СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
МАТЕМАТИКЕ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
по
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
МАТЕМАТИКЕ
ПОВЫШЕННОЙ
ТРУДНОСТИ
МИНСК 1965
к. У. ШАХНО
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
МАТЕМАТИКЕ
ПОВЫШЕННОЙ
ТРУДНОСТИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
МИНСК 1965
61(076)
Ш31
Сборник содержит свыше тысячи задач по элементарной матема-
тике, главным образом повышенной трудности. Задачи, по возможнос-
ти, систематизированы и снабжены решениями. В отдельных случаях
в связи с решением задачи и там, где это уместно, приведены вопро-
сы теории. Иногда они предпосланы решению группы задач, объеди-
ненных общей идеей. Даны разъяснения по вопросам теории равно-
сильности уравнений, построения графиков, комплексных чисел, обрат-
ных тригонометрических функций, математической индукции и некото-
рым другим вопросам.
Сборник рассчитан на лиц, окончивших среднюю школу и жела-
ющих продолжать совершенствоваться в методах решения задач или
готовиться в вуз. Он может послужить дополнительным пособием учи-
телю при работе в классе, для индивидуальных заданий учащимся,
особо интересующимся математикой, студентам педагогических инсти-
тутов.
ЗАДАЧИ
I.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Разложить на множители (1—15):
1.	Ьс (Ь 4- с) + са (с — а) — ab (а 4- Ь).
2.	а2Ь2 (Ь — а) 4- Ь2с2 (с — Ь) 4- с2а2 (а — с).
3.	Цх2 + у2) (а2 4- b2) + 4abxy]2 — 4[ху(а2 4- Ь2) 4-
4- ab (х2 4- у2)]2.
4.	2а2Ь 4- 4а&2 — а2с 4- ас2 — 4Ь2с 4- 2Ьс2 — 4abc.
5.	у (х — 2г)2 4- 8xyz 4- х (у — 2г)2 — 2г (х 4- У)2-
6.	8х3 (у 4- г) — у3 (г 4* 2х) — г3 (2х — у).
7.	х4 4- У4 + Z* — 2х2у2 — 2х2г2 — 2у2г2.
8.	х2у 4- ху2 4- x2z 4- хг2 4- У2г 4- yz2 4- 2xyz.
9.	х2у 4- ху2 4- х2г 4- xz2 4- y2z 4- yz2 4- Зхуг.
10.	х3 4-5х2 4-Зх — 9.
11.	х34~9х24* Их —21.
12.	х3(х2 —7)2 —36х.
13.	(Ь — с)3 4- (с — а)3 + (а — Ь)3.
14.	(х2 4- у2)3 4- (г2 — х2)3 — (у2 4- г2)3.
15.	(х 4- у 4- г)3 — х3 — у3 — г3.
16.	Доказать, что произведение четырех последователь-
ных целых чисел, увеличенное на единицу, равно квадра-
ту целого числа.
17.	Доказать, что число 132л—1, где п — натуральное,
делится на 168.
18.	Доказать, что число 721 — 487 делится на 288.
3
19.	Доказать, что из равенства
(а — b)2+(b — с)2 + (с — ау = (а + Ь — 2с)2 4-
4- (Ь 4- с — 2а)2 4- (с а — 26)2
следует, что а = b — с, если а, b и с — вещественны.
20.	Доказать, что .если т 4- п 4- р = 0, то т3 4- «3 4-
4- р3 — Зтпр.
21.	Разделить многочлен
у2х2 4- 2ух 4- 1 4- 2угх2 4- г2х2 4- 2zx
на многочлен 1 4- xz 4- ух.
22.	Разделить многочлен
Зах 4- а3х3 — 3 — За 4- 2х2 4- 4а2х — х3 — а2х2 4- 2х — а’х2
на многочлен
3 — х2 4- х 4- ах2 — ах.
23.	Доказать, что многочлен х3 4- у3 4- г3 — Зхуг де-
лится на многочлен х 4- У 4- z.
24.	Доказать, что произведение
(хт v- 1) (хт~1 — 1) (х'"+1 — 1)
делится на (х—1) (х2—1) (х3—1). Число т — целое по-
ложительное.
25.	Найти условие, при котором выражение
ат-’ ат~2 4-... 4- а 4- 1
делится на выражение
а"-1 4-а"-2 4- ... 4-а 4- 1,
где т и п — натуральные числа.
26.	Доказать, что многочлен х3* 4- х32 4- х28 делится на
х2 4-х 4- 1, где k — натуральное число.
27.	Проверить справедливость равенства
(1 4- х) (1 4- х2) (1 4- х4) ... (1 4- х2"-1) =
= 14-х 4-х2 4- ... 4-х-2--1-
28.	Найти сумму коэффициентов многочлена, получа-
ющегося после раскрытия скобок в выражении
(1 4- 4х —>4х2)175 (1 4- 2х)6 (1 — Зх 4- х2 4- 2Х3)149.
29.	Доказать равенство
„2 . (* — Ь)(Х — с) , а (х — с)(х — а)
(а — Ь)(а — с) ’ (Ь — с) (Ь — а)
(х — а)(х — Ь) _ .
(с — а)(с — Ь) '
30. Найти необходимые и достаточные условия того,
чтобы дробь не зависела от х.
31. Найти необходимые и достаточные условия того,
, ах2 + Ьх 4- с
чтобы дробь —— не зависела от х.
r тх2 + пх + р
Упростить выражения (32—42):
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
_Л_. _!_ _2__+_±_+_£_+...........16 
1—	х^ 1	1 4-х2^ 1 + х* U 4- х« т 1 4- х1» ‘
_____!____. +_____!____+.
(а — Ь) (а — с) ' (Ь — с) (Ь — а) (с — а) (с — Ь)
а2__________Ь2_____________с2
(а — Ь)(а — с) (Ь — с)(Ь — а) * (с — а) (с — Ь)
а —	।	— с । с — а । {а —	—	с)(с — а}
а 4- b' b 4 с с 4- а {а 4-- b) (Ь 4- с) (с 4- а) ’
а 4- b ._____b 4- с_.___с 4- Д
(6 — с) (с — а) (с — а) (а — Ь) (а — Ь) (Ь — с) *
r/2z2 . (у2 — b2) (z2 — b2) . 1(у2 — с2} (z2— с2)
' Ь2с2 “1 Ь2 (Ь2 — с2)	с2 (с2 — Ь2)
(1 4- ab) [1 4- аЬ 4- (Д + Ь)х] — (а 4- Z?) [д 4- 6 4- (1 4- ab> х]
(1 4-а&4-(а4-*)х]3	/ч
________________1_____________
j _ I а 4- l>+ (1 + afr)x I2
[	1 4- ab + (а + Ь)х J
х^*—(X— I)2	 X2 —(X2— I)2	х2(х—I)2— 1
d9,	(х24-1)2—X2 + х2(х+ 1)2 — 1 + X4 — (X + 1)2 ‘
4ft (х2 ~ У*>3 + (У2~ z2>8 4- (?2 ~ у2>я
(х — t/)s + (у — z)3 4- (z — *)я
а2 (с — Ь) Ь2 (а — с) с2 (/> — д)
-! Ьс	ас___ab
а (с — b) . b (а — с) с (Ь — а)
Ьс	ас	ab
х(х4Ь+ (х4-П(х42) т(х+2)(х + 3)
(*+ 3)(х4-4) + (Л + 4) (х 4- 5) *
5
43.	Доказать, что
(а — b b — с , с —а ( с , а , Ь \ л
с	*" а **" b }\а — b~* b — с ‘ с — а) '
если а 4- b 4- с = 0.
44.	Доказать, что
1	_ J_+ -1 _ -L + .. +_!________!_ =
1	2^3	4	2k — 1 2k
= _J_+_L_+ . +_L
k + 1 k + 2	*"	2k'
45.	Доказать, что если
al + al + — + al = p2-,
bl-Ybl^ ... 4- bl = qb
^ + ^,4 ... + anbn = pq,
TO
Д1_=^2-=	„ On = P
bl b2 *’* bn q '
если все величины, входящие в данные равенства, ве-
щественны.
46. Доказать, что если
______________________ а2  ______________ ап
ь2	ьп 9
то:
(al +af+ ... 4- al) (b2 4- b2 4- ... 4- W) =
^(albl^-aibi+ ... 4-aA)2-
47.	Доказать, что дробь 2in + 4 ПРИ лю®ом Целом
п—не сократима,
лотт	а2 -|- &2 а	а b
48.	Доказать, что —77-7—«- = —, если	.
о2 -|- с2 с	Ьс
49.	Доказать, что
/ ах \п  cia? 4~ с2а2 4“ ••• 4- ck°k
\ ^1 /	схЬ” + с2^2 4“ •- 4“ ckb*
£Zi	^2	fl'k
если -—-=-7— == ... == -r-t а г2, ...» с^ — любые чис-
ьг	ь2	bk'	*
ла, не равные нулю одновременно.
50.	Доказать иррациональность числа У^2.
6
51.	Почему (^2")3 = 2?
tn
52.	Почему: a) a® = 1; 6) a" am; в) a~m =
tn > 0; r) a1 = a ?
53.	Чему равно арифметическое значение ]/a2 ?
54.	Когда верны формулы: а) У~х • У~у =Уху;
б)	; в) У = - 4-/^ г) а У ъ = - У&ь ?
55.	Доказать, что если ~ =Ф- = ... = то
О2	Ьп
УаЛ 4~ Уя262 + ... 4* УапЬп —
= У (at + at + ... + ал) (61 + 62 + ... + Ьп)
(ай>0, bk > 0; k = 0, I, 2, .... п).
Упростить выражения (56—112):
56.
।
(х + у)2
[х + у)2
1 1
X2 +У2
х + у _
2У ху
57.
4	1
а —2&	У ЧсРЬ + У4аЬг
58 У^—У41^+ У^+У^+УТёаЬ
аУ а ЬУ 2Ь Н~ ЬУ а 4~ аУ %Ь
и Ь
59 <х ~~ ^)3	+/У)~3	+ уУ~У । 3(У*У —х)
хУ X + уУ у	х — у
7
61.
62.
63.
64.
(х2 4- у)/-ху 4- х/ ху 4- у2) (И х 4- У~у) 2 — Уху
х — у
_2У У
Ух +У у 
У х3у — х
У ~х — К7
х4-у— (х|/Т4- уУу)(Ух_ + У у)~‘
4- У^Ь 1 - Удб \ . /а-Уа
У а 4- V b УаЬ ) \ У~а — 1
___\2
-|“ j/”bx J -j- bx -f- 3
65.
х(/ b +У Зх *)2
8
71 (а+ aV х 4- x + x/T)2(l-/T)2
х + х~'-2
— x2a]/fу+ 4а 4- 4х.
72 [	- <* + Ч У - О
У^~1
74.
76.
г® л а5 + 2а'ь +4а3&2
[И а2 — 4аЬ 4- 4Ь2
У'2Ь
У~аЬ 4- bV~2
V b3/ Ь2а .
(5 — 4х2) У~5 — хУ(/У4- I)2 4- (УТ— I)2 —Т-(— 8х)
(5 — 4х2)2 4- (4хУ 5 )2
)/2х 4-У 2а
Л у^=1+у^=г *
(Га 4-3/М34-2а-6 I2 . 12 /7Т\=П , /I
(У а 4- У b )3 4- 2b — а ] ‘ |/ \ a J } V а‘
9
+	(« + 3)К а — За — 1 ] :	2(у — 4. ц + *]•
86. 9^ 2^54* — ]/~	— ]/з —X
X К40/2 +56 :}Z(^3 +1)2 + (/з-1)а.
1/^" За*	2К1 —а*
У 4,-8а+4^j -V	ч
10
88.
_з_
V14- лг (1 —х) 4
2
89. х3
(ГТ + /7)2+(/Т-
*+ Уху
\/ (х2 — у2)(х — у)2
ХУ ТГу
. 2ху л Г(х2 — у2)3 ______
"Г X— у Г (х + у)3
(/«>+.+«) (^йт-1) -v°'+1 -“’Ып+') v
9Ь	Й^ЧГГ+ а	Х
у_______!____
у а2 + 1 — а *
-]/(Й7-7Т?--^Ы^+	Р>ч>°-
93.
________х 2_________Г_______1
1 + (У^+ о2 (1 - /Т)-2 L 2'у^ а - ут)
95.
94.
2*Ух(1 + Ух) J 2У X ^2х~Ух
+3JZ2.., Г1 _ L- ^2+^Г1	v=_’
(1 —m + x
И
если х — 2k2 (1 + k)~l и k > 1.
97. (1 + x-1)-2 + (1 — x-1)-2, если x =
i	।
= (1 — n“1)2(l +n-1) 2.
-_L	__L	__1
(a 4- x) 2 (x + b) 2 + (a — x) 2 (x — b)
Z~Zl ZZl ______________i_ _j_
(a + x) 2 (x + b) 2 — (a —x) 2 (x—b}2
если x = ]fab и a > 6 > 0.
99.
i	__i_	___i_	i
3	3	3	3
(x + a) (x — a) + (x + a) • (x — a) — 2
_i_
2
I
если x = а тз~-__-пг и m > n > 0.
/ _L J_\2 _L + _L
100.	m +x n) — 4a2x m ", если
2mn
x — (a + V a2 — 1 )m ".
101.	(a + x2) 2 +(a — x2) 2, если x = 4 (a—1) и
1) 1 <a< 2; 2) a >2.
2	2
(x2 + a2)	+ (*2 — a2)
ZZL ZTjl
(x2 4- a2)	2 — (x2 — a2) 2
если
i
i	i
(m + x) 2 + (m — x) 2
1	1 »
2	2
(m + x) —- (Tn — x)
2tnn
если х = ЙЧП
и m > 0, 0 < n < 1.
12
/	_ 2 _ _£\_1, /	_ 4 _ 2 \_ _L
104.	^х~24-а 3x 3) 2+(la-2 + a 3x 3) 2,
/ 2	_2\_3_
если x =	3— a 3) 2.
i
105.	если x _ if У—_______________1/Jl')
x+/l +x*	Ц У b У a J
и a> 0, 6> 0.
106.	x3 + 12x, если x = ^4(1/3 + 1)—>/ 4(pr-5 — 1).
107.	x3 + ax + b, если x = j/— у + V+’S~ +
у 2 V 4	27*
1 1
108.	(x~1 4- a~l) (x + a) n — b~~lx n , если
n / n	n \— 1
x = a&'rrTU;rn-&;r+T>/ .
109.	HL.... -i/LEZ^,
рЛ2+/Т-38+17/T +mx ' 1+nx’
если x = E- У — 1 и 0 < m < n < 2/n.
ПО. у xn + у anxn2 +V an + у xnan* — 1,
(n	n \ n-f-1
&7i+r_aMT)—
til.]/аЧ"-* + an~k x* — 2У bx У &, если
2n
t	v n—2k
Г -	b-a)
л ~ 2k
n—2k
a
112. /(x-Ь l)a + (x — I)2—4}/ x2—1+1, если
x= <2 + + 1
(2+/ЗГ-1
13
Доказать справедливость равенств (113—115):
**3Ц 2 / * \ 2 /	\ 2 /
/1 _ /у у-‘_ /14- /Т \п+' /1 - vТ \п+‘	_
\	2	/	“ \	2	/	\	2	)	' П на’
туральное.
114.	fc]/~2 •	= V(а + b)3 —У(а — Ь)3,
V а+Уаа - Ь2
если а> |&|.
115.	+ 2]Л х—1 +Хх— 2]/х—1 = 2, если х<2.
II.	АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
116.	Доказать, что уравнение ах 4- 6 = 0 при а=/=0
имеет решение и притом единственное.
117.	Доказать; что для совместности уравнений
atx + = 0 и а2х + &2 = 0, где -/= О и а2 необхо-
димо и достаточно, чтобы atb2 — афг = 0.
Выяснить, совместны ли уравнения (118—120):
118.	х 4- 1 = 0 и х2 4- 5х 4- 4 = 0.
119.	хг + х — 20 = 0 и х2 —6х4-8 = 0.
120.	х2 4~ ах 4- 1 = 0 и х2 4- х 4- а = 0.
Выяснить, являются ли равносильными уравнения
(121 — 124):
121.	2х = х — 1 и 2х 4- х2 4- 1 = х 4- х2.
122.	х2 = Зх — 2 и х2 4-Ц- = Зх — 2 4---Ц-
123.	х 4- 1 = 0 и (х4- 1)]/х — 1 = 0.
124.	V(х —6)(х— 1)=К14 и Ух^б •уТ=Л=угТ4.
Решить уравнения (125— 134):
125.	а2х = а(х + 2) — 2.
юп х — тп . х — тр , х — пр	,	.
126.	;------------р-2— 4----г-2— = т 4- п + р.
т-\-^ w + Р п + р 1	1 к
IZZ*	с	b Н а г“ а_|_ 6_|_с — Ч
at Ь и с — числа одного знака.
128.	|х— 11 = 2.
129.	[х— 1| + |х — 21 = 1.
14
130.	|х — 2| + |х — 3| + |2х — 8 | = 9.
И1 Iх!-1 „ Ч И —5 _ М-2-|хй_1*1—9 7
° ‘	4	8\	4	5/28*
132.	Zi±^-x= -|3*~51.
133.	х- = 3 -
134.	- У ~	~3< = 2т- Зп.
(2т — ах)2 + (ах — Зп)2
135.	Является ли совокупность уравнений
7х — 2у + 5 = 0;
7х — 2у 4- 5 = 0
системой?
136.	В результате решения системы уравнений
Зху _	g.	2xz	_ g. yz	_
x+y	'	x+z ’	y+z
нашли, что системе удовлетворяют следующие числа:
_ 120.	_ 120	_ 120
Х ~ 61 ’	У ~ 11 ’	г ~ 19'
Сколько это даст решений?
137.	Если решение одной системы является решением
другой системы, то будут ли эти системы эквивалент-
ными?
138.	Дана система уравнений
f ахх + bxy + Ci = 0;
I a2x 4- b2y + c2 = 0.
Умножаем первое уравнение на /Hj #= 0, второе на
т2 4= 0 и результаты складываем; затем повторяем эту
операцию, взяв множителями числа пх 4= 0 и п.г 0, при-
чем пхфтх и «а #= т2. В результате получим новую си-
стему
/ Pi* + qxy + гх = 0;
I Ра* 4- q2y 4- г2 = 0.
Будет ли полученная система эквивалентна данной?
139.	Доказать, что системы:
( ахх 4- Ьху 4- сх = 0;
I а^х 4- Ь2у 4- с2 = 0
и
1 тх (ахх 4- Ьху 4- q) 4- т2 (а2х 4- Ь2у 4- с2) = 0;
1 (atx 4- Ьху 4- Ci) 4- п2 (с^х 4- Ь2у 4- с2) = 0
эквивалентны, если — т2пх =h 0.
15
140.	Верно ли предложение, обратное сформулирован-
ному в задаче 139, т. е. если рассматриваемые в той за-
даче системы эквивалентны, то тгп2 — m2/ij =# 0?
141.	Дана система линейных уравнений
(-агх + Ьху + ci = 0;
| а2х 4- b2y + с2 = 0.
Предполагая, что а±Ь2 — а2Ь{ =/= 0, будем решать ее ка-
ким-либо способом, например способом сложения и вы-
читания. Получаем:
х — сгЬ1~с1Ьг .	у _ ^1 ~ а1с2
a\b2 — a2bi ’	У	a^ — a^bi
Нужно ли проверять, удовлетворяют ли найденные
значения х и у данной системе?
142.	Доказать, что система
I aYx + brf + сг = 0;
| а2х + Ь2у + с2 = О
имеет одно и только одно решение, если аАЬ2—а2Ь1^= 0.
143.	Равносильны ли уравнения
-Щ--0 " ₽М-о.
где Р (х) и Q (х) — многочлены относительно х?
144.	Равносильны ли уравнения
хт = ут и х — у?
т — натуральное число.
145.	Определить число а так, чтобы система
2х + у = 5; Зх — 2у = 4; ах + 5у — 11
была совместна.
146.	При каких а и b система
Зх — 4у = 12; 9х 4- ay = b
будет несовместной и при каких неопределенной?
147.	Определить k так, чтобы система
х 4- (1 4- k) у = 0; (1 — k) х 4- ky = 1 4- k;
(l + k)x+ (12 — k) у = — (I + k)
была совместна.
148.	Доказать, что система
Зх 4- 2f/ = 10;
тх + (т — 1) у = 3/п 4- 1;
2тх 4- 4i/ = 1т — 1
либо несовместна, либо неопределенна.
16
149.	Противоречит ли равенство
а (Ь + с) = ab + с
равенству
а (Ь 4- с) — ab 4- ас ?
Решить системы уравнений (150—154):
.-п ( 1*4- 1I + IF-И = 5;
15°- I |х4-1|=4у-4.
... / I*-11 4-If/ —5| = 1;
101.	1	, I , ,
1	( 31 х | + 5у 4- 9 = 0;
’ I 2х-|У|-7 = 0.
( | х — у | = 2;
153.	. , . . А
154.
удовлетворяет условиям х
156. "
155.	При каких целых значениях п решение системы
f пх — у = 5;
( 2х + Зпу = 7
О, у<0?
При каких значениях а и b многочлен
х4 — Зх3 4- Зх2 + ах -f- b
делится на х2 — Зх + 2?
157.	При каких значениях ан b многочлен
х4 — Зх3 4- Зх2 + ах + b
делится на х2 — Зх + 4?
158.	Многочлен
хп + аххп *4- ... 4-а^х + аЛ
при делении на х — а дает остаток Л, а при делении
на х — b дает остаток В. Найти остаток от деления
этого многочлена на (х — а) (х — Ь), если а #= Ь.
159.	Многочлен
хп + аххп~1 + ... + ап_гх + ап
при делении на х — а дает остаток Л, при делении на
х— ь — остаток В, при делении на х — с — остаток С.
Найти остаток от деления этого многочлена на
(х — а) (х — Ь) (х — с)у если at b и с различны.
2 К. у. Шахно
17
160.	При каком соотношении между р и q многочлен
Xя 4- рх + q делится (без остатка) на (х — а)2 и чему рав-
но в этом случае а?
161.	Многочлен
х4 + 2Х8 + ах2 4- 2х + Ъ
является квадратом другого многочлена. Найти этот пос-
ледний многочлен, а также числа а и Ь.
162.	Определить Л, В и С так, чтобы имело место
равенство
х-ЬЗ _ А , Вх+С
(х+ 1)(ха+1)	х+1 + ха4-1 ‘
163.	Убедиться, что система
2х4-3у— z 4- 4 = 0; 7х— 4у — 5г 4-4 = 0;
Зх—г/4"2г—10 = 0; 8х — 8у— 2г 4-5 = 0
несовместна.
164.	Дана система
А + .£
а 1 с \ 1 6 /’
1(1-4);
а с A \ b)
±+-£ = 11(1-4);
а 1 с r \ b г
х____z_ __ 1 Л .
а	с	р. \ * b /
Выяснить, при каких X и ji она совместна и опреде-
лить х, у, z.
165.	Найти все решения системы
| х — 2у 4~ 4г = 0;
( 2х 4“ у “J- Зг = 0.
Решить системы уравнений (166—171):
166.
167.
х— а _____ у—b ________ z — с
(6 4- с)2 — а2 ~ (с 4- а)2 — 62 “ (а 4~ Ь)2 — с2 9
x + y + z = k(a + b + c).
х — у 4- z = 0;
(а 4- Ь)х — (а 4- с)у 4- (Ь 4- с)г 0;
abx — асу + bcz = 1.
Числа а, b и с — различны.
18
168.
(Ь 4- с) (у -|- г) — ах = Ь — с;
(с + а) (г + %) — by = с — а;
(а + Ь) (х 4- у) *— сг — а — Ь,
если а 4- b 4- с =£ 0.
169.	ах + by + сг = Ьх + су + az ~ сх + ay + bz
Числа а, b и с — вещественные.
170.
171.
w = с.
ау 4- Ьх 9
—#— = Ь;
az 4- сх
___— а
Ьг-^-су
Xi — аг _ х2 — а2	f Хр — йр в
mi	т2	тр 9
х2 + ••• Н“ хр = а.
172.	Определить вещественное число а так, чтобы один
из корней уравнения
4х2 — 15х + 4а3 = 0
был квадратом другого.
173.	Составить квадратное уравнение с вещественными
коэффициентами, один из корней которого равен -утЁт*
174.	При каких значениях а уравнение
(5а — 1) х2 — (5а 4- 2) х + За — 2 = 0
имеет равные корни?
175.	При каком вещественном значении т выражение
х2 + m(m — 1) х + 36
есть полный квадрат?
176.	При некоторых значениях р уравнение
х2 + Зх + 3 + р(х2 4- х) = 0
имеет равные корни. Составить квадратное уравнение,
имеющее корнями эти значения р.
177.	В уравнении
х2 — 2х 4- q = 0
квадрат разности корней равен 16. Определить свободный
член уравнения.
2*
19
178.	При каких значениях т уравнение
9х2— 18/их — 8т +16 = 0
имеет корни, отношение которых равно двум?
179.	При каких вещественных значениях т уравнение
2тх2 — 2х — Зт — 2 = О
имеет различные корни?
180.	Какими должны быть р и q, чтобы уравнение
х2 + рх + q = О
имело корнями р и qf
181.	При каком т уравнения
2х2 — (3m + 2)х + 12 = 0;
4х2 — (9m — 2) х + 36 = О
имеют общий корень?
182.	Показать, что уравнение
(х — 1) (х — 3) + т (х — 2) (х — 4) = О
имеет вещественные корни при любом вещественном т.
183.	Показать, что корни уравнения
(х — а) (х — Ь) + (х — Ь) (х — с) + (х — с) (х — а) = 0
всегда вещественны, если а, Ь и с — вещественны.
184.	При каких целых k корни уравнения
Ах2 — (1 — 2k) х + k = 2
рациональны?
185.	Доказать, что при нечетных р и q уравнение
х2 + рх + q = 0
не имеет рациональных корней.
186.	Доказать, что уравнение
х4 + ах + 1 = О
не имеет рациональных корней, если а — целое число,
но | а | #= 2.
187.	Доказать, что если уравнение
хт + а1х'"~1 + а2хт~2 + ... + ат = 0
с целыми коэффициентами av а2, ... , ат имеет рациональ-
ный корень, то этот корень есть целое число.
188.	Доказать, что если несократимая рациональная
дробь — является корнем уравнения
айхт + aiXm-1 + a2xm~2 + ... + ат = 0
с целыми коэффициентами а0, а» а2, ... , ат, то q есть
делитель а0, а р есть делитель ат.
20
189.	Доказать, что если алгебраическое уравнение с
рациональными коэффициентами имеет корень вида
а + 6)/с, где а, Ь и с — рациональные числа, причем
д =# О, с #= 0 и с не является квадратом рационального
числа, то оно имеет и корень вида а — ЬУ с.
Решить уравнения (190—193):
190.	(6х + 7)2 (Зх + 4) (х + 1) = 6.
191.	х2(1 4-х)2 4-х2 = 8(1 4-х)2.
192.	х(х4-1)(х—1)(х4-2) = 24.
193.	(х — 2)44-(х — З)4 = 1.
194.	Решить уравнение
х3 —21х24- 140х— 300 = 0,
если известно, что один из его корней вдвое больше одно-
го из двух других.
195.	Составить алгебраическое уравнение наименьшей
степени с рациональными коэффициентами, имеющее
корнями
1 + У J и 2 4- У~3 
Реши!	гь системы уравнений (196—210):
196. 1	 х2 — Зх 4- 2 = 0; [ х2 4- 5х— 14 = 0.
197. 1	[ х2 4- ху = бу ' t/24-xi/ = 3.
198. 1	[ х4 4- 3x2t/2 4-г/4 = 109; [ х2 4- у2 4- ху = 13.
199. 1	' (х 4- У 4- I)2 4- (х 4- у)2 = 25; ! Х2 _	= 3.
200.	' X (у 4- г) = 5; у (z 4- х) = 8; г (х 4- У) = 9.
201.	х 4- У 4- = 13; х2 4- У2 4- z2 — 61; 2yz = x(z + y).
202.	' х2 4- у2 + z2 = 35;
	Зх 4-2t/2 —7xz = — 14; х(г— 1) = 4.
21
203.
204.
205.
206.
х2 + у9 4- г2 = 14;
xy + xz — yz — 7;
х 4- у + г == 6.
х2 4- У9 — axyz;
у2 4- г2 = byzx\
г2 4- х2 = сгху.
а У Ь> с > 0, д 4- с > а.
х2 4- г/2 = г2;
ху 4- yz 4- zx = 47;
(г —х)(г —«/) = 2.
х (х 4- у 4- г) = а2;
У(х + у + г) = 1^,
z(x + y + z) = c*.
а > О, b > 0, с > 0.
' у 4- z 4- yz = а-,
z 4- х 4- гх = Ь;
х + у + ху = с.
а>—1, 6> — 1, с> — 1.
х2 = а 4- (У — г)2;
у2 = Ь 4- (г — х)2;
г2 = с 4- (х — у)2.
а > О, b > 0, с > 0.
yz ___ гх _______ ху_______х2 4~ Уа + г2 .
bz + су сх-\- az ау + Ьх а2 + Ь2 + с1 ’
а, Ь, с — вещественны.
' х + у + г = Ъ\
х2 +,у2 — г2 = 20;
х4 4- У* — z* — 560.
4айти вещественные решения системы
| 2х — у — 1;
I 4х 4- У — ^ху — г2 = 3.
Выяснить, являются ли уравнения равносильными
(212-214):
212. VР(х)	и P(x) = Q(x).____
213. У P (x)Q(x) « /?(х) и V Р(х) V Q (х) = R(x).
207.
208.
209.
210.
211.
22
Решить уравнения (215—239):
215. /х^б + /10x4-5 = 2.
216	(х—1)(х —2) —(х —3)(х —4) _-i/~2
/ ха — Зх + 2 — /х2 — 7х + 12 У
217. х2 + 3-/2х2 — 3x4-2 ==4-(х+ 1).
218. / (7х - З)3 + 8 / (3 - 7х)~3 = 7.
1 1
/	о \ 2	/	\ 2
219.	(! + 4) +Ц-НМ "4-
2	2	1
220.	(а + х)3 + 4 (а — х)3 — 5(а2— х2)3 = 0.
221.	У 4т£+1//'•^1£ = 2.
222.	/х + 45 — /х — 16 = 1.
223.	/7771 = 2^1
224.	/т+х —	1	= /2 4-Х.
225.	4х 4- 1 4- 2х/2 (2х2 4-1)4-
4-	(2х 4- 1)}/ 4х2 4- 4x4-3 = 0.
226.	2^2x4- Ух = 3 1/----У^+яУ^х — Ух'
* 2х + у х
227.	У а у У" х -j- У а — / х = / Ь.
228.	V~x 4- /2х — 3 = / 12(х — 1).
229.	V16 4- У* 4- У16 ~ Ух = 2.
230.	Ух—3 —2)/х —44-Кх —4/х —4 = 1.
231	/х+ 2 — /х —2 _ х
Y х 4- 2 4- Y х — 2	2
232 l + x-/2x+xa~	а3/Т+~х+/~
1 + х 4- V 2х 4- х2	/ 2 + х — V х ‘
OQQ 1 —ах 1/1 + Ьх _ ,
2ii- г+^ К 1 - Ьх ~ ь
23
Пг—----	П,-	--- п,----
234.	у а + * I г ° + * = у х *
а	х	fb '
235.	хп 4- " Vапхп‘ 4- Vап 4- п+^ хпап2 = Ь,
где а > 0.
236.	]/" акхп к 4- ’У хкап к = 2|/Ьх, где п > k > О,
b > а > 0.
237. 7 (х 4- I)2 4-Z (х— I)2 =4^х2- 1.
239.
Решить
240.
системы уравнений (240—243):
* г х + у х + У
х2 4- у2 = 34.
242.
1 у х + у — У X
УТ+~у— У~х	У
У~Х 4- У~У = 7.
= 0,375;
243.	( у х — у~^ — %уХу-
( х 4- у = 20.
III. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
244.	Турист, идущий из деревни на ж.-д. станцию,
пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что он опоздает к
поезду на 40 мин, если будет двигаться с тою же ско-
ростью. Поэтому остальной путь он проходит со скоростью
4 км/час и прибывает на станцию за 45 мин до отхода
поезда. Каково расстояние от деревни до станции?
* В примерах 234—239 п — целое > 1.
24
245.	Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если
эту цифру перенести влево (т. е. поместить вначале), то
новое число будет на единицу больше утроенного перво-
начального числа. Найти это число.
246.	Самолет летел сначала со скоростью 220 км/час.
Когда ему осталось пролететь на 385 км меньше, чем
пролетел, он изменил скорость и стал двигаться со ско-
ростью 330 км/час. Средняя скорость самолета на всем
пути оказалась равной 250 км/час. Какое расстояние про-
летел самолет?
247.	Мне вдвое больше лет, чем Вам было тогда, ког-
да мне было столько лет, сколько Вам теперь; когда Вам
будет столько лет, сколько мне теперь, тогда сумма на-
ших возрастов будет равна 63 годам. Сколько лет каж-
дому?
248.	Две автомашины выехали одновременно из одного
и того же пункта в одном и том же направлении. Первая
имеет скорость 50 км/час, а вторая 40 км/час. Спустя
полчаса из того же пункта выехала третья машина и,
догнав вторую, находилась в движении еще 1,5 час до
того, как нагнала первую. Какова скорость третьей маши-
ны, если движение всех машин равномерное?
249.	Пассажирский поезд идет из А в В и после 5 мин
остановки в В идет далее в С. Спустя 14 мин после того,
как он покинул В, ему встречается скорый поезд, скорость
которого вдвое больше скорости пассажирского поезда.
Скорый поезд выехал из С в тот момент, когда пассажир-
ский поезд был на расстоянии 25 км от А. Кроме того,
известно, что скорому поезду нужно 2 час, чтобы пройти
расстояние СВ, и что, если он из А сразу возвратится, то
прибудет в С на 0,75 час позже прибытия пассажирского
поезда. Сколько километров в час делает каждый поезд и
как удалены друг от друга пункты Л, В и С?
250.	Некоторое количество денег было разложено на п
кучек. После этого из первой кучки переложили во вторую
-i- часть бывших в первой кучке денег. Затем из второй
1
кучки — часть оказавшихся в ней после перекладывания
денег переложили в третью кучку. Далее, часть денег,
получившихся после этого в третьей кучке, переложили
в четвертую и т. д. Наконец из n-й кучки -±- часть оказав-
25
шихся в ней после предшествующего перекладывания де-
нег переложили в первую кучку. После этого в каждой
кучке стало А рублей. Сколько денег было в каждой куч-
ке до перекладывания?
251.	Двое рабочих, работая вместе, могут окончить не-
которую работу в 12 дней. После 8 дней совместной ра-
боты один из них заболел, и другой окончил работу одцн,
проработав еще 5 дней. Во сколько дней каждый из них,
работая отдельно, может выполнить эту работу?
252.	Две бригады рабочих, работая одновременно, могут
выполнить некоторую работу в 8 дней. Если бы работало
2
-у рабочих первой бригады и 0,8 второй, то работа была
бы выполнена в 11-^- дней. Во сколько дней могла бы
выполнить эту работу каждая бригада в отдельности?
253.	Когда старшему брату было столько лет, сколько
сейчас среднему, тогда младшему было 10 лет. Когда
среднему будет столько, сколько сейчас старшему, тогда
младшему будет 26 лет., Сколько лет каждому брату, если
сумма лет старшего и среднего братьев в день рождения
младшего была в два раза больше числа лет младшего
в настоящее время?	/
254.	Некоторый сплав состоит из двух металлов, вхо-
дящих в отношении 1 : 2, а другой содержит те же металлы
в отношении 2:3. Сколько частей каждого сплава нужно
взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же
металлы в отношении 17:27?
255.	Поезд вышел со станции А по направлению к В
в 9 час. В 15 час он остановился из-за снежного заноса.
Через 2 час путь был расчищен, и машинист, чтобы на-
верстать потерянное время, повел поезд на остальном пути
со скоростью, превышающей скорость поезда до остановки
на 20%. Но поезд все же пришел с опозданием на 1 час.
На следующий день поезд, шедший по тому же расписа-
нию, тоже попал в занос, но на 150 км дальше от Я, чем
первый поезд. Простояв 2 час, он тоже пошел со ско-
ростью на 20% выше прежней, но нагнал лишь полчаса
и пришел в В с опозданием на 1,5 час. Найти расстояние
между А и В.
256.	На участке реки от Л до В течение так медлен-
но, что его можно принять равным нулю. На участке же
от В до С оно достаточно быстро. Лодочник проплывает
26
расстояние от Л до С за 3 час, а обратно от С до Л
(вверх) за 3,5 час. Если бы на всем протяжении от А
до С течение было такое же, как от В до С, то на весь
путь от Л до С потребовалось бы 2-у час. Сколько вре-
мени понадобилось бы в этих условиях, чтобы подняться
вверх от С до Л?
257.	В сберкассу на книжку было положено 1640 руб.
и в конце года было взято обратно 882 руб. Еще через
год на книжке снова оказалось 882 руб. Сколько процен-
тов начисляет сберкасса в год?
258.	Двое рабочих взялись сжать ржаное поле в те-
чение одного дня, причем каждый обязался сжать поло-
вину поля. Первый начал работу на 2 час 16 мин раньше
второго. В полдень, когда ими уже было сжато 0,4 поля,
они приостановили работу для обеда и отдыха на 1,5 час.
Первый окончил свою часть в 7 час 54 мин, а второй
в 8 час 10 мин пополудни. В котором часу начал работать
каждый?
259.	Два каменщика сложили вместе стену в 20 дней.
Во сколько дней выполнил бы работу каждый из них от-
дельно, если известно, что первый должен работать на
9 дней больше второго?
260.	Два пешехода А и В вышли одновременно друг
другу навстречу из городов М и N. Когда они встрети-
лись, то оказалось, что А прошел на 6 км больше, чем В.
Если каждый из них будет продолжать путь с той же
скоростью, то А придет в N через 4,5 час, а В в М —
через 8 час после встречи. Определить расстояние меж-
ду М и N.
261.	Два автомобиля выезжают одновременно навстре-
чу друг другу из А в В и из В в А. После встречи од-
ному приходится еще быть в пути 2 час, а другому
9	~
-у час. Определить их скорости, если расстояние между
А и В равно 210 км.
262.	Для печения пшеничного хлеба взято столько ки-
лограммов муки, сколько процентов составляет припек
на эту муку. Для печения ржаного хлеба взято на 10 кг
больше муки, а именно столько килограммов, сколько
процентов составляет припек на ржаную муку. Сколько
килограммов взято той и другой муки, если всего выпе-
чено 112,5 кг хлеба?
27
263.	Проходя первый участок пути в 24 км, паровоз
делал в час на 4 км меньше, чем когда проходил второй
участок в 39 км. На прохождение второго участка он
употребил на 20 мин больше, чем на прохождение пер-
вого. Какова скорость паровоза на первом участке?
264.	По окружности длиною в 360 м движутся два
тела. Одно из них проходит в секунду на 4 м больше
другого и поэтому проходит всю окружность на 1 сек
скорее. Сколько метров в секунду проходит каждое
тело?
265.	Окружность заднего колеса в 2 раза больше
окружности переднего. Если длину окружности заднего ко-
леса уменьшить на 1 м, а переднего увеличить на 1 м,
то на протяжении 60 м заднее колесо сделает на 30 обо-
ротов больше переднего. Определить длину окружности
каждого колеса.
266.	Трамвайная линия имеет длину 15 км. Если уве-
личить скорость трамвая на 3 км[час, то трамвай будет
затрачивать на каждый рейс на полчаса меньше, чем те-
перь (рейсом называется пробег трамвая туда и обратно).
Сколько времени затрачивает теперь трамвай и какова его
скорость?
267.	В ремонте дома участвовали плотники и маляры.
Те и другие получили за работу одну и ту же сумму, но
маляров было двумя меньше, чем плотников, и поэтому
каждый маляр получил одним рублем больше плотника.,
Сколько было плотников и сколько маляров, если извест-
но, что число рублей, уплаченных им всем, было на 26
больше утроенного числа всех рабочих?
268.	От Москвы до Ленинграда 650 км. Пассажир-
ский поезд проходит это расстояние на 12 час скорее
товарного, так как его часовая скорость на 24 км больше.
Сколько километров в час проходит каждый поезд?
269.	От дома до школы 400 м. Ученик старшего клас-
са делает на этом пути на 300 шагов меньше, чем ученик'
младшего класса, так как у него шаги на 30 см больше.
Определить длину шага каждого.
270.	Магазин купил кусок сукна за 200 руб. 5 м из
этого куска остались непроданными,' а~ остальное сукно
было продано за 190 руб., при этом на каждом метре бы-
ло получено 1,5 руб. прибыли. Сколько метров сукна бы-
ло в куске?
271.	Куплено два сорта некоторого товара, причем
28
второго сорта на 15 кг больше первого. За второй сорт
заплачено 32 руб., а за первый 22,5 руб. Сколько купле-
но килограммов того и другого сорта, если килограмм
второго сорта стоил на 10 коп. дешевле килограмма пер-
вого?
272.	При двух последовательных одинаковых процент-
ных повышениях заработной платы сумма в 100 руб. об-
ратилась в 125 р. 44 к. Определить, на сколько процентов
повышалась заработная плата?
273.	В сосуде было 20 л чистого спирта. Часть этого
спирта отлили; а сосуд долили водой. Затем снова отлили
столько же литров, сколько в первый раз, и сосуд опять
долили водой. После этого в сосуде оказалось чистого
спирта втрое меньше, чем воды. Сколько спирта отлили
в первый раз?
274.	У мальчика имеются двухкопеечные монеты.
Играя он укладывает их на площадке плотно одну к дру-
гой то в виде квадрата, то в виде правильного треуголь-
ника, используя каждый раз все монеты. В последнем
случае в стороне содержится на 2 монеты больше, чем
в первом. Какая сумма денег имеется у мальчика?
275.	В шахматном турнире двое из участников выбы-
ли, сыграв только по три партии каждый. Поэтому на
турнире было сыграно всего 84 партии. Сколько было
участников первоначально и играли ли выбывшие участ-
ники между собой?
276.	Куплено материи двух сортов на сумму 15 р. 20 к.
Если бы цена материи первого сорта была выше, а вто-
рого ниже на одно и то же число процентов, то первый
сорт стоил бы 15 руб. а второй 2 р. 40 к. Сколько стоил
первый сорт в действительности?
277.	Из Тулы по направлению к Вязьме вышел товар-
ный поезд. Спустя 5 час 5 мин по той же дороге вышел
из Вязьмы в Тулу пассажирский поезд. Оба поезда встре-
тились на промежуточной станции. От этой станции то-
варный поезд шел до Вязьмы 12 час 55 мин и от той же
станции пассажирский поезд шел до Тулы 4 час 6 мин.
Сколько времени употребил каждый поезд на прохож-
дение всего пути между Вязьмой и Тулой?
278.	Студенты взяли на лодочной станции лодку на 4
прокат. Сначала они спустились на 20 км вниз по течению
реки, затем повернули обратно и вернулись на лодочную
станцию, затратив на всю прогулку 7 час. На обратном
29
пути, на расстоянии 12 км от лодочной станции, они встре-
тили плот, проплывавший мимо лодочной станции как
раз в тот момент, когда они отправлялись на прогулку.
Определить, с какой скоростью двигалась лодка вниз по
течению и какова скорость течения?
279.	Из двух населенных пунктов выходят навстречу
друг другу два курьера и встречаются в некотором
пункте М±. Если бы первый курьер вышел на час рань-
ше, а второй на полчаса позже, то они встретились бы на
18 мин раньше, чем в действительности. Если бы второй
вышел на час раньше, а первый на полчаса позже, то
они встретились бы в пункте, отстоящем отЛ^на 5600 м.
Найти скорости обоих курьеров.
280.	Несколько человек взялись вырыть канаву и мог-
ли бы окончить работу за 24 час, если бы делали ее все
одновременно. Вместо этого они приступили к работе
один за другим через равные промежутки времени, и за-
тем каждый работал до окончания всей работы. Сколько
времени они рыли канаву, если первый, приступивший
к работе, проработал в 5 раз больше, чем последний?
281.	Сплав из двух металлов весом в Р кг, будучи
погруженным в воду, теряет в своем весе А кг. Такой же
вес первого из двух составляющих металлов, погружен-
ного в воду, теряет В кг, а второй — С кг. Найти вес со-
ставляющих сплав металлов и исследовать возможность
решения задачи в зависимости от величин Р, А, В и С.
282.	От двух кусков сплава с различным процентным
содержанием меди, весящих т кг и п кг, отрезано по
куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков
сплавлен с остатком другого куска, после чего процент-
ное содержание меди в обоих сплавах стало одинаковым.
Сколько весил каждый из отрезанных кусков?
283.	Объем А составляет m-ю часть суммы объемов
В и С, а объем В — п-ю часть суммы объемов А и С.
Какую часть суммы объемов А и В составляет объем С?
284.	Две точки движутся с постоянными скоростями
по окружности длиною L. Если они движутся в разных
направлениях, то встречаются каждые сек. При дви-
жении в одном направлении одна точка настигает дру-
гую через каждые сек. Определить скорости обеих
точек.
285.	Из Л в В отправилась лодка. Когда лодка про-
шла уже I км, из А в В вышел пароход, который при-
зе
шел в В на I час раньше лодки. Каково расстояние меж-
ду Л и В, если скорость лодки составляет v км/час, а ско-
рость парохода w км/час?
286.	Мастер дает сеанс одновременной игры в шах-
маты на нескольких досках. В конце первых двух часов
он закончил р% партий выигрышем, а I партий проиг-
рал. За следующие два часа он выиграл у g% оставших-
ся противников, т партий проиграл и остальные п партий
закончил вничью. На скольких досках шла игра?
287.	В сосуде содержится а л р %-ного раствора азот-
ной кислоты. Сколько литров q %-ного раствора той же
кислоты нужно влить в сосуд, чтобы после добавления
некоторого количества воды, доводящего общий объем
смеси до b л, получилась бы кислота крепостью г i%?
288.	В одном сосуде находится а л р %-ного раствора
кислоты, а в другом b л q ,%-ного раствора той же кис-
лоты. Из каждого сосуда отлили по одинаковому коли-
честву литров и взятое из первого вылили во второй,
а взятое из второго вылили в первый. Сколько литров бы-
ло взято из каждого сосуда, если в сосудах оказался
раствор одной и той же крепости?
289.	Два велосипедиста, выехав одновременно с раз-
ными, но постоянными скоростями из пункта А в пункт
В, достигнув его, сразу поворачивают обратно. Первый
велосипедист, обогнав второго, встречает его на обрат-
ном пути на расстоянии а км от В, затем достигнув А
и снова повернув к В, он встречает второго велосипедис-
та, пройдя k-ю часть расстояния от А до В. Найти рас-
стояние от А до В.
290.	В некоторой точке круглого биллиарда радиуса R
на расстоянии а от его центра находится упругий шарик.
В какую точку борта нужно направить шарик, чтобы он,
дважды отразившись от борта, вернулся в исходную
точку? Размерами шарика пренебрегаем.
291.	Сферический баллон с толщиной стенки е, изго-
товленный из материала плотности d, наполнен жид-
костью плотности 8. Каков должен быть внутренний
радиус R баллона для того чтобы при погружении его
в жидкость плотности Д имело место равновесие? Какому
условию должны удовлетворять плотности d, д и Д,
чтобы задача была возможна?
292.	Средний годовой процент прироста населения из
года в год остается постоянным. Если бы годовой про-
31
цент прироста увеличился на k, то через п лет числен-
ность населения была бы в два раза больше, чем при нор-
мальных условиях. Определить годовой процент прироста
населения.
293.	Сосуд, наполненный последовательно двумя жид-
костями, плотности которых d и £>, весит соответственно
q и Q кг, включая сюда и вес самого сосуда. Найти вес
сосуда и его объем. Найти условия возможности задачи.
294.	Два'поезда выезжают одновременно из Л и В
навстречу друг другу и встречаются на расстоянии р км
от В. Через t час после встречи второй поезд, мино-
вав пункт Л, находился в q км от него, а первый в это
время, миновав пункт В, находился от второго поезда
на расстоянии в два раза большем, чем расстояние меж-
ду пунктами Л и В. Найти скорости поездов .и расстоя-
ние между Л и В.
295.	Число х в пг раз больше разности чисел у и г,
а число у в п раз больше разности х и z. Найти зависи-
мость между т и п, если известно, что z в два раза боль-
ше разности чисел х и у. Числа х, у и z не равны нулю.
296.	Часы показывают в некоторый момент на т мин
меньше, чем следует, хотя и спешат. Если бы они пока-
зывали на п мин меньше, чем следует, но уходили бы
в сутки на t мин больше, чем уходят, то верное время они
показали бы на сутки раньше, чем покажут. На сколько
минут в сутки эти часы спешат?
297.	Дети делят орехи. Первый взял а орехов и п-ю
часть остатка; второй — 2а орехов и n-ю часть нового
остатка; третий — За орехов и n-ю часть нового остатка
и т. д. Оказалось, что таким способом разделены все
орехи поровну. Сколько было детей?
298.	Колхоз купил для заправки тракторов на а руб.
лигроина и на такую же сумму керосина, всего п кг.
Сколько килограммов куплено лигроина и сколько керо-
сина, если килограмм первого на b руб. дороже кило-
грамма второго?
299.	Из пункта А в пункт В выехала машина с поч-
той. Через t мин за ней выехала другая. Двигаясь со ско-
ростью v км/час, она нагнала первую и, передав забытый
срочный пакет, повернула назад. В пункт А вторая ма-
шина прибыла одновременно с прибытием первой в пункт
В. С какой скоростью двигалась первая машина, если
расстояние между А п В равно d км?
32
300.	Две бригады рабочих заработали по одинаковому
числу руб. В первой бригаде было на а рабочих меньше,
чем во второй, вследствие чего каждому рабочему второй
бригады досталось на b руб. меньше, чем каждому рабо-
чему первой бригады. Число рублей, заработанных каж-
дой бригадой, на с больше числа рабочих в обеих брига-
дах вместе. Сколько было рабочих в каждой бригаде?
301.	Двое рабочих выкопали ров, работая один после
другого. При этом первый работал а дней и выполнил
часть всей работы, равную —. Если бы они работали
вместе, то ров был бы вырыт в число дней, равное сред-
нему арифметическому между числом дней, в течение ко-
торых работал первый, и числом дней, в течение которых
работал второй. Сколько дней работал второй?
302.	По одной и той же окружности движутся два тела
в одну и ту же сторону. Длина окружности равна а м.
Одно тело проходит окружность на р мин скорее другого
тела. Определить, сколько метров в минуту проходит
каждое тело, зная, что они при движении сходятся каж-
дые q мин.
303.	Наняты двое рабочих по разным ставкам. Пер-
вый получил а руб., а второй, работавший меньше пер-
вого на и дней, получил с руб. Если бы первый работал
столько дней, сколько второй, а второй столько, сколько
первый, то они получили бы поровну. Сколько дней ра-
ботал каждый?
304.	Группа экскурсантов должна была заплатить за
обед в ресторане а руб. Но у b участников не оказалось
в наличии денег и поэтому каждый из остальных внес
еще с руб. Сколько было экскурсантов?
305.	Скорый поезд был задержан у семафора на
р мин и наверстал опоздание на перегоне в d км, пройдя
его со средней скоростью на v км/час больше той, какая
полагалась по расписанию. Какова средняя скорость на
этом перегоне по расписанию?
306.	Два вкладчика положили в сберкассу одинако-
вые суммы. Первый взял вклад по истечении а месяцев
и получал т руб., а второй взял вклад по истечении b
месяцев и получил и руб. Сколько каждый из них по-
ложил в сберкассу и сколько процентов начисляет сбер-
касса?
307.	В трех сосудах находится одинаковая жидкость
з к. Ул Шахно	33
в неравных количествах. Если половину содержимого
(по объему) одного сосуда разлить поровну в два дру-
гие, а затем половину содержимого другого сосуда, ока-
завшегося после первого разлива, разлить поровну в два
другие и после этого половину содержимого третьего со-
суда разлить поровну в два другие, то во всех сосудах
окажется жидкости поровну, а именно псК 16 л. Сколько
было литров жидкости в каждом сосуде вначале? (За-
дачу решить арифметически).
308.	Товарный поезд прошел путь от Ленинграда до
Москвы со средней скоростью 20 км/час, а от Москвы до
Ленинграда со средней скоростью 30 км/час. Какова
средняя скорость поезда на всем пути (время, потрачен-
ное на остановку в Москве, в расчет не принимается) ?,
309.	Доказать, что разность между любым числом и
числом, изображенным теми же цифрами, но написан-
ными в обратном порядке, делится нацело на 9.
IV. ПРОГРЕССИИ*
310.	Могут ли числа V~3, 2, ]/~8 быть членами (не
обязательно соседними) арифметической прогрессии?
311.	Доказать, что в арифметической прогрессии а1,
Оъ ... любые четыре члена ат, а„, ак, а(, для которых
т + п = k + I, связаны соотношением
«т + «Л =
312.	Доказать, что три члена а„_1г ап, арифмети-
ческой прогрессии Oj, а2, ... связаны соотношением
_ ал—1 + вл+1
«Л —	2
313.	Найти сумму двадцати членов арифметической
прогресии а1, а2,	, если ав 4- а9 4- al2 4- ais = 20.
314.	Найти арифметическую прогрессию а1, а2, ...,
если Oj 4- а2 4- а3 = 9 и а1а2а3 — 15.
315.	Найти арифметическую прогрессию, если сумма п
ее членов Sn = 2п2 — Зл.	•
316.	Найти десятый член арифметической прогрессии,
если сумма п ее членов S„ = Зл2 — 2п.
* Во всех приведенных здесь 'задачах на прогрессии подразуме-
вается, что члены прогрессий — вещественные, если специально не
оговорено противное.
34
317,	Найти арифметическую прогрессию, у которой
сумма любого числа членов, начиная с первого, в четыре
раза больше квадрата числа членов.
318.	Число членов арифметической прогрессии равно 10.
Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 15, а на
нечетных—12,5. Найти все члены прогрессии.
319.	Дано, что в арифметической прогрессии ар = q,
aq = р (аа — п-й член прогрессии). Найти ап.
320.	Числа а2, &2, с2 образуют арифметическую прогрес-
сию. Доказать, что числа
1 1 1
b -j“ с 9 с -|" л * ci -J- b
также образуют арифметическую прогрессию.
321.	Найти сумму всех несократимых дробей со зна-
менателем 3, заключающихся между целыми числами т
и-п (tn <п).
322.	Доказать, что если в арифметической прогрессии
Sm = S„, где Sk—сумма первых k членов прогрессии, то
Szn-f-n — 0»
323.	Дано, что в арифметической прогрессии
т2
Sn	п* •
Доказать, что
ат _	— 1
ап 2п — 1
324.	Параллелограмм пересекается двумя рядами пря-
мых, параллельных его сторонам. Каждый ряд состоит из
т линий. Сколько всех возможных параллелограммов мож-
но составить из этих линий?
325.	Числа 3, 5, 9, 15, ... таковы, что разности между
ними образуют арифметическую прогрессию. Найти и-й
член этой последовательности чисел.
326.	Вычислить сумму
I2 — 22 + 32 —42 + ... +(—
327.	Какие из последовательностей
1.----Г. 4--— 4-. •••; 2, 2, 2, ...; 3, —3, 3, —3, ...;
2, 0, 0, ...
являются геометрическими прогрессиями?
328.	Могут ли числа 10, 11, 12 быть членами (не обя-
зательно соседними) геометрической прогрессии?
3*
35
329.	Доказать, что в геометрической прогрессий а»
а2, ... любые четыре члена ат, а„, ак, at, для которых
т 4- п = k 4-1, связаны соотношением
= ад-
ззо.	Доказать, что три члена a„_lt а„, ап+1 геометри-
ческой прогрессии а,, а2, ... связаны соотношением
а2п — ап_\ап±\.
331.	Если числа х, у, г составляют геометрическую
прогрессию, то
(х 4- у 4- z) (х — у 4- г) = х2 4- у2 4- г2.
332.	Найти сумму п чисел вида
5, 55, 555, 5555, ...
333.	Доказать, что
11 ... 1 55 ... 56 = 33 ... 342.
* '
334.	Сумма первых трех членов геометрической про-
грессии равна 3,5. Сумма квадратов тех же членов рав-
на 5,25. Найти первый член и знаменатель прогрессии..
335.	В арифметической прогрессии даны ее члены
ат+п — А и ат-п = В. Найти ее члены ат и а„.
336.	В геометрической прогрессии даны ее члены
аш+п = А и ат-п = В. Найти ее члены ат и ап.
337.	Доказать, что если числа a, b, с, d составляют
геометрическую прогрессию, то
(Ь — с)2 4- (с — а)2 4- (d — b)2 = (а — d)2.
338.	Найти сумму
/	1 \2	/	1 \2	/	1 \2
( х 4~ —) 4~ (х2 4- ~2~/ 4” ••• 4~ [хп 4—л) •
\	* X / * \	1 х* J 1	* \	1 Jt” ]
339.	Доказать, что
(1 4- х 4- х2 4- ... 4- х")2 — хп =
= (14-х 4-х2 4- ... 4-хя-1) (1 4-х 4-х2 4- ... 4-хя+1).
340.	Найти произведение п первых членов геометри-
ческой прогрессии с положительными членами, зная их
сумму S и сумму Sj их' обратных величин.
341.	Найти сумму
х 4- 2х2 4- Зх3 4- ... 4- пхп.
36
342.	Известно, что сумма бесконечно убывающей гео-
метрической прогрессии есть предел S„ при п -*• <х>, где
п — сумма первых членов прогрессии. Нужно ли это до-
казывать?
343.	Сумма членов бесконечно убывающей геометри-
ческой прогрессии равна 9, а сумма квадратов ее чле-
нов — 40,5. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
344.	Сумма членов бесконечно убывающей геометри-
ческой прогрессии равна 3, а сумма кубов ее членов рав-
108
на —рг. Написать три первых члена этой прогрессии.
1 о
345.	Сумма членов бесконечно убывающей геометри-
ческой прогрессии, стоящих на нечетных местах, равна 36,
а сумма ее членов, стоящих на четных местах, равна 12.
Найти эту прогрессию.
346.	Первый член бесконечно убывающей геометри-
ческой прогрессии равен 1. Каждый же из остальных чле-
нов в 2-|- раза меньше суммы двух смежных с ним. Най-
ти сумму этой прогрессии.
347.	Найти бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию, первый член которой равен 1 и каждый член
в три раза больше суммы всех следующих за ним чле-
нов.
348.	Сумма первых четырех членов бесконечно убыва-
ющей геометрической прогрессии равна 15. Сумма первого
и четвертого членов в 1,5 раза больше суммы второго
и третьего. Найти сумму прогрессии.
349.	Найти знаменатель бесконечно убывающей гео-
метрической прогрессии так, чтобы сумма ее первых шести чле-
нов составляла суммы всех ее членов.
350.	В арифметической прогрессии 11 членов. Первый
член равен 24. Первый, пятый и одиннадцатый члены со-
ставляют геометрическую прогрессию. Написать все члены
арифметической прогрессии.
351.	В арифметической прогрессии, состоящей из 9 чле-
нов, первый член равен 1, а сумма равна 369. Геометри-
ческая прогрессия тоже содержит 9 членов, причем пер-
вый и последний члены ее совпадают с соответствующими
членами данной арифметической прогрессии. Найти седь-
мой член геометрической прогрессии.
37
352.	Три числа составляют геометрическую прогрессию.
Если второй член увеличить на 8, то данная прогрессия
обратится в арифметическую, но если затем третий член
будет увеличен на 64, то она опять обратится в геомет-
рическую прогрессию. Найти эти числа.
353.	Между числом 3 и неизвестным числом вставлено
еще одно число так, что все три числа образуют арифме-
тическую прогрессию. Если средний член этой прогрессии
уменьшить на 6, то получится геометрическая прогрессия.
Найти неизвестное число.
354.	Три числа, сумма которых 114, можно рассматри-
вать как три последовательных члена геометрической про-
грессии или как первый, четвертый и двадцать пятый члены
арифметической прогрессии. Найти эти числа.
355.	Из точек А и В одновременно начали двигаться
два тела навстречу друг другу. Первое в первую минуту
прошло 1м, а в каждую последующую проходило на
0,5 м больше, чем в предыдущую. Второе тело проходило
каждую минуту по 6 м. Через сколько минут оба тела
встретились, если расстояние между Л и В равно
117 м?
356.	Возможны ли три таких числа alt а3, а3, чтобы
они были одновременно первыми, вторыми и третьими
членами арифметической и геометрической прогрессии?
357.	В многочлене ах4 4- fix’ 4- 4Х2 4- dx 4-1 коэффи-
циенты а, b и 4 образуют геометрическую прогрессию,
а 4, а и b — арифметическую. Многочлен делится на
1 4- х 4- Найти частное от деления первого многочле-
на на второй.
358.	Даны две прогрессии: арифметическая
Ol> Oj, ••• »	•••
и геометрическая
Ь2, ... , Ьп...
в которых at = Ьг и а3 = Ь2. Обе прогрессии возрастаю-
щие, и все члены этих прогрессий положительны. Дока-
зать, что все члены арифметической прогрессии, начиная
с а3, меньше соответствующих членов геометрической про-
грессии.
38
V ЛОГАРИФМЫ
а) Общие свойства логарифмов
359.	Почему а°&а х = х?
360.	Что больше, loga 2 или loga 3?
361.	Доказать, что logbalogab = 1.
362.	Доказать, что logft а =	•
363.	Когда верна формула loga2 = 2 log (—а)?
364.	Доказать, что
। 2a + 36 ____log а log b
Og 5	“	2	’
если 13ab = 4a2 4- 962.
365.	Доказать, что
log^ =~ (loga 4- log&),
если a2 4~	== 7ab.
366.	Доказать, что
log6+ca + \ogc-ba = 2\ogb+ca\ogc-ba,
если a2 + b2 = <?,
367.	Вычислить log8 9,8, зная, что log10 2 = а и
logio 7 = 6.
368.	Доказать, что	= 1 + loga 6.
jogjog/,«)
369.	Доказать, что a Iog* a = logft a.
370.	Доказать, что log4a = loggia".
371.	Что больше, log43 или logie9?
372.	Вычислить logj^-8, зная, что log123=a.
373.	Доказать, что
1о&*10г ... апх — j ~ j “	1
log х + log x + •" + log x
1 1
374.	Дано: t/= 10 1 — logl°x ; z = 10 1 “logloJ'.
1
Доказать: x = 10 1 “ logl°z.
39
375.	Доказать, что если а, b и с —три последова-
тельных члена геометрической прогрессии, неравные между
собой, то
lOgg X — logfr X _ lOggX
10gb X — logf X log, X ’
376.	Доказать, что если log4x; logmx; logBx образуют
арифметическую прогрессию, то
и2 — (kn)io^ т.
377.	Доказать, что если
n2 = (kn)'^m,
то logB х; logmx; logBx образуют арифметическую про-
грессию.
378.	Найти ошибку в следующем «доказательстве»:
так как
1 . 1	( 1 \3 ( 1 \2. .	/ 1 \3 .	( 1 V
8 < 4 > то\2/<^\2/’	\ 2 / < °gio \ 2 / ’
Slogjo-g- < 21og10-g—;	3 < 2.
б)	Логарифмические и показательные уравнения
Выяснить, являются ли равносильными уравнения
(379—384):
379.	log Р (х) = log Q (х) и Р (х) = Q (х).
380.	log Р (х) + log Q (х) = R (х) и log \Р (х) Q (х) ] = R (х).
381.	log Р (х) — logQ(x) = Р(х) и log -^§- = Р(х).
382.	п log Р (х) = Q (х) и log [Р (х) ]п — Q (х); п — четное
число.
383.	ах = ау и х = у, (а > 0).
384.	log8 (х2 — 1) = 1 и log8 (х — 1) + log8 (х + 1) = 1.
385.	Ученик решает уравнение log(x—I)2 = 2 log3
так! 2 log (х — 1) = 2 log 3; log (х — 1) = log 3; х — 1 = 3;
х = 4. Нетрудно проверить, что х = 4 удовлетворяет урав-
40
нению. Но кроме этого корня уравнение имеет еще и
корень х — — 2. Почему он был потерян?
Решить уравнения (386 — 408):
386.	(logx К5)2 — log, 5 /5"+ 1,25 = 0.
387.	3 /Ig7+21gJ/-^ = 2.*
388.	Vlog, 5 |/ б- + log/r 5 ]/ 5" = — | 6 logx /5.
389.	(|/x)logiX-1 = 5.
390.	x21g4-'-5,gx = ]/io.
391.	xlg2 x + lg x> + 3 =-j--------j-----•
/ xj- 1 — 1 — К x + 1 + 1
392.	/ 2 lg (— x) = 1g
393.	log2/xr= 1.
394.	logj (x + I)2 + log21 x 4- 11 = 6.
logjx — 2)2
395.	x =9.
log (x — 2)
396.	x	=9.
4-	iog/r (x‘ ~x}	,
397.x	1	= a,og</; (a > 0).
398.	]/"log^./5xlog5x = — 1.
399.	2 log, 3 log3jr . 3 = log9 /7 3.
400.	V loga Vax + log., V~ax +
+ l/lOga + 10^x 1^-T = Л
401.	loga x • logdc • (1 + log, a) = log,, x • log,x • logac.
402.	log3 x 4- log/r x 4- log^x = 6.
T
403.	log8 x 4- (log8 x)2 4- (log8 x)3 4-. . . = -j"-
404.	Ч(/Т+Т+1) = д
log Уx — 40
________1_ __1_
405.	4 x + 6 x - 9 x .
* Знаком 1g x обозначается десятичный логарифм числа х.
41
406. 4x + /x'-2 - 5 • 2х-1 + /л,_2 =6
407. (У2+	(]/2 —	4.
408. 27* + 12х = 2 • 8*.
Решить системы уравнений (409 — 424):
409.	1g И (х + у)2 = 1; Л» isN= |Ogll00-
410.	’ logex —loge« t/ = m; log^x — loga»t/ = n.
411.	(loga x + loga у — 2) log±a - — 1; 9 x + у — 5a = 0.
412. |	log/io	= 2 logi° + 2 ,Ogl0° ~ y2^ xy = a2.
413.	xy = 40; x’s = 4.
414.	f 52* • 3y = 675; [ log^_(x + y) = 6.
415.	[ у*г + 7x + 12 = 1; [ X + у = 6.
416.	[ 8* = 10(/; [ 2х = 5y.
417. |	| Xх + v = 1/12; I f/t + y = X3.
418.	„4/х + Г7_ Д. л.	у 9 у	— л •
419. 1	(	— yn. 10g l 10ёр у \^рУ *
420. |	[ xy = yx\ I ax = b*-, (a#= 1, &¥= 1).
42
421.	’	= ух; хт = уп. [(14-у)* «100;
422.	^-2^4- !)*-> =
423.	Лг?; 5z = 9 (У~х 4- ]/~у), z = V~x, 4- KV, 8
424.	X2 = «/3J 2
VI. СОЕДИНЕНИЯ и БИНОМ НЬЮТОНА
425.	Найти тип, если
С+2!С'2ф^С”ф1 = О,6:1:1.
426.	Доказать, что
Ст 4-1 ,	— 1 I п г*т	4-1
п тЦ -f-ZGn —С n-j-2«
427.	Собрание, на котором присутствует 30 человек,
в том числе две женщины, выбирает четырех человек для
работы на избирательном участке. Сколько может встре-
титься случаев, когда в число избранных войдут обе
женщины?
428.	Нужно распределить преподавание в шести клас-
сах между тремя преподавателями. Сколькими способа-
ми можно произвести это распределение, если каждый
должен получить два класса?
429.	В вещевой лотерее разыгрывается 5 предметов.
Первый подошедший к урне вынимает из нее 5 билетов.
Каким числом способов он может их вынуть, чтобы 3 из
них оказались выигрышными? Всего в урне 100 билетов.
430.	Экскурсанты разделились на две равные группы
для розыска заблудившегося товарища. Среди них есть
только 4 человека, знакомых с местностью. Каким числом
43
способов они могут разделиться так, чтобы в каждую
группу вошло 2 человека, знакомых с местностью, если
всего их 16 человек?
431.	Комсомольцы строительной организации выдели-
ли в помощь подшефному детскому дому бригаду в 5 че-
ловек. В составе комсомольской организации 25 чело-
век, в том числе 5 маляров, 4 плотника и 2 штукатура.
Каким числом способов можно укомплектовать бригаду,
чтобы в нее вошли рабочие всех этих специальностей по
одному?
432.	Для культпохода куплено 2 и билетов в театр на
места, находящиеся в одном ряду партера (в ряде 2п
мест). Сколькими способами можно распределить эти
билеты между лицами данной компании, состоящей из п
мужчин и п женщин, чтобы не сидели рядом двое муж-
чин или две женщины?
433.	Девять из десяти карт, среди которых есть
червонный, раздаются трем лицам так, что первый полу-
чает 3, второй 4, а третий 2. Сколько существует спосо-
бов раздачи, при которых червонный, туз попадает к
третьему лицу?
434.	Сколько различных натуральных чисел можно со-
ставить из цифр 0, 1,2, 3, 4, если в каждое число входит
каждая из данных цифр не более одного раза?
435.	Сколько различных двузначных чисел можно
составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры 0, 1, 2, входят
в каждое число не более одного раза, а цифра 3 —
не более двух раз?
436.	Сколько различных пятизначных чисел, больших
20 000, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если цифры
2, 3, 4 входят в каждое число по одному разу, а циф-
ра 1 —два раза?
437.	Сколько различных пятизначных чисел без повто-
рения цифр можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так,
чтобы четные цифры не стояли рядом?
438.	Найти коэффициент при х4 в выражении
X (1 _ Х)4 + Х2 (1 + 2х)8 + X3 (1 + Зх)12,
не выписывая лишних членов.
439.	Доказать, что И10—1 делится на 100.
440.	Доказать, что коэффициент при х5 в разложе-
нии по степеням х выражения
44
[ (5— 2) х2 4- пх — s] (х 4- j)'»
равен nCs~2.
441.	Доказать, что
I2 + & + (С2)2 4- ... 4- (С")2 = Сп2п.
442.	В разложении^ j/x ±—j биноминальный коэф-
фициент третьего члена на 44 больше коэффициента
второго. Найти свободный член.
443.	В разложении	сумма коэффици-
ентов на 240 меньше суммы коэффициентов разложения
(а + Ь)2п. Найти третий член первого разложения.
444.	Сколько рациональных членов содержится в раз-
ложении
(|/2 4- КЗ)100?
445. Найти
все рациональные члены разложения
не выписывая члены иррациональные.
446. Найти все те значения л, при которых какие-либо
три последовательных коэффициента разложения бинома
(х 4- а)п являются тремя последовательными членами
арифметической прогрессии.
447.	Найти показатель п бинома (х 4- 2)п, зная,
что десятый член разложения этого бинома имеет наи-
больший коэффициент.
448.	Доказать, что наибольший коэффициент разло-
жения (а + Ь)2п есть число четное.
449^ Найти наибольший член разложения (1+]/2)50-
450.	Определить номер наибольшего члена разложе-
ния (р Я)п по убывающим степеням буквы р, предпола-
гая, что р>0; q > 0; р 4- q = t. При каких условиях:
а) наибольший член будет первый? б) наибольший член
будет последний? в) разложение будет содержать два
одинаковых последовательных члена, превышающих все
остальные члены разложения?
451.	В разложении ^х4-1+-~) найти свободный
член, не выписывая членов, зависящих от х.
452.	В разложении (1 4-х— х2)25 найти тот член, у
которого показатель степени х в три раза больше суммы
всех коэффициентов разложения.
45
453.	Найти коэффициент при х3 в выражении
(1 + х)3 + (1 4-х)4 + (I + х)5 + ... 4-0+х)15.
454.	Доказать:
(1 4- х)" 4- (1 4- х)"-1 х 4- (1 4- х)п“2 х2 4- ... + (1 4- х) х"'14-
4- хп = (п 4-1) х" 4- хП-1 +	+
4-	... 4-1,
п — натуральное число.
455.	Разложить по убывающим степеням х — 2 мно-
гочлен
х4 — 1 lx3 4- 43х2 — 72х 4- 45.
VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ
Доказать тождества (456—484):
456.	sin 4а 4- cos Ча ctg 2a = —~^ga д- .
457.	tg 3a = tg a tg (60° 4- a) tg (60° — a).
458.	te(35- + «)tg(25--.)-.^”ff + g-;..
COS a-f-sin a , п I n
459.		—— = tg 2a 4- sec 2a.
COS a — Sin a °	1
460.	sinx 4- tgxtg = tgx.
461.	tg3a—tg2a — tga = tgatg2atg3a.
462.	ctga — tga — 2tg2a — 4tg4a = 8ctg8a.
463.	tgatgp 4* tg Ptgу 4-tgу tga = 1, a4-P4-Y = -y-.
464.	sin 2n a 4- sin 2n p 4- sin 2ny =
= (— 1)" + ' 4 • sinna sinnp sinny,
если a 4- P 4* Y = K> n — целое число.
465.	tgna 4- tg«P 4- tg/iY = tgna tgnp tg«Y, если
a 4- P 4- 7 =	n — Целое число.
466.	.sM + sinxcos jx + y) = tg (x + y},
cos у — sin X sin (X + y)	& 4 1
467.	cos2 a + cos2 p — 2 cos a cos p cos (a + P) = sin2 (a -f- ?)•
468.	cos2 (a + P) + cos2 (a — p) —- cos 2a cos 2p = L
469.	4 sin a sin (60° — a) sin (60° + a) ~ sin 3a.
46
470.	16 sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° sin 90° = 1.
471.	sin 10° sin 20° sin 30° sin 40° cos 10° cos 20° X
X cos 30° cos 40° = -jig-*
472.	cos-?- cos —=
о	о 4
473.	cos у- cos -у- cos —у-= 0,125.
474. cos 55° cos 65° cos 175° =
1+/3
8/2 ’
475	* t У $ — 4
' sin 10° cos 10° ~ •
2?C	1
476.	cos -=---cos -E- = -5-.
0	0 z
477.	cos -y 4- cos у 4- cos у = —• y.
478.	sin47° +sin61 ° — sinll° — sin25° = cos7°.
479.	cos 24° 4- cos 48° — cos 84° — cos 12° —
480.	sin 10° 4* sin 20° 4- sin 30° 4- sin 40° 4- sin 50° =»
= sin 25° sin 30° cosec 5°.
481.	tg 2a tg (30° — a) 4- tg 2a tg (60° — a)4-
4-tg (60° — a) tg (30° — a) = 1.
1 , n n sin 10,5*
482.	1 4-2 cos 7x = yrjygy.
. 3
Sin у a
483.	4 cos (30%-4" sin (60°-=---j---
'	2 '	'	'sin у a
484.	sin2 a 4- sin2 p 4- sin2 7 = 2 cos a cos p cos 7 4- 2, если
Привести к виду, удобному для логарифмирования
(485-^ 492):
485.	tg 30° 4- tg 40° 4- tg 50° 4- tg 60°.
486.	sin2 (a 4- P) — sin2 a — sin2 p.
487.	3 — 4 cos 2a 4- cos 4a.
488.	cos 1 la 4- 3 cos 9a 4- 3 cos 7a 4- cos 5a.
489.	sin 5a sin 4a 4-sin 4a sin 3a —sin 2a sin a.
490.	2 cos 10° cos 20° = 2 cos 30° 4- sin 40°.
47
491.	cos (a-f p) cos у + cos a 4* cos 3cos у —
•— sin (a 4- P) sin y.
492.	sin 70° 4-8 cos 20° cos 40° cos 80е.
Выяснить, при каких а справедливы равенства (493 —
502):
493.	|/-tg2 a sin2 a = tg a sin a.
494.	У 1 4- sin2a = sin« 4- cosa.
ЛЛГ 1 f 1 — cos a .
495.	I/ -r----= ctg a — cosec a.
F 1 + COS a b
ллл 1 / tg a — sin a	.
496.	I/ -r—i—:— = cosec a — ctg a.
F tg a 4" Sin a	ъ
497.	У sec2 a + cosec2 a = — tg a — ctg at.
498.	tg2 a + ctg2 a 4- 2 = sec a cosec a.
499.	]Л+^+ l/l^ei- = -2seca.
F 1 — Sin a ‘ F 1 + Sin a
500.	У 1 — cos a 4- У 1 4- cos a = 2 sin ---•
501.	У 1 + sin a 4- У 1 —sina = — 2 sin
502.	cosec a 1/, j_ — 4-,—-------У 2 =.
F 1 4- COS a ’1 — COS a r
= -K2(ctg2a4-2).
503.	Доказать, что если tg a =	sin p = yL_ , to
a 4- 2p = 45° (аир — острые углы).
504.	Выяснить, при каких х справедливы равенства:
а) sin х = У1 — cos2 х\ б) tg2 х 4- 1 = sec2 х;
в) ctg -4- = . 51ПХ—; г) sin (к — х) = sin х.
505.	При каких х верна формула
х 1/^1+ cos X -
005-^= У --------j---?
506.	Что больше, sin а или tg а? (о < a <
507.	Какая из тригонометрических функций (прямых)
может принять значение —^Л--? (а > О, b > 0).
48-
508.	Что больше, sin! или sin Г?
509.	Найти наименьшее значение выражения (tga-|-
4-ctga)2.
510.	Что больше, sin (a -f- р) или sin a -f- sin p?
(«<»<!. 0<f<l)-
511.	Что больше, tg 2т или 2tga? ^0 < a
512.	Синусом числа x называется число, равное си-
нусу угла в х радианов. Это определение синуса чис-
ла х. Можно ли было условиться называть синусом
числа х число, равное синусу угла в х градусов?
513.	Правильно ли называть радианное измерение от-
влеченным?
514.	В каких интервалах изменения х функция tgx
возрастает?
515.	Для тангенса половинного угла существуют сле-
дующие формулы:
1 a . 1/1 — cos at . a	sin a
£ 2	~~ r 1 -J- cos at И g 2	1 H- COS a
Вторую можно получить из первой, если умножить чис-
литель и знаменатель подкоренного выражения на
1 -|- cos а, заменить 1—cos2 а на sin2 а и извлечь корень
из дроби. В результате получаем
4^ a — I	sin a
tg Т “ ± 1’ + cos at •
Почему же можно не писать знаки + и — в правой
части?
516.	Найти sin 18°, пользуясь равенством sin 36°= cos 54°.
517.	Найти сумму
sin a 4- sin 2a 4- sin 3a 4- ... 4- sin n a.
518.	Найти сумму
cos a 4- cos 2a 4- cos 3a 4- ... 4~ cos n a.
519.	Доказать, что если
AY — A cos2 a 4- В sin a cos a 4- C sin2 a;
Bi = 2Csina cosa 4- B(cos2a— sin2a) — 2 A sina cosa;
Ci = A sin2 a — В sin a cos a 4- C cos2 a,
TO
Bl — 4Л1С1 = В2 — 4 AC.
4 К. У. Шахно
49
520.	Доказать, что если
5 sin р = sin (2 а + Р),
то
tg(« + P) _ 3
tga 2 ’
521. Дано, что 'равенство
fl1cos(?1 +<p)4-o2cos(a2 + <p)+ ... +a„cos(a„4-<p) = 0
имеет место при <р == 0 и при некотором <р = ?0 4= kit
(k = 0, + 1, ±2, ...). Доказать, что при этих условиях
написанное равенство справедливо при всяком ?.
522.	Доказать, что если
cos х — cos я _sin* a cos fl
cos x — cos fl sin* fl cos a ’
TO
te’T - tg‘4-  tg- i.
523.	Доказать, что если
cos a = cos p cos? = cosy cos0; sin a = 2 sin sin
TO
tg2-J- = tg2-|-tg2( a + ^4*; *=0, ± 1, ±2, ..j.
524.	Доказать, что если
cos (0 — a) = а и sin (0 — P) = b,
TO
a2 — 2 ab sin (a p) + & = cos2 (a — P).
525.	Доказать, что если
cos x — cos (x +	— cos (* + 2 ?) cos (x + 3 <p)
a	b	c	d ’
TO
a-j- c  b -j- d
b	c
526.	Вычислить cos (a + P) и sin (a + P), если
sina 4- sin p = p и cos a -f- cos p = q.
‘527. Доказать, что если углы а, р и у треугольника
связаны зависимостью
cos a 4- cos Р — cos (a + Р) =
то треугольник правильный.
50
528.	Доказать, что если стороны треугольника а, Ь, с
.	, А . В
составляют арифметическую прогрессию, то ctg -5-, ctg -5-
z z
(J
и ctg-g-, где А, В и С —углы треугольника, противоле-
жащие сторонам а, b и с, также составляют арифметичес-
кую прогрессию.
529.	Найти зависимость между углами А, В и С, если
известно, что
tg Л + tg В + tgC = tg>ltgBtgC.
Найти затем при этом условии наименьшие положитель-
ные значения углов, если, кроме того, дано, что угол А
равен полусумме углов В и С, а угол С равен сумме уг-
лов Л и В.
530.	Дано: А 4- В + С = к, = -Л^- = -Д—.
1	sin A sin В sin С
Доказать: а2 = 624-с2— 2 be cos А.
531.	Исключить 0 из уравнений:
cos (а — 30) = т cos3 0;
sin (а — 30) = т sin3 0.
532.	Исключить 0 и <р из уравнений
a sin2 ©4-6 cos2 0 = 1; а cos2 v -j- b sin2 <р = 1; a tg 0 = b tg
a #= b.
533.	Упростить выражение
ctg2x tg4 x 6	4 f 1 tg2x \
sin2 x cos2x	cos2x ’’ sin2 x cos2x )’
534.	Доказать, что если a, p и у—-острые углы и
cos a + cos р 4- cos 7 = 1 4- 4 sin sin sin то
« 4- Р 4- 7 = гс-
535.	Доказать: для рациональности sinx и cosx необ-
ходимо и достаточно, чтобы был рационален tg-^-.
536.	Доказать, что если 0<а<-£-; 0<р<-^-;
0 < у < -j-, то равенство
cos2 a 4- cos2 р 4- cos2 7 4- 2 cos a cos p cos у = 1
имеет место тогда и только тогда, когда a 4- р 4- у = it.
4’
51
537.	Пользуясь тригонометрическими функциями, дока-
зать, что из равенств
а2 -|- 62 = 1 и а2 + р = 1
следует неравенство
|аа4-&Р|< 1.
538.	Главные значения Arctgx берутся из интервала от
—До Можно ли было бы взять для них интервал
от 0 до к?
539.	Доказать равенства:
a)	arc sin х 4- arc cos х —
б)	arc tg х 4- arc etg х =
540.	Доказать равенства:
a)	arc cos (— х) = к — аге cos х;
б)	arc etg (— х) — w — arc etg х.
541.	Доказать равенства:
a) sin (аге cos х) — cos (arc sin х) = У 1 — х2;
x
У1 4- x3
1
утт^
X
У1 —x3
yi —X3
X
б)
в)
Г)
Д)
sin (arc tg х) = cos (аге etg х) =
sin (аге etg х) = cos (arc tg х) =
tg (arc sin х) = etg (arc cos х) =
tg (arc cos х) = etg (arc sin x) =
e) tg (arc etg x) = etg (arc tg x) =
542.	Доказать равенства (x > 0):
a)	arc sin x = arc cos У 1 — x2 = arc tg x g
,	— X2
= arc etg ;
______ 1/j ^2
6)	arc cos x = arc sin у 1 — x2 = arc tg -—--
. X
= arc etg —==;
6 /1 — x2
52
в)	arc tg x = arc sin -—===- = arc cos  ,_=>
/1 + x»	/1 + X»
= arc ctg --b
r) arc ctg x = arc sin —. _ = arc cos
'	6	/1 + X»	Fl + xa
= arctg—.
543.	Чему равен arc cos ^cos
544.	Чему равен arc sin (sin х)?
545.	Чему равен arctg(tgx)?
546.	Доказать равенство
. /1	. ' УТ+х — УТ^х
sin I у arc sin xl = -———2^----•
547.	Доказать, что
sin * 4- cos x	3
arc $in----— --= —- тс — x,
/2	4
к ,	^,5
если т < x < т w.
548.	Доказать, что
2х
2arctgx + arcsinp-= л,
если х> 1.
549.	Доказать, что
. / 3	.
sinl-g- arc sin х
х (1 + 2 Fl —
K2 (i + Fr^j
550. Доказать, что
cos Nrагс s*n х
И
V 2(1 —
551.	Доказать, что cos (7 arc cos х) есть многочлен 7-й
степени относительно х*.
Доказать равенства (552—554):
1
♦ Выражение вида ~ cos (п arc cos х), где п — натуральное чи-
сло, является многочленом относительно х и называется многочленом
или полиномом П. Л. Чебышева.
53
552.	cos (arc tgx 4- arc tg y) = —.* •  •xy-—
При каких x и у оно имеет смысл?
553.	tg (2 arc sin х) =	.
При каких х оно имеет смысл?
554.	sin (2 arc tg х) =	» •
При каких х оно имеет смысл?
555.	Вычислить выражение
sin (2 arc tg-i-)+ cos (arc tg 2 ]/~3) •
\	о /
556.	Вычислить выражение
sin ( 2 arc tg 4~) + tg f-|- arc sin 4-).
557.	Проверить равенство
1	1	V~2"-l- 1
arc cos -= + arc tg = arc tg -L^-r
У £.	У £>	У £> •«"“ 1
558.	Вычислить сумму
arc tg 2 + arc tg 3.
559.	Доказать, что сумма
arc sin х 4- 3 arc cos x 4- arc sin (2x	1 — x2)
не зависит от x, если xl <
560.	Доказать:
arc sin x 4- arc sin у = tj arc sin (хУ 1 — у2 4- У — x2) 4-
где
т)=1, е — 0, если ху < 0 или х24-у2<1;
т] = — 1, е —	1, если х2 4- у2 > 1 и х < 0, у < 0;
т) = _ 1, е=1, если х2 4- у2 > 1 и х > 0, у > 0.
561.	Доказать, что
4 .	5	.16 к
arc sin -g- 4- arc sin -jg- 4- arc sin -gg- =
54
562.	Доказать, что
arc cos х + arc cos (-£- 4- У 3 — Зх2) =
\ Z Z	JO
если -у < x < 1.
563.	Доказать:
arc tg x + arc tg у = arc tg + ете,
1 лу
где
г = 0, если ху < 1;
8 — — 1, если ху > 1 и х < 0;
е=1,	если ху > 1 и х > 0.
Доказать равенства (564—569):
564.	arc sin 4- 2 arc tg у = -у.
565.	arc tg -y + arc tg -= + arc tgy + arc tg -j- =
566.	4 arc tg у —arc tg 259 = -T’
20
567.	2 arc tg 10 + arc sin jy = те.
It	1
568.	arc tg x = -g-arc tg —, если x > 0.
569.	arctgx=--------aretg-y, если x<0.
VIII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Решить уравнения (570—628):
570.	sin х sin 2xsin3x = ysin4x.
571.	3(1—sinx) = 1 4- cos2x.
572.	tg -y x etg у x = 1 — sec у x cosec у x.
•573. sin (x 4- 25°) sin (x — 20°) = sin (70° 4- x) sin (65°—x).
574.	tg (x + 30°) tg (x — 60°) = 1.
575.	sin 2x 4- cos 2x 4- sin x 4~ cos x 4- 1 = 0.
576.	sin x 4- sin 2x 4- sin 3x = 1 4- cos x 4- cos 2x.
577.	sin 3x = cos x — sin x.
55
578.	cos lx + sin2 2x = cos2 2x — cos x.
579.	sin’xcosx— cos3xsinx = -4-.
4
580.	cos 5x + cos 3x 4- sin 5x 4- sin 3x = 2 cos I -?• — 4x
\ 4	i
581.	sin x sin 2x 4- sin 3x 4- sin 4x = 0.
582.	sinxsin3x =
з
583.	cos3x sin 3x 4- sin3x cos Зх = -r-.
4
584.	sin 2x sin x 4- cos2x = sin 5x sin 4x 4- cos2 4x.
585.	cos2x -J- cos2 2x 4- cos2 3x 4- cos2 4x = 2.
586.	sin2x 4- sin2 2x = sin2 3x 4- sin2 4x.
587.	sin2x 4- sin2 2x = sin2 3x.
588.	2 sin2x 4- sin2 2x = 2»
589.	sin4 4^ 4- cos4 -4- = 4-.
590.	cos4x 4* sin4x — 2sin 2x 4- sin2 2x = 0.
591.	2sin 2x = 3(sinx 4-cosx).
592.	sinx 4- cosx 4- sinxcosx — 1.
593.	sin10x 4- cos10x = cos4 2x.
1	10
594.	cos2x cos 2% -f- cos 4x + cos 3x cos x -f- 2 cos4x =
— 1
X
2 sin ~2~
595.	tg 5x = tg x tg (60° — x) ctg (30° — x).
596.	cosxsinx = -r=IH2F.
597.	tg x 4- tg 2x — tg 3x = 0.
598.	(1 — tgx) (1 4- sin 2x) = 1 4- tgx.
599.	tg x 4- tg 2x-4- tg 3x 4- tg 4x = 0.
600.	tg x 4- ctg x = sin x ( tg x tg ~ 4- 1).
601.	sec x 4- cosec J/ x = 2 У 2.
602.	tg (x2 — x) ctg 6 = 1.
603.	| sin x21 = 1.
604.	sin|x| = 1.
56
605.	cos %2 — 1.
бое. tg2x = 1,~cos!x!.
°	1— Sin I X I
607.	sin 2x sin 6x = 1.
608.	(sec x 4- cosec x) ]/~2 = sec2 x 4- cosec2 x.
609.	sin 3x 4- sin 2x = m sin x.
. I 5	\	1
610.	Sin I-j-7Г cos к x I = —.
611.	sin (к cos x) = cos (л sin x).
612.	tg (к tg x) = ctg (к ctg x).
613.	sin2
614.	logcos X Sin X + logsin x cos X = 2.
615.	x2 + 2xsin(xy) -4-1=0.
616.	2 arc cos x = 6,3.
617.	arc tg -y- arc sin x =
618.	arc sin x 4- arc sin 2x =
619.	2 arc sin x = arc cos 2x.
620.	2 arc cos x = arc sin (2x	1 — x2).
621.	arc sin x = 2 arc sin x j/~2.
1Л"3
622.	arc cos x — arc sin x = arc cos —.
623.	arc cos x = arc tg x.
624.	arc tg (x — 1)4- arc tg x 4- arc tg (x 4- 1) = arc tg 3x.
625.	arc sin—4- arc sin V1 —x = arc sin-|-.
3/X	з
626.	arc cos 4- arc tg = — «•
1 -p X	1 л	о
627.	arctgx = arctg -r-----arctg a~'t-.
628.	arc sin x = arc sin a 4- arc sin b.
Решить системы уравнений (629—631):
( .	з
629.	SinxS,ny = ^:
( tgx tgy = 3.
57
630.
631.
sin2 x 4- sin2 у — -|т;
x + у = 75°.
sin х = У 2 sin у;
tg х = /3tgf/.
IX. НЕРАВЕНСТВА
Решить неравенства (632 — 642):
632 тх+ п  Рх + д	тх — п рх — д
а-у b	a — b	а — b **" а 4- Ь ’
634 х * >> з________L
х —2 > х —2	2 е
ваз. 4 < 4.
636.	х3 + 5х2 + Зх — 9 > 0.
637.	2х3>х+ 1.
638.	;*~д) >о.
(х —2) (х —4)
639.	х4 — 6х3+ Их2 — 6х<0.
ЙДП (X+D (х + 2) (* + 3) п
640-	(2х—1) (х+4)(3-х} > °*
641. (x’7,‘.)1\t41,r5) >°-
х2 (х2 — 9) (х4 + 1)
642.	х4 + х3 — 7х2 + ах + b > 0, если х = 1 и х =* —3
являются корнями многочлена, стоящего в левой части ра-
венства.
643.	Каково должно быть k для того, чтобы оба корня
уравнения
(^_ 1)х2 —2^х + ^ + 3 = 0
были положительны?
644.	Каково должно быть k для того, чтобы при любом
х значение трехчлена
(26—1)х2 + (7£ + 2)х — 3k
было больше значения трехчлена
(k + 3) х24-5(£+ 1)х —4(6+ 1)
при том же значении х?
58
645.	Каким должно быть X, чтобы при k > 0 и при
всяком х выполнялось неравенство
2Лх2 + 2Х X + X- . ?
4х» + 6х + 3
646.	Доказать, что если а, b и с — стороны треуголь-
ника, то при всяком х
Ь2х2 + (Ь2 + с2 — а2) х + с2 > 0.
647.	Доказать неравенство Буняковского
“I* йз^з)2 (fli + fl2 + аз) ( bi -J- bi + 63)•
648.	Определить а так, чтобы все корни уравнения
х2	х2 ____
х2-р2 + х2-?2 ~а
были вещественные. При этом р + 0; q ф 0; а + 0.
Решить неравенства (649—653):
649.	1.
650.	/З^Гё>х —2.
651.	/Зх —5> /х^4.
652.	/Г+6>/х+7 + /2х —5.
653.	4 (х — 1) < / (х + 5) (Зх + 4).
Решить системы (654—659):
f Зх — 1 > х + Зу;
655.	( х (1 — Зх) > 4х — Зх2 — 2у. ( Зх + 2у > 7; ( 4у + 2х > 3.
656. '	( Зх + 2у > 4; 1 х —6t/>—5.
657. j	| 5х + Зу > 121; 1 7х + 4у = 168.
658. ]	( У> х2; 1 х > у2.
659.	Зх + 2у = 6; х2 + у2 > 4; ху< 1.
59
660.	Доказать, что если |а| < Ь, то — b<a<b.
661.	Доказать, что если —6<а<6, то |а| <Ь.
662.	Доказать, что | а 4- b | < | а | -|- | b |.
663.	Доказать, что |а — 6|>|а| —16|.
664.	Каково должно быть k для того, чтобы неравен-
ство
I х* — kx 4- 1 I „
I ха 4- х + 1 I 15
было справедливо при любом значении х?
665.	Доказать, что при а > 0 и b > О
а 4- b а Ь
14-а4-&^ 1 4- а + 1 4- Ь '
666.	Доказать, что если а > b > 0 и m > п, то
а™—Ьт .. ап— Ьп
ат +	> ап + Ьп ’
667.	Доказать, что арифметическая дробь, с увеличе-
нием числителя и знаменателя на одно и то же положи-
тельное число, увеличивается, если она правильная, и
уменьшается, если она неправильная.
668.	Доказать, что дробь
fli 4~	- Н~ ап
Ь\ 4- + — + Ъп
заключена между наименьшей и наибольшей из дробей
%-,	... (bft>0, k= 1,2,..., п).
bi b2 Ьп к
Доказать неравенства (669 — 671):
1 1
/ ,\ 2	/ 9\ 2
в?о. (4) +(4 >V^+V~y. **у.
\ У /	\ х /
671.	а) fl|+-- >V~W
б)
(ах >0, а2 > 0, а3 >0, ал > 0).
60
672.	Разложить данное положительное число а на
два положительных слагаемых так, чтобы их произведе-
ние оказалось наибольшим.
673.	Желают устроить прямоугольную площадку так,
чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной
сеткой, а четвертой стороной примыкала бы к длинной
стене. Если имеется 100 м сетки, то какими должны быть
стороны площадки с наибольшей площадью?
674.	Из круговых секторов данного периметра найти
сектор наибольшей площади.
675.	Окно имеет форму прямоугольника, завершен-
ного полукругом. Дан периметр фигуры. Каковы должны
быть ее размеры, чтобы окно пропускало наибольшее
количество света?
676.	Около шара радиуса R описать конус наимень-
шего объема.
677.	Данное положительное число а разложить, на
два положительных сомножителя так, чтобы их сумма
оказалась наименьшей.
678.	На странице книги печатный текст должен зани-
мать (вместе с промежутками между строк) 216 см2.
Верхнее и нижнее поля должны быть шириною по Зсм,
а правое и левое по 2 см. Если принимать во внимание
только экономию бумаги, то каковы должны быть наи-
более выгодные размеры страницы?
fi79. Доказать, что
а4 4- Ь4 4- с4 > abc (а 4- Ъ 4- с),
(а>0, Ь>0, с>0).
680.	Доказать, что если аъ а2,..., ап неотрицательны, то
]/аАа2 4- Vа1аз + ••• 4" Vап—\ ап ~~2—	+ ••• 4- ап)-
681.	Доказать, что если ах, а2,..., ап — положительны и
аха2... ап = 1, то
(1 +«4(1 4-п2)..Д1 +ап)>2\
682.	Доказать, что если ах >0, а2 > 0, а3 > 0, то
+ о2 + 03 >
3	V ^2а3-
61
681 Доказать, что
gi 4~ д2 ~Н ••• 4~ ап
п
>Уа1а2...ап;
(at > О, а2 > 0,.... ап > 0).
684.	Данное положительное число а разложить на п
положительных слагаемых так, чтобы их произведение
оказалось наибольшим.
685.	В данный шар вписать цилиндр наибольшего
объема.
Доказать неравенства (686 — 691):
686.	2" > 1 + п V 2л-‘; (п > 1).
687.	и! <	(п > 1).
688.	1+'тг + -^- + ••• + ^ < 3-
689.	1 • 1! 4- 2 • 2! + ... + п • п\ < (и + 1)1
690.	’
2 • 4 ... 2/1
691.	^1-2-3 ...п > У~п.
692.	Наборщик рассыпал некоторое число, представ-
ляющее шестую степень натурального числа. Его цифры:
0, 2; 3, 4, 4, 7, 8, 8, 9. Какое это число?
693.	Газ в количестве а м3 последовательно пропус-
кают через п фильтров, каждый из которых поглощает
р% общего объема примесей, содержащихся в газе, по-
ступающем в рассматриваемый фильтр. Затем газ посту-
пает в резервуар, где находится b м3 газа, содержащего
q°/Q (по объему) примесей. Какой процент примесей (по
объему) допустим для газа до его очистки, если число
процентов примесей в газовой смеси в резервуаре не
должно превышать г?
694.	Вклад в А руб. положен в сберегательную кассу
по р % годовых. В конце каждого года вкладчик берет В
руб. Через сколько лет* после взятия соответствующей
суммы остаток будет не меньше утроенного первоначаль-
ного вклада? При каких условиях задача имеет решение?
695.	Непромытый золотой песок содержит k % чисто-
го золота. После каждой промывки песка отходит р%
62
содержащихся в нем примесей и теряется q имеющего-
ся в песке золота. Сколько следует сделать промывок,
чтобы число процентов содержания чистого золота в зо-
лотом песке было не меньше чем г?
696.	В резервуар, содержащий А л воды, вливают
а л р%-ного (по объему) раствора спирта, а затем,
после перемешивания, через другую трубу выливают а л
образующейся смеси. Сколько раз нужно повторить эту
операцию, чтобы в резервуаре получился раствор спир-
та* крепостью не менее <?%?
697.	Найти наименьшее и наибольшее значение выра-
жения
a cos х 4- b sin х.
698.	Найти наибольшее и наименьшее значение выра-
жения
asin2x 4- b sin х cos х 4- с cos2 х,
с фа.
699.	Доказать, что если А, В я С — углы остроуголь-
ного треугольника, то
sin2 А 4- sin2 В 4- sin2 С > 2.
700.	При каких х справедливо неравенство
sin 2х — cos 2х 4- 1 < nj
sin 2х 4- cos 2х 1
701.	Решить неравенство sin(cosx)<0.
702.	Решить неравенство 1g sin х < 0.
703.	Найти те значения х, при которых cos (sin х) поло-
жителен.
704.	Найти те значения х, при которых
arc cos arc sin x'j имеет смысл.
705.	Решить неравенство arcsinlgx>0.
706.	Решить неравенство sin -р- > 0.
707.	Доказать, что если 0 < а <	0< £< •— ;
0<7<-^-иа4-₽4-т = л,
то
tg2-|- + tga4- + tg2-X->l.
При каком условии будет знак равенства?
63
708.	Дано: 0<а<^-, 0<р<4» Р<Т<4"-
Доказать, что сумма а 4- Р 4- т будет острым углом тогда
и только тогда, когда выполняется неравенство
tgatg? + tg?tgT + tg у tga < 1.
709.	Доказать, что если 0 < <р < те, то
1 +ctg<? <ctg-|-
710.	Доказать, что если а, 0 и у — углы треугольника
и угол у — тупой, то
tga tgР < 1.
711.	Доказать, что если а, р и у —углы треугольника,
то
з
cos2 а 4- cos2 3 4- cos2 у >
712.	Доказать, что если а, 3 и у — углы треугольника,
то
• я •	3	• Tf 1
sin Sin -у Sin -±- <
713.	Доказать, что если 0<х<4> т0
sinx < х < tgx.
714.	Доказать, что если 0 < а < р < то:
а)	л — sin а < р — sin р;
б)	а — tg а > р — tg р.
715.	Доказать, что если 0 < а < р < 4’ т0
sin « ~ sin 3
а > Р
716.	Доказать, что если 0<х<4, то
.	2
Sin X >---- X.
тс
717.	Доказать, что если 0 < а < р < -у, то
tea	tg 3
а Р ’
64
X. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
718.	Можно ли сказать, что число 2 + 5i больше чис-
ла 1 -J- 4t?
719.	Является ли число —5i отрицательным?
720.	Найти целое число п, если
(1 + О" = (1 - О".
721.	При каких вещественных х и у справедливо ра-
венство
*+! + (*/ — 3)Z _ ! ,
5 + 3/	-!+*•
722.	Найти вещественные х и у из соотношения
(* +-----------у — х — — y + 5i(x±tf)— 1.
723.	Найти вещественные решения системы уравнений
I x — i = yi\
I х — ? = 2а — у
и значение комплексного параметра а,
724. Решить уравнение | z I —z = 1 +21.
725. Решить уравнение | z | + z = 2 + i.
726. Доказать тождество
I 21 + 22 |2 + | 21-22 I2 = 2 (I zr |2 + I Z2 I2),
где zx и z2— комплексные числа.
Представить комплексное число в тригонометрической
форме (727—729):
727.	1 — cos л + i sin а, где 0 < а < тг.
7Г	3
728.	1 + sin а -f- i cos а, где -у < а — тг.
3
729.	1 + i tg а, где я < а < -у к.
Выяснить, где расположены точки, соответствующие
комплексным числам z = x-\-iy, для которых (730 —
732):
730.	а) |г| = 2; б) 1 < |г| < 2; в) Я(г2)* = 0; r) 7m (г) >
* Обозначения R(z)t lm(z) и arg г означают соответственно дей-
ствительную часть, мнимую часть и аргумент комплексного числа.
5 К. У. Шахно
65
731.	a) argz = -£; 6)-£-< argz<
732.	a) x < 0; б) у > 0.
733.	Точка z описывает в плоскости окружность ра-
диуса единица в направлении движения часовой стрел-
ки. Какой путь опишет при этом точка z? (z и z — со-
пряженные числа).
734.	Доказать, что модуль произведения двух комп-
лексных чисел равен произведению модулей этих чисел,
а аргумент — сумме их аргументов.
735.	Доказать, что модуль частного двух комплекс-
ных чисел равен частному модулей делимого и делите-
ля, а аргумент разности их аргументов.
736.	Доказать формулу Муавра (п > 0)!
(cos <р + i sin <р)" ~ cos п <р + i sin п <р.
737.	Доказать формулу Муавра (п < 0):
(cos ? + i sin <p)n = cos n <? 4~ i sin n <?.
738.	Найти модуль комплексного числа
х2 — у2 4- 2xyi
xyV2 + iy '
Вычислить выражения, положив ш = cos + i sin —
(739—741):
739.	{a w 4- b ш2) (а а>2 4~ b ш).
740.	{а 4- b 4- с) (а 4~ b <о 4" с ш2) (° + b «>2 4- с ш).
741.	(а 4- b ш 4- с а>2)8 4- (а 4- 6 и2 4- с а>)3.
742.	Вычислить z142 4- если г есть к0Рень урэв-
нения z 4- — = 1.
743.	Выразить sin (5 arc sin х) через х.
744.	Найти суммы:
a)	sinх 4-sinЗх 4- ... 4-sin(2n—1)х;
б)	cosх4-cosЗх 4- ... 4-cos(2n—1)х.
745.	Доказать, что если cos а 4- i sin а есть решение
уравнения
хл4-р1хл~14- ... 4-ря = 0
и рх, рг, ... , рпвещественные числа, то
pxsina4-p2’sin2a 4- ... 4-ря sin л a — 0.
66
746.	Найти суммы:
Sj = 1 — Сп 4- Сц — Си 4* ...;
32 = С’-С^4-С°п-^4- ...
747.	Найти сумму
5 = СА - 3 СА 4- 32СА - 33СА + ...
748.	Доказать:
п/—т------ —— г л? f ср -4-2# тс * . . ср 2# тс \
у р (cos ср 1 sin ср) == у р I cos -г 1 sin -—- 1;
k = 0, + 1, ±2,...
749.	Доказать:
а)	Уа + Ы = ±	4-»]/b>°’
6)	V^+bi= ± (/ЦГ-r/IEZ); b <0;
p = /a2 4- b\
750.	Вычислить: a) V~F; б) У 1 + i ]/ 3 ; в)
751.	Доказать, что корни уравнения хп — 1 могут быть
записаны так: 1, а, а2,..., ап_|.
752.	Изобразить геометрически корни уравнения zft = i.
Решить квадратные уравнения (753—754):
753.	х2 + (2i—1)х —7 —i = 0.
754.	х2 —(3 + 0 *4-3/= 0.
755.	Решить уравнение
х® + х5 + х4 + х8 + х2 + х + 1 =0.
756.	Найти сумму р-х степеней всех корней уравне-
ния хл—1 =0 (р— целое, п — натуральное).
757.	Решить уравнение
(х + 0я + (х — 0" = 0,
п — целое положительное.
758.	Решить уравнение
/1 + xi \п __ 1 + < tg а
\ 1 — XI /	1 — i tg а *
п — целое положительное.
5*	67
XI. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
759.	Доказать, что в арифметической прогрессии аь
Оз, ... с разностью d любой член
a^Oi + din— 1).
76Q. Доказать, что в геометрической прогрессии av
аг, ... со знаменателем q любой член
Доказать равенства (761—768):
761. Апт = т(т— l)...(m — п+ 1).
762. Рп = 1 • 2.3... п = д!
т(т— 1)... (т — п + 1)
7ЬЗ.	1.2.3...П
764. (at 4- a2 + ••• 4~ an)2 = al 4* a2 4“ ••• + 4~
4* 2 (aja2 4* aia3 4" ••• 4*	1Лл).
7fir 1’	,	2*	, я2 . n(n4-l)
'°0, 1.3	3-5 ’1"	(2я—1)(2я+1) — 2(2n4-l)‘
766.	1* 4- 2* 4-	== i «(«+1)(2»4- l)(3n24-3n—1).
767.	1» 4- 2е 4-... 4- n6 = ± n?(n4- l)2(2n2 4-2n—1).
