Автор: Борисова Л.  

Теги: физика   астрономия   астрофизика   атомная физика   переводная литература  

Год: 2023

Похожие

Физика Ч.2

Астрономы России 1917-2017

Космонавтика XXI века. Попытка прогноза развития до 2101 года

Гравитация. Последнее искушение Эйнштейна

Текст
                    ВНУТРИ ЗВЁЗД
Первое издание на русском языке,
переведённое с 3-го английского издания
Л. Борисова и Д . Рабунский


Внутри звёзд
Теория внутреннего строения звёзд
и источников звёздной энергии
на основе общей теории относительности
Лариса Борисова и Дмитрий Рабунский
Первое и здание на русском языке,
переведённое с 3-го, переработанного
английского издания 2023 г.
Первое англ, издание опубликовано в 2013 г.
Второе издание выпущено в 2014 г.
New Scientific Frontiers
London, 2023


Аннотация: — В этой книге вводится м ат ем атич еска я т еор ия внутреннего стр о ­
ения звёзд и источников звёздной энергии, построенная методами общей теории
относительности и сводящаяся к модели жидких звёзд. Такая звезда однородна
внутри, с крошечным ядром в центре, которое отделено поверхностью коллапса
с радиусом, соответствующим массе звезды. Хотя почти вся масса звезды нахо­
дится вне ядра (ядро не является чёрной дырой), сила гравитации приближается
к бесконечности на поверхности ядра из-за разрыва внутреннего пространства
поля звезды. Такой сверхсильной гравитации достаточно для передачи необходи­
мой кинетической энергии атомным ядрам звёздного вещества, чтобы происходил
процесс термоядерного синтеза: крошечное ядро каждой звезды — это её светя­
щееся “внутреннее солнце” , а произведённая звёздная энергия затем передаётся
на поверхность звезды за счёт теплопроводности. Введена новая классификация
звёзд по пространственному разрыву их полей: рассматриваются обычные звёз­
ды (в диапазоне от карликов до сверхгигантов), звёзды Вольфа -Райе, нейтронные
звёзды (и пульсары) и чёрные дыры. Введённая жидкостная модель согласует­
ся с новыми наблюдательными данными в пользу состояния конденсированной
материи внутри звёзд; в частности, с тем , что Солнце состоит из высокотемпера­
турного жидкометаллического водорода.
© Л. Б. Борисова и Д. Д. Рабунский 2013, 2014, 2023
Соглашение об авторском праве: — В с е права защищены . Эта книга опубликова­
на и распространяется в соответствии с “Будапештской инициативой открытого
доступа” . Э то озна ча ет, что электронное копирование, печать и распространение
этой книги для некоммерческого, академического или индивидуального исполь­
зования может осуществляться любым пользователем без разрешения и без опла­
ты. Любая часть этой книги, цитируемая или используемая каким-либо образом
в других публикациях, должна содержать ссылку на эту публикацию. Никакая
часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме
(включая хранение на любом носителе) для коммерческого использования без
предварительного разрешения владельца авторских прав. Запросы на разреше­
ние воспроизведения любой части этой книги для коммерческого использования
должны быть адресованы авторам. Авторы сохраняют за собой право использовать
эту книгу целиком или её часть в любых других публикациях и любым способом,
который они сочтут нужным. Настоящее Соглашение об авторском праве остаётся
в силе, даже если Авторы передадут авторские права на эту книгу другому лицу.
Настоящим Авторы ограждают Издателя от любых претензий или обязательств,
касающихся авторства, публикации или распространения этой книги.
Эта книга была набрана и свёрстана с использованием настольной издательской
системы ІАІ'цХ.
New Scientific Frontiers — издательство, зарегистрированное в Nielsen Book Ser­
v ic e s Ltd., Уокинг, графство Суррей, Великобритания.
ISBN: 978-1 -7392930 -7 -9
Опубликовано в Великобритании.


Содержание
Предисловие............................................................................................ 6
Вступление............................................................................................... 9
Глава 1 Постановка задачи
1.1 Новая теория внутреннего строения зв ё з д ..........................13
1.2 Моделирование звезды методами общей теории относи­
тельности ................................................................................... 17
1.3 Физические наблюдаемые величины.................................... 26
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
2.1 Введение метрики пространства обычной звезды. Урав­
нения Эйнштейна, удовлетворяющие этой метрике ......... 45
2.2 Внешний разрыв пространства поля Солнца совпадает с
поясом астероидов.................................................................. 58
2.3 Геометрический смысл разрыва внешнего пространства
звезды ........................................................................................ 65
2.4 Сила гравитации, действующая внутри жидкой звезды . . 68
2.5 Решение уравнений закона сохранения: давление и плот­
ность внутри звёзд................................................................... 70
2.6 Механизм генерации звёздной энергии согласно жид­
костной модели звёзд и диаграмме масса-светимость . . . . 72
2.7 З аклю чение............................................................................... 79
Глава 3 Описание обычных звёзд
3.1 Постановка задачи. Метрика внутреннего пространства
обычной невращающейся звезды .......................................... 81
3.2 Уравнения Эйнштейна во внутреннем поле обычной не­
вращающейся звезды .............................................................. 83
3.3 Метрика внутреннего пространства обычной вращаю­
щейся звезды.............................................................................86


4
Содержание
3.4 Уравнения Эйнштейна во внутреннем поле обычной вра­
щающейся з в е з д ы .................................................................... 91
3.5 Стационарное безвихревое электромагнитное поле
обычной вращающейся з в е зд ы .............................................. 95
3.6 Решение уравнений Максвелла в безвихревом электро­
магнитном поле обычной вращающейся зв е з д ы ............... 101
3.7 Решение уравнений Максвелла в вихревом электромаг­
нитном поле обычной вращающейся зв езд ы......................104
3.8 Геометризация электромагнитного поля для обычной
вращающейся з в е з д ы ............................................................. 107
3.9 З ак л ю ч ени е ..............................................................................ПО
Глава 4 Звёздный ветер
4.1 Условие второй космической скорости для звезды......... 112
4.2 Светоподобные частицы внутри обычной зв е з д ы ........... 117
4.3 Частицы звёздного вещества внутри обычной звезды . . . 123
4.4 З ак л ю ч ени е ..............................................................................130
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
5.1 Введение метрики пространства вращающейся нейтрон­
ной з в е з д ы ............................................................................... 133
5.2 Уравнения Эйнштейна и уравнения закона сохранения,
удовлетворяющие этой м ет р и к е .......................................... 136
5.3 Введение электромагнитного п о л я ...................................... 141
5.4 Распределение магнитного поля пу льсара.......................... 145
5.5 Частота и напряжённость магнитного поля пульсара___148
5.6 Решение уравнений Максвелла в стационарном безвих­
ревом электромагнитном поле пульсара............................. 150
5.7 Решение уравнений Максвелла в стационарном вихре­
вом электромагнитном поле пульсара................................. 158
5.8 Геометризация электромагнитного поля пульсара......... 163
5.9 Границы физического пространства п ул ьсар а...................166
5.10 З ак л ю ч ени е ............................................................................. 168
Глава 6 Чёрные дыры
6.1 Невращающиеся жидкие ко лл апсар ы ................................. 170
6.2 Вселенная как огромный жидкий колл апсар ......................173


Содержание
5
6.3 Давление и плотность внутри жидких коллапсаров......... 175
6.4 Внутренние силы гравитации. Внутреннее красное сме­
щение ........................................................................................ 176
6.5 Состояние сколлапсировавшего жидкого вещества......... 178
6.6 Время течёт в обратном направлении внутри коллап­
саров ......................................................................................... 182
6.7 Пограничные условия в жидком коллапсаре......................183
6.8 Вращающиеся жидкие коллапсары...................................... 185
6.9 За кл ю чен и е..............................................................................186
Литер атура...........................................................................................190


Предисловие
Учёный часто сталкивается с устоявшимися представлениями,
которые когда-то были предметом споров, иногда полемики. Часто
мы используем эти идеи, не зная ни их исторического развития,
ни предположений, на которых они основаны. Мы редко останав­
ливаемся, чтобы обдумать обоснованность устоявшейся идеи. Это
неудивительно, поскольку именно так мы строим наше здание фи­
зических теорий, “стоя на плечах гигантов” , перефразируя Исаака
Ньютона.
Тем не менее, устоявшиеся идеи и теории необходимо подвер­
гать сомнению и пересматривать, когда становятся доступными но­
вые данные или новые теории, которые противоречат им или проли­
вают на них новый свет. Нам не нужно бояться новой информации,
которая может опровергнуть принятые идеи. Ведь именно так воз­
никают новые парадигмы и достигается прогресс.
Вопрос о том, являются ли звёзды газообразными или жидкими,
—
это дискуссия, на которую не обращает внимания большинство
учёных. И всё же это было предметом ожесточённых дискуссий в
конце 19-го и начале 20-го веков, когда известные физики занимали
позиции по обе стороны этой баррикады. Лариса Борисова и Дмит­
рий Рабунский кратко излагают историю этих дебатов и историю
того, как они были втянуты в решение этой научной проблемы.
Недавние свидетельства жидкой природы звёзд, в частности
обширные исследования, проведённые Пьером -Мари Робиталем ,
предложившим модель Солнца, состоящего из жидкометалличе­
ского водорода*, заставляют нас вернуться к этом у вопросу. Инте­
ресно, что звёздная плазма моделируется с использованием магни­
тогидродинамики, т.е. динамики магнитной жидкости, комбинации
‘ Robitaille Р.-М. A high temperature liquid plasm a m odel o f the Sun. Progress in
Physics, 2007, vol. 3, no. 1, 70-81 .


Предисловие
7
Масквелловских уравнений электромагнетизма и уравнений гид­
ромеханики Навье-Стокса*. Магнитогидродинамика также исполь­
зуется для моделирования жидких металлов. Это указывает на то,
что теория жидких звёзд весьма правдоподобна для объяснения
солнечных и звёздных астрофизических данных.
Мой интерес к этой области исследований проистекает из моих
астрофизических исследований звёздных атмосфер звёзд Вольфа-
Райе, которые я проводил на физическом факультете университета
Оттавы для моей диссертации на тему “Лазерное действие в плаз­
ме СIV, N V и О VI, охлаждаемой адиабатическим расширением” .
Звёзды Вольфа-Райе демонстрируют потерю массы и расширение
звёздной атмосферы. Это приводит к инверсии некоторых атомных
переходов за счёт быстрого охлаждения расширяющейся плазмы и
рекомбинации свободных электронов в более высокие возбуждён­
ные состояния ионов, а также к лазерному воздействию на соответ­
ствующих линиях излучения. Этот физический механизм был пред­
ложен в качестве объяснения наиболее выдающихся спектральных
линий, наблюдаемых в спектрах звёзд Вольфа-Райе.
В этой книге Лариса Борисова и Дмитрий Рабунский предлага­
ют общую релятивистскую теорию внутреннего строения жидких
звёзд — модель, которой до сих пор не было. Они получили эту
модель, используя математический формализм , впервые введён­
ный Абрамом Леонидовичем Зельмановым для вычисления физи­
чески наблюдаемых величин в четырёхмерном псевдоримановом
пространстве, известный как “теория хронометрических инвари­
антов”. Этот математический аппарат позволяет вычислять физи­
чески наблюдаемые (хронометрически инвариантные) тензоры лю­
бого ранга на основе операторов проецирования на линию времени
и пространственное сечение наблюдателя. Основная идея заключа­
ется в том, что физически наблюдаемые величины, регистрируемые
наблюдателем, должны быть результатом проекции четырёхмерных
величин на линию времени и на пространственное сечение (локаль­
ное трёхмерное пространство) наблюдателя.
Этот анализ позволяет им предложить классификацию звёзд,
основанную на трёх основных типах: обычные звёзды (покрыва-
‘ Tajirna Т. and Shibata К. Plasma Astrophysics. Perseus, Cambridge, 2002; Kul-
srud R. M. Plasma Physics for Astrophysics. Princeton Univ. Press, Princeton, 2005.


Предисловие
ющие диапазон от белых карликов до сверхгигантов), подтипом
которых являются звёзды Вольфа-Райе, нейтронные звёзды и пуль­
сары, а также коллапсары (чёрные дыры). Их теория также даёт
модель внутреннего строения нашей Солнечной системы. Она объ­
ясняет наличие пояса астероидов, общую структуру планет внутри
и вне этой орбиты и излучение энергии планетой Юпитер.
Окончательным тестом любой теории звёздной структуры явля­
ется соотношение звёздной массы и светимости, которое является
основным эмпирическим соотношением наблюдательной астрофи­
зики. Используя свою теорию, авторы могут рассчитать давление
внутри звёзд как функцию радиуса, включая центральное давление.
Как указывают авторы, температура несжимаемой жидкой звезды
не зависит от давления, а только от источника звёздной энергии
(в отличие, в частности, от газа, так как он задаётся уравнени­
ем состояния идеального газа). Авторы сопоставляют расчётное
производство энергии предполагаемого механизма термоядерного
синтеза лёгких атомных ядер в гильбертовом ядре (“внутреннем
солнце”) звёзд с эмпирическим соотношением массы и светимости
наблюдательной астрофизики, чтобы определить плотность жидко­
го звёздного вещества в гильбертовом ядре.
Пульсары и нейтронные звёзды оказались звёздами, физиче­
ский радиус которых близок к радиусу их гильбертова ядра. Они
моделируются путём введения в теорию электромагнитного поля,
обусловленного их вращением и гравитацией. Установлено, что
электромагнитное излучение исходит только от полюсов этих звёзд
вдоль оси их вращения.
Эта книга представляет собой солидный вклад в наше понима­
ние строения звёзд, сделанный методами общей теории относитель­
ности. Она даёт релятивистскую основу для теории жидких звёзд.
Она продвигает новые идеи о строении звёзд и планетных систем и
предлагает новый подход к строению звёзд и их эволюции, который
должен помочь нам лучше понять звёздную астрофизику.
Оттава, 2 сентября 2013
Пьер Миллет
Астрофизические исследования
звёздных атмосфер, физический
факультет университета Оттавы


Вступление
Три десятилетия назад, в 1983 году, я начал изучать историю
происхождения теории газовых звёзд. Меня вдохновил на это про­
фессор Кирилл Петрович Станюкович (1916-1989), выдающийся
учёный в области газовой динамики и общей теории относитель­
ности, с которым мы с Ларисой были в дружеских отношениях
на протяжении многих лет. Станюкович рассказал мне, что вскоре
после того, как Ганс Бете предположил, что термоядерный синтез
является источником энергии звёзд, в 1939 году астрофизики нача­
ли попытки адаптировать газовую модель звёзд к термоядерному
синтезу. Во многих случаях их предположения были настолько ис­
кусственными по отношению к самой газовой динамике, что только
отсутствие другого предположения могло бы оправдать их модели.
Станюкович также рассказал о многих очевидных доказательствах
газовой динамики, которые по сути противоречат газовой модели
звёзд.
Затем я прочитал статьи-первоисточники по теории газовых
звёзд, опубликованные в начале 20-го века. Я сразу обнаружил,
что “ядро ” этой теории, состоящее из уравнений механического и
теплового равновесия внутри звёзд, не зависит от того, состоят ли
звёзды из газа или из чего-то другого . Только позже, вводя урав­
нение состояния идеального газа в эти уравнения, теория даёт так
называемые газовые звёзды и всё разнообразие газовых моделей.
Затем мы были увлечены другими исследованиями, в основном
по общей теорией относительности, так что астрофизика выпала из
сферы нашего внимания почти на 25 лет.
Летом 2007 года к нам в первый раз приехал в гости профессор
Пьер-Мари Робиталь . Работая в Университете штата Огайо, Пьер
на протяжении многих лет проводил глубокие экспериментальные
исследования в области теплофизики и ядерного магнитного резо­
нанса (который генерирует микроволновое излучение). Он обратил


10
Вступление
наше внимание на новые астрофизические свидетельства того, что
Солнце и звёзды жидкие. Эти свидетельства появились лишь в по­
следнее десятилетие. Как -то раз, ярким днём во время прогулки
со мной в ближайшем парке Пьер указал на диск Солнца в небе
и произнёс: “Смотрите, это — жидкая сфера .” Однако недостаток
математических обоснований в то лето не позволил нам построить
строгую математическую теорию жидких звёзд.
Несколько месяцев спустя, в том же 2007 году, Лариса и я взя­
лись перевести на английский язык две классические статьи по
общей теории относительности, написанные в 1916 году Карлом
Шварцшильдом. В одной из этих работ он ввёл метрику простран­
ства сферы, заполненной несжимаемой жидкостью, что принесло
ему затем большую посмертную известность. Мы знали, что мет­
рика жидкой сферы Шварцшильда не может быть использована
в качестве модели для жидких звёзд. Это связано с некоторым
конкретным ограничением, содержащимся в этой метрике. Однако
сразу после прочтения первоначального варианта математическо­
го вывода этой метрики, опубликованного в его статье 1916 г., мы
обнаружили, что это ограничение было введено им искусственно,
чтобы сделать звёздное гравитационное поле непрерывным (не со­
держащим разрыва). Если бы удалось вывести настоящую метрику
жидкой сферы, свободную от каких -либо искусственных ограни­
чений, наложенных на геометрию пространства, мы смогли бы по­
строить математическую теорию жидких звёзд.
Путь вперёд наконец был найден: теперь мы знали, что делать
дальше. Для проверки Лариса сразу же вывела истинную метрику
жидкой сферы, затем вычислила некоторые приложения для Солн­
ца. Она обнаружила, что, когда Солнце представлено в виде жидкой
сферы, его гравитационное поле имеет разрыв, соответствующий
максимальной концентрации вещества в поясе астероидов; таким
образом, разрыв пространства препятствует тому, чтобы вещество
сформировалось в планету на этой орбите. Поэтому мы убедились ,
что находимся на правильном пути. (Дэвид Джонс, редактор New
Scientist, писал в 1981 г.: “К ак известно, все основные научные от­
крытия были сделаны или в ходе работы над другими проблемами
или в результате случайных наблюдений.” )
Такова эта история вкратце. Весной 2013 г. мы завершили ма­
тематическую теорию жидких звёзд. Эта теория даёт три основные


Вступление
11
жидкостные модели в соответствии с общей теорией относитель­
ности, которые вместе охватывают все известные типы звёздных
объектов в самом широком диапазоне: от сверхгигантов до ней­
тронных звёзд и чёрных дыр. В этой книге мы излагаем все основ­
ные элементы этой теории, за исключением конкретных деталей
механизма звёздной энергии (это остаётся вне темы книги, которая
в основном посвящена внутреннему строению звёзд).
Пущино, 6 августа 2013
Д. Д. Рабунский


Благодарности
Лариса и я хотели бы поблагодарить Пьера-Мари Робиталя
(Огайо, США) за многодневные научные обсуждения и дружескую
поддержку во время двух его длительных визитов к нам через оке­
ан и позже. Мы признательны ему более всего. Его вклад поистине
неоценим.
Мы также очень признательны Пьеру А. Миллету (Оттава, К а­
нада), который, будучи экспертом как в звёздной астрофизике, так
и в общей теории относительности, внимательно прочитал черно­
вик этой книги и внёс полезные предложения.
Мы также хотели бы выразить нашу искреннюю благодарность
Индрану Суэндро и его жене Сюзанне Биллхарц, США. Наше общее
обсуждение этой книги и их помощь в редактировании сделала
книгу гораздо лучше, чем она была в первом черновике.
Мы также признательны Патрику Марке (Кале, Франция): на­
ши дискуссии с ним по общей теории относительности всегда дают
нам много нового, в том числе импульс для новых научных иссле­
дований.
Отдельная признательность — Анатолию Васильевичу Беляко­
ву (Тверская Карелия, Россия), который взял на себя перевод этой
книги на русский язык.
В 3-м английском издании, с которого Беляков сделал этот рус­
ский перевод, мы полностью переработали весь текст книги и внесли
множество необходимых исправлений.
Пущино, 15 февраля 2023
Дмитрий Рабунский


Глава 1
Постановка задачи
1.1 Новая теория внутреннего строения звёзд
В этой книге мы вводим новую математическую теорию внут­
реннего строения звёзд и источников звёздной энергии. Теория ос­
нована на общем представлении о звезде и её поле согласно общей
теории относительности.
Это — альтернатива традиционной теории звёзд, введённой в
1920-х годах Артуром Эддингтоном [1] и другими в рамках клас­
сической механики и термодинамики.
Как известно, традиционная теория привела к модели газооб­
разных звёзд: звёзды рассматриваются как газообразные сферы, со­
стоящие в основном из водорода и очень неоднородной внутренней
части, так что водород чрезвычайно горячей и плотной централь­
ной области используется как топливо в процессе генерирования
звёздной энергии. Предполагается, вслед за Гансом Бете [2], что
этот экзотермический процесс представляет собой термоядерный
синтез, производящий гелий из водорода. Две другие альтернатив­
ные газовые модели отличаются от теории Эддингтона в некоторых
деталях. Эдвард Милн [3] предположил наличие двух (или более)
разных состояний материи внутри звезды. Николай Козырев [4]
пришёл к своеобразной модели с низкой плотностью и температу­
рой внутри звёзд и неядерным источником звёздной энергии.
Другая теория внутреннего строения звёзд получила широкое
распространение в 1920-1930-х годах благодаря Джеймсу Джин­
су [5,6]. Это
—
модель жидких звёзд. Публичная дискуссия меж­
ду Джинсом, защищавшим жидкостную модель, и Эддингтоном,
последователем газовой модели, была зафиксирована в десятках
коротких сообщений, опубликованных ими в научных журналах.
Действительно, Эддингтон в конце концов победил. Несмотря на


14
Глава 1 Постановка задачи
множество астрофизических свидетельств того, что звёзды жид­
кие, теория Джинса не имела прочной математической основы. Его
теория была основана на анализе наблюдений и аргументах, а не
на математической модели. Напротив , теория газообразных звёзд
была математически хорошо обоснована Эддингтоном. В частно­
сти, математическая модель газообразных звёзд даёт теоретиче­
ский вывод соотношения масса-светимость , которое является од­
ним из основных соотношений наблюдательной астрофизики*. Это
было “козырной картой ” газовой модели: так как газовая модель
предсказала соотношение масса-светимость, был сделан вывод, что
эта теория верна в целом, а все её несоответствия наблюдательно­
му анализу являются лишь некоторыми “трудностями” , которые
необходимо разрешить в будущем. Таким образом , модель газооб­
разных звёзд стала общепринятой моделью на десятилетия вперёд,
вплоть до настоящего времени.
Теперь мы должны сделать важное замечание. Как известно,
ядро математической теории внутреннего строения звёзд состав­
ляют два уравнения: уравнение механического равновесия и урав­
нение теплового равновесия. Механическое равновесие означает,
что вес любой единицы объёма звёздного вещества приводится в
равновесие давлением изнутри звезды. Тепловое равновесие (энер­
гетический баланс) означает, что энергия, производимая в любой
единице объёма звёздного вещества, приводится в равновесие по­
током энергии (излучением, конвекцией или теплопроводностью)
изнутри звезды к её поверхности. Эти два основных уравнения тео­
рии взяты из общей физики, и они не зависят от того, состоят ли
звёзды из газа, жидкости или чего-то ещё . Только затем, вводя урав­
нение состояния идеального газа (и много других частных предпо­
ложений) в основные уравнения, традиционная теория приводит
к газообразным звёздам и другим выводам, включая соотношение
масса-светимость .
Теория жидких звёзд Джинса не может следовать этому пути.
Уравнение состояния идеальной жидкости, данное классической
физикой, настолько просто, что не содержит характеристик звёзд­
ной материи, необходимых для дальнейших выводов с помощью
‘ Н аиболее детальный вывод соотношения масса-светимость в рамках модели
газовых звёзд приведён в части I статьи Н. А . Козырева [4].


1.1 Новая теория внутреннего строения звёзд
15
уравнений равновесия.
Вместо всех этих соображений классической механики и тер­
модинамики мы предлагаем совершенно иной подход к проблеме.
Он основан на рассмотрении звезды и её поля согласно общей тео­
рии относительности. Мы рассматриваем жидкие звёзды: это соот­
ветствует некоторым новым наблюдательным данным о состоянии
конденсированного вещества внутри звёзд; в частности — данным
о том, что Солнце состоит из высокотемпературного жидкометал­
лического водорода [7-10].
В рамках общей теории относительности структура, вещество
и поле такой звезды характеризуются метрикой Шварцшильда для
сферы, заполненной несжимаемой жидкостью. Недавний теорети­
ческий результат, полученный Л. Борисовой [11,12], показал, что
если представить Солнце в виде жидкой сферы согласно этой мет­
рике, то поле Солнца имеет пространственный разрыв в поясе асте­
роидов: это означает, что разрыв пространства препятствует фор­
мированию вещества в виде планеты на этой орбите. Поэтому мы
уверены, что идём по правильному пути.
Мы выводим уравнения Эйнштейна (уравнения поля) в виде, ко­
торый моделирует звёзды как жидкие сферы: это — частная форма
уравнений Эйнштейна, которая может удовлетворять или не удо­
влетворять конкретной метрике пространства. Поэтому затем мы
доказываем, что полученный частный вид уравнений поля удовле­
творяет метрике Шварцшильда для жидкой сферы.
Затем на основе тензора энергии-импульса идеальной жидко­
сти (стоящего в правой части уравнений поля) мы выводим закон
сохранения жидкого вещества обычных звёзд. Решая полученные
уравнения сохранения энергии-импульса, мы получаем давление
и плотность жидкого вещества внутри звёзд. Затем мы получаем
формулу для светимости звёзд в рамках жидкостной модели. Мы
исследуем, как эта теоретически выведенная формула может быть
совместима с соотношением масса-светимость (которое является
основным эмпирическим соотношением наблюдательной астрофи­
зики). В результате мы получаем физические характеристики ме­
ханизма, производящего энергию внутри звёзд.
Относительно самого механизма звёздной энергии мы заключа­
ем, что это преобразование вещества в излучение на поверхности
крошечного центрального “ядра” внутри каждой звезды. Ядро мо­


16
Глава 1 Постановка задачи
жет иметь плотность, отличную от плотности остального вещества
звезды (жидкая сфера внутри однородна), и отделено поверхностью
коллапса с радиусом, определяемым массой звезды. Несмотря на
то, что почти вся масса звезды находится вне этого ядра (ядро не
является чёрной дырой), сила гравитации стремится к бесконечно­
сти на поверхности ядра из-за пространственного разрыва на ней
внутреннего поля звезды. Такой сверхсильной силы гравитации до­
статочно для передачи необходимой кинетической энергии лёгким
атомным ядрам звёздного вещества, чтобы начать процесс термо­
ядерного синтеза. Энергия, производимая термоядерным синте­
зом, — и есть та самая энергия, которую излучают звёзды. Иными
словами, крошечное ядро каждой звезды является её светящим­
ся “внутренним солнцем”, а произведённая там звёздная энергия
затем передаётся на физическую поверхность звезды за счёт теп­
лопроводности (что закономерно для жидких сред).
Нейтронные звёзды и пульсары, будучи быстро вращающимися
объектами, представляют собой особый тип звёзд. Структура, ве­
щество и поле таких звёзд должны описываться другой метрикой, а
именно— метрикой вращающейся жидкой сферы в особых физиче­
ских условиях, специфических для нейтронных звёзд и пульсаров.
Мы вводим такую метрику. Согласно этой метрике, жидкое веще­
ство нейтронных звёзд и пульсаров находится в том же состоянии,
что и физический вакуум высокой плотности. Затем мы выводим
уравнения поля Эйнштейна в частном виде, который удовлетворяет
этой метрике. Мы показываем, что тензор энергии-импульса полу­
ченных уравнений поля удовлетворяет закону сохранения только
в том случае, когда поток энергии изнутри объекта сильно анизо­
тропен и направлен к северному и южному полюсам, а ось магнит­
ного поля не совпадает с осью вращения объекта. Это совпадает
с известными наблюдательными данными о нейтронных звёздах и
пульсарах.
Таков наш план на следующие главы. В результате мы получа­
ем математическую теорию жидких звёзд и источников звёздной
энергии в соответствии с общей теорией относительности.
Прежде чем перейти к выполнению всех этих этапов работы,
в следующем §1.2 мы рассмотрим метрики пространства-времени,
которые мы используем в нашей теории. Затем мы вводим новую
классификацию звёзд. Эта классификация основана на располо­


1.2 Моделирование звезды в общей теории относительности
17
жении пространственного разрыва в поле звезды относительно её
поверхности (пространственный разрыв рассчитывается по метри­
ке и собственным параметрам звезды).
В конце этой главы, в §1.3 мы дадим детальный обзор математи­
ческого аппарата физически наблюдаемых величин в пространстве-
времени общей теории относительности, который нам понадобится
для наших дальнейших вычислений.
1.2 Моделирование звезды методами общей теории относи­
тельности
Звёзды — это сферические тела, наполненные веществом и
светом. Их поля также сферически симметричны. Поэтому при
рассмотрении звезды в терминах общей теории относительности
структура, вещество и поле такого объекта должны задаваться мет­
рикой сферически-симметричного пространства.
Среди м етрик пространства-времени, известных благодаря о б­
щей теории относительности, три основные метрики описывают
сферически симметричные поля. Это — метрика Шварцшильда то­
чечной массы, метрика Шварцшильда сферы, заполненной несжи­
маемой жидкостью, и метрика де Ситтера, описывающая сфериче­
ское распределение физического вакуума (Л-поля, определяемого
Л-членом в уравнениях поля Эйнштейна). Все эти три метрики бу­
дут использоваться нами при рассмотрении звёзд.
1.2.1 Метрика точечной массы
ds2=^1—
-^Jc2d t2 — ^ —r— г2 (dO1 + sin2ed</>2^ (1.1)
была введена в 1916 году Карлом Шварцшильдом [13]. Эта метри­
ка описывает поле сферически-симметричного массивного тела на
настолько большом расстоянии от него, что физическими размера­
ми этого тела можно пренебречь (предполагая, что тело является
материальной точкой). М етрика записывается в сферических коор­
динатах г, ф, Ѳ, начало которых совпадает с данной материальной
точкой. Кроме того, здесь гд = Щг~ гильбертов радиус для данной
материальной точки* тогда как М масса данного точечного тела
(т.е. масса источника поля).
‘ Это не то же самое, что физический радиус тела. На расстоянии гильбертова


18
Глава 1 Постановка задачи
Согласно метрике (1.1), такое пространство не вращается и не
деформируется. Гравитационно -инерциальная сила (подробности
см. в §1.3) в таком пространстве выводится на основе только ком­
поненты доо фундаментального метрического тензора. Как видно
из данной метрики, доо в этом случае (1.1) имеет вид
<700=1- -
•
(1.2)
г
Дифференцируя гравитационный потенциал w = с2( 1 - л/доо)
по х1, получаем градиент потенциала
dw=
с2 ддоо
дх1 2л/goo дх‘
Затем мы подставляем этот результат в общую формулу для
гравитационно-инерциальной силы (1.42), принимая во внимание
отсутствие вращения пространства. В итоге мы получаем формулы
для ковариантной и контравариантной компонент гравитационно­
инерциальной силы
<?гд 1
2г2і_г±’
F1
Гд
2г2 '
(1.4)
Как видно из этих формул, гравитационно -инерциальная сила
в пространстве точечной массы обусловлена только ньютоновским
гравитационным полем, создаваемым этой массой, и обратно про­
порциональна квадрату расстояния г от неё.
Искривление пространства точечной массы обусловлено ньюто­
новским полем тяготения, создаваемым массивным телом в начале
координат. Это — не пространство постоянной кривизны; его кри­
визна уменьшается по мере удаления от массивного тела (источни­
ка поля). На бесконечно большом расстоянии от тела пространство
является плоским.
радиуса от центра тяжести массивного тела (г = гд) происходит гравитационный
коллапс: в пространстве без вращения это — состояние , при котором компонента
<уоо фундаментального метрического тензора д,ф равна нулю (дт = 0). Подробнее
см. §5.1 и §5.2. Гильбертов радиус был введён Давидом Гильбертом (1862-1944),
который рассмотрел его в 1917 году [15] на основе метрики Шварцшильда для
точечной массы. Он также известен какрадиус Шварцшильда, несмотря на то, что
Карл Шварцшильд (1873 -1 9 1 6 ) никогда не рассматривал гравитационный коллапс
в своих работах [13,14].


1.2 Моделирование звезды в общей теории относительности
19
1.2 .2
Пространство, заполненное сферически-симметричным
однородным распределением физического вакуума (Л-поле в урав­
нениях Эйнштейна), не содержит остовов вещества и описывается
метрикой де Ситтера
ds2 = (і - j c2dt2 -----Лг2 ~ г2{d&2+ sin2ed</>2^ .
(1.5)
Эта метрика была введена в 1918 году Виллемом де Ситте-
ром [16] как статическая модель Вселенной. Предполагается, что
Л < ІО-56 в космосе, поэтому физический вакуум имеет очень низ­
кую плотность. Современный вариант статической модели Вселен­
ной представлен в [17].
Фундаментальный метрический тензор через свои компоненты
в метрике де Ситтера (1.5) показывает, что такое пространство
не деформируется и не вращается. Следовательно, гравитационно­
инерциальная сила (1.42) в таком пространстве обусловлена только
компонентой goo, которая имеет вид
Лг2
doo=1—
•
(1.6)
Соответственно, после аналогичных вычислений, что и ранее,
получаем гравитационно-инерциальную силу
Fi
Лс2 г
3 1_М
1з
(1.7)
Это — неньютоновская гравитационная сила, которая пропор­
циональна расстоянию г : эта сила (Л-сила) растёт вместе с рассто­
янием, на котором она действует. Если Л < 0 (наблюдаемая плот­
ность вакуума положительна), то это — сила притяжения . Если
Л > 0 (наблюдаемая плотность вакуума отрицательна), то это — си­
ла отталкивания. См. главу 5 нашей книги [18], где мы подробно
рассмотрели физический вакуум.
Искривление пространства де Ситтера обусловлено неньюто­
новским гравитационным полем, создаваемым физическим вакуу­
мом (Л-полем), однородно заполняющим пространство . Кривизна
одинакова везде в таком пространстве. Другими словами, это —
пространство постоянной кривизны.


20
Глава 1 Постановка задачи
1.2.3
Метрика сферы несжимаемой жидкости впервые была
введена в 1916 году Карлом Шварцшильдом [14] в урезанном виде,
содержащем существенные ограничения. Он искусственно предва­
рительно наложил ограничения при выводе метрики, чтобы сделать
поле не содержащим разрыва*. Истинная метрика сферы, заполнен­
ной несжимаемой жидкостью, оставалась неизвестной до 2009 года,
когда Л. Борисова вывела её в наиболее полной форме [11,12], сво­
бодной от каких-либо ограничений и, таким образом, учитывающей
разрыв пространства.
Модель звёзд как жидких сфер играет ключевую роль в нашей
теории. Поэтому рассмотрим метрику сферы, заполненной несжи­
маемой жидкостью, в полном виде
ds2= Зл 1--- л1-
dr2
ГГл c2dt2-
і-Ч *а5
г2 (d92 + sin29 d<p2) ( 1.8)
как это выведено в статьях [11,12]. Здесь а = const есть физиче­
ский радиус жидкой сферы, тогда как rg =
гильбертов радиус,
рассчитанный по массе М жидкости, которая является источником
поля. Полный вывод метрики, содержащий все необходимые дета­
ли, будет воспроизведён в §2.1 книги, где мы применим эту метрику
к обычным звёздам.
Метрика (1.8) записывается для расстояний г < а. Это — “вн ут­
ренняя метрика” жидкой сферы. На поверхности сферы (г = а) эта
метрика совпадает с метрикой точечной массы. Кроме того, как
было доказано в [11] (этот вывод будет повторён в §2.1 этой кни­
ги), “внешняя м етрика” жидкой сферы (г > а) также совпадает с
метрикой точечной массы: внешнее поле жидкой сферы совпадает
с ньютоновским гравитационным полем точечной массы.
Как видно из метрики жидкой сферы (1.8), такое пространство
не деформируется и не вращается. Следовательно, согласно опреде-
*На с ам о м д е л е , как только на метрику предварительно наложено какое-либо
ограничение, геометрия метрического пространства искусственно урезается. В
этом смысле метрика Шварцшильда, введённая в 1916 г., не является подлинной
метрикой пространства жидкой сферы.


1.2 Моделирование звезды в общей теории относительности
21
лению гравитационно-инерционной силы (1.42), сила в таком про­
странстве обусловлена только доо. В метрике (1.8) мы имеем
/
/------------------ \2
1
<700= 4 3J1-л1-
ГГп
(1.9)
После аналогичных вычислений, что и ранее, мы получаем
1
F\=—
С2ГдГ
(1.10)
F1
(1.11)
Поскольку г < а внутри сферы, то в ней Fi < 0. Следовательно,
это — сила притяжения . Её численное значение пропорционально
расстоянию г. Эта сила равна нулю в центре сферы и достигает
максимального значения на поверхности.
Можно показать, что кривизна такого пространства, обуслов­
ленная упомянутым полем тяготения, увеличивается по мере уда­
ления от центра жидкой сферы к её поверхности. Другими слова­
ми, пространство внутри жидкой сферы не является пространством
постоянной кривизны. Мы приведём это доказательство и обсудим
как четырёхмерную кривизну, так и трёхмерную наблюдаемую кри­
визну пространства в §2.3.
1.2.4
Здесь мы предлагаем новый метод моделирования звёзд
на основе математических методов общей теории относительности.
Рассмотрим звёзды как сферические тела, состоящие из жидко­
сти. В рамках этой модели внутреннее строение, вещество и поле
звезды описываются метрикой сферы, заполненной несжимаемой
жидкостью (1.8). Как было показано выше, сила тяготения при этом
возрастает пропорционально удалению от центра звезды. Внешнее
поле звезды описывается метрикой точечной массы (1.1). Во внеш­
нем поле действует обычная ньютоновская гравитационная сила,
обратно пропорциональная квадрату расстояния от звезды.
Поле жидкой сферы как таковое не везде непрерывно. Согласно
внешней метрике (1.1) и внутренней метрике (1.8) жидкой сферы,


22
Глава 1 Постановка задачи
её поле имеет пространственный разрыв, который появляется на
двух расстояниях от её центра. В связи с этим мы сейчас введём
новую классификацию звёзд согласно общей теории относительно­
сти. Сейчас мы объясним, как это делается.
Разрыв пространства происходит из-за нарушения сигнатур­
ных условий его метрики. Это означает, что пространство имеет
сингулярность в той области (поверхности или объёме), где наруша­
ется х отя бы одно из сигнатурных условий. Сигнатурные условия
знакопеременной диагональной метрики (ч------ ) четырёхмерного
псевдориманова пространства (базового пространства-времени о б­
щей теории относительности) имеют вид
000>о
0ОО0П < 0
000 011022 > о
0=000011022033 <0
(1.12)
Первые три известны как слабые сигнатурные условия. Чет­
вёртое известно как сильное сигнатурное условие. Если одно или
все слабые сигнатурные условия нарушены, а сильное сигнатурное
условие сохраняется, то это — устранимая сингулярность. При
нарушении сильного сигнатурного условия пространство-время
имеет неустранимую сингулярность: в этом случае решение обыч­
но выпадает из рассмотрения, поскольку оно “не имеет физиче­
ского смысла” . Да, возможно, что кто-то не смог увидеть в этом
физического смысла. Тем не менее, эти случаи очень важны м ате­
матически. Поэтому мы будем рассматривать любую сингулярность
пространства (разрыв пространства).
Итак, рассмотрим пространство жидкой сферы. Согласно внеш­
ней метрике сферы (1.1) первое сигнатурное условие нарушается
(0оо = 0) на расстоянии г = гд от центра
0оо=1-
—
=0
г
0ОО0П= -1<0
000011022=Г2 > 0
д= -г4sin2#<0
(1.13)


1.2 Моделирование звезды в общей теории относительности
23
Внутренняя метрика сферы (1.8) показывает, что второе, третье
и четвёртое сигнатурные условия нарушаются на расстоянии
(1.14)
от центра сферы, на котором вышеупомянутые три функции стре­
мятся к бесконечности*
000011 -»
-оо
000 011022 - »
00
0 =000011022033 —>
(1.15)
Это означает, что поле жидкой сферы имеет пространственный
разрыв на двух расстояниях от её центра
1. Первый разрыв пространства происходит на поверхности, ко­
торая сферически охватывает центр тяжести жидкой сферы
на расстоянии гильбертова радиуса г = гд. Это
—
поверх­
ность гравитационного коллапса согласно условию goo = 0 в
этом разрыве пространства. Иными словами, хотя сама жид­
кая сфера может не быть коллапсаром, она всегда содержит
центральное “ядро ”, которое отделено от остального жидкого
вещества поверхностью гравитационного коллапса. В случае,
когда жидкая сфера является звездой, каждая звезда содер­
жит такое ядро. Это ядро намного меньше физического ра­
диуса обычных звёзд: например, радиус сколлапсировавшего
ядра (гильбертов радиус) Солнца составляет гд = 2 ,9 х ІО5 см
(2,9 км), а физический радиус Солнца составляет 7,0 х ІО10 см
(700 000 км). Поэтому мы называем первый разрыв простран­
ства внутренним пространственным разрывом;
2. Второй разрыв пространства происходит на сферической по­
верхности, которая окружает жидкое тело на расстоянии, рав­
ном гъг = ^ а ^ /г д. Это расстояние намного больше, чем физи­
ческий радиус обычных звёзд. Таким образом , это — внешний
*Как извес тно , функция имеет разрыв при стремлении к бесконечности .


