Основы теории относительности - Эйнштейн А.

Автор: Эйнштейн А.
Теги: математика
Год: 1935
Похожие
О специальной и общей теории относительности. Общедоступное изложение
Собрание научных трудов. Том 2. Работы по теории относительности (1922 - 1955)
Эфир и принцип относительности
Эволюция физики. Развитие идей от первоначальных понятий до теории относительности и квантов
Текст
                    А. ЭЙНШТЕЙН
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
О НТ И НКТП СССР 19 3 5

A. EINSTEIN
VIER VORLESUNGEN
OBER RELATIVITATSTHEORIE
GEHALTEN IM MAI 1921
AN DER UNIVERSITAT PRINCETON
А. ЭЙНШТЕЙН
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ЧЕТЫРЕ ЛЕКЦИИ, ЧИТАННЫЕ В МАЕ 1921 г.
В ПРИНСТОНСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
Перевод и примечания проф. Н. Н. Андреева
Дополнения М. П. Бронштейна
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
Допущено Наркомпросоч РСФСР в качестве
учебного пособия для университетов
ИЗ БИБЛИОТЕКИ
МИ ВИШИКА
ОБЪЕДИНЕННОЕ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО НКТП СССР
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И НОМОГРАФИИ
МОСКВА 1935 ЛЕНИНГРАД

Редакция П. Н. Успенскою. Оформление С. Л. Дыман.
Корректура А. X. Артюховой. Выпускающий Я. А. Лапин.
Сдано в производство 16/1 1935 г. Подписано к печати 23/VII.
Листов 6%. Тираж 10 000. Формат 82Х1Ю1/»- Печ. знаков в листе 39 428.
Заказ ЛЛ 8611. Гл. ред. общетехнических дисц. >1 17. Уполн. Гл а влита. № В-25074.
Фабрика книги «Красный пролетарий» Партиздата ЦК ВКП(б).
Москва, Краснопролетарская, 16.
Отпечатано с матриц в 1-й Жури. тип. ОНТИ. Москва, Денисовский, 30. Зак. 1399.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА.
В этой обработке четырех лекций, читанных мною в мае
1921 г. в Принстонском университете, я хотел изложить основ-
ные идеи и математические методы теории относительности.
Я старался при этом отбросить все менее существенное, но
в то же время изложить основные черты так, чтобы эта книга
могла служить введением для всякого, кто владеет элементами
высшей математики, но не желал бы затрачивать слишком много
времени и труда на этот предмет. На полноту это краткое изложе-
ние отнюдь не претендует; я, например, отказался от изложения
тонких рассуждений, связанных с вариационным исчислением
и интересных главным образом для математиков. Главною моею
целью было возможно яснее выделить основные идеи теории.
А. Эйнштейн.
Январь 1922 г.
Лекция I.
ВРЕМЯ И ПРОСТРАНСТВО В ПРЕЖНЕЙ ФИЗИКЕ.
Теория относительности теснейшим образом связана с уче-
нием о пространстве и времени. Поэтому я начну с краткого
изложения происхождения наших взглядов на пространство и
время, хотя и сознаю, что таким образом вступаю в спорную
область*
Всякая наука, будь то наука о природе или психология, стре-
мится систематизировать наши переживания и уложить их в логи-
ческую систему. Какую же связь имеют наши обычные предста-
вления о пространстве и времени с нашими переживаниями?
Переживания наши оказываются для нас расположенными в из-
вестном порядке; поскольку они сохраняются в нашей памяти,
порядок этот определяется критерием «раньше» и «потом», не
подлежащим дальнейшему анализу. Таким образом для каждого
человека существует свое субъективное время.
Само по себе это время не поддается измерению. Правда, я
могу связать ряд чисел с рядом переживаний таким образом,
что более позднему переживанию будет соответствовать большее
число, однако характер этой связи останется все же весьма
произвольным. Но я могу уточнить эту связь, пользуясь часами,
сравнивая поток переживаний, ими вызванный, с потоком дру-
гих переживаний. Под часами я подразумеваю прибор, вызы-
вающий во мне переживания, поддающиеся счету и кроме того
обладающие другими свойствами, о которых речь будет ниже.
Пользуясь языком, различные люди получают некоторую воз-
можность сравнивать свои переживания. При этом оказывается,
что некоторые переживания отдельных людей находятся в соот-
ветствии друг с другом, тогда как для других переживаний это
соответствие установить невозможно. С переживаниями первого
рода, оказывающимися в известном смысле внеличными, мыс-
ленно связывается нечто вне нас существующее —- реальность. Эту
реальность — следовательно передающую ее совокупность наших
переживаний — и изучают науки о природе й простейшая из
них — физика. Относительно неизменному комплексу пережива-
ний этого рода соответствует понятие физического тела, в част-
8
ЛЕКЦИЯ I. ВРЕМЯ И ПРОСТРАНСТВО В ПРЕЖНЕЙ ФИЗИКВ
ности твердого тела. В этом смысле и часы являются подобным
телом, скорее — системой тел; существенным свойством часов
является кроме того возможность признавать одинаковыми
отмечаемые при их наблюдении переживания.
Понятия и системы понятий ценны для нас лишь постольку,
поскольку они облегчают нам обозрение комплексов наших пе-
реживаний; другого оправдания они не имеют. На мой взгляд,
величайшее преступление философов состоит именно в том,
что они перемещают некоторые основные понятия наук о при-
роде из доступной контролю области эмпирически целесооб-
разного на недоступные высоты мысленно-необходимого (апри-
орного); ибо если и показано, что мир понятий не может быть
построен при помощи логики или ка^им-либо иным путем из
наших переживаний, но представляет в известном смысле сво-
бодное творение человеческого духа, тем не менее он столь же
мало независим от наших переживаний, как, например, платье
от формы человеческого тела.
В особенности это верно по отношению к нашим понятиям
времени и пространства, которые физики, будучи вынуждены
к этому фактами, признали необходимым низвести с Олимпа апри-
орности, чтобы подновить их и снова привести в пригодность.
Перейдем к понятиям и суждениям о пространстве. И здесь
совершенно необходимо твердо установить отношение пережива-
ний к понятиям. Мне кажется, что особенно точно уловил
истину в этой области, в своей книге «Наука и гипотеза»1),
Пуанкаре. Из всех изменений, какие мы наблюдаем на твердых
телах, особенно простыми являются те, которые мы можем обра-
тить (т. е. привести тело к прежнему состоянию) соответствен-
ными движениями нашего тела; Пуанкаре называет их «изме-
нениями положения», «перемещениями». Простым перемещением
можно два тела «приложить друг к другу»; главные аксиомы
геометрии (конгруэнтности) и определяют законы, управляющие
всеми возможными перемещениями.
Следующее кажется нам существенным для понятия о про-
странстве.
Приложением тел В, С,... к телу А можно образовать н;овое
тело, или, как мы еще можем выразиться, продолжить тело А это
можно делать до тех пор, пока оно не придет в соприкоснове-
ние с любым другим телом X, Совокупность всех продолжений
тела. А мы условимся называть «пространством тела Л>. Тогда
справедливо утверждение, что все тела «находятся в простран-
t) La science et Phypothise. Имеются два русских перевода — один
Н. Н. Андреева ж А. И< Бачинского и другой Соловьева»
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
9
стве (произвольно выбранного) тела Д». В этом смысле можно
говорить не просто о «пространстве», но именно о «простран-
стве тела Д». Правда играющая столь большую роль в повсе-
дневном определении взаимного расположения тел земная кора
утвердила в нас понятие пространства безотносительно к чему-
либо; но едва ли можно серьезно защищать такое понятие.
Чтобы не впасть в эту опасную ошибку, мы будем говорить
только о «теле отсчета» и «пространстве отсчета». Как мы уви-
дим далее, только общая теория относительности сделала необ-
ходимым такое обострение этого понятия.
Я не буду излагать в подробностях те свойства нашего про-
странства, которые привели ко взгляду на него как на континуум
и к введению точки как элемента пространства. Я не буду под-
вергать также анализу и тех его свойств, которые обусловили
понятие непрерывного ряда точек или линии. Но если только
эти понятия и их отношение к твердому телу наших пережива-
ний установлены, то легко сказать, чтб следует понимать под
трехмерностью пространства; это—утверждение, что каждой точке
пространства можно сопрячь (отнести) три числа хр х2, х*
(координаты) так, что это сопряжение взаимно однозначно и что
хр х2, х8 непрерывно изменяются, если соответствующая им
точка проходит непрерывный ряд точек, т. е. описывает линию.
Евклидова геометрия. Классическая физика (до теории относи-
тельности) принимает, что перемещения идеальных твердых тел под-
чиняются законам евклидовой геометрии. Это следует понимать
так: совокупность двух отмеченных на твердом теле точек пред-
ставляет собой так называемый отрезок; такой отрезок можно
расположить в пространстве отсчета бесконечным числом спосо-
бов. Если возможно выбрать координаты точек нашего отрезка
xt, x<v х9 так, что квадраты их разностей Дхр Дх2, Дх3 при
любом (по месту и направлению) расположении отрезка дадут
одну и ту же сумму:
+ Дх’ + Дх3,	(1)
го пространство — евклидово, а координаты—декартовы. Доста-
точно даже, чтобы это условие было соблюдено для бесконечно(
малых отрезков. Здесь, однако, скрыты-два довольно общих
допущения: во-перрых, предполагается, что идеальное твердое
тело можно перемещать как угодно и, во-вторых, что свойства
такого тела не зависят от его материала и от перемещения,
гак что если два отрезка могли быть совмещены однажды, то
они могут быть совмещены всегда и везде. Эти два предположе-
ния, имеющие столь большое значение для геометрии и в особен-
10
ЛЕКЦИЯ I. ВРЕМЯ И ПРОСТРАНСТВО В ПРЕЖНЕЙ ФИЗИКЕ
ности для пользующейся измерениями физики, имеют своим кор-
нем, конечно, опыт; однако в общей теории относительности они
признаются верными только для бесконечно малых (по сравнению
с астрономическими размерами) тел и пространств отсчета.
Величину 5 мы называем длиною отрезка. Чтобы иметь ее
однозначное определение, мы дсЯЬкны длину некоторого отрезка
положить равной единице (единичный масштаб); тогда будет
определена длина любого другого отрезка. Если приписать х,
(v = l, 2, 3) линейную зависимость от некоторого параметра к:
= +
то мы получаем линию, обладающую всеми свойствами прямой
евклидовой геометрии; в частности легко показать, что л-кратное
нанесение на этой линии отрезка 5 дает отрезок длины ns. Таким
образом длина представляет собой результат измерения, выполнен-
ного при помощи единичного масштаба; она, как и прямая линия,
вдоль которой производилось измерение, не зависит от системы
координат, как это вытекает из дальнейших рассуждений.
Перейдем теперь к рассуждению, имеющему значение и
для общей и для частной теории относительности. Мы спраши-
ваем себя: существуют ли, кроме примененных выше декартовых
координат, и другие, им равноценные? Отрезок имеет физиче-
ское значение, не зависящее от выбора системы координат; то
же можно сказать и о шаровой поверхности, получающейся
отложением во всех направлениях от некоторой точки постоянного
по длине отрезка. Если мы обозначим через хч иХ(> = 1, 2, 3)
декартовы координаты нашего пространства отсчета, то шаровая
поверхность выразится по отношению к каждой из рассматри-
ваемых систем координат уравнениями:
== const.,	(2)
= const.	(2а)
Как должны выражаться х^ через х„ чтобы уравнения (2)
и (2а) были эквивалентны? Представим себе х? выраженными
в функции xs, тогда для достаточно малых можно на осно-
вании разложения Тэйлора положить:
«	«3	*
Подставляя эти выражения в уравнение (2) и сравнивая с (1),
находим, что xi должны выражаться через х, линейна.
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ	11
Положим поэтому:
x,'=«z,+	(3)
а
ИЛИ
Ах,' =	А,« Ах,.	(За)
Равноценность уравнений (2) и (2а) выразится в соотношении:
==:^ не зависит от А*?)-	(2Ь)
Отсюда вытекает, что X — постоянная величина; полагая Х=1,
находим из уравнения (2Ь) и (За) условия:
(4)
причем 8ар = 1 при а = £ и 8вр = 0 при Условия (4) на-
зываются условиями ортогональности, а преобразования (3), (4) —
линейными ортогональными преобразованиями. Если условиться,
что величина s’= 2 Ах? должна во всякой системе координат
представлять квадрат длины, измеренной одним и тем же единич-
ным масштабом, то Х=1. Тогда, линейные ортогональные пре-
образования суть единственные, определяющие переход от одной
системы координат данного пространства отсчета к другой.
Легко обнаружить, что при таких преобразованиях уравнение
прямой переходит опять в уравнение прямой.
Найдем еще уравнения, обратные уравнениям (За), умножив
последние на и просуммировав по v. Мы получим:
2=2ь- ч а*»=2	а*.=Av
v	va	а
Таким образом те же коэфициенты b определяют и обратную
подстановку; геометрически Ьча есть косинус угла между осью х'
и осью хв. * Заметим еще, что
(4<0
Для доказательства умножим уравнение (5) на и просум-
мируем по [5:
2	= 2 ^3 =
вследствие уравнении (За). Отсюда и вытекает уравнение (4а) *.
12 ЛЕКЦИЯ I. ВРЕМЯ И ПРОСТРАНСТВО В ПРЕЖНЕЙ ФИЗИКЕ
Наше общее заключение таково: в евклидовой геометрии су-
ществуют (в данном пространстве отсчета) особые системы ко-
ординат, так называемые декартовы, переходящие одна в другую
при линейном ортогональном преобразовании; в этих координа-
тах расстояние $ между двумя точками, измеренное единичным
масштабом, выражается особенно просто.
На этом понятии расстояния может быть построена вся гео-
метрия; в той форме, в которой мы ее изложили, геометрия от-
носится к действительным вещам (твердым телам), и ее положения
суть утверждения о свойствах этих вещей; эти утверждения могут
быть, следовательно, верными или неверными.
Обыкновенно геометрию излагают так, что не устаназливается
никакого соотношения между ее понятиями и нашими пережи-
ганиями. Конечно, является важным установить отчетливо, чтб
в ней не зависит от всегда несовершенного опыта и принадле-
жит чистой логике; строгий математик этим и удовлетворится.
Ему достаточно знать, что его теоремы верны, т. е. вытекают
логически из аксиом. Вопрос, верна или нет евклидова геометрия,
не имеет для него никакого смысла. Но для нашей цели необ-
ходимо установить соответствие между понятиями геометрии
и вещами природы; без такого соответствия геометрия для фи-
зика беспредметна.
Для физика имеет поэтому большой смысл спрашивать, верны
ли, соответствуют ли действительности теоремы геометрии.
То, что рассматриваемая с такой точки зрения геометрия со-
держит в себе не только логические следствия из определений,
видно из следующего простого рассуждения, принадлежащего
Гельмгольцу:
XI	п(п—1)
Между п точками пространства существует —L рас-
стояний между этими расстояниями и Зл координатами
имеются соотношения:
e (xi (и)	4- (*в(н) )в +
Из этих ——£ уравнений можно исключить Зл координат,
в результате чего получатся соотношения между расстояниями $
л (л— 2) о lx гг
числом не менее ——L — 8лх). Так как — величиных под-
*) Именно	+ 6 уравнений.
Л
ИНВАРИАНТ
13
дающиеся измерению, а по смыслу их определения они одна от
другой не зависят, то существование таких связей между ними
a priori не необходимо.
Как видим, уравнения преобразования (3), (4) имеют для
евклидовой геометрии основное значение; они определяют пере-
ход от одной системы координат к другой. Отличие декартовых
систем от других состоит в том, что в каждой декартовой сис-
теме расстояние s между двумя точками, будучи измерено,
удовлетворяет уравнению
Если /<(xv) и (%')-—две декартовых системы, то
Левая часть этого уравнения тождественно равна правой вслед-
ствие наличия определенного линейного ортогонального преобра-
зования; по форме же различие заключается только в том,
что заменены через х[.
Инвариант. Это обстоятельство выражают следующими сло-
вами:	есть инвариант по отношению к линейным ортого-
нальным преобразованиям. В связи с этим объективное (неза-
висимое от выбора системы) значение имеют только те величины
евклидовой геометрии, которые могут быть выражены через
подобные инварианты (по отношению к линейным ортогональ-
ным преобразованиям). Поэтому теория инвариантов, занимаю-
щаяся законами их построения, и имеет такое значение для
геометрии.
В качестве второго примера геометрического инварианта я
возьму величину объема. Последний, как известно, выражается
так:
dx^dx%dxv
По теореме Якоби:
П $ dx'1 dx* = Ш д	dx* ’
причем подинтегральная величина справа есть функциональ-
ный детерминант, равный, вследствие (3), детерминанту |£и,|,
14 ЛЕКЦИЯ I. ВРЕМЯ И ПРОСТРАНСТВО В ПРЕЖНЕЙ ФИЗИКЕ
составленному из коэфициентов Ь„а. Составив детерминант из 9ив
уравнения (4) и применив теорему о произведении детерминантов,
найдем:
1=1«а?!=	(в)
Если мы условимся ограничиваться только теми преобразованиями,
для которых |	| — 1 1) (а только такие и соответствуют не-
прерывному изменению координатной системы), то мы видим, что V
есть инвариант.
Вектор. Инвариант не есть единственная форма, дающая воз-
можность выражать свойства, не зависящие от выбора системы
координат. Пусть, например, требуется выразить, что точки с (те-
кущими) координатами лежат на одной прямой. В этом случае
х„— 4v = XBv(v = l, 2, 3).
Не уменьшая общности, мы можем при этом положить:
Умножив эти уравнения на [см. (За) и (5)] и сложив
результаты, найдем:
=	(ЗЬ)
где положено:
д;=2М”	<3с)
V	V
Это — уравнение той же прямой по отношению к другой
декартовой системе /С'; оно сохранило прежнюю форму; таким
образом оказалось, что прямая существует вне зависимости от
координатной системы. С формальной стороны это есть следствие
того обстоятельства, что величины (xv—Дм)— преобразуются
как компоненты отрезка. Совокупность трех величин, опре-
деленных для каждой декартовой системы и преобразующихся
как ком оненты отрезка, носит название вектора. Если все ком-
поненты вектора равны нулю в одной системе, то это справед-
ливо и для всякой другой, ибо уравнения преобразования одно-
родны. Понятие вектора выясняется таким путем без обращения
*) Таким образом существуют два вида декартовых координат —
«правые* и «левые*. Различие между ними известно каждому физику
и инженеру. Замечательно, что формулир вать геометрически можно
только это различие, а не каждый вид систем самостоятельно.
ТЕНЗОР
15
к геометрическому истолкованию. Указанное свойство уравнения
прямой принято выражать так: уравне ше прямой коварна тно
по отношению к линейным ортогональным преобразованиям
Тензор. Покажем теперь, что некоторые геометрические факты
приводят нас к понятию тензора. Пусть Рв есть центр неко-
торой поверхности второго порядка, далее Р —любая точка этой
поверхности, a 5V —проекции отрезка Р0Р на оси координат.
Тогда уравнение йоверхности есть
н*
Установим для дальнейшего правило, что суммирование по
дважды встречающимся значкам подразумевается, если даже
оно и не обозначено х); тогда наше уравнение может быть на-
писано так:
Величины определяют поверхность по отношению к из-
бранной системе координат, оставляя неопределенным только
положение центра. Применяя знакомый нам закон преобразо-
вания (За) к величинам найдем без труда а) закон преобра-
зования коэфициентов а^:
а =Ь а а
|О
Эти уравнения преобразования однородны и первой степени
относительно а^. Поэтому величины названы компонентами
тензора второго ранга (вследствие наличия двух значков).
Если все компоненты такого тензора равны нулю в одной декар-
товой системе координат, то они равны нулю и во всякой дру-
гой. Мы видим, что расположение и форма поверхности второго
порядка описываются тензором (а) второго ранга.	4
Возможно дать определение и тензоров любого ранга
(с любым числом значков); возможно также — и полезно —
рассматривать векторы как тензоры первого, а инварианты
(скаляры) — как тензоры нулевого ранга. Тогда задачу теории
*) Теперь вошло в обычай обозначать значки, по которым произво-
дится суммирование, греческими буквами; латинскими же — значки, по
которым суммирование не производится. Так, выражение атп £
обозначает только один член вышенаписанной суммы. Прим, nepes
2) Из уравнения = 1 и из (5) вытекает
откуда и следуют написанные выше формулы.
16 ЛЕКЦИЯ !. ВРЕМЯ И ПРОСТРАНСТВО В ПРЕЖНЕЙ ФИЭИКВ
инвариантов можно было бы сформулировать так: по каким законам
из данных тензоров получаются новые тензоры? К изучению
этих законов мы теперь и обратимся, так как они потребуются
нам в дальнейшем. Сначала речь будет итти о тензорах по отно-
шению к тем линейным ортогональным преобразованиям, кото-
рые управляют переходом от одной декартовой системы коорди-
нат данного пространства отсчета к другой. Так как эти законы
не зависят от числа измерений пространства, то мы оставим его
неопределенным (число измерений п).
Определение. Если некоторая величина задана в про-
извольной декартовой системе пространства п измерений лв
числами	(а — число значков), преобразующимися
по закону
by?'»»	(7)
то эта величина есть тензор а-го ранга с компонентами
Из этого определения, между прочим, следует, что
^\... (®)
есть инвариант, если (В), (С), (О) —векторы. Обратно, если
известно, что выражение (8) есть инвариант при любых векто-
рах (В), (С), (О), то (Д) есть тензор.* Чтобы убедиться в этом,
достаточно внести в (8) компоненты векторов в другой системе
согласно (Зс) и коэфициенты при произведениях новых компо-
нентов сравнить с (7) *.
Сложение и вычитание. Складывая или вычитая со-
ответственные компоненты тензоров одинакового ранга, мы полу-
чаем компоненты нового тензора того же ранга:
^ИР...±^р... = сИр-	(9)
Доказательство — сравнением с уравнением (7).
Умножение. Перемножив все компоненты тензора ранга
а со всеми компонентами другого тензора ранга р, получим
компоненты тензора ранга а + [5:
Т	= А А
* Для доказательства умножаем обе части на соответственное
числу значков число коэфициентов и суммируем, чтобы
получить выражение вида (7) *.
(10)
ТЕНЗОР
17
Упрощение (понижение ранга). Из тензора ранга а можно
получить тензор ранга а —2, суммируя компоненты, имеющие
два одинаковых индекса:
н-
Доказательство:
* т. е. правило преобразования (7) сохранено *.
К этим элементарным действиям над тензорами присоединяется
еще диференцирование:
Т,, .« = -^4—»	(12)
^р...а	fa* >	\ J
повышающее ранг тензора на единицу. Для доказательства за-
метим, что из уравнений (За) и (5) следует:
д ___ д дхл______. д
дх> дха * дх£ “ •«	»
(13)
* умножив уравнение (12) на Ь9Л и просуммировав по а, увидим,
что удовлетворяется уравнение (7) *.
Итак, рассмотренные действия дают нам средство из данных
тензоров (по отношению к линейным ортогональным преобразо-
ваниям) получать новые тензоры.
Свойства симметрии. Тензор называется симметричным
или антисимметричным по отношению к двум его индексам р
и v, если компоненты, получаемые перестановкой этих индексов,
равны или равны, но противоположны по знаку. Таким образом
в случае симметрии:
А — А
’HP >
в случае антисимметрии:
А =______А
По отношению к этим свойствам справедлива теорема, уста-
навливающая, что они не зависят от выбора системы координат.
Только вследствие наличия этой теоремы и имеют ценность
симметричные и антисимметричные тензоры. Для доказательства
этой теоремы достаточно обратиться к формуле (7).
2 Эйнштейн.
18 ЛЕКЦИЯ 1. ВРЕМЯ 8 ПРОСТРАНСТВО В ПРЕЖНЕЙ ФИЗИКЕ
Особые тензоры. I. Величины [уравнение (4)] являются
компонентами тензора (основной тензор).
Доказательство. Подставим в формулу
вместо величины наедем на осногании (4а):
ц* ^р.а	•
II. Существует тензор антисимметричный по отношению
ко всем парам индексов, индекс которого равен числу измере-
ний л, а компоненты равны + 1 или — 1, смотря по тому, четное
или нечетное число перестановок представляет ранг pvp...
компонента по отношению к расположению 1 2 3...
* Для доказательства надо обратить внимание на то, что
в формуле преобразования (7) правая часть для данного случая
обращается в некоторый детерминант, равный на основании
(6) + 1 или —1, в завг^ммости от порядка индексов в левой
части *
Эти немногочисленные и простые предложения теории инва-
риантов представляют —как будет показано в дальнейшем —
вполне достаточный аппарат для построения уравнений класси-
ческой физики и частной теории относительности.
Мы видели, что для описания явлений в классической физике
нам необходимо установить тело отсчета или, иначе, про-
странство отсчета и в нем декартову систему координат. Оба
эти понятия мы можем слить в одно, представив себе, что наша
система представляет собой кубическую решетку, построенную из
стержней равной, единичной, длины; вершины этой решетки будут
иметь координаты, выражающиеся целыми числами; то, что все
стержни имеют длину, равную единице, видно из нашего основ-
ного соотношения:
=	+ Да, + Дх*.
Для описания явлений во времени нам необходимо иметь
еще часы, отсчитывающие единицы времени; эти часы мы усло-
вимся поместить в начале координат нашей кубической решетки.
Где бы ни случилось некоторое событие, мы можем приписать
ему три координаты хч и момент времени /, если только
установлено, какое показание наших находящихся в начале
координат часов одновременно с этим событием. Этим спосо-
бом мы придадим (гипотетически) утверждениям об одновремен-
ПРИМЕРЫ ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ
19
ности событий в разных местах объективное значение, тогда
как ранее речь шла лишь об одновременности двух переживаний
одного и того же субъекта. Установленное таким способом время
во всяком случае не зависит от положения начала координат
в пространстве отсчета и есть, следовательно, инвариант по отно-
шению к преобразованию (3).
Примеры векторов и тензоров. Классическая физика постули-
рует, что системы уравнений, выражающие ее законы, ковари-
антны по отношению к преобразованиям (3) совершенно так же,
как и соотношения евклидовой геометрии. Этим самым дано
выражение изотропии и однородности пространства отсчета *).
Произведем с этой точки зрения обзор важнейших уравнений
физики.
Уравнения движения точки
=	(Н)
есть вектор; dt, а следовательно, и — инвариант,
поэтому (] есть также вектор; совершенно так же можно пока-
зать, что и	есть вектор. Вообще диференцирование по
времени не изменяет ранга и свойств тензора. Так как т есть
инвариант (тензор нулевого ранга), то и	есть
на основании свойств произведения вектор, или тензор первого
ранга. Если, наконец, и сила (Л\) есть вектор, то это же справедливо
( d*x„ v \
и относительно разности — ХЛ, поэтому уравнения движе-
ния сохраняют свою форму во всякой декартовой системе про-
странства отсчета. В том случае, когда силы консервативны,
векторный характер (А\) легко обнаружить; тогда существует
потенциальная энергия Ф, зависящая только от расстояний и
1) Выражать физические законы уравнениями, ковариантными по от-
ношению к преобразованию (3) можно было бы и при наличии физи-
чески особого направления в пространстве, но это было бы нецелесо-
образно. В этом случае — ради большей простоты в описании при-
роды — удобнее было бы выбирать направление осей координат соответ-
ственно этому особому направлению пространства. Но такого особого
направления нет, поэтому нелогично формулировать законы природы
так, чтобы равноценность различных направлений осей оставалась
скрытою.
Мы встретимся с такою точкой зрения при изложении частной и
общей теории относительности.
2»
20 ЛЕКЦИЯ I. ВРЕМЯ И ПРОСТРАНСТВО В ПРЕЖНЕЙ ФИЗИКЕ
являющаяся поэтому инвариантом; векторный характер силы
дФ
~ -fa- есть простое следствие наших положений (диферен-
цирование тензора нулевого ранга).
Умножая написанную выше разность на скорость, т. е. на
тензор первого ранга, находим:
Упрощение этого тензора второго ранга и последующее
умножение на скаляр dt дает уравнение живой силы:

