 36 42 48 53 59 65 71 76 82 88 93 97 99 104 109
0.18 33 40 46 53 59 66 72 78 85 91 97 103 107 109 115 121
0.19 36 44 51 58 65 72 79 86 93 100 107 114 118 120 126 133
0,20 40 48 52 56 64 71 79 87 94 102 109 117 124 129 131 139 146
0.21 43 61 69 78 86 95 103 111 119 127 135 140 143 151 158
0.22 к 47 56 66 75 84 94 102 111 120 129 138 146 152 155 163 172
0.23 50 61 71 81 91 101 ПО 120 130 139 149 158 164 167 176 185
0.24 54 65 76 87 98 108 119 129 139 150 160 170 176 180 189 199
0,25 58 70 82 93 104 116 127 138 149 160 171 182 189 192 203 213
0.26 62 75 87 99 111 123 135 147 159 171 182 194 201 205 216 228
0,27 66 80 93 106 119 131 144 157 169 182 194 206 214 218 230 241
0,28 70 84 98 112 126 139 153 166 180 193 206 219 227 231 244 256
0.29 74 89 104 118 133 147 162 176 190 204 217 231 240 244 258 271
0.30 78 94 НО 125 140 155 171 185 200 215 229 244 253 258 272 285
0.31 82 99 115 132 148 164 179 195 211 226 241 256 266 271 286 300
0,32 86 104 121 138 155 172 188 205 221 237 253 269 280 285 300 315
0.33 90 109 127 145 162 180197 215 232 249 265 282 293 298 314 330
1/3 91 111 129 147 165 183200 218 235252 269 286 297 303 319 335
0.34 94 114 133 151 170 188206 224 242260 277 295 306 312 328 345
0,35 98 119 138 158 177 196215 234 253271 289 307 319 325 343 360
0.36 102 124 144 164 185 204 224 244 263(284 301 320 332 339 357 374
0.37 105 129 150 171 192 213234 254 2741294 313 334 345 352 371 389
0.38 110 134 156, 177 199 221 242 263 284 305 325 345 358 365 385 404
0.39 114 1381 161 184 Ю6 229 251 273 294315 337 358 371 378 398 418
0.40 118 143 167 190 213 236 259 282 304,326 348 370 384 391 412 432
0.41 122 148 172 196 220 244 268 291 3141337 360 382 396 404 425 446
0.42 126 153 178 203 227 .252 276 300 324|348 371 394 409 416 438 460
0.43 130 157 183 209 234 259 285 309 334 358 382 405 421 428 451 473
0.44 134 162 188 215 241 267 293 318 343368 393 417 433 440 464 487
0.45 137 166 193; 221 247 274 301 327 352’378 403 428 444 452 476 500
0.46 141 170 198 226 254 281j308 335 361 388 413 439 455 464 488 512
0.47 144 175] 203 232 260 288 316 343 370 397? 423 449 466 475 500 524
0.48 148 179 208 183 214 237 266 295.323 351 379|406 433 459 477 485 511 536
0,49 151 242 272 301 330 359 387415 442 469 487 496 522 547
0.50 154 186 217 247 277 307|337 366 395 402 '423 451 479 497 506 532 558
0.51 157 190 221 252 283 313'343 373 431 460 488 506 515 542 568
0.52 160 194 225 257 288 319:350 380 410(439 468 496 515 524 551 578
0.53 162 197 261 293 324'355 386 416446 476 504 523 533 560 587
0,54 165 200 203 265 297 329 361 392 423 1453 483 512 531 541 569 596
0,55 168 269 302 334 366 398 459 490 519 539 548 577 604
§22]
Таблицы элементов изгиба простейших балок 203
Продолжение табл. 28
0,80 0,79* 0,78*0,77 o,7ej D,75j 0,74j 0,73*0,7^ D,71jo,7oj 0,69^0,6.8 jo, 67 2/sjo,66
4 •
0 05 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 17 18 18
0 06 16 17 ч 18 18 19 20 20 21 22 22 23 24 24 25 25 25
О* 07 22 23 24 25 26 27 2 28 29 30 31 32 33 33 34 34
0^08 28 30 31 32 33 34 36 37 38 39 40 41 42 43 43 44
0 09 % 37 38 40 42 43 44 46 47 49 50 51 53 54 54 55
о jo 43 45 47 49 51 52 54 56 58 59 61 63 64 66 66 67
о’п 52 54 56 58 61 63 65 67 69 71 73 75 77 78 79 80
0 12 61 63 66 69 71 75 76 79 81 83 86 88 90 92 93 94
013 70 73 77 80 83 86 88 91 94 97 99 102 104 107 108 109
0,14 81 84 88 91 95 98 101 105 108 111 114 117 120 122 123 125
0,15 91 95 99 103 107 111 115 119 122 126 129 132 135 139 140 142
0 16 103 107 112 116 121 125 129 133 137 141 145 149 152 156 157 159
1/6 ПО 115 120 125 130 134 139 143 148 152 156 160 164 167 169 171
0 17 115 120 125 130 135 139 144 148 153 157 162 166 170 173 175 177
oje 127 132 138 143 149 154 159 164 169 174 179 183 188 192 193 196
0 19 140 146 152 158 164 169 175 181 186 191 196 201 206 211 212 215
0 20 152 159 166 173 179 185 192 198 203 209 215 220 225 230 232 235
021 166 173 181 188 195 202 208 215 221 228 234 239 245 251 252 256
0 22 180 188 196 203 211 218 226 233 240 246 253 259 265 271 273 277
0 23 194 203 211 219 228 235 243 251 258 266 273 279 286 292 294 298
024 208 218 227 236 244 253 1 269 277 285 293 300 307 314 316 320
0 25 223 233 243 252 261 271 280 288 297 305 313 321 328 335 338 342
0 26 238 248 259 269 279 «! 298 307 316 325 333 342 350 357 360 365
0*27 253 264 275 286 296 307 317 327 336 345 354 363 371 379 382 387
0 28 268 280 292 303 314 325 336 346 356 366 375 385 394 402 405 410
0'29 283 296 308 320 332 344 355 366 376 387 397 406 416 424 427 433
о’зо 299 312 325 338 350 361 374 385 397 407 418 428 438 447 450 456
0’31 314 328 342 355 368 381 393 405 417 428 439 450 460 470 473 479
О’32 330 344 359 373 386 399 412 425 437 449 460 472 482 492 496 502
о'33 345 •361 375 390 404 418 432 445 458 470 482 493 504 515 518 525
1/3 351 366 381 396 410 .424 438 451 464 477 489 501 512 522 526 533
0,34 361 377 492 408 422 438 451 465 478 491 503 515 527 537 541 548
О’35 377 393 409 425 440 455 470 484 498 511 524 536 548 560 563 571
о'зб 392 409 426 442 458 474 489 504 518 532 545 558 570 582 586 593
О* 37 407 425 442 459 476 492 508 523 538 552 566 579 592 604 608 615
038 422 441 459 476 494 510 526 542 557 572 586 600 613 625 629 637
0’39 437 456 475 493 5.1 528 545 561 577 592 607 621 634 647 651 659
0,40 452 472 491 510 528 546 563 580 596 611 626 641 655 667 672 680
041 467 487 507 526 545 563 581 598 615 631 646 661 675 688 692 700
О’42 481 502 522 542 561 580 598 616 633 649 665 680 694 708 712 721
О’43 495 517 538 558 578 597 615 633 651 667 684 699 713 727 732 740
0’44 509 531 552 573 593 613 632 650 668 685 702 717 732 746 751 759
0*45 522 545 567 5Ж 609 629 648 667 61 703 719 735 750 764 769 767
046 535 558 581 603 624 644 664 683 702 719 736 752 768 782 786 795
О'47 548 571 594 617 638 659 679 699 717 735 752 769 784 798 803 812
О’48 560 584 607 630 652 673 694 714 733 751 768 784 800 815 819 828
0 49 572 596 620 643 665 >87 708 729 747 765 783 799 815 830 834 843
0 50 583 608 632 655 678 700 721 741 761 779 797 814 829 844 849 858
0,51 594 619 643 667 690 712 734 754 774 792 810 827 843 857 862 871
0,52 604 630 654 678 702 724 745 766 786 805 823 839 855 870 875 884
0'53 614 640 665 689 712 735 757 777 798 816 834 851 867 881 886 895
0*54 623 649 674 699 722 745 767 788 808 827 845 869 877 892 896 905
0^55 631 657 683 708 731 754 776 797 817 836 854 871 887 901 906 914
204
Изгиб балок
[Гл. V
Продолжение табл. 28
xU 0.65 |о.64 0,63 |о,62 0.61 0.60 0,59 0.58 0,57 0,56 0,55 0,54 0,53 0,52 0,51 0,50
0,05 18 14 19 19 19 20 20 20 21 21 21 21 22 22 22 22
0.06 26 26 27 27 28 28 29 29 29 30 30 30 31 31 31 31
0,07 35 35 36 37 37 38 39 39 39 40 40 41 41 41 42 42
0,08 45 46 47 47 48 49 50 50 51 52 52 53 53 53 54 54
0,09 •56 57 58 59 60 61 61 63 64 64 65 66 66 67 67 68
0,10 68 70 71 72 73 74 75 77 78 78 79 80 80 81 82 82
0.11 82 83 85 86 88 89 90 91 93 94 95 96 96 97 98 98
0.12 96 98 100 101 103 105 106 107 >09 ПО 111 112 113 114 115 115
0 13 111 П« 115 117 119 121 123 124 126 127 129 130 131 132 133 133
О’14 127 130 132 134 137 139 141 142 144 146 147 150 150 151 152 152
0.15 144 147 150 152 155 157 159 161 163 165 167 168 169 170 171 172
0.16 162 165 168 171 174 176 179 181 183 185 187 190 190 191 192 193
1/6 174 178 181 184 187 190 192 194 197 199 201 202 204 205 206 207
0.17 181 184 187 190 193 196 199 201 204 206 208 210 211 212 214 215
0.18 200 204 207 211 214 217 220 222 225 227 230 231 233 235 236 237
0.19 220 224 228 231 235 238 241 244 247 250 252 254 256 256 259 260
0.20 2-Ю 245‘ 249 253 257 260 264 267 270 273 275 277 279 281 282 283
0,21 261 266 270 275 279 283 286 290 293 296 298 301 303 305 306 307
0,22 282 287 292; 297 301 306 310 313 317 320 322 325 327 329 330 332
0,23 304 310 315 325' 329' 333 337 341 344 347 350 352 354 355 356
0’24 326 -332 338 343 348 353 357 361 365’ 369 372 375 377 379 380 382
0.25 349 355 361 367 372 377 382 386 390 394 397 400 402 404 406 407
0.26 372 378 385 391 396 401 406 411 415 419 422 424 427 430 431 432
0.27 395 402" 408 415 420 426! 431 436 440 444 448 451 453 455 457 458
0,28 418 425 432 439 445 451 456 461 466 469 473 476 478 481 482 484
0,29 441 449 456 463 470 476 481 486 491 495 499 502 504 506 508 509
0,30 464 473 480 487 494 500 506 511 517 521 524 527 530 532 534 534
0.31 488 496 504 512 519 525 531 537 541 546 550 553 555 557 559 560
0,32 511 520 528 536 543 550 556 562 567 571 575 578 581 583 584 584
0,33 535 544 552 560 568 575 581 587 592 596 600 603 606 608 607 609
1/3 542 551 560 568 576 583 589 595 600 604 608 612 614 616 617 617
0,34 558 567 576 584; 592 599 605 611 617 621 625 628 629 632 633 633
0,35 581 591 600 608 616 623 630 636 641 645 649 652 655 656 657 657
0,36 604 614 623 632 640 647 653 660 665 669 673 676 679 680 681 680
0,37 626 636 646 655 663 670 677 183 689 693 697 700 702 703 704 703
0,38 648 659 6^^ 678 686 693 700 706 712 716 720 723 725 726 726 725
0,39 670 681 691 700 708 716 723 729 734 739 742 745 741 746 747 746
0,40 691 702! 712 722 730 738 745 751 756 761 764 760 768 768 768 767
0.41 712 723 734 743 752 760 766 773 778 782 785 787 789 789 788 786
0.42 734 744 754 764 772 780 787 793 798’ 802 805 807 808 808 807 805
0.43 753 764 774 784 793 800 807 813 818 822 825 827 827 827 825 822
0,44 772 783 794 803 812 820 827 832 837 841 843 845 845 844 842 839
0.45 790 80? 812 822 831 838 844 851 855 859 861 862 862 861 858 854
0.46 808 820 .830 840 848 856 862 868 872 875 877 878 878 876 863 868
0.47 829 837 847 857 865 873 879 884 891 893 893 892 889 886 881
0.48 841 853 863 873 881 888 895 900 903 906 907 907 905 903 898 893
0.49 856 868 878 888 896 903 909 914 917 919 920 919 917 914 909 903
0.50 870 882 893 902 910 917 922 927 930 931 932 931 928 924 918 911
0.51 884 895 906 915 922 929 934 938 941 942 942 940 937 933 926 918
0.52 896 908 918 928 934 940 945 949 951 952 951 949 945 939 933 924
0.53 907 919 928 937 944 950 955 958 959 960 958 956 951 945 937 928
0,54 917 928 938 946 953 959 963 966 967 966 964 961 956 949 940 931
0.55 926 937 947 954 961 966 970 972 972 971 969 964 958 951 942 932
§ 22]
Таблицы элементов изгиба простейших балок
205
Продолжение табл. 28
\ а}1 *//\ 0,49 0,48^0,47 0,46 0,45^0,44 0,43*0,42*0,41 0,40 0,39*0,33 0,37 0,36 1 0,35 0,34
0,05 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22
0.06 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 31 31 31 30
0.07 42 42 43 . 43 43 43 43 43 43 43 42 42 42 42 41 41
0.08 54 55 55 55 55 55 55 55 55 55 54 54 54 53 53 52 65
0.09 68 68 68 69 69 69 69 69 if 68 68 67 67 67 67
о.ю 83 83 83 83 84 84 84 83 83 82 82 81 81 80 79
0,11 99 99 99 99 100 100 99 99 99 99 98 98 97 96 95 94
0,12 116 116 116 117 117 117 117 116 116 115 115 114 113, 112 111 110
0.13 134 134 135 135 135 135 135 134 134 133 132 132 130 129 128 126
О. И 153 153 154 154 154 154 154 153 15? 152 151 150 149 147 146 144
0.15 173 173 174 174 174 174 174 172 172 171 170 169 168 1661 164 162
0.16 194 194 195 195 195 195 194 194 193 192 190 189 187 1 183 181.
1/6 20 2» 209 209 209 209 208 208 207 206 204 202 201 198 196 193
0,17 215 216 216 217 216 216 216 215 214 213 211 209 207 2(15 203 200
0.18 238 238 239 239 239 238 238 237 236 234 232 230 228 226 223 219
0,19 261 261 262 262 261 261 260 259 258 256 254 252 249 246 243 239
0,20 284 285 285 285 285 284 283 282 280 278 276 274 271 267 264 260 ’,
0,21 308 309 309 309 308 308 307 305 303 301 299 296 292 289 285 2{
0 22 333 333 333 333 333 332 330 329 327 324 321 318 314 310 306 301
0 23 357 358 359 358 357 356 354 352 350 347 344 340 336 332 327|^1
0 24 382 383 383 382 382 380 378 376 374 371 367 363 358 353 346,341 368'362 389 382 409,401 429421 449*439
0.25 0 26 408 433 408 1 408 433 407 432 406 431 405 429 403 427 400 424 397 421 394 417 390 412 385 408 380 402 374 396
0 27 459 459 458' 457 456 454 451 448 444 440 435 430 421 417
0’28 484 484 483 482 480 478 475 472 468 463 457 151 445 437
0 29 5091 Ю9 508 507 505 502 499 495 491 485 479 473 466 4Й8
0 30 535 534 533 532 529 526 523 518 513 508 501 494 486 477 468 ад/
0 31 5601 559 558 556 553 550 546 541 536 529 522 514 506 496 486 475
0 32 584 >8 583 580 577 573 569 563 557 550 543 534 525 515 504 491 507
о.'зз 1/3 609 608 606 603 600 596 591 585 579 571 563 553 543 532 520
617 616 614 611 608 603 598 592 585 578 569 560 549 538 526 536 522
0,34 0 35 633 632 629 627 623 618 613 606 599 591 582 572 561 549
656 655 652 649 645 640 634 627 619 610 600 589 578 565 551 ОоО
о'36 0.37 •0,38 0 38 679 702 677 699 675 696 670 692 666 686 660 680 654 673 646 665 638 656 628 646 618 634 606 622 593 608 578 939 0,65 0,64 0,63 0,62 0,61 0,60 0,59 0,58 0,57 0,56 0,55 0,54 0,53 0,52 0,5.1 • 0,50
723 721 717 712 706 700 692 683 673 662 650 636 951 945
744 741 737 732 725 718 709 700 689 677 664 962 956 949
0^40 0,41 0 42 764 761 756 750 743 735 726 716 704 691 969 965 959 951
783 779 774 768 760 751 741 730 718 975 972 967 960 952
801 797 791 784 776 766 756 743 979 977 973 967 960 951
0 43 818 813 807 799 790 780 769 981 980 977 972 966 959 949
0 44 834 829 822 813 804 792 981 981 979 975 970 963 955 945
0,45 0 46' 849 843 835 826 816 979 9/9 979 976 972 966 959 951 940
863 856 847 837 975 976 976 q75 972 967 961 954 945 934
0,47 0 48 875 867 858 969 971 972 972 9/0 966 961 954 947 937 926
886 877 961 964 966 967 966 96З 959 953 946 938 '928 917
0.49 895 951 956 958 960 959 958 955 950 944 937 928 919 907
939 945 949 951 952 951 949 <)45 940 934 928 918 908 896
918 926 933 937 940 942 942 941 938 934 929 922 915 906 895 884
911 918 924 928 931 932 931 930 927 922 917 910 902 893 882 870
0,5б 0,5Ij 0.52*0.53*0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,6о!о,61 0,62 0,63 0.64 0,65 \*/z
1 1 u/\
206
Изгиб балок
[Гл. V
Продолжение табл. 28
Ха/7 л//\ 0.34 1/3*0,33 1'0.32 '*0,31 0,30*0,29*0.28 0,27 0,26|0,25 0,24 0,23 0,22 0,21
0,05 22 2! 21 21 21 20 20 20 19 19 19 18 18 17 17
0.06 30 30 30 30 29 29 28 28 27 27 26 26 25 24 23
0.07 41 41 40 40 39 39 38 37 37 36 35 34 33 32 31
0.08 52 52 52 50 50 50 49 48 49 46 45 44 .42 41 40
0.09 65 65 64 64 63 62 61 59 58 57 55 54 52 51 49
0.10 79 78 78 77 76 75 73 72 70 69 67 65 63 61 59
0.11 94 93 93 91 90 88 87 85 81 79 77 74 72 69
0.12 ПО 109 108 107 105 103 101 99 9Г 94 92 89 86 83 80
0.13 126 125 125 123 121 119 116 114 111 108 104 102 98 95 91
0.14 14 143 142 140 137 135 132 129 126 123 119 115 111 107 103
0.15 162 160 160 156 154 151 148 145 141 137 133 129 124 119 114
0,16 181 179 178 175 172 168 165 161 157 152 148 143 137 132 126
1/6 193 191 190 187 184 180 176 172 167 162 153 152 146 140 133
0.17 200 198 197 193 190 186 182 177 173 167 162 157 151 144 138
0.18 219 217 216 212 208 204 199 194 189 183 177 171 164 157 149
0.19 239 237 236 231 227 222 216 211 205 198 192 185 177 169 161
0.20 260 257 255 245 240 234 228 221 214 206 198 190 181 172
0.21 280 277 275 270 264 258 251 244 237 229 221 212 203 193 183
0.22 >1 297 21 289 309 283 276 269 261 253 244 235 225 215 198 546
0.23 321 317 315 302 294 286 277 268 259 249 238 227
0.24 341 337 335 328 320 312 303 293 284 273 262 249 610 582 563
0.25 362 357 354 346 338 329 316 309 298 287 274 598 579
0.26 0.27 0.28 0,29 0,30 0,31 382 401 421 439 457 475 376 396 414 432 450 467 374 393 411 429 446 463 365 383 401 418 434 450 356 373 390 406 422 436 346 362 378 394 408 335 351 366 380 800 324 339 353 772 786 312 326 744 757 770 300 714 728 742 753 683 698 712 724 735 650 666 680 693 705 715 633 645 661 673 684 693 614 628 646 657 667 675 594 606 619 629 639 647
0,32 491 483 479 465 825 812 797 781 763 744 724 702 682 654
0,33 506 498 493 849 в; 823 807 790 772 752 731 708 688 660
1/3 512 503 871 859 847 832 816 798 779 759 737 714 693 665
0,34 522 891 880 8( 855 840 823 805 785 764 742 719 697 668
909 900 889 876 861 846 828 810 790 768 746 722 697 672
920914 912 902 888 878 863 847 830 811 791 769 747 723 698 672
925920 917 907 895 881 867 850 833 813 793 771 748 724 699 673
932 926 923 912 900 886 870 853 835 816 795 773 750 725 700 673
937 930 927 916 903 888 873 855 837 817 796 773 750 725 700 673
9 1 934 930 918 905 890 874 856 837 817 795 773 749 724 698 671
942 935 931 919 905 890 873 855 836 815 794 771 747 722 696 669
942 931 918 904 888 871 853 834 813 791 768 744 719 693 666
941 929 916 901 886 868 850 830 809 787 764 740 715 689 662
938 926 913 898 882 Ы 846 826 805 783 760 736 711 685 658
934 922 908 893 877 859 840 820 799 777 754 730 705 679 652
929 ^l 916 902 887 870 852 834 814 792 770 747 723 698 673 646
099 914 909 «95 879 863 15 826 806 785 763 740 716 691 665 639
914906 901 887 871 854 836 817 797 т 754 731 708 683 657 631
905’896 892 877 1 861 845 82 >8 788 767 745 722 699 674 649 623
895886 881 867 851 816 798 778 757 735 712 689 665 640 614
884*875 870 855 1 823 805 786 766 745 724 702 678 654 630 604
87181 №2 857 843 | 810 792 774 754 734 712 690 667 643 619 594
858'821 844 829 || 814 * 797 779 761 741 721 700 678 655 632 608 583
0.66 2/з|о,67 1,68*0,69 С 1.700,71 ( 1.72 0,73'0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80
0,20
16
23
30
38
47
56
66
77
87
98
109
120
127
131
142
152
162
172
0,80
0,79
0,78
0,77
0,76
0,75
0,74-
0,73
0,72
0,71
0,70
0,69
0,68
0,67
2/3
0,66
0,65
0,64
0,63
0,62
0,61
0,60
0,59
0,58
0,57
0,56
0,55
0,54
0,53
0,52
0,51
0,50
Хх/Г
§ 22] Таблицы элементов изгиба простейших балок 207
Продолжение табл. 28
\ ajl 0,19 |0.18 0,17 1/6 0,16 0,15 0,14 0,13 0,12 0,11 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05
0,05 15 15 14 14 13 13 12 11 10 9,4 8,6 7,7 6,8 5,8 4,8 3,7
0,06 21 20 19 19 18 17 16 14 13 12 11 9,1 7,7 6,3 4,8
0,07 0,08 0,09 0,10 0.11 0 12 27 35 43 51 60 69 26 33 41 49 57 65 26 32 40 48 56 63 25 31 38 46 53 61 23 30 36 43 50 57 22 27 33 39 46 52 20 25 31 37 42 48 19 23 28 33 38 43 17 21 25 30 34 15 19 23 26 157 14 17 20 128 142 12 14 101 113 125 9,7 76 88 98 109 54 64 73 82 90 0,95 0,94 0,93 0,92 0,91
О', 13 0,14 0 15 103 79 88 97 74 83 91 72 81 89 69 77 85 64 71 78 59 65 54 255 221 237 188 204 219 172 186 199 155 167 179 137 148 158 118 128 136 98 106 113 0,90 0,89 0,88
О'16 114 107 100 97 92 290 272 253 233 212 190 168 145 120 0,87
1/6 120 113 105 103 327 307 287 267 245 223 200 177 152 126 0,86
0 17 124 116 108 363 344 324 303 281 258 234 210 185 160 133 0,85
0 18 133 125 400 380 360 338 317 294 270 245 219 193 167 138 0,84
0*19 143 424 411 392 371 348 325 301 277 251 225 198 17 142 5/6
436 430 417 397 376 353 330 305 280 254 228 201 173 143 0,83
591 473 455 448 434 413 390 367[342 317 290 263 236 208 179 148 0,82
510 591 471 464 450 427 403 379 353 327 300 272 243 214 184 153 0,81
528 508 486 479 464 440 416 390.364 336 308 279 250 220 189 157 0,80
544 523 501 493 476 453 427 401 373 345 316 286 256 225. 198 161 0,79
558 537 514 506 489 464 438 410 380 353 323 293 262 230 198 164 0,78
572 549 525 517 500 474 447 419 390 360 330 299 267 235 20 2 167 0,77
585 561 536 528 510 483 456 4271397 367 336 304 272 239 201 170 0,76
596 571 546 537 519 492 463 434'404 373 345 309 276 242 20* • 173 0,75
606 581 554 545 527 499 470 440:409 378 346 313 280 246 211 177 0,74
614 589 562 553 53 506 476 445 414 382 350 316 283 248 214 175 0,73
622 596568 559 540 511 481 450418 386 353 319 285 254 216 178 0,72
628 602 574 565 545 516 48 454.422 389 356 322 287 253 217 180 0,71
634 610 579 569 550 520 489 4 7 425 392 358 324 289 254 218 181 0,70
638 61! 82 573 553 523 492 460,427 394 360 325 290 255 219 182 0,69
642 614 585 575 555 525 493 4611428 395 361 326 291 256 220 182 0,68
644 6164587 577 557 526 495 462429 396 362 327 292 256 220 182 0,67
644 616 587 577 557 526 495 462429 396 362 327 292 256 220 182 2/3
645 617 588 578 578 558 527 495 463,430 396 362 327 292 256 22( 182 0,66
646 617 588 558 527 495 462 429 396 361 327 292 256 220 182 0,65
645 617 587 577 557 526 494 462 428 395 361 326 291 255 219 182 0,64
644 615 586 576 555 524 492 460'427 393 359 325 290 254 219 181 0,63
642 613583 573 553 522 490 458-425 392 358 323 288 253 217 180 0,62
638 610 580 570 550 519 488 455423 389 355 321 286 251 216 179 0,61
635 606 577 567 547 516 484 452 420 386 353 319 284 250 214 177 0,60
630 601 572 562 542 512 480 448416 383 350 316 282 247 213 176 0,59
625 596 567 557 537 507 476 444 412 379 346 313 279 245 210 17- 1 •0,58
619 590 561 552 532 502 471 440408 375 343 310 276 242 201 172 0,57
612 584 555 545 526 496 465 434 403 371 338 306 273 239 204 170 0,56
604 577 548 539 519 490 460 429 398 366 334 302 269 236 203 168 0,55
596 56S 541 531 512 483 453 423392 361 329 297 265 233 200 165 0,54
587 560 533 523 504 476 446 416386 355 324 293 261 229 197 162 0,53
578 551 524 515 496 468 439 410380 35 319 288 257 225 194 160 0,52
568 542 515 506 488 460 431 402 373 343 313 283 252 221 190 157 0,51
558 532 506 497 479 451 423 395 366 337 307 277 247 217 186 154 0,50
0,81 0,82 0,83 5/6 0,84'0,86 1 0,86 0,87 0,88 0,89 0,901 3,91 ),92 1,93 3,94 0,95 \х// а/1\
Прогибы
b любой точке балки в аависимости от тип* иагруаки и устройства опор
Таблица 29
' * . / х \ . а QI*
(в таблице даны коэффициенты 3 1~ > в формулах ш = ₽ для различных распределенных нагруэок и в формуле
М/а
в= f1 для случая нагрузки концевым моментом. Все коэффициенты приведены в таблице увеличенными в 10* раз)
Случай 1 Случай 2 Случай 3 Случай 4 Случай 5 Случай 3 Случай 4 Случай 5
X 1 й ггпт тггтгтп wiiiiiiiiiiiiiiiv V” X 1 л*
И111Ш111И1111 Л кЛ
к— 4 —к
Р.оо 0 0 0 0 0 0,50 13021 2604 62500
0,01 417 4 389 3 1666 0,51 13039 j 2612 62892
0,02 833 16 777 13 3332 0,52 13043 * 2617 66232
0,03 1248 35 1165 29 4995 0,53 13037 2616 63520
0,04 1661 61 1552 50 6656 0,54 13017 2612 63756
0,05 2073 94 1938 77 8312 0,55 12985 2603 63938
0,06 2483 132 2321 109 9964- 0,56 12940 2590 64064
0,07 2889 177 2703 146 11609 0,57 12881 2573 64134
0,08 3292 226 3083 188 13248 0,58' 12810 2552 64148
0,09 3692 279 3460 234 14878 0,59 12726 2526 64104
0,10 4088 338 3834 284 16500 0,60 12629 2496 64000
0,11 4479 399 4204 337 18111 0,61 12520 2462 63836
0,12 4865 465 4571 394 19712 • 0,62 12397 2424 68612
0,13 5245 533 4934 454 21300 0,63 12262 2382 68326
0,1.4 5621 604 5293 517 22876 0,64 12115 2336 62976,
0,15 5970 677 5647 583 24437 0,65 11955 2286 6р562 :
0.16 6352 753 5996 650 25984 0,66 11782 2232 62084 '
1/6 6591 804 6226 697 27006 2/3 11660 2195 61728 ,
0,17 6709 830 6340 720 27514 0,67 11597 2175 б|540 1
0,18 7058 908 ' 6678 792 29028 0,68 , 11400 2115 .60928 ;
ОО ОООООООООО
14 Учебный справочник
.19
.20
.21
.22
.23
,24
,25
,26
,27
,28
,29
,30
0,31
0,32
0,33
1/3
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
7399 7733 987 1067 7012 7339 865 939 30523 32000 0,69 0,70 11190 10968 2051 1984 60248 59500
8059 1147 7659 1014 33456 0,71 10734 1915 58682
8377 1227 7972 1090 34892 0,72 10487 1842 57792
8686 1307 8279 . 1166 36305 0,73 10232 1768 56830
8987 1386 8578 1242 37696 0,74 9962 1690 55796
9277 1465 8870 1318 39062 0,75 9684 1611 54688
9558 1542 9153 1394 40404 0,76 9393 1530 53504
9831 1619 9430 1470 41719 0,77 £093 1448 52244
10093 1693 9698 1544 43008 0,78 8781 1364 50908
10346 1766 9957 1618 44268 0,79 8460 1280 49494
10588 1837 10207 16£0 45500 0^80 8128 П95 48000
10819 1906 10448 1761 46701 0,81 , 7787 1109 46426
11040 1972 10680 1831 47872 0,82 7436 1024 44772
11249 2037 10902 1898 49010 0,83 7077 939 43036
11317 2058 10974 1920 49382 5/6 6955 911 42438
11448 2098 11114 1964 50116 0,84 6709 855 41216
11636 2156 11316 2027 51188 0,85 6333 772 39312
11811 2212 11509 2088 52224 0,86 5948 691 37324
11976 2264 11690 2146 53224 0,87 • 5557 612 35249
12130 2313 11863 2202 54188 0,88 5158 535 33088
12271 2358 12022 2254 55114 0,89 4753 1 462 30838
12400 2400 12171 2304 56000 0,90 4341 391 28500
12517 2438 12309 2350 56846 0,91 3924 325 26072
12623 2472 12435 2393 57652 0,92 3501 264 23552
12716 2503 12550 2433 58416 0,93 3075 207 20940
12796 2530 12653 2469 59136 0,94 2644 156 18236
12865 2552 12745 2501 ‘ ’ 59812 0,95 2209 111 15438
12921 2571 12825 2530 60444 0,96 1771 73 12544
12965 2585 . 12892 2554 61030 0,97 1330 42 9554
12996 2595 12945 2575 61568 0,98 888 19 6468
13014 2602 12990 2592 62058 0,99 444 5 3284
13021 2604 13021 2604 62500 1 ,С0 0 0 0
Примечание. Линейное интерполирование допустнцр не везде
й . УГЛЫ ПОВОРОТА
на опорах свободно опертых балок в аависимости от типа нагрувок и района приложения их
(в таблице даны абсолютные значения коэффициентов в, в формулах w'« я -g-jy для сосредоточенных нагрузок и в формулах
w “ ® 'б£/ “для распределенных. Все коэффициенты я приведены, в таблице увеличенными в 10‘ раз)
Таблица 30
I i а Случай 1 Случай 2 Случай 3 *4ПТТ|ГПТ1 Случай 4 а 1 Случайш3 Й fillip Случай 4
А IP
А Л
на левой (ближ- ней) опоре иа пра- вой (дальней) опоре на левой опоре на правой опоре на левой опоре на правой опоре на левой опоре на правой опоре иа левой опоре на правой опоре
0,00 0 0 0 2500 2500 2333 2667 0,50 2188 2812 1542 2208
0,01 197 100 297 2524 2525 2330 2670 0,51 2156 2793 1516 2184 '
0,02 388 200 588 2547 2549 2325 2673 0,52 2124 #772 1489 2159
0,03 573 300 873 2568 2573 2321 2675 0,53 2090 2750 1463 2133
0,04 753 399 1152 2588 2596 2315 2677 0,54 2057 2727 1436 2106
0,05 926 499 1425 2606 2618 2309 2678 0,55 2022 2703 1409 2079
0,06 1094 598 1692 2624 2640 2303 2679 0,56 1987 2677 1381 2061
0,07 1256 696 1953 2639 2662 2296 2680 0,57 1951 2650 1354 2022
0,08 1413 795 2208 2653 2683 2288 2680 0,58 1915 2621 1328 1990
0,09 1564 893 2457 2666 2703 2280 2680 0,59 1878 2591 1298 1962
0,10 1710 990 2700 2678 2722 2271 2679 0,60 1840 2560 1269 1931
0,1! 1850 1087 2937 2688 2741 2262 2678 0,61 1802 2527 1241 1899
0,12 1985 1183 3168 2696 2760 2252 2676 0,62 1763 2493 1212 1866
0,13 2115 1278 3393 2704 2777 2241 2674 0,63 1723 2458 1183 1833
0,14 2239 1373 3612 2710 2794 2231 2671 0,64 1683 2421 1153 1799
0,15 2359 1466 3825 2715 2810 2219 2668 0,65 1643 2382 1124 1764 .
0,16 2473 1559 4032 2718 2826 ' 2207 2665 0,66 1602 2342 1094 1728
1/6 2546 1620 4167 2720 2836 2199 2662 2/3 1574 2315 1074 1704
0,17 2582 1651 4233 2720 2840 2195 2661 0,67 1560 2301 1064 1691
210 • Изгиб балок
0,18 0,19 0,20 2086 2786 2880 1742 1831 1920 4428 4617 • 4800 2722 2721 , 2720 2854 2868 2880 2182 2168 2155 2656 2651 2645 0,68 0,69 0,70 1518 1476 1432 2258 2213 2168 1034 1006 973 1654 1616 1577
0,21 2970 2007 4977 2717 2892 ’ 2140 2639 0,71 1389 2120 942 1537
0,22 3054 2094 5148 2714 2902 2125 2633 0,72 1345 2071 911 1497
0,23 3135 2178 5313 2709 2912 2110 2625 0,73 1301 2020 881 1455
0,24 3210 2262 5472 2702 2921 2094 2618 0,74 1256 1968 849 1413
0,25 3281 2344 5625 2695 2930 2078 2609 0,75 1211 1914 818 1370
0,26 3348 2424 5772 2687 2937 2061 2601 0,76 1165 1858 786 1326
0,27 3410 2503 5913 2677 2944 2044 2591 0,77 1120 1801 754 1281
0,28 3468 2580 6048 2667 2949 2027 2581 0,78 1073 1743 723 1235
0,29 3521 2656 6177 2655 2954 2009 2571 0,79 1027 1682 691 1189
0,30 3570 2730 6300 2642 2958 1990 2560 0,80 980 1620 •659 1141
0,31 3615 2802 6417 2629 2960 1971 2548 0,81 933 1556 626 1093
0,32 3656 2872 6528 2614 2962 1952 2536 0,82 885 1490 594 1044
0,33 3692 2941 6633 2598 2963 1933 2523 0,83 838 1423 562 994
1/3 3704 2963 6667 2593 2963 1926 2519 5/6 822 1400 551 977
0,34 3725 3007 6732 2581 2963 1912 25Ю 0,84 790 1354 529 943
0,35 3754 3071 6825 2563 2962 1893 2495 0,85 742 1283 497 891
0,36 3779 3133 6912 2545 2960 1871 2481 0,86 693 1211 464 838
0,37 3799 3193 6993 2525 2956 I860 2466 0,87 644 1136 431 784.
0,38 3817 3251 7068 2504 2952 1828 2450 0,88 596 1060 398 730
0,39 3830 3307 7137 2482 2946 1806 2433 0,89 547 982 365 674
0,40 3840 3360 7200 2460 2940 1784 2416 0,90 498 4902 332 618
0,41 3846 3411 7257 2436 2932 1761 2398 0,91 448 821 . 299 560
0,42 3849 3459 7308 2412 2924 1738 2380 0,92 399 737 266 502
0,43 3848 3505 7353 2387 2914 1715 2361 0,93 349 652 23? 442
0,44 3844 3548 7392 2361 2903 1691 2341 0,94 299 564 200 ! 382
0,45 3836 3589 7425 2334 2891 1667 2320 0,95 250 475 166 321
0,46 3825 3627 7452 2306 2878 1643 2299 0,96 200 384 133 259
0,47 3811 3662 7473 2278 2863 1618 2278 0,97 150 291 100 196
0,48 3794 3694 7488 2248 2848 1593 2255 0,98 100 196. 67 131
0,59 3773 3724 7497 2218 2831 1567 2232 0,99 50 99 “ 33 66
0,50 3750 3750 7500. 2188 2812 .1542 2208 1,00 ... 0 0 0 0
Примечание. Линейное интерполирование,,как правило, недопустимо.
§ 22] Таблицы элементов изгиба простейших балок
Ж«стко Заделанных по концам (в таблице даны а i ОПОРНЫЕ МОМЕНТЫ • балок, нагруженных на части пролета равномерно распределенной нагрузкой н нагрузкой по треугольнику Таблица 3! 212
бсолютные анеченни коэффициентов ц (?) в формулах М—ц QI)
Случай 1 Случай 2 Случай 1 Случай 2
а 1 ' н 1 '"* 1 а 1 р: нА
иа левой на правой на левой на правой на левой на правой i на левой на правой
опоре опоре опоре опоре опоре опоре .опоре опоре
0,00 0,0833 0,0833 0,0667 0,1000 0,50 0,0521 0,1146 0,0292 0,0958
0,01 0,0841 0,0842 0,0663 0,1003 0,51 0,0506 0,1143 л 0,0282 0(0951 §
0,02 0,0848 0,0850 0,0659 0,1006 0,52 0,0492 0,1140 *0,0273 0(0943 а
0,03 0,0855 0,0859 0,0655 0,1010 0,53 0,0477 0,1137 0(0264 0,0934
0,04 0,0860 0,0868 0,0651 0,1013 0,54 0,0462 0,1133 0,0255 0(0925
0,05 , 0,0864 0,0877 0,0647 0,1016 0,55 0,0447 0,1128 0(0246 0,0916
0,06 0,0869 0,0886 0,0642 0,1019 0,56 0,0432 0,1122 0(0239 0(0906
0,07 0,0872 0,0895 0,0637 0,1021 0,57 0,0418 .. 0,1116 0,0229 0,0896
0,08 0,0875 0,0904 0,0632 0,1024 0,58 0,0403 0,1109 0,0220 0,0886
0,09 0,0876 0,0913 0,0627 0,1027 0,59 0,0388 0,1102 0,0211 0,0875
0,10 0,0878 0,0922 0,0621 ’ 0,1029 0,60 0,0373 0,1093 0,0203 0,0864
0,11 0,0878 0,0932 0,0615 0,1031 0,61 0,0359 0,1084 0,0194 0,0852
0,12 0,0878 0,0941 0,0609 0,1033 0,62 0,0344 0,1074 0,0186 0,0840
0,13 0,0877 0,0950 0,0603 0,1036 0,63 0,0330 0,1064 0(0178 0,0828
0,14 0,0875 0,0959 0,0597 0,1037 0,64 0,0315 0,1053 0,0169 0,0815
0,15 0,0873 0,0969 0,0590 1,1039 • 0,65 0,0301 0,1040 0,0161 0(0801
0,16 0,0870 0,0978 0,0583 0,1041 0,66 0,0287 0,1028 0,0153 0,0787
1/6 0,0868 0,0984 0,0579 0,1042 2/3 0,0278 0,1019 0,0148 0,0778 ж
0,17 0,0867 0,0987 0,0576 0,1042 0,67 0,0273 0,1014 0,0146 0(0773 •<
Г .. -L. . . » 1. & « ti *
0,18 0,19 0,20 0,0863 0,0868 0,0853 0,0996 0,1005 0,1013 0,0669 0,0662 0,0655 0,1043 0,1044 0,1046 0,68. 0,69 0,70 0,0259 0,0246 0,0232 0,0999 0,0984 0,0968 0,0138 0,0130 0,0123 0,0758 0,0743 0,0727 §22]
0,21 0,0848 0,1022 0,0547 0,1046 0,71 0,0219 0,0950 0,0118 0,0711
0,22 0,0842 0,1030 0,0539 0,1047 0,72 0,0206 0,0932 0,0109 0,0694
0,23 0,0836 0,1039 0,0532 0,1047 0,73 0,0194 0,0913 0,0102 0,0677
0,24 0,25 0,0828 0,1047 0,0524 0,1047 0,74 0,0181 0,0893 0,0095 0,0659
0,0820 0,1055 0,0516 0,1047 0,75 0,76 0,0169 0,0872 0,0088 0,0641
0,26 . 0,0812 0,1062 0,0507 0,1047 0,0157 0,0850 0,0082 0,0622
0,27 0,0804 0,1070 0,0499 0,1046 0,77 0,0146 0,0828' 0,0073 0,0603 &
0,28 0,0795 0,1077 0,0491 0,1045 0,78 0,0135 0,0804 0,0070 0,0683 g
0,29 0,0786 0,1084 0,0482 0,1044 0,79 0,0124 0,0779 0,0064 0,0562 •f
0,30 0,0776 0,1091 0,0474 0,1043 0,80 0,0113 0,0753 0,0059 0,0541 к
0,31 0,0766 0,1097 0,0465 0,1042 0,81 0,0103 0,0726 0,0053 0,0520 Is
0,32 0,0755 0,1103 0,0456 0,1040 0,82 0,0093 0,0698 0,0048 0,0498 £
0,33 0,0744 0,1109 0,0447 0,1038 0,83 0,0084 0,0670 0,0043 0,0475 ж
1/3 0,0741 0,1111 0,0444 0,1037 5/6 0,0081 0,0660 0,0042 0,0468 |
0,34 0,0733 0,1115 0,0438 0,1035 0,84 0,0074 0,0640 0,0038 0,0452
0,35 0,0722 0,1120 0,0430 0,1033 0,85 0,0067 0,0608 0,0034 0,0428 Л) ,
0,36 0,0710 0,1125 0,0420 0,1030 0,86 0,0058 0,0576 0,0030 0,0404
0,37 0,0698 0,1129 0,0411 0,1027 0,87 0,0051 0,0543 0.0026 0,0379 R
0,38 0,0686 0,1133 0,0402 0,1024 0,88 0,0044 0,0508 0,0022 0,0354 й1
0,39 0,0673 0,1137' 0,0393 0,1020 0,89 . 0,0037 0,0473 J 0,0019 0,0328
0,40 0,0660 0,1140 0,0384 0,1016 0,90 0,0030 0,0436 0,0016 0,0301 3 I
0,41- 0,0647 0,1143 0,0375 0,1012 0,91 0,0025 0,0398 0,0013 0,0274
0,42 0,0634 0,1145 0,0366 0,1007 0,92 0,0020 0,0359 0,0012 0,0246 «3 съ
0,43 0,0620 0,1147 0,0356 0,1002 0,93 0,0015 0,0318 0,0008 0,0217 Re 2*
0,44 0,0606 0,1148 0,0347 0,0997 0,94 0,0011 0,0276 0,0006 0,0188 К й
0,45 0,0592 0,1149 0,0338 0,0991 0,95 0,0008 0,0234 0,0004 0,0158 н
0,46 0,0578 0,1150 0,0328 0,0985 0,96 0,0005 0,0189 0,0003 0,0128 01
0,47 ' 0,0564’ 0,1150 0,0319 0,0979 . 0,97 0,0003 0,0144 0,0001 0,0097 сэ
0,48 0,0550 0,1149 0,0310 0,0973 0,98 0,0001 0,0097 0,0001 ! 0,0065 Л о
0,49 0,0535 0,1148 . 0,0302 0,0966 0,99 0,0000 0,0049 0,0000 0,0033 р?
0,50 0,0521 0,1146 0,0292 0,0958 1,00 0,0000 0,0000 0,0000 ’ 0,0000
Примечание. Допустимо линейное интерполирование.
214
Изгиб балок
[Гл. V
Таб л иц а 32
Многовроаетвая балка на оиорах равной высоты, удаленных друг от друга ва
равные расстояния Z, иод действием равномерно распределенной но всей балке
нагрузки интенсивности q
Величина —— Число опор i J
3 4 5 6 7
Реакция в долях полной нагрузки Q
JbJgJoSJ И W н о —0,1875 —0,6250 —0,1875 —0,1333 —0,3667 —0,3667 —0,1333 —0,0982 —0,2857 —0,2322 —0,2857 —0,0789 —0,2264 —0,1947 —0.1947 —0,0657 —0,1891 —0,1603 —0,1698 s 1 ! J i
Опорные моменты в долях ql*
Ml Af. М, 0,1250 0,1000 0,1000 0,1071 0,0714 0,1071 0,1053 0,0789 0,0789 0,1058 0,0769 0,0865
Максимальные пролетные моменты в долях <7/2
макс макс ж макс —0,0703 —0,0703 —0,0800 —0,0250 —0,0800 —0,0772 —0,0364 —0,0364 —0,0779 —0,0332 —0,0461 —0,0777 —0,0340 —0,0433 I
- Расстояния сечений, в которых имеют место максимальные пролетные моменты, от ближайшей левой опоры в долях 1
. 0,3750 0,6250 0,400 0,500 0,600 0,3930 0,5357 0,4643 0,3947 0,5264 0,5000 0,3942 0,5327 0,4904 - «4
$ 23. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА
Полосы и двутавровые балки со слабо развитыми поясками, изгибав-
мые в плоскости наибольшей жесткости, могут при известных условиях поте-
рять устойчивость плоской формы изгиба. Сечения балки начинают при этом
поворачиваться вокруг продольной оси — балка закручивается при одновре-
менном изгибе в плоскости наименьшей жесткости. Указанная потеря устой-
чивости плоской формы изгиба наступает раньше, если помимо изгиба балка
испытывает еще и продольное сжатие.
Как в случае сжатия, так и в случае изгиба может потерять устойчи-
вость балка в целом или отдельные ее составные части: сжатый поясок дву-
тавровой балки (если он тонок и широк), стенка ее и т. д.
Ниже приводятся расчетные формулы для определения критических
усилий для случаев изгиба.
Приведенные в табл. 33 формулы для эйлеровых усилий, вызываю-
щих появление бокового выпучивания, т. е. потерю устойчивости плоской
формы изгиба, справедливы лишь до тех пор, пока наибольшие напря-
жения не превосходят предела текучести. Поэтому, кроме эйлеровых
§ 23] Потеря устойчивости плоской формы изгиба 215
усилий, необходимо проверять и напряжения оэ, им соответствующие, и
в случае, если бы они оказались большими предела текучести, соответ-
ственно снижать величины нагрузок, даваемые формулами (т. е. умножать
их на отношение с* к ая).
Эйлеровы усилия в значительной степени зависят от условий на опорах.
При расположении осей, показанном на рис. 62, различают три типа непро-
седающих опор: опоры, препят-
ствующие вращению опорного
сечения относительно продоль-
ной оси х; опоры, препятствую-
щие, помимо этого, вращению
опорного сечения относительно
вертикальной оси г, и, наконец,
опоры, препятствующие любому
повороту опорного сечения
(жесткая заделка). На эскизах
в табл. 33 оси, относительно
которых невозможно вращение,
У
видно из числовых данных табл. 33 и 34,
показаны соответствующими бук-
вами в скобках под опорами.
Устойчивость балок, как это
повышается при более низком расположении нагрузок и понижается, если
нагрузка приложена на уровне верхней кромки балки. Всюду, где это не
оговорено, нагрузка считается приложенной на уровне нейтральной оси
балки.
Во все расчетные формулы входит множитель УСЁ1г, в котором:
С= ' G (ht3 t — жесткость при кручении (см. стр. 139) сйммет-
** ричного двутавра (для полосы второе слагаемое
в скобках отпадает);
Е, G — модули упругости;
. Л/3 , txb3
I2 = уд- + ----момент инерции тонкостенного двутавра относи-
12 о тельно вертикальной оси, т. е. меньший из глав-
ных центральных моментов инерции сечения (для
полосы второе слагаемое отпадает).
Принимая коэффициент поперечного сжатия равным р. — 0,3, для мно-
жителя УСЕ1г можно получить более удобные для вычисления выражения:
УСЕ1г — 0,103 ЕМ* — для полосы;
VCET^0,206 Et& 1 / 1 +
г Р 26 А
для тонкостенного двутавра.
Входящие в формулы табл. 33 коэффициенты k приведены в табл. 34
для двутавров в зависимости от аргумента
С/2
При тех же допущениях о тонкостенности двутавра и р. = 0,3 для ука-
занного аргумента можно пользоваться более удобным для вычислений
выражением:
СП ~ 1 г.л &
EIJi2 ~ ’ 62Л2
ht3 \
2W?/
(137)
216
Изгиб балок
[Гл. V
Таблица 33 ]
Формулы дли критических усилий при потере устойчивости
нлискей формы изгиба
(коэффициенты k, входящие в формулы, даны в табл. 34)
Критические усилия
для балок двутаврового
сечения, изгибаемых
нагрузками, действую-
щими в плоскости наи-
большей жесткостяфх
Критические усилия для ба-
лок с узким прямоугольным
поперечным сечением, изги-
баемых нагрузками, действую-
щими в плоскости наиболь-
шей жесткости гх
16,93 Г—— / h \*
Рэ = ^1±О,7Т \
VCE1Z
k ------Г-
РЭ~ [2 > СЕ1г
* Знак (4-) соответствует приложению силы к нижней кромке полосы,
знак (—) — к верхней.' При нриложеини силы на уровне нейтральной оси второй
член в скобках отпадает.
$ 23]
Потеря устойчивости плоской формы изгиба
' Продолжение табл. 33
Критические усилия для балок двутаврового Критические усилия для ба- лок с узким прямоугольным
№ Тип балки и нагрузки сечения, изгибаемых поперечным сечением, изгибае-
п/п нагрузками, действую- щими в плоскости наи- большей жесткости гх мых нагрузками, действую- щими в плоскости наиболь- шей жесткости гх
пм
1
* Знак (+) соответствует приложению Силы к нижней кромке полосы,
знак (—) — к верхней. При приложении силы на уровне нейтральной осн второй
«ен в скобках отпадает.
Коаффиниенты k, входящие в формулы потери устойчивости плоской формы нагиба *
с/« Случай 1 Л 1 А сила приложена на Для двута Случай 2 уровне вра нагрузк Случай 5 i Случай 8 сила приложена на уровне ней- тральной оси Для полосы Случай 4
(см. фор- мулу 137) а приложена иа уровне £ а сила прило- жена на уровне ней- тральной оси
нижнего пояска нейтраль- ной оси верхнего пояска нейтральной оси нижнего пояска нейтраль- ной ОСИ верхнего пояска
0,025 1 0,10 0,25 0,5 1,0 1.8 2 3 4: 6 8 10 . 12 16 20 24 32 40 60 80 100 146 де де (33) 30,4 (28 26) 25 23,8 22,4 22,2 21,1 (20,5) 20,0 19,4 18,9 18,7 86,4 (52) 31,9 (29) 25,6 (23) 21,8 20,3 19,6 (19,2) 18,9. 18,4 18,1 17,9 (17,7) (17,5 (17,3) 17,2 17,2 51,5 де де 16,0 15,4 14,9 14,9 14,9 14,9 14,9 14,9 15,0 15,1 15,2 15,4 15,6 15,8 266 88,8 65?5 50,2 43,6 40,2 37,8 36,3 34,1 30,7 28,4 28,2 222 (П5) 77,6 (65) 58,1 (52) 48,2 43,1 40,5 (39,3) 38,0 36,1 35,0 (34,1) (37,2) 32,7) (31,9) (31,2) 30,6 143 (90) 53 (46) 42,6 36^3 33,8 32,6 (32,0) 31,5 30,5 30,1 (29,8) 29,4 (29,2) (28,9) (28,7) 28,6 92,4 (60) 36,4 (32) 30,5 27,15 26,3 26,1 (26,0) 26,0 25,7 25,7 (25,7) 25,8 (25,9) (26,1) (26,3) 26,5 44,3 де 12,2 9,76 8,69 8,03 7,20 6,73 . 6,19* 5,87 5.64 0/05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 Ш.6 56.0 §?,? 29,1 24,1 21 >0 19,0 17,8 17,2 16,9 17,2 17,8 19,0 21,0 24,1 29,1 37,9 56,0 111,6 г ,
1 Числовые значения коэффициентов в основном заимствованы из книги П. Ф. Папковнча, Строительная Механика корабля,
ч. II, 1941- Цифры, заключенные в скобки, получены графическим интерполированием.
218 - Изгиб балок
§23]
Потеря устойчивости плоской формы изгиба --а '» 219
Для полосы (случай 4) коэффициент k дан в функции от отношения
„ / а \
ОТСТОЯНИЯ СИЛЫ ОТ ОДНОЙ ИЗ опор К Пролету I -j- j.
Необходимо обратить внимание на то, что из формул для двутавров
нельзя получать соответствующие формулы для полосы, полагая Ь —
= Zj = О, или, наоборот, из формул для полосы, подставляя соответствую-
щие С, 1г,—получить формулы для двутавра, так как для последнего
учитываются стесненность кручения и изгиб полок, а для узких полос
этим обстоятельством пренебрегают. *
В случае, если на балку, помимо изгибающих сил, действует и продоль-
ная растягивающая или сжимающая сила Т (+ растяжение,-— сжатие),
то критическую нагрузку можно получить, умножая даваемые формулами
табл. 33 значения на
(2аэ)2£/г
/2
где Тэ =
— абсолютное значение критической сжимающей силы
соответствующей балки |2o, = -g-—для консольных балок, =
для опертых и 2оэ = 2к—для балок, опоры которых препятствуют вра-
щению относительно оси z, т. е. для случаев 2, 3 и 7).
ГЛАВА VI
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ КОНСТРУКЦИИ В РАСЧЕТАХ
§ 24 СИММЕТРИЯ
Значительная часть судовых конструкций обладает симметрией
относительно определенной плоскости, а некоторые — даже относительно
двух плоскостей.
К первой категории относятся шпангоутные рамы корпуса, обладаю-
щие симметрией относительно диаметральной плоскости, и их горизонталь-
ные стержни — бимсы, флоры (рис. 63). Двоякосимметричными бывают
некоторые палубные и днищевые перекрытия (рис. 64).
Рис. 6Х Балка, шпангоутная рама н бортовое перекрытие, обладающие'
симметрией относительно плоскости х = О
Симметрия конструкции (включая в это понятие также симметрию опор-
ных закреплений) упрощает расчеты и значительно облегчает раскрытие
статической неопределимости, примерно вдвое уменьшая число неизвестных.
Однако это упрощение имеет место лишь при условии, что и внешняя
нагрузка на конструкцию также симметрична или обладает обратной
симметрией — антисимметр ией (рис. 65).
В симметричных конструкциях при симметрии или антисимметрии
внешних нагрузок все элементы, характеризующие деформированное состоя-
ние в точках, симметричных относительно плоскости симметрии (х, у, г
и —х, у, г), равны по абсолютной величине. Знак же элементов изгиба в сим -
метричных точках указан в табл. 35 и 36.
$24) Смжжеиж*
.............................Таблица,, 35
Элементы язгяба » томих. снмвжтричаыХ 'Мйкзп'ел ьно плоскости х = 0
Элементы изгиба Знаки при:
симметричной нагрузке антисимметрич- ной нагрузке
Перемещения, параллельные плоскости сим- метрии (о, а) Перемещения, перпендикулярные плоскости симметрии (а) Нормальные напряжения н линейные дефор- мации ®уз cjr» ®z» £jy> £Z Касательные напряжения н деформация сдви- га: о Тг» Тх - ХГ» Ту, Тг ............... Одинаковы Обратны Одиниковы Одинаковы Обратны Обратны Одинаковы Обратны Обратны Одинаковы
Рже. 64. Перекрытие, симметричное относительно плоскостей х = О иу=О
Таблица 36
Элементы изгиба балок и рам, симметричных относительно оси
_____________________________(см. рис. 66)_____________________________
Симметричная нагрузка Антисимметричная нагрузка
. Элементы изгиба и симметрич- ных точках на осн симмет- рии в симметрич- ных точках на оси симмет- рии
Перемещения, перпеидикуляр- ные осн симметрии * Перемещения, параллельные оси симметрии Углы наклона балок или стерж- ней рамы, углы поворота уз- лов рамы Изгибающие моменты Срезывающие силы •- При наличии на осн снммс Обратны Одинаковы Обратны Одинаковы Обратны ;трнн опорной р 0 0 0 или Я * • ± 2 еакцнн hj Одинаковы Обратны Одинаковы Обратны Одинаковы 1и внешней сил 0 0 нли М ** ы срезы-'
влажная сила раина половине ее величины.
** При наличии на осн симетрни момента, прикладываемого опорой, я ли аиеш-
nero момента нагибающий момент равен половине этого момента.
222
Использование симметрии конструкции в расчетах [Гл. VI
Аналогично могут быть получены соотношения между элементами
изгиба в симметричных точках ( и на осн симметрии) для симметричных и
двоякосимметричных перекрытий.
аяоскостах^О силы и моменты плоскости х=О силы и моменты
Рис. 65
§ 25. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕСИММЕТРИЧНЫХ НАГРУЗОК НА СИММЕТРИЧНЫЕ
И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ
Для того чтобы воспользоваться упрощениями, даваемыми симметрией
конструкции, надо внешнюю нагрузку разделить на симметричную и анти-
симметричную части.
Процесс этого выделения состоит в замене, в соответствии с рис. 66»
какой-нибудь одаой несимметричной силы (момента) четырьмя, две из кото-
рых составляют симметричную нагрузку и две — антисимметричную, Вме-
§25]
Разложение несимметричных нагрузок
223
сто одной конструкции рассчитывают две под действием обоих видов нагрузки
независимо, а затем все элементы изгиба, полученные в результате этих
двух расчетов, алгебраически суммируют.
юг
1г
Н!И
НШ1Н1
'Яг^а2
Заданная нагрузка
ее симметричная часть
glHHHi
ее антисимметричная часть
5т Зт
к '
Схема расчета для
симметричной нагрузки
а_л Схема расчета для
антисимметричной нагрузки
Рис. 67
Например, если в точке (х, у," г) задана сила Р с составляющими
L* то в симметричную относительно плоскости х = 0 нагрузку
включают 6 сил:
в точке (—х, у, г); в точке (х, у, г):
Р Р Р Р Р Р
_х v z ‘ х у г
2’2’2 2’2’2
и столько же сил в антисимметричную:
L L L L
2 ’ 2 ’ 2 2’2’2*
На рис. 66 показаны простейшие примеры разложения нагрузок на
балку и раму.
При подобном разложении нагрузок следует помнить, что сила, лежа-
иузя в плоскости симметрии, целиком включается в симметричную нагрузку,
а сила, приложенная на оси симметрии нормально к плоскости симметрии,
полностью включается в антисимметричную нагрузку.
Точно так же моменты Му, Мг, векторы которых расположены
в плоскости симметрии (х — 0), составляют антисимметричную на-
грузку и не требуют разложения, а момент Мх— симметричен.
Рис. 67 иллюстрирует сказанное, а также поясняет, как поступать
с опорой наиболее общего типа, если она окажется на оси симметрии. Из
1
4
ъ 5т
fHHHII
Л
224 Использование симметрии конструкции в расчетах [Гл. VI
рис. 67 видно также, насколько велики преимущества использования сим-
метрии и разделения нагрузок: вместо системы восьми уравнений с восемью
неизвестными 1 можно ограничиться составлением двух систем уравнений
(типа пяти моментов) с двумя уравнениями в каждой системе применительно
к схемам, покачанным на том же рисунке внизу. Вдвое сокращается число
уравнений, которые придется составлять, и раз в тридцать — работа по
их решению1.
Рис. 68. Разложение нагрузки перекрытия, имеющего две плоскости симметрии.
В каждом из упрощенных перекрытий имеются только две различные по абсолютной
величине реакции взаимодействия между балками
Аналогично поступают и при расчете перекрытий. Если перекрытие
имеет две плоскости симметрии и несимметричную нагрузку, выделяют
четыре вида нагрузки и рассчитывают четыре перекрытия вместо одного.
На рис. 68 показано выделение таких упрощенных нагрузок. При раскры-
тии статической неопределимости вместо одной системы восьми уравнений
с восемью неизвестными придется решить четыре системы с двумя уравне-
ниями в каждой (вычислительная работа сокращается примерно в 15 раз).
1 Пять уравнений типа (130) для неизвестных углов поворота и три уравнения
тина (131) для прогибов.
•' Вычислительная работа при решении системы уравнений пропорциональна
арямерно кубу числа неизвестных.
ГЛАВА VII
СЛОЖНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК СПЛОШНОМ УПРУГОМ
ОСНОВАНИИ
Бывают случаи, когда в судовых конструкциях проседающие опоры
поддерживают балку по всей ее длине *. Если эти опоры расположены на
равном расстоянии с, имеют одинаковые .коэффициенты податливости А
и число их не менее пяти, то без существенной погрешности можно считать
балку лежащей на сплошном упругом основании постоян-
ной жесткости k. Коэф-
фи ц иент жестко-
сти упругого основания
связан с величинами А и
с зависимостью
4-
Ас
Ш!№
✓W9l
(138)
I
Валка на упругом оснобаний
д L .
J_,______I ж
$ tor
^ложный- изгид Валки
Сложный изгид Валки ла упругом
^иг . осмобонии 4 ГТ"-
Рис. 69
/ft7/z/Z///Z7W<%^,
и представляет собой силу,
которую основание при-
кладывает к 1 пог. см бал-
ки, если ее вдавить в осно-
вание на глубину 1 см.
Размерность k: кг!см\
ml ж* и т. п.
Предполагается, что упругое основание оказывает двустороннее дей-
ствие и с одинакощам коэффициентом жесткостц препятствует .балке
.прогибаться вниз и подниматься вверх,-т. е. балка считается связанной
с упругим основанием, а не лежащей на .нем свободно. Считается также,
что упругое основание не прилагает к балке никаких горизонтальных^уси-
лий. v .......
Дифференциальное уравнение изгиба балки на унруго»(основании
;(рис.-69,а) имеет вид: . ’ . , г - д
EI~^kw=.q, (139)
где q — интенсивность нагрузки, зависящая в общем случае от коорди-
наты х.
Сложным изгибом балки называется изгиб поперечными
.гидами при одновременном действии на бу продольной растягивающей
или сжимающей силы (рис. 69,6). Продольная сила вследствие .прогиба
балки от поперечной нагрузки создает дополнительный изгибающий момент
(равный Те), который также влияет на прогиб. Напряженное- состояние
такой балки нельзя получить простым сложением напряженного состояния
* Например, бортовые шпангоуты, поддерживающие стрингер, бимсы лида.,рас-
чете карлжигса т. п.
5 Учебаый справочник
226
Сложный изгиб балок
[Гл. VH
от изгиба только поперечной нагрузкой снапряженным состоянием простого
растяжения или сжатия. Принцип наложения в этом случае неприменим,
и необходимо рассматривать оба вида нагрузки совместно.
Дифференциальное уравнение изгиба прямой балки от совместного дей-
ствия поперечной нагрузки и продольных сил имеет вид:
d*w
Их*
т d*w
т^-ч-
(140)
В том случае когда балка, лежащая на сплошном упругом основании,
подвергается сложному изгибу (рис. 69,в),^Дифференциальное уравнение
изгиба ее будет следующим:
d*w d*w , ,
(141>
Уравнение изгиба балки на упругом основании при отсутствии продоль-
ных сил (139) и уравнение сложного изгиба балки без упругого основания
(140) являются частными случаями общего уравнения сложного изгиба
балки на упругом основании (141).
В решение уравнения балки иа упругом основании (139) входят аргу-
менты
для сложного изгиба [уравнение (140)] — аргументы
а в решение уравнения (141) — все эти аргументы.
Решения для многих видов поперечных нагрузок табулированы, и для
характерных элементов изгиба (максимальных прогибов, расчетных изгиба-
ющих моментов) получены формулы в виде произведений соответствующих
элементов изгиба балок только от поперечной нагрузки (т. е. когда £=Т=0)
на некоторые функции, зависящие от безразмерных аргументов и и v.
Например, для балки, нагруженной- равномерно распределенной попе-
решюй нагрузкой Q и продольными силами Т, свободно опертой по концам
на две ножевые опоры и, кроме того, лежащей на сплошном упругом основа-
нии, дня прогиба в середине пролета может быть получено выражение
5 QZ’ . .
” = 384 £/ ’’<“•
Функция зависит от обоих аргументов и и v и для нее имеется таб-
лица с «двумя входами» (см. ниже, табл. 50). Строка для v = 0 этой таблицы
соответствует случаю изгиба балки на упругом основании, а графа п=0—
случаю сложного изгиба1.
1 Для указанных строки к графы даны особые таблицы (см. табл. 43 и 46)
с меныпям шагом аргументов.
§26]
Балки на упругом основании
227
Естественно, что при таком выборе вспомогательных функций все он»
равны единице для аргументов и -- v = 0.
Ниже, в § 26 и 27, рассмотрены частные случаи (т. е. либо наличие-
только упругого основания, либо наличие только сложного изгиба), а в § 28—
общий случай сложного изгиба балки на упругом основании.
§ 26. БАЛКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Общий интеграл уравнения (139), есд^ q есть целая алгебраическая
функция степени не выше третьей, может быть написан в одном из сле-
дующих видов:
о , ,
а> = + Д е~ах cos ах 4- А2 е~ах sin ах 4~
4~ А3 ё*х cos ах + А4 еах sin ах
w = ~ ch ах cos ах 4- В2 ch ах sin ах +
+ Bs sh ах cos ах + в4 sh ах sin ах
w= ?- + Ci Фх (ах) + С2 Ф2 (ах) + С3 Ф3 (ах) 4- С4 Ф4 (ах)
К
I
. (142)
где А1г А2, - • С4—произвольные постоянные, определяемые ит-
граничных условий,
а Ф(ох)—такие комбинации гиперболических и тригонометрических
функций, которые обеспечивают, во-первых, переход одной функции fap»
дифференцировании в . другую, а во-вторых, равенство всех функций (цлн
их производных Одного порядка) нулю, кроме одной, при нулевом аргу-
менте (табл. 37).
Таблица- 37
Функции Ф(ах) Производные функций Значения функций- и их- производных при х=О
Ф' Ф' ф"' Ф ф' Ф' Ф'"
фДох) = ch ах cos ах .... Ф^(«х) = sh ах cos ах— аФг аФ3 а’Ф, а’ф4 1 0 е , О' —4а»1
—ch ox sin ах ...... а»Ф4 —4а*Ф1 0 о 0’
Ф,(ох) = —2sh вХ sin ах . . Ф^ах) = —2(sh ex COS ах + аФ4 —4а2Фх —4а*Ф3 0 0 —4а2 0
4-chaxslnax) —4а®! —4’*Ф> —4а3Ф, 0 —4а 0 О
Например: Ф3(ах) = — -4a2®j (ах); ф;"(0)= 0.
В табл. 39—42 приведены значения этих функций доя аргумента
в пределах от ах = 0 д<? ах — 5,09.
Все три формы общего интеграла (142) эквивалентны друг другу и .могут
применяться в расчетах любых балок на упругом основании. Однако реше-
154^.
228
Сложный изгиб балок
[Гл. УЦ
ние получается проще (произвольные постоянные находятся легче), если
первую форму применять для бесконечных и нолубесконечных балок, вто-
рую — для балок, обладающих симметрией, а третью — для балок с сосре-
доточенными силами, моментами или прерывистыми распределенными
нагрузками1 2.
Промер. Для бесконечно длинно! балки под действием сосредоточечной силы
(табл. 38, случай 5) в силу равенства нулю всех элементов изгиба при х = со имеем
(для правой половины балки):
д, = д<=о'*
в = Лх cos ах + Л, е~“ sin ах.
Из условия »’ =0 при х = 0 находим
а»' = Л> ё~** (—cosax — sin ах) + Аге~ах(—sin ax + cosax)
0 = —Л1 + Д1, т. е. Лх=Л±.
Р Ра
Далее из условия Elw” = -g- ири х=0‘ находим Л> = Ал = и, следова-
тельно,
Ра
. . w = 2£ (cos ax + sin ах). *
В табл. 38 собраны результативные формулы для ряда частных слу- ;
чаек изгиба балок на сплошном упругом основании. Входящий в формулы . J
табл. 38 аргумент а определяется выражением (143), а значения четырех j
функций Ф. в зависимости от, безразмерного аргумента яд:, как было ука- д,
зано ранее, приведены в, табл. 39—42.
В последней таблице,. относящейся к балкам на упругом основании
(табл. 43), дано 14 функций.И, Г. Бубнова /0, fu ?в, фг,.. . . х6, которые. 1
также входят в некоторые из формул основной табл. 38. Все функции, -
Бубнова даны в зависимости от отвлеченного аргумента J
I I */~7Г
“=4=4и®- <144>
1 При решения задач в третьей форме общего интеграла могут оказаться по-
лезными следующие соотношения;
Ф, (у) Ф, (?) — Фх (<р) Ф4 (<р) = sh 2? + sin 2?;
4Фх (?) Ф,(?) + Ф, (?) Ф. (?) = 2 (sh 2? — sin 2?);
4Ф? (?) + Ф| (?) = 2 (ch 2? -)- cos 2?);
4*f (?) + *»(?) ф< (?) = ch 2? + cos2?+2;
(?) — ф» (?) (?) = ch 2? + cos 2? — 2;
2 [•’(?) — ф1 (?) <?)] “ ф2 (?) + Т ф« W Т ch ?? —cos 2?-
-7 * См. нервую сноску к табл;
§26J
Балки на' дпр'угом основпнии
~ Балки на упругом основании
И = = 1
2 2 V 4EI
Таблица 38
Конструкция и иагрузка:
Элементы изгиба
Далка конечной длины, нагру-
жен*» сосредоточенным моментом
в середине '
^Для левой половины балки
1Ла»
k
М I
'макс— 2 ПРИ Хе 2
М
”4Е1а-
sh al — sin al
Ф^ах)
cfra/4-co^ а/4-2;
Бесконечная балка под действием
сосредоточенного момента
Полубескоиечная балка под' дей-
ствием сосредоточенного момента
---------------------------
Для правой половины, балки ’
Ma* г . I
и» = — е~ sin ах
Ма’ ®
wmokc = — 0,322—при х=^
• м
М. = е * cos ах
М
Ммакс = ~2 При Х = 0
» = —е “ (cos ах — sin ах)
2Ма*
»ла« =—jT* п,*И Х — °
Д4 =Ме—“ (cos ах + sin ах)
Ммакс = м при х = 0
3
^230 Сняп&й язги& болас [Гл. V»
Продолжение табл. 3g
Конструкция нагрузка
Элементы изгиба
Для левой половины балки.
Балка конечной длины под дей-
i eiMtM сосредоточенной силы в се-
’ ради*
аг
р 4Ф1 pF/-ф* + Ф* (Y/ *«<">
W 2k ' sh al -f- sin al
•
al al
ch a COS —o'
2Fa 2 2
®° ~ k sh a/+ sin al ~
- l«l\
2Pa Ф1\2/
— k sha/4-sinaZ 1Г₽И X —0 ’
Pa ch al -|- cos al 4- 2
г»ятс=ш =2k sh al + sin al 4
2 J
i *i
при X = ~2 (под силой) j
4
(al \ (al \ ’
D ф» у ®i(ax) — Mv *»(“*)
p \ * J______________\ x /________ i
M ~~ 2a sh al 4- sin al i
P Chat —CSS al «
Ml = -* 4a Sh al 4- sin al |
2 i
I . I
при X= -g- (под силой). j
z I
Изгибающий момент под силой по абсо-
Р1
лютной величине всегда меньше -д-. К по- "S
следяему значению он стремится нри •
а—И) (большой момент инерции I, малая J
жесткость k)
Бесконечно длинная балка под
действием, сосредоточенной силы
Р
-----1
t
• иг
е
Для правой половины балки
Ра
w = (cos ах + sin ах)
Ра
O>Mucc=*2k ПвД СИЛ0Й V;P” л = 0>
р _
Л4= —“ (cos ах — sin ах)
Р_ 4 / ~ЁГ
Ммке^~^--ру Mk
при х = 0
§ 26]
Балки на днрреан основании
231
Продолжение табл. 38
Конструкция и нагрузка
Элементы изгиба
Полубесконечная балка под дей-
ствием сосредоточенной силы
^Pa
w = — e cos ax
Р
2Ра
О1маке = ПОД силой (при х = 0)
6
М = — е-“ sin ах
Ммакс = 0,322 — при х =
Балка, одним концом опирающая-
ся иа ножевую опору и нагружен-
ная сосредоточенным моментом на
другом свободном конце
2Л1 а» Фх (а/) Ф4 (ах) — Ф4 (al) Ф, (ах)
w — k ' ----------------
sh 2а/ — sin 2а/
7
м
WAMZW/A'/zZ’±Z
2Ф1(а/)ф,(вх) -f- X Фа(Ь/)Ф4(ах)
Л/=—М -----------г-s-;--....д у ----—
sh2a/—sin 2а/
ш
» 1’
Балка, одним концом опирающая-
ся на ножевую жесткую опору и
нагруженная сосредоточенной силой
на другом свободном конце
Р
8
I
Ра 2Ф» (а/) Ф. (ах) + ~ Ф4 (а /) ф4(<м)
а> = — .------- *•
И
sh2aZ — sin 2а/
л»—— . ф* (al) ф« (ax) (<«)
2a sn 2a/ — sin 2a/
v-_- 4Ф*
2 ‘ sh2a/—sin 2aZ
ш
Балка с одним свободная» концом
другим опирающимся на ножевую
опору под действием равномерно
распределенной нагрузки
9
ч
llllllintl.fllllllllllllll
а
п>=7
2*^»/)Ф1(ах)+-|ф*(а/)Ф4(ал)
1 sh За/ — sin 2al ~
Ф^(а1)Фя (pjy)—ф, (а/) Ф, (tv)
M 2a* * sh 2а/ — sin йа/
I
V — — - ф» ф« (ах) ~ ф» ф*
* 2а * sh 2а/ — sin 2а/.
232
Сложный ихиб балок
[Гл-iVH
Продолжение табл.38
С с Конструкция и нагрузка Элементы изгиба
10 Балка с одним жестко заделан- ным концом, нагруженная сосредо- точенной силой на другом свободном конце 1 UT 4Ма» Фх (al) Ф8 (ах) — Ф3 (al) Ф, (ах) ®— k ’ ch 2а/ 4- COS 2а/ 4- 2 "* ' ~4«Г(<^:фг(ах)4г--ф1(а/)Ф<(«х) — " ch 2а/4-COS2а/4-2 «3
Балка с одним жестко заделан-
ным концом, нагруженная сосредо-
точен ной силой на свободном конце
«. • '»> .. " * г
иг
Ра 4Ф, (а/) Ф3 (ах) + Ф4 (а/) Фа (ах)
k ' ch 2d/ 4- cos 2а/ -4 2
r’: P— Ф, (a/j Фа (ax) — Фл{а1)>Ф1 (ax)
M ~ 4 ' ch 2d/ -f-cos 2 d/ -f- 2
4ФХ (а/) Ф1 (ax) + Ф« (°Q Ф» (°x)
V — - ?ch2a/.+ cos 2а/4-2 :
Балка с одним свободным концом
и другим жестко заделанным, нагру-
женная равномерно распределенной
нагрузкой
Ф, (d/J Ф4 (ах) 140$ (al) Ф)>(ах) |
Ch2a/4-cos^a/+‘2 J
_ q Ф, (al) Фг (ax) — Фа (al) Фа (аХ)
М — " .ch 2а/ -}- cos 2 а/ -}- 2
Балка, опертая на две ножевые
опоры н нагруженная сосредоточен-
ным моментом в середине пролета
Для левой половины балки
Ma1 Фу(°0 Фа(°х) — Фа (а/) Ф3 (ах)
2Л ch 2а/ — cos 2а/
1-,» _
^Т2£7 в₽р *-Р.
М/
wi = ~6ЁТ *г прн х = 1
м
’ Mi =е — при х:= I
М [ а/Ф4(а/) 1
R1 ~ 21 [ch 2а/— cos 2 а/]*
Положительное направление реакции указано на эскизе.
§26]
Балки наупругомоснованци 23S
Продолжение табл. 38
Конструкция И нагрузка
Элементы изгнбд
’ ;Ма* . Фа <g/) Ф« < тт, Ф« (<*/) Ф8 (ах >
Ю — k ch 2aZ—< cos 2а/
яр Nil* * I
wt ~\&Ei nPH x= o <HC| -
. Г • ! “
максимальный)
M I. - '• I
wo = 6£7 npM X^Q i
mi . . . i
= -^зЕ/ФаСи) при x — l—;—
- м . 'j- !
— — у x» (“? .*-?₽* i
~2 i ’’
Af =5.— M При x =581,
Балка, опертая на две ножевые
опоры я нагруженная сосредоточен-
ном моментом на опоре
15
Балка,. упруго заделанная иа двух
опорах и нагруженная сосредоточен-
ной силой в середине пролета
• pp ........ •
9мисс = a»o =^192£/^^~*ЬМ4)+*Т»М>
при X e= О
. . , Pl* ‘
w . = т jg£j (1 —x)Xo(u)
*2
Коэффициенты заделки на обеих
оиорах одинаковы
... I • ,
рря f ± ~2
Pl !
Л«о = — -у [2 (1 — х0(ы) + *х*(и)]
прн х = О
Pl ' . •
М £ — -g- хЛ, (и).
±2
В случае, если задай коэффициент по-
датливости а,
Р
ж
1
r2a^
’+ I '^(u)
Балка, свободно опертая на две
опоры в нагруженная сосредоточен-
ной силой в середине пролета -
16
»лаже= »•= 4g£/ Фе(«) при х = О
. Pl* I
®/ = т1б£7Х*^ прих = ±*2
*2"
f
Pl
M,= —-4-5о(“) прих = о !
234
Сложный нагиб балок
[Гл. VII.
Продолжение табл. 38
Конструкция нагрузка
Элементы изгиба
18
Балка, жестко заделанная на двух
опорах нагруженная сосредоточен-
ное силой в середине
Балка, упруго заделанная на двух,
опорах и. нагруженная равномерно
распределенной нагрузкой
Коэффициенты заделки на обеих
опорах одинаковы
®«= ЙЙ/Ч’И") при х = 0
Ж,= —^у4(и) при х = 0
Pl I
м 1=-g-Xs(u) при x=±-g
4 ~2
___________1
2аЕГ хе(п)
1 + I -Ф.(“)
Прогиб в середине пролета
QP
»• = 384Е/ I5!1-*)?о (п) 1=
q
= II—(1—*)Zo (“) — 41 («) 1
Углы поворота на опорах
О/2
w> I — -F 24Е1 х)Фо
± 2
Изгибаюшнй момент в середине
QI
М, = — 13(1—к)Хо(и)+»Х1(«)1
Изгибающие моменты у опор
QI
М±^ =
Опорные реакции
О
Я1= =-^- I(l-x)$.(«)+*fi(«)]
Результирующая интенсивность на-
грузки на балку в середине пролета (раз-
ность между нагрузкой и реакцией осно-
вания)
г0 = Ч — few. = Ч [(!—») /о (“)+4i(«)] •
Функции <р., 91, fj>, fi, >ро, Хо, Xi. Х«« to
и fi в зависимости от аргумента
К/ */ k
2 ^2 V TEI
приведены в табл. 43
$ 26]
Балки на упругом основании
Продолжение табл. Зй.
№ п/п Коиструкдяя и нагрузка Элементы изгиба
Балха, свободно опертая на
две ножевые оаоры и нагру-
женная равномерно распреде-
ленной нагрузкой
Упругая линия
Гб/ 2chucoso ,
w = 384£/ [5u‘ \l ~ ch 2u-j-cos2u ch ах casax
2shusinu \]
~ ch 2u + cos 2u sh ax S n “* J I “
19
= { &t* 11 f* W
— u* Xo (u)sh axsinaalj
Прогнб в офедяе.пролета
ш»— 384£/^'Uf ~~ v
= у (!-,»(«>]
Углы поворота у опор
- Ql*
w i = Т 24Е7^в(“)
* 2
Изгибавший момент е середяне-нролета
/И. = -^Х.(и)
236
Сланный изгиб балок
[Гл.[ УН
Продолжение табл. 38
Е
£
Конструкции и нагрузка
Элементы изгиба;.. :
Балка, жестко заделанная на двух
опорах, под действием равномерно
распределенной нагрузки. . .
Упругая'Линия
6
Qla
384 £7 |и*
1—
2(shucosu4-chusinu)
--S2u + sin2Ti-Ch ax COS aX-
2(chgsinu—shucosu) , 1 h
—ет+тай—sh ax •s,n I r
QF
~ 384 Е ГI и*
1 — Д (u) ch ах • cos «!
^-^-Zr(tt)shaX - sin, ад
Прогиб в середине пролета
Q/s q
И'ц = 384 £/ ~ ~k (ы)I
Изгибающий момент в середине пролета
Qi*
М, = -^Х1(и)
Опорные моменты
Qi
Mj = — Mj - |2" (и)
6
§ 26]
Балки на упругом основании
_______Продолжение табл.38
Элементы изгиба
Конструкция и нагрузка
Балка, нагруженная сосредото-
ченными силами, сосредоточенными
моментами и распределенными на-
грузками
Распределенные нагрузки q (т/м)
и продолжаются до правого
конца балки
4|рругая линия
и» = (;1Ф1 [ах] + С,Ф, [ах] + С3Ф,[ах] +
+ С.Ф4 [ах] + о Ф, [а +
+ |6-4^7ф«Н<х-^ L
+ |х —+^Ф<Ь(х —«О] | + • • •
Произвольные постоянные Ci, С*. Сг и
С* определяются из условий на концах
балки
Функции балок иа упругом основании Функция Фх (ах) ch ах • со» ах Таблица 30
ах 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 1 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,1 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9998 0,9998
0,2 0,9997 0,9997 0,9996 0,9995 0,9995 0,9993 0,9992 0,9991 0,9990 0,9988
0,3 0,9987 0,9985 0,9983 0,9980 0,9978 0,9975 0,9972 0,9969 0,9965 0,9961
0,4 0,9957 0,9953 0,9948 0,9943 0,9938 0,9932 0,9925 0,9919 0,9911 0,9904
0,5 0,9895 0,9887 0,9878 0,9869 0,9858 0,9847 / 0,9836 0,9824 0,9811 0,’9798
0,6 0,9784 0,9769 0,9754 0,9738 0,9721 0,9703 0,9684 0,9664 0,9644 0,9623
0,7 0,9600 0,9577 0,9552 0,9527 0,9501 0,9473 0,9444 0,9415 0,9384 0,9351
0,8 0,9318 0,9283 0,9247 0,9210 0,9171 0,9131 0,9090 0,9047 0,9002 0,8956
0,9 0,8908 0,8859 0,8808 0,8753 0,8701 0,8645 0,8587 0,8528 0,8466 0,8403
. 1,0 0,8337 0,8270 0,8201 0,8129 0,8056 0,7980 0,7902 0,7822 0,7740 0,7655
1,1 0,7568 0,7479 0,7387 0,7293 0,7196 0,7097 0,6995 4 0,6891 0,6784 0,6674
1,2 0,6561 0,6446 0,6330 0,6206 0,6082 0,5955 0,5824 0,5691 0,5555 0,5415
гз 0,5272 0,5126 0,4977 0,4824 0,4668 0,4508 0,4345 0,4178 0,4008 0,3833
1,4 0,3656 0,3474 0,3289 0,3100 0,2907 0,2710 0,2509 0,2304 0,2095 0,1882
1J5 0,1664 0,1442 0,1216 0,0986 0,0746 0,0512 0,0268 0,0020 —0,0233 —0,0490
1,6 -0,0753 -0,1019 -0,1291 -0,1568 -0,1849 -0,2136 -0,2427 -0,2724 —0,3026 —0,3332
1,7 -0,3644 -0,3961 -0,4284 -0,4612 —0,4945 -0,5284 —0,5628 -0,5977 -0,6333 —0,6694
М -0,7060 -0,7433 -0,7811 -0,8195 -0,8584 -0,8980 -0,9382 —0,9790 — 1,0203 — 1,0623
1,9 -1,1049 —1,1481 -1,1920 -1,2364 -1,2815 -1,3273 -1,3736 — 1,4207 —1,4683 — 1,51.66
2,0 -1,5656 -1,6153 -1,6656 -1,7165 — 1,7682 -1,8205 —1,8734 —1,9271 -1,9815 —2,0365
2,1 —2,0923 -2,1487 -2,2058 -2,2636 -2,3221 —2,3814 —2,4413 -2,5020 -2,5633 -2,6254
2,2 —2,6882 -2,7518 -2,8160 -2,8810 -2,9466 -3,0131 —3,0802 -3,1481 -3,2167. —3,2861
2,3 -3,3562 —3,4270 -3,4986 -3,5708 —3,6439 —3,7177 -3,7922 -3,8675 —3,9435 —4,0202
238___________ Сложный изгиб балок ____[Гл. VII
2,4 - 4,0976 - 4,1769 - 4,2548 - 4,3345 - 4,4150 — 4,4961 — 4,5780 — 4,6606 — 4,7439 — 4,8280 § 261
2,5 - 4,9128 - 4,9984 - 5,0846 - 5,1716 - 5,2593 - 5,3477 - 5,4368 - 5,5266 - 5,6172 - 5,7084
2,6 — 5,8003 - 5,8929 — 5,9862 - 6,0802 - 6,1748 — 6,2701 -.6,3661 - 6,4628 - 6,5600 — 6,6580
2.7 — 6,7565 - 6,8558 - 6,9556 - 7,0560 - 7,1571 — 7,2588 - 7,3611 - 7,4639 - 7,5673 — 7,6714
2,8 - 7,7759 - 7,8810 - 7,9866 - 8,0929 - 8,1995 — 8,3067 — 8,4144 — 8,5225 - 8,6312 — 8,7404
2,9 — 8,8471 — 8,9598 — 9,0703 - 9,1811 - 9,2923 — 9,4039 - 9,5158 - 9,6281 - 9,7407 — 9,8536
3,0 - 9,9669 —10,080 — 10,194 -10,308 -10,422 — 10,532 —10,652 -10,767 --10,881 -10,997
3,1 -11,112 -11,227 -11,343 -11,458 —11,674 —1'1,689 —11,804 -11,920 -12,035 -12.151
3,2 — 12,266 -12,381 -12,496 -12,610 -12,737 -12,839 —12,953 —13,066 -13,179 —13,292
3,3 — 13,405 -13,517 —13,628 -13,739 -13,880 -13,960 —14,069 — 14,178 — 14,287 — 14,394
3,4 -14,501 —14,607 -14,712 -14,816 -14,920 —15,022 —15,124 -15,224 —15,324 —15,422 —16,338 §
3,5 -15,520 -15,616 -15,711 -15,805 -15,897 —15,988 —16,078 —16,166 —16,253 к
3,6 -16,422 -16,504 —16,585 -16,663 -16,740 —16,815 -16,889 —16,960 — 17,030 —17,097
3,7 -17,162 —17,225 -17,286 -17,345 -17,402 —17,455 —17,507 -17,556 -17,602 -17,646 й'
3,8 -17,687 -17,726 —17,762 —17,794 -17,824 -17,851 -17,875 —17,896 —17,913 —17,928
3,9 —17,946 -17,950 -17,951 - ’7.948 " —17,941 —17,931 -17,916 —17,898 — 17,876 §
4,0 —17,81? -17,785 -17,746 -17,703 —17,655 —17,603 -17,546 -17,485 -17,418 «а ч.
4,1 —17,847 -17,271 -17,190 -17,104 —17,013 —16,916 — 16,814 —16,706 -16,593 — 16,475 О '
4,2 -16,850 —16,220 -16.0Й -15,942 -15,794 -15,640 -15,479 -15,312 —15,139 — 14,959 g
4,3 —14,772 —14,579 - 4,§9 -14,171 -13,957 —13,736 -13,507 —13,271 —13,028 —12,777 !
4,4 —12,518 —12,252 —1.1,978 -11,662 1 1 Р°2“ -11,107 -10,800 -10,485 —10,161 — 9,829
4,5 — 9,489 — 9,139 - 8,781 - 8,413 — 7,651 - 7,256 — 6,851 — 6,437 — 6,013 g
4,6 - 5,579 — 5,136 — 4,824 - 4,219 - $ — 3,261 - 2,766 — 2,261 — 1,745 — 1,219 R
4,7 - 0,681 — 0,183 0,427 0,998 2,173 2,778 3,395 4,024 4,664
4,8 5,316 5,981 6,657 7,347 8,048 8,762 9,489 10,228 10,981 11,746
4,9 12,524 13,316 14,120 14,939 15,770 16,616 17,475 18,348 19,235 20,136
5,0 21,050 21,980 22,923 23,882 * л 24,854 ( 1 . 25,841 • , 26,843 27,860 28,891 29,938
, Таблица 40 Jjf Функция Ф| fax) »sh ах • соз ах — ch «* . a In в* о
ах 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05' 0,06 0,07 • 0,08 0,09
0,0 0,1 0,2 0;Э 0.4 0,5 0.6 0,7 0,8 0,9 1,0 1’1 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2;2 2,? 2,4 О' -о.обов -о.оом - 0., 0.180 - 0,01427 -0,0833 —0,1439 -0,2284 -0,3406 -0,4845 -0,6635 -О:, 881 г -1,1406 Г® -2,1059 —2,6458 —3,1451 -3,6947 -4,2908 -4,9301 —5,6078 —6,3162 -7,0,457 -7,7842 и,0000 -0,0008 -0,0082-’ -0,0198 —О',0460 -0,0885 - 0;1512 —0,2383 -0,3536 -0,5007 —О',6'834 —0,9051 —1,1690 -1,47758 —1,8338 -2,2386 -2,6934 --3,1983 -3,7522 -4,3529 —4,9964 —5,6774 -6,3883 —7,1193 —7,8581 ; 0,0000 —0,0012 -0,0071 -0.Q218 -0,1387 -0,2485 -0,3668 ‘-0„,5173. -0,7039 -0,9294 —1,1986. —1,5112 —1,8720 —2,2819 —2,7417 -3,2516 — 3,8102 —4,4153 — 5,0630 -5,7473 - 6,4607 -7,-1931 -7,9318 -Ж —0,0081 —0,0299 -0,(1530 -0,2600 -0,3803 -0,5343 -0,.7М -О,9Ж -1,9.107 -W -2,7905 -3,3063 -3,8686 -4,4783 -5,1298 -5,81’75 -6,5383 -7,0660 -8,0054 0,0000 -0,0018 -0,0092 —0,0263 -0,0567 —0,1049 -0,1746 —0,2698 -0,3942 -0,5517 —0,7.458' -Qi9797 -1,2568 —1,5794 — 1,9529 —2,3698 —2,8397 —3,3594 -3,9276 -4,5416 —5,1971 —5,8879 -6,6060 —7,3408 : —8,0791 -0,0001 -0,0022 -0,0104 -0,0286 —0,0608 -0,1109 -ода» —0,2808 -0,4084 — 1,00б4. — 1,2870 —1,6144 —1,989.7 —2; 4145 -2,8895 -3,4141 -3,9871 -4,6054, -5,2647 . —“5,9587 —6,6790, -7,4146. 8,1524 • -0,0002 -0,0028 -0,0117 -0,0310 -0,0649 —0,1170 -0,1915 -0,2921 -0,42» —0,5875 -0,7893 -Ь(Й17 —1,3176 —1,6497 —2,0300 —2,4597 -2,9397 —3,4692 -4,0469 — 4,6695 -5,3326 —6,0296 —6,7520 -7,4886. -8,2257 -0,0003 -0,0032 -0,0131 -0,0338 -0.06Й —0,1234 -0,2004 -0,3038 -0,4378 -tO582 -1»3488 -2,0706 -2,5056 -2,9904 —3;Б248 -4,1071 —4,7341 —5,4009 -6,1010 —6,8252 —7,5625 -8,2989 -0,0004 -0,0039 -0,0147 - 0,1366 —0,0736 -одзоо -0,2095 —0,3158 -0,4530 —0,6248 -0,8344 -1,0853 -1,7Й9 -2ДК0 -2,5518 —3,0416 -3,5810 -4,1679 ' -4,7991 —5,4696 -6,1724 -6,8986 -7,6365 -8,3718 -0,0163 -0,0396 П -0,0785 Ь -0,1368 | -0,2188 £ -0,3281 Е -0,4686 ~ ЗД I -mW ₽ -1,4123 £ -1,7586 и -2,1536 —2,5985 -3,0934 —3,6376 -4,2291 -4,8645 -5,5380 -6,2442 . -6,9721 _ -7,7103 Я -8,4445 >
о м - 8,5170 - 9,2260 - 9,8898 сяхге» Фома оси» СО (3)0) 11 1 - 8,6614 - 9,3632 —10,015 - 8,7332 - 9,4310 -10,076 - 8,8047 - 9,4983 -10,137 - 8,8758 - 9,5650 -10,197 - 8,9466 - 9,6311 -10,256 - 9,0171 - 9,6969 -10,314 - 9,0871 - 9,7618 -10,371 —9,1868 -9,8269 -10,428 (Л1 =?
rti А 2,5 2,6 2,7
в н 2,6 -10,483 -10,538 -10,591 -10,643 -10,694 -10,745 -10,793 -10,841 -10,888 -10,933
ь м 2,9 -10,977 -11,020 -11,061 -11,101 -11,140 -11,177 -11,212 -11,246 -11,279 -11,309
| 3,0 —11,338 -11,366 -11,391 -11,415 -11,437 -11,458 -11,476 -11,492 -11,507 -11,519
я в
3,1 —11,529 -11,537 -11,543 -11,547 -11,549 -11,548 — 11,545 -11,539 -11,531 -11,521
3,2 -11,508 -11,492 -11,474 -11,453 -11,429 -11,403 -11,374 -11,342 -11,306 -11,268
3,3 -11,227 -11,183 -11,135 -11,085' -11,031 -10,974 — 10,913 —10,849 -10,781 -10,710
3,4 —10,636 -10,557 -10,475 -10,389 -10,300 -10,206 -10,109 —10,007 - 9,901 - 9,792
3,5 - 9,678 - 9,560 - 9,437 — 9,310 - 9,179 - 9,043 — 8,903 — 8,758 - 8,608 - 8,453 Нч
3,6 — 8,294 - 8,130 - 7,960 - 7,786 - 7,607 - 7,422 - 7,232 - 7,037 — 6,837 — 6; 802 0
3,7 - 6,419 - 6,202 - 6,980 - 5,752 - 5,517 - 5,277 — 5,032 — 4,779 — 4,522 — 4,258
3,8 - 3,987 - 3,711 - 3,428 - 3,139 — 2,843 - 2,541 - 2,232 - 1,916 - 1,594 — 1,264 Й
3,9 - 0,928 - 0,585 - 0,235 + 0,122 0,487 0,859 1,238 1,624 2,018 2,420 >
4,0 2,829 3,246 3,670 4,103 4,544 4,992 5,449 5,913 6,386 6,867
4,1 7,357 7,854 8,361 8,876 9,399 9,931 10,472 11,022 11,581 12,148
4,2 12,725 13,310 13,905 14,509 15,122 15,745 16,377 17,018 ж17,669 18,330 о
4,3 19,000 19,680 20,370 21,069 21,779 22,498 23,227 23,966 ’•24,717 25,476
4,4 28,246 27,026 27,816 28,617 29,428 30,207 31,082 31,925 32,778 33,642 ‘О
4,5 34,516 35,401 36,298 37,204 38,121 39,049 39,989 40,939 41,900 42,872 а
4,6 43,865 44,849 45,854 46,870 47,897 48,935 49,985 51,045 52,117 53,199 1
4,7 54,293 55,398 56,514 57,641 58,779 • 59,928 61,089 62,261 63,444 64,637 й
4,8 65,842 67,058 68,285 69,522 7$, ОТ 72,032 73,303 74,584 75,876 77,179 а
4,9 78,493 79.818 81,153 82,499 83,855 85,221 86,599 87,986 89,385 90,792 с
5.0 92,210 93,639 95,076 96,524 97,982 99,449 100,926 102,413 103,909 105,413
... .... .. » : ...... й
Таблица 4] м Функция Ф| (ах) — — 2 ah «к • iln м ®
ах 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,06 ' 0,06 0,07 0,08 0,09
0 0,1 0,2 о.з 0,4 0,8 0,8 Б,7 0,8 0,9 1.0 1.1 1,2 1,3 1,4 1.5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 0 -0,0200 -0,0800 -0,1800 -0,8200 -0,4998 —0,7190 -0,9774 -1,2742 -1,6082 “—1,9778 -2,3806 -2,8138 -3.2730 —3,7532 -4,2478 -4,7490 -5,2472 -5,7304 -6,1854 -6,5958 —6,9434 —7,2072 —7,3630 -7,3844 ) -0,0002 -0,0242 . -0,0882 ' —0,192^ -0,3360 -0,5198 -0,7430 -1,0054 -1,3060 -1,6436 —2,0166 -2,4226 -2,8586 -3,3202 -3,8022 -4,2978 -4,7992 -5,2964 -5,7774 -6,2286 -6,6336 -6,9740 —7,2280 -7,3718 —7,3782 -0,0008 -0,0288 -6,0988 -0,2048 -0,3526 -0,5404 -0,7676 -1,0336 -1,3380 -1,6794 -2,0558 -2,4650 -2,9036 —3,3676 -3,8512 -4,3480 -4,8494 -5,3454 -5,8242 -6,2716 -6,6710 . -7,0036 —7,2478 -7,8790 -7,3700 -0,0018 -0,0338 -0,1.0$ -0,2178 -0,3696- -0,5611 -0,7924 -1,0624 -1,3706 -1,7154 —2,0952 —2,5076 -2,9490 —3,4152 -3,9004 -4,3980 —4,8994 — 5,3942 -5,8706 -6,3140 -6; 7976 -7,0324 -7,2664 -7,3848 -7,3604 -0,0032 -0,0392 —0,1152 —0,2312 -0,3870 —0,5826 —0,8176 -1,0916 -1,4034 —1,7518 -2,1350 -2,5504 —2,9946 -3,4628 -3,9058 —4,4482 -4,9494 —5,4430 -5,9166 -6,3558 -6,7436 —7,0602 —7,2838 -7,3892 -7,3490 -0,0050 —0,0450 -0.1250 -0,2450 -0,4048 -0,6044 -0,8434 -1,1210 -1,4366 -1,7886 -2,1752 -2,5936 -3,0404 -3,5108 -3,9992 -4,4982 —4,9992 - 5,4914 —5,9624 -6,3972 -6,7786 —7,0872 —7,3002 -7,3924 —7,3356 • *.... ЛЧк-чА -0,0072 -0,0512 -0,1352 -0,2592 —0,4230 —0,6266 -0,8694 -1,1510 -1,4702 —1,8258 -2,2158 -2,6372 -3,0864 -3,5590 -4,0488 -4,5484 —5,0490 -5,5398 -6,0078 —6,4380 -6,8132 -7,1132 —7,3152 -7,3938. -7,3206 -0,0098 -0,0578 —0,1458 -0,2738 -0,4416 -0,6490 -0,8958 -1.1812 -1,5042 . —1,8634 -2,2564^ -2,6808 -3,1328 -3,6072 -4.0984 —4,5986 ! -5,0988 —5,5878 —6,0528 -6,4784 -6,8468 —7,1382 -7,3290 —7,3940 -7,3036 -0,0128 -0,0648 -0,1568 -0,2888 - 0,4606 —0,6720 -0,9226 -1,2118 -1,5384 —1,9012 -2,2976 -2,7250 ; -3,1702 —3,6558 -4,1482 -4,6488 -5,1484 -5,6356 -6,0974 —6,5182 —6,8798 -7,1622 -7,3418 -7,3922 -7,2850 -0,0162 —0,0722 - 0,1682 —0,3042 —0,4798 х -0,6952 V -0,9498 Я —1,2438 2 —1,5732 —1,9804 • | -2,3390 . g -2;Ж 5 -3,2260 I -3,7044 1 -4,1980 -4,6990 —5,1978 —5,6832 -6,1416 -6,5572 —6,9120 -7,1852 - —7,3530 ? -7,Ш -7,2842 я .да. 1
2,6 2J 2,8 2,9 3,0 -7,2418 -8,9022 -8,3306 -8,4884 -4,3380 -2,8274 -7,2172 -8,8682 -6,2592 -5,3878 -4,2010 -2,6554 -7,1908 -6,8076 -6,1850 -5,2840 -4,0632 -2,4794 -7,1622 -6,7588 -6,1082 -5,1770 -3,9218 -2,2994 -7,1318 -6,7036 -6,0284 -5,0668 -3,7770 -2,1164 -7,0988 -6,6478 —5*9458 -4,9532 -3,6282 -1,9268 -7,0640 -6,5894 -5,8602 -4,8364 -3,4758 —1,7344 -7,0268 -6,5288 -5,7718 -4,7162 -3,3194 -1,5376 -6,9876 -6,4652 -5,6804 —4,5926 -3,1594 -1,3364 -6,9460 -6,5308 -5,5858 -4,4656 -2,9954 -1,1310
3,1 —0,9212 -0,7068 -0,4880 -0,2646 -0,0366 +0,1958 0,4332 0,6750 0,9218 1,1734 '
3,2 1,4296 1,6908 1,9574 2,2284 2,6048 2,7864 3,0726 3,3644 3,6614 3,9634.
3,3 4,2712 4,5838 4,9022 5,2258 5,6652 5,8900 6,2306 6,5764 6,9282 7,2854
3,4 7,6484 8,0176 . 8,3920 8,7730 9,1596 9,5520 9,9504 10,3554 10,7660 11,1828
3,5 11,6056 12,0350 12,4704 12,9120 13,3604 13,8148 14,2756 14,7426 15,2164 15,6966
3,6 16,1834 16,6768 17,1768 17,6832 18,1962 18,7164 19,2430 19,7764 20,317 20,864
3,7 12,417 21,978 22,545 23,120 23,702 24,290 24,885 25,488 26,097 26,714
3,8 27,337 27,968 28,605 29,250 29,902 30,561 31,227 31,900 32,581 33,268
3,9 33,964 34,665 35,374 36,091 36,815 37,545 38,283 39,028 39,780 40,540
4,0 41,306 42,080 42,860 43,649 44,444 . 45,246 46,055 46,871 47,694 48,524
4,1 49,362 50,205 , 51,057 51,911 52,709 53,651 54,529 55,414 46,306 57,204
4,2 58,109 59,020 59,939 60,863 61,793 62,731 63,675 64,624 65,580 66,541
4,3 67,809 68,483 69,462 70,447 71,438 . 72,434 73,436 74,444 75,457 76,474
4,4 77,497 78,525 79,550 80,595 81,538 82,685 83,736 8^,792 85,852 86,915
4,5 87,984 89,056 90,131 * 91,209 92,292 93,377 94,465 95,557 96,651 97,748
4,6 98,847 99.948 101,052 102,157 103,263 104,371 105,482 106,592 107,705 108,817
- 4,7 109,929 111,043 112,156 113,269 114,382 115,494 116,605 117,714 118,.824 119,931
3 4,8 121,036 122,139 123,241 124,338 125,433 126,525 127,614 128,699 129,779 130,855
С 4,9 131,926 132,993 134,054 135,109 136,159 137,201 138,238 139,267 140,290 141,304
6.0 142,310 143.309 144,298 . 145,277 146,248 147,208 148,159 149,099 150.027 150,944
$ 26j___________ Балки на упругом Основании_______
Таблица 42 ns
функция Ф* (ах) ен—2(Лв*» евав* 4" спая • *1пах) К
ах 0,00 0,01 0,02 i 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 . 0 -0,0400 -0,0800 -0,1200 —-Ю, 1600 -0,2000 -0,2400 -0,2800 -0,3200 -0,3600
0,1 —0,4000 —0,4400 -0,4800 -0,5200 -0,5600 -0,6000 -0,6400 -0,6800 -0,7200 -0,7600
' 0,2 -0,8000 -0,8400 -0,8800 -0,920Q -0,9600 -1,0000 -1,0398 -1,0798 -1,1198 -1,1598
0,3 -1,1996 -1,2396 -1,2796 , -1,3194' -1,3594 -1,3992 -1,4392 -1,4792 -1,5188 -1,5588
'.0,4 — 1,5986 — 1,6384 —1,678^ -1,7180 -1,7578 -1,7976 -1,8374 -1,8768 -1,9164 -1,9562 О
'•0,5 -1,9958 -2,0354 -2,0750 -2,1144 —2,1538 -2,1934 -2,2328 -2,2720 -2,3112 -2,3504
0,6 —2,3898 -2,4288 -2,4678 -2,5068 —2,5456 -2,5846 -2,6234 -2,6620 -2,7006 -2,7392 С
0,7 -2,7776 -2,8158 -2,8542 -2,8924 -2,9304 -2,9684 -3,0062 -3,0440 -3,0816 —3,1190
0,8 -3,1564 -3,1936 —3,2308 -3,2674 —3,3044 -3,3408 -3,3774 —3,4136 -3,4496 3,4856
0,9 —3,5214 -3,5570 -3,5922 -3,6274 —3,6622 -3,6968 -3,7314 -3,7658 -3,7996 3,8142 I
1,0 -3,8670 -3,9000 -3,9330 -3,9656 -3,9980 -4,0302 -4,0618 -4,0932 ^-4,1244 .4,' 1552
1,1 -4,1858 -4,2158 -4,2452 -4,2748 —4,3038 -4,3324 -4,3606 -4,3884 t -4,4158 4,0$ S о
1,2 -4,4692 -4,4952 -4,5224 -4,5458 -4,5704 -4,5942 —г4,6180 -4,6408 —4,6636 -4.Й4
1,3 -4,7068 -4,7276 -4,7480 —4,7674 -4,7864 -4,8048 —4,8226 -4,8394 -4,8558 -4,8716
1,4 —4,8866 -4,9008 -4,9144 -4,9270 -4,9334 —4,9502 -4,9608 -4,9704 -4,9792 -4,9870
1,5 -4,9942 -5,0004 -5,0058 -5,0104 —5,0136 -5,0162 -5,0178 —5,0184 —5,0180 —5,0166
1,6 —5,0140 -5,0104 -5,0058 —5,0002 -4,9934 -4,9854 -4,9762 -4,9660 -4,9544 —4,9416
1,7 -4,9286 -4,9126 -4,8960 -4,8782 —4,8592 -4,8386 -4,8168 —4,7936 -4,7692 -4,7428
1,8 —4,7154 -4,6864 —4,6560 -4,6240 —4,5904 —4,5554 -4,5186 —4,4802 —4,4402 -4,3986
1,9 —4,3551 -4,3102 -4,2634 -4,2150 —4,1644 -4,1124 -4,0582 —4,0026 -3,9446. —3,8850
2,0 -3,8230 —3,7596 -3,6940 -3,6264 —3,5566 • -3,4850 —3,4112 -3,3350 -3,2568 - 3,1756 '*4 ь
2,1 —3,0940 -3,0092 -2,9222 —2,8326 -2,7410 -2,6470 -2,5504 —2,4516 -2,3504 -2,246f
2,2 —2,1404 —2,0314 —1,9202 -1,8062 —1,6896 — 1,5704 —1,4484 , — 1,3240 —1,1968 -1,0666 38 s?
2,3 2.4 -0,9338 +0,5544 -0,7982 0,7198 -0,6594 0,8884' -0,5182 . 1,0604 -0,3740 1,2354 -0,2268 1,4136 -0,0784 1,5950 +0,0766 1,7798 0,2330 1,9680 0,3922 2,1594
2,6 2,3540 2,5524 2,7540 , 2,9592 3,1678 3,3800 3,5958 3,8150 4,0378 4,2644 s
2,6 4,4944 4,7282 4,9660 5,2072 5,4522 5,7012 5,9538 6,2106 - 6,4708 6,7352
2,7 7,0036 7,2758 7,5522 7,8322 8,1166 8,4048 8,6972 8,9936 9,2944 9,5992
S,8 9,9080 10,2212 10,5386 10,8602 11,1860 11,5160 11,8506 12,1892 12,5324 12,8798
'2,9 13,2316 13,5876 13,9486 14,3134 14,6828 15,0568 15,4352 15,6180 16,2054 16,5972
3,0 16,9938 17,3946 17,8002 ' 18,2102 18,6248 19, 0442 .. 19,4678 19,8962 20,330 20.7Й6
3,1 21,209 21,656 22,107 22,563. 23,024 23,489 23,959 24,433 24,912 25,396
3,2 25,884 26,378 26,875 27,377 27,884 28,396 28,911 29,431 29,956 30,485
3,3 31,020 . 31,558 32,lot 32,648 33,200 33,756 34,317 ’ 34,882 35,451 36,025 E
3,4 36,603 37,185 37,771 38,362 38,957 39,555 40,158 40,765 41,376 41,990
3,5 42,610- 43,232 43,859 44,489 45,123 45,761 46,403 47,047 . 47,696 46,348' Б .
3,6 49,003 49,462 50,323 50,988 51,657 52,327 53,002 53,678 54,358 54,698
3j?. 55,726 56,414 57,104 57,797 58,491 59,189 59,888 60,589 61,293 61,908
3.,« ' ' ei, fin 63,412 64;122 •64,833 65,546 66,259 66,973 67,689 68,405 69, 122 g
3,9 , 69,889 70,557 71,275 71,993 72,711 73,429 74,146 74,863 4 75,580 76,205
4j.fi 77, «0 •77,723 78,436 79,146 79,855 80,562 81', 268 81,970 82,671 83,389 I
4,1 84,064 84,756 85,446 86,132 86,814 87,492 88,167 88,838 89,504 90,165 g a
4,2 96,822 91,473 92,119 - 92,760 93,394- 94,023 94,646 95,261 95,871 , 96,472
4,3 97,067 97,654 98,234 98,805 99,367 99,921 100,466 101,000 101,527 102,043
4,4 102,549 103,045 103,529 104,003 104;464 104,829 105,354 105,779 106,192 106,592
4,5 106,979 107,351 107;709 1O8.;O53 108,383 . 108,696 10^994 109,277 109,542 109,791
<6 110,023 110,237 ИО334 110,612 . 110,771 iio,9ii- 111,032 111,132 111,213 111,272 ♦
111,310 111,327 111,320 111,291 ' 144,240. 111,165. 111,067- 110,943 110,795 110,621
♦,8 110,421 110,195 109,944 109,662 109,356 . 109,018 108,654 108,260 . 107,835 107,381
106,895' 106,378 105,881 10&249.’ ... Ю4.635- 1MW 103,305 . - 102,589 101,838 101,050 to'
5,0 100,226 99,365 98,468 97,531 96,557 95,544 94,490 93*396 92,260 91,084 •w
346 Сланный изгиб, балок. [Гл,УЦ
♦ужжлии И. г. Бубнова аденита нагиба
I 11- М'1'МО >м>.-----.---------i_______/__ __
и /а /1 ?• , Х1 * «Г—т*-’ Фе р—
0 1 * 1 1 1 1 J 1 1 1 £
0,1 1.000 1.000 1,000 1,000 1,006 1.000 1,000 1,000 1,000
0.2 0.999 1.000 0,999 1,000 1,000 0,999 1,000 1,000 0.999
.0,3 0,993 0.999 0,995 0,999 0.99? 0,995 0,999 0,999 0,995
0.4 0,979 0.996 0,980 0.998 0.997 0.983 0,996 0,997 0,983
0,5 0.950 0.990 0,960 0,992 0.991 0.959 0,991 0,993 0,961 -
0,6 0.901 .0.979 0.921 0,983 0.983 0,919 0,982 0.985 0,923
0,7 0.827 0.961 0.860 0,971 0,969 0.858 0,967 0,973 0,866
0,6 0.731 0.935 0,787 0,950 0.949 0.781 0,946 0,956 0,791
-0.9 0.619 0.899 0,697 0,922 0,921 0,689 0,917 0,931 0,702 т i
1.0 0.498 0.852 0,602 0.885 0,890 0,591 0,878 0,899 0,609 —
1.1 0,380 0.795 0.508 0.842 0,849 0,494 0,830 0,859 0,511'
G2 0.272 0,728 0,421 0.789 0,800 0,405 0,774 0,813 0,431
1.3 0,178 0,653 0.345 0.729 0,742 0,327 0,712 0,761 0,357
1.4 0.100 0,573 0,281 0,667 0,680 0,262 0,645 0,705 0,294
1,5 0.037 0,492 0,228 0,603 0,620 0,208 0,576 0,648 0,242
1.6 —0.013 . 0,411 0,186 0,539 0,554 0,164 0,509 0,591 0,200
1.7 —0.052 0,335 0,151 0,478 0,500 0,129 0,444 0,537 0,166
1.8 —0.081 0.264 0,123 0,421 0,445 0,101 0,384 0,483 0,138
1.9 -0.102 0.201 0.101 0.368 0,395 Р.075 0,328 0,489 0,116
2.0 —0,117 0.144 0,084 0,321 0,348 0,062 0,279 0,397 0,099
2.2 —0,133 0.054 0.058 0,243 0,272 0,037 0,197 0,325 0,072
2,4 —0,135 —0.009 0.041 0,182 0,214 0,021 0,136 0,269 0,055
2.6 ' —0,127 -0.051 0,030 0,138 0,170 0,011 0,692 ),226 . 0.00
2.8 —0.114 —0.074 O,Q22 0,105 0,137 0,005 0,060 0,193 - 0,034
3,0 —6.098 —0,085 0.016 0,080 0,110 0,002 0,038 0,167 0,028
3.2 —0,081 —0.087 0.012 0,062 0,092 0,000 0,023 0,146 0.023
3,4 —0,064 —0,082 0,010 0,048 0,077 0,000 0,012 0,129 0,019
3.6 —0.0® —0.073 0.008 0,038 0,064 -0,002 0,606 0,115 0,016
3,8 —0.035 —0.063 0.006 0,031 0,055 —0.002 0,002 0,104 0,014
4.0 —0,024' —0.058 0,005 0,025 0,047 -0,002 —0^001 0,094 0,012 у
4.2 —0,015 —6.041 0,004 0,020 0,041 -0.002 —0,002 0,085 0,010
4.4 4.6 —0,008 —0.031: 0,003 0.003 o,oi6 0,014 0,035 0,031 —0 001 —0,003 —0,003 0,078 0,071 0,009 0,008
—0.002 —0.022 —0.001
4.8 6.001 -0.015 0,002 0,012 0,027 —0.001 —0,002 0,065 0,007
5,0. . 0.004 —0,009 0,002 '0,010 0,034 -0.001 —0,002 0,060 0,006
Балки на упругом основании
Таблица 43
Аналитические выражения функций
1 - I
1.Ш0 1,000
0,999 0.909
0.994 6.997
O.98U 0.990
0,953 0,976
0.906 0,951
1
1.000
0.КЭ8 0.916
0.747 0.868
0.641
0,812
0.996
0,987
0.968
0,936
0,882
0,828
0,755
1
1,000
1,000
1,000
0,999
0,995
0,988
0,978
0,967
0,948
1
1,000
1,000
0,999
0,995
0,992
0,980
0,966
0,945
0,911
/
u= ~s~ ----
2 . 4EI
_ 2ch«cos« .
/q(u) ch 2 и + cos 2 и
, . . _ 2 (ch и sin u -Ь sh и cos u)
' № ~ ' .sh^w -j-sih?^ .
. . 6 / 2 ch « cos и
?oW“ ~ ch 2 и -j- cos 2u
0,636
0.586
O.S29 0,752
0.420 0,692
OJ21
0.237
0.167 0.542
0,114 0.503
0.073 0.470
O.Oa 0.442
0,081
0.417
0,394
0,678
0,602
0,531
0,470
0.417
0.373
0.337
0.308
0,285
0.265
0,920
0,889
0,856
0,814
0,769
0,725
0,681
0,639
0.598
0,561
0.874
0.822
0.763
0.699
0.630
0.557
0,482
0,420
0,355
0,299
_ 6Г; 2(ch«sta«+sh«cos«)n
Sh2wfsin2e J
* 2shasin« .
*eW* и« (ch 2»-^- cos 2«)
Т 6(ch«sin u—*h«costQ
iw" ««(shita 4-sin 2и)
r v — 3Qb2tt—sin2t<)
- 2u»(Sh2u + sin2u).
—0,011
0,341
0.313
0,289
-О.ОИ1КВ4
0.000 0.221
0.000 0.208
0.000 0.197
0,250
0,224
0,204
0,189
0,177
0,166
0,156
0,147
0,139
0.132
0,527
0,469
0,424
0.387
0,356
0,333
0,311
0,293
0,278
0,263
0,248
0.165
0,103
0.059
0.029
0.009
,010
,012
r 3 sh 2u — sin 2u
Yo(u)—(l4us ch 2u + cos 2u
F3 ch 2u sin 2« — sh 2« cos 2«
TiO0e u ch 4u — cos 4u
. , 3 sh 4u — sta te
W - ”2F(ch bl
0.000
0.000
o.ooq
0.000 0.K3|03QS
0.000
0.000
0.188
0.179
0,171
0.125
0.119
0.1И
0.156
0.150
0.104
0.100
0,248
0.238
0,227
0,217
0,208
0,200
—0,013
-0,012
-0,011
-0,007
h ' ch сов
^(«)^,(H>T(ev2tt^s.n21<)
~4tr2»4"Sin 2u
4 sh«sinu . .
:«sh2u + sin2tx.
$ 27. СЛОЖНЫЙ ЦЗГИБ БАЛОК
Если балка в «нагруженном состояииивмеет небольшую начальную кряМз-
ну (а>, — Ьрдкнаты «чмьной погябя), то дифференциальное уравнение ее наги-
ба в отличие от уравнения (140) имеет вид:
£/wIV — Т®'= <Z 4- . (145)
в котором вод я> понимаются ординаты погиби, отсчитываемые от первоначально
искривленной осн (ординаты полного прогиба соответственно будут w 4- »«) Та-
йны образам, наличие начальной погиби ^эквивалентно некоторой дополнительней
поперечной нагрузке Тя^,
Общий интеграл дифференциального уравнения (140) или (145) может
быть написан в одном Из следующих тр^ видов:
а =9*. р +-Аг -4 Аа&хЧ- А*#* + Арё~*х
w = в>,_ р 4- Вг + Ва »х + B3ch йх + B4sh &х
W = ш,- р + G Vi + Са Va 4- Са V3 + С4 Г4
где •—аргумент, равный
, = 1/Т(±.Д;
у EI \м см)*
Л1э Ар,__, Ct — произвольные постоянные, определяемые из граничных
условий; иЧр—частное решение, зависящее от типа
- нагрузки. При нагрузке, выражающейся алгебраиче-
ским полиномом не выше первой степени, w4.p выражает-
ся также алгебраическим полиномом степени невыше
третьей.
В табл. 44 даны аналитические выражения функций 'Fi, ^з,
и их производных, а также значения их при х — 0. .
Таблица 44
(146)
<147)
Функции Производные функции Значения функций, и их производных прн Х=0
первая Т' вторая ЦТ" •третья ЦТ"' grr ЧГ'
w,(x)=l 0 0 0 1 0 0 0
’ Т,(х) = »х » 0 0 0 » 0 X}
W’3(x)=ch»x— 1 lsh8x 8’ch #х IPsh&x 0 0 »* • 0
<F4(x) = shtx—>х всЫх—> 8!sh »х »«ch »х 0 0 0 в»
В случае сжатая все формулы остаются справедливыми, но ввиду
мнимости аргумента
(147о>
где Тг—абсоиотное значение сжимающей силы, удобнее заменить гипер-
болическне функции тригонометрическими:
dii#iX = »sin61x, chi&jx = cos^x.
В табл. 45 приведено несколько случаев сложного изгиба простейших
балок, а в табл. 46-— значения вспомогательных функций к ним и зави-
симости от отвлечевдого аргумента
-"=1/5 <««>
§27]
Сложны й и^гиббаяок
как для вещественных значений его, так и для мнимых» Для случая
сжатия аналогично введено
М I * f —т\
01 “ 2 “ 2 У EI '
(149)
При оценке напряжений в случае сложного изгиба следует учесть
наложение напряжений от изгиба и от продольного растяжения-сжатия
друг на друга.
Расчетное напряжение определяется в крайних волокнах тех сечений
балки, где действует наибольший изгибакЯ^ий момент как наибольшее из
даваемых формулами:
Ммакс , Т
0 = W + 7
Ммакс । Т
-““гг + т
где:
Wlt — моменты сопротивления крайних волокон сечения;
F — площадь сечения балки;
Т — продольная сила (+ растяжение, — сжатие).
Таблица 4&
Сложный изгиб лросте&лни балок
(вспомогательные функции — см. табл. 46)
Конструкция и нагрузка
Элементы изгиба
Свободно опертая балка под действием
сосредоточенного момента в середине про-
лета
Для левой половины балки
NU* j х
w ~ 8EIv* \ I shWJ
Углы поворота '
wo= w2i = 12EI ** Ha
wt = — 6£/- ф, (о) В середине
пролета
Свободно опертая балка под действием
сосредоточенного момента на опоре
Упругая линия
М I х аЬбк \
w = Т \ Г ~ sh8/ /
Углы поворота на опорах .
• М/ . Л
ао =~6ЕГ'+1(П)
wi =-“ЗЁГ’Ь<р)
Изгибающий момент
shftx
Мяпкг — — М при х = I : »
В случае сжатия и если-g”
М . «'
Ммакс
250
OMrriWffwa#белок
[Гл. VII
Конструкция и нагрузка
. Свободно опертая балка под действием
сосредоточенной силы
Балка, упруго заделанная на опорах
Од действием сосредоточенной силы
Продолжение тебл. 45-
Элементы нЗгиба
При растяжении (7>0) и для
'Упругая линия
'• ,ь
* —8£/os V
^згибающий i
'•М=—>
sh’^6 ' \
Ih»Tsh4
момент . .
Р/ sh’M _ / ’
2» sh»i «Ьйх-
Наибольший изгибающий момент
Pl sh8e-sH#h
~~2о sh»Z
при х = а
При сжатии
jpja
Р1 *1пМ . „
M=-~2^SlrTMSlnV
Прогиб в середине пролета
РР
“’° ~ 192 Е/ 14(*~*> Фо(*’)-Н?а(«')1
Углы поворота на опорах
Изгибающий момент под силой
Р1
~ *> *• О’)+* *# (01
Изгибающие моменты-на опорах
.. Р1 .
MjtOKC--
sin&.fr - b.„
------sin *1X — T*l*
Коэффициенты заделки х на обеих опо-
рах одинаковы и связаны с коэффициен-
том податливости зависимостью
1
’ * = . . ^Е1
1+ I 1.(0
2
Функции ф0, Xq— см. табл. 46, ос-
тальные — табл. 48—6Г, полагая'
й = 0
Для х <-J,
Упругая линия
a sh**
вх—сКГ
Свободно опертая балка под действием
сосредоточенной силы в^середиие пролета
Прогиб
PR , /
’мввс= 48£7-фв(») при x = -tj-
Угол поворота на опоре
. ’ РР
®0 ” 16EZ Хо (°) при х = О
Изгибающий момент
Pl sh *х
М — ~~4~ echo
Pl th» i
Ломакс— — v при X» g
- -*4ii Продолжение табл. .45.
13 - -
* нагрузка Элементы нагиба
JL
Упруго защемленная балка под дейст- вием равномерно распределенной нагрузки «х Наибольший прогиб QI* wMakc— 384£/***0—х)?о(я)Ч"хТ1(я)1 при х = 0 Углы поворота на опорах
« 2 “Т~ 2 и/ Коэффициенты заделки на обеих опорах одинаковы и связаны с коэффициентом податливости зависимостью 1 Х“ . , Х«<°) 1 1 1 Ф.(») * । ± 24£/ Изгибающий момент И середине ^про- лета “ Л». = 13(1 Изгибающие моменты ва опорах 01 < М, 1=^ /о ±-5 . U £ Г '
• - - t J-5r * Л. » : “ Л!, ’• J
Упругая линия
Ql* / о»' ch«* •
•=Wp4X + cbD ”
— 2о*-^-)
Наибольший прогиб i
f> QP
«лике =* »• (о) ЯР» *=*°
Углы поворота ст опорах
. , QP
» ' “Т’ 24£/ 'М°)
Изгибающий момент
„в QLA
м>=— 8 vt<
Ql
МмаКС = — ~8~Х0 (Я) ПРИ *
"Л
•4
ch&x\ !
1 ch о / t"
252
Жестко заделпкак балка под деЯстаи-
Продолжение табл, 4^
Элемент» гиагвба
ХИРХТая линия !
Г t> " s
” <ch »* - Ch р> +
V» х» 1
+ 2 2l,t /» I
v
8
Hllllllf Hlllli Hlil InilllHIII
Т
Наибояыпий прогиб
Qp
®л«е==?§й7?7¥1(и) при х=0
ВТ
Изгибающие моменты
t> chftx
sha "!-
01
Мо = —"24“х1(») при *=°
М±-£ =Т2~ при х = ± 4
ЭД
j
1
Упругая линия
QF
24Ё1 г2
3
w —
М
Свободно опертая балка под нагрузкой
ко закону треугольника
QP
24EIv*
Изгибающие моменты
<2/ f х
2п*
/ х \8 , 3 sh&x 1
\ I ) ®* shW I
Прогиб в середине пролета (не ма
ксимальныЯ}
4 384 £/.”W
shftx
I sh»Z
Ш I
. A4/ 3=*u—^’X*(v) при x = _j"
"2
Углы поворота на опорах
••«*•/» 3 , 6 \
®о— 24£/v212— v* +pshitf
3
6;
t>2 v ah i
§ 27]
Сложный изгиб балок
253
Таблица 46
Функции для расчета балок на сложный изгиб
т EI То ОО 71 (в) *<>(«) Xi (о) "4 (ь) Ф'о <Л') Ф1 (») (а)
! ОС оо ОС
3,10/ 37,484 45,923 23,566
3,05г 17,168 20,863 11,031
3,00/ I1,201 13,506 7,369
2,95г 8,350 = 9,992 5,588 S S S
2,90г ь 6,680 СУ 7,934 4,355 о о СУ
о о о о о
2.85/ 5,585 К 6,586 3,877 CQ ffl £□
2,80/ 4,808 S 5,632 3,396 К S S
V S р*
2,75г 4,232 =S 4,923 3,039 aS »S aS
2.70:' 3,786 О 4,377 2,762 О О О
2,65/ 3,432 3,942 2,542 о о
2,60г 3,144 3,589 2,362
S S S
2,55/ 2,904 CL 3,296 2,212 Cl CL Cl
2,50г' СУ 2,703 су 3,050 2,086 СУ СУ <D
2,45/ о 2,531 о 2,840 1,977 о О О
Е Е Е Е
® 2,40/ 2,382 2,660 1,885
Л Q •Q Л
Ь 2,30г 1,139 н 2,364 1.732 Н f-
а 2,20/ X 1,949 ст 2,134 1,612 СТ О ст ст
о 2,10г — 1,797 1,949 1,516 ч *3 ч
О кз КЗ КЗ
2,00г 1,672 1,799 1,436 о о о
1,90г 1,569 1,675 1,370
1,80: 1,482 1,571 1,315
1,70г' 1,408 1,483 1,267
1,60г 1,346 1,408 1,227
1 30 1,329 ое 1,388 1,216 ОС ОС оо
1,50/ 11,490 1,291 11,670 1,343 1,192 11,201 13,506 7,369
1,45/ 6,790 1,266 6,940 1,315 1,176 6,680 7,934 4,355
1,40г 4,822 1,244 4,938 1,288 1,161 4,808 5,632 3,396
1,30:' 3,181 1,204 3,240 1,240 1,134 3,144 3,589 2,362
1,20г 2,400 1,169 2,441 1,198 1,111 2,382 2,660 1,885
1,10/ 1,962 1,138 1,989 1,162 1,091 1,949 2,134 1,612
1,00/ 1,690 1,111 1,704 1,130 1,074 1,672 1,799 1,436
0,90/ 1,494 1,088 1,504 1,103 1,059 1,482 1,571 1,315
0,80/ 1,354 1,068 1,361 1,084 1,046 1,346 1,408 1,227
0,70г 1,250 1,052 1,255 1,060 1,034 1,244 1,288 1,161
0,60/ 1,173 1,037 1,176 1,043 1,025 1,169 1,198 1,111
0,50/ 1,114 1,026 1,117 1,030 1,017 1,111 1,130 1,074
0,40г 1,070 1,016 1,073 1,017 1,011’ 1,068 1,084 1,046
0,30/ 1,037 1,009 1,038 1,011 1,006 1,037 1,043 1,025
0,20/ 1,016 1,004 1,016 1,005 1,003 1,016 1,017 1,011
•0,10/ 1,004 4,000 1,004 1,001 1,001 1,004 1,005 1,003
0 1 1 1 1 1 1 1 1
254
Сложный изгиб балок
[Гл. VII
Продолжение табл. 46
p=-Ll/Z 2 Г Е1 ?о(») Тл (») *о(и) 7.1 (о) 7а (р) Фо (о) Ф1(О Ми)
0 1 1 1 1 1 1 1 1
0.50 0,908 0,976 0,905 0,972 0,984 0,909 0,894 0,939
1.00 0,711 0.909 0,704 0,894 0,939 0,715 0,673 0,806
1,50 0,523 0,817 0,511 0.788 0,876 0,529 0,467 0,672
2,00 0,380 0,715 0,367 0,673 0,806 0,388 0,320 0,563
2.50 0,281 0,617 0,268 0,563 0,736 0,291 0,224 0,480
3,00 0,213 0,529 0,200 0,467 0,672 0,223 0,162 0,417
3,50 0,166 0,453 0,153 0.386 0,614 0,175 0,121 0,367
4,00 0,132 0.388 0,120 0,320 0,563 0,141 0,093 0,328
. <50 0,107 0,335 0,097 0,267 0.519 0,115 0,074 0,296
= 5,00 0,088 0,291 0,079 0,224 0,480 0,096 0,060 0.270
" 5.50 0,074 0,254 0,066 0,189 0,446 0,081 0,050 0,248
к 6.00 0,063 0,223 0,055 0,162 0,417 0,069 0,042 0,229-
о 6.50 0,054 0,199 0,047 0,139 0,391 0,060 0,036 0,213
•° 7,00 0,047 0,175 0,041 0,121 * 0,367 0,052 0,031 0,199
7,50 0,041 0,156 0,036 0,106 0,347 0,046 0,027 0,187
8,00 0,036 0,141 0,031 0.093 0,328 0,041 0,023 0,176
8,50 0,032 0.127 0,028 0,083 0,311 0,037 0,021 0,166
9,00 0.029 0.115 0,025 0,074 0,296 0,033 0.019 0,158
9,50 0.026 0,105 0,022 0,066 0,283 0,030 0,017 0,150
10.00 0.024 0.096 0,020 0.060 0,270 0,027 0,015 0,143
10.50 0,021 0,088 0,018 0,054 0,259 0,025 0,014 0,136
11,00 0,020 0,081 0,017 0,050 0,248 0,023 0.012 0,130
11.50 0,018 0,075 0,015 0,045 0,238 0,021 0,011 0,125
12.00 0,016 0.069 0,014 0,042 0,229 0,019 0,010 0,120
При 2,4(и*-2) 12 (V—2) 2 6 3(о-1) 3(р-1) 3 3(2р—1)
о>12 (прибли- женно) р* о® va V3 2о« 4и*
§ 28]
Слсжный изгиб балок на упругом основании
255
Аналитические выражения функций
При вещественном v , . 4,8/ , 1 А +ch0 1] При мнимом v = iVj^ 1==W_J v* \cos z?! 2 /
' 24 / v ,. v ) •?.(=> = ^ (j^— « J 1 g 2 2)
-/ / % _ 2 /1 м 0 U 1)2 у chuj Л 1 v* (COS Z)y J
Хх (n) = -L/]_-£J z/2 \ sh v 1 _ 6 / Vi _ A 1 \sin t»! у
i = } ’ Vi \ tgvi]
3 3
% (») = <Pi (2 v) = ~з (v — v) = -g (tg v-i — uO
v Vl
Ф1 (f) =*i(2p) = A (1 — 11 v ’ 1 v ’ 2t»2y sh2 v f I = 3 / 2Ui — Л
Q / О у» \ W-W=4l)!th2t) 1) 3 / 2&1 \ 1 4u?\ tg2v1J
§ 28. СЛОЖНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Вид общего интеграла приведенного выше уравнения сложного из-
гиба балки на упругом основании (141)
EIww— Tw” kw — q
зависит не только от основных аргументов
1 * Г"k~ I /"т
U~ 2 J/ 4 EI И ° ~ 2 ]/ £/ ’
но и от соотношения их между собой1.
В табл. 47 приведены расчетные формулы лишь для девяти наиболее
часто встречающихся случаев и в табл. 48—61 — четырнадцать вспо-
могательных функций <р0> <?!»••-, входящих в формулы табл. 47.
Каждая из этих функций зависит от двух аргументов: и и v. В слу-
чае, если один из аргументов равен нулю, указанные функции переходят
в одноименные функции, приведенные выше в табл. 43 или 46. Например,
строка о = 0 табл. 50 (для функции <р0) эквивалентна графе 4 табл. 43,
но, как можно видеть, составлена с более крупными интервалами аргу-
мента. Поэтому, пользуясь табл. 48—61, необходимо применять интер-
полирование с учетом вторых разностей (§ 10): если заданные аргу-
1 Подробнее см. книгу Н. В. Маттес, Влияние общего изгиба на местную
прочность и вибрацию речных судов, Речиздат, 1950.
256
Сложный изгиб балок
[Гл. VII
менты находятся в промежутке между табличными <и<Си2 и Or < v < v2.
то искомая функция находится по формуле
[<р <“2’ ~ +
«2
?(«. и) = vj 4
Ч>
30-
O — Oi (и — Ui)(o~ t>i) r , . ,
—t [? («„ >,» -. <«„ к,»+(t («..».)+
— ? (ut, Vi) — ? (W2, Oi) — <p (Mb P2)].
Расчетные напряжения определи"
юте я, как и в случае отсутствия упру-
гого основания, по формулам (150).
ЧтЗкг/ct
351М
30015
Рис. /О
Пример. Определить наибольшее нор-
мальное напряжение в балке, показанной на
рис. 70, а, нагруженной равномерно распре-
деленной нагрузкой интенсивностью q —
= 5 кг/см и сжимающей силой 30 т.
Жесткость упругого основания k =
= 1,65 кг/см-, момент инерции сечения
(рис. 70,6) / = 8520 см*, моменты сопротив-
ления W?1 = 422cjm3 (для верхнего пояска)
и 114 = 576 см3 (для нижнего), площадь
F = 38,1 см3.
Балка упруго заделана на жестких
опорах с коэффициентом податливости при
повороте а = 0,532 10—7\1кгсм.
Основные аргументы по формулам (144) и (148):
I/ -7-^1 — 500
Г 4 Е1
I
и==~2
1,65
4 • 2 • 10® • 8 520 = 11 °’
— 30 000
2 - 10« • 8 520 ~ 0,65 1-
Для определения наибольшего изгибающего момента по формулам табл. 47
(тип балки 5) необходимо разыскать функции ф0, Хо, и Xt.
Интерполирование по данным табл. 53 и 56—58 дает при и — 1,10 и v = 0,65 i
ф0 = 0,610, /.„=0,589, Xi = 0,861, Xg = 0,871.
Коэффициенты заделки равны
1
_______________ _ -------------------------= () 270
2а£/ X» 2 • 0,532 • 10—7 • 2 • 10® - 8 520 0,871
Z ?о 1 + 1000 ‘0,610
Изгибающий момент в середине пролета
о д 5-1 0002
Л10 = - g- [3 (1 - X) Хо 4- -Z7.il = - —24-I3 о - °’27) °-589 +
-г 0,27- 0,861] =-316- 10s кгем.
Опорный изгибающий момент
^хХ2 = ——9,27 ‘ 0,871 = 92,5 • 103 кгем.
Л1
Наибольшее напряжение (сжимающее) действует посередине пролета в верх •
ней точке^сечения^и равно
Т =”-?ГГ- = - 787 - 748 = - 1 535 кг/см*.
w 6 оо, 1
В нижнем пояске напряжение будет равно
316 • 103
з = — 787 4- ~ — = — 239 кг!см3.
5 =~С
V =
1
§ 28] Сложный изгиб балок на упругом основании 257
Таблица 47
Сложный изгиб простейших балок иа упругом основании
I 47 ~k~
(вспомогательные функция в зависимости от аргументов и = _ J/ и
о 1/ — , см. табл. 48 — 61 j
2 Г EI /
Конструкция и нагрузка
Элементы изгиба
Балка, опертая на две опоры, на-
гружена сосредоточенным моментом
в середине пролета
Угол поворота у левой опоры
, М/
— 12.EI °)'
Угол поворота в середине пролета
MZ
гсг = (и> v)
I Свободно опертая балка под дей-
ствием сосредоточенного момента на
опоре
Прогиб в середине пролета (не макси-
мальный)
М/2
w i — \QEI 7,0 V)’
~2
Углы поворота у опор
Ml
Ml
wi^~3El^(u'
Изгибающий момент в середине пролета
Мл,,
Mt =— у *» .(«. °)
~2
17 Учебный справочник
258
Сложный изгиб балок
[Гл. VII
Продолжение табл. 47
С с Конструкция и нагрузка Элементы изгиба
j Балка, упруго защемленная на s
j обоих опорах, под действием сосредо- i
| точенной силы в середине пролета
Коэффициенты заделки х на обеих
опорах одинаковы
Прогиб в середине пролета
р/з
ю«= 192£7 I4С1 ~^) Фо (“» °) +Х'Ъ (“.»)]•
Углы поворота на опорах
, , Р12
w_£=~ w_i = 16£7 ~ 7-° <“’ v'>'
2 ~2
Изгибающий момент в середине пролета
Р1
Мо = — -g"42(l — х)В0 (и, о) + х74 (и, о)].
Изгибающие моменты у опор
Р1
М t =-g-xXe (и, о).
Т ~2
В случае, если задан коэффициент по-
датливости а,
__________1
Х ~ , 2а£7 ув (и, у)
+ I Хо (и, у)
г Свободно опертая балка под
I действием сосредоточенной силы
Прогиб в середине пролета
Р/3
тмакс= и,о== 48£/ v^’
Углы поворота у опор
, , Р1г
w_t_ = ~ w t_= 16ЁТ >«
2 2
Изгибающий момент в середине про-
лета
Р1
Л10 = — -4- Во (w. V)
| Жестко заделанная балка под
^действием сосредоточенной силы
в середине пролета
Прогиб в середине пролета
р/з
wmokc—И'о— 192£/ v^~
Изгибающий момент в середине про-
лета
Р1
Мв = — Х4 (и, п).
Изгибающие моменты у опор
. р1
м 2_ = g- z6 (“, v)
± 2
§ 28]
Сложный изгиб балок на упругом основании
259
Продолжение табл. 47
Конструкция и нагрузка
Элементы изгиба
t Упруго защемленная на обеих опорах
балка под действием равномерно рас-
пределенной нагрузки
Коэффициенты заделки х на обеих;
опорах одинаковы
В случае, если задан коэффициент.
J податливости а,
;____________________1_______
х~ 2о£/ Zi (и, о) ' '
’Г I ^0(u,v)
Опорные реакции (-р прн направле-
нии снизу вверх)
О
R1 = -2 [(!— »-);о (^.у)-гу?1 (“-') 1
Прогиб в середине пролета
Q13
wo~ 384 £7 [5 О — х) То (ы. v) +
+ x?i(U, о)] = -^-[1—(1—x)/0(u, о) —
— х/1(ц, о)]> *
Углы поворота у опор
, . QI*
w_±= — w_l_ = MET
2 2
Изгибающий момент в середине про-
лета
О/
Af0 = -“I3(I-x)70(u, D) +
4-хХх (и, о)].
Изгибающие моменты у опор
Л1 j = 12 х7-2 (u> v>-
±~2
Результирующая интенсивность на-
грузки на балку (разность между на-
грузкой и реакцией основания) в се-
редине пролета
г0 = q — kwt = q [(1 — х) /0 (ц, о) +
4-x/i (и, о)].’
и4
Л(и^)=1—6
174-gj
260
Сложный изгиб балок
[Гл. VII
Продолжение табл. 47
Конструкция и нагрузка
Элементы изгиба
Свободно опертая балка под дейст-
вием равномерно распределенной на-
грузки
Прогиб в середине пролета
5 Qla
= а) =
q
= »)]*
Углы поворота у опор
QZ2
w___= = 24ЕТ 'k <и> v>-
2 2
Изгибающий момент в середине про-
лета
М0 = -^Х0(и, о)
i Жестко защемленная балка под дей-
! ствием равномерно распределенной на-
j грузки
I
Прогиб в середине пролета
013 q
w« = '3?A£T'fl{-u' = fl!".»)].*
Изгибающий момент в середине про-
лета
Мо = —V).
Изгибающие моменты у опор
QZ
М Z = 12"
± 'Т
I Свободно опертая балка под дейст-
; вием треугольной нагрузки
Прогиб в середине пролета (не ма-
ксимальный)
5QZ3 t ч
384£7
2
Изгибающий момент в середине про-
лета
QI ,
М , =—-g-y0(u, с).
~2
Выражения для функций f0 и Л приведены в сноске на предыдущей странице.