24
Глава 1 Постановка задачи
пространственный разрыв, в отличие от разрыва внутренне­
го пространства на гильбертовом радиусе. Например , второй
(внешний) пространственный разрыв поля Солнца происхо­
дитнарасстоянии гьг= 3 ,4х ІО13см = 340 000 000 км = 2,3 а.е.
Этот разрыв пространства находится внутри пояса астерои­
дов, вблизи орбиты максимальной концентрации астероидов
(пояс астероидов расположен от 2,1 а.е. до 4,3 а.е. от Солн­
ца). Это означает, что внешний разрыв пространства в поле
Солнца не позволяет веществу сформироваться в общее фи­
зическое тело (такое, как планета) на этой орбите.
Если физический радиус а жидкой звезды совпадает с гиль­
бертовым радиусом Гд = Щг-, эт о — гравитационный коллапсар.
В таком случае (гд = а) внутренняя метрика жидкой сферы (1.8)
принимает вид
ds2=^|l-
c2dt2----~ ^ 2
~
+ si vPedff)2') . (1.16)
^
a2
Эта метрика при условии a2 = j > 0 (т.е. когда Л > 0), имеет тот
же вид, что и метрика де Ситтера (1.5)
ds2 = (і - - ^ - jc2df2 ------ r2(dd2 + sin29d<p2^J, (1.17)
описывающая сферическое распределение физического вакуума
(2-поле). Это означает, что такой сколлапсировавший объект со­
стоит из жидкости, состояние которой близко к состоянию физи­
ческого вакуума высокой плотности.
В результате эта новая модель жидких звёзд позволяет нам вве­
сти новую классификацию звёзд согласно месту расположения про­
странственного разрыва в поле звезды относительно её физической
поверхности:
Тип I: обычные звёзды, включая Солнце
Радиус сколлапсировавшего ядра, т.е. гильбертов радиус гд
обычной звезды, на много порядков меньше её физического
радиуса а (т.е . гд « а). Внешний пространственный разрыв Гьг
расположен далеко от обычной звезды в космосе (г/)Г» а). Это
—
почти все видимые звёзды: сверхгиганты, гиганты, Солнце,


1.2 Моделирование звезды в общей теории относительности
25
Т
и
п
„ьчьчьчьчьчьчДДДМ
і?| «
СО(NCSСО
(N^CS
оооо2°°°
ХХХХХХХХ_Г
_
Г^
Я 00ONСЮ1^}00р
СОOnЯ"Я
"
>Ю СО
оЗ
ffl
&S
нО
ffl
3^
04^
ГО
оЗ
0L,
C^vocOcOOcO^^
ѵф
оооооооо'Ь 2
хххххххххх^
^J-r^^J-^J-ON-HOc^^D^
(ЯЯ'СОСОСЯ—
'Я^Я-
—
!^
ь?|«
ООЧОЧООО'СІ-ЧОЧОІГ)
11111111
оооооооо^^
соСО-Ч
XXXXXXXXqq
Я^РрОрСО-н
СЮ—^Я'Я 'Я 'Я 'СО —<
&
я
Я
03
&S
н
04^
ѵ8^
I-Q
Я
Я
1-н
Ч О Ч ОіОі СХІіГі 'СІ-'СІ-Г
—
10)10)
ОООООООООО
о
ХХХХХХХХХХМ
ONо ONСЮоON<NІЮonсю я
іюІЮсісісо"ONсі-н
'
со" ію" &
Р
а
д
и
у
с
а
,
с
м
СОСОо
О
СО
»
—
і»—і»—і0\ОО»—іO
'
,
»—і
'
О40
ОООООООООО
й
ххххххххххй
Оч00Оч-нЯ^СООчЯ^О ю %
Ря-
"Р
Рno
"<
n"Р
РРР
М
а
с
с
а
M
,
г
р
а
м
м
'Cl-'C1-COOCO(N(NIOCOCO
СОсОсОсОсОсОсОсОсОсО
ОООООООООО
Й
ххххххххххй
рЯ;рonОірІЮОЮon
1-СЛ(N-н(NЮ-н
-
нМсо"
О
б
ъ
е
к
т
К
р
а
с
н
ы
й
с
в
е
р
х
г
и
г
а
н
т
*
Б
е
л
ы
й
с
в
е
р
х
г
и
г
а
н
т
*
С
о
л
н
ц
е
Ю
п
и
т
е
р
(
п
р
о
т
о
з
в
е
з
д
а
)
Б
е
л
ы
й
к
а
р
л
и
к
*
К
р
а
с
н
ы
е
к
а
р
л
и
к
и
К
о
р
и
ч
н
е
в
ы
е
к
а
р
л
и
к
и
З
в
ё
з
д
ы
В
о
л
ь
ф
а
-
Р
а
й
е
Н
е
й
т
р
о
н
н
ы
е
з
в
ё
з
д
ы
П
у
л
ь
с
а
р
ы
§
Ч
ё
р
н
ы
е
д
ы
р
ы
г-
(N(Г)
О
+
(Г)
о
ON
а
оЗ
О
I-Q
£к
I
о
Я
і=£
сЗ
Си
СО
о
и>->
Я
а
Я
U
я
О)[-Н
Я
Си
DS
О)
я
о
о
ю
l=t
о
&
к
я
Я
!=Г
сЗ
«
Я
-Ѳ
Я
о
о
оЗ
я
«
я
сЗ
Я
Я
оЗ
Р
Я
н
о
о
я
I-Q
я
о
н
я
о
о
я
я
я
&
о
О)н
DS
о
в
ѵо
о
о
я
а
5о
о
я
го
:<D
м
го
Я
Я
ЯГ
оЗ
«
Я
-Ѳ
я
о
о
оЗ
Я
оЗ
ЯГ
Я
Я
ѴО
£
с
т
а
в
л
е
н
а
ч
и
с
л
е
н
н
ы
м
и
з
н
а
ч
е
н
и
я
м
и
п
а
р
а
м
е
т
р
о
в
з
в
ё
з
д
,
р
а
с
с
ч
и
т
а
н
н
ы
х
н
а
м
и
д
л
я
т
и
п
и
ч
н
ы
х
з
в
ё
з
д
р
а
з
н
ы
х
к
л
а
с
с
о
в
.


26
Глава 1 Постановка задачи
коричневые карлики и даже белые карлики. Мы рассмотрим
обычные звёзды в главе 2;
Тип Іа: звёзды Вольфа-Райе
Они почти такие же, как и обычные звёзды, за исключением
того, что следует учитывать мощный звёздный ветер , состо­
ящий из частиц звёздного вещества, постоянно вылетающих
из звезды (это — свойство, характеризующее звёзды Вольфа-
Райе). Звёздный ветер будет рассмотрен в главе 3;
Тип II: нейтронные звёзды и пульсары
Радиус гильбертова ядра близок к физическому радиусу такой
звезды (гд <, а), но не достигает его (иначе звезда была бы неви­
дима для наблюдения). Внешний пространственный разрыв гьг
расположен во внешнем космосе близко к физической поверх­
ности такой звезды, но не достигает её (гьг > а). Кроме того,
пульсары вращаются с большими скоростями, близкими к ре­
лятивистским. Поэтому метрика и тензор энергии -импульса
такой звезды отличаются от таковых у обычных звёзд. Мы
рассмотрим нейтронные звёзды и пульсары в главе 4;
Тип III: чёрные дыры
Гильбертов радиус гд (радиус разрыва внутреннего простран­
ства) и радиус разрыва внешнего пространства гьг такого объ­
екта совпадают с его физической поверхностью (гд = гъг = а).
Это — гравитационные коллапсары (чёрные дыры): на физи­
ческой поверхности такого объекта возникает состояние гра­
витационного коллапса (доо = 0), поэтому вся его масса сосре­
доточена внутри поверхности коллапса. Чёрные дыры будут в
центре внимания в главе 5 книги.
Эта классификация представлена в таблице 1.1 значениями па­
раметров, рассчитанных для типичных звёзд известных классов.
Эта модель жидких звёзд, построенная на основе общей теорией
относительности и рассмотренная в новой классификации звёзд,
будет предметом развития в следующих главах.
1.3 Физические наблюдаемые величины
Прежде чем рассматривать звёзды методами общей теории от­
носительности, необходимо изложить основы математического ап­
парата физически наблюдаемых величин в четырёхмерном псевдо-


1.3 Физические наблюдаемые величины
27
римановом пространстве (пространстве-времени). Подробное опи­
сание теории физически наблюдаемых величин уже дано в соот­
ветствующих главах наших книг [18,19]. Здесь мы приведём лишь
основы этой теории, необходимые для данного исследования*.
Чтобы построить описательную картину любой физической тео­
рии, нам необходимо выразить полученные результаты через ре­
альные физические величины, которые можно измерить в экспе­
рименте. Это — физически наблюдаемые величины . Вобщей тео­
рии относительности эта проблема вовсе не тривиальна, потому
что мы рассматриваем объекты в четырёхмерном пространстве
(пространстве-времени), и поэтому мы должны определить, какие
компоненты соответствующих четырёхмерных тензорных величин
действительно физически наблюдаемы.
Вот вкратце эта проблема. Все уравнения общей теории отно­
сительности приводятся в общековариантной форме, которая не
зависит от выбора нами системы отсчёта. Уравнения, как и со­
держащиеся в них переменные, четырёхмерны. Таким образом, мы
задаёмся вопросом, какие из компонент этих четырёхмерных ве­
личин действительно наблюдаемы в реальных физических экспе­
риментах, т.е . какие их компоненты являются реально физически
наблюдаемыми величинами? Интуитивно мы могли бы, на первый
взгляд, легко предположить, что трёхмерные компоненты четырёх­
мерного тензора составляют физически наблюдаемую величину.
Но в то же время мы не можем быть абсолютно уверены, что то,
что мы наблюдаем, является просто трёхмерными компонентами
четырёхмерных величин, а не более сложными переменными, кото­
рые зависят от других факторов, например, от свойств физических
эталонов пространства отсчёта.
Как известно, четырёхмерный вектор (тензор 1-го ранга) имеет
всего 4 компоненты: 1 временную и 3 пространственные. Тензор 2-
го ранга, например , тензор вращения или тензор деформации, име­
ет 16 компонент: 1 временную, 9 пространственных и 6 смешанных
‘ Наиболее полное на сегодняшний день описание (компендиум) математиче­
ского аппарата физически наблюдаемых величин в общей теории относительности
дано в нашей недавней статье. В этой статье мы собрали всё (или почти всё), что
мы знаем на эту тему от Зельманова и что было получено за прошедшие десяти­
летия: Rabounski D. and Borissova L. Physical observables in General Relativity and
the Zelmanov chronometric invariants. Progress in Physics, 2023, vol. 19, no. 1, 3 -29 .


28
Глава 1 Постановка задачи
(пространственно-временных) компонент. Тогда, действительно ли
смешанные компоненты являются физически наблюдаемыми вели­
чинами? Тензоры более высоких рангов имеют ещё больше ком­
понент; например, тензор кривизны Римана-Кристоффеля имеет
256 компонент, поэтому проблема эвристического распознавания
истинно физически наблюдаемых компонент становится намного
сложнее. Кроме того, имеется препятствие, связанное с распозна­
ванием наблюдаемых компонент ковариантных тензоров (у кото­
рых индексы занимают нижнее положение) и тензоров смешанного
типа, имеющих как нижний, так и верхний индексы.
Мы видим, что распознавание физически наблюдаемых величин
в общей теории относительности не является тривиальной задачей.
В идеале мы хотели бы иметь математический метод для одно­
значного вычисления физически наблюдаемых величин для любых
тензоров любого заданного ранга.
Многочисленные попытки разработать такой математический
метод предпринимались в 1930-х годах некоторыми исследовате­
лями того времени. Некоторый вклад был сделан Л. Д. Ландау и
Е. М. Лифшицем в их знаменитой Теории поля [20], впервые опуб­
ликованной в 1939 г. Помимо обсуждения самой проблемы физи­
чески наблюдаемых величин, в §84 своей книги они ввели интер­
вал физически наблюдаемого времени наряду с физически наблю­
даемым трёхмерным интервалом, которые зависят от физических
свойств (физических эталонов) пространства отсчёта наблюдателя.
Но все подобные попытки, предпринятые в 1930-х гг ., ограничива­
лись лишь решением некоторых частных задач. Ни один из них не
привёл к полноценному математическому аппарату.
Полноценный математический аппарат для вычисления физи­
чески наблюдаемых величин в четырёхмерном псевдоримановом
пространстве был впервые введён Абрамом Леонидовичем Зель-
мановым и известен как теория хронометрических инвариантов,
или хронометрически инвариантный формализм. Впервые он был
представлен в 1944 году в его кандидатской диссертации [21], затем
—
в его кратких статьях 1956-1957 гг. [22,23].
Суть зельмановского математического аппарата физически на­
блюдаемых величин (хронометрических инвариантов), разработан­
ного специально для четырёхмерного искривлённого и неодно­
родного псевдориманова пространства (пространства-времени), за­


1.3 Физические наблюдаемые величины
29
ключается в следующем.
В любой точке пространства-времени мы можем провести трёх­
мерное пространственное сечение х° = ct = const (трёхмерное про­
странство), ортогональное заданной линии времени х 1= const. Ес­
ли пространственное сечение всюду ортогонально линиям времени,
пронизывающим его в каждой точке, такое пространство называет­
ся голономным. В противном случае, если пространственное сече­
ние неортогонально вышеупомянутым линиям времени, простран­
ство называется неголономным.
Система отсчёта реального наблюдателя включает в себя ко­
ординатную сетку, натянутую на реальное физическое тело (тело
отсчёта наблюдателя, находящееся рядом с ним) и реальные часы,
расположенные в каждой точке этой координатной сети. И коорди­
натная сетка, и часы представляют собой набор реальных эталонов,
с которыми наблюдатель сравнивает результаты своих измерений.
Поэтому регистрируемые наблюдателем физически наблюдаемые
величины должны быть результатом проецирования четырёхмер­
ных величин на линию времени и на пространственное сечение,
связанные с ним.
Оператор проецирования на линию времени наблюдателя пред­
ставляет собой мировой вектор четырёхмерной скорости
dxa
Ъа=Ц -
(1.18)
его тела отсчёта по отношению к нему. Этот мировой вектор ка-
сателен к мировой линии наблюдателя в каждой её точке, поэтому
это — вектор единичной длины
ЬаЬ —Qaft
dxa dxb
ds ds
gap dxadxb
ds2
(1.19)
Оператор проецирования на пространственное сечение наблю­
дателя (его локальное трёхмерное пространство) определяется как
четырёхмерный симметричный тензор h ap, имеющий вид
ha/3 — Qaft + ЬаЬр
hafi= _ gafi+babp ,_
ha=-ga +babh
( 1.20)


30
Глава 1 Постановка задачи
Мировой вектор I f и тензор hajв ортогональны друг другу. Ма­
тематически это означает, что их совместная свёртка равна нулю:
ha/3Ьа=0, h^ba =0, ЩЬа =0, haIf =0. Таким образом,основные
свойства операторов проецирования на линию времени и простран­
ственное сечение наблюдателя совместно выражаются, очевидно,
следующим образом
baba = +1,
haba = 0.
(1.21)
Если наблюдатель покоится относительно своего тела отсчёта,
его система отсчёта называется сопутствующей системой отсчё­
та. В этом случае Ъ1= 0 в его системе отсчёта, а координатные
сетки его пространственного сечения связаны преобразованиями
х° = х°(х°х\х2,х3)
х1=х1(х\х2,х3), | ^ = 0
( 1.22)
где третье уравнение отображает тот факт, что пространственные
координаты в тильдованной сетке не зависят от времени нетиль­
дованной сетки, что эквивалентно координатной сетке, где линии
времени фиксированы (х1= co nst) в каждой точке. Преобразование
пространственных координат есть не что иное, как переход от одной
координатной сетки к другой в пределах одного и того же простран­
ственного сечения. Преобразование времени означает смену всего
набора часов, т.е. это
—
переход в другое пространственное се­
чение (другое трёхмерное пространство отсчёта). На практике это
означает замену одного тела отсчёта со всеми его физическими эта­
лонами другим телом отсчёта, имеющим свои собственные физиче­
ские эталоны. Но при использовании разных эталонов наблюдатель
получит разные результаты (другие наблюдаемые величины). Сле­
довательно, физически наблюдаемые проекции в сопутствующей
системе отсчёта должны быть инвариантны относительно преобра­
зования времени, что влечёт за собой инвариантность относительно
преобразований (1.22). Другими словами, такие величины должны
обладать свойством хронометрической инвариантности.
Поэтому мы называем физически наблюдаемые величины в со­
путствующей системе отсчёта хронометрически инвариантными
величинами или, короче, хронометрическими инвариантами.


1.3 Физические наблюдаемые величины
31
Тензор проецирования hajв, рассматриваемый в пространстве
отсчёта, сопутствующем наблюдателю, обладает всеми свойствами
фундаментального метрического тензора, а именно
haihka=b\-bitf=д\,
100s
010,
(1.23)
где 6к единичный трёхмерный тензор*. Следовательно, в сопутству­
ющей системе отсчёта, используя трёхмерный тензор hik мы можем
поднимать или опускать индексы в хронометрически инвариантных
величинах.
Таким образом, в сопутствующей системе отсчёта основными
свойствами операторов проецирования являются
baba = +1,
НаѴ* = О,
h/hka = 6к.
(1.24)
Вычислим компоненты операторов проецирования в сопутству­
ющей системе отсчёта. Компонента Ь° получается из очевидно­
го условия ЪаЪа = у (фЬаіФ = 1, которое в сопутствующей системе
отсчёта (Ь‘ = 0) имеет вид: ba b a = goob°b° = 1. Эта компонента и
остальные компоненты I f равны
6°=
л/т
ь1=о
Ьо=goaba = л/т, Ьі =діаIf =
а компоненты hap равны
hw=0,
hoi=0,
hio=0,
hik= -дік+
1
дыдок
goo
9i0
л/т
й00= _ oo+_L _
hoQ
goo
0
h0i=~дОІ,
hi0= ~gi0,
hik= ~gik,
h‘o ~
-
0
Л?= ^
goo
К= =4
(1.25)
(1.26)
‘ Тензор
есть трёхмерная часть четырёхмерного единичного тензора <5“ ,
который можно использовать для замены индексов в четырёхмерных величинах.


32
Глава 1 Постановка задачи
Зельманов создал математический метод для вычисления хро­
нометрически инвариантных (физически наблюдаемых) проекций
любой общековариантной (четырёхмерной) тензорной величины.
Он сформулировал этот метод в виде теоремы, которую мы назы­
ваем теоремой Зельманова:
Теорема Зельманова
Пусть есть четырёхмерный тензор
ранга г, где Gqo о
представляет собой трёхмерную часть тензора боо о >У ко"
торого все верхние индексы не равны нулю, а все т нижних
индексов равны нулю. Тогда
Тік- р = (дооП Qqoj)
(1.27)
представляет собой хронометрически инвариантный трёхмер­
ный контравариантный тензор (г - т)-го ранга. Э то означает,
что х.и.-тензор Т ‘к~р является результатом m-кратного про­
ецирования исходного тензора <2^gналинию времени по
индексам a , fi... а и на пространственное сечение — по г - m
индексамр,ѵ ...р .
Согласно этой теореме, хронометрически инвариантные (физи­
чески наблюдаемые) проекции четырёхмерного вектора Q a равны
baQa=-^=,
KQ^Q1,
(1.28)
удоо
а х.и.- проекциями симметричного тензора 2-го ранга Q°P являются
следующие величины
babPQaj} = ^
,
hiabbQap = - %
,
Щ QaP = Qik. (1.29)
9оо
удоо
'
Так х.и.-проекциями четырёхмерного координатного интервала
d x a являются интервал физически наблюдаемого времени
dr=V^oodt+~^= dxl
(1.30)
судоо
и интервал наблюдаемых координат d x l, совпадающих с простран­
ственными координатами. Физически наблюдаемая скорость части­
цы есть трёхмерный х.и.-вектор
ѵг=
dxl
dr’
VjV* = hlkvV = V2,
(1.31)


1.3 Физические наблюдаемые величины
33
который на изотропных траекториях становится трёхмерным х.и,-
вектором физически наблюдаемой скорости света
d=V=—
,
cid =hikdck =с2.
(1-32)
ат
Проецируя ковариантный и контравариантный фундаменталь­
ный метрический тензор на пространственное сечение в сопутству­
ющей системе отсчёта (b1= 0)
h°hfдСф=дік - hh
дІф=дік~
—
Ык
=д‘к=-Id
получаем,чтох.и.-величина
(1.33)
Iіік — дік +ЬіЬк
(1-34)
представляетсобойх.и.-м ет рический
тензор (физически наблю­
даемый метрический тензор), с помощью которого мы можем под­
нимать и опускать индексы у любого трёхмерного х.и . - о б ъ е к т а
в
сопутствующей системе отсчёта. Контравариантная и сметанная
компонентых.и.-метрического
тензора, очевидно, равны
hik=-gik,
dk= - д[=б[.
(1.35)
Выражая дар через определение hap = ~ д ар + babp, мы получаем
формулу для четырёхмерного интервала
ds2 =babpdxadx^ - Іі,фdxadx^,
(1.36)
выраженного через операторы проецирования Ъа и hap. В этой ф ор­
муле badxa = сdr, поэтому первый член равен babp dxadd'' = с2dr2.
Второй член hap d x ad x/3 = d a 2 в сопутствующей системе отсчёта
есть квадрат наблюдаемого трёхмерного интервала*
da2 = hikdxldxk.
(1.37)
Таким образом, четырёхмерный интервал, выраженный через
физически наблюдаемые величины, равен
ds2=c2dT2-d a2.
(1.38)
‘ Это связано с тем, что haf) в сопутствующей системе отсчёта обладает всеми
свойствами фундаментального метрического тензора дар.


34
Глава 1 Постановка задачи
Основные физически наблюдаемые свойства сопутствующего
пространства отсчёта, ассоциированного с наблюдателем, также
были выведены Зельмановым в рамках этой теории, в частности
—
исходя из свойства некоммутативности (отличия от нуля разно­
сти)смешанныхвторыхх.и.-производных по координатам
*д2
*д2
1*д
F-
дх‘dt dtdx‘ ~ С2 1dt’
*д2
*д2
2*d
—~^Аік~-
с1 dt
dx‘dxk dxkdx‘
(1.39)
(1.40)
гдех.и.-операторы дифференцирования,которыетакжеввёлЗель-
манов, имеют следующий вид
*д
1д
*д
дgpid
dt y/goo dt ’
дх‘ дх‘ gooдхР
Первые два физически наблюдаемых свойства пространства от­
счётанаблюдателяхарактеризуютсях.и.-вектором гравитационно­
инерциальнойсилыFiиантисимметричнымх.и.-тензором угловых
скоростей вращения пространства отсчёта
1 /dw дѵі\
у/Ш \дх1 dt)
дѵк
дх1
dvj
дхк + ^~2 (FiVk -F kVi),
(1.42)
(1.43)
где величины w и ѵі характеризуют тело отсчета и пространство
отсчёта. Это — гравитационный потенциал
л
____
W
w=с(1- yfgoo),
1—у =у/доо
cL
и линейная скорость вращения пространства
Ѵі=-с
Vi = hikvk,
vl = -cg0ly/gто
V2 = vkvk = hikvlvk
(1.44)
(1.45)
Заметим, что w и г, не обладают свойством хронометрической
инвариантности, несмотря на то, что ѵі = hik ѵк может быть получено


1.3 Физические наблюдаемые величины
35
как для х.и . - в ел и чи ны, путём опускания индекса с помощью х.и .-
метрический тензора //д.
Зельманов также обнаружил, что х.и. -в е л и чи ны Ft и Ад связаны
друг с другом двумя тождествами (мы называем их тождествами
Зельманова)
*дАік | 1 (*dFk *дРЛ
dt 2\дх‘ дхкI
(1.46)
*дАкт | *дАті
дх1 дхк
*дА* ^ 1<КЛ
.
г1д
"I" « (FiAkm “Ь FkAn
(1.47)
В рамках квазиньютоновского приближения, т.е. в слабом гра­
витационном поле при скоростях много меньших скорости света и
при отсутствии вращения пространства, F (1.42) становится обыч­
ной нерелятивистской гравитационной силой F* = | ^ .
Зельманов также доказал следующую теорему, устанавливаю­
щую условие голономности пространства:
Теорема Зельманова о голономности пространства
Тождественное равенство нулю тензора Ад нулю в четырёх­
мерной области пространства (пространства-времени) явля­
ется необходимым и достаточным условием того, чтобы про­
странственные сечения были всюду ортогональны линиям вре­
мени в этой области.
Иными словами, необходимое и достаточное условие голоном­
ности пространства достигается приравниванием к нулю тензора
Ад. Естественно, если пространственные сечения всюду ортого­
нальны линиям времени (в таком случае пространство голономно),
то величины gоі равны нулю. Поскольку got = 0, мы имеем д = 0 и
Ад = 0. Поэтому тензор Ад мы также будем называть тензором
неголономности пространства.
Если условия Fi = 0 и Ад = 0 выполняются совместно где-то в
пространстве, то условия goo = 1 и got = 0 также там верны. В та­
кой области, согласно (1.30), d r = d t: разница между координат­
ным временем t и физически наблюдаемым временем т исчезает
при отсутствии гравитационных полей и вращения пространства.
Иными словами, согласно теории хронометрических инвариантов,
разница между координатным временем t и физически наблюдае­
мым временем т возникает как из-за гравитации, так и вращения


36
Глава 1 Постановка задачи
пространства отсчёта наблюдателя (локального пространства Зем­
ли, в случае наземного наблюдателя), либо из-за каждого из этих
физических факторов в отдельности.
С другой стороны, нереально найти такую область Вселенной,
где отсутствовали бы гравитационные поля и вращение простран­
ства. Поэтому на практике физически наблюдаемое время т и ко­
ординатное время t отличаются друг от друга. Это означает, что
реальное пространство нашей Вселенной неголономно, тогда как
голономное пространство может быть лишь его локальным прибли­
жением.
Условие голономности пространства (пространства-времени)
напрямую связано с проблемой интегрируемости времени в нём.
Формула для интервала физически наблюдаемого времени (1.30)
не имеет интегрирующего множителя. Другими словами, эта фор­
мула не может быть приведена к виду
где множитель А зависит только от t и х 1: в неголономном про­
странстве формула (1.30) имеет ненулевой второй член, зависящий
от интервала координат dxl и от до,. В голономном пространстве
Ад = 0, поэтому доі = 0. В таком случае второй член (1.30) равен
нулю, а первый член представляет собой элементарный интервал
времени dt с интегрирующим множителем
Следовательно, время глобально интегрируемо в голономном
пространстве (Ад = 0), а в неголономном пространстве (Ад Ф0) вре­
мя не может быть глобально интегрируемо. В случае, когда время
интегрируемо (голономное пространство), мы можем синхронизи­
ровать часы в двух удалённых точках пространства, перемещая
контрольные часы по пути между этими двумя точками. В случае,
когда время не может быть глобально интегрировано (неголоном-
ное пространство), синхронизация часов в двух удалённых точках
dr =Adt,
(1.48)
а=л/т=
(1.49)
поэтому мы можем написать интеграл
(1.50)


1.3 Физические наблюдаемые величины
37
невозможна: чем больше расстояние между этими двумя точками,
тем больше расхождение времени на этих часах.
Пространство нашей планеты Земля неголономно из-за его су­
точного вращения вокруг земной оси. Следовательно, двое часов,
расположенных в разных точках земной поверхности, должны пока­
зывать расхождение между интервалами времени, регистрируемы­
ми на них. Чем больше расстояние между этими часами, тем боль­
ше расхождение физически наблюдаемого времени регистрируемо­
го ими. Этот эффект был достоверно подтверждён экспериментом
Хафеле-Китинга [24-29] по перемещению стандартных атомных
часов на самолёте вокруг земного шара. В этом эксперименте вра­
щение земного пространства существенно изменило измеряемое
время. При полете по вращению Земли пространство наблюдате­
ля на борту самолёта имело большее вращение, чем пространство
наблюдателя, который оставался неподвижным на земле. Во вре­
мя полёта против вращения Земли было наоборот. В результате
атомные часы на борту самолёта показывали значительное откло­
нение наблюдаемого времени в зависимости от скорости вращения
пространства.
Поскольку синхронизация часов в различных точках на поверх­
ности Земли является важнейшей задачей морской навигации, а
также авиации, поправки на десинхронизацию в давние времена
вводились в виде таблиц эмпирически полученных поправок, учи­
тывающих вращение Земли. Теперь, благодаря теории хрономет­
рических инвариантов, мы знаем происхождение этих поправок и
можем вычислить их на основе общей теории относительности.
Помимо гравитации и вращения, эталонное тело может дефор­
мироваться, меняя со временем свои координатные сетки. Этот
фактор также следует учитывать при измерениях. Это можно сде­
лать, выделив в уравнениях трёхмерный симметричный х.и . - т ен з о р
скорости деформации пространства отсчёта
-.
(1.51)
D=hikDik=


38
Глава 1 Постановка задачи
Символы Кристоффеля характеризуют свойство неоднородно­
сти пространства. Обыкновенные символы Кристоффеля 2-го
ранга Г“ѵи 1-го ранга Г/п. ,г
г;У= 4
,асг р
_
асг
Ацѵ,сг—^у
1
2
'[МТ друсг дд,ІЦѴ1
5л:ѵ dx^
dxa ,
связаныссоответствующимих.и.-символами Кристоф феля
Ді _ г,ітд
_
^ь
jk~h Ajk.m ~ ryh
‘dh
dxk
ljm *dhkm *dhIjk
dxJ dx"
(1.52)
(1.53)
которые определяются аналогично Г“ѵи Г/п. ,г. Единственное отли­
чие состоит в том, что здесь вместо фундаментального метриче­
скоготензорадариспользуетсях.и.-метрический тензор/гд.
Компоненты символов Кристоффеля могут быть выражены че­
резх.и.-свойства пространства о тсчёта наблюдателя.Выражаяком­
поненты даР и первые производные от дар через Ft, А#, Dfc, w и vt,
после некоторых вычислений получаем
1/ w\dw
Гоо.г
Гог,0 = -
ГОг,У= -
dw
дх‘ ’
1\1dw
(1.54)
(1.55)
(1.56)
(1.57)
Du
2\dxl dxJJ 2с2
(FiVj + FjVi) , (1.58)
ГуД =
ViAjk+VjAik+ - vk
dvj + дѵЛ
дх‘ +дхі)
^V kfaj+FjVi)
Fk ViVj, (1.59)
Г°-
1oo -
1dw
l-%
~di
(1.60)


1.3 Физические наблюдаемые величины
ги-_
ш“ с2
1dw
1-^дх1
w
{d\
1
1+vk\D?+A«+ ^viF>
roi=-Al--)\Df+Ai+^^F\’
(1.61)
(1.62)
(1.63)
39
Ги.= -
у
■Dy+^2 ^
X
+
П=А..-
У
Ус2
(*:?)
і(оГ+а;')+ч(с;+ а;')+і »,чг
+5 (S+S)“2? + "ЛН ' <1,64>
1[Ч(of+а;‘)+к,(of+А*)+2 o,o,F*
откуда мы имеем
4+A-vslr“-
докГ'поо
000
г2г*
рк__с100
000
0fa0^r* =Noд*.
(1.65)
( 1.66)
(1.67)
( 1.68)
По аналогии с соответствующими абсолютными производными,
Зельманов также ввёл х.и . - производные, в которых общековариант-
ное дифференцирование и общековариантные символы Кристоф-
феля заменены на их х.и. -аналоги
*ViG* = ^r-Ai*G/,
dxl
А-
, акп1
•W
=’-^
+KQ‘,
*Ѵп
-
П
\ln
ViQjk-
,і
ДijQik bikQji,
(1.69)
(1.70)
(1.71)


40
Глава 1 Постановка задачи
*dQk
^Qj=^--^jQi+^iQlj’
*ViQjk =
+AiQlk+4 Qjl’
* 80l
*Ѵі01= -^ -+Ц\Ql,
ox1 3
k,•
*д\пл/к
AJ. = ----- :
—,
31 dxl
V Qji=
+ AjqU+ ДlQji Дl =>ІППЛ^1
^
dxl
ll
ll
ll dxl
(1.72)
(1.73)
(1.74)
(1.75)
Зельманов также ввёл х.и . - те н зо р
кривизны. Он следовал той
же процедуре, по которой строился тензор Римана-Кристоффеля,
исходя из некоммутативности вторых производных произвольного
вектора Qa , взятых в данном пространстве, геометрия которого
является римановой.
Зельманов взял за основу свойство некоммутативности вторых
х.и.-производных произвольного вектора
Qi-*ѴѴгQt=
+ H^Qj,
(1.76)
гдековариантныйх.и.-дифференциал вектора равен
*V*Qldxk = dQl + 4 , Qkdxl,
(1.77)
врезультатечегоонполучилх.и.-тензор
дхк дх1
-
AT,А3 ,
кі іт5
(1.78)
который подобен тензору Схоутена из его теории неголономных
многообразий [30]. Тензор Н[к. отличается от тензора Римана-
Кристоффеля Rpy6. наличием вращения пространства А,* в формуле
(1.76). Его обобщение даёт х .и . - т ен зо р
Cikij = т (Hikij - Hjkii + Hkiji - Нщк),
(1-79)
обладающий всеми алгебраическими свойствами тензора Римана-
Кристоффеля в трёхмерном пространстве (пространственном сече­
нии) наблюдателя. Поэтому Зельманов назвал Сіщ х.и . - т е н зо р о м


1.3 Физические наблюдаемые величины
41
кривизны, так как он фактически является тензором физически
наблюдаемой кривизны трёхмерного пространственного сечения
наблюдателя. Его последовательная свёртка шаг за шагом
Ckj = Сщ = himc kimj,
С=Cj =hljQj
(1.80)
даёт х.и.-скалярную кривизну С, которая является наблюдаемой
трёхмерной кривизной этого пространства.
Тензор Ніщ в общем виде связан с тензором кривизны С щ
следующим соотношением
Ніщ = Сщ + ^2AkiDji +AijDki +AjkDu +
+ A-kiDij + AuDjk), (1.81)
а свёрнутые тензоры Нц =
и Сш = C/fa( связаны как
На=Сік+
(AkjDf +AijD[ + AkiD).
(1.82)
В частном случае, когда пространство не вращается, Н щ и С щ
совпадают. Это также верно для Нц и Сш- В этом частном случае
тензор Сш = hijCakj имеет вид
Сш
*д(*д\Ж
дхкКдх1 , дх1
+^А 1кт-А
•kl
*д\п Ѵй
дхт
(1.83)
Зельманов также вывел формулы х.и.-проекций тензора кри­
визны Римана-Кристоффеля.
Тензор Римана-Кристоффеля Rapys, будучи двухпарным сим­
метричным тензором (его парные индексы несимметричны внутри
каждой пары, а пары симметричны друг относительно друга), имеет
три х.и . - проекции согласно формуле (1.29) хронометрически инва­
риантного формализма
р -і-к
р'(/£
Хік=_с2_0Щ^yijk=_с
_ Jt_ > Zijkl= с2ді/И (184)
000
Подставляя компоненты тензора Римана-Кристоффеля Rapys в
формулы его х.и.-проекций (1.84) и опуская индексы, Зельманов


42
Глава 1 Постановка задачи
получил формулы
*dDu
,
,
Л/
ѵ
xij=^
i ~{Dli+ Al){Djl +Ajl)+
+ (*4iFj+*VjFi) - ^ F iFj , (1.85)
Yijk=*V;(l)jk+Ajk)- *V,(Dlk+Alk)+ - | AtjFk,
(1.86)
Y'ikij= DikDij~DuDkj+AikAij—
-
AuAkj + 2AijAki - с2Сіщ ,
(1-87)
где Yyjk) = Y^k + Yjki + Ykij = 0 как в тензоре Римана-Кристоффеля .
Пошаговая свёртка наблюдаемой пространственной проекции Z(-*y
какZu =hkjZikijиZ = hdZu даёт
Zit=DikDk- DaD+AlkAk+2AikA\- c2Ca,
(1.88)
Z=hilZa=DikIP-!?-AikAik- c2C.
(1.89)
В конце нашего обзора хронометрически инвариантного фор­
мализма рассмотрим уравнения поля Эйнштейна*
1
Ra/З~ 2 dafiR — Тщs+Лда/З•
(1-90)
Уравнения поля, кроме фундаментального метрического тен­
зора дар, включают: тензор Риччи Rap = R '^ p . (симметричный тен­
зор 2-го ранга — свёртка тензора кривизны Римана -Кристоффеля),
риманову скалярную кривизну R = g a^ R ap, гравитационную посто­
янную Эйнштейна к = = 18,6 х ІО-28 см/грамм, гравитацион­
ную постоянную Гаусса G = 6,612 х ІО-8 см3грамм-1сек-2 , тензор
энергии-импульса Тар распределённой материи, заполняющей дан­
ное пространство, а также /1-член [см-2], характеризующий физи­
ческий вакуум. См. §5.2 книги [18], где мы рассмотрели уравнения
Эйнштейна и свойства физического вакуума в деталях.
Ландау и Лифшиц [20] используют к = вместо
, ис­
пользуемой Зельмановым. Чтобы понять причину, положим л =
,
‘ Левую часть уравнений поля (1.90) часто называют тензором Эйнштейна
Сф =Rap - \ gafsR, в обозначениях Gaf>= - x Tafs + Лдф .


1.3 Физические наблюдаемые величины
43
как в теории хронометрических инвариантов и в наших работах, и
рассмотримх.и.-проекции тензора энергии-импульса
р=—
,
/=
Uik = c2T ik,
(1.91)
000
л/доо
которые вычисляются по формуле (1.29) как проекции любого сим­
метричного тензора 2-го ранга. Они имеют следующий физический
смысл: р есть наблюдаемая плотность м ассы , . / ' есть наблюдаемая
плотность импульса, Ulk есть наблюдаемый тензор напряжений.
Тензор Риччи имеет размерность [см-2]. Поэтому скалярная х.и .-
проекция уравнении поля
^
+ А и величина
=—
-р-
имеют одну и ту же размерность [см-2]. Следовательно, тензор
энергии-импульса Тар имеет ту же размерность, что и плотность
массы [грамм/см3]. Следовательно, если бы мы подставили %=
то в правой части уравнений поля мы использовали бы не тензор
энергии-импульса Тар, а величину с2'Г,ф.
Х.и.-проекции
уравнений Эйнштейна (1.90) вычисляются как
проекции тензора 2-го ранга (1.29). Они имеют вид (мы называем
ихх.и.-уравнениями
Эйнштейна)
*г)П
/
1\
—
+ DfiDV+AjiAli+(*V;- ? F/jFi =
= ~ (рс2+и)+Лс2, (1.92)
[hijD-Dij-Aij)+ FjAij=xf,
(1.93)
-
(Щ+Ay){рІ+A2) +DDik- DtjDi+
+3AyA^' +\(*V,F*+*V*Fi)-\piFk- c2Cik=
**
c
= | (pc2hik+2Uik- Uhik) +Лс2^ , (1.94)
где U = hlkUik след тензора напряжений Uik.
Кроме того, тензор энергии-импульса Тщд распределённой ма­
терии должен удовлетворять закону сохранения
Ѵо-ТTM = 0.
( 1.95)


44
Глава 1 Постановка задачи
X.и.-проекции
закона сохранения вычисляются как проекции
тензорапервогоранга(1.28).Мыназываемихх.и.-уравнениями
закона сохранения. Они имеют вид
'^ +Dp+^D,jU«+X,r-^F,r^O.
*Я]к
_
+DJk+2(рк+Ак)Г + *'V;иік- pFk=о ,
гдех.и.-оператор *V;= *Ѵ;- ^ f)построеннаосновех.и.-оператора
дифференцирования *Ѵ;.
Зная эти определения, мы можем найти, как устроен любой гео­
метрический объект четырёхмерного псевдориманова простран­
ства (пространства-времени общей теории относительности) с точ­
ки зрения любого наблюдателя, местонахождением которого яв­
ляется это пространство. Например , имея какое-либо уравнение,
полученное в общековариантном тензорном анализе, мы можем вы­
числитьегох.и.-проекции
на линию времени и пространственное
сечение любой конкретной системы отсчёта, а затем выразить эти
х.и.-проекции
через физически наблюдаемые свойства этого про­
странства отсчёта. Таким образом , мы придём к полноценным урав­
нениям, содержащим только величины, измеримые на практике.
Итак, теперь у нас есть все математические “инструменты” ,
необходимые для дальнейшего построения математической теории
внутреннего строения звёзд и источников звёздной энергии в соот­
ветствии с общей теорией относительности.
(1.96)
(1.97)


Глава 2
Обычные звёзды и Солнце
2.1 Введение метрики пространства обычной звезды. Урав­
нения Эйнштейна, удовлетворяющие этой метрике
В этой главе мы представляем нашу математическую теорию
жидких звёзд в применении к обычным звёздам. Это означает тип I
по новой классификации, которую мы только что ввели согласно
общей теории относительности (см. §1.2 и таблицу 1.1). Тип I охва­
тывает широчайшее разнообразие звёзд, которое включает сверхги­
ганты, солнцеподобные звёзды (включая Солнце), обычные карлики
и белые карлики*.
Структура, вещество и поле жидкой звезды описываются мет­
рикой Шварцшильда для сферы, заполненной несжимаемой жидко­
стью. Эта метрика была первоначально введена в 1916 году Карлом
Шварцшильдом [14]. Он, однако, ввёл её в урезанном виде, со­
держащем существенные ограничения: он искусственно наложил
эти ограничения при выводе, чтобы сделать поле непрерывным , без
разрывов, что привело к искусственно урезанной геометрии дан­
ного метрического пространства. Другими словами, метрика, вве­
дённая Карлом Шварцшильдом, — не совсем настоящ ая метрика
пространства жидкой сферы. Истинная метрика сферы, заполнен­
ной несжимаемой жидкостью, которая свободна от указанных огра­
ничений и, таким образом, учитывает разрыв пространства, была
выведена в 2009 г. Л. Борисовой [11,12]. Сейчас мы повторим этот
вывод в соответствии с её наиболее подробным объяснением [11],
наряду с некоторыми последними поправками и комментариями.
Рассмотрим пустое пространство, в котором находится сфери­
ческий остров, представляющий собой жидкость. Структура, веще­
ство и поле такого массивного острова должны характеризовать­
*В эдд ингто новско й т еор ии газо об ра зных зв ё з д б ел ые карлики рассм атрива­
ются отдельно.