Величины представляющие собой разности координат данной
и некоторой постоянной точки, имеют векторный характер. Оче-
видно = поэтому уравнения движения можно напи-
Перемножив эти уравнения с 1^, получим тензор второго
ранга:
К "°-
Упрощением левой части и нахождением среднего по времени
получим теорему вириала; в подробности по поводу нее мы
входить не будем. Перестановка индексов и вычитание получен-
ного таким путем нового тензора приведут нас после несложного
преобразования к теореме моментов:
(15)
При этом ясно выступает то обстоятельство, что моменты
векторов не векторы, но тензоры второго ранга; но так как
это тензоры антисимметричные, то число уравнений вида (15)
равно не девяти, а трем. Возможность изображать в пространстве
трех измерений такие тензоры при помощи векторов основана
на образовании вектора:
А — — А й
ПРИМЕРЫ ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ
21
Перемножение антисимметричного тензора второго ранга
с упомянутым выше особым вполне антисимметричным тензором
(стр. 18) и последующее двойное упрощение дают нам вектор,
компоненты которого численно равны компонентам тензора; это
так называемый аксиальный (осевой) вектор; компоненты его пре-
образовываются при переходе от правой системы координат к ле-
вой иначе, чем Такой взгляд на антисимметричные тензоры
второго ранга в пространстве трех измерений как на векторы
имеет за собою преимущества некоторой наглядности; но он не
столь глубоко соответствует их природе, как признание их под-
линными тензорами.
Перейдем теперь к уравнению движения непрерывно распре-
деленных масс. Пусть р —плотность, — компоненты скоростей
в функции координат и времени; далее —объемные силы,
отнесенные к единице массы, д9—-давление на поверхность,
перпендикулярную к оси х9, в направлении возрастающих
На основании закона Ньютона, уравнения движения будут
таковы:
р -dt = —d^+?x”
где есть ускорение частицы, имеющей в момент t коорди-
наты х^. Выражая ускорение через частные производные и деля
на р, находим:
+	(16)
dt 1 дх9 ° р дх9 v	v '
Покажем, что форма этого уравнения не зависит от выбора
системы координат (декартовой), (uj есть вектор,—вектор, следо-
вательно, и
Величина
есть тензор второго ранга; следо-
вательно
есть тензор третьего ранга; упрощением этого
тензора по значкам а, т приходим к вектору, стоящему вторым
слагаемым слева (16). Второй член справа, очевидно, — вектор;
для того чтобы и первый член был вектором, надо, чтобы р,9
было тензором; тогда мы получим диференцированием и после-
де
дующим упрощением; умножение на скаляр у не изменит век-
торного характера этого члена.
22 ЛЕКЦИЯ I. ВРЕМЯ И ПРОСТРАНСТВО В ПРЕЖНЕЙ ФИЗИКЕ
То, что р^9 есть тензор второго ранга, т. е. преобразуется
по формулам
Р p-v	Рар»
в механике доказывается интегрированием уравнений (16) по
объему бесконечно малого тетраэдра; применением же теоремы
моментов к бесконечно малому параллелепипеду показывается,
что (\<,=рв7, т. е. что тензор давления симметричен. Из сказан-
ного ясно, что установленные выше правила дают возможность
с первого взгляда видеть, ковариантны ли данные уравнения по
отношению к ортогональным преобразованиям (вращениям), или
по каким правилам должны преобразоваться величины, чтобы
составленные из них уравнения были ковариантны.
Ковариантность уравнения непрерывности:
гМ^=°-	<17>
ясна без дальнейших объяснений.
Испытаем на ковариантность и те уравнения, которые опре-
деляют зависимость компонентов давления от состояния вещества;
составим также, исходя из требований ковариантности, уравнения
движения сжимаемой вязкой жидкости. При отсутствии внутрен-
него трения давление приобретает скалярный характер и становится
зависящим только от плотности и от температуры жидкости. Зна-
чение тензора давления в этом случае таково:
где 5^ есть знакомый нам особый симметричный тензор. Этот
член сохранится и для вязкой жидкости; но к нему прибавятся
поверхностные силы, зависящие от первых производных скоростей
и по координатам. Допустим, что эти зависимости линейны;
так как искомый тензор должен быть симметричным, то он
должен иметь вид:
„ fdU^ . диЛ _L R X ^5
а \ дх* дХр) + Р дха *
При всестороннем симметричном расширении, т. е. когда
ди< ди2 ди* ди, ди< дй2	п
= з-Л 3-1 = 3-^=^=:... =0, скольжения, а следо-
dxi дх2 дх39 дх2 дх3 dxt	9	9
вательно, и сил трения нет, и поэтому £ = —в случае, когда
ПРИМЕРЫ ВЕКТОРОВ Ш ч^НЗОРОВ
23
du<
только отлично от нуля, имеем рп »
ляется а. Таким образом находим:
т) ; отсюда опреде-
^=*.-ч[(%+%)-О’)
Из этого примера видно, как удобно пользоваться аппаратом
теории инвариантов, если пространство изотропно.
Рассмотрим еще уравнения Максвелла, являющиеся фундамен-
том электронной теории Лоренца:
	ан2_	1	
		c dt с	>
дНх		1	. h.	
дха	dxt	c dt'r c	9
дН2	dfft _	1 dE*. A	
~5xt		e~St+c	9
			