768.	tg x 4- 4 1 + •" + ^ ^ £ == 4"Ctg
•- 2 ctg 2x.
769.	4+У^ + У~4 + ... + /4~< 3.
я — четверок
770.	(1 4- a)n> 1 4- ла; о >—1» a =# О и п — натураль-
ное, большее единицы.
771.	Доказать, что сторона правильного, вписанного
в окружность 2"-угольника, выражается формулой
аал == R т / 2 _ У2+ У~2~+...+У2 ,
Т	(п— 2) двойки
где R —радиус этой окружности.
772.	Доказать, что п прямых, пересекающихся в одной
точке и лежащих в одной плоскости, делят эту плоскость
на 2 л частей..
68
773.	Доказать, что сумма всех членов каждой гори-
зонтальной строки таблицы
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
равна квадрату нечетного числа.
774.	Доказать, что п различных прямых, лежащих в
одной плоскости, разбивают эту плоскость на области,
которые могут быть закрашены красной и синей крас-
ками так, что все смежные области (т. е. области, имею-
щие общий отрезок прямой) будут закрашены разными
красками.
XII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ
ГРАФИКОВ
Найти область определения функций (775—781):
775.	а) у = /2^1 б) у = /х*=4? в) у =
г) у = Vх(х + 2) (х — 3)(х — 4);
д) у = , х г е) У—Х^х — 2 j/x — 1.
’ у Vx+\—Vx—i ’ ” v г
776.	а) у = У2 — 2-4 б) у =-Ц—; в) у = х*;
г) у =
777.	а) у = log (х2 — 1); б) у = log (х 4-1) 4- log (х — 1);
в) у = log (х2 — Зх 4- 2); ,'г) у = Vlog3 (х — 1).
778.	а) у — х log х для х #= 0 и у — 0 для х = 0;
б) у = 4;- х log х2 для х =/= 0 и у = 0 для х — 0.
779.	а) у = -Л-; б) у= /sin4x; в) у = sin -4;
dlXX Л	Л
г) у = ]/'tg2x-(/'3+l)tgx+l/3:
780.	а) у = V logasinx; б) y = lglgtgx;
в) у = log (1,5 4- sin х + cos х).
69
3	2х
781.	a) t/ = arccos—; 6) t/ = arcsin утрра!
в) у = arc sin (arc sin x).
Найти период функций (782 — 783):
782.	а) у — sin Зх; б) у = cos у-;
в) У — tg Зх + 2 ctg 2х; г) у — sin -у + cos-y’>
Д) у = sin cos3 -у'>
783.	а) у — sin 2л х; б) у = sin ]/~2х + cos 1/"Зх.
Исследовать функции и построить их графики (784-*
812):
784.	у = х4 — 2х2 4- 2.
785.	у = (х — ky, если k — 1 < х < A -f- 1 и k — Q,
±2, ±4, +6, ...
786.	у = |х|.
787.	у — |х + 2|.
788.	у = |х—1| + |х —2|.
789.	у = — х | х |.
790.	у = |х2 — 11.
791.	у = |х2 — Зх + 2[.
792.	У = т4~2-
V 1 + X2
793.	«/ = 7-^-2.
14-ха
794.	у = log2 (— х).
795.	Ji—log2|x|.
796.	у = | log2 x |.
797.	у = 2 sin 2x.
798.	u = —sin -4-.
87	2
799.	у = sin 4x + cos 4x.
800.	j/==sin|x|.
801.	z/=|sinx|.
802.	у = x + sin x.
803.	у — arc sin (sin x).
804.	у = arc cos (cos x).
70
805.	у — Arc cos (cos x).
806.	у = arc tg (tg x).
807.	у — —2x~ 1-----— arc tg ftg it), если x не
2	я ° \ °	2 J
равно целому числу, и у — х, если х равно целому числу.
808.	у = arc sin К1 — х 4- arc sin У х.
809.	у — arc tg х — arc ctg —.
810.	у = arc tg x + arc tg
1 - - x%
811.	t/ = arccosT-i—».
a	1 + X2
812.	у = arc cos (2x2 — 1)4-2 arc sin x.
813.	Как получить график функции y = |f(x)|, если
график функции у = f (х) известен?
814.	Как получить график функции У = /(|х|), если
график функции y = f(x) известен?
Выяснить, как расположены точки плоскости, коорди-
наты которых удовлетворяют уравнениям (815—818):
815.	ху = 0.
816.	|х—2| = 1.
817.	х2 = у2.
818.	12у—11 4-12у 4-11 4- —-^=-|х] = 4.
V 6
Выяснить, как расположены точки плоскости, коорди-
наты которых удовлетворяют неравенствам (819—828):
819. х>-£-.
820. |х| < 3.
821. Х4-У4- 1 >0.
I у -- Л - М V.
2х 4- У — 2 > 0;
823. х — у < 0;
, 2у —х— 2< 0.
824.	|х-|-у|< 1.
825.	|х| + |у|< 1.
826.	||х4-1 |—-|у—• 11| < 1.
71
827.	у* — х2<0.
Определить графически число вещественных корней
уравнений (829—833):
829.	sinx = x.
830.	2* = х-|-2.
831.	2х3 —6x2-f- 1=0.
832.	igx = x.
833.	sinx = —.
X
834.	Решить графически систему уравнений
| х2 -f- у = Ю;
I х + у2 =* 4.
XIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
(Планиметрия)
Доказать теоремы (835—869):
835.	Треугольник, имеющий две равные высоты,— рав-
нобедренный.
836.	Треугольник, имеющий две равные медианы,—
равнобедренный.
837.	Треугольник, имеющий две равные биссектри-
сы,— равнобедренный.
838.	Если биссектриса угла треугольника является
одновременно его медианой, то такой треугольник —
равнобедренный.
839.	Если угол, прилежащая к нему сторона и сумма
двух других сторон одного треугольника соответственно
равны уГ'лу, прилежащей к нему стороне и сумме двух
других сторон второго треугольника, то такие треуголь-
ники равны.
840.	Треугольники с равными периметрами и двумя
соответственно равными углами — равны.
841.	Трапеция с равными диагоналями — равнобед-
ренная.
842.	Если в шестиугольнике противоположные сто-
роны равны и параллельны, то три его диагонали, сое-
72
линяющие противоположные вершины, пересекаются в
одной точке.
843.	Сумма расстояний любой точки окружности до
двух ближайших к ней вершин вписанного в эту окруж-
ность правильного треугольника равна расстоянию взя-
той точки до третьей вершины треугольника.
844.	Прямые, соединяющие основания высот остро-
угольного треугольника, образуют треугольник, биссек-
трисами которого являются высоты данного.
845.	Из всех треугольников с одинаковым основани-
ем и одинаковым углом при вершине равнобедренный
имеет наибольший периметр.
846.	Если в шестиугольнике противоположные сто-
роны* параллельны, а три диагонали, соединяющие про-
тивоположные вершины, равны между собой, то вокруг
такого шестиугольника можно описать окружность.
847.	Диаметры окружностей, каждая из которых
проходит через точку пересечения высот треугольника
и через две его вершины, равны между собой.
848.	Прямая, проходящая через основания двух вы-
сот остроугольного треугольника, отсекает от треуголь-
ника подобный ему треугольник.
849.	Треугольники с соответственно параллельными
сторонами подобны.
850.	Радиусы окружностей, описанных около подоб-
ных треугольников, пропорциональны сходственным
сторонам.
851.	Если из точки С проведены к окружности се-
кущая, имеющая с окружностью точки пересечения А
и В, и отрезок CD, где D точка окружности, и если
СА • СВ = CD2, то прямая CD есть касательная к этой
окружности.
852.	Если из точки, отстоящей от прямой на расстоя-
ние а, проведены к этой прямой две наклонные, с проек-
циями на нее, равными 2а и За, то сумма углов этих
наклонных со своими проекциями равна 45°.
853.	Если в четырехугольнике, две противоположные
стороны которого не параллельны, отрезок прямой, со-
единяющий середины этих сторон, равен полусумме двух
других сторон четырехугольника, то этот четырехуголь-
ник*-— трапеция.
854.	Длина отрезка прямой, соединяющей середину
основания треугольника с серединою отрезка высоты
73
между вершиной и ортоцентром, равна радиусу описан-
ного около треугольника круга.
855.	Касательные к окружности, проведенные через
вершины прямоугольника, вписанного в эту окружность,
образуют ромб.
856.	Прямая, проходящая через основания высот
треугольника, проведенных из двух его вершин, перпен-
дикулярна прямой, проходящей через его третью вер-
шину и центр описанного вокруг треугольника круга.
857.	Биссектрисы углов, образованных продолжения-
ми противоположных сторон вписанного в окружность
четырехугольника, перпендикулярны между собой.
858.	Диаметр вписанного в прямоугольный треуголь-
ник круга равен разности между суммою катетов и ги-
потенузой.
859.	Середины оснований трапеции и точка пересе-
чения ее диагоналей лежат на одной прямой.
860.	Если из точки Р, взятой вне окружности, прове-
дены к этой окружности касательные РА и РВ, где
А и В =>- точки касания, то отрезок перпендикуляра
ЛС, опущенного из точки А на диаметр BD, делится
прямою PD пополам. Точка С — основание перпенди-
куляра, точка D —точка окружности.
861.	Расстояние от точки окружности до хорды есть
средняя пропорциональная между расстояниями от этой
точки до касательных, проведейных к окружности
в концах хорды.
862.	Центр описанного около треугольника круга,
точка пересечения его высот и его центр тяжести лежат
на одной прямой.
863.	Если прямая, параллельная основаниям трапе-
ции, проходит через точку пересечения диагоналей, то
отрезок, отсекаемый от этой прямой боковыми сторона-
ми трапеции, делится точкой пересечения пополам.
864.	Середины диагоналей описанного около окруж-
ности четырехугольника и центр этой окружности ле-
жат на одной прямой.
865.	Из всех треугольников с одинаковым основа-
нием и одинаковым углом при вершине равнобедренный
имеет наибольшую площадь.
866.	Если в равнобедренный треугольник АВС < впи-
сан полукруг, диаметр которого лежит на основании
ЛС, и если к полукругу проведена касательная, пересе-
74
кающая сторону АВ в точке М, а сторону ВС в точке
jV, то произведение AM • CN есть величина постоянная.
867.	Если через точки А и В пересечения двух
окружностей проведены две секущие MAN и PBQf пе-
ресекающие одну окружность в точках М и Р, а дру-
гую в точках 2V иф,топрямыеЛ1РиМ2 — параллельны.
868.	Произведение диагоналей вписанного в окруж-
ность четырехугольника равно сумме произведений его
противоположных сторон.
869.	Куб гипотенузы больше суммы кубов катетов.
870.	Найти расстояние от центра описанного около
треугольника круга до центра вписанного в этот тре-
угольник круга. Радиусы кругов R и г (R>r).
871.	Доказать, что радиус вписанного в треугольник
круга не больше половины радиуса, описанного около
треугольника круга.
872.	К какой вершине треугольника лежит ближе
всего центр вписанной в этот треугольник окружности?
873.	Какая медиана наименьшая?
874.	Будет ли вписанный равносторонний много-
угольник правильным?
875.	Будет ли описанный равносторонний много-
угольник правильным?
876.	Из каких равных правильных многоугольников
можно сложить паркет?
877.	Вершина В треугольника АВС перемещается
так, что длина медианы AD остается неизменной, а сто-
рона АС — неподвижной. Найти геометрическое место
точек В.
878.	А и В — две заданные неподвижные точки
окружности, М — подвижная точка той же окружности.
На продолжении отрезка AM в сторону, внешнюю к
окружности, откладывается отрезок Л4М = Л4В. Найти
геометрическое место точек AZ.
8791 Найти геометрическое место вершин прямого
угла неизменяемого прямоугольного треугольника, если
две другие его вершины скользят по сторонам другого
прямого угла,
880.	Одна окружность касается прямой в точке А.
Другая касается той же прямой в точке В и первой
окружности в точке М. Найти геометрическое место
точки М.
881.	Найти геометрическое место точек, сумма рас-
75
стояний которых до двух данных прямых есть величина
постоянная.
882.	Из точки вне окружности проведена секущая и в
точках пересечения ее с окружностью — касательные.
Найти геометрическое место точек пересечения этих ка-
сательных.
883.	Из точки D, взятой на стороне ВС треугольни-
ка ЛВС, проводятся всевозможные прямые, пересекаю-
щие стороны ЛС и АВ или их продолжения соответст-
венно в точках Е и F. Найти геометрическое место
точек пересечения окружностей, описанных вокруг тре-
угольников CDE и BDF.
884.	На сторонах прямого угла отложены от его вер-
шины О отрезки ОА и ОВ, равные между собой. Через
точки Л и В проведены прямые, параллельные двум
данным взаимно перпендикулярным прямым и пересе-
кающиеся в точке М. Какую линию опишет точка М,
если прямой угол будет вращаться вокруг своей вер-
шины О?
885.	В круг вписан правильный шестиугольник.
Пользуясь только линейкой, построить — часть радиу-
са /?, где п = 2, 3, 4, 5,...
886.	На данной прямой построить точку, сумма рас-
стояний которой до двух данных точек наименьшая.
887.	Даны точки Л и В и между ними две парал-
лельные прямые MN и PQ. Провести между последними
в данном направлении отрезок CD так, чтобы сумма
ЛС + CD + DB была наименьшая.
888.	В данный острый угол вписать треугольник наи-
меньшего периметра так, чтобы одна его вершина нахо-
дилась в точке, данной внутри угла, а две другие — на
сторонах угла.
889.	Через три данные точки провести параллельные
прямые так, чтобы расстояния между ними были равны.
890.	На продолжении диаметра построить такую
точку, чтобы длина касательной, проведенной из нее к
окружности, равнялась диаметру.
891.	Из вершин треугольника как из центров постро-
ить окружности, каждая из которых касалась бы двух
других внешним образом.
892.	Построить треугольник по данной стороне с,
высоте hj, и медиане та.
76
893.	Построить треугольник, зная основания трех
его высот.
894.	Провести секущую к двум концентрическим
окружностям так, чтобы хорда большего круга была
вдвое больше хорды меньшего круга.
895.	На стороне данного угла найти точку, равно-
удаленную от другой стороны и от данной точки внутри
угла.
896.	В данный сегмент вписать квадрат так, чтобы
одна его сторона лежала на хорде (основании) сег-
мента.
897.	Трапецию пересечь отрезком, параллельным ос-
нованию, так, чтобы он разделился диагоналями на три
равные части.
898.	Построить окружность, проходящую через две
данные точки и касающуюся данной прямой.
899.	Пользуясь только линейкой, разделить трапе-
цию на две равновеликие части.
900.	Пользуясь только линейкой, разделить парал-
лелограмм на две части, площади которых относи-
лись бы как 1:3.
901.	Данный треугольник превратить в равновели-
кий ему треугольник с данным основанием и общим
углом при основании, причем оба основания должны
лежать на одной прямой.
902.	На данной прямой найти такую точку, чтобы
модуль разности расстояний ее от двух данных точек,
находящихся по одну сторону от прямой, был наимень-
шим, а также такую точку, чтобы модуль этой разности
был наибольшим.
903.	Основания трапеции равны а и &. Найти отре-
зок прямой, соединяющий середины ее диагоналей.
904.	В треугольник, длины сторон которого суть а,
Ь и с, вписана окружность. К окружности проведена
касательная так, что она, пересекая две первые сторо-
ны, разделяет данный треугольник на две фигуры —
треугольник и четырехугольник. Найти периметр полу-
ченного треугольника.
905.	В треугольник вписан круг так, что две из его
т
сторон делятся точками касания в отношениях — и
Р
я ’
Найти отношения сторон треугольника.
77
906.	На отрезке и двух его неравных частях построе-
ны полукруги в одну сторону. По радиусам R и г мень-
ших полукругов определить радиус круга, касательного
ко всем трем полукругам,
907.	Площадь треугольника АВС равна S. Его сто-
роны АВ, ВС и СА разделены точками М, N и Р так,
что AM ! МВ = 1 ! 4, BN ! NC *= П 4 и СР ! РА = 1 : 4.
Найти площадь треугольника, ограниченного отрезками
прямых AN, ВР и СМ.
90&	В треугольник со сторонами а, b и с вписан
круг. Точки касания его со сторонами данного треуголь-
ника соединены прямыми и таким образом получился
новый треугольник, стороны которого требуется опреде-
лить.
909.	Основания высот остроугольного треугольника
со сторонами а, b и с служат вершинами другого тре-
угольника, Найти периметр последнего и показать, что
8S2	с
он равен ..где — площадь данного треуголь-
ника,
910.	Найти радиус вписанного в прямоугольный тре-
угольник круга, если даны радиус R описанного около
этого треугольника и площадь треугольника S.
911.	В треугольник со сторонами k, I и т вписана
окружность, К окружности проведена касательная так,
что отрезок ее внутри треугольника, заключенный меж-
ду точками пересечения касательной с первыми двумя
сторонами треугольника, равен а. Найти площадь тре-
угольника, отсеченного этой касательной от данного.
912.	Прямоугольный треугольник разделен на два
треугольника перпендикуляром, опущенным из вершины
прямого угла на гипотенузу, В образовавшиеся тре-
угольники вписаны окружности с радиусами и г2.
Найти радиус круга, вписанного в данный треугольник.
913.	Даны две окружности с радиусами R и г. Их
общие внутренние касательные взаимно перпендикуляр-
ны. Найти площадь треугольника, образованного этими
касательными и общей внешней касательной окружно-
стей.
914.	Непараллельные стороны трапеции продолже-
ны до взаимного пересечения и через полученную точку
проведена прямая, параллельная основаниям трапеции,
78
Найти отрезок ее, ограниченный продолженными диа-
гоналями, если основания трапеции а и Ь.
915.	В трапеции, основания которой а и 6, проведена
через точку пересечения диагоналей прямая, параллель-
ная основаниям. Найти длину отрезка этой прямой, от-
секаемого от нее боковыми сторонами трапеции.
916.	Прямоугольный сектор радиуса R разделен на
две части дугой круга того же радиуса с центром в кон-
це дуги сектора. Найти радиус круга, вписанного в
меньшую из этих частей.
917.	Два круга радиусов и г2 касаются в точке С
и к ним проведена общая внешняя касательная АВ, где
А и В —точки касания. Найти длины сторон треуголь-
ника АВС,
918.	Две окружности радиусов г и R касаются сна-
ружи. Найти расстояние от точки касания до их общей
внешней касательной.
919.	Два круга радиусов R и г внешне касательны.
Найти радиус круга, касательного к ним и к их общей
внешней касательной.
920.	Три окружности радиусов а, b и с касаются по-
парно снаружи. Найти длину хорды, отсекаемой треть-
ей окружностью от общей внутренней касательной пер-
вых двух окружностей,
921.	Около данного квадрата со стороною а описан
круг, и в один из полученных сегментов вписан квад-
рат. Определить сторону вписанного квадрата*
922.	Два круга радиусов 7? и г касаются снаружи
в точке М. На окружности радиуса г взята точка N,
диаметрально противоположная точке М, и в этой точке
проведена касательная. Найти радиус круга, касатель-
ного к двум данным и к касательной, проходящей через
точку N.
923.	Дан прямоугольный сектор АОВ радиуса R.
Параллельно его хорде АВ на расстоянии tn от нее про-
ведена секущая, пересекающая продолженные радиусы
ОА и ОВ в точках С и D, а дугу сектора — в точках
Е и F. Из точки Е, ближайшей к С, восставлен к CD
перпендикуляр ЕМ, пересекающий ОА в точке М. Пока-
зать, что длина отрезка DM не зависит от т и найти
длину этого отрезка.
924.	По данным двум сторонам а и b треугольника
найти третью сторону, если известно, что медианы, про-
7Э
веденные к данным сторонам, пересекаются под пря-
мым углом.
925.	Найти радиус круга, зная длины а и b двух его
хорд, исходящих из одной точки окружности, и расстоя-
ние d от середины первой из данных хорд до второй.
926.	Через центры двух равных касающихся окруж-
ностей радиуса г проведена окружность радиуса 2г.
Из некоторой точки, находящейся на последней окруж-
ности, описана окружность, касательная к первым двум.
Найти ее радиус.
927.	Дан прямоугольный треугольник ЛВС, где А —
прямой угол. Из А опущен перпендикуляр АК на гипо-
тенузу, а из К — перпендикуляры КР и КТ на катеты
АВ и АС. Зная, что ВР = т и СТ — п, найти длину ги-
потенузы.
928.	Площадь треугольника ЛВС равна Sx; площадь
треугольника АНВ, где Н — точка пересечения высот,
равна S2. Найти площадь прямоугольного треугольника
ABL, предполагая, что точка L лежит на отрезке СН
или его продолжении.
929.	Две стороны остроугольного треугольника —
20 см и 23,2 см. Радиус описанного около треугольника
круга равен 14,5 см. Найти радиус вписанного в тре-
угольник круга,
930.	Катеты треугольника — 3 и 4. Через середину
меньшего катета и середину гипотенузы проведен круг,
касательный к гипотенузе. Найти площадь этого круга.
931.	Две равные окружности радиуса г пересекают-
ся. В общую часть обоих кругов вписан квадрат. Найти
сторону этого квадрата, если расстояние между центра-
ми окружностей равно г.
932.	На двух смежных сторонах квадрата построены
во внешнем поле два полукруга и к ним касательные,
параллельные своим диаметрам. Найти радиус круга,
касательного к этим двум полукругам и к упомянутым
касательным, если сторона квадрата равна 2а.
933.	Через две смежные вершины квадрата проведе-
на окружность так, что касательная к ней, проведенная
из третьей вершины, равна двойной стороне квадрата.
Найти радиус этой окружности, если площадь квадрата
равна 10.
934.	Окружность касается большего катета треуголь-
ника, проходит через вершину противолежащего остро-
80
го угла и имеет центр на гипотенузе. Найти ее радиус,
если катеты равны 3 и 4.
935.	Центр окружности радиуса 3 лежит на другой
окружности радиуса 5. Из центра О последней прове-
ден диаметр, касательный к первой, и в точку каса-
ния— радиус, пересекающийся с общей хордой в точке
К. Найти длину отрезка ОК.
936.	Каждые две противоположные вершины квад-
рата со стороною а служат вершинами двух равных
ромбов. Найти площадь, общую обоим ромбам, если
площадь каждого из них равна половине площади
квадрата.
937.	Прямоугольный треугольник АВС с катетами а
и Ь разделен на две равновеликие части AMN и BCMN
прямой MN, перпендикулярной к гипотенузе АВ. Найти
площадь круга, описанного вокруг четырехугольника
BCMN.
938.	К двум извне касающимся окружностям радиу-
сов R и г проведены две общие касательные. Найти
площадь трапеции, образованной этими двумя касатель-
ными и хордами, соединяющими точки касания.
939.	В некоторый угол вписана окружность радиуса
г, а длина хорды, соединяющей точки касания, равна а.
Параллельно этой хорде проведены две касательные,
и таким образом получилась трапеция, площадь которой
требуется найти.
940.	В треугольник со сторонами а, Ь и с вписан
полукруг с диаметром, лежащим на стороне с. Найти
величину этого диаметра.
941.	Найти площадь треугольника, если отрезки, об-
разуемые на одной из его сторон точкой касания впи-
санной окружности, суть т и п, а противолежащий ей
угол треугольника равен 60°.
942.	Меньшее основание трапеции DC = 6; большее
основание АВ = а. На продолжении меньшего основания
найти точку Л4 при условии, чтобы прямая AM раздели-
ла трапецию на две равновеликие части,
943.	Прямая, параллельная основанию треугольника,
делит его площадь пополам. В каком отношении она
делит боковые стороны треугольника?
944.	Найти длину отрезка прямой, параллельной
основаниям трапеции и делящей трапецию на две рав-
6 к. У. Шахно
81
новеликие фигуры, заключенного между боковыми сто-
ронами трапеции. Длины оснований трапеции равны
а и Ь.
945.	Прямая, параллельная основаниям трапеции,
разделяет ее на две части, площади которых относятся
между собой, как 7:2 (считая от большего основания).
Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между
боковыми сторонами трапеции, если основания трапе-
ции равны 5 и 3.
946.	Площади треугольников, образованных отрез-
ками диагоналей трапеции с ее основаниями, равны
и S2. Найти площадь трапеции.
947.	Через некоторую точку, взятую внутри треуголь-
ника, проведены три прямые, соответственно параллель-
ные сторонам треугольника. Эти прямые разделяют пло-
щадь треугольника на шесть частей, из которых три —
треугольники с площадями Si S2 и S3. Найти площадь
данного треугольника.
948.	Прямая, параллельная основанию треугольника
с площадью S, отсекает от него треугольник с пло-
щадью Sj. Определить площадь четырехугольника, три
вершины которого совпадают с вершинами маленького
треугольника, а четвертая лежит на основании большого
треугольника.
949.	К двум, извне касающимся в точке А окружно-
стям, радиусы которых 3 и 1, проведена общая внешняя
касательная ВС. Найти площадь фигуры АВС, ограни-
ченную окружностями и касательной.
950.	По высотам hi, hi, h3 треугольника определить
его площадь S.
951.	По медианам mi, m2, т2 треугольника определить
его площадь S.
952.	-Площадь четырехугольника равна S. Найти пло-
щадь параллелограмма, стороны которого равны и па-
раллельны диагоналям четырехугольника.
953.	В равнобедренной трапеции средняя линия рав-
на d, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти
площадь трапеции.
954.	В угол вписаны два внешнекасательных круга.
Хорды, соединяющие точки касания каждого круга со
сторонами угла, равны соответственно 2а и 2Ь, Опреде-
лить угол.
82
955.	В равнобедренный треугольник вписаны один
над другим два круга радиусов и г, касающиеся друг
друга. Найти углы при основании треугольника.
956.	Точка D внутри круга радиуса R удалена от
центра на расстояние а. Через D проведены диаметр
и две взаимно перпендикулярные хорды, одна из кото*
рых образует угол а с диаметром. Определить пло-
щадь вписанного в круг четырехугольника, имеющего
эти хорды диагоналями.
957.	Окружности радиусов г и R касаются прямой AD
в точке А и расположены по одну сторону от AD. Пря-
мая, параллельная AD, пересекает окружности в точках
В и С, находящихся по одну сторону от линии центров.
Найти радиус окружности, описанной вокруг треугольни-
ка АВС.
958.	Из вершин квадрата, сторона которого а, как
из центров, проведены окружности радиусов а. Найти
площадь, общую всем четырем построенным кругам.
959.	Прямая касается окружности в точке А. Парал-
лельно этой прямой проведена другая прямая, пересе-
кающая окружность в точках В и С, которые соединены
с точкой А. Рассматривая площадь треугольника АВС
как функцию расстояния между прямыми, написать
,формулу, связывающую функцию и аргумент. Радиус
окружности равен R.
960.	Из всех прямоугольников с площадью S найти
прямоугольник с наименьшим периметром.
961.	Треугольник АВС с площадью S и углом а при
вершине А разделен на две равновеликие фигуры AMN
и CMNB прямой MN, где М и N— точки на сторонах А С
и АВ. Найти периметр фигуры AMN при условии, что
длина MN — наименьшая.
962.	Три положительных числа а9 b и с связаны зави-
симостью
а2 — &2 + с2.
На оснований каких теорем можно утверждать, что
эти числа могут быть приняты за длины сторон тре-
угольника и что этот треугольник прямоугольный?
6*
83
XIV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
(Стереометрия)
Доказать теоремы (963—971) г
963.	В правильном тетраэдре сумма расстояний от
любой внутренней точки до его четырех граней есть ве-
личина постоянная.
964.	Если имеется конечное число таких прямых, что
каждые две из них пересекаются, то все они или прохо-
дят через одну точку, или лежат в одной плоскости.
965.	Любой выпуклый четырехгранный угол можно
пересечь плоскостью так, что в сечении получится па-
раллелограмм.
966.	Куб можно пересечь плоскостью так, что в сече-
нии получится правильный шестиугольник.
967.	Если через три вершины параллелепипеда, яв-
ляющиеся вторыми концами ребер, исходящих из одной
вершины, проведена плоскость, то треугольник, полу-
чающийся в пересечении параллелепипеда этой пло-
скостью, пересекается диагональю параллелепипеда,
исходящей из той же вершины, в центре тяжести.
968.	Если все двугранные углы трехгранного угла
острые, то и все плоские углы трехгранного угла тоже
острые.
969.	Если любое сечение поверхности плоскостью есть
окружность, то эта поверхность — шаровая.
970.	Не существует многогранника с нечетным числом
граней, все грани которого являются многоугольниками
с нечетным числом сторон.
971.	Любой плоский угол четырехгранного угла мень-
ше суммы трех других плоских углов.
972.	Найти геометрическое место проекций данной
точки на ’ всевозможные плоскости, проходящие через
другую данную точку.
973.	Найти геометрическое место центров сечений
данной шаровой поверхности, плоскостями, проходящи-
ми через данную прямую.
974.	Доказать, что через любую прямую можно про-
вести плоскость, параллельную любой другой прямой,
если только эти прямые не пересекаются.
975.	Построить общий перпендикуляр к двум скре-
щивающимся прямым.
84
976.	Построить прямую, параллельную данной пря-
мой и пересекающую две другие данные прямые.
977.	Построить отрезок данной длины, параллель-
ный данной плоскости, так, чтобы концы его находились
на двух данных прямых.
978.	Взяты такие четыре вершины куба, что ника-
кие две из них не лежат на одном ребре. Через каждые
три из этих четырех вершин проведена плоскость. Найти
объем тела, ограниченного проведенными плоскостями.
Ребро куба равно а.
979.	Через каждые три вершины куба с ребром а,
лежащие в концах каждых трех ребер, сходящихся в
одной вершине, проведена плоскость. Найти объем тела,
ограниченного этими плоскостями.
980.	От правильной четырехугольной призмы плоско-
стью, проходящей через диагональ нижнего основания
и одну из вершин верхнего основания, отсечена пирамида
с полной поверхностью S. Найти полную поверхность
призмы, если угол при вершине треугольника, получив-
шегося в сечении, равен а.
981.	Плоские углы при вершине параллелепипеда рав-
ны между собой и равны 45°. Длины ребер, сходящихся
в одной вершине, равны а, b и с. Найти объем паралле-
лепипеда.
982.	В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих
из одной вершины, суть а, Ь и с. Первые два ребра вза-
имно перпендикулярны, а третье образует с каждым из
них угол а. Найти объем параллелепипеда.
988.	Острые углы а, £ появляются плоскими углами
трехгранного угла. Найти его двугранные углы.
984.	Найти объем параллелепипеда, если длины трех
его ребер, сходящихся в одной вершине, равны /, т и и,
а плоские углы при той же вершине —а, р и у, причем
все острые.
985.	Через середину высоты правильной треугольной
пирамиды, параллельно ее боковой грани, проведена
плоскость. Найти площадь получившегося сечения, если
площадь боковой грани пирамиды равна S.
986.	Через центр основания правильной треугольной
пирамиды, параллельно двум непересекающимся ребрам
ее, проведена плоскость. Найти площадь получившегося
сечения, если боковое ребро пирамиды равно /, а ребро
основания а.
85
987.	Боковые грани пирамиды, основанием которой
служит равнобедренная трапеция с высотой й, одинаково
наклонены к плоскости основания. Из вершины пирами-
ды опущены перпендикуляры на боковые стороны тра-
пеции, и основания их соединены. В полученном тре-
угольном сечении угол при вершине равен а, а площадь
сечения равна S.Найти объем пирамиды.
988.	Основанием четырехугольной пирамиды служит
трапеция с основаниями а и b и высотой й. Боко-
вая грань, проходящая через меньшее основание трапе-
ции, перпендикулярна к плоскости основания, а проти-
воположная грань является равнобедренным треугольни-
ком с углом при вершине пирамиды, равным а. Через
вершину пирамиды и точку пересечения диагоналей тра-
пеции проведена плоскость, параллельная основаниям
трапеции. Найти площадь образовавшегося в этой пло-
скости треугольника.
989.	Через сторону основания правильной треуголь-
ной призмы проведена плоскость под углом а к плоско-
сти основания. Определить площадь образовавшегося
треугольного сечения, если объем пирамиды, отсеченной
плоскостью от призмы, равен V.
990.	Гранями треугольной пирамиды являются рав-
ные равнобедренные треугольники. Основание и противо-
лежащий ему угол каждого такого треугольника — а
и а. Найти объем пирамиды.
991.	Основанием прямой призмы служит ромб KBCD
со стороною а и углом 60°. Концы В{ и Dx диагонали
верхнего основания призмы соединены прямыми ВХЕ и
DXF с серединами сторон KD и КВ нижнего. В пересече-
нии этих прямых образуется угол BxOD\, равный а.
Определить объем призмы.
992.	В основании прямой призмы лежит равнобедрен-
ный треугольник, периметр которого равен 2р, а каждый
из двух равных углов равен а. Через основание этого
треугольника и конец противоположного ребра призмы
проведено сечение. Угол при основании этого треуголь-
ного сечения равен р. Найти объем призмы.
993.	Найти полную поверхность правильной треуголь-
ной пирамиды по данному ее объему V и углу а меж-
ду боковой гранью и плоскостью основания.
994.	Основанием пирамиды служит прямоугольник.
86
Длина каждого бокового ребра равна т. Плоские углы
трехгранных углов при основании пирамиды суть а, р
и 90°. Найти объем пирамиды.
995.	В правильной четырехугольной пирамиде, у ко-
торой сторона основания равна а и двугранный угол при
основании равен а, через одну из сторон основания про-
ведена плоскость под углом р к плоскости основания.
Определить площадь сечения.
996.	Высота правильной треугольной пирамиды рав-
на й, а двугранный угол при боковом ребре равен 2а.
Найти объем пирамиды.
997.	В правильной n-угольной пирамиде сторона
основания равна 2а, двугранный угол при боковом ребре
равен 2а. Определить объем пирамиды.
998.	Правильная треугольная пирамида пересечена
плоскостью, проходящей через вершину основания и се-
редины двух боковых ребер. Найти отношение боковой
поверхности пирамиды к площади основания, если из-
вестно, что секущая плоскость перпендикулярна к одной
из боковых граней. Указать, к какой именно.
999.	Основанием пирамиды служит трапеция, боко-
вые стороны и меньшее основание которой равны а, а
острый угол а. Боковые ребра наклонены к плоскости
основания под углом ср. Найти объем пирамиды.
1000.	Из середины высоты правильной четырехуголь-
ной пирамиды опущен перпендикуляр на боковое ребро,
равный й, и перпендикуляр на боковую грань, равный а.
Найти объем пирамиды.
1001.	Через одно из ребер основания правильной тре-
угольной пирамиды со стороной основания q проведена
плоскость перпендикулярно противолежащему боковому
ребру и делящая это ребро в отношении т : п. Опреде-
лить полную поверхность пирамиды.
1002.	Вычислить объем правильной пирамиды высо-
ты й, зная, что в основании ее лежит многоугольник, сум-
ма внутренних углов которого равна 90°п, а отношение
боковой поверхности пирамиды к площади основания
равно й.
1003.	Правильная пятиугольная пирамида SABCDE
пересечена плоскостью, проходящей через вершины А
и С основания и середины ребер SD и SE. Найти пло-
щадь сечения, если ребро основания пирамиды равно qy
а боковое ребро равно 6«
87
1004.	Через вершину правильной n-угольной пирами-
ды и через две вершины многоугольника, лежащего
в основании, под углом а к плоскости основания проведена
плоскость, рассекающая основание на два многоуголь-
ника, имеющие соответственно (г+2) вершины и (п—г)
(ti 2\
г <—g—I. Найти объем пирамиды, если общая
сторона этих двух многоугольников равна Ь.
1005.	Боковые ребра и две стороны основания тре-
угольной пирамиды равны между собой и равны Ь. Угол
между равными сторонами треугольника, лежащего в
основании, равен а. Найти объем пирамиды.
1006.	Основанием пирамиды SABC служит треуголь-
ник АВС, в котором АВ и АС образуют между собой
угол а и АВ=АС = а. Грань SBC перпендикулярна к
плоскости основания, а грани SBA1 и SC4 образуют
с плоскостью основания углы ср. Определить боковую
поверхность этой пирамиды.
1007.	Две правильные треугольные пирамиды имеют
общую высоту; вершина каждой пирамиды лежит в цен-
тре основания другой; боковые ребра одной пересе-
кают боковые ребра другой. Боковое ребро I первой пи-
рамиды образует с высотой угол а, боковое ребро второй
образует с высотой угол р. Определить объем общей
части этих пирамид.
1008.	Правильный октаэдр пересечен плоскостью так,
что в сечении получился правильный шестиугольник.
Все вершины этого шестиугольника соединены с одной из
вершин данного октаэдра. Найти объем образовавшегося
тела, если объем октаэдра равен V.
1009.	В правильной усеченной четырехугольной пира-
миде проведена плоскость через две противоположные
вершины параллельно диагонали основания. Определить
площадь сечения, если высота пирамиды h, а стороны
оснований а и 6.
1010.	В основании пирамиды лежит ромб со сторо-
ной а и острым углом а. Каждый из двугранных углов
при основании равен ср. Определить объем шара, впи-
санного в эту пирамиду.
1011.	Две равные правильные четырехугольные пи-
рамиды приложены одна к другой основаниями так, что
оба основания совпадают, а вершины расположены по
разные стороны от общего основания. В образованный
88
таким образом восьмигранник вписан шар. Определить
его радиус, если сторона основания каждой из пирамид
равна а, а плоский угол при вершине равен а.
1012.	Шаровая поверхность касается трех ребер куба,
сходящихся в одной вершине, и трех его граней, пересе-
кающихся в вершине, противоположной предыдущей.
Найти часть поверхности этой сферы, лежащей вне куба,
если ребро куба равно а.
1013.	Шар вписан в прямую призму, в основании ко-
торой лежит прямоугольный треугольник. В этом тре-
угольнике перпендикуляр, опущенный из вершины пря-
мого угла на гипотенузу, имеет длину h и составляет
с одним из катетов угол а. Определить объем призмы.
1014.	Ребро правильного тетраэдра равно а. Опреде-
лить радиус шара, поверхность которого касается всех
ребер тетраэдра.
1015.	Двугранный угол при боковом ребре правиль-
ной четырехугольной пирамиды равена, а радиус шара,
вписанного в эту пирамиду, равен 7?. Найти полную по-
верхность^ пирамиды.
1016.	В прямой круговой конус объема V вписана
треугольная пирамида с плоскими углами при вершине,
равными а, р и у. Найти объем этой пирамиды.
1017.	В шаре из точки его поверхности проведены три
равные хорды под углом 2а друг к другу. Определить их
длины, если радиус шара равен R.
1018.	В правильную четырехугольную пирамиду, сто-
рона основания которой равна а, а плоский угол при вер-
шине равен а, вписан полушар с плоскостью экватора,
расположенной в основании пирамиды. Найти объем мно-
гогранника, четыре вершины которого находятся в точ-
ках касания шаровой поверхности с боковыми гранями
пирамиды, а пятая — в центре полушара.
1019.	Стороны равнобедренной трапеции касаются
кругового цилиндра, ось которого перпендикулярна па-
раллельным сторонам трапеции. Найти угол, который
образует ось цилиндра с плоскостью трапеции, если
основания трапеции суть а и 6, а ее высота равна h.
1020.	Осевое сечение конуса — две взаимно перпен-
дикулярные прямые. На одной и той же образующей ко-
нуса взяты точки А и В на расстоянии а друг от друга.
На поверхности конуса взяты еще две точки С и D такие,
89
что ABCD — правильный тетраэдр. Найти расстояние от
вершины .конуса до ребра CD этого тетраэдра^
1021.	Найти объем цилиндра, расположенного внутри
правильного тетраэдра так, что высота тетраэдра служит
осью цилиндра, окружность одного основания цилиндра
лежит в плоскости основания тетраэдра, а окружность
другого — касается остальных граней тетраэдра и пере-
секает две другие его высоты. Ребро тетраэдра равно L
1022.	Радиус основания конуса равен R, а образую-
щая наклонена к плоскости основания под углом а.
В этом конусе проведена плоскость через его вершину
под углом к его высоте. Найти площадь полученного
сечения.
1023.	Два конуса имеют общую высоту, но верши-
ны их лежат в разных концах высоты. Образующая пер-
вого конусслравна /, а угол при вершине его осевого сече-
ния равен 2а. Угол при вершине в осевом сечении второ-
го конуса равен 2р. Найти объем общей части конусов.
1024.	В трапеции одна из боковых сторон равна b и
образует с большим основанием, равным 2а, угол а.
Меньшее основание равно а. Определить объем тела,
образованного вращением этой трапеции вокруг данной
боковой стороны.
1025.	Угол образующей а конуса с плоскостью его
основания равен а. Найти объем описанной около кону-
са пирамиды, основанием которой служит ромб с острым
углом р.
1026.	Около конуса описана треугольная пирамида,
причем линиями касания боковая поверхность конуса де-
лится на три части, относящиеся между собой, как
5:6:7. Найти отношение между частями боковой по-
верхности пирамиды, ограниченными линиями касания.
1027.	На плоскости лежат три равных конуса с общей
вершиной. Каждый из них касается двух, рядом лежа-
щих. Найти угол при вершине осевого сечения одного из
этих конусов.
1028.	На высоте конуса, как на диаметре, описан
шар. Найти объем части шара, заключенной внутри ко-
нуса, если даны высота h конуса и угол при вершине его
осевого сечения, равный 2а.
1029.	Конус с углом а между осью и образующей
и радиусом основания г рассечен сферической поверх-
ностью, центр которой находится в вершине конуса, так
90
что объем конуса разделен пополам. Найти радиус этой
сферы.
1030.	В правильную я-угольную пирамиду с ребром
основания q и боковым ребром а вписан шар. Найти его
радиус.
1031.	Высота правильной четырехугольной пирамиды
равна h. Перпендикуляр, опущенный из центра шара,
описанного около пирамиды, на ее боковую грань, обра-
зует с высотой угол а. Найти объем шара.
1032.	Прямой круговой конус рассечен на две части,
равные по объему, плоскостью, проходящей через центр
вписанного шара перпендикулярно оси. Найти угол
между образующей и плоскостью основания.
1033.	В прямой круговой конус, угол при вершине осе-
вого сечения которого равен а, вписан шар радиуса г и
затем проведена плоскость, заключающая окружность
касания поверхности конуса с поверхностью шара. Най-
ти объем получившегося усеченного конуса.
1034.	Основанием пирамиды служит прямоугольник,
диагонали которого образуют между собой угол а, а бо-
ковые ребра ее составляют с плоскостью основания
угол ср. Найти объем пирамиды, если известно, что ра-
диус описанного около нее шара равен /?.
1035.	В конус вписан шар радиуса г. Найти объем
конуса, если известно, что плоскость, касающаяся шара
и перпендикулярная к одной из образующих конуса, от-
стоит от вершины конуса на расстояние d.
1036.	В шар радиуса R вписан цилиндр. Рассматри-
вая объем цилиндра как функцию радиуса основания
цилиндра, написать формулу, связывающую функцию
и аргумент.
1037.	Можно ли определить призму как многогран-
ник, у которого две грани — равные многоугольники
с соответственно параллельными сторонами, а все осталь-
ные грани — параллелограммы?
РЕШЕНИЯ
I.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ*
% 1. А = с (Ь2 4- Ьс 4- ас—а2) — ab(a + b) — с (Ь2 — а2) 4-
4- с2 (Ь 4- а) — ab(a 4- 6) = (а 4-6) (Ьс—ас 4- с2 — ab) =
= (а 4- b) [(be — ab) 4- (с2 — ас)] — (а + Ь) [Ь (с — а) 4-
4- с (с — а)] = (а 4- Ь) (Ь 4- с) (с — а).
2.	А = Ь2 (а2Ь — а8 4- с8 — с2Ь) 4- с2а2 (а — с) =
= Ь2 [(а2Ь — с2Ь) — (а3 — с8) 14- а8с2 (а — с) =
= Ь3(а2 — с2) — Ь2 (а3 — с3) 4- а2с2 (а — с) —
е= (а — с) (&а 4- &с — Ь2а2 — Ь2ас — Ь2с2 4- ate2) =
= (а — с) [Ь2а (6 — с) 4- Ь*с (Ь — с) — а2 (Ь2 — с2)] =
= (а — с) (6 — с) (Ь2а 4- Ь2с — а2Ь — а2с) =,
= (а — с) (Ь — с) lab (Ь — а) 4- с(Ь2— а2)] —
— (а — с) (Ь — с) (Ь — a) (ab 4-6с 4- са).
3.	Выражение, стоящее в первых квадратных скобках,
легко приводится к следующему:
(ах 4- by)2 4- (ay 4- 6х)2,
а второе — к такому
4 (ау 4- Ьх)2 (ах 4- by)2.
Имея это в виду и воспользовавшись формулой разности
квадратов двух количеств для данного выражения А,
получаем
А = [(ах 4- by)2 4- (ау 4- 6х)2]2 — 4 (ау 4- Ьх)2 (ах 4- by)2 =
= 1(ах 4- by)2 4- (ау 4- 6х)2 — 2 (ау 4- Ьх) (ах 4- by)] [(ах 4-
* Здесь выражение, подлежащее упрощению, обычно не повторя-
ется, а обозначается буквой А.
92
+ by)2 + (ay 4- bx)2 + 2 (ay 4- bx) (ax 4- by) ] = [(ax 4- by) —
— (ay + 6x)]2 [(ax + by) -J- (ay + bx)]2 =
=[(a — b) (x — y)]2 [(a + b) (x 4- y)]2 =
= (a — b)2 (a 4- b)2 (x — y)2 (x 4- y)2.
4.	A — 2a2b 4- 4ab2 — a2c — 2abc 4- ac2 4- 2bct —
— 4b2c — 2abc = 2ab (a 4- 26) — ac (a 4- 26) + c2 (a 4- 26) —
— 26c (a 4* 26) = (a 4- 26) (2ab — ac 4- c2 — 26c) —
— (a 4- 26) [a (26 — c) — c (26 — c)l =
= (a 4-26) (26 —c) (a —c).
5.	A —у (x — 2г)2 4- 8xi/z 4- xy2 — 4xyz 4- 4xz2 — 2zx2 —
— 4zxy—2zy2 — у (x — 2z)24- (xy2 — 2zy2) — (2zx2 — 4xz2) =
— (x — 2z) (yx — 2yz 4- y2 — 2xz) = (x — 2z) [x (y — 2г) 4-
4- У (у — 2z)] = (x — 2z) (у —2г) (х+у)-
6.	А = 8х3 (у 4- г) — ifz — 2tfx — 2xz3 4- г2у =
= 8х* (у 4- z).— yz (у2 — z2) — 2х (if 4- z8) = (у 4- г) [8х® —
— yz (у — г) — 2х (у2 — уг 4- г2)] = (у 4- z) (8xs— y2z + yz2—
— 2ху2+ 2xyz — 2xz2)—(y 4- z) l(8x®—2xt/2) 4- (2xyz — y2z)—
— (2xz2 — yz2)] — (y 4- z) [2x (4x2 — y2) 4- yz (2x — y) —
— г2 (2x — t/)] =.(y 4- z) (2x — y) (4x2 4- 2xy 4- yz — г2) =
= (У 4- z) (2x — y) [(4x2 — г2) 4- (%xy 4- yz)) =
= (y 4- z) (2x — y) [(2x 4- z) (2x — z) 4- у (2x 4- z)] =
= (У 4- z) (2x — y) (2x 4- z) (2x—z 4- y)-
7.	A=(xt + lf — 2x2y2) — 2(x2 — y2)z2 + zi — 4y2z2 =
= (x2— y2)2 — 2(x2 — y2) z2 4- z4 •— 4y2z2 — ](x2 — y2) — z2!2—
— (2yz)2 = (x2 — y2 — z2 — 2yz) (x2 — y2 — z2 4- 2i/z) =
= [x2 — (y 4- Z)2] [x2 — (y — z)2] = (x + y + z) (x — y —
— z) (x + y — z)(x — y + z).
8.	A = (x2y 4- xy2) 4- (xz2 4- yz2) 4- (x2z 4- y2z 4- 2xyz) =
= xy(x + y)+z2(x + y) + z(x + У)г = (X 4- У) (xy 4-
4- z2 + zx 4- zy) = (x 4- y) [x (y 4- z) 4- z (y + z)l =
= (x 4- У) (У 4- Z) (z 4- X).
Замечание. Исходное выражение симметрично отно-
сительно букв х, у, г, т. е. такое, что от замены х, у, г
соответственно буквами у, г, х не меняет своего вида.
Следовательно, если оно имеет множитель х 4- У, то оно
имеет также множители у 4- z и z 4- х. Таким образом,
93
после выделения множителя х 4- у можно было предвидеть
наличие множителей у + z и г + х в окончательном ре-
зультате.
9.	А = (х2у + ху2 4- xyz) 4- (x2z 4- xz2 4- xyz) 4- (y2z 4-
4- yz2 4- xyz) = xy(x + y + z) + xz(x + y + z) + yz(x +
+ y + z) = (x + y + z)(xy + yz + zx).
10.	A = (x3 — 1) 4- (5x2 — 5) 4- (3x— 3) = (x— 1) (x24-
4-x4-1) 4- 5(x- 1) (x4- 1) 4-3 (x—1) = (x—1) (x24-x4-
4- 1 +5x4-54-3) = (x—1)(x2 + 6x4-9)=(x—l)(x4-3)2.
11.	A » (x3 — 1) 4- (9x2 — 9) 4- (llx— ll) = (x— l)(x24-
4-x4-1 4-9x4-9 4- H) = (x—1) (x24- 10x4-21) =
= (x-1)(x4-3)(x4-7).
12.	A=x lx2 (x2—7)2—36J=x(x (x2—7)—6] [x (x2—7)4-61=
= x(x3 —7x —6)(x3 —7x4-6) =xl(x34- 1) —
— 7(x4- ОЩх3—1) —7(x—l)] = x(x4- l)(x—l)(x2 —
— x — 6) (x2 + x — 6) = x (x 4- 1) (x — 1) (x — 3)(x4-
4-2) (x 4-3) (x —2).
13.	Воспользуемся формулой (m 4- n)8 = m3 4- 3mn (tn 4-
4- n) 4- n3 для преобразования первого слагаемого данного
выражения. Получим
А = [(& — а) 4- (а — с)]3 4- (с — а)3 4- (а — Ь)3 = (Ь — а)3 4-
4- 3 (Ь — а) (а — с) 1(6 — а) 4- (а — с)] 4- (а — с)3 —*
~ (а — с)3 (Ьа)3 = 3 (а — Ь) (Ь — с) (с — а).
14.	Л = 3 (у2 4- г2) (х2 4- У2) (х — г) (х 4- г).
Указание. Решать так же, как задачу 13.
15.	А = [(х 4- у 4- г)8 — х8] — (у3 4- z8) = [ (х 4- у 4- г)
— x][(x4-y4-z)24-(x4-f/4-z)x4-x2] — (z/4-z)(z/2 —
— yz 4- г2) = (у 4- z) [ (х 4- У 4- г)2 4- (х 4- У 4- z) х 4-
4-х2 — у2 + уг — г2].
Вместо того чтобы производить утомительные выклад-
ки для выделения других множителей способом группи-
ровки, воспользуемся замечанием к задаче 8. Так как
данное выражение симметрично относительно х, у, z, то
наряду с множителем у 4- z оно имеет множители z 4- х
и х 4- у. Поэтому можно написать
(x + y + z)3—-х3<— у3 — z3 = (х 4- у) (У 4- z) (z 4- *) В,
94
где В — частное от деления данного выражения на произ-
ведение трех выделенных множителей. Рассматривая левую
и правую части последнего равенства как многочлены от-
носительно х и замечая, что в равных многочленах коэф-
фициенты при одинаковых степенях буквы х равны, най-
дем сравнением коэффициентов при х2, что В = 3. Следо-
вательно,
А = 3 (х + у) (у 4- г) (z 4- х).
16.	Пусть п — любое целое число. Тогда получим
в (в 4- 1) (в 4- 2) (п 4- 3) 4-1 = (в2 4- Зв) (в2 4- Зв 4- 2) + 1 =
= (в2 4- Зв)2 4- 2 (в2 4- Зв) 4- 1 = (в2 4- Зв 4-1)2-
17.	132я—1 = 169я— 1 = 168 (169я-14-169я-2 4-... 4- 1).
18. 721 — 487 = 7 • 4910 — 7 — 480 = 7 • (4910 — 1) — 480 =
= 7-48(49» 4-498 4-... 4- 1) —48-10 =
= 4817 (49» 4- 498 4- - 4- 1) — Ю].
Так как 49 = 8-6 4- 1, то 49ft = 6m 4-1 и выражение
в квадратных скобках будет иметь вид
7(6в4- 10)—10 = 7-6в4-60 = 6(7в4- Ю).
Итак,
721 _ 487 = 48- 6 (7в 4- Ю) = 288 (7в 4- 10),
т. е. делится на 288.
19. Обозначим буквой А левую часть данного равен-
ства. Получим
А — (а 4- b — 2с)2 4- (Ь 4- с — 2а)2 4- (с 4- о — 2Ь)2 =
= [(а - с) 4- (Ь - с)]2 4-1(6 - а) 4- (с - а)]2 4- 1(с - Ь) 4-
4-(а — 6)12 = 2 (а — с)2 4-2 (б — с)2 4-2 (6 — а)2 4-
4- 2 (а — с) (Ь — с) 4- 2 (Ь — а) (с — а) 4-2 (с — Ь) (а — Ь) —
= 2А 4- [(а —с) (Ь — с) 4- (b — d) (с —а)]4-[(а —с) (Ь — с)4-
4- (с — Ь) (а — Ь)] 4- [(6 —а) (с —а) 4- (с — Ь) (а — Ь)] =
= 2Л 4- (а —с)2 4- (6 — с)2 4- (а — Ь)2 = 2Л 4- А = ЗЛ.
Итак: Л = ЗЛ, 2Л = 0, Л = 0,'т. е. (а — Ь)г 4- (Ь — с)2 4-
4- (с —а)2 = 0.
Отсюда а = Ь = с.
20. Так как из равенства т 4- п 4- р = 0 следует, что
т — — в — р, то
/в8 4- в3 4- Р® = (— в — р)3 4- в3 4- р3 = — в3 — Звр (в 4- р)—
— р3 4- в3 4- р3 = — Звр (в 4- р) = Зтпр
(см. также задачу 23).
95
2!._(t/24-2«/z + z2)x2 + 2(z/ + z)x-|-1	(t/ + z) x + 1
(</2 + 2t/z-f z2) x2 + (y + z)x	(y + z) x + 1
_ (У + z) x -h 1
(t/ + z) x + 1
0
22.	Расположив делимое и делитель по убывающим
степеням буквы х и пользуясь известным правилом деле-
ния многочлена на многочлен, получим
(а3—1)х3—(а3+а2—2)х24*(4а24*За-|-2)х—За—3 | (а- 1)х2-(а- l)x-f-3
~ (а3— 1)х3—(а3— 1) х2 + 3 (а2 + а + 1) х	(а24*а+ D х— (а+1)
— (а2 — 1) х2 + (а2 — 1) х — 3 (а + 1)
— (аг 1) х2 + (а2— 1)х —3(а+ 1)
О
23.	Подставим в данное выражение вместо х величину
— У — z. Получим (— у — z)3 + t/34-z3 — 3 (— у—-z)yz =
=—(У + z)3 + У3 + z8 + 3y*z + 3yz2=—(y+z)3+(y+z)s= 0.
Отсюда, на основании теоремы Безу, заключаем, что мно-
гочлен х3 + у3 + z3 — 3xyz делится на х — (— у — z) =
= x + y + z.
24.	Среди трех последовательных натуральных чисел
одно непременно кратно 3 и одно или два четные. Тот из
двучленов xk — 1 (k = tn + 1, tn — 1, tn), у которого k —
четное, разделится на х2 — 1; у которого k — кратно трем,
разделится на х3 — 1 и последний, при любом натураль-
ном k, разделится на х — 1.
ат__।
25.	Представив данные выражения в виде Д и
ап — 1
р видим, что вопрос сводится к выяснению признака
делимости выражений ат — 1 и ап — 1. Очевидно, для
этого необходимо, чтобы было /л > и. Пусть частное и
остаток от деления tn на п будут р и q, т. е. tn = np+q.
Получим
am — I	апр 4- q — 1 _ апр ая — ая + ая — 1 __
ап — 1 ап — 1	ап — 1
(ап)Р— 1 ,	1
~ а ‘ ап — 1 +а«—Г
Отсюда видно, что для возможности деления нацело необ-
ходимо и достаточно, чтобы q = 0, т. е. чтобы т было
кратно п.
96
26.	Корни и х2 трехчлена хг 4- х 4- 1 удовлетворяют
условиям Xt 4- xt 4- 1 = 0 и xf = 1 (t = 1,2). Поэтому
x3*	*32	х28 =	(x?)i»x/4- (xf)6xt= 1 4- xf 4- х,=0.
Отсюда, по теореме Безу, данный многочлен делится на
х — хх и х — х2, а следовательно, и на их произведение
(х — Xj) (х — х2) = х2 4- х 4-1.
27.	Умножим и разделим левую часть доказываемого
равенства на 1 — х. Получим
(1 — х) (1 4-х) (1 4-х2) ••• (1 + *2П ~') _ 1—х2П
1 —X	1— X —
= 1 4- х 4- х2 4-... 4- х2"-1.
28.	Произведение трех данных множителей приводится
к многочлену степени 2-175 4- 1-54-3-149 = 802. Поэто-
му можно написать
(1 4- 4х — 4х2)175 (1 4- 2х)5 (1 — Зх 4- х2 4- 2.x3)149 =
— А 4-802 I Д r801 I I Д
—	I	••• Г ^803-
Полагая в этом равенстве х = 1, получим
А 4- Л + ... + Аоз = I175 • З5. I149 = 243.
29.	Это равенство можно доказать путем упрощения
левой части. Но такой путь приведет к большим выклад-
кам. Можно доказать короче. Известно, что если два мно-
гочлена f (х) и ср (х) степени п имеют одинаковые значения
при п + 1 различных значениях х, то они тождественно
равны. В данном случае п = 2. Полагая в левой и правой
частях доказываемого равенства х = а\ х = Ь; х = с, полу-
чим для обеих частей соответственно а2, Ь2, с2. Тем самым
тождество доказано.
30.	I. Необходимость. Пусть —= fe, где k —
тх |“ /I
не зависит от х. Освободившись от знаменателя, получим
равенство ах<b = kmx + kn. Но из равенства многочле-
нов следует равенство их коэффициентов при одинаковых
степенях х. Поэтому можно написать, что a—km и b^krt
или = ---. Если т = 0 (или п = 0), то пропорцию сле-
ти а [ п b \ п
дует написать иначе: — = -у- (или — — — I. Случаи т=
= п = 0 исключается.
7 К. У- Шахно
97
II. Достаточность. Пусть	— Тогда
а = mk\ b = nk; —4~
’	тх-\- п.
mkx Л- nk _ отх + п _ £
mx + n тх + п ~ '
31.	Поступая так же, как и в задаче 30, найдем, что
искомые необходимые и достаточные условия состоят в
следующем:
а _ Ь _ с
т "" п ~ р '
1	,	1	_ (1 + х) 4- (1 - х) _	2
°	1—x^l+x (1-х) (1+х)	1—х2’
_1_+_1_ + _С = _2_ + _2_==^_
1—X 1 + х I 4-Х2	1—х2^1+х2	1—х<#
Прибавляя к полученному результату четвертую данную
дробь, а затем пятую и шестую, получим окончательно
_±_ + _J_ + _L_ + _4_ . _8_ + _!£_ = _з2_
1 — х ’ 1 + х ’ 1 Ч- х2 1 4- *4 ' 1 Ч” *8 ‘ 1+ xle 1— *за*
33.	Приведя дроби к общему знаменателю, получим
-(„.W«,Late^e) I (6 - 6) + (с - о) + (а - 6)1 = 0.
34.	После приведения дробей к общему знаменателю,
получим
а2 (Ь — с) + Ь2 (с — а) + с2 (а — Ь)
- ,
где
N = (а — Ь)(Ь — с) (а — с).
Разлагаем числитель на множители:
а2 (Ь— с) + Ь2 (с — а) + с2 (а—~ Ь) = а2(6 —с) +
+ (62с — с2^) + (fa Ь2а) = а2 (b — с) + Ьс (Ь^с) —
с2) — (Ь — с) (а2 + Ьс — ab — ас) =
— (Ь -м с) [(а2 ab) + (Ьс — ас)] — (Ь — с) (а (а — б)«—
— с (а — 6)] = (а — Ь) (Ь-с)(а-*с)= N.
г»	N 1
Ответ:	= I.
35.	Складываем данные дроби попарно —. первые две и
вторые две. Получим
98
Л (а — 6) (6 4- с) 4- (6 — с) (a 4- 6) .
(a+b)(b + c)
 (с — а) [(а + 6) (& + с) + (а — Ь) (Ь — с)] _
(а + 6)(6 + с)(с + а)	-
__ab — 62 + ас — Ьс 4- ab — ас+ Ь2 — Ьс ,
(а+6)(&+с)	b
. (с — а) (ab + Ь2 ас + Ьс 4- ab — Ь2 — ас 4- Ьс)_
Н	(а 4-6) (6 + с) (с 4-а)
2аЬ — 26с	. (с — а) (2аЬ 4- 26с) _	26 (а — с) .
“ (а4-6)(64-0 + (а4-&)(6 4-с)(с + д) ~ (а4-6)(6 4-с) +
.	26 (а 4- с) (с *- а) _	26 (а — с)	2Ь (а —с) „
+ (а + 6) (6 4- с) (с + а)~ (а 4-6) (64-0	(а4-6)(6 4-с) -
36.	Приведя дроби к общему знаменателю, получим,
что данное выражение
Л = (.-цДх-.) «“’-‘’I +	+
4- (с2 —а2)] = 0.
47 А - j_ с2 (Уг ~ fc2) (г* ~	--Ра/*-. с2) (г2 - с2) _
°'’ Ь2с2 “г	b2c2(b2 — с2)	~~
__ y2z2 . c2z/2z2 — с262г2—с2//2624-с264—62у2г24-62с2г24-62</2с2—62с4
— &2с2 "т"	62с2 (62 — с2)
___ г/гг2	с2у2г2 —- 64/2г2 4- с2Ь4 b2c4 y2z2
b2c2 ~г"	62с2 (62 — с2)	62с2 ”1"
, t/2z2 (с2 — 62) 4- с262 (62 — с2)   г/2г2 . (62 -* с2) (—t/2z2 4- 62с2) 
t>2c2 (62 — с2)	62с2 ’	62с2 (62 — с2)
y2z2 . — p2z2 4- 62с2_ y2z2 y2z2 . b2c2___ .
~ b2c2 W ~ b2c2 b2c2 +' 62c2 — 1 ’
QR Л (1 + а6) П+а64-(д4-6)х] - (а 4- 6) [a 4- 6 4- (1 4- a6)xj
oo. л— Ц + а6 + (а + &)хр_1а + & + (1 + аЬ)х]2
(1 4- ab)2 4- (1 4- ob) (a 4- 6) x — (a 4- 6)2 — (a 4- 6) (1 4- дб) x
(14-аЬ)2 — (1 4-a6)2 x2 4-(a 4-6)2x2 — (a4-6)2
(l+a&)2_(a+fr)2__________________________
(14-a6)2(l—x2) — (a4-6)2(l—x3) —
(1 4-a6)2 —(a4-6)2	_	1
“ (1 — x2) [(1 4- ab)2 — (a 4- 6)2] “ 1 — x2'
4q A_ (x2-x+ l)(x24-tt-l)	(Х-Л:2+1)(Х4-х2-1)
л (x24- 1 —x)(x24- 1 4-X) ”* (X2 4- X 1) (x2 4- x 4- 1)
! (x2 — x—l)(x2-*x4-1) _ x24-x-^-l . x — x24-l ।
т (x2 — x— l)(x24-x4-1) “ x24-x4-l + x24-x4-l ’1"
= L
99
40.	Рассматривая сумму первых двух слагаемых числи-
теля как сумму кубов двух количеств или поступая так,
как в задаче 13, получим следующее выражение для числи-
теля: 3 (х2 — у2) (у2 — г2) (г2 — х2). Аналогично поступая
со знаменателем, найдем, что он равен 3(х—у) (у—z) (z—х).
Отсюда данное выражение
л =(х+(г+х) •
.. . _ а8 (с — Ь) + Ь3 (а — с) + с8 (b — а) _ М
41, Л~ a3(c — b) + b2(a — c) + c3(b — a) ~ N'
М — а3 (с — Ь) 4- (Ь3а — с®а) 4- (—Ь3с 4- с3Ъ) = а3 (с — Ь) —
~-а(с3 — Ь3) + Ьс (с2 — &) = (с — Ь) (а3 — ас2 — abc — ab2 4-
+ Ьс2 + Ь2с) = (с — Ь) [(а3 — ab2) 4- (— ас2 4- Ьс2) 4-
4- (— abc 4- 62с)1 = (с — Ь) [а (а2 — Ь2) — с2 (а — Ь)—*
***Ьс (а — &)] = (с — Ь) (а — Ь) (а2 4- ab — с2 — Ьс) =
= (с — Ь) (а — Ь) [(а2 — с2) 4- (yb — 6с)] =
= (с — Ь) (а — Ь) (а — с) (а 4- с 4- Ь).
Аналогичными преобразованиями получим, что знаменатель
N = (с — Ь)(а — Ь) (а — с). Впрочем, эти преобразования
можно найти в решении задачи 34. Теперь получим
д _	_ (с — Ь) (а — Ь) (а — с) (а + & 4- с) _ „ . h , _
N	(с — Ь)(а — Ь)(а — с)	4" 4" •
1 1
X 4“ k X k -f- 1’
42. Замечая, что (х+*)(Д iy
получим
1	1	=	5
х х + 5 ~~ х{х 4-5) ’
43.	Рассмотрим произведение первого множителя на
первое слагаемое второго множителя:
а — b । b — с , с — а \ с_________« , с [ b — с
L с ' а	b ) а — Ь ~ ‘а — b \ а
, с —	, с Ьг — he -}- ас — а2 __
+ b J ~~ 1 + a — b ’	' ab ““
100
. 1 д. c . с(а — Ь) — (а* — Ьг) __
" a — b	ab
а так как с — — (a + b), то получим окончательно для
этого произведения 1 +	. Точно также произведение
первого множителя на второе слагаемое второго множите-
2а2	2Ь2
ля будет 1 + и на третье слагаемое 1 +	. Скла-
дывая полученные выражения и пользуясь результатом
задачи 20,
получим
, 1 . 2«2	~2b2 _ q 2(а« + 63 + с3) _
+ 1 +-&Г+ 1 +-^--3+ abb--------------
= з +	== з + 6 = 9.
1 abc 1
44’ 1	2 + 3	4	+ 2k — 1 2k ~ 1	2
+ —+ — + ••• + 2fe=T + ~2k ~ 2 (“Г + “Г + 1Г +
+ - + i) ==1 +4_ + 4" + - + 4’ + ‘*тт+тт2’ +
+ - + 2F="i + i —0 +4' + 4’ + - + 4_) =
= k+1 + k + 2 + ••• + ~2k‘
45.	Умножим первое равенство на q2, второе — на р’,
третье — на — 2pq и результаты сложим почленно. Получим
(ai? — bip)2 + (а2<? — М2 + ... + (flnq — bnp)2 = 0.
Следовательно,
Oi<7 — biP = a^q — b2p = ... = anq — bnp = 0,
откуда и вытекает доказываемое равенство.
46.	Преобразуем заданные отношения и пользуемся
свойством равных отношений:
_ а2Ь2 _	_ а„Ьп _	+ дА + ,. + апЬп ...
bi bi - b2n ы + bi + ... + bi *
Отсюда
+ a2b2 + ... + anbn =^(bl+bl + ... + Ы).	(2)
101
Аналогичными преобразованиями получим
+ • •• 4" ОпЬп = ~ (а1 4" Я2 + ... + fln). (3)
U-1
Перемножая равенства (2) и (3) почленно, найдем
(аД + ^8^2 + ••• + ап^2 ~ (а1 + °2 + ••• + a«) (^1 + bl +
+ ... + 6«).
47.	Все общие множители числителя и знаменателя
данной дроби являются также множителями выражения
а (14л 4-3)4-6(21п 4- 4), где а и b—целые. Но при а=3
и& = -“2, получим 3(14«4-3) —2(21п-}-4) = 1. Таким
образом, общие множители членов дроби могут быть лишь
числа ± 1, Т. е. она не сократима.
Л2 М	л2 _|_ А2	А2
48.	Так как -г»- = —г, то -т-Т  — —г. Но из данной
с2	Ь2 4“ с2	с*
пропорции имеем 62 — ас. Подставляя в правую часть по-
«	« аг + 62 ас а
лученной пропорции, найдем угф--2- =	= —.
49.	Из данной пропорции получаем
с2а"	*
ав'^Гв‘*ф =
Отсюда, пользуясь свойством равных отношений, найдем
Ci<z? + с&Ч + ... + сьа%	_ / Qj \п
Cib" + c2b2 + ... +	Cibl \ bi J '
50.	Покажем, что никакая рациональная дробь -2-
(т и п — натуральные числа) не равна У 2. Для доказа-
тельства допустим, что существует такая дробь что
= 2. Предполагаем эту дробь несократимой, т. е.
т и п не имеющими общих множителей. Из соотношения
= 2 вытекает, что ш2 = 2га2, а это означает, что число
га? есть четное. Положим т = 2р и подставив в равенство
/п2 = 2п2, получим 4/j2 == 2га2 или га2 = 2р2. Но в таком
* Если некоторые из ст (т = 1,2,..., k) равны нулю, то для
составления втих отношений используем лишь те ст, которые не рав-
ны нулю.
102
случае число п тоже четное, чего не может быть, так как
~ по предположению — несократимая дробь.
51.	По определению корня кубичного из числа.
52.	а) По определению нулевой степени числа (а ¥= 0);
б) по определению дробной степени числа; в) по определе-
нию отрицательной степени числа (a =f=- 0); г) по определе-
нию первой степени числа.
53.	]/ а2 = |а |. Или иначе: У а2 — а, если а > 0; Усг—
= — а, если а < 0.
54.	а) х > 0, у > 0; б) х > 0, у > 0; в) а > 0, b < 0,
с — любое вещественное число; г) а < 0, 6 0.
55.	Пользуясь свойством равных отношений, получим
gi 4~ а2 4~  • • 4~	_ Д1
bi + Ь2 +... + bn bi
или, извлекая квадратный корень
У а1 4~ Да 4~ • • • + дл _ У а1
У bi + ь2 +... + ьп у bi
G другой стороны, из данной пропорции находим
___________________ а2Ь2  __________ anbn
ы - bl	ь*п
или
У^Л" _	_ Уа^п
bi ~ Ь2 “ Ьп *
Отсюда получим
Уaibi ~Ь У д2^г 4~• • • Ч~ УапЬп _ Уaibi _ У Д1
bi + ь2 +... + bn	bi У bi ’
Сравнивая левую часть этого равенства с такою же,
полученного ранее, легко получить равенство, которое
нужно доказать.
56-— 115. Указание. При решении этих задач сле-
дует помнить, что встречающиеся в них корни предпола-
гаются арифметическими. Поэтому важно в тех случаях,
когда наложены ограничения на параметры, уяснить себе,
где эти ограничения используются, а в прочих случаях
наложить такие ограничения, если они должны быть на-
ложены.
103
56.	A = [	+ УуУ1 ~ ^x + ] 2— X+_L =
L (/* + VT) Vx + y J 2 YT
_ Г (YT+_VT)Yx+y 12__ x+y_ = (KT+KV)2 (*+//) ,
[x4-2/x7+y — X—j/J	4.Y~xy (2/xT)2
L x + y __ x+y /x+2Y~xy + y _ J\ _
2 Y xy	2 Y xy \	2 Y ~xy /
— x + y . Х+_У_ _ (x + y)a
2Y xy 2Y~xy 4xy
.	V~a (a — 86)	УТ— 2 VT з/~r
57.	A = -3-z=--з7=- ar—- : --ч7=г-~Y a —
T<a4-2|/aft + 4|/&a	|/T
КТ1(/Т)8-(2|/Т)3]	yr ,3Z^-
(K^2+(K^(2VT) + (23/T)2 'K7-2VT y ° “
3 Г .3 i~*	3 /* о л
= j/aya-j/a2 = 0.
A = Г(v^)8-(^26)8 . Ytob(Y^+Y2b)l .
L(K^2-(t<2&)2 (Yf+ffi)2 J
(a + b) (Y^+ Y2b) _ ( Y& + Y^b + Y4b*
a+b	\	Y~^+Y2b
Y~2ab \
' Y~?+ Yu ):
1______
Y~?+Y2b ~
. (Y~?+3Y2b)2	.
(Y^+Y^)2
59. J - W*2 ~ У У2?	+ W)~3_+ 2x/7+y/7
_	xY~x + yYy
 з/x (Y~y — Y~x) _ (/Т— YT)3 + 2x V~xd-у У~у
r (YT)2-(Y~y)2	xYT+yYV
^Y~x Yxa-3xY y + 3yYx-Yya+2xrtYx~+yYy
Y~x+YT	xY~x+ yY~y
____3 Y~x   3xY x — 3x ]/~y~+ 3y Y~x    3 Y~x
Y~x 4- Y~y	x Y~x+ у Y~y_	Y^+ Y~y
_3/T(x—Yxy+y) t 3Y~x _ 3Y~x ____________
(KT)3 + (YT)3 KT+ Y~y ~ YT+ YT
104
60 Л _ I b (У~а~ V~b) Уa*b —Уab*
L-(^)2-(/T)2	^+ь	‘
(У^-УТ*)(У^-УТЬ^УТ*) I-1
(УТ-УТ) [(^7)3 + (ГТ)3] J “
_ [	УТЬ — У~аЬ* _ . I-1
Lr^+r> (>^)3+(3/T)3 J =
_ Гуг (У^- Уаь + y&- y^+ y^b) _ J ]-1 =
a + b	J
_ / b __j V1 ___ / — a __ a+ b
~\a + 6	/ ~\a + &/ ~~ a *
6i. л =	vУ~й) (/*+ V~y)~2—Vxy
x — y
. 2У~У _ v^— Уху + Уу* — Уху . 2У~у _
У'х+У'у	х — у	УхЦ- У~у
(У~Х — УуУ |	2 У~у __ У~^—У~у	2 ~7 _
У~у*  f УУ+ УТ УТ+ УТ ут+ УТ
_ УТ+УТ . J
Ух + Уу
R9 Л [У^-У~х):(У^-Уу*)+У7]у^(УТ+у-у) _
х+У-(х-УТу + у)
(- уг: (УТ+ УТ) + ГТ) УТ (УТ+ УТ).
Уху
^У^+УТУТ(У^+УТ) __
Уху
— —У^у + У^у + Уху = Уху _ |
Уху	Уху
О, А _ [У^ь(У~ь + у^) . 1-^ 1 • ГУ~?(У^-1) ,
63’ I У^+У~Ь + Vab ][ УТ-1
УТ(У^+!) ]
ут+i J
105
=	НГКГ « +1) -	=
\	у/ ab /
__ 1 .з/—  1
>/а& '* а~ 1Уа№
Kr-[f/'bx(y~x+ V~a):(VT+ y~a)+i^bx]2+l>x+3
• А==~~	(Г^+ГТ)2
(УЬх + у^Ьх)2 + Ьх + 3 _ 2/Т/й+бх + З
(УьЛ + /Т)2	(И^ + /D2
(Г&^ + /~з)а	.
“ (Г^+ГЗ)2 в1‘
106

г __ q 5	3
; Г /^4-/^ . /ТС/Т-ГТ)	(х — а)10 =
|_ Y~x	х — Уха + а J
1	3
- [(Г7 + ГЫГ* - ГЗ]' (х - а)" -
1	3	1
= (х — а)5 (х —* а)10 — (х — а)2 = ]/х—а.
. _ J	: [^4F(3/S 4- 8/^)1 -1
I	3/^-^
1 Г6 = (	___1 V6
^2х j \ У~а-^ 3/Ъс	^2х /
107
/a2 — V 4x2
1
• VTx
71 л [(а + х)(1 + ГТ)]2(1-УТ)\ ,
'1 • Я “	х2-2x4-1	Х
*-ах}/ а2 + 4ах + 4х2 = (а + х)2(1 х_ах /(а + 2х)2 =
(X 1)
= (а 4- х}2 х — ах (а 4- 2х)*= х3.
з
72- =
3
_____	4-	±
:Z*2-1 =(Кх2-1/=
L у*	J
= ^х2—1 : ¥х2 — 1' = 1.
7Ч л _ (Кх~4- 1)24-Кх~(У~Г—/~д) :(1/~х —К~а)— У~х _
2 /Т4- 2 (f ^-|-	: (KV4- Г 7)
= (/Т4-1)24-Г7-Г7 = (/7+ I)2 = /Т4-1
2/74-2	2(/х+1)	2
74. А _ [/	+ К 85^] .
( ==
‘ \ У~а — У2Ь У~а+ /2Ь /
* Здесь предполагается а + 2х > 0.
108
Г-.3/ a*(a3-8b3)	3Z-3--575]. /Г(/ a +/2ft -/T+/2ft)
[V (a — 2b)3 V a 00 J •	Z=2b	~
= V ? —8d® (—^7 — 1): -2X.2 У2Ь =
r	\a — 2b	J	a — 2b
=	=	<?-w.
и £0	4 у 0	*
V(ft3 —3ft2) /aft + (36 — 1) Vab
/ft3 — 1
У 66a =
=.	= b Va.
76 A
V (5 + 4x2)«
/2~ (/T+/a)

77. A =
= (x+/xa— I)2—(x —/ха— I)8 _ 4x/x2— 1 _ 4je
[x2— (x«— l)]/x2— 1	/x2— 1	—
109
80. Из данного выражения и из условия х > 0 видно,
что допустимыми значениями для х являются те числа,
которые удовлетворяют неравенствам 0<х<1. Отсюда
следует, что j/x2 = 4- х, а V(х I)2 = 1 х. Имея это в
виду, преобразуем выражение так:
УТ+х	(/1-х)2	1 (У1 -X*
УТ+х-~УГ^х /Г^х2'-(/Г^х)2J \
_1_\ _ /	/Г+7	, /Г^х	\ /Г^х2—1
х/ \ /1 + х — /1 — х yi+x—/1— х/ х
ут+х+ут^х t у 1 — х2 — 1
“ ут+х- уг^х ’	X —
_ (УТ+~х + УГ^х)2 уГ^-1 _
(14-х)-(1-х)	* х =
= 24-2/1 —х2 ' У1 —х2 — 1 = (/1 — х2)2 — 1
2х * х	х2
«2	(/5~+1)(1-У5+/Т)+(/5--1)(1+/^+/Т)..
2[(Ц-/Т)2-(Г5У]	Х
Х4-2/Т-4 _ 1-54- (/5~4- 0^4- 5-14- (/~5-1)/Т
ух УТ	2(х4-2/х — 4)	х
у х-b 2/х~—4 _ У~х- 2УТ _ .
Л У~х У~5	2 /Т /Т ~ *
НО
83. Так как ^(9 — 4 ]/~5 /" 2 + /5 =э
= /(9-4]Л5)(2+/'5)2= / (9-4]Л5)(9 + 4]/Т) =
=	92 —(4/~5)2 = у7 81 — 80 = 1,
то данное выражение
84.
(К ab -J> + Ь) (У~а + У b) __ _£ лГ Ь_ _1_ лГ а_
(а+ УаЬ — a) (У a — /b)	2 У а^2' b
Г1 1.д+УТ)~| = ( У^+fb a — b\ .
[ "*"	/а2 — V b* J \ У a — Vb "Г 2УаЬ/
о — & А. У а + У b
2 УаЬ/ У~а-УТ
__ / У а + У Ъ /а? — / &2 \ У а — УЬ = ।
~ \/Т— У1> 2УаЬ ) У~а + УТ ~ +
(У~^—УТ)2 _ 2 УаЬ + а —2 УаЬ + b _ я + &
+ 2УаЬ	2УаЬ	2 УаЬ
85. Так как 20 + 14/I]^6^4У~2 =
= ^(20+14/^)2(б-4/-2)3 =
=	22(10 + 7 |/’2)2-23(3 — 2/'2)3 =
=	(198 + 140 У~2) (99 70 У~2) =
111
= yf 2е(99 + 70 / 2)(99 — 70 / 2) =
= 2 у^992 —(70/Т/ = 2 yS 9801 — 9800 = 2,
то данное выражение
А = (1 + у у/~а У~а — За 4- 3 /а— 1) :
86. А = 9 (/4~54 —	9- у)-4—
— ]Г(3 —2/'2)3-82(5/‘2+ 7)2: У~8=
= 9 (/8^27 - у^у)"4-•
— 2^ (99 — 70 У~2) (99 + 70 У~2): 2 =
= 9 (Кб -	992 — (70/~2)2=9 (у/'б)-4—
/9801 — 9800 = 9	1 =9 •——1 =9 • —--1 =
\ У 6 /	6a	з2
= 4 — 1=3.
87.	А =	.	9а4	=
Lr а3	16(1—а)4 J V 9а3
,/16(1 — о) У/ 9а3	,/16(1 — а) 9а3	_
V 9а(1+а)Г 4(1—а2)	V 9а (1 + а) ' 4(1 — а2)
_ -.У й2 _	2Т“
V (1 + а)2 - У 14- а'
88.	4-[	|	1- J -Т4///-
L2/(l +х)8	2/(1 — X)3 J /1— X Г 1 + X
_	1 — Х + 1 + *	1 V 1 — X __
~ 2 /(1 +х)3(1 —X)3 ’ уг^х' уг+х ~
112
_______2/ПТх___________________1________
2 |/’(1 + х)Ч1—х)3	“ (1 + х) У (1—х)2 У1-Х
1
~ 1 — X2 ' '
89. А = х3
2(У*ч-Уу) Гз
У~х(У~х + У~у) J '
с= х3 /х3 = х3---^=^У X = 32х.
\ Y X )	х2 Ух
90. А = х(х — у)Ух — у + у(2х + Зу)Ух — у +
+ 2хуУ х — у — (х + У)2У х— у = (х2 — ху + 2ху +
+ Зу2 + 2ху — х2 — 2ху — у2) Ух —у = у(х + 2у) Ух—у.
91 л _ (а+У 1+а2) (а-/1+Я2)-(Г 1+а2-д) (Г1+а2+а)
/1 + а» (/1 + а2 + а) (К1 + а2 — а)
(а + У1 + а2) (2а — 2У1 + а*) =	2
~ /Г+а2 (а + У1 + а2) (У 1 + а2—а) ~	УТ~+~а2 '
92- Л =	„ (р + д} _	(Р + ф _
= Т“ ик'’>’>°.
то У (р + <7)2 = р + q-, У (р — q)2 = p — q.
Отсюда
А = р + д — р~д = — 2<7
Ур — ч	Ур — ч	У р — ч
, а - а-гт)2 Г 1+ут-1+утТ
л-ут[(1- УТ)2 + (1 + /Т)2] L 2 УТ(1-УТ2) . 
1	= (1-/Т)2	1 __ _	_1	=
2/Т(1— х) 2/Т(1 + х) * (1 —/Т)2	2J/T(1— х)
_	1___________1	_	— 2х = Ух
~2/Т(1+х)	2/Т(1— х) ~ 2/Т(1— х2) ~х2— 1
8 к. У. Шахно
113
_ (tn + x)2 — 1 Г2tnx — 1 + m2 + x2 T 1
“ (m -j- x — I)2 ’ _ 2mx .
m -|~ x 1 (tn -|- x)2 — 1 (m -f- x 02  (m—I)2 (m-f-x + I)2
m + x — 1 2/nx ~~ 2mx	2m (m — I)2 x
[m2 — 1 4(m — 1) x]2
2m (tn — I)2 x
Ho x (rn— 1) =3 1.
Поэтому A =
(m2_ J 1)2
2m (m — 1)
m4________m3
2m (m — 1)	2(m — 1) *
96. Так как k > 1, то
(1 [1 -
__L
] 2 _ -|/(1 + й)2 _ k+1
(Д + W J V (1 — k}> —	1 ‘
Поэтому
-i-iti-x=)-4'+и-4(4±]-+1)
al[(l-^"r-ll=.TCT-
Отсюда
__L	__i_
л-f * \ 2	I
л-\к~\}	v~k
+ Vk=\ = Vk=\ (i+p=)-.
— f 'j"2 I (2 —	। x
\ X /	' \ x / (x + I)2 ‘ (x — l)a
2 (x— 1)2 + (X_|_ 1)2 __ 2x2(l+x2) __ 2(n + l)2x2(l +x2)
x‘ (x+ l)«(x— I)2	(x«—I)2 — (n+ 1)«(*2=1)2
2(n+ l)*2[(n + l) + (n+ l)x2]
I(n + 1) - (n + 1)?
114
Но х2 =	= 4=i, a X2(n+l) = n-l.
1+n	"+1
Поэтому
Л - 2(n-l)[(n+l) + (n-l)l _ 2(n-l)-2n _ , _ n
A~ [(n-l)-(n + l)P	4	П(П	И-
98.	Так как а > 0, b > 0 и, следовательно, У а1 = а и
У& = Ь, то (а + х) (Ь + х) = (Уа? +У ab)(У Ь2 +]/ ab) =
<= У~аЬ (У~а + У~Ь)2, а (а — х) (х — Ь) =>
с= У~аЬ (У~а — У~Ь)2. Так как а > Ь, то
У(У~а-УЪ/ =>У~а-У~Ь.
Поэтому
д = У (а~ х)(х— Ь)— У<а + х)(х-т- Ь) 2=>
[У(а - х) (х - Ь) + У(а + х) (х + b)J
в УаЬ (У~а — УТ) — УаЬ (Уа~+ УТ)
[УаЬ (У~а — УТ) 4- УаЬ (У^+ УТ) J
Г (у-j-УТ) - (У1+ УТ) Т (-2Уь\2	ь_
L (Уа — У~Ь) + (У~а + У~ь) J	\ 2/1’ /	а'
лл . т3 + п8 , т3 + п3 + т3 — п3
99.	х 4- а — а ,--о- + а — а —~~-=з
1 т3 — п3 1	тл — пл
__ 2т3а л _	_ 2п3а х + а _ tn3
tn3 — п3 * Х а т3 — п3’ х — а
Поэтому данное выражение
а=+/ifl-2)2=+/S -2) =
—JL	_ JL
(m . п_р\ 2 _! т2 п2 — 2тп \ 2 ч /" тп
п ‘ т /	\ tnn / V (т — п)2 *
Но т > п и, следовательно, ]/(т — и)2 = т — п, так что
л =
tn — п*
115
2
100.	После вынесения хт за скобку, получим
2 г / т ~ 2	m —	2
хт (1 4-Х OTn ) — 4о2х тп l^x^-AL
Но х т = (а 4- /а2— 1)2 и 1 4- х mn == 1 4-
4- (а 4- V а2— О2 = 2а2 4* 2а ]/а2— 1 = 2а (а + У а2— 1).
Поэтому
М = [2а (а 4- У а2— 1)]8 — 4а2 (а 4- У а2— 1)2 =э
2
«я 4а2(а 4- Уа2— 1)2 — 4а2(а 4- Уа2— Р)2 = О и хт . 7И=0.
101.	(а+хТГ~*= (а+У~х)~Т^ [а 4- 2 /а^П]““=
______________________ 1
- [(а — 1)4-2/0^14- 1] 2 « [(/сГ^Т4- 1)2] ' 2 =
-(Г^Г+1)-1- 7=77-
Аналогично получим
(а-х^Г^ (а — У~х)~^'= [(/^Т- 1)2]"Л
Если 1) 1 < а < 2, то У а — 1 < 1,
J/ (/a^T- 1)2= 1 -Уа^Т, (а —х~)~т=
Поэтому данное выражение
А  L I L =
д 1 1	1 ш. а —-1	2 — л
Если 2) а >2, то/a—1>1,|Л(]/о—1 — 1)2=
= Уа^1- 1, (о —х’Г)~~= (Уа — 1 - 1)“‘ =
= 1 = 1 . 1 =
116
102 Л ...
\Ух2— а2 4- /х2+ а® /
(Ух2— а2 — У х2+ а2)212_	2х2 — 2 / (х2 + о2) (х2 — а2)
(х2 — а2) — (х2 4- а2) J [	— 2а2
]2
Но х2 = а2 •	, (х2 4- а2) (х2 — а2) =>
/ 2 т2 4-	2 W 2 /п2 + П2 2 1
= а2 --------h а2 а2 —тг------а2 =
\ 2тп / \ 2tnn /
= al (т + п^т-п^ =	V(x2A-d2)(x2-a2) =
4/и2л2
4/и2л2
2 п2 —/и2	.	. п
= а2 • —2тгГ~’ так как n m > 0 и, следовательно,
У(т2 — п2)2 = п2 — т2, а ]/т2п2 — тп.
Теперь можем написать, что
А - 1 a2 zn2 + n2
л ""	\ 2tnn
2 n2 — m2 ?	/ 2/и2 \2 т2
. --------- = --------- —---------
2тп /	\ 2тп ) п2
iaq л — Wm + х+ — *)2 _ 2/п + 2 ]Ли2 — х2
1и°*	(/4п+^)2-(К^х)2	2х
Подводя множитель х под знак радикала, мы считали
Ух2 = х, потому что х>0, как это следует из условия.
117
Таким образом,
л _^п2+ 1 , 1 -п2_ 2	1
2п 2п	2п	п *
104. А = [х ’ (х ’ +о ’)] “ +
4	2	2	1 Л 2	2 1
+ [0 3 (а ’+« ’)] !=х’(х ’+» !) ! +
2	2 J___1_ 1	1	2	2 !
г з ।	тд~ <z3 Га3 „з\2
к=	d J X d , Г1О X \1)	) j
2 2 2 2 2 2
3 1 3 3 3.3 1 3
х =6 —а , х +а = Ь .
Поэтому
2 1	2	2 1 1 J__L 2 JL.L
Л==(&3)2(У-а3)2а3==а3&3(&3-а8)2..
Лд,,2аП+^1<Г+^г1±аз
(Fl 4-х2) — Ха
е=2а}^ 14-х2 (К 1 4- х2 — х).
Но
х =	УнТ? = -I /1 4-
2 Vab	|/	\ 2 Vab)
У \2Vab] 2 Vab
Поэтому
А —9л аАгЬ (а + Ь _ а—ь\	a(a+b) 2Ь	,
2Vrt\2VTb	2VM)	VM	2V^b	+
106. Подставляем в выражение х34- 12х значение х и
пользуемся формулой
(т — п)3 — т3 — Зтп (т-~п)— п3.
А = [уТ4(У54- I)]’—ЗрТ4(/54-1) 4(]/'5-И) х^
118
4(j/5 —1)]3+ 12х = 4/54-4 — 3/ 64х-^
_4/54-44- 12х = 8 — 12x4- 12х = 8.
107. Подставляем значение х в выражение х3 4- ах 4- b
и пользуемся формулой (т 4- п)3 = tn3 4- Зтл (т 4- п) 4- п3.
Ъ/~ аз
= 3 у — -^-х 4- ах = — ах 4- ах = 0.
108. Вынесем за скобки х". Получим
п	п п	п п п
llQX^ab"71 I (art+1—= (а'г+1—&" + 1): bn+,=
и A — x" M = 0.
У"0
119
109.	Так как /2+/5^—38 + 17 / 5 =
*= Л2 + /3)3(- 38+17 /З) =
= ^(38+ 17/3) (—38+17/3) =
= у/(17/3)2 —382 = 1,
то данное выражение
^4 - * — тх т /1 + я*
1 + /их V 1 — пх *
Преобразуем теперь каждый множитель отдельно:
п ш 1 —
п
так как из условия п>/п следует, что ]/ (т —п)2=л—т.
f 2т
Итак, А	—	 	\ п	/ 	 (п — /и)2	г	It п-^т (т — п)2	. (т — п)2
120
п / п* / п п \
ПО. л = |/ хп+'1(х1+1+а"+7 +
п f пг f п п \
+ ]/ a"+V+1+xn+7--l==
п / п п ( п / п* п / п* \
= ]/ хп+1+ап+1\|/ хп + , + ]/ ап + 1) —1=1
(п	П \\ f п	п \	/ п	п \n-f-l
x'1+1+a'l+1M^+1+a"+'J- 1—\х"+1+а',+ 7 "
’ п п п п п п
Но xn+1 = 6n+1—a"+1, a xn+1+a'l+‘ = 6r”,il.
/ п \п~ь1
Поэтому А — \Ь"+ 7 " — 1 = ft — 1.
— /“ п \
-2/оу ) + У =
______ r , . п—2k ___ . п—2k
=	" -2]/|(л) » +1]+Л
Но
2п	n~2k
х __ (У Ь —Уb — a)n~2kt 1_х\ 2п __ У Ь — У Ь — а
а	п	' \а/	“
^п-2Л	Г
а
=
Поэтому
_|/fZi)+1] + i, = (A-2yi1/r2i +
+4 -1 -2 • 4+2 /? /F-”1 + >)+v=Л
121
112. Так как	= (2+ / 3)п,
то
л=[(/ZE/+1 - 4-j/gl] +1 »
= /'(7=И)2[(2+/'3)2+ 1-4(2+Уз)] 4- 1 =
=^(х-1)п(4 + 4/’3 + 3+ 1— 8— 4/3) + 1 = 1.
114. Воспользуемся формулой
]/л+>7г-8 +/
для преобразования знаменателя левой части доказываемо-
го равенства. Получим
, Г---7=^=,- 1 / а +	। 1 /
уа + Уа2 — Ь2 ,у 2 у 2
Обозначая левую часть равенства буквой А и используя
полученное выражение для знаменателя, можем написать
Л = д/2«
2а + /а2 — 6«
2а+Уа^Ь^
+ K^l&i
122
9h (2а + Уа^-Ь^(Уа + \Ь\-Уа-\Ь\) _
= -А [а + \b\ + ]/(а + |&1) (а —PI) + а-Pl] (/^Тр|-
Если |&| < а, то все выполненные выкладки будут спра-
ведливы, так как корни являются арифметическими. Полу-
ченное выражение равно правой части доказываемого ра-
венства. Действительно, при 0 < Ь < а имеем р| — Ь и
утверждение очевидно. Если b < 0, то р| = — Ь. В этом
случае получим
- [(/5^)3_ (/мГ&)3] = (/ГО)3- (/ГО)3,
т. е. то, что требовалось доказать.
115. Пользуясь формулой преобразования радикала
]/л+/В (см. решение задачи 114), получим
]/~х + 2 / х— 1 Ч-рО —-2 /х — 1 =
91 /х + Г х«-4(х-1)	Л+Г(*-2)2 _
z у	2	V 2	~
«2 ]/^±|=^ = 2.
Здесь мы положили /(х — 2)2 = 2 — х, так как по усло-
вию х < 2.
II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
116.	Существование единственного решения х =-
уравнения ах + b = 0 при а #= 0 вытекает из однозначной
выполнимости деления в любом числовом поле.
117.	I. Необходимость. Пусть данные уравнения
совместны, т. е. существует такое значение х, которое
удовлетворяет и первому уравнению, и второму. Так как
каждое из них имеет единственное решение и эти реше-
^1	^2
ния суть х = — и х = •--то отсюда получаем
—— = ь— — или ахЬ2 — а2Ьк => 0.
123
II.	Достаточность. Пусть выполнено условие
аД — a2bt = 0. Из него следует, что — = — или — —1 —
^2
Ьп Т Т ^1	Ь'1
= —Но —и —являются решениями соответ-
ственно первого и второго уравнений, в чем можно -убе-
диться подстановкой этих значений в уравнения. Выходит,
что рассматриваемые уравнения имеют общее решение,
т. е. они совместны.
118.	Совместны. Их общий корень х = —1.
119.	Совместны. Их общий корень х = 4.
120.	Вычтем из первого уравнения второе. Получим
(а— 1) (х— 1) = 0. Отсюда а = 1 или х — 1. Подставляем
х = 1 в первое уравнение. Эта подстановка дает а — — 2.
Следовательно, уравнения совместны при а = 1 и а = — 2.
12'1. Равносильны, так как второе получено из первого
прибавлением к обеим частям равенства одного и того же
многочлена х2 + 1.
122.	Не равносильны. Первое имеет корни 1 и 2, а
второе только корень 2.
123.	Не равносильны. Первое имеет только один ко-
рень х = — 1, а второе только один корень х = 1. Число
— 1 не является корнем второго уравнения в области ве-
щественных чисел, так как ]/х — 1 в этом случае не име-
ет смысла.
124.	Не равносильны в поле, действительных чисел.
Первое имеет корни х = 8 и х = — 1, а второе только
х = 8.
125.	а(а—1)х = 2(а—I). Если а =/= О и а=£1, то
о
х — Если а = 0, то уравнение не имеет решений. Если
а = 1, то уравнение удовлетворяется любым значением х.
126.
х — тп
, m + п
р) +
х— рт
> р + т
т
х — (тп, Ч- пр -|- рт)
m + п
х—(тп пр рт) . х—(тп+пр+рт)
р + т	п + р
= 0,
|—1---h т-Ч--1---п—) I* — (тп + пр + рт)] = 0.
\т+п 1 р+т ' п±р/ ' f-ir/j

124
Если т у- +	= 0, то уравнение удовлетво-
ряется любым значением х.
127.	(±±A^+i) +	+ + (£±£Z^+1)_
—(4 — a+V + е)= °* (“+(,+c-*)(i + T + 4~
-5+7+7) = °' Множитель Л = 1 + ± + ±-
не равен нулю. Действительно, пусть, например, а > Ь >
> с > 0 (случай отрицательных а, b и с легко привести к
рассматриваемому). Тогда
Л —	1	(д + & + с I a+b + с , a+b + с Л
a-|-h-|-c\ а	‘ b	с	)
- 1 - Р + с с + а а- (а+Ь — 1YI О
“a + b-bcL а + b с J/J * °’
так как все слагаемые в квадратных скобках положительны
( а+-~ > С + С- > 2^. Сократив последнее уравнение на этот
множитель, получим а + Ь + с — х = О, откуда х = а +
+ Ь + с.
128.	Так как | а | = а, если а>0 и |а| =— а, если
а < 0, то данное уравнение при х > 1 приводится к урав-
нению х — 1 = 2, а при х<1— к уравнению
<—(х—1) = 2. Из первого найдем xt = 3, а из второго
х2 = “ 1.
129.	Если х< 1, то |х— 11 = 1 —х, |х —2| — 2 — х
и данное уравнение приводится к такому: 1 — х + 2 —
— х = 1. Из него находим х — 1. Если 1 < х < 2, то
|х—1| = х—1 и |х — 21=2 — х. Левая часть данного
уравнения равна 1 при всяком х из рассматриваемого про-
межутка, а так как правая тоже равна 1, то при всяком
х, удовлетворяющем соотношениям 1 < х < 2, уравнение
удовлетворяется. Наконец, если х > 2, то ] х — 11 — х — 1,
|х — 2| = х — 2, и данное уравнение приводится к урав-
нению х— 1 +х —2 = 1, которое не имеет решений х>2.
Итак, уравнение удовлетворяется, если 1 < х < 2.
130.	Поступая так же, как в задаче 129, найдем, что
данное уравнение приводится к следующим смешанным
(т. е. содержащим равенство и неравенство) системам:
125
1)	2 — х + 3— х+8— 2х = 9, х < 2;
2)	х — 2 + 3 — х + 8 — 2х = 9, 2<х<3;
3)	х — 2 + х — 3 + 8 — 2х = 9, 3<х<4;
4)	х — 2 + х—3 + 2х—8 = 9, х>4.
Первое уравнение имеет корень х— 1, который удовлетво-
ряет неравенству х < 2. Второе уравнение имеет корень
х = 0, но он не удовлетворяет неравенствам 2 < х < 3.
Третье уравнение не имеет решений, так как его левая
часть равна 3, а правая 9. Четвертое уравнение имеет ре-
шение х = -у, которое удовлетворяет неравенству х > 4,
Поэтому данное уравнение имеет следующие решения;
1	И
%£ — 1 J -- 2 *
131.	40(|х|—1)-“5 (|х| —5) + 4 (14 —2|х|) = 80(|х| —•
— 9) — 140, 53|х| = 901, |х| = 17; х, = 17, х2 = —17..
132.	После легких преобразований получим 4х + 8 =
= 5|3х — 5|. Если |3х — 5| = 3х—5, т. е., если х>-|-,
то4х + 8 = 15х — 25 и х — 3. Если |3х —51=5 — Зх,
17
то найдем х = -уд-.
133.	Поступая так же, как в задаче 132, найдем х=4.
В отличие от предыдущей задачи здесь только одно реше-
ние, так как предположение |3х —2| = 2 —Зх приводит
к противоречию.
134.	Преобразуем числитель, воспользовавшись форму-
лой суммы кубов двух количеств. Получим
(2т — Зп) [(2т — ах)2 (2т — ах) (ах — За) + (ах Зп)2] __ -	„
(2т_аА;)2 + (ах_з„)2	лп-
Если 2т — Зп =# 0, то, сократив обе части уравнения на
2т— Зп, освободив уравнение от дробей и приведя подоб-
ные, найдем (2т — ах) (ах — Зп) = 0. Отсюда хх =
х2 = —. Если же 2т — Зп = 0, то уравнение удовлетво-
а
ряется любым х, не равным —.
135.	Является.
136.	Одно, а не три, как иногда говорят учащиеся,
потому что по определению решением системы называется
126
такая совокупность численных значений неизвестных, ко-
торая удовлетворяет каждому уравнению системы.
137.	Могут быть эквивалентными, но могут и не быть.
Например, системы
( х + у — 2 = 0;	( Зх —г/ — 2 = 0;
| х—Зу + 2 = 0 И | 6х — 2г/— 4 = 0
имеют общее решение х = у = 1, но не эквивалентны.
138.	Может быть эквивалентна данной системе, но мо-
жет и не быть. Так, например, взяв /пх = 1, т2 = 2, /^—2,
п2 = 4 для системы
1 х + 2у — 4 = 0;
I 2х — Зу — 1 = 0
получим
| 5х — 4г/ — 6 = 0;
| 10х— 8у —< 12 =0.
Система первая не эквивалентна системе второй.
139.	Если х = х0 и у = у0 удовлетворяют первой сис-
теме, то очевидно, что они удовлетворяют и второй систе-
ме при всяких тг, т2, п1г п2, в частности, при таких, для
которых туг2 —	=# 0.
Пусть теперь х = хх и у = yt есть решение второй сис-
темы. Покажем, что оно будет решением также и первой
системы. Для этого подставим во вторую систему х — xlt
у — у1г затем умножим первое уравнение на л2, а второе
на т2 и из первого результата вычтем второй. Получим
(гад — m2nt) (а^ + biy1 + cj = 0.
Отсюда ад + Ьгух 4- cr = 0, так как пцц — луц 0. Умно-
жая затем первое уравнение на nt, а второе на /лх и вы-
читая из второго результата первый, получим
(лгхл2 — т2лх) (а2хх + b2yt 4- с2) = 0.
А так как тгп2 —	=# 0, то а2хг 4- Ь2ух + сх = 0. Теоре-
ма доказана.
140.	Нет не верно. В качестве примера, для которого
это утверждение не имеет места, можно взять следующую
систему уравнений:
Г ах 4- by 4- с = 0;
( ах 4- by -j- с = 0.
127
Однако, если в первой системе Задачи 139 аД — a2^i =/= О,
то для такой системы, как легко показать, сформулирован-
ное в задаче предложение верно.
141.	Нужно, если предварительно не была доказана
теорема, сформулированная в задаче 139. На самом деле,
система
% = С2^1 — •
01^2 — #2^1 *
_ a2gi —
‘	#1^2 — #2^1 9
являясь выводной из данной, очевидно, удовлетворяется
теми значениями х и у, которыми удовлетворяется данная.
Но есть ли такие числа, иначе говоря, существует ли ре-
шение у данной системы,— из решения не вытекает. Та-
ким образом, можно лишь утверждать, что если данная
система имеет решение, то найденные значения х и у да-
дут его. Существование решения мы докажем, если прове-
рим подстановкой, что найденные значения х и у удовле-
творяют данной системе.
142.	Умножая первое уравнение на &2, а второе на
— bY и складывая новые уравнения, получим
(axb2 — а2Ьг) х 4- сгЬ2 — c2bY = 0.
Умножая первое данное уравнение на —а2, а второе на
и складывая, получим
(atb2 — a2bj) у + ед — сха2 = 0.
Так как atb2 — a2br 0, то новая система, имеющая един-
ственное решение, эквивалентна данной (задача 139).
'	Р( х)
143.	Если есть несократимая дробь, т. е. если чис-
литель и знаменатель ее не имеют общих множителей, то
Р(х)
уравнения = 0 и Р(х) = 0 равносильны. В общем слу-
чае— не равносильны.
144.	Корни второго уравнения, очевидно, являются
корнями первого. Однако не всякий корень первого урав-
нения удовлетворяет второму. Поэтому в общем случае'
они не эквивалентны.
145.	Решив систему двух первых уравнений, найдем
х = 2, у=1. Подставив эти числа в третье уравнение,
получим а = 3.
128
146.	Известно, что система
f ахх + bxy = сх;
I а2х + thy = са
будет несовместна, если отношения коэффициентов при
одинаковых неизвестных равны, но они не равны отноше-
нию свободных членов, т. е. если — = ф #= —, и неоп-
^2 О2 <?2
ределенна, если три коэффициента одного уравнения про-
порциональны трем соответствующим коэффициентам дру-
гого, т. е. если — = ф = —. Применяя это к данной
с>2	,^2 Г
системе, устанавливаем, что для неопределенности ее нуж-
но, чтобы -В- —	т. е. чтобы а = — 12 и b - 36,
3	— 4	12
а для несовместности а = — 12 и Ь =# 36.
147.	Решив первые два уравнения относительно х и у,
найдем:
Л —	У —	+	*
Подставив найденное значение х и у в третье уравнение,
получим следующее уравнение для определения k:
_	(1 + fe)3 (12-6) (k+1) __ _ .	.
£2 + £__1 “г +	1	— U -г
Из него найдем k± — — 1, k2 = 5.
148.	Решая первые два уравнения, найдем, что х = 4,
у = — 1, если т =# 3 и любые х и у, удовлетворяющие
первому и второму уравнениям, если т = 3. Подставляя
х — 4 и у = — 1 в третье уравнение, найдем, что для
совместности требуется, чтобы т = 3. Отсюда заключаем,
что при /и =# 3 система несовместна, а при т = 3 хотя
и совместна, но неопределенна, так как приводится к сле-
дующей:
Зх + 2у = 10;
- Зх + 2у = 10;
6х + 4у = 20.
149.	Не противоречит. Первое справедливо при с = 0
и любых а и &, а также при а = 1 и любых Ь и с, т. е.
является уравнением. Второе же справедливо при любых
а, Ь и с и является поэтому тождеством.