46
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
ся метрикой пространства, обладающего сферической симметри­
ей. Как известно, все сферически-симметричные метрики имеют
следующий общий вид
ds2 = evc2dt2 - exdr2 - г1(dO2 + sin29d<p2^ ,
(2.1)
гдеevи exсутьфункцииотгиг
Вещество и поле сферического жидкого острова должны удо­
влетворять уравнениям поля Эйнштейна (1.90), в которых в рас­
сматриваемом случае мы пренебрегаем Л-молсм, т.е.
Rap-2QapR=-кТар,
(2.2)
где R ap тензор кривизны Риччи, R скалярная кривизна, Т,ф тензор
энергии-импульса распределённой материи (жидкости), тогда как
х = = 18,6 х ІО-28 см/грамм гравитационная постоянная Эйн­
штейна. Заметим , что тензор энергии-импульса распределённой
материи должен удовлетворять закону сохранения
Ѵо-Тасг = 0 ,
(2.3)
где Ѵо- четырёхмерный символ обычного общековариантного диф­
ференцирования.
Уравнения поля Эйнштейна связывают компоненты фундамен­
тального метрического тензора, кривизну пространства и распреде­
лённую материю в соответствии с римановой геометрией. Другими
словами, инвариантная квадратичная форма римановой метрики
ds2 = дар dxadxP = іпѵ вместе с уравнениями Эйнштейна характе­
ризуют римановы пространства (пространства с римановой геомет­
рией). Применительно к общей теории относительности это озна­
чает следующее. Пусть у нас есть риманово пространство с метри­
кой d s2 и мы предполагаем, что в нём распределена материя (тем
самым мы предполагаем конкретную формулу для тензора энергии-
импульса Тар). Тогда компоненты фундаментального метрического
тензора дар, известные из формулы метрики ds2, и компоненты
конкретного тензора энергии-импульса, будучи подставленными в,
соответственно, левую и правую части уравнений Эйнштейна долж­
ны преобразовать эти уравнения в тождества.


2.1 Метрика пространства обычной звезды
47
Вот как на основе общих формул сферически-симметричной
метрики (2.1) можно вывести метрику сферы, заполненной идеаль­
ной жидкостью. Во -первых, мы возьмём тензор энергии-импульса
идеальной жидкости и подставим его компоненты в правую часть
уравнений поля. Затем мы находим компоненты фундаментального
метрического тензора из формулы сферически-симметричной мет­
рики (2.1) в их общем виде, содержащем коэффициенты еу и ел .
Подставим эти компоненты в левую часть уравнений поля. Затем
мы посмотрим, какой вид коэффициентов еѵи ел делает левую часть
уравнений поля такой же, как и правая (тем самым превращая урав­
нения поля в тождества). Наконец, подставляем полученные част­
ные формулы для коэффициентов еѵи ех обратно в общую формулу
сферически-симметричной метрики . В результате мы получаем ис­
тинную метрику сферы, заполненной идеальной жидкостью. Ѵоііа!
С таким же успехом можно было бы спросить, почему сам
Шварцшильд не поступил именно так? Вместо этого, почему он
пошёл другим сложным путём, полным предположений? На этот
вопрос нет ответа... Вернёмся к нашей дедукции .
Как известно, тензор энергии-импульса идеальной жидкости
(несжимаемой и невязкой) имеет вид
ТаР=(ро+^)иаUp- £ дар,
(2.4)
где р = ро = const плотность жидкости (она является постоянной),
р давление в жидкости, а величина
Иуа
иа= ,
UaUa=1
(2.5)
as
обозначает четырёхмерную скорость потока жидкости относитель­
но наблюдателя (его пространство отсчёта совпадает с простран­
ством жидкой сферы, в центре которой — начало координат).
Теперь запишем уравнения поля в покомпонентном виде с учё­
том физически наблюдаемых свойств пространства, связанного с
жидкой сферой.
Компоненты дар имеют следующий вид
0оо=еѵ, got=0
011= ~ея, 022 = -г2, 0зз= -г2sin20
(2.6)


48
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
в метрике сферически-симметричных пространств (2.1). Согласно
хронометрически инвариантному формализму (см. §1.3), гравита­
ционный потенциал в таком пространстве имеет вид
\ѵ = с2(і-<?г).
(2.7)
Так как доі = 0 в этой метрике, то пространство этой метрики не
вращается, т.е. линейная скорость его вращения равна нулю: ѵі = 0.
Следовательно,х.и.-тензор
угловой скорости вращения простран­
ства с этой метрикой равен нулю
Аік=2(&?“&?)+2^ {FiVk~РкЩ)=° ’
(2‘8)
ах.и.-вектор гравитационно-инерциальнойсилыимеетвид
с2IdwдѵЛ с2,
с2- w \дхг dt)
2
(2.9)
где штрих обозначает дифференцирование по радиальной коорди­
нате г. Приэтомх.и.-метрический
тензор htk пространства имеет
следующие ненулевые компоненты
I
I
<
N
*
S
n
.
I
I
<
N
/ізз = r2 sin2e ,
(2.10)
:и =е-д,
-
h
L
I
I
<
N
<
N
-
S
£
faj, =
,
,
rLsin Ѳ
(2.11)
h =: det \\hik\\ = елг4s\n20 .
(2.12)
Таккакх.и.-тензор скорости деформации пространства Д*оп­
ределяетсячерезх.и.-производные от/?*, он имеет только следую­
щие ненулевые компоненты
Ді=|ед-2, Dn =±e-A
-*,
D=
(2.13)
где верхняя точка обозначает дифференцирование по временной
координате t.
X.и.-символы Кристо фф еля(онихарактеризуютфизическина­
блюдаемую неоднородность пространства) вычисляются по их оп­
ределению, данному в §1.3, через компоненты х.и . - м ет р и че с ко г о


2.1 Метрика пространства обычной звезды
49
тензора /г**. После некоторых вычислений получаем
Л'
л~2
ех,Д22,і =~г,Аззд = -гsin2#,
(2.14)
А12,2 =Г, ДзЗ,2 = --r^sinflcos#,
(2.15)
Аіз,з = г sin2# ,
Д23,з = t^ sh^ cos# ,
(2.16)
X
~
2’
>
I
I
1
■
ч
1
Дзз= -rsin29e~x,
(2.17)
Д:2-I Л2--
12- г ’ А33- sinѲcosѲ,
(2.18)
Д3-I дЗ
^13 -
’
^23 = cot#.
(2.19)
В пространстве без вращения х.и . - те н з о р
кривизны 2-го ранга
Сik = hijCukj имеет вид (1.83). После некоторых вычислений мы по­
лучаем ненулевые компоненты Сш для сферически-симметричной
метрики без вращения (2.1). Они имеют вид
С\\= -
—
,
С22=Щ
-=е~Х(
(2.20)
Г
siii 0
\
2/
Вычислимх.и.-проекции
тензора энергии-импульса идеальной
жидкости (2.4) по общим формулам (1.91). Это
—
наблюдаемая
плотность массыр, наблюдаемая плотность импульса J 1и наблюдае­
мый тензор напряжений Ulk жидкости. Подставляя Ь1= 0 и Ь° =
(1.25), характеризующие сопутствующую систему отсчёта (в дан­
ном случае наблюдатель сопутствует жидкой сфере), получаем
р=—
=ро,Г =-^=
= 0, Uik=с2Тік=phik, (2.21)
000
откуда также имеем для U = hlkUik
Ѵ=Ър.
(2.22)
Перваях.и.-компонента означает,чтоплотностьржидкойсре­
ды постоянна всюду внутри сферы. Полученное условие J l = 0 озна­
чает, что жидкость не течёт, тогда как Ulk = p h lk означает, что про­
странство отсчёта наблюдателя сопутствует жидкой среде.


50
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
Теперь х.и . - уравнения Эйнштейна (1.92 -1 .94) в пространстве
без вращения принимают упрощённую форму
*дР
dt
+DjiD«+('V,- іfjjF>= - І(«с2+!/),
*Vj(itJn-iyJ)=о,
*dDik
(2.23)
(2.24)
^
+DDik- DijDJk+- ГУ(Т, + *V**j)
-
^F iFk- сгСік = I (poc2hik+2t/jjfc- І/йі*), (2.25)
где *Vj символ х.и .- дифференцирования. Х .и . - уравнения закона
сохранения (1.96 -1 .97) также упрощаются до
Dpo+^Dyt/y =0,
*V,JJik- poFk=0,
(2.26)
(2.27)
где мы обозначаем *V; = *V; - ^ h\.
Подставим в х.и.-уравнения Эйнштейна (2.23 -2 .25) х.и.-харак-
теристики пространства сферически-симметричной метрики (2.1),
а также х.и. - компоненты тензора энергии-импульса идеальной жид­
кости. После некоторых вычислений получаем х.и . - уравнения Эйн­
штейна (2.23 -2 .25) в покомпонентной записи
()•)2)
•і
Лѵ,л
?-Л
„
Л'ѵ' 2ѵ' (у')21
е
Л—
-—і- —
22
-с
е
ѵ----—
+—+
—
—
2
г
2
—е
г
„Л-ѵ
=0,
;. ;2)
.,
ЛѵЛ
_2
ЛѴ fv')2
Л-
—
+—
22
V
)
-
с2 ѵ"
2'2
= - к (рос2+ 3р)ел, (2.28)
(2.29)
2с2Л'_
г
х(рос2-р)ел, (2.30)
с2(Л'-ѵ ')
_л
2с2 (
_л
/2\
—
;------е +^ГѴ~е )=^(рос -р).
(2.31)


2.1 Метрика пространства обычной звезды
51
Второе уравнение показывает, что в этом случае Л = 0. Это озна­
чает, что внутреннее пространство жидкой сферы не деформиру­
ется:согласно (2.13) при Л=0 мы имеем D\\=0, D11=0 h D=0.
Учитывая это обстоятельство, а также стационарность Л, приводим
уравнения поля (2.28-2 .31) к окончательному виду
сѴл
2с2Л' 2
---------- с
IV 2/ (/)
2
г2
„
Л'ѵ' (у')2
V——+
——
= я (рос2 + Ър)ел
я(рос2-р)ел,
------ : —
е +-рг{х~е )= ^(рос -р).
(2.32)
(2.33)
(2.34)
Для решения уравнений поля (2.32-2 .34) нам нужна формула
для давления р. Чтобы найти эту формулу, мы рассмотрим уравне­
ния сохранения (2.26-2 .27). Однако из -за отсутствия деформации
пространства в рассматриваемом случае (Д-* = 0) х.и . - с к а л я р н о е
уравнение сохранения (2.26) вымывается. Остаётся только х.и . -
векторное уравнение сохранения (2.27). Он принимает вид
*Vi(phik)-^po+^jFk=0.
(2.35)
Таккак*V;hlk=0 всегдаистинно для х.и.-метрического
тензо­
ра (как и условие д а<т= 0 для фундаментального метрического
тензора), оставшееся уравнение сохранения (2.35) принимает вид
''“1 Mpo+!)f‘=0’
(2эд
Так как ^
в пространстве без вращения, эта формула
сводится к нетривиальному уравнению, имеющему вид
р'е~л+(рос2+р)Ѵ- е-л =0,
(2.37)
где р ' = ^[р, ѵ>=% и сл ФО. Разделив обе части этого уравнения
(2.37) на е~л , мы получаем уравнение
dp
рос2+р
dv
У’
(2.38)


52
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
которое представляет собой простое дифференциальное уравнение
с разделяющимися переменными. Оно легко интегрируется как
рос2+р =Ве~% ,
В = const.
(2.39)
Таким образом, мы получаем давление р как функцию от у
р=Ве~^ - рос2.
(2.40)
При поиске функции р(г), мы интегрируем уравнения поля
(2.32-2 .34). Суммируя (2.32) и (2.33), мы находим
с2(X+у')
,ѵ
—
1:-------- - = кВ ех~2.
(2.41)
Выразим отсюда у', затем подставим результат в (2.34). В ре­
зультате мы получаем
Ц~ л' + Щг(еЛ- і) “ хВе~л~Г2=К(рос2 - р)сл. (2.42)
Подставив р из (2.40) в (2.42), получаем следующее дифферен­
циальное уравнение относительно Л
еА- 1
Л' + ----------нрогел = 0.
(2.43)
Введём новую переменную у = ел . Таким образом, X = Под­
ставляя в это уравнение ушу', получаем уравнение Бернулли (см.
Камке [31], часть III, глава I, §1.34)
у' +f(r)у2+ д(г)у =о,
где
^
f(f) = --Xpor,
д(г) = -~
г
Г
Оно имеет следующее решение
1
У
= Е(г)
fЯ»dr
E{r)
(2.44)
(2.45)
(2.46)
где
E(r) =
(2.47)


2.1 Метрика пространства обычной звезды
Интегрируя (2.47), получаем Е(г), т.е.
53
гdr
II
J_j
E(r)=е -Ir=е1r=- ,
L=const>0,
(2.48)
r
таким образом, мы получаем 2 = е~л , что равно
е~л=-
Г-( -
-
ярог\dr = 1 -
+Я.> q=const. (2.49)
гJ L\r
)
3
г
Чтобы найти константу интегрирования Q, перепишем уравне­
ние (2.42) как
е_Л(--4)+4=^о.
(2.50)
\г г11г1
Это уравнение имеет сингулярность в точке г = 0, где численное
значение правого члена уравнения (плотность жидкости) возраста­
ет до бесконечности при г —»0, т.е . в центре сферы . Это противоре­
чит изначально принятому условию ро = const, характеризующему
несжимаемые жидкости. По сути, этого противоречия не должно
быть в теории. Мы устраним это противоречие (и сингулярность),
переписав (2.50) в виде
J
е~л(1-гЛ') = — (ге~л)=1 -ярог2.
(2.51)
drѵ
>
После интегрирования получаем
з
ге~л =г-Л^Г+А, А =const.
(2.52)
Поскольку постоянная интегрирования А = 0 в центральной
точке г = 0, она должна быть равна нулю и в любой другой точке.
Разделив это уравнение на г ф0, получим
=1-
ярог"
(2.53)
Сравнивая это решение с формулой для е~л , полученной ра­
нее (2.49), мы видим, что они совпадают, если Q = 0. Кроме того,
следует предположить, что ел° = 1 в центральной точке г = 0, следо­
вательно, Ло = 0.


54
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
Таким образом, мы получили компоненты /г11 = е~я и Ііц = ея
х.и.-метрическош
тензора Л,& в виде, выраженном через радиаль­
ную координату г, т.е.
-2
1
,11
-А
,
ХРОГ
п=е
=1------—
Ли=ел =
1 - проrL
(2.54)
Далее мы вводим пограничное условие г = а на поверхности
сферы, где а радиус сферы. Таким образом,
оРі-1 -
Нроа
(2.55)
С другой стороны, решение этого уравнения также является
решением для точечной массы в пустоте. Следовательно,
2GM
гК-\
_
с2а
(2.56)
где М масса жидкой сферы. Сравнивая обе эти формулы для е Аа и
принимая во внимание, что гравитационная постоянная Эйнштейна
равна к = мы находим
,,
4пагр0
М=—
-—
= роѴ,
(2.57)
гдеV=
объём сферы. Таким образом, мы получили обычную
связь между массой и объёмом однородной сферы.
Следующим нашим шагом будет поиск решения е~я вне сферы,
где г> а. Поскольку вне жидкой сферы плотность вещества равна
ро = 0, после интегрирования (2.51) получаем
гел= I dr-
npor2dr = г ■
Jo
Jo
Из этой формулы мы получаем, что
проа
е~я=1
проа
Ъг
(2.58)
(2.59)
Принимая во внимание (2.55) и (2.56), мы приходим к такому
же решению, что и решение для точечной массы в пустоте
2GM
е~я =1
с2г
(2.60)


2.1 Метрика пространства обычной звезды
55
Для получения переменной ѵ используем уравнение (2.41). Под­
ставляя
2хрог
Л'=
3
1 Хррі2
(2.61)
а также полученную формулу для ех в (2.41), после преобразований
получаем
9VПг\
у
кВ ге~2
ѵ'+
Zxppi2
3
1 xpgrz
С21_арот2
1
3
=0.
(2.62)
Введём новую переменную е 2 = у. Таким образом , ѵ' = -
Подставляя их в (2.62), мы получаем уравнение Бернулли
кВ гу2
у'+
xpor7i
3У
2с21 УСрог1 1 хрдр = о,
где
No =кВ
2с21_
’
13
д(г) =
хрдг
3
1 - хроі2
(2.63)
(2.64)
Таким образом, мы имеем интеграл
Jg(r)dr=-J
-
xpgr
3
хроі2
3
=\nN*1-
Kp0rz
где
E(r)=N,1-
кр0г
N = const, (2.65)
( 2.66)
В области, где выполняется сигнатурное условие Іі\ \ = ех > 0,
мы имеем
лрог2
1-
>0,
(2.67)
поэтому мы используем здесь модуль функции.
Далеемыищем- = е2,чторавно
<?2 =
У
кВГкр0г2Г гdr
,
хроі2
13
(2.68)


56
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
После интегрирования мы получаем
е2=
кВ
2с2 кро У
кРог
К = const.
(2.69)
Теперь найдём константы В и К. Чтобы найти В, перепишем
формулу для давления р (2.40) при условии, что р = 0 на поверхно­
сти сферы (г = а). Таким образом , мы получаем
9—
В=РОСе2,
(2.70)
где е 2 есть значение функции е 2 па поверхности сферы. В итоге
мы имеем
е2=
2
[кро V
крог1
(2.71)
Чтобы найти К, мы рассмотрим значение функции е 2 па по­
верхности сферы (г = а)
Уа(
Г£ крое2
е2=
—
-
—
—
+kJi^
кро У
KpoaL
(2.72)
откуда получаем, что
К=-
кро ^
w
(2.73)
Величина е г~ означает численное значение е~- п р и г = а, т.е. на
поверхности сферы. Следовательно, мы можем применить его к
решению для точечной массы в пустоте при г —а, т.е.
У_а
_
I 2GM
е2 = л/1-----;—
с1а
(2.74)
Принимая во внимание формулы (2.55) и (2.56), получаем
1
2
Ѵа
/
1 - храі2
3-
3
1-
хр0а2
з
1
За
2GM
2
с2а
-
л1
IGMr2
с2аъ
(2.75)


2.1 Метрика пространства обычной звезды
57
Это решение на поверхности сферы (г = а) соответствует реше­
нию для точечной массы в пустоте: еЛ = ^J \ -
=^j\-
Таким образом, с учётом полученных формул для у и Л, метри­
ка пространства сферы, заполненной идеальной жидкостью, имеет
следующий вид
J _ иройг
_
Г _ крог*
c2dt2
dr2
1 - хрогг г2 (<ІѲ2 + sin29d<p2^ . (2.76)
Принимая во внимание (2.55) и (2.56), мы перепишем эту фор­
мулу (2.76) в виде
ds2=т3
с2а
с2а3
c2dt2
dr2
2GMr2
с2а2
-
г2 (<іѳ 2 + sin26»d<p2) . (2.77)
Наконец, поскольку
= гд есть гильбертов радиус, вычисля-
емый по массе М жидкой сферы, и принимая во внимание полу­
ченную формулу для е т , мы переписываем полученную метрику в
окончательном виде
ds1=-
c2dt2 -
- r 2 ^ 2 + sin29d<p2). (2.78)
Это — окончательная формула для “внутренней” метрики про­
странства сферы, заполненной идеальной жидкостью. Как видно,
“внутренняя” метрика на поверхности жидкой сферы (г = а) пол­
ностью совпадает с метрикой точечной массы в пустоте.
Отсюда мы можем получить метрику пространства вне жидкой
сферы (г> а). Давайте сделаем это .


58
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
Мы уже получили “внешнее” решение для е~х (2.59), которое
оказалось совпадающим с “внешним” решением для точечной мас­
сы для этой функции (2.60). Вне сферы В = 0 (2.39). Следовательно,
(2.41) принимает вид
Л'+ѵ' =0,
(2.79)
где, согласно (2.60),
2GM 1
^.2у2 2 2GM
с2г
(2.80)
Подставляя (2.80)
нение, мы получаем
в (2.79), затем интегрируя полученное урав-
у=1п|
,
2GM\ п
1-----;— + Р,
Р = const,
clr J
(2.81)
так что
(2.82)
Поскольку э та функция также имеет вид
v
,
2GM
e=1
9,
cLa
(2.83)
на поверхности (г = а) жидкой сферы мы получаем Р= 1. Подстав­
л яя полученные формулы для еѵ (2.83) и ел (2.60) в сферически-
симметричную метрику (2.1), мы получаем, что “внешнее” про­
странство сферы, заполненной идеальной жидкостью, описывается
метрикой точечной массы в пустоте (1.1), т.е.
ds2 = ^1 — ~^jc2dt2 —
—
г2 {d92 + sin26d<p2'}. (2.84)
2.2 Внешний разрыв пространства поля Солнца совпадает с
поясом астероидов
Здесь мы предлагаем новую модель Солнечной системы в соот­
ветствии с общей теорией относительности. А именно — Солнце и
планеты будем считать жидкими сферами согласно метрике жидкой
сферы (2.78), полученной нами выше. Эта метрика также была при­
ведена в формуле (1.8), в §1.2, где мы рассматривали постановку


2.2 Разрыв пространства Солнца в поясе астероидов
59
задачи моделирования звезды в терминах общей теории относи­
тельности. Также, как было доказано в предыдущем §2.1, внешнее
пространство жидкой сферы описывается метрикой точечной мас­
сы в пустоте (1.1).
Обратите внимание, что здесь мы не обсуждаем, могут ли внут­
ренние планеты быть представлены в виде жидких сфер или нет.
Астрофизики и геологи могут просто апеллировать к магме, потому
что она находится в состоянии жидкого камня. Однако юпитери­
анские планеты (Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун) по плотности
и другим параметрам вполне могут считаться звёздами. Здесь мы
ограничиваемся только теоретическим моделированием Солнца и
планет без анализа их происхождения. Подробно мы сосредоточим­
ся на расположении “внутреннего” и “внешнего ” пространственных
разрывов их полей: пространственных разрывов в поле внутри и вне
физического тела (жидкой сферы) каждой из них. Затем мы срав­
ним полученный результат с наблюдаемым распределением планет
в Солнечной системе.
Наш подход к Солнечной системе прост. Как известно, в че­
тырёхмерном римановом пространстве со знакопеременной диаго­
нальной метрикой (н------ ) разрыв происходит в той области (точке
или поверхности) пространства, где хотя бы одно из четырёх сиг­
натурных условий
нарушается. Пространство (пространство-время) общей теории от­
носительности относится к такому типу римановых пространств.
Поэтому мы рассматриваем сигнатурные условия в пространстве
внутри и вне жидкого Солнца.
2.2 .1 В метрике “внутреннего” пространства жидкой сферы
(2.78), учитывая, что там*
0оо >О
000011 <0
000 011022 > 0
0=000011022033 <0
(2.85)
нроа3 _ 2GM гд
3г
с2г г
(2.86)
*См. формулы (2.59) и (2.60) в §2.1 .


60
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
фундаментальный метрический тензор имеет следующие ненуле­
вые компоненты
3
1
4
3
V
1-
хроа2
3
(2.87)
1_
1
\_dll
1 —жроГ2 ’
а3
3
(2.88)
дгг= -г2,
(2.89)
<7зз = - r2sin26>.
(2.90)
Из этих компонент мы получаем, что на расстоянии от центра
сферы, равном
нарушаются второе, третье и четвёртое сигнатурные условия*
000 011 —>
000 011022 -» 00
0 =000011022033 -»
(2.92)
Это означает, что на расстоянии гьг = /гд от центра жидкого
сферического тела его поле имеет пространственный разрыв на
сферической поверхности упомянутого радиуса Г[)г.
Гильбертов радиус гд = (радиус гравитационного коллап­
са), рассчитанный для обычных физических тел, на много поряд­
ков меньше их физических размеров. То есть а ^ > гд дл я обычного
сферического жидкого тела (такое тело не является коллапсаром).
*А именно — эти три функции стремятся к бесконечности . Как известно ,
функция имеет разрыв при стремлении к бесконечности.


2.2 Разрыв пространства Солнца в поясе астероидов
61
Следовательно, в этом случае гьг = у а3/ г ^ » а: сферическая по­
верхность пространственного разрыва в поле расположена далеко
вне физической поверхности жидкой сферы (источника поля) и,
таким образом, далеко от её внутреннего поля. Другими словами,
внутреннее поле и вещество жидкой сферы производят простран­
ственный разрыв в её внешнем поле.
Что означает пространственный разрыв поля звезды с физиче­
ской точки зрения? Имеет ли этот пространственный разрыв реаль­
ное влияние на физическое тело, попадающее в него, или это —
всего лишь математическая фикция? Как мы покажем в §2.3, про­
странство (пространство-время) жидкой сферы имеет разрыв четы­
рёхмерного тензора кривизны К(фуб при условии г = гby. А именно,
компонента /?оюі (2.113), представляющая собой четырёхмерную
кривизну пространства в (г-0 -направлении 0101, имеет разрыв на
расстоянии г = от центра жидкой сферы: функция кривизны ста­
новится бесконечной (??оіоі —* °°) на поверхности радиусом г = гъг.
Поскольку четырёхмерная кривизна о пределяется гравитационным
полем, заполняющим пространство, и наоборот, то разрыв на г = гъг
подразумевает разрыв в гравитационном поле жидкой сферы.
В этом заключается физический смысл пространственного раз­
рыва в поле жидкой сферы.
2.2 .2
Внешнее поле жидкой сферы обусловлено тем же жид­
ким веществом, которое заполняет сферу и создаёт поле внутри
самой сферы (её внутреннее поле). Согласно метрике “внешнего”
пространства (2.84), мы видим, что его фундаментальный метриче­
ский тензор имеет следующие ненулевые компоненты
(2.93)
(2.94)
022= -г2,
0зз = -г2sin2Ѳ.
(2.95)
(2.96)
Мы видим, что на расстоянии


62
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
от центра тела нарушается первое сигнатурное условие (доо > 0)
!?оо=1—-=0
г
0оо011=-1<0
000011022=г2>0
д= - г4sin2#<О
Другими словами, внешнее поле жидкой сферы производит ра з­
рыв пространства в глубине самой сферы, вблизи её центра. Н апри­
мер, рассчитанный гильбертов радиус гд =
для Солнца состав­
ляет всего 2,9 км, а для Земли это всего лишь 0,88 см.
2.2 .3
Итак, согласно нашей новой модели жидких звёзд в со­
ответствии с общей теорией относительности, применительно к
обычным звёздам и, в частности, к Солнцу, из вышеприведённых
выводов вытекает следующее:
1. В центре каждой звезды существует небольшое ядро гильбер­
това радиуса гд от её центра, на котором происходит упомя­
нутый внутренний пространственный разрыв в поле звезды.
Внутренний пространственный разрыв физически означает,
что жидкое вещество звезды имеет сингулярность на сфери­
ческой поверхности гильбертова радиуса гд вокруг центра,
тем самым это маленькое ядро физически отделено от основ­
ной массы вещества звезды (физический смысл этого явления
будет понятнее на примере внешнего пространственного р аз­
рыва в поле Солнца);
2. Поле каждой звезды имеет внешний пространственный раз­
рыв, окружающий звезду сферической поверхностью. Этот
“пузырь” имеет очень большой радиус, равный /ѵ = ^Ja3/rg ,
что на много порядков превышает физический радиус а звез­
ды. Физически внешний пространственный разрыв препят­
ствует формированию ближнего вещества, такого как мелкие
камни или пыль, вращающиеся вокруг звезды, в единую пла­
нету на орбите радиусом г/,г.
Рассчитаем теперь радиус гъг =
Ігд = УЗ/иро (2.91) внеш­
него пространственного разрыва в поле Солнца. Подставляя плот­
(2.98)


2.2 Разрыв пространства Солнца в поясе астероидов
63
ность Солнца ро = 1,41 грамм/см3 или его массу М = 2 ,OxІО33 грамм
и радиус а = 6,95 х ІО10 см, мы получаем
rbr=3,4хІО13см=340000000км=2,3а.е.
(2.99)
Получается, что сферическая поверхность (пузырь) внешнего
пространственного разрыва в поле Солнца находится в пределах по­
я са астероидов, очень близко к орбите максимальной концентрации
астероидов (как известно, пояс астероидов расположен примерно
от 2,1 до 4,3 ае. от Солнца).
Это поистине удивительное теоретическое открытие приводит
нас к выводу, что внутреннее строение Солнечной системы мож­
но рассчитать по жидкостной модели. А именно — мы считаем
Солнце и планеты жидкими сферами, а затем вычисляем внешний
пространственный разрыв гьг в поле каждого из этих космических
тел. Результаты этих расчётов собраны в таблице 2.1.
Эти результаты, связанные с планетами и Солнцем, согласно
таблице 2.1, приводят к следующим выводам:
1. Внешний пространственный разрыв в поле Солнца находится
на расстоянии г = 2,3 а.е. от Солнца, т.е. вблизи максимальной
концентрации астероидов в поясе астероидов;
2. Внутренние планеты Солнечной системы (Марс, Земл я, Ве­
нера и Меркурий) расположены внутри “пузыря” внешнего
пространственного разрыва в поле Солнца;
3. “Пузыри” внешнего пространственного разрыва в поле каж­
дой из внутренних планет также расположены внутри “пузы­
р я ” внешнего пространственного разрыва в поле Солнца;
4. Внешний пространственный разрыв полей Марса и Земли до­
стигает пояса астероидов;
5. Внешний пространственный разрыв поля Марса находится на
расстоянии 2,9 а.е. от Солнца. Он находится в поясе астерои­
дов вблизи орбиты Фаэтона, гипотетической планеты, которая
когда-то обращалась вокруг Солнца по закону Тициуса-Боде
на г = 2,8 а.е. и разрушение которой в древности породило
пояс астероидов;
6. “Пузырь” внешнего пространственного разрыва в поле Юпи­
тера с внутренней стороны встречается с марсианским на рас­
стоянии г = 2,9 а.е. от Солнца (при “параде планет”). Это очень


64
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
*
М
а
к
с
и
м
а
л
ь
н
а
я
к
о
н
ц
е
н
т
р
а
ц
и
я
в
е
щ
е
с
т
в
а
в
п
о
я
с
е
а
с
т
е
р
о
и
д
о
в
з
а
р
е
г
и
с
т
р
и
р
о
в
а
н
а
н
а
~
2
,
5
а
.
е
.
о
т
С
о
л
н
ц
а
,
а
п
о
я
с
а
с
т
е
р
о
и
д
о
в
п
р
о
с
т
и
р
а
е
т
с
я
о
т
2
,
1
д
о
4
,
3
а
.
е
.
(
п
р
и
б
л
и
з
и
т
е
л
ь
н
о
)
.
Т
а
б
л
и
ц
а
2
.
1
:
В
н
у
т
р
е
н
н
е
е
с
т
р
о
е
н
и
е
С
о
л
н
е
ч
н
о
й
с
и
с
т
е
м
ы
с
о
г
л
а
с
н
о
о
б
щ
е
й
т
е
о
р
и
и
о
т
н
о
с
и
т
е
л
ь
н
о
с
т
и
.


2.3 Геометрический смысл разрыва внешнего пространства
65
близкок2,8а.е., что является теоретической орбитой Фаэтона
согласно закону Тициуса-Боде;
7. “П узы ри ” внешнего пространственного разрыва в полях дру­
гих юпитерианских планет (Сатурна, Урана и Нептуна) рас­
положены в пределах внутренней границы пояса Койпера (по­
лосы афелиев комет, обращающихся вокруг Солнца);
8. Внешний пространственный разрыв в поле Нептуна совпадает
с внешней стороны этого “пузыря” с внутренней границей
пояса Койпера;
9. “Пу зыр ь ” внешнего пространственного разрыва в поле Плу­
тона полностью расположен в поясе Койпера.
Тот факт, что внешний пространственный разрыв в поле Солн­
ца находится в пределах пояса астероидов, вблизи максимальной
концентрации астероидов, позволяет сказать: да, рассматриваемый
в данной работе пространственный разрыв имеет реальный физи­
ческий смысл. Наиболее вероятно, что именно внешний простран­
ственный разрыв в поле Солнца препятствует объединению асте­
роидов в единое физическое тело (называемое Фаэтон). В каче­
стве альтернативы, если Фаэтон был уже существующей планетой,
вращавшейся вокруг Солнца вблизи “орбиты пространственного
разрыва” в прошлом, сила гравитации другого массивного косми­
ческого тела, появившегося вблизи Солнечной системы в древние
времена (например, другой звезды, проходившей рядом с ней), сме­
стила Фаэтон на “орбиту разрыва пространства” рядом с ним, что
привело к разрушению тела Фаэтона.
Таким образом, мы приходим к выводу, что внутреннее строение
Солнечной системы формируется геометрической структурой поля
Солнца в соответствии с римановой геометрией, проявляющейся в
виде законов общей теории относительности.
2.3 Геометрический смысл разрыва внешнего пространства
звезды
Рассмотрим свойства кривизны пространства жидкой сферы.
Сначала вычислим компоненты х.и . - т е н з о р а
кривизны С щ , кото­
рый является физически наблюдаемым тензором кривизны.
В невращающемся пространстве (А,-* = 0) рассматриваемой жид­
кой сферы, Cikij = Н щ по определению тензора Н щ (1.81). Поэтому


66
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
мы вычисляем Сіщ = Ніщ = ЩтН'1кTM- по формуле Щк TM(1.78), ку­
да подставляем соответствующие х.и. - с им во л ы
Кристоффеля
(2.17-2 .19), полученные для метрики жидкой сферы (2.78). После
вычислений получаем его ненулевые компоненты
Cl212 = #1212 =
хро г
(2.100)
3 1 хрог2’
13
Сізіз = #ізіз = хро г2sin2#
(2 .101)
3
хрог2
13
C2323 = #2323 =
хро
3
г4 sin2#.
(2 .102)
Мы видим, что в пространстве жидкой сферы ненулевые ком­
поненты тензора наблюдаемой кривизны пространства С щ удовле­
творяют условию
Сщ=
(hihij - huhj),
(2.103)
где отрицательная константа -Щ 2 представляет собой наблюдае­
мую трёхмерную кривизну пространства в соответствующем дву­
мерном направлении. Это означает, что трёхмерное пространство
невращающейся жидкой сферы имеет постоянную отрицатель­
ную кривизну.
Вычисляя наблюдаемую скалярную кривизну С = hlkCik, где не­
нулевые компоненты С& равны
мы получаем
Си 2хро 1
3 1_хрог2’
13
С22 С33
sin2#
2хрог2
3
С= - 2хро=const<0.
(2.104)
(2.105)
(2.106)
Следовательно,согласно(2.103),х.и.-тензор кривизны Сш/вы­
ражается через наблюдаемую скалярную кривизну С как
Сщ = ~ (hkihij~hihkj^•
(2 . 107)


2.3 Геометрический смысл разрыва внешнего пространства
67
Итак, наблюдаемое трёхмерное пространство невращающейся
жидкой сферы является пространством постоянной отрицатель­
ной кривизны. Радиус его кривизны % является мнимым: % выра­
жается через наблюдаемую скалярную кривизну С как
С= -2яр0=^
,
(2.108)
и, таким образом , мы получаем
К=Т!~
.
(2.109)
2 яро
Теперь вычислим компоненты тензора Римана-Кристоффеля
1/ дда6
<%у ддрб ддау \
а/Зуб 2\дх^дх7 дхадх6 дхадх7 dx^dx6J+
+ 0°"Т(Га<5,о-Грг ,т - Трі 'О -Т 'ау.т') • (2.110)
Согласно метрике жидкой сферы (2.78) мы имеем gik = - / / д и
r ik,j = —Aikj. Вычисляя ненулевые компоненты Ѵ(фл
<-> /і хр0а2
[\ хр0г2
^
^
хрогэу1 3
Л/
Гщ.о = -Гоод
-
—
р.
■
12
^1_w!
3
хрог 1
3(,
дставляя их в (2.110), получаем
оLхр0а2 L хр0Р
яро-W1 3 V1 3
Ѣш='
яро ^
^
*1212 = - f хроГ2~
С1212,
13
яро^sin2#
*1313= -Г - Х/Эог2 Сі313’
13
р2323 =
>Аsin20 = - С2323•
(2. 111)
(2. 112)
(2.113)
(2.114)
(2.115)


68
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
Мы видим, что компонента /?оюъ определяющая четырёхмер­
ную кривизну в (г - 0 -направлении 0101, не удовлетворяет условию
четырёхмерных пространств постоянной кривизны
Rafiyd — (3(б/>ѵОт) ~ QfidOayj > Q —COHSt.
(2.117)
Таким образом, мы приходим к следующему выводу:
Четырёхмерное пространство (пространство-время) невраща­
ющейся жидкой сферы не является пространством постоян­
ной кривизны. Напротив, её наблюдаемое трёхмерное про­
странство, как было доказано выше, является пространством
постоянной отрицательной кривизны.
Мы также видим из полученных формул для С\2\г (2.100) и
С ш з (2.101), что трёхмерная наблюдаемая кривизна Сщ/ обладает
пространственным разрывом
С\2\2 —*
Сізіз —> ~°°
(2.118)
при условии г =гьг =лЩхро = ^ja3/r(J. При этом же условии г = гь,
по формуле для /?оюі (2.113) мы имеем
Яоіоі^-°° .
(2.119)
Другимисловами,трёхмернаях.и.-кривизна С щ и четырёхмер­
ная риманова кривизна Rapr6 имеют пространственный разрыв при
г = гьг■Применительно к модели жидких звёзд это означает:
В поле любой звезды наблюдаемая трёхмерная кривизна про­
странства Сіщ и четырёхмерная риманова кривизна R apy6 име­
ют общий пространственный разрыв на сферической поверх­
ности на расстоянии г = гъг = у/Ъ/иро = ^ а 3/гд от звезды.
В этом заключается геометрический смысл внешнего простран­
ственного разрыва в поле звезды (в рамках рассматриваемой жид­
костной модели).
2.4 Сила гравитации, действующая внутри жидкой звезды
Гравитационно-инерциальная сила Г) (1.42) в невращающемся
пространстве обусловлена только компонентой goo (которая опре­
деляется гравитационным потенциалом w). Вычислим эту силу . Так


как гравитационный потенциал равен w = с2( 1 - л/Ші), мы имеем
<9w
с2 ддоо
2.4 Сила гравитации, действующая внутри жидкой звезды
69
Fi=
:=
(2.120)
5?
2 л/^оо <9?
Во “внутренней” метрике невращающейся жидкой сферы (2.76)
1
000=4
3
У
3
\
или, в той же метрике, но записанной в другой форме (2.78),
і---------- \ 2
(2.121)
1
0оо=4 Зл/1-
ЛІ1 -
а\
(2.122)
Отсюда получаем, что гравитационно -инерциальная сила, дей­
ствующая внутри невращающейся жидкой сферы, равна
Fi=-
КроС г
1
(з^1-^
хрот2 1 - хррг2
ярое г
F = -----------
хроі2
3
Ъ-yjl -
-
Jl-yf-
(2.123)
(2.124)
или, в другой форме,
Fi=-
C2r„r
Г1_ СГ9Г Vi7?
rgr2
зѴі^-Ѵ і7? '
(2.125)
(2.126)
Это — сила притяжения: так как г < а внутри сферы, то F\ < 0 в
ней. Эта сила пропорциональна расстоянию г. Её численное значе­
ние равно нулю в центре сферы, затем увеличивается с расстоянием


70
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
до максимального значения на поверхности звезды (где г =а)
(F l)r=a
СFl )r=a
крос2а
1
Гд1
(2.127)
61-
хр0(р
2а2\-т±’
3
а
крос2а
6
с2Г
СГд
2а2
(2.128)
2.5 Решение уравнений закона сохранения: давление и плот­
ность внутри звёзд
Рассмотрим теперь давление р и плотность ро внутри обыч­
ной жидкой звезды. Формула, связывающая давление и плотность в
среде, называется уравнением состояния. Оно следует как решение
уравнений закона сохранения.
После подстановки физически наблюдаемых компонент тензо­
ра энергии-импульса идеальной жидкости (2.21) в общие уравнения
закона сохранения (1.96 -1 .97) они принимают вид (2.26-2 .27). В
недеформирующемся пространстве, таком как пространство обыч­
ной звезды, ненулевым остаётся только векторное уравнение со­
хранения (2.36). Оно решается по формуле (2.40)
р=Ве~5 - рос2.
(2.129)
Подставив уже найденные постоянную интегрирования В (2.70)
и функцию е"- (2.75) в р (2.129), мы получаем формулу, связываю­
щую давление р и плотность ро внутри обычной звезды
р=Рос2з^і-^
(2.130)
Найдём давление в приповерхностном слое звезды. Константа
к = 18,6 х ІО-28 см/грамм является очень малой величиной, тогда
как ро = 1,4 грамм/см3 для Солнца (жёлтого карлика) намного мень­
ше, чем для более крупных звёзд. Поэтому крой2 намного меньше
1 даже для очень больших звёзд. Например , для Бетельгейзе, од­
ного из крупнейших красных сверхгигантов: М = 4,0 х ІО34 грамм,
я=7,0 х 1013см и ро=2,8 х ІО-8 грамм/см3. В этом случае мы


2.5 Давление и плотность внутри звёзд
имеем яроа2 = 2,6 х ІО-7 . В результате имеем
71
1
крог1 1 -
ХрОГ
(2Л31)
Таким образом, после некоторых вычислений мы получаем при­
ближенную формулу для давления р внутри обычной звезды
Р
яр2с2(а2- г2) poGM /а2 _ г2
12
~
2а2\а)■
(2.132)
Пусть расстояние h от поверхности сферы до точки измерения
Іг= а - г . Поскольку h <зсг в приповерхностном слое, имеем
а2- г2=(а-г)(а+г)=h(2а+К)«2ah.
(2.133)
Таким образом, из (2.132) мы получаем обычную формулу для
давления в приповерхностном слое звезды
Р =Pogh,
(2.134)
где ^
= д ускорение свободного падения вблизи поверхности.
Давление в центральной области обычной звезды легко найти,
приняв г = 0 в общей формуле (2.130). Обозначая центральное дав­
ление как ро = Рг=о, получаем
Ро=Рос
TipQOr
■V1 хроаz
13
222
яpoorer
12
(2.135)
Так как я = мы можем переписать эту формулу в виде
Ро
2GM1
8л а4
(2.136)
В таблице 2.2 приведены значения центрального давления ро,
рассчитанные по этой формуле для типичных обычных звёзд.
Мы видим, что, согласно нашей модели жидких звёзд, давление
в центральной области Бетельгейзе, одной из крупнейших звёзд,
составляет всего 0,53 атмосферного (1 атм = ІО6 дин/см2). Чем
меньше размер звезды, тем выше становится давление внутри неё.