§ 28|
Сложный изгиб балок на упругом основании
261
Функции сложного изгиба балок на упругом основании £0,6,,
=1. ?о. ^1. т-i. 7о» А. ^2, 'Xs. 7 г, Х6 в зависимости от аргументов
Функция $0 (и, и)
Т а б л и ц а 48
0,5 1.0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0
v \ 0,0
10,0 I 9,0 i 8,0 1 7,0 i 6,0 i 5,0 z 4,0 i 3,0 i Об л асть п i отер и устойч 2,900 и в о с т и 0,460 0,335 2,740 0,292 0,216 0,207 1,327 0,201 0,191 0,159 0,146 0,136 1,070 0,225 0,165 0,140 0,125 0,115 0,113 0,105
2,0 i 23,200 0,505 0,278 0,178 0,129 0,103
1,5 i 9,375 6,780 1,283 0,436 0,266 0,171 0,128 0,102
1.0 i 1,558 1,297 0,842 0,398 0,256 0,169 0,127 0,101
0,5 i 1,091 1,096 0,711 0,379 0,253 0,167 0,126 0,100
0,0 1,000 0,968 0,678 0,373 0,250 0,166 0,125 0,100
0,5 0,964 0,960 0,655 0,368 0,248 0,165 0,125 0,100
1,0 0,859 0,745 0,579 0,358 0,244 0,164 0,124 0,100
1.5 0,604 0,598 0,495 0,344 0,236 0,161 0,122 0,099
2,0 0,481 0,472 0,420 0,307 0,227 0,157 0,120 0,098
3,0 0,332 0,330 0,308 0,257 0,205 0,148 0,118 0,095
4,0 0,250 0,249 0,240 0,214 0,182 0,139 0,112 0,093
5,0 0,200 0,198 0,196 0,190 0,162 0,128 0,107 0,087
6,0 0,167 0,166 0,165 0,164 0,143 0,118 0,099 0,086
7,0 0,143 0,143 0,141 0,140 0,128 0,109 0,094 0,084
8,0 0,125 0,125 0,124 0,128 0,116 0,103 0,088 0,078
9,0 0,111 0,110 0,110 0,108 0,105 0,094 0,083 0,074
10.0 0,100 0,100 0,099 0,097 0,095 0,087 0,078 0,071
262
Сложный изгиб балок
[Гл. VII
Функция 51 (и, V)
Таблица 49
и V /'к I 0,0 i 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0
10,0 i 9,0 i 8.0 < 7,0 i 6,0 i 5,0 i 4,0 i о власть потери устой ч и вост 0,200 0,266 и 0,081 0,180 0,245 0,024 0,124 0,167 0,195 0,215 0,019 0,085 0,119 0,143 0,160 0,173 0,176
3,0 i 1.0 0,944 0,680 0,320 0,346 0,287 0,232 0,191
2,0 i 1.0 0,961 0,880 0,638 0,462 0,313 0,242 0,195
1.5 i 1,0 0,989 0,910 0,684 0,493 0,320 0,244 0,197
1.0 i 1,0 0,994 0,914 0,700 0,510 0,327 0,246 0,198
0,5 i 1,0 0,995 0,918 0,722 0,524 0,330 0,247 0,199
0,0 1,0 0,995 0,920 0,725 0,527 0,333 0,248 0,200
0,5 1,0 0,995 0,928 0,731 0,530 0,335 0,249 0,201
1.0 1,0 0,995 0,929 0,742 0,540 0,337 0,251 0,202
1.5 1,0 0,995 0,933 0,753 0,555 0,342 0,256 0,203
2,0 1,0 0,995 0,942 0,776 0,570 0,350 0,258 0,206
3,0 1,0 0,995 0,965 0,816 0,625 0,373 0,264 0,209
4.0 1,0 0,996 0,968 0,825 0,675 0,401 0,277 0,215
5.0 1,0 0,997 0,972 0,836 0,731 0,434 0,293 0,230
6,0 1,0 0,998 0,977 0,846 0,764 0,469 0,313 0,233
7.0 1,0 0,999 0,981 0,852 0,800 0,505 0,331 0,243
8.0 1,0 1,000 0,983 0,902 0,822 0,536 0,351 0,256
9.0 l.o 1,000 0,987 0,941 0,853 0,583 0,375 0,265
10,0 i l.o 1,000 0,990 0,952 0,872 0,605 0,398 0,282
Функции (ро (и, v)
и V if' i 1,5/ /' 1,0» 1 0,5/ i 0,0 0,5 1,0
10,0 1 9,0 i 8,0 1 7,0 1 6,0 i 5,0 i 4,0 i 3,0 i 2,0 i 1 ,5 i 1,0 i 0,5 i 0 0,5 1,0 1,5 2,0 3 0 0,760 О б л a 4,100 2,920 2,250 1,345 0,795 0,485 0,275 :ть no 21,40 1,810 1,170 1,040 0,950 0,728 0,550 0,405 0,215 терн у 11,490 1,690 1,114 1,000 0,908 0,711 0,523 0,380 0,213 с т о й ч и 7,800 1,680 1,050 0,960 0,845 0,683 0,505 0,350 0,206 в о с т и 31,600 1,345 0,790 0,645 0,602 0,560 0,485 0,388 0,300 0,185
4,0 0,233 0,145 0,132 0,132 0,126 0,113
5,0 1,910 0,124 0,102 0,088 0,088 0,087 0,081
6,0 0,196 • 0,080 0,065 0,063 0,063 0,061 0,057
7,0 0,095 0,067 0,049 0,047 0,047 0,045 0,043
8,0 0,060 0,041 0,038 0,036 0,036 0,036 0,035
9,0 0,042 0,032 0,029 0,029 0,029 0,029 0,028
10,0 0,032 0,026 0,024 0,024 0,024 0,024 0,020
Таблица 50
1,5 2,0 3,0 4,0 5,0
• 0,200 0,110 0,023 0,018 0,017 0,022 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 -0,010 0,001 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002
1,460 0,094 0,017 0,005 0,002
0,370 0,087 0,017 0,005 0,002
0,288 0,085 0,016 0,005 0,002
0,255 0,084 0,016 0,005 0,002
0,235 0,084 0,016 0,005 0,002
0,228 0,084 0,016 0,005 0,002
0,225 0,084 0,016 0,005 0,002
0,207 0,083 0,016 0,005 0,002
0,185 0,082 0,016 0,005 0,002
0,163 0,082 0,016 0,005 0,002
0,123 0,080 0,016 0,005 0,002
0,100 0,054 0,015 0,005 0,002
0,071 0,045 0,014 0,005 0,002
0,052 0,037 0,013 0,005 0,002
0,040 0,031 0,013 0,005 0,002
0,032 0,025 0,012 0,005 0,002
0,025 0,020 0,011 0,005 0,002
0,018 0,017 0,010 0,005 0,002
§ 28] Сложный изгиб балок на упругом основании 263
Функция 'р| (и, и) Та блица 51 264
\ u и 3/’/ 21' 7 1,5K i" 1.0/ i 0,5/ ( 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0
8,0 / 7,0 < 6,0 i 5,0 i 4,0 i 3,0 I 2,0 ( 0 б л a 2,130 : т i, и о 12,800 1,720 г e p и у 11,201 1,672 : т о й ч и 10,300 1,640 н ости 4,790 1,380 1,370 0,800 3,900 0,728 0,463 0,372 0,118 0,101 0,092 0,086 0,083 0,006 0,022 0,024 0,025 0,025 0,025 0,025 0,002 0,009 0,009 0,009 0,009 0,010 0,010 © S'
1,5 i 1,0 i 0,5 i 0 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,132 2,090 0,770 0,423 0,288 0,195 0,153 7,750 4,550 3,100 2,850 2,690 2,820 1,755 1,350 0,836 0,511 0,401 0,262 0,202 0,158 0,127 1,550 1,300 1,160 1,130 1,100 1,035 0,910 0,805 0,578 0,420 0,305 0,224 0,177 0,141 0,115 1,330 1,140 1,040 1,010 0,985 0,925 0,850 0,750 0,550 0,400 0,292 0,223 0,175 0,141 0,115 1,291 1,111 1,026 1,000 0,976 0,909 0,817 0,715 0,529 0,388 0,291 0,223 0,175 0,141 0,115 1 ,260 1,101 1,018 0,992 0,966 0,902 0,805 0,690 0.515 0,380 0,286 0,218 0,170 0,141 0,115 1,100 0,980 0,900 0,885 0,870 0,810 0,740 0,655 0,490 0,360 0,280 0,210 0,166 0,138 0,113 0,705 0,640 0.610 0,603 0,593 0,570 0,530 0,479 .0,390 0,307 0,238 0,180 0,145 0,120 0,102 0,350 0,335 0,326 0,321 0,317 0,309 0,293 0,283 0,250 0,210 0,180 0,153 0,130 0,109 0,093 0,082 0,081 0,080 0,080 0,080 0,080 0,078 0,078 0,075 0,071 0,067 0,063 0,058 0,054 0,050 0,025 0,025 0,025 0,025 0,025 0,025 0,025 0,025 0,024 0,024 0,024 0,023 0,023 0,022 0,022 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 lit изгиб балок
10,0 0,122 0,110 0,096 0,096 0,096 0,096 0,096 0,085 0,080 0,046 0,020 0,009 [Гл. VII
§ 28] Сложный изгиб балок на упругом основании
Таблица 52
Функция ?2 (и, у)
и V 0,0 0,5 1.0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0
10,0 i 0,109
0,053
9,0 г а 0,206 0,040
8,0 i 7,0 i 6,0 i 5,0 i Область потер] ч у с то ч и в о с т и 0,289 0,095 0,071 0.034 0,030
3,200 0,187 0,057 0,028
4,0 i 3,0 i 2 0 1 0,825 0,146 0,054 0,026
11,200 9,900 4,670 1,450 0,512 0,136 0,050 0,025
1,840 1,465 1,395 0,824 0,407 0,121 0,048 0,025
1,300 '1,290 1,105 0,719 0,380 0,115 0,047 0,024
1*0 i 1,127 1,118 0,984 0,655 0,360 0,112 0,047 0,024
0,5 i 1,010 1,000 0,911 0,628 0,352 0,111 0,047 0,024
0 1,000 0,991 0,890 0,620 0,348 0,110 0,047 0,024
0,965 0,940 0,873 0,603 0,343 0,110 0,046 0.024
1 0 0,908 0.893 0,790 0,579 0,335 0,109 0,046 0,024
0,858 0,848 0,739 0,543 0,324 0,107 0,046 0,024
2*0 0,714 0,704 0,653 0,496 0,308 0,105 0,045 0,023
3,0 4,0 0,528 0,524 0,483 0,397 0,266 0,099 0,044 0,023
0,370 0,367 0,359 0,315 0,225 0,092 0,043 0,022
5 0 0,296 0,296 0,283 0,213 0,187 0,084 0,042 0,022
6 0 0,222 0,222 0,217 0,183 0,158 0,075 0,039 0,021
7 0 0,175 0,172 0,167 0,150 0.133 0,072 0,034 0,020
8*0 0,140 0,126 0.120 0,116 0,111 0,064 0,033 0,019
9 0 0,115 0,114 0 110 0,105 0.095 0,058 0,031 0,018
10^0 0,099 0,097 0,095 0,089 0,081 0,052 0,028 0,017
Таблица 53
Функция -уд (и, у)
o.o 0.5 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0
10.0 i 9,0 ! 8,0 i 7,0 г 6,0 i 5,0 i 0,077 0,056 0,014 0,010
Об ла с т ь г о т e p и у с т о i ч и в о с т и 0,364 0,025 0,018 0,009 0,008
0,048 0,015 0,007
4,0 i 3,0 i 2 0 i 0,229 0,037 0,014 0,007
1,480 0,145 0,032 0,013 0,006
27,300 0,380 0,115 0,029 0,012 0,006
1*5 i Il 201 7,820 1,340 0,305 0,107 0,028 0,012 0,006
10 i 1 672 1,570 0,810 0,266 0,102 0,028 0,012 0,006
0.5 i 1'111 1,065 0,650 0.248 0,100 0,028 0,012 0,006
0 1,000 0,961 0,609 0,242 0,099 0,028 0,012 0,006
0 909 0,875 0,580 0,235 0,098 0,028 0,012 0,006
10 0*715 0,694 0,487 0,222 0,095 0,027 0,012 0,006
0 529 0,520 0,400 0,201 0,092 0,027 0,012 0,006
2 0 0,388 0,380 0,310 0.178 0,086 0,026 0,011 0,006
3 0 0 223 0,215 0,197 0,134 0,072 0,025 0,011 0,006-
4.0 0,141 0,140 0,131 0,100 0,062 О,'О23 0,011 0,006
0 096 0,096 0,089 0,075 0,053 0,021 0,010 0,005
6 0 0 069 0,069 0,064 0,056 0,045 0,019 0,009 0,005-
7 0 0 052 0,052 0,050 0,047 0,038 0,017 0,009 0,005
8 0 0 041 0,041 0,041 0,039 0,031 0,016 0,008 0,005
9 0 0 033 0,033 0,033 0,032 0,025 0,015 0,008 0,004
Ю.0 0,027 0,027 0,027 0,025 0,022 0,014 0,006 0,004
266 Сложный изгиб балок[Гл. VII
Таблица 54
Функция (u, v)
и р 0,0 0,5 l,o 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0
10,0 I 0,212
9,0 i —0,007
8,0 t —1,360 —0,002
7,0 i Область потерi устойчивости —0,001 —0,001
6,0 г 3,140 0,003 0,000
5,0 1 0,025 0,002 0,000
4,0 i —8,120 —0,002 0,000 0,000
3,0 i 0,925 —0,120 —0,003 0,000 0,000
2,0 i 33 400 0,178 —0,029 —0,004 0,000 0,000
1.5 i 13,506 9,070 1,360 0,139 —0,014 —О', 003 0,000 0,000
1,0 i 1,799 1,665 0,740 0,127 —0,007 —0,003 0,000 0,000
0,5 i 1,130 1,070 0,572 0,119 —0,004 —0,003 0,000 0,000
0 1,000 0,953 0,529 0,114 —0,003 —0,003 0,000 0,000
0.5 0,894 0,852 0,494 0,111 —0,001 -0,003 0,000 0,000
1,0 0,673 0,648 0,396 0,107 —0,001 —0,003 0,000 0,000
1,5 0,467 0,454 0,311 0,097 0,003 —0,003 0,000 0,000
2.0 0,320 0,314 0 230 0,087 0,008 —0,002 0,000 0,000
3,0 0,162 0,162 0 132 0,066 0,014 —0,002 0,000 0,000
-<.0 0.093 0,093 О; 081 0,050 0,017- —0,001 0,000 0,000
5.0 0,060 0,059 0,039 0,018 0,000 0,000 0,000
6,0 0,042 0,042 0 040 0,030 0,016 0,001 0,000 0,000
7,0 0,031 0,031 0 029 0,024 0,015 0,002 0,000 0,000
8,0 0.023 0,023 0 029 0,019 0,013 0,002 0,000 0,000
9,0 0,019 0,018 0 DIR 0,016 0,012 0,003 0,000 0,000
10,0 . 0,015 0,015 0,015 0,013 0,011 0,003 0,000 0,000
Таблица 55
Функция ф2 (и, у)_
и 1 0,0 | 0,5 ' 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0
10,0 i i 9,0 i 8,0 i 7.0 i 1 Область n отер и устой ч И В О С т и 1,720 0,386 1,500 0,687 0,251 0,211
6,0 i 5,0 : , 4,0 i 3,0 i 2,0 i 1,5 i 7,369 4,520 17,400 1,250 •1,712 0,675 0,582 4,850 0,570 0,433 0,406 2,450 0,450 0,335 0,288 0,265 0,259 0,285 0,241 0,215 0,202 0,194 0,191 0,190 0,173 0,165 0,157 0,154 0,153
1,0 i 1,436 1,370 0,897 0,536 0,388 0,255 0,189 0,152
0,5 i 1,074 1,060 0,780 0,509 0,378 0,252 0,188 0,151
0 1,000 0,976 0,752 0,503 0,375 0,250 0,188 0,150
0,5 0,939 0,917 0,730 0,495 0,371 0,249 0,187 0,150
1.0 0,806 0,796 0,662 0,478 0,365 0,246 0,186 0,150
1,5 0,672 0,665 0,585 0,448 0,350 0,242 0,185 0,149
2.0 0,563 0,555 0,510 0,417 0,335 0,237 0,183 0,147
3,0 0,417 0,417 0,399 0,352 0,300 0,223 0,177 0,144
4,0 0,328 0,328 0,319 0,297 0,262 0,208 0,168 0,140
5,0 0,270 0,270 0,266 0,254 0,234 0,192 0,158 0,135
6,0 0,229 0,229 0,228 0,219 . 0,208 0,177 0,150 0.129
7.0 0,199 0,199 0,198 0,193 0,185 0,163 0,142 0,123
8,0 0,176 0,175 0,174 0,171 0,167 0,150 0,134 0,117
9,0 0,158 0,157 0.155 0,153 0,151 0,139 0,126 0,112
Ю.0 0,143 0,142 0,142 0,141 0,139 0,129 0,118 0,107
Функция 7„ («, t>)
и V 2/ 7 1,5/ Г 1,0/f 0,5/ i 0,0 0,5 1,0
10,0 i 9,0 i 8,0 i 7,0 i 6,0 i 5,0 i 0 б л a c т ь по T p и у с • о й ч и в зсти
4,0 i 3,0 i 2,0 I 1,5 i 1,0 i 0,5 i • 4,190 21,900 1,820 1,170 11,670 1,704 1,117 7,950 1,600 1,060 28,550 1,353 0,800 0,628
0,0 2,970 1,045 1,000 0,959 0,591
0,5 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 0,760 0,225 2,288 1,348 0,793 0,495 0,236 0,133 0,943 0,725 0,525 0,373 0,201 0,121 0,905 0,704 0,511 0,367 0,200 0,120 0,870 0,681 0,449 0,360 0,198 0,120 0,556 0,468 0,373 0,288 0,172 0,111
5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 1,940 0,191 0,090 0,055 0,038 0,028 0,116 0,072 0,050 0,037 0,028 0,022 0,085 0,058 0,042 0,032 0,025 0,020 0,079 0,055 0,041 0,031 0,025 0,020 0,079 0,055 0,041 0,031 0,025 0,020 0,079 0,055 0,041 0,031 0,025 0,020 0,074 0,050 0,038 0,030 0,024 0,019
Таблица Бб
1,5 2,0 3,0 4,0 5,0
0,200
0,006
-0,159 0,001
-0,023 -0,001
-1,050 —0,011 -0,001
-0,039 —0,006 -0,001
0,121 -0,012 —0,004 -0,001
1,480 0,085 -0,004 —0,003 -0,001
0,345 0,070 -0,001 —0,002 -0,001
0,268 0,066 0,000 -0,002 —0,001
0,232 0,064 0,001 -0,002 -0,001
0,215 0,062 0,001 -0,002 -0,001
0,208 0,062 0,002 -0,002 -0,001
0,204 0,061 0,002 -0,002 —О', 001
0,189 0,060 0,002 -0,002 -0,001
0,169 0,058 0,002 -0,002 0,000
0,147 0,055 0,003 -0,001 0,000
0,106 0,048 0,004 -0,001 0,000
0,078 0,041 0,007 0,000 0,000
0,058 0,035 0,007 0,000 0,000
0,044 0,029 0,007 . 0,001 0,000
0,033 0,024 0,007 0,001 0,000
0,027 0,021 0,007 0,001 0,000
0,021 0,018 0,007 0,002 0,000
0,018 0,015 • 0,007 0,002 0,000
§ 28]_________Сложный изгиб балок на упругом основании 267
\ м и 3// 2/ I 1,5/ /' 1,0/'/
10,0 1
9,0 i
8,0 i
7,0 i
6,0 i Область
5,0 i
4,0 i
3,0 i
2,0 i 2,470
1,5 i 8,450 1,620
1,0 I 4,220 1,320
0,5 i 3,220 1,180
0,0 2,880 1,150
0,5 2,780 1,120
1,0 2,350 1,020
1,5 1,765 0,890
2,0 1,325 0,748
3,0 0,755 0,508
4,0 1,900 0,440 0,335
5,0 0,648 0,282 0,232
6,0 0,330 0,194 0,167
7,0 0,208 0,141 0,125
8,0 0,139 0,105 0,095
9,0 0,103 0,082 0,076
10,0 0,160 0,079 0,065 0,061
Функции Х| (и, v) Таблиц а 57
0,5/7" 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0
потер 15,400 и у с т с 13,506 й ч и в с 12,400 сти 5,700 1,550 7,100 0,886 0,470 0,069 0,048 0,043 0,039 -0,186 -0,047 —0,020 -0,011 -0,006 —0,003 —0,068 - 0,023 -0,011 -0 008 -0,006 -0,004 —0,003 -0,003
1,830 1,799 1,780 1,466 0,823 0,340 0,039 -0,002 -0,002
1,360 1,343 1,325 1,115 0,691 0,313 0,038 -0,001 - 0,002
1,140 1,130 1 ,120 0,985 0,621 0,293 0,038 —0,001 —0,002
1,040 1,030 1,020 0,900 0,598 0,283 0,038 -0,001 -0,002
1,010 1,000 0,991 0,878 0,576 0,279 0,038 -0,001 —0,002
0,980 0,972 0,960 0,858 0,566 0,275 0,038 -0,001 -0,002
0,900 0,894 0,890 0,800 0 537 0,265 0,037 -0,001 —0,002
0,790 0,788 0,785 0,700 0,486 0,254 0,037 0,000 -0,002
0,676 0,673 0,670 0,608 0 442 0,2'33 0,036 0,000 —0,002
0,469 0,467 0,465 0,435 0,334 0,196 0,035 0,001 —0,001
0,322 0,320 0,317 0,300 0,245 0,157 0,034 0,002 -0,001
0,224 0,224 0,222 0,216 0,183 0,126 0,033 0,003 0,000
0,162 0,162 0,160 0,152 0,138 0,101 0,031 0,004 0,000
0,121 0,121 0,120 0,111 0,102 0,082 0,030 0,005 0,000
0,093 0,093 0,093 0,092 0,084 0,066 0,028 0,006 0,000
0,074 0,074 0,074 0,073 0,065 0,055 0,026 0,007 0,001
0,060 0,060 0,060 0,058 0,054 0,048 0,024 0,007 0,001
268 Сложный изгиб балок [Гл. VII
Функция /<а (и,
и V 3/ i 2/ ( 1,5/ i 1,0/ i 0,5/ i 0,0
10,0 1
9,0 1
8,0 i
7,0 i
6,0 i Об л am потери у C T 0
5,0 i
4,0 i
3,0 i 8,350 7,369
2,0 i 1,780 1,460 1,436
1,5 i 6,530 1,400 1,205 1,192
1,0 i 3,510 1,250 1,080 1,074
0,5 i 2,800 1,160 1,020 1,017
0,0 2,620 1,130 1,005 1,000
0,5 2,490 1,110 0,990 0,984
1,0 2,190 1,050 0,945 0,939
1,5 1,755 0,980 0,883 0,876
2,0 1,425 0,880 0,810 0,806
3,0 0,988 0,715 0,680 0,672
. 4,0 2,620 0,725 0,580 0,566 0,563
5,0 1,130 0,577 0,498 0,480 0,480
6,0 0,772 0,477 0,428 0,417 0,417
7,0 0,552 0,409 0,374 0,367 0,367
8,0 0,467 0,356 0,335 0,328 0,328
9,0 .0,376 0,317 0,304 0,296 0,296
10,0 0,440 0,328 0,285 0,273 0,270 0,270
Таблица 68
к)
0,5 1,0 1.5 2,0 3,0 4.0 5,0
Ч И В 0 c 6,760 T и 3,210 1,021 0,165 0,463 0,433 0,138 0,157 0,164 0,165 0,090 0,095 0,097 0,096 0,095 0,094 0,052 0,059 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060
1,415 1,205 0,754 0,413 0,167 0,094 0,060
1,180 1,030 0,700 0,404 0,167 0,094 0,060
1,063 0,955 0,670 0,400 0,167 0,094 0,060
1,010 0,910 0,653 0,398 0,167 0,094 0,060
0,993 0,899 0,648 0,397 0,167 0,094 0,060
0,975 0,885 0,642 0,397 0,167 0,094 0,060
0,930 0,855 0,628 0,394 0,167 0,094 0,060
0,873 0,805 0,608 0,388 0,167 0,094 0,060
0,802 0,745 0,581 0,381 0,167 0,094 0,060
0,669 0,640 0,522 0,366 0,167 0,094 0,060
0,562 0,540 0,460 0,346 0,167 0,094 0,060
0,479 0,454 0,400 0,325 0,166 0,094 0,060
0,416 0,391 0,358 0,304 0,165 0,094 0,060
0,366 0,350 0,330 0,285 0,161 0,094 0,060
0,327 0,320 0,307 0,266 0,159 0,094 0,060
0,296 0,292 0,266 0,250 0,157 0,093 0,060
0,270 0,266 0,252 0,234 0,154 0,093 0,060
§ 28] Сложный изгиб балок на упругом основании___________269
270
Сложный изгиб балок
Гл. VII
Функция X. ( U, V)
и V 0,0 0,5 1,0 1.5 2,0 3,0 4,0 5,0
10,0 i 5,000 0,173
9,0 i 8,0 i 7,0 i 6,0 i 5,0 i — 1,287 0,054
Область поте > и уст О Й Ч И В О с ти —11,585 -0,078 —0,028 0,025 0,013
—0,263 —0,017 0,008
4,0 i 3,0 i —0,569 -0,115 —0,016 0,005
1,295 —0,121 —0,072 —0,012 0,003
9,020 0,070 —0,079 —0,069 —0,012 0,002
1,5 J i г I ; 14,140 9,550 0,663 0,040 —0,068 —0,055 —0,012 0,002
1,852 0,534 0,364 0,026 —0,063 —0,051 —0,012 0,002
0,5 : 1', 140 0,516 O’,275 0,020 —0,060 —0,050 —0,012 0,002
0,0 1,000 0,474 0,248 0,018 —0,059 —0,049 —0,012 0,002
0,5 1 0 0,888 0,450 0,229 0,017 —0,058 —0,049 —0,012 0,002
0,648 0,438 0,179 0,015 —0,055 —0,047 —0,012 0,002
1,0 2,0 3.0 4.0 0 424 0,405 0,129 0,007 —0,050 —0,045 —0.012 0,002
0 266 0,257 0,086 0,003 —0,045 —0,042 —0,011 0,002
0’099 0,098 0,065 —0,036 —0,034 —0,035 —0,011 0,001
0^037 0,036 0,024 —0,010 —0,024 —0,028 —0,010 0,000
n 0 0,013 0,013 0,007 —0,010 -0,022 —0,022 —0,009 0,000
6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 0 005 0,005 0,002 —0,007 -0,019 —0,020 —0,008 —0,001
0,002 0,002 0,001 —0,005 —0,015 —0,019 —0,007 —0,001
0 001 0,001 0,000 —0,004 —0,010 —0,017 —0,007 —0,002
0 000 0 000 0,000 — 0,002 —0,007 —0,014 —0,005 —0,002
o;ooo o', 000 0,000 —0,001 —0,005 —0,011 —0,003 —0,002
Таблица 60
Функция ( и, о)
u 0.0 0,5 1.0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0
10,0 i 1,888 0,497
9,0 i 2,210 0,334
8,1) I 7,0 i С б л а с т i потери ус i 1 г о й ч и в э с т и 1,906 0,461 0,381 0,278 0,248
D,U £ 5,0 i 7,402 0,589 0,310 0,230
1,130 0,441 0,285 0,219
4,0 i 3,0 i 2.0 i 1,5 i in; 9,420 1 558 8 575 4,110 2,940 0,731 0,408 0,277 0,212
1 543 2,684 0,922 0,600 0,358 0,258 0,207
1 * 248 1 240 1,113 0,820 0,558 0,345 0,255 0,203
1,094 1.017 1088 1,002 0,762 0,550 0,339 0,252 0,202
0,5 i l',013 0,939 0,734 0,533 0,335 0,250 0,201
0,0 1,000 0,995 0,920 0,725 0,527 0,333 0,248 0,200
0,5 1,0 I R 0,984 0.925 0,848 0.763 0,602 0,482 0,972 0,894 0 860 0,910 0,855 0,792 0.714 0,689 0,657 0,523 0,517 0.507 0,330 0,329 0,325 0,247 0,246 0,245 0,200 0,199 0,197
2.0 3,0 4.0 0J68 0,579 0,481 0,718 0,601 0,485 0,610 0,563 0,431 0,478 • 0,428 0,387 0,320 0,301 0,277 . 0,243 0,234 0,229 0,194 0,192 0,186
5.0 6,0 7.0 8,0 9,0 10,0 0,395 0.332 0,285 0,241 0,222 0,200 0 397 0,388 0,368 0,339 0,254 0,212 0,179
о;зз2- 0,286 0,250 0,214 0,200 0,307 0.283 0,249 0,316 0,270 0,235 0,293 0,261 0,232 0,239 0,218 0,202 0,200 0,183 0,173 0,171 0,163 0,153
0.221 0,199 0,213 0,195 0,211 0,191 0,180 0,161 0,164 0,151 0,145 0,141
§ 29]
Многопролетные балки
27!
Функция Х5 (и, о)
Таблица 61
х. и г i i 1 0,0 1 0,5 1 i '•» 1,5 2,0 3,0 •1,0 5,0
10,0 i 9,0 i 8.0 i Область потер и уст о й ч и В С С т И —0,221 0,187 0,028 0,003
7,0 i 6,0 i 5,0 i 4,0 i 3.0 i 9,420 8,370 3,825 0,970 —0,425 0,259 0,258 —0,380 —0,134 —0,052 —0,017 —0,100 —0,055 -0,038 —0,028 —0,021 —0,003 —0,005 —0,006 —0,006 —0,006
2,0 i 1,558 1,316 1,259 0,678 0,256 0,001 —0,017 —0,005
1,5 i 1,248 1.217 1,050 0,618 0,254 0,004 —0,015 —0,005
1,0 i 1,094 1,080 0,942 0,583 0,252 0,007 —0,015 —0,005
0,5 i 1,017 1,016 0,886 0,563 0,250 0,009 —0,014 —0,005
0,0 1,000 0,992 0,874 0,557 0,248 0,009 —0,013 —0,005
0,5 0,984 0,976 0,855 0,550 0,246 0,011 —0,013 —О', 005
1,0 0,925 0,916 0,816 0,536 0,244 0,012 —0,013 —0,005
1.5 0,848 0,868 0,753 0,513 0,242 0,016 —0,012 —0,005
2,0 0,763 0,762 0,684 0,485 0,240 0,019 —0,011 —0,005
3,0 0,602 0,601 0,556 0.421 0,236 0,027 —0,008 —0,004
4,0 0,482 0,480 0,454 0,365 0,226 0,038 —0,004 -0,004
5,0 0,395 0,396 0,375 0,318 0,216 0,049 +0,000 -0,003
6,0 0,332 0,320 0,321 0,280 0,203 0,057 0,005 —0,002
7,0 0,285 0,285 0.276 0,250 0,191 0,064 0,010 —0,001
8,0 0,241 0,252 0,2441 0,222 0,178 0,068 0,014 +0,000
9,0 0,222 0,222 0,217 0,198 0,168 0,075 0,018 0,002
10,0 0,200 0,200 0,196 0,186 0,164 0,076 0,022 0,003
§ 29. МНОГОПРОЛЕТНЫЕ|БАЛКИ
Раскрытие статической неопределимости! многопролетных балок,
отдельные пролеты которых поддерживаются упругим основанием (постоян-
Рис. 71.
ной жесткости на протяжении пролета, но в общем случае различной в раз-
ных пролетах) и помимо поперечной нагрузки подвергаются воздействию
продольных сил (постоянных на протяжении пролета, но в общем случае
различных в различных пролетах), выполняется на основании справедли-
вости принципа наложения1.
1 Предполагается, что величина продольных сил не зависит от нагрузки и может
считаться заданной.
272
Сложный изгиб балок
[Гл.VII
Разрезая мысленно балку над опорами (рис. 71) и приравнивая углы
наклона упругой линии слева и справа от опоры, можно составить уравне-
ние трех моментов:
1м т2 («м» + 2 кы Г +
1 hi | 1 hi
4- /,У («0, V^] h (uv, Vj Mf =
W Cj
= 6 £/o [— a,- (Qu, иы, vhl) + at (Qljt utj, vI?-)], (151)
где:
Mh, Mit Mj—искомые опорные моменты на ft-й, i-й и /*-й
опорах;
ihf, Z17 — длины пролетов hi и i/;
/Л,, ItJ—моменты инерции сечения балки в пролетах
hi или ij соответственно;
/0 — произвольно выбираемый момент инерции,
введенный для удобства вычислений;
4*1 (“ли см)> • • • ’ ^2 (ui/> vij) — функции для углов поворота из табл. 54; 55*,
разыскиваемые по аргументам:
а1 (Qhl, иы, vhi) — угол поворота на i-й опоре от внешней на-
грузки на hi-й пролет в предположении, что
балка свободно оперта на опоры h и i и на-
ходится в состоянии сложного изгиба на
упругом основании;
а/ (Q//> иЦ’ viji — Угол повоРота на той же опоре, но балки в про-
лете ij от нагрузки Qo, считая этот пролет балки
свободно опертым и учитывая как силу Ti}-,
так и упругое основание этого пролета;
углы иы, оы) и af(Qy, uijt vj следует
заимствовать из табл. 47 сложного изгиба про-
стейших балок иа упругом основании, разыски-
вая необходимые функции из табл. 48—61.
Уравнений (151) можно написать столько, сколько промежуточных
•опор у рассматриваемой многопролетной балки. Решая полученную систему
уравнений, можно разыскать все опорные моменты М, после чего статиче-
ская неопределимость балки будет раскрыта. Затем любой пролет можно
рассматривать независимо от отстальных: под действием его нагрузки и двух
опорных моментов. Элементы изгиба этого пролета составятся из трех сла-
гаемых: от нагрузки, от левого опорного момента и от правого опорного
момента (во всех случаях с учетом продольной силы и упругого основа-
ния), т. е. по формулам табл. 47.
* А в частном случае, когда и или о равны нулю,— по табл. 46 или 43 соот-
ветственно.
ГЛАВА VIII
РАМЫ
Системы связанных друг с другом стержней, расположенных в одной
общей плоскости и нагруженных силами, лежащими в той же плоскости,
с расчетной точки зрения могут быть разделены на две основные группы:
фермы и рамы.
Фермы рассчитываются в предположении, что составляющие их стержни
соединены друг с другом в узлах шарнирно и работают на растяжение или
сжатие. Соответственно предполагается,
что и внешняя нагрузка приложена к фер-
мам в этих шарнирных узлах в виде сосре-
доточенных усилий (рис. 72,а).
Чтобы ферма не превратилась в шар-
нирный механизм, число т ее стержней и
число п ее узлов должно удовлетворять
соотношению
m>2n — 3. (152)
Статическая неопределимость системы
вызывается наличием лишних с точки зре-
ния статики опорных закреплений (внеш-
няя статическая неопределимость) или до-
полнительных, ненужных для сохранения
конфигурации фермы, стержней (внутренняя
статическая неопределимость). Равенство ле-
вой и правой частей соотношения (152)свиде-
тельствует о возможности внутренней стати-
ческой определимости фермы. Если число
стержней превышает удвоенное число узлов
без трех, — ферма обладает внутренней
статической неопределимостью. Наконец,
если левая часть (152) меньше правой,
система шарнирно соединенных друг с дру-
гом стержней представляет собой механизм.
Рис. 72. Классификация стержне-
вых конструкций, вагруженных
усилиями, лежащими в их
плоскости:
а — ферма; б—рама; в—безраскосная
ферма
В отличие от стержней ферм стержни рам считаются соединенными
друг с другом в большинстве узлов жестко при помощи сильных книц
и работающими в основном на изгиб (рис. 72,6). При жестком соединении
стержней в узле обеспечивается равенство углов поворота концов стержней,
сходящихсяв этом узле, или, что то же, постоянство (при любых искривле-
ниях стержней) углов между касательными к стержням, проведенными
у рассматриваемого узла.
Связи поперечного набора судна — флор, бортовой шпангоут и бимс—
образуют типичную раму.
18 Учебвыв справочник
274
Рамы
[Гл. VIII
Встречающиеся в с\ довых конструкциях безраскосные фермы
представляют собой обычные рамы (т. е. системы жестко соединенных друг
с другом стержней), но нагруженные таким образом, что в стержнях, помимо
изгиба, возникают также продольные сжимающие или растягивающие уси-
лия (рис. 72.в; на нем отсутствует опора на правом конце, имеющаяся на
рис. 72,6). Безраскосные фермы можно также рассматривать как фермы
с жесткими нешарнирными узлами, у которых число стержней меньше, чем
это требуется неравенством (152), — отсюда и происходит название этой
категории стержневых систем. Однако при расчетах безраскосных ферм
явление сложного изгиба, возникающее в стержнях, не учитывается (вслед-
ствие незначительного влияния продольных сил на изгиб) и расчет ведется,
как и расчет обыкновенных рам с подвижными узлами (см. ниже); продоль-
ные же усилия вычисляются дополнительно и соответствующие им напря-
жения алгебраически складываются с напряжениями изгиба.
В зависимости от методов раскрытия статической неопределимости рамы
могут быть разделены на следующие два типа: рамы, составленные из пря-
мых стержней постоянного сечения, и все остальные, т. е. с криволиней-
ными стержнями или со стержнями, которые имеют прямые оси, но меняю-
щиеся по длине сечения.
Рамы первого типа в свою очередь делятся на две группы: простые
рамы, в узлах которых сходится не более двух стержней, и с л о ж н ы е,
имеющие узлы, в которых сходится три или более стержня.
Простые рамы, составленные из прямых стержней постоянного сечения,
удобнее всего рассчитывать методом моментов, сложные — методом угло-
вых деформаций.
Если условия закрепления рам (простых или сложных) таковы, что
некоторые из узлов могут перемещаться, то основные уравнения, раскры-
вающие статическую неопределимость (метода моментов или метода угловых
деформаций), приходится дополнять уравнениями, основанными на начале
возможных перемещений. Для раскрытия статической неопределимости
простых рам с подвижными узлами иногда оказывается удобным метод сил.
Рамы с криволинейными или с непризматическими стержнями рассчи-
тываются обычно методом потенциальной энергии. Указанные классифи-
кация рами метод их расчета, разумеется, являются не единственно возмож-
ными, а лишь наиболее распространенными в судостроительных расчетах.
Расчеты рам, составленных из прямых стержней, основываются на
следующих допущениях:
1) длина всех стержней при нагрузке не меняется;
2) перемещение отдельных точек стержней обусловливается только
нормальными напряжениями изгиба;
3) возможная для некоторых стержней осевая нагрузка не принимается
во внимание вследствие ее малого влияния на изгиб;
4) незначительной кривизной стержней пренебрегают (например,
оогибью бимса).
Длина отдельных стержней, чтобы не преуменьшить расчетных момен-
тов, принимается обычно по габаритным размерам рамы. Стержни на всем
протяжении считаются призматическими, т. е. концевые их усиления
(кницы) не принимаются во внимание, если только они не чрезмерно велики.
Обычные у шпангоутных рам средней части судна скуловые закругления
также не принимаются во внимание. Однако если радиус скулового закруг-
ления или килеватость значительны1, шпангоутную раму следует отнести
к категории криволинейных.
1 Можно считать, что при коэффициенте полноты шпангоута р > 0,95 спрям-
яечие ие вызывает значительной погрешности.
§ 30]
Простые рамы с неподвижными узлами
275
§ 30. ПРОСТЫЕ РАМЫ С НЕПОДВИЖНЫМИ УЗЛАМИ
При раскрытии статической неопределимости простых рам с неподвиж-
ными узлами по теореме трех моментов за основные неизвестные принимаются
изгибающие моменты, действующие в районе узлов. Если условиться счи-
тать изгибающие моменты положительными, когда они вызывают в стержнях
у опор растягивающие напряжения во внешних по отношению к раме волок-
нах, т. е. направлены так, как показано на рис. 73 вверху, то процесс со-
Рис. 73
ставления уравнений трех моментов ничем не будет отличаться от процесса
составления уравнений для балки на неподвижных ножевых опорах [см.
уравнение (125)1, т. е.
Alft + 2 (lhi + 1^) М,- + /,7 М] =
‘hi \ ‘hi ‘ij' ‘ij
= 6EI0 [- a,-(Q„) + MQ,7)L
(153)
где:
/hi, 1Ы — длина и момент инерции стержней рам;
10 — произвольный момент инерции, введенный для удобства
вычислений; >
Л1А> Л4,, Mt — последовательные значения узловых моментов;
az(Q*J и а/(Су) — углы поворота стержней, соседних с рассматриваемым
узлом, вызванные заданными внешними нагрузками на
эти два стержня, в предположении, что стержни сво-
бодно оперты в узлах. Эти углы считаются в уравнен
нии (153) положительными при повороте стержней по
часовой стрелке
Переходя последовательно от одного узла к другому, например в на-
правлении часовой стрелки, можно составить необходимое число уравнений
для разыскания узловых моментов. Рама как бы развертывается в прямую
балку, показанную на том же рис. 73.
1 Оба слагаемых в квадратных скобках правой части уравнения (153) поло-
жительны, если нагрузки направлены с наружной стороны внутрь рамы.
18Y®
276
Рамы
[Гл. VIII
Симметрией конструкции судовых рам всегда следует пользовать-
ся, разбивая нагрузку, если она несимметрична, на симметричную и
антисимметричную (см. стр. 222). В нижеследующем примере это не сделано
лишь для того, чтобы подробнее показать порядок составления уравнений.
Пример. Для показанных иа рис. 73 размеров и нагрузок, если считать со-
средоточенные силы 6 т и 2 т приложенными в середине соответствующих проле-
тов, уравнения будут иметь следующий вид:
для 1-го узла
1*1 -И. -г 2 Mi + Zlt lj± Mt = 6 EI0 [- ax (5 m) + ax (6 m)J;
Г 5 • 4 42 6 - 1 52”1*
4,4 51,-p 2 (4,4 + 1,5) Atx+1,5 51, = 6 £70 0,1542 6 + 0,375 6£}o ,
4,4 M< + 11,8 Мг + 1,5 Mt = 20,0;
для 2-го узла
[6 1,5* 10 • З2 ]
0,375-т. с) +0,250с со, .
О jC 1 q О С х 1 о I
1,5 Mi + 6 Л1, + 1,5 М, = 16,3.
Составляя аналогичным образом уравнения для 3-го и 4-го узлов, получим
каноническую систему уравнений с четырьмя неизвестными:
11,8 Mi + 1,5 Mt +4,4 514 = 20,0
1,5 51х + 6,0 54, + 1,5 51, =16,3
1,5 Л1, + 6,0 Ms + 1,5 514= 9,6
4,4 51х + 1,5 51s+ 11,8 Mt= 19,7
Решив эту систему по методу, описанному в § 8, т. е. найдя все узловые
моменты (^ = 0,94, 51, = 2,30, 51, = 0,71 и /И4 = 1,23 тм), нетрудно построить
эпюры изгибающих моментов для каждого из стержней, составляющих раму.
Для построения эпюр необходимо прежде всего отложить по нормалям к осям
стержней найденные узловые моменты в сторону растянутых волокон и соединить
их прямыми (например, АВ, CD, .... рис. 73 внизу).
От указанных прямых по направлению, перпендикулярному стержню, откла-
дывают ординаты эпюр моментов, вызванных внешними заданными нагрузками
в предположении. ’ что стержни свободно оперты в узлах. Эти дополнительные
эпюры откладываются также в сторону растянутых при соответствующих нагрузках
волокон (г. е. в сторону действия нагрузок).
Например, для стержня 2—3 рассматриваемой рамы (см. рис. 73) максималь-
10-3
иую ординату момента от нагрузки —g— = 3,75 тм следует отложить вверх от
2- 1,5
середины линии АВ, а дли стержия 3~4 ординату =0,75 тм — от середины
CD перпендикулярно направлению 3—4 в наружную сторону рамы.
Ординаты результативной эпюры отсчитываются от осей стержней (по перпен-
дикулярам к иим) до линии дополнительной эпюры (на рис. 73 результативная
эпюра заштрихована).
§ 31- ПРОСТЫЕ РАМЫ С ПОДВИЖНЫМИ УЗЛАМИ
Простые рамы с подвижными узлами могут быть рассчитаны излагаемым
нйже методом сил и методом моментов. С успехом может быть применен
и метод потенциальной энергии (см. ниже, § 35).
Коэффициенты правой части заимствованы из табл. 30.
§ 31]
Простые рамы с подвижными узлами
277
Метод сил
Наиболее удобным приемом раскрытия статической неопределимости
простых рам с подвижными узлами является метод сил.
По этому методу (см. § 21, стр. 164) замкнутая простая рама мысленно
рассекается в любом месте, вследствие чего становится открытой, т. е. ста-
тически определимой. Разрез компенсируется моментом М, срезывающей
силой V и продольной силой Т. Эти три величины и принимаются за основные
неизвестные. Хотя указанный разрез может быть проведен в любом месте,
конечно, следует проводить его, если возможно, так, чтобы по месту раз-
реза действовали не все три усилия.
После выбора неизвестных следует построить эпюры изгибающих
моментов Mq от внешних нагрузок, считая раму открытой (разрезанной),
и эпюры изгибающих моментов Му, Мм- Мт от единичных усилий (при
том же предположении о существовании разреза) М = 1, V = 1 и Т = 1.
Последних эпюр, как сказано, для простых рам с подвижными узлами
будет не более трех.
Далее по формулам типа (134) и (135) нужно вычислить необходимые
коэффициенты, которых в самом общем случае будет не более девяти (раз-
ных).
(154)
После этого можно найти неизвестные из системы уравнений, анало-
гичной (136):
2vv V -|- Jvm М + oVT Т + Svq = О
S,mv V 8мм М + ймтТ + = О
°tv V -]- оТм М Д 8ТТ Т ^tq — О
(155)
и построить окончательные эпюры изгибающих моментов для всех стерж-
ней рамы.
Пример. Раскрыть методом сил статическую неопределимость шпангоутной
рамы с двумя пиллерсами под действием изображенной на рис. 74,а антисимме-*
тричной нагрузки.
Основную (т. е. статически определимую) систему (рис. 74,6) получаем путем
перерезывания бимса в диаметральной плоскости, удаления пиллерсов и опоры
в узле 1*.
* Наличие этой опоры у судовой шпангоутной рамы обусловлено невозмож-
ностью горизонтальных смещений палубы относительно днища.
278
Рамы
[Гл. VIII
По условиях антисимметрии нагрузки на оси симметрии рамы в бимсе может
действовать лишь срезывающая сила И, реакции пиллерсов R противоположны по
направлению (если левый растянут, то правый сжат), а опора в узле 1 может быть
Результативная эпюра
Рис. 74
заменена двумя горизонтальными силами Н. Таким образом, для раскрытия ста-
тической неопределимости необходимо составить три уравнения вида (155):
внн н + Я + *нч v + °hq = 0
*rhh + ^rr 7?+_8sv v + brq = °
S1'H “b + 8VV ~T ~ 0
для определения неизвестных H, R и^У.
§ 31]
Простые рамы с подвижными узлами
279
Д я вычисления коэффициентов В и 8 строим эпюры изгибающих моментов от
внешней нагрузки и единичных усилий.
Эпюра от внешней нагрузки Q показана на рис. 74,в. Изгибающий момент
QI ' . .
в узле 2 равен -х- = 6 тм. Площадь криволинеинои эпюры по борту от нагрузки
1
(рис. 74,в) равна -у • 6 • 3 = 4,5 тм*, а ее ц. т. расположен вниз от узла 1 на
4 I
— / = 2,4 м. Площадь треугольной эпюры на половине днища равна -6-4= 12 тм*.
Эпюра от сиды И = I показана на рис. 74,г. При ее построении (как и при
построении эпюры от Q) принята во внимание опорная реакция в узле 2.
Эпюры от единичных усилий R и V приведены на рис. 74,0 и е.
Пользуясь далее правилом Верещагина, вычисляем коэффициенты уравнений:
V1 С С С 1
' нн= J El ds= Ji_2 + j2-6=4’5 ' 2 E2I +
— 6 * 37 ~ £? м/т.
- V1 Г MHMR Г I* 1
= — J ~~E1 dS= Jl-2 + J 2-6 = 4,5 ‘ 2,4 2^+
I 1
+ 2,83 • 2,4 уЁу = 7,704 gj м/т.
При вычислении второго интеграла
сматривать как криволинейную (излом
на ординату прямолинейной эпюры по
эпюру от R по днищу (2—6) следует рас-
в точке 4) и ее площадь (2,88) умножать
ц. т. криволинейной, т. е. на ординату
8
1 , 3 1, 1
8/д/ = 4,5 - 4 4 2> EI — 14,333 м/т
ZHQ = — J ~~Ё1 ds = ) ,_2 + J 2_6 = ~4,5 ’ 3 ’ 3"2Е1~
8
3 I I
— 12 - 3 - ~г ТгТ = — 13,400 м.
4 а С.1 £ /
Отрицательны оба последние интеграла ввиду того, что эпюры от И и от Q
противоположны по знакам (отложены в разные стороны от осей соответствующих
стержней).
Аналогично вычисляем и остальные коэффициенты системы, которая после
сокращения на принимает вид:
8,500 И 4 7,704 R + 14,333 V — 13,400 = 0,
7,704 Н -г 14,784 R + 26,688 V — 10,008 = 0,
14,333 Н + 26,688 R + 52,444 V — 19,667 = 0.
Корин полученной системы будут
/7= 1,8062 т, R- — 0,6163 т и V = 0,1950 m;
знак <минус> показывает, что фактически силы R действуют в стороны, противо-
положные показанным на рис. 74,6.
По найденным значениям И, R и V обычным порядком построена зпюра ре-
зультативных изгибающих моментов (рис. 74,ас). В частности, изгибающие моменты
в узлах 1 н 2 оказываются равными: 1М1 = — 0,70 тм и Мг = — 1,28 тм.
280
Рамы
[Гл. VIII
Метод моментов
К простым рамам может быть применен и метод моментов, но нали-
чие подвижных узлов вызывает необходимость введения лишних неизвест-
ных, зависящих от смещения узлов. Удобнее всего принять за дополни-
тельные неизвестные величины углов поворота р12, р23, ₽34 прямых,
соединяющих концы отдельных стержней (рис. 75). У показанной на
рис. 75 рамы только один из этих углов незави- д
сим, два же другие всегда могут быть выражены / у
через него. Вообще говоря, у замкнутой простой рамы, / \
два соседних узла которой закреплены и которая со- / \
Рис. 75
стоит из т стержней, будет т — 3 независимо поворачивающихся
стержней или, что то же, между углами поворота можно устано-
вить две кинематические зависимости:
S (<Л = 0 И S (Zy)y = О *, (156)
где (Zy)x, (Zy)y — проекции соответствующих стержней на ось х, выбира-
емую вдоль неподвижного (опертого) стержня и на ось у, направ-
ленную перпендикулярно оси х. При определении этих проекций всем
стержням следует приписать направление, принимаемое за положительное,
например, от меньшего индекса к большему (при расстановке индексов
и обходе рамы по часовой стрелке).
Применительно к ра.ме, изображенной на рис. 75, имеем:
2,1 В12 + 7,8 р2з + 3,0 ?м=0,
3,6 312 4- 2,9 ₽23 — 6,5 р34 = 0.
Приняв угол ^12 за . независимый, из последних уравнений получим
Р23 — — 0»41р12, Р34 — 0,37р12.
При раскрытии статической неопределимости простых рам с подвиж-
ными узлами по теореме трех моментов необходимо ввести в уравнения
(125) углы перекосов, а именно:
/м Д - 2 (Zw А + Zy Ч + /,7 М, +
‘hi \ ‘hi ‘ij / ‘Ij
- ЪЕ1О3Ы - 6£70?y = 6£/0 [- a< (Qhi) + a, (Qy)]. (157)
• Левые части этих уравнений представляют собой суммарные смещения вдоль
осей у и х конпа последнего нз поворачивающихся стержней (в предположении,
что он свободен), вызванные элементарными перекосами р12> р2а •••
§ 31] Простые рамы с подвижными узлами 281
К этим уравнениям, составляемым для каждого узла, следует доба-
вить дополнительные уравнения, выражающие равенство нулю суммы
работ всех внешних приложенных к раме усилий и моментов взаимодей-
ствия стержней рамы (Afj, Л12,..) при каждом из перекосов рамы, обуслов-
ленных углами поворотов (Р/у) могущих независимо поворачиваться
стержней. Все углы считаются малыми в соответствии с принципом
возможных перемещений. Каждое из слагаемых дополнительных уравне-
ний, выражающее работу силы или момента, будет содержать множитель
ру, который может быть исключен из уравнения путем деления на него.
Таким образом, дополнительных уравнений составляется столько, сколько
имеется в раме независимо поворачивающихся стержней.
При составлении основных и дополнительных уравнений удобнее
сначала вводить все углы ру (как независимые, так и зависимые) и лишь
потом при помощи соотношений (156) исключить функциональные углы,
оставив лишь независимые.
Система основных уравнений применительно к рассматриваемому примеру
(см. рис. 75) будет иметь вид:
12,954* + 2 (12,9 + 4,2) 54, + 4,2542 — 6£7012 = О,
Р8,5»
4,25^ + 25,454, + 8,5543 + 6£7₽12 — 6Е/₽23 = 6EI -jgE/~ ,
Р 8,52
8,554, + 31Л43 + 7,054* + 6Е/З23 — 6£70s< = 6EI ,
7,05f3 + 39,844* + 12,954! + 6£7,33* = 0.
Дополнительное уравнение будет всего одно:
— 54! М, Эи — Л42 р23 543 3„ — 543 3s* + 54* Зз< + РЪ = 0.
Смещение точки приложения силы Р (которая предполагается приложенной
ровно в середине стержня 2—3) в направлении ее действия, как это видно из
рис. 75, б, равно
1
В = АВ ВС = (/ц 311) sin 2 733 31з — 3,13 Зи -р 4,25 Згз*
Заменив при помощи ранее полученных соотношений 32з и ₽3* через Зи, полу-
чим каноническую систему из пяти уравнений, коэффициенты которой равны:
Номера уравне- ний Коэффициенты при Свободные члены в правой части
54, 5f, 513 Л4* 6EI 312
1 34,2 4,2 — 12,9 —1 0
2 4,2 25,4 8,5 — 1,41 • 7,55
3 — 8,5 31,0 7,0 —0,78 7,55
4 12,9 —- 7,0 39,8 0,37 0
5 — 1 1,41 —0,7с 0,37 — —13,9
Соотношение между углами перекоса для рамы прямоугольной формы
значительно проще. При симметричной загрузке такой рамы благодаря
симметрии деформаций углов перекоса не будет, и рама может быть рассчи-
тана при помощи двух основных уравнений, т. е. как рама с неподвижными
узлами. При несимметричной или антисимметричной нагрузке такой рамы
верхний горизонтальный стержень не может получить поворота, а углы
поворота боковых стержней будут одинаковыми. Несимметричную нагрузку
всегда выгодно разложить на симметричную и антисимметричную
(см. главу VI).
282
Рамы
[Гл. VIII
§ 32. СЛОЖНЫЕ РАМЫ С НЕПОДВИЖНЫМИ УЗЛАМИ
Статическую неопределимость сложных шпангоутных рам принято
раскрывать методом деформаций, выбирая за основные неизвестные
величины, пропорциональные углам поворота узлов рамы Wi, ш2 •••
Благодаря жесткому соединению стержней друг с другом в узлах
все углы наклона касательных к упругим линиям стержней, подходящих
к рассматриваемому узлу, с первонача ьными направлениями этих
Рис. 76
стержней одинаковы (рис. 76
вверху).
Мысленно удаляя узел, необ-
ходимо к каждому из стержней,
подходящих к этому узлу, прило-
жить моменты воздействия его на
стержни Mi7, M,ft, Как и в
балках (см. стр. 158), под М7 под-
разумевается момент, приложен-
ный к стержню if рамы в точке
i (первый индекс), обусловленный
всеми обстоятельствами деформа-
ции и нагрузки рамы. Указанные
моменты воздействия узлов на
стержни считаются положитель-
ными при действии их против ча-
совой стрелки (все моменты, по-
казанные на рис. 76, положи-
тельны). Из условия равнове-
сия узлов необходимо, чтобы
ма + м„ + м« + ... =0
или >
мй + м0. + м№+ ... =мь
если к узлу приложен внешний заданный момент* 1.
Приведенные равенства являются основными уравнениями деформа-
ции, раскрывающими статическую неопределимость рамы. Каждый из
моментов Mrt, М „ ... может быть выражен через величины, пропорцио-
нальные углам поворота концов соответствующего стержня [см. уравне-
ние стр. (224)]:
— ktj (2ы,- 4- ыу), (158)
где та-, —момент, прикладываемый к стержню ij в точке i (первый
индекс), вычисленный в предположении, что этот стержень
жестко защемлен обоими своими концами и что на него дей-
ствует лишь заданная внешняя нагрузка Qo. Моменты /по-
считаются положительными, если они направлены против
часовой стрелки, независимо от того, к какому из концов
стержня они приложены, и вычисляются по таблицам и фор-
мулам для жестко заделанных бачок (см. стр. 186 и следующие,
а также табл. 31);
* Реакции, прилагаемые стержнем, в дальнейших выкладках роли не играют.
1 Внешний момент М2 также считается положительным при действии против
часовой стрелки.
§ 32]
Сложные рамы с неподвижными узлами
283
и>. — величины, пропорциональные углам поворота концов стержня
ij (или, что то же, — углам поворота узлов i и /). С действи-
тельными углами поворота гщ, w, они связаны соотношениями
о>/ = Ко w'i 0>у. = w'j,
здесь:
„ 2£/о й
д0 = —- — произвольная жесткость (размерности изгибающего
‘о
момента — тм);
ky = ----относительные жесткости стержней рамы;
* О *ij
Cj — момент инерции сечения и длина стержня ij;
f0, l0—произвольные момент инерции и длина, введенные
для упрощения вычислений (/0 удобно принять равным
минимальному из моментов инерции сечения стержней
рамы, а /0— длине наиболее длинного из стержней).
Заменив в указанных выше условиях равновесия узлов моменты их
выражениями (158), получим для i-ro узла
(22А-) + 2 2^7 - м«- (159)
Каждая из сумм распространяется на стержни, подходящие к узлу, для
которого составляется уравнение. Коэффициент при угле поворота того
узла, для которого составляется уравнение, равен удвоенной сумме отно-
сительных жесткостей всех стержней, подходящих к узлу. Коэффициент
при сосед ем угле равен относительной жесткости стержня, соединяю-
щего соответствующий соседний узел с i-м. Таким образом, в уравнение
для i-ro узла входят ю,- и величины пропорциональные углам поворота
соседних с ним узлов.
Уравнения (159) составляются для каждого узла рамы, и число их
точно соответствует числу неизвестных величин <п2>...
Общий порядок раскрытия статической неопределимости и расчета рамы
следующие:
а) устанавливаются расчетные нагрузки на стержни рамы;
б) уточняется и схематизируется конструкция рамы: устанавлива-
ются длины всех стержней, вычисляются моменты инерции сечений стерж-
ней Itj и относительные жесткости их klJt выясняются условия закрепления
рамы и обстоятельства, по которым узлы ее могут считаться неподвижными;
в) - при симметрии конструкции и несимметрии нагрузки решается
вопрос о том, не будет ли целесообразно разложить нагрузку на
симметричную и антисимметричную части и, рассчитав две рамы, алгебраи-
чески сложить затем результаты;
г) вычерчивается схема рамы и на ней указываются нагрузки, номера
узлов и относительные жесткзсти1;
д) вычисляются все моменты от нагрузок mlf;
е) в табличной форме (см. приводимый ниже пример) составляются
уравнения (159). Некоторым контролем правильности составления уравне-
ний является обязательная каноничность системы;
ж) по схеме для канонических уравнений (§8) решается составленная
система уравнений и находятся все величины о>х, <п2,... Как обычно, корни сле-
дует проверить подстановкой;
1 Для рам с подвижными узлами этот пункт должен быть дополц^н согласно
указаниям на стр. 289.
2S4
Рамы
[Гл. VIII
з) по формулам (158) последовательно для каждого узла вычисляются
все моменты, прилагаемые узлами к стержням. Суммы моментов, прила-
гаемых каждым узлом в отдельности, должны равняться'нулю1 ,что является
некоторым контролем правильности решения2;
и) на отдельном эскизе строят эпюры изгибающих моментов для всех
стержней рамы (или для половины рамы, если конструкция рамы симмет-
рична и нагрузка симметрична или антисимметрична). При этом сначала
следу ет отложить по нормалям к стержню у концов его найденные моменты
воздействия узлов на стержень, учитывая действительное направление мо-
ментов и руководствуясь правилом об откладывании моментов в сторону
растянутых волокон. Дальнейшее построение эпюр выполняется, как опи-
сано в примере к § 30.
Пример. Раскрыть статическую неопределимость рамы, показанной на
рис. 77 сверху. Ссадка 1,9 м.
Подсчитав нагрузки на стержни (например, Qoi — 1,9 • 3,6 - 1,96= 13,4 т),
выбрав /, = 2,4 м, /о = 25ООО см1 и вычислив относительные жесткости
. t 20000 2,4 „ \
[ например, = 25000'3~б" = I, записываем их на схеме рамы (рис. 77
в центре). Далее вычисляем моменты от нагрузок.
Узел 0 | тп - 4,02 тм * * т„ = 0 тм'=— 7,15 тм Узел 2 т21 = — 0,47 тм ** /П28 := 9
Узел 1 [ т12 -= 0,89 тм | т1в=—4,02 тм Узел 3 mso = 0 ms2 = 0 m33, = 3,00 тм
Ввиду симметрии рамы составляем всего четыре уравнения типа (159) для
узл в 0, 1, 2 и 3. Беря коэффициенты при неизвестных со схемы рамы, а свобод-
ные члены — по вычисленным ту, сразу же заносим коэффициенты уравнений
в таблицу
№ узлов Коэффициенты при Свободные члены (тм)
шо “1 0,2 °>»
0 4,534 1,067 0,800 —3,13
1 1,067 4,134 1,000 — —3,13
2 — 1,000 3,066 0,533 —0,47
3 0,800 — 0,533 3,066 3,00
1 Или внешнему заданному моменту Mj, если он есть.
3 Если бы какая-нибудь из сумм оказалась сильно отличающейся от нуля
(небольшие иезамыкания допустимы), полезно для разыскания ошибки составить по
формулам (158) значения всех моментов, подходящих к этому узлу, подставляя
числа вместо m-у, ky и оставляя <>!, ы2 в буквенных символах. При сложении этих
"выражений и приравнивании суммы левых частей (моментов) нулю должно полу-
читься соответствующее расчетное уравнение типа (159). Если оно не получается,
значит совершена ошибка при составлении уравнения. Если уравнение составлено
правильно, следует еще раз проверить, удовлетворяют ли найденные корни этому
уравнению.
QI 13,4 - 3,6
* = -jg- =----jg---= 4,02 тм; знак «плюс» — поскольку момент действует
против часовой стрелки.
** Для а : I— 0,5 : 2,4 ~ 0,21 по табл. 31 находим ц= 0,0547. Следовательно,
тп= — 0,0547 - 3,54 - 2,4 = — 0,47 тм; знак «минус» — поскольку момент действует
по часовой стрелке.
3 В общем виде система уравнений приведена в табл. 62 (случай 8).
§ 321
Сложные рамы с неподвижными узлами
285
Поясняем составление первого уравнения (для узла 0)
2 (1,067 + 0,800 + 0,800) о>0 + 1,067^, + 0,800ш8 + 0,800^ = 4,02 — 7,15.
Поскольку ш, = — ы0, окончательно получим
4,534ш0 + 1,067а,! + 0,800ш3 = — 3,13.
Решение системы уравнений дает
«>о = —0,788 тм; - —0,507 тм; ы2 = — 0,200 тм; ш3 = 1,220 тм.
Рис. 77. Рама с подвижными узлами
После ^проверки корней подстановкой переходим к вычислению моментов
воздействия узлов на стержни по формулам (158).
М01 = 4,02 — 1,067(— 2 0,788 — 0,507) - 6,24 тм ...
Аналогично вычисляем остальные M,j, группируя их по узлам:
Узел 0 II II II с а § S S S 6,24 0,28 — 6,51 тм тм тм Узел 2 М21 = 0,44 М23 = —0,44 тм тм
Узел 1 II II сч О S S 2,10 тм -2,10 тм Узел 3 . CS СЗ ’Т* со —ж ш —~ 04 1 1 II II II о сч <2 т со S S S тм тм тм
и далее строим эпюры изгибающих моментов (рис. 77 внизу).
286 Рамы [Гл. VIII
§ 33 СЛОЖНЫЕ РАМЫ С ПОДВИЖНЫМИ УЗЛАМИ
При раскрытии статической неопределимости сложных рам с под-
вижными узлами за основные неизвестные принимаются величины, про-
порциональные углам поворота узлов рамы о>х и углам поворота прямых,
соединяющих концы стержней ф,у.
Под ь» и . понимаются величины (размерности — тм) в К0 =—-j-—
‘о
раз превышающие фактические углы поворота узлов или прямых, соеди-
няющих узлы:
<", = Ко и ''-fij = Ко Ру-
Рассматривая раму как ферму с шарнирными соединениями стержней
в узлах, необходимо установить, сколько и какие именно величины фрЛ
удобно принять за независимые, а все остальные Ф(у- выразить через них.
Число независимо поворачивающихся стержней должно быть равно
(если не учитывать упрощений, вызываемых симметрией конструкции
и симметрией или антисимметрией нагрузки) удвоенному числу узлов
без т[ х и без общего числа стержней рамы: 2п— 3 — т.
Основные уравнения, раскрывающие статическую неопределимость
рамы, представляют собой условия равновесия узлов, т. е. равенство
ну тю (или внешнему заданному моменту, приложенному к узлу) суммы
всех моментов воздействия узла на подходящие к нему стержни (см.
рис. 76),
— М -г + ... = 0, или Mih 4- М/у 4- M/ft 4- ... = Мг,
причем моменты Л1,у будут выражаться, в отличие от случая рам с не-
подвижными узлами, формулами вида:
М,- = mtj- ktj (2ш,. 4- ш,- - Зфху), (160)
где /Пу, ki} имеют прежние значения (см. стр. 282).
Заменив в указанных выше условиях равновесия моменты по фор-
мулам (160), получим систему уравнений вида
122U «>,4- 2 V = 2mi7— Л4Р (161)
i i i i i
причем каждая из сумм распространяется на стержни, подходящие
к узлу, для которого составляется уравнение.
В уравнение для i-ro узла входят и величины, пропорциональ-
ные углам поворота соседних с ним узлов. Из величин ф, в уравнение
(161)’ входят лишь углы поворота стержней, подходящих к рассматри-
ваемому узлу, причем коэффициент при ф для какого-либо из этих
стержней равен минус утроенной относительной жесткости этого
стержня.
Уравнения (161) составляются для каждого узла сложной рамы
и число их равно числу неизвестных величин <и.
Ввиду того, что в эти уравнения входят также величины ф, необходимо
составить дополнительные уравнения. Каждое из этих последних уравне-
ний составляется на основании принципа возможных перемещений в виде
равенства нулю суммы работ всех заданных внешних нагрузок и моментов
взаимодействия М при перекосе рамы, вызванном поворотом одного из не-
зависимо поворачивающихся стержней. Остальные независимо поворачи-
вающиеся стержни не следует поворачивать и можно лишь перемещать
поступательно. Опоры рамы следует при этом оставить неподвижными.
287
§ 33]
Сложные рамы с подвижными узлами
Например, у рамы, изображенной на рис 78 сверху, три стержня могут
поворачиваться произвольно (2-8 — 3—10 = 3) Выбрав за независимо повора-
чивающиеся стержни 15,12 и 23 (они изображены на рис. 78 сплошными линиями),
получим три возможных перекоса, поворачивая сначала стержень 15 на угол,
пропорциональный ф15, по часовой стрелке и не поворачивая стержней 12 и 23;
зате I, поворачивая стержень 12 по часовой стрелке на угол, пропорциональный^^
Независи-
мый
К-1,5
а=3м
Ъ-2м
1гг-6м с=3м
1
г
Независима й Независи-
мый
(при . = -13 = 0), и, наконец, поворачивая стержень 23 на угол, пропорци
овальный iS3, также по часовой стрелке, сохраняя фи = ф12 = 0. Соответствую-
щие перекосы показаны на рис. 78.
Благодаря тому, что выбранная рама состоит из прямоугольных полей, кине-
матическая связь между семью функциональными и тремя независимыми углами
оказывается крайне простой, а именно: = З37 = 348 = в15 или ф2е = ф37 = ф48 =Ф15,
Ч =-12. Фб7 = -23. Фз4 = Ф?В = ?12 [^ЧгЗ'
Первым дополнительным уравнением будет уравнение работы всех моментов
и сил при первом перекосе. Работающими в этом случае оказываются восемь момен-
тов и одна сила 7\ (показаны иа рис. 78 в середине слева):
- (*is = мя) - (М2. - М„) - (М37 + MJ3) Jc’-(M18+M81) +Р1О =0.
. Ф15
Считывая связь ф26, ф37 и v48 с ;15 и сокращая на к , получим
Л о
-- М15 - М51 - М2е - Мвз ^37 М-3 М48 М84 4” Р = 0. (а
При втором перекосе будут работать другие восемь моментов и сила Р2
— (V .. — М21 4- М;в + files) Ф1з + (М34 + М43 + MJ8 + М87) Ф12 + Рг ^Ф1г = 0
— М13 — М21 — Мае — М65 + М34 + М43 + М78 )- М87 + Р2 Ъ = О.1» (б)
288
Рамы
[Гл. УШ
Аналогично при третьем перекосе
- (М„ -т- -гМ.7+М7.)+ (Ма< + Mts 4- М,8 + MS7) ‘t3 4- М = 0. (в)
'34
Заменяя уравнениях (а), (б) и (в) все входящие туда моменты воздействия
узлов на стержни их выражениями (160), получим три необходимых дополнитель-
ных уравнения.
Однако указанный способ составления дополнительных уравнений
довольно сложен, и поэтому чаще пользуются следующим общим видом
этих уравнений:
где каждая из трех сумм распространяется на все повернувшиеся
стержни при соответствующем перекосе, обусловленном углом пово-
рота независимо поворачивающегося стержня gh, а символом W h
До я
обозначена работа заданных внешних нагрузок на раму при том же
перекосе. Очевидно, что все
содержать множитель -Л—,
Ло
уравнения (162) сократится.
Применительно к виду
следующие правила составления коэффициентов. ,
а) При <оР
В уравнение входят ш только для тех узлов, прилегающие к кото-
рым стержни поворачиваются. Коэффициент при <oz равен минус утроен-
ной сумме жесткостей прилегающих к i-му узлу повернувшихся стержней,
ф,- -
умноженных на отношение . Чаще всего поворачивается только один
Jgh
подходящий к узлу стержень, и потому коэффициент при равен
просто —3k,t ; однако в некоторых случаях поворачиваются два (на-
пример при последнем перекосе, изображенном на рис. 78 внизу
у узлов 3 и 7) и более стержней. Отношение функционального угла
к независимому должно быть установлено из кинематики соответ-
'•fgh
ствующего углу перекоса.
Ао
б) При ->gh.
В каждое из дополнительных уравнений входит только одна вели-
чина соответствующая независимому перекосу, для которой это
уравнение и составляется.
Сумма
слагаемые в выражении работы Wgh будут
который вследствие этого в правой части
уравнения (162) могут быть установлены
2
распространяется на все повернувшиеся при рассматриваемом перекосе
стержни.
в) Работа W'gfl.
При вычислении работы W должны быть учтены лишь внешние
заданные хсилия (нагрузки). Если будет выражаться через функ-
„ 61
циональные \глы = -кА, их следует заменить по уравнениям кине-
Ао
§ 33] ________Сложные рамы с подвижными узлами
289
магической связи через независимую величину которая вследствие
этого и сократится в правой части уравнения (162), Знак работы сле-
дует устанавливать по правилам механики: если сила смещается в на-
правлении ее действия или стержень поворачивается в сторону действия
внешнего сосредоточенного момента, работа будет положительной.
г) Последний член уравнения (162).
Слагаемые — (miy- -f- m,-) пропорциональны работе обоих концевых
Vgh
моментов от нагрузок при повороте соответствующего стержня; знак
минус обусловлен правилом отсчета моментов против, а углов —- по часо-
вой стрелке. Сумма — V -|- /п z) составляется только для тех из
повернувшихся стержней при рассматриваемом перекосе, которые нагру-
жены внешними нагрузками и притом только нагрузками, несимметрич-
ными для стержня, так как для симметрично нагруженных стержней
(равномерно распределенная нагрузка по всему стержню, сила в середине
стержня и т. п.) моменты mtj и mj4 отличаются лишь знаком и в сумме
равны нулю,
ф-
Составив V (/Пу -J- myi) , следует выразить все функциональные
•^gh
через независимую величину &gh, вследствие чего, как и в выражении
дтя работы Wt , эта величина сократится.
Составляя основные и дополнительные уравнения в любом порядке
для узлов g, ft, i, j, ... и перекосов gft, hi, ..., следует неизвестные
в них располагать в этом же порядке (ш^., шй, ш,., ... <рЛ;, ...).
При этом все основные (161) и дополнительные (162) уравнения образуют
каноническую систему, что является некоторым контролем правильности
их составления1.
Общин порядок расчета сложных рам не отличается от описанного
выше дтя рам с неподвижными узлами (стр. 283), помимо необходимости,
кроме вычерчивания схемы рамы (пункт «г»), выбрать независимо пово-
рачивающиеся стержни и для каждой независимой величины вычер-
тить рядом со схемой соответствующие перекосы; остальные независимые
углы следует при этом считать равными нулю, т. е. считать, что соот-
ветствующие стержни могут смещаться лишь поступательно, а опоры
рамы не смещаются. Для каждого вычерченного перекоса следует
наити отношения функциональных величин к независимым
Если при расчетах симметричных рам с неподвижными узлами
оставляют иногда нагрузку несимметричной (пункт «в», стр. 283), то при
расчетах сложных симметричных рам с подвижными узлами всегда при-
ходится прибегать к разложению несимметричной нагрузки на симмет-
ричную и антисимметричную части, так как в противном случае коли-
чество уравнений становится чрезмерно большим.
Безраскосные фермы. Принято считать, что безраскосная
ферма отличается от сложных рам с подвижными узлами только характером
внешней нагрузки. Поэтому и обычный расчет безраскосной фермы прин-
ципиально ничем не отличается от изложенного выше метода расчета слож-
1 При составлении уравнений для половины симметричной рамы при симмет-
ричной или аитисимметричной нагрузке некоторые уравнения для приведения
к каноничности иногда приходится умножать или делить на 2. ч
19 УчебвыВ справочник
290
Рамы
[Гл. VIII
них рам с подвижными узлами. Не вносят существенной разницы в схему
расчета и такие закрепления фермы, которые делают ее внешне статически
неопределимой — это лишь несколько изменяет кинематическую связь
между углами перекосов.
Однако следу ет у читывать, что изложенные выше методы расчета осно-
ваны на допущении о неизменяемости длин стержней. В большинстве слу-
чаев деформации рам и ферм, вызванные изгибом стержней и перекосами
полей, значительно превышают деформации от растяжения — сжатия стерж-
ней, но в случаях низких и длинных безраскосных ферм изложенные ме-
тоды становятся недостаточно точными и следует учитывать продольные
усилия в стержнях *.
Точно так же существуют особые приемы расчета ферм, некоторые поля
которых зашиты сплошными листами — бракетами — и потому не могут
перекашиваться1 2.
Пример I. Составить 11 уравнений для рамы, изображенной на рис.'78 вверху,
необходимых для раскрытия статической неопределимости3.
Установив число независимо поворачивающихся стержней, выбрав за незави-
симые фц, ц, и ф13 и вычертив возможные перекосы, показанные на рис. 78 внизу,
выясняем связи между величинами ф:
?И -- Фз7 - Ф«3 — Ф13
Фм = Фи
= Фи •»
Фм = Ф?з = — Фи — 1 •5ф1а
(а>
причем:
при 1-м перекосе
при 2-м перекосе
Фгв Фз7 Ф«в
Ф15 Ф15 Ф1о
Фвв =_ 33 _ Ф?в
при 3-м перекосе
Ф12 Ф12 Ф12
Фе 7 J _Ф 34 Ф?8
Фгз Фзз Фзз
(б>
Независимо поворачивающиеся стержни изображены на всех эскизах рис. 78
сплошными линиями, функциональные показаны пунктиром.
Переходим к вычислению моментов от нагрузок:
Pi 3 - 1»
Узел 3: т^, =--------------= 0,1887*!
Р I
Узел 5: mse = —= 0.5Р,
О
Узел 6: mti = — 0,5Р2 = — 0,25 М
Узел 7: m,s =— 0,5627>1 mlt = —0,25 М.
Остальные моменты от нагрузок равны нулю.
Сообразуясь с формулами (161) и (162) и руководствуясь правилами опреде-
ления коэффициентов, заносим их в таблицу.
1 См. П. Ф. Папкович, Строительная механика корабля, ч. 1, т. I, изд-во
«Морской транспорт», 1945, стр. 522.
* Там же, стр. 507-
3 Как только что указано, нагрузку иа эту раму следовало бы разложить на
симметричную и антисимметричную и составить две системы уравнений с пятью
н шестью неизвестными в каждой. Пример приводится лишь для иллюстрации про-
цесса составления уравнений. Им можно руководствоваться также для случаев
несимметричных конструкций.
§ 33]
Сложные рамы с подвижными узлами
291
Уравнения Коэффициенты при неизвестных Свободные члены
Для а>1 С1>Э со, | со4 <os со, “в У1Б 412 4аз
Узла 1 . . 12 4 — — 2 g —12 —.
» 2 . . 4 16 3 — — 1 — — —3 — 12 —9 —
» 3 . . — 3 16 4 — 1 —- —3 12 9 0,188 Pt
» 4 . . — — 4 12 — — -— 2 —6 12 18 —
» 5 . . 2 — — — 7 1,5 — — —6 -4,5 — 0,50 Р2
» 6 . . — 1 — — 1.5 7 1 — —3 —4,5 —3 —0,50 Р2— —0,25 М
» 7 . . — — 1 — — 1 7 1,5 —3 4,5 3,75 —0,562 Л— —0,25М
» 8 . - — — — 2 — -—. 1,5 7 -6 4,5 6,75 —
Перекоса -ls L- 6 —3 — 3 —6 —6 —3 —3 —6 36 — — 3,338 Рг
> *”12 —12 -12 12 12 —4.5 —4,5 4,5 4,5 — 66 —- 2 Р2
> -П Г 9 9 18 —3 3,75 6,75 — — 98,25 1,5 М
Поясняем составление одного из основных уравнений и одного из дополни-
тельных.
Уравнение (161) для узла 7 будет иметь вид:
»з ~г + 2(1 + 1 -г 1.5) со, + 1,5шв — Зф37 — Зф37 — 4,5ф78 = — 0,562 — 0,25 М
или, выражая функциональные углы через независимые,
«3 + ш3 + /со, + 1,5<ов — Зф1Б — Зф33 — 4,5 ( ф13 — 1,5ф33) = 0,562 Р2 0,25 М,
получим окончательно »
«•з + <»« + 7», + 1,5®в — Зфи + 4,5ф13 + 3,75 ф„ = — 0,562 — 0,25 М.
Дополнительное уравнение (162) для первого перекоса ф13
или, учитывая, что
фае — 4з? — гее = 4is>
получим
— 6»х — Зо»3 — Зш3 — 6ш4 — 6ш3 — 3<о, — 3<о7 — 6о>3 + 36 фи = 3,338 Р2.
Пример 2. Разложив нагрузку иа раму, изображенную иа рис. 79 сверху, иа
симметричную и антисимметричную части, раскрыть статическую неопредели-
мость. ‘
В соответствии с особенностями конструкции (сплошные палубы 27 и 38 н пил-
лерс в трюме), подвижными считаем только узлы 4 и 5.
Следуя порядку расчета, указанному выше, устанавливаем численно иезадан-
ные нагрузки. Нагрузка по треугольнику иа правый борт равна ту 5,6s-0,7= 11 т,
1+5.6
на левый — 0,35 т, распределенная нагрузка иа днище —%— • 10-0,7 = 23 т, иа
нижнюю палубу: 2-0,7-4= 5,6 т.
Делим нагрузку на симметричную и антисимметричную части. Нагрузка в 11 т
раскладывается пополам, причем половина ее (5,5 т) прикладывается к левому
борту и половина — к правому. В свою очередь для удобства вычислений нагрузку
на борт 5,5 т удобно разделить иа две треугольные нагрузки и одну равномерно
распределенную. Учитывая, что давление
Рл + Рп
Рс=----о---
194’®,
292
Рамы
[Гл. VIII
Рис. 79
$ 33]
Сложные рамы с подвижными узлами
293
и
имеем
4 • 2.2»-0,7 = 0,85 т, 4 • 3,4* • 0,7 = 2,02 т
4 4
и
2 2,2-3,4 0,7 = 2,62 т;
в сумме эти три нагрузки составляют:
0.85 Ч-2,02 + 2,62 « 5,5.
Среднее давление иа днище
1+5,6 „ ,
рс - —g----= 3,3 т^'
и, следовательно, на стержень 14 будет действовать симметричная нагрузка
3,3-5-0,7= 11,5 т.
Давление на днище в узле 6
5,6—1
^Ро= —g----= 2,3 т1м
и аитисиъшетричная нагрузка будет 4,03 т. Аналогично раскладываем остальные
нагрузки (все они показаны на рис. 79 в середине).
Далее, приняв 1а—10м и /0 = 2/, вычисляем относительные жесткости
например, klt — -р
к ‘в
1„ 31 10
— = s-г л-, =4,41 и также наносим их на схемы.
При симметричной нагрузке только
одни стержень может независимо пово-
рачиваться. Пусть это будет стержень
/—4
Тогда
__ J -4* Ф57 |
¥14 ¥14 Ф1*
Вследствие симметрии ш* = ш5 = 0,
и необходимо будет составить три основ-
ных уравнения типа (161) для узлов
1,2 яЗ и одно дополнительное (162)
для показанного на рис. 79 внизу
(слева) перекоса.
При антисимметричной нагрузке, ввиду
антисимметрии, точки на оси симметрии
ие могут сдвигаться ии вверх, ни вниз,
два стержня могли бы независимо пово-
рачиваться (например, стержни 12 и 23).
Однако по условиям задачи точки 1, 2
и 3 неподвижны, и, следовательно, все
узлы рамы неподвижны.
Вледствие антисимметрии
toe = СО7 — U>J и d)g— О>3.
Для раскрытия статической неопреде-
лимости необходимо составить пять урав-
нений типа (159) для узлов 1,2, 3, 4 и 5.
Вычисляем концевые моменты от нагрузок:
Узел Г.
11,5-5 2-2,6-2,4»
mi* 12 + 5* =
= — 4,78+ 1,20 = —3,58 тм
2,62 - 3,4 2,02 • 3,4
12 + 10 +
— 0,071 - 0.18-3,4 = 0,74 + 0,68 + 0,04 =
= 1,46 тм
Узел 2:
т;1 = — 1,21 тм
mIS = 0,19 тм
тк — 1.20 тм
Узел Г.
4,03 • 5
"in— w —
2 • 2,6 • 2,4»
= 0,82 тм
5»
mla = — 0,74 — 0,68 + 0,04 = — 1,38 тм
Узел 2:
т31 = 0,74 + 0,46 — 0,01 =
= 1,19 тм
т13 = — 0,19 тм
тк — — 1,20 тм
294
Рамы
[Гл. VIII
Узел 3:
•тп = — 0,12 тм
Узел 3:
т31 = 0,12 тм
тзя = 1«70 тм
Узел 4:
т41 = — 0,72 тм
mtt = — 0,72 тм
Узел 5:
тБ1 = 1,42 тм
т57 - 1,42 тм
Далее переходим к составлению необходимых уравнений в табличной форме:
Уравне- ния для Коэффициенты при Свобод- ный член Уравне- ния ДЛЯ Коэффициенты при 4 о
“1 "s 'Г14 “1 ш2 “1 ш4 “б
с £ Г- и = 5
Узла 1 16,82 4,41 -12.00 —2,121 Узла 1 16,82 4,41 4,00 — —0,56
Узла 2 4,41 17,36 2,27 —6,00 0,14’ Узла 2 4,41 17,36 2,27 — 2,00 —0,20
Узла 3 — 2,27 5,54 — —0,12 Узла 3 — 2,27 7,54 —- 1,82
Допол- нитель- ное 1—12,00 —6,00 1 36,00 1 1—15,15 г У зла 4 Узла 5 8,00 4,00 — 18,94 1,47 1.47 10,94 —1,44 2,84
При составлении 3-го уравнения учитывалось, что «, = — “3- Дополни- тельное уравнение составлено для ле- вой половины рамы. При составлении 4-го и 5-го уравнений учитывалось, что вследствие антисим- метрии деформаций ш, = a>j и ш7 = ш3. Для приведения системы к каноничности необходимо разделить последние два урав- нения на два.
Решение уравнений дает: Решение системы дает:
«1 = — 0,5468; ш3 = 0,0049 «, = — 0,0632; ф14 = — 0,6138 тм ч>! = 0,014; ш4 = — 0,106 «3 = — 0,085; о>5 = 0,305 Ш1 — 0,268 тм
Концевые моменты равны: М1в —— 6,56 тм М13 = 6,56 тм Концевые моменты равны: М14 = 1,15 тм М13 = — 1,15 тм
М71 = 1,75 тм М3 = — 2,23 тм М13 = 0,465 тм Ми = 1,88 тм М.Б =— 0,41 тм М23 = — 1,47 тм
М31 = 0,00 тм М33 = 0,00 тм М31 = — 0,90 тм М38 = 0,90 тм
М41 = — 1,60 тм M4i = 0,07 тм М4Б = — 0,14 тм М4Б= 0,07 тм
М51 = — 1,29 тм МБ1 = 0,37 тм МБ4 = — 0,74 тм МБ7 = 0,37 тм.
По концевым моментам и пролетным моментам от нагрузок построены для
антисимметричной вагрузки эпюры моментов, показанные на рис. 79 внизу справа.
Для построения эпюр сначала соединены прямыми значения концевых моментов
Mv-, М ~, отлаженные в сторону растянутых волокон. От этих прямых в сторону
действия нагрузок отложены ординаты эпюр от нагрузок, считая стержни свободно
опертыми.
В случае действия нескольких нагрузок и когда необходима повышенная
точность, следует получать ординаты суммарных эпюр расчетом. Например, для
стержня 4—1 в случае антисимметричной нагрузки уравнение изгибающих момен-
§ 34]
Таблица для расчета рам
295
тов может быть получено путем суммирования моментов: 1) от концевых моментов
Ми и М1(, 2) от сосредоточенной силы 2 т и 3) от треугольной нагрузки 4,03 т.
Принимая во внимание направления усилий и учитывая линейный закон изме-
рения моментов от и Ми и случаи 3 и 10 табл. 25, получим:
м = — о,о7+(1,15+ о,о7);—чНе —£>)+Р/
О
М = — 0,07 + 1,22 ; — 0,72 (; — ез) + 10 [0,52 5— |0>48 (5 — 0,48)],
где через £ обозначена относительная абсцисса -р, отсчитываемая от узла 4
к узлу I.
Вычисления по последней формуле ведем в табличной форме
/ j 1,22; 1 Mi от кон- цевых мо- ментов 1,22;—0,07 S3 t ез Л42 от Q —6,72 5s) 0,52 5 5—0,48 Л1з от Р 10[...] 1 Суммарный момент М— = Л11+Л1а+ +Л*„ тм
0 0 —0,07 0 0 0 0 0 —0,07
0,1 о, 122* 0,05 0,001 0,099 —0,67 0,052 — 0,52 —0,10
0,2 0,244 0,17 0,008 0,192 — 1,29 0,104 — 1,04 —0,08
0.3 0,366 0,30» 0,027 0,273 — 1,84 0,156 1,56 0,02
0.4 0,488 0,42 0,064 0,336 —2,26 0,208 — 2,08 0,24
0,48 0,586 0,52 0,111 0,369 —2,48 0,250 0 2,50 0,54
0,5 0,610 0,54 0,125 0,375 —2,52 0,260 0,020 2,40 0,42
0,6 0,"32 0,66 0,216 0,384 —2,58 0,312 0,120 1,92 0,00
0,7 0,854 0,78 0,343 0,357 —2,40 0,364 0,220 1,44 —0,18
0,8 0,9/6 0,91 0,512 0,288 —1,94 0,416 0,320 0,96 —0,07
0.9 1,098 1,03 0.729 0,171 —1.15 0,468 0,420 0,48 0,36
1 1.220| 1,15 1 0 0 0,520| 0,520 0 1,15
По числам последней графы построена эпюра для стержня 4—1 иа рис. 79
внизу справа.
§ 34. ТАБЛИЦА ДЛЯ РАСЧЕТА РАМ
В табл. 62 приведены значения узловых изгибающих моментов (или
уравнения для их определения) для наиболее часто встречающихся симмет-
ричных и симметрично нагруженных шпангоутных рам.
На эскизах показаны направления моментов, сил и нагрузок, принятые
за положительные. При другом направлении внешних нагрузок следует
в формуле или уравнениях у соответствующих слагаемых сменить знаки на
обратные, а при отсутствии некоторых нагрузок соответствующие слагаемые
считать равными нулю. Точно так же, если некоторые узловые моменты или
реакции пиллерса получатся отрицательными, то это укажет, что направле-
ние их противоположно изображенному на эскизах.
Путем варьирования указанных на эскизах нагрузок можно по-
лучить почти любую нагрузку на раму; в частности, понимая под а1( а2
. . Q/t2
отвлеченные коэффициенты в выражениях для углов поворота
Qh*
и a, в узлах 1 и 2 (и вычисляя их специально), можно считать
бортовые стержни нагруженными произвольной нагрузкой. То же отно-
сится к коэффициентам и р.2 для рам № 7, 8.
I и б л и ц a 62
Формулы и ураипенни дли определении узловых моментом р»м
И
И
Формулы для узловых изгибающих моментом
2
Схема п тип рамы
Mi = -J-
лз
Ма = Г3
Qil
12
Qh l’i
3 ~ 8
a, 6, , . Sh
I —Ml 3
ya l Q/г Pa I . A’a Ua l>i
!2 3 8 + " I
S/t
' , <?6 , Р.' , «1 ' /, S.h'
- 12 -Mi з + 8 4- i 4 “I "i 3
/<?2 / , Qh P2Z Ruitbt , Sh\~
4- 26,) ]2 4- ’a 3 — 8 — I “2 ’’ 3 j
6i = 6a = ту 63 = 3 4 2 (61 4- 62) 4- 61 6a
м
hi-
ll
?- Р1 — 3 7 Ra — a
О <
6/,
Ла = 3-|-2/е1 = 3 + 2 -77
Предполагается, что бортовые шпангоуты не
соединены с бимсами или, что то же, жесткость
бимсов пренебрежимо мала по сравнению с же-
сткостью бортовых шпангоутов (6а = 0)
296 ________Рамы________________[Гл. VIII
Продолжение табл 62
Схема и тип рамы
Формулы для узловых изгибающих момсцюв
Предполагается, чтоборюпой шпангоут жестко
заделан на флоре или, что тоже, жесткость
флора весьма велика (fei=oo)
Узлы 1 и 2 рамы считаются неподвижными,
а имеющийся по кромке люка карлингс — не
поддерживающим полубимсы
М1 = 2+/С
“ 2 4- ki
(3 4" 2/ej) «j — A’j ag g 4-
+ + ~i Ra — [(3 4- 2A‘a) a.| — А’й a2'j -g
. Q/i Pl n b n t Sh'
:a — °i) з — 4 — 2 - Ra — kt (2a2 — aj) 3
Mi — g _j_ 2/[i ^4 4- ’I — 2 Qa aa —
3 b,
— g Pl — 3 -j- Ri Oi — Rz at — aj Sh
Ma = ~2 Q2 Qa 4" R^
Таблица для расчета рам
Продолжение табл. G2
я" Схема н п ни рамы
Я
Уравнения, раскрывающие ciuiii'it-CKyio неопределимое!i>
Простая рима в районе люка
.0. 1
(3 + 2fet) М, + A>, М2 - 1 + k. Qh - 8 Pl - 3 Rat - A, a'] Sh
Аз Mj -f- 2 (А’з + , Mj = + Aj аз Qh — Аз а2 Sh
1 41 *
Карлингсы создают жесткие опоры полубимсам
и все шесть узлов рамы считаются неподвижными
Открытая рама с двумя пиллерсами
Пиллерсы предполагаются шарнирно соединен-
ными с полубимсами и флором и обеспечивают
равенство вертикальных смещений точек А и В
(з у- + 2 М>+ (3 -у /““4) =
1 Q1l . Ii , h 3 I , h
= 7? ~4“ + “> 7“ Q/1 “ 2T a - 8" 7? Pl~ ai 7 sh
/bl h\ Fib a \ I al h~
(3 T “) M1 + |_(3 T~7J л +2 Г 77 + 2 T Ra==-
I I „ Ii , / 3/ a h\ II . h
= 6fj — 7Y QJ-“a / Qh + (jt; ~+tJ Qaa-67 — -ц Pl+ a2~ Sh
1
Mt = у Qa a — Ra
a, ₽> Y. — см. ниже
298 Рамы [Гл. VIII
Продолжение табл. 02
№
н/п
Схема и тип рамы
Уравнения, раскрывающие статическую неопределимость,
п формулы для узловых изгибающих моментов
Рама с одной продольной переборкой
* 0.1
2(1 + fei) wi + wt = —12 -----— ~/[t
q. I R»a9b?. Slight
'"i + 2(1 + A'2)uia = |2’— на QA— — —h h» —
,. 1 Ria<2' bl ,
Mo — и- /a —
Q, I Shyhl
= ]2-— p + 2 A’i »>j = p-i Qh--------—2ii>! — o>2
Все узлы рамы считаются не смещающимися;
стойки переборки в силу симметрии нагрузки
не испытывают изгиба
Под Qu Q2 понимаются распределенные на-
грузки на половину ширины днища и палу-
бы соответственно
Q2 I P2aib^
Ala = — 2 p — 2 fe2 <«a = M-a Qh — —--------F “'i + 2 <»2
Qi I R2al b2
AJ3 = —J2 /a + ki шз
В этих формулах Qj и Q2 — величины распределенной нагрузки, приходяш.ейся
на половину ширины днища и палубы соответственно
Правильное решение системы уравнений обеспечивает эквивалентность обоих
выражений для Мi и Ма
§ 34]__________Таблица для расчета рам 299
№
II /и
Сх''мп п тип рпмы
Рама с диумн придельными переборками
11 pi 1Д о II ж с и по табл. 62
Урпппенпя, pin’KpwniiioiniH' ci и i ичгскуи» neon рсд< jiiimoci i>, и формулы для моментом, iipiuiai icmhx к копиям стержней
Qi/i Q» 1» . Pit (2 lfoi + 2 ^оз 4" u,o M’oi "‘l М'озшз ip — 12 у Qi /, ‘s/,i ll'i kai “o + 2 (A’oi 1 l)‘"i +"’• 1|2 '1 —‘ /л
^г03 “o ‘«1 + А’Зз “2 ’ Узел Узел |-z -(2 0 1 — © = О о w — с 11 Н И D “ “ । 1 „ S 1 “ Е > _!£> ~ о -г _ Г Ю "1 ° 1 - <О 1 5 Со 1 S' _ Т “ 1 “ *33 СЛ 13 ОС 5 II 1 ж» "ю =’ _е “1 е . ~ 1 1 1 3 +- s’ = У о - s, ,'эд- + > + 1 £ -fl i + Н •О J 7 оо 5
Pi ч"— /|2 ——ш2
Узел 2 Sh^ ht Мл = — р-s Qh -{ — 2 us — «ij Ms3 = -’jg1 - ^23 (2 ш2 + шз)
Узел 3 M32 = — ”12' — ^23 (2 «3 + “2) M30 = p-3 Q' fl — /г03(2 Ш3 + Ш„) м =0?1г ^(1 1, L 33' 12' — 8 — А33'Ш3
300 __________________Рамы_________ [Гл. VIII
М
Продолжение табл. 62
№
п / п
Схема и тип рамы
Рама с одним пиллерсом
Пиллерс обеспечивает равенство вертикаль-
ных смещений флора и бимса в диаметральной
плоскости
Уравнении, pm крынающие с hi । ическук! неопределимость,
II формулы ДЛИ II II ибаюЩИХ MOMIIIIOB
И и иб П0Щ1Щ моменты Mt, Mt н реакция пиллерса Р определяются
из ypaiiiieiinii
I + I Ма + 8/] W-
1 h . 31 b, , h
— 4/j'Qi/_bai i Qh ~ j i ai — ai"7 Sh
/ Mj + ^3 J- + 2 z J Mi + | J3 Pl =
I Л , 3 / 6a , h
*= 4 i Qi I + as i Q'1— ]3 i ЛаЯ2 —a2 z Sh
BTi Mi + 8Z_a Mi + Тб V/i + h)Pl =
“Ггв^Л^' + ГаМ-гЛ^- £) ” 27; (I ~ ?) R*a*
Изтбающие моменты флора и бимса в диаметральной плоскости
Qi/ Р1 ,, Q.I , Р1
Мо = — -g + J- + R^ap, Ms = Ma — g-+ 4-+ Z?aas
§ 34]__________Таблица для расчета рам
w
о
( хем। и । ни рпмы
__________________________________________________Продолжение табл. 62
Уравнения, рнскрынпющпе cruгичсскую неопределимое гь, п формулы для
< ИТГНбП|О1ЦНХ MOMCIIIOII
I I n ибающие моменты Mt, М} и реакции пнллереон А| определяются ив урав-
нений
Рама с двумя пиллерсами
Пиллерсы шарнирно соединены с бимсом и
флором и обеспечивают равенство вертикальных
смещений точек Л и В
/ I h \ h 3/ ft
[з Zj |-2 z ) М, 4- z М, I /t / /’« =
1 h 31 k
= 4/, У,/ 1-а. , Qh — 8Z, B.Z-a, z SI,
ft / / h \ 3/ ft
I Mt + (3 Zj + 2 J M,+ z> z Ra =
l л , It, 3/ . h
-- 4/g “Ь в9 I g/2 ^2^ ®2 I Sh
3/ b 31 b / b a\ /1 / \
/i /M1 + /a / A1»+ (3 I - i Дл + tJ Ras=
= 6> F (/; + t^1)- 6t “a ( л P^! + 7a p*1)
Изгибающие моменты бимса и флора у пиллерсов и в диаметральной плоскости
Мв = Mt-^ + Ra+ -22-; Мс = М3 - + Ra +
МА = М1-Ц~+Ра + ~, M9 = Ml~^t- + Ra + ^‘
302___________________Рамы______________ [Гл. VIII
§ 35]
Криволинейные рамы
303
Помимо указанных на эскизах, в таблице приняты следующие обо-
значения:
ах, «2 — отвлеченные положительные коэффициенты в выражениях для
в нижнем и верхнем узлах от тре-
для сосредоточенной
в районе пиллерса от равномерно распределен-
углов поворота
угольной нагрузки на борт, взятые из табл. 30 (случай 4),
в зависимости от отношения длины незагруженного участка
ко всей длине бортового шпангоута;
„ I >Sh2\
aj, а2 — аналогичные коэффициенты I a I
силы (табл. 30, случай 1);
р — отвлеченный положительный коэффициент в выражении про-
гиба
ной нагрузки (табл. 29, случай 1);
у — аналогичный положительный коэффициент в выражении
прогиба в районе пиллерса от сосредоточенной силы, прило-
женной в середине флора или бимса I табл. 26, аргументы 0,50
а \ '
И Т)’
jxlt ji, — отвлеченные положительные коэффициенты в выражениях
опорных моментов от треугольной нагрузки (jjlQA) в точках
1 и 2 при жесткой заделке обоих концов бортового шпан-
гоута (табл. 31, случай 2);
ji' — аналогичные коэффициенты для стойки переборки;
- fei=7T: *2 = 7Г; *з = 3 + 2(^4-^) + ^.
§ 35. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ РАМЫ
Рамы с криволинейными стержнями, как простые, так и сложные рас-
считываются в предположении, что кривизна стержней настолько невелика,
что можно пользоваться обычной зависимостью между дополнительной
кривизной и изгибающим моментом:
EIw" = М.
Весьма часто кривизна стержня рамы сопровождается еще и неприз-
матичностью — переменностью / в написанном выше дифференциальном
уравнении. Сечение стержней предполагается при этом меняющимся вдоль
стержня настолько постепенно и незначительно, что допустимо пользоваться
обычным соотношением между напряжениями в различных точках рассмат-
риваемого сечения и текущим изгибающим моментом
Раскрытие статической неопределимости криволинейных рам можно
выполнять методом потенциальной энергии, а также методом сил. Ниже
рассмотрен один из этих методов — потенциальной энергии — и лишь для
простых рам.
Полная потенциальная энергия кривого непризматического стержня
равна*
S S ’ S
м2 ГУ2 ГТ2
2£/ ds+ J 2GF~ds+ \2EFds’ (163)
о
о
о
304
Рамы
[Гл. VIII
где:
M,V,T — текущие значения изгибающего момента, срезывающей и
продольной сил;
I, F — момент инерции и площадь поперечного сечения:
Fv—приведенная площадь поперечного сечения, для двутав-
рового тонкостенного профиля приблизительно равная
площади стенки.
Интегрирование должно быть распространено на всю длину стержня,
считая по нейтральной оси — линии, соединяющей ц. т. отдельных сечений
стержня. Обычно два послед-
ние слагаемые выражения
(163) малы по сравнению с
энергией изгиба, и потенци-
альную энергию вычисляют
по выражению
з
Л = (164)
о
Для простых криволи-
нейных рам, как замкнутых,
так и разомкнутых, имеющих
две опоры, может потребо-
ваться как максимум состав-
ление трех уравнений для
определения момента, срезывающей и продольной сил (Л4, V, Т), дей-
ствующих в произвольно выбранном сечении.
Рассекая, например, раму, образованную двумя прямыми стержнями,
заделанными по концам, и дугообразным стержнем (туйнель гребного вала,
рве. 80) в произвольной точке А, можно для любого сечения как для левой,
так и правей ветви рамы найти изгибающий момент — f (от внеш-
ней нагрузки и Л1Л, Va, Т а).
Составив, далее, выражение для потенциальной энергии (164) обоих
частей рамы, можно полхчить три необходимых уравнения для опреде-
. ения неизвестных МА, VA и ТА в виде
дП дП дП _
дМА ~ dVA ~дтА
или, что то же,
S S S
. Л1 ДИ , _ f Л1 ДИ . _ ( МдМ , n
\ rfs = 0, \ . c/s = 0 и 1-7- ds = o, (166)
J I дЛ1А J / dVA J I дТА
0 0 о
п] ичем, если это необходимо, можно воспользоваться и полным выражением
для потенциальной энергии (163), предварительно составив уравнения для
текущего значения срезывающей и продольной сил для каждой части рамы.
За три основные неизвестные могут быть взяты реактивные воздействия
опор или комбинация внутренних и опорных усилий; однако целесообразнее
за основные неизвестные принимать те из усилий, которые больше всего
характерна}ют прочность рамы (например, изгибающие моменты в сечениях,
где предполагаются наибольшие значения их, и т. п.). В этом случае умень-
шается возможность потери точности вследствие получения малых разностей
близких др}г к другу ве. ичин. Однако, если по условиям симметрии рамы
§ 35]
Криволинейные рамы
305
и характеру нагрузки в каком-либо сечении действуют не три, а два или
одно внутреннее усилие, этот метод рассечения рамы и следует выбрать,
чтобы получить меньшее число неизвестных.
При несложных очертаниях рамы и аналитически выражающейся неприз-
матичности интегралы, входящие в уравнения (166), удается найти точно,
в большинстве же случаев приходится прибегать к приближенному взятию
интегралов, разбивая криволинейную ось рамы на достаточно большое
число равных по длине участков (As).
Таков общий путь раскрытия статической неопределимости простых
криволинейных рам *. Он значительно упрощается для симметричных
конструкций.
Ниже приводятся расчетные формулы для нескольких простейших
случаев. Всюду предполагается, что деформации рам настолько незначи-
Рис. 82
тельны, что существенно не меняют ни величин нагрузок, ни выражений для
изгибающих моментов. Если деформация значительна, приводимые формулы
неприменимы и требуют корректировки.
а) Невесомое круговое кольцо постоянного поперечного сечения, сжатое
вдоль судного из диаметров двумя равными силами (рис. 81).
В точках приложения внешних сил Р:
изгибающий момент Л1Х = 0,318 Рг-
срезывающая сила Vj =
Р
2 ’
продольная сила Тг = 0.
По концам диаметра, перпендикулярного линии действия сил Р:
.И2 = 0,182 Рг, V, = 0; Т2 =
Направление моментов и сил показано на рис. 81 справа.
6) Тяжелое круговое кольцо постоянного поперечного сечения под
действием собственного веса, подпертое в нижней части (рис. 82):
.Пх = 0,500 7г2 T! = ^-qr Vj = 0
AL, = 0,571 qr- T2 = -^-qr V2^ qr
Al3 = 1,500 qr- Ta = ^-qr V3 = ^qr,
где q — вес единицы длины кольца (т/м, кг/см,...).
Направление моментов и сил показано на рис. 82 справа.
в) Невесомое круговое кольцо под действием гидростатического дав-
ления (рис. 83), уравновешенного касательными усилиями.
1 О расчетах некоторых сложных рам см. П. Ф. Папкович, Строительная
механика корабля, ч. 1, т. II, Судпромгиз, 1947.
20 Учебный справочник
306
Рамы
[Гл. VIII
Изгибающие моменты и срезывающие силы по всему кольцу отсут-
ствуют. Сжимающая сила увеличивается книзу
Т = 7 сг [Л + г (1 — cos ®)]
и равна для показанных на рис. 83 (справа) точек:
T1 = ^crh\ Т2 = усг (h + г); Т3 = у cr (h2г).
В приведенных формулах 7 — объемный вес жидкости, в которую
гогрхжено кольцо, Л — глубина погружения верхней части кольца под
поверхностью и с — размер кольца вдоль
— - г . образующей (шпация).
_ д_—|_—_ Поддерживающая сила (7^сг2) урав-
5-U. новешена касательными усилиями, распре-
( u JX ' деленными вдоль периметра кольца
—\ VI —7-------— ля------- ~ lcrs*n?
J yCW (где *—толщина стенок трубы),обуслов-
ленными разностью срезывающих сил.дей-
I—ствующих в трубе, из которой вырезан
пустой участок длиной с.
Рис. 83 г) Простые шпангоутные рамы око-
нечностей.
Заданная нагрузка на раму раскладывается на симметричную и анти-
симметричную и каждый случай рассматривается отдельно.
При симметричной нагрузке равнодействующая всех заданных
сил, действующих на раму (Q, Plt Рг,...), приводится к силе V, направленной
вдоль оси симметрии (см. рис. 84,а). Эта последняя уравновешивается каса-
тельными напряжениями, распределенными вдоль периметра рамы по из-
вестному закону (см. стр. 145)
VS
где I — момент инерции поперечного сечения связей судна относительно
горизонтальной нейтральной оси.
Разбив полупериметр рамы на достаточно большое число (10—20) уча-
стков равной длины As, можно для каждого участка вычислить касательное
усилие
VS .
— As, (а)
к которому приводятся касательные напряжения.
Равнодействующая этих усилий равна также силе V, но направлена
в противоположную сторону и уравновешивает ее.
Равновесие половины рамы будет обеспечено, если к заданным внеш-
ним силам и упомянутым касательным прибавить внутренние силы То, Тп
и моменты .Ие, Мп (рис. 84, б).
Линия ABCDE0 на рис. 84, в представляет собой многоугольник
внешних заданных сил, а 0,1,2 ,..., 10— многоугольник касательных уси-
лий для половины рамы. Общая их равнодействующая (А —10, показана
пунктиром) должна быть горизонтальна (это является контролирующим
признаком) и численно равна То + ТП.
Далее следует вычислить аналитически (или графически) значения
изгибающих моментов от заданных внешних сил и найденных касатель-
§ 35]
Криволинейные рамы
307
ных усилий (а) для каждого из сделанных сечений 1,2,3,... Обозначим
эти моменты через тг, т2,..., тп. На рис. 84, б показано десять сечений,
и, следовательно, придется найти 10 моментов:
mi, m2....т10.
Полное значение изгибающего момента в i-м сечении равно
М, = .Ио — T„Zi 4-
или, поскольку из условий статического равновесия
(167>
-Ч = (1 - т) м°+Т + (т‘т» V У
\ л / \ гп/
Значения изгибающих моментов Мо и
Л1„, действующих на оси симметрии, необ-
ходимых для вычисления расчетных изги-
бающих моментов (167), определяются из
уравнений
дП _ дП _ л
дМ0 ~ дМп ’
которые в конечном итоге приводятся к
д гм линейным уравнениям относительно
неизвестных Мо и 7Ип:
где:
/0 — произвольный момент инерции, введенный для удобства вычис-
лений;
Ij — момент инерции поперечного сечения стержня рамы (бимса или
шпангоута) в i-ы сечении. м
204"®
308
Рамы
[Гл. VIII
Составление коэффициентов уравнений (168), как и вычисление теку-
щих изгибающих моментов, выполняется в табличной форме (табл. 63).
Коэффициенты этих уравнений получаются как суммы граф 9—14 таб-
лицы— в клетках, обведенных прямоугольником.
Если шпангоутная рама имеет достаточно полные образования и
ясно выраженные вертикальные участки бортов, то без значительной
погрешности можно опустить довольно трудоемкое разыскание сдвигаю-
щих усилий от неуравновешенной силы V и, предполагая, что эти уси-
лия действуют тотько в вертикальных участках бортов,
V
считать силу^-
приложенной в точке пересечения палубы с бортом (в точке 4 на рис. 84,в).
Расчет рамы, находящейся под действием антисимметричной
нагрузки, проще, чем находящейся под действием симметричной, так как
внутренних усилий на оси симметрии всего два Vo и V„, и лишь одно из них,
например Vo, подлежит определению из условия
дУ0 ’
(169)
Полная внешняя антисимметричная нагрузка на раму приводится
к горизонтальной силе Уу или к скручивающему моменту (или к силе
я моменту одновременно).
В первом случае следует определить касательные усилия для
каждого участка под действием этой срезывающей силы Уу, во втором—
найти их как для скрученного тонкостенного двухсвязного контура1.
1 Сдвигающее усилие, приходящееся на единицу длины контура при срезе
силой, проходящей через ц. т. сечения, равно
а при^скручнвании
q = ^
2F ’
где: Vy — срезывающая сила; S — статический момент сечения относительно оси г;
lz — момент инерции сечения относительно оси г; Мкр — крутящий момент, F—
площадь, ограниченная контуром рамы.
310
Рамы
[Гл. VIII
В том сл чае, если распределенные по полупериметру рамы сдвигаю-
щие усилия q от общего среза и кручения заменить сосредоточенными
силами То и Т„, приложенными на сси симметрии (рис. 85 справа), что
иногда делается дтя того, чтобы избежать трудоемких вычислений, то
расчет значительно упрощается.
Найдя усилие То из условия
— Toz„ -t-mn = 0,
где тп— значение изгибающего момента от заданных внешних нагрузок
для последнего сечения, для текущего изгибающего момента будем иметь
выражение
.VI = Vo yt — ml
или
М. = Voyl + mi —
(170)
Срезывающая сила Vo находится из условия (169) и равна
(171)
Определив ее, можно для всех сечений по (170) вычислить изгибаю-
щие моменты и построить эпюру.
Все вычисления, как и для симметричной рамы, удобно выполнять
в табличной форме.
ГЛАВА IX
ПЕРЕКРЫТИЯ
Судовые перекрытия представляют собой систему связей набора кор-
пуса, перекрещивающихся обычно под прямыми углами, защемленных или
опертых по концам на жестком контуре и несущих нагрузку, направлен-
ную перпендикулярно их плоскости. Например, для днищевого и палуб-
ного перекрытий жестким опорным контуром являются поперечные пере-
борки и борта.
Внешняя нагрузка со стороны воды воспринимается пластинами об-
шивки судна и передается через них на балки перекрытия. Давление прямо-
угольной пластины на ее
опорный контур неравно-
мерно, однако при расче-
тах балок перекрытий не
вызывает большой погреш-
ности предположение, что
все внешнее усилие, дей-
ствующее на пластину, пе-
редается в виде нагрузки
постоянной интенсивности
только на длинные
стороны ее опорного кон-
тура, т. е. на те балки
перекрытия, расстояние
между которыми меньше.
Эти балки называются
балками главного
направления, чис-
ло их обычно значительно больше, чем число балок другого направле-
ния, называемых перекрестными.
Внешняя нагрузка со стороны трюма (грузы, механизмы и т. д.) также
считается приложенной к балкам главного направления, перекрестные же
балки во всех случаях предполагаются поддерживающими.
Воздействие балок одного направления на балки другого направления
в каждом узле пересечения их может быть приведено к трем составляющим
вектора силы и трем компонентам момента (рис. 86).
Однако, так как нагрузка на перекрытие нормальна к его плоскости,
и пластины, с которыми соединены балки перекрытия, препятствуют
перемещениям в его плоскости, то силы и 7?у, а также момент Мг
ничтожны. Далее, учитывая, что жесткость балок на скручивание обычно
во много раз меньше, чем на изгиб (в 300—500 раз), жесткостью круче-
ния пренебрегают, считая, что балки одного направления скручиваются,
строго следуя за поворотом тех балок, которые работают на изгиб. По-
этому момент Мх у балки А (см. рис. 86) и момент Му у балки В можно
не учитывать. Рассматривать следует только изгиб балок и учитывать
при расчете перекрытия только внешнюю нагрузку его и силы взаимо-
312
Перекрытия
[Гл. IX
действия в узлах , направленные нормально к плоскости перекрытия.
При этом балки главного направления оказываются нагруженными внешней
нагрузкой и поддерживающими реакциями в узлах, перекрестные же
балки нагружены только этими узловыми реакциями.
Если жесткость балок одного направления много меньше чем другого,
то рассчитывать систему перекрестных связей не имеет смысла. Расчет
можно упростить, полагая слабые балки лежащими на абсолютно жестких
опорах, какими для них являются балки другого направления.
Можно считать, что перекрестные балки не поддерживают балок
главного направления, если
4 II 11 i3
CJ 7тг(т) >1>5(1“х) + 1'9х’ (172>
где:
х—коэффициент заделки на опоре концов перекрестных балок;
L, I — пролеты перекрестных балок и балок главного направления;
с — среднее расстояние между балками главного направления;
Н б — средние моменты инерции перекрестных балок и балок глав-
ного направления соответственно;
С—коэффициент, значение которого дано в табл. 64 в зависимости
от числа т перекрестных балок и от типа балок главного на-
правления.
Таблица 64
Значения коэффициента С
Тип балок главного направления^ ^ 1 2 3 4 5
0,932 0,844 0,785 0,740 0,710
1 310 1 260 1,176 1,105 1.065
1,165 1,060 0,965 0,930 0,895
Прежде чем остановиться на методе расчета перекрытия, необходимо
проанализировать его конструкцию.
При небольшом числе балок и обычных условиях симметрии число
неизвестных узловых реакций может оказаться небольшим» и тогда стати-
ческую неопределимость перекрытия можно наиболее просто раскрыть
методом приравнивания прогибов (см. § 36).
Если число неизвестных реакций более пяти, то решение соответствую-
щей системы уравнений (с шестью и более неизвестными) требует большой
вычислительной работы и становится затруднительным, так как зачастую
приходится вычислять малые разности больших величин, что связано с поте-
рей точности.
Поэтому’ при числе лишних неизвестных реакций свыше пяти следует
применять приближенные методы, основанные на некоторых допущениях
Перекрытия
313
относительно распределения нагрузки на балки, поддерживающие основной
набор.
Если все балки главного направления устроены одинаково и число их
более пяти, а перекрестные балки имеют различные моменты инерции и
расположены на разных расстояниях (но закреплены на контуре одина-
ково), то перекрытие следует рассчитывать по методу Бубнова—Папковича.
Наиболее просто рассчитывается перекрытие этого класса, имеющее
одну перекрестную связь. Расчет перекрытия сводится к расчету балки
на упругом основании. Расчетные формулы для этого случая даны в § 37.
При двух одинаковых перекрестных балках, равноудаленных от контура,
расчет тоже сводится к балке на упругом основании (§ 37).
При нескольких перекрестных связях расчет может быть выполнен по
указаниям, данным в § 38.
Если у перекрытия число балок, как главных, так и перекрестных,
ботее пяти и балки каждого направления равноудалены и одинаковы, то
перекрытие следует рассчитывать по методу П.Ф. Папковича. В табл. 65
дана классификация типов и методов расчета судовых перекрытий.
Таблица 65
Метод раскры- тия стати- ческой неоп- ределимости Область применения Указания
Тип конструкции Характер нагрузки
Метод при- равнивания прогибов Любые Метод неудобен, если приходится составлять более 5 уравнений, см. стр. 314
Метод Буб- нова Балки главного на- правления должны быть одинаково устроены и расположены на равных расстояниях. Число их 5. Перекрестная бал-- -ta должна быть одна и симметрично закреплена по концам Нагруженными долж- ны быть балки главного направления и нагрузка всех их должна быть одинакова См. стр. 316
Метод Буб- нова — Папко- вича Балки главного на- правления должны быть 'одинаково устроены и расположены на равных расстояниях. Число их > 5. Перекрестные бал- ки должны быть все одинаково закреплены по концам Нагруженными долж- ны быть балки главного направления. Нагрузка всех балок главного на- правления должна быть одинакова1 Метод неудобен если число неснм метричных пере- крестных балок более 3,см. стр. 320
Метод Папко- гича Балки главного на- правления должны быть одинаковы, расположены на равных расстояниях и все одинаково закреп- лены по концам. Число их > 5. Те же ограни- чения и для пере- крестных балок Нагрузка на перекры- тие— равномерно рас- пределенная См. стр. 327
1 Если в перекрестных балках действуют значительные осевые усилия от об'
щего изгиба судна, то расчет перекрытия следует выполнять на сложный изгиб,
как указано в § 41 стр. 331
I4 Перекрытия
[Гл. IX
§ 36. МЕТОД ПРИРАВНИВАНИЯ ПРОГИБОВ
Если перекрытие имеет небольшое число узлов и, следовательно,
такое же число лишних неизвестных реакций R г, то раскрытие его статиче-
ской неопределимости достаточно просто может быть выполнено методом
приравнивания прогибов каждой пары перекрещивающихся балок во всех
узлах.
етод этот приводится к решению системы уравнений с числом неиз-
вестных, равным числу узлов перекрытия.
Если конструкция перекрытия и нагрузка его имеют ось симметрии,
то чисто неизвестных сокращается и равно числу узлов, лежащих по одну
^2 «3 ^4
4*—t---L—i----L
Рис. 87
сторону от оси симметрии, с прибавлением узлов, находящихся на оси сим-
метрии (если они есть). У перекрытия с двумя осями симметрии число неиз-
вестных равно числу узлов, расположенных в одном из четырех симметрич-
ных участков перекрытия, считая и узлы этого участка (если они есть),
лежащие на осях симметрии.
Если конструкция перекрытия имеет ось симметрии, нагрузка же не-
симметрична, то для сокращения вычислительной работы иногда бывает
полезно разложить нагрузку на симметричную и антисимметричную1 *.
П ример. Раскрыть статическую неопределимость перекрытия, показанного на
рис. 87, а, методом приравнивания прогибов в узлах.
Все балки перекрытия считать свободно опертыми по концам. Перекрытие
находится под равиомерво распределенным давлением воды в 1,3 м вод. ст.
Момент инерции балок главного направления 1г б =3 000 см*, минимальный
момент сопротивления балок главного направления 1Гг б = 200 см3 * *, момент инерции
перекрестных связей /п=4 000 см*, минимальный момент сопротивления перекрест-
ных связей Ц7Л = 250 см3.
Схема нагрузки на балки главного направления показана на рис. 87, б и в.
Нагрузка эта равна
Q = 1,2-1,3-5 = 7,8 т.
В силу симметрии мы имеем только две лишних неизвестных реакции, так как
7?i 7 = 7?5 = 7?в и R 2 = R в = 7?в 3 7\ 7-
1 При двух осях симметрии несимметричную нагрузку можно составить из
четырех нагрузок: симметричной относительно обеих осей, симметричной относи-
тельно 1-й и антисимметричной относительно 2-й, антисимметричной относительно
1-й оси и симметричной относительно 2-й и, наконец, антисимметричной относи-
тельно обеих осей (см. рис. 68).
§ 36] Метод приравнивания прогибов 315
Для нахождения двух лишних неизвестных Rt и 7?, достаточно составить
уравнения равенства прогибов балок главного направления и перекрестных
в узлах 7 и 2.
Прогиб крайней балки главного направления в узле 1 равен
QI* Is
ai — Pi pi — (in + tis) Ri р? ;
б £уг. б
коэффициент определяется из табт. 29 у = 0,34^
31 = 11,448-Ю-3.
„ - х а х
По табл. 26 при у = 0,34 и у = 0,34 и по той же таблице при у = 0,34 и
а
у = 0,66
Т11 = 0,01678,
Tis = 0,01481.
Подставляя численные значения в выражение для wlt получим
, 7,8-5* 53
-и., = 11,448-10 •---------г — 0,03159 R. ----=----г =
1 2-10-3-10-5 ^-Ю’-З-Ю-5
= 1,86-10~2 — 0,657-10-2 7?i (т...м).
Совершенно аналогично прогиб средней балки главного направления в узле 2
равен
&,= 1,86-10-2 — 0,657-10—2 Rt (т...м).
Прогибы перекрестной балки 7 (схема нагрузки ее дана на рис. 87, г) в тех
же узлах 1 и 2 могут быть найдены при помощи табл. 26:
£« L* 6s
ai = (tn u) £• /п + (и + 71з) EI п = (0’00853 + 0,0613) R j q7 _ |g—5 "Ь
6s
— (0,01200+0,01067) Rt - 7 t 1()_5 = 0,369-10“ 2 Rx + 0,569-10-2 T?2:
£» Ls , 6s
*з С и----+ (Yu + Yas) Rt pi —(0,00853 + 0,01067)7?! 7 5 +
I-In 1 n Z’lU
— (0,01920 — 0,01813) Rt g lp_5 = 0,569-10-2 7?i + 0,938-10-2 T?2*.
Приравнивая прогибы балок главного направления и перекрестных в узлах 1
в 2, получим систему двух уравнений относительно двух неизвестных реакций Ry
и Т?2:
1,86 — 0,657 7?! = 0,369 7?! + 0,569 Rt,
1,86 — 0,657 Rt = 0,569 7?! + 0,938 Rt,
которые приводятся к виду:
10,26 7?! + 5,69 Rt = 18,6,
5,69 7?!+ 15,95 7?,= 18,6,
откуда
/?1 = 1,450 т; Rt = 0,650 т.
После раскрытия статической неопределимости каждая балка может быть рас-
считана в отдельности.
* Согласно началу взаимности коэффициент в выражении для при Т?2 равен
коэффициенту в выражении w2 при Rt.
316
Перекрытия
[Гл. IX
Наибольший изгибающий момент имеет место в середине средней балки глав-
ного направления:
QI 7,8-5
М = — 8 -±Rta = — + 0,650-1,7 = —4,870+1,10=—3,77 тм.
Наибольшее напряжение в балке главного направления
М 3,77-10»
-* — — 200 — ’ 880 kzjсм^.
Наибольший изгибающий момент в перекрестной балке
М = — (₽!-r Rt)2c+ = — 2,10-2,40+ 1,450-1,20 = —3,30 тм.
Максимальное напряжение в перекрестной балке
М 3,3-Ю5
СТ= = —250— ~ 320 кг/см
§ 37. ПЕРЕКРЫТИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕКРЕСТНОЙ СВЯЗЬЮ
И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ
Перекрытие с одной перекрестной связью, нагруженное равномерно
распределенной нагрузкой
Рис. 88
Методом Бубнова могут быть рассчитаны перекрытия с одной перекрест-
ной связью при условии, что эта перекрестная связь симметрично закреплена
по концам (коэффициенты
заделки х и коэффициенты
податливости при повороте а,
одинаковые на обоих концах),
балки же главного направле-
ния, расположенные на рав-
ном расстоянии с друг от дру-
га, одинаково устроены, оди-
наково загружены и число
их более пяти (рис. 88).
Все элементы изгиба за-
висят от аргумента
U =
1_Е. 6 Е3 zjygx
64 т с /„ Z« ’ ' 7 }
где у — отвлеченный коэффициент в выражении прогиба балки главного
направления от реакции перекрестной балки в точке приложения
этой реакции.
Если балки главного направления свободно оперты или жестко заде-
ланы по концам, у может быть заимствован из соответствующей таблицы
(табл. 26—28).
Формулы для расчета такого перекрытия следующие.
Коэффициент заделки на опоре
1
*- <1аЕ1пЪ.
‘ L фо
Стрелка прогиба посередине перекрестной балки
3Q/
(174)
(175)
(1 — x)f0 —хД],
Elг. б
317
§ 37]
Перекрытия с одной перекрестной связью
где fi — отвлеченный коэффициент в выражении прогиба балки главного
направления в узловом сечении от нагрузки Q (определяется по
табл. 29).
Изгибающий момент посередине пролета перекрестной балки
где х— оэффициент опорной пары перекрестной балки.
Изгибающий момент в опорном сечении перекрестной балки
о77>
2 1 G
J—-------- L^6m
Рис. 89
Максимальное значение величины срезывающей силы в перекрестной
балке на опоре
г = 77У[(1_х)$о + х51]- (178)
Наибольшая реакция в крайних узлах (между перекрестной балкой
и крайней балкой главного направления)
7?xflKc=^Q. (179)
7
Наименьшая узловая реакция (в среднем узле)
3
Ямин = — Q [(1 - х) /0 4- •/. Л]. (180)
i
Последняя реакция служит для расчета средней балки главного на-
правления, находящейся под действием нагрузки Q и реакции RHUH.
Численные значения функций /0, /,, /0, /л, Ео и даны в зави-
симости от аргумента и в табл. 43. Порядок расчета перекрытия рас-
сматриваемого типа показан в приводимом ниже примере.
Пример. Раскрыть статическую неопределимость перекрытия, показанного на
рис. 89, находящегося под действием гидростатического давления вдоль балок
главного направления. Все размеры даны на рис. 89. Все балки главного направ-
ления свободно оперты на контуре (х = 0), перекрестная жестко заделана.
Нагрузка на одну балку главного направления
2-2
Q = ~2^-0,6= 1,2 т.
318
Перекрытия
[Гл. IX
Коэффициент & в выражении прогиба балки от треугольной нагрузки Q
. х 1 а 1 Ъ 2 \
в середине пролета при = ~2’= И ~Г = И / согласно табл. 25 (случай 9)
будет
1 Г b х I , „ а а* , х®\"| *
180 |т Т ( 7 + 6 Т — 3 7®“ — °Z2)J =
1 Г 2 I / 1 1 1 \1
= 180 |з '~2 ( 7 + 6 3 ~3 9 — 10 4 — 0,00648.
Отвлеченный коэффициент в выражении прогиба от реакции
1
7 = 48 = 0,0208.
Аргумент и равен
*/"48 6 1,5-10® . 6s
и=У 64’ 0,б" 2,35-10*" 3® — Г40.
По табл. 4-3 находим для и= 1,40: Н = 0,573: 7.2 = 0,705.
Расчетное значение изгибающего момента в перекрестной балке в ее опорном
сечении по формуле (177):
0,00648 1,2 6®
— 0,0208 ‘0,6*12’ЬО,705“ 1,32 тм'
2
Минимальная реакция (в среднем уз,те) по формуле (180)
0,00648
^ = о"Ж’1М573 = 0’215 т-
Расчетный изгибающий момент в средней балке главного направления при
/~2~
5-5= 1,94 м (см. табл. 25, случай 9) от нагрузки Q и от RMuh (см- ТУ
О’О
же таблицу, случай 3).
Изгибающий момент в узле при х= 1,5 м
1,2-21" 1 /1,50—1 VI 0,215-3
51 = — —з— I — I------2----) I -----4---= — 0,224 тм.
Расчетный момент для балки главного направления равен 0,321 тм.
Перекрытие с одной перекрестной связью, нагруженное сосредоточенной
силой
Перекрытие показано на рис. 90. Балки главного направления оди-
наковы, равноудалены и число их более пяти. Сосредоточенная сила
приложена посередине пролета перекрестной балки.
Обозначения те же, что и в предыдущем параграфе.
Расчетные формулы следующие.
Коэффициент заделки
1
, 2а£/ /5’
1 +—т-*- -
Zo
Аргумент и (173) равен
= к4/ 1 L
U у 64y с In Is
(181)
(182)
§ 37]
Перекрытия с одной перекрестной связью
319
Стрелка прогиба посередине пролета перекрестной балки (под силой Р)
PL3
w ~ 192 EI х) '?о “Ь х?г]- (1^3)
Изгибающий момент посередине пролета перекрестной балки
Изгибающий момент в опорных сечениях перекрестной балки
PL
ML =^75*. (185)
2 8
Максимальная узловая реакция в точке пересечения перекрестной
балки со средней балкой главного направления
Р f * J8
RuaKc = Т92777/Г (4(1- ') Фо + *<Р2]. (186)
Средняя балка главного направления рассчитывается под действием
этой силы Rmokc, приложенной в узле.
Все функции %, о2, s0, /л и Zs определяются по табл. 43 в зависи-
мости от аргумента и.
Перекрытие с двумя перекрестными связями, нагруженное равномерно
распределенной нагрузкой
Перекрытие с обозначениями показано на рис. 91.
Балки главного направления (числом более пяти) закреплены любых
способом, но симметрично, одинаковы и равноудалены.
Обе перекрестные балки имеют одинаковую симметричную заделку,
характеризуемую коэффициентом х, и равноудалены от контура пере-
крытия.
Аргумент и равен
и = V 64?- X Т “ ; (187)
У 64 (7п + f13) с 1п Is
здесь:
Ун—отвлеченный коэффициент в выражении прогиба балки главного
направления в -узловой точке ее пересечения с первой пере-
крестной балкой от силы, приложенной в той же точке;
320
Перекрытия
[Гл. IX
у12 — отвлеченный коэффициент в выражении прогиба балки главного
направления в первом ее узле, но от силы, приложенной во
втором узле.
В случае опертых или заделанных концов балок главного направления
коэффициенты у определяются по табл. 26—27.
Коэффициент заделки
1 , 2аЕ1аЪ ' '
+ L
Стрелка прогиба посередине перекрестных балок
SO/’
= iy- [1 - (1 - ') /о + (189)
£.1г. б
где £ — отвлеченный коэффициент в выражении прогиба балки главного
направления в узловой точке от нагрузки Q.
Изгибающий момент посередине пролета перекрестной балки
М> = ¥ h1 - Zo + ’
Illi ~ 112/ c ° °
изгибающий момент в опорном сечении перекрестной балки
л* L-
ML = р л-~ \с 12к/-2’
наименьшая узловая реакция в среднем узле
Кмин = - луз Q [(1 х) /о + * fiL
Til Л Т12
(190)
(191)
(192)
Численное значение функций /0, flt Хо. А, ^2 и Фо находится в за-
висимости от и по табл. 43. Средняя балка главного направления рас-
считывается под действием нагрузки Q и двух реакций RMUh-
§ 38. ПЕРЕКРЫТИЯ С НЕСКОЛЬКИМИ ПЕРЕКРЕСТНЫМИ СВЯЗЯМИ
Перекрестные балки симметрично и одинаково закреплены по концам
(коэффициент их податливости при повороте а).
Балки главного направления могут быть загружены любой нагрузкой
Q, но одинаковой у всех балок, и любым способом закреплены по концам
(рис. 92).
Расчет такого перекрытия может быть приближенно сведен к расчету
некоторых приведенных балок на упругом основании.
При этом прогиб в любой точке /й перекрестной балки выражается
рядом
i~m
'ST'j.Pi’ (193)
i = i
где:
» —отвлеченные коэффициенты, характеризующие формы изгиба
балок главного направления;
Pi — функция координаты х, представляющая прогиб некоторой /-й
приведенной балки на упругом основании, удовлетворяющая
уравнению
EIep]v + klPi = gi-, ’ (194)
§ 38] Перекрытия с несколькими перекрестными связями
321
/0 — некоторый приведенный момент инерции, выбираемый произволь-
но. Удобно принять /0 равным моменту инерции одной из пере-
крестных балок;
qt — приведенная интенсивность нагрузки;
k:—приведенная жесткость упругого основания.
Число членов ряда (193) равно числу т перекрестных балок. Если
перекрытие симметрично относительно линии, проходящей через середину
балок главного направления, то все четные члены ряда (193) выпадают,
т. е. при любом четном значении i функция р/ = 0.
Таким образом, при нечетном числе перекрестных балок т и при
m + 1
симметрии перекрытия число членов ряда (193) равно —, при чет-
т
ном т и симметрии перекрытия оно равно
Общий порядок расчета и расчетные формулы
а) Определяются отвлеченные коэффициенты пропорциональности
между’ прогибом в / м узле балки главного направления и силой, при-
ложенной в fc-м узле ее (по табл. 26 — 28).
б) Коэффициенты определяются как соответствующие координаты
упругих линий свободных колебаний невесомых призматических балок
с сосредоточенными массами. Массы эти должны быть расположены по
длине балки так, как узловые точки по длине балок главного направле-
ния, и отношение их весов следует положить таким, как отношение
моментов инерции соответствующих перекрестных балок. Эти воображае
мые балки полагают закрепленными по концам так же, как балки главного
направления перекрытия.
Следовательно, коэффициенты могут быть разысканы методом,
указанным на стр. 696. При этом в формулы (709), (710) и (710а) вместо
Ph Ik
отношения весов D следует подставить отношение моментов инерции - ”.
"о " 'о
Коэффициенты должны быть найдены для всех значений j и всех зна-
чений i; всего этих коэффициентов будет т2. После того как они найдены,
следует проверить их правильность по формуле (711).
21 Учебный справочник
322
Перекрыггия
[Гл. IX
При симметрии относительно середины балок главного направления
незачем разыскивать коэффициенты v# при четных i.
в) Приведенные жесткости упругого основания находятся по выра-
жению
k. (195)
cP
Здесь коэффициент
----• <196>
I 'V/Т
1=1
где 71 —отвлеченный коэффициент в выражении прогиба балки главного
направления в первом ее 5 зле от силы, приложенной в /-м узле (рис. 93).
г) Аргументы и, находятся по формуле
д) Определяются максимальные реакции Ц1Макс, которые имели бы
место, если бы перекрестные балки являлись абсолютно жесткими опо-
рами для балок главного направления (в таких условиях находятся
крайние балки главного направления). Следовательно, при этом надо
разыскать опорные реакции многопролетной балки (рис. 94), несущей
нагрузку Q и имеющей ряд жестких опор, расположенных так, как узло-
вые точки по длине балки главного направления.
е) Приведенные нагрузки qL находятся из системы уравнений вида:
т
Rj макс
С
(198)
Таких уравнений будет т; решая их совместно, можно разыскать
все гриведенные интенсивности qt.
Если нагрузка Q действует сверху вниз, то R/макс получаются
при решении миогопролетной балки отрицательными; следовательно, пра-
вая часть уравнений (198) будет положительна.
При симметрии достаточно составить такие уравнения только для
тех узлов, где И7м=кс различны. Тогда число уравнений будет равно
т — 1 т , ,
—2-------при т нечетном и — при т четном и столько же (как было
указано выше) надо найти приведенных интенсивностей.
§ 38] Перекрытия с несколькими перекрестными связями 323
ж) Основные величины, характеризующие изгиб балок перекрытий,
определяются по следующим формулам.
Прогиб посередине /-й перекрестной балки равен
т
wi0 = £ [1 - (1 - х(.) f01— Xjj. (199)
*=1
Изгибающий момент посередине /*-й перекрестной балки
т
Л1 в = - К У qt [3 (1 - х£.) Z0i + Xt. ZJ. (200)
7 о л
i=\
Изгибающий момент на опоре /-Й перекрестной балки
т
M.L=-^V^q^72i. (201)
2=1
Минимальная реакция посередине /'-и перекрестной балки
т
= cI/V qt [1 - xf)fOi + Vd; (202)
'о “
здесь xf — коэффициент заделки приведенных балок на упругом основа-
нии, равный
1
2aEIo7ji (203)
L ф0/
Функции /оо /ip Zo<> Zi/> Z2z и 9о; определяются по табл. 43 для
каждого и{ в отдельности.
Прочность перекрестных балок проверяется по изгибающим момен-
там 41^ или 4f. l
1
Средняя балка главного направления рассчитывается по схеме
рис. 92,6 под действием нагрузки Q и минимальных реакций RjMuH,
определяемых по формуле (202). Для контроля всегда следует проверить
равенство прогибов балки главного направления и перекрестной балки
в каком-нибудь узте.
Пример. Рассчитать перекрытие, показанное на рис. 95, считая его нагру-
женным равномерно распределенной нагрузкой р= 1,5 т/м2.
Формы изгиба 4j, балок главного направления должны быть найдены как фор-
мы колебаний невесомой балки с сосредоточенными грузами. Принимая за /0 мо-
мент инерции первой балки, имеем
/„ 'о
Следовательно, отношение весов сосредоточенных грузов у воображаемой
невесомой балки должно быть соответственно
.>-2,02.
г о го г о
Грузы должны быть расположены так, как узлы по длине балки главного на-
бавления.
а -г~ = 2,02.
‘о
21Ш
324
Перекрытия
[Гл. IX
Коэффициенты уу,- точно такой бадки найдены в примере на стр. 698 и значения
всех »,- могут быть непосредственно выписаны оттуда из табл. Г. В указанном при-
мере найдены только симметричные формы изгиба балок, что соответствует и рас-
сматриваемой задаче о перекрытии, так как при равномерно распределенной на-
грузке и симметричной заделке балок главного направления четные члены ряда
(193) выпадают:
®7 = Pi + vZj р8.
Коэффициенты заимствованные
дующую таблицу:
Приведенные жесткости упру-
гого основания kt по формуле
<195)
из указанного примера,
выписаны в сле-
Рис. 95
Е1г б 2- 10е- 10 400
с1з = ai 120(1 000)3 = “« 0,173 кг1см*>
где а, определяется по формуле (196), коэффициенты следует взять из примера
иа стр. 698*
v '1 . 'з .
.11 / V11 + 713 7 V21 + 713 Т~ V31
1 о 10 <о
0,809
= . 148-1- ,8J9-t-0, 167 - 2,и2 • 1,002-J- 0,0124 - 1 - 0,809 = 14,5:
,_____________________________________
8 ~ G /з 7, -
11 10 Ъз + 718 1 о 'г8 + 718 10 'зз
__ _______________________0,670
— 0ДЯ48 - 1 - 0,676—0,0167 - 2,02 • 0,544 — 0,0124 • 1 - 0,678 = 6 700,
Следовательно,
= 14,5 • 0,173 = 2,51 кг/см1-,
k3=6 700 - 0,173 = 1160 кг/см2.
Аргументы и по формуле (197):
L 4 / 960 4 Г 2JH
u, = — 1 / ------=---- 1 /------------------. 1 02'
2 J, 4£/0 2 J/ 4 - 2 • 10* • 15 800 ’ ’
L 4 /~k^~ 960 4 / П60
u. = — 1 — — =------ 1 / -----------------= 4,70.
2 4EI3 2 у 4 • 2 • 10е - 15 800
_ Максимальные реакции яакс и Rt ткс определяются как реакции опор
крайней балки главного направления в предположении, что для нее перекрестные
балки являются жесткими опорами, по схеме рис. 96.
§ 38] Перекрытия с несколькими перекрестными связями
325
Решая такую балку по методу трех моментов, легко найти, что реакции опор
равны
В1макс= 5,73 Щ,
R1 макс — — 2,18 tn.
Нагрузка на балку главного направления
Q = Р1с= 1,5 • 10 - 1,2 = 18 т.
Интенсивности приведенных нагрузок 9; найдутся из системы уравнений (198):
Н г „ , , RlMOhC
/- bn 9i + 'i, 9S] = — —c—:
H r _ । _ , RtMaKC
j Psi 91 T''23 9з 1-c
Подставляя в эту систему уравнений численные значения RjMarcC и У/j. полу-
чим ее в виде:
0,809 0,678 q3 = 4,78 т/м,
2,020 — 1,100 q3 — 1,82 т/м,
откуда
91 = 2,86 т/м и q3 = 3,64 т/м.
Расчетные изгибающие моменты в балках перекрытия
Все коэффициенты определяются по табл. 43 для иг = 1,02 и и3 = 4,7:
Рис. 96 Рис. 97
Расчетный изгибающий момент на опоре первой перекрестной балки по фор-
муле (201):
Л Р
•И l — / 12 I ”11 91 + 1,13 9» ^23 ] =
9.6- ’’
= -рг • (0,809 • 2,86 - 0,891 — 0,678 • 3.64 • 0,068] = 17,0 тм.
Аналогично изгибающий момент иа опоре средней перекрестной балки
I, L*
l = I 12 l"'si + 1,33 J =
2 2
9,6s
= 2,02 [1,002 - 2,86 • 0,891 — 0,544 - 3,64 • 0,068] = 41,6 тм.
Минимальная реакция посередине первой перекрестной балки по формуле (202):
R1 .«ан — с / ['*11 91/11 + 'и 9з /1з] =
1 о
= 1,2-1 [0,809 • 2,86 0,840 + 0,678 • 3,64 - 0,018] = 2,36 т.
326
Перекрытия
[Гл. IX
Аналогично
Rt мин— с I Iv»i 41 /и 4~ Яг /и]—
1 о
= 1,2 • 2,02 [1,002 • 2,86 • 0,840 — 0,544 • 3,64 • 0,018] = 5,80 т.
Средняя балка главного направления рассчитывается как однопролетная бал-
ка, свободно опертая иа двух опорах, находящаяся под действием нагрузки
Q=18m, двух реакций 7?i*UK=2,36 т и средней реакции R2MUh = 5,80 т, по схеме
на рис. 97.
Проверяем равенство прогибов. Прогиб посередине средней балки главного
направления, показанной на рис. 97, при подсчете его по обычным выражениям
прогибов статически определимых балок получается равным 1,80 см.
Прогиб посередине пролета средней перекрестной балки по формуле (199)
равен
-го—(1 — /n) + v«^ (1 —fit) j —
2,86 3,64 ’ I
1,002 2~5j (! —0,840) + 0,678 jjgg(l + 0,018) = 1,84 см.
Прогибы сходятся достаточно точно.
Частный случай одинаковых и равноудаленных перекрестных балок
Порядок расчета и расчетные формулы изменяются по сравнению
с описанными для общего случая следующим образом:
а и б) Коэффициенты vj(- берутся непосредственно из табл. 169.
виг) Приведенные жесткости упругого основания kt и агрументы
ut определяются по тем же формулам (195) и (197), коэффициенты же
я, следует брать по табл. 66.
Таблица 66
Коэффициенты а,
Тип балки главного направления Число перекрестных балок т
1 2 3 4 5
1 48 33,5 24,2 19,5 16,3
3 — 1740 1520 1260
4* * ‘ * 'А 5 — — 5000
/ /77 к 1 • 191 164 1М 96,5 81,5
3 — — 1720 2420 2240
5 — — — — 7900
1 110,0 78,0 59,2 47,4 39,0
2 .—. 910 606 497 415
3 — 1730 2130 2000
4 — -— — 5000 3820
5 — — — —- 5850
д) Максимальные реакции П,макслля случая равномерно-распределен-
ной нагрузки на перекрытие даны в табл. 67.
§39] Перекрытия с большим числом балок каждого направления 327
Таблица 67
Максимальные реакций R макс в долях от Q
Тип балки главного направления / Число перекрестных балок
1 2 3 4 5
1 0,625 0,367 0,286 0,226 0,189
/ /7> 0,367 0,232 0,286 0,194 0,194 0,160 0,170
/А 3 — —
4 — — — 0,226 0,160
5 — — — — 0,189
1 0,517 0,341 0,250 0,200 0,167
/- -. т 2 3 — 0,341 0,250 0,250 0,200 0,200 0,167 0,167
4 — — — 0,200 0,167
5 — — — 0,200 0,167
1 0,571 0,380 0,284 0,227 0,189
г... . т Е 2 —. 0,325 0,241 0,193 0,168
3 0,253 0,202 0,168
4 —- — 0,200 0,167
5 — — -— — 0,167
Если нагрузка Q действует сверху вниз, все RjMaKC следует взять
со знаком минус.
е и ж) Приведенные интенсивности и основные величины, харак-
теризующие изгиб перекрестных балок, определяются по тем же формулам
(198) — (203); входящие в них функции — с помощью той же табл. 43.
Если балки главного направления имеют одинаковую заделку на двух
сторонах и нагрузка на них равномерно распределенная, то сохраняются
только нечетные члены ряда (193), выражающего прогиб перекрытия.
§ 39. ПЕРЕКРЫТИЯ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОДИНАКОВО УСТРОЕННЫХ БАЛОК
КАЖДОГО НАПРАВЛЕНИЯ
Балки главного направления имеют одинаковое симметричное крепле-
ние концов, характеризуемое коэффициентом заделки х. Перекрестные
балки имеют также симметричную заделку с коэффициентом податливо-
сти при повороте а. Интенсивность равномерно распределенной нагрузки
на перекрытие р, расстояние между балками главного направления с,
расстояние между перекрестными балками s.
Расчетные формулы и порядок расчета следующие:
1. Определяются коэффициенты р, по табл. 68 в зависимости от х
для i=l, 2, 3...
2. Определяются агрументы
(204)
дл я тех же i.
3. Далее определяются коэффициенты по табл. 69 — 71 в за-
висимости от коэффициента х опорной пары балок главного направления
и порядкового номера i вычисляемого коэффициента.