dxt	1 дх2 1	=0. dx2	7
дЕа	. <^г_		
дх2		c dt ’	
dEt		l_dH2	
дха		~~ c dt ’	k
ЭЕг	dEt_	1 dHz	
	dx2	c dt ’	
^7, ,	.^2, dx2	^« = 0. dxs	J	
(19)
(20)
(Q есть вектор, так как плотность тока по определению есть
произведение плотности электричества на вектор скорости;
как видим из первых трех уравнений, естественно и (EJ считать
вектором. В таком случае (HJ Уже нельзя считать вектором1);
уравнения получают, однако, простую интерпретацию, если счи-
тать (f/v) антисимметричным тензором второго ранга. Поэтому
мы вместо Hi9 Н3 будем писать соответственно А7аз, Hzv
!) Все эти рассуждения должны ознакомить читателя с тензорным
анализом, не вводя затруднений, связанных с пространством четырех
измерений; вследствие этого станут доступнее соответственные рас-
суждения в частной теории относительности (истолкование электро-
магнитного поля по Минковскому).
24 ЛЕКЦИЯ I. ВРЕМЯ И ПРОСТРАНСТВО В ПРЕЖНЕЙ ФИЗИКЕ
Принимая во внимание антисимметричность этого тензора, мы
можем написать первые три уравнения (19) так:
	_ 1 дЕу.	(19а)
дхч	с dt 1 с ’	
а первые три (20) так:		
дЕ^	дЕ„_ I	(20а)
дх^	дх„ । с dt ’ г	
(Н ) в противоположность (EJ имеет тот же		характер,
как момент или скорость	вращения. Последние два	уравнения
примут вид:	дХч п	(19b)
	дх^ “г дхч	(20b)
В левой части 'последнего уравнения стоит антисимметричный
тензор третьего ранга в том, что он антисимметричен,
легко убедиться, исходя из антисимметрии Поэтому уравне-
ние (20b) представляет собой только одно условие.
Наше правописание естественнее общепринятого и тем, что
оно —в противоположность последнему — одинаково для правых
и левых декартовых систем.
Лекция II.
ЧАСТНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.
Относительность направления и движения. Изложенные выше
рассуждения, кроме признания евклидовой геометрии, опираются
еще на одно предположение: именно, принимается, что все «а-
правления в пространстве (а следовательно, и все расположе-
ния декартовых осей) физически равноценны. В пространстве
отсчета нет особого направления, определяемого объективно,
имеются только соотношения между направлениями. Можно на-
звать это утверждение «принципом относительности направле-
ния»; и в прошлой лекции было показано, как можно, пользуясь
теорией тензоров, находить уравнения, построенные согласно этому
принципу и могущие поэтому верно выражать законы природы.
Теперь мы зададим себе вопрос, не существует ли относитель-
ности нашего пространства отсчета, т. е. не являются ли физически
равноценными различные пространства отсчета, находящиеся
в состоянии движения одни относительно других. С точки зре-
ния механики такие равноценные пространства существуют; дей-
ствительно, производя опыты на Земле, мы совершенно не за-
мечаем, что она движется вокруг Солнца со скоростью 30 км/сек.
Однако эта физическая равноценность существует, повидимому,
не для всех произвольно движущихся пространств отсчета; ме-
ханические явления различны в поезде, движущемся совершенно
равномерно, и в поезде, движение которого сопровождается кач-
кой и толчками; вращение Земли оказывает влияние на форму
законов движения по отношению к Земле. Существуют, пови-
димому, особые декартовы системы координат (так называемые
инерциальные системы), по отношению к которым законы меха-
ники (и вообще физики) принимают особенно простую форму.
Мы можем ожидать, что будет справедливо следующее предпо-
ложение:
Если К есть инерциальная система, то всякая сис-
тема К, движущаяся равномерно и без вращения отно-
сительно системы К, будет также инерциальной; законы
природы выражаются одинаково во всех инерциальных сис-
темах.
ЛЕКЦИЯ II. ЧАСТНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Частный принцип относительности. Это утверждение мы на-
зываем «частным принципом относительности». Из этого прин-
ципа «относительности переносного движения» мы и будем вы-
водить различные следствия, совершенно так же, как делали это
по отношению к относительности направления.
Необходимо прежде всего разрешить следующий вопрос.
Пусть и t обозначают координаты и время некоторого со-
бытия в инерциальной системе К\ как определить координаты х\
и время f того же события в инерциальной системе К\ дви-
жущейся равномерно относительно Физика, существовавшая
до теории относительности, решала этот вопрос на основании
двух молчаливо допускавшихся гипотез.
1. Время абсолютно*, время /' некоторого события в системе К
равно времени t того же события в системе К. Это утвер-
ждение получило бы физическое обоснование, если бы было воз-
можно передавать сигналы мгновенно, а также и в том случае,
если ход часов не зависит от их движения. Действительно,
тогда можно было бы расположить в системах К и К! одина-
ково устроенные и сверенные между собою часы так, чтобы
часы каждой системы находились по отношению к ней в покое;
показания этих часов не зависели бы от того, какие движения
совершали они в процессе их расстановки по системам К и К1.
Каждые такие часы служили бы для определения времени со-
бытия, совершающегося в их непосредственной близости.
2. Отрезок абсолютен*, если некоторый покоящийся относи-
тельно К отрезок имеет длину 5, то ту же длину он имеет
и в движущейся системе К! — в предположении одинаковых
приемов измерения в обеих системах.
Исходя из этих положений и принимая оси К и К1 парал-
лельными, находим простым расчетом уравнения преобразования:
Ху =	— сц — bt,
tf =t — b.
Это преобразование называют «преобразованием Галилея».
Диференцируя дважды первую формулу, мы найдем, что
(Рх' (&Х„
= для двух одновременных, но происходящих в разных
местах событий находим далее:	—х'(2> = хф—отсюда
возведением в квадрат и сложением находим формулу, показываю-
щую инвариантность расстояния г двух точек. Отсюда легко вы-
вести ковариантность ньютоновых уравнений движения по отно-
шению к преобразованию Галилея (21). Следовательно, классическая
ПРИНЦИП ПОСТОЯНСТВА СКОРОСТИ СВЕТА	27
механика удовлетворяет частному принципу относительности, если
только принять еще две указанные выше гипотезы о свойствах
часов и масштабов.
Обоснование относительности движения при помощи преобра-
зования Галилея встречает, однако, препятствия в применении
к электромагнитным явлениям: уравнения Максвелла-Лоренца
не являются ковариантными по отношению к преобразованию
Галилея, В частности световой луч, движущийся со скоростью с
относительно Kt по отношению к К* имеет, согласно соотноше-
ниям (21), другую, зависящую от направления, скорость. Таким
образом пространство отсчета К отличается по своим физическим
свойствам ото всех других, движущихся относительно К про-
странств отсчета (покоящийся эфир). Однако все опыты пока-
зали, что электромагнитные и оптические явления протекают
по отношению к Земле, как телу отсчета, так, что влияние
движения Земли не обнаруживается. Важнейший из этих опытов
принадлежит Майкельсону и Морлею, — мы предполагаем его
известным читателю. Таким образом едва ли приходится сомне-
ваться в справедливости частного принципа относительности
и в отношении электромагнитных явлений.
С другой стороны, уравнения Максвелла-Лоренца оказались
столь пригодными для оптики движущихся сред, что теорети-
ческая физика не может от них отказаться. Никакая другая
теория не может столь удовлетворительно объяснить аберрацию,
распространение света в движущихся средах (Физо), явления, на-
блюдаемые на двойных звездах (де-Ситтер). Утверждение, выте-
кающее из уравнений Максвелла-Лоренца, что—по крайней мере
по отношению хотя бы к одной инерциальной системе К —свет
распространяется в пустоте с постоянной скоростью с («прин-
цип постоянства скорости света»),— это утверждение является
вполне надежным. На основании принципа относительности
мы должны принять то же самое и для всякой другой инерциаль-
ной системы.
Принцип постоянства скорости света. Прежде чем мы при-
ступим к выводам из этих двух принципов, мы должны будем
подвергнуть критике понятия «времени» и «скорости», —с точки
зрения их физического значения. Из предшествующего уже
ясно, что физическое определение декартовых координат в инер-
циальной системе дается измерениями при помощи твердых тел;
для измерения же времени мы пользуемся часами, связанными
неизменно с системой координат. Но при помощи одних та-
ких часов все же нет возможности определять время события,
происходящего на некотором расстоянии от часов, так как
ЛЕКЦИЯ II. ЧАСТНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
в нашем распоряжении не имеется «мгновенных сигналов», ко-
торые служили бы для сравнения показания часов с событием.
Для достаточно полного определения времени мы применим
принцип постоянства скорости света. Представим себе, что рас-
ставленные в разных местах нашей системы К часы выверяются
следующим образом. От часов Um в тот момент, когда они по-
казывают время посылается световой сигнал, достигающий
часов Un\ если расстояние вторых часов от первых есть гтп,
то вторые часы считаются верными, если показывают время
tn=zfm-\—^-1). Из принципа постоянства скорости света выте-
кает, что такой способ установки часов не ведет к противоречиям.
Пользуясь выверенными таким способом часами, мы имеем
возможность определить время всякого события в непосредствен-
ной близости с одними из наших часов. Существенно, что такое
определение времени относится только к данной системе /С, по
отношению к которой часы неподвижны; из нашего определения
никоим образом не вытекает существования абсолютного вре-
мени, предполагаемого классической "физикой (т. е. независимости
значений времени от избранной инерциальной системы).
Теории относительности нередко ставился упрек в том, что
она без достаточных к тому оснований придает большое тео-
ретическое значение явлению распространения света. По этому
поводу можно сказать следующее. Чтобы придать определению
времени физическое значение, необходимо воспользоваться ка-
ким-нибудь явлением, устанавливающим связь между различными
точками пространства отсчета. Какое именно явление выбрать
для определения времени, само по себе безразлично, но, конечно,
полезно остановиться на явлении хорошо изученном. Самым на-
дежным в этом смысле и является — благодаря работам Максвелла
и Лоренца — распространение света в пустоте.
Определенные указанным путем пространственные и временные
данные имеют физически реальное, никоим образом не фиктив-
ное значение; в частности это верно и для различных взаимо-
отношений пространства и времени, например для соотноше-
ний (21). Поэтому имеет большой смысл вопрос о том, соответ-
ствуют эти соотношения действительности или нет и каковы должны
1) Собственно говоря, правильнее дать сначала определение одновре-
менности, например так: два происходящие в точках А и В системы К
события одновременны, если наблюдаются одновременно в средней
точке М расстояния АВ. Время тогда определено совокупностью пока-
заний расставленных неподвижно по системе К одинаковых часов,
имеющих одновременно одинаковые положения стрелок.
ПРИНЦИП ПОСТОЯНСТВА СКОРОСТИ СВЕТА
29
быть истинные уравнения преобразования, определяющие пере-
ход от одной инерциальной системы К к другой инерциальной
системе К', движущейся относительно первой. Оказывается, что
принцип постоянства скорости света и (частный) принцип отно-
сительности вполне и однозначно определяют эти уравнения
преобразования.
Представим себе, что время и пространство определены в ка-
ждой из систем указанным выше, физически полным и ясным
образом. Рассмотрим световой луч, идущий в пустоте от точки Pt
к точке Р* пространства отсчета К. Если г есть расстояние от
этих точек, измеренное в К, то распространение света опреде-
ляется уравнением:
Возводя это уравнение в квадрат и выражая г1 через разности
координат, мы можем вместо этого написать:
2 (А*.)*—= о.	(22)
Это уравнение выражает принцип постоянства скорости света
в системе К. Оно должно быть верным независимо от того,
движется ли источник света или находится в покое. Но то же
явление может быть рассматриваемо и в системе К'9 причем
принцип постоянства скорости света здесь также должен быть со-
блюден. Таким образом по отношению к К' справедливо уравнение:
2 (Дх,')’ - с1 (Д^)’ = 0.	(22а)
Уравнения (22а) и (22) связаны между собою уравнениями
преобразования, определяющими координаты и время в одной сис-
теме через координаты и время в другой системе. Преобразо-
вание, переводящее уравнение (22) в уравнение (22а), мы назы-
ваем преобразованием Лоренца.
Прежде чем приступить к его отысканию, дадим еще место
одному общему замечанию относительно пространства и времени.
Понятия пространства и времени в классической физике были
совершенно раздельны. Правда, по отношению к пространству от-
счета уже механика Ньютона была относительной, т. е. утвержде-
ние об одинаковости положения двух разновременных событий не
имело объективного (независимого от пространства отсчета) смысла;
однако эта относительность не играла в теории никакой роли.
О точках пространства говорилось как о какой-то абсолютной
реальности, так же, как и о времени. Совсем не принималось
во внимание, что истинным элементом описания явлений в про-
30
ЛЕКЦИЯ II. ЧАСТНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
странстве и времени следует считать событие — совокупность че-
тырех чисел xvx^x9,t. Происходящее всегда оценивалось по
отношению к четырехмерному континууму; но эта истина была
затемнена абсолютным характером времени в классической фи-
зике. Но с отказом от гипотезы абсолютного времени, и в осо-
бенности от прежнего представления об одновременности, снова
выступает четырехмерность всего совершающегося в простран-
стве и времени. Не место пространства, в котором нечто про-
исходит, и не момент времени, в который нечто происходит,
являются физически реальными, а само событие. Отношение
между двумя событиями не абсолютно ни в пространстве, ни во
времени (т. е. не независимо от системы отсчета); оно абсолютно
(т е. не зависит от системы отсчета) только в четырехмерном
континууме, как это мы увидим из дальнейшего. Но если раз-
деление четырехмерного континуума на пространственный трех-
мерный и одномерный временной не имеет физического смысла,
то отсюда следует, что законы природы принимают форму
наиболее совершенную логически, если их выражать как законы
четырехмерного пространственно-временного континуума. Таким
взглядом, являющимся методически крупным шагом вперед, мы
обязаны Минковскому. С его точки зрения задание четырех ко-
ординат xv xif xs, t мы должны рассматривать как событие
в четырехмерном континууме. Наглядное представление соотно-
шений подобного четырехмерного континуума удается нам в зна-
чительно меньшей степени, чем представление соотношений трех-
мерного евклидова континуума; но не следует забывать, что и
понятия и соотношения евклидовой геометрии являются результа-
тами абстракции и никоим образом не совпадают с образами, вызы-
ваемыми в нас через посредство чувств зрения и осязания. С другой
стороны, неразделимость четырехмерной совокупности событий ни-
коим образом не влечет за собою равноценности координат вре-
мени и координат пространства; мы не должны забывать, что физи-
чески время определяется совсем не так, как место. Кроме того,
в выражениях (22) и (22а), равноценность которых определяет
вид преобразования Лоренца, координата времени отличается так-
же от координат пространства стоящим перед нею знаком; этим
также определяется разная роль Д/ и ДхрДха, Дхв.
Преобразование Лоренца. Ранее чем подвергнуть анализу усло-
вия, определяющие преобразование Лоренца, введем вместо ко-
ординаты времени / другую: ct—l. Тогда преобразование Лоренца
определится условием, что по отношению к нему уравнение
AxJ + Ьх\ + Ьх\ — Д/а = 0	(22b)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА
31
вовариантно, иначе говоря, что оно имеет одну и ту же форму
ко всякой инерциальной системе, если только она существует
в одной инерциальной системе, т. е. верно описывает в этой
системе соотношение двух рассматриваемых событий — отправле-
ния и приема светового сигнала. Введем, наконец, как это
впервые сделал Минковский, вместо действительной коорди-
наты l~ct мнимую
x^U=ict.
Тогда уравнение, определяющее распространение света, примет
вид:
Дх? = Дх| +	+ Дх’ + Дх’ = 0.	(22с)
4
Ковариантность этого уравнения будет во всяком случав со-
блюдена, если мы выполним более общее условие, что
== AxJ + Дх£ + Дх^ + Дх’	(33)
будет инвариантом по отношению к искомому преобразованию.
Этому можно удовлетворить только линейным преобразованием вида
(24)
здесь, как обычно, подразумевается суммирование по а =
= 1, 2, 3, 4. Достаточно одного взгляда на уравнения (23)
и (24), чтобы заметить, что определяемое ими преобразование
Лоренца формально тождественно (кроме числа измерений
и мнимости одной из координат) с преобразованиями вращения
и переноса евклидовой геометрии.. Как и там, между коэфи-
циентами мы найдем соотношения
(25)
Из мнимости последней координаты следует, что все и
действительны за исключением £lt, bw biV bn, bu, b3l, кото-
рые мнимы.
Частный случай преобразования Лоренца. Про-
стейшие преобразования типа (24), (25) мы найдем, ставя как
условие, что преобразуются только две первые координаты и
что исчезают. Тогда, используя соотношения (25) для опре-
деления коэфициентов преобразования, найдем без труда:
х{ =хг сов Т —х, sin ср,
.г' = sin ср + xt cos ср,
xj = Xj,
xl = x4.
(26)
32
ЛЕКЦИЯ II. ЧАСТНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Это преобразование оказывается, таким образом, простым вра-
щением (пространственной) системы координат около оси х3.
Очевидно, что изученные выше пространственные вращения
(без преобразования времени) являются частным случаем пре-
образования Лоренца.
Подобным же образом получаем для значков 1, 4:
х[ = х± cos ф — xk sin ф,
sin ф 4-х, cos ф,
Xz “ у
Хз=Х,.
(26а)
Однако здесь вследствие мнимости оказывается мнимым и ф.
Чтобы истолковать это преобразование физически, введем снова
координату I и скорость v системы К1 относительно К. Мы най-
дем, во-первых:
= xt cos ф — U sin ф,
х' == — lxt sin ф 4* /cos ф.
Но для начала координат системы К', т. е. для xJ = 0, xt=^
из первого уравнения получится:
	©=/1еф,	(27)
откуда	— iv	1 5Шф— ,	, V 1 — V*	1	
	1 совф=			f	(28)
Таким образом	мы находим: ,	Xt — vl #1 / >	
	/'= l~VXi /1— = х*9	
		(29)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА
33
Это и есть столь известный частный случай преобразования
Лоренца, который представляет собой вращение четырехмерной
системы координат на мнимый угол. Если мы пожелаем вместо
«светового времени» I ввести обыкновенное время /, то в урав-
нения (29) вместо I и v войдут соответственно ct и .
Нам нужно теперь заполнить еще один пробел. Из принципа
постоянства скорости света следует, что уравнение
А*? = О
сохраняет силу вне зависимости от выбора той или иной инер-
циальной системы; но отсюда еще не следует инвариантности ве-
личины Дх?; возможно, что при преобразовании эта величина
[а следовательно, и (29)] получает множитель К, который может
зависеть и от скорости v. Однако мы покажем сейчас, что прин-
цип относительности не допускает никакого иного значения
для X, кроме 1.
Представим себе твердый цилиндр, движущийся в направле-
нии своей оси. Пусть при измерении радиуса покоящегося ци-
линдра покоящимся же единичным масштабом оказалось, что
он имеет величину в состоянии движения эта длина, будучи
измерена тем же покоящимся масштабом, может оказаться
иной, ибо теория относительности не вводит гипотезы, что
размеры тела относительно некоторого пространства отсчета
не зависят от движения тела относительно этого пространства.
Но все направления пространства равноценны; поэтому R может
зависеть только от величины q скорости, но не от ее направления;
R должно быть поэтому четной функцией q.
Если цилиндр покоится относительно системы /Г, то уравне-
ние его боковой поверхности следующее:
х'’+
Если допустить, что последние два уравнения (29) имеют бо-
лее общую форму
х'2 = Хх2,
xs = Хх3,
то по отношению к К боковая поверхность выразится так;
п2
—___-
-Г л 3	•
3 Эйнштейн.
34
ЛЕКЦИЯ II. ЧАСТНАЯ TEOI ИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Множитель X характеризует, таким образом, сокращение тол-
щины цилиндра и может быть, как указано, только четной
функцией v.
Введем третью систему координат К", движущуюся относи-
тельно К' со скоростью V, равной по величине и обратной по
направлению скорости движения К относительно К. Тогда дву-
кратным применением формул (29) найдем:
v)xlt
Z" = X(v)X (—•»)/.
Но k(v) = k(—v), и, кроме того, мы условливаемся во всех
системах применять одинаковые масштабы; рассмотренное дву-
кратное преобразование приводит обратно к системе К и есть —
вследствие условия о масштабах — преобразование тождественное
(возможность к = — 1, естественно, исключена). Поэтому Х=1.
Следует отметить, как существенно для этого результата
условие о масштабах.
Кинематические следствия преобразования Лоренца. Движу-
щиеся масштабы и часы. Положение точки с целочис-
ленной координатой х[=п (относящейся к системе К1) в мо-
мент I — 0 (по часам системы К) определяется в системе К9
согласно первому из уравнений (29), следующим уравнением:
х1 = «|/ 1 — v* (сокращение Лоренца). Стоящие вначале коор-
динат К часы, отбивающие 1 = п, с точки зрения системы К1
будут, согласно второму уравнению (29), отбивать:
----5---
1/ l — v2’
г. е. будут итти медленнее, чем такие же часы, покоящиеся
относительно К'. Эти заключения, которые mutatis mutandis
верны для всякой системы, представляют физическое содержание
преобразования Лоренца.
Теорема сложения скоростей. Производя два после-
довательных преобразования Лоренца с относительными скоро-
стями vt и v* и находя заменяющее их одно преобразование,
характеризуемое скоростью vlif найдем, пользуясь уравнением
(27), выражение:
(30]
ИНВАРИАНТЫ ЧАСТНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
35
Общие замечания о преобразовании Лоренца
и относящейся к нему теории инвариантов. Вся
теория инвариантов частной теории относительности опирается
на инвариант [уравнение (23)]. Для четырехмерного простран-
ственно-временного континуума этот инвариант играет ту же роль,
какую инвариант Дх^+Дх*+Дх| играет для евклидовой геоме-
трии и для классической физики; но по отношению к преобразова-
нию Лоренца последнее выражение не есть инвариант, и его заме-
няет выражение (23), которое может быть определено измере-
нием в любой инерциальной системе; если только установлен
единичный масштаб, то любой паре событий может быть сопря-
жено определенное значение
Некоторые замечания об инвариантах частной теории относи-
тельности. Кроме числа измерений этот инвариант отличается
от инварианта евклидовой геометрии
В последней № непременно положи-
тельно; оно обращается в нуль
только в случае совпадения то-
чек; напротив, из обращения в нуль
s4 = Дх* +	+ Дх| — Д/2 нельзя,
заключать о совпадении обеих про- ,
странственно-временных точек; обра- •
щение в нуль величины есть
инвариантный признак того, что обе
точки могут быть соединены световым
сигналом. Если Р есть точка (событие),
и другими свойствами.
(
имеющая в пространстве четырех
измерений координаты xv х2, х3, Z, то	Рис. 1.
совокупность всех «точек» Р, со-
единимых с Р световым сигналом, лежит на конусе ? = 0
(см. рис. 1, в котором опущено измерение х3). «Верхняя» половина
конуса содержит «точки», в которые посылается сигнал из Р; ниж-
няя— «точки», из которых можно сигнализировать в Р. Точки Р',
лежащие внутри конуса, дают вместе с Р отрицательные значения
отрезкиРР' иР'Рназваны Минковским времениподобными^еИаг^);
такие отрезки могут представлять пути действительных точек со ско-
ростями, меньшими скорости света х). В этом случае ось I можно
соответственным выбором движения инерциальной системы на-
править по РР'. Если Р' лежит вне «светового конуса», то
отрезок РР1 называется пространственноподобным (raumartig);
i) Как это следует из наличия У 1—v2 в преобразовании (29^ ско-
рости тел, превышающие скорость света, невозможны.
36
ЛЕКЦИЯ II. ЧАСТНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
в этом случае подходящим выбором инерциальной системы можно
уничтожить Д/.
Введя мнимую переменную x4 = ZZ, Минковский сделал теорию
инвариантов четырехмерного континуума физических явлений со-
вершенно аналогичной трехмерному континууму евклидова про-
странства. Таким образом четырехмерная теория тензоров част-
ной теории относительности отличается от теории тензоров
трехмерного пространства только числом измерений и мнимостью
одной из переменных.
Всякая физическая величина, для описания которой в инерци-
альной системе xv х,, х3, х4 необходимо знание четырех вели-
чин Л^, 'Называется четырехмерным вектором с компонен-
тами Лм, если только эти величины по отношению к мнимости
и формулам преобразования соответствуют величинам этот
вектор может быть «пространственноподобным» и «времени-
подобным».
Шестнадцать величин Ли>, представляют собой компоненты
тензора второй степени, если они преобразуются по формулам:
Отсюда следует, что по отношению к свойствам веществен-
ности и к преобразованиям координат обладают теми же свой-
ствами, что и произведения U V, компонентов двух векторов
(U) и (V). Таким образом компоненты тензора действительны,
за исключением тех, которые содержат индекс 4 один раз.
Подобным же образом могут быть определены тензоры тре-
тьей и высших степеней; сложение, вычитание, умножение, упро-
щение и диференцирование тензоров четырехмерного континуума
ничем не отличается от соответственных действий в трехмерном
пространстве.
Прежде чем перейти к применениям теории четырехмерных
тензоров, скажем еще несколько слов об антисимметричных тен-
зорах. Тензор второй степени имеет всего 4*4 = 16 компонен-
тов; но в случае антисимметрии компоненты с одинаковыми
индексами исчезают, а компоненты с различными индексами попар-
но равны по абсолютной величине и различаются знаками.
Следовательно, независимыми являются только шесть из них;
такой случай встречается в теории электромагнитного поля.
Как мы увидим, уравнения Максвелла могут быть представлены
в тензорной форме, если только описывать электромагнитное
поле при помощи антисимметричного тензора. Далее ясно, что
вполне антисимметричный тензор третьей степени (по отношению
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
37
ко всем парам индексов) имеет всего четцре независимых ком-
понента, ибо возможны только четыре сочетания трех различных
индексов.
Уравнения Максвелла. Обратимся теперь к уравнениям Макс-
велла (19а), (19b), (20а), (20b) и введем обозначения *):
^аз ?3t ?ia	Tai Т34 1 ГЗОа^
^23	^31	^2	-JB. | k >
Jx J* J3 Jk 4
±i. J? f	(31)
при условии	. Тогда уравнения Максвелла могут
быть написаны так:
=	(32)
++ ’и
дх, "г дхр "г дх^
(33)
= 0
в чем можно убедиться простой подстановкой. Уравнения (32)
и (33) имеют тензорный характер и, следовательно, ковариантны
по отношению к преобразованию Лоренца; конечно, для этого
необходимо, чтобы и имели тензорный характер, что мы
и предполагаем. Таким образом установлены законы преобразо-
вания этих величин при переходе от одной допустимой (инерци-
альной) системы координат к другой. Методическое усовершен-
ствование, которым электродинамика обязана частной теории
относительности, ростоит главным образом в том, что послед-
няя уменьшает число независимых гипотез. Если, например,
рассматривать уравнения (19а) только с точки зрения относи-
тельности направления, то входящие в них три величины пред-
ставляются логически независимыми одна от другой. Характер
вхождения в эти уравнения напряженности электрического поля
кажется ничем не связанным с формой, в которой входит в них
напряженность магнитного поля; не было бы удивительно, если
дЕу,	д'-Е„	к
бы вместо -т-р стояло -х-./- или если бы этот член вовсе отсут-
01	J
ствовал. Но в уравнении (32) имеются только два независимых
1) Мы сохраним индексы 1,2, 3, 4 для употребления в четырехмерном
пространстве, индексы же лг, у, z относятся к пространству трехмерному;
при таких обозначениях недоразумениям не будет места.
38
ЛЕКЦИЯ II. ЧАСТНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
члена. Электромагнитное поле с этой формальной точки зрения
есть нечто единое; форма, в которой в это уравнение входит
напряженность электрического поля, зависит от формы вхождения
напряженности магнитного поля, и кроме электромагнитного
поля самостоятельной величиною является только плотность элек-
трического тока.
Это методическое усовершенствование проистекает из того
обстоятельства, что вследствие относительности движения маг-
нитное и электрическое поля сливаются в нечто единое. То, что
с точки зрения некоторой системы кажется чисто магнитным
полем, становится, будучи рассматриваемо из другой инерциаль-
ной системы, полем, в котором, кроме магнитных, присутствуют
и электрические силы. Применяя формулы преобразования (26а),
(27), находим для компонентов электромагнитного поля:
е; = *______
* У 1—
R' =	У
у V 1 — V2’	
г J
* При этом отождествление величин со значками с выраже-
ниями без значков происходит на основании тензорного харак-
тера (32) и (33) *. Как видим, если относительно К существует
только магнитное поле, то относительно К* будет существовать
электрическое поле Е\ действующее на покоящиеся относи-
тельно /С заряды; наблюдатель, неподвижный относительно К, бу-
дет истолковывать эту силу как силу Био-Савара или как элек-
тродвижущую силу Лоренца; и эта последняя сливается, таким
образом, с действием поля в одно целое.
Импульс, энергия и масса. Чтобы формально связать все эти
силы, рассмотрим действующую на единицу объема силу
к = рЕ + [1Н].
(35)
где I есть вектор скорости электричества (причем’ за единицу
принята скорость света). Новое выражение компонента этой
силы по оси х мы получим, введя согласно (30а) и (31) и
?Г2 Л + ?13 Л + Л
ИМПУЛЬС, ЭНЕРГИЯ И МАССА
39
Приняв во внимание, что вследствие антисимметрии тен-
зора (<р) величина <plt равна нулю, мы можем выразить компо-
ненты к через первые три компонента четырехмерного вектора
ЛГн = 'Р1д, Л-	(36)
Последний компонент выражается так:
+ъл	=]*• (37)
Итак, существует четырехмерный вектор плотности силы,
первые три компонента которого представляют плотность понде-
ромоторной силы, а четвертый — умноженную на у(= \/ — 1) плот-
ность мощности к (отдачу энергии поля, отнесенную к единице
объема и единице времени).
Сравнение уравнений (35) и (36) показывает, что теория
относительности формально объединяет пондеромоторную силу
электрического поля с силою Био-Савара или Лоренца [1Н].
Масса и энергия. Сущеегвование и смысл четырехмер-
ного вектора приводит нас ж одному чрезвычайно важному
выводу. Представим себе тело, на
которое в течение некоторого
времени действует электромагнит-
ное поле. На рис. 2 Oxt обозна-
чает ось и вместе с тем является
заменой всех трех пространствен-
ных осей Oxit Oxi9 Ох3\ 01 изо-
бражает (действительную) ось вре-
мен. Некоторое, занимающее опре-
деленную часть пространства тело
изображается в определенный мс-
м >нт времени I отрезком АВг а
। се его существование — полосою,
границы которой наклонены к оси I меньше 45°. Между сечениями
времени / = /1 и Z = Za, но, не касаясь их, мы отметим некото-
рую заштрихованную часть нашей полосы; она изображает нам
четырехмерную область, в которой поле действует на наше те-
ло, иначе говоря, на связанные с ним электрические заряды.
Обратим наше внимание на изменения, претерпеваемые в этом
случае импульсом и энергией рассматриваемого тела.
Допустим, что и закон импульса и закон энергии сохраняют
силу в этом случае. Изменение импульса Д/?х, Д/?у, Дд и изме-
нение энергии Д£ нашего тела выразятся так:
40	ЛЕКЦИЯ И. ЧАСТНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
h
Ьрх z=^dl^fxdx dy dz = j-J Fx dxt dx% dx3 dxlt
\.....................
Д£ = J dl J \dx dy dz = 4-J 4- F4 dxt dx% dx3 dxk.
4)
Так как элемент четырехмерного объема есть инвариант,
Кр /Са, Kt, Kk — компоненты четырехмерного вектора, то и
интегралы, распространенные на заштрихованную часть, равные
вследствие отсутствия поля в не заштрихованной части выше-
написанным, преобразуются как четырехмерные векторы. Отсюда
следует, что Др^, Дру, Држ, Д£ суть компоненты четырехмерного
вектора. Но так как сами величины преобразуются как их
приращения, то, очевидно, и
р«, pt> р„ № .
образуют четырехмерный вектор; величины эти относятся к со-
стоянию тела в данный момент времени, например к моменту / =
Но этот же вектор может быть выражен через массу т и ско-
рость тела, рассматриваемого как материальная точка. Заметим
сперва, что
—ds* = di* = — (dx2 + dx2 +	- dx2 = dl* (1 -?«) (38)
есть инвариант, относящийся к бесконечно малому отрезку четырех-
мерной линии, описывающей движение материальной точки. Фи-
зический смысл инварианта dz легко установить; выберем ось
времен так, чтобы она совпадала с нашим отрезком, или, как
можно еще выразиться, отнесем нашу точку к покоящейся отно-
сительно нее системе; тогда d~~dl, следовательно, время будет
измерено совпадающими с точкой и движущимися вмесхе с нею
часами, поэтому т называют собственным временем точки. Таким
образом dx в противоположность dl есть инвариант и для дви-
жений со скоростью, малой по сравнению со скоростью света,
практически совпадает с dl. Отсюда очеидно, что
(39)
как и dx9, имеет векторный характер; мы назовем (нв) векто-
ром четырехмерной скорости. Компоненты этого вектора удо-
влетворяют согласно уравнению (38) условию:
2и2= — 1.	(40)
ИМПУЛЬС, ЭНЕРГИЯ И МАССА
41
Очевидно это есть единственный вектор, который может
быть образован из (определенных в пространстве) компонентов
dx	dy	dz
скорости qx =	, qy —	, qK =	; его компоненты иначе
могут быть написаны так:
Я* д» j
j/ I — ?2’ j/I —j/ 1 — 02’ y'x — qi
Отсюда видим, что
(41)
(42)
и есть тот четырехмерный вектор, который следует приравнять
вектору импульсов и энергии, существование которого мы дока-
зали выше. Сравнивая компоненты обоих векторов, найдем:
___ (43)
___ т I
j
В самом деле, легко обнаружить, что при малых по сравне-
нию со скоростью света скоростях компоненты импульса совпа-
дают с соответственными выражениями классической механики.
Но при больших скоростях импульс растет быстрее, чем про-
порционально скорости, и приближается к бесконечности при
приближении скорости к скорости света.
Применим последнее из уравнений (43) к покоящейся точке;
мы найдем, что энергия В9 покоящегося тела равна его массе.
Выбирая за единицу времени секунду, получим:
Е* = тс\	(44)
Таким образом масса и энергия по существу одинаковы и
представляют собой лишь различные проявления одного и
того же. Масса тела не постоянна, но меняется с энергией х).
>) Точное изучение неравенства атомных весов целым числам приво-
дит к изучению изменений энергии в радиоактивных процессах. Уже
были попытки выводить отсюда заключения о строении и устойчивости
атомных ядер.
42
ЛЕКЦИЯ И. ЧАСТНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Последнее из выражений (43) показывает, что Е обращается
в бесконечность, когда q приближается к единице, т. е. к ско-
рости света. Разлагая Е по степеням находим:
Е = т + ^д* + ^тд1 +...	(45)
Второй член этого разложения соответствует кинетической
энергии материальной точки в классической механике.
Уравнения движения материальной точки. Дифе-
ренцированием по времени I и применением теоремы импульсов
найдем из (43) уравнения движения материальной точки в век-
торном написании трехмерного пространства:
= d 1™\ \
dl\y \—q2)
(46)
Это уравнение, установленное для квази-стационарно движу-
щегося электрона еще Лоренцом, было в последнее время про-
верено с большою точностью на ^-лучах х).
Тензор энергии. Тензор энергии электромагнитного
поля. Еще до появления теории относительности было найдено,
что теоремы импульсов и энергии электромагнитного поля
могут быть написаны в диференциальной форме. Четырехмер-
ная формулировка этих теорем приводит нас к важному для
дальнейшего развития теории относительности понятию — поня i ию
тензора энергии.
Будем исходить из четырехмерного вектора плотности силы