72
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
Объект
Масса
М, грамм
Радиус
а, см
Плотность
р0, грамм/см3
Давление
р0, дин/см2
Красный
сверхгигант*
4,0 х ІО34 7,0X1013 2,8 х ІО-8
5,3 х 105
Белый
сверхгигант1. 3,4 х ІО34 4,8 X 1012 7,3 х ІО'5
1,7 х ІО10
Солнце
2,0 х ІО33 7,0 X ІО10
1,4
1,3 х 1015
Юпитер
(протозвезда) 1,9 х ІО30 7,1 X 109
1,3
1,2 х 1015
Красные
карлики
6,7 х ІО32 2,3 X ІО10
13
1,3 х ІО16
Коричневый
карлик1
4,1хІО31 7,0х109
29
5,7 х 1015
Белый карлик§ 2,0 х ІО33 6,4 х 108
1,8 х 106
1,9 х ІО23
*Бетельгейзе. ^Ригель. *Corot-Exo-3. ^Сириус В.
Таблица 2.2: Основные характеристики обычных звёзд.
Центральное давление Ригеля, белого сверхгиганта, радиус которо­
го в 14,6 раза меньше радиуса Бетельгейзе, составляет 1,7 х ІО4 атм.
У карликов, таких как Солнце, центральное давление ~ ІО9 атм. У
белых карликов центральное давление достигает ІО17 атм.
Отметим, что температура конденсированной материи не за ­
висит от давления. Несжимаемая жидкость звёзд представляет со­
бой своего р ода конденсированную материю. П оэтому температуры
внутри звёзд зависят исключительно от формулы того конкретного
механизма, который производит звёздную энергию.
Это замечание важно для понимания физических условий внут­
ри звёзд и источников звёздной энергии.
2.6 Механизм генерации звёздной энергии согласно жидкост­
ной модели звёзд и диаграмме масса-светимость
Перейдём к безразмерным характеристикам звёзд, которые вы­
ражаются в долях соответствующих характеристик Солнца


2.6 Механизм генерации звёздной энергии
73
где M =p Qa3 для жидкой сферы*. Для светимости L звезды, т.е.
энергии, излучаемой со всей её поверхности в космос за одну се­
кунду, мы имеем
L
L_
V
(2.138)
При таком представлении характеристик звёзд анализ значи­
тельно упрощается. Это связано с тем, что в формулах остаются
только существенные множители, а все постоянные коэффициенты
вымываются.
Теперь изучим, какой механизм производства звёздной энергии
можно предложить в соответствии с общей теорией относитель­
ности, чтобы его производительность удовлетворяла наблюдаемой
светимости звёзд. Другими словами, чтобы быть реальным меха­
низмом, который генерирует энергию в звёздах , расчётное произ­
водство энергии предлагаемым механизмом должно соответство­
вать соотношению масса-светимость, которое является основным
эмпирическим соотношением наблюдательной астрофизики.
Рассмотрим таким образом метрику пространства жидкой звез­
ды. Как мы уже знаем, пространство жидкой звезды имеет две глав­
ные области, описываемые разными метриками:
1. Внутренняя метрика пространства звезды (метрика жидкой
сферы) справедлива от центра звезды до её поверхности, за
исключением сингулярной сферической поверхности крошеч­
ного радиуса гд = вокруг центра звезды (см. ниже). Внут­
ренняя метрика также справедлива на сингулярной поверхно­
сти радиусом гьг = tJ c*3/ гд = УЗ/иро вокруг звезды в далёком
космосе: на этой сферической поверхности в далёком космосе
гравитационное поле звезды имеет пространственный разрыв,
созданный её внутренней метрикой;
2. Внешняя метрика звезды (метрика точечной массы) справед­
лива от поверхности звезды до бесконечности, за исключени­
ем сингулярной сферической поверхности, которая окружа­
ет звезду на расстоянии /ѵ = ^Ja3/rg = уЗ/иро далеко от её
поверхности в космосе (см. выше). Внешняя метрика также
‘ Жидкая звезда имеет одинаковую плотностьр=ро =const по всему её объё­
му, так что её масса равна М = | лр 0а3. В долях массы Солнца это выражается в
виде М=р0а3.


74
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
справедлива глубоко внутри звезды на сингулярной сфери­
ческой поверхности крошечного радиуса гд = Щг~ от центра
звезды: на этой сферической поверхности в глубине звезды
гравитационное поле звезды имеет пространственный разрыв,
созданный её внешней метрикой.
Как было показано в §2.3, внешний пространственный разрыв в
далёком космосе означает лишь разрыв кривизны пространства. На
основании §2.3 можно показать, что это не приводит к аномалии по
отношению к действующей силе гравитации.
Однако сейчас мы покажем, что сила гравитации имеет очень
сильную аномалию на сингулярной сферической поверхности раз­
рыва внутреннего пространства. Действительно , внутри звезды на
гильбертовом радиусе гд от её центра справедлива метрика внеш­
него пространства (а внутренняя метрика справедлива как внутри
гильбертова радиуса, так и вне его). Поэтому все вычисления для
внутренней сингулярной поверхности выполняются с внешней мет­
рикой (метрикой точечной массы). И это несмотря на то, что дан­
ная сингулярная поверхность расположена глубоко внутри звезды
вблизи её центра.
Согласно фундаментальному метрическому тензору внешней
метрики звезды (1.1), физически наблюдаемый х.и . - в е к то р
вектор
силы гравитации Fi имеет вид (1.4). На сингулярной сферической
поверхности гильбертова радиуса г = гд глубоко внутри звезды на­
блюдаемая сила гравитации (1.4) достигает бесконечно большой
величины
/~2г 1
рі = - т г{-----(2.139)
2rL \ —JL
г
т.е. гравитационное поле звезды имеет пространственный разрыв
на этой поверхности.
Благодаря своей бесконечно большой величине сила гравитации
там по определению достаточна для передачи необходимой кинети­
ческой энергии лёгким атомным ядрам звёздного вещества, чтобы
начался процесс термоядерного синтеза. Энергия, выделяющаяся
при термоядерном синтезе, — это та энергия, которую излучают
звезды.
Сингулярная сферическая поверхность радиусом, равным гиль­
бертову радиусу гд = окружает геометрический центр каждой


2.6 Механизм генерации звёздной энергии
75
звезды. Это означает, что в центре каждой звезды находится светя­
щееся “внутреннее солнце” . Э то “внутреннее солнце” — кр о ш еч­
ное по сравнению с размером звезды. Например , гильбертов радиус
Солнца составляет всего 2,9 км, а физический радиус Солнца равен
700 000 км. Таким образом , зона термоядерного синтеза — это не
только поверхностный слой радиусом гд, но и весь объём “внут­
реннего солнца” . Иными словами, “внутреннее солнце” радиуса гд
—
это то место, где термоядерный синтез из водорода образует
гелий, обеспечивая энергией светимость звезды. Далее энергия пе­
редаётся от “внутреннего солнца” звезды к её поверхности за счёт
теплопроводности (обычный перенос тепла в жидкостях), а затем
излучается с её поверхности в космос.
Поскольку “внутреннее солнце” звезды имеет радиус, равный
гильбертовому радиусу звезды гд, в дальнейшем мы будем называть
его светящимся гильбертовым ядром, или просто — гильберто­
вым ядром.
Светимость звезды, светящей благодаря предложенному меха­
низму звёздной энергии, зависит только от двух факторов: объёма
гильбертова ядра V = | лт3, в котором выделяется энергия, и плот­
ности р д звёздного вещества внутри него (которая может отличать­
ся от плотности ро основной массы звезды, см. объяснение ниже).
В безразмерных характеристиках звёзд это
1'= Рд?д=РдМ\
(2.140)
Напомним, что предлагаемый механизм звёздной энергии не за­
висит от давления в центральной области звезды: действующая там
сверхсильная гравитация (2.139) обеспечивает необходимые усло­
вия для термоядерного синтеза. Но производительность механизма
зависит от плотности звёздного вещества в гильбертовом ядре.
Рассчитаем плотность гильбертова ядра так, чтобы предпола­
гаемый механизм звёздной энергии удовлетворял наблюдаемому
соотношению массы и светимости.
Будем исходить из фактов наблюдательной астрономии. Она
показывает соотношение массы и светимости L = М 2,6 для звёзд
с массами от 0,2Мѳ до 0,5МѲ, соотношение L = М 4,5 для звёзд с
массами от 0,5Мѳ до 2Мѳ, L = М3,6 в диапазоне от 2Мѳ до 10МѲ, и
L = M для звёзд намного массивнее 10МѲ. См . таблицу 2.3 .


76
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
Эти эмпирические данные наблюдательной астрономии согла­
суются с нашей теоретической формулой для светимости звёзд L
(2.140), если звёздное вещество гильбертова ядра (в котором вы­
рабатывается звёздная энергия) имеет плотность, как показано в
таблице 2.4 .
На основании функции рд = М у по таблице 2.4 мы можем узнать,
насколько плотно гильбертово ядро звезды по сравнению с её ос­
новной массой (известной из астрономических наблюдений). Таким
образом, мы вычисляем следующее соотношение для звёзд
Рд__Ш _
Ро Ро
(2.141)
Результаты расчётов приведены в таблице 2.5. На основании
рассчитанного отношения р д1р0, показанного в таблице 2.5, мы
приходим к следующему выводу. Светящееся гильбертово ядро
звезды — её “внутреннее солнце” — может иметь плотность, отлич­
ную от плотности основной массы звезды. Это зависит от конкрет­
ного типа звёзд. Например, звёздное вещество гильбертова ядра
гиганта или сверхгиганта на много порядков плотнее основного ве­
щества этих звёзд. Гильбертово ядро звезды, похожей на Солнце,
имеет примерно такую же плотность, как и сама звезда. Что ка­
сается карликовых звёзд, то гильбертово ядро такой звезды более
разрежено, чем основное вещество звезды. Чем больше плотность
карликовой звезды, тем меньше плотность её ядра по сравнению с
плотностью всей звезды. У такой звезды, как белый карлик, гиль­
бертово ядро на много порядков более разрежено, чем основное
вещество звезды.
Соответственно возникает следующий вопрос. Все физические
тела имеют массы, поэтому каждое тело должно иметь внутри се­
бя ядро гильбертова радиуса. Такое ядро должны иметь не только
звёзды, но и планеты и даже отдельные элементарные частицы. Но
почему они не светят, как звёзды?
Ответ исходит из состояния того вещества, из которого со­
стоят эти физические тела. Звёзды состоят из жидкого вещества,
состоящего в основном из лёгких химических элементов, таких как
водород и гелий. Поэтому в гильбертовом ядре каждой звезды воз­
можен термоядерный синтез лёгких атомных ядер. Благодаря тому,
что вещество является жидким, к его светящемуся гильбертовому


2.6 Механизм генерации звёздной энергии
77
Наблюдаемая зависимость
Шкала звёздных масс в долях
масса-светимость L =MX
массы Солнца Мѳ
L=М2’6
М=0,2...0,5
t
r
^
i
I
I
4
^
Ъ
т
I
I
О
Х
м
ю
L=М3’6
М=2...10
L=М
М> 10
Таблица 2.3: Наблюдаемая зависимость
масса-светимость L =Мх.
Плотность
Шкала звёздных масс в долях
гильбертова ядра рд
массы Солнца Мв
рд = М0’4
М=0,2...0,5
Рд = М1’5
М=0,5 ...2
Рд = М0’6
М=2...10
рд=м-2
М> 10
Таблица 2.4: Плотность вещества внутри гильбертова ядра.
Объект
Масса М Плотность р0
РдІРо
Бетельгейзе
(красный сверхгигант)
20
2,0 х 10"8
1,3 х ІО9
Ригель
(белый сверхгигант)
17
5,2 х ІО-5
6,7 х ІО7
Юпитер (протозвезда)
9,5 х ІО-4
0,9
0,069
Красные карлики
0,34
9
0,072
Коричневый карлик
(Corot-Exo-3)
0,021
21
0,010
Белый карлик (Сириус В)
1
1,3 X 106
7,7 х ІО-7
Таблица 2.5: Отношение р д!р0 для некоторых типичных звёзд.


78
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
ядру из других областей звезды доставляется всё больше и боль­
ше “ядерного топлива”, поддерживая тем самым горение внутри
“ядерного котла” вплоть до момента, когда закончится всё ядерное
топливо звезды. Другое дело — планеты . Они состоят в основном
из тяжёлых элементов с незначительным содержанием водорода.
Поэтому, как только “ядерный котёл ” гильбертова ядра израсходу­
ет весь запас водородного топлива в центральной области планеты,
он перестаёт вырабатывать энергию, но продолжает существовать
в центре планеты, в латентном состоянии.
Астрономам известно, что энергия, излучаемая Юпитером, пре­
вышает солнечную энергию, поглощаемую всей поверхностью этой
планеты. То же самое верно и для Сатурна . Это означает, согласно
нашей теории, что гильбертово ядро каждой из этих планет всё ещё
перерабатывает водород в гелий, тем самым высвобождая ядерную
энергию.
Относительно отдельных элементарных частиц, таких как про­
тоны, нейроны и электроны: как известно, они стабильны и индиф­
ферентны в течение длительного времени, пока не взаимодейству­
ют с другими частицами. Фактически это означает, что гильбертово
ядро протона (а также нейтрона и электрона) не взаимодействует с
основной массой частицы. Почему это происходит? Можно только
догадываться, что либо вещество, находящееся внутри частиц, на­
ходится в сверхтвёрдом состоянии, либо между ядром и остальной
массой существует слой очень сильного вакуума. С другой стороны,
гильбертово ядро протона (и нейтрона) имеет крошечный радиус
(гд)р = Щр - = 2,48 х ІО-52 см, а гильбертово ядро электрона имеет
ещё меньший радиус (rg)e =
= 1,35 х ІО-55 см. Как было ска­
зано Альбертом Эйнштейном, геометрические законы (геометрия
пространства-времени) общей теории относительности верны, ве­
роятно, вплоть до масштабов элементарных частиц. В субъядерном
масштабе, возможно, работает другая геометрия, утверждающая
свои законы, отличные от законов общей теории относительности.
Поэтому мы не можем сейчас сказать что-то определённое о физи­
ческих условиях и процессах внутри элементарных частиц.
Но что касается обычного мира звёзд и планет, то экспери­
ментальная физика и наблюдательная астрономия показывают, что
теория Эйнштейна верна и работает в этих масштабах с высокой


2.7 Заключение
79
точностью. Поэтому следует принимать во внимание все наши вы­
воды о внутреннем строении звёзд и о механизме генерации энергии
в звёздах.
Конкретные детали предполагаемого механизма звёздной энер­
гии — это особая тема, выходящая за рамки этой книги (которая в
основном посвящена внутреннему строению звёзд).
2.7 Заключение
Все теоретические выводы об источнике звёздной энергии и о
внутреннем строении звёзд, представленные в этой главе, получены
в рамках нашей модели жидких звёзд. Наша модель основана на
представлении о звёздах как пространственно-временных объектах
согласно общей теории относительности. Ниже мы перечисляем
наиболее важные выводы, к которым мы таким образом пришли:
1. Поле каждой звезды имеет внешний пространственной раз­
рыв, который окружает звезду сферической поверхностью.
“Пузырь” внешнего пространственного разрыва в поле каж­
дой звезды имеет радиус
t'hr —
'_3
_
яро
(2.142)
2.
на много порядков больший физического радиуса звезды а.
Наблюдаемая трёхмерная кривизна пространства Сіщ и четы­
рёхмерная риманова кривизна Rapy6 имеют на этой поверх­
ности общий пространственный разрыв. Внешний простран­
ственный разрыв препятствует формированию близлежащего
вещества на этой орбите в планету. Внешний пространствен­
ный разрыв в поле Солнца расположен в пределах пояса асте­
роидов, вблизи максимальной концентрации астероидов;
Поле каждой звезды имеет разрыв во внутреннем простран­
стве, внутри физического тела звезды, на поверхности гиль­
бертова радиуса
2GM
(2.143)
от её центра. Это означает, что там имеется маленькое яд­
ро, отделённое сингулярной поверхностью от основной массы
звезды. На поверхности этого ядра сила гравитации достигает


80
Глава 2 Обычные звёзды и Солнце
бесконечно большой величины. Сверхсильной гравитации по
определению достаточно для передачи необходимой кинети­
ческой энергии лёгким атомным ядрам звёздного вещества,
чтобы начался термоядерный синтез. Таким образом высво­
бождается ядерная энергия. Жидкое “ядерное топливо” до­
ставляется из других областей звезды в ядро, поддерживая
тем самым горение внутри этого “ядерного котла”;
3. Каждая звезда имеет массу. Следовательно, светящееся яд­
ро гильбертова радиуса гд =
—
“внутреннее солнце” —
существует в центре каждой звезды. Мы называем его гиль­
бертовым ядром. Это — место, где термоядерный синтез
производит гелий из водорода, таким образом обеспечивая
светимость звёзд. Затем энергия передаётся от “внутреннего
солнца” звезды к её поверхности за счёт теплопроводности
(обычный перенос тепла в жидкостях), чтобы затем излучать­
ся в космос;
4. Гильбертово ядро — крошечное по сравнению с размером
звезды. Например, для Солнца rg = 2,9 км;
5. Наблюдаемое соотношение масса-светимость звёзд выполня­
ется, если плотность гильбертова ядра зависит от конкретно­
го типа звезды. Гильбертово ядро гиганта или сверхгиганта
должно быть на много порядков плотнее основного вещества
этих звёзд. Гильбертово ядро звезды, подобной Солнцу, долж­
но быть примерно такой же по плотности, как и сама звезда.
В звезде-карлике гильбертово ядро должно быть более р азр е­
женным, чем основное вещество звезды (ядро белого карлика
должно быть крайне разрежено);
6. Каждая планета имеет массу. Следовательно, гильбертово я д ­
ро находится в центре каждой планеты. Но планеты состоят
в основном из тяжёлых элементов с небольшим содержанием
водорода. К ак только “ядерный котёл” гильбертова ядра пла­
неты израсходует весь запас водородного топлива в централь­
ной области планеты, он перестаёт вырабатывать энергию, но
продолжает существовать в центре планеты, в латентном со­
стоянии.


Глава 3
Описание обычных звёзд
3.1 Постановка задачи. Метрика внутреннего пространства
обычной невращающейся звезды
Чтобы понять в общих чертах описание обычной звезды, вспом­
ним, что в §2.1 мы повторили вывод истинной метрики простран­
ства жидкой сферы, сделанный Л. Борисовой [11,12], следуя “ис­
торическому пути”, как это сделал Шварцшильд. А именно
—
мы взяли сферически-симметричную метрику в общем виде, за­
тем применили частные условия характеризующие сферу, запол­
ненную идеальной жидкостью. Единственным отличием от вывода
Шварцшильда было то, что мы не вводили никаких искусственных
ограничений. Следуя этим путём, мы получили наблюдаемые ха­
рактеристики пространства в неявном виде, как вспомогательный
результат. Затем , используя эти результаты, мы вывели метрику
пространства жидкой сферы в окончательном виде.
Теперь мы выразим наблюдаемые характеристики пространства
жидкой сферы в явном виде, т.е. через через компоненты фундамен­
тального метрического тензора метрики жидкой сферы, получен­
ные нами в главе 2. Итак, истинная метрика пространства жидкой
сферы, выведенная Л. Борисовой [11,12], имеет вид (1.8)
ds2=-
c2dt2 -
2
•
2
+ Sin 0d<p2) . (3.1)
Мывычисляемх.и.-характеристики
пространства согласно их
определениям, данным в §1.3, и соответствующим компонентам
фундаментального метрического тензора метрики (3.1).


82
Глава 3 Описание обычных звёзд
Х.и.-метрический
тензор hik метрики (3.1) имеет следующие
ненулевые компоненты
h\\ =
1_ rlh
1.д
,
ІІ22 = Г2, /?.33 = r2 Sin2e,
иП,ГГ9
h11=1
,
И22= -
,
/г» =
.33
1
г2 sin2#
(3.2)
(3.3)
а его детерминант и пространственные производные от логарифма
его детерминанта, не равные нулю, имеют вид
h = det \\hik\\ =
г4 sin2#
2ПГ ■
1-Ц ^а?
*д\пу[й 2 rgr
=-+
-V-
1
dr
*5 InѴ/г
56»
= cot#.
(3.4)
(3.5)
Итак, после вычислений согласно хронометрически инвари­
антному формализму (см. §1.3) получаем следующее. Компонен­
тых.и.-вектора гравитационно-инерциальнойсилы,действующейв
пространстве, имеет вид
Fi=-
F1=
с"га
(3.6)
(3.7)
где г< а , так как всё это — внутри сферы . Следовательно, там
F\ < 0, т.е. это — сила притяжения .
Ненулевыех.и.-символы Кристо ффеля имеют вид
ді- rjL.
Ап”аз
^22 “
А*33
sin26»
=-г
'
ГаГ2''
1- Лг
aD
(3.8)
Д?9=Д?9= - ,
Дзз = - sin6»cos 6»,
Д,з = cot6».
(3.9)


3.2 Уравнения Эйнштейна для невращающейся звезды
83
Ненулевыекомпонентых.и.-тензора
трёхмерной наблюдаемой
кривизны С щ и его свёртки С** имеют вид
„
Сізіз
<-1212 =
.
9
sin2#
ГдГ1
ГдГ
\-Ка5
С2323 =
~т~ sin2#, (3.10)
Си=-
2Га
ГдР_
„3
С22 =
Сгг
sin2#
2 ГдГ1
(3.11)
Имеяполученныефизическинаблюдаемыех.и.-характеристики
внутреннего пространства жидкой сферы, теперь у нас есть всё, что
нужно для рассмотрения уравнений Эйнштейна во внутреннем поле
обычной невращающейся звезды.
3.2 Уравнения Эйнштейна во внутреннем поле обычной не­
вращающейся звезды
Рассмотрим уравнения поля Эйнштейна во внутреннем про­
странстве жидкой сферы, метрика которого имеет вид (3.1). Как
известно, тензор энергии-импульса идеальной жидкости имеет сле­
дующий общий вид (2.4)
ТаР=(ро+ иаир - -§•да/3,
(3.12)
где ро = co nst плотность жидкости, р давление, тогда как Ua че­
тырёхмерная скорость течения жидкости относительно наблюдате­
ля (это — единичный четырёхмерный вектор, поэтому Ua Ua = 1).
Х.и.-проекции тензора энергии-импульсаимеютвид(2.21)
р=—
=ро,/
=-^=
= 0, Uik=с2Тік=phik, (3.13)
#00
V#00
где p наблюдаемая плотность массы жидкости, . /' наблюдаемая
плотность импульса жидкости, тогда как JJlk наблюдаемый тензор
напряжений в жидкости.
С помощью этих формул и с учётом того, что пространство
рассматриваемой жидкой сферы не вращается и не деформируется
{Aik=0»Dik=0),х.и.-уравнения Эйнштейна(1.92-1.94) принимают


84
Глава 3 Описание обычных звёзд
следующий вид
*VjFj- 1 FjFJ= (рос2+U),
(3.14)
Г =О,
(3.15)
\ C4Fk+*VkFi)- \ FtFk- c2Cik=
2
с1
= I (Poc2hik+2Uik- t/%),
(3.16)
где*V, символх.и.-дифференцирования, Ulk =/?/гг*и t/ =Зр.
Подставим в уравнения поля Эйнштейна формулы для /);, Q&
и hik, вычисленные для метрики (3.1). Получаем, что ненулевыми
остаются только два уравнения
I (рос2+3р),
(3.17)
(3.18)
Умножая (3.18) на 3, затем суммируя произведение с (3.17), мы
получаем
3с1га
крос =
(3.19)
Подставляя этот результат обратно в (3.18), получаем уравне­
ние состояния* для жидкого вещества обычных звёзд
Р=Рос2
^1-^
у^ %р~а
(3.20)
Эта формула полностью совпадает с формулой для давления р
(2.130), полученной нами в главе 2 в результате следования путём
Шварцшильда.
‘ Формула, связывающая давление и плотность внутри среды.


3.2 Уравнения Эйнштейна для невращающейся звезды
85
Эта формула для давления р также может быть получена из
уравнений сохранения (2.26-2 .27). Поскольку пространство метри­
ки (3.1) не деформируется (что означает hit Фf ( t ) и, следовательно,
Dik=0), х.и.-скалярное
уравнение сохранения (2.26) обращается в
нуль.Остаётсятолькох.и.-векторное уравнение сохранения(2.27).
Оно принимает форму
*Vi(pA*)-(po+^)F‘ = 0.
(3.21)
При этом *V; Ііік= 0 всегда справедливо для hlk, как и Ѵо-дшг = 0
для фундаментального метрического тензора. Поэтому, а также в
силутого,чтох.и.-производная по пространственным координатам
совпадает с обычной пространственной производной в случае, ко­
гда пространство не вращается, остальные уравнения сохранения
(3.21) имеют вид
(322>
Подставляя формулы для h11 и F 1, полученные нами для мет­
рики (3.1), преобразуем (3.22) в дифференциальное уравнение
dp
гdr
пс+р
Это уравнение можно переписать в виде
(3.23)
й?1п(роС2+р)= -d\n 3-Jl
—
-
-
лі1——;
УCLу
Cl
ГаГ-
Т
(3.24)
который легко интегрировать. После интегрирования имеем
р+рос =
зѴ^э-Ѵй?'
(3.25)
где постоянная интегрирования Q получается из очевидного усло­
вия р = 0 на поверхности звезды (где г =а). Тогда
Q=2p0c>J^
уа
(3.26)


86
Глава 3 Описание обычных звёзд
и, таким образом, мы получаем
р +рос2 =2рос2
л/^І
(3.27)
Легко видеть, что это решение приводит к той же формуле для
р, что и (3.20), которую мы получили из уравнений Эйнштейна.
3.3 Метрика внутреннего пространства обычной вращаю­
щейся звезды
Рассмотрим м етрику обычной жидкой звезды (3.1) с той лишь
заменой, что звезда вращается с угловой скоростью а» вдоль своей
экваториальной оси — оси ф в сферических координатах г, Ѳ, ф. В
этом случае невращающаяся метрика (3.1) принимает вид
ds2=—
4
2cor2cos9 , ,
+ ------------- c a t dtp -
rrg
a3
dr2
1-
c2dP‘ +
- r 2(de2 + sin2Ѳdф2). (3.28)
Мы рассматриваем обычные звёзды — те звёзды, гильбертов
радиус которых много меньше их физического радиуса.
Согласно метрике пространства обычной медленно вращаю­
щейся звезды (3.28), линейная скорость вращения её пространства
равна
Ѵ\=Ѵ2 =0,
2cor2cosѲ
(3.29)
Как известно из данных наблюдательной астрономии, большин­
ство звёзд вращается с линейными скоростями ѵ< 420 км/сек. Сле­
довательно, мы имеем ѵ2/с2 < 2 х ІО-6: большинство звёзд враща­
ются медленно по сравнению со скоростью света.
Согласно метрике (3.28), мы имеем
/г33=V 3=
V2 = hlkViVk = къъѵъѵъ,
г2 sin2#
(3.30)


3.3 Метрика пространства вращающейся звезды
87
Таким образом, отношение ѵ2/с 2 в пространстве метрики (3.28)
выражается следующим образом
4 oj2r2 cot2#
(3.31)
Разлагая в этой формуле радикалы в ряды, после элементарных
преобразований получаем
V2 й?Г2 cot2# Л Ъгд Г„Г2
1+ ---- - -Цг-
2а 2а3)
(3.32)
Далее мы будем пренебрегать членами ряда высших порядков,
которые малы, поскольку гд «с а для обычных звёзд. Поэтому
ѵъ=шг cos#,
2
ѵ2 V2 0у-у4 COS2#
с2 с2
(3.33)
Ненулевыекомпонентых.и.-метрического
тензора hit для мет­
рики (3.28) имеют вид
#п=
1
т
’
^22 ffi2 г2.
1-^
а5
1
9.9./. W2r 2 COt2#
=
= ^2sin2#l1+
(3.34)
(3.35)
адетерминантх.и.-метрического тензораhitиненулевыепростран­
ственные производные от логарифма детерминанта имеют вид
,
,
,,
Г4sin2#/ шѴ cot2#
# = det Hfe11= -----
—
11+
1_ZZ
1щ
*#lnV# 2 ëà 1
dr
*#lnV#
##
=-+
гa3IT2rg’
1 Дn->
= cot# 1-
22
coLrL
C2sin2#l+
1
co2r2 соі2Ѳ
(3.36)
(3.37)
(3.38)


88
Глава 3 Описание обычных звёзд
Так, далее, согласно хронометрически инвариантному форма­
лизму(см. §1.3), мы получаем и другиех.и.-характеристики
про­
странства метрики (3.28).
Х.и.-вектор
гравитационно-инерциальной силы Ft, действую­
щей в пространстве,
Fi
F1
(3.39)
(3.40)
является неньютоновской силой притяжения внутри жидкой сферы
(обычной звезды). В приближении, т.е. пренебрегая членами выс­
ших порядков малости, эта сила принимает вид
Х.и.-тензор
угловой скорости пространства имеет следую­
щие ненулевые компоненты
А\г
Icorco sO
X
(3.42)
(3.43)
А13 =
X
2(1)I1- ^5“)cot0
(3.44)
(3.45)


3.3 Метрика пространства вращающейся звезды
89
Мз
А23
сог2 sin#
СО
и 1г2 cot20
3)
(3.46)
(3.47)
Приближённые выражения для этих компонент, т.е. с точностью
до членов высшего порядка малости, имеют вид
Мъ
А13
Мз
А23
j , 3Гд ГдГ2'
~СОГCOS# 1 + ---------------5 -
,
(4аа3,
сосоіѲ ^Ъгд 2ГдГ2 о/т2 cot2#'
гsin# ( 4а а3
с2
cor2 sin# ( Ъгд ГдГ2"
2
{4^“4^У
со (л 3Гд ГдГ2 О?г2cot2#)
2г2sin #
4а 4я3
с2
(3.48)
(3.49)
(3.50)
(3.51)
Ненулевыех.и.-символы К ристофф ел я,вычисляемыедляэтой
метрики, пренебрегая членами более высокого порядка со4г4/с 4,
имеют следующий вид
Так, далее, мы пренебрегаем слагаемыми г2/ а 2 и произведением
со2г21с2 на Гд/а как членами высших порядков малости. В резуль -


90
Глава 3 Описание обычных звёзд
тате получаем приближённые формулы для этих компонент
ДІ-rjL
Д1-
-г
111"а3
22
1-
Г2
1*
Д33= -rsin2e\1+
Д12 —г
2(02Г2 СОІ2Ѳ ГаГ2
1 / w2r2 cot20
Л13= “ •1+
Д33 = - sin^cos^fl -
22
огтг ,Д23=COt^l1
22
\
с*- /
\ с2 sin2#
для ненулевых компонент х.и. -т енз ора кривизны Сщ/
J2
Сі212 = -■
1
я32_ rjf_
аъ
Сізіз = t2 sin2#
/
0
„
,
<a2r2cot20 ''
3£02COt2# Га 1+ A
1_V
1a3
>
^2323 =
/ | д?г2соі2Ѳ\ |
2„2
(ОГ
cot2# +
1
\
sin4#
а также для ненулевых компонент его свёртки
3 to2 cot2#
г2 sin2#,
2Гд 1
УА
а3 | rgr2
а3
С22= -
Сзз =
2 гдГ2 w2r2 cot2#
a
2г,
cot2# +
sin4# )
a3\
„
L02Г2 COt2#
1 + ------я
----- 1 +
sin
2 ГдГ2
aJ
x
x
За/соі2Ѳ о? / 2
------ 3----- +
—
7-cot0+
cL
cLу
sin
_
Li
in4#/
г2 sin2#.
(3.56)
(3.57)
(3.58)
(3.59)
(3.60)
(3.61)
(3.62)
(3.63)
(3.64)
(3.65)


3.4 Уравнения Эйнштейна д ля вращающейся звезды
91
Поскольку гд/а<£. 1 и со2г2/с 2 «: 1, для обычных звёзд мы пре­
небрегаем членами г2 /я 2 и произведением (о2г2/с 2 на гдІа в полу­
ченных выше формулах для х.и .- кривизны. В результате получаем
приближённые формулы для х.и.-кривизны
Сии
Г0Г2 г
2 •2л/3"2со^Ѳ
С1313 = ТГ sin 6»
aD
(3.66)
С2323 =
Си=—т
-+
ГдГ2 СО2Г2
2гд 3oi2 cot2#
cot#+
sin4#
г2 sin2#,
С22=-
С33 =
г-+
2^r2 орг2cot2#
2Га 4 со2 cot2#
(cot2# + —
\
sin4# /
о»
с2 sin4#
jr2 sin2#.
(3.67)
(3.68)
(3.69)
(3.70)
3.4 Уравнения Эйнштейна во внутреннем поле обычной вра­
щающейся звезды
Решим теперь уравнения поля Эйнштейна во внутреннем про­
странстве вращающейся обычной звезды, т.е. в пространстве м ет­
рики (3.28). В отсутствии вращения пространства (Ад = 0) эта за­
дача сводится к рассмотренной ранее в §3.2 задаче для обычной
невращающейся звезды.
Итак, рассмотрим х.и.- уравнения Эйнштейна (1.92 -1 .94) в про­
странстве жидкой сферы, которая вращается (АікФ0), но не де­
формируется {Dik = 0). В этом случае х.и.-уравнения Эйнштейна
принимают форму
ЛцЛІІ+ *VjFJ - 1 FjF>= ~
(pc2+и),
(3.71)
*V/A'; - FjAij = -xJl,
(3.72)
lAijA'l +i CVtFk+*VkFi)-\FiFk- c2Clk=
l
cL
= | (pc2hik + 2Uik - Uhik),
(3.73)


92
Глава 3 Описание обычных звёзд
где*V; символ х.и.-дифференцирования.Х.и.-величины р, Р и Ulk
суть физические наблюдаемые проекции тензора энергии-импульса
Тщg жидкости, заполняющей пространство .
С полученными компонентами Aik и F; (подробнее см. §3.2) х.и,-
уравнения Эйнштейна (3.71-3 .73) принимают вид
2a>2 cot29 1 +
а>
3Га 3ГдГ2 о?г2СО(2#
Ъгд ГдГ2 со2г2cot2#
1+^
-
2а 2а3
2>с2г„
2а3
^ (pc2 + t/), (3.74)
WCOt#
г2sin#
3гд 4 г„г2 3со2г2 col2в
1+-^
-
2 ш2 cot2#
4а
а
Зг« 2 ГдГ2 OJ2r2 cot2#
1 н---- ---------
2а
а3
=-хР,
Ъс2га
2а3
(рс2 - {/)
г2
+ 2U\\
(ozr cot#
3Гд 5rgr2 со2г2 cot2#''
1+—^
2а 4а3
= -XU\2,
22/
rz/ Зг„
1 --0
'0
I+—-
г2 а /г2 cot2#') Зс2г,
2а 2а3
2а3
2 ь? cot2# L + Ъг9 Ъг9Г%Л
ггг2Ѵ
(2аа3)2(
2а 2а3)
0 9 3c2r0r2 sin2#
х г2 sin2# + ----- ----------
(3.75)
(3.76)
(3.77)
^ [(ре2 - и)г2+2t/22], (3.78)
[(pc2 - I/) г2 sin2# + 2С/зз] - (3.79)
В рамках нашего приближения (гдІа «сіи ш2г2/с 2 «с I), харак­
терного для обычных звёзд, мы пренебрегаем слагаемыми г2/ а 2
ипроизведением со2г2/с2нагд!а вх.и.-уравнения
Эйнштейна. В


3.4 Уравнения Эйнштейна для вращающейся звезды
93
результате эти уравнения принимают сильно упрощённый вид
2.a?cot2#+у =|(pc2+U),
(3.80)
o)co\.9
^=-xJ,
rLsin Ѳ
(3.81)
2а?со?Ѳ- ^(pc2-U^ =xU\,
(3.82)
a?rcot9=-xUn,
(3.83)
0?K(2гЛ
rT2
у --(pc -U)=xU2,
(3.84)
2a?со?Ѳ+^ ^ (pc2-U}=xU\.
(3.85)
Суммируя (3.82), (3.84) и (3.85), затем принимая во внимание,
что U\ +U2+Щ =U,мыполучаем
4а?со?Ѳ +а? = ^ (Зрс2 - 1/).
(3.86)
Суммируя этот результат (3.86) и (3.80), получаем
-1
2
3ai2cot2#+ —— = хрс2.
(3.87)
Умножая (3.80) на 3, затем вычитая результат из (3.86), мы
получаем
а?со?Ѳ+у = xU,
(3.88)
и, сравнив (3.87) с (3.88),
рс2 = 31/.
(3.89)
Тензор энергии-импульса Тар должен удовлетворять х.и . - урав­
нениям сохранения (1.96, 1.97). Во вращающемся пространстве
звезды, которое не деформируется, они имеют вид
*-^+'VlJi-^FiJi=0,
(3.90)
at
с1
^
+2Aff+ Uik
FtUik-pFk=0.
(3.91)


94
Глава 3 Описание обычных звёзд
Как следует из скалярного уравнения сохранения (3.90),
=0
=> р=const.
(3.92)
X.и .- векторное уравнение сохранения (3.91) с индексом і = Ъ
удовлетворяется тождественно. Уравнения с индексами і = 1 и і = 2
принимают следующий вид
, ..1 т3 dU11 dU12 діпл/h п
,
2г
2Л!у+^г+ію+^ги+А^и+
+4.3(/33+k|i+^ _ jif;
Ml
dr
Uu =pF\ (3.93)
„ ,,2 a dU12 dU22 dlnsfh, 22
2A2J3+——+
——
+—
t/22+
or
дѲ
дѲ
+А2зС/33 + I2Af-> +
51пѴй 1
М2
dr
U12=0. (3.94)
Подставляя полученное соотношение p c2 = 3U (3.89) и получен­
ную формулу для U (3.88) в тензорные компоненты х.и.-уравнений
Эйнштейна (3.82 -3 .85), мы получаем
ли11
ли12
ли22
лѴъъ
,,2
о
о
= д/cor#-
—
,
ш2cotѲ
>
г
со2 со2 cot2#
_
со2 cot2Ѳ
а?
г2 sin2# 4r2 sin2#
(3.95)
(3.96)
(3.97)
(3.98)
Теперь подставим эти формулы, а также другие необходимые ве­
личины в оставшиеся уравнения сохранения (3.93) и (3.94). После
некоторых вычислений мы видим, что эти уравнения удовлетворя­
ются тождественно.
Итак, мы получили, что уравнения поля Эйнштейна и уравне­
ния сохранения удовлетворяют метрике внутреннего пространства
обычной вращающейся звезды, т.е. метрике пространства (3.28).