328
Перекрытия
[Гл. IX
Таблица 68
Коэффициент
Коэффициент заделки балок глав- но го направления х 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
1 2 3 4 Кс 1,57 4.71 7,85 11,00 оффициеа 1.66 4,74 7,87 11,01 т л(- 1,78 4,81 7,91 11,04 1,98 4,94 8,01 11,12 Табл » 2,36 5,50 8,64 11,79 I ц а 69
Коэффициент заделки балок глав- Него направления х 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
1 2 3 4 Кс 1,273 —0,424 0,255 -0,182 >эффициеи 1,275 —0,425 0,258 —0,184 т 1,289 —0,445 0,266 —0,189 1,295 —0,458 0,280 —0,198 Табл f 1,344 -0,510 0,328 —0,240 ц а 70
Коэффициент заделки балок глав- него направления х i 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
1 0 2 0 3 , 0 4 j 0 1 Коэффициен 0,0408 0,0006 0,0001 0,0000 т Р/ 0,0813 0,0018 0,0003 0,0001 0,1190 0,0040 0,0010 0,0010 Т а б л F 0,1490 0,0120 0,0030 0,0010 ц а 71
Коэффициент заделки балок глав - цого направления X i 0,00 0,25 0,50 0.75 1,00
1 2 3 4 0,516 —0,019 0,004 —0,002 । 0,432 —0,019 0,004 —0,002 0,350 —0,019 0,004 —0,002 0,266 —0,019 0,004 —0,002 0,180 —0,017 0,004 —0,002
§ 39] Перекрытия с большим числом балок каждого направления 329'
По табл. 43 берутся значения коэффициентов fOi, flt, -yOi, /lit и Фо,
для всех i в зависимости от соответствующего и,.
При этом не следует вычислять лишних коэффициентов, для чего-
предварительно надо ознакомиться с нижеследующими выражениями изги-
бающих моментов. Например, если перекрестные балки свободно оперты,
нет необходимости определять коэффициенты /1(., у2/ и ф0(-.
4. Вычисляются коэффициенты заделки
1
, 2аЕ1п /2
L %,-
5 Момент посередине пролета средней перекрестной балки
,, pL!sV. Гл \ 1 */
-Ио = — —g— \ /-i (1 — /м + у 7ц
(205>
(206)
Опорный момент средней перекрестной балки
(207)
Момент посередине пролета средней балки главного направления
= -(1 -xj/c-xj!,.]. (208)
Опорный момент средней балки главного направления
Л1£ = У] V,- [ 1 - (1 - хг) fOi - ,ч f1(]. (209) г
П ример. Рассчитать перекрытие, состоящее из десяти балок главного на-
правления и шести перекрестных.
Дано: с = 0,6 м, Iг б = 2000 см*, р = 0,6 кг)см?,
5=1 *, 1п = 20000 см*.
Пролет балок главного направления != (6+ 1) • 1 =7 м.
Пролет перекрестных балок L = (10 + 1) - 0,6 = 6,6 м.
Балки главного направления свободно оперты; х = 0.
Перекрестные балки полностью защемлены; а = 0.
1. По табл. 68 для х = 0 определяются коэффициенты и,-:
/ 1 2 ! 3
1,57 4,71 7,85
2 000
4-20000
2. Определяются коэффициенты и,:
•и<
L । / 1 г. 6 S
41 п с
6,6
«' 7,0
0,6 — 0.426 w.
330
Перекрытия
[Гл. IX
При подстановке значения р, получится следующий ряд значений up
i 1 2 3
Uj 0,669 2,006 3,340
3. По табл. 69—71 берутся зна чения Л,-, ч, и р2 для х = 0 и по табл. 43
нахсдятся значения функций fu и 7.ti:
i I 2 3
1 273 —0,424 0,255
0 • 0 0
ij 0.516 —0,019 0,004
i 1 2 3
hi 0,966 0,140 —0,085
lai 0,977 0,395 0,134
4. Так как перекрестные балки заделаны полностью и а = 0, тр все %,= 1.
5. Расчетный момент на опоре перекрестной балки равен [формула (207)]
pL’s . .
Л1 = [2 1*1 xi 4" уг 4~ ?з xs Z13I —
2
0,6'660* • 100
=---------J2--- [1,273 • 0,977 — 0,424 • 0,395 + 0,255 • 0,134] = 24,2 • 10s кгсм.
Момент посередине пролета средней балки главного направления [формула
рР с
«о ~ 4 [Р1 0 — y-i In) + Р» (1 — х« А») + Рз 0 — y-z /is) 1 —
0,6 - 7002 - 60
-----4--------[0.516(1 —0,966) —0,019(1 —0,140)+ 0,004(1 +0,085) =
= — 0,25 10s кгсм.
§ 40. ПЕРЕКРЫТИЯ С ЧЕРЕДУЮЩИМИСЯ РАМАМИ И ФЛОРАМИ
Расчет перекрытия, в котором чередуются рамы и флоры, может быть
сведен к расчету перекрытия с некоторыми одинаково устроенными бал-
ками главного направления1. Прогиб рамы в точке пересечения ее с /-й
перекрестной балкой:
/з / к=т \
ю>р = еГ7 - (210)
к-1 /
Прогиб флора в точке пересечения его с той же перекрестной
балкой:
/з / к-=т \
Чде = cj ~ I Q 2 ) • (2 Н)
с/гб\ х_| ]
1 ПерлннА. А., О расчете перекрытий с чередующимися рамными и флорны-
ми шпангоутами. Труды Горьковского политехнического института имени А. А. Жда-
нова (кораблестроительный фак.), т. XI, выпуск 4, 1956.
§ 41] Сложный изгиб днищевых перекрытий 331
В этих выражениях:
I — длина балок главного направления;
1г. б — момент инерции балок главного направления (принят, как это
обычно имеет место, одинаковым у рам и флоров);
р —отвлеченный коэффициент в выражении прогиба балки главного
направления в точке пересечения ее с /-й перекрестной балкой
под действием равномерно распределенной нагрузки Q;
— отвлеченный коэффициент в выражении прогиба балки главного
направления в точке пересечения ее с /-Й перекрестной балкой
год действием k-й узловой реакции RK.
Соответствующими индексами обозначена принадлежность тех или иных
величин раме или флору.
Величины Зу- и вычисляются для флора как для свободно опертой
балки, для рамы как для ба лки, упруго заделанной с так или иначе опре-
деленным или принятым коэффициентом заделки.
Приведенная балка главного направления — группа балок главного
направления, состоящая из одной рамы и п соседних с ней флоров (п —
число флоров между рамами), поддерживается k-й перекрестной балкой
усилием
RK = Rkp + nRKlp. (212)
Прогибы рамы и соседних с ней флоров в точках пересечения их
с k-n перекрестной балкой можно считать равными. Приравнивая (210)
и (211), заменяя с помощью (212) Ккф через и RKp и решая получен-
ные уравнения относительно RKP, получим выражения вида
RKP = aKQ+‘'£ biKRJt (213)
z=i
где ак и Ь,к — некоторые числовые множители.
Вводя это выражение для RKP в формулу (210), можно получить про-
гиб приведенной балки главного направления
/3 / к=т \
• <214>
с‘1г- 6 \ к= 1 I
для которой и производится расчет перекрытия. По реакциям RK, дейст-
вующим на приведенную балку главного направления, с помощью равенств
(213) и (212) находятся реакции, действующие на раму и флор.
§ 41. СЛОЖНЫЙ ИЗГИБ ДНИЩЕВЫХ ПЕРЕКРЫТИЙ
В перекрестных связях днищевых и палубных перекрытий судов обычно
действуют два вида напряжений: от участия в изгибе перекрытия (от мест-
ной нагрузки на него) и напряжения сжатия или растяжения от общего
изгиба судна.
При проверке прочности некоторых судов желательно учитывать при
определении расчетных изгибающих моментов, действующих в балках пере-
крытия, то обстоятельство, что перекрестные балки, участвуя в общем изгибе
судна, находятся в условиях так называемого сложного изгиба.
Влияние осевых сил в перекрестных связях следует учитывать в том
случае, если отсек короткий, так что перекрестные балки сильно поддержи-
вают основной набор, и если напряжения в перекрестных связях от общего
изгиба судна при этом значительны.
Чтобы иметь приблизительное суждение о том, следует ли учитывать
продольные усилия Т в перекрестных балках, можно рекомендовать сле-
дующий способ.
332
Перекрытия
[Гл. IX
Всякое судовое перекрытие может быть приближенно представлено
как перекрытие с большим числом одинаковых и равноудаленных балок глав-
ного направления и с несколькими одинаковыми и равноудаленными пере-
крестными балками.
Для этого следует осредннть моменты инерции и расстояния между
перекрестными балками.
Затем следует найти основные аргументы и и v по формулам:
(215)
(216>
Коэффициент С в формуле (215) находится по табл. 64 (стр. 312).
В зависимости от и и о , пользуясь графиками на рис. 98, можно опре-
делить, как рассчитывать перекрытие: на сложный или на простой изгиб,
или же вообще можно его расчленить на отдельные балки, не делая расчета
перекрытия.
.Метод расчета на сложный изгиб перекрытия, имеющего большое число
одинаковых и равноудаленных балок главного направления и несколько
Рис. 98
расположенных на любых расстояниях, но одинаковых перекрестных балок,
нагруженных одинаковыми осевыми силами Т, мало отличается от изложен-
ного в § 38 метода расчета перекрытия на простой изгиб.
Прогиб любой /-й перекрестной балки выражается тем же рядом
но при этом функция Pj представляет собой прогиб приведенной балки
на упругом основании при сложном ее изгибе.
Дифференциальное уравнение этой приведенной балки имеет вид:
£/p|v — Тpi — kt = qt.
§ 41]
Сложный изгиб днищевых перекрытий
333
Коэффициенты v//t приведенные жесткости kit аргументы иь интен-
сивности нагрузки q, и все элементы изгиба (прогибы, изгибающие момен-
ты и реакции) определяются по тем же формулам (195) — (203). Однако
при этом функции, входящие в расчетные формулы (/м, y2i, %(), сле-
дует находить по табл. 48 в зависимости от двух аргументов: п,- и v.
Последний определяется по формуле (216).
Фу нкнии /{ и fu удобнее находятся по табл. 72 и 73 в зависимости
от и и угла 6. Угол 6 определяется из условия
6 =arc cos ( —
1 2и
(217)
Пример. Расчет днищевого перекрытия с учетом влияния общего изгиба судна.
Конструкция и расчетная схема перекрытия даны на рис. 99.
В дальнейшем расчете флор-
ные шпангоуты полагаются балками
главного направления, а кильсо-
ны— перекрестными балками.
Запас прочности. Коэф-
фициент запаса прочности для не-
изменной постоянной нагрузки при-
нят равным 1,5. Все действующие
Поясок <рлоро& Ю0«5
Поясок килосона 4015/
Г .1
внешние нагрузки увеличиваются
на этот коэффициент.
Расчетная нагрузка
перекрытия. Осадка в рассчи-
тываемом отсеке Т = 0,9 м.
Противодавление согласно под-
счету равно 0,50 т м*.
Следовательно, интенсивность
равномерно распределенной нагруз-
ки (на единицу площади перекры-
тия) равна
р = 0,90 — 0,50 = 0,40 т ’-м*.
Если положить, что давление
это воспринимается балками глав-
ного направления, а перекрестные
балки только поддерживают их,
то расчетная нагрузка на один
флор при принятом запасе проч-
ности л =1,5 равна: Q = ndp =
= 1.5-1.2- 10 - 0,40=7,20 т.
х03шибка&5мм ♦ Х350х4
Напряжение общего изгиба в днище, полученное на основании расчета общей
прочности по нагрузкам, увеличенным на тот же полуторный запас прочности.
равно
*0 = — 1 250 кг)см*.
Характеристика профилей балок. Моменты инерции и моменты
сопротивления балок перекрытия приведены в табл. А.
Таблица А
Б алки Элемент профиля Момент инерции, см* Моменты сопротивле- ния, см3
относитель- но пояска относитель- но обшивки
Флоры 6840 290 540
Кильсоны . . . 8000 360 750
Функции /|
0 и 0 20 40 60 70 80 85 90 95
’0,01) — —— 1,000
0,10 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
0,20 1 ,000 1,000 1,000 1 , ООО 1,000 1,000 1,000 0,999 0,999
0, 10 0,9'19 0,998 0,997 0,996 0,996 0,995 0,994 0,993 0,99 1
0, 10 0,987 0.98G 0,985 0,984 0,983 0,982 0,980 0,979 0,978
0,50 0,963 0,961 0,960 0,959 0,958 0,957 0,953 0,950 0,950
0,00 0,935 0,933 0,930 0,925 0,920 0,910 0,905 0,901 0,895
0,70 0,897 0,891 0,885 0,870 0,862 0,850 0,838 0,827 0,812
0,80 0,850 0,845 0,840 0,810 0,800 0,765 0,745 0,731 0,705
0,90 0,803 0,790 0,778 0,740 0,715 0,670 0,645 0,619 0,585
1,00 0,745 0,730 • 0,720 0,665 0,633 0,560 0,525 0,498 0,450
1,10 0,690 0,675 0,655 0,580 0,537 0,467 0,423 0,380 0,317
1 ,20 0,610 0,615 0,590 0,510 0,465 0,380 0,330 0,272 0,200
1 ,30 0,580 0,560 0,527 0,435 0,376 0,297 0,245 0,178 0,095
1 ,40 0,532 0,510 0,472 0,375 0,310 0,230 0,165 0,100 0,020
1,50 0,480 0,465 0,423 0,320 0,252 0,161 0,102 0,037 -0,047
1,60 0,433 0,415 0,370 0,280 0,205 0,115 0,050 -0,013 —0,095
1,70 0,390 0,366 0,330 0,240 0,160 0,070 0,010 -0,052 -0,140
1,80 0,350 0,325 0,285 0,200 0,120 0,035 -0,020 -0,081 —0,165
1,90 0,315 0,290 0,245 0,160 0,090 0,010 -0,045 -0,102 -0,180
2,00 0,282 0,255 0,216 0,120 0,062 -0,018 -0,066 -0,117 -0,173
2,50 0,185 0,155 0,120 0,045 0,010 -0,050 —0,090 —0,131 -0,150
3,00 0,089 0,060 0,036 -0,010 -0,032 —0,064 -0,082 -0,095 —0,113
4,00 0,026 0,018 0,011 —0,002 —0,009 -0,017 -0,021 -0,024 —0,055
5,00 0,007 0,003 0,000 -0,003 -0,005 -0,003 0,000 +0,004 +0,009
1 и б л и ц н 72
ПК) НО 120 МО 160 JHO
1,000 1,000 1,000 1 ,000 1,000 1,000
0,007 0.996 0,996 0,995 0,994 0,9'14
0,090 0,988 0,986 0,984 0,980 0,978
0,977 0,974 0,970 0,962 0,955 0,950
0,918 0,945 0,938 0,926 0,919 0,915
0,887 0.8G6 0,84.5 0,810 0,805 0,800
0,803 0,762 0,720 0,635 0,550 0,453
0,668 0,606 0,520 0,250 -0,260 — 0,800
0,540 0,440 0,292 -0,308 -1,730 — 3,720
0,400 0,265 0,000 — 1,020 -3,900 -32,150
0,253 ',058 -0,247 — 1,710 -6,630 00
0,120 —б, 090 —0,440 — 1,950 —5,200 —57,200
—0,010 —0,226 -0,580 —2,060 -3,850 —16,150
-0.075 -0,3 0 -0,645 -1,950 -3,500 — 9,300
-0,132 -0,358 —0,680 -1,745 -3,200 - 5,090
-0,175 -0,390 -0,705 -1,560 -2,750 — 3,750
-0,210 -0,403 -0,705 — 1,370 -2,360 - 2,780
-0,230 -0,410 —0,685 -1,210 -2,000 — 2,200
—0,250 -0,402 —0,630 -1,070 —1,600 — 1,750
-0,249 -0,388 -0,547 -0,940 -1,200 - 1,535
-0,200 -0,285 -0,310 -0,380 0,200 0,600
-0,125 -0,145 -0,146 0,075 1,320 7,610
-0,055 -0,055 -0,045 0,085 1,665 3,790
+ 0,017 0,035 +0,053 0,090 -0,410 - 3,586
334 Перекрытия
X
Функция /1
\ 0° U^\\ 0 20 40 60 70 80 85 90 95
0,00 — — — — . 1,000
0,10 1,000 1,000 1 ,000 1,600 1,000 1,060 1,000 1,660 1,000
0,20 1,000 1 , ООО 1,000 1 ,000 1,000 1,006 1,600 1,600 1,060
0,30 0,999 0,999 0,999 0,999 0,‘ 99 0,9'9 0,1,99 0,999 0,999
0,40 0,996 0,996 0,996 0,9''6 0,196 0,996 0.91.G 6,91,6 0,9'6
0,50 0,990 0,990 0,9 0 0,990 0,9' 0 0,990 0,990 0,990 0,990
0,60 0,981 0,981 0,980 0,980 0,979 0,979 0,979 0,979 0,980
0,70 0,965 0,965 0,965 0,963 0,961 0,961 0,961 0,961 0,956
0,80 0,949 0,947 0,944 0,941 0,939 0,937 0,935 0,935 0,935
0,90 0,923 0,920 0,914 0,910 0,908 0,903 0,900 0,869 0,895
1,00 0,888 0,885 0,880 0,865 0,860 0,853 0,850 6,853 0,849
1,10 0.850 0,846 0,843 0,820 0,820 0,805 0,802 0,795 0,785
1,20 0,810 0,810 0,800 0,780 0,770 0,750 0,743 0,728 0,715
1,30 0,767 0,760 0,750 0,720 0,704 0,682 0,674 0,653 0,635
1,40 0,720 0,713 0,700 0,660 0,635 0,615 0,600 0,573 0,550
1,50 0,671 0.6G3 0,645 0,600 0,570 0,533 0,518 0,492 0,461
1,60 0„625 0,615 0,590 0,540 0,500 0,465 0,445 0,411 0,385
1,70 0,575 0,565 0,535 0,480 0,437 0,400 0,370 0,335 0,305
1,80 0,530 0,515 0,485 0,420 0,375 0,340 0,297 0,264 0,230
1,90 0,480 0,465 0,435 0,360 0,320 0,280 0,240 0,201 0,165
2,00 0,432 0,412 0,386 0,310 0,270 0,217 0,181 0,144 0,105
2,50 0,295 0,280 0,250 0,170 0,135 0,090 0,085 -0,020 —0,020
3,00 0,149 0,135 0,105 0,025 0,009 -0,033 -0,059 —0,085 -0,111
4,00 0,040 0,030 0,010 -0,005 -0,015 -0,035 —0,046 -0,053 -0,100
5,00 0,013 0,008 0,003 —0,003 -0,016 -0,012 -0,012 -0,003 -0,006
Таблица 73
100 110 120 140 160 180
— —
1,000 1,000 1 ,000 1,000 1, ООО 1,000 р
1,000 1,000 1,000 1,900 1,000 1,000
0,9'9 О,')1 8 0,998 0,(98 0,998 0,998 Л
0,9С6 0,991 0,991 0,991 0,991 0,991 2 Rc
0,990 0,985 0,985 0,985 0,985 0,985 Г
0,980 0,975 0,975 0,973 0,976 0,970
0,956 0,965 0,955 0,955 0,955 0,955
0,935 0,925 0,920 0,920 0,915 0,910
0,890 0,888 0,880 0,865 0,862 0,855 гЕ С
0,840 0,830 0,815 0,790 0,770 0,770
0,781 0,758 0,743 0,696 0,656 0,650 2
0,700 0,665 0,635 0,570 0,515 0,490 X
0,622 0,580 0,533 0,437 0,346 0,298 £
0,540 0,480 0,415 0,275 0,160 0,070
0,440 0,364 0,293 0,105 -0,045 -0,159 "5S
0,345 0,260 0,175 -0,035 -0,245 —0,420 .§ е
0,260 0,163 0,060 -0,180 -0,430 -0,605
0,185 0,085 -0,030 —0,305 -0,585 -0,770
0,123 0,065 -0,115 -0,410 -0,690 —0,890
0,054 -0,053 -0,174 -0,480 -0,745 -0.940
—0,060 -0,160 -0,255 -0,490 —0,685 —0,835
—0,139 -0,204 —0,270 -0,411 —0,547 -0,595
-0,100 —0,155 -0,170 -0,170 -0,110 —0,768
0,000 0,018 0,065 0,188 0,473 0,752 со OJ
33b
Перекрытия
[Гл. IX
Определение сжимающей силы Т в кильсоне. Сжимающая
сила в кильсоне от общего изгиба определена в табл. Б.
Таблица Б
Наименование связи Площадь, см* Редукци- онный коэффи- циент общего изгиба Напряже- ние общего изгиба в жестких связях, кг) см* Сжимающая сила [2]-[3]-[4], кг
1 2 3 4 5
К нльсон Нередуцируемая обшивка . . Редуцируемая обшивка 21 0,5-30=15* 137-0,5=68,5 1,00 1,00 0,064 —1200 —1250 —1250 —25300 — 18800 — 5500 Т=—49600 кг
Условия закрепления концов балок перекрытия. С двух
сторон рассматриваемого отсека находятся трюмы с большим противодавлением,
поэтому полагаем перекрестные балки свободно опертыми.
Определение коэффициентов у,-, перекрытий. В рассматривае-
мом случае кильсоны расположены на равных расстояниях, поэтому коэффициенты
'ji должны быть взяты по табл. 169.
Полученные таким образом значения приведены в табл. В. При этом вслед-
ствие симметрии четные значения i выпадают и при пяти кильсонах сохраняются
три члена ряда (при i: = 1; 3 и 5).
Определение жесткостей
упругого основания k,. По фор-
муле (195)
Е1гб 2-10'-6 840
= *i с1з = Тоооз~12о~ = “/ °>440.
Подставляя по табл. 66 <xi = 16,3,
д,= 1260 и а5 = 5 000, получим:
kY = 1,86 кг/см?\ k3 = 144 кг'[смг,
ks = 570 кг{сма.
Определение аргументов
и,. По формуле (197) и, равны
Таблица В
i j X 1 3 5
1 0,500 1,000 0,500
2 0,866 0 —0,866
3 1,000 —1,000 1,000
4 0,866 0 —0,866
5 0,500 1,000 0,500
4 / L* _ * / ' 9604
“* = \ 64 EI = | ' 64 • 2 106• 8 000
= 1,Ю;
и3 = 3,30; и5 = 4,65.
Определение аргумента v. По формуле (216)
L 1 /"Г 960 , / — 49 600 Л г,_ .
1‘— 2 г EI ~ 2 V 2- 10»- 8 000 —0,801 ’
где — мнимая единица.
Определение интенсивностей приведенных нагрузок
Максимальные реакции крайней балки главного направления по табл. 67 при дей-
ствии нагрузки снизудравны:
R1 макс — Rs макс = 0,189 Q;
R* макс — R* макс = 0,160 Q;
R3 макс = 0,1 /0 Q.
• Шпация с учетом холостых шпангоутов равна 600 мм (на рис. 99 холостые
шпангоуты не показаны).
§ 41] Сложный изгиб днищевых перекрытий 337
Подставляя найденные и Rjmokc в формулу (198), можно получить систему
трех следующнх уравнений относительно неизвестных qlt q3 и q3.
0,500 ?i + 1,000 q3 + 0,500 qt = —0,189 у ;
Q
0,866 ?! — 0,866 qs = — 0,160 ~ ;
Q
<7i — Чз + 4s = — 0,170 — .
Отсюда найдутся все qp
Q Q Q
<7i = —0,216 —; q3 = — 0,069 у ; <7S = —0,027 y.
Нахождение функций /0. Z, от и, и о. В табл. Г даны необходимые
для расчета рассматриваемого перекрытия (у которого все х=0) функции /о; и Хо„
найденные по табл. 48 с использованием формулы для интерполирования функции
двух аргументов (§ 10) и по табл. 72 линейным интерполированием.
ТаблицаГ ТаблицаД
Функции I = I , = 3 i = 5 Связь Напряжение, кг/см3
/о/ 0,272 —0.098 —0,011 Поясок + 1 400
7.01 0,644 0,000 -0,001 Обшивка —2 480
Определение напряжений в кильсонах. Наибольший изгибаю-
щий момент посередине среднего кильсона (j = 3) по формуле (200) при х,=0 равен
Подставляя цифры, получим
т
[%
Чю= -=- > Qi ‘3i koi-
о
<-1
9,6» Q
М3»=—g- - [0,216 1,000 - 0,644 + 0,069 • (— 1,000) 0,000 +
О 7,2
- (+ 0,027) • (+ 1,000) - (— 0,001)] = 1,6 с = 1,6 , 2 = 9-6 тм-
Напряжения в кильсоне равны:
в пояске
__ М зо_<
- U „ +
в обшивке
А[зо
~обш= ц, + ~0 •
w оош
По табл. A: U ’„= 360 см3, 1Гови=750 см3. Напряжение общего изгиба з0 в об-
шивке равно— 1 256 кг^м3, в пояске— 1 200 кг[см3.
Вычисленные по указанным выражениям напряжения в кильсонах сведены
в табл. Д.
Определение напряжений во флорах. В худших условиях нахо-
дится средний флор, так как он слабее других поддерживается кильсонами.
Минимальные реакции кильсонов определяют по формуле (202), учитывая,
что все х, = 0.
Например, минимальвая реакция первого кильсона
Ri0 = с 2 'ii Qi foi = —сТ [0.500 - 0,2’6 • 0,272 +
+ 1,000 - 0,069 • ( —0,098) + 0,500 • (0,027) (—0,011)] = — 0,0227 О.
Аналогично определяются минимальные реакции других кильсонов. Эти реак-
ции даны_в табл. Е.
22 Учебный сп авочник
338'
Перекрытия
[Гл. IX
Схема нагрузки среднего флора показана на рис. 100.
Таблица Е
] Реакция Rj
I —0,0227 Q
2 —0,0435 Q
3 —0.054U Q
4 —0,0435 Q
5 —0,0227 Q
Рис. 100
Расчетный изгибающий момент в середине этого флора равен
QI
Мфл = у — [0,167 • 0,0227 — 0,333 - 0.0435 — 0,250 • 0,0540] QI =
= 0,0934 QI = 0,0934 7,2 10= 6,70 ,пм.
Напряжение в пояске флора равно 1 * *
41м, 6,70 - Ю5
= -^ - = —290— = 2300 кг!см*-
Если бы расчет этого же перекрытия был выполнен без учета осевых сил Т
в продольных балках (при Т = 0), то напряжение в пояске флора получилось бы
равным =• 1820 кг!см? Учет осевых сил увеличил расчетное значение напряже-
ния во флорах на 26%.
§ 42. УСТОЙЧИВОСТЬ ДНИЩЕВЫХ ПЕРЕКРЫТИЙ
Рассмотрим днищевое перекрытие речного судна, имеющее большое
число одинаковых и равноудаленных балок главного направления и не-
сколько расположенных на любых расстояниях, но одинаковых перекрест-
ных балок.
Для проверки устойчивости такого перекрытия надо найти критическое
значение осевых сил Т, действующих в перекрестных балках.
В приводимых ниже расчетных формулах сохранены обозначения
§ 38 и 41.
Порядок расчета следующий.
Определяется аргумент Uj по формуле
“‘=2-i/sa.
где
/-1
(218)
(219)
(220)
1 Все напряжения получены при нагрузках, увеличенных в 1,5 раза (запас
прочности), следовательно, они должны сравниваться не с допускаемыми, а с опас-
ными напряжениями.
§ 42]
Устойчивость днищевых перекрытий
339
[В § 38 даны указания об определении всех величин, входящих в фор-
мулы (218)—(220)].
По найденному аргументу щ следует найти критическое значение
аргумента о по табл. 24, случай 14, при свободно опертых перекрестных
балках или случай 15, — если они жестко заделаны.
Тогда критическое значение силы Т найдется по формуле
= (221)
Пример. Найти коэффициент запаса на устойчивость перекрытия, рассчитан-
ного в § 41. Для этого перекрытия было найдено, что иг = 1,1.
По табл. 24 находим с помощью линейного интерполирования
2 v3
-,-=2,18,
откуда
2,18
"э
= 3,44
и согласно «формуле (221):
4 • 2 - 10» 8000
Т» — ОСЛ2 1 3,
9602
44 2 = 69,5 • Юз кг.
Действующее усилие было определено для перекрытия
Т = 49,6 103 кг.
запас на устойчивость
69,5 • 103
k = 49,6 - 103 — 1л’
224’cS
2
ГЛАВАХ
МЕТОД ПРЕДЕЛЬНЫХ НАГРУЗОК
Расчеты в области упруго-пластических деформаций по предельным
нагрузкам, по несущей способности находят в строительной механике
корабля все более и более широкое применение.
Соответствующие методы позволяют определить перемещения (напри-
мер, прогибы изогнутых балок) при нагрузках, вызывающих в материале
напряжения, превышающие те, при которых еще справедлив закон Гука.
При дальнейшем хвеличении внешних нагрузок они дают возможность
приближенно судить о величине разрушающих нагрузок, что бывает суще-
ственно, например, при проектировании водонепроницаемых переборок,
некоторых деталей корпуса ледокольных судов и в других случаях.
Для простоты выкладок и известной осторожности чате всего в ука-
занных расчетах материал считают идеально пластичным (см. рис. 25,6).
Реже учитывают упрочнение, и в этом случае принимают зависимость
- = f (г) в виде ломаной линии (см. рис. 34).
Наибольший интерес для судовых конструкций представляют расчеты
балок на изгиб. Поэтому в настоящей главе кратко рассмотрены лишь во-
просы изгиба: вопрос об упруго-пластических линиях изогнутых балок (пол-
ных и остаточных), приемы определения предельных нагрузок и принципы
конструирования по методу предельных нагрузок.
Во всех случаях материал считается идеально пластичным.
§ 43. УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ
По мере увеличения изгибающего момента в каком-нибудь элементе
балки кривизна этого элемента все время увеличивается. Наблюдения пока-
зывают, что гипотеза плоских сечений — гипотеза о линейном законе изме-
нения продольных относительных удлинений по высоте сечения прибли-
зительно справедлива и в области пластических деформаций.
По мере того, как \величивается кривизна в рассматриваемом месте
балки, увеличивается и наклон линии относительных удлинений и напря-
жений.
На рис. 101,а напряжения нигде не достигают предела текучести; на
рис. 101, б после увеличения изгибающего момента верхняя часть сечения
(заштрихована) находится уже в зоне пластичности, а на рис. 101,в большая
часть сечения несет напряжения, равные пределу текучести, и лишь неболь-
шая часть сечения около нейтральной оси находится в упругой зоне. Пред-
полагается, что в предельном состоянии пластические деформации распро-
страняются на все сечение (рис. 101, г) и лишь пренебрежимо малая часть
его вблизи нейтральной оси остается в упругой зоне. В случае изгиба и отсут-
ствия продольного растяжения или сжатия нейтральная ось делит сечение
на две равные по площади части, и нормальные напряжения (равные +а,„
§ 43]
Упруго-пластический изгиб
341
в верхней половине сечения и — зт в нижней) создают относительно этой
нейтральной оси момент
F
\[пР = 3 г
m 2
Очевидно, что этот изгибающий момент будет наибольшим, который
может воспринять сечение (предельным).
По аналогии с формулой
Л1= со-
множитель при ~т в правой части выра-
жения для Л1лр называется п р еде л ь н ы м
моментом сопротивления. Таким
образом
Мяр = \Упр. (2221
Предельный момент сопротивления
может быть вычислен по одной из сле-
дующих формул:
ll7^ = y^ = 2S<? — S = S — 25бл, (223)
где:
8д— статический момент дальней половины площади поперечного сече-
ния балки относительно произвольной оси AW, перпендикулярной
плоскости изгиба (рис. 102);
8бя — аналогичный статический момент ближней половины площади;
S — статический, момент всей площади поперечного сечения относительно
осн Л'Л'.
Предельные моменты сопротивления простейших профилей приведены
в табл. 74.
При определении линии изгиба оси балки — упруго-пластиче-
ской линии — в связи с тем, что в различных местах балки действуют
различные по величине изгибающие моменты, приходится иметь дело
с двумя дифференциальными уравнениями изгиба
^ = ‘Е1 = и.'т^ , если Л4<Л4т,
. / yjnp — м
w" = Wm |/ Мпр — М еСЛИ Мт <М<МПР,
(224а)
(2246)
Метод предельных нагрузок
[Гл. X
где:
Мт = — изгибающий момент, вызывающий в крайнем волокне
напряжения, равные пределу текучести, и называемый
моментом фибровой текучести;
— кривизна, соответствующая Мт.
Процесс интегрирования уравнений (224а и б) даже для статически
определимых балок осложняется необходимостью прибегать к табличным
приемам взятия интегралов.
Объединяя оба выражения (224а и б) формулой
w’ = F (Л1),
Таблица 74
Предельные моменты сопротивления простейших профилей
Сечение U W
Прямоугольник . bh* 4 bh* 6 1,50
Треугольник - . . 2-^ bh*- bh* 2,34
6 bh* 24
~ 10,24
Круг d* r.d3 32 1,70
Тонкое круговое кольцо .... d*t* л| я % 1,3
Прокатные швел- леры и двутавры — — = 1,2
Несимметричные
сварные двутав-
ры ............
1,254-1,45
* J — средний диаметр, I — толщина.
§ 43]
Упруго-п топический изгиб
343
после двукратного приближенного (табличного) интегрирования получим:
Ду *
= V С-4- 2 ,
Z i-0
d+ 2 с+ 2 2 F•
i-0 i-0 i-0
ИЛИ
п*
-<= D-ic-r 2 2 FW
i _ 0 i - 0
Произвольные постоянные определяются из граничных условий.
Для балок, свободно опертых на две ножевые опоры, получим* 1
где
п — число участков длиной Дх каждый, на которые разбита длина балки;
i — номер сечения.
Поскольку закон разгрузки подчиняется закону Гука (см. стр. 119),
сравнение линии остаточного изгиба будет также двояким:
^ост = о, (226а)
если изгибающий момент в сечении не превышал Мт, и
Z мпР___м ,, М
~мп = |/ МпР — М~ ~ Wm М~т ' (22G6)
если момент в сечении при загрузке заключался в пределах Л4т^ М <Мпр.
Приведенный метод получения упруго-пластической линии и линии
остаточного изгиба является общим и может быть применен к любому
виду зависимостей з = /(е) и w" — F (М). В случае учета упрочнения
следует лишь вместо второй из формул (224) принять другую зависимость
- которую можно получить из соотношений:
f/(e)dF = O, fz/(e)dF = A4, *2~£1 = w”.
* Множители -р- при переходе от интегралов к суммам введены
латаемого интегрального суммирования.
1 Произвольные постоянные находятся так:
при л = О. т. е. <=0, х = 0:
ввиду предоо
О = -4- (D + 0 + 0] . . 0 = 0
при х = I. т. е. i = п, а = 0:
п
Дх»
°--г пс+2 2 •с = -^2 2
о > = о
О « - I
344
Метод предельных нагрузок
[Гл. X
где:
Ч» £1 — относительные удлинения крайних волокон;
h — высота сечения \
dF — элемент площади сечения балки.
Пример 1. Определить предельный момент сопротивления показанного на
рис. 103 профиля.
К, см3 Расстояние г от оси NN, см Е г, см3
Верхний поясок . 4,8 30,8 148
Стенка .... 15,0 15,5 232
Нижний поясок ... 12,5 0,25 3
32,3 383
„ .7,8 —0,5 \
S6 = 3 -г (16,15— 12,5) I-—-г 0,5 = 18,2 ел»;
1ГЛЛ = S83 — 2 • 18,2 = 347 см3.
Пример 2. Определить прогвб под нагрузкой 700 кг для показанной на
рис. 104 балки:
7=9 см*. = 6 см3, Wn>> = 9 см3, = 2000 кг/см3, Е = 2,22 - 10е кг/см3.
Вычисляем = 2000 - 6 = 12 000 кгсм. МЧР = 2000 • 9 = 18 000 кгсм и
12 000 ,
“т — 2.22 • 10« 9 — 6 ' 10 ^СИ’
Как видно по значениям изгибающих моментов (вторая графа приводимой
ниже таблицы) в оконечностях балки кривизну можно вычислять по формуле
„ , -* М . М
w”—6-10 ,M^ = 6-10 12000’
а в трех центральны х сечениях — по формуле (2246)
„ , -4 1/ 6000
х — 6-10 j 18000— '.И ’
Дальнейшие операции в таблице не требуют пояснений, поскольку они точно
соответствуют операциям, предусмотренным формулой (225).
1 Из первых двух уравнений, например, путем подбора можно найти и е2,
а из третьего ге".
§ 44]
Определение предельной нагрузки
345
Определение упруго-пластической линии (к рис. 104)
i И. кгсм и'10* 4. 1/см lO1!^', 1/см 1/см ^•1131, \/см ЮЧ 1. 1/см I I ш=’40~ мм
0 0 0 0 0 0 0 0
1 — 3500 — I,. 5 — 1,75 — 2 113 111 2,8
2 — 7000 — 3,50 — 7,00 — 11 226 215 5,4
3 —10" 0 — 5,25 — 15,75 — 34 339 305 7,6
4 —14000 — 7,36 — 28,36 — 78 452 374 9,4
5 —17500 —20,80 — 56,52 — 163 556 393 9,8
6 —14000 — 7,36 — 84,68 — 305 679 374 9,4
7 —10' Ю — 5,25 — 97,29 — 487 792 305 7,6
8 — 7000 — 3,50 — 106,04 — 690 905 215 5,4
9 — 3' О — 1,75 — 111,29 — 907 1018 111 2,8
10 0 0 —113,04 — 1131 1131 0 0
На рис. 1_4 сплошной линией показана линия упруго-пластического изгиба
построенная по числам последней графы таблицы, а пунктиром — остаточный изгиб
после снятия нагрузки, вычисленной аналогичным табличным способом по зависи-
мостям (226).
§ 44. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
При расчетах по методу предельных нагрузок предполагается, что по
мере возрастания кривизны сечение способно воспринимать все больший и
больший изгибающий момент, вплоть доЛ4пр.При дальнейшем увеличении
нагрузки сечение продолжает оказывать сопротивление изгибу с тем же
изгибающим моментом — в этом сечении балки образуется как бы шарнир
с односторонним трением — пластическийшарнир. В упруго-плас-
тической линии балки начинает появляться излом.
При разгрузке трение отсутствует — уменьшение изгибающего момента
сопровождается пропорциональным ему уменьшением кривизны, образовав-
шийся же ранее угол излома сохраняется.
Под предельной нагрузкой конструкции понимается нагрузка, пре-
вращающая конструкцию в кинематический механизм вследствие появления
в изгибаемых балках пластических шарниров или замены стержней, рабо-
тающих на растяжение-сжатие, указанными ниже усилиями.
При появлении в растянутом стержне напряжений, равных пределу
текучести, сила сопротивления его дальнейшему растяжению остается по-
стоянной и равной произведению предела текучести на площадь сечения
7^ = =mF.
В слхчае сжатия стержня при появлении в нем напряжений, при кото-
рых он теряет устойчивость или равных пределу текучести, следует из осто-
рожности полагать, что стержень совсем перестает оказывать сопротивление
при дальнейшем повышении нагрузок на сооружение.
Из сказанного следует, что расчет статически определимых
балок на изгиб по методу предельных нагрузок ничем не отличается от
обычного расчета. В месте наибольшего изгибающего момента появляется
пластический шарнир; приравнивая изгибающий момент в этом сечении
(пропорциональный, очевидно, нагрузке на балку) предельному зт Ц7пр,
можно найти величину предельной нагрузки
1 Например, в приведенном выше примере 2
4 МпР 4-18 000
Рпр = ~Т~ = —100~ = 720 кг.
346
Метод предельных наг! узок
[Гл. X
Расчет статически неопределимых балок, рам и пере-
крытии по методу предельных нагрузок сводится к выяснению последова-
тельности появления в конструкции пластических шарниров и разысканию
предельной нагрузки на конструкцию. Статическую неопределимость не
приходится раскрывать. Необходимо лишь, сообразуясь с видом эпюр
изгибающих моментов, назначать места пластических шарниров, устанав-
ливать вид эпюр в предельном состоянии и из элементарных соотношений
определять величины предельных нагрузок.
В более сложных случаях обычно приходится обследовать несколько
вариантов решения, зависящих от соотношения предельных моментов со-
противления различных входящих в конструкцию балок, чтобы выбрать из
всех вариантов минимальную предельную нагрузку, обращающую кон-
струкцию в кинематический механизм.
При действии на конструкцию нескольких нагрузок чаще всего опре-
деляется предельное значение одной из них, а остальные предполагаются
известными или связанными с разыскиваемой заданной зависимостью (напри-
мер, пропорциональное изменение всех нагрузок).
Характерным для опреде. ения предельных нагрузок, и вообще для
метода предельных нагрузок, является игнорирование деформаций и же-
сткостей балок (ЕДУ, основными ветичинами, с которыми приходится
оперировать, являются характеристики прочности (W"p, ат)*.
В табл. 75 приведены предельные нагрузки простейших статически неоп-
ределимых балок н для сравнения — наибольшие нагрузки, соответствующие
фибровой текучести.
Таблица 75
Наибольшие нагрузки простейших статически неопределимых балок
Наибольшая нагрузка
= Тип балки и нагрузки Предельная нагрузка по обычному методу
! упругих деформаций
• Следует отметить, что иногда из осторожности, для простоты вычислений
и ввиду относительной новизны метода предельных нагрузок под предельным изги-
бающим моментом понимают момент фибровой текучести Мпр = Мт = ат UZ или, что
то же, 2”* считают равным W. что в итоге приводит к занижению предельных
нагрузок на 30—<0%.
§ 44] Определение предельной нагрузки
347
Продолжение табл. 75
Тип балки и нагрузки Предельная нагрузка Наибольшая нагрузка по обычному методу
г' упругих деформаций
Меньшая из:
, 2 Мт
иакс— (21 + Ь)а*Ь
21‘Мт
— ab (I + b)
QnP=
\6МПР
I
M"P
(1 -<2’) 1
QVUKC--
8 At
I
15,6 Л1"Р
12 M"P
I
7,5 M,
QmoKC - I
Q
V макс — [
Q =1°^
Пример 1. Определить предельную нагрузку балки, показанной на рис. 105.
Очевидно, что при увеличении силы Р напряжения, равные пределу текучести,
иявятся прежде всего в опорном сечении1. Увеличивая силу, можно довести это
сечение до состояния полной пластичности — в этом сечении появится шарнир
' трением, рв агающвй к балке момент Мпр = mWnp. Дальнейшее увеличение
силы должно привести к появлению второго пластического шарнира в сечении под
силой. Вс 1едствие наличия трех шарниров (двух пластических и одного—на пра-
вой опоре — конструктивного) балка превращается в кинематический механизм;
следовательно, указанное состояние в будет предельным. Из рисунка
АС = АВ+ВС .
рпр / Мпр
-4 = + -МПР-
ткуда
6МпР
Р”Р= —t—
как и дано в табл. 75 (случай 3).
Следует заметить, что в данной задаче можно было ие использовать имею-
щееся решение по статически неопределимым балкам метода упругих деформаций,
а сразу по виду эпюр назначить положение пластических шарниров.
1 См. случай 19а, табл. 25.
34&
Метод предельных нагрузок
[Гл. X
Пример!. Определить предельную нагрузку балки, показанной на рис, 106.
Для данной задачи положение пластического шарнира в пролете должно
быть найдено из условия
dx ~ dx [ 3 \ I pl М I J и’
откуда
Л_1
I = Г 3 — QI
Подставляя найденное — в уравнение АС — АВ = ВС (рис. 106 внизу),
найден
12.И"Р \2amWnP
Qnp = --j— = —z—
как и дано в табл. 75 (случай 8).
Пластический шарнир оказывается ровно в середине пролета.
Пример 3. ^Определить предельную распределенную нагрузку’балки, пока-
занной на рнс. 1 , считая, что в середине пролета она поддерживается_заданной
силон R.
При небольших значениях поддерживающей силы R пластические шарниры
образуются в опорных сечениях и в сечениях, где изгибающий момент
достигает максимума.
Относительную абсциссу левого из средних пластических шарниров можно
=айти из уравнения
QI I х\ RI ~ х 1 ( RX
2 V-2Т/+ 2 -°” •
Для ^определения предельной нагрузки необходимо приравнять максимальный
пролетный момент предельному (с обратным знаком)
После некоторых преобразований получим квадратное уравнение
/QV.» 8 11»Р\ОТ
М ' + -w-)V+'-0-
44]
Опредегение предельной нагрузки
349
откуда
<e"P=R+ ~Г + у 1+-4М1ГР) - (227)
Эпюра изгибающих моментов в этом случае имеет вид, показанный на рис. 107
внизу.
Далее надлежит убедиться, при каких значениях силы R полученное решение
будет справедливо. Рассмотрение эпюр н элементарные соображения показывают,
8Мпр
что если 7?> , то для того, чтобы балка была прочной, распределенная на-
, 32 Мпр
грузка С?2~) необходима. Прн R —---j--- балка может нести нагрузку, равную
64 Мяр
Qnp =---j---. Это эквивалентно ва лвчию жесткой промежуточной опоры в середине
32 Мпр
пролета. Если же R >-------, то нв при какой равномерно распределенной нагрузке
прочность ие будет обеспечена.
Пример 4. Определить предельную равномерно распределенную нагрузку на
флор шпангоутной рамы с одним достаточно прочным пиллерсом (рис. 108), считая
предельные изгибающие моменты бимса, бортового шпангоута и флора известными:
М"р = 6 тм, = 8 тм и А1з₽ = 15 тм.
Схема шпангоутной рамы дана на рис. 108,6.
Поскольку ,М”Р < Л12₽ < Л4з₽, удобно начать рассмотрение с би.мса и опреде-
лить предельную реакцию пиллерса, которую бимс может выдержать. В бимсе
образуется три пластических шарнира, показанных иа рис. 108,с, и из условия
^-2.«Г-
находим
8
* = —ЁГ
8-6
10
= 4,8 .-и.
Флор в предельном состоянии нагружен искомой нагрузкой О, двумя момен-
тами по концам (болыцего момента бортовой шпангоут воспринять не может)
и найденной реакцией пиллерса R.
Решая задачу графически, следует, построив суммарную эпюру от М2 и R
ABCDE, рнс. 108, в), отложить от точки В вверх отрезок 7Из₽ и провести пря-
мую GF | ВС. Далее, задаваясь рядом значений Q, надо откладывать от линии АЕ
параболические эпюры, соответствующие этим нагрузкам по уравнениям
2 В В21 '
стремясь подобрать такую нагрузку, чтобы соответствующая ей парабола касалась
линии GF. На рис. 108,в пунктиром показана эпюра нагрузки Q = 22 т и сплошной
линией—эпюра, соответствующая искомой нагрузке Q"₽ = 27 т.
При аналитическом решении следует составить уравнение изгибающего мо-
мента для флора
И = — / — — — 1 — —х — \\пр
2 \ В Вг] 2 ‘ *2
ИЛИ
QB / х х1 \ х
И = ~2~ (~В- ~B*J - 4 Л]1Р ~В ~ М2Р
d.M
и найти из условия -----= 0 его максимум. В данном случае максимум будет
иметь место при
х 1
В ~ 2 — QB
350
Метод предельных, нагрузок
[Гл. X
Приравняв максимальный
QnPB
4 «7₽\ ( 1
Q”P В j \ 2
момент флора его предельному моменту
4 / 1 4 мг\
~0^в) ~ 4 М"₽ \2 — 0яР~В ) ~ Л12₽ = M3P •
нетрудно разыскать из последнего уравнения искомую нагрузку
8 Л1?р 4(М"Р+М"₽) , ' 4Mntp
V=~B~- в +]/ 1 + Л1"Р +'мпр
которая после подстановки числовых данных оказывается равной Qnp = 27,2 т.
Рис. 108
Окончательная эпюра изгибающих момен тов для флора и положения четырех
ластических шарниров показаны на рнс. 108,г.
Следует заметить, что если бы сжимающие напряжения в пиллерсе при най-
денной реакции R превысили эйлеровы, то в соответствии со сказанным выше пил-
лерс нельзя был > бы принимать во внимание и
Q”P =
8 (Af"₽ + Mlp)
В
— 18,4 т.
Точно так же изменился бы ход расчета при другом соотношении предельных
моментов сопротивления. Например, если бы флор был слабейшей связью, можно
§45]
Определение предельной нагрузки
351
было бы начать расчет с него и, определив для него, как для балки на трех опо-
рах. предельную нагрузку, проверить, выдержат ли пиллерс и бимс соответствую-
щую реакцию.
р и м е р 5. Определить предельную равномерно распределенную нагрузку
перекрытия, состоящего нз нескольких одинаковых балок главного направления
и одной перекрестной, про-
ходящей в середине перекры-
тия (рис. 109).
Предположим первона-
чально. что перекрестная бал-
ка достаточно прочна и в со-
стоянии выдержать приходя-
щуюся на нее предельную
реакцию. равную, очевидно,
1 1
Ri — Р1.О — 2
В балках главного на-
правления в предельном со-
стоянии образуются пять
пластических шарниров, и на-
грузка согласно случаю 5
табл. 75 будет -равна
2
откуда
64 64 М\р
Qi =----у---. или Р1 = —. (228)
Необходимо, однако, выяснить, выдержит ли перекрестная балка указанные
выше реакции. Перекрестная балка как балка, заделанная по концам и нагружен-
ная равномерно распределенной нагрузкой, может выдержать суммарную нагрузку
16Л1"Р
L '
или нагрузку на Единицу длины
16 Мп2р
7* ’
или нагрузку рядом одинаковых сил, находящихся иа расстоянии с друг от друга,
16 М2Р
Rt= -jy с.
Если эти силы не меньше реакций первого варианта, т. е. если
R, > Я*.
то найденное выше давление иа перекрытие рл и является наибольшим возможным,
т. е. предельным. Если же Rt < Rlt то необходимо произвести дополнительный
расчет, предполагая балку главного направления загруженной равномерно распре-
деленной нагрузкой <?, и известной силой Rt. В этом случае в балке главного
направления образуется только четыре пластических шарнира, и задача о предель-
ной нагрузке решается по формуле (227) примера 2:
8 И?р , -pi \
«Г-0.+—+
или
Qnp 16 4с1Мп2р
р* = ~сГ = IL* + с1г + У 1 + ~С*Мпр
(229
352
Метод предельных нагрузок
[Гл. X
Действительная нагрузка равняется наименьшей из величин (228) и (229).
Последняя формула в случае отсутствия перекрестной связи (Л12₽ = 0) дает
16 Мпхр
₽ = ' сР~~ '
Таким образом, наличие перекрестной связи может повысить предельную на-
грузку в 4 раза [см. формулу (228)]. Очевидно, что для этого предельный момент
перекрестной балки должен быть не менее
Л^₽>2^Л1?Р.
§ 45. ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ И КОНСТРУИРОВАНИЕ ПО МЕТОДУ
ПРЕДЕЛЬНЫХ НАГРУЗОК
Проверочные расчеты, типичные для обычного метода (т. е. при рас-
четах, когда напряжения остаются ниже предела упругости), когда заданы
нагрузки и размеры конструкции и определяются напряжения и деформа-
ции, в оби асти упруго-пластических состояний обычно не выполняются
ввиду их большой сложности.
Они- заменяются определением предельной нагрузки QnP конструкции
и сопоставлением ее с фактически действующей или допускаемой
нагрузкой Qfaum- Отношение этих нагрузок равно запасу прочности
Что касается запаса прочности (ппЛ), то при эквивалентных расчетах он
берется процентов на 30—40 большим запаса прочности по методу упру-
[Г"р
гих деформаций (пуп/,), т. е. близким к отношению :
Ля'- = 1,4.
. "Упр
Таким образом, если конструкция и фактически действующая нагрузка
заданы, то по методу предельных нагрузок следует найти предельную
нагрузку Q*p и проверить соблюдение неравенства
акт
Qnp
или уоедиться в том, что отношение ~-----?>ппя, т. е. превышает на-
Чфакт
значенный запас прочности, или (если фактическая нагрузка не задана)
вычислить допускаемую нагрузку по формуле1
Qdon = ^L- (230)
nt
1 По методу упругих деформаций следует определить напряжения при на-
грузке, превышающей фактическую в nvnp раз, т. е. при нагрузке nvnp 0факт~ и
проверять соблюдение неравенства: с (при нагрузке п,;лр Qa-акт) < ^опасное. Опас-
вым напряжением при эквивалентных расчетах обычно 'является предел текучести.
Возможен и другой путь: найти наибольшую возможную нагрузку <2макг
(при опасных напряжениях) в проверить соблюдение веравеиства
QjnaKC > Пупр QtfiaKm
ели Убедиться в том, что отношение ®макс- > nt,np, т. е. превышает назначенный
'•{факт
запас прочности.
§ 45] Проверка прочности и конструирование по предельным нагрузкам 353
ример Проверить прочность двух балок, показанных на рис. ПО, методом
предельных нагрузок и обычным, принимая запасы прочности равными п„. = 1 75
nvap — 1,25 и ^ = 2200 кг!см* л ' ’
Расчет жестко заделанной балки
г. методу1предельных нагрузок по методу упругих деформаций
Наибольший изгибающий момент, выдерживаемый балкой,
Л1* = Gm IT" = 12,8 тм Ммакс = amW = 9,15 тм.
Наибольшая возможная нагрузка на балку
16:m WnP 12;„ W
Qnp = ----= 68,0 m Q„aKC = =36i6 m
Запас прочности
QnP 68
Q&tm = 30 =2’27
36,6
nynp— 3Q —1,22
Проверка прочности
2.27 > 1,75, имеется излишний запас 1,22=1,25, балка на пределе
□точности, нагрузка может быть прочности
увеличена
Допускаемая
68 , „
Q<x>i = 1 75 — 38,8 т
нагрузка
Л 36,6
Qdon — 1 25 — 29,3 т
Расчет свободно опертой балки
Наибольший изгибающий момент, выдерживаемый балкой
М"р = 12,8 тм Ммакс = 9,15 тм
Наибольшая возможная нагрузка на балку
W о. „ 8cmW
I — 34 т QjiaKc — i = 24,4
Запас прочности
34 24,4
Ппл — 20 — Пупр — 20 — 1.22
Проверка прочности
1,7=1,75, балка иа пределе прочности 1,22=1,25, балка на пределе
прочности
Допускаемая нагрузка
34 24 4
Qdon * ] "5 = 1^’5 т Qdon = i~25 * 19,5 т
Расчет по методу предельных на-
грузок очень удобен также для опре-
деления прочных размеров конструк-
ции — заданными в этом случае счи-
.39г
таются фактически действующие на-
грузки и определяются прочные разме-
ры балок и других элементов, со-
ставляющих конструкцию.
При такой конструктивной
постановке задачи не приходится
1 н и I и м 2
Рис. 110
исследовать различные варианты решения, зависящие от соотношения пре'
дельных моментов сопротивления отдельных балок, составляющих кон-
струкцию. Наметив принципиальную схему работы конструкции в пре;
23 Учебный справочник
354
Метод предельных нагрузок
[Гл. X
дельном состоянии, последовательно, переходя от одной балки к другой,
определяют их необходимые предельные моменты сопротивления.
Например, при определении необходимых размеров связей перекры-
тия с одной перекрестной связью (см. рис. 109) при заданном давлении
р и выбранном запасе прочности ппЛ имеем:
= (231)
ТЛ
и
wn-p = ^rn'"p' (232)
если перекрестная балка рассчитана как полностью обеспечивающая под-
держку балок главного направления. Если прочность перекрестной связи
ниже указанной и задана, то необходимый момент сопротивления балок
главного направления будет1
= I ---2^ (233)
16сж I R <^г )’ 1 ’
где:
= ппЛ dp-
о 1^тУп2р
К и
Расчеты пластин по метод)’ предельных нагрузок надлежит сводить
к расчету балки-полоски (с учетом, когда это нужно, цепных напряжений),
независимо от отношения сторон опорного контура.
Опорные конструкции (кницы) проверяются на предельную нагрузку
аналогичным образом, т. е. должны быть в состоянии выдержать тот изгиба-
ющий момент, который является следствием образования пластического
шарнира.
При расчетах сварных конструкций необходимо соблюдать известную
осторожность в связи с возможным при плохом выполнении швов снижением
пластических свойств металла.
Пример. Определить прочные размеры балок перекрытия, показанного на
рас. 109, при действен на него равномерно распределенной нагрузки интенсив-
ностью 3 m л1 = 0,3 кг/см*, zm = 2 200 кг/см* и запасе прочности n,L, = 2.
Предполагая, что перекрестная балка будет в полной мере поддерживать
балкн главного направления, воспринимающие распределенную нагрузку, из фор-
мулы (231) имеем
„„ с1*риР 100 - 600» • 2 • 0,3
U j — — с, оопп — 153 см3.
£4-2200
Для перекрестной балки по формуле (232) получим
„„ 1 200» 600
= 32.2 200 ’ 2 ’ °-3 = 7 370 см3-
1 Определяя = omW"p из уравнения, предшествующего формуле (227).
ГЛАВА XI
ИЗГИБ ПЛАСТИН
Наиболее общая теория изгиба пластин большого прогиба основана на
следующих предпосылках.
1. Пластина является настолько тонкой, что совокупность точек, лежа-
щих в ненагруженном состоянии пластины на какой-либо прямой, перпен-
дикулярной к срединной плоскости пластины, остается лежать на прямой,
нормальной к срединному слою пластины и после ее нагрузки (гипотеза
прямых нормалей, аналогичная гипотезе
плоских сечений в теории изгиба балок).
2. Растягивающие или сжимающие
ссилия, действующие в плоскости пласти-
ны, вследствие малой толщины пластины
оказывают значительное влияние на ее
прогиб, а следовательно, и на изгибающие
моменты в ней под действием поперечной
нагрузки.
3. Пластина прогибается столь значи-
тельно, что прогиб ее влияет на величину
цепных напряжений (напряжений в плос-
кости пластины, равномерно распределен-
ных по ее толщине). Влияние прогиба на
цепные напряжения имеет место благода-
ря наличию распора и самораспора.
Связи судового корпуса, окружающие пластину, препятствуют сближе-
нию сторон опорного контура, являющемуся естественным следствием проги-
ба пластины. Сближение сторон опорного контура устраняется дополнитель-
ными растягивающими цепными напряжениями. Это явление называется
распором При больших прогибах пренебрегать этим явлением нельзя.
Под влиянием прогиба пластины опорный контур ее должен искривиться
(принять форму, показанную на рис. 111 пунктиром), что привело бы к обра-
зованию «зазоров» между пластинами.
Вследствие невозможности образования этих зазоров происходит пере-
распределение цепных напряжений вдоль сторон опорного контура пла-
стины (в середине каждой стороны появляются дополнительные растяги-
вающие напряжения, а по концам — сжимающие). Указанное явление назы-
вается са мо распором пластин.
В дальнейшем введены следующие обозначения (рис. 112):
a, b, t — размеры сторон и толщина пластины;
р — давление на единицу площади пластины (в общем случае мо-
жет быть любой функцией от х и у);
щ — прогиб пластины;
Тх—растягивающее усилие, параллельное оси х, в сечениях,
параллельных оси у, приходящееся на единицу длины сече-
ния (кг/см);
23 Т®
356
Изгиб пластин
[Гл. XI
Г_— растягивающее усилие, параллельное оси у, в сечениях,
параллельных оси х, приходящееся на единицу длины сече-
ния (кг/см);
S — скалывающее хсилие, действующее в срединной плоскости
пластины, в сечениях параллельных осям х и у, лежащее
в Плоскости этих сечений и приходящееся на единицу их
длины (кг/см);
— изгибающий момент вокруг оси х в сечениях, параллельных
оси х, приходящийся на единицу длины сечения (кгсм/см);
I —изгибающий момент вокруг оси у в сечениях, параллель-
ных оси у, приходящийся на единицу длины сечения
(кгсм см)',
—срезывающая сила на единицу длины в сечениях, парал-
лельных оси х (кг'см);
Рис. 112
V — то же в сечениях, параллельных оси у;
И — скручивающие моменты от скалывающих напряжений в се-
чениях пластины, приходящиеся на единицу длины сечения
(кгсм см);
и г — реакции пластины, распределенные на опорных кромках,
параллельных соответственно осям х и у, приходящиеся на
единицу длины опорных кромок (ниже будет показано, что
г = V);
Rx и — соответствующие значения полных реакций на опорных
кромках
[ Ъ а \
I Ry = dy, Rx = ^rx dx \ ;
\ 0 6 /
R — реакции, сосредоточенные в вершинах прямоугольного опор-
ного контура пластины.
Цилиндрическая жесткость
D =
12(1—0.2) •
(234)
Положительные направления усилий и моментов показаны на рис. 113.
Пластина прогибается по поверхности двоякой кривизны. В срединной
плоскости ее действуют цепные напряжения по двум взаимно-перпендикуляр-
Изгиб пластин
357
ним направлениям. На контур пластины передаются распределенные реакции
и сосредоточенные усилия в углах.
Если через г*, ёу и обозначить деформации срединной плоско-
сти (s° = ~х = 7° = О), то деформации слоя, находящегося на расстоя-
нии г от срединной плоскости, равны:
о ,
у ду2
(235)
V0. 2г
•z' г дхду
Если через =°, з° и ~г обозначить напряжения в срединном слое
(называемые цепными напряжениями), то на расстоянии г от него напря-
жения будут следующими:
Ег
1 —
Ег
1-^
/ d2^ д2ш\
дх2 “ g ду2 )
/ д2щ cPw \
(ду2 + и ~д^)
д2ы
дхду
Изгибающие моменты
VI =D
д2'^ , д2ш \
ду2 дх2 ; ’
Alv = D
~дх2
Скручивающий момент
/7 = 0(1-^)
с>гщ
дхду ’
(236)
(237)
(238)
(239)
d^w \
35S
Изгиб пластин
[Гл, XI
Срезывающие силы ,7 дМх дН f d3w dsw \ , (240) (241) (242) (243) (244) (245) (246)
ду 1 дх ’ ^(ду3 1 дудх2) _ дМу dff _ / д3^ , д3и > > “ дх 1 ду П(дх3 ' дхду2} Реакции, распределенные на кромках, dstc’ Гх ~ [ ду3 " дх2ду] ’ г =о[-^--(2 —и) -^4]. ’ дх3 17 дхду2] Полные реакции R, = jr,dx. 0 ъ 7?v=frvdv. - 0 Реакции в углах пластины Я = 2£>(1— н)4^- ' дхду
Основное дифференциальное уравнение изгиба пластины
^/д4- о д*аг , d*w\ d-Ki _ d2w д2ш
удх* дх2ду- ду4 j И х дх2 -v ду2 дхду v ’
В это уравнение, помимо неизвестного прогиба w, входят также Тх,
Тг и S, зависящие также от аг. Поэтому для точного решения задачи
с. дует ввести некоторую вспомогатетьную функцию F, зависящую от
хиуи связанную с Тх, 7, и S, и вместо (247) решить два следующих
сравнения:
дЪ №»\_
(«х* dx'-df- ' dv* / Р~Г
дг- дх2 дх- ду2 дхду дхду) v '
/ d*F Q d*F d*F \ Г/ &2аг \2 d2w д2ш]*
(dx47 - ~ dx2^ ~ ~d}*~J ~ Ь [(дхду / ~'дх^'ду2"] ’ (24У)
где F — функция от x и у в плоской задаче, связанная с Тх, Tv и S
зависимостями
d2F
Т* = ^> (250)
д2/7
Т =44/, (251)
у дх2
-5-5-t.
дхду
(252)
* Левые части уравнений (248) и (249) представляют собой лаплассиан от w
я F я для краткости обозначаются Dv’v’t» и v’v’f-
Изгиб пластин
359
Уравнения (248) и (249) дают систему совокупных дифференциальных
уравнений относительно ш и F.
Если один из размеров пластины много больше, чем другой, например,
а много больше Ь, то пластина изгибается по цилиндрической поверхности
и производные по х во всех формулах можно положить равными нулю. При
этом все приведенные выше формулы переходят в соответствующие формулы
для балок-полосок (см. стр. 388).
Для каждсй кромки могут быть составлены два граничных условия.
В табл. 76 даны в качестве примера эти граничные условия на кромке
х — const при различных способах закрепления.
Таблица 76
Способ закрепления
кромки x=const
Граничные условия
Свободно оперта на жест-
кий контур
Жестко заделана на жест-
ком контуре
дш
-.= °- Д7 = °
Свободна
d2w d*w д3ш д3ш
и ~д^~ = 0: + (2—= °
Упруго заделана с коэф-
фициентом податливости а ]
на упругом контуре-балке
с моментом инерции /
дх3
d^w \
<Эу2 /’
Е(2-н)
d3w 1
дхду3 J
Функция F подчиняется на контуре всем тем граничным условиям»
которым может быть подчинена функция эта в плоской задаче теории
упругости; при этом на кромках могут быть заданы либо усилия Тх, Ту
и S, либо перемещения, либо связь между усилиями и перемещениями.
Расчетное напряжение, по которому проверяется прочность пластины,
слагается из цепного напряжения в ее срединной плоскости и наиболь-
шего напряжения от изгиба:
_о , 6Л1У
-х_
(253)
(254)
Наибольшее касательное напряжение пластины равно
(255)
Полная потенциальная энергия П изогнутой пластины слагается из
потенциальной энергии срединной поверхности По и потенциальной энер-
гии изгиба Пазг
П — П0-г Пизг.
(256(
360
Изгиб пластин
[Гл. XI
При этом
а Ь
л»= 2(1=Д jj (•“+•" + '5+
о о
(257)
где е° и у®—относительные деформации в срединной поверхности
пластины, и
п D ССГ/д* 2ш\2, о d2w _L
Пазг~ 2 j Н\9x2) + \ ду2)+ 2и дх2 ду2 +
о о L
4-2(1 — р.) ( дхду.
' г/ у дхду /
(258)
§ 46. КЛАССИФИКАЦИЯ ПЛАСТИН СУДОВОГО КОРПУСА
Использование полной теории изгиба пластин для отдельных типов
пластин может и не потребоваться. Обычно возможны значительные
упрощения задачи, характер которых зависит от относительной гибкости
пластины.
Следует различать следующие основные классы судовых пластин.
1. Жесткие пластины. Расчет этих пластин может быть выполнен
с помощью так называемой элементарной теории, согласно которой в диф-
ференциальном уравнении (247) можно положить Тх — = S = 0, т. е.
оперировать с уравнением вида:
= Р-
n(diW + 9
\дх* дх2ду2
Если к пластине не приложены усилия в срединной плоскости и
если при этом соблюдено условие
(259)
(при Ь<^а и р = const), то относительная погрешность в напряжениях
при пренебрежении влиянием цепных напряжений от распора пластины
_________________________________________________".__Г“ 1 п
Таблица 77
Таблица значений числа С в формуле (259)
не превзойдет 5— 10%.
Значения числа С даны
в табл. 77.
Неравенство (259) может
служить приближенным кри-
терием возможности исполь-
зования результатов элемен-
тарной теории.
При ^>2 пластину мож-
но рассчитывать как балку-
полоску (см § 49).
2. Гибкие пластины не-
большого прогиба. Расчет аналогичен расчету балок на сложный изгиб
при известной продольной силе (без учета распора).
Усилия в срединной плоскости и так называемые цепные напряжения
от них известны или могут быть найдены из уравнения (249), если положить
ел
Классификация судовых пластин и методы их расчета
Таблица 78
Толщины, размеры нагрузки Кромочные \ усилия Г £ Г-— п - * 1 h V ’’ 100/ ) <с Р 100 / ) Г
а > 26 Ь <а < 26 а > 26 6 < а < 26
Вызваны только стеснением вследсгние невозможности сближе- ния кромок пластины Случай 1 Балка-полоска (с ценными на- пряжениями не считаются) 1)ш™=р Случай 2. Жесткая пластина DV’V,[li = p (см. §47) Случай 3, Балка полос- ка с распором Dw^^P+Tw'". Т — от распора. Неполное кубическое уравнение при <з0 = 0 (см. § 49) Случай 4. Гибкая пластина большого прогиба , ._а , /Эаш д2 F d2wd2F\ DV V w _ р 4- / д х2 д у2 + ду2 д х, р д2 w д2 F \ ~2 дх ду дхду) - [ f д2 w \2 д2 w д28> ~ дх ду) дх2 ду2 ’ На кромках и = v = 0 (см. § 49)
Вызваны внешними усилиями и стеснением вследствие невозмож- ности сближения кромок пластины Случай 5. Слож- ный изгиб балки- полоски Dw^ = p + Tw". Распор не учи- тывают (см. § 49) Случай 6. Гибкая пла- стина небольшого прогиба О7¥й = Н тх^~+ д2Ш , „ „ <ЭеЫУ + Т« ду2 + 2 S дх д у Тх, Ту и S известны (см. § 48) Случай 7. Балка-полос- ка с внешними силами и распором: Dmjiv = p+7^" Полное кубическое уравнение при заданном ар или <з0 (см. § 49) Случай 8. Те же уравнения при граничных условиях, заданных в виде кромочных усилий. Решений нет. Рассчитываются приближенно по случаям 6 и 7 настоящей таблицы
оо
СП
Классификация пластин судового корпуса
362
Изгиб пластин
[Гл. XI
в нем функции от гг малыми по сравнению с функциями от F и привести его
к виду:
d4f d*F d*F
дх* 2 дх2ду2 + ду4
Уравнение (247) остается без изменения.
Таким методом следует рассчитывать жесткие пластины, удовлетво-
ряющие условию (259), если, кроме поперечной нагрузки, они загружены
значительными усилиями в срединной плоскости.
По существу, почти все пластины судового корпуса загружены уси-
лиями в срединной плоскости (растянуты или сжаты от общего изгиба
корабля и местного изгиба набора), а решениями, учитывающими распор
(полная теория изгиба пластин), мы в настоящее время практически не
располагаем. Поэтому, если отношение < 2 (где а —большая сторона),
наиболее правильно рассчитывать пластины, пользуясь теорией сложного
изгиба пластин небольшого прогиба.
При > 2 пластину можно рассчитывать как балку-полоску.
3. Гибкие пластины большого прогиба. Расчет этих пластин требует
использования всего аппарата теории изгиба пластин.
При этом учитывается как внешний распор, так и самораспор пла-
стин. Мы располагаем только одним доведенным до конца решением:
решением Б. И. Слепова, полученным им для пластин, свободно опертых
а , а п
по всем четырем кромкам, при отношении сторон = 1 и -^- = 2 и при
отсутствии внешних усилий в срединной плоскости, т. е. усилий от уча-
стия в общем изгибе судна или в местном изгибе набора.
Классификация судовых пластин и методов их расчета дана
в табл. 78.
§ 47. ИЗГИБ ЖЕСТКИХ ПЛАСТИН
Жесткие прямоугольные пластины под действием равномерно
распределенной нагрузки
Свободно опертая пластина (рис. 114)
Стрелка прогиба в центре пластины
Юмакс = 10 000 РЁР~ ’ (26°)
Коэффициент (1—и.2), входящий в цилиндрическую жидкость учтен
в
При Е = 2 - 10е кг!см\ р — в кг!см2 и b, t—в см прогиб wMaKC в мм
равен
(Ь V
T06F • (261)
Изгибающие моменты, отнесенные к единице длины сечения (кгсм/см)
в центре пластины:
• И, = ЪрЬг 10-4; (262)
Mx = k3pb2 10-4. (263)
§ 47]
Изгиб жестких пластин
363
Напряжения в поверхностном слое пластины в центре:
(=х)с ± 6*2Р 10W
(зу)с= ±6йзР(д00/
(264)
(265)
Срезывающие силы, отнесенные к единице длины сечения (кг/см) по-
середине кромок:
(Уу)л = ktpb
iyjB = k5 pb
(266)
Давление на кромки (кг/см) посередине кромок:
(гу)а = k6 pb
(rx)B = k7pb
(267)
Сосредоточенные реакции в вершинах опорного контура
7? = — k8 pab
(268)
•направлены в сторону действия нагрузки).
Полные реакции соответственно короткой и длинной кромок:
7?у = k9 Pb* 1
Rx = k10pb- j
(269)
Численные значения безразмерных коэффициентов k± — k10 даны в
абл. 79.
Жестко заделанная пластина (рис. 115)
Прогиб в центре пластины
Wmokc = 10000 ~ЕУ' (27°)
Коэффициенты дли расчета свободно опертой пластины
Таблица 79
01 ноше 11Ш! CIO* рои Onopnoi о кон।ура Коэффицп (•1Г1Ы Про гибл в ЦС 11 ipc Коэффициенты iiiiiipit жеппй в Петре Коэффициенты срезы шненннх сил посередине 1<()$ффП1111СП | 1») ДИПЛОПИЙ редине К о-)ф(|ц|ци енты сосре- доточенной реякцпи в вершинах опорного контура R К О ><|><]11111 It(' II1 ы полных реакций
меньшего (°.v) больше 1 О (’ у) корот кой кромки (Vv) ДЛИННОЙ кромки (VJ корт КОЙ кромки (rv) длинной кромки (ri) корт кой кромки (Д’у) длинной кромка (А’л)
<| ; 1> А, А 2 А, А< А6 А« А» А я Ао ASq
1,0 443 479 479 0,338 0,338 0,420 0,420 0,065 0,250 0,250
1,1 530 494 553 0,346 0,360 0,440 0,440 0,004 — —
1,2 616 501 626 0,352 0,380 0,450 0,455 0,062 0,260 0,285
1,3 697 504 693 0,357 0,397 0,465 0,468 0,061 — —
1 1 770 506 753 0,361 0,411 0,470 0,478 0,059 0,265 0,310
1,5 843 500 812 0,363 0,424 0,485 0,486 0,057 — —
1,6 906 493 862 0,366 0,435 0,485 0,491 0,054 0,267 0,332
1,7 964 486 908 0,367 0,444 0,488 0,496 0,052 — —
1,8 1017 479 948 0,368 0,452 0,491 0,499 0,050 0,271 0,347
1,9 1064 471 985 0,369 0,459 0,494 0,502 0,048 — —
2,0 1106 464 1017 0,370 0,465 0,496 0,503 0,046 0,272 0,364
3,0 1336 404 1185 0,371 0,493 0,498 0,505 0,031 0,272 0,410
4,0 1400 384 1235 0,371 0,498 0,500 0,502 0,024 0,272 0,435
5,0 1416 375 1246 0,371 0,500 0,500 0,500 0,019 0,272 0,452
ОО 1422 375 1250 0,371 0,500 0,500 0,500 0 0,272 0,500
Изгиб пластин
Изгиб жестких пластин
365
Коэффициент (1—и.2), входящий в цилиндрическую жесткость плас-
тины учтен в *.
При Е = 2-10® кг/с.и2, р — в кг,/см2 и b, t в см прогиб wMaKC в мм равен
(Ь \4
юог) • (271)
Изгибающие моменты, отнесенные к единице длины сечения (кгсм/см),
в центре пластины:
k2pb2 .
10 000’’
(272)
/273)
х 10000’ 1 ’
Нащ яжения в поверхностном слое пластины в центре
(<7Л 6k2p (®у)с = Т 6ksp (-j^y. (274)
Изгибающие моменты, отнесенные к единице длины сечения в середине
кромок:
<275>
<Л’-Ь=^та; <276>
Напряжения в поверхностном слое в середине коротких кромок
(=Ол = ± 6fe4 р (-^У’. (277)
(Зу)л = н (Зх)д-
Напряжения в поверхностном слое в середине длинных кромок
(Зу)в=± 6fe5 f , (ох)в = Р- (Зу)в- (278)
Срезывающие силы, отнесенные к единице длины сечения (кг/см), а
также давление на кромки (кг/см) посередине кромок
(У,)л = (ry)A = k6 pb, (У-)в = (Ив = k7 pb. (279)
Поли е реакции соответственно короткой и длинной кромок
Ry = kspbz и Rx = k^pab. (280)
Численные значения безразмерных коэффициентов kv -? k2 приведены
в табл. 80**.
* При -£- = оо должно быть (см. табл. 25, случай 31)
1 pb* . 12 - 0,91 , pb* 284 pb1
u = 384 / Е \ t*= 384 10* 104ЕР ~ Ю1 Et* ’
как и дано в табл. 80.
** Числа в скобках, а также коэффициенты kt и k7 вычислены к. т. н.
И. И. Тряниным и являются частным случаем приведенного ниже его решения
для сложного изгиба жестко заделанных пластин (строки и = 0в табл. 87—89).
Остальные данные заимствованы из книги акад. Ю. А. Шиманского, Изгиб пла-
стин, ОНТИ, 1934.
366
Изгиб пластин
[Гл. XI
I'llIMJ 1П1Г11 yOUIII’If.WlK <>Ч1).)Ж t’l.lhjud HlfV l"liuinill<|)(|)( 10
§ 47]
Изгиб жестких пластин
367
Та б л и ц а 81
Коэффициенты для расчета пластины, жестко заделанной по двум кромкам
и свободно опертой по двум другим
а > b а < ь
— коэффи- коэффициенты напряже- ний коэффи- коэффициенты напряже- ний
—. _
пиенты прогиба в центре пластины в середи- не заде- циеиты прогиба в центре в центре пластины в середи- не заде-
= S- 3У л а нных кромок °У л а н ных кромок
- 1 *1 *2 ^3 *4 &2 ^3
1,0 214 332 244 698 214 332 244 698
1.1 276 370 309 788 228 356 230 739
1,2 349 401 377 868 243 374 216 770
1.3 425 426 447 938 255 388 202 793
1.4 5W 446 517 998 262 399 189 808
1,5 582 460 585 1049 270 406 172 829
1.6 658 469 650 1090 — — —. —
1,7 730 474 711 1124 — — .—- —
1,8 799 476 768 1152 — — — —
1.9 863 476 821 1173 —. — — —
2,0 987 474 869 1191 284 421 142 842
3,0 12’6 421 1144 1246 — — — —
4,0 1383 390 1223 1250 — — .—- —
5.0 1412 379 1243 1250 — — — —
ОС 1422 375 1250 1250 284 417 125 833
Пластина, жестко заделанная свободно опертая по двум Стрелка прогиба в центре пластины по двум другим кромкам (рис. 116) и
^макс — 0,00(3 pt / с V 1001 ) • (281)
Здесь р следует брать в кг 1см2, t в см, прогиб wMaK( Напряжения в центре пластины: , получается в УМ.
(282)
1(Ш j »
100/ j 2 (283)
Напряжения в середине заделанных кромок
(с \2
юб?) (284>
Численные значения коэффициентов даны в табл. 81.
Во всех формулах с — меньшая из сторон (а или Ь).
Пластина с одной свободной кромкой (рис. 117).
Пластина имеет одну кромку свободную, а по трем остальным сво-
бодно оперта на жесткий контур.
Стрелка прогиба в центре пластины
/ b V
w = 0,005 . (285)
368
Изгиб пластин
[Гл. XI
Стрелка прогиба посередине свободной кромки
(h V
ТОО? ) ' (286)
в ЭТ X формулах р следует брать в кг/см2, t в см, прогиб а>макс полу-
чается в мм.
Рис. 116
Напряжения в центре пластины:
/ ь \2
3- = 6^^(юо7) ; (287)
/ b V
°у = 6kiP (loot) ’ (288)
Напряжения посередине свободной кромки
/ ь V
ау = Ok6p jqq J • (289)
Численные значения коэффициентов даны в табл. 82.
Таблица 82
Коэффициенты для расчета пластины с одной свободной кромкой
Отношение |г сторон опорного контура Коэффициенты стрелок прогиба Коэффициенты напря- жений в центре Коэффициент напряжения посередине свободной кромки оу
1 в центре посередине сво- бодной кромки Зх ~У
а: Ь kt *4 kf
1:2 416 775 223 385 602
1: 1,5 593 1057 302 551 833
I : 1,4 636 1117 320 591 882
1 :1,3 689 1192 338 639 944
1 : 1,2 744 1265 356 689 1003
1 :1,1 806 1345 373 744 1069
1 866 1404 390 799 1118
1.1 929 1464 403 853 1167
1.2 984 1511 411 901 1206
1.3 1033 1547 417 943 1235
1,4 1077 1575 420 980 1258
1.5 1116 1596 421 1012 1276
2,0 1355 1646 414 1125 1317
3.0 1375 1660 391 1237 1329
зс 1422 1662 375 1250 1330
§ 47]
Изгиб жестких пластин
369
Пластина, подкрепленная упругими ребрами
Пластина свободно оперта на жесткий контур и подкреплена большим
числом (пятью и более) упругих одинаковых и равноудаленных ребер
(рис. 118).
Обозначения:
I — момент инерции ребра с учетом пояска обшивки, равного rf;
/в — момент инерции пояска относительно своей оси
Коэффициент
F I ct* *
-^Г = Г2-(1-мТ/> (290)
где Е\ — приведенный модуль упру-
гости
г- Е
Рис. 118
1 —Р'
Отношение сторон
а
Основные характеристики изгиба пластины с ребрами
вычисляются по следующим приближенным формулам:
Наибольший прогиб пластины в центре
+ 0.0284-g.
Изгибающий момент в центре пластины в пролете;
между ребрами
Л4у
М
у ребер
И = — рЬг-г-
у 12’
*з РСг
Мх ~ 10« рЬ~ 'Л 12 ‘
(292)
b о
при — > 2
(293)
(294)
(295)
(296)
(297)
Изгибающий^момент в пластине у середины крайнего ребра
Му = . (298)
Наибольший изгибающий момент в ребре
МР = - Р&. (299)
* Коэффициент а равен нулю при очень жестких ребрах и единице при от-
сутствии ребер (в последнем случае Ех1п = EI).
24 Учебный справочник
370
Изгиб пластин
[Гл XI
Все коэффициенты k приведены в табл. 83.
_______________________________________________Таблица 83
Коэффициент прогиба в центре пластины
а 0 0,10 0,25 0,50 0,75 1,00
0 130 130 130 130 130 130
0,25 130 130 130 130 129 128
0,50 130 130 130 121 111 101
0,75 130 130 117 94 78 66
1.00 130 126 96 66 50 41
Коэффициент изгибающего момента в центре пластины
(для Mv)
0 0,10 0,25 0,50 0,75 1,00
0 0 37 93 185 278 375
0,25 0 37 102 194 281 384
0,50 0 37 120 252 357 464
0.75 0 72 197 341 434 504
1.00 0 128 262 378 438 479
Коэффициент изгибающего момента в центре пластины
____________________fe8 (для Afx)________________
а I 0 0,10 0,25 0,50 0,75 1,00
0 0 125 313 625 940 1250
0,25 0 125 318 623 930 1235
С,50 0 125 322 600 820 1017
0,75 0 138 313 508 626 713
1,00 0 145 283 389 440 479
Коэффициент изгибающего момента в ребре
____________________________________(для Мр)_________________________
0 0,10 0,25 0,50 0,75 1,00
0 1250 1250 1250 1250 1250 Ребра от-
0,25 1250 1250 1250 1240 1230 сутствуют
0,50 1250 1250 1250 1150 1050
0,5 1250 1250 1110 880 730
1,00 1250 1170 920 610 450
Примечание. Ребра можно полагать жесткими при любом -у, если
1 :0,1, и при всяком а, если т<^0,25. При этом погрешность в расчетных
значениях изгибающих моментов и прогибов не превосходит 6%.
371
§ 47]
Изгиб жестких пластин
Жесткие непрямоугольные пластины
Круглая пластина
Обозначения:
г — радиус пластины:
t — ее толщина;
р—интенсивность равномерно распределенной нагрузки, действующей
на пластину. .
Если пластина свободно оперта на жестком контуре, то напряжение
посередине пластины
3=1,24^ (300)
Если пластина жестко заделана на жестком контуре, то напряжение
посередине пластины
3 = 0,49^. (301)
Напряжение на контуре
aj-0,75^. (302)
Эллиптическая пластина
Обозначения:
р — интенсивность равномерно распределенной нагрузки, действующей
на пластину;
а—большая полуось эллиптического контура;
b — малая полуось эллиптического контура;
t — толщина пластины.
Если пластина свободно оперта на жестком контуре, то наибольшее
нормальное напряжение в центре эллипса, направленное вдоль малой
полуоси, равно
(303)
где коэффициент k, зависящий от соотноше-
ния между длинами полуосей, дан в табл. 84.
При ~ = ос получается k = 3 и форму-
ла переходит в известное выражение для
напряжения в балке-полоске, свободно опер-
той по концам.
Если пластина жестко заделана на жест-
ком контуре, то наибольшее напряжение в
центре, направленное вдоль малой полуоси,
Таблица 84
а ~Ь~ k а ~Ь~ k
1,0 1,24 2,0 2,28
1,1 1,41 3,0 2,60
1,2 1,57 4,0 2,79
1,3 1,69 5,0 2,8&
1,4 1,82 ОО 3,00'
1,5 1,93
1 *2
pb2 g а2
t2 , . 2 Ь2 ,Ь* '
1 + т
(304)
244-'®
Р м const
Гидроспггичсеко^
даплелне
П-557
CC-?7h
|Г П-5Ы [
СО-275 ;
11X11
/7-545
СС-276
'Г и б л и ц a 85
Другие лиды шпрузок
M1101 оириле । in.ie плис i пни p const
/п-льо/
kc 28?/
' Ш-8?^
372 Изгиб пластин
’“1
Ъ
X
§ 48] Изгиб гибких пластин небольшого прогиба 373
Наибольшее нормальное напряжение у конца малой полуоси
2рЬ* 1
01 “ Р 2d2 д* .
+ За*+а*
При Ь = а формулы (304) и (305) переходят в формулы (301) и (302) для
круглой пластины, а при а = оо— в формулы для напряжения посере-
дине и на опоре балки-полоски длиной 2d, защемленной по концам.
Указатель типов жестких пластин, для которых имеются доведенные до
простых формул решения
В предыдущих параграфах даны расчетные формулы и таблицы коэффи-
циентов для пластин обычно встречающихся при расчете судового корпуса.
Не приводя здесь решений для других типов жестких пластин, указы-
ваем, где эти решения имеются (табл. 85).
В таблице приняты следующие условные обозначения и сокращения.
Условные обозначения.для конструкции кромки
и пластины
— свободно опертая
на жесткий контур,
-------------— свободная,
— свободно ' опертая
на упругий контур,
— жестко заделанная
на жестком контуре.
ill
— пластина на упру-
гом основании
Условные ссылки на литературу
П—П. Ф. Папкович, Строительная механика корабля, ч. II,
изд. 1941.
Ш — Ю. А. Шиманский, Изгиб пластин, изд. 1934.
СС — Справочник по судостроению, т. II.
Вслед за условной ссылкой на литературу указан номер страницы,
на которой дано решение.
§ 48. ИЗГИБ ГИБКИХ ПЛАСТИН НЕБОЛЬШОГО ПРОГИБА
Пластины, жестко заделанные по двум противоположным кромкам и
свободно опертые по двум другим
Почти все пластины судового корпуса несут одновременно поперечную
нагрузку и воспринимают значительные усилия в срединной плоскости по
двум взаимно-перпендикулярным направлениям от участия в общем изгибе
судна и в изгибе поперечного набора.
Если не учитывать распор (рассматривать пластину как гибкую неболь-
шого прогиба) и заделку пластины на коротких кромках (мало влияющую
на величину расчетного изгибающего момента при обычных для судовых
пластин соотношениях между а и 6),то задача об изгибе таких пластин при-
водится к задаче о сложном изгибе балок на упругом основании.
Рассматриваемая пластина и обозначения указаны на рис. 119.
Расчетные формулы даны в табл. 86.
Для пользования этой таблицей следует предварительно вычислить
основные характеристики сложного изгиба пластины.
374
Изгиб пластин
[Гл. XI
Основные характеристики
Приведенная сила
(306)
Приведенная жесткость упругого основания
(307)
где i — номер члена ряда в формулах табл. 86 (целое число 1,2,3...).
Таблица 86
pb*
6z
Равномерно распределенная нагрузка p=const
Прогиб посередине пластины
pb*
макс = 96
L 7 TV sin J
1. 3. 5. .
Изгибающие моменты посередине пластины:
sin 2
1. з,
5
pt>*
Л1> ~ 6- Zj
<—1.2, 3...
sin ~2
Расчетный изгибающий момент посередине жестко заделанных кромок
1=1,3. 5--.
§ 48]
Изгиб гибких пластин небольшого прогиба
375
Продолжение табл. 86
Гидростатическое давление вдоль оси х
Прогиб при у = О
pb* V7 cos ir. inx
w= — 192 Д Г- ?1/ s,n a •
I
Изгибающие моменты при у = О
pft2 \4 cos'r l~:
Wv = 12- Zj 7 sin "e
/ b X1
4а )
Изгибающие моменты на заделанных кромках при у = +
Ь
2
Нагрузка на линии 44, параллельной оси у
। интенсивность иа единицу длины этой
линии равна д)
Прогиб при у = 0
Изгибающие моменты при у — О
Ь
Изгибающие моменты на заделанных кромках при у = ± 2
376
Изгиб пластин
[Гл. XI
Приведенный аргумент сложного изгиба
‘-.= 4/^- (308)
Приведенный аргумент упругого основания
Все эти величины подсчитываются для первых четырех-пяти значе-
ний i (например, для пластин с равномерно распределенной нагрузкой
типа 1 в табл. 86 достаточно подсчитать и, для i = 1,3,5, 7).
Аргументы vt могут быть действительными или мнимыми. Коэффи-
циенты 9i„/д, и уД1-, входящие в формулы табл. 86, определяются по
табл. 48 в зависимости от «£ и и,.
Пример. Проверить прочность днищевой пластины, имеющей следующие
размеры: длина а — 1 лг, ширина — 6 = 0,6 м; толщина — t= 10 мм.
Пластина находится под равномерно распределенным давлением воды интен-
сивностью
Р = 0,3 кг/см1.
Напряжение в пластине от участия в общем изгибе судна
с® = — 1000 кг/см1.
Напряжение в пластине от участия в изгибе флоров
G® = — 600 кг/см1.
На кромках, где х = 0 и х = а, полагаем пластину свободно опертой на двух
других кромках — жестко заделанной.
Сжимающее усилие на единицу длины заделанных кромок
Ту = ау t = — 1 000 • 1 = — 1 000 кг/см.
Сжимающее усилие на единицу длины коротких свободно опертых кромок
Тх = ах t = — 600-1 = — 600 кг/см.
Цилиндрическая жесткость пластины равна
„ £<» 2-10*-1
D~ 12(1 — р>) 12(1 —0.3s) — !8-35’104 кг/см.
По формулам (306) и (307) определяются Г,- и k „ «’* - \ / 2 • 18,35 - 10* т.» — —( 100s 1 - Pr.2, i2r.« \ г.*1* / 18,35- 10* г1 \ 100* ( . 100s 60°)— (!81 * По формулам (308) и (309) определяются v, и и,- v,= ll/^60]/ Т‘ - 2 Г D .2 Г 18.35-10* . 1 ooo) = (362 г2 — 1 000); — 600) «*. ю-з. 0,0700 VTp,
1 17” *L = 60 // ki = 2 V 4D 2 V 4-18,35-10* = 1,025 j/*i-
§ 43]
Изгиб гибких пластин небольшого прогиба
377
Пластина подходит к случаю 1 табл. 86
Наибольший изгибающий момент имеет место посередине длинных кромок пла-
ст b
стнны при х=-2- и у = -g- и определяется по следующей формуле:
рй* V 1 7 • iT-
м*=з7 2j — z»'s,nT
i-l. 3. 5...
(310)
Коэффициенты Х2, находятся в зависимости от аргументов и и; по
табл. 58-
Вычнсления, необходимые для определения коэффициентов Уг/, сводятся в ннже-
следу щую таблицу При этом достаточно сохранить четыре члена ряда в фор-
муле (310).
Вычисление коэффициентов
Номер члена ряда i Функции л 1 3 5 7
Tt (кг/см) ........ kt (кг/см3) Vi Ui ...... ... 7.2/ —638 —419-10~3 1,76 V^l 0,825/—1 1,490 2260 9,28 3,33 1,79 0,419 8050 98 6,28 3,22 0,149 16700 400 9,00 4,60 0.073
Подставляя численные значения в формулу (310), получим
1 /1,49 0,419 0,149 0,073 \ „ ..
•Mx=37Pft2(——3 +-5— 7 -) = 0,145рЬ* =
= 0,145-0,3»602 = 157 кгсм!см.
Расчетное напряжение равно
6Л4 6-157
су = с ;д-—=— 1000 — —j— = — 1 940 кг]смг.
Пластины, жестко заделанные на контуре
направлении, под действием равномерно
и сжато-растянутые в одном
распределенной нагрузки
Решение получено И. И. Тряниным для случая жестко заделанной по
прямоугольному контуру гибкой пластины небольшого прогиба, находя-
_ейся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки
интенсивностью р и постоянных во всех точках пластины усилий средин-
ного слоя Ti и Т г.
Упругая поверхность определяется уравнением (247), где следует
дожить:
ТХ = Т\, Т„ = Т2,
s = o.
378
Изгиб пластин
[Гл. XI
Решение получено в форме суммы одинарных тригонометрических
рядов, точно удовлетворяющих граничным условиям и приближенно —
дифференциальному уравнению равновесия. Прогибы определяются этим
решением с точностью до 1%, а изгибающие моменты (напряжения) — с
точностью до 3%.
Прогиб в центре пластины
Южо,“ = TOW (ЗИ)
или при
и
£ — 2 10е кг/см2, р— в кг/см2
b,t — в см
^макс— ,005 К^ pt jpg
(312)
Коэффициент kx
м-- •ммь и сч II a Пластины, сжато-растянутые вдоль коротких кромок —&
ОС 5,0 3,0 2,0 1,8 1.6 1.5 1.4 1,3 1,2 1,1 1,0
3,201 3.001 2,80i 2,60/ 2,401 2,20i 2,00i 1,80* 1,601 о< 383 Участь /СТОЙЧ1 383 потерь 1ВОСТИ 420 383 422 386 356 397 363 339 393 360 332 311 363 340 311 292 364 330 306 287 271 352 321 295 275 259 246 326 297 274 255 240 228 218 285 261 241 225 213 203 194 187 231 213 200 188 178 170 163 158 153
l,40i 354 354 355 334 319 294 278 259 236 210 181 149
1,201 332 332 333 317 304 281 266 249 228 204 177 146
1,00* 316 316 318 304 290 272 258 242 222 199 173 144
0 284 284 285 277 267 251 240 226 209 188 165 138
1,00 259 259 260 255 246 233 224 212 197 179 158 133
1.50 232 232 234 232 225 216 206 197 184 168 149 127
2,00 203 203 205 205 201 193 186 179 168 155 139 120
2,50 176 176 177 178 176 171 166 160 152 141 129 112
3,00 150 150 151 153 152 149 146 141 135 127 115,9 102,6
3,50 129 129 129 132 131 130 128 126 120 114 105 93,7
4,00 110 110,4 ПО 113 113 112 111 109 106 101 94,0 85,2
4,50 95,3 95,3 95,3 97,3 98,0 97,7 96,9 95,7 93,6 90,0 84,5 77,8
5.00 82,8 82,8 82,8 84,3 85,2 85.2 84.9 84,1 82,6 80,3 75,9 70,6
5,50 72.2 72,2 72,2 73,3 '4,1 74,5 74,5 74,1 73,1 71,5 68,2 64,2
6,00 63,4 63,4 63,4 64,4 i 65,0 65,6 65,6 65,6 65,1 63,7 61,5 57,9
§ 48]
Изгиб гибких пластин небольшого прогиба
379
Напряжения
в центре пластины
. о_______с. / 6 V
(3Л — Зх + 6k2p J
/ Ь \2
(Gy)c
(313)
Напряжения
ниями:
в середине кромки, нагруженной цепными напряже-
Напряжения
кромок:
(314)
в середине ненапряженных цепными напряжениями
(315)
Таблица 87
для прогиба в центре пластины
I т,м .Г Ф а Пластины, сжато-растянутые вдоль длинных кромок -у
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 '•6 '•6 1,8 2,0 3,0 5,0 СО
3,20/ 231 272 305 327 341 348 352 346 332 277 284 284
3,00с 213 252 283 305 320 329 334 333 324 281 284 284
2,80с 200 236 266 288 303 313 320 323 318 284 284 284
2,60с 188 222 251 274 289 300 308 314 312 287 284 284
2,40с 178 211 239 262 277 289 298 306 306 287 284 284
2,20с 170 202 229 251 267 280 289 298 301 288 284 284
2,00i 163 194 221 242 259 272 281 292 296 288 284 284
1,80с 158 188 214 235 252 265 274 287 292 288 284 284
1,60с 153 183 208 229 246 259 269 283 289 288 284 284
1,40с 149 178 203 224 241 254 265 279 286 287 284 284
1,20с 146 174 199 220 237 250 261 276 284 287 284 284
1,00с 144 171 196 216 233 247 258 273 282 287 284 284
0 138 165 188 209 226 240 251 267 277 285 284 284
1 Гоо 133 157 182 202 219 233 245 261 272 284 284 284
1,50 127 151 174 194 210 225 237 254 266 283 284 284
2,00 120 143 164 184 200 215 227 246 259 282 284 284
2,50 112 133 153 172 189 203 215 236 250 279 284 284
3,00 103 123 142 160 177 191 203 224 240 275 284 284
3,50 93,7 113 131 148 164 178 190 212 229 270 283 284
4,00 85,2 103 120 136 151 165 178 199 217 264 282 284
4,50 77,8 93,4 109 125 139 153 165 187 205 258 279 284
5,00 70,6 84,8 99,8 114 128 141 153 175 194 252 275 284
5,50 64,2 76,8 90,8 104 117 130 142 163 183 244 270 284
6,00 57,9 70,0 82,6 95,1 108 119 131 151 172 235 2^5 284
380
Изгиб пластин
[Гл. XI
Во всех формулах Ь — меньшая сторона.
Верхние знаки в формулах (313)—(315) относятся к нагруженной
поверхности. Коэффициенты kr— ks находятся по табл. 87 — 89 незави-
симости от аргумента
0=^-1/^, (316)
Z I
— ►х
- ° — н°' 1Ш1 — й —— вЮН IHIL Коэффициенты для иапряже
1 I у
V — - sx Пластины, сжато-растянутые вдоль коротких кромок- а Г
У ’ -э ОС 5,0 3,0 2,0 ..6 1,5 1.4 1.3 1.2 1.1 1,о
Коэффициент k2 в формуле (°Л
3,201 437
3,00i 2,801 2,60i Об л ри асть г ycrof вост и юте- 1ЧИ- 609 586 518 523 470 426 396 364 337
2,40; 616 545 470 392 317
2,201’ 647 600 550 494 432 366 299
2,00; 670 632 581 544 502 454 402 345 284
1,801 648 602 570 527 498 464 423 377 327 272
1,601 586 584 582 547 525 487 463 433 398 355 309 262
1,40 536 535 534 508 489 457 436 409 378 337 295 253
1.201 499 497 497 477 461 433 413 391 362 326 287 246
1,001 471 470 469 453 437 415 396 377 350 319 282 241
0 4.7 416 414 >06 396 376 363 346 324 296 264 227
1.00 372 372 372 368 359 344 334 319 301 277 250 217
1,50 328 328 328 328 321 311 303 291 277 256 234 204
2,00 280 280 280 283 278 273 267 259 248 232 214 189
2,50 235 235 235 239 237 235 231 226 218 208 192 173
3,00 195 195 195 198 198 198 196 194 189 182 171 157
3,50 161 161 161 164 165 166 166 165 163 158 151 141
4.00 133 133 133 136 137 139 139 139 139 136 132 125
4,50 111 111 111 113 114 116 117 118 119 118 115 ПО
5,00 92,9 92,9 93,0 94,1 96,1 97,3 98,8 100,0 101,0 102,4 100,1 97,2
5,50 78,8 78,8 78,7 79,0 80,7 82,1 83,8 85,1 ‘86,4 88,3 87,4 86,2
6,00 67,5 67,5 67,3 67,8 68,8 70,6 72,2 73,3 74,8 76,1 77,0 77,0
§ 48]
Изгиб гибких пластин небольшого прогиба
381
где
sa = 200/^V (кг, см)
(317)
есть эйлерово напряжение свободно опертой балки-полоски длиной Ь и
толщиной t.
—— а
Таблица 88
ний в центре пластины
I
Пластины, сжато-растянутые вдоль длинных кромок-у
V = L X 2 ' “Z— -э 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1.6 1.8 2,0 3,0 5,0 GO
= с^ = 6 k-тр 3,20i (—V \100 t) 437 '435 423 396 362 328 291 223 164 96 125 125
з.оо» 396 395 384 362 333 302 271 213 166 103 125 125
2,80г 364 363 353 335 310 283 256 206 167 109 125 125
2,60f 337 336 328 312 290 267 244 201 167 114 125 125
2,401 317 317 308 294 274 254 234 196 166 116 125 125
2,20/ 299 299 292 279 261 244 225 192 164 118 125 125
2,001 284 284 278 266 251 235 218 188 163 120 125 125
1,80» 272 272 267 256 242 227 213 184 162 122 125 125
1,601 262 262 257 247 235 221 208 181 161 123 125 125
1,401 253 254 249 240 229 216 203 179 160 124 125 125
1,201 246 247 243 234 1224 219 200 177 159 125 125 125
1,001 241 242 238 230 220 208 197 176 159 125 125 125
0 227 229 226 220 211 199 190 172 156 126 125 125
1,00 217 219 216 210 202 194 186 168 155 126 125 125
1,50 204 207 204 200 193 186 179 164 152 127 125 125
2,00 189 192 190 187 182 176 170 158 149 128 124 125
2,50 173 175 175 172 169 165 160 151 144 128 124 125
3,00 157 158 159 157 156 153 150 144 139 127 124 125
3,50 141 142 143 143 147 140 139 136 133 126 124 125
4,00 125 126 128 129 129 128 128 128 127 125 124 125
4,50 110 112 115 116 117 117 116 120 121 123 194 125
5,00 97,2 99,5 102 104 105 105 104 112 114 121 124 125
5,50 86,2 88,1 90,8 91,9 93,7 93,5 92,2 104 118 118 124 125
6,00 77,0 78,2 80,4^ 81,0] 83,2 81,8 80,4 96,2 101 114 124 125
382
Изгиб пластин
[Гл. XI
С II ьэ| я to’ ио a Пластины, сжато-pa стянутые вдоль коротких кромок
со 5,0 3,0 2,0 1.8 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0
3,20i 3,00i 2,80i 2,60t 2,40» 2,20i 2,00. Обл; ри 1СТЬ в устор вост? оте- 1ЧИ- 275 286 Ко. 337 302 зффш 338 305 щенп 386 338 307 7 &3 411 369 334 308 в фор 435 389 354 325 303 муле । 436 395 360 353 311 294 ау)с= 412 375 347 325 306 291 278
l,80i 202 242 256 273 279 284 289 286 280 267
1,601 176 175 180 218 234 251 259 265 270 271 268 257
1,40/ 161 161 164 201 217 235 244 250 256 259 258 249
1,20/ 150 149 152 188 203 221 230 238 245 250 250 243
l,00< 141 141 143 177 192 211 220 230 237 243 244 239
0 125 125 126 156 172 190 199 211 220 226 229 227
1,00 112 112 112 140 156 173 184 193 203 212 218 217
1,50 99,8 99,8 98,8 122 137 154 177 176 186 197 204 206
2,00 85,4 85,4 83,9 102 115 133 146 156 167 178 187 192
2,50 70,4 70,4 69,9 84,6 95,7 113 125 135 147 158 169 176
3,00 58,4 58,4 57,1 68,3 77,8 93,6 102 114 126 138 150 160
3,50 48,3 48,3 48,1 54,9 62,7 76,0 84,6 95,8 107 119 132 144
4,00 40,0 40,0 39,0 43,8 50,1 60,6 69,4 79,3 | 90,1 102 115 127
4,50 33,4 33,4 32,6 35,0 40,3 48,2 56,6 65,1 75,7 87,7 100 113
5,00 28,0 28,0 27,5 28,2 33,0 38,3 45,С 53,2 63,3 74,9 86,7 100
5 50 23,6 23,6 23,2 22,8 26,4 31,0 37,0 43,6 52,7 63,5 75,2 88,4
6,00 20.2 20,2 20,0 19,1 21,1 26,2 31,8 36,4 44,0 53,8 65,4 78,0
§ 48]
Изгиб гибких пластин небольшого прогиба
383
Продолжение табл. 88
1 1 к и |сч ах а Пластины, сжато-растянутые вдоль длинных кромок-у
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,8 2,0 3,0 5,0 ТС
Тб*зР( ь Г
100/ 1
3,20i 412 | 471 514 537 548 550 543 518 491 401 416 417
3,00/ 375 432 472 497 511 516 514 499 480 406 416 417
2,80/ 347 400 440 466 471 489 49! 484 468 411 416 417
2,60/ 325 374 413 440 456 466 471 470 457 415 416 417
2,40/ 306 354 391 418 435 447 454 457 449 415 416 417
2,20/ 291 337 372 399 417 432 440 446 442 416 417 417
2,00/ 278 322 357 384 403 418 427 436 436 416 417 417
1,80/ 267 310 344 371 391 406 415 428 430 416 417 417
1,60/ 257 300 333 360 381 396 407 420 425 416 417 417
1.40/ 249 291 324 351 372 388 400 414 421 416 417 417
1,20/ 243 1 284 317 343 365 381 394 409 417 416 416 417
1.00/ 239 278 311 337 359 375 389 406 414 416 416 417
0 227 264 296 324 346 363 376 396 406 414 416 417
1,00 217 253 285 311 333 351 366 387 399 413 415 417
1,50 206 240 271 297 320 338 354 376 390 412 415 417
2,00 192 224 254 280 303 322 338 362 379 410 414 417
2.50 176 206 235 260 283 303 319 346 365 405 414 417
3,00 160 187 215 239 262 282 299 329 350 399 413 417
3.50 144 169 195 218 240 260 279 309 332 391 413 417
4,00 127 151 176 198 219 239 258 288 314 383 412 417
4,50 113 135 158 179 199 219 237 269 296 373 408 417
5,00 100 119 141 161 180 199 216 251 278 363 402 417
5,50 88.4 106,1 126 144 163 180 197 232 260 351 395 417
6,00 78,J Э4.4 112 129 147 163 179 213 243 338 386 417
384
Изгиб пластин
[Гл. XI
Коэффициенты для иапряже
е II к | я •Й Пластины, сжато-растявутые вдоль коротких кромок
СО 5,0 3,0 2,0 1,8 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 ''1 1,0
Коэффициент kt в формуле
3,20i 657
3,00i 788 634
2,80i Область потери 890 750 614
2,60! устойчивости 959 840 719 597
2,40i 999 905 802 694 583
2,201 1075 1011 940 860 771 674 571
2,00! 1138 1089 ЮЮ 959 896 825 745 657 561
1,80; 1121 1068 1023 958 915 861 797 724 642 553
i,60i 1023 1030 1048 1011 980 918 878 830 774 706 630 547
l,40i 968 973 992 970 940 888 848 808 755 692 620 541
1,201 926 932 950 934 908 862 826 789 739 681 611 534
1,00; 895 915 918 908 880 844 811 776 727 672 604 529
0 833 836 852 854 837 802 779 751 706 654 593 522
1,00 782 784 802 810 794 772 746 719 683 636 582 516
1,50 730 732 749 764 751 733 711 689 658 616 566 506
2,00 672 673 688 708 700 686 669 652 626 590 545 492
2,50 613 614 627 648 645 636 625 611 590 560 521 474
3,00 560 561 568 589 590 586 580 568 552 529 496 454
3,50 512 512 518 538 541 541 537 529 518 498 471 436
4,00 469 469 474 492 497 499 496 492 486 469 447 418
4,50 432 432 436 451 457 462 460 458 453 442 423 400
5,00 400 400 403 416 422 428 428 427 423 417 401 382
5,50 372 372 374 386 391 397 398 399 397 392 380 365
6,00 348 348 349 361 364 369 371 373 374 369 36! 348
§ 48]
Изгиб гибких пластин небольшого прогиба
385
ний в середине кромок
Таблица 89
Пластины, сжато-растяиутые вдоль длинных кромок-^-
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1,5 1,6 1.8 2,0 3,0 5,0 GO
(=* ) А = 4 100/ )
3,201 657 662 650 629 608 592 580 564 571 578 578 578
3,00i 634 645 638 623 608 592 584 571 573 578 578 578
2,801 614 630 627 617 605 593 586 574 575 578 578 578
2.601 597 616 618 611 602 593. 587 576 576 578 578 578
2.40i 583 604 610 606 599 592 588 577 577 578 578 578
2,201 571 594 602 601 596 591 588 578 578 578 578 578
2,00i 561 585 595 596 593 590 587 578 579 578 578 578
l,80i 553 578 589 592 590 588 586 578 579 578 578 578
1,60< 547 572 584 588 588 586 585 578 579 578 578 578
l,40i 541 566 578 584 586 585 584 578 579 578 578 578
1,20i 534 561 574 581 584 584 583 578 579 578 578 578
1,001 529 556 571 578 582 583 582 580 580 578 578 578
0 522 548 564 572 578 580 580 580 579 579 579 578
1,00 516 540 557 568 574 576 579 580 578 578 578 578
1,50 506 531 549 561 567 572 575 581 577 578 578 578
2,00 492 518 538 551 559 567 571 576 576 578 578 578
2,50 474 503 524 539 550 559 565 572 574 578 578 578
3,00 454 486 509 526 540 550 558 566 572 578 578 578
3,50 436 468 493 511 528 539 549 559 567 577 578 578
4,00 418 449 476 496 514 528 540 552 562 577- 578 578
4,50 400 431 425 481 500 516 530 543 556 576 578 578
5,00 382 413 442 465 486 504 520 534 550 574 578 578
5,50 365 396 425 449 472 493 512 523 541 572 578 578
6,00 348 380 409 434 459 482 504 512 531 569 578 578
25 Учебный справочник
386
Изгиб пластин
[Гл. XI
1° м| ** ° О К |сч II о a Пластины, сжато-растянутые вдоль коротких кромок
оо 5,0 3,0 2,0 1,8 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0
Коэффициент k5 в формуле
3,20/ 810
3,00/ . 865 756
Область потерн
2,80 устойчивости 878 801 713
2,60/ 860 810 749 678
2,40/ 826 797 760' 710 650
2,20/ 800 786 772 746 719 678 626
2,00/ 756 752 746 737 727 707 684 649 605
1,80/ 707 707 708 702 697 690 676 656 624 586
l,60i 674 674 674 674 675 671 667 66! 650 634 606 571
1,40/ 646 646 646 647 648 647 643 638 629 616 592 558
1,20/ 626 626 626 627 627 626 622 620 612 601 580 549
1,00/ 610 610 610 610 611 610 609 607 600 590 570 542
0 578 579 579 579 580 580 580 578 572 564 548 522
1,00 550 550 550 552 553 554 554 552 548 542 531 508
1,50 521 521 521 523 523 524 524 524 522 517 508 490
2,00 487 487 487 489 489 489 490 490 490 487 481 467
2,50 450 450 450 451 451 452 453 456 456 455 452 441
3,00 417 417 417 417 417 418 419 421 421 422 421 413
3,50 384 384 384 384 384 385 385 388 388 390 390 386
4,00 354 354 354 354 354 355 355 357 358 360 360 360
4,50 328 328 328 328 328 328 329 33! 332 334 334 336
5,00 306 306 306 306 306 306 307 307 308 310 310 314
5,50 285 285 285 285 285 285 285 285 286 289 289 292
6,00 266 266 266 266 266 266 266 266 267 269 270 272
§ 48]
Изгиб гибких пластин небольшого прогиба
387
Продолжение табл. 89
С II ьэ| а Пластины, a сжато-растянутые вдоль длинных кромок-^-
0° ’э
1,0 1.1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,8 2,0 3,0 5,0 оо
(ау)в = ±6*5Р ( b V I loot)
3,20/ 810 912 995 1048 1076 1093 1095 1084 978 822 833 833
3,00i 756 852 930 986 1016 1036 1041 1024 971 831 834 833
2,80/ 713 804 879 937 968 989 1000 988 964 840 835 833
2,60/ 678 764 837 894 927 950 965 962 956 848 836 833
2,40/ 650 730 802 858 892 918 936 938 940 854 835 833
2,20/ 626 702 772 828 862 892 911 918 923 858 834 833
2,00/ 605 679 749 802 838 869 888 902 910 862 833 833
1,80/ 586 661 728 780 818 849 868 888 898 865 833 833
1,60/ 571 645 710 761 801 833 855 876 889 862 835 833
1,40/ 558 632 694 746 788 819 844 865 881 860 837 833
1,20/ 549 619 682 733 777 807 832 855 874 858 839 833
1,00/ 542 609 673 724 768 798 822 848 869 856 839 833
0 522 593 654 706 751 779 802 837 854 852 836 833
1,00 508 576 634 684 724 758 786 821 841 850 836 833
1,50 490 555 611 661 700 736 764 802 825 848 836 833
2,00 467 529 582 632 671 708 736 778 804 844 836 833
2,50 441 499 551 598 639 674 704 750 781 838 836 833
3,00 413 468 518 562 604 638 670 718 754 829 836 833
3,50 386 437 484 527 567 602 635 683 724 818 835 833
4,00 360 406 451 492 531 566 599 648 692 805 835 833
4,50- 336 378 421 460 497 531 563 615 662 789 828 833
5,00 314 352 392 429 464 497 529 583 631 770 818 833
5,50 292 328 365 400 434 466 498 550 600 749 805 833
6,00 * 272 307 341 374 407 437 469 518 569 725 789 833
25Y®
3S8
Изгиб пластин
[Гл. X.
49. ИЗГИБ ПЛАСТИН БОЛЬШОГО ПРОГИБА
Изгиб свободно опертой пластины большого прогиба под действием
равномерно распределенной нагрузки
Решение это получено Б. И. Слеповым на основании полной теории
изгиба гибких пластин большого прогиба, в предположении бесконечно
большого внешнего распора, вполне устраняющего смещение кромок, и при
наличии самораспора, препятствующего изгибу кромок в плоскости пла-
стины. Решение получено для квадратной пластины и для пластины, у кото-
рой отношение сторон равно 2.
Практически им можно пользоваться, если к пластине не приложено
внешних усилий в ее срединной плоскости от участия в общем изгибе судна
или в местном изгибе набора.
Пластины предполагаются свободно опертыми на кромках.
Максимальные напряжения в пластинах, полученные описанным мето-
дом, даны в табл. 90.
Таблица 90
Максимальные напряжения в пластинах (в кг/см2)
а / а |-е> ь b ~р = 200 Ь 100- Ь -*- = 50
t
01 0,5 1,0 0,1 0,5 1,0 0,1 0,5 1,0 0,1 '0,5 1,0
1 700 1 230 1 975 532 1 210 1 785 255 1 100 1 710 94 816 1 320
2 800 I 520 2 450 1 НО 2 040 2 685 480 1 620 2 330 161 1 000 1 780
В таблице:
а — длина большей стороны опорного контура;
b — длина меньшей стороны;
t — толщина пластины;
р — давление на пластину в кг/см1-.
Изгиб пластин по цилиндрической поверхности с учетом распора
и начальной погиби
Если одна сторона пластины значительно больше, чем другая, то можно
считать, что уже в некотором отдалении от коротких кромок пластина гнется
по цилиндрической поверхности. В этом случае принято сводить расчет пла-
стин к расчету некоторой условней балки-полоски.
Такая балка-полоска мысленно вырезается из пластины двумя сече-
ниями ДВ и А'В', как показано на рис. 120.
Ширина балки-полоски принимается равной 1 см.
Изгиб пластины, гнущейся по цилиндрической поверхности, может
быть изучен, если положить в уравнениях изгиба пластин радиус кривизны
вокруг оси х равным бесконечности и, следовательно, все производные про-
гиба по у равными нулю. При этом получаются формулы следующего
вида:
Цилиндрическая жесткость
D= Et'
12(1-и2)
§ 49]
Изгиб пластин большого прогиба
389
Изгибающие моменты
My = D~.
у dx2
м’=и°5=,‘м>'
Срезывающая сила
V = D~
у dx*
Основное дифференциальное уравнение изгиба
_dlU! _ с?2щ
Напряжения
(319)
(320)
(321)
(322)
' (323)
(324)
6Л4у
р •
ау = UV
Эти формулы для расчета пластины, гнущейся по цилиндрической по-
верхности, являются по существу формулами для расчета балки-полоски
шириной 1 см, мысленно выделенной из пласти-
ны. Эта балка-полоска отличается от обычной
балки следующими особенностями.
1. Балка-полоска связана с соседними частя-
ми пластины, препятствующими пуассонову иска-
жению поперечного сечения, так что линейная
деформация в направлении оси у е = 0 в отличие
от обычной балки, у которой гу = р.еж.
2. Вследствие стесненности пуассонова иска-
жения появляются напряжения av = в то вре-
мя как у обычной балки а„ = 0.
Во все расчетные формулы вместо обыч-
ного модуля Юнга Е вводится приведенный мо-
дуль Юнга
£
= (325)
Это равнозначно тому, что балка-полоска
вследствие влияния окружающих частей пластины,
из которой она выделяется, на 10°о жестче обыч-
ной балки соответствующего сечения.
Судовые пластины работают не изолированно,
а в составе судового
корпуса. При малых толщинах пластины следует учитывать влияние сосед-
них связей, препятствующих свободному сближению кромок пластины
(распор).
Растягивающие напряжения в пластине от распора алгебраически
суммируются с напряжениями от внешней растягивающей или сжимающей
силы, приложенной ко всей конструкции (к пластине и к распорам), и в пла-
стине устанавливается некоторое растягивающее или сжимающее цепное
напряжение, одинаковое по всей ее толщине. На величину этого напряжения
очень сильно влияет также начальная строительная погибь пластины.
Наибольшие напряжения в пластине получаются как сумма напряже-
ний от изгиба и цепных напряжений на той кромке пластины, где они ариф-
метически складываются.
390
Изгиб пластин
[Гл. XI
Для пластины с конечным отношением сторон учет перечислением фак-
торов — распора, продольной силы, поперечной нагрузки и начальной
погиби практически невозможен.
Для пластин же с большим отношением сторон, гнущихся по цилиндри-
ческий поверхности, расчет может быть сведен к расчету балки-полоски на
сложный изгиб, и при этом все указанные факторы могут быть учтены при
помощи излагаемого в настоящем параграфе приближенного метода.
Вводим обозначения:
а — длина балки-полоски;
t — толщина ее;
Г—площадь распора на единицу длины опорного контура;
F — площадь сечения балки-полсски;
Т — сила, приложенная ко всей конструкции, т. е. к балке-полоске
и к распору, направленная вдоть стороны- а\
р — интенсивность нагрузки на пластину, т. е. давление на единицу
ее площади;
Ор — напряжение в распоре;
зч — цепное напряжение в балке-полоске;
о0 —среднее напряжение в конструкции
°» = 7^Т7; <326)
kp — коэффициент распора, равный
= (327)
оа—эйлерово напряжение балки-полоски, если считать ее свободно
опертой
it2£ / t \2 /1001\2
°- = (т) “ 200 (—) <328>
1г0—ордината начальной строительной погиби;
h — стрелка начальной погиби.
Так как относительно характера и величины начальнсй погиби строго
установленных данных нет, то в практических расчетах делают следующие
допущения.
1. В отношении характера погиби полагают ее синусоидальной у балок-
полосок, свободно опертых на кромках,
к'о = h sin (329)
и косинусоидальной у балок-полосок, жестко заделанных на кромках,
rc0 = y(l-cos^). (330)
2. Величина стрелки начальной прогиби для клепаных судов опреде-
ляется по эмпирической формуле:
<М1>
Величина стрелки начальной погиби у пластин сварных конструкций
больше (раза в 2—2,5) определяемой по этой формуле1.
1 В 1956 г. Речным Регистром СССР выпуцены «Временные нормы на допус-
тимые местные построечные деформации сварных корпусов судов», регламентирую-
щие начальную погибь пластин.
$ 49]
Изгиб пластин большого прогиба
391
Элементы изгиба балки* полоски определяются отвлеченным аргументом
а, который для случая равномерно распределенной нагрузки находится
следующим путем:
Если балка-полсска свободно оперта на жестких опо-
рах, то /0—прогиб балки-полоски посередине длины только от попе-
речной нагрузки (при Т = 0 и kp = 0) равен
_ 5ра«
Zo 384 EJ = р
(332)
Кубическое уравнение для нахождения аргумента х:
или
/ h \2
Х’+ 3(1-р2) (т
— 1 х2 =
°э
= 3(1-
если дано о *
Х’+ 3^(1 —
(333)
—° _ 1 | X2 =
, если даны о0 и kp*
Аргумент
а = х — 1.
(334)
Если балка-полоска жестко заделана на жестких опорах,
то прогиб посередине длины балки-полоски только от поперечной на-
грузки (при Т = 0 и kp = 0) равен
= 384 ^7 — 1,4pZ (ТОО?) (‘К2, СМ^ ^335^
Кубическое уравнение для нахождения аргумента х:
I 3(1 — р-2) / Л \2 °р ,1 2
х•+[—4 Iх =
3(1-ц!1/ !,+ь\г ,
— —'— ---I —1 , если даноор,*
. ГЗП —^2) /г МГ__2О_^11Х2-
х [ 4 RP\t ) 4зэ ]
3(1—Н2) h lf3+h\2
= ——«р I -—i— > если даны o0 и k *
4 p \ t j p
Аргумент
a = 4(x— 1).
Цепное напряжение определяется по формуле.
сч = ааэ.
Аргумент сложного изгиба
v - / а.
(336)
(337)
(338)
(339)
Следует брать положительный корень этого уравнения.
392
Изгиб пластин
[Гл. XI
Наибольший прогиб wa посередине балки-полоски от изгиба равен:
т
если балка-полоска свободно оперта
5 pa* ** ha _ п.
(340)
если балка-голоска жестко закреплена
ра* ^rha ?1 ? . (341) >4
На этот прогиб налагается начальный прогиб h. Наибольшее расчет-
ное напряжение в середине пролета свободно опертой балки-полоски
Зр / а \2 6Лзч 1*
Т \ 7 ) 0 ~ (1 4-а)/]
(342)
Для жестко заделанной балки-полоски напряжение посередине про-
летй равно
Расчетное напряжение на опоре такой балки-полоски равно
(344)
Функции <?0, <?1, /0, /л и /2 находятся по табл. 46 в зависимости от
аргумента о. Кубические уравнения удобно решать, пользуясь номограм-
мой, приведенной на рис. 19.
Если начальная погибь уменьшает расчетное напряжение, следует
повторить весь расчет в предположении, что начальная погибь имеет
ту же величину, но обратный знак (—А).
Пример. Рассчитать пластину днища речного судна.
Размеры пластины: а = 0,6 м, b = 2 м, t = 4 мм.
Давление воды на пластину равно 1,5 м вод. ст. или р = 0,15 кг/см2.
Напряжение от участия в общем изгибе судна в соседних с пластиной жестких
связях •
вр = 700 кг/см2.
Ь
Это напряжение направлено вдоль короткой стороны а. Так как — = 3,33,
то расчет пластины сводится к расчету балки-полоски шириной 1 см.
Соседние пластины находятся под таким же давлением воды, поэтому пола-
гаем концы балки-полоски жестко заделанными.
Эйлерово напряженне балки-полоски, если бы оиа была свободно оперта, равно
/100П2 ,40\2
«т» = 200 —) = 200 I gg I =89 кг/см2
* Верхние знаки для сухой, нижиие—для мокрой поверхности пластины.
** Верхние знаки для мокрой поверхности пластины, нижние—для сухой.
§ 49]
Изгиб пластин большого прогиба
393-
Стрелка начальной строительной погиби
а 60
А = । (3,5 см — t)=- 4QQ (3,5 — 0,4) = 0,465 см.
По формулам для жестко заделанной балки-полоски
( а \« /60/
/2 = 1,4р/l Joof) = 1,4 • 0,15 • 0,4(40) = 0,425 см.
Кубическое уравнение получается вида
, Г3(1 — ц2)/0,465Л 700 1 2 3(1 —ц2) /0,425 + 0,465 X2
х [ 4 ( 0,4 ) 4-89 — J х — 4 0,4 }
или, после преобразований
х» — 2,05 хг = 3,36,
откуда х = 2,56.
Аргумент
а = 4 (х — 1) = 4 (2,56 — 1) = 6,25.
Цепное напряжение в пластине
ац = зз, = 6,25 • 89 = 560 кг/см*.
Аргумент сложного изгиба
v = у /Г = 1,57 у^6?25 = 3,90.
Функция X, находится по табл. 46 и при v — 3,9 равна X, = 0,573.
Наибольшее напряжение в пластине (на мокрой поверхности)
Если положить, что А =— 0,465 см, то для этой же пластины получится, чтог
з = 4,20; ач = —375 кг/см*-, и = 3,22; алакс = 2 080 кг/см2.
ГЛАВА XII
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН
Сжатие пластины усилиями, лежащими в ее плоскости, может вызвать
потерю устойчивости, т. е. появление очень больших деформаций без замет-
ного 'возрастания сжимающего усилия. Сжимающее усилие, при котором
происходит потеря устойчивости пластины, называется эйлеровой
или критической нагрузкой. Отношение эйлеровой нагрузки
к площади поперечного сечения пластины называется эйлеровым или
критическим напряжением.
При этом следует помнить, что при разыскании эйлерова напряжения
пластины ее рассматривают изолированно от остальной конструкции и
предполагают, что опорные кромки ее могут свободно сближаться. Именно
так следует понимать выражения для о, различных пластин, которые даны
в этой главе.
Если пластина работает изолированно, то больше эйлерова напряжения
сна не может воспринять, и оно является для нее опасной нагрузкой типа
предела прочности.
Однако пластины судового корпуса работают как часть конструкции,
и тут картина значительно сложнее. Наличие распора, т. е. действие окру-
жающих пластину жестких связей, препятствующих свободному сближе-
нию кромок, ведет к тому, что пластина может воспринять на себя усилие,
стличное от ее эйлерова усилия и зависящее от ряда факторов.
§ 50. УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОПРОЛЕТНЫХ ПЛАСТИН
Свободно опертая пластина
Если пластина сжимается нагрузкой, приложенной равномерно к двум
противоположным кромкам (рис. 121), причем а — сторона контура,
параллельно которой действует сжимающее усилие, то эйлерово напря-
жение равно
' Еп2
12(1-^)
(345)
Рве. 121
где т — число полуволн, на которое разби-
вается пластина при потере устойчивости.
Из условия минимума оэ следует, что при
1.415 1;
ь
1,415 <-^-<2,45 m = 2;
ь
2,45 <?< 3,48 /п = 3.
§ 50]Устойчивость однопролетных пластин 395
Предельные случаи. Если сторона а много меньше Ь, то
пластина при потере устойчивости прогибается по цилиндрической по-
верхности и
(100 £\2
• (346)
а
Если -^->-3,48, пластину можно считать бесконечно длинной, раз-
бивающейся на квадратные пластинки при потере устойчивости. В этом
случае
(347)
А
Если пластина сжимается (или сжимается и частично растягивается)
усилиями, равномерно распределенными по двум противоположным кром-
кам (рис. 122), причем напряжение о, сжимающее пластину, меняется
линейно относительно координаты у
0 = 0о(1-Й)’ (348)
где:
о0 — сжимающее напряжение в точке, где у = 0,
ab — координата точки, где а = 0 (характер распределения напряже-
ния в зависимости от а показан на рис. 123), то устойчивость
нарушается, если напряжение о0 становится равным
/100 Л2
O0s = Я200 , (349)
\ b j
где К—коэффициент, который находится по табл. 91.
Таблица 91
Коэффициент К
а а Г 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50
0.4 29,1 18,7 15,1 13,3 10,8
0.6 24,1 12,9 9,7 8,3 7,1
0,8 24,4 П.2 8,1 6,9 6,0
1.0 25,6 11,0 7,8 6,6 5,8
1.5 24,1 11.5 8,4 7,1 6,1
СО 23,9 11,0 7,8 6,6 5,7
Если а > 1,5, то
к = _а /_L а —0,0 а . Ь V + о а \2 1 » (350)
396
Устойчивость пластин
[Гл. XII
где т — целое число, определяемое условием
а2
т(т— 1)< Ц- 1).
(351)
Пример. Проверить устойчивость ширстрека, опертого на палубу, на бортовую
продольную балку и иа рамы борта. Сжимающее напряжение от общего изгиба суд-
на у палубы равно 800 кг!см?. Расстояние между рамами а = 2 м. Расстояние от
палубы до горизонтальной продольной балкн Ь = 0,8 м. Толщина ширстрека 8 мм.
Нейтральная ось судна расположена на расстоянии 2 м от палубы.
Тогда.
2
о — о18 = 2>5-
Число т определяется из условия
2s
(т — 1) т < Q-g^- < rn (т -|- 1), т. е. т = 3.
Коэффициент К равен:
7 /1а, 2,5/2,5 3 V
Х= а—0,5 (т b + m а ) ~ 2 ( 3 + 2,5/ =5’17;
/100/у _ /80У
=„= К 2001-^-1 =5,17 • 200- (go) = 1 035 кг/см*.
Устойчивость ширстрека обеспечена.
Пластина, свободно опертая на три кромки, с четвертой свободной
кромкой
Пластина сжимается равномерной нагрузкой, приложенной к свободно
опертым кромкам (рис. 124),
Рис. 124
Рис 125
а — длина свободной стороны пластины,
b — длина сторон, к которым приложена нагрузка,
аэ = 200 + 0,426 j . (352)
Ьсли сторона а много больше о, то, полагая — оо, получим
___/100/V
— 85 I —• j . (353)
Жестко заделанная пластина
Пластина сжата равномерной нагрузкой, приложенной по двум
противоположным кромкам (рис. 125).
Эйлерово напряжение такой пластины равно
Зэр -- Р3Э>
(354>
§ 50]
Устойчивость однопролетных пластин
397
где аэ—эйлерово напряжение той же пластины, полагаемой свободно
опертой на жестком контуре (яэ определяется по указаниям, данным
в начале настоящего параграфа).
Коэффициент р равен:
при а < Ь
□ = 4,00—2,814 + 1,34 fY. (355)
О \ о I
при а> Ь
р = 2,53.
Пластина под действием усилий в ее плоскости по двум
взаимно-перпендикулярным направлениям (рис. 126)
Пластина свободно оперта на двух противоположных кромках
(при х = const) на двух других жестко заделана или свободно оперта;
а, Ь и t — размеры пластины;
и ах—напряжения в плоскости пластины (растягивающие или
сжимающие);
D = pj—:----5- — цилиндрическая жесткость пластины.
12 (1 р.~)
Одно из напряжений — ах или ау — должно быть задано, требуется же
найти величину и знак другого напряжения, соответствующие потере
устойчивости пластиной.
а) При известном напряжении
Tx = axt. (356)
Расчет укладывается в таблицу, при-
чем его следует начать, полагая i = 1, и
дальше продолжать, давая i значения
целых чисел и пользуясь следующими
формулами:
буСО
Рис. 126
i2n2
D^+T
Р^_2.
а2 ’
(357)
<358>
По найденному uit пользуясь графиком'(рис. 127), изображающим
связь междч и, и о,кр, находят последнее. При этом, если пластина
свободно оперта на контуре при у = const, то пользуются кривой для
свободно опертых балок, если'же жестко заделана, — то для kжестко
заделанных балок.
Дальше
TiKp = ~v?KP (359)
и
Ty = TiKp-2D1-^. (360)
Из значений Ту, полученных при различных i, выбирается макси-
мальное в алгебраическом смысле Тукр и, наконец, определяется^эйлерово
напряжение яукр:
аукр = Ъ^, (361)
3gg Устойчивость пластин [Гл. XI
б) При известном напряжении оу, если надо найти критическое на-
пряжение зхкр, расчет следует также уложить в таблицу, давая i зна-
чения 1, 2, 3 ... и т. д.
Расчетные формулы в этом случае будут следующие.
Усилие на единицу длины кромки
Ty = ayt. (362)
Приведенное усилие
T,= (2D^ + TyV (363)
• * \ а2 ” I
Аргумент
(364)
По этому аргументу vt с помощью графика, показанного на
находятся ut и приведенная жесткость упругого основания
, 64D „
рис. 127
(365)
по которой
Далее
и является
напряжение
определяется
Т — ~ k — D
берется максимальное в алгебраическом смысле Тх1, которое
критическим усилием пластины Тхкр, а по нему и критическое
(366)
Т х кр
ах кр--- [
Пример 1. Дано а = 2 м, b = 1 м, t = 1 см.
Пластина по всему контуру свободно оперта. Напряжение
ах = — 700 кг/сх2.
Определить критическое значение напряжения gv.
(367)
§ 50]
Устойчивость однопролетных пластин
39»
Цилиндрическая жесткость
2-10®-1
D — 12 (1 0 3:') ~ .
Тх = = — 700 кг/см.
Приведенная жесткость упругого основания Л, находится по формуле (357)
/ ~2 \
ki ~ як? (2 105 W2 ’’ ~700)=2,5 10-4 ,2 ‘2—700) кг1см*-
Аргумент и,- по формуле (358)
и, = 50 |/4 . 2 • 10® = > ®7 у/
По и,- находится Pg и далее по формулам (359) и (360):
„ 4 - 2 • 10® ,
Т> КР — 100’ Vl КР — 80 vi кр Кг/См-
Ty = TiKp-2-4 - 10® ^ia = Tg кр-98,5 »2.
Все вычисления сводятся в следующую таблицу:
i kg, кг/см3 ui Pi TgKp, кг/cm T v, кг/cm
1 — 0,163 1,обо 0,50V^l — 20 1-П81
-2 — 0,500 l,400j 1,75 245 — 150
3 — 0,585 1,470^ ^1 1,87 280 — 615
Следовательно, Тук„ =—118 кг/см (максимальное в алгебраическом смысле
значение Ту), °VKp =— 118 кг/смг.
Пример 2. Дано: а = 150 см, Ь — 120 см, t = 0,8 см, ау — — 1 000 кг/см2.
На кромках длиной а пластина жестко заделана, на двух других—свободно
оперта Найти критическое значение напряжения сх.
Цилиндрическая жесткость
2• 10® • 0.82
D — 12(1 —0 3*У = 1,02 ‘ 10* кг!см-
Усилие Ту равно
Ту = — 1 000 • 0,8 = — 800 кг/см.
Формулы (363) — (365) прнводим к удобному для вычислений виду:
д2 ^2 \
Tg = 2 - 1,02 • 10® — 800) = 91 i2 — 800,
120д/ Л Л
v‘~ 2 Г 1,02 10® “0,6 Г 10,2’
Аргумент ug находится в зависимости от vg по графику на рис. 127:
1502 42 • 1,02 • 10® п’
150®
k-
= 2 250^ —45,3 «2.
400
Устойчивость пластин
[Гл. XII
Вычислим ТХ1 для первых трех значений t. Вычисления удобно уложить
в таблицу:
X Т t, кг/см vi щ kj, кг/см3 Txi, кг/см
1 —710 5,00/^Г 1,92 0,425 916|
2 —436 3.92/ZT 1,50 0,159 — 92
3 19 0,82 1.77J/ZT —0,309 —484
Максимальное в алгебраическом смысле Txi получится при i — 1
и равно: Тхкр — 910 кг/см. Следовательно, потеря устойчивости произой-
дет, если напряжение будет меньше (в алгебраическом смысле) поло-
жительного напряжения
°лгкр --
—- = 1 140 кг/см?.
О,о
Устойчивость прямоугольной пластины при сдвиге (рис. 128)
Рис. 128
а — большая сторона контура,
Ь — меньшая сторона контура,
т = К 200
1001\2
~1Г )
Величины коэффициента К приведены в табл. 92
(368)
Таблица 92
к
1.0 9,4
1,2 8,0
1.4 7,3
1.5 7,1 •
1.6 7,0
1.8 6,8
2,0 6,6
2,5 6,3
3 6,1
оо 5,7
Указатель имеющихся решений по устойчивости однопролетных пластин
Приведе ные выше решения относятся к пластинам, обычно встречаю-
щимся в судовом корпусе. Для пластин же других типов в табл. 93 даны
соответствующие решения и ссылки на литературные источники.
Условные обозначения и сокращения в табл. 93
— кромка, свободно оперта'я на жесткий контур;
— свободная кромка;
— кромка, жестко заделанная на жестком контуре;
FTTT
— кромка, свободно опертая на упругий контур;
§ 50] Устойчивость однопролетных пластин
401
СС — Справочник по судостроению, т. II;
П — П. Ф. Папкович, Строительная механика корабля, ч. II,
изд. 1941 г.
Таблица 93
Прямоугольные пластины
равномерно распределен-
ные сжимающие напряже- другие виды нагрузки
ния
Круглые пластины
В книге С. П. Тимошенко «Устойчивость упругих систем» (Гостехиздат,
1946) на стр. 323 имеется решение для случая совместного действия каса-
тельных и линейно изменяющихся нормальных напряжений.
26 Учебный справочник
402
Устойчивость пластин
[Гл. XII
§ 51. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН С УПРУГИМИ РЕБРАМИ
В настоящем параграфе рассматривается устойчивость пластин с про-
дольными направленными вдоль сжимающей силы и с поперечными (перпен-
дикулярными к направлению сжатия) упругими ребрами (рис. 129).
Рис. 129
Пластина свободно оперта на наружный жесткий контур. Все ребра
одного направления одинаковы и равноудалены.
Обозначения приняты следующие:
а — длина кромки пластины, параллельная направлению сжимающих
сил;
b — длина кромки пластины, перпендикулярная направлению сжатия;
t — толщина пластины;
/ — момент инерции сечения продольного ребра с приведенным пояс-
ком шириной 0,5 s;
F — плошадь сечения ребра;
Л, Fi—то же для поперечного ребра (поясок шириной 0,5 с);
10,9/
si3
л = ~ ,;
10,9/’
b
п —;
з
т—целое число полуволн, на которое разбивается пластина вдоль
стороны а.
Пластина с одним продольным ребром
Эйлерово напряжение берется как меньшее из
= 800
Vs/
Значения коэффициента приведены в табл. 94.
(370)
(369)
26Y®
Таблица 94
Значения коэффициента
% fl 0,05 [1-0,1 Р 0,2
5 10 15 20 25 б 10 15 20 25 5 10 15 20 25
0,6 16,5 16,5 16,5 16,5 16,5 16,5 16,5 16,5 16,5 16,5 16,5 16,5 16,5 16,5 16,5
0,8 15,4 16,8 16,8 16,8 16,8 14,6 16,8 16,8 16,8 16,8 13,0 16,8 16,8 16,8 16,8
1,0 12,0 16,0 16,0 16,0 16,0 11,1 16,0 16,0 16,0 16,0 9,7 15,8 16,0 16,0 16,0
1,2 9,8 15,3 16,5 16,5 16,5 9,1 14,2 16,5 16,5 16,5 7,9 12,4 16,5 16,5 16,5
1,4 8,6 12,9 17,0 17,9 17,9 7,9 12,0 15,7 17,9 17,9 6,8 10,3 13,6 17,0 17,9
1,6 8,0 11,4 14,7 16,8 16,8 7,4 10,5 13,6 16,6 16,8 6,3 9,1 11,8 14,4 16,8
1,8 7,8 10,6 13,2 15,9 16,2 7,2 9,7 12,2 14,7 16,2 6,2 8,4 10,5 12,6 14,7
2,0 8,0 10,2 12,4 ‘ 14,6 16,0 7,3 9,4 11,4 13,4 15,4 6,2 8,0 9,8 11,6 13,3
2,2 8,3 10,2 12,0 13,9 15,8 7,6 9,3 11,0 12,7 14,5 6,5 8,0 9,4 10,9 12,4
2,4 8,8 10,4 11,9 13,5 15,1 8,1 9,5 10,9 12,4 13,8 6,9 8,1 9,4 10,6 11,9
2,6 9,3 10,8 12,1 13,5 14,8 8,5 9,9 И,1 12,4 13,6 7,3 8,5 9,5 10,6 11,6
2,8 8,6 11,4 12,5 13,7 14,8 7,9 10,4 11,5 12,6 13,6 6,3 8,9 9,8 10,8 11,6
3,0 8,3 12,0 12,1 14,1 15,1 7,6 11,1 12,0 13,0 13,9 6,5 9,5 10,3 И,1 11,9
3,2 8,0 11,4 13,9 14,8 15,6 7,4 10,5 12,7 13,5 14,3 6,3 9,1 10,9 11,6 12,3
3,6 7,8 10,6 15,2 15,9 16,2 7,2 9,7 12,2 14,7 15,7 6,2 8,3 10,5 12,6 13,5
4,0 8,0 10,2 14,4 14,6 16,0 7,3 9,4 И>4 13,4 15,4 6,2 8,0 9,8 11,6 13,3
Устойчивость пластин с упругими ребрами 403
404
Устойчивость пластин
[Гл. XI
Пластина с двумя продольными ребрами
Ребра равноудалены от продольных кромок пластины и друг от
друга.
Эйлерово напряжение берется как меньшее из
-.. = k. 200
\ b I
(371)
И
о, == 800
IQOfX2
S )
Значения коэффициента k2 приведены в табл. 95.
(370)
Таблица 95
Значения коэффициента k2
'х X 3 = 0,05 [1 = 0,1
2 4 6 8 10 2 4 6 8 10
0,6 19,4 30,6 36,4 36,4 36,4 17,2 27,7 36,4 36,4 36.4
0,8 11,9 19,4 27.1 34,2 37,2 10,5 17,2 24,2 30,8 37,1
1.0 8,7 13,7 18,9 23,8 28,7 7,7 12,1 16,8 21,2 25,6
1.2 7,3 10,7 14,4 17,9 21,4 6,5 9,5 12,8 15,9 19,0
1,4 6,5 9,1 11,9 14,5 17,2 5,7 9,1 10,5 12,8 15,2
1.6 6,3 8,4 10,4 12,4 14,5 5,6 7,4 9,2 11,0 12,8
1.8 6,4 8,0 9,6 Н.2 12,9 5,7 7,1 8,5 9,9 11,4
2.0 6,7 8,0 9,3 10,6 Н,9 6,0 7,1 8,2 9,4 10,6
Пластина с несколькими продольными равноудаленными ребрами
Эйлерово напряжение берется как меньшее из
^EI a(7< + 2TW)+/n‘
'3 “ Fa* т* { ‘ ’
и
I100t\2
Oj = 800 I ~-у-1 . (370)
4 г—
Число т должно быть взято равным ближайшему к величине у у а
целому положительному числу.
При вычислении момента инерции I в этом случае в сечение следует
включить приведенный поясок шириной s.
Пример. Найти эйлерово напряжение пластины с ребрами, у которой:
а = II м, Ь = 5,5 м, t = 13 мм.
Число ребер жесткости равно пяти; элементы профиля ребра с приведенным
пэяском sl = 9I,6 • 1,3= 119 см‘ следующие:
I = 4 • 10* сл*. F = 249 см*.
Тогда
с st3 91,6 • 1,3» ,
7 = 2’ а — 12(1 — р2) 1 ~ 12 • 0,91 • 4 • 10* — 0,462 ’ 10
7 j4 а = 2 у/ 0,462 - 10—3=0,293 и поэтому т=1;
§ 511
Устойчивость пластин с упругими ребрами
405
r’EI а (7« + 2;2 т’) +
Сэ a' F тг
-Л 2 • 10* • 4 • 10* 0,462 • 10~3 (16 + 8) + I „ „„ , ,
I 100* • 249 -------------J------------= 2 660 ке/сл2.
Полагая ребра жесткими, для участка пластины между ребрами получим
,100'Л / 130 V
= 8001—1 =800lgi g) = 1 600 кг/см*.
Это последнее и будет расчетным эйлеровым напряжением пластины.
Пластина с поперечными ребрами
Все ребра равноудалены.
Эйлерово напряжение равно
,,=200 (^Г(т*+7.+ *Л (373)
\ Ь ут2
где т определяется из условия: т2 (т + I)2 = у4 + k'^3 плит = k, в за-
висимости от того, какое из этих значений т дает минимальное значе-
ние =э. Если т = jk, где / — целое число, то слагаемое &у3и в числи-
теле формулы (373) должно быть отброшено, т. к. в том случае ребра
не изгибаются.
Формулой (373) следует пользоваться, если
/ t V 1
/’<64(т) АГ’ <374)
где V — коэффициент, значения которого приведены в табл. 96.
Таблица 96
Значения коэффициента N
X с ~ь k 2 5 10 20 □О
0,0 0.1 0.2 0,3 0,4 Если же не 53,3 53,3 53,6 55,6 59,7 равенство (г 29,5 29,6 29,7 30,0 31,0 574) не удов 27,3 27,4 27,5 27,8 28,8 летворено, т 26,9 27,0 27,0 27,3 28,3 о эйлеровс 26,7 26.7 26,8 27,0 28,0 напряже-
ние т. е определяется по формуле следует полагать ребра жесткими. / с2 \2 (’ +f) ’ (375)
Пластина с одним продольным и одним поперечным ребром
Если
-2Ь31
ба3 ’
?2Е1
a"F '
(377)
(376)
406
Устойчивость пластин
[Гл. XI
где р. — корень трансцендентного уравнения
1----------и.®
24 Гл3 '
8 2 2
которое решается подбором.