и заменим на основании уравнений (32) через величины
тогда найдем:
где
+ (4S)
9 Ланжевен дал вывод этих уравнений, опирающийся не на электро-
динамику, а на кинематику ча.тноЙ теории относительности и закон
сохранения энергии.
2) Подразумевается суммирование по а и jl
ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ
43
* Чтобы убедиться в справедливости этого, продиференцируем
уравнение (48) по
дХу, дх,, ‘ ‘ve дхч
4 г*дх;
Но на основании антисимметрии (<р) и уравнений (32) и (36)
имеем:
ю d?*g________гл d?gv__ дл
дхч	дх*
Сумма же второго и третьего членов есть нуль. В самом
деле, пользуясь антисимметрией (<р), можем написать:
ф ^=2.<ф ^ + (₽ ЗьД
дхч 2 Vv- дхч Ye* dxj'
но во втором члене справа можем переставить знаки а и у, так
как суммирование совершается по обоим; поэтому
ф = 1 Ф
дх* 2 Yve\dxv * дх^)'
Наконец, преобразуем третий член:
4	4 дх^
ибо только —не нуль, но
поэтому
дх^
^?Vg
дх/
_ 1> <М=_±ф ^=1ф
4 14 дХч 2 т дх*, 2 Y ve дх^
Теперь ясно, на основании (33), что сумма второго и третьего
членов есть нуль *,
Физический смысл величины (47) станет понятным, если мы,
введя новые обозначения, напишем ее компоненты:
ц —	^Рт9 дР**
дх	dz d(j^
- д(^
дх ду dz д(И),
(47а)
44
ЛЕКЦИЯ II. ЧАСТНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
или, устраняя мнимость:
а ______др	_ дрхг__dbx \
х дх ду dz dt ’ I
dS2   dS9  дЗл	dr)
дх	ду	dz	dl ‘
Три первые из этих уравнений дают теорему импульсов, при-
чем р^,..., р„ представляют максвелловы силы давления в
электромагнитном поле, а (Ь) есть плотность импульса. Послед-
нее же уравнение выражает закон сохранения энергии, причем
S есть вектор потока энергии, а т) есть плотность энергии.
Действительно, вводя в уравнение (48) пространственные компо-
ненты поля, вычисляя и сравнивая с уравнениями (47а),
найдем известные из электродинамики выражения:
Р>, — ~НхНу — ЕхЕу, рх, = -НХН, - ЕХЕ,,
bx = Sx—EyHt —EtHy,
(48а)
т^'Е' + Н*}
Выражение (48) показывает нам, что тензор Т симметричен;
значит плотность импульса и поток энергии равны между собою
(связь между энергией и инерцией).
Что плотность энергии имеет тензорный характер, непосред-
ственно доказано нами только для электромагнитного поля; но
этому результату следует придать общее значение. Если рас-
пределение электрических зарядов и токов дано, то уравнения
Максвелла вполне определяют электромагнитное поле. Нам из-
вестно, что электричество состоит из частиц (электроны и поло-
жительные ядра), но теоретически это остается для нас непо-
нятным. Мы не знаем энергетических факторов, обусловливаю-
щих существование электричества именно в виде частиц опреде-
ленной величины и заряда, и все попытки дополнить теорию
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
45
так, чтобы* она объясняла и это обстоятельство, пока терпели
крушение. Если мы вообще можем применять уравнения Макс-
велла, то только вне электрических частиц; только вне этих
частиц, как можем мы надеяться, нам известен тензор энергии;
на основании (47) мы можем написать:
^ = °.	(47с)
Закон сохранения энергии. Общее выражение теорем
сохранения энергии и импульсов. Едва ли можно из-
бежать гипотезы, что и во всех других слу-
чаях пространственное распределение энер-
гии определяется симметричным тензором	I I
Т и что этот полный тензор энергии	I I
везде удовлетворяет соотношению (47с).	/ /
Во всяком случае такое предположение 7 /
находится в согласии с интегральной теоре- / /
мой энергии, что мы сейчас и покажем.	Х|
Рассмотрим замкнутую и простран-	рИс. 3.
ственно ограниченную систему; мы можем
ее представить, как и выше, полосою в четырехмерном про-
странстве, вне которой Т ч исчезает. Проинтегрируем выражение
(47с) по пространственному сечению. Так как интегралы от
дТу.\ дТул дТ\ь9	~
~dxf ~ёх~' ~дх исчезают вследствие исчезновения на гра-
ницах интегрирования, то мы находим:
сГ/ { 5	^х* ^х$ } 0-	(49)
Фигурные скобки содержат умноженные на I компоненты им-
пульса и, кроме того, энергию, взятую с обратным знаком; по-
этому уравнение (49) есть интегральное выражение теорем со-
хранения энергии и импульсов.
Что такой взгляд на энергию и теоремы сохранения соответ-
ствует истине, будет видно и из дальнейшего.
Феноменологическоеопределениетензораэнер-
гии —материи. Уравнения гидродинамики. В насто-
ящее время нам известно, что материя состоит из электронов,
но мы еще не знаем уравнений поля, определяющих строение
их. Поэтому при описании явлений механики нам приходится
пользоваться грубыми приемами классической механики. Основ-
ными понятиями в ней являются плотность а весомого вещества
и силы гидродинамического давления (поверхностные силы).
46
ЛЕКЦИЯ II. ЧАСТНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Пусть а0 обозначает плотность материи, оцененную с точки
зрения системы координат, движущейся вместе с нею (собствен-
ная плотность). Очевидно, а0 есть инвариант. Представим те-
перь, что в нашей движущейся материи отсутствуют силы
давления (нечто вроде пыли в пустоте, состоящей из бесконечно
малых частичек, не имеющих теплового движения); очевидно
в этом случае тензор движения будет зависеть только
от и от скоростей ич. Тогда мы можем положить тензор
энергии равным
^ = а.ви«..	(50)
где в пространстве трех измерений получают значения (41).
В самом деле, из (50) для q = 0 следует Тн =—je, т. е.
равно отрицательной плотности энергии, как это следует из по-
ложения о тождестве энергии и массы и указанного выше фи-
зического истолкования тензора энергии.
Если на материю действует, кроме того, внешняя объемная
сила (четырехмерный вектор ), то на основании теоремы им-
пульсов и энергии должно быть:
Мы покажем, что это уравнение действительно приводит к
выведенному выше закону движения материальной точки. Пред-
ставим себе материю находящейся в бесконечно малом объеме;
в пространстве четырех измерений она изображается бесконечно
тонкой нитью; интегрируя по всей нити по пространственным
координатам, найдем:
j Кх dxx dx% dx3 ==	dxt dx% dxt ==
=	di1 dt*dXldx*iXv
Ho ^dx^dx^dx^dx^ а следовательно, и dxidx%dx3dx3
есть инвариант. Вычислим* наш интеграл, во-первых, с точки
зрения выбранной нами инерциальной системы, во-вторых, с
точки зрения другой, в которой скорость данного элемента ма-
терии есть нуль. Интегрирование распространяется на длину нити,
для которой постоянно в каждом пространственном сечении.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
47
Обозначив пространственный объем нити через dV и dV^ со-
ответственно точкам зрения первой и второй системы, найдем:
^dVdl=\<itdVtdt
или также:
Внося в наш интеграл вместо левой части этого выражения
dx<
правую и вынося множитель из-под знака интеграла, най-
дем:
Р __d / dXj\____ d I тЯх \
r*~ dl \m ~dt ) ~dl
Отсюда мы видим, что такое обобщение тензора энергии нахо-
дится в согласии с нашими прежними результатами.
Уравнения Эйлера для идеальной жидкости.
Чтобы подойти еще ближе к свойствам действительной материи,
надо прибавить к тензору энергии еще один член, соответствую-
щий поверхностным силам. Простейшим в этом отношении
случаем является жидкость без трения, в которой силы давле-
ния определяются скаляром р; в этом случае тангенциальные
давления pTip... исчезают, и поэтому тензор энергии должен
иметь форму Таким образом мы должны положить
—	(51)
Собственная плотность материи и энергии будет в этом слу-
чае не а, но з—р. В самом деле, в случае покоя:
dxi dxt >
При отсутствии внешних сил имеем:
______
дхч