9 К. У. Шахно
129
150.	Из второго уравнения видно, что у—1 =
= _1|х4-1|>0. Поэтому \у — 1| = у—И и система за-
пишется так!
I |*+ Ц + у- 1 =5;
||х+1| = 4у-4.
Исключая | х + 11, получим 4у —»4 -|- у — 1 =5, Отсюда
у = 2. Подставляя у=2 в первое уравнение, найдем
। х + 11 = 4. Если х + 1 > 0, то получим уравнение
х | с= 4 и из него найдем х = 3. Если х 4- 1 < 0, то
получим уравнение — х—1 = 4 и из него найдем х=—5.
Таким образом, система имеет решения: Xi = 3, уг = 2;
х? =	5, уг = 2.
151.	Из второго уравнения видим, что у — 5=| х — 11 >0
и, следовательно, |у —5|==у —5. Теперь система запи-
шется так:
| |х—1-|4-у —5 = 1;
{ | х —»11	5 — у — 0.
Из нее находим | х— 11 — у, т. е. х— 1 =• ± у. Отсюда
3	11.	1	11
= 2 ’ У* в 2 ’ Х* = 2 ’	~ 2 '
152.	Из первого уравнения находим, что 5у = — 3 |х|—
•—9, т. е. что у<0 и, следовательно, |у| =— у. Из вто-
рого —• 2х = | у | + 7, т. е. х > 0 и | х | = х. Система при-
нимает вид
| Зх + 5у + 9 = 0;
I 2х 4- у — 7 = 0.
г,	.	44	39
Решив ее, найдем х = -у, у = •—
153.	Данную систему можно записать так:
j х — у =» ± 2;
1 ± х + у =• 4.
Во втором уравнении достаточно брать только верхние или
только нижние знаки. Решив четыре системы, найдем сле-
дующие решения: xt = 3, у, = 1; х2 = 1, у2 = 3; х8 = •— 3,
Уз = — h х4 = — 1, у4 = — 3.
130
154.	1) Пусть у > 0. Тогда \у\ — у и второе уравнение
будет иметь такой вид: | х | + у = 1. Найдя из него
у == 1 — | х | и подставив это значение у в первое уравне-
ние, получим | х 4- 1 — |х| | = 1. Отсюда х— | х | = 0,
| х | = х и, следовательно, х > 0. Итак, если у 0, то и
х > 0. Система же в этом случае примет такой вид:
( х + у = 1;
( х + «/= 1.
2) Пусть у < 0. Рассуждая так же, как в первом слу-
чае, докажем, что тогда и х < 0, а система будет иметь
вид
( х + у 5= — 1;
I х + у = —- 1.
Таким образом, системе удовлетворяет любая пара не-
отрицательных чисел, сумма которых равна +1, а также
любая пара неположительных чисел, сумма которых равна
— 1.
155.	Решив систему, найдем:
_15п + 7.	_7«—10
Х ~ Зп2 + 2 ’ V ~ Зп?+2‘
Так как Зп2 + 2 > 0, то для того, чтобы было х > 0, а
у < 0, необходимо и достаточно, чтобы п удовлетворяло
4	7	10
неравенствам 15п + 7 > 0, 7п— 10 < 0 или —
Очевидно, таких значений только два: 0 и 1.
156.	Разложим трехчлен х2 — Зх + 2 на множители.
Получим х2 — Зх + 2 = (х—1) (х — 2). Отсюда ясно, что
для того, чтобы данный многочлен делился на трехчлен
х2 — Зх + 2, достаточно, чтобы он делился на х—1 и на
х — 2. Но по теореме Безу остаток от деления многочлена
на двучлен х — а равен значению этого многочлена при
х = а. Применяя ее к двучленам х — 1 и х — 2, получим
1—З + З + а + 6 и 16 — 24+12 +2а+ 6. Для того
чтобы деление нацело было возможно, необходимо и до-
статочно, чтобы эти остатки равнялись нулю. Отсюда по-
лучаем систему уравнений для определения значений а и b
f а + b = — 1;
| 2а + b = — 4.
Решив ее, найдем а = — 3, b — 2.
9*
131
157.	Дискриминант трехчлена х2 —Зх + 4 равен
З2 — 4 • 4 = — 7<0. Следовательно, корни трехчлена ком-
плексные, и применять в этом случае метод, основанный
на теореме Безу (см. задачу 156), хотя и можно, не сле-
дует, так как он приведет к большим вычислениям. Для
решения задачи другим методом будем делить данный
многочлен на данный трехчлен по правилам деления мно-
гочленов
х4 — Зх3 + Зх2 + ах + b ’“х4 —Зх8 + 4Х2	х2 — Зх + 4 х2— 1
— х2 4- ах 4- Ь
— х2 + Зх — 4
(а — 3) х 4- b 4- 4
Так как в остатке получился многочлен степени более
низкой, чем степень делителя, то дальше производить де-
ление невозможно. Чтобы деление многочлена на трехчлен
было выполнимо нацело, нужно подобрать значения а и Ь
так, чтобы остаток стал равен нулю. Очевидно, для этого
достаточно (да и необходимо) положить а = 3 и b = — 4,
т. е. потребовать, чтобы коэффициент при х и свободный
член остатка обратились бы каждый в нуль, что приведет
к системе а—3 = 0, 6 + 4 = 0. Этим методом можно бы-
ло бы решить и предыдущую задачу (№ 156).
158.	Остаток от деления многочлена на (х — а) (х — Ь)
будет многочленом первой степени. Обозначим его через
тх -}~ п, а данный многочлен через f(x). Получим тожде-
ство.
f (х) = (х — а) (х — Ь) ср (х) + тх + п,
где ср (х) — частное. Положив в равенстве х = а и х = 6,
получим систему для определения тип
( А = та + п\
( В = mb + п.
о	«	А — В	аВ — ЬА
Решив ее, найдем, что т =---------г; п =--------=—.
’	’	а — b	а — b
Отсюда искомый остаток
.	А — В . аВ — Ь А	л
тх + п —------т- х4------г— = А
‘	а — Ь 1	а — Ь
+в-
х — а
Ь — а'
х — Ь
а — Ь
132
Впрочем, нетрудно и непосредственно без вычислений
сообразить, что остаток будет иметь такой вид, если учесть
теорему, сформулированную при решении задачи 29.
159.	В этом случае остаток от деления будет много-
членом второй степени: /их2 4- пх + р. Поэтому, поступая
как в задаче 158, найдем систему для определения чисел
т, п и р:
А = та2 -f- па + р;
. В — mb2 + nb-\- р;
С = тс2 + пс + р.
Решив эту систему относительно т, п и р и подставив
найденные значения пг, п и р в остаток тх2 4- пх 4- Р,
получим после несложных преобразований тх2 4- пх + р —
— А . (* ~ <х ~ е) I о. (х — с) (х — а) . г. (х — а) (х — &)
(а — Ь)(а — с) (6 — с)(Ь—а) ‘ (с —а) (с — Ь) *
Нетрудно и без вычислений сообразить, какой будет
вид остатка, особенно если учесть теорему, приведенную в
решении задачи 29.
160.	Разделив многочлен х8 + рх 4- q на многочлен
х2 — 2ах 4~ а2, найдем остаток (р -f- За2)х — 2а3 4- Я- Так
как остаток должен тождественно равняться нулю, то по-
лучим уравнения р 4- За2 = 0 и — 2а3 4~ <? = 0. Из первого
найдем, что а2 -----или а6 — — Из второго най-
дем, что а3 = ~ или а6 = Сравнивая эти два значе-
ния а6, получим следующее соотношение между р и q,
которое необходимо должно выполняться для того, чтобы
деление рассматриваемых многочленов было возможно:
= 0. Значение а проще всего получить разделив
значение а3 на значение а2, найденные выше. В результате
получим а = —
161.	Так как старший член данного многочлена есть х4,
то искомый многочлен имеет вид х2 4- рх 4- q. Отсюда по-
лучим тождество
х4 4- 2х® 4- ах2 4- 2х 4- 6 = (х2 4- рх 4- q)2
или
х4 4- 2Х3 4- ах2 4- 2х 4* 5 = х4 4- 2рх® 4~
4- (р2 4- 2q)x2 4- 2pqx 4- q2.
133
Но в равных многочленах равны коэффициенты при оди-
наковых степенях буквы х. Приравнивая коэффициенты
при х3, взятые из левой и правой частей равенства, затем
при х2 и т. д., получим следующую систему уравнений:
2 = 2р; а = р2 + 2q\ 2 = 2pq\ b = q2.
Из нее легко находим р = 1; q = 1; а = 3; 6=1. Иско-
мый многочлен имеет вид х2 + х + 1.
162.	Освободив равенство от знаменателей, получим
тождество
(Л + В) х2 + (В + С) х + А + С = х + 3.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях буквы
х, взятые из левой и правой частей этого равенства, при-
дем к системе
’ А + В = 0;
- ВЧ-С= 1;
А + с = 3.
Из нее найдем: А = 1; В = — Г, С = 2.
163.	Решив систему трех первых уравнений, получим
х = 1, у = — 1, z = 3. Но эта тройка чисел не удовлетво-
ряет четвертому уравнению. Следовательно, данная система
несовместна.
Можно поступить иначе. Сложить второе и третье
уравнения и из результата вычесть первое. Получится
уравнение 8х — 8у — 2г — 10 = 0, которое противоречит
четвертому.
164.	Приравнивая левые части первого и третьего урав-
нений, найдем
X (1+4) = [Л (1-4); (X + И)-f = и - X.
Если К + |л #= 0 или, что одно и тоже, X #= — jx, то у =
р — Х
р. + X
= b •
. Подставляя найденное значение у в первое и
второе уравнения, получим систему для определения х и г
х . z _____________ 2 ).р.
а ' с р. X *
х	z	___	2
а	с	~~ р. 4- X *
134
Складывая, а потом вычитая почленно эти уравнения, най-
дем:
х ~ а
^+1.
P- + V
Ь —1
Р- + ’
Если подставить найденные значения х, у, z в четвер-
тое уравнение (им мы не пользовались), то получится тож-
дество.
Отсюда вывод: если — pi, то данная система сов-
местна.
165.	х = — у ~ t\ г = t, где t — любое число.
_______* — а_______=у — Ь =
(a -j- b 4~ с) (b “I- с — a) (л 4~ b 4~ с) (с 4~ яЬ)
_________г с__________
(а + Ь + с) (а + Ь — с)’
Сделав сокращения и воспользовавшись свойством равных
отношений, получим
х — а ___ у — b __ z——с _ (х 4- # 4- z) — (а 4- Ь 4- с) _
c-\-b — a а 4- с — Ь~ а 4- b — с	а-{-Ь-\-с
(^ — 1)(Д + ^ + ^) = k _ J
cl 4- b 4~ с
Отсюда:
х = а + (k — 1) (с + Ь — а); у = b + (k — 1) (а + с — 6);
z = с + (k — 1) (а + Ь — с).
167.	Умножив первое уравнение на —а2, второе — на
а, третье — на —1 и сложив полученные уравнения, най-
дем [— а2 + а (Ь + с) — be] z = — 1, откуда z =
Затем, умножив первое уравнение на —с2, второе — на с,
третье — на — 1 и сложив полученные результаты, найдем
х — (а c^Zl'c)' • Подставляя найденные значения х и у
1
в первое уравнение, получим у =	' ь) (Г— с) *
168.	Сложив три уравнения данной системы, получим
следующее выводное уравнение: (а + Ь + с) (х + у 4- z)=0.
Так как а + b + с 0, то оно приведется к следующему
эквивалентному: х 4- У + = 0. Полученное уравнение есть
следствие уравнений данной системы и если мы добавим
его к данным трем уравнениям, то новая система из четы-
135
рех уравнений будет эквивалентна данной. Теперь рассмат-
риваем эту новую систему. Из четвертого уравнения нахо-
дим у + z = — х и подставляем это значение х в первое
уравнение. Получим — (Ь + с) х — ах = b — с, откуда
х =	". Аналогично найдем у =* - ° =4—
а + b + с 	у Ь + о
Ь — а
И г~а+Ь+с
169.	I) Если а + & 4-с =/= О и среди чисел а, b и о
есть различные, то система имеет единственное решение
х = у = г= 1. Оно найдется обычным способом исключе-
ния неизвестных, рассмотрев, например, первые два урав-
нения и уравнение х + у + г = 3, которое получится как
следствие уравнений системы, если все три уравнения сло-
жить почленно.
2) Если а + b + с ф 0 и а = & = я, то система прини-
мает вид
х + У + г — 3;
х -J- у -j- z = 3;
, * + У + г = 3.
В этом случае любые три числа х, у и г = 3 — х — у
являются решением системы.
3) Если а + Ь + с = 0, но не все числа а, b и с равны
нулю (в этом случае любая тройка чисел удовлетворяла бы
системе), то, пользуясь равенством а + b + с = 0, можем
привести данную систему к следующей:
ах + by — (а + Ь) г = 0;
- Ьх — (а 4- Ь) у + аг = 0;
> — (а + Ь) х + ау + Ьг = 0.
Из нее видно, что третье уравнение есть следствие пер-
вых двух и что любые три числа, равные между собой,
будут решением системы.
Замечание. Если бы числа а, b и о могли прини-
мать комплексные значения, то пришлось бы рассмотреть
еще один случай. Именно, если бы одновременно было
а г b + с = 0 и а2 + ab + б2 = 0, то два уравнения дан-
ной системы были бы следствием третьего. В этом можно
было бы убедиться, например, так. Положив с = — (а + Ь)
в первом уравнении, получим уравнение ах + by —
— (a + b)z = Q. Умножив его на b и положив —ab—a2
136
и ab 4- b2— — а2, получим уравнение bx — (a 4- b)\ y+az=Q,
которое совпадает co вторым (a 4-&=—с). Аналогично
можно показать, что и третье уравнение системы есть след-
ствие первого.
В рассматриваемом случае любая тройка чисел, удовле-
творяющая уравнению ах 4- by 4- cz = 0 есть решение си-
стемы.
170.	Так как х, у и г не равны нулю, то система рав-
носильна следующей:
ау Ьх 1 аг 4- сх ____ 1 Ьг 4- су
£
a
с * гх Ь ' уг
1. a	.	с	_	1 Ь с	_ 1
х	'	г	~	Ь	' У	* ~z а
или
а_____Ь _____
~ + V
Сложим почленно последние три уравнения. Получим:
2	4- А 4-	= ± _|_ 1 +1-
\х ' у * г/ а ’ Ь 1 с
^. + ± + £_ = ± (± + ± + Г)
х ' у ' г 2 \ a ' Ь ‘ с/’
Это уравнение вместе с теми тремя, из которых оно
получено, образует систему, эквивалентную данной. Вычи-
тая из четвертого уравнения этой системы третье, найдем
а 1/1,1	1\	2a2fo А
— — -й- -т- 4-----, откуда х = —;—г—7-. Аналогично
х 2 \Ь ' с а/’ J	ас 4- ab—Ьс
2b2ca	2с2аЬ
получим: у = —г . .---2 — т—:-------7.
J у аЬ 4- Ьс — са' Ьс 4- са—аЬ
171.	Обозначим равные отношения буквой t. Тогда по-
лучим систему
xi—ai	х2 — а2	— ар
	 	 j-э — 	 — р
гпх------------------------т2-тр
*1 4- *2 4- - 4- ХР = а
ИЛИ
Х1 = а1 4~ х2 =т= а2 4-	•••;
ХР = ap+ mpt'> Х1 + х2 4- ••• 4- хр = а.
Решение заданной системы и этой суть равносильные
задачи.
Подставляя значения хъ х2,...» хр, найденные из пер-
вых р уравнений, в последнее, придем к следующей сис-
теме:
137
xi — ai + х2 = а2 4- m2Z;хр = ар + mpt\
t (mr + m2 + - + mp) =a — a^ — a^— ... — ap.
Введем обозначения: /их 4- m2 4-... 4- тр — А на - at—
— а2 — ...— ар — В. Тогда последнее уравнение примет вид
At = В. Если А Ф 0, то t — ~ = - д~ ~а2~'ар  и
A mt 4- т2 + ... + тр
данная система имеет единственное решение, которое по-
лучим, если подставим найденное значение t в формулы
xi = ai + т^> х2 — аг 4- wi2/;...; хр = ар 4- mpt. Если А = О,
но В #= 0, то уравнение At — В не имеет решений, а сле-
довательно, и система не имеет решений. Если А = 0 и
В = 0, то уравнение At = В обращается в тождество. Сис-
тема в этом случае имеет бесконечное множество решений,
КОТОрые МОЖНО ПОЛуЧИТЬ С ПОМОЩЬЮ формул = Oj 4- triit',
х2 = а2 4- tn2t\...; хр = ар 4- mpt, где t — любое число.
172.	Если х1 и х2— корни данного уравнения, то по
условию х2=х%, а по теореме Виета — а3 и Xi4-*? =
= Отсюда: ' а\ а2 4- а —= 0; ах =
5
а2 =	2 .
173.	Известно, что если алгебраическое уравнение с ве-
щественными коэффициентами имеет комплексный корень
а 4- Ы (Ь ф 0), то оно имеет и сопряженный ему корень
, . -	1 + i (1 + i)2
а — bi. Так как хг =	: = \ 2-/8 = <> то второй корень
искомого квадратного уравнения будет х2 — — i. Отсюда,
пользуясь теоремой Виета, получим квадратное уравнение
г + I = 0.
174.	Квадратное уравнение имеет равные корни тогда и
только тогда, когда его дискриминант равен нулю. Отсюда
получаем уравнение (5а 4- 2)2 — 4 (5а — 1) (За — 2) = О для
определения соответствующих значений а. Решаем его:
35а2 — 72а 4-4=0; ах = 2; а2 =
175.	Чтобы квадратный трехчлен был полным квадра-
том, необходимо и достаточно, чтобы он имел равные кор-
ни, что будет иметь место в том и только в том случае,
когда дискриминант трехчлена равен нулю. Поэтому полу-
чаем [т (т — I)]2—-4-36 = 0, т(т — 1) = ± 12: а) т —т—
— 12 = 0; т1 = 4, т2 = — 3; б) т3 — т 4- 12 = 0 — дает ком-
плексные значения т.
138
176.	Дискриминант данного уравнения должен равнять-
ся нулю. Поэтому имеем (3 4-р)2 — 4-3(1 4-р) = О,
р2 — 6р — 3 = 0. Это и есть искомое уравнение. Заметим,
что находить значения р не требуется, так как уравнение
уже получено.
177.	(xt — х2)2 = 16; (хх — х2)2 =я (Xj 4- х2)2 — 4ххх2;
(Xj -f- х2)2 — 4Х(Х2 =16; 22 — 4q. = 16; 4q = » 12; q = — 3.
178.	В уравнения х14-х2=-^- и ххх2 = —,
подставим хх = 2х2. Получим Зх2 = 2т и 2х% = 16 ~8т .
Сравнение х|, полученных из этих уравнений, дает
т') = 8 ~24т . Отсюда находим: 4m2 = 8 — 4m; т2 4-
4- т — 2 = 0; т^ — 2; m2 = 1.
179.	Чтобы квадратное уравнение имело различные кор-
ни, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант уравне-
ния был не равен нулю. Поэтому получаем соотношение
1 4- 2т (Зт 4- 2) =И= 0 или 6т2 4- 4т 4- 1 ¥= 0. Но трехчлен
6т2 4- 4т 4- 1 имеет комплексные корни, так как его ди-
скриминант отрицательный, и поэтому при любом вещест-
венном т он не равен нулю, а следовательно, при любом
вещественном т данное уравнение имеет различные корни.
180.	Для этого должно быть p + q = — р и pq — q.
Из второго уравнения этой системы получаем q(p—1)=0.
Отсюда или <7 = 0, или р = 1. Но при q — 0 первое урав-
нение дает р = 0, а при р = 1 из него получаем q = — 2.
Итак, имеем: рг = 0, qt = 0; р2 = 1, q2 = — 2 и соответству-
ющие им уравнения: а) х2 = 0; б) х2 4- х — 2 = 0.
181.	Предположим, что уравнения имеют общий корень
х = а. Тогда должно быть
2а2 — (3/и 4- 2) а 4- 12 = 0;
4а2—(9m —2) а 4-36 = 0.
Умножая первое равенство на два и вычитая из полу-
ченного результата второе, найдем (Зт — 6) а — 12 = 0,
откуда а — т^_2" ^так> необходимо, чтобы выполнялось
соотношение а = —^-к-. Подставим это значение а в пер-
tn л
13Э
вое уравнение. Получим:
9	16	(3/п + 2)4	, 1П . л.
(т-2)2 ~	т-2	+	“ U’
8— (3m 4- 2) (m — 2) 4- 3 (m - 2)2 = 0;
— 8m + 24 = 0; tn — 3.
Нетрудно видеть, что при m = 3 уравнения действительно
имеют общий корень а = 4.
182.	Вычисляем дискриминант и преобразовываем его:
(2 + 3m)2 — (1 + m) (3 + 8m) — т2 4- m 4- 1 =
/	. 1 \2 . 3
- ^ + .yj +-j--
Последнее же выражение, как сумма положительных вели-
чин, есть величина положительная, а в этом и состоит не-
обходимое и достаточное условие вещественности корней
квадратного уравнения с вещественными коэффициентами.
183.	Для этого достаточно доказать, что дискриминант
уравнения неотрицательный, т. е.
4 (а + Ь 4- с)2 — 12 (ab	Ьс 4- са) > 0.
Покажем это:
4 (а + Ь -|- с)2 — 12 (ab 4- Ьс 4- са) =2 (2а2 4- 2Ь2 4- 2с2 —
•— 2аЬ — 2Ьс — 2ас) = 2 [(а2 — 2аЬ 4- Ь2) 4- (62 — 2Ьс 4- с2) 4-
4- (с2 — 2ас 4- а2)] = 2 [(а — Ь)2 + (Ь — с)2 4- (с — а)2] > 0.
184.	Для этого необходимо и достаточно, чтобы дис-
криминант уравнения, равный 4k 4- 1, был точным квадра-
том, т. е. чтобы 4-4 4~ 1 = т2, где т — целое число.
Отсюда k = —	+ 1) . Очевидно, оба мно-
жителя числителя должны быть четными числами. Пусть
т — 1 = 2п и т 4- 1 = 2п 4- 2. Тогда k = п (п 4- 1), где
п = 0, ± 1, ± 2,...
185.	Так как р — нечетное, то и дискриминант р2 — 4q
тоже нечетное число. Поэтому, если есть рациональные
корни у уравнения, то должно быть
р2 —4e?==(2m4- I)2.
Положив р = 2k 4- 1; q = 214- 1, получим
(2k 4- I)2 — (2т 4- I)2 = 4 (21 4- 1).
Преобразуем левую часть:
(26 4-1)2 — (2т 4-1)2 р= 2 (Л 4-т 4-1)2 (Л — т).
140
Это число делится на 8, потому что числа k + т + 1
и k — tn в сумме дают нечетное число 2k + 1 и, следова-
тельно, одно из них четное. Правая же часть 4(2Z + 1) не
делится на 8. Полученное противоречие доказывает
теорему.
186.	Предположим, что уравнение имеет дробный раци-
»	т
опальный корень—, где т и и — целые числа, не имею-
щие общих множителей и | п | =/= 1. Подставим его в урав-
нение вместо х. Получим	+ 1 = 0- Умножим
обе части последнего равенства на и. Будем иметь 4-
+ ат + п = 0. Но это невозможно, потому что — несо-
кратимая дробь, а ат 4- п — целое число. Предположим,
что уравнение имеет целый корень т. Тогда, подставляя
в уравнение х ~ т, получим m4 4- ат 4- 1 =0. Разделим
на т все члены уравнения. Будем иметь т3 4- а 4-	= 0.
Но если т ± 1, то это невозможно, потому что т3 4- я
есть целое число, а —---нецелое. Если же т — 4- 1, то
т	—
а = + 2, что исключено. Утверждение доказано.
187.	Предположим, что уравнение имеет корень х =*
—где р и (/ — взаимно простые числа и |</| =/= 1. Тог-
/ „ \« tn \«->	( р \т~2
да должно быть	j + а, }	+ ... +
+ ат = 0 или, после умножения на qn~1,
-у +	+ агрп~2д + ... + amqm~' = 0.
Последнее же равенство невозможно, так как первое
слагаемое есть нецелое число, а все остальные — целые.
188.	Если х = ~-корень уравнения, то, поступая
как в задаче 187, получим следующие два равенства:
а0 ~ + а1рт-' + а2Рт-2? + ... + amqm~' = 0;
OoP'"-1 + а1Р'л-2д + огр'п-3?4 + ... + о«у = 0.
141
Так как в левой части первого равенства второе слагае-
мое и все дальнейшие — целые числа, то и первое слагае-
мое должно быть целым, иначе равенство невозможно.
Поэтому а0 должно иметь q делителем. Аналогично, с
помощью второго равенства, докажем, что р есть дели-
тель ат.
189.	Пусть уравнение имеет вид Р(х) — 0. Выполним
деление с остатком многочлена Р(х) на произведение
(х — а — b (х — а + Ь ]/Т) = (х — а)2 — Ь2с. Обозна-
чим частное через Q(x), а остаток (он будет не выше пер-
вой степени относительно х) через Ах 4- В. Тогда получим
Р(х) = Q(x) [(х — а)2 — Ь2с] + Ах + В. (*)
Так как г = й-|-б/7 корень Р(х), тог положив в ра-
венстве (*) х =* а 4- b У~с, получим
0 = Q(x) • Q + А (а + Ь /7) 4- В.
Но число А (а 4- Ъ У~с) 4- В есть сумма рационального
числа Аа 4- В и иррационального числа АЬ Ус. Поэтому
оно может обратиться в нуль в том и только в том слу-
чае, когда каждое из них в отдельности равно нулю, т. е.
когда АЬ У с = 0 и Аа 4- В = 0. Так как по условию
Ь =/= 0 и с =/= 0, то из первого равенства получим А = 0, а
из второго В => 0. Итак, оказывается, что многочлен Р(х)
делится на (х— а)2 — &с, а следовательно, и на х —
— (а — ЬУ~с). Последнее же означает, что а — ЬУ с есть
корень рассматриваемого уравнения.
190.	(6х 4- 7)2 • jg- (бх 4- 8) (6х 4- 6) = 6. Положим у =
= 6х 4- 7. Тогда получим: у2 (у 4- 1) (у — 1) => 72, у4 — у2—>
— 72 = 0; у2 = 9, у2 = — 8.
Отсюда:
а)	(6х 4- 7)2 = 9, 6х 4- 7 = ± 3; х, = —х2=— А;
О	О
б)	(6х4-8)2 = —8, 6x4-7= ± 2У~21;
191.	х2(1 4-х)2 4-х2 4-2х (1 4-х) х = 8 (1 4-х)2 4-
4-2х2(1 4-х), [х(1 4-х) 4-х]2«2(1 4-х) 14(1 4-х) 4-х2],
142
[х(х 4-2)12 = 2(1 4-х)(х4-2)2, х2(х-|-2)2 —
— 2(1 4- х) (х 4- 2)2 = 0, (х 4-2)2 (х2 — 2х — 2) = О;
Х1,2 = — 2, Х34 = 1 + /3.
192.	(х2 4- х) (х2 4- х — 2) = 24,
[(х2 4-х—1) 4- 1][(х2 4-х—1)1] = 24,
(ха4-х—I)2—1 =24, (х24-х— 1)2 = 25,
х2 4- х — I = ± 5; а) х24-х — 1=5, х2 4- х — 6 = 0;
Xi — 2, х2 = — 3; б) х2 4- х — 1 = — 5, х2 4- х 4- 4 = 0;
Кк \	1 I4 Г/ к \	1 I4
х— ~9-)4-^г1 4- (х----5")—о- =1-Положим
~ J L\ " / J
5	/	1 \4	(	1 \4
у = х —g-. Получим уравнение (у 4- -у) 4- (у—‘ -j-l — 1-
Раскрывая скобки и приводя подобные, придем к уравне-
нию Ъу* 4- Ъу“---- = 0. Отсюда: t/2 = -L; if =---------~;
У1 = Уг =--------Уз.4 ± i. Пользуясь равенст-
вом х —	= у, найдем: хг = 3; х2 = 2; х3.4 = —-	.
Можно было бы не вводить замены х----= у, а пре-
образовать данное уравнение к следующему квадратному:
(х2 —5х)2 + 14 (х2 — 5х) + 48 = 0.
Оба указанные метода приложимы к любому уравнению
вида
(х — а)4 + (х — Ь)* = с.
194.	Пусть один корень будет х, а другой хг = 2х.
Если подставим в уравнение 2х вместо х, то получим урав-
нение 8Х3 — 84х2 + 280х — 300. Оно, вместе с данным, об-
разует систему, из которой можно найти корень х. Для
этого умножим данное уравнение на 2, а найденное урав-
нение разделим на 4 и из первого результата вычтем вто-
рой. Получим 21х2 — 21 Ох+ 525 = 0. Отсюда (х — 5)2=0,
х = 5, хг = 10. Зная два корня кубического уравнения,
легко найти третий корень. Для этого можно, например,
воспользоваться тем, что сумма всех корней равна коэффи-
143
циенту при х2, взятому с противоположным знаком, т. е.
х + + хз = 21, так что х3 = 6.
195.	Если алгебраическое уравнение с рациональными
коэффициентами имеет корни 1 4- V 3 и 2 + У~3, то оно
имеет и корни 1—3 и 2—У 3 (задача 189). Поэтому
искомое уравнение будет иметь следующий вид:
(х-1-|/~з) (х-2-1/1) (х- 1 +К1) (х-2+]/1)=0
или после упрощений
х4 —бх3 4-7х24-6х—2 = 0.
196.	Решив каждое уравнение по формуле квадратного
уравнения, найдем, что первое имеет корни 1 и 2, а вто-
рое — 2 и — 7. Следовательно, система ’имеет только одно
решение х = 2.
197.	Как видно из уравнений данной системы, значе-
ния х, у и х + у не равны нулю. Поэтому, разделив пер-
вое уравнение на второе и сократив в левой части дробь
на х + у, получим уравнение х = 2у, которое является
следствием уравнений системы, т. е. уравнением, которое
удовлетворяется всеми решениями данной системы. Отсюда
следует, что система
(х=2у;
I У2+ ХУ = 3
эквивалентна данной. Подставив х = 2у во второе уравне-
нение, найдем t/2 -f- 2у2 — 3 и у = ± 1. Но тогда х = + 2.
Из уравнения х = 2у видно, что х и у одного знака. По-
этому решения системы будут такие: Xi = 2, у, = 1;
х2 = — 2, у2 = — 1.
198.	Так как первое уравнение системы приводится к
виду (х2 + у2)2 + х2у2 =109, то систему можно записать
так:
( и2+ ^= 109;
| и 4— и == 13,
где и = х2 + у2 и v = ху. Найдя и из второго уравнения,
подставляем его значение в первое и решаем: (13 — о)24-
4-о2 =109, о2'—13о 4-30 = 0; 1^=10, о2 = 3; «1 = 3,
«2 == Ю» Поэтому данная система приводится к следующим
двум: а) х24~^2= 10, ху = 3; б) х2 4- у2 = 3, ху = 10.
144
Решаем первую. Для этого умножаем второе уравнение на
2, и затем один раз складываем с первым, а другой раз
вычитаем из первого. В результате получаем систему
( (х + У? = 16;
I (* —У)®= 4,
эквивалентную данной, которая приводится к следующим
четырем линейным системам:
( х + у = ± 4;
I х — у — ± 2.
Решая их, найдем: х1 = 3, у1 — 1; х2 =—3, у2 = — 1;
х3 — 1, Уз = 3; х4 = — 1, у4 ~	3.
Вторая система решается аналогично. Ее решения сле-
дующие:
„	У23 + (У17
х»	2
199.	[(х + у) + 1Р + (х + у)2 = 25, 2 (х 4- у)2 +
+ 2 (х + у) — 24 = 0, (х + у)2 + (х + у) — 12 = 0;
Поэтому задача решения данной системы равносильна за-
даче решения следующих двух систем: а) х 4- у = — 4,
х2 — у2 = 3; б) х + у = 3, х2 — у2 = 3.
Решаем первую систему: х 4- у = —4; (х 4- у)(х — у)=3.
Отсюда х — у =-----что вместе с уравнением х-\-у=—4
19	13
дает хх =	уг -----г.
Решаем вторую систему: х 4- у = 3; (х 4- у} (х — у) = 3.
Отсюда х—у = I, что вместе с уравнением х4-у = 3
дает х2 = 2; yt — 1.
200.	Складывая первые два уравнения и вычитая из
результата третье, найдем, что 2ху = 4 или ху = 2.
10 К. У. Шахио
145
Очевидно, всякое решение данной системы является решением
полученного уравнения. Аналогичными преобразованиями
получим еще два уравнения z/z = 6 и xz —3, которые так-
же являются следствиями уравнений данной системы. Та-
ким образом, система ху = 2; z/z = 6; xz = 3 удовлетво-
ряется любым решением данной системы. Обратно, всякое
решение новой системы будет решением данной, так как
каждое уравнение данной системы можно получить сложив
соответствующие два уравнения новой. Следовательно, сис-
тема ху = 2; уг = 6; xz = 3 эквивалентна данной. Пере-
множим все три уравнения новой системы. Получим урав-
нение x2z/2z2 = 36 или xyz = ± 6, которое является след-
ствием уравнений новой системы, и, присовокупив его к
уравнениям новой системы, получим следующую систему
из четырех уравнений: ху = 2; yz = 6; xz — 3; xyz => ± 6.
Она, как и предыдущая, также эквивалентна данной. Ре-
шаем эту систему. Подставим в последнее уравнение сис-
темы вместо ху число 2. Найдем, что г = + 3. Аналогич-
но найдем, что х = ± 1 и у = ± 2. Учитывая первые три
уравнения, из которых видно, что ху >0, yz > 0, xz > О,
получим следующие решения данной системы:
Х|:= 1, Уч 2, Zj=== 3; х2 t—-	1, у% ~~	2, z%~~	3.
201.	Возведем в квадрат первое уравнение системы, из
результата вычтем второе и третье. Получим уравнение
ху 4- xz = 36 или х(у + г) — 36, которое является следст-
вием уравнений данной системы. Присовокупим это урав-
нение к уравнениям рассматриваемой системы, тогда полу-
чим систему из четырех уравнений, равносильную данной.
Найдя из четвертого уравнения у 4- z — -у- и подставив это
значение у + z в первое уравнение системы, получим
х 4- -у- = 13; х2 — 13х 4- 36 — 0; хг = 4; х2 ==> 9. Используя
эти значения х, а также третье и четвертое уравнения си-
стемы, найдем для определения у и z следующие две сис-
темы:
у 4- z = 9;	1 у 4- z = 4;
yz = 18 И I yz = 18.
Решение их элементарно, а потому не приводится.
Выполнив его, получим следующие решения данной сис-
темы:
146
xi = 4, y1 = 6, Zi = 3; x2 = 4, y2 = 3, z2 = 6;
x3 = 9, y3 = 2 + i /14, z3 = 2 — i /14;
x4 = 9, y4 = 2 —1/14, z4 = 2 + i/14.
202.	Умножим первое уравнение на 2, второе — на —1,
третье — на —3 и результаты сложим. Получим:
2х2 4- 2у2 4- 2г2 — Зх — 2/4- 7хг — Зхг 4- Зх=70 4- 14—12;
2Х2 4- 2г2 4- 4хг = 72; х2 4- 2хг 4- z2 = 36; (х 4- z)2 = 36;
х 4- г = ±6.
Если к трем уравнениям данной системы присовокупить
один раз уравнение х 4- z = 6, а другой — уравнение х 4-
4* г = — 6, то получим две системы уравнений, по четыре
уравнения в каждой, которые вместе равносильны данной
системе. Беря из этих систем третьи и четвертые уравне-
ния, получим две системы для определения х и г:
а) х4-г = 6, х(г—1) = 4; 6)x-]-z =—6, x(z—1) = 4.
Решаем первую из них: z = 6 — х; х(6 — х—1) = 4,
х2 — 5х 4- 4 = О; х, = 1; х,-4. г4 == 5, г2 = 2. Вторая система
ГЛ	ч	— 7 ± /33
решается аналогично. Из нее найдем: хз.4 =------=/----;
__5 т тЛ 33
2з,4 ==---. Исключив произведение xz из второ-
го и третьего уравнений системы, получим у2 = 7 4- 2х,
а отсюда, подставляя х19 х2, х3, х4 вместо %, найдем:
t/i = ± 3; у2 = ±	15; у3 = ± {^33; у±~ + tV33. Таким
образом, данная система имеет восемь решений.
203.	Возведем в квадрат третье уравнение и из резуль-
тата вычтем первое и удвоенное второе уравнения системы.
Придем к уравнению Ьуг = 8 или уг = 2, которое являет-
ся следствием уравнений данной системы, и, добавив его к
уравнениям данной системы, получим систему, равносильную
данной. Подставим вместо уг число 2 во второе уравнение
системы и рассмотрим систему из полученного уравнения
ху + хг ==з 9 и третьего уравнения, т. е. следующую сис-
тему:
f *(У + г) = 9;
I х + (у + г) 6.
Из нее находим: у + г = 6 — х; х (6 — х) = 9; х2 — 6х 4-
4-9 = 0; х = 3; у 4- г — 3. Теперь значения у и г легко
определить из системы
10ш
147
У + 2 — 3;
yz = 2.
Решив ее, найдем для у значения 1 и 2, а для г значения
2 и 1.
Итак, х1 = 3, yt = 1, г, = 2; хг = 3, у2 = 2, zt *= 1.
204.	Сложим первое уравнение с третьим и из резуль-
тата вычтем второе. Это даст 2х2 == (а 4- с — Ь) xyz. Отсюда
получим х2 == 0, и 2х = (а 4- с — b) yz. Подставив в данную
систему хх = 0, найдем у2 = 0, zt = 0. Аналогичными пре-
образованиями получим также уравнения 2у — (Ь 4- а—с)гх
и 2z = (с 4- b — а) ху. Если не учитывать нулевое решение,
которое уже найдено, то полученная система
2х = (а + с — b) yz,
 2у = (b 4-а — с) гх\
2г = (с 4 Ь — а) ху
равносильна данной.
Перемножая первые два равенства этой системы и деля
результат на ху > 0, получим уравнение (а + с — Ь) (Ь 4-
+ а — с) г2 = 4. Аналогичными преобразованиями получим
также ф + а — с)(с-\-Ь—а)х2=4 и (с+Ь—а)(а-|-с—Ь)у2=4.
Из этих уравнений найдем:
±2	±2
х — —	.	—;	у = .	....	;
У (b + а — о(с + Ь — а)	У\с + Ь — а) (а 4 с — Ь)
± 2
Z =	—- -
У(а + с — Ь) (Ь + а — с)
Эти формулы и дадут решения данной системы, однако,
нужно учесть, что х, у и г, как это видно из данной сис-
темы, должны быть все положительны. Таким образом,
с учетом решения хг = уг — гг = 0, система имеет 3 решения.
Условия, наложенные на а. b и с, гарантируют веще-
ственность найденных решений.
205.	Сложим все три уравнения системы. Получим
после упрощений: х2 у2 4- %ху = 49; (х 4- у)2 — 49 или
х 4- У = ± 7. Умножим второе уравнение на 2 и сложим
результат с первым. Получим уравнение (х 4- У)2 +
4- 2г (х + у) = 94 4-г2- Рассмотрим теперь эти два уравне-
148
ния_ и первое уравнение данной системы. Они образуют
систему
х 4- у = + 7;
(х + У)2 + 2г(х 4- у) = 94 + г2;
х2 4- t/2 = г2,
которая, как легко доказать, равносильна данной.
Решаем эту новую систему. Подставив х 4- // = ± 7 во
второе уравнение, найдем уравнение для определения г:
49 + 14z == 94 4- г2. Из него находим, что zY = 9; г2 = 5;
г3 = — 9; z4 = — 5. Подставляя найденные значения г в
третье уравнение, получим следующие системы;-
| х2 4- г/2 = 81;	1 х2 4- у2 = 25;
| х 4- у = + 7 И 1x4-1/= +7.
Решения этих систем, приведенные в соответствие с
найденными значениями г, дадут следующие 8 решений
данной системы:
х4 — 4, уг — 3, z4 — 5; х2 — 3, t/2 — 4, z2 — 5;
Уз~ — 3, z3 = — 5;
У4 = —4, Zi = —5;
7 + /113 п
У& о > ^5	9,
х3 = — 4,
х4 —- — 3,
_ 7 — /Г13
~	2	’
_7+/ПЗ
_-7-/ТТз
Л7 —
2
_-7+/ПЗ
Ag -
2
U = 7-ГЙЗ _ 9.
Уь —	2	’
и -~7+	? - О-
У1------5---> 27---у>
2
— 7 — /ПЗ п
Ув =----т---. г8 = — 9.
2
2
206.	Сложим три уравнения данной системы. Получим
уравнение (х 4- У 4- г)2 = а2 4- Ь2 4- с2. Данная система вме-
сте с этим уравнением образует систему, эквивалентную
данной. Подставляя в первое уравнение значение х 4-!/ 4-
4- z = + У а2 4- Ь2 4- с2, найдем
х =................
± /аа + Ь2 + с3
Аналогично получим:
________Ь3_______.	_	с3
У ± /аа + 6а + сг ’ '	~ ± у а3+ Ь3 +с3 ’
149
Из уравнений системы видно, что х, у, z должны быть
одного знака. Следовательно, во всех полученных форму-
лах нужно брать одинаковые знаки — или только знаки
плюс, или только знаки минус. Таким образом, решений
будет два.
207.	Прибавив по единице к обеим частям каждого
уравнения системы и сделав несложные преобразования,
придем к следующей системе, равносильной данной:
' (1 +0)(1 +z) = a+ 1;
(1 +z)(l +*) = &+ 1;	(*)
(1 4-х)(1 +0«с + 1.
Перемножив первые два уравнения этой системы и разде-
лив результат на третье, получим (1 4- г)2 =
илиг^±1Л<°+^+1) -1.
Аналогично найдем
у- ±	-1 . х-±/	1.
Из системы (*) видно, что знаки перед корнями нужно
взять или все верхние, или все нижние, так что получит-
ся два решения.
208.	Перенеся вторые слагаемые из правых частей урав-
нений в левые и преобразовав получившиеся после этого
разности квадратов, придем к следующей системе, равно-
сильной данной:
г (х + у — z)(x + z— у) — а\
 (у + z — х)(у + х— г) = Ь;	(*)
(z + x — y)(z + y— X) —с.
Перемножив первые два уравнения этой системы и разде-
лив это произведение на третье уравнение, получим
(х + У — 2)г = -~ или х + у — z — ±	Аналогично
найдем еще два уравнения и составим систему
.	. 1 Г аЬ
х + у—г= ± у —;
у + z — х = ±	(**)
.	, 1 f са
z + x — y= ± у
150
Система (**) будет равносильна системе (*), а следова-
тельно, и данной, если знаки перед радикалами в правых
частях всех уравнений брать одинаковые. Это можно усмот-
реть из системы (*).
Сложив два первых уравнения системы (**) и разделив
на 2, получим
1 ( । 1 / аЬ , Л / be \	. УаЬс 11 . 1 \
=	У — ±У —г ±
и аналогично
209.	Как видно из системы, ни одно из неизвестных не
может равняться нулю. На самом деле, если бы, например,
х = 0, то тогда yz = 0 и х2 + у2 + z2 = 0. Но это не-
возможно, так как в этом случае было бы х = у = z = О
и отношения, входящие в систему, не имели бы числового
смысла. Поэтому система будет равносильна той, которая
получится из нее, если заменить все отношения обратными
величинами. Эта система имеет вид
а	.	Ь ___ b с _______ с_।	а ___аа Д- 6а Д- с2
х	‘	у	у	' z	z	'	х	х2 Д- г/2 Д- г2 ’
Заметим, что ни одно из чисел a, ft, с не равно нулю.
Действительно, если а = 0, то из последней системы по-
лучим " у + у “ откуда следует b = 0 и с = 0.
Но этого не может быть, так как отношения в данной
системе не имеют смысла в этом случае.
Сложим все уравнения новой системы, а затем вычтем
из полученной суммы поочередно ее первое уравнение, вто-
рое и третье. Получим следующую систему, равносильную
данной:
с   а   b   1 а2 Д- &а Д- са
~ ~х~ ~~ ~у	2~ * х2 Д- г/2 Д- г2'
ИЛИ
2L — _____г — +
а b с 9
где f#=0.
Из последних равенств находим: х — at; у = Ы\ z — ct
b 1 а2 Д- 6а Д- с2
и, подставляя в равенство — == -у-* -аД~ аТ а , получим:
У £ X -f- у -f- Z
151
b 1 а’ + Я+с* 1	1,1-	,
ТГ = -о---7 а Г -а Г 2w2 J ~Г = ~ъл\ t = ~7Г- ТЭКИМ обраЗОМ,
Ы 2	(а3 4- Ь3 4- с )t2 t 2t3 ’	2	r
единственное решение системы будет:
а	Ь	_ с
х «р	у 2~;	z — 2 •
210.	Перепишем данную систему так:
' г = — (х + у)-,
 (х + у)2 — 2ху = г2 + 20;
(X2 4- у2)2— 2х2у2 =	_|_ 5б0>
Подставляя значение х + у = —z из первого уравнения во
второе, получим z2— 2ху = z2 4- 20, — 2ху = 20,.ху=—10.
Подставляем в третье уравнение х2 4~ У2 = г2 4~ 20, полу-
ченное из второго уравнения, а также ху => —10. Это
даст: (г2 4- 20)2 — 2 • (— 10)2 = z4 + 560; г4 4- 40z2 4- 400 —
— 200 = г4 4- 560; 40г2 = 360; г = ± 3. Для определения
х и у имеем систему
1 х 4- у = + 3;
\ ху — — 10.
Решив ее и учитывая значения г = + 3, получим 4 ре-
шения данной системы:
Х| — 5,	у^ — 2, Zj —•	3; Хз	— ~~ 2, у%	— 5, Zg —	3;
Х3==	5, Уд =э 2, Z3 ==	3; х4 2, у& —	— 5, z^	3.
211.	Из первого уравнения находим у = 2х—1 и под-
ставляем во второе. Получаем:
4x4-2х—1 — 2х(2х—1) —г2 = 3; 4х2 — 8х 4- 4 4- z2 = 0;
4(х— l)24-z2 = 0.
Последнему уравнению удовлетворяют лишь х = 1, г = 0
(корни должны быть вещественными). Но тогда у=1.
Итак, система имеет единственное решение: х= 1; у = 1;
г = 0.
212—243. Указание. В элементарной математике, при
решении иррациональных уравнений и их систем, корни
четной степени считаются арифметическими. За значение
корня нечетной степени из вещественного числа прини-
мается его единственное вещественное значение. Основной
метод решения иррационального уравнения состоит в исклю-
чении радикалов путем возведения обеих частей уравнения
152
в некоторую степень с таким расчетом, чтобы после это-
го уравнение перестало быть иррациональным. Иногда
такую операцию нужно повторить. В поле вещественных
чисел этот метод может привести к уравнению, неравно-
сильному с данным, а следовательно, и к посторонним
решениям. Поэтому при решении таких уравнений мето-
дом исключения радикалов необходима проверка (испы-
тание) найденных значений путем подстановки их в
данное уравнение и те из них, которые не будут ему
удовлетворять, нужно отбросить как посторонние. Возве-
дение обеих частей уравнения в нечетную степень приво-
дит к равносильному уравнению и в этом случае провер-
ку производить не нужно. Все сказанное о решении ирра-
циональных уравнений нужно отнести к решению систем
таких уравнений.
212. В первом уравнении должно быть Р(х) > О
и Q(x) >0, а во втором они могут быть какими угодно. По-
этому в общем случае уравнения не равносильны.
213—214. В первом уравнении должно быть Р(х) Q(x)>0.
Во втором — Р(х) >0 и Q(x) > 0. Поэтому в общем случае
уравнения не равносильны (см. задачу 124).
215. Так как левая часть больше двух, то уравнение
не имеет решений.
216.
(х2 — Зх 4- 2) — (х2 — 7х + 12)
у х2 —3x4-2 —Ух2 —7х 4- 12
=У 2, УТ2—Зх+24-
4- /х2 —1х 4- 12 = /2, (j/x2—Зх 4- 2)2=
= [у 2— ]/х2— 7x4- 12)2, х2 — 3x4-2 =
= 2 —2/2х2— 14х 4- 24 4-х2 — 7х 4- 12,
У 2х2 — 14х 4- 24 = 6 — 2х, 2х2 — 14х 4- 24 =
= 36 — 24х 4-4х2, 2х2—10x4-12 = 0,
х2 — 5х + 6 — 0;	= 2, х2 — 3.
Оба корня удовлетворяют уравнению, что легко устанав-
ливается проверкой.*
217. 2х2 4- 6 — 3 (х 4- 1) — 2 У 2х2 — Зх 4- 2 = 0,
2х2 — Зх -|- 2 — 2 /2х2 — Зх 4- 2 4- 1 = 0.
Положим
У 2х2 — Зх 4- 2 = у.
* В тексте мы, как правило, проверку корней не приводим, а
лишь указываем, какие из найденных корней посторонние.
153
Тогда получим;
у2 — 2у + 1 = 0, у = 1; V 2х2 —3x4-2 = 1,
2х2 —Зх-р 2=1, 2х2 — Зх-Ь1=0; x^l, х8 = -р
218. F(7х —З)3 — 6Г 8 — = 7.
v	Г(7х-3)»
Положим
F(7x-3)3 = y.
Тогда будем иметь:
у2 —Ту — 8 = 0; у^ — 1, i/2 = 8.
a)F(7х —3)3 = —1, 7х —3 = —1, х1 = -у-;
б) у/ (7х —З)3 = 8, 7х — 3 = 32, х2 = 5.
2|9. /«±Е + z2. -4.
’ х 1 / х + 9
Положим
Тогда получим:	_____
f/4-y = 4, i/2 — 4у 4-4 = 0; у=2. ]/А±2 = 2,
ii2=4, х4-9 = 4х, х = 3.
X	’	1	*
2
220.	Разделим все члены уравнения на (а — х)3. По-
лучим следующее уравнение, эквивалентное данному:
2	1
(а_+4=0. Решаем это уравнение от-
1	1
3	3
(а-}-х\	/а + х\ 5±3
носительно 1 как квадратное:	I —•
z .	.
Отсюда: а) = 1,	= 1, а 4-х = а —х, х, = 0;
1
б)/'а±£\ =4 ±±£ = 64. а-|-х = 64а — 64х, х, = § а.
7 \а — х) ’ а — х	’	л 65
Найденные значения х проверять не требуется.
15-1
п Г „ _ "х
221.	Обозначим у — у. Тогда уравнение приве-
дется к.следующему равносильному: г/ + у = 2 или у1—
— 2у + 1 = 0. Отсюда:
а — х = b + х,
222.	jZx 4~ 45 = 1 4-Ух — 16, (Ух+ 45)3 =
= (1 + Ух^Лб)3, х + 45 = 1 + 3Ух— 16 +
+ 3(Ух— 1б)г + х— 16, (|/ х— 1б)а4-
+ Ух— 16 — 20 = 0; Ух— 16 = ~12 — ;
а)	Ух— 16 = 4, х—16 = 64, хг = 80;
б)	Ух — 16 = — 5, х — 16 = — 125, х2 = — 109.
223.	Из уравнения видно, что допустимыми значения-
ми х являются лишь те, которые удовлетворяют системе
неравенств: х — > 0, 1 — у > 0, чт0 ПРИВ°ДИТ к соот“
ношениям х > 1 или — 1 < х < 0. Поэтому jZ 1 — у —
арифметический, а —-—
равносильно такому:
и данное уравнение
или
Отсюда:
а>	£т1==0- ч = и
б) ут-1=У^,	=
х+ 1 — 2/х+ 1 4- 1	х^ — 2хУх+1 +
4-х 4-1 = 0, (х—]/х 4-1)2 = 0, х — ]/х4-1 = 0,
155
х = ]/х+1, х2 = х4-1, х2 —х—1=0,
Значение х = -—~- > — 1 и также корень данного
уравнения.
224.	=УГП,
V1 4-х	у 1 + х
= 2 4- х, х2 = 2 + Зх + х2, 2 + Зх = 0, х = —
1 “I- X	о
и	2
Но при х =------g- левая • часть уравнения меньше нуля
(там есть множитель х), а правая больше нуля (корни
арифметические). Так как все корни уравнения А = В со-
держатся среди корней уравнения А2 = В2, то данное урав-
нение не имеет решений.
225.	[4х + 1 + 2х V 2(2х2+ 1)]2=
= [— (2х + 1) ]/4х2 + 4х 4- З]2, (4х 4- I)2 4-
4-	4х (4х 4- 1) V 2(2х24- 1) 4- 8х2 (2х2 4- 1) =»
= (2х 4- I)2 (4х2 4- 4х 4- 3),	(4х 4- I)2 4-
4-	4х (4х 4- 1) ]/2(2х24- 1) 4- 16х4 4- 8х2 =>
= (4х2 4- 4х 4- 1) (4х2 4- 4х 4- 3), (4х 4- I)2 4-
4- 4х (4х 4- 1)]/2(2х24- 1) 4- 16х4 4- 8х2 =
= (4х 4- 1) (4х2 4- 4х 4- 3) 4- 16х4 4- 16х3 4- 12х2,
(4х 4- I)2 4- 4х (4х 4 1) /2(2х24- 1) =
= (4х 4- 1) (4х2 4- 4х 4- 3) 4~ 4х2 (4х 4- 1),
4х (4х 4- 1)]/2(2х24- 1) = (4х 4- 1) (4х2 4- 4х 4- 3 4-
4-	4х2 — 4х — 1), 4х (4х 4- 1) У2(2х2 4- 1) =
= (4х 4* 1) (8х2 4* 2). Отсюда: а) 14-4х = 0их =----
б) 2х ]/4х2 4- 2 = 4х2 4- 1, 4х2 (4х2 4- 2) = (4х2 4- I)2,
16х4 4- Зх2 = 16х4 4- 8х2 4- 1.
Последнее равенство невозможное.
Итак, уравнение имеет единственное решение х=—-р
156
/	______________ Г-----------’---\2
226.	21/ 2х + V х -31/ 0.......—у"-
г у 2х + у х /
+-----9*-^- = 4 (2х — V х), -------= 4 Ух.
2х+ У х '	1 2х+У х
Так как х =# 0, то, сократив на У х, получим уравнение
----У—- === 4. Отсюда: 8 х + 4 = 9, У х =
2 У х + 1	0
25
= НТ-
64
227.	Возведем в куб обе части уравнения и при этом
воспользуемся формулой (гп + /г)3 = т3 + Зт/г (т + п) + /г3.
Получим:
а_уТ)3 = (^)3,
]/ х = 6,
b — 2а
а2 — х
|3, х = а2
Возведение уравнения в куб приводит к уравнению, экви-
валентному данному в области вещественных чисел, если
же еще учесть, что, как видно из данного уравнения, х > О,
то найденное значение х будет решением данного уравне-
ния тогда и только тогда, когда а2—(—з7=“)	^а“
\ 3 у b /
ким образом, в области вещественных чисел рассматривае-
мое уравнение или не имеет решения, или имеет единст-
венное решение.
228.	Поступая так же, как в задаче 227, получим:
х + 3Ух(2х —3) У 12(х—1) + 2х — 3 = 12(х — 1),
•j/ 12х(х—1)(2х —3) = 3 (х - 1), 12х (х - 1) (2х — 3)
= 27 (х — I)3, (х — 1) [4х (2х — 3) — 9 (х — 1)21 = О,
(х — 1) (— х2 + 6х — 9) = 0, (х — 1) (х — З)2 = 0;
хх = 1, х2 = 3.
157
Так как уравнение было возведено в нечетную степень,
то полученное в результате этой операции новое уравнение
эквивалентно данному и найденные значения х в проверке
не нуждаются.
229.	Положим у/" 16 4- Ух — и, 16 — У х — и. Тог-
да уравнение примет вид и 4- v = 2. Возведем его в пятую
степень. Получим:
(и 4- у)8 = 32, и5 4- и5 4- 5uv (и3 4- у3) 4- Ю«2о2 (« + 0 =
= 32, и8 4- v5 4- (и -4 v) (и2 — uv 4* у2) 4*
4- 10«2ц2 (и 4- v) — 32, u5 4- у8 4- бда [(« 4- v)2 —
— 3uv] («4-04* 10u2y2 (и 4- v) = 32.
Подставляя сюда «4-^ = 2 и ы54-ц8 =
= (16 4- У^с) + (16 — Ух) = 32,
найдем:
32 + 5uv (22 — 3uv) • 2 + lOzzV • 2 = 32, 4uv — u2v2 — О,
uv (4 — uv) = 0.
Отсюда:
а)	и = 0,	16 + \ х = 0, 16 + V * = О,
что невозможно;
б)	V = О, 16 — У'х = 0, 16 — у~х = 0, х = 256.
Это значение х является корнем данного уравнения;
в)	4 — uv — 0, uv = 4.
Решая систему
uv — 4, и + v = 2,
получим:
w(2 —и) = 4, и2 — 2^ + 4 = 0, и = 1 ± i]/3?
в то время как
16 + У х = и
должно быть вещественным числом.
230. Положим Ух — 4 = г/ > 0. Тогда х = у2 4- 4 и
уравнение можно записать так:
2у 4- 1 4- /у2—4«/4-4 = 1
или У (у — I)2 4- У (У — 2)2 = 1, или, наконец, | у — 1|4-
4- | у — 2j = 1. Если у < 1, то \у— 11 = 1 —У, \У — 2|=
158
= 2 — у и уравнение примет вид 1 — у + 2 — у= 1. От-
сюда 2у — 2, у = 1. Если 1 < у < 2, то | у — 11 = у — 1,
\у — 21 = 2 — у и уравнение приведется к такому: у — 1 4-
-1-2—у = 1. Но это значит, что у может быть любым.
При у>2 будем иметь \у— 11 = у— 1, \у — 21 = у — 2,
а данное уравнение запишется так: у—1 4- у—2=1.
Из него находим, что у =2. Итак, должно быть: 1<у<2;
1 < ]/х— 4 <2; 1 < х — 4 < 4j 5 < х < 8.
Уравнение имеет бесконечное множество решений.
231.	4 х + 2-2/х-^4 + «-
— 2 = 2х, Ух2 — 4 = 0, х2 — 4 = 0: Xj = 2, х2 = — 2.
Первое значение х является корнем данного уравнения.
Второе должно быть отброшено, так как х = —2 не при-
надлежит области допустимых значений (х — 2 = — 4<0),
232. Допустимыми значениями для неизвестного этого
уравнения являются х > 0. Умножим числитель и знаме-
натель левой части уравнения на 2 и воспользуемся фор-
мулами квадрата разности и квадрата суммы двух коли-
честв:
2(1 4-х —2х4~х2) _ 24-х —2У24-х/х4-х _
2(1 + х4-У 2х4-х2)	2-|-х4-2)^24-хУ~х + х
== (/2 + х-/Т)2
(/24^4-/х)2‘
Тогда уравнение примет вид
/У2 + 1-УТ fl3 /2+^ +W
\У2 + х + Ух )	У24-х — Ух
ИЛИ
//2+^-/Ту_аа
\У2 + х + Ух )
Извлекаем корни из обеих частей уравнения. Это даст
’	—4=- — а.
У 2 4-х 4- Ух
Заметим, что все примененные сейчас операции при пере-
ходе от данного уравнения к уравнению (*), включая опе-
рацию извлечения кубичного корня, не могут привести к
потере корней или к приобретению посторонних. Таким
15Э
образом, уравнение (*) равносильно данному уравнению.
Так как корни должны быть арифметическими, то из по-
лученного равенства следуют неравенства 0 < а < 1. Дей-
ствительно, числитель и знаменатель левой части уравне-
ния— положительные числа, причем числитель не больше
знаменателя.
Освобождая уравнение (*) от знаменателя, получим
новое уравнение, которое также равносильно данному:
У2 + х(1 —а) = У х(1 + а). Так как а < 1, то обе час-
ти последнего уравнения неотрицательны и возведение
его в квадрат снова приведет к уравнению, равносильно-
му данному. Таким образом, задача свелась к решению
следующего уравнения: (2 + х) (1 — а)2 = х (1 + а)2. Реша-
ем его: х [(1 + а)2 — (1—а)2] = 2(1—а)2, 4ах = 2(1—а)2,
(1 - ар
2а '
Итак, уравнение имеет единственное решение х=^~^-,
если 0 < а 1, и не имеет решения, если а < 0.
Замечание. В данном случае отпала надобность
в испытании найденного значения неизвестного, хотя при
решении уравнения применялась операция возведения
уравнения в квадрат, которая, вообще говоря, приводит
к посторонним корням, Объясняется это тем, что при тех
ограничениях, которые мы попутно налагали на неизвест-
ное (х>0) ина параметр (0 < а <1), все производившиеся
операции приводили к уравнениям, равносильным дан-
ному. Надо сказать, что при решении иррациональных
уравнений с буквенными коэффициентами такой путь
обычно оказывается более удобным, чем тот, при кото-
ром мы обязаны производить испытание найденных зна-
чений неизвестного, так как в последнем случае прихо-
дится решать еще задачу на преобразование буквенного
выражения, иногда довольно сложного.
233. Так как корень предполагается арифметическим,
то должно выполняться условие: *	> 0; (1 +&х)(1 —
— Ьх) > 0; 1 — Ь2х2 >0; х2 < Так как арифметический
корень есть число неотрицательное (а в данном случае
он может быть лишь положительным), то необходимо
160
(но не достаточно), чтобы было, ,ах >0;(1—ах)(1+ах)>
>0; 1—а2х2 > 0; х2<-^-*. Если эти условия не выпол-
нены, то уравнение не имеет решения. Предполагая это
выполненным, мы будем иметь в обеих частях равенства
положительные величины и возведение его в квадрат при-
ведет к следующему уравнению, равносильному данному:
/1 — ax'? I + Ьх_ .
\1 + ах) 1 — Ьх '
Решая это рациональное алгебраическое уравнение, полу-
чим:
(1 — ах)2 (1 4- Ьх) = (1 + ах)2 (1 — Ьх), а?Ьх? = (2а — Ь) х;
Xj = 0, х2 =
2а — b
а2Ь 1
х - — 1/ 2а~Ь
Хз~ V а»Ь
Очевидно, первый корень удовлетворяет уравнению.
Что касается х2 и х3, то для того, чтобы они были кор-
нями уравнения, должны выполняться следующие условия:
> 0 (решения должны быть вещественными),
(в противном случае уравнение вообще не имеет решения,
так как левая часть его будет отрицательной, а правая
положительной), х2 < (корень, входящий в левую часть
уравнения, должен быть вещественным). Если эти условия
будут выполнены, то найденные значения х дадут корни
данного уравнения. Упростим эти условия. Из первого
соотношения получаем:
о, 0,	1 > 0,	> 1, 4 > Т-
a2b	b	b	b b 2
Из сопоставления первого и второго получаем:
2__2а — b 1 2а — b . , 2а \	\	о а
Х ~ агЬ “а2”’ —Т~	’’ b ~*’ b Д Ь
Или, сведя два результата в один, получаем
-<-< 1.
2 b ‘
♦ За исключением х = 0, для которого а может быть любым
11 к. у. Шахно
161
Что касается условия
Действительно,
„	1 2а — b 1
* Ь2 а2Ь Ь2
х2 < то оно выполняется.
2аь — Ь2 — а2
а2Ь2
(а-Ъ?
а2Ь2
так как а=^Ъ.
234. Если п —» четное, то допустимые значения х цолж-
ны удовлетворять условиям х > О и а + х >0. При не-
четном п эти ограничения на х налагать не требуется.
Числа а, b и х, очевидно, не равны нулю.
В левой части равенства вынесем за скобки а + х.
(1	1 \ г\Г~х	______
— + —)«“ Отсюда: а + х х
О	X / о
а-\- х	1 /~( а + х	а о
х	|/	/	*= у• Здесь левая часть
больше нуля, следовательно, и правая часть должна быть
больше нуля, т. е. а и b удовлетворяют неравенству
и 4-1	п
а п п (а 4- х \ п а а + х fa а 
т>°- Дал«е! (—н	= т +1 ==
пи	п
п
I — 1	0, т. е., если а =£ о,
то отсюда найдем х==
с=-----£-----(•). При нечетном п формула (*) всегда даст
[а\"+'
\b)
решение данного уравнения при условии, что а и b одно-
го знака и а ф Ь. Кроме того, эта формула даст решение
при п нечетном и в том случае, если в знаменателе дроби
fi
(a A'*'*”’
-у] поставить знак минус. При чет-
ном п, кроме ab > 0 и а =/= Ь, должно быть х > 0 и а -|-
+ х > 0. Из формулы (*) видно, что х будет положитель-
ным, если: а) а>0 и-у> 1, что приводит к сботношени-
162
ям а > b > 0; или б) а < 0 и 0 < у < 1, что приводит к
соотношениям 0 > а > Ь. Что касается а 4* х, то эта сум-
ма всегда будет положительна при положительном х, так

как a -f- х = х I у)
Итак, формула (*) при четном п дает единственное
решение, если а > b > 0 или 0 > а > Ь. При иных соот-
ношениях между а п b уравнение не имеет решения.
235.	Если п нечетное число, то и2 также нечетное чис-
ло, и при х < 0 корень степени п 4- 1 из xnani даст мни-
мую величину. Поэтому при нечетном п допустимыми
значениями неизвестного будут х > 0. При п четном
допустимыми значениями неизвестного х, очевидно, бу-
дут все вещественные числа. Параметр b в обоих случаях
есть величина положительная, так как b равняется сумме
двух арифметических корней, из которых, по крайней ме-
ре, ОДИН не Обращается в нуль. При решении будем счи-
тать сперва п нечетным и, следовательно, х > 0. В левой
части данного уравнения вынесем за знак первого радика-
п	п
ла хп+1, а за знак второго аМ-1. Получим:
П П/~ п	п	п -» /~ п	п
хп+1 у хп+1 -|- ап+{ + у ап+[ + хп+{ = &,
” f п п / п п \
у хп-м	ап+1) = 6,
п = Ь, хп~№
п	П	П	I п	П \п-Н
хп+{ — Ьп+1 — ап+{, х =	— ап+у п
при этом, как видно из предпоследнего равенства, должно
быть 6 > а, иначе найденный х не будет решением данно-
го уравнения.
Из этого решения видно, что если п будет четным, то
решений будет два:
п п \ft-H
Х1.2 == ± \6,г+1—ап+1) п
при b > а и одно х = 0, если а == Ь.
11*
163
236.	Так как п > k > 0, то уравнение имеет корень
я, = 0. Теперь можем считать, что х Ф 0. Разделим все
члены уравнения на }Z ап~к хк. Получим квадратное урав-
нение
n—2k	n—2k
,/ у \ П	> / X \	г —
V а{^)	+/а = 0.
Решив его, найдем:
n--2k	2п
!х_ \ 2п __ V b ± yi — a х У b ±УЬ — а \ п~2к
\а/	У а	а \ У а /	*
2п '	' 2k
х2,з = (У~Ь ± УЬ — а) n~2k • a2k~n.
Однако при п = 2k вычисления теряют смысл. Но х = 0
остается /корнем и в этом случае. Других же корней при
п = 2k уравнение иметь не будет, так как в этом случае
уравнение приводится к виду 2 У ах = 2 У Ьх, причем по
условию а Ф Ь. В заключение отметим, что, как видно из
правой части данного уравнения, допустимыми значениями
для неизвестного являются лишь х > 0. Это было исполь-
зовано и при вычислениях. Условие b > а гарантирует
вещественность х2 и х3.
237.	Если п нечетное число, то допустимыми значени-
ями х являются все вещественные числа, а при п чет-
ном— лишь те, для которых выполняется неравенство
Разделим обе части неравенства на (х— I)2 (х =/= 1).
Получим:
(/РЧ)’+ 1=4/gi.	+,=о.
п/гх 1
Решив его как квадратное относительно 1/ р придем
пГх I j	--
к уравнению 1/  — = 2 ± У 3. Оно равносильно дан-
ному при дополнительном условии |х | > 1 в случае п
четного. Так как 2 ± У~3 > 0, то возведение его в сте-
пень п приведет к уравнению == (2 ± У 3)л, которое
164
также равносильно данному. Решив последнее, найдем
„	(2 ± К~3)я + 1
*'’2 ~ (2 ± УЛТ)" — 1 *
где в числителе и знаменателе нужно
перед |/ 3 брать одинаковые знаки. Оба эти корня явля'-
ются корнями данного уравнения как при п четном, так
и при 7i нечетном, так как, очевидно, | х,|>1 и | х2|> 1.
238.	Умножим обе части уравнения на ~|/ а + х.
Получим:
2п	2п
a*~x* = ап+‘, аг = (1 + а"+‘) ха,
)
Оба найденные значения х будут корнями данного урав-
нения, правда, в случае четного п не при всяких значе-
ниях а. Чтобы в этом убедиться, выясйим, при каких
условиях сделанные здесь преобразования будут приво-
дить к уравнениям, равносильным с данным, и покажем,
что эти условия выполнены. Будем сперва считать п чет-
ным. Так как в этом случае все корни должны быть
арифметическими, то, как видно из уравнения, должно
быть а — х> О, а 4- х > 0 или х < а и х > — а. Следо-
вательно, —а<х<а и а > О, При этих условиях все
произведенные операции (умножение корней, деление кор-
ней и т. д.) обратимы, т. е. их можно провести в обрат-
ном порядке, а это гарантирует равносильность исход-
ных и получаемых равенств. Таким образом, данное урав-
нение равносильно уравнению х = ± —» одна-
V 1 ч-бЛН
ко при условии а < х < а или | х | < а. Но это усло-
/	~2й~
вие выполнено, так как 1/ 1 -|- ап+1 > 1.
165
Если п нечетное, то, как не трудно видеть, уравне-
ние (*) также будет равносильно данному, но нет осно-
ваний требовать, чтобы было а > 0. Достаточно, чтобы
и ф 0.
Рассуждая так же, как в задаче 238, докажем, что
это значение х есть единственный корень данного урав-
нения.
плл т	1/Х~У 1Z х2 — У2	Ух2 — у2
240. Так как I/ —= I/ -—?—,
V х + у V (х + у)2	| х + у |	’
то первое уравнение данной системы эквивалентно сле-
1Л х2___________________и2 20
дующему: х — у +	- = ууу Если \*+у\=^+У,
т. е. если х + у > 0, то система эквивалентна такой:
х2 — уг у х2 — у2 — 20 = 0; х2 4- у2 = 34. Положим
г2 — у2 = z > 0. Тогда первое уравнение примет вид
z2 + г — 20 = 0 и из него найдем 2Х = 4; z2 — — 5. Но
z2 = — 5, как отрицательное, нужно отбросить, а тогда она
приведется к следующей, эквивалентной данной:
V х2 — у2 = 4; х2 + у2 — 34 или х2 — у2 = 16; х2 + У2 = 34.
Решив ее, получим х = ± 5; у = ± 3. Из них только
хг = 5; уг = 3 и х2 = 5; у2 = — 3 являются решениями
данной системы, а х = —5; t/=±3 нужно отбросить,
так как при этих значениях х + у < 0.
Если х + у < 0, то, аналогично решая, найдем;
166
241.	Выполнив сокращение в первом уравнении, разделив
з /* 1	х	17
на у ху и положив у — —z, найдем: г 4- 1 4- у = у или
2г2 — 5г 4- 2 = 0. Решив его, получим = 2; г2 = у . Таким
образом, задача решения данной системы равносильна за-
даче решения следующих двух систем:
a)	V~x = 2V~y- У~х-У~у = 3
И
б)	У~х = -%-У~У'	=
Решаем первую. Для этого подставляем значение У~х
из первого уравнения во второе. Получаем: 2^~у—У у —
= 3; Ку = 3; У1~ 27; х, = 8у, « 216.
Так же решаем вторую систему: у У~у — У у = 3;
У~У = — 6; у2 = —216; х2 = уу2 = —27.
242.	В левой части первого уравнения уничтожаем
иррациональность в знаменателе. Тогда данная система
приводится к следующей эквивалентной:]/ х — ^у, Ух+
-|- У~у = 7. Подставляем значение У х из первого урав-
нения во второе: у 4- У у = 7; Зу 4- 16 У у — 112 = 0;
у у — ±1—. так каку у — арифметический, то для
него получаем только одно значение У у = 4. Отсюда
у = 16; х — 9.
243.	(У~х — У~у)2 = (2]/ху)2; х + у — 2 ]/ху = 4ху и
на основании второго уравнения 20 — 2 Уху=4ху, 2ху+
Уху — 10 = 0. Отсюда Уху — ~~ Уху = 2; 'ху =
= 4. Равенство ]/ ху = — у — невозможное, так как
Уху — арифметический. Итак, получаем систему х 4- у =
= 20; ху = 4, которая является следствием данной систе-
мы и потому удовлетворяется любым решением данной
167
системы, если они существуют. Решаем ее: у = 20 — х;
х (20—_х) = 4; х2 — 20х 4-4 = 0; х = 10 ± 4 у = 10 +
+ 4 j/б. Но У~х — У~у => 2 У ху > 0, Поэтому х > у
(равенства быть не может) и из найденных значений нужно
взять только следующие два: х= 10-|-4|Лб; у = 10 —
— 4 У 6. Испытание х и у показывает, что они удовлетво-
ряют системе. Однако, несмотря на возведение в квадрат
уравнения, проверку можно было бы и не производить, так
как здесь выполняются условия х > 0, у > 0, х > у, кото-
рые гарантируют обратимость указанной операции.
111. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
244.	Пусть расстояние от деревни до станции х км.
Если бы турист шел все время со скоростью 3 км/час,
X
то он потратил бы на путь у час, что на у час больше,
чем было в его распоряжении. Таким образом, чтобы по-
спеть точно к отходу поезда, он должен был затратить
(х 2 \
у —2 ) час. В действительности же он лишь
первый час шел со скоростью 3 км/час, а затем со ско-
ростью 4 км/час, что в общем составило (1 4- —у—)
т	3
час, Гак как он пришел за у час до отхода поезда, то
отсюда получаем уравнение
х 2 _ । । х —3 ( 3
3 — 3 - * Н 4 I" Т-
Решаем его:
4х — 8 = 12 + Зх; х = 20.
245.	Обозначим число десятков искомого числа бук-
вой х, тогда число запишется так: 10х 4- 3. Число, полу-
чающееся перемещением влево цифры 3, имеет вид
300 + х. Поэтому получим уравнение 300 4- х = 3(10х 4-
4- 3) 4- 1. Решив его, получим х = 10, а искомое чис-
ло 103.
246.	Обозначим расстояние, которое пролетел самолет,
через х км. Со скоростью 220 км/час он пролетел часть
пути, большую половины на -у км, т. е. равную х~^385 км,
168
х 385	л
затратив на нее ~2.220~ ЧаС' ®стальнУю часть пути, а
именно-----g---км> он пролетел со скоростью 330 км’час,
затратив на нее Л—час- Учитывая, что средняя ско-
рость на всем пути равна 250 км1час, можем подсчитать
все время полета. Оно равно час. Отсюда получаем
уравнение	+ 2~3^)5 = ^6' Решив его> найдем,
что х — 1375.
247.	Обозначим число лет младшего через xf а стар-
шего через х 4- у. Тогда для х и у получим следующую
систему уравнений:
I * + f/“h*4"2z/= 63.
Решив ее, найдем: х = 21; х 4- у = 28.
248.	Пусть скорость третьей машины будет х км/час,
а число часов, за которое эта машина догнала вторую,
равно у, К тому моменту, когда третья машина догнала
вторую, первая машина прошла путь 50(у + 0,5) км, вто-
рая 40 (у + 0,5) км, а третья ху км. К этому моменту
третья и вторая машины прошли одинаковые расстояния,
что приводит к уравнению 40(1/ + 0,5) = ху, 5 первая
удалилась от второй и третьей на число километров, рав-
ное 50 (у 0,5) — 40 (у + 0,5) = 101/4-5. Так как третья
машина проходит этот путь за 1,5 час, а в час пробегает
на (х — 50) км больше первой, то получаем уравнение
10у + 5 = 1,5 (х — 50) или Зх — 20у— 160 = 0.
Итак, имеем систему
( 40 (у 4- 0,5) = ху\
( Зх — 20у — 160 = 0.
Решив ее, найдем, что х = 60.
249.	Пусть скорость пассажирского поезда есть к
км/час, а скорого у км/час. Так как по условию у = 2х,
то пассажирскому поезду требуется на пробег от А до С
столько же времени, сколько скорому-^на пробег от А
до С и обратно. Но пассажирский поезд выходит из А
169
на — час раньше, чем скорый из С, и поэтому он, не-
смотря на пятиминутную остановку в В, приходит в С
на час раньше скорого. Отсюда получаем уравнение
25 _ _3 Д
х ~ 4 +60-
Решив его, найдем х = 30. Тогда {/ = 60, а ВС =120 км.
Определим теперь АВ.
Пассажирский поезд шел от В до встречи со скорым
14 мин и прошел за это время • 30= 7 (/см). Следова-
тельно, скорый поезд прошел с момента выхода из С до
момента встречи с пассажирским 120 км — 1км — ИЗ км,
затратив на этот путь час. Пассажирский же поезд,
после того как он отошел от А на 25 км. был в пути
до момента встречи со скорым на 5 мин меньше этого
ИЗ 5	108	27 о
времени, т. е. -gj- час —gg час = -gy час = yg час. За это
27
время он прошел 30 •	= 54 (км), причем 7 км из них
за пункт В. Следовательно, АВ = 72 км (25 4-54 — 7).
250.	Обозначим количество денег, бывшее до перекла-
дывания в 1-й, 2-й,n-й кучках, соответственно через
х2, •••» а количество денег в последней кучке, ока-
завшихся в ней после перекладывания из п—1-й кучки,
но до перекладывания из нее в первую, через у. После
перекладывания из первой кучки во вторую в первой оста-
п — 1
лось количество денег, равное —-— хр а после перекла-
дывания из n-й кучки в первую в первой их стало
— — xt 4- У9 а в последней г^~ у. После первого пе-
рекладывания во второй кучке стало количество денег,
равное х2 4- ~ хи а после того, как из второй кучки пе-
реложили в третью, во второй их оказалось
Подобными же рассуждениями докажем, что в третьей
кучке в результате всех перекладываний количество денег
170
стало п п 1 рэ + у (х2 4- -1 и т. д. Так как в резуль-
тате перекладываний во всех кучках стало по А руб., то
отсюда приходим к следующей системе уравнений:
л — 1
п
У = А.
Из последнего уравнения найдем у и подставив его
значение в первое уравнение, определим xv После этого
найти х2, х3, х„ не составит большого труда. В резуль-
тате получим: •
_ п(п-2) ,
х1~ (п_1)з
Хя = Х4 ==
часть работы, равную, соответственно, —
вместе часть. Отсюда уравнение
За 8 дней совместной работы они выпол-
П2-2п + 2 ..
(Л- 1)2 Д’
. = хп = А.
251. Пусть один рабочий может выполнить работу в х
дней, а другой в у дней. Каждый из них отдельно вы-
полняет в день
и —, а работая
1,1	1
х у 12*
8	2
нили то" = "о- всей работы, и другому пришлось еще ра-
ботать 5 дней, чтобы закончить ее. Отсюда получаем вто-
2	5
рое уравнение-у- + — » 1. Итак, имеем систему
1 . 1	1.25	.
х ‘ у	12	3 п у
Решив ее. найдем х — 60; у = 15.
252. Пусть одна бригада выполняет работу в х дней,
а другая в у дней. Тогда первая в один день выполнит
171
4 часть всей работы, а вторая Ц-. Так как, работая вме-
сте 8 дней, они выполняют всю работу, то получаем еле-
дующее уравнение: 4 + у = 1. Но 4 первой брига-
2	1
ды выполняют в день лишь -------— всей работы, а 0,8
второй----Чтобы выполнить всю работу таким соста-
вом рабочих, нужно 11 дня. Отсюда получаем второе
ill 2	1	। it 1	0.8 in
уравнение 11	• -д- • — 4- 11-^--= 1. Решив систе-
му ’Двух полученных уравнений, найдем, чтох=12;
У =24.
253.	Пусть количества лет старшего, среднего и млад-
шего братьев в настоящее время выражаются числами х,
у, и г. Если учесть, что (х — у) лет тому назад младше-
му было 10 лет, то получим уравнение z — (х — у) — 10.
Через (х — у) лет младшему будет 26 лет. Поэтому мож-
но написать, что z 4- (х — у) — 26. В день рождения млад-
шего старшему было (х — z) лет, среднему (у — г) лет, а
сумма лет была 2z. Таким образом, получаем третье урав-
нение х — г + у — z = 2z. Решив систему этих трех урав-
нений, получим х = 40; у = 32; г= 18.
254.	Обозначим число частей первого сплава и число
частей второго сплава, которые нужно взять, чтобы полу-
чить третий сплав, через х и у. Тогда в новом сплаве
12	2	3
первого металла будет -у- х + -у у. а второго у х + у у.
Так как отношение количеств этих металлов в новом спла-
ве равно 17 : 27, то получим уравнение
(4 х + А у) : (А х + 4 у) = 17 : 27
или (5z 4-6) : (10z 4-9) = 17:27, где z = — . Решив это
9
уравнение, найдем, что г = т. е. первого сплава нуж-
но взять 9 частей, а второго 35.
255.	Обозначим искомое расстояние, выраженное в ки-
лометрах, через х, а скорость поезда через у км/час. Пер-
вый поезд шел до вынужденной остановки 6 час и прошел
за это время путь бу км. Остальную часть пути (х — бу) км
172
он прошел со скоростью 1,2у км/час, затратив на про-
хождение ее х~ час. Всего поезд был в пути, с учетом
вынужденной двухчасовой стоянки, число часов, равное
6 4-2 + Это число часов на 1 больше числа часов,
1	1.2у
положенного по расписанию и равного Отсюда полу-
чаем уравнение
6+2++r=v+1'
Аналогично рассуждая относительно второго поезда,
получим второе уравнение
а । 150 . q ! х — бу 150 х । । r
6 + v + 2+-----= т + 1д
Решив систему этих двух уравнений, получим х = 600.
256.	Обозначим скорость лодки в стоячей воде, рас-
считанную на час, через скорость течения на участке
ВС через v2, расстояние АС через S и расстояние АВ че-
рез х. S и х выражены в одних и тех же единицах дли-
ны, в скоростях ?! и v2 употреблены те же единицы
длины.
Лодочник на движение вниз по реке тратит 3 час,
причем часть этого времени, равная — час, тратится на
прохождение пути АВ, а другая, равная ——_j_ час, на
прохождение пути ВС. Отсюда получаем уравнение
х t	S — x	Q
1 г ।	“ О •
«I V! + V,
При движении вверх по реке лодочник тратит на про-
хождение пути ВС уже v^_v час, на прохождение пути
АВ прежнее время, т. е. час, а на весь путь АС
3,5 час. Отсюда получаем второе уравнение
— + S~x = 3,5.
Vi 1 Pj — U2
Если бы на всем пути АС скорость течения реки бы-
ла такая же, как и на участке ВС, то при движении
173
вниз но реке потребовалось бы на прохождение пути АО
час. Так как по условию это число часов равно
з
то получаем третье уравнение
__S_ = 2-1
t>! + О* 4 *
После некоторых упрощений полученных уравнений,
придем к системе
' xo24-So1«=3t>i(tJi + t»2);
— 2xv.2 + 2Sv, = 7vt (у, — у2);	(*)
4S = 11 (о, + ог).
Умножив первое уравнение на 2 и сложив полученное
уравнение со вторым, найдем 45^ = ^(13^ —и2). Разде-
лив его на =Н= 0 и вычитая из результата третье урав-
нение системы (*) найдем 2Oj — 12о2 = О или = 6t>2.
Подставив и, с== в третье уравнение системы (*), полу-
45
чим и2 ==>
~ л	45	245
Таким образом, имеем: = —=
205	~	,55
= Отсюда искомое время t =-------------------» —лло =
77	r	Vj— v2 205
77
77
=а -эд- час «Я 3 ЧйС 51 MUH.
257.	Обозначим искомое число процентов через х.
В конце первого года на книжке стало (1640 4-	 xj
руб. Но с книжки было снято 882 руб., и поэтому на
следующий год осталась сумма 1640 +j^x—882= 758+
+ Тоо'л:’ К этои сУмме прибавилась в конце второго года
/7С-О ,	1640	\ х
процентная сумма (758+ -J0Q х) после чего на книж-
ке снова оказалось 882 руб. Отсюда получаем уравнение
758+-^х + (?58 + -^- х) ]5о=882 или 41х2+ 5995х —
— 31 000 = 0. Решив его найдем х = 5.
174
258.	Обозначим число часов работы второго рабочего
через х. Первый рабочий начал работу на 2 час 16 мин
раньше второго, а окончил лишь на 16 мин раньше его.
Значит первый работал (х-Ь-2) час. Второй работал после
перерыва 8 час 10 мин — 1 час 30 мин = 6 час 40 мин =а
2	/	2 \
= 6 -5- час, а до перерыва х— 6 -у) час. Так как вто-
рой за х час выполняет половину всей работы (вторую
1
половину выполняет первый), то в час он выполняет
2
X — 6 -у-
часть работы, а всего до полудня —. Первый рабо-
тал после перерыва 7 час 54 мин — 1 час 30 мин = 6 час
24лшк = б-g- час, а до перерыва (х + 2 — 6 час, Так
как первый - за час выполняет часть работы, равную
2 (х'+ 2)"> то А° настУпления полудня он выполняет часть
х 4- 2 — 6 -g-
работы, равную 2(х^-2)—* Но вместе пеРвый и второй
сделали до наступления полудня 0,4 всей работы. Отсю-
да получаем уравнение
2	2
х—-6-q-	x-f-2 —6-F-
______— -I_________— = 0,4.
2х	2(х + 2)	’
После упрощений получаем: 9х2 — 80х—100 = 0; х =
= 40	; х = 10 (отрицательный корень отбрасываем,
как не удовлетворяющий условию задачи). Следователь-
2
но, второй работал до полудня 10 час — 6-у час = 3 час
20 мин и поэтому начал работать в 8 час 40 мин. Пер-
вый начал работать в 6 час 24 мин.
259.	Пусть второй каменщик может выполнить работу
в течение х дней. Тогда первому понадобится на нее
(х 4- 9) дней. За один день первый выполнит часть рабо-
ты, равную Л~о~> второй — равную —, а вместе — рав-
ную Поэтому получаем уравнение — +	= §6 или
175
х® —31х—180 = 0. Из него находим, что х = 36. Итак,
первый может выполнить работу в 45 дней, а второй в 36.
260.	Обозначим искомый путь в километрах через х.
Пешеход, вышедший из А, перешел середину пути и про-
шел от нее к В еще 3 км, а пешеход, вышедший из В,
не дошел 3 км до середины пути. Таким образом, к мо-
менту встречи первый прошел + 3^ км, а второй
— 3^ км. В дальнейшем первый проходит путь
— з) км за 4,5 час и, следовательно, Движется со
скоростью — 3^ t 4,5 км/час, а второй со скоростью
4- з) ! 8 км/час, потому что проходит путь + 3^ км
за 8 час. Зная скорость равномерного движения пешехо-
дов и пройденный каждым из них путь до встречи, под-
считаем время, затраченное каждым на движение от мо-
мента выхода до встречи. Для первого пешехода это бу-
дет
—F 3^: ^~2----3) : 4,5 час,
а для второго
Ст-3):[(-г+3Н-
Так как это время одинаково, то отсюда получаем урав-
нение
(1 + 3): [(-Г- 3) 4'5 ] - (1 - 3): [(-Г + 3) 4
Решаем его:
(т + з).3=±^-з)-4, Зх+ 18= ± (4х — 24);
xt = 42, ха = -у-.
176
Второй корень не удовлетворяет условию задачи (путь
между М и N больше 6 км и тем более больше км).
Итак, MN с= 42 км.
261.	Пусть скорость одного автомобиля будет х км/час.
После встречи он движется еще 2 час и, следовательно,
проходит после встречи 2х км. Другой автомобиль прохо-
дит после встречи (210 — 2х) км, и так как он на это за-
9	9
трачивает -у час, то скорость его равна (210 — 2х):-у.
Выезжают автомобили одновременно и поэтому затрачива-
ют одинаковое время на движение до встречи. Вычисляя
его для первого и второго автомобиля и приравнивая най-
2Ю__2х 2х
денные значения, получим уравнение---------=----------
*	(210-2x):-g
Решаем его: (210 — 2х)8 = -|-х2, 210 — 2х = + -|-х, xt=>
= 60, х2 = 420. Так как путь имеет длину 210 км, то
второй.корень должен быть отброшен, потому что в этом
случае часть пути 2х оказалась бы больше всего пути.
Итак, скорость одного автомобиля равна 60 км/час, а дру-
гого (210— 120):	= 80 км/час.
262.	Пусть пшеничной муки было взято х кг. Тогда
ржаной было взято (х + 10) кг. Припек на пшеничную
х»	(х-Ь 10)» п
муку составил а на ржаную -—{до”- Сумма килограм-
мов той и другой муки вместе с припеками составляет
112,5 кг. Отсюда: х +	+ х + 10 +== 112,5;
х2 + 110х — 5075 = 0; х = — 55 ± 90; Xj = 35; х2 = — 145.
Отрицательный корень отбрасываем. Итак, пшеничной му-
ки было взято 35 кг, а ржаной 35 -|- 10 = 45 кг.
263.	Если обозначим скорость паровоза на первом уча-
стке х км/час, то время, затраченное им,на прохождение
24
первого участка, будет равно — час. Второй участок был
пройден паровозом со скоростью (х -|- 4) км/час и времени
при этохм было затрачено х_|_ 4 час. Но второй участок па-
ровоз прошел за время, которое на 20 jhuw, т. е. на у час
12 к. У. Шахно
177
больше времени, потраченного на прохождение первого
39	24	1
участка, и поэтому имеем уравнение -^4------- = “з~> ко*
торое приводится к такому виду: х2— 41x4-288 = 0. Ре-
шив его, найдем корни х, = 32 и х2 = 9. Оба эти корня
удовлетворяют условиям задачи.
264.	Пусть одно тело проходит в секунду х м. Тогда
другое тело будет проходить в секунду (х 4- 4) м. Первое
„	360	360 u
пройдет окружность за — сек, а второе за Но вто-
рое тратит на этот путь на одну секунду меньше первого,
360	360
и поэтому можно написать уравнение ~— "#+"4" ~ ^е-
шаем его: 360 (х + 4) — ЗбОх = х (х + 4), 1440 = х2 + 4х,
х2 + 4х — 1440 = 0; х — 36, х + 4 = 40.
265.	Пусть длина окружности переднего колеса бу-
дет х м. Тогда окружность заднего будет 2х м. После
увеличения длины окружности переднего колеса на 1 м
и уменьшения длины окружности заднего на 1 м, перед-
60
нее сделает оборотов на пути в 60 м, а заднее
X “р 1
г Так как заднее при этом сделает на 30 оборотов
2	2
больше переднего, то получим уравнение у — ^-j- =
=з 1, которое приводится после упрощений к такому:
5
2х2 + Зх — 5 = 0. Из двух его корней хг = 1 и х2 = — у
только первый удовлетворяет условиям задачи. Итак, дли-
на окружности переднего колеса равна 1 ж, а заднего 2 м.
266.	Пусть искомое время, выраженное в часах, бу-
дет х. Действительная скорость' трамвая на пути в 30 км
есть — км/час, а после уменьшения времени пробега на
30
0,5 час она стала равной х_05 км/час. По условию вто-
рая скорость на 3 км/час больше первой, и поэтому мож-
но написать ~~ 4~ 3 = х или 2х2 —х—10 = 0. Ре-
шив его, найдем, что время, затрачиваемое трамваем на
рейс, равно 2,5 час, а скорость движения равна 12 км/час.
267.	Пусть плотников было х человек. Тогда маляров
было х — 2, а всего рабочих 2х — 2. Общее число рублей,
178
уплаченное рабочим, составило 3 (2х — 2) 4- 26, а так как
бригады маляров и плотников получили поровну, то на
3 (2х — 2) + 26	,
долю плотника пришлось ——— руб., а на долю
3(2х — 2)4-26	, „	-	-
маляра 2(х_2)— РУ®- Но последняя сумма на 1 руб.
,	.	3(2х — 2)4-26 ,
больше первой, что приводит к уравнению ———----------F
3 (2х 2) I 26
+ 1 ~	о,——• Произведя упрощения, получим урав-
нение х2 — 8х — 20 => 0. Отсюда: х = 10; х — 2 = 8.
268.	Пусть скорость товарного поезда есть х км/час.
При такой скорости ему нужно — час, чтобы проити рас-
стояние от Москвы до Ленинграда. Пассажирский поезд,
имеющий скорость (х 4- 24) км/час, проходит это расстоя-
ние за - 24 час, затрачивая при этом на 12 час меньше
товарного. Поэтому справедливо уравнение —-----^_24 =
= 12. Упростив его, получим х2 4- 24х—1300 — 0.. Отсю-
да: х — 26; х + 24 = 50.
269.	Если длина шага ученика младшего класса рав-
ЛПА	400
на х м, то на расстоянии 400 м он сделает — шагов.
Ученик же старшего класса, имея длину шага на 0,3 м
больше, сделает на этом расстоянии только ,-п„ шагов.
X-f- U,о
Но второй делает на 300 шагов меньше первого, и поэто-
му справедливо уравнение —-----р з — 300- Выполнив
упрощения, приведем уравнение к виду 10х24-Зх— 4=0.
Отсюда: х — 0,5; х 4- 0,3 = 0,8.
270.	Если в куске было х м, то покупная цена метра
200	,	/200 . . е\ „ ,
равна — руб., а продажная I— 4-1,5) руб. Так как про-
дано было лишь (х — 5) м и выручена при этом сумма
(200	\
— 4-1,5 j(x—5) =
= 190, которое после упрощений приводится к следую-
щему: Зх2 4- 5х — 2000 — 0. Отсюда х = 25.
12*
179
271.	Если первого сорта было куплено х кг, то цена
22 5
одного килограмма этого сорта будет—руб. Второго
сорта было куплено (х 4* 15) кг, и, следовательно, цена
32
одного килограмма его будет х 15 руб. Но первая цена
на 10 коп. выше второй, что приводит к уравнению
4-0,1 =	После упрощения получим х24-П0х—
— 3375 = 0. Отсюда: х = 25; х 4-15 = 40.
272.	Обозначим искомое число процентов через х. Тог-
да при первом повышении зарплата в 100 руб. повысится
на х руб. и составит сумму (100 4- х) руб., а при повтор-
100 | х
ном повышении увеличится —— • х руб. и составит
(1 г\г\ »	<	100 *4“ х \ л	.
100 + х Н---------xj руб., которая равна 125,44
руб. Отсюда 100 + *+ ~1Qioq X~ • х = 125,44. После упро-
щений получим х2 + 200х — 2544 = 0. Из него найдем,
что х = 12.
273.	Если первый раз было отлито х л спирта, то пос-
ле этого в сосуде осталось (20 — х) л. Но так как сосуд
был долит водой, то в одном литре смеси уже содержа-
лось только л спирта. Поэтому в х л отлитой смеси
содержалось чистого спирта лишь —— х л. В результа-
те двух отливаний в сосуде осталось спирта 20 — х —
--------2Q— х. Но это составляетпервоначального, т. е.
5 л. Таким образом, приходим к уравнению 20 — х —
--------эд— • х = 5. После упрощения его получаем уравне-
ние х2 — 40х 4- 300 = 0, решив которое найдем х = 10.
274.	Обозначим буквой х число монет, уместившихся
в стороне квадрата. Очевидно, на всей площади квадрата
их разместится х2. При размещении монет в виде правиль-
ного треугольника число монет в основании треугольника
будет х 4- 2, в следующем ряду х 4- 1, затем х и т. д.
и, наконец, одна монета. Поэтому  получим уравнение
(х 4- 2) -|- (х 4- 1) 4- ... 4- 2 4- 1 = х2. Оно приводится к
180
виду -- + 3	— х2 или х2 — 5х — 6 = 0. Отсюда най-
дем, что х = 6, число монет х2 = 36, а сумма денег —
72 коп.
275.	Пусть искомое число участников было х. Полно-
стью сыграли друг с другом по партии лишь (х— 2) уча-
стников (двое выбыли) и число этих партий равно (х — 3) +
+ (х — 4)+ 24-1= (* —2Нх —3) . Если выбывшие
участники турнира между собой играли, то число различ-
ных партий, сыгранных ими, будет не 6, а 5 и в этом
случае будем иметь уравнение ~ 2^* ~ 3^ + 5=84. Если
же выбывшие участники не играли друг с другом, то все
6 партий, сыгранных ими, будут различными, а потому
уравнение для определения х будет такое: ~	~	+
-|- 6 = 84. Первое уравнение приводится к такому: х2 —
— 5х—152 = 0 и оно не имеет рациональных решений.
Второе уравнение имеет вид х2 — 5х— 150 = 0. Его корень
х = 15 дает решение задачи. Итак, число участников бы-
ло 15, причем двое выбывших не играли между собой.
276.	Пусть стоимость материи первого сорта есть х руб.
Тогда его стоимость после повышения на у процентов со-
ставит х + ygg, что приводит к уравнению х +	= 15.
Первоначальная стоимость материи второго сорта равна
(15,2 — х) руб., а после понижения на у процентов
(15 2 х \	4
15,2 — х----jqq—yl руб. Но эта новая стоимость рав-
на 2 р. 40 к. Поэтому можно написать, что 15,2 — х —
-----—у = 2,4. Итак, имеем систему уравнений
х+^=15;
15,2-х- 15’2~* # = 2,4.
Исключив из нее у, получим уравнение 2х2 —43х +
4- 228 = 0. Из него найдем: хх = 12; х2 == 9,5.
277. Пусть поезда встретились в некоторой точке пути
С (рис. 1). Обозначим число часов, затраченное товарным
поездом на прохождение пути ТС, через х, а его скорость
181
через у км/час. Время в часах, затраченное пассажирским
поездом на прохождение пути ВС, будет равно х— 5
Обозначим скорость пассажирского поезда через г км/час.
Очевидно, можно написать, что ТС = ху и ТС = 4 г.
Отсюда получаем уравнение ху
~-----sLw е=41У г- Аналогично ВС =
Рис. 1.	=(х — 5-j^-jz и ВС = 12-jyi/.От-
сюда получаем уравнение (х — 5-^-jz = 12-]^- у. Перемно-
жая эти уравнения, получим: ху{х-^Ь г = 4 г х
X 12-й-у; х2 — -§-* = 4т-Тг; 24х2—122х—1271 = 0.
31	1
Отсюда! --------х2= 10 —. Первый корень не удо-
влетворяет условиям задачи. Итак, товарный поезд затра-
тил на прохождение пути ТС 10 час 15 мин, а на про-
хождение всего пути 10 час 15 мин + 12 час 55 мин =>
= 23 час 10 мин. Пассажирский поезд затратил на про-
хождение пути ВС 10 час 15 мин —5 час 5 мин = 5 час
10 мин, а на прохождение всего пути 5 час 10 мин -К
+ 4 час 6 мин = 9 ч&с 16 мин.
278. Если обозначить скорость лодки в стоячей воде
через х км/час, скорость течения реки и скорость движе-
ния плота через у, то скорость лодки по течению будет
х + у, против течения х — у, время движения лодки
20	20
по течению час, против течения у—— час, до встречи
с плотом Y+y + х~-^~у и’ наконе1*’ время движения плота
-у-. Так как прогулка длилась 7 час, то получим
20	,	20	_ ~
ние -г-----1------=э 7. Так как время движения
х~г У * * * * * * * * * х~~ У
уравне-
лодки
и плота до их встречи одно и то же, то получаем уравне-
ние ~4- х_у = —• Из второго уравнения находим:
20г/ (х — у) + 8у (x-f- у) = 12(х2— i/2); 1ху — Зх2. Но х = 0
182
не удовлетворяет условиям задачи, а поэтому Ту = Зх,
7 т-т	7
х = -о~ у. Подставив х = у в первое уравнение, найдем
у — 3, а следовательно, х = 7. Итак, скорость лодки по
течению равна 10 км/час, а скорость течения реки
3 км/час.
279. Обозначим места первой, второй и третьей встреч
курьеров буквами М1гМ2,М3 (рис. 2), скорость первого че-
рез км/час, а второго через vt
км/час. При втором движении пер-
вый курьер идет до встречи со
вторым дольше, чем первый раз,
на 1 час—18 мин = 1 час —
—jy час = 0,7 час. Поэтому он
.	7
проходит больше на ot, в то
т
  Ч.-г,
п3 м, пг ~
Рис.' 2.
время как второй идет
1	13
меньше времени на -5- час -4- 18 мин = -5- час 4- -ттг час =
Z	1 V
= 0,8 час и проходит соответственно на 0,8 о2 км мень-
ше, чем при первом движении. Расстояние МгМ2 и есть
то дополнительное расстояние 0,7 olt которое пройдено
первым, и одновременно расстояние 0,8 v2, которое не
дошел второй. Отсюда получаем уравнение 0,7oj = 0,8о2
или 7vt — 8о2.
При третьем движении второй курьер идет дольше
первого на 1,5 час и проходит за эти 1,5 час путь
1,5о2 км, в то время как первый йе доходит 5,6 км до
точки Mi и, следовательно, затрачивает времени на дви-
5,6
жение до встречи на — час меньше, чем при первом дви-
жении. Таким образом, путь 1.5оа км, пройденный вторым
курьером за последние 1,5 час его движения до встречи,
состоит из пути MiM3 = 5,6 км и того пути NMi, кото-
рый бы не дошел второй до Aflt если бы он двигался
5,6
столько же времени, сколько и первый, т. е. на — час
меньше, чем при первом движении. Иначе: MSN = 1,5о2,
M3Mi = 5,6, MiN —	• v2, а так как M3N=M3Mi -f-AljA/,
5 6
то получаем уравнение 1,5у2 = 5,6 + — • vt. Из первого
183
Pa . 7
уравнения находим -у- = -у и подставляем во второе.
Получаем 1,5и2 = 5,6 4- 5,6 • -у = 10,5.
Итак, у2 = 7, а тогда о1 = ~ • vt = 8.
280.	Обозначим число часов работы последнего рабо-
чего через х, число часов работы предпоследнего через
х 4- у, а число рабочих через г. На выполнение работы
всего было затрачено число часов, равное х 4- (х 4- у) +
+ (х + 2у) + [х + (z — l)y]=xz + у [1+ 2 4- ... 4* (z — 1)1=
= xz 4- у • -(г~ - . По условию задачи это число часов
равно 24z. Отсюда получаем уравнение xz 4- у • г <г~ 1- =
= 24г или 2х 4- у(г — 1) = 48. Но первый рабочий работал
в 5 раз больше последнего. Поэтому получим еще такое
уравнение х 4- (г — 1)у = 5х. Вычитая это уравнение из
первого, получим х — 48 — 5х. Отсюда: 6х = 48; х = 8.
Так как продолжительность выполнения всей работы рав-
на числу часов работы первого рабочего, то, следователь-
но, рабочие рыли канаву 40 час.
Замечание. Иногда решающие эту задачу предпо-
лагают, что продолжительность работы последнего рабо-
чего равна промежутку времени, в течение которого пер-
вый работал в одиночку. Тогда число рабочих оказывает-
ся равным пяти и задача получает простое решение.
Однако такое предположение подменяет эту задачу дру-
гой, потому что такое предположение не вытекает из
условий задачи. На самом же деле продолжительность
работы первого рабочего в одиночку будет различной и
находится в зависимости от числа рабочих, как это вид-
но из уравнения (z— l)i/ = 32. Если рабочих было толь-
ко 2, то интересующая нас продолжительность работы
будет равна 32, если число рабочих было 3. то продол-
жительность равна 16 и т. д.
281.	Пусть вес первого металла, входящего в сплав
веса Р, будет х кг. Тогда вес второго будет (Р — х) кг.
Килограмм первого металла теряет в весе при погруже-
В	С -
нии его в воду -р- кг, а второго---р-кг. Так как по-
теря в весе данного куска сплава равна сумме потерь ве-
184
сов составляющих его металлов, то получаем уравнение
хВ , (Р — х)С _ л
— +------------------------р------ л.
Д__Q
Решив его, найдем, что х — Р • д 21~с> а Р —х —
-Р В~А
~г В-С
Для возможности решения задачи нужно, чтобы х
и Р — х были положительны илй иначе, чтобы числители
и знаменатели найденных значений х и Р — х были одного
знака. Это приводит к таким соотношениям: С < А < В
или В < А < С.
282.	Обозначим вес отрезанного куска через х кг, а
число процентов содержащейся в первом и втором кусках
меди соответственно через у и г. Тогда в куске, отре-
занном от первого сплава, будет содержаться кг ме-
ди, в куске, отрезанном от второго сплава, кг, а в
остатках	и	. В новых сплавах будет со-
ху , (п — х)г хг . (т—х)у
держаться килограммов меди 4- — -,007 и
Первый из новых сплавов будет весить п кг, второй —
т кг, а процентное содержание меди в них одинаковое.
Поэтому можно написать уравнение
ху t (п — х)2	хг (т-*х)у
100 +	100 1ПП 100 +	100 ,пп
---------------- • 100 =--------------100.
Отсюда:	~	= хг -цт — х)у . Xytn+nmz—xzm=>
= xzn + mny — xny\	xm (y — z) + xn(y — z) == mn(y — z).
Сокращая на у — г =И= 0, получаем хт + хп = тп,
тп
откуда х =
283.	Обозначим отношение объема С к сумме объемов
А и В через Тогда можно написать
Ащ — В у С\
Вп — А 4~ Oj
, Сх = А + В.
185
Прибавим А к обеим частям первого равенства. Получим
А (т + 1) = А 4- В -f- С. Отсюда —гт = . , r , г. Анало-
т-f-1 /t-j-D-f-c
,	1 в
гичными преобразованиями получим	уд	и
уру “ "4 у д .|Гс'- Почленное суммирование трех пос-
1,1,1	А+в+С
ледник равенств дает	+	=
= 1. Поэтому: ууу = 1 ——ур-; у^у =
_ тп — 1	, .	(m+!)(« +1). Y_ (w+l)(n+l) _
(m+l)(n+l)*	тп — 1	* тп — 1
- т 4- п 4- 2	х,	тп — I
— I = - ——Ц—. Объем С составляет часть----------:--—у-
тп — I	т 4- п 4- 2
суммы объемов Л и В,
284.	Пусть точки начали двигаться из одной точки
окружности в разных направлениях (навстречу друг дру-
гу). Если скорость одной, рассчитанная на секунду, есть к,
то она за время tx пройдет путь xtb а другая, если ее
скорость, рассчитанная на секунду, есть у, пройдет путь
ytx. Сумма их путей составит длину окружности L. По-
этому получаем уравнение xtx + ytx = L или х + у = у-.
Пусть теперь точки движутся в одном направлении, на-
чав движение из одной и той же точки окружности.