Если неравенство (376) не удовлетворено, то
4^Е1
°э ~ a2F ‘
Для участка пластины между ребрами
(37*
(379)
Пластина с несколькими поперечными и с одним или несколькими
продольными ребрами 1
Ести момент инерции поперечных ребер удовлетворяет выражению
/ ь \ з
цл-1)х,
\ । /
где / — коэффициент, определяемый по табл. 97, то
°э ~ Fc2 '
(380)
(381)
Таблица 97
Значения коэффициента у
К X Л 7.
1
2 0,202 8 0,388
3 0,302 9 0.394
4 0,350 10 0,397
5 0.364 11 0,399
6 0,374 12 0,400
7 0,384
Если момент инерции поперечных балок
меньше требуемого формулой (380), то эйле-
рово напряжение определяется по формуле
(382)
где X — находится по табл. 98 в зависимос-
ти от Y и k, причем
MV h
\ k J I (n— 1) ’
(383)
Значение коэффициента f.
Таблица 98
х Y k 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
2 0,253 0,453 0,643 0,832 0,999 .—- .—. — —
3 0.100 0,553 0,664 0,759 0,845 0,928 0,998 — —
4 0.047 0,447 0,639 0,808 0,874 0,932 0,978 1,000 —
5 0,037 0,474 0,634 0.756 0,880 0,932 0,968 0,998 —
6 0.021 0,453 0,639 0,758 0,848 0,929 0,983 0,995 —
8 0,016 0,453 0,636 0,748 0,855 0,921 0,970 0,993 —
10 0,011 0,443 0,627 0,751 0 848 0,918 0,969 0,994 —
СО 0.00 0,445 0,623 0,749 0,845 0,917 0,964 0,989 1,000
1 Настоящее написано на основании работ, проведенных в Централь-
ном научно-исследовательском институте речного флота.
ГЛАВА XIII
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ
И НАПРЯЖЕНИЙ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
§ 52. ТИПЫ ПРИБОРОВ
Экспериментальная оценка жесткости и прочности отдельных связей
судового корпуса и всего корпуса в целом может преследовать различные
цели: проверка применявшихся методов расчета,
безопасно выдерживаемых корпусом, оценка жест-
кости конструкции, выяснение фактической роли
отдельных деталей в работе сложной конструкции
и т. п.
Приборы, применяемые при испытаниях, де-
лятся на несколько групп.
Тензометры. Эти приборы позволяют опре-
делять изменения расстояний между двумя точка-
ми конструкции и по этим изменениям судить на
основании закона Гука о величине напряжений
Компактность прибора обусловливается вели-
чиной базы /, т. е. расстоянием между точками кон-
струкции, из енение которого А/ фиксируется при-
бором. Качество прибора определяется надеж-
ностью и чувствительностью оценки удлинений Д/.
В тензометрах, выпускаемых мастерскими
ЛИМСХ (рис. 130), действительное удлинение уве-
личивается при помощи двойной рычажной переда-
чи в 1000 и более раз, что позволяет определять
напряжения с погрешностью, не превышающей
20100 кг см- (соответственно при базе 100 и
20 мм). Например, при базе / = 20.мм. увеличении
п = 1000 и моду е упругости Е=2 - 10® кг!см- цена
одного деления миллиметровой шкалы прибора будет
определение нагрузок,
Рис. 130
i= = £^ = i 2-,0"TW26“100''^-
Существуют самые разнообразные типы тензометров, действие которых
основано на различных принципах фиксации удлинений Д/.
В последнее время широкое распространение получило электро-
тензометрирование. Оно основано на свойстве проводника уве-
личивать свое омическое сопротивление при его вытягивании.
408 Экспериментальное определение деформаций и напряжений [Гл. XIII
На исследуемую деталь наклеивают проволочный датчик, представляю-
щий собой несколько идущих параллельно друг другу ниток тонкой (диа-
метром 0,02—0,05 мм) проволоки, вклеенной между двумя листами изоли-
рующего >атериала (бумаги). Датчик (рис. 131) изменяет свою длину вместе
с изменением длины соответствующего участка исследуемой детали, к кото-
рой он плотно приклеен специальным клеем, и его электрическое сопротив-
ление изменяется на величину Д/?:
= kRs,
где:
k — коэффициент тензочувствительности материала проволоки
датчика. Для медноникелевой (константан, эдванс), хромо-
никелевой (нихром) и хроможелезной (изоэластик) проволок
/г = 1,7^2,5 (до 4);
Я = Р
4 nl
первоначальное сопротивление датчика (о — удельное сопро-
тивление материала 0,00044-0,0012 ом-мм, I — база датчика,
т. е. длина одной нитки в мм, п — число ниток, d — диаметр
примененной проволоки в мм)',
М
—-----относительное удлинение датчика и исследуемой детали.
Как сопротивление каждого датчика R, так и коэффициент тензочувстви-
тельности однородной партии датчиков определяются экспериментально.
Для измерения изменения сопротивления
датчика обычно применяется мостиковая схе-
ма (рис. 132). Рядом с рабочим датчиком
(Р.Д.), наклеенным на исследуемую деталь,
помещается компенсационный датчик (К.Д.),
не скрепленный с деталью и устраняющий
возможность искажения показаний вслед-
ствие температурных колебаний.
При равенстве сопротивлений каждой
пары плеч моста (Др.д. = Rk. д и Ri = R%)
тока в диагонали моста АВ не будет. Де-
формация детали вызовет изменение сопро-
тивления рабочего датчика и появление тока
в диагонали моста, измеряемого чувствитель-
ным гальванометром Г. Тарировка датчиков
позволяет по показаниям гальванометра
установить напряжения, действующие в кон-
струкции.
От указанной принципиальной схемы имеются многочисленные отступ-
ления: замена отсчетов по гальванометру отсчетами по шкале реохорда,
меняющего сопротивление плеча Ri («нуль-прибор»), применение усили-
телен тока в диагонали моста с последующей регистрацией тока осцилло-
графом и др.
Современные установки позволяют регистрировать статические и дина-
мические напряжения в большом числе точек (несколько сот) с достаточной
для практики точностью (с погрешностью в определении напряжений до
10—20 кг!см9).
Прогибомеры. Назначение этих приборов понятно из их названия.
Прогиб какой-нибудь точки конструкции замеряется относительно другой
конструкции, принимаемой за неподвижную, или относительно некоторой
фиксированной прямой, соединяющей две точки исследуемой конструкции
§ 53] Некоторые указания по организации испытаний 409'
(например, прогиб середины балки относительно линии, соединяющей опер-
тые ее концы).
Как и при изучении напряжений, трудность определения прогибов,
чаще всего обусловлена незначительной величиной измеряемых прогибов.
Типичным прогибомером является индикатор, фиксирующий прогибы с точ-
ностью до 0,01 лои.
Вибрографы. Особую группу составляют приборы для фиксации проги-
бов (перемещений) при отсутствии конструкции, принимаемой за непо-
движную.
район (тензометрическая
станция)
Рис. 132
Эти приборы получили наибольшее распространение при изучении
судовой вибрации. Они основаны на принципе эластично подвешенной
инертной массы, сдвиги которой относительно самого прибора, жестко
скрепленного с корпусом судна, записываются на ленте прибора.
§ 53. НЕКОТОРЫЕ УКАЗАНИЯ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ИСПЫТАНИЙ
Основной особенностью натурных испытаний судна является крайняя
сложность судна как сооружения, чрезвычайно затрудняющая анализ полу-
ченных данных. Например, осуществление общего изгиба почти всегда со-
провождается изменениями в величинах местных напряжений; приборы же
фиксируют деформации независимо от причин, их вызывающих, в том числе
и от причин, связанных с неправильной установкой приборов.
При составлении плана испытаний следует учитывать, что для повы-
шения точности испытаний существует два пути: применение точной аппа-
ратуры и многократное повторение испытаний.
Если многократное повторение испытаний невозможно, то следует
стремиться хотя бы к двукратному повторению.
Точно так же и в плане расстановки приборов необходимо, как правило,
предусматривать постановку двух приборов в одну точку, так как при
постановке одного прибора трудно оценить точность полученного отсчета
[формулы (30) и (32) дают при п — 1 для ошибки отдельного наблюдения и
квадратичной ошибки бесконечность]. Только очень надежные, тщательно
изученные приборы ставят в одиночку.
Экспериментальный материал только тогда представляет ценность,
если каждая его цифра сопровождается указанием ее точности (наибольшей
возможной или квадратичной ошибки).
410 Экспериментальное определение деформаций и напряжений [Гл. ХП!
План проведения испытания должен составляться одновременно с под-
робным планом обработки экспериментальных данных, которые предпо-
лагается получить.
Материалы по комплексному испытанию, проводящемуся в соответст-
вии с намеченным планом, следует оформлять в виде актов одно- или двух-
дневных испытаний.
Акт составляется на основании черновых записей отдельных наблю-
дателей во время испытания не позднее, чем на следующий день после испы-
тания.
Черновые записи должны быть полными и ясными. Каждый листок
записей должен быть подписан наблюдателем, иметь номер испытания (акта),
к которому он относится, и обязательно сохраняться. Черновые записи
испытаний являются первичными документами испытания и могут пона-
добиться для справок.
В акте испытания систематизируются все черновые записи и с исчерпы-
вающей полнотой и абсолютней ясностью описывается само испытание. Не
следует опасаться излишнего многословия в акте; составляя его, всегда надо
помнить, что обрабатывать наблюдения, собранные в акте, будут не участ-
ники испытания, а кто-то другой, кому все должно быть понятно только из
акта, без всяких дополнительных пояснений1.
Если наблюдатель запишет отсчет по прибору неправильно и сразу обна-
ружит это, то ошибочную запись следует тотчас же исправить. Следует
придерживаться жесткого правила — ничего не исправлять «потом», «по
памяти». Если явно неправильные отсчеты обнаруживаются только при
составлении акта (а это чаще всего и случается), то опять-таки следует при-
держиваться обязательного правила вносить в акт весь подлинный мате-
риал, даже и ошибочный, сопровождая соответствующие цифры примеча-
нием, что, по-видимому, по каким-то причинам (невнимательность наблю-
дателя, неправильная установка прибора, нагрев прибора солнцем и т. п.)
отсчет должен быть из дальнейшей обработки исключен.
Несколько сомнительных чисел в акте скорее могут повысить доверие
киспытаниюв целом, так как свидетельствуют об объективности составителя.
Наоборот, исключение из акта всех сомнительных чисел подрывает доверие
к оставшемуся цифровому материалу, так как остается неясным, сколько
и каких чисел исключено и, в частности, не исключены ли числа, противо-
речащие предвзятому представлению испытателей о работе сооружения
1 Разумеется, удобнее, чтобы обработка велась участниками испытания, но
при составлении акта этого учитывать не следует.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
ГЛАВА XIV
ОБЩИЙ ИЗГИБ КОРПУСА СУДНА
Отдельные балки набора • судового корпуса, воспринимая прило -
женные к ним внешние нагрузки и работая изолированно или в составе
стержневых систем (рам, перекрытий), в конечном счете передают реакции
на оперный контур — борта, переборки, палубы, днище. Прочность отдель-
ных элементов конструкции и стержневых систем, которые ими образуются,
называется местной прочностью корпуса судна. Нагру-
женные вертикальными реакциями борта и продольные переборки работают
как стенки коребчатей балки-корпуса корабля. Поясками этой балки
являются палуба и днище. Это общий (продольный) изгиб
корпуса судна Ч Прочность при общем изгибе называется общей
прочностью судна. Расчленение прочности на общую и местную
условно: в действительности имеет место единое напряженное состояние
корпуса судна. Однако в практических расчетах удобно рассматривать
отдельно общую и местную прочность корпуса судна и затем,
путем суммирования напряжений, переходить к оценке единого напряжен-
ного состояния.
При общем изгибе корпус судна представляет собой балку, нагру-
женную силами веса и силами поддержания (на волнении имеют место и
другие силы, см. § 57).
Чтобы получить нагрузку этой балки, необходимо построить эпюры
сил веса и сил поддержания, дающие закон распределения этих сил по длине
судна. При этом должны быть соблюдены условия равновесия, согласно
которым площади эпюр и абсциссы их ц. т. должны быть равны (условие сил
и моментов для плавающего тела). Для проверки производят удифферентовку
судна, исходя из построенных эпюр сил веса и сил поддержания и внося
в последние поправки, необходимые для обеспечения условий равновесия.
После этого путем алгебраического сложения ординат эпюр веса и сил
поддержания получают эпюру нагрузки, удовлетворяющую условиям
равновесия.
Интегрируя эпюру нагрузки четыре раза, получают последовательно
эпюры срезывающих сил, изгибающих моментов, углов поворота поперечных
сечений и прогибов.
Определяя момент инерции, момент сопротивления и необходимые
статические моменты поперечного сечения корпуса судна (с учетом специ-
фических особенностей этой задачи, см. гл. XV), находят действующие
в конструкции напряжения общего изгиба. Суммируют эти напряжения
1 Кроме этого общего продольного изгиба, иногда (постановка судна в док на
среднюю дорожку, неравномерная по ширине судна нагрузка широких судов) при-
ходится рассматривать общий поперечный изгиб корпуса судна в целом, в попереч-
ной плоскости его.
При крене приходится рассматривать общий (продольный) изгиб в двух пло-
скостях.
412
Общий изгиб корпуса судна
[Гл. XIV
г напряжениями, полученными при расчете местной прочности, и сопостав-
ляют результат с напряжениями, которые могут быть допущены для
данного материала в заданных условиях.
Ниже подробно рассматриваются отдельные этапы описанного расчета.
§ 54. НАГРУЗКИ ОТ СИЛ ВЕСА
Эпюра сил веса
В проверочных расчетах прочности исходные данные для построения
эпюры веса заимствуются из таблицы нагрузки1, схема которой приведена в
табл. 99.
Таблица 99
Весовая нагрузка судна
- Наименование ста- . D < । 1 Вес, т ; тей нагрузки *i '1 Плечи, м Моменты, тм
от миделя 4- в нос — в корму от основ- ной относи- тельно миделя относи- тельно основной
1
Определение весов отдельных компонентов нагрузки производится по различ-
ным справочным данным, а при отсутствии их — по чертежу. Так как количество
компонентов очень велико, организация вычислений и установление необходимой
точности их имеет особое значение. Для систематизации материала отдельные
компоненты нагрузки объединяются в группы, а именно (для гражданских судов
внутреннего плавания):
I- Корпус:
1) металлический корпус;
2) дерево в составе корпуса;
3) садовые устройства, рангоут и такелаж;
4) судовые системы.
II. Механиз м ы;
1) главные двигатели;
2) котлы и паропровод;
3) электрооборудование;
4) вспомогательные механизмы;
5) движители и валопровод.
III. Топливе, вода и масло.
IV. Груз. *
V. Команда с багажом и пассажиры.
VI. О б о р у д ов а н н е помещений и шкиперские запасы.
VII. Пища и питьевая вода.
VIII. Запас водоизмещения.
Наиболее удобно производить вычисления по каждой группе в отдельной таб-
лице, объединяя в сводную таблицу их суммарные данные. Для обеспечения доста-
точной точности расчетов прочности следует вычислять веса р отдельных компонентов
нагрузки с погрешностью Д р, не превышающей значения, определяемого по
формуле
Д D
где-
п — число статей нагрузки;
Д D — допускаемая (заранее назначенная) ошибка в весе судна.
Если расчетным является изгибающий момент на тихой воде, обычно можно
считать Д D равным 0,1% водоизмещения судна D.
Если расчетным является изгибающий момент на волнении, допускаемая по-
грешность Д D может быть увеличена.
1 Такие таблицы составляются при проектировании' судна.
§ 54]
Нагрузки от сил веса
413
Таблица нагрузки одновременно содержит значение абсциссы ц. т.
судна, знание которой в расчете прочности необходимо для удифференто-
вания судна.
Для получения эпюры интенсивности весовой нагрузки по длине судна
строят в соответствующем месте прямой, изображающей длину судна,
Рис. 133. Эпюра веса судна
прямоугольник, площадь которого равна в известном масштабе весу данного
компонента нагрузки, а длина — длине компонента или его фундамента.
Выполнив описанное построение для каждого из компонентов нагрузки
отдельно и просуммировав найденные площади, можно было бы получить
так называемую первичную эпюру интенсивности весовой нагрузки. Однако
такая эпюра неудобна для дальнейших операций в расчете общего изгиба
и ее заменяют ступенчатой линией, обычно с двадцатью ступенями. Коли-
чество ступеней соответствует количеству шпаций теоретического чертежа
(рис. 133). Для построения ступенчатой линии применяются два приема.
Прием спрямления первичной эпюры веса в пре-
дел ах ее ступеней. Сущность этого приема состоит в том, что
вес каждого компонента нагрузки, находящегося в пределах данной ступени
(шпации), равномерно распределяется по ее длине (рис. 134, а и 134, б).
Этот прием, пр< котором положение ц. т. не сохраняется, дает некоторую,
однако допустимую, погрешность в моментах.
Прием разложения на две параллельные силы.
Вес данного компонента нагрузки, представленный сосредоточенной си-
лой Р, приложенной в ц. т. нагрузки, заменяется (рис. 134, в) двумя экви-
валентными параллельными силами Рг и Ръ, приложенными по серединам
двух смежных полос ступенчатой эпюры веса (двух смежных теоретических
шпаций):
Р
2
Р
2
(385)
2
414
Общий изгиб корпуса судна
[Гл. XIV
где:
а — расстояние от точки приложения силы Р до границы ближайшей
смежной шпации;
AL— теоретическая шпация.
Для этой операции может быть рекомендован следующий практический
прием. Масштаб длиной, равной ширине одной ступени, с 10 равными деле-
ниями, прикладывается к концам ступе-
ни, в которой действует данная сила
(рис. 135). Деление масштаба, соответ-
ствующее данной силе, показывает,
какую долю от нее составляет сила,
которая должна быть оставлена в шпа-
ции, где приложена эта сила (на рис.
этой долей является сила Рг‘ сила
= Р — РД
В свою очередь полученные силы Рг
и Pi могут быть заменены на эпюре
эквивалентными им прямоугольника-
ми с основаниями, равными ширине
Рис. 134. Разнесение нагрузки от
сосредоточенной силы Р на две
смежные теоретические шпации
Рис. 135. Способ разложения на две парал-
лельные силы
ступеней (рис. 134 г). Описанный прием разложения нагрузки дает воз-
можность сохранить ее величину и положение центра тяжести.1
Несмотря на указанную выше погрешность, в большинстве случаев
в судостроительной практике при числе ступеней не менее 20 успешно
применяется прием спрямления (т. е. первый) ввиду его простоты.
Вычисления для построения эпюры веса судна выполняются в табличной
форме. Сначала составляются таблицы, имеющие вспомогательный характер,
в которых вычисляются веса и их распределение применительно к отдельным
крупным статьям нагрузки судна (корпус судна, механизмы и т. п.).
Примером таких таблиц может служить табл. 100 для вычисления
веса корпуса судна. Для других весовых групп (например, для механизмов)
составляются аналогичные таблицы.
Для построения эпюры веса корпуса судна используются: конструктив-
ный чертеж, растяжка обшивки и планы палуб с нанесенной на них схемой
набора.
В графе 2 табл. 100 корпус судна разбит на части в зависимости от харак-
тера и значения измерителя веса конструкции. Характер измерителя веса
есть единица меры, по которой вычисляется вестой или иной части конструк-
1 Небольшая погрешность в моменте будет только в районе рассматриваемых
двух шпацнй.
§ 54] Нагрузки от сил веса 415
ции, т. е. квадратный метр, погонный метр и штука. Под значением измери-
теля понимается вес единицы меры, определяющей характер измерителя
(например, вес одного квадратного метра листа). Данные об измерителях
приведены в графах 3 и 4.
Для каждой ступени нагрузки (теоретической шпации) в таблице отве-
дено по две вертикальных графы. В первую из них вписывается количество
единиц измерителя для данной части конструкции (поименованной в графе 2),
которое определяется по чертежам растяжки и палуб для рассматриваемой
шпации. В каждой второй графе данной шпации выписывается вес этого
количества единиц, вьин сленный путем умножения значения измерителя
(из графы 4 таблицы) на количество его единиц, стоящее рядом слева. Суммы
по этим последним графам дают вес корпуса судна в пределах шпации.
Делением этого веса на шпацию можно получить ординату соответствующей
ступени эпюры интенсивности веса корпуса судна (т/м).
Вычисления для построения эпюры веса всего судна выполняются
по ферме, приведенной в табл. 101. В графе 2 выписываются наименования
основных групп нагрузки (корпус, механизмы и т. д.).
В стрске каждого наименования выписываются вес и его распределение
по шпациям, найденные как сумма вертикальных граф в таблицах типа
табл. 100 или, в простейших случаях, непосредственно вычисленные при
заполнении табл. 101.
Суммирование результатов по строчкам и графам табл. 100 и 101 должно
дать один и тот же результат, что служит контролем правильности вычисле-
ний. Кроме того, должны быть равны статические моменты сил веса отно-
сительно миделя, определенные как по весовой нагрузке судна (табл. 99),
так и по таблице разбивки весов по отсекам (табл. 100 и 101).
Веса, распределенные на части шпации, распространяются в описанном
расчете на всю шпацию, т. е. применяется прием спрямления, изложенный
ранее. Пользуясь данными табл. 100 и 101, можно определить абсциссу
ц. т. судна хц. т по формуле 1 (при 20 ступенях)
_ \L 19So-i + 17V1_2 + .,.-19S 19—20
Ь-.+2.-2 +••• 2-9-20 2 S,’(8)
где 2о-Ь 21—2» 21-3 •• . — суммы граф таблицы соответственно для сту-
пеней ступенчатой линии веса.
В случае наличия достаточно развитых частей судна, выступающих
за носовс й или кормоВЬй перпендикуляр (обычно приходится иметь дело
с кормовым свесом), вес этих частей, если длина их не превышает половины
теоретической шпации, при построении эпюры веса судна присоединяется
соответственно к шпациям 0—1 и 19—20. Проистекающей от этого погреш-
ностью при определении абсциссы ц. т. судна пренебрегают.
Если длина свесов превышает половину теоретической шпации, при
построении эпюры веса добавляют одну теоретическую шпацию (20—21
или —1—0) и распределяют равномерно вес выступающей части в пределах
этой шпации2.
1 Получение этой формулы весьма просто (рис. 133, стр. 413), стоит только
взять статические моменты полос ступенчатой эпюры веса относительно миделя и,
просуммировав с учетом знака эти моменты, разделить на площадь эпюры. Очевидно,
плечо полосы 0—1 относительно миделя равно Э’Д шпациям нли 19 полушпацням
I Д Z. \ t д д \
(19~2~ полосы 1—2 равно 17 полушпациям 117^— I и т. д.
2 Вес кормового свеса и момент, создающийся нм, могут быть также подсчи-
таны отдельно и добавлены к весам и моментам, определенным в табл. 101 до
20-го шпангоута (см. стр. 430).
• • • ф . . . . СТ ЪО — . — 1 7® П/П j
Факторы статических моментов Факторы плеч . . . . 2 Z £ Пиллерсы - отделении Кильсоны в машинном Настил палубы . - to Наименование элемен- тов конструкции
ШТ. пог. м кЭ СО Измеритель
4^ Значение измерителя, кг
со м 1 м □О * ст Количество единиц измерителя СО
о 1 кэ О со 1 ю о 0,3 с* Вес, т ьэ
|_ м 1 м 12,0 Количество единиц измерителя ОО
со 1 СО ‘'4 т СО о QO Вес, т 1 СО
ст м м 18,6 CD 1 Количество! единиц измерителя
1 оо ст £ ОО о — Вес, т 1 ОС
ZSI- £ '9IS 28,2 Количество единиц измерителя СТ 1
от £ 1 Ъ 5 Вес, т
Схема иычисленйя веса корпуса судна
ст м ю 1 S2-3 15 12,4 Количество g ; единиц i измерителя^
С ст 4а. О Вес, т |
. . - Количество
-"1 м ьо единиц _
м ^4 1 измерителя
1 S3 КЗ О ст ьэ Вес, т
Количество
со м 0D со единиц о
м 1— ° измерителя ।
£ о со Вес, т
—- Веса по
оо ст статьям на-
ст грузки, т
Л1Х J]
nHQfij mfiudon дпгеп nrringo
9Ifr
-1 Учебный справочник
Схема вычислений для построения вторы веса судна
। Л'о п/п- Наименование статей нагрузки Веса статей нагрузки, т 19-20, т 18-19, т 17-18, т СТ 5
1 2 3 4 5 6 7
—
1 2 3 4 5 Корпус Механизмы Топлипо 400 2,8 10,2 16,0 16,0
Суммы V "1 £19—20 £18-19 V ^17-18 £|6-17
Факторы плеч — — 19 -17 —15 -13
Факторы статических моментов . . V "2 —19£19_2о ~“17£|8—19 ~15117_18 —1321б_17
Таблица (01
сч 2 5 7s; о
22 23
10,1 2,5
£f-2 £o-i
17 19
’72,-2 ’9£о->
Нагрузки от сил веса 417
418
Общий изгиб корпуса судна
[Гл. XIV
Если точность расчета это позволяет, например, в начальной стадии
проектирования, применяется упрощенный способ, для которого необходимо
знать лишь сбщин вес корпуса судна.
По этому способу эпюра веса корпуса для гражданских судов строится.
как показано на рис. 136
и в табл. 102.
Эта эпюра веса приме-
нительно к обычному по-
строению в виде ступенча-
той линии по 20 шпациям
дает ординаты ступенчатой
G
линии в долях — и про-
центное распределение ве-
са по шпациям, приведен-
ные в табл. 103.
Таблица 102
6 *
Значения а, b и с в долях —jj-
Суда а (корма) Ь с (нос)
Острые 0,64 1,20 0,56
Полные 0,72 1,17 0,60
* G — вес корпуса судна (он должен соответ-
ствовать площади построенной фигуры).
Рис. 136. Упрощенная эпюра веса корпуса
Т а б л и ц а ЮЗ
Ординаты ступенчатой линии эпюры веса корпуса судна и процентное
распределение его по шпациям
Номера ступеней Острые суда Полные суда
в долях G L в процентах от G в долях G L в процентах от G
0— 1 0,62 3,0 0,64 • 3,2
1— 2 0,71 3,5 0,73 3,7.
2— 3 0,80 4,0 0,82 4,2*
. 3- 4 0,90 4,5 0,91 4,6
4- 5 0,99 5,0 1,00 5,0
5- 6 1,09 5,4 1,08 5,4
6— 7 1,17 5,8 1,15 5,8
от 7— 8 до 12—13 1,19X6 6,0X6 1,17X6 5,8X6
13—14 1,18 5,8 1.16 5,8
14-15 1,10 5,5 1,09 5,5
15—16 1,02 5,1 1,02 5,1
16—17 0,94 4,7 0,95 4,8
17—18 0,86 4,3 0,88 4,4
18—19 0,78 3,9 0,81 4,0
19—20 0,70 3,5 0,74 3,7
1 | 20,00 । 100 20,00 100
§ 55]
Силы поддержания и удифферентовка судна
419
Выбор расчетного расположения груза, балласта и топлива
Вес груза, балласта и топлива отличается от прочих
весовых нагрузок судна тем, что он в процессе эксплуатации судна может
иметь различную величину и различное распределение по длине судна.
Необходимо найти такое распределение веса топлива, балласта и груза,
при котором срезывающая сила и изгибающий момент при общем изгибе
судна имели бы максимальные значения для заданных условий эксплуатации
судна. С этой точки зрения проверке подлежат не только состояние судна
в полном грузу и порожнем, но и промежуточные состояния, возможные
в процессе приема и расходования груза и топлива, которые следует уста-
новить путем анализа вероятных условий эксплуатации судна.
Для сухогрузных судов рекомендуется произвести проверку для следую-
щих случаев нагрузки:
а) в полном грузу при нормальном (проектном) распределении пере-
менных грузов;
б) для порожнего судна;
в) для наиболее неблагоприятного распределения груза по длине судна,
предусмотренного заданием1.
Для наливных барж подлежат рассмотрению следующие случаи
нагрузки:
а) порожнем2;
б) в полном грузу — при нормальном заполнении грузовых отсеков;
в) при неравномерном по длине заполнении грузовых отсеков, когда
создаются разности уровней вследствие перетекания нефтепродуктов
через клинкеты3;
г) в стадии зачистки баржи, когда все грузовые отсеки, кроме балластных,
опорожнены;
д) в особых случаях нагрузки: при испытании корпуса на плаву, при
подъеме на ремонт и т. п.
§ 55. СИЛЫ ПОДДЕРЖАНИЯ И УДИФФЕРЕНТОВКА СУДНА НА ТИХОЙ ВОДЕ
Эпюра сил поддержания выражает закон распределения водоизмеще-
ния по длине судна и представляет собой строевую по шпангоутам, откор-
ректированную на удельный вес воды (для перехода от объемов к силам)4.
Необходимо, чтобы были соблюдены условия равновесия (равенство ,
площадей и абсцисс ц. т. эпюр веса и сил поддержания). Для этого произ-
водится удифферентовка судна.
Удифферентовка судна может быть произведена: 1) методом последова-
тельных приближений и 2) методом решения уравнений равновесия.
1 При отсутствии в задании соответствующих указаний иногда принимается
такое распределение, при котором количество груза в отдельных трюмах на 10—20%
отличается от нормального (проектного).
3 В случае, если баржа имеет коффердамы, заполняемые во время эксплуата-
ции водой, под порожним состоянием баржи следует понимать состояние без груза,
но при заполненных коффердамах.
3 Если в полном грузу при нормальном заполнении отсеков баржа имеет про-
гиб, то при неравномерном заполнении отсеков проверке подлежит случай неравно-
мерности в конце налива; наоборот, если в полном грузу баржа имеет перегиб,
проверке подлежит случай неравномерности в начале откачки.
В обоих случаях предполагается, что налив и откачка производятся через
средний отсек баржи. В случае, если налив и откачку предполагается производить
иначе, вопрос о расчетном состоянии баржи подлежит особому рассмотрению.
4 Для деревянных судов ординаты строевой по шпангоутам должны быть
исправлены таким образом, чтобы учесть толщину обшивки.
27<F®
420
Общий изгиб корпуса судна
[Гл. XIV
Удифференто в к а методом последовательных
приближений осуществляется по схеме табл. 104, в которой указав
и порядок вычислительных операций.
Для удифферентовки судна на тихсй воде необходимо иметь:
а) диаграмму площадей шпангоутов (масштаб Бонжана);
б) кривые теоретического чертежа (кривые плавучести и начальной
остойчивости);
в) вес судна D и отстояние его ц. т. от миделя хц. т; величины £>
и Хц. к определяются на основании табл. 101, как указано в предыдущем
параграфе.
Зная весовое водоизмещение судна D и соответствующее ему объем-
ное V, по кривым теоретического чертежа определяют среднюю осадку
судна Тср, отстояние ц. т. ватерлинии от миделя хв.л, отстояние центра
величины судна от миделя хч в и продольный метацентрический радиус 7?*.
Затем определяют осадку носом и кормой по формулам:
(387)
Отложив эти осадки на диаграмме площадей шпангоутов, проводят
по ним ватерлинию первого приближения и замеряют погруженные
площади шпангоутов. Результаты замеров вписывают в графу 3 табл.
104 (см. также пример расчета общей прочности судна, § 65).
Объемное водоизмещение судна и абсциссу центра величины опре-
деляют по формулам:
У' = Д£Е3;
V
л и. л ~ Д 7. .
(388)
(389)
При равновесном (удифферентованном) положении судна его объемное
водоизмещение V', соответствующее намеченной ватерлинии, равно водо-
измещению, определенному на основании весовой нагрузки корабля V,
ц. т. и ц. в. должны находиться на одной вертикали, т. е. должны быть
соблюдены равенства
Г " Г и Хц. g == Хц, тп.
Однако, как правило, в первом приближении не удается достичь
равновесного положения судна, и значения V и хц. « не совпадают
со . значениями V и хч. m. Поэтому приходится переходить ко
* Предполагается, что большая метацентрическая высота Н ~ R.
§ 55]
Силы поддержания и удифферентовка судна
421
второму приближению, для чего следует определить новые осадки носом
и кормой по формулам:
•р’ •г' , У У , /С \ Хц. т Хц. в 1
1 К — ‘н": F Г I Q Хв.л I g- I
5 V2 / к |, (387 а)
-р* 'г' \ *4.т Хц. в I
1 к — 1 к 1 5 \2+ вл J R ’
где S — площадь ватерлинии.
По этим осадкам снова проводится на диаграмме площадей шпангоу-
тов ватерлиния и замеряются соответствующие, ей погруженные площади
шпангоутов. Результаты замеров записываются в графу 5 табл. 104.
Новое объемное водоизмещение судна и новое положение н. в. опре-
деляются по формулам:
V = A L -5; (388 а)
<в = А£-^. (389а)
"5
Судно считается удифферентованным, если
V — У'<0,004У и Хц.т~х'ц.„ <0,001 L,
так как в этом случае незамыкание эпюры изгибающих моментов не будет
превышать допускаемого значения (5?6 от Ммакс)-
Если во втором приближении не удастся удифферентовать судно,
то следует перейти к последующим приближениям, причем осадки носом
и кормой Тк и Тк вычисляются по формулам (387 а), в которых в левой
части должны стоять Тн и Тк , а в правую часть вместо хц. в, V ,' Тн
и Тк следует соответственно подставить хц. в, V , Тн и Тк.
Такие вычисления выполняются до тех пор, пока разница между
водоизмешениями и положениями ц. т. и ц. в. судна не будет меньше
указанных выше норм. Обычно, чтобы удифферентовать судно, достаточно
двух, максимум трех, приближений.
Удифферентовка методом решения уравнений равно-
весия (предложен проф. В. В. Давыдовым). При этом методе делается
предположение, что борта судна вертикальны в районе от исходной
ватерлинии (ватерлинии первого приближения) до окончательной.
Нагрузка на единЛу длины неуравновешенного судна равна
P — lf,
где:
р — интенсивность сил веса в т/м;
f— погруженная площадь шпангоута для данного сечения по длине
судна:
7 — удельный вес воды.
Для достижения равновесия необходимо придать судну вертикальное
перемещение АТ и повернуть на угол дифферента ® (условимся, что А Т > 0
при подъеме судна, а при дифференте на корму).
Отсек судна на расстоянии х от миделя получит при этом изменение
осадки, равное АТ — ®х, которому будет соответствовать изменение
плавучести его
7У(ДТ + «рх),
где у —ширина судна на расстоянии х к носу от миделя, измеряемая
на уровне воды.
422 Общий изгиб корпуса судна [Гл. XIV
Удвффереитовка судна на тихой воде методом последовательных приближений
МГтеоретических шпангоу- тов । Факторы плеч, т 1-е приближение 2-е приближение Нагрузка и ее
погруженные площади шпангоутов fit м* факторы моментов т h = (2) • (3), л<« погруженные площади шпангоутов fa, м1 факторы моментов т fa = (2) . (5), л’ суммы графы (5) по- парно, м* силы поддержания на Д L шпацию к—J- (7), т
1 2 3 4 5 6 7 8
—----- . - <=• —
0 4-10
1 1
1 т- 9 —
2 8
3 *г 7 1 >
4 + 6 1 >
9 +1
10 0
II — 1
16 > — 6 i
17 1—7 1 i
18 —8 — I
19 —9 — j
20 —10
Исправленные суммы 1 “в
Суммы, алгебраически уменьшенные иа полусумму крайних слагаемых.
* 1 силы веса па шпацию, tn
III II s нагрузки на шпацию (9) - («), т
о A — суммы графы (10) сверху, т
О to интегральные суммы графы (11), т
О w поправки [1] Л V = — (11)ао 20 1 т
О 4* исправленные значения срезывающих сил V = (ll) + (13), т
о м поправки к интеграль- ным суммам [1] Д = — (12)з0 • 20'< т
о s исправленные инте- гральные суммы (12)+ (15), т
о 5 изгибающие моменты Д L (16), тм
х
и
н
П)
я
1
Си
Сл
о
я
Я
я
Я
П)
э
к
S
Е
X
и
С
Й
W
X
J3
я
о
-и
го
w
Е
СП
Я
5
ё
и
о
Я
I
я
м
X
I
о
X
я
о
я
5
Я
X
х«
2
О
X
го
я
Н
я
о
J3
я
X
я
с»
S3
00
424
Общий изгиб корпуса судна
[Гл. XIV
Интенсивность суммарной нагрузки q будет равна
9 = 7У(ДТ + ®х)4-р —т/. (390)
Неизвестные величины АТ и « можно определить из условий равно-
весия.
Условие равенства нулю суммы всех вертикальных сил, действующих
на судно:
_ L. — L
г 2
f qdx — f [7У (Л 7’ = х) — р — у/] dx - 0. (391)
L L
2 2
Условие равенства нулю моментов этих сил, если представить его
как момент всех действующих сил относительно кормового перпендику-
ляра, дает
L
2 X
J J [Ty(AT4-?x)+p-7/W = 0. (392)
£ L
2 2
Выразив абсциссы теоретических шпангоутов в шпациях (х^тДА)
и переходя от интегралов к суммам, получим необходимые уравнения
равновесия в следующем виде:
где:
i — номер шпангоута;
У,— ширина действующей ватерлинии на t-м шпангоуте в первом
приближении:
АГ — вертикальное перемещение миделя судна (по сравнению с его
положением в первом приближении), необходимое для того,
чтобы судно было удифферентовано;
т — факторы плеч (т = 4- 10, 4-9, -*-8, ...4-1,0...—8, —9, —10);
•а — угол поворота судна (угол дифферента), необходимый для
того, чтобы судно было удифферентовано;
р, — интенсивность сил веса в т/м;
у—удельный вес воды;
fi — погруженная площадь i-ro шпангоута в первом приближении;
< Г L
- — теоретическая шпация.
Положение ватерлинии определяется по заранее вычисленным осад-
кам судна носом Тн и кормой Тк.
Затем по диаграмме площадей шпангоутов определяются в первом
приближении погруженные площади шпангоутов fit а по теоретическому
чертежу судна — ширина yt ватерлинии на тихой воде.
На основании этих данных составляются уравнения (393), из которых
определяются значения ДТ и <рД£.
§ 55]
Силы поддержания и удифферентовка судна 425
Вычисления производятся в табл. 105 *. Применительно к этой таб-
лице уравнения (393) принимают вид:
[11]20 Д Т -L- [ 12]2о ?Д L + [ 13]20 = 0
2[И]Л7’ + 2[12]<рД£+2[13] = 0
(394)
После нахождения Д Т и 9 в гра-
фах 14 и 15 табл. 105 вычисляют со-
ответствующие поправки, которые,
дучи сложены с цифрами графы
корректируют их в необходимой
соблюдения условий равновесия
пени.
Некоторой особенностью’ при этом
f? - А)
бу-
13,
Для
сте-
является вычисление
х=0
ввиду того, что ступенчатая линия веса
судна ориентируется обычно на шпа-
ции, силы же поддерживания — на
шпангоуты.
Значения указанных сумм получа-
ются путем вычитания интегральных
СУММ
и левой сторон шпации
правой
i=0
» = 0
Первая из сумм
а итоговая—в графе 13:
вычисляется
в графе
3, вторая — в графе 7
[13] = [3] — [7].
Кроме того, приходится выписывать в графе 2 величины в каждой
строке в виде двойного числа: число слева обозначает интенсивность
/ п \ •*««
на данном шпангоуте, т. е. ординату левой ступени, а число
* / п \ пРав
, т. е. ординату правой ступени по отношению
веса
справа — величину
к данному шпангоуту (рис. 137 и табл. 105).
Все итоговые суммы в таблице вычисляются с поправкой на полусумму
крайних слагаемых, кроме графы 2, левые и правые цифры которой сумми-
руются без поправок.
В табл. 105 в качестве примера приведена удифферентовка судна и опре-
деление срезывающих сил и изгибающих моментов при постановке судна
на тихую воду.
В процессе вычислений необходимо следить за выполнением следующих
контрольных условий:
1) в графе 2:
.прав
* Табл. 105 является универсальной: она может быть использована для опре-
деления срезывающих сил и изгибающих моментов на тихой воде и на волне.
[ 11110 Л Г 4- [12110 <рд L 4- (1ЗЬ0 =
^|11|Л7'4-V [12]^Д/4V [13] =
Г)
К ч- ftJ 2 20 Б
ND /0 5
ы— й
**U о> Ын*
со
ел 54 2
8 34 8
1
1
т 1 1
ft!
r> ND
л ГР 8 о 8
w] ND
я
Е
ГР Л* сл л*
•< g 004 S
аэ
D3
я ГР СО
я ОО О
S м ОО 4^
1
1 1
о со
8 о 1 00
00 СП
сл сл ел
оо СО Оо
2 ъ> 8,2
14514 -101,6 о
8 8 4-430 + О) 00
W nd
Б Оо 48/20 20/15
i 166 1 О 30
1 1
1 1
он 66 24
1 290 24
14,7 12,2 8,2
4j +8 +9
102,9 97,6 73,8
55,5 28,6 00 nd
1 л. СЛ 245,2 j 73,8
-124 1 £ - Л
о № шпангоутов i
— -
15/0 ьо Ординаты ступенчатой линии веса />//у, м*
О со Интегральные суммы J2J ~ X м1
1 Ординаты волны от се оси, м
о
<
1 сл Ординаты волны от основной линии г;, м X е Л е ft<
•е
л е
о о Площади шпангоутов //, ма я я р
о О|
я ц 1
о *ч Интегральная сумма [6] —*’ U
*< (S
о 00 Ширина исходной ватерлинии у/, м 5а X W X 8 <8
э
+ 10 о Факторы плеч т • 3 5 5 Я X X
Ь
о >— л о (8]-[9] = yzm, м ft 3 S ft
о 1—и Интегральная сумма [8] = Syz> м ft в ft л
s
о ьэ Интегральная сумма [10]=£yzm, м I
X Sa
м
о W [3]-[7]==£ "-Л), л2 ft X £я -
•\ 1 / X <
§ 55]
Силы поддержания и удифферентовка судна
427
Таблица 105
изгибающих моментов по методу решения уравнений равновесия
* < U <2 «* 1 151 1/vi + .Z-- '-ч. 1 — ~ xi - + Интегральная сумма [16] = £ £л1 Д Л Д Д _ q Срезывающая сила у [16]; V = f-y S , m Поправка — [18Jao- jJ- ; ДР,- = — V'20-^q, m Исправленная срезывающая сила [18| +[19] = И = И' + Д V, ш ДД« Изгибающий момент у —у [17] 7^ 1*а v у- 7 М -= ~1- у , тм Е 5 1 II о 2?1<э О ея 1 ез а СС Е О С Исправленный изгибающий момент [21] + [22]=М=Л4' + ДЛ1, тм № шпангоутов i
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
—6 3 3 3 10 — 10 30 0 30 1
—20 9 —55 —49 —186 — — 186 -560 10 -550 2
—40 J7 —147 -251 -497 —497 —2880 10 —2870 3
—419 I 50 —56 169 — 169 —640 70 —570 19
—426 —4 0 —6 0 — 0 —70 70 0 20
—4191 553 —3 — — — — — — •—
Подстановка:
597,6 Л Т — 101,6 =Д L + 430 = 0
5874 Д Т + 14514 ?Д L + 3635 = О
Решение:
Д Т = —0,713 м
= 0,0381 м
428
Общий изгиб корпуса судна
[Гл. XIV
Кроме того водоизмещение О судна может быть получено, как
2) в графе 3:
[3]2о = 2^ (например, 5434 = 2-2 717);
х _ats;i3i l.
3) в графе 4 сумма ординат трохоиды должна быть
жч -г2
[4] = 20-4;
4) в графе 5:
2[5] = 20Az + S[4];
5) в графе 7:
[7]2о = 22[6] (например, 5 004=2-2502);
6) в графе 11:
[111*0 = 22(8];
7) в графе 12:
[12k =22 [10];
8) в графе 13:
[13]2с = [3]20 - [7]2о = 2 (2 [2] - 2 [6])-
2[13] = 2[3]-2[7].
Особенно тщательно должны быть вычислены неконтролируемые суммы
граф 11 и 12.
При описанной удифферентовке судна путем решения уравнений равно-
весия незамыкание эпюр срезывающих сил и изгибающих моментов может
получиться только вследствие неточностей при работе на логарифмической
линейке и вследствие округлений.
Для того чтобы при вычислении общего изгибающего судно момента
обеспечить точность в 3% последние (двадцатые) цифры граф 16 и 17 должны
быть соответственно не более 0,3% и 3% максимального значения цифр
графы 17.
§ 56. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЩИХ СРЕЗЫВАЮЩИХ СИЛ И ИЗГИБАЮЩИХ
МОМЕНТОВ НА ТИХОЙ ВОДЕ
Чтобы получить эпюры срезывающих сил и изгибающих моментов
для судна на тихой воде, надо построить две последовательные интегральные
кривые кривой нагрузки.
Применительно к удифферентовке методом последовательных прибли-
жений этот расчет производится по схеме табл. 104, которая составлена
в соответствии с формулами:
V = —
где:
р—вес судна, приходящийся на шпацию;
f — средняя площадь шпангоута в шпации.
§ 56J Срезывающие силы и изгибающие моменты на тихой воде 429
Множитель
во втором выражении введен из-за интегрального сум-
мирования, дающего удвоение.
В графе 5 табл. 104 стоят погруженные площади шпангоутов, при
которых удовлетворяются условия равновесия сил поддержания и сил
веса. Сила поддержания в тоннах на каждую теоретическую шпацию
равна
Полусумма погруженных площадей двух смежных шпангоутов
| +-* j Дает среднюю погруженную площадь для данной шпации
i~i 4- 1 или, что то же, ординату ступенчатой эпюры сил поддержания,
эквивалентной заданной плавной эпюре этих сил.
Рис. 138
Суммирование попарно площадей ft и /,+) производится в графе 7
табл. 104. В графе 8 эти суммы умножают на р В графе 9 выписы-
вают силы веса на шпацию. В графе 10 вычитают силы поддержания
из сил веса и находят нагрузку в тоннах на каждую теоретическую
шпанию. В графах 11
и 12 выполняется
двукратное интегри-
рование нагрузки,
необходимое для по-
лучения соответствен-
но срезывающих сил
и изгибающих момен-
тов. Вычисление пер-
вой из этих интег-
ральных кривых осу-
ществляется путем
взятия «сумм сверху
а второй — путем вы-
числения «интеграль-
ных сумм».
Вследствие на-
копления вычисли-
тельных погрешно-
стей срезывающая
сила и изгибающий
момент на 20-м шпан-
гоуте не оказываются равными нулю, как это должно бы было быть по
теоретическим соображениям. Если значения фактора срезывающей силы в
последаейстроке графы 11 не превосходят 0,3% от максимального числа
следующей графы 12, а для фактора изгибающего момента в послед-
ней строке графы 12—3% от наибольшего из чисел, стоящих в графе 12,
то указанная невязка компенсируется внесением поправок (графы 13 и 15
табл. 104.). Эти поправки вычисляются так, чтобы ордината на 20-м шпан-
гоуте была равна нулю, а ошибка линейно разносится по длине судна, что
430
Общий изгиб корпуса судна
[Гл. XIV
соответствует проведению новой оси абсцисс через конечные- точки кривой
(рис. 138); для i-го шпангоута поправка равна:
ДУ, = [13],=
[lib i
20
ДЛ1,= [15],- =
[12]2оi
20
(395)
Если погрешность превышает указанные выше нормы, надо проверить
вычисления, и если при этом не будет найдено ошибок, точнее удифференто-
вать судно.
Отдельные операции
видны из названий граф
табл. 104 и частично по-
казаны в ней схематически
стрелками1.
Кроме того, эти опера-
ции можно проследить и по
числовому примеру, при-
водимому на стр. 475.
Для случая удиффе-
рентовки судна методом
решения уравнений равно-
весия определение срезы-
вающих сил и изгибающих
моментов выполняется ана-
логично и ясно из граф
16—23 табл. 105.
Схема табл. 105 может
быть применена как при
постановке на тихую воду
(в этом случае графы 4 и
5 табл. 105 остаются неза-
полненными), так и при
вычислении добавочных
срезывающих сил и изги-
бающих моментов на волне.
По схеме табл. 105 можно вычислить сразу и суммарные срезывающие
силы и изгибающие моменты (от тихой воды и волны).
В тех случаях, когда имеется достаточно большой кормовой свес, как срезы-
вающая сила, так и изгибающий момент на 20-м шпангоуте не должны быть равны
нулю.
Их значения легко найти расчетом веса кормового свеса и положения его ц. т.
Действительно, мысленно отбрасывая кормовой свес (рис. 139), мы должны по 20-му
шпангоуту приложить силу Рк и момент Мк (Рк — вес части судна в корму от
20-го шпангоута, а Мк—статический момент этого веса относительно 20-го шпан-
гоута).
Таким образом, срезывающая сила и изгибающий момент на 20-м шпангоуте
в соответствии с принятым правилом знаков этих величин (рис. 139, справа)
равны
V = -PK и М„=МК.
1 В случае, если кормовой свес отнесен к шпации 19—20, расчет выполняется
в точности в соответствии с табл. 104, т. е. срезынающей силой и изгибающим
моментом на 20-м шпангоуте пренебрегают.
Если же при удифферентовке судна была добавлена дополнительная шпация,
в табл. 104 следует добавить строку, соответствующую добавленной шпации (20—21).
а в формулах (395) и в графах 13 и 15 табл. 104 вместо числа 20 дать число 21.
§ 56) Срезывающие силы и изгибающие моменты на тихой воде 431
Это обстоятельство должно быть учтено при составлении основных уравнений
равновесия. Например, условие (391) для этого случая будет иметь следующий внд:
2
| [ :У № + ?*) + ₽ — 7/1 <1х + Рк = 0.
~2~
В итоге необходимо будет внести некоторые коррективы как в расчетные
уравнения (393), так н в табличную схему. Проследив весь ход рассуждений, можно-
убедиться, что вместо уравнений (393) следует пользоваться:
(20 \ / 20 \ 20
VjUAT+l Vyim |<?Л£ + У/^--/Д+т^- = 0
i-0 / 'i-0 / i-C 2
/20 i \ /20 i \ 20 i
S k+ S H+S К'т-'О+тт;-»-
\i = 0 i-0 ' \i=0 i = 0 ' i-0i=0 2 7
1
. (396).
Расчет no табл. 105 будет отличаться от обычного только вычислением попра-
вок для срезывающих сил и изгибающих моментов. Последние определяются по.
тем же формулам (395):
ДУ — V2o 20 и — ^20 20 ’
только под 1’20 и Л12о следует понимать не значения, стоящие в последней строке
граф 18 и 21, а их отличия от известных на 20-м шпангоуте величин.
Как указано выше, срезывающая сила и изгибающий момент иа 20-м шпан-
гоуте равны
Уго — к и Л7го — Л1К,
и следовательно,
ДУ = -(У'2О + РК)26
ЗЛ1 = (Л12о ^к)20
где У20 и Л120 — значения, стоящие в 20-й строке граф 18
Некоторое отличие будет также и в оценке допустимой
Можно принять, что величины
( Рк- 1 2ИК
|[16]2о+ -j-~ . и [17]го-"j-----------
(397)
и 21.
неточности в расчете.
[16],0 и [ 17]то— числа, стоящие в 20-й строке граф 16 и 17) не должны превышать,
соответственно 0,3% и 3% от максимального из чисел графы 17.
* В связи с тем, что коэффициенты второго уравнения получаются простым
суммированием чисел граф II—12 (с поправкой на полусумму крайних слагаемых),
удвоения, соответствующего интегральному суммированию, не получается, и в зна-
менателе последнего члена должен стоять множитель у» а не -j.
432
Общий изгиб корпуса судна
[Гл. XIV
§ 57. СРЕЗЫВАЮЩИЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ НА ВОЛНЕНИИ
Большей частью волнение представляется наблюдателю в виде трех-
мерных холмов различной величины, движущихся с различной скоростью
в различных направлениях.
Образование волнения недостаточно изучено, чтобы точно установить
форму, размеры и направление движения волны в данном водоеме.
Отличие изгиба судна на волнении от изгиба на тихой воде состоит
в следующем:
1) силы поддержания распределяются по длине судна в соответствии
с профилем волны;
2) появляются силы инерции от вертикальных перемещений ц. т. судна
н от килевой качки;
3) появляются силы сопротивления, препятствующие свободным пере-
мещениям судна в воде;
4) изменяется величина давления воды на судно: давление воды пере-
стает быть гидростатическим, оно становится гидродинамическим;
Рис. 140. Построение трохоиды
5) в условиях внутреннего плавания, когда длина волны мала по сравне-
нию с длиной судна, происходит как бы сглаживание волновой поверх-
ности корпусом судна; в результате этого давление воды на корпус судна
оказывается в районе вершины волны меньше, чем оно было бы, если бы в
пределах судна волны имели те же размеры, что и до встречи с судном.
В практическом расчете прочности исходят из следующей условной
расчетной картины изгиба корпуса судна на волнении.
Находят равновесное состояние судна в условиях заданного волнения
и определяют дополнительные силы поддержания, возникающие вследствие
того, что при переходе из тихой воды на волнение изменились осадки в раз-
личных сечениях по длине судна.
Построив эпюру дополнительных сил поддержания и убедившись
в том, что условия равновесия соблюдены (т. е. произведя удифферентовку
судна), двукратным интегрированием находят дополнительные общие срезы-
вающие силы и изгибающие моменты.
Просуммировав их со срезывающими силами и изгибающими моментами
для схдна на тихой воде, получают срезывающие силы и изгибающие мо-
менты'для судна на волнении.
Динамические факторы при изгибе судна на волнении обычно не учиты-
ваются. так как это сильно осложняет расчет, а вносимая поправка не слиш-
ком велика и обычно идет в запас прочности.
Волны при расчете прочности считаются двухмерными, т. е. поверхность
их считается цилиндрической.
§ 57] Срезывающие силы и изгибающие моменты на волнении
433
Профиль волны берется в форме трохоиды1.
h
Радиус производящего крхга г = Ради>с катящегося круга
* = ,4-
Построение трохоиды показано на рис. 140. Длину волны и окружность
производящего круга делят на одинаковое число частей, присваивая точкам
деления номера, как показано на рисунке. Перенося радиусы производящего
круга параллельно самим себе в соответствующие точки оси волны, получают
точки трохоиды. Для некоторых отношений длины волны к ее высоте орди-
наты трохоиды приведены в табл. 106.
Таблица 106
Ординаты трохоиды в тысячных долях полувысоты волны
г
1000 у
№ шпангоу- тов при постановке на Отношение длины волны к ее высоте (к : 2г)
>>
rniiron niiidoH FllllfOH IHOVOff 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 10 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000
I 9 971 970 969 968 873 967 967 966 965 964 964 963
2 8 885 881 876 869 866 863 861 858 856 854
3 7 743 733 723 714 708 702 696 691 686 681 677
4 6 545 529 512 499 488 477 467 460 452 445 440
• 5 5 296 272 250 233 217 203 192 182 172 163 155
6 4 000 — 029 — 053 - 073 — 091 — 105 — 118 — 129 — 141 — 150 — 158
7 3 — 326 — 353 — 377 - 395 - 411 — 425 - 437 - 447 — 456 — 464 — 470
8 9 — 647 — 667 — 683 — 695 — 706 - 714 - 722 — 728 — 734 — 739 — 743
9 T — 900 — 907 - 913 — 917 — 920 — 923 — 925 — 927 — 929 — 931 — 932
10 0 и 20 —1000 —1000 — 1000 -1000 — 1000 — 1000 — 1000 — 1000 — 1000 — 1000 —1000
11 ”1 — 900 — 907 — 913 — 917 - 920 — 923 — 925 — 927 — 929 — 931 — 932
Размеры расчетной волны
Длина волны в расчетах прочности принимается равной длине
судна (k = L).
Для схдов морских и океанских высота 2 г волны назначается по
формуле
2г = 2 + з£б-
Для судов озерных, рейдовых и речных, а иногда и морских (с ограни-
ченным районом плавания) при выборе расчетной волны учитывают условия
того бассейна, для которого предназначается судно (размеры волн некото-
рых бассейнов для использования в учебных расчетах приведены в табл. 107).
В качестве расчетных принимаются максимально возможные периоди-
чески повторяющиеся размеры волн.
1 При некоторых упрощенных расчетах — в форме синусоиды.
28 Учебный справочник
434
Общий изгиб корпуса судна
[Гл. XIV
Таблица 107
Наименование бассейнов Длина волны в м Высота волны в м
7. Озера 1
Аральское море 40-50 2,5—3,0
Байкал 45—50 2,5—3,0
Балхаш —западная половина — 2,0—2,5
Балхаш — восточная половина —. 3,0-3,5
Зайсан — 2,0—2,25
Иссык-Куль .......... — 2,0—2,25
Косогол — 2,0-2,25
Ладожское 40-50 2,5-3,0
Ленива 20 2,0
Обская губа — южная часть 20—38 1,0—1,9
Обская губа — от мыса Каменного до мыса
Се-Яга (включая Тазовскую губу) .... 26-48 1,3—2,4
Обская губа—северная часть от мыса Се-Яга
до острова Шокальского 32-58 1,6—2,7
Онежское . 35—45 2,5—2,75
Рыбинское водохранилище 24—20 1,75—2,0
II. Устья и лиманы крупных рек в межень
Амур • - - 12—20 1,5—2,0
Волга 8—12 1,2—1,5
Енисей . 10—12 1,5—1,7
Колыма 8—12 1,0—1,5
Лена 10—15 1,0—1,5
Сбь 10—15 1,2—1,5
III. Весенние разливы крупных рек
Низовье Енисея 12—17 1,5—2,2
Устье Иртыша 10-17 1,5-1,8
Низовье Оби i 15—17 1,5—2,0
Согласно указаниям Речного Регистра СССР2 в зависимости от района
плавания суда подразделяются на разряды: М, О, Ри Л.
В соответствии с требованием Речного Регистра СССР расчет общей
прочности на волнении необходимо производить для судов разрядов М, О и Р.
Размер расчетной волны при этом устанавливается для судов разрядам
3x40 м, для судов разряда О — 2 X 20 м и для судов разряда Р—1,2х
X 12 м.
Для судов разряда Л волнение не учитывается.
При расчете судно ставится на гребень и на подошву волны, причем
считается, что для морских и океанских судов курс судна перпендикулярен
1 Данные о размерах волн на внутренних водоемах собраны инж. Н. М. Тур-
ковым и взяты нами из:
1) статьи П. О. Занднна «Расчетная волна для речных, озерных и рей-
довых судов», «Судостроение», 1938, № 1;
2 проекта Правил постройки стальных самоходных и несамоходных судов
внутреннего плавания Речного Регистра СССР, 1947.
2 Речной Регистр СССР, «Правила постройки стальных судов внутреннего
плавания СССР», 1952. В указанные правила Регистром вносятся дальнейшие
изменения, что следует учитывать при определении разряда судна для того нли
иного района плавания.
§ 57] Срезывающие силы и изгибающие моменты на волнении 435
гребню волны, а для судов озерных, рейдовых и речных курс судна образует
с гребнем волны некоторый угол1.
Удифферентовка и определение обших срезывающих сил и изгибающих
моментов для судна на волнении
Удифферентовка судна на волнении может производиться методом
последовательных приближений или методом решения уравнений равновесия.
В обоих случаях расчет начинается с назначения такого положения
с; дна на волнении, которое казалось бы наиболее близким к равновесию.
Для этой цели надо расположить ось волны параллельно грузовой ватерли-
нии, на некотором расстоянии от нее (Az). Это расстояние берется или из рас-
чета судна-прототипа или по формулам, предложенным проф. В В. Давы-
довым:
а) для судна на вершине волны
Az = r ’.26(1
(398)
б) для судна на подошве волны
7ТГ
Az = —г 0,64(1—а) + — ,
Л
(399)
где:
а — коэффициент полноты площади грузовой ватерлинии;
X и г — длина и полувысота волны.
Если Az>0, волну следует опустить (всплытие судна), если Дг<^0,
волну следует поднять (погружение судна).
При удифферентовке методом последователь-
ных приближений вычисления выполняются по схеме табл. 108,
в которой указан и порядок ее заполнения. Дополнительно остается разъяс-
нить лишь следующее: в графу 3 заносятся ординаты трохоиды со знаком
плюс в области впадины и минус — вершины. Следующая графа отличается
лишь тем, что введены поправки на сдвиг оси, которую надо вычислить по
формуле (398) или (399) и алгебраически сложить с числами графы 3; в графе
5 и 9 и аналогичных в последующих приближениях выписываются добавоч-
ные площади шпангоутов А/, т. е. части площадей шпангоутов, вошедшие
в воду или вышедшие из воды при переходе судна с тихой воды на волнение.
Этим площадям придается тот же знак, что и ординатам волнового профиля
(графы 4,8 и далее). Для определения этих площадей профиль волны нано-
сится на диаграмму площадей шпангоутов, построенную для 20 ординат.
Для каждого шпангоута площадь \f определяется, как показано на
рис. 141. Суммы граф 5 и 6 суть соответственно факторы дополнительных
водоизмещений и моментов сил поддержания, которые по условиям равно-
весия должны быть равны нулю. Практически, учитывая неизбежные
погрешности, довольствуются приемлемой малостью указанных сумм, кото-
рая оценивается в 5% от величины максимального слагаемого, входящего
в каждую из этих сумм (т. е. цифр соответственно графы 5 или 6).
При несоблюдении указанных условий переходят ко второму (и анало-
гично к последующим) приближению, меняя положение судна относительно
профиля волны путем некоторого изменения осадки и дифферента. Для этой
1 Постановка судна на ряд коротких волн обычно не опасна, при косом же
положении судна по отношению к волне всегда возможен случай, когда длина
-олны оказывается равной длине сутна.
284" £
436
Общий изгиб корпуса судна
[Гл. XIV
Удифферентовка судна прн постановке на волну методом последовательных
моментов для судна на
Исходные данные 1-е приближение 2-е приближение 3-я при
№ шпан- гоутов i факторы плеч т ординаты полны от со оси г, м ординаты волны от I ВЛ z-f-Дг, м дополнительные площади шпан- гоутов Д /j, м2 т А Л = [2]-[5], Л’ поправка А г'2, м ординаты волны от ГВЛ г + А г + А г\ + A z'2, м дополнительные площади шпан- гоутов Д м2 mAf2 = [2].[9], л’ ! поправка А г2, м
1 ' 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И
0 10
1 9
2 8
3 7 •
9 1 1 *
10 0
11
19 -9
20 —10
Суммы
§ 5/J Срезывающие силы и изгибающие моменты на волнении 437
Таблица 108
вриближеннй и определение дополнительных срезывающих сил и изгибающих
вершине (подошве) волны_______________________________________________
ближение Интегрирование нагрузки Срезывающие силы Изгибающие моменты
w v | ’г v | i V 1 г П'Н | ю I'liih'oii pi I BiiiiVdo *“/ V iioi.Xo i ЦНИИ IIVmnoiril I'lli'lir ).l IllllrOHoV Ill |2| 1131, Л’ hiitciральны<- суммы [13], л’ интеграл! пые суммы [15], л? поправки [ 1б]2о 20 ’ йенрапленпые интегральные суммы [15] 4- 117], м2 исправленные срезывающие силы A L [ 18J. т ст .—,г —< О СЧ S ° * С2 (£> ТО — g т с исправленные интегральные суммы [16] + [20], м2 исправленные изгибающие моменты A L2 7 4 [21], тм
12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22
0 0 0 0 0 0 0 0
1
—
0 0 0 0
438
Общий изгиб корпуса судна
[Гл. X
цели к ординатам волны, взятым от грузовой ватерлинии (графа 4), доб ь-
ляются две поправки Дг! и Az.,. Эти поправки вычисляются по формулам:
Дг, =
DR S ) L’
Az2 = ^Se(i-10).
(4
(401)
Первая из этих поправок дает изменение ординаты волны на миделе
от дополнительного погружения судна т. Она постоянна для всех шпангоу-
тов, а потому вычисляется вне таблицы.
1 —невязка в водоизмещении, откуда —дает изменение осадки, кото-
рое необходимо придать судну, чтобы обеспечить равновесие сил;
(Al^Xt— невязка в моменте, деля которую на объемное водоизмещение— ,
получим смещение ц. в., обеспечивающее условие равновесия моментов (приведение
силы веса и силы поддержания в одну вертикаль). Соответствующий этому угол
7 (ALfS.
дифферента будет —— . Умножая на этот угол расстояние от миделя до ц. т.
ватерлинии (ось поворота), получим изменение осадки на миделе от дифферента
судна, равное
7^(Д/)аХ«
DR
§ 57] Срезывающие силы и изгибающие моменты на волнении
439
Вторая поправка дает изменение ординаты волны от дифферента* 1.
Она различна для отдельных шпангоутов и выписывается в графах 7 и 11.
Ординаты волны от грузовой ватерлинии определяются путем прибавления
к ординатам z волны от ее оси поправок Az, Агг и Az2, т. е. равны
г 4- Дг + Дгх + Дг2. Заполнение граф 9 и 10 аналогично заполнению граф
5 и 6. Если суммы этих граф не удовлетворяют условиям равновесия,
переходят от второго приближения к третьему, аналогично тому, как это
было сделано при переходе от первого приближения ко второму. Процесс
последовательных приближений продолжается до тех пор, пока условия
равновесия не окажутся соблюденными2.
Следует обратить внимание на то, что низкобортные суда внутреннего
плавания нередко попадают на волне в такое положение, когда гребень
Рис. 142. Определение сил поддержания, когда гребень волны выше палубы судна
волны оказывается выше их палубы (рис. 142,а). В этом случае, если счи-
тать, что вода успела распределиться по всей ширине судна (рис. 142,6),
силы поддержания определяются погруженной (в данном случае полной)
площадью шпангоута, т. е. так, как будто бы диаграмма площадей шпанго-
утов имела форму, показанную на рис. 142,в.
Если же исходить из предположения, что вода не‘успела разлиться по
палубе на всю ширину судна, что особенно существенно для широких судов
(рис. 142,г), то силы поддержания следует определять не по действительно
погруженной площади шпангоута, а по воображаемой, увеличенной по
высоте до уровня гребня волны (т. е. представлять судно обладающим каким
угодно высоким бортом). На диаграмме площадей шпангоутов это соответ-
ствовало бы линии, показанной на рис. 142,6.
В очень многих случаях для судов внутреннего плавания правильней
принимать в расчете вторую из указанных схем (рис. 148, г и 6), так как
большая ширина судна, наличие всевозможных препятствий, мешающих
быстрому распространению воды на палубе, и краткость периода времени,
в который это явление должно произойти, мешают полному заливанию
палубы судна водой.
1 Умножая расстояние i-ro шпангоута от миделя ДА (i — 10) на угол дифферен-
та, обеспечивающий равновесие моментов (см. предыдущее примечание), получим
изменение осадки j-го шпангоута, удовлетворяющее условию равновесия моментов,
в виде формулы (401).
1 Для точного определения равновесного состояния судна на волне во многих
случаях следовало бы учесть дополнительные силы поддержания от погружения
в воду частей корпуса, выступающих за носовой и кормовой перпендикуляры
(обычно кормовой свес). Однако проистекающая от неучета указанного обстоятель-
ства погрешность такова, что в практических расчетах с ней не считаются и вы-
полняют расчет, как было описано выше.
440 Общий изгиб корпуса судна [Гл. XIV
Вычисление дополнительных срезывающих сил и изгибающих момен-
тов от перераспределения сил поддержания на волнении при любом курсе
судна относительно направления движения волн производится по табл. 108
совершенно аналогично тому, как это делалось выше при нахождении сре-
зывающих сит и изгибающих моментов на тихой воде.
Для получения нагрузки должны быть взяты дополнительные вошед-
шие и вышедшие из воды площади шпангоутов, определяемые из последнего
приближения (графа 13 табл. 108), они имеют знаки плюс в случае потери
шпангоутом пл щади (в районе впадины волны) и знаки минус в случае
дополнительного погружения шпангоута (в районе вершины волны). Вычис-
ление факторов срезывающих сил производится не суммированием сверху,
как в табл. 104, а путем вычисления интегральных сумм графы 13. Послед-
нее объясняется тем, что эпюра нагрузки в табл. 104 была ступенчатой
линией, т. е. была ориентирована на шпации (0—1, 1—2...), а в табл. 108
эпюра нагрузки представляет собой ломаную линию и ориентирована на
шпангоуты (0, 1, 2...).
При уди ффе ре н т о в к е судна на волне методом ре-
шения уравнений равновесия применяется универ-
сальная табл. 105 (стр. 426 и 427), в которой в этом случае опускаются графы
2, 3, 7 и 13. Профиль расчетной волны наносится на графике площадей шпан-
гоутов с введением поправки Az, как и на стр. 435 в случае удифферентовки
судна методом последовательных приближений. В графе 4 табл. 105 выпи-
сываются ординаты расчетной волны от ее оси, а в графе 5 ординаты ее от
основной линии. В графе 6 записываются дополнительные площади А/, вы-
шедшие из воды или вошедшие в воду, а в графе 8 ширины волновой ватерли-
нии (т. е. ширины судна, замеренные на уровне поверхности волны).
Кроме того, в графах 13 и 16 и уравнениях для ДТ и <рД£ сумму
— f j следует заменить $]Д/.
Для контроля вычислений должны использоваться следующие условия:
1) в графе 13:
[13]20 = 22 [6] ;
2) в графе 14:
[14]20 и 2(14]
должны быть равны первым членам уравнений равновесия при подста-
новке в них найденного АТ;
3) в графе 15:
[15]20 и 2(15]
должны быть равны вторым членам уравнений равновесия после под-
становки в них найденного сДД.
Дальнейшие операции по удифферентовке и определению общих срезы-
вающих сил и изгибающих моментов аналогичны описанным выше при-
менительно к судну на тихой воде.
Построение эпюр дополнительных срезывающих сил и изгибающих
моментов иллюстрируется числовыми примерами, приводимыми ниже
в главе XV.
При произвольном положении судна на взволнснанной поверхности (мидель
не на гребне и не на впаднне волны н угол между диаметральной плоскостью
судна и направлением распространения волн произволен), строго говоря, нельзя
ограничиться рассмотрением одних условий статического равновесия. Давление
§ 57] Срезывскщие силы и изгибающие моменты на волнении 441
воды на корпус судна в общем случае приводится к шести компонентам:
трем составляющим равнодействующей силы и трем моментам относительно трех
осей, связанных с судном. Для статического уравновешивания этих шести
компонентов мы располагаем лишь тремя возможностями: дать судну вертикальное
перемещение, дифферент и крен. Статически неуравновешенными останутся две
силы (продольная сила и сила, вызывающая дрейф) и одни из моментов (уваливаю-
щий, сбивающий с курса). Однако при обычной центральной постановке (мидель
на вершине или на подошве волны) указанные неуравновешенные силы становятся
пренебрежимо малыми. Что касается уваливающего момента, который можно уравно-
весить лишь силами сопротивления воды и силами инерции, то он в основном
влияет на изгиб судва в горизонтальной плоскости и потому с ним обычно не
считаются. Креи судва при центральной постановке оказывается настолько незна-
чительным, что им также можно пренебречь. Таким образом, как и при обычной
постановке судна на волну, должны быть уравновешены лишь вертикальная сила
и дифференту ощий момент. Для того, чтобы их уравновесить, необходимо изменить
осадку судна и дифферент.
На рис. 143 показано положение судна на взволнованной поверхности и пере-
сечение двух шпангоутов этой поверхностью. В районе шпангоута № 12 судно
потеряло п авучесть или, что то же, приобрело дополнительную нагрузку tf dx и
диффереитующий момент -J (х— хв.л)Лх.
Равновесное состояние судна при косом положении его на
волне (при £>/-) определяется аналогично тому, как это описано выше.
Это может быть выполнено как методом последовательных приближений,
так и методом решения уравнений равновесия по тем же табличным схемам.
Различие состоит лишь в способе определения дополнительных площадей
шпангоутов, т. е. площадей шпангоутов, вошедших в воду или вышедших
из воды при переходе судна с тихой воды на волну, в данном случае в косое
положение относительно системы волн.
442
Общий изгиб корпуса судна
[Гл. ХГУ
Для решения этой задачи необходимо прежде всего построить проек-
цию трохоидального профиля волны заданных размеров на плоское?
миделя судна, т. е. растянуть действительный трохоидальный профиль
ВОЛНЫ ДО ДЛИНЫ /-!-
Рнс. 144. Косое положение судна на волне н растянутая трохоида (сече ния а —Ь
и с — d даны не в масштабе)
Как следует из рис. 144,
=. (402)
Г №
У 1 — D
Эта трохоида, выполненная на кальке, накладывается на корпус теоре-
тического чертежа судна, вычерченный для всей ширины судна (симметрич-
ный), на каждый его шпангоут — соответствующим участком своей длины.
Каждый раз ордината трохоиды, имеющая номер, одинаковый с номером
данного шпангоута, совмещается с диаметральной плоскостью: трохоиду
нужно двигать поперек корпуса судна (рис. 145).
Для сокращения количества последовательных приближений ось тро-
хоиды следует сместить по отношению к грузовой ватерлинии на некоторую
§ 57]
Срезывающие силы, и изгибающие моменты на волнении 443
величину Az, которая вычисляется по формулам (398) и (399) этой главы.
Следует учесть, что в формулы (398) и (399) должна быть подставлена дей-
ствительная длина волны (а не длина растянутой волны, равная длине
судна).
Рис, 146
444
Общий изгиб корпуса судна
[Гл. XIV
Таким образом для каждого шпангоута будет получена линия пересе-
чения его с поверхностью воды при заданном косом положении судна на
волне (рис. 146). Остается только планиметрированием (или по ордина-
там) вычислить погруженную площадь каждого шпангоута и, вычтя из нее
погруженную площадь шпангоута при плавании на тихой воде, получить
добавочную площадь каждого шпангоута (вышедшая из воды площадь счи-
тается положительной, вошедшая — отрицательной). При этом удифферен-
товки судна проще всего достичь путем решения уравнений равновесия.
Для случая косой постановки судна на волну можно получить также
расчетные значения дополнительных общих срезывающей силы и изгибаю-
щего момента путем уменьшения в С раз аналогичных значений, найденных
как обычно, при постановке на растянутую волну (в предположении совпа-
дения курса судна с направлением движения волны). Значения С берутся
по графикам рис. 147 и 148 отдельно для подошвы и вершины волны.
Эти коэффициенты учитывают, что силы поддержания распределяются
по ширине судна в соответствии с тем, что поверхность воды и в поперечном
направлении представляет собой трохоиду.
Суммарные срезывающие силы и изгибающие моменты получают алге-
браическим наложением дополнительных, срезывающих сил и моментов на
волне на соответствующие величины, полученные для тихой воды.
Суммарные значения V и М можно получить по табл. 109.
§ 5'1
Срезывающие силы и изгибающие моменты на волнении 445
Таблица 109
Суммарные значения срезывающих сил и изгибающих моментов
при постановке судна на волну
№ теоре-
тических
шпан-
гоутов
Срезы-
вающая
сила на
тихой
воде,
т
Дополнитель-
ные значения
Изги- бающий момент на тихой воде, тм на вершине волны
срезывающей силы, т изгибающего момента, тм
1 з 4 5
Дополни-
тельные зна-
чения на
подошве
волны
Суммарные
значения на
вершине
волны
Суммарные
значения на
подошве
волны
1
О
1
2
19
20
Определение срезывающих сил и изгибающих моментов на волнении
по методу А. Н. Крылова
Метод определения срезывающих сил и изгибающих моментов при общем
изгибе корпуса судна на волнении с учетом динамических факторов предложен
акад. А. Н. Крыло ым в его работе, в которой им была дана классическая общая
теория качки корабля (1896 г.).
Учет всей совокупности динамических факторов в расчете в большинстве
случаев ведет почти к полной их взаимной компенсации, а вносимая этим расчетом
поправка обычно меняет в безопасную - сторону значение изгибающего момента,
определенного от воздействия одних только статических факторов. Вследствие
количества и сложности операций описанный расчет очень трудоемок и его при-
меняют к судам внутреннего плавания лишь в исключительных случаях.
Обычно можно в этих крайне редких случаях воспользоваться приближенной
формулой (421) на стр. 451. В соответствии со сказанным ниже излагается лишь
общая идея динамической постановки по А. Н. Крылову.
Расчет выполняется в двух приближениях.
В первом приближении допускается, что в пределах изменения уровня
воды борта судна вертикальны, что сопротивление воды пропорционально первой
степени относительной вертикальной скорости погружения судна, что волна имеет
синусоидальный профиль и давление воды подчинено гидростатическому закону.
При переходе судна с тнхой воды на волнение появляются дополнительные
силы:
а) силы поддержания от погружения и наклонения судна
— ТУ (г + <?х):
б) силы поддержания от перераспределения водоизмещения в соответствии
с волновым профилем
+ 1УГ cos
446
Общий изгиб корпуса судна
[Гл. XIV
в) силы сопротивленвя
г) силы инерции
— ky z’+»'x— ru>sin
“ (г'+?’х).
В сумме все эти силы дают ординату q кривой дополнительной нагрузки
в сечении на расстоянии х от ц. т. судна:
9 = — ТУ(г + сх)-р fyrcos — <»t} — ky jV + у'х —
( 2-х \ р "|
— гш sin (-z- — «f -у (г'+т’х) I , (403)
где:
7— удельный вес воды,
v—ширива грузовой ватерлинии:
г—вертикальное перемещение ц. т. судна;
= — угол дифферента на нос;
г — пслувьсота волны;
}. — длина волны;
» — частота волны1 2;
k— коэффициент сопротивлевня воды*:
р— ордината ступенчатой линии веса в т/м-,
t — время (текущая координата);
g—ускорение силы тяжести
Неизвестные — вертикальное перемещение z центра тяжести и угол <р диф-
ферента—ваходятся из условий равновесия:
2
j qdx=0;
— L
+ L
2
I qxdx — 0.
— Z.
2
(404
Учитывая, что в соответствии с выражением (403) и г входят своими первы-
ми и вторыми производными, легко понять, что выражение (404) есть система
линейных дифференциальных уравнений второго порядка относительно г и <р с по-
ст ан ыми коэффициентами и свободным членом. Общий интеграл этих уравнений
будет равев общему интегралу этих же уравнений без свободного члена плюс
частный интеграл.
Частные решевия могут быть найдены в виде формул:
z = A cos sin wt
s = i cos wt 4- £ sin wt
где .4. В, i и 3 — коэффициенты.
Подставив выражение (405) в выражение (403), можно получить после преобра-
зований
q — qt cos wt + q3 sin wt, (406)
где ?! и ?! — суть функции <», р, у, х, р, А, В и т. д.
1 Если судно движется вперед со скоростью v узлов (илн 0,514 v м/сек), то
?место действительного периода должен быть взят кажущийся период
± 1,25 у/1. — 0,514 v
и в формулу (403) следует ввести кажущуюся частоту
<о = = 7,85 ±->^-0.410
Т А
где знак плюс означает попутное волнение, а минус— встречное.
2 Размерность коэффициента k— тсек/м*.
§ 57] Срезывающие силы и изгибающие моменты на волнении 447
Подставляя значение q из формулы (406) в уравнения равновесия (404), полу-
чим два уравнения:
+ L 2 2
cos a>t J qtdx + sin uit — L ; 2 J q2dx = 0 — L 2 (407)
+ L cos o>f | q^xdx + sin uit — L 2 4- L 2 f q2xdx = 0 — L 2
Равновесие, определяемое выражениями (404) или (407), должно существовать
в любоймомент времени, а следовательно, и при
71
U)/ = 0 Н .
Поэтому каждый из интегралов выражения (407) в отдельности должен равняться
нулю, т. е.
+ L +L
2 2
| q^dx = 0; f q2dx = 0
— L —L
j qixdx = 0: j q2xdx = 0
— L —L
2 2
Развернув эти последние равевства (заменив q2 и q2 их значениями), получим
четыре ураввевия. Из этих четырех уравнений можно определить коэффициен-
ты Л, В, а и S, т. е. найти г и с.
Найдя коэффициенты А, В' а и р и зная все другие постоянные (f, k и т. д.)
для любого момевта времени t и для любого сечения х, можно вычислить значе-
ния q-t и qt.
Поэтому, учитывая равенство (406), можно найти и выражения для срезываю-
щей силы и изгибающего момента:
XXX
V — J qdx —cosuit j qLdx + sin vnt j q2dx
~L ~L ~L.
2 2
или иначе
V = Vi cos uit + Vt sin uit. (409)
Далее аналогично:
M = Alx cos u>t -f- M2 sin uit. (410)
Максимальные значения срезывающей силы и изгибающего момента1 равны:
VMKC = yvl+vl-, (411)
M2i + M22 (412)
1 Как известно, две гармонические функции с'одним и тем же аргументом,
но разными амплитудами, могут быть объединены в одну с тем же аргументом и
новой амплитудой:
All cos <ut + Mt sin <of = Al sin (<1/4- e).
Действительно, разворачивая правую часть
Al sin (wf -|- в) = Al sin uit cos s + Al cos uit sin e
и приравнивая амплитуды одинаковых функций получим:
All = Al sin г;
Al2 = Al cos =.
(Предо. -et-.ue см. стр. 448).
448 Общий изгиб корпуса судна [Гл. XIV
В. В. Давыдов и Н. В. Маттес показали, что скорость судна н сопротивление
воды, если ве учитывать удара носовой оконечности о набегающую волну, мало
влияют на значение срезывающей силы и изгибающего момента и предложили не
учитывать этих факторов в расчете, в результате чего последний оказался значи-
тельно проще.
Во втором приближении метода А. Н. Крылова учитывается нецилиндричность
обводов судна в районе действующей ватерлинии. По найденным в первом прибли-
жении значениям вертикального перемещения г и угла у дифферента судна по
диаграмме площадей шпангоутов находят погруженные площади шпангоутов при
заданных обводах судна (т. е. не связывают себя условием цилиндричности
обводов).
Сравнивая эти площади с площадями шпангоутов, найденными аиалитическн
в процессе первого приближения расчета (при условии цилиндрических обводов),
получают в качестве разницы A<j неучтенную нагрузку (вследствие условия
цилиндричности). Одновременно осуществляется переход от синусоидальной волны
к трохоидальной и вводится поправка, учитывающая гидродинамический характер
давления воды на волнении. Явление удара волны в описанном методе не учи-
тывается.
§58. ПРИБЛИЖЕННЫЕ СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЩИХ
ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ
В начальной стадии проектирования описанные выше способы опреде-
ления изгибающих моментов не могут быть применены ввиду отсутствия
необходимых данных. Во многих случаях эти способы оказываются слиш-
ком трудоемкими и излишне точными. В таких условиях могут применяться
следующие приближенные способы.
1. Определяют изгибающий момент на тихой воде по формуле
/И=^, (413)
где k — статистический коэффициент.
Изгибающие моменты особенно часто определяются по формуле (413)
вследствие ее простоты.
В связи с этим принято при расчетах прочности судна в каждом частном
случае находить значения коэффициента k (коэффициента момента), который
дает возможность оценить эффект общего изгиба и контролировать расчет.
Аналогично находят коэффициент срезывающей силы
*1=^- (414)
2. Общий изгибающий момент на тихой воде посередине длины судна
обычно бывает наибольшим или немного отличается от него. Поэтому в ка-
честве расчетного значения общего изгибающего момента находят его зна-
чение от сил веса и сил поддержания на миделе.
Из последних
складывая или деля
двух уравнений можно получить (возводя их в квадрат н
друг на друга):
М2Х + М% = М* (sin«s + cos’s) = ЛР,
. All
Поэтому
М1 cos tot 4~ Vf, sin u>t = sin
tot -J- arctg УM'l + M2 .
Таким образом,
^макс —
+ M*.
§ 58] Приб шженные способы определения общих изгибающих моментов 449
Упрощенную эпюру сил веса можно получить, если к трапецеидальной
эпюре веса корпуса (стр. 418) пристроить участки, соответствующие глав-
нейшим компонентам веса судна. В большинстве случаев это будут прямо-
угольники или сосредоточенные силы.
Эпюру сил поддержания можно принять в виде параболы.
Из условий равновесия площадь эпюры сил веса должна равняться
площади эпюры сил поддержания, и абсциссы ц. т. этих площадей должны
быть равны, что и следует в каждом случае проверить.
Момент на миделе от сил веса G, распределенных по трапеции, мо-
жет быть принят равным (как для острых, так и для полных судов,
GL
8,7 ’
от сил поддержания относительно миделя приблизительно
1
о___z. ’
см. стр. 418)
Момент
DL
равен----г-
с
с
где с; = — коэффициент продольной полноты водоизмещения.
Моменты от прочих весовых компонентов Рг, Р2, Р3 и т. д. легко
определяются как статические моменты их относительно миделя.
Сказанное иллюстрируется рис. 149. Общий изгибающий момент на
тихой’воде на миделе будет равен (значения букв даны на рис. 149)
DL
8
Л1
-----г ~о~у + li + Рг 1г + Ps ls -I- . . .
— Y О»/
(415)
Здесь водоизмещение судна
D — G — Pj -1- Р2 + Ps + • -1
lt, L, 13 и т. д. — расстояния от миделя до ц. т. площадей, изображающих
на эпюре весовые компоненты Pi, Рг, Ps и т. д., или до точек приложения
29 справочник
450
Общий изгиб корпуса судна
[Гл. XIV
этих компонентов. При вычислении момента на миделе в формулу (415)
должны быть введены не все силы Р, а лишь силы, расположенные по од-
ну сторону от миделя.
Описанный способ имеет довольно значительную погрешность (ориенти-
ровочно порядка 15°о), но вполне приемлем на первой стадии проектирова-
ния конструкции, особенно если учесть его крайнюю простоту.
3. Для нахождения общего изгибающего момента на волнении надо
к найденному выше изгибающему моменту на тихой воде прибавить допол-
нительный изгибающий момент, который может быть определен (для случая,
когда диаметральная плоскость судна совпадает с направлением распростра-
нения волны) по формулам, предложенным проф. В. В. Давыдовым:
на гребне волны
‘ ® 20+75(1—а)’
(416)
на подошве волны
VBL*
20 + 52(1—а)’
(417)
где:
у — удельный вес воды;
г — пол у высота волны;
а—коэффициент полноты площади ватерлинии;
L и В — длина и ширина судна.
В случае косой постановки судна на волну дополнительные общие сре-
зывающие силы и изгибающие моменты можно определить по формулам доц.
Б. Н. Смолякова, составленным, как и предыдущие формулы, на основании
обработки большого числа расчетов (плюс на вершине волны, минус на
подошве): _ '(rBL ] krC 1 (418) Таблица ПО Значения коэффициен- тов k и /г.
kC I а k
где: С — коэффициент, определяемый по графикам (см. рис. 147 и 148) отдельно для подо- швы и вершины волны; k и kr — отвлеченные величины, зависящие от коэффициента полноты площади ватерли- нии а (табл. ПО). 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 38 36 34 30 27 24 19,7 10 10 10 9 8 7,5 6,3
При больших значениях , когда С«1, формула (418)
дает одина-
ковые значения моментов на вершине и подошве волны, что неточно.
В этих случаях точнее определять изгибающие моменты с учетом отно-
шения путем деления их значений, найденных по формулам (416) и
(417), на коэффициент С, т. е.:
на вершине волны
ду _________yrBL2______ (419)
® [20 + 75(1 -а)] С/ ( }
§ 59]
Влияние изгиба корпуса на изгибающий момент
451
на подошве волны
Д{~ =__________ ^rBL2_____
& [20 + 52(1 -а)] Сп-
(420)
Для определения дополнительного общего изгибающего момента на
волне с учетом динамических факторов изгиба инж. В. А. Никитин
предложил следующую формулу:
DL2 Т а б л и ц а 111
а k
где k — коэффициент, определяемый в зависимости от коэффициента а полноты грузовой ватерлинии (табл. 111). 0,65 1790
Остальные обозначения — обычные в теории ко- 0,70 1620
рабля. 0,75 1470
Формула (421) выведена в предположении, что: а) грузовая ватерлиния и строевая по шпангоутам 0,80 0,85 1320 1170
имеют параболическую форму;
б) обводы корпуса судна симметричны относительно миделя;
в) ц. т. судна лежит посередине его длины (на миделе);
г) высота волны равна одной двадцатой ее длины;
д) скорость судна равна нулю.
Несмотря на эти допущения, формула (421) может применяться для
ориентировочных расчетов.
§ 59. ВЛИЯНИЕ ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИЛ ПОДДЕРЖАНИЯ
И ПЕРЕЛИВАНИЯ ЖИДКИХ ГРУЗОВ, ОБУСЛОВЛЕННОГО ИЗГИБОМ
КОРПУСА, НА ВЕЛИЧИНУ ОБЩЕГО ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА
Изменение осадки в отдельных сечениях по длине судна вследствие
общего изгиба его корпуса вызывает перераспределение сил поддержания по
длине судна (рис. 150). Явление аналогично перераспределению сил поддер-
жания при переходе судна с тихой воды на волну.
Вследствие перераспределения сил поддержания по длине, обусловлен-
ного изгибом корпуса, возникает дополнительный изгибающий момент,,
который должен быть просуммирован с общим изгибающим моментом, най-
денным выше в предположении отсутствия деформации изгиба судна.
Величина этого дополнительного момента тем больше, чем более гибким?
является корпус судна, и становится довольно значительной у длинных
низкобортных судов типа речных барж, достигая иногда 30% величины
общего изгибающего момента, определенного обычным путем, без учета
изгиба корпуса судна.
Изгиб корпуса судна всегда уменьшает величину расчетного изгибаю-
щего момента, т. е. дополнительный изгибающий момент всегда противо-
положен по знаку основному моменту, так как изменение величины сил
поддержания всегда направлено к компенсации, иначе говоря, к устране-
нию деформации корпуса судна, вызвавшей его.
В связи с этим в большинстве случаев в практических расчетах проч-
ности в значение расчетного общего изгибающего момента не вносят поправ-
ки, учитывающей изгиб корпуса судна, тем более что учет изгиба корпуса не-
является простой задачей, поскольку упругая линия корпуса, от которой
зависит изменение сил поддержания, сама зависит от дополнительного
изгибающего момента, т. е. от того же изменения сил поддержания
29Т £
452
- Общий изгиб корпуса судна
[Гл. XIV
Переливание жидкого груза вследствие изгиба судна создает дополни-
тельный изгибающий момент того же знака, что и основной момент, вызвав-
ший изгиб; при прогибе жидкий груз стекает к середине судна и еще уве-
личивает прогиб; при перегибе —- стекает к оконечностям и увеличивает
перегиб.
Пренебрежение возможностью переливания груза ведет к ошибкам
в опасную сторону, и если все-таки этим явлением в большинстве случаев
Рис. 1а0. Влияние деформации изгиба корпуса судна на изгибающий момент
пренебрегают, то лишь потому, что дополнительные моменты оказываются
незначительными (при заполненных трюмах переливания нет, при незапол?
ненных значительному переливанию препятствуют поперечные переборки).
Кроме того, перераспределение сил веса по длине будет почти компенсиро-
вать перераспределение по длине сил поддержания, и необходимость учета
указанных факторов при определении общего изгибающего момента часто
отпадает.
Классическое решение задачи об учете перераспределения сил поддер-
жания при общем изгибе корпуса дано проф. П. Ф. Папковичем.
Проф. П. Ф. Папкович рассматривает плавающее судно как балку,
лежащую на сплошном упругом основании, принимая коэффициент жестко-
сти упругого основания равным
k = IJ'
и беря прогиб в виде сдвинутой и повернутой синусоиды
ir = а (a -J- ₽£" + s’n = °? (х)>
где:
7 — удельный вес воды;
у — ширина судна, заданная в функции от х;
а, 0 — коэффициенты.
§ 59] Влияние изгиба корпуса на изгибающий момент
453
Учитывая, что в положении равновесия производная от разности
между силовой функцией и потенциальной энергией равна нулю,
П. Ф. Папкович находит обусловленные изгибом корпуса судна поправки
к срезывающей силе AV й изгибающему моменту ДМ:
X X . X
ДV = — | kwdx = — J jywdx = — ay j V® (x) dx, (422)
bo о
AM = — j kwdx* = — 7 j j J wdx2 = — ay [J }'» (x) dx2, (423)
ob oo bo
где:
L
q (x) e (x) dx
a =-----p------5-----------Z----------• (424)
J El sin2 j dx + У [? (x)]2 dx
о 0
Нормы для расчета прочности Речного Регистра (1956) реко-
мендуют учитывать гибкость судна при Наибольший изгибаю-
щий момент на тихой воде определяется по формуле
Мт в = [Мт.в] р,
где:
[Мт в] — изгибающий момент на тихой воде, определенный без учета
влияния изгиба судна,
1
— L4B ’
1 4-0,00125-^7- a2
с/
L и В —длина и ширина судна по конструктивной ватерлинии в м;
х—коэффициент полноты конструктивной ватерлинии;
Е -г модуль упругости материала корпуса в m/jn2;
I — момент инерции площади расчетного сечения эквивалент-
ного бруса в первом приближении в jh4.
ГЛАВА XV
НАПРЯЖЕНИЯ В КОРПУСЕ СУДНА ПРИ ЕГО ОБЩЕМ ИЗГИБЕ
§ 60. ЭКВИВАЛЕНТНЫЙ БРУС
Для проверки прочности необходимо найти момент инерции, моменты
сопротивления и статические моменты поперечного сечения корпуса судна,
рассматривая его в целом как балку.
В случае, если в равноудаленных от нейтральной оси волокнах сечения
имеют место одинаковые напряжения, т. е. если эта балка однородна в отно-
шении материала, не имеет вырезов, расположенных близко к рассматривае-
мому сечению, и элементы ее обладают достаточной жесткостью, все указан-
ные величины могут быть найдены следующим образом.
Введем обозначения (рис 151):
Рис. 151. Схема сечения эквивалентного бруса
fi. /з. 7з>- — площади отдельных составных частей сечения
корпуса судна;
2lt г,, 23, . .. , гк,. . , гп — расстояния от условной оси до ц. т. площадей /к;
iu i,, ia...iK,. . . , in — собственные моменты инерции площадей /к (от-
носительно оси, параллельной условной и про-
ходящей через ц. т. площади /к);
/ — момент инерции поперечного сечения корпуса
судна относительно нейтральной оси.
За условную ось обычно принимают нижнюю кромку обшивки днища.
Расстояние z0 нейтральной оси всего сечения от условной оси равно
2 fkZk
k~i
(425)
§ 60]
Эквивалентный брус
455
Момент инерции относительно условной оси отдельной площадки fk
равен ik + fk zl, а всего поперечного сечения корпуса^судна составит:
2 *4 + 2 fkZk-
k=i 4=1
Отсюда момент инерции поперечного сечения корпуса судна относи-
тельно нейтральной оси равен
Z = 2( S й- (426)
\4=1 4=1 4=1 /
Множитель 2 введен вследствие того, что все входящие в формулу
суммы вычисляются для одной из симметричных половин сечения.
Подставляя в формулу (426) вместо z0 его значение из формулы (425)
и вновь пользуясь выражением (425), можно получить и другое выраже-
ние для искомого момента инерции.
1 =2( 2'* + 2/***~ *0 (427)
\4=1 4=1 4=1 /
Момент инерции определяется по схеме табл. 112.
Таблица 112
1 ц/ц 0^ I Наименова- ние связей и размеры Площадь /, см2 Расстоя- ние от условной оси г, м Статиче- ский момент /г. СМ2М Момент переносный (г2, С.М2Л12 инерции собствен- ный** !, смгм2
1 9 3 4 5 6 7
Суммы . . . . - ° V *** 24 6—7
Моменты сопротивления для нижнего и верхнего волокон сечения
= = (428)
z0 п — z0
Ранее порядок расчета несколько отличался от описанного. Поперечное
сечение корпуса судна разделяли на ряд горизонтальных полос, площади
сечения в пределах которых представляли в виде прямоугольников с вы-
сотой, равной ширине соответствующей полосы. Таким образом, вместо
балки сложного сечения, которую представляет собой корпус судна, полу-
* Здесь записывается z0 = м5 :
* * Собственные моменты инерции связен прямоугольного сечения рекомен-
дуется вычислять по формуле
12 ’
где hf; — высота рассматриваемой связи в м, a fk — площадь ее в см2.
* ** В этой графе записывается сумма граф 6 и 7, т. е. вычисляются первые
два члена правой части выражений (426) или (427).
456
Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [Гл. XV
чали равноценную ей балку простого сечения — так называемый экви-
валентный брус.
Границы полос назначались из условия, чтобы распределение мате-
риала в поперечном сечении корпуса судна сохранялось по возможности
и в его эквивалентном брусе.
Такая замена в большинстве случаев не упрощала, а иногда даже услож-
няла расчет, и от нее теперь отказались. Однако термин «эквивалентный
брус» укоренился и широко применяется. Под эквивалентным брусом пони-
мают совокупность всех продольных связей корпуса судна, принимающих
участие в восприятии общего изгиба.
§ 61. УСЛОВИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ СВЯЗЕЙ В СОСТАВ ЭКВИВАЛЕНТНОГО БРУСА
В ПЕРВОМ приближении
Полноценными связями эквивалентного бруса являются лишь те, кото-
рые так конструктивно связаны с ним, что получают при общем изгибе судна
одинаковое напряжение со смежными им связями. Достигается это за счет
возникновения напряжений сдвига по боковым (пазовым) швам соединения
этих связей. Если это условие не соблюдено, упомянутого равенства напря-
жений не будет. Связь, недостаточно конструктивно связанная с эквивалент-
ным брусом, получает пониженное напряжение, а иногда и совсем выклю-
чается из работы.
Некоторые из связей судового корпуса, являющиеся волокнами экви-
валентного бруса, прерываются по длине или имеют вырезы (надстройки,
котельные и машинные шахты, местные продольные переборки, комингсы
люков, фундаменты и подкрепления, местные платформы, двойное дно в
районе его окончания, разрезные продольные балки и ребра жесткости
и т. п.). В местах обрыва этих связей и в местах вырезов сечение эквивалент-
ного бруса резко меняется, и прерванные связи судового корпуса в районе
своих концов не вовлекаются в работу эквивалентного бруса наравне с не-
прерывными связями. Напряжения в них меньше, чем напряжения в не-
прерывных связях.
В местах резкого изменения площади или формы сечения возникает
иногда весьма значительная концентрация напряжений, захватывающая
небольшой объем металла конструкции.
При неизменной во времени нагрузке эта концентрация не представляет
особой опасности, так как при достижении напряжениями предела теку-
чести, вследствие пластичности металла произойдет перераспределение
напряжений. В случае действия переменной нагрузки при достижении
напряжениями предела выносливости появятся усталостные трещины, ко-
торые могут служить очагом разрушения конструкции.
Поэтому концентрация напряжений в конструкции должна быть исклю-
чена путем соответствующих мероприятий.
Для введения связей в эквивалентный брус они должны удовлетворять
определенным требованиям в отношении их протяженности, целостности
и взаимной конструктивной связанности. Кроме того, в случае, если корпус
судна выполнен из двух или нескольких материалов, эквивалентный брус
следует привести к однородности материала.
Условие достаточной протяженности „
Продольные связи корпуса судна могут включаться в эквивалентный
брус лишь при достаточной протяженности их.
Нормой протяженности средних надстроек морских судов, позволяю-
щей включать их полным сечением в эквивалентный брус, принято считать
§61] Условия включения связей в эквивалентный брус 457
протяженность на 0,075 длины судна (и не менее трех высот надстройки)
в каждую сторону от рассматриваемого сечения; надстройки короче 15%
длины судна (или шести высот надстройки) в эквивалентный брус совсем
не включаются (короткие надстройки).
Прерванные связи относительно большого сечения (борта и палубы
надстроек морских судов, палубный настил на участках между люками
Рис. 152. Схема включения в эквивалентный брус выступов связей
в пределах их ширины) рекомендуется
включать в состав эквивалентного бруса
лишь частью, лежащей между их про-
дольной кромкой и линией, образующей
угол в 303 с этой кромкой, как это показа-
но на рис. 152 и 153 (на этих рисунках
заштрихованы части связей, не включаю-
щиеся в эквивалентный брус)1.
Надстройки и обносы речных судов (специально не укрепленные) в
эквивалентный брус не вводятся.
Условие достаточной целостности (разрезы, отверстия и вырезы)
В сварном судне интеркостельные связи включаются в состав эквива-
лентного бруса. Продольные ребра включаются в состав эквивалентно-
го бруса полностью в случае, если их разрывы компенсированы установкой
книц или утолщением листов. В случае, если это не сделано (в частности,
когда концы ребер срезаны под углом), эти ребра, как показали опыты
кафедры конструкции корпуса и строительной механики ГИИВТ, не следует
вводить в состав эквивалентного бруса2. В настоящее время это санкциони-
ровано специальный указанием Речного Регистра СССР.
Перерезанные части интеркостельных связей в клепаном стальном судне
принято не вводить в состав эквивалентного бруса, так как наличие зазоров
между стержнями заклепок и стенками заклепочных отверстий, а в случае
растяжения — и деформации полок вертикальных угольников, в значи-
1 Более точно этот вопрос может быть решен с помощью материала, изложен-
ного в следующей главе.
* Более точным, согласно указанным опытам, было бы введение площади пре-
рывающихся продольных ребер в состав эквивалентного бруса с редукционным
коэффициентом порядка 0,10—0,15. Это объясняется тем, что в местах разрыва про-
дольных ребер имеет место лишь местная концентрация напряжений и материал,
ребер через обшивку в известной степени привлекается к участию в работе экви-
валентного бруса.
458 Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [Гл. XV
тельной степени ухудшают работу интеркостельных частей в сравнении
с прочими связями корпуса судна.
Единичные вырезы, ширина которых не превышает примерно двадцати
толщин листа, могут совершенно не учитываться в расчете эквивалентного
бруса. Вырезы больших размеров могут не учитываться лишь при условии,
что они будут компенсированы подкреплением.
При этом должны быть выполнены определенные конструктивные меро-
приятия, особенно в отношении углов вырезов.
При исключении вырезов из сечения эквивалентного бруса неработаю-
щими частями считаются участки, заштрихованные на рис. 153.
При определении момента сопротивления эквивалентного бруса у реч-
ных судов можно не учитывать влияния заклепочных отверстий, так как
повышение напряжений у кромок этих отверстий захватывает незначитель-
ный объем материала и потому не представляет опасности. Кроме того,
приклепка листов к полкам угольников, чеканка их и наличие перекроев
листов в пазах несколько компенсирует прочность, утерянную проделыва-
нием заклепочных отверстий.
У морских судов следует определять момент сопротивления эквивалент-
ного бруса, считая заклепочные отверстия отсутствующими, и уменьшать
полученный результат на 5—10°6.
Условие достаточной конструктивной связанности
Это условие главным образом относится к палубе.
Обычно палубные связи и поясья палубного настила включаются в экви-
валентный брус по признаку достаточно надежного соединения их с палуб-
ным стрингером и с продольными переборками и фермами (рис. 154). При
этом могут иметь место следующие случаи:
Палубный стрингер
// g а \\
[ [b хх
уЧ£Г у. " ;;' л
Рис. 154. Включение связей в эквивалентный брус по
признаку их конструктивной связанности
а) поясья палубы, совершенно не связанные с палубным стрингером
и продольными переборками и фермами (тип а—а), не «включаются в экви-
валентный брус;
б) связанные с палубным стрингером лишь в носу и корме (тип b—Ь)
включаются с уменьшением площади в два раза;
в) связанные с палубным стрингером или продольными переборками
и фермами на всем их протяжении (тип с—с) полностью включаются, с
соблюдением условия достаточной протяженности
Приведение эквивалентного бруса к однородности материала
Связи эквивалентного бруса стального судна, сделанные из других
материалов (дюралюминий, дерево и т. п.), в расчете заменяются эквивалент-
ными им стальными связями. Для этой цели площади, статические моменты
§61] Условия включения связей в эквивалентный брус 459
и моменты инерции их умножаются на отношение модулей упругости ма-
териала рассматриваемой связи к модулю упругости стали. Положение
ц. т. и высоты заменяющих площадей сечения сохраняются такими же,
как и у связей заменяемых
При условии равенства деформации г смежных связей, сделанных
из разных материалов, в соответствии с законом Гука
з = F «• з = £ а
а а ’ с — с =
а значит
£
(429)
где:
зо и —-нормальные напряжения соответственно в заменяемой связи
и в смежной стальной;
Еп и Ее — соответствующие модули упругости.
При несоблюдении условия равенства деформаций в большинстве слу-
чаев приходится считать, что в конструкции работают связи из какого-либо
одного материала (связи из другого материала не работают)1.
Доски деревянного настила палуб стальных судов не связаны по пазам
и имеют ограниченную длину, вследствие чего крепление их к стальному
корпусу не обеспечивает вовлечения их в совместную с ним работу. Деревян-
ный настил может быть включен в состав эквивалентного бруса лишь в сжа-
той зоне. При этом для обеспечения восприятия напряжений сдвига под
деревянным настилом должны быть устроены стальная палуба или стальные
диагональные палубные связи, так как деревянный настил не воспринимает
сколько-нибудь значительных напряжений сдвига.
В сжатой зоне эквивалентного бруса деревянный настил работает
на сжатие за счет упирания торцов досок. Для введения деревянного настила
палубы в сжатой зоне в эквивалентный брус надо площадь упирания досок
в торцах (т. е. полную площадь сечения досок за вычетом площади в преде-
лах разладки; обычно эта площадь равна 1/3 полной площади сечения доски
настила) умножить на отношение модуля упругости дерева к модулю упру-
гости стали (упрощенно можно принять это отношение равным 0,05).
Деревянный настил, положенный поверх стального, увеличивает устой-
чивость последнего.
После того как применительно к условиям данного конкретного судна
будут учтены все указанные в настоящем параграфе рекомендации, табл 112
может быть заполнена и по выполнении приведенных в ней вычислений
может быть найден момент инерции поперечного сечения корпуса судна.
Величину момента сопротивления, определенного в соответствии со всеми
данными выше указаниями относительно протяженности, целостности,
конструктивной связанности и однородности, в большинстве случаев нельзя
считать установленной окончательно. Это объясняется тем, что в состав
поперечного сечения корпуса судна входят тонкие пластины обшивки и палуб
ных настилов, в которых при заданном изгибающем моменте напряжения
часто оказываются ниже, чем в соседних балках, в результате чего нарушает
ся основное условие о равенстве напряжений в смежных волокнах, сфор-
мулированное выше.
В связи с этим необходимо дальнейшее видоизменение расчета по опреде-
лению элементов эквивалентного бруса, прн котором были бы учтены особен-
ности поведения пластин.
1 Так, в композитных судах (на базе дерево — сталь) вследствие несовершен-
ства средств крепления деревянных элементов конструкции к стальным совместная
деформация их не обеспечена, и потому описанный метод приведения к однородно-
сти материала к ним не может быть применен.
460
Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [Гл. XV
Этот расчет крайне важен, так как напряжения, полученные в послед-
нем приближении, отличаются иногда (поперечная система набора) весьма
значительно от напряжений, полученных в первом приближении.
§ 62. РАБОТА ПЛАСТИН КОРПУСА ПРИ ОБЩЕМ ИЗГИБЕ СУДНА
Связи эквивалентного бруса разделяются на две группы: жесткие
и гибкие. Жесткими связями эквивалентного бруса называются связи,
при введении которых в эквивалентный брус можно пренебречь влиянием
их устойчивости и влиянием поперечной нагрузки и начальной погиби
на продольные нормальные напряжения.
Гибкими связями эквивалентного бруса называются связи, при введении
которых в эквивалентный брус приходится считаться с их устойчивостью
и влиянием начальной погиби и поперечной нагрузки на продольные нормаль-
ные напряжения. Обычно жесткими связями являются продольные балки
набора, а гибкими — обшивка и настилы.
Напряжения сж в жестких связях, являющихся распорами для пластин,
т. е. связями, препятствующими свободному сближению или удалению
друг от друга поперечных кромок пластин, будут отличаться от цепных
напряжений в гибких связях, т. е. средних действительных продольных
напряжений в пластинах. Установившиеся в отдельных гибких связях
цепные напряжения могут отличаться друг от друга вследствие различных
условий работы этих связей.
В расчете заданное поперечное сечение корпуса судна заменяется дру-
гим, которое имеет равную с заданным прочность, но у которого все пластины
заменены жесткими связями — балками.
Таким образом, все связи эквивалентного бруса приводятся к однород-
ной жесткости.
Каждая отдельная пластина должна быть заменена равноценной ей бал-
кой такого сечения, при котором эта балка воспринимала бы то усилие,
которое воспринимает заменяемая ею пластина при соблюдении всех
условий, определяющих величину этого усилия (внешние усилия, приложен-
ные к пластине в ее плоскости, поперечная нагрузка, начальная погибь,
распор и т. п.).
Суммарное усилие, воспринимаемое данной пластиной при имеющем
место в ней цепном напряжении сц, должно быть таким же, как и в заменяю-
щей ее жесткой связи при напряжении аж при том же сближении ее кромок,
как и у пластины1 * *.
Площадь жесткой связи Fnp, эквивалентной рассматриваемой гибкой
связи, называется приведенной площадью этой связи.
В соответствии со сказанным:
'Ж РПр = F-, F пр = ~F.
Fnp = (430)
? = /4. (431)
Здесь ?•— редукционный коэффициент, представляющий собой отно-
шение напряжений (средних цепных) в гибкой и жесткой смежных связях.
1 Так как напряжения в жестких связях в свою очередь меняются в зависи-
мости от расстояния их от нейтральной оси, заменяющая пластину жесткая связь
должна находиться на том же расстоянии от нейтральной оси, что и пластина.
-§ 62] Работа пластин корпуса при общем изгибе судна 461
Введя в эквивалентный брус все гибкие связи с соответствующими редук-
ционными коэффициентами о, можно обычным путем определить его момент
сопротивления.
Качественный анализ работы пластин в составе эквивалентного бруса
Случай 1-й. Рассмотрим практически не встречающийся случай
общего изгиба корпуса судна, пластины которого не имеют начальной погиби
и не несут поперечной нагрузки. В растянутой зоне эквивалентного бруса
пластины будут работать как жесткие связи и редукционный коэффициент
<р=1.
При постепенном увеличении значения общего изгибающего момента
напряжения в отдельных пластинах, лежащих в сжатой зоне эквивалент-
ного бруса, будут последовательно достигать соответствующего эйлерова
предела. Как только напряжение в какой-либо пластине достигнет эйлерова
предела, эта пластина в дальнейшем изгибе эквивалентного бруса не будет
принимать на себя осевого усилия сверх установившегося при эйлеровом
напряжении и будет работать при этом напряжении1.
Таким образом, в случае, когда пластина не имеет начальной погиби
и не несет поперечной нагрузки, а в смежных жестких связях действуют сжи-
мающие напряжения, по абсолютной величине меньшие эйлеровых, эта
пластина работает как жесткая связь и ср=1.
Когда сжимающие напряжения в жестких связях превысят по абсолют-
ной величине эйлеровы, пластина потеряет устойчивость и напряжения
в ней, сколько бы ни увеличивалось сжатие, будут равны—аэ.
Редукционный коэффициент ее будет2
?=-£• <432)
Редукционный коэффициент пластины, не имеющей начальной поги-
би и не несущей поперечной нагрузки, находится в пределах:
О < <?< 1.
В таком именно виде впервые было введено проф. И. Г. Бубновым редуциро-
вание связей эквивалентного бруса.
Поясним сказанное примерами.
Если вж = 1000 кг/см* (растяжение), то у= 1, так как растянутые пластины
не редуцируются.
Если эйлерово напряжение пластины аэ = 500 кг]см\ а напряжения сжатия
в жестких связях ~ж ——400 кг 1см2, то, поскольку | аж | < аэ, редукционный коэф-
фициент с=1, т. е. пластина будет работать полным сечением.
Наконец, если аж =— 1000 кг]смг (сжатие), то, поскольку |сж|>а_„
500
? = ~о^== 1000 = 0-°-
Рассмотренный случай в действительности усложняется наличием попе-
речной нагрузки и начальной погиби пластины.
Поперечная погибь, т. е. кривизна в плоскости, перпендикулярной
действующим осевым усилиям, повышает значение эйлерова напряжения
в пластине и потому оказывает всегда благоприятное влияние с точки зре-
ния участия пластин судового корпуса в общем изгибе его. Пластины, имею-
щие сильную поперечную кривизну, например, закругленная часть скуло-
вого пояса наружной обшивки, включаются в эквивалентный брус полностью.
1 В действительности пластина будет в некоторой степени работать и за эйле-
ровым пределом, но пока можно ограничиться указанным упрощенным представле-
нием.
1 Здесь а3, как это обычно принято, введено без знака, т. е. условно приня-
то, что
> 0, а аж < 0.
462
Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [Гл. XV
Продольная погибь и поперечная нагрузка оказывают существенное
влияние на работу пластин при общем изгибе только при поперечной систе-
с
и не учитываются при продольной системе набора
Проанализируем влияние каждого из этих факторов для пластин
а
< 1.
Случай 2-й. Пластина, не имеющая начальной погиби, несет некото-
рую поперечную нагрузку (р =/= 0; h = 0).
Под действием поперечной нагрузки плоская пластина прогибается
и стремится сблизить свои опоры, чему препятствуют смежные с нею жест-
кие связи эквивалентного бруса (кильсоны, карлингсы и т. п.); при этом
в пластине возникают растягивающие (положительные) напряжения, а в жест-
ких связях — сжимающие (отрицательные).
Цепные напряжения в пластине оказываются алгебраически несколько
больше напряжений в распорах — жестких связях.
В растянутой зоне эквивалентного бруса растянутая поперечной нагруз-
кой пластина сжимает жесткие связи-распоры (в данном случае работающие
в составе эквивалентного бруса на растяжение), вследствие чего напряжения
в них (растягивающие) от общего изгиба будут соответственно уменьшены.
Напряжение в пластине оказывается больше напряжения в смежной жест-
кой связи, вследствие чего ф, согласно формуле (431), больше единицы;,
при этом чем меньше в смежных жестких связях, тем больше ср.
В сжатой зоне эквивалентного бруса сжатие растягиваемой пластиной
смежных с нею жестких связей ведет к увеличению напряжений сжатия
в них.
В зависимости от величины сжатия от общего изгиба и величины попе-
речной нагрузки на пластину в ней или будут действовать цепные напряже-
ния растяжения (преобладающую роль играют цепные напряжения, вызван-
ные поперечной нагрузкой) или цепные напряжения сжатия (при неболь-
шой поперечной нагрузке). В первом случае редукционный коэффициент
будет отрицательным, во втором — положительным и меньше единицьь
Таким образом, в рассматриваемом случае поперечная нагрузка плас-
тин создает благоприятные условия для работы растянутой зоны эквива-
лентного бруса и ухудшает условия работы его сжатой зоны.
Вследствие равенства нагрузки в соседних пролетах пластины судового
корпуса, несущие поперечную нагрузку, при их изгибе следует считать
защемленными. Однако эти пластины теряют устойчивость как свободно
опертые (при ац=—), если считать сопротивление набора скручиванию
небольшим1.
Случай 3-й. Пластина не несет поперечной нагрузки, но имеет
начальную продольную погибь (р = 0, h =/= 0).
Начальная продольная погибь уменьшает способность пластины сопро-
тивляться осевым нагрузкам вследствие того, что растяжение или сжатие
таких пластин сопровождается изгибом.
1 Следует отметить, что в последние годы исследованиями проф. А. И. Мас-
лова и доц. Г. О. Таубина было установлено большое влияние сопротивления кру-
чению опорного контура пластин на их устойчивость.
Так, по данным Г. О. Таубина вследствие влияния жесткости кручения про-
дольных ребер эйлерово напряжение пластин может увеличиться на 40—50%. Ис-
следование этого вопроса еще нельзя считать законченным.
§ 62] Работа пластин корпуса при общем изгибе судна 463
Можно дать следующее упрощенное объяснение этого явления. В растя-
нутой зоне эквивалентного бруса пластина, имеющая погибь, первоначально
работает на выпрямление, как изогнутый стержень. В сжатой зоне такая
пластина работает на изгиб, аналогично стержню с начальной кривизной
под действием осевых сил. Очевидно, что деформация под действием осевых
сил в том и в другом случае будет больше, чем в случае плоской, не имеющей
погиби пластины, а следовательно, пластина, имеющая начальную погибь, бу-
дет в составе эквивалентного бруса работать хуже, чем пластина без началь-
ной погиби. Наличие начальной погиби всегда уменьшает значение редук-
ционного коэффициента и притом тем больше, чем больше стрелка этой
погиби.
Случай 4-й. Пластина несет поперечную нагрузку и имеет началь-
ную погибь (р =r= О', h 0).
Здесь соответствующим образом накладываются условия рассмотренных
выше 2-го и 3-го случаев. Наличие начальной погиби со стрелкой прогиба
в сторону действия нагрузки ослабляет положительное влияние поперечной
нагрузки в растянутой зоне и отрицательное влияние ее при малых цепных
напряжениях (пока цепные напряжения в пластине положительны) в сжатой
зоне эквивалентного бруса. При больших сжимающих напряжениях совмест-
ное действие поперечной нагрузки и начальной погиби ведет к худшей
работе пластины, чем действие только одного из этих факторов.
Определение редукционных коэффициентов
Как известно, зц для пластин поперечной системы набора
а<^Ь) может быть наедено из уравнения
через зависимость
°ч= Р(*—!)оэ- <434)
В этом уравнении: •
а — длина стороны пластины, вдоль которой действуют напряжения
от общего изгиба судна;
6 — длина стороны пластины, перпендикулярной к направлению этих
напряжений (т. е. расстояние между смежными продольными
балками);
й —стрелка начальной погиби;
[ — стрелка прогиба от поперечной нагрузки жестко заделанной по
четырем кромкам пластины при отсутствии погиби и цепных
напряжений;
t — толщина пластины;
зж—напряжение в жестких связях;
=ч — цепное напряжение в пластине;
з, — эйлерово напряжение пластины, свободно опертой по четырем
кромкам;
р — отношение эйлерова напряжения рассматриваемой жестко заде-
ланной по кромкам пластины к оэ.
464
Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [Гл. Х\
Величина стрелки начальной погиби может быть оценена формулой,
предложенной В. В. Давыдовым и Н. В. Маттес (см. стр. 390).
В 1956 г. Речной Регистр СССР выпустил «Временные нормы на до-
пустимые местные построечные деформации сварных корпусов судов»,
регламентирующие начальную погибь.
Стрелка погиби от поперечной нагрузки вычисляется по формуле
(«ЭД
k находится по табл. ИЗ.
эйлерово напряжение пла-
Таблица 113
Значения коэффициента k
формулы (435)
ь а К _Ь_ а к
1.0 0,0138 1.7 0,0260
1.1 0,0165 1.8 0.0267
1.2 0,0191 1.9 0,0272
1.3 0,0210 2.0 0,0276
1,4 0,0227 3,0 0,0279
1,5 0,0241 4,0 0.0282
I 6 0,0251 3.0 0,0284
При поперечной системе набора (а < Ь)
стины, свободно опертой на контуре, равно
/ 100М2 / а2 \2
°, = 200 ( — / 1 _р_ “ ) . (436)
\ a j \ Ь2)
Если пластина свободно оперта на контуре, в формулах (433) и (434)
следует принять р = 1* и, если пластина жестко заделана на контуре,
= = 4,00 — 2,81 + 1,34 . (437)
b b~
Пластины, нагруженные поперечной нагрузкой, следует считать защем-
ленными. Свободные от поперечной нагрузки пластины считаются защем-
ленными, если начальная погибь косинусоидальна, и свободными, если
она синусоидальна. Поскольку характер погиби обычно неизвестен, счи-
тается, что при отсутствии поперечной нагрузки погибь имеет синусои-
дальный характер, т. е. пластины считаются свободно опертыми.
Все пластины теряют устойчивость как свободно опертые. Поэтому,
если получится меньше, чем—1, то его следует положить равным — 1.
Таким образом, всегда должно быть соблюдено услозие:
-ч->—I.
При решении кубического уравнения (433) удобно пользоваться но-
мограммой, составленной проф. В. В. Давыдовым (см. стр. 78).
Редукционные коэффициенты определяются путем последовательных
приближений, для чего необходимо решить у равнение (433) несколько
При этом / = 0.
§ 62] Работа пластин корпуса при общем изгибе судна 465
раз. В связи с этим иногда строят график (рис. 155) зависимости <зц =
= /(алк)> пользуясь уравнением
(438)
эквивалентном кубическому уравнению (433).
Для построения графика нужно подставить в правую часть этой за-
висимости несколько значений и вычислить соответствующие зж. На-
личие такого графика позволяет быстро находить ац для различных зна-
чений ~ж. Этот способ почти не увеличивает вычислительной работы
(поскольку вычислить ряд ъж по проще, чем решать уравнения) и
имеет то преимущество, что зависимость от аж представляется весьма
наглядной.
В своем фундаментальном труде1 * * проф. П. Ф. Папкович для даль-
нейшего усовершенствования описанного способа определения ф вводит
зависимость -^ = / | 4 ] Для всех возможных случаев сочетания началь-
ной погиби и поперечной нагрузки. Для нахождения редукционного коэф-
фициента П. Ф. Папкович приводит в своем труде графики.
При продольной системе набора, ког а а^>Ь,
800
100/V
~~b~ /
(439)
Влияние начальной погиби и поперечной нагрузки в этом случае
благоприятно, а так как учет этих влияний затруднителен, то ими при-
нято пренебрегать (погрешность — в безопасную сторону).
При этих допущениях:
если
если
Описанная простая схема расчета предполагает знание величин всей
совокупности установившихся в "конструкции напряжений в жестких
связях сж и цепных напряжений в пластинах оч.
Величина этих напряжений, однако, является целью расчета, опре-
деляется в его конце и потому не может быть известна в начале этого
расчета. Напряжения зж и взаимно связаны: зж зависит от того, как
воздействует пластина на распоры — жесткие связи, и от того, какая доля
усилий от общего изгиба судна воспринимается пластиной; в свою очередь
напряжения в пластине ац зависят от того, какие напряжения имеют
место в жестких связях, так как эти напряжения аж являются осевыми
силами при изгибе пластины и, следовательно, влияют на значение ве-
личины =ч. Поэтому напряжения и вычисляются путем последова-
тельных приближений.
В практике проектных организаций очень часто принимают редукцион-
ный коэффициент равным нулю в тех случаях, когда он получается отрица-
1 Папкович П. Ф., Строительная механика корабля, Судпромгиз, 1941. ч. II
стр. 125—135.
* Больше и меньше — в алгебраическом смысле.
' Учебный справочник
466
Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [Гл. XV
тельным. и равным единице, если он больше единицы, поскольку это не
особенно сильно отражается на результатах расчета, т. е. считают, что
0<?< 1.
При высоких напряжениях сжатия в пластинах от общего изгиба, что
может иметь место большей частью в случае продольной системы набора
и в случае постановки продольных ребер при поперечной системе набора,
иногда возникает опасение потери усто йчивости поперечными балками пере-
крытия, поддерживающего пластину.
Вообще говоря, в связи с этим должен быть поставлен вопрос об устой-
чивости .перекрытия (см. § 42) между двумя смежными поперечными и
продольными переборками (или бортами).
Практически обычно достаточно обеспечить устойчивость конструкции
для панели пластины, ограниченной заведомо устойчивыми жесткими про-
дольными и поперечными балками (кильсоны, карлингсы, рамные шпанго-
уты и рамные бимсы), рассматривая ее как пластину с упругими ребрами,
которыми являются холостые шпангоуты, легкие бимсы или продольные
ребра жесткости.
Для оценки устойчивости пластины, подкрепленной упругими ребрами,
определяют эйлерово напряжение ее, считая ребра упругими. Если оно
скажется по абсолютной величине меньше, чем эйлерово напряжение одной
лишь пластины между ее ребрами, то вводят пластину с ребрами в состав
эквивалентного бруса с редукционным коэффициентом, равным отношению
эйлерова напряжения в пластине с ребрами к напряжению в смежных
жестких связях.
В существующих конструкциях редукционный коэффициент для плас-
тины с упругими ребрами получается меньше, чем для одной пластины
между этими ребрами, обычно в случае прерывающихся на поперечных
связях продольных ребер. Однако рекомендуется и в других случаях про-
изводить необходимый проверочный расчет.
В практике конструирования нередко ограничиваются проверкой
устойчивости пластин в предположении, что ребра жесткие, и продольных
ребер жесткости в предположении, что они опираются на несмещающиеся
поперечные связи. У конструкций с соотношениями, близкими к принятым
в правилах Речного Регистра, балки набора большей частью достаточно
устойчивы.
Элементы эквивалентного бруса во втором и последующих
приближениях
Расчет начинается с выделения из состава эквивалентного бруса гибких
связей (рис. 156). К гибким связям обычно относят все пластины
эквивалентного бруса, за исключением их частей, прилегающих к продоль-
ным балкам, бортам, продольным переборкам, палубам и днищу (ширина
этих частей равна 0.25 от меньшего размера контура пластины с каждой
стороны соответствующей связи), и пластин, имеющих большую поперечную
кривизну (например, скуловой лист в пределах закругления скулы и т.п).
Вследствие самораспора цепные напряжения распределяются по ширине
пластины неравномерно. Они равны напряжениям в жестких связях на
продольных кромках пластины, прилегающих к жестким связям, и в наи-
большей мере отличаются от напряжений в жестких связях в средней
части пластины. Чтобы упростить вычисление суммарного усилия, развивае-
мого цепными напряжениями, пластину условно разбивают на две части:
одну относят к жестким связям (указанные выше 0,25 меньшего размера
конту ра), напряжения в другей определяют без учета самораспора.
§ 62] Работа пластин корпуса при общем изгибе судна 467
Исследования пластины, работающей после потери устойчивости,
показали, что 0,22 ширины пластины (меньшей стороны) следует относить
к жестким связям. Этот результат распространяют и на другие случаи ра-
боты пластины, принимая в расчетах, как указано выше, ширину жесткой
части пластин не 0,22, а округленно, 0,25 их меньшей стороны.
В тех случаях, когда приходится рассматривать пластину сжатой зоны
эквивалентного бруса как пластину, подкрепленную упругими ребрами,
в состав гибких (редуцируемых) связей включаются и упругие продольные
Рис. 156. Схема редуцируемых и нередуцируемых участков эквивалентно-
го бруса (а — шпацня)
ребра пластин, причем части пластины, прилегающие к этим ребрам, уже
не могут считаться жесткими из условий самораспора и редуцируются при
введении в состав эквивалентного бруса.
В первом приближении вычисляют момент сопротивления эквивалент-
ного бруса по обычной схеме и принимают редукционные коэффициенты
равными единице* 1.
Вычисляя напряжения, соответствующие общему изгибающему моменту,
увеличенному в п раз (п — коэффициент запаса, см. ниже главу XIX),
по формуле
Л-1
I Z'
где z — расстояние рассматриваемой связи от нейтральной оси,
находят значения напряжений в жестких связях в первом прибли-
жении.
1 Для речных судов, набранных но поперечной системе, редукционные коэффи-
1 гейты пластин иногда принимают в первом приближении равными нулю.
30Y®
468
Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [Гл. XV
По напряжениям в жестких связях из уравнения (433) или (438) могут
быть определены редукционные коэффициенты пластин1. Расчет во второ i
приближении делается путем вычисления соответствующих поправок к ре-
зультатам расчета в первом приближении. Эти поправки вычисляются по
схеме табл. 114. В приведенной схеме указано содержание отдельных опера-
ций, ее составляющих. В дальнейших приближениях, начиная с третьего,
графы 1, 4 и 6остаются без изменения. В случае, если в первом приближении
был принят редукционный коэффициент, отличный от единицы, в графе 3
единица должна быть заменена принятым в первом приближении редукцион-
ным коэффициентом.
Суммы граф 5, 7, 8 и 9 дают поправки AFlt Д5Х и Д/х, позволяющие
перейти от первого приближения (площадь — Fx, статический момент — <Slt
момент инерции относительно основной линии — /х) ко второму прибли-
жению (площадь— F2, момент инерции относительно нейтральной оси —/°)
по следующим формулам:
F, = F± - ДЛ; 1°2 = /х - Д/х — .
Расстояния нейтральной оси от основной линии zx и от верхней точки
эквивалентного бруса z2 определяются формулами:
_ SX-ASX
F
r 2
z2 = Н — zx.
Таблица 114
Поправка на редуцирование во втором приближении
№ плас- тин Редук- ционный коэффи- циент 7 1 — = 1П-12] Пло- щадь, подлежа- щая ре- дуциро- ванию, /к. см* * Потеря площади (1-=)/к 131-14}, см* Отстоя- ние ц.т. редуци- руемой площади от основ- ной г, м Потеря статиче- ского момента [5]-[6], см*м Потеря момента инерции [7][6], см*м* Потеря собствен- ного момента инер- Ц и *, см*м*
1 2 3 4 5 6 7 8 ’э
Переход от второго к последующим приближениям аналогичен пере-
ходу от первого приближения ко второму. Поправки по табл. 114 всегда
делаются к первому приближению.
1 При вычислении редукционных коэффициентов в соответствующих формулах
вводится полная ширина Ь пластин (расстояние между смежными продольными
балками), редуцируется же лишь часть пластины шириной b—при поперечной
системе набора и шириной Ь — А = А при продольной.
* Потеря собственного момента инерции практически очень мала и эта графа
обычно может быть опущена.
§ 63}Определение напряжений при общем изгибе 469
Процесс последовательных приближений повторяется до тех пор, пока
два последовательных приближения не дадут результатов, отличающихся
ве более чем на 5—10%.
Недостатком описанного выше способа учета гибких пластин в составе
эквивалентного бруса является некоторая сложность определения редук-
ционных коэффициентов по этому способу [многократное решение уравнения
(432)]. Ценность метода снижается также отсутствием данных о величине
начальной погиби пластин, влияние которой на результат расчета очень
велико.
Нормирование начальной погиби в технических условиях на постройку
судна вносит необходимую ясность в расчет прочности пластин.
§ 63. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ОБЩЕМ ИЗГИБЕ
Нормальные напряжения
Вследствие большей ширины поясков эквивалентного бруса нормаль-
ные напряжения в них распределены по ширине неравномерно.
Исследование проф. П. Ф. Папковича показало, что эта неравномер-
ность незначительна. В связи с этим нормальные напряжения от общего
изгиба - определяются по обычной формуле
о = у z, (440)
где:
Af—общий изгибающий судно момент;
/ — момент инерции эквивалентного бруса;
z—расстояние связи от нейтральной оси в последнем приближе-
нии.
Нормальные напряжения от общего изгиба должны быть определены
дтя ряда поперечных сечений судна для того, чтобы найти их максимальные
значения. Поэтому, помимо определения этих напряжений на миделе,
надо рассмотреть сечения, ослабленные люковыми вырезами в зоне наи-
больших значений общих изгибающих моментов (невыгодное сочетание
значений изгибающего момента и момента сопротивления).
Касательные напряжения
Касательные напряжения от общего изгиба вычисляются по формуле
(см. стр. 145).
= VS
И
Эта формула предполагает, что в равноудаленных от нейтральной
оси точках бортов и продольных переборок в данном поперечном сечении
касательные напряжения равны. В действительности это не так, но, как
показал П. Ф. Папкович, имеющая место погрешность мала.
При вычислении касательных напряжений в обшивке бортов и продоль-
ных переборен t обозначает суммарную их толщину.
Эпюра касательных напряжений показана на рис. 157. В обшивке бор-
тов и переборок напряжения изменяются по закону параболы, в обшивке
днища и палубных настилах — по прямой.
Эпюра имеет уступы в местах изменения толщины листов и в местах
470
Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [Гл. XV
присоединения палуб и бортовых стрингеров к бортам и продольных пере-
борок. карлингсов и кильсонов к настилам палуб и обшивке днища.
При изменении толщины листов (рис. 158, а и 6) касательные напряже-
ния -изменяются обратно пропорционально толщине по формуле
Рис. 157. Эпюра касательных напря-
жений
В тавровых соединениях листов
(рис. 158, в) уравнение равновесия, из
которого определяется необходимое
касательное напряжение, имеет вид:
тз = ~4 ^4 + Т6
Учитывая, что эпюра касатель-
ных напряжений в настилах палуб
(рис. 158, г) и обшивке днища огра-
ничена прямой, для перехода от на-
пряжения в одном из их сечений т6
к напряжению в другом1 т7, можно
пользоваться выражением
(441)
VS6_7
Hc—i
---статический момент площади пояска эквивалентного бруса
между сечениями 6 и 7;
f,__--толщина на протяжении участка 6 — 7.
В диаметральной плоскости у судов, не имеющих здесь продольной
переборки касательные напряжения равны нулю. В этом случае при по-
1 При vc.- «пи, что между этими сечениями эпюра напряжений не имеет
уступов
§ 64]
Упругая линия при общем изгибе судна
471
строении эпюры удобно идти от диаметральной плоскости, применяя выра-
жение (441).
Касательные напряжения от общего изгиба определяются по табл. 115.
Таблица 115
№ уча- стков Наименование и размеры связей Редуци- рованная площадь, сл<г Расстояние ц. т. пло- щади от ней- тральней ОСИ, CJM (3)-(4), см3 Статиче- ские моменты, см3 Толщина связи, см Каса- тельные напряже- нии, кг/см2
1 СО сч 4 5 6 7 8
1
Операции вычислений понятны из названий граф.
Необходимо добавить, что границы отдельных участков (графа 1) про-
водятся во всех местах, где на эпюре напряжений ожидается появление
уступа.
§ 64. УПРУГАЯ ЛИНИЯ ПРИ ОБЩЕМ ИЗГИБЕ СУДНА
Нахождение упругой линии при общем изгибе судна представляет
интерес:
а) при назначении величины строительной погиби корпуса судна;
б) при прокладке линии гребного вала на стапеле;
в) при установке специальных приборов (приборы для определения
изгибающих м -ментов в плавучих доках и т. п.).
Кроме того, определение упругой линии позволяет ввести поправку
в значение общего изгибающего момента, учитывающую перераспределе-
ние сил поддержания по дтине судна, вследствие его деформации при общем
изгибе (см. § 59).
Деформация общего изгиба корпуса судна повышает сопротивление
судна движению и в некоторой степени снижает проходимость через пере-
каты.
Для нахождения ординат упругой линии корпуса судна при наличии
эпюры изгибающих моментов служит выражение
Постоянные интегрирования D и С определяются из граничных ус-
ловий:
х = 0; w = 0; D = 0;
472
Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [Гл. XV
х = L; ш = 0*; С= —
Таким образом,
о о
(442)
о о
о о
или, переходя от интегралов к суммам и обозначая через i — номер шпан-
гоута, а подстрочным индексом i — то, что данная величина берется для
i-го штангоута, получим
» = 01=0
1 = 20 i
1 v v М-
20--------
4 = 0 Х = 0
AL2.
(443)
Ордината упругой линии от сдвига определяется по выражению
1 Г V
г?1 = D — Сх — I -Р- dx,
U } г
о
которое аналогичным образом приводится к виду;
L х
х С V 1 с V
G JTdx' <444>
о о
где F — площадь сечения обшивки бортов и продольных переборок.
Вычисление стрелок прогиба от изгиба производится по схеме табл. 116,
в которой непосредственно указан порядок операций.
Стедчет обратить внимание на то, что при положительном значении
общего изгибающего момента Л4 (перегиб) стрелы прогиба имеют отрица-
тельное значение (вверх) и, наоборот, при отрицательном значении общего
изгибающего м мента стрелы прогиба имеют положительное значение (вниз).
Ординаты упругой линии достаточно брать через две теоретические шпа-
ции (графа 1 табл. 116).
Закон изменения момента инерции поперечного сечения корпуса судна
по его длине (графа 3 табл. 116) может быть получен путем вычисления зна-
чений моментов инерции дтя трех-четырех сечений (для каждой половины
длины счдна).
В случаях, не требующих большой точности, пользуются формулами:
или
11 8х / X \1
+ т)]’ <446>
где:
Iz — момент инерции поперечного сечения корпуса судна на рас-
стоянии х от носового или кормового перпендикуляра;
I(, —момент инерции поперечного сечения корпуса судна на миделе.
В предположении, что носовой и кормовой перпендикуляры неподвижны
§ 64] Упругая линия при общем изгибе судна
473
Таблица 116
Схема вычисления стрел прогиба от изгиба
№ к чс ппй / Изгибаю- щий момент М ж тм Момент инерции It, м' м, 7. 12] [31’ т/м* Интеграль- ные суммы [4] i Mt Ло~ 7,- ’ т'м* Интеграль- ные суммы [51 V v A1i i=o i to 7» т/м3 'И/ ? 02"? ’ м 5- Е о 1о - <N 1 сп II Прогибы 1 Д£2 № = ^[7]. м
, — л л ’W ! 1 1°
1 о 3 4 5 6 7 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0 0 0 0 0
Величина стрелы прогиба от сдвига ич составляет обычно не более 10%
стрелы прогиба от изгиба w, а потому вычисляется лишь в редких, особых
случаях (например при тарировании приборов, позволяющих по прогибу
плавучего дока определить действующий изгибающий момент и т. п.).
Максимальная стрела прогиба корпуса судна может быть приближенно
определена по формуле акад Ю. А. Шиманского:
11,4Е/^С
(447)
1 При определении нужно учесть, что шпация н соответствии с графой 1
берется равной 2Д£ (где SL—обычная теоретическая шпация, равная и что
дал перехода от интегральвых сумм к действительным значениям надо после каж-
дого суммирования результат уменьшать вдвое. Таким образом,
(2AL)' [7]
2-2
Е •
что и лает
(Д/)’
----— [7].
Е
474 Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [ Г л. XV
§ 65. ПРИМЕР РАСЧЕТА ПРОЧНОСТИ КОРПУСА СУДНА (РЕЧНОЙ СУХО-
ГРУЗНОЙ БАРЖИ ГРУЗОПОДЪЕМНОСТЬЮ 2 000 т)
Главные размерения и характеристики баржи (рис. 159)
Длина........................................ L = 85,2 м
Ширина ...................................... В = 14,5 м
Высота борта................. ............... Н — 3,7 м
Средняя осадка в полном грузу .... Тгр = 2,2 м
Водоизмещение в полном грузу................. D = 2340 т
Абсцисса центра величины (при осадке 2,2 м без хц. 8 = — 1,18 м
дифферента) (т. е. в корму от
миделя)
Площадь ватерлинии................................ S=1130jh2
Продольный метацентрический радиус........... R = 250 м
Абсцисса ц. т. конструктивной ватерлинии .... хВ1 — — 1,46 м
Рис. 15Э. Схема эквивалентного бруса для половины сечения (в кружках
показаны номера, с которыми связи вводятся в таблицы)
Корпус баржи изготовлен из стали с пределом текучести 2 400 кг/см2, сварной,
с поперечной системой набора (шпация 600 мм).
В соответствии с возможностями завода, на котором предполагается постройка
проектируемого судна, величина начальной погиби пластин во всех случаях (неза-
висимо от их толщины) принята равной 6 нм.
Удифферентовка судна и определение срезывающих сил и изгибающих
моментов на тихой воде
Распределение весов задано эпюрой веса (рис. 160). Абсцисса ц. т. судна:
— 1,00 м.
В первом приближении осадки носом и кормой по формулам (387):
= тср - [£ - о = 2 20 + / + \ -1,00 + 1.18 = 2 23
ТК=ТС.— хч-г-хц* =2.20 —f§5^2— 1 46j= 1,00+1,18 =2 17
2 / /? \ 2 /250
По этим осадкам проводим ватерлинию первого приближения и по графику
площадей шпангоутов (рис. 161) замеряем погруженные площади шпангоутов и
записываем их н графу 3 табл. А.
Из табл. А имеем:
водоизмещение в первом приближении
Г” =А1 in = 4,26 • 559,5 = 2 380 м2;
§ 65]
Пример расчета прочности корпуса судна
475
Уднффер< iitoiikii судил и определение греты ин пиццх сил и и ицбипицих моментов ни ihxoii иоде
— и ‘Xxdaea 101 ] нфейл нлклэ
и 48] — [6] аииепш ЕН EMcCdlEH О
IU ‘огиивпш ЕЕ ЕЗЗЧ ЕСНЭ -
ш ‘1'1 а 1 1 V OI lllltl IIIII ini nun ИЖ(| nr Voll Blfll.l □c
(ir'OBdEUOn [c] HZetLi ниялэ
О —-----—— — С^С^СЧСЧС^СЧС'ЗСОеОСОСО
сзооооооооооо
+ -6++т++-++++
2 о 11риближ« ши* «)* I'Jl'Ir.l UOlll ЛИНИИ ш|(Ц Н1?ф с т- х х х г- с" г " « с « е: ч. с t' г~ о к - о XXOXI-. xcocilsx-xjc. । । м77777 О О СП । 7
,w 'ши •X<> шиши nViniioirii ll'IIIII.OK -Xd ion 0 9,3 23,4 2!), 7 31,3 31.4 31,5 31,5 31,(> 31,6 31,6 31,6 31,6 31,5 31,4 31,4 31,2 30,9 29,0 17,9 0 LQ 1О СП О СП ю ю
?=-’= ЦЕ О ГС — ГО -О СО 040 об х с х с м е с s с а (М с а см и г- ~г< । । mm । С4О СЧ О О 7 7
1101 py женныс площади! iniiaiit оу- топ, 3 0 9,1 22,') 21),!) .31,4 31,8 32,2 32,2 32,2 32,2 32,2 32,2 32,2 32,2 32,2 32,2 32,2 31,5 29,7 19,1 0 559,5 0 559,5
ьаги 1чдо1явф сч oooct^-^ic^rccoj—• о — е^со^шссь-осс^о +4-44-4-4-++++ 1 1 1 1 1 1 1 1 |7 Суммы . . Поправка Исправ- ленные суммы .
sox.voj -НЕПШ ХИЯЭ -аьихадоэх о — -е г: -г n х о - счсО'т}'т<ог--сосг>о
476
Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [Гл. XV
абсцисса центра величины
х' = XL -1 = 4,26 • — 6? = — 1,24 м.
ц- * L3 559,5
Таким образом,
I H Хц.т=г:Хц. в,
причем:
I — V = 2 340 — 2 380 = — 40 > 0,004 V;
хА.я—х'ч t = — 1,0— (— 1,24) = 0,24 > 0,ООН.
Кривая сил беса
Рис. 160. Эпюра срезывающих сил и изгибающих моментов для судна
на тихой воде и на волнении
Согласно указаниям стр. 421 о допускаемом расхождении результатов после-
довательных приближений при удифферентовке следует перейти ко второму при-
ближению.
Осадки во втором приближении находим по выражениям (387а):
I — V
250
— 1,00+ 1,24
= 2,24 м:
2 340 — 2 380
= 2,23+ 1130
§ 65]
Пример расчета прочности корпуса судна
477
Рис. 161
478 Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе
[Гл. XV
- . V — V (L \ха т—х' 2 340 — 2 380
7< = ^^-^-(-2+^ Л?" =2’17 + —Г130—~
,85,2 \ — 1,00+1,24
— ( 2 — 1.46)---250----= 2'10 м-
Из табл. А имеем:
В - - вмещение во втором приближении
F* = AL у5 = 4.26 - 549,5 = 2 340 м3;
абсцисса центра величины
х’ц • = ДЛ? = 4,26 ^| = -1.00 м.
Так как V = V' и х1..т = х[( е, то судно считаем удифферентованным и пере-
ходим к о_7еде’енио срезывающих сил и изгибающих моментов на тихой воде
\табл. А).
Момент иа тихой воде оказался равным
DL
Л1 = jpg = — 1 190 тм.
На рис. 160 построены эпюры срезывающих сил и изгибающих моментов для
судга иа тихой воде.
Удифферентовка судна и определение срезывающих сил и изгибающих
моментов на подошве волны
В первом приближении судно ставится на волну таким образом, что ось волны
располагается параллельно грузовой ватерлинии на некотором расстоянии Дг от
нее (стр. 435):
[-г] Г 3,14 • 0,5
0,64(1— а) + — =_ 0,5 0,64 (1,000 — 0,935) + 20 - = — 0,06 м,
где:
I = 0,935 — коэффициент полноты грузовой ватерлинии:
h 1,0
• = = ~2~ = 0,5 м — половина высоты волны;
> = 29 м — длина волны.