3.5 Стационарное безвихревое электромагнитное поле
95
3.5 Стационарное безвихревое электромагнитное поле обыч­
ной вращающейся звезды
Реальная звезда имеет своё собственное электромагнитное по­
ле. Поэтому мы должны ввести электромагнитное поле в теорию
жидких звёзд. Электродинамика в терминах хронометрически ин­
вариантного формализма была представлена в главе 3 нашей кни­
ги [18]. Сейчас мы следуем нашим вычислениям оттуда, применяя
их к нашей теории жидких звёзд.
Итак, как известно из общековариантной формулировки элек­
тродинамики [2 0 ], тензор энергии-импульса произвольного элек­
тромагнитного поля имеет вид
где Fap тензор электромагнитного поля, известный также как тензор
Максвелла. Тензор поля Fap представляет собой ротор четырёхмер­
ного электромагнитного потенциала А а
Физически наблюдаемыми х.и . - проекциями четырёхмерного
электромагнитного потенциала А а являются скалярный ц>и век­
торный q l электромагнитные потенциалы
Ап
<P=~F=,
ql =Al.
(3.101)
удоо
Тензор электромагнитного поля Fap (5.44) имеет следующие
физически наблюдаемые проекции
(3.99)
Fap —ѴаАд X7рАа
дАр дАа
(3.100)
дха дх@ '
Too ЕіEl +НщН*1
(3.102)
Реm -
—
-------- ----- 7
goо
87tcl
Uikm=с2Тік =psmc2hik-
—
ІЕ1Ек + H*lH*k) , (3.104)
47Г ѵ
'
(3.103)
где Е 1трёхмерный х. и . - вектор электрической напряжённости поля,
Н*1трёхмерный х.и . - псевдовектор магнитной напряжённости поля,


96
Глава 3 Описание обычных звёзд
тогда как еипп полностью антисимметричный единичный трёхмер­
ныйх.и.-псевдотензор [18]
р*ік _ _ ікпі/
П,
—
о /'//-
Я*і_ ^
_іт
птт
-
2е
= *ді£_ 1 *ддп
дхп+с dt
= *dqm _ *ддп
п дхп дхт
(3.105)
Как видноизопределений (3.105), х.и.-электрическая
напря­
жённость и х.и.-магнитная
напряжённость зависят не только от
потенциалов электромагнитного поля и д1, но и от характери­
стик пространства, содержащего это поле. Это
—
гравитационно­
инерциальная сила Fi, действующая в пространстве, и угловая ско­
рость вращения пространства Ад>
Будем полагать, что скалярный и векторный потенциалы элек­
тромагнитного поля постоянны и распределены однородно, т.е.
рассматриваемое электромагнитное поле является стационарным
и безвихревым. Другими словами, мы будем полагать, что
!*=<>,
^
=0
dt
дх1
*dgi А
*dqi *dqk
—
=°-
=«7-a?-=0
В этом случае мы имеем
Е1=-^Р, Ei=-^Fi
с
=
Нп= -
—
а,
2<р
с
(3.106)
(3.107)
гдеП*гтрёхмерныйх.и.-псевдовектор
угловой скорости вращения
пространства, определяемый как
1
2
О.*1= ^ еітпА„
1
2
Q--г Атп
“ь.*/—ЛС'ітп
(3.108)
Легко найти, что во внутреннем пространстве обычной враща­
ющейся звезды, т.е. в пространстве метрики (3.28), мы имеем
а*і
д *2 = ^COt6>
Г
П*2 = (orcote, (3.109)


3.5 Стационарное безвихревое электромагнитное поле
97
так что
П.уП4/ = а? ^ + cot2#
(3.110)
Как видно из формул (3.107), в стационарном безвихревом элек­
тромагнитном поле обычной звезды электрическая напряжённость
Е 1определяется скалярным электромагнитным потенциалом <рпо­
ля и гравитационно-инерциальной силой F 1, действующей в про­
странстве, а магнитная напряжённость поля Н*1 обусловлена ска­
лярным электромагнитным потенциалом <ри угловой скоростью П*‘
вращения пространства.
Используя эти формулы для Е 1 и Н*1 (3.107), получаем, что
физически наблюдаемые компоненты (3.102-3 .104) тензора элек­
тромагнитного поля Faр имеют вид
Реm
ті
Ф Jkmі7г\
•'em — 2яС^Ь гкіг,*т’
иік =
^pm
Р2 (FjFj
2лс2\ 4с2
+ а*<о.*Цык
</г /FlF
пс
ірк
2I4с2
+ а*1а*к
где след тензора напряжений поля Uem = hit Ufm равен
w2 IFFJ
Л
,
Usm ~ 2nc2("iс2 +
)=PemC'
(3.111)
(3.112)
(3.113)
(3.114)
Как следует из общего вида тензора энергии-импульса Тар,
удовлетворяющего метрике (3.28), этот тензор должен удовлетво­
рять условию р с2 = ЪѴ (3.89). Эта формула отличается от формулы
Р е т с2 = Uem (3.114), которую мы только что получили для стацио­
нарного безвихревого электромагнитного поля. Следовательно , мы
должны найти такую структуру электромагнитного поля, при кото­
рой Uem удовлетворяет р с2 = 3U.
Итак, согласно формуле іо2 cot2Ѳ+ | со2 = x U (3.88) и условию
рс2=31/ (3.89), полученным из х.и.-уравнений
Эйнштейна, плот­
ность поля внутри обычной вращающейся звезды должна быть


98
Глава 3 Описание обычных звёзд
Поэтому подставим требуемое условие
П*, СУ'
Uem —
(3.116)
в формулу (3.114), полученную для стационарного безвихревого
электромагнитного поля. Мы имеем
Фг (FjFJ
2^?\'4cr+ a*ja*J]=
(3.117)
или, раскрывая постоянную гравитации Эйнштейна к
c2a,jQ*j =
—
^
Fjpj-
1 4Gif2 J
1
8я-G
/.2 >
(3.118)
Мы рассматриваем стационарное электромагнитное поле. В том
случае скалярный и векторный электромагнитные потенциалы ос­
таются неизменными (<р= const, qi = const). Следовательно,
^Щ-=п,
п<2
(3.119)
с4
4
в формуле (3.118) — постоянный безразмерный коэффициент, за­
висящий только от скалярного электромагнитного потенциала <р.
Используя константу п (3.119), мы перепишем (3.118) как
с2О,, Q*j =
FiF‘,
п<\.
(3.120)
J
1-4п
4
Подставляя
Q.*J (3.110) и FiF1 (3.41) в условие (3.120), мы
представляем его в альтернативном (расширенном) виде
ш2(1 + 4 cot2#)
п
с^г-у
1-4я 4а6
(3.121)
Если п =Пщах = \ и, следовательно, р = <ymax, тогда угловая ско­
рость звезды со = оо, что бессмысленно. Отсюда мы заключаем, что
п< \ для всех реальных звёзд, включая Солнце. При п< \ мы полу­
чаем верхнюю границу численного значения скалярного электро­
магнитного потенциала реальной звезды
Ч>=
< 1,74 х ІО24 грамм1^2 см1^2 сек \ (3.122)


3.5 Стационарное безвихревое электромагнитное поле
99
Итого, при условии (3.120) стационарное безвихревое электро­
магнитное поле удовлетворяет уравнениям Эйнштейна и метрике
внутреннего пространства обычной вращающейся звезды. Други­
ми словами, при этом условии (3.120) неподвижная вращающаяся
обычная звезда является постоянным магнитом.
Поскольку п = const в стационарном электромагнитном поле,
приведённое выше условие (3.120) позволяет выразить характери­
стики электромагнитного поля через геометрические и физические
характеристики пространства. Другими словами, в данном конкрет­
ном случае мы можем геометризоватъ электромагнитное поле.
Теперь подставим полученные формулы для гравитационно­
инерциальной силы и для угловой скорости вращения пространства
в физически наблюдаемые компоненты (3.111 -3 .113) тензора элек­
тромагнитного поля Fop. С учётом соотношений (3.117) и (3.119)
получаем наблюдаемые компоненты Fap в виде
Pern —
■/еTM 4nG аъ sin#
Л
п С2Ѵ2Ѵ2
/1
Щ-+Ш2 7+СОІ2»
16а6
\4
2nG
НС2 tofg cote
Un=
'-'em
Н(Г
2nG
ллл
ь'а' о
—
—
Г+<*>
16 а6
U12= -
'-'em
НС2 й)2cote
2nG
U22 =
—
ет 2nGr2
с2г2г2
ьд
16 а6
-
cot2#
+о/--cot2#
и33 =
рт
пс
2nG r2 sin2#
r 2r2r2
9 + <о21т + cotz#
16а6
(3.123)
(3.124)
(3.125)
(3.126)
(3.127)
(3.128)
Из этих уравнений получаем, как и ранее,
Uem = ЫкUem = Рет<2 •
(3.129)
X.и.-уравнения Эйнштейна(3.123-3.128) могутбытьдополни­
тельно упрощены. В поверхностном слое звезды (г &а) первое ела-


100
Глава 3 Описание обычных звёзд
гаемое в скобках равно
16а6
С2!2
L9
16а4 '
(3.130)
Рассмотрим Солнце как пример. Его поверхностный слой совер­
шает один полный оборот с периодом =*27 суток, что эквивалентно
угловой скорости вращения - 2,7 х ІО-6 сек-1 . Поэтому второе
слагаемое в скобках равно
ші^ 1,8х10-12сек
(3.131)
Первый член в скобках, учитывая, что гильбертов радиус Солн­
ца гдѲ= 2,9 х 105 см и физический радиус Солнца а© = 7,0 х ІО10 см,
в десять раз меньше предыдущего
= 2,0 х ІО-13 сек-2 ,
(3.132)
16а4
поэтому мы можем пренебречь первым членом в скобках даже для
медленно вращающихся звёзд, таких как Солнце.
Таким образом, с вышеупомянутыми упрощениями, характер­
нымидляобычныхзвёзд,х.и.-уравнения Эйнштейна(3.123-3.128)
принимают упрощённую форму
то2 (1
ПС2 СОГд cote
J=-
РТП 4nG a3 sinѲ’
Un=-
uem
un=-
uem
nc2a>2 / 1
2nG \4
nc2 a>2cot9
2nG
r
-
cot Ѳ\,
U:гі_пЛІ_(1
te\,
1л!ІІ- U
1
^
2nGr2sin2^ (4 +
(3.133)
(3.134)
(3.135)
(3.136)
(3.137)
(3.138)


3.6 Уравнения Максвелла в безвихревом поле
101
3.6 Решение уравнений Максвелла в безвихревом электромаг­
нитном поле обычной вращающейся звезды
Как известно, электромагнитное поле описывается уравнени­
ями Максвелла. Они состоят из двух групп. Общековариантная
формулировка уравнений Максвелла имеет вид [20]
Ѵ(ГЕ>І,Г = —
VtTF4'fr = 0 ,
(3.139)
где первое уравнение даёт группу I, а второе уравнение даёт груп­
пу II. Здесь F*ll,r =
Fap псевдотензор, дуальный тензору элек­
тромагнитного поля Fap, тогда как /7' четырёхмерный вектор тока
в данном электромагнитном поле.
В терминах хронометрически инвариантного формализма об-
щековариантные уравнения Максвелла (3.139) имеют вид
*VjEj--HikAik=4np
С
1
1 /*ЯІГ*
*ѴкИік- -з FkH*
I, (3.140)
*ѴіН*1- ~ Е *ікАік =0
С
1
1 /*Л//**
*Ѵк Е*ік -
—
Fk E*ik - - ------- + DH*1
с1
c\ ot
П,
=
0
(3.141)
подробности см. в главе 3 книги [18]. Здесь Е пк = - s lknEk псевдо­
тензор, дуальный вектору электрической напряжённости £) поля,
Н*1= j s imnH mn псевдовектор, дуальный тензору магнитной напря­
жённости Нтп, тогда как I) = hlkDik скорость деформации простран­
ства. См . эти определения в формуле (3.105) из §3.5.
Физически наблюдаемые плотность заряда р и вектор тока j l
являютсях.и.-проекциями четырёхмерного
вектора тока j M
Р=--р=, Г=Ѵ
-
(3-142)
с Ѵ0ОО
Поскольку рассматриваемое пространство стационарно (мет­
рика жидкой сферы не зависит от времени), а электромагнитное


102
Глава 3 Описание обычных звёзд
поле также стационарно, то члены, содержащие тензор дефор ма­
ции пространства
и производные по времени от электрической
Е‘ и магнитной Н*‘ напряжённостей поля обращаются в нуль. В
этом случае х.и.-уравнения Максвелла (3.140 -3 .141) упрощаются
*VjEj--H ikAik=4np
с
*УкНік— \rFkHlk= — /'
с1
с
I,
*
Ѵі Я*
*ѴкЕ*ік
- Е*ікАік=0
с
\F kE*ik=0
с1
II.
(3.143)
(3.144)
Подставим формулы дл я гравитационно-инерциальной силы F,
(3.41) и угловой скорости вращения пространства А,* (3.48 -3 .51),
что мы получили для метрики пространства обычной вращающей­
ся звезды (3.28). Также подставим полученные нами в этом же про­
странстве формулы для электрической напряжённости Е 1и магнит­
ной напряжённости Н*1 (3.107) стационарного безвихревого элек­
тромагнитного поля.
Чтобы упростить вычисления, примем во внимание следующие
обстоятельства. Так как для Солнца сиѳ - 2,7 ХІ0~6сек-1 , гдѲ= 2 ,9 х
105 см, я0 = 7,0 х ІО10 см, то приведённые ниже члены принимают
следующие численные значения
(О
4,1 х 10“6
8,5 х 10“28 см"2 ■.
: 8,1 х 10“33 см-2
(3.145)
Для других обычных звёзд эти члены принимают численные
значения в пределах нескольких порядков от приведённых выше.
Поэтому в уравнениях для обычных звёзд указанные члены можно
опустить.
В результате мы видим, что уравнения группы II х.и . - уравнений
Максвелла (3.143 -3 .144) обращаются в нуль, а уравнения группы I


3.6 Уравнения Максвелла в безвихревом поле
103
принимают следующую форму
1<РГ9
2а3
= 4яр,
(І)(рcot#
г2sinѲ
= - 2лу'3.
(3.146)
Рассмотренные уравнения Максвелла характеризуют электро­
магнитное поле, возникающее за счёт зарядов и токов — источни­
ков поля, определяющих правые члены уравнений группы I. Источ­
ники электромагнитного поля (заряды и токи) определяются плот­
ностьюзарядаривекторомтокау\ являющимисях.и.-проекциями
четырёхмерного вектора тока у-// (3.142). Если бы правая часть урав­
нений была равна нулю, то это было бы электромагнитное поле без
источников (существующее независимо от источников).
Источники электромагнитного поля, которыми являются плот­
ность заряда р и вектор тока должны удовлетворять общекова-
риантному закону сохранения электрического заряда
ЪГ=0,
(3.147)
который также известен как уравнение непрерывности. Этот закон
означает, что четырёхмерный вектор тока у0" и, следовательно, его
х.и.-проекции р
и j l (источники электромагнитного поля) сохраня­
ются в четырёхмерном объёме поля.
Четырёхмерный электромагнитный потенциал А0" должен удо­
влетворять общековариантному условию Лоренца
ѴсгА*=0,
(3.148)
которое означает, что четырёхмерный потенциал поля А 0' и, следо­
вательно,егох.и.-проекции <ри ql, являющиеся х.и.-скалярным
и
х.и.-векторным потенциалами поля,сохраняютсявчетырёхмерном
объёме поля.
В произвольном электромагнитном поле общековариантные за­
кон сохранения (3.147) и условие Лоренца (3.148) имеют следую­
щуюх.и.-формулировку
*-^+pD+*Viji-±Fiji=0,
cL
dt
1*,
сdt
(3.149)
1*дф ф
—
1
* +^D +*Viql--F iql=0,
с
с1
(3.150)


104
Глава 3 Описание обычных звёзд
где мы обозначаем *Ѵ; = *Ѵ; - ^ h\. См . главу 3 книги [18].
Напомним, что мы рассматриваем стационарное безвихревое
электромагнитное поле. Это означает, что условия (3.106) должны
выполняться как для потенциалов поля <рп ql, так и для источни­
ков поля р и / г. Как легко видеть, в этом случае и поскольку мы
рассматриваем пространство, которое не деформируется (Д& = 0),
х.и.-закон
сохранения(3.149) их.и.-условие
Лоренца (3.150) удо­
влетворяются как тождества.
3.7 Решение уравнений Максвелла в вихревом электромаг­
нитном поле обычной вращающейся звезды
Рассмотрим обычную вращающуюся звезду с вихревым элек­
тромагнитным полем. Это означает, что ротор qik трёхмерного х.и,-
векторного потенциала qt поля отличен от нуля
Ли_ЛЗіфо
дхк дх‘
(3.151)
Как показано в главе 3 книги [18], где мы рассматривали реля­
тивистскую электродинамику, четырёхмерный потенциал электро­
магнитного поля А а имеет вид
Аа=<р
dxa
ds
dap
d_x^dx?
ds ds
=1,
a x.n .-проекцииAaимеютвид
Ao
_
~i==V’
ydoo
(3.152)
(3.153)
где<px.n .-скалярный релятивистский потенциал электромагнитно­
го поля, имеющий вид
<Р=
dxl
dr
v2 = hikvi vk. (3.154)
Пусть электрические заряды движутся внутри звезды только
вдоль экваториальной координаты ф, являющейся географической
долготой звезды (в сферических координатах г, Ѳ, ф). Примем так­
же, что заряды движутся с малыми скоростями (ѵ2 «с с2). В этом
случае ~ф=(р. Следуя нашему предыдущему рассмотрению обычных


3.7 Уравнения Максвелла в вихревом поле
105
вращающихся звёзд, мы также полагаем, что <р= const n q x = q2 = 0.
Тогда х.и . - компоненты А а принимают вид
= const,
(3.155)
где ѵ34= ^ физически наблюдаемая скорость зарядов вдоль эква­
ториальной координаты ф (в сферических координатах г, Ѳ, ф).
Полагая, что завихрение электромагнитного поля обусловлено
только вращением звезды, мы имеем
<іф
dr
= oj,
(3.156)
тогда ненулевые компоненты трехмерного х.и . - векторного потен­
циала qi и его ротора <уд имеют вид
т <ра>
q=—
фЫJ2 ■2а
q3= ----trsinѲ,
с
dq3 2(poj . 2
^гзі= —
= ------rsin Ѳ,
dr
с
qn=
~
f2 sin0 cos 6».
4
дѲ
с
(3.157)
(3.158)
(3.159)
Подставим теперь формулы для Ад (3.48 -3 .51), полученные для
метрики пространства обычной вращающейся звезды (3.28), в опре­
деление тензора магнитной напряжённости Яд (3.105). Получаем
ненулевые компоненты этого тензора
Я23= -
Ършг1 sin#
1 ( 3Га ГдГ2\
COSѲ+ -
1+
-
----- ^5-
с
2^ 4а
а3)
Язі =
2<f(or
surt-cosOI l +¥ - r
-4'
4а а3
и псевдовектора магнитной напряжённости Я*' (3.105)
я*і=2<РШ
н*2=2(РШ
\( гдг2\
1( 3Га 3ГдГ2)
19
2а3)
cosѲ+-
Х+~4а 2а3,
2\
1-
ГдГ_
2а3
sin#- cotЯ11+—--
-
9
3 Гд ЪГдІ2
4а 2а3
(3.160)
(3.161)
(3.162)
сг
(3.163)


106
Глава 3 Описание обычных звёзд
а его ковариантные (с нижним индексом) версии получаются как
H*\=h\\H* x и Я *2 = /і22#*2- В рамках нашего приближения, т.е.
пренебрегая членами более высокого порядка, мы имеем
Н*1
Н*2 2 ссо)
------ (sin#-cot#).
cr
(3.164)
(3.165)
Чтокасаетсях.и.-уравнений Максвелла,тоонивстационарном
электромагнитном поле имеют вид (3.143-3 .144)
*VjEj - - HikAik =4лр
с
*ѴкНік- \ ЕкНік= — f
cL
с
(3.166)
*уЖ 1- - Е*ікАік =0 Л
с
*ѴкЕ*ік - ^
- FkE*ik=0
II.
(3.167)
Подставим в эти уравнения полученные формулы для магнит­
ной напряжённости поля, а также формулы для электрической
напряжённости поля (3.105), адаптированные для стационарного
электромагнитного поля обычной звезды
Е»к=_eiknEnt
E.=
_
!f_Fi = ^
_
(З.І68)
Уравнения группы II (3.167) удовлетворяются тождественно.
Уравнения группы I (3.167) принимают вид
3 <РГд
2а3
4лр, (и<рcot#
г2sin#
= -2л]\
(3.169)
где р и / 3 плотность заряда и ток данного вихревого электромаг­
нитного поля.
Эти решения идентичны решениям (3.146), полученным в без­
вихревом электромагнитном поле обычной вращающейся звезды.
Также легко получить, что уравнение сохранения j ‘r = 0 (3.147)


3.8 Геометризация электромагнитного поля
107
и условие Лоренца 'Ч(ТАСГ=0 (3.148), х.и.-инвариантные
формулы
которых имеют вид (3.149) и (3.150), удовлетворяются в вихревом
электромагнитном поле как тождества.
Это означает, что все результаты, полученные ранее в безвихре­
вом электромагнитном поле обычной вращающейся звезды, верны
и в случае, когда электромагнитное поле звезды является вихревым.
Это происходит потому, что все слагаемые, появляющиеся в
уравнениях из-за завихрения электромагнитного поля, обращают­
ся в нуль в рамках приближения 2-го порядка . В терминах физики
это означает, что наличие завихрения в электромагнитном поле не
меняет источников поля обычной вращающейся звезды. Вихревое
электромагнитное поле может иметь смысл только в случае экзоти­
ческих звёзд, характеристики которых отличаются от характери­
стик обычных звёзд. Мы увидим разницу в главе 5 при рассмотре­
нии быстро вращающихся нейтронных звёзд (пульсаров).
3.8 Геометризация электромагнитного поля для обычной вра­
щающейся звезды
Используя геометрическую формулу скалярного электромаг­
нитного потенциала
^=с2^ ,
(3.170)
которая следует из (3.119), запишем неисчезающие х .и .- у р а в н е н и я
Максвелла (3.146), или (3.169), что то же самое, в виде
(3.171)
(3.172)
J=J = фккІЧк=фззрр
<ос2 соіѲ [ri
2пг УО (3.173)
где р плотность заряда, / 3 ток вихревого электромагнитного по­
ля, тогда как р и р подразумевают безвихревое поле. Безразмер­
ный коэффициент п = (3.119) принимает значения в диапазоне
0 < п < Чтобы понять, почему см. формулу (3.118).


108
Глава 3 Описание обычных звёзд
Источники электромагнитного поля здесь выражаются только
через геометрические характеристики пространства звезды и фун­
даментальные константы. Это означает, что мы полностью геомет-
ризовали источники стационарного электромагнитного поля обыч­
ной вращающейся звезды.
Теперь выразим электрическую и магнитную напряжённости
поля через геометрическую формулу скалярного электромагнит­
ного потенциала <р(3.170)
(зл74)
Н*1=-2іос
U COS9+l2
2с
G
id cos# + П*1) , (3.175)
н,г =2^ In(sin0_МѲ}=2с
-
П*2 1, (3.176)
Н,1 =
= Н*\
Н,2 = h22H*2 = г2Я*2,
(3.177)
(3.178)
где, согласно нашему расчёту (3.109-3 .110) в метрике пространства
обычной вращающейся звезды (3.28),
*i
(D
ІОСОІѲ
*1_Г\ _
П*1=£2,1=2 • а
=
П*2 = согсоіѲ , (3.179)
£2*уП*7 = (о2 ( - + со[2Ѳ
(3.180)
Отсюда мы выражаем плотность р ет и поток импульса J^m вих­
ревого электромагнитного поля. Согласно общим формулам (3.102)
и (3.103) для любого электромагнитного поля, мы получаем
hm ~ 2nd(4с2FjFJ+ау'ПІ +2лG
со2 п
<ri<s
=Рет+
77 > (3.181)
2ПG
3
с\г п/іоsing_
2\
з с2гдіо П
ет 4паЧтѲС\ г
) ет 4/ш3G'
(3.182)


3.8 Геометризация электромагнитного поля
109
Как видим, наблюдаемые характеристики электромагнитного
поля выражаются здесь только через геометрические характери­
стики пространства звезды и фундаментальные константы. Это ка­
сается как вихревого электромагнитного поля, так и безвихревого
поля звезды. В математическом смысле это означает, что электро­
магнитное поле обычной вращающейся звезды полностью геомет-
ризовано.
Итак, в случае обычной вращающейся звезды уравнения Макс­
велла и уравнения поля Эйнштейна удовлетворяются. Это означает,
что они представляют собой самосогласованную систему уравне­
ний Эйнштейна-Максвелла, полностью описывающую как гравита­
ционные, так и электромагнитные явления внутри обычных враща­
ющихся звёзд.
Наконец, мы можем заключить кое-что довольно интересное
для астрофизики, предварительно записав формулу для плотности
зарядар (3.171) в виде
Р=
Зе2 і— гд
------- т
Уп(т —
SnG a2
а
(3.183)
Здесь первый множитель совпадает с формулой для “критиче­
ской плотности” вещества во Вселенной
_
Зс2 _ ЗН2
^сг 8nGa2 8nG ’
(3.184)
известной из наблюдательной космологии, Н = с
-
постоянная Хаб­
бла, тогда как а радиус наблюдаемой Вселенной. По аналогии со
Вселенной критическая плотность формально может быть введена
для любой жидкой звезды. Поэтому мы можем выразить плотность
заряда р звезды как
р=pa'fnG — ,
(3.185)
Q
гдеn<j и VG=2,6х ІО-4 см3/2грамм-1/2сек-1 .
Если плотность зарядар = p crV«G, то физический радиус звез­
ды совпадает с её гильбертовым радиусом а = гд. Так как гд <к а для
обычных звёзд, мы заключаем, что плотность заряда внутри любой
обычной вращающейся звезды много меньше, чем p cr VhG, т.е.
р«; pcrVnG.
(3.186)


по
Глава 3 Описание обычных звёзд
В конце следует сказать несколько слов. Общая теория отно­
сительности — это геометрическая теория пространства -времени -
материи. Её первоочередная задача
—
выразить все физические
явления как проявления геометрии пространства (пространства-
времени). Гравитационное поле было первоначально геометризо -
вано Эйнштейном благодаря уравнениям поля (уравнениям Эйн­
штейна). Однако в то время электромагнитное поле не было гео-
метризовано: как показал ещё Эйнштейн, математически эта задача
в общем случае весьма нетривиальна. Тем не менее решить эту за­
дачу можно в частном случае, когда некоторые условия упрощают
математику. Таким образом, как было показано выше, мы полно­
стью геометризовали электромагнитное поле во внутреннем поле
обычной вращающейся звезды.
3.9 Заключение
Эта глава дополняет предыдущую главу 2, в которой мы рас­
сматривали обычные звёзды, включая Солнце. В этой главе были
решены три основные задачи.
Первое. В главе 2 при рассмотрении метрики внутреннего про­
странства жидкой звезды мы шли историческим путём, как это
делал Шварцшильд при введении метрики. А именно, — даже ко ­
гда мы вводили полную форму метрики внутреннего пространства
жидкой сферы (которая содержит сингулярности), мы использовали
обозначения Шварцшильда. Это обозначение происходит от общей
формы сферически-симметричной метрики и, таким образом , со­
держит коэффициенты еѵ и е л , которые являются функциями r u t .
Это — общий метод записи любой сферически -симметричной мет­
рики. Когда мы вычисляем физически наблюдаемые характеристи­
ки такого метрического пространства, мы получаем их в форме,
также выраженной через неизвестные еѵ и ел. Таким образом, мы
получаем физически наблюдаемые характеристики пространства в
неполном виде, что требует дальнейшего вычисления коэффициен­
тов еѵ и е л. Это создаёт огромные трудности при решении частных
задач в рамках метрики такого пространства. Поэтому в этой главе
мы изначально ввели метрику внутреннего пространства жидкой
сферы в окончательном виде, где коэффициенты еѵ и ел выражены
через основные характеристики сферы, такие как её физический


3.9 Заключение
111
радиус и гильбертов радиус, а также через радиальную координату
г и время t. В результате мы получили все компоненты фундамен­
тального метрического тензора в явном виде, без неизвестных ко­
эффициентов. Это было предметом §3.1 и §3.2 . Поэтому , как только
мы (или кто-то другой) будем дальше решать задачи для метрики
внутреннего пространства обычной жидкой звезды, мы изначально
будем иметь формулы для всех физически наблюдаемых характе­
ристик её внутреннего пространства.
Второе. Мы рассмотрели метрику пространства невращающей­
ся жидкой сферы. Тем не менее мы знаем, что большинство звёзд
вращается. Скорее всего все звёзды вращаются, но многие из них
вращаются медленно, так что доплеровское расщепление спек­
тральных линий, обусловленное вращением, не может быть заре­
гистрировано современными методами спектроскопии. В любом
случае, если мы рассматриваем жидкую звезду, обладающую элек­
тромагнитным полем, мы должны рассматривать метрику внутрен­
него пространства вращающейся жидкой сферы. Эта метрика была
введена в §3.3, затем мы ввели уравнения поля Эйнштейна и уравне­
ния Максвелла в форме, удовлетворяющей метрике. Мы показали,
что электрическая составляющая электромагнитного поля звезды
непосредственно зависит от её гравитационного поля, а магнит­
ная — от её вращения . Кроме того, мы обнаружили, что вихревой
характер электромагнитного поля не играет существенной роли в
обычных вращающихся звёздах.
Третье, о самом важном достижении этой главы. В §3.8 мы
показали, что в метрике внутреннего пространства вращающейся
жидкой звезды физически наблюдаемые характеристики электро­
магнитного поля выражаются только через геометрические харак­
теристики пространства звезды и фундаментальные константы. Это
означает, что во внутреннем поле вращающейся жидкой звезды
электромагнитное поле полностью геометризовано.


Глава 4
Звёздный ветер
4.1 Условие второй космической скорости для звезды
С поверхности любой звезды постоянно извергается поток ча­
стиц звёздного вещества. Часть потока состоит из настолько быст­
рых частиц, что они навсегда покидают гравитационное поле звезды
и уходят во внешний космос, создавая таким образом звёздный ве­
тер. ** С точки зрения нашей математической теории жидких звёзд
это означает, что частицы поверхностного слоя звезды движутся
быстрее второй космической скорости для звезды.
Почему частицы звёздного вещества покидают поверхность
звезды? Можно ли уподобить этот процесс кипячению воды в чай­
нике или это что-то совсем другое? Поиск ответа на этот вопрос и
составляет нашу исследовательскую задачу в этой главе.
Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны изучить движение
частиц звёздного вещества внутри звезды. Для этого сначала най­
дём формулу для второй космической скорости, выраженную через
компоненты метрики пространства жидкой звезды. Затем выведем
уравнения движения частиц звёздного вещества внутри звезды. Та­
ким образом, мы получим физические условия, при которых части­
цы поверхностного слоя звезды движутся быстрее второй космиче­
ской скорости. После этого мы сможем решать уравнения движения
частиц звёздного вещества.
Вторая космическая скорость ѵІЬпредставляет собой скорость,
с которой частица может навсегда “покинуть” гравитационное поле
массивного тела.^
‘ Звёзды Вольфа-Райе отличаются от всех обычных звёзд чрезвычайно мощ­
ным звёздным ветром: этот поток настолько мощный, что звезда Вольфа-Райе
теряет значительную часть своей массы со звёздным ветром.
*Первая космическая скорость ѵь известна я также как орбитал ьная скорость,
позволяет частице вращаться вокруг массивного тела, не падая на его поверхность.


4.1 Условие второй космической скорости для звезды
113
Предположим, что частицы звёздного вещества движутся ради­
ально от центра звезды к её поверхности. Пусть частицы достигнут
поверхности, а затем навсегда покинут звезду во внешний кос­
мос, образуя таким образом звёздный ветер. Поэтому формулу для
скорости частиц звёздного вещества, которая выражается через
вторую космическую скорость для звезды, мы называем условием
второй космической скорости.
Для сферически-симметричного тела с массой М вторая кос­
мическая скорость на расстоянии г от его центра равна
где гд = тогда как М масса тела (источника поля).
Как показано в главе 2, поле любой жидкой звезды имеет две
области. Они описываются двумя разными метриками . Метрика
жидкой сферы действительна от центра звезды (г = 0) до её поверх­
ности (г = а). Метрика точечной массы действительна в космосе
выше поверхности звезды. То есть, частицы звёздного вещества
движутся внутри звезды по траекториям, определяемым метрикой
жидкой сферы. Если частицы покидают звезду, они движутся в кос­
мосе по траекториям, определяемым метрикой точечной массы.
Таким образом, скорость частиц звёздного вещества, летящих
с поверхности звезды во внешний космос, получается как решение
уравнений движения массовой частицы согласно метрике точечной
массы. Выраженное через вторую космическую скорость, это —
условие второй космической скорости для звезды.
Мывыводимэтуформулукакрешениех.и.-уравнений
неизо­
тропных геодезических [18,19]
(4.1)
Эта формула исходит из метрики точечной массы (1.1),
г
+2m(fft+ Ау V* - mF‘+
=0


114
Глава 4 Звёздный ветер
которые представляют собой уравнения наблюдаемого движения
массовой частицы, движущейся с наблюдаемой скоростью ѵ \ Эти
уравнения получаются как х.и . - проекции общековариантных урав­
нений неизотропных геодезических. Подробнее см. [18,19].
Мы решаем уравнения (4.3) для частицы звёздного вещества,
движущейся вдоль радиального направления г. Поэтому
ѵ1=
Ф0,
ѵ2=ѵ3=0.
(4.4)
ат
Чтобы решить уравнения (4.3), нам нужно найти физически на­
блюдаемые характеристики пространства метрики точечной массы
(4.2). Как видно из метрики (4.2), это пространство не вращает­
ся и не деформируется (А;^ = 0, Dik = 0). Отличны от нуля только
гравитационно-инерциальная сила К, и символы Кристоффеля А1k.
Таким образом, для метрики (4.2) мы получаем
Fi=-
ГГд
2г21-Ьг
F=-
сгд
2г2
1
/гі1=^т=1_^ ’ h22=h
=r2,
=±
(4.5)
(4.6)
А
А
___L_
2r2\ - r±
г
3-I
13“
’
А1
A1-33
а22_
sin2#
А33 = - sin#cos#,
(4.7)
(4.8)
Отсюда получаем, что х.и . - уравнения движения (4.3) в про­
странстве метрики точечной массы имеют вид
1dm
гд1dr
mdr
2г2i_rj_dr
Г
dr\
rg 1 /rfr\2 c2rg
mdT\ dr) 2г2і_і£\д?т/ +2r2
Г
(4.9)
mo
r2
Г
dr_
dr'
где
m=
(4.10)


4.1 Условие второй космической скорости для звезды
115
Здесь, обозначив релятивистскую массу частицы на поверхно­
сти (г = а) звезды как М(р>(это — “стартовая масса” частицы при
её выходе из звезды), и обозначив наблюдаемую скорость частицы
при выходе из звезды как го, мы имеем
т=т(о>лЕІ ГП(Р)=
то
1-
Т2' о
(4.11)
І'4)
Приступимкрешениюх.и.-уравнений
движения (4.9). Подста­
вив скалярное уравнение в векторное, получаем векторное уравне­
ние движения вдоль радиальной координаты г
+2 (ГГа
Г-
г2^
—
2г2
г
Обозначим г = у. Тогда
=0.
г=уу ,
и уравнение (4.12) принимает вид
,
dy
У=Тг’
УУ-гд У сг,.
г2і_г± 2г2
=0.
(4.12)
(4.13)
(4.14)
Полагая и(г) = у 2, сводим его к обыкновенному линейному диф­
ференциальному уравнению
2г.д
U
СГа
Г2^
—
=0.
Это уравнение имеет следующее точное решение
£ g(r)eFdrj:
и-еFIио+ I g(r)eFdr\, ио =УІ =*о,
(4.15)
(4.16)
где входящие в него функции имеют вид
F(r)=Гf(r)dr, /(r)=-^f—Ц -,
д(г)=С
-^
-.
(4.17)
Jr
rzI_r±
rl


116
Глава 4 Звёздный ветер
Интегрируя функцию /(г), получаем
Подставляя (4.17-4 .19) в (4.16) и пренебрегая высшими степе­
нями члена ^ (они ничтожны для обычных звёзд), получаем
Отсюда мы получаем формулу для лучевой скорости частицы
звёздного вещества, покидающей звезду со звёздным ветром. По­
скольку ѵп (4.1) на поверхности звезды (г =а) принимает вид
мы получаем лучевую скорость частицы г
Итак, эта формула и есть условие второй космической скорости,
которое мы искали. Если го = 0, то уравнение (4.22) демонстрирует
совершенно очевидное условие
Согласно этому условию частица звёздного вещества не может
покинуть гравитационное поле звезды, если её стартовая скорость
на поверхности звезды равна нулю. Поэтому при дальнейшем рас­
смотрении звёздного ветра во всех уравнениях теории всегда пред­
полагается го Ф0 .
(4.21)
(4.23)


4.2 Светоподобные частицы внутри обычной звезды
117
Получим окончательное упрощение условия второй космиче­
ской скорости (4.22). Сравним численные значения членов под кор­
нем. Обозначим последний член под корнем как
,,2
(4.24)
Для Солнца, типичной обычной звезды, имеем: Ѵп = 617 км/сек,
гд=2,9км,го =750 км/сек*иа =7,0 X105 км.Поскольку q =0 при
г = а, примем г > а как для звёздного ветра. Тогда мы получаем
0'^10~5,
—
< 4,1х10-6, <7<5,3х10-11. (4.25)
cL
г
Для типичной звезды класса Вольфа-Райе (см. таблицу 1.1) име­
ем:ѵп=982км/сек,гд =150км,/р=2200км/секиа=1,4х ІО7км.
Поэтому для типичной звезды Вольфа-Райе мы получаем
7*2 _|
_у2
у
0, 11*6,4хКГ5,
—
< 1,1хКГ5, q <1,2хКГ9.(4.26)
с1
г
Член q настолько мал, что им можно пренебречь. Поэтому фор­
мула для условия второй космической скорости имеет вид
dr
dr
(4.27)
Как следует из этой итоговой формулы, на поверхности звезды
(г = а) скорость частицы звёздного вещества равна го-
4.2 Светоподобные частицы внутри обычной звезды
Рассмотрим теперь, как ведут себя частицы звёздного веще­
ства и частицы света внутри звезды (звёзды наполнены не толь­
ко веществом, но и светом). Сначала рассмотрим светоподобные
(безмассовые) частицы. Такие частицы движутся по изотропным
геодезическим линиям.
*>о - 750 км/сек типично для частиц быстрой компоненты солнечного ветра,
состав которой тот же, что и фотосферы . Напротив, медленная составляющая
солнечного ветра имеет состав, близкий к составу короны. Её частицы летят от
Солнца со скоростью около 400 км/сек.