Тогда первая за время пройдет путь х/2, а вторая за
то же время пройдет путь yt2. Полагаем х > у. Тогда
первая, двигаясь быстрее второй настигнет вторую по
истечении t2 сек и, следовательно, за время t2 сек ее путь
будет на L длиннее пути первой за то же время. Отсюда
получим второе уравнение xt2 — yt2=^ L или х — у —
Решая систему
L
найдем, что х =	у=	> 4)- Следует
заметить, что раз точки при обоих движениях (т. е. в од-
186
ном направлении и в разных направлениях) сходились
через равные промежутки 4 и t2, то они начинали дви-
жение из одной и той же точки окружности, чем мы при
решении пользовались.
285.	Пусть расстояние между А и В равно х км.
Лодка прошла это расстояние за -у- час, а пароход
за час. Но лодка пришла в В на t час позднее паро-
хода и, кроме того, еще до выхода парохода она была в
движении час. Таким образом, лодка была в движении
на [t 4- час больше, чем пароход. Отсюда получаем
уравнение ------= t +	. Решаем его: xw — xv ~
— vwt + lw; х — w^'vt ; (w > v).
286.	Обозначим искомое число досок через х. В первые
два часа мастер выиграл^ партий и I проиграл. Следую-
щие два часа он вел игру уже на [х——/^досках. Из
всех партий, сыгранных за последние два часа, он выи-
грал	—^)*Тбб паРтий> проиграл тип партий
свел вничью. Так как общее число партий, сыгранных за
последние два часа, составляется из всех выигранных,
проигранных и сведенных вничью партий за эти часы, то
отсюда получаем уравнение х~ — / = (х —	+
, , г,	„	10 000(т+п)+100/(100—о)
+т+п. Решив его, найдем, что х= —(1oo -p)(ioo--~^~^ •
287.	В сосуде было чистой' (стопроцентной) кислоты
~ л. Если в сосуд добавить х л (?%-ного раствора кислоты,
то количество чистой кислоты будет доведено до
(тш + Тбб) л* Н° после добавления туда еще воды, рас-
твор будет содержать чистой кислоты л. Поэтому по-
187
лучим уравнение	решив которое, найдем
Ьг — ар
х~ Я ’
288.	Пусть из каждого сосуда отлили х л. В первом
«	(а — х)р
сосуде осталось чистой кислоты -	-  л, а во втором
Ь100* ~ Л' Кроме того, в первый добавили ее л, а во
второй Так как новые смеси стали одной концентра-
ции, то получим:
1 Г (а — х)р . xq 1___1 Г (b — x)q , хр 1
a L юо iooJ - j j 100	+ 100j;
bp(a — х) + bqx = aq(b— x) + арх;
x(a + b)(q — p) = ab(q — p).
Считая p #= q и разделив уравнение на р — 7 =/= 0, найдем
ab
Х ~ а + Ь'
Если р — q, то задача имеет бесконечное множество
решений.
289.	Пусть искомое расстояние есть х км, скорости
первого и второго велосипедистов у км/час и г км/час.
До первой встречи первый велосипедист проехал (х -|- а) км,
затратив на него х^а час, а второй проехал (х — а) км
х — а
и затратил —-— час. Так как время их движения
х 4- а х — а
одинаково, то приходим к уравнению —!— =------------ или
У	2?
* +д — К моменту второй встречи, первый велосипе-
дист проехал ^2х + км, а второй ^2х----------0 км. Таким
2х + -|- 2x-j
образом, получаем второе уравнение ---------= —-—или
I ~~f~* Подставляя значениеиз второго уравнения
188
в первое, получим
’—=*=2^-
х — a 2k — Г
290.	Пусть в начальный момент шарик находится в
точке М (рис. 3). Так как угол падения равен углу от-
ражения, то Z MN0 = £ 0NP — Z NP0 — Z ОРМ, а=р,
2а = 2р и Д NMP — равнобедренный.
Следовательно, MQ 1 NP и положе-
ние точки N определится расстоя-
нием OQ = х. По свойству биссектри-
сы внутреннего угла треугольника, д
OQ	NQ	OQ2	NQ2
имеем -V77S = или	,
МО	NM	МО2	NM2
X2
что приводит к уравнению =
Я2 - х2 т ,
= - -2  пг~гъ—• Из него находим:
а2 4- R2 + 2ах
х2а2 + x2R2 + 2ах® — a2R2 + а2х2 = 0; 2ОХ3 + 2а2х2 4-
+ R2x2 — a2R2 = 0; 2ах2 (а + х) + R2 (х2 — а2) = 0;
(а + х) (2ах2 + R2x — R2a) = 0.
Так как а + х #= 0 (х > 0, а > 0), то 2ах2 + R2x — R2a=0.
Отсюда	=4(/8?+^-Я).'
291.	Общий вес заполненного баллона состоит из ве-
[4	4	1
-ъ- it (R + е)3--х- к R3 \d и веса жидкости
□	о	J
-о-7г/?3о,	наполняющей	баллон.	Вес	жидкости,	в которую
О
погружен баллон, вытесненной баллоном, равен у ^ (/? +
4- е)3 Д. Все веса предполагаются измеренными одной и
той же единицей веса. Так как погруженное тело нахо-
дится в равновесии, то получаем уравнение
[4- (R + е)3 — 4 к Я3] d + 4 R3 8 = 4"	+ е>3 д-
Решаем его:
(R + е)3 (d - Д) = fl3 (d - В),	44
\ Л\ / и------------------- *-»
189
Условия возможности задачи получатся из требования
быть положительным R, т. е. из условия д > Е Если
d— Д>0, то получим: d— 8>d— Д, 3<Д, A<d и
8 < Д < d. Если d — Д < О, то d — 8 < d — Д, 8 > Д, Д > d
и d < Д < 3.
292.	Пусть число процентов прироста населения за
год будет х. Если к началу первого года количество насе-
ления было А человек, то к началу второго года оно стало
Ах — А + —— А (1 + а к началу третьего Л2 =
/ х \	/ х \2
= Л^1 +]оо/ = Л^1	и т. д. Очевидно, к началу
га-го года количество населения будет Л	, а к
его концу — ЛИ + (од) • При годовом приросте населе-
ния, равном (х 4- k) процентов, общее число населения
[ Х -L k \п '
к концу n-го года будет Л11 -|—. Во втором слу-
чае численность населения должна быть в два раза боль-
ше, чем в первом. Отсюда получаем уравнение
д (1 I * + / __2Л (1 -I_— V
Л юо / ~2/1V + юо/ '
Решаем его:
— 100 (/“2 — 1),х=-^---------100.
/2 — 1
Задача возможна лишь при таких k и п, при которых
найденное значение для х будет положительное.
293.	Если вес сосуда р, а его объем v, то при запол-
нении его первой жидкостью общий вес сосуда будет
(vd + р) кг, а при заполнении второй — vD + р. С дру-
гой стороны, эти веса равны q и Q. Отсюда получаем
систему уравнений
f vd + Р = <7‘.
| vD + р = Q,
„	Q — q	Dq — dQ
из которой находим, что v = Р = - D _ d «
190
Условия возможности задачи сводятся к условиям по-
ложительности найденных дробей для р и v. Это приво-
дит к требованиям, чтобы было или -г- > — > 1, или
ц> (]
< 1- Если хотя бы одна из дробей неположи-
тельна или если D = d, a Q d, то задача неразрешима.
Если же D = d и Q = q, то вес р и объем v связаны од-
ним соотношением vdA-p = q и задача имеет бесконеч-
ное множество решений,
294.	Обозначим скорости первого и второго поездов
через км/час и v2 км/часа расстояние между А и В
через х км. Двигаясь после встречи в противополож-
ных направлениях, поезда через t час оказались на рас-
стоянии 2х друг от друга. До встречи они вместе по-
крыли расстояние х, т. е. в два раза меньшее, чем
после встречи. Таким образом, встретились они через
-1-/ час после выезда из начальных пунктов А и В. По-
этому можно написать следующую систему уравнений:
х — Р = 4" tVi;
p—-^-/v2;
. x — p+q = vtt.
Из второго уравнения находим v2 = —, а подставив это
значение v2 в третье, найдем х = Зр — q. Теперь из пер-
2(2р — q)
вого легко находится =---------—
295.	Как видно из условия задачи, числа х, у и z
должны удовлетворять следующей системе уравнений:
х = т(у — г);
 у = п(х — z);
z = 2 (х — у).
Решив систему первых двух уравнений относительно х
„	(т 4- tnn)z (п 4- mn)z
и у, найдем, что х = ——А; у ==	£—А, а подставив
эти значения х и у в третье уравнение, получим искомую
191
зависимость в следующем виде: г = mft _ t • или тп —
— 2т+ 2п — 1 =0.
296.	Пусть часы уходят на х мин в сутки. Тогда,
чтобы они показывали правильное время, им придется хо-
дить -уч:уток. Если бы они уходили вперед на (х + t) мин
в сутки, то при отставании в данный момент на п мин
от правильного времени им пришлось бы ходить
-~-у- суток или на 1 сутки меньше, чем чтобы лик-
видировать это отставание. Итак, —— 1 = ? , х2 4-
X	X “f- t
+ (f+n^m)x^mt==Q. х==тГп-‘+^-^+^-
Второй корень отрицательный и его отбрасываем.
297.	Пусть детей было х. Последний из них, т. е.
х-овый получил ах орехов плюс — остатка. Но так как
это был последний из участников дележа, а орехи между
ними были поделены все, то и остатка не могло быть.
Следовательно, каждый получил iio ах орехов, а всего
орехов было ах • х = ах2. Доля первого тоже была ах,
но, с другой стороны, она равна а + 0x8 ~а . Поэтому по-
ах2 — а	1 х® 1 о
лучаем: ах = а Ч-----—, х = 1 Ч------—, х2 — пх + п —
— 1=0, х = n ± (а ~ xt = п — 1, х2 = 1.
298.	Пусть куплено х кг лигроина. Тогда керосина
было куплено (п — х) кг. Цена килограмма лигроина есть
-у- руб. и керосина п^~ руб. Так как килограмм ли-
гроина на Ь руб. дороже килограмма керосина, то полу-
чаем уравнение
—-------1-=Ь.
X п — х
Решаем его: а (п — х) — ах = Ьх(п — х), бх2 — (2а + Ьп)х+
л 2а 4- Ьп ± У" 4аа 4- Ь2п2 о
-ь ап = 0; х = ————22-. Знак плюс перед
192
радикалом не годится^ потому что в
этом
случае
х был бы больше п,
так как 2<1= 4
V 4аа + 6апа
26
и
VbW _-bn __ п
26	~ 26 - 2 ‘
тг	2а Ч- Ьп — 1^ 4а2 + Ь2п2
Итак, имеем: лигроина ——----------——-----------кг, а ке-
росина
2а + bn — V 4а2 + W _ Ьп — 2а + V 4а2 + Ь2п2
П	2b	~	2Ь	'
299.	Пусть искомая скорость есть х км/час. Первая
, d
машина проходит путь а км в — час, а вторая находит-
ся в пути на t мин меньше, т. е. (—-----^-) час. Полови-
J	\ х 60 /
ну времени, в течение которого вторая машина находится
в движении, она расходует на то, чтобы догнать первую,
1 / d	1 \	«—г
и покрывает при этом расстояние-^-! —---Пер-
вая машина прибыла в В одновременно с прибытием вто-
рой в А и, следовательно, после получения пакета была
в движении столько же времени, сколько и вторая, т. е.
"F (“х---ёб-) час' Поэтому на Движение первой машины
от момента выхода из А до момента получения пакета
d 1 / d t \	\ ( d . t \
пошло—	J = — ^—+—J час, за кото-
рые она прошла расстояние -у (-у- 4- -—j х км. Поэтому
получаем уравнение -у --------J 0	х.
Решив его, найдем, что
_ — (60d + tv) ± V (60d + tv)2 + 240du/
x	,
а так как скорость может быть только положительной,
то ответ будет такой:
(60d + tv) + /(604 + tv)2 + 240Л» ^и.ипп
—--------------„у--------------- ълЦ Чии ।
13 К. У. Шахно
193
300.	Обозначим число рабочих первой бригады через х.
Тогда во второй их будет х + а, а в обеих вместе 2х + а
человек. Каждая бригада получила число рублей, превышаю-
щее число рабочих в обеих бригадах на с, т. е. 2х + а 4-
+ с, а следовательно, рабочий первой бригады получил
2х 4- а 4- с -	-	«	о *	2х + а + с
—т	руб., рабочий же второй бригады —— руб.
Но рабочий второй бригады получил на b руб. меньше
рабочего первой бригады. Поэтому можно написать такое
уравнение: —---------h 0 == ——• После несложных
упрощений, получим bx2 + (ab — 2а) х — а(а + с) = 0. От-
20 — ab ± р4 (2а — ab)2 + 4аЬ (а + с) Q
сюда х ==--------- —2Z?  т-------- -----. Знак минус
перед корнем следует отбросить, потому что соответству-
ющее ему решение будет отрицательным. Действительно,
12а — ab | <. (2а — abf + 4ab (а + ё).
Итак,
___2а — ab + Y (2а — ab)2 4~ 4аЬ (а + с)
X—	
301.	Пусть второй рабочий работал х дней. До того
как приступил к работе второй, первый работал один
в течение а дней и выполнил часть работы, равную -у- всей
работы. Следовательно, первый может выполнить и вы-
полнил в день часть работы, равную Второму при-
шлось выполнить оставшуюся часть работы, а именно
часть, равную 1 — = -—Отсюда видно, что второй
выполнил в день часть работы, равную р~р-. Но в тече-
ние дней рабочие, работая вместе, могут выполнить
всю работу, поэтому имеем уравнение
Р . а + х . д-р. а + х
да 2	-г" дх ’	2
194
Решаем его:
рх (а + х) + (q — р) а (а + х) = 2qaxy рх2 — aqx +
+ a*(q-p) = 0-, х = ^±У^-^Р(д-Р) =
.sAfc*. 11 = -2-(,_р). х. = а.
Оба корня удовлетворяют условиям задачи (q > р).
302.	Обозначим скорость одного тела через х м/мин.
Это тело проходит окружность за -у- мин. Пусть другое
тело движется медленнее, тогда время, за которое вто-
рое тело пройдет окружность, будет равно 4- p'j мин,
а его скорость —- м/мин. За q мин первое проходит
по-
путь xq м, а второе ——— м. Но за время q мин пер-
-J-+P
вое тело проходит на а м больше, чем второе тело,
тому что настигает второе тело за это время. Поэтому
получаем
уравнение ---------\-а = qx, решив которое,
«	ар ± У а2р2 4- 4a2pq гр
найдем х = ——- -	----Так как отрицательное зна-
чение х должно быть отброшено, то получаем, что одно
р "И У р^ *4“ ^ря
тело проходит в минуту а г . re. Mt а другое
Zpq
Vp3 + 4pq — p
-----2W-----М-

= а
а
а ,
т + р
303.	Пусть первый работал х дней, тогда второй ра-
ботал (х — п) дней. За один рабочий день первый получал
поруб., а второй по ~^п руб. Если бы первый рабо-
тал (х — п) дней, а второй х дней, то первый зарабо-
тал бы -^-(х—я) руб., а второй -^-^х руб. Но в этом
13*
195
случае их заработки были бы одинаковы. Поэтому полу-
чаем уравнение(х — п) =—-—х. Решаем его: а(х—
— п)2 = сха, У~а (х — п) = + хУ с. Но так как левая
часть положительна (х— п>0), то знак минус в правой
части должен быть отброшен. Поэтому получаем
х *= 2У а,— Второй работал число дней, равное х — п=
У а^У с
nV а	п У~с~ .	.
= 	' г— -п=-	(а>с).
у а—У с	V а—У с
304.	Обозначим число экскурсантов через х. Каждый
из них должен был заплатить -у- руб. Но из-за отсутст-
вия у b экскурсантов денег остальные х — b уплатили
каждый по + cj руб., а все вместе, принявшие учас-
тие в платеже, + cj (х — Ь). Последняя сумма состав-
ляет полный расход, т. е. а руб., и поэтому получаем
уравнение + cj (х — Ь) = а, решив которое, найдем
cb ± Угс2^2 + babe q
х = —	1---- Знак минус нужно отбросить, так
как в этом случае решение отрицательное (c6<]Zc2b2+4abc)»
305.	Пусть искомая скорость есть х км/час. Скорость
же фактическая равна (х + v) км/час. Время движения
d	,
поезда по расписанию равно — час, а фактически было
d»
затрачено час, что оказалось меньше на р мин
Отсюда получаем уравнение ~----= ТЯГ’ Решив ко*
«,	— pv ± V p2v2 + 240pod о
торое, найдем х == —г ‘	-—• Знак минус пе-
ред радикалом нужно отбросить, так как в этом случае
получается отрицательное решение, что невозможно.
196
306.	Если сумма вклада есть х руб., а сберкасса вы-
плачивает у % годовых, то х и у найдутся из системы'
хуа
1200 ~ т ~ Х'
xyb
1200
п — X.
Разделив первое уравнение системы на второе, а за-
тем вычтя из первого уравнения второе, придем к сле-
дующей системе, равносильной данной;
т — х   а
п —х	Ь ’
ху (а — Ь)
1200
= т — п.
Решив ее, получим:
__ ап — Ьт .	__ 1200 (т — п)
Х а — b 'У ап — Ьт
Если учесть, что х и у должны быть положительны,
то отсюда легко получить условия возможности зада-
чи. Для этого должно быть	> 1 ИЛИ О <	<<
т J
п
307.	Так как в третьем сосуде, как и в двух других,
после третьего разлива оказалось 16 л, то после второго
разлива в нем было 32 л и 16 из них вылито в первый
и второй по 8 л в каждый. Отсюда заключаем, что в
первый сосуд из третьего было влито 8 л. Сколько же
в него было влито из второго? После третьего разлива,
когда во второй было влито из третьего 8 л, во втором
оказалось 16 л. Следовательно, до третьего разлива,
т. е. сразу после второго, во втором сосуде также было
8 л и, следовательно, при втором разливе из второго
сосуда было перелито в первый и третий 8 л, по 4 л
в каждый. Отсюда заключаем, что в первый сосуд из
третьего и второго сосудов было перелито 8 л + 4 л =
= 12 л. При первом разливе из первого сосуда была
перелита во второй и третий половина содержимого и,
значит в нем оставалась половина количества^ литров,
бывшего там сначала. Отсюда следует, что эта поло-
вина есть 16 л— 12 л = 4 л, а всего в первом сосуде
было 8 л. Определим теперь количество литров жидко-
сти, находившееся вначале во втором сосуде. В него
было влито из третьего сосуда 8 л, из первого 2 л
197
и вылито 8 л в третий и первый. Так как в результате
в нем оказалось 16 л, то, следовательно, в нем было
14 л (16—8 — 2 + 8). Но раз в первом было 8 л, во
втором 14 л, а во всех трех 48, то в третьем было 26 л.
308.	Если путь от Ленинграда до Москвы в километ-
рах обозначить буквой S, время движения поезда в часах
буквой tv а обратно /2, то искомая скорость в км[час
2S
будет такая: v =	.
<1 + ‘2
тт . S , S	2S 2-60 о.
Н° ~ 20 ’ ~ 30 И V ~ S $ ~ 3 + 2 ~ 24,
20 + 30
309.	Обозначит цифру единиц первого разряда бук-
вой alt цифру единиц второго разряда — буквой а2 и
т. д. по разрядам, вплоть до цифры единиц самого вы-
сокого разряда, которую обозначим буквой ая, Само
число будем изображать так: а, а2... ап_хап, Тогда
число, изображенное теми же цифрами, но написании-
ми в обратном порядке, будет апап_х . . .а^аг. Из ариф-
метики известно, что всякое число можно представить
как сумму некоторого числа кратного девяти и суммы
цифр данного числа. Поэтому каждое из написанных
выше двух чисел можно представить так:
. ап_\ап = 9А + (И + а2 + ... + fln-i +
апап^ ... а2ах = 9В + ап + ап_х + ... + а2 + аг.
Вычитая из первого равенства второе, получим
а1а2... ап^ап — апап_\... а2аг = 9А — 9В = 9 (А — В),
т. е. разность чисел есть кратное девяти.
Замечание. Из этого доказательства видно, что
если второе число будет любое, но составленное из
тех же цифр, что и данное, то разность таких чисел
будет делиться нацело на 9.
IV. ПРОГРЕССИИ
310.	Не могут, так как если бы было ak ==
аг ^2, ат = ]/8, то, считая для определенности
имели бы
2 = ]/~3 + (/ — k) d, У~8 = V 3 + (m — k)d,
198
откуда получили бы, что
2 —/з~ _ l — k
8 — VT ~ m—k‘
Но это невозможно, так как слева иррациональное число,
а справа рациональное.
311.	Воспользуемся формулой
ап = аг + d(n — 1),
где и d—первый член и разность прогрессии. Получим
ат + а„ = 4- d (т — 1) + ах 4- d (п — 1) = 2at 4-
4“ d (tn 4~ n — 2) = 2<Zj 4~ d (k 4~ I— 2) = otj 4~ d (k — 1) 4"
4~ Oi 4- d (I — 1) = ak 4- fy-
312.	Числа an-i, an, an+i являются тремя последова-
тельными членами арифметической прогрессии. Поэтому
а„ — ая_1 = а„+1 — а„ или а„ =
313.	ав 4-«is = о# 4-flu = «1 4-«го» так как ав и ais>
а также ад и а12 являются равноотстоящими от концов
прогрессии членами. Отсюда:
2 (аг 4- о20) = 20; at 4- a20 = 10;
S20 = («14-«г») 20 = 100
314.	По свойству арифметической прогрессии а2— ах =
= а3 — а2 или а1+а3~ 2а2. Заменив ах + я2 через 2а2 в
первом уравнении, получим За2 = 9, а2 = 3 и аг + а3 = 6.
Подставив значение а2 во второе уравнение, получим
3axa3=15 или аха3 = 5. Итак, имеем систему аха3 — 5,
а± + а3 = 6. Решив ее, получим для а± два значения: 1
и 5. Точно так же для разности прогрессии d получим
два значения: а2 — аг = 3 — 1 =2, а2 — ах = 3 — 5 = — 2.
Следовательно, и две прогрессии:
1, 3, 5, 7,...;
5,	3, 1, —1,...
315.	Положим в формуле для Sn вместо п сперва
число 1, а потом число 2. Получим Sx == ax = — 1, S2 =
= ^ + «2 = 2. Отсюда а2 ~ 2 — ах 3, d = а2 — at = 4.
Прогрессия будет такая: —1, 3, 7, 11,...
199
316.	а10 = S10 — S9 = 280 — 225 = 55.
317.	Сформулированное в задаче условие можно запи-
сать так: = 4&2, где k — число просуммированных членов
прогрессии, a Sk — сумма этих k членов. Полагая в этой
формуле k — 1 и затем k = 2, получим:
S] = а, = 4 • I2 = 4; S8 = аг + а3 = 16.
Таким образом, имеем
а, = 4, а2 = 16 — а, = 12.
Отсюда находим разность прогрессии d = аг — аг = 8.
Теперь известны первый член аг = 4 прогрессии и ее раз-
ность d — 8; следовательно, прогрессия йзвестна. Первые
ее члены таковы: 4, 12, 20, 28, ...
318.	Замечая, что в арифметической прогрессии аь а2,
..., а10, по определению арифметической прогрессии,
— at = а4 — а3 = ... = а10 — ай = d, где d — разность
прогрессии, можем написать
а2 + а4 + ... + а10 — 01 — а3 —... — а9 = (а2 — аг) +
-4- (а4 — а3) + ... + (а10 — а9) = 5d = 15 — 12,5 = 2,5.
Отсюда d — 0,5. Найдем теперь первый член прогрессии
из выражения суммы ее десяти членов:
510 = 15 + 12,5 = 27,5 = 201+ 9'0,5 -10 = 5 (2ах + 4,5),
2а, 4- 4,5 = 5,5; а4 = 0,5.
Искомая прогрессия будет такая:
0,5; 1; 1.5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5.
319.	Так как по условию ар = q и aq = р, то ар— aq=
— q— р. С другой стороны, используя формулу ak—a4 +
+ d(k—1), где d — разность прогрессии, получим
ар — aq = a, +d(p— 1) — — d(q~ 1) = d(p — q).
Сравниваем два полученных для ар — aq выражения: q —
— p = d(p — q). Отсюда находим, что d = — 1. Но ат —
~-ap — (m~p)d и ат = ар + (т — p)d = q — т + р.
320.	Для доказательства достаточно установить, что
1_______1 _ 1____________1
6-|-с а + с a-j-c а + Ь'
200
Замечая, что числа а2, Ь2, с2, как образующие арифмети-
ческую прогрессию, связаны соотношением
а2 — Ь2 = Ь2 — с2,
преобразуем написанные разности так:
1	1	=	а— Ь	_	аг — Ь2
Ь + с	а + с	(Ь + с) (а + с) ~ (а + Ь) (Ь + с) (с + а) ’
__1_______1	=	6 —с	=	Ь2 — сг
a-f-c	a-f-b	(а + с) (а + b) ~ (а + b)(b + с) (а + с) '
В полученных выражениях знаменатели одинаковы и чис-
лители равны на основании соотношения
a8 — b2 = b2 — с2.
Следовательно,
1______________________1	_ 1___________1
й + с	e-|-c e + c	а + b'
321.	‘Дроби, сумму S которых нужно найти, находят-
ся среди следующих:
Зт Зт 4~ 1 Зт 2 Зп 1 Зп ____________
rn = —,	з , з , ..., з , -3- — n.
Эта последовательность есть конечная арифметическая
, 1
прогрессия с первым членом т и разностью а = у.
Число k ее членов найдем из равенства
п — т 4- у (k — 1),
откуда k = Зп — 3/п + 1. Следовательно, сумма этих дро-
бей
q (т п) (Зп — Зт + 1)
г>1-	2	‘
Но в сумму Sj вошли также сократимые дроби -	,
... 9	Иначе их можно записать так: т,
т + 1, ...» п—1, п. Этих чисел п — /п+1, они образу-
ют арифметическую прогрессию и потому их сумма
q __ (т 4- п) (п — т + 1)
о2 —	2	•
201
Теперь можем написать, что искомая сумма
с __ о о	(т + п) (Зп — Зт + 1)	(т 4-п)(л —m+1)
д - г>! — о2----------2------------------2--------=
— п3 — т3.
322.	Из равенства Sm = Sn получаем:
М + у-1>т= 2В1 + у-1)п| 2аАт__п} +
4- d(m3 — т — п3 4- п) = О,
(т — п) [2й! + d (т 4- п — 1)] = 0.
Или, после сокращения на т — п*£0, получим
2аг 4- d (т 4- п — 1) = 0.
Поэтому Sm+„ = 2ai + rf(m4-n-l) (m + л) = 0<
323.	Воспользуемся формулой
е _ 2ai + d<k-V) .
•>*--------2 R'
На основании ее и условия задачи получим
[2fli -f-d(m — 1)] zn _т2
[2d! -}-d(n — 1)] и na
или
[2а! 4- d(tn — !)] п = [2ах 4- d (п — 1)] tn.
Преобразуем последнее равенство:
2ах (т — п) + d[(n — 1) т — (т — 1) п] = 0,
2аг (т — п) — d(m — п) = 0.
После сокращения на т — n=f= 0, найдем, что d = 2at.
Теперь можем написать, что
ат   а! d(m — 1)  «14- 2ax (т — 1)  2т — 1
ап	аг + d(n — 1)	О] 4- 2at (п — 1)	2п — 1
324.	Каждый ряд из т параллельных линий вместе с
двумя сторонами параллелограмма, которым линии соот-
ветствующего ряда параллельны, образует ряд из (т 4- 2)
параллельных линий. Будем их нумеровать по порядку
1, 2, 3, ..., т 4- 2 сверху вниз и слева направо и назы-
вать 1, 2, 3-я, ...» (т 4-2)-я по вертикали и 1, 2, 3-я,
202
линии еще не проведе-
образует с 3, 4-й, ...,
..., • (tn 4- 2)-я по горизонтали. Первая линия по верти-
кали с каждой следующей, т. е. 2, 3-й, ..., (т + 2)-й
по вертикали образует по одному параллелограмму, а
всего (т -f-1) параллелограмм (рис. 4). При этом предпо-
лагается, что т горизонтальных
ны. Вторая линия по вертикали
(т + 2)-й всего т параллело-
граммов (параллелограмм, обра-
зованный ею с первой линией по
вертикали, учтен ранее). Третья
линия по вертикали образует с
каждой следующей по вертика-
ли по параллелограмму, а всего	Рис. 4.
(т — 1) параллелограммов. И так
далее, вплоть до (т + 1)-й линии по вертикали, которая
образует с единственной следующей один параллелограмм.
Итак, одни вертикальные линии с двумя горизонтальными
(сторонами данного параллелограмма) образуют число па-
раллелограммов, равное сумме членов следующей прог-
рессии: т+ 1, т, т — 1, ..., 2, 1. Эта сумма равна
<" + 1)+| (т + 1) = ("+-|>(" + 2>,
причем сюда же вошел и данный параллелограмм. Проведем
теперь т горизонтальных линий и, выбрав какой-нибудь
из полученных ранее параллелограммов, будем относи-
тельно его и (т + 2) горизонталей повторять рассужде-
ния, приведенные выше применительно к данному парал-
лелограмму и (т + 2) вертикалей. Мы убедимся, что с
помощью (т + 2) горизонталей можно из каждого ранее
л	(т 1) (т 4- 2)
полученного параллелограмма образовать ——2~—-1— -
параллелограммов, а следовательно, всего с помощью двух
рядов прямых, параллельных сторонам параллелограмма,
по т линий в каждом, с учетом сторон параллелограмма,
можно образовать
(т + 1)(/п + 2) ]2	(т+!)»(« +2)»
2 J	4
параллелограммов.
325.	Составим разности соседних членов заданной по-
следовательности:
^ = 5 — 3 = 2, Ьг = 9 — 5 = 4, Ь3= 15 — 9 = 6, ...
203
Числа 2, 4, 6, ... образуют арифметическую прогрессию
с разностью d — 2. Таким образом, член данной последо-
вательности равен сумме предыдущего члена этой после-
довательности и того члена найденной арифметической
прогрессии, номер которого равен номеру предыдущего,
т. е.
ak ~ "Ь ^*—1
Поэтому получим
ап ~ ап-1 4" Ьп-\ — (ln-2 4" bn-2 + Ьп-l = ... = й1+^1 +
-f- Ь2 4~ ... 4- bn-i = 34-24-44-.(2п — 2) =
= 34-2(Г4-24--.-4-« — 1)=3 4- я (я — 1) = п? — п 4- 3.
326.	Если т— четное число, то искомая сумма
Sm = (I2 — 22) 4- (З2 - 42) 4-. • • 4- l(m - I)2 — т21 =
= —3 —7 —... —(2/п—1) =
(3 4-2/п— 1)у m(m+l)
—	2	~	2
Если tn — нечетное число, то
= S„_, +	+	_i£i+L>.
327.	Все четыре последовательности являются геомет-
рическими прогрессиями. Знаменатель первой прогрессии
1 «, .
есть qr =--знаменатель второй q2= 1, знаменатель
третьей q3 = — 1, наконец, знаменатель .четвертой q4 = 0.
328.	Не могут. Для того чтобы они могли быть чле-
нами геометрической прогрессии, должны существовать
такое число q и натуральные числа тип, при которых
выполнялись бы равенства:
11 = 10g"1;
12= 10^.
/11\л / 19 \т
Но тогда было бы =1 —j или 1 \п == 12т 10п~'п,
что, очевидно, невозможно.
329.	Воспользуемся формулой ап = где at и q—
первый член и знаменатель прогрессии. Получим
атап ~ ciiqn~l =	= alqk+l~2 =
=	а#1-' = akat.
204
330.	Числа an-i, ап, a„+t являются последовательными
членами геометрической прогрессии. Поэтому ап : an-i —
= an^i : ап или а„ = an-i ап+ь В доказательстве предпола-
галось, что знаменатель прогрессии q 0. Однако спра-
ведливость доказываемого равенства для случая q = 0
очевидна.
331.	Раскрываем скобки в левой части и пользуемся
формулой у2 = xz. Получим '
(x-\-z-}-y)(x + z — y)-(x + z)2 — y2 = xl + 2xz + z2 —
— у2 = х2 + 2у2 + z2 — у2 = х2 + у2 4- г2.
332.	Рассматриваемую сумму можно записать так:
с/10—1 , 10’—1 .	, 10я —1\
5(—9~ + —9—+••• + —9—/
Так как первые слагаемые в числителях дробей образуют
геометрическую прогрессию со знаменателем 10, то пос-
леднее выражение легко преобразуется к виду
5 /ш ЮЛ —1	\
“И10-----9------п)-
333.	11... 1 55... 56 = (102А—1 + ю2*-2 +... 4- 10 +
л
4-1) + 4 (10*-' + 10*-2 + ... + 10 + 1) + 1 =
= 1Т(Г^Г + 4'11+2=Т+ 1 = 4-(1°2* — 1 +4-10*—4+9) =
= 4(102* + 2-10*-2 + 22) = (10* + 2 У= + 1)2=
У	\ О /	\ О	/
 3(10*—1)	.I2 Г 3(10* —1) , ,12
-----9----- + Ч = Г’ 10-1 “ + ’ J
= 3 (10*—1 + 10*—2 + ... + 10 + 1) + I]2 =
= (3- ю*-1 + 3- ю*-2 Ч- ... + 3-10 + 4)2 = 33... 342.
5^1
334.	Обозначим первый член прогрессии через х, а зна-
менатель через у. Тогда для этих трех членов х, ху и
ху2, на основании условия задачи, можно написать
х + ху + ху2 = 3,5, х2 4- х2у2 4- х2у* = 5,25.
Возведем в квадрат обе части первого уравнения и раз-
делим его после этого почленно на второе уравнение.
Получим
х2(1 4- У 4- У2)2 _ 12,25
^2(1 + У2 +	— 5 25 •
205
Решаем это уравнение, предварительно сократив левую
часть на х2 + 0:
= 4’	+^4 + 2У + w + 2^ =
= 7(1+у2 + ^), 3(1+ у2 + /) + 6у(1+у + у2) =
= 7(1-Ь^ + П 6i/(1++ г/2) = 4(l + i/2+ i/*),
3£/(1 +У + У2) = 21(1 +у + у2)2-2ув +y + !f)l
7у(1 + у+у2) = 2(1 +у + у*)2, О + У + У2) [2 (1 +у +
+ у2) — 7у] = 0.
Но 1 + У + У2 == 0 не имеет вещественных корней. Зна-
менатель прогрессии у определяется поэтому из уравне-
ния
2(1 +//+ У2) — 7у = 0.
Находим:
2</а — 5у + 2 = 0; й_2, й,-1-, „ _	-
_ 3.5 _ о R v -	3’5	- 3.5-4 о
- 7 -0,0, Х2- 1+г,г+г/2 - 7 -2.
Итак, задача имеет два решения: хг = 0,5, уг = 2; х2 = 2,
Уг = 0,5.
335.	Будем рассматривать ап как первый член арифме-
тической прогрессии. Тогда ат+п будет (т+1)-й член
этой прогрессии и будем иметь соотношение ат+п — ап 4-
+ md. Совершенно так же, рассматривая ат как первый
член арифметической прогрессии, а ат+п как (п 4- 1)-й
член, получим
ат+п = ат + nd.
Наконец, рассматривая ат_п как первый член прогрессии,
а ат+п как (2п + 1)-й член, получим
^/п4-п	Цгп —п 4“ 2nd.
Во всех этих равенствах d есть разность данной прогрес-
сии. Из этих трех уравнений находим:
ат = ат+п — nd = А — nd, ап = ат+п — md — А — md,
•  ат^-п — От—п   А — В
а~ 2nd ~ 2nd *
206
Подставляя значение d в первые два уравнения, находим:
j А — В 2пА — mA 4- тВ (2п — т) А тВ в
ап - л-т •	=---------Тп-------=---------Тп-------
336.	Рассматривая ат как первый член геометрической
прогрессии, а ат+п как (п+1)-й, получим ат+п = amqn
или ат = Aq~n. Рассматривая ап как первый член геомет-
рической прогрессии, а ат+п как (т + 1)-й член, найдем
ат+п — anqm или ап = Aq~m. Наконец, рассматривая ат_п
как первый член геометрической прогрессии, а ат+п как
(2п+1)-й член, придем к соотношению ат+п = am-nq2n
или А — Bq2n. Во всех этих равенствах q знаменатель
данной прогрессии. Из последнего уравнения находим
1
и подставляем его в первое и второе уравнения. Полу-
чаем:
—п	1	т
/ л \2л"	/ л 2	___ / л \"~2/Г
аи = Л.(4) =Л.(4) =/ЛВ; а= А .(А)
337.	Обозначим знаменатель этой прогрессии буквой q
и будем число а считать первым членом этой прогрессии.
Тогда можем написать, что b = aq, с = aq2, d = aq3. Поль-
зуясь этими формулами, получим
(Ь — с)2 + (с — а)2 + (d — b)2 — (aq — aq2)2 + (aq2 — а)2 -|-
+ (aq3 - aq)2 = а2 (1 — q)2 (q2 + (q + I)2 + q2 (q + I)2] =
= a2 (1 — q)2 \q2 + q2 + 2q + 1 + q* + 2?3 + q2] =
= a2 (1 — q)2 [?2 + 2q (1 + q2} + (1+ <?2)2] =
= a2(l — q)2(q+ 1 + q2)2 = a2(l — (f)2 = (a — aq3)2 =
= (a — d)2.
338.	Обозначим данное выражение буквой S. и вос-
пользуемся формулой квадрата суммы двух чисел. Полу-
чим
S = (х2 + 2+ ^-) +	+ 2+	. +
+ (х2п + 2 Н	|	h • • • + “И
207
1
.+„,+х»+2л_1=_^.^^1
+ 2"-' = 7^Г + 2'-1-
(гП-Ll_ 1 \2
*214-7 — хП==
_ (ХП+1 _ 1)2 _ хл (1 _ х)а x»n+2^.2xn+i+l—xn+2xn+l—xn+i __
“	(х— I)3	“	(х-1)3
хп — 1	х?+2—1	,, ,	, о ,	,	„ к/1 ।
= -—1---------= 0 + * + *2 + ...+х”-1)(1 +
+ х 4- х2 + ... 4- х"+1).
340. Дано S = ai 4- а2 + . - • 4- а. и Si = 4- 4- 4~ 4-
4-... 4- —. Нужно найти а =	.. .а„. Пользуясь тем,
^п,
что в конечной геометрической прогрессии произведение
членов, равноотстоящих от концов, равно произведению
крайних членов (задача 329), получим
°2 = (ata2... ап)2 = {ахап) (агап_х)... (a„ai) = (a^)"
С другой стороны, на основании того же свойства, мож-
но написать
с__п । Л ।	1 zw _ а1ап 1	1	।	1 anai _
S-ai + a24-...4-a„------— +	+ • • • + — =
= а1а«(т;	+ •• • + ‘ir) = aia"S1*
Поэтому
S 2 f S\n (SX2
ai«n = sT’ ° =4sj’ a = hd •
341. S = x 4- (x2 4- x2) 4- (x3 4- 2х») 4- ... 4-
4- [xn 4- (n — 1)хл] = x 4- x2 4- x® 4- ... 4- xn 4- x(x 4- 2x2 4-
4- ... 4- nxn) — nxn+x;
S =	+ Sx — at“+‘,
(x- !)S =	>«+ + »;
V '	X—1	*
s = (x2ip l«*n+1 — 04-1)*" + 1].
208
342.	Не нужно. Это определение суммы бесконечно
убывающей прогрессии, принятое в курсе элементарной
математики, а определение не доказывают.
343.	Если последовательность alt а2, а3, ... есть
геометрическая прогрессия со знаменателем q, то после-
довательность а\, al, al, ... является также геометри-
ческой прогрессией, но со знаменателем q*. Поэтому,
пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей геоме-
трической прогрессии, можем написать следующие два
уравнения:
Подставляя значение ^ = 9(1—q), найденное из первого
уравнения, во второе, получим:
8Uk^ = 40(5,	1+<7 = 2(1-<7),
<7 = 4-, «1 = 9(1-14 = 9—3 = 6.
344.	Если alt а2, ая, ... есть геометрическая прогрес-
сия со знаменателем q, то а ?, al, д’, ...—тоже геометри-
ческая прогрессия, но со знаменателем д8. Поэтому мо-
жем написать следующие два уравнения для определения
первого члена прогрессии и ее знаменателя:
а1о 0?	_ 108
1 — q ~ °’ 1—<7* “ 13‘
Найдя из первого уравнения aj = 3(l— q) и подставив
это значение а3 во второе, получим:
27(1 —<7)’ _ 108	(1— <7)«	_ 4
1 —<7» “13’ 1+ <7 4-<7* “ 13’
13(1 — 2<7 4-<72) = 4(1 +<7-1-<72), 3<?8 — 10<? + 3 = 0.
5 ~Ь 4	1	л /, lloto
q = g—; qi = -g-; Д] = 3 1 — -g~j = 3 —- 1 = 2.
Значение q2 = 3 > 1 не подходит, так как прогрессия
убывающая. Второй и третий члены прогрессии будут -д-
14 К. У. Шахно
209
345.	Если последовательность аъ а2, а3, а4, ... есть
бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со зна-
менателем q, то последовательности аъ а3, ... и а2, а4, ...
также будут бесконечно убывающими геометрическими
прогрессиями со знаменателями q1 2. Поэтому можем напи-
сать следующие два уравнения:
r^T = 36; г^4=12.
1 — q2 ’ 1 — q2
Найдем из первого уравнения а4 = 36(1 — q'2) и подставим
это значение во второе уравнение. Учитывая, что а2 = a'iq,
получим:
36? = 12, q = 4-,	= Зб(1 —4-) = 36 —4 = 32,
и	\ У /
32	32
а искомая прогрессия будет такая: 32, -у, -у,...
346.	Если обозначить знаменатель прогрессии, сумму
которой нужно найти, через q, то прогрессия может быть,
записана так: 1, g, q\ ... Так как второй член прогрес-
сии меньше суммы смежных с ним членов 1 и q2 в 2-^-
раза, то получаем уравнение 1 + <? = -у решив кото-
2	3
рое найдем, что qy = -у; д2 = -у. Второй корень не го-
дится, так как при q = — прогрессия не будет убываю-
щей. Находим сумму прогрессии: S =--------Цу— = 3.
347.	Обозначим знаменатель искомой прогрессии q.
По условию любой член прогрессии в 3 раза больше
суммы всех следующих за ним членов прогрессии. В част-
ности, первый член равен утроенной сумме всех членов
прогрессии без первого. Но искомая прогрессия имеет
такой вид: 1, q, q2, ... Следовательно, сумма всех членов,
начиная со второго, есть сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии с первым членом q и знамена-
телем q9 которая равна ууу. Отсюда получаем уравнение
1 = 3. э решив которое, найдем q = -i-. Искомая
I —- q
1	1	1
прогрессия имеет вид 1, -у, -jy ...
210
348.	Обозначим первый, второй, третий и четвертый
члены через а1( а2, а3 и at, а знаменатель прогрессии —
через q. Тогда будем иметь: а2 = а^; а3 = ад2; а4 = ад3.
По условию задачи аг 4- а4 = 1,5 (а2 4- а3) или а4 + ад3 —
— 1,5 (ад + ад2). Но а4 =# 0, в противном случае прогрес-
сия имела бы вид 0, 0, 0, ... , что не может быть, так
как сумма первых четырех членов'не равна нулю. Разделив
равенство на аъ получим 1 + q3 = 1,5</ (1 4- q). Решаем
это уравнение
2(1 +-73) = 3<7(1 +q), 2(1 + <?)(!-q + q3)-
-3q(l+q)^O,
(1 +<7)(2<72-57 + 2)=0.
Но 1 + q Ф 0, иначе прогрессия не была бы убывающей
(<7 — — 1), поэтому 2<?2 — 5(? 4- 2 = 0. Отсюда находим:
п_ 5±3.	1	_ о
Я 4 • <71	2 ’
Второе значение не даст убывающей прогрессии и долж-
но быть отброшено. Остается только q = -у-. Из условия
«1 +	+ а3 + а4 = 15, найдем ах. Действительно,
о _ «1(1 — <74) _в1(1 Тб) _ 15
St -	- —	— - 15,
15, й! = 8.
О
Отсюда сумма прогрессии S =-------— — 16.
1 ~~2
У
349.	По условию задачи имеем S6 — -у-З. Если обоз-
начить первый член прогрессии через at #= 0, а знамена-
тель прогрессии через q, то последнее равенство запишет-
ся так: gl 1	4“ ’ СокРац*ая на f izy °*
7	1
получим 1 — <78 = -g-. Отсюда q — ± р==.
350.	Обозначим разность этой арифметической прогрес-
сии буквой d. Тогда первый, пятый и одиннадцатый чле-
ны этой прогрессии запишутся так: 24, 24 4- 4d, 24 4- 10d.
14*
211
Так как они образуют геометрическую прогрессию, то
имеет место соотношение
(24 + 4d)2 = 24 (24 4- 10d).
Решаем полученное уравнение:
(6 + d)2 = 3 (12 + 5d), 36 + 12d 4- d2 = 36 + 15d,
d2 = 3d; dj = 0, d2 = 3.
Получаются две прогрессии:
24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24
и
24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54.
351.	Девятый член а9 арифметической прогрессии опре-
делится из соотношения • 9 — 369. Из него нахо-
дим а, = 81. Знаменатель q геометрической прогрессии
определится из равенства 81 = 1 • qs. Отсюда находим
q2 = 3. Седьмой член геометрической прогрессии равен
arf = 27.
352.	Обозначим первое, второе и третье числа через
alt а2 и а3. Эти три числа составляют геометрическую
прогрессию, и поэтому можно написать, что = ака3.
Числа аь а2 + 8, а3 составляют арифметическую прогрес-
I О	“И @3
сию, и поэтому можно написать, что а2 + 8 = --^-А
Наконец, числа аъ а2 4-8, а3 4- 64 составляют геометри-
ческую прогрессию, и поэтому можно написать, что
(а2 4- 8)2 = ai (а3 4- 64). Таким образом, имеем систему
уравнений:
а2 = а^, а2 4- 8 = -01 +2 а*-, (а2 4- 8)2 = ах (ц3 4- 64).
Произведем умножение в третьем уравнении
а} 4- 16а2 4* 64 = ауа3 4- 64аР
Но, на основании первого уравнения, al = aia3; поэтому
предыдущее уравнение принимает вид 16а2 4~ 64 = 64аР
Отсюда а2 = 4аг — 4. Подставляем найденное значение а,
во второе уравнение системы. Получаем:
4Oj__4 + S = ^p-; 4о, + 4 = ^р-.
212
Отсюда а3 = 8 4- 7а,. Найденные выражения для аг и с3
через аг подставляем в первое уравнение системы и ре-
шаем его относительно ах. Получаем:
(4а, — 4)2 = at (8 + 7ах); 9а? — 40ах + 16 = 0; ах =	•
Если ах = 20 + 16 =4, то a2 = 4at—4=12; а3 = 8+
+ 7ах = 36. Если ах = -- 77-- = -^- , то а2 = 4ах — 4 =
20	. о . -	100
9	»	8 4~	— g .
Итак, возможны две тройки чисел: 1) 4, 12 и 36,
оч 4	20	100
2) v -v и v.
353.	Обозначим искомое число буквой х, а другое,
вставленное между числами 3 и х, буквой у. Три числа
3, у и х образуют арифметическую прогрессию. Поэтому
можно написать, что у = -3 + х. Числа 3, у — 6 и х об-
разуют геометрическую прогрессию, и поэтому можно
написать, что (у — 6)2 = Зх. Заменив в этом уравнении
неизвестное у на основании предыдущего равенства, по-
лучим
(2+£ _б)8 = 3х.
Решаем это уравнение:
/ г__ Q \2
= 3X1	~9>2 = 12х, х2 — ЗОх + 81 = 0;
хх = 27, х2 = 3.
Во втором случае все три числа одинаковы, так что они
образуют арифметическую прогрессию с разностью, рав-
ной нулю. После уменьшения второго числа на 6 полу-
чим такие три числа: 3, —3, 3. Они образуют геометри-
ческую прогрессию со знаменателем, равным —1.
354.	Обозначим первое, второе и третье числа через х,
у и г. По условию задачи имеем х + у + z = 114. Так
как эти числа образуют геометрическую прогрессию, то
имеет место равенство у2 = xz. С другой стороны, так
213
как эти числа являются, соответственно, первым, четвер-
тым и двадцать пятым членами арифметической прогрес-
сии, то, обозначая разность прогрессии буквой d, полу-
чим у ~ х 3d, у = х 4- 24d. Подставляем эти значения
у и z в полученные выше уравнения. Это приводит
к следующей системе уравнений: х + (х + 3d) + (х + 24d) =
= 114; (х + 3d)2 — х (х + 24d), которая после упрощений
принимает такой вид: х + 9d = 38; d2 = 2dx. Решив ее,
найдем: хг = 38, di = 0их2 = 2, d2— 4. Итак, возможны два
решения: 38, 38, 38 и 2, 14, 98.
355.	Обозначим искомое число минут через х. Второе
тело прошло за это время путь 6х м. Первое тело про-
ходило в каждую минуту, начиная со второй, на 0,5 м
больше, чем в предыдущую и, следовательно, общий прой-
денный им путь будет равен сумме х членов арифметиче-
ской прогрессии, первый член которой есть 1, а разность
0,5, т. е. 0,52 х ~ х. Так как тела встретились, то
получаем следующее уравнение:
с . 2 + 0,5 (х—1)	.
6х 4------ 2----- х= 117.
Отсюда
х2 + 27х —- 468 = 0; х= 12
(отрицательный корень отброшен).
356.	По свойству арифметической прогрессии должно
быть а2 = й1 ф , а по свойству геометрической — a j — а^.
Сравнивая значения al, взятые из этих равенств, полу-
чаем
Отсюда находим:
(at + а3)а — 4а1а3 __ (at — а3)а =
4	’	4	’
что дает а, = а3. Но тогда и а2 =	а?- = аг = а3.
Итак, это возможно лишь в том случае, когда разность
арифметической прогрессии равна 0, а знаменатель гео-
метрической 1. Если бы эти числа были первым, вторым
и третьим членами арифметической прогрессии и первым,
214
третьим и вторым членами геометрической, то это воз-
можно и при неравных аи а3 и а3. Например:
•О 1	1 / Л	3 \ .. О 1 1 I	I \
— 2, -у,	= — -yj; 44-2,	2~/
357.	Должно быть b2 — 4а и 2а = b 4- 4. Отсюда:
&а = 2(6 + 4); Ь2 —2Ь — 8 = 0; dj = 4, 62 = — 2;
а1 = 4, 02=1.
При а = b = 4 делимое будет иметь вид
4х* 4- 4Х3 4- 4х2 -I- dx Н-1 = 4ха (х3 4- х 4- 1) 4- dx 4-1.
Следовательно, для делимости этого многочлена на х2 4-
4- х 4- 1 необходимо и достаточно, чтобы было d = I = 0.
В этом случае частное будет равно 4ха. При а — 1 и
Ь = — 2 делимое имеет вид х4 — 2Х3 4- 4Х3 4- dx 4-1 и част-
ное от деления его на х2 + х 4-1 будет многочлен второй
степени вида х2 4- тх 4- п. Поэтому можно написать
х4 — 2Х3 4- 4Х2 4- dx 4-1 = (х2 4- х 4- 1) (х2 4- тх 4- п) =
= х* 4- (т 4- 1) х3 4- (т 4- п 4- 1) х2 4- (т 4- п) х 4- п.
Приравнивая коэффициенты при х8 из левой и правой частей
равенства, а затем при х2, придем к следующей системе:
т 4- 1 = — 2, т + п + 1 = 4.
Отсюда т = — 3, п = 6, а искомое частное в этом слу-
чае будет х2 — Зх 4- 6.
358.	Дано, что обе прогрессии возрастающие, т. е.,
что d — а2 — at > 0, q =	> 1. Нужно доказать, что
а1
ап < Ьп при п > 2.
Доказательство. ап~ ах + 4 (и — 1) = ах 4-
4- (а2 — aj (п — 1) =	[1 4-	— 1) (n — i) ] =
= О1(1 4- (<7-1) (п- 1)1=0! (14-
4- (<7 - 1) (14-14- ... + 1)] <
Л—1
< аД! 4- (q	4- <7n-3 4-... 4- q 4- 1)1 =
= «id + (7n-x — 1)1 = o1<7n—1 = ba.
215
V. ЛОГАРИФМЫ
а) Общие свойства логарифмов
359.	По определению логарифма.
360.	Если о> 1, то большему числу соответствует и
больший логарифм, т. е. loga2< loga3. Если 0<а<1,
то большему числу соответствует меньший логарифм, т. е.
loga2>loga3.
361.	Пусть log6a = x. Тогда по определению логариф-
ма Ь* = а. Логарифмируя это равенство, получим х loge6 =*
= logaa, а так как x = logfta и logea=l, то получим
окончательно
log*aloga6 = 1.
362.	Пусть logfta = x и \ogca — y. Тогда по определе-
нию логарифма имеем fr* = а и с? = а. Отсюда 6х = с*.
Логарифмируя последнее равенство, получим х log, Ь =*
= У с — У- Подставляем сюда вместо х и у их выра-
жения: logft a log, b = log, а. Отсюда logft а =	.
363.	Так как под знаком логарифма должна находиться
положительная величина, то формула log a2 — 21og (— a)
верна, когда — а > 0 или а < 0. Следует также иметь в
виду, что формула log a2 = 21og а верна лишь при а > 0.
И только формула log а2 = 21og | а | верна при всяком
а =/= 0.
364.	Из условия
13afc = 4a2 + 9&2
найдем, что
/ Ja + З^у = аЬ
Логарифмируя последнее, найдем
21og -	= log а 4- log Ь.
Отсюда и следует доказываемое равенство.
365.	Из равенства а2 + b2 = Tab следует, что
(а 4- b)2 = 9а&,	= аЪ-
Прологарифмировав последнее равенство, получим то,
что требуется доказать.
216
366.	Так как аг = (с + Ь) (с — Ь), то, логарифмируя
последнее равенство сперва по основанию с + Ь, а потом
по основанию с — Ь, получим
21ogc+6 а = 1 + iog*+* (с — Ь) и 21og(._* а = 1 + log4_ft(c+ b).
Перемножаем эти равенства и производим преобразования:
31og10 2
41ogc+() a logc_* а = 1 + logc+* (с — b) + logc_* (с + b) +
+ log*+* (с — b) logc_* (с + Ъ) = [ 1+ logc+* (с — &)] +
+ [ 1 + 1с&_* (с + 6)] = 21ogc_* а + 21ogc+* а.
367.	Пользуясь соотношением logfc а — (см. зада-
чу 362), получим
1ПП о я _ 1о6ю 9’8 _ 1о£ю (49 • 0,2) _ 21og10 7 + log10 2—1
>Og8У,»- ]ogio8 - 31ogio2	-
_ 2Ь + а— 1
— За
368.	Пользуясь формулой log*a =	°- (см. задачу 362),
получим
т^-=^Г = 108“<а1,) = 1 + 10Ь-6'
loga (ab)
369.	Пользуясь соотношениями loga b = (см. за'
дачу 361) иа|о&,*=х (задача 359), получим
log» (log» а) /	1 \ log* (log* а)
= L1Og* ° )	= (aloga6)log*(log" а)
= ftlog* (log* а) = logi) а
log* а
а
370.	Положим \ogba = x. Тогда, по определению ло-
гарифма, 6х = а. Возведя последнее равенство в степень п,
получим Ьпх = ап или (Ьп)х = ап. Последнее же означает,
что logjn ап — х, а так как х — lgba, то lgftn ап = lgft а.
371.	Ig4 3 = 1g4» З2 = lgie 9 (см. задачу 370).
372.	Пользуясь формулами, доказанными в задачах 370
и 361, получим
Ig/T 8 =	64 = lg8 43 = 31g3 4 = 31g3	=
== 3 (Igs 12 lg3 3) = 3	3
_._3(1—a)
a
217
373.	Воспользуемся формулой log* а = log ь (см. зада-
чу 361). Получим
log	% —_______1‘_______________________!___________
01	- а« logx («1^2 - ап) logx 01 +logj at + ... +logA-a„
— 1
~. .. ?— -I—-.....1..+
!°g x log x	log x
а1	a2	аП
374.	Логарифмируя данные равенства, получим
(1 — logjo х) log10 у == 1, (1 — login у) logle 2=1.
Отсюда
logio x = 1 —	— = 1-----------Ц— = —г--------------.
s o	logio У	1—L_	1 —logio z
logio z
1
_	1 — login z
Поэтому x = 10
375.	Так как log*a =  lo^-- - и 6 = }^ ас,, то
।	1	1	2
log* x = ,----г- = --------r—  = t----n-----------=a
* logx b logx Vac	logx a + logx c
== 210gq X logo X
“ loga x + log* X •
Подставляя это значение log*x в левую часть доказыва-
емого равенства, получим
loga X — log* X	loga X (loga х + log* x) — 21ogq x loga X
log* x loge X	21oga x logc x — logc X (loga X + logc x)
= (loga x)a — logq X logc X	loga x (loga X — loga X)	loga x
= loga x loga * — (logq X)a “ loga X (loga X — logc X)	loga X '
376.	По определению арифметической прогрессии мо-
жем записать
1ойт X — log* X = log„ X — logm X.
Пользуясь формулой log* a =i*g (см- задачу 362), пре-
образуем написанное выше равенство
logfeX 1	logft х logfe X
log* m 8* log* n log* m‘
218
Сокращая на log**, приводя подобные члены и потенци-
руя, получим:
2	1
= 1 + 21о& п = ,0& т п + ’)>
log* п2 = log* т log* (nk), log* п2 = log* (nk)logft m,
n2 = (nk)Xogkm.
Если log* x — 0 (на этот множитель мы сокращали), т. е.
если х — 1, то числа log* х, logOT х, log„ х дают арифме-
тическую прогрессию 0, 0, 0, при любых k, т, п, и, та-
ким образом, необходимость соотношения п2 = (kn)l°^ т
в этом случае отпадает.
377.	Если х— 1, то числа log* х, logOT х, log„ х обра-
зуют арифметическую прогрессию 0, 0, 0 при любых k,
т, п, в частности, и при таких, при которых выполняется
данное в задаче соотношение. Будем теперь считать,
что х =/= 1. Прологарифмировав данное равенство, по-
лучим:
log* (Mog* т = log* n2, log* tn (1 + log* n) = 21og* n,
1 + log* n _	2	1 J _	2
log* n log* tn' log* n -I" log* tn'
Умножим последнее равенство на log* х =/= 0. Получим
1Qga* . i0£J v = 2 • logfe*
log* n	log* tn'
Пользуясь формулой
i	log/? a
\Ggha =,
logc b
найдем, что
log„ X + log* X = 21ogm X или log* X — logm X =
= log»,*—log**,
а это и требовалось доказать.
378. При делении неравенства 31og104- < 21og10 -i- на
1
logic "у пРиДем к неравенству противоположного смысла
(3 > 2), так как log10 ~ < 0.
219
б) Логарифмические и показательные уравнения
379—381. В первых уравнениях Р(х) и Q(x) должны
быть положительны, а во вторых они могут быть одного
знака (в задаче 379 они могут также быть равными нулю).
Таким образом, рассматриваемые пары уравнений в общем
случае не равносильны.
382.	В первом уравнении должно быть Р(х) > 0, а во
втором Р(х) может быть любым вещественным числом, "не-
равным нулю. В общем случае эти уравнения не равно-
сильны.
383.	Если х — у, то и ах = а?. Однако ах может быть
равно аУ, когда х=£у, если а= 1. Таким образом, если
a =h 1, то уравнения ах — аУ и х = у равносильны.
384.	Решаем первое уравнение: х2 — 1=8, х2 = 9,
Xj = 3, х2 = — 3. Оба корня удовлетворяют этому урав-
нению. Подставляем теперь х = 3 и х = — 3 во второе
уравнение и убеждаемся, что х = — 3 ему не удовлетво-
ряет. Следовательно, уравнения не равносильны.
385.	Потому что уравнение
21og(x— 1) = 21og3
не эквивалентно данному, так как
log(x— l)2 = 21og|x — 1|.
Оно эквивалентно данному лишь при х> 1, а при х< 1
такому:	21og (1 — х) = 21og 3.
Решив последнее, найдем х = — 2.
386—424. Указание. I. При решении логарифмических
и показательных уравнений часто приходится логарифмиро-
вать и потенцировать обе части уравнения. Указанные опе-
рации могут привести к уравнениям, не равносильным дан-
ным. Это следует иметь в виду, чтобы не потерять корни
и не приобрести посторонние. Логарифмирование может
привести к потере решений, а потенцирование к приобре-
тению посторонних (см. задачи 379—385). Посторонние мо-
гут быть выявлены проверкой (испытанием). Чтобы не по-
терять решения, нужно стараться применять такие опера-
ции, которые бы приводили к уравнениям, равносильным
данным или, в крайнем случае, имели бы среди своих ре-
шений— решения данного.
II.	В том случае, когда неизвестное входит и в осно-
вание и в показатель (например: х\ (х+ 1)1обУ и т. п.),
220
допустимыми значениями букв могут быть лишь такие, при
которых основание положительно. Если же показатель не
может быть отрицательным, то основание может обращаться
и в нуль. Например, в выражении (1 4- у)х должно быть
у > — 1, а если х > 0, то t/> — 1.
386.	(±log; б)’- A’ogx 5+4=0. bg? 5 -
— 6logx 5 + 5 = 0, logc 5 = 3 + 2; log/5 = 5, x5 = 5,
Xj = У 5; log* 5 = 1, x2 = 5.
387.	3/“lgx — lgx = 2; Igx —3/1gx +2 = 0,
/Tgx =	/V* = 2, Igx = 4, Xi = 104 = 10000;
Igx = 1, lgx= 1, x2 = 10. Оба корня удовлетворяют
уравнению.
388.	Так как левая часть уравнения положительная, то
должна быть положительной и правая_часть, что будет
иметь место лишь тогда, когда log^K 5<0, или 0<х<1.
Предполагая это условие выполненным, возведем в квадрат
данное уравнение. Получим новое уравнение
4 logjr 5 + 3 = -|~log* 5 или 5 — 1о£* 5—2 = 0,
которое равносильно данному (при условии 0 < х < 1).
Решаем его:
’ogx5 = log*5 = — Xl = ~Г;
logx 5 = 2, х2 = У" 5.
Второй корень посторонний, так как р/-5> 1.
389.	Логарифмируем обе части уравнения. Получим
следующее уравнение, равносильное данному:
(log8 * — О logs V~x = logs 5 или logl х — log5 х — 2 = 0.
Решаем его:
logsх =	; logs х 2’ х = 5а = 25; logs х = — 1,
1
х2 — 5 .
Замечание. Равносильность данного уравнения и
полученного логарифмированием данного следует из того,
221
что основание степени У~х предполагается положитель-
ным. Вообще, уравнение и® = w, где и > 0, как можно
показать, равносильно уравнению v loga и = loga w.
390.	Логарифмируем обе части уравнения. Получим
уравнение, равносильное данному (см. задачу 389), которое
затем решаем, как биквадратное:
(21g3 х — 1,51g х) 1g х = lg/10, 21g4 x — lg2 x =
41g4 x— 31g2 x— 1 = 0; lg2x = 3^~5- =1, 1g x — + 1,
Xj = 10, Xj =	.
391.	Делаем сперва алгебраические преобразования
в правой части уравнения, затем логарифмируем обе части:
xlg2 х + 31g х + з =________2
у 1 +х+1 у 14-х—1 ’
xlga X 4- 31g X 4- з = х (lg2 х 4- 31g х 4- 3) lg х = lg x,
1g X (1g2 x 4- 31g x 4- 2) = 0.
Полученное уравнение равносильно данному (задача 389).
Решая его относительно 1g х, получим
1g х = 0; lg х — — 1; lg х => — 2.
Отсюда
Xj == 1; х2 = 0,1; х3 = 0,01.
392.	Так как должно быть — х>0, то ]/ х2 = — х
и данное уравнение равносильно следующему:
V21g (— х) = 1g (— х).
Возведя последнее уравнение в квадрат, получим
21g (—х) = lg2(—х).
Решаем его:
lg(—х)12 —lg(—x)] = 0; lg(—х) = 0, lg(— х) = 2;
Xj — — 1, х2 = — 100.
Оба корня удовлетворяют данному уравнению.
393.	Данное уравнение равносильно такому: logs|x[ =1.
Отсюда | х| я 2; xt = 2, х8 = — 2.
222
394.	Уравнение равносильно следующему:
21og2|x4- 1| + log21 х + 11 = 6.
Отсюда:
31og21 х + 11 = 6, loga [ х + 11 = 2, | x 4- 11 = 4,
x + 1 = + 4; %i = 3, x2 = — 5.
395.	Так как aioga 2 — z, то уравнение равносильно
такому: (х— 2)2 = 9 (при условии х > 0, х =4 2). Отсюда
х — 2 = 4-3, х = 5.
396.	Воспользовавшись формулой log* а = log*« ап (см.
задачу 370), получим
J°g	(х — 2) _ Iogx (х — 2)а logx (х — 2)а _ q
т. е. уравнение задачи 395. Следовательно, х — 5.
397.	Так как а10^’ 4 = а,0§« 2 = 2,
ТО
2-log/_(xa-x)	]0	iogv(x2_x)
X	=х У х	X	= X2 — X.
Поэтому уравнение принимает вид
2 = х2 — х или х2 — х — 2 = 0.
Решив его, найдем х = 2 (х = — 1) — посторонний ко-
рень.
398.	Так как в* правой части отрицательное число, а
корень, находящийся в левой части, — положительное
число, то множитель log5x в левой части должен быть
отрицательным. Предполагая, что условие log5 х < 0 вы-
полнено, возведем обе части уравнения в квадрат. Полу-
чим следующее уравнение, равносильное данному:
logх У 5х logs х = 1.
Далее преобразуем левую часть полученного уравнения,
используя формулу
log^alog^ = 1.
Будем иметь:
-Ь (logx 5 4- logv х) logs X = 1, (logx 5 4-1) logs2 x = 2,
logx 5 logi x 4- logs x = 2, logs x 4- log5x— 2 = 0.
223
Решаем полученное квадратное уравнение относительно
log5x. Получаем
log5x= ^=^- = ^2, х = 5~* = ±
399.	Преобразуем обе части уравнения, используя при
этом формулу
log* а = , 1 , .
&b loga b
Будем иметь:
2>	• log3(3x) = 10g3 (9|<7) ’ 21о&(9^ х) =
с= log3 X log3 (Зх), 2(log3 9 4- loga /х) = log3x (log3 3 4- log3 x),
2(2 4- log3 x) = log3 x (1 4- log3 x), 4 4- logs x =
= log3x 4- log32 X, log| x = 4.
Отсюда:
log3x = ± 2, Xj = 9, xa =
Каждое из примененных здесь преобразований обратимо,
т. е. однозначно выполнимо в обратном порядке. Это га-
рантирует равносильность всех полученных уравнений
и данного уравнения. По этой причине нет надобности ис-
пытывать найденные значения xt и х2 — они будут
корнями данного, причем потери корней не произошло.
400.	Преобразуем данное уравнение, пользуясь соотно-
шением
|ОЬ“ =
Получим:
/ 4-d +|°§,«) + т(йгЬ + ') +
+	1) + t(eS7 —О “0!
lA(10go* + l7,1/ (logg X-ij* = _
Г 41ogex f г 41ogax
Так как числители подкоренных выражений положитель-
ны, а корни — арифметические, то должны быть и знаме-
224
натели положительными. Это значит, что должно быть
loga х> 0* и 1°§ох+ 1 > 1. а следовательно, данное урав-
нение эквивалентно следующему:
logaX-J- 1 I loga X — 1 | _
2/15^7 2/tog“T ~а'
Из него видим, что а > 1. Действительно, второе слага-
емое левой части положительно, а первое больше едини-
цы, так как
loga X + 1 _ 2У loga X + (/ log-i X — 1 )а
2/ loga X	2.У loga X
= 1 j_	ч. 1
2/ loga X
Следовательно, если a< 1, то данное уравнение не имеет
решений. Если logax > 1, то уравнение имеет вид
log/i X —|— 1 —|—	X — 1	« /«
--——  „		--= а или V log- X = а.
2 К \ogaX	Y а
Отсюда: loga х = a2 > 1; Xj = аа\ Если 0 < log„ х < 1, то
уравнение приведется к виду log3x = y< 1, откуда
1
х2 = а . Очевидно, Xj и х2 являются корнями данного
уравнения, и других корней оно не имеет.
401.	Пользуемся формулой \ogba=* (см. зада-
чу 362):
inff г logqc/i .	1	= bgqX logqх.
Х loga b V loga С/ 10ga& loga С ’
lOga х (10ga ° + 1) = (lOga Х)К а) loga Х = °- *1 = U
б) loga С + 1 = 1°ёа *> ,0§а Х = 10§а (аС)’
402.	На основании соотношения logft а = logftn ап (см.
задачу 370) данное уравнение можно записать так:
log3 * + log3 *2 + log3 *~г = 6.
Отсюда:
logs * + 21og3x— logs* = 6; log3x = 3; x = 3s = 27.
15 К. У. Шахно	225
403.	log8 x ~f- (log8x)1 2 + (log8x)3 -f-... есть бесконечная
геометрическая прогрессия с первым членом и знаменате-
лем, равными log8x, и раз она по условию имеет сумму,
то она убывающая. Поэтому, пользуясь формулой суммы
бесконечно убывающей геометрической прогрессии, по-
лучим
logs* _ _1_
1 — loggX 2 ’
Решаем это уравнение:
1
21og8х, = 1 — log8х, log8x = -|-, х = 83=2.
404.	Положив ]/х	1 = у > 0 и сделав некоторые
упрощения, получим'
log (у + 1) = log (у2 — 41).
Отсюда:
у+1=у2 —41. ys — у — 42 = 0; ух = 7, у2 = — 6.
Второй корень отбрасываем, так как у2 < 0. Используя
у} — 7, найдем Ух -f- 1 = 7, х = 48. Полученный кор'ень
удовлетворяет данному уравнению.
405.	Разделим все члены уравнения на 9 х. Получим:
£	_____1_ г ______________1_ -12	_____[
/ 2 \ Х — 1 i/T
\ 3 )	~	2
Но знак минус перед радикалом не годится, поэтому:
_ /Т — 1
~	2
1 .	3	.	/5—1
- 10g-у = 10g-2—
log 3 — log 2
log(j/Т—1)—log 2‘
226
406.	Положим х + У х2 —2 == у. Тогда уравнение за-
пишется так:
4У —5-2у~1 = 6; 22у—J--2y-6 = 0;
2 • 22у — 5 • 2У—12 = 0.
Решая полученное уравнение как квадратное относитель-
но 2У > 0, найдем:
2У = Ц11 = 4, 2У = г2, у = 2; х 4- / х2—2 « 2,
х2 — 2 = (2 — х)2, х2 — 2 = х2 — 4х + 4, 4х = 6, х =я -j-.
407.	Так как
VTvf - Vv--iY.JL= ।	,
V 2 4- / 3 И2 + У 3
то данное уравнение эквивалентно следующему:
(|/г+‘/7Г--4 ™
(/24-УЗ Г -4(К2+Уз)Л+ 1 = 0.
Решая его как квадратное, получим
(К2 +У~3 )Л = 2 ± Уз.
Отсюда:	______
а)	(/г+УТГ =» 2 + У 3.
(2 4- УЗУ = 2 4- УЗ , -j- = 1, х, = 2;
б)	(У2 4-УЗГ = 2—УЗ, (2 4-Уз)Т=(2 4-УЗ)-1,
^- = -1, х2 = —2.
408.	Разделив обе части уравнения на 8х, придем к
следующему уравнению, равносильному данному:
/ 3 V
Положим у = 1-у I . Тогда получим:
^ + ?/-2-0; у3-1+у-1 =0; ({/-!)(У2 + У + 2)=0.
Но у2 + у — 2 = 0 не имеет вещественных корней.
Поэтому:
(о \Х
-у) =1; х «я 0.
15*
227
409.	Воспользовавшись формулой
- сзЬ-
и потенцированием, приведем данную систему к следую-
щей. равносильной:
|х + у\ = 10; у « 2|х|. Hot/ = 2|x|>0
и, следовательно
к 4- у •= х 4- 21 х | > 0.
Поэтому \х у\ = х + у и последняя система приводит-
ся к таким двум:
а) х 4- у = 10, у = 2х; б) i 4- у = Ю. j/ = — 2х.
Решив их найдем:
х, = 4’ У’ = ?•	^=20-
410.	Пользуясь формулой
= ’og^ ап
и потенцируя, придем к следующей системе, равносильной
данной:
х У у ат\ j/~x I у/ у — ап или х*: у = dim\ хд : у* = а6п.
Отсюда:
x = a2(2m~3n); t/ = a6(m’2n).
411.	Замечая, что
и производя потенцирование в первом уравнении, придем
к следующей системе равносильной данной:
4ху = 9а2; х 4- у — 5а.
Решив ее, найдем:
19	9	1
X] » -g- а, уу — g а, х% — а. у% = а.
412.	Пользуясь формулой logft а = logy> ап, приводим
логарифмы, входящие в первое уравнение, к основанию 10,
а затем потенцируем. В результате система приведется к
следующей:
(х2 4- z/2)2 = 4а2 (х2 — уг), ху — а2.
228
Замечая, что
(х2 4- г/2)2 = (х2 — г/2)2 4- 4x2z/2 и х2у2 - а*,
преобразуем первое уравнение новой системы так:
(х2 — I/2)2 4- 4x2t/2 — 4а2 (х2 — у2),
(х2 — I/2)2 — 4а2 (х2 — у2) 4- 4а4 = О,
[(х2 — у2) — 2а2]2 — 0, х2 = у2 — 2а2.
Таким образом, приходим к следующей системе, равно-
сильной данной (при условии х2 > у2 > 0):
х2 — у2 = 2а2, ху — а2.
Решаем ее:
у = х2 —= 2а2, х4 — 2а2х2 — а4 = 0,
х2 = а2 4- /1а4 = а2(1 4- /1); х,. 2 = ± аК 1 4-/Т,
Ух.* =-----------= ± «К/Т-1.
± а/14-/ 2
413.	Так как здесь х>0 и у>0, то, логарифмируя
оба уравнения, придем к следующей системе, равносиль-
ной данной:
| Igx 4- 1gУ = lg 4 4- 1;
I Igt/ • Igx = lg4.
Из первого уравнения находим выражение для 1g у и
подставляем его во второе уравнение:
1gх(1g4 4- 1 — Igx) = lg4.
Решая это уравнение как квадратное относительно Igx,
получим
Igx = lg4 + 1 itte4-1)!.
Отсюда:
Igx = lg4, Igx = 1; x, = 4, x2 = 10; yt == 10, y2 = 4.
414.	Из второго уравнения находим:
*4- «/ = (/!)*; x4-t/ = 4; у = 4 —х.
229
Подставив найденное значение у в первое уравнение,
получим:
5^ 34~Л == 52 • З3, З4 • 25х • 3~х = 25 • З3,
/ 25 V 25	. о
W =v; х=1' у=3-
415.	Из первого уравнения следует, что должно быть
или
х2 + Чх 4- 12 = 0, или у = 1.
Поэтому задача решения данной системы равносильна за-
даче решения следующих двух систем:
а) х2 + Чх + 12 = 0, х 4- у = 6; б) у = 1, х 4- у = 6.
Их решения такие:
хх = —3, i/i = 9; х2 = — 4, у2 = 10; х3 = 5, у3=1.
416.	Исключив у, получим
8* = 2 • 2х или 2SX = 2x+I,
откуда Зх = х 4- 1, х = Подставляя х = -i- во вто-
рое уравнение, найдем
у = 4-. 2~=4У 2.
х + У
12
417.	Из первого уравнения находим у = х . Под-
ставляем найденное значение у во второе уравнение. По-
ре + у)а
лучим х 12	= Xs. Следовательно, или х = 1, или
= 3. Если х = 1, то из первого уравнения най-
дем, что у — 1. Итак, первое решение Xj =1, yi = 1.
Если <х = 3 или (х 4- у)2 — 36 и х 4- у = 6 (х > 0,
у > 0), то из любого уравнения системы получим х = у2.
Подставив в уравнение х 4- у = 6, придем к уравнению
у2 4- У — 6. Отсюда
у = —= 2, х = 22 = 4.
Итак, второе решение х2 = 4, у2 = 2.
230
418.	Здесь предполагается, что х>0 и i/>0. Из вто-
рого уравнения находим
X = и
и подставляем в первое. Это дает
4-(^ + >/Т)г т
У	— У ,
что возможно, когда у == 1 или
’jKT + rn-l. т. е. У7 + ГГ =4-
£>	о	о
Таким образом, получаем две системы:
4 г— । 4/- 2
ч . У Х + V У "Т
а)	у = 1, у	= х
и
4 /- . 4 '- 2
V— ,	4 У х + V у "Г
б)	v х 4- v у ==-у-, у	= х ,
решение которых есть задача, равносильная решению дан-
ной системы. Чтобы найти решения первой системы, под-
ставляем во второе уравнение у = 1 и получаем х = 1.
Итак, %1 = 1, */1=1. Обращаемся теперь ко второй сис-
теме. Подставив
4/-. 4/-- 4
V X +V у = —
в показатель левой части второго уравнения, найдем х~у\
Теперь для определения у имеем уравнение
/Т2 + У7-4 =°-
Решаем его:
У у — ~ 3	__-----2-]/57 (значение
— 4-— 4-V57 < о	-
и потому не может быть приравнено у ). Следо-
вательно,
231
419.	Так как здесь х>0 и у>0, то, прологарифмиро-
вав первое уравнение системы, получим следующее ему экви-
валентное уравнение: mlogpx = n\ogpy. Так как у ф 1
(см. второе уравнение), то последнее можно записать в
виде
10gpX _ п
\ogPy ~~ ~т
при условии, что т #= 0. Сравнивая полученное уравнение
со вторым, видим, что
logpy или mlogpx — m\ogpy = п.
Таким образом, при т =/= 0 данная система эквивалентна
такой:
mlogp х — nlogp у = 0, mlogp х — m\ogp у = п.
Вычитая из второго уравнения первое, получим
(п — т) \ogpy = п
и если п Ф tn, то
log_ У ~ ~—• l°gn х — — log у —— п*—
п— т> ър т bniJ т(п — ту
Следовательно, в этом случае система имеет единствен-
ное решение:
п?	п
т(п — т)	п — т
* = Р , У~Р
Если п = т =# 0, то ввиду положительности х и у из пер-
вого уравнения следует х = у, что невозможно, так как
при х = у левая часть второго уравнения будет 0, а пра-
вая 1. Таким образом при п = т =# 0 система не имеет
решений. Если т = 0, но п Ф 0, тогда из первого урав-
нения получим у» 1. Однако у == 1 не является допус-
тимым значением для второго уравнения. Следовательно,
при т =» 0 и n=£D система не имеет решений. Наконец
при т = п — 0 первое уравнение удовлетворяется тож-
дественно и все решения системы найдутся как решения
второго уравнения. Из второго уравнения получим
logp X = (log, х — log, у) log, у, (logp у — 1) logp X == log£ у.
232
Итак, в этом случае система удовлетворяется любой па-
рой таких чисел:
log’y
,	logp у —1
у + р, х = р
420.	Допустимыми значениями неизвестных будут лишь
х > 0 и у > 0. Из этого и из второго уравнения следует,
что должно быть или а > 1 и b > 1, или 0 < а < 1 и
0 < b<_ 1. Если 0< а< 1 и b > 1 или а > 1 и 0<6<1,
то система не имеет решения.
Пусть теперь а > 1 и b > 1 (или 0 < а < 1 и
0 < b < 1). Логарифмируя первое и второе уравнения по
любому основанию, получим систему уравнений, эквива-
лентную данной:
t/log х = xlog у; xlog а = t/log b.
Перемножая уравнения полученной системы и сокращая
на ху > 0, придем к системе
log a log х = log b log у; xlog a = z/log b,
которая также эквивалентна исходной системе. Из пер-
вого уравнения последней системы найдем, что
log ь
.	logд а	1оба
logx =	а Х==У
Подставляя найденное значение во второе уравнение той
же системы, получим:
log b	log b ~ log а
logo ,	. , dog a \Qgb
у - log а = t/log 6; у	=
Отсюда, если log b — log а 0, то
log a	log Ь
log Ь — log a	log b — log а
_ ( log& \	- y = ( log b
"	\ log а /	*	\ log а /
Если же log b — log а = 0, то log b = log а, а = b и из
второго уравнения получаем х = у. В этом случае системе
удовлетворяет любая пара положительных чисел х и у,
равных между собой.
233
421.	Здесь допустимые значения для неизвестных:
X
х > 0, у > 0. Из первого уравнения находим х = уУ
и, подставив найденное значение х во второе, получим
тх
уУ — уп. Но последнее равенство возможно только, когда
у = 1 или ~ = и. Таким образом, задача решения данной
системы равносильна задаче решения следующих двух
систем:
а) у = 1, хт = уп и б) ™ = и, хт — уп.
Подставляя у = 1 во второе уравнение первой системы,
найдем х — 1. Итак, первое решение хг = 1, уг = 1. Под-
тх
ставляя у = — во второе уравнение второй системы, по-
лучим:
Хт —	хт __ (ЦЬхп xrn~n --(jnX
Если т — n=h 0, то найдем второе решение:
Если же т — п = 0, т. е. т = п, то из второго уравнения
получим х == у. В этом случае система удовлетворяется
любой парой равных положительных чисел х и у.
422.	Допустимые значения для неизвестных: t/> 1,
х — любое вещественное число. Преобразуем второе урав-
нение:
(/ - I)2"-2 = (у - О2*-2 (У + 1)2х-2=
(у-1)2х-2(1/+1)2х=г(у_1)2Х
(у - I)2*"2 [(у + I)2* - (у - 1)21 = 0.
Полученное уравнение равносильно второму уравнению
данной системы и задача решения ее эквивалентна задаче
решения следующих двух систем:
а) (У— 1)2х~2 = 0, (1 + у)х = 100 (при условии 2х— 2 >0)
и б) (у+ l)2*-(f/-l)2-0, (1 +уу^ 100.
234
Из первого уравнения первой системы находим у =» 1 и,
подставив во второе уравнение, получаем
2х = 100, х = log2100 > 1.
Итак,	Xi = log2100, Ух — 1.
Из первого уравнения второй системы находим у—1 =(1 +1/)*
и, пользуясь вторым уравнением, получаем:
у—\ = 100, у == 101; 102v = 100, х = log102 100.
Итак, Х£— log102 100, у2 = 101.
423.	Допустимые значения неизвестных х > 0, у > 0,
z — любое вещественное число. Кроме того, следует иметь
в виду, что так как У~х и У~у — арифметические, то
г > 0 (это видно из третьего уравнения).
Из первого уравнения находим, что
я
Подставляем это значение х во второе уравнение системы.
Это даст
г	16
3	faz
У -у
Отсюда видим, что или у — 1, или -у = -^Я-. Если у=1,
то из второго уравнения получаем х — 1, а из третьего
18 ТЛ
г — -у. Итак, первое решение
1	1	18
*1 = 1, У1= 1, Zj = -у.
Если
8
2	16	,	16	4	5г
Т = <75?’ г ==25’ г = тох=1/ =yl
Поэтому, подставив х = у2 в третье уравнение, полу-
чим:
Отсюда у = х = «Л =
235
Итак, второе решение
_ 1	_ 1	_ '4
*2 — .81 > У* <г> г2 — 5 •
424.	х1=1, у1 = 1, г1 = 2; х8 = 2-Ц/-£-1)’,
Решение аналогично решению задачи 423.
VI. СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ НЬЮТОНА
425.	Воспользовавшись формулой
Л — / + 1 „z-i
C/f - 1 I • Cfc >
запишем данное равенство так:
. Л+ 2 — т	. п— т + 1
Сп+2‘"..т+1-----С«+2: - т + 2 ’*
X -~^t2 • С+2 = 0,6 : 1 : 1.
Отсюда имеем
, п — т + 2 _____________________ 3
1 : т + 1	— 5 ’
1: я~^+1. = 1
т + 2
или
Г 5 (т + 1) = 3 (п — т + 2);
( т + 2 = п — т+ 1.
Решая последнюю систему, найдем п = 5; т = 2.
426. Первое доказательство. Выделим какие-нибудь два
элемента из числа данных (п + 2) элементов. Тогда соче-
тания цз (п + 2) элементов по (т + 1) разделятся на
четыре группы: а) не содержащие этих двух элементов;
б) содержащие оба эти элемента; в) содержащие первый
из выделенных элементов и не содержащие второй; г) со-
держащие второй из выделенных элементов и не содер-
236
жащие первый. Очевидно, группы а), б), в), г) состоят,
соответственно, из
pm4~l pm—1 pm pm
сочетаний. Отсюда и следует тождество, которое требует-
ся доказать.
второе доказательство. Имеем
рт+1 । pm—1 , Орт__
±	-j-	- (т+1)!
п\ __
т\ (п — т)! ~
1
fll
nF
Т (т — 1)! (л — т+ 1)! "г"
_ л! Г 1
~~ (т—1)!(п —т—1)! [	”т~ (п — т)(п —-т + 1)
«' Г_____________1____ ,
т(т + 1)
. ____________:______I =	_________Х
' (п — т)(п — т 4- 1)т ] (т — 1)! (п — т — 1)! А
__________па 4- Зп 4- 2	 п!(п4- 1)(” + 2)
т(т-\-\)(п —	— т) (/и 4-1)! (п — т 4- 1)1 =
_________(п 4~ 2)!_______pm-f-l
(m + 1)!(п — т+ 1)! ~Ьп+2‘
427. Очевидно, искомое число случаев равно
х>2	х>2	28 • 27
Сзо—2 = Ь28
2	=_______________________
т (п — ш)] (т — 1)! (п — т — 1)!
2п — т + 2	1 _
М = 378.
428.	Первый преподаватель может выбрать себе два
класса числом способов, равным Cf. После выбора им
двух классов, из оставшихся четырех второй может выб-
рать себе два класса числом способов, равным CJ, а сле-
довательно, всего способов выбора двумя преподавателями
себе по два класса из шести равно Cl • CJ. Но когда
первый и второй выберут по два класса, то останется
только два класса и поэтому третий не будет иметь воз-
можности выбирать. Поэтому искомое число способов бу-
дет равно
=	• т4- = 6 • 5 -3 = 90.
429.	Вынуть три выигрышных билета из имеющихся
в урне пяти билетов можно числом способов,, равным С|.
Вынуть же два билета невыигрышных можно числом спо-
237
собов, равным Cioo-5 =6'95. Так как каждые три выигрыш-
ных билета могут быть соединены с каждыми двумя не-
выигрышными, то общее число способов, при которых
из пяти вынутых билетов три окажутся выигрышными,
равно
Ct -С|5= 4^-. ^ = 44 650.
430.	Число способов, которыми можно распределить
четыре человека, знающих местность, на две группы по
два человека в каждой, равно С|. К каждой такой паре
можно присоединить остальных шесть человек числом
способов, равным Cie-4 — С?2. Таким образом, общее число
способов указанного в задаче разделения на группы
равно
1 ре __ 1	4-3	12 • 11 • 10 - 9 - 8.7 _ О77О
2 Ц 12	2’1-2*	1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6	=
431.	Одного маляра можно ввести в состав бригады
пятью способами. К нему присоединить плотника четырь-
мя способами. Поэтому общее число способов, которыми
можно выделить одного маляра и одного плотника, рав-
но 5 • 4. Очевидно, общее число способов, которыми можно
выделить трех человек разных специальностей (маляр, плот-
ник, штукатур), равно 5-4.2. Так как остальные члены
бригады не должны быть рабочими этих специальностей,
то их можно выделить числом способов, равным
z>2	__ z>2 _ 14 • 13 _ л 1
Ь25—И — 44 — ~j—FjT =
Итак, искомое число способов есть 5.4.2-91 = 3640.
432.	Занумеруем места ряда числами 1, 2, 3, ..., 2п.
Если разместить мужчин на местах с нечетными номерами,
то каждому данному размещению мужчин соответствует
и! размещений женщин на местах с четными номерами,
потому что это есть не что иное, как всевозможные пере-
становки из п элементов. Но, в свою очередь, и мужчины
могут быть размещены на нечетных номерах п\ способами.
Итак, общее число способов, требуемых в задаче, когда
мужчины занимают места с нечетными номерами, а жен-
щины места с четными номерами, равно п\ п\ = (м!)2.
238
Во мужчин можно посадить и на места с четными номе-
рами, тогда, повторяя предыдущие рассуждения, убедим-
ся, что и таких способов будет (п!)а. Отсюда видно, что
полное число распределений будет равно 2(м!)2.
433.	Очевидно, число способов раздачи не зависит от
порядка раздачи. Поэтому пусть сперва получит две карты
третье лицо. Одна карта у него должна быть червонный туз,
вторую карту он может взять девятью способами, поскольку
остается после изъятия червонного туза девять карт.
После того как третье лицо возьмет 2 карты, останется 8,
причем червонного туза среди них не будет, и второе лицо мо-
жет взять 4 карты числом способов, равным С|. Таким об-
разом, число способов, которыми^огут взять 2 карты, в
том числе червонный туз, третье лицо и 4 карты второе
лицо, равно 9С|. Но при каждом выборе этими лицами
положенного им числа карт первому предоставляется воз-
можность выбрать 3 карты из четырех, что можно сделать
числом способов, равным С% =	~ 4. Следовательно,
общее число способов раздачи равно 4 • 9С| = 2520.
434.	Различных однозначных чисел, исключая нуль,
будет А\ = 4. Если бы среди данных цифр не было нуля,
то число различных двузначных чисел было бы равно Л|.
Но так как среди них есть нуль, то в числе размещений
из этих пяти цифр по две есть однозначные числа, это те,
которые начинаются с нуля. Число их равно А\ = 4.
Значит, различных двузначных чисел получится А1 —
— Л| = 16. Аналогично найдем, что число различных
трех-, четырех- и пятизначных чисел будет равно, соот-
ветственно,
Л| — Л1 =э 48, Л| — Л1 = 96 и А* — А* = 96.
Всего получится 4 + 16 + 48 + 96 + 96 = 260 чисел.
435.	Число различных двузначных чисел, составлен-
ных из цифр 0, 1, 2, 3 так, что в каждое двузначное
число входит каждая из этих цифр не более одного раза,
равно Л|—Л| = 9. Если же учесть, что цифра 3 мо-
жет входить в число два раза, то к уже полученным
двузначным числам добавится число 33, а всего получит-
ся 10 чисел.
436.	Из пяти элементов можно составить Р5 = 5! раз-
личных перестановок. В этой задаче элементами являются
цифры 1, 1, 2, 3, 4 и, следовательно, каждая перестанов-
ка даст пятизначное число, в которое войдет два раза
239
цифра 1 и по одному разу каждая из цифр 2, 3, 4.
Но среди этих цифр будут одинаковые, а также числа
меньше 20 000. Выясним, сколько чисел будет различных
Если в каком-либо полученном числе поменять местами
две цифры, то получится другая перестановка. Если эти
цифры различны, то получится и другое пятизначное число.
Если же эти цифры одинаковы, то число останется преж-
ним. Но в каждое число входят две единицы, меняя ко-
торые местами, мы получаем то же число, но другую
перестановку. Следовательно, различных пятизначных чи-
сел будет -уР5 = -|- • 5! = 60. Среди них числа, начи-
нающиеся с единицы, "будут меньше 20000. Подсчитаем
количество последних: Отбросим первый элемент. Тогда
из остальных четырех, т. е. из цифр 1, 2, 3, 4, можно
составить Р4 — 4! = 24 четырехзначных числа. Если впе-
реди каждого из, них приписать отброшенный ранее эле-
мент, т. е. цифру 1, то получатся различные пятизначные
числа, меньшие 20 000. Те же самые числа получились бы,
если бы отбросить второй элемент и, составив из остав-
шихся различные четырехзначные числа, приписать впереди
отброшенный ранее элемент, т. е. единицу. Но раз они
дадут те же самые числа, то их учитывать не нужно.
Все прочие числа, как пятизначные и начинающиеся
с цифр 2, 3, 4, будут больше 20 000
Итак, искомое количество чисел равно 60 — 24 = 36.
437.	Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить Р5 = 5!
различных пятизначных чисел без повторения цифр. Среди
них будут и такие, которые будут иметь рядом стоящие
четные цифры 2 и 4. Подсчитаем количество последних.
Для этого рассмотрим четыре следующих элемента: 1, 24,
3, 5. Число перестановок Р4 = 4! даст пятизначные числа,
в которых четные цифры стоят рядом, причем сперва
цифра 2, а потом цифра 4. Если рассмотреть элементы 1,
3, 42, 5, то число перестановок из них также даст пяти-
значные числа, в которых рядом стоят четные цифры,
причем сперва цифра 4, а потом цифра 2. Иных пятизнач-
ных чисел, в которых бы рядом стояли четные цифры,
очевидно, нет. Поэтому искомое количество чисел равно
5! —2 • 4! = 72.
438.	Так как при первом биноме есть множитель х,
при втором множитель х2 и при третьем х3, то из членов
разложения первого бинома нужно взять член с х3, из
240
членов второго разложения член с х2 и, наконец, из
членов третьего разложения член с х. Умножив эти члены
соответственно на х, х2, х3, получим
— xCfx3 + x2Cg(2x)2 4- x3C!2(3x).
Искомый коэффициент будет равен
— С3 + 4С| + ЗС12 = — 4 + 4. 284-3- 12 = 144.
439.	Н10—1 =(10+ I)10—1 = 1010+ 10- 109 +
+ -yLy- - Ю8 + ... + 10- 10+ 1 — 1 = 102(108+ 10« +
+ 5-9 - 103+...+ 1) = 100Л,
где А — натуральное число.
440.	Так 'как (1 + х)" = 1 + С'пх + С^х2 + ...+С’Х'г+
+ ... + х", то коэффициент при Xs в произведении (l+x)'*
на данный трехчлен равен
А, = (s — 2)СГ2 + «СГ1 —
Но Скп = Скп~1 ♦—~fe+1-- Поэтому
А, = ($^ 2) СГ2+ пСГ1 -зСГ1 • "~-L+1==(s - 2)СГ2 +
+ Csn-'(n — п + $ - 1) = (s — 2) СГ2 + (з — 1)СГ‘ =
= (s - 2) а-2+(з -1) ст2 •	=•
= СГ2 (3 — 2 + п — s + 2) = пСГ2.
441.	С"п является биноминальным коэффициентом nprf
хп в разложении (1 + х)2я. С другой стороны,
(1 + х)2я = (1 + х)л (х + 1)"
и тот же коэффициент можно получить, собрав коэффи-
циенты при х” в произведении
(1 + С«х + С2пх2 + ... + С”хп) (хп + С'пХ"-1 +
+ С2хп~2 + ... + 1).
Он получится, если умножить первые члены этих раз-
ложений, затем вторые и т. д., наконец, последние и
результаты сложить. Это и приведет нас к равенству
i2 + (c‘)2 + (c^ + ... + (Q2 = c?„.
16 к У. Шахно
241
442.	Коэффициент третьего члена равен С2п, а коэф-
фициент второго С„. По условию первый из них больше
второго на 44. Поэтому получаем уравнение
- С‘ = 44.
Решим его:
—л = 44, п2 —Зп —88 = 0; п = ЦД
Знак минус перед радикалом должен быть отброшен,
потому что п > 0. Получаем п — 11. Находим свободный
член
33—life
Та+1 = С?1(х/7)“-*.(—Д)Л = (-1)*С?!Х 2 .
Чтобы х был в нулевой степени, нужно, чтобы
33 ~	= 0, т. е. k = 3. Отсюда свободный член равен
— С?, = — 165.
443.	Сумма коэффициентов первого разложения есть 2",
а второго 22". По условию первая меньше второй
на 240. Поэтому получаем уравнение 22л — 2П = 240.
Решим его;
22п — 2П — 240 = 0, 2” = ЦД
Знак минус перед радикалом нужно отбросить, так
как 2" > 0. Получаем 2П = 16 = 24, п = 4. Находим тре-
тий член разложения
444.	Имеем
100—л	п
7’.+, = сь(у^,’"”(ГзГ-^»-2 2 -3>.
~	100—п	п
Так как для рациональности члена показатели —— и -у
должны быть целыми числами, то число п должно быть
кратно 3 и 2, т. е. кратно 6. Но 0 < п < 100 и числа п,
кратные шести, будут 0, 6, 12,	, 96. Подсчитаем чис-
ло т их. Получим:
96 = 0 + 6(/и—1); т — 1 == 16; т = 17.
242
445.	Напишем общий член данного бинома
40-5)1
Рациональными членами будут те, для которых
равно целому числу. Выясним, при каких п это будет
иметь место:
-40~ 5”... = т- 40 — 5л = 6m; 5л = 40 — 6т;
О
п - 8 — т-----1-т.
О
Чтобы для п получались целые значения, нужно прида-
вать т значения", кратные пяти, но при этом такие, чтобы
число л не выходило из интервала, заключенного между
числами 0 и 20. Такие значения для т будут: —10, —5,
О, 5, а соответствующие числа для л: 20, 14, 8, 2. Иско-
мые члены будут:
Т21 = 2-10; Т15 =	• 2~5 = С£о • 2~5;
Т9 = С&; Т3 = Cio • 25.
446.	По условию
Ck
п — Ьп = Ьп —Ьп«
Ak
Воспользовавшись формулой С„ =-£- и сделав не-
г п
которые преобразования, приведем это уравнение к тако-
му виду:
п2 — (4k + 1)п + 4Л2 — 2 = 0,
откуда
_ 4k + 1 ± /8Г=Г9
П -	2
Так как 4^+ 1—число нечетное, а п — натуральное, то
необходимо, чтобы ]/8& + 9 был нечетным числом,
т. е. чтобы 8k 4- 9 = (2m + 1Л Отсюда находим, что
(т-1)(/п + 2).	_ 2(/n-l)(m + 2)+l ± (2m + I) ,
К —	2	’ П ~~	2	’
= tn2 — 2,	= (ш + I)2 — 2.
16*
243
Выражения для и л2 можно объединить в одной фор-
муле п = т2 — 2. Так как 0<&—1<#<#4-1<п и
,	(т— 1)(/п + 2)
к — :-----—!—Lt то отсюда заключаем, что т может
принимать лишь значения 3, 4, 5, ... Действительно, при
т — 1 будетч k — 0, что невозможно, так как тогда
будет А — 1 < О, что невозможно, а при т = 2 по-
лучим k = п = 2, что противоречит неравенству k + 1 < п.
447.	Так как = СпХп~к • 2*, то должно быть
• 29 > с£ • 2® и • 2’> С„° • 210. Но С* = (*~'х
X----Поэтому предыдущие неравенства примут вид
Л — 8 л	Л 9 л tjt
—g— • 2 > I и 1 > — 2. Из первого неравенства
находим: 2п— 16 > 9, 2п> 25, п > 12,5. Из второго не-
равенства находим п. — 9<5, п< 14.Итак, 12,5<п<14.
Следовательно, п = 13.
448.	Наибольший коэффициент разложения (а + Ь)2п
есть коэффициент С"п у (п + 1)-го члена. Покажем, что
он — четное число:
pn _ 2п(2п—1)(2п —2)...(2п —п+1)
С2л— 1	1)п	“
2п (2п — 1)(2п — 2) ...{2п—1 — п + 2) o/v,-i
п *	ГТо _ п	~ zb2n—!•
1 • 2 ...(п — 1)
449.	В разложении (1 + V 2)50 общий член
Тл+1 = <?£>(/ 2)л.
Биномиальный коэффициент С50 растет с возрастанием п
от 0 до 26, а затем убывает. Множитель (|/ 2)п все вре-
мя растет с возрастанием п. Следовательно, пока п рас-
тет от 0 до 26, растет и величина члена разложения.
Когда п станет больше 26, то биномиальный коэффи-
циент С50 станет убывать с возрастанием п и, хотя(|/ 2)п
при этом возрастает, все же не ясно, будет ли общий
член возрастать или убывать. Чтобы это выяснить,
исследуем отношение (п + 1)-го члена разложения кп-му,
т. е. отношение 7\+1: Тп. Вначале это отношение, как мы
выяснили, больше единицы. Когда это отношение будет,
и будет ли меньше единицы?
244
Имеем
Tn-t-i____С50 • (У~2~)п_51 — п т/'п
Тп ~ Спы{  (/2’)'’-1 “ «	’ У
Решим неравенство —• ]/~2 < 1.
51 _!	1	51	1 +/2~
п	уГ2 * п	’
п> -Д^- = 51(2 — У~2)
/2+1
Итак, если п > 51 (2 — У 2), то отношение Тя+1: Тп
станет и будет оставаться меньше единицы. Найдем наи-
меньшее целое число, большее числа 51(2—У~2). Возь-
мем значение У 2 по недостатку и по избытку с точ-
ностью до одной тысячной:
1) у"2 = 1,414; 2 — У~2 = 0,586; 51 (2— У~2) = 29,886;
2) У~2 = 1,415; 2 — У~2 = 0,585; 51 (2 — /~2) = 29,835.
Сопоставляя числа 29,835 и 29,886, видим, что в числе
51 (2 — У 2) содержится 29 целых и еще правильная
дробь. Значит, наименьшее целое число, которое больше
числа 51(2—У 2), есть 30. Следовательно, начиная с
п = 30, отношение Тп+1: Тп становится меньше единицы
и значит Т31 < Тад. При значениях п < 30 отношение
Тл+1: Тп > 1. Это означает, что Тж > Ты > ... > 7\, т. е.
наибольший член разложения есть
Т„ - Й?(	-Са(Г2)г’.
450.	Покажем, что в разложении (р + q)n при р > 0,
р > 0 и р + q = 1 существует наибольший член, и най-
дем его номер. Для наибольшего члена должны, очевид-
но, выполняться неравенства: ТЛ>ТЛ_1, 7\ > Если
воспользоваться формулой
Tk=Ck~X . p'-W qk-\
то неравенства примут вид
(п — /г + 2)	.	kp	.
(Л-1)р	(n-k+l)q^L’
245
Из первого найдем, что Л<(п4-1)</4-1, а из второго
Л > (га'+ 1) Я- Объединяя, получим
(п 4- 1)</ < k < (n+ \)q + 1.
Если (и 4- V)q будет целым числом, то и (n-f-	1
тоже будет целым, и так как оба они удовлетворяют
написанным выше соотношениям для k, то эти два числа
дадут номера наибольших членов разложения. Таким об-
разом, в этом случае будет два наибольших члена. Оче-
видно, что для того, чтобы один из этих членов был пер-
вым или последним (k = 1 или k = п 4- 1), должно быть
соответственно (п4-1)<7—Х1 или п 4- 1 — q (п 4- 1) 4- 1.
Если («4- 1) q будет нецелым числом, то, так как k не
может равняться дробному числу (п 4~ 1) q, оно больше его, и
так как оно не может равняться дробному числу («4-1) <74-1,
то оно меньше его. Такое целое число единственное. Это есть
целая часть числа («4- 1)<7 + 1- Таким образом, в этом
случае будет один наибольший член. Чтобы этот член
был первым или последним, очевидно, должно быть соот-
ветственно (п 4~ 1) Я < 1 или п4~1<<7(п4-1)4-1-
/	2
451.	Представим выражение 1x4-14-----) в следу-
Г /	2 \16
ющем виде: 1 + (*+—) • Рассматривая 1 как пер-
2
вый член бинома, а х 4- — как второй, по формуле
общего члена можем написать:
та+1 = 4 (*+4)*-
Здесь k принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Приме-
(2 V
х 4- — I ,	полу-
чим для него такое выражение:
Т'т+1 = Сл • хк~т  (-j-)" =сг • 2т • x*~2m.
/	2 \в
Таким образом, общий член разложения 1x4-14- — )
будет иметь вид • С™  2т  xk~2m. Здесь т принимает
значения 0, 1, ..., k. Из выражения общего члена ясно,
что свободный член получится при k — 2т— 0, т. е.
когда т — Следовательно, для получения свободного
246
члена нужно взять всевозможные четные значения для k,
а такими значениями будут числа 0, 2, 4, 6, положив
для соответствующих т значения в два раза меньше,
т. е. О, 1, 2, 3. Таким образом, свободный член разло-
/	2 V
жения lx + 1 + — I будет равен
1 + Cl • Сг • 2 + С|. С\ • 22 + Се • Сб • 23 =
= 1 + 60 + 360+ 160 = 581.
452.	Положим (1 + х — x2)25=4iX50 4- Л2х49 4-...+ Л51.
При х = 1, получим
Л1 + Л2 + ... + Л51 = 1.
Значит нужно найти член Л3х3. Так как
(14-х — х2)26 = [ 1 4~ * (1 — х)]25, то, рассматривая послед-
нее выражение как бином, можем написать его общий
член в виде
Tk+i^c&- х‘(1-х)‘.
С другой стороны, для (1—x)k общий член будет
такой:
т;+1=с^.(-х)'.
Поэтому получим
Tk+1 = Ck25 . Clk •(-!)'• x»+l.
Здесь должно быть 0 < k < 25, 0 < I < k, k + I = 3,
I = 3 — k. Отсюда видно, что может быть только 3,
k2 = 2 и, соответственно, = 0, /2 = 1. Заметим, что под
d подразумевается единица.
Итак,
Д3х3 = (С25 • Сз — С|5 • С2) х3 = 1700 х3.
453.	Данное выражение является геометрической про-
грессией с первым членом, равным (1 + х)3, и знамена-
телем, равным 1 + х. Поэтому имеем
(1 + х)3 + (1 + ху + ... + (1 + х)« =
- + [(1 + х)„_(1 + л)1|
247
Так как в знаменателе находится х, то для получения
члена с х3 нужно в числителе найти член с х*. Такой
член есть только в разложении (1 + х)16 и коэффициент
при нем
с?6 = 16г* 1|:»4.13 = 1820
является искомым.
454. Левая часть данного выражения есть геометри-
ческая прогрессия со знаменателем -у* . Воспользовав-
шись формулой суммы членов геометрической прогрессии,
а затем формулой бинома Ньютона, получим
Г/ х \"+3
а+х)" -г-т—	-1
L\ 1 +х/
X
Т+Т
1
(х + 1)п+1 — х^1 = (п + 1)хп 4-
+ <1+_!>±х-ч- +	+ ... + 1
1 • Z	1 • Z • о
455. Заменяя х через (х — 2) + 2, получим
х4 — 1 lx3 + 43х2 — 72х + 45 = [(х — 2) + 2]4 —
— 11[(х — 2) +2F+43 [(х — 2) + 2]2— 72[(х — 2) + 2] + 45.
Если теперь раскрыть по формуле бинома Ньютона вы-
ражения [(х — 2) + 2]*, где k = 2, 3, 4, рассматривая
х — 2 как один член, то после приведения подобных
членов получим
(х _ 2)4 — 3 (х — 2)3 + (х — 2)2 + 1.