Знак минус показывает, что волну следует поднять (судно погружается). Учи-
тывая, что ординаты трохоиды считаются положительными вниз от оси волны,
полученную поправку Az следует алгебраически сложить с ординатами трохоиды
irpsia 3 и 4 табл. Б), которые приведены в табл. 106 на стр. 433. Ординаты волны
наносим на диаграмму площадей шпангоутов и снимаем дополнительные площади
шпангоутов. Площадям, дополнительно вошедшим в воду, приписывается знак минус,
вышедшим из воды — знак плюс, т. е. тот же знак, который имеют соответствую-
щие ч -ела грары 4. Полученные площади записываем в графу 5 таб.1. Б.
По условиям равновесия должны быть равны нулю суммы и табл. Б или,
с учетом неизбежных погрешностей, эти суммы не должны составлять более 5%
величины максимального слагаемого.
Так как н первом приближении и превосходят допустимые для них зна-
чения, переходим ко второму приближению, меняя положение судна относительно
др >иля волны некоторым изменением осадки и поворотом на угол дифферента.
Средняя осадка изменится на (см. стр. 438):
Г 1,00 (— 1,46) 4,26 • 15,30 13,31 „
Д;.1 — I DR ~ $1Д£=[ 2340-250 —1130] 4,26 — ~
Ордината во’ны изменяется и от дифферента (см. стр. 438):
7 (АТ)* 1,00 <4,26)3
--з = DR - ,0) = 2 340 • 250 ‘ 15130 (l - 10) = °’002 (/ ~ 10)1
Как видно из табл. Б, по второму приближению ^, = + 0,26 м2, что состав-
ляет 3,9% максимального слагаемого; _10 =—0,7 м2, что составляет 1,2% макси-
мального слагаемого. Отсюда следует, что для удифферентовки судна можно огра-
ничиться вторым приближением.
§ 65] Пример расчета прочности корпуса судна 479
О
с
»* *[911—[ZT]
екклэ BBHsrBtljai
-нн веннэгавдпэн
rCCNLCOl^OCOLONCOCOLOl^OtNCO
CM — " ONK V — Х'Ч’СМГОСПЮЬ-ЮГО
О — CM Ю X CM Ю b- С* СП С* GO CD СО СП CD со —> о
тгсо —1СОСОГ-- — ^OOWWC
о о —< — — С'ючсососе-чг^юыоюоспспг-ь-
' rrte,b 1=
uxasdnon
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
U1 ‘ВГНЭ вЕйавяиеабэ веннэгяеОпэи 5 XONNXC ХХсОЮХХ-СООХСМООХ Z D* — СП Г- Ь- СО — C'Tj’OCMCMCDOiH — о о го^оссг-ь-оюсм см-’^ог-г'-г-ютг — 1 1 1 1 111111+++++++++
|£ll-Lllll вкклэ BEHqredjaj. -ни вгннэгнейиэн О X СМ Ь- Ю 1.0 — — Г^-СМСОСМСМО’Х’тГХСПГ- С V Ю СМ СО СП СЧ^сОСЧОО С. 1-С^ Ю СС СО (С1 о е —‘СЧСССОГОСССЧ—’ СМ СМ со СО со см — 1 1 1 1 1 11111+++++++++
• OZ >Z[ | j OO—'——CMCMCMCMcOcOcOcOxj'Tt'TFXbtOiDiD)
Г 1 — о о о о о о о о о о о о о о с? о о о о о о
EHOBduOU | I I I I ! I I I I I I I I I I I I I I I
IpDIWIIIIh* )у Ж II ШИ V i pa л i> на я сумма i рафы 111 1. л> CM CO - COXXO^CSCON ~xr-^cd— CX-r-’HOCM-’ — CD CO ОЮ CD О b-' IMCCMZCXXM’rXOLOX —T*h-CM —•СМСОСОтГ-’С’-'ГТГСОСМСМ — 1 1 1 1 1 1 111111111 1 1 1 1 +
— — II If JI lilHIH умма рафы 1, № D X — !D X X D D Ю D О Ю Ю X CO CO СЧ X CM Ю — X Ю — г. О СПь':' N Ю О 04 n о — см го co го то см — CM CM co CO CO CM 1 1 1 1 r 1 1 1 1 i I III11 1 • L i 1 1 1
(.1 || ,1 И(| I II 11 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 i 1 1 1 i 1 I 1 1 г
= I’T *161-[Z1 ~ L-2 ' GJ rr X Ю X n CD — о b- CD Tf Tf Tf о z: — ’е-госэш^о^игоьпосмь-см’^'О'^оо XT T7 CO — — —« — CM’X’CD 1 1 I 1 L 1 1 1 1 1 _L 1 1 L_ O* s 1
• П I Г I 1 1 I ГП
TW ‘HOIXOJ -нвпш иЕвтпоги ОО^ОХОЮОХЬ-ССЮССМООО<-ОЬ- СЮХЬ-0 0;-ХХ-ЮОСС1ХХС4ЮО О ’X* Ю тг CM — — — OOQ'tiDOO 1 1 1 1 1 1 1 ! J__l_ 1 1 _l L_ Illi CD CM e o >1
— №n4WlMHn)UUL’ 1 | 1 1 l i1 r 1 1 Г 1 1 1 1 1 “Г
и- ‘иа j io RHL-Ов FUEHHtdo X 0,63 0,60 -0,50 0, Mi 0,20 0,01 -0,10 1-0,22 r0,32 J-0,37 -0,39 HO, 37 HO, 32 r0,24 HO,12 -0,02 -0,18 -0,34 -0,46 -0,56 -0,59
1 “I I Г l П 1 1 Г I 1 1 1
яг ‘~z v виявдпон b- 0,02 0,02 -0,02 0,01 (),0| -0,01 -0,01 0,01 -1 ,00 0,00 0 0,00 -0,00 HO,oi r0,01 HO,01 HO,01 -0,01 HO, 02 HO, 02 HO, 02
г- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
«•r l91 [z] ~ bil l 5‘9 - 0 l‘<) H 6‘Il + 8‘ 11 + z‘z + HI -I 6 8 । I ‘ZZ 1 1 ‘90- 1 o‘9i; 0 : x — ю о о o cd -ceocDCHb-CMTj-c: - — см T in I 1 l^+++ LQ * — ZM CO CO М3 T—4 xl 4-
jW *SOXAOJ -нвиш игетпогп lO 0 4,00 4,51 3,00 1 ,40 0,22 1,80 1-3,95 5.60 6,08 6,68 -6,16 5,75 H4.60 1-2,27 1,30 -1,50 -3,85 -5,25 -6,07 0
-Г 1 -Г 1 T 4 -Т- 1 1
г *• *L'8J •«> HHL-O0 HlEHHCdo 4 1 0,56 0,53 0,43 0, 10 -0,14 1 0,02 -0,16 0,28 0,37 1-0,42 1 0,41 1-0,42 1-0,37 (-0,28 1-0,16 0,02 -0,14 -0,30 -0,43 -0,53 -0,56
Неходкие дни | 1 -Г 1 I • 1 1 1 1 1 1 1
ЯГ ‘ИЗО ЭЭ IO HtH -oxodl RIEHHtdO co -0,50 0,47 0,37 0,24 0,08 0,08 0,22 0,31 r0,43 0,48 HO, 50 HO, 48 HO,43 HO, 34 -0,22 HO, 08 -0,08 П ОЛ -0,37 -0,47 —0,50
1 I 1 T 1 T 1 II 1 1
вага Hdoi4B4> CM С Г XN Z LC r- X tM — О — CMC 1 1 И ХЮ CD X 1 1 1 - co an о 1 M
SOlAOJEEUm - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 2 2 >.
4 NJ Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [Гл. XV
После этого переходим к интегрированию нагрузки и к определению допол-
нительных срезывающих сил и изгибающих моментов.
Получив из табл. Б величины дополнительных срезывающих сил и изгибающих
моментов, введем в них поправки, учитывающие косую постановку. Для этого зна-
чения дополнительных срезывающих сил и изгибающих моментов (графы 15 и 18
табл. Б) и одел им на коэффициент С, величина которого берется из графика для
схдна на подошве волны (с.м. рис. 147) в зависимости от отношений:
L У.
У. н В •
В нашем случае будем иметь:
L 85,2 У. 20
У = 20 = 4’26; В ~ 14,5 - 1,38
и по графику С = 2,08.
Результаты соответственно вносятся в графы 4 и 5 табл. В. Далее произведем
суммирование добавочных срезывающих сил и изгибающих моментов с соответствую-
щими величинами для судиа на тихой воде (в графах 6—7 табл. В).
Таблица В
Определение суммарных значений срезывающих сил и изгибающих моментов
при положении судна на подошве волны
Лё теоре- Срезыва- Изгиба- Дополнительные значе- Суммарные значения на подошве волны
НИЯ на подошве волны
тнческих шпан- гоутов ющие силы на тихой воде, т мент на гнхой воде, тм срезываю- щая сила, т изгибающий момент, тм срезыва- ющие силы 121 + 14], т изгибающие моменты [3] +[5], тм
1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 0 0 0
1 — 12,5 — 27 - 4,7 — 11 -17,2 — 38
2 —34,9 — 128 -15,2 - 54 -50,1 — 182
3 — 51,8 — 312 -25,8 — 142 -77,6 — 454
4 —48,0 — 525 -33.5 —270 -81,5 — 795
5 —45,8 — 725 -37,4 —420 -83,2 —1145
6 -33.2 — 895 -37,3 —575 -70,5 — 1470
—25.7 -1020 -32,9 —730 -58,6 —1750
8 — 19,3 —1120 -24,7 —850 -44,0 — 1970
9 —10,3 —1180 -14.1 —935 -24,4 —2115
10 - 3.0 — 1190 - 2,2 —970 - - 0,8 —2160
11 — 12.9 — 1160 - 9,8 —950 -1 1-22,7 —2110
12 — 19,2 — 1090 1-20,6 —895 - -39,8 — 1985
13 —25,5 — 1000 -1 -29.9 . —780 - -55,4 —1780
14 15 —34,6 л-47 9 — 870 — 695 - Г 36,7 [-38,3 —640 —480 -1 4 -71,3 -86,2 —1510 —1175
16 —48.6 — 490 1-36,2 —320 -*-84,8 — 810
17 —54.3 — 270 г29,4- —178 +83,7 — 448
18 4-29.9 — 93 -19,4 — 73 +49,3 — 166
19 20 IMO — 15 ° + 6,9 0 — 16 0 + 14,3 0 — 31 0
Максимальный дополнительный
изгибающий момент
оказался равным
Л1„ = — 970 т.н,
а суммарный
М =— 2 160 тм.
Эпюры срезывающих сил и изгибающих моментов для судна на волне приве-
дены на рис. 160.
§ 65]
Пример расчета прочности корпуса судна
481
Определение нормальных напряжений от общего изгиба в первом
приближении
В состав эквивалентного бруса включаем все непрерывные связи корпуса,
а именно: настил палубы, палубный стрингер, ширстрек, обшивку борта, скуловой
лист, обшивку днища, обшивку продольной переборки, карлингсы, нижний непре-
рывный угольник привального бруса, бортовые стрингеры и кильсоны (см. рис. 159).
Разрезные1 продольные ребра жесткости, установленные по настилу палубы,
в состав эквивалентного бруса не включаются, однако увеличение работоспособ-
ности подкрепляемой ими обшивки будет учтено ниже.
Палуба в пределах ширины люковых вырезов в состав эквивалентного бруса
ие засчитывается, так как расчетное сечение выбрано по углу грузового люка; по
этой же причине в состав эквивалентного бруса не введен продольный комингс
люка.
Определение момента внерции эквивалентного бруса в первом приближении
произведено и табл. Г.
Таблица Г
Расчет эквивалентного бруса в первом приближении
(для половины сечения)
№ и в и н й Наименование связей Размеры, мм Площадь /, см2 Отстояние от ос = нови ой г, м Статический мо- мент /г, смгм Переносный мо- мент инерции /г2, смгмг Собственный мо- мент инерции,
1 2 3 4 5 6 7 8
1 Палубный стрингер 875x6 52,5 3,73 196 730 —
2_ Лист палубы 1280 x5 64,0 3,85 246 948 —
3 Лист палубы 1630x5 81,5 4,00 326 1304 —.
4 Лист палубы 721x6 43,2 4,01 173 694 —
5 Угольник привального бруса . . 75x 50 x6 7,2 3,55 25 90 —
6 Ширстрек . 1442 x6 86,5 2,99 259 776 15
Лист борта ... 1442x5 72,1 1,54 111 171 13
ь Скуловой лист 1442 x6 86,5 0,30 26 8 5
9 10 Лвст днища . Килевой лист ...... 5768) 5 1442 288,4 43,2 0,004 0,003 1 — —
2 хЬ
11 Лист продольной переборки . . 4 4000X 80,0 2,00 161 323 106
12 Стенка карлингса 200X5 10,0 3,76 38 141 —
13 Полоса карлингса 100X8 8,0 3,65 29 167 —
14 Стенка карлингса 200x5 10.0 3,86 39 149 —
15 Полоса карлингса 100x8 8,0 3,75 30 113 -—
16 Лист бортового стрингера . . . 250X5 12,5 2,47 31 76 —
17 Полоса бортового стрингера 100x8 8,0 2,47 20 49 —
18 Лист бортового стрингера . . . 250x5 12,5 1.24 16 19 -—
19 Полоса бортового стрингера . . 100x8 8,0 1,24 10 12 —
20 Стенка кильсона 2х(300х5) 30.0 0,16 5 1 •—
21 Полоса кильсона ... 2х(100х8) 16,0 0,31 5 2 —
Суммы 1028 1,70* * 1746 5851
А В с
1 Срезанные по концам под углом 45°.
* Отстояние с ) нейтральной оси от основной
В 1 746
z0 — 4 _ 1 028— 1,70 м.
31 Учеб сгравочняк
4rr2 Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [Гл. XV
Момент . нерпин сечения
/ = 2(С — с0 В) = 2 (5851 — 1,70 1 746) = 5750 с.и2 м‘.
Момент сопротивления сечения дли днища
7 5 750
IFi = - = ру- = 3380 см2м.
Моме=- сопротивления сечения для палубы
5 750 5 750
U? = 4,01 — 70 ~ 3,21 = 2 490 см~ м-
Норма явные напряжения от общего изгиба в первом приближении при поло-
жении судна в полном грузу иа подошве волны равны:
в днище (растяжение)
.11 2 160
=— 338Q = 0,64 т/см2 = 640 кг/см 2 :
.. палубе (сжатие)
И _ 160
=— о 4QQ = — 0.865 т/см- . — 865 кг, см2 *.
Определение нормальных напряжений от общего изгиба во втором
приближении
К категории жестких (нередуцируемых) связен относим: угольник привального
бруса, карлингсы, бортовые стрингеры, кильсоны, а также пояски обшивки, при-
легающие к жестким связям (в том числе и к разрезным продольным ребрам жесткости
талу бы). Ширину этих жестких поясков примем равной 0,5 (с обеих сторон связи)
наименьшего размера пластины в плане.
Все пластины, входящие в состав эквивалентного бруса, разобьем на трн
группы; пластины палубы, пластины борта и днища и пластины продольной- пере-
борки (см. рис. 159).
Пластины палубы (Л« 1а, 16, 1в, 1г, 2а, 26, 2в, 2г) ограничиваются по
дд е бимсами, а по ширине—разрезными продольными ребрами жесткости и карлинг-
сами (а для пластин 2а и 2г также продольной переборкой и бортом). Так как ребра
жесткости установлены таким образом, что ширина b пластин меньше их длины а,
а
т. е. -£-> 1, то система набора — продольная и пластины редуцируются по эйлеро-
вым на пряжен яям.
Пластииы борта и днища (№ 3, 4, 5, 6, 7 и 8) ограничиваются по длине
шпангоутами, а по ширине—кильсонами, а также бортами и продольной перебор-
кой. Пластину № 3 по ширине ограничивают бортовой стрингер и угольник при-
вальвого бруса. Эти пластины редуцируются по ценным напряжениям. При реду-
цировании этих п астин учитываются: напряжения от общего изгиба, соотношение
сторон опорного контура, начальная погибь и поперечная нагрузка.
П.'астииы № 3 и 4 при расчете рассматриваются как свободно опертые, так как
а урозие центра этих пластин поперечная нагрузка (давление воды) отсутствует.
' Пластины № 5, 6, 7 и 8, как находящиеся ниже уровня воды, считаются
жестко заделанными.
Высота уровня залииа воды /г1 в рассматриваемом миделевом сечении судна
зри положении судна на подошве волны может быть принята равной средней осадке
судна (Tq, = 2,20 ж) минус половина высоты расчетной волны (г = 0,5 м), т. е.
Л, = Тср — г = 2.20 — 0,50 = 1,70 м.
Таким образом, интенсивность поперечной нагрузки для днищевых пластин
' 5, 6, 7 и 8 равна
р = 0,17 кг/см2.
ж Очень часто рас ет напряжений ведется по моменту
Л1р = пЛ1,
где п — принятым запас прочности.
В этом случае напряжения, полученные в результате расчета, должны
сравниваться с опасными иапряжеинями.
§ 65] Пример расчета прочности корпуса судна 483
Пластина продольной переборки ограничена по длине шпангоутами,,
а по ширине (высоте) — палубой и днищем. Эта пластина находится под действием-
в верхней части — сжатия, в нижней — растяжения, причем напряжения меняются*
по высоте пластины по линейному закону.
Для разыскания цепных напряжений (а следовательно, и редукционных коэф-
фициентов) разделим всю переборку, за исключением жестких поясков высотой по'
150 мм, прилегающих к палубе и днищу, на пять частей (9а, 96, 9в, 9г, 9д) длиной,
равной шпацин (а = 60 см), и будем полагать их гнущимися по цилиндрической
поверхности. При этом редукционные коэффициенты будем определять для каждой
из этих пластин в отдельности.
Для всех редуцируемых пластин, если они состоят из нескольких листов’раз-
ной толщины, в качестве расчетной толщины будем принимать их среднюю толщину.
Редукционные коэффициенты пластин будем определять, считая, что величина-
напряжений сж от общего изгиба, приложенных к пластине, увеличена в соот-
ветствии с коэффициентом запаса прочности, равным п = 1,25.
Величины напряжений и первом приближении на уровне центров пластин ск
приведены в табл. Д.
Таблица Л
Напряжения первого приближения (^ж)
Пластины Напряжения, кг/см2 Пластины Напряжения, кг/см2
1а —865 6 + 640
16 —860 7 +640
1в и 1г —855 8 + 640
2а и 26 —795 9а +445
2в —770 96 + 20
2г —755 9в — ПО
3 —490 9г —380
4 -55 9д —670
5 -f-340
В расчете приняты обозначения:
t — толщина пластины;
Ь — ширина пластины;
— длина пластины (для всех пластин а = 60 см):
р—-интенсивность поперечной нагрузки;
/ — стрелка прогиба от поперечной нагрузки;
Л — начальная погибь, равная 0,6 см;
ь — коэффициент.
Определение редукционных коэффициентов
пластин палубы
Величину ред\кпионного коэффициента определяем по формуле
где <~3—эйлерово -стряжение, равное
'ж = "=ж = 1.25
484
Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [Гл. XV
Рже. 162. Расчетная схема пластины
•V? 1а.
Площадь, подлежащая редуцированию,
0,6-29,5= 17,7 см* 1 (см. строку первую
табл. И на стр. 490).
Пластина № 1а (рис. 162).
t - 0,6 см;
b = 59 см;
zJK = —865 кг[смг;
~’ж = — 1,25 • 865 = — 1080 кг/см1;
(100 0,6>!
ст, = 800 -----gg—= 830 кг/см*;
830
-------П 77
1 080 -
Для остальных пластин палубы ана-
логично получим:
Пластины
16
1в и 1г
2а и 26
2в
2г
0,58
0,55
0,80
0,92
0,95
Определение редукционных коэффициентов пластин
бЪрта и дниша
Пластина № 3 (рис. 163).
а = 60 см; р = 0: f = 0;
b = 20 см; Л = 0,6 см;
t = 0,6 см; р = 1;
сх = — 1.25 • 490 = — 612 KZjCM*;
.loot » , О
=, = »[—) [1--H
Кубическое уравнение
2.73
100-0,6 V /, , 60»? ,
'т" 100* I — кг/см .
60
(f + *)!
2.73
Подставляем значения:
2.73
JC* + < < * ,*
И1 120»)
0.6
lo,6l 1 312
2,73
/ 60» V /0,6V '
1 (1 + 120»I 10,6J
иля
X*-Г 2,71 V = 1,75.
Находя : х = 0,715, и тогда
Z = (X — 1)с. = — 0,285 - 312 = — 89 кг/смг-
§65]
Пример расчета прочности корпуса судна
485
Редукционный коэффициент пластины будет
— 89
= — —_612 — 0,1°-
Аналогично для пластины борта As 4 находим:
у =0,16.
Пластина № 5 (рис. 164).
а = 60 см ; h = 0,6 см;
b = 100 см; сж ~ +1>25 • 340 = + 425 кг/см*;
t = i>,55 см; ь 100
~ — "со = 1,0/.
р = 0,09 кг, смг; а 60
По табл. 113 (стр. 464) k = 0,0257.
V z’
• ** Пластина Н*3
(борт)
e'^SfZ кг/см г
Рис. 163. Расчетная схема пластины As 3.
Площадь, подлежащая редуцированию, 0,6 - 90,0 = 54,0 смг (см. стро-
ку девятую табл. И иа стр. 490)
.100-0.55 *
= 200|——)
По выражению (435) имеем:
ра* _ 0,09 • 60«
f = k = 0,0257 - g, |Qf . q == 0,09 см,
( 60* у
(1 + Т20«) = ЗЮ кг/см*;
60 60!
L-4,00 — 2,81 - уоо+ 1,34joq! = 2,79.
Кубическое уравнение
2,73 /0,6 ! 1 425
. 0,6» V 10,55 / — 279 ’ 310 — *
[2,79(1--^) / J
2,73 (0,09 + 0,60)!
= / 60* V 0,55* ’
2-79(^w)
х3 — 0,86 xs = 0,83; х=1,33;
;а = р (х — 1) ;, = 2,79 (1,33 — 1) 310 = 285 кг/сл.*;
Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [Гл. XV
'? = S=0’67-
Аяодагично д.~ • пластин № 6 и 7 получим:
а = 60 см;
b = 230 см;
t - 0,53 см;
р = 0,17 кг/см2;
h = 0,6 см;
вж = — 1,25 - 640 = 800 кг/см';
=ч = 523 кг/см2;
Ь 230
а ~ 60 “ 3,8:
= = 0,65.
nnacmunafJ'5
(днище)
б'- *425 кг(смг
\ t м И И 11
- +V25 кг/см2
•-------------- Ъ~-1000
Рис. 164. Расчетная схема пластины №5.
Площадь, подлежащая редуцированию, 0,55 - 70,0 = 38,5 см2 (см.
строку одиннадцатую табл. И на стр. 490)
Для пластины № 8.
а = 60 см;
6 = 280 см;
t = 0,5 см;
р = 0,17 ке/слг;
h = 0,6 см;
= 800 кг/см2;
-ц = 526 кг(см2;
г = 0,66.
§ 65] Пример расчета прочности корпуса судна 487
Определение редукционных коэффициентов пластин
продольной переборки
Аналогично предыдущему получим:
№ пластин -ж. кгсм1 zx кг!см* кг/см2
9а 445 555 114 0,20
96 200 250 20 0,08
9в — НО — 138 — 9 0,06
9г —380 —475 —22 0,05
9д —670 —840 —32 0,04
Определение напряжений
Таблица Е
Поправки на редуцирование во втором приближении для судна на подошве волны
Сечение по миделю
№ ластин Редукци- онный коэффи- циент ~ 1—= Пло- щадь, подлежа- щая ре- дуциро- ванию, f, см1 Потеря площади 7(1-=). см1 Отстоя- ние ц. т. площади от ос- новной z, м Потеря статиче- ского мо- мента 7(1-?)г. СМ2М Потеря перенос- ного момента инерции 7(1-?)**. СМ2М2 Потеря собствен- ного мо- мента инерции, смгм2
1а 0,77 6.23 17,7 4,1 4,01 16,4 66 —
16 0,58 0 42 15,3 6,5 4,00 25,9 104 —
1в 0,55 0,45 14,6 6.6 3,99 26,5 106 —
1г 0,55 6 45 14,6 6,6 3,98 26,4 105 —
2а 0,80 0,20 12,5 2,4 3,82 9,4 36 —
26 0,80 0,20 12.5 2,4 3,80 - 9,3 35 —
2в 0,92 0,08 15,3 1.3 3,76 4,8 18 —
2г 0,95 0,05 18,0 0,9 3,71 3,5 13 —
3 0.15 О.в5 54,0 46,1 3,01 139 418 3
4 0.16 0,84 45,0 37,8 1,85 70 130 9
5 0.67 0,33 38.5 12,7 0.80 11,2 9 1
6 0.65 0,35 106,0 36,8 — — — —-
- 0,66 0.34 125,0 42,7 — — — —
8 0,65 0,35 106,0 36,8 — —
9а 0.20 0,80 14,8 11,7 0.52 6,1 3 —
96 0.08 0.92 14.8 13.6 1.26 17,2 22 1
9в 0.06 0,94 14.8 13,7 2,00 27,7 55 1
9г 0.05 0,95 14,8 14,1 2,74 38,5 106 1
9J 0,04 0,96 14,8 14,2 3,48 49,5 172 —
Суммы 311 А, 481 Bi 1406 Ci
Элементы эквивалентного бруса и напряжения во втором приближении при
ведены в табл. Ж-
4-SS Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [Гл. XV
Таблица Ж
Определение элементов эквивалентного бруса и напряжений во втором и третьем
приближениях
Суммы (из табл. Г) А 1028 В 1746 С 5851
Поправки (из табл. Е и И) ^1 311* 325 вг 481 561 Ci 1406 1717
Исправленные величины Л.=Л-ЛХ 717 703 to о 11 to to м 1265 1185 С0=С-С1 4445 4134
* Здесь и ниже в аналогичных случаях цифры рому приближению, а под чертой — к третьему. над чертой относятся ко вто-
Наименование величин Формула Подстановка Вели- чина Размер- ность
Площадь сечеиия эквива- лентного бруса Е0 = 2Л0 2-717 2-703 1434 1406 СМг
Отстояиве вентральной оси от основной II i. to а а 1265/717 1185/703 1,77 1,69 м
н г— Отстояние нейтральной оси от палубы z, = Н — zx 4,01-1,77 4,01 — 1,69 2,24 2,32 м
= » V Момент инерции сечения - / В01 /о-2(со-—) ьэ | ьэ / 12652 \ (4445- 7П ) 1I852 \ <4134 703 ) 4400 4260 смгмг
•7* Момент сопротивления днища 4400/1,77 4260/1,69 2510 2520 смгм
Момент сопротивления палубы и7г= — 4400/2,24 4260/2,32 1985 1840 смгм
Изгибающий момент м — —2160 тм
WHIUDKI В днище Л1 C1 = U7, 2160 2510 ' 10 2160 2520 ’ 10 +860 +860 кг/смг
я В палубе Ст1==^ 103 2160 1985 ' 10 2160 " 1840 ‘ 10 —1090 —1175 кг/см1
Расх х^ение напряжений первого и второго приближений:
1090—860 „„ „
В палубе .... ..............................ggg---• 100 =27,2%;
860—640
В днище . ...........................рил--- 100 = 34,4%.
Так как расхождение между напряжением во втором и первом приближениях
больше допускаемой величины (5—10%), переходим к третьему приближению.
§ 65]
Пример расчета прочности корпуса судна
489
Определение нормальных напряжений от общего изгиба в третьем
приближении
' Для определения редукционных коэффициентов в третьем приближении нахо-
дим напряжения от общего изгиба, действующие в центре каждой из пластин, при-
чем величину этого напряжения берем, пользуясь результатами предыдущего (вто-
рого) приближения. Величины этих напряжений, а также результаты основных
этапов определения редукционных коэффициентов в третьем приближении приведе-
ны в табл. 3. Редуцирование в третьем приближении полностью аналогично реду-
цированию во втором приближении. В качестве примера приводится лишь редуци-
рование пластины № 3.
~ж = — 1,25 • 600 = — 750 кг[см3\
сэ = 312 кг/см1.
Кубическое уравнение
2,73 /0,6 » 1 750
, . 60^'» (О.б/ 1 312 ~
" 1 'г 120»У
х3 4- 3,15 х* = 1,75;
X = 0,674;
= 1 (0,674— 1) 312 = — 102 кг/см3;
— 102
— 750 ~°>14-
Редукционные коэффициенты остальных пластин приведены в табл. 3, а вы-
числение поправок приведено в табл. И-
Третье приближение
Таблица 3
пластин =лг. кг см* 1,25 ;ж, кг/см3 z3, Кг1см3 х кг/см2
1а —1085 — 1360 830 —- 0,61
16 -1080 —13") 620 — — 0,46
1в и 1г —1 175 —1340 585 —. — 0,44
2а и 26 - 990 — 1240 800 — — 0,65
2в — 965 —1210 785 — — 0,65
2г — 940 —1175 800 — — 0,68
3 — 600 — 750 312 0,674 —102 0,14
4 — 40 — 50 226 0,963 — 9 0,16
5 4"0 588 310 1,445 386 0,66
6 860 1075 178 2,275 720 0,67
7 860 1075 152 2,372 720 0,67
8 860 10"5 178 2,275 720 0,67
9а 610 760 89 3,820 251 0,33
96 250 312 89 1,420 37 0,12
9в — ПО — 138 89 0,901 — 9 0,06
9г — 470 — 58" 89 0,702 —26 0,05
9д — 835 —1045 89 0,592 —36 0,04
от общего изгиба в третьем приближении приведено
Определение напряжений
в табл. Ж (см. выше).
Расхождение напряжений второго и третьего приближений:
В палубе
1 175 — 1 090
1090
100 = 7,8%
В днище
напряжения второго прибли-
жения ие изменились
490
Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [Гл. XV
Так как расхождение между напряжениями третьего и второго приближений
меньше ускаемой величины (10%), то полученные выше напряжения третьего при-
ближения считаем окончательными, а именно:
В днище
В палубе
= -f- 860 кг)смг (растяжение)
с2 = — 1175 кг)см2 (сжатие)
Таблица И
Попр вки на редуцирование в третьем приближении для судна на подошве волны
Сечение по миделю
* пластин Редукци- онный коэффи- циент - 1—= Пло- щадь, подлежа- щая ре- дуциро- ванию, /, CJK2 Потеря площади Я1-?). см2 Отстоя- ние ц. т. площади от основ- ной г, м Потеря статичес- кого мо- мента /(1-=) Z, СМ2М Потеря перенос- ного момента инерции =(1-?)22, СИ2 И2 Потеря собствен ного момента инерции см2м2
!а 0,61 0,39 17,7 6,9 4,01 27,7 111 —
16 0 45 0,54 15,3 8,3 4,00 33,2 133 —
13 0,44 0,56 14,6 8,2 3,99 32,9 131 —
1г 0 44 0,56 14,6 8,2 3,98 32,8 130 —
2а 0,65 0,35 12,5 4,4 3,82 16,9 65 —
26 0,65 0,35 12,5 4,4 3,80 16,9 64 —
-в 0.65 0,35 15,3 5 4 3,76 20,2 76 —
2г 0,68 0,32 18 0 5.7 3,71 21,3 79 —
3 0,14 0.86 54,0 46,6 3,01 140,5 422 3
4 0,16 0,84 45,0 37,9 1,85 70,1 130 2
5 0,65 0,34 38,5 13,3 0,80 10,6 9 1
6 0.6" 0,33 106,0 34,8 — — — —
0,67 0,33 125,0 41,0 — —
я 0,67 0,33 • 106,0 34,8 — — — —
9а 0,33 0,67 14,8 10,1 0,52 5,2 3 —
96 0.12 0,88 14,8 13,0 1,26 16,4 21 1
9в 0,06 0,94 14,8 13,8 2,00 27,6 55 1
9г 0,05 0,95 14,8 14,2 2,74 38,8 106 1
9д 0,04 0,96 14.8 14,3 3,48 49,8 173 —
Суммы 325 ^1 561 Bi 1717 Ci
Проверка прочности корпуса судна
роверка прочности корпуса произведена сопоставлением действующих нор-
мальных суммарных апряжеиий от общего и местного изгибов с допускаемыми1.
Допускаемые напряжения
1 Еэимеоа проверки прочности корпуса судна определяется суммарное
напряжение в кильсоне, ближайшем к диаметральной переборке, а также в пластине
днища, огргннчегяой кильсонами (пластина № 7).
1 Это д । сих пор широко практикуется в проектных организациях. О проверке
прочности— см. гл. XIX
§ 65]
Пример расчета прочности корпуса судна 491
Величины напряжений в кильсоне, определенных в расчете местной прочности
(который здесь не приводится) при действии давления воды высотой до уровня
волнового профиля при положении судна иа подошве волны, даны в табл. К-
Таблица К
Напряжения от местного изгиба в кильсоне
Наименование связи и район действия напряжений Напряжения при положении судна на подошве волны, кг[смг
На опоре у рамного В присоединенном пояске обшивки днища +575
шпангоута В свободной полосе —660
В пролете между шпан- В присоединенном пояске обшивки днища -355
гоутами В свободной полосе +390
днищевой пластине № 7 действуют два напряжения: 1) цепное ач, равномер-
но распределенное по всему сечению пластины и не меняющееся по длине ее (т. е.
динаковое как иа опоре, так и в пролете); 2) напряжение от изгиба, меняющееся
по высоте пластины по линейному закону и разное для опорных (у шпангоута) и
пролетных (посередине шпации) сечений пластины. Напряжение сц уже было опре-
делено (см. табл. 3) в расчете эквивалентного бруса в третьем приближении
’= ~ = 4,75; = 729 кг/см*
Дальнейший расчет ведем в соответствии с указаниями стр. 391-
Аргумент сложного изгиба
- 3,14 ,-----
2" /5 = ~2~ уГ4,75 = 3,42
По табл. 46 на стр. 253 найдено:
/-! = 0,400; 7.2 = 0,623.
Стрелка начальной строительной погиби пластины принята направленной
в сторону давления воды, т. е. внутрь судна. Тогда нормальные напряжения в пла-
стине определяются по следующим формулам:
центре пластины
иа опоре
Здесь верхний знак у второго члена соответствует внутренней (сухой) поверх-
ности пластины, а нижний знак — наружной (мокрой) поверхности пластины. Из
этих выражений видно, что начальная погибь может уменьшить величину напряже-
ний изгиба в том случае, когда цепные напряжения растягивающие (<тч> 0).
Начальная погибь пластины (Л), уменьшающая величину напряжений нзгнба
пластины, может быть в какой-то шпацин судна равна нулю, и рассчитывать на ее
нала1 не при проверке условий прочности связей корпуса было бы неправильным
ЗА сч
Поэтому в приведенных выше формулах член —-—т— целесообразно учитывать
О+т)'
492 Напряжения в корпусе судна при его общем изгибе [Гл. XV
лишь в тех случаях, когда его влияние неблагоприятно1.
Напряжения в центре пластины посередине шпацни, т. е. в пролете между
флорами, будут
ГО, 17.60 Л
' = -°-400
720 — (247 — 1 190) = 720 = (- 943) =
3 • 0,6 • 720
(’° +¥?j°>5
— 223 кг!см* на сухой (внутренней) поверхности (при отсутствии
начальной погнбн может оказаться равным 967 кг[см*)\
— 1 663 кг) см* на .мокрой (наружной) поверхности.
Напряжения на опоре пластины у шпангоута будут
[0,17/60.» 1
~2~ (6-5) 0,623— 1 190 I = 720 7 (760- 1 190) = 720 I (-430) =
| ~г 1 150 кг!см* на сухой поверхности
= -г 290 кг см* ва мокрой поверхности (при отсутствии
I начальной погнбн может оказаться равным 1 480 кг/'см2).
Полученные выше напряжения в пластине / -а н :опор\ будут суммарными на-
( 2 /
гряжевиями, установившимися в пластине и от общего ее изгиба в составе экви-
валентного бруса судна н местного изгиба давлением воды. Эти напряжения впи-
саны как суммарные в соответствующие строки табл. Л, в которой производится
проверка прочности связей корпуса судна.
Из -аблипы следует, что напряжения, действующие в связях корпуса, нигде
не превосходят допускаемых значений, т. е. что судно достаточно прочно.
Табл. .1 является сводной таблицей при проверке прочности связей мнделе-
вого района корпуса судна.
Таблица Л
Проверка прочности связей миделевого района корпуса судна2.
Судно в полном грузу на подошве волны
1 'll/п W 1 Наименова- ние связей Положение сечення по длине балки (опоры, про- лет) Положение волок- на (внутреннее, наружное) Напряжения, кг) см*
от обще- го изги- ба аж ь о * а = ° ь о S О = u суммар- ные a допус- каемые м отноше- ние Д М
1 Палуба — Наружная кромка -1175 1800 0,65
2 Кильсон, ближайший к диаме- тральной переборке На опоре у шпангоута В присоединенном пояске обшивки В свободной полосе +860 +710 +575 —660 +1435 + 50 2040 2040’ 0,70 0,02
В пролете между шпан- гоутами В присоединенном пояске обшивки В свободной полосе +860 +710 —355 +390 + 505 +1100 1800 1800 0,28 0,61
3 П.астина даища меж- ду кильсо- нами (пла- стина № 7) На опоре у шпангоута Наружная кромка Внутренняя кромка — — + 1480 +И50 —
В пролете между шпан- гоутами Наружная кромка Внутренняя кромка 1 +1663 + 967 2040 2040 0,82 0,47
1 Если бы днище было сжато (поставовка на вершину волны), то начальная
п ги1 ь повышала бы напряжения и ее следовало бы учесть.
» Допускаемые напряжения приняты в соответствии с «Нормами для расчета
прочности корпусов стальных судов внутреннего плавания» (Речной Регистр, 1956)—
СМ. стр.
ГЛАВ А XVI
РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ УСТУПЧАТЫХ СВЯЗЕЙ СУДОВОГО КОРПУСА
В судовом корпусе встречаются связи, поперечное сечение которых
резко меняется. Будем называть такие связи уступчатыми.
Уступчатую связь можно считать состоящей из непрерывной части и
выступа (прямоугольник ABCD на рис. 165,а).
Если бы по линии примыкания AD было возможно свободное скольже-
ние, то при растяжении непрерывной части выступ не испытывал бы никаких
деформаций. Поскольку при жестком соединении обеих частей связи такое
скольжение невозможно, по линии примыкания возникнут сдвигающие
494 Расчет прочности уступчатых связей судового корпуса [Гл. XVI
усилия q, уравнивающие на этой линии деформации обеих частей
(рис. 16о, б и в). Сдвигающие/ усилия вызывали бы изгиб выступа
<рис. 165, г), но он устраняется вследствие возникновения усилий р, нор-
мальных к линии примыкания. За счет усилий р и q происходит посте-
пенное вовлечение выступа в работу всей конструкции.
Самоуравновешенные сдвигающие усилия вызывают в непрерывной
части добавочные нормальные продольные напряжения, растягивающие
конструкцию в одной части и сжимающие в другой. Складываясь в районе
концов выступа с действующими напряжениями растяжения, добавочные
напряжения вызывают резкое увеличение фактически действующих напря-
жений, называемое концентрацией напряжений.
Концентрация напряжений захватывает небольшей объем материала
в при тюстоянне й нагрузке не представляет большей опасности. При знако-
Рис. 166
переменной нагрузке концентрация напряжений может вызвать появление
тэещ-щ, которые при дальнейшем распространении иногда приводят к раз-
рушению всей конструкции.
Примеяяе ый в настоящее время метод расчета прочности судового
корпуса предусматривает при помощи коэффициентов запаса прочности
неизбежное наличие неучшываех ых этим расчетом умеренных концентра-
ций напряжения в уступчатых связях его.
Наличие в конструкции вследствие концентрации напряжений непол-
ноценных и не работающих при восприятии внешних усилий участков мате-
риала учитывается путем ограничения условий включения этих связей
в состав эквивалентного бруса (см. § 61).
Врет ое влияние больших концентраций напряжений в районе
концов выступа в большинстве случаев устраняют при помощи конструк-
тивных мероприятий. В частности, стремятся по возможности уменьшить
концентрацию напряжений соответствующим конструктивным оформле-
нием и подкреплением района концов выступа. С этой целью концы
выступа закругляют по кривой возможно большего радиуса.
В общем случае выступ можно разделить по длине на несколько зон
(рис. 166). На достаточном расстоянии от выступа его влияние практически
ве скажется на напряженном состоянии непрерывной части. В зонах 1
напряжения растяжения будут распредетены равномерно. В зонах II ска-
зывается влияние сдвигающих усилий у, происходит перераспределение
напряжений и их концентрация по мере приближения к точкам А. В зонах
III выступ постепенно включается в работу всей конструкции и, наконец,
в зоне IV он работает практически наравне с непрерывной частью.
В случае короткого выступа зона IV становится небольшой, а может
и вообще отсутствовать; концентрация напряжений и зона ее распростране-
ния в этом случае меньше, чем при длинном выступе.
§ 66]
Расчет растянутых уступчатых связей
495
Примерно такова же картина напряженного состояния и при изгибе
уступчатой связи.
Изучение распределения напряжений в уступчатых связях методами
теории упругости вызывает большие математические затруднения. Акад.
Ю. А. Шиманский 1 создал приближенный метод расчета уступчатых свя-
зей, основанный на некоторых допущениях геометрического и статического
характера. Точность метода не всегда может быть установлена; однако в наи-
более важных случаях она проверена экспериментальными и более точными
теоретическими исследованиями. Ниже приводятся основные зависимости
этого метода.
§ 66. РАСЧЕТ РАСТЯНУТЫХ УСТУПЧАТЫХ СВЯЗЕЙ
Обозначения:
’— 1лощадь поперечного сечения выступа;
F—площадь поперечного сечения непрерывной части;
L 2, — лина выступа;
Р — Усилие, растягивающее (сжимающее) связь;
* Р
*е=£—j — напряжение растяжения (сжатия), вычисленное в пред-
положении полного участия выступа в работе всей конструкции.
Порядок расчета.
1. Вычисляется коэффициент жесткости выступа
---------------- (448)
С
О
Входящий сюда интеграл берется вдоль периметра сечения выступа
от точки, лежащей на линии примыкания (s = 0), до ц. т. сечения (s = sc).
В случае, если выступ состоит из листов постоянной толщины, интеграл
может быть подсчитан по формуле
где:
s, и — ширина и толщина i-ro листа;
wi = s4i — площадь сечения листа.
Первый лист ограничивается линией примыкания, п-й— линией ц. т.
сечения выступа.
1 Шиманский Ю. А., Проектвровавве прерывистых связей судового кор-
пуса, Судиромгвз, 1949.
496 Расчет прочности уступчатых связей судового корпуса [Гл. XVI
Наг.гжмер, для выступа, изображенного на рис. 167, имеем:
/ = S1 G + Sl G + (S3 + s«) G + s5 G'
2. Подсчитывается общий коэффициент
жесткости по формуле
Phc. 167
____Ki_
~ 1 +з₽-
(449)
Величина р учитывает сдвиги в не-
прерывной части и назначается в зави-
симости от ее конструкции в районе линии
примыкания (табл. 117).
3. Определяется аргумент
/ k F 4- f
' Е Ff
(450)
Таблица 117
Эсхнз узла присоединения выступа
к непрерывной части
Значения >
§66]
Расчет растянутых уступчатых связей
497
Продолжение табл. 117
Эскиз узла присоединения выступа
к непрерывной части
Значения р
t'2+
1.2( '3+'J
4. Коэффициент эффективности сечения, показывающий степень участия
тыступа в работе всей конструкции и равный отношению среднего по
сечению напряжения к напряжению с0, находится по формуле
ch а (/ — х)
l~ ch al
(ось ОХ направлена по линии примыкания; начало координат — на одном
из концов выступа).
В с учае неограниченной длины выступа (£ = 21 = оо)
»= 1 — е~а*.
(451)
(451а)
32 Уч* f ТЕ»! СГ72 ы ЯНЕК
498 Расчет прочности уступчатых (вязей судового ко/ нуса [Гл. XVI
5. Усилия сдвига распределяются вдоль линии примыкания по закону
9 = 9о
sh а (I — х)
sh al
(452)
Они достигают наибольшей величины на концах выступа
9о = =о с/ th al.
(453)
В случае неограниченной длины выступа
Ч = Чое~а‘-,
(452а)
9о — со af-
(453а)
6. Определяются добавочные нормальные напряжения на линии при-
мыкания и ее продолжении, вызванные сдвигающими усилиями
z = 0,64 F (al, q).
(454)
Здесь
—максимальное напряжение
сдвига. Значение функции
F (al, Cj) находится по гра-
фикам рис. 168 в зависимости
от параметра al и аргумента
q = ах,
причем абсцисса х точки, в
которой определяется напря-
жение, берется со знаком
плюс, если точка находится в
пределах выступа, и со зна-
ком минус, если она лежит
вне этих пределов.
Формула (454) получена
без учета закруглений при
переходе от непрерывной
части конструкции к выступу.
Поэтому она годится только
для вычисления напряжений
в точках, достаточно удален-
ных от закругления, а в
районе закругления ее ре-
зультаты должны быть от-
корректированы .
На рис. 169 показан характер распределения напряжений з' без учета
(пунктир) и с учетом (сплошная линия) закругления. Максимум добавоч-
ных напряжений находится в начале закругления. Его величина берется
равной величине добавочных напряжений, вычисленных без учета закруг-
ления и увеличенных в 4,5 раза, т. е.
3*а«=2,9 °r.0F(al,-ar).
(455)
Al
Рис. IGI
§ 66]
Расчет растянутых уступчатых связей
499
Если в районе концов выступа есть подкрепления, то при опреде-
лении коэффициента ₽ в формуле (455) по формулам табл. 117 толщины
С,, /з и С берутся с их учетом.
7. Суммарные нормальные напряжения:
на продолжении линии примыкания (вне пределов выступа)
(456)
на линии примыкания
(457)
Характер распределе-
ния суммарных напряже-
ний по длине линии при-
мыкания* показан на рис.
170.
8. Коэффициент кон-
центрации напряжений:
при отсутствии под-
креплений
или
а = 1 — 2,9 |з th а/ F (al, — аг):
hlt-F)
(458а)
при наличии подкреплений
(459)
или
(459а)
где:
-1, — сумма толщин листов непрерывной части в районе линии примы-
кания:
— толщина связи, образующей подкрепление.
9. По сечению выступа нормальные напряжения распределяются по
юказательному закону
ги
а — с±е f,
(460)
где:
ш — часть площади сечения выступа, заключенная между линией при-
мыкания и точкой, в которой определяется напряжение;
а — коэффициент, определяемый по табл. 118 в зависимости от отно-
шения напряжений а0 и и коэффициента эффективности х.
324'®
500 Расчет прочности уступчатых связей судового корпуса [Гл. XVI
Таблица 118 10. По сечению выступа
-1 30 у -1 2 касательные напряжения рас- пределяются линейно
1,00 0,00 0,55 1,30 О / „ о) \ t = T ’ <461>
0,95 0,10 0,50 1 60
0.90 0,85 0,20 0,30 0,45 0,40 1,90 2,20 где t — толщина выступа в
0,80 О',42 0,30 3,20 рассматриваемой точке.
0.75 0,56 0,20 5,00 При сокращенном расче-
-0.70 0.72 0,10 10,0 те достаточно знать величи-
0,65 0 60 0,90 1 10 0,00 ОО ну коэффициента эффектив-
ности х различных сечений
выступа для суждения об их
участии в работе всей конструкции и величину коэффициента концентрации
напряжений а. Для решения первой задачи нужно выполнить действия,
указанные в пунктах 1—4 настоящего параграфа. Коэффициент концен-
трации можно найти, минуя промежуточные выкладки, по формулам
(458а) и (459а).
При пользовании формулой (459а) следует помнить, что коэффициент р
в ней определяется с учетом подкреплений.
§ 67. РАСЧЕТ ИЗОГНУТЫХ УСТУПЧАТЫХ СВЯЗЕЙ
Обозначения:
— изгибающий момент, действующий в рассматриваемом сече-
нии уступчатой связи;
4rj0 — величина этого момента в сечении, совпадающем с тем кон-
цом выступа, на котором находится начало координат;
ЗВд—величина момента на другом конце выступа;
5, S„ SL—соответствующие значения срезывающей силы;
И—изгибающий момент, действующий в непрерывной части;
т — изгибающий момент, действующий в выступе;
elt es — отстояние ц. т. площади поперечного сечения непрерывной
части и выстх па соответственно от линии примыкания (рис. 171);
I — момент инерции площади поперечного сечения непрерывной
части относительно ее центральной оси;
i — то же для выступа;
/,— то же для всей уступчатой связи (выступ и непрерывная
часть рассматриваются вместе);
с0— нормальное напряжение на уровне ц. т. площади попереч-
ного сечения выступа, вычисленное в предположении пол-
ного участия выступа в работе всей конструкции.
Две последние величины связаны с остальными очевидными зависи-
мостями:
Ff
Л> = ‘ “Г р т е2)2'.
ЗД (е± + е2) F
СТ° 4 -rfF'
Порядок расчета.
1. По формулам (448), (448а) и (449) определяется коэффициент
жесткости k.
5 67]
Расчет изогнутых уступчатых связей
501
2. Вычисляется аргумент
| Е Ff / -Н
3. Коэффициент эффективности сечений выступа находится по выра-
жению
1 ( . Г, sha(L— х)1 -shax , 1
= — А 1-----------' — В . . 4- ай — даД , (463)
да | [ sh aL J sh aL ' '
где:
1 _ gp I ^0
™ aAQ । Cl~L
R an '
D = ®L -------T -
a2L
(464)
4. Усилия сдвига распределяются вдоль линии примыкания по закону
azof AchalL— х) — В ch ах , S]
<7 = —- ----------------------• И
да [ shaL a]
Наибольших значений эти усилия достигают на концах выступа:
__ ас0 f 1A ch aL — В
~ ЗЯ [ sh aL
„ a-of ГЛ — В ch aL , SL I
ЖТ---------v|- <46'>
5. Добавочные напряжения з', вызы-
ваемые сдвигающими усилиями, опреде-
ляются так же, как и в случае растяже-
ния (см, п. 6 предыдущего параграфа).
Для нахождения величины т0 в формулах
<454) и (455) надо использовать одну из
формул (466) или (467) в зависимости от
того, к какому из концов выступа рас-
сматриваемое сечение ближе. Для равно-
даленного сечения (х =/) можно принять
___<7р — <7ь
‘° 24'
Рис. 171
6. Определяют изгибающие моменты, действующие в выступе и не-
прерывной части конструкции:
т = [да — ха0 / (в1 4- е2)] ——-
л Д" У-t
.и = [да — хз0 f (б1 4- е2)]
(468)
7. Нормальные напряжения в волокнах непрерывной части, доста-
точно удаленных от линии примыкания, могут быть найдены по формуле
I 1 F ’
(469)
где г± — отстояние рассматриваемого волокна от нейтральной оси непре-
рывной части.
502 Расчет прочности уступчатых связей судового корпуса [Гл. XVI
Нормальные напряжения на линии примыкания
= + (470)
на ее продолжении (вне пределов выступа)
9» , .
o£ = -j-e1-ra .
8. К эффициент концентрации напряжений:
при отсутствии подкреплений в районе концов выступа
_ । _ омакс I _
~~___Ж 61 ’
при наличии подкреплений
___ -- , С* макс I
1 - tn — ~ ‘
Обозначения — см. п. Ь предыдущего параграфа.
9. Распределение нормальных напряжений по сечению выступа ха-
рактеризуется формулой
а = =1е‘”Т_^(е2 —z2), (474)
где:
z- — отстояние рассматриваемого волокна по вертикали от линии при-
мыкания;
=! — условное напряжение, определяемое равенством
(471)
(472)
(473)
Остальные обозначения — см. п. 9 предыдущего параграфа.
10. Распределение касательных напряжений — см. формулу (461).
§ 68. РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ПАЛУБНЫХ НАДСТРОЕК
Одаим из наиболее важных приложений метода акад. Ю. А. Шиманского
является расчет прочности надстроек. Все судно при этом рассматривается
как уступчатая связь, надстройка —- как выступ, а корпус — как непрерыв-
ная часть этой связи.
Без всяких дополнений и изменений метод может применяться для рас-
чета только одноярусных надстроек. При распространении его на расчет
двухъярусных надстроек возникает ряд трудностей, вследствие чего этот
метод здесь не излагается. В случае, когда площадь поперечного сечения
второго яруса надстройки значительно меньше площади поперечного сече-
ния первого яруса, второй ярус следует исключить из рассмотрения и рас-
считывать надстройку как одноярусную.
Результаты расчета достаточно достоверны только в том случае, когда
при действующих напряжениях редукционные коэффициенты связей над-
стройки близки к единице. При малых толщинах листов это требование
можно удовлетворить только при продольной системе набора; при этом устой-
чивость всех связей должна быть обеспечена. При поперечной системе набо-
ра надстройки расчет дает завышенные значения коэффициента эффектив-
§ 69] Расчет прочности связей с вырезами 503
ности х и коэффициента концентрации напряжений а. Следовательно, для
связей надстройки ошибка будет в сторону запаса прочности, а для связей
корпуса — в опасную сторону. Поэтому при поперечной системе набора
надстройки прочность связей корпуса следует проверить, целиком выбро-
сив надстройку из эквивалентного бруса.
Выше отмечалось, что на линии примыкания возникают нормальные
усилия р. В надстройках они могут возникнуть только в том случае, если
стенки надстройки находятся в одной плоскости с бортами или продоль-
ными переборками корпуса. В противном случае роль распределенных уси-
лий р играют сосредоточенные реакции поперечных переборок корпуса,
обеспечивающие совместный изгиб корпуса и надстройки. Реакции значи-
тельной величины могут возникнуть только в том случае, когда надстройка
опирается на три или более переборки. Если же она опирается на две или
одну переборку или не опирается на них совсем, то надстройка гнется
в сторону, обратную изгибу корпуса. Вдавливаясь в палубу, она вызывает
реакции бимсов. При обычной жесткости бимсов эти реакции невелики.
При изгибе надстройки в сторону, обратную изгибу корпуса, коэффи-
циент эффективности надстройки и коэффициент концентрации напряжений
будут значительно меньше, чем в случае, когда надстройка гнется вместе
с корпусом. Расчет таких надстроек должен быть соответствующим образом
откорректирован.
§ 69. РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ СВЯЗЕЙ С ВЫРЕЗАМИ
Вырезы в связях судового корпуса создают концентрацию напряже-
ний. Ниже приводятся коэффициенты концентрации для вырезов наиболее
часто встречающейся формы и рекомендуемые Ю. А. Шиманским меры сни-
жения концентрации напряжений.
Круглые вырезы
Для случая круглого выреза в равномерно растянутой (сжатой) полосе
шириной 2 b (рис. 172) имеется точное решение.
Рис. 172
В табл. 119 приведены значения коэффициента концентрации напряг
жений в точках, лежащих на кромке выреза:
ои4 Расчет прочности уступчатых связей судового корпуса [Гл. XVI
Таблица 119
X А ь -в 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
о 3,00 3,03 3,14 3,36 3,74 4,32
15 2,73 2,74 2,85 3,03 3,32 3,72
i 2,00 2,01 2,07 2,75 | 2,25 | 2,52
45 1.00 | 1.00 1.00 | 0,98 j 0,91 0,77
60 0,00 । —0,01 —0,06 —0,15 I —0,30 —0,51
”5 —0,73 —0,74 —0,82 1 —0,95 j —1.12 —1,32
90 | —1,00 —1,03 -Ml 1 —1,26 — 1,44 —1,58
а в табл. 2 —в точках, лежащих на линии АВ:
Здесь:
— нормальное напряжение в площадках, нормальных к окружности
выреза;
-г— нормальное напряжение в площадках, перпендикулярных оси ОХ
(рис. 172);
z —напряжение растяжения вдали от выреза.
Таблица 120
R -L \ Ь b X. 1 0.2 0,3 0,4 0,5
0.1 3.03 - —
0,2 1,23 3,14 - -
0,3 1,08 1,57 3,36 - -
0.4 1.04 1,26 | 1,93 3,74 -
0.5 1,03 1.16 1,47 2,30 4,32
0.6 1.02 1.11 1,28 1 1,75 2,75
0,7 1,01 1,07 | 1.17 | 1,48 2,04
0,3 1.01 1,05 1,07 1,28 1,61
0.9 1,00 1,01 1 0,96 | 1,08 1,22
i.o 1 0.99 0,97 0,89 | 0,81 0,73
505
§ 69]
Расчет прочности связей с вырезами
В табл. 121 приведены значения коэффициента /Я п\ широкой полосы ( — = U |. а2 для бесконечно Таблица 121
V и I Концентрация напряже- ний быстро падает по мере А R 4 R а2
удаления от выреза: можно 1,00 3,00 1,50 1,52
считать, что наличие вырезов 1,05 2,68 2,00 1,22
не сказывается на напряжен- 1,10 2,44 2,50 1,12
ном состоянии в точках, уда- 1,15 2,24 3.00 1,08
ленных от оси выреза (оси 1,25 2,ш 1,94 4,00 1,04
ОХ) на расстояние двух или
более радиусов. Поэтому влияние на прочность вырезов диаметром не более
половины ширины полосы нельзя учитывать путем выбрасывания из общей
площади сечения площади сечения выреза. Связи с такими вырезами надо
подкрепить и вести расчет так же, как и при отсутствии вырезов.
Очень малые вырезы диаметром менее 10—15 толщин материала можно
оставлять без подкреплений. При вырезах большего диаметра толщину
связи в рай lie наибольшей концентрации Ю. А. Шиманский рекомендует
довести до величины
4>4tt А
(476)
где:
t — толщина связи вне района _ выреза;
[ □] — допускаемое напряжение;
k — коэффициент, определяемый по^ графике рис. 173.
Если подкрепление осуществляется в виде накладного листа, то тол-
щина этого листа
506 Расчет прочности уступчатых связей, судового корпуса [Гл. XVI
Остальные размеры приведены на рис. 174. Если подкрепление осущест-
вляется в виде полос профильной стали, то площадь поперечного сечения
каждой полосы должна быть
I = ^hR.
4*
При чистом изгибе балки, в стенке которой сделан вырез радиусом R
с центром на нейтральной оси (рис. 175), наибольшая концентрация на-
пряжений возникает в точках А. Напряжение в этих точках можно
приближенно найти по формуле
зх = 2уЯ, (477)
где М — изгибающий
момент, а I — момент инерции площади поперечного
сечения балки.
D
Формула является точной при д = О (Л — высота стенки).
Если диаметр выреза не превышает половины высоты балки, то вы-
рез можно оставлять не подкрепленным.
§ 69]
Расчет прочности связей с вырезами
507
При чистом сдвиге бесконечной пластины с круглым вырезом (рис. 176)
наибольшая концентрация напряжений возникает • в точках А. Макси-
мальные нормальные напряжения в этих точках
а = + 4 т,
где т—напряжение сдвига, действующее в связи.
Толщину связи в районе точек А надо довести до величины
> 2,5 tk ,
где [т] — допускаемое напряжение сдвига.
Это достигается наложением кольца толщиной
t, = — t
3
с радиусами окруж тестей R и R или четырех полос профильной стали,
касающихся окружности выреза в точках А. Площадь сечения каждой
полосы
При вырезах в стенках балок в районе их опор можно воспользо-
ваться вышеуказанными рекомендациями.
Эллиптические вырезы
Точными методами найдено,
в растянутой связи бес-
конечной длины и шири- _______
ны наибольшая концен- ——
трация напряжений будет -—
в точках Д (рис. 177), нор- -—
мальное напряжение в ко- ег ——
торых ---
= + <478> ГТ
где а и Ь — полуоси эл-
липса.
что в случае эллиптического выреза
Рис. 177
Толщину связи в районе точек А следует довести до величины
‘*=-Н‘+4)*й- (479)
Подкрепление произ-
водится на тех же основа-
ниях, как и для круглых
вырезов.
При чистом изгибе
(рис. 178) напряжение в
точке А
в«=Т6(1 <480)
где: а —полуось эллипса,
совпадающая с ней-
тральной осью;
b — другая полуось.
508 Расчет прочности уступчатых связей судового корпуса [Гл. XVI
Размеры эллипса, при которых кромки выреза не требуют подкреп-
лений, определяются'неравенством
(481}
Прямоугольные вырезы
Существующие точные решения для вырезов в растянутых связях не-
полны; использование их результатов для целей конструирования затруд-
нительно. Приближенное решение можно получить с помощью теории
Ю. А. Шиманского. Связь с прямоугольным вырезом (рис. 179, а) мысленно
разрезается по продольной оси симметрии. В результате получается уступ-
чатая связь с двумя выступами (рис. 179,6). Влиянием одного выступа на
сдвигающие усилия, действующие по линии примыкания другого, пренебре-
гают. Поэтому коэффициенты эффективности х определяются исходя из
расчетных схем, приведенных на рис. 179, в к г.
Наибольшая концентрация напряжений будет в начале закругления
выреза (в точке А). При вычислении добавочных напряжений а' в этой точке
(см. § 66, п. 6) следует учитывать влияние сдигающих усилий, действующих
по обеим линиям примыкания:
=' = ^т=п, (482)
§ 69]
Расчет прочности связей с вырезами
509
где напряжение о, определяется по формуле (455) исходя из расчетной
схемы рис. 179, в, а — по формуле (454) и расчетной схеме рис. 179, г.
Вырезы, наибольший размер которых не превышает половины ширины
связи, подкрепляются с помощью компенсационных планок, идущих вдоль
продольных кромок выреза;
суммарная площадь по-
перечного сечения планок
равна площади сечения вы-
реза. В площадь сечения
планок можно засчитать
площадь комингсов и кар-
лингсов, если последние
продолжены за пределы вы-
реза. Вне пределов выреза
планки плавно сужаются
по мере включения в рабо-
ту выступа1.
В районе углов выреза
след} ет поставить добавоч-
ное местное подкрепление
так, чтобы коэффициент
концентрации напряжений,
определимый по формуле
(459), был не больше еди-
ницы.
Аналогично следует по-
ступать в случае двух или
нескольких одинаковых вы-
резов, близко расположен-
ных по направлению дей-
ствия растягивающих на-
пряжений.
Для уменьшения кон-
центрации напряжений
часть связи между выреза-
ми (например, настил между
люками) рекомендуется вы-
полнять из листов меньшей
толщины.
В углах прямоугольно-
го выреза пластины, на-
груженной напряжениями
сдвига (рис. 180, а), имеет
место значительная кон-
центрация напряжений.
Примерный характер рас
пределения напряжений
показан на рис. 180, б, ре
комендуемый способ под-
крепления—на рис. 180, в.
1 Если действующее напряжение <зр меньше допускаемого [ст], то площадь
сечения планок может быть уменьшена пропорционально отношению этих напоя-
жений. 1
ГЛАВА XVII
СКРУЧИВАНИЕ КОРПУСА СУДНА
§ 70. МОМЕНТЫ, СКРУЧИВАЮЩИЕ СУДНО НА ВОЛНЕНИИ
В связи с приближенностью рекомендуемых ниже методов оценки
напряжений, возникающих в корпусе судна под действием скручивающих
моментов, эти моменты также определяются приближенно. При вычислении
указанных скручивающих моментов принимается, что корпус судна обла-
дает симметрией относительно миделя, бофта считаются вертикальными не
только в пределах между ватерлинией первого приближения (волновой)
В действительности
Рис.
181
и окончательной, но и между исходной ватерлинией на тихой воде и окон-
чательной (рис. 181) и, наконец, профиль волны принимается синусоидаль»
ным. Не учитывается также и влияние корпуса на волнение.
Симметрия формы для реально несимх етричных относительно миделя
обводов достигается путем осреднения ординат исходной ватерлинии.
У/ = 3 20—i - + У2 о—;) ,
где:
У,; У so—i — осредненные, a у,-, У20-»—действительные ординаты.
Принимая, что ординаты волновой поверхности в координатах, свя-
занных с судном (см. рис. 143), выражаются уравнением
2-
z = Az -4- г cos г- (lx 4- ту),
где / = cos6, m = sin? (у —угол между диаметральной плоскостью судна
и направлением волнения), и выполняя интегрирование от ординаты одного
борта до другого, можно получить для элементарного кренящего момента
в районе любого шпангоута выражение
ВМ = -т>.2 „(sin г, — т,cosт,)sinedx,
ZT.-m-
где
2-mv . 2~lx
§ 70] Моменты, скручивающие судно на волнении
511
Скручивающий момент в районе рассматриваемого r-го шпангоута
получается табличным интегрированием последнего выражения в преде-
лах от оконечности судна до этого шпангоута
Af — 7^ (s*n гч — т«cos т<<) s*n?p (4^3)
* \~-т‘ ‘ ‘ ‘ ‘
« = 0
Вычисления по формуле (483) у кладываются в простую табличную форму
(см. ниже, табл. 123) и должны быть проведены лишь до миделевого сечения
где скручивающий момент достигает максимального значения.
Однако полученная этим путем эпюра скручивающих моментов, вычис-
ленная для произвольного угла С, не является, как правило, наиболее небла-
гоприятной для судна на заданном волнении. Необходимо выполнить не-
сколько (3—4) подобных расчетов, чтобы найти самое невыгодное положение
судна. Неблагоприятный случай следует искать при положении судна,
близком к тому, при котором оконечности его попадают на линию гребней
волны (при миделе на вершине), т. е. при агесозр Последнее справедли-
во лишь для случаев, когда длина судна значительно превышает длину вол-
ны. Для судов относительно коротких угол, при котором имеет место макси-
мальное скручивание, будет, вообще говоря, несколько больше.
Следует иметь в виду также и то обстоятельство, что максимальное
скручивание имеет место не всегда на наибольшем волнении, возможном
в данном бассейне. Скру чивающие моменты достигают максимальных значе-
ний на волнах, длина которых составляет иногда одну четверть—одну треть
длины судна. Размеры расчетной волны сильно зависят от относительной
ширины судна. Выполняя, например, расчеты скручивающих моментов для
речных судов (длины которых обычно много больше длин максимальных
возможных волн) на наибольших волнах, необходимо повторить расчет на
волнах меньшей длины.
Наибольший скручивающий момент на миделе приблизительно равен
_ kyrB2L
юоо
(484)
где;
k — коэффициент, зависящий от отношения длины судна к длине
волны L: /., от отношения длины судна к его ширине L: В и от
коэффициента полноты ватерлинии а (приведен в табл. 122);
'—объемный вес воды;
г—полувысота волны.
Пример. Определить скручивающие моменты для судна с элементами /.=75 м,
В = 9,38 м, с относительными ординатами грузовой ватерлинии (уже осредненны-
ми), приведенными в графе 2 табл. 123 на волнах /. = 25 м, 2г = 2,0 м.
25
Неблагоприятный курсовой угол 6 Д arc cos = = 70°. Производим три расчета'
при 0=65, 70 н 75J.
В графу 3 заносим значения
2z/ny В , у \ 9,38 / у \ / у \
т = —Г- = " Т (о,5В/т=" “ ‘25’(оЗ’в) s,n65° = 0,5в) ’
В графу 4
2~1х 2~1 2- cos 65° 75
‘ = —= — А£(» —/) = --------25---20 (Ю-i) = 0,399(10 — ;),
где i — номер шпангоута.
512
Скручивание корпуса судна
[Гл. ХУП
Таблица 122
Коэффициенты k к формуле (484)
L л 1 L В Коэффициент полноты грузовой ватерлинии а
0,7 0,8 0,9 1.0
6 9 13 18 24
1 8 7 10 14 18
10 5 8 11 15
6 23 35 44 51
2 8 18 27 34 41
10 15 21 28 35
6 34 48 60 72
3 1 8 28 39 50 60
10 23 33 42 50
6 40 52 64 78
4 8 36 47 58 72
10 30 40 51 63
6 40 53 64 74
5 8 38 52 65 78
10 35 • 50 61 74
6 35 42 49 58
6 8 39 51 64 76
10 40 52 63 77
6 27 30 33 36
7 8 -10 50 55 68
10 42 5b 59 77
Разность 51п т( — » cos 17, которая при малых значениях ij может при непосред-
ственных вычислениях привести к потере точности, заимствуем из специальной
табл. 124, a sin ; — из математических таблиц (стр. 40).
Заполнив графы 5, 6 н 7, следует определить [сумму последней и найти при-
менительно к формуле (483):
1 V- X - г 1,626
12- (sin т- “т-cos Л) s,n" = ^65^ = 1 >98-
Сделав аналогичные вычисления для углов
i=70° и 75°, убеждаемся, что наибо-
лее неблагоприятным будет угол в
70°. Для этого угла в двух послед-
них графах (18 и 19) табл. 123 вы-
числяют скручивающий момент.
Графа 18 представляет собой ин-
тегральные суммы графы ^(на-
пример, 0,244 = 0,051 + 0,045 +
0,148),а последняя графа вычис-
лена в соответствии с формулой
(483):
1,0-1,0.25? 75,
Л,«’ ~ 4it2sin270° 20 1181=66 118Г
Эпюра скручивающих момен-
тов, очень напоминающая эпюру
изгибающих моментов, показана
на рис. 182.
33 Учеб- ы! cnpai
Таблица 123
Выбор пеблагопрпн i tun о куренною угла и определение скручивающих моментов для судна L = 75 м, В = 9,38 м, а = 0,8
па волнах X 25 м, 2/ = 2 м
1 lex ОДИЫС- ДИ III ИНГ ф — 65’ (/» 0,906) ф«70 (//, 0,94n) ф- 75 ° (w-0,966) Скручиваю- щий момент при ф=70
№ шпан- гоутов V о,5/< <1 5 sin I, •In 5 (5)-(6) ’i е sill Ij CDS () si n (Il)-(OI) 4 5 sill q Г, f ОЗ 1, sin $ О £ а 12) Л4, тм
1 2 3 4 5 6 7 8 9 К) 11 12 13 14 16 16 17 18 19
0 0,000 0 (К) 3,99 0,000 -0,750 0,000 0,00 3,22 0,000 0,078 0,000 0,00 2,44 0,060 0,645 0,000 0,000 0
1 0,307 0,33 3,59 0,012 -0,434 -0,005 0,34 2,90 0,013 0,239 0,003 0,35 2,19 0,014 0,814 0,011 0,003 0
2 (1,573 0,61 3, 19 0,073 —0,048 —0,004 0,64 2,58 0,081 0,633 0,045 0,65 1,95 0,088 0,929 0,082 0,051 3
3 0,708 0,82 2,79 0,172 0,344 0,059 0,85 2,25 0,190 0,778 0,148 0,88 1,71 0,210 0,990 0,208 0,244 16
1 0,895 0,96 2,39 (1,269 0,683 0,1840,99 1,93 0,293 0,936 0,275 1,02 1 ,46 0,318 0,994 0,316 0,667 44
5 0,963 1 ,03 2,00 0,327 0,909 0,297 1 ,07 1,61 0,364 0,999 0,364 1,10 1,22 0,392 0,939 0,368 1,306 86
G 0,994 1,06 1,60 0,354 1,000 0,354 1,10 1,29 0,392 0,961 0,376 1,13 0,98 0,422 0,831 0,352 2,046 135
7 1,000 1 ,07 1,20 0,364 0,932 0,338 1,11 0,97 0,402 0,825 0,333 1,14 0,73 0,433 0,667 0,289 2,755 183
8 1,000 1,07 0,80 0,364 0,717 0,261 1,Н 0,61 0,402 0,597 0,241 1,140,49 0,433 0,471 0,204 3,329 220
9 1,000 1 ,07 0,40 0,364 0,389 0,142 1 11 0,32 0,402 0,315 0,127 1,14 0,24 0,433 0,238 0,103 3,697 244
10 1,000 1,07 0,00 0,364 . 0,000 0,000 1,11 0,00 0,402 0,000 0,000 1,14 0,00 0,433 0,000 0,000 3,824 252
=8,000* v= 1,626 X:m’=l,98 £= X: «а =1,912 =2,17 2= =1,933 =2,07
* Все суммы с поправкой на полусумму крайних слагаемых.
§ 70] Моменты, скручивающие судно на волнении 513
514
Скручивание корпуса судна
[Гл. XVII
Таблица 124
Значения /(т) = д1пт,— tcosij от т, = 0 до т( = 3,59 через 0,01 радиана
0,00. 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 o.oood 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0002 0002
0.1 0.0003 0004 0006 0007 0009 ООН 0014 0016 0019 0023
0.2 I 0031 0036 0040 0046 0052 0058 0065 0073 0082
0,3 0098 0108 0118 0130 0141 0153 0167 0180 0195
0.4 0.0210' 0226 0243 0260 0278 0298 0318 0339 0360 0383
0,5 0.0406 0431 0456 0482 0510 0538 0567 0597 0629 0661
0,6 0.0694 0730 0764 0801 0839 0877 0917 0958 1000 1044
0.7 0,1088 1134 1181 1229 1278 1329 1380 1433 1488 1543
0,8 0,1600 1658 1717 1778 1840 1903 1967 2033 2100 2169
0,9 Ю.2239 2310 2382 2456 2532 2608 2686 2765 2846 2928
1.0 0.3012 3097 3183 3270 3359 3450 3542 3635 3729 3825
1.1 .3922 4021 4121 4223 4327 4430 4536 4643 4751 4861
1,2 ,4972 5085 5198 5314 5430 5548 5668 5788 5910 6034
1.3 .6158 6284 6411 6540 6670 6801 6933 7067 7201 7338
1.4 0.74"6 7614 7753 7894 8037 8180 8324 8470 8617 8765
1.5 0,8914 9064 9215 9368 9521 9676 9831 9987 *0145 ’0303
1.6 1,0463 0523 0785 0947 1110 1274 1439 1605 1771 1939
1." 1,2107 2276 2446 2616 2787 2959 3132 3305 3479 3653
1,8 1,3828 4004 4180 4356 4532 4711 4889 5068 5247 5426
1.9 1,5606 5786 5966 6146 6327 6507 6689 6771 7052 7234
2.0 11,7416 7598 7780 7962 8144 8325 8507 8689 8871 9052
2.1 1.9234 9415 9596 9777 9957 *0137 *0317 *0496 *0675 *0854
2.2 2,1032 1210 1387 1563 1739 1914 2089 2263 2437 2610
2,3 2 2782 2953 3123 3292 3461 3628 3795 3961 4126 4289
2,4 2.4452 4614 4774 4933 5092 5248 5404 5558 5711 5863
2,5 2,6013 6162 6310 6456 6600 6743 6885 7024 7163 7299
2,6 2.7434 7567 7699 7829 7956 8082 8206 8329 8449 8567
2 7 2,8684 8“98 8910 9021 9129 9235 9339 9440 9540 9637
2,8 2,9732 9825 9915 *0003 *0088 *0172 *0252 *0331 *0406 *0480
2,9 3,0550 0619 0684 0747 0807 0864 0920 0971 1021 1067
3,0 3.1111 1152 1190 1225 1257 1288 1313 1337 1357 1375
3.1 3.1389 1400 1409 1414 1416 1415 1411 1403 1392 1379
3,2 3,1362 1341 1318 1291 1261 1227 1190 1150 1107 1060
3,3 3,1009 0955 0898 0838 0774 0706 0635 0560 0482 0401
3,4 3,0316 0227 0135 0039 *9940 *9837 *9730 *9620 *9506 *9389
3,5 2,9268 9143 9015 8883 8748 8609 8466 8320 8169 8016
Примечание. Звездочка (♦) означает, что целые нужно взять из
следующей строки.
§ 71] Напряжения в скрученном отсеке корпуса 515
§ 71. НАПРЯЖЕНИЯ В СКРУЧЕННОМ ОТСЕКЕ КОРПУСА ПРИ СВОБОДНОЙ
ДЕПЛАНАЦИИ ТОРЦЕВЫХ ПЕРЕБОРОК
Общие соображения и обозначения
В продольных стенках длинного призматического отсека судна, огра-
ниченного поперечными переборками (имеющиуи возможность свободно
депланироваться) и скрученного постоянным по длине отсека моментом
(рис. 183), возникают касательные напряжения, равные
где: М = РЬ — скручивающий момент;
b — ширина отсека;
с — высота его;
t — толщина борта, днища или палубы в том месте, где опреде-
ляется напряжение.
Касательные напряжения равномерно распределены по толщине стенок,
обтекают контур (рис. 183,6), и численно больше в тех местах поперечного
сечения, где меньше толщина.
Если радиус скуловых закруглений велик, то в формулу (485) вместо
произведения Ьс следует ввести площадь, ограниченную палубой, днищем
и бортами — см. выше формулу (111).
Деформированное состояние отсека определяется относительным углом
закручивания около продольной оси и депланацией поперечных сечений.
Относительный угол закручивания горизонтальных граней для отсека
прямоугольных очертаний со стенками постоянной толщины, нагруженного
указанными на рис. 183 силами приблизительно равен
Р / 1 1 2 1 IV
+ ът; + • (486)
* Если пренебречь сдвигами в переборках, формула дает то же значение, что
и формула (112) для неопределенно длинных призматических тонкостенных труб.
33Y®
516
Скру ивание корпуса судна
[Гл. XVII
где:
G— модуль упругости второго рода, а
tdH, tnp.n — толщина днища, палубы, борта, левой и правой
переборок.
Депланация при кручении обусловливается неодинаковостью про-
до.’ ьных перемеще ий отдельных точек первоначально плоских попереч-
ных сечений.
На рис. 183, в пунктиром показано, как депланируется сечение DEGH-
отсека: точки D, G сдвигаются влево, точки же Е,Н — вправо. Напря-
женное состояние и депланация одинаковы во всех поперечных сече-
ниях.
Непризматичностъ отсека и, в частности, наличие люка в палубе резко
нарушают элементарное напряженное и деформированное состояние, оп-
ределяемое вышеприведенными формулами. Помимо касательных напря-
жений, на поперечных сечениях появляются и нормальные, особенно зна-
чительные у углов широких люков.
Нормальные напряжения возникают также в том случае, если свобод-
ная депланация торцевых сечений отсека стеснена соседним^ отсеками судна,
свободная депланация которых по тем или иным причинам оказывается
иной. Причиной этого может быть другая конструкция соседних отсеков
или иные значения скручивающих соседние отсеки моментов.
В связи с этим для оценки напряжений от скручивания в каком-либо
поперечном сечении недостаточно знать величину действующего в этом
сечении скручивающего момента и элементы этого сечения. Напряжения
оказываются зависящими также от конструкции соседних по длине частей
корпуса (строго говоря, от конструкции почти всего корпуса в целом) и от
характера эпюры скручивающих моментов.
Основными связями корпуса судна, воспринимающими скручивающий
момент, являются обшивка днища и бортов и листы палубного настила. При
сплошном стальном палубном настиле и небольших люках напряжения от
скручивания редко оказываются настолько значительными, чтобы вызвать
необходимость в каких-либо подкреплениях (кроме местных подкреплений
вырезов).
Однако в случае больших люков в палубе наиболее напряженны-
ми связями корпуса оказываются палубный стрингер и листы палубного
настила между стрингером и комингсом люка, а также поперечные между-
люковые перемычки (если онн узки). В этих связях появляются значи-
тельные нормальные напряжения. Точно так же при отсутствии сплош-
ного стального настила главной работаю'цей связью палубы является палуб-
ный стрингер, на конструкцию которого, и в частности на укрепление его
внутренне! кромки (карлингс, продольный комингс люка), должно быть
обращено особое внимание. Работоспособность палубного стрингера зависит
от собственного момента инерции его сечения относительно вертикальной
оси, т. е. в основном от ширины стрингера.
Весьма важную роль при деревянной палубе играют и диагональные
стальные полосы, идущие от одного борта к другому. Одна из диагональных
полос р ботает при скручивании на растяжение, другая может оказать-
ся сжатой. Диагональные полосы будут успешно работать, если они под-
ходят к борту вблизи поперечной переборки или сильной поперечной
фермы.
Роль промежуточных поперечных переборок при скручйвании сравни-
тельно невелика как в смысле напряжений, так и деформаций. Как пра-
вило, промежуточные переборки несколько снижают напряжения, но в не-
которых слл чаях постановка переборки может так перераспределить напря-
§ 71]
Напряжения в скрученном отсеке корпуса
517
жения, что максимальные их значения окажутся даже несколько большими,
чем при тех же условиях, но без переборки.
Балки поперечного и продольного набора корпуса, слабо сопротивляясь
закручиванию, почти не работают при общем скручивании корпуса.
На общее скручивание корпуса существенно влияет наличие в попереч-
ном сечении судна замкнутых контуров (двойное дно, продольные переборки,
идущие параллельно бортам, и т. п.). Однако это влияние далеко не так
значительно, как этого можно было бы ожидать по аналогии с теорией скру-
чивания неопределенно длинных тонкостенных призматических труб (для
которых присоединение к замкнутому контуру открытого почти не повышает
жесткости, и, следовательно, скручивающий момент почти полностью вос-
принимается замкнутым контуром). В корпусе судна, даже с большими
люками в палубе, но с силы *
ными палубными стрингера-
ми палуба способна воспри-
нимать значительные сдви-
гающие усилия и ее участие
в восприятии скручивающего
момента часто даже больше,
чем настила внутреннего дна.
Ниже приводится метод
определения касательных и
нормальных напряжений,
возникающих в отсеке прямо- Рис. 184
угольных очертаний, имею-
щем вырез (люк) в палубе, под действием постоянного скручивающего момента
в условиях свободного скручивания, т. е. при свободной депланации
торцевых переборок, а в следующем параграфе — указания об учете стес-
ненности скручивания. Метод основан на гипотезе о неискривляемости
вертикальных и горизонтальных волокон поперечного сечения и применим1
к достаточно широк им и длинным люкам с широкими межлюковыми пере-
мычками1 2. Ориентировочно должны выполняться следующие пять неравенств
(рис. 184):
Ьо > 0,35 6; Ьо а0; а0 >> 2,5 е\ d~^> е\ d^- 0,25 b. (487)
Помимо касательных напряжений, ниже рассматриваются лишь нормаль-
ные нагряжения поперечные же нагряжения о cz не учитываются.
В приводимых ниже формулах, как и в формулах следующего па-
раграфа (в котором учитывается стесненность кручения), приняты сле-
дующие обозначения (см. рис. 185):
а — длина отсека;
а0— длина люка;
Qj — расстояние от конца отсека до люка (предполагается симметрич-
ное расположение люка по длине),
а = а — а1г
. ПО -ХА.
А = - — отвлеченный коэффициент;
Ь, с — ширина и высота отсека;
Ьо — ширина люка;
п „ ,,
= ~2аЬК-----отвлеченный коэффициент;
1 Кроме формулы (489), относящейся к небольшим люкам-горловинам.
2 Метод базируется и на некоторых других допущениях (см. Давыдов В. В.,
Прочность корпуса судна при скручивании, Речнздат, 1955)
518
Скручивание корпуса судна
[Гл. XVII
F, I — п.гощадь и момент инерции (относительно собственной го-
ризонтальной оси) поперечного сечения борта;
Flt /j — площадь и момент инерции (относительно собственной вер-
тикальной оси) поперечного сечения днища;
Ft, Is — площадь и момент инерции (относительно собственной вер-
тикальной оси) поперечного сечения палубы вне люка;
f — площадь поперечного сечения палубного стрингера, на-
стила палубы между палубным стрингером и люком, ко-
мингса 1 и карлингса;
I — момент инерции этого сечения относительно вертикальной
оси, проходящей через ц. т. площади сечения;
f — площадь палубного стрингера и палубы между бортом и
люком (т. е. площадь / за вычетом комингса и карлингса);
г-,' г- ^0 ^**2 I , По / ill
Fi = F2: 1 — ------—— + — I — 1 — приведенная площадь ce-
L 24(I-rii)a/n a \2f /]
чения палубы с люком;
i =fp — i—момент инерции площади / относительно диаметральной
плоскости (оси z);
fnp г Г, / а'\ (пЛ3 За0/2 , ^2^-
W +V/ +1ЙГ+Т^]_|ф,ВДеНЬ1"
момент
инерции сечения палубы с люком, симметрично расположен-
ным по длине отсека;
/0— произвольный момент инерции, введенный для удобства
вычислений;
К = Jy*zdF— геометрическая характеристика сечения вне люка. Интегри-
рование— в пределах положительных у и z (о положении
осей — см. ниже);
Af=^^}2z!dF — отвлеченная геометрическая характеристика.
Интегрирование — в области положительных у, т. е. рас-
пространяется лишь на правую от диаметральной плоско-
сти половину сечения вне люка;
I — расстояние ц. т. площади / от диаметральной плоскости;
Л! — постоянный по длине отсека скручивающий момент (поло-
жительный при указанном на рис. 185 направлении
сил Р)\
т — момент стеснения (см. § 72);
г — отвлеченная величина, характеризующая концентрацию
продольных усилий вдоль кромок борта в точках В,С(г2)
0 F, G^y,
х, у, z — координаты соответственно вдоль отсека, к правому борту
и вверх. Ось z совпадает с осью симметрии сечения, ось у
расположена на расстоянии вверх от днища и совпадает
с горизонтальной осью стеснения;
Zi, z2— возвышение днища и палубы над горизонтальной осью
стеснения (гг = — ;0, z2= с — ;0);
1 Если ои может считаться участвующим в изгибе указанной связи.
71]
Напряжения в скрученном отсеке корпуса
519
₽i= (1 4-н)
Zi /2 Z2 \
~ciTp)
Л> , Iq \
c~Fi c-F°2} отвлеченные характеристики
2/0 депланации торцевых сечений;
__ Q0 / 7 (Л 10^2
"2 “ 6а Ы
’2 — возвышение днища и палубы над нейтральной осью борта —
над ц. т. площади F Gi < 0, '2>0, рис. 185);
; — возвышение элемента контура поперечного сечения вне
люка над днищем;
fy^dF
=0 —---------возвышение центра стеснения (оси у) над днищем. В свя-
Ф y2dF зи с симметрией сечения оба интеграла могут быть распро-
странены лишь на правую или левую половину сечения
вне люка;
*1, ** — коэффициенты, учитывающие влияние стеснения на напря-
жения [(см. формулы (505)];
>' — расстояния от ц. т. площади / до борта и продольного
комингса люка соответственно;
и = 0,3 — коэффициент поперечного сжатия;
? = а — k ([>! -1- р2) — коэффициент податливости депланации при
действии момента стеснения для отсека, имеющего большой
люк; для отсека без люка
Z = — (^ — £2) — о2 г2 — коэффициент податливости депланации при дей-
ствии скручивающего момента для отсека, имеющего боль-
шой люк;1 для отсека без люка
Скручивание простейшего отсека с люком (рис. 185)
Суммарные значения кромочных усилий (независимо от того, есть ли
люк или нет) могут быть в этом случае найдены из условий равновесия
отдельных граней, на которые можно мысленно разделить отсек (рис. 183, г).
В частности, применительно к направлениям и обозначениям, показанным
на этом рисунке, эти усилия равны
.. Л1 „„ М .. Ма ,.ЙЯ.
v=2c- " L = Wc- (488)
В поперечных сечениях отсека вне района люка имеютместо лишь каса-
тельные напряжения, определенные формулой (485).
1 Последнее слагаемое следует учитывать лишь в случае, если оно меньше нуля.
520
Скручивание корпуса судна
|Гл. XVII
В районе люка в палубе, бортах и днище касательные напряжения
имеют другой характер и, кроме того, возникают еще и нормальные напря-
жения, обычно значительно превышающие касательные.
При относительно небольших размерах люков нормальные напряже-
ния локализуются лишь в районе, непосредственно прилегающем к люку,
изменяясь вдоль закругления примерно так, как показано на рис. 180,6 и
достигая максимальных значений в средней части дуги, закругляющей
кромки (точки К, Ki на рис. 186). При отсутствии накладных листов, укреп-
ляющих утлы люков, максимальное нормальное напряжение равно
1
6,
(489)
В
В
Р
о,-
Рис. 185
Р
R
Др
с
г
где: а», Ь# — длина и ширина люка; о — радиус закругления; т — касатель-
ное напряжение в палубе при отсутствии люка, опреде-
ляемое для однопалубных судов полных образований и (без
двойного дна) формулой (485).
случае круглого выреза (аа = Ьо = 2&) формула (489) дает о = 4-с.
слмчае больших люков, размеры которых удовлетворяют неравен-
ствам (487), кроме кон-
центрации напряжений у
углов люка, возникают,
как указывалось, нормаль-
ные напряжения, обуслов-
ленные изгибом участка
палубы В'ВСС (рис. 187),
ограниченного бортами и
комингсом. Изгиб этот не-
избежно появится под дей-
ствием распределенных
сдвигающих усилий по
кромкам, вызванных в свою
очередь скручиванием от-
сека.
Благодаря жесткому
креплению кромки ВС па-
лубы к борту1 борт привле-
кается к участию в изги-
бе палубы. Уравнивание
относительных удлинений
волокон палубы и борта
по линии ВС позволяет
раскрыть статическую не-
определимость задачи. Не-
обходимые для указанного
уравнивания удлинений до-
полнительные внутренние усилия взаимодействия между бортом и палу-
бой приводятся к сдвигающим усилиям, приблизительно постоянным
по всей длине ВС и резко концентрирующимся у крайних точек В и С
(рис. 187,6). Аналогичные усилия, только значительно меньшие по абсолют-
ной величине, возникают также по линии FG пересечения борта с днищем
(см. рис. 185).
1 Предполагается что крепление устраняет продольные относительные смеще-
ния палубы и борта, но не препятствует изменению угла между ними.
§ 71]
Напряжения в скрученном отсеке
521
Нормальные напряжения, обусловленные изгибом люкового-
участка палубы, во всех характерных точках поперечных сечений, прохо-
дящих по люку вблизи его поперечных комингсов, оказываются равными:
в днище
Fb2M
;F-—vc_ — 211аорГ1'
(490)
(491)
(492)
(493)
(494)
Входящие в вышеприведенные формулы отвлеченные величины —
г,, г 2 — яз.тяется корнями следующей системы уравнений, составленной на
основании уравнивания напряжений (относительных удлинений) в точках
F, G борта и днища и в точках В и С борта и палубы:
Коэффициенты rlt гг характеризуют суммарные значения концентри-
рованных сдвигающих усилии взаимодействия между палубой и бортом
и бортом и днищем. Так, показанные на рис. 187,6 силы равны
* Формулы (491) и (492) эквивалентны и дают одинаковые результаты; то же
можно сказать и в отношении формул (493) и (494). Получение одинаковых значе-
ний по парным формулам может служить контролем правильности вычислений.
522
Скручивание корпуса судна
[Гл. XVII
Чежду указанными выше характерными точками в случае скручива-
ния постоянным моментом нормальное напряжение меняется линейно
как по длине, так и по ширине, т. е. по закону линейчатой поверхности
гиперболического параболоида. Так, например, нормальное напряжение
в районе ВВ'С'С палубы (см. рис. 185 или 187) равно
в палубе
в- — (®с— Зв*) — +(3в — °В') -~г
о0 к -f-
XS
(496)
если х отсчитывать от точки В' по направлению к С' и s — от В' по направ-
лению к В. Аналогичное выражение можно написать и для напряжений
в районе BCGF борта, а также для днища.
одинаковы в соответст-
Вне люка нормальные напряжения в случае свободной депланации
торцевых переборок отсутствуют.
Касательные напряжения вне люка, как уже указывалось,
распределены в соответствии с формулой (485), т. е.
вующих точках всех поперечных сечений, обтекают контур (см. рис. 183, б) и
обратно пропорциональны толщинам.
В районе люка касательные напряжения связаны с нормальными диф-
ференциальными условиями равновесия элемента оболочки. Проектируя
усилия, приложенные к элементу оболочки (рис. 188) на ось х, можно полу-
чить:
Й + t = °, (497)
os дх ' '
где q =~t — сдвигающее усилие, отнесенное к единице длины кромки
элемента,
t—толщина, являющаяся функцией s и не зависящая вследствие пред-
полагаемой призматичности от х.
Составляя в численном виде выражение (496), подставляя его в (497)
и интегрируя, -ожно для любой точки в районе люка получить
s S
да
^-aF,
дх
?(s) = 7o— ?о—
о о
где <7в — начальное сдвигающее усилие. Это усилие равно нулю для кромки
В'С (см. рис. 185), с которой и следует начать вычисление касательных
(498)
71]
Напряжения в скрученном отсеке
523
апряжений. Касательные напряжения распределены в соответствии со
деланными выше допущениями одинаково во всех поперечных сечениях
в районе люка, т. е. не зависят от х.
Все вышеприведенное решение справедливо, разумеется, лишь в слу-
чае, когда обшивка не теряет устойчивости от возникающих в ней напряже-
ий. Поэтому, выполнив расчет скручивания и найдя действующие в пла-
стинах напряжения, следует убедиться, что они не превышают эйлеровых
<при сжатии и сдвиге). Изложенный метод позволяет вычислить лишь
-редйие напряжения без учета концентраций напряжений вблизи резких
зменений сечения связей.
Приме . Определить напряжения в отсеке размерами abc = 16 х 8х 2 м
ж. рис. 185), имеющем люк 10 х ь м, при скручивании постоянным моментом
тм в предположении, что депланациям торцевых переборок ЕААг и HDD-LH-i
• что не препятствует. Толщины бортов, днига и палубы — 5 мм. Набор обе-
:ечивает устойчивость листов при касательных и нормальных напряжениях. По
мке люка проходит комингс — карлингс сечением 10 см?.
Предварительно собираем и вычисляем различные величины, входящие в фор-
мулы (490) — (494) и уравнения (495):
а = 16 *, а, = Ю м, b = 8 м. A fl>' i = = 1,5625, 4 be 4- 1 = 14,7,
с = 2 м, / = 0.006 м? Т = 0.01 л’, = 0,0006 5 л‘. f'>’ i T fl> i — 1 = 1,33, = 1.67, — 1 = 18.1,
I = 0,00333 л<, Л = 0,213 л*. I = 3,417 м. f^ i Fl* i 4- 1 = 4,27, = 5,44,
i. = 1 " 3 м. fun F1" ' — 2 — — f 41’’ — 3,00,
i' = 0,417 л, -i = — 1,00 м I Ft? I 1 = 1,50,
, = 1.00 m, Л1 <hF = 320 т'м? = 32 кг/см?,
M = 533 m/л’ = 53,3 кг/см*
Касательные напряжения вне люка по формуле (485) равны
32
- = 2^8^2^0 005 = tniM? = 20 KejcM?.
Уравнения (495) для определения rlt rt:
(1 — 3 — 1,5) /-j -г (1 — 3) г± = 0,
(1 —3)Г(т(1 4-3 4-1,6"-г 5,44 г,= 1,562- 1,67 - 18,1,
5,5 Г! — 2г± = О 1
— 2^ 4- 11,11 г2 = 47.2 f ri = 1>654’ = 4’548-
524
Скручивание корпуса судна
[Гл. XVII
Норма.-ьзые напряжения в характерных точках палубы по формулам (490) и
-в, = — ’с, = — (1,562 - 14.7 — 1,33 - 4,548) 53,3 = — 899 кг/см2;
:„= — = = (1.562 • 18.1 — 4.27 • 4.548) 53.3 = 476 кг/см*..
а с
Напряжения в борту по формулам (492) н (493):
- в =— =с = ( — 2 - 1,654 -Ь 4 • 4.548) 32 = 476 кг/см*-,
- F = — - = (4 1,654 — 2-4,548) 32 =— 79 кг/см*.
Напряжения в днише по формуле (494):
= — "с = — 1,50 • 1,654 • 32 = — 79 кг/см2.
Для вычислении касательных напряжений составляем предварительно'1 выра-
-еиня для нормальных напряжений в районе В'С'СВ (см. рис. 185). по форму-
ле (496):
- = — 8990— 17980^4- 13750-^-— 27 500
Рис. 189. Эпюра касательных напряжений
и производной
да
= 1 798 — 2 750 s.
Затем пользуемся формулой (498):
s
С дз
<7 (s) = <7о~ J g^dF.
о
При интегрировании по комингсу
подинтегральная функция постоянна
(поскольку s — 0) и равна
дз
= 1 798 т/м9.
Следовательно, в палубе у комингса (площадь которого равна 0,001 ла) сдви-
гающее усилие равно
7 = —1 798 JdF = —1798 • 0,001 = —1,798 т/м,
а напряжение - = q : t = — 1,798:0,005 = — 360 т/м2.
Далее, поскольку палуба имеет постоянную толщину, сдвигающее усилие
в ней будет
s
q = — 1,798 — 0,005 f (1 798 — 2 750 s) ds,
о
q = — 1,798 — 8,99 s + 6,875 s2.
Аналогично вычислены и остальные числовые данные, необходимые для по-
строения эпюры касательных напряжений по всему сечению по люку. Сама эпюра
приведена иа рис. 189.
Итак, вне люка касательные напряжения равны -0 = 20 кг/см2, нормальных
еет. В районе люка нормальные напряжения достигают 899 кг/см2 в точках В' и
С’, т. е. у углов люка. Наибольшее значение касательных напряжений—91 кг/см2.
§ 72. УЧЕТ СТЕСНЕННОСТИ КРУЧЕНИЯ
Стесненность кручения проявляется, когда к концам рассматривае-
мого отсека примыкают соседние отсеки. Влияние стесненности тем сильнее,
чем жестче в смысле кручения соседние отсеки, в частности, чем меньше в
них люки.
Степень стесненности зависит также от характера нагрузки соседних
отсеков. Стесненность почти не проявляется, если соседние отсеки скручены
§ 72]
Учет стесненности кручения
525
такими же моментами, как и рассматриваемый, и сказывается всего сильнее
при нескрученных соседних отсеках или скрученных моментами обратного
направления.
Стеснение вызывает в отсеке нормальные напряжения, как правило,
обратные по знаку напряжениям при свободном кручении, и в итоге сни-
жает величины суммарных напряжений.
Точный учет стеснения, как указывалось выше, приводит к необходи-
мости рассмотрения всей конструкции судна в целом и характера эпюры
скручивающих моментов.
При максимальном стеснении благодаря весьма жестким соседним
ненагруженным отсекам напряжения в точках В', С' могут снизиться
до 20—80% от их величины при свободной депланации торцевых пере-
борок (коэффициент стеснения равный, отношению напряжений с учетом
стеснения к напряжениям без его учета, т( = 0,2 4- 0,8). Низший из ука-
занных пределов соответствует широкому и длинному люку (а0 — 0,8 а
и Ьо — 0fib) низкого отсека (с— 0,2 ft); верхний — небольшому люку
(а0 — 0,4 а, йо~0,4Ь)в относительно высоком отсеке (с —0,6 ft).
Ниже приводятся основы теории стесненного кручения применительно
к судовым отсекам, имеющим большие люки, а также применение этой
теории к простейшему отсеку с симметрично расположенным по длине
люком1.
Для грубых прикидок и решения вопроса о том, целесообразно ли
производить подробный расчет стеснения, можно руководствоваться сле-
дуюнц ,и приблизительными значениями коэффициента стеснения2:
Т(= 1 (стеснение можно не учитывать), если соседние отсеки имеют при-
близительно такую же конструкцию и нагружены приблизительно такими
же (по величине и направлению) скручивающими моментами:
т] = 0,7 4-0,8—при одинаковых по конструкции соседних отсеках,
свободных от скручивания;
Т| = 0,6 4- 0,7 — если в соседних не нагруженных отсеках отсутствуют
люки.
Низшие из указанных пределов — при двухстороннем стеснении.
Сущность расчета
Для определения напряжений, вызванных стеснением, необходимо
рассмотрение деформаций отсека и, в частности, депланаций концевых
поперечных сечений отсека EAA± и HDDyHy (см. рис. 185).
Если принять простейшую зависимость продольных перемещений от
координат
u = yzf{x),
- ди
то и для напряжении = £ — получим аналогичную зависимость
а = nyz, (499)
где п для определенного поперечного сечения (x=cons/), является вели-
чиной постоянной.
Характер изменения указанных напряжений по поперечному сечению
показан на рис. 190. Напряжения меняются линейно по горизонтальным
и вертикальным граням. Положение осей у и z может быть определено из
условия, что указанные напряжения в своей совокупности должны быть
1 Подробнее см. Давыдов В. В., Прочность корпуса судна при скручивании,
нзд-во «Речной транспорт», 1955.
2 Из осторожности приводимые коэффициенты стеснения завышены.
526
Скручивание корпуса судна
[Гл. XVII
эквивалентны нулю, т. е. не приводиться ни к силе, нн к паре (поскольку
в сечении действует лишь скручивающий момент Л4Л).
ф zdF = j) ~zdF = ф з1 dF = 0.
Первые два условия удовлетворяются всегда для симметричных отно-
сительно оси z сечений, последнее, же позволяет найти положение оси у
и центра стеснения:
<f}sUF’
f У-dF
где ; — возвышение произвольной точки сечения над любой горизонталью
(например, над днищем).
Таким образом, продольные напряжения стеснения, действующие в
любой точке торцевого поперечного сечения, определяются согласно фор-
Рис. 190
Рис. 191
точке контура (например, в точке D, рис. 190) Удобнее, однако, характе-
ризовать их моментом стеснения — моментом, создаваемым
напряжениями одного квадранта (например, квадранта с положителт
ными координатами у и z) относительно оси z. В каждой из четырех
частей, на которые координатные оси делят сечение, действуют одинако-
вые по абсолютной величине моменты т (рис. 191).
величиной л в формуле (499) момент т связан линейно:
т = л J yAzdF = п К. (501)
Интеграл в формуле (501) должен быть взят только по одному квадранту
(лишь в области положительных у и z).
Значения моментов стеснения, действующих по торцевым сечениям
отсеков судна, могут быть найдены из рассмотрения депланаций этих сече-
ний, вызванных как скручивающими моментами, так и моментами стеснения.
Для простоты вычислений целесообразно действительную эпюру
скручивающих моментов (рис. 192, а) заменить ступенчатой (рис. 192,6).
• В силу симметрии интегралы по контуру поперечного сечения вне люка
могут ыть взяты не по всему контуру, а лишь по правой нли левой половине его.
Учет стесненности кручения
527
Такая замена эквивалентна предположению о загрузке судна сосредото-
ченными моментами (А1Л — MJ, (Mi — MJ приложенными в плоскостях,
разделяющих отсеки судна (рис. 192, в).
Мысленно отделяя отсеки друг от друга, необходимо компенсировать
влияние удаленных отсеков скручивающими моментами и моментами стес-
нения (р 192. г).
Необходимые уравнения для определения моментов стеснения можно
получить, приравнивая депланацию 1 правого торцевого сечения отсека h
— Z* ?л₽ тЛ/
депланации левого торцевого сечения отсека i
— /4 М-, — ты — т^.
1 Под депланацвей сечения понимается величина, пропорциональная относи-
тельному углу закручивания первоначально плоского сечения, т. е. разность углов
поворота прямых н DH (см. рис. 185), деленная на расстояние Ь =DDl между
этими прямыми.
При указанной выше зависимости и — yzf (х) этот относительный угол закру-
д*и
чивания одинаков для всех точек сечения. Приводимые в тексте выражения
для депланацин отличаются от указанного относительного угла закручивания лишь
постоянным множителем EI.
528
Скручивание корпуса судна
[Гл. XVII
Выполнив это, получим уравнение трех моментов стеснения:
Т- (?Л₽ + ?i) + fi тц = 7лмь — Xi Mi, (502)
которое может быть составлено для каждого сечения, отделяющего отсеки,
т. е. число этих уравнений будет равно числу неизвестных моментов
стеснения. В уравнении (502) ве. ичины у, «, Ф—коэффициенты податли-
вости, зависящие от размеров и конструкции отсеков.
Такова общая постановка задачи об учете стеснения, требующая при
ее решении довольно трудоемких вычислений по определению упомянутых
коэффициентов податливости, составлению и решению уравнений (502),
вычислению напряжений от моментов стеснения и суммированию последних
с вышеприведенными напряжениями (490) — (494) от скручивающих мо-
ментов в предположении свободной депланации торцевых сечений.
В упрощенной постановке задачи можно пренебречь влиянием мо-
ментов стеснения на депланацию противоположных им торцевых сечений,
т. е. положить все Ф = 0. Тогда вместо системы уравнений (502) получим
сразу формулу для любого момента стеснения:
т _ 7.Л-ХМ
"‘hi — пр , л
1 <?£
Симметричное по длине отсека расположение люка
Для случая симметричного относительно своей середины отсека (сим-
метричное по длине расположение люка) коэффициенты податливости
= =* = зА и с"₽ = = о4-. Поэтому момент стеснения, действующий
между отсеками h и i, будет равен
т _ 7.Л —
тм —-----------------------------। „
(503)
При антисимметричных моментах стеснения /лп₽ = —тл =т*, что весьма
часто имеет место для средних, наиболее напряженных отсеков судна, •
можно результативные нормальные напряжения
вычислить по тем же формулам (490) и (491),
коэффициентов xlt х2, учитывающих стеснение:
/лк'
i
в характерных точках
но с введением в них
= — ос = — IА
, (504)
м_
] °о/
где все величины имеют указанные выше значения, а коэффициенты х1( х2
равны:
Х2Г2
(505)
Л 1 М
= — =с =
)
• Вычислив для «-го отсека по выражению (503) моменты /пАг- н тц, можно
’геднать их в с у чае, ес ли mhi = —тц, по формуле
/И — 2 ™hd‘
§ 72]
Учет стесненности кручения
529
Вне люка нормальные
ширине палубы, так и
напряжения в палубе меняются линейно как по
по длине
3 = ^(2—— l)m
К \ а }
(506)
если х отсчитывать от левого торца отсека к правому.
Пример. Определить с учетом стеснения нормальные напряжения в палубе
среднего из трех показанных на рис- 193 отсеков. Размеры н скручивающий момент
среднего отсека такие же, как в примере предыдущего параграфа (стр. 523). Крайние
отсеки имеют длину 16 м каждый, не испытывают кручения и не имеют люков.
Толщины всех стенок 5 мм.
Центр стеснения ввиду двойной симметрии сечений вне люка лежит в геометри-
ческом пентре, т. е. tr = 1 м и г, = — гг = 1 м.
Помимо приведенных в упомянутом примере величин, вычисляем дополни-
тельно:
°i = 3*,
а' = 13 м,
/,= /1= 0,213 л‘,
F, = F, = 0,040 л»,
г- = 0,0708 м*.
f = 0,005 мг,
fb*
= 0,902.
Затем находим геометрические характеристики стеснения К, k, В для сечений
вне люка (рис. 193,6) и приведенные значения для площади и момента инерции
палубы с люком:
4 1
Х = Cy»adF = 1 - 0,005 f y»dy + 4» • 0,005 zdz = 0,1467 л6,
о о
1 Г 0,005 I 43 2 , 4»\
k = аК J ^dF — 16 • 0,1467 3 + 3 4’ + 3 ) - °’1136’
10» • 0,213 • 1
В = 2- 16-8-0,1467 ~0,567,
F2 = 0,04 :11 + 312 . 16т8.0,000625
10 7 0,04 \
16 \2 • 0,005 — 11
= 0,00070 л».
пя Г /13» /3\» 30 - 0,213 103 - 0,213 - 0,58 "| /а
/2 — /ж:р— т ^]6] 8 • !6 - 0,0708 + 4 163 -8 • 0,000625 j — 2,67’
Принимая произвольный момент инерции I„ = 1 м*, находим параметры, определяю-
щие коэффициенты податливости для среднего отсека (с люком)
а7« ( 1 ZL ^а га I *6 1 2,67\
3 = I — мп 1 zz= I 1 “г о + n I — 51,5.
6А \ с с!пР ] 6- 0,1467 2 2 /
. 1 1 \
51 - >.3^ . 004 + 22.0,0007 ) “ 472,
2
.3,-1, g, _0 01 —4,07,
10 / 0,58 1 \
= ~~ 6 - 16 (2 • 2 - 0,000625 ~ 8 • 0,00333 ) = ~ 20-1
и сами коэффициенты податливости этого же отсека:
= = Т — k (>! -г= 51,5 + 0,1136 • 476 = 105,5,
1 1
У = 2 — , .) - s2 гг = Q • 468 — 20,1 • 4,548-143.
34 Учебный справочник
53d
Скручивание корпуса судна
Г Гл. XVII
Для крайних отсеков, не имеющих люков, коэффициенты податливости будут
равны:
а/0 . , /0 /0 2/.\
= — ЗК "Г * (1 ~ (c2f j + c-F, ЬгР) “
16 .11 2 \
— 3 - 0,1467 0,1136 ' 1,3 ( 4 • 0,04 4 • 0,04 + 64-0,01) = 38,6,
1 .11 2 \
~~ 2 ' 1,3 1о,16 т 0,16 — 64 - 0 01) = 6’09’
Напряжения ё
6 пг/см2
Таким образом, если три отсека, показанные на рис.
ми”1, 2. 3, будем иметь:
193, обозначить номера-
?1 = 38,6 <-'2 = 105,5 тз = 38.6
-/j = 6,09 7.2 = 143 /3 = 6,09
Л1, = 0 Af2 = 32 тм Л13 = 0
72] Учет стесненности кручения 531
Теперь можно воспользоваться формулой (503):
и вычислить по ней:
7^,-7. VI
т1г— _
-1 — - з
_ 7Л Mh ~ !-i Af;
гл + т/
143 • 32
38,6+105 5 =— 31,7: т2з = 31,7;
т _ 3£,7
И = ~3!Г
= 0,99.
Определяем далее коэффициенты x.j, х2 [формулы (505)], учитывающие
стеснение, пользуясь вычисленными ранее величинами:
’1 = 1 — 41:-^ = 1 —4 • 0,1136 - 0,99 = 0,551;
_____ „ [4,27 — 0,90 1
Н - 0,эо1 — 2 • 0,а67 j 562 . Jg>, — 4 54g
0.99 = 0,665.
Наконец, по формулам (504) находим напряжения в палубе исследуемого отсека:
= — [1,562 - 14,7 - 0,551 — 1,33 • 0,665 - 4,548] 53,3 = — 462 кг!см2\
-в = [1,562 • 18.1 - 0,551 —4,27 - 0,665 • 4,548] 53,3= 147 кг/см2.
Таким образом, стеснение, осуществляемое двумя концевыми отсеками, снизило
максимальные нормальные напряжения у углов люка с 899 кг/см2 (стр. 524) до 462,
т. е. почти вдвое (ть = 0,51).
Вне люка нормальные напряжения значительно меньше. Их наибольшее зна-
чение в точке D (рис. 193, в) по формуле (506) равно
4 - 1 . 16 \
-д = о [4б7 12 16— 1) 31 >7= 865 т/м2 = 86 кг/см2.
Аналогично вычислены и остальные нормальные напряжения, показанные
»а рис. 193, в. В сечении ВВ' имеет место при сделанных в настоящем методе
допущениях (местные концентрации напряжений, а также напряжения zy не учиты-
ваются) резкий перепад напряжений (с — 54 до 147 и с—40 до — 462 кг/см2).
3 действительности в палубе установится несколько иное напряженное состояние
плавными изменениями вапряжений crHGv; вычисленные напряжения ох являются
ишь средними величинами первого приближения. Для уменьшения концентрации
-апряженнй целесообразны закругление углов люков и постановка угловых наклад-
ных листов.
Касательные усилия и напряжения как вне люка, так и в районе люка могут
быть вычислены по вышеприведенной формуле (498) с учетом того, что вне люка
ди = т, t = — 20 - 0,5 = — 10 кг/см = — 1 т/м.
В районе OOj ВА нормальные напряжения меняются по уравнению (применяя
размерности в т и ж):
- = — 860 у-----540 — 860) = — 215 s + 26,7 sx;
dz
26,7s;
OX *
5 S
7 = q0 — | t ~ ds = — 1 — 0,005 26,7 s ds = - 1 — 0,0667 s2.
□ b
344'®
532
Скручивание корпуса судна
[Гл. XVII
Напряжения ~ при s = 0; 2 и 4 м соответственно равны:
— 20, —25,3 и —41,3 кг/см2.
В райове В’С'СВ
: = —4620 4-924х +6090 s— 1218 sx.
dz
-^=924 -1218 s.
В палубе по линии притыкания ее к комингсу (s = 0)
q = — 924 l' fds = — 924 f dF= — 924 - 0,001 = — 0,924 rn/м и т = — 18,5 кг/см2.
В остальных местах
S
q = —0,924 — |‘ 0,005 (924 — 1218 s) ds = — 0,924 — 4,62 s 4-’ 3,04 s2.
0
Напряжения при s = 0; 0,5 и 1 м будут: —18,5; —49,5 и —50,1 кг/см2.
Г Л У В A XV1I1
МЕСТНАЯ ПРОЧНОСТЬ КОРПУСА СУДНА
§ 73. ВОСПРИЯТИЕ НАГРУЗКИ КОНСТРУКЦИЕЙ
Расчеты местной прочности разделяются на расчеты отдельных элемен-
тов или категорий элементов конструкции корпуса судна. Разделение эле-
ментов конструкции корпуса судна при расчете прочности можно произ-
вести, если проследить порядок передачи основной части нагрузки и сгруп-
пировать элементы, выполняющие одинаковые функции в конструкции.
Таким путем могут быть выделены следующие три основные категории эле-
ментов конструкции:
1. Оболочка корпуса судна (обшивка, настил палубы), состоящая из
пластин н непосредственно воспринимающая давление воды и подобные
нагрузки.
2. Пространственная система балок, являющихся опорами для пластин
болочки корпуса (первой категории элементов) и воспринимающих реак-
ции этих пластин и нагрузки, приложенные к этим балкам непосредственно.
Рассматриваемая система балок может быть расчленена на перекрытия
днищевое, палубное, бортовые и перекрытия переборок).
3. Оболочка корпуса судна вместе с набором образует коробчатую балку
из днища, бортов и палубы с поперечными и продольными вертикальными
переборками (или фермами) и горизонтальными перегородками в виде палуб
и платформ.
Отдельные грани этой балки (борта, переборки, палубы и днище)
создают опорный контур связей второй категории и нагружаются их
реакциями. Расчет этой коробчатой балки есть расчет общей продольной
и поперечной прочности корпуса судна, тогда как расчет прочности обшивки
и набора есть расчет местной прочности.
Плоские элементы этой коробчатой балки обладают весьма большой
жесткостью на изгиб в своей плоскости по сравнению с балками второй
категории. Жесткость на изгиб из своей плоскости плоских элементов рас-
сматриваемой коробчатой балки обеспечивается ребрами — элементами
второй категории.
Предложенное расчленение корпуса судна условно не только потому,
что, как указано выше, условным является разделение единого напряжен-
ного состояния конструкции корпуса судна на напряженные состояния
общего и местного изгиба, но также и потому, что элементы, отнесен-
ные к той или иной категории, принимают участие в работе других катего-
рий. Так, элементы первой категории (обшивка и настилы), являясь пояс-
ками балок, работают с элементами второй категории (шпангоутами, киль-
сонами, карлингсами и т. п.) и образуют пояса и стенки коробчатой балки
третьей категории. Часть элементов второй категории (продольные балки)
дновременно входит в состав третьей категории.
В большинстве случаев проектирование перекрытия у судов внутрен-
него плавания приводит к тому, что расстояние между его основными (силь-
о34
Местная прочность корпуса судна
[Гл. XVIII
ними) балками оказывается таким, что не представляется возможным обес-
печить прочность покрывающей его обшивки при обычно употребляемых ее
толщинах. В связи с этим возникает необходимость подкрепления обшивки
Рис. 194. Схемы перекрытий
дополнительными, более слабыми, балками, помещаемыми в интервалах
между основными балками перекрытия. Таким образом, получается кон-
струкция перекрытия, состоящая из основного перекрытия, достаточно
прочного для восприятия всей заданной внешней нагрузки, и вспомо-
гательных перекрытий, поддерживающих обшивку в пределах кон-
туров, образованных балками основного перекрытия. На рис. 194, а пока-
зано однородное перекрытие. Если по каким-либо соображениям основные
балки показанного на рис. 194, а перекрытия несколько раздвинуть (соот-
§73] Восприятие нагрузки конструкцией 535
ветственно усилив их), пластина может оказаться недостаточно прочной,
и ее следует подкрепить дополнительными балками, показанными на
рис. 194, б штриховыми линиями. Эти балки опираются на основные, как на
жесткие опоры.
Основные и вспомогательные перекрытия работают при восприятии
внешней нагрузки раздельно и имеют каждое свое назначение. Основное
перекрытие является несущей конструкцией, 'способной уравновесить все
реакции обшивки (если таковые будут ему переданы); вспомогательные
Рис. 196. Схема передачи нагрузки в перекрытиях, изображенных на рис. 194 и 195
перекрытия передают реакции обшивки на балки основного перекрытия
и обеспечивают прочность обшивки. С расчетной точки зрения конструкция,
показанная на рис. 194,6, весьма проста. Каждая балка рассчитывается на
нагрузку, приходящуюся на нее. Например, балка АВ должна воспринимать
тагрузку, приходящуюся на площадь CDEF. а балка ab—на площадь cdef.
На рис. 195, а изображено перекрытие из двух систем взаимно
перпендикулярных балок. Обе системы балок работают совместно, частично
поддерживая одна другую.
На рис. 195, б и 195, в изображено перекрытие с теми же основными
балками, но пластины его подкреплены дополнительными легкими бал-
ками того или иного направления.
536
.Местная прочность корпуса судна
[Гл. XVIII
Порядок передачи усилий элементами перекрытия при восприятии им
внешней нагрузки является характерной особенностью конструкции.
Рассмотрим схемы передачи нагрузки от давления воды применительно
к конструкциям перекрытий, изображенных на рис. 194 и 195. Схемы эти
даны для перекрытия днища, но они применимы и для всех прочих пере-
крытий судового корпуса.
Обшивка корпуса судна непосредственно воспринимает давление воды.
В конструкции, показанной на рис. 194, а основная часть нагрузки от
пластин передается шпангоутам (рис. 196, а), которые в свою очередь пере-
дают эту нагрузку на борта и продольные переборки и фермы. Незначи-
тельная доля нагрузки передается пластинами непосредственно на борта и
продольные и поперечные переборки (см. пунктирные линии на рис. 196, а).
На рис. 196, б применительно к конструкции, изображенной на
рис. 195, а, большая часть нагрузки передается шпангоутам и лишь незначи-
тельная доля — непосредственно кильсонам, бортам и переборкам. Кильсоны
опираются на шпангоуты и на поперечные переборки. Реакции шпангоутов
передаются бортам и продольным переборкам.
На рис. 196, в показано, как передается нагрузка в конструкции, изо-
браженной на рис. 195, б. От пластин большая часть нагрузки передается
продольным балкам (ребрам) легкого типа и лишь в незначительной части —
непосредственно шпангоутам и бортам и переборкам. Продольные ребра
опираются на шпангоуты и поперечные переборки, шпангоуты — на борта
и продольные переборки.
§ 74. РАСЧЕТНЫЕ МЕСТНЫЕ НАГРУЗКИ
При выборе расчетных местных нагрузок, действующих на корпус суд-
на, следует основываться на тщательном рассмотрении различных случаев
нагрузки, которые могут иметь место при постройке и эксплуатации судна.
Нет необходимости проверять прочность конструкции под действием
кажд й нагрузки. Следует сравнить их величины и отобрать лишь наиболее
опасные расчетные нагрузки. При этом надо учитывать, что допускаемые
напряжения назначаются в зависимости от характера действия и характера
изменения нагрузки (см. главу XIX). Наиболее опасными будут нагрузки,
дающие наименьшее отн шение допускаемых напряжений к действующим.
В некоторых частях конструкции, кроме напряжений, вызываемых
нагрузками, действующими непосредственно на рассматриваемую часть
конструкции, могут иметь место напряжения, вызванные нагрузкой, дей-
ствующей на другие части конструкции. Иногда эти напряжения, связан-
ные с привлечением рассматривав лой части конструкции к работе другой
части, могут оказаться расчетными. Напри ер, расчетные напряжения
в бортовых ветвях рамных шпангоутов речных судов, как правило, обуслов-
ливаются нагрузкей, действующей на днище, а не на борта.
Проверка прочности продольных связей, участвующих одновременно
в восприятии общего изгибающего момента и местных нагрузок, требует
суммирования общих и местных напряжений, действующих в этих связях,
поэтому, помимо определения наибольших расчетных местных нагрузок,
следует установить расчетные местные нагрузки для определения местных
напряжений в сечениях корпуса судна, наиболее нагруженных с точки зре-
ния общей прочности его.
Основными категориями местных нагрузок являются: а) нагрузки от
давления воды; б) нагрузки от веса грузов и механизмов; в) нагрузки от сил
инерции и усилия, передаваемые корпусу механизмами и судовыми устрой-
ствами; г) усилия при постройке на стапеле и в процессе спуска и усилия
§ 74]
Расчетные местные нагрузки
537
при подъеме судна для ремонта; д) нагрузки при испытании водонепрони-
цаемости (также нефтенепроницаемости и т. д.).
Ниже рассматриваются местные нагрузки от давления воды, от давле-
ния груза и нагрузки фундаментов и подкреплений судового корпуса.
Помимо рассмотрения этих нагрузок, необходимо проверить местную
прочность еще для ряда случаев.
В процессе постройки и при ремонте поднятого на слип или в док судна
необходимо проверить местную прочность корпуса на давление кильблоков1.
При продольном спуске надо учесть повышенное давление воды вслед-
ствие увеличения осадки в кормовой оконечности и реакцию стапеля
в момент отделения судна.
При поперечном спуске, помимо увеличения напора с переднего (по
ходу судна) борта, надо проверить местную прочность на удар воды при
спуске с прыжком. Эти усилия определяются специальными расчетами,
выполнение которых известно из курса теории корабля. В соответству-
ющих случаях прочность должна быть обследована в момент перевала суд-
на с клеток на склизы или со стапельных тележек слипа на косяковые.
При спуске краном должно быть установлено давление тросов на кор-
пус спускаемого судна, причем необходимо учесть возможность постановки
распорок и подкладок под тросы.
Нагрузки от давления воды
На тихой воде давление забортной воды на корпус судна опре-
деляется его осадкой. Распределяется это давление в виде прямоугольника
на днище и в виде треугольников по бортам.
Небольшие крен и дифферент, имеющие место в эксплуатации повсед-
невно, обычно не учитывают при установлении нагрузки от давления воды.
Более значительные крен и дифферент (например, при получении судном
пробоины или при ремонте судна и т. п.) должны быть учтены.
На волнении нагрузки от давления воды определяются по осад-
кам, исчисленным до уровня волновой ватерлинии. Если гребень волны
поднимается выше палубы и происходит заливание палубы водой, то в рас-
чет палубы вводится нагрузка напором воды, равным возвышению гребня
волны над палубой. Для того, чтобы установить пределы изменения вол-
новой нагрузки, надо определить ее для данного элемента конструкции для
случаев, когда судно находится на подошве и на вершине волны.
Весьма большое значение имеет нагрузка от удара волны в корпус судна.
Вопрос о величине этой нагрузки полностью не изучен, в связи с чем прихо-
дится довольствоваться существующими конструктивными рекомендациями
или условным расчетом2.
При заполнении отсека водей изменение осадки судна, а также крен
и дифферент столь значительны, что проверка прочности днища и бортов
в остальных отсеках судна обязательна. Вода, поступившая в поврежден-
ный отсек, нагружает также выделяющие его переборки, распределяясь по
высоте их по зак«ну треугольника, вершина которого лежит на уровне ава-
рийной ватерлинии. Расчетные напоры при проверке прочности днища
бортов и переборок берутся из расчета непотопляемости.
У речных судов, не выходящих на озера, рейды и моря, непотопляе-
мость иногда лимитируется их прочностью и не может быть обеспечена.
1 Подробные указания по этому вопросу можно найти в книге акад. Ю. А. Ши-
манского «Расчет прочности корпуса корабля при постановке в док и при спуске
в воду», Оборонгиз, 1946.
2 См., например, нормы для расчета прочности Речного Регистра (1956).
-538
Местная прочность корпуса судна
[Гл. XVIII
В тех случаях, когда речное судно имеет возможность выйти на мелкое
место, где затопление его представляет относительно меньшую опасность,
иногда считают возможным мириться с указанным обстоятельством.
При испытании водонепроницаемости судов наливом давление опреде-
ляется высотой уровня налива в отсеке или в напорной трубке, выводимой
выше палубы. Высота уровня при испытании нормируется ГОСТ 3285—55.
При этом испытании имеет место давление на палубу снизу вверх1.
В расчете прочности днищевых связей при испытаниях водонепрони-
цаемости на стапеле следует учитывать и реакции кильблоков.
В случае, если испытания наливом производятся на плаву, давление за-
бортной воды в некоторой мере компенсирует давление воды, налитой в отсек.
В качестве примера на рис. 197 показана нагрузка при испытаниях
непроницаемости для обшивки и набора бортов грузовых отсеков налив-
Рис. 19;. Нагрузка обшнвки борта наливного судна при испытании непроницаемости
ного судна, внутреннего плавания разряда Р. В соответствии с действу-
ющим ГОСТ испытание наливом отсека в этом случае производится на-
пором, на 0,6 м превышающим высоту борта (Я - 0,6 л/) у судов, не
имеющих расширительных шахт (рис. 197, а). При наличии расширитель-
ных шахт (рис. 197, б) уровень воды при испытании наливом должен лежать
на высоте 0,75 h (где h — возвышение расширительной шахты над палубой).
На рис. 197, в показаны нагрузки на борт от давления воды, действующей
изнутри отсека, и от давления забортной воды, а на рис. 197, г — эпюра
результирующей нагрузки при испытании.
Нагрузки от веса груза
Груз (включая и топливо) в основном нагружает перекрытие, на котором
он размещен: днищевое — у судов, перевозящих груз в трюмах, палубное —
у судов, перевозящих груз на палубе. В зависимости от рода груза это дав-
ление или равномерно распределено по перекрытию или нагружает его
в пределах отдельных участков (длинномерные грузы), а иногда и в виде
сосредоточенных сил (тяжеловесы, автомобили и т. п.). В последнем случае
1 Подобное давление будет иметь место и при испытании водонепроницаемости
сжатым воздухом.
§ 74]
Расчетные местные нагрузки
539
нередко прибегают к устройству подкладок под груз, которые разносят его
вес на большую площадь, создавая как бы фундамент для этого груза.
Необходимо учесть влияние проходов и колодцев, устраиваемых иногда
при укладке груза для установки перегрузочных механизмов и т. п. В слу-
чае палубного груза аналогичную роль играют, на-
пример, надстройки, наличие которых не позволяет
равномерно распределить груз на палубе.
Среднюю интенсивность нагрузки от веса груза
определяют путем отнесения веса груза, помещаю-
щегося на данном перекрытии, к его площади. При
этом надо учесть, что верхняя поверхность гру за мо-
жет быть неровной, например у
и т. п. (рис. 198).
сыпучих грузов
Рис. 199. Эпюра
давления сыпучего
груза на пере-
борку
Рис. 198. Неравномерность нагрузки
сыпучих грузов
при перевозке
Грузы жидкие, а также сыпучие и перекатывающиеся, помимо пере-
крытия, на котором они расположены, нагружают также переборки и борта,
а иногда и фермы.
Для грузов сыпучих нагрузка на борт и переборки распределяется по
треугольнику, горизонтальный катет (рис. 199), которого равен h(H,
где у— погрузочный удельный вес1 груза, И — высота укладки груза.
Значения погрузочного удельного веса у и коэффициента k приводятся
в табл. 125.
Следует обратить вни-
мание на то, что в случае
перевозки жидкого груза
при крене и дифференте
может резко измениться
давление груза на днище,
борта и переборки, так-
как интенсивность нагруз-
ки в данном случае зави-
сит от возвышения (по вер-
тикали) наивысшей точки
груза над данной точкой в
рассматриваемом трюме
Таблица 125
Наименование груза у, т)м3 k
Каменный уголь ... 0,8 0,27
Пшеница . ... 0,75 0,25—0,33
Рожь 0,73 0,33—0,31
Овес 0,45 0,22-0,13
Ячмень . . 0,71 —
Соль . . . 0,96 0,22
Булыжник 1,50 0,20
Цемент • ,3—2,0 0,42
Сухой песок 1,5 0,21
Сырой песок ... 2.0 0,42
при наклоне судна.
У сыпучих и перекатывающихся грузов при крене и дифференте также
может иметь место изменение давления груза на борта и переборки вслед-
ствие происходящего при этом увеличения объема призмы обрушения2.
1 Т. е. вес единицы объема свободно насыпанного груза.
2 С перемещением этих грузов в трюме у грузовых судов внутреннего пла-
вания можно не считаться, так как угол естественного откоса груза у них обычно
значительно превышает возможные величины угла крена и дифферента.
540
Местная прочность корпуса судна
[Гл. XVIII
Рис. 200. Эпюра давления жидкого груза
на палубу
Если груз жидкий и поверхность его находится выше палубы, послед-
няя нагружена давлением этого груза, направленным снизу вверх (рис. 200)-
Интенсивность этого давления
определяется возвышением верх-
ней поверхности груза h над
палубой.
Интенсивность давления
груза меняется в процессе по-
грузки и выгрузки.
При учете нагрузки от гру-
зов в некоторых случаях при-
ходится считаться с инерцион-
ными силами, которые возни-
кают при качке судна. Инер-
ционные
быть определены аналогично тому, как это будет
но к механизмам.
силы при этом могут
показано применитель-
Ледовые нагрузки
Несмотря на значительный опыт эксплуатации судов в ледовых усло-
виях и ряд специальных статистических1, экспериментальных2 и теорети-
ческих* * исследований, вопросы о дополнительных нагрузках, испытывае-
мых связями судового корпуса при плавании во льдах, методики расчета
связей на прочность и нормирования напряжений не могут в настоящее
время считаться изученными с необходимой для конструктора точностью.
Поэтову к приводимым ниже цифровым данным следует относиться доста-
точно критически и всюду, где это можно, основываться на опыте эксплуа-
тации однотипных судов в идентичных условиях, а расчетам на прочность
придавать не абсолютный, а сопоставительный характер.
Следует различать четыре основных вида плавания во льдах: а) ход
в битых льдах за ледоколом или во время весеннего ледохода; б) непрерыв-
ный ход в сплошном поле приблизительно одинаковой толщины; в) форси-
рование перемычек или местных утолщений ледяного поля путем исполь-
зования инерции судна; г) стоянка судна в сплошных льдах во время ледо-
вых сжатий.
При ходе судна в битых льдах за ледоколом
нагрузки при ударах о льдины зависят от ряда факторов: формы корпуса
в районе удара, скорости судна, массы льдины и судна и т. д. Прибли-
женно силу удара льдины о борт судна (ее следует считать направленной
по нормали к борту и прилагаемой статически) можно считать равной
Dh*
P = k'vD+T№’ (507>
где:
D—водоизмещение судна в т;
h — толщина льда в л;
1 Л. К. Осмо л о нс к ий, К установлению стандарта крепости судовых кор-
пусов в условиях ледового плавания, Труды ВНИТОСС, т. I, вып. 2, 1934.
• А. Н. Крыл о в, глава в книге С. О. Макарова «Ермак во льдах»,
1901: В. В. Давыдов, Крепость ледокольных судов, «Судостроение» 1937, К» 2:
М. К. Таршис, Научные итоги исследовании прочности ледокольных судов,
«Проблемы Арктики», 1938, № 2.
* Ю. А. Шиманский. Условные измерители ледовых качеств судна, Труды
Арктического института, т. 130, 1938; В. В. Давыдов, Теоретическое исследова-
ние удара корабля о льдину «Проблемы Арктики», 1938, № 5—6; М. К. Т а р ш н с,
Ледовые нагрузки, воспринимаемые судном, «Речной транспорт», 1957, .№ 12.
§ 74] Расчетные местные нагрузки 541
v — проекция скорости судна на нормаль к поверхности борта в м/сек-,
k — коэффициент пропорциональности, зависящий от состояния льда
(пористость, соленость и т. д.) и приблизительно равный 300 т сек/м\
Благодаря дрейфу судна при маневрировании во льдах и некоторому
движению льдин в канале, прокладываемом ледоколом, за которым сле-
дует рассматриваемое судно, ударам подвергается не только носовая око-
нечность судна, но и весь борт в зоне возможных ледовых воздействий. Эту
зону можно считать ограниченной ватерлинией, проведенной на 0,3—0,5 м
выше Г ВЛ, и ватерлинией, расположенной на 0,5—1,2 м ниже ватерлинии
порожнем.
При сниженной скорости движения во льдах и необходимой осторож-
ности судоводителя входящую в формулу (507) относительную скорость v
можно принимать равной 0,5 м'сек для средней части корпуса и 1 м/сек —
для носовой. Далее, как это видно по формуле (507), для крупных судов
в мелкобитых льдах ледовые нагрузки мало зависят от водоизмещения,
поэтому можно принимать
P = k.Pcp, (508)
где:
Р — сила, действующая на бортовой набор. Ее можно рассматривать
как сосредоточенную и статически действующую. Точку приложе-
ния следует выбрать наиболее неблагоприятной для шпангоута
или бортового стрингера в указанной выше зоне возможных ледовых
воздействии;
— коэффициент, учитывающий увеличение нагрузок в оконечностях
и принимаемый равным 1,5—-2 для носовой оконечности и 1,2—1,5
для кормовой;
Рср — сила ледового удара в средней части корпуса (см. ниже).
Хотя в расчетах набора силу Р можно рассматривать как сосредо-
точенную, но фактически она распределена по некоторой площади, при-
близительно равной h-, где h — расчетная толщина льда. Поэтому если
расстояние между шпангоутами (шпация с) окажется меньше h (так это
обычно и будет для промежуточных шпангоутов), то силу, прикладывае-
мую к шпангоуту, следует считать равной
R = P-^- (509)
Соответственно сказанному бортовую обшивку в зоне возможных
ледовых воздействий следует считать нагруженной равномерно распреде-
ленной нагрузкой интенсивности:
P=^ = k^§- (51°)
При расчете обшивки как заделанной по концам балки-полоски
напряжение в ней на опорах можно допустить равным ат.
Сила ледовых ударов в среднюю часть корпуса Рср, входящая в фор-
мулы (508)—(510), а также расчетная толщина льда, необходимая для
определения давления на обшивку по формуле (510), может быть принята
равной г:
А) для судов, систематически плавающих в Арктике (за ледоколами):
Рср = 50 — 70 т, h = 0,75 м;
1 Приведенные числовые данные в основном заимствованы из проекта времен-
ных норм прочности стальных морских судов, разработанного ЦНИИМФ в 1955 г.
542
Местная прочность корпуса судна
[Гл. XVIII
В) для судов, систематически плавающих во льдах Белого моря,
Финского залива, по Верхней и Средней Волге и волжским водохрани-
лищам:
Рср = 30 40 т, h = 0,6 .и;
С) для судов, совершающих зимние рейсы по Каспийскому, Азов-
скому и Цимлянскому морям, а также по Нижней Волге:
Рер = 8н- 12 т, h = 0,4 ль
По приведенным числовым данным и формулам (508), (510) соответ-
ственно для этих трех групп судов (А, В, С) получается:
Нагрузка на 1 пог. м ватерлинии:
в средней части корпуса
в носовой оконечности .
в кормовой оконечности .
Давление на обшивку:
в средней части корпуса
в носовой оконечности .
в кормовой оконечности
АВС
/04- 90 т/М а04- 70 т/м 204-30 т/м
1004-190 > 754-135 > 304-60 »
804-140 > 604-100 » 254-45 »
904-125 т/м? 854-110 m/.и2 504- 75 т/м3
1354-250 > 1254-220 > 754-150 »
1104-190 > 1004-170 > 604-115 »
При непрерывном ходе в сплошном ледяном поле
толщиной h ледовую нагрузку следует считать распределенной вдоль
носовой оконечности и ее интенсивность на погонный метр ватерлинии
можно принимать равной
q = k3h- (511)
или R = k3ch" (511а)
на каждый шпангоут,
где: R— усилие, статически приложенное к шпангоуту, в т;
с — шпания в Л1;
h—расчетная толщина ледяного поля в .и;
k3 — статистический коэффициент, в значительной степени зависящий от
формы носовой оконечности корпуса. Для судов со специальными
ледокольными образованиями он приблизительно равен 200 т/м3-,
для обычных транспортных доходит до 500 т'м3.
Что касается расчетной толщины ледяного поля, входящей в формулы
(511), то она должна быть взята не больше толщины того ледяного поля,
в котором мощность силовой установки рассматриваемого судна обеспечи-
вает ему безостановочное продвижение. В среднем можно принять, что
судно в состоянии двигаться непрерывно в однородном поле толщиной h
(см) если его мощность (л. с.) Л' = 5 В ft, где В ширина корпуса судна в м.
Давление на балку-полоску, выделенную из обшивки, может быть
определено по формуле
р = k3h. (5116)
Форсирование ледяного поля или перемычек.
При форсировании ледяного поля или перемычек ледокол продвигается
вперед медленно, постоянно отходя назад для разбега. Накопленная во
время разбега по проделанному каналу кинетическая энергия идет на раз-
рушение льда (в тяжелых условиях судно врезается в лед не более чем на
полкорпуса). Разрушение льда может происходить либо непосредственно
от удара о лед (при тупых образованиях носовой оконечности), либо от
обламывания льда под тяжестью ледокола в результате налезания его
на лед (при сильно наклоненном форштевне). В обоих случаях усилия
действующие на корпус, пропорциональны массе ледокола и квадрату
скорости подхода к форсируемому льду.
Расчетные местные нагрузки
543
Пока представляется невозможным дать какие-либо, даже приближенные,
количественные характеристики подобных ударов. В этом случае надо встать
на путь сравнительных расчетов и учесть в них все характеристики судна1.
Ледовыесжатия могут быть вызваны течением реки при ледо-
ходе, приливно-отливными течениями, а в открытом море — длительно дую-
щими в одном направлении ветрами при условии, что ледяное поле не может
свободно передвигаться. В процессе сжатия лед торосится, одна льдина
нагромождается на другую, лед лезет на палубу судна и под днище, ломаясь
и крошась. Арктические сжатия не страшны лишь самым прочным ледо-
колам и, по-видимому, огут создавать в неблагоприятных условиях давле-
ние на большую поверхность борта, близкое к временному сопротивлению
льда сжатию. Сжатия приливно-отливного характера, например, в горле
Белого моря, доходят до 40 т/м1* *. Речные сжатия применительно к судам
не изучены.
Все указанные выше нагрузки должны вызывать в наборе и обшивке
напряжения не выше предела текучести. В некоторых случаях целесооб-
разно вести расчеты по методу предельных нагрузок.
Нагрузки перекрытий машинного отделения. Усилия, передаваемые
корпусу судовыми устройствами
Перекрытия машинных отделений нагружены: а) давлением воды;
б) весом механизмов и котлов и весом конструкции перекрытия; в) опроки-
дывающими моментами поршневых двигателей; г) силами инерции обору-
дования машинного отделения, возникающими при бортовой и килевой
ачке судна; д) силами инерции движущихся частей двигателя.
Величину давления воды на перекрытие машинного отделения следует'
орать для судна на тихой воде или на волнении в соответствии с указаниями,
данными выше.
Нагрузка от веса механизмов и котлов считается равномерно распре-
деленной в пределах их фундаментов. Но поскольку обычно основные фунда-
ентные балки доводятся или до поперечных переборок и до шпангоутных
рам усиленной конструкции (если таковые имеются), или до бортов и про-
льных переборок и ферм (если таковые имеются), нагрузку от веса меха-
измов условно считают равномерно распределенной по всему перекрытию.
:сли тяжелые машины расположены вдали от переборок, указанный порядок
пределения нагрузки перекрытия можно рассматривать лишь как первое
риближение. В дополнение к нему необходимо в этих случаях проверить
тдельно прочность балок перекрытия, несущих машину.
Нагрузку от собственного веса конструкции перекрытия машинного
отделения также считают равномерно распределенной по его площади.
Опрокидывающие машину моменты (см. стр. 710), обусловленные давле-
нием пара или газа в цилиндрах, нагружают перекрытие машинного отделе-
ния. Усилия, вызванные опрокидывающи i моментом и действующие на
эундамент (см. рис. 201), могут быть легко найдены, если известны харак-
теристики машины.
При расчете перекрытия эти усилия обычно в состав нагрузки не вклю-
ч. ются, так как это очень усложняет расчет.
Для получения суммарных усилий на фундамент со стороны машины
для расчета прочности элементов его конструкции и, в частности, фундамент-
1 Значительную помощь могут оказать условные измерители, введенные акад.
А. Шиманским (Труды Арктического института № 130, 1938).
* В. В. Давыдов на л/п <Садко» в горле Белого моря наблюдал сжатие 38 т/м2
у достроение .Vs 2 за 1937 г.).
544
Местная прочность корпуса судна
[Гл. Х\Ш
ных болтов, кроме усилий от опрокидывающего момента, следует учесть
также вес машины или составляющие его, получающиеся при наклонении
судна. Помимо этого, при расчете обделочных полос фундаментных балок
должны быть учтены усилия от натяжения фундаментных болтов.
При наклонной машине часть реакций передается поперечной переборке.
Определение величины этих реакций производится в принципе аналогично
том}, как это было сделано выше.
При качке появляется сила инерции К (рис. 201), действующая перпен-
дикулярно к направлению линии, соединяющей ц. т. машины (или котла)
с осью вращения судна (плечо г), проходящей через его ц. т.
Величина этой силы в случае, если перемещение ц. т. машин удовлет-
воряет уравнению (см. рис. 201, б)
. 2к/
з = =>orsin ,
будет равна произведению массы на ускорение, т. е.
£
ё
где:
s —длина дуги окружности, описываемой н. т. машины при качке;
— максимальный угол крена при качке;
t —время;
Т — полный период бортовой качки;
Р — вес машины.
Максимальной величины эта сила достигает в крайних положениях
и равна
4^2г<?0Р
К ' gT^ ' (5 2)
Наибольший угол крена при качке может быть получен расчетом
качки. Для морских судов в рассматриваемом расчете обычно принимают
= 25э = 0,44.
В этом случае сила инерции будет равна
К =1^
Л25“ gT’»
Кроме силы инерции, при качке должна быть учтена постоянно дей-
ствующая сила веса машины (центробежной силой при качке можно пре-
небречь).
Следует рассмотреть крайние положения ц. т. машины при качке и
определить опрокидывающие моменты Мопр от обеих этих сил относительно
левой и правой фундаментных балок; общее выражение для моментов
может быть взято в виде
Мопр = К, - Р/2, (514)
где 1± н /± — плечи сит К и Р относительно точек Аи В (см. рис. 201, в и г),
вводимые в формулу (514) с учетом их знака в зависимости от располо-
жения этих сил относительно рассматриваемой точки.
Усилия R на фундаментных балках, уравновешивающие момент Мопр,
равны
D Мопр KR + PL
R b ь
(515)
§ 74]
Расчетные местные нагрузки
545
Силы инерции от неуравновешенности механизмов могут вызвать общую
вибрацию корпуса судна и местную вибрацию перекрытия машинного
отделения, что и должно быть учтено.
Рис. 201. Нагрузки, действующие на фундаменты механизмов при
бортовой качке
В ряде случаев судовые устройства нагружены значительными внеш-
ними сосредоточенными усилиями (например, буксирные кнехты, шпили,
брашпили и т. п.). Конструкция корпуса в местах установки таких
устройств должна быть достаточно прочной, чтобы'передать эти|усилия на
основные связи корпуса судна: борта, переборки и палубы. Для восприя-
тия указанных усилий приходится устраивать специальные подкрепления
Зэ справсчннк
Местная прочность корпуса судна
[Гл. XVIII
конструкции корпуса судна путем установки дополнительных балок или уве-
личения сечений существующих, а также путем увеличения толщины листов.
В большинстве случаев внешней нагрузкой подкреплений этих
устройств является натяжение каната (кнехты, буксирная лебедка, шпили),
которое в расчете подкрепления принимают равным разрывному усилию.
Надо выбрать наиневыгоднейшее с точки зрения прочности подкрепления,
но возможное в условиях эксплуатации направление этого усилия.
Взаимодействие нагрузок (суммирование нагрузок)
Нагрузки описанных выше отдельных категорий действуют на конструк-
цию корпуса судна во многих случаях одновременно и должны быть поэтому
в расчете прочности просуммированы. Взаимодействие нагрузок, определяю-
щее условия их суммирования, зависит от характера конструкции и сво-
дится к одному из следующих случаев.
1. Суммарная нагрузка различных по знаку местных нагрузок опре-
деляется как алгебраическая сумма этих нагрузок вследствие того, что эти
нагрузки непосредственно с двух сторон приложены к данному элементу
конструкции (нагрузка днищевых балок рамных шпангоутов и кильсонов,
нагрузка пластин обшивки днища и холостого набора наливных судов и т. д.,
нагруженных разностью напора воды извне и противодействия груза в
трюме).