118
Глава 4 Звёздный ветер
Х.и . - уравнения изотропных геодезических вид [18,19]
dco
dr
%Fi<*+^ D ik<*<* =О
d{cod)
dr
+ 2(о(D[ + Л£) с* - coF1+ со/^пкспск = О
\
(4.28)
и являются уравнениями наблюдаемого движения светоподобной
частицы (фотона с частотой со), движущейся с наблюдаемой скоро­
стью света с1. Эти х.и.- уравнения выводятся как наблюдаемые про­
екции общековариантных уравнений изотропных геодезических.
Как и ранее, мы полагаем, что звезда не вращается и не дефор­
мируется (Aik = 0, Dik = 0). Также мы рассматриваем фотон, который
движется строго радиально (в направлении х 1 = г) от центра звезды
к её поверхности. В этом случае х.и . - уравнения изотропных геоде­
зических (4.28) внутри обычной звезды принимают вид
dco
dT
-
%F\cl =0
d{cocl )
dT
-
coF1 + oiAJjc' c1 = 0
'i
(4.29)
где наблюдаемая (световая) скорость фотона равна с1 =
Рассмотрим х.и . - скалярное уравнение геодезических (4.29).
Подставляя F\ (3.6) метрики жидкой сферы, имеем
1 dco
со dr
(4.30)
или, в виде, который легко интегрируется
d\n.co =
= йИп
1
(4.31)


4.2 Светоподобные частицы внутри обычной звезды
119
Мы изучаем только фотоны внутри звезды, т.е. ищем решение
для интервала гд < г < а. После интегрирования получаем
g
со = ---------------------------- ,
В = const.
(4.32)
зѴ ні-Ѵй?
Предположим, что фотоны исходят из гильбертовой поверхно­
сти звезды (го = Гд). Тогда
В
/
toо
V
(4.33)
где а>о есть начальное значение частоты ф ото на (на гильбертовой
поверхности внутри звезды). Поскольку гд <к а дл я обычных звёзд,
мы пренебрегаем членами высшего порядка от —. Тогда решение
х.и . - скалярного уравнения геодезических (4.32), показывающее ча­
стоту фотона, принимает вид
(О=
(4.34)
Теперь рассмотрим х.и . - векторное уравнение геодезических
(4.29). При радиальном движении фотона оно имеет вид
d2r 1 dojdr
dr2 todrdr
(4.35)
Обозначим r =
иr=
затем подставим
(4.30), Д}j (3.8)
и F 1 (3.7). Таким образом, х .и . - векторное уравнение геодезических
(4.35) преобразуется в нелинейное дифференциальное уравнение
2 -го порядка по г
г-
ГдГ
Г2
г2
С2ГдГ
а3 I ГдГ2
1а3
= 0.(4.36)


120
Глава 4 Звёздный ветер
В таком виде уравнение просто нерешаемо. Поэтому упро­
стим его формулой для г2, взятой из очевидного соотношения
hikdc^ = с2, которое в данном случае имеет вид
і2
------- Т = с2.
(4.37)
1_rjl1
1а3
В результате исходное уравнение (4.36) принимает вид
с2гаг
г+—
=0.
(4.38)
Это — уравнение гармонических колебаний с частотой
£1= -л
-
Ѵп
а
2GM
(4.39)
которая, как видите, зависит от второй космической скорости ѵп
(4.21), рассчитанной для звезды.
В общем случае частота П (4.39) зависит только от массы М
и радиуса а, которые являются интегральными характеристиками
звезды. Поэтому мы называем её собственной частотой звезды .
В таблице 4.1 приведены численные значения собственной ча­
стоты П, вычисленные нами для типичных представителей извест­
ных классов звёзд согласно нашей теории жидких звёзд.
Собственная частота П звезды достигает предельно большой
величины ПП1ах= I на rg = а. Это — случай гравитационных коллап-
саров (чёрных дыр), который применим и ко Вселенной в целом. По
наблюдательным оценкам, радиус Вселенной равен а = 1,3 х ІО28 см
и равен её гильбертовому радиусу rg. Таким образом , Вселенная
представляет собой огромный гравитационный коллапсар. Вычис­
ляя собственную частоту П для Вселенной, мы получаем
Птах= - = 2,3х КГ18сек-1,
(4.40)
а
что соответствует числовому значению постоянной Хаббла, кото­
роеравноЯ = £ = (2,3 + 0,3)х ІО-18 сек-1 .В этом случае интеграль­
ная масса Вселенной должна быть, согласно (4.39),
М=
2„3
а1а
= 8,8 х 1055 грамм,
2G
(4.41)


4.2 Светоподобные частицы внутри обычной звезды
121
Объект
Масса Радиус Собств. частота
грамм
а, см
П, сек-1
Звёзды Вольфа-Райе
1,0 х ІО35 1,4 х ІО12
7,0 х 10“5
Красный сверхгигант* 4,0 х ІО34 7,0 х ІО13
1,6 х КГ7
Белый сверхгигант*
3,4 х ІО34 4,8 х ІО12
6,4 х 10“б
Солнце
2,0 х 1033 7,0 х ІО10
8,8 х ІО"4
Юпитер (протозвезда) 1,9 х ІО30 7,1 х ІО9
8,4 х ІО”4
Красные карлики
6,7 х 1032 2,3 х ІО10
2,7 х ІО”3
Коричневый карлик*
4,1х1031 7,0хІО9
7,4 х ІО-2
Белый карлик^
2,0х1033 6,4х108
1,0
Вселенная
8,8 х 1055 1,3 х 1028
2,3 х ІО”18
*Бетельгейзе. * Ригель. :|:Corot-Exo-3. §Сириус В.
Таблица 4.1: Собственная частота 11 для типичных звёзд известных
классов, а также для Вселенной.
что совпадает с наблюдаемым диапазоном средней плотности веще­
ства во Вселенной, который, согласно астрономическим оценкам,
составляет от ІО-28 до ІО-3 1 грамм/см3.
Вернёмсятеперь кх.и.-векторному
уравнению движения све­
топодобных частиц внутри жидкой звёзды в его финальной форме
(4.38). Это уравнение решается как
г=В\cos
—
—
+ B2sin л/——
(4.42)
где В\ и В2 постоянные интегрирования. Полагая г и г в начальный
момент физически наблюдаемого времени то = 0 равными го = гд и
го =с, мы получаем константы интегрирования
ВХ=Гд,
В2=а
(4.43)
В результате мы получаем окончательное решение для радиаль­
ной координаты г светоподобной частицы, движущейся радиально
внутри звезды от её центра к поверхности
г=гдcosПт +а. а
.
л
—
sinПт, П= -
Г9
а
(4.44)


122
Глава 4 Звёздный ветер
которое по сути является уравнением гармонических колебаний
r = A \ cos П т + Аг sin Пт. Дифференцируя решение (4.44), мы полу­
чаем скорость колебаний фотона
Как видно из решения (4.44), вся светоподобная материя каж­
дой звезды колеблется с частотой П (4.39), которая является соб­
ственной частотой этой конкретной звезды и определяется её мас­
сой и радиусом. Это колебание происходит с двумя амплитудами:
а) Амплитуда А \ = гд совпадает с радиусом внутреннего про­
странственного разрыва поля звезды на поверхности её гиль­
бертова ядра, где выделяется звёздная энергия;
б) Амплитуда /\ д = ^ ja ^ /rg совпадает с внешним пространствен­
ным разрывом поля звезды (подробнее см. главу 2). Внешний
пространственный разрыв находится вне звезды, во внешнем
космосе. ДляСолнца (а=7,0 х ІО10см, гд =2,9 х 105 см)мы
получаемАг= 3,4 х 1013 см =2,3 а.е., что является расстоя­
нием от Солнца до максимальной концентрации астероидов в
поясе астероидов. Это означает, что светоподобная звёздная
материя каждой звезды колеблется с одной и той же частотой
как на сферической поверхности внешнего пространственно­
го разрыва в поле этой конкретной звезды, в далёком космосе,
так и на поверхности гильбертова ядра глубоко внутри этой
звезды.
Упомянутое колебание светоподобной материи каждой звезды
обусловлено гравитационным полем этой конкретной звезды (со­
здаваемым её массой М).
Как это колебание влияет на частоту фотона? Чтобы ответить
на этот вопрос, рассмотрим полученное решение для частоты фо­
тона о) (4.34) в двух предельных случаях, соответствующих двум
амплитудам колебаний: г =А\ =гд и r = Aj = ^Ja3/гд. Таким обра­
зом, частота принимает следующие численные значения
(4.45)
г =А\=Гд , а>= а>0
= OJ0,
(4.46)


4.3 Частицы звёздного вещества внутри обычной звезды
123
п2
зVi-
—-
1
г=А2= —,
о)=т
V°
-
•
(4.47)
Гд
Зл/і - Г±
у
а
Как видно из этих формул, это колебание не меняет частоту
звёздного излучения вблизи гильбертова ядра (в центре звезды),
но влияет на частоту звёздного излучения на больших расстояниях
от гильбертова ядра.
4.3 Частицы звёздного вещества внутри обычной звезды
Такие частицы движутся по неизотропным геодезическим. Х .и,-
уравнения неизотропных геодезических [18,19] имеют вид (4.3)
dm
dr
TMFij +'^Dik^
=О
т
d(mvl)
dr
+2т(р\+А ѵ*- mFl+тД^ѵѴ =О
>. (4.48)
Будем считать, что обычная звезда представляет собой жидкую
сферу, которая не вращается и не деформируется (/\д = 0, Dlk= 0).
Для частицы звёздного вещества, движущейся внутри звезды ради­
ально от центра к поверхности, наблюдаемая скорость равна ѵ1 =
тогда как ѵ2 = ѵ3 = 0. В этом случае х.и.-уравнения неизотропных
геодезических (4.48) принимают вид
dm
dr
=0
дфтѵ1)
dr
-
mFl+тД^ѵЧ1 0
(4.49)
Они имеют ту же структуру, что и х.и . - уравнения изотропных
геодезических (4.29) и решаются одинаковым способом. Но массо­
вые частицы не удовлетворяют условию скорости света hikcick = c2
(4.37), которое мы использовали для уравнений изотропных гео­
дезических. Поэтому х.и . - уравнения неизотропных геодезических
(4.49) будут иметь другое решение, чем то, которое мы получили
для х.и . - уравнений изотропных геодезических (4.29).
Подставим в х.и.-скалярное уравнение геодезических для ча­
стицы звёздного вещества (4.49) выражение для F\ (3.6), которое


124
Глава 4 Звёздный ветер
мы получили для метрики жидкой сферы. Таким образом, мы по­
лучаем это уравнение в виде
1dm
тdr
(4.50)
Это уравнение можно переписать в следующем виде, который
легко проинтегрировать
dlnm
При гд < г < а (мы изучаем только частицы внутри звезды) после
интегрирования получаем
т=
В
В = const.
(4.52)
Пусть частицы стартуют с гильбертовой поверхности (го = гд)
рядом с центом звезды. Тогда
где
/
В=т(о) 3
V
(4.53)
(4.54)
—
начальное значение релятивистской массы частицы на гильбер­
товой поверхности звезды. Поскольку rg <sta для обычных звёзд,
мы пренебрегаем членами высшего порядка в С учётом всего


4.3 Частицы звёздного вещества внутри обычной звезды
125
этогорешениех.и.-скалярного
уравнения геодезических, которое
представляет собой (4.52), принимает вид
(4.55)
где мы имеем
Щ0) =
(4.56)
в рамках упомянутого выше приближения.
Теперьрассмотримх.и.-векторное уравнение геодезических из
(4.49). При нашем предположении, что частица звёздного веще­
ства движется радиально от центра звезды к её поверхности, это
уравнение имеет вид
d2r 1 dmdr
dr2 mdrdr
(4.57)
С подставленными (4.30), Ajj (3.8), F 1 (3.7) и с обозначе­
ниями r =
и r = ^ эт о ур авнение пре образу ется в нелинейное
дифференциальное уравнение 2 -го пор ядка относительно г
ГдГ
Г2
ГдГ Г2
С2ГдГ
= 0. (4.58)
Оно идентично уравнению (4.36), полученному нами для фото­
на, и тоже нерешаемо. Поэтому, очевидно, его надо упростить. Для


126
Глава 4 Звёздный ветер
упрощения этого уравнения выразим г2 из очевидного соотноше­
ния h \\ff = г2, которое принимает вид
/ гаг
.2\ < т2^
1_
т2
где
т=
то
(4.59)
(4.60)
1-
N
Из (4.55) следует, что
(з
т
т
зѴНЬ1
Поэтому из (4.59) получаем
(4.61)
г2=с21-
"
ГпГ2 '
1-
(зѴйі-Ѵ ^¥)М)
(зз/і7 ?
(4.62)
Подставляя эту формулу для г2 в исходное дифференциаль­
ное уравнение (4.58) и пренебрегая членами высшего порядка от
мы приводим х.и . - векторное уравнение геодезических (4.58) к
следующему виду, в котором оно вполне решаемо
02+ #
г+
2а3
=
0.
(4.63)
Это — уравнение гармонических колебаний с частотой
П=
1(с2+/’о)і
2d3
(4.64)
Это решение касается частиц звёздного вещества. К ак легко ви­
деть, эта формула преобразуется в формулу для частоты колебаний
звёздных фотонов П (4.39) при предельном условии г = с.


4.3 Частицы звёздного вещества внутри обычной звезды
127
X.и.-векторное уравнение геодезических(4.63)решаетсякак
где постоянные интегрирования Q\ и Q? получаются из условий
го = гд и го = 0 в начальный момент времени то = 0. Мы получаем
который представляет собой уравнение гармонических колебаний
r = A\ cos П т +А2 sin Пт. В итоге, дифференцируя (4.67), мы полу­
чаем радиальную скорость частицы звёздного вещества во внутрен­
нем пространстве обычной звезды
Полученное решение (4.67) показывает, что частицы жидкого
вещества каждой звезды колеблются с частотой П (4.64), которая
зависит от массы и радиуса этой конкретной звезды, а также от
начальной скорости частиц. Это колебание происходит с двумя
амплитудами:
а) Амплитуда А\ = гд такая же, как и у светоподобной звёздной
материи (см. §4.2). Это означает, что частицы жидкого веще­
ства каждой звезды колеблются с той же амплитудой, что и
светоподобная материя этой конкретной звезды. Эта ампли­
туда совпадает с радиусом внутреннего пространственного
разрыва поля звезды на поверхности её гильбертова ядра, где
выделяется звёздная энергия;
б) Амплитуда
г= <2icosПт+Q2sinПт,
(4.65)
(4.66)
Поэтому окончательное решение для г имеет вид
гоа^ріа
.
г = гд cosПт + ----------------- sin П т ,
(4.67)
(4.68)


128
Глава 4 Звёздный ветер
зависит от начальной скорости го частиц звёздного вещества.
Если го = с, то А2 = yja3/r g совпадает с амплитудой колебания
светоподобной звёздной материи (см. §4.2). Согласно (4.69)
начальная скорость тех частиц, амплитуда колебания которых
достигает поверхности звезды (Аг = а), равна
с
_
Уд
Ѵ2й-г9
ЛІ2-
—
Уа
Ѵп
Ѵ2’
ѵп=
2GM
а
, (4.70)
где ѵп (4.21) вторая космическая скорость для звезды, с кото­
рой частицы, что р ядом со звездой, навсегда покидают её гра­
витационное поле. Таким образом, по условию А2 > а в (4.69)
мы получаем скорость го, которая необходима частице звёзд­
ного вещества, чтобы навсегда улететь с поверхности звезды
в космос. Она отличается от второй космической скорости ѵп
для частицы, не связанной с веществом звезды
Выразим формулу для собственной частоты звезды П
через орбитальную скорость V! частицы звёздного вещества
Используя эту формулу, мы выражаем г (4.67) в виде
(4.71)
(4.64)
(4.72)
г = гдcosПт +
ѣа
.
0
,
sin Пт
ѵ.Ѵ^і
т.е. ввиде г=А\ cosПт+АгsinПт. Итак, мыимеем
(4.73)
М=Гд,
Аг
гоа
Ѵі
Таким образом, г (4.68) превращается в
(4.74)
г
ГдУі
а
г2
го
1+ sinПт + гоcosПт.
(4.75)


4.3 Частицы звёздного вещества внутри обычной звезды
129
Рассмотрим теперь амплитуду /\ д (4.74) для некоторых частных
случаев, когда она имеет разные численные значения:
1. Если го = 0, мы имеем А2 = 0 согласно определению А2 (4.74).
Следовательно, частицы звёздного вещества колеблются с ам­
плитудой Гд. Другими словами, если го = 0, частицы не могут
достигнуть поверхности звезды и, следовательно, покинуть
звезду;
2. Если го = ѵь частицы также не могут покинуть звезду. Это
потому, что они колеблются с амплитудой также меньше фи­
зического радиуса звезды
А2=
.
й <а;
(4.76)
3. Если го = ѵп, то частицы покидают звезду. Это потому, что в
случае го = ѵп мы имеем
А2=
!Ѵ2
V
-
1
1+2
^ ) йѴ2^йѴ2>й;
(4.77)
4. Если Аг = а, то амплитуда равна физическому радиусу звезды.
Тогда из определения (4.74) получаем, что
го
(4.78)
т.е. частицы движутся немного медленнее, чем орбитальная
скорость звезды. Это означает, что если амплитуда равна фи­
зическому радиусу звезды (А2 = а), то частицы могут выпры­
гивать с поверхности звезды, но при этом не выходить на её
орбиту (они будут всегда падать обратно на звезду).
Таким образом, новая математическая теория жидких звёзд да­
ёт прочное теоретическое обоснование звёздного ветра, испуска­
емого звездой, как ветра, состоящего из двух компонент. Одна
из этих компонент немного медленнее, чем орбитальная скорость
звезды, а другая — быстрее второй космической скорости . Этот
вывод соответствует данным наблюдений. Так, например, солнеч­
ный ветер состоит из двух компонент. Медленный солнечный ветер


130
Глава 4 Звёздный ветер
распространяется со скоростью около 400 км/сек, что меньше ор­
битальной скорости Солнца, равной ѵ, = 440 км/сек. Быстрый сол­
нечный ветер распространяется со скоростью около 750 км/сек, что
превышает вторую космическую скорость Солнца Ѵп= 617 км/сек.
4.4 Заключение
Подытожим основные выводы, которые мы получили о проис­
хождении звёздного ветра. Выводы следующие:
1. Светоподобная материя каждой звезды колеблется с опреде­
лённой частотой
характеризующей эту конкретную звезду. Это означает, что
каждая звезда имеет свою характерную частоту П в соответ­
ствии с её массой М и радиусом а. Поэтому мы называем её
собственной частотой звезды;
2. Это колебание происходит с двумя амплитудами. Амплиту­
да А\ = гд совпадает с радиусом гильбертова ядра звезды, на
поверхности которого выделяется звёздная энергия. Другая
амплитуда А%= yja3/ r g совпадает с радиусом пространствен­
ного разрыва в поле звезды, находящегося во внешнем космо­
се. Для Солнца Аг = 3 ,4 х ІО13 см = 2,3 а.е. совпадает с макси­
мальной концентрацией астероидов в поясе астероидов;
3. Это — общее колебание всего светоподобного вещества звез­
ды. Оно происходит из -за наличия у звезды гравитационного
поля, источником которого является её масса М . Другими
словами, это колебание — собственное “дыхание” звезды;
4. Частицы жидкого вещества каждой звезды колеблются с дву­
мя амплитудами на определённой частоте
(4.79)
П=
1+ -2 , (4.80)
которая определяется массой и радиусом этой конкретной
звезды, а также зависит от начальной скорости го этих ча­
стиц. Эта частота может быть выражена через вторую косми­


4.4 Заключение
131
ческую скорость ѵп и орбитальную скорость ѵь рассчитанные
для звезды;
5. Амплитуда их колебаний Л | = гд такая же, как и у светоподоб­
ного вещества (фотонов) звезды. Другая амплитуда Ах зависит
от начальной скорости частиц
А-2
гоал[2а
гоа
^l(c2+rl)rg Vl>/l + §
(4.81)
6. Звёзды излучают свет (поток фотонов) и извергают потоки
частиц звёздного вещества (звёздный ветер) не в силу особых
физических условий, а автоматически. Трёхмерное уравнение
движения частиц (как фотонов, так и частиц звёздного веще­
ства), движущихся радиально от центра жидкой звезды к её
поверхности, представляет собой уравнение гармонических
свободных колебаний
г+П2г=0 ,
2= _2Ті =С2Гд_
гЛ
(4.82)
гдеF\=—
естьлинеаризованная форма (в смысле гд « ; а)
силы гравитации, действующей внутри любой жидкой звез­
ды. Это — неньютоновская гравитационная сила, пропорцио­
нальная расстоянию, которая является причиной упомянутых
общих колебаний как светоподобной звёздной материи, так и
звёздного вещества. Как только амплитуда колебаний превы­
шает физический радиус звезды, частицы вылетают из звезды
в космос. Следовательно, причиной как излучения звёзд, так
и звёздного ветра является внутреннее строение тел звёзд,
представляющих собой жидкие сферы в состоянии невесомо­
сти в космосе;
7. Согласно этой теории, звёздный ветер, испускаемый любой
звездой, состоит из двух компонент: медленного звёздного
ветра и быстрого звёздного ветра. Частицы, амплитуда коле­
баний которых достигает поверхности звезды (Л2 = а), имеют
начальную скорость
Ѵі
Vi<Vi,
Го=
(4.83)


132
Глава 4 Звёздный ветер
которая не превышает орбитальной скорости звезды ѵь Ча­
стицы, скорость которых равна второй космической скорости
звезды (/о = ѵп), имеют амплитуду колебаний
-
2^= =(і-
1 2с>
(4.84)
Это означает, что медленный звёздный ветер состоит из ча ­
стиц, амплитуда колебаний которых находится в диапазоне
а < А 2 < а Ѵ2. Эти частицы покидают поверхность звезды, но
не навсегда. Они всегда падают обратно на звезду. Быстрый
звёздный ветер состоит из частиц, амплитуда колебаний ко­
торых равна А г > а ЛІ2. Они навсегда покидают гравитацион­
ное поле звезды во внешний космос. Этот теоретический р е­
зультат согласуется с данными наблюдений: солнечный ветер
делится на медленный солнечный ветер, движущийся со ско­
ростью ~ 400 км/сек (медленнее, чем ѵІѲ= 440 км/сек) и быст­
рый солнечный ветер, движущийся со скоростью ~ 750 км/сек
(быстрее, чем ѵп©= 617 км/сек).


Глава 5
Нейтронные звёзды
и пульсары
5.1 Введение метрики пространства вращающейся нейтрон­
ной звезды
Эта глава — самая короткая и самая сложная в математиче­
ском отношении среди других глав этой книги. Мы применим нашу
модель жидких звёзд к нейтронным звёздам и пульсарам. Высокий
уровень сложности связан с тем, что, как только мы вводим в мет­
рику пространства вращение даже вокруг одной координатной оси,
дальнейшие вычисления становятся весьма проблематичными. Так
или иначе, давайте начнём.
Нейтронные звёзды и пульсары относятся к типу II по нашей
классификации звёзд согласно общей теории относительности (см.
таблицу 1.1 в §1.2). Это означает, что физический радиус а такой
звезды немного больше её гильбертова радиуса гд:звезда почти кол-
лапсар, но всё же имеет возможность светиться как обычная звезда.
В §1.2 мы показали, что метрика пространства жидкой сферы пре­
образуется в метрику вакуумной сферы де Ситтера при условии
гравитационного коллапса (а = гд, т.е. жидкая сфера в состоянии
коллапса). Эта метрика имеет вид (1.16)
ds2
c2dt2
-
г2 (d92 + sin29d<p2} . (5.1)
Физические параметры нейтронных звёзд и пульсаров близки к
параметрам коллапсаров, но не совпадают (см. таблицу 1.1). Поэто­
му метрика (5.1), включающая условие коллапса, близка к метрике
нейтронной звезды или пульсара, но не является таковой.
Как модифицировать метрику пространства коллапсара (5.1),
чтобы получить метрику нейтронной звезды или пульсара? Выйти


134
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
из состояния коллапса, но в то же время оказаться рядом с ним.
Легко.
Напомним, частное условие гравитационного коллапса (доо = 0)
вытекает из общего условия гравитационного коллапса, согласно
которому физическое наблюдаемое время т (1.30) останавливается
на поверхности объекта
Если пространство объекта не вращается (все доі = 0), возникает
упомянутое выше частное условие коллапса (доо = 0).
Как только объект вращается (хотя бы одна из всех трёх величин
доі отлична от нуля), условие доо = 0 может оставаться верным на
поверхности объекта, но не означает гравитационный коллапс. Это
связано со вторым членом условия полного коллапса (5.2), кото­
рый в данном случае не равен нулю. Поэтому, как только вращение
введено в метрику (5.1), метрика описывает сферу , находящуюся
вне состояния гравитационного коллапса. Чем быстрее вращается
сфера, тем больше её состояние отличается от состояния сколлап-
сировавшей сферы.
Если мы добавим вращение к метрике сколлапсировавшей жид­
кой сферы, а также найдём уравнения поля Эйнштейна в форме,
содержащей сильное магнитное поле и в то же время удовлетво­
ряющей этой метрике, мы получим полное описание вращающейся
нейтронной звезды или пульсара. Это
—
наш план исследования
для данной главы.
Во-первых, мы добавляем пространственное вращение к метри­
ке (5.1) в соответствии с теорией хронометрических инвариантов:
см. формулы (1.45) из §1.3. Предположим, что объект — жидкая
сфера радиуса а — вращается с угловой скоростью <о вдоль своей
экваториальной оси (оси ф в сферических координатах г, Ѳ, ф). В
этом случае исходная метрика сколлапсировавшей жидкой сферы
(5.1) принимает следующий вид
dr = л[дооdt +
dxl=0.
слфдoo
(5.2)
а‘
(5.3)


5.1 Метрика пространства вращающейся нейтронной звезды
135
что означает, что данная сфера не является коллапсаром из-за её
вращения.
Линейная скорость такого вращения определяется got метрики
по общей формуле (1.45). В данном случае,
ѵ\=Ѵ2=о, ѵз
2шаг2cos #
л/а2 - г2
(5.4)
Предельная скорость вращения нейтронных звёзд, согласно аст­
рономическим наблюдениям, составляет примерно 1000 км/сек.
Поэтому мы пренебрегаем членами где ѵ2 = hlkvi ѵі: <к с2.
Трёхмерный наблюдаемый х.и.-метрический
тензор hik (1.34)
пространства с метрикой (5.3) имеет компоненты
г2 sin2#, (5.5)
адетерминантх.и.-метрического тензораhikиненулевыепроизвод­
ные его логарифма по пространственным координатам
а1Г sin2#
t = det||ftijt|| = 7
,
,
aL- г2-
(5.6)
#1пѴ/г la2-г2
dr
г(а2- г2)’
(5.7)
#1пѴ/г
ев=cote'
(5.8)
Также в силу принятого условия ѵ2 « ; с2 (нерелятивистского
вращенияобъекта)х.и.-дифференциальный оператор по простран­
ственным координатам (1.41) совпадает с обычным дифференци­
альным оператором.
Используя goo и доі метрики (5.3), мы теперь выводим формулы
длях.и.-вектора
гравитационно-инерциальной силы Fi, действую­
щейвпространстве,атакжедлях.и.-тензора вращения
простран­
ства Аік. Согласно определениям этих величин в хронометрически
инвариантном формализме (см. §1.3), получаем
Fi
F1
(Рг
(5.9)


136
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
а также
Мз
Мз
2oa3rcos#
(а2-r2f2’
шаг2 sin#
Ѵа2-г2
А13
А23
ІшасозѲ
гVа2- г2 sin2#
ша
г2Ѵа2- г2sin#
(5.10)
Далее, согласно метрике (5.3), мы получаем ненулевые компо­
нентых.и.-символов К ристо фф ел я А‘кп,х.и.-тензора кривизны Сіщ
их.и.-аналога тензора Риччи Сд =hmnCimkn
ДІ1 =
а2- г2'
Д22 -
а2
д1-
<
N
1
<
N
1
sin2#, А2 —А3 —
1
Азз~ а2
а12“А13“
г’
дзз =
- sin#cos#,
Д23 = cot#,
Си
С1212 = -
Г2
а2- г2
Сізіз = -
а2- г2
sin2# ,
Сгзгз= — у sin#,
2
2г2
2г2.г
, С22= ----3-, С33= ----т-sin#.
а2- г2
(5.11)
(5.12)
(5.13)
(5.14)
(5.15)
(5.16)
(5.17)
Используя эти характеристики пространства метрики (5.3) мы
выведем уравнения поля Эйнштейна в виде, удовлетворяющем этой
метрике. Это — следующий шаг в наших исследованиях нейтрон­
ных звёзд и пульсаров.
5.2 Уравнения Эйнштейна и уравнения закона сохранения,
удовлетворяющие этой метрике
Рассмотримх.и.-уравнения
поля Эйнштейна в их общем виде
(1.92-1 .94). В стационарном пространстве (т.е . когда пространство
не деформируется), таком как пространство метрики (5.3), которую


5.2 Уравнения Эйнштейна и закон сохранения
137
мыпредлагаемдлянейтронныхзвёздипульсаров, х.и.-ур авнен ия
Эйнштейна принимают упрощённую форму
ЛцЛІІ +
(рс2+ и) +Ас2,
(5.18)
^FjAij-*VjAij=xJ\
(5.19)
2AijA-i+i CVFt+*V,F()- 1 FiFk- c2Clk=
= I [pc2hik +2Uik - Uhikj + Ac2h,ik.
(5.20)
Правые части этих уравнений содержат х.и . - п р о е к ц и и (1.91)
тензора энергии-импульса материи, заполняющей пространство:
наблюдаемую плотность массы р, наблюдаемую плотность импуль­
са ./' и наблюдаемый тензор напряжений Ulk, тогда как U = htkUik
след наблюдаемого тензора напряжений. Обратите внимание, что
тензор энергии-импульса здесь имеет произвольную форму . Это
означает, что вид распределённой материи пока не уточняется.
Подставимполученныех.и.-характеристики метрики(5.3)вэти
уравнения.Врезультатемыпреобразуемх.и.-уравнения Эйнштей­
на (5.18-5 .20) к следующему виду
%си2a4 cot2Ѳ 2со2а2 х / 2
------------ о
--- 1
--- о
----- + U)
(а2-г2)2 а2-г2 2^
>
2coacot6
ч
-----
------ =
- xJ\
г2Vа2- г2sinѲ
%си2а4 cot2Ѳ
(а2 - г2)2
4oj2a4rcot9
(,а2 - г2)2
«)
- XU\2,
xUn(я2- г2)
2 іо2а2
а2- г2
2 (о2а2
-
Xl(pd-v)
$(o2a4 cot29
(а2 - г2)2
XU2 2
г2
«)
иЦъъ
г2 sin20
(5.21)
(5.22)
(5.23)
(5.24)
(5.25)
(5.26)


138
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
При этом следует учитывать, что исходная метрика (5.1) невра-
щающегося пространства была выведена при очевидных физиче­
ских условиях а2 = j > 0и/1>0. При этом мы получили, что про­
странство внутри такой сферы однородно заполнено идеальной
жидкостью, состояние которой близко к состоянию физического
вакуума (/{-поля) высокой плотности. Подробнее см . §1.2 .
Учитывая, что U =hlkUik =h u U\\+ h22U2 2 + /г33t/зз, мы, на ос­
нове трёх соответствующих тензорных уравнений, получаем соот­
ношение, связывающее величины р и U
\6Lo2a4cot28 4іо2а2 я и ?
(5.27)
Суммируя (5.21) и (5.27), мы получаем формулу для плотно­
сти распределённой материи, заполняющей пространство внутри
вращающейся нейтронной звезды или пульсара
12іо 2а4cot2# 3іо 2а2
(а2-г2)2 +а2-г2
= яре2
(5.28)
Умножая (5.21) на 3, затем вычитая (5.27) из полученного про­
изведения, получаем формулу для U
4a>2a4 cot2e о?а2
(а2-г2)2 +а2-г2
= яU.
(5.29)
Сравнивая полученные формулы (5.28) и (5.29), мы видим, что
р и U распределённой материи, заполняющей пространство мет­
рики (5.3) внутри вращающейся нейтронной звезды или пульсара,
связаны между собой отношением
U=^pc2.
(5.30)
Наконец, преобразуем тензорные уравнения из х .и . - у р а в н е н ий
Эйнштейна (5.21 -5 .26) так, чтобы они выражали ненулевые кон-
травариантные компоненты тензора напряжений: Un = h lmh lnUmn,
U12 = hlmh2nUmn, U22 =h2mh2nUmn, Ѵъъ =h3mhinUnm. Принимая во
внимание полученное соотношение U = \ p c 2 (5.30), а также по­
лученную формулу для р (5.28), мы преобразуем х .и . - т ен зо р н ы е


5.2 Уравнения Эйнштейна и закон сохранения
139
уравнения Эйнштейна (5.23 -5 .26) к виду
cot26> хрс2(а2- г2)
(5.31)
3а2
4со2a2cote
(5.32)
(5.33)
Теперь нам следует проверить, удовлетворяют ли полученные
х.и . - уравнения Эйнштейна (т.е . заданный конкретный тип распре­
делённой материи) метрике (5.3) или нет. Как это сделать? Чл е­
ны, составляющие уравнения поля Эйнштейна, бывают двух видов:
характеристики конкретного пространства и характеристики за­
полняющей его материи (последние являются х.и . - компонентами
тензора энергии-импульса материи). Предположим, что мы полу­
чили другим путём компоненты тензора энергии-импульса данной
материи, выраженные через характеристики данного пространства.
Тогда, подставляя их в полученные уравнения Эйнштейна, мы уви­
дим: если уравнения становятся тождествами, то они удовлетворя­
ют данному пространству; а если нет, то не удовлетворяют.
Чтобы выяснить, какр, Р и Ulkполученных х.и.-уравнений Эйн­
штейна выражаются через характеристики пространства, рассмот­
рим х.и.-уравнения закона сохранения (1.96 -1 .97). Они представ­
ляют собой х.и.-запись закона сохранения Ѵ(ГТ ','г = 0 для тензора
энергии-импульса распределённой материи.
В недеформирующемся пространстве, таком как пространство
метрики (5.3), что мы предложили для нейтронных звёзд и пульса­
ров, х.и.-уравнения закона сохранения (1.96 -1 .97) имеют вид
(5.35)
(5.36)


140
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
где *Ѵ; = *Ѵ; - j^Fi. Согласно полученным нами х.и . - уравнениям
Эйнштейна, только одна компонента / 3 Ф0 из всех трёх компо­
нент наблюдаемой плотности импульса J 1во вращающейся жидкой
сфере не равна нулю. Также, как было показано в §4.2, в этом слу­
чае только F\ Ф0. Поэтому касательно х.и .- скалярного уравнения
закона сохранения (5.35) мы имеем
*%Ji-^FiJi=*%J3-^F3J3=
=В г +уЗА^ ' И ^ й',3=0' (537)
В результате х.и.-скалярное уравнение закона сохранения (5.35)
преобразуется в простое очевидное условие
(5.38)
означающее, что наблюдаемая плотность материи (жидкого веще­
ства и полей), заполняющей эту сферу, является стационарной.
Из трёх х.и.-векторных уравнений закона сохранения (5.36)
уравнение с индексом к = 3 обращается в нуль. Остальные два век­
торных уравнения (при к= 1 , 2 ) принимают вид, соответственно
2А3і(а2- г2)
дип дип (dlnV/i
------- Ч:------ - J +
дг
/
дѲ
дѲ
U12 +
+А\2U22+Д33U33+
АІ
діплій
1^
Дц+ 7
у^
дг
с2
Un =pF\ (5.39)
7-22
2Аз2 тз dULl dU‘
—*
—J+——+
——
+
дг
дѲ
<9InѴ/г
дѲ
U22 +
+А|3С/33+ 2А?2+ дг
d\n\fh 1
и12=0. (5.40)
Применим характеристики пространства вращающейся жидкой
сферы и характеристики наполняющей его материи. Формулы для
Ulk (5.31 -5 .34) и формула для / 3 (5.22) вытекают из х.и.-уравнений
Эйнштейна. Формулы для производных логарифма имеют вид (5.7,
5.8). Полученная формула для р имеет вид (5.28). Формула для дей­
ствующей гравитационно-инерциальной силы F\ имеет вид (5.9), а


5.3 Введение электромагнитного поля
141
формулы для ненулевых компонент А13 , А23 тензора вращения про­
странства имеют вид (5.10). Подставляя все эти формулы в остав­
шиеся уравнения закона сохранения (5.39, 5.40), после некоторых
преобразований мы видим, что эти уравнения также вымываются.
Итак, совместное решение уравнений поля Эйнштейна и урав­
нений закона сохранения в пространстве вращающейся жидкой
сферы показало, что предложенные уравнения справедливы в этом
пространстве. Другими словами, метрика пространства (5.3), пред­
ложенная нами для нейтронных звёзд или пульсаров, удовлетворяет
уравнениям поля Эйнштейна (и наоборот).
5.3 Введение электромагнитного поля
Как известно, каждая вращающаяся нейтронная звезда или
пульсар имеет сильное магнитное поле. Поэтому мы переходим
к следующему этапу данного исследования. Нам необходимо вве­
сти такой тензор энергии-импульса, который описывает электро­
магнитное поле и удовлетворяет соотношению U = \р с 2 (5.30), вы­
текающемуизполученныхх.и.-уравнений Эйнштейна.Кактолько
будет получен тензор энергии-импульса, можно будет вывести урав­
нения электромагнитного поля. Затем мы сделаем вывод о том, как
распределяется электромагнитное поле внутри вращающейся ней­
тронной звезды или пульсара согласно нашей теории. Таков наш
план на данный момент.
Тензор энергии-импульса произвольного электромагнитного
поля имеет следующий общий вид
7'ет=^
+\4*
,
(5.41)
где Fap тензор электромагнитного поля (тензор Максвелла). Это —
ротор четырёхмерного электромагнитного потенциала А“
Fc - ѴаАд
-ѴдА
_
дАр
~
дх“
дАа
дхР '
(5.42)
Физическинаблюдаемымих.и.-проекциями вектора А“являют­
ся скалярный потенциал у и векторный потенциал ц1 электромаг­
нитного поля
Ч>=
Ао
ql =А1.
(5.43)


142
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
Теория электромагнитного поля, выраженная в терминах хроно­
метрически инвариантного формализма, хорошо развита в нашей
книге [18]; см. главу 3 там же. Мы отсылаем всех, кому интересны
подробности, к этой книге.
Физические наблюдаемые х.и.-проекции
тензора электромаг­
нитного поля Fap (5.42) имеют вид
_
Too
Реm —
Q00
EjЕ1+ H*jН*1
8лс1
J1=
Jpm
сТ1
С1о
л/доо
uik =cLT
^em 02
Z'T'ik
=-^
- e ikmEkH*m,
4лс
= PemC2hik -
-3-(ElEk+H,lHtk).
4л4
>
(5.44)
(5.45)
(5.46)
Здесь El и H*1, соответственно, трёхмерные х.и . - в е к т о р
их.и.-
псевдовектор электрической и магнитной напряжённостей поля,
тогда как s imn есть полностью антисимметричный единичный трёх­
мерныйх.и.-псевдотензор.Онивыражаютсякак[18]
-рпк _
_
ікпі?
С/ — Ь Lljfi,
_
*d<p 1 *dqn
t-sn —
Т„
Гп
1
2‘
Я*і _ шптт
—~Ь
Птп> Еітп —
дхпсdt
*dqm
дхп дх
dqn 2<р
А-тп
•. (5.47)
Мы видим, что наблюдаемые электрическая и магнитная на­
пряжённости зависят не только от самого электромагнитного поля
(скалярного и векторного потенциалов электромагнитного поля),
но и от действующей гравитационно-инерциальной силы Fi и вра­
щения пространства /\д.
Пульсары — массивные объекты, обладающие сильным элек­
тромагнитным полем и быстрым вращением. Поэтому Fi и А± яв­
ляются значимыми в нашем исследовании. Мы, однако, пренебре­
жём временными вариациями и пространственной неоднородно­
стью электромагнитных потенциалов, принимая условия (3.106)
1* =о.
^
=0
dt
дх1
*дсПа„
*dQi *дс1к п
-
0, qik— „
—О
дхк дх1
(5.48)
dt


5.3 Введение электромагнитного поля
143
т.е. мы полагаем электромагнитное поле стационарным и безвихре­
вым. При этих условиях электрическая и магнитная напряжённости
поля принимают вид
Е1=
Н*1 --
-—
F1
О1> Еі=
Нп _1±Аfimn
С
,
(5.49)
гдеQ.*1трёхмерныйх.и.-псевдовектор угловой скорости,скоторой
вращается звезда
0„Л е,...А.....
(5.50)
Х.и.-тензор угловой скорости вращения пространства
опре­
деляется метрикой конкретного вращающегося пространства. Его
компоненты, рассчитанные для метрики вращающейся нейтронной
звезды или пульсара, представлены в формуле (5.10).
Примечание. Формулы для электрической и магнитного напря­
жённостей поля, которые мы предлагаем для нейтронных звёзд и
пульсаров, показывают, что электромагнитное поле такой звезды
обусловлено её гравитацией и вращением. А именно
—
даже ес­
ли в звезде присутствует потенциал электромагнитного поля <р,
электрическая напряжённость поля Е ‘ проявляется только за счёт
гравитационного поля звезды, а магнитная напряжённость Н*‘ про­
является только при вращении звезды.
Используя эти формулы для Е‘ и Н п (5.49), а также все выше­
упомянутые предположения и выводы, которые мы сделали для ней­
тронных звёзд и пульсаров, мы преобразуем физические наблюда­
емые компоненты тензора электромагнитного поля Е,ф (5.44 —5 .45)
к следующему виду
w2 (FjFj
Рет=2^?Ь^ +а''П*7
f=
2 пс4
Лкт
иік =
'-'em
<р
Ъіс2 \ 4с2
Ек^*т >
+a4a*j\hik- ^
пс1-
plpK
4с2
+ £Г£Г*
(5.51)
(5.52)
J , (5.53)


144
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
который соответствует безвихревому электромагнитному полю. Из
первого и последнего уравнений мы получаем формулу, связыва­
ющую р еm и Utm = hikUfm в электромагнитном поле вращающейся
нейтронной звезды или пульсара
W2 / F-FJ
\
=2
+^ П /=РетС2'
(5‘54)
Как видно из этой формулы (5.54), в рамках принятых условий
конкретного электромагнитного поля мы имеем U =р с2. Но, как
мы получили ранее согласно метрики пространства вращающей­
ся нейтронной звезды или пульсара, должно быть U = \ р с 2 (5.30).
Другими словами, согласно метрике мы должны иметь
где
Uem—2РетС>
Uя
пtjw
к
реm —
кс2
(5.55)
(5.56)
Поэтому наша задача сейчас состоит в том, чтобы найти такое
физическое условие, при котором электромагнитное поле удовле­
творяет (5.56), а значит, и (5.55).
Найдём это условие. Используя полученное нами соотношение
Uem =РетС2 (5.54), перепишем формулу Uem= ^
Q.*J (5.56) как
w2 I FjFJ
2^c2(^cr+ ^ jD-V
к
(5.57)
или, поскольку к = —Р-, в эквивалентной записи
Gy2
с2П*;a*j = ----F Fj.
(5.58)
J
,
4G<f2 J
1
с4
Обратите внимание, что величина безразмерна. Скаляр­
ный электромагнитный потенциал постоянен <р= co nst согласно на­
шим первоначальным предположениям. Следовательно, и посколь­
ку магнитная напряжённость равна Н*1= -
О.*1 (5.49), мы полу­
чаем, что стационарно вращающаяся звезда является постоянным
магнитом.