Задачу можно решить, пользуясь условием равенства
многочленов и записав предварительно данный многочлен
так:
А(х — 2)4 + В(х — 2)3 + С(х — 2)2 + D(x — 2) + Е.
VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ
Указание.
При решении задач этого раздела следует иметь в ви-
ду, что, говоря о тождественности двух математических
выражений, мы исключаем из рассмотрения те значения
входящих в них букв, при которых хотя бы одно из них
теряет смысл.
248
456.	sin 4a -f- cos 4a ctg 2a = sin 4a 4- cos 4a • —
sin 4a sin 2a 4- cos 4a cos 2a _ COS (4a — 2a) ___ COS 2a
sin 2a	sin	2a	sin	2a
3tg a tg3 a ___ .	3 — tg2 a
1— 3tg2 a	l-3tgaa
. o 1	1 — tg2 a
-ctg2a- tg2a - 2tga .
2tga
457.	tg3a =	+	=
6	1 — tg a tg 2a	2tg a
‘“‘8“ 'l—tgaa'
-tga tga60°~tg2a
g 1 — tg2 60° tg2 a
g=tga^69-°-+tga--
1 — tg60° tga
tg 60° — tg a
l + tg60° tga =
= tg a tg (60° 4- a) tg (60° — a).
xco	trt /ок° _________ sin(35° + a)sin(25° — a)
458.	tg (35 + a)tg (25 -a) =	(35. + g) cos (25. _ g>
-y [COS (10° 4- 2a) — cos 60°]	COS (10° 4- 2a) — -g-
-y [cos (10° + 2a) + COS 60°J	cos (10° + 2a) + у
2cos (10° + 2a) — !
2cos(10° + 2a) 4- 1
459 cos a 4- sin a   (cos a 4- sin a)2
COS a — sin a	COS2 a — sin2 a
cos2 a 4- 2 sin a cos a 4- cos2 a _ 1 4~ sin 2a
COS 2a	COS 2a
460. sin x ( 1 + tg x tg 4") =
x	x
cos x cos -y 4- sin x sin -y
= sin x-------------------------------= sin x
X
COS X cos -y
= tg 2a 4- sec 2a.
cos —
sin x--------------
X
COS X cos у
sin x
cosx
= tgx.
249
461.	tg3a— tg2a— tga = tg3a—
~ l-^'t^t/a0 ~ tg 2a tg a) = tg 3a — tg 3a (1 — tg2atga) =
= tg a tg 2a tg 3a.
462.	ctg a — tg a — 2tg 2a — 4tg 4a = .Cos3[t- sin2ct _
°	°	°	°	COS a Sin a
п > o л+^л 2cos2a 2sin 2a	.
— 2tg 2a — 4tg 4a ==	----------5---4tg 4a=
b	°	sin 2a cos 2a	b
__ 2 (cos2 2a — sin2 2a)  .. . __ 4cos 4a	4sin 4a
sin 2a cos 2a	&	— sin 4a coS 4a
4 (COS2 4a — Sin2 4a) 8cos 8a o , n
= sin 4acos4a = ЛПТ8Г = 8ctg 8a-
463.	tga tgp 4- tg 7 (tga 4- tg P) = tga tgp 4-
+ tg ------(a + P) ] (tga 4- tgP) = tg a tg p 4-ctg (a 4-
+ ₽) (tg a 4- tg p) = tga tg p + Aia +^tg^' (tga + tg ₽) =
= tgatgp+ 1—tgatgp= 1.
464.	sin 2n a 4- sin 2n p 4- sin 2n 7 = 2sin n (a 4-
4-	P) cos n (a— P) 4- 2sin n 7 cos n 7=2sin n (те —7) cos n (a — P) 4-
4-	2sin n 7 cos n [те — (a 4- P)1 = 2sin (п те — n 7) cos n (a — P) 4-
4- 2sin n7 cos[nте — n(a4-P)l=2-(— l)"sin(—07)003/1 (a —
— P) 4- 2 • (— t)n sin n 7 cos n (a 4- P) =
e= 2 • (—1)" sin n 7 [cos n (a 4- P) — cos n (a — p)] =
= 2 • (—1)" sin/17 • —2sinnasinnp =»
= (—1),I+1 4sin n a. sin n p sin n 7.
465. tgna 4- tgnp 4- tg«7 = tgna 4-
+ 1-”tg 7 (1 ~ tg n P tg n 7) = tg n a 4- tg n (7 4-
4-P) (1 —tgnptg/17) = tgna 4-tgn(it — a) (1—tgnp tgn7) =
= tgna —tgna(l —tg«p tg/17) = tgna tgnptg/17.
лсо sin у 4- sin x cos (x 4- У)	sln y + ~Isin (2^+y)-sin^
cos у — sin x sin (x 4- У)	1 .	/0,4,
cost/ —’ “2" [cos y—cos(2x-{-y)l
sin у 4- sin <2* + У) _ 2sin(x.4-y)cos* = fg (x 4- ut
cos у -f- cos (2x 4- y) 2cos (x + y) cosx	1" i/Л
250
467.	cos2 a + cos2 p — 2cos a cos p cos (a 4- p) — — ,^os2a _|_
l+cos2p  [cos (a _|_ p) cos (a _ p)j cos (a p) _s
= 1 + -C^--±C°— ~ [cos (a 4- P) + cos (a - p)lcos(a+p) =
= 1 4- cos (a 4- P) cos (a — p) — cos2 (a 4- P) —
— cos (a — p) cos (a 4- P) = 1 — cos2 (a 4- P) = sin2 (a 4- P).
468.	cos2 (a 4- P) 4* cos2 (a — P) — cos 2a cos 2p =
= 1 + COS 2.^4-P) + l+cos2(a-P) _ [cos (2a + 2p) +
4-	cos (2a - 2P)] = 1 4- co s2 («4~ P) +cos 2 (a — Я) _
cos 2 (a 4- ₽) + cos 2 (a —- P)   ,
2	~
469.	4 sin a sin (60° — a) sin (60° 4* «) =
= 4 sin a • -T- (cos 2a — cos 120°) = 2sin a cos 2a —
— 2sinacos 120° = sin 3a — sin a 4- sin a = sin 3a.
470.	16sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° sin 90° =
о • i ло • ело • -тле 4 • 2sin 10° cos 10° sin 50° sin 70°
= 8sin 10 sin 50 sin 70 =-------------------------™-—
cos 10
4sin 20° cos 20° sin 50° _ 2sin 40° cos 40° _ sin 80°	_ .
cos 10°	“ cos 10°	sin 80°	~
471.	Обозначим левую часть подлежащего доказатель-
ству тождества буквой А, Будем иметь
А = 4г sin 20° sin 40е • V~3 sin 80° == (cos 20° —
32	г	64 v
— cos 60°) sin 80° — -^sin 80° cos 20p-----T- sin 80° j =
^4 (sin 100° 4- sin 60° — sin 80°) =э
IZo	z
= -Q-(sin 80° 4- -V- - Sin 80° ) =
JZo \	Z	/ ZOO
251
л "7Л
472. cos-?- cos
5	5
_ , те те 2те
2 sin у COS у cos у
тс
2siny
4тс
sin ~5~
4sinT
тс
sin~5~______1_
тс 4
4sinv
2тс 2тс
sin -у cos у
тс
2sin у
Л -70 к 4тс 5тс
47о. COS у cos у cos у =
тс тс
2s in -у cos у cos
тс
2sin —
2тс 4тс 2тс
sin у cos -у cos у
тс
2sin у
4тс 4тс
sin у cos у
тс
4sin у
8тс
sin у
• I ।
sm (тс + ——
\	7 >
тс
8sin —
тс
8sin-y
тс
sin у
тс
8siny
= 4- = 0,125.
О
474. cos 55° cos 65° cos 175° =
Y (cos 120е +
+ cos 10°) cos 5° = —(-------cos 5° + cos 10° cos 5°
=-----i-( — cos 5° + cos 15° 4- cos 5е) =
=------Leos 15° =— -Leos (45° — 30°) =
---’ (cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°) ------------V .
4-----------------------------------------------8
-	1 KT _ 9 cos 10° — tg 60° sin 10°
sin 10° cos 10° “	sin20°
_ 9 cos 60° cos 10° — sin 60° sin 10° __ ~___________cos 70°
~ ’	sin 20° cos 60°	sin 20° cos 60°
9 sin 20°	__ .
~ 1 sin 20° cos 60°
___ тс	2тс . тс . Зя
476. cos -g-----cos у = 2sin у sin у =
252
тс тс Зтс Зтс
2sin -до- cos -jy • 2sin -jq- cos -jq-
тс Зтс
2cos-jo cos-Jo
2тс 6tc	тс Зтс
тс f 2tc 4tc 6tc \
2sin -у- ( cos -=- 4- cos -y 4- cos -y /
477. ----------------------------------------=3
2sin —
=----!----------/л	. тс	2tc	. п . тс	4tc ,
тс 12sin cos 4- 2sin -y cos 4-
2sin-y-	\	7	7	7	7’
, o . тс бтс \	. Зтс
4-	2sin-y-cos -y-l	тс I sin
•	• /	2sin —у- V z
тс
sin — 4-
TC
sin тс — sin -y-
5к . Зя ,	. 7к	5it i
4- sin-y-----sin — 4- sin ---------sin -у I
л тс
2sin -y-
TC
sin ~____________1_
2
2sin —
478.	sin 47° 4- sin 61 ° — sin 11° — sin25“ =
= 2sin 54° cos 7“ — 2sin 18° cos 7° = 2cos 7° (sin 54“ —
— sin 18“) = 4cos 7“ sin 18“ cos 36“ =
-o 4sin 18° cos 18° cos 36° -o	2sin 36° cos 36°
= cos7------------Ere-------------= cos7 ••---------------------
«0 sin 72	70
= C0S 7 ' sin 72° == cos 7 •
479.	cos 24“ 4- cos 48“ — cos 84“ — cos 12“ =
— 2cos 36° cos 12“ — 2cos 48° cos 36“ = 2cos 36° (cos 12“ —
— cos 48°) = 4cos 36“ sin 18° sin 30“ = 2cos 18°sin ^“^Зб0 =
7	cos 18°
__ 2sin 36° cos 36° __ sin 72е	1
"" 2cos 18°	~ 2sin 72° ~ "2”‘
253
480.	-кДтз- (2sin 5° sin 10° 4- 2sin 5° sin 20° + ... -f-
zsin Э
+ 2sin 5° sin 50°) = .о.....(cos 5° — cos 15° + cos 15’ —
zsin □
— cos 25° + cos 25° — cos 35° + cos 35° — cos 45° +
. к»	cos 5°-cos 55° 2sin 30° sin 25°
' 2sin 5°	2sin 5°
= sin 25° sin 30° cosec 5°.
481.	tg2a[tg(30° — a) + tg(60° — a)] +
+ tg (60° — a) tg (30° — a) =
= tg 2a tg(30°-a) + tg(60°-a) , J _ . f30„ __
lgZa l-tg(30° —a)tg(60° —a) 11 tg^U
- a) tg (60° - a)J + tg (60° - a) tg (30° - a) =
= tg 2a tg (90° — 2a) [ 1 — tg (30° — a) tg (60° — a)] +
+ tg (60° — a) tg (30° — a) = tg 2a ctg 2a [1 — tg (30° —
— a) tg (60° — a)] + tg (60° — a) tg (30° — a) =
= 1 — tg (30° — a) tg (60°— a) + tg(60° — a) tg (30° — a) = 1
482.	1 + 2COS lx = 1+ 2££17xsin7x = j sinHx ==
sin 7x	sin lx
__ sin 7x + sin 14x   2sin 10,5x cos 3,5x   sin 10,5x
sin 7x	2sin 3,5x cos 3,5x	sin 3,5x
483. 4cos(30°----y
2 [sin (90° — a) -f-
Sin a
3
sin ya
+ sin 30°] = 2 cos a 4- yj = 1 4- 2cos a = 1 4-
, 2sin a cos a ___ * sin 2a ______ sin a 4~ sin 2a _
** sin a	*' sin a	sin a
n 3	a
2sm у a cos у
а	Г “ i
2sin -y cos у sin у a
AGA -2 I • «D , • 2	1—’COS 2a . 1—cos 23
484. si n2a + sirrP + sin2 у =---?-----1----2—
. 1	n cos 2a 4- cos 23	_
+ 1 —cos2y = 2-------------— cos2 у —
2
251
— 2 — cos (a 4- p) cos (a — 0) — cos2 (it — (a + p)] =
= 2 — cos (a 4- P) cos (a — P) — cos2 (a 4- P) =
— 2 — cos (a 4- P) [cos (a — P) 4- cos (a 4- P)1 =
= 2 — cos (к — 7) • 2cos a cos p = 2 4- 2cos acos p cos y.
485. (tg 30"+tg 60-)+(tg 40-+tg 50’) = C<|S g 60- +
4-	sin 900	=	1________1_________1
* cos 40° cos 50° cos 30° sin 30° cos 40° sin 40°
_	2	.	2	__ 2 (sin 80° + sin 60°) _
~~ sin 60° ' sin 80° ““ sin 60° sin 80°	~~
— 4sin 70° cos 10° __ 4cos 20°
““ cos 30° cos 10° ~~ cos 30°
486. sin2 (a 4- P) — sin2a — sin2p = 1 — cos2 (a 4- P) —
1 — cos 2a 1 — cos 2p	2 /	।	।
--------2----------------2------ = ~ C0S <a + ₽) +
, cos 2a “4~ cos 23 •	2 /	» o\ ।	/	।
4---------у-----~ = — cos2 (a + P) + cos (a + P) cos (a — P) =
=cos (a+P) [cos (a — p) — cos (a + P)] = 2cos (a -Ь P) sin a sin p
487.	1 + cos 4a — 4cos 2a + 2 = 2cos2 2a — 4cos 2a + 2 =
== 2 (cos2 2a — 2cos 2a -f- 1) = 2 (1 — cos 2a)2 = 8sin4a.
488.	(cos 1 la + cos 5a) + 3 (cos 9a -f- cos 7a) =
= 2cos 8a cos 3a -f- 6cos 8a cos a = 2cos 8a (cos 3a + 3cos a) =
= 2cos 8a (4cos3a — 3cos a + 3cos a) == 8cos 8a cos3a.
489.	sin 5a sin 4a + sin 4a sin 3a — sin 2a sin a =
= sin 5a sin 4a + (cos a — cos 7a)-----------~ (cos a — cos 3a) =
. r .	. cos 3a — cos 7a . ~	.
= sin 5a sin 4a 4---------%--------= sin 5a sin 4a 4-
4- sin 5a sin 2a = sin 5a (sin 4a + sin 2a) = 2sin 5a sin 3a cos a.
490.	2 • -y (cos 30° 4- cos 10°) — 2cos 30° 4- sin 40° =
= cos 10° — cos 30° 4- sin 40° = 2sin 20° sin 10° 4-
4- 2sin 20° cos 20° = 2sin 20° (sin 10° 4- sin 70°) =
= 4sin 20° sin 40° cos 30° = 2 ]/~3 sin 20° sin 40°.
255
491.	(cos (a 4- P) cos у — sin (a 4- P) sin 7] 4- cos a 4- cos P4-
4- cos 7 = (cos (a 4- p 4- 7) 4- cosa] 4- (cosp 4- cos 7) =
= 2cos(a 4- ^TT-)cos -	4- 2cos 7 cos =
= 2cos £ cos (a. 4- j 4- cos =
= 4cos —y —COS -^-y— cos -yr--
492.	sin 70° 4- 4 (cos 60° 4- cos 20°) cos 80° = sin 70° 4-
4- 2cds 80° 4- 4cos 20° cos 80° = sin 70° 4-,2cos 80° 4-
4- 2cos60° 4- 2cos 100° = cos 20° 4- 2cos 80° 4- 1 —
— 2cos 80° = 1 4- cos 20° = 2 cos1 210°.
493.	V tg2a —sin2a = ]/ 7^57 —sin2a =
= у sin^a u - cos»a) =-pg2a sin2a -= I tg a sin a |.
Ho I tg a sin a | = tg a sin a, если tg a sin a == sin— > 0 или
JO	IO	О	COS a
cos a > 0. Отсюда получаем
(4Л — 1)it .	(4A4-1)n гадхп»
----2---< a <-------2---’ a "г те>
494. У 1 4" sin 2a = У sin2a 4- cos2a 4- 2sin a cos a =
= }^(sina 4-cosa)2 = |sina 4-cosa|. Ho |sina 4- cosa| =
— sin a 4- cos a, если sin a 4- cos a = У~2 cos -aj > 0.
Отсюда
(4Л - 1)к . к	(4k 4- 1> „„„ (8k - 1>	(8k 4- 3)n
---2----< — —a <--------2--- ИЛИ ----4----< “ <----4---•
495. У
1 — COS a
1 4“ COS a
1 /(1 — COS a)2
V 1 — COS2a
1 Г (1 — COS a)2
V sin^
= I *	= I cosec a — ctg a |. Ho [ cosec a — ctg a | ==
.	11 — COS a _ ~
= ctg a — cosec a, если cosec a — ctg a =---:----< 0.
°	sin a
Отсюда sin a < 0 и (2k — 1)tc < a < 2k тс.
256
496.	/ ;g а -sin а. = 1/4^212 „ 1/J1 - ,cos a>*. =
r tg a + sin a r 1 + COS a Г 1 — COSaa
== ]/-l-sirXS a)2 =TK(coseca —ctga)2 = | cosec a — ctg a |. -
Ho | cosec a — ctg a | = cosec a — etg a, если cosec a — ctg a=
= * ~ina “1 > 0- Отсюда sin a > 0 и 2k л < л < (2k 4- 1) к.
Однако в отличие от задачи 495 здесь доказываемое ра-
венство теряет смысл не только при a = k л, но и при
a _ № + Поэтому окончательно получим:
Л	Z
497.	sec2a + cosec2a = ]/” tg2a 4- 1 4- ctg2a 4- 1 =
= V(tga + ctga)2 = | tga + etga|. Ho | tga 4- ctga| =
= — tg a — ctg a, если tg a 4- ctg a = —Отсюда
tg a < 0 и + 1)71 < a < (k 4- 1)л.
498.	Уtg2a 4- ctg2a 4- 2 = ]/(tg a 4- ctg a)2 =
= , /	у 1	= y^acose^a =
I/ \ sin a cos a / r sin2a C0S2a r
~ | sec a cosec a | Ho | sec a cosec a | = sec a cosec at
1	2	A
если sec a cosec a = sinacos- = -та~ > 0.
• о ч. a	(2Л -J* 1)те
Отсюда sin 2a > 0 и k к < a < --2~- „
ЛПП	1/ 1 H-Sina	,	1 /	1 — Sin a	_	-|/	(1	4-sinaf	,
4УУ.	у J _ sin a	-f- у	J	sin a	~	у	J	__ sin2a	-t-
. 1 f (1 — sin a)a	_-1/	(1	4-sin a)2 '	. 1	f	(1 — sin a)2 _
"* r	1 — sin2a	r	cos2a	V COS2a
1 + sin a . 1 — sin a 2 o, ,
=	’-- -j—-------- =  ----- = 2 sec a .
I COS a I ’ I COS a I I COS a |	1	1
Ho | sec a | = —sec a, если seca< 0, Отсюда
(4£+l>	(4^ + 3)k
----2--<a<------2--•
17 К. У. Шахно
257
500. ]/ 1 — cos a +]/ 1 + cos a = у 2sin2y +
+ j/2cos2y =]/~2( sin-y
a
cos^-
а
= -cosy,
Так как
sin cos= 2 sin ------------J-
to доказываемое равенство будет справедливо в том и
только в том случае, когда
a I а
= 51П у И COS у
т. е. когда sin у > 0 и cos-у < 0. Из первого равенства
следует, что угол у должен оканчиваться в первом или
втором квадранте, а второе неравенство требует, чтобы
он оканчивался во втором или третьем квадранте. Следо-
а
вательно, угол -у- должен оканчиваться во втором квад-
ранте. Итак,
(2Л + -у) -г < (2Л + 1)к, (4Л + 1)к < а < (4Л + 2)л.
501. Пользуясь формулами sin2 у +cos2 у = 1
и sin a = 2sin у cos у, получим ]/1 4- sin.a+'j/l—sina =
= ]/ (sin у + cos у )2 4-	(sin-^-cos-r)2=
I . a . a I , I . a	al
= Sin-y H-COSy + Sin-2----cosy .
Последняя же сумма будет равна — 2sin у тогда и толь-
ко тогда, когда
. а . а
siny+cosy =
siny 4-C0Sy),
т. е.
• GC .	Ct	р.
sin у + cos у < 0, а
. а	а
sin >2----COS-g-
253
I . a	a i
= —(^sm-2----COS-^J,
t. e.
• а	а л
Sin -g-COS -g- < 0.
Итак, должны выполняться совместно неравенства
. a	a zx . a	a «
Sin-g- +cOS-g-< 0 И Sin-g----COS-g-<0.
Переписав эти неравенства в виде
cos 4r(tg ~Т + ’) < 0 и cos-^-(tg --1) < 0,
замечаем, что одновременное выполнение их возможно
лишь в двух следующих случаях:
а) cos-^>0; tg^-+1 <0; tg-|- — 1<0
ИЛИ
cos > 0; tg < — 1 и б) cos-|- < 0; tg ~ 4- 1 > 0;
tg -к--1 > 0 или cos Л- <0; tg-4- > 1.
Рассмотрим первый случай. Если cos > 0, то угол
оканчивается в первом или четвертом квадранте. Но в
этих квадрантах неравенство tg -|- < — 1 имеет место
лишь для углов, оканчивающихся в первой половине чет-
вертого квадранта, т. е. когда
2&r—
Итак, имеем
(4Л — 1)тг < a < ^4&-
Аналогично рассуждая, убедимся, что во втором случае
угол -g- должен оканчиваться во второй половине третье-
го квадранта. Это приводит к неравенствам
2kn--------------------=- или [дк---5-)я<а<(4А—1)тс.
17*
259
Непосредственной подстановкой в равенство граничных
значений для ^т. е. 2kv —2£ir —2kit —it j
убедимся, что и при этих значениях равенство справедли-
во. Поэтому можем окончательно записать
(4k----g-K < а < (4k--—jit.
502.	Так как 1/"т-т4------1- -j——— = 1Лу-
r I + cos а 1 1 — cos а г 1 — cosaa
= 1ЛД= = -!^-,
Г sin2 а I sin а I ’
то для левой части равенства получим
_ 1 . ... У 2 .  1/~2 = 1/'”2 (1________?______)
sin а | sin а |	'	к \ sin а | sin а | /*
Для того чтобы в скобках получить ctg2a + 2, нужно
положить ] sin а | = — sin а, т. е. считать sin а < 0. Действи-
тельно, в этом случае выражение в скобках будет равно
1 Н—Дх— = 1 4- cosec2a = 2 + ctg2a.
’ sin2 a	» Ь
Но если sin a < 0, то (2k + 1)* < a < (2k + 2)тг.
503.	tg ₽ = -;SinP-............... - = tg2p =
-bM-s^	3
I 9/
1 . 3
__ 7 + 4	_ 25	.
,	1	3 — 25 “ 11
Отсюда a + 2? = 45° + 360°-Л, где k = Qt ±1, + 2, ...,
а так как 0 < a < 45°, 0 < р < 45° и, следовательно,
0 < a + 2р < 135°, то k = 0 и получим a + 2р = 45°.
504.	а) При 2k-s <. х < (2k + 1 )ir. б) При всех х, ис-
ключая х =	в) При всех х, исключая х = 2kn.
г) При всех х.
260
505.	При тех значениях, при которых cos — > 0, т е.
при 2kn	~ < — < 2&тс 4* или (4А — 1)к <. х < (4&4-
+ 1)«.
506.	tga>sina. Действительно, tga = -^^- =
= sin a-------------------> sin a.
COS a
507.	Известно, что среднее арифметическое двух поло-
жительных чисел не меньше среднего геометрического
этих чисел, т. е. -- > Yab, причем знак равенства
имеет место лишь при а = Ь. Поэтому > 1 и при
f	Cl ' I " Ь	4
а=^Ь значение > 1 могут принять тангенс, котан-
генс, секанс и косеканс, а при а = Ь — все.
508.	Синус единицы больше синуса одного градуса,
так как синус единицы по определению равен синусу
угла в один радиан, а синус одного радиана больше си-
нуса одного градуса.
ГЛЛ	Zsin2a + COS2a\2	1
509.	(tga + ctg a)2 = ( sinacosg j = -^co^T =
= __<_____>4
sin2 2a
так как sin2 2a < 1. Это наименьшее значение достигается
(2Zs + 1)я
при a = 5—4 ' .
510.	Так как а и р— острые углы, то 0<cosa<l,
0 < cos р < 1. Поэтому получаем sin (a 4- р) = sin a cos p 4-
+ cos a sin p < sina • 1 4- 1 - sin p. Итак, sin (a 4- P) < sin a 4*
4- sin p.
511.	tg 2a > 2tg a. Действительно, так как 0 < a
то
0<tga<l, 0<tg2a<l, 0<l-tg2a<l,-r-Lv>l
И
tg 2a == । _ ^g2aL в 2 tg a • । __ tg2a > 2 tg a • 1.
261
512.	Можно. Однако такое определение синуса чис-
ла привело бы к более сложным формулам в матема-
тическом анализе, чем принятое.
513.	Неправильно. Радиан есть угол, принимаемый
за единицу при радианном измерении углов, подобно
тому, как угловой градус есть угол, принимаемый
за единицу при градусном измерении углов. И подобно
тому, как в градусном измерении угол выражается име-
нованным числом (числом градусов), так и при радиан-
ном измерении угол выражается именованным числом
(числом радианов).
514.	В любом интервале, в котором определена эта
функция. Так, например, tgx возрастает в интервалах
^0,	irj, но нельзя сказать, что tgx возрастает в
интервале (0. я).
515.	Задание синуса и косинуса вполне определяет, в
какой четверти оканчивается угол. Можно также исхо-
дить из того, что
а
„ sin -К-	_
1 ОС	•	л «а	ОС
tg -у —----—, a sin а = 2sin -g- cos
cos~
516.	sin 36° = sin 2 • 18° = 2 sin 18° cos 18°; cos 54° =
= cos 3 • 18° = 4cos818° — 3cos 18°; 2sin 18° cos 18° =
= 4cos3 18° — 3cos 18°, 2sin 18° = 4 (1 — sin218°) — 3,
4sin218° + 2sin 18° — 1 =0.
Так как sin 18° > 0, то из полученного уравнения нахо-
дим
_:п 1RO- -1+/^
Sin 1О == ---т-----.
4
517.	Умножим и разделим данное выражение на
2sin -g~. Тогда, обозначая искомую сумму буквой 3, по-
лучим
3 =----l2sin-^- sina-|- 2sin-^- sin 2a + ... -|-
2 sin— '
262
+ 2sin
я •	।	1 f a 3	3
sin n a I =»-— cos -г,—cos -к- a 4- cos -^a—
/ n . “ \	*•	i
2sin-y
cos-ya-F ... 4-cos — ^"-a— cos^y-la) »
*•	L	4 J
I I a 2n + I
—— (cos — —cos—y-a
2sin
па (л+1)я
sin -g- sin---2----
8fa-§“
518. Умножив и разделив данное выражение на 2siny
и поступая далее как в задаче 517, получим для искомой
суммы
па (п + 1)а
sin —2“ cos--g—"
s ==------------------— •
a
sin~T
519. Пользуясь формулами косинуса и синуса двойно-
го угла, преобразуем выражения для Аь Bt и С] так:
л л 1 4- COS 2a . п sin 2a ~	1 — COS 2a
AX = A------?------F В •	+ C-------2---=
= —у-----1- у sin 2a 4-у- cos 2a;
Bi=C sin 2a 4-B cos 2a — A sin 2a=B cos 2a — (A — C) sin 2a;
Cj = —у-------y Sln 2a----§— cos 2a;
В J — 4Л1С! = (B cos 2a — (Л — C) sin 2a]* 2 * * s * * В —
Л\А +C . (.B . „ . A—C „о \1Гд+с
— 41  J - +I у sin 2a 4--2—cos 2a) I -y------
— sin 2a4-	cos 2a)1 = B2 cos2 2a —
\ Z	Z	J J
— 2B (Л — C) sin 2a cos 2a 4- (Л — C)2 sin2 2a —
— ((Л 4- C)2 — (B sin 2a 4- (Л — C) cos 2a)2] =
= B2 (cos2 2a 4- sin2 2a) 4- (Л — C)2 (sin2 2a 4- cos2 2a) —
— (Л 4- С)2 = B2 4- (Л — С)2 — (Л 4- С)2 - В2 — 4ЛС.
263
520 Tg <a A = 5in (a + A cos a = sin (2a + fl + s?n p —a
tg a cos (a + p) sin a sin (2a + p) — sin p
__ 6sin p	3
4sin p	2 ’
521.	Для <p = 0 данное равенство приводится к виду
ai cos ax + a2 cos a2 4- ... 4- an cos a„ =* 0.
Для <p = <p0 Ф k к его можно записать так:
(ai cos ai + о2 cos Яг + ... 4- ап cos ая) cos <р0 — (ах sin «14-
+ a2 sin a2 4- — 4- a„ sin an) sin <p0 = 0.
Учитывая первое равенство, а также и то, что sin <р0 #= О,
получим равенство
О] sin <*1 4- о2 sin a2 4- ... 4- оя sin ая = 0.
Умножая теперь первое на cos ср, где <р — любое число,
а последнее на sin у и вычитая из первого результата
второй, получим
Oj cos («! 4- <?) 4- a2 cos (a2 4- <p) 4- ... 4- a„ cos (a„ 4- <p) = 0.
522.	Находим cosx из данного равенства:
__sin2p cos2a — sin2a sin2?_
COS X	sin2p cos a — sin2a cos p ~~
(1 — COS2?) COS2a — (1 — COS2a) COS2? _
(1—COS2?) £OS a— (1—COS2a) cos p
___________COS2a — COS2?____________COS a -f- COS ?
(COS a «₽-COS ?) (1 -f-COS a COS'?) 1 4-COS a cos p
Пользуемся формулой tg2 } 7 cosx"
Получим
, 2 X   14- COS a COS P — COS a — COS p
“2	14- cos a COS P + COS a + COS p =
_ 1 — COS я 1 — cos p	, 2 a . 2 P
1 + cos a  1 4- cos p	1ё 2 ° 2 •
523.	cos2a = 1 — sin2a = 1 — 4sin2 sin2 -y- = 1 —
— (1 — COS <p) (1 — cos 0) — COS <p 4- COS 0 — COS <p cos 0 =
___ COS a cos a	COS2a
COS p ’ COS 7 COS p COS 7 *
264
Сокращая на cos а О, найдем cos а = -,c°s Р а s 7
1 -|- cos р cos к
Остается, как и в задаче 522, подставить cosa в формулу
I а2 а _ 1 — cos a
g 2 ~ 1 + COS a •
524.	Данные равенства можно записать так:
cos 0 cos a -f- sin 0 sin a = a; sin 0 cos 0 — cos 0 sin 0 = b.
Умножим первое равенство на sin0, а второе на cosa и
результаты сложим; умножим опять те же равенства —
первое на cos0, а второе на sin а и результаты вычтем
почленно. После этого получим
sin 0 cos (a — 0) = a sin 0 4-6 cos a
и
cos 0 cos (a — 0) = a cos 0 — b sin a.
Возведем теперь полученные равенства в квадрат и ре-
зультаты сложим почленно. Это даст:
cos2 (a — 0) (sin20 4- cos20) = (a sin 0 -J- b cos a)2 -f-
4- (a cos 0 — b sin a)2, cos2 (a — 0) = a2 (sin20 4- cos20) —
— 2ab (sin 0 cos a — cos 0 sin a) 4* 62 (cos2a 4- sin2a),
cos2 (a — 0) = a2 — 2ab sin (a — 0) 4- 62.
en r a + c   cos x 4- cos (x 4- 2<p)	_2cos (x -|- <p) cos <p 
b 4- d	cos (x 4 ?) + cos (* + 3<p)	2cos (*4~2<p) cos <f
_ cos (X 4- ?) _ b o a + c _ b±d
~ cos(x4-2<p) ~ c • итс1°Да ь ~ c *
526.	2sin a~^P cos = p; 2cos a cos n^-- = q.
Отсюда tg a P =5 Пользуясь теперь формулами sin2x=
— i 2tg/a и cos 2x — 4-Tlga X >	получим Sin (a 4- 0) =
14- tg2 x	14- tg2 x ’ J	'	1 r'
2p</	, . rj, o2 — pa
= -a , a И cos (a 4- 0) =
p1 q‘	' '	q2 -j- p2
527.	Так как cos a 4- cos 0 — 2cos а ccs
a cos (a 4- 0) — 2cos2 P — 1, то данное равенство мож-
но преобразовать так:
n a 4- 8 а — 8 п „a-f-B	1	~
2cos —~ COS —2“^ — 2cos2—р------------2" — О,
265
п a 4- 8	a — 8 a .	1 л
COS2 ——COS	COS —7^- + -J- = 0,
( a + 3	1 a — 3 V i 1 I	2a — 3	л
(50s “IF—rC0S~Tj +-4—-4-cos2-2-^ = 0,
/ a 4- 3	1	® — 3 \2 1 1 . 2 « — 3 л
(cos —-p---2~COS j + —Sln —H = °*
Но сумма квадратов вещественных чисел тогда и только
тогда равна нулю, когда каждое из этих чисел равно
нулю. Отсюда
Sin—— 0 И COS—р--------2"cos—= 0-
Из первого, учитывая, что а и р— углы треугольника,
получим a = р. Но тогда, подставив a = р во второе, най-
дем:
cos a--- = 0, cos a = a = Итак, а = В =
Л	Z	О	о
Но тогда и третий угол равен т. е. треугольник пра-
вильный.
528.	Стороны a, Ъ и с образуют арифметическую про-
грессию и потому связаны зависимостью а — b ~ b — с.
Так как стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих им углов, то из условия а — b ~ b — с
получим
sin А — sin В = sin В — sin С.
Отсюда:
А —В А + В о . В—С В+С
2sin —й— cos —= 2 sin —й—cos —,
. (А	В \ к — C . ( В	C\ it — A
Sin V2---2J C0S ~2~ == sin 12--2/ COS ~2~9
( . А В A . В \ . C
I sin -g-cos --COS ~2~ Sin -g-1 Sin =
f . В С В . C\ • A
= Sin -y-COS -X-COS -X- Sin -й- I Sin
\ & £ 1 £
Разделив обе части последнего равенства на положитель-
. А . в . С
ную величину sin sin sin получим
Ctg -f- —ctg = ctg — —ctg
2G3
529.	Рассматривая данное равенство как уравнение
относительно tgX, определим из него tgЛ. Получим
tg А = -	= “tg(B + С) = tg (- В - С).
Но если тангенсы равны, то углы связаны зависимостью
А = kit + (— В — С) или А + В -f-C = kn, где k = О,
+ 1, +2, ... Наименьшие положительные углы, удовле-
творяющие поставленным в задаче условиям, найдутся из
системы: А + В + С = 2л, 2Л = В-ЬС, С = А + В. Ре-
2	1
шив ее, найдем, что А = -5- л, В — л, С — л. Если
и	, О
взять k= 1, то получили бы С = -у, а для такого угла
данное тождество теряет смысл.
530.	sin Л = sin (л— В — C) = sin(B + C) = sin В cos С4-
+ cos В sin С. Но	= t. Отсюда:
sin4 = -y-, sinB = -y-, sin С =
Подставляя в написанное выше и сокращая на t, получим
а — b cos С + с cos В. Точно так же найдем b = с cos Л +
+ a cos С и с = а cos В Ч- дсозЛ. Умножая первое из них
на а, второе на b и третье на с и вычитая из первого
результата два последних, получим
а2 — 62 — с2 = — 2bc cos Л или а2 — Ь2 4- с2 — 2bc cos Л.
531.	Из данных равенств получаем:
cos a cos 30 4- sin a sin 30 = tn cos30;
sin a cos 30 — cos a sin 30 = m sin30.
Умножая первое на cos 30, а второе на sin 30 и вычитая
почленно, получим
cos а — т (cos30 cos 30 — sin30 sin 30).
Преобразуем это выражение, пользуясь формулами коси-
нуса и синуса тройного угла. Получим
cos а—т [cos30(4cos30 — 3cos 0) — sin30(3sin 0—4sin30)]=
= m [4 (sin®0 + cos60) — 3 (sin40 Ч- cos40).
Возведя данные равенства в квадрат и складывая, найдем
sin®0 -f- eos®0 = —(*)
zna	' '
267
Найдем теперь sin40 4- cos40,
sin4© + cos4© = (sin2© + cos2©)2 — 2sin20 cos2© =
= 1 —2sin20cos20.
~g- = sine0 + cos6© = (sin2© + cos2©)3 —
— 3sin20 cos20 (sin20 + cos20) = 1 — 3sin20 cos2©.
Отсюда
sin2© cos20 = 0 ~
и
sin4© + cos4© = 1-----L (1 — A.) .	(**)
О \ fTl j
Пользуясь написанным выше выражением для cos а, а так-
же равенствами (*) и (♦*), получим окончательно
m2 + т cos а = 2.
532.	Разделив первое уравнение на cos2©, второе на
cos2<p и воспользовавшись формулой sec2x = 1 + tg2x, най-
дем
(a— l)tg2© = 1— b, (b— l)tg2<p = 1— а,
откуда
tgae = / 1 - 6 у
tga<p \ 1 — а / *
т т	tg20 b2
Но из третьего данного уравнения получим
Следовательно, 1. Так как а #= bt то--------------------^- =
= * ~4 > откуда а + b = 2ab.
533 cos2*	।	sin4x	.	6	.	4	. 4sin2x _
sin4x	'	cosex cos2x	‘	sin2x	' cos4x
= ——г— (cos8x + sin8x + 6cos4x sin4x + 4cosexsin2x +
sin4x cosex '
I л я • ft \ (sin2X + COS2X)4	1
+ 4cos2xsin6x) = ~; ....-T—4, = _ ---------_e
’	7 sin4xcos6x sin4xcos6x
534. Перенесем все члены данного равенства в левую
сторону, так что в правой будет 0, и приведем левую
часть к виду, удобному для логарифмирования. Получим
268
cos a + cos p + cos 7 — 1	4sin y- sin -y sin -g- =
= 2cos ^y^-cos	— 2sin2 4-----4sin sin -y sin -y =
— 2 (cos2 4- cos2 -I-sin2 -£-sin2-|-sin2 4-
— 2sin sin sin	= 2 [cos2 -y cos2 ----
/ . a В ,	7 \21 o ( a 3 ,
— Isin-^-sin—- + sin4-1 1=2 COS -h-COS“- +
,	.	a	. В .	7	\ I a В	.a. В
+ Sin -5- sin -y- + sin -5- I COS -5- COS-5-Sin -r- Sin -5-
£	L	£	j \	£	L	£	L
cA a — в . • 7 \ /	« + з • 7 \ л
— sin -A-1 = 21 cos —5-*- + sin -A-1 cos — sin -A- = 0.
z j у	* / \	~	/
Но первый множитель положительный в силу того, что
0 < a <	0 < р <	0 < у < Поэтому должно
быть:
а + В .7 п а + Р .7
cos —— sin -у- = 0; cos—~~ = sin
а 4- В	/тс	7 \
COS—2^-= cost-2----bl
Но
n^'a + ₽^-’c.n^-’c
2	2 ’ b 2	2^2’
а для острых углов из равенства их косинусов следует
равенство углов. Поэтому
-^г- = -2—Г и « + НТ»”-
535. Достаточность. Если tg-|- рационален, то этого
достаточно для того, чтобы sinx и cosx были рациональ-
ными, потому что существуют зависимости:
2tg^-	l-tg2lF
sin х =---------; cos x ---------.
1 + tg2-|-	1 + tg2-J-
269
Необходимость. Если sinx и cosx рациональны, то не-
обходимо будет рациональным и tg-^-, как это видно из
формулы
. х _____________________ sin X
lg 2 ~ 1 + cos X •
При этом, конечно, имеются в виду такие х, при кото-
рых существует tg-y, т. е. х =# (2k 4- 1)тс.
536. Нужно доказать две теоремы:
I. Дано: 0<а<-^-, 0 < р < —, 0<Т<-£-,
а 4- р 4- у = к.
Доказать: cos2a 4- cos2p 4- cos2y 4- 2cosa cos p cos 7 = 1.
II. Дано: 0<a<—, 0<p<-^-, 0<T<-^-,
cos2a 4- cos2p 4- cos2t 4- 2cos a cos p cos 7=1.
Доказать: a 4- p 4- 7 = я, -
Доказательство I. Преобразуем выражение
cos2 a 4- cos2p 4- cos2 у 4- 2cos a cos p cos 7.
cos2a 4- cos2p 4- cos27 4- 2cos a cos p cos 7 = --—|-
4—1 + cos 23—cos2^ j.cos	cos (a p) ] cos у. __
= 1 4* cos (a 4- P) cos (a — P) 4- cos (a 4~ P) cos 7 4-
4- cos (a — P) cos 7 4- cos27 = 1 4- cos (a 4- P) [cos (a — P) 4-
4- cos 7] 4- cos 7 [cos (a — P) 4- cos 7] = 1 4-
4- [cos (a — P) 4- cos 7] [cos (a 4- P) + cos 7] = 1 4*
4- [cos (a — p) 4- cos 7] [cos (tv — 7) 4- cos 7] = 1 4*
4- [cos (a — p) 4- cos 7] (— cos 7 4- cos 7) = 1.
Доказательство II. Рассматривая равенство
cos2a 4- cos2p 4- cos27 4- 2cos a cos p cos 7=1
как квадратное уравнение относительно cos а, определим
из него cos а. Получим
270
COS ft = — COS P COS 7 + У COS2p cos2y — COS2p — COS2? + 1 =
~ — cos p cos 7 + У cos2p (cos2y — 1) + 1 — cos2y =
= — cos p cos у + 1/(1 — cos2y) (1 — cos2p) =
= — cos p cos 7 ± Уsin27 sin2p = — cos p cos 7 + sin p sin 7.
Но знак минус перед вторым слагаемым должен быть
отброшен, так как при условии 0 < а <	0 < р < у,
О < 7 < у- будет cos а > 0, в то время как — cos р cos 7 —
— sin р sin 7 <0. Таким образом, остается только cos а =
= —cos р cos 7 + sin р sin 7, что можно записать так:
cosa = —cos (Р 4- 7) или cosa = cos [тг— (Р + 7)1- Но 0 <
< Р < -тр 0 < 7 < Поэтому 0 < р 4- 7 < те, — к <
< — (Р + 7) < 0, 0 < к — (7 + Р) < те. Так как, кроме того,
0 < a < у-, то из равенства косинусов углов а и к —
— (Р + 7) следует равенство этих углов, т. е. а = к —
— (Р + 7) и а + Р + 7 == *•
537.	Из данных равенств следует, что можно поло-
жить а = cos х, b = sin х; а = cos у, р = sin у. Но тогда
|aa + b р| =1 cos х cos у + sin х sin t/| = | cos(x— у) | < 1.
538 — 569. Указание. Напомним некоторые опреде-
ления и формулы, относящиеся к обратным тригонометри-
ческим функциям.
В тригонометрической функции у — sin х угол х (или
число х) является аргументом, а у — функцией. Поменяем
ролями функцию и аргумент. Тогда получим новую функ-
цию, которая называется обратной для данной. При этом
новую функцию также будем обозначать буквой у, а ар-
гумент— буквой х. Тогда для обратной функции получим
х = sin у. Новая функция называется арксинусом и обо-
значается так:
у = Arc sin х.
Записи у — Arc sin х и х = sin у равносильны, и поэто-
му можно сказать, что арксинус х есть угол (или число),
синус которого равен х. Вместо слова «угол» часто упо-
требляют слово «дуга».
271
Так как х есть синус, то допустимыми значениями для
х являются лишь те, которые удовлетворяют неравенствам
— 1 <х < 1.
По данному синусу можно найти не один угол, а бес-
конечное множество их. Поэтому говорят, что функция
у~ Arcsinx — бесконечнозначная. То ее значение уи со-
ответствующее данному хь которое удовлетворяет нера-
венствам —у < i/i < -J-, называется главным значением
функции Arcsinx, а если yt — угол, то главным углом.
Множество всех главных значений Arcsinx, соответствую-
щих всевозможным х от — 1 до + 1, называется главной
ветвью Arcsinx и обозначается arcsinx. Функция у =
= arcsinx однозначная и возрастающая в своей области
определения, т. е. в промежутке [—1, 1].
Аналогично определяются функции Arccosx (арккоси-
нус х), Arctgx (арктангенс х), Arcctgх (арккотангенс х)
и их главные значения — arccosx, arctgx, arcctgх.
Функция у = arc cos х определена, однозначна и убы-
вает в промежутке [—1, 1]. Функция i/ = arctgx опреде-
лена, однозначна и возрастает в промежутке (—со, Ч-со).
Функция у = arc ctg х определена, однозначна и убывает
в промежутке (—со, + со).
Для обратных тригонометрических функций имеют мес-
то следующие зависимости:
Arc sin х — k it + (— 1)* arc sin x,-< arc sin x <
Arc cos x = 2k к ± arc cos x, 0 < arc cos x < w;
Arc tg x = k к + arc tg x, —у < arc tg x <
Arc ctg x = k к -J- arc ctg x, 0 < arc ctg x < к;
6 = 0, ±1, ±2, ...
sin (arc sin x) = x, cos (arc cos x) = x,
tg (arc tg x) = x, ctg (arc ctg x) — x.
Если sin a = sin p, причем аир — главные значения
арксинуса, то обязательно a = р. Это следует из одно-
значности функции агеsinx. То же самое можно сказать
и о других тригонометрических функциях.
538.	Можно. Однако в этом случае функция и ее гра-
фик не были бы непрерывны.
272
539.	а) Положим arc sin x = а. Тогда sina = x
и cos (-|—aj = x. Так как по определению главного зна-
те _ те	те	_ те
чения арксинуса-----5- < a < -5-, то---< — а < -5- и
О < -----а < к. С другой стороны, всегда можно напи-
сать х = cos (аге cos х). Итак, cos — a j = cos (аге cos х),
причем 0 < аге cos х < к. Но если косинусы некоторых
углов равны и эти углы являются главными значениями
арккосинуса, то тогда и углы равны. Поэтому получим:
— a = аге cos х, a + аге cos х =
аге sin х + аге cos х = -у.
Так же доказывается и равенство «б».
540.	а) Положим аге cos (—х) = а. Тогда cosa = —х
и cos (те — a) = х. Так как по определению главного зна-
чения арккосинуса 0 < a < тс, то — ~ < — a < 0 и 0 < тс—
— а < тс. С другой стороны, можно написать х =
= cos (аге cos х). Итак, cos (тс — a) = cos (аге cos х), причем
0 < аге cos х < тс. Но если косинусы некоторых углов рав-
ны и эти углы являются главными значениями арккосину-
са, то и углы равны. Поэтому получим:
тс — a = аге cos х, a = тс — аге cos х,
аге cos (— х) = тс — аге cos х.
Аналогично доказывается равенство «б».
541.	а) sin (аге cos х) = ]/1 — cos2 (аге cos х) = У1 — х2.
Перед корнем взят знак плюс потому, что 0 < arccosx<TC.
Таким образом, вывод этой формулы свелся к написанию
формулы sina = )/l—cos2a, к подстановке в нее a =
= аге cos х и использованию формулы cos (аге cos х) = х.
Аналогично выводятся и все остальные формулы этой за-
дачи. Докажем, например, формулу «г». Пишем формулу
	Sin a
tg a =	-..., подставляем a — аге sin x и пользуемся
формулой sin (аге sin х) = х.
18 к. У. Шахно
273
когда
знаки,
равен-
поло-
воспользоваться формулой
Получим tg (arc sin х) = а .
Перед корнем взят знак плюс потому, что
—у<а<-у, то	и s'na имеют одинаковые
Для получения другой формулы, содержащейся в
стве «г», нужно взять формулу ctg a = C0Sa —,
У 1 _ cos2a •
жить в ней a = аге cos х и
cos (аге cos х) = х.
Само собой разумеется, что каждая из формул «а» — «е»
имеет свою область допустимых значений для х. Так в «а»,
например, —1 < х < 1, в«б» и «в» — все вещественные зна-
чения х.
542.	Докажем, как образец, формулы «в». Прочие до-
казываются аналогично.
I. sin(arctgx) =
aretgx заключен между------у
* Но в промежутке от
V 1 + X2
значности функции арксинус,
угол, синус которого равен —
. X
arc sin
(см. задачу 541,6). Угол
и у и имеет синус, равный
----------------------------------Г до ~F’ в силу 0ДН0‘
существует только один
-Л  Этот угол есть
Итак, arc tg х = arc sin у. Получен-
ная формула верна при любых значениях х, в частности,
при х > 0.
II. cos (arc tg х) =  ;-^= (см. задачу 541, в). Угол
У 1 + х2
arc tg х при х > 0 заключен в промежутке между 0 и у
и имеет косинус, равный 1__. Но в промежутке от 0
до-^-, в силу однозначности функции арккосинус, суще-
1
ствует только один угол, косинус которого равен .
„ 1
Этот угол есть arc cos—
ТЛ	4.	1
Итак, arc tg х = аге cos ...
1/ 1 -4- г2
0.
274
III. ctg(arc tgx) =-L (см. задачу 541, e). Угол arc tgx
при x > 0 заключен между 0 и у и имеет котангенс,
1	к
равный —. Но в промежутке от 0 до -у, в силу одно-
значности функции арккотангенс, существует только один
угол, котангенс которого равен -у, Этот угол есть
arc ctg -у. Итак, arc tg х = arc ctg -у, если х > 0.
Требование, чтобы было х > 0, обусловлено формой
записи, а не существом дела. Так, например, если форму-
лы «в» записать не в виде непрерывных равенств, а раз-
дельно, то из трех равенств, которые только что были
рассмотрены, лишь для равенства arc tg х = arc ctg -у тре-
буется условие х > 0, а другие верны в более широких
пределах для х. Именно, первое верно при всех х, а вто-
рое при х >• 0.
543.	arc cos (cos Л- it) = arc cos cos [2тс-^-tc ) =
\ о /	|_	\ о /J
/ 4	\	4
= arc cos I -у тс I = -у те.
Было бы неправильно написать
/	6 \	6
arc cos cos -F- * = -г- w.
\	0/0
Равенство arc cos (cos a) = a справедливо лишь в том слу-
чае, когда угол а заключен между Оите, потому что
О < arc cos (cos a) < к. Если угол а не находится в интер-
вале [0, те], то он является лишь одним из значений
Arc cos (cos a).
544.	Так как----у < arc sin (sinx) <~у , то: 1) если
---х < 4г* то агс s*n (s*n = х» если “Т х <
з
< у ", то аге sin (sin х) = аге sin [sin (тс — х)1 = тс — х, по-
тому что в этом случае-------у<^тс — х <-у; 3) еслиутс <
5
<х<-уте, то arcsin(sinx)=arcsin[sin(x —2те)]=х—2те,
18*
275
потому что —<х — 2л<—. Вообще, если 2fe^—к<
2^ + 1	1 тс . 1	।	тс
< х < —х— тс или, иначе, я тс----х- < х < kтс + то
arc sin (sin х) = (—1)Л-|(Ал— х), потому что в этом слу-
чае
sin [(— 1)*—1 (Z? тс — х)] = (— I)*-1 sin (k к — х) =
= (— О*"1 *(—!)* sin (— х) = — (— I)*-1 • (— 1)* sin х =
= sinx; —< (— I)*-1 (A « —x) <
545.	Так как----к- <arctg(tgx)< то: 1) если
---£- < *< -у-, тогда arc tg (tgx) = x; 2) если -£- < x <
з
<"2"«, to arctg(tgx) = arctg[tg(x — к)] = x — к, так
тс .	. тс оч	3^5
как----2~ <1 х — тс < -g-;	3) если -у- тс < х < тс, то
arc tg(tg х) = arc tg [tg (х — 2к)] — х — 2к, потому что
-------2-<х—2к<-у; 4) если------2~^<х<---------
то
arc tg (tg х) = arc tg [tg(x + к)] = х + к,
так как----%- < х + к < -у. Вообще, если —%— тс < х <
< 2fe + 1 д, то arctg(tgx) =arctg[tg(x — Ь)] = х — Arc,
потому что-----"У--
546.	I. Первое решение задачи будет основано на ис-
. a	Y1 -j- sin а — 'К 1 — sin а
пользовании формулы sin	!, спра-
ведливой для---------------------< а < Докажем ее.
]/ 1 + sin а = jZsin2у + cos2 у + 2sin -|-cos	==
1 /7 '•	« ; а \2	. / . а	а \
= у ^sin-g- H-cos-g-j = ± fsin-g- + cos-y)
276
или
cos 4- sin = + У 1 + sin а.
Аналогично получим
cos-н- — Sin-s- = ±У 1 — sin а.
Но если
---2» < а < ~2~, то cos -у ± sin "2“ =
= /“2 COS^- + -^>0
и перед радикалами нужно взять знаки плюс. Поэтому
получим
. а __УI 4- sin а — У1 — sin а
SlnT	2
Положив в этой формуле а — arc siпх и воспользовавшись
равенством sin (arc sin х) = х, найдем, что
. ( 1	.	\ УТ+~х-УТ^х
sin I arc sin х I = -———2^--.
II. Пользуемся формулами: sin-^-=
и
Пусть а = arc sin х, тогда cos а = У1 — х2
и
. а . У1 - И1 —
sin-r=±-------£------=
__ V1 +	(1 - X2) - /1	-X2) _
-	2	~
, У1 + / х* - У1- У1*	, /1 + |х| - у1 - |х|
= ±-----------2----------= ±----------2------- *
Если х > 0, то |х| = х, У1 + х ~>У 1 —х и а > 0. По-
этому в правой части равенства нужно перед дробью взять
277
знак плюс. Получим
sin (4- arc sin х) =	+ *~Г~1 -х #
Если х < О, то | х | = — х, /1+х</1—х и а < 0.
Следовательно, в правой части перед дробью нужно взять
знак минус. Получим
. /1	. \	/г^х-/г+7
sin -5- arc sin х = —  -s-1—i.
У £	J	&	£
sinx — sin (Ате - x|
ел-, . sin x +cosx	.	\ 2	/
547.	arc sin--7=— = arc sin--7^=------ =
/2	/2
3	/	3	\
2cos — it sin (x — — те I
•	4	\	4	/
= arc Sin ------------- =
/2
[/ 3	M	3
sin I —r-it — x = it — x,
\ 4	/J	4	’
те	5
так как при условии -j- < х < -j- к выполняется соотно-
шение---— х<-^- (заДача 544).
2х
548.	Положим arctgx = a, arc sin . -g = ft и найдем
1 “Г x
тангенс левой части доказываемого равенства. Получим
tn (2а + В) = tg2a + tgi*
j _ tg 2а tg 0 *
Но
tga = x, tg2a = -T^7=T^5;
sin ₽ = j“^2; cos 3 = + V i — cos2? =
1 /. 4xa  1 f /1 — X2|2  xa — 1
r 1 (1 + X2)2 - r U+“?/ ~ x2 + 1
(так как x> 1); tg	Отсюда видим, что
tg2a + tgp = r^+j^ri = 0; tg (2a + 0) = 0
и 2a + p == kn. Так как x > 1, то 0 < a <
278
0<P<-y-; 0 < 2а + р <
Отсюда следует, что k = 1 и 2а + р = тс, что и требова-
лось доказать.
549.	Воспользуемся формулой
sin + a = 3sin-£--4sin3 + =sin-£-(3—4sin2+) =
z	z	z	z \	Z J
= sin (1 + 2cosa),
положив в ней a = arc sin x. Отсюда получим sin a = x
и так как < a < to cosa = -+]/1—x2. Что ка-
сается множителя sin-^-, то для него будет следующее
выражение;
a , 1 / 1 — cos a I -1 / 1 — У 1 — x2
Sin-2- = ± J/ --------- = ± V -------~2----
1/
= + — :
V 2(1 + /1 - X2)
Когда x > 0, тогда будет и a > 0, так что в правой час-
ти нужно взять перед дробью знак плюс. С другой сто-
роны, при х > О будет Ух2 = х и формула примет вид
• п	X
sin JL = --—
2	1/2(1 + /1 -х2)
Когда х < 0, тогда будет и a < 0 и в правой части ра-
венства нужно взять перед дробью знак минус. Но в этом
случае ]/х2 = —х и мы приходим снова к такой же фор-
муле:
2	1/2(1 + /Г^~х2)’
Подставляя найденные значения cosa и sinв формулу
Т 3
для sfn-Tj-a, получим
.	3	.
sinl-g-arcsinx
х(1 +2/1 - X2)
]/2 (I + ут^У
273
550.	Положим а = arc sin х, где —£- < а < При
этих условиях для а будем иметь
а
cos-у-
1 + cos а
2
И
cos а = + У 1 —sin2a ~У 1 —х2.
Поэтому
(1	.1	а 1 /1 + COS а
у- arc sin XI — COS -у — у —---------------=
1 /1 + П -Х~2 = -. /	1 — (1 — х2) в
И	2	У	2 (1 -
_	/Т2	=	| х|____
1/2(1 - /Г^х2)	2 (1 — /1 -х2)’
551.	Обозначим cos (п arc cos х) = Тп. В формуле cos 2а =
= 2cos2a—1 положим а = arc cos х. Тогда, учитывая, что
cos (arc cos х) — х, получим 1\ — 2х2—1. Точно так же из
формулы cos За — 4cos®a—3cosa, найдем Т3 = 4х3—Зх. С по-
мощью формулы cos (n + 1) a = 2cos п a cos a — cos (n — 1) a,
положив в ней a = arc cos x, получим равенство Tn+\ =
= 2Tn-x — Тп—\. Полагая в нем п = 3, 4, 5, 6 и учиты-
вая найденные значения Т2 и Т3, получим последователь-
но:
Т< = 2х (4х3 — Зх) — (2х2 — 1) = Зх4 — 8х2 + 1;
= 16х5 — 20Х3 + 5х; Тв = 32хв — 48х* + 18х2 — 1;
= cos (7arc cos х) — 64х7 — 112х5 + ббх3 — 7х.
552.	Пользуясь формулами задачи 541, получим
cos (arc tg х + arc tg у) — cos (arc tg x) cos (arc tg y) —
- sin (arc tg x) sin (arc tg y) =	~
______X	у _	1 - xy *
KF+x2 ’ YV+tf КТО2 У1 + y2
Эта формула имеет смысл при любых х и у.
* О другом способе решения см. замечание к задаче 555.
280
5S3.	tg(2arcsinx) =	=
'	1 — tg2(arcsmx)
2х
/1 -х»	 2х/1 -х*
х3 ~	1 - 2ха ’
1 ~ 1 - х3
Здесь были использованы формулы задачи 541*.
Доказанное равенство имеет смысл, если — 1 < х < 1,
но х =f= ± -4=.
554.	sin (2агс tg х) — 2sin (arc tg х) cos (arc tg x) =
— 2 x 1	_ 2x
~ ' fl + x3 " У1 + x3 1 +x2
Здесь были использованы формулы задачи 541*.
Доказанное равенство имеет смысл при всех х.
555.	Положим arc tg-^- = х, arc tg2/ 3 = у. Тогда,
пользуясь определением арктангенса, можем написать
tgx=4.
Поэтому получим:
1
COS X = -7=
1	3
“ Г“ /ю’
.	13	1
Sin X = tg X • COS X =-—= ——9
ь	3 У10	У10
1 1
COS У = -z
)/1 + (2/Т)2	/13
причем перед корнями берем знак плюс, так как главные
значения углов, имеющих положительные тангенсы
являются острыми углами (углами, лежащими в первом
квадранте). Теперь будем иметь
sin 2агс tg + cos (arc tg 2/~3) = sin 2x +
* О другом способе решения см. замечание к задаче 555.
281
1	3
4- cos у = 2sin x cos x 4- cos у ~ 2 •
w /10	/16
+ -L. = ± + -L_.
/13	5	/13
Замечание. Решение этой задачи было бы короче,
если использовать формулы задачи 541. Однако, чтобы
ими пользоваться, нужно или помнить эти формулы, или
иметь их под рукой. Задачи 552—554 были решены имен-
но с использованием формул задачи 541, но они могут
быть решены и способом, примененным здесь,
3	5
556.	Положим arc tg-y == х, arc sin -^= у. Тогда, поль-
зуясь определениями арктангенса и арксинуса, можем на-
писать
. з	5
tg* = -4-* Sin	.
Поэтому получим:
1	1	4
COS X =	..	=- == --.....
y,+,s	/>+4-
,	3	4	3
Sin X = tg X COS X —	• -g- = -g-(
cos у = У1 — sin3t/
12
13'
Перед корнями взяты знаки плюс, потому что 0 < х <-у-
и 0 < у < Теперь будем иметь
sin 2arc tg -I- tg arc sin = sin 2x 4- tg ~ —
л .	. sin у o 3	4 ,	5
- 2sin xcosx +	= 2.-g- -g- + ,	|2Y -
24 , _5__ 29
= 25	25 — 25’
557.	Положим arc cos -^= = x = arc tg = у. От-
/2	4	у
сюда tgx=l, tgy — -~. Найдем теперь тангенс левой
282
части подлежащего доказательству равенства. Получим
tg*4 tgy
1 — tgx tg у
arc cos
+ У 2 _ У~2~4 1
i_-L У2-1*
/2
Следовательно, х 4- у = k те 4- arc tg , где k — целое
число или 0. Но 0 < у < а х = Поэтому 0 < х 4-
4- у < и k может быть равно только нулю. Отсюда
получаем х + t/ = arc tg	т. е. то, что требовалось
доказать.
558.	Вычислим тангенс данного выражения. Получим
Ь tare to 2 4- arc Ь - tg (arc {g 2) 4 tg (arc tg 3) _
tg(arctgz 4 aretgd) i-tg(arctg2)tg(arctg3) ~
. '	2 -|- 3	_ i
1 — 2 - 3 ~
Следовательно, arc tg 2 4- arc tg 3 = ft те-j-, где ft—целое
число или 0. Но < arc tg 2 <	-j- < arc tg 3 < -j-
и — < arc tg 2 4- arc tg 3 < к. Но между и те есть толь-
ко одно число, тангенс которого равен —1. Это число
3	3
-^-те. Поэтому получим arc tg 2 4- arc tg 3 = — те.
559.	Пусть arc sin x = у. Тогда sin у = x, sin 2y =
= 2sin у cos у — 2x У1 — x2. Отсюда
2y = k те + (— 1)* arc sin 2x У 1 — x2,
где ft — целое число или нуль. Но из условия х2< —
1	1 те . те
вытекает, что----=- < х< —------------------< н< —,
УТ У 2	4 у 4
---^-<2у<-у- и ft = 0. Поэтому 2у = 2 arc sin х =
283
= arc sin 2x Y1 — x<t- Теперь можно написать arc sin x 4-
+ Загс cos x + arc sin (Зх/Т^х2) = 3(arc sin x 4- arc cos x)
__ Зя *
560.	Положим arc sin x = a, arc sin у = p. Тогда будем
иметь: sin a = x, cos a = 4-	— x2, sin p = y, cos p =
= 4- V1 — У2> причем перед обоими радикалами ставим знак
Я	Я	г\ п
плюс, потому что----2" < a < -у,----< р < -у, а ко-
синусы таких углов положительны. Воспользуемся теперь
формулой синуса суммы двух углов. Получим
sin (arc sin х 4- arc sin у) = sin (a 4- Р) = sin a cos р 4-
4- cos a sin p = x j/1 — у2 + у Y^ — *2-
Отсюда следует, что
a 4- p = k ic 4- (— 1)* arc sin (xY 1 —У2 4- У Y 1 — *2)»
где k — целое число или нуль. Но
и сумма a 4- Р должна удовлетворять одному из следую-
щих соотношений:
1.	—к < a 4- р <--у!
2.	-<а4-Р<1;
3.	-£-<« + Р<к.
Легко убедиться, что при соотношениях 1, 2 и 3 будет
соответственно k = — 1, k = 0 и k = 1, так что получатся
формулы:
I.	а4~Р = —« — arc sin (х’К1—у2 4- yY 1—х2)>
II.	а 4- Р = arc sin (х Y1 — У2 4- yY 1 — х2)',
III.	а 4- р = т — arc sin (х — у2 4- yY 1 — х2).
Эти три формулы могут быть сведены в следующую одну:
arc sin х 4- arc sin у = т) arc sin (x]^l — у2 4- yV 1 —x2) 4- sir,
* Эту задачу можно решить и с помощью формулы задачи 560.
284
причем к; = 1, е = О для соотношения 2; tj = — 1, е =—1
для соотношения 1; т; = — 1; е = 1 для соотношения 3.
Выясним, какие должны быть зависимости между х и у,
чтобы имели место эти формулы.
а)	Пусть т] = 1, е = 0, т. е. выполняется соотноше-
ние 2. Тогда cos (а 4- Р) > 0. Справедливо и обратное
утверждение: если cos (а 4- р) > 0, то имеет место соотно-
шение 2, а следовательно, tj = 1, е = 0. Но cos (а 4- Р) =
= cos а cos р — sin а sin р = У 1 — х2 У 1 — i/2 — ху. Поэто-
му для того, чтобы выполнялось неравенство cos (а + р)>0,
необходимо и достаточно, чтобы
/П^х2 /Т^72 — ху > 0	(*)
Во-первых, это всегда будет. выполняться, если ху < 0.
Во-вторых, это будет выполняться и при ху > 0, если
1 — х2 — у2 > 0 или х2 4- у2 < 1, что становится очевид-
ным, если неравенство (*) переписать так:
У 1---X2 — у2 + Х*у2 > ху.
б)	Пусть теперь т] = — 1, е = — 1 или т; = — 1, е = 1,
т. е. выполняются соотношения 1 или 3. Нетрудно ви-
деть, что для этого необходимо и достаточно, чтобы было
cos (а + р) < 0 или У 1 — х2У 1 — у2 — ху < 0. Здесь
ху > 0. Переписывая последнее неравенство в виде
У 1 — х2 — у2 + х2у2 < ху,
убеждаемся в том, что 1 — х2 — у2 < 0 или х2 4- у2 > 1.
Если же учесть, что соотношение 1 имеет место лишь
тогда, когда а и р, а следовательно, и х, и у, отрицатель-
ны, а соотношение 3 — лишь тогда, когда а и р, а следо-
вательно, и х, и у положительны, то можно сказать
т) = — 1, е = — 1, если х2 4- у2 > 1 и х < 0, у < 0,
а т] = — 1, е = 1, если х2 4- у2 > 1 и х > 0, у > 0.
4	5
561. Для упрощения выражения arc sin -у 4- arc sin
(4
у) 4-
( 5
+	в этой формуле нужно положить т] = 1
и е = 0. Поэтому имеем
4	5
arc sin 4- arc sin =
О
285
- arc sin (у ]Д —Ц- + qy]/1 ~ 4f) “
= arc sin (4 • ТУ + 4 • 4) = sin -g.
Преобразуем полученный арксинус в арккосинус. Это мож-
но сделать с помощью формулы arc sin х ~ arccosj^ 1 —х2
задачи 542, так как -Ц- > 0. Получим
. 63	/ 63 \2	16
arc sin -gg- = arc cos у 1 — j = arc cos у.
Итак, имеем
. 4 ,	.	5 .	.16
arc sin -=- + arc sin -^ + arc sin —
□	10	0Э
16 .	.16	те
= arc cos -тит + arc sin	== -тг*.
bo	bo	2
Замечание 1. Что при сложении arc sin x и arc sin у
можно пользоваться формулой arc sin x + arc sin у =
= arc sin (хУ I— у2 + у]/' 1 — x2), можно было бы обо-
сновать и иначе, чем сделано в решении этой задачи.
А именно: последняя формула верна, если
---------------< arc sin х + arc sin у
В данном случае
. 4	. УТ те
arc sin -тг < arc sin -у- = -5-,
О	2	о
. 5	.1	те
arc sin -рг < arc sin -5- =
и, следовательно,
О < arc sin -4- + arc sin -Д- <
О	lo 2
Замечание 2. Само собой разумеется, что эту за-
дачу можно решить без ссылки на формулу задачи 560,
а пользуясь лишь определениями обратных тригонометри-
ческих функций и их главных значений. Для этого можно
•	4	•	5 д и
поступить так: положить arc sin у = a, arc sin уз ~ г, наи*
ти sin a, cos а, sin 0, cos0 и воспользоваться формулой
286
синуса суммы двух углов. Это даст sin (а + р) =	, отку-
да а + р =? k к + (— 1)* arc sin -Ц-. Из условия же 0 < а+
+ р < установим, что k = 0. Сложив теперь по тому
л .63	.16
же способу arc sin 65 и arc sin gg-, докажем тождество.
Этим способом была решена задача 548.
562. Пользуясь формулой arc sin х + arc cosx = -+,
(X 1	/*	1 1	1 • \
-g" + "y У 3 — Зх21 =
(X 1	/”	111	\
-g- + ~2? 3 — Зх21. Теперь до-
(х 1 г ...................\
у + у V 3—Зх21.
Воспользуемся формулой задачи 560. Для выяснения зна-
чений и е вычислим величину суммы квадратов аргумен-
тов:
х2 + (4 + 4/ З-Зх2)2 = X2 + 4 + 4^З-Зх2 +
+4- 4х2=4+4+х > 4+
+4+4(1-х2)=4>1,
потому что из х вытекает, что 4х2 > 1, Зх2 > 1—х2,
У~3х>]/т^р и хК’ЬГ^>4-(1 “*2)-
Так как, кроме того, аргументы положительны, то
•») = — 1, е — 1. Итак,
arc sin х + arc sin	3 — 3x2j = л —
— arc sin х jZ 1—+ — У 3 — 3x2j2-J-
4-/Т^72(4 + 4V З-Зх2) .
287
Но
1 - (4+4 /з-3х2)’= 4- (V~3* -/Г=Т2)а
и так как
У~3х > то ]/1-(4 + -4/ 3 - Зх2У=
Поэтому
arc sin х + arc sin 4- 4 У 3 —Зх2) =
= л — arc sin |4- (V~3x — У 1 — х2) 4-
4- (-4 + 4 з-Зх2) /Т=Т2] =
. V~3	те	2
= гс — arc sin = к----о- = -х- гс.
Z	и	о
Отсюда
arc cos х + аге cos (-4- 4- 4 У 3 — Зх2) = л — 4 я = -тг-
Замечание. Возможно и более короткое решение,
причем без ссылки на формулу задачи 560. Действительно,
заметив, что
. к У 3 те 1	.
sin -о- = Чг~, cos -5- = -5-, cos (arc cos x) = x,
и Z	О Z
sin (arc cos x) = У1 — x2,
можем написать:
4 + 4^ З-Зх2 - 4^ +	=
+ arc cos cos 14--------arc cos x) = arc cos x 4-
I \ о	у j
4- -5------arc cos x = -5-,
и	о
288
так как
4- < х < 1, 0 < arc cos х <
Z	о
и
0. те	те
< -5— аге cos х <
О	и
(см. решение задачи 543).
563. Положим arctgx = a, arctgy = p. Тогда будем
иметь tga = x, tgp = y. Пользуясь формулой тангенса
суммы двух углов, получим
tg (arc tg х + arc tg у) = tg (a + P) =
Отсюда следует, что
а + р = *к + агс tg£±^,
где k — целое число или нуль. Но
и сумма a + р должна удовлетворять одному из следую-
щих соотношений:
1.	_K<a + p<__J_;
2.	-^<a + p<^;
3.	-^-<а + р<к.
Легко убедиться, что при соотношениях 1, 2 и 3 будет
соответственно k = — 1, k = 0 и k = 1, так что получатся
формулы:
1.	? + р = — к + arctgp^.;
II.	a + p =arctg£±b
III.	a + p = rc + arctgjT±A
Эти три формулы могут быть сведены в следующую одну:
arc tg х + arc tg у = arc tg * + ? + s,c‘
19 К. У. Шахао
289
причем е = 0 для соотношения 2; е = — 1 для соотноше-
ния 1; е = 1 для соотношения 3. Выясним какие должны
быть зависимости между х и у, чтобы имели место эти
формулы.
а)	Пусть е — 0, т. е. выполняется соотношение 2. Тог-
да cos (а 4- р) > 0. Справедливо и обратное утверждение:
если cos (а 4- Р) > 0, то имеет место соотношение 2, а сле-
довательно, е = 0. Но cos (а + р) — cos а cos р — sin а sin р,
а так как tga = х, tg р = у, то
11	х
cos a =--,	= -7- -.-, sin a = tg a cos a — •
+ У l+tg2a У 1+ X2	/Ц-Х2
cos p =	..., sin p = y 
/1+1/а	П+У
и
COS (a 4- p) = r .. 1 T
v> yr+x^V1 + y2
Поэтому для того чтобы выполнялось неравенство
cos (a + Р) > 0» необходимо и достаточно, чтобы было
>0,
а это будет при 1 — ху > 0 или ху < 1.
Заметим, что при вычислении cos а перед радикалом
был взят знак плюс по той причине, что при-----^-<а<
<-§- будет cosa>0. То же самое можно сказать и от-
носительно COS р.
б)	Пусть теперь е = — 1 или е = 1, т. е. выполняются
соотношения 1 или 3. Нетрудно видеть, что для этого
необходимо и достаточно, чтобы было cos (a + р) < 0 или
 г	~~ < 0. Последнее же будет выполняться
при 1—ху < 0 или ху>1. Если же учесть, что соотно-
шение 1 имеет место лишь тогда, когда а и р, а следова-
тельно, и х, и у, отрицательны, а соотношение 3 — лишь
тогда, когда а и р, а следовательно, и х, и у положи-
тельны, то можно сказать, что е = — 1, если ху > 1
и х < 0, а е = 1, если ху > 1 и х > 0.
290
564. Полагая в формуле задачи 563 х = у = -В- и за-
О
9
мечая, что в этом случае ху<_\, получим 2arctg-y —
. 12 и , 12	1	5
<= arc tg -г-. Но arc tg -е~ = аге cos —===- — аге cos
□	о	1/144
V 1 +'25'
5	2
(см. задачу 542, в). Поэтому аге sin-yg-4- 2arctg— =
5 .	5 к
= arc sin -рт 4- arc cos = -к~.
Замечание. Эту задачу можно решить и не поль-
зуясь формулой сложения арктангенсов. Для этого доста-
точно доказать, что sin (а 4-2Р) = 1, где а = arcsin-Д-,
а р = arc tg-|-. Отсюда будет следовать, что а 4- 2р =
565. Полагая в формуле задачи 563 х = Д- и у = Д—
о	о
и замечая, что ху < 1, получим
1 1
.	1 ,	.1	.	3 + 5	,4
arc tg -3- 4- arc tg -g- = аге tg-{-р = arc tg
Прибавляя к этому результату aretg-y- и снова пользу-
,	4	1
ясь той же формулой ДЛЯ X = -у- и у = —, получим
аге tg-у-4-аге tg-y- =агс tg-Д-.
7	1
Наконец, складывая aretg-g- и aretg-g-, получим оконча-
тельно
аге tg Д-4-arc tg Д- + arc tg Д-4-аге tg Д-=
= arc tg-p 4-агс tg Д-= arc tg 1 =-J-.
Замечание. Задачу можно решить не пользуясь го-
товой формулой сложения арктангенсов, а применив ме-
тод, которым была решена задача 558.
19*	291
566. Пользуемся три раза формулой суммы арктанген-
сов (см. задачу 563) для случая xt/< 1. Получим:
4arc tg-j- = 2 (arc tg~ + arc tg+) =
= 2arctg — 2- -\' = 2arctg = arctg-^- 4-
,	,5	.	2-5	.120
+ arc tgK = arc tg —--------= arc tg ш;
12 VW
.	. 1	,1	, 120 ,	, (	1 \
4arc tg -g-arc tg 23g = arc tg цд + arc tg	2зду =
120	1
.	119 ”239	.	120-239- 119
— aretg 120	— arctg 119 . 239 120 ~
1 + 119’ 239
. 119 • 239 + 239 — 119 __	. 119-239+ 120
— aretg Ц9..239 + 120	~ arc lg 119 • 239 + 120
= arc tg 1 = -
567.	2arctgl0 преобразуем по формуле суммы арктан-
генсов, полагая в формуле задачи 563 х = у = 10 (случай
ху > 1, х > 0), a arc sin преобразуем в арктангенс с
помощью формулы задачи 542, а. Получим
2arc tg 10 4- arc sin ^=(arc-tg 10 4- arc tgl 0) 4-
20	,	. 10 4- io .
—Г20Г2 = it 4- arc tg !—foTo +
4- arc tg —
101
,	, 20	. 20 ,	, 20
+ arc tg -gg = it — arc tg gg- + arc tg = it.
Замечание. Задачу можно решить показав, что
20
sin (2а + р) = 0, где а = arc tg 10, a р = arc sin Отсю-
да будет следовать равенство 2а 4- р = k it и останется
лишь показать, что k = 0.
568.	На основании формулы arc tg х 4- arc ctg х = -V,
292
получим arc tg х =-g—arc ctg x. Так как здесь предпо-
лагается x> О, то arc ctg х = arc tg-у-(см. задачу 542, г).
Теперь будем иметь arc tg х = -£— arc ctg х = ---
— arc tg—.
569.	Пользуясь формулой arc tg х + arc ctg х = мо-
жем написать arc tg х = --arc ctg х. Но arc tg х = те —
— arc ctg (— х) (см. задачу 540, б), a arc ctg (— х) =
= arctg^ (см. задачу 542, г), так как х < 0 и, следова-
тельно, — х > 0. Теперь будем иметь:
arc ctg х = ---аге ctg х = ----— arc ctg (— х)] =
те	. j 1	те	.	1
= ~2----те + arctg —  ----2*—arctg—.
VIII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
570.	sin х sin 2х sin Зх = -i- sin 2х cos 2х,
sin 2х (2sin х sin Зх — cos 2х) — О,
sin 2х (cos 2х — cos 4х — cos 2х) = 0, sin 2х cos 4х = 0.
k те
a) sin 2х = О, 2х = k к, хх —
Л..	(2&+l)it	(2^+1)те
Оу COS лХ — О, 4Х — g > Х2	g •
571.	3(1 — sinx) = 2cos2x, 3(1—sinx) = 2(1—sin2х),
(1 — sin x) (1 — 2 sin x) = 0.
x <	• Л •	1	OL  к (4Л 4“ l) те
a) l—sinx = 0, sinx = I, x1 = 2^it + "2 = —2^9
6) 1— 2sinx = 0, sinx = -i-, x2 = &те+ (—!)*•-£-•
293
3	5
572.	sin -E-x- cos-5-х	.
b	□	_ 1	I
з : 5	1 з : 5 ’
COS -=- X • Sin -5“ X	COS —f“ x • Sin -y- X
Do	DO
3.5	.3	5 i
COS-F- X • Sin-F- X — Sin -F-X • COS -o- X = 1,
bo	bo
• I 5	3	\	. 16 i 16 од । 77
Sin Hr *-f- X = 1, Sin -7F- X = 1, rrX =	-r~,
\ о b /	ib	lb	2
16	46+1	15 /ль , 14
qyX=—it, X = -32 (46 + l)rt.
573.	sin (x — 20°) • cos [90° — (x + 25°)] =
= cos [90° — (70° 4- x)] • sin (65° — x),
sin (x — 20°) • cos (65° — x) — cos (x — 20°) • sin (65е — x)= 0,
sin (x — 20° — 65° 4- x) = 0,
sin (2x — 85°) = 0, 2x — 85° = 180° • k,
2x = 180° # 4-85°, x = 90°A 4-42,5°.
574.	tg (x 4- 30°) tg (x - 60°) = ctg 190° - (x 4- 30е)] X
X tg (x - 60°) = ctg (60е - x) tg (x - 60°) = - 1.
Отсюда видно, что данное уравнение не имеет решений.
575.	sin 2х 4- sin х 4- 1 4- cos 2х 4- cos х = 0,
2 sin х cos х 4- sin х 4- 2 cos2 x 4- cos x = 0,
sin x (2cos x 4- 1) 4- cos x (2cos x 4- 1) = 0,
(2cos x 4- 1) (sin x 4- cos x) = 0.
1	2
a)	2cos x 4- 1 = 0, cos x ------g-, xx = 2k тс + -у к;
6)	sin x -J- cos x = 0, tg x = — 1, x2 = k it--у it.
576.	sin 2x 4- 2sin 2x cos x = cos x 4- 2cos2x,
sin 2x (1 4- 2cos x) — cos x (1 4- 2cos x),
(14-2 cos x) (2sin x cos x — cos x) = 0,
(1 4- 2cos x) cos x (2sin x — 1) = 0.
1	2
a)	1 + 2cos x = 0, cos x ==-----xt = 2k ъ ± -у тг;
л	26 + 1
6)	cos x = 0, x2 = —— -к;
1	7t
в) 2sinx—1=0, sinx = -g-, x3 = Ait-}-(—1)* •-y.
294
577.	sin Зх + sin x — cos x = 0, 2sin 2x cos x — cos x = 0,
cos x (2sin 2x — 1) = 0.
a)	cos x = 0, xj =	* it;
6)	2sin2x— 1=0, sin2x = —t 2x = k-rt 4- (— l)ft-
z	0
578.	cos 7 x + cosx — (cos2 2x — sin2 2x) = 0,
2cos 4x cos 3x — cos 4x = 0, cos 4x (2cos 3x — 1) = 0.
a)	cos 4x = 0, 4x =	 - it, xt = —тг—-it;
Z	1 о
6)	2cos 3x — 1=0, cos 3x — 3x = 2k it +
Z	о
2 /	. те
x2 = -у It + ~y.
579.	sin x cos x (sin2x — cos2x) =
-~-sin2x(—cos2x)=-i->----------L Sjn 4X = sin4x==—1,
A rtf.	A 4k ----- 1	4k -- 1
4x = 2k те---5-, 4x =-------5—те, x ~---------5— те.
Z	Z	о
580.	2 cos 4x cos x 4- 2sin 4x cos x = 2 (cos — cos 4x 4-
4-	sin—у sin 4x), cos x (cos 4x 4- sin 4x) =
= -t-y (cos 4x 4- sin 4x), (cos 4x 4- sin 4x) (cos x-1=0.
a)	cos 4x 4- sin 4x = 0, tg 4x = — 1, 4x = kn------у,
4* —1
xi=	16
6)	cos x —	= 0, cosx = xa = 2k it± у = к.
581. sin x 4-sin 3x 4-sin 2x 4-sin 4x = 0,
2sin 2x cos x 4- 2sin 3x cos x = 0, cos x (sin 2x 4- sin 3x) = 0,
o-5	ln
2 cosx sin-75-x cos-^-x = 0.
Л	Ы
X	n	2^ + 1
a)	COS X = 0, Xx =----— те;
295
5	5	2
6)	sin -у х = 0, -5- х = k it, x2 = -r- k it;
Z	Z	0
\	1 (X 1	2* 4~ 1	/nt 1 1\
в)	COS у X — 0, у X = —— K, x3 = (2k 4- 1)
582.	(cos 2x — cos 4x) = -y, cos 2x — cos 4x — 1 = 0,
cos	2x — 2cos2 2x	= 0, cos	2x (1	— 2 cos 2x)	=	0.
.	o n „	2k + 1	2k	+ 1
a)	cos 2x = 0, 2x = —у— it, x, = —— it;
6)	1	— 2cos 2x = 0,	cos 2x =	Д-,	2x =	2k it +	Д-,
о y _ 6*	± 1 r	_ 6* ± 1
£X —	2	^2 ~~~ g
3
583.	cos2x • cos x • sin 3x + sin2x • sin x • cos 3x = -y,
cos2x • (sin 4x 4- sin 2x) 4- sin2x • -y (sin 4x — sin 2 x) = y,
3
sin 4x • (cos2x + sin2x) 4- sin 2x (cos2x — sin2x) = у,
3	1	3
sin 4x + sin 2x cos 2x = у, sin 4x 4- у sin 4x = у
3 • л 3	. ,	. л o, , n 4*4-1
— sin4x = -n-, sin4x=l, 4x = 2kr: 4- —, x = —
Z	Z	Z	о
584. (cos x— cos Зх) +	(1 4- cos 2x) = -±- (cos x —
— cos 9x) 4- 4" (1 4- cos 8x), cos 2x — cos 3x 4- cos 9x —
— cos8x = 0, cos 2x — cos 8x 4- cos 9x — cos 3x = 0,
2 sin 5x • sin 3x — 2 sin 6x • sin 3x = 0,
X 11
sin 3x (sin 6x — sin 5x) = 0, 2sin 3x • sin -y cos -y x = 0.
a) sin 3x = 0, 3x = k it, Xj =
ttcos-H-x-O JLLr-2fe+1^ r _ 2*4-1 .
в) sin-y = 0, -y = & it, х3=2Ая. Но при k=6n Xj=2nit.
296
Поэтому х3 заключается в xt и все решения уравнения
.	k я	2k + 1
содержатся в формулах: х, =-у-, х2 = —jj-—тс.
(-с-	1 + cos 2х .	1 + cos 4х 1 + cos 6х .	1 + cos 8х „
585.	-----+------------+------------_]_----------=2>
cos 2х + cos 4х + cos 6х 4- cos 8х = О,
2cos Зх • cos х -|- 2cos 7х • cos х = О,
cos х (cos Зх + cos 7х) = 0, 2cos х • cos 2х • cos 5х = 0.
. г л г 2k + 1	2k + 1
a)	cos 5х = 0, 5х = —~— к, Xj = —— тс;
О Л	2ft 4” 1
б)	cos 2х = 0, х2 = —— it;
ч Л 2ft 4-1
в)	COS X = 0, Х3 = ---j----тс.
Но при k = 5п 4- 2 xt = я = х3. Поэтому все
решения уравнения содержатся в формулах;
-OD 1—cos2x . 1—cos4x 1—cos6x , 1 — cos8x
586.		g-4- —^2----=-------2----+-------2---’
cos 2x + cos 4x = cos 6x + cos 8x,
2cos 3x • cos x = 2cos 7x cos x, cos x (cos 3x — cos 7x) = 0,
2cos x sin 2x sin 5x = 0.
a)	sin 5x = 0, 5x = k к, xt =
6)	sin 2x = 0, 2x = k -к, x2 =
в)	cos x = 0, x3 = — + 1 тс. Но при k = 2n + 1
x2 = 2n -к = x3. Кроме того, x2 при k = 2n дает те же
значения, что и хх при k = Ьп. Поэтому все решения
уравнения содержатся в формулах:
k п	2^+1
Х1 “ 5 ’ %2 “	2
n.
297
587.	~~ (1 — cos 2х) + sin2 2х =	(1 — cos 6х),
sin2 2х---------2----= 0, sin2 2х — sin 2х sin 4х == О,
sin 2х (sin 4х — sin 2х) = 0, 2sin 2х • sin х • cos Зх = 0.
a)	sin 2х = 0, 2х = k я, хх = -у~;
О no 2k + 1	2k 4-1
б)	cos Зх = 0, Зх = —2—	хг — —ё—
в)	sin х = 0, х3 = k я.
При k = 2п Xj = пя и содержится в х3. При k = 2п 4-1
х, содержится в х2, если в х2 положить £ = Зп4-1.
Поэтому все решения уравнения содержатся в формулах:
2k + 1	.
Xj = ---g---Я, Х2 w k Я,
588.	sin2 2х = 2 — 2 sin2x, 4sin2x • cos2x = 2cos2x,
cos2x (2sin2x — 1) = 0, cos2x (— cos 2x) =0, cos2x • cos 2x=0.
a)	cosax = 0, cos x = 0, xx —	1 к;
о no 2^+1	2k + 1
6)	cos 2x = 0, 2x — —у— я, x2 = —у— я.
589.	sin4 4- + cos4 4- + 2sin2 4- cos2 4- — 2sin2 4- cos2 4- =
О	О	и	о	о	«5
5	/ • 2 x .	2 х \2	1 • 2 2	5 .	1 . о 2	5
= у, (sin2 у + cos2 у) - у Sin2yX = у, 1 - ySin2yX == у ,
. , 2	3	.2	, /Т 2	.	, к
sin2-K-x= —г, sm-75-х = +-Ц—, -о-х = яя+-^-,
о 4	о —	2 о	— о
590. cos4x + sin4x 4-2sin2x cos2x — 2sin2x cos2x — 2sin 2x+
+ sin2 2x = 0, (sin2x 4- cos2x)2------у sin2 2x — 2sin 2x +
4- sin2 2x = 0, 1 — 2sin 2x + ~r sin2 2x = 0,
1 4	4
sin2 2x — 8sin 2x + 4 = 0, sin 2x = 4 — 2 р^З (4 + 2 ]/3 > 1
и поэтому отброшено). 2х = k я 4- (— 1 )* • arc sin (4 — 23),
х =	+ 4- (- 0*arc sin (4-2ИЗ).
298
У 2 sin
591. 2 (sin 2x + 1 — 1) = 3 (sin x + cos x),
2 (2 sin x cos x 4- sin2x 4- cos2x — 1) = 3 (sin x 4- cos x),
2[(sinx + cosx)2—1] = 3(sinx + cosx). Положив sinx4-
4- cos x = у и сделав преобразования, придем к уравнению:
2у2 — Зу — 2 = О, t/j = —у2 = 2. Отсюда cosx4-
4- sin х =---- и cos х sin х = 2. Решаем первое:
Т’ sln(“r+x/ 2 V2'
= kn — ( — 1 )k arc sin —“7=-г-. Равенство sin x 4-
v ’	2/2	4
4- cos x = 2 невозможно. Действительно, |.sin x + cos x | =s
= /2'|sin(-^-4-x)| </2’<2.
х =
COS ( X-----
\	4
592. sinx 4-cosx 4--^-^sinxcosx 4-1— 1) = 1, sinx4-
4- cosx 4- [(sinx 4- cosx)2—1] = 1. Положив sinx 4-
4- cos x = у и сделав преобразования, придем к уравне-
нию: у24-2у— 3 = 0, У! = 1, уа = — 3. Второй корень
отбрасываем, так как | sin х 4- cos х | < У 2 (см. решение
задачи 591).
Итак, cosx 4-sinx = 1, ]/2cos^x-------------j = 1,
i=-, X----J- = 2k it +	Xi = 2k it,
2	4	— 4 х ’
r (46+1) я
x2 —	2
1	— cos 2 x \S	/ 1 4- COS 2x \e _ 29	. „
2	/ ~\	2	/ ~ I6 C°S ZX’
2 4- 20 cos’ 2x + 10 cos4 2x	29	. „ „
----1---------1----------= -jg- COS* 2X.
24cos4 2x — 10 cos2 2x — 1 = 0, cos2 2x =	— -j-»
1.1 л 1 л л л 2Л +1 2k 4- 1
-o- 4- -o- cos 4x = -ту, cos 4x = 0, 4x — —5— it, x— —3—
Z 2	Z	Z	О
32
it.
299
594. Преобразуем левую часть уравнения:
cos2x cos 2х 4- cos 4х 4- cos Зх cos х 4- 2 cos4x =
= cos2x cos 2x + cos 4x 4- cos 3x cos x 4- cos2x (1 4- cos 2x) —
= cos x (2cos x cos 2x 4- cos 3x 4- cos x) 4- cos 4x =
= cos x (cos 3x 4- cos x 4- cos 3x 4- cos x) 4- cos 4x =>
= cos x (2cos 3x4~2cos x) 4- cos 4x = 2cos x cos 3x 4-2cos2 x 4-
4- cos 4x = cos 4x 4- cos 2x 4-1 + cos 2x 4- cos 4x = 1 4-
4- 2 (cos 2x 4- cos 4x) = 1 4- 4 cos 3x cos x.
Теперь данное уравнение запишется так:
1 4- 4cos Зх cos х =-----.
'	„ . X
2sin -у-
Умножим обе части уравнения на sinx. Получим:
sin х 4- 4 sin х cos х cos Зх = sin x—, sin x 4-
2sin "2“
X X
2sin -y- cos -9“
4- 2sin 2x cos 3x = ----------------
2sm ~2~
sin x + sin 5x — sin x =a
X
= cos^-,
• г-	X	[ It	- \	X
sin 5x = cos -g-, cos I - g----------------------5x1 = cos j-,
, X _ w	, OA_.____4^4-1 ________4k 4- 1 _
— 2 --- 2	- g
$
Но, умножая уравнение на sinx, мы могли ввести по-
сторонние корни, которые, являясь корнями уравнения
sin х == 0, имеют вид х = п тс. Из формулы для хх и х2
видно, что п не может быть четным, т. е. эти формулы
не могут дать чисел вида 2/птс. Таким образом, посто-
ронние корни, если они есть, имеют вид (2т + 1)тс. При-
равняв значение (2т + 1) тс сперва хь а потом х2, найдем
<	11 tn -{- 5	1	9 т -f- 4	,
k =------— и k = —. Следовательно, в формуле
1 . Н/п+ 5	.	, , 9/п 4-4
для хх k #= ——» а в формуле для х2 k =# —,
причем в первом случае т нечетное, а во втором —
четное.
зоо
595. Преобразуем правую часть уравнения:
tgхtg(60°-х)ctg(30°- х) = tg х •	x X
1 + V 3 tg X
/Т+ tgx _ 3tgx — tg3x _ 2tgx + (1 — tg2x) tg x
1 — /Ttgx 1— 3tg2x (1 — tg2 x) — 2tg2x =
2tgx
1 — tg2x + gx _ tg2x + *gx _ . о
= , 2tgx t ~ 1—tg2xtgx
1—j—
Теперь уравнение запишется так: tg 5х = tg Зх. Реша-
k п
ем его: 5х = k к + Зх, 2х = kit, к =	. Но при
k == 2пг 4- 1 обе части уравнения не имеют смысла. Сле-
довательно, нужно считать k = 2т и х = т к.
.	cos2 х — sin2 х
596.	cosx4-sinx= —2—i—,
1	COS2 X + Sin2 X — 2sin X COS X
,	.	cosax — sinax	.	. cos x 4- sin x
COS X + Sin X =	:-rx-, COS X + sin X = -,
1	(cos X — sin x)2	COS X — sin X ’
(cos x + sin x) (cos x — sin x — 1) = 0.
a)	cosx+sinx=0, tgx= — 1; x1=kit— ~	~ -1 тс;
6)	cos x — sin x = 1, У 2 cos + x ) = 1,
—r + x = ——; — -f- x = 2л n + —,
4	'	) у 2	4	4
од	4k~ 1
x2 = zk It, X3 = —2--it.
597.	tg x + tg 2x = tg 3x, 14r^T^<1-tgxtg2x) =
= tg3x, tg3x(l — tgxtg2x) = tg3x,
tg3x — tgxtg2xtg3x = tg3x, tgxtg2xtg3x = 0.
a)	tg x = 0, Xj = k к;
6)	tg 2x = 0, x2 =
в)	tg 3x = 0, x3 =
301
Но при k = Зп х3 = nit = xv Кроме того, при k = 2п
получим для х2 то же значение, что и для х3 при k=3n.
Qfl ~~— 1
Если же учесть, что х = —— к не может быть корнем
уравнения, то все решения содержатся в формуле
k тс
х= —.
598.	^x-sinx(cos2x+s.n2x+2sjnхcosх) = cos^+sinx ,
(cos х — sin х) (cos х + sin x)2 = cos x + sin x,
(cos x + sin x) (cos2x — sin2x — 1) = 0,
(cos x + sin x) (cos 2x — 1) = 0.
тс	Ak — 1
a)	cosx + sinx=0, tgx =— 1; xt=kTz—- = —— к;
6)	cos 2x — 1 =0, cos 2x = 1; 2x — 2k тс, x2 = k тс.
599.	Преобразуем левую часть уравнения:
(tg х + tg 4х) + (tg 2х + tg Зх) = 55=^5- +
t sin 5x  sin 5x (cos 2x cos 3x -j~ cos x cos Ax) __
cos 2x cos 3x	cos x cos 2x cos 3x cos 4x
sin 5x [cos 2x (4cos3x — 3cos x) + cos x cos Ax]
cos x cos 2x cos 3x cos 4x
sin 5x [cos 2x (4cos2x — 3) + cos 4xJ  sin 5x (4cos2 2x — cos 2x — 1)
“	cos 2x cos 3x cos Ax	cos 2x cos 3x cos Ax
. Приравняв это выражение нулю и освободив получен-
ное уравнение от знаменателя, придем к следующему
уравнению, равносильному данному:
sin 5х (4cos2 2х — cos 2х — 1) = 0.
Решаем его:
a)	sin 5х = 0; 5х = k тс, хг = ДД;
б)	4cos2 2х — cos 2х — 1=0; cos 2х = -1	»
2х = 2k тс + arc cos	х2 = k тс ±-|-агс cos -.-
600.	Преобразуем правую часть уравнения:
X	X
Sin X Sin “л" + COS X COS
sin x (tg x tg -y- + 1) = sin X • --------------— =
COS X COS -y
302
COS X--- I	cos --
\ z /	2 sinx .
Sin X • -------------- = Sinx • -------------- = ------= tg X.
X	X COS X °
COS X COS ~2~	COS X cos -y-
Следовательно, данное уравнение эквивалентно такому:
tgx + ctgх — tgx. Прибавим к обеим частям — tgx, по-
лучим уравнение ctgx = 0, которое может быть и не
эквивалентно данному, но является следствием его. Из
последнего уравнения найдем х — ——л. Однако при
таких значениях х обе части данного уравнения теряют
смысл. Итак, уравнение не имеет решения.
601.	Н------------!-= = 21/2, sin /Г + cos)/x =
cos У х sin У х
е= 2|/Tsin]/x’cos]/x, )/2 sin + ]/х ) =
e= )/2~sin 2 ]/2х, sin 2 j/x = sin + ]/x'^.
a)	2 ]/x~ = 2k л + -j- + ]/*. У^4 = —j—
6)	2}/r= (2a + i)it—(/р+ут), ут2 = к.
Но при k = Зп V~x2 —	р-~ « = У*^
Поэтому все решения содержатся в формуле
(86 + 3)а
Х ~	144
причем k принимает лишь неотрицательные значения, т. е.
0, +1, +2, ...
602.	tg(х® — x) = tg6, х2 — x = 6-f-&it, х2 — х —
— (6 + kr.) = 0, х = 1 ±	Здесь k = 0, + 1, +
+ 2, ... и х может быть мнимым, так как х2— х остается
вещественным при найденных значениях х.
603.	Уравнение |sinx2|=.l равносильно следующим
двум: sinx2 =1 и sin х2 = — 1 или одному sin2x2 = 1.
Из последнего находим:
 l-cos2x2 = cqs =	2х2 = (2k + 1) к,
303
л -j- 1	.1 f 2k -J-1	1	л_1_1	1 о
X2 =---7Г, х = + У —у— к; k = 0, ± 1, ± 2, ..,
604.	|х| =—ф~ к> ИЛИ * х ~ ±	1Г’ где^ =
+ 1> + 2, ...
605.	х2 = 2&я, х = ± /2£к; k = 0, + 1, ±2, ... *
606.	Так как tg2x — tg21 х |, то уравнение можно пере-
писать так:
Решаем его:
1-S|7T 4-^1 . 1 — cos2|x|=(l-cos|x|)(l+sin|x|),
'	(1 — cos | х |) (cos | x | — sin | x |) = 0;
a)	1 — cos | x | — 0, cos |x | = 1» | x | = 2k тг, k = 0, + 1,
4-2,... Отсюда ±x = 2&rc, х=±2Ая, или x1 = 2Air,
где k = 0, ±1, ±2, ...
6)	cos | x | — sin | x | = 0, tg | x | = 1, | x | = k тс + где
k = 0, + 1, 4-2, ... Отсюда ± x = k iz 4- или x2 ==
4 A? 4~ 1	—	— 1	i л i о
= ——к и x3 =--------------я, где k = 0, 1,2, ...
607. Уравнение не имеет корней. Действительно, так
как | sin а | < 1, то произведение двух синусов может рав-
няться единице только в одном из следующих случаев:
a) sin 2х = 1, sin 6х = 1; б) sin 2х = — 1, sin 6х = — 1.
Рассмотрим первый случай. Будем иметь х =4^ - тг
и х = tz. Сравнивая найденные значения х, полу-
чим: 4fe+ .-it = -4/,t1	3(4^+1) = 4/+1. 12^+3=4/+1,
12^ = 4/ — 2, 6^ = 2/—1. Ио четное число не может
равняться нечетному, и, следовательно, первый случай
невозможен. Так же можно показать, что и второй слу-
чай невозможен.
* Здесь, как и в задаче 602, х может быть комплексным, лишь бы
х2 был вещественным.
304
Докажем это же по-другому. Сделаем следующие пре-
образования:
1	— sin 2х sin 6х = 0, 1----у (cos 4х — cos 8х) = О,
2	— cos 4х + cos 8х = 0, 1 — cos 4х 4- 1 4- cos 8х = О,
2sin2 2х 4- 2cos2 4х = 0.
Последнее возможно в том и только в том случае,
когда sin 2х = 0 и cos4x = 0 совместно. Из полученных
Ля	2/ + 1
уравнении находим, что х = у и х = —— it.
Отсюда:	—it; 4# = 2/-4-1, что невозможно.
Z	о
ЛЛО sinх + cosx т/гг sin2х-|-cos2х
О VO* J	у	. Л » a
sinx cosx r	sin2 X cos2 X
]/2 (sinx 4- cosx)sinxcosx =1, 2 sin (y 4- x) sinx cos x=l,
sin^-^- + xj sin 2x = 1. Последнее возможно тогда и толь-
ко тогда, когда: a) sin 4- х = sin 2х = 1 или
б) sin 4- xj = sin 2х = — 1. В первом случае получим:
4- х = 2k л 4- Xj = -у 4- 2# it; 2х = 2п it 4-
х, = y + nit. Так как должно быть х, = х2, то решение
будет х = -у 4- 26 it. Во втором случае получим: 4-
4- х = 2k it---у; х3 = -8*~3 к и 2х = 2n it-------------у,
х4 = 4Пу-~ it. Но —- л Ф 8^4 3 к, потому что в
противном случае было бы 4п — 1=8# — 3 или
2п = 4k — 1, что невозможно. Следовательно, второй слу-
чай отпадает, и все решения данного уравнения содер-
жатся в формуле х = -у- 4" 2# it.
609. sin Зх 4- sin 2х — т sin х = 0, sin 2х cos х 4-
4- cos 2х sin х 4- sin 2х — tn sin х = 0, sin х (2cos2 х 4- cos 2x4-
4- 2cos х — tn) — 0, sin х (4cos2 x 4- 2cos x — tn — 1) = 0.
20 К. У. Шахно
305
Отсюда: a)sinx=0, x=kv; 6) 4cos2 3 4x+2cosx— m—1=0,
1 ± V 4m + 5 n
cosx =-------j. Для вещественности cosx нужно,
5
чтобы было 4т + 5 > 0, т. е. т >-----Следователь-
5
но, при т < —уравнение 4cos2 х -|- 2cos х — т — 1 =0
не имеет решения. Если т> —то еще нужно,
чтобы при этом значении т было бы | cosx | < 1, т. е. что-
бы выполнялись неравенства:
а) | - ,? +^±? + 5_|< 1; ₽) |-1-^4/П + 5.|<1.
Рассмотрим случай а). Должно быть: | — 1 + У 4т 4- 51 <4
или — 4 < — 1 + У 4т + 5 < 4, или — 3 < У 4т + 5 < 5.
Но левое неравенство всегда справедливо, а» для того,
чтобы выполнялось правое, нужно, чтобы 4т + 5 < 25,
т. е. т < 5. Если же учесть неравенство /и >---1-, то
в рассматриваемом случае должно быть — < т < 5.
Рассмотрим случай Р). Должно быть: | —1—У4т + 5 [< 4
или —4<—1—]/4/п + 5<4, или т<1, а с учетом
5	5
m >-----j-, ранее найденного, получим---< т < 1.
Итак, уравнение имеет следующие решения:
§
1) х = k it, если т <-----г-;
2) Xj = k if, x2 = 2k к + arccos 1 ± K.4/” + L,
5	.
если----< m < 1;
3) x, = kк; x2 = 2kit + arccos ~1	5 »
если 1 < m < 5;
4) x = k к, если m > 5.
610. -|-itcositx = kit 4- (—cositx =
=	Так как |cositx|<^l, то из всех
k = 0, +1, +2, ... можно взять лишь k = — 1, k = 0,
306
Л=1, все же прочие дадут для Icostcx| значение > 1,
з
что невозможно. При k = — 1 получим cos к х = —g—
17	/	7 \
•— -уд-= —jq-» «х = 2птс + arccosI—^1, хг=2л +
1	/ 7 \	1
+ —	arccos I—пгг,	при	k	— 0	будем	иметь: cos тс х	= -г^,
— It	\ LU I	~	10
тсх =	2птс + arccos-jV,	х,	= 2л	+ — arccos-jV;	при	k = 1
1U °	ТС	1U
3	11	О 1	71
получим: cos гс х = ----гс х = 2п гс ± -у,
х3 = 2п ± Jr-
а	о
611. Уравнение можно записать так: sin(TCcosx) =
«= sinf-^-^-TCsinxj. Пользуясь условием равенства сину-
сов, получим:
gj	I |
а) тс cos x = 2^ тс -y — тс sin x или sin x 4- cos x= -	;
б) тс cosx = (2* 4- 1) тс — 0^-тс sin xj или cosx—sinx =
_ 4*4-1
—	2 *
.	4k 4-1
Решаем первое уравнение: sin x + cos x = —,
VA2"cos (x--1 , cos (x— 4) =	• Очевид‘
4* + 1
но, чтобы —7=^ было по абсолютной величине меньше
2/ 2
единицы, из всех чисел 0, +1, +2, ... для k нужно
взять только нуль. Поэтому cos (х---= -^р-==, Х± =а
= 2п тс + arccos 4- Решаем второе уравнение:
4*4-1 п/7г t ,	4*4-1	( .
cosx — sinx = —j—, у 2coslx4--4~l = ——» cos(x4-
+ ~4~) ~	* П°д°бно предыдущему случаю и здесь k
может быть равно только нулю. Поэтому cos^x4--^-j =
— —^-=,	х«	= 2п тс 4-	arccos —^=.	-Д-,	или, объединяя
2/2	2	“	2/2	4
с хр получим х = 2п тс + arccos ±
20*
307
612. Перепишем уравнение так: tg(irtgx) =
= tg	—кctgxj. Пользуясь условием равенства тан-
генсов, получим:
utgx = kr. 4- -----irctgx или tgx = & + -^----ctgx. (*)
Следует иметь в виду, что те корни уравнения (*),
2т -I- 1
которые дадут тангенсу значения вида —или котан-
генсу значения вида т (т — целое), если они вообще
существуют, не будут являться корнями данного, потому
, 2m 4-1	1
что при tg х = —2— или ct§х ~ т теряет смысл левая
или правая часть данного уравнения. Такие корни уравне-
ния (*) при определении корней данного должны быть
отброшены.