и- Ох,
+ 5г.
+ дх*
= 0.
Умножив это выражение на =5^) и просуммировав пор,
находим на основании (40):
д(од,) , др_п
=°»
(52)
48	ЛЕКЦИЯ II. ЧАСТНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
др dxu.	dp
причем	положено равным ~ . ото — уравнение непре-
рывности, отличающееся от соответственного уравнения класси-
ческой механики только (практически ничтожным) членом Тео-
ремы сохранения принимают на основании уравнения (52) та-
кую форму:
Л + „ ^+^.=0.	(53)
dx р dx дху.	4 7
Для первых трех индексов эти уравнения соответствуют, оче-
видно, уравнениям Эйлера.
То обстоятельство, что уравнения (52) и (53) дают в первом
приближении уравнения классической механики, является лишним
аргументом в пользу данной нами общей формулировки тео-
ремы энергии; плотность массы или энергии должна иметь тен-
зорный характер (именно симметричного тензора).
Лекция III.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.
Основания. Все приведенные выше рассуждения покоились на
предположении, что все инерциальные системы равноценны при
описании явлений природы, но что они имеют преимущество пе-
ред пространствами отсчета, движущимися иначе. Но нет возмож-
ности обосновать такое предпочтение, исходя из воспринимаемых
нами явлений в телах или их движений; преимущество инерциаль-
ных систем перед другими оказывается самостоятельным, ничем
другим не обусловленным свойством пространственно-временного
континуума. В особенности закон инерции, повидимому, вы-
нуждает нас приписать пространственно-временному континууму
объективное существование. И если с точки зрения Ньютона
было последовательно исходить из предложений: «tempus est
absolutum, spatium est absolutum», то частная теория относитель-
ности должна утверждать: «continuum spatii et temporis est abso-
lutum». При этом выражение «absolutum» означает не только
«физически реально» но и «физические свойства его не опреде-
ляются ничем другим, кроме него самого».
Такая точка зрения представляется единственно возможной,
если только считать закон инерции непреложным основанием
физики; против такого привычного воззрения имеются, однако, два
весьма серьезных возражения. Во-первых, противоречит научному
смыслу утверждать существование чего-то (именно простран-
ственно-временного континуума), что действует, но само не мо-
жет подвергаться никаким воздействиям. Это соображение побу-
дило Маха попытаться исключить из системы механики простран-
ство как самостоятельно действующую причину. По его мнению,
отдельная материальная точка должна двигаться без ускорения
не по отношению к пространству, а по отношению к центру
остальных масс мира; таким образом, в противоположность
механике Ньютона и Галилея, причинная последовательность ме-
ханических явлений оказывается замкнутой в себе. Чтобы после-
доьательно провести этот взгляд в современной физике, допускаю-
щей только близкодействия, нужно было бы то свойство
четырехмерного континуума, которое определяет инерцию, рас-
4 Эйнштейн.
50
ЛЕКЦИЯ 1П. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
сматривать как свойство поля, по образцу теории поля элек-
тромагнитного; однако понятия классической механики не при-
способлены к такому способу выражения механических свойств.
Поэтому попытка Маха в то время и не удалась; к этому
вопросу мы, однако, еще вернемся.
Во-вторых, классическая механика страдает еще одним недо-
статком, желая устранить который мы, естественно, приходим
к необходимости распространить принцип относительности и на
пространства отсчета, движущиеся одни относительно других и
неравномерно. Дело в следующем. Отношение масс двух тел
определяется в механике двумя принципиально различными спо-
собами: во-первых, как обратное отношение ускорений, вызывае-
мых одинаковыми силами (инертная масса), во-вторых, как отно-
шение сил в одном и том же поле тяготения (тяжелая масса).
Равенство инертной и тяжелой масс необычайно точно подтвер-
ждается опытом (Этвёш), но классическая механика не дает этому
факту никакого объяснения.
Ясно, что мы удовлетворимся только тогда, когда наша наука
объяснит это численное равенство одинаковостью самого суще-
ства массы в обоих случаях.
Гипотеза эквивалентности. Эта цель, как вытекает из сле-
дующего рассуждения, может быть достигнута только обобщением
принципа относительности. Во-первых, нетрудно показать, что
утверждение о равенстве тяжелой и инертной масс тождественно
с утверждением о независимости ускорения, сообщаемого полем
тяготения массе, от природы этой последней. В самом деле,
закон движения в поле тяжести, даваемый механикой Ньютона,
гласит: инертная масса, умноженная на ускорение, равна на-
пряжению поля тяжес/йи, умноженному на тяжелую массу.
Отсюда очевидно, что только при численном равенстве тяже-
лой и инертной масс ускорение не будет зависеть от природы тела.
Рассмотрим инерциальную систему К. В такой системе тела,
достаточно удаленные друг от друга и от других масс, движутся
без ускорения. Будем теперь рассматривать эти тела с точки
зрения системы движущейся относительно К с постоян-
ным ускорением. По отношению к К* все тела имеют одинако-
вые и одинаково направленные ускорения; они движутся так,
как если бы на них действовало поле тяготения, а система К'
не имела бы ускорения относительно К. Оставим на время
в стороне вопрос о «причине» такого поля тяготения, — этим
мы займемся позднее; сейчас нам ничто не мешает считать это
поле действительно существующим; иначе говоря, предположе-
ние, что система /С' «покоится» и что существует поле тяготе-
НЕПРИГОДНОСТЬ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
51
ния, столь же допустимо, как и предположение, что только К
есть «допустимая» система, а поля тяготения нет. Мы называем
принципом эквивалентности предположение о полной физиче-
ской законности первого взгляда; этот принцип вполне естествен-
но вытекает из равенства тяжелой и инертной масс и является
обобщением принципа относительности на неравномерно движу-
щиеся системы координат. Таким образом достигается тождествен-
ность инертной и тяжелой масс по существу; в зависимости же
от способа рассмотрения одни и те же массы оказываются под
действием или одной инерции (система К), или под совместным дей-
ствием инерции и тяжести (система /Г'). Возможность свести
таким путем инерцию и тяжесть к одной сущности дает, на
мой взгляд, общей теории относительности такое превосходство
перед воззрениями классической механики, что все встречаемые
первой затруднения должны быть сочтены ничтожными по срав-
нению с этим завоеванием.
Но чтб, собственно, дает нам право переступить через столь
твердо установленный закон инерции, отличающий инерциальные
системы от всех остальных? Слабостью закона инерции является
ложный круг, в который он заключен: масса движется без ускоре-
ния, если достаточно удалена от других масс, но установить, что
она достаточно удалена, можно как раз только по тому пргл
знаку, что она движется без ускорения. Да и возможны ли
вообще инерциальные системы для конечных областей простран-
ственно-временного протяжения или для всего мира? Мы можем
считать, что закон инерции установлен с большим приближением
для пространства нашей планетной системы, если отвлечься от
возмущений, вносимых Солнцем и другими планетами. Точнее
говоря: при подходящем выборе систем отсчета существуют ко-
нечные области, в которых материальная точка движется без
ускорения и в которых с замечательной точностью соблюдаются
изложенные выше законы частной теории относительности. Такие
области мы будем называть «галилеевыми». В дальнейшем мы
и будем исходить из существования таких областей как из хо-
рошо изученного частного случая.
Непригодность евклидовой геометрии* Принцип эквивалентности
требует, чтобы при рассмотрении галилеевых областей были до-
пускаемы и неинерциальные системы, т. е. такие, которые по
отношению к системам инерциальным несвободны от вращения
и ускорения. Если только мы хотим покончить с трудным вопро-
сом, на каком объективном основании некоторые системы пред-
почитаются другим, мы должны допустить любые системы. Но,
отнесясь к такому допущению с должным вниманием, мы тотчас
4*
52
ЛЕКЦИЯ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
увидим, что впадаем в противоречие с тем физическим истолко-
ванием пространства и времени, которым мы с успехом пользо-
вались в частной теории относительности. Пусть К1 есть система
координат, ось z которой совпадает с осью z системы К\ си-
стема К' вращается с постоянной угловой скоростью относи-
тельно системы К вокруг этой оси. Можно ли представить себе твер-
дое тело, покоящееся в системе К' и подчиняющееся законам евкли-
довой геометрии? Так как К' не есть инерциальная система, то
нам непосредственно не известны законы природы по отношению
к ней, и, в частности, мы не знаем и законов расположения
твердых тел. Но все это нам известно по отношению к инер-
циальной системе /С, а следовательно, мы от нее и можем исходить.
Представим себе в плоскости ху системы К' круг, очерченный
около начала координат некоторым радиусом. Представим себе
далее, что в нашем распоряжении имеется множество очень ма-
леньких твердых палочек; уложим эти палочки по окружности
и диаметру нашего круга неподвижно по отношению к системе К'.
Если бы К* не вращалась относительно К, то число U палочек,
уложенных по окружности, и число D палочек, уложенных по
диаметру, находились бы в отношении:
U
D
Но так как К’ вращается относительно /С, дело обстоит
иначе. Представим себе, что мы определяем длины всех палочек
в системе К в один определенный момент времени палочки,
расположенные по окружности, испытывают сокращение Лоренца;
радиально расположенные сохраняют прежнюю длину1). Отсюда
значит, законы расположения твердых тел в системе К1 не со-
впадают с законами расположения евклидовой геометрии. Свяжем
далее с центром и с окружностью одинаковые часы (вращающиеся
вместе с К')\ из системы К мы увидим, что часы, помещенные
на окружности, идут медленнее часов, помещенных в центре.
И если только мы не будем определять время совершенно не-
1) Строго говоря, эти рассуждения исходят из предположения, что
свойства часов и масштабов зависят только от скоростей, а не от уско-
рений, или, по крайней мере, что влияние ускорения не в точности
противоположно влиянию скорости.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 53
естественным образом (именно так, что законы, отнесенные
к системе К', окажутся явно зависящими от времени), то то же
явление будет наблюдаться и с точки зрения системы К'. Следо-
вательно время и пространство в системе К1 нельзя определять
так, как это мы делали в частной теории относительности по
отношению к инерциальным системам. По принципу эквивалент-
ности систему К' можно рассматривать как покоящуюся, но
в ней зато имеется поле тяготения (поле центробежных сил,
кориолисовых сил). Итак, мы пришли к выводу: поле тяготения
влияет или даже определяет законы метрики пространственно-
временного континуума. Если геометрия должна выражать за-
коны расположения (идеального) твердого тела, то при наличии
полей тяготения она не может быть евклидовой.
Рассмотренный здесь случай подобен тому, который встре-
чается при (двухмерном) описании поверхностей. И здесь не-
возможно установить на поверхности (например на эллипсоиде)
систему координат, простую в смысле метрики, тогда как де-
картовы координаты на плоскости представляют длины, из-
меренные определенным масштабом. Гаусс преодолел эти труд-
ности в своей теории поверхностей, введя на поверхности кри-
волинейные координаты, подчиняя их только условию непре-
рывности и затем уже устанавливая с их помощью метрические
свойства данной поверхности. Подобно этому и мы установим
в общей теории относительности произвольные координаты xv
х2, х8, х4, удовлетворяющие только одному условию: они нуме-
руют точки пространственно-временного континуума однозначно
так, что близкие по моменту времени и положению события
определяются близкими по величине координатами; во всем осталь-
ном выбор системы совершенно произволен. Мы удовлетворим
принципу относительности в самом широком смысле слова, если
дадим законам природы такую форму, что они будут справедливы
для любой (четырехмерной) системы координат, т. е. что выра-
жающие эти законы уравнения будут ковариантны по отношению
к любым преобразованиям.
Сравнение аналитической задачи общей теории относительности
с задачей гауссовой теории поверхностей. Главное сходство
между гауссовой теорией поверхностей и общей теорией относи-
тельности лежит в метрике, на которую опираются основные понятия
обеих теорий. Ход рассуждений гауссовой теории поверхностей
таков. Геометрия на плоскости основывается на понятии (непосред-
ственно измеряемого твердыми масштабами, а потому физически
определенного) расстояния между двумя весьма близкими точками.
При соответствующем выборе системы координат это расстояние
54	ЛЕКЦИЯ Ill. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
определяется формулой ds* =dx\ -\-dx22. На этой величине осно-
ваны понятия прямой (5^</$ = 0), отрезка, круга, угла, на которые
опирается вся евклидова геометрия плоскости. Подобным же
образом может быть развита и геометрия на любой поверхности
непрерывной кривизны, если только принять во внимание, что
бесконечно малая часть такой поверхности может быть с точ-
ностью до бесконечно малых высшего порядка принята за пло-
скость. На таком малом участке поверхности можно установить
декартову систему координат Х}, Л2, и измеренное некоторым
масштабом расстояние двух точек на этом участке выразится через
ds* = dX] + dX}.
Если теперь ввести на поверхности любую систему криво-
линейных координат х>, то dXv dX2 можно выразить
линейно через dxv dxr Во всех точках поверхности будет
поэтому справедливо соотношение:
ds' = Su dx\ + 2^12^1 dxt + Stt dx\,
причем gn, зависят от природы поверхности и выбора сис-
темы координат; если эти функции координат известны, то вместе
с тем известно и как можно покрыть поверхность сетью твердых
палочек; значит на выражении для ds* можно основать геометрию
данной поверхности, совершенно подобно тому, как геометрия
плоскости основывается на выражении dsc* = dx2+dx22.
Основной инвариант и его физическое значение* Так же об-
стоит дело и с четырехмерным пространственно-временным кон-
тинуумом физики. Для наблюдателя, свободно падающего в поле
тяготения, это последнее в его непосредственной близости не су-
ществует. Поэтому мы можем принимать бесконечно малую область
пространственно-временного континуума за галилееву область.
Но для таковой области существует инерциальная система (с про-
странственными координатами Х2, Х3 и временной коорди-
натой Х4), по отношению к которой мы можем применять частную
теорию относительности. Поэтому величина
dXl + dXl + dXl-dX2,
непосредственно измеримая при помощи масштабов и часов, или
она же с противоположным знаком:
ds* = -	- dXi - dX23 + dX2,	(54)
является инвариантом, однозначно определенным для каждой
ОСНОВНОЙ ИНВАРИАНТ И ЕГО ФИЗИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ
55
пары соседних событий (точек четырехмерного континуума);
конечно при измерениях надо пользоваться масштабами и часами,
которые, будучи сверены в одном месте, окажутся одинаковыми.
При этом предполагается справедливой весьма существенная
физическая гипотеза, что относительное изменение длин двух
масштабов или хода двух часов не зависит от их предыдущих
состояний; но это предложение есть надежное следствие опыта;
если бы оно было неверно, то не существовало бы тонких
спектральных линий, ибо отдельные атомы одного и того же
элемента, наверное, переживали до момента наблюдения разные
состояния, и, предположив, что эти состояния влияют на их свой-
ства в момент наблюдения, мы никак не могли бы объяснить
одинаковости их масс или частот в момент наблюдения.
Пространственно-временные области конечных размеров не
могут быть галилеевыми, поэтому нет возможности выбрать
систему координат так, чтобы поле тяготения исчезло во всей
области. Поэтому не существует и конечных областей, в кото-
рых действовали бы метрические соотношения частной теории
относительности. Тем не менее для каждых двух соседних точек
континуума (событий) указанный выше инвариант ds* существует;
он может быть выражен в любой системе координат. Приняв во
внимание, что «местные» dX4 вьтажаются через dx^—коорди-
наты любой системы — линейно, * именно:
мы найдем, что ds* имеет вид:
ds*=g^dx*dx„	(55)
(суммирование по а)*.
Функции описывают в произвольно выбранной системе
координат как метрические соотношения четырехмерного конти-
нуума, так и поле тяготения. Как и в частной теории относитель-
ности, здесь приходится различать пространственные и временные
отрезки, и при выбранных нами знаках в (54) первые соответ-
ствуют мнимому, а вторые — действительному ds\ временные ds
могут быть непосредственно измерены соответствующим образом
выбранными часами.
56
ЛЕКЦИЯ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Общая теория тензоров. Из всего сказанного ясно, что общая
теория относительности может быть формулирована только на
основе общей теории инвариантов и тензоров, ибо речь идет о
построении уравнений, которые ковариантны по отношению к
любым преобразованиям. Нужное для нашей цели общее исчис-
ление тензоров было создано математиками задолго до появления
теории относительности. Рассуждения Гаусса на континуумы лю-
бого числа измерений распространил сначала Риман; он проро-
чески предвидел физическое значение этого обобщения евкли-
довой геометрии. Затем Риччи и Леви-Чивита построили и са-
мую теорию тензоров.
Изложим необходимые для нас в дальнейшем математические
определения и действия этой теории.
Будем называть попре^кнему четыре величины А* (определенные
в функции для любой системы) компонентами контравариант-
ного вектора, если они преобразуются как диференциалы коорди-
нат dx^.
Следовательно:	,
(56)
Но кроме этих контравариантных существуют еще ковариант-
ные векторы. Если В.(—компоненты такого вектора, то они
преобразуются по правилу:
. дх
(57)
И
Определение ковариантного вектора выбрано так, что он обра-
зует с контравариантным вектором следующий скаляр:
ср =	<47 (суммирование по v).
В самом деле:
*3
* Выражение в скобках после первого знака равенства заме-
няется на основании (56), после чего применяется обратное
преобразование *. В частности производные скаляра ср суть
компоненты ковариантного вектора, ибо они образуют с dx4
скаляр t/cp—dx.;, отсюда видим естественность определения
ковариантного вектора.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
57
Существуют также тензоры любого ранга, ко- или конгра-
вариантные по отношению к различным индексам; в первом слу-
чае соответственный индекс ставится внизу, во втором — вверху.
Например 4* обозначает тензор второго ранга, ковариантный
по отношению к индексу ц и контравариантный по отношению
к V. Тензорный	характер	AJопределяется тем,	что компоненты А'*
г’	pi
преобразуются по правилу:
у/ дха	дх^ з
~ дх^	дх$ «*	(58)
Тензоры	одинакового	ранга и	одинакового	характера	можно
складывать и вычитать:
Доказательство, что получаемые при этом величины С' пред-
ставляют собой компоненты тензора, непосредственно вытекает
из уравнения (58).
Умножением компонентов двух тензоров попарно во всех ком-
бинациях получаем тензор более высокого ранга:
=	(60)
Доказательство ьедется тем же способом.
Понижение тензора по отношению к двум индексам различ-
ного характера также приводит к тензору ранга, на две еди-
ницы меньшему:
АГ„=В.,-	(61)
Доказательство этого следующее:
лн __ дха	дх{	дх,	dxt =дх,	dxt	а
дх^	дх^	дх,	дх,	а* дх,	дх'.
* Здесь следует только заметить, что преобразование по отно-
шению к индексам а и совершенно аналогично преобразованию
(57а). Заметим, наконец, что выражение вида:
'	(61а)
если есть тензор, и Cv — векторы, т. е. если эти выражения
58	ЛЕКЦИЯ Ш. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
преобразуются по указанным выше правилам. Доказательство
ничем не отличается от доказательства (57а).
Обратно, если выражение (61а) есть инвариант, и
С* — произвольные векторы, то есть тензор. Доказатель-
ство:
4’ ЕГ'С' = 4mn Вт Сп = 4
mn	тп fas D С
Отсюда, при произвольности обоих векторов, следует:
д* __ &хт &хп д
—dr; дх'^™’
т. е. величины Атп преобразуются как компоненты тензора. Ана-
логичные теоремы можно доказать и для более сложных тензо-
ров, например для А^*.
Вот и все существенное из алгебры тензоров.
Основной тензор. Из инвариантности ds2 при произволь-
ном выборе dx* и из (61а) следует, что величины g предста-
вляют собой компоненты симметричного ковариантного тензора;
этот тензор называют основным. Составим из его компонентов
g^ детерминант g\ его миноры, разделенные на g и обозначае-
мые через удовлетворяют условиям:
= или 0 ПРИ а = ? или аФ?)-	(62)
Составим далее вектор d;, компоненты которого
^.=g^dxa.	(63)
Этот вектор ковариантен, ♦ так как, умножив его на контрава-
риантные dx^ получим инвариант [применение уравнения (61а)
к вектору]*. Умножив уравнение (63) на просуммировав по р
и приняв во внимание уравнение (62), найдем:
dx^=g^.	(64)
Величины g№ являются компонентами контра вариантного тензора,
который также называется основным.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
59
Для доказательства умножим обе части уравнения (64) на
й
и просуммируем по р:
Р
р	р	р
Отсюда из сравнения с (64), написанным для системы со
штрихом, находим, принимая во внимание произвольность отно-
шений d$9:
дх' дх'9
чем и доказывается тензорный характер 'ga9. Принимая это во
внимание, мы видим из уравнения (62), что д* есть смешанный
тензор второго ранга; он называется основным.
Основной тензор можно применить к нахождению контрава-
риантных компонентов по ковариантным, и обратно. Например:
A^=g^Aa,
А^ АЛ)
т9 = £<" т .
и * V
Объемный инвариант. Элемент объема
fdxt dx* dx9 dxk = 'x
не является инвариантом. В самом деле, по теореме Якоби:
rfx'=	(65)
Но его можно дополнить до инварианта. Составим именно
детерминант из величин
Их^ дх9^лГ
Тогда, применяя дважды теорему о произведении детерминан-
тов, найдем:
«44 Н>
1 I
дх, | ‘
60
ЛЕКЦИЯ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Следовательно выражение
l7g' •dx'=1^g'‘dx	(66)
есть инвариант.
Образование тензоров диференцированием.
Если алгебра тензоров оказалась в общем случае столь же про-
стою, как и для линейных преобразований, то, к сожалению,
этого нельзя сказать о диференцировании; инвариантные дифе-
ренциальные выражения в общем случае значительно сложнее.
Причина этого заключается в следующем. Если Ди есть контра-
вариантный вектор, то коэфициенты его преобразования
только тогда не зависят от места, когда преобразование линейно.
Тогда компоненты вектора Ди + дх^ относящегося к сосед-
ней точке, преобразуются как поэтому диференциал вектора
сохраняет векторный характер, а оказывается тензором, по
дх'	.
если —переменные величины, то эти простые особенности
исчезают. * В самом деле, если /V1 вектор, то
но, диференцируя это выражение по хт, находим:
дА9' dxi дА^ dxv д2хз дхч
дх\ дх^ дх* дх\ ‘ дх^дху dr'
Первый член справа соответствует (58), второй же член нару-
шает тензорный характер преобразования и исчезает только при
линейной зависимости х' от х *.
Инвариантные диференциальные действия с тензорами суще-
ствуют, однако, и в этом случае; в этом легче всего убедиться,
следуя пути, указанному впервые Леви-Чивита и Вейлем. Пусть (Ди)
есть контравариантный вектор, компоненты которого даны в сис-
теме координат xv. Пусть Pt и — две бесконечно близкие
точки континуума. В бесконечно малой области точки суще-
ствует, как мы говорили выше, возможность ввести систему
координат по отношению к которой континуум окажется
ОБЩ\Я ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
61
евклидовым (при мнимой координате X*). Пусть —компо-
ненты вектора в точке Pv Представим себе, применяя местную
систему координат в точке Р2 другой вектор с теми же
компонентами; этот вектор называется параллельным первому и
вполне определяется вектором в Рх и премещением PJ\. Такое
действие называется параллельным перемещением вектора (Ли)
из точки Pt в бесконечно близкую к ней точку Р2; то, что
это действие однозначно, будет ясно из дальнейшего. Составим
векторную разность вектора (Ли) и вектора, полученного парал-
лельным перемещением (Ли) из точки Р, в точку Р2; получен-
ный таким способом вектор может быть назван дифзренциалом
вектора (Ли) для данного перемещения (dxt).
Это перемещение вектора можно рассматривать и с точки
зрения системы координат xv. Если А*—координаты вектора
в Pv Л* + 5Л7 — координаты вектора, полученного параллельным
перемещением первого на отрезок (dxj в Р2, то 8Л* не равны
нулю. Но нам известно, что эти величины (не имеющие вектор-
ного характера) линейны и однородны относительно dx^ и
должны быть пропорциональны Поэтому мы положим:
A'dx?.	(67)
Можно показать, что величины симметричны по отноше-
нию к индексам а и jk Действительно, прибегнув для нагляд-
ности к местной системе евклидовых координат, мы увидим, что
при перемещении элемента d{X)x^ вдоль другого элемента
описывается тот же параллелограм, что и при перемещении
вдоль tZ(1)xv. Именно:
d^x, + (d^x.. - г;з d^xa. d&x^) =
= d^x. + (d^x. -
откуда, переставляя индексы a и в правой части, находим
требуемое.
Так как величины g определяют все метрические свойства
данного континуума, то они же должны вполне определять
и Га. Действительно, рассмотрим инвариант вектора /Г — квадрат
его теличины
А'
62
ЛЕКЦИЯ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
который не должен изменяться при параллельном смещении;
мы имеем:
О=г д*1 Д’) = ^ди Д’ dxe +	ди 8Д’ +	д’ w=
= * Л* Л’	АПА^	А 'ЬА\
но согласно (67):
}Д? = — Г^Д’Лс,; «Д^ — A*-dxa\
Отсюда
Вследствие симметрии выражения в скобках для |х и v и про-
извольности выбора вектора (Ди) и dx^ это равенство будет
соблюдено только при условии обращения в нуль величины,
стоящей в скобках. Переставляя циклически индексы ц, v, а, по-
лучим три уравнения, из которых, пользуясь симметрией
относительно нижних индексов, найдем:
М=^.,С-	<68)
При этом выражение в прямых скобках есть
р У1 — 1	1 д£ ул ж	\	/ЛА)
dxj'
Такое обозначение введено Христоффелем и носит название
символа Христоффеля первого рода.
Умножив уравнение (68) на g*9 и просуммировав по а, най-
дем:
С=4*“(ть"+^-г^)<70>
Эта величина называется символом Христоффеля второго рода.
Искомое выражение Г через g^ найдено. Равенства (67) и (70)
лежат в основании дальнейших наших рассуждений.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
63
Повышение тензора. Если (Д’* + 8 Д^) есть вектор, полу-
ченный параллельным перемещением (4й) из Рх в Ра, а (ДИ + <МИ)
есть значение вектора (Ди) в точке то их разность:
^-^ = (^4- &Aa)dx,
также есть некоторый вектор. Так как это утверждение верно
при любом выборе dx9i то:
(71)
есть тензор, который мы назовем повышением вектора (Д’1); по-
нижением его мы находим дивергенцию контравариантного век-
тора. При этом следует принять во внимание, что согласно
уравнению (70):
Г’ — 1 р-за	.	Г721
2g дх^ yg	'
* В самом деле:
Г’ (09* ^H,g I 09* ^g99 — ea dgfcqX *
2 \5 дх9 ' & ох^ £ dxa J
Последний член в скобках вместе с первым дает нуль, в чем
легко убедиться, переставив в одном из них индексы а и а, а это
можно сделать, так как суммирование производится по обоим
индексам. Поэтому:
г - L=1.л	1
и® 2 ° дх^ 2g ва дхц 2g dg99 дх*,
= J dg 1
дх^
Здесь через Gaa обозначен минор элемента g* детерминанта g*.
Введя далее в дивергенцию вектора (71):
A^i^AT
(73)
64
ЛЕКЦИЯ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
— величину, которую Вейль называет тензорной плотностью1)
первого ранга, мы найдем:
Закон параллельного перемете ия ковариантного вектора мы
найдем, поставив условием, чтобы при этом действии скаляр
'Р = Л'1В(1
оставался без изменения, что, следовательно:
д^ч-в/д11
равно нулю при всяком выбора (Д^). Тогда мы получаем:
• A^B^-B^A^-BjA^BJ^dx, *
и, следовательно:
Щ, = Г'ВлЛх3.	(75)
Пользуясь тем же путем, что и в (71), мы находим повыше-
ние ковариантного вектора:
г; а-	рч
Перестановкой индексов g и з и вычитанием находим анти-
симметричный тензор:
(^)
* Такого тензора нельзя, однако, получить из уравнения (71)*-
Повышение тензоров второго и высших рангов находится по
тому же способу, который применен для вывода уравнения (75).
1) Название это находит себе оправдание в том, что • dx~^dx
имеет тензорный характер. Всякий тензор после умножения на / g
обращается в тензорную плотность. Мы условимся обозначать тензор-
ные плотности прямыми жирными буквами.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
65
Пусть, например, (Лвт)— ковариантный тензор второго ранга.
Тогда А^Е'3F есть скаляр, если только (£*), (Г*) — векторы.
Выражение это не должно меняться при 5-перемещении, * по-
этому, применяя уравнение (67), найдем:
О = 5 (Л0Л’ Л = ^Л„ + ЛатГМЕв + Лза5‘5Г =
= £’ Г (5Л „ - г; А „. dxf - г; Л „. dxf).
Следовательно:
^«=(r:/„+r:/M)rfxp *,
откуда искомое повышение:
^=^-Г'9А„-^Ап.	(78)
Чтобы яснее указать закон образования повышения тензоров,
приведем еще две формулы, получаемые тем же способом, как
и (78):
4!,=£=-1"л+г,л:-	(79)
<=<«" + гХ+ ГХ-	(8°)
Закон образования этих выражений бросается в глаза. Из этих
формул мы выведем еще несколько других, встречающихся при
физических применениях теории.
В случае антисимметричности Лат круговой перестановкой ин-
дексов и последующим сложением находим из (78):
. _____дАхр дА^9
0ТР дх? дх9 “Г дхх *
(81)
Повышения контравариантного и ковариантного основных тензо-
ров равны нулю; в этом легко убедиться подстановкой их в урав-
нения (78) и (80), * причем придется принять во внимание урав-
нения (62) и (70)*. В этом же убедимся мы, непосредственно
перейдя к местной системе координат.
5 Эйнштейн.
66
ЛЕКЦИЯ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
В случае антисимметричности Авх получим из уравнения (80)
понижением по т и р:
=	(82)
* Действительно, принимая во внимание уравнение (72), мы
можем написать понижение (80):
дл’Т4-Г Ла< 1 1 д,/~ё л'а-л” -
-а^+гвтл + дХа а _д;т_
/7 V g oxt дх, / дхх ’
так как средний член левой части равенства обращается в нуль
вследствие антисимметричности Лат. Отсюда, умножая на ]/g,
находим (82)*. В общем же случае из уравнений (79) и (80)
понижением по т и р получаются равенства:
ал;
<83>
А- = ^+Г.,А-’.	(84)
Тензор Римана. Если дана некоторая кривая, соединяю-
щая точку Р континуума с точкою О, то вектор (Ди), задан-
ный в Р, можно параллельным перемещением пе-
□ ренести в G. Если рассматриваемый континуум —
евклидов (общее: если при соответствующем вы-
Б боре координат g обращаются в постоянные),
то полученный в G, как результат параллельного
перемещения, вектор не зависит от выбора формы
р	кривой PG. Во всех других случаях результат
Рис 4. зависит от этого выбора; тогда вектор, переме-
щенный из точки Р по замкнутой кривой в ту же
точку, получит изменение (по направлению, но не по вели-
чине). Мы вычислим это изменение:

Задача сводится к интегрированию по бесконечно малому замкну-
тому контуру при помощи тех же самых соображений, кото-
рые применяются в теореме Стокса.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
67
Прежде всего по уравнению (67):
ДД^-ф^Д’^.
Здесь Г£р принимает значения, соответствующие переменной
точке G пути интегрирование Положив = (x^Q— (хД, и
обозначив величину в точке Р через Г^, будем иметь с
достаточным приближением:
Обозначим далее через Аа величину, получаемую из А* па-
раллельным перемещением из Р в G. Из уравнения (67) вытекает,
что разность /Е — первого порядка малости, тогда как зна-
чение ДЛИ для кривой первого порядка малости есть бесконечно
малая второго порядка. Поэтому мы совершим ошибку второго
порядка, если положим:
Аа = А* —КЙТз.
Внося эти значения для Г£р и Аа в наш интеграл и ограни-
чиваясь бесконечно малыми второго порядка, найдем:
дд^=_ № _	) д’ Ф w.	(8б)
Вынесенные из-под знака интеграла величины относятся к
точке Р. Вычитая из выражения, стоящего под знаком интегра-
ла, — d(£®£0), * что возможно, так как интеграл от этого вы-
ражения по замкнутому пути обращается в нуль *, мы прида-
дим интегралу вид:
Этот антисимметричный тензор второго ранга изображает,
как известно, и по величине и по положению элемент поверх-
ности, охватываемой кривою интегрирования.
Если бы величина, стоящая в скобках в правой части урав-
нения (85), была антисимметрична по отношению к индексам а и £,
68
ЛЕКЦИЯ Ш. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
то из уравнения (85) следовало бы, что она есть тензор. Чтобы
добиться этого, прибавим к (85) то же выражение с переста-
вленными индексами а и £. Мы найдем:
(86)
где
С^-^^+гх-гйг;..	(87)
Из уравнения (86) вытекает тензорный характер	этот
тензор четвертого ранга называется римановым тензором кри-
визны; его свойства симметрии мы обсуждать не будем. Равен-
ство его нулю есть достаточное условие того, чтобы континуум
(мнимость одной из координат не принимается во внимание) был
евклидовым.
Понижением риманова тензора по индексам находим сим-
метричный тензор второго ранга:
'г-=~'£-;+г:л<8«>
Два последние члена обращаются в нуль, если система координат
выбрана так, что g = const. * Это следует из уравнения (72)*.
Из тензора R^ мы получаем скаляр:

(89)
Прямейшая (геодезическая) лини я. Можно построить
линию, последовательные элементы которой получаются один из
другого параллельным перемещением (прямейшая линия). Такая
линия представляет собой естественное обобщение прямой линии
евклидовой геометрии. Она определяется условием:
8
/ dx». \ ___рр. dxa ,
\ ds )	ds ахГ
Левая часть
этого
уравнения может быть заменена
через
ds*
ds*).
1) Вектор направления в точке, близкой к данной, получается парал-
лельным перемещением на элемент (dxfi вектора направления в данной
точке.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
69
Поэтому мы получаем:
рИ dx9 dx$
tfs2 ' ds ds
(90)
К тому же выражению мы приходим, отыскивая линию, для
которой интеграл
ds
или
/ g^ dx* dx^
между двумя данными точками принимает экстремальное значение
(геодезическая линия).
Лекция IV.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.
(Продолжение.)
В нашем распоряжении есть теперь все математические сред-
ства, необходимые для изложения общей теории относительности.
В нашу задачу не входит дать систематическое и законченное
изложение этой теории: начав с известного, мы шаг за шагом
изложим только некоторые результаты и возможности. Такой
способ лучше всего соответствует современному состоянию тео-
рии относительности.
По закону инерции движение материальной точки, на которую
не действует сила, — прямолинейное и равномерное. В четырех-
мерном континууме частной теории относительности (при дей-
ствительной координате времени) — это действительная прямая.
Естественное, т. е. простейшее, обобщение прямой линии, наи-
более подходящее к общей (римановой) теории инвариантов,—
это прямейшая (геодезическая) линия. Поэтому мы примем, как
этого и требует принцип эквивалентности, что движение мате-
риальной точки под действием (только) инерции и тяготения
описывается уравнением:
-^1 = 0	(90)
dsa + ds ds	' '
Действительно, это уравнение переходит в уравнение прямой,
если все компоненты поля тяготения равны нулю.
В какой связи стоит это уравнение с уравнениями движения
Ньютона? Частная теория относительности говорит нам, что в
инерциальной системе (при действительной координате времени
и соответствующем выборе знака ds2) величины g и gt* при-
нимают значения:
—1	0	0	0	\
0-1	°	°	I.	,9П
0	0—10	'
О 0	0	1	)
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
71
Тогда уравнение движения принимает вид:
-^- = 0.
^2
Мы условимся нием». Нередко при динату	тогда	называть эти этом бывает значения g		значения удобнее в первом	g^ «первым приближе- вводить мнимую коор- приближении:		
	—1 0 - 0 0	0 -1 0 0	0	0 0	0 —1	0 0 —1		• •	(91а}
Все эти значения могут быть объединены в формуле:
^я=—V
Во втором приближении мы должны положить:
(92)
причем у—малые величины первого порядка.
Оба члена уравнения движения при втором приближении ока-
жутся малыми первого порядка. Если пренебречь членами, ма-
лыми первого порядка по сравнению с этими, то нужно будет
положить:
= — dx? = dl* (1 — ?*),	(93)
гн-____> г® ? i___________ FвИ___________
5г)' <94>
Мы найдем еще одно приближение другим способом. Пусть
скорость точки мала по сравнению со скоростью света. Тогда
ds совпадает с диференциалом времени; величины ~
исчезают по сравнению с ~. Примем далее, что поле тяго-
тения так мало зависит от времени, что производные у по х.
72	ЛЕКЦИЯ IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
могут *быть отброшены. Тогда уравнение движения (ц=1, 2, 3)
приводится к виду:
<90а>
Это уравнение есть не что иное, как уравнение движения меха-
ники Ньютона при условии, что величина —— отождествляется
с потенциалом поля тяготения; имеем ли мы на это право, зави-
сит, конечно, от уравнений поля тяготения, т. е. от того,
следует ли оно в первом приближении тем же законам,
что и потенциал тяготения теории Ньютона. Один взгляд на
(90) и (90а) показывает, что роль напряженности поля тяготе-
ния играют величины ; эти величины не имеют тензорного
характера.
Уравнения (90) выражают влияние инерции и тяготения на
материальную точку. Единство инерции и тяготения формально
выражается в том, что тензорный характер (по отношению к
любым преобразованиям координат) имеет левая часть уравне-
ния (90) в целом, но не оба члена по отдельности; по ана-
логии с уравнениями Ньютона первый член мы можем рассма-
тривать как выражение инерции, второй — как выражение силы
тяготения.
Ближайшей нашей целью будет нахождение уравнений поля
тяготения. Образцом для этого нам послужит уравнение Пуассона:
Д f =
теории тяготения Ньютона. Основной идеей этого уравнения
является утверждение, что поле тяготения обусловлено присут-
ствием в пространстве весомой материи с плотностью р; к подоб-
ному же результату мы должны притти и в общей теории отно-
сительности. Но частная теория относительности показала нам,
что место скаляра плотности материи должен занять тензор
плотности энергии; в последнем содержится не только тензор
энергии весомой материи, но и тензор электромагнитной энергии.
Мы даже убедились в том, что более глубокий анализ показывает,
что тензор энергии материи есть только предварительное и не-
глубокое описание свойств материи. На самом деле материя
состоит из электрических частиц и должна быть рассматриваема
как часть, и даже как главная часть, электромагнитного поля.
Только то обстоятельство, что истинные законы концентриро-
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ	73
ванных электромагнитных полей еще недостаточно известны,
заставляет нас при построении теории оставлять пока неопре-
деленной истинную структуру этого тензора. Из этих сообра-
жений мы и вводим тензор второй степени, природа которого
пока не известна; тензор этот охватывает плотность энергии как
электромагнитного поля, так и весомой материи; мы будем назы-
вать его в дальнейшем «тензор энергии-материи».
Согласно нашим прежним выводам теоремы импульсов и энер-
гии находят себе выражение в равенстве нулю расхождения
этого тензора (47а). И в общей теории относительности мы
должны найти уравнение, ковариантное по отношению ко вся-
кому преобразованию и аналогичное уравнению (47а). Обозна»
чив через (Т J ковариантный тензор энергии-материи, через
Те — соответствующую ему тензорную плотность, мы, согласно
уравнению (83), должны положить:
^-г:?т2 = о.	(95,
Следует принять во внимание, что кроме плотности энергии-
материи есть еще плотность энергии поля тяготения, и поэтому
не может быть речи о сохранении энергии (и импульсов) для
одной материи. Математически это находит себе выражение
в наличии второго члена в уравнении (95); вследствие его при-
сутствия из уравнения (95) уже не вытекает интегрального урав-
нения вида (49). Поле тяготения передает энергию и импульс
«материи», действуя на нее силами, что и выражено вторым
членом в уравнении (95).
Если только в общей теории относительности имеется урав-
нение, аналогичное уравнению Пуассона, то оно должно зависеть
от тензора тяготения g 9 и в нем с одной стороны равенства
должен участвовать тензор энергии-материи, с другой же стороны
* должен стоять диференциальный тензор из g Найти этот
последний нетрудно; он вполне определяется следующими тремя
условиями:
1.	Он должен содержать производные g^ не выше второго
порядка.
2.	По отношению к производным второго порядка он должен
быть линейным.
3.	Его дивергенция должна тождественно равняться нулю.
Первые два условия взяты, естественно, из уравнения Пуассона.
Так как можно математически доказать, что все подобные
74
ЛЕКЦИЯ IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
тензоры получаются алгебраически (т. е. без диференцирования)
из риманова тензора, то искомый тензор должен иметь вид:
R^ + R,
причем R^t и R определены уравнениями (88) и (89). Далее
можно доказать, что из третьего условия вытекает значение
1
а~ 2 ‘
Таким образом закон, управляющий полем тяготения, оказы-
вается следующим:
— 4	R = ~ z Тг-‘ •	(96)
Это уравнение имеет своим следствием уравнение (95). При этом
у. обозначает постоянную, находящуюся в связи с постоянной
тяготения Ньютона.
В дальнейшем я хочу остановиться на физически интересных
вопросах теории, применяя, по возможности меньше, тонкие
математические методы. Покажем, во-первых, что расхождение
левой части действительно равно нулю. Закон энергии-материи
гласит по уравнению (83):
0==^-Р3Р»	(97)
причем
Аналогичное действие, примененное к левой части (96), должно
приводить к тождеству.
В окрестности мировой точки возможны системы координат,
для которых (при выборе мнимой координаты х^) в этой точке
^7=^== — (равно единице или равно нулю, если р = у
или И ф у), а первые производные g и g^ обращаются в нуль.
Мы покажем, что расхождение левой части в этой точке равно
нулю. Так как компоненты Г*? в этой области равны нулю, то
достаточно показать, что равно нулю выражение:
Внося сюда выражения R и R из уравнений (88) и (70), мы
видим, что остаются только те члены, в которые входят третьи
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ
75
производные g^; так как далее g^ можно заменить на — J
то остаются только немногие члены, которые дают в сумме
нуль. Но вследствие тензорного характера рассматриваемой
величины она, будучи равна нулю в одной системе координат,
должна быть равна нулю и во всякой другой системе, конечно,
и для всякой другой мировой точки. Таким образом закон энер-
гии-материи, выражаемый уравнением (97), есть математическое
следствие уравнений (96).
Чтобы исследовать, согласуются ли уравнения (97) с опытом,
надо прежде всего убедиться в том, что они в первом прибли-
жении приводят к теории Ньютона. Мы должны будем найти
эти приближения, причем сделаем это с разных точек зрения.
Мы уже знаем, что в областях большого протяжения (планетная
система) с известным приближением верны евклидова геометрия
и принцип постоянства скорости света. Если мы, как и в част-
ной теории относительности, воспользуемся мнимою координа-
той времени, то это обстоятельство можно учесть, положив
^, = —+	(98)
причем величины у столь малы по сравнению с единицей, что
высшими степенями их самих и их производных можно прене-
бречь. В таком приближении теория не может нам сказать ни-
чего о-строении гравитационного поля и метрического про-
странства в космических размерах, но влияние близких масс
на физические явления может быть учтено.
Приближенное решение уравнений поля. Прежде чем найти
это приближение, преобразуем выражение (96). Умножим (96)
на g»' и просуммируем по g и у; тогда, приняв во внимание
вытекающее из определения gv соотношение
найдем:
Внося это значение R в уравнение (96), получим:
= к (7^,	(96а)
Выполняя указанное выше приближение, найдем слева:
2
дх* ‘ дх^ дхч
дхч дха Зх^ дхл)
76
ЛЕКЦИЯ IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ИЛИ
1	 1 д , 1 ° ( ду'.л
2	дх* ‘ 2 дл\ \ дха ) ** 2	\ дх:я ) ’
где положено:
Yh* = Y|O ~2 Yas	(99;
Теперь нам надо принять во внимание, что уравнения (96)
справедливы в любой системе координат. Мы уже специали ;и-
ровали систему координат, выбрав ее так, чтобы в рассматри-
ваемой области g^ бесконечно мало отличались от постоян-
ных— 5^. Но это условие сохраняется и при любом беско ечио
малом преобразовании системы координат, так что мы можем
наложить на у еще четыре произвольных условия, не нарушая
поставленных нами условий малости. Потребуем теперь такого
выбора системы координат, чтобы были соблюдены четыре
равенства:
дхч дх^ 2 дх^ ‘
Тогда уравнение (96а) примет вид:
^ = 2x7;,.	(96b)
Уравнения такого вида известны из электродинамики и интегри-
руются при помощи запаздывающих потенциалов; мы получим:
_______JL f л —И
Y^ 2к J	~г
(101)
Связь с теорией Ньютона. Чтобы установить, в каком смысле в
нашей теории содержится теория Ньютона, мы должны подробнее
рассмотреть тензор энергии-материи. Феноменологически он
состоит из электромагнитного поля и материи в тесном смысле
слова; но, сравнивая оба эти члена по величине, мы видим из
частной теории относительности, что член, характеризующий
электромагнитное поле, практически равен нулю по сравнению
с энергией весомых масс. В выбранной нами системе единиц
энергия одного грамма материи равна единице, тогда как энергии
электрических полей по сравнению с этим совершенно ничтожны,
СВЯЗЬ С ТЕОРИЕЙ НЬЮТОНА
77
так же, как и энергия деформации материи и даже химическая
энергия. Поэтому мы получим вполне достаточное для наших
целей приближение, положив:
j’p.v_~ dXy. dXy
— z ds ds ’
ds* =^io dx^ dx,
(Ю2)
где а есть собственная плотность, т. е. плотность, определенная
в движущейся вместе с массой галилеевой системе координат
в обычных единицах.
Примем далее во внимание, что при выбранной нами системе
координат мы сделаем относительно малую ошибку, если заме-
ним 8^ на —таким образом мы можем положить:

(102а)
До сих пор мы не ограничивали скоростей образующих поле
масс; последние могли двигаться сколь угодно быстро относи-
тельно выбранной нами квази-галилеевой системы. Но в астро-
номии приходится иметь дело с массами, скорости которых
в выбранной системе координат очень малы по сравнению со
скоростью света, т. е., при нашем выборе, по сравнению с
единицей. Поэтому мы получим достаточное для практики при-
ближение, если заменим в уравнении (97) запаздывающие потен-
циалы на обыкновенные (не запаздывающие), а для образующих
поле масс примем:
dxi_ ~dl_ /—i	НОЗ)
ds ~ ds ~ ds ’ ds~ dl	v '
Тогда для 7*’ и T ч мы получим значения:
0	0	0	0	1
0	0	0	0	I
0	0	0	0	р
0	0	0	—a	J
для Т—значение а и, наконец, для 7£, значения:
а/,	0	0	0	1
0	а/,	0	0	I
"	0	0 а/, 0 р
0	0	О	а/,	J
(104)
(104a)
78
ЛЕКЦИЯ IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Тогда из уравнения (97) следует, что
Yu — Ум — Узе	4^
(101а)
а все остальные у исчезают. Последнее из этих уравнений
в соединении с уравнением (90а) и содержит ньютонову теорию
тяготения. Именно, заменив I на ct9 находим:
(&Х*
dt*
х<?2 д
8к дх*
(90b)
г
Таким образом ньютонова постоянная К связана с постоянной
х наших уравнений соотношением:
Пользуясь известным значением К9 мы находим поэтому:
x=^=-?Lfn>^’==1’86-10"S7-	<105а>
Из уравнения (101) вытекает, что даже в первом приближении
строение поля тяготения принципиально отлично от того, какое
ему придается теорией Ньютона; причина этого лежит как раз
в том, что потенциал тяготения имеет тензорный, а не скаляр-
ный характер. Если это до сих пор не было замечено, то только
потому, что в уравнения движения точки в первом приближении
входит только один компонент gu.
Некоторые следствия уравнений поля. Чтобы ойределить по
нашим уравнениям свойства масштабов и часов, надо принять
во внимание следующее. По принципу эквивалентности для декар-
товой системы отсчета бесконечно малых размеров, свободно и
«без вращения» падающей, справедливы метрические соотноше-
ния евклидовой геометрии. Но это еще верно и для местных
систем координат, движущихся с весьма малым ускорением,
а значит, и для находящихся в покое по отношению к выбран-
ной выше системе.
В местной системе координат для двух близких событий имеет
место соотношение:
ds* = — dX\ - dX\ - dXJ + d Г « — dS* + dT*9
НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ
79
где dS измеряется непосредственно масштабом, a dT—часами,
покоящимися относительно выбранной* системы («естественно»
измеренные времена и длины). Так как, с другой стороны, ds*
для координат известно:
то является возможность найти соотношения между естественно
измеренными временами и часами, с одной стороны, и прира-
щениями координат xv —с другой. Так как разделение коорди-
нат на временные и пространственные в обеих системах одина-
ково, то равенство, получаемое приравниванием правых частей
предыдущих выражений ds2, распадается на два равенства.
Положив, согласно уравнениям (102):
ds1 = — (1 + J	(dx\ + dx* + dxty +
найдем с достаточной степенью приближения:
|/«i + dX\ +dX', -(1 + g J j/dxl+dxi + dx’,
Таким образом в выбранной нами системе координат единич-
ный масштаб имеет длину ^1—~ j Вследствие особен-
ностей выбранной системы длина эта зависит только от поло-
жения масштаба, но не от его направления; в другой системе это
было бы иначе. Но какова бы ни была выбранная нами система,
законы перемещения твердых стержней не совпадают с законами
евклидовой геометрии, т. е. никаким выбором системы коорди-
нат нельзя добиться того, чтобы во всех местах пространства
отсчета разности координат Дгх, Дха, Дх8 концов масштаба
удовлетворяли соотношению: Дх* + Дх’ + Дх£ = 1. В этом смысле
наше пространство «искривлено», оно не является евклидовым
пространством.
Второй из уравнений (106) говорит нам, что промежутку между
двумя ударами часов (dT=l) в нашей системе координат соот-
JO	ЛЕКЦИЯ IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТ»
- . х Г 9dVA о
ветствует «время» в 1 + gj \	. Значит ход часов тем мед-
леннее, чем больше расположено вблизи них весомых масс.
Течение всех событий, имеющих определенный собственный ритм,
замедляется присутствием около них весомых масс. Отсюда
можно заключить, что спектральные линии в лучах, исходящих
с поверхности Солнца, должны быть по сравнению с линиями
земных источников света сдвинуты к красному концу спектра
на 2- 10-в длины их волны. Вначале казалось, что это важное след-
ствие теории противоречит опыту, однако данные последних лет
делают существование этого смещения все более и более веро-
ятным, и едва ли приходится сомневаться, что ближайшее буду-
щее даст надежное подтверждение теории.
Следующее важное и доступное проверке на опыте следствие
теории касается хода световых лучей в поле тяготения. По отно-
шению к местной инерциальной системе скорость света и в общей
теории относительности везде одинакова (и равна единице в
выбранных нами «естественных» единицах); следовательно, и в
общей теории относительности, при произвольной системе коор-
динат, распространение света определяется уравнением:

При рассмотренной выше системе координат и выбранном
нами приближении скорость света определяется согласно (106)
из уравнения:
(> +«Х	+ ‘^Н1~в S
Таким образом в наших координатах скорость L света есть:
.	4“	+ dx\ « X f idV9
L~ dl	4xJ r *
Отсюда можно вывести, что луч света, проходящий вблизи боль-
шой массы, искривляется. Поместим Солнце в начало системы
координат; пусть масса его есть М. Тогда луч света, идущий
в плоскости ххх3 параллельно х9 и на расстоянии Д, получит
отклонение
НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ
81
в сторожу Солнц!. По вычислении интеграл дает:
а
__хА4
~2Й’
(Ю8)
Как известно, существование такого отклонения, которое при
А, равном радиусу Солнца, достигает Г',7, было с большою
точностью подтверждено английской экспедицией для наблюдения
солнечного затмения 1919 г.; в настоящее время сделаны тща-
тельные приготовления для еще более точных наблюдений во
время затмения 1922 г. Следует заметить, что и это следствие
теории не затрагивается произвольностью выбора системы
координат.
Перейдем теперь к третьему следствию теории, могущему быть
сравненным с опытом, — к движению перигелия планеты Мерку-
рий. Вековые изменения путей планет известны с такою степенью
точности, что выбранная нами степень приближения здесь уже
недостаточна для сравнения теории с опытом. Нам придется
обратиться опять к точным уравнениям (96). В первоначальном
решении этой задачи я воспользовался методом последователь-
ных приближений. Но с тех пор Шварцшильду и другим удалось
найти строгое решение уравнения для случая статического поля
тяготения с центром симметрии; в особенности изящно решение,
данное Вейлем в его книге «Время, пространство, материя».
Вычисления могут быть значительно упрощены, если исходить
не непосредственно из уравнений (96), но из эквивалентного им
вариационного принципа; мы изложим эти вычисления лишь
в такой степени, в какой это необходимо для понимания самого
метода расчета.
В случае статического поля ds* должно иметь вид:
ds* = —
da’=2	? = 2, 3.
(Ю9)
Суммирование в последнем выражении распространяется только
на пространственные координаты. Центральная симметрия поля
имели форму:
требует, чтобы величины
Yu*

(ПО)
Здесь У4, pt, X являются функциями одного	•
Вследствие полного произвола в выборе системы координат
С Эввшге&и
82
ЛЕКЦИЯ IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
последнюю всегда можно выбрать так, чтобы одна из этих трех
функций приняла желаемый вид; действительно, всегда возможно
при помощи подстановки:
Х4 = Х1 >
x^=F(r).x„
добиться желаемого вида для одной из этих трех функций.
Поэтому, не уменьшая общности, мы можем положить вместо (ПО):