2. Разные по знаку местные нагрузки не суммируются, так как воспри-
нимаются различными элементами конструкции каждая в отдельности (на-
пример, холостой набор и пластины обшивки днища у сухогрузных судов,
нагруженные только напором воды извне, а давление груза в трюме ими
не воспринимается, так как передается на елань и т. п).
3. Разные по знаку местные нагрузки суммируются (взаимодействуют)
таким образом, что отдельные элементы конструкции оказываются в общем
случае нагруженными не фактически приложенными к ним нагрузками,
а некоторой долей алгебраической суммы этих нагрузок (например, распре-
деление нагрузки между палубным и днищевым перекрытием—см. стр. 551).
Для установления расчетной нагрузки от совместного действия давле-
ния забортной воды и груза в трюмах надо проследить процесс погрузки
и найти максимум разности давлений. В связи с этим расчетной нагрузкой
от давления воды не всегда является давление, соответствующее грузовой
осадке: расчетным может оказаться давление при какой-либо другой осадке
и, в частности, при осадке порожнем.
§ 75. РАСЧЕТ МЕСТНОЙ ПРОЧНОСТИ ОТДЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ КОРПУСА
СУДНА
Геометрическая схема и основные условия расчета конструкции
Выводы строительной механики корабля были получены примени-
тельно к схематизированным конструкциям.
Поэтому для расчета прочности конструкции корпуса судна надо соста-
вить ее геометрическую схему, на которой э ;менты конструкции изобра-
жаются линиями. Теоретически было бы правильным при построении такой
схемы заменить реальные балки линиями, проходящими через ц. т. отдель-
ных поперечных сечений (осями изгиба). Практически прямые линии схемы
проводят по внешней кромке реальных балок. Благодаря этому для балок
§ 75] Расчет местной прочности отдельных конструкций 547
с большой высотой сечения, входящих в состав рам, создается некоторый
запас прочности.
При построении геометрической схемы конструкции корпуса судна
пренебрегают закруглениями скулы и погибью бимсов, представляя шпан-
гоутные рамы как прямолинейные стержневые конструкции. Криволиней-
ный характер обводов сохраняется лишь на схемах шпангоутных рам в око-
нечностях судна в тех редких случаях, когда производится расчет проч-
ности этих рам.
Фиксация опор, установление их характера, а также определение сме-
щаемости узлов рамных конструкций указываются ниже, при рассмотрении
порядка расчета каждой конструкции в отдельности.
Степень защемленности отдельных балок определяется по конструктив-
ным соображениям н по характеру распределения нагрузки. При соедине-
нии двух элементов, сильно отличающихся своей жесткостью, более жесткий
элемент считается свободно опертым в месте соединения, а менее жесткий —
защемленным. Отдельные пролеты многопролетной балки с равными про-
летами нагруженной, равномерно распределенной нагрузкой, могут рассмат-
риваться как балки, защемленные на обеих опорах.
При подробном расчете для каждой отдельной балки или для каждого
отдельного стержня в стержневой конструкции должны быть проверены
три поперечных сечения:
1) в точке приложения наибольшего изгибающего момента в пролете;.
2) на опоре;
3) по концу кницы, обращенному к пролету1.
При расчетах, требующих большой точности, ширину условных пояс-
ков балок следует устанавливать, определяя редукционный коэффициент
пластины.
Если напряжения направлены вдоль длинных сторон пластины, шири-
на b условного пояска берется по формуле
Ь = ± (1 Н- ?).
где:
а — размер короткой стороны опорного контура;
<р = ——------редукционный коэффициент.
3&еВсте
Ширина условного пояска не должна превышать одной шестой части
пролета защемленной балки и одной трети пролета свободно опертой балки.
В конструкторских бюро ширина условного пояска весьма часто прини-
мается равней сорока — шестидесяти толщинам.
При проверке прочности корпуса судна не представляется возможным
рассчитывать каждую деталь его; обычно выбираются наиболее типичные,
ответственные и нагруженные конструкции, например набор отсеков цилин-
дрической части судна, переборка средней части судна, переборки оконеч-
ностей, топливных и балластных отсеков, переборки коффердамов, набор
машинно-котельных отделений, фермы и т. п.
Обшивка и настилы
Пластины наружной обшивки и настилов следует, вообще говоря,
рассматривать как пластины конечной жесткости. При этом должно учи-
тываться влияние осевых усилий, распора и самораспора на изгиб пластины.
В настоящее время нет решений, учитывающих все эти факторы. Теория
1 Следует иметь в виду, что наличие книц увеличивает опорный момент.
35Т®
548 Местная прочность корпуса судна [Гл. XVIII
изгиба гибких пластин небольшого прогиба не учитывает влияния распора
и самораспора, теория балки-полоски не учитывает влияния коротких сто-
рон опорного контура. Поэтому при отношении сторон пластины, большем 2
(малое влияние коротких сторон), следует пользоваться теорией балки-
полоски, при меньшем отношении сторон пластины приходится удовлетво-
риться теорией изгиба тонких пластин небольшого прогиба.
Пластины, имеющие малы прогиб (соответствующий критерии см.
§ 46) и слабо нагруженные растягивающими (или сжимающими) напряже-
ниями, можно рассчитывать как жесткие.
При расчете пластины как балки-полоски принимаются следующие
коэффициенты распора:
при поперечной системе набора — 1,0.
при продольной системе набора — 0,5.
Вследствие обычной для садовых пластин симметрии нагрузки пла-
стины считаются защемленными по всему опорному контуру. Если напря-
жения на опорном контуре при этом превосходят предел текучести,
коэффициент защемления будет 0 < х < 1.
В этом случае напряжения и прогибы также будут принимать средние
значения между величинами, полученными в предположении, что х = 1
И х = О.
Снижение коэффициента заде, ки приводит к увеличению цепных напря-
жений. Суммарные же напряжения в пролете (цепные и напряжения изгиба)
изменяются относительно мало. Это дает возможность отказаться от разы-
скания точного значения коэффициента заделки. Если расчет защемленной
пластины показывает, что на опорном контуре напряжения превосходят
предел текучести, повторяют расчет этой пластины, полагая ее свободно
опертой. Напряжения в пролете пластины принимаются равными средним
из полученных в обоих расчетах (для защемленной и свободно опертой
пластины); напряжения на опорах, естественно, равны пределу текучести.
Зона, в которой напряжения равны пределу текучести, очень мала.
Холостые шпангоуты и продольные балки
Холостые шпангоуты работают, кзк рамы. Продольные переборки,
скулы и пересечения палуб с бортами служат жесткими опорами таких
рам. Продольные связи (кильсоны, бортовые стрингеры, карлингсы)
являются жесткими опорами для ближайших к поперечным переборкам
холостых шпангоутов; для шпангоутов средней части отсека продольные
связи представляют собой смещающиеся опоры* 1.
Практически весьма часто ограничиваются проверкой расчетом наиболее
опасного участка, который почти во всех случаях можно рассматривать
как ба: ку, защемленную на жестких опорах .
При продольной системе набора продольные балки рассматриваются
как отдельные балки длиной, равной расстоянию между рамными шпан-
гоутами: они считаются нолностью заделанными по концам и опирающимися
на абсолютно жесткие опоры2.
К нагрузке этих балок необходимо присоединить осевые силы от общего
изгиба судна и при малой жесткости балок вести расчет их на сложный изгиб.
Осевые силы от общего изгиба определяются умножением напряжений
общего изгиба на площадь сечения балки с условным пояском.
1 Величина этого смещения может быть определена путем расчета прогибов
продольной связи или рамного шпангоута.
1 Продольные балки при бескничной системе набора должны считаться на
переборках свободно опертыми.
§ 75] Расчет местной прочности отдельных конструкций
549
Бракетные шпангоуты
Бракетные шпангоуты при точном расчете прочности следует рассмат-
ривать на каждом участке между продольными балками основного пере-
крытия как раскосные или безраскосные (в зависимости от примененной
конструкции) фермы, нагруженные сверху и снизу действующими нагруз-
ками (в случае днищевой балки шпангоута, например, снизу — давлением
воды, а сверху — весом груза) и имеющие защемления на жестких опорах —
кильсонах.
Для бракетных шпангоутов, не имеющих раскосов, расчет должен
выполняться в предположении равенства прогибов холостого шпангоута
и подсланевого угольника в точках, связанных стойками.
Продольные связи
Роль продольных связей (кильсоны, карлингсы, бортовые стрингеры}
в местной прочности определяется соотношением их момента инерции и
длины и момента инерции и длины поперечных связей (флорные и рам-
ные шпангоуты).
Относительно длинные продольные связи работают как элементы вспо-
могательных перекрытий. Таковы почти всегда бортовые стрингеры речных
судов, а также кильсоны и карлингсы в длинных отсеках. Назначением
таких связей, кроме указанного ( и участия в общем изгибе судна), является
выравнивание напряжений в смежных поперечных связях в тех случаях,
когда последние нагружены неравномерно (швартовка, посадка на мель,
нагрузки иа стапеле и т. п.).
Продольные связи, имеющие сравнимые с поперечными связями момент
инерции и длину, являются элементом основного набора и образуют сов-
местно с поперечными связями перекрытия (с флорными шпангоутами)
или пространственные системы, состоящие из рам и перекрытий (с рамными
шпангоутами).
Перекрытие будет иметь место (т. е. в расчете будет учитываться взаи-
модействие балок), когда:
А ] з •
(516)
где:
L—длина перекрытия (обычно расстояние между поперечными пере-
борками);
I— ширина перекрытия (расстояние между бортами и продольными
переборками);
а — расстояние между балками главного направления (между рам-
ными шпангоутами; если нет рамных шпангоутов — между флор-
ными);
Л — среднее значение расстояния между перекрестными связями
’ (кильсонами, карлингсами), равное ширине перекрытия, разде-
ленной на число перекрестных связей, плюс единица;
i— момент инерции сечения балок главного направления;
/—средний момент инерции сечения перекрестных связей.
A L3 i
При этом, если — -j- будет меньше 0,2, то перекрестные связи
можно считать жесткими опорами для балок главного направления. Если
A L3 i
же — — — будет больше 5, то балки главного направления можно счи-
тать жесткими опорами для перекрестных связей.
550 Местная прочность корпуса судна [Гл. XVIII
Более точный критерий работы перекрестных балок — см. гл. IX.
Если продольные связи являются элементами вспомогательных пере-
крытий, их рассчитывают как балки длиной, равной расстоянию между
рамными (флорными) шпангоутами. Они опираются на рамные шпангоуты
как на абсолютно жесткие опоры и вследствие имеющего обычно место рав-
номерного распределения нагрузки считаются полностью защемленными
на этих опорах. Участки продольных балок у поперечных переборок рабо-
тают в значительно более тяжелых условиях, что следует учитывать при
проектировании продольных связей (особенно в сварных конструкциях).
При расчете перекрытий в некоторых случаях следует учитывать продоль-
ные усилия от общего изгиба в их перекрестных связях, т. е. вести расчет
сложного изгиба перекрытия (см. § 41).
Флорные шпангоуты
Флорные шпангоуты следует считать свободно опертыми на бортах.
В случае отсутствия в конструкции рамных (или полурамных) шпан-
гоутов, если неравенство предыдущего параграфа показывает, что флорные
шпангоуты поддерживаются продольными связями, следует произвести
расчет перекрытия.
У казания о расчете перекрытий, в которых чередуются рамные и флор-
ные шпангоуты, даны в § 40.
Рамные шпангоуты
Расчет рамного шпангоута следует произвести, если установлено, что
продольные связи днища и палубы являются лишь элементами вспомога-
тельных перекрытий. Рамные шпангоуты рассчитываются как жесткие рамы,
жестко опертые на продольные переборки, раскосные фермы, узлы пере-
сечения бортов с днищем и палубой. Эти опоры полагаются обычно абсо-
лютно жесткими, хотя палубу при больших вырезах люков и раскосные
фермы было бы точнее считать упругими, определяя с помощью соответ-
ствующих расчетов их смещения.
Пиллерсы обычной конструкции уравнивают смещения соответствую-
щих точек днищевой и палубной ветвей рамы н при расчете рамы полагаются
нагруженными лишь осевым усилием. Рамные пиллерсы следует считать
нагруженными, кроме осевого усилия, еще и моментами по концам.
Нагрузка рамы, состоящая из давления воды, передающегося балкам
рамы непосредственно к ней прилегающими пластинами, и реакций про-
дольных связей, весьма часто заменяется распределенной нагрузкой, под-
считанной на все расстояние между рамами.
Расчет совместной работы рам и перекрытий.
В случае, когда продольные связи работают совместно с рамными шпангоу-
тами при «наличии достаточно часто расставленных пиллерсов, приме-
няется расчет сложной конструкции, состоящей из днищевого перекрытия,
рам и палубного перекрытия.
В существующих в настоящее время приближенных методах расчета
совместной работы рам и перекрытий принимается, что нагрузка, дейст-
вующая на днище, распределяется между днищем и палубой в соответствии
с их жесткостями. Проще всего понимать это соответствие как прямую про-
порциональность долей нагрузки, приходящихся на днищевое и палубное
перекрытия, суммарным моментам инерции балок соответствующих пере-
крытий.
§ 75] Расчет местной прочности отдельных конструкций
551
Коэффициент опорной пары принимается равным:
для днищевой балки рамы1
1 (517)
° + 3 В16
для палубной балки
1 *я “ 2 Н 1' (518)
4 . 14-—— — + з В 16
где Iд, 1б и /в — моменты инерций днищевой, бортовой и палубной балок
рамы.
Если напряжения, вызванные в бортовой балке изгибающим моментом,
подсчитанным для этого значения х. превышают допускаемые, коэффициент
опорной пары должен быть соответственно снижен.
Коэффициент опорной пары для продольных связей рекомендуется при-
нимать 0,54-0,75.
В более точном методе днищевое и палубное перекрытия нагружаются долями
общей, действующей на днище и палубу нагрузки, а влияние бортов учитывается
моментами защемления балок главного направления этих перекрытий у бортов.
Моменты защемления можно считать меняющимися вдоль бортов по косинусоидаль-
ному закону
I I 2-г
М = Мя — 1 —cos -j- | для линии пересечения палубы с бортом и
I I 2.-х.
Л1 = Мд -р- 1—cos — ] для линии скулы,
где:
I—длина перекрытия (расстояние между переборками);
М„ и Мд — подлежащие разысканию максимальные моменты, действующие в сере-
дине вышеуказанных линий.
При этом днище считается нагруженным равномерно распределенной неизвест-
ной интенсивности нагрузкой и упомянутыми распределенными моментами по про-
дольным кромкам, а борт—теми же моментами и действующей на него треугольной
нагрузкой. Поскольку влиянием продольных связей борта (бортовыми стрингерами)
можно пренебречь, рассматривается лишь средний шпангоут борта, нагруженный
треугольной нагрузкой и моментами А1П и Mg.
Подлежащие определению доля нагрузки, воспринимаемая палубой, и опорные
моменты днищевой и палубной ветвей рамы могут быть найдены из трех уравнений:
1) равенства максимальных прогибов днищевого и палубного перекрытий
(в центрах перекрытий);
2) равенства углов поворота днищевой и бортовой ветвей рамы в середине
перекрытия;
3) равенства углов поворота палубной и бортовой ветвей рамы в середине
перекрытия.
Если доля нагрузки, воспринимаемая палубой, велика, следует проверить
прочность участков днищевой балки рамы, предполагая, что нагрузка палубы при-
ложена к днищу в местах установки пиллерсов. Более подробные указания, необ-
ходимые при использовании этого, еще ие получившего распространения метода,
можно найти в статье проф. Н. В. Маттес «Влияние палубы и бортов на изгиб
днищевых перекрытий речных судов»* * .
1 Формула не учитывает давления забортной воды на бортовую ветвь рамы,
работы пиллерсов и момента, действующего на палубном конце бортовой ветви.
* Журнал «Речной транспорт», 1946, № 4.
552 Местная прочность корпуса судна [Гл. XVIII
Перекрытия машинных отделений
Только при установке хорошо уравновешенных двигателей небольшой
мощности можно ограничиться одним лишь усилением обделочных полос
фундаментных балок. Обычно конструкция перекрытия машинного отделе-
ния характерна тем, что часть балок этого перекрытия делается особенно
прочной, так что жесткость их значительно превышает жесткость прочих
балок перекрытия.
При наличии усиленных фундаментных балок прочие балки одинако-
вого с ними направления в работе перекрытия принимают незначительное
участие и в расчете прочности перекрытия их часто не учитывают. Так, при
продольных фундаментных балках в состав перекрытия не.вводятся киль-
соны, а при поперечных — прочие днищевые балки шпангоутов.
При наличии сильных фундаментных балок двух направлений по той
же причине часто рассматривают в расчете прочности перекрытие, состав-
ленное одними только этими усиленными балками.
Проверка расчетом возможности резонанса местной вибрации пере-
крытия днища и листов обшивки днища машинного отделения выполняется
в соответствии с указаниями главы XXVII.
Пиллерсы
Если жесткость пиллерсов близка к жесткости балок шпангоутной рамы,
расчет прочности их производится как элементов шпангоутной рамы.
В большинстве случаев у речных судов пиллерсы не являются достаточно
жесткими для указанной трактовки их работы и их считают шарнирно при-
соединенными к балкам рамы. Уравнивая вертикальные перемещения бимса
и днищевой балки шпангоутной рамы, пиллерсы работают на сжатие как
стойки. По этой схеме и производится проверка их устойчивости на эйле-
рову нагрузку реакциями, полученными из расчета шпангоутной рамы.
В случае перевозки в трюмах перекатывающихся грузов (бочки и т. п.)
необходимо учитывать возможность изгиба пиллерсов навалом груза.
Переборки
Переборки, поставленные из условия непотопляемости и нагружаемые
аварийным напорем воды, могут рассчитываться по методу предельных
нагрузок (см. гл. X).
Переборки, нагруженные весом жидкого, сыпучего или перекатываю-
щегося груза или топлива (т. е. переборки, отделяющие грузовые и топлив-
ные отсеки от иных отсеков, а в некоторых случаях и переборки между
грузовыми ртсеками вследствие неравномерности загрузки отделяемых этими
переборками отсеков), рассчитываются обычно, как и прочие элементы кон-
струкции корпуса судна, по методу упругих деформаций. В этом случае
стойки и шельфы переборок рассчитываются как перекрытия или как от-
дельные балки по тому же признаку, который был приведен применительно
к набору днища, борта и палубы.
При наличии достаточного числа продольных переборок или рамных
стоек сгонки поперечных переборок нужно считать жестко опертыми на
шельфы.
Стойки, соединяющиеся с балками набора днищевого и палубного пере-
крытий, особенно при наличии книц, считаются имеющими по концам не-
которую заделку. Степень этой заделки определяется путем раскрытия стати-
ческой неопределимости рамы, составленной из стойки переборки и двух
§ 75] Расчет местной прочности отдельных конструкций
553
примыкающих к ней горизонтальных балок днищевого и палубного пере-
крытий. Последние балки берутся длиной до ближайшей жесткой опоры
(рамный шпангоут). Стойки переборок, не связанные с набором днища
и палубы, должны считаться свободно опертыми на днище и палубу.
Листы обшивки переборки рассчитываются как пластины конечной
жесткости, заделанные на жестком опорном контуре, причем входящий
в такой расчет коэффициент распора может приниматься равным 0, 5.
Раскосные фермы
Расчет раскосных судовых ферм производится по общим правилам
строительной механики.
Специфической задачей для данных условий является лишь приведение
нагрузки к узловому типу, т. е. замена действующей нагрузки силами,
приложенными к узлам ферм. Эта операция осуществляется по методу па-
раллельных сил, аналогично тому, как это делалось при построении эпюры
веса при расчетах общей прочности (см. стр. 413).
Должна быть проверена устойчивость сжатых стержней фермы.
Необходимо проверить прочность отдельных стержней при изгибе их
приложенными к ним местными нагрузками. Напряжения от этих местных
нагрузок должны быть просуммированы с напряжениями сжатия и растя-
жения от изгиба фермы в целом. В фермах с жесткими узлами, соединяющими
стержни, резко не различающиеся по своей жесткости по отношению к из-
гибу, расчет производится, как расчет жесткой рамы.
Палубный стрингер и продольный комингс в случае больших вырезов
палубы
Если палуба судна имеет большие люковые вырезы, необходимо про-
верить прочность палубного стрингера и сопряженных с ним продольного
комингса люка и ширстрека.
Палубный стрингер в этом случае нагружен реакциями верхних кон-
цов бортовых балок шпангоутных рам и изгибается в плоскости палубы.
Желательно учесть нагрузку от навала судна при швартовке. В этом расчете
палубный стрингер можно рассматривать как балку длиной, равной длине
люка, полностью заделанную по концам и опирающуюся по поперечным
комингсам на жесткие опоры. Кроме того, должны быть найдены напряже-
ния, появляющиеся в палубном стрингере от скручивания корпуса судна.
Продольный комингс служит опорой концов бимсов, разрезанных люком.
В большинстве случаев комингс при этом соединяется в одну балку с кар-
лингсом. Балка комингса — карлингса нагружена реакциями опирающихся
на нее концов бимсов. Она может быть рассчитана как балка переменного
сечения, опирающаяся по концам на поперечные переборки, как на жесткие
опоры, и имеющая полную заделку. При этом должны быть учтены проме-
жуточные опоры по пиллерсам, если таковые имеются.
ГЛАВА XIX
ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ КОРПУСА МЕТАЛЛИЧЕСКОГО СУДНА
Конструкция считается прочной, если при воздействии заданной внеш-
ней нагрузки, умноженной на коэффициент запаса прочности п, не про-
изойдет разрушения илп недопустимого изменения ее формы.
Проверка прочности производится обычно по методу напряжений,
а в некоторых случаях — по методу предельных нагрузок.
Метод напряжений состоит в сопоставлении напряжений, которые могут
возникнуть в конструкции при действии увеличенных в п раз нагрузок
с опасными напряжениями
= (п QX (519)
По методу предельных нагрузок для рассчитываемой конструкции
определяется предельная нагрузка, т. е. нагрузка, при которой в кон-
струкции образуется такое количество пластических шарниров, что она
превращается в кинематический механизм.
Расчетная (допускаемая) нагрузка должна быть меньше предельной
в соответствии с выбранным значением коэффициента запаса прочности1.
Так как при образовании пластического шарнира напряжения в сече-
нии балки достигают предела текучести, метод предельных нагрузок не
может быть применен в случаях действия переменных нагрузок. Это огра-
ничивает область применения метода предельных нагрузок некоторыми
случаями расчета речных, ледовых судов, расчета стоек аварийных перебо
рок и т. п.
В последнее время начали применять метод проверки общей прочности
по так называемым предельным изгибающим моментам.
Предельным называется общий изгибающий момент, который выдер-
живается корпусом судна, когда в крайних жестких связях его действуют
напряжения, равные пределу текучести.
Предельный момент должен быть найден для прогиба и для перегиба
отдельно.
Предельный изгибающий момент М^р, таким образом, равен
А1^ = =т1Гт, (520)
где 1Г_ — момент сопротивления эквивалентного бруса, вычисленный для
случая, когда напряжения в крайних волокнах его равны пре-
делу текучести ст.
Продольный набор должен быть проверен на устойчивость при вос-
приятии сжимающих усилий, вызывающих напряжения в крайних волок-
нах эквивалентного бруса, равные пределу текучести.
1 Коэффициент запаса прочности в расчетах по методу предельных нагрузок ппл
берется большим, чем в расчетах по методу упругих деформаций —см. § 45.
Гл. XIX] Проверка прочности корпуса металлического судна 555
Сопоставление предельного общего изгибающего момента с расчетным
позволяет оценить запас общей прочности корпуса судна, как
где:
М — расчетный изгибающий момент;
п — коэффициент запаса прочности.
Довольно часто применяется и иной способ оценки прочности. Умень-
шая опасные напряжения в соответствии с запасом прочности, получают
допускаемые напряжения. Напряжения, полученные в результате
расчета прочности при фактически действующих нагрузках Q, не должны
превышать допускаемых напряжений:
= (Q)<^ = = [=]• (522)
Такой порядок проверки прочности оказывается правильным и точно
совпадает с первым приемом лишь в случаях, когда напряжения прямо
пропорциональны нагрузкам, что не всегда имеет место (например, если
в состав сечения входят гибкие связи, теряющие устойчивость — эквива-
лентный брус). В последнем случае приходится производить редуцирование
связей по увеличенным в соответствии с коэффициентом запаса прочно-
сти внешним нагрузкам.
Что касается гипотез прочности, позволяющих определить опасную
комбинацию напряжений при сложном напряженном состоянии по опасным
напряжениям при растяжении, то для пластических материалов (сталь,
дюралюминий н т. п.) наиболее удачна гипотеза наибольших касательных
напряжений, согласно которой
(=1-=з)оя = =„„*- (523)
Соответственно при расчете по допускаемым напряжениям
с1 —°з1<[31 (523а)
или
В практике судостроительных расчетов широко используется также
гипотеза наибольших нормальных напряжений* 1
=ь =2, =зоя<=оп (524)
или
=2. =зКМ- (524а)
Здесь
°i> =з — главные напряжения (зх и ~3 наибольшее и наименьшее в алге-
браическом смысле);
- — наибольшее касательное напряжение.
Знаком [ ] показаны допускаемые напряжения.
* Или, что то же,
_ gOn
-ол — 2 '
1 Иногда базируются на других гипотезах прочности. Главнейшие из них:
гипотеза приведенных напряжений:
-i —
I-lcjc < :з — И"1 Р-Стг'
энергетическая гипотеза для пластических материалов:
"2" 1(г1 — -s)2 + (-s — 3s)2_b (3s 3i)2 < Ial2-
556
Проверка прочности корпуса металлического судна [Гл. XIX
§ 76. КЛАСССИФИКАЦИЯ НАГРУЗОК И КОЭФФИЦИЕНТ ЗАПАСА ПРОЧНОСТИ
При расчете прочности конструкций не представляется возможным
учесть явно ряд факторов: точность назначения расчетных нагрузок, точ-
ность метода определения напряжений, качество работы при выполнении
конструкции, соответствие механических качеств материала и его размеров
принятым в проекте, износ материала, срок службы конструкции, интен-
сивность эксплуатации и т. п.
Влияние перечисленных факторов учитывается путем увеличения рас-
четных нагрузок в соответствии с принятым значением коэффициента запаса
прочности. Полученные в результате расчета напряжения не должны пре-
вышать опасных.
Величина коэффициента запаса прочности зависит от характера действия
и характера изменения нагрузки и от характера распределения напряже-
ний, вызванных нагрузкой.
По характеру действия нагрузки можно разделить на основные, слу-
чайные и аварийные.
Основной (постоянной) нагрузкой корпуса судна
является нагрузка, действующая в течение длительного времени, напри-
мер, на тихой воде (общий изгибающий момент, давление воды и т. д.)
при нормальном распределении грузов и топлива в процессе рейса.
Случайная (временная) нагрузка действует на корпус
судна ограниченное количество раз и общая продолжительность действия
ее составляет незначительный процент от общего срока службы судна.
К этой категории относятся нагрузки на волне расчетных размеров (общий
изгиб и местное давление воды), нагрузки при постановке в док, нагрузки
при испытании водонепроницаемости и т. п.
Аварийнаянагрузка имеет место, когда судно в целом или
отдельная часть его находится на границе разрушения вследствие аварии
(обычно в расчете имеется в виду нагрузка при пробоинах, предусмотрен-
ных расчетом непотопляемости).
По характеру изменения во времени нагрузки делятся на неизменные,
статически-переменные и динамически-переменные.
Неизменная нагрузка не изменяет своей величины во все
время действия (вес корпуса судна, силы поддержания на тихой воде и т. п.).
Статическ и-п еременная нагрузка меняет свою вели-
чину настолько медленно, что вызываемые ею напряжения и деформации
соответствуют ее статическому приложению (добавочные силы поддержа-
ния и инерционные силы при качке, иногда некоторые усилия, действую
щие на фундаменты механизмов, и т. п.).
Динамическ и-п еременная(или ударна я) нагруз-
к а изменяет свою величину настолько быстро, что возникающие при этом
напряжения и деформации не могут быть вычислены в предположении
статического приложения этих сил и должны быть определены с учетом воз-
можных под действием этих сил колебаний. К динамическим нагрузкам
относятся неуравновешенные силы инерции механизмов, вызывающие общую
и местную вибрацию корпуса судна и т. п.
В табл. 126 указан характер главнейших нагрузок судового корпуса.
Значение коэффициента запаса прочности для нагрузок, неизменных
во вре’ ени, при обычных условиях проектирования, постройки и эксплуа-
тации судна могут быть приняты для общих напряжений равными:
для основных нагрузок...........................1,50—1,65
» случайных > .........................1,25
* аварийных > .........................1,00
5 77]
Суммирование общих и местных напряжений
557
Таблица 126
Классификация главнейших нагрузок судового корпуса
Наименование нагрузка Характер нагрузки
I. Общие нагрузки
Общий изгиб на тихой воде Основная, неизменная
Общий нзгиб иа волне расчетных размеров . . . Общий изгиб при испытании водонепроницаемости наливом на плану Случайная, статическн- переменная Случайная, неизменная
Общий изгиб при спуске и постановке в док . . Случайная, неизменная
II. Местные нагрузки
Давление воды на тихой воде Основная, неизменная
Давление воды при испытании водонепроницаемо- сти, при спуске Случайная, неизменная
Давление воды на волне расчетных размеров Случайная, статически-
переменная
Аварийная, неизменная
Давление воды при аварии судна.......... . . .
Весовые иагру зкн, в том числе и вес груза и топ-
лива .........................................
Силы инерции от неуравновешенности механизмов
Усилия, передаваемые корпусу его оборудованием
Основная, неизменная
Основные, динамически-
переменные
зависимости от рода обо-
рудования
В
Для местных напряжений, т. е. напряжений, вызванных местными
нагрузками, в большинстве случаев правильней назначать коэффициенты
запаса прочности ниже, чем для общих. Однако для отдельных конструк-
ций, учет нагрузки которых особенно затруднителен, как, например,
обшивка скулы, кронштейны колесных кожухов и т. п., наоборот, целе-
сообразно брать коэффициент запаса в расчетах местной прочности больше,
чем в расчетах общей прочности.
Локальные напряжения, т. е. напряжения, захватывающие сравни-
тельно небольшой объем материала (напряжения на опорах у пластин и
стоек переборок, напряжения в сечениях кильсонов и карлингсов на по-
перечных переборках), могут достигать предела текучести.
При оценке прочности по методу предельных нагрузок запасы проч-
ности следует увеличить против соответствующих запасов в методе упру-
гих деформаций. Указанное увеличение приблизительно равно отношению
предельного момента сопротивления к обычному, т. е. составляет примерно
20—40%.
§ 77. СУММИРОВАНИЕ ОБЩИХ И МЕСТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Расчленение расчета прочности корпуса судна на расчет общей и мест-
ной прочности, как уже говорилось выше, есть условный прием расчета.
Общие и местные напряжения действуют в одном и том же элементе мате-
риала и в одно и то же время. Поэтому для нахождения действительных
напряжений, т. е. реальных, таких, которые мы получили бы, скажем, экспе-
риментально, надо должным образом просуммировать все виды напряже-
ний. По их происхождению такие напряжения называют (в отличие от
общих и местных напряжений) суммарными.
55л Проверка прочности корпуса металлического судна [Гл. XIX
Для проверки прочности именно эти суммарные напряжения должны
сопоставляться с опасными напряжениями в соответствии с указаниями,
приведенными выше.
Суммарные напряжения ст в обшивке у продольных балок равны для
поперечной системы набора алгебраической сумме трех напряжений
3 = То — (525)
где: — напряжение общего изгиба в связях эквивалентного бруса;
Sj —напряжение местного изгиба в кильсонах, карлингсах и борто-
вых стрингерах (в том числе и в пластине обшивки присоеди-
ненного к данной балке пояска);
ж — напряжение в пластине от местного изгиба.
Напряжения ж в большинстве случаев оказываются незначитель-
ными по величине, вследствие чего суммарные напряжения в обшивке
вблизи продольных балок могхт быть определены вместо формулы (525)
по формуле
= = ’„ + =ж- (526)
Напряжения в пластинах между продольными связями равны:
~ = зц 4- з„,.ж, (527)
если z, <2 1, и
с =со +(528)
если = = 1.
Здесь:
s —цепное напряжение в пластине;
у. — редукционный коэффициент, с которым пластина вводится в экви-
валентный брус.
В продольных балках корпуса судна от участия их в общем изгибе
устанавливаются напряжения сто, а от местного изгиба — напряжения
т- е.
= = % + (529
При вычислении суммарных напряжений по вышеприведенным фор-
мулам надо учесть, что входящие в них общие и местные напряжения
различны для различных точек конструкции и зависят, кроме того, от
величины внешних нагрхзок (подошва, вершина волны и т. п.). Так,
общие напряжения зависят от знака и величины общего изгибающего
судно момента и меняют свое значение по высоте сечения эквивалентного
бруса. Напряжения zM различны по величине и по знаку для наружной
и внутренней кромок этих балок, а также для сечений на опоре и в про-
лете балки. Напряжения зП4. м от местного изгибаов пластинах также
меняют свое значение и знак в зависимости от тго, вычисляются ли
они для наружных или внутренних волокон пластины и для сечеикя
в пролете или на опоре.
С точки зрения проверки прочности конструкции надо найти такое соче-
тание слагаемых напряжений в формулах (525) — (529), при котором сум-
марное напряжение получило бы наибольшее значение.
Для определения этого значения суммарного напряжения приходится
вычислять суммарные напряжения в различных точках конструкции и для
различных случаев загрузки.
Эту операцию удобно выполнять в табличной форме как дчя расчет
на тихой воде, так и на волне. В табт. 127 показан порядок операций для
случая постановки на волну. Таблица для расчета на тихой воде отличается
лишь тем, что в ней объединены в одну графы 5 и 6 и графы 7 и 8, 9 10,.
11 и 12.
Таблица 127
Суммирование напряжений для судна па полис при проверке прочности
К с £ 1 hiiiMCHOBii пне спя и й 11<>.11<>Ж< IIIK (1"|1 null по длит балки (опора, npojii т) Положение полок на Нппряжсиня, кс/с.ч1 1 IpiinsiToe допу- ска!1 мое напри Ж!'НП|' 14. кг/см* Отношение действую- щих напря- жений к допускае- мым ° Л/(Mr 1’1
о г общею и и пба1 а„ 01 II II ибн балки ам О'| п нибл пласI пн ап, м суммарные 3
на вер- шине на по- дошве на вер- шине на по- дошве । иа вер- шине на по- дошве иа вер- шине на по- дошве
1 2 3 4 3 б 7 8 9 II) 11 12 13 14
1 Кильсоны Опорное сечение В присоединенном пояс- ке обшивки —• К 860 — +575 — — — 1435 1760 0,82
В свободной полосе — +710 — -660 — — — +50 1760 0,03
Сечение посере- дине пролета В присоединенном пояс- ке обшивки — +860 — -355 — — — +505 1760 0,29
В свободной полосе — +710 — +390 — — — + 1100 1760 0,63
§ 77] Суммирование общих и местных напряжений
1 Напряжения от общего изгиба (яж —для жестких связей и ац— для пластин) вписываются в таблицу уменьшенными в п раз
(л — коэффициент запаса прочности), если изгибающий момент введен в расчет увеличенным в соответствии с запасом прочности.
560
Проверка прочности корпуса металлического судна [Гл. XIX
§ 78- ОПАСНЫЕ И ДОПУСКАЕМЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Напряжения, при наступлении которых нарушается прочность кон-
сгр кции, называются опасными.
Опасными напряжениями для металлической конструкции являются:
предел текучести, предел выносливости и эйлерово напряжение.
Предел текучести характеризуется появлением остаточных
деформаций и переходом металла из упругого состояния в пластическое.
Это коренным образом меняет обычный расчет прочности, предполага-
ющий упругие деформации конструкции.
Предел текучести есть опасное напряжение при неизменной во времени
нагрузке или нагрузке, меняющей свою величину ограниченное число раз.
Предел текучести по ГОСТ 380—50* принимается равным:
Для Ст. 2 . .
» Ст. 3 .
» Ст. 4 .
. 2 200 кг/см*
. 2 400 »
.2 600 »
Пр едел выносливости (называемый также пределом уста-
лости) есть максимальное напряжение для заданного цикла переменной на-
грузки (характеризующегося коэффициентом асимметричности), при
котором разрушение не наступит, как бы велико ни было количество изме-
нений (число циклов) нагрузки.
Если напряжение превосходит предел выносливости, появляются уста-
лостные трещины и наступает разрушение.
Предел выносливости есть опасное напряжение при многократно ме-
няющейся во времени нагрузке. При максимальной асимметрии для обычных
сталей он всегда ниже предела текучести.
Для статически-переменной общей нагрузки опасное напряжение при-
нимается равным
=оп = 0,25(3 4-(530)
\ ^макс/
сзе zMH и — наименьшее и наибольшее по абсолютной величине на-
пряжения (вводятся в формулу со своим знаком).
Пример. Пусть -т —2 200 кг/см*. Подсчитанное с коэффициентом запаса п =1,25
напряжение сжатия в днище на гребне волны равно—1 124 кг/см*. а напряжение
* Углеродистая горячекатаная сталь для судостроения поставляется по ГОСТ
552!—50. По этому ГОСТ сталь разделяется на две группы.
1. Сталь, предназначенная для постройки корпусов кораблей и вспомогатель-
ных^судов, а также для морских судов, строящихся на класс Морского Регистра
Предел текучести zm-.
для Ст. 2 С . ................................2 100 кг /см*
» Ст. 3 С.................................... 2200 »
» Ст. 4 С и Ст. 4 Ф (сталь подвергающаяся флан-
цеванию в холодном состоянии)............... 2 400 »
» Ст. 4 Л (сталь для ледового пояса)........ 2 500 »
2. Сталь, предназначенная для постройки корпусов судов внутреннего пла-
вания.
Сталь марок Ст. 2, Ст. 3, Ст. 4 этой группы поставляется в соответствии
с ГОС' -50.
§ 78]
Опасные и допускаемые напряжения
561
Таблица 128
Допускаемые исрмальнье напряжения для расчета судов на нагрузки
на тихой воде и на вочненнн
Наименование связей корпуса Характеристика напряжений Допускаемые напряжения в процентах от предела текучести
Жесткие связи эквивалентно- Напряжения от общего изгиба . . . 60*
го бруса — связи, включен- Суммарные напряжения от общего
ные в эквивалентный брус, нзгвба н местной нагрузки в ос-
с редукционным коэффицнен- вовиых продольных связях (киль-
том, равным единице сонах и карлингсах): а) в пролете 75
б) в опорных сечениях Суммарные напряжения в продоль- 85
вых ребрах жесткости от об его изгиба, участия в изгибе основ- ных продольных связей и непо- средственного изгиба давлением
воды: а) в пролете 85
б) в опорных сечениях 100
Обшивка корпуса прн попе- Суммарные напряжения в листах
речной системе набора обшивки (цепное н от изгиба пла- стины давлением воды): а) в пролете пластины 85
б) в опорных сечениях пластины . не нормируется
Обшивка корпуса прн про- Суммарные напряжения в листах
дольной системе набора обшивки от общего изгиба н уча- стия в изгибе продольных связей (как для продольных ребер): а) в пролете 85
б) в опорных сечениях 100
Поперечный набор корпуса Напряжения в холостых шпангоу-
тах н бимсах: а) в пролете 75
б) опорных сечениях Напряжения в рамных шпангоутах, 85
флорах и бимсах: а) в пролете 75
Продольные и поперечные пе- б) в опорных сечениях Напряжения в холостых стойках 75
реборки (ребрах жесткости): а) в пролете 85
б) в опорных сечениях Напряжения в рамных стойках и 100
шельфах: а) в пролете 85
б) в опорных сечениях Напряжения в листах переборок от 85
давления воды, считая их пласти- нами конечной жесткости а) в пролете 100
Надстройки 6) в опорных сечениях Напряжения на верхней кромке: не нормируется
а) прочные надстройки 60
б) легкие .надстройки 85
* 75—для палубных связей судов, не перевозящих грузы на палубе
36 Учебный справочник
562 Проверка прочности корпуса металлического судна [Гл. XIX
растяжения иа подошве волны равно -f- 524 кг/см2. Тогда омин = + 524 кг/см2'
, +524 \
= — I 124 кг см* н» следовательно, ас„ = 0,25 I 3 +_д ^4 [2200=1390 кг/см2.
Напряжения не превышают опасных.
Так как отношение ^‘вн- колеблется в пределах от 1,00 (неизмен-
~*маке
ная нагрузка зЛвЫ = хяаЮ) до— 1,00 (когда ъмин= —змакс), формула (530) по-
казывает, что возможно снижение опасного напряжения из условия из-
меняемости нагрузки до двух раз, т. е. принятие коэффициента запаса,
вместо 1,25 (см. выше), равным 2,50.
Опасное напряжение сдвига берется как половина соответствующего
нормального напряжения:
~оп
on
2
(531)
При опенке прочности по допускаемым напряжениям, учи-
тывая, что опасным напряжением для неизменных нагрузок является предел
текучести значение допускаемых напряжений [э] для основных нагрузок
(исходя из коэффициента запаса прочности 1,67) практически принимают
следующее:
[=] = 0,6=т; (532)
для случайной нагрузки (исходя из коэффициента запаса прочности 1,25):
H = 0,8cffl.
(533)
Приведенные нормы расчета прочности применялись в течение дли-
тельного периода времени для проектирования большого количества судов.
Допускаемые нормальные напряжения для расчета судов внутреннего;
плавания, рекомендуемые «Нормах и для расчета прочности корпусов сталь-
ных судов внутреннего плавания СССР» (Речюй регистр СССР, 1956),
приведены в табл. 128.
Допускаемое напряжение для случайной статически-переменной на-
грузки имеет следующее значение:
[=] =0,25 /з-^) 0.8 0,2(3+^-)=т. (534У
\ •* на^с / \ ^макс /
Этим значением допускаемого напряжения пользовались для расчета
прочности морских судов на волнении. В последние 10—15 лет намети-
лось стремление к пересмотру описанной системы норм прочности.
Так как опасным напряжением при статически-переменной нагрузке
является предел выносливости, то предлагается брать этот критерий в том
же виде, в к к м он получается из экспериментов, а не в виде (как это
сделано выше) выражения
0,25(з+^Ът, (535)
\ снале /
эквивалент* еть которого пре ел у выносливости дискуссиона.
§ 79] Конструктивная жесткость 563
Экспериментальное определение предела выносливости строится при-
менительно к формуле
3«ыи = ~?о- (536)
Это значит что, испытание образца ведется при некотором постоян-
ном среднем напряжении \р, к которому добавляются переменные напря-
жения, изменяющиеся от-i^ до — до.
Если -ср=0 цикл называется симметричным, если цикл назы-
вается асимметричным.
Нормами для расчета прочности Речного Регистра (1956) пере-
менность нагрузок на волнении для судов внутреннего плавания не
читывается. Учет усталостных явлений рекомендован лишь для конст-
рукций, подверженных действию основных переменных нагрузок, таких,
как фундаменты главных двигателей, вспомогательных механизмов и т. п.
3 качестве опаснъ х напряжений для такого вида нагрузок принимается
0.6 предела выносливости. Если в распоряжении конструктора нет экс-
ериментальных данных применительно к материалу из которого изго-
овляется конструкция Нормы Регистра рекомендуют считать предел вы-
осливости равным 0.35 предела прочности при симметричном цикле и
'.50 предела прочности при асимметричном.
В настоящее время существует тенденция пересмотреть принятый поря-
юк проверки прочности и полностью отказаться от учета влияния перемен-
эсти нагрузки на величину допускаемых напряжений. Полагают, что
количество изменений нагрузки, особенно у судов внутреннего плавания,
so многих случаях таково, что нет оснований беспокоиться об усталости
материала, что это количество изменений много меньше того, которое
имело место при экспериментальном изучении выносливости материала, и,
значит, в качестве опасного напряжения должен быть взят предел те-
кучести.
Оба указанные направления содержат в себе возможности дальнейшего
1звития науки о прочности корпуса судна, но в настоящее время еще дискус-
сионны, не обоснованы и не проверены в такой мере, чтобы в-практике рас-
четов прочности сменить методологию проверки прочности, изложенную
начале этого параграфа.
Эйлеровы напряжения являются опасными напряжениями
для тех изолированно работающих конструкций (например, пиллерсы, рас-
косы ферм и т. п.), потеря устойчивости которых приводит к разрушению.
Поскольку в этом случае достижение эйлеровых напряжений равноценно
достижению предела прочности материала, за опасное напряжение при-
нимают половину эйлерова напряжения.
§ 79. КОНСТРУКТИВНАЯ ЖЕСТКОСТЬ1
Как было указано выше, в прочной констр кции должна быть исклю-
чена возможность не только разрушения, но и возникновения недопустимых
деформаций.
Значительная деформация при общем изгибе может привести к наруше-
нию водонепроницаемости обшивки (в клепаных судах), к изменению наи-
большей осадки (что увеличит сопротивление движению судна и ограничит
1 Построечные деформации регламентируются Речным Регистром («Временные
нормы на допустимые местные построечные деформации сварных корпусов судов»,
956 г
364'®
564 Проверка прочности корпуса металлического судна [Гл. XIX
проходимость через перекаты), к ухудшению условий работы валопровода,
ухудшению внешнего вида и иногда к нарушению работы специальных
механизмов и приборов.
Нормы жесткости конструкции даются в виде отношения стрелы прогиба
к пролету. В настоящее время нормы конструктивной жесткости судовых
конструкций в достаточной степени не разработаны.
ГЛАВА XX
РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ШВОВ
§ 80. СВАРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
♦
Прочность сварных соединений
Прочность сварных конструкций и их швов во многом зависит от
технологического процесса их изготовления.
Нагревание металла в швах до высокой температуры и последующее
остывание сваренной конструкции приводят к появлению в ней напряже-
ний технологического происхождения.
Эти напряжения взаимно уравновешены в пределах конструкции, но
опасны в том отношении, что в тех или иных частях конструкции они сами
или совместно с напряжениями, возникающими в процессе эксплуатации,
могут вызвать состояние плоского или объемного растяжения, при котором
(особенно при объемном растяжении) резко снижаются пластические свой-
ства материала и создаются условия для хрупкого разрушения. Созданию
таких напряженных состояний способствуют: пересечение швов (особенно
лежащих в разных плоскостях), неправильная последовательность сварки,
размещение швов в зоне конструктивной концентрации напряжений, де-
фекты швов.
При проектировании конструкций и сварных соединений и в процессе
постройки корпуса судна должны быть приняты меры для устранения при-
чин, вызывающих указанное снижение пластических свойств материала.
Излагаемый ниже метод расчета прочности сварных соединений обеспе-
чивает прочность их лишь при условии, что такие меры приняты. В том же
предположении даются и допускаемые напряжения. Простое снижение
норм допускаемых напряжений для учета конструктивных ошибок и недо-
статков технологического процесса совершенно неправильно и не может
быть допущено. Таким образом, проектирование, расчет прочности и тех-
нологический процесс для сварных соединений неразрывно связаны.
В расчетах прочности сварных швов часто делается допущение о рав-
номерном распределении напряжений в металле шва и определяются сред-
ние напряжения. Расчетное сечение шва F берется как произведение высоты
шва на его расчетную длину без учета выпуклостей швов (рис. 202, а)’.
F = Л/. (537)
Расчетная высота h сечения угловых швов берется равной h = 0,7 k,
где k — катет сечения шва (см. рис. 202. б).
При автоматической сварке принимают за счет глубины провара рас-
четную высоту шва равной его катету, т. е. h = k (см. рис. 202, в).
Из длины шва для получения расчетной длины вычитается с каждого
конца шва по 10 мм на кратер и непровар.
Расчет прочности швов
[Гл. XX
Расчет прочности сварных соединений, передающих растягивающие
усилия, выполняется по общей формуле
Р = [л] F, (538)
где:
Р — усилие, воспринимаемое швом;
[л] —общий символ допускаемого напряжения (растяжения, сжатия
или среза). •
При расчете угловых фланговых швов, передающих усилия за счет
напряжений сдвига, Речной Регистр рекомендовал вводить в формулу (538)
Рис. 202. Расчетная высота h сечений
сварных швов
Длина шва а
Катет шва
25 1,00
1*> 0,67
коэффициент а, учитывающий неравномерность напряжений среза по длине
флангового шва, и формула принимает вид:
Р = а[л]Р. (538а)
Согласно указаниям проекта норм Речного Регистра СССР коэф-
фициент а может быть определен в зависимости от отношения длины шва
к его катету.
При совместной работе фланговых и лобовых
швов расчет всех швов производится на срез.
На рис. 203 показано для наиболее часто встре-
чающихся видов сварных соединений, каким образом
следует определять величину I при пользовании
формулой (537). На рис. 203, в, г, е работает по два
шва, что и должно быть учтено в формуле (537).
При определении усилия для кон стр? кции на рис. 203, г по рекомен-
дации Речного Регистра надо пользоваться формулой (538, а), т. е. вводить
коэффициент, учитывающий неравномерность напряжений среза по длине
шва. В конструкции, показанной на рис. 203, д, применен комбини-
рованный пюв, состоящий из двух фланговых и одного лобового. Усилие
Р, выдерживаемое швом, в этом случае следует определять, как сумму уси-
лий лобового шва Pi по формуле (538) и двух фланговых по формуле
(538, а), т. е.
Р = Pi — Pt = [л] Л -1- a [л] F2 = [л] (hl! + ahl2).
§80]
Сварные соединения
567
При определении усилия, выдерживаемого швом (рис. 203,а), в каче-
стве допускаемого напряжения [п] следует ввести допускаемое напряжение
на растяжение, а во всех других швах, показанных на рис. 203, — допу-
скаемое напряжение на срез.
Сварные швы обшивки и настила палуб, сварные швы присоединения
интеркостельных частей кильсонов, карлингсов и бортовых стрингеров
к рамным шпангоутам и швы, связывающие элементы профилей балок,
обычно не проверяют расчетом, исходя из условия, что в этих швах допу-
скаемые напряжения при условии сварки качественными электродами могут
быть приняты равными допускаемым напряжениям в основном металле
конструкции. Соблюдение в отношении сварных швов рекомендаций Реч-
ного •Регистра вообще освобождает во многих случаях от необходимости
проверки их прочности расчетом. Однако в ряде случаев, особенно в новых
судовых конструкциях, расчет сварных швов необходим, в связи с чем
ниже и даются соответствующие указания.
С точки зрения расчета прочности в судостроении приходится иметь
дело со сварными соединениями следующих типов:
а) швы, соединяющие пояски профилей со стенкой;
б) стыкэвые швы по всему рассматриваемому сечению (например, швы
обшивки);
в) стыкэвые швы по части сечения (например, стыки поясков балок);
568
Расчет прочности швов
[Гл. XX
г) валиковые швы по периметру (например, крепление раскоса фер-
мы по книце, крепление пиллерсов);
д) валиковые швы по части сечения (например, крепление продольных
балок к поперечным переборкам при продольной системе набора).
Расчет прочности сварных швов, связывающих
элементы профилей между собой
Эти швы работают на сдвиг. Усилие Т сдвига на единицу длины балки
Т = , (539)
где:
V — срезывающая сила;
/ — момент инерции сечения;
S — статический момент относительно нейтральной оси площади
того пояска профиля, шов соединения которого со стенкой про-
веряется.
Деля найденное усилие сдвига на площадь единицы длины расчет-
ного шва, получают действующее напряжение сдвига в непрерывном шве:
(540)
В прерывистых швах длина шва вводится в приведенные формулы
с коэффициентом е прерывистости шва, представляющим собой отношение
длины проварки к расстоянию между центрами двух смежных проварок.
При этом формула (540) принимает вид:
?=-?-. (540а)
£П
Для точечных швов, выполненных полуавтоматической сваркой,
т = , (5406)
i m
где:
fm — расчетное сечение “точки,
а — расстояние между точками (шаг).
В формулу (539) обычно подставляют максимальное значение срезываю-
щей силы дтя данной балки. Более точным было бы определение усилий
сдвига отдельно дтя ряда участков по длине балки в соответствии с эпюрой
срезывающих сил. Однако это повело бы к изменению размеров шва по
дтине балки, что не всегда целесообразно по технологическим соображе-
ниям. Неравномерность напряжений по длине рассматриваемых швов не
принимается во внимание. Она вполне компенсируется тем, что в формулу
(539) подставляется максимальное значение срезывающей силы.
Расчет прочности сварных соединений, работающих
на сложное сопротивление
В стыковом шве (рис. 204, а), нагруженном осевой силой и изгибаю-
щим моментом, нормальное напряжение растяжения равно
.И , Р
W ‘ г
(541)
где
hP
6 *
§ 80]
Сварные соединения
569
Напряжение сдвига в валиковом шве, нагруженном осевой силой
и изгибающим моментом, будет (рис. 204, б; все обозначения те же,
что и выше):
Л4 Р
" = (542)
При отсутствии осе-
вой силы Р второй член
в формулах (541) и (542)
пропадает.
В случае комбина-
ции швов двух направ-
лений (рис. 205) расчет
производится по одному
из следующих двух
способов.
а) Расчет по прин-
ципу независи-
мости действия
с и л1. Полагая, что
момент, воспринимае-
мый комбинированным
швом, равен сумме мо-
ментов, воспринимаемых
составляющими его от-
дельными горизонталь,
ными и вертикальными
швами, можно считать.
что внешний изгибающий момент Л1 уравновешивается парой сил, прило-
женных по середине длины горизонтальных швов, и моментом вертикаль-
ного шва. т. е,
-И = [-] ~ 4- 2 [т] hl* = [г] [ h£- + Л/2 (/, + /г) , (543)
где
А — h
---------плечо равнодействующей напряжении в горизонтальном
шве;
и А — соответственно длины вертикального и горизонтального
швов.
б) Расчет по полярному моменту инерции швов. При-
нимая, что внешний момент Л1 уравновешивается усилиями напряжений,
направленными перпендикулярно радиусам г, проведенным из центра
периметра шва до рассматриваемой площадки, и что напряжения прямо
пропорциональны этим радиусам (см. рис. 205, а), можно получить:
Л1 = J -.rdf; (544)
т = тг. (545)
1 Проф. Г. А. Николаев, Сварные соединения, «Детали машин»,
Машгиз, 1951.
570
Расчет прочности швов
[Гл. XX
Подставляя выражение (545) в (544), получим
М = т \ rsdF.
Учитывая, что
т = —
г
и что
f r*dF = Ip,
ПОЛУЧИМ
где 1р = 1Г— I. — полярный момент инерции периметра швов.
Наибольшее напряжение в шве равно
41
~макс ~ ~i~ Смакс- (546)
‘р
Этот способ целесообразно применять в соединениях с относительно
большой длиной горизонтальных швов.
При действии в рассмотренных комбинациях швов одной только осе-
вой силы Р напряжение в них равно
где L — длина контхра валиковых швов.
При совместном действии момента М и продольной силы Р напря-
жения ~м в швах от изгиба суммируются с напряжениями -р от про-
дольной силы. Если "ч определялось по способу «а», указанные напря-
жения суммируются арифметически.
§ 80]
Сварные соединения
571
При определении по способу «б> суммирование напряжений
производится условно геометрически.
В случае нагрузки поперечной силой V условно считается, что она
передается только на вертикальные швы, что дает среднее напряжение
сдвига в этих швах:
V
(548)
В случае действия момента и продольной и поперечной сил (при
определении тм по способу «а») условие прочности шва может быть дано
в следующем виде (рис. 205, б):
Н > У (тм + 4- (549)
Расчет поперечных сварных швов, захватывающих
часть сечения балки
Так как балки судового корпуса соединены с его обшивкой, в их по-
перечных сечениях по швам обычно имеется непрерывная часть — лист об-
шивки. Поперечные швы в пояске и стенке балки тоже часто не совпадают.
При проверке балок в .казанных условиях определяют момент сопротивле-
ния сечения, часть которого составлена из непрерывающихся (в данном
сечеяии) связей, а часть — из сечения шва. Напряжения, полученные при
введении в соответствующие формулы момента сопротивления, определенного
указанным образом, сопоставляются с допускаемыми отдельно для шва
и для целого металла.
Надо обратить внимание на то, как далеко от рассматриваемого сечения
находится шов не прерывающейся в этом сечении связи. Описанный метод
расчета возможен лишь при условии, что этот шов достаточно удален от
рассматриваемого сечения.
Типичным для слдовых конструкций является расчет швов на восприя-
тие срезывающей силы в опорных сечениях балок, когда усилия восприни-
маются не только швом, но и непрерывными связями (обычно обшив-
кой). В этом случае поступают аналогично предыдущему, т. е. определяют
напряжения в опорном сечении, составлением из рабочего сечения шва и
сечения непрерывней связи, с последующей проверке й по допускаемым
напряжениям соответственно в шве и по целому металлу.
Допускаемые напряжения в расчетах прочности сварных швов
Опасное напряжение в сварных швах, выполненных качественным элек-
тродом, автоматической или полуавтоматической сваркой, можно считать
равным соответствую щеу у опасному напряжению основного материала.
В последнее время в судостроении иногда стали назначать допускаемые
напряжения так. как это принято в машиностроении, т. е. следующим обра-
зом *.
Допускаемые напряжения в сварных швах конструкций из мало-
и среднеуглеродистых, а также конструкционных низколегированных ста-
лей при действии постоянных (неизменных) нагрузок берутся согласно
’Проф. Г. А. Николаев. Сварные соединения, «Детали машин», Маш-
гиз. 1951.
572 Расчет прочности швов [Гл. XX
табл. 129 при условии, что механические свойства наплавленного металла
удовлетворяют требованиям ГОСТ 2246—54.
Таблица 129
Допускаемые напряжения в сварных швах при действии постоянных нагрузок
в долях допускаемого напряжения на растяжение в основном металле конструкции
Способ сварки Соединения встык Срез
растяжение сжатие
Ручной, электродами Э34 0,6 0,75 0,50
То же, электродами 342 0,8 0,90 0,60
Автоматический под слоем, флюса, или руч- ной— электродами Э42А 0,9 1,00 0,65
В случае, если напряжения в стыковых швах не меняют знака, коэф-
фициенты табл. 129 применяются без изменения.
В случае действия статически-переменных нагрузок, вызывающих зна-
копеременные напряжения в стыковых швах, коэффициенты
табл. 129 уменьшаются путем введения множителя
А =--------------. (550)
2 g мин
Змакс
Для всех прочих швов при действии статически-переменных нагрузок
(независимо от того, меняются или нет знаки напряжений) коэффициенты
табл. 129 уменьшаются путем введения множителя
А = —------------- • (551)
4___ -чин
амакс
Например, при автоматической сварке под слоем флюса в соединении валико-
вым швом, работающим ва срез при статически-переменных напряжениях в основ-
ном металле (Ст. 3. аш=2400 кг/см2), меняющихся от +1 ООО кг/см2 до—500 кг/см2,
и запасе прочности 1,25, допускаемое напряжение в наплавленном металле равно
[т] = 0,65 [о]
где 0,65— коэффициент из табл. 129.
2 400
1 = 1 = j—2g- = 1 920 кг/см2',
3 3
Л “ 4 - " 4 _ (~~500) ~ 0'67
® макс 1 600
и, следовательно,
[т] = 0,65 • 1920 0,67 = 935 кг/см2.
Допускаемые усилия при неизменной нагрузке на 1 пог. см шва для
стыковых и валиковых швов могут быть приняты также по табл. 130 и 131,
в которых они даны в долях допускаемого напряжения растяжения в основ-
ном металле конструкции.
§ 80]
Сварные соединения
573
Таблица 130
Допускаемые усилия на 1 пог. см соединения встык при неизменной нагрузке
в долях допускаемого напряжения растяжения в основном металле
Способ сварки Толщина металла, мм
4 5 6 6 10 12 14
Ручной, электродами Э34 0,24 0,30 0,36 0,48 0,60 0,72 0,84
0?30 Щ37 0?45 0?60 0,75 0,90 Г, 05
То же, электродами Э42 . ... 0,32 0,40 0,48 0,64 0,80 0,96 1,12
0,36 0 45 0,54 0,72 0,90 1,08 1,26
Автоматический, под слоем флюса, 0,36 0.45 0,54 0,72 0,90 1,08 1,26
и ручной — электродами Э42А 0,40 0,50 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40
Примечание. В числителе указаны допускаемые усилия 'при рас-
тяжении, в знаменателе—при сжатии.
Таблица 131
Допускаемые усилия на 1 пог. см соединения валиковым швом при неизменной
нагрузке в долях допускаемого напряжения растяжения в основном металле
Способ сварки Толщина металла, равная катету валика, мм
4 5 6 8 10 12 14
Ручной, электродами Э34 .... 0,14 0,17 0,21 0,28 0,35 0,42 0,49
То же, электродами 342 0,17 0,21 0,25 0,34 0,42 0,50 0,59
Автоматический, под слоем флюса, и ручной — электродами 342А . . 0,18 0,23 0,27 0,36 0,46 0,55 0,64
Пример расчета прочности сварного соединения
Проверить прочность сварного шва, присоединяющего бортовую балку шпан-
гоутной рамы к флору. Шов сплошной, двусторонний с катетом в 7 мм, варится
вручную лектродами Э42А.
Размеры конструкции и швы показаны на рис. 206. Расчетом местной проч-
ности шпангоутной рамы установлено, что в проверяемом сечеиии действуют сре-
зывающая сила V = 3,2 т и изгибающий момент М = 11,6 тм.
Площадь сечеиня шва и присоединенного пояска обшивки
F = 153,6 см3.
Момент инерции указанного сечения
I = 66 600 см*.
Отстояние нейтральной оси от верхней кромки сечеиия
гг = 35,2 см.
Момент сопротивления шва (по свободной полке балки)
I
W7! = — = 1 890 см3.
zi
Напряжения в шве от действия изгибающего момента
Л1 11,6 - 105 „
" — W. — геол — 615 кг/слг.
574
Расчет прочности швов
[Гл. XX
Напряжения сдвига от срезывающей силы по формуле (548), стр. 571
V 3,2 - 10*
у- = —j_g g— = 20,8 кг/см*.
, Непрерывный лист
z обшивки
?! Рабочее сечение
шва (катет шба-
7 мм)
Эти напряжения незначительны, с ними можно ие считаться. Сопоставление най-
денных напряжений с допускаемыми показывает, что прочность шва обеспечена
§ 81. ЗАКЛЕПОЧНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
Прочность заклепочных соединений
Прочность заклепочного шва в значительной степени определяется
технологическими факторами, а именно:
1) наличием зазора между стержнем заклепки и заклепочным отвер-
стием вследствие несовпадения отверстий соединяемых частей и вследствие
того, что заклепки при остывании уменьшаются в размерах;
2) прижатием склепываемых частей друг к другу и развитием сопротив-
ления трения по поверхности их соприкосновения вследствие укорочения
стержня заклепки при остывании после постановки; сопротивление треникх
по поверхности соприкосновения увеличивается в случае чеканки швов’
3) изменением свойств материала заклепки в процессе клепки.
Заклепочные соединения
575
Эти факторы проявляются тем в большей степени, чем выше темпера-
ура клепки, чем больше размеры заклепок, чем ниже качество работы
(главным образом в отношении совпадения отверстий для заклепок) и чем
в большей мере применена подчеканка швов (с одной или с двух сторон,
швы или заклепки).
Вследствие у казанных условий при работе заклепочного шва на сдвиг
сопротивление сдвигу сначала обеспечивается за счет сил трения по поверх-
ности соприкосновения склепанных частей, а затем, когда сила трения ока-
зывается превзойденной, склепанные части смещаются на величину зазора
между стержнем и отверстием заклепки, после чего
заклепочный шов работает за счет сопротивления
срезу стержней заклепок. Описанный процесс изо-
бражен на графике зависимости напряжений от
удлинений в заклепочном шве (рис. 207).
Напряжение, соответствующее точке а. есть
максимальное напряжение, уравновешиваемое си-
лами трения по поверхности соприкосновения
склепанных частей. Относя действующее в этот мо-
мент усилие к суммарной площади сечения закле-
пок, получают напряжение, называемое преде-
лом уйругого скольжения До этого
Рис. 207
момента соединенные
заклепочным швом части ведут себя как монолитная конструкция, деформи-
руясь упруго. Отрезок ab равен зазору между стержнем и отверстием за-
клепки. Совершенно очевидно, что величина предела упругого скольжения
и величина смещения всецело зависят от указанных выше технологических
факторов.
В основу р счета прочности заклепочных соединений кладут следую-
щие допущения:
1) соединяемые части не деформируются в области шва;
2) усилия между заклепками распределяются пропорционально пере-
мещению соединяемых частей относительно друг друга (при сдвиге — рав-
номерное распределение, при восприятии момента — по линейному закону
и т. д.. см. ниже);
3) при статически-переменной нагрузке явления усталости считаются
отсутствующими в заклепках и проверяется лишь прочность соединяемых
частей в местах, ослабленных отверстиями от заклепок.
Заклепочные соединения могут рассчитываться или по условию равной
прочности или по условию достаточной прочности.
Расчетная нагрузка и коэффициент запаса прочности для заклепочных
швов берутся те же, что и для соответствующей части конструкции.
Прочность заклепочных швов, работающих на сдвиг или на отрыв,
проверяется по формуле
Здесь: Р < [л] F. (552)
аУ в случае проверки на равную прочность:
Р — усилие в целом сечении конструкции при опасном напряжении;
п —опасное напряжение в заклепках соответственно для сдвига и
отрыва;
F — площадь сечения заклепок;
6) в случае проверки на достаточную прочность;
Р — усилие, нагружающее шов;
— допускаемое напряжение в заклепках соответственно для сдвига
и отрыва;
F—-площадь сечения заклепок.
5«6
Расчет прочности швов
[Гл. XX
По формуле (552) производится расчет швов, соединяющих элементы
сложного профиля, швов в стыках поясков балок, швов в листах стенок
балок, швов при соединении интеркостельных связей и т. п.
Чтобы убедиться в прочности заклепочных швов на отрыв, необходимо
проверить прочность на изгиб полки угольника или фланца листа (в кото-
ром установлены заклепки, работающие на отрыв).
Проверка прочности заклепочных швов на скручивание (например,
швы в листах стенок балок и т. п.) производится по формуле
(553)
где:
V —скручивающий момент, определенный в зависимости от метода
проверки прочности (на достаточную или на равную прочность);
1Р — полярный момент инерции площади сечения заклепок относи-
тельно их общего ц. т.;
/ллкс — расстояние от ц. т. шва до ц. т. наиболее удаленной заклепки;
[т]—допускаемое или опасное напряжение на срез заклепки соот-
ветственно для проверки на достаточную и на равную проч-
ность.
Проверка прочности заклепочных швов на вос-
приятие отрывающего момента (швы крепления фундамент-
ных рам, швы, присоединяющие интеркостельные связи, и т. п.) произво-
дится по формуле
М < [a] W, (554)
где:
И — отрывающий момент, определенный соответственно по условию
достаточной или равной прочности;
[з]—допускаемое или опасное напряжение в зависимости от того,
производится ли расчет на достаточную или на равную проч-
ность;
U~ — момент сопротивления сечения заклепок относительно оси, пер-
пендикулярной плоскости действия
|3 |9 |/
Iе I» ! 2
Рис. 208
отрывающего момента.
Расчет швов обшивки:
а) Расчет по ус-
ловию равной
прочности. Обшивка
ослаблена заклепочным
швом в местах присоедине-
ния шпангоутов. Поэтому
прочность всех прочих
сечений (по стыкам) сле-
дует подбирать равной не
прочности целого сечения
обшивки, а сечения, неиз-
бежно ослабленного швами
присоединения ее к шпан-
гоутам.
Усилие, выдерживае-
мое обшивкой в этом сече-
нии при достижении напряжениями предела текучести, будет (рис. 208):
е — d
/?12 = (Г1 + Гг + Г3)-^-«т.
§81]
Заклепочные соединения
577
где:
Fx, F2. F3— площадь сечений листов поясков обшивки;
е и d —соответственно шаг и диаметр заклепок.
Сечениями, ослабленными заклепочными швами, будут сечения по пря-
мой линии 9—10 и по ломаной 3—4—5—6—7—8. По одному из этих сече-
ний должно произойти разрушение (разрыв) при достаточном увеличении
растягивающей силы.
Усилие, выдерживаемое обшивкой по этим сечениям, соответственно
будет:
Rs-10 = (Fi + F3) зт -|- ncmf3-o,
€ — d
R3-4-5-6-7-8 = (^1^3) —~e— °m + fa ~o + 2nnaa faxQ,
где:
~o — опасное напряжение в заклепочном шве;
пст — количество заклепок в стыке;
Ппаз — количество заклепок по пазу от стыка до более близко распо-
ложенного шпангоута (в данном примере до шпангоута 3—5);
fa— площадь сечения одной заклепки.
По условию равной прочности эти усилия должны быть равны уси-
лию Ri—i, откуда и получаются расчетные условия:
F»—(Fi + Fz + F3) —
Arinas
Исходя из этих условий и конструируют заклепочные швы, причем
обычно оказывается, что подбор швов по конструктивным нормативам
вполне обеспечивает необходимую прочность.
б) Расчет по условию достаточной прочности. Уси-
лие, нагружающее конструкцию, может быть определено по действую-
щему в ней напряжению здейств и равно
(Fl + Fz + ^3) 3 действ-
В сечении 9—10 это усилие, уравновешивается усилием листов пер-
вого и третьего поясьев, равным
(Fi + Fs)[3J,
так как напряжения здесь могут быть доведены до их допускаемой
нормы [а], и сопротивлением сдвигу заклепочного шва по стыку
"cmfa [Т].
Таким образом, для сечения 9—10 получается условие
пст [(^1 4~ Fz + F3) ^действ —
1з 14
Аналогично в сечении 3—4—5—6—7—8:
—Т1паз [з "Т“ Clem, fз
(Fl + F2 + F3) ^действ — (Fl +F3) —-— [а]
1
м
3/ >чебяый справочник
578
Расчет прочности швов
Гл. XX]
Допускаемые напряжения в расчетах прочности
заклепочных швов
Запас прочности в заклепочных швах принимается таким же, как
и в соединяемых ими частях.
Опасное напряжение для заклепок:
а) при работе на сдвиг—предел упругого скольжения:
для нечеканенных листов и заклепок — 880 кг/см2-,
для чеканенных листов и нечеканенных заклепок— 1240 кг/см2-',
для чеканенных листов и заклепок с обеих сторон 1 620 кг/см?.
б) при работе на отрыв — предел текучести зт материала заклепки;
в) при проверке прочности заклепочных швов на одновременный
отрыв и сдвиг опасное напряжение на отрыв берется, как при работе
шва на один только отрыв (т. е. ст), а опасное напряжение на сдвиг
вычисляется по формуле
(555>
\ /
где:
~.о — опасное напряжение сдвига в условиях работы на
один только сдвиг;
о?ейств — действующее напряжение растяжения в заклепках при
работе их на отрыв;
г) при работе заклепок на срез — 0,5 предела прочности заклепки на
срез.
ГЛАВА XXI
ПОДБОР ПРОФИЛЕЙ БАЛОК
§ 82. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОФИЛЕЙ 1
Требования, предъявляемые к профилю балки
Профиль балки, находящейся под действием заданных сил, должен
быть спроектирован так, чтобы были обеспечены:
I) прочность балки;
2) устойчивость отдельных ее элементов (поясков, стенки) и устойчи-
вость плоской формы изгиба балки;
3) возможно меньший вес.
Кроме того, при выборе размеров профиля следует учитывать:
1) жесткость балки;
2) габариты;
3) производственно-технологические соображения (желательность
уменьшения количества типоразмеров профилей, применяемых при
постройке судна, простота изготовления, возможность выполнения сварки
и т. д.);
4) специальные конструктивные и эксплуатационные требования,
предъявляемые к отдельным балкам (размеры кильсонов машинных отде-
лений должны быть увязаны с размерами двигателей и положением их
осей; конструкция комингсов люков должна исключать возможность по-
вреждения погрузочных средств и т. п.);
5) износ конструкций (главным образом от ржавления) в процессе
эксплуатации.
При правильном профилактическом режиме в отношении ржавления
износ обычно учитывается коэффициентом запаса прочности.
В последнее время вносились предложения увеличивать размеры сече-
ний конструкций для учета износа. Это увеличение следует производить,
исходя из продолжительности периода между капитальными ремонтами
судна и с учетом влияния на износ периодического восстановления окраски.
В порядке первого приближения, подлежащего уточнению после про-
ведения надлежащих исследований, считают возможным принимать для
судов внутреннего плавания запас на износ от коррозии до 1,0 мм для балок
и до 1,5 мм для листов обшивки.
Увеличение размеров конструкции в связи с износом должно произ-
водиться с большой осторожностью, так как это ведет к увеличению веса
корпуса судна со всеми отрицательными последствиями 2.
1 Переработано по книге проф. П. Ф. Папковича, «Строительная механика
корабля», ч. I, т. 1, изд-во «Морской транспорт», 1945.
* Особенно в связи с тем, что размеры элементов конструкции, полученные
из условий прочности, здесь невелики и их приходится увеличивать вследствие
износа иногда до двух раз. s
37Т<£
580
Подбор профилей балок
[Гл. XXI
Проектирование сечений стержней, работающих на растяжение
и на сжатие
Расположение материала в сечении элемен-
тов конструкции, работающих только на растя-
жение (растянутые раскосы ферм), не влияет на
их прочность, так как напряжения ст в сечении
зависят только от величины площади сечения,
а не от его формы:
Р
F ’
где:
Р— осевая растягивающая сила;
F— площадь сечения.
Короткие сжатые стержни рассчитываются
так же. Обычно длина сжатых стержней в
судостроении такова, что осевое сжатие ослож-
няется возможностью потери устойчивости.
Величина критической нагрузки отдельно
работающего стержня пропорциональна мини-
мальному моменту инерции его сечения, а по-
тому наилучшей будет та форма сечения, при
которой этот момент инерции будет иметь наи-
большее значение при заданной площади сече-
ния. Зависимость между площадью F и наимень-
шим моментом инерции 1мин его сечения может
быть установлена в виде
F = 4 Vh^K, (556)
где а = ---коэффициент удельного мо-
мента инерции сечения.
Значения а для профилей, обычно употреб-
ляющихся в качестве пиллерсов и раскосов ферм:
равнобокий угольник (рис. 209, а)................. 0,44
равнобокие угольники «крестом» или «в прямоуголь-
ник» (рис. 209, б)................................ 0,61
труба (рис. 209, в) .............................. 0,70—1,00*
Момент сопротивления сечения
Полагая, что толщины поясков балки малы по сравнению с их шири-
нами (что для судостроительных профилей очень близко к действитель-
ности), найдем отстояние нейтральной оси от оси ОО, совпадающей
с меньшим пояском h (рис. 210):
/2+4
Z1 = hK + h + f ’ (557)
* Чем меньше толщина стенки трубы по сравнению с ее диаметром, тем
больше з.
§ 82]
Основные элементы и характеристики профилей
581
где:
Д — площадь сечения меньшего пояска;
fa — площадь сечения большего пояска;
f— площадь сечения стенки.
Момент инерции / сечения относительно
нейтральной оси будет
fh*
+ 12" (А + /« + f) z?.
/ h \2
Отсюда меньший момент сопро-
тивления (момент сопротивления
меньшего пояска А)
/)'(558)
Обозначив
k'=6H^+r (559>
получим
(560)
Значения коэффициента kx даны в табл. 132.
Таблица 132
Значенвя коэффициевта kx в формуле U7i=/i
А fl J \ h 0,0 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0 1,2 1,4 1,6 ОО
0 3,00 3,33 3.39 3,45 3,50 3.55 3,60 3,69 3,78 3,86 6,00
0,3 3.53 3.85 3.90 3,95 4,00 4,04 4,08 4.17 4,25 4,32 6,00
0,4 3,75 4,65 4,10 4,15 4.20 4,23 4,27 4,36 4,44 4,50 6,00
0.5 4.00 4,28 4,32 4.37 4,42 4,45 4,50 4,57 4,63 4,70 6,00
0.6 4,28 4 э4 4 58 4.63 4,67 4,70 4 73 4,80 4,86 4,91 6,00
0.7 4,62 4.81 4,87 4 91 4,93 4,96 5 00 5,05 5,10 5,14 6,00
0,8 5.00 5,17 5,20 5,23 5,25 5,27 5,29 5,33 5,37 5,40 6,00
0.9 5,45 5,56 5,57 5,г>8 5,60 5,61 5,62 5,65 5,67 5,68 6,00
1,0 6.00 6,00 6,00 6.00 6.00 6,00 6,00 6,00 6,00 1 6,00 6,00
П формулам (559) и (560) можно вычислить момент сопротивления
профиля, не прибегая к табличной форме. Кроме того, с помощью этих
формул можно решать вопрос о рациональном распределении материала
в сечении профиля.
Величина kx лежит в пределах от 3 '(когда площадь f2 большего
пояска значительно превышает площадь А меньшего пояска и площадь f
стенки) до 6 при симметричном профиле (когда А = /г)- Практически
величина kx лежит примерно в^пределах от 4 до 6.
582
Подбор профилей балок
[Гл. XXI
Наибольшее теоретическое значение момента сопротивления W*u
будет при kY = 3
^"=/1^+4-).
наименьшее (для симметричного профиля) будет при kr = 6
Увеличение площади большего пояска слабо сказывается на вели-
чине меньшего момента сопротивления.
Увеличение площади стенки ба тки также вызывает незначительное
повышение меньшего момента сопротивления сечения. Это следует из
формулы (560), где площадь стенки входит в выражение для момента
1
с коэффициентом -т-, а
«1
klt как было показано, изменяется
практически
в пределах от 4 до 6.
В соответствии с выражением (558), рассматривая Wl как функцию
= f (/lf ft, f, h) и предполагая, что лишь один аргумент Д изменился
на величину АД, получим приращение в зависимости от прираще-
ния АД:
/ 2-t \
А1Г1 = Afl = h V ~ 2Д + f = h (1 “ 6Д+3/)
Для соотношений элементов несимметричного профиля, обычно встре-
чающегося в конструкциях корпуса судов внутреннего плавания, величина
выражения ~ редко бывает больше . Поэтому практически
можно принять с достаточной точностью, что
AW\ = АДй,
т. е. минимальный момент сопротивления увеличивается прямо пропорцио-
нально увеличению площади меньшего пояска.
Таким образом, для увеличения меньшего момента соп-
ротивления несимметричного профиля следует увели-
чивать площадь его меньшего пояска1.
Для большинства судостроительных профилей большим пояском
является поясок обшивки, площадь которого при проектировании сечения
обычно задана.
Рассуждая, как и ранее, можно получить формулу для большего момента
сопротивления 1Г2 двутаврового профиля:
+4 (561)
Обозначив аналогично предыдущему
получим
Wz=h (f2+-L\. (563)
V R2 f
1 О выборе высоты профиля — см. ниже.
§ 82] Основные элементы и характеристики профилей
583
Выполняя аналогичный анализ выражения для момента сопротивле-
ния большего пояска, можно убедиться в том, что увеличение площади того
пояска, для которого вычисляется момент сопротивления, является наиболее
эффективным средством увеличения этого момента сопротивления и, наобо-
рот, изменение площади противоположного пояска практически безрезуль-
татно.
Для увеличения площади сечения большего пояска в судовых про-
филях не имеется возможности, если не считать увеличения толщины
обшивки (обычно невыгодного) и подкрепления ее ребрами.
Приведенная площадь сечения
Общеизвестная формула для определения касательных напряжений
в тонкостенном профиле имеет вид:
_ VS = V_
И ~fnP'
где f — приведенная площадь сечения, т. е. площадь, по которой
следовало бы равномерно распределить срезывающую силу, чтобы полу-
чить касательное напряжение.
Приведенная площадь сечения 1 — 1 (см. рис. 210), где меньший
поясок присоединяется к стенке,
И _ tW1Zl = tWr
tnp~ s~ f1Zl h •
Подставляя значение из выражения (558) и заменяя в нем f = th,
ПОЛУЧИМ
2fz + f j
или, вводя klt по формуле (559):
/’=/(1+^)- (564)
Отсюда можно установить, что fnp в рассматриваемом сечении всегда
несколько больше площади стенки f и лежит в пределах
^0 + 6?г) < + 477) ’
а при довольно типичном значении = 2
l,33f<fnp<l,50A (565)
Совершенно аналогично можно получить для приведенной площади,
относящейся к сечению по нейтральной оси (сечение 2—2):
f 4Д-2А + /
71 1 6 2f2 + f
- ПР f 2^ + f ‘
11 ‘ 4 h + h+f
У реальных профилей в промежутке от kY — 6 (симметричный про-
филь) до kx = 4 (наибольшее практически возможное отклонение от сим-
584
Подбор профилей балок
[Гл. XXI
метрии) изменение величины f для нейтральной оси незначительно
f
выражается, например для соотношения ~ = 2, как /лр=0,90/.
Учитывая возможность других конструктивных пропорций сечения,
обычно принимают в расчетах прочности
/лр = ft,/ = (0,85 4-0,88)/. (566}
Так же, как и в сечеиии 1—1, в месте присоединения к стенке
большего пояска (сечение 3—3, см. рис. 210) в случае если -~- = 2,
11
может быть получено неравенство:
1,00/</лр< 1,33/. (567)
Сопоставление выражений (565) и (567) показывает, что напряжения
сдвига в месте присоединения к стенке меньшего пояска балки несколько
меньше, чем в месте присоединения большего пояска. Неравенства (565)
и (567) позволяют быстро оценить напряжения сдвига во всех сечениях стенки
профиля, интересующих конструктора: на нейтральной оси, где имеют место
наибо. ьшие значения напряжений сдвига, и в местах присоединения пояс-
ков к стенке, что необходимо для расчета имеющихся здесь швов.
Качество сечения при изгибе
Профилем балки, дающим теоретически максимальный момент сопро-
тивления при заданной площади, является профиль, состоящий из двух
равновеликих поясков, расположенных на расстоянии h друг от друга.
Момент сопротивления такого профиля
W = у Fh.
Всякий реальный профиль имеет стенку, заставляющую пояски работать
совместно и воспринимающую срезывающую силу, а следовательно, имеет
меньший момент сопротивления
Г=ут(ГЛ, (568)
где т, — коэффициент утилизации сечения — величина, меньшая единицы.
Коэффициент утилизации сечения дает достаточную характеристику
качества профиля лишь при сравнении профилей, имеющих одинаковые
высоту и площадь сечения.
Ниже приводятся значения коэффициентов утилизации в зависимости
от профиля.
Сплошное круглое сечение............................ 0,25
Сплошное прямоугольное сечение ..................... 0,33
Полая круглая труба малой толщины................... 0,50
Катаные швеллеры, двутавры и зеты................... 0,60
Равнобокий угольник ................................ 0,25
Неравнобокий угольник, приваренный к листу.........порядка
0,50
Сварные тавры, приваренные к листу.................порядка
0,60
§83]
Определение размеров сечения балки
585
Другой характеристикой качества профиля является удельная пло-
щадь профиля
С = -4;. (569)
Wz
Большая часть профилей судового корпуса работает не изолированно,
а совместно с обшивкой, размеры которой обычно следует при подборе
профиля считать заданными. Естественно при таких условиях принимать:
F — площадь профиля, приваренного или приклепанного к обшивке;
U7 — м< мент сопротивления всего сечения профиля, состоящего из
профиля площадью F и части обшивки, работающей совместно
с профилем.
Ниже приводятся1 некоторые значения удельных площадей
Швеллеры........................................0,75—0,84
Неравнобокие угольники в клепаных конструкциях . 1,32—1,78
Неравнобокие угольники (ГОСТ 8277—57), приварен-
ные к листу ...... ............................. порядка
0,67-0.85
То же, полособульбы............................. порядка
0,68—0,77
Сварные тавры, приваренные к листу ............. порядка
0,45—0,50
Универсальной и весьма показательной характеристикой сравнивав»
мых профилей являются их удельные моменты сопротивления
F
§ 83. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ СЕЧЕНИЯ БАЛКИ
Определение размеров сечения стенки балки
Для обеспечения устойчивости стенки балки необходимо, чтобы отноше-
ние т высоты стенки h к толщине t не превосходило некоторого предела.
Для проверки устойчивости стенки профиля балки надо найти ее эйле-
рову нагрузку, рассматривая стенку как неопределенно длинную свободно
Рис. 211.
опертую пластину, нагруженную нормальными напряжениями, распреде-
ленными ьо линейному закону, и напряжениями сдвига (рис. 211).
Эта задача пока еще не имеет точного решения. Пользуясь приближен-
ной зависимостью, дающей некоторый запас, можно получить допустимое
отн шение высоты стенки к толщине ее по соображениям устойчивости:
1
а
(571)
800 [ 1 + 0,95 (1 + ₽)2-33] 1 1 070 ’
586
Подбор профилей балок
[Гл, XXI
или
100
kxk
(572)
где:
kl У 1070
1070 Г
+ 800 1 +0,95(1
Значения коэффициентов кг и k2 даны
соответственно в табл. 133 и 134.
Коэффициент р (меньший единицы) равен
отношению абсолютных величин напряжений в
крайних волокнах балки:
□ _г2
* Zj
| з21 __ 2/1 + /
(573)
Р)2,33
(574)
Таблица 133
Значение коэффициента kr
а, кг] см2 К
2 200 1,43
2 500 1,54
3000 1,68
3500 1,82
4 000 1,94
Таблица 134
Значение коэффициента kt
„. /! / 111 ” 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
0,00 0,824 0,735 0,656 0,588 0,530 0,476
0,10 0,882 0,802 0,730 0,660 0,616 0,572
0,20 0,938 0,861 0,794 0,732 0,692 0,654
0.30 0,990 0,918 0,855 0,798 0,762 0,726
0,40 1 1.040 I 0,970 0,912 0,855 0,824 0,792
0,50 | 1,090 | 1,020 0,970 0,912 0,884 0,853
Приведенные формулы получены в предположении, что сжимающие
напряжения действуют в меньшем пояске балки. Формул для определе-
ния т в случае сжатия большего пояска нет; благодаря преобладанию
растянутой зоны над сжатой отношение т в этом случае может быть
большим, чем при сжатии меньшего пояска.
Потеря устойчивости не должна иметь места до наступления предела
текучести. Поэтому при определении т следует полагать а = ат и
- — касательным напряжениям, действующим в стейке балки, умножен-
ным на фактический запас прочности.
В большинстве выполненных конструкций
т = А<70-М00. (575)
Большие значения т можно получить путем введения продольных
ребер. Поперечные ребра могут оказаться полезными лишь для повыше-
ния ~з и устойчивости стенки под действием сил, вызывающих сжатие
стенки балки (давление грузов и т. п.).
Определение размеров сечения балки
587
Из условия восприятия срезывающей силы площадь стенки балки
должна быть
<576>
так как для сварных профилей судового типа можно принять kf = 0,85.
Л2
Так как f = ht = , наименьшая высота из условия восприятия
•срезывающей силы:
h ~ 1/^7 = . /. mV___ (577)
К 7 |/ о,85 [т]
и
= <578>
Найденные размеры стенки балки удовлетворяют условию прочного
восприятия срезывающей силы и гарантируют при этом ее устойчивость.
Однако возможно, что дальнейшее увеличение высоты балки ^с одновре-
. . h \
меиным увеличением толщины стенки, чтобы было сохранено — = m 1 может
привести к снижению ее веса. Это является следствием уменьшения пло-
щади пояска в связи с возрастанием момента сопротивления балки,
вызванным увеличением ее высоты.
Площадь балки без присоединенного пояска обшивки, т. е. та пло-
щадь, которую желательно сделать наименьшей, состоит из площади
стенки и свободного пояска Ч
Для разыскания минимума
производную его по h:
. Л® _ W fe— 1 h2
r m h 1 k m
этого выражения приравниваем нулю
. 2(fe — D h „
dh h2 1 km
Из этого уравнения:
Величина h в этом выражении мало зависит от k.
В связи с этим можно пользоваться приближенной формулой:
Л = 0,86 (579)
1 Из известного уже выражения
^ = л(а+4)
и, учитывав, что
легко определить
_ W h2
~ h кт '
588
Подбор профилей балок
[Гл. XXI
В формуле (579) значение потребного момента сопротивления может
быть найдено по заданному изгибающему моменту М и заданному допу-
скаемому напряжению [а]:
М
Определив h по формуле (579), найдем толщину стенки балки:
т
В ряде случаев оказывается необходимым из-за коррозии или по
технологическим соображениям, а иногда и из-за того, что необходимо
подобрать толщину по сортаменту стали, увеличивать эту толщину до
некоторого значения t0. В этом случае необходимо снова найти значе-
ние hlt которое удовлетворяло бы условию минимума площади сечения
балки F — fi — [ при заданной толщине стенки t0.
Для этой цели определим F в функции от при заданном tQ:
опи так как f = 1^.
h
- Л1 k, т
U7 / 1 \
Мини «альная площадь найдется из условия:
dF W , /, 1 \ 2
dh
К
откуда
Учитывая, что k изменяется от 4 до 6, получим приближенную
формул} для йх:
й1= 1,121/ -у-. (580)
После того, как по формуле (580) найдено hlt следует проверить,
соблюдено ли условие устойчивости стенки балки, т. е. найти
"h = у-,
‘о
Если окажется, что следует принять высоту стенки балки
не й,, а й — mt0.
Из значений й, полученных по выражениям (577) и (579) или (580),
надо выбрать в качестве высоты проектируемой балки наибольшее,
так как соблюдение условия (577) является обязательным с точки зрения
прочности балки, а переход от высоты й, полученной по выражению (577),
к высоте й, полученной по выражению (579) или (580), означает, что
условия прочности сохранены (причем напряжения сдвига даже ниже
нормы) и балка будет легче.
В тех случаях, когда высота й балки задана, толщина стенки нахо-
дится непосредственно по формуле (578), причем берется наибольшее
значение из полученных по формулам:
,_й_ , у / V
т И I 0,85m [т] '
§ 83]Определение размеров сечения балки 589
Изменения, вносимые условием, что напряжения в обоих поясках сечения
заданы
Выражение (558) иа стр. 581 для меньшего момента сопротивления выведенное
ранее, может быть представлено в виде:
^1 = л[а + 4(2-₽)| • С581)
Учитывая выражение (574), найдем
2/1<₽(2/1 + /)-Л (582)
С другой стороны, определяя 2Д из выражении (581) и приравнивая его зна-
чению (582), получим
(W 2 —
откуда
/23—1 \
W < f + f£}h. (583)
Подставляя
где т, как и ранее, выбрано из условия обеспечения устойчивости стенки балки,
получаем кубическое уравнение:
6?m 6mW
Л® + 2р _ 1 М > 2₽ — 1 ‘ (5841
Решая это уравнение, найдем высоту Л сечения, при которой будет обеспечи-
ваться заданное соотношение между напряжениями в поясках профиля:
Определение размеров сечения свободного пояска балки
Из основного выражения для момента сопротивления профиля (558);
_ 4fi(3W-fh) + f(6W-fh)
Z1“ 4/z(3/2+f) ~ h
Величины V7, h, f и ft могут считаться известными.
Если проектирование сечения связано в отношении напряжений усло-
вием следует воспользоваться формулой (581), из которой
W f
А = 1-(2-₽). (586)
Если в результате расчета получится, что то это будет
означать, что в расчете неправильно установлено, какой поясок является
меньшим. Подобный результат, как правило, указывает на недостаточность
выбранной высоты h сечения.
При проектировании сечений балок желательно увеличивать ширину
и уменьшать толщину пояска, поскольку благодаря этому создаются луч-
шие условия в отношении устойчивости плоской формы изгиба балки. Однако
чрезмерное увеличение ширины и уменьшение толщины свободного пояска
(при найденной площади сечения) может привести к потере устойчивости
пояска как такового.
Чрезмерная ширина поясков в условиях судового корпуса делает про-
странство между балками малодоступным для осмотра и окраски.
590
Подбор профилей балок
[Гл. XXI
Максимальное отношение ширины bi сжатого пояска к его толщине h
определяется из условия обеспечения его устойчивости вплоть до достиже-
ния материалом предела текучести.
Рассматривая половину свободного пояска по одну сторону от стенки
(шириной как длинную пластину толщиной llt свободно опертую
на одну продольную и две поперечных кромки с четвертой свободной
кромкой, получим эйлерово напряжение в ней:
(587>
откуда
=10041/^^. (588>
г Jm
Для наиболее распространенной в конструкциях корпуса судов,
внутреннего плавания стали марки Ст. 3
6,-100/,]/йй=374.
т. е. отношение не должно превышать 40.
*1
Для сталей с более высокими значениями аж поясок должен быть
утолщен в соответствии с формулой (588).
Учитывая, что пояски имеют начальную погибь, обычно ограничивают
ширину свободного пояска балки пределами: bi = (15-У 20) ti.
При большой разнице толщин свариваемых элементов отвод тепла
в направлении элемента с большой толщиной происходит более интенсивно,
чем в направлении элемента меньшей толщины. Поэтому для профилей
набора, свариваемых с наружной обшивкой шахматным швом, толщина
стенки профиля не должна отличаться от толщины обшивки больше чем на
4 мм. Свободный поясок, по возможности, также не следует делать толще
стенки больше чем на 4лои. При
этом толщина пояска не должна пре-
восходить толщину стенки больше
чем вдвое.В соответствии с этим тол-
щины ta и tr двух свариваемых эле-
ментов ограничиваются предела-
ми, указанными в табл. 135.
Таблица 135
ta t, \ ta t.
3,0 7 3—11
3.5 3—7 8 4—12
4.0 3-8 9 5—13
4,5 3-8 10 6—14
5.0 3—9 11 7—15
575 3—10 12 8—16
6.0 3—10 13 9—17
14 10-18
Следует также
tj +!fMM
или t^Zt
-If MM
Рис. 212. Схема двутаврового профиля
иметь в виду, что изготовление поясков из полосовой
стали проще и дешевле, чем из листовой. С учетом всех этих соображений
и условий достаточной устойчивости соотношения между элементами про-
§ 83]
Определение размеров сечения балки
591
филя должны быть такими, как показано на рис. 212. Когда все элементы
сечения найдены, следует, как уже было указано, проверить устойчивость
плоской формы изгиба балки.
Примеры подбора профиля балки
Пример 1. Подберем профиль балки при следующих исходных данных.
Допускаемые напряжения равны:
„ , 2200
[ег] = п = = 1760 кг/см’;
['] = [о] = 880 кг!см*.
Толщина обшивки днища 1 = 6 мм.
Расчетный изгибающий момент
М = 7,7 тм.
Расчетная срезывающая сила
V = 7,2 т.
Минимальный момент сопротивления профиля должен быть не менее
М 7,7 • 10Б
W = , = —17СА— = 437 см3.
[а] 1760
Высота балки не задана, и в обоих поясках ее (в обшивке и в свободном
пояске) могут быть допущены одинаковые нормальные напряжения.
Определяем размеры стенки балки. Для этого находим максимальную вели-
чину отношения высоты стенки балки h к ее толщине t, допустимую с точки
зрения устойчивости балки при действии нормальных и касательных напряжений.
По выражению (572) имеем:
h 100
т = —т = ~ . .
t ki kt
По выражению (573):
1 /“ГГГ 1 Л1760
1070 “ 1,281
1070 “
Задаваясь р = 0,6 и
учитывая, что
М_.880 _05
[а] 1760 ~ и’
по табл. 134 определяем
kt = 0,912.
Тогда имеем
А 100
т~ t — 128 . 0,912 ~ 85‘
Определяем высоту
заданном m по формуле (577):
стенки из условия восприятия
срезывающей силы при
mV
одат =
85 - 7200 о0 А
----- - = 2о,о
0,85 • 880
ляем высоту стенки по условию минимального
см.
веса профиля. По вы-
ражению (579):
з ------------------------------- з,---------------
ft = 0,86j IT/п =0,86 /437 85 = 28,7 см.
Определяем толщину стенки балки
28,7
Учитывая износ (коррозию) целесообразно принять t0 = 4 мм.
592
Подбор профилей балок
[Гл. XXI
Учитывая это увеличение толщины стенки балки по сравнению с той, которая
была поточена из условия минимума веса балки, произведем снова в порядке
корректировочного расчета определение высоты балки, при которой последняя
имела бы наименьший вес, считая, что толщина стенки будет задана, как t0 = 4 мм.
По формуле (580):
1 1 /437
hi = 1,12 у = 1,12 У q4 = 37 см.
По этой высоте
37
т = о J - 92,5
что не может быть допущено, так как по условию т < 85.
Ближайшая большая высота, удовлетворяющая условию
/п = 85:
Ло — mt0 = 85 • 0,4 = 34 см.
Эту высоту и'следует окончательно принять.
При этом условии площадь стенки балки будет
f h0 t0 = 34 • 0,4 = 13,6 см*.
Определим площадь свободного пояска балки /г и его размеры.
По выражению (585) имеем:
, 4f,(3W-fh) + f(6W-fh)
h ~ 4h(3ft+f)
Здесь /i — площадь присоединенного пояска балкн.
Будем считать, что ширина участка обшивки, включаемой в профиль балки,
равна 50 толщинам этой обшивки. Тогда площадь большего пояска будет равна
ft = 50 = 50 • 0,6s = 18 сл’,
а площадь свободного пояска будет по приведенной выше формуле равна
4 • 18( 3 437 — 13,6 • 34) + 13,6 (6 • 437 — 13,6 • 34)
А= 4 • 34 (3 18 + 13,6) ~ 9,8 см*.
Площадь пояска меньше ft.
Учитывая что по технологическим условиям толщина свободного пояска
не должна превосходить толщину листа стенки более чем вдвое < 21), принимаем
толщину свободного пояска равной
/1 = 7 мм;
ширина этого пояска будет равна
77 = = 14,0 см'
Ьг 14,0
При выбранных размерах отношение -у— = g у- = 20 не выходит за границы
практически допускаемых значений
, 1>, \
(17 < 15^20)-
При выбранных размерах профиля В = 0,67, что позволяет не пересматривать
принятое ранее т. Окончательные размеры профиля оказались равными:
высота стенки h = 34 см;
толщина стенки t = 4 мм;
ширина свободного пояска — 14,0 см;
толщина свободного пояска t^ = 7 мм.
Момент сопротивления профиля при окончательно установленных указанных
размерах
Г /471—25 + 71 / 13,6 4-18 —2 • 9,8+13,6 \
=* [а+i V+rj =3419-8 + ~~ь-----------------2 ns+1з,б—) - 437 см3-
Пример 2. Подобрать для условий примера 1 сечение балки прн заданной
высоте ее h = 250 мм.
§ 84]
Справочные данные о сортаменте стали
593
Определяем размеры стенки профиля из условия достаточной прочности ее
на срез с учетом условий достаточной устойчивости.
Площадь стенки должна быть равна
V 7,2 - 10s
f ~ I'] kf ~ 880 • 0,85 - 9,62 смК
Толщина стенки должна быть не менее
f 9,62
Z-, = = 0,385 см = 3,85 мм.
п ZO
Принимаем
I = 4 мм.
Тогда площадь стенки будет
f = М = 25 -0,4= 10 см»,
h 250 f h
Отношение = 62,5 вполне допустимо I -у < 70
Определяем площадь и размеры свободного пояска (fj):
4ft(3W-fh)+f[6W-fh)
4h(3ft+f)
Подставляем, как и в первом случае,
f2 = 50 - 0,б* 2 = 18 см»
и
7,7 • 10“
1Г = -2Т™- = 437 см3;
4 - 18 (3 • 437 — 10 • 25) + 10 (6 • 437— 10 - 25)
4 • 25(3 • 18+10) — 15,6 см ‘
Этой площади и условиям устойчивости удовлетворяет стандартная полоса
ю х 16С.
Прн такой толщине полосы желательно иметь толщину стенки не менее 5 мм.
Окончательные размеры профиля балки будут:
высота стенки h = 250 мм (задано по условию);
толщина стенки t = 5 мм;
ширина свободного пояска i>i = 160 мм;
толщина свободного пояска Zj = 10 мм.
Момент сопротивления профиля при установленных указанных размерах:
12,5
16,0+-g-
2^-/
4- 18 —2 - 16,0 + 12,5'
2 • 18 + 12,5
= 456 см3.
т. е. несколько больше потребного по условию задачи момента сопротивления.
§ 84. СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ О СОРТАМЕНТЕ СТАЛИ
Ниже приводятся выдержки из стандартов, содержащие данные, которые могут
быть использованы при расчетах прочности стальных судов.
Листовая сталь
Сталь прокатная тонколистовая горячекатаная
(ГОСТ 3680—57) изготовляется толщиной 0,5; (0,55); 0,6; 0,7; (0,75); 0,8; 0,9; 1,0;
1,1; 1,2; 1,4; (1,5); 1,6; 1,8; 2,0; 2,2; 2,5; 2,8; 3,0; 3,2; 3,5; (3,8); 4,0. В скобках
указаны не рекомендуемые размеры.
Сталь прокатная толстолистовая (ГОСТ 5681—57) изготовляется
толщиной от 4 до 160 мм включительно.
38 Учебный справочник
594
Подбор профилей балок
[Гл. XXI
Толщина листов этой стали изменяется:
в интервале от 4 до 6 мм.......через 0,5 мм
» » свыше 6 » 30 ».......... » 1,0 »
» > »30»40»............. » 2,0 »
Не рекомендуются толщины 13, 15, 17, 19, 21, 24, 26, 34, 38.
Полосовая сталь
Сталь прокатная полосовая (ГОСТ 103—57) изготовляется толщи-
ной от 4 до 60 мм: в интервале от 4 до 8 мм— через 1 мм, в интервале от 8 до
22 мм — через 2 мм, в интервале от 25 до 40 мм — через 5 мм и далее через 10 мм.
Ширина полос и соответствующие ей наибольшие толщины даны в табл. 136.
Наименьшая толщина полос при любой ширине — 4 мм.
Таблица 136
Ширина, мм Наибольшая толщина, м.ч Ширина, мм Наибольшая толщина, мм
12 8 65 40
14 8 70 40
16 10 75 40
18 10 80 50
20 12 90 60
22 12 100 60
25 16 НО 60
30 20 120 60
35 20 130 60
40 25 140 60
45 35 150 60
50 35 160 60
55 35 180 60
60 40 200 60
Сталь прокатная широкополосная универсальная (ГОСТ
£2—57) изготавливается следующей толщины и ширины (табл. 137).
Таблица 137
Толщина, мм Ширина, мм
4 I 160, 170, 180, 190, 200, 210, 220, 240, 250, 260,
280 и 300
5 Те же, что для толщины 4 мм и 320, 340
6 7, 8. 9, 10, 11, 12, 14, 16, | Те же, что для толщины 4 мм и 320 , 340
18 20 22. 25, 28, 30, 32, 36, 40, 360, 380, 400 , 420, 450, 480, 500, 530, 560 , 600,
45.’ 50, 56 и60 J 630, 650, 670, 710, 750 , 800, 850, 900, 050, 1000
| н 1050
Угловая и полособульбовая сталь
Размеры сечения, моменты инерции и моменты сопротивления некоторых не-
равнобоких угольников (ГОСТ 8510—57)* и полособульбов (ГОСТ 5353—52) без
пояска и с пояском обшивки даны в табл. 138 и 139.
Размеры сечения и моменты инерции некоторых равнобоких угольников (ГОСТ
8509—57)** приведены в табл. 140.
Вв >дится с I июля 1958 г. взамен ОСТ 10015—39.
Вводится с 1 июля 1958 г. взамен ОСТ 10014—39.
§ 84]
Справочные данные о сортаменте стали
595
Таблица 138
Jt J
1 НО. с пояском "Г 1 t — Iy N НО. без пояска | ч
Размеры профиля С условным пояском шириной
Е пояска 60d
№№ ле см Л -don еч ие см момент наимень- ший МО-
профилей й, мм ь, мм d, мм 'ilOilKoirii Р11ССГ0ЯИ II. Т . 2, 1 момент и НИИ 1у,С. площадь, расстоян: Ц. Т. гь инерции 1у , см* мент со- против- ления» см3
2,5/1,6 25 16 3 1,16 1,64 0,70 6,56 2,33 3,76 1,61
3,2'2 32 90 3 1,49 2,12 1,52 6,89 2,86 7,54 2,64
ZV 4 1,94 2,08 1,93 11,54 3,02 10,3 3,42
4/2,5 25 3 1,89 2,68 3,06 7,29 3,42 14,3 4,18
4 2,47 2,63 3,93 12,07, 3,62 19,6 5,42
4,5 2,8 i 45 28 3 2,14 3,03 4,41 7,54 3,75 19,9 5,31
4 2,80 2,99 5,68 12,40 3,98 27,7 6,96
5/3,2 50 32 3 2,42 3,40 6,17 7,82 4,05 27,1 6,70
4 3,17) 3,35 7,98 12,77, 4,32 38,0 8,80
5,6, 3,6 1 3,5 3,16 3,80 10,1 10,5 4‘,58 45,0 9,83
56 36 4 3,58 3,78 11,4 13,2 4,72 52,7 11,2
5 4,41 3,74 13,8 19,4 4,94 68,0 13,8
4 4,04 4,27 16,3 13,6 5,18 73,2 14,1
6,3/4 ДО D 4,98 4,22 19,9 20,0 5,44 94,6 17,4
6 5,90 4,18 23,3 27,5 5,64 116 20,6
8 7,68 4,10 29,6 46,1 5,95 159 26,7
7/4,5 70 45 4,5 5,07 4,75 25,3 17,2 5,76 114 19,8
о 5,59 4,72 27,8 20,6 5,90 128 21,7
5 6,11 5,11 34,8 21,1 6,20 160 25,7
7,5/5 75 50 6 7,25 5,06 40,9 28,8 6,46 197 30,5
8 9,47 4,98 52,4 47,9 6,84 272 39,8
8/5 би 50 5 6,36 5,40 41,6 21,4 6,57 184 28,0
6 7,55 5,35 49,0 29,2 6,84 228 33,3
9/5,6 5,5 7,86 6,08 65,3 26,0 7,35 287 39,0
90 56 6 8,54 6,05 70,6 30,1 7,50 317 42,3
8 11,2 5,96 90,9 49,6 7,96 442 55,5
6 9,59 6,77 98,3 31,2 8,13 430 52,9
10/6,3 100 63 7 11.1 6,72 113 40,5 8,41 516 61,3
8 12,6 6,68 127 51,0 8,65 602 69,6
10 15,5 6,60 154 75,5 9,04 775 85,7
6,5 11.4 7,45 142 36,8 8,91 617 69,2
11/7 НО 70 7 12,3 7,43 152 41,7 9,С6 677 74,8
8 13,9 7,39 172 52,3 9,33 791 84,8
7 14,1 8,49 227 43,5 9,98 972 97,3
12,5/8 125 * 8 16,0 8,45 256 54,4 10,3 1140 111
10 19,7 8,36 312 79,7 10,8 1480 137
14/9 140 QO 8 18,0 9,51 364 56,4 Н.2 1570 140
10 22,2 9,42 444 82,2 11,8 2040 173
16/10 160 100 9 10 22,9 25,3 10,81 10,77 606 667 71,5 85,3 12,8 13,2 2580 2930 201 222
38W
Таблица 139
Элементы полособульбоп
Вил профиля № профиля Размеры профиля и иояскп Без пояска С услоппым пояском шириной 00d
площадь, см* расстояние ц. т. г, см момент инер- ции 1у, см* площадь, см* рлсстоя пне и. т. Z|, см момент инерции 'у,' см* ИЛ им*пь iinift мо- мент со- Iipo i III)- ЛС1111Я , гл11
/г, мм мм мм
5 50 16 4,0 2,87 3,13 6,96 12,47 4,43 31,51 7,П
5,5 55 17 4,5 3,48 3,38 10,20 15,62 4,02 45,52 9,25
G 60 19 5,0 4,27 3,74 15,00 19,27 5,37 68,75 12,81
7 70 21 5,0 5,06 4,40 24,10 20,0G 0,09 105,65 17,35
J. кп fi . . 8 80 22 5,0 5,84 5,07 36,23 20,84 6,76 155,15 23,0
9 5,5 7,03 5,65 55,60 25,18 7,62 234,13 30,7
90 24
f Н О. с пояском а г Z. N 10 100 26 6,0 8,63 6,29 85,22 30,23 8,41 354,0 42,2
"П 1_ н о.без пояска [ . V- , 12 14-а 120 140 30 33 6,5 7,0 11,15 14,05 7,55 8,82 158 274 30,55 43,5 9,84 Н,4 625,83 1079,7 63,6 94,75
ь к- 14-6 140 35 9,0 16,85 8,55 321 65,5 12,1 1341,0 110,2
16-а 160 36 8,0 17,96 9,95 468 56,4 13,1 1784,2 136,1
• 16-6 160 38 10,0 21,16 9,75 527 81,2 13,8 2177,0 157,5
596____________________Подбор профилей балок________________ [Гл. XXI
§ 84]
Справочные данные о сортаменте стали
597
Таблица 140
№ профилей Разме- ры, мм Площадь про филя, Моменты инерции, СЛ* гв, см № профилей Разме- ры, мм Площадь про- филя, см* Моменты инер- ции, CMi *0. СМ
ь d относительно оси ь d относительно оси
1 х—X хв—хв То-То X—X *о—х0 Уо~ Уо
2 Ъ! 3 4 2,13 1,46 0,40 0.50 0,63 0,78 0,17 0,22 0,60 0,64 7 70 4,5 5 6 7 • 6,20 6,86 8,15 9,42 10,7 29,0 31,9 37,6 43,0 48,2 46,0 50,7 59,6 68,2 76,4 12,0 13,2 15,5 17,8 20,0 1,88 1,90 1,94 1,99 2,02
2,5 25 3 4 1,43 1,86 (,81 1,33 1,29 1,62 0,34 0,44 0,73 0,76
2,8 23 3 1,62 1,16 1,84 0,48 0,80
7 6 7,5 75 5 6 7 8 9 7,39 8,78 10,1 11,5 12,8 39,5 46,6 53,3 59,8 66,1 62,6 73,9 84,6 94,9 105 16,4 19,3 22,1 24,8 27,5 2,02 2,06 2,10 2,15 2,18
3,2 32 3 4 1,86 1,77 2,43 2,26 2,80 0,74 3,58 0,94 0,89 0,94
3,6 36 3 4 2,1 2,56 2,75 3,29 4,06 5,21 1,06 1,36 0,99 1,04'
4 -к ? 2,35 3,55 3,08 4,58 5,63 7,26 1.47 1,90 1,09 1,13 8 80 5,5 6 7 8 8,63 9,38 10,8 12,3 52,7 57,0 65,3 73,4 83,6 90,4 104 116 21,8 23,5 27,0 30,3 2,17 2,19 2,23 2,27
4,5 45 3 4 5 2,65 3,48 4,29 5,13 6,63 8,03 8,13 1 ,5 12,7 2,12 2,74 3,33 1,21 1,26 1,30
9 10,6 12,3 13,9 15,6 2,43 2,47 2,51 2,55
5 50 3 4 5 2,96 7,11 3,89 9,21 4,80 11,2 11,3 14,6 17,8 2,95 3,80 4,63 1,33 1,38 1,42 90 6 7 8 9 82,1 94,3 106 118 130 150 168 186 34,0 38,9 43,8 48,6
5,6 56 3,5 3,86 11,6 4..ЧЯ 13.1 18,4 20,8 25,4 4,86 5,41 6;59 1,50 1,52 1,57
5,41 16,0 10 100 6,5 7 8 10 12,8 13,8 15,6 19,2 122 131 147 179 193 207 233 284 50,7 54,2 60,9 74,1 2,68 2,71 2,75 2,83
6.3 63 4 5 6 4,96.18,9 6,13|23.1 7,28 27,1 29,9 36,6 42,9 7,81 9,52 11,2 1,69 1,74 '1
59 S
Подбор профилей балок
[Гл. XXI
Бесшовные трубы
Наружный диаметр стальных бесшовных горячекатаных труб (ГОСТ 301—50)
изменяется от 57 до 426 мм, а толщина стенок — от 3,5 до 45 мм.
В табл. 141 приведены наружные диаметры и соответствующие им толщины
ставок -тя интервала диаметров от 57 до 180 мм, наиболее часто применяемых
в сулозых корпусных конструкциях.
Таблица 141
Наружный Толщина Наружный Толщина
ди л метр, мм стенок» мм диаметр, мм стенок, мм
57 3,5 —13 108 4—17
60 3,75-14 114 4—17
63,5 3,75—14 121 4—17
68 3,75—16 127 4—17
70 3,75—16 133 4—17
73 3,5 —17 140 4,5-17
76 3,5 —17 146 4,5—17
83 3,5 —17 152 4,5—17
89 3,5 —17 159 4,5—17
95 4 —17 168 5 -17
102 4 -17 180 6 —17
Толщина стенок трхб изменяется от 3,5 до 4,0 мм
через 0,25 мл, от 4,0 до 10,0 мм— через 0,5 мм и от
10,0 до 17,0 мм— через 1,0 мм
ГЛАВА XXII
РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ СУДОВЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
§>5. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Картина напряженного состояния железобетонной конструкции ри-
суется в следующем виде.
Бетон — искусственный камень — представляет собой материал, не
подчиняющийся закону Гука, с хрупким характером разрушения, хотя
в известных пределах ему свойственна пластичность (ползучесть).
с—г—диаграммы бетона при сжатии и растяжении различны (см. при-
мер на рис. 213); модуль нормальной упругости бетона зависит от величины
и знака напряжения.
Бетон относительно слабо сопротивляется растяжению (например,
R = 30 кг cjh2). Сопротивление бетона сжатию и растяжению различно:
сопротивление растяжению в 10—14 раз меньше, чем сопротивление сжа-
тию.
В процессе созревания происходит усадка бетона, вызывающая в нем уса-
дочные напряжения, нагружающие конструкцию еще до приложения к ней
эксплуатационных или иных нагрузок.
Усадочные напряжения увеличиваются дополнительно вследствие не-
свободной усадки бетона, охватывающего стержни арматуры.
Важнейшей задачей технологического процесса является снятие уса-
дочных напряжений. Это достигалось до сих пор созданием влажного режима
твердения бетона; в настоящее время решается вопрос о применении в судо-
строении безусадочных цементов.
600 Расчет прочности железобетонных конструкций [Гл. XXII
Стальные стержни арматуры вводят в бетон, чтобы передать на них
целиком или частично растягивающие усилия, развивающиеся в конструк-
ции, и часть усилий сжатия.
Помимо восприятия определенных основных расчетных усилий, арми-
рование бетона имеет целью общее фибрирование бетона, т. е. повышение
сопротивляемости растяжению бетона как материала. Одновременно с этим
достигается повышение сопротивления железобетонной конструкции уда-
рам, сотрясениям, вибрации, непредвиденным местным нагрузкам и т. п.
Армирование бетона достигает цели лишь при условии, что смещение
стержней арматуры относительно окружающего их бетона исключено.
Взаимодействие продольной основной и поперечной деформаций имеет
существенное значение. Разрушение бетона всегда происходит от растяже-
ния, в сжатых элементах — от растяжения в поперечном направлении.
Таким образом, сжатие является лишь косвенным фактором разрушения.
До появления трещин После появления трещин
(I стадия) (Л стадия)
Рис. 214. Распределение нормальных напряжений при изгибе
(1 и II стадии напряженного состояния)
Коэффициенты поперечной деформации (коэффициенты Пуассона) для
бетона и стали различны: для бетона — 0,17-4-0,24, для стали—0,3.
Эго должно быть учтено при объяснении связи между продольной и
поперечной деформациями в железобетонной конструкции. В частности,
вследствие этого происходит ослабление поверхностного сцепления с бето-
ном стержней арматуры в растянутой зоне.
При расчетах прочности в развитии напряженного состояния железо-
бетонной конструкции различают следующие последовательно друг за дру-
гом возникающие стадии.
Первая стадия напряженного состояния железобетона (рис. 214,а)
имеет место до тех пор, пока напряжения в бетоне растянутой зоны не достиг-
нут величины предела прочности растяжения и в бетоне появятся вследствие
этого трещины.
Вторая стадия напряженного состояния железобетона (рис. 214,6)
наступает вслед за первой; бетон работает лишь в сжатой зоне на сжатие,
в растянутой зоне он не работает на растяжение, все растягивающее усилие
передается на растянутую арматуру.
В расчетах ограничивают вторую стадию моментом достижения
напряжениями в арматуре соответствующих допускаемых значений.
Третья стадия напряженного состояния железобетона — стадия
разрушения — имеет место в момент разрушения железобетонной конструк-
ции или вследствие того, что напряжения в растянутой арматуре достигли
§ 85] Общие соображения 601
опасных значений * 1 (предел текучести) или от того, что в сжатой зоне напря-
жения в бетоне достигли предела прочности сжатия, а напряжения в арма-
туре — предела текучести, или потому, что оба указанных состояния воз-
никли одновременно.
В расчетах прочности, базирующихся на первую и вторую стадии напря-
женного состояния железобетона, мысленно заменяют данную железобетон-
ную балку балкой бетонной или стальной, имеющей равную с данной проч-
ность.
Этот прием называется приведением к однородности материала.
Исходя из закона Гука и учитывая равенство деформаций стержня
арматуры и прилегающего к нему бетона, получают
£
= (589)
где:
за и z6—напряжения соответственно в стали и в бетоне;
Еа и Еб — модули нормальной упругости соответственно стали и бетона;
£
п = — коэффициент эквивалентности.
Отсюда следует, что единица площади сечения стали несет в п раз боль-
шее усилие, чем единица площади сечения бетона.
Значит, при замене железобетонного сечения бетонным надо заменить
в нем площадь сечения арматуры п кратной площадью бетона.
Однако такого рода замена правильна при растяжении и сжатии. При
изгибе такая замена справедлива лишь применительно к малой площадке,
взятой в пределах данного сечения балки, так как модуль нормальной упру-
гости бетона £б ,как указано в начале этого параграфа, является величиной
переменной, зависящей от величины и знака действующего напряжения
л=const.
Поэтому, чтобы привести к бетону железобетонное сечение конечных
размеров, надо разделить его по высоте на достаточное количество узких
полос и заменить сталь бетоном в пределах каждой полосы отдельно, исходя
из п, устанавливаемого в соответствии с действующим в этой полосе напря-
жением в бетоне по а—s -диаграмме, полученной теоретически или экспери-
мента. ьно для данного сорта бетона.
Такой именно путь избран в методе, предложенном акад. Ю. А. Шиман-
ским2.
Этот метод не получил распространения главным образом вследствие
затруднений с получением о — е-диаграммы бетона в каждом частном
случае.
В практику вошел условный метод расчета, базирующийся на допу-
щении, что Еб = ccnst, следовательно п = const.
Первоначально делались попытки установления п исходя из действи-
тельных значений Еа и Еб (для начального отрезка а — е-диаграммы).
Однако сопоставление расчетов с экспериментальными данными сви-
детельствует о необходимости введения для их увязки самых различных
значений п — от 2 до 120.
1 Разрушение в этом случае происходит от того, что трещина в растянутой
зоне бетона быстро углубляется после достижения предела текучести арматуры,
резко сокращается высота сжатой зоны бетона, наступает его разрушение и почти
одновременно разрыв растянутой арматуры.
1 Ю. А. Шиманский и И. Н. Сиверцев, Расчет прочности железо-
бетонных плавучих сооружений, НИСС, 1932.
И. Н. Сиверцев, Опыт экспериментального обоснования метода расчета
прочности железобетона при п const, Труды ГИИВТ. т. II. 1935.
602 Расчет прочности железобетонных конструкций [Гл. XXII
В соответствии с этим правильнее рассматривать и как коэффициент
условного метода расчета, вполне надежного, поскольку большое количество
сооружений, находящихся длительное время в эксплуатации и рассчитан-
ных этим методом, оказались, достаточно прочными. В судостроении при-
нимают П — 15.
Для бетонного сечения, полученного в результате приведения железо-
бетонного сечения к однородности материала, необходимые значения момен-
тов инерции, моментов сопротивления и т. д. находятся обычными способами,
как для сечении, выполненных из одного материала (при условном распро-
странении на бетон закона Гука).
При расчетах во второй стадии напряженного состояния сохраняется
принципиальная схема расчета по первой стадии напряженности с тем лишь
изменением, что бетон в растянутой зоне считается не работающим, что и
учитывается соответствующим образом при нахождении положения ней-
тральной оси, моментов инерции, моментов сопротивления и т. д.
При расчете железобетона по третьей стадии напряженности — стадии
разрушения — определяется момент внутренних сил в момент разрушения,
т. е. момент усилия, выдерживаемого арматурой при достижении напряже-
ниями в ней предела текучести, и усилия, выдерживаемого бетоном сжатой
зоны при достижении напряжениями в нем предела прочности сжатия.
Этот момент носит название разрушающего. При определении его
величины не приходится прибегать к операциям, в которые входит коэффи-
циент л, и все отмеченные затруднения, возникающие в связи с установле-
нием значения л, отпадают.
Конструкция считается прочной, если разрушающий момент больше
расчетного в соответствии с коэффициентом запаса прочности.
При проверке прочности по второй и третьей стадиям напряженности
необходим также так называемый расчет трещиноустойчивости, который
имеет целью установить, что в конструкции при заданных эксплуатацион-
ных нагрузках раскрытие трещин в растянутой зоне не превзойдет некото-
рых установленных для этого норм.
При расчете по первой стадии напряженности появление трещин от
нагрузки исключено, так как напряжения в растянутой зоне не превосходят
предела прочности бетона на растяжение.
Каждом}' из описанных трех методов расчета прочности судовых железо-
бетонных конструкций присущи свои достоинства и недостатки.
К недостаткам расчета прочности по первой стадии напряженности
железобетона относятся следующие:
а) неиспользование потенциала прочности арматуры в растянутой
зоне конструкции, так как напряжения в ней не могут превзойти зна-
чения naff, т. е. примерно 600—700 ка/см2;
б) неопределенность величины коэффициента запаса прочности, который
различен для арматуры и для бетона;
в) возможность появления усадочной трещины в растянутой зоне, прин*
ципиально исключающая применение рассматриваемого метода расчета
(значит, для применения этого метода расчета надо быть уверенным, что при
постройке судна будут приняты надежные меры против появления усадоч-
ных трещин).
Сопротивление бетона растягивающим усилиям в ряде случаев являет-
ся существенным резервом прочности конструкции. Учет его в расчете
железобетонных плит позволяет (особенно в случае применения высоких
марок бетона) уменьшить их сечение или сократить расход арматуры.
Это — положительная черта метода расчета по первой стадии напряжен-
ности.
§ 85]
Общие соображения
603
Самое же большое преимущество этого метода заключается в том, что
он является надежным условным методом проверки прочности судов,
проверенным на многих объектах в течение длительной эксплуатации.
Расчет по второй стадии напряженности железобетона имеет тот недо-
статок. что при его применении остается неясным вопрос о величине коэф-
фициента запаса прочности. Метод усложняется необходимостью проверки
трещиноустойчивости конструкции, в которой в применении к судовой
конструкции до сих пор есть неясные места. Большим достоинством метода
является его надежность: этот метод долгое время был основным методом
проверки прочности всех железобетонных сооружений, а за границей со-
хранил свою роль и до настоящего времени.
/ Метод расчета по стадии разрушения еще не разработан достаточно
/цолнэ в применении к судовым железобетонным конструкциям: он “преду-
сматривает картин} разрушения от нормальных напряжений, тогда как
в тонкостенных судовых конструкциях разрушение во многих случаях насту-
пает ранее от главных растягивающих напряжений.
Расчет на восприятие главных растягивающих напряжений до сих
пор выполняется приведением к однородности материала, что не соответ-
ствует расчетам по стадии разрушения (разработанный недавно метод рас-
чета, свободный от этого недостатка, не получил распространения).
При расчете по стадии разрушения все равно приходится возвращаться
к р ссмотрению эксплуатационного состояния конструкции’ при проверке
раскрытия трещин при действии эксплуатационных нагрузок. Достоинст-
вом метода является точное представление о запасе прочности конструкции.
Дгот метод предписывается правилами Речного Регистра СССР.
.Мы считаем, что в судостроении более целесообразно пользоваться
методом расчета прочности по упругому состоянию железобетона при экс-
плуатационных нагрузках.
С точки зрения строительной механики корабля главнейшие различия
межд. стальным и железобетонным судами состоят в:
а) различном распределении весовых нагрузок при определении эле-
ментов общего изгиба корпуса судна;
б) различных стрелах прогиба (различных величинах деформаций
вообще);
в) различной степени устойчивости элементов конструкции;
г) различном влиянии условного пояска обшивки при определении
прочности балок набора,
д) различном восприятии вибраций;
Распределение весовых нагрузок при опреде-
лении элементов общего изгиба корпуса судна.
Практикующееся при определении элементов общего изгиба корпуса судна
распределение весовых нагрузок на длину, соответствующую протяжен-
ности данной нагрузки или протяженности фундамента, не делает различия
между гибким и жестким судовым корпусом. В действительности большая
жесткость корпуса вызывает распределение весов на большую длину, что
в свою очередь приводит к уменьшению изгибающего момента. Одно из
назначений фундаментов — распределить нагрузку на большую длину, но,
помимо фундаментов, сами части судового корпуса распределяют нагрузку
(являясь как бы ее фундаментом).
В речном судостроении расчетный изгибающий момент обычно опре-
деляется условиями разгрузки и погрузки судна. Железобетонное судно
получает здесь некоторое преимущество перед стальным.
Деформации к о р п у с а ж е л е з о б е т о н н о г о судна.
Проектируя железобетонную конструкцию, вообще всегда надо помнить,
604 Расчет прочности железобетонных конструкций [Гл, XXII
что деформации ее, в частности стрелы прогиба, значительно меньше, чем
у равнопрочной с ней стальной конструкции.
Участие связей корпуса железобетонного
судна в его общемизгибе. При определении момента сопротивле-
ния эквивалентного бруса стального судна вследствие потери устойчивости
обшивки некоторая часть ее сечения в эквивалентный брус не вводится.
В железобетонных судах в расчет эквивалентного бруса вводится все по-
пгрешюе сечение судна полностью.
Восприятие вибраций. Монолитность не является причиной
отсутствия вибраций. Уменьшение вибраций в железобетонной балке по
сравнению со стальной происходит вследствие того, что жесткость железо-
бетонной балки значительно больше жесткости стальной1,
§ 86. РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ
Под методом допускаемых напряжений понимают расчет прочности
железобетонных конструкций по первой и второй стадиям напряженности
железобетона, поскольку прочность по этим методам контролируется допус-
каемыми напряжениями.
Приведенные к бетону площади, статические моменты, моменты инерции
и моменты сопротивления для данного железобетонного сечения опреде-
ляются, как указано ранее, путем увеличения площади сечения арматуры
в 15 раз в обычной табличной форме.
Коль скоро такая замена служит лишь условным приемом расчета, ц. т.
площади бетона, заменяющей площадь сечения арматуры, лежит в ц. т. этого
сечения арматуры и статические моменты и переносные моменты инерции
этой площади вычисляются при плечах ц. т. площади сечения замененной
арматуры, а собственный момент инерции считается пренебрежимо малым,
так как высота сечения арматуры мала.
Расчет с учетом работы растянутого бетона производят обычно для
конструкций, в которых нельзя допустить образования трещин в растянутом
бетоне.
Основную долю усилий при обычном насыщении сечения арматурой
воспринимает бетон, особенно в плитах. Арматура мало влияет на величину
допускаемых нагрузок. Прочность сечения в подавляющем большинстве
случаев лимитируется растягивающими напряжениями в бетоне.
Расчет прочности без учета работы растянутого бетона производится
для конструкций, в которых могут быть допущены трещины в растянутой
зоне "(конструкции, не соприкасающиеся с водой, например, карлингсы,
бимсы и т. п.). При этом расчете необходимо предварительно выяснить в зави-
симости от рода нагрузки, какая часть бетонного сечения будет сжата и ка-
кая растянута, т. е. первоначально надлежит определить положение ней-
тральной оси. Для случая изгиба балки'положение нейтральной оси может
быть найдено нз уравнения, выражающего равенство нулю статического
м мента площади сжатой зоны и растянутой арматуры относительно этой оси.
Применительно к прямоугольному сечению с двойной арматурой,
изображенному на рис. 215, это уравнение имеет вид:
nFа (х — а') + у x2b — nFa (h0 — х) = 0,
где х — высота сжатой зоны, а п = 15.
1 Несмотря на то, что модуль упругости железобетона составляет всего 1/10—
1/15 модуля упругости стали, произведение модуля упругости на момент инерции
поперечного сечения для железобетонной балки в несколько раз превышает анало-
гичное произведение для стальной балки
§ 86] Расчет прочности по допускаемым напряжениям 605
Решая это уравнение, получим
X = 4Ue-^o) V l + 2b^Fah0 : у) —
b L1. n(Fa + Fay
(590)
Этим же уравнением можно пользоваться для определения положения
нейтральной оси балки таврового сечения с растянутой полкой, поскольку
в ней нейтральная ось расположена в
ребре (стенке профиля). Очевидно, что
в этом случае конфигурация сечения
растянутого бетона роли не играет и,
следовательно, балка может рассмат-
риваться как прямоугольная с шири-
ной, равной ширине ее ребра.
Для балок таврового сечения со
сжатой полкой нейтральная ось может
быть определена с небольшой по-
грешностью (без учета влияния сжа-
того бетона в ребре) по следующей
формуле, выведенной по аналогии с
предыдущей:
Рис. 215
х = 0.5 bnh2n —a'nF а + nF,(h —а)
bnhn-n(Fa + F'a)
где Ьп и hn — ширина и толщина полки.
Если вычисленный по формуле х окажется меньше hn, то нужно
пользоваться предыдущей формулой, полагая в ней Ь = Ьп.
Приведенные методы определения нейтральной оси сечения простой
балки могут применяться и для балок сложного сечения типа эквивалент-
ного бруса. При прогибе судна обычно, опасаясь возникновения трещин
в днище, применяют расчет по первой стадии. При перегибе могут быть
допущен оба метода. При расчете по второй стадии положение нейтральной
оси эквивалентного бруса можно определить с достаточной степенью точ-
ности, пренебрегая влиянием бортов и продольных переборок.
Необходимо обратить внимание на существенную разницу между рас-
четом с учетом растяжения бетона и расчетом без учета растяжения бетона.
В первом расчете момент инерции, момент сопротивления, статические
моменты и положение нейтральной оси определяют независимо от знака
изгибающего момента; во втором расчете вычисление упомянутых величин
приходится делать тдельно при прогибе и перегибе.
Расчет на восприятие срезывающей силы производится одинаково как
по первой, так и по второй стадии напряженного состояния (см. § 89).
Проверенные длительным опытом постройки железобетонных судов
допускаемые напряжения приведены в табл. 142.
Нормы даны для портландцемента. В случае применения пуццоланового
портландцемента марка бетона определяется, как указано на стр. 628.
Допускаемые напряжения для арматуры на растяжение и сжатие
должны приниматься для Ст. 2, Ст.З — 1 250 кг!см-. Ст. 4— 1 350 кг!см2.
При одновременном действии изгиба и растяжения-сжатия (например,
при суммировании общих и местных напряжений в эквивалентном брусе)
расчетным напряжением является приведенное напряжение, определяемое
606 Расчет прочности железобетонных конструкций [Гл. XXII
как
= (592)
или
3лРиа = 3Ос-|^сВз- (592а)
Здесь:
сж и <т„— действующие напряжения (осевое и от изгиба);
[=oJ и [anjl—допускаемые напряжения (осевое и от изгиба).
В случае действия статически-переменной нагрузки допускаемые на-
пряжения следует уменьшать по формуле И. Г. Бубнова:
[з]от. пгр = 0,25 [ff]Heu3J« (з 4- .
\ ° макс '
Таблица 142
Основные допускаемые напряжения в бетоне (кг/см2)
Виды вапряжеянй Марка бетона
200 250 300 350 400 450
Растяжение осевое 20 23 25 27 30 32
» при изгибе 30 35 37 49 45 48
Сжатие осевое . . . 65 75 90 100 ПО 120
» при изгибе Скалывающие (главные растягивающие) на- пряжения, при которых не требуется спе- 90 НО 125 140 155 165
циальной арматуры Предельные скалывающие (главные растя- гивающие) напряжения, передаваемые иа 8 9 10 11 12 13
бетон 5 5,5 6 7,5 8
Непосредственяый срез 14 16 17,5 19 21 22
Примеры расчетов прочности судовых железобетонных конструкций по-
методу допускаемых напряжений даны в § 92.
Представляют интерес максимальные напряжения1, допущенные
в проекте двадцати четырех железобетонных пароходов,построенных в США
из бетона марки 350 (табл. 143).
Таблица 143
Видыиапряжениб I кг [см'
I. Напряжения в бетоне
Напряжение сжатия 160
НАПРЯЖЕНИЯ СДВИГА
А. Продольные связи корпуса
а) без арматуры для восприятия сдвига 6) с арматурой для восприятия излишка сдвига сверх 7 кг/см2 14
в) при передаче всего сдвига на арматуру 35
1 Mac Lauqhlin, Powered Concrete Ships of World War II, E. N. R. 1944, № 18.
стр. 94—98.
§ 87] Расчет прочности по разрушающим нагрузкам 607
Продолжение
В д ы напряжений кг]см*
Б. Б нмсы, шпангоутные рамы *
а) без арматуры для восприятия сдвига 10,5
б) с арматурой для восприятия излишка сдвига сверх 10,5 кг/см* 21
в) при передаче всего сдвига на арматуру 35
11. Напряжения в стали
Напряжение сжатия 1125
Напряжения растяжения: а) в арматуре между внутренней и наружной поверхностями
обшнвкн ниже грузовой ватерлинии и в плитах днища . . 844
б) в плитах палубы 1125
в) в хомутах бимсов и шпангоутов 1125
г) в других местах 1406
Из приведенной таблицы можно сделать вывод, что расчет прочности
выполняется по второй стадии напряженности железобетона. Возможность
появления трещин в подводной части обшивки исключается путем ограни-
чения напряжения в стали до 844 кг! см?. При этом условии напряжение
растяжения в бетоне будет примерно равно:
844
. _ = 56 кг/см2-.
1Ь
Таким образом в растянутой зоне эквивалентного бруса имеют место
почти такие же условия, какие получились бы в результате расчета по пер-
вой стадии напряженности железобетона.
§ 67. РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ПО РАЗРУШАЮЩИМ НАГРУЗКАМ
(РАСТЯЖЕНИЕ, ОСЕВОЕ СЖАТИЕ, ИЗГИБ)
Растяжение
В случае осевого растяжения армированной балки при напряжении
в стали, равном пределу текучести ~т, относительное удлинение стали
равно приблизительно 0,0010, а бетон разрушается уже при относительном
удлинении 0,0001, т. е. в десять раз меньшем, вследствие чего разру-
шающая нагрузка при растяжении равна
Np — Faom, (593)
где F t — площадь сечения арматуры.
Осевое сжатие
При осевом сжатии разрушающая осевая сила N определяется как
сумма усилий, развивающихся в момент разрушения в бетоне и арматуре-
Усилие разрушения в бетоне устанавливают в предположении, что на-
пряжения в нем достигли предела прочности сжатия Рпр. Деформация
бетона при этом такова, что напряжения в сжатой арматуре достигают
предела текучести. При этих условиях разрушающее усилие будет равно
^ = <Р(/?пр^ + ^7а), (594)
где F6 и Fa — соответственно площади сечения бетона и арматуры.
608 Расчет прочности железобетонных конструкций [Гл. XXII
Величина г, входящая в формулу (594), учитывает возможность
потери устойчивости гибкими стержнями. При отношении расчетной длины
стержня к наименьшему радиусу инерции его сечения 10 : р 50, т. е. для
коротких стержней, ?= 1. Для других значений величина <э может быть
взята из табл. 144. В той же таблице приведены значения ф для прямо-
угольного и круглого сечений, для которых соответственно:
b d
Р = —= и Р =
j 12 4
где:
Ь — размер меньшей стороны прямоугольного сечения;
d— диаметр круглого сечения элемента;
I —расчетная длина элемента, равная его фактической длине, умно-
женной на коэффициент, характеризующий способ заделки кон-
цов и принимаемый равным:
при жесткой заделке обоих концов.......................... 0,5
> шарнирном закреплении обоих концов..................... 1,0
» одном жестко заделанном н другом шарнирно опертом
конце................................................ 0,7
> одном жестко заделанном и другом свободном конце . . . 2,0
> частичной заделке концов..............................0,5—1,0
Таблица 144
I. р ф
14 и менее 12,1 и менее 50,0 и менее 1,00
16 13,9 55,4 0,88
18 15,6 62,2 0,80
20 17,3 69,0 0,73
22 19,1 76,0 0,67
24 20,8 83,0 0,62
26 22,5 90,0 0,57
04 24,3 97,0 0,53
30 26.0 104,0 0,50
32 27.7 110,0 0,48
Изгиб
Величина разрушающего момента Мр зависит, помимо прочих фак-
торов, от конфигурации бетонного сечения сжатой зоны.
У балки прямоугольного сечения, армированной только в растянутой
зоне (рис. 216), в момент разрушения растягивающее усилие восприни-
мается арматурой Fa, а сжимающее — бетоном \
Разрушающее растягивающее усилие в арматуре определяется
Za = Fa Ъп-
Сжимающие напряжения в бетоне не равны по всей сжатой зоне Ри,
а распределены примерно так, как показано штриховой линией на рис.'216.
Однако можно принять эти напряжения одинаковыми; опыты показали, что
1 Влияние растянутого бетона, расположенного в районе нейтральной оси и
воспринимающего некоторую часть растягивающих усилий, не учитывается. Как
показали опытные исследования, возможная погрешность (в безопасную сторону)
при этом незначительна.
§ 87] Расчет прочности по разрушающим нагрузкам
609
это не вносит существенной погрешности. Усилие, приводящее к разру-
шению бетона в сжатой зоне,
D6 — bxRu,
где:
b —ширина балки;
х —высота сжатой зоны;
Ra — предел прочности бетона на сжатие при изгибе.
Усилия, развивающиеся в растянутой и сжатой зонах балки, должны
быть всегда равны по абсолютной величине (поскольку осевая сила равна
Рис. 216. Распределение усилий при действии разру-
шающего момента (армирована только растянутая зо-
на сечения)
нулю и на балку действует только внешний изгибающий момент), т. е.
Za = De. Выполняя это условие, получим
.. = Fа
bRu '
Изгибающий момент Мр, разрушающий балку, равен
Mp = Zoz = D6z.
Здесь:
z = Ло — 0,5х — плечо внутренней пары (считая сжимающие напряже-
ния одинаковыми по всей сжатой зоне), равное рас-
стоянию между точками приложения сил Za и £)б;
Ло — так называемая рабочая высота, равная расстоянию
от сжатой кромки сечения до ц. т. растянутой арма-
туры (см. рис. 216).
Для более точного расчета, т. е. с учетом реального закона распре-
деления сжимающих_напряжений в бетоне по высоте, следует взять
z = h0 — бх.
Проф. А. Ф. Лолейт рекомендовал на основании опытов принимать
й = 0,53.
Используя эти величины, получим:
(F а \
ло-°’5^7) <595)
ИЛИ
(р О \
(595а)
39 Учебный справочник
610
Расчет прочности железобетонных конструкций [Гл. XXII
Одновременное достижение предельных значений напряжений в арма-
туре и бетоне (зт и /?„) возможно только в сечении, сконструированном
определенным образом. При слабом армировании потечет арматура, в то
время как в бетоне напряжения будут меньше Ru, и наоборот.
Поэтому формула (595), выведенная в предположении, что сжатая и
растянутая зоны разрушаются одновременно, справедлива лишь при опре-
деленных пределах армирования.
Опытами установлено, что растянутая арматура может быть полностью
использована (т. е. напряжения в ней смогут достичь предела текучести}
в том етучае, если величина удовлетворяет условию:
р
И..д,с<0,5^, (596)
И ЬЛо’
или, что то же самое, х 0,5Ло. Применительно к арматуре, имеющей
«ж = J 500 кг см2, максимальные значения для различных марок
бетона приведены в табл. 145
Минимальное армирование балки
начиная с которого прочность ее
будет лимитироваться проч-
растянутой зоны, принимают
(597)
Таблица 145
Пределы армирования
Марка бетона V-макс, % Н мин, %
200 3,6 0,3
300 5,0 0,4
400 6,0 0,5
сечения
н остью
равным
0,035—.
Согласно правилам Речного Регистра СССР величина принимается
несколько большей (см. табл. 145).
При изгибе балок прямоугольного сечения с арматурой,
расположенной как в растянутой зоне, так и в сжатой,
разрушающее усилие в сжатой зоне будет одновременно
восприниматься бетоном и сжатой арматурой и будет
равно1
D= bxRa 4- Fa ст
где Fa — площадь сечения армату ры в сжатой зоне.
Растягивающее усилие воспринимается лишь растянутой арматурой Fa
и равно Za = Fa зт.
Высота сжатой зоны при одновременном разрушении сжатой и рас-
тянутой зон сечения .может быть найдена исходя из равенства этих
усилий, т. е.
к (Fa-Fa)=m
bRB '
Разрушающий момент Мр для данной балки можно представить как
сумму моментов внутренних усилий D6 и Da относительно ц. т. растя-
нут "и арматуры:
Л1р = bxRa (h0- 0,5х) +F'a 3m(h0- а')
1 Здесь, как в в дальнейшем, принимается прямоугольная эпюра распределе-
ния напряжений в сжатой зоне (см. стр. 609) по высоте.
§ 87]
Расчет прочности по разрушающим нагрузкам
611
или, заменяя х его значением,
мр = (Fa - Fa) зт (h»- 0,5 4- F’a ст (h0 - а'). (598)
Формула (598) в случае Fa = 0 (армирована только растянутая зона)
обращается в формулу (595).
Наибольшая степень армирования'растянутой зоны по аналогии с пре-
дыдущим должна удовлетворять условию:
х <; О,5/?о
/ , , F'a\
или с учетом выражения для х I и обозначения р = 1 :
\ 0^0/
g —ц'<0,5^. (599)
Кроме того, во избежание избыточного армирования растянутой зоны
необходимо, чтобы
^е<0,7^. * (600)
"*т
Дтя арматуры имеющей ат = 2 500 кг/см2, значения умакс будут сле-
дующими:
--------------------- ^Минимальное содержание растянутой арма-
” р1’ I г макс. % туры в данном случае можно определить по
_____________________ выражению (597). Практически это условие
при наличии двойной арматуры всегда соблю-
300 б’з дается.
400 8,’з В формуле (598) сжатую арматуру, очевид-
но, можно учитывать только в том случае,
когда напряжения в ней в момент разрушения сечения достигают предела
текучести зт.
Условно полагается, что в сжатой арматуре в момент разрушения
напряжения достигнут ат в том случае, если
а' < 0,5х
или согласно формуле для х при
Fa<Fs— Ч'аЬ — . (601)
В том случае, если действительное значение Fa не удовлетворяет ус-
ловию (601), то в расчет следует вводить некоторую условную расчетную
площадь сечения сжатой арматуры, равную
Fa расч — Fa — 2с Ь . (601а)
В судовых конструкциях очень часто оказывается р'арасч намного
меньше действительной Fa, а иногда вообще F'a расч — 0‘. последнее ука-
зывает на то, что сечение следует рассчитывать без учета сжатой арма-
туры. Это относится главным образом к судовым плитам. •
При определении Л1р тавровых балок необходимо различать, в какой
из зон сечения — сжатой или растянутой — расположена полка.
Если полка лежит в растянутой зоне (например, полка кильсона в райо-
не действия опорного момента у переборки), балка может рассчитываться как
имеющая прямоугольное сечение высотой h и шириной, равной ширине реб-
39
612 Расчет прочности железобетонных конструкций [Гл. XXII
Рис. 217. Расчетная схема для
случая, к<гда полка растянута, а
ребро сжато
ра &,так как бетон в растянутой зоне, в том числе и бетон полки в момент
разрушения, не работает (рис. 217). В этом случае можно пользоваться
расчетной формулой (598) с учетом относящихся к ней ограничений,
кроме одного, касающегося предельных значений цмин. Применительно
к рассматриваемому случаю величина рЛИИ
будет больше, чем для прямоугольного
сечения, так как расположенная в растя-
нутой зоне полка намного увеличивает
момент разрушения неармированного се-
чения.
Когда полка лежит в сжатой зоне
сечения, поведение балки при разруше-
нии, а следовательно, и расчет ее прочно-
сти, зависят от соотношения между тол-
щиной полки Л„ и общей высотой сечения
h (рис. 218).