Уравнение (*) эквивалентно следующему: tgx = &4-
4-Ц-----или tg2x — [k 4- tgx 4- 1 = 0. Решая
„	.	2*4- 1 ± /(2й + I)2— 16 г,
последнее, найдем tgx=—11— -------------------. Для ве-
щественности tgx должно быть: (2k + 1)2> 16, | 2&+1 |>4.
Следовательно, k не может быть равно 0, +1, —2.
Кроме того, должны быть исключены те значения k,
.	2/л -f- 1 тт	g, j	2m -J-l
которые дают tgx = —. Для того чтобы tgx = —
необходимо, чтобы (26 + I)2—16 было квадратом не-
четного числа, т. е. чтобы (2k 4- I)2 — 16 = (21 + I)2.
Отсюда получаем: (2k + I)2 — (21 + I)2 = 16, (2k +
+ 1 +21+ l)(2k — 2l) = 16, (k + l+ l)(k — I) = 4 или
uv = 4, где положено и = k + I + 1, v — k — l. Таким
образом, нужно решить в целых числах уравнение w = 4,
причем и и v — числа различной четности, потому что
u + v = 2k+ 1. Таких решений будет четыре:	^=4;
= 4, v2=T, и3 = — 1, v3 = — 4; iz4 = — 4, v4 = — 1.
Первое и второе решения дают 2£ + 1 = и + и = 5, а
последние два 2k + 1 = — 5. В первом случае k = 2, а во
втором k = — 3. Но если k = 2, то tg х = причем
только tg х = -у должно быть исключено, так как левая
часть данного уравнения в этом случае не определена.
308
Второе же (tg х = 2) приводит к решению х = пт, 4- arctg 2.
Если k = — 3, то tg х =----------, причем только
tg х =--должно быть отброшено, a tg х = — 2 при-
водит к решению х = пя— arctg 2. Итак, данное уравне-
ние имеет следующие решения:
,	* о	,	. 2*+ 1 + /(2*+ 1)«- 16
х, = п it + arctg 2, х2 = п it + arctg ———;;
k = + 3, ±4, +5, п = 0, ± 1/ ± 2, ...
1	1	лГ__ г 1	_ х
613.	=----5-cos2-2	=-5-. cos2-2 =0,
2-2/^=^-1тг,	=
= 1°§2 2k^ 1 к> V—~х = l°g2 (2^ + 1) Л — 2,
х = — [log2 (2k 4- 1) it — 2]2. Так как ]/" — x — арифметиче-
ский, то оУ~х > 1, т. е. 1 тс > 1. Это значит, что
k= 1, 2, 3, ..., а быть отрицательным или нулем k не
может.
614.	logCO8, sin х + -г——-—.-2 = 0,
ьс08 х	logcos х Sin X
(logcos x sin x)8 — 2i°gco3 X sin x + 1 = 0,
0°gcos x sin x — I)2 = 0, logcos x sin x = 1, cos x = sin x,
tgx = 1; x — 2k it -|-	+ 1  it. Здесь нельзя было бы
написать х — k it + потому что sin х и cos х, являясь
основаниями логарифмов, должны быть положительными.
615.	х2 4- 2xsin (ху) + sin2 (ху) 4- cos2 (ху) = 0,
[х -|- sin (ху)]2 + cos2 (ху) = 0. Следовательно, должно быть
cos2 (ху) = 0, х 4- sin (ху) = 0. Из первого уравнения на-
ходим ху = k it 4- а тогда из второго получим
х=—sin f & к 4-~гг \	Если & = 2п4-1, то хг = 1,
з
у1 = 2п п 4- -у тс. Если & = 2л, то х2 = — 1, у2 = — 2л к —
—= 2т it 4- it; (— п = т 4- 1).
309
616—627. Указание. При решении уравнений, в ко-
торых неизвестные находятся под знаком обратной тригоно-
метрической функции, часто приходится находить синусы
(или косинусы, тангенсы и т. д.) обеих частей равенства.
При этом следует иметь в виду, что получающиеся
уравнения, вообще говоря, не будут равносильны исход-
ным. Например, А = В и sin А = sin В, вообще говоря,
не равносильны. То же следует сказать об уравнениях
А — В и tg А = tg В и им аналогичных.
616.	Не имеет решений, так как 0 < arccosx < я,
6,3 о I: х
а здесь arccos х =	— 3,15 > к.
617.	Имеем arc sin х =-у— arctg у. Отсюда sin (arcsinx) =
= sin fy----arctg -y-1 или x = sin у cos f arctg -y j —
з
= Проверку найденного значения x проще всего
О
осуществить с помощью теоремы: если sin а = sin р, при-
чем а и р — главные значения арксинуса, то а = р (см. ука-
зание к решению задач 538 — 569). В данном случае
arcsin -у = а, а у— arctg -|- = р. Так как 0< arcsin <
<-у- и 0<-у- arctg-у-<-у , т. е. 0<a<-J-
и 0 < р < кроме того, доказано, что sin a = sin р, то
a = р или иначе arcsin -г- = —л arctg-у.
1	От/
618.	Взяв косинус от обеих частей равенства
и воспользовавшись формулами задачи 541, получим:
cos (arcsin х + arcsin 2х) = cos
cos (arcsin х) cos (arcsin 2х) — sin (arcsin x) sin (arcsin 2x) =
= 1 У 1—x2 ]/1 — 4x2 — 2x2 = v, У 1 — x2 ]/l—4x2=
= 2x2 + 4-, (1—x2)(1—4x2) = (2x2 + 4-Y. 1 —5x2 +
310
+ 4x* = 4x‘ + 2x2 + -L 7*2 = -Г:
Х2 = Г ~Т'
Значение х2 < 0 не удовлетворяет данному уравнению,
так как в этом случае левая часть уравнения имеет отри-
цательную численную величину, а правая — положитель-
ную. Чтобы проверить первый корень хг > 0, положим
arcsin хх = «, a arcsin 2х, = р. Так как 0 < а < -у,
0<Р<-£-, 0< а -|- р< к и угол-j- тоже принадлежит
промежутку (0, it), то из равенства cos (а + Р) = cos
следует равенство a -f- р =
Замечание. Здесь была использована теорема: если
cos а = cos р, причем а и р — главные значения арккосину-
са, то а = р (см. указание к решению задач 538—569).
619.	Возьмем косинус от обеих частей уравнения н,
воспользовавшись формулами задачи 541, получим:
cos (2 arcsin x)=cos (arccos 2x), cos2 (arcsin x)—sin2(arcsin x) =»
= 2x, (1—x2) —x2 = 2x, 2x2 + 2x—1=0; xt =	3~ 1 ,
—____ X 3+1,.. Второй корень посторонний (|x2| > 1).
Чтобы испытать корень хх > 0, обозначим arcsin = а,
a arccos 2х1 = р. Так как 0 < 2а < к и 0 < р < к, то из
равенства cos 2а = cos р следует равенство 2а = р (см. при-
мечание к задаче 618).
620.	Взяв синус от левой и правой частей уравнения,
получим:	sin (2 arccos х) = sin [arcsin (2х У 1 —х2)],
2sin (arccos х) cos (arccos х) = 2х У1 — х2, 2х ]/1— х2 =
= 2х У 1 — х2. Полученное равенство есть тождество,
однако это еще не значит, что любой х, для которого
|х|<1, удовлетворяет данному уравнению. Так как
arccos х всегда неотрицательный, то, как видно из данно-
го уравнения, 0< arcsin (2хУ 1—х2)<-^-. Отсюда по-
лучаем 0 < 2arccos х < или 0 < arccos х < Следо-
вательно, <х < 1.
/2
311
621.	sin (arc sin x) — sin (2arc sin x ]/~2),
x = 2sin (arc sin x(/ 2) cos (arc sin x]/~2), x—2x ]/~2 У1—2x2.
Решив полученное иррациональное уравнение, найдем:
п /Т	/7 ,,
Xj = U, х2 = —4—, х3 =-----. Корень хх, очевидно,
удовлетворяет уравнению. Испытаем корень х2. Имеем:
О < arc sin х2 < arc sin х2 ]/ 2 = arc sin • У 2 >
> arc sin2arc sin х2 У 2	Итак, оказывает-
ся, что при х = х2 численная величина левой части урав-
нения меньше-^-, а правой — больше-^-. Следовательно,
х2 — посторонний корень. Легко убедиться, что и х3 по-
сторонний. Данное уравнение имеет только один корень
х = 0.
622.	Запишем уравнение так: arccosx — arcsinx = -7-.
Но arc sin х = ---arc cos х (см. задачу 539). Подставляя
это значение arcsinx в предыдущее уравнение, получим:
(я	\ я о	2т
-75-arc cos х I =2arc cos х = —5~,
2	/О	и
arc cos х = -у-, х = cos -у- =
1/1 _____________х2
623.	tg (arc cos х) = tg (arc tg x), —-= x,
x2 = У1 — x2, x4 + x2 — 1 = 0. Последнее уравнение
имеет два вещественных корня: хх =
Г 1/~5~___________1
х2 = — 1/ -л—2----• Корень х2 < 0 не удовлетворяет
данному уравнению, потому, что arc cos х2> 0, a arc tg х2<0.
Значение х = х, удовлетворяет уравнению, так как
0 < arc cos х2 < и 0 < arc tg х2 <
624.	Перенеся второй член из левой части уравнения
в правую и взяв тангенс от обеих частей уравнения,
получим
х 1 -|- х -|- 1 Зх — х
1—(х — 1)(х + 1) = 1 + Зх • X
или 2х(4х2— 1) = 0.
312
Последнее уравнение имеет корни: хг = 0, х2 =
1
х3 ---g" и все они, как легко проверить, удовлетво-
ряют данному уравнению.
625.	Взяв синус от обеих частей уравнения и восполь-
зовавшись формулами задачи 541, получим
Ч1/1-(Г1^+/ЧЧГ 	=4-
или 4 +	_ JL .	= А
Так как корни подразумеваются арифметические, то пос-
леднее уравнение противоречиво. Следовательно, данное
уравнение не имеет решений.
626.	Возьмем косинус от обеих частей уравнения и
воспользуемся формулами задачи 541. Получим:
(1 — x2)V(l — х2)1	4х/х2 К(1 — X2)2 _	1
(1+х2)2	(1 +х2)2(1 — х2) ~	2 •
rv	1 — х2	п	л. 2х
Так как 0 < arc cos < 71 и---------------< arc tg ]~__х2 <
< то для того, чтобы левая часть данного уравне-
ния была -4-я > к, должно быть arccos *2 > —
и arc tg -;-4v2' > °- Отсюда < 0,	> 0 и,
А ЛС	А ” I ЛС	А ЛС
следовательно, х2 > 1 и х < 0.
Возвращаемся теперь к уравнению (*). Входящие
в него корни должны быть арифметическими и поэтому
]/(1—х2)2 = х2—1, Ух2 = —х. Теперь уравнение (*)
(1____________________________х2)2 4ха	1
можно записать так: —д—:—-------------тт-—=----------Но
(1 + х2)2	(1 + х2)2	2
313
это невозможно, так как левая часть равна—1, а пра-
вая—i-. Следовательно, уравнение не имеет решений.
627.	Взяв тангенс от обеих частей уравнения и сделав
некоторые преобразования, получим
а а — b
_ ~Ь а + Ь _ а» 4-6’ _ .
Х~ 1.0 a —	+
1+ Ь ’ а+Ь
Сделаем теперь испытание найденного значения х. Левая
часть данного уравнения при х = 1 дает . Выясним,
даст ли правая часть Пользуясь условием равенства
тангенсов, можем написать
arc tg -ь-arc tg = — + k я.
Замечая, что 6 =/= 0 (иначе данное уравнение теряет
смысл), перепишем последнее равенство так:
• ь
или
arc tg у + arc tg ууу = — 4- k я, где у == -j-.
Так как------ < arc tgу <	----- < arc tg|-=-|<-^-
и — я < arc tg у 4- arc tg * ~ < я, то k может равняться
только 0 или-—1. Итак, получаем, что aretgy-f-
4-arctgTq^- = -r или arc tg у 4- arc tg ууу = — -у я.
Если 1 4- у < 0, то, очевидно, ‘—у < arc tg у <0,
---y<arctgy^| <0, — я < arc tg//4-arc tg-j-yy <0.
Ясно, что в этом случае правая часть будет равна
---4~ гс и, следовательно, х = 1 не будет корнем уравне-
ния. Если 1+У>0, то aretgy и агеtgбудут в
314
промежутке 0 -< у < 1 неотрицательны и их сумма может
быть только положительным числом, а в промежутках —
— 1 <«/<0 и 1<г/<4-оо они будут разных знаков,
и их сумма будет находиться между—и В этом
случае
arc tg у + arc tg	= arc tg -ь— arc tg	= -r.
Следовательно, при-£-> —1 уравнение имеет единствен-
ное решение х— 1. В прочих случаях уравнение не имеет
решений.
628.	Взяв синус от обеих частей уравнения, получим:
sin (arc sin х) = sin (arc sin a 4- arc sin b),
x — a У1 — b2 4- b У1 — a2.
Испытаем это значение x, подставив его в данное урав-
нение. Это даст
arc sin (а У1 —4- b у 1 — az) = arc sin а 4- arc sin б,-
Последнее равенство является тождеством, если ab < О
или а2 4- б2 < 1 (см. задачу 560). Конечно, кроме того,
предполагается, что | а | < 1 и | b | < 1. При указанных ог-
раничениях, налагаемых на а и Ь, найденное значение х
будет единственным решением данного уравнения. Если
а и b этим соотношениям не удовлетворяют, то уравне-
ние не имеет решения.
629.	Из второго уравнения находим произведение
cos х cos у, используя первое уравнение. Получим:
.	.	sin х sin у	3	о л	1
tg X tg У =5 -----— = —л--------- = 3, COS X COS У = -7-.
&	& v	cos х cos у	4cos х cos у	^4
Поэтому данная система приводится к следующей равно-
1	3
сильной: cos х cos у = sin х sin у = -j-. Складывая поч-
ленно полученные уравнения, а затем вычитая их и поль-
зуясь формулами косинуса суммы и косинуса разности
двух углов, придем к новой системе, равносильной дан-
ной: cos(x — у) = 1, cos(x + у) = ^4-* Отсюда: х — у=
&
— 2т я, х 4- У — 2п я ± я, х = (п + т)тс ±-у, у = (п—
О	о
tri) it + т = 0, ± 1, ±2, п = 0, + 1, + 2, ...
315
630.	sin8x + sin8y=-l ^s-^ + i^5os2y = -lt
cos 2x + cos 2y = cos (x ± y) cos (x — y) = A,
cos 75° cos (x — y) — 4-, cos (x — y) = -> 1 ,,o = 7— 1ie- =
'	'	4	\ vj 4C0S 750 4sin |go
cos 15°	__ cos 15° cos 15°	< _o
= 4sin 15°cos 15° — 2sin30° “ 2-0,5 ~ C0S lb "
Итак, cos (x — y) = cos 15°; x — у — 360° n± 15°,
x 4- у = 75°; Xj = 180° n ± 45° = (4n + 1) 45°,
y'= — 180° n + 30° = (— 6n + 1) 30°; x2 = 180° n +'30° =
= (6n + 1) 30°, y2 = — 180°n + 45° = (— 4n ± 1) 45°.
631.	Во втором уравнении выразим тангенсы через си-
нусы и косинусы и затем подставим в него значение sinx
из первого уравнения. Получим: tgx = ]/3tgy, 4osx ~
т/тг- sin у p2~siny pjFsinu .	/д/?г
= 1/3---------------— =-------—, sin у (у 2 COS У —
Г СОЗ у	COS X	COS у	& W
— yr3~cosx) = 0; a) sin у = 0, y1 = ktt. Подставляем в
первое уравнение sinx = 0, х2 = птс. Итак, x1=nir, y^kn.
Следующую группу решений получим из уравнения
б) 2 cos у — ]/3 cos х = 0. Решаем его:, |/2 cos у =
= ]/3 cos х, /2 cos у = ± У 3 У1 — sin2 х, У 2 cos у =
= ± У1Г У 1 — 2sin2 у. Возводим обе части уравнения в
квадрат: 2cos2 у — 3 (1 — 2sin2 у), 2cos2 у = 3 (2cos2 у — 1),
3	V 3	те
cos2 у = -j-, cos у = ±~^2~> Уг = tn к + -у. Подставляем
найденное значение cosy в первое уравнение системы.
Получим: sinx =±1/2	1----1-= ±х2 = /л±
± -j-. Так как мы' возводили в квадрат обе части урав-
нения, то необходимо испытать значения х2 и у2. Под-
ставляем во второе уравнение tg л ±	= ]/3 tg [tn л ±
+ Период тангенса есть л, поэтому можно напи-
сать: tg(±4-) = ]/3tg(±4-\ ±1 = /3‘.(±-^).
316
Итак, уравнение удовлетворяется, если брать одновремен-
но верхние или одновременно нижние знаки в обеих час-
тях последнего равенства. Подставляем в первое уравне-
ние sin (/я +	= ]/2sin (тг. + -g-j. Если брать одно-
временно оба верхних или оба нижних знака, то послед-
нее равенство можно переписать так: cos I ~ • —%- =
— ]/2 cos/nit •-i-, cos I к — cos tn те, (—l)z — (—l)m. От-
сюда заключаем, что l и т нужно брать одновременно
четные или нечетные. Поэтому система имеет следующие
решения:
х1=птг, t/j— kn; x2=lTt + ^, уг = т ~ -f-	х3=/к —4,
у3 = т -----т, п, k, I =• 0, +1, +2, ...,
причем I и т нужно брать одновременно четные или
нечетные.
IX. НЕРАВЕНСТВА
632.	После приведения к общему знаменателю получим:
(тх + п) (а — Ь) — (рх 4- q) (а + b) ^,(тх—п) (а+	(рх — д) (а—Ь)
а2 — Ь2	а3 — Ь2
Если а2 — Ь2 > 0, то неравенство после преобразований
принимает вид (mb + ра)х> па — qb; если а2 — Ь2 < О,
то (mb ра)х<, па — qb. Отсюда получим х >	,
если (а2 — Ь*}(тЬ + ра)>0; х < "тъ^ра ’ если
(а2 — b2) (mb 4- ра) < 0.
633.	4 (8х + 3) - (7х - 5)	п 25x4-17	„
8х 4- 3	’ 8х 4- 3 и‘
а) 25x4-17>0, 8х4-3<0; х>—4L х< — 4-;
ZO	о
<х<“4; б> 25х+ 17 <°> 8х + 3>0, x<-g,
з ~
х >----ег • Это невозможно,
о
317
634.	л + 2-6 + ^-2 >0| Лг^>0, 3>0.
Неравенство справедливо при всяком х =# 2.
635.	-* 1 2 £~Х- <0. а) 2 — х < 0, 2х > 0. Отсюда х > 2.
б) 2 — х > 0, 2х < 0. Отсюда х < 0.
636.	Неравенство приводится к такому: (х—1)(х +
4-3)2>0. Последнее же равносильно неравенству х —1>0,
откуда х> 1.
637.	2Х3 4 —х— 1 > 0,	(2Х3 — 2х2) + (2х2 — 2х) +
+ (х—1)>0, (х—1)(2х2 + 2х+1)>0. Но 2х2 + 2х +
4- 1 = -у I(2x + I)2 + 1] > 0. Поэтому неравенство равно-
сильно такому: х—1 >0. Следовательно, х> 1.
638.	Неравенство эквивалентно такому: (х—1) (х —
— 2) (х — 3) (х — 4) > 0. Корни многочлена, находящегося
в левой части неравенства, будут 1, 2, 3, 4. Расположим
их в порядке возрастания. Построим интервалы:* (— со, 1),
(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, + оо). Крайние интервалы есть
условная запись того факта, что в первом случае х< 1,
а в последнем х > 4. При переходе х из одного интерва-
ла в другой, смежный с ним, многочлен меняет свой знак,
так как границею смежных интервалов служит корень
многочлена. Поэтому для всех х какого-либо из написан-
ных интервалов имеет место постоянство знака численной
величины многочлена и чередование знака с + на — или
с — на + при переходе из интервала в интервал. Следо-
вательно, раз в первом из них многочлен положительный,
что очевидно, то он будет положительным также в третьем
и пятом интервалах. Итак, должно быть х < 1 или
2 < х < 3, или х > 4.
* Если а и b — произвольные вещественные числа а а < Ь» то,
по определению:
1) интервалом (а, Ь) называется множество всех вещественных
чисел х, удовлетворяющих неравенствам: а < х < Ь\
2) сегментом [а, Ь] называется множество всех вещественных
чисел х, удовлетворяющих неравенствам: а < х < Ь;
3) полусегментом [а, Ь) называется множество всех вещественных
чисел х, удовлетворяющих неравенствам: а < х < Ь,
4) полуинтервалом (а, называется множество всех веществен-
ных чисел х, удовлетворяющих неравенствам: а < х < Ь.
Интервал, сегмент, полусегмент, полуинтервал объединяются общим
термином промежуток. При этом нередко к слову промежуток добав-
ляют в первом случае открытый, во втором «= замкнутый, в третьем и
четвертом — полуоткрытый.
318
639.	(х4 — х3) — (бх3 — бх2) 4- (бх2 — бх) < О,
х (х — 1)(х2 — 5х + 6)<0, . х(х — 1) (х — 2)(х — 3)<0.
Записав теперь интервалы (— со, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3),
(3, + со) и поступая как в задаче 638, получим решения:
0 < х < 1 и 2<х<3.
640.	.Данное неравенство равносильно следующему:
-2(х + 4)(х + 3)(х + 2)(х + 1) (х~4)(х- 3) > 0.
Далее, поступая как в задаче 638, найдем решения:
— 4 < х < — 3, — 2 < х < — 1 и < х < 3.
641.	Данное неравенство равносильно неравенству
(х — 1)(х — 5) . п
(х + 3)(х-3)
а последнее — неравенству (х 4- 3) (х — 1) (х — 3) (х — 5)> 0-
Поступая теперь как в задаче 638, найдем решения:
х < — 3, 1<х<3их>5.
642.	Пользуясь теоремой Безу, напишем остатки от
деления данного многочлена на х — 1 и на х 4- 3 и при-
равняем остатки нулю. Получим: а-\-Ь — 5 = 0; — За 4-
4- b -г- 9 = 0. Из этой системы найдем а = — 1, 6 = 6.
Разделив теперь многочлен х4 + х9 — 7х2 — х 4- 6 на
(х—1)(х4-3), получим в частном х2— х — 2 и, следова-
тельно, можем написать х*+ х3— 7х2 — х 4- 6 = (х — 1) (х4-
4- 3) (х2 — х — 2) = (х — 1) (х 4- 3) (х — 2) (х 4-1) > 0. Рас-
сматривая интервалы: (—со,— 3), (-3,-1), (-1, 1),
(1, 2), (2, 4-со), убеждаемся, что данное неравенство
справедливо, когда х находится в первом или третьи, или
пятом интервалах, т. е. должно быть х < — 3, или
*— 1 < х < 1, или х > 2.
643.	Для этого должны одновременно выполняться не-
равенства: б2 — 4ас>0,	< 0, -^->0, где а, Ь, с —
коэффициенты данного уравнения. Эти неравенства рав-
носильны следующим: — 2k 4- 3 > 0, k(k — 1) > 0,
(k —1)(&4-3)>0. Отсюда получим: а) &>0,
k > 1, k > — 3, что дает 1 < k < б) k < k < 0,
k < 1, k < — 3, что дает k < — 3.
319
644.	Составим разность трехчленов. Получим (k — 4)№4-
4- {2k — 3) х + k 4- 4. Этот трехчлен должен быть при
всех х положи! ельным. Но квадратный трехчлен имеет
знакопостоянную величину при всяком х, если его корни
комплексные, т. е. дискриминант отрицательный. При этом
знак совпадает со знаком коэффициента при х2. Следова-
тельно, должны совместно выполнять#! неравенства:
(2£ —З)2 —4(6 —4) (6+ 4) < 0 nk- 4>0.
Из второго получаем k >4, а из первого—12^4-9 4-
4- 64 < О, 126 > 73, k > -J2. Отсюда видим, что должно
. A 73
быть k > q j.
645.	Так как дискриминант трехчлена 4х2 + 6х + 3 Отри-
цательный, то он имеет знак коэффициента при х2, т. е. знак
плюс. Поэтому неравенство можно переписать так: 2&х24-
+ 2Х х 4- X > 4k х2 + 6k х + 3k или 2k х2 + 2(3& — X) х +
4- 3& — X < 0. Но трехчлен, находящийся в левой части,
не может быть отрицательным при всех х, потому что
коэффициент 2k при х2 — положительный (см. решение за-
дачи 644). Таким образом, данное неравенство не имеет
решений.
646.	Данное неравенство будет удовлетворяться при
всяком х, если дискриминант данного трехчлена отрица-
тельный, т. е. если (Ь2 + с2 — а2)2 — 4Ь2с2 < 0. Последнее
легко преобразовать к виду — 16р (р — а) (р — Ь) (р — с) <0,
где р — полупериметр. А это неравенство очевидное.
647.	Для доказательства рассмотрим неравенство
Ц + Ьх х)2 + (а2 + Ь2Х)2 + (аз + М2 >
справедливое при любых х. Дискриминант квадратного
трехчлена, находящегося в левой части этого неравенства,
должен быть < 0. Отсюда и вытекает неравенство Буня-
ковского.
648.	Освободив уравнение от дробей, получим урав-
нение
(а — 2)х4 — (а — 1) (р2 + q2) х2 + ap2q2 = 0.
Чтобы все корни биквадратного уравнения &х4 + /х2+ /и = 0
были вещественные, необходимо и достаточно, чтобы квад-
раты xj и х% корней этого уравнения были неотрица-
320
тельны, или, чтобы совместно выполнялись неравенства:
Р — 4km > О, > 0,	< 0. Так как последние два
можно записать в виде mk > 0 и Ik < 0, то для уравне-
ния задачи это будет выглядеть так:
(а — I)2 (р2 + р2)2 — 4 (а — 2) ap2q2 >0, (а — 2) а р2р2 > О,
(а — 2) (а — 1) (р2 + р2) > 0.
Но первое неравенство выполняется тождественно. На
самом деле, учитывая, что
(а — 2)а = [(а— 1)— 1][(а — 1) + 1] = (а—I)2— 1,
это неравенство можно записать в виде (а — I)2 (р2 — р2)2 4-
4- 4р2р2 > 0. Что касается двух других, то так как р2р2> 0
и р2 4- Я2 > 0, то их можно записать так: (а — 2) а > 0,
(а — 2) (а — 1) > 0. Отсюда: а) а — 2 > 0, а > 0, а — 1 >0,
что дает а > 2; б) а — 2 < 0, а < 0, а — 1 < 0, что дает
а < 0. Итак, а > 2 или а < 0.
зх__।
649.	Неравенство равносильно такому:  2	- > 1 [или
-4*-~ 3 > 0, или (4х — 3) (х — 2) < 0. Отсюда получим
4<«<2'
650.	Должно быть 3 — х > 0 или х < 3. Если х< 2, т. е.
х — 2 < 0, то неравенство будет выполняться, потому
что ]/3 — х — арифметический. Если же 2 < х < 3, то
возведение в квадрат неравенства даст: 3 — х> х2 — 4х+ 4,
х2 — Зх 4- 1 < 0, (х —	< 0- Это
3 _ /У -	^.3 4- /У
значит, что должно быть ---------< х < —’ а если
3_1/У	3 I 1/ 5
еще учесть, что 2 <х<3, причем |—< 2, а - —< 3,
то получим 2 < х <	Соединяя с ранее получен-
ным результатом (х < 2), видим, что решения составляют
(	3 4-/У\
интервал! — со, —-------I-
651. Должно быть х —4>0 и Зх — 5 > 0, т. е.
х > 4. Предполагая это выполненным, возведем нера-
венство в квадрат. Это даст Зх — 5 > х — 4 или х > -i-.
Сопоставляя с х > 4, получим окончательно х > 4.
21 К. У. Шахно
321
652.	Прежде всего должны выполняться совместно не-
равенства: х + 6 > 0, х + 1 > 0, 2х — 5 > О, что будет
иметь место, если х > -у. Предполагая это выполненным,
возведем обе части неравенства в квадрат. Тогда, после
преобразований, получим ]/ (х 4- 1) (2х— 5) <5 — х. Сле-
довательно, х < 5, так как левая часть положительна.
Предполагая и это выполненным, снова возведем обе части
неравенства в квадрат. Тогда придем к неравенству
х2 + 7х — 30 < 0 или (х 4-10) (х — 3) < 0, которое спра-
ведливо при — 10<х<3. Сопоставляя с ранее получен-
ными неравенствами -у < х < 5, видим, что для их сов-
5
местности нужно, чтобы -у < х < 3.
653.	Так как должно быть (% -|- 5) (Зх + 4) > 0, то от-
сюда заключаем, что должно иметь место х < — 5 или
--------F* ^сли» кроме того, х< 1, то левая часть будет
отрицательной и, следовательно, неравенство будет вы-
полняться, если х < — 5 или-------^-<х<1. Если же
о
х> 1, то, возведя обе части данного неравенства в квад-
рат, получим после упрощений 13х2 — 51х — 4<0 или
13^х-|- tWx — 4) < 0. Последнее будет справедливо при
---Гз < х < 4- Сопоставляя полученные ранее для х < 1
неравенства х <«— 5 и----^<х<1 с полученными те-
перь для х> 1, 1 <х<4, видим, что окончательно ре-
шения можно записать так: 1) х <— 5; 2) -—< х < 4.
654.	Система приводился к виду: Зу — 2х<—1,
2%________________________________1	3
2у — Зх > 0. Из нее получим у < —5— и у > -5- х. Сле-
3	.	. 2х—1
довательно, -у х < у < —, а соответствующие этим
неравенствам для у значения х определятся из неравен-
ства -у х < —з—, что даст х < — -у. Итак, получим:
2	3.. 2х-— 1
х< 5 ’ 2 Х <	3 *
322
655.	Решая каждое неравенство относительно у, по-
7_______зх	з__2%
лучим у > —2— и у > —£—. Эти неравенства одина-
кового смысла. Решение относительно х привело бы также
к неравенствам одинакового смысла Полученные неравен-
ства показывают, что х может быть произвольным, а у
должен быть выбран больше наибольшего из значений
7~3х и -3~2х. Чтобы выяснить, какое из этих двух
3_2х 7___Зх
выражений больше, решим неравенство——>
И	7___3x3_____2х
что даст х	—, а затем неравенство —g—> ——, что
даст х < Отсюда получаем: 1) у >	если
11	~	.	3 — 2х	11
х <	2) у > ——, если х > —.
656.	Из первого и второго неравенств находим:
У > 4~3*, у < -М^-. Следовательно, 4	< у
&	О	£	и
гт	-	4 — Зх
Что касается х, то его найдем из неравенства—%— <
х + 5	.7	„	.7
< —, что даст х > -jy. Итак, окончательно: х > -jg-,
4 —Зх	х-4-5
2	6 ‘
657. Находим у из уравнения и подставляем его зна-
чение в неравенство, которое решаем. Получим: 5х 4-
+ 3 . J-g.8-7* > 121)	20x4-504 —21х> 484,	х<20.
Таким образом, получаем решения в виде: х > 20,
168 — 7х
У = ——•
Можно было бы найти х из уравнения и подставить
его в неравенство. Тогда решения получили бы в. таком
. ,	168 — 4//
виде: у > 7, х =----?—
658. Так как х > у2> 0, то система эквивалентна такой:
у > х2, у < Ух. Отсюда х2 < у < Ух. Для этого требует-
ся, чтобы х удовлетворял неравенству х2 < У~х, которое
можно переписать в виде х4 < х или х(х®—1)<0, или
х(х—1) < 0. Из последнего находим, что 0<х<1.
21*
323
Следовательно, решения системы можно записать так:
О < х < 1, х2 < у <_ Ух.
659.	Из уравнения находим у, подставляем его в оба
неравенства и решаем совместно систему неравенств. По-
лучим: х2 + ^6~	>4, х • 6 ~ 3*  <1 или 13х2—36х-|-
+ 20>0, Зх2— 6х + 2 > 0 или 13^х-------пг) (х— 2^ > О,
3 (х----3~3— ) (х----3+/3 j > 0- Отсюда: а) х < -jy,
З — Уз г	. З — Уз	6 —Зх.
х <-----£—. Следовательно, х <------□--, у — —б;
□	о	Z
б) х > 2, х > 3 +У 3-. Следовательно, х > 2, у = 6~3х.
660.	а) Если а > 0, то | а | = а, и данное неравенство
запишется так: а < Ь. Кроме того, —Ь < 0, а положи-
тельное число и нуль больше отрицательного, и поэтому
— b < а. Итак, если а > 0, то — b < а < Ь.
б) Если а < 0, то | а | = — а, и из данного неравенст-
ва получим — а < Ь или — Ь < а. Кроме того, Ь > 0, а
отрицательное число меньше положительного, поэтому
а < Ь. Таким образом, и в этом случае — Ь < а < Ь.
661.	Если —6 < а < 6, то —Ь<а и а<6 или
а + 6 > 0 и а — Ь < 0. Но тогда (а + Ь) (а — Ь) < 0 или
а2 — 62 < 0. Отсюда: а2 < 62, | а | < 6.
662.	Пусть а и Ь любые вещественные числа. Очевид-
но, — |а|<а<|а|, —|6|<6<|6|. Складывая эти не-
равенства почленно, получим — (| а | 4-1 I) < я + b < | а |-{-
+ |6|. Но тогда |а + &|<|а|4-|&| (см. задачу 661).
663.	Замечая, что а = (а — Ь) + Ь, можем написать
|а| = |(а— b)-\-b\^\a — &| + |&| (см. задачу 662). От-
сюда | а — & | > | а | — | Ь |.
664.	Данное неравенство равносильно следующей си-
стеме неравенств:
Q ха — kx + 1 Q
6 х2 + х + 1
которая, если освободится от положительного знамена-
теля, приводится к следующей:
2х2 + (3 + Л)х + 2 > 0, 4х2 — (k — 3)х + 4>0.
Чтобы эти неравенства выполнялись одновременно и
для всех х, необходимо и достаточно, чтобы дискриминанты
324
трехчленов, стоящих в левых частях неравенств, были от-
рицательны, т. е. чтобы
(3 + kf — 16 = (k + T)(k — 1) < О,
(k — З)2 — 64 = (k 4- 5) (k — 11) < 0.
Для первого должно быть — 7 < k < 1, а для второго
— 5 < k < 11. Общая часть интервалов (— 7, 1) и (— 5, 11)
есть (— 5, 1). Поэтому доказываемая теорема имеет место
только для тех значений k, которые удовлетворяют усло-
вию — 5 < k < 1.
, д +	_____ д
'* 1 + д + &	1 + а + Ь
b	а b
1 + д + &	1 + д + Г+6-
666.	Так как а #= 0, то данное неравенство можно за-
\Д/	\ а )	ь
писать так:-. . ,т >-. . ,Но 0<—< 1,а т>п.
. о \т , о \п	а
1+(т/ 1 + (~)
П0ЭТ0му (4Г<(4)'.	+
+ I— J <1 4* ( —) • Поделив почленно предпоследнее
неравенство на последнее, получим неравенство, которое
требовалось доказать.
667.	Пусть ~-----дробь правильная и k > 0, а > 0,
b > 0, Нужно доказать, что ууу > -у. Так как ----------
правильная арифметическая дробь, то Ь>а. Умножая это
неравенство почленно на положительную величину k и
прибавляя к обеим частям неравенства по величине ab,
получим ab 4- bk > ab 4- ak или b (а 4- k) > a (b + k). Деля
теперь обе части неравенства на положительную величи-
,,, ,	b(a + k)^ a(b-\-k) а 4- k . а
ну b(b + k), получим —-4.fe).>-M& + fe) , или
Если ------неправильная дробь и k > 0, а > 0, b > 0, то
а 4- k а
неравенство уфу < у доказывается аналогично.
668.	Пусть наименьшая из дробей , у, ...» у-
будет обозначена через /и, а наибольшая — через М.
£25
Тогда можно написать: т М, т << М, ....
01	о2
т М. Так как ^>0, 62>0, Ьп > 0, то,
освобождаясь от знаменателей, получим:
mb{ < flj < Mb}
mb2 < а2 < Mb2
mbn <an< Mbn.
Суммируя почленно и вынося множители т и М за скобки,
находим т (дх4- Ь2 4- ... 4- Ьп) < аА + а2 + ... + а„< М (Ь{ 4-
4- Ь2 + ... + Ьп). Наконец, деля члены неравенств на по-
ложительную величину Ьх 4- Ь2 + ... 4- Ьп, получаем
т <	fla + •: + fl»- < М
+ Ь2 4- - + Ьп <т’
что и требовалось доказать.
“9- iEHnri =+Wrr -2 +2 -
= (^’+1-тт)’+2>2-
670. * + у=У^+Уу3 =
V X	V ху~ _	_
-(|/r+W)
_ V ху _
= (/F+ r~s)	_
= (/Г+ Уу)Г1+	>уг+ V7.
671 а)	4~	aiaz 4-21^^1^2 __
(Уа1-^Уа^2 + 2Уа1а2	2Уага2
2	2	~~ П1а2‘
Знак равенства возможен только тогда, когда = а2.
б) Пользуясь только что полученным неравенством,
можно написать:
fll 4~	, g3 4~ fl4 ____ _______
а1 + а2 + а3 + а4  	2	2	У01^2 4” УаЗа4
4	~	2	2
> У а±а2 У^а^ > У~а^а^.
326
Знак равенства возможен лишь тогда, когда = а2 —
~ а3 = а4.
672.	Пусть х и у два положительных числа, сумма
которых равна а. Так как среднее арифметическое двух
положительных чисел не меньше среднего геометрического
этих чисел (задача 671, а), то можно написать > Уху
или -х-1. Ни при каком выборе положительных
\ ы /
I а \2
чисел х и у произведение ху не будет больше, чем (I.
С другой стороны, при х = у = получается произведе-
ние (-—J . Следовательно, наибольшее значение ху полу-
чит при х = у. Нетрудно видеть, что это решение един-
ственное, т. е. если х=#у, то ху<1-у1»
673.	Обозначим сторону площадки, перпендикулярную
стене, буквой х. Тогда параллельная стене сторона будет
100—2х, а площадь S=x(100— 2х). Нужно найти то
значение х, при котором 3 будет иметь наибольшее зна-
чение. Но S и 23 достигают своих наибольших значений
при одном и том же значении х. Поэтому рассмотрим ве-
личину 23 = 2х(100— 2х). Эта последняя является про-
изведением двух положительных чисел 2х и 100 — 2х,
сумма которых есть величина постоянная, равная 100.
Наибольшего значения величина 23, а следовательно, и
S, достигнет при 2х = 100 — 2х (задача 672). Отсюда х=25.
674.	Пусть длина дуги сектора Z, радиус г, пери-
метр 2р и площадь 3. Тогда: 3 =	г/, 2r + I = 2р,
г = ~ (2р — Z) и, следовательно, S =	(2р — 1)1. Наи-
большее значение S будет при том же значении /, что и
наибольшее значение 43 = (2р —1)1. Последнее же будет
при 2р—1 — 1 (см. задачу 672). В этом случае 1 = р,
1	Z о
г — -у р или I = 2г.
675.	Пусть высота прямоугольника х, его основание
и диаметр полукруга 2у, периметр всей фигуры 2р (дан-
ная величина) и площадь фигуры 3. Тогда:
3 = 2ху + тс у2\ 2х + 2у 4- тс у — 2р\ 2х = 2р — 2у — к у
327
и, следовательно,
8 = у(2р — 2у — ку} + ку2=--у(2р — 2у — ку +
+ " у) = 2у (р — у).
Окно будет пропускать наибольшее количество света,
когда S будет наибольшее. Наибольшее же значение S
.	1 о
наступит тогда же, когда и наибольшее значение — 6 =
== у(р — у). Последнее же будет при у = р— у (см. за-
дачу 672), т. е. при
р
У=± и
676.	Возьмем
х =	— 2У — л У) = -Ц-1 Р-
осевое сечение АВС (рис. 5) конуса.
Пусть высота BD = h, а радиус основа-
ния CD = г. Тогда объем конуса V =
= ~nr2h. Так как
BE — УОВ2—ОЕ2= y(h — H)2 — R2 =
= У h(h — 2R),
то из подобия треугольников BCD
и ВОЕ получим:
Г = R г.2 = R»h
h |/й(й —2Л)’	h — 2R-
Рис. 5
Поэтому
V = -3- h_2R = "У К ^1’ где = ~h — 2R'
Величина V будет иметь наименьшее значение одно-
временно с величиной Vr Последняя же будет наимень-
шей тогда, когда будет наибольшей. Но
1 _ Л — 2R _ 1	2/? Л	2R \
~ Л2	2R ' h	h )’
1	«	2R . 2R
и так как множитель постоянный, то при-г-=1------------
2R	’г h	h
величина у- примет наибольшее значение (см. задачу 672),
а объем V — наименьшее. Найдем соответствующие зна-
2Z?	2R
чения й, г и V. Из равенства -у — 1 —у находим:
h = 4R, r= Rh ^ = R~y2,
у h(h — 2R)
V = -J-*#2 • 87? = 2 • 4-к/?3 = 2Vuiapa.
О	U
328
677.	Пусть х и у — два положительных числа, произ-
ведение которых равно а. Так как среднее арифметическое
двух положительных чисел не меньше среднего геометри-
ческого этих чисел (см. задачу 671, а), то можно написать,
что \/~а или х + у > 2]/а. Ни при каком выбо-
ре положительных чисел х и у сумма х + у не будет
меньше, чем 2 Ya. С другой стороны, при х = у = Ya
получается сумма 2 Следовательно, наименьшее зна-
чение х + у получит при х — у. Нетрудно видеть, что
это решение единственное, т. е. если х =£ у, то
х + у > 2 /а?
Замечание. В сумме х + у величина у==-^-. По-
этому полученный результат можно сформулировать так:
величина и = х + где а > 0 и х > 0 достигает своего
наименьшего значения при х = и только при этом
значении х.
678.	Обозначим ширину печатного текста на странице
буквой х, а длину — буквой у. Тогда ширина страницы
будет х + 4, длина у + 6, площадь страницы S = (х +
+ 4) (у + 6). Раскрывая в последнем выражении скобки
и замечая, что ху = 216(по условию), получим S = 216 +
+ 6х + 4у + 24 или S = 240 + 6х + 4 • Нужно най-
ти те значения х, при которых величина S будет иметь
наименьшее значение. Но величины S = 240 + 6 ^х +
144
и и = х 4- — достигают своих наименьших значений при
одном и том же значении х. Для величины и это значе-
ние х равно ]/144 = 12 (см задачу 677), Отсюда полу-
чаем, что ширина страницы 16 см, а длина 24 см.
679.	Пользуясь соотношением среднего арифметическо-
го и среднего геометрического двух неотрицательных чисел
(см. задачу 671, а), получим
a* +	=	+ Ц.	+
-t- рФс5 + YcW => a2b2 -i- b2c2 -I- Л2 = a2. —j~c* +
329
_|_ f)2	+ c2.	> а2УЬ2с2 + b2 У c2a2 +
4-	c2 /a2b2 — abc (a 4- b 4- c).
680.	Пользуясь формулой	- > Утп (см. зада-
чу 671, а), получим
/оА + У^з + - + V4-ia«<	4-
+ -Ц^4-... +	=^{01 + а2 + ... 4-а„).
681.	Так как-^~->УаА или I + ak> 2Уак (зада-
ча 671, а), то получим (1 4-04) (1 4-— 0+ая)>
> 2 Уа! • 2Уа3 ... 2 Уа„ = 2я Уа^ ... ап = 2я.
682.	Обозначим: ах = х8, а2 = У, а3 = Тогда нера-
X® ~ I tfl I
венство примет вид —Хуг и достаточно дока-
зать, что Xs4- У® 4-2s — 3xyz>0. Но x84-f/34-z3 — Зхуг
делится на х 4- У 4- 2, что можно проверить по теореме
Безу, подставляя в многочлен х=>— у — г (см. решение
задачи 23). Разделив многочлен на х 4- У 4- 2, получим част-
ное х2 + у2 + г2 — ху — уг — гх. Поэтому x34-i/84-z3 —
— Зхуг = (х 4- у 4- г) (х2 4- У2 4- 22 — ху — уг — гх) = (х 4-
4-«/4-г)	(х — у)2+-^-(у — г)2+ 4"(z — *)2] <см- Реше‘
ние задачи 183). Отсюда, действительно, х34-«/34-23 —
— Зхуг > 0.
683.	Справедливость этого неравенства для и = 2 была
доказана в задаче 671. Предположим, что оно справедли-
во для п = k, и докажем справедливость его для п — 2k.
Действительно,
ai 4- аг 4- аз + °4 4- ••• + a2k—1 4- aik _,
2k	~
а1 4 а2 I а3 4 °4 I I	1 4
2	+	2	4- +	2
=	k
330
Итак, если доказываемая теорема верна для п = k, то
она верна и для n = 2k, а так как она верна для п — 2,
то она верна также для п — 4, п = 8 и вообще для
п = 2т.
Пусть теперь п не является степенью двух. Добавим
к числу п число р так, чтобы было п 4- р = 2т и положим
Яп+1 — йуг+2 ••• == ^п+р —
ai 4- аг 4~ — 4~ ап
п
Будем иметь
ai 4~ аг 4~_— 4~ an 4~ an+i 4~ — 4~ ап+р_ai 4~ аг4~ — 4~ а« 4~ Pan+i >
п + р	~ п+р
п+р/	п
у а,а„... а„ар . •
У	••• Пп-\-1
Но 01	Pan+i __
п + р
। t ।	। 0i 4~ 02 "4“ ••• "4“ ап
al + а2 + - + Gfl + Р ’ -------------------------------------
п + р
(п 4- р) (^1 4~ 02 4~ — 4- ап) _ fli 4~ 02 4~ - 4- ап
п(п + р)	п
ур/———-—
у а.а2 ... а аР
У 1 *	и Л+J
d gi 4~ 02 4~ — 4- ап \р
(. р
а1 + а2 4- - 4- ап }п+р Поэтому
ai 4- а2 4~ - 4~ ап Л4//“Т"“	~/ 01 4- ^2 4- ••• 4- ап
п	у ага2 ... ап	п j
(0i 4- ^2 4“ ••• 4~ 0/i \ ।	р/"
——  )п+р > у ага2... ап.
Возведя последнее неравенство почленно в степень
л 4- Р	0i 4~ 09 4- ••• 4“ 0w /“	'
—получим окончательно	у а2а2 ... ап.
684.	Пусть хр ха, ..., хп — положительные числа, сум-
ма которых равна а. Так как среднее арифметическое
любого количества положительных чисел не меньше средне-
го геометрического этих чисел (см. задачу 683), то можно
о	/ а \п
написать, что— >ух1х2 ... хп или хгх2 ... хп<1 — I .
Ни при каком выборе положительных чисел хр х2, ...9хп
их произведение не будет больше, чем (—) . С другой
331
a
стороны, при х, = х2 = ... = хп = — получается произве-
( а \"
дение! — I . Следовательно, наибольшее значение произ-
ведение xtx2 ... хп получит при Xj = х2 = ... == хп.
Нетрудно видеть, что это решение единственное, т. е.
если среди чисел хр х2, ..., хп есть неравные, то произ-
к	( а \П
ведение этих п чисел будет меньше }
685.	Обозначим радиус основания цилиндра через г,
его высоту через h, а радиус данного шара через R. Если
взять осевое сечение цилиндра, то из него легко установить,
что h = У(2R)2 — (2г)2 = 2У^2 — г2. Поэтому объем ци-
*2
линдра V — г2 h — 2~ г2УR2 — г2. Нужно найти то зна-
чение г, при котором объем будет иметь наибольшее
значение. Но величины V и V2 достигают своих наиболь-
ших значений при одном и том же значении г. Очевидно,
при том же значении г достигает своего наибольшего зна-
чения и величина	2r*{R2— г2). Последняя же по-
лучит наибольшее значение при г2 = 2R2 — 2г2, так как,
представив ее в виде r2-r2(2R2 — 2г2), замечаем, что
г2 r2 2R2 — 2r2 = 2R2, и, следовательно, наибольшее
значение произведения r2r2(2R2 — 2г2) получится при ра-
венстве всех его множителей (см. задачу 684). Из равен-
ства г2 = 2R2 — 2г2 найдем значение радиуса основания
цилиндра г = R |/~при котором цилиндр имеет наи-
больший объем.
686.	1 + (2Л — 1) = 1 + (2 — 1) (2П~* + 2П~2 + ... + 2 +
4- 1) > 1 4- п • 2П~2 ...2-1 = 1 4- п2*^^ =
= 1 4-пуг2п-1 (см. задачу 683).
687.	п\ =/(Й!р=К(1-л)[2-(л—1)НЗф—2)]...(n- 1) =
= уГПг  У2- (п—1) • уз- (п — 2)... УТП1 >
2
(см. задачу 671).
332
688.	1 + 1 + 4 + 4т + т|: 4" + - + ТТТГ <
<1 + (1+4+4+4+- +тМ=1 + ~4 =
1 ~Т
= '+2(' - 19 “ 3- Т₽г <3-
689.	(2 — 1) 1! + (3 — 1) 2! J- ... + [(n + 1) — п] п! =
= 2! — 1! + 3! —2! + ... + («+ 1)! — п! =(«+ 1)! — 1 <
< («+ 1)!
690. А
2	4
3 ’ 5
1 • 3 • 5...(2n — 1) _ 1	3	5 2п — 1
2 • 4 • 6...2л ~ 2 ‘ 4 ' 6 "• 2п
6 2п _	1
7	2п+1 ~ 1 • 3 • 5...(2n—l)(2n+1) ''
2 • 4 • 6 ... 2п
__ 1 1 1
А (2п 4- 1) А • 2п Ап ’
Итак, А < -4~> А2 < —»	А < —?=•
’	Ап ’	п
691.	• 2 • 3 ... п = тЛ (1r' V q " П)2 =
r	г I • 2 • 3... п
У(1 - п) • [2 > (п — 1)] ... [Z? .(n-A>4- 1)] ... (Д .1)
V	1 • 2 • 3 ... п
Но k(n — k+ l)=^kn — k(k— \)=kn — n — k(k— l)4-n=
= (k — 1) (n — k) + п. Отсюда видцо, что при всяком k,
удовлетворяющем неравенствам 1 < k < nt выражение
k (п — k 4- 1) > п. Поэтому имеем
• 2 • 3 ... п > j/j . 2 . з .. л	^f.2.3...л '
Отсюда (р/ 1 • 2 • 3 ... п)г > п и • 2 • 3 ... п>
Если п > 2, то j/1 • 2 • 3 ... п > У~п.
692.	Искомое число девятизначное. Поэтому, обозна-
чив его через х®, можем написать 108<х®< 109. Извле-
кая корень шестой степени с точностью до единиц.
333
‘ получим 20 < х < 32. Но сумма цифр числа равна 45,
значит искомое число, а следовательно, и х, делится на 3.
Таких чисел, больших 20 и меньших 32, всего четыре:
21, 24, 27, 30. Рассматривая данные цифры искомого
числа, легко убедиться, что х = 27, а искомое число есть
27е = 387 420 489.
693.	Если обозначить искомое число процентов бук-
вой х, то после прохождения газа через первый фильтр из
общего числа примесей, равного м3, будет поглощено
ахр о
м3, так что останется
юоа
ах
100
ахр
W
о ах (« р \ «>
Очевидно, после второго фильтра останется	м3,
ах (л Р \ ч т~г
а после п-го II—При поступлении в резер-
вуар к количеству [а —	4-	(1 —	] м3 газа приба-
вится еще Ьм3, причем прибавится примесей ^м3, так что
„	Г ах h р \п , bq I «
в газовой смеси в резервуаре станет 1^(1—^1 + лг
примесей. Это последнее не должно превосходить г % об-
щего объема газа, находящегося в резервуаре. Поэтому
ах Л р \п.
искомое число х удовлетворяет соотношению^! 1—	+
. bq г ,, ах . ах [. р \ тл
+ Ж<Tool? + а~Too + тоб11~пУ ]-Из него находим
ах[(1 — 1^оjf1-*ж) +т5о]<(а+6)г —Так как в
левой части полученного неравенства находится положи-
тельная величина, то при (a -f- b) г < bq неравенство,
а следовательно, и задача, не имеет решения. Если же
(а + b) г > bq, то получим
х <
(а + Ь) г — bq
694.	В конце первого года к вкладу в А руб. касса
прибавила процентную сумму а вкладчик взял со
334
счета В руб. Таким образом, к началу второго года вклад-
чик имел на книжке сумму Л1 = А 4-	— В руб.
В конце второго года были произведены такие же опера-
ции, отчего сумма At руб. обратилась в сумму
А= А (1 + 1^б) В = Л (14-	В р 4-
В конце третьего года вместо суммы в Л2 руб. на книжке
была сумма
4* Too) В = Л (1 + -joo) Вр 4- р 4-	4-
(\2-
1 + тш) ] руб‘
Ясно, что в конце х-го года вклад выражался суммой
Выражение, стоящее в квадратных скобках, является сум-
мой х первых членов геометрической прогрессии с первым
членом, равным 1, и знаменателем, равным 1 4- По-
этому для суммы йклада получим
юов ГЛ . р\* Л Ар — юов Л , р\х . юов
~"7L\1 + W =-----------------р----V ‘ Тбб/ +"7~‘
Но по условию задачи эта сумма не меньше ЗЛ. Поэтому
получаем d£Lz_122^i _|_	122^. 34. Решив это не-
равенство, найдем
]g (ЗЛр — ЮОВ) — 1g (Ар — ЮОВ)
lg(100 4-p) —2
Так как р>0, Л>0, В>0 и, кроме того, Лр>100В
(сумма вклада возрастала), то все выражения, находящиеся
335
под знаками логарифмов, являются положительными ве-
личинами и выражение для х имеет смысл. С другой сто-
роны, если Ар < 100В, то задача не имеет решения.
695.	Пусть следует сделать х промывок. В единице
k
непромытого песка содержится единиц чистого золо-
1 — jog) единиц примесей. После одной промывки
k Л q \
единицы песка золота остается 11 —	1 единиц, а при-
месей —	Очевидно, после двух промывок
единицы песка число единиц золота и примесей будет
k
юо
______дк_____Д1 _ _А_ (1___
юо юо \ ioo/J“ioo\ loo/
И 1_______ 1___!L
и V1	юоД1	юо,
а после х промывок, соответственно,
* (1 и (1-НЛ	р?
юо V юо/ \ юо/V юо/ ’
Так как процент содержания золота после х промывок
должен быть не менее г, то отсюда получаем неравенство
fe Л______L Г_£ (1__________(\________(1_______
100 \	100/	100 [100 V1 100/ -’к	100/\	100/ J
Решаем это неравенство: -
k ______г_\ (<_д\х г Л_______(]______р\х
100 \	1оо'\ юо/^юоу 100/ \	100/’
k (100 — г) (100 — о Г (100 — 6) (100 — ру,
/ 100 — q V г (100 — k)
\ 100 — р /	6(100 —г) *
Логарифмируем обе части неравенства, причем для опре-
деленности будем считать основание логарифмов больше
единицы. Если q < р, то левая часть неравенства будет
больше единицы и мы получим
336
если q = р, то х может равняться любому натуральному
числу, т. е. любое число промывок сохраняет процент со-
держания золота. Очевидно, в этом случае задача имеет
решение лишь при k > г.
696.	Первый раз влили в резервуар чистого спирта
ар
л, но после того, как из него отлили а л смеси, чис-
того спирта осталось в резервуаре	л. Повторе-
ние этой операции привело к тому, что число литров
спирта в резервуаре стало
/ар А ар \ А ______________ ар Г A t / А \2
\“100 ’ А + а + 100 / A-j-а ~~ ТОО а + \Л”+ а/ J’
После х таких операций число литров чистого спирта в
резервуаре, очевидно, станет равным
ар Г А / Л \2	/ А V]
100 А а \Л а /	\Л д /
а общий объем смеси останется А л. Так как процент
содержания спирта должен быть не менее qt то отсюда
получаем неравенство
ар Г А	( А V,	( А VI	Ад
100 [Л + а	\Л + а /	И + « / J	Ю0 ’
которое приводится к такому: рр —	От*
сюда найдем, что х >--------, при этом должно быть
Л + а
р> q. Если же р < q, то задача не имеет решения.
697.	a cos х 4- b sin х = a ^cos х 4- sin х = a (cos х 4-
4- tgcpsinx) = ^^-(cosxcos<p 4-sinxsin <р) =
= У а2 + 62 cos (х — <р). Поэтому | a cos х 4- b sin х | =
== У а2 + Ь21 cos (х — <р)| < У а2 4- б2 или — Уа2 4* Ь2 <
< a cos х 4- b sin х < Уа2 4- Ь2.
Следовательно, наименьшее значение данного выражения
будет — Уа2 4- Ь2, а наибольшее У а2 4- Ь2.
22. К. У. Шахно
337
698.	a sin® x 4- b sin x cos x 4- c cos® x = a • -1 ^os 2x 4.
, . sin 2x	1-Pcos2x c+a .	1 ,,	. n >
+ °  —2-----F c •	4- -2~ [(c — a) cos 2x 4-
4* b sin 2x] = c~^a + (cos 2x 4- c^_a sin 2x j —
c-\-a . c — a, n , i •	ca ,
= —f — 4-----— (cos 2x + tg ? sln 2x) = ~4-
4- (cos 2xcos <p 4- sin 2xsin <p) = —4-
4- 4" l^b2 4- (c — a)® cos (2x — <p). Если cos (2x — <p) = 1, то
,	c4-a , Vfc24- (c — a)2
получим наибольшее значение, равное —--------h -—
а при cos (2х — <р) = — 1 будем иметь наименьшее значе-
с 4- а Уб2 + (с — о.)2
ние, равное —g-------------------•
Полученный результат верен и при а = с.
699. Так как sin2/! 4- sin® В 4- sin2 С — 2cos A cos В cosC4- 2
(см. задачу 484) и 2cos A cos В cos С > 0, поскольку А, В
и С острые углы, то sin2 А 4- sin2 В 4- sin2 С > 2.
700 sin 2х — cos 2х + 1   2sin х cos х + 2sin2x
sin 2х + cos 2х — 1	2sin х cos х — 2sin2 х
cos х 4- sin х 1 + tg х т-т
е=-----!—.— = —а. 6— Поэтому неравенство равносиль-
COS X — sin X '	1 — tg х	J r	r
но такому j fg j > 0 или (1 + tg x) (1 — tg x) > 0, исклю-
чая x = при котором левая часть данного неравенства
теряет смысл, но которое является решением преобразо-
ванного неравенства. Таким образом, получаем: 1 — tg2x>0,
tg2x< 1, |tgx|< 1, —1 <tgx< 1, kit-----------
< X < — + &TC.
701.	В этом случае должно выполняться неравенство
cos х < 0. Но тогда + 2k т: < х < к -f- 2k it.
702.	Так как | sin х | < 1 и основание логарифмов боль-
ше единицы (логарифм десятичный), то неравенство равно-
сильно такому: sin х > 0. Следовательно, 2k it < х <
<(2k + \)it.
338
703.	cos (sin x) > 0 при любых x, потому что —1 <sin x<
< 1, а углы, заключенные между — 1 радиан и 4-1 ра-
диан, находятся в первом и четвертом квадрантах, где
косинус положительный.
2
704.	Должно быть — 1 < -к- arc sin х < 1 или-<
4	К
2	~	. 2	...	2
<arcsinx<—. Отсюда —sin — <x<sin —.
705.	Должно быть 0 < lg х < 1. Отсюда 1 < х < 10.
706.	Должно быть 2k -к < 4 < (2k + 1) тс, где k = 0,
1, 2, ... Если k = 0, то —-д-<тс, х2>——, I х I > —J=. Это
я । ।	у к
возможно, когда: а) х> и б) х<-------4. Если ^=1,
у тс	у тс
2, 3, .... то,0. * ,,  < х2 < -4— или г 1	= <1 х|<
(2/г + 1)тс "• 2йтс	/(26+1)тс	1
<  4 ;. Это возможно, когда в) , L.: — < х <
У 2k тс	' У(2/г+ 1)тс	/ 2k тс
(х > 0, I хI = х) и г) .. = < — х < J_____ или
411	’	’ У(2*+ 1)тс	У2k тс
*---Г--< X <-------г А. : (х < 0, 1х| = — X).
у 2k тс	У (2k + 1)тс	1 1	’
707. Так как tg4> tg4> ^*2--------положительные
числа, то, пользуясь тем, что среднее арифметическое двух
положительных чисел не меньше среднего геометрического
этих чисел (см. задачу 671, а), можем написать
tg2 +tg2 4-+^2-г=4- (fg24-+tg24)+
+4 4 + tg21)+4- (^2 -4+tg2 4) >
> ]4tg2 4 tg2 4-+ j4tga 4 tg2 J- + )4tg2 4 tg2 4 =
= tg4fg4 i-tg4-tg4+tg4tg4=tg4tg4'+
+ tg4(tg4-1-tg 4^ ~ tg 4tg 4 "t”
+ tg4
tg-|-+tg4
i—tg4tg4
(i-tg4tg4)=tg4tg4+
22*
339
+tg4_ {gJL4^(1 ~tg4tg4)=tg4tg4+
+tg-j- tg -^цр- (1 — tg-|’tg"2") = tgltg4-+
+tg 4- ctg-j- (i—tg 4- tg 4-)=tg -j- tg +
+ 1 — tg-J-tg-y = t-
Для того чтобы имело место равенство
tg2i+tg24+tg2i=t’
необходимо и достаточно, чтобы а = 3 = у = Действи-
тельно, последнее можно записать так:
4-	(tg- 4-+tg1	+4 (tg* a+16- j-) +
+ 4" (*8! "Г + 's’4") = tg T" ,g 4“ + *8 V lg 4" +
+ tg-j- tg -у ИЛИ -y(tg-y—tg-j-j +
+4 (tg 4 -tg 4 )2 + 4 (tg 4 -tg 4)2 = °-
Но это будет иметь место тогда и только тогда, когда
tg = tg = tg а так как а, р, у — острые углы,
сумма которых равна к, то это приводит к условию
о	к
а = 3 = т = _
708.	Нужно доказать две теоремы:
I.	Дано: 0<а<у, 0<р<-£-, 0 < 7 < у,
0 < а + р -Ь 7 < -у.
Доказать: tga tg р + tgрtgу + tg7 tga< 1.
II.	Дано: 0< a < Д-, 0< ₽<-J, 0 < 7 <
tgatgp + tg₽tg7 + tg7tga< 1.
Доказать: 0 < a -f £ + 7 <
340
Доказательство I. 0<-у<-^----(а + Р)< -у
Поэтому tg 7 < tg у — (а 4- P)j = ctg (а 4- р) =
Итак, tg у <	• Умножим обе части неравенства
на tga 4- tgP>0. Получим tg7 (tga 4- tg?) < 1 — tga tg p.
Отсюда tga tgp + tgp tgу + tg 7 tga < 1.
Доказательство II. Перепишем данное неравен-
ство так: tg 7 (tg a 4- tg Р) < 1 — tg a tg p. Отсюда видим,
что 1 — tg a tg p > 0. Разделив обе части неравенства на
(1 — tg a tg р) tg 7 > 0, получим
tg a tg 3	. 1	.	. / it
или tg(a + P) < tg[y----------7I .
Но так как 0 < a <	0 < p < и tg (a 4- P) > 0,
то 0 < a 4- P < -у. Поэтому из неравенства tg (a 4- P) <
< tg -----7^ вытекает a 4- p < -7 или 0 < a 4- p 4-
+ t<1-
1 —tg»-g- 2tg4-1 - tg2 -J-
709.	1 + ctg f. = 1 +------4- =--------?----------2-
2tg-|-	2tg-y
2tg -7	2tg -|-
= ctg-|---Tctg'2’(tg_2----iy<ctg-^-, так как, при
условии 0 < <р < к, -у ctg -у [tg -1	0.
710.	Раз угол у тупой, то 0<а + р< у и 0<а<
-у — ₽<-у. Но тогда tga < tg —pj = ctg ₽ =
341
Итак, tga<-j^-. Умножая обе части неравенства на
tg₽ > 0, получим tga • tg р < 1.
711.	Обозначим левую часть неравенства буквой А.
с	л 2 , 1 + cos 2 8 . 1 4- cos 2 г	2 ,
Будем иметь А = cos8 a Н —!- 4—-1——L = cos8a -f-
4-1 + cos (P + 7) cos (P — 7) = cos2 a -|- cos (к — a) cos (P — 7) 4-
-j- 1 = cos2 a — cos (P — 7) cos a 4- 1. Иначе cos2 a — cos (P —
— 7) cos a 4-1 — A = 0. Рассматриваем последнее как квад-
ратное уравнение относительно cos а. Для того чтобы cos а
был вещественным, дискриминант этого уравнения должен
быть неотрицательным, т. е. должно быть cos2 (Р — 7) —
•—4(1—Л) > 0. Отсюда 4(1—Л)<соз2(р— 7) < 1 или
1	3
1—А <-j-. Таким образом, получаем А > -у.
Отсюда же легко усмотреть, что cos2 a 4- cos2 р 4-
4- cos2 7 = ~у тогда и только тогда, когда а — р = 7 =
_	. a - В . 7	1/ а — В	а -4- В \ . 7
712.	Sin -5- Sin -5- Sin 4- =-н- I cos —s-1-cos —4^- sin =
£	£	£	£	\	£4	Li j	£
1/ a — 8	л — 7 \ •	7	1/ a — 8 -	7
= у I COS ——COS —y± j SIH-j- = -y1 COS —y*- sin -j- —
— sin2	= 4”[— (sin2"2-----cos^"1Г" sin ~2~ +
f 1 о a — В 1 о a — В \"|	1 Г 1 2a — ₽
4- -y COS2 -y*-----у COS2 -y^-jj “ T [— cos -2^- -
/ .	7	1 a — В \21	1	2 a =- p 1
- (sln -2-----Г cos - V-) J < T cos -2- < v
713.	Построим острый угол AOB (рис. 6), хорду АВ и
касательную АС в точке А к окружно-
сти радиуса г с центром в вершине О
угла. Очевидно S^aob <<$сект.олв<‘$длоо
Если х есть радианная мера угла АОВ,
то предыдущее неравенство можно запи-
сать так: -у г2 sin х < -у г2х < -у л2 tg х
или, по сокращении на -у г2 > 0,
sin х < х < tg х. Следует заметить, что
неравенство sin х < х верно при всяком
х > 0, а | sin х | < | х | при любом веще-
ственном х =£ 0.
342
714.	a) sin p — sin a = 2sin -y* cos < 2 sin ^~g-,
так как 0 < cos a у- < 1. Но известно, что если x > О,
то sin х < х. Поэтому, 2sin -у— < 2 • ~ а- = р — а,
(р — а> 0). Таким образом, sin р — sin а <р — а и a — sin a <
< P — sin p.
6)	tg(P — a) = y-|^-t|aa-<tgP — tga, так как
0 < T+tgp'tga < h Ho’ если 0< x < T T0 *SX>X-
Поэтому tgp — tga>tg(P — a)>p — a. Отсюда a — tga>
>P~tgP.
715.	I. Обозначим P — a«=8>0. Тогда	=>
‘	a	p
= (P sin a — a sin P) ==	[(a 4- S) sin a — a sin (a + 5)] =
= (a sin a 4- 8 sin a — a sin a cos 8 — a cos a sin 8) =
1 r Z1	S.4 . s	/tg®	sini\1
= —=- [a sin a (1 — cos 8) 4- a й cos a (—5-5— | .
4	' 1	I a	0 /
Но оба слагаемых в квадратных скобках положитель-
ны. Действительно, положительность первого очевидна,
а в положительности второго можно убедиться на основа-
нии неравенств sin х < х < tg х для 0 < х < (см. зада-
tg a .	. М sin о . ,
чу 713), из которых следует, что—> 1, а 0<—— < 1.
т-r	sin a sin 8	~ sin а
Поэтому —---------р—- > 0 и —~
II. Докажем неравенство гео-
метрически. Из треугольников ОС В
и ОСА (рис. 7), на основании
теоремы синусов, получим
АС	ОА	ВС _ ОВ ОА
sin 3 sin С’ sin a *“ sin C ~~ sin G’
AC	BC	sin 3
Отсюда -7-7Г *= — или -r-i- =s
Sin P	sin a	Sin a
AC _BC + AB	I, AB
BC BC	1 + BC •
sin 3
343
Полагая радиус окружности равным единице, можем
написать о AF— р, о BF=a. Поэтому АВ < о ЛВ=р — а,
ВС > BE — tga > а (см. задачу 713). Возвращаясь к ра-
венству s= 14- заменим в нем АВ на В — а, а
J sin a 1 ВС ’	г
«	sin Э	1 । ₽ — л 1 ।	₽	1
пС на	а, отчего получим -г-2- <	1 4- --= 1 4- J-1	=
J Sin а	а	‘а
₽ , sin3 . sin я
= — ИЛИ -7“- <------<
а	р	а
716. Возьмем любой х, удовлетворяющий условиям
0<х<-^-. Тогда, положив в неравенстве задачи 715
к
Sin "ТГ	п
D те	sin х	2	.	2
а = х, р = -у, получим —— > —-— или sin х > — х.
717. I. Обозначим 3 — a = S > 0. Тогда--------liA =□
pa
= (a tg В — ₽ tg a) = -^ fa tg (a + 8) — (a + 8) tg a] =
=(a(tg(a + 8) —tgaj —Stga] =>
1 / a sin ft * k \	1 /a sin & b sin a \
F—   I_______________g |cr 0( I J>   I- ——---- =3
ap I COS (a &) COS a & I ap I COS a COS a J
Ъ / sin & sina\
= P COS alb	a Г
а) Если 8 < а, то --------> О (см- задачу 715)
tg p . tga
и тогда > -s-
P “
б) Если 8 > a, то между числами аир можно вставить
чдсла Тд, т2, ..., yk так, чтобы было 0 < а< < ?а <...<
<Тл<?<-Г’ а Разности 71—а’ T« — Tv •••> ₽ — Т*>
были бы меньше а. Тогда, на основании случая «а», по-
tg ? . tg 7ft
лучим—
Р
tg 71 tga
~1Г>~
344
II. Дадим геометрическое доказательство. Пусть AD
и АЕ (рис. 8) — дуги окружности радиуса единица с
центром в точке О, равные, соответственно, а и fJ. Пусть
В и С — точки пересечения касатель-
ной к окружности в точке А с про-
должениями радиусов OD и ОЕ.
Проведем через точку D прямую
MN || АС и пусть М и N точки пере-
сечения ее с прямыми ОС и ОА. То-
гда можно написать
tg В AC MN DN + DM
tga ~ АН ~ DN ~~ DN ~
= 1 DM (*)
1 ' D,V ' ' '
Проведем касательную LD к окруж-
ности в точке D и пусть L — точка
пересечения ее с продолжением ра-
диуса ОЕ. Очевидно, DM > DL =
= tg(3 — a)>p —a, a DN — sin a < a = о DA (см. зада-
^71 o\	DM .8 — a rp
чу 713), следовательно,. Тогда из равен-
tg 3 t , 3 — a tg 3	8 tg p . tga
ства (*), получим: -Л-> 1	, ~г->—.
v n J tg a	1 a tga a p a
X. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
718.	Нельзя. Понятие «больше» и «меньше» неприме-
нимо к комплексным числам.
719.	Отрицательное число есть вещественное число,
которое меньше нуля. К комплексным же числам понятие
«меньше» не применимо. Поэтому нельзя число —5/ на-
звать отрицательным,
720.	Запишем данное равенство так:
( 1 + i \п _ I
\ 1 — / /
Но
1 + i _ (1 + z)2 _ 1 + 2/ — 1 _ 2/
\ — i~~	I—/2	14-1	“2
Поэтому получим in = 1. Отсюда п = 4k, где k = 0, ± I,
±2, ±3, ...
345
721.	Освободившись от знаменателя, получим х + 1 +
4- (у — 3)i = 2-j- 8t. Два комплексных числа равны, когда
равны их вещественные части и равны их мнимые части.
Поэтому имеем
(х 4-1 = 2;
(у —3 = 8.
Отсюда х = 1, у = 11.
722.	Умножив обе части уравнения на —I. Получим
(•* + #4-6 4- xi = yi 4- 5 (х 4- у) +«.
Приравниваем вещественные части
(х + У)2 + 6 = 5(х + у) и мнимые части х = у + 1.
В полученной системе
{ (х 4- у)2 —• 5(х + у) + 6 = 0;
Iх —у=1
первое уравнение решаем как квадратное относительно
х + у. Получим х 4- у = 5 2 -• Остается решить си-
стемы:
а) ( х — у = 1; б) ( х — у = 1;
l*4-i/ = 3;	[ х + у = 2.
„	«.31
Ответ: хг = 2, ух = 1; хг = —, у2 = -^-.
723.	Из первого уравнения находим х = 0, у = — 1.
Подставляя найденные значения х и у во второе уравне-
ние, получим а = 0.	_______
724.	Уравнение можно записать так: "И *2 + У2 —
— (х 4- iy) = 1 + 2t. Отсюда V х2 4- У2—х=1,—у—2.
3	3
Решив систему, найдем: х = ~2~, У = — 2, г = -?-21.
725.	х2 4- у2 4- (х 4- iy) = 2 4- i, У х2 4- у2 4- х =2,
у = 1. Отсюда: х — —, у = 1, г = — 4- t.
726.	Если Zj — %! 4- iyt, г2 = х2 4- 'Уг, то zt 4- г2 =
= *! 4- *2 4- г(у, 4- у2), 21 — г2 = хх — х2 + 1(У1 — Уг)-
Поэтому | г, 4- га |2 4-1 Zj — г212 = (Xj 4- х2)2 4-
+ (Ух + Уг)2 + (*i — х2)2 4- (У1 — Уг)2 = 2xi 4- 2у2 4-
+ 2хг 4- 2у2= 2 (х2 + у2) + 2 (Х2 + уг) — 2 (| |2 + | г212).
346
727 — 758. Указание. В этих задачах часто исполь-
зуется тригонометрическая форма комплексного числа и
его геометрическое изображение. Напомним, что любое
комплексное число а = а + Ы ¥= 0 можно преобразовать
к виду a = p(coscp + Z sin ср). Последнее выражение назы-
вается тригонометрической формой комплексного числа.
Число р = V а2 -\-Ь2 называется модулем комплексного
числа а, а угол ср его аргументом. Аргумент определяется
формулами: coscp=-~, sin ср = -~. Модуль р > 0, а ар-
гумент ср может принимать бесконечное множество зна-
чений, так как sin ср и cos ср не меняют своей величины,
если ср изменить на 2kiz, где k — целое число. Обычно
для ср берут наименьшее по абсолютной величине значе-
ние, т. е. такое, что —к < ср < к. Это значение аргу-
мента называется главным.
Комплексное число a = а + bi условились геометри-
чески изображать точкой М, у которой в данной прямо-
угольной системе координат абсцисса равна а, а ордина-
та b (рис. 9). По этой причине
ось абсцисс называется вещест-
венной осью, а ось ординат —
мнимой осью. Комплексное ^чис-
ло также изображают направ-
ленным отрезком ОМ, т. е.
отрезком прямой, у которого
указано, какая из ограничива-
ющих его точек является нача-
лом и какая концом. В данном
случае О есть начало, а М —
конец. Такой направленный от-
резок называется вектором. Вектор,
точку О, а концом точку М, обозначается так: ОМ. На-
правление вектора указывает стрелка на его конце. Та-
ким образом, комплексное число а е= а + Ы изображают
вектором, начало которого совпадает с началом коорди-
нат, а конец — с точкой М (а, Ь).
Длина вектора, т. е. длина отрезка ОМ, дает геомет-
рическое изображение модуля числа, а угол, образован-
ный осью абсцисс и вектором, т. е. Z ХОМ, дает изоб-
ражение аргумента. Очевидно, вещественным числам соот-
ветствуют точки, лежащие на вещественной оси, а чисто
мнимым числам — на мнимой оси.
имеющий началом
347
727.	p = J/(l—cos a)2 sin2 a = у 4sin2L-g- =
= 21 sin 1 = 2sin cos о = 1 ~~ cos a. =
I 2 |	2	T	a
2sin-2~
a	л — a
Sin-y = COS—2—9 Sln ? =
sin a	a . тс — a
--------- = COS-77 — Sin------5—
л a------2--------------------2
2sin 2
2
г-	7t — a
1 лавное значение ср = —%—»	а Данное число z =
n . a / л—a ,	.	. л—a\
= 2 sin I cos—g----h i • sin—2—/•
Главное значение cp = -^-----1-, а данное число
729. p = V<l + tg2a = yr sec2 a = | sec a | = — sec a,
1	/ V	tg a
cos cp =------------- = — cos a — cos (a — тг), sin cp =------------5------
T — sec a	' T — sec a
— sin a = sin (a — к),
1 -f- f tg a = — sec a [cos (a — к) +
+ i sin (a — к)].
730. а) Геометрически моду-
лю комплексного числа z соот-
ветствует расстояние точки
плоскости, изображающей чис-
ло z, до начала координат. В
данном случае это расстояние
равно 2. Следовательно, равен-
ству | z | = 2 соответствуют точки
окружности & центром в начале
координат и радиусом, равным 2
(рис. 10).
348
б)	Так как равенству | z | = 2 соответствуют точки
окружности с радиусом 2 и с центром в начале коорди-
нат, то неравенству | z | < 2 соответствуют точки круга,
ограниченного этой окружностью, исключая точки окруж-
ности. Аналогично числам | z | > 1 соответствуют точки,
расположенные вне круга, ограниченного окружностью,
радиуса единица с центром в начале координат, исклю-
чая точки этой окружности. Поэтому числам г, удовле-
творяющим соотношениям 1 < | г | < 2, соответствуют точ-
ки, расположенные в кольце между двумя концентри-
ческими окружностями радиусов 1 и 2 и имеющими центр
в начале координат, исключая точки этих окружностей
(рис. 11).
в)	Так как г2 = (х -Т iy)2 = х2 — у2 + 2.xyi, то R(z2) =
= х2 — у2 — (х — У) (х + у). Следовательно, равенство
R(z2) = 0 распадается на два: х — у = 0 и х + у = 0.
Эти уравнения являются уравнениями биссектрис коор-
динатных углов. Поэтому точки, соответствующие соот-
ношению R (г2) = 0, расположены на биссектрисах четырех
координатных углов (рис. 12).
г)	Так как Im(z)=y, то данное неравенство запи-
.	1 гл
шется так: у >-у. Отсюда вид-
но, что точки находятся выше
прямой, параллельной оси абс-
цисс и отстоящей от нее на
расстояние, равное (рис. 13).
д)	[z— 11 < |z+ 1 |,
|z - 112 < |г + 1|2,
Рис. 13.
349
1)2 + #2<(х+1)2+*Л х2~2х + 1 + у* <х2 +
+ 2х + 1 + У2, — 2х < 2х, 4х > 0, х > 0. Отсюда
видим, что точки находятся в полуплоскости, располо-
женной правее оси ординат, включая ось ординат (рис. 14).
731.	а) Аргументом комплексного числа z называется
величина угла, образованного полупрямой, проведенной
из начала координат' через точку, являющуюся изобра-
Рис. 14.
Рис. 15.
жением г, с положительным направлением оси абсцисс
(вещественной оси). Поэтому равенству argz = — соот-
ветствуют точки полупрямой, выходящей из начала
координат, наклоненной к оси абсцисс под углом
(рис. 15).
б) Учитывая сказанное в пункте «а», легко убедиться,
что числам, аргументы которых удовлетворяют соотно-
шениям -у- < arg z < соот-
ветствуют точки плоскости,
расположенные внутри угла,
заключенного между полу-
прямой, выходящей из начала
координат под углом к по-
ложительному направлению оси
абсцисс, и положительным напра-
влением оси ординат. При этом
точки, расположенные на сторо-
нах угла, исключаются (рис. 16).
350
732.	а) Во втором и третьем координатных углах,
исключая точки оси ординат (рис. 17).
б) В первом и втором координатных углах, включая
точки оси абсцисс (рис. 18).
733.	Окружность радиуса 1 в направлении, обратном
движению часовой стрелки. Центр этой окружности сим-
метричен центру данной окружности относительно оси
абсцисс.
734.	= pi (cos <pi 4- i sin <px) p2 (cos f 2 4- isin f 2) =
= P1P2 [(cos <px cos <p2 — sin <Pi sin <p2) 4* i (sin f x cos f 2 4-
4- cos sin <p2)[ — pip2 [cos (fi 4- f 2) 4- i sin (f t 4- f2)].
735 г1 — Pi (cos 71 + * sin 71) -3
z2 p2 (cos <p2 4- i sin <f2)
=_ p] . (cos cpt 4- i sin <pi) (cos <p2 — i sin <p2)
~ p2 ’	cos2 <p2 4- sin2	“
=	• (cos fl 4- I sin f 1) [cos (— f2) 4- i sin(— f2)J =>
= [cos (fl — f2) 4- i Sin (fl — f2)].
?2
736. Так как zn = z-z... z и аргумент произведе-
п
ния равен сумме аргументов сомножителей (см. зада-
чу 734), то отсюда и следует формула Муавра.
351
1
737. Так как z k = то, положив п = —т (т> 0),
получим
(cos ср + i sin ср)п = (cos ср + isin	-----j————
т	т/ \ Т I Т/	(cos'f + / Sin <f>)m
1 . .
—---------—г-;-------= cos /пер — t sin mcp =
cos my +1 sin my	T	T
== cos (— tri)cp + i sin (— tri) cp = cos nep 4- i sin nep.
738.	Модуль числителя равен
V (x2 — y2)2 4- (2ху)2 = У (х2 + у2)2 = X2 + у2.
Модуль знаменателя равен
У(хуУ~2)2 + (У х* + у*)2 =/ (х2 + у2)2 = х2 4- у2.
Так как модуль частного равен частному модулей дели-
мого и делителя, то
I X2 — f/2 4~ ^xyi	|	Х2 _|_ у2 __
J xyY 2 + iV х4 4~ У4 I	х2 4~ У2 *
739.	(пю 4“ ^и)2) (а®2 + Ьчь) = п2о)3 4~ аЬ<£>2 4~ abw>* 4~ Ь2оЛ
Но ш3 = (cos ~ + i sin = cos 2к 4- i sin 2к = 1,
\ О	о /
о>8 -f" ® = — 1.
Поэтому данное выражение
А — а2 4- аЬч>2 4- аЬч> -\-Ъ2 = а2 4- ab (о>2 4- <о) 4- Ь2 =>
— а2 — ab 4- Ь2.
740.	Так как а>3 = 1, а о>2 4- ш = — 1 (см. зада-
чу 739), то
(а + b + с) [а2 4- ab(w2 4- ш) 4- ас (<и2 4-«>)4-
4- Ьс (о>2 4* о> • и3) 4- b2w3 4- с2<»3] ~ (а 4- b 4- с) (а2 4- Ь2 4-
4-е2 — ab — ас — Ьс) — а3 Ья с3 — ЗаЬс
(см. решение задачи 682).
741.	Эту задачу можно решить непосредственным пе-
ремножением. Но такой путь длинный и утомительный.
Поступим иначе. Обозначив данное выражение буквой А,
преобразуем его, пользуясь формулой суммы кубов двух
352
количеств и соотношением о>2 4- о> = — 1 (см. решение за-
дачи 739). Получим
Д = (а 4“ Ьт -j- C(D2 CL 4“6(d2 -j- Cid) cp|,
где cpj — краткое обозначение неполного квадрата разнос-
ти данных двух количеств. Отсюда
А — (2а — Ь — с) ср!-
Но нетрудно видеть, что А симметрично относительно
а, b и с, т. е. не меняет своей величины от одновре-
менной замены а на b, Ь на с и с на а. Действительно,
преобразуем Д, используя равенство о>3 = 1 (задача 739).
Получим
А — (am3 4- Ьш с<*)2)3 4~ (ш*>9 4~ Ьт2 4" сю4)3 =
= (п3(6 4- cm 4- aiD2)3 4~ (De(6 4- ст2 4~ 0(d)3 =
= (Ь СО) 4~ Cid)2)3 4" (Ь 4“ Cd)2 4~ (2(d)3.
Аналогично можно показать, что
А = (с 4- сил 4- W)3 -|- (с асо2 6ю)3.
В силу этого можно утверждать, что А имеет также
множителями многочлены 2Ь — с — а и 2с — а — Ь.
Поэтому
А = (2а — b — с)(2Ь — с — а) (2с — а — Ь) <р2,
где ср2 — частное от деления А на (2а — b — с)(2Ь — с —
— а) (2с — а — Ь). Замечая теперь, что коэффициент при
высшей степени а- многочлена А равен 2, устанавливаем,
на основании равенства многочленов, что <р2 = 1. Итак,
А = (2а — b — с) (26 — с — а) (2с —а — Ь).
742.	Пусть z = cos а 4- i sin а. Тогда получим
г142 4“	= (cos а 4- i sin а)142 4- (cos а 4- i sin а)~142 =
= cos 142а 4- i sin 142а 4- cos 142а — i sin 142а = 2 cos 142а.
Но из уравнения z +	= 1 получим:
z2 — z 4- 1 = 0, z =	±	==
= cost ± -£-) 4~ * sin ( ±
\	□ J	\ о /
23 К- У Шахно
353
Итак,
г142 +	= 2cos = 2cos-4-it= — 2cos -?- = — L
Z	о	о	о
743.	Положив в формуле Муавра (см. задачу 736)
п — 5, получим
(cos а 4- i sin а)5 = cos 5а 4- i sin 5а
или
cos5 а 4- 5i cos4 а sin а — lOcos3 а sin3 а — 1 Qi cos2 a sin3 а 4-
4- 5cos a sin4 а 4- i sin5 а = cos 5а 4- i sin 5а.
Приравняв мнимые части и положив в них а'= arcsinx,
найдем, что
sin (5arc sin х) = 5cos4 (arc sin х) sin (arc sin x) —
— lOcos2 (arc sin x) sin3 (arc sinx) 4- sin5 (arcsin x) ==
= 5 (/ 1 — x2 )4 X — 10 (]/ 1 — X2 )2х» + X5 =
= 5(1 — x2)3 x — 10(1 — x2)x® 4- x5.
Отсюда
sin (5arc sin x) = 16x5 — 20X3 4- 5x.
744.	Обозначим сумму синусов буквой А, а сумму ко-
синусов буквой В и, положив затем г = cos х 4- i sin х,
получим
В 4- Ai = (cos х 4- i sin x) 4- (cos 3x 4- rsin 3x) 4- ... 4-
4- [cos (2n — l)x 4- i sin (2n — 1) x] = z 4- z3 4- ... 4- z2"-1 =>
__ z(za"—1) ____(cos x + i sin x) (cos 2nx + i sin 2nx—1) _
“ z2 — 1	~	cos 2x + i sin 2x — 1
__ (cos x -f- z sin x) (— 2sina nx 4- 2i sin nx cos nx) _
— 2sina x + 2i sin x cos x
__ (cos x + sin x) » 2i sin nx (cos nx 4- i sin nx)
2i sin x (cos x + i sin x)
sinnx /	t
= —— (cos nx 4-1 sin nx).
sin X v ’	7
Итак,
D , . л sin nx	, . sin nx .
В 4- tA = —----cos nx 4~ t —— sin nx.
sin X	1 sin X
354
Отсюда:
n _ sinnx  sin 2nx. . _ sin« nx
sin x	2 sin x	sin x
Конечно, эту задачу можно было бы решить и спо-
собом, примененным в задаче 517.
745. Умножим обе части данного уравнения на х~п и
в полученном результате положим
x~k = (cos а 4- t sin а)-* = cos kx — i sin kx.
Получим
1 4- Pl x-1 4- РгХ~2 + ... + p„x~n = 0, 1 4- p, (cos а —
— i sin a) 4- p2 (cos 2a — i sin 2a) -f- ... -f-
+ pn (cos nx — i sin nx) = 0.
Так как рь p2, .... pn — вещественные, то
p^in at + p2 sin 2a 4- ... -j- pn sin nx = 0
как мнимая часть числа, равного нулю.
746. Так как S, + t’S2 = (14- 0л.	(1 4- 0я =
=	2 ( cos-^- 4- i sin-£• jj , то, пользуясь формулой
n z
Муавра, можем написать Sx 4- IS2 = 2 21 cos-^—|-
4- i sin —j—Приравнивая теперь вещественные части
этого равенства, а затем мнимые, получим:
п	П
2 Utz л л 2 • niz
! = 2 COS-J-; S2 =2 sin—j-.
747. Докажем, что S]/ 3 является мнимой частью
выражения (1 4-t'K 3)л. Действительно,
(1 4- О = 1 + CU/“3 4- C2n (iK"3)24- U ((КЗ)3+...=
= 1 ~С2П • 3 4- d • З2 4- ... 4- tV~3(Ci—(^ • 3 +
4- С5П • З2 - ...).
23*
355
С другой стороны, пользуясь формулой Муавра, можем
написать
——	Г / Tt	ТЕ \*]^
(1 + t> 3)" — 2 cos-,- + isin-o- =
L \	□	о /j
ял . . . ягс \
= 2я cos—я—h i sin-,-1.
\ О	о /
Отсюда S =
2n . nn
7=Sin-T~
f 3	3
Любопытно отметить, что если в решении исходить
из бинома (—1 +i]f 3)п, то ответ будет такой:
S = (— I)"-1 .-^=sin^-.
' Уз 3
Полезно доказать тождественность этих двух выражений
для S.
748. Число w называется корнем степени п из чис-
ла z, который обозначается у z , если wn = z.
Пусть
Y z = p^pfcos ср + i sin ср) = R(cos Ф 4- i sin Ф).
На основании определения корня и формулы Муавра
будем иметь
Rn (cos пФ + i sin пФ) = р (cos ср + i sin ср).
Но если комплексные числа равны, то их модули равны,
а аргументы отличаются на число 2£л, где k = 0, ± 1,
±2, ... Таким образом,
Rn = р, Ф = ср + 2£л.
Отсюда
у p(cos ср 4- I Sin ср) =у р I COS-^-h I sin-2—--I,
причем у р — арифметический.
Нет надобности придавать k всевозможные целые зна-
чения, а достаточно брать лишь k = 0, 1, 2, ... , п— 1.
Действительно, если k > п или k < 0, то, выделив целую
часть q дроби получим k == qn + г, где положитель-
ный остаток г < п. Но тогда
356
и значения косинуса и синуса, в. силу периодичности,
будут такими же, как и при одном из k = 0, 1, 2,
п — 1.
С другой стороны, при различных k, взятых из чисел
О, 1, 2,	, п—1, значения корней будут различными.
На самом деле, если при ki и k2, где 0 < kx < п — 1 и
О < k2 < п — 1, имеет место равенство значений корня,
то должно быть
<Р +	Ф 4- 2k2n о	1	1
2L_L-1-------Е--= 2/727Г ИЛИ — k2 = ГПП,
что возможно только при /п = О (т — целое). Но тогда
kx = Л2. Итак, корень степени п из комплексного числа
имеет п и только п различных значений. Исключение
представляет лишь z = 0. В этом случае все значения
корня равны между собой и равны нулю.
749. Положив У а + Ы = х + yi, получим: а + Ы =
= (х + t/О2; а + Ы = х2 — у2 + 2xyi, На основании равен-
ства комплексных чисел можем написать: х2 — У2 = а,
2ху = Ь. Подставив у = найденное из второго урав-
нения, в первое, получаем:
4
а + У аг + Ь2 _ а + р ______, 1/ р + а
—	2	2 ’ х ± К 2
( значение < 0 и поэтому отброшено^ Тогда
w = — =----- b ...— = + 1/ ?~а
У 2*	± V 2(р + а) ~У 2
Отсюда
ут+ьг = + УЦ° ±
Из равенства 2ху — b видно, что знаки перед радикалами
нужно взять одинаковые, если b > 0, и разные, если
b < 0.
, ,_______________	3/--------------—
750. a) z = у i = у cos-g- +1 sin-^- =
= cos—-|- isin4fe 4 1-к; k = 0, 1,2;	= cos-^- +
6	О	*	0
357
+ isin-^-
О
V 3 . i	5	... 5
=	----F ~2~, ?2 = cos-g-ir + /sin=
V 3 , i	9	, . . 9
----4-----Ь -б-, г, = cos-x-тс + isin-j-rc = — i;
Z----------Z °	О	о
6)/i + /3i =±(]/l+I+ty2Tl) =
У з + / .
- V 2	’
ч 5/-T	5/---X—:—;—;—тс	2&л: , . . 2Ztt
в) у 1 =у cos О-Н sin 0 =cos—р------Н г sin—f—;
О	о
k = 0, 1, 2, 3, 4.
751.	Корни уравнения хп = 1 суть ak = cos——f-
+ tsin-^-, где k = 0, 1, 2, ... , п— 1. Отсюда: а0 = 1;
2я ... 2л	2Лл .	. . 2ktt
«1 = cos— -4- i sin--: afc = cos--- -f- t sin-=
1 n '	' n ’	*	n 1 n
I 2tc . . . 2тс V k
= I COS—---h t sin— I = ap
Положив ax = a, можно записать эти корни в виде
1, а, а2,	, а*"”1.
752.	Из формулы z = i «= cos4-^—тс + isш^у^тс
видно, что значение гх = cos-^- + £ sin-j^- имеет модуль
р= 1, а аргумент
Остальные корни z2, ?3,
..., г6 также имеют моду-
ли, равные единице, а
аргумент каждого следую-
щего отличается от аргу-
мента предыдущего на ве-
личину Поэтому гео-
метрически корням гь г2,
..., г6 будут соответство-
вать вершины правильного
шестиугольника, изобра-
женного на рис. 19.
358
753.	х = ~(2Z ~ ° * ^(2t2~ 1)3 + 4 <7 + 0
_ _(2/-l)±/25 ...... -2Z4-1 ±5 .
2	2	, "1 ~~~л-2 ~~ ~
754.	x- 3 + Z±/(3-H)a-12/__ 3 + '±(3-Q.
xt = 3, x2 = i.
755.	Умножим обе части уравнения на х—1. Тогда
уравнение примет вид х7— 1 =0 или х7 = 1. Корни его:
xk == cos—t--h t sin—у—f причем при k = 0 получится
x0 = 1 и этот корень посторонний для данного уравне-
ния. Поэтому в найденном выражении для xk нужно по-
ложить лишь k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
756.	Корни уравнения хп—1=0 суть 1, а, а2, ... ,
а"-1, где а = cos^- + fsin^*- (задача 751). Поэтому ис-
комая сумма S = 1 4- а.Р 4- о?р 4- ... 4- a<n—= 1 4- аР 4-
4- (а₽)2 4- ... + (ар)л-1. Если р делится на п, то ар = 1 и
сумма равна п. Если р не делится на п, то a? 1 и
можно воспользоваться формулой суммы геометрической
прогрессии. Тогда для искомой суммы получим, что она
равна аР"~}   = 0, так как а7”1 — 1 =(ап)₽—1 = 1—1=0.
/ х I Z \
757.	Представим уравнение в виде I _^-1 = — 1,
(х ф i). Извлекая корни, найдем
х + i _
x^-i~
26+1	...
cos——тс + zsin
26-4-1
----!--ТС,
п
где & = 0, 1, 2, ..., п—1. Отнимем от обеих частей ра-
венства по 1 и после этого разделим уравнение на и
Получим
2	.26+1	, ./ t 26 + 1 \
----Sin ТС + И 1 — COS——— тс I =3
X—I	п	\	п /
о . 26 + 1	26+ 1	. о . . 2 26 + 1
= 2sln-2J-’tCOS“2r“TC+2‘Sln “2Г"’С в
о . 26 + 1 (	26+ 1	... 26 + I \
== 2sin	( C0S1T’ К + 1 Sln “2Т"ТС }
359
Отсюда
x — i —------------------—
sin-9- ‘it ( cos2fe.+ 1
2n \ 2n
2k + 1	. . 2k 4- 1
COS—J— к — t Sin——n
_ 2n	2n
B	.2*4-1
sin——it
2n
... 2k
it + isin—
= Ctg^-Z.
Итак,
. 2k 4- 1	.	. 2k + 1
X -1 - ctg-g^-* — I, X = ctg-^-rc:
k = 0, 1, 2....ti — 1.
758. Так как
1 4~ t tg я _
1 — i tg a
cos a -j- i sin a
cos a — 1sin a
= cos 2a + isin 2a,
то уравнение можно записать так:
/1 “I- XI \П	л । ’ • О
г-1—-	= cos 2a + i sin 2a
\ 1 — XI /
или, извлекая корень степени n:
14-х/	2 (a 4- kit) . . 2 (a 4- kit)
r- . =COS v + fsin-—------------<
1	— XI	n	n
Прибавляя к обеим частям последнего равенства по
получим
2	, .	2(а4Ьг) ,	. . 2 (а 4~ kit) п 2a 4“ kit
------г = 1 4- cos-^—-—- + 1 sin-^—£—' = 2cos2——
1 — XI	n	n	n
о  a 4- kit a 4- kit n a 4- kitl a -k kit ,
-t 2isin——cos—5-— = 2cos—1— cos—'----------h
1	n	n	n \ n 1
. . a 4- kit\
4- I sin—— .
n /
Отсюда
1 — xi =-------------------!--------------— =3
a 4~ kntl a 4~ kit , . . a 4“ kit\
cos—5— cos—5-----h i sin—  
П \ П '	n. /
a 4- kit . . a 4~ kit
C0S—------a + *n
---------- -------- = 1 - l tg-t-,
cos——
n
360
Итак,
i . i . . , а 4- kn .	. . а 4- kn
1 — XI = 1 — I tg——, XI = I tg — ,
х = tg^s k = О, 1, 2,	, п — 1.
XI. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
759—774, Указание. Если какое-нибудь утвержде-
ние справедливо для единицы и если каждый раз, когда
оно справедливо для какого-нибудь числа, оно справед-
ливо и для следующего числа, то оно справедливо для
любого числа.
Сформулированное предложение называется принципом
математической индукции.
Метод доказательства, основанный на принципе мате-
матической индукции, называется методом математичес-
кой индукции.
Применение метода математической индукции сводится:
1) к проверке высказанного утверждения для п = 1;
2) к предположению, что утверждение верно для п = k;
3) к доказательству теоремы, что из предположения спра-
ведливости утверждения для п — k следует его справед-
ливость и для п = k + 1.
Иногда пункт 1 рассматривают не с п = 1, а с какого-
нибудь другого п = т. Например, при доказательстве
свойств многогранников нам пришлось бы начинать с
п — 4. Однако это не умаляет общности сформулирован-
ного выше, так как всегда можно положить п = v+m — 1
и рассматривать процесс доказательства начиная с
V = 1.
759.	Для п = 1 формула справедлива, так как дает
а1 = av Предположим, что формула верна для п = А,
т. е.
а„ = <h + d(k — 1),
Тогда
ak+1 = ak + d = aj + d (k — 1) + d = a,. + dk,
Следовательно, формула
an = a! -f- d(n — 1)
верна для всех n.
361
760.	Формула ап = a1qn~1 для п = 1 верна. Пусть она
верна для п = k, т. е. ak = а$к~\ Тогда ak+l = akq —
= arf. Следовательно, формула ап = аг qn~l верна для
всех п.
761.	Напомним, что размещениями из т элементов по
п называются такие соединения, из которых каждое со-
держит п элементов, взятых из данных т элементов, и
которые, если отличаются одно от другого, то или эле-
ментами, или порядком элементов.
Пусть из элементов аь а2» ... ат составляются раз-
личные размещения по одному. Непосредственно очевид-
но, что таких размещений будет т. Таким образом,
формула
Апт — т(т—1) ... (т — п 4- 1)	(*)
верна при /1 = 1.
Предположим, что формула (*) верна при п = k.
Докажем, что тогда формула (*) будет верна и при
п = k 4- 1, т. е.
А^ = т(т— 1) ... (т — k).
Для доказательства возьмем какое-нибудь размеще-
ние из т элементов по k, например, аь аг, ..., ak, и
будем приписывать в конце его каждый из оставшихся
(т— k) элементов, т. е. будем приписывать в конце взя-
того размещения поочередно и только по одному разу
элементы afc+1, aft+2, ..., ат. Получим (m — k) размеще-
ний из т элементов по (k + 1). Поступая так же с каж-
дым из размещений из т элементов по k, мы каждый
раз будем получать (т — k) размещений из т элементов
по (k 4- 1). А так как по предположению Ат=гп(т—1)...
(т — k 4- 1), то число полученных описанным выше спо-
собом размещений из т элементов по (k 4- 1) будет
равно
А„(т — k) — т(т — 1) ... (т — k).
Остается выяснить, будет ли последнее выражение равно
Ат’1, т. е. не будет ли среди полученных размещений
одинаковых и все ли различные размещения вошли в это
число?
Допустим, что среди полученных размещений есть
два одинаковых. Назовем их Ах и Аг. Так как одинако-
362
вне размещения имеют одинаковые элементы на одина-
ковых местах, то пусть на последнем месте и Л2
находится элемент at. Удалим аг_из и Л2. Получим
два одинаковых размещения А! и Л2 из т элементов по k.
Но это невозможно, потому что мы к каждому размеще-
нию из т элементов по k приписывали каждый из остав-
шихся (т. е. не вошедших ле данное размещение) элемен-
тов только один раз.
Допустим, что некоторое размещение Л из т элемен-
тов по (k -f-1) нашим способом не получено. Пусть на
последнем месте этого размещения находится элемент at,
который не совпадает ни с каким другим элементом этого
размещения, так как в размещение не входит один и тот
же элемент больше_ одного раза. Удалим а, из Л. Полу-
чим размещение Л из т элементов по k. Значит, чтобы
получить размещение Л, достаточно было в конце разме-
щения Л приписать элемент at, не вошедший в Л. Но мы
брали всевозможные размещения из_т элементов по k.
Следовательно, брали и размещение Л. Мы приписывали
в конце каждого такого размещения каждый из не во-
шедших в него элементов, Следовательно, мы приписы-
вали в конце размещения Л элемент at, и поэтому раз-
мещение Л не может отсутствовать среди полученных.
Итак, доказано Л„+1= т(т — 1)... (т — k), если имеет
место формула Akm = zn(m— 1) ... (т — k + 1). Кроме того,
ранее было доказано, что формула (*) верна при п = 1.
Следовательно, формула (*) верна при всяком п.
762.	Перестановками из т элементов называются
такие соединения, каждое из которых содержит т этих
элементов и отличается от другого порядком элементов.
Очевидно, из одного элемента можно составить только
одну перестановку, т. е. Рх <= 1, так что формула Р„ = п!
справедлива при 1,
Предположим теперь, что формула
Ря = п!	(*)
верна при п = k. Докажем, что она верна и при
п = k 4- 1, т. е.
Pfc+1 «(&+!)!
Для доказательства возьмем из данных (k 4-1) эле-
ментов а1; аг, ..., ak, aft+1 какие-нибудь k элементов и
363
составим из них перестановку. В этой перестановке по-
ставим оставшийся А-|- 1-й элемент один и только один
раз перед первым элементом перестановки, затем перед
вторым и т. д., перед k-м элементом и после #-го. Та-
ким образом, с помощью взятой перестановки из k эле-
ментов получим (& + 1) перестановку из (k -h 1) элемента.
Поступая так же с каждой перестановкой из k элемен-
тов, взятых из данных (k + 1) элементов, мы каждый
раз будем получать (#+ 1) перестановку из (&+ 1) эле-
ментов, А так как по предположению Pk = /г!, то число
полученных описанным выше способом перестановок из
(k 4- 1) элементов будет равно k\(k + 1) = (А + 1)! Оста-
ется выяснить, будет ли полученное выражение равно Р^ъ
т. е. не будет ли среди полученных перестановок оди-
наковых и все ли различные перестановки вошли в это
число.
Допустим, что среди полученных перестановок еСть две
одинаковые. Назовем их рг и р2. Так как одинаковые переста-
новки имеют одинаковые элементы на одинаковых местах,
то некоторый элемент at занимает одно и то же место
как в ръ так и в р2. Пусть, например, это будет послед-
нее место, т. е. (k 4- 1)-е место. Удалим at из рх и рг.
Получим две одинаковые перестановки рх и р2 по
k элементов в каждой. Но это невозможно, потому что мы
в каждой перестановке из k элементов ставили остав-
шийся (k + 1)-й элемент на последнее место один
и только один раз. Допустим, что некоторая перестанов-
ка р из (k + 1) элементов нашим способом не получена.
Пусть, например, в ней'элемент at стоит на последнем
месте. Удалим at из р. Получим перестановку р из
k элементов. Значит, чтобы получить перестановку р, нуж-
но было взять перестановку р и в конце поставить эле-
мент а{. Но мы брали всевозможные перестановки из
k данных элементов, в том числе и перестановку р, не-
содержащую элемент а,. Мы приписывали в конце каж-
дой такой перестановки оставшийся (k + 1)-й элемент.
Следовательно, мы приписывали в конце перестановки р
элемент at и поэтому перестановка р не может отсут-
ствовать среди полученных.
Итак, доказано Pk+i = (k + 1)1, если имеет место фор-
мула Pk = kl Кроме того, выше было доказано, что фор-
364
мула (*) верна при п = 1. Следовательно, формула (*)
верна при всяком п.
763.	Сочетаниями из т элементов по п называются
такие соединения, каждое из которых содержит п эле-
ментов, взятых из данных т элементов, и отличается от
другого, хотя бы одним элементом.
Пусть из элементов аъ а2, ..., ат составляются раз-
личные сочетания по одному. Непосредственно очевидно,
что таких сочетаний будет т. Таким образом, формула
rn _ т(т — 1) ... (т — п + 1)
~	1 • 2... п	' >
верна для п = L
Предположим, что формула (*) верна для п = k
Докажем, что тогда формула (*) будет верна и для
п = k + 1, т. е.
_ т(т — 1) ... (т — k)
1 • 2 ... (k -f- 1)
Для доказательства возьмем какое-нибудь сочетание
из т элементов по k, например ах а2у ..., ak, и будем
приписывать к нему в качестве (k + 1)-го элемента каж-
дый из оставшихся (т — k) элементов один и только
один раз. Получим (т — k) сочетаний из т элементов
по (k 4- 1)
Поступая так же с каждым из сочетаний из т эле-
ментов по ky мы каждый раз будем получать (т — k)
сочетаний из т элементов по (k + 1). А так как по
предположению
rk т(т — 1) ... (т — k -|- 1)
т
I • 2 .. /г
то число полученных описанным выше способом сочета-
ний из т элементов по (k + 1) будет равно
- k).
Нетрудно видеть, что среди подсчитанных сочетаний
есть одинаковые. Чтобы это установить, возьмем какое-
нибудь сочетание с из т элементов по (k + 1), напри-
мер аъ а2, а3, ..., ад,+1, и удалим из него элемент ах.