(110а)
Таким образом окажутся выраженными через X и /. Их и
нужно определить в функции г подстановкой в уравнение (96);
сначала, однако, надо определить из уравнений (107) и (108) T’v.
Мы найдем:
а = = Ц = 0	(а,	2> 3),
Г4   1	^/2
1	2 7 дхл ’
Га _______1 /-2
2J дха.
Тогда уравнения поля приведут к решению Шварцшильда:
<&’ = (1 - у) Л* -	+ г2 (sin2 6 • й<р2 4- </02)
(109а)
где положено:
х4 = /;	= г sin 9 sin ср; ха = г sin 6 cos ср; x3=rcos6;\
А^~.	} (Ю9Ь)
4к *	I
М обозначает расположенную симметрично относительно начала
координат массу Солнца; решение (109) годится только вне этой
массы, где все Т исчезают. Если движение планеты совер-
шается в плоскости xtx2> то уравнение (109) должно быть заме-
нено уравнением:
ds*=(l —	—	— г2</<?2.	(109с)
НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ	8>
Вычисление движения исходит из уравнения (90). Из трех
первых уравнений (108b) и из уравнения (90) находим:
d / dx~ dxa\
(«» 0=1, 2, 3).
ds \ « ds $ ds /	\ > г » > /
Интегрируя и выражая полученный результат в полярных коор*
динатах, находим:
r4s=const- (1П)
Кроме того из уравнения (90) при ц = 4 находим:
0_d«/ 1 rf/2 dx,__&l I rf/з
U— rfs2 + /2 dxa ' ds ~ds‘i /2 ds ’
откуда, после умножения на /* и интегрирования, получаем:
/S-^ = const-	(112)
Уравнения (109с), (111) и (112) представляют собой три урав-
нения между четырьмя переменными s, г, / и (f; отсюда тем же
способом, каким это делается в классической механике, можно
вычислить уравнение траектории; важнейшим результатом такого
вычисления является вековое вращение эллипса траектории в на-
правлении движения планеты; при каждом обороте планеты
эллипс этот поворачивается на угол (в абсолютных единицах):
24к3а2	Л131
(1_^2)С2Г2-
Здесь:
а —большая полуось эллипса в сантиметрах,
£ —эксцентриситет в сантиметрах,
с = 3 • 1010 — скорость света в пустоте,
Т—период одного оборота в секундах.
Полученное выше выражение дает объяснение известному
около ста лет (со времен Леверрье) вращению перигелия Мер-
курия, равному 42" в столетие; явлению этому теоретическая
астррномия до сих пор не смогла дать удовлетворительного
объяснения.
Не представляет никакого затруднения вместить в рамки об-
щей теории относительности и теорию Максвелла: для этого
надо применить уравнения (81), (82) и (77).
б*
84
ЛЕКЦИЯ IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Пусть есть тензор первой степени, имеющий смысл
мирового электромагнитного потенциала; тогда тензор электро-
магнитного поля можно определить следующим образом:
1х7 дх^ дх^ ’
(114)
Вторая группа уравнений Максвелла определится тогда вытекаю-
щими отсюда тензорными уравнениями:
дх? дХр "* дхч
(114а)
а первая группа — уравнениями между тензорными плотностями:
где
дх^
(П5)
F*1' =|/ — g-g^g',x <f„,
Подставляя в правую часть уравнения (96) тензор энергии
электромагнитного поля и образуя дивергенцию обеих частей,
находим уравнение (115), для частного случая J,u’ = 0. Такое
включение электромагнетизма в рамки теории относительности
многим теоретикам представляется поверхностным и неудовлетво-
рительным. Кроме того при этом нет возможности понять рав-
новесие электричества в элементарной частице. Теория, которая
объединяла бы поле тяготения и электромагнитное в нечто не-
раздельное, была бы предпочтительней. Вейль и недавно Калуза,
работая в этом направлении, нашли остроумные гипотезы, но я
уверен, что они не дают истинного решения этой основной за-
дачи. Я не буду входить в подробности по этому вопросу, но
рассмотрю еще вкратце так называемую космо логическую про-
блему; без рассмотрения последней рассуждения обшей теории
относительности были бы в известном смысле неполными и
оставляли бы чувство неудовлетворенности.
Космологическая проблема. В основании нашего исследования
уравнений (96) лежало воззрение, что пространство в общем
мало уклоняется от пространства Галилея-Евклида; уклонения
эти вызываются присутствием масс. Такай взгляд верен постольку.
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА
85
поскольку мы имеем дело с пространствами размеров, обычных
для астрономических исследований. Но совершенно другой во-
прос, окажутся ли квази-евклидовыми очень большие части все-
ленной. Неоднократно применявшийся нами пример из теории
поверхностей будет полезен и в этом случае. Если рассматри-
ваемая часть поверхности является практически плоскостью, то
отсюда отнюдь не следует, что и вся поверхность приблизительно
плоская; она могла бы быть, например, шаром достаточно боль-
шого радиуса.
Вопрос, не обладает ли мир в целом неевклидовыми свой-
ствами, поднимался не раз и до появления теории относитель-
ности. Но теперь теория относительности придала ему новое со-
держание, установив, что геометрические свойства тел не явля-
ются самостоятельными, но определяются расположением масс. Если
бы мир был квази-евклидовым, то Мах оказался бы совершенно
неправ в своем утверждении, что инерция, так же, как и тяготе-
ние, обусловливается взаимодействием тел. Действительно, в
этом случае при подходящем выборе системы координат g^
оказались бы в бесконечности постоянными, как этого требует
частная теория относительности, а на конечных расстояниях они
под влиянием находящейся здесь материи отличались бы немного
от постоянных величин. В этом случае физические свойства про-
странства были бы, хотя и не вполне, но в общем все же
самостоятельны, т. е. независимы от материи; они зависели бы
от нее лишь весьма незначительно. Уже сам по себе такой дуа-
листический взгляд заключал бы в себе нечто неудовлетворительное;
но против него имеются и важные физические основания, изложе-
нием которых мы сейчас и займемся.
Гипотеза, что мир бесконечен и в бесконечности имеет евкли-
дово строение, оказывается довольно сложной с точки зре-
ния теории относительности. В общей теории относительности
эта гипотеза требует, чтобы риманов тензор четвертой степени
равнялся в бесконечности нулю (20 независимых условий), тогда
'как в выражение закона поля тяготения входят только 10 ком-
понентов кривизны /? . Конечно, такое значительное ограниче-
ние без достаточных чисто физических оснований предстазляется
неудовлетворительным.
Во-вторых, с точки зрения теории относительности мысль Маха,
что инерция определяется взаимодействием материи, представ-
ляется весьма вероятной. Мы сейчас покажем, что из наших
уравнений следует (хотя и слабое) взаимное влияние масс на их
инерцию, как это и должно быть в духе теории относительности.
Чего следует ожидать с точки зрения Маха?
86
ЛЕКЦИЯ IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
1.	Инерция тела должна увеличиваться, если вокруг него
скопляется весомая материя.
2.	Тело должно испытывать ускоряющую силу, если окружа-
ющие его тела получают ускорение; такая сила должна иметь
направление этого ускорения.
3.	Вращающееся, полое внутри, тело должно создавать в этой
полости «кориолисово» поле, отклоняющее тело в направлении
вращения, а также центробежное поле.
Мы покажем, что эти три, ожидаемые с точки зрения Маха,
действия имеются и в нашей теории, хотя они столь слабы,
что об их подтверждении на опыте не может быть и речи. Для
этой цели мы будем исходить из уравнений (90) и проведем
приближение несколько дальше, чем это сделано в уравнении (90а).
Предположим, во-первых, что —малая величина первого по-
рядка. Такой же степени малости окажется, согласно уравнению
энергии, и квадрат скорости масс, движущихся под действием
сил тяготения. Поэтому логично принять как скорость рассма-
триваемой точки, так и скорости образующих поле масс за ма-
лые величины половинного порядка. Мы проведем теперь при-
ближение в совокупности уравнения поля (101) и уравнения
движения (90) настолько далеко, чтобы принять во внимание
те члены в (90\ которые зависят от скоростей линейно. Кроме
того, мы уже не будем полагать равными ds и dlt но, как это
и соответствует большей степени приближения, положим:
ds=^ — gudl =
Тогда мы найдем из уравнения (90):
d г/. , dxrt ги dx? /, , Тм\
di К1 + 2) WJ = “Ч dT -diV + 2) •
(116)
Из уравнения (101) мы получим соответственно искомому
приближению:
Y11 — '“La — Тзз — Y41 ~~4n J “7^
____ix 1 ds •
Y«a— ~2J г ’
(117)
Т.,=о.
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПР ЗБЛЕМА
87
Величину 1 +у в правой части (116) мы можем заменить
на 1, а величину Г?р через [*^]. Легко далее обнаружить, что
в искомом приближении мы должны положить:
г 441	1 д1и foip.,
L Н J ~~	2 дх^ ' dxi '
В этих уравнениях, так же, как и в уравнениях (117), а, р
обозначают 1,2, 3. Поэтому мы получим из уравнения (116), при-
меняя векторное написание:
7/[(! + о) v] = grad з + д£ + [rot A v],
х С <з dVb
0==8-Л — ’

(118)
Эти уравнения действительно показывают, что:
1.	Инертная масса пропорциональна 1 + а, следовательно, при
приближении весомых масс инерция «пробного тела» растет.
2.	Существует же подобное индуктивное действие ускорен-
ных масс на пробное тело (член
3.	Внутри вращающегося полого тела движущаяся перпенди-
кулярно к оси вращения точка отклоняется в направлении вра-
щения (поле Кориолиса). Указанное выше центробежное дей-
ствие также вытекает из теории, как это показал Тирринг1).
Хотя все эти действия и оказываются недоступными опыту
вследствие малости х, но тем не менее согласно общей теории
относительности они должны существовать. Мы усматриваем в
них значительное подкрепление мысли Маха об относительности
всех свойств инерции.
1) Что центробежное действие неразрывно связано с существованием
кориолисова поля, можно заметить и без вычисления, рассматривая сис-
тему координат, равномерно вращающуюся относительно инерциальной
системы; конечно, и этот случай должен удовлетворять условиям общей
ковариантности наших уравнений.
88
ЛЕКЦИЯ IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Если провести эту мысль последовательно до конца, то
надо ожидать, что вся инерция, т. е. все поле g опреде-
ляется материей мира, а не условиями в бесконечности.
Для удовлетворительного объу^нения поля g^ в космических
размерах имеет значение то обстоятельство, что относительные
скорости малы по сравнению со скоростью света. Отсюда сле-
дует, что при подходящем выборе координат величина gu в
мире приблизительно постоянна, по крайней мере в той части
мира, где находится материя. Кроме того, естественно допустить,
что звезды существуют во всех частях вселенной; тогда мы мо-
жем допустить, что непостоянство gki вызвано только неравно-
мерным распределением материи; материя расположена во все-
ленной в виде отдельных скоплений и тел. Если мы пожелаем
составить себе представление о геометрическом строении вселен-
ной, то естественно отвлечься от неравномерности распределения
материи и вместо истинной переменной плотности а принять по-
стоянную. В такой воображаемой вселенной все точки и все напра-
вления геометрически равноценны; в пространственных координатах
такая вселенная должна обладать постоянной кривизной, а по от-
ношению к координате х1 быть цилиндрической. Особенно есте-
ственной представляется возможность, что вселенная простран-
ственно ограничена и согласно нашему допущению о постоян-
стве а имеет постоянную кривизну и является сферической или
эллиптической; тогда столь неудобные для общей теории отно-
сительности условия в бесконечности были бы заменены другими,
более естественными, определяющими замкнутость вселенной.
Положим поэтому
ds* = dx* — dx^ dx„	(119;
причем индексы ц и v принимают только значения 1, 2, 3, ве-
личины же Ypiv должны теперь быть такими функциями xv
х2, х3, которые соответствуют пространственному континууму
с постоянной положительной кривизной. Мы займемся вопросом,
может ли такое предположение удовлетворить уравнениям тяго-
тения. Для этого нам придется сперва найти диференциальное
условие, которому должен удовлетворять трехмерный континуум
постоянной кривизны. Сферический трехмерный континуум, вме-
щенный в евклидов континуум четырех измерений1), Опреде-
ляется уравнениями:
*1+*’ +*: =а*>
rix\ + dx\ -f- dx\ + dx\ —ds*.
i) Применение в этом случае четвертого измерения пространства есть,
конечно, только прием вычисления.
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА
89
Исключая отсюда xlt находим:
= dx* + dx* + dx\ +
Вблизи начала координат мы можем, отбрасывая члены треть-
его и высших порядков относительно х„ написать:

Выражение в скобках дает нам значение g^ вблизи начала ко-
ординат рассматриваемого континуума.
Так как первые производные g^, а значит, и в начале
координат обращаются в нуль, то вычисление	по уравне-
нию (88) оказывается очень простым. Мы находим:
Так как соотношение это ковариантно по отношению к самому
общему преобразованию, а все точки нашего континуума
геометрически равноценны, то такое выражение кривизны спра-
ведливо для всякой системы координат и повсюду в пространстве.
Чтобы устранить возможность смешения наших формул для
трехмерного континуума с формулами для четырехмерного, мы
будем для первого употреблять греческие буквы и положим:
Р = — •{.
н 2 *1°
(120)
Применим теперь к нашему случаю уравнения (96). Согласно
уравнению (119) имеем для четырехмерного континуума:
=Р^ Для > =1, 2> 3»
Ru — R«i = Ru = /?u = 0.
(121)
В правую часть уравнения (96) входит тензор энергии для
материи, рассеянной «пылеобразно* * (без иного взаимодействия
между ее элементами, кроме тяготения) *. Согласно предыду-
щему надо положить:
dt ds ’
90
ЛЕКЦИЯ IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
приняв еще во внимание, что материя покоится. Но мы приба-
вим еще один член, характеризующий давление, физическое
обосно ание которого следующее.
Материя состоит из электрических частиц. С точки зрения
теории Максвелла электромагнитное поле на границах этих ча-
стиц разрывно; чтобы объяснить, почему частицы не разлетаются
вследствие присутствия отталкивательных сил, обусловленных од-
юименным зарядом их частей, надо ввести в выражение энергии
еще некоторые, не содержащиеся в теории Максвелла, члены.
Чтобы удовлетворить этому факту устойчивости электрических
частиц, Пуанкаре допустил существование внутри них отрица-
тельного давления, компенсирующего электростатическое оттал-
кивание. Но нельзя полагать, что это давление исчезает и вне
частицы; мы учтем это обстоятельство в нашем феноменологи-
ческом описании поля, прибавив к тензору энергии еще один
член, характеризующий давление; положим:
dxa dxQ
3 ds	(122)
В нашем частном случае мы положим:
(j*. v = l, 2, 3),
Л*=® д»
т= -ун-+	—4р.
Принимая во внимание, что уравнения (96) могут бы* напи-
саны и так:
мы получим из (96):
в * ("2
0=-х(|+р).
Отсюда следует:
Этим уравнения поля удовлетворены.
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА	91
Если мир имеет квази-евклидово строение, то его радиус кри-
визны бесконечно велик, и поэтому а должно равняться нулю.
Но невероятно, чтобы средняя плотность материи во вселенной
равнялась нулю: таков наш третий аргумент против допущения
квази-евклидовского строения вселенной. Так же мало представ-
ляется нам возможным равенство нулю введенного нами давле-
ния, физическая природа которого может быть выяснена только
при лучшем теоретическом понимании электромагнитного поля.
Согласно второму из уравнений (123) радиус вселенной опреде-
ляется общим количеством содержащейся в ней материи именно
уравнением:
и в этом соотношении особенно ярко выступает полная зави-
симость геометрического от физического.
Таким образом против пространственной бесконечности все-
ленной, за гипотезу ее замкнутости, могут быть приведены сле-
дующие аргументы:
1.	С точки зрения теории относительности условия простран-
ственной замкнутости много проще, чем пограничные условия
конечности.
2.	Мысль Маха, что инерция обусловливается взаимодей-
ствием тел, содержится в первом приближении в теории относи-
тельности; из последней вытекает, что инерция, по крайней мере
отчасти, обусловливается этим взаимодействием. Поэтому мысль
Маха становится весьма вероятной; в самом деле, ясна неудо-
влетворительность предположения, что инерция отчасти обусло-
вливается массами, отчасти же самостоятельными свойствами про-
странства. Но вполне мысли Маха соответствует только простран-
ственно замкнутая (конечная) вселенная, а не бесконечная, квази-
евклидова. С точки зрения теории познания гораздо логичнее
допустить, что механические и метрические свойства материи
определяются исключительно материей, а такое допущение со-
гласуется только с конечностью вселенной.
3.	Бесконечная вселенная возможна только при предположении,
что средняя плотность материи во вселенной равна нулю. Такое
предположение хотя и возможно логически, но менее вероятно,
чем предположение, что средняя плотность материи в мире
конечна.
дополнения.
I. ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО АЛЬБЕРТА ЭЙНШТЕЙНА.
Альберт Эйнштейн родился 14 мая 1879 г. в еврейской семье
в городе Ульме (Германия, Вюртемберг). Отец Эйнштейна был
владельцем электротехнического завода в Мюнхене. В 1894 г.
вся семья переселилась из Мюнхена в Италию, а Эйнштейн был
отдан в кантональную школу в Аарау (Швейцария). Кончив эту
школу, Эйнштейн стал посещать лекции в федеральной поли-
технической школе в Цюрихе, одновременно зарабатывая себе
на жизнь уроками математики и физики. В 1900 г. Эйнштейн
переселился в Шафгаузен, где жил около года, занимая долж-
ность школьного учителя. Затем он поселился в Берне, приняв
предложенную ему должность исследователя новизны патентов в
Бернском патентном бюро. Эту должность он занимал до 1909 г.
Эти несколько лет жизни Эйнштейна принадлежат к числу наи-
более значительных для его творчества. Получив степень доктора
философии в Цюрихском университете, Эйнштейн опубликовал
ряд теоретических работ, которые сразу поставили его в ранг
одного из крупнейших теоретиков в мире. Первой его работой
была теория броуновского движения, в которой он вывел зави-
симость среднего квадрата смещения броуновской частицы от
абсолютной температуры и от числа Лошмидта. В 1905 г. Эйн-
штейн опубликовал свою знаменитую работу о частной теории
относительности, а также сформулировал гипотезу световых кван-
тов, оказавшую огромное влияние на все последующее развитие
физики. В 1909 г. Эйнштейн занял должность экстраординар-
ного профессора в Цюрихском университете, которую оставил
только в 1911 г. для занятия профессорской кафедры в Праге.
В 1912 г. он снова возвратился в Цюрих, где получил должность
ординарного профессора в университете. С 1913 г. Эйнштейн
переселяется в Берлин, где специально для него была создана
должность директора Института имени императора Вильгельма.
В том же году Эйнштейн становится членом Прусской академии
наук. Последующие годы жизни Эйнштейна отмечены созданием
общей теории относительности. В 1917 г. он публикует знаме-
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 93
нитую работу о теории излучения, в которой дан новый подход
к атомным явлениям, как к явлениям вероятностного, а не каузаль-
ного, характера. Послевоенные годы представляют время наи-
большей славы Эйнштейна, единодушно признанного величайшим
теоретиком нашего времени. Более поздние работы Эйнштейна
не получили у физиков такого же признания, каким пользуются
его прежние работы. Это замечание относится к работам Эйн-
штейна по созданию «единой теории поля», т. е. по построению
геометрической теории электромагнитных и гравитационных
явлений.
В 1921 г. Эйнштейн получает премию Нобеля. С 1933 г.
он ведет жизнь политического изгнанника, не имея возможности
жить в Германии вследствие господствующего там национал-
социалистического режима. Приход к власти национал-социали-
стов застал Эйнштейна в Америке, откуда он прислал в Герма-
нию письмо, в котором отказывался от германского подданства
и членства в Прусской академии наук. В ответ на это
фашисты конфисковали имущество Эйнштейна и объявили его
вне закона.
В настоящее время Эйнштейн занимает сразу несколько про-
фессорских кафедр (в Сорбонне, в Эдинбургском университете,
в Мадридском университете и в Принстонском институте матема-
тической физики).
II. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.
а) Частная теория относительности. Частная тео-
рия относительности может рассматриваться как обобщение
классической механики. Формальная связь между частной теорией
относительности и классической механикой выражается в «прин-
ципе соответствия», который в применении к этому случаю
гласит, что при замене скорости света с бесконечностью все
формулы частной теории относительности переходят в формулы
классической механики. Физическое содержание этого утвержде-
ния заключается в том, что в явлениях, в которых принимают
участие только частицы, движущиеся со скоростью, очень малой
по сравнению со скоростью света, можно пренебречь раз-
личием между классической механикой и частной теорией отно-
сительности. Это значит, что при описании таких явлений клас-
сическая механика оказывается достаточным приближением к
действительности к чтох следовательно^ классическая механика
94 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
может считаться следствием частной теории относительности,
применимым к некоторой определенной части всей той области
явлений, к которой применима теория относительности.
Частная теория относительности является вполне консеквентной
и совершенной теорией, обладающей определенными границами
применимости. Термины «классическая электродинамика» или
«классическая электронная теория» представляют собой не что
иное, как другие названия той же самой частной теории отно-
сительности. Границы применимости частной.теории относитель-
ности определяются тем, что она применима лишь к таким фи-
зическим явлениям, в которых можно пренебречь дискретностью
действия, т. е. считать планковский «квант действия» прибли-
женно равным нулю. Однако ценность частной теории относи-
тельности значительно больше, чем можно было бы думать на
основании одних лишь ее границ применимости. Развитие кван-
товой теории показало, что такие понятия частной теории отно-
сительности, как понятие зарядов и электрических полей, могут
быть перенесены в область квантовой теории, перенесены, как
говорят, korrespondenzmassig, т. е. переведены на язык кванто-
вой теории.
Применение нерелятивистской квантовой теории к проблеме
строения атомов целиком основано на возможности такого пе-
реноса электромагнитных понятий, заимствованных из частной
теории относительности, в область нерелятивистской кванто-
вой теории. Рассмотрим внимательнее, на чем основана эта
возможность.
Анализ содержания частной теории относительности показы-
вает, что она состоит: 1) из уравнений поля (т. е. микроскопи-
ческих уравнений Максвелла, написанных Лоренцом), 2) из
уравнений движения (т. е. уравнений релятивистской динамики,
написанных Эйнштейном). Первые позволяют определить поле
по заданному движению зарядов, вторые — определить движение
заряженных частиц в заданном поле. Можно было бы думать,
что этим разрешается и проблема взаимодействия зарядов с по-
лем, так как, определив движение зарядов в заданном поле,
можно затем вычислить изменение этого внешнего поля, вы-
званное движением зарядов (т. е. определить излучение), затем
ввести в движение зарядов поправки на то, что они в дей-
ствительности двигались не в первоначально заданном внеш-
нем поле, а в поле, которое было изменено их же собственным
движением (т. е. вычислить реакцию зарядов на их же излу-
чение), и т. д. и т. д., в духе способа последовательных
приближений. Анализ показывает, однако, что такой рад по-
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 95
следовательных приближений расходится. Поэтому классическая
электродинамика оказывается консеквентной теорией только в
том случае, когда последовательные приближения сходятся хотя
бы только в начале, т. е. когда реакция движущихся ускоренно
зарядов на их излучение мала по сравнению с действующими
на них внешними силами. Для того чтобы это условие было
выполнено, необходимо, как показывает анализ этого вопроса,
потребовать, чтобы 1) заряженной частице с зарядом е (элемен-
тарному электрическому заряду) были приписаны линейные раз-
е2
меры порядка не меньше (где т— ее масса) и 2) чтобы
длина волны испускаемого ею света (в системе отсчета, в кото-
рой скорость движения частицы мала по сравнению со скоростью
света) была значительно больше, чем та же самая величина —г
7	’	тс2,
называемая иначе «классическим радиусом электрона». В этом
случае реакция электрона на излучение будет очень мала, и ею
можно будет воспользоваться для учета потери энергии и
импульса излучающим электроном. Более детальный учет влияния
этой «реакции на излучение» на движение электрона не может
быть произведен, так как дальнейшие приближения обязательно
приведут к физически неправильным результатам (распад элек-
трона на части под влиянием взаимодействия между элементами
его заряда), а это показывает, что проблема структуры и даже про-
блема самого существования устойчивого электрона не может быть
разрешена в пределах одной лишь теории относительности. Это
не может считаться удивительным, потому что объяснение устой-
чивости электрона эквивалентно объяснению величины заряда
электрона, а между тем, как показывают соображения размерности,
постоянная е не может быть сконструирована с помощью одной
лишь постоянной с, которой располагает частная теория отно-
сительности.
Понятия заряда и электромагнитного поля, которыми опери-
рует теория относительности, являются, очевидно, приближен-
ными понятиями, граница применимости которых определяется
классическим радиусом электрона.
Перенос этих понятий в область нерелятивистской теории
квантов, в ее применении к проблеме атомных электронов, свя-
зан с тем, что в этой области выполнено условие о том, что
длина волны испускаемого света велика по сравнению с класси-
ческим радиусом электрона. Квантовая теория показывает, что
длина волны света, испускаемого атомами, есть величина по-
96 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
рядка —г, откуда следует, что отношение классического ра-
Диуса электрона к этой длине волны равно кубу величины ,
которая, как показывает опыт, есть малая величина. На этом
случайном с сегодняшней точки зрения обстоятельстве (поскольку
е
мы не знаем его причин) малости отношения основана
возможность такого широкого применения понятия электромаг-
нитного поля в нерелятивистской теории квантов. Объединение
теории относительности теорией квантов в единую «релятивист-
скую теорию квантов» является по сию пору нерешенной за-
дачей. Решение этой задачи должно дать физике объяснение
устойчивости электрона и дискретности электрического заряда,
т. е. объяснение атомизма Как подчеркнул Нильс Бор, решение
этой важнейшей задачи современной физической теории должно
быть основано на анализе влияния принципиального атомизма
измерительных приборов на точность измерений. Существующие
в настоящее время попытки решения этой задачи (квантовая
электродинамика Гейзенберга-Паули, «дырочная» теория Дирака)
являются лишь весьма несовершенными и предварительными на-
бросками будущей релятивистской теории квантов, и проблема
структуры элементарных зарядов остается в них неразре-
шенной.
б) Общая теория относительности. Общая теория
относительности должна рассматриваться как дальнейшее обоб-
щение частной теории относительности, включающее и явление
тяготения. В настоящее время трудно говорить о границах при-
менимости общей теории относительности. Однако следует под-
черкнуть то обстоятельство, что уравнения общей теории отно-
сительности не являются вполне однозначными следствиями из
ее физических принципов. Эйнштейн несколько раз пытался пе-
ределать эти уравнения, исходя то из желания включить космо-
гоническую проблему в область теории относительности, то из
желания построить «единую теорию поля» (электромагнитного и
гравитационного), основанную на чисто геометрических предста-
влениях.
Поэтому вполне возможно, что общая теория относительности,
в ее существующей форме, является лишь предварительным на-
броском теории и что построение истинной теории тяготения
должно быть связано с еще более глубоким преобразованием
физических понятий, нежели то, которое достигнуто и общей
теории относительности Эйнштейна.
МЕХАНИКА ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
97
III. МЕХАНИКА ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.
Уравнения движения заряженной частицы в заданном электри-
ческом и магнитном поле, к которым приводит требование инва-
риантности по отношению к преобразованиям Лоренца, основаны
на лагранжевой функции:
L = — тс2,1 — (уУ — еФ + у vA.
(Эта функция Лагранжа сама по себе не является инвариантом,
каковым является «интеграл действия» J L dt.) Здесь Ф и А
являются скалярным и векторным потенциалами, из которых
определяется электрическое и магнитное поле по уравнениям:
Е=-ТФ — H = rotA;
С ОС
т есть «покоящаяся» масса частицы, е — ее заряд, v — скорость.
Вычисленный по обычным правилам импульс частицы (производ-
ная от функции Лагранжа по скорости) оказывается равным:
Отсюда вытекает выражение функции Гамильтона в виде:
1 + I-----— 4- еФ.
' \ те /	1
Для свободной частицы (ф = 0, А = 0) это будет более простое
i ыражение:
" = ™’У !+(&.)•
В двух частных случаях формулы механики принципа относи-
тельности чрезвычайно упрощаются: 1) если р<^тс, то, раз-
лагая в ряд по степеням малой величины и ограничиваясь
первыми членами, мы получаем: Н= const. +^Ч-^Ф,
т. е. формулу классической механики; 2) если же р^>тс
(сильно релятивистский случай), то мы получаем:
7 Эйнштейн.
98
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛ
I	0 I
Н=ср-|А ! + еФ или, в случае свободной частицы, Н=ср.
Таким образом при очень больших значениях импульса энергия
свободной частицы, вместо того чтобы расти пропорционально
квадрату импульса, как в случае классической механики, растет
пропорционально первой степени импульса.
IV. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛ.
Проблема построения макрс с сопической электродинамики, осно-
ванной на принципе относительности, была разрешена Минков-
ским. Минковский исходит из двух тензоров поля:
( °’	+		+	( °-	+ 4.	+ DX,
“ |+S»>	Co ®	o,	+ ЕУ’Н		o, +4> -nx, o,	
			o,		~D„	o,
и из двух четырехмерных векторов — тока и скорости:
Инвариантные уравнения поля
записываются в виде:
дх1 дх' дхк ’ дхк
где х1 = х,	л3 = г, = и ничем не отличаются от
уравнений /Максвелла, т. е. в обычных обозначениях дают:
, „	1 dB л	\	in 1	rD .	\
rot Ен—-г- =0,	I	rotH ——-sT = i,	I
c dt ’ у	c dt 1 \
divB = 0,	J	divD — p.	)
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛ
99
Соотношения между векторами Минковский дает в виде:
Л* + F(lu'uk + uiUlFlk = ji [Hik + Нач1ик + u^ulHtk},
st-}-ikuhut = 3Ft1tuk,
где e—диэлектрическая постоянная, p— магнитная проницае-
мость, и — проводимость! Переписывая эти уравнения в обычных
обозначениях, мы получаем:
D + ±tvH]=S{E + l[vB]},
B-l[vE]=ji{H-l[vD]},
E+-[vBJ--v- • Е-
i = Р2 + 3 __ с с с
С	/	/ 7? \2
В последнем из этих уравнений оба члена в правой части обо-
значают соответственно конвекционный ток и ток проводимости.
Уравнения Минковского приводят к правильному объяснению
явлений индукции токов (из rotE + y-~=0 следует, чго
+ 7 [vB]| ds, где df —вектор площадки, ds—
вектор диференциала дуги; при v<gc это дает приближенно
— ^^Bdf=^yds, т. е. закон Фарадея), к правильному объ“
яснению опытов Вильсона (при Е = 0 имеем: D= А [V еВ—Н]’
В = ц{н-A [vD]|, откуда D -= A - [vH]; при pt = 1 и
v<£c вто дает приближенно D = ——1 [vH], т. е. формулу, под-
твержденную известными опытами Вильсона) и т. д.
Электродинамика Минковского есть единственная возможная
электродинамика изотропных макроскопических тел, которая
удовлетворяет как требованию инвариантности по отношению к
преобразованиям Лоренца, так и тому требованию, что при v —- О
она должна совпадать с обычной теорией Максвелла.
100 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВАНИЯ ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА
V. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВАНИЯ ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ,
ч
Важнейшим экспериментальным основанием частного принципа
относительности является знаменитый опыт Майкельсона. В пер-
вый раз он был произведен А. А. Майкельсоном в 1881 г. в
Берлине, а затем неоднократно повторялся (Майкельсоном и
Морли в Кливленде в 1887 и 1905 гг., Миллером в 1925—
1927 гг. на Маунт-Вильсон, Кеннеди в Пасадене в 1926 г.
и др.). Все эти исследователи, за исключением Миллера, пришли
на основании своих опытов к. заключению, что скорость света
одинакова по всем направлениям, независимо от состояния
движения наблюдателя. Критика опытов Миллера показала
впоследствии, что им допущены экспериментальные ошибки и
что, следовательно, заключение, сделанное другими перечислен-
ными выше исследователями, должно считаться правильным.
Идея опыта Майкельсона заключается в следующем: если бы
из скорости свега вычиталась скорость v наблюдателя по отно-
шению к гипотетическому эфиру, то путь Z, расположенный
параллельно этой скорости, проходился бы светом — туда и
обратно — ₽ течение промежутка времени:
1 .	1 - м	1Л .
£ + V С — V £2 — V2	£ \ + £2/
а такой же путь /, расположённый перпендикулярно скорости,
в течение промежутка времени:
2/	^21 (	1 v2\
V2 A "‘5'с2/
Это создавало бы разность хода, которая может быть изме-
рена интерферометром.
Эксперимент показывает отсутствие этой разности хода и,
таким образом, опровергает существование эфира старой элек-
тромагнитной теории.
Опытом, аналогичным опыту Майкельсона, является опыт
Траутона и Нобля, цель которого — обнаружить магнитное дей-
ствие друг на друга двух пластинок конденсатора, вызванное
их движением относительно гипотетического эфира. Этот
опыт, сделанный впервые Траутоном и Ноблем в 1904 г. и по-
вторенный Томашеком в 1925 г. и Чэйзом в 1926 г., также
ПЛАНЕТЫ И ЛУЧИ СВЕТА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ СОЛНЦА
101
дал отрицательный результат, в полном согласии с требованиями
принципа относительности.
Весьма точное подтверждение предсказанного принципом отно-
сительности изменения массы в зависимости от скорости движе-
ния дали опыты Гуи, Ратновского и Лаванши (1921 г.). В этих
опытах масса электронов катодных лучей различных скоростей
определялась по методу отклонения катодных лучей в магнитном
и электрическом поле.
Проверка предсказываемой частным принципом относитель-
ности зависимости между изменением массы и изменением энергии
стала возможной вследствие открытия ядерных реакций, сопро-
вождающихся большим выделением энергии. Типичным приме-
ром служит реакция Коккрофта и Уолтона (1932 г.):
LP + H1 —2Не4.
Эта реакция дает хорошее подтверждение формулы:
В — тс*.
VI. ПЛАНЕТЫ И ЛУЧИ СВЕТА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ СОЛНЦА.
Вывод формулы (113), описывающей вращение перигелия, из
уравнений (109с), (111), (112) (где /* обозначает 1—у) проис*
ходит следующим образом. Из уравнения (109с) вытекает:
подставим сюда:
dl  a ________ 0 dr dr $
ds f2 ’ ds "ft1 ds dy r2
(а и p — постоянные интегрирования). Это дает:
/2 f2ri\dy) Г2
или

г)'
102
ПЛАНЕТЫ И ЛУЧИ СВЕТА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ СОЛНЦА
Диференцируя по ср, мы получим:
df\ г ) + г ~~ 2^ ** 2/4 ‘
В ньютоновской небесной механике мы имеем:
tZ2 / м 1 ___________ xAf (fy______
d?2 \ r / r ’ ds /4
ds^=c>dt.
Таким образом отлиаие релятивистского решения от класси-
к	.	ЗА
ческого обусловливается добавочным членом —
Если отбросить этот добавочный член, то решением будет
уравнение конического сечения:
-®)}.
где г —эксцентриситет, ш —долгота перигелия. В дальнейшем
приближении можно подставить это в добавочный член
и это дает:
^2(7) +7 =^ + ||’(l + 2e.cos(<?-w) + es * 7 *cos3(?-a)).
М	з ДЗ	А
Мы пренебрежем постоянным членом по сравнению с
о р'	2р*
он изменит не форму решения, а только значения постоянных
интегрирования. Кроме того пренебрежем членом, содержащим
квадрат эксцентриситета. Это дает:
df- \r J г Tf-
4 -p^cosCp-ш).
Интегралом этого уравнения оказывается:
1 а	3 Л8
7 = 2"f211 + е • cos (ср - б)} 7 g е-• sin (<р - б).
3 А2
Заменив малую величину ру ? ее синусом и считая ее косинус
равным единице, получаем приближенно:
1 Л I, ,	(	3 А2
7 = 2?{1+e-C0S^~e'--Tp
ПЛАНЕТЫ И ЛУЧИ СВИТА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ СОЛНЦА
103
Смысл постоянной р заключается в том, что она равна удво-
енной площади эллипса 2тю* 1 — а*, деленной на сТ\ где а —
большая полуось, Т—период обращения. С другой стороны,
Это дает:
3	_ о ( А \2 м 3	/2ка2
4	\2Р/ Р в^(1- г*Г2\ сТ ) ’
Окончательно:
1 = 1 { 1 + e.c°s (<?-<»-
Это дает эллипс,	перигелий которого смещается в ту
сторону, в которую происходит вращение планеты вокруг
24я®а2
Солнца, на угол	в течение каждого полного оборота.
Перейдем теперь к вопросу о поведении лучей света в поле
тяжести Солнца.
Здесь мы имеем те же уравнения, но только ds = 0, т. е.
ра==оо и, следовательно:
д?2 /П J___ ЗЛ
d?\г) + г ~ 2г®'
Если пренебречь членом, стоящим в правой части, то полу-
чится решение Гяве^~^
(прямая линия, проходящая на расстоя
нии р от центра Солнца).
Поэтому в новом приближении мы положим:
\ гJ ' г
= |^COS'<₽.
Это дает интеграл:
7 =*	(cos* <р 4- 2s'n* <р).
При гя=оо это дает:
cos ? == — ^ (2 — cos* <р).
104 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВАНИЯ ОБЩЕГО ПРИНЦИПА
Так как cos ср, удовлетворяющий этому уравнению, очень мал,
то приближенно можно считать:
л
cos ср = —у, sin ср ^1.
Это дает для асимптот две прямые, образующие угол — =
друг с другом. Лучи, проходящие мимо поверхности Солнца,
*М	лл
должны поэтому отклониться на угол 2^/?’ где — масса
R — радиус Солнца, х = 1,87•10~27 см*г~1.
VII. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВАНИЯ ОБЩЕГО ПРИНЦИПА
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.
а)	Красное смещение спектральных линий. Су-
ществующие данные наблюдений, относящиеся к Солнцу, не
являются решающими вследствие крайней малости эффекта и
трудности измерения. Решающим подтверждением правильности
теории являются наблюдения, относящиеся к спутнику Сириуса.
Масса этого спутника, определенная по элементам орбиты
Сириуса, равна 0,85 массы Солнца. Сравнение абсолютной
яркости спутника (11,3 звездной величины) с его эффективной
температурой (8000°) дает для радиуса спутника значение
18 800 ^. Это позволяет вычислить эйнштейновское красное
смещение. Получается смещение, соответствующее скорости
удаления 20 км*сек\ Наблюдения же дают (в среднем для
линий Нр и Н7 и с поправкой на настоящий эффект Доп-
плера, связанный с движением системы Сириуса относительно
земного наблюдателя) величину 19 км*сект*.
б)	Искривление световых лучей вполе Солнца.
Теоретическое значение исправления, вычисленное по данным
/? = 697 000 км, TH = 1,98 • 10dS г, составляет 1",75. Наиболее
надежными результатами считаются те, которые были получены
экспедицией Ликской обсерватории во время затмения 21 сен-
тября 1922 г. (в Австралии). О подготовке к этому затмению
упоминается в тексте. Среднее значение, полученное по изме-
рению положения свыше 200 звезд, составляет Г',84.
в)	Движение перигелия Меркурия. Вопрос о срав-
нении предсказания теории с наблюдениями весьма сложен,
однако несомненно, что внесение поправки Эйнштейна в вычис-
ления астрономов уничтожило самое большое из необъясненных
до сих пор неравенств в движении планет.
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА
105
VIII. КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА.
Первая попытка применения общей теории относительности
к вопросам теории мира как целого была сделана Эйнштейном
в 1917 г. Сущность этой попытки сводится к тому, что вместо
закона тяготения (96):
берется более общий закон, а именно:
где есть так называемый «космологический член». Этому
уравнению Эйнштейн хотел удовлетворить четырехмерной цилин-
дрической гиперповерхностью, расположенной в пятимерном
евклидовом пространстве. Уравнения этой поверхности в пара-
метрической форме будут:
х2 = iR cos £х3 = iR sin cos £3,
хк = iRsin sin $8 cos xe = iR sin sin ~3 sin
Вели заменить на с/, $2 на X, £3 на на т0 получим:
ds* *= —R* [dfy2 + sin2 у (d&2 + sin2 & dy2)] -f- c*dflf
где R — константа, называемая радиусом мира.
Трехмерное пространство такой «вселенной Эйнштейна» яв-
ляется замкнутым в себе конечным пространством, чем-то вроде
трехмерного аналога шаровой поверхности. Подставляя такое
выражение для ds* в закон тяготения, Эйнштейн определял связь
между R и а таким образом, чтобы масса мира была наиболь-
шей. Это давало:
Для плотности материи в мире получалось	а для пол-
4^2
ной его массы М = — /? (при объеме, равном 2т:2/?3). Материя
в таком мире покоится.
Введение космологического члена всегда представлялось Эйн-
штейну искусственным. Поэтому в 1931 г., под влиянием работ
106
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА
Фридмана-Лемэтра, он вернулся к уравнению без космологиче-
ского члена, причем попробовал удовлетворить ему таким же
выражением для rfs*, как и раньше, с той только разницей,
что /? является не постоянной величиной, а функцией от вре-
мени t Вычисление показывает, что это можно сделать в том
случае, если R подчиняется диференциальному уравнению:
с2 1 (dR\*
R R\dt)'
Эмпирическим доказательством того, что радиус мира дей-
ствительно зависит от времени, Эйнштейн считает, в согласии
с Лемэтром и другими, тот факт, что отдаленные от нас небес-
ные объекты (экстрагалактические туманности) обладают луче-
выми скоростями, направленными от пас (космическое красное
1 JR
смещение) и пропорциональными расстоянию. Величина , как
показывают наблюдения Хэббла, ягляется в настоящее время поло-
жительной величиной порядка 1,5* 10“17 сек.*1 ( о соответствует
удвоению радиуса мира приблизительно в 109 лет).
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Стр.
Предисловие автора................................ 6
Лекция L Время и пространство в прежней физике 7
Евклидова геометрия (9). — Инвариант (1 >). — Векто> (14). —
Тензор (15). — Примеры векторов и тензоров (19).
Лекция II. Частная теория относительности.........26
Относительность направления и движения (26). — Частный прин-
цип относительности (26). — Принцип постоянства скорости света
(27).— Преобразование Лоренца (3J).— Кинематические следствия
преобразования Лоренца (34). — Некоторые замечания об инва-
риантах частной теории относительности (35).—Уравнения Макс-
велла (37). — Импульс, энергия и масса (38). — Тензор энергии
(42). — Закон сохранения энергии (45).
Лекция III. Общая теория относительности.......... 49
Основания (49). — Гипотеза эквивалентности (50). — Непригод-
ность евклидовой геометрии (51).— Сравнение аналитической
задачи общей теории относительности с задачей гауссовой‘тео-
рии поверхностей (53). — Основной инвариант и его физическое
значение (54).— Общая теория тензоров (56).
Лекция IV. Общая теория относительности (продол-
жение) ............................................. 70
Приближенное решение уравнений поля (75). — Связь с теорией
Ньютона (76). — Некоторые следствия уравнений поля (78). —
Космологическая проблема (84).
Хополнения......................................... 92
I. Жизнь и творчество Альберта Эйнштейна (92). — II. Теория
относительности в общей схеме теоретической физики (93).—
III. Механика частного принципа относительности (97).— IV.
Элекродинамика движущихся тел (98).— V. Экспериментальные
основания частного принципа относительности (100).— VI. Пла-
неты и лучи света в поле тяжести Солнца (101). — VII. Экспе-
риментальные основания общего принципа относительно
сти (104). — VIII. Космологическая проблема (105).
ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ
БОРН М.
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ЭЙНШТЕЙНА
И ЕЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Перевод с немецкого, 2-е исправленное издание
ЛОРЕНЦ Г., МИНКОВСКИЙ Г., ПУАНКАРЕ А., ЭЙНШТЕЙН А.
СБОРНИК РАБОТ ПО ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
КОПФ А.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ЭЙНШТЕЙНА
Перевод с немецкого, 2-е издание
ЦЕНА 2 Р.
Т 41-Б-4