5.4 Распределение магнитного поля пульсара
145
Обозначим
где п < \ , тогда как с и G фундаментальные константы. Следова­
тельно, скалярный электромагнитный потенциал равен
При скалярном электромагнитном потенциале <р в пределах
этой шкалы величин, электромагнитное поле удовлетворяет мет­
рике пространства вращающейся нейтронной звезды или пульсара.
В результате перепишем полученную формулу (5.58) в виде
При этом конкретном условии, связывающем действующую си­
лу гравитации и угловую скорость вращения пространства, элек­
тромагнитное поле удовлетворяет метрике пространства и уравне­
ниям поля Эйнштейна, которые мы предложили для нейтронных
звёзд или пульсаров.
5.4 Распределение магнитного поля пульсара
Чтобы найти, как распределяется магнитная напряжённость по
поверхности вращающейся нейтронной звезды или пульсара, рас­
смотрим уравнения Максвелла. Общековариантная запись обеих
групп уравнений Максвелла такова
где ¥ чіа = £>игаРУ(ф псевдотензор, дуальный электромагнитному
тензору поля Fap, тогда как у7' четырёхмерный вектор тока.
Эта формулировка уравнений Максвелла подразумевает про­
извольное электромагнитное поле. Преобразуем её с учётом наших
предположений, касающихся нейтронных звёзд и пульсаров. Как и
ранее, мы пренебрегаем временными вариациями и пространствен­
ной неоднородностью электромагнитных потенциалов, принимая
условия (5.48).
(5.61)
VtrFlur = —
Vo-F*^=0,
(5.62)


146
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
Поскольку мы рассматриваем электромагнитное поле звезды
на её поверхности, четырёхмерный вектор тока равен нулю: j M= 0 .
Это означает, что электромагнитное поле на поверхности звезды
не содержит источников, таких как электрические заряды и токи
(они остаются внутри звезды).
В этом случае уравнения Максвелла (5.62) принимают вид
Vo-F^ =0,
Vo-F*M<T= 0 .
(5.63)
Запишем уравнения Максвелла (5.63) в соответствии с хро­
нометрически инвариантным формализмом. Х .и .-уравнения Макс­
велла в этом случае (для поля без источников) имеют вид
*VjEj--Н ікАік=0
С
1
1
\
*ѴкН ік -
—
FkHik- -
—
+DEl=0
cL
c\dt
}
I,
(5.64)
*V;H** - - E*ikAik = 0
C
i
i /*Я//**
\
*VkE*ik -
— FkE*ik- -
——
+DH"M=0
CL
c\ ot
II, (5.65)
см. главу 3 книги [18]. Здесь E*lk = - s lknEk псевдотензор, дуальный
вектору электрической напряжённости £), Н*1= \ s imnH mn псевдо­
вектор, дуальный тензору магнитной напряжённости Н тп, тогда как
D = hlkDik скорость деформации пространства. Так как рассмат­
риваемое пространство вращающейся жидкой сферы не деформи­
руется, а также, согласно нашим первоначальным предположени­
ям, электрическая и магнитная напряжённости стационарны, х.и .-
уравнения М аксвелла принимают упрощённый вид
!V;EJ- - H,kAlk=0
с
*ѴкНік- \F kHik=0
с2
*ѴгЯ*‘ -
—
Е*ікАік = 0
С
*ѴкЕ*ік - 4г FkЕ*ік = 0
с1
►
(5.66)
II.
(5.67)


5.4 Распределение магнитного поля пульсара
147
Подставимвх.и.-уравнения Максвелла(5.66,5.67),которыеуже
адаптированы к метрике пространства вращающейся нейтронной
звезды или пульсара, соответствующие формулы для Е ‘ и Нік (5.49)
и для их дуальных псевдотензоров (5.47), а также соответствующие
характеристики пространства, полученные нами в §5.1.
В результате, после вычислений мы видим, что первое (скаляр­
ное) уравнение группы I (5.66) принимает вид
два векторных уравнения группы I обращаются в нуль, а третье
векторное уравнение принимает вид
где (о, согласно метрике пространства звезды (5.3), есть угловая
скорость вращения звезды вдоль экваториальной оси ф. И скаляр­
ное, и векторное уравнения группы II (5.67) вымываются. Поэтому
сухой остаток, который мы имеем из х.и.-уравнений
Максвелла,
адаптированных к нейтронным звёздам и пульсарам, — эт о только
уравнения (5.68) и (5.69).
Из-за очевидного предположения, что звёзды не являются то­
чечными объектами (так как а > 0 ) и что радиальная координата
положительна ( г > 0 ), мы приходим к единственно верному реше­
нию уравнения (5.69)
Это означает, что единственное ненулевое векторное уравне­
ниегруппыIх.и.-уравнений
Максвелла имеет решение только на
полюсах вращающейся нейтронной звезды или пульсара.
Вообще говоря, векторное уравнение группы I определяет х.и,-
мерное распределение магнитной напряжённости Нік в электро­
магнитном поле звезды. Следовательно, полученное нами решение
(5.70) этого уравнения означает, что магнитное поле вращающейся
нейтронной звезды или пульсара проявляется только на Южном и
Северном полюсах звезды.
4П*7 П*7,
(5.68)
2 (оа3
cotO
(5.69)
г3 (а2 —г2) Ѵн2 —г2 sin 0
(5.70)
функцию * \ Н ік, физический смысл которой — наблюдаемое трёх -


148
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
Рассчитаем магнитную напряжённость Н*1= -
IXs' (5.49) для
этого случая. Компоненты единичного антисимметричного х .и,-
псевдотензора d km подробно объясняются в главе 2 книги [18].
Таким образом, после вычислений мы получаем компоненты х.и,-
псевдовектора угловой скорости Q.*1(4.34) звезды
П*1
Ѵ/г
£2,1 = А23Ѵй
соа2
а2- г2’
(5.71)
П*2
Азі
Ѵа
2 соа2 cotO
г(а1- г2) п*2 =а31Ѵа
2соa2r cot9
а2- г2
(5.72)
Используя полученное решение 0= + | (5.70) х.и.-уравнений
Максвелла, мы получаем c ot0 = O и, следовательно, П *2 = £2,2 = 0.
Это означает, что магнитное поле вращающейся нейтронной звез­
ды или пульсара имеет только единственную компоненту
н*і ■— й*1,
с
(5.73)
не равную нулю, которая, таким образом , представляют собой ради­
альную г-компоненту, направленную от центра звезды к её Южному
и Северному полюсам, а затем — к соответствующим полярным на­
правлениям от звезды во внешний космос.
Этот результат и решение Ѳ= ± | были получены на основе на­
шей математической теории жидких нейтронных звёзд и пульса­
ров. Эти чисто теоретические результаты полностью совпадают с
известными наблюдательными данными о пульсарах.
5.5 Частота и напряжённость магнитного поля пульсара
Отдельные импульсы электромагнитного излучения, испускае­
мые пульсаром (быстровращающейся нейтронной звездой), повто­
ряются с частотой, равной частоте вращения самой звезды. Рас­
считаем периодичность импульсов типичного пульсара на основе
нашей теории жидких нейтронных звёзд и пульсаров.
Вычисляя П*7 П*7 на Южном и Северном полюсах вращающейся
нейтронной звезды (пульсара), где Ѳ= ± получаем
=ОыП*1=
(5.74)


5.5 Частота и напряжённость магнитного поля пульсара
149
Тогда условие (5.58), связывающее угловую скорость вращения
пространства и силу гравитации в нём, принимает вид
со2а2 __ п
с2г2
а2-г2 1-4па2(а2-г2)'
(5.75)
Магнитная напряжённость электромагнитного поля вращаю­
щейся нейтронной звезды или пульсара равна Н*1 = -Щ - П *1 (5.73).
Она обусловлена вращением звезды. Следовательно, изучая полу­
ченное соотношение (5.75), мы можем сделать вывод об электро­
магнитном излучении звезды.
Отношение (5.75) имеет разрыв на поверхности звезды (г = а).
Поэтому мы полагаем г Фа. Таким образом, (5.75) принимает вид
г2 1-4пш2а4
пс2
(5.76)
где г с учётом решения Ѳ= ± | (5.70) есть радиальное расстояние
от центра звезды вдоль полярной оси её вращения.
В поверхностном слое звезды, откуда электромагнитное излу­
чение излучается во внешний космос, имеем г ^ а. Таким образом,
после некоторых тривиальных преобразований мы получаем фор­
мулу для частоты импульсов магнитного поля звезды
іо=а>оJ П
т=~,
(5.77)
V1-4п
а
где а>о есть предельно высокая частота вращения звезды, при кото­
рой звезда вращается со скоростью света.
Предположим, что а = ІО6 см, что является типичным радиусом
нейтронной звезды. С этим радиусом мы получаем
ojo=Зх ІО4сек-1.
(5.78)
Из (5.77) следует, что п выражается частоту импульсов магнит­
ного поля звезды как
п= „Ш
_
.
(5.79)
o)q+4(о2
Наблюдаемые частоты радиопульсаров находятся в диапазоне
от Шщіп= 0,53 до штах = 448,57 сек-1 . Это означает, что со2 ш2у


150
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
Поэтому мы пренебрегаем со в знаменателе (5.79) и получаем
п=со
22
соа
(Or,
(5.80)
Поэтому для реальных пульсаров коэффициент п лежит в диа­
пазоне
3,1 х ІО"10 <п< 2,2хКГ4.
(5.81)
Также согласно формуле (5.59), выведенной по нашей теории,
скалярный потенциал электромагнитного поля пульсара равен
^=
(5.82)
Следовательно, для реальных пульсаров имеем
6,1 х ІО19 < <р < 5,2 х ІО22 грамм1/2 см1/2 сек-1 , (5.83)
что в пределах верхнего теоретического ограничения на скалярный
электромагнитный потенциал, который, согласно нашей теории, со­
ставляет <р< 1,74 х ІО24 (5.60).
Наконец, вычислим ожидаемый диапазон величин напряжённо­
сти магнитного поля пульсаров. Согласно нашей теории жидких
нейтронных звёзд и пульсаров, Н*1 = - ^ П * х (5.73). При вычис­
ленном диапазоне скалярного электромагнитного потенциала и
рассмотренном диапазоне частот вращения со пульсаров получаем
2,1 х ІО9 < Н*1< 1,5 х 1015 грамм1/2 см- 1 /2 сек-1 , (5.84)
что хорошо соответствует магнитудам магнитного поля радиопуль­
саров, известным из радиоастрономических наблюдений.
5.6 Решение уравнений Максвелла в стационарном безвихре­
вом электромагнитном поле пульсара
Ранее, в §5.4—§5.5, мы решали уравнения Максвелла в электро­
магнитном поле вращающейся нейтронной звезды или пульсара, по­
лагая вектор четырёхмерного тока /'“ в поле равным нулю (./“ = 0 ),
что выполняется на поверхности звезды и выше, в космосе. См.
(5.63) и далее. Другими словами, мы полагали, что электромагнит­
ное поле не содержит источников (зарядов и токов).


5.6 Уравнения Максвелла в безвихревом поле пульсара
151
Это условие порождает следующую проблему. Посмотрите на
формулу для наблюдаемого импульса электромагнитного поля . / ' П1
(5.52), т.е. вектораПойнтингаполя
./'m= ~
sikmEkH*m = ^
eikmFkП,т .
(5.85)
Полагая /" = 0 в §5.4, мы получили, что только одна компонен­
таН*1= -
а 1 напряжённости магнитного поля Я * \ т.е ., только
на Южном и Северном полюсах звезды, отлична от нуля. С дру­
гой стороны, в этом случае круговой импульс поля / Зт , который
должен генерировать магнитную составляющую Я*1, был бы ра­
вен нулю: / Зт = 4^ е312^! Я »2 =0 . Это создаёт проблему, потому
что теоретическая модель нейтронных звёзд и пульсаров, которая
удовлетворяет астрономическим наблюдениям за пульсарами, со­
вершенно очевидно, должна показывать как Я *1 = - ^ П *1 Ф0, так
и4 п=4Ъ£312Б1Я*2*0.
Напомним, что мы пришли к проблеме, что Я *1 Ф0, но ./Зт = 0 в
результате нашего предположения, согласно которому электромаг­
нитное поле не имеет токов (./“ = 0). Поэтому теперь будем решать
уравнения Максвелла при условии j a Ф0.
Сначала мы будем решать уравнения Максвелла в безвихре­
вом электромагнитном поле вращающейся нейтронной звезды или
пульсара. В следующем §5.7 уравнения Максвелла будут решены в
вихревом электромагнитном поле такой звезды.
Метрика пространства (пространства-времени) вращающейся
жидкой нейтронной звезды или пульсара имеет вид (5.3). Эта мет­
рика означает, что жидкая сфера не является коллапсаром из-за
своего вращения (см. необходимые пояснения в §5.1).
Физические и геометрические характеристики пространства с
этой метрикой были вычислены и представлены нами в §5.1 . В до­
полнение к ним следует лишь добавить, что псевдовектор угловой
скорости вращения такого пространства П*г = \ F mnЛтп имеет сле­
дующие ненулевые компоненты
П*1=ш,
*9 Іш а2соіѲ
г(а2 - г2)
Ип—соа
а2- г2
11+2 —
2a>a2r cotѲ
а2- г2
(5.86)


152
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
соответственно квадрат псевдовектора угловой скорости равен
П,jO*J =
со2а2
а2- г2
1+
4а2 cot26>
а2-г2
(5.87)
Как и ранее, мы полагаем, что скалярный и векторный электро­
магнитные потенциалы постоянны и однородны (3.106), т.е. элек­
тромагнитное поле является стационарным и безвихревым
—0,
—
дхк дх1
=
0
(5.88)
тогда электрическая и магнитная напряжённости (5.47) равны
Е1=-\Р, Еі=
с1
Я *і ——сітпН и
—
2ь птп^ птп
(5.89)
По определению О.*1= \ еітпА тп перепишем Н*1в виде
Нп=
2ш
Нщ = ------ О
.Щ.
с
(5.90)
Используя формулу для F\ (5.9), а затем вычисляя П *1 и П *2 по
(5.86), мы получаем ненулевые компоненты Е 1и Н*1
Ei=-
<рг
F1-
(fir
а2-г2’
а2’
Н,! =
2 (fioja2
я*1 =
2 (fico
с(я2-г2)’
>
с
Н,2 =
4(fiaja2r c o t e
с(а2- г2)
н*2=
4(fioja2 cot9
cr(a2 - г2)
(5.91)
(5.92)
(5.93)
Найдём, как в данном случае распределяется магнитная напря­
жённость по поверхности вращающейся жидкой сферы. Рассмот­
рим уравнения Максвелла в их полной форме (5.62)
4л
Ѵ(тЕ^=—f,
с
V0.F*/“r = 0 ,
(5.94)


5.6 Уравнения Максвелла в безвихревом поле пульсара
153
что подразумевает наличие тока поля ( j a ф0). Их физически на­
блюдаемыех.и.-проекции(х.и.-уравнения Максвелла)имеютвид
*VjEJ -
-Н ікАік=4лр
J
С
1
1
*ЪНік - -jFkHik----I —
—
-
+ DEl
c2
c\ dt
4л.
c
I, (5.95)
*ѴгЯ*г- -E*ikAik=0
c
7*ik____A T7. T7*ik _ A I
+DH*1I=0
*ykE**--FkE*
dt
II, (5.96)
подробнее см. главу 3 книги [18]. Здесь Ещк = - еікпЕк псевдотен­
зор, дуальный вектору электрической напряжённости £), тогда как
D = htkDik скорость деформации пространства.
Поскольку рассматриваемое нами пространство вращающейся
жидкой сферы не деформируется, а также, согласно нашим исход­
ным предположениям, электрическая и магнитная напряжённости
стационарны,х.и.-уравнения М аксвелла упрощаются
*VjEJ -
—
НікАік = 4лр
с
I,
*VkHik-±FkHik= — j1
cL
с
(5.97)
*ЦН*1- - Е*ікАік = 0
с
*ѴкЕ*1к -
—
гFkЕпк =0
с1
II.
(5.98)
Первое уравнение группы I (5.97) принимает вид
4р>о?а}‘ / 4a2 cot20\ <р(Ъа2 - 2r2)
с2(а2- г2)\ а2- г2j а2(а2- г2)
4лр. (5.99)
Во втором уравнении группы I j 1 = j 2 = 0 в рамках нашей моде­
ли, а уравнение для j принимает вид
<ра>а
г2(а2- г2)Ѵа2- г2sinѲ
cote
Л
=-nj,
(5.100)


154
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
тогдакакабсолютноезначениех.и.-вектора токаjlравно
<рсоа3 co t9
j=Jjkjk= —
яг(a2 - г2)Ѵя2- г2
(5.101)
Уравнения группы II (5.98) удовлетворяются как тождества. Та­
ким образом, эти формулы для р , р и j (5.99 -5 .101) являются
точнымирешениямирассмотренныхх.и.-уравнений Максвелла.
Таким образом, мы получили точные решения уравнений Макс­
велла во внутреннем электромагнитном поле вращающейся ней­
тронной звезды или пульсара, где поле возникает за счёт своих
источников — распределённых зарядов р и токов / .
Закон сохранения электрического заряда устанавливает связь
между источниками электромагнитного поля. Этот закон сохране­
ния, известный также как уравнение непрерывности, имеет следу­
ющий общековариантный вид
ЪГ=0.
(5.102)
Это означает, что распределённые заряды р и токи j 1(физиче­
скинаблюдаемыех.и.-проекции четырёхмерного
вектора тока /'“)
сохраняются в четырёхмерном объёме поля.
Четырёхмерный электромагнитный потенциал Аа должен удо­
влетворять общековариантному условию Лоренца
Va-Atr=0,
(5.103)
согласно которому четырёхмерный потенциал поля Л(Г и, следова­
тельно,егох.и.-проекции <ри q‘ (х.и.-скалярный
их.и.-векторный
потенциалы поля) сохраняются в четырёхмерном объёме поля.
В общем случае закон сохранения (5.102) и условие Лоренца
(5.103), записанные в терминах хронометрически инвариантного
формализма, имеют вид, соответственно
*др
dt
PP+pD +^ip-^Fij1=0 ,
(5.104)
1*дф w
—
1
- ^r +-D +*Viql--Fiql=0,
сdt с
с-
где *Ѵ, = *Vf - ^ Fi. Подробнее см. главу 3 книги [18].
(5.105)


5.6 Уравнения Максвелла в безвихревом поле пульсара
155
Нетрудно показать, что при конкретных условиях рассматри­
ваемойнами задачих.и.-уравнение
непрерывности (5.104) и х.и,-
условие Лоренца (5.105) удовлетворяются как тождества.
Теперь на основе полученных решений (5.99 -5 .101) уравнений
Максвелламыищемх.и.-вектор Пойнтинга J‘em, т.е.наблюдаемый
импульс электромагнитного поля. Нам нужно знать , как распреде­
ляется вектор Пойнтинга по поверхности сферы, которая является
поверхностью вращающейся нейтронной звезды или пульсара.
Вектор Пойнтинга Jlem является второй из трёх физически на­
блюдаемых проекций тензора электромагнитного поля Fap (5.42),
равных рет (5.44), ,/‘m (5.45) и Utkm (5.46). Мы ищем вектор Пойн­
тинга J lem (5.45) в рамках наших предположений (5.88), согласно ко­
торым скалярный <ри векторный qt электромагнитные потенциалы
являются постоянными и распределёнными однородно, т.е. данное
электромагнитное поле является стационарным и безвихревым.
Подставляя в (5.44 —5 .46) существенные (отличные от нуля) ком­
поненты электрической напряжённости Е 1и магнитной напряжён­
ности Н п , равные (5.91-5 .93), получаем
Р&ю~2пс\ ас^ +П9^)-
<р2 а?а1 4со2а4соі2Ѳ
с2г2
2лс4 а2- г2 (а2_г2)2 4а2(а2- г2)
j3=
"'em
<р
2лс4
sikmFka*m
<P2F\ П«2 _
2 лс4Ѵй
_
<р2<оа
cotO
лс2(а2 - г2)3/2 sm 6»
(5.106)
(5.107)
Je\
(f (oar cotO
лс2(a2- r2fn '
(5.108)
Глядя на эти уравнения, мы можем сделать некоторые выводы о
вращающихся нейтронных звёздах и пульсарах, электромагнитное
поле которых является безвихревым.
Плотность электромагнитного поля р ет такой звезды обуслов­
лена как действующей гравитационно-инерциальной силой, кото­
рая является неньютоновской силой гравитации Гц действующей


156
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
внутри звезды, так и её вращением. Плотность её электромагнит­
ного поля рет является ненулевой как при выполнении одного из
условий Ft Ф0 и Ац^ Ф0 , так и в результате совместного выполнения
этих условий. Плотность импульса поля J lem является ненулевой
только при совместном выполнении условий F, Ф0 и Ад Ф0 .
Как следует из (5.106), плотность р ет безвихревого электромаг­
нитного поля вращающейся нейтронной звезды (пульсара) равна
нулю на экваторе звезды (Ѳ= 0). Затем плотность электромагнит­
ного поля р ещ возрастает с географической широтой Ѳк Южному
полюсу и Северному полюсу, где Ѳ= | и, таким образом, она при­
нимает максимальное значение рет = (Рет)тах-
В противоположность, плотность импульса электромагнитного
поля J lem (5.108) предельно высока на экваторе, где Ѳ= 0. Затем
величина импульса поля J lem падает с географической широтой Ѳк
Южному и Северному полюсам, где принимает значение J lem = 0.
В дополнение к этому мы также можем сделать вывод о плот­
ности заряда р и токах j l в безвихревом электромагнитном поле
вращающейся нейтронной звезды или пульсара.
Перепишем формулы для плотности заряда р (5.99) и тока у3
(5.100), полученные из группы I х.и . - уравнений Максвелла, как
где
_
з_ <р
а>а3
cot#
1
л-г2(а2 - r2)3/2 sinѲ’
VjFj
с1(За2 - 2г2)
а2(а2 - г2)
J=
3;3
етУет
<ра>а3 cot#
nr(а2- r2f 2
(5.109)
(5.110)
(5.111)
(5.112)
Мы видим, что плотность заряда внутри вращающейся ней­
тронной звезды или пульсара положительна р > 0 (что должно быть
согласно физическому смыслу физического поля), если
(5.113)


5.6 Уравнения Максвелла в безвихревом поле пульсара
157
Запишем это неравенство с помощью формулы для р (5.99).
Получаем следующее условие
4а>2а2/ 4cot20\ За2-2 г2
1+
а2- г2
>
(5.114)
которое необходимо по физическому смыслу.
Сравним полученные формулы для тока электромагнитного по­
ля у3 (5.110) и его мощности j (5.112) с формулами для плотности
импульса электромагнитного поля , /3т (5.107) и величины этого
импульса Теш (5.108). В итоге мы имеем
сЧт=-^73>
c2Jem= ‘^ j .
(5.115)
а2
а1
С учётом (5.58) выразим скалярный потенциал электромагнит­
ного поля <р, который <р= co n st согласно нашим исходным предпо­
ложениям, через безразмерную постоянную п =
(5.59), равную
п < I (см. в конце §5.3). Итак, мы имеем
<р=с
С ними мы получаем
п
Гп
?
ПС4
Ѵё’
V=~G’
п<
Реm 2ttG
э
Е\Н,2 4пс
1=
'/ еш
а>а
cot9
л/h
G (a2-r2f12sin#’
-V,FJ
a>a
cot9
J=-
•'em
r2("a2 _ уТу’!'1 Sin Ѳ ’
4лт2с pn ,3
a2 yGJ’
(5.116)
(5.117)
(5.118)
(5.119)
(5.120)
(5.121)
Мы видим, что чем больше скалярный электромагнитный по­
тенциал <р (5.116) вращающейся нейтронной звезды или пульсара,


158
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
тем сильнее трёхмерный круговой ток у3 и трёхмерный круговой
импульс / Зт его электромагнитного поля. Более того, ток и по­
ток импульса электромагнитного поля существуют в этой звезде,
только если она вращается в экваториальной плоскости (.г1, д3),
т.е. только если П*2 Ф0. Если бы нейтронная звезда не вращалась
(0.у П*7 = 0), плотность электрического заряда её внутреннего элек­
тромагнитного поля была бы отрицательной (р < 0).
Итак, мы пришли к неудовлетворительному результату. И кру­
говой ток электромагнитного поля у3 (текущий по долготе ф), и
импульс электромагнитного поля / Зт равны нулю на Южном и Се­
верном полюсах звезды, где географическая широта Ѳ= | , и дости­
гают своей предельной мощности на экваторе, где широта Ѳ=0.
Здесь мы предполагали, что электромагнитное поле вращаю­
щейся нейтронной звезды является безвихревым. Последняя по­
пытка по согласованию с данными наблюдений будет сделана с вих­
ревым электромагнитным полем вращающейся нейтронной звезды
(пульсара). Мы сделаем это далее, в §5.7.
5.7 Решение уравнений Максвелла в стационарном вихревом
электромагнитном поле пульсара
По аналогии с §3.7 рассмотрим вращающуюся нейтронную звез­
ду (пульсар), электромагнитное поле которой является вихревым.
В этом случае ротор qik трёхмерного х. и.- векторного потенциала qi
электромагнитного поля отличен от нуля
*dqi *dqk ^ А
«*=■5?-1**0'
Четырёхмерный потенциал электромагнитного поля
Аа=<р
dxa
ds’
С)а^ ds ds
имеет две х.и. - проекции, которые равны
dxa dx?
=1
Ар
л/т
= <р,
А'=(?'= -ѵ\
с
(5.122)
(5.123)
(5.124)
где <ресть релятивистский х.и . - скалярный потенциал поля
<Р=
<Р
V1-
—
1с2
--(р,Ѵг=—
,
V2 = hikVlvk « : с2. (5.125)
2
ат


5.7 Уравнения Максвелла в вихревом поле пульсара
159
Мы полагаем, что <р= const и q1= q2 =0 в поле. Таким образом,
мыимеемѵ3= ^
= со и, следовательно,
<73=^
,
?3=—
^sin20,
с
с
<9<?з 2^ш
.
<?зі= ^— =
--------r sin6»,
or
с
даз
2сосо о .
„
<723=—
= --------rsin6>cos0.
оѲ
с
(5.126)
(5.127)
(5.128)
Используя общее определение магнитной напряжённости поля
(5.47), мы вычисляем ненулевые компоненты магнитной напряжён­
ности вихревого электромагнитного поля
#23= "
2 (pior2sin0 / а
IѴй2-,
+COS#,
#31=
2(p<j)
sin2# -
2й3cos#
(а2- г2)Ѵй2- г2
(5.129)
(5.130)
Используя определение х.и.-псевдовектора
магнитной напря­
жённости электромагнитного поля
-
ІЛ _2*Ѵ
''
—~ь
TMтп—~ ь
Цтп
>
ІІС
(5.131)
перепишем компоненты # 2 3 (5.129) и Щ\ (5.130) в виде
2(рш( Ѵй2- г2
# 1 = -------- 1 + -------------- cos #
н*2=2(РЫ
сг
С(
й
/
Ѵй2 - г2 sin# 2a2cot8
V
й
а2-г2
(5.132)
(5.133)
а их ковариантные (с нижними индексами) версии могут быть по­
лученыкак#*1 =кцН*1и#«2 =#22#*2.
Найдёмтеперьрешениех.и.-уравнений
Максвелла. В рассмат­
риваемом нами случае, когда электромагнитное поле стационарно и
пространствонедеформируется,х.и.-уравнения Максвелла имеют


160
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
вид (5.97-5 .98), т.е.
1
WjEJ- -H ikAik=4лр
ѴкНік--FkHK= — j
1
■ік 4л
(5.134)
*ѴіН*1- - Е*ікАік = 0
с
*ѴкЕ*ік - -2 FkЕ*ік =О
*ік
II.
(5.135)
После подстановки напряжённостей вихревого электромагнит­
ного поля уравнения группы II (5.135) удовлетворяются как тожде­
ства. Уравнения группы I принимают вид
4іfito2
a2-r2
1+
4a2cot2#) a cos#
a2- r2
<.рюаэ
Va2^
<p(ba2 - 2r2)
a2(a2 - r2)
cot#
= 4лp,
3 <pa>
2a2 r2(a2—r2)yja2_p2sin#
- Л73,
(5.136)
(5.137)
где ри f плотность заряда и ток вихревого электромагнитного по­
ля, тогда как и>= П*1. Физический смысл этих уравнений выглядит
более понятным, если их переписать в виде
<рог аcos#
f=
<рсиа
71(2 Ѵй2 - г2
cot# 3(рсо
лг(я2 _ r2)3/2sin# 2ла2'
(5.138)
(5.139)
Выразим теперь плотность зарядар и ток./' вихревого электро­
магнитного поля через те же характеристики р (5.109) и у3 (5.110)
что мы вычислили в безвихревом поле
<рси2а cos#
р=р
J=]
лс2^а2- г2
з 3^w
2я-«2 '
(5.140)
(5.141)


5.7 Уравнения Максвелла в вихревом поле пульсара
161
Как видно из уравнений (5.140) и (5.141), в вихревом электро­
магнитном поле вращающейся нейтронной звезды (пульсара) плот­
ность заряда и ток поля отличаются от таковых в безвихревом элек­
тромагнитном поле членами, зависящими от вращения звезды.
Соответственно плотность поля р ет (5.44) и поток кругового
импульса / Зт (5.45) вихревого электромагнитного поля равны
Рет“ 2/гс4(4с2FjFJ+П*-/П*7*+
.2
<f
2 7ГС4
f3_ У
ет 2пс2а2
со2|і -
2 соа3
^sin2#) асо2cosѲ
aL
соіѲ
Vo2"
(я2 - r2)3/2 S4n^
или, в других обозначениях,
-
со
Рет —Рет +
<Р
2лс4
СО2 I1—
^sin2#) со2acos#
сг
Ѵя2”-г2
/3=/3
^ет ^ет
if2 со
2лс2а2 '
(5.142)
(5.143)
(5.144)
(5.145)
Чтобы понять смысл этих полученных формул, напомним, что,
как следует из формул для А31 (5.10)
А 31 2coa3rcos9
(я2-r2f2’
А31
2шясо10
гѴя2- г2sinP
(5.146)
эта компонента и, следовательно, П і2 = j е231Азі зависят от геогра­
фической широты Ѳзвезды, а компонента П*1 = | к123А23 = о; нет.
Полученные формулы для вектора тока / 3 (5.141) и вектора
Пойнтинга J 3m (5.145) вихревого электромагнитного поля враща­
ющейся нейтронной звезды (пульсара) содержат член, который не
зависит от географической широты. Это означает, что, в отличие
от безвихревого электромагнитного поля, вектор тока / 3 и поток
импульса ./Зт вихревого электромагнитного поля отличны от нуля
на Южном и Северном полюсах звезды.
Полученный результат J 3m?П) на Южном полюсе и Северном
полюсе означает, что вращающаяся нейтронная звезда (пульсар)


162
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
с вихревым электромагнитным полем испускает электромагнитное
излучение вдоль своей полярной оси, а та, что обладает безвихре­
вым электромагнитным полем — нет.
Также мы должны сделать ещё один важный вывод в рамках
нашей математической теории пульсаров. Посмотрим на формулу
для напряжённости магнитного поля H*l = I simnHmn (5.47)
и*і
Jmnf’fym
*dqn 2<рл \
2£ \дх»
дхTM
сАтп)~
= I jmn(*&bn_ *_dqA_2<р
і_
2
\ дхп
дхт)
с
= \simnqmn- 7^Q.*i.
(5.147)
2
с
Как видно из этой формулы, псевдовектор напряжённости маг­
нитного поля Н п является суммой псевдовектора ротора электро­
магнитного поля q*1= J t-:imnqmn и псевдовектора П*‘ угловой ско­
рости вращения звезды. Напряжённость магнитного поля Н п сов­
падает с псевдовектором вращения звезды П*‘ только, если ротор
электромагнитного поля qmn равен нулю. Если qmnФ0, т.е. в вихре­
вом электромагнитном поле, то Н*1отклоняется от Q*1.Чем сильнее
завихрение qmn электромагнитного поля, тем больше магнитная ось
отклоняется от оси вращения звезды.
Астрономы говорят нам, что электромагнитное поле наблюда­
емых пульсаров очень сильное. Они также говорят, что электро­
магнитное излучение исходит от такой звезды только в полярных
областях, где широтная и долготная компоненты электромагнит­
ного поля не так сильны, как в экваториальных широтах. Также по
колебанию сигналов от пульсаров астрономы делают вывод, что ось
излучения и ось вращения пульсара не совпадают. Все эти факты
наблюдательной астрономии совпадают с нашими теоретическими
результатами о пульсарах.
В итоге наша математическая теория пульсаров приводит нас к
следующим выводам, согласующимся с данными наблюдений:
Вращающаяся нейтронная звезда может быть пульсаром толь­
ко в том случае, если её электромагнитное поле вихревое.
Более того, завихрённость электромагнитного поля означа­
ет, что магнитная ось не совпадает с осью вращения звезды.


5.8 Геометризация электромагнитного поля пульсара
163
В противном случае в нейтронной звезде, электромагнитное
поле которой безвихревое, электромагнитное излучение ис­
ходило бы не от Южного и Северного полюсов.
Все эти теоретические результаты получены нами в рамках
предположения о том, что скалярный и векторный потенциалы
электромагнитного поля звезды не зависят от времени. Конечно,
некоторые временные вариации потенциалов должны оказывать
влияние на вектор Пойнтинга (поток импульса поля) и, следова­
тельно, на электромагнитное излучение, испускаемое пульсаром.
Но теперь мы пренебрегаем этими эффектами.
5.8 Геометризация электромагнитного поля пульсара
Геометризация электромагнитного поля — одна из первооче­
редных задач общей теории относительности. Как показал ещё
Эйнштейн, эта задача в общем случае весьма нетривиальна ма­
тематически. Поэтому в целом она ещё не решена. Тем не менее
геометризация электромагнитного поля возможна в частных слу­
чаях, при определённых условиях, упрощающих математику.
Покажем теперь, что в случае пульсара электромагнитное поле
геометризовано. На языке математики это означает, что если у нас
есть уравнения поля Эйнштейна и уравнения Максвелла, харак­
теристики электромагнитного поля могут быть выражены только
через геометрические характеристики пространства.
Рассмотрим теперь уравнения Эйнштейна (5.18-5 .20) и Макс­
велла (5.134—5 .135) во внутреннем поле вращающейся нейтронной
звезды (пульсара). Заметим , что в метрике де Ситтера, применённой
нами к нейтронным звёздам, /1-член описывает физический ваку­
ум в состоянии инфляции Х = к р (см. главу 1). Кроме того, как мы
показали в §5.2, эта форма уравнений Эйнштейна удовлетворяет
уравнениям сохранения в пространстве с этой метрикой.
Будем рассматривать вихревое электромагнитное поле. Это по­
тому, что мы показали, что только вихревое поле даёт результат,
совпадающий с астрономическими наблюдениями пульсаров, т.е.
тот факт, что пульсар испускает электромагнитное излучение толь­
ко из своих полярных областей.
По-прежнему, мы полагаем скалярный потенциал электромаг­
нитного поля <рне зависящим от времени и выраженным через фун-


164
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
даментальные константы как <f = г2 (5.59), где п < \ (см. в конце
§5.3). С его помощью мы получаем электрическую и магнитную
напряжённости вихревого поля (см. §5.7) в виде
E1=hnE1= - J ^ СГ
Gа2-г2
Я*1=-2
‘
уІа2 - г2
4
1 + -------------- c o s #
=-2cJg
а
_
*і СО
п*1+ —
Ѵя2- г2
■cos#
(5.148)
(5.149)
(5.150)
Н>1=2сос [п Ѵя2- г2 .
2я2сЩ#4
sin#
я
я2-г2
= - 2с./ - £22 ----------------sin#
яг
(5.151)
Я*і =
=
а2- г2Я*1
Я*2 = #22Я*2 = Г2Я*2
(5.152)
(5.153)
Как видно из этих формул, и электрическая напряжённость,
и магнитная напряжённость поля здесь выражаются только через
геометрические характеристики внутреннего пространства звезды.
При этом, согласно метрике внутреннего пространства враща­
ющейся нейтронной звезды или пульсара, мы имеем П*1 (5.71), П*2
(5.72), П 4/ П*7 (5.87), которые равны
0*1 А23
L1=—-
= а>,
V#
-
2 ^ fl'2 cot6>
V#
г(а2- г2)
£2,і = А23Ѵ# =
соа
а2-г2’
(5.154)
^
/г 2o»fl2rcot#
,
П*2=А31Ѵ#= ----^ ^
—
, (5.155)
я2- г2
а2-г2\
aL-rL/
(5.156)


5.8 Геометризация электромагнитного поля пульсара
165
Таким образом, плотность заряда р (5.138) и вектор тока у3
(5.139) вихревого электромагнитного поля вращающейся нейтрон­
ной звезды или пульсара выражаются как
п to2acosѲ
G sja2- г2
f=
1 рп со2acosѲ
луGл/й2_г2
(5.157)
с2 Гп
соа3
cotO і 3с2со рп
лг2VG(fl2_ r2)3/2sin0 1 2a2 yG
ч Ърсо рп
=J+2а2ІО'
(5.158)
Соответственно плотность р ет (5.142) и поток импульса / Зт
(5.143) вихревого электромагнитного поля, полученные из тензора
энергии-импульса поля, выражаются как
Рет
п
■Рет +
2nG
п
шI1
sin2P\
~р~)
р=
•'em
ПС
2nG ^
2 соа3
со211 —
аиг cosѲ
г2 sin2P\ асо2 cos Ѳ
cot9
2nGa2 (я2 _ rzy>l2sinѲ
-
CO
V?
=J
-
°pm
-
rL
nPco
2nGa2
, (5.159)
.
(5.160)
Мы видим, что все характеристики вихревого магнитного по­
ля однозначно выражаются только через геометрические характе­
ристики пространства внутри пульсара. Таким образом, вихревое
электромагнитное поле вращающейся нейтронной звезды (пульса­
ра) геометризовано.
Этот ф акт также означает, что система уравнений Эйнштейна и
Максвелла во внутреннем пространстве пульсара является самосо­
гласованной системой уравнений. Эта самосогласованная система
уравнений Эйнштейна-Максвелла полностью описывает как грави­
тационные, так и электромагнитные явления внутри пульсара.


166
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
Однако если электромагнитное поле вращающейся нейтронной
звезды безвихревое, уравнения Эйнштейна и уравнения Максвелла
не составляют самосогласованной системы: электромагнитное поле
не геометризовано внутри такой звезды. Как было показано в §5.7,
такая нейтронная звезда не может излучать электромагнитное из­
лучение из своих полярных областей. Следовательно, это не может
быть пульсар.
5.9 Границы физического пространства пульсара
Рассмотрим наблюдателя, система отсчёта которого связана с
внутренним пространством звезды. Где, с его точки зрения, закан­
чивается наблюдаемое физическое пространство звезды? На каком
расстоянии от звезды?
Ответы на эти вопросы даются в рамках теории физически на­
блюдаемых величин (хронометрических инвариантов). В терминах
физических наблюдаемых реальное физическое пространство, ре­
гистрируемое наблюдателем, “заканчивается”на томрасстоянии от
него, где останавливается физическое наблюдаемое время: d r - 0.
Физическое наблюдаемое время т рассчитывается по метрике про­
странства наблюдателя. Поэтому реальные физические границы на­
блюдаемого пространства определяются условием остановки вре­
мени d r = 0 согласно метрике этого пространства.
Вычислим границу наблюдаемого пространства пульсара. Это
—
расстояние от центра пульсара, на котором, согласно метрике
пространства пульсара, наблюдаемое время останавливается для
наблюдателя, система отсчёта которого связана с пульсаром.
Интервал физически наблюдаемого времени имеет вид (1.30) и
состоит из суммы двух членов
dr=Vgoodt+-
dxl = л/goodt - \ Vidx1. (5.161)
с л/доо
cL
Первый член обусловлен только потенциалом гравитационного
поля w = с2(1 - л/goo) (1.44). Второй член связан с тем, что простран­
ство вращается, и зависит от линейной скорости этого вращения
Ч=~сч
к^
Поэтому условие d r = 0, при котором наблюдаемое время оста­
навливается в пространстве гравитирующего и вращающегося тела,


5.9 Границы физического пространства пульсара
167
выражается как
л/доо dt = Д- Vidx1.
(5.162)
Метрика пространства вращающейся нейтронной звезды или
пульсара имеет вид (5.3). Подробнее см . §5.1 . В этой метрике
000
-И"й-
ѵ\=Ѵ2=0,
из=
2coar2 cos Ѳ
Ѵя2-г2
(5.163)
(5.164)
В этом случае условие остановки физически наблюдаемого вре­
мени (5.162) имеет вид
0оо= -т\ѵз
1/ dr
dt
(5.165)
где %- = -£ = (и- Подставив доо (5.163) и из (5.164) в условие оста­
новки времени (5.165), мы получаем расстояние г, на котором на­
блюдаемое время останавливается
г
п
4с? со2 cosѲ
(5.166)
Эта формула устанавливает физическую границу, на которой
заканчивается физически наблюдаемое пространство вращающей­
ся нейтронной звезды или пульсара. Как видно из этой формулы,
граница г совпадает с физическим радиусом звезды я на Южном и
Северном полюсах: географическая широта там равна Ѳ= | , поэто­
му cos Ѳ= 0 и, следовательно, г = а согласно (5.166). Затем граница
физически наблюдаемого пространства г уменьшается к экватору
звезды, где она принимает предельно малое численное значение
^min—
,----------- >
(5.167)
которое зависит только от радиуса звезды а и угловой скорости её
вращения со.
Чем быстрее вращается нейтронная звезда, тем более сжато её
физическое пространство на экваторе. Согласно нашей формуле


168
Глава 5 Нейтронные звёзды и пульсары
(5.167), это сжатие проявляется только при релятивистских скоро­
стях вращения, т.е. в пульсарах.
Рассмотрим PSR J1748-2446ad, самый быстрый из известных
пульсаров, обнаруженный в 2004 году [32]. Он вращается с перио­
дом 0,00139595482(6) сек, что означает угловую скорость вращения
oj = y = 4501 сек-1 . Его радиус а оценивается менее чем в 16 км.
Исходя из этих наблюдательных данных, можно рассчитать сжатие
физического пространства пульсара на его экваторе
—
=
1
= 0,90.
(5.168)
Я
/^ і 4а2а>2
5.10 Заключение
Итак, здесь в этой главе мы представили полную м атематиче­
скую теорию вращающихся жидких нейтронных звёзд и пульсаров.
Повторим теперь наиболее важные выводы, к которым мы пришли
на основе этой теории:
1. Как следует из нашей математической теории, электромаг­
нитное поле вращающейся нейтронной звезды или пульсара
обусловлено её вращением и гравитацией. Чем быстрее вра­
щается звезда, тем сильнее магнитная напряжённость Н*1 её
электромагнитного поля;
2. Магнитная напряжённость Н*1поля пульсара направлена пр я­
мо вдоль полярной оси его вращения. Электромагнитное из­
лучение исходит только от полюсов звезды, затем поступает
во внешний космос строго по оси вращения звезды;
3. Электрическая напряжённость £) зависит от пространствен­
ного распределения скалярного потенциала и от изменения
во времени векторного потенциала электромагнитного поля.
Магнитная напряжённость Н*1 зависит от ротора векторного
потенциала поля и от угловой скорости звезды. Таким обра­
зом, временные и пространственные вариации потенциалов
электромагнитного поля должны влиять на исходящие элек­
тромагнитные импульсы, излучаемые пульсаром;
4. Вектор Пойнтинга (импульс электромагнитного поля) отли­
чен от нуля на Южном и Северном полюсах вращающейся
нейтронной звезды только в том случае, если её электромаг­


5.10 Заключение
169
нитное поле вихревое. Следовательно, вращающаяся нейтрон­
ная звезда является пульсаром, излучающим электромагнит­
ное излучение из полярных областей, только если её электро­
магнитное поле является вихревым; вращающаяся нейтрон­
ная звезда, электромагнитное поле которой не имеет вихрей,
не может излучать электромагнитное излучение вдоль сво­
ей полярной оси, поэтому она не может быть пульсаром. В
дополнение, как показывает наша теория, из-за вихрей элек­
тромагнитного поля магнитная ось пульсара не совпадает с
осью его вращения. Этот теоретический вывод совпадает с
астрономическими свидетельствами об быстрых периодиче­
ских импульсах электромагнитного излучения, регистрируе­
мых от наблюдаемых пульсаров.
Все эти выводы справедливы только для вращающейся звезды,
физический радиус которой близок к её гильбертовому радиусу.
Это — вращающиеся нейтронные звёзды, а также пульсары, а не
обычные звёзды, такие как Солнце и т.д.