Тогда получим сочетание q из т элементов по k, состоя-
щее из элементов я3> •••» ak-^ среди которых нет av
365
Затем из с удалим элемент а2. Тогда получим сочета-
ние с2, состоящее из элементов аъ а3, ..., ак+1, среди
которых нет а2. Продолжая удалять из с последовательно
элементы по одному, мы, наконец, удалим из с элемент ак^2
и получим сочетание ск+1 из т элементов по k, состоя-
щее из элементов аъ а2, ..., ак, среди которых нет эле-
мента aft+1. Так как мы к каждому сочетанию из т эле-
ментов по k присоединяли каждый из оставшихся (tn — k)
элементов, то мы присоединяли к сочетанию эле-
мент а2, к сочетанию с2 элемент а2 и т. д., наконец
к сочетанию элемент aft+1, получая каждый раз одно
и то же сочетание с из т элементов по (6+ 1), Отсюда
следует, что каждое сочетание из т элементов по (&+ 1)
нами подсчитано (k 4- 1)раз и, следовательно, общее
число их, полученное ранее, нужно разделить на (k + 1).
Это даст
т(т — 1) ... (т — k -f- 1) (т — k)
1 • 2 ... k(k + 1)
Очевидно, в полученном числе сочетаний больше не встре-
тится одинаковых, а также не будет ни одного пропу-
щенного. Итак, доказано, что
„А--Р1 _ т(т — 1) ... (т — k)
bni ~	1-2...(*4-1) ’
если имеет место формула
_ т(т — 1) ... (т — k + 1)
_1-2...*	•
Кроме того, ранее • было доказано, что формула (*)
верна для п = 1. Следовательно, формула (*) верна для
всех п.
764.	Так как
(fli + «а)2 = а? + al +
то доказываемая формула верна для п — 2. Допустим, что
эта формула верна для п = k, т. е.
(<h 4- а2 4- ... 4- ак)2 = al 4- а] 4- ... + 4 + 2S,
где S — сумма всевозможных попарных произведений,
составленных из чисел аь а2, ..., ак, и докажем, что фор-
мула будет верна для п = k 4-1.
(ai 4- а2 4- ... + ак 4- a*-j-i)2== [(aj 4- а2 4-... 4- а*) 4-аЛ+1Р=
— («1 + а2 4- ... 4- ак)г 4- 2(ах 4- а2 4- ... 4- ак) ак+1 4- ак+1 =
366
верно.
c k (k + 1)
ЧТ0 Sfe ~ 2 • (2* 4- 1) •
s (* 4-1) [(*4-1)4-1)
4* ^2 4* ••• 4" Ok 4“ 2S 4" 2(aia^j 4“ ^2^4+1 4~ ••• 4*
4- akak+i) + а*+' = fl? 4- <£> 4- ... 4- 0*4-1 4- 2Si,
где Si — сумма всевозможных попарных произведений,
составленных из чисел а1г а2, ..., ak+l. Тем самым фор-
мула для квадрата многочлена доказана для всех п.
765.	Обозначим левую часть равенства Зя. Пользуемся
методом математической индукции.
п <?	12 - 1	Ш4-1)	1-21
°! “ I . 3“’ 3 ’ 2 .(2 • 1 + 1) — 2 • 3 ~ 3 •
При п = 1 равенство
2)	Предположим,
3)	Докажем, что
(k -I- 1)(* + 2)
=	2-(2*4-3) *
Действительно,
q	<*4-D2	_ Ш4-П .	(*4-1)а	_
°*+1 — °* f (2* 4- 1)(2* 4- 3) — 2(2* + 1)	(2* + 1) (2* 4- 3) —
(* 4-1) [* (2* 4-3) 4-2 (* 4-1)] _ (*4-1X2*2 4-5*4-2)
=	2-(2* 4-1) (2* 4-3)	“	2(2*4-1) (2* 4-3) =
(*4-1)(2*4-1)(*4-2)	(* 4-1) (* 4-2)
с 2(2*4-1) (2* 4-3)	2(2* 4-3)	'
766.	Обозначим левую часть формулы S„. При п = 1
формула справедлива. Предполагая справедливость ее
при п = k — 1, докажем справедливость формулы при
п = k.
Sk = SA_i 4- k* = -^(A — 1) k (2k — 1)(3A2— ЗА — 1)4-A*=
= A [(A — 1) (2k — 1) (ЗА2 — 3k — 1) 4- ЗОЛ3] =
uv
e * [(k - 1) (2k - 1) (ЗА2 4- ЗА —-1) — 6A(A - 1)(2A - 1) 4-
Ov
4- 30A3] = 4-[(A — 1) (2A — 1) (ЗА2 4- ЗА - 1) 4-
OU
367
+ 6k (3k2 + 3k— 1)] =4-(3£2 + 3k— 1) [(A — 1) (2k — 1)+
OU
+ 6AJ = ±r(3k2 + 36-1) (2k2 + 3k + 1) =
uU
= tJt k(k + 1) (2k + 1) (3fc2 + 3k - 1).
767.	Обозначим левую часть равенства S„. При п = 1
равенство верно. Предположим, что оно верно при
п = k — 1, и докажем справедливость его при п = k.
Получим
Sfe = S,_1 + k6 = -^(k-I)2 k2 [2 (k — I)2 + 2(k—\) -
— \}^k6 = -^k2((k—l)2(2^ — 2k— 1) + 12Л31 =
= -^k2 f(& — I)2 (2k2 + 2k — 1) — Ik (k — I)2 + 12F] =
= -jV^2 [(Л — I)2 (2k2 + 2k — 1) + 4A (2k2 +2k — 1)] =
= -^k2 (2k2 + 26-1) ((A - I)2 + 4k\ =
__ k*(k + l)a (2£® -J- 2£ — 1)
12
Тем самым равенство доказано для любого п.
768.	Обозначим левую часть равенства Sn. При п = 1
равенство справедливо. Действительно,
q	1 х	sin х . 1 — COS X
51	tgx+ 2 tg 2	cosx + 2sinx
2sin2x + cos x — cos2 x cos x -f- cos2 x + 2sin2 x — 2cos2 x
2sin x cos x	2sin x cos x
__ cos x (1 + cos x) — 2cos 2x  cos x (1 4- cos x)	2cos 2x
~~ 2sin x cos x	2sin xcos x	sin 2x
= +cosx- — 2ctg 2x= ~ ctg^ — 2ctg 2x.
2sinx	®	2	® 2	°
Предположим, что равенство справедливо при n = k—1,
и докажем, что при п = k оно тоже справедливо. На са-
мом деле,
~ *5*—1 “Ь 2* 1&"2к== 2*—1	2*—1	2ctg 2х -|-
368
+	£ = 4 (2ctg -2^- + tg£) - 2ctg 2x.
Но, положив = а, получим 'для выражения в
скобках
2ctg 2а + tg а = ctg 2а + (ctg 2а + tg а) ==
= ctg 2а + cos2acosa + sin2asina - ctg 2а I cos(2a~a) _
®	’	sin 2а cos а	° sin 2а • cos а
= _cos 2a । _J_= L±£2L2L = ctg а = ctg—
sin 2а sin 2а sin 2а	°	° 2ft ’
Итак,
S* = -^-ctg^- —2ctg2x.
Равенство доказано.
769.	1. При n=l неравенство справедливо, так как
/ 4 < 3. 2. Если неравенство справедчиво при n = k,
то оно справедливо и при п = k + 1. Действительно,
обозначив левую часть неравенства через <S„, будем
иметь
SA+1 = /4 + 5* < /Т+~3 = /"7 < 3.
770.	1. При п = 2 неравенство справедливо, так как
(1 + а)2 = 1 + 2а + а8 > 1 + 2а, (а8 > 0).
2. Пусть неравенство справедливо при п = k. Пока-
жем, что тогда неравенство справедливо и при п— Л + 1.
Действительно,
(1 + а)*+* = (1 + а)*(1 + а) > (1 + ka) (1 + а) >
> 1 + (£ + 1)а.
771.	Здесь имеет смысл считать лишь_п >2. При
п = 2 получим квадрат. Для него а4 = R |/ 2, т. е. дока-
зываемая формула справедлива. Пусть формула справед-
лива для n=k. Докажем справедливость ее для п=&+1,
пользуясь формулой удвоения. Получим
a^+i = У 2R2 — 2Rу=
(k — 2) двойки
24 к. у. Шахно
369
= ]/ 2&-&у 4-^2-J/ 2+1^2+.. + /2 j =
(k — 2) двойки
*]/2- ]/2+y 2+ ... +y~2 •
(k — 1) двойка
Формула доказана.
772.	1. При п = 1 утверждение справедливо, так как
прямая, проведенная на плоскости, делит эту плоскость
на две части. 2. Пусть утверждение справедливо при
п = k, т. е. плоскость разделена k прямыми на 2k час-
тей. Тогда (&4-1)-я прямая, проходящая через ту же
точку, разделит надвое каждую из тех двух частей плос-
кости, которые заключены между двумя ранее проведен-
ными прямыми, ближайшими к последней. Значит плос-
кость будет разделена на (2k 4- 2) части,
773.	1. При п = 1 утверждение справедливо. 2, Пусть
при п = k эта сумма Sk = (2k—I)2. Заметим, что первый
член &-й строки равен Л, число членов строки равно
(2k— 1) и последний член равен (3k— 2). Строка
(k + 1)-я получится из строки А?-й, если к каждому
члену #-й строки прибавить по единице и затем при-
писать справа два следующих по порядку числа. Поэтому
получим
4- (2k — 1)4“ ЗА? 4“ 36 1
= (2k — 1)24-8А?=(2А?4“1Л
Утверждение доказано.
774.	Пусть в плоскости М проведена прямая АВ.
Она разделит плоскость М на полуплоскости и М2.
Одну, из этих полуплоскостей можно закрасить красной
краской, а другую — синей. Таким образом, при п = 1
утверждение доказано.
Предположим, что при п = k утверждение также спра-
ведливо. Это означает, что после проведения k различ-
ных прямых на плоскости М плоскость так разбилась на
области, что смежные области закрашены различными
красками (красной и синей). Проведем (k 4- 1)-ю прямую,
которую назовем CD. Прямая CD разделит плоскость М
на полуплоскости Nx и N* Перекрасим полуплоскость N2
так, чтобы там, где до проведения CD было закрашено
370
синей краской, после проведения CD было бы закрашено
красной и, наоборот, где раньше было закрашено крас-
ной краской, теперь было бы закрашено синей. В полу-
плоскости Nx сохраним прежнюю окраску. Рассмотрим
теперь две произвольные смежные области Ру и Р2. Об-
ласти Pi и Р2 могут лежать по разные стороны от CD,
но могут лежать и по одну сторону от CD. В первом
случае и Р2 после проведения k прямых и до проведе-
ния прямой CD составляли одну область и имели одина-
ковую окраску. После проведения прямой CD та часть ее
(?! или Р2), которая оказалась в полуплоскости Nb сохрани-
ла свою окраску, а другая часть (Р2 или Р^, оказавшаяся в
N2, изменила свою окраску. Поэтому смежные области Pt
и Р2 в первом случае окрашены разными красками.
Во втором случае области Pt и Р2 после проведения k
прямых и до проведения прямой CD составляли две раз-
личные области, те же, что и после проведения CD.
Если теперь они находятся в полуплоскости Nlt где
окраска сохранена прежняя, то они закрашены разными
красками, потому что раньше были закрашены разными
красками. Если теперь они находятся в полуплос-
кости N2, где красная окраска заменена синей, а синяя—
красной, то они закрашены разными красками, потому
что до проведения CD они были закрашены разными,
хотя и другими, красками.
Таким образом, утверждение справедливо и для
п = k + 1. Следовательно, оно еправедливо при любом п.
XII. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ
ГРАФИКОВ
775—781. Указание. Областью определения функ-
ции одного^ аргумента называется множество всех допус-
тимых значений этого аргумента. Для элементарной функ-
ции, определяемой посредством математического выра-
жения, допустимыми считаются все те вещественные
значения аргумента, при которых математические опера-
ции, входящие в данное выражение, имеют смысл, а чис-
ленная величина выражения является вещественным чис-
лом. При нахождении области определения элементарных
функций следует помнить, что:
1)	знаменатель дробного выражения не должен обра-
щаться в нуль;
24*	871
2)	выражения, находящиеся под знаком корня четной
степени, должны быть неотрицательными;
3)	выражения, возводимые в иррациональную степень
или в степень, содержащую в показателе аргументы,
должны быть положительными, а при положительном по-
казателе — неотрицательными;
4)	выражения, находящиеся под знаком логарифма,
должны быть положительны;
5)	выражения, находящиеся под знаком арксинуса или
арккосинуса, должны по абсолютной величине не превос-
ходить единицу;
6)	выражения, находящиеся под знаком тангенса или
секанса, не должны равняться ——к, где k = 0, + 1,
±2,	;
7)	выражения, находящиеся под знаком котангенса
или косеканса, не должны равняться kv, где k = О,
+ 1, + 2, ...;
8)	основание и показатель степенно-показательного
выражения uv не должны одновременно обращаться в
нуль.
775. а) 2 — х2_> 0, х2 < 2, | х | <
— у 2 < х < J2 Область есть замкнутый промежу-
ток [— /‘г, /Ц.
б)	х2 — 4 > 0, х2 > 4, | х | > 2. Область состоит из
двух промежутков: (—оо, —21,	[|Л 2, + оо).
в)	>0; х < — 3 и х > — 1. Область состоит из
7 х + 3
двух промежутков: (—оо, —3), [—1, + оо].
г)	Решив неравенство х(х + 2) (х — 3) (х — 4) > 0
(см. решение задачи 638), получим: х < —- 2, 0 < х < 3,
х > 4. Следовательно, область состоит из трех проме-
жутков: (—оо, —2], [0, 31, [4, + со).
д)	х > 0, х — 1 > 0. Отсюда х > 1, а область
[1, + оо).	______
е)	х — 1 > 0 и х — 2К х — 1 > 0. Но последнее
неравенство равносильно такому: (К х—1—1)2> 0, так
что должно быть х > 1. Следовательно, область опреде-
ления есть промежуток [1, + оо)
776.	а) 2 —2~*>0, 2~*<2,	— х<1, х > — 1.
Область есть промежуток [— 1, + оо).
372
б)	х — 1 =h 0. Область состоит из двух промежутков:
(—	1) и (1, 4 оо).
в)	и г) Областью является множество всех положи-
тельных чисел.
777.	а) х2 — 1 > 0, х2 > 1, | х| > 1; х < — 1 и х > 1.
Областью являются два промежутка: (—оо, — 1)
и (1, 4 со).
б)	х + 1 > 0, х — 1 > 0; х > 1 Область (1, 4 оо).
в)	х2 — Зх 4 2 > 0, (х — 1) (х — 2) > 0; х < 1 и х > 2.
Область состоит из двух промежутков: (— оо, 1)
и (2, 4 оо),
г)	log3 (х — 1) > 0. Отсюда х — 1 > 1, а х > 2.
Областью является промежуток [2, 4 со).
778.	а) Все неотрицательные числа, т. е. промежуток
[0, 4 со)
б)	Все вещественные числа, т. е. промежуток
(----- ОО, 4 оо)
779.	a) sinx=/=0; х =4 kit, где k = 0, ± 1, + 2, ...
Таким образом, область есть множество всех веществен-
ных чисел за исключением чисел вида kit. Иначе: область
есть множество всех промежутков вида (kit, (k 4 1)л),
где k = 0, +1, ±2, ...
б)	sin 4х > 0, 2kit < 4х < (2k 4 1)^, -4р- < х <
2k I 1
< —Область состоит из множества всех промежут-
Г kit 2k ~j- 1*1 к. м । 1	t о
ков вида —2“. —, где k = 0, ±1, ±2, ...
в)	Множество всех вещественных чисел, исключая
х = 0.
г)	Должно быть tg2 х — (К~3 + 1) tg х + КЗ > 0 или
(tgx— 1) (tg х— К 3) > 0. Решение последнего неравен-
ства сводится к решению следующих двух неравенств:
tg х < 1 и tg х > ]/3. Из них находим, что
kit----- < х < kit + и	.
Итак, область состоит из множества всех интервалов
вида
----тр + -7-
и вида kit 4- kit -р ,
о	Z /
где k = 0, +1, ±2, ...
373
780.	а) Должно быть log^ sin x > 0. Если a > 1, то
это равносильно требованию sinx> J. Но sinx не может
быть больше единицы, а равен единице он будет при
4Л 4- 1
х = ——к. Таким образом, областью в этом случае бу-
4Л I 1
дет множество всех чисел вида —л, где k = 0, + 1,
+ 2, ... Если же 0<а<1, то это равносильно требо-
ванию 0 < sin х < 1 или sin х > 0. В этом случае об-
ластью будет множество всех промежутков вида (2&л,
2£л + 2л), где k = 0, + I, +2, ...
б)	Должно быть lg tgx > 0. Так как здесь основание
больше единицы, то последнее неравенство равносильно
такому: tg х > 1. Отсюда k-к +	< х < kn + Следо-
вательно, область состоит из множества всех промежут-
ков вида (kv Н—где Ас=0, + 1, ± 2, ...
в)	Так как |sinx + cosx| <У 2 < 1,5 (см. решение
задачи 697), то областью является множество всех ве-
щественных чисел.
781.	а) Должно быть < 1. Отсюда | х | > 3 или
х < — 3 и х > 3. Область состоит из промежутков:
(— со, — 3J и [3, + со).
2|г|
б)	Должно быть ~-Ja- < 1. Но это неравенство тож-
дественное, так как 21 х | < 1 4- х2, 1 4- х2 — 21 х | > 0,
(1 — | х |)2 > 0. Поэтому областью является множество
всех вещественных чисел.
в)	Должно быть —l<arcsinx<l. Область |—sin 1,
sin 1].
782.	а) Период	так как
(2
X-b-jj-л
о	х + 8л	х
б)	<о = 8л, так как cos—— с= cosl 4- 2л j = cos-p
в)	Период первого слагаемого равен а второго
Период суммы должен содержать целое число раз как у,
374
так и Такое наименьшее число есть it, которое
и является периодом.
г)	Рассуждая так же, как в пункте «в», убедимся,
что 12к— период функции.
д)	Так как у = -^-sin х + -|-sin 2х, то период функ-
ции равен 2тс.
783. а) Период функции равен *^ = 1.
б) Период sin]/ 2х есть -p==-i а период соэ^Зх
есть	Если бы функция sin]/~2"x cos]/Зх была
периодической, то ее период ш =Н= 0, как нетрудно видеть,
должен бы при делении на -7===- дать целое число и
точно так же при делении на
Z*	2&7C
ДОЛЖНО быть со =	—И ш =
2тс
'ПГ
2/к
Это значит, что
где k и I какие-то
целые числа. Но тогда
2/гл:	2/тс
/т ” Ут
или
I
что
невозможно, так как в левой части равенства находится
иррациональное число, а в правой — рациональное. Та-
ким образом, рассматриваемая функция непериодическая.
784 — 812. Указание. При построении графика
функции нужно изучить свойства функции, исследовать
функцию. Построение графика функции «по точкам», без
учета ее свойств и особенностей, может привести к гру-
бым ошибкам. Для построения графика нужно прежде
всего найти область определения функции. Затем полезно
выяснить, не симметрична ли линия относительно оси OY
или начала координат, найти, по возможности, ее наи-
большее и наименьшее значения, выяснить значения функ-
ции на границах области определения. После этого можно
взять несколько точек для уточнения линии, в частности,
точки пересечения линии с осями координат. Если функ-
ция периодическая, то при построении можно ограни-
читься любым промежутком а < х < Ь, взятым из области
определения функции, если b — а = <о, где <о — период
функции. Полезно так же помнить, что если функция
у = f(x) — четная, т. е. /(— х) = f(x)9 то ее график есть
375
линия, симметричная относительно оси ординат; если
функция у = f(x) — нечетная, т е. /(— х) = — f(x), то ее
график есть линия, симметричная относительно начала
координат.
784.	Область определения — множество всех вещест-
венных чисел. Линия симметрична относительно оси ор-
динат, так как
(— х)4 — 2(— х)24- 2 =
= х« — 2х2 + 2.
Поэтому достаточно рас-
смотреть лишь х > 0. Вы-
деляя полный квадрат,
получим у = (х2—I)2 4- 1.
Если х = 1, то у — 1.
X Это — наименьшее значе-
ние функции. Если х-* + оо,
то у -► 4- ос. Если х =0,
то у е 2. Это точка пере-
осыо ОХ она не пересека-
I > 0. Взяв еще дополни-
сечения линии с осью OY. С
ется, так как у — (х2 — 1 )2 4-
1	п
тельно точки для х = и для х = 2, получим такую
таблицу для х > 0 (рис. 20).
X	0	0,5	1	2	-*4-оо
У	2	— 1,5	1	10	-> 4- оо
Рис. 21.
785.	Область определения — множество всех вещест-
венных чисел. Но с увеличением х на 2 и k увеличи-
вается на 2, а поэтому
значение функции не ме-
няется. Значит функция
периодическая с перио-
дом 2. Поэтому достаточно
построить график функции ‘
в промежутке — 1 < х < 1,
что соответствует k = 0.
Для этого случая у = х2
(рис. 21).
376
786.	Так как | х | = х для х > 0 и | х | = — х для
х < О, то у = х для х > О и у = ~ х для х < 0. Г рафик
функции состоит из двух полупрямых, являющихся бис-
сектрисами первого и второго координатных углов
(рис. 22).
787.	Так как | х + 21 = х + 2, если х > — 2 и
|х 4- 2| = — (х + 2), если х < — 2, то функцию можно
записать так: у = х + 2 для х > — 2 и у = — х — 2 для
х < — 2. Функциям же у = х + 2 и у = — х — 2 соот-
ветствуют прямые линии, из которых первая проходит
через точки (—2, 0) и (0, 2), а вторая — через точки
(—2, 0) и (0, —2). Поэтому искомый график состоит
из двух полупрямых, определяемых написанными выше
уравнениями. Эти полупрямые выходят из точки (— 2, 0)
и расположены от оси абсцисс со стороны положитель-
ных ординат (рис. 23).
788.	а) Если х < 1, то | х — 11 = 1 — х, |х — 2| = 2—х,
у = — 2х + 3. Этому уравнению соответствует прямая,
проходящая через точки (0, 3) и (1, 1), а при условии
х < 1 ему соответствует полупрямая, выходящая из точ-
ки (1, 1) и расположенная от оси абсцисс со стороны
положительных ординат.
б) Если 1 < х < 2. то |х—1| = х—1, |х — 2| ==
— 2 — х, у — 1. Этому уравнению соответствует прямая,
параллельная оси абсцисс и проходящая через точку
(1, 1), а при условии 1<х<2 ему соответствует от-
резок этой прямой, заключенный между точками (1, 1)
и (2. 1)
в) Если х > 2. то |х — 11 = х — 1, |х — 21 = х — 2,
у = 2х — 3. Этому уравнению соответствует прямая.
377
проходящая через точки (2, 1) и (0, —3), а при условии
х > 2 ему соответствует полупрямая, выходящая из
точки (2, 1) и расположенная от оси абсцисс со сто-
роны положительных ординат. График функции изобра-
жен на рис. 24.
789., у = —х\х
— х2, если х > 0;
х2, если х < 0.
Г рафик функции состоит из части параболы у = х2, соот-
ветствующей х < 0 и части параболы у = — х2, соответ-
ствующей х > 0 (рис. 25).
790.	Если х2>1, т. е. |х| > 1, то у=|х2—1|=х2—1.
Уравнению у = х2 — 1 соответствует парабола, проходя-
щая через точки (—1, 0), (0, —1), (1, 0), а при усло-
вии | х | > 1 ему соответствуют ветви этой параболы,
выходящие из точек (— 1,
0) и (1, 0). Если х2 < 1,
т. е. |х|<1, то у=\хг—1|=
Ш= 1 — х2. Уравнению
у =—х2 4- 1 соответствует
парабола, проходящая
через точки (—1,0), (0, 1),
________________________„ (1, 0), а при условии
-/\ у*~Л |х| <1 ему соответствует
отрезок дуги этой пара-
болы, ограниченный точ-
ками (—1, 0) и (1, 0).
Рис. 26.	График функции изобра-
жен на рис. 26,
378
791.	График функции получится из графика параболы
у— х2 — Зх + 2,
если часть ее, находя-
щуюся под осью абсцисс
(где у < 0), заменить сим-
метричной ей линией от-
носительно оси абсцисс
(рис. 27).
792.	Область опреде-
ления (—со, + со). Кри-
вая симметрична отно-
сительно оси ординат и	Рис 27.
вся расположена над осью
абсцисс. При х = 0 функция принимает наибольшее зна-
чение у = 1. При х > 1 функция убывает *, и если
х-> + со, то у-*-0 (рис. 28).
Рис. 28.
793.	Область определения (—,оо, + со). Кривая сим-
метрична относительно начала координат. Так как
„ _ X _____ X
V ~ 1 + х2 — 1-j-x2—2xj-2x=
X	1
=(*-1)а+ 2х= (х- 1)а	’
X
то отсюда видно, что при
х = 1 функция имеет наи-
большее значение у =
* Функция f(x) называется убывающей (возрастающей) в некото-
рой области, если она определена в этой области и если для любой
пары X} и х2 принадлежащих ей значений из х± < х2 следует
t(*l) > М [/(Х1) <
379
При х = 0 и у = 0. Если О < х < 1, то функция возрас-
тает; если х> 1, то функция убывает. Когда х-> -f со,
то у =——-г-->0 (рис. 29).
1 +4-
794. Функция у = log2 (— х) определена для х < 0.
Ее значение при х = — а (а > 0) совпадает со значением
функции у= log2 х при
х = а. Следовательно, гра-
фики функций у= log2 (—х)
и у = log2 х симметричны
относительно оси ординат.
Но график функции у =
= log2 х общеизвестен, по-
этому график данной функ-
ции будет иметь вид,
изображенный на рис. 30.
795.	Область определе-
ния — множество всех ве-
щественных чисел, за исключением нуля. Кривая симметрич-
на относительно оси ординат, так как log2|—х|= log2 |х|.
Но при х > 0 у = log21 х | = log2 х, и отсюда ясно, что
график данной функции будет состоять из графика функ-
ции у = Iog2 х и симметричной ему линии относительно
оси ординат (рис. 31).
796.	График данной функции будет в промежутке
[1, + оо) совпадать с графиком функции у — log2 х, а в
380
промежутке (0, 1] являться зеркальным отображением
функции у = log2 х в оси абсцисс (рис. 32).
797.	Область определения функции есть промежуток
(—оо, + оо), но для .построения достаточно рассмотреть
промежуток [0, л], потому что у = 2sin 2х имеет период
<о = л. При х = ~ функция имеет наибольшее значение
з
у —2, а при х = — л— наименьшее значение у=—2.
Рис *33.
Если у — 0, то X] = 0, х2 = х3 = л. В промежутке
О < х <~y функция возрастает, в промежутке-^-<х<-^-л —
убывает, в промежутке —к < х < тс — снова возрастает
(рис. 33).
798.	Функция имеет период «о = 4л, поэтому доста-
точно ее исследовать в промежутке [0, 4л]. Это иссле-
дование проводится ана-
логично исследованию,	и
проведенному в зада-
че 797. График функ-
ции изображен на
рис. 34.	______ д-
799.	Период функции	f	" *
= Функция при-
водится к виду
__	/	ч	Рис 34
у — р4 2 sin (+ 4ху.
381
Исследование ее в промежутке	сходно с ис-
следованием функции в задаче 797. График функции
см. на рис. 35.
800.	График симметричен относительно оси ординат.
При х > 0 график данной функции и график функции
z/ = sihx совпадает (рис. 36).
801.	Для всех х, для которых sinx>-0, график дан-
ной функции и график функции у = sin х совпадают. Для
всех х, для которых sin х < 0, график данной функции
Рис. 37.
и график функции у = sin х симметричны относительно
оси абсцисс (рис. 37).
382
802. График получится суммированием ординат графи-
ков функций у = х и у = sin х, соответствующих одному
и тому же значению
абсциссы. Кривая сим-
метрична относитель-
но начала координат,
так как
(— х) 4- sin (— х) =
= — (х 4- sin х).
График функции дан
на рис. 38.
803.	Область опре-
деления (— со, 4- со).
Но данная функция
периодическая с пе-
риодом 2it. Поэтому
достаточно построить
график ее в промежутке £—у, у itj . Если —у <х< у,
то у = arc sin (sinx) = х, а если у	то
ния функции — множество всех вещественных чисел, но так
как она имеет период <o=2it, то будем ее исследовать в про-
межутке [0, 2itJ. Если
0 < х < it, то
у = arc cos (cos х) = х;
если же it < х < 2it, то
у ~ arc cos (cos х) =
arc cos [cos (2it — х)] =
= 2ir — х,
так как 0 < 2z — х < it.
у = arc sin (sin х) = it — х
(см. задачу 544). Отсюда
видим, что график данной
функции в промежутке
Г « з *]
----2~, -у К СОСТОИТ ИЗ
двух отрезков прямых
(рис. 39).
804.	Область определе-
383
Отсюда видим, что график данной функции в промежутке
[О, 2к] состоит из двух отрезков прямых (рис. 40).
805.	Равенство у = hxc cos (cos х) равносильно равенст-
ву cos у = cos х. Но тогда
получим у = 2k я + х, где
& = 0, ±1, ±2, ...
Рис. 41.
гие 135°. Расстояние между
Отсюда видим, что
I У — Arc cos (cos х)
функция бесконечнознач-
ная. График функции со-
стоит из двух семейств па-
раллельных прямых. Одни
из них образуют с осью
абсцисс углы 45°, а дру-
прямыми каждого семейства
равно к у 2 (рис. 41).
806. Область определения — множество всех вещест-
2k 4- 1
венных чисел, за исключением чисед вида——к, где/?—
любое целое число. Так	у
как данная функция пе-
риодическая с периодом
а) = тс, то достаточно ис- / у/ /	/ S
следовать функцию в / yr /Ку- / у/ &
промежутке (—“У’у)-	|
Если----у < х то	Рис 42
у = arc tg (tg х) = х.
Поэтому график данной функции в рассматриваемом ин-
тервале состоит из отрезка прямой, ограниченного точка-
ми (—1, — 1) и (1, 1) (рис. 42).
807. Область определения функции есть множество
всех вещественных чисел. Преобразуем выражение, опре-
деляющее функцию. Пусть k < х < k + 1, где k — целое
число. При х = k и у = k. Пусть теперь х = k + а, где
0 < а < 1. Получим
2(^ + а)~1
У~ 2
1 are tg [tg
2а — 1
2
= k +
1	.(. 2а — 1 \	, 2а — 1
- arc tg ^tg	=k + -T-
384
1 2а — 1	, . 2а — 1 2а - 1	.
_.__я=в£+__------
так как
л_2а — 1	_л
Т<—
и, следовательно,
(2сс_11 2а__1
tg—2—itj=—g—п (см- задачу 545).
Итак, если А<х<А4-1, то y~k. Очевидно, для
&4-1<х<&4-2 функция у = k 4-1. Отсюда видим, что
график данной функции в про-
межутке k < х < k 4- 1 пред-
ставляет собой отрезок прямой,
параллельной оси абсцисс и от-
секающей на оси ординат на-
правленный отрезок, равный k.
Правые концы этих отрезков не
принадлежат графику (рис. 43).
808. Область определения
функции определится из систе-
мы неравенств: 1 — х > 0, х > 0.
Это даст 0 < х < 1. Следователь-
но, областью является промежуток [0, Ц. Преобразуем дан-
ное выражение. Возьмем синус от обеих частей данного
равенства. Получим
sin у = sin (arc sin ]/1 —х 4- arc sin У~х) =
= sin (аге sin 1 — х) cos (arc sin У~х) 4-
4- cos (arc sin Kl — x) sin (arc sin У x) =
= ]/1 — хУ\ —x + У хУ~Х—1 — x + x=l.
Но так как
У~х > 0 и У1 — х > 0, то
0 < arc sin У1 — х <
О 1
Рис. 44,
м	• т/—	ТС
0 < arc sin у х < —
и 0 < у < тс. Поэтому из ра-
венства sin у = 1 следует
25 К. У. Шахно
385
у = Этот же результат можно было бы получить
и на основании задачи 560. Таким образом, графиком дан-
ной функции является отрезок прямой, ограниченный точ-
ками (о, и (1, 4) (рис, 44).
809. Область определения — множество всех вещест-
венных чисел, за исключением нуля, Преобразуем выра-
жение, находящееся в правой части равенства, пользуясь
формулами задач 568, 539 и 569. Если х > 0, то
У~ arctgx — arcctg4 = 4 — arctg4-arcctg4- -
XX	X	X
= -£---(arc tg~4 + arc ctg 4) = 4-T = °-
X	\	X	Л j	a	L
Если x < 0, то
у = arc tgx —arcctg 4 = —1-arct§4----arc ctg у =
7C/.1,	1 1 I	7U	7U
= - T - (arc tg — + arc ctg —) =-
,y	Итак, графиком данной функ- ции будет для х > 0 поло- жительная полуось ОХ. а для х < 0 полупрямая, параллель-
0	л ная оси ОХ, и отсекающая на оси OY отрезок, величи-, ною — тгг считая от начала
	1i	координат (рис. 45). 810. Область определения
Рис. 45.	— множество всех вещест- венных чисел, за исключе-
нием—1. Преобразуем	данное равенство. Возьмем тан-
гене от обеих частей равенства. Получим
tgу = tg (arc tg х + arc tgy^j =
l8<arctg,)+tg(.rcte4^-) « + 4?Т J+l ,
/	1 __ Y \	"	>	1 _ Y 1 4- X2
1 — tg(arc tgx) tg I arc tg 2__	1 — x-A——
\	1 T X /	1 -f- X
386
Следовательно, у = k те + -у. При этом, так как —^- <
<arctgx<-^-; — у <агс tg у и — TC<arctgx +
1 • X
+ arc tg + х < те, k может равняться только 0 или — 1.
Итак, получаем, что у = -2- или у = —-|-те. Если 1 + х < О,
то, очевидно, —4<arctgx<0; — 4 <агс tg -!• , * < 0 и
z	*	1 -J- X
о
— я < У < 0. Ясно, что в этом случае у — —те. Если
1 4- х > 0, то, как
будут в интервале 0 < х
тельно, их сумма может
быть только положитель-
ным числом, а в интервалах
— 1 <х < 0 и 1 <_х < +оо
они разных знаков, и по-
этому их сумма будет нахо-
диться между — уи-Ь-|-.
Отсюда заключаем, что
у = 4» если х > — 1, и
з	1
у —----те, если х < — I.
легко выяснить,
arctgx и aretg-j-q-y
1 положительны и, следова-
	У £ Q	
	
— 1	о	х Рис. 46.
График функции состоит из
двух полупрямых, параллельных оси ОХ, из которых од-
на выходит из точки (—1, 4") и ВДет в сторону положи-
тельных абсцисс, а вторая выходит из точки! — 1, —
и идет в сторону отрицательных абсцисс. Сами точки
(— 1, 4) и (—	«^графику не принадлежат (рис. 46).
811. Область определения — множество всех вещест-
венных чисел, так как |	1 ПРИ всех х- ГРаФик
функции симметричен относительно оси ОУ. Поэтому рас-
сматриваем только х > 0. Из данного равенства получаем
1— X»
25*
387
Эта формула напоминает формулу, выражающую косинус
угла через тангенс половинного угла. Естественно поэто-
му вычислить tg -у-. Находим, что
*е + =
1/1 — cos у
V 1 -j- cos у
= У X2 — X,
причем перед радикалом взят знак плюс, потому что
О < // О, 0 < -у < 4 и> следовательно, tg -у > 0. Из
ж У
равенства tg у = х по-
лучаем у = arc tg х или
у = 2 arc tg х. Значит
график данной функции
для х>0получитсяиз из-
вестного графика функ-
ции у = arc tg х удвое-
нием ординат последне-
го (рис. 47).
812. Область опре-
деления функции промежуток [—1, 1]. Положим
arc cos (2ха— 1)=z. Получим cos г=2хг— 1, причем 0 -< г < к.
Равенство cos г — 2х2 — 1 напоминает формулу, выражаю-
щую косинус угла через косинус половинного угла.
Естественно поэтому вычислить cos-^-. Находим
cos i	_ /.1 + у-‘.. -= Г? = |х|.
Следовательно,
z=2arccosx, если х> 0 и z=2arccos( — х),
если х < 0. Таким образом, если
х > 0, то у = 2агс cos х 4- 2агс sin х = тс; если х < 0, то
у = 2агс cos (— х) 4- 2arc sin х = 2	— arc sin (— х) j 4-
4 2агс sin х = тс 4- 2 arc sin х 4 2агс sin х = тс 4- 4агс sin х.
Г рафик функции для х > 0 есть полупрямая, параллель-
ная оси абсцисс, которая выходит из точки (0, тс) и идет
в сторону положительных абсцисс. График функции для
х < 0 получится из графика функции у = arc sin х, если
его ординаты увеличить в четыре раза и затем так полу-
388
У
ченную кривую поднять на величину тс, т. е. все ордина-
ты увеличить на тс (рис. 48).
813.	Если f(x)>0 для всей области определения, то
график функции у = | f (х) |
везде совпадает с графиком
функции у = f(x). Если же
в некоторых интервалах
f (х) < 0, то график функ-
ции у = | f (х) | в этих ин-
тервалах симметричен с гра-
фиком функции у = f (х) от-
носительно оси абсцисс, а
в прочих частях совпадает
с ним (см., например, зада-
чи 786, 787, 790, 791, 796,
801).
814.	График функции
у = f (|х|) симметричен относительно оси ординат, причем
для х > 0 он совпадает с графиком функции у = f(x) (см.,
например, задачи 786, 795, 800). Если функция у = f (х)
определена только для х< 0 (например, f(x) = У —х)
то выражение f (|х|) не имеет смысла.
815.	Уравнение ху = 0 распадается на два уравнения,
х = 0 и у = 0. Первому соответствует ось ординат, пото-
X
-1
о 1
Рис. 48,
му что только точки, расположенные на оси ординат,
имеют абсциссы, равные нулю. Точно так же убедимся,
что второму уравнению соответствует ось абсцисс. Поэто-
му уравнению ху = 0. на плоскости соответствуют все точ-
ки, расположенные на осях координат.
816.	Если х > 2, то | х — 21 = х — 2 = 1. Отсюда х = 3.
Если х < 2, то | х — 21 = 2
j;=l. Отсюда х=1. Уравнению
х=3 на плоскости соответст-
вует прямая, параллельная оси
ординат и проходящая через
точку (3, 0). Уравнению х=1
на плоскости соответствует
прямая, параллельная оси ор-
динат и проходящая через
точку (1, 0). Следовательно,
уравнению |х — 2| = 1 на пло-
скости соответствуют все точ-
ки расположенные на прямых
х = 3 и х = 1 (рис. 49)
389
817.	Уравнение хг=у* распадается на два независи-
мых уравнения: у = х и у = — х. Первому соответствует
биссектриса первого и третьего координатных углов, а вто-
рому— биссектриса второго и четвертого. Поэтому урав-
нению х2 = у2 на плоскости соответствуют все точки, рас-
положенные на биссектрисах четырех координатных углов
(рис. 50).
818.	а) Если х > 0, 2у— 1 > 0, то 2у 4-1 > 0, |х| — х,
|2у — 11 = 2у— 1, |2у + 1| = 2у+ 1 и уравнение прини-
мает вид
4	1
2у — 1 + 2у + 1 + ~т=х = 4 или у ~--------у=х + 1.
tr	»	у 3	» у 3 I
Этому уравнению соответствует прямая, проходящая че-
рез точку А (0, 1) и наклоненная к оси абсцисс под углом
150° (рис. 51). Но ,так как х.> 0 и	то точки рас-
положатся на отрезке этой прямой, ограниченной точками
Л(0, 1) и 4)-
б) Если х > 0, 2у + 1 < 0, то 2у — 1 < 0, | х | = х,
12у — 11 = 1 — 2у, 12у -j- 11 = — 1 — 2у и уравнение примет
вид
1 — 2у — 1 — 2у + 4= х — 4 или у = ~^= — 1.
3	у /3
Этому уравнению соответствует прямая, проходящая че-
рез точку D (0, — 1) и наклоненная к оси абсцисс под
390
углом 30°, Но так как х > 0 и # <--то точки распо-
ложатся на отрезке этой прямой, ограниченной точками
D(0, -1) и
в) Если х > 0, 2у — 1 < 0, 2у + 1 > 0, то | х | = х,
12у — 11 = 1 — 2у, | 2у + 11 = 2у + 1 и уравнение примет
вид
1 — 2у + 2у + 1 + х = 4 или х =
Этому уравнению соответствует прямая, параллельная оси
уз
ординат и отстоящая от нее на расстояние , считая от
начала координат в сторону положительных абсцисс. Но
так как----к- < у < то точки лежат на отрезке этой
прямой, ограниченной точками В	и С —4) *
Итак, при х > 0 точки, координаты которых удовле-
творяют данному уравнению, заполняют контур ABCD.
Так как подстановка в это уравнение — х вместо х не ме-
няет вида уравнения, то отсюда можно сделать вывод,
что и слева от оси ординат есть точки, координаты кото-
рых удовлетворяют данному уравнению, и что они запол-
няют контур ABiCJ), сим-
метричный с ABCD отно-
сительно оси ординат, В
целом получится контур
правильного шестиугольни-
ка (рис. 51).
819. Так как уравнению
х = 4“ соответствует пря-
мая, параллельная оси ор-
динат и проходящая через
точку!0кто точки, коор-
. 1
динаты которых удовлетворяют неравенству х > -у, запол-
нят полуплоскость, расположенную правее этой прямой,
исключая граничные точки, т. е. точки самой прямой
(рис. 52).
391
820. Так как в этом случае выполняется соотношение
— 3 < х < 3, то точки, удовлетворяющие своими коорди-
натами данному неравенству, расположены в полосе, огра-
ниченной прямыми х = 3 и х — — 3, но исключая точки
самих прямых. Эти прямые параллельны оси ординат
и отстоят от нее на расстояния, равные 3 (рис. 53).
821. Точки расположены выше прямой, уравнение ко-
торой х + У + 1 = 0 (рис. 54).
822. Выше прямой у — х — 3 = 0 и одновременно ниже
прямой у — 2х + 1 = 0 (рис. 55).
823. Выше прямых 2х + у — 2 = 0 (I) и х — у = 0 (И)
Рис. 55.
Рис. 56.
392
824. Данное неравенство равносильно следующим:
— 1 < х + у < 1 (см. задачу 660). Следовательно, точки
находятся в полосе между прямыми х + у —1=0 и
х + г/+1=0инаее границах (рис. 57).
825. Если х>0, у>0, то получим 0<х + у<1.
В этом случае точки находятся в прямоугольном треуголь-
х + у= 1,
контуре.
нике, отсеченном от первого квадранта прямой х -f- у = 1
(рис. 58) и на его контуре. Случаи х < 0, у < 0; . х > 0,
у < 0; х < 0, у > 0 дадут, соответственно: — 1 < х + у < 0,
0 < х — у < 1, — 1 -С х — у < 0. Очевидно, точки, соответ-
ствующие всем этим четырем случаям, расположатся
внутри квадрата, образованного прямыми
х + у = — 1, х — у = — 1, х — у = 1 и на его
826. Данное нера-
венство равносильно
следующим:
— 1 <|х + 1| —|у —
— 11 < 1 (см. зада-
чу 660).
а)	Если х +1 > 0;
у — 1 > 0, то
— 1 <х — у + 2< 1.
Следовательно, в этом
случае точки распо-
ложены выше прямой
у = 1 (/), выше пря-
мой х — у + 1 = 0 (//),
393
ниже прямой х —’У + 3 = 0 {III) и правее прямой х = — 1
{IV). На рис. 59 эта область отмечена горизонтальной
штриховкой.
б)	Если х + 1 > 0, у— 1 < О, то — 1 < х 4-у < 1.
Следовательно, соответствующие точки расположены ниже
прямой у — 1 (/), ниже прямой х + у — 1=0 (/), выше
прямой х 4- у 4- 1 = 0 (У Г) и правее х = — 1 {IV). На
рис. .59 эта область отмечена вертикальной штриховкой.
в)	Случай х 4-1 < О, у — 1 > 0 приведет к неравенствам
— 1 < х 4- у < 1, а случай х 4-1 < 0, у — 1 < 0 — к не-
равенствам — I < х — у 4- 2 < 1. Очевидно, соответствую-
щие этим двум случаям точки расположатся в области,
симметричной заштрихованной горизонтально и вертикально
относительно прямой х = — 1 (косая штриховка).
827.	Данное неравенство равносильно такому |«/|<|х|,
которое приводится к следующим: —| х | < у < | х |. Если
х > 0, то — х< у < х
и соответствующие точки
расположены под пря-
мой у=х и над прямой
у = — х. Если х < 0,
то х < у < — х и соот-
ветствующие точки рас-
положены под прямой
у — — х и над прямой
у = х. Следовательно,
точки, координаты кото-
рых удовлетворяют дан-
ному неравенству, рас-
положены в правом и
левом углах, образованных прямыми у = х и у = — х
(рис. 60).
828.	В сегменте, отсекаемом прямой у — х от парабо-
лы, у = ха (рис. 61).
829 — 834. Указание. Вещественные корни уравне-
ния [ (х) = 0 можно толковать геометрически как абсциссы
точек пересечения графика функции y = f{x) с осью аб-
сцисс. Таким образом, число таких точек даст число ве-
щественных корней уравнения f (х) = 0. Вещественные
корни уравнения Д (х) = Д (х) можно толковать геометри-
чески как абсциссы точек пересечения графиков функций
у = Д (х) и у = Д (х). Таким образом, число последних
даст число вещественных корней уравнения Д(х) = Д(х).
394
Если начерчен график функции y = f(x), то, измерив
в выбранном для построения функции масштабе отрезки,
соответствующие абсциссам точек пересечения графика
функции у = f(x) с осью абсцисс, можно приближенно
определить корни уравнения /(х) = 0. Аналогичным спо-
собом можно прибли-
женно определить корни
уравнения Д (х) = f2 (х).
В этом состоит графи-
ческий способ решения
уравнений. Степень точ-
ности графического ре-
шения уравнения суще-
ственно зависит от вы-
бранного масштаба по-
строения графика. Если
вблизи точек пересече-
ния графиков выполнить
построение в достаточно большом масштабе, то можно
получить корни уравнения с высокой степенью точности.
829.	Строим графики функций у = sin х и у = х. Они
имеют одну точку пересечения (рис. 62). Следовательно,
уравнение имеет только один корень х = 0.
830.	Строим графики функций у 2х и I/ = х + 2.
Из рис. 63 видно, что графики пересекаются в двух точ-
ках. Следовательно, уравнение имеет два корня. Один
корень х = 2. Другой корень, как видно из рисунка, за-
ключен в интервале (—2, —1). Последнее легко прове-
рить вычислением. Действительно, подставив в f(x) = 2x—
— х — 2 сперва х — — 2, а затем х =— 1, получим
/(—2) > 0 и f(—1) < 0. Следовательно, в интервале
(— 2, — 1) функция обращается в нуль.
395
831. Строим график функции у = 2х3 — бх2 + 1. Из
рис. 64 видим, что график пересекается с осью абсцисс
в трех точках. Следовательно, уравнение имеет три веще-
ственных корня. Из рисунка также видно, что один из
832.	Строим графики функций y = tgx и у = х. В си-
лу нечетности этих функций положительному корню
уравнения соответствует равный ему по абсолютной вели-
чине отрицательный корень того же уравнения. Поэтому
интересуемся лишь корнями неотрицательными. Из рис. 65
видим, что уравнение
имеет корень х0, а
затем корни, заключен-
ные в интервалах
/а 2*+1 \
• • •
С увеличением k корень
приближается к величи-
26 + 1	~	.
не —к. Таким обра-
396
зом, уравнение имеет корень х = 0 и бесконечное множе-
ство корней как положительных, так и отрицательных.
833.	Строим графики функций у = sin х и у = (ги-
пербола). Как видно из рис. 66, уравнение имеет беско-
нечное множество корней как положительных, так и отри-
цательных. Первый положительный корень содеожится
в интервале (0, -5-). а следующие положительные близки
к значениям к, 2те, Зя. ... В силу нечетности функций
у = sin х и у = -у каждому положительному корню соот-
397
ветствует равный по абсолютной величине отрицатель-
ный.
834.	Строим графики парабол у~—х* 2+10 и х=4—у2
(рис. 67) и измеряем абсциссы и ординаты их точек пере-
сечения. Находим: хх = 3, уг = 1; х2~ 3,3, t/2~ — 0»7;
—3,6, у3 ^ — 2,9;	— 2,8, у^ 2,6.
ХШ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
(Планиметрия)
835.	Дано: в ДЛВС АЕ\_СВ, BD}_AC, АЕ = BD.
Доказать: АС = СВ (рис. 68). ДЛВ£> = /\АЕВ, потому
что у них общая гипотенуза АВ
£	и равные, по условию, катеты АЕ
Ал BD. Следовательно, равны и
углы DAB и ЕВА, как углы рав-
ных треугольников, лежащих про-
тив равных сторон DB и ЕА. Но
тогда АС=СВ, как стороны А АВС,
лежащие против равных углов ЕВА
В и DAB.
836. Дано: в /\АВС AD = DC,
Рис. 68.	BE = ЕС, АЕ = DB. Доказать:
АС = ВС (рис. 68). Точка пересе-
чения медиан О отсекает от медианы часть ее, считая
О
2	2
от основания. Поэтому АО = -у АЕ=-^ BD = ВО и
А АО В — равнобедренный. Но тогда Z DBA = Z ЕАВ,
а следовательно, и /\DBA = /\ЕАВ, как имеющие равные
углы (Z DBA = Z ЕАВ), заключенные между равными
сторонами (АЕ = BD по условию, АВ — общая). Отсюда
вытекает, что AD = BE, как стороны равных треугольни-
ков, лежащих против равных углов. Но так как AD= АС,
ВЕ=~ ВС, то АС = ВС.
837. Дадим два доказательства этой теоремы.
Доказательство I. Пусть в А АВС (рис. 69) биссек-
трисы AD и СЕ равны. Нужнее доказать, что А АВС—равно-
бедренный. Проведем третью биссектрису ВО, где О —
точка пересечения биссектрис. Возьмем теперь второй
398
экземпляр этого треугольника и будем соответственные
точки обозначать теми же буквами, но снабженными знач-
ком 1. Приложим	к Л АВС так, чтобы верши-
на Ci совпала с точкой D, биссек-
триса CtEi с DA, а вершины В и
Bt были расположены по одну
сторону от линии совмещения этих
биссектрис (рис, 70). В силу ра-
венства углов В и Bi заключаем,
что вокруг четырехугольника
ADBBt можно описать окруж-
ность. Покажем, что AD || BBV
Действительно, на основании
теоремы о внешнем угле тре-	Рис. 69.
угольника можем написать:
Z BOD = Z BAD 4- Z ОВА. Но Z BAD = Z BBtD (впи-
санные, опирающиеся на одну и ту же дугу), a Z.OBA =
= Z.OiBiD (половины, равных углов В н Вг). Поэтому,
Z BOD = Z BBiOi или Z BBiOr + Z BOOi = 2d.
Таким образом, вокруг четырехугольника OBBfli мож-
следует, что АВ = ВС,
ный.
но описать окружность, а так
как у него OiBi = ОВ, как один
и тот же отрезок биссектрисы
угла В, то дуги окружности,
описанной вокруг четырехуголь-
ника O,OBBb стягиваемые хор-
дами OiBi и ОВ; будут равны.
В таком случае ООГ || BBi или
AD || BBV Итак, четырехугольник
ADBB, есть вписанная в окруж-
ность трапеция и потому равно-
бедренная трапеция. Но в рав-
нобедренной трапеции диагона-
ли АВ и BjD равны. Отсюда
т. е. что ДЛВС— равнобедрен-
Замечание. Так как при доказательстве было исполь-
зовано лишь условие AD = СЕ, а то, что AD и СЕ —
биссектрисы, не было использовано, то тем самым доказа-
на не только сформулированная выше теорема, но и сле-
дующая, более общая: если из двух вершин треугольни-
ка проведены к противоположным сторонам два отрезка,
имеющие точку пересечения на биссектрисе третьего
399
угла а равные между собой, то треугольник равнобедрен-
ный.
Доказательство II, Дано, что в дЛВС AE=BD
и АЕ и ВО—биссектрисы углов А и В (рис. 71). Нужно
доказать, что АС = ВС.
Проведем BF || АЕ и AF || BE. Пусть Z DBA = а и
Z ЕАВ = р. Рассмотрим треугольники ABD и ABF.
„	В этих треугольниках сторона АВ
Л	общая, a BF = BD, как равные од-
/\	ному и тому же отрезку АЕ (один
/ \ по построению, другой по условию).
О /	Если допустить, что Z DBA > Z ABF,
т- е- что «>Р (Z^BF=Z£'^B=P),
т0 сторона AD будет больше сторо-
ны AF, потому что в неравных тре-
угольниках с двумя соответственно
X	равными сторонами против большего
угла лежит и большая сторона.
F	Итак, имеем AD~>AF, если а>р.
Рис. 71.	Рассмотрим теперь /\ADF, в ко-
тором AD и AF являются сторонами.
В нем Z.ADF'^ Z.AFD. Действительно, Z/l£>F=180° —
— 23 — Z AMD = 180° —2р —(а-j- Z BDF) = 180° — а —
— Z BDF — р — р; Z AFD = 180° — Z MAF — Z AMF =
= 180° — 2а — (р + Z BFD) = 180° — 2а — р — Z BFD =
= 180°—а — Z BFD— р — а. Но Z BDF= Z.BFD, как углы
при основании равнобедренного /\BFD (BD — BF). Учи-
тывая, кроме того, что по предположению а > р, получаем
Z ADF > Z AFD. Но в треугольнике против большего
угла лежит и большая сторона, т. е. AF > AD. Однако
это противоречит полученному ранее: AD > AF.
Итак, а не может быть больше р, а ввиду равноправ-
ности а и р не может быть и а< р. Остается лишь а=р,
2а = 2р и, следовательно, АС = СВ.
Замечание. Доказательство II является доказатель-
ством от противного, но оно имеет зато одно преимуще-
ство перед доказательством I, состоящее в том, что тре-
бует меньшего объема знаний из начального курса геомет-
рии, так как использует лишь теоремы о равенстве и
неравенстве треугольников и о параллельных линиях. Из-
мерение вписанных углов и возможность вписать четырех-
угольник в окружность, используемые в доказательстве I,
здесь не требуется.
400
в
а
с
D
Рис. 72.
Подобно доказательству I, здесь также допускается
обобщение. Эта более общая теорема состоит в следую-
щем: если отрезки прямых АЕ и BD (рис. 71), проведен-
ные из вершины А и В /\АВС к противоположным сто-
ронам, пересекаются внутри треугольника, равны между
собой и разбивают углы А и В так, что Z В = «1 4- а2,
Z А = 4- р2, где а, и р, имеют общую сторону АВ, то
или а, > р, и а2 < р2 или «j < Pj и а2 > р2.
Доказательство этой теоремы ничем не отличается от
доказательства II, если только в выкладках доказательства
иметь в виду, что углы при основании треугольника не
2а и 2р, а а, + а2 и pj + р2.
838.	Дано, что в Д АВС (рис. 72) АО = ОС и
Z АВО — Z ОВС. Нужно доказать, что АВ = ВС, Про-
должим ВО на расстояние OD = ОВ и
точку D соединим с точками А и С. Так
как АО = ОС по условию, а О В = OD по
построению, то четырехугольник ABCD
параллелограмм. Но Z ABO = Z ОВС и
поэтому этот параллелограмм есть ромб.
Отсюда АВ = ВС.
839.	Дано, что в треугольниках АВС
и Лад : А = Z 4„ АС = 4,С, АВ 4-
4- ВС = 4,В, 4- В1С, (рис. 73). Нужно до-
казать равенство этих треугольников Про-
должим сторону АВ на отрезок BD = ВС
и точку D соединим с С. В равнобедрен-
ном Л CBD ZD = ZDCB, как углы при
основании, сумма их равна внешнему / АВС,
а потому 2 ABC=2z_ D. Делая аналогичные
для
Но
! построения
Л A^jCt, также установим, что Z.A1B1Cl = 2zD1.
/\ADC = Д 4,0,01, потому что у них Z.A = Z.AU
Рис. 73.
26 К У Шахно
401
AC=AtCh AD=AB + BD=AB 4- ВС=ДВХ 4-
Отсюда Z D = z Dt и Z ABC = Z АДс,, а тогда рав-
ны и третьи углы данных треугольников, т. е, Z АСВ ==
= Z А/^Ву Таким образом, в треугольниках АВС и
Z А = £ АС = А^ и Z АСВ = Z ДСЛ и, следова-
тельно, треугольники равны.
840.	Дано, что в треугольниках АВС и А^С^ Z АВС—
Z. A^fii, Z ВАС == Z АВ + ВС 4- АС = А^ 4-
4- BiCi 4- ^iCj (рис 74). Доказать равенство этих треуголь-
Рис. 74.
ников. Продолжим сторону АВ на отрезок BD = ВС и на
отрезок АЕ = АС и соединим точки D и Е с С. В равно-
бедренном треугольнике DBC Z.D = Z DCB, как углы
при основании, сумма их равна внешнему углу АВС,
а потому Z. D =	£ АВС, Точно так же докажем, что
Z Е = -j- Z ВАС. Делая аналогичные построения для
A ABiCp получим, что Z Z AJixCx и Z Ег ==>
= 4" z В1Л1С1. Но z АВС = Z АХВ£Ъ a Z ВАС «
= Z ВЛ^р поэтому ZD = ZO1, Z£ = ZEi. Кроме
того, ED = ЕгО1 = 2р и, следовательно, Л DEC =
=	Из равенства этих треугольников вытекает
равенство DC = Dfiv а так как ранее было доказано, что
Z D = Z Du то равнобедренные треугольники CBD
и C1BlD1 равны. Теперь имеем в треугольниках АВС
и A^Cjt ВС — ВЛ (боковые стороны в равных равнобед-
ренных треугольниках), Z АВС = Z А^З^ (по условию),
402
Z.ACB=Z.AlC1Bi (как дополняющие равные величины
до 180°). Отсюда ДЛВС = ^.А^С^
841.	Дано, что в трапеции ABCD AC = BD. Доказать,
что АВ = CD (рис. 75). Через вершину С проведем пря-
мую СЕ [| BD до пересечения с продолжением основания
AD в точке Е. В треугольнике АСЕ АС = СЕ = BD
(СЕ и BD — противополож-
ные стороны параллелограм-	____-£
ма), поэтому он равнобед- /х./уч.
ренный. Но тогда ZCEA=s /	\ х.
«= Z САЕ, как углы при ос- Д/ \А ч.
новании равнобедренного тре- р -----------JA—__
угольника, а так как Z BDA —	О
Z.CEA (соответственные), то	рис 75
и Z CAD = Z BDA, Переходя
к рассмотрению треугольников ABD и ACD, видим, что
они равны, потому что у них АС = BD, £CAD—Z_BDA,
AD — общая. Но тогда АВ = CD, как третьи стороны рав-
ных треугольников.
842.	Пусть АВ — DE и АВ D DE (рис. 76). Соединим
А с Е и В с D. В четырехугольнике ABDE стороны АВ
и DE равны и параллельны, и он, следовательно, есть
параллелограмм. Но диагонали параллелограмма в точке
пересечения делятся пополам. Итак, диагонали AD и BE
разделятся точкой О пополам. Но если рассмотреть теперь
четырехугольник AFDC, то также убедимся, что CF раз-
делится в точке О пополам. Итак, AD, BE и CF прохо-
дят через точку О.
843.	Пусть правильный треугольник АВС вписан в
окружность с центром в точке О (рис. 77). Возьмем на
26»	403
дуге ВС точку М. Требуется доказать, что МВ + МС =
= МА. Проведем BD || СМ. Пусть точка пересечения пря-
мых BD и AM есть Е. Покажем, что МВ = ME. Дей-
ствительно, углы треугольника АВС, как равностороннего,
равны 60°; Z АМВ = Z АСВ = 60° (вписанные, опирающие-
ся на одну и ту же дугу АВ); Z СМ А = Z СВ А — 60°
(вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу -4£>С);
2 МЕВ = Z СМ А = 60° (накрест лежащие при параллель-
ных СМ и DB и секущей AM). Итак, в треугольнике
МВЕ два угла по 60°, следовательно, и третий также
равен 60°. Поэтому треугольник МВЕ .равносторонний и
МВ = ME. Покажем теперь, что МС = ЕА. Соединим
точку D с точкой А. Треугольник DEA — равносторон-
ний, потому что Z DEA = £ МЕВ = 60° (вертикальные),
Z ADB = Z АСВ = 60° (вписанные, опирающиеся на одну
и ту же дугу АВ), £ DAE = 180°— Z ADE — Z DEA =
= 180° — 60° — 60° = 60°. Поэтому DE = АЕ. Соединим
теперь точку D с точкой С. Четырехугольник EDCM есть
параллелограмм, потому что Z CDB = / С АВ = 60° (впи-
санные, опирающиеся на одну и ту же дугу СВ), и, сле-
довательно, накрест лежащие углы CDB и DEA при
прямых CD и AM и секущей DB равны, что доказывает
параллельность CD и AM (DE [| СМ по построению). Но в
противоположные сторону равны и мы
имеем СМ = DE = ЕА. Оконча-
тельно AM = АЕ + ЕМ <= СЛ4+
+ МВ.
844. Пусть AD, BE и CF—
высоты остроугольного треугольни-
ка АВС (рис. 78). Нужно дока-
зать, что AD, BE и CF— биссек-
трисы треугольника DEF. Докажем,
например, что Z EDA = £ ADF.
Так как Z AFC = Z Л£>С=90°, то
вокруг четырехугольника AFDC
можно описать окружность. Тогда
убедимся, что Z ADF = Z ACF,
как вписанные, опирающиеся на
одну и ту же дугу AF. Точно
_____________ , что A EDA — ЕВА. Но из прямо-
угольных треугольников АВЕ и ACF получим Z АВЕ =
= 90° — Z ВАС = Z ACF. Следовательно, Z EDA=
параллелограмме
так же докажем,
= Z ADF.
404
845. На данном основании АС = а построим сегмент,
вмещающий данный угол (рис. 79). Соединим какую-либо
точку В* окружности с точками А и С. Получим треуголь-
ник АВС с данным основанием и данным углом при вер-
шине. Проведем теперь диаметр DF1AC и
окружность радиуса DA с
центром в D. Предполагая,
что точка В отлична от D,
продолжим АВ до пересече-
ния с построенной окруж-
ностью в точке Е и соеди-
ним ее с С, а точку D с
А, С и Е. Покажем, что
BE — ВС. Действительно,
Z ADC = Z АВС (вписан-
ные в окружность О, опи-
рающиеся на одну и ту
же дугу), Z ADC = 2 Z
а второй — вписанный в
на одну и ту же дугу).
построим
D
Рис 79.
(первый — центральный,
и опирающиеся
ЛЕС
окружность,
Но тогда Z ВСЕ = Z АВС —
— Z ЛЕС = Z ADC —Z ЛЕС = 2Z АЕС — Z ЛЕС = Z АЕС,
а следовательно, треугольник СВЕ — равнобедренный и
ВС = BE. Отсюда АВ + ВС = АВ + BE = АЕ, и так как
В не совпадает с центром Df то АЕ есть хорда, и для нее
при любом выборе точки В
справедливо АЕ < AD DE
(AD DE равно диаметру).
Заметив, что DC — DE (ра-
диусы окружности D), полу-
чаем AD + DC > АВ + ВС,
т. е. искомый треугольник —
равнобедренный.
846. В трапеции ACDF
(рис. 80) AD = CF и пото-
му она равнобедренная (за-
дача 841). Отсюда получаем
Z LCD = Z LDC. Но Z LAF=
= / LDC и Z AFL = Z DCL (накрест лежащие) и, следо-
вательно, Z LCD = Z LDC = Z LAF = Z LFA. Точно так
же Z КВА = Z К AB = Z KED= Z KDE, Z. MCB = Z MBC -
= Z MEF = ZMFE. Рассматривая теперь четырехугольник
BCDE, видим, что у него суммы противоположных углов
равны и потому через точки В, С, D и Е можно про-
405
Рис. 81.
на
же
и
Рис. 82.
вести окружность. Но тогда, в силу равенства углов СВЕ
и CFE, она пройдет через вершину F, а в силу равенства
углов DCF и DAF— через вершину А. Теорема Доказана.
847.	Пусть AD, BE и CF — высоты треугольника АВС
(рис. 81), пересекающиеся в точке О, а ОК и OL — диа-
метры окружностей, опи-
санных вокруг АВ и
ВС и проходящих че-
рез О.
Покажем, например,
что ОК — OL. Соеди-
ним L с В и К с В.
Так как Z ОВК =
= ZOBL = 90°, то LB
является продолжением
ВК, Но Z 0/<B=Z ОАВ,
как вписанные, опира-
дугу. Точно так же
/ OLB = / ОСВ. С другой стороны/ Z ОАВ = 90°—Z ABD=
= Л0СВ.
Следовательно, Z О КВ = Z OLB, треугольник 0KL —
равнобедренный и ОК = OL.
848.	Пусть BD ± АС и
AEj.BC (рис. 82). Прямоуголь-
ные треугольники CBD и САЕ,
как имеющие общий угол АС В,
подобны. - Из их подобия по-
CD вс ~ л
лучаем	Таким об-
разом, треугольники CDE и
АВС имеют общий угол АСВ,
заключенный между пропорциональными сторонами, от-
куда и следует подобие этих треугольников.
849.	Известно, что углы с параллельными сторонами
или равны, или в сумме составляют два прямых. Если до-
пустить, что каждая пара соответственных углов треуголь-
ников в сумме составляет два прямых, то сумма шести
углов треугольников даст шесть прямых, что невозможно.
Если допустить, что треугольники имеют только по одному
равному углу, то сумма шести углов треугольников будет
больше четырех прямых, что опять невозможно. Остается
допустить, что два угла одного треугольника равны двум
углам другого* Но тогда треугольники подобны.
406
850.	Л АВС со Д Л^Ср R иг — радиусы описанных
около этих треугольников кругов. Доказать: R:r = АС:А1С1
(рис 83). Соединим центр окружности О с точками А
и С. В треугольнике АОС АО = ОС = R, a Z АОС —
<=2/1 АВС, так как он, как центральный, измеряется ду-
гой АС, в то время как
Z АВС — вписанный и
измеряется половиною
дуги АС. Соединив
центр окружности Ot
с точками Л1 и С1( так-
же получим равнобед-
ренный дЛ101С1 с уг-
лом при вершине Afifii,
который равен удвоен-
ному углу AlBlCv Но
Z АВС = Z ABjCx, как
соответственные в по-
Рис. 83.
добных треугольниках
АВС и A^BiCi, поэтому Z.AOC =а/. А^С* Отсюда вы-
текает, что равнобедренные треугольники АОС и A^Ci
подобны и имеет место пропорция ОС 1 ОхСг = AC i А1С1
или R : г = АС : Afi^
851.	Предположим, что CD (рис. 84) не касательная.
(• Тогда она будет секущей и
___Р	пусть Е вторая общая точка
прямой CD с окружностью.
Построим треугольники АЕС
0	и DBC. Они подобны, так как
I	] у них Z С — общий, а углы
I	Ц/ /	CBD и СЕА равны, как впи-
\	УУ J	санные, опирающиеся на одну
ии ту же дугу AD. Из по-
добия получим СА • СВ —
r	t=CD-CE ф CD2, так Как СЕ #=
Рис. 84.	CD (СЕ = CD + DE или СЕ =
<=CD—DE). Но это противо-
речит условию. Следовательно, CD — касательная.
852.	Проведем медиану AD /\АВЕ (рис. 85) и рассмот-
рим треугольники ADB и ADC. В этих треугольниках угол
D общий. Кроме того, у них отношения сторон, заключа-
ющих этот угол, равны. Действительно, DB : AD =
= а : а У 2 = 1 : У~2, DC : AD — 2а: а У2 =У2 : 1. Сле-
407
довательно, A ADB co ДАОС. Но в подобных треуголь-
никах против сходственных сторон лежат равные углы.
Поэтому £ABD= £DAC, a Z ABD + ZACD = Z.DAC +
A-Z. ACD =/. ADE (свойство внешнего угла треугольника).
Отсюда Z ABD +
Рис. 85.-
жим его на величину NE=DN
Получим A ADE, в котором
она равна 4^-. Соединим
теперь точку Е с точкой
В. Получим A NEB, рав-
ный A DNC, так как у
них CN= NB (по условию),
DN = NE (по построению)
и Z CND = Z BNE как
вертикальные. Отсюда по-
лучаем, что BE = CD и, сле-
.... АВ + BE
довательно, MN =-------%----
AL
ранее равенством MN = -у.
= АЕ. Но это возможно только в том случае, когда АВ
и BE лежат на одной прямой. Так как BE || CD, то тео-
с
Рис. 87.
4- Z ACD = 45°.
853.	Дано, что в че-
тырехугольнике ABCD
AM = MD, BN = NCh
АВ 4~ DC z ос\
MN =	------(Рис- 86)-
Нужно доказать, что
ABCD— трапеция.
Проведем отрезок
прямой DN и продол-
Соединим точку Е с точкой А,
MN есть средняя линия, и
Рис 86.
Сравнивая с полученным
находим, что АВ + BE =
рема доказана.
854.	Пусть О — центр
описанного около /\АВС
круга (рис. 87); AD, BE
nCF — его высоты; Н —
точка пересечения вы-
сот; М, К и L — сере-
дины отрезков АН, ВС
и АС. Нужно дока-
зать, что КМ = АО.
ДОКЕ со д АВН в силу
408
параллельности сторон, а так как KL = АВ, то ОК =
— АН = AM. Рассматривая четырехугольник АОКМ,
видим, что в нем противоположные стороны ОК и AM
равны и параллельны. Поэтому АОКМ — параллелограмм
и КМ = АО,
855.	Противоположные стороны описанного четырех-
угольника попарно параллельны, так как каждая пара
сторон перпендикулярна к одной и той же диагонали
прямоугольника. Таким образом, этот четырехугольник —
параллелограмм с равными высотами. Но тогда он будет
ромб, что следует, например, из сравнения двух выраже-
ний для его площади (аЛа = 6йь).
856.	Пусть в л АВС высоты AK, BL, СМ пересекают-
ся в Я (рис. 88), Точки
К, L, М лежат на сторо-
нах треугольника. Прове-
дем диаметр AD окруж-
ности, описанной около
Л АВС, и соединим точки у
М и L. Нужно доказать: /
ML1.AD.
Опишем окружность I
вокруг четырехугольника \
ALHM. Это можно еде- д
лать, так как Z.ALH *=
= Z АМН — d. Тогда
Z AHL — Z AML (вписан-
ные, опирающиеся на о
ч-/Л£).Кроме того, Z_AHL=
= Z ВС А (взаимно перпен-
дикулярные стороны) и Z ADB = Z АС В (вписанные, опи-
рающиеся на АВ). Следовательно, Z AML = Z ADB.
Обозначим точку пересечения AD и ML буквой N.
В треугольниках /ШЛ/ и ABD два угла одного равны
двум углам другого. Поэтому Z.ANM =>/_ABD = d, т. е.
MLyAD.
857.	Пусть продолжения сторон АВ и CD вписанного
четырехугольника ABCD (рис. 89) пересекаются в точке Е,
а ВС и AD — в точке F, Пусть биссектриса угла Е пе-
ресекает окружность в точках К и L. а угла F в
точках М и N. Пользуясь теорембй об измерении
Рис. 88
409
угла, образованного секущими с помощью дуг, можно
написать:
о AN — DM = BN — о СМ,
^AL — ^KB = ^DL — ^CK.
Рис. 89.
Складывая эти равенства почленно и сделав преобразова-
ние, получим о K.N 4- о ML = о LN 4- о МК, что и до-
казывает теорему.
858.	Указание. Треугольник, одна вершина которого
совпадает с вершиной прямого угла данного треугольника,
а две другие находятся в центре окружности и в точке
касания окружности с катетом, — равнобедренный.
859.	Пусть в трапеции ABCD (рис. 90) диагонали АС
и BD пересекаются в точке О,
В F с	а точка В есть середина боль-
шего основания. Проведем пря-
/	\	мую и ПУСТЬ ? будет точка
/s'	пересечения прямой ЕО с мень-
_	шим основанием. Докажем, что
f	D F есть середина основания ВС.
р m	Для этого рассмотрим треуголь-
ис'	ники DE0 и B0F. Они подоб-
ны, так как у них Z BOF =
= Z DOE (как вертикальные) и Z FBO = Z EDO (на-
крест лежащие). Следовательно,	Но, очевид-
но
но, и треугольники CFO и АЕО тоже подобны, а поэтому
FC FO т- , BF FC	гп
Таким образом,	а так как ED =
АЛ \)Л	С U	АЛ
= АЕ, то BF = FC.
860.	Соединим точку D с точкой А и точку Р с цент-
ром окружности О (рис. 91). Обозначим точку пересече-
ния АС и PD через Е. Так как /\DEC со Д DPB, то
ЕС-. РВ = DC ". DB, Так как Д ADC Д РОВ (Z ADC =
= Z РОВ), то РВ : АС = ОВ i DC. Перемножая почленно
полученные пропорции, найдем ЕС = -±- АС.
£
861.	Пусть АВ — хорда (рис. 92); АС и ВС — каса-
тельные; Р — точка окружности; PD, РЕ и PF — перпен-
дикуляры, опущенные из Р на АВ, ВС и АС. Из подоб-
ных треугольников PDB и APF (Z.PAF = Z.PBA как
измеряемые половиной дуги РА) найдем PD:PB = PF-.AP.
Точно так же из подобных
треугольников PAD и РВЕ
(Л РВЕ = Z РАВ как измеря-
емые половиной дуги РВ) по-
лучим PD : АР = РЕ : РВ.
Перемножая почленно полу-
ченные равенства, найдем PD*—
= PF  РЕ.
862. Пусть - Oj есть центр
описанного около треуголь-
ника круга, О2 — точка пересечения его высот и О3— центр
тяжести треугольника (рис. 93). Соединим точки Ог и <?3,
411
а также Os и 02 отрезками прямых. Докажем, что Ofls
и О3О2 составляют одну прямую. Треугольники и
О2О3В подобны. Действительно, Z OXDO3 =^0гВ03, как
накрест лежащие при параллельных, Ofi : 0J3 = 1:2 —
по свойству центра тяжести треугольника, DOX: В02 =
= DE : ВС = 1:2. так как ED есть средняя линия дЯВС,
и	дСО2В вследствие параллельности их сторон
(см. задачу 849), Отсюда Z ВО3О2 = Z D030t и отрезки
Ofi3 и О3О2 лежат на одной прямой. При доказательстве
предполагалось, что медиана не совпадает с высотой. Но
случай такого совпадения со-
ответствует равнобедренному
треугольнику, и в этом случае
теорема очевидна.
863. Нужно доказать, что
ЕО — OF (рис. 94). Прове-
дем через точку Пересечения
диагоналей О высоту ЛЛ Так
как EF || АВ, то A COF <м>
сл\САВ и /\DOE&) /\DBA.
'п К с
Рис, 94.
В подобных треугольниках отношение сходственных сторон
равно отношению сходственных высот, и поэтому из пер-
вой пары подобных треугольников получаем пропорцию
а из второй	(КР. очевидно, равна
высоте дЛСВ, проведенной из вершины С, и высоте
/\ADB, проведенной из вершины £>; точно так же КО для
треугольников ОСЕ и ODE\
Сравнивая написанные со-
OF
отношения, получаем-^- =э
=w" 0F-E0-
864.	Пусть четырех-
угольник ABCD описан
около круга с центром О,
и Е—середина его диагона-
ли АС (рис. 95). Нужно
доказать, что прямая ОЕ
пересекает вторую диа-
гональ BD в ее середине. О
Обозначим точку пересече-
ния ОЕ и BD буквой Л
412
Обозначим радиус круга через г, а периметр и площадь
четырехугольника через 2р и S. Так как для описанного
четырехугольника АВ -|- DC = AD 4- ВС = р и S — рг, то
можно написать, что
Saod 4* Sboc = ~2~ r (AD + ВС) = -%- рг = S. (*)
С другой стороны,
Sbce 4- Sdae — Sabc + -4- Sadc — -4- S, (**)
Сравнивая равенства (*) и (**), найдем Sbce 4- Sdae =
= Saod 4~ Sboc или Sboc — Sbce — Sdae — Saod , или
Sboe 4" Soec = Saoe 4- Sdoe • Ho Soec = Saoe , и поэтому
Sboe = Sdoe. Из последнего равенства находим, что BN=
= DM.
Рассматривая треугольники BFN и DMF, видим, что
они имеют по равному катету и острому углу. Следова-
тельно, A FBN — A FDM и FB = DF.
865.	Указание. Наиболее удаленная точка окруж-
ности от данной хорды есть точка пересечения окружно-
сти с перпендикулярным к хорде диаметром.
866.	Теорема будет сразу же доказана, если устано-
вить, что А АОМ A CNO, где
(рис. 96). В этих треугольниках
Z А = Z С, как углы при основа-
нии равнобедренного треугольни-
ка. Покажем еще, что Z МОА =
= Z ONC. Пусть L, Р и Q —
точки касания прямых АВ, MN и
ВС с полукругом. Так как
OL±AB и OQ±BC, то ZLOQ =
= 180° — Z.B. G другой сторо-
ны, 180° — Zfi = Z4 + ZC =
=2Z/1. Отсюда Z LOQ = 2Z.A. Но
МО есть биссектриса Z LOP и NO—
биссектриса Z QOP. Поэтому
Z LOQ = 2 Z M0N = 2 Z А
и Z MON = Z А. Заметив, что в
и 0NM также Z.AM0=Z.N МО, заключаем, что и Z М0А =
= Z MN0. Так как Z MN0 = Z ONC, то Z МОА =>
— Z.ONC и Д AOMca/\CNO. Из подобия получаем AM :АО=
= OC-.NC. Отсюда AM -NC = АО  ОС = АО2 = (4^?.
О — центр полукруга
В
Рис. 96.
АОМ
413
867. Возможны два случая: а) прямые MAN и PBQ
пересекаются вне данных окружностей; б) эти прямые пе-
ресекаются внутри одной из окружностей (на рис. 97
второй
первый
случай изображен пунктиром). Разберем только
' вписанного четырехугольника
Z^4- Z.ABQ = 180°, и
Z М 4- Z АВР = 180°.
По свойству смежных
углов Z ЛВ<24- Z АВР=
= 180°. Складывая
почленно первые два
равенства и пользуясь
третьим, получим Z М4-
4- / N = 180°. Следова-
тельно, NQ || МР.
868. Пусть ABCD
вписанный в окруж-
ность четырехугольник
с диагоналями АС и BD
(рис 98). Пусть угол
Проведем прямую BE так,
как в треугольниках АВЕ и
равны углы ВАЕ
а
случай. По свойству
W
U
Рис. 97.
меньше угла DBC.
ZDBC. Так
ABD не
чтобы Z АВЕ
BDC, кроме этих равных углов,- ещё
и BDC, как вписанные, опи-
рающиеся на дугу ВС, то
дЛВЕсо Л BDC. Поэтому
DB АВ г\о л с
~DC ~ ~АЁ~ ИЛИ
— DC -АВ,
Подобными будут также треуголь-
ники ВСЕ и ABD, потому что у
них Z ABD — Z С BE, как суммы
равных углов, и Z ADB = Z АСВ,
В
Рис. 98.
как вписанные, опирающиеся на
ЛП гт	DB вс
дугу АВ. Поэтому	или
DB • СЕ = AD • ВС. Складывая последнее равенство с ра-
венством (*), получим:
DB • АЕ 4- DB - ЕС = DC - АВ 4- AD - ВС;
DB (АЕ 4- ЕС) = DC • АВ 4- AD  ВС;
DB  АС = DC • АВ + AD • BG.
414
869» Пусть длины катетов а и Ь, а гипотенузы с. По
теореме Пифагора с2 = а2 4- Ь2, Умножим обе части равен-
ства на с. Получим = с • а2 4- с • Ь2. Но а < с и b < с.
Поэтому с8 = са2 4- cb2 > а • а2 4- b • Ь2 = а3 4- Итак,
с3 > а3 + 6s-
870.	Пусть Ох — центр описанного около треугольника
круга (рис. 99), а О —
центр -вписанного в * него
круга. Соединим прямой
точки В и О и пусть D
есть точка пересечения ее
с описанной окружностью.
Проведем диаметр DE =
= 2R этой окружности,
Так как BD— биссектри-
са угла АВС, то AD = DC
и потому ED1.AC. Проведя
O/(±£D, найдем из тре-
угольника OOXD, что ОО*
= OJ)2 4- OD2— 2OlD-RD.
Но OXD = R, RD = KL 4-	D
+LD=0M+LD= r 4- LD,	Рис. 99.
где ОМ ± AC. Поэтому
00* =R2 + OD2~2R (r+LD) ^R2~2Rr+ODl—2R • LD=
= R2 — 2Rr 4- OD2 — AD2. Покажем, что OD —
= AD. Для этого рассмотрим треугольник AOD. Так как
АО — биссектриса угла ВАС и Z CAD = Z DBC, как
вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, то
Z.DA0 = Z.DAC 4- Z.CAO == Z.DBC 4- Л ОАВ = ZDBA 4-
4- Z ОАВ. Но и Z AOD = Z DBA 4- Z ОАВ, так как
Z.A0D — внешний угол треугольника АВО. Из равенства
углов A0D и DAO следует равенство AD — OD. Поэто-
му получаем:
OOl = R2 — 2Rr, OO1 = VR2 — 2Rr.
Замечание. Решение задачи проведено на примере
остроугольного треугольника. Однако и способ решения
и результат будут верны для любого треугольника. Если
треугольник равносторонний, то очевидно, что это рас-
стояние равно нулю. Впрочем, и в этом случае получен-
ная формула остается верной.
871.	I. На основании задачи 870 квадрат расстояния
между центром описанного около треугольника круга и
415
центром вписанного в этот треугольник круга равен R2— 2Rr,
где R и г — радиусы описанного и вписанного кругов.
Поэтому имеем: R2 — 2Rr > 0, 2Rr < R2, г < R< Знак
равенства будет иметь место только для равностороннего
треугольника.
П. Пусть -стороны треугольника будут а, b и с, а про-
тиволежащие им углы а, р ит. Пользуясь формулой S=pr,
где S и р — площадь и полупериметр треугольника, фор-
мулой 8=-^ a'&siny, а также теоремой синусов, согласно
которой а = 2R sin a, b = 2R sin р, с = 2R sin у, найдем для
отношения радиусов вписанной и описанной окружностей:
г ___ S _ ab sin 7	___ 2R sin a 2R sin р sin 7	_
~ pR ~ R(a + b + c) ~ 2R1 (sin a + sin p + sin 7) =
2sin a sin p sin 7
sin a + sin p + sin 7 *
Преобразуем знаменатель полученного выражения:
sin a 4- sin р + sin 7 = 2sin g 3 cos—+
+ 2sin -L cos-L = 2sin (-%----------cos +
+ 2sin ------° 2^') cos“F = 2cos "F(cos “ 2~^
+ cos - ~^—) = 4cos cos-j- cos-L.
Если же учесть, что
2sin a sin p sin у = 16sin-^- cos-^- sin-y cossin -ycos-y,
то получим
= 4sin -g- sin - j- Sin	< 4 • -g- = -y
(см. задачу 712).
872.	Пусть в треугольнике АВС (рис. 100) /ЛВС>
>ZC/1B. Соединим центр
О окружности, вписанной в
треугольник, с его верши-
уЖрл	нами Л и В и рассмотрим
X. треугольник АВО. Его
/?	угол a = Z АВС, пото-
Рис. 100.	му что центр О лежит на
416
биссектрисе ВО угла АВС. Точно так же р =
= -у Z' САВ. Но тогда ₽ < а, а так как в треугольнике
В
против меньшего угла лежит меньшая сторона, то ОВ<ОЛ
Отсюда ясно, что центр окружности, вписанной в тре-
угольник, лежит ближе всего к вершине того угла треуголь-
ника, который является наибольшим углом.
873.	В треугольнике АВС (рис. 101) проведем медиану
BD к стороне АС, продолжим
ее на отрезок DE = BD и со-
единим точку Е с А и С. В
полученном четырехугольнике
АВСЕ диагонали в точке пере-
сечения делятся пополам, и,
следовательно, этот четырех-
угольник есть параллелограмм
Отсюда получаем, что АВ ==
СЕ, АЕ = ВС и (2BD)2 + АС2 =*
2АВ2 4- 2ВС2. Из этого равен-
ства, положив в нем АВ=с, ВС—
— АС — 6, BD = ть, найдем
о 2с2 + 2а2Ь2 п
т2 =----—4-------. Полученное
соотношение показывает,
что медиана будет наименьшей, если она проведена к
наибольшей стороне.
874.	Будет, потому что все его углы будут вписан-
ными, опирающимися на
Рис. 102.
равные дуги, а равносторонний
и равноугольный многоугольник
есть правильный.
875.	Пример ромба показы-
вает, что не всегда описанный
равносторонний многоугольник
будет правильным. Но если он
имеет нечетное число сторон,
то он будет правильным До-
кажем это.
Пусть вершины многоуголь-
ника, имеющего (2и 4- 1) сто-
рону, будут обозначены через
А2, 43, .., Л2п+1, а точки
касания сторон с окружностью
через В2, В3? ..В2п+] (рис. 102). Очевидно, 42В1=42В2.
Но тогда, используя равенство сторон, получим, что 4x51=
‘/427 К- У. Шахно
417
=A3B2=AjB2n+i=A3Bs, т. e. отрезки двух смежных сторон
многоугольника, сходящихся в вершине Аь считая от вер-
шины до точек касания, равны таким же отрезкам сторон,
сходящимся в вершине А3. Точно так же покажем, что они
равны отрезкам сторон, сходящимся в вершинах Л5, А,,
.A2n+i. Итак, отрезки сторон, примыкающие к верши-
нам At и Л2п+1 равны, т. е. =A2n+iB2n+i. Следова-
тельно, сторона АгА2п+1 делится точкой касания пополам.
Но таким же способом убедимся, что все стороны имеют
точки касания с окружностью в серединах сторон. Соеди-
ним точки Alt Bt и А2 с центром 0, Очевидно ДОЛ^В^
= Д ОАгВъ и поэтому Z ОАгА2 = Z ОЛ2ВР Так как 0At
и ОА2 являются биссектрисами углов Аг и Л2, то углы
многоугольника при вершинах Аг и Л2, а значит и при
всех, равны между собой. Но равносторонний и равно-
угольный многоугольник есть правильный.
876.	Если из правильных одноименных многоугольни-
ков можно сложить паркет, то необходимо, чтобы внут-
ренний угол такого многоугольника, повторенный несколь-
ко раз, дал полный угол, т. е. угол в 360°. Так как
внутренний угол правильного многоугольника сп сторонами
180 (п — 2)
содержит число градусов, равное----то число
360 : 180 ~~ 2->- должно быть натуральным Определим
из этого условия, каким должно быть п. Имеем
360п	_ 2п ____ 9	о । а
180 (п — 2) ~п —2 ~Г/г —2	’Г*’
где k = k (п — 2) = 4, п =	+ 2.
Так как 0 < k < 4, причем k — целое, то для того чтобы
п было целым, k можно придать лишь значения делителей
числа 4, т. е. 1, 2, 4. Это дает для п значения 6, 4, 3.
Итак, такими многоугольниками могут быть только
квадраты, правильные треугольники и шестиугольники. По-
кажем, что этого и достаточно, т. е. что из указанных
видов многоугольников действительно можно сложить пар-
кет. Если провести систему равноотстоящих параллельных
прямых и пересечь ее такой же системой прямых под
углом 90°, то получится паркет, сложенный из квадратов.
Если провести систему параллельных равноотстоящих пря-
мых и пересечь ее такой же системой прямых под углом 60°,
418
а в каждом из получившихся ромбов провести меньшую
диагональ, то получим паркет из треугольников. Паркет
из шестиугольников получится, если в паркете из тре-
угольников объединять подходящим образом по шесть тре-
угольников в один шестиугольник.
877 — 884. Указание. Геометрическим местом точек,
обладающих некоторым свойством, называется множество
всех точек, обладающих этим свойством.
Чтобы доказать, что фигура I является геометрическим
местом точек, обладаю-
щих некоторым свойством,
достаточно доказать две
теоремы: 1) если точка
обладает указанным свой-
ством, то она принадлежит
фигуре /; 2) если точка
принадлежит фигуре /, то
она обладает этим свой-
Рис 103.
ством.
В качестве образца подробного решения задачи на оты-
скание геометрического места может служить решение за-
дачи 877.
877.	I. Проведем прямую ВО || AD (рис. 103) до пере-
сечения ее с продолжением основания АС треугольника
в точке О. Точка О делит отрезок АС внешним образом
в отношении 2:1. Действительно, по свойству параллель-
ОС ВС 2
ных, пересекающих стороны угла, имеем	= у =
= 2. Следовательно, точка О неподвижна для любого по-
ложения вершины В. Кроме того,	= 2, откуда
пи	G L)
видно, что вершина В в любом положении треугольника
отстоит от неподвижной точки О на одно и то же рас-
стояние ВО = 2AD. Итак, вершина В находится на окруж-
ности радиуса г = 2AD с центром в точке О, расположен-
ном на продолжении стороны АС за вершину А на рас-
стоянии ОА = АС.
II.	Возьмем любую точку Вг на построенной окружно-
сти, отличную от точек М и N, и соединим ее с точками
Л, С и О. Проведем ADX || OBV Отрезок ADX будет медиа-
ной треугольника АВХС. Действительно, по свойству парал-
ВЛ\
лельных линии, пересекающих стороны угла, имеем у	• ==
1/427*
419
=	так что fiiDi==DjO. G другой стороны,
-Qg- =- -QQ = -у. ADx = -g- OBl = AD и точка Bx являет-
ся вершиной рассматриваемых треугольников. Таким обра-
зом, найденная окружность, исключая точки Л4 и N,
и является искомым геометрическим местом.
878.	Хорда АВ делит окружность на две дуги: Сг и (?,
(рис. 104). Для точек М, взятых на дуге С\, геометричес-
ким местом точек N будет дуга другой окружности, кон-
цы которой находятся в А и В, расположенная от хор-
ды АВ по ту же сторону, что и Ci. Вписанный в эту дугу
угол, опирающийся на концы хорды АВ, вдвое меньше
аналогично вписанного в дугу Gj угла; Для точек Л4Ь
взятых на дуге G2. искомым геометрическим местом будет
дуга окружности, имеющая концы А и В, расположенная
от АВ с той же стороны, что и С2, и вмещающая вписан
ный угол, опирающийся на концы хорды АВ, вдвое мень-
ший, чем аналогично вписанный в дугу С2 угол.
420
Рис
105
879.	а) Пусть вершина О (рис. 105) данного прямого
угла XOY и вершина В прямого угла движущегося пря-
моугольного треугольника АВС расположены по разные
стороны от гипотенузы АС. Так как Z АВС + Z АОС =
= 180°, то вокруг четырехугольника АВСО можно описать
окружность. Описав ее,
видим, что при любом по-
ложении движущегося тре-
угольника АВС, угол АОВ
остается неизменным, по-
тому что Z АОВ = Z АСВ,
как вписанные, опирающи-
еся на одну и ту же дугу
АВ. Следовательно, точка
В находится на прямой
ON, проходящей через вер-
шину О данного прямого
угла и наклоненной к сто-
роне OY этого угла под
углом BOY, равным углу
АСВ треугольника. Самое
близкое положение вершины
женне М, когда гипотенуза
OY. *
X
В к точке О
будет лежать на
Самое удаленное положение вершины В
ки О есть положение W, при котором катеты тре-
угольника АВС параллельны сторонам угла XOYt Итак,
при любом положении треугольника АВС, скользящего
концами Л и С по сторонам угла XOY, вершина В его
прямого угла находится на отрезке MN. Справедливо и
обратное утверждение, т. е. любая точка В, взятая на
отрезке MN, является вершиной рассматриваемого прямо-
угольного треугольника в одном из его положений. Это
легко доказать, построив окружность радиуса, равного
половине гипотенузы данного треугольника, и проходящую
через точки В и О.
Таким образом, искомое геометрическое место точек
есть отрезок MN диагонали ON прямоугольника OKNL,
стороны которого KN и NL равны соответственно кате-
там АВ и ВС треугольника и параллельны сторонам ОХ
и OY угла X0Y.
б) Пусть вершина О (рис. 106) данного прямого угла
XOY и вершина В прямого угла движущегося треуголь-
ника АВС расположены по одну сторону от гипотену-
27 к. У. Шахно	421
есть
ТО ПОЛО-
прямой
ОТ ТОЧ-
зы АС. В этом случае, рассуждениями, сходными с предыду-
щими, легко убедиться в том, что геометрическое место
вершин В прямоугольного треугольника АВС есть отрезок
MN, направленный по диагонали прямоугольника со сторона-
Рис. 106.
ми KL и LP, равными
катетам АВ и ВС тре-
угольника АВС и парал-
лельными сторонам ОХ
и OY угла X0Y. Этот
прямоугольник располо-
жен внутри угла, смеж-
ного с данным. Отрезок
MN проходит через вер-
X шину О данного угла,
а ограничивающие его
точки М и N соответ-
ствуют тем положениям
вершины В движуще-
гося треугольника АВС,
при которых гипотенуза
лежит, соответственно, на сторонах ОХ и OY угла XOY.
880. Соединим точку М (рис. 107) касания окружно-
стей с точками Л и В и проведем общую касательную MN
к окружностям в точке М, где N — точка пересечения
прямых MN и АВ. Так как в треугольнике АМВ отрезки
AN, NM и NB равны, как отрезки касательных, проведен-
ных к окружностям из одной и той же точки N, to'N
422
есть центр окружности, описанной около треугольника А МВ.
Таким образом, при любых двух окружностях, удовлетво-
ряющих условиям задачи, точка М будет находиться на
окружности радиуса NM с центром в N. Легко доказать,
что справедливо и обратное утверждение, а именно, любая
точка М окружности радиуса -у- АВ с центром в N, от-
личная от точек А и В, является точкой касания неко-
торых двух окружностей, из которых одна касается пря-
мой АВ в точке А, а другая —в точке В.
Таким образом, искомым геометрическим местом будет
окружность радиуса АВ с центром в середине N отрез-
ка АВ, исключая точки А и В.
881.	а) Если прямые параллельны и расстояние между
ними а больше данной постоянной величины Ь, то таких
точек не существует. Если a = Ь, то все точ^и, заключен-
ные между этими прямыми, а также точки этих прямых
составят искомое геометрическое место точек. Если a <b,
то геометрическим местом точек будут две прямые, парал-
лельные данным и отстоящие от каждой данной на рас-
Ь 4- a b — a
стояния, равные —— и —.
Рис. 108<
б) Если прямые пересекаются, то, обозначив их NP и
QL (рис. 108), проведем прямые АЕ и CF, параллель-
ные NP и отстоящие от нее на данную постоянную ве-
личину Ь, а затем прямые BE и DF, параллельные пря-
мой QL и отстоящие от нее на ту же величину Ь. Нетрудно
27*
423
видеть, что сумма расстояний любой точки Л, взятой вну-
три прямоугольника ABCD, меньше Ь, а любой точки R,
взятой вне этого прямоугольника, больше Ь. Для точек же,
лежащих на контуре прямоугольника ABCD, сумма расстоя-
ний равна Ь. На самом деле, возьмем любую точку М, напри-
мер, на стороне ВС прямоугольника. Пусть ММг и ММ3—
расстояния точки М от данных прямых NP и QL. Прове-
дем BBilQL и MM3±BBi. Тогда ММ^ 4- ММг = AWt4-
-|- М^В^ Но Л MMiB = Л ММ3В, так как они прямо-
угольные с общей гипотенузой МВ и равными углами
MBMj и ВММ3, как равные одному и тому же углу BCBV
Поэтому MMi = М3В. Таким образом, получаем MMj-f-
4- ММ3 = М3В 4- М3В1 = ВВХ = Ь. Если возьмем точку на
какой-либо другой стороне прямоугольника, то таким же
способом докажем, что и для нее сумма расстояний до
данных прямых равна Ь. Так как для точек не находя-
щихся на контуре прямоугольника, как было ранее сказано,
эта сумма не равна Ь, то искомое геометрическое место
есть контур построенного прямоугольника ABCD.
882.	Пусть АВС любая секущая данной окружности,
проведенная из данной точки А (рис. 109), причем В и С —
точки пересечения секущей и окружности. Пусть МВ и
МС — касательные к окружности. Проведем МР1А0 и со-
единим В и М с О. Обозначим точку пересечения МО и АС
буквой N. Очевидно, Л 0МР&> Л ON А. Поэтому ОР'.ОМ —
«= ON i О А или ОР  0Mn.0N . Но из треугольника ОВМ
424
находим, что ОМ • ON = ОВ2. Следовательно, OP =	.
Cz/l
а так как OB и О А данные величины, то это означает, что
любая точка М проектируется на данную прямую ОА
в одну и ту же точку Р. Следовательно, точками находит-
ся на прямой, перпендикулярной прямой ОА и отстоящей
лп ов2
от центра данной окружности на величину ОР =
Возьмем теперь любую точку М. находящуюся вне дан-
ной окружности и расположенную на прямой, перпенди-
кулярной ОА и отстоящей от центра О данной окружно-
ОВ2
сти на расстояние ОР = Проведем касательные МВ
(y/i
и МС к окружности из точки М и покажем, что прямая
ВС будет проходить через точку А. Предположим, что
прямая ВС пересечет прямую ОА в некоторой точке Аг,
а ОМ в точке Л\. Тогда, замечая, что треугольники
и ОМР подобны и рассуждая далее так же, как в первой
ОВ2
части доказательства, найдем, что ОР = Но тогда
ОА1 = ОА, а это и означает, что точки А и Аг совпадают
или что прямая ВС пройдет через точку А, Поэтому можно
сказать, что искомое геометрическое место точек суть два
луча КМ и LQ, лежащие на прямой, перпендикулярной
данной прямой ОА и отстоящей от центра данной окруж-
ности на расстояние ОР = причем точка Р находит-
ся на отрезке ОА, а не вне его.
883.	Окружность, описанная вокруг треугольника АВС,
исключая точки В и С,
У к а з а н и е. Пусть точка М	S' "X „
(рис. ПО) принадлежит искомому
геометрическому месту. Докажем,	хХр'Хл/'
что угол ВМС есть величина посто- f А______
янная, равная углу С АВ. Действи- / \	/\
тельно, Z ВМС=2 ВMD + Z.DMC,	I	\ /I
Z BMD = Z BFD и Z DMC =	\ X. \ / /
= Z DEC, как вписанные, опира- \
ющиеся на \jBD и Z_CED=
=Z ЕЕ А, как вертикальные; нако-
нец Z С АВ = Z DFB + Z FEA — Рис 110.
по теореме о внешнем угле тре-
угольника. Итак, Z С АВ = Z ВМС, а это и означает, что точ-
ка М лежит на окружности, описанной вокруг треуголь-
•425
ника АВС. Впрочем возможно такое расположение точек Е
и F, что угол ВМС будет не равен углу С АВ, а будет
дополнять его до 180°. Но и в этом случае точка М бу-
дет лежать на той же окружности,
884.	Две прямые, параллельные биссектрисам смежных
углов, образованных данными прямыми, и проходящие
через точку О (рис. 111),
Указание. Проведем через точку О прямые ОК и
OL, параллельные двум дан-
ным перпендикулярным пря-
мым. Проведем AM || ОК и
ВМ || OL, пересекающиеся в
точке М, Пусть К есть точка
пересечения ВМ и ОК и
L — точка пересечения AM и
OL, Треугольники OAL и ОКБ
равны, так как они прямо-
угольные, и	О А — ОВ, а
Z AOL = Z КОВ, как углы
с взаимно перпендикулярны-
ми сторонами. Следователь-
но, OL = ОК и точка М
лежит на биссектрисе угла
LOK, Если бы проводить АМг || OL и ВМг II ОК, то точ-
ка ЛД лежала бы на биссектрисе угла, смежного с уг-
лом LOK.
885.	Пусть ABCDEF — данный шестиугольник и О —
центр круга (рис, 112)*
Проведем AD, BE, CF и
АЕ, Точка Мх разделит
радиус OF пополам. Это
очевидно. Проведем ВМ\,
Точка Л12 разделит радиус
О А в отношении 112, как
это видно из подобных тре-
угольников BMiC и М2М10.
Итак, ОМ3 =	/?. Про-
ведем СМ2. Точка М3 бу-
дет такая, что 0М3 =
=	/?. Это видно из по-
добных треугольников CMfl и М3М20. Соединяя точки
426
Af3 и D отрезком прямой, получим точку 2И4 такую, что
OMt = R и т. д.
886.	а) Если данные точки А и В лежат на данной
прямой CD, то любая точка М, лежащая на отрезке АВ,
будет искомая.
б)	Если точка А лежит на прямой CD, а точка В —
вне прямой (рис. 113), то точка А и есть искомая. Дейст-
вительно, для любой точки М прямой CD, отличной от А.
выполняется неравенство AM + МВ > АВ.
в)	Если А и В лежат по разные стороны от прямой CD
(рис. 114), то точка М пересечения прямых АВ и CD
будет искомой. На самом деле, для любой другой точки N
прямой CD, будет AN -f- NB > АВ = АМ + МВ.
г) Если точки А и В лежат по одну сторону от пря-
мой CD (рис. 115), то, пост-
роив точку Aj, симметрич-
ную с А относительно пря-
мой CD, найдем искомую точ-
ку, как точку М пересечения
прямых AlB и CD. Очевид-
но для любой другой точки
N прямой CD будет выпол-
няться соотношение;
NA + NB =NAX+NB > ArB =
= AtM + MB = MA + MB.
Рис. 115.
887.	Пусть точка А (рис. 116) лежит ближе к MN,
чем к PQ. Проведем через В отрезок BE, равный и парал-
лельный CD. Соединим точки Е и А отрезком прямой и
пусть S есть точка пересечения прямых ЕА и MN. По-
строив отрезок ST, равный и параллельный CD, где Т —
точка пересечения ST и PQ, найдем, что AS -f- ST -f-TB —
наименьшее и, следовательно, положение ST отрезка CD—
427
искомое. Действительно, всякое иное положение S1Tl даст
этой сумме значение больше найденного, так как Л5, 4-
+ SJ\ 4- TiB = HSi 4- BE 4- ESX = BE 4- (ES1 4- 5гЛ) >
> BE 4- EA = BE 4- ES 4- S4 = ST 4- ТВ 4- Л&
верши-
третью

0
П
Рис.
117.
888.	Пусть треугольник ЛВ^ (рис. 117) имеет
ны Вх и Сг на сторонах ON и ОМ угла MON, а
в данной точке Л. Построим точки At и Л2, симметричные
точке Л, соответственно,
относительно ON и ОМ и
соединим отрезками Ах и
Вь а затем — Л2 и
Периметр треугольника
ABYCX равен периметру
ломаной А^СгА^ Он
больше отрезка А^, От-
сюда следует, что на-
именшьий периметр будет
иметь тот из треугольни-
ков рассматриваемого ви-
да, у которого вершины
будут в точках Л, В и С,
где В и С — точки пере-
сечения прямой AiA2 с
способа' построения ясно, что
ОМ. Из
прямыми ON и
решение будет единственное.
889. а) Пусть данные точки Л, В и С (рис. 118) не
лежат на одной прямой. Предположим, что задача решена
428
Рис. 118.
и прямые AD. BF и ЕС — искомые. Так как BF должна
делить расстояние между прямыми AD и СЕ пополам, то
BF должна пройти через середину F отрезка ЛС. Отсюда
следует, что одну прямую нужно направить по медиане BF
треугольника ЛВС, а две
другие провести через точ-
ки Л и С параллельно ей.
В этом случае задача име-
ет три решения (три медианы).
б) Если точки лежат на
одной прямой и две из них
симметричны относительно
третьей, то любые параллель-
ные прямые, проходящие че-
рез эти точки, будут иско-
мыми. Если же расстояния
между соседними точками
не равны, то задача не имеет решения.
890.	Пусть АВ — диаметр окружности, а О — ее центр
(рис. 119). Проведем АС л. АВ и отложим АС = АВ.
Соединим С и О отрез-
ком прямой. Если D —
точка пересечения СО
с окружностью, то каса-
тельная MD к окруж-
ности в точке D пере-
сечет продолжение диа-
метра АВ в искомой
точке М. Действитель-
но, Д ОСА = д О MD.
так как О А = OD, а
Z A0D — общий. Отсю-
да DM = АС=АВ.
891.	Искомые окруж-
ности должны точками
касания D,Eu F (рис. 120) разбить стороны треугольника на
отрезки AD = AF, BD = BE. CE=CF, Учитывая, что от-
резки касательных, проведенных из одной и той же точки
к окружности, равны, делаем вывод, что точки D. Е и F
будут точками касания сторон треугольника с окружностью,
вписанной в этот треугольник. Отсюда ясно, что задача
решится просто, если в треугольник АВС вписать окруж-
ность.
429
892.	Построим по гипотенузе с<= АВ и катету hb=BD
прямоугольный Д ABD (рис. 121). Проведем ВМ || AD и
засечем ВМ дугой .окружности радиуса AM = 2та с цен-
тром в точке А. Через найденную точку М проведем
CM II АВ до пересечения с прямой AD в точке С. Точка С
будет третьей вершиной искомого Л АВС. Если 2та = hb
или 2та — с, то решение будет единственное. Если 2ma’>hb,
но не равно с, то два ре-
шения. Если 2та < hb
или hb < с. то задача не
имеет решения.
893. Проведем бис-
сектрисы внутренних уг-
лов треугольника, име-
ющего вершины в дан-
ных точках. Проведем
через каждую вершину
этого треугольника пря-
мую, перпендикулярную биссектрисе этого угла. Постро-
енные таким образом три прямые образуют треугольник,
который и будет искомым (см. задачу 844).
430
894.	На продолжении радиуса О А (рис. 122) меньшей
окружности отложим отрезок АВ = ОЛ, На отрезке АВ,
как на диаметре, опишем окружность и пусть точка пере-
сечения ее с большей окружностью есть С. Секущая СА
и есть искомая. Действитель-
но, из подобных треугольни-
ков OiCA и OAD видно, что
АС=-j-AD, а из равных
треугольников ОСА и OED,
что АС = ED. Если радиус
большей окружности больше
диаметра меньшей, то зада-
ча не имеет решения.
895.	Через данную точку
М (рис. 123) проведем пря-
мую ОМ, проходящую через
вершину О данного Z.AOB.
Возьмем на стороне ОВ любую
X, как из центра, ду-
гой радиуса RL засечем
прямую ОМ в точке N.
Если теперь провести
МР || NK до пересечения
с ОВ в точке Р, то точ-
ка Р и будет искомая.