Если толщина полки мала по сравне-
нию с высотой сечения (практически при
ЛЛ<О,1Л), то при разрушении полка ока-
жет незначительное влияние на величину
разрушающего балку изгибающего момента вследствие малой связан-
ности полки с ребром н малой ее устойчивости.
В этом случае тавровая балка рассчитывается по соответствующим
формулам без учета влияния полки, т. е. как балка прямоугольного
сечения bh(ABCD на рис. 218).
Рис. 218. Расчетная схема для случая, когда полка
сжата, а ребро растянуто при х < hn
Если плита полки достаточно толстая ^Лл^-^Л j, то считается
что полка вплоть до разрушения балки будет работать вместе с ребром.
Это значительно усиливает сжатую зону сечения.
ч Если сжатая зона оказывается в пределах полки, что будет при
высоте сжатой зоны
Г
bnRa '
не большей Л„ (л < ft„), то можно считать, что балка с точки зрения рас-
чета ее прочности равноценна прямоугольной, с сечением, имеющим
ширину*, равную ширине полки Ьп, а высоту, равную h (EFGH на рис. 218).
В этом случае расчет может производиться по формуле (595), в которой
вместо размера b следует подставлять ширину полки Ьп. Обычно уело-
§ 88] Расчет на сложный изгиб по разрушающим нагрузкам 613
вие (601) для тавровых балок со сжатой полкой не соблюдается и сжатая
арматура не учитывается, т. е. разрушающий момент может быть опре-
делен по формуле:
Mp=Fa.m(ho-0,5Fb^y (602)
Однако, с достаточной для практических целей точностью, вели-
чину Мр при наличии полки в сжатой зоне можно определить, полагая
х = hn. При этом формула (602) превращается в более удобную:
Mp = Fazm(ho-0,bhn). (602а)
При расположении арматуры не в один, а в два-три ряда величины
а, а' и Ло следует отсчитывать от ц. т. стержней той или иной зоны сече-
ния балки. Если растянутая арматура расположена близко к нейтральной
оси, то в момент разрушения напряжения в ней могут быть меньше предела
текучести. Применительно к этому случаю на основании экспериментальных
данных можно считать, что напряжения ст б) дут возникать в арматуре,
удаленной от нейтральной оси не менее чем на расстояние
у>0,25(Ло —х). (603)
При несоблюдении этого условия площадь стержней растянутой арма-
туры, расположенных близко к нейтральной оси, учитывать не следует.
§ 86. РАСЧЕТ НА СЛОЖНЫЙ ИЗГИБ ПО РАЗРУШАЮЩИМ НАГРУЗКАМ
Рис. 219. Схема приведения внецентрен-
ного растяжения к изгибу eg осевым
растяжением
При расчете по разрушающим нагрузкам напряженное состояние слож-
ного изгиба железобетонной балки (т. е. изгиба при одновременном растя-
жении или сжатии ее) в общем случае не может быть получено наложе-
нием рассмотренных выше напряжен-
ных состояний изгиба и растяжения
(сжатия) вследствие того, что раз-
личные сочетания изгибающего мо-
мента и продольной силы вызывают
разные картины разрушения и при-
водят к различным расчетным схемам.
Расчетные формулы для слож-
ного изгиба даются обычно приме-
нительно к схеме, представленной на
рис. 219,а, хотя при расчете судовых
конструкций основной является схе-
ма, данная на рис. 219,6. Легко по-
казать, что оба эти случая можно при-
вести к одной схеме. Приложив в точ-
ке О (см. рис. 219,а) две взаимно
уравновешивающиеся силы N, получим, что в сечении действует’изгибаю-
щий момент и осевое усилие N, т. е. по заданным N и е0, можно определить
М=.\е0 и, наоборот, при известных М и N легко найти
М
е°~ N
i
Эксцентриситет е0 измеряется от середины высоты сечения и отклады-
вается в случае внецентренного растяжения в сторону растянутых волокон
от действия момента М, а в случае внецентренного сжатия — в сторону
сжатых волокон или соответственно — в сторону выпуклости и вогнутости
балки.
614 Расчет прочности железобетонных конструкций[Гл. XXII
В случае большого эксцентриситета характер разрушения сечения как
при внецентренном растяжении, так и при внецентренном сжатии оди-
наков. В соответствии с этим и расчетные формулы для определения разру-
шающего усилия Др будут идентичными. В прямоугольном сечении
(рис. 220) при рациональном армировании как растянутая, так и сжатая
зоны должны разрушаться одновременно.
Растянутая арматура воспримет усилие
Z = F z
'а 1 а т-
а равнодействующая сжимающих усилий в сжатой зоне будет
D = D6 —Da = bxRB-\-cmFa~
Составив два уравнения статики, из которых одно выражает равенство
суммы .моментов всех внутренних сил относительно и. т. растянутой
Рис. 220. Распределение усилий в случае действия Np при больших значениях
эксцентриситета для прямоугольного сечения
арматуры Fa моменту внешней силы Л’ относительно той же точки, а вто-
рое— равенство суммы проекций всех сил на ось балки внешней силе Л/,
получим:
Внецентрениое растяжение (рис. 220, а)
Лр е= b xRa (Л — 0,5х) —
-Г>я(й0-а') (604)
= (Fe - Fa) - bxR. (605)
е = е0 — 0,5Л а
Внецентрениое сжатие (рис. 220,6)
Np е = bxRu (h0 — 0,5х) +
+ F'a зт (Ло — «') (604а)
Л; = bxRa - (Fa - F'a) зт (605а)
е = е0 + 0,5h — а.
Решая совместно уравнения (604) и (605), можно определить Np и х.
Во избежание преждевременного разрушения сжатой зоны необхо-
димо ограничить количество растянутой арматуры, что в общем случае
достигается при условии:
с
/^<0,8, (606)
у 0 /
где:
S6— статический момент площади сечения бетона сжатой зоны отно-
сительно ц. т. растянутой арматуры;
—статический момент всей полезной площади бетонного сечения
(т. е. расположенной в пределах высоты Ло) относительно ц. т.
растянутой арматуры.
§ 88] Расчет на сложный изгиб по разрушающим нагрузкам
615
Применительно к прямоугольному сечению условие (606) может быть
представлено в виде:
х<0,55Ло, (607)
поскольку в этом случае S6 = bx (Ло — 0,5х) и So = 0,5 bh~0.
Сжатую арматуру учитывают в том случае, если а' 0,5х.
Формулы (604) и (605) можно использовать для расчета тавровых
сечений, имеющих полку в растянутой зоне, поскольку растян тый бетон
полки не влияет на величину Np. '•ЛЛлсиг
6 нецентренное растяжение внецентреннов сжатие
Рис. 221. Расчетная схема для определения Np таврового сечения при больших
значениях эксцентриситета в случае х < hn
Применительно к тавровым сечениям, имеющим полку в сжатой зоне,
аналогично предыдущему, будем иметь1 (рис. 221):
hpe = ± bnxRu (Ло - 0,5х); (608)
Np = ±Fa°m + bnxRu. (609)
Эти выражения справедливы в предложении, что:
а) полка вплоть до разрушения работает вместе с ребром, т. е. при
Л„>О,1Л;
Если по уравнениям (608) и (609) получается, что x"^hn, т. е.
сжатая зона захватывает часть ребра (рис. 222), то расчетные формулы
будут следующими:
= -(&„- Ь} (Ло - 0,5Л„) hnRu ± bxRa (Ло - 0,5х); (610)
= - Fe=m =F (&„ - b} hnRa - bxRu. (611)
В обоих случаях обязательно соблюдение условия (606).
Вышеприведенные расчетные формулы относятся только к балкам,
у которых сила N приложена с большим эксцентриситетом е0. В случае
внецентренного растяжения эксцентриситеты считаются большими, если
ей 0,5йо — а', (612)
а в случае внецентренного сжатия при соблюдении условия (606) или для
прямоугольного сечения — условия (607).
При малых значениях эксцентриситета, характер разрушения
сечения будет различным для внецентренного растяжения и внецентрен-
ного сжатия.
1 В этих формулах и ниже верхние знаки соответствуют внецентренному сжа-
тию, нижние — внецентренному растяжению.
616 Расчет прочности железобетонных конструкций[Гл. XXII
В случае внецентренного растяжения при малом значении эксцентриси-
тета «о, т. е. при
ео<°.5/го—<
точка Л не выходит за пределы расположения арматуры (рис. 223), все
сечение растянуто и его прочность в момент разрушения обеспечивается
Tt 1ько арматурой.
Внеаентренное растяжение Внецентренное сжатие
Сила Хр распределится между верхней и нижней арматурой в соот-
ветствии с положением точки ее приложения, а именно:
• е h — е
.V = N — и N = N —___________- -
с* а 1'1р г и ‘'а ‘•р и
иа "-а
Напряжения в арматуре будут
Очевидно, что при постепенном увеличении растягивающей силы N
в одной из арматур напряжения достигнут предела текучести, что и будет
соответствовать разрушению стержня. Приравнивая аа или са пределу
текучести, получим
А’ _^ = 3 и д' Vz£ = 3
PhaFa т р haFa
откуда
= = <613)
Из полученных двух значений Np следует взять наименьшее. Фор-
мулы (613) справедливы для любой конфигурации сечения.
В случае малых эксцентриситетов при внецентренном сжатии разру-
шение сечения всегда начинается со сжатой зоны, если > 0,8 или для
прямоугольного сечения при x>O,55/zo.
Как показали опытные исследования, в случае сжатия при малых
эксцентриситетах статический момент равнодействующей сжимающего
§ 88] Расчет на сложный изгиб по разрушающим нагрузкам
617
усилия бетона De6 относительно ц. т. арматуры, наиболее удаленной от
силы Np, для любого сечения ко времени разрушения может быть принят
равным
Dee=S0Rnp. (614)
Для вывода расчетных формул применительно к прямоугольному
сечению составим сумму моментов внутренних сил относительно ц. т.
арматуры Fa (рис. 224, а), которая будет равна моменту внешней силы
Npe = De6 + F'a cm(h0 —а'). (615)
Следовательно,
= S0Rnp + Fa 3m(ho— а’), (616)
где:
So— см. выше;
Rnp — призменная прочность бетона.
Применительно к прямоугольному сечению (So = 0,5&Zzo) уравнение
(615) получит следующий вид:
Npe = O,5bh2oR„p -f- (h0 — a'). (617)
Значение e в этом случае определяется, как и ранее, т. е. е = е0 +
4- 0,5Л — а. Сжатую арматуру учитывают целиком.
Однако при малых эксцентриси-
тетах при малой площади сечения
арматуры Fa (в том случае, когда все
сечение сжато) разрушение сечения
может начаться с арматуры. Поэтому
необходимо к расчетному уравнению
(616) ввести дополнительное ограни-
чение в отношении минимума Fa.
Дтя этого составим выражение
моментов усилий относительно ц. т.
арматуры Fa в предположении, что в
арматуре Fa возникают сжимающие
усилия Fa -зт, т. е. (рис. 224, б)
Рис. 223. Распределение усилий при
внецентренном растяжении в случае
малых эксцентриситетов
Npe' = SiRnp + Facm(h0- a'). (618)
Здесь ана логично выражению (614):
So Rnp = D (h0 — a' — e6),
где:
So — статический момент площади части бетонного сечения высо-
той h0 (рис. 224, б) относительно ц. т. арматуры Fa-
Для прямоугольного сечения
Si = О,5ЬЛо2-
Подставляя So в выражение для Npe', получаем
NP е' (Ло - а') + O,5bh'o2Rnp. (619)
Поскольку е' = 0,5 h — а' —е0 окончательно получим следующее выра-
жение для условия, при котором исключается преждевременное разру-
шение арматуры Fa:
Np (0.5Л - а’ - е0) < Fa ат (Ло - а’) + O,5bho2Rnp. (620)
618 Расчет прочности железобетонных конструкций [Гл. XXII
Формулами (619) и (620) можно пользоваться для расчета тавровых
сечений, v которых полка располагается со стороны арматуры Fa.
Для расчета внецентренного сжатия с малым эксцентриситетом балок
таврового сечения, имеющих полку в сжатой зоне, следует пользоваться
общим расчетным уравнением (615) с проверкой условия (618), т. е.:
\ре = (Ь„— b) (h0— 0,5&n) h„ + O,5&&o]Rnp+Fa^m (h0 a) (621)
\p e' = Np (0,5Л — a' — e0) < Fa (h0 — a’) + 0,5 [(£>„ — b) hn (hn — a') 4-
(622)
— b (ho — a'f]R„p.
Рис. 224. Распределение усилий прн ввецентренном
сжатии в случае малых эксцентриситетов
При внецентренном
сжатии в случае недоста-
точной жесткости элемента
найденые указанным вы-
ше образом значения Np
могут оказаться завышен-
ными, так как возможно
дополнительное увеличе-
ние эксцентриситета. Оче-
видно, что к моменту на-
чала разрушения усилие
Np будет прикладываться
не с начальным эксцентри-
ситетом, а с большим.
Опыты показывают,
что учет влияния продоль-
ного изгиба в
действия
ходим
— >35.
плоскости
момента необ-
при отношении
Для
сечения
ю,
Л
^0 'х. о
у>8.
прямоугольного
это соответствует
а для круглого
Здесь:
/0 — расчетная длина;
?— радиус инерции сечения балки;
— размер сечения в плоскости действия изгибающего момента;
d — диаметр сечения.
При учете гибкости первоначальный эксцентриситет е0, с которым
приложена продольная сила N, должен быть умножен на коэффициент т,
равный для любой формы сечения
1
kN (1±\*
4800FRU р /
(623)
§ 89] Расчет на восприятие главных растягивающих напряжений. 619
Для прямоугольного сечения это выражение будет иметь вид:
т = .-----№ tt.\" (623а)
4ВД, (л )
где:
F — площадь бетонного сечения;
£ —коэффициент запаса (1,6 —2,2, подробнее о нем см. стр. 629);
Ra — предел прочности бетона сжатию при изгибе.
В случае 10 или вообще — 35 учет продольного изгиба в плос-
кости действия момента не производится.
Таким образом, для учета гибкости внецентренно сжатых элементов
первоначально по формуле (623) и (623а) определяют значение т, после
чего находят значение расчетного эксцентриситета е0 = те0, который и
вводят в расчетные формулы для определения разрушающей силы Np.
§ 89. РАСЧЕТ НА ВОСПРИЯТИЕ ГЛАВНЫХ РАСТЯГИВАЮЩИХ
НАПРЯЖЕНИЙ
Прочность по отношению к срезывающей силе проверяется
путем
определения величин главных растягивающих напряжений и касательных
напряжений в районе нейтрального
слоя. Так как главные растягивающие
напряжения на нейтральной оси бал-
ки численно равны напряжениям сдви-
га, в расчете прочности задача и
сводится к определению этих послед-
них напряжений и к установлению
того, как они воспринимаются кон-
струкцией.
Рнс. 225. Положительные значения 0, V
и М при определении величины т
Величина касательного напряжения т, действующего на нейтральной
оси, определяется по формуле
JZ
bz'
(624)
t
где Ь — ширина балки.
В расчете прочности на восприятие главных растягивающих напряже-
ний величина г принимается условно одинаковой по всей длине балки (неза-
висимо от стадии напряженного состояния в отдельных сечениях) и равной
плечу внутренней пары в момент разрушения, а именно:
для прямоугольного сечения
z = h0 — 0,5л, (625)
х 7
но не более — Ло
8 0
(значения х приведены в предыдущем параграфе);
для таврового сечения со сжатой полкой
z==ft0 —0,5Л„. (625а)
Если высота сечения балки непостоянная (например, вуты), то г нельзя
считать одинаковым по всей длине балки, и в районе изменения высоты сече-
ния в величину z вносится соответствующая поправка.
620 Расчет прочности железобетонных конструкций [Гл. XXII
Напряжения ~ в этом случае определяются по формуле
V М
-----(626)
bz bzh0 ь ' '
где:
I’ — срезывающая сила в рассматриваемом сечении (положительная
при действии вверх на правую отсеченную часть — рис. 225):
51 — изгибающий момент в рассматриваемом сечении (положитель-
ный при действии по часовой стрелке на правую отсеченную
часть — см. рис. 225);
6 — угол наклона вута (положительный при увеличении высоты слева
направо — рис. 225);
z — плечо внутренней пары;
Л»—рабочая высота сечения;
b — ширина сечения.
Обычно касательные напряжения в этом случае определяются для
двух сечений в начале и в конце в\та.
Рис. 226. Восприятие напряжений т (при наличии косой
арматуры)
При внецентренном сжатии в случае малых эксцентриситетов вели-
чина срезывающей силы в формуле (624) принимается равной
= ]/ (^) + V* - • (627)
§ 89] Расчет на восприятие главных растягивающих напряжений 621
где:
Fnp — площадь сечения бетона плюс десятикратная площадь сечения
арматуры;
N — сжимающее усилие.
Пользуясь данными указаниями
построим эпюру напряжений сдвига
Площадь этой эпюры, бу-
дучи умноженной на ширину
балки Ь, дает усилие сдвига по
нейтральной оси для данного
участка длину балки.
д>
В районе балки, где
(k —коэффициент запаса прочно-
сти; Рр—предел прочности растя-
жения бетона), все усилие сдвига
воспринимается бетоном, и специ-
альной арматуры для восприятия
срезывающей силы не требуется.
тг \ Rp е
Если т>—т~- бетон счита-
k
ется не работающим, вследствие
чего для восприятия главных
растягивающих напряжений не-
обходимо предусмотреть спе-
циальную арматуру (косая арма-
тура, хомуты, вертикальные и
горизонтальные стержни). Одна-
Ra
ко, если -> ~~ , конструкция
для различных поперечных сечений,
по длине балки (рис. 226).
Рис. 227. Восприятие напряжений т прн
отсутствии косой арматуры
ба тки должна быть изменена.
Рис. 228. Усилия, действующие в вертикальной,
горизонтальной и косой арматуре
распределяется между продольной арматурой, хомутами и косой арма-
турой. В стенках высоких балок (рис. 227), армированных прямыми сет-
ками (например, борт, переборки),
° Rp
в районе т> ~~ сдвиги воспринима-
Я
ются вертикальной и горизонтальной арматурой.
622 Расчет прочности железобетонных конструкций [Гл. XXII
На продольную арматуру может быть передано усилие сдвига,
определяемое частью площади эпюры касательных напряжений ABCD
(см. рис. 226, в). Эта часть площади принимается равной 40% для рав-
номерно распределенной нагрузки и 20% для сосредоточенной силы.
Одновременно указанное у си тие не должно быть
более bL и 0,5 bL
k k
соответственно для распределенной и сосредоточенной нагрузок (здесь
b— ширина балки, a L—длина пролета).
Все остальное усилие сдвига передается на хомуты (вертикальная
арматура) и на косую арматуру. Рекомендуется большую часть этого
усилия передавать на косую арматуру.
Распределение усилий между отдельными элементами балки (Рк в ко-
сой арматуре, Рг в горизонтальной арматуре и Рв в вертикальной)
в момент ее разрушения от главных растягивающих усилий показано
на рис. 228.
Расчет вертикальной арматуры (хомутов, вертикальных стержней
обшивки бортов и переборок и т. п.)
Если вертикальная арматура (хомуты) расположена с шагом t, то
иа один стержень ее (хомут) при ширине балки b будет приходиться уси-
лие tb~r, где;
Т — Тпр — Тк
bLx
где Lx — длина, указанная на рис. 226.
Если сечение вертикальной арматуры (хомутов) на участке t обоз-
начим fx, то напряжение са в этой арматуре будет
_ ^xtb
fx
(628)
Когда по условиям конструирования [х задано, при определенном
допускаемом напряжении за напряжение ~.х будет равно
(630)
Горизонтальное растягивающее усилие обычно воспринимается
имеющейся продольной арматурой балки. Необходимая ее площадь /г
определяется как
(631)
Расчет косой арматуры
Усилие растяжения косой арматуры
^•гл. pacts — тк — 0,707 ЬТк , (632)
Lx
~dx часть площади напряжений сдвига по длине балки,
определяющая усилие сдвига, передаваемое на косую-
арматуру (для единицы ширины балки).
§ 90]
Расчет трещиноустойчивости
623
По усилию 7гл. раст путем деления его на допускаемое напряжение
и определяется площадь сечения косой арматуры. Главные сжимающие
напряжения поглощаются бетоном при работе на сжатие.
При расчете вертикальной и косой арматуры в каждом случае отдельно
ставится вопрос о поглощении некоторой доли напряжений сдвига, дей-
ствующих на нейтральной оси балки. В каждом из этих расчетов условия
равновесия составляются только по отношению соответствующих долей
напряжения сдвига. Иногда вследствие того, что значения касательных
напряжений малы и целиком воспринимаются бетоном и вертикальной
арматурой, постановка косой арматуры бывает не нужна.
§ 90. РАСЧЕТ ТРЕЩИНОУСТОЙЧИВОСТИ1 *
• Осевое растяжение
Значение относительного удлинения ер, при котором бетон разры-
вается, колеблется в пределах (0,7—1,7) 10“* и обыкновенно принимается
равным 10-4 (для судостроительного бетона оно несколько больше). Эта
деформация соответствует напряжению в арматуре
’а-m = гр Еа = 10-4 2 • 106 = 200 кг/см*1.
Общее усилие Nm, выдерживаемое балкой в момент, предшествую-
щий появлению трещин, равно
Nm = F6Rp + 200Fa. (633)
Изгиб
На основании многочисленных экспериментальных и теоретических
исследований считается возможным при нахождении величины изгибаю-
щего момента Л1т, при котором начнут появляться трещины, исходить
из следующих допущений:
а) вплоть до появления трещин имеет место гипотеза плоских
сечений;
б) эпюра напряжений в растянутой зоне принимается в виде пря-
моугольника с высотой Rp, а в сжатой зоне в виде треугольника;
в) относительное удлинение бетона в момент появления трещин, как
и ранее, принимается равным ер = 10~4.
Изгибающий момент при появлении трещин
bh?Rp, (634}
где:
» _ х _ 1 + у + lOpi.
5 ~ h - 2-Н+ 10g! ’
V = (fc"7,fc)/Zn; (636}
bh ' '
1 Более подробно см. Егоров Н. М., Трещиноустойчивость судовых железо-
бетонных конструкций, Труды ГИИВТа, том XIV, 1957.
624 Расчет прочности железобетонных конструкций
[Гл. XXII
Зависимости (634) и (635) справедливы лишь при условии:
— hn, т. е.
Применительно к обычным судовым конструкциям, когда Л„=(0,104-
4-0,15) Л, формула (634) принимает следующий вид:
Мт = (0 29 -г 0,75v) bh2 Rp. (637)
Для прямоугольных сечений > = 0 и, следовательно,
Мт —0,29bh2 Rp. (637а)
а высота сжатой зоны в этом случае с достаточной точностью может
1 ,
быть принята равной половине высоты сечения, т. е. х = -^-п.
Следует иметь в виду, что в судовых конструкциях на величину
Л1ж в значительной степени влияет поперечная арматура (в плитах —
распределительная, а в балках набора — хомуты), расположенная в рас-
тянутой зоне, которая, занимая часть площади сечения бетона, умень-
шает сопротивляемость растянутой зоны. Так, для тонких судовых плит
(Л=3,6—5,0 см) это уменьшение может достигать 30% и более.
Из расчетов и наблюдений следует, что для большинства судовых
конструкций прн действии эксплуатационных нагрузок появление тре-
щин неизбежно. Лишь применительно к тавровым сечениям, имеющим
полку в растянутой зоне (благодаря значительной площади бетона, вос-
принимающей растягивающие усилия), и в случае внецентренного сжатия
при малых эксцентриситетах можно избежать трещин.
Трещины в связях корпуса, подвергающихся непосредственному воз-
действию воды или работающих в условиях повышенной влажности, опасны,
так как могут вызывать коррозию арматуры и водотечность.
Однако наблюдения показывают, что далеко не все трещины опасны.
У железобетонных судов внутреннего плавания трещины шириной порядка
0,06 мм не опасны для поверхностей, подвергающихся постоянному смачи-
ванию (наружная поверхность днища, борта ниже ватерлинии, балластные
отсеки и т. п.). Для остальных конструкций могут быть допущены трещины
шириной до 0,1 мм. Впредь до проведения специальных исследований
указанные выше значения (0,06 и 0,10 леи) можно принимать в качестве норм
допускаемых раскрытий трещин.
Опыты показывают, что ширина появляющихся в растянутом бетоне
трещин зависит от расстояния между ними и величины нагрузки. Обычно
трещины располагаются на одинаковом расстоянии друг от друга, величина
которого зависит от рода действующего усилия, характера армирования
и конфигурации сечения.
Расстояние К между трещинами может быть выражено следующей
формулой:
(638)
где
Значение коэффициента 0, зависящего от характера деформаций и
формы сечения, может быть взято из табл. 146.
§90]
Расчет трациноустойчивости
625
Значения коэффициента ф
Таблица 146
Характер деформации и конфигурация сечения Величина
I. Изгиб и'сложный изгиб (изгиб с растя-
жением или сжатием) ‘при больших экс-
центриситетах (e0J>3 h):
а) прямоугольное сечение .............
б) тавровое сечение с полкой в сжатой
зоне...................................
в) тавровое сечение с полкой в растяну-
той зоне ... ..........................
2. Осевое и внецеитреииое растяжение при
весьма малых эксцентриситетах (е0 0,1 Л);
I сечения любой формы...................
3. Изгиб с растяжением при эксцентрисите-
I тах 3 й > ____ ______________
1 а) прямоугольное сечение и тавровое с
полкой в сжатой зоне .... . .
б) тавровое сечение с полкой в растяну-
той зоне......................... . . .
4. Изгиб со сжатием при эксцентриситетах
3 й>ео>0,1 й:
а) прямоугольное сечение и тавровое с
полкой в сжатой зоне .................
б) тавровое сечение с полкой в растяну-
той зоне...............................
5. Осевое сжатие и изгиб со сжатием при
малых эксцентриситетах (е0 0,1 й);
сечение любой формы....................
0,12
0,15
0,25 (1 — S + -v)
0,40
0,41—0,1 -,°-
п
0,40— [0,06—0,07 • (V—£)/0,1
0 (трещин не будет)
Примечание. Входящие в табл. 146 величины $
соответственно формулами (635) и (636).
и v определяются
При определении /. для тонких судовых плит (А <6,0 см), армиро-
ванных прямыми сетками, необходимо учитывать расположение стержней
распределительной арматуры в растянутой зоне, так как в этом случае
очень часто трещины располагаются не в соответствии с теоретическими
значениями найденными по формуле (638), а над стержнями распре-
делительной арматуры.
Если (рис. 229) [/.—теоретическое расстояние между трещи-
нами, найденное по формуле (638), a t — шаг распределительной арма-
туры, расположенной в растянутой зоне], то обычно действительное
расстояние между трещинами ).т меньше теоретического X и имеет сле-
дующие значения:
1) при 2(<>. <3/
или
если
-^>0,5 (1- 4^ (рис. 229, а);
П \ А /
40 Учебный справочник
626 Расчет прочности железобетонных конструкций
[Гл. XXII
2) при 2/>/.
т •
или
если
^-<0,5— (1—0,5 4 j у (рис. 229, б).
Здесь:
dp — диаметр распределительной арматуры;
Л — высота сечения плиты.
Если же (рис. 229, в), то обычно действительное расстояние
между трещинами кт больше теоретического >.. В случае, когда
4->°з
h
при 4, лежащем в интервалах: 0,95—1,00; 1,90—2,00 и 2,85—3,00,
расстояние между трещинами
если же
но вне указанных пределов, то
= / —(т—1)/..
Значания т берутся в зависимости от :
Рве. 229. Влияние ослабленной растянутой зоны на распределение трещин
Раскрытие трещины ® в общем случае может быть найдено как
разность между полным удлинением арматуры и бетона на [участке
между двумя соседними трещинами, т. е.
Ю = (еа — гб) к.
Здесь га и е6 — соответственно средние удлинения арматуры и бетона
по длине I.
§ 90]
Расчет трещиноустойчивости
627
Как показали исследования, применительно к судовым кострукциям
величина гб много меньше ед и с некоторой погрешностью в безопасную
сторону можно считать eg = 0 *.
При таком допущении
U)=eflA=-^-X, (639)
где аа — напряжение в растянутой арматуре в сечении по трещине при
действии эксплуатационной нагрузки.
При расчете прочности по разрушающим нагрузкам* 1 с достаточной
для практических целей точностью величина аа может быть взята как
-
d“ k '
где k — коэффициент запаса прочности.
Окончательно будем иметь
= (640)
Входящее сюда значение X следует определять по формуле (638)
с учетом влияния ослаблений, вызванных поперечной арматурой2.
Найденная указанным образом ширина трещины должна быть меньше
приведенных выше допускаемых значений (см. стр. 624).
При проектировании сечений для обеспечения трещиноустойчивости
необходимо, чтобы отношение — удовлетворяло определенному усло-
Ui
вию. Это условие может быть получено путем приравнивания значения
w, найденного по формуле (640), к допускаемым значениям раскрытия
трещин. Можно показать, что требования трещиноустойчивости будут
соблюдены:
для смачиваемых элементов при
A k
— <12600—-: (641)
Hl 3m Ф
для несмачиваемых элементов при
A k
-<21000—^-. (641а)
Hl
Применительно к изгибаемым плитам (ф = 0,12) условия (641) и
(641а) примут вид (при f<X):
для смачиваемых элементов
* Указанное допущение объясняется сравнительно небольшим сцеплением ме-
жду бетоном и арматурой в судовых конструкция^, обусловленным действием
переменной по величине и знаку нагрузки, а также тем обстоятельством, что фак-
тически удлинение бетона происходит ие иа всей длине X, а на меньшей, поскольку
около трещин имеются значительные (по сравнению с X) участки, на протяжении
которых благодаря местным концентрациям напряжений сцепление между бетоном
и арматурой полностью нарушается.
1 В случае расчета прочности по допускаемым напряжениям следует считать:
= М-
1 До получения исчерпывающих экспериментальных данных учесть это влия-
ние можно только для случая изгиба и сложного изгиба при больших эксцентри-
ситетах.
628 Расчет прочности железобетонных конапрукиий [ Гл. X X11
для несмачиваемых элементов
d k
— < 1,7^- 10s. (641в)
Следует иметь в виду, что удовлетворение требованиям трещиноус-
тойчивости в судовых плитах приводит обычно к большему расходу
арматуры по сравнению с требованиями прочности.
§ 91. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ «ВРЕМЕННЫХ ПРАВИЛ ПОСТРОЙКИ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ СУДОВ ВНУТРЕННЕГО ПЛАВАНИЯ»
РЕЧНОГО РЕГИСТРА СССР (1949 г.)*
1. Расчетные величины пределов прочности бетона берутся согласно табл. 147.
Таблица 147
Пределы прочности бетона в кг/см*
Характер деформации Обозначение предела прочности Марки бетона
200 250 300 350 400 450
Сжатие Rnp 145 175 200 225 240 260
Растяжение (и растяжение при изгибе) ... RP 20 23 25 27 30 32
Сжатие прн изгибе Ru 180 220 250 280 300 320
Цифра, обозначающая марку бетона, представляет собой предел прочности
(в кг 'см*) иа сжатие кубика 28-дневного возраста рабочей консистенции, изготов-
ленного стандартным способом и имеющего стандартные размеры (20-20-20 см) прн
условии, что предел прочности на растяжение Rp, определенный при испытании на
изгиб стандартных балочек, будет не ниже указанного в табл. 147**.
2. Расчетные величины предела текучести арматуры принимаются: для арма-
туры из стали марки Ст. ОС—2500 кг/смг, но не более 0,7 предела прочности ее
на разрыв, для стали марки Ст. 3 —2500 кг/сж2, для стали марки Ст. 5—ЗОООкг/с.и2.
* В 1958 году выходят новые правила Регистра по железобетонному судострое-
нию.
** Напряжение Rp вычисляется по формуле
Р1 ‘
Рр=0,88-^.
где Р, / и й — соответственно нагрузка, длина и высота при испытании стандарт-
ных балочек.
В случае, если Rp окажется ниже указанного в табл. 147, марка бетона соот-
ветственно снижается.
В случае применения бетона из пуццолановых портландцементов расчетная
марка бетона определяется путем точно таких же испытаний, но для предваритель-
ных расчетов при проектировании она может быть найдена по формулам-
а) для пуццоланового портландцемента с трепельными добавками:
^28 =
б) для пуццоланового портландцемента с трассовыми добавками:
= (1,3 — 1,4) Ptg,
ГД :
Rn — исходная расчетная марка бетона;
Rn ,— предел прочности на сжатие бетона из пуццоланового портландцемента
в возрасте 28 дней.
Такое повышение расчетной марки бетона из пуццоланового портландцемента
допускается лишь при условии, что полная расчетная нагрузка будет действовать
на рассчитываемые элементы в возрасте не менее 6 месяцев.
§ 91] Основные положения правил Регистра
629
Для остальных марок стали ат принимается равным найденному путем
испытаний.
3. Коэффициенты запаса прочности даются в табл. 148.
Таблица 148
Расчетные коэффициенты запаса прочности
Учитываемые нагрузки Разрушение при достижении арматурой предела текучести или бетоном предела прочности Разрушение при достиже- нии главными растягиваю щими напряже- ниями предельной величины
элементы, участ- вующие только в общей прочности или в общей и местной прочно- сти совместно элементы, участвующие только в местной прочности
при сжатии при изгибе и растяже- нии
Постоянные силы . . . 2.2 2,2 2,0 2,5
Постоянные и случай- ные силы (темпера- тура или усадка) . . 2,0 2,0 1,8 2,25
Аварийная нагрузка, а также температура и усадка совместно 1,8 1,8 1,6 2,0
Если расчетом на одновременное действие основных и случайных нагрузок
нли расчетом иа аварийные нагрузки обеспечиваются коэффициенты запаса, ука-
занные в двух последних строках табл. 148, необходимо, чтобы при действии одних
только основных нагрузок были обеспечены коэффициенты запаса не ниже указан-
ных для этого случая значений.
4. Расчетные внешние силы, действующие как на корпус судна в целом, так
и иа отдельные его части, в основном определяют так же, как и для стальных
судов. Следует иметь в виду, что в железобетонных конструкциях необходимо
учитывать влияние собственного веса (удельный вес железобетона в среднем
2.5 т/м3).
5. Элементы, участвующие одновременно в общем и местном изгибе, рассчи-
тывают как внецеитренно нагруженные на одновременное действие изгиба и растя-
жения-сжатия, причем расчетный изгибающий момент принимают равным изгибаю-
щему моменту от местного изгиба, а расчетную нормальную силу определяют по
формуле
S
N = Мо у , (642)
где:
Мо — изгибающий момент от общего изгиба для всего судна, найденный обыч-
ным путем;
/ — момент инерции, приведенной к бетону площади сечения эквивалент-
ного бруса, которая принимается равной площади бетонного сечения
плюс пятнадцатикратная площадь сечения арматуры;
S — статический момент приведенной к бетону площади сечения рассматривае-
мой связи (кильсон, карлингс) относительно нейтральной оси приведен-
ной площади сечеиия эквивалентного бруса.
Точка приложения нормальной силы N принимается для растянутых связей
в ц. т. сечеиия арматуры. Для сжатых связей точку приложения силы N можно
считать расположенной в ц. т. соответствующей приведенной площади сечения.
6. При проверке прочности ребра, связанного с плитой, рассматривают его
как тавровую балку, причем за расчетную ширину полки тавра принимается наи-
меньшая из следующих величии:
а) одна треть расчетного пролета балки;
б) расстояние между осями прилегающих к ребру пролетов;
в) двенадцатикратная толщина плиты плюс расстояние между началами вутов,
сопрягающих плиту с ребром (рис. 230, а), если уклон вутов не менее 1/3, при
отсутствии же вутов — двенадцатикратная толщина плиты плюс ширина ребра
(рис. 230, б). При этом толщина плиты и вута в месте притыкания к ребру должна
оставаться ие менее 0,1 высоты балки. Если же она тоньше, то влияние плиты
вовсе не учитывается.
630 Расчет прочности железобетонных конструкций [Гл. XXП
7. При определении усилий от местного изгиба в элементах набора и других
конструкциях за расчетный пролет балок и плит принимается
а) для иеразрезиых и однопролетных при отсутствии армированных вутов —
расстояние между осями опор I (рис. 231, а);
б) для однопролетных с армированными вутами — расстояние между послед-
ними в свету /„ увеличенное иа высоту рассматриваемого элемента посередине
пролета Л, но не менее чем на 5% величи-
ны пролета в свету 1г; указанный рас-
четный пролет конечно, не должен быть
больше расстояния между осями опор I
(рис. 231, б).
В отступление от сказанного в
балках и плитах (с отношением сто-
рон > 2), загруженных во всех проле-
тах равномерно, расчетные изгибающие
моменты принимаются равными:
в опорных сечениях
МОЯ = -Ц2‘7 /?. (643)
в пролетных сечениях
р± q
Мпр=^-Р. (644)
Рис. 231. Пролет при расчете железо-
бетонных конструкций
где:
Р — интенсивность нагрузки от собственного веса
длины балки:
конструкции на единицу
q — наибольшая интенсивность внешней нагрузки;
I —расстояние между осями опор;
/х — пролет в свету.
8. Если прямоугольная плита имеет опоры лишь
по двум противоположным сторонам нли по «всему кон-
туру при отношении сторон более 2, то такую плиту
рассчитывают как балку с пролетом, равным меньшей
ее стороне. Если же плита имеет опоры по всем четырем
сторонам и отношение последних меньше или равно 2, то
ее рассчитывают по методам строительной механики
для упругих тонких плит (жестких пластин).
Марки бетона Модуль упру- гости - 10 — 3
200 180
250 200
300 210
350 225
400 235
450 245
'и нахождении лишних неизвестных и определении деформаций моменты
не ин сечевий элементов вычисляются по полному сечению бетона без учета ар-
матуры, причем значение модуля упругости железобетона принимается по приво-
димой таблице.
§ 92] Примеры расчетов прочности судовых конструкций 631
§ 92. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ ПРОЧНОСТИ СУДОВЫХ
железобетонных конструкций
Приведенные расчеты прочности выполнены применительно к сунну, изобра-
женному на рис. 232
Рис. 232
Принято, что рассчитываемые конструкции выполнены из бетона марки 300 и
из стали марки Ст. 3.
Предел прочности бетона растяжению—Rp—25 кг/см2;
предел прочности сжатию при изгибе—Ru = 250 кг/см2'.
632 Расчет прочности железобетонных конструкций [ Гл. XXII
Допускаемые напряжения при изгибе:
сжатие — [cM]f= 125 кг/см*-,
растяжение — [^оДр = 37 кг/см?-,
предел текучести стали — от = 2500 кг/см*-,
допускаемое напряжение растяжения — [ао] = 1250 кг/см*.
Расчет плиты
Проверим прочность днищевой плиты судна, конструкция которой показана
на рис. 233.
Плита рассчитывается как жестко заделанная балка-полоска шириной Ь=1 м
с пре -етом, равным меньшей стороне опорного контура.
Рис. 233
Внешние нагрузки:
напор воды
I h \ I 1,0 \
Р = 7 I 7~ — j 6 = ' 1,5 Д- -g-) 10* = 2000 кг/м,
где:
Г = 1,5 м — осадка судна;
h = 1,0 м — высота волны;
собственный вес плиты
q = thb= 2,5 0,045 • 1,0 103 = 112 кг/м,
где:
7 = 2,5 т/л*— объемный вес железобетона;
Л = 0,045 л— толщина плиты.
Изгибающие моменты:
на опоре
р— q 2 2000— 112
•ИЛ = — rt= — -----------12---°'88’ = — ,22-° кгм'
в пролете
р — q 2000—112
= —24— 1’ — -----24---1 = 78’7 кгм<
где:
/, = 1,00 — 2 - 0,06 = 0,88 л — пролет плиты в свету;
I = 1,00 м — пролет плиты по осям опор.
ф^асчет по разрушающим нагрузкам
а) Определение разрушающего момента Мр
Исходные данные:
Fa = Fа = 10 Об = 2,83 смг; b = 100 см\ h = 4,5 ел;
а = а' - 0.8 см-
ле, л о 0 7 2,83
*• = - а = 4,5 - 0,8 = 3,7 гл; р= = Тоо^ЗД = °'76 ' ,0'
Д 1Я данной плиты Нлши = 0,4 • 10~2, а рмаке = 5 • 10-2.
Следовательно, значение р удовлетворяет условно
Нчвкг > Р > Рмин-
§ 92] Примеры расчетов прочности судовых конструкций
633
Для учета сжатой арматуры необходимо, чтобы
F'a < Fa~2a'b^- = 2,83 — 2 - 0,8 - 100 • .
Поскольку это условие не соблюдается, сжатую арматуру не учитывают.
Плиту рассчитывают как имеющую одинарное армирование:
= Fa ат (h0 - 0,5 = 2,83 - 2500 (з,7- 0,5 \
= 252 • 102 кгсм = 252 кгм.
Такой разрушающий момент будет как для опорного, так и для пролетного
сечения.
б) Проверка условий прочности
Коэффициенты запаса прочности будут следующими:
опорного сечения
Мр 252,0
k ~ Моп ~ 122,0 ~ 2>06:
пролетного сечения
Мр 252,0
k ~ Мпр = 78,7 = 3,20
в) Проверка на раскрытие трещин
d = 0,6 см; Fa = 2,83 см1; = ~~ = ^р*88 5 = 0,63 - 10~2.
Расстояние между трещинами
Раскрытие трещин (опорное сечение)
зт >. 2500 -11,4 , , . ,
“ — kEa ~ 2,06 -2,1- 10е — 6,6 ' ° СМ > 6 ' 10 см'
Раскрытие трещин (пролетное сечение)
2500-11,4 , „
щ = 3 20 - 2 1 Ю6 = 4>2 • Ю см < 1,0-10 см.
В пролете раскрытие трещин не превышает опасной нормы, в то время как
у опоры оно выше допускаемого.
В связи с этим необходимо усилить иижнюю арматуру плиты.
Примем
3 11
Fa= 1106=3.11 см1, т. е. дао*. 4 5 = 0,69-Ю~2.
Коэффициент запаса в этом случае увеличится пропорционально увеличени к>
3.11
Fa, т. е. £ = 2,06 тгок = 2,26.
z,oo
Расстояние между трещинами
0,6
Х = 0,127Г^- 102=10,4 см.
О.оУ
Раскрытие трещин
2 500 • 10,4 _я
щ — - 2 gg • 2 1 - 10® — 5,5 • 10 см <с 6 • 10 см.
Удовлетворение требования ограничения раскрытия трещин для данной плнты
связано с дополнительным расходом арматуры. Кроме того, предполагается, что
распределительная арматура уложена шагом t = X.
634 Расчет прочности железобетонных конструкций [Гл. XXII
Б. Расчет по допускаемым напряжениям
а) Первая стадия напряженности
Момент сопротивления приведенного к бетону сечения плиты определяется
табличным способом (табл. А). Нейтральная ось проходит по середине высоты се-
чеяия.
Таблица А
Наыеяоваиие элементов сеченвя и их размеры Площадь, см* Плечо см Момент инерции, см*
перенос- ный собствен- ный
Бетой 100x4,5 450,0 0 0 760
Арматура (10—10)0 6 14 79,3 ±1,45 115 0
Сумма . 529,3 — 875
Момент сопротивления
W = Дттн = 389 см*.
Допускаемый изгибающий момент, по условию'растяжения бетона,
М = [:пз]р Т = 37 - 389 = 143,8 кгм > Af^, = 122 кгм.
б* Вторая стадия напряженности
Положение нейтральной оси определяется по уравнению
п . ,. Г 2b (Fah0-}~ F„a')
x = T(Fa + Fo) 1/ 1+- * д ° / -1 =
Ь [V n(Fa+FaY
15 19 83 9 831 Г1/14- 2 ’ 100 <2’83 • 3'7 + 2'83 • °'8) 11-129-
100 (2-83 — 2-83> [ > +----152(2,83±2,83)2----- 1J- 1.29,
х = 1,29 см.
Момент сопротивления определяется табличным способом (табл. Б).
Таблица Б
На «ееновааие элементов н размеры сечений Площадь, см* Плечо, см Статиче- ский мо- мент, см3 Момент инерции, см*
перенос- ный собствен- ный
Сжатый бетов 100x1,29 . . 129,0 0,64 83 53 18
Сжатая арматура Юобх 14 Растянутая арматура 39,6 0,49 19 9 —
Юобх 15 42,5 —2,41 —102 247 —
Сумма 211,1 — 0 327
Момент сопротивления растянутой арматуры
327
1Г« = 3,70— 1,29 = 136 (м3-
Момент сопротивления сжатого бетона
327
Ч б ~ j 29 ” 253 ел,2.
§92]
Примеры расчетов прочности судовых конструкций
635
Допускаемый изгибающий момент:
по растяжению арматуры
Мд = — Wa = • 136-10* кгем = 113 кгм:
и п 1о
по сжатию бетона
Л1д = [=u3]c Wg = 125 • 253 = 316 • 102 кгем = 316 кгм.
Расчет днищевого стрингера
Проверить прочность днищевого стрингера
Конструкция стрингера дана на рис. 234.
судна, изображенного н? рис. 232.
Рис. 234
сеч т в-В
(в пролете)
Изгибающие моменты:
иа опоре
Моп = — 2400 кгм:
В пролете
Мпр = 1200 кгм.
Л. Расчет по разрушающим нагрузкам
а) Определе ни е Мр
Опорное сечение (полка растянута).
Балку^рассчитывают, как имеющую прямоугольное сечение, с размерами:
b = 12,0 см: h0 = 31,5 см;
а — 3,5 см: а' - 1,3 см;
Fa = 4 ’ 16 = 8,04 см*: F^ = 2016 = 4,°2 см*.
В данном случае сжатую арматуру следует учитывать всю, так как условие
для ее включения соблюдается:
Fа _ 2а'Ь = 8,04 - 2,0 • 1,3 - 12 = 6,73 > F'a = 4,02 см*.
636 'Расчет прочности железобетонных конструкций [Гл. XXII
Величина Wp определяется, как для балки с двойным армированием, т. е.:
Мр = (Fa - Fa) [,0- 0,5 °т j 3m + Fa Зт (*0 ~ °') =
Г (8,04 — 4,02)2500 1
= (8,04 — 4,02) 2500 31,5 — 0,5 ——]2~i>50---- +
4- 4,02 - 2500(31,5— 1,3) = 6030 101 кгсм = 6030 кгм.
Пролетное сечение (полка сжата).
Балка рассчитывается, как прямоугольная с размерами Ьп и h, так как
4.5
h ~ 30,0 > 0,Ь
Ширину полки, работающей вместе с ребром, принимают равной наименьшему
из следующих значений:
1) Ья < 12ЛЛ — Ь = 12 • 4,5 + 12,0 = 66 см;
2) Ь„ < 0,5а = 0,5 • 100 = 50 см;
3) Ь„ < у I = 400 = 133 см.
За расчетную величину Ь„ принимается Ьп = 50,0 см;
ht = 26,5 см; а = 3,5 см; а’ = 1,9 см;
F, = 4 0 16 = 8,04 см*; F'a = 20 16=4,02 см*.
„ Ra 250
Поскольку га — 2а'Ьп — = 8,04 — 2,0 • 1,9-50 ’2500' < 0, сжатую арматуру не
учитывают и балку рассчитывают, как имеющую одинарное армирование:
/ Fa zm \ / 8,04 • 2500 \
-Мр = Fa'm ( h0 - 0,5 -£при j = 8,04 - 2500 (26,5 - 0,5 -^"гбО ) =
= 5170 • 10! кгсм = 5170 кгм.
По приближенной формуле имеем
,Мр = Fa z„ (Л, — 0,5h„) = 8,04 - 2500 (26,5 — 0,5-4,5) = 4870 • 103 кгсм = 4870 кгм
6) Проверка условий прочности
Коэффициенты запаса прочности будут следующими:
опорного сечения
k = = 6030 = 2,51:
Мо„ 2400
пролетного сечения
в) Проверка
Опорное сеченне:
на раскрытие трещин
d = 1,6 см; Fa = 4 0 16 = 8,04 см*;
bh
8,04 „
= 12735= 1.91 -Ю-2;
(b„-b)hn (50-12)4,5 „„
v— bh ~ 12-35 — °.41-
Расстояние между трещинами
d 1,6
* = i — = 0,20 • у-ду 10я = 16,7 см.
§ 92] Примеры расчетов прочности судовых конструкций 637
Здесь:
•Ь = 0,25 (1 —;-?•.) = 0,25 (1,00 - 0,61 + 0,41) = 0,20;
l-f-v-rlOji! 1,00 + 0,41+0,19
;= 2+-+ 10ui~ 2,00+ 0,41 +0,19 -°-6L
Раскрытие трещин
а—t 2500 • 16,7
® = ~kE~a = 2,51 • 2,1 - 10» = 7 ’ 10 ->6-10 см.
Для уменьшения раскрытия трещин необходимо усилить армирование или
уменьшить диаметр арматуры (при соблюдении запаса прочности k). Так, в послед-
нем случае можно вместо га = 4 0 16 принять Fa = 7 0 12 = 7,92 см2. Коэффициент
запаса несколько уменьшится и будет
7 92
k = 2,51 • “7 = 2,46.
O,V*r
Для указанного армирования
7 09
1^735= 1.9-10Г-2.
Поскольку v и р-! не изменились, ф = 0,20.
Расстояние между трещинами
1,2
Х = 0,20удЮ2= 12,6 см.
Раскрытие трещин
2500-12,6 „ , , ,
w ~ 2,46 • 2,1 • 10» — 6,1-10 см.
Практически при данном армировании раскрытие трещин можно считать безо-
пасным.
Б. Расчет по допускаемым напряжениям
Первая стадия
Момент сопротивления определяется табличным способом (табл. В).
Таблица В
Сечеиие на опоре
Наименование эле- ментов и размеры сечений Площадь, см2 Плечо, см Статиче- ский мо- мент, см3 Момент инерции, 10~2 см*
перенос- ный собствен- ный
Полка 54x4.5 243,0 2,2 546 12 4
Ребро 35х 12 . . . . 420,0 17,5 7 360 1 288 430
Арма tv ра 56,3 33,6 1 890 640 —
> 112,6 3,5 394 14 —
Сумма .... 831,9 — 10 190 2389 • 10»
Положение нейтральной оси
Ю 190
У — 831,9 — 12,3 см'
Момент инерции сечения
I = 2389 • 10» — 12,3 • 10 190 = 1138- 10» см*.
Момент сопротивления полки
1138- 10!
W„ = —jyg— = 92,5-102 см3.
638 Расчет прочности железобетонных конструкций [Гл. XXII
Момент сопротивления ребра
1138 • 10*
v Р = 35,0—12,3 = SO’2'1 °*см*'
Допускаемый изгибающий момент:
по растяжению бетона
Мд = [CajJpWП = 37 • 92,5 - 102 = 3420 кгм,
по сжатию бетона
Л1<, = hualcVTp = 125 • 50,2 - 102 = 6260 кгм.
Таблица Г
Сечение в пролете
Наименование эле- ментов и размеры сечений Площадь, см3 Плечо, см Статиче- ский мо- мент, см3 Момент инерции, 10“2 см*
перенос- ный собствен- ный
Полка 54x4,5 . . . 243,0 2,25 546 13 4
Ребро ЗОх 12 ... . Арматура: 360,0 15,0 5 400 810 270
14x4 О 16 .... 112,6 27,1 3050 826 0
14x2 0 16 .... 56,3 1.9 107 2 0
Сумма .... 771,9 У - I = 1924 • 10> 9103 771,9 ~ 11 ’ — 11,8 • 910 9103 8 см; 3 = 851 • 102 1924 'м*;
851 - 101
W„ =----ГГ“о— = 72,0 • 10» см3;
11,0
851 • 10*
^Р= 30,0—11,8 = 46.8 ’ 1°’СЛ‘3-
Расчет стрингера на восприятие главных растягивающих напряжений1 (рис. 235)
Виешиие'нагрузки:
срезывающая сила на опоре
g — п
2 000 — 204
2
4,0 = 3592
кг.
1 Расчет производится без учета переменной высоты сечения балки.
§ 92] Примеры расчетов прочности судовых конструкций
639
срезывающая сила в точке В
0,5/— l,vm 2,0 — 0,15
VB =------0,Н Ул = 2 0 3592 = 3320 кг
где
1вут = 0,15 м — длина вута.
Главные растягивающие напряжения
V
*гл — Ьг •
где
6 = 12 си— ширина ребра;
7
г = g h, — плечо внутренней пары.
Точка А.
Л® = 31,5 см; zA = -g- • 31,5 = 27,5 см;
Точка В.
Ло = 27,1 см; гв = • 27,1 = 23,7 см;
3592
— 12,27 5 — 10,9 кг/см^,
3 320
:в=12-'23Г7= Н'7 кг/см*-
В середние пролета сгл = 0.
Полученое значение ~гл удовлетворяют условию:
10=^<огд<-^=35,7
(k = 2 5—коэффициент запаса прочности).
Поскольку 1г1 > , необходимо поставить специальную арматуру для вос-
приятия части главных растягивающих напряжений. Эту арматуру можно не ста-
вить на длине ОС, где агл < = 10 кг/см*. Из подобия треугольников ОВВ и ОСС
находим:
СС 10,0
ОС = fjB OB = -JY7 (200 — 15) = 157 см.
Общее растягивающее усилие определится, как:
/10,9+11,7 „ 11,7 \
-----2---- 15+ ~2~ 185 ) 12 = 15000 кг.
Передаем 40 0 этого усилия, т. е. 0,4 15 10s = 6 • 10s кг на продольную
арматуру. На эпюре напряжений площади, выражающей это усилие, соответствует
напряжение:
6-10»
’ — 200 • 12 — 2,5 кг/смг.
Принимая двухветвевые хомуты (п = 2) 0 6 мм (Fx=0,28 см2) и шаг хому-
тов tx — 15 см, получим при k = 2 долю напряжения передаваемую на хомуты;
Fx п'т 0,28 • 2 - 2500
" = ~btxk ~ 12-15-2 = 3,9 кг/см*.
640
Р асчет прочности ж, лезобетонных коне тру кц ий [Гл. XXII
На косую арматуру на участке длиной АС = 43,0 см приходится
= 10,9 + 11,7 15 11,7 10,0 28j 12 — (2,5 + 3,9) 43-12 = 2400 кг
Дтя восприятия этого усилия иебходима площадь FK
В действительности балка имеет FK = 2 0 16 = 4,02 см2 > 1,36 сл2.
Таким образом, в отношении главных растягивающих напряжений прочность
стэиигера будет вполне достаточной.
Расчет общей прочности
Проверим общую прочность корпуса судна, изображенного иа рис. 232, под
де етвием общего изгибающего момента М = 40 тм (прогиб).
Расчетом проверяется опорное сечение стрингера при одновременном действии
местной нагрузки и общего прогибающего момента (днище растянуто).
А. Расчет по разрушающим нагрузкам1
Изгибающий момент МОП в опорном сечении (см. выше) равен 2400 кгм.
Растягивающее усилие .V от общего изгиба, приходящегося иа один стрин-
гер. определится как
S 40 • 850
Д = Л1 ; = 25.7 . 10. = 1,32 т,
где:
И = 40 тм — действующий общий изгибающий момент;
S = 850 с.и2.и— статический момент сечения стрингера относительно нейтраль-
ной оси поперечного сечения корпуса судна;
1 =25,7-102сл<2л2— момент инерции поперечного сечения корпуса судна относи-
тельно нейтральной осн.
(Определение значений S и 1—см. таблицу на стр. 641).
Точка приложения усилия Л' (при М = 0) находится в ц. т. растянутой арма-
туры, т. е. на расстоянии у от наружной грани полки, равном
4-2,01-3,5+2-2,01.33,7
У— 6-2,01 — 13,5 см.
Эксцентриситет, обусловленный наличием опорного изгибающего момента,
определится как
Мол 2,40
ео= ц = 7^2 = 1,82 м'
Смещение усилия .V будет в сторону полки.
Величина экцентриентета е, измеренного от ц. т. растянутой арматуры, будет
(ряс. 236) .
е = ео — у — а= 182,0 — 13,5 + 3,5 = 172 см.
Поскольку усилие приложено вне сечения, имеем случай внецентренного рас-
т=*‘ния при большом значении эксцентриситета:
е= 1"2,0 с.м; ЛО = 31,5 см; а = 3,5 см; а' = 1,3 см;
Fa = 4 0 16 = 8,04 см2; F ’а = 2 0 16 = 4,02 см2,
1 При расчете общей прочности по разрушающим нагрузкам момент сопротив-
ления поперечного сечения судна не определяется.
§ 92] Примеры расчетов прочности судовых конструкций 641
Так как полка растянута, сеченне рассматриваем как прямоугольное разме-
рами b - Л,- Расчетные формулы в этом случае будут:
Npe (fa — f'a) ~т (h0 — 0,5 x) +F'ocm(hB — a');
Np = (Fa F am bxRu.
Подставляя наши значения, получим:
172 Np = (8,04 — 4,02) 2500 (31,5 — 0,5 х)-|-4,02 - 2500 • (31,5—1,3);
Np = (8,04 — 4,02) 2500— 12,0.250х.
Решая эту систему уравнений, получим:
х = 2,60 см; Np = 2230 кг.
Сжатая арматура учтена, поскольку а' = 1,3 < 0,5х.
Коэффициент запаса в данном случае будет
Np 2230
ft = - ₽ = i-jon = 1,70.
N 1320 '
Б. Расчет по допускаемым напряжениям (первая стадия)
Определение момента сопротивления эквивалентного бруса производится
в табличной форме (табл. Д).
Таблица Д
Элементы сечения Площадь, см2 Плечо, м Статиче- ский мо- мент, смгм Момент инерции, см2м2
перенос- ный собствен- ный .41
Подпалабные стрингеры. . 1 524 2,83 4 320 12 200 30
Верхнее ребро переборки . 152 2,90 441 1 280 —
Плита палубы 504 2,98 1500 4 470 —
Диаметральная переборка. 625 1,55 968 1 500 320
Боотовая плнта 1 170 1,70 1 990 3 380 660
Скула 282 0,20 56 10 —
Днищевой стрингер . . . 3 328 0,12 400 50 50
Нижнее ребро переборки . 212 0,15 32 — —
Плнтадинща 734 0,02 15 — —
Сумма 8 531 I • — 9 722 23950
41 Учебныб справочник
642 Расчет прочности железобетонных конструкций [Гл. XXII
Положение нейтральной оси
9722
Удн = 8531 = ’14 К» = 1 -86 м-
Момент инерции относительно нейтральной оси
I = (23 950 — 1,14 • 9722) 2 = 25750 сл2ж2.
Момент сопротивления палубы:
25 750
К7,, = t ge = 13 800 см2м.
днища
25 750
= 22 500 см2м.
При заданном общем изгибающем моменте в 40 тм напряжения от общего
изгиба будут:
в днище
40 . 105
3^« — 22 500 - 102 2 кг!смг>
в палубе
40 - 105
3" = 13800 • 102 s 3 кг1см*’
Доля допускаемого напряжения, резервируемая на обеспечение местной проч-
ности днищевого стрингера,
[зи,1 37
-из = Кз] — °дн = 37 — 25 2 = 34 кг/см*.
Допускаемый изгибающий момент в опорном сечении днищевого стрингера
(см. стр. 635).
М,) = 34 • 92,5 = 3150 кгм > 2400 кгм,
т. е. прочность конструкции достаточна.
ГЛАВА XXIII
РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ КОРПУСА ДЕРЕВЯННЫХ РЕЧНЫХ СУДОВ
§ 93. МЕХАНИЧЕСКИЕ КАЧЕСТВА ДЕРЕВА 1
Модули упругости и пределы прочности древесины зависят от ее влаж-
ности, в связи с чем значения их даются ниже для влажности и, равной 15%,
и для предельного насыщения влагой. Под предельным насыщением влагой
понимается влажность 30%, так как этот процент соответствует предельному
насыщению влагой волокон древесины и дальнейшее увеличение влажнссти
происходит лишь за счет свободной влаги’в порах древесины и не оказы-
вает существенного влияния на ее механические качества. Для промежуточ-
ных состояний влажности от 15 до 30% величины модулей упругости и пре-
делов прочности определяются линейной интерполяцией, как указано
в соответствующих местах ниже.
В расчете прочности корпуса речного деревянного судна берется сле-
дующая влажность отдельных элементов конструкции:
Обшивка днища и копани.............................. 30%
Настил палубы и бимсы ............................. 20%
Обшивка борта и бортовой набор.......................25%
Кильсоны, кони, переборки и фермы внутри корпуса:
палубные суда .......................................20%
открытые суда ................................. 25%
Механические качества сосны и ели
Модули упругости вдоль волокон £0 в кг!см2 приведены в табл. 149.
Таблица 149
Объем- ный вес Растяжение Сжатие
о = 15% предельная влажность Д£о v = 15% предельная влажность Д£в
0.40 115000 80 000 35000 110000 74 000 36 000
0,50 150000 80 000 70000 145 000 74 000 71 000
0,60 180000 80000 100 000 175000 74 000 101 000
Примечание. Для состояния промежуточной влажности между v — 15%
и v, равным предельной влажности (предельное насыщение влагой), модуль упруго-
сти определяется линейной интерполяцией по формуле
£ = £о= 15 - Д£о -• (645)
Если влажность v более 30%, то v в формуле берется равным 30.
1 Приводимые данные в основном заимствованы из «Методологии расчета
прочности деревянных судов внутренного плавания», Речной Регистр СССР, Реч-
издат, 1943.
41Т®
644
Рсечет прочности корпуса деревянных судов [Гл. XXIII
Модуль упругости под углом к направлению
волокон
£, = kE0.
Значения k при растяжении в тангенциаль-
ной и радиальной плоскостях приведены в
табл. 150.
Таблица 150
а k
0° 1,00
5° 0,96
10° 0,80
15° 0,55
90° 0,02
Значения k при сжатии приведены в табл. 151.
Таблица 151
Плоскости При а
15’ 30° 45 60’ 75° 90’
Тангенциальная 0,60 0,20 0,08 0,06 0,05 0,03
Радиальная . . . . . 0,55 0,20 0,13 0,12 0,10 0,09
Модуль сдвига
G = 0,085 fo-
Пределы прочности при влажности и= 15% (в кг/см2) приведены
в табл. 152.
Таблица 152
Объемный вес дерева Растяжение вдоль волокон “л Сжатие вдоль волокон „С "п Срезыва- ние с Скалывание параллель- но волок- нам Скалывай не вдоль волокон
в тангеи- : циальном направле- нии в радиаль- ном направ- лении
0,40 675 300 450 135 100 80
0,50 700 400
0,60 1200 500
Предел прочности при статическом изгибе условно берется равным
650 кг/см2.
Предел прочности растяжения и сжатия под углом к направлению
волокон
С — ЬзР' с
Значения k (для древесины с объемным весом от 0,40 до 0,60) даны
в табл. 153.
§ 93]
Механические качества дерева
645
Таблица 153
Напряженное состояние При а
О3 10° 20° 30° 40° 50° 60° 75° 90°
Растяжение в танген- циальной и радиальной плоскостях 1,00 0,50 0,25 0,17 0,11 0,09 0,08 0,05 0,05
Сжатие в тангенциаль- ной плоскости . . 1,00 0,93 0,73 0,53 0,40 0,30 0,23 0,16 0,15
Сжатие в радиальной плоскости 1,00 0,90 0,62 0.35 0,23 0,16 0,13 0,09 0,08
Предел прочности смятия
1. Смятие по всей поверхности можно рассматривать как сжатие
и соответственно этому устанавливать и механические характеристики.
2. Смятие не по всей поверхности является местным сжатием, и меха-
нические характеристики устанавливаются в зависимости от относительной
площади распространения этого смятия:
а) при смятии вдоль волокон влияние местного характера смятия нич-
тожно и это влияние можно не учитывать;
б) при смятии под углом к волокнам местный характер смятия учиты-
вается умножением величины предела прочности сжатия при соответст-
вующем угле наклона волокон на коэффициенты л (приведенные в табл. 154)
по формуле
„см _ <ж.
"'па — »
Т а б л и ц а 154
Значения п
~~~~~ _ = Род смятия 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 75' 90°
Под головками и стерж- нями в нагельных со- пряжениях 1,0 1.2 1,4 1,7 2,2 2,5 2,7 3,0 3,0
Шпонки, лобовые вруб- ки 1,0 1,1 1.2 1,25 1,3 1,35 1.4 1,5 1,5
3. Предел прочности смятия вдоль волокон по торцам можно прини-
мать равным 0,80 предела прочности сжатия.
Снижение величины предела прочности древесины сосны в состоянии
предельного насыщения влагой дается в табл. 155.
Таблица 155
Вид пределов прочности
Процент
снижения т
Растяжение:
а) вдоль волокон ...................................
б) поперек волокон в радиальном направлении . . .
Сжатие:
а) вдоль волокон ...................................
б) поперек волокон в тангенциальном направлении .
в) поперек волокон в радиальном направлении ...
Скалывание:
а) вдоль волокон по тангенциальной плоскости ...
б) вдоль волокон по радиальной плоскости ...........
20
25
45
55
50
30
30
646
Расчет прочности корпуса деревянных судов [Гл. XXIII
Для промежуточных состояний влажности от 15 до 30% проценты
снижения величины предела прочности определяются линейной интерпо-
ляцией по формуле
о — 15
т—пг— %•
15
Предел упругости при растяжении и сжатии вдоль волокон составляет
соответственно 0,20—0,30 и 0,80, а при сжатии поперек волокон — 0,35 от
соответствующего предела прочности.
Величины предела пластического течения приведены в табл. 156.
Таблица 156
Y Характер напряженного состояния Предел пластиче- ского течения кг/см*
Изгиб (условное значение) . 340
Растяжение вдоль волокон1 400
Сжатие вдоль волокон1 200
Сжатие и смятие поперек волокон на всей поверх-
ности в тангенциальном направлении 30
То же в радиальном направлении ... . . . 16
Скалывание вдоль волокон . . . . ... 35
Скалывание поперек волокон 20
1 В случае растяжения или сжатия под углом к направлению
волокон для определения предела пластического течения следует умно-
жить приведенные в этой таблице величины на коэффициент k из табл. 153.
Механические качества дуба
Модуль упругости вдоль волокон Ео (в кг/см2) дается в табл. 157
Таблица 157
Растяжение Сжатие
объемный вес г = 15% предельная влажность v — 15% предельная влажность
0,60 110000 33000 110 000 70 000
0,80 175000 33 000 175000 70 000
1.00 235000 33 000 240 000 70 000
Модуль упругости поперек во токен в кг/см2:
Растяжение:
а) радиальном ваправлеиии ... ... 18000
б) в тангенциальном направлении ................ 12 000
Сжатие:
а) в радиальном направлении .......................... 11000
б) в тангенциальном направлении ........................ 7 000
Предел прочности в кг/см2 (объемный вес около 0,80 при
г = 15%):
Растяжение вдоль волокон ......... ....................... 1600
Сжатие ........................... . . ........... 800
Сжатие поперек волокон:
а) в тангенциальном направлении............................ 130
б) и радиальном направлении ... ................ 180
Скалывание вдоль волокон:
а) в тангенциальном направлении ............... . 100
б» в радиальном направлении .............................. 80
§ 94] Соединение элементов деревянной судовой конструкции
647
Снижение величины предела прочности дуба в состоянии предельной
влажности приведено в табл. 158.
Таблица 158
Виды пределов прочности % снижения
Сжатие: aj вдоль волокон б) поперек волокон в тангенциальном направлении. в) поперек волокон в радиальном направлении . . Скалывание а) вдоль волокон по тангенциальным плоскостям. . б) вдоль волокон по радиальным плоскостям . . . 35 25 35 25 25
Для дуба предел упругости при растяжении и сжатии вдоль волокон
соответственно составляет 0,20—0,30 и 0,66, а при сжатии поперек во-
локон — 0,70 предела прочности.
§ 94. ХАРАКТЕР РАБОТЫ СОЕДИНЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ ДЕРЕВЯННОЙ
СУДОВОЙ КОНСТРУКЦИИ
Расчет прочности элементов конструкции, изготовленных из одной
штуки дерева, производится так же, как и конструкций монолитных, напри-
мер стальных. Специфические особенности дерева как материала учиты-
ваются соответствующим построением системы характеристик прочности
древесины (допускаемых напряжений, пределов пластического течения
и прочности).
Вследствие ограниченности размеров исходного материала (штук
дерева) элементы деревянной конструкции (по размерам превышающие
размеры исходного материала) могут быть составлены по длине, ширине
и высоте сечения из нескольких штук дерева (досок, брусьев).
Совместная работа отдельных штук дерева как единого целого в элементе
конструкции обеспечивается за счет поглощения сдвига по боковым (флан-
говым) поверхностям соприкосновения соединяемых частей, а в сжатых
элементах — частично также за счет упирания торца в торец.
Поглощение сдвига достигается: а) при помощи склеивания; б) путем
установки шпонок; в) путем врезки соединяемых элементов друг в друга
или нарезки их на другие элементы конструкции; г) при помощи креплений
нагельного типа (болты, шпильки, гвозди, трубчатые и деревянные нагели).
Крепления <б» и «в» называют также креплениями контактного типа.
Прочность клеевого шва должна быть не ниже прочности древесины
на скалывание вдоль волокон и на растяжение поперек волокон, а долговеч-
ность шва должна соответствовать сроку службы конструкции. Если эти
условия соблюдены (что должно быть проверено), деревянную конструкцию
можно считать монолитной, и расчет прочности ее может быть произведен
как для конструкции, сделанной из одного куска дерева.
При проверке прочности клеевого шва в растянутых и сжатых элемен-
тах усилие сдвига считается равномерно распределенным по всей поверх-
ности склеивания.
В изгибаемых элементах сопротивление клеевого шва сдвигу прове-
ряется для отдельных участков по длине балки в соответствии с эпюрой
напряжений сдвига по длине балки.
Крепления контактного и нагельного типа (в отличие от клееных сое-
динений) воспринимаютотносительно небольшие усилия (см. ниже примеры).
Вследствие этого не представляется возможным обеспечить такую проч-
ность швов сложной деревянной конструкции, чтобы разрушение в ней
648 Расчет прочности корпуса деревянных судов [Гл. XXIII
происходило не по шву, а по целому сечению соединенных в ней штук дерева
(при контактных и нагельных креплениях).
Рассмотрим сложную деревянную конструкцию, подвергающуюся
действию растягивающих усилий (рис. 237).
При достаточно большом значении растягивающих усилий должно
произойти разрушение конструкции. Пусть при этом сечение Л В будет опас-
ным сечением, разделяющим конструкцию на две части — левую и правую.
Однако разъединение конструкции в момент разрушения произойдет
не по плоскости АВ. Для этого надо было бы разорвать по плоскости АВ пере-
секаемые ею отдельные штуки дерева. Это было бы возможно сделать лишь
Рис. 237. Схема раздергивания обшивки
при условии, что соединение получившихся при разрыве частей штуки
с левой и правой частями всей конструкции прочнее, чем сопротивление
разрыву этой штуки по целому сечению (по плоскости АВ), чего вследствие
слабости креплений никогда не бывает. Каждая штука дерева в процессе
разрушения отойдет с левой или правой частью конструкции, не разрываясь,
в зависимости от того, какой конец ее — правый или левый — сильнее
закреплен.
Таким образом, разрушение конструкции произойдет не по плоскости
АВ, а по некоторой ступенчатой поверхности, составленной из торцовых
и боковых (пазовых) поверхностей отдельных штук дерева. При этом будет
преодолена сумма всех усилий закрепления более слабых (более коротких)
концов всех штук, входящих в состав конструкции в данном ее сечении.
Усилие, выдерживаемое конструкцией, будет равно указанной сумме усилий.
В случае изгиба сложной деревянной конструкции внешний момент будет
равен сумме моментов внутренних сил закрепления отдельных связей, пре-
одолеваемых при ее раздергивании.
Указанные усилия и моменты могут определяться как по схеме допус-
каемых напряжений (§ 95), так и по методу предельных нагрузок (§ 96).
При расчете по допускаемым напряжениям такую конструкцию, со-
ставленную из слабо связанных между собой элементов (немонолитную кон-
струкцию), можно заменить эквивалентной монолитной конструкцией, как
бы сделанной из одного куска дерева.
§ 94] Соединение элементов деревянной судовой конструкции 649
Площадь каждого сечения отдельной связи такой монолитной кон-
струкции должна быть подобрана из условий равной прочности при разрыве
ее с прочностью закрепления наиболее слабо закрепленной части той штуки,
которую она заменяет.
Если Pi — усилие закрепления наиболее слабо закрепленной части
штуки (для данного сечения), то площадь сечения fM монолитной связи,
эквивалентной данной немонолитной, будет
= <646)
где [□] — допускаемое напряжение.
Произведя эту замену для каждой штуки, мы получим сечение моно?
литной конструкции, эквивалентной данной немонолитной.
Связи, имеющие стык в растянутом сечении АВ конструкции, при рас-
чете не учитываются.
Для приведения немонолитной конструкции к монолитности опреде-
ляют допускаемые усилия для каждого вида креплений, участвующих
в работе конструкции в данном ее сечении, и суммируют допускаемые усилия
всех креплений, обеспечивающих закрепление наиболёе слабо закрепленного
конца каждой штуки дерева. Если крепления разнородны по своему харак-
теру, в указанную сумму вводят коэффициент, учитывающий несогласо-
ванность работы разнородных креплений.
Деля полученный результат на допускаемое напряжение для дерева
в данных условиях, получают площадь эквивалентной монолитной связи.
В случае приведения к монолитности эквивалентного бруса нет необхо-
димости проделывать описанную операцию отдельно для каждой штуки
дерева. Обычно представляется возможным расчленить конструкцию на
группы связей, одинаково устроенных в отношении расположения стыков
и характера креплений, на так называемые циклы, и уже с ними проделы-
вать расчет.
В сжатой зоне наличие стыков в отдельных штуках дерева вызывает
редуцирование обычно лишь в случае, когда стыкуемые штуки соприка-
саются не по всей площади торца (например, доски обшивки судна, когда
торцы имеют разладку, необходимую для конопатки).
Отношение называют редукционным коэффициентом (Д. —
площадь сечения данной связи).
Редукционный коэффициент показывает, какую долю площади данного
сечения составляет площадь эквивалентной монолитной связи. Этот коэф-
фициент определяет степень совершенства конструкции, степень исполь-
зования материала в ней.
У деревянных барж обычной конструкции редукционные коэффициенты
находятся в пределах, приведенных в табл. 159.
Таблица 159
Наименование связей Растяжение Сжатие
Обшивка .... 0,06—0,15 0,18—0,30
Балки набора 0,10—0,35 0,20—0,70
650 Расчет прочности корпуса деревянных судов [Гл. XXIII
§ 95. РАСЧЕТ ДЕРЕВЯННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПО ДОПУСКАЕМЫМ
НАПРЯЖЕНИЯМ
В настоящее время расчет прочности наземных деревянных конструк-
ций производится по методу несущей способности согласно строительным
нормам и правилам (часть II), выпущенным в 1954 г. Государственным Коми-
тетом Совета Министров СССР по делам строительства. Расчет прочности
по допускаемым напряжениям в этой области строительства больше не
применяется.
В деревянном судостроении дело обстоит иначе. Речной Регистр СССР
до сих пор не выпустил норм расчета прочности деревянных судов внутрен-
него плавания. Единого общепризнанного, достаточно достоверного метода
расчета прочности корпуса деревянного судна нет (см. § 97).
Практикуются в различных вариантах и расчеты по допускаемым на-
пряжениям и расчеты по несущей способности.
В связи с этим ниже даются указания о расчете прочности как по допу-
скаемым напряжениям, так и по предельным нагрузкам.
«Нормы и технические условия проектирования деревянных конструк-
ций» (Н и ТУ-2—47), выпущенные Министерств i строительства предприя-
тий тяжелой индустрии в 1948 г., являются позднейшим документом, норми-
рующим применение метода допускаемых напряжений. Поэтому допускае-
мые напряжения даются ниже в соответствии с Н и ТУ 2—47.
Допускаемые напряжения назначаются с учетом:
1) направления слоя древесины по отношению к действующим усилиям;
2) величины площади, на которую распределяется внешнее усилие;
3) влажности древесины;
4) ослабления отверстиями для креплений и врубками;
5) предварительной напряженности в гнутых элементах;
6) породы дерева;
7) сорта лессматериала и соответствия его классу сооружения.
Допускаемые напряжения для древесины — сосны и ели — даются
в табл. 160.
Таблица 160
Род напряжения
Обозначения
Допускаемые
напряжения,
кг/см3
Изгиб........................ ..............
Растяжение вдоль волокон ...................
Сжатие и смятие вдоль волокон ..............
Сжатие и смятие поперек волокон по всей по-
верхности и в щековых врубках .............
Смятие местное поперек волокон: на части дли-
ны при длине свободного конца элемента не
менее толщины его и не менее 10 см; в лобо-
вых врубках и в сопряжениях на шпонках;
в опорных плоскостях деревянных конструк-
ции .......................................
Смятие местное под шайбами при углах смятия
от 90 до 60° ..............................
Скалывание идоль волокон при изгибе ....
Скалывание (среднее напряжение) в лобовых
врубках при учете длины скалывання не более
двух толщин брутто элемента и 10 глубин
врезки, а также в призматических шпонках:
вдоль волокон .............................
поперек волокон ........................
I’doo [3C*]>0
II 00
100
70
100
15
25
35
20
10
5
§ 95] Расчет деревянных конструкций по допускаемым напряжениям 651
Род напряжения
Обозначения
Продолжение
Допускаемые
напряжения,
кг/см?
Скалывание (среднее напряжение) вдоль воло-
кон в щековых врубках при учете длины ска-
лывания не более пяти толщин брутто эле-
мента:
в сопряжениях элементов под углом ме-
нее 30° ...............................
в сопряжениях элементов под углом 30° и
более.............. ...................
5
3
Допускаемые напряжения смятия под углом а к волокнам опреде-
ляются по формуле
К«]« =---------- т- —г---------• (647)
1 + (т “т------1 I sin3®
\ 1аСл]эо /
Для учета влияния влажности древесины допускаемые напряжения
(табл. 160) умножаются (применительно к условиям обыкновенной дере-
вянной баржи) на следующие коэффициенты:
Днищевая и бортовая обшивки и копани.......... 0,7
Кильсоны, воротовые, бархоут, приставки, палуб-
ный настнл.................................. 0,8
Кони, подбалочные брусья, решетки ферм (если
эти элементы конструкций не защищены палуб-
ным настилом или надстройкой) .............. 0,8
Те же элементы, но защищенные палубным насти-
лом ........................................ 0,9
Пользоваться прочими поправочными коэффициентами (на гибкость,
на породу дерева и т. п.) в деревянном судостроении приходится сравни-
тельно редко; найти эти коэффициенты можно непосредственно в Н и
ТУ 2—47.
Согласно нормам, действующим в строительстве, клееные элементы рас-
сматриваются кек равнопрочные с цельной древесиной, если выполнены
условия, указанные на стр. 647.
Расчет контактных креплений
В контактных соединениях усилия передаются путем непосредственного
контакта по сравнительно большим поверхностям соединяемых друг с дру-
гом элементов или через заложенные между ними шпонки. В отличие от
нагельных соединения контактного типа не все работают одновременно при
восприятии внешней нагрузки, так как между поверхностями соприкосно-
вения при этом соединении всегда может иметься некоторый зазор, обуслов-
ленный технологическими факторами и специфическими особенностями
дерева (усушка, коробление).
Усилия смятия по концам шпонки приложены эксцентрично (рис. 238)
и создают момент, стремящийся повернуть шпонку и раздвинуть соединенные
шпонкой элементы.
652
Расчет прочности корпуса деревянных судов
[Гл. XXIII
Распор Qu от одной призматической шпонки определяется по фор-
муле (см. рис. 238 справа)
(648)
Для восприятия распора в сопряжениях на шпонках всех видов обяза
тельна . постановка стяжных болтов.
Рнс. 238. Схема работы шпонки
Рве. 239. Соединение на призматических продольных шпонках
Общая схема расчета контактных соединений состоит в том, что для
каждого крепления (рис. 239) определяются поверхности скалывания (по-
верхности аа) и смятия (поверхности ab), которые при умножении на соот-
ветствующие значения допускаемого напряжения дают усилия, восприни-
маемые данным креплением по скалыванию и см ятию, наименьшее из которых
и определяет прочность.
§ 95] Расчет деревянных конструкций по допускаемым напряжениям 653
Напряжения смятия в брусе и шпонке должны удовлетворять условию:
(649)
Lep и
Напряжения скалывания в шпонке должны удовлетворять условию:
Н>А’ (650)
*/и и
Напряжения скалывания в брусе должны быть:
^<0,6[т], (651)
где:
s — расчетная длина скалывания между шпонками;
[агл] и ["] — соответствующие допускаемые напряжения смятия (в лобовых
врубках) и скалывания.
Коэффициентом 0,6 в последнем случае учитывается ослабление от
врубки.
//
Рис. 240
Пример 1. Расчет шпонки в диаметральном коне (рис. 240).
Материал — сухая сосна.
Допускаемое усилие на одну шпонку определится как наименьшее:
1. Из условий скалывания шпонки
7 ш = 1Ш b [т]90 = 20 • 21 - 6 — 2520 кг,
где:
/м = 20 см — длина шпонки;
b = 21 см — ширина шпонки;
["]»0 = 6 кг/см*—допускаемое напряжение скалывания шпонки.
2 Из условия смятия шпонки
Тш = h,<p b = 3-21 • 20 = 1260 кг,
где:
hgj, = 3 см — глубина врезки;
= 0 кг/см* — допускаемое напряжение смятия поперек волокон.
3 . Из условия скалывания бруса между шпонками
= kbs [т],0 = 0,6 - 21 - 25 • 6,0 = 1890 кг,
где:
s = 25 см — расстояние между шпонками;
(т],0 = 6 кг/см*— допускаемое напряжение скалывания бруса;
kt = 0,6 — коэффициент, учитывающий ослабление от врубок.
Допускаемое усилие на одну шпонку должно быть принято равным 1260 кг
из условия смятия шпонки.
Пример 2. Расчет нарезки бархоута иа приставки (рис. 241).
Материал — полусухая сосна.
1. Из условия смятия приставки
Тер = bhep ke [aCJ1J.J0 = 18 • 2,5 • 0,8 • 20 = 720 кг.
6э4
Расчет прочности корпуса деревянных судов
[Гл. XXIII
где-
Ь = 18 см — ширина нарезки;
h,. = 2,5 см — глубина нарезки;
fe, = 0,8— поправочный коэффициент на влажность;
[эм]м = кг/см* — допускаемое напряжение на .местное смятие поперек волокон..
2 Из условия скалывания приставки
Твр = bake [т]90 = 18 • 16 • 0,8 - 6 = 1382 кг,
где:
с = 16 см — ширина приставки-
fe, = 0,8— поправочный коэффициент на влажность;
"]»• — 6 кг/см1 — допускаемое напряжение на скалывание поперек волокон.
Прочие обозначения — прежние.
Рис. 241.
3. Из условия скалывания бархоута
ТеР= WM«I']So= 18 - 29 - 0,6 - 0,8- 12,0 = 3010 кг,
где:
1 = 29 см — длина скалываемой части;
ke = 0,8 — поправочный коэффициент на влажность;
["]»0 = 12 кг/см* — допускаемое напряжение на скалывание врубок вдоль волокон;
kv = 0,6 — коэффициент, учитывающий ослабление от врубок.
Прочие обозначения — прежние.
Допускаемое усилие на одну плотную нарезку принимается как наименьшее
из определенных выше усилий равным 720 кг из условия смятия приставки.
Концевые соединения (замки)
Отдельные штуки дерева соединяются по длине замками в тех случаях,
когда требуется обеспечить восприятие осевых усилий. Однако существую-
д)
Рис. 242. Косые замки
щими конструкциями замков
воспринимаются малые усилия1.
Поэтому вопрос о целесообраз-
ности употребления замков, в
частности для тех случаев, где
связь состоит из пакета брусьев,
требует предварительного рас-
смотрения, поскольку примене-
ние замков приведет к излиш-
нему расходу дерева и увеличе-
нию трудоемкости работ.
В судостроении наибольшее
распространение получили ко-
сые замки без зуба (рис. 242,а)
и с зубом (рис. 242,6).
1 Допускаемое усилие при растяжении косого замка с зубом составляет около
5% допускаемого усилия по целому месту. При сжатии этот замок дает снижение
допускаемого усилия по сравнению с усилием прн притыкании торца в торец при-
мерно на 50%.'
§ 95] Расчет деревянных, конструкций по допускаемым напряжениям 655
Косой замок без зуба воспринимает только усилия сжатия.
Величина допускаемого усилия сжатия определяется ло формуле
T = 2bf[^CM], (652)
где:
Ь — ширина бруса с учетом нарезки на набор, если она имеется, в см;
f — глубина врезки в см;
[%J— допускаемое напряжение смятия торна вдоль волокон в кг/см2.
Косой замок с зубом воспринимает как растягивающие, так и сжимаю-
щие усилия.
Расчет допускаемого усилия при сжатии производится аналогично
приведенному расчету для косого замка без зуба. При растяжении допускае-
мое усилие на замок определяется из условия скалывания зуба по линии тп
в соответствии с формулой
Т = 0,6Ь/„[т], (653)
где:
0,6 — коэффициент понижения допускаемого напряжения вследствие
ослабления врезкой;
Ь — ширина бруса с учетом нарезки на набор, если она имеется,
в с.и;
[т] —допускаемое усилие скалывания в лобовых врубках вдоль во-
локон в кг/см?;
1СК — длина площадки скалываемого зуба в см; для обычных соотно-
шений замка можно считать
/„ = 1,2 Л.
Для восприятия распора, имеющего место при работе замков, не-
обходима постановка по их длине не менее двух болтов.
Пример. Определить допускаемое сжимающее и растягивающее усилие для
косого замка с зубом третного коня сечением Ь= 16 см, h = 18 см. Материал —
воздушно-сухая сосна.
Допускаемое усилие при сжатии
Т = 2bf [зсм]т = 2 • 16 • 3,6 • 80 = 9220 кг,
где:
f = 0,2/i = 0,2 • 18 = 3,6 см — глубина врезки;
[згд1] = 80 кг/см2 — допускаемое напряжение смятия торца.
Допускаемое усилие при растяжении
Т = 0,6 Ыск [-с] = 0,6 - 16 • 21,6 • 12 = 2490 кг,
где:
1СК = 1,2 Л = 1,2 • 18 — 21,6 см — длина площади скалывания;
[-] = 12 KzicM* — допускаемое напряжение скалывания в лобовых
врубках.
Соединения нагельного типа
Характерной особенностью этого соединения является то, что при дей-
ствии внешней нагрузки все крепления практически одновременно вклю-
чаются в работу при сравнительно малых перемещениях одного бруса отно-
сительно другого.
Соединения нагельного типа (болты, шпильки, гвозди, деревянные и
трубчатые нагели) считаются достаточно прочными, когда напряжения смя-
тия в нагельном гнезде и напряжения изгиба в стержне нагеля не превышают
своих допускаемых значений.
Картина работы нагельного соединения весьма сложна (распределение
давления нагеля при смятии гнезда, изгиб нагеля, смятие под головкой
и шайбой болта).
656
Расчет прочности корпуса деревянных судов [Гл. XXII
Допускаемые усилия на один «срез» цилиндрического нагеля или
гвоздя в сопряжениях элементов из сосны или ели согласно указаниям
Н и ТУ 2—47, могут быть вычислены на основании формул инж. А. В. Ле-
няшина. Их значения приведены в табл. 161.
Таблица 161
Допускаемые усилия на гвозди и нагели в сопряжениях
элементов из сосны и ели
Допускаемое усилие при расчете
Вид нагелей из усло- вия изги- ба нагеля [Г«] из условия смятия крайнего элемента из условия смятия среднего элемента
в симмет- ричных соп- ряжениях в несиммет- ричных сопряже- ниях [7\]г
Проволочные круглые гвозди при направлении уснлня под любым ътлом к волокнам 300 а*. 50 ad, 40 cd, 30 cd,
Стальные цилиндрические нагели при направлении усилия вдоль во- локон элемента 200 d»„ 50 adH 40 cdH 30 cd„
Дубовые цилиндрические нагели при направлении усилия вдоль во- локон элемента 50 daK 30 adH 20 cdH 20 cdH
Здесь:
dH, ds— диаметр нагеля или гвоздя;
а — толщина крайнего элемента (рис. 243, а и 243,6);
с — толщина среднего элемента (см. рис. 243, 6).
Допускаемое усилие на один «срез» цилиндрического
направлении усилия
нагеля при
под углом а
Рис. 243. Обозначение размеров соединяе-
мых элементов нагельного крепления
к волокнам получается умноже-
нием допускаемого усилия при
смятии вдоль волокон (табл. 161)
на коэффициент ka, если расчет
ведется из условия смятия эле-
ментов, и на /ka, если расчет ве-
дется из условия изгиба нагеля.
Значения коэффициента ka
приведены в табл. 162.
Таблица 162
z Для стальных цилиндрических нагелей Для дубовых цилиндрических нагелей
диаметром dH = 1,6 см диаметром dH > 1,6 см
0—10° 1,о 1,00 1,00
30’ 0,9 0,80 1,00
50° 0,8 0,65 0,80
70° 0,7 0,55 0,70
90° 0,7 0,50 0,65
§ 95] Расчет деревянных конструкций по допускаемым напряжениям 657
Пример расчета обшей прочности методом допускаемых напряжений
Определить напряжения от общего изгиба для лесовозной палубной баржи
размерами 85 - 14 - 3,5 м. В состав эквивалентного бруса (рис. 244) включены
бархоут, подбалочные, воротовые, кони, кильсоны, палубный настил, бортовая и
днищевые обшивки.
Расчет ведется для случая прогиба.
1. Днищевая обшивка.
Доски сечением 90 • 180 мм, длиной 8,0 м.
Крепление — сосновые нагели 0 27 мм и гвозди (в стыках) 9 • 225.
Разгонка стыков — согласно правилам Речного Регистра СССР (рис. 245).
Цикл обшивки составляется из четырех досок (от стыка до стыка на одной
копани).
При изгибе днище растянуто и, следовательно,
, («1 Л + л2 Т,) 0,8(8 • 130+13 • 50)
-------=-----------ya--------= 34 см*.
Здесь:
= 0,8— коэффициент одновременности работы всех связей:
[с]р = 70 кг см* — допускаемое напряжение при растяжении (без учета влажности
см. стр. 650):
пг = 8 — количество гвоздей, участвующих в работе одного цикла (4 доски);
7\ =130 кг — допускаемое усилие на один гвоздь1;
пг = 13 — количество нагелей, участвующих в работе одного цикла;
7'2 = 150 кг — допускаемое усилие на один нагель.
2. Палубный настил.
Доски сечением 100 • 160 мм, длиной 8 м.
Крепление — гвозди 8- 175 мм. Разгонка стыков аналогична днищевой обшивке
(см. рис. 245).
Поскольку палуба сжата, то для нее имеем
. 7\+ 1г,пгТг) 0,8(21 • 140 + 0,6 • 4 3100)
1М =--------[Г]------=--------------70----------= 119 см*.
Здесь:
Hi = 21—количество гвоздей, работающих в цикле;
77 = 140 кг — допускаемое усилие на один гвоздь;
«1 = 4—количество работающих на сжатие торцов в цикле;
Т2 =3100 кг — допустимое усиление на сжатие одного торца;
£1 = 0,6 — коэффициент одновременности работы торцов.
3. Кильсоны (диаметральный, третные и боковые).
Брусья сечением 160- 180 мм длиной 6,8 м. Количество брусьев в пакете — 5 шт.
(см. рис. 244).
Крепление — болты 0 16 и 0 19 мм, шаг болтов — две шпации.
Соединение брусьев по длине выполнено косым замком с зубом.
Брусья по пазам соединены между собой шпонками, нижний брус нарезан на
днищевые балки шпангоутов.
При растяжении
/л = “(«17'1 — niZ2-t-n3 73+n<71+£2(n6 75 + «e76 + n77',)] =
0,8
= [4 - 430 — 2 • 204 + 8 432 + 4 • 270 + 0,6(8 • 4420 + 6 - 700 + 5 • 7050)] = 595 см*.
Здесь:
пг = 4 — количество срезов болтов 0 19 мм между брусьями с одинаковым
направлением волокон;
Тг = 430 кг — допускаемое усилие на один срез болта 0 19 мм в указанных
условиях;
л2 = 2 — количество срезов болтов 0 16 мм между брусьями со взаимно
перпендикулярным направлением волокон;
1 Допускаемые усилия на единицу крепления того или иного типа здесь и
ниже определены согласно указаниям, данным выше. В приводимом примере эти
простые расчеты опущены.
42 У чебвый справочник
658
Расчет прочности корпуса деревянных судов
[Гл. XXIII
Рис. 241. Мидель лесовозной баржи
§ 95] Расчет деревянных конструкций по допускаемым напряжениям 659
Та = 204 кг — допускаемое усилие иа один срез болта 0 16 мм в указанных
условиях;
nt = 8—количество срезов болтов 0 19 мм в замках;
Т3 = 432 кг — допускаемое усилие иа один срез болта 0 19 мм в замке;
п4 = 4 — количество срезов болтов 0 16 мм в замках;
Т< = 270 кг — допускаемое усилие на 1 срез болта 0 16 мм в замке;
х ГИезВь
Рис. 245
r.s = 8 — количество шпонок, участвующих в работе;
Т5 — 4420 кг — допускаемое усилие на 1 шпонку;
л, = 6—количество нарезок, участвующих в работе;
Т, = ~и0 кг — допускаемое усилие на I нарезку;
л, = 5— количество замков;
Т7 = 7050 кг — допускаемое усилие на 1 косой замок с зубом.
Для остальных связей значения fM и fM , вычисленные аналогичным путем, при-
ведены в нижеследующей таблице.
Определение момента сопротивления эквивалентного монолитного
бруса (случай прогиба)
Наименовавие связен Площадь эквива- лентной моно- литной связи Отстояние от оси (ниж- няя кромка обшивки дннща), м Стати- ческий момент, СЛ12 м Момент инерции см2м2
в одном цикле СЛ12 в конс- трукции, см2 перенос- ный собст- венный
Днищевая обшивка 34 660* 0,045 30
Воротовые . . 320 640 0,60 380 230 —
Кильсоны 595 2 975 0,57 1 700 970 —
Диаметральная перебор- ка: а) нижняя часть. . . 206 257 1,40 360 500 50
б) верхняя часть 424 515 2,30 1 180 2 720 50
Бортовая обшивка 23 99 1,71 •170 290 1 150
Подбалочные 555 1 ПО 2,75 3 050 8 400 —
Кони . . . 915 4 575 3,00 13 750 41 250 —
Бархоут . . 315 630 2,75 1 730 4 760 50
Палуба .... 119 ; 2 600 3,20 8 320 26 600 —
Итого - 14 060 — 30 680 87 030
* Площадь эквивалентной монолитной связи на все дннще определена таким
образом:
12 600
—550~ • 34 = 660 см2,
где:
12 600 cjm2 — площадь сечения днища;
650 cjk2 — площадь сечения четырех досок (цикл).'
Аналогичным путем определены площади эквивалентной монолитной связи
для палубы, диаметральной переборки и бортовой обшивки.
42Т®
660 Расчет прочности корпуса деревянных судов * [Г. XXIII
Положение нейтральной осн:
от основной
30680
г*“ 14 060 “ 2,18 Л;
от налтбы
г2 = 3,5 — 2,18 = 1,32 м.
Момент инерции сечения относительно нейтральной оси
7 = 87 030 — 2,182 • 14 060 = 20 300 см*мг.
Момент сопротивления днища
7 20 300
(?!=— = 18 = 9 300 сл’л = 93 • Ю‘сл’.
Момент сопротивления палубы
Г 20 300
t 32 = 15400 см*м = 154 - 10* сл3.
Допускаемое напряжение для днища и палубы (сосна) с учетом поправки на
влажность:
для де ища
(з] = 0,7 - 70 = 49 кг/см*;
для палубы
[ст] = 0,8 100 = 80 кг!см*.
Отсюда допускаемый изгибающий момент для растянутого днища
_М, = [=] В7Г = 49 • 93 - 10* = 4 560 - 10* кгем = 456 тм.
Допускаемый изгибающий момент для сжатой палубы
Ч, = [i] IT, = 80 • 154 - 10* = 123 10* кгем = 1 230 тм.
Таким образом, общий изгибающий момент для рассматриваемой баржи должен
'ыть не более 4-56 тм.
§ 96. РАСЧЕТ ДЕРЕВЯННЫХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ ПРЕДЕЛЬНЫХ
НАГРУЗОК
По методу предельных нагрузок в деревянном судостроении рассчиты-
вают главным образом прочность сложных элементов конструкции и кор-
пуса судна в целом.
Под предельной нагрузкой или несущей способ-
ностью деревянной конструкции понимают максималь-
ную нагрузку, превышение которой вызывает разрушение конструкции.
Наибольшая (расчетная) нагрузка данной конструкции должна быть
меньше ее предельной нагрузки в соответствии в коэффициентом запаса
прочности.
Несоответствие между' прочностью швов (креплений) и прочностью
конструкции по целому сечению сохраняется и при предельных нагрузках.
Поэтому разрушение сложных элементов судовой деревянной конструкции
начинается с разрушения их креплений.
Несущая способность контактных креплений определяется следующим
образом.
Установлено, что сопротивление древесины значительно меняется в
зависимости от продолжительности действия нагрузки. При этом проч-
ность древесины снижается не безгранично, а асимптотически стремится
к некоторой постоянной величине, называемой пределом долго-
временного сопротивления. При превышении предела долго-
временного сопротивления древесины начинается пластическое течение
материала. Поэтому предел долговременного сопротивления называют
также пределом пластического течения. В соответствии с
этим величина предельной нагрузки определяется для момента появле-
ния в условиях долговременного сопротивления деформации пластиче-
ского течения.
§ 96]
Расчет конструкций методом предельных нагрузок
661
Предельное хсилие Р**, выдерживаемое единичным контактным креп-
лением при смятии, равно
PncPM~<’Cn.mFCM, (654)
а при скалывании
Pnc£ = <K.mFCK. (655)
Здесь:
. оСп. т — напряжения при пределе пластического течения соответ-
ственно для смятия и скалывания,
ACJI, Fск — соответственно площадь смятия и площадь скалывания в кон-
тактном креплении.
Значения ~с*т и motjt быть взяты из табл. 156 (стр. 646).
Деформация в контактных соединениях является результатом смятия
поверхности контакта. Для каждой из деталей, участвующих в контакте,
перемещение (обмятие) может быть определено по формуле
i = , (656)
Е
где:
Е — модуль нормальной упругости;
I — условная величина, определяющая зону распространения смятия.
Общее перемещение контактного крепления равно сумме деформаций,
участвующих в контакте элементов (смятие шпонки и смятие стенки ее гнезда
и т. п.).
Значения I даются Речным Регистром СССР («Методология расчета проч-
ности деревянных судов внутреннего плавания», 1943).
Согласно опытам канд. техн, наук Ю. А. Бехтеревой1 деформацию
контактных креплений при пределе пластического течения можно принять
равной 1,00 мм, а зависимость между усилиями и деформациями — ли-
нейной.
Таким образом, например, усилие Рсм, соответствующее деформации iK,
равно
PCM = PcM^j-f (657)
где i — деформация, соответствующая усилию Р"м.
Так как для контактного крепления можно принять i — 1,С0мм, то
PCM=P%iK- (658)
Несхщая способность креплений нагельного типа может быть опреде-.
лена следующим образом.
В соответствии с испытаниями узлов судовых конструкций, произ-
веденными Ю. А. Бехтеревой, типичная зависимость усилий от деформаций
(вплоть до разрушения) для нагельных креплений определяется кривой
рис. 246.
1 В 1952 и 1953 гг. в Горьковском Институте инженеров водного транспорта
Ю. А. Бехтерева произвела испытания узлов судовых конструкций двумя аналогич-
ными крупными сериями.
662 Расчет прочности корпуса деревянных судов [Гл. XXIII
В судовой деревянной конструкции в связи с требованиями водонепро-
ницаемости не приходится иметь дело с деформациями, превышающими
1—2 мм. Как видно из рис. 246, даже для деформаций при пределе пласти-
ческого течения, значительно превышающих указанные, зависимость между
усилиями и деформациями может быть взята в виде прямой линии.
В соответствии со сказанным расчетная схема определения несущей
способности болтовых креплений может быть предложена в следующем
виде.
Предельное усилие (усилие при пределе пластического течения) для
болтов по опытам Ю. А. Бехтеревой может быть принято равным1
Рпнр = Ас?, (659)
где А — коэффициент, значения которого могут быть взяты равными:
а) болты:
если действующее усилие направлено вдоль волокон древесины соединяе-
мых частей.................................................... 3,6
то же, под углом 45°.......................................... 3,1
то же, поперек волокон хотя бы одного из соединяемых элементов 2,6
б) деревянные нагели................. . ...................... 0,3
в) гвозди . '.................................................. 3,0
d— диаметр болта нагеля или гвоздя в мм.
1 Испытания проводились по методу периодической разгрузки, предложенному
проф. Ю. М. Ивановым, в связи с чем их результаты практически соответствуют
работе древесины в условиях длвтельного сопротивления
§ 96] Расчет конструкций методом предельных нагрузок
663
Рис. 247 а. График значений коэффициента р для
болтов (усилие направлено вдоль волокон)
болтов (усилие направлено под углом 45°)
664
Расчет прочности корпуса деревянных судов
[Гл. XXIII
Рис. 247 в. График значений коэффициента р для
болтов (усилие направлено поперек волокон)
§ 96] Расчет конструкций методом предельных нагрузок
665
Соответствующая этому усилию предельная деформация i может быть
определена по формуле
рпр
(660)
Г*
где р. — коэффициент, определяемый по графикам рис. 247 а, 247 6, 247 в,
247 г, 247 д.
Значения р. для болтов (рис. 247 а, 247 б, 247 в) и нагелей (рис. 247 г)
даны в зависимости от диаметра d болта и нагеля и размеров соединяемых
брусьев, а именно в функции от
где:
4 4
И1 = - и
li и /2— соответственно длина болта в крайнем и среднем соединяемых
брусьях.
Рис. 247 д. График значений коэффициента р (в кг/мм)
для корабельных гвоздей
Для болтов р. зависит еще и от направления волокон древесины
соединяемых частей.
Для гвоздей значение р. берется по графику рис. 247 д в зависимости
от размера Л сечения гвоздя.
Усилие, соответствующее любой деформации 1К, не превышающей i,
определяется по формуле
рн = &к- (661)
В отличие от изложенного выше согласно существующей практике
расчетов несущую способность отдельных креплений определяют согласно
указаниям Речного Регистра СССР (Методология расчета прочности
деревянных судов внутреннего плавания, 1943), исходя из условия дости-
жения напряжениями соответствующих пределов прочности (а не пре-
дела пластического течения, как было принято выше).
666
Расчет прочности корпуса деревянных судов
[Гл. XXIII
При этом считают, что в момент разрушения контактных креплений
общая деформация имеет такую величину, что усилия, развивающиеся
при ней в креплениях нагельного типа, малы и в практическом расчете
могут быть опущены1.
Помимо этого допущения, принимается, что контактные соединения
могут нести предельную нагрузку независимо от деформации, т. е. по всей
высоте эквивалентного бруса (как в районе больших деформаций палубы
и днища, так и в районе слабо деформирующегося борта напряжения могут
достигать предельной величины).
В соответствии с этим нейтральная ось находится из условия (рис. 248).
2 р = 2 р', (662)
m=1 п=1
где:
р — предельные усилия контактных креплений связей в растянутой
зоне;
р' — предельные усилия контактных креплений связей в сжатой зоне;
т и п — соответственно количество связей, работающих в растянутой и
и сжатой зонах.
Положение линии, разделяющей области растяжения и сжатия (линия
АВ), приходится находить путем подбора.
Определив положение линии АВ, можно вычислить и предельный
изгибаюший момент, воспринимаемый контактными креплениями связей,
мк = 2 Pjhj—2 p'ih‘-
<=1 1=1
(663)
В соответствии с указанным предположением о независимости работы
контактных и нагельных креплений считается, что полученный момент
должен быть больше дей-
ствительного изгибающего
момента в 4,5 раза (запас
прочности).
Если прочность по
контактным соединениям
оказывается не обеспечен-
ной, то выясняют, не мо-
жет ли быть общая проч-
ность обеспечена только
нагельными соединениями.
Запас прочности по на-
гельным соединениям бе-
рется равным трем
Изгибающий момент,
выдерживаемый нагельны-
।
У Основная лилия
Рис.5 246. Предельные усилия контактных
креплений
ми, креплениями, вычисляется в предположении, что нейтральная ось на-
ходится на днище при перегибе или совмещается с палубой при прогибе.
1 Как показали опыты канд. техн. техн, наук Ю. А. Бехтеревой, это допуще-
ние не отражает действительной картины явления. При наличии в соединении кон-
тактных и нагельных креплений следует считать эти крепления работающими
совместно в одновременно при условии, что неодновременность работы контактных
креплений вследствие неизбежного различия зазоров прн их установке н изменения
величины этих зазоров в связи с изменением влажности древесины конструкции
в процессе эксплуатации учтена введением коэффициента одновременности, равного
$ 96] Расчет конструкций методом предельных нагрузок 667
Кроме того, считается, что только одна из связей несет предельную
нагрузку, остальные же связи воспринимают усилия в соответствии с их
расстоянием от нейтральной оси в предположении линейного распределе-
ния деформации по высоте.
Для разыскания лимитирующего (ограничительного) усилия строят
диаграмму (на рис. 249 показана такая диаграмма для случая перегиба),
откладывая значения предельных перемещений растяжения в виде векто-
ров для каждой связи в зависимости от положения ее по высоте.
Очевидно, что линия АВ (рис. 249,а), проходящая через конец
одного вектора (точка С) и пересекающая все остальные, и будет давать закон
распределения перемещений по высоте, а связь (или связи), перемещение
Рис. 249. Определение лимитирующего предельного усилия
которой ino₽ равно DC, будет ограничительной связью, работающей при
пр
предельном усилии р 0.
Усилия pj в остальных связях, очевидно, будут равны (рис. 249,6)
Р} = 4~РР"Р (664)
Ч
или, поскольку
• _ -пр hj
1' ~1° h^’
окончательно получим
;пр h
Pj=tpipr’ (665)
где:
р"₽» Ч > iT'hi — соответственно для /-вой связи: предельное усилие,
действительное перемещение, предельное перемещение и расстояние от
основной;
Ло—расстояние от основной до точки приложения ограничительного
усилия рпр.
Предельный перегибающий момент, выдерживаемый всеми нагельными
соединениями, будет равен
" ;ПР Ь2
MH = pn0Ph0+ Y-np V-PiP' (666>
tj по
/=i
668
Расчет прочности корпуса деревянных судов
[Гл. XXIII
Учитывая, что согласно опытам Ю. А. Бехтеревой контактные и на-
гельные крепления работают одновременно, было бы более правильным,
в отличие от существующей практики, производить расчет прочности сле-
дующим образом.
Для отдельного шва, имеющего контактные и нагельные крепления, об-
щее усилие, выдерживаемое швом при пределе пластического течения, равно
п т f п т \
= ф S Р^ 2 5х , <667)
-. = 1 п=1 \ л=1 т— 1 /
где;
k = 0,6 н- 0,7 —- коэффициент одновременности работы контактных креп-
лений;
п и т — соответственно количество контактных и нагельных
креплений в шве;
х0 — общее для всех креплений шва смещение (деформация).
Момент внутренних сил для сложного сечения (например, эквивалент-
ный брус) находится следующим образом.
Из условия водонепроницаемости обшивки днища (или настила палубы}
назначается наибольшая допустимая деформация* 1 ее i± (рис. 250).
Задаваясь предположительно в первом приближении положением
нейтральной оси, определяют деформацию каждой связи эквивалентного
бруса, считая их изменяющимися по высоте сечения линейно.
По формулам (658) и (661) находят усилия, развивающиеся в этих свя-
зях при найденных указанным образом деформациях.
Сумма моментов этих усилий (для сжатой и растянутой зон сечения)
относительно нейтральной оси должна равняться нулю, т. е.
т п
(668)
т=1 п= 1
г де:
рх и р;
7! И^Л
И Л/
— усилия в связях растянутой* и сжатой зон сечения;
— количество этих усилий;
— соответственно расстояния точек приложения этих усилий
от нейтральной оси2
1 Вопрос о величине допустимой деформации подлежит дальнейшему изучению.
1 Рх и Р] — определяются по формуле (667) (подстрочный индекс «л/n» опущен)
§ 97] Оценка методов расчета судовых деревянных' конструкций 669
Если указанное условие не соблюдено, надо задаться новым положе-
нием нейтральной оси, вновь проверить правильность положения нейтраль-
ной оси и так до тех пор, пока действительное положение нейтральной оси
не будет найдено.
Для установленного таким образом положения нейтральной оси надо
вычислить момент М внутренних сил по выражению
т п
М = 2 PKhK+ 2 P'ihj. (669)
m=l п= 1
Расчетный изгибающий момент должен быть меньше найденного мо-
мента внутренних сил в соответствии с запасом прочности.
§ 97. ОЦЕНКА МЕТОДОВ РАСЧЕТА ПРОЧНОСТИ СУДОВЫХ ДЕРЕВЯННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
Описанные в настоящей главе методы имеют серьезные недостатки.
Метод допускаемых напряжений не учитывает условия координации
деформаций, вытекающего из гипотезы плоских сечений, и не ограничи-
вает деформаций в связи с требованием водонепроницаемости.
Метод предельных нагрузок в случае переменных нагрузок вряд ли
может быть применен; вопрос этот пока не изучен.
Ни в том, ни в другом методе нет способа расчета сложной конструкции
(типа эквивалентного бруса) на восприятие срезывающей силы.
Является спорной возможность расчета общей прочности речного
неклееного судна, аналогично расчету стального судна, т. е. по схеме
эквивалентного бруса: может быть, более правильно рассчитывать на об-
щий изгиб продольные фермы.
Расчет ферм деревянной речной баржи обычной конструкции весьма
условен, так как в этих фермах не обеспечено условие пересечения сходя-
щихся в узле ферм стержней в одной точке и условие шарнирности узлов.
Вследствие податливости узловых соединений шпангоутных рам и неоп-
ределенной податливости их промежуточных опор расчет шпангоутных рам
речного деревянного судна обычной конструкции теряет смысл.
Обшивка речного деревянного судна обычной конструкции несет не-
значительные напряжения и необходимость расчета прочности ее отпадает.
Проверка прочности и проектирование конструкции в указанных усло-
виях в значительной степени базируется на прототип.
В соответствии с этим в настоящей главе не рассматривались методы
расчета прочности шпангоутных рам и ферм деревянного судна.
Приведенные выше методы расчета прочности корпуса деревянных
судов нельзя считать ни установившимися, ни достаточно совершенными,
и в дальнейшем они подлежат коренной переработке. Однако в данный
момент ими приходится пользоваться, не говоря уже о том, что изучение
их необходимо для дальнейшего развития строительной механики деревян-
ного судна.
ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ГЛАВА XXIV
ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ И РАСЧЕТОВ ПРОЧНОСТИ
ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ ПРИЛОЖЕНИИ УСИЛИЙ
Задачи, связанные с, динамическим расчетом судовых конструкций,
делятся на две категории:
а) исследование вибрации, т. е. изучение колебательного движения
любой точки рассматриваемой конструкции в любой момент времени;
б) расчет дефррмаций и прочности упругой конструкции с учетом
г'ьстрого изменения во времени динамически приложенных к ней внеш-
них усилий.
Колебательное движение характеризуется периодом и амплитудой.
Время, в течение которого колеблющееся тело переходит из одного
крайнего положения в противоположное и обратно, называется перио-
дом колебания.
Величина наибольшего отклонения от среднего положения называется1
амплитудой колебания.
Всякое упругое тело способно совершать периодические колебания.
Чтобы обнаружить эти колебания, достаточно, сообщив телу какой-либо
толчок или начальное отклонение, предоставить его затем самому себе.
Получаемые при этом колебания называются свободными или
собственными колебаниями.
Каксе бы первоначальное отклонение ни было сообщено упругой
системе, совокупность вызываемых им колебаний всегда можно разложить
на некоторые простейшие колебания, отличающиеся каждое своим перио-
дом, скоростью затухания и формой. Эти простейшие свободные колебания
системы называются ее главными свободными колебаниями.
От начальных условий движения, т. е. от совокупности начальных отклоне-
-иЭ и скоростей отдельных масс системы, зависит, каковы будут амплитуды
этих главных колебаний и в какой последовательности они будут совер-
шаться.
Количество главных свободных колебаний системы равно числу ее
степеней свободы, т. е. числу тех независимых координат, кото-
рыми может быть определено во всякий момент положение всех ее масс.
Если на упругую систему действует какая-либо периодическая внеш-
няя возмущающая сила, то перемещения всех точек системы во всякий дан-
ный момент слагаются из некоторого колебательного движения, имеющего
тот же период, что и период возмущающей силы, и свободных колебаний,
зависящих от начальных .условий движения. Свободные колебания обычно
быстро затухают, поэтому основной интерес представляет остающееся после
этого ко. ебание, период которого равен периоду возмущающей силы и кото-
рое называется вынужденным колебанием системы.
Гармоническая возмущающая сила, т. е. сила,
меняющаяся в функции от времени по закону синуса или косинуса, вызы-
§ 98]
Колебания систем с одной степенью свободы
671
вает гармоническое вынужденное колебание системы
того же периода.
В случае равенства периода возмущающей силы одному из периодов
главных свободных колебаний амплитуда вынужденных колебаний стано-
вится очень большой. Это явление, именуемое резонансом, пред-
ставляет значительную опасность вследствие возможности разрушения
упругой системы или, по меньшей мере, нарушения нормальных условий
ее работы.
При динамическом характере приложения усилия к упругой конструк-
ции наибольшая деформация конструкции не будет равна деформации,
сооответствующей статическому действию наибольшего значения такого
усилия.
Отношение наибольшей деформации конструкции к деформации ее,
соответствующей статическому действию наибольшего усилия, называется
коэффициентом динамичности. Коэффициент динамичности
зависит от способа приложения усилия к конструкции и от периода соб-
ственных колебаний конструкции.
Для проверки прочности конструкции действующую силу следует
помножить на коэффициент динамичности, после чего расчет можно выпол-
нять считая полученное усилие приложенным статически и пользуясь
обычными методами строительной механики.
§ 98. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Колебания упругих систем с одной степенью свободы вполне опреде-
ляются одной координатой. На рис. 251 изображено несколько таких
систем.
В случае, показанном на рис. 251,а, груз подвешен на пружине, мас-
сой которой можно пренебречь по сравнению с массой груза. Положение
груза вполне определяется одной координатой, например, расстоянием 9
ц. т. груза во время колебаний от положения ц. т. груза, которое он зани-
мает при статическом подвешивании к пружине.
В случае, показанном на рис. 251,6, на конце упругого невесомого
стержня (весом которого можно пренебречь) закреплен груз. Если его откло-
нить от положения равновесия, возникнут колебания, при которых стержень
будет изгибаться, а груз совершать вертикальные перемещения Е Положе-
ние системы определяется координатой 9 отклонения ц. т. груза от положе-
ния равновесия.
В случае, показанном на рис. 251,в, имеют место крутильные колебания
невесомого упругого стержня с грузом на конце. Положение системы опре-
деляется углом поворота 9 относительно положения равновесия.
Если на массу будут действовать гармонические возмущающие силы
(случаи а и 6) или момент (случай в), то возникнут не только свободные,
но и вынужденные колебания.
Дифференциальное уравнение колебаний системы с одной степенью
свободы при наличии сопротивления, которое полагается пропорциональ-
ным первой степени скорости колебания2, имеет следующий вид:
d2 э d z
М + R + N 9 = Фо sin ы t. (670)
1 Колебания предполагаются малыми, и поэтому можно считать, что груз ко-
леблется не по дуге, а по прямой.
* Если сопротивление не пропорционально первой степени скорости, то реше-
ние задачи о колебаниях сложнее. Свободные колебания при наличии постоянного
трения рассмотрены в книге С. П. Тимошенко: Теория колебаний в инженерном
деле. Гостехтеоретиздат, 1932. Постоянное трение не меняет периода свободных
колебаний системы.
671 Основы теории колебаний и динамических расчетов прочн. [Гл. XXIV*
Первый член этого уравнения выражает силу инерции или момент
сил инерции (Л1— коэффициент при ускорении, который в случае линей-
ных’колебаний есть масса колеблющегося груза, в случае крутильных
колебаний — момент инерции массы). Второй член выражает сопротивле-
ние, пропорциональное
скорости колебания
dz
~dt'
Коэффициент R зависит
от среды, окружающей колеблющееся тело, и от внутреннего трения между
его частями. Третий член выражает упругую восстанавливающую силу
или’момент. Коэффициент N есть величина усилия при единичном откло-
нении (например, натяжение пружины при единичном отклонении груза
Рис. 251. Системы с одной степенью свободы
в случае а или скручивающий момент в вале при единичном угле скру-
чивания в случае в). Этот коэффициент характеризует жесткость системы.
В правую часть уравнения входит величина Фо sin со t, где Фо — амп-
литуда, <• — частота возмущающей силы или возмущающего момента,
I — время.
Частота о связана с периодом возмущающей силы т так, что
2-
О) = ---- .
(671)
Частота имеет размерность 1 'сек.
С частотой связаны:
число колебаний в минуту
30 w
п =-----
(672)
и число колебаний в секунду (число герц)
Н 2к *
(673)
§ 98]
Колебания систем с одной степенью свободы
673
Решение дифференциального уравнения (670) дает возможность найти
обобщенную координату:
(675)
где:
R
т~2М ’
(676)
Лиа — произвольные постоянные, определяемые по начальным усло-
виям движения, т. е. зависящие от начального отклонения и начальной
скорости движения ((при / = 0).
Второе слагаемое в формуле (674) выражает свободные колебания.
Наличие множителя e~mt показывает, что эти колебания затухающие.
Частота — т2 близка к величине X =1/ , так как величина т
г М
обычно очень мала по сравнению с X*.
Практический интерес обычно представляет первое слагаемое фор-
мулы (674), т. е. вынужденные колебания.
„ Фо
Первый множитель его есть наибольшее статическое
отклонение, т. е. наибольшее отклонение, которое вызвала бы возму-
щающая сила Фо sin v>t, если бы она была приложена к системе стати-
чески.
Величина
1
есть динамический множитель.
Если ш =)., то при малом т множитель этот, а следовательно, и
амплитуды колебаний становятся очень большими и наступает явление
резонанса.
Произведение статического отклонения на динамический множитель
2/пю
есть амплитуда; arc tg есть фазовый угол между вынужденными
колебаниями и возмущающей силой.
Если-пренебречь сопротивлением, положив т — 0, то формула (674)
примет вид:
® ~ —5—— sin wt Д sin (а? + а). (677)
N о>2
1 —ТУ
Здесь частота собственных колебаний равна X.
• При т > X колебательного движения не получится.
43 УчебныВ справочник
674 Основы теории колебаний и динамических расчетов прочн. [Гл. XXIV
выводы:
Из сопоставления выражений (674) и (677) можно сделать следующие
1. Сопротивление мало отражается на периоде собственных колебаний
(лишь немного замедляя их), но всецело определяет быстроту затухания.
2. Сопротивление окружающей среды вдали от резонанса мало влияет
на амплитуду вынужденных колебаний (второй член в знаменателе дина-
мического мн жителя мат по сравнению с первым); наоборот, вблизи
резонанса это сопротивление является одним из основных факторов,
определяющих амплитуду вынужденных колебаний, которая при ы =
. Фо
= >. равна
т. е. амплитуда при резонансе обратно пропорциональна
сопротивлению.
Пример 1. Найти уравнение движения груза Q= 1 т, закрепленного в сере-
дине балки, свободно опертой по концам, если известно, что в начальный момент
времени отклонение груза от положения равновесия было равно 5 мм, а скорость
в этот момент равнялась нулю (рис. 252). Сопротивлением пренебречь. Вес балки
май по сравнению с весом груза, поэтому балку полагаем невесомой.
Момент инерции и момент сопротивления сечения балки равны: 1 = 2 020 см4;
S’ - 202 см1.
Исходное дифференциальное уравнение (670) в данном случае будет иметь сле-
дующий простой внд:
Л1='4-Л? = 0.
Ма:са ко еблющегося груза
1 000 _.
Л4 = оя1 ~ = 1,02 кгсм сек2.
Реакция балки при прогибе, равном 1 см,
48Е1 48 • 2 - 10е • 2 020
Л/ — = 500® = 1 550 кг/см.
1,02='-4- 1 550? = 0
=' -j- I 520 = = 0.
Частота колебаний:
л2 = 1520 1/сек2,
К = 39,0 1/сек.
Свободные колебания
? = A sin (39/ + а)
при t = 0; = = 0,5; ='=0.
Отсюда следует, что:
A sin а = 0,5;
39 A cos а = 0;
Уравнение движения
Число колебаний в минуту
3 “ 2 ’
А = 0,5 см.
= = 0,5 sin (39/ + .
зох
п = — = 373 кол/мин.
§ 98] Колебания систем с одной степенью свободы
675
Колебательное движение — простое, синусоидальное, незатухающее.
Пример 2. Решить туже задачу, учитывая наличие сопротивления, характе-
ризуемого коэффициентом т = 2 1/сек.
Исходное дифференциальное уравнение
+ 4?' + 392 <f = 0.
Общий интеграл его:
<f> = е~2/ A sin (/’ЗЭ2 —2s t + а).
Частота V391— 22= 38,95 1/сек ?=? 39 1/сек.
Находим произвольные постоянные.
При / = 0 <р = 0,5 см, следовательно, 0,5 =А sin а;
при t = 0 у' = 0:
— 2 sin а 4- 39 cos а = 0,
откуда:
tg а = 19,5;
а = 87°4' =90° —2°56';
А = 0,5007 см.
Уравнение движения:
<р = 0,5007е 2t sin (39/ + 90 — 2°56'):
? = 0,5007е~2' cos (39/ — 2°56').
Рис. 253
Частота колебания осталась почти прежней, но амплитуды колебания с тече-
нием времени непрерывно уменьшаются. Каждое следующее отклонение в ту же
сторону будет меньше предыдущего в отношении
е~* = е-°’322,
т. е. составляет всего около 70% предыдущего. Изображая движение графически
(рис. 253 , мы видим, что колебание довольно быстро затухает; уже после четырех
циклов (0,644 сек.) отклонение вместо 5 мм составляет всего
5 • 0,724* = 1,4 мм,
а через 10 сек. (62 цикла) амплитуда будет
5 • 0,724й = 0,00000001 мм.
Пример 3. Исследовать амплитуды вынужденных колебаний указанной в при-
мере 1 балки прн установке на ней примитивного механизма, состоящего из диск»
весом 9 = 5 кг, вращающегося на радиусе г — 200 мм с числом оборотов п, равным
200, 300, 373, 400, 500, 600 в минуту (рис. 254). Вес основного груза вместе с меха-
низмом по-прежнему считать равным 1 т. Определить напряжения, возникающие
в балке. Коэффициент сопротивления т = 2.
Возмущающей силой в данном случае является центробежная сила вращаю-
щегося груза весом 5 кг, равная
Ф°= £ '’О'2"
Проектируя эту силу на вертикаль ; (так как мы интересуемся только верти-
кальными перемещениями системы), получим
q 5
Ф sin ш/ = -- г ш2 sin ш/ = qgj- - 20 ы2 sin ы / = 0,102 ш2 sin wt (кг).
43T(g
676 Основы теории колебаний и динамических расчетов прочн. [Гл. XXIV
Вынужденные колебания по формуле (674) будут
~л - 200
Для к = 200 «в = gjj = ад = 20,95 1/сек.
Статический прогнб
0,102 - 20,95»
1 550
= 0,0288 см.
Выражение для 9 может быть написано в виде:
Коэффициент
есть динамический множитель.
Для п = 200 (« = 20,95) этот множитель равен
2 • 2 - 20,95 2
39» )
____________1__________
V 0.7122 ± 0,055s ~ 1>4’
т. е. действительная амплитуда на 40% больше статического отклонения.
В нижеследующей таблице приведено определение т для других чисел оборотов,
а также динамические напряжения, возникающие в полках балки при работе меха-
низма, равные
\2Е1адвн _ , 12 • 2 • 10» - 2020
ваш — ztz WI* 202 • 500» адин — ± 960agUH.
Эта формула получена из известных соотношений:
_ Рдин . д. __ ^дин]_ . ___ ^изг
авш — 48£ / ’ ‘"изг — 4 • ° — W ‘
Число обо ротон п -л “ - 30 • 1/сек. (И2 U)1 f 2т ш Динами- ческий множи- тель 7 _*o_ N ’ см Ампли- туда ?, см Напря- жение °дин> кг/см2
л» 1 А» \ /
200 20,95 0,288 0,712 0,055 1,400 0,029 0,040 ± 38
300 31.4 0,649 0,351 0,083 2,780 0,065 0,181 ±174
373 39,0 1,000 0 0,103 9,700 0,100 0,970 ±930
400 41,8 1,150 —0,150 0,110 5,380 0,150 0,807 ±774
500 52,3 1,800 —0,800 0,138 1,230 0,180 0,222 ±213
600 62,8 2,590 —1,590 0,158 0,627 0,259 0,163 ±156
Приведенные в таблице напряжения являются только добавочными. Эти доба-
вочные напряжения надо прибавить к основным напряжениям изгиба, возникающим
лод действием груза весом 1000 кг, т. е. к напряжениям
1000 - 500 ,
°® = 4 202 = 619 кг/см ’
§ 98]
Колебания систем с одной степенью свободы
677
Изображая графически зависимость динамических амплитуд от числа
оборотов механизма (рис. 255), можно увидеть, что при постепенном
возрастании числа оборотов эти амплитуды довольно быстро возрастают,
а затем, достигнув некоторого максимума, начинают убывать. При боль-
U) .
ших значениях — амплитуда стремится к некоторому стабильному зна-
к
чению. Максимам имеет место в случае, когда частота возмущающей силы
близка к частоте собственных свободных колебаний системы, т. е. при
п = 373 об/мин.
§ 99. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Колебания системы, имеющей т степеней свободы, определяются
совокупностью т независимых координат, которые принято называть
обобщенными координатами.
Задачу о собственных колебаниях системы с несколькими степенями
свободы без учета сопротивления удобно решать с помощью уравнений
Лагранжа:
А.^+|£ = 0, (678)
di d<?i
которые могут быть составлены для каждой из обобщенных координат.
В формуле (678):
К — кинетическая энергия рассматриваемой системы при ее коле-
баниях;
П — потенциальная энергия;
с, — i-я обобщенная координата;
t — время.
Кинетическая энергия есть функция второй степени относительно
обобщенных скоростей, т. е. функция вида:
i—m j=m
* = 4-S X
«•=1 /=i
где Л11?—так называемые обобщенные массы.
Потенциальная энергия есть функция второй степени относительно
обобщенных координат:
i=m j=m
»=1 /-1
где — обобщенные жесткости.
678 Основы теории колебаний и динамических расчетов проч. [Гл. XXIV
(681)
Таким образом, уравнения (678) для свободных колебаний принимают
внд:
2[M/y?; + Vy?y]=0 (679)
i
(всего т уравнений).
Решени для свободных колебаний разыскиваются в виде:
с, = Cz sin (л/ -у а); = Су sin Q t а).
Подстановка этих выражений в уравнения (679) дает систему т одно-
родных уравнений вида:
2Су(^-Л1уХ2) = 0. (680)
i
Частоты свободных колебаний X находят из условий равенства нулю
определителя уравнений типа (680). Получается т значений X2 и, следо-
вательно, и X (следует брать только положительные значения X).
Уравнение для вынужденных колебаний имеет вид:
d dK дП
dt д^ + дЪ
где Ф,— обобщенная сила, т. е. множитель при приращении обобщенной
координаты в выражении работы, совершаемой внешними силами при
деформации системы, определяющейся этим приращением обобщенной
координаты.
При этом может быть рекомендован следующий способ определения
обобщенной силы: надо дать координате <pz приращение ci3>z, составить
выражение работы всех сил при этом приращении и, поделив полученную
работу на приращение обобщенной координаты ocpz, найти обобщенную
силу.
Предположим, что к системе приложена внешняя сила PsincoZ.
Дадим приращение координате <pz. Если точку приложения силы пере-
местить при этом на величину то работа силы будет
1 = Psin vatbfifp
и обобщенная сила тогда равна
Ф; = РЬ[ sin ut.
Уравнения (681) для вынужденных колебаний примут вид:
У — [ Ч,+ Nu'?/] = Pbtsin
i
(всего т уравнений).
Вынужденные колебания равны
s = ау sin wt,
где Uj — амплитуды отдельных колебаний, которые определяются из си-
стемы т уравнений, каждое вида:
1 v
-9 10/ {Nt; - Ч; = Pbi. (682)
Z
Если частота ш совпадает с одним из значений частот свободных
колебаний X, то определитель левой части системы (682) будет равен
нулю, а значит все амплитуды ау становятся бесконечно большими, т. е.
наступает явление резонанса.
§ 99] Колебания систем с несколькими степенями свободы
679
Если к системе приложено несколько сил, то по принципу независи-
мости можно рассматривать колебания, возникающие под действием каждой
силы отдельно, а затем просуммировать эти колебания.
Простота решения задач о колебаниях систем с несколькими степенями
свободы зависит от удачности выбора обобщенных координат. Наиболее
удобно эти задачи решаются в случае, если удается сразу принять за обоб-
щенные координаты главные координаты системы.
Главными координатами называется совокупность обоб-
щенных координат, превращающих кинетическую и потенциальную энер-
гию в сумму квадратов обобщенных скоростей и обобщенных координат,
так что кинетическая энергия не содержит произведений различных обоб-
щенных скоростей, а потенциальная энергия не содержит произведений
различных обобщенных координат.
В главных координатах:
i—m
к = 4- V ми*',
1 = 1
тде jf—i-я главная координата.
При этом в уравнениях (681) координаты <]>z разделяются и каждая
найдется из своего дифференциального уравнения. Уравнения эти полу-
чаются такие же, как для системы с одной степенью свободы, так что
колебание распадается на ряд независимых.главных вынужденных коле-
баний:
РЬ- 1
У,- = -----z sin wt, (683)
xf
тде частота i-ro главного колебания равна
Пример. Определить вынужденные колебания корабля, рассматривая его как
жесткое тело. Колебания вызваны периодической силой Psini»/ с амплитудой
Р = 1200 кг и частотой ш= 10 1/сек. Сила приложена на расстоянии 1 = 44 м от
кормы. Длина судна £ = 110л. Площадь ватерлинии F = 770 м2. Продольная мета-
центрическая высота R — а = 120 м.
Отстояние ц. т. судна:
от кормы 1К = 55,8 м,
от носа 1Н = 54,2 м.
Масса судна (с присоединенной водой)
Момент ннерцни массы
/ = 385000 тмсек2.
За обобщенные координаты принимаем опускание ц. т. судна w и угол диф*
фереита на нос =.
Кинетическая энергия корабля складывается из энергии поступательного
(вертикального) движения и энергии вращения:
K = 1[A1W'2 + //2].
680 Основы теории колебаний и динамических расчетов проч. [Гл. XXIV
Для погружения или подъема корабля на величину w необходимо приложить
силу yEw. Для наклона корабля на угол а — момент Mg (R — a) у. Работа этих
усилий, равная потенциальной энергии, получится в следующем ниде:
1 1
n = ~t)zFwt + <fMg(R—a)<f.
При опускании судна на величину 8w точка приложения силы Р sin at опустит*
ся на такую же неличину ow; сила совершит положительную работу PSwsinw/-
При наклоне иа угол ta эта точка поднимается на величину (/к — /) 8<р; сила со-
вершит отрицательную работу — Р (1К — I) t? sin at. Следовательно, обобщенные
силы, соответствующие нашим координатам, будут Р sin ш/ и — р{‘к— Osin со/.
Уравнения получатся вида:
/а* — Mg (R — а) а = — Р (1/г~ I) sin at
Mv" + yFw = P sin at.
Обобщенные координаты н этих уравнениях разделились. Это значит, что ко-
ординаты являются главными. Если обозначить
4/Mg(R — a)
- V I
то частные интегралы или вынужденные колебания могут быть написаны сразу'
[см. формулу (683<[:
Р I
W = -р ---sin at - Wo sin at\
1— .—
'w
p(lK-l) 1 . 4
? = Mg(R-a)------Sln wt = *0 sin W.
•
В моменты наибольшего отклонения, когда возмущающая сила достигает
( л \
со/ = -р- + 2 ftn I, оконеч-
ности судна получат следующие перемещения:
ВОС
= wo "V
корма
WK = WO — ?о'к.
По этим формулам могут быть построены крайние положения продольной оси
судна. Подставим цифровые данные для исследуемого судна:
1/770
X* - у = 1,511/сек.,
/339 • 9,81 • 120
385000
1,02 1/сек.,
’ — 1,025 - 770 1 — 44 — 3,54
р(1к — 0 1 1,2(55,8 — 44,0) 1
'• Mg (Я — а) »» = 339 - 9,81-120 1 —97“
1 —
§ 99] Колебания систем с несколькими степенями свободы 681
Перемещение носоной оконечности в момент, когда сила достигла своего ма-
ксимума и направлена вниз, будет
w„=—3,54- I0-5 4-3,70- 10-7 54,2 = —1,54- 10-5 м = — 0,0154 мм.
В тот же момент для кормоной оконечности
wK = —3,54- 10-5 — 3,70- 1(Г7 • 55,8 = 5,61 . 10-5 м = — 0,0561 мм.
Амп. 1 туды колебаний корабля как твердого тела невелики, однако иногда
полезно знать их величину прн расшифровке упругих колебаний судна.
§ 100. ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ
ПРИЛОЖЕНИИ НАГРУЗКИ
Прочность упругой конструкции при действии на нее нагрузки, при-
ложенной динамически, можно проверять обыкновенными методами строи-
тельной механики, но умножая при этом нагрузку на коэффициент ди-
намичности 7. Коэффициент динамичности для системы с несколькими
степенями свободы определяется следующим образом.
1. Находят статический прогиб конструкции wcm в точке, где он
наибольший.
2. Находят динамический прогиб wd в той же точке методом глав-
ных координат:
I686*
где:
Ф' — обобщенная сила по i-й главной координате;
Л„ — обобщенная жесткость по той же главной координате;
/Дх)— коэффициент, характеризующий положение точки, в которой опре-
деляется прогиб упругой системы (называемый в дальнейшем
фундаментальной функцией упругих конструкций);
vi — динамический множитель, зависящий от характера динамичности
приложенной нагрузки.
Ранее было показано, что если нагрузка действует периодически,
изменяясь по закону синуса с частотой <«, то
Т, = —Ц». . (686)
।- -2
Аг
где — частота главных свободных колебаний упругой системы i-ro тона.
Если нагрузка приложена внезапно, то все
Т/ = 2. (687)
Если нагрузка возрастает линейно в течение времени Т, то
Y.= l + ^, (688)
где — период i-ro главного свободного колебания системы.
Т
Этой формулой следует пользоваться при — ^-0,5. При очень больших
Т
отношениях — динамический множитель стремится к единице, т. е. при
медленном нарастании силы ее действие можно считать статическим.
682 Основы теории колебаний и динамических расчетов прочн. [Гл. XXIV
Если — 0,о, то силу следует полагать приложенной внезапно,
Если нагрузка внезапно подействовала на систему, находящуюся
з состоянии движения, в момент, когда главная координата равна ф/0>
а главная скорость \-0 , то
icm
где
Ф,.
’(689)
& ст = дгЧ М
Если нагрузка действовала на систему] и затем внезапно изменила
направление на обратное, то все
(690)
3. Динамический множитель, на который следует увеличить нагрузку,
чтобы получить расчетное ее значение, равен
(691)
Если рассматривается система с одной степенью свободы (или у си-
стемы с несколькими степенями свободы приближенно учитывают только
один тон), то коэффициент динамичности определяется прямо по одной
из формул (686) — (690) в зависимости от характера изменения возму-
щающей силы во времени.
Если упругое тело получает деформацию от удара некоторого груза,
падающего с высоты Л, то динамический прогиб равен
(692)
а коэффициент динамичности 7 находится по той же формуле (691).
ГЛАВА XXV
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ БАЛОК
И ПРОСТЫХ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
§ 101. ОДНОПРОЛЕТНЫЕ БАЛКИ С РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ
НАГРУЗКОЙ
Упругие балки имеют бесконечное число степеней свободы, а следо-
вательно, бесконечное число главных колебаний.
Перемещение любой точки балки определяется в виде ряда:
w = 2 Л Ф/ > (693)
i-= 1
где:
Д- — форма i-ro свободного колебания, отвлеченная функция координаты х
(ось х — вдоль балки), называемая i-й фундаментальной функцией;
— главная координата, являющаяся функцией времени t и имеющая
размерность длины.
Свободные колебания
Для свободных колебаний
О, = A, sin (2f i 4-aJ,
где Д и it — постоянные, зависящие от начальных условий движения.
Основное дифференциальное уравнение свободных колебаний призма-
тической балки
Е1^- 4- — о (694)
дх* + g дГ- ’ 1 '
где:
q — интенсивность равномерно распределенной нагрузки балки;
I— момент инерции сечения балки.
Первый член формулы (694) представляет собой интенсивность на-
грузки на балку от внутренних сил упр\гости изгиба ее при колебаниях,
а второй — интенсивность сил инерции колебательного движения.
Прн подстановке w в виде ряда (693) фундаментальные функции
в уравнениях (694) разделяются и каждая может быть найдена из своего
дифференциального уравнения вида:
(695)
Решение этого уравнения дает следующее выражение для фундамен-
тальных функций:
f = ai sin И, 2 + bj cos u.(. -J- с,- sh ~ + di ch p4- y-. (696)
684
Поперечные колебания призматических балок
[Гл. XXV
Постоянные, ai bit ci и d, находятся из граничных условий на кон-
цах балки.
Эти условия сводятся к четырем однородным уравнениям для опре-
деления постоянных а, — dt.
Условие совместности их дает характеристическое уравнение для
нахождгни аргумента Последний связан с частотой свободных коле-
баний \ следующей зависимостью:
(697)
Фундаментальные функции обладают следующими свойствами орто-
тональности: i J fifjdx = 0 при i ф /; (698) 0 1 J ft fidx = 0 при i /- j. (699) 0
В табл. 163 даны аналитические выражения фундаментальных функ-
ций Д и аргументов и, призматических балок при различных способах
закрепления их концов1.
Таблица 163
Формы колебаний аргументы р для призматических балок
Тип балки Форма колебаний Аргумент
X Sin U, у H = «’=
д, •*- i—f—1
X X —Р-/ y- sin ux- — — cos u,- -j- 4- e 1 — — . ^ch ну — cos m j-j , где j e~— sin ii, — cos ,ti/ ch fi/ — cos p/ (ij = 4,7300 2(4-1 — 2 ' к ПРИ 1 > 1
1 Ан !еск е выражения фундаментальных функций даны в такой форме,
при которой и процессе вычислений не получается малых разностей больших
величии.
§ 101] Однопро етные балки с равномерно распределенной нагрузкой 685
Тип балки
Форма колебаний
Продолжение
Аргумент
х
sin 14 у
sinn
sh w
(Xi = 3,9266
I * 1 \
(А/ = н + у1к при i > 1
cos [ij [ sin [а/ i (sh (a(-
x
— sin и.; у
где
g _ sin |AZ- — cos (А,- — e
Sh (Aj + Sin (Aj
H = 1,8751
Hz = 4,6941
2i — 1
(Aj = —g— я при i > 2
В табл. 164 приведены численные значения ординат фундаменталь-
ных функций первых пяти тонов для трех типов балок.
Вынужденные колебания призматических балок
Вынужденные колебания могут быть определены двумя способами:
по методу главных координат и в замкнутой форме.
По методу главных координат прогиб балки при вынужденных коле-
баниях разыскивается в форме ряда:
№ = 2 /, Фр
*=1
При этом предполагается, что фундаментальные функции и часто-
ты свободных колебаний к. известны уже из расчета свободных колебаний
балки.
Порядок расчета следующий.
1. Определяются обобщенные массы для тех тонов колебаний, кото-
рые надо учесть (обычно учитывается только тот тон колебаний, частота
которого близка к частоте вынужденных колебаний).
Обобщенная масса i-ro тона равна
i
(700)
О
2. Определяются приведенные жесткости
^ = М^. (701)
1 n fl л и ц и H>-J
Фу иди мен пин... функции одиопролетпых при ниши<ичких Аплок*
’З ^7 'А—
А / 1 lull 1^ 2 ion 3 ши 4 тон 5 топ 1 1 гон 2 inn 3 Tull 4 Kin 5 тон
0,00 0,01 0,02 0,03 0,01 0,05 0,0(1 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,000 0,031 0,062 0,094 0,125 0,156 0,204 0,218 0,219 0,279 0,309 0,339 0,371 0,397 0,426 0,454 0,482 0,509 0,536 0,562 0,000 0,0(12 0,125 0,204 0,219 0,309 0,371 0,426 0,482 0,536 0,588 0,637 0,685 0,728 0,772 0,809 0,844 0,876 0,906 0,930 0,000 0,094 0,204 0,279 0,371 оТ-154 0,536 0,613 0,685 0,749 0,809 0,862 0,906 0,941 0,969 0,988 0,998 0,999 0,992 0,976 0,000 0,125 0,249 0,371 0,482 0,588 0,685 0,772 0,844 0,906 0,951 0,982 0,998 0,998 0,982 0,951 0,906 0,844 0,772 0,685 0,000 0,156 0,309 0,454 0,588 0,707 0,809 0,891 0,951 0,988 1,000 0,988 0,951 0,891 0,809 0,707 0,588 0,454 0,309 0,156 0,00(1 0,002 0,00!) 0,018 0,034 0,053 0,074 0,099 0,126 0,156 0,193 0,228 0,267 0,308 0,350 0,394 0,438 0,485 0,531 0,582 0,000 0,006 0,023 0,052 0,089 0,134 0,187 0,247 0,313 0,383 0,456 0,530 0,610 0,690 0,769 0,850 0,925 1,000 1,075 1,142 0,000 0,012 0,045 0,097 0,161 0,247 0,310 0,441 0,548 0,659 0,770 0,877 0,982 1,089 1,183 1,268 1,343 1,405 1,454 1,489 0,000 0,01!) 0,084 0, 157 0,260 . 0,383 0,517 0,657 0,800 0,942 1,075 1,195 1,300 1,384 1,452 1,499 1,515 1,503 1,469 1,408 0,000 0,028 0,105 0,222 0,368 0,532 0,705 0,880 1,045 1,195 1,323 1,419 1.483 1,510 1,501 1,451 1,363 1,241 1,077 0,890
Поперечные колебания призматическихбалок [Гл. XXV
101] Однопролетные балки с равномерно распределенной нагрузкой 68 7
Таблица составлена и подсчитана инж. М, Л. Лапшиным.
68-
Поперечные колебания призматических балок
[Гл. XXV
II 1 Ulf HIUI flUlfa ll>l
§ 101] Однопролетные балки с равномерно распределенной нагрузкой 689
I
оооо— —— — — — о о о о о ссссо осооо
III I I I I I I I I I I I I I I I I 1111
44 Учеб- ы! справочник
690 Поперечные колебания призматических балок [Гл. XXV
3. Находятся обобщенные силы Ф,.
Если на балку действует одна сосредоточенная периодическая сила,
приложенная в точке с абсциссой х = а и равная
Ро sin wf,
го обобщенная сила в соответствии с определением ее, данным выше,
будет равна
Ф = Ро f' (о) sin wt, (702)
где f.(a) есть ордината фундаментальной функции Д при х = а.
Если на балкх действует сосредоточенный периодический момент
51 = 51. sin 't в точке, где х = Ь, то обобщенная сила будет равна
Ф; = 510 fi (b) sin (703)
где ft(b) — первая производная от i-й фундаментальной функции в точ-
ке, где х = b (т. е. угол наклона упругой линии балки при колебаниях
ее i-го тона в точке, где приложен возм; щающий момент).
4. Вынужденные колебания могут быть найдены из выражения
. Ф£ 1
ш2' (704)
1 - 2
'i
Очевидно, если возмущающая сила приложена в «пучности» i-й фун-
да ентальной функции, то колебания г-го тона будут значительны, если же
сила приложена в узле [где /;(а) = 0], то колебаний этого тона она вы-
ззать не может.