Глава 6
Чёрные дыры
6.1 Невращающиеся жидкие коллапсары
Теперь мы собираемся изучить условие коллапса для невраща­
ющейся сферы, состоящей из идеальной жидкости, т.е. сколлапси-
ровавшую жидкую звезду без вращения (в терминах нашей модели
жидких звёзд). На первый взгляд эта постановка задачи звучит бес­
смысленно: идеальная жидкость несжимаема, следовательно, такое
жидкое тело не может быть сжато. Да, было бы бессмысленно, если
бы коллапс считали процессом сжатия жидкого космического те ­
ла. Мы так не делаем: мы не обсуждаем космогонию. Мы просто
рассматриваем жидкий коллапсар как уже существующий объект.
Таким образом, эта задача сводится к рассмотрению физических
условий, а не эволюционного сжатия жидкого космического тела.
Космическое тело является гравитационным коллапсаром, если
параметры его поля на его физической поверхности соответствуют
условию гравитационного коллапса. А именно — гравитационное
поле настолько сильно на поверхности тела, что световые сигналы
не могут выйти из тела во внешний космос. С точки зрения общей
теории относительности это означает, что физически наблюдаемое
время останавливается на этой поверхности.
Согласно теории хронометрических инвариантов физически на­
блюдаемый интервал времени сіт (1.30) формулируется через грави­
тационный потенциал w и линейную скорость вращения простран­
ства ѵі в следующем виде
Ат= Ѵ^оо At +
dxl =(\-^ -\dt- \ Vidx1. (6.1)
с^/Ш
\ с2/
с2
Поэтому общее условие гравитационного коллапса состоит из
двух членов
Ат= Ѵ^ооdt+_і5і _dxl=0.
(6.2)
с л/доо


6.1 Невращающиеся жидкие коллапсары
171
В пространстве без вращения (где с, = 0) общее условие грави­
тационного коллапса упрощается
dr = л/дооdt=0,
или просто
000
(6.3)
(6.4)
Таким образом, невращающийся космический объект является
коллапсаром, если трёхмерный гравитационный потенциал w на его
поверхности принимает значение
W=с2.
(6.5)
Рассмотрим условие коллапса для невращающейся звезды, со­
стоящей из идеальной жидкости. Согласно вышесказанному, усло­
вие коллапса в этом случае имеет вид доо = 0. Как видно из метрики
пространства невращающейся жидкой звезды (2.76)
--------
—
\2
Л4Зл1
KppaL _ I лрог*
c2dt2 -
dr2
i _ жpar*
13
г2 {d92 + sm 20d<p2s) , (6.6)
которая в терминах гильбертова радиуса гд имеет вид (2.78)
\2
с2dt2 -
1
ds=-
4
Зл1--- л1-
dr2
ЛГ,
і-2?
а5
Г2 (d92 + sin2Ѳd<f>2) , (6.7)
условие коллапса (goo = 0) в этом случае имеет вид
зуі-
или, что то же самое
3
xpoaz
-
а1
КрпГL
=0,
(6.8)
=0.
(6.9)


172
Глава 6 Чёрные дыры
Таким образом, мы получаем радиальную координату г, на ко­
торой невращающаяся жидкая звезда радиуса а переходит в состо­
яние гравитационного коллапса
гс
(6.10)
Поскольку мы имеем в виду реальные космические объекты,
численное значение гс должно быть реальным (равно как а и гд).
Этому требованию удовлетворяет следующее очевидное условие
а < 1,125 Гд.
(6.11)
Если это условие не выполняется (а> 1,125 гд), то невращаю­
щееся жидкое тело (звезда) не может находиться в состоянии гра­
витационного коллапса.
Общее условие коллапса (6.11) включает особое условие а = гд.
Учитывая этот частный случай сколлапсировавшей невращающей­
ся жидкой звезды, мы видим, что физический радиус а поверхности
звезды, гильбертов радиус гд и радиус пространственного разрыва
гьг = -\]а3/ гд в поле звезды совпадают
rc=rbr=rg=a.
(6.12)
Полученное условие коллапса а = гд (6.12) является всего лишь
частным случаем общего условия коллапса (6.11). Общее условие
коллапса (6.11) включает в себя три частных случая, касающихся
положения физической поверхности сколлапсировавшей жидкой
звезды:
1. Сколлапсировавшая жидкая звезда больше гильбертова ради­
уса, рассчитанного для звезды (а > гд), но меньше 1,125 гд;
2. Поверхность сколлапсировавшей жидкой звезды совпадает с
её гильбертовым радиусом (а = гд);
3. Сколлапсировавшая жидкая звезда полностью находится под
своим гильбертовым радиусом (а < гд).
Очевидно, что гс является мнимым для гд <к а, поэтому состо­
яние гравитационного коллапса для такой звезды невозможно. На­
пример, рассматривая Солнце (а = 7 х ІО7 см, М = 2 х 1033 грамм,
гд = 3 х 105 см), мы видим, что радиус коллапса гс (6.10) принимает


6.2 Вселенная как огромный жидкий коллапсар
173
мнимое численное значение. То же самое верно и для других обыч­
ных звёзд, от сверхгигантов до белых карликов. Следовательно,
обычные звёзды не могут коллапсировать.
Фактически, конкретное условие коллапса гс = гьг = rg = а (6.12)
формулирует радиус коллапса гс следующим образом*
гс=а =
3 4,0х1013
---- =
------- — —
см.
хро
фо
(6.13)
Например, если сколлапсировавшая жидкая сфера состояла бы
из обычной воды (ро = 1 ,0 грамм/см3), то её радиус был бы равен
rc = 4,0 х 1013 см =3,1 а.е., т.е. находился бы в поясе астероидов
(астероиды расположены примерно от 2,1 а.е. до 4,3 а.е. от Солнца).
Ещё один пример: чтобы коллапсар был размером с нейтронную
звезду или пульсар радиусом а = (8-16) х 10 5 см = 8 -16 км, это
жидкое тело должно иметь ро = 2,5 х 1015 - 6,3 х ІО14 грамм/см3
согласно полученной формуле для гс (6.13).
Так, далее мы можем вычислить массу невращающегося жид­
кого коллапсара, исходя из формул М = | /ш3ро и а = гс = д/3/хро
(6.13). Получаем следующие зависимости
Ала
97
М=-----= 6,8х10 аграмм,
л
М=
4ѴЗл 2,7хІО41
хъ>гфо
фо
грамм,
(6.14)
(6.15)
которые мы называем соотношение масса-радиус и соотношение
масса-плотность для невращающихся жидких коллапсаров.
Так, если сколлапсировавшая жидкая сф ер а имеет размеры ней­
тронной звёзды или пульсара, т.е. а = (8-16)х 105 см = 8-16 км, то её
масса теоретически должна быть равной М = (5,4 -11) х 1033 грамм,
т.е. 2 ,7 -5 ,5 массы Солнца.
6.2 Вселенная как огромный жидкий коллапсар
Ещё пример: сама Вселенная. Средняя плотность вещества во
Вселенной, по оценкам астрономов, от ІО-28 до ІО-31 гр амм/см3,
постоянная Хаббла равна Н = £ = (2,3 ± 0,3) х 10-18 сек-1 , а радиус
*х=
= 18,6 х ІО-28 см/грамм — гравитационная постоянная Эйнштейна.
С1


174
Глава 6 Чёрные дыры
наблюдаемой Вселенной равен я = 1,3 х ІО28 см. На верхней гра­
нице расчётной плотности ро = ІО-28 грамм/см3 радиус коллапса
гс (6.10) принимает реальные численные значения. Соответствен­
но, согласно наблюдательным оценкам , мы получаем следующие
характеристики Вселенной
а=1,3хІО28см
ро = ІО-28 грамм/см3
М = 9,2 х ІО56грамм
гд= 1,4х ІО28см
Гъг= 1,3 х ІО28 см
гс= 1,5хІО28см
(6.16)
Это — повод предположить, что Вселенную можно рассмат­
ривать как сферу идеальной жидкости, находящуюся в состоянии
гравитационного коллапса. Мы будем называть её жидкостной мо­
делью Вселенной. В этом случае мы должны иметь гс = гьг = гд = а
(6.12). Исходя из этого условия и численного значения радиуса
Вселенной а = 1,3 х ІО28 см, полученного из постоянной Хаббла,
вычисляем массу и плотность, которые должны отнести к Вселен­
ной в рамках настоящей жидкостной модели (согласно а = гд =
иМ = I ла3ро). Мыполучаем
а=1,3хІО28см
ро = 9,6 х ІО-31 грамм/см3
М=8,8х 1055грамм
гд= 1,3х ІО28см
гfa= 1,3х ІО28см
гс=1,3хІО28см
Вычисленные теоретические значения (6.17) сравниваются с
оценками наблюдательной астрономии (6.16) в таблице 6.1. По­
скольку эти наблюдательные оценки известны очень приблизитель­
но, можно сделать вывод, что наблюдаемая Вселенная представляет
собой огромный коллапсар. Поэтому весь наблюдаемый мир, в том
числе и мы сами, находится внутри огромной чёрной дыры.


6.3 Давление и плотность внутри жидких коллапсаров
175
М,г
р0, г/см3 а, см
Гд, СМ
hr>СМ Гс, СМ
Наблюд.
значение 9,2 х ІО56 ~10 -28
0
0
о
^
■
ч
X
С
О
1,4 ХІО28 1,3 xlO28 1,5 ХІО28
Жидкая
модель
8,8 ХІО55 9,6 ХІО”31 1,3 хЮ28 1,3 хЮ28 1,3 xlO28 1,3х1028
Таблица 6.1: Модель наблюдаемой Вселенной как невращающейся
жидкой сферы в состоянии гравитационного коллапса. Расчётные па­
раметры жидкостной модели сравнены с наблюдаемыми оценками.
Этот вывод совпадает с тем, к которому в 1965 г. пришёл Кирилл
Петрович Станюкович [33]. Он не изучал геометрические свойства
метрики жидкой сферы. Его анализ основывался на свойствах эле­
ментарных частиц. Следуя этому пути, Станюкович получил, что
гильбертов радиус Вселенной совпадает с наблюдаемым горизон­
том событий: наблюдаемая Вселенная является коллапсаром. Так,
несмотря на использование другой теоретической базы, отличной
от нашей, он пришёл к такому же заключению.
6.3 Давление и плотность внутри жидких коллапсаров
Вычислим давление и плотность внутри невращающихся жид­
ких коллапсаров. Полученная нами формула (2.130) для давления
р внутри сферы, заполненной идеальной жидкостью,
р=Рос2
3^1
(6.18)
при условии коллапса а = УЗДфо принимает простейший вид
р= - рос2=const,
(6.19)
где ро = const по определению внутри любой жидкой сферы. Эта
формула является уравнением состояния жидкости. Такое состо­
яние известно как инфляция: при положительной плотности ве­
щества давление изнутри него отрицательно, поэтому внутреннее
давление вещества пытается расширить тело изнутри (несмотря на
то, что любое жидкое тело несжимаемо).


176
Глава 6 Чёрные дыры
Как видно из этой формулы, давление внутри невращающегося
жидкого коллапсара постоянно, как и плотность. Это означает, что
жидкое вещество, заполняющее невращающийся коллапсар, нахо­
дится в состоянии инфляции и имеет одинаковое давление и плот­
ность по всему объёму коллапсара, от его центра до поверхности.
6.4 Внутренние силы гравитации. Внутреннее красное сме­
щение
Силу гравитации, действующую внутри невращающегося жид­
кого коллапсара, можно найти из силы гравитации, действующей
внутри невращающейся жидкой сферы, если сфера находится в со­
стоянии гравитационного коллапса (в этом случае её физический
радиус равен а = гд = ^Ъ/кро).
Таким образом, на основе формул для компонент F\ (2.123,
2.125) и F 1 (2.124, 2 .126) силы гравитации, действующей внутри
невращающейся жидкой сферы, мы получаем
лросРт 1
cV1
(6.20)
3 1 xPorz
a11 r
1
3
1a2
XpoC2r
c2r
3
a2
(6.21)
Поскольку г < а внутри сферы, то F\ > 0. Следовательно, это —
сила отталкивания. Эта сила возрастает с расстоянием г, от нуля в
центре жидкого коллапсара до своего максимального значения на
поверхности.
Если наблюдаемая Вселенная действительно является огром­
ным жидким коллапсаром (об этом свидетельствуют, по крайней
мере, астрономические данные, как было показано выше), то р ади­
альная сила отталкивания, действующая внутри коллапсара, может
вызвать сдвиг частоты у фотонов. Для исследования этой проблемы
рассмотрим х.и.- уравнения изотропных геодезических
dcoсо„, со^it
-- ------- + -jDikFc* = 0
йт сг
cr
dicod)
•, (6.22)
+ 2со(pik+
c* - coF‘ + соА‘пкспск = 0
dr


6.4 Внутреннее красное смещение
111
которые представляют собой уравнения наблюдаемого движения
светоподобной безмассовой частицы (такой как фотон, частота ко­
торого to), движущейся с наблюдаемой скоростью света с1. Х .и,-
уравнения изотропных геодезических являются наблюдаемыми
проекциями общековариантных уравнений изотропных геодезиче­
ских. Подробнее см. [18,19].
В пространстве, которое не вращается и не деформируется
(Aik = 0, Dik = 0), таком как пространство невращающегося жидкого
коллапсара, уравнения (6.22) принимают вид
dto
йт
~%Р.С1=0
d((ocl)
dr
- toFl+toAlnkcV =0
(6.23)
Пусть фотон движется только в радиальном направлении х 1= г.
Рассмотрим х.и .-скалярное уравнение геодезических для этого фо­
тона. Подставим полученную формулу для F\ (6.20). У чтём также,
что наблюдаемая скорость фотона есть наблюдаемая скорость све­
та в радиальном направлении, с1= ^ . В результате х.и.-скалярное
уравнение геодезических для фотона принимает вид
1dco_
г
dr
to dr
а2- г2dr'
(6.24)
Это уравнение решается как d\na> = - \ d \ a \а2 - г2!или
d\na>=dIn—
,
(6.25)
откуда получаем функцию
а>(г) = ®
,
Q = const.
(6.26)
Постоянная интегрирования Q находится из очевидного гра­
ничного условия а>(Г=о) = а>о. В результате мы получаем Q = a2a>о.
Наконец, мы приходим к решению
V
too
to=
(6.27)


178
Глава 6 Чёрные дыры
На расстояниях, пройденных фотоном , малых по сравнению с
радиусом коллапсара (г « ; а), эта формула принимает вид
(и —ojq11 + ———).
(6.28)
■К)-
Это вызывает квадратичное красное смещение частоты фотона
со—а>о
z = ---------
а>о
-
1>О
(6.29)
который мы также называем параболическим красным смещением
из-за параболической квадратичной функции . То есть сила оттал­
кивания F\ , действующая вдоль радиальной координаты от наблю­
дателя, тормозит фотоны, движущиеся внутри звезды к нему. На
малых расстояниях пути фотона по сравнению с радиусом жидкой
сферы (г « : а) параболическое красное смещение равно
z
2а2 ’
(6.30)
или, выражая этот результат через постоянную Хаббла Н = па­
раболическое красное смещение равно
■2Л
Z-
нч_
2с1
(6.31)
Итак, наблюдаемые параметры Вселенной свидетельствуют о
том, что это — огромный коллапсар . Эти данные совпадают с рас­
чётами по представленной здесь теории невращающихся жидких
коллапсаров. Поэтому астрономам следует ожидать нелинейного
параболического красного смещения на фотонах, приходящих к
нам из самых дальних областей Вселенной. Чем больше расстояние,
пройденное фотоном, тем больше нелинейность функции красного
смещения, которую ожидается зарегистрировать в астрономиче­
ских наблюдениях.
6.5 Состояние сколлапсировавшего жидкого вещества
Обсудим теперь состояние вещества, заполняющего невращаю-
щиеся жидкие коллапсары. Как легко видеть, когда невращающая­
ся жидкая звезда находится в состоянии гравитационного коллапса


6.5 Состояние сколлапсировавшего жидкого вещества
179
(гд = а), метрика пространства звезды (6.7) принимает вид
ds2=i|l-
c2dt2 ---- - r2 (dO1 + sin2ѲсІф2} . (6.32)
Эта метрика при определённом условии а2 = \ > 0 (таким обра­
зом, Л> 0 ), имеет тот же вид, что и метрика де Ситтера (1.5),
ds2=|l-
c2dt2 ----- ~ г2{dQ2 + sin2# ^ 2) , (6.33)
описывающая сферическое распределение физического вакуума
(2-поле в уравнениях поля Эйнштейна).
Это означает, что жидкие коллапсары состоят из идеальной
жидкости, состояние которой аналогично состоянию физического
вакуума. Разница лишь в том, что жидкость, заполняющая коллап­
сары, имеет положительную плотность, а плотность физического
вакуума отрицательна при Л> 0; см. подробности в §5.2 и §5.3 на­
шей книги [18]. Также обычные жидкие коллапсары имеют малый
размер и высокую плотность (в отличие от Вселенной в целом). П о ­
этому жидкость, заполняющая обычные (компактные) коллапсары,
находится в состоянии, близком к состоянию физического вакуума
высокой плотности.
Что такое физический вакуум, известный также как Л-поле?
Понятие физического вакуума (Л-поля) происходит от общей фор­
мулировки уравнений поля Эйнштейна
Rap- ^д<фR= -хТар+Лд,ф,
(6.34)
содержащих Л-член в правой части. Правая часть определяет р ас­
пределённую материю, заполняющую пространство, а л евая часть
определяет геометрию пространства, которая согласно формули­
ровке является римановой. Перепишем уравнения поля в виде
Rap-^gapR= -хТа/3,
(6.35)
где общий тензор энергии-импульса Тсф = Тар + Тар характеризует
как распределённое вещество, так и физический вакуум (Л-поле).


180
Глава 6 Чёрные дыры
Тензор энергии-импульса физического вакуума
Т<ф= - - да-р
(6.36)
к
был впервые выведен нами в 1995 году и опубликован в §5.2 и §5.3
книги [18]. Он имеет физически наблюдаемые х.и . - проекции
Too
4
p=—
=—
= const<0,
goo
к
(6.37)
cfl
Jl=-pL=0,
ygoo
(6.38)
Uik=c2fik= - c2hik= -pc2hik,
К
(6.39)
вычисленные тем же способом, что и наблюдаемые х.и . - проекции
(1.91) любого тензора энергии-импульса.
Из скалярной х.и.-проекции р = - 4 = const следует, что физи­
ческий вакуум однородно распределён в пространстве , т.е. являет­
ся однородной средой. Векторная х.и . - проекция J 1= 0 показывает,
что физический вакуум не содержит потоков энергии, т.е. является
неизлучающей средой.
Найдём теперь уравнение состояния физического вакуума. Со ­
гласно хронометрически инвариантному формализму, х.и.-тензор
напряжений Ulk выражается через давление внутри распределённой
среды следующим образом [18,23]
иік=роЫк~aik=pkk -Pik,
(6.40)
где po есть равновесное давление, известное из уравнения состо ­
яния, р есть истинное давление внутри среды, ад есть х.и.-тензор
вязких напряжений, /?д = а д - \cthik его анизотропная часть, про­
являющаяся в анизотропных деформациях, а а = hlkaik след тен­
зора вязких напряжений ад. Поскольку сферически-симметричное
пространство по определению изотропно, в данном случае мы име­
ем Рік = 0. Также, по исходному предположению, среда вакуума —
невязкая (ад = 0). Поэтому для физического вакуума имеем
Uik=рЫк = -pc2hik.
(6.41)


6.5 Состояние сколлапсировавшего жидкого вещества
181
Используя формулу следа тензора напряжений U = hlkUik, мы
получаем уравнение состояния физического вакуума
р= ~рс2,
(6.42)
которое, при отрицательной плотностир = - £ < О, является состоя­
нием дефляции (внутреннее давление среды пытается сжать сферу).
Выведем компоненты силы гравитации, действующей внутри
вакуумного коллапсара (мы называем его коллапсар де Ситтера).
Следуя тому же методу вычислений, что и для силы (6.20, 6.21),
действующей внутри жидкого коллапсара, мы получаем силу
Fi=
Лс2г 1
3,_
’
13
F=
Лс2г
(6.43)
а для частоты со и частотного сдвига z фотона получаем
-2\
СО= соо
-Wo 1+
Лг2\
6/’
(6.44)
со- COQ
z = ---------
COQ
(6.45)
Чтобы понять полученные результаты, напомним, что мы смог­
ли преобразовать метрику пространства сколлапсировавшей жид­
кой сферы (6.32) в метрику пространства де Ситтера (6.33) только с
помощью условия а2 = j > 0. Следовательно, мы приняли Л > 0. При
помощи Л> 0 мы получили отрицательную плотность физическо­
го вакуума р = - £ < 0 (6.37), состояние инфляции р = - р с2 (6.42),
силу отталкивания F\ > 0 (6.43) и квадратичное (параболическое)
красное смещение (6.45).
Это — те же результаты, что и для жидкого коллапсара, за ис­
ключением отрицательной плотности р = - £ < 0 (и, следовательно,
положительного давления р = - р с 2 > 0, создающего состояние де­
фляции), что создаёт проблему.
Чтобы устранить эту проблему, мы могли бы принять отрица­
тельное значение Л, т.е. Л< 0, чтобы получить положительную плот­
ность физического вакуума. Но если так, то радиус коллапсара а
был бы мнимый, что в наблюдаемой Вселенной нонсенс.


182
Глава 6 Чёрные дыры
Есть и другой способ устранить эту проблему. Рассмотрим урав­
нения Эйнштейна (6.34) в виде, где тензор энергии-импульса рас­
пределённого вещества и Л-члсп взяты с одним и тем же знаком
Rap- ^gapR=-хТар
-
Лдар .
(6.46)
В этом случае тензор энергии-импульса физического вакуума
имеет вид
Тар=~дар,
(6.47)
К
аегофизическинаблюдаемыех.и.-проекции равны
р= = - =const>0,
(6.48)
0оо к
сГ
?=—==0,
(6.49)
уШ
иік=с2Тік= - - c2hik= -pc2hik.
(6.50)
к
В этом случае физический вакуум (Л-поле) находится в состо­
янии инфляции (р = - р с 2), однако его плотность положительна:
р = I > 0. Таким образом , модифицированная форма (6.46) урав­
нений поля Эйнштейна снимает вышеупомянутое противоречие
между теорией жидких коллапсаров и наблюдаемой положитель­
ной плотностью вещества во Вселенной.
Следовательно, мы получаем, что физический вакуум (Л-поле)
представляет собой однородную, невязкую , неизлучающую среду,
находящуюся в состоянии инфляции.
Что касается выведенной формулы красного смещения (6.45),
то она зависит только от формулы силы отталкивания, которая вы­
водится из 0оо метрики де Ситтера (6.33). Поскольку мы не меняли
метрику пространства, формула красного смещения (6.45) остаётся
неизменной.
6.6 Время течёт в обратном направлении внутри коллапсаров
В пространстве без вращения наблюдаемый интервал времени
d r (1.30) имеет упрощённую формулировку: d r= sfgoodt. Следо­
вательно, d r в поле невращающейся жидкой звезды, согласно доо


6.7 Пограничные условия в жидком коллапсаре
183
метрики невращающейся жидкой сферы (6.6), имеет вид
При условии а = гд = ^ Ъ /кро, характеризующем звезду в состо­
янии гравитационного коллапса, эта формула принимает вид
Мы видим, что знак наблюдаемого интервала времени d r внутри
обычной жидкой звезды противоположен d r внутри жидкой звезды
в состоянии гравитационного коллапса. Иными словами, наблюдае­
мое время внутри обычных звёзд течёт в противоположном направ­
лении, чем наблюдаемое время внутри коллапсаров.
Только один пример: мы обычно предполагаем, что наблюдае­
мое время течёт из прошлого в будущее. Если это так, то наблюда­
емое время внутри коллапсаров течёт из будущего в прошлое.
6.7 Пограничные условия в жидком коллапсаре
При условии а = гд = л/З/яро, характеризующем жидкие коллап-
сары, ненулевые компоненты тензора Римана -Кристоффеля R apy6
(2.113-2 .116), полученные в §2.3, принимают вид
(6.52)
(6.53)
(6.54)
(6.55)
(6.56)
Так как /?оюі = - fr = const и /?оюі > 0 при положительной плот­
ности жидкости ро > 0, внутреннее пространство жидкого коллап-


184
Глава 6 Чёрные дыры
сара представляет собой четырёхмерное пространство положи­
тельной постоянной кривизны . Это противоречит нашему резуль­
тату §2.3, где мы показали, что пространство обычной жидкой сф е­
ры имеет переменную четырёхмерную кривизну, которая является
отрицательной. Это значит, что:
Состояние гравитационного коллапса представляет собой
“мост” , соединяющий мир переменной четырёхмерной отри­
цательной кривизны внутри обычных звёзд и мир четырёхмер­
ной положительной постоянной кривизны внутри тех звёзд,
что находятся в состоянии гравитационного коллапса.
Вычислим трёхмерную наблюдаемую кривизну С и (2.104), Сгг
(2.105) и скалярную наблюдаемую кривизну C = hlkCik простран­
ства внутри невращающегося жидкого коллапсара. При условии
а = гд = ѴЗ/хро- характеризующем жидкие коллапсары, получаем
Си
Сгг
2хро
3
Сзз _
sin2#
С= -2хро
1
21
1 _ хрог2
а21
1з
1
2хрог2
2г2
—
т = const <0.
а1
(6.57)
(6.58)
(6.59)
Это — трёхмерное пространство отрицательной постоянной
кривизны как и пространство обычных жидких звёзд.
Далее мы выражаем силу гравитации, действующую во внут­
реннем пространстве невращающегося жидкого коллапсара, через
трёхмерную наблюдаемую кривизну внутреннего пространства. Из
формул для F\ (6.20) и F 1 (6.21) мы получаем
с2г
с2
F\=——Си,
F1=
Сгг.
(6.60)
2
2г
Мы видим, что и трёхмерная наблюдаемая кривизна, и сила
гравитации имеют пространственный разрывом
Си —» -ОО,
F\—»ОО
(6.61)
при пограничном условии г = а на поверхности коллапсара. Однако
этот результат тривиален.


6.8 Вращающиеся жидкие коллапсары
185
6.8 Вращающиеся жидкие коллапсары
Здесь мы усложняем нашу задачу рассмотрением вращающихся
ж и д к и х коллапсаров. Пусть пространство с метрикой жидкого кол-
лапсара (6.32) вращается с угловой скоростью со вокруг полярной
оси коллапсара. Тогда ненулевая компонента
2а»г2 cos Ѳ
#03 = ---------------
(6.62)
характеризует это вращение, тогда как до\ = дог = 0. Поэтому ли­
нейная скорость вращения пространства ід (1.45) равна
2o»r2 cos#
ѵ\=l»2=0.
(6.63)
В результате получаем метрику пространства вращающегося
жидкого коллапсара
ds2=\(l- ^
c2dt2-
dr2
fir/
1_
А-9
Г2
2cor2cos#
cdt dcp - r2 (dO1 + sin2# dcp2) . (6.64)
Можно доказать, что эта метрика пространства удовлетворяет
уравнениям поля Эйнштейна с тензором энергии-импульса идеаль­
ной жидкости (2.4). Это означает, что после подстановки отдельных
компонент дар, взятых из метрики (6.64), в уравнения поля, левая
и правая части уравнения являются одинаковыми: уравнения поля
становятся тождествами и, таким образом, удовлетворяются.
Общее условие гравитационного коллапса означает, что физи­
ческое наблюдаемое время останавливается (dr = 0), т.е.
dr=л/mdt+-goJ_dx1=
с л/доо
dt-\vtdx1=0,(6.65)
что учитывает как цоо, так и до,. Следовательно, при г, Ф0 условие
коллапса не d r = у^оо dt = 0 как для невращающихся коллапсаров,
а имеет полный вид
Ѵ#00----т Ѵзи3 = 0 ,
CL
(6.66)


186
Глава 6 Чёрные дыры
где и3 = = си. Подставляя выражение для goo, взятое из метрики
(6.64), а также гз (6.63) и и3 = (о, получаем радиус поверхности
коллапса вращающегося жидкого коллапсара
следовательно
Гг=
sj1+
4 а>2а2 cos Ѳ
<а,
2co2a2 cos9\
гс - а\1---------з-------1=а - Аа.
(6.67)
(6.68)
Полагая, например, со = ІО3 сек-1 и а = ІО6 см, мы получаем
Да ^ 22 cos Ѳ, т.е. А а - 22 метра на экваторе звезды, тогда как
Да = 0 на Южном и Северном полюсах.
Мы видим, что поверхность коллапса совпадает с радиусом а
звезды только на полюсах вращения звезды, где широта равна Ѳ± |
и, поэтому, cos Ѳ= 0. Другими словами, вращающиеся жидкие кол-
лапсары не являются сферами, а имеют эллиптическую форму,
уплощенную в экваториальной плоскости (ортогональной оси вра­
щения).
Если коллапсар не вращается (со = 0), его форма сферически-
симметрична (гс = а). Наоборот, при предельной релятивистской
скорости вращения эллиптическая форма коллапсара сильно упло­
щена в экваториальной плоскости. В предельном случае, когда кол­
лапсар вращ ается со скоростью, очень близкой к скорости света
(со2а2 —»с2), его форма задаётся уравнением
а
Vl+4cos0
(6.69)
Остальные параметры вращающихся жидких коллапсаров, по­
лученные в рам ках нашей теории, не меняют принципиальных ре­
зультатов, полученных в §5.1 для невращающихся жидких коллап­
саров. Отличие состоит лишь в поправке на угловую скорость вра­
щения коллапсара со. Поэтому мы опускаем эти результаты из рас­
смотрения.
6.9 Заключение
Наконец, напомним все теоретические результаты касающиеся
жидких коллапсаров, полученные нами выше:


6.9 Заключение
187
1. Радиальная координата гс (6.10), на которой невращающаяся
жидкая сфера радиуса а приходит к состоянию гравитацион­
ного коллапса, равна
Гс
(6.70)
Для обычных звёзд гс принимает мнимые числовые значения.
Следовательно, обычные звёзды, от сверхгигантов до карли­
ков и белых карликов, не могут коллапсировать;
2. В силу требования, чтобы радиус коллапса гс был реальным
для реальных объектов, физический радиус невращающегося
жидкого коллапсара а должен быть равен
а < 1,125 гд.
(6.71)
Если невращающаяся жидкая звезда имеет радиус а > 1,125 гд,
то она не может находиться в состоянии гравитационного кол­
лапса;
3. Плотность вещества является основной характеристикой не­
вращающихся жидких коллапсаров. Физический радиус а та­
кого коллапсара обратно пропорционален квадратному корню
из его плотности ро (6.13)
а=
3 4,0хІО13
---- =
------- == — см;
про л/ро
(6.72)
4. Масса М невращающегося жидкого коллапсара пропорцио­
нальна его физическому радиусу а (6.14)
М= =6,8хІО27аграмм,
(6.73)
%
и обратно пропорциональна квадратному корню из его плот­
ности ро (6.15)
„
4ѴЗп 2,7х ІО41
М=
...
,
= ------——
грамм;
(6.74)
Х5'1фо
фо
5. Наблюдаемая Вселенная полностью находится внутри своего
радиуса коллапса. Другими словами, Вселенная — гравитаци­
онный коллапсар: все звёзды и галактики, включая нас самих,


188
Глава 6 Чёрные дыры
существуют внутри огромной чёрной дыры. Её параметры,
рассчитанные по жидкостной модели, равны
а=1,3хІО28см
ро = 9,6 х ІО-31 грамм/см3
М= 8,8 х ІО55 грамм
(6.75)
6. Жидкость , заполняющая коллапсары, находится в состоянии
инфляции
р= -рос2=const,
(6.76)
т.е. при положительной плотности вещества давление отри­
цательно, поэтому внутреннее давление пытается расширить
тело изнутри (но коллапсар не расширяется, так как жидкое
тело несжимаемо). Давление и плотность остаются неизмен­
ными от центра коллапсара до его поверхности;
7. Гравитационно -инерциальная сила, действующая внутри не-
вращающегося жидкого коллапсара, — это сила отталкива­
ния. Она увеличивается с расстоянием от нуля в центре кол­
лапсара до предельно высокого значения на поверхности;
8. Внутренняя сила отталкивания вызывает квадратичное (пара­
болическое) красное смещение фотонов, движущихся внутри
коллапсара;
9. Состояние жидкого вещества, заполняющего обычные (ком­
пактные) коллапсары, аналогично состоянию физического ва­
куума высокой плотности (Л-поля высокой плотности), ко­
торый представляет собой однородную невязкую неизлучаю­
щую среду в состоянии инфляции;
10. Наблюдаемое время течёт в противоположных направлениях
внутри и снаружи коллапсаров: если принять, что наблюда­
емое время нашего мира течёт из прошлого в будущее, то
наблюдаемое время внутри коллапсаров течёт из будущего в
прошлое;
11. Состояние гравитационного коллапса представляет собой
“мост”, соединяющий мир переменной четырёхмерной отри­
цательной кривизны внутри обычных звёзд и мир четырёх­
мерной положительной постоянной кривизны внутри грави­
тационных коллапсаров (чёрных дыр);


6.9 Заключение
189
12. Вращающиеся жидкие коллапсары не являются сферами, а
имеют эллиптическую форму, уплощенную в экваториаль­
ной плоскости. Радиус гс вращающегося жидкого коллапсара
формулируется через радиус сферы а, широту Ѳ и угловую
скорость её вращения а>как
а
Гс=
(6.77)


Литература
1. Eddington A. S. The Internal Constitution of the Stars. Cambridge Univ­
ersity Press, Cambridge, 1926.
Кракое изложение на русском опубликовано в статье: Эддингтон А.
Внутреннее строение звёзд. Успехи физических наук, 1924, том 4,
No1, 11-28.
2. Bethe Н. A. Energy production in stars. Physical Review, 1939, vol.55,
no. 5 ,434^156.
3. Milne E. A. The analysis of stellar structure. Monthly Notices o f the Royal
Astronomical Society, 1930, vol. 91, no. 1 ,4 -55 .
4. Козырев H. А. Источники звёздной энергии и теория внутреннего
строения звёзд. Часть I. Известия Крышкой астрофизической об­
серватории, 1948, том 2, 3^13; Часть II, ibid., 1951, том 6, 54-83 .
English translation: Kozyrev N. A. Sources of stellar energy and the theo­
ry of the internal constitution of stars. Progress in Physics, 2005, vol. 1,
no. 3, 61-99 .
5. Jeans J.H . Recent developments of cosmical physics. Nature, December
4, 1926, vol. 118, no. 2979, 29^10 (in the Supplement to the issue).
6. Jeans J.H . Astronomy and Cosmogony. Cambridge University Press,
Cambridge, 1928.
7. Robitaille P.-M. A high temperature liquid plasma model of the Sun.
Progress in Physics, 2007, vol. 3, no. 1, 70-81.
8. Robitaille P.-M. A thermodynamic history of the solar constitution — I:
the journey to a gaseous sun. Progress in Physics, 2011, vol. 7, no. 3 ,3 -25.
9. Robitaille P.-M. A thermodynamic history of the solar constitution — II:
the theory of a gaseous sun and Jeans’ failed liquid alternative. Progress
in Physics, 2011, vol. 7, no. 3, 41-59.
10. Robitaille P.-M. Forty lines of evidence for condensed matter — the Sun
on trial: liquid metallic hydrogen as a Solar building block. Progress in
Physics, 2013, vol. 9, no. 4, 90 -142.
11. Borissova L. The gravitational field of a condensed matter model of the
Sun: the space breaking meets the Asteroid strip. The Abraham Zelmanov
Journal, 2009, vol. 2, 224-260.


Литература
191
12. Borissova L. The Solar System according to General Relativity: the Sun’s
space breaking meets the Asteroid strip. Progress in Physics, 2010, vol. 6,
no. 2 ,43-47 .
13. Schwarzschild K. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach
der Einsteinschen Theorie. Sitzungsberichte der KOniglich Preussischen
Akademie der Wissenschaften, 1916, 189-196.
English translation: Schwarzschild K. On the gravitational field of a point
mass according to Einstein’s theory. The Abraham Zelmanov Journal,
2008, vol. 1, 10-19.
14. Schwarzschild K. Uber das Gravitationsfeld einer Kugel aus incompres-
siebler Fliissigkeit nach der Einsteinschen Theorie. Sitzungsberichte der
KOniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften, 1916,424-435.
English translation: Schwarzschild K. On the gravitational field of a sphere
of incompressible liquid, according to Einstein’s theory. The Abraham
Zelmanov Journal, 2008, vol. 1, 20-32.
15. Hilbert D. Die Grundlagen der Physik. Nachrichten von der Gesellschaft
der Wissenschaften zu Gottingen, Mathematisch-Physikalische Klasse,
1917, 53-76.
16. De Sitter W. On the curvature of space. Koninklijke Nederlandsche Akad.
van Wetenschappen, Proceedings, 1918, vol. XX, part I, no. 2, 229-243.
17. Borissova L. De Sitter bubble as a model of the observable Universe.
The Abraham Zelmanov Journal, 2010, vol. 3, 3 -24 .
18. Борисова Л. и Рабунский Д. Поля, вакуум и зеркальная вселенная.
Перевод с 3-го, переработанного английского издания, New Scientific
Frontiers, London, 2023.
Издания на русском языке опубликованы в 1999, 2010, 2023; на ан­
глийском — в 2001, 2009, 2023; на французском — в 2010, 2023.
Оригинальное издание: Borissova L. and Rabounski D. Fields, Vacuum,
and the Mirror Universe. The 3rd revised edition, New Scientific Frontiers,
London, 2023.
Перевод на французский: Rabounski D. et Borissova L. Champs, vide,
et Univers miroir. La 2eme edition rdvisde, New Scientific Frontiers,
Londres, 2023.
19. Рабунский Д. и Борисова Л. Частицы здесь и за зеркалом. Перевод с
4-го, переработанного английского издания, New Scientific Frontiers,
London, 2023.
Издания на английском опубликованы в 2001, 2008, 2012, 2023; на
французском — в 2010, 2023.
Оригинальное издание: Rabounski D and Borissova L. Particles Here
and Beyond the Mirror. The 4th revised edition, New Scientific Frontiers,
London, 2023.


192
Литература
Перевод на французский: Rabounski D. et Borissova L. Particules de
l’Univers et au d eli du miroir. La 2 ё те edition revisee, New Scientific
Frontiers, Londres, 2023.
20. Ландау Л. Д. и Лифшиц E. M. Теория поля. Гос. изд -во теоретико­
технической литературы, Москва, 1939 (ссылки на разделы даны из
последнего 6-го русского издания, вдвое расширенного по сравнению
с 1-м изданием, Наука, Москва, 1973).
English translation: Landau L. D. and Lifshitz E. M. The Classical Theory
of Fields. Pergamon Press, Oxford, 1951 (section references are given
from the final 4th English edition, expanded twicely from the 1st edition,
Butterworth-Heinemann, 1979).
21. Зельманов А. Л. Хронометрические инварианты. Канд. диссертация
1944 года. American Research Press, Rehoboth, New Mexico, 2006.
English translation: Zelmanov A. L. Chronometric Invariants. Translat­
ed from the 1944 PhD thesis, American Research Press, Rehoboth, New
Mexico, 2006.
22. Зельманов А. Л. Хронометрические инварианты и сопутствующие си­
стемы отсчёта в общей теории относительности. Доклады АН СССР,
1956, том 107, No6, 815-818.
English translation: Zelmanov A. L. Chronometric invariants and accom­
panying frames of reference in the General Theory of Relativity. Soviet
Physics Doklady, 1956, vol. 1, 227-230.
23. Зельманов А. Л. К релятивистской теории анизотропной неоднород­
ной вселенной. В сб.: Труды 6-го совещания по вопросам космогонии,
проходившего в 1957 г., Изд-во АН СССР, Москва, 1959, 144-174 .
English translation: Zelmanov A. L. On the relativistic theory of an aniso­
tropic inhomogeneous universe. The Abraham Zelmanov Journal, 2008,
vol. 1 ,33 -63.
24. Hafele J. C. Relativistic behaviour of moving terrestrial clocks. Nature,
July 18, 1970, vol. 227, 270-271.
25. Hafele J. Performance and results of portable clocks in aircraft. PTTI 3rd
Annual Meeting, November 16-18, 1971, 261-288.
26. Hafele J. C. Relativistic time for terrestrial circumnavigations. American
Journal of Physics, 1972, vol.40, 81-85.
27. Hafele J. and Keating R. Around the world atomic clocks: predicted rel­
ativistic time gains. Science, July 14, 1972, vol. 177, 166-168.
28. Hafele J. and Keating R. Around the world atomic clocks: observed rel­
ativistic time gains. Science, July 14, 1972, vol. 177, 168-170.
29. Demonstrating relativity by flying atomic clocks. Metromnia, the UK’s
National Measurement Laboratory Newsletter, issue 18, Spring 2005.


Литература
193
30. Schouten J. A. und Straik D. J . Einfuhrung in die neuren Methoden der
Differentialgeometrie. Noordhoff, Groningen, 1938.
First published in Zentralblatt fiir Mathematik, 1935, Bd. 11 und Bd. 19.
31. Камке E. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравне­
ниям. Изд-во иностранной литературы, Москва, 1951.
Оригинальное издание: К атке Е. Differentialgleichungen. Losungsme-
thoden und Losungen. Gewohnliche Differentialgleichungen, S. Hirzel
Verlag, Leipzig 1942.
32. Hessels J.W .T ., Ransom S.M ., Stairs I.H ., Freire P.C ., Kaspi V.M.,
Camilo F. A radio pulsar spinning at 716 Hz. Science, March 31, 2006,
vol. 311, no. 5769, 1901-1904.
33. Станюкович К. П. К вопросу о существовании устойчивых частиц в
метагалактике. В сб.: Проблемы теории гравитации и элементарных
частиц, выпуск 1, Атомиздат, Москва, 1966, 267-279.
English translation: Stanyukovich К. On the problem of the existence of
stable particles in the Metagalaxy. The Abraham Zelmanov Journal, 2008,
vol. 1 ,99 -110.


Изображение на обложке: фотография Солнца, сделанная SDO/NASA. Предо­
ставлено SDO /NASA и научными группами АІА, EVE и НМІ. Изображения и
фильмы SDO не защищены авторским правом, если не указано иное: использо­
вание изображений SDO в некоммерческих целях, а также в образовательных и
информационных целях настоятельно рекомендуется и не требует явного разре­
шения. Подробнее см. http://sdo.gsfc.nasa .gov/data/rules.php
Изображение на титульном листе: загадочная гравюра на д ереве неизвестного
средневекового художника. Её называют гравюра Фламмариош, так как она вос­
произведена на стр. 163 книги Камилла Фламмариона L ’Almosphere: Meteorologie
p o p u lair e (Париж, 1888 г.), излагающей метеорологию для широкой аудитории. На
этой гравюре по дереву изображён человек, вглядывающийся сквозь атмосферу
Земли, как если бы это был занавес, позволяющий заглянуть внутрь Вселенной.
Подпись к гравюре гласит: “Un Missionnaire du m oyen age raconte qu’il avait trouve
le point oh le ciel et la Terre se touchent... ”, что переводится как “Средневековый
миссионер рассказывает, что он нашел точку, где встречаются небеса [в смысле
“небо”] иЗемля... ”
Формат книги: 60 х 90 1/16
Гарнитура: Tempora TLF
О сновной кегль: 11 пт
Опечатки исправлены: 2 0.12 .2023


Внутри звёзд
Теория внутреннего строения звёзд
и источников звёздной энергии
на основе общей теории относительности
Л. Борисова и Д . Рабунский
Первое издание на русском языке,
переведённое с 3-го , переработанного
английского издания
New Scientific Frontiers
London, 2023