В отношении возмущающего момента — наоборот: наибольшие коле-
бания вызовет мсмеит, приложенный в узле [где fi(b) наибольшее]; мо-
мент же, действующие в пучности, где f,(b) = 0, колебаний не создает.
Если к балке приложен ряд сил и моментов, то вызываемые ими
колебания складываются по принципу независимости действия сил и мо-
ментов.
Примгр. Найти вынужденные колебания балки длиной 10 м, опертой по кон-
ная. В середине балки установлен механизм, состоящий из груза весом 5 кг, вра-
иь ...егося на радиусе г = 200 мм со скоростью 143 об/мин (рис. 256,а). Момент
ин ;ции сечения балки I = 180 см*. Интенсивность нагрузки от веса балки
- = . 866 кг см
Частота возмущающей силы
- 143
< — 3Q = 15 1 сек.
Масса вр. .ающегося грузика
О ?i
т = g = 5,04 • 10 кг сек11 см.
Для спертого стержня
Следовательно, частоты
.1=.1т Elg Р -\f 2 - 10* • 180 - Ув1
‘= I1 Г ~q~ = 1006* Г О.ОЗои = 20 1/сек’
§ 101] Однопролетные балки с равномерно распределенной нагрузкой 691
Формы колебаний
f, = sin —.
Обобщенные массы
I
q <• irx , q I
^i = 1\^-rdx=-^
0
Обобщенные жестокости
5. = = 0,0442 (20 »»)» =
= 17,65 * кг/см.
Обобщенные силы
Ф, = Р sin l~2 sin wt.
где
P=/nr-» = 5.04 10-3- 20-152 = 23кг,
значит,
ir.
Ф, = 23 sin sin wt.
_ 0,0866
= “981
—2~ = 0,0442 кг сек2/см *.
Рис. 256
Вынужденые колебания определяются по формуле (704):
V23sin¥ 1
— 17,65 г* а>2 sin 1
i ’“>?
sin<ul.
Вычислим несколько членов этого ряда:
1 >• sin у Zt: 23sin £ CD2 Я 1 U)2 йс 23sin ।
17,65/4 см 17,65 Z4 CM Ш2
1 20 1 1,30 0,562 2,28 2,97
2 80 0 0 — — —
3 180 — 1 —0,016 0,007 1,005 —0,016
4 320 0 0 — — —
5 500 1 0,002 0,001 1,001 0,002
Перемещение стержня в любой точке равно
[~х 3-х 5 тх "]
2.9/ sin у — 0,016 sin —+ 0,002 sin —у~ + - • - sin wt.
Рассматривая полученный рид, можно заключить, что пульсирующая сила
с частотой, близкой к частоте первого тона, вызывает пренмущественно колебания,
форма которых соответствует первому тону (одна полуволна). Колебания получи-
I
i~x , I
I sin2y-dx = у -
О
44Т®
692
Поперечные колебания призматических балск
[Гл. XXV
лись особенно значительными вследствие того, что сила приложена в середине,
где фор ха первого тона имеет «пучность». В середине пролета балки формы коле-
баний четных тонов имеют узел, поэтому пульсирующая сила не смогла их вызвать.
При определении вынужденных колебаний в замкнутой форме сле-
дует прогиб балки искать в виде:
zr = /sin erf.
(705)
П установка (705) в дифференциальное уравнение (694), справедливое
и в случае действия сосредоточенных сил или моментов, и решение его
дает для f выражение
г = 4 sin v J- В cos v J--rCshv-^--*-Dchv^, (706)
где
Р Big
(706а)
цах балки и условии
M=msui оЯ
иг
Рис. 257
Коэффш иенты А, В, С и D находятся из граничных условий на кон-
сопряжения на границе двух участков, в месте
приложения сосредоточенной силы Р sin wt или
момента Л1 sin u>t, вызывающих колебания
балки.
Определение вынужденных колебаний в
замкнутой форме рассмотрим на примере одно-
пролетной балки, свободно опертой по концам
на жесткие опоры, под действием сосредоточен-
ного момента Af = msinwf, приложенного к правой опоре (рис. 257).
Прогиб балки равен
® = fsmw/t,
где
/ = .4 sin v у— В cos —Cshv^--j-D csh »,
и
P Big'
Граничные условия на концах балки
при
х = 0 и- = 0 и
дхг
= 0,
при
д2--
х = 1 а1 = 0 El = m sine Г
дх-
§ 101] Однопрояетные балки с равномерно распределенной нагрузкой 693
Учитывая формулу (705), уожно получить отсюда граничные условия
для функции
х = 0, f = 0, f" = 0
х = 1, f = o,r = ^
Используя граничные условия на левом конце балки при х = 0,
получим
I л • Х I. х
j = A sin v — -г С sh v -j~.
Граничные условия на правом конце балки позволят найти А и С,
а следовательно, и функцию / и прогиб балки в любой момент времени:
1 ,2 Ph V~T
_ 1 ml I 1 1
2 Eli2 у sh v sin •»
Углы поворота на опорах балки равны:
’ П11 ,. .
и’0 = —
т/ ... .
ЗЕрМ sinW,
(707)
где
1 f 1
v I sin *
1
3 1
2 v
1_
sh>
1
thv tgv)
Значения функций (*) и ®г(>) вычислены и даны в табл. 165—168.
Функция Sj(v)
Таблица 165*
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0 1.00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
1.0 1,00 1.01 1.01 1.01 1.01 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02
1.1 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02
1,2 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03
1.3 1,04 1.04 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04 1,05 1,05 1,05
1.4 1,® 1,05 1,05 1,05 1,05 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06
1.5 1.07 1.07 1.07 1,07 1,07 1.08 1,08 1,08 1,08 1,08
1.6 1,09 1,09 1,09 1,09 1,10 1.Ю 1,10 1.Ю 1.Н 1,И
1.7 1.Н 1.Н 1.12 1.12 1.12 1,13 1,13 1.13 1,14 1.14
Таблицы 165—168 сосчитаны инж. Г. С. Попоной.
694
Поперечные колебания призматических балок
[Гл. XXV
Продолжение
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
1.8 1.14 1,15 1,15 1,15 1,16 1,16 1,17 1,17 1,18 1,18
1.9 1.18 1,19 1.19 1,20 1,20 1,21 1.21 1,22 1,22 1,23
2.0 1.24 1,24 1,25 1,25 1,26 1,26 1,27 1,28 1,28 1,29
2.1 1.30 1.31 1.31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,35 1,36 1,37
2,2 1,38 1,39 1,40 1,41 1.42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47
2,3 1,48 1,50 1,51 1,52 1,53 1,55 1,56 1,58 1,59 1,61
2,4 1,62 1,64 1,65 1.67 1,69 1,71 1,72 1.74 1,76 1,79
2,5 1,81 1,83 1,85 1.87 1,90 1,92 1,95 1,98 2,00 2,03
2,6 2,06 2,10 2,13 2,17 2,20 2,24 2,28 2,32 2,36 2,40
2.7 2,45 2,50 2,55 2.60 2,66 2,72 2,78 2,85 2,91 2,99
2.8 3,06 3,15 3,24 3,33 3,43 3,54 3,65 3,77 3,91 4,05
2,9 4,21 4,38 4,56 4,77 4,99 5,23 5,50 5,81 6,16 6,54
3.00 6,99 7,50 8,09 8,79 9,64 9,81 11,10 12,8 14,9 17,9
3,10 24,10 29.7 43,7 81,8 5,88 —н,з —51,7 —33,4 —24,6 —19,1
3,20 —16.10 13,7 12,0 10,6 9,50 8,60 7,86 7,24 6,69 6,23
3,30 —5,83 5,47 5,16 4,87 4,52 4,39 4,18 3,99 3,82 3,66
3,40 —3,51 3,37 3,25 3.24 3,02 2,92 2,82 2,73 2,65 1,57
3,50 —2,49 2,42 2,36 2,29 2,23 2,18 2,12 2,07 2,02 1,97
3,60 —1,93 1.88 1,84 1,80 1,77 1,73 1,69 1,66 1,63 1,60
3,70 —1,57 1,54 1,51 1,49 1,46 1,44 1.41 1,40 1,37 1,35
3,80 —1,32 1,31 1,29 1.27 1.25 1,23 1.21 1,20 1,18 1,16
3,90 —1,15 1.13 1,12 1,10 1,09 1,08 1,07 1,05 1,04 1,03
4,00 —1.020 1.01 0,996 0,985 0,975 0,965 0,955 0,953 0,936 0,927
4,10 —0,918 0,909 0,901 0,893 0,885 0,877 0,870 0,862 0,855 0,848
4,20 —0,840 0,834 0,827 0,821 0,815 0,808 0,803, 0,767 0,791 0,785
4,30 —0,780 0,775 0,770 0,765 0,760 0,755 0,750 0,745 0,742 0,737
4,40 —0,733 0,728 0,725 0,721 0,717 0,713 0,710 0,707 0,704 0,700
4,50 —0,697 0,694 0,691 0,687 0,685 0,682 0,680 0,677 0,674 0,671
4,60 —0,669 0,667 0,665 0,662 0,661 0,658 0,657 0,654 0,653 0,651
4,70 -0,650 0,648 0,647 0,646 0,644 0,642 0,642 0,641 0,639 0,639
4.80 —0,637 0,637 0,636 0,635 0,635 0,634 0,633 0,633 0,633 0,632
4,90 —0,632 0,632 0,632 0,632 0,632 0,632 0,632 0,633 0,633 0,634
5,00 -0,634 0,634 0,635 0,636 0,636 0,637 0,638 0,638 0,639 0,641
5.10 —0.642 0,643 0,645 0,647 0,648 0,650 0,651 0,653 0,655 0,657
5,20 —0,659 0,661 0,664 0,666 0,668 0.671 0,673 0,676 0,680 0,683
5,30 —0,685 0,689 0,693 0,696 0,699 0,702 0,706 0,710 0,714 0,718
5.40 —0,724 0,728 0,733 0.738 0,743 0,749 0,754 0,759 0,765 0,771
5,50 —0,777 0,784 0,790 0,797 0,805 0,812 0,819 0,827 0,835 0,850
5,60 —0.852 0,861 0,870 0,880 0,890 0.901 0,912 0,923 0,935 0,947
5,70 —0,959 0,972 0,985 1,00 1.01 1,03 1,05 1,06 1,08 1,10
5,80 —1,12 1.14 1.16 1,18 1,20 1,22 1,25 1,28 1,30 1,33
5.90 —1.36 1,39 1,43 1,46 1,50 1,54 1,59 1,63 1,68 1,73
6,00 —1,79
Таблица 166
ФУНКЦИЯ Cj (*)
V 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90
6,00 —1,79 —2,70 —5,82 +28,3 4,02 ‘2,14 1,46 1,10 0,911 0,751
7,00 0,651 0,578 0,525 0,483 0,451 0,434 0,407 0,394 0,385 0,380
8,00 0,379 0,381 0,388 0,400 0,418 0,442 0,475 0,520 0,582 0,672
9,00 10,00 0,809 —0,551 1,03 1,46 2,59 12,9 -4’20 —1,79 —1,14 —0,835 —0,662
§101] Однопролетные балки с равномерно распределенной нагрузкой 695
Таблица 167
Функция =>2('')
V 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
1.0 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01 1.01 1,01 1,01 1,01
1,1 1.01 1.01 1.01 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01 1.01
1,2 1.01 1,01 1,01 1.01 1,01 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02
1,3 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02
1,4 1,02 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03
1,5 1,03 1,03 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04
1.6 1,04 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1.05 1,05 0,05 1,06
1.7 1,06 1,06 1.06 1,06 1,06 1,06 1,07 1,07 1,07 1,07
1.8 1,07 1,08 1,08 1,08 1,08 1,08 1,09 1,09 1,09 1,09
1.9 1,09 1,10 1,Ю 1,10 1.Ю 1,Н 1,П 1.Н 1.П 1,12
2,0 1.12 1,12 1.13 1.13 1,13 1,14 1.14 1,14 1,15 1,15
2,1 1,15 1,16 1,16 1,17 1,17 1,17 1,18 1,18 1,19 1,19
2,2 1.19 1,20 1,20 1,21 1,21 1,22 1.22 1,23 1,24 1,24
2,3 1.25 1,25 1,26 1,27 1,28 1,28 1,29 1,29 1,30 1,31
2,4 1,32 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40
2,5 1,41 1,42 1,43 1,45 1,46 1.47 1,48 1,50 1,51 1,53
2,6 1 ,э4 1,56 1,57 1,59 1,61 1,63 1,65 1,67 1,69 1,71
2,7 1.74 1.76 1,78 1,81 1,84 1,87 1,90 1,93 1,99 2,01
2,8 2,05 2,09 2,13 2,18 2,23 2,28 2,34 2,40 2,47 2,54
2,9 2,62 2,70 2.80 2,90 3,01 3,13 3,27 3,42 3,59 3,79 '
3,0 4,01 4.26 4,56 4,91 5,34 5,84 6,48 7,30 8,38 9,89
3,1 — 12.1 т-15,7 —22.7 4-41,8 4-2.99 —56,2 —25,3 —16,2 — 11,8 —9,24
3,2 —7,54 6,35 5,46 4,78 4,22 3,78 3,40 3,09 2,82 2,59
3,3 —2,39 2,21 2,05 1.91 1,78 1,67 1,56 1,47 1,38 1,30
3,4 — 1,23 1,16 1,05 1,03 0,981 0,929 0,881 0,835 0,793 0,752
3,э —0,714 0,679 0,645 0 613 0,582 0,553 0,525 0,499 0,474 0,447
3.6 —0,427 0,405 0,384 0,364 0,344 0,326 0,174 0,308 0,291 0,274 0,258
3,7 —0,243 0,228 0,214 0,200 0,187 0,161 0,056 4-0,025 0,149 0,137 0,126
3,8 —0,115 0,104 0.094 0,084 0,074 0,065 0,046 4-0,032 0,038 0,030
3,9 —0,021 —0,013 —0,005.4-0,003 4-0,010 4-0,017 4-0,038 4-0,045
4,0 -0,052 0,061 0,064 0,070 0,076 0,082 0.087 0,093 0,098 0,104
4,1 0,109 0,114 0,119 0,124 0,129 0,134 0,140 0,143 0,147 0,152
4,2 0,156 0,161 0,167 0,168 0,173 0,177 0,181 0,185 0,189 0,198
4,3 0,196 0,200 0,203 0,207 0,210 0,214 0,217 0,221 0,224 0,228
4,4 0,231 0,234 0,237 0,240 . 0,243 0,246 0,249 0,253 0,255 0,258
4,5 0,261 0,264 0,267 0,270 0,273 0,276 0 278 0,281 0,283 0,287
4,6 0,289 0,292 0,294 0,297 0,300 0,302 0,305 0,308 0,310 0,313
4,7 0,315 0,318 0,320 0,323 0,325 0,328 0,330 0,333 0,335 0,338
4,8 0,340 0,342 0,345 0,347 0,350 0,352 0,355 0,356 0,359 0,362
4,9 0,364 0,366 0,369 0,371 0,374 0,376 0,379 0,381 0,383 0,386
5,0 0,389 0,391 0,393 0,396 0,399 0,401 0,404 0,406 0,409 0,412
5,00 0,389 0,391 0,393 0,396 0,399 0,401 0,404 0,406 0,409 0,412
5,10 0,41-1 0,417 0.419 0.422 0,425 0,428 0,430 0,433 0,436 0,438
5,20 0,441 0,444 0.447 0,450 0,453 0,456 0,459 0,462 0,465 0,468
5,30 0,471 0,475 0,478 0,481 0,485 0,488 0.491 0,495 0,498 0,502
5,40 0,506 0,509 0,513 0,517 0,521 0,525 0,529 0,534 0,538 0,542
5,50 0,546 0,551 0,555 0,560 0,565 0,570 0,575 0,580 0,586 0,591
5,60 0,597 0,602 0.608 0.615 0,621 0,627 0,634 0,641 0,647 0,654
5,70 0,662 0,669 0,677 0,685 0,694 0,703 0,712 0,721 0,731 0,741
5,80 0,751 0,762 0,774 0,785 0,798 0,810 0,824 0,838 0,853 0,869
5,90 6,00 0,889 1,10 0,902) 0,920 0,939 0,959 0,981 1,00 1,03 1,05 1,08
696
Поперечные колебания призматических балок
[Гл. XXV
Таблица 168
Функция <р2(м)
V 00 10 20 30 40 50 60 70 80 90
6,00 1.10 1 57 1,95 -13,9 -1.76 —0,816 —0,463 —0,281 —0,168 —0,089
’,00 —0.031 0,013 0,048 0,078 0,104 0,126 0,146 0,165 0,182 0,199
8.00 0.215 0.232 0,251 0,267 0,287 0.309 0,335 0.367 0,407 0,459
9,00 10,00 0,539 —0,081 0,654 0,8’6 1,45 6,60 19,4 —0,727 —0,387 —0,235 —0,143
§ 102- НЕВЕСОМЫЕ БАЛКИ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ МАССАМИ
На рис. 258 показана схема такой балки. Предполагается, что вес
самой балки много меньше, чем веса сосредоточенных масс, и им можно
пренебречь. Число степеней свободы у балки при этом равно числу
масс т. Перемещение /-Й сосредоточенной массы при свободных колеба-
ниях балки равно
Ьа»)= (708)
1=1 П= 1
г.еЛ, hi, определяются из начальных условий движения, a v— отвле-
ченные коэффициенты, характеризующие форму изгиба балки.
w
Рис. 258. Невесомая балка с сосредоточенными массами
В табл. 169 приведены значения коэффициентов vy.,. первых пяти
тонов для трех типов балок в случае, если все массы равноудалены
и одинаковы. В общем случае, когда они неодинаковы и расположены
на разных расстояниях друг от друга, для i = 1 все vyi определяются
методом последовательных приближений по следующей формуле:
Здесь приняты следующие обозначения:
7/» — отвлеченный коэффициент в выражении прогиба балки в
точке /, вызванного некоторой силой, приложенной в точке k (ко-
эффициенты эти удобнее всего брать по табл. 26—28);
Ph — вес k-н массы;
Р—некоторый вес, произвольно выбираемый.
Удобно брать Ро равным весу одной из масс.
Для первого приближения следует положить, что балка имеет такую
же форму колебаний первого тона, что и балка призматическая, и первое
приближение коэффициентов взять из табл. 164.
§ 102]
Невесомые балки с сосредоточенными массами
697
ю - ш 0,500 —0,866 1,000 -0,866 0,500 О О CO О СП оо СО — оо оо сч со со сч ” 7 ” 7 ~ Ш CD Г- СП Г- Ю СЧ сч сп со CD О о оо о о о о о 1 1
•Ч" о о о со о О О О CD CD ас оо о со ОО с о о о о 1 1 1,443 -1,016 0,000 1,016 —1,443 0,763 -0,917 0,376 0,477 -1 ,021
го 000‘ 1 000'0 ooo'i — 000'0 000'1 о О С С. О г- СП О СП г- СО СО 'Т СО СО — о — о — 1 0,967 —0,266 —0,922 0,496 0,905
сч СО СО о со со со со о со со ОО оо о со ОО о о о о о 1 1 0,973 1,427 0,000 -1,427 -0,973 CD Ш О СО СО О О о to О О CD со О со 0 0 0 — 0 1 1 1
— 0,500 0,866 1,000 0,866 0,500 0,463 1,252 1,615 1,252 0,463 0,622 1,009 1,021 0,669 0,242
0,588 -0,951 0,951 -0,588 1,320 -1,395 1,395 — 1,320 О — ю о оо о тг оо О О | о о о — 1 1 1
со 0,951 -0,588 —0,588 0,951 1,507 —0,632 -0,632 1,507 сч со о о о to СО СО - С | о о о — 1 1
сч 0,951 0,588 —0,588 -0,951 1,202 1,034 -1,034 —1,202 0,985 0,302 —0,929 —0,763
— ОО — — ОО СС Ю Ш оо LC СП о Ю | о с о о ОО — — ОО СЧ со со сч CD CD | О — — О 0,730 1,064 0,853 0,323
со 0,707 -1,000 0,707 1,370 — 1,406 1,370 ОО СЧ СЧ ю сч со °. 1 1 о о — 1
сч 1,000 0,000 -1,000 1,442 0,000 -1,442 СО С. СО г- сп ю СП СО СП | | ООО 1 1
— 0,707 1,000 0,707 — СО СО со ОО CD оо | | 0 — 0 0,862 1,021 0,462
сч сч СО ос со colli 1 1,427 — 1,427 0,695 — 1,053
— s- ~ 1 1 1 о о 1,252 1,252 1,009 0,691
— — s. 1 1 1 1 1,615 ISO' 1
— сч со m — сч со ю — сч со ю
Тип балки главного направле- ния t>l J 1 1 |
1-
^98 Поперечные колебания поизматических балок [Гл. XXV
При разыскании этого первого приближения для какого-либо коэф-
фициента следует определить отстояние х точки / от левой опоры
и по отношению -j- найти из табл.
164 величину соответствующей орди-
наты. Если сосредоточенные массы равноудалены, то первое приближение
удобнее брать по табл. 169. Подставляя *у1 первого приближения,
следует по формуле (709) разыскать значение второго приближения всех
коэффициентов, которые снова можно подставить в ту же формулу. Это
следует продолжать до тех пор, пока два последовательных приближения
не дадут достаточно близкого совпадения. Описанный способ определения
коэффициентов vyU укладывается в удобную расчетную схему (см. пример).
Для i > 1 коэффициенты находятся из условий ортогональности
последовательно, начиная с низших i.
Для любого I
'•ji — [ '/,] Т ТИ 'УТ + T|2vy2 + • • • + ТЧ '*jt + • • • + 7iZ-l Vy(i-Z). (710)
где [-.у7] следует взять из табл. 164, а при равноудаленных массах — из
табл. 169 для соответствующего z-ro тона колебаний. vyl, vy2,... vy7,..
— коэффициенты, найденные ранее для низших тонов.
i~m р.
2 У W >
-------rrj---------. (710а)
Ро 11
Если сосредоточенные массы одинаковы и равноудалены, то vy7 = [vy7]
следует брать прямо из табл. 169. Все коэффициенты му7 следует опре-
делять в табличной форме, как показание в примере, приводимом в на-
стоящем параграфе.
После определения коэффициентов *у7 следует проверить (для кон-
троля) соблюдение условий их взаимной ортогональности
= 0 пРи г#=Г (711)
i го
попарно для всех членов ряда.
Квадрат частоты свободных колебаний некоторого z’-ro тона
(712)
Пример. Найти коэффициенты >у7, соответствующие симметричным формам ко-
лебаний невесомой балки с тремя сосредоточенными массами (рис. 259).
Длина балки I = 10 ж; Р1 = Р3 = 1,58 т; Р3 = 3,20 т.
Если принять вес крайней массы в качестве Ро, то
р=1.
г о
Р Р2
<_=!; = 2,02.
Ро Р«
Вследствие симметрии в ряде (708), выражающем прогиб балки, выпадают
четные члены, и так как масс три, то
wj = 1’9’1 'l1! “Ь '‘js ’t's]-
Следовательно, надо разыскать коэффициенты >у; для i = 1 и 1 = 3.
Коэффициенты \7т, характеризующие форму колебаний первого тона балки,
должны быть вычислены по формуле (709) в табл. А н Б. В графу 4 табл. А
§ 102]
Невесомые балки с сосредоточенными массами
699
записаны числа, принятые за первое приближение v71, взятые из табл. 169 прн i = 1
для свободно опертой балки. После заполнения графы 4 табл. А в графу 3 табл. Е
вносятся значения коэффициентов f7ft, взятые по табл. 26 с учетом положения
точек / и k по длине балки.
Таблица А
1 X ~Т Р Ро Y/i -
первое прибли- жение второе прибли- жение
1 2 3 4 5
1 2 3 0,30 0,50 0,70 1 2,020 1 0,809 1,000 0,809 0,809 1,002 0,809 Таблица Б
1 k Ijk Pk ljk Ро _Pk_ lik Ро первое прибли- жение '-Лг второе прибли- жение
1 2 3 4 5 6
1 1 3 0,0147 0,0165 0,0123 0,0147 0,0333 0,0123 0,0119 0,0333 0,0100
=0,0552
о 1 2 3 0,0155 0,0203 0,0165 0,0165 0,0421 0,0165 0,0133 0,0421 0,0133
У, =0,0687
__________Рг Ъ
-Тг - ] Iм -Т1
"ЦТ
Рис. 259
В графу 4 табл. Б, вносятся произведения цифр графы 3 табл. А на числа
графы 3 табл. Б. В графу 5 табл. Б вносятся произведения чисел графы 4 табл. Б
на числа графы 4 табл. А. Числа гра-
фы 5 табл. Б суммируются для всех 7
отдельно, после чего можно заполнить
графу 5 табл. А, внося в нее отноше-
V
ния Л '.1Х, которые являются вторыми
—1
приближениями для >71 [см. формулу
(709)]. Это второе приближение так
близко к первому, что оно является и
последним Ч
В табл. Б не даны подсчеты для i = 3, так как вследствие симметрии v31=v11.
В соответствии с формулами (7Ю) и (710а) коэффициенты >73 равны
где
/
----------- i
1 Сходимость этого процесса всегда очень хорошая, и обычно не требуется
более двух-трех приближений.
700
Поперечные колебания призматических балок
[Гл. XXV
Определение тд и vys укладывается в табл. В.
Таблица В
i X i Pj р. Ы Vi О I*-*. 1“^ и н Pi t,,2. Р0 П Vn 7,=(4)+(8)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0,3 1 0,309 0,809 0,25 0,654 0,369 0,67»
2 1 0,5 2,02 —1,000 1,002 —2,02 2,030 0,456 —0,544
3 0,7 i 1 0,309 0,809 0,25 0,654 0,369 0,678
v = — 1,52 3,338
г»------з ,338 — 0,4о6.
Проверка по условиям ортогональности показывает,* что все найдены правильно: коэффициенты Таблица Г
, И 2 Р3 р ’'11 '13 "Г р '21 '13 “Г poV31'J32 — 1 — 1-08С9 - 0 678 — 2 02 • 1,002 • 0,544-}- 1 1 2
+ 1 - 0,809 - 0,678 = 0. Найденные для рассматриваемой балки коэф- 2 фнцненты 4jn сведены в табл. Г. 0,809 1,002 0,809 0,678 —0,544 0,678
§ 103. БАЛКИ С РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ,
лежащие на упругом основании
Дифференциальное уравнение свободных колебаний балки
q d2w
EI Л~ Л ~ "1---Л/2 =
дх* g dt2
где k— коэффициент жесткости упругого основания.
Перемещение в любой точке определяется в виде ряда:
2=00
щ = 2 Л Фр
i - О
где:
— A sin (л,-1 4- я,) — главные координаты;
Д- — формы колебаний для стержня на упругом основа-
нии, совпадающие с формами колебаний стержней
без упругого основания, при одинаковых условиях
крепления на опорах.
Аналитические выражения Д. следует находить по табл. 163, а чис-
ленные значения —по табл. 164.
Частота свободных колебаний i-ro тона стержня, лежащего на упру-
гом основании, равна
Коэффициент <1,- находится по той же табл. 163.
(713)
701
§ 104]
Простые стержневые конструкции
§ 104. ПРОСТЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ КОНСТРУКЦИИ
Частоты свободных колебаний неразрезных балок, опертых на про-
межуточные жесткие опоры, удобнее всего разыскивать, пользуясь урав-
нен! ем типа трех моментов.
Балка при колебаниях прогибается и на опорах ее появляются опор-
ные моменты:
mh sin (Д 4- a); m, sin (л/4-а); т} sin (kt -]- а) и т. д. (рис. 260)
Для каждой опоры ihi /iL,
может быть написано _____________ / 1 / *
уравнение типа трех мо- £ S- 2 i А Л
ментов, основанное на 0 1 Л / f т
условии равенства углов
поворота балки с двух Л‘ v
сторон от любой опоры. Рис. 260
Выражения для уг-
лов поворюта получаются из рассмотрения колебаний однопролетной балки
при действии момента, приложенного к опоре [см. уравнения (707)].
Уравнение на i-й промежуточной опоре имеет следующий вид:
6£/Л(
+ б£^^(^) = °- (7И)
Таких уравнений будет столько, сколько у балки промежуточных опор.
Если на крайней опоре балка свободно оперта, то уравнение для нее
составлять не надо.
Если балка жестко заделана на крайней опоре, то уравнение для нее
примет вид:
для нулевой опоры
(714а)
для последней опоры
+ 3£/^ Ъ = °' (7U6)
V
Коэффициент v^. связан с частотой свободных колебаний балки А сле^
дующим образом:
= lU
Коэффициенты ^(v^) и даны в табл. 165—168.
Удобно принять за единичные некоторую интенсивность q, момент I
и длину I.
Тогда
(715)
и для любого прочета
hL = lji \/ 9uL (716)
V I V q Ii}
Все 4lh, и пр. можно выразить через v выбранного пролета.
2 Поперечные колебания призматических балок [Гл. XXV
Значение > находится из условия равенства нулю определителя урав-
нений (714); только при этом условии моменты на опорах не равны нулю и,
след вательно, колебания балки имеют место. При этом получается беско-
нечнее число значений >, удовлетворяющих указанному условию, что соот-
ветствует бесконечному числу степеней свободы упругой системы.
Решение уравнения частоты [условия равенства нулю определителя
системы уравнения (714)] может быть выполнено методом подбора, с помощью
табл. 165—168.
С с „
*0/ ।—j----НIН i i 1 i’i 1 Г- T •>
—____________________________i. <; 1111! и
A i A?
i-. =o.3i i 1,го.31
Wl It I J
----------------------I -----------------
/= const.
I
После того, как^ай-
дено v, можно разыскать
соответствующую часто-
ту свободных колебаний
Рис. 261
(717)
1
I
Пример. Определить частоту свободных симметричных колебаний первого тона
трехпролетиой балки, показанной на рис. 261, у которой пролет I = 9 м; момент
инерции постоянный по всей длине I = 5000 см*; интенсивность нагрузки q01 = <713=
=40кг, м; qJt = 200кг/м (с весом механизма установленного в среднем пролете балки).
Вследствие симметрии достаточно составить одно уравнение на опоре № 1
вида:
/И. .. ГТ1. Z, 2 7П» Z. 2
3£/ ?2 С'м) "Г з£-у~ ?з (via) + 6£Z (V12l = О"
При наличии колебаний 0. Умножая все члены этого уравнения на 6EI,
_еля на т1 и Z, получим следующее характеристическое уравнение:
0,6=2 (>„) + 0,₽?2 (v12) + 0,4Т1 (v12) = 0.
В качестве единичных примем момент инерции, интенсивность нагрузки и
длину среднего пролета:
10 — — 360 см
I = 5000 см*,
q = <у12 = 2 кг)см.
При этом согласно формуле (716):
Уаз £oi * Л 9oi 7ц _ * /40
' 7И у 9ц /01 у 200
Тогда характеристическое уравнение примет вид:
1,5=2 (0,5.) + 2Т1 (-.) + (•.) = 0.
Решение этого уравнения с помощью табл. 165 и 167 методом подбора (или
графически) позволит найти значение низшего корня:
v = 0,78.
Частота свободных колебаний балки равна [по формуле (717)[
10«.5000 - 981=246 1/сек
Число колебаний в минуту
= 2350.
Метод определения частот свободных колебаний простых рам с непо-
движными узлами, в случае, если в каждом узле сходится не более двух стерж-
ней, ничем не отличается от изложенного здесь для многопролетных балок.
В табл. 170 приведены характеристические уравнения и значения кор-
ней > в формуле (717) для нескольких простейших конструкций многопролет-
ных балок и рам.
Таблица 170
№ п/п Схема конструкции X ара кт орнст ичеекое уравнение Некоторые корни характеристическою уравнения для определения X = £ |/
vj = л; va = 1,25 л; v8 = 2*; v4 = 2,25n;
v8 = Зя; 7в = 3,25я . . ..................
Vj = 3,39; v2 = 4,46;
vs = 6,54; v4 = 7,59
§ 104] Простые стержневые конструкции 703
U/П
Схгмл конструкции
S~~ ' 'А
---------21 --------------
10! *
5
Xпраки'ристическое уравнение
//р<и)<>л жсние
HeKoiopue корпи харак ирнст пческого
уравнении дли определении > = ?*
г
^23, ^23 3
i,
У12 > ^'2
Чщ 1ц >
4
Кч Чп
‘ ? 12
Для симметричных колебаний
2А’?,(Ь) 4-2(I-2*)<F2[(1-2*)v] +
+ (1-2/г)?1[(1 -2^)Ч = 0,
для антисимметричных
2*ра (Ъ) + 2 (1 — 2*) <р2 [ 1 - 2й) v] -
-(1 -2*)?1 [(1 -2*)Ч = 0.
^14 /12
Ла / и
2<f’W/-;,7rs
/гз 2сра (v2s) ± ср, (v2s) |
— <F? (vu) = 0.
Там где ±, следует брать + Для симметричных форм колебаний и — для антисиммет-
ричных
22/_ <Jj
V “ /
W ;
<7 hj '
при этом в качестве I, q и I можно взять элементы любого пролета рамы.
704 Поперечные колебания призматических балок [Гл. XXV
ГЛАВА XXVI
ХАРАКТЕР СУДОВОЙ ВИБРАЦИИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ
§ 105. ХАРАКТЕР СУДОВОЙ ВИБРАЦИИ
Корпус судна и отдельные судовые конструкции, как всякое упругое
тело, имеют бесконечное число степеней свободы, а следовательно, и бес-
конечное число главных свободных колебаний.
Вынужденные колебания судна и его частей вызываются преимущест-
венно работой установленных на нем механизмов.
Возмущающими силами являются неуравновешенные силы инерции
вращающихся и возвратно-поступательно движущихся масс судовых меха-
низмов, преимущественно в главных двигателях. При этом возмущающие
силы являются периодическими гармоническими силами или моментами
с периодами, кратными числу оборотов двигателя. Отношение числа колеба-
ний возмущающей силы к числу оборотов двигателя в минуту называется
порядком возмущающей силы.
Другой причиной вибрации судна являются периодические усилия,
прилагаемые к корпусу судна его винтами. Силы первого порядка от винтов
являются следствием неодинаковости лопастей и, следовательно, плохой
статической уравновешенности винта. Однако даже достаточно уравновешен-
ные винты прилагают к корпусу судна периодические усилия вследствие
неравномерности гидродинамического давления потока воды, окружающего
винты. Число толчков в минуту возмущающей силы в этом случае равно
числу оборотов двигателя, умноженному на число лопастей винта.
Вибрация от винтов не вполне еще изучена, но опыт показал, что
при сколько-нибудь значительной вибрации этого вида ее можно умень-
шить путем удаления винтов от корпуса или изменения числа лопастей
винта.
У колесных судов’периодическне возмущающие силы появляются вслед-
ствие ударов плиц о воду. Угловая частота этих усилий равна угловой
частоте вращения машины, умноженной на число плиц.
Частота вынужденных колебаний, как известно, равна частоте возму-
щающей силы. Если частота возмущающей силы близка к частоте какого-
либо главного свободного колебания судна, то вынужденные колебания
судна становятся большими. При равенстве этих частот наступает резонанс.
При проектировании судна необходимо произвести расчет его общей
и местной вибрации, чтобы избежать резонанса и даже близости к резонансу.
Под общей вибрацией принято понимать колебания всего судна в целом
как неприз штической балки.
Неуравновешенные силы инерции в двигателе могут вызвать общую
вибрацию судна любого тона и послужить причиной его местной вибра-
ции. Для речных судов характерна местная вибрация днища машинного
отделения. Неуравновешенные силы в двигателях вызывают колебания
днищевых перекрытий машинного отделения, балки которого служат жест-
ким контуре, для днищевых пластин. Частота колебаний этого контура
иногда попадает в резонанс с частотой свободных колебаний пластин и тогда
наблюдается сильная вибрация последних. На ряде судов имели место тре-
щины в листах обшивки, вызванные такой вибрацией.
45 Учебный справочник
706 Характер судовой вибрации и возмущающие силы [Гл. XXVI
Расчет вибрации как местной, так и общей, должен состоять из:
1) определения величины и характера динамических неуравновешен-
ных усилий, действующих на судно или на рассматриваемую судовую кон-
струкцию;
2) определения частот свободных колебаний судна или судовой кон-
струкции, наиболее близких к резонансу;
3) расчета вынужденных колебаний;
4) сравнения полученных характеристик вибрации с нормами допусти-
мой вибрации.
§ 106. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕУРАВНОВЕШЕННЫХ ИНЕРЦИОННЫХ
УСИЛИЙ В ДВИГАТЕЛЕ
Для сил инерции первого и второго порядка в одном цилиндре из
теории уравновешивания двигателей известны следующие зависимости:
силы инерции прямолинейно движущихся масс в вертикальном на-
правлении
/ /__с \
Ряр = U
cos (wt я) -j- — cos 2 (wt a)
силы инерции эксцентрично вращающихся масс
Psp = (-- Д12 - Л13
где: .Hi — масса поршня, штока и ползуна;
Л12 — масса шатуна;
И3— масса мотылевого пальца;
Л14—масса щек мотыля;
I — длина шатуна;
s—расстояние ц. т. шатуна от верхней головки его;
г—радиус мотыля;
и — радиус окружности, описываемой ц. т. щек мотыля;
ш — угловая частота вращения.
Из приведенных выражений можно получить формулы для опреде-
ления неуравновешенных сил и моментов первого и второго порядка как
в одноцилиндровом, так и в многоиилиндровом двигателе. Обозначим для
некоторого t-го цилиндра:
а, = (у .И2 + М3 4- у) га>2, (718)
6. = (л^ - Л12 + М3 + М4у ) ™2, (719)
(I — S \ Г2 И>2
Х^-Г-^МЛ — . (720)
Направление осей координат показано на рис. 262.
Угол поворота мотыля i-го цилиндра, отсчитываемый от мотыля пер-
вого (носового) цилиндра по направлению вращения вала, обозначим че-
рез
Расстояние оси i-ro от оси первого (носового) цилиндра назовем ht.
Тогда для многоцилиндрового двигателя, имеющего т цилиндров,
получатся следующие формулы для определения амплитуд неуравнове-
шенных сил инерции и их моментов (в предположении абсолютной жест-
кости рамы двигателя):
§ 106] Определение неуравновешенных инерционных усилий 707
горизонтальная сила инерции первого порядка
(721)
вертикальная сила инерпии первого порядка
вертикальная сила инерции второго порядка
Z2 = 2 2 Qcos2aj ; (723)
вертикальная сила инерпии четвертого порядка (четыре толчка за
оборот)
(724)
момент первого порядка в горизонтальной плоскости
Мг, = 2aAsiha^ + 2GAcosa/j ’> (725)
момент первого порядка в вертикальной’плоскости
Рис. 262
момент второго порядка в вертикальной плоскости
/ / i*=m Г2 1 l=m С2
МУ‘ = у ( 2 СД s*n j + ( 2 СД cos 2аJ
момент четвертого порядка в^вертикальной плоскости
(727)
(728)
cihi sin 4а;
t = т ’
2 сД cos 4а(.
2
454'®
708 Характер судовой вибрации и возмущающие силы [Гл. XXVI
В этих формулах суммирования должны быть выполнены по всем
цилиндрам двигателя.
Горизонтальные силы инерции и моменты их имеют только первый
порядок.
Для двигателей с одинаковыми размерами частей каждого цилиндра.
°i = Щ . = а
= &2 = • — Ь
С1= с2 = • - - = С
и у которых оси цилиндров ’расположены на одинаковом расстоянии I
друг от друга, приведенные выше формулы (721) — (728) значительно
упрогцаются. В этом случае
Vj — k а\ Xj — b, Z2 — Z4 — — g k2c.
Иг, — k3ah~, Myi = k3bh\ My, = k^ch-, Myt — ktch.
(729)
Значение коэффициентов klt k,, k3 и даны в табл. 171.
Таблица 171
Число цилиндров Расположе- ние мотылей ki k3 kt Примечание
1 нА '—' 1 1 0 0
2 О г 0 • 2 1 0 Двухтактный
3 Лч 3x2x2 W 0 0 1,73 1,73 —
4 23 / 0 4 0 0 Четырехтактный Л
4 МУ г 0 0 1.41 4 Двухтактный
§ 106] Определение неуравновешенных инерционных усилий
709
Продолжение табл. 171
Число цилиндров Расположе- ние мотылей kx ^2 *3 kt Примечание
4 0 0 2,83 2 Двухтактный
3
S
6 £ 0 0 0 0 Ч етырехтактный
6 JX- 0 0 2 6,93 Двухтактный
6 1 г> ^.5 0 0 0 6,93 Двухтактный
6 / ~\б 0 0 0 3,46 Двухтактный
4 / S
^77 6 0 0 0 0 Четырехтактный
8 кт £ 0* >5 0 0 2,61 5,66 Двухтактный
с\ г >7
7s-
8 ♦ 0 V3 ! 8 0 0 1,08 5,66 Двухтактный
8 5К. "47 Hz IS 8 0 0 2,16 2,83 Двухтактный
Кроме инерционных усилий главных движущихся частей двигателя,
при точных подсчетах следует учитывать также инерционное влияние орга-
нов распределения, насосов и прочих частей, получающих движение^от
двигателя.
Примерный расчет неуравновешенных сил и моментов первых двух по-
рядков двухтактного шестицилнндрового двигателя при числе оборотов его
п0 = 92,5 об/мин
/10 Характер судовой вибрации и возмущающие силы [Гл. XXVI
Для двигателя в результате подсчета теоретических весов по чертежам полу-
чены следующие данные:
Рабочие цилиддры Компрессор Продувочный насос
255 кгсекЧм 94,8 кгсек2 м 152 кгсек?/м
м, 122 » 55,8 » 60,3 »
Л1, 11,2 » 11,2 > 11,2 »
М. 51 > 50,0 > 57,5 »
/ 2,56 м 1,28 м 1,50 м
г 0,60 » 0,28 » 0,38 »
Т 0,60 0,60 0,55
и г 0.50 0,50 0,50
Угловая частота вращения при 92,5 об/мии ш=9,63 1/сек. Согласно приведен-
ным данным получим:
для рабочих цилиндров
а1 = а1 = ..=ав = (0,6- 122-t-ll,2-t-51 • 0,5) 0,6 - 9,632 = 6120 кг;
Ьг = Ь, = .. = Ьв = (255 + 122 + 11,2 + 51 • 0,5) 0,6 - 9.632 = 23 100 кг;
9,63 • 62
Ci = с2 = . св=(25э + 0,4 - 122) - g~56 ' = 4000 кг;
для продувочного насоса
а„р = (0,55 • 60,3 + 11,2 + 57,5 • 0,5) • 0,38 • 9,632 = 2580 кг;
Ьпр = (152 + 60,3— 11,2 + 57,5 • 0,5)0,38 9,632 = 8900 кг;
0,382 • 9,632
спр — (152 + 0,45 • 60,3)---j-gg----= 1600 кг;
для компрессора
а* = (58 55,8+ 11,2 + 50 • 0,5)0,28 • 9,63= 1780 кг;
bk = (94.8 + 55,8 + 11,2 + 50 • 0,5) 0,28 • 9,632 = 4850 кг;
„ 9,632 0,282
с/г = (94,8 -г 0,42 - 55,8) — } 28-= 670 кг.
Расчет выполнен в табличной форме.
Расчет неуравновешенных
Наименование цилиндров * £ «. PlICC К»1Н11С (1 Г Осн компрессора Л/ , м Угли ностанопкп мотылей а/ Sin а/ COS а. sin 27, cos 2i, У1
at- sin а.-, кг а/ cos кг
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12
Компрессор Пг эдувочный Г80 4850 670 0 292 -0.927 0,375 —0,694 —0,720 —1650 668
насос . . . 2580 8900 1600 1,30 112 0,927 —0,375 —0,694 —0,720 2380 — 968
№ 1 6120 23100 4000 3,10 0 0 1,000 0 1,000 0 6120
№ 2 6120 23100 4000 4,45 240 —0,867 —0,500 0,867 —0,500 —5300 —3060
-V 3 6120 23100 4000 5,80 120 0,867 —0,500 —0,867 -0,500 5300 —3060
№4 .... 6120 23100 4000 8,07 180 0 —1,000 0 1,000 —0,500 0 —6120
№ 5 . 6120 23100 4000 9,42 60 0,867 0,500 0,867 5300 3060
№6 6120 23100 4000 10,77 300 —0,867 0,500 —0,867 —0,500 -5300 3060
Сумма . . Амплитуда сил - - — — — — 730 — 320
и моментов — — — — — — — 790 кг
§ 107] Определение опрокидывающего момента 711
§ 107. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРОКИДЫВАЮЩЕГО МОМЕНТА, ПЕРЕДАЮЩЕГОСЯ
КОРПУСУ СУДНА ОТ ДВИГАТЕЛЯ
Опрокидывающие машину моменты обусловлены давлением пара или
газа в цилиндрах, а также силами инерции движущихся частей машины.
Рассмотрим сначала опрокидывающий момент от давления пара или
газа.
На рис. 262, а показана схема одного из цилиндров машины с криво-
шипным механизмом. Сила давления на поршни цилиндров двигателя,
заставляющая вращаться вал и винт по часовой стрелке, уравновешивается
реактивным моментом, передающимся от воды винту и через гребной вал на
машину.
Этот «обратный момент», внешний по отношению к двигателю, равный
по величине крутящему моменту М на валу, вызвал бы опрокидывание
двигателя, если бы не было крепления машины к фундаменту.
На рис. 262, б показаны усилия, действующие на фундамент после
мысленного удаления машины.
.Момент, передающийся корпусу судна от двигателя, обусловленный
вращением вала равен крутящему моменту М на валу.
М = 2 Mit (730)
»=i
где:
.W. — опрокидывающий момент в t-м цилиндре; момент этот является
периодической функцией и может вызвать вибрацию перекрытия
машинного отделения;
тп — число цилиндров двигателя.
Из теории расчета двигателей известно, что для любого цилиндра
D?Pa-(D?-dt)piZ
sin (ш t +а() +
+ \ sin 2 (wt + az)
сил инерции двигателя
Л z2 MZ1 My, Mv,
bi sin ai> кг cos д/, кг Ci sin 2i/, кг Ci cos 2ait кг a, sin ait кгм щ hi COS Д/, кгм bf hi sin кгм bi hi COS a/, кгм Ct hi sin 2^i, кгм Ci hi COS 2a,> кгм
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
4490 1820 — 465 — 482 ° 0 0 0 0
8250 — 3340 —1110 —1152 3090 — 1260 10720 — 4340 — 1444 — 1597
0 23100 0 4000 0 18980 0 71600 0 12400
—20000 —11550 3470 —2000 —23600 —13600 — 89000 — 51400 15000 — 8900
20000 — 11550 —3470 —2000 30750 —17750 116000 — 66600 —20100 —11600
0 —23100 0 4000 0 —4940n 0 —186500 0 32600
20000 11550 3470 —2000 49900 2880л 188300 108300 32700 —18630
—20000 11550 —3470 —2000 —57100 3295g —215300 124000 —37400 —21530
3760 — 1520 —1575 —1634 3090 — 1260 10620 — 4340 11244 17356
4050 кг 2370 кг 3340 кгм 11540 кгм 20700 кгм
712 Характер судовой вибрации
и возмущающие силы [Гл. XXVI
Рис. 263
§ 107]
Определение опрокидывающего момента
713
где-г,— радиус кривошипа в i-м цилиндре;
D,— диаметр i-ro цилиндра;
di — диаметр поршневого штока в i-м цилиндре;
— давление пара или газа сверху поршня в i-м цилиндре;
р-2 — то же, снизу поршня;
5
отношение в i-м цилиндре радиуса кривошипа к длине шатуна;
и) — угловая частота вращения;
t — время;
а,— угол поворота мотыля в i-м цилиндре, отсчитываемый при i=0
от верхней мертвой точки ко направлению вращения.
Давления рд и р12 снимаются с индикаторных диаграмм цилиндров
машины.
Техника определения давлений рд и рл показана на рис. 263.
Индикаторные диаграммы верхней и нижней полостей цилиндра
строятся на длине, равной 2г. Параллельно линии атмосферного давле-
ния индикаторных диаграмм на произвольном от нее расстоянии про-
водится прямая АВ, тоже равная 2г.
На прямой АВ, как на диаметре, из середины ее, т. е. из точки С,
описывается полуокружность. Для нанесения на индикаторную диаграмму
положений поршня соответствующих углам (wi ф- а.), рекомендуется прием,
предложенный проф. Ф. А. Бриксом, показанный на том же рис. 263
От точки С откладывается отрезок CD = — в сторону нижней мертвой
точки. Из точки D проводится полуокружность радиуса
г®\ .
21] ’
эта
полуокружность делится на равные дуги (достаточно разделить на 18 ча-
стей так, чтобы все углы были равны 10°). Из точки D проводятся лучи,
соединяющие ее с делениями меньшей окружности. Лучи эти доводятся
до большой окружности с центром С и из точек пересечения проводятся
горизонтали до пересечения с индикаторными диаграммами.
В показанном на рисунке случае положение поршня на индикаторной
диаграмме при u>i + ai = 40° определяется точкой Е. При этом давление
в верхней полости равно р1 = EI, а в нижней = EF (см. стрелки на
линиях индикаторных диаграмм, показывающие направление движения
поршня).
Момент Л1, любого цилиндра подсчитывается по формуле (731). Зна-
чения sin (и/ + ®i) + -g- \ sin 2 (<ui -f- а-) в функции от угла (wi ф- а.) для
различных к(. даны в табл. 172. Весь расчет укладывается в табличную
схему (табл. 173).
Суммарный момент вычисляется в сводной табл. 174. На рис. 264
показан характер изменения момента М-, и суммарного момента М в те-
чение полного оборота двигателя. Из рисунка видно, что М является
периодической, но не строго гармонической функцией от времени.
Для того, чтобы рассчитать вибрацию судна, вызываемую опрокиды-
вающим моментом, необходимо разложить функцию, данную в последней
графе таблицы 174 на простые гармоники, т. е. разложить ее в ряд Фурье.
При этом преобладает гармоника, порядок которой равен числу цилинд-
ров, поделенному на два, если двигатель четырехтактный, и умножен-
ному на два, если двигатель двойного действия.
14 Характер судовой вибрации и возмущающие силы [Гл. XXVI
Значения: sin («><-г-з,)+-^ sin 2
Таблица 172
к •1—^1 з.б 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0
0—360 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0.000 0,000 0,000
10—350 0,221 0,218 0,216 0,214 0,212 0,210 0,209 0,208
20—340 0,432 0,427 0,423 0,419 0,415 0,412 0,409 0,406
30 —330 0,622 0,615 0,609 0,604 0,599 0,595 0,591 0,587
40—320 0,782 0,775 0,768 0,761 0,756 0,751 0,746 0,741
50—310 0,906 0,898 0,891 0,884 0.879 0,874 0,869 0,865
60—300 0,990 0,983 0,977 0,971 0,966 0,961 0,957 0,953
“0—290 1.032 1,027 1,022 1,018 1,014 1,011 1,008 1,005
ЙО—280 1,034 1,031 1,029 1,027 1,025 1,023 1,021 1.020
Л—270 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
100—260 0,935 0,938 0,941 0.943 0,945 0.947 0,949 0,951
110—250 0,847 0.852 0,857 0,861 0,865 0,869 0,872 0 875
121—240 0,742 0,749 0,755 0,761 0,766 0,771 0,775 0,779
130—230 0,623 0,634 0,641 0,647 0,652 0,658 0,663 0,668
140—220 0,503 0,511 0,518 0,524 0,530 0,536 0,540 0,544
150—210 0,378 0,385 0,391 0,396 0,401 0,405 0,409 0,413
160—200 0,252 0,257 0,261 0,265 0,269 0,272 0,275 0,278
170—190 0,126 0,129 0,131 0,133 0,135 0,137 0,138 0,139
1 5’ 0,000 0,000 0,000 С— 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
Таблица 173
Определение опрокидывающего момента в <-м цилиндре
п 1 а <гг> । д1 Л1. кг, см* Pit, кг/см* D2iPil (D?— d?)p/5! (5)- -(6) sin (ш/-Ьтг)-г -t-l_X,-sin 2(<o/-|-ai)* Л4,=г^(7) (8)
I 2 3 4 5 6 7 8 9
0 10 2) :: 360
Из табл. 172.
§ 107]
Определение опрокидывающего момента
715
, Таблица 174
Вычисление суммарного опрокидывающего момента М для двигателя с т цилиндрами
Угол mt, ° I м, Ми 44 m А4=(2)4-(3)4- 4- • 4- («4-1)
1 1 2 3 от4-1
0 10 20 1
360
Воспользуемся обычными формулами, приведенными в разделе мате-
матики на стр. 53, для разложения любой функции в ряд Фурье. Функцию М,
данную в последней графе табл. 174, разложим в ряд вида:
Л1 = ,И0 — Ali sin (mt 4- + М2 sin (2ш^ + (32) + . -. + М- sin (ju> t 4- р ) 4-
+ • + мт sin (m^t 4- ₽m) + .. . (732)
Рис. 264. Диаграмма опрокидывающего момента для четы-
рехцилиндрового двигателя
Для практического расчета обычно достаточно вычислить только
амплитудупреобладающего момента AL.
Тогда
М Mj sin (jut 4- р7)
i гол, соответствующий полному обороту ш/ = 360°, разделим на
36 частей Г(10°), как это сделано было при вычислении М; тогда:
£=36
М° = 36 2 м*’
к-0
₽/=arctg^-,
(733)
(734)
(735)
716 Характер судовой вибрации и возмущающие силы [Гл. XXVI
где: Л =18 2 ‘VIftCOS/ 36“
k = 0
4 = 36
Q 1 _ . 2-k
Bj 18 2 i,*sin/ 36
4=0
Вычисление укладывается в табл. 175.
(736)
Таблица 175
* Из последней графы табл. 174
Ai = 18 2?: Bi = is 2в:
Л17= /л? + В? ; 37-= arctg :
Л1 = Му sin (/ш/ 4- 9/).
Влияние вертикальных сил инерции в движущихся частях на опроки-
дывающий момент невелико и, как показали исследования, влиянием этим
можно пренебречь.
Горизонтальные силы инерции дают опрокидывающий момент
Л1Х = YyH sin (о>/ + у), (737)
где есть горизонтальная сила инерции первого порядка, вычисляемая
по формуле (721):
/ / i=m \2 i i=m \2
» V £ OjSinaJ + ( 2 CjCOsa^j ,
а
. V a, sin a,
Y = arctg ', (738)
2a;cosai
а плечо Н показано на рис. 262, а.
Все обозначения в этих формулах даны в § 106, где также приведена
табличная схема подсчета входящих в них сумм.
ГЛАВА XXVII
МЕСТНАЯ ВИБРАЦИЯ МАШИННОГО ОТДЕЛЕНИЯ
§ 108. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ДНИЩЕВЫХ
ПЕРЕКРЫТИЙ МАШИННЫХ ОТДЕЛЕНИЙ
Днищевой набор машинных отделений может быть довольно разнообраз-
ной конструкции, балки его могут быть расположены на различных рас-
стояниях, иметь различные, а иногда и переменные сечения, нагрузка тоже
может быть разнообразной, в зависимости от расположения и весов меха-
низмов и набора машинного отделения. Поэтому применение точных реше-
Рис. 265
ний о" колебаниях перекрытий привело бы к чрезвычайной сложности, а
в ряде случаев и к невозможности расчета. Для практических целей удобно
пользоваться приближенным методом, который дает достаточную точность
и сущность которого заключается в том, что принимается некоторая прибли-
женная зависимость для формы колебаний днищевого перекрытия.
На рис. 265 показана примерная схема днищевого перекрытия машин-
ного отделения небольшого судна.
Перемещение любой точки перекрытия равно
/ =
718
Местная вибрация машинного отделения
[Гл. XXVII
где:
— главная координата при свободных колебаниях i-ro тона,
являющаяся функцией времени и имеющая размерность длины;
Д. (х) — отвлеченная функция — форма колебаний вдоль оси х, являю-
щаяся функцией только координаты х;
F/i}) — то же, вдоль оси у.
Для судовых перекрытий приближенно можно принять
, , . . т~х
f,.(x) = sin —
U (у) = sin
(739)
глет и п — любые целые числа, равные числу полуволн, на которые
разбиваются продольные и поперечные балки при главном колебании
i-ro тона.
Составляя выражения кинетической и потенциальной энергии коле-
баний перекрытия, подставляя в них перемещение w и используя урав-
нение Лагранжа для свободных колебаний, можно найти искомую частоту
свободных колебаний первого тона перекрытия в виде:
(740)
где:
— обобщенная жесткость колебаний i-ro тона;
— обобщенная масса тоже для i-ro тона колебаний;
— вычисляются по выражениям:
ЕтЛ
в
О
2 sin2^ | /ftsin2^^dx ,
* о
п4
(741)
т*
"К
2 sin2^
о
<7ysin2
i
— ,n^Vk \ J t PlB _L
- 2 sln I 9ftsin2——dx + —j- +
u
P sin2 sin2
e В , i
(742)
j — номер флора;
k — номер кильсона;
q —интенсивность веса /-го флора;
qt — интенсивность веса k-ro кильсона;
§ 108] Определение частот свободных колебаний днищевых перекрытий 719
р — вес единицы площади обшивки днища вместе с присоединенной
водой, участвующей в колебаниях перекрытий
Ре — вес некоторого механизма;
хе, уе — координаты ц. т. е-го механизм;
/у- — момент инерции сечения /-го флора;
Ik — момент инерции сечения k-ro кильсона.
Так как Qj, qk,I; и Ik могут быть переменными по длинам балки, то
интегралы, входящие в формулы (741) и (742), следует вычислять, за-
меняя интегрирование приближенным суммированием, т. е. обычным таб-
личным способом по правилу трапеций или же пользуясь следующей
формулой для вычисления интегралов по участкам:.
Для участка от до 12.
I» V “I
Uftsmz —dx =(/2 — /J— 2^(sin—J--------------sin~/— ] (743>
/i
Если профили флоров и кильсонов постоянны по своей длине, то
формулы (741) и (742) упрощаются:
2 7a sin2
k
(744)
.. 1 Г В ( -о пгххЛ , I ( „ . „ппуЛ
s L \ ) \ * J
plB . _ _ . о nny. . „ m~x l
— -f- У Pe sin2 —sin2 . (745)
4 В I
e
В случае, когда флоров и кильсонов много (пять и более), все фло-
ры равноудалены и одинаковы и все кильсоны также равноудалены и
одинаковы, формулы для Nt и Mt еще упрощаются:
ЕтЛ
4
1
g
qk lT , pBl , _ „ n~y . т~хё
4---^ + ^+ 2 ^sin2—sm2—
e
(746)
(747)
где:
и — число равных промежутков между флорами;
v — то же, между кильсонами.
Кроме того, как показали численные исследования, в формулах для
обобщенной массы можно не учитывать вес флоров и кильсонов, который
мал по сравнению с весом механизмов и с весом присоединенной воды,
участвующей в колебаниях перекрытия, т. е. положить qj — qk = 0, что
значительно упрощает расчет.
1 Достаточно проверенных экспериментально решений, дающих значения при-
соединенных масс воды, участвующих в колебаниях перекрытий, в настоящее время
не имеется. До уточнения этого вопроса можно рекомендовать пользоваться фор-
мулой (764) для присоединенных масс, колеблющихся с пластинами (см. стр. 734),
полагая в них, так же как для пластин, а большей стороной опорного контура пе-
рекрытия, a b — меньшей.
720
Местная вибрация машинного отделения
[Гл. XXVII
§ 109. ПРИБЛИЖЕННЫЙ УЧЕТ ВЛИЯНИЯ УСИЛЕННЫХ РАМ
В МАШИННОМ ОТДЕЛЕНИИ НА ЧАСТОТУ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
ДНИЩЕВОГО ПЕРЕКРЫТИЯ
У некоторых судов в машинном отделении по концам машинных фунда-
ментов устанавливаются усиленные рамы, часто состоящие из шпангоутов,
спаренных по всему периметру с помощью соединительного листа.
Для приближенного учета влияния таких усиленных рам на частоту
свободных колебаний перетрытия можно рассматривать их только как
дополнительную жесткость, не учитывая веса их, малого по сравнению
с весом перекрытия днища, всех механизмов и в особенности присоединен-
ных масс воды, совершающих колебания
вместе с перекрытием.
Если применить общий прием Папко-
вича-Гершгорина, то задача сводится к
простым расчетным формулам.
Сначала производится расчет перекры-
тия с мысленно удаленными рамами.
Для этого перекрытия определяются
частоты л(. и обобщенные массы Mt тех
тонов, которые следует учесть.
Так как наличие рам меняет в ос-
новном формы колебаний перекрытий вдоль
осн х, следует’учесть два-три тона колебаний, имеющих разные /, (х),
в поперечном же направлении достаточно взять одну форму колебаний
F(у),,соответствующую интересующему7 нас тону колебаний перекрытия.
Учет рам следует производить отдельно для каждой рамы, подключая
их последовательно к перекрытию. Положим, что рама расположена при
х = а.
На рис. 266 показана рама, нагруженная реакциями Rk, передаю-
щимися на нее от кильсонов перекрытия. Одну из этих реакций обо-
значим Ra (момент инерции
Любая реакция равна:
соответствующего
кильсона /0).
Rk = ^k Ro>
, _/* Е(П)
/о FOo)
(748)
меняющимися по
пользуясь обычными
найти значение Ro,
равному единице. Это значение при = 1
Нагрузив рамт силами,
мулами (748), можно,
методами решения рам
под этой же силой х70,
обозначим г.
Частоты свободных колебаний ).s перекрытия с рамой найдутся из
следующего уравнения:
закону, выраженному фор-
в строительной механике
соответствующего прогибу
Л2 (о) — _ 1
(749)
fF()o) — atF(y^ — (
It -i МД/.
где [Да) — форма колебаний перекрытия i-ro тона в точке, где нахо-
дится рама, т. е. при х — а. Уравнение это решается мето-
дом подбора.
Частот \ усложненной системы (перекрытие с рамой) будет столько,
сколько учте ю тонов колебаний перекрытия без рамы.
721
§ ПО]
Вынужденные колебания перекрытий
Прогиб перекрытия с рамой определится как
^ = S6s^, (750)
где:
05 — формы колебаний перекрытия с рамой;
•5,— главная координата, соотпетствующая s-му тону колебаний пе-
рекрытия с рамой.
Формы колебаний 6S определяются как
(751)
I
где:
2 В (Уц)
fy
<75|а)
Обобщенная масса главного s-ro колебания равна
(752)
i
Обобщенная жесткость
= (753)
§ ПО. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЕРЕКРЫТИЙ
Если на перекрытие в точке, где х = с и y = d, действует неурав-
новешенная сила Z'ina»/, где ш —частота этой возмущающей силы, то
перемещение любой точки перекрытия найдется как
u> = z 2
(754)
S
Если к перекрытию в
Л1уяпи/, то
точке с координатами end приложен момент
МУ
дЦс, d)
дх 1 д
)•!
sin о;/.
(754 а)
S
При действии момента M^sino>/ (опрокидывающий момент в двигателе)
Гаедс.д)
w = Мх
дУ ,
Ns
sirnu/.
(754 б)
Если расчет свободных колебаний перекрытия был выполнен без
учета рам, то в формулах (754) — (756) следует положить:
Qs(c, d) = А (с) F^d),
^s = fi(x)Fi(y).
46 УчебпыВ справочник
722
Местная вибрация машинного отделения
[Гл. XXVII
К = К
причем /Дс), Fi(y), Nt, X, определяются по формулам § 108.
Возмущающими силами и моментами, вызывающими вибрацию пере-
крытии, являются неуравновешенные силы инерции и их моменты, а также
опрокидывающий момент от давления пара или газа в цилиндрах двигате-
лей, определение которых дано в главе XXVI.
Следует заметить, что при подсчете суммарных сил и моментов рама
двигателя предполагалась абсолютно жесткой.
Рис. 267а
Исследования выполненные инж. А. И. Белозеровым показали, что
предположение это вполне допустимо не только в расчетах общей, но
и в расчетах местной вибрации судов. Все формулы настоящего параг-
рафа относятся к внерезонансным вынужденным
Таблица А колебаниям. Для определения амплитуд колеба-
№ шпан-
гоутов
Шпация
мм
68—70
70—71
71—73
73—74
”4—80
80—81
81—87
87—94
ний в резонансе надо располагать методом учета
неупругого сопротивления в судовых конструк-
циях. Метод этот в настоящее время еще только
создается (см. статьи В. С. Чувиковского в трудах
ЦНИИ им А. Н. Крылова вып. 15, 1953 г. и вып.
105, 1956 г).
Пример определения частот свобод-
ных колебаний перекрытия машинного
отделения речного судна с подкрепле-
ниями для плавания по водохранилищам.
Перекрытие и его основные размеры приведены на
рис. 267,а. Расстояния между кильсонами даны на
рисунке. Расстояния между флорами указаны в табл. А.
Моменты инерцни балок набора перекрытия приве-
дены в табл. Б.
450
660
570
600
450
550
450
610
§ ПО] Вынужденные колебания перекрытий 723
Таблица Б
Наименование связи 1 Эскиз сечения связи Площадь сечения связи, см2 Моменты инерции, см* Примечание
Флорные шпангоуты № 69, 72, 75, 77, 79, 82, 84, 86 ,8x100 • £.75x50x6 —У / 360x6 70,55 58 870 Часть флора на шпангоутах № 82, 84 и 86 на участке между кильсонами II —III и V-VI имеет момент инерции 7=4980 см*
Флорные шпангоуты № 70, 76, 78, 83, 85, 87, 88, 89, 90, 91, 92 и флора полу- рамного шп. 71 £. 100x100x10 Шп. № 83, 85, 87, 88, 89, 90, 91 и 92 между кильсонами II—III, и V—VI имеют момент инерции 7=4980 см*
80x80x1 /8x750 J /360x6 125,7 112 800
Ф.юрный шпангоут № 93 1 80x8 ,8x750 jl50x50x5 63,7 52 280 —
'збОхб
Кильсоны 1 и VII ,78x78x8 ' 8x780 50x50x5 106,4 89980 —
'•200x6
1 Кильсон IV ^l75x75x8 ,8x750 ,4.50x50x6 89,2 67 400 —
4200x6
Шпангоуты № 81,82, 83, 84, 85. 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92 между кильсонами И—III и V—VI у 8x100 /280x6 360x6 44,6 4 980 —
Кильсоны II, III, V, VI от шп. № 68 до 74 80x50x5 .1.75x75x6 \ 750x8 . | 200x6 106,4 89980 —
47 Учебный справочник
724
Местная вибрация машинного отделения
[Гл. XXVII
Продолжение табл. Б
Наименование связи Эскиз сечения связи Площадь сечения связи, СМ2 Моменты инерции, см* Примечание
/8x230
К . ьсоны II, III, V, VI от шп. № 75 до 81 750x8^ рс 75x75x8 50x50x6 129,6 117270 —
200хбХ
/15x170
Кильсоны II, III, V, VI от шп. № 82 до 91 ~~4oxtgo /8x830 122,8 139 100 —
200х^
Кильсоны II, HI, V, VI от шп. № 92 до ' шп. № 94 8*100 /8*750 80 57 300 —
''6x200
Примечание. При расчете моментов инерции к большим пояскам
балки отнесено 60 толщин днища.
На шпангоутах № 73—74 и 80—81 установлены усиленные рамы, конструкция
которых показана на рис. 267,6.
На первом этапе расчета определяется частота свободных колебаний перекры-
тия без этих спаренных рам (рамы мысленно удаляются вместе с флорами).
При подсчете обобщенной массы перекрытия пренебрегаем весами флоров и
кильсонов, малыми по сравнению с весом механизмов и присоединенных масс воды.
Определение частоты свободных
колебаний первого тона перекрытия
Формы колебаний для первого тона будут иметь следующийвид:
itx
A(x) sin -j-
(х) = sin
Выражения для подсчета обобщенной жесткости и
[см. формулы (/41) и (742)]:
массы
примут вид
= Е-*
в
XX,’ С XV
sin2 -р I Z7 sin2---dy +
b
I
I V1 С т-х
-Г “ < ? Sin2 —g- I Ik sin2 — dx
k о
I
M1~ g
pBl , V „ . T-Xe ТУе
' p₽sina ~T~sinB2 ~ЁГ
e
(а)
(6)
(e)
§ ПО]
Вынужденные колебания перекрытий
725
Частота свободных колебаний
Определяем обобщенную жесткость по формуле (б).
Подсчет интегралов, входящих в формулу (б), усложняется тем, что у балок
набора моменты инерции меняются по участкам.
Для вычисления этих интегралов следует пользоваться формулой типа (743}
(в нашем случае при т = п = 1).
Так, для флора на шпангоуте № 83:
В р2.48ж 3.42 м
J sin» dy = 2 J 112,8-10» sin» dy + у 4,98- 10~5sin»-g- dy +
о 0 2,48 м
4,65 м
+ У 112,8 10—5sin»-g- dy
3,42 Jk
Интегралы вычисляются по формуле (743), например:
2,48 м
Г = -у Г 9,30 /
I 112,8 - 10 5 sin» -Q- dy = 56,4• 10» (2,48 — 0)— ]~2g I sin 2n
о
2,48
9,30
Аналогично:
= 58,3 - 10~5 л».
3.42 м
4,98 • I0-5 sin» -- dy = 3,36-10“5
2*48 м
4,65 м
f 112,8 - IO-5 sin» ^dy= 130-10-5 ж»
3,42 м
47ТШ-
Местная вибрация машинного отделения
726
[Гл. XXVII
и весь интеграл
в
Z8Jsin»^-dy = 2-I0-s
о
[58,3 + 3.36+ 130] = 383 • 10~5
Подсчет интегралов при постоянном моменте инерции производится по обыч-
ной формуле.
Например:
в
Г г.у В
J /7sin,-e’<fy = O^--
о
Подсчет стмм для определения обобщенной жесткости выполнен в табл.
В и Г.
Таблица В
в
Вычисление S sin8 i J Л si ' 0 п2 2? dy В
Z. В
с* Моменты инерции* 0 ° MS V 1 15? [3] [6], ms
1 2 3 4 5 6 7
69 58,87 - 10 — 5 273 • 10-5 0,033 0,104 0,011 3 • 10-5
70 112,8 - 10-5 525 • 10-5 0,066 0,207 0,043 22 • 10-5
71 112,8 • 10-5 525 • 10-5 0,115 0,356 0,126 66 - 10-5
72 58,87 - 10 -5 273 - 10-5 . 0,157 0,475 0,226 64 • 10-5
75 58.87 • 10-5 273 - 10-5 0,277 0,766 0,586 160 • 10-5
"f. 112,8 - 10-5 525 - 10-5 0,310 0,829 0,686 361 • 10-5
58,87 - 10 -5 273 • 10-5 0,343 0,882 0,777 212 • 10-5
7й| 112,8 - 10-5 525 • 10-5 0,376 0,924 0,855 449 10-5
79 58.87 - 10 -5 273 • 10-5 0,410 0,961 0,925 253 • 10-5
82 58,87 - 10- 5 и 4,98 - 10-5 204 - 10 -5 0,516 0,998 0,995 202 - 10-5
83 112,8 - 10-5 в 4,98 - 10-5 383- 10 -5 0,550 0,988 0.977 375 • 10-5
84 58.87 - 10-5 и 4,98 . 10-5 204 - 10-5 0,582 0,968 0,937 191 • 10-5
85 112.8- 10-5 и 4,98- 10-5 383 • 10-5 0,615 0,930 0,865 332 10-5
86 58,87 - 10- 5 и 4,98 • 10-5 204 • 10-5 0,650 0,891 0,795 162 - 10-5
8< 112,8- 10-5 и 4,98 - 10-5 383- 10-5 0,683 0,838 0,704 270 • 10-5
112,8- 10-5 и 4,98- 10-5 383 - 10 -5 0,726 0,760 0,578 222 10-5
89* 112.8 • 10-5 и 4,98 . ю-s 383 - 10-5 0,775 0,652 0,425 163 • 10-5
90| 112,8- 10-5 и 4,98- 10-5 383 - 10 -5 0,820 0,537 0,288 НО - 10—5
91 112,8- 10-5 и 4,98- 10-5 383 • 10-5 0,865 0.415 0,172 66 - 10-5
92 112,8- 10-5 и 4,98- 10-5 383 • 10-5 0,910 0.284 0,081 31 • 10-5
93 52,28 - 10 - 5 и 4,98 - 10-5 243 • 10-5 0,955 0,139 0,019 5- 10-5
^=3719 • 10 -5
Из табл. Б.
§ ИО]
Вынужденные колебания перекрытий
727
Вычисление У* 1 sin2 * * — —< в „ к 0 Таблица Г 1 Ik sin2 —* dx
№ кильсона и района I Момент инерции* 2 1 1 ZAsin»-^dx 1 3 Уь В 4 К Vh Sin — в 5 [5F 6 [6] [3], 7
Кильсон I . . . . Кильсон II, шпан- гоут 68—74 . . То же, 74—81 . . » » 81—91 . . » » 91—94 . . Кильсон III, шпангоут 68—74 То же, 74—81 . . > > 81—91 . . » » 91—94 . . Кильсон IV . . . Кильсон V, шпан- гоут 63—74 . . То же, 74—81 » » 82—91 . . » » 91—94 . . Кильсон VI,шпан- гоут 63—74 . . То же, "4—81 . . » » 82—91 . . » » 91—94 . . Кильсон VII 89,98 • 10“Б 89,98 • 10“5 117,27 10“Б 139,1 - 10“° 57,3 • 10“5 89,98 • 10“Б 117,27 • 10“5 139,1 - 10“Б 57,3 - 10“Б 67,39 • 10“Б 89,98 • 10“Б 117,27 • 10“5 139,1 • 10“5 57,3 - 10“5 89,98 • 10“5 117,27 • 10“° 139,1 • 10~° 57,3 • Ю“Б 89,98 • 10“Б 610 • 10“ 5 51 • 10“5 246 10“Б 485 • 10“Б 6 - 10“5 51 - Ю“Б 246 • 10“Б 485 • 10“Б 6 - 10“Б 457 • 10“Б 51 • 10“Б 246 • 10“Б 485 • 10“Б 6 10“5 51 • 10“Б 246 • 10“Б 485 • 10“Б 6- 10~Б 610 10“Б 0,162 0,248 0,248 0,266 0,266 0,380 0,380 0,367 0,367 0,500 0,620 0,620 0,633 0,633 0,752 0,752 0,733 0,733 0,838 0,487 0,703 0,703 0,743 0,743 0,930 0,930 0,913 0,913 1,000 0,930 0,930 0,913 0,913 0,703 0,703 0,743 0,743 0,487 0,237 0,495 0,495 0,553 0,553 0,865 0,865 0,835 0,835 1,000 0,865 0,865 0,835 0,835 0,495 0,495 0,553 0,553 0,237 144 • Ю“5 25 • 10“Б 121 • 10“5 269 10“Б 3 10“5 44 10“Б 213 10“Б 405 10“Б 5 • 10“Б 457 - 10“5 44 10“Б 213 10“Б 405 • 10“Б 5 • 10“5 25 10“Б 121 - Ю“Б 269 • 10“° 3 10“5 144 • 10“5
2 = 2915 10“5
* Из табл. Б.
Обобщенная жесткость перекрытия определяется по формуле (6):
Г 1 =; 1 ц ]
= 2 - 10’ - 97 3719 • 10“° + • 2915 • 10“5 =11 250 т/м.
I у, □ I о, Отт |
Определяем обобщенную массу по формуле (в).
Подсчет суммы, зависящей от веса механизмов и входящей в обобщенную
массу, произведен в табл. Д.
Интенсивность нагрузки на единицу площади перекрытия от равномерно рас-
пределенных весов (веса обшивки днища, присоединенных масс воды и небольших
механизмов, равномерно распределенных по площади машинного отделения) была
подсчитана и оказалась равной
р = 3,65 т/м2.
Обобщенная масса по формуле (в) равна
I / 3,65 • 9,3 • 13,54 \
.И, = п о] • I------л--------+ 22,81) = 13,95 тсек2/м
9, о I \ 4 1
и частота свободных колебаний первого тона
= 1/ II?5® = 28,5 1/сек.
Г 13,95
Число колебаний в минуту
пх = 272.
728 Местная вибрация машинного отделения [Гл. XXVII
Таблица Д
я х- я V-
Подсчет 2 Ре 5>пВ sin* -g-
Наименование механизмов Число механиз- мов Вес Ре. т 1 Уе В . *хе Sin . "У₽ s,n -в- Г, . , "*е ,пУе PgSln* —j—sin1 —g-
Главные двигате- ли 2 38,96 2,я« 0,6850,314 0.7030,075 0,839 0,834 19,10
Воздушные бал- лоны 2 0,804 0,233 0,10
Осушительный иасос 1 1 1 0.87 0,9020,085 0,309 0,264 0,01
Пожарный насос I 0,87 0,422 0,080 0,970 0,248 0,01
Дизельгенератор I 1,520,2650,215 0,741 0,627 0,33
Дизельгенератор I 1,520,3500,725 0,891 0,766 0,71
Дизельгенератор I 1,52 0,140 0,725 0,425 0,766 0,16
Вспомогательный котел I 1 1 8,20 0,178 0,500 0,537 1,000 2.36
Насос . I 0,23 0,6520,865 1 1 0,891 0,415 0,03
1=22,81 tn
Определение частоты свободных колебаний
второго тона перекрыти я
Формы колебаний второго тона приняты следующие:
г ч 2лх
/в (х) = sm-у-:
F» (у) = Fi (У) = F (у) — sin -уу .
Расчет для второго тона, выполненный аналогичным методом, дал следующие
результаты:
Л"в=37200 т/м-, /Ив = 14,80 тсекЧм-, >в = 50,2 1/сек,
пв = 480 колеб/мин.
Учтем влияние рамы, расположенной на шпангоуте №80—81 (см. рнс. 267,6).
Раму эту в местах кильсонов следует нагрузить реакциями. В качестве 7?0
примем реакцию среднего кильсона RIV = Ro.
Тогда согласно с расположением кильсонов в районе шпангоутов № 80—81
4*рмы коле< иин вдоль оси у будут:
F(y7 ) =0,487,
f(y„) =0,703,
F (У///) = 0,930,
F(y/V) = 1.000,
F(yv) =0.930,
F (Ур/) = 0.703,
F (yVII) = 0.487.
Коэффициенты подсчитываются по формуле (748).
Например:
_ h F(yt) __ 89,98- 10-5 p 0,487 _ 0 65
a' I» F (y0) 67,39 l0-s ’1,000
§ НО]
Вынужденные колебания перекрытий
729
Получаются следующие значения коэффициентов а^:
ах = а7 = 0,65,
а, — а, = 1,23,
а, = а, = 1,62,
°4 = 1.
Необходимая в дальнейшем сумма У F (у«.) подсчитывается как
k
JV (Ул) = 2 • 0,65 • 0,485 + 2 - 1,23 - 0,703 + 2 • 1,62 • 0,930 + 1 = 6,440.
k ♦
Расчет рамы обычными методами строительной механики при нагрузке ее
в местах кильсонов силами Rk = ah Ro позволяет найти следующую зависимость
между Rt и прогибом wg рамы под этой силой:
Ро = 2,35 • 10’ tt'o (л, т),
откуда следует, что
г = 2,35 - 10s т/м.
Ординаты форм колебаний в Лайоне шпангоутов Ns 80—81 вдоль оси х:
первого тона
6,275
fi (№ 80—181) = sin к lq гт- = 0,993;
1 □, Отт
второго тона
6,275
(№ 80—81) = sin 2к ~|2 54 = 0,233.
Частоты колебаний Xs перекрытия с рамой, расположенной на шпангоутах
№80—81 определяются по формуле (749). Подставляя в нее числовые данные, получим
Г 0,993* 0,233* 1
2,35 • 10* - 1,000 ---j--------аг- +-----~--------кт- = — 1,
13,95 (28,5*—l.j) т 14,8(50,2* — Х^)
или, после упрощений
705 37
--------4- = — 0,665,
808— >s 2510—X;
откуда можно найти частоты усложненной системы (перекрытия с рамой):
первого тона
Xz = 42,3 1/сек, nz = 405 колеб/мин;
второго тона
X/z = 51,4 1/сек, пИ = 490 колеб/мин.
Коэффициенты ~<is подсчитываются по формуле (751,а).
Например:
2,35 • 10* • 0,993 • 6,440
13,95(28,5* — 42,32) — 1,09‘
Остальные коэффициенты равны:
v]/z = 0,590, ,
v2/ = — 0,316,
V2II — 1 75-
Формы колебаний 03 подсчитываются по формуле (751). Например, в точке,
где расположена рама на шпангоуте № 80—81 и при у = у0:
6, (80—81) = 1,00 [0,993 1,09 - 0,233 - 0,316] = 1,007,
(80—81) = 1,000 [0,993 • 0,590 + 0,233 1,75] = 0,993.
' 30 Местная вибрация машинного отделения [Гл. XXVII
В точке расположения другой рамы на шпангоутах № 73—74, где f, (73—74)=
3.00
— s,n= 13,54 —0.643.
3,00
/, (73—74) = sin 2х jg 54 = 0,983.
Формы колебаний будут иметь следующие значения:
6, (73—74) = 1,000 [0,643 - 1,09 — 0,983 - 0,316] = 0,393;
В,, (73-74) = 1,00(0,643 • 0,590 + 0,983 • 1,75] = 2,100.
>
Обобщенные массы определяются по фо муле (752):
Мг = [13,95 - 1,09*+ 14,8 • (—0,316*)] = 18,08 тсек2/м-,
Л1„ = [13,95 • 0,590* + 14,8 - 1.75*] = 50,20 тсек2 / м.
Итак, для определения частоты свободных колебаний перекрытия при введе-
нии второй рамы той же конструкции, расположенной на шпангоутах № 73—74,
имеем в качестве исходных данных полученные здесь формы и частоты свободных
колебаний перекрытия с рамой на шпангоутах #0-81:
А = 42,3 1/сек; >, =5J|4 1/сек;
А (73-74) = 6, (73—74 - 0,393;
А (73 -74) = 6/7 (73—74) = 2,100;
Mi = 18,Q8 тсекЧм-,
Л1Ж = 50,20 тсекЧм.
Подстановка этих величин в формулу (749) приведет ее к виду;
[0,393* 2,100* I
-----7--------= — 1.
18,0t(42,3* — Aj) 50,2(51,4* — Ц)
или, после сокращений,
82 878
1790 _ ) 2 + 2640 _ , 2 = ~ 0.665.
Отсюда определяются новые значения частот колебаний перекрытия с двумя
рамами-
для первого тона
! I = 43,8 1/сек
число колебаний в минуту
п г = 418 колеб/мин;
для второго тона
'z/ = 63,8 1/сек
и число колебаний
zZyj=611 колеб/мин.
§ 111. ВИБРАЦИЯ ПЛАСТИН В МАШИННОМ ОТДЕЛЕНИИ
Колебания днищевого набора, являющегося жестким контуром для
пластин днища, вызывают колебания последних. Если частота вынужденных
колебаний набора оказывается близкой к частоте свободных колебаний
пластин, имеет место сильная их вибрация; при этом в пластинах появляются
значительные напряжения.
На различных судах неоднократно происходили аварии вследствие
трещин в обшивке днища в районе машинного отделения, вызываемых вибра-
цией.
§ 1Н]
Вибрация пластин в машинном отделении
731
Рис. 268
Наблюдения и экспериментальные исследования вибрации пластин
днища позволяют сделать некоторые предварительные заключения о харак-
тере этой вибрации.
Хотя констрч кция всех пластин днища, как правило, одинакова, вибри-
руют обычно не все пластины; только у некоторых происходят сильные
колебания.
Картина вибрации пластин очень пестрая, вибрирующие пластины не
сосредоточены в одном месте: рядом с сильно вибрирующей пластиной может
быть пластина, имеющая незначительные колебания, а на некотором рас-
стоянии находится опять пластина с сильной вибрацией. При этом небольшое
изменение числа оборотов двигателей заметно изменяет картину очагов вибра-
ции: одна пластина перестает вибрировать, другая начинает. Объясняется
это тем, что на частоту сво-
бодных колебаний сильно
влияет ряд факторов: выпу-
чины, швы и, главное, на-
пряжения в срединной плос-
кости.
Напряжения эти зависят
от напряжений общего изгиба
судна, от изгиба его набора
и, наконец, от первоначаль-
ных напряжений пластины,
возникающих при сварке.
Последние не поддаются уче-
ту, у различных пластин
различны, и в основном этим
и наличием погиби пластин объясняется и их вибрация, так как даже незна-
чительное изменение напряжений в плоскости пластины сильно влияет на
частоту ее свободных колебаний. На вибрацию очень тонких пластин при
толщине 4 мм и ниже оказывает влияние и распор от соседних пластин.
Пластины днища в зависимости от близости частоты их колебаний
к частоте вынужденных колебаний набора могут колебаться с различным
числом полуволн вдоль их сторон, т. е. может иметь место вибрация пла-
стин любого тона, и, кроме того, соседние пластины могут иметь либо
взаимно симметричные колебания (при этом получаются условия полного
защэмления на кромках — каждая пластина является жестко заделанной),
либо антисимметричные колебания (при этом пластины колеблются, как
свободно опертые на контуре).
Учитывая неполноту существующей теории расчета вибрации пла-
стин, а главное, описанную выше случайность и пестроту вибрации отдель-
ных пластин днища и зависимость частоты свободных колебаний от техно
логических факторов, не поддающихся пока учету, не следует осложнять
практическую методику расчета.
В настоящее время можно рекомендовать пользоваться в практических
расчетах вибрации днищевых пластин при толщине их более 4 мм простыми
расчетными формулами, позволяющими установить пределы частот, ампли-
туд и напряжений в пластинах с ограниченным отношением сторон, с уче-
том напряжений в срединной плоскости от участия пластины в общем изгибе
судна и в изгибе его набора, но без учета распора.
На рис. 268 показана судовая пластина с длиной большей стороны а,
длиной меньшей стороны b и толщиной h.
Напряжения ах и ау действуют в срединной плоскости, постоянны по-
длине кромок и предполагаются известными из расчетов прочности пластины.
732 .Местная вибрация машинного отделения [Гл. XXVII
Для получения высшего предела частоты свободных колебаний пла-
стины напряжение, действующее вдоль короткой стороны пластины, сле-
дует увеличить, чтобы приближенно учесть возможность натяга от сварки.
Не располагая пока достаточными данными о величине этих усилий,
в ориентировочных расчетах можно приближенно полагать, что напряжение
это может доходить до 300 кг!см2.
Если пластина свободно оперта по четырем кромкам и если т — число
полуволн вдоль оси х, на которое разбивается длина пластины а при
колебаниях, ап — то же, вдоль оси у, то частота свободных колебаний равна
; Dg~*
pb*
,2\2 I з л2 + ажт2 —I й2й
„ » о \ \ - л /
л2 + т —j-1 -|------------
а2 / ~2D
где питиндрическая жесткость пластины
ЕЛ3
12(1-р2)
Подставляя для стали Е=2 • 10® кг/гм2 и учитывая, что g=981 см,/сек2,
лолучим расчетную формулу для частоты kmn:
175
100/г\3 100
b J pb
/ Ь2\2
п2 + т2^-) +
\ а /
ау / b \2
ТЩЛооа )
(755)
Для жестко заделанной пластины частота свободных колебаний пер-
вых четырех тонов находится по следующим формулам
при л = т = 1
-504 | 4 аЛ 12^ " ^4 ра2Ь2 \а2 1 7 1 Ь2) 1 pab гГ + © । а ч о
при т = 1 и л = 2
24 ра£- (21а>+44 +'65^ \ ^gh /„ b , ,, а\ ) + ДЦ”'5 + 1М
при т = 2 и п = 1 (756)
>-11 = 24 - (165^ + 44 + 21^ ра-b2 \ а2 Ь2/ + ^( 1нД+з+) pad \ а у b /
при т = п = 2
Ер ( . с Ь2 , .. , .са2\ -22 — £>£> I 45 + 44 4 .45,2 1 - ра?Ь2 \ а2 ш Ь2) 44 ph ( b , а \ pab \ ха °УЬ /
По существу, достаточно определить пределы частот колебаний пла-
стины по формулам (755) и (756), не интересуясь амплитудами их колебаний
и напряжениями в них, так как, если частота колебания соседнего набора ш
окажется близкой к какому-либо значению, следует уйти из зоны возмож-
ного резонанса; это можно достигнуть изменением конструкции пластин
(например, делением шпации).
1 Формулы эти, полученные инж. А- В. Уткиным, приближенные, но точность
ях для практического расчета очень хорошая.
§ Hl]
Вибрация пластин в машинном отделении
733
Для ориентировочного суждения о порядке амплитуд и напряжений
в пластине можно пользоваться следующими грубо приближенными зави-
симостями для наибольшей амплитуды А колебания пластины и для на-
пряжений изгиба при ее вибрации:
для свободно опертой пластины при п полуволнах вдоль стороны b
Д = 1,27 ; (757)
п л2
для первого тона жестко заделанной на кромках пластины
A s 1,33 wk . (758)
~ 1
В этих формулах:
wk — амплитуда колебаний контура пластины (флора);
<о — частота этих колебаний.
Наибольшее напряжение изгиба от вибрации равно:
для пластины, свободно опертой на кромках,
/ МОЙ \2Д
о макс = ± I —г— ) тг • 103 кг, см\ (759)
I О ] "
для жестко заделанной пластины
_ /100й\2Д ,7КП,
Омаке = ± 2 I —г— ] -7- • 103 кг, см. (760)
\ о ] п
Если длина одной из сторон пластины более чем в два раза превы-
шает длину другой стороны (25 < а), то пластина при колебаниях гнется
по цилиндрической поверхности и ее можно рассматривать как колеблю-
щуюся балку-полоску. При этом возможно учесть не только напряжение
от участия пластины в общем изгибе судна или местном изгибе на-
бора, но и цепные напряжения распора при ее колебаниях. Учитывать
распор следует, если толщина пластины h <; 4 мм. Определение вынуж-
денных псевдогармонических колебаний балки-полоски с распором сво-
дится к решению нелинейного дифференциального уравнения.
Введем обозначения:
Ь — длина выделенной балки-полоски;
h — ее толщина;
-зу — напряжение вдоль стороны Ъ, таксе же, как в соседних жест-
ких связях.
Остальные обозначения такие же, как и в предыдущих формулах.
Рассмотрим балку-полоску, свободно опертую на контуре.
Введем еще следующие обозначения:
Egh
4(1 — р2) pb*
г2 Egh р2 / Л V , оу
(1— у.2) pb2 [12 [ft ) + Е
4 р.2 — (1)2)
32
16 юйш2
(761)
734
Местная вибрация машинного отделения
[Гл. XXVII
Вынужденные колебания балки-полоски
можно найти в виде:
с достаточной точностью
A sin sin ш/,
о
где Д— амплитуда колебаний, определяемая
уравнения
A* — с А — d = 0.
как корень кубического
(762>
Если балка-полоска жестко защемлена на контуре, то
Egh
3(1 —fi2) pb*
- 3 (1— u2) pb2 [ 3 ‘ Д b ) "г Е
4(-,2_шг)
“ 35
16
9 Т~
Вынужденные колебания находятся, как
2-У \ . .
— COS —7— I Sinw/,
b I
(763)
причем амплитуда А находится из того же уравнения (762).
Если с одной стороны пластины находится вода (днищевые пластины),
то при определении частот колебаний пластины любым способом следует
учесть вес присоединенной массы воды, совершающей колебания вместе
с пластиной.
При этом интенсивность р сла-
гается из двух частей: интенсивности
веса самой пластины и интенсивности
веса присоединенной воды и прибли-
женно равна
p = ~tch — *vb кг/см2, (764)
где:
~с —вес 1 см* стали (7,85-10* кг);
у— вес 1 с.ч3 воды (10~3 кг для
' речной воды и 1,025-10-3 кг
для морской);
b — меньшая сторона пластины;
z — коэффициент, проводимый в
табл. 176.
Таблица 176
Типы пластины в/a Свободно опертая Жестко заделан - ная
0,0 0,78 0,70
0,1 0,76 0,68
0,2 0,71 0,61
0,3 0,65 0,50
0,4 0.61 0,45
0,5 0,55 0,43
0,6 0,51 0,41
0,7 0,47 0.39
0,8 0,45 0,37
0,9 0,43 0,35
1,0 0,42 0,33
колебаний
низшего тона пласти
Пример. Определить частоту свободных
ьа свободно опертой на кромках, у которой:
а = 120 см; ау = 500 кг/см*;
5 = 60 см; h = 6 мм.
Ъ
При = 0,5 я.= 0,55 и интенсивность р по формуле (764) равна:
р = 7,85 - 10-3 - 0,6 + 0,55 -10-3 • 60 = 37,7 • 10-3 кг/см*.
§ 112]
Нормы допустимой местной вибрации
735
Так как толщина пластины более 4 мм, то распор не учитываем. Квадрат
частоты колебаний пластины при т = п= 1 по формуле (755) равен
, , 60 100 Г 500 / 60 \а1
>?1 = ,75(бо) 37.10-з.60[С1 +°-5а)а + Т8У(60) ] = 3-44'!04 1^сека-
л11=186 1/сек.
Число колебаний в минуту
"и = 177.
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что при отсутствии напряже-
ний (=у = 0) число колебаний в минуту получится равным
пн = 106.
§ 112. НОРМЫ ДОПУСТИМОЙ МЕСТНОЙ ВИБРАЦИИ
При проектировании новых судов, а также для правильного суждения
о допустимости вибрации судов, находящихся в эксплуатации, необходимо
руководствоваться нормами допустимой местной вибрации днища машин-
ного отделения.
Установить нормы можно на основании большого количества наблюде-
ний местной вибрации. Собранного в настоящее время материала еще не
вполне достаточно, но все же можно наметить ориентировочные цифры.
Лимитирующими следует считать и амплитуду и ускорение колеба-
ний, устанавливая для них нормы так, чтобы вибрация набора не мешала
работе машинной команды и не снижала точности показаний приборов,
а вибрация пластин не нарушала их прочности.
Исходя из этих соображений и основываясь на экспериментальных
исследованиях и наблюдениях местной вибрации судов, проделанных за
последние годы, можно рекомендовать следующие временные нормы для
набора: предельную допустимую амплитуду 1,5 мм, предельную допусти-
/ ,
мую амплитуду ускорения ^равную wMaKC= §QQWkn'‘’ где wk — амплиту-
да, а п — число колебаний в минуту) — 1 500 мм/сек2.
Для пластин же норма допустимой вибрации лимитируется напряже-
ниями, в них возникающими. При расчете вибрации пластин напряжения,
получаемые по формулам (759) и (760), следует просуммировать с напряже-
ниями в пластине, найденными в результате расчета прочности при действии
статических нагрузок, и сопоставить с пределом выносливости.
В тех случаях, когда замерена имеющая место на судне амплитуда вибра-
ции пластин и желательно грубо прикинуть, допустима ли такая вибрация,
можно воспользоваться связью напряжений и амплитуд, даваемой форму-
лами (759) и (760).
Полагая, что дополнительные динамически переменные напряжения от
вибрации в пластинах, накладывающиеся на основные статические напря-
жения от общего изгиба и изгиба пластин, не должны превышать±250 кг/см?,
и ориентируясь на более опасные в отношении прочности пластин симметрич-
ные колебания, получаем согласно формуле (760), что допустимая амплитуда
колебаний пластин между набором не должна превосходить величины
/ b V
Л*’оя = 0,125 ( Тоол) h'
ГЛАВА XXVIII
ОБЩАЯ ВИБРАЦИЯ КОРПУСА СУДНА
§ ИЗ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ СВОБОДНЫХ ВЕРТИКАЛЬНЫХ
КОЛЕБАНИЙ ПЕРВОГО ТОНА
Частоту свободных вертикальных колебаний судна рекомендуется
определять, пользуясь приближенным, но дающим достаточную точность
методом, суть которого заключается в принятии некоторой приближенной
зависимости для формы упругой линии колеблющегося судна. Более точ-
ные теоретические исследования, а также экспериментальная проверка
рекомендуемого метода показали, что получаемая при пользовании им
частота свободных колебаний достаточно близка к истинной частоте (вероят-
ная п грешность — около 3°о).
Исходными данными для определения частоты свободных вертикальных
колебаний первого тона являются:
1) кривая веса судна, которая обычно дается в виде ступенчатой кривой
интенсивности нагрузки <71 (по двадцати ординатам);
2) ординаты веса присоединенных масс воды на единицу длины судна для
каждого из двадцати теоретических отсеков, определяемые по следую-
щей приближенной формуле:
= (765)
где:
Y— удельный вес воды в m/jwa;
F — площадь погруженной части шпангоута в рассматриваемом сече-
нии в л2;
У—ордината ватерлинии в том же сечении в л/;
d — осадка при данном шпангоуте в jw;
k — коэффициент, равный
k = 0,44 -J-0,039 4-,
D
где L и В—длина и ширина судна;
3) кгивая моментов инерции площадей поперечных сечений судна,
вычисляемая обычными приемами определения момента инерции эквива-
лентного бруса в первом приближении. В дальнейшем, кроме обычных,
приняты следующие обозначения:
q = qx -f- Sq — полная интенсивность с учетом присоединенных масс
воды (т/м)-
I — момент инерции площади поперечного сечения кораб-
ля (л4);
s—приведенная площадь стенок эквивалентного бруса,
приближенно равная
s = H-t м, (766)
§ 113] Определение частоты вертикальных колебаний первого тона 737
где:
—сумма средних толщин бортов и продольных переборок судна
на миделе;
qcp— среднее значение
р — радиус инерции
приближенно
q, равное при двадцати ординатах
массы корабля при вращении его
Н2
12
Г?.
20 ’
сечений;
(767)
х — координата, измеряемая вдоль длины судна от его носового
перпендикуляра;
— искомая частота свободных вертикальных колебаний первого
тона судна. ,
Модуль Юнга и модуль при сдвиге:
Е = 2-107 m/jw2;
G = 8- 10е т/м2.
Ускорение силы тяжести g = 9,81 м/сек2.
При разыскании частоты свободных колебаний первого тона фунда-
ментальную функцию, (форму упругой линии при колебаниях) берут
в виде:
/1 — Bi + °1 ' j + s’n • (768)
Коэффициенты и Pj находят путем совместного решения следую-
щих двух уравнений динамического равновесия:
8, \q + + sin ™ = 0; (769)
Si--<7~r₽i --7 Т) +L£?sin 7; = °- (770)
Квадрат частоты свободных колебаний первого тона равен
,2 E^g L 1 1
Л‘ v 9/2 1 + kl 1 + k2 ’
где:
— поправка на учет сдвигов в поперечных сечениях судна, кото-
рая при расчете по двадцати теоретическим отсекам равна:
(772)
738
Общая вибрация корпуса судна
[Гл. XXVIII
Расчет свободных вертикаль
Учет присоединенных воды масс Составление уравнений динамического равновесия
/Л отеской (ЦДЛ Ши 1.1 Г|.у Л<>|Н»Й 1Ш|ГрЛ|| 111111 V. м 0(41 ДНИ U С Г [К* дине опеки dtM ПЛ(>1Ц»1Д1. ПОГру ЖР1Н1СЙ ЧЛС1И шин iroyi.i Л', м* НрИГогДПНСППЫЙ иге коды Д </, т/м ординоты веса <71* 111 Iм ])М(.ЧС111ЫС* op* длиаты веем <7 — А <7 + 7м т м 1 q, т/м — ся 1 " / X 1 \ Ц L ~ 2 ) ’ т/м w/w < f s — -Zuis Хи ’ q sin , т/м
1 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 п 12 13
Нос 1—2 2—3 4—5 5-6 8—9 9—10 10—11 11 — 12 12—13 13-14 14—15 15—16 16—17 17—18 18—19 19-20 2.0 5.2 6,8 7,7 8.1 8,3 8,5 8,5 8,5 8,5 8.5 8 5 8,5 8,5 8.5 8,5 8,4 7.9 6 2 2,5 9.24 9,24 9,24 9,24 9,24 9,24 9,24 9,24 9 24 9,24 9,24 9,24 9.24 9,24 9,24 9,24 9,24 9,24 9,24 9,24 .0 24 88 122 140 148 152 155 155 155 155 155 }” loo 154 154 150 135 102 39 1.7 10,4 50,6 79,5 96,0 104,0 109,0 112,0 112.0 112,0 112,0 112,0 112,0 112.0 111,0 111,0 108,0 89,5 53,8 8,2 15,0 19,6 47,5 101,4 58,2 146,7 209,7 229,7 222,7 226,7 224,7 104,2 172,7 187,3 246,9 211,7 180,4 76,2 19,0 15,8 16,7 30,0 98,1 180,9 154,2 250,7 318,0 341,7 334,7 338,7 336,7 216,2 284,7 299,3 357,9 322,7 228,4 165,7 72,С 24,С 1 0 16,7 46,7 144,8 325,7 479,9 730,6 1048,6 1390.3 1725,0 2063,7 2400,4 2616,6 2901,3 3200,6 35э8,5 3881,2 4169,6 4335,3 4407,3 4431,3 —0,475 —0,425 —0,375 —0,325 -0,275 —0,225 —0,175 —0,125 —0,075 —0,025 0,025 0,075 , 0,125 1 0,175 0,225 0,275 0,325 0,375 0,425 0,475 -7,93 — 12,75 —36,80 —58,80 —42,40 —56,40 —55,60 —42,70 —25,10 —8,50 8,50 16,20 35,60 52,40 80,60 88,70 53,80 62,20 30,60 11,40 0 -7,93 —20,68 —57,48 — 116,28 — 158,68 —215,08 -270,68 —313,38 —338,48 —346,98 —338,58 -322,38 —286,78 —234,38 — 153,78 —65,08 28,72 90,92 121,52 132,92 0,078 0,233 0,382 0,522 0,649 0,760 0,853 0,924 0,972 0,997 0,997 0,972 0,924 0,853 0,760 0.649 0,522 0,382 0,233 0,078 1.3 7,0 37,5 94,4 100,0 190,5 271,0 315,5 325,0 337,6 335,5 210,0 263,0 255,3 272,0 209,5 150,5 63,3 16,8 1,9
Корма 1Ж1Х/Х 2715,1 4431,3 41658* 132’90 —2939* \\ 3457,5
Нормальная функция
„ , х 1 \ ~ х
fi — + ?i | l ‘Г I Sln L '
Уравнения динамического равновесия:
/ х 1 \ . -х
S L ? + ?i _--) + ? sinT =0 ;
х 1 \ . кх
Ч EL <7 + 4 -- vf-I---2-)+ LL <7sinT-=0;
4431,3 5!+ 132,9 4 +3457 = 0;
41658 Ь> — 2939 + 33318 = 0;
6i = —0,786; pi =0,204.
Частота:
L /sin2
Е r.*g
Z.*
3,14* • 2 • 10’ 9,81 • 287,7 „ „ ,
- = 84,6 1/сек2.
135,4* - 192,5
2. поправками на сдвиги и вращение:
30 Л
>!=9,2 1/сек2; п = = 88 колеб/мин;
>! = 8,5 1/сек2 и л = 81 колеб/мин.
Суммы взяты с поправками на крайние члены.
§ 113] Определение частоты вертикальных колебаний первого тона 739
Табл и ц а 177
ных колебаний первого тона
Вычисление Контроль Определение Aj Элементы судна
иг/ш * 7. u|S ь *7 х и кЛ ,1х И 7. “ 2J 9/1, т)м Е9/1- т/м Ч к X . / sin® -д- , л4 длина тси- ретическая L = 135,4 м _ Ширина . . В = 17 м -5. Высота бор- S та . . . .Н = 10,44 ж _ _ Осадка но- сом . . . 7Я = 9,4 м Осадка кор-
14 15 16 17 18 19 20 21 мой . . . Тк = 9,24 м
0 1.3 8.3 45,8 140,2 240,2 430,7 701,7 1017,2 1342,2 1679,7 2015,2 2225,2 2488,2 2743,5 3015,5 3225,0 3375,5 3438,8 3455,6 3457,5 —0,097 —0,087 —0.076 —0,066 —0,056 —0,046 —0,036 —0,025 —0,015 —0,005 0,005 0,015 0,025 0,036 0,046 0,056 0,066 0,076 0.08Z 0,097 -0,805 —0,640 —0,480 —0,330 -0,193 —0,072 0,031 0,113 0,171 0,206 0,216 0,201 0,163 0,103 0,020 —0,081 —0,198 —0,328 —0,466 —0,611 —13,4 — 19,2 —47,1 —59,7 —29,8 —18,1 9,8 38,6 57,2 69,8 72,7 43,5 46,4 30,8 7,2 —26,1 —57,1 —54,4 —33,5 — 14,7 0 —13,4 —32,6 —79,7 —139.4 —169,2 —187,3 —177,5 — 138,9 —81,7 —11,9 60,8 104,3 150,7 181,5 188,7 162,6 105,5 51,1 17,6 2,9 1,8 5,2 8,0 10,2 20,0 30,4 30,6 30,6 30,6 30,6 30,6 30,6 30,6 30,6 30,6 30,6 29,8 21,0 9,2 3,8 0,01 0,28 1,16 2,77 8,40 17,55 22,20 26,10 28,90 30,50 30,50 28,90 26,10 22,20 17,66 12,85 8,10 3,04 0,49 0,02 0 щеиие . .77= 18 000m Момент инерции 10,3 на миделе /^£=30,6м* 12’6 Площадь ,о’' стенок на е’8 миделе . s = 0,42 ж» 1*3 Средний ра- А’о диусинер- •. цни . . . р = 3,02 ж qo Интенсивность присое- .4'4 диненной воды опреде- Ig’? лена по формуле: 3’2 где k = 0,764. 2J п.з 17.8 15,6 9,0
33318* 2,9?0 7,7s0* 287,7 192,5
Поправка на сдвиги и вращения:
Е-*
!2 1 sin» —j-
Яср г*
L»|
2 - 10’ • 97 2Q 287,7
+ 2
-----------------------------------= 0 097-
135,4» • 8 • Ю« • 0,42 (0,204»+4,93) ’ '
220 - 3,02» (0,204»+4,93)
----------V---------------= 0,06.
135»
192,5
Поправочный коэффициент
= 0,92.
740
Общая вибрация корпуса судна
[Гл. ХХУШ
— поправка, учитывающая энергию вращения поперечных сечений,
судна при вибрации:
<hP? Р? + -2"
*2=—Дх—-• (773>
-rt
В формулах (769) — (773) интегрирование но длине судна заменено
приб. иженным суммированием но двадцати ординатам. Двойные суммы
следует брать с поправками на полусуммы крайних членов.
Расчет укладывается в табтичную схему, которая дана вместе с при-
мером (табл. 177).
Значение частоты X?, получаемой по формуле (771), является, строго-
говоря, первым приближением, которое можно уточнить, взяв второе
приближение для функции /г и подчинив эту функцию основному диф-
ференциальному уравнению колебаний судна как непризматической балки
д2 / d2io\ q дгы _ „
дх- дх*) g di* “
(где t — время, а се — прогиб судна при вибрации), и граничным усло-
виям на концах судна.
Однако результаты расчетов указанным путем показали, что поправка,,
вносимая вторым приближением, не превосходит 1 — 1,5%, на основании
чего при расчете частоты свободных колебаний первого тона можно огра-
ничиваться только первым приближением.
§ 114. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ СВОБОДНЫХ ВЕРТИКАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
ВТОРОГО ТОНА
При разыскании частоты свободных вертикальных колебаний второго
тона следует форму упругой линии при колебаниях принять в следую-
щем виде:
/2 = g2+p2^_lj + sin^. (774)
Коэффициенты о2 и р2 находятся путем совместного решения следую-
щих уравнений динамического равновесия:
г2 '_q 4- р2 £ q — у) + Y.q sin = 0; (775)
Z^-q + p2LL q ~ j + SLq sin = 0. (776).
Здесь, так же как и при расчете колебаний первого тона,
q = 9i + Д q,
причем Дд находится по той же формуле (765).
Частота свободных вертикальных колебаний второго тона равна
Г( - о 2-Х
* -/sin-—
2 16Е- g -------L-----}_____L_ (777),
2 A* Zqfi l+*12l+*22’ U Я
§ 115] Определение горизонтальных свободных колебаний судна
741
где:
fe12— поправка, учитывающая сдвиги в поперечных сечениях судна,
равная
16 “ /sin2^
*12 = GsL2 (₽2 + 2rJ) ’ (778)
fe22 — поправка, учитывающая вращение поперечных сечений судна,
равная
*О2 = Р* №2 + 2^2) (779)
£Ч2б)^
Весь расчет укладывается в табличную форму, которая дана вместе
с примером расчета (табл. 178).
Предполагается, что частота колебаний первого тона найдена прежде,
чем разыскивается частота колебаний второго тона, поэтому некоторые графы
в таблице 178 опущены, а сумма чисел этих граф берется прямо из
таблицы 177.
Получаемая по формуле (777) частота свободных колебаний второго
тона может быть уточнена путем учета ортогональности формы колебаний/г
с ранее найденной формой колебаний Д. При этом условие ортогональности
по кинетической энергии имеет вид:
L
J qfifsdx = о,
о
а по потенциальной энергии
L
J Elfi fi dx = 0.
о
Однако исследование влияния поправки от учета ортогональности на ве-
личину частоты Ха на примере большого числа судов псказало, что поправка
эта невелика — не превосходит 1 % — и поэтому в практических расчетах
можно отказаться от учета ортогональности.
§ 115. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ СВОБОДНЫХ
КОЛЕБАНИЙ СУДНА
Для определения частот горизонтальных свободных колебаний судна
рекомендуется применять тот же метод, что и при разыскании частот верти-
кальных колебаний, пользуясь теми же расчетными формулами, стой только
разницей, что:
1) момент инерции I следует понимать как момент инерции сечения отно-
сительно линии пересечения его с диаметральной плоскостью судна;
2) интенсивности присоединенных масс воды находятся по
следующим формулам:
A? = 0,8d2 т/м (780)
для теоретических отсеков в средней части длины судна на протяжении
половины длины и
Л q — 0,6d2 т/м. (781)
в оконечностях судна.
48 Учебный справочник
"42
Общая вибрация корпуса судна
[Гл- XXVI11
Расчет, свободных вертикальных
Веса Составление уравнений динами- ческого равновесия Нахождение
№ отсекли Расчетные ординаты веса <J=? =AQ+^t m м 2кх sm L , 2 л х <7 sin L- , m/м m/м -4 |см 1 di Г- и КЗ •—
1 2 3 4 5 6 7
Нос 0—1 1—2 2—3 4—5 7—8 8—9 9—10 10—11 11—12 12—13 13- 4 14—15 15—16 16—17 17—18 18-19 19—20 Корма 16,7 30,0 98.1 180.9 154.2 250,7 318 0 341,7 334,7 338,7 336.7 216,2 284,7 299.3 357.9 322,7 218,4 165,7 72.0 24.0 0,157 0,455 0,707 0.890 0.987 0,987 0.890 0.707 0,455 0.157 —0.157 —0,455 —0.707 —0.890 —0.987 —0.987 —0,890 —0,707 —0,455 —0,157 2.62 13.65 69.36 161.00 152.20 24 ,44 2^3.00 241,58 152.29 58,18 — 52,86 — 98 37 —201 28 —266,38 —353.25 —318.50 —256.68 -117,15 — 32,76 — 3,77 0 2,62 16,27 85,63 246.63 398,82 646,26 929,26 1170.84 1323.13 1376,31 1329,45 1225,08 1023,80 757,42 404,17 85,67 — 171,01 — 288,16 — 320,92 - 324,70 —0.475 —0.425 -0,375 —0,325 —0.275 —0,225 —0,175 —0,125 —0,075 —0,025 0,025 0,075 0,125 0,175 0,225 0,275 0,325 0,375 0,425 0,475 —1,489 — 1,332 — 1,175 — 1,018 —0,862 —0,705 —0,548 —0 392 —0,233 -0,078 0,078 0,233 0,392 0 548 0,705 0,862 1,018 1.175 1,332 1,489
4431,3 —324.7 10073*
Нормальная функция
/ х 1 \ . . 2ях
/. = «•+^(—“"2") +Sln —ТГ'
Уравнения динамического равновесия:
, . 7 х * 1 А , v • 2 г * п-
ч 1.у+hм Sln Г= 0>
2т.х „
г Xi Я sin —£— = 0;
4431 г» + 132.7 з, — 324,7 = 0;
41658 Ц — 2939 р» + 10073 = 0;
’, = — 0,0206; 3, = 3,14.
Частота без поправки:
2 л х
16 Е к* g £ / sin2-—
>,' =____________________
’ *-‘i<
. 16 • 2- 10’ • 3,144 • 9,81 - 251,63 _
• = 135,44 • 471,18
= 486 1/сек.2;
ля = 22 1 /сек n, =3032 =
к
= 210 колеб/мин.
С поправками на сдвиги и вращение
1, = 18,3 l/ceK и пг — 174 колеб/мин.
Сумма взята с поправками иа крайние члены.
§ 115] Определение горизонтальных свдбодных колебаний судна
743
Таблица 178
колебаний второго тона
h Контроль Определение A
h Qh, т/м Y,qfz, т/м I,M* <—7 eU]S/ x*z к
8 9 10 11 12 13
—1,353 —0.898 —0.489 —0,149 0.104 0.261 0,321 0,294 0.199 0.0’8 —0.099 —0,240 —0,335 —0,363 —0,303 —0,146 0,107 0,447 0,856 1,311 — 22.59 — 26,93 — 47,93 — 26,88 16.10 65,53 102,20 100,60 66,74 19,78 — 33,54 — 52.02 — 95,55 — 108,53 — 108,30 — 46,99 30,97 74,13 61.66 31,47 0 — 22,59 — 49,52 — 97,45 — 124,33 — 108,23 — 42,70 59,50 160,10 226,84 246,62 213,08 161,06 65.51 — 43,02 — 161,32 — 198,31 —169.34 — 93,21 — 31,95 0,08 1.8 5.2 8,0 12,2 20,2 30,4 30,6 30,6 30.6 30,6 30.6 30.6 30.6 30.6 30 6 30,6 29.8 21,0 9.2 3,8 0,44 1.07 4.00 8,08 19.48 29.61 24,24 15.30 6,33 0,75 0,75 6,33 15.30 24,24 29.81 29.81 23.60 10.50 1,90 0,09 30,56 24.18 23,45 39,99 1,68 17,12 32.75 22 51 13,32 1.15 3,34 12,52 32,06 39.36 32,77 6,84 3,32 33,17 32,81 41,28
0.08^0 1,21= sO.O* 251,63 471,18
Элементы судна
Длина теоретическая . L— 135,4 ж
Ширина ....
Высота борта
Осадка носом . .
Осадка кормой .
Водоизмещен ие
Момент
миделе
Площадь
миделе
Средний радиус инерции f = 3,02 м
Данные из расчета колебаний
1-го тона (см. предыдущую табли-
цу):
q — (графа 2) взято нз расчета
колебаний 1-го тона (графа 7);
S^q— нз расчета 1-го тона —
(сумма графы > )=41 658 т/м\
Iх 1 \
S q I 1 — нз расчета 1-го
тона—(сумма графы 10)= 132,7 т/м',
/ х 1 ।
IS q ( ] 513 расчета 1 -го
тона (сумма графы 11)=—2939т/м-,
1 — нз расчета 1-го тона — (гра-
фа 19).
. . В = 17,0.1!
. . Н = 10,44
. . Тн = 9,40
. . Тк = 9,24
. .£>=18 000
на
' ^ТгС^ЗО.бл4
стенок на ж.
..........s - 0,42 ж2
инерции
5
Поправки на сднигн и вращение:
16 £ г.4 -Ь) v/sina 2‘~х
Ац — -------------------------=
£*Gs(3’ + 2 г.а)
16 • 2 - 10» • 3, мЦд -251,63
= 135,4» • 8- 10» • 0,42(9,85+2 • 3,14»)~=
=0,256.
ь ^Ра(3:+2г,“) _
*21 = --, j т----------
L\~20J^g f.
220 • 3,02а(9,85 + 2- 3,14а)
135,4» • 471,18
Поправочный коэффициент
---- 1 ---= 0,83.
Z(l + *i) (1+*а)
48Y®
744
Общая вибрация корпуса судна
[Гл. XXVIII
Расчет свободных горизонтальных
№ огисков Осадка в сере* дине отсеки </, м % Присоединенный вес воды Д9, т/м Ординаты веса 91, т/м Расчетные орди- наты веса q = =Д 9+91, т/м 3? к — сч 1 (?-+)4 к — |<м 1 н |~J -2_ uis X U ‘ as С сл
1 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12
Нос 1—2 2—3 3-4 4-5 5-6 7—8 8—9 9—10 Ю—11 11—12 12—13 13—14 14—15 15-16 16-17 17— 8 18—19 19-20 Корма —0,475 —0,425 —0,375 —0,325 —0,275 —0,225 —0.175 -0,125 —0,075 —0.025 0,025 0,075 0,125 0,175 0,225 0,275 0,325 0,375 0,425 0,475 0 0,078 0,233 0,382 0,522 0.649 0.760 0,853 0,924 0,972 0,997 0,997 0,972 0,924 0,853 0,760 0,649 0,522 0,382 0,233 0,078
i X
Нормальная функция:
Уравнения динамического равновесия
(-Н4)
т.х
-J-S^sin —£— =0;
т. X
— LL Q sin-----------=0:
Частота без поправок:
те х
Е r.*g\I sin’ —т—
, ЗОЛ
X, = ... 1/сек2 П1 = колеб/мин.
Л, = ... .1/сек.
С поправками на сдвиги и вращение
X, = ... 1/сек. и пг = ...
колеб/мин.
§ 115] Определение горизонтальных свободных колебаний судна
745
колебаний первого тона
Таблица 179
Элементы судна
Длина теоретическая . L = . . . м
Ширина...............В = . . . м
Высота борта.........Н = . . . м
Осадка носом...........Тн= . . . м
Осадка кормой .... Тк— . . . м
Водоизмещение . . . . D = . . m
Момент инерции на ми-
деле ...............1'/л = .
Площадь стенок на ми-
деле ................,s= . . . Л2
Средний радиус инерции р = . - - 1
Интенсивность масс присоединенной
воды учтена по формуле для гори-
зонтальных колебаний: Д q = 0,8 d2
для середины и Ag = 0,6d2 — для
оконечностей судна.
Поправки на сдвиги и вращение:
£г* (~2б) -/sin’ ~1Г
L2Gs( ?;+
Поправочный коэффициент
___________1_______
/(1+*1) (1+М’
Расчет горизонтальных колебаний первого тона укладывается в таблицу
179, которая отличается от таблицы 177 только первыми графами,
служащими для нахождения присоединенных масс воды.
Определение частоты свободных горизонтальных колебаний второго
тона укладывается в таблицу, аналогичную таблице 178.
При определении частоты свободных колебаний первого тона, как
вертикальных, так и горизонтальных, вероятная ошибка в результате равна
около 3% (получено из сопоставления теоретических и экспериментальных
исследований на ряде судов). Погрешность расчета свободных колебаний
второго тона выше, вероятная ошибка равна 5%.
746
Общая вибрация корпуса судна
[Гл. XXVIII
При определении числа свободных колебаний высших тонов общей
вибрации, следует производить уточнение во втором приближении упру-
гой линии [ и расчет поправки на ортогональность форм свободных ко-
лебаний. Методика таких расчетов изложена в ряде работ по вибрации
судов* 1.
§ 116. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЧАСТОТЫ СВОБОДНЫХ
КОЛЕБАНИЙ
В период составления эскизных проектов судов полезно бывает прики-
нуть частоту свободных колебаний хотя бы основного тона по приближен-
ным формулам. Для этого можно воспользоваться полуэмпирическими фор-
мулами.
Если известен момент инерции сечения эквивалентного бруса, то число
свободных вертикальных колебаний первого тона удобно определять по
формуле Шлика:
-. = С|/Э. (782)
где:
Гф — момент инерции миделевого сечения в л/4;
D — весовое водоизмещение в т;
L—длина судна в л/;
С — эмпирический коэффициент, равный: 314-104 — у судов с очень
острыми очертаниями, 344-104 — у больших трансатлантических
судов, 280-104 — у грузовых судов с полными очертаниями.
В самой ранней стадии проектирования, когда известны только основ-
ные элементы судна, а момент инерции еще не вычислен, удобна формула
Тодда:
п1 = 94000 ^/^, (783)
где:
В — ширина судна по миделю;
И — высота Сорта.
По уточненной формуле Тодда и Марвуда, учитывающей присоеди-
ненные массы воды и влияние надстроек, число свободных вертикальных
колебаний в минуту щ равно:
/~ В'-Н^
П1 = 94000 J / , в
V ('2+з?;м‘
где:
//,- — высоты судна до его палуб,
lt — длины непокрытых частей этих палуб 2 *.
1 Например, Ю. А. Шиманский, Динамический расчет судовых конструк-
ций, Судпромгиз, 1948.
А. А. Курдюмов, Вибрация корабля, Судпромгиз, 19БЗ.
1 Например, если длина главной палубы судна 80 м и высота борта до нее 6 м,
а га палубе расположены: бак длиной 10 м £ высотой 8,5 м до его открытой палубы,
средняя надстройка длиной 20 м и с высотой открытой верхней палубы 9 л и ют
длиной 7 ж и с высотой верхней палубы 8 м, то:
YHf = - 104-9» • 20+8J - 7+ 6»(80 — 10 — 20 — 7) =33590.
§ И7]
Вынужденные колебания судна
747
Приведенные формулы относятся к определению основного тона верти-
кальных колебаний в грузу. Для суждения о частотах других свободных
колебаний — для судна порожнем, горизонтальных, второго тона и пр. —
при грубых прикидках можно воспользоваться некоторыми переходными
коэффициентами. Для ряда судов оказались довольно постоянными следую-
щие соотношения:
1) отношение частот свободных колебаний порожнем и в грузу— около
1,20;
2) отношение частот свободных колебаний второго тона к первому—
около 2,2;
3) отношение частот свободных колебаний основного тона горизонталь-
ных и вертикальных — около 1,8.
Погрешность приведенных выше формул (782) и (783) находится в пре-
делах 10—15% для морских судов. Для речных судов эти формулы, по-ви-
димсму, еще менее точны.
Если известны частоты, соответствующие свободным колебаниям пер-
вого и второго тона /.j и Х2, то для приближенного суждения о частоте
колебаний X. любого высшего z-ro тона можно воспользоваться формулой
Н. Н. Бабаева, согласно которой:
_ 30 Г т. /2/+1V 1 е
‘ ~ 1 - [ 30 \ 3 / ’
1пХ„
где е = ------Я-, „
Очень грубо ориентировочно можно считать, что частоты свободных ко-
лебаний всех тонов пропорциональны номеру тона вибрации г.
§ 117. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СУДНА
Вынужденные колебания судна определяются по методу главных коор-
динат. При этом вертикальное перемещение любого сечения судна разыски-
вается в виде ряда:
/=-оо о
2 Л'Ь (784)
z— 1
где:
— главная координата;
fi — форма свободных колебаний z-ro тона, причем а также часто-
та X. предполагаются известными из расчета свободных коле-
баний судна z-го тона.
Уравнение вынужденных колебаний судна в главных координатах
имеет вид:
М,*] + = ф„
где:
Mi — обобщенная масса z-ro тона, равная
L
Mi= Г —f/rfx;
J g
о
(785)
(786)
1 Рекомендация Окабэ, Хюрата и Куман.
748 Общая вибрация корпуса судна[Гл. XXVII
Nt—обобщенная жесткость, равная
L
Ni== § Elf'S dx (787)
О
и связанная с обобщенной массой зависимостью
= (788)
Ф,— обобщенная сила.
Если на судно действует сосредоточенная периодическая сила в точ-
ке, гдех=а, пропорционатьная квадрату числа оборотов двигателя
(как это имеет место у судна при его общей вибрации) и равная
п / п \2 . ,
Ро ( — | sin «и,
\ «о 1
где п,,— число оборотов двигателя, при которой амплитуда силы равна Ро,
то
п2
Ф,= A (a) sin (789)
«о
Здесь fj(a) — ордината формы прогиба судна при вибрации i-ro тона
в точке, где х = а,
(д \ 2
— I sin и? в точ-
по /
ке, где х = Ь, то
Ф,- = Мо ft (6) sin <о t, (790)
где f i (b) — первая производная от ft в точке, где х = Ь.
Для первого тона
/;(fe) = -l(₽1 + Kcos^y (791)
для второго тона
/2 (&)= (₽2 + 2л cos . (792)
Перемещение в любой точке по длине судна найдется из следую-
щего выражения, полученного по методу главных координат для вынуж-
денных колебаний i-ro тона:
(793)
).?
Порядок расчета вынужденных колебаний i-ro тона следующий:
частота и ординаты формы ко .ебаний /,• выписываются из расчета сво-
бодных колебаний.
По формуле (786) определяется обобщенная масса Mz; при этом
интегрирование заменяется приближенным суммированием
* Если расчет вынужденных колебаний производится по экспериментальным
данным и Д задана в табличной форме, то следует разыскивать методом таб-
личного дифференцировании (см. § 9).
§ И7]
Вынужденные колебания судна
749
(794)
® •
где ДА — теоретическая шпация при расчете вибрации (при расчете по
20 ординатам ДА = .
Обобщенная жесткость по формуле (788) равна:
Nt = X? Mt.
После этого перемещения w находятся по формуле (793).
В результате расчета вынужденных колебаний судна следует построить
две кривые:
1) резонансную кривую, показывающую изменение амплитуды рассмат-
риваемого тона в некоторой точке судна при изменении числа оборотов глав-
ного двигателя (рис. 269, а);
2) упругую линию изгиба судна, показывающую изменение амплитуды
по длине судна при постоянном числе оборотов главного двигателя
(рис. 269, б).
Иногда бывает необходимо прикинуть порядок амплитуд при резо-
нансе, когда со = Xj.
Однако при значениях ш, близких к значению частоты свободных
1
колебаний какого-либо тона, динамический множитель ------нельзя
1 “ If
вычислить по теоретической формуле (793), так как формула эта не учи-
тывает сопротивление окружающей среды, влияние которого вблизи резо-
750 Общая вибрация корпуса судна [Гл. XXVIII
нанса значительное. Динамический множитель по этой формуле получается
бесконечно большим. Динамический множитель при резонансе можно
•приближенно вычислять по эмпирической формуле:
_ 5200
1 л0.76 ’
(795)
где п — число колебаний в минуту.
Формуле этой можно доверять, если получаемые по ней переме-
щения
Ф.
имеют амплитуду не более 2 мм.
Для больших значений амплитуд j следует определить по фор-
муле
3 820
Формулы (795) и (796) очень приближенные* 1.
Пример определения вынужденных колебаний судна первого тона
от неуравновешенных сил и моментов инерции первого порядка в двигателе
Элементы судна
Длина между перпендикулярами ................L — 116 м
Полная длина.................................L = 121 м
Ширина..........................................В = 16,9 м
Осадка носом...................................Тн = 2,77 м
Осадка кормой................................Тк = 5.08 ж
Высота борта....................................И = 9.00 м
Водоизмещение...................................D = 4125 m
Момент инерции сечения (эквивалентного бруса)
по миделю....................................I 7v\= 18,5м*
Число винтов.................................1
Двигатель двухтактный, шестицилнндровый с компрессором и продувочным
насосом мощностью 2 700 л. с. при 100 оборотах в минуту расположен в теорети-
ческом отсеке 5 — 6 (при 10 ординатах).
Исходные данные для расчета:
I) из расчета неуравновешенных снл и моментов двигателя получено, что при
92,5 об/мин Ро = 4.05 m и Л10 = 11,5 ггм;
2) из расчета вертикальных свободных колебаний 1-го тона для рассматри-
ваемого судна /х= 12,75 1/сек, = 162,5 1/сек*.
ЗОХ
Следовательно, число свободных колебаини п1 = -^-=122 в минуту;
2^ =47,1 т/м.
Значения из того же расчета свободных колебаний судна даны в следующей
таблице.
Таблица ординат fi
Теоретический отсек /г Теоретический отсек fi Теоретический отсек h
Нос 0—1 —0.728 4-5 0,180 8—9 —0,278
1—2 —0,410 5-6 0,198 9—10 (корма) —0,558
2-3 —0.140 6—7 0,121
3—4 0.065 7—8 —0,046
= — 0,794, ?! = 0,2000.
1 Для морских быстроходных кораблей использования метода главных коорди-
нат вообще затруднительно ввиду медленной сходимости ряда (784). В настоящее
время разрабатывается метод расчета вынужденных колебаний в замкнутой форме
и с учетом неупругого сопротивления.
§ 118]
Нормы допустимой общей вибрации судов
751
Производная ft в точке, где приложен неуравновешенный момент от сил инер-
ции двигателя, т. е. в отсеке 5—6, где b = 0,55/-,
1 / т.Ь\ 1
(6) = - h + г. cos (0,200 + 3,14 cos тг 0,55) = 0,0017;
/1(а) = 0,198 (при а в отсеке 5—6);
Фт = [л> )‘ Л + Мо f\(Ь) ] sin «,/ =
/ п X* t п X2
= (4,05-0,198 + 11,5-0,0017) log's) sin со/ = 0,825 (gg-g ) sin™/ (в т).
Амплитуда в любой точке судна при любом числе оборотов определится по
формуле (793):
0,825 ( п у 1
^92,5/ w* ’
>?
где — обобщенная жесткость—найдется по формуле (788), а Мг— обобщенная
масса—по формуле (794);
AL„ 9 11,6
/Их = — 2 9/1 = 9~81 47,1 = 58,2 тсекЧм-.
N1 = )ZM1 = 162,5-58,2 = 9 450 т/м.
Л2 си2 л2
Подставляя Л\ и ~ft = у% = ~[22* получим, что
Л _4/ « \2 I
WMOKC ~ 0.S73- ю ( 92,57 Z1 п* М'
1 — 1222
Для крайней носовой точки при f = 0,728 получим
/ п \* 1
WMaKC = °.°635 (^92,1) -----мм-
1 ~"Т2^
По этой формуле построена резонансная кривая рис. 269, а. Упругая линия
при л = 107 об/мин (см. рис. 269,6) вычислялась по выражению
„ /107 \* 1
wMaKc — 0,0873 /1 ] 072 — 0,49 Д мм.
1 ~~1222
§ 118. НОРМЫ ДОПУСТИМОЙ ОБЩЕЙ ВИБРАЦИИ СУДОВ
Для проектирования новых судов, а также для правильного суждения
о допустимости вибрации судов, находящихся в эксплуатации, необходимо
иметь нормы допустимой общей вибрации. Установить нормы можно на
основании большого количества наблюдений вибрации на судах. Собран-
ного материала до настоящего времени еще не вполне достаточно, но все же
ориентировочные цифры могут быть намечены.
Лимитирующими следует считать и амплитуду и ускорение и принять
•следующие предельные нормы для этих характеристик.
752 Общая вибрация корпуса судна [Гл. XXVII
Амплитуда ускорений при вибрации, вычисляемая по формуле
, ~2
эдо ап2,
где а — амплитуда вибрации, а п — число колебаний, не должна превосхо-
дить 1500 мм!сек2 для грузовых судов и 1000 мм/сек2 для пассажирских
судов.
Амплитуда вибрации не должна быть более 1,5 мм у грузовых судов
и 1,0 мм у пассажирских.
Только если обе нормы и по ускорению и по амплитуде выполнены,
можно полагать, что вибрация судна не вызовет никаких неприятных послед-
ствий как в отношении прочности и водонепроницаемости корпуса, так и
в отношении самочувствия экипажа и пассажиров, а также в отношении
нормальной работы навигационных приборов.
§ 119. ДЕШИФРИРОВАНИЕ ВИБРАЦИИ СУДОВ
Одним из методов борьбы с вибрацией является уменьшение ее путем
установки двигателей на демпферы.
В расчете демпфирования надо рассматривать систему, состоящую из
массы двигателя т, установленной на демпфере, как на пружине, причем
пружина эта крепится к упругому телу — кораблю (рис. 270). Упругое тело—
корабль имеет бесконечное число степеней свободы, т. е. бесконечное число
главных свободных колебаний общей его вибрации и местной вибрации
перекрытия машинного отделения.
В дальнейшем даны указания о том, какие тона общей и местной вибра-
ции следует учитывать при расчете демпфрирования.
Обозначения приняты следующие:
X* и /* — частота и форма главных свободных колебаний общей или
местной вибрации некоторого k-vo тона корабля; X* и
fk определяются по указаниям, приведенным в предыду-
щих параграфах, только из весовой нагрузки судна или
перекрытия следует исключить вес двигателя;
[ц — значение функции /* в точке, где установлен двига-
тель;
И* — обобщенная масса, соответствующая указанному fe-му тону
колебаний;
т — масса двигателя;
г — жесткость демпфера, т. е. сила, возникающая в нем и
передающаяся судну при единичном перемещении массы
т (двигателя) относительно судна;
/•- = ——частота колеоании двигателя на демпфере в предполо-
жении абсолютной жесткости судна;
Р и <» — амплитуда и частота гармонической возмущающей силы
в двигателе, вызывающей колебания.
Частоты X,- свободных колебаний полной системы (судно вместе
с двигателем, установленным на демпфере) определяются из следующей
формулы:
§ 119]
Дешифрирование вибрации судов
753
В сумму по k входят все учитываемые тона общей и местной виб-
рации судна.
Уравнение (797) будет иметь корней на один больше, чем взято
членов ряда по k в гервой части формулы, т. е. число тонов полной
системы на один больше числа
учтенных тонов колебаний пер- | т |
воначальной упругой системы. ____________ £ х'/‘__________
Уравнение (797) удобнее | |
всего решать методом последо-
вательных приближений, беря рис 270
в качестве первого приближе-
ния для Хг значение, лежащее
ниже, но близко к частоте самого низкого тона, т. е. к X, а для осталь-
ных X,— значения, лежащие выше соответственных частот Хл.
Анализ показал, что в рядах по k можно откинуть все тона общей
и местной вибрации, для которых при ш>Х и ХЛ2>Х существуют следую-
щие неравенства;
при <о > X*
^>1-65+4^-°’15#;' (798)
при u><Xft должны быть соблюдены два условия:
" ID ^65+1w >2 I -0,15^ | 1 | • (799)
ID А >•65 + 4^ — 0,15 1 А2 ) 1 1
Перемещение любой точки упругой системы (судна в целом или пере-
крытия машинного отделения) с присоединенным двигателем на демпфере
при вынужденных его колебаниях, вызываемых силой Pcosw/ в двига-
теле, равно
w = Р /V ---------—cos ш/, (800)
I /V; <иг I
V ~хГ/
где:
6, — форма i-го тона главных колебаний полной системы, опреде-
ляемая п<_ формуле
<801>
k
Nj—приведенная жесткость i-ro главного колебания полной си-
стемы
N; = V tnfkj Мь 1 (4 - +1
k 1 X? -1 j
2
Хг т.
(802)
754
Общая вибрация корпуса судна
[Гл. XXVIII
Перемещение двигателя на демпфере относительно корпуса судна
Реакция, передаваемая от двигателя через демпфер на судно, равна
R = Р cos wt f 1 -ф- mu8 V Д--—(804)
I 1 ш I
\ ‘ 'IJ
Если окажется, что все тона колебаний общей и местной вибрации
корпуса судна удовлетворяют условиям (798) и (799), то судно может
рассматриваться как абсо потно жесткое по отношению к двигателю на
демлфере.
В этсм случае остается единственная частота колебаний системы К
[см. формулу (797)]; в этсм случае из формулы (802) получается, что
V = xf т = г и из формул (803) и (804):
__ Р~_______1_
Z г U)2 ’
1 — V
(805)
R = Р----cos ш t. (806)
1-^-
X-
ш2
При больших значениях на судно передается только очень не-
большая часть неуравновешенной силы, т. е. эффект демпфрирования очень
значителен.
ш2
Существенно то, что при больших отношениях у^-, т. е. тогда, когда
дешифрирование приносит существенную пользу, колебания двигателя на
фундаменте также становятся малыми [см. формулу (805)], что важно
в отношении муфт и подшипников линии вала.
ОСНОВНАЯ ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Безухов Н. И., Теория упругости и пластичности, изд-во технико-теорети-
ческой литературы, 1953.
Бубнов И. Г., Строительная механика корабля, ч. I, 1912, ч. II, 1914.
Бубнов И. Г., Дополнение к курсу «Строительная механика корабля»,
1930.
Гогенемзер К. и Прагер В., Динамика сооружений, ОНТИ, 1936.
Давыдов В. В., Прочность корпуса судна при скручивании, изд-во «Речной
транспорт», 1955-
Короткий Я. И., Локшин А. 3., Сиверс Н. Л., Изгиб и устойчи-
вость стержней и стержневых систем, Машгиз, 1953.
Короткие Я- И., Локшин А. 3., Сиверс Н. Л., Изгиб и устойчи-
вость пластин и круговых цилиндрических оболочек, Судпромгиз, 1955.
Крылов А. Н., Вибрация судов, ОНТИ, 1936.
Крылов А. Н, О расчете балок, лежащих на упругом основании, изд-во
Академии наук СССР, 1931.
Курдюмов А. А., Теория упругости (конспект лекций), 1952.
Кур дю мо в А. А., Вибрация корабля, Судпромгиз, 1953.
Кур дюмов А. А., Прочность корабля, судпромгиз, 1956-
Маттес Н. В., Влияние общего изгиба на местную прочность и вибрацию
речных судов, Речиздат, 1950.
Папкович П. Ф., Теория упругости, Оборонгиз, 1939.
Папкович П. Ф., Строительная механика корабля, ч. I, т. I, изд-во «Мор-
ской транспорт», 1945.
Папкович П. Ф., Строительная механика корабля, ч. I, т. II, Судпром-
гвз, 1947.
Папкович П. Ф., Строительная механика корабля, ч. II, Судпромгиз,
1941.
Папкович П. Ф., Труды по прочности корабля, Судпромгиз, 1956.
Резницкий Л. Я-, Строительная механика корабля, изд-во Морской акаде-
мик кораблестроения, 1952.
Сиверцев И. Н., Железобетонное судостроение, Речиздат, 1947.
Сиверцев И. Н., Расчет и проектирование конструкций корпуса судов
внутреннего плавания, Речиздат, 1952.
Сегаль А. И., Прочность и устойчивость судовых перекрытий, изд-во «Реч-
ной транспорт», 1955
Тимошенко С. П., Теория колебаний в инженерном деле, 1932
Филин А. П. и Соколова А. С., Строительная механика корабля, ч. I,
Речиздат, 1957.
Шиманский Ю. А., Справочная книга для корабельных инженеров,
отд. II, 1916.
Шиманский Ю. А., Справочник по судостроению, т. II, Госстройиздат,
1934.
Шиманский Ю. А., Справочник по судостроению, т. Ш, Госстройиздат,
Шиманский Ю. А., Изгиб пластин, ОНТИ, 1934.
Шиманский Ю. А., Динамический расчет судовых конструкций, Судпром-
гиз, 1948.
Шиманский Ю. А., Проектирование прерывистых связей судового кор-
куса, Судпромгиз, 1949.
АВТОРЫ:
Давыдов Вадим Васильевич
Маттес Наталия Викторовна
Сиверцев Иван Николаевич
Редактор издательства Виташкина С. А.
Корректоры: Кракова Л. И., Озерова А. П., Сидор В. В.
Техн. ред. Горчаков Г. Н.
Сдано в производство 10/IX 1956 г.
Подписано к печати 29/Ш 1958 г.
Т03035 Бумага 70Х1081/,, — 23,76 б. л. с I вкл.
64,86 п. л. с 1 вкл. 63,8 уч.-изд. л.
Тираж 5000. Цена 23 р. 80 к. в переплете. Изд. № УВ-0904
Заказ тип. 853
1-я тип. Трансжелдориздата МПС
Москва, Б. Переяславская, д. 46
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
к книге Давыдова В. В., Маттес Н. В., Сиверцева И. Н. «Учебный
справочник по прочности судов внутреннего плавания»
1 ,'“э 1 Строка Напечатано Следует читать По вине
13 27 снизу (тм, кг/см) (тм, кгсм) Пом. ре- дактора
42 Табл. 7 5 графа слева, 1 строка снизу 4,0419 3,0419 Коррек- тора
43 Табл. 8 1 графа справа, 19 строка сверху 45537 95537 >
128 191 11 снизу Табл. 25 левая графа, 1 формула снизу (см. § 19) QP w~ 12 Е/"’ (см. § 20) Q/2 W' ~ 12 Е1'“ Автора
204 Табл. 28 2 графа справа, 24 строка снизу 607 608 >
207 Табл. 28 2 графа справа, 26 и 27 строки СНИЗУ 177 175 175 177 Типогра- фии
240 Табл. 40 7 графа слева, 1 строка CBB3V 8,1524 — 8,1524 >
’43 Табл. 41 - графа слева, 14 строка CBB3V 12.417 21,417 Коррек- тора
243 Табл. 41 6 графа слева, 10 строка СНИЗУ 52.709 52,780 »
253 Табл. 46 3 графа слева, 17 строка сверху 1,139 2,139 Автора
282 14 снизу уравнение стр. (224) уравнение (127) Коррек- тора
Продолжение
с>р. 1 | Строка Напечатано Следует читать По вине
302 2 снизу Р1 Ь + 4 ... + Ra + P^ Автора
308 309 317 325 325 326 3 » Строка «Суммы» 10 графа Форм\ла (177) 1 снизу 4 » 3 сверху момент сечення М±=... 2 • - 0,840 + 0,678 • — = 41,6 тм 0,8 0 - 0,544 момент отсеченной части сечення * * =••• 2 • ••0,840 — 0,678 •• -• • =37,4 тм ••• 0.840 + 0,544 •• » Считчика Автора » »
326 13 » Ь '22 (1 — /12)J = + '23 (1 — /is) j = »
329 338 338 339 342 34S 374 382 393 465 Формула (205). знаменатель Формула (218), знаменатель корня Формула (220), знаменатель Формула (221), числитель Табл. 74 2 рис. сверху 1 сверху 3 снизу Табл. 88 8 графа . еле а. 4 строка снизу 1 снизу 14 сверху "’Фо« 4£/0 /=т /=1 7 о 4£/ h на рис. 106 2 i= 1, 2, 3--- 56,6 оц — — 375 кг [см2 y2f 'го/ 4£/„ 1=т ‘ / 2 на рис 106 (см. случай 8 табл. 75) S 1=1, 3, 5--- 56,0 стц = 375 кг/см2 Коррек- тора Автора » » » Типогра- фии Коррек- тора » » • Типогра- фии
473 484 Табл. 116 5 графа 7 снизу (/ + h? t -т’- Коррек- тора Считчика
484 9 » ( 602 \2 ” 1 + 100\ " , 602 \2 \1 + 1202/ ‘ ‘ Автора
2
Продолжение
|стр. Строка Напечатано Следует читать По вине
485 485 490 491 500 510 589 589 594 594 594 611 696 698 | 706 1 7.2 4 снизу 7 » Головка табл. U, 2 графа справа 21 снизу 4 » 11 > Формула (582) Формула (583) 8 сверху 9 » Табл. 136 1 графа слева, 2 и 6 строки снизу Формула (601) Формула (708) Формула (712) Формула (720) 9 сверху 4 снизу в тексте Заголовок табл. 175 Формула <744) С : - му ла *) Фармула РС7) » оггт 1 425 279'310 ~ 1" ’ ...Л+-601Л.. 1202 ' ?(1 — т)га „ = ^=... F 1 425 2,79 ‘ 310 --Г1+ — V + юо2) /0 — <р)г а =—= • F — 1... 2 Автора > > Типогра- фии > > Автора > > > > Типо- графии Автора » > Считчика Коррек- тора Автора Автора и коррек. Автора » >
’ +IF y't< Уго-i 2/, < W < ••• от 4 До 8 мм... от 8 до через 10 мм 55 35 л' , Ru\ пт п=1 2 EI ”/ + F ' y'i< Уго-i 2/i=--- w = • •• от 4 до 12мм ••• от 12 до через различные интер- валы 56 86 ••• — 2а'Ь^. i—m i=l ,2_^£ ' ~lsPo " I —s ... J- ...
1 ~ РР0 ••• 1 — S
• • • + s Л12 • • расстоянии / ak = (58 • • • момента m-го порядка л* Г л* 1 Ni = Е ~2 [ ВЗ ••• js" • Ik 1 ' ’ ’ /8 V » 112,8- 10s ••• h t расстоянии h ak = (0,58 • • момента /-го порядка л* Г п* т1 ‘ 2 1 Вг Is I т*1к 1 * • • + /8 v . м 1 \qJB 1 M/=7[-4-“ + - ••• 112,8 • 10“5---
3