Действительно, проведя
PR.LOA, видим, что
OP _ PR __ РМ_
OK ~ KL ~ RN’ а
так как RL = KN, то
PR — РМ. На той же
ОА перпендикуляр RL и из точки
В
стороне найдется и еще
одна точка, удовлетворяющая условиям задачи, — это
точка пересечения стороны ОВ с прямой, проходящей че-
рез точку М параллельно прямой RNlt
Если угол прямой или тупой, то точка Р найдется так:
соединяем вершину О угла АОВ (рис. 124) с точкой М
отрезком прямой ОМ и проводим PL1.0M через середину L
отрезка ОМ. Точка Р пересечения прямых ОВ и PL и будет
искомая. В случае прямого угла такая точка будет един-
ственная на стороне ОВ. Если угол тупой, то такая точка
на стороне ОВ либо найдется одна, либо ее не будет.
431
Последнее, очевидно, будет в том случае, когда точка М
находится внутри угла АОХ или на его границах, причем
здесь OX 1ОВ.
Замечание. Расстоянием от точки Р до луча ОА
К О
Рис. 124.
ния OD и АВ. Построим
метричный относительно
лежит на АВ. Проведем
дугой сегмента в точ-
ке S и прямую СР,
пересекающую дугу
в точке R. Из точек
S и R опустим пер-
пендикуляры на АВ р
и пусть основания их
Т и L. Точки S, /?, L
и Т будут вершинами
искомого квадрата.
Доказательство пра-
вильности построения
является длина отрезка
ОР, а не длина отрезка
РК, перпендикулярного
к прямой ОЛ. Длина
PR есть расстояние до
X прямой О А, а не до лу-
ча О А.
896.	Проведем ради-
ус OD (рис. 125), пер-
Д пендикулярный хорде
АВ, являющейся осно-
ванием сегмента. Пусть
С есть точка пересече-
любой квадрат MNPQ, сим-
OD, сторона которого MN
прямую CQ до пересечения с
О
Рис. 125.
легко привести, если
рассмотреть следующие три пары подобных треугольни-
ков: CST и CQM\ CRL и CPN-, CSR и CQP.
Решение задачи единственное, если дуга сегмента
а < 270°. При а > 270°. задача не имеет решения.
897.	Пусть в трапеции ABCD (рис. 126) построен такой
отрезок MN, параллельный AD, что MR = RL = LN. Про-
ведем прямую CL до пересечения ее с большим основанием
AD в точке Р. Так как RN = 2 • LN, то AD = 2 • PD.
Следовательно, Р есть середина отрезка AD. Отсюда вы-
текает, что для построения искомого отрезка, достаточно
432
провести прямую, параллельную основаниям трапеции через
точку пересечения диагонали и прямой, соединяющей се-
редину одного основания с концом другого, Искомый
отрезок определится точками пересечения проведенной пря-
мой с боковыми сторонами трапеции. Доказательство пра-
вильности построения
легко получится, если
рассмотреть две пары
следующих треуголь-
ников: АСР и PCD, а
затем АВС и DC В.
Задача имеет два
решения (см. пунктир
на рис. 126).
898. Пусть Л и В —
Рис. 126.
данные точки, a MN— данная прямая.
а) Если точки Л и В лежат по разные стороны от
прямой MN или на прямой MN, то задача не имеет ре-
шения.
б) Если АВ || MN, то существует только одно решение.
В этом случае искомая окружность проходит через осно-
вание перпендикуляра, опущенного из середины отрезка
АВ на M.N,
в) Если Л и В (рис. 127) лежат по одну сторону От
прямой MN и прямая АВ пересекает MN в некоторой
точке С, то искомая окружность проходит через такую
точку D прямой MN, для которой CD есть средняя про-
порциональная между АС и ВС (см. задачу 851). В этом
случае задача имеет два решения.
433
г) Если точка А или точка В, но не обе одновременно,
лежат на MN, то решение единственное.
899. Продолжим боковые стороны AD и ВС (рис, 128)
данной трапеции ABCD до их пересечения в точке М и
проведем через нее и точ-
ку О пересечения диагона-
лей прямую МК, пересе-
кающую основания трапе-
ции в точках L и К. Эта
прямая разделит трапецию
на две равновеликие фи-
гуры. Действительно, пря-
В мая МК точками L и К
делит основания трапеции
на равные части, откуда
и следует равновеликость
трапеций ADLK и KLCB, Для доказательства того,
что К и L — середины оснований, проведем медиану
треугольника АМВ, выходящую из вершины М. Эха
медиана разделит пополам и основание DC. Но прямая,
проходящая через середины оснований трапеции, проходит
и через точку пересечения ее диагоналей (см, задачу 859).
Следовательно, проведенная медиана совпадает с прямой
а точки L и К делят
основания трапеции пополам.
900, Проведем любую
прямую MF (рис. 129) через
точку О пересечения диаго-
нали данного параллелограм-
ма ABCD, не параллельную
его сторонам. Она разделит
параллелограмм на две рав-
новеликие трапеции ADEF и
FECB, где Е и F — точки
пересечения прямой MF с про-
М
тивоположными сторонами	рис< 129.
параллелограмма.; Продолжив
сторону AD параллелограмма до пересечения ее с прямой M.F
в точке 7И, проведем прямую через точку М и точку N
пересечения диагоналей трапеции ADEF. Она разделит тра-
пецию ADEF на две равновеликие фигуры (см. задачу 899),
а параллелограмм на две части, отношение площадей ко-
торых есть 1 i 3.
434
901. На основании АС данного треугольника АВС от-
ложим отрезок AD, равный данному основанию треуголь-
ника, который нужно построить. Проведем СК || BD sfi
пересечения с прямой АВ в точке К. Эта точка и будет
третьей вершиной искомого треугольника. Доказательство
следует из равенства площадей треугольников KBD и BCD.
902. а) Если прямая АВ, проходящая через данные
точки Л и В, не параллельна и не перпендикулярна дан-
ной прямой CD, то для точки пересечения прямой CD
с перпендикуляром к отрезку АВ в его середине выражение
| AM — МВ | будет иметь наименьшее значение, равное ну-
лю, а для точки пересечения прямых АВ и CD — наиболь-
шее, равное длине отрезка АВ.
б) Если прямая АВ параллельна прямой CD, то точ-
ка М, для которой | МА — МВ | имеет наименьшее значение,
является основанием перпендикуляра, опущенного из
середины отрезка АВ на CD. Этот минимум равен нулю.
Такой точки на прямой CD, для которой | AM — МВ\ было
бы наибольшим, не существует.
в) Если АВ перпендикулярна CD, то наибольшее зна-
чение | AM — МВ | будет для
точки пересечения АВ с
CD. Это значение равно дли-
не отрезка АВ. Такой точки М
на прямой CD, для которой
| AM — ВМ | имело бы наи-
меньшее значение, не
ствует.
903. Пусть Е и F бу пут
середины диагоналей АВ и
суще-
СВ (рис.
через точку
раллельную основаниям трапе-
ции, до пересечения ее с боко-
вой стороной АС в точке К.
Очевидно, KF будет средней
линией A ACD и она пройдет
через точку Е, так что КЕ бу-
дет средней линией А С АВ.
По свойству средней линии тре-
угольника можно написать
EF = KF — КЕ ~ВС
__ а — b
2 в
130). Проведем
F прямую, па-
2
435
904.	Нужно найти периметр Д DCE (рис. 131). Отрез-
ки касательных, проведенных из одной и той же точки к
одной и той же окружности, равны. Поэтому DM = DR,
ЕМ = EL, ВК = BN, AL = AN, а искомый периметр
2р = CD + DE + СЕ = CD + DM + ME + СЕ = CD +
+ (DK + EL) + CE = (CD + DK) + (CE + EL) = CK +
4- CL = (CB — BK) + (CA — AL) = CB + CA — (BN+AL) =
= a 4- b — (BN 4- AN) = a + b — BA = a 4- b — c.
905.	Положим: AD = mx, DB == nx, CE = py, BE = qy
(рис. 132).
Тогда AB : ВС : СА = (mx 4- nx): (py 4- qy) : (mx 4- py).
Но по свойству отрезков касательных, проведенных к окруж-
ности из одной и той же точки, DB—BE или nx = qy.
Отсюда — = — и, следовательно,
q п
АВ : ВС : С А = (mq 4- nq) : (pn 4- qn) : (mq 4- pn) =
= q (m + n) n(p + q) • (mq + pn).
906.	Пусть радиус искомой окружности есть OR = х
(рис. 133). Из треугольников O2OLO и ОгОО3, пользуясь
теоремой о квадрате стороны треугольника, получим
((R 4- х)2 = (R 4- г — х)2 4- г2 4- 2гу;
| (г 4- х)2 = (R 4- г — х)2 4- R2 — 2Ry,
где у — ОГА — проекция общей стороны на данный отрезок.
Умножив первое уравнение на R, а второе — на г и сложив
результаты, получим:
(R 4- х)2 R 4- (г 4- x)2r = (R + r — x)2(R +r) + r2R 4- rR2-,
436
R3 + 2 (R2 + г2) х + (R+г) х2 + r3= (R + г)3 - 2 (R + r)2x+
+ (R + r)x2 +rR(R + r\, 2x [r2 + R2 + (R + r)2] =
= (R + r)3 —R3 —r3 + rR (R + r), 4x(R2 + Rr + r2) =
= 3Rr(R + r) + Rr(R + r), 4(R2 + Rr + r2)x =
= 4Rr(R+r), x=*^+£)
907.	Обозначим S4 искомую площадь A KLR (рис. 134)
Соединим точки В и К отрез-
ком прямой ВК и составим
отношение площадей тре-
угольников СКВ и АКС, кото-
рые будем обозначать соответ-
ственно S2 и S,. Получим
S2:S3 = КС  BQ : КС  АТ
= BQ : АТ. Но A BQM ю
со A ATM, поэтому BQ:AT —
= ВМ : МА = 4:1. Отсюда
S2 : 53 = 4 :1. Обозначим 54
площадь Л АКВ и соста-
В
вим отношение площадей S4	Рис. 134.
и 53. Получим S4 : S3 =
= BD  AK: СЕ • AK = BD : СЕ, а так как BD : CE =
= BjV:jVC= 1:4, всилу подобия треугольников BDN иCEN,
S	S	1
to S4 :S3= 1 : 4. Складывая равенства -A =4 и — и
Оз	03	4
прибавляя по 1 к обеим частям нового равенства, по-
лучим:
$2 4~ S3 4~ ^4 _ д ।__J__। 1. S____« __________ 4
S3 “	4 s3 4 ’	— 21
Но рассуждения, проведен-
ные относительно Л АКС.
могут быть применены и
к треугольникам CRB и
ALB. так что площади по-
следнихч также равны
каждая. Отсюда
S1 = S~3-^S = S~
4s = 4-5.
28 к. у. Шахно
437
908.	Д ЛЮС и Д QOM (рис. 135) — прямоугольные с
общим углом MOQ. Поэтому они подобны и можно на-
писать MQ : МО = МС : ОС. Отсюда MN — 2 • MQ —
_ g МС^О^ Но МО = R, где R — радиус вписанного
в ДЛВС круга;
MC + CN	NB _a + b—(AM +МВ)
ML, —	2	=	2	2
a + b — (АР + РВ)__ a-j-b^-c	(а + b 2с _ 2р — 2с _
2	2	2	~	2	—
= р — с, где р —- полупериметр Д АВС;
ОС = УОМ2 + МС2 = VR2 + (р — с)3.
Следовательно,
MN =	где R = —
УК* + (р-сГ’ й	4S
____________abc__________
4Vp(p-*a)(p — b)(p — c)’
Аналогично найдем:
мр	(Р ~ а) . _цр___ (Р Ь)
УФ + (р — а)*’ }О?а + (Р —*>)а
909.	Пусть A MNP
(рис. 136) есть тот, пери-
метр которого требуется оп-
ределить. Начнем с опреде-
ления стороны MN. Для это-
го обратимся к треугольни-
кам MNC и АВС. Они по-
добны, так как у них
угол С общий, а стороны,
заключающие этот угод про-
порциональны. Последнее ут-
верждение следует из по-
добия прямоугольных тре-
угольников АМС и BNC, так что, действительно, =
АС
— -g^-. Из подобия треугольников MNC и АВС имеем
= -4-, или MN = где и R — радиусы окруж-
К	А
438
ностей, описанных вокруг этих треугольников. Радиус 7?
мы можем считать известным, так как он вычисляется по
,	_ abc п	!ОС
формуле R = -4$-, а = -у, потому что окружность,
описанная около треугольника MNC, пройдет через О
ОМС 4-Z ONC = 180°), причем ОС — диаметр (Z ОМС—
= 90°),
Итак,
ллл/ cRi — с 1 ос	с(РС — РО) _ с • PC — с • РО _
— R ~ 2R	2R	~ 2R	~
_2S —2Sj __ S — Si
~ 2R ~ R ’
где Sj — площадь ДЛВО. Аналогично получим
МР = А^.И рм = ~^±,
где S2 и З3 — площади треугольников ВСО и АСО. Сле-
довательно,
2р = MN 4- NP 4- РМ = ~-~(31^5г + ,5з) =
= 3S —S = 2S = 8S8
7? R abc9
910.	Положим АС = а, ВС = Ь (рис. 137). Получим
2r = CD-\-CE = AC — AD + CB — BE=*AC — AF +
4-	СВ — BF = а + b — (AF 4- FB) = а + b — 2R =
<= У (а 4- b)2— 2R = Va2 + b2 + 2ab — 2R ==
= ]/47?2 4- 4S — 2R.
Отсюда г — УR2 + S — R.
28*
439
911.	Нужно найти площадь S треугольника MCN
(рие. 138). Зная стороны треугольника АВС, легко найти
и радиус вписанной в него окружности. Поэтому будем
считать его известным и обозначим буквой г. Как видно из
рисунка,
S = Smco + Snco — Smno = МС • г + -у NC • г —
—f-MN • г = -у (Мс + KC-MN)r = -±-(МС + NC +
+ MN — 2MN) г = -у (2р — 2а) г = (р — а) г,
где 2р — периметр Л MCN. Этот периметр 2р = k 4-1—tn
(см. решение задачи 904).
Замечание. Рассматриваемая окружность, вписан-
ная в Л АВС, по отношению к Л MCN называется вневпи-
санной. У любого треугольника таких окружностей три.
Если стороны треугольника а, b и с, а радиусы соответ-
ствующих вневписанных окружностей — га, гь и гс, то, как
показывает решение этой задачи, имеют место формулы:
S = (р — а)га = (р — Ь)г„ = (р — с)гс.
912.	Пусть Оъ Ог и 0g (рис. 139) —центры кру-
гов, вписанных в данный Л АВС, в Л ABD и в ДС£>Л,
где D — основание перпендикуляра AD, опущенного из А
на ВС. Так как Д АВОг оз д BCOt и Л BCOi оз д ACOV
то Г1 : /? = АВ : ВС и rt I R = AC t СВ. Отсюда:	=
,4В»	г% АС*	,„„"/?+<!	АВ*-\-АС*	_ ВС»
— ~&С*'	R*	~~ ВСЛ	ИЛИ R1	~ ВС*	~ ЬС*~ *"
440
Итак,
R2 = г? + г’; R = Vrf + г|.
913.	Обозначим буквой S площадь Л АВС (рис. 140).
Соединив центры О и Ог с точками касания и положив
Z DOE = а, замечаем, что Z/?O1/< = 90o — а. Поэтому
получим
S = -±гАС -CB = ±(R + АЕ)(г + BF) =
A	z
= 4(/? + /?tg-r)|/+rtg (45°--г)] =
1 / «\(
= 4-яг 1+tg^- 1 + —2_ =
= 4-яг (i + tg^-+1 - tg 4~) = яг.
Рис. 140.
914. A DME со со A АМС, A DNEqk со A CNB, /\ MNE <л Л АСЕ (рис. 141). Отсюда получаем: АС   hi t	р а	h9	и	а	С	В \ А '' . —У— Рис. 141.
441
AC	h^h t AC	AC
a h ’ b h ’ b	a
K + h
h
hi
h
= 1; AC =
ab
a — b'
L.T	AC ^1 CB fly
Но из -— = и	находим, что AC == ВС и,
a ti а п
следовательно,
АВ = AC + СВ = 2АС = -^-г.
а — Ь
915.	Из подобия треуголь-
ников ACD и АК.0 (рис. 142):
= hhLh » Из подобия
треугольников АСВ и К.СО-.
”'TT-ilh’‘ Отсюда -4- +
b hi -j- Л2	я
j__V._____hi I	— 1 и
T b “ ftj -J- h, hj. + h2
Складывая, получим
916.	Ofil = OtA2 + О^А2, или,
диус буквой х, получим (R +
4- х)2 = (Я — X)3 -ь О2А2; О2Л3=
= (7? + х)2 — (R — х)2 = 4Rx
(рис. 143). Аналогично: 001 =
= О2В2 4- ОВ2 = О2В2 4- О2А2
или (R — х)2 — х2 4- 4Rx\ R2 —
— 2Rx 4- х2 = х2 4* 47?х; R2 =
= 6Rx-, х —
917.	Из прямоугольного
Л ABD (рис. 144):
АВ2 = В1У — AD2 = (гх 4-
+ Гг)2 — (П—'г)2 = 4Г1Г2.
Проведем касательную к окружности в точке С и продол-
жим ее до пересечения с АВ в точке В. Соединим точ-
ки Е и Ot отрезком прямой. Так как АЕ = ЕС = ЕВ =
= Vrirz по свойству касательных, проведенных из одной
точки, то Л ОХАЕ = Л OiEC, Z. AO1E= Z. COtE, и, следо-
обозначая искомый ра-
С
Of	я °
Рис. 143.
442
вательно, прямоугольные
добны. Поэтому
AF ЕС и
АО, ~ 0,Е • Н°
треугольники O,AF и О,ЕС по-
4- г1г2 и AF = АО, •	==
4— > АС = 2AF = 2г, 1/
+ Г, ’	1 Г Г, + г»
Аналогично получим ВС = 2г2 • ]/~—-?г-- Кроме того,
ранее было
AB* = 4/уг2,
AB =2 /г/2.
918. Проведем CD j.
1_АВ, BF || OjOj и ЕС 1.
Л.О,О2 (рис. 145) Полу-
чившиеся при этом jpe-
угольники
подобны,
угольники
кулярными
Поэтому
СЕ =
найдено
так что
О E D В
Рис. 145«
ABFh DEG
как тре-
с перпенди-
сторонами.
можно написать =
Rr (см. решение задачи 917), BF = R-^-r. Отсюда
= Но AB = 2VRr,
CiD	иГ	r
CD = CE.^-
2VRr __ 2Rr
443
919. Проведем ВС || OjO2 (рис. 146). Тогда из треуголь-
ника АВС по теореме Пифагора получим
АВ = У ВС2 —ЯС2 = /(7?+г)2 —(/? —г)2 = 2/^7
Проведем теперь DE || OiO3. Из прямоугольного треуголь-
ника ADE получим
AD = УЕЕР — АЕ2 = /(7? + х)2 —(Я —х)2 = 2/^7
где х — искомый радиус. Наконец, проведем DF || О2О9,
тогда из Д DBF получим
DB = У DF2 — BF2 = /(г+ х)2 —(г —х)2 = 2|Лгх?
Но	_	_	_
АВ = AD + DB или 2 /Rr = 2//?х -4- 2/гх;
, Г- _ VRr________________Rr
VX~ VR + V^' (KR + lS-7)2'
Есть и еще одна окружность, которая касается данных
окружностей снизу, а прямой — правее обеих данных
«, г?	Rr
окружностей. Ее радиус равен	*
444
920. Проведем O3E1.OiO2, O3F±AB и соединим прямой
центр О3 с концом А искомого отрезка АВ (рис. 147).
Очевидно,
АВ = 2AF = 2 УЛО82 —FOj = 2 /с^х2,
где х = O3F = DE,
Чтобы найти х, рассмот-
рим треугольники 0у03Е и
О2О3Е, имеющие общий
катет О3Е, На основании
теоремы Пифагора полу-
чим
OaF = O3O2 —О1£2 =
' =О3О1-О2Е\
Отсюда:
(с + а)а — (а + х)а =
= (6 +с)2 — (Ь — х)2;
(а + х)а —(6 —х)2 =
= (а + с)2 — (Ь 4- с)2;
(а + Ь) (а — b + 2х) =
= (а + b + 2с) (а — Ь)\	В
а2 — Ь2 + 2х (а + Ь) =	Рис. 147.
= а2 — b2 + 2c(a — by,
2х(а + b) = 2с(а — Ь)-, х = с • АВ = 2Ус2 — х2 —
2(а — ЬУ
С (а + ЬУ
)a-(g-fe)a
(а + ЬУ
= 4с
УаЬ
а + Ь'
Рис. 148.
921. Проведем ОС Л. BE, где
О — центр окружности, и сое-
диним прямыми О с вершиной
А данного квадрата и с верши-
ной В — вписанного (рис. 148).
Обозначим искомую сторону
через х. Из прямоугольного
треугольника ОВС имеем
О В2 = ВС2 + ос2 = вс2 +
+ (OD + DC)2 =
445
Но ОВ — ОА, и из прямоугольного треугольника OAD
находим, что
АО2 = OD2 + DA2 = ~+^- = ^.
Теперь получим:
a2 ( х Vi ( а I X- ai х2 . а2 . ,
2	\ 2 /	2	’ 2 ~ 4 + 4 +ах +х •
5х2 4- 4ах — а2 = 0; х —
D
922.	Таких окружностей три (одна с центром в О3,
а две другие изображены на рис/ 149 пунктиром). Обоз-
начим искомый радиус буквой х, а центры данных окруж-
ностей буквами Oj и О2. Соединим прямыми О3 с Ot и О2
и'опустим из О3 перпендикуляр О3А на линию ОХО2. Рзс-
смотрим прямоугольные треугольники 01034 и О2О3А,
имеющие общий катет О3А. На основании теоремы Пифа-
гора получим
О3А2 — OjO2 — ОгА2 = 020з — О2Л2 или иначе
(R + х)2 — (R + 2г — х)2 = (г + х)2 — (х — г)2.
Рис. 149.
Решаем это уравнение:
(2R + 2г) (2х — 2г) = 4rx, (R + г) (х — г) = гх,
Rx = г (R + г), х = (R + г).
446
Нетрудно видеть, что две другие окружности имеют ра-
диусы:
2/?4-2г П| г т \ \
---= R + г и (Я + г).
923.	Как видно из рис. 150,
DM = V DE2 + ME2 = V(DL + LE)2 + ЕС2 =
= V(OL+LE)2+(LC-EL)2 = /(OL + LE)2 + (OL-LE)2=
= /2O£2 + 2LE2 = V~2 VOL2 + LE2 = V~2	=
= / 2O£ = /?/2.
Так как длина отрезка DM
не содержит т, то это и озна-
чает, что она не зависит
от Тп.
Рис. 151.
924.	Обозначим искомую сторону буквой с (рис. 151).
Так как треугольники АОВ, ВОЕ и A0D — прямоугольные,
то по теореме Пифагора получим:
АО2 + OD2 = AD2; ВО2 + ОЕ2 = BE2; ВО2 + АО2 = АВ2.
Точка О делит каждую медиану в отношении 1 к 2, считая
от основания. Поэтому, если положить OD ~ х, ОЕ —у,
то АО = 2у, ВО = 2х. Так как, кроме того, BE =
AD = и АВ = с, то написанные выше равенства можно
переписать так:
4 г/2 + х2 =	4х2 4- у2 —	4х2 + 4у2 = с2.
Складывая почленно первые два уравнения, получаем
5х2 + 5у2 = —— или 4х2 + 4у2 — —.
447
Воспользовавшись теперь третьим уравнением, найдем

925. Обозначим искомый радиус буквой х (рис. 152).
Так как Z АКО — 90°, то из
Рис 152.
Л АОК находим: х ~ АО =
= У~АК* + КО2; АК = -^, а дли-
ну ОК найдем из подобных тре-
угольников OKD и К BE (взаим-
но перпендикулярные стороны).
Получим
КО : OD = КВ : КЕ. Но КВ =
= KE = d;
BE = У К В2 — KE2 =	— d2; OD = EF =
= BF — BE = 4--	—K0 = 0D.-^ =
2 Г 4	КЬ,
= (_L _	—
\ 2 V 4 а ) 2d
Таким образом,
х = -^V^a2 + Ь2~2Ь У а* — 4d2.
926. Таких окружностей возможно четыре — с центрами
в точках А (две концентрические) и D (две концентриче-
ские), из которых подробно рассмотрим только одну с
центром в Л и радиусом ЛК = х(рис. 153). Проведя ряд
построений, понятных из рис. 153, рассмотрим треугольники
АСЕ и FCE. По теореме Пифагора получим
АС2 = АЕ2 + ЕС2 = (AF 4 FE)2 4 ЕС2,
но
АС = АК + КС = х + г; AF = 2г; EF = VFC2 - ЕС2 =
= ]/4г2 —г2 = г ]/“3; (х 4- г)2 = (2г + г ]ЛЗ)2 4 г2;
(х 4- г)2 = 4г2 + 4г2	4 Зг2 + г2, (х 4 г)2 = 8г2 44 /~3г2;
448
х + г = 2г ]/2 + /3, х = —г + 2r |/2 + / 3 =
= г (2 ]/’Г+У=3 — 1) = г (/“6 + V2 — 1).
Рис. 153.
Здесь была использована формула
|/7ТТг- Ул+у^ + j/л-кл^г.
Радиусы других окружностей (две из них обозначены
пунктиром) будут:
AL = г (]/б + /~2 + 1); -DN = г (/"6 — V~2 — 1);
DM = r(V~Q — / 2+ 1).
Окончательно ответ можно записать так:
Г (/ 6 ± V 2 ± 1).
927. Обозначим /СР = у, КТ = г (рис. 154). Пользуясь
свойством перпендикуляра,
опущенного из вершины
прямого угла на гипо-
тенузу, получим: у2 ~ m2,
г2 = пу. Отсюда находим:
У1 У4	ч
Z =	= пу\ у3 =
т т* у V
= /и2п; у = Vт2п\
г = У тп2.
Рис. 154
449
Теперь, пользуясь теоремой Пифагора, вычислим гипоте-
нузу:
ВС2 = АВ2 + АС2 = (т + г)2 + (п + у)2 = (m	+
+(«+ Y т2п)2=У т2 (Y tn2 + Yi?)2+ Yna(YrF + Yw2)2=
= (Ye2 + Y щ2)2 • (Yт2+Yn2) — (Y^2+Yn2)3.
Обозначая ВС = х, можем написать окончательно:
2	2	9	2	2 8
х s = т3 + п\ х — (/П7+ л3)2.
928. LK2 ~ АК • КВ (рис. 155), где К “проекция в
на АВ. Но £\АНКсл £\СКВ (взаимно перпендикулярные
стороны), поэтому Ак : НК = СК : КВ или АК • КВ =
= СК • НК.. Отсюда:
LK2 = CK-HK', LK = V СК-НК или S = ±-AB-LK~
= 4- АВ У СК  НК= У ^АВ-СК--^АВ-НК =
Рис. 156.
929. Этот радиус можно найти по формуле г = если
найти третью сторону (рис. 156). Найдем ее. Пусть тре-
угольник с заданными сторонами есть АВС. Опишем вокруг
него окружность и проведем высоту его BD и диаметр BE.
Соединив конец диаметра Е с вершиной треугольника А,
получим прямоугольный треугольник АВЕ, подобный тре-
угольнику CBD, так как z BDC = Z BAE = 90°, Z ВСА=
= Z.BEA. Из подобия имеем:
450
23 —
BD _ ВС Rn_AR _S£_9n.	5
~АВ ~ ЕВ' BD~AB' BE ~ 2U 29
АС = AD 4- DC = VAB2 — BD2 4- V ВС2 —BD2 =
= /202—1624- У(^)2*- 162 = 124-4 =
s = 4^c • bd=4-4 • 16=ф;
Z	Z о	о
1152
36; ' =
Соединим середину гипотенузы Е с
(рис, 157), Очевидно,
5 = 4-ЛС • BD =
. 16=
20 4-
930.
катета
EF || AC, а следовательно, EF±
j_BC. Угол DFE, таким образом,
является прямым вписанным уг-
лом в окружность. Поэтому перпен-
дикуляр ED к гипотенузе в точ-
ке касания ее с окружностью
пересечется с продолжением кате-
та ВС в точке D, находящейся на
окружности, т. е. ED есть диа-
метр. Замечая, что
со А Л ВС, так как они прямоуголь-
ные и имеют общий угол ЛВС,
ED AC
~ВЁ ~ ~ВС’ ВВ ~
A EBD <x>
20 116 1C
29 • *5" = 16:
= 6,4.
серединой F
пишем:
4 • АВ = 4 VAC2 4- ВС2 = 4;
рг\ пг  пр ЛС   5 4______Ю . _ 5 . о  25
ED 2r — BE • вс ~ 2 • 3 — 3 , г — 3 , S — 9 л.
931. Пусть искомая
сторона будет обозначена
буквой х, а сам квадрат
занимает положение Л BCD
(рис. 158). Легко дока-
зать, что АОеО^Ръ и на
основании теоремы о пер-
пендикуляре, опущенном
из точки окружности на
диаметр, можно написать
АЕ2 = ОуЕ • EF, Но АЕ = 4; ОХЕ =
451
EF = OaF — 0}E — 2r — 2 x = 3r + x и поэтому
‘ -^4^? 2x2 + 2rx-3r2 = 0, x = ^~1)-
Рис, 159,
932.	Пусть искомая ок-
ружность (рис. 159) имеет
центр в точке О (другая
возможная окружность обо-
значена пунктиром). Обозна-
чим искомый радиус буквой х.
Сделаем дополнительные по-
строения, понятные из рисун-
ка. Из прямоугольного тре-
угольника EDO получим
ЕО2 = ED2 + DO2 = ED2 +
+ (АВ — BD~ О А)2.
Но
ЕО = а + х, ED = 4 EL = 4 УЁЮПШ =
= 4Vа2 + °2 = ° /'2-. AB = 2EL=2aV2-
bd=4 EL = 44, 0А = v°c*+ACi=
= /х2 + x2 = x )/2,
и поэтому будем иметь
(а + х)2 = (44)4 (2а	~44 — х
Решаем это уравнение:
(а + х)2 = 4 + (4а/2 —x/l)2, а2 + 2ах + х2 =
=4+4а*—^ах+х2 ~ &ах+=о*
х = 2 (2 — /3) а.
Радиус окружности, обозначенной пунктиром, равен 2а.
452
933.	Обозначим искомый радиус буквой х (рис. 160).
Рассмотрим прямоугольные треугольники ОАВ и 0DF.
Применяя к ним теорему Пифагора, получим
О А2 = ОВ2 + АВ2 = (ОС — СВ)2 + АВ2 = АВ2 +
+(/О£>2—£>С2—СВ)2=ЛВ2+()/ОВ2 + FD2 — DC2 — CB)2.
Но
ОА = х\ OF = х; FD = 2|/10; DC = СВ = /10,
и равенство можно переписать так:
х2 = -£ + (]/ х2 + 40 — — /То)2.
Отсюда:
х2 =	+ X2 + 40 — -у- — 2 /ТОх2 + 375 + 10,
2/10х2 + 375 = 50, 10х2 + 375 = 625, 10х2= 250, х = 5.
934.	Обозначим иско-
мый радиус буквой г
(рис. 161). Проведем ра-
диус в точку касания ок-
ружности с большим ка-
тетом. Так как OD || ВС. то дОАОсодВЛС, и можно
написать^ = Но OD = г, ВС = 3; АВ =/9+16 =
»5; О А = 5 — г и пропорция запишется так:	=
3	15
=ж Отсюда находим: 5г = 15 — Зг; г = =-.
О	о
*/»29 К. У. Шахно	453
935.	Из прямоугольных треугольников AOjB, АОВ и
СООг (рис. 162) имеем:
ЛО? — О±В2 = АО2 — ВО2, 9 — О,В2 = 25 — (5 — О^)2,
ОгВ = -~, СО = У 001—0^ = 4.
Из подобия треугольников OYKB и О£О находим:
KB:0IS = C0;0IC;«B = 01B.^=44 = i
ОВ = ОО1-О,В = 5-4=-П--
Отсюда по теореме Пифагора
ОК = У КВ2 + ОВ2 = 4-/73-
Рис. 163.
936.	Искомая площадь S, очевидно, равна сумме площа-
дей треугольников АКВ, BLC, CMD и DNA (рис. 163).
Но эти треугольники равны, и поэтому можно записать
5 =	= 4 • 4" • АВ • КР = 4 •	• КР-
Найдем КР- Из подобия треугольников КРВ и RTB по-
лучаем
КР : RT = РВ : ТВ и КР = RT •
Так как площадь ромба равна половине площади квадрата
и одна диагональ у них общая, то вторая диагональ ром-
ба равна половине диагонали квадрата. После этого не-
трудно установить, что
RT = 4~CB=4-a-, ВТ =	- АВ =-%-а.
4	4	’	4	4
454
Рис. 164.
Что касается РВ, то ясно, что РВ = -^-а. Итак, имеем:
ь'п rt'r РВ 1	1 • 4 а о .	1 а а3
КР — Р.Т  -тв — — а • 2 3 — -g- и S — 4  уа  у - —
937.	Очевидно, радиус этой окружности равен -^-ВМ
(рис. 164). По теореме
Пифагора получим:
ВМ2 = ВС2 + СМ2 =
= а2 + СМ2, СМ =
= АС — АМ = Ь—АМ.
Величину AM найдем
из подобия треуголь-
ников АВС и AMN,
после чего легко найдут-
ся СМ и ВМ. Действи-
тельно:
АВ3 __ ВАВС _
лмз ~ sAMN -
АМ2=*±*, СМ = Ь-АМ = Ь-У^±Е-,
ВМ2 = а2 +СМ2 = а2 + (б—	= а2 +
+ Ь2-	= 4 (а2+ Ь2) - b /2 (а2+62).
Искомая площадь
S = л •	= -413	~ 2Ь У2 + ]-
AB2 = a2 + b2, ^fc£ = 2;
V229*
Отметим, что вокруг че-
тырехугольника BCMN дей-
ствительно можно описать
окружность, потому что
£ВСМ + £BNM = 180°.
938.	Искомая площадь
s = ЛР.+-^£_ ,в^(рис. 165).
Так как Л АВЕ со
то AK, : OiA = АВ : BE. Но
455
OiA = R, BE = R + r, АВ = УВЕ2 — АЕ2 —
= У (R + r)2— (R — r)2 = 2У&.
Отсюда:
д/z 1 AD —О A- AB -R- 2^r
ar-^ad-u^a-^-k- R + r - R + r,
in 4RV~Rr
AD~ R + r'
Аналогично
д/-> _ 4г У Rr
ВС~ R + r *
Найдем BF'
АВ2 = BE-BF,
4Rr = (R + r)-BF, BF = -~-
Теперь можем написать:
Q AD + ВС Rp_ (2Л + 2г)Ул7 4Rr _8RryRr
6------2 D ~ R + r ' R + r ~ R + r
Рис. 166.
Величину же DA
ADK и ELF (в
ставим пропорцию:
939.	Обозначим искомую пло-
щадь буквой S. Проведем DK1.AB
(рис. 166), диаметр EL и прямую
FL. По свойству описанного четы-
рехугольника DC + АВ = AD + СВ
и площадь
AB + DC
2
. DR = AD±CB . DK =
= AD- DR = AD  2r,
так как трапеция равнобедренная в
силу равенства углов DAB и С В А.
найдем из подобных треугольников
силу перпендикулярности сторон). Со-
Л£___£Л АР _ 2г
EL “ EF 9 2г ~~ а '
Отсюда
AD = — vt S = AD- 2r = —
а	а
4&
940.	Пользуясь формулой Герона, найдем площадь тре-
угольника
S— Ур(р —а) (р — Ь)(р — с).-
Соединим теперь центр О
(рис. 167), вписанного по-
лукруга с вершиной С
треугольника и вычислим
площадь дЛВС, как сум-
му площадей треуголь-
ников АОС и ВОС. По-
лучим:
С
Рис. 167.
S = АС • OD + ВС • ОЕ = ~ Ьг +4- аг “
г /	. ,,	28	4S
2 (fl + Г а + Ь ’ 2г ~ а + Ь'
В
941. Обозначим ра-
диус вписанной в тре-
угольник окружности
буквой г. В треуголь-
нике ОЕА (рис. 168)
гипотенуза АО —2г, так
как Z ЕЛО=30°. Поэто-
му ЛЕ=/ЛО2 —О£2 =
= г У 3 =AF. Заметив,
что ЕС = т и BF = п,
подсчитаем площадь треугольника по формуле S = рг,
а затем по формуле Герона. В первом случае получаем
S = рг = (т + п + г У 3) г,
а во втором —
S = ур (р — а) (р — Ь)(р — с) = У~(т + п + г У 3) тпг\ 3.
Сравнивая правые части, предварительно возведенные в
квадрат, получаем:
(т + п -+- г У З)2 г2 = (tn + п -Ь г У 3) тпг У^,
(т -\-п + г \/ 3)г = тп У~3; S = тп У 3.
29 к. У. Шахно
457
942.	-Пусть CM = х (рис. 169), а высоты треугольни-
ков АВЕ и СМЕ соответственно и й2. По условию
= А (а + Ъ) № +Л2) или = h+Л = 1 +£.
Но из подобных треугольников АВЕ и СМЕ имеем
4 = 4- Отсюда:
и «1
2а I.* х а — Ь	а — Ь
а + Ь ' а’ а
Рис. 170.
943.	А АВС а> f\DBE (рис. 170). Но в подобных тре-
угольниках отношение их площадей равно квадрату отно-
шения сходственных сторон, и поэтому имеем
AD + DB у~$
DB ~	“ /2-
Отсюда
ЛР . , i/~n	AD	СЕ	i/'~n i
Pd +1=^2 иТ5- = -^г = / 2-1.
944.	Проведем DK. || ВС
4—^—f	и ML || ВС (рис. 171). Если
/ \	\ обозначить высоты треуголь-
\	\	ников DM К и MAL, проведен-
—J—---------АХ	ные соответственно из вер-
/Лг\____________\	шин D и М через hx и Л2, a
A р \	“ искомую длину через х, то
равенство Smncd = Sabnm за-
Рис. 171.	пишется так:
TV .	__ и-т л ,
2	«1-------2“ • л2-
458
Но, с другой стороны, дЛЛИсодЛЮ/С и, следовательно,
МК	AL	х—b	а — х
— = —- или —г-----== —т—.
«1	«2	"1	^2
Перемножая левые части полученных равенств, а затем
правые, и приравнивая результаты, получим:
Л+2 . hl.	=	x2-b2 = a2-x\
2х2 — а2 4- Ь2, х — j/ °	6 
945.	Решается аналогич-
но задаче 944. Проводим
DK II ВС и ML || ВС (рис. 172).
Обозначим: MN=x, DE=h.lt
MF = h2. Так как
Sabnm : Smncd =7:2,
5 —|— x *	x —3 »	f-y о
TO ft2 :	fti = 7 : 2
или 2 (5+x) h2—l (x+3) йх. Из
подобия треугольников AML
и MDK имеем  5~ — =
=	3-. Перемножая левые
венств, а затем правые, и приравнивая результаты, по-
лучим:
2 (25 — х2) = 7 (х2 — 9), х = -у1Л’Й37
FL 5
Рис. 172.
последних двух ра-
0	С
Рис. 173.
946.	Проведем СЕ || DB (рис. 173) и обозначим высоты
треугольников CDO и АВО через hi и h2. Очевидно, иско-
мая площадь S кравна площади ДЛСЕ. Поэтому, поль-
29*
459
вуясь подобием треугольников CDO и АСЕ, можем на-
писать
__ h.
Л1 + й/
Точно так же из подобия треугольников АВО и АЕС
получаем
/g _ й2
FS Лх + Ла’
Сложив два последних равенства, найдем, что
/s, + Vst _ Й! + йа
V S
= 1;
*1 + й2
/$! + v S2 = ys;
S=(VS.+ V-%)2.
Рис. 174.
947.	Обозначим искомую
площадь через S, длины от-
резков AD, BE и DE
(рис. 174) через х, у и z.
Так как каждый из полу-
ченных треугольников в си-
лу параллельности сторон
подобен основному, то мож-
но написать следующие три
равенства:
V-St = х	/S, = У	VSg = г
Vs' x + y + z’ ys	х + у + г ’ У 3F	x + y + z'
Складывая почленно эти три равенства, получим
ySt + ygg+ZSs	х + у + г
VS	х+у+г
Отсюда
= VS. +]/S2+/S3.
Или, иначе,
s = (/Si + vs2 + 1Ч)2-
4G0
проведенные соответственно
(рис. 175). Очевидно,
948.	Обозначим искомую площадь буквой Q, а высоты
треугольников DCE и ADF,
из вершин С и D, через ht
Q = S] 4- SdeF, причем в
параллельности DE и АВ
не зависит от выбора точки
и Л2
силу
S def
F на
основании АВ. Так как у треуголь-
ников DCE и FDE DE есть
щее
/i2+
/i]
основание, то
SDEF	h2 S DEF
S.	ht ИЛИ
$DEF + Si ^2 +
s; ~
об-
s.
л.
hi
Так
Q
ИЛИ -у =
как &DCE со д АСВ, то	—..	Перемно-
р S	h2
левые части полученных равенств между собой, а
ЖИМ
правые между собой:
Q vs; _
S. ‘ /S
hj + ft. ft.
= 1,
^2 4“
1, Q = I'SS..
V s • s.
949. Пусть точки
В и С будут точки
касания окружностей
с общей внешней ка-
сательной, а О. и
О2 — центры окруж-
ностей (рис. 176).
П роведем CD || О.О2,
В прямоугольном
треугольнике BCD
катет BD — ВО, —
—O,D = BOi~CO2=
= 3 — 1 = 2, а ги-
потенуза CD =0\0г~
= 3 + 1 = 4. Но если катет в два раза меньше гипотенузы,
то противолежащий ему Z BCD = 30°, a ABDC = АВО,А —
— 60° и /СО/). = 120°. Искомая площадь S равна разно-
сти между площадью трапеции О,ОгСВ и суммою площадей
461
секторов AOtB и А02С. Основания трапеции суть 3 и 1,
а высота
ВС = VCD2 — BDi = /16 — 4 = 2/3?
Поэтому
о _ 3 + 1 п,/о- ( те • За • 60 . те • Р • 120 \
О - 2 z И О 360	+	360 у -
,,/q-	11	24/T-11 те
-4/3 б к- б
950.	Подставив в формулу Герона
23 . 2S 23
°= V	C = V’
получим
S = 	'	======.
/(г+ЛЖ+^-Ж+г-г)(г+г-г)
Г \Л| Л2 ”3' ' "1	^2	*3' \Л2 Лд Л1 / \Л3 hl п2'
951.	Продолжим одну из медиан за основание треуголь-
ника на отрезок, равный медианы. Соединим конец
этого отрезка и точку пересечения медиан с концом осно-
вания. При этом получится треугольник со сторонами
2	2	2
-«-/Пь-о-/п2» “V тз и с площадью, в три раза меньше
О	О	о
искомой. Тогда, воспользовавшись формулой Герона, по-
лучим
s = -y У(тх 4- ma + т3) (mi + m2 — т3) (т2 + т3— тг) (т3 + „ч ~ т2).
952.	Вычислительно это находится быстро, а именно,
если длины диагоналей суть 4 и 4, а угол между ними а,
то площадь четырехугольника
S =	44 sin а,
а площадь параллелограмма
Q = 44 sin л-
Отсюда получаем Q = 2S. Этот же результат можно по-
лучить чисто геометрически. Приведем это второе решение.
Пусть дан четырехугольник ABCD (рис. 177). Так как
462
ACFD, ABEC и BEFD — параллелограммы, то £\ABD =з
= АСЕВ, дВСЕ = АДСВ, &ADC = &DCF. Поэтому
Q = Scdf + Sbce + Scef + Sbcd = (Sacd + Sabc ) +
+ (Sabd + Sbcd) = S + S = 2S.
953.	Пусть EF— средняя линия трапеции (рис. 178).
Проведем высоту KL трапеции через точку пересечения
диагоналей. Ввиду равнобедренности трапеции, точки /С
и L будут серединами оснований. Соединим точки В, К,
F и L последовательно. Получим квадрат EKFL. Дейст-
вительно, ЕК есть средняя линия в треугольнике ADC и
EK = -i- АС. Аналогично FL = -4- AC, KF = DB,
Z	4	4
EL = DB. Но в равнобедрен-
ной трапеции диагонали равны, а
если АС = BD, то EK = KF ~
= FL = LE, т. е. четырехуголь-
ник EKFL есть ромб, а так как
диагонали взаимно перпендикуляр-
ны, то ZEKF = 90o (ЕКЦЛС,
FK II BD) и EKFL есть квадрат.
Отсюда видим, что высота тра-
пеции KL = EF — d.
Итак, S = EF • KL = <Р.
954.	Обозначим искомый
'/ АСВ = а, а радиусы окружно-
стей через г и R (рис. 179). Про-
ведем биссектрису COi угла и
ЕМ II COj. Очевидно, Z ВЕМ =
= Z ЕС К =	Так как по усло-
С
Рис. 179.
463
вию DE = 2а и АВ = 2Ь, то, полагая R > г, получим
sin	Но д АОхВ со д DOE как тре-
угольники с соответственно параллельными сторонами.
Поэтому
О1В	ЛВ A—A—A R~r -b — a
ОЕ	DE ’ г 2а	а 11 й + г b + а ’
Отсюда
955.	Обозначив искомый Z СВА=а (рис. 180), посту-
паем далее так же, как и в задаче 954. Получим
R — г
«««= Я+7-
Рис. 180.
956.	Нужно найти площадь
четырехугольника NKLM (рис.
181). Обозначим ее буквой S,
а диагоналиNL — 2хи КМ =2у.
Выполнив дополнительные по-
Рис. 181.
строения, понятные из рисунка, получаем из рассмотре-
ния прямоугольных треугольников ODA и OAN:
2х = NL = 2NA = 2 У NO2 — О А2 =
= 2 /АО2 —(OD si па)2 = 2 / 7?2 — a2 sin2 а.
Аналогично другая диагональ
2у = КМ - 2 /Я2 —a2 cos2 а.
464
Отсюда
S = у • 2х • 2у = 2 У R2 — a2 sin2 а V R2 — a2 cos2 а =
= 2 У — а2/?2 + -у- sin2 2а.
957.	Введем обозначения:
Z САВ=а, Z BAF = ₽ (рис. 182).
Тогда Z АСВ = 90° — (а + ₽),
a Z АВС = 180° — (90° —₽) =
= 90° + р. Искомый радиус х
по теореме синусов определит-
вс п
ся так: х =	. По той же
2sin а
теореме можем записать
ВС _ АС
sin a sin (90° + Р)
АВ
— Sin [90° — (а + ₽)]
Рис 182
ИЛИ
ВС = АС_ = АВ
sin а COS р COS (2 + Р) *
Из треугольников ACF и АВЕ получаем
АС = 27? cos (а + р) и АВ = 2r cos р.
Подставляя в два последних отношения, получим:
2R • cos (а + Р) _ 2r cos р cosa (а + Р) _
cos р	cos (2 + Р) ’ cos2 р R
и
 cosy-7 = У -R- (« и а + ₽ — острые углы).
Отсюда
ВС = 2^005(0 + 3) =
Sin a	COS Р	У R г
Следовательно,
ВС	. гп—
455
958.	Очевидно, искомая площадь
S = 8Somn = 8 (Samn — <Samo) (рис. 183).
Так как в треугольнике АМТ катет АТ — а гипо-
тенуза AM — а, то
^AMT = ^, £МАТ = ^, Z Л1ЛО = 4-4 = ^.
о	о	о 4	12
Поэтому:
SAMN=4.a2^ = ^, Samo = у ЛЛ4 • ОЛТ sin у =
= 1 а • ОМ = 4 а {МТ — ОТ) = 4pWsin 4 — 4) =
4	4х	'	4 \	3	2/
= 4 \ 2	2)~	8	*
Отсюда
S= ?Ц=^а2) =-^(« + з —3/Т).
\	о /О
\ / /V 7Y Z	Ык / К /V
959.	Обозначим расстояние AD между параллельными
прямыми через х, а площадь Л АВС через у (рис. 184).
Пользуясь теоремой о произведении отрезков пересекаю-
щихся хорд, получим:
BD • DC = ВО2 = х (27? — х), BD = ]/х(27? —х).
Следовательно,
у = 4fic- ло = 4  2BD'AD^BD-AD=xVx{2R — X).
466
960.	Если стороны прямоугольника х и у, то его пло-
щадь S = ху, а периметр Р = 2х 4- 2у. Используя равен-
ство ху = 5, преобразуем выражение для периметра. По-
лучим:
Р = 2х + 2у = 2х + 2 • 4= 2 •	=
Л	л
= 2 ф xt-ZxV'S + S + ZxV'S = 2 . (x-Vsy + 4у-£'
Отсюда видно, что наименьшее
значение для Р получится
при х = У 8, и оно равно
4 /8. Но тогда и у = 1/8?
961.	Положим AM — х,
AN = у (рис. 185). Тогда по
теореме косинусов
MN2 == х2 4- у2 — 2ху cos а,
а так как
1	1 с S
Ti-xwsina = -<5-S; у = —:—, т
2	у	2 ’ э х sin a *
— 28 ctg a — (x-----) 4-	----28 ctg «.
s \ x sm a) 1 sin a	®
Величина MN2, а вместе с ней и MN, получит наи-
меньшее значение тогда, когда
-4—= 0, х2= —,
X Sin a ’ sm а
В этом случае
у = -4— = 1/Д-; MN ~ 1/-Я—28ctga^
v х sm a r sm a	У sm a
n 1	• a
= 2 Kita7-S,n2-’
а искомый периметр
2p = 2x + MN = 2 1ЛД-( 1+ sin^) =>
r 1	v sm a \ '	2 /
A 1Z 5	2 те — a
= 4 1/ -j— cos2-7—.
r sm a	4
467
962.	На основании теорем, обратных следующим:
1) сумма любых двух сторон треугольника больше треть-
ей; 2) Пифагора.
XIV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
(Стереометрия)
963.	Возьмем внутри правильного тетраэдра ABCD
точку О (рис. 186). Соединив отрезками прямых точку О
_	со всеми вершинами тетраэдра,
Ч	получим четыре пирамиды:
У/1\	АВСО, BCDO, CADO, ABDO.
/ // \ Очевидно, сумма объемов этих
/ о! I \	четырех пирамид равна объ-
емУ данного тетраэдра. Обо-
®	\	значив площадь грани тетра-
'/ S' эдра и его высоту через S и
h, а расстояние от точки О до
граней, которые являются высо-
Рис. 186.	тами полученных пирамид, через
йь Л2, й3, Л4, получим:
±Sh = ±Shi+ ±Sh2+ ±Sh3+ ±Sh4
о	о	о	о	о
или	4- h2 + h3 4- ft4 = h.
964.	Если все прямые пересекаются в одной точке, то
имеет место первый случай. Если же какая-нибудь данная
прямая не проходит через точку пересечения двух других
данных прямых, то тогда она лежит в плоскости, прове-
денной через эти две прямые, потому что она имеет две
общие точки с этой плоскостью, являющиеся точками пе-
ресечения ее с прямыми, опре-
деляющими плоскость. Анало-
гично можно показать, что вся-
кая другая данная прямая (их
конечное множество) также
лежит в этой плоскости.
965.	а) Пусть противопо-
ложные грани четырехгранного
угла обозначены Р, Q и R, S
(рис. 187). Пусть линия пере-
сечения первых двух есть ОА,
й
Рис. 187.
468
а вторых OB. Всякая плоскость, пересекающая грани
угла и параллельная плоскости, проведенной через пря-
мые ОА и ОВ, пересекает угол по параллелограмму.
Действительно, линии пересечения проведенной плоско-
сти с плоскостями Р и Q параллельны ОА, а с плоско-
стями R и S параллельны ОВ.
б) Если плоскость Р || плоскости 0 (или плоскость R ||
II плоскости S), то любая плоскость, секущая грани угла и
параллельная прямой ОВ (соответственно прямой ОА), пе-
ресечет. угол по параллелограмму.
в) Если плоскость Р || плоскости Q и плоскость R ||
II плоскости S, то любая плоскость, секущая грани угла,
даст в сечении параллелограмм.
966. Через вершины К, L, Р (рис. 188) данного куба,
проведем плоскость, а через середину А ребра КМ—дру-
гую плоскость, параллельную первой. Сечение куба вто-
рой плоскостью будет плоский шестиугольник ABCDEF.
Этот шестиугольник правильный, так как все стороны его
равны между собой и равны половине диагонали грани
куба, а углы равны по 120°, потому что они имеют сто-
роны, параллельные сторонам правильного треугольника
KLP.
Рис. 189
Рис. 188.
967. Плоскость, проходящая через ребро AD (рис. 189)
и параллельное ему ребро EF, пересечет сторону Л АВС
в середине g стороны ВС. Следовательно, диагональ ED
параллелепипеда пересечет плоскость А АВС в точке К, ле-
469
жащей на медиане Ag. Проведя плоскость через ребра BD
и ME, аналогично докажем, что эта диагональ проходит
и через вторую медиану Л АВС, т. е. через точку пере-
сечения медиан.
968. Допустим противное.
иметь точку пересечения Q
Пусть в трехгранном угле
О АВС (рис. 190) плоский
угол АОВ прямой или
тупой, а все двугранные—
острые. Пусть проекция
ребра ОС на плоскость
АОВ есть OD. Так как
двугранные углы предпо-
лагаются острыми, то ли-
ния OD пройдет внутри
угла АОВ. Через какую-
либо точку М ребра ОС
проведем плоскость, пер-
пендикулярную к ребру
ОС. Эта плоскость будет
с прямой OD и точку
пересечения, по меньшей мере, еще с одним ребром дан-
ного трехгранного угла. Пусть это будет точка Р ребра
ОВ. Очевидно, плоскость OMQ ± QP и, следовательно,
MQ ± QP и OQ ± QP.
Рассмотрим теперь, следующие случаи:
a)	Z DO А — острый (рис. 190);
б)	Z DO А — прямой (рис. 191);
в)	Z DO А — тупой (рис. 192).
а)	В этом случае про-
веденная плоскость пе-
ресечет ребро О А. Обо-
значим точку пересече-
ния буквой N. Отложим
QMi = QM и соединим
Mi с N и Р отрезками
прямых. Так как QAf1=
= QM < OQ, то точка
Мг будет находиться
внутри угла АОВ. На
основании теоремы о
внешнем угле треуголь-
ника заключаем, что
Z NMiP^^AOB, т. е.
470
Z NMtP — тупой. Но это невозможно, так как, очевидно,
Л NMjP = &NMP и, следовательно, Z NMtP = Z NMP.
Последний же острый, как линейный угол острого дву-
гранного угла.
б)	Если A DO А прямой, то QP || О А, так как OQ1QP.
Отсюда следует, что и MN || QP. Но Л MQP прямоуголь-
ный, и поэтому Z MPQ острый, a Z NMP тупой, что
невозможно, потому что
Z NMP — линейный угол	“к „
острого двугранного угла.	w
'в) Если Z DOA тупой,
то, так как Z PQO пря-	/\\й
мой, QP, а следовательно, Д	\
и МЛГ пересекутся с про-	'X?*'
должен нем ребра О А в	—В
некоторой точке Лх. По-
этому получим (рис. 192)	X/)
Z NMP > Z MPAt >	рис. 192.
> Z MQP = 90°, т. е.
Z.NMP—тупой. Но этого не может быть, так как
Z NMP — линейный угол двугранного угла, который по
условию—острый.
Итак, наше предположение, что при всех острых дву-
гранных углах трехгранного угла у него есть плоские
углы не острые, приводит к противоречию, что и доказы-
вает теорему.
969.	Пусть одно из сечений этой поверхности плос-
костью есть окружность с цент-
ром в Ot (рис. 193). Проведем
через 01 плоскость, перпенди-
кулярную плоскости получен-
ной окружности. Эта плоскость
пересечет окружность по диа-
метру АВ, а поверхность — по
новой окружности, проходящей
через точки А и В. Взяв центр
и радиус этой второй окруж-
ности за центр и радиус сферы,
опишем сферу. Любая точка М
Рис. 193.
построенной сферы лежит на рассматриваемой поверхно-
сти. Действительно, проведем через эту точку и через
центры двух построенных окружностей плоскость, кото-
рая пересечет каждую из окружностей в двух точках,
471
а сферу — по новой окружности. Эта последняя, как
имеющая с поверхностью три (даже четыре!) общие точ-
ки, лежит на поверхности, а значит, лежит на ней и
взятая точка сферы. С другой стороны, любая точка,
не находящаяся на построенной сфере, не принадле-
жит к рассматриваемой поверхности. Действительно,
если бы она принадлежала поверхности, то тогда эта
точка и две точки пересечения сферы с прямой, соединя-
ющей центр сферы с рассматриваемой точкой, лежали бы на
одной окружности, что невозможно. Теорема доказана.
970.	Допустим, что такой многогранник существует
и имеет т граней. Пусть грани имеют число сторон
nt, п2, . . ., пт. Подсчитаем число ребер этого много-
гранника. Очевидно, число всех сторон всех граней в два
раза больше числа ребер многогранника, так как
одно и то же ребро служит общей стороной двум
смежным граням. Поэтому число ребер многогранника
l = —  —-  Но каждое из чисел п2, ..., пт —
+ Z DSB, Z. DSB
Z ASB
нечетное и число их т тоже
нечетное, поэтому и сумма,
стоящая в числителе, тоже не-
четная и не разделится без ос-
татка на 2. Итак, такого мно-
гогранника не существует.
971.	Пусть в четырехгран-
ном угле SABCD наибольший
плоский угол есть ASB (рис. 194).
Проведем плоскость через пря-
мые SD я SB. Так как любой
плоский угол трехгранного угла
меньше суммы двух других, то мо-
жем записать: Z ASB< Z.ASD+
. Z DSC 4- Z BSC. Отсюда получаем
<Z ASD +
4- Z DSC 4- Z BSC.
Доказательство было
проведено на примере
выпуклого угла. Одна-
ко и теорема, и метод
доказательства справед-
ливы для любого четы-
рехгранного угла.
472
972. Рассмотрим какую-нибудь плоскость Р, проходя-
щую через данную точку В и не проходящую через дру-
гую данную точку А (рис. 195). Пусть AM ± плоскости Р.
Соединим В с А и М прямыми. Получим прямоугольный
Л АМВ. Отсюда ясно, что точка М лежит на сфере диа-
метра 2R = АВ с центром в середине О отрезка АВ. Не-
трудно доказать, что и обратно — любая точка этой сфе-
ры является проекцией точки А на некоторую плоскость,
проходящую через точку В, так что эта сфера является
искомым геометрическим местом.
973. Проведем через данную прямую АВ (рис. 196)
плоскость Р, пересекаю-
щую данную шаровую по-
верхность с центром в О
по окружности с центром
в Ov Соединим прямой
точки О и О\ (ООх ± плос-
кости Р) и через О прове-
дем плоскость Q ± АВ,
которая пересечет АВ в
точке С. Треугольник ОО/?
прямоугольный и лежит в
плоскости Q. Если плос-
кость Р будет вращаться
вокруг АВ,
Рис л 196.
продолжая сечь шаровую поверхность, то
Л ОО{С будет продолжать оставаться прямоугольным и
Поэтому, если АВ не имеет
то геометрическое место то-
чек Ot будет часть дуги ок-
ружности диаметра ОС, заклю-
ченная внутри данной сферы.
Если АВ касается сферы, то это
будет окружность радиуса, в
два раза меньшего радиуса
сферы. Если АВ пересекает
сферу, то геометрическое место
точек Ot будет окружность
диаметра ОС. Во всех случаях
центр находится в середине отрезка ОС.
974. Пусть требуется провести плоскость через пря-
мую EF параллельно прямой АВ (рис. 197). Возможны
два случая: a) EF || АВ. Тогда любая плоскость, прохо-
дящая через EF, но не проходящая через АВ, будет па-
лежать в плоскости Q.
общих точек со сферой,
Я-----------------В
Рис. 197.
30 К. У. Шахно
473
раллельна АВ, потому что если плоскость проходит через
прямую, параллельную данной прямой, то она параллель-
на этой прямой; б) EF скрещивается с АВ. Возьмем на
прямой EF любую точку О и проведем через нее прямую
CD || АВ, что по аксиоме параллельности можно сделать,
причем такая прямая будет единственная. Через пересе-
кающиеся прямые EF и CD можно провести плоскость и
притом только одну. Эта плоскость будет параллельна АВ,
потому что она проходит через прямую CD, параллель-
ную АВ. Покажем, что такая плоскость единственная.
Предположим противное, т. е. что существует еще плос-
кость, проходящая через EF и параллельная прямой АВ.
Тогда проведем третью плоскость, проходящую через АВ
и точку О, что можно сделать, и притом такая плоскость
будет единственная. Последняя плоскость будет пересе-
кать первые две по двум
различным прямым, проходящим
через точку О, параллельным
АВ. Но это невозможно. Сле-
довательно, в этом случае плос-
кость, проходящая через EF
параллельно АВ, единственна.
975. Пусть АВ и CD
(рис. 198) скрещивающиеся пря-
мые. Проведем через прямую
CD плоскость Р, параллельную
прямой АВ (задача 974), и
плоскость Q, перпендикулярную
к Р. Проведем еще через прямую
АВ плоскость R, перпендикулярную плоскости Р и пере-
секающую Р по некоторой прямой EF. Плоскость Р, как
перпендикулярная к плоско-
стям Q и R, будет перпенди-
кулярна к линии их пересе-
чения MN. Следовательно,
MN перпендикулярна к CD
и EF. Но ЕЕ\\АВ и MN
лежит в плоскости прямых
EF и АВ, поэтому MN1.AB.
Итак, MN есть общий пер-
пендикуляр прямых АВ и CD.
976.	Пусть прамые АВ и
Рис. 199.
CD (рис. 199) скрещивающиеся и ни одна из них не парал-
лельна третьей данной прямой MN. Проведем через АВ
474
плоскость Р, параллельную ММ (задача 974). Такая
плоскость будет единственная. Проведем через CD плос-
кость Q, параллельную MN. Такая плоскость тоже бу-
дет единственная. Линия СВ пересечения плоскостей Р
и Q и будет искомой. Однако может случиться, что
плоскости Р и Q параллельны. Это будет иметь место
тогда, когда прямые АВ, CD и ММ параллельны одной
и той же плоскости. В этом случае задача не имеет
решения. Не будет решения и тогда, когда прямая
АВ или прямая CD, или обе они параллельны MN. Если
АВ и CD лежат в одной плоскости, но не параллельны
MN одновременно, то, когда плоскость Р, в которой ле-
жат прямые АВ и CD, параллельна ММ,— существует
бесконечное множество решений; когда эта плоскость Р
не параллельна прямой Мм,—существует одно решение
(если прямые АВ и CD пересекаются) и ни одного (если
прямые АВ и CD параллельны или все три прямые
пересекаются в одной точке).
Рис. 200.
977.	Пусть данные плоскость, прямые и длина отрез-
ка будут Р, АВ, CD и d (рис. 200). Через прямую АВ
проведем плоскость Q, параллельную CD, а через CD—
плоскость R, параллельную АВ (см. задачу 974). Очевид-
но, плоскости Q и R параллельны и данная плоскость Р
пересечет их по некоторым прямым KL и MN, параллель-
ным между собой. Строим отрезок EF = d так, что точ-
ки Е и F лежат соответственно на KL и MN. Если те-
перь провести прямую АС так, чтобы она была параллель-
на прямой EF и пересекала прямые АВ и CD (см. задачу 976),
30*	475
то отрезок ее, заключенный между точками пересече-
ния Л и С, и будет искомым. Однако возможно такое
расположение плоскости Р, прямых АВ, CD и отрезка d,
а также задание длины отрезка, что задача не будет
иметь решения или будет
иметь два решения, или бес-
конечное множество реше-
ний.
978.	Образовавшаяся фи-
гура есть правильный тет-
раэдр ABCD (рис_ 201) с
ребрами АВ = а |/ 2. Его
объем V = а3 — 4 • ----- =
_ а3
979.	Фигура—правильный
восьмигранник (октаэдр) с
ребром АВ = у MN = (рис. 202). Он состоит из
двух равных правильных пирамид EABCD и FABCD с вы-
сотой ЕО = у EF ~ у. Поэтому объем V = 2Vabcde =
__ 9	1 ( а У~2 \2 а _ а*
~ ’ 3 \ 2 /2	6 ‘
Рис. 202.
476
980. Обозначим ребро основания буквой х, а боко-
вое ребро буквой у (рис. 203). Тогда S = х2 4* ху +
+ DB • EF. Полная поверх-
ность призмы Sn = 2хг + 4xt/.
Умножая предыдущее равенст-
во на 4 и сравнивая с послед-
ним, видим, что Sn = 4S —
—2DB • EF. Но 05 = ВСУ~2 =
= х|/'2; £F=Fflctg^ =
= M^-ctgy. Выразим у че-
рез х:
у = ЕС = J/OF2 — FC2 =
Рис. 203.
X Kcos cl
J^Tsin
Теперь можно найти х.
S = yX2+ xy + ^DB-EF = |х2+ x2^cos? +
j/~iTsin у
-^-^-ctgy = -^Ц-^siny + /2cosa-bcosy),
2 sin
Искомая полная поверхность
5л = 45-2х ^"2 .ip.ctg^=4S-2x2ctg-J =
477
, ~ . a f a	a r__________
4S sin -y ctg -y	sin -y + у 2cos a
= 4S.......-.........-  ---= 4S------—----------------.
sin у + У 2cos a 4- cos у	sin у + У 2cos a 4- cosy 1
981.	Из прямоугольных треугольников ADO, DOB и
DAB (рис. 204) находим:
ЛП2 _ ДГ&___ Г)П2 — л___( DB у__ /с • cos 45°\2
AU -AD — DO -С 22o3oJ -С ~^22°3oJ =
1 4- cos 45°	1
г 2 cos2 22°30z —- cos2 45°  2	2
C * cos2 22° 30' C cos2 22° 30'
Рис. 204.
Поэтому искомый объем
V = Sh = S  ЛО= ab sin 45°-----------=
V 2 /Yeos 22° 30'
_____abc____
& 2 /Yeos 22° 30"
982.	Искомый объем V — ab  DO (рис. 205). Опустим
из D перпендикуляры DA и DC на смежные ребра осно-
вания. Так как Л DAB =s Л DCB, как имеющие общую
гипотенузу и по равному острому углу, то АВ —ВС и
прямоугольник АОСВ является квадратом. Теперь легко
найти высоту параллелепипеда:
DO = VDB2 — OB2 = У DB2 — (ЛВ2 + АО2) =
478
— ]/DB2 — 2 AB2 = ]/c2 — 2c2 cos2 a == с У1 — 2cos2 a =
= с У — cos 2a.
Отсюда
V — abc У — cos 2 a.
Замечание, cos 2a < 0, так как 2 a > 90° (плоский
угол трехгранного угла меньше суммы двух других).
983.	Через точку А (рис. 206), отстоящую на единицу
длины от вершины S данного трехгранного угла SABC,
проведем плоскость, перпендикулярную ребру 5Л. Так
пак углы 8 и у острые, то плоскость пересечет и другие
ребра трехгранного угла. В сечении получится дЛВС,
его угол ВАС и есть, очевидно, искомый. Положим
Z ВАС — <р. Для нахождения <р выразим ВС2 с помощью
теоремы косинусов через стороны треугольников АВС и
SBC, и полученные выражения приравняем. Будем иметь
АС2 + АВ2 — 2АС • АВ cos <р = SC2 + SB2 — 2SC • SB cos a
или 2 AC  AB cos <p = 2SC • SB cos a — (SC2 — AC2) — (SB2 —
— AB2). Но из треугольников ASC и ASB найдем: AC=tg j3;
AB=tg T; SC = -!- SB = —; SC2 — ЛС2=5В2 — ЛВ2 = 1.'
° 1	COS p	COS
Поэтому получим:
Q	2 COS a	o	COS a — COS p COS Y
2tg 8 tg т cos cp = —□— --2; cos <p =-----.—5—-----k
ь r b 1	‘ cos p cos т	T sin p sin к
479
Учитывая равноправность углов а, Р, у, получим для двух
других двугранных углов следующие выражения:
COS Р — COS 7 COS a COS 7 — COS a COS Р
sin 7 sin a	sin a sin P
984.	Пользуясь рис. 207, можем написать, что искомый
объем V = Im sin у BD = Im sin у • ВС sin <р = Im sin у х
X АВ sin р sin<p = Imn sin р sin у sin <р. В последнем выраже-
нии неизвестна только величина sin<p. Но
COS Я — COS 3 COS 7 / ж	ПОО\
C0S(P =-----sinpsin-r <СМ- 3аДаЧУ 983>’
. ,	sin р sin 7 4- cos а — cos р cos 7
* T	sin p sin 7
•..— [cos a — cos (p + 7)] =	— sin ° —? x
sin p sin 7	\r । i/ sin p sin 7	2
и аналогично
i	2	. 74-a — 3 . « + Р—7
1 — cos <p =  .-n :— sin —-я—- sin —4s—Теперь легко
T sin p sin 7	2	2	_________
найдем sin ср на основании формулы sin <p = V1 — cos2 <? =»
= \f 1 — cos <p У 1 + cos ср, после чего получим
V = 2lmn sin — sin - sin sin
480
985. Обозначим буквой а искомую площадь треуголь-
ника MKL (рис. 208). На основании теоремы о свойствах
параллельных сечений пирамиды, имеем
•	□ it?
s~ А&~ Atf ~ A&i U 6/	36
Отсюда о = S.
ОО
986. Чтобы провести плоскость
ния О (рис. 209) параллельно реб-
рам ВС и AD, достаточно провести
через О прямую LK || ВС, через
точку L пересечения LK с ребром
АС прямую LN || AD и через пря-
мые LK и LN плоскость. Послед-
няя и будет та, о которой гово-
рится в задаче. Сечение LNMK.
есть прямоугольник. Действитель-
но, построенная плоскость парал-
лельна ребру СВ и поэтому она
пересекает боковые грани, про-
ходящие через это ребро по пря-
через центр основа-
27
Рис 209.
мым, параллельным ребру СВ. Поэтому MN || LR. Точно
также LN || МК. Так что LNMK. — параллелограмм.
Кроме того, по теореме о трех перпендикулярах,
ВС 1 AD и, следовательно, LNMK, —прямоугольник. Оче-
видно, KL = 4-СВ - %-а, KM = ±AD= -±- h а искб-
О	О	о	и
2	12
мая площадь 5 = -5-а--5-/ = -гга/.
о	о У
987. Так как грани пирамиды одинаково наклонены к
плоскости основания, то в основание можно вписать окруж-
ность, и вершина М пирамиды проектируется в центр О этой
окружности (рис. 210). Искомый объем V = 4- Sabcd • МО.
Определим высоту МО = ЕМ2 — ЕО2. Из чертежа осно-
вания ABCD видно, что h = В К = 2 • ЕО. Следовательно,
EO=^h. Определим теперь ЕМ из &EMF. Площадь
его S = 4- ME2 sin а и ME = у Таким образом, най-
481
1 / 2S 1
дена высота МО = I/ ---------?№. Найдем площадь осно-
г Sin ci 4
О	AD + BC п,,
вания. Sabcd = —f— ВК, а так как по свойству опи-
санного четырехугольника AD + ВС = АВ + CD и в силу
равнобедренности трапеции AB=CD, то AD ВС=2-АВ
Рис. 210.
и Sabcd = АВ • ВК — АВ • h. Остается определить АВ. Из
подобия треугольников АВК и EN0 имеем АВ : ВК =а
= E0-.EN. Но ВК — h, ЕО = ±-h, поэтому АВ=ВК- =
h2
— 2 Из Л EMN находим
EN = ЕМ sin =
Отсюда:
5ABCD —
h*
а искомый объем
__
—---------~V 8S—/i2sina.
12 JZ 2Ssin^-
48a.
988.	Пусть сечение, площадь S которого нужно най-
ти, есть KLM (рис. 211). Основание KL этого треуголь-
ника мы найдем, воспользовавшись тем, что Л ОКВ со
со Д DCB и Д КОС со Д ВАС. Получим: = у; =
Л,	'	КО , КО
= —, а сложив эти равенства, найдем, что — + — =
— А+ Й1 = 1; КО =  ‘^-г. Точно так же убедимся, что
П>	d ~f“ и
OL = ОК = —□А-, так что КС = 2а.Ь-г. Высота треуголь-
а-у о	а + Ъ
ного сечения AfOj = У ME2 + h2 = У MF2 — F Е2 A-h2. Но
MF = FB ctg у = у ctg у, EF — h, a hr найдем из ранее
полученного соотношения ~ = у» чт° Даст hx — у ОК =
= -тхг. Таким образом, S = -^-КС • AfOx = —х
а -г ° ______ _	2	х а + о
+.......
п + (a-W)a‘ -
483
989.	Обозначим искомую площадь через S, а площадь
&ABD (рис. 212) через SP Известно, что площадь проек-
ции плоской фигуры равна площади проектируемой фигу-
ры, умноженной на косинус угла между плоскостью про-
екции и плоскостью фигуры. Поэтому Sj=-Seos а. Отсюда
о 51с 4B2sin60° .оа УТ п
S = -4-, где S, =-----s------- АВ2 • По условию
cos а	*	z
ySi -CO = V. Но так как CD = DE  tga = ?1Bsin60otga =
= ^tga. т0 V — ±ЛВ>.
£	«5	4	Z	о
и AB = 2 V ctg а Поэтому искомая площадь
990.	Пусть DABC (рис. 213)—данная пирамида. Про-
ведем высоту DE грани DCB и высоту DF пирамиды. Их
основания Е и F, очевидно, будут лежать на высоте АЕ
треугольника АВС. Обозначим х — АЕ = DE. Тогда иско-
мый объем V можно записать так:
V = 1.1 СВ  АЕ • DF = 1 ах • DF «
О Z	о
в 4 ах ]/'AD2 — AF2 = 4- ах V a2—AF2.
6 г	6
Величина AF = у найдется, если сравнить два выражения
для DF2, полученные из треугольников ADF и EDF. Это
даст:
а2 — у2 = х2 — (х — у)2, а2 = 2ху, у = где
x = DE = CE ctg4- =4ctg4-
484
Поэтому
а3 У cos а
а
12 sin-jj-
991. Обозначим пло-
щадь основания и вы-
соту призмы соответ-
ственно S и Н, так что
искомый объем V =
= S-/7=a2sin60°. Н =
= Из
(рис. 214) получаем Н =
= В В. = у/В^ — ВЕ2,
где BE = КВ si п 60° =
= а В1Е=В10 +
4- ОЕ. Замечая, что	Рис 2н
треугольники K.DB и
KtDlB1 равносторонние со сторонами а и EF — средняя
линия Л KDB, находим, что
Поэтому:
ВХЕ
а , а _____________ За
а ' а	а *
2 sin ~2	4 sin 4 sin
9а2	3~7
---------------г а2
а 4
16sina-2-
а
а уз
. а
2 sin “2
sin 2 60° — sin2 —
2
2 sin -у
cos а — cos 120°
2
485
992. Обозначим сторону АВ (рис. 215) основания бук-
вой х. Искомый объем
V = Sabc • CD = 1 АВ -CE-CD = ±АВ . АЕ tga • CD =
= ix • т fga • CD = 4х2	‘CD.
Выразим CD через x:
CD —У DE2 — EC2 =
=iVtg^~tg2a =
X У sin2 В cos2 a — sin2 a cos^ft _
2 cos a cos ff
__ x Ysin (3 4- <z) sin (3 — <*)
2 COS a COS 3
Чтобы найти x, подсчитаем периметр Л АВС. Будем иметь
2р = АВ + ВС + СА^АВ + 2СА-х+2-	-
a
2х cos2 __
1 + COS a	2
t— X •   *--- == -------.
COS,a	COS a
Отсюда:
p COS a v 1 2 . r n X» tg a У Sin (P + a)sin (fl —ot)
X ~ а’ Э V ~TX tg<X ’ CU ~ ~8	COS a COS P
cos2 ~2
n3 cos3 a tg a r--------------
---у sin ф + a) sin (p_a)
8 cos6 ~2 cos a cos ?
_ P3 sin 2 я Vsin (3 + a) sin (3 — q)
a
16 cose у COS 3
993. Выразим полную поверхность 5 пирамиды через
сторону основания DB ~х (рис. 216). Обозначив площадь
основания пирамиды через Si и пользуясь формулой пло-
486
щади проекции плоской фигуры (см. решение задачи 989),
получим
а	г— а
Q	1	„	2 Si COS2 -Q- X2 У 3 cos2v
।	1 “j~ COS я  	2  	2
1 cos а 1 cos a ~ COS а	2 COS a
Но
|Ц$1-Л0==1 .^А.0£4ёа = ^-4С£-^а==
= *2]^3 • х sin 60° tg а = 4 Ца и х = 2 3 V ctg а.
Подставляя значение х в найденное выражение для S, по-
лучим
2 Уз COS2 — Уэ V2 ctg2 а
S =--------------2-------------
COS а
994. Из прямоугольных треугольников ЕСВ, ЕАВ и
EDC (рис. 217) находим: FB = 2CB=2BEcosa=2/ncosa;
КВ = 2АВ — 2 BE cos р = 2 т cos Р; ЕС = EBsina=;nsina;
ED = VEC* — CD2=y ЕС2— ЛВ2=/m2sin2 а — m2cos2 р=
i Г~~ 2----sT77 1 f cos 2 а 4- cos 2 В
= т у sin2 а — cos2 р = т |/---------!- =>
— cos (а -J- р) cos (а — р) и искомый объем
V = -у FB • В К • ED=у т3 cos a cos р Y—cos (а + р) cos (а — р).
487
Замечание, cos (а 4- ₽) < 0, так как а 4- ? > у (сум-
ма двух плоских углов трехгранного угла больше треть-
его).
995.
Искомая площадь S — — ~~CD
синусов из д KFL находим
KL KF _ FL __________________________
sin a ~~ sin 3 ~~ sin (180° — a — 3) “ sin (a 4- 3)*
Следовательно,
• KL (рис. 218). По
теореме
а
VJ — ° sin a t ________ a sin?
~ Sin (a 4-?)’	~ Sin(a4-Ty
Из подобных треугольников MNE и DCE находим
CD : MN = KE : EF. Ho NM = a, EF = — =	;
9	COS a 2 COS a ’
a sin 3 __ a sin (a — 3)
sin (a + 3) 2cos a sin (a 4- 3)*
N
KE = EF~ KF =
2cos a
а
Рис. 218.
Рис. 219
а
Отсюда
гп ММ _ asinfa —?)• 2cosa asin(<x —8)
CU-AliV • EF- a- 2cos a sin (a + 8)-a sin (a + 8) ‘
Поэтому
5 = ЛВ+СО.л£= 1Г
z	~ L
sin (a 4- 3) 4- sin (a — 3)
1=0	2 sin (a 4- ?)
a sin (а — Р)
a sin a
P sin (a 4" 3) J sin (a 4- 3)
a sin a __________a2 sin2 a cos 3
* sin (a 4- f) sin2 (a 4- 3) '
488
996. Обозначим сторону основания СВ буквой х
(рис. 219). Тогда искомый объем
1/11	* £ло с/"! х2 3 , х* 3 ,
V—-^ • -хВС2sin60 • FO =	—  ;Q • h.
Из подобия треугольников AFO и ADE (прямоугольные,
имеющие общий Z FAE) получаем АЕ : DE = AF : FO. Но
АЕ = АС  sin 60° = DE = CE- ctg a =	ctgа;
OF = h и AF = FO • ~ =h •	' 2 = /"3 • h • tga.
DE 2x ctg a r	b
Из aAFO:AF2=AO2+OF2, а так как Л0=-|-ЛЕ=р- x;
OF = h\ AF = h ]ЛЗ tga, to (h j/~3 tg a)2= xY + h2-,
3ft’ tg’ a = 4 X2 + Л2; +-x2 = 3h2tga — ft2;
x2 = 9Л2 (tg2 a - tg2 30°) = 9Л2	=
_ 12sin (a + 30°) • sin (« — 30°)
cos’ a
ТЛ I/ x’/T ,
Итак, V = i2- ft ~
_ V~3h» sin (« + 30°) sin (я — 30°)
cos2 a
997. На рис. 220 изображена
часть n- угольной пирамиды.
Z АСВ = 2 а есть двугранный
угол при боковом ребре. Най-.
дем площадь основания
S — п • Sqbe — BE • OK —
1 a	180°
= n • у • 2a • a • ctg =
2 + 180°
= n-a2ctg—.
489
Определим высоту пирамиды ОМ. Из подобия треуголь-
ников ОМЕ и CDE имеем ОМ :CD=EO:EC. Но
ОЕ=ОВ— рдр— = jggs-; CD = BD • ctg a =
sin ——	sin ——
n	n
=BE• cosZ.DBE-ctga= 2acos^ctga, (£DBE = £ KOB);
EC=У ED2 —CD2 = ]/ (EB sin	— CD2 =
1/77 . 180° A2 7~	180° ,	\2
= у (2asin-^-J—12a cos ctg aj ==
2180° . 2	2 180°	2
i2----sin2 a — cos2---------cos2 a
n	n
2a ч/ /180° ,	7180°
= V -cos hr+a)cosa h—a
Поэтому искомый объем
V = ±--S -0M = ±-S-CD.~ =
о	о	LC
a ± 180°	180°	x a
na* ctg — • 2a cos — • ctga —
_____________________sin~ _
3 2a j/ /180° i /180°	\
— a
na3 cos a-ctg2 ——
Замечание. cos(^-+a)<0, так как + a >90°.
\ n /	’	n
Действительно, Z EBD =	> Z CBD, потому что
tgZ£BD = |§->^- = tgZCBD. ОтсюдаЦ^- +
4- a > Z CBD + Z BCD - 90°.
998. Плоскость сечения AEF (рис. 221), очевидно, не
может быть перпендикулярна к грани ADC, потому что,
опустив перпендикуляры из вершины D на линии АЕ и AF,
490
легко убедиться в равенстве их, что невозможно, так как
первый из них был бы одновременно перпендикуляром к
плоскости, а второй — наклонной к ней. Это же ясно и
из свойств симметрии:
перпендикулярность к
плоскости ADC влечет
за собой и перпенди-
кулярность к плоско-
сти ADB, Поэтому пло-
скость сечения перпен-
дикулярна к плоскости
BDC. Обозначим сто-
рону основания буквой
х и выразим через нее
площадь основания и
боковую поверхность
пирамиды:
Si = 4-АВ2 sin 60° =
х2/Т
4
(Si — площадь основания).
S2 = 3 • уВС • DL
(S2— площадь боковой поверхности). Здесь ВС = х, a DL
найдем из подобных треугольников D0L и KAL (они пря-
моугольные и имеют общий /_DLA). DL:AL=OL\KL. Но
OL = ±-AL = ^t^-> KL = ±-DL. Поэтому
Z	о	о	z
получаем:
DL-KL=OL-AL; DL  ±-DL =
x У 3 X 3 . Г)1 % _________	.
—g	g—, иь — -g-,
DL = -£= и S2 =
Y 2
Зх2 S2 _ Зх2 • 4____________6_
2 /"2 ’ Sj ~ 2 Y~% /"Э*2 — Y~6
= /6.
999. V = 4-Sabcd • ОМ (рис. 222); SAbcd=^#^CE=
о
= дс + 2^+-Д- . СЕ = (ВС + DE)  СЕ==
—(а + acosa)asina=a2(l-f-cosa) sina= 2a2 sin a cos2
491
Для определения высоты ОМ пирамиды замечаем, что
ввиду одинакового наклона ребер, к основанию вершина
пирамиды проектируется в центр О, описанного около
основания круга, радиус которого есть АО. Найдем этот
радиус. Для этого, описав вокруг трапеции круг, заме-
чаем, что так как хорды АВ, ВС и CD равны между со-
бой, то равны и соответствующие им дуги. Отсюда за-
ключаем, что центральный 2 АОВ = а, потому что соот-
ветствующая ему ^>АВ = ^АС. Теперь из Д05Л полу-
чаем
Из Л МО А находим
МО = АО • tg <р = —tg ср.
2sin-2"
Поэтому
V=y • 2а2 sin a cos2 у----tg <р = у a3 cos* у tg ср.
2sin-2"
492
1000. Пусть KN — h и KL — а (рис. 223). Обозначим
высоту МО буквой Н, тогда МК = у Н. Заметив, что
MN =УМК* — К№= У~ H2-h2n ML=V MK2—KL2=
= у -j- Н2 — а2, воспользу-
емся двумя парами подоб-
ных треугольников: МОВ и
MK.N; МОР л MKL. Из пер-
KN MN
вой пары имеем:
или ВО = МО •	=>
MN
h
= н •
„ ОР МО ЛЕ>
из второй: -^£-= мд-, или ОР
V1 мо ~ н
=J<L-ML=a-\/T —
У -^H'-a*
Но так как OP = РВ, то ОВ2 = OP2 + РВ2 = 2 • ОР2.
Отсюда:
Hh
±H*-h*
2
=2 •
На
= 2а2
/-i------ Н Л2(4-Яа —а2
V±H>_a*) U
2 —ft2'; Н=~ 20/1
у ^2аа —Ла
Найдем сторону основания
ВС = 2 • ВР = 2 • ОР = 2---
аа
= 2 •
a
2aa — fta “
2aft ________ 2 г 2 aft
/2аа —Ла “ )/fta —aa
Поэтому
16asfts
31 к. У. Шахно
493
1001. Полная поверхность 5==Sabc +3-<$смв (рис. 224).
Но SABC = 4^-CBsin60°=^p; SCMb = ±CB-MF =*
= | q^CM2 — СР — у ]/Г CM2 —	Остается опре-
делить СМ. Положим CD = ту, MD = пу. Так как
ДЛГСО со £\ECD (прямоугольные треугольники, имеющие
общий угол MCE), то СЕ : CD = СМ ! СО. Но СЕ =
= CBsin60° = СО = СЕ = |]ЛЗ; CD = ту,
СМ~(т-Уп)у. Отсюда получаем, что CE-CO=CD-CM
или	4)^3 *=ту(т + п)у и у =	/ j==, а
a F	у 2т (т + п)
СМ = (т-{-п)у =* -^=^== = J-y2т (т + п).
у 2т (т + п) 2т '	4	1 '
Таким образом,
Ясмв = 4 Я УСМ--^ = i	“
= | <f V2" +-^ =	'(»• + 2'*) »;
S=«42 + За3 13Е+М" =	[„ + уГ3т („ + 2„)|.
4	1	4т	4т	'	'
н
Рис. 224.	Рис. 225.
1002. Сумма внутренних углов многоугольника равна
180° (т — 2)=90°п, 2(т — 2)=п, /и=у 4-2. Обозначим
'Z МСО буквой х (рис. 225, на котором изображена часть
494
всей пирамиды). По условию == k. Отсюда получаем:
'j осн
т  Т' Ав'мс мс ,	ОС 1
—i---------— k'’~oc=k или cosx = -^ = T.
т • ~2 • АВ-ОС
Найдем теперь площадь основания
Soch = т -4-АВ  ОС=т • АС • ОС = т • ОС-tg~-OC =
Z771
360°
Из ДЛ4ОС находим
ОС = OMctgx = h ctg х =  ^cosx.- = -г-—г-
У 1 — cos2 к	У k2 — 1
Следовательно,
с /nft2 360° „„ (п + 4)Л»	360°
SocH=^-r-tgTTi и V = 6(feaLLi)- -tg7rT7.
Замечание. ОС можно найти и без применения
тригонометрии. Действительно, из равенства — k нахо-
дим СМ=0С • k, а из ДЛ10С найдем (ОС • к)2—ОС2 + №
или ОС =а h
1003.
ft
У ft2 — 1’
Найдем длины L/C, AC и K.P (рис. 226), нужные
31*
495
для вычисления искомой площади трапеции ALKC. Из по-
добия треугольников SLK и SED получим:	= у!
£Л=у£Р=у. Чтобы найти АС, обращаемся к рисунку
основания. Так как /.АВС =108°, то /CBF = 180° —
— 108°=72°, / BCF=18°. Таким образом, BF есть поло-
вина стороны десятиугольника, вписанного в окружность
радиуса q. Поэтому BF— 54~ 1 q и АС2=АВ2 + ВС2 +
+ 2АВ -BF = q2 + q2 + 2q • l^g2 Я Г 5+6.
ЛС= /У + 6= у(И 5 + 1). Величину АС просто
вычислить и тригонометрически: АС = 2 • АВ cos 36° =
<= 2^ cos 36° = 2q • —5 4~ !)• Высота
KP = V КС2 — PC2. Ho PC = -1 (AC — LK) =
ЛС2 = ЛР2 + СО2-
/ b\2
— 2 • CD • DM = (y) + <72 — (потому что из подо-
бия треугольников SND и KMD вытекает, что
MD = ±ND = ±CD=±q, т. е. КС2=^±^.
Итак,
КР= у ^ + ^1 _/4&2 + 3»72.
Отсюда находим
AC+LK 'KpT=4q. Ц±2 +^q\.	+
= -^(|/'5 + 2) /4й2 + 3<72.
1004.	Пусть плоскость, рассекающая основание пира-
миды на два многоугольника, есть АМВ (рис. 227). Мно-
гоугольник ABD имеет (г 4~ 2) вершины, a ABNLK имеет
(га — г). Искомый объем
V=-rS-ОВ2 • sin —— • ОМ =
О	и
496
2
X
П( СВ Vein3600 ПГ
6 (sin Z COB ) S,n n -°С’1ёа~ 6
b
.. 180°(r 4- T)
2sin----------
n
ж • 360° n b* b + 180°(r+ll
X ОС  tga • sin -y- — 6 •	180O(r_|_ p- 2 ctg „ X
4sina------—•—'
n
L3 180° (r+ 1) . 360° ,
nz?rtO	nb9cos-------!—• • sin----- • tga
. 360°	4.	n	n 5
xsln ” e““ 4Ssln> 
n
Замечание. Из условия г < ~ - следует, что
г + 2<2+1.ап — г > " 4- 1, т. е. что г 4- 2 < п — г
и угол АО В (см. рис. 227), соответствующий многоуголь-
нику с меньшим числом сторон, всегда будет меньше 180°.
Рис. 228.
1005.	Обозначив площадь основания пирамиды бук-
вой S, а ее высоту И и пользуясь рис. 228, получим:
S—-^AB-BC sina ==у 62sina;
н = do = у bd2 — во2 =	—/—L_y
I 2cos"2 j
=	7 ]/cos2 у — ~ ==-Ц- l/cos2 ~ — cos2 60° =>
cos у	z 4 cos у r 2
497
b 7 /cos a — cos 120r
 == a у 2
COST
*= "Аг V sin (60°+ - J) sin (60°—J);
cos 2
S. Я=1 •	• -A/sin(60o+y) sin (60°-=
cos у
= 4 b3 sin ~ /sin (б0° H- sin (б0° —
Рис. 229.
Рис. 230.
1006.	Так как площади треугольников ЗЛС и SAB
равны (рис. 229), то искомая боковая поверхность
Q =-i- ВС • SD + 2 • -±-АВ • 5£. Но АВ = а;
ВС = 2 ♦ BD = 2 • АВ sin = 2а sin
а	а а
рп ADsin-y АВ cos-п- sin -у -п „
gg___ си ____ z _ z z ____________________a sin a .
COS <p — COS ?	cos.?	2cos ? ’
nn or- • ci sin a .	1 о . a a sin a .	,
SD=SE • sin cp == n----sin ф; Q • 2asin-x- • «---------sin<p+
T 2cos ?	T ’	2	2 2cos ? T 1
, a sin a a2 sin a f . a .	. < \
4- a • 75----- == о-- sin -o sin ф + 1 L
1 2cos? 2cos? \	2 T /
498
1007. Искомый объем V состоит из объемов двух пи-
рамид, имеющих одно и то же основание ECF (рис. 230)
и высоты AD и DB. Обозначим площадь основания буквой S.
Имеем V = 4 5 • AD + 4 5 • DB = 4 5 • (AD + DB) «
= 4 S • АВ, где АВ — АК, cos а = / cos а. Чтобы вычислить
площадь S правильного треугольника, найдем радиус CD
описанного около него круга:
АВ = I cos а = AD -\?DB = CD • ctg а + CD • ctg p =
CD (Ctgа + ctg P) = CD . CD=l-cos^in^.
' 6	°"'	sin a sin fl	sin (a -|- P)
Отсюда
v=4s-лв=4£с2--44 -AB^
<j	О	Z
= 1(CD /~3)2 •	• ЛВ = CDa •	=
j/* 3 I3 sina a COS8 a sin8
=	4sin2 (a + P)
1008. Проведем плоскость MNPQRS (рис. 231) через
центр октаэдра параллельно какой-нибудь грани, напри-
мер CFD. Она образует в сечении с октаэдром шести-
F
Рис. 231.
499
угольник с вершинами в серединах М, N, Р, Q, R и S
шести ребер октаэдра. Этот шестиугольник правильный,
так как каждая его сторона равна половине ребра окта-
эдра, а каждый угол между соседними сторонами ра-
вен 120°, потому что стороны шестиугольника параллель-
ны сторонам правильного /\CDF. Соединим все вершины
этого многоугольника с вершиной В октаэдра, Получим
пирамиду с высотой ВО — BE = ft, где h — высота
пирамиды BCDF. Обозначим площадь многоугольника
MNPQRS буквой а, а объем пирамиды BCDF — буквой V2.
Тогда для искомого объема найдем, что Vi =	• 4- Л =
и Z
1 la	3	h
= У ’ 6 ‘ (“2") ^4-Г’ где а — Ребро октаэдра. Итак,
V, = — . — . д2 3 а = А V с=— V
v ‘	4 з	4	п	4 Vi 16 v"
Рис. 232.
1009. Из симметрии пирамиды ясно, что Kq = Lq и
АК = AL (рис. 232). Следовательно, LK±Aq. Поэтому
искомая площадь S = А- •	. Aq. Из прямоугольного
дЛ<?Л1 находим
Aq = У AM2 + qM2. Но qM = ft, a AM = AC —CM =
AC — Eq	AC + Eq aV 2 + b V~2
= ЛС g — g —	2	=
(a + b)/~2 _ a + b
=	2	“ j/y '
500
Поэтому
Для вычисления отрезка KL заметим, что линия KL Ц BD,
потому что KL и BD лежат в плоскости BDNF и пере-
сечься не могут в силу параллельности BD и плоскости
ALqR. Йз чертежа ясно, что KL = BD — PD — ВО—
= BD — 2 • PD = а V 2 — 2 • PD. Остается найти PD. Так
PD RD
как &NRDv> /\LPD, то можно записать -г-^- = Но
NR = h, RD = МС =	=
а — b
LP = OG, a GO из подобных треугольников qAM и GAO
определяется так:
GO qM _ qM лг\	а V 2 __
АО ~~ AM' U ~~ AM ' Ли~ а+ Ь '	2	~ а ± b ~~ 2
Таким образом,
рр рр t RD ____ ah , а & (а Ь) а
* "MR “ а + Ь * /“2 h {a -j- b) У~2' 3
KL = а/'г —2 • PD = д/~2 —2--(а~ 6)L = 21/206
(а + Ь)У2	а + Ь
Следовательно, площадь
,5_ ;. л-л . л,. а .i^Ly^+h.=
1010.	Проведем плоскость LDE (рис. 233) через точ-
ки L и Е касания шара с двумя гранями пирамиды и его
центр О. Эта плоскость, как проходящая через перпенди-
куляры ОЕ и OL к этим граням, будет пёрпендикулярна
к граням, а значит и к линии их пересечения. Поэтому
Z LDE = ср, плоскость LDE пересечет CF в точке F под
прямым углом. Отсюда ясно, что отрезок FD, равный вы-
соте ромба, разделится точкой касания Е пополам. Сле-
довательно, можно написать:
г —DE • tg = -у DF • tg-|- =	sin a tg =
= -|sinatSTi V = 4Kf8 =	sin3atg’-y.
501
1011.	Опустим перпендикуляр АО (рис. 234) на плос-
кость основания пирамид. Он, очевидно, пройдет через центр
шара. Проведем апофему АВ пирамиды. Она будет каса-
тельной к шаровой поверхности. Соединим основание О
перпендикуляра АО и основание В апофемы АВ. Получим
прямоугольный треугольник АОВ и из него находим; что
радиус шара
г = ОС = OBsin Z СВО »== sin ^СВО =.
=	/ 1-cos2 ZCBO =	1/1 -=
аъ/ cos’T*sinST
~ 2 I/	“ а •
у cos8-;;-	2cos-g-
1012.	Искомая поверхность S состоит из трех равных
сегментных поверхностей. На рис. 235 эти поверхности
расположены впереди куба, ниже его и левее. Шаровая
поверхность касается ребер, сходящихся в вершине Е, и
503
граней, пересекающихся в вершине F. Обозначая радиус
сферы г = О А = 0L = ОВ и пользуясь формулой сегмент-
ной поверхности, получим
S = 3 • 2л г • CD = 6л г • МВ = 6л г (А В — AM) = 6л г (2г — а).
Для определения г обратимся к равнобедренному прямо-
угольному &OKL. Из него найдем 0L = ОК / 2 и так
как OL — r, а ОК —_0М — AM — О А = а—г, то г =>
= (а — г) /1, г =	= а (2 — /1). Поэтому
5 = 6лг(2г —а) = 6ла2(2 —/1) (3 —2/2) =
= бла2 (10 — 7/1).
Рис. 235.
1013.	V=S-H=±AB- BC-EF = ±~-------— . EF =
2	2 Sin а cos а
h2 • EF h2
*= 2sin~^ =	• EF <РИС- 236>- Остается определить
высоту EF. Она равна диаметру шара KL, или, иначе,—
диаметру вписанного в дЛВС круга. Последний можно
определить по формуле 2г = —. Для этого определим АС.
АС = — = —; 2р=АВ + ВС + АС =
COS a	COS а • Sin а Sin а • COS а ’ г	1
h . h , h sina + cosa + 1 -
----------:---------.-------- — ------;------------ • tl =□
COS a sin а ' sin а • COS a Sin‘a • COS а
503
a a	a	a a
2sin у cos у + 2cos* 2 у sin у + cos у
----------------------------h~---------------------. h =
а
sin -% cos а
а а
2siny cos-у cos а
й К 2 sin
сг Q 2S
; EF=2r=—
P
а
2h2 • 2sin cosa
a
sin у • cosa
r—	a
2 у 2 h • sin у • cos a
sin 2a • h У 2 sin I ~ ~
\	*	~ J
V 2 h
. . a	ci
4sin — • cos • cos a • sin
2	2
V =	• EF -
Sin 2a
2cos А • sin
2sffl 2a • cos A • sin I — + — )
2	\4	2 /
1014. Пусть ABCD
(рис. 237) данный тет-
раэдр. Проведем через
ребро АВ плоскость,
параллельную противо-
положному ребру CD.
Такая плоскость будет
единственная и ее мо-
жно построить так:
взять точку К на АВ,
провести прямую CYDY ||
|| CD; тогда плоскость,
проходящая через АВ и
CYDY, будет требуемой.
Затем таким же спо-
собом построим плос-
кость, проходящую через ребро CD и параллельную про-
тивоположному ребру АВ. Эти две плоскости будут
параллельны. Построив для каждой пары противополож-
ных ребер тетраэдра параллельные плоскости, мы полу-
чим многогранник, который, очевидно, является кубом
с диагональю грани, равной а. Шар, касающийся ребер
тетраэдра, окажется вписанным в построенный куб, при-
чем его диаметр будет равен ребру куба. Поэтому иско-
мый радиус	___
/? = — MN = —	= а
504
1015.	Обозначим буквой <? угол ОХМЗ (рис. 238) при
ребре основания данной пирамиды. Искомая полная по-
верхность
S = Socb + Sc,™ = АВ2 + — = АВ2 • L+.cos? =
OtH I QUK	I cos	cos
= MN2 •	= (2R . ctg 4? • +	=
cos <f \	° 2 / cos <f
Остается найти sin <p и cos <p. Проведем плоскость OEF
через центр О шара и через точки Е и F касания его
с двумя смежными боковыми гранями. Эта плоскость пер-
пендикулярна к граням, на которых лежат точки Е и F
и, следовательно, перпендикулярна к линии их пересече-
ния, т. е. к ребру SB, Поэтому Z EPF = а, где Р точка
пересечения ребра SB с построенной плоскостью, Из че-
тырехугольника OEPF находим EF = 2EQ = 2R cos
С другой стороны, четырехугольник EFLR, где L и К —
точки касания шара с двумя другими гранями пирамиды,
есть квадрат и поэтому
EF—-±- LE/"2 = /“2/?sin<p = 2R cos
605
откуда
sin <р = У 2cos cos <р — У1 — sin2 <? =]^ 1 — 2cos2-^- =
]/—cos a; S = 2R2
У — COS а • COSa у
1016.	Так как боковые
ребра DA, DB и DC (рис. 239)
данной пирамиды равны, то
высота DO проектируется в
центр О описанного около
треугольника АВС круга, ис-
комый объем У, = -1- S . DO,
где S — площадь Л АВС. По
условию задачи V — -|-ir R2 х
X DO, где R — радиус основа-
QV
ния конуса. Отсюда DO=^-3
и vs ы Z
и V1 = Обозначим бо-
ковое ребро пирамиды бук-
вой х. Тогда можно написать:
АВ = 2х sin ВС = 2х sin АС = 2х sin -у.
Воспользовавшись теперь формулами
R = ~ и S = У р(р — а){р — Ь)(р — с),
получим
У* ~ it. xsa • вса • дса ’	— 4 л cosec2 2 cosec2 2 х
X cosec2 у (sin4r + sin -у -Ь sin -i-j’ х
1 f i	a [i	Т а\3
X у ^sin “2"+ sin у —• sin yj • ^sin + sin sin X
$06
1017.	Если соединить концы
В, С н К (рис. 240) этих хорд
между собой, то получится
правильная пирамида, вписан-
ная в шар радиуса R с плос-
ким углом при вершине боко-
вой грани 2а. Требуется опре-
делить боковое ребро АС этой
пирамиды. Если провести диа-
метр AF через центр D осно-
вания и конец F его соединить
с точкой С, то получится пря-
моугольный треугольник. Поэ-
тому, приняв АС == х, получим
Рис. 240.
х2 = AF • AD = 27? У АС2 — CD2 = 27? ]/ х2 — (|- CL)* =
= 27?/л2 — (у • СВ^-)а= 27?]/ ха — ACsinx ^ ==
= 2R ]/ х2 — (~7== sin а] = ^^]/ ~ — sin2 а .
'	3	)	/3'4
Итак,
х =	-у — sin2 а = —Д=У sin2 60° — sin2 а =
/3'4	/з
= у=- y-----2------ /т ^Sin (60 + а) sln (60 ~а)-
1018.	Многогранник, объем V которого нужно найти,
есть пирамида. Вершины 7И, N, Р, Q (рис. 241) ее осно-
вания находятся на апофемах пирамиды. Чтобы это до-
казать, проведем плоскость через высоту АО пирамиды и
радиус ОР полушара, где Р — точка касания шара с
гранью ACD. Так как АО перпендикулярна к плоскости
основания пирамиды, а ОР — к плоскости боковой грани,
то проведенная плоскость будет перпендикулярна к обеим
этим плоскостям, а следовательно, и к линии CD их пе-
ресечения. А это значит, что линия АВ, являющаяся ли-
нией пересечения проведенной плоскости с гранью CAD,
перпендикулярна CD, т. е. АВ, на которой находится
точка касания Р, есть апофема. Объем V = у PQ2 • РЕ,
507
Для определения PQ заметим, что дЛРф со дЛВЬ, и по-
этому^ ®Но LB = уKD = --у2, а для определе-
ния положим Zi АОР = £ РВЕ = ср, после чего получим:
АР = АО sin <f—AB sin1	— sin2 <р = 1 — cos2 ? =»
Таким образом,
PQ = LB .	® cosa, а РЕ = РВ sin <? ®
АВ „ в а	т
2cosa —
~ ~	а ОВ . a BD
= ОВ cos ср sin ср	=	— • -ду sin ср	=	-у а ,	а	а 1	а	1 = -2-*^	2	Sin? = 2	2	* Поэтому у	1 / eV~2cosa\2 а . a з о f a I 2 lg 2 у 2соза -g- у a f	 cfl COSf a sin -у- У cosa « « * 12cose -у	 sin? = К cos a cosy У COSa 	 =э a COSy
508
1019.	Спроектируем трапецию ABCD (рис. 242) на
плоскость, перпендикулярную оси цилиндра. В плоскости
проекций получим трапецию А^С^. Так как в нее
вписывается окружность и она тоже равнобедренная, то
ВХСГ —	= g + \ потому что Л1В1 = АВ = b и
CXDX = CD = а. Подсчитаем высоту трапеции:	=
= ]/"Г ~	= Отсюда sin х== где
х — искомый угол. При этом должно быть об < /?.
1020.	Соединим середину L отрезка АВ (рис. 243) с
серединой М отрезка CD. Отрезок LM является общей
медианой равнобедренных и равных между собой тре-
угольников CLD и АМВ. Поэтому LM есть общий перпен-
дикуляр к ребрам АВ и CD тетраэдра. Найдем его дли-
ну: LM = У ВМ2 — BL? — аа —аа=^=. Проведем
через ребро СО плоскость, перпендикулярную оси кону-
са. Так как осевое сечение конуса есть две взаимно пер-
пендикулярные прямые, то угол между проведенной пло-
32 к. У. Шахво
609
скостью и образующей АВ равен 45°. Поэтому LS =
=LM=^=, a SM = LMV~2 = а. Но	или
4- =а • MN. Отсюда: MN= ОК = SK = 4- (SM + MN)=
=	+	(0K1SM)-, KM = KN-MN = SK~
5	13
— MN = s- а-----г т а- Следовательно, ОМ —
о	4	о
= уок*+км2 = -Ц^-.
1021.	Пусть CDF (рис. 244)
есть сечение тетраэдра
плоскостью, проходя-
щей через его высоту
DO и боковое ребро
DC, а заштрихованный
прямоугольник KLMN—
соответствующий разрез
цилиндра, объем V ко-
торого требуется опре-
делить. Здесь CD = /,
a CF = DF =-Ц^, как
высоты граней правиль-
ного тетраэдра. Обозна-
чим высоту цилиндра
MN = h, а радиус ос-
нования ON = г. Из по-
добия треугольников
ЕСТ и MNC получим
ОС —г _ ТС (*)
h ~ ТЕ
NC 1 MN = ТС i ЕТ или
Но
ОС = -4- CF = ЕТ2 = FT • ТС {/\FEC — прямоуголь-
3	V
(_L fcY
ный);	TC-FC-
FT = ^/ —К?
1о
ЕТ=
510
Поэтому равенство (*) можно записать так:
(/Т,	\ У~в , . 4 /Т,	. ।	1	1	,
~	—а— I или h Н-----7=г~—-т= I.
\ з / 9	9	2/2	2/6
Из подобия треугольников LK.F и ETF найдем FK'-KL—
п'т1 ст OF~f FT т т	1 г/** У 3 ,
— FT : ЕТ или —г— = ™. Но OF = FC = I, по-
tl с!	о	о
этому получим:^Д/ — г)^-l=h-^^-l; h-\-2\/~ 2r —
2	1	1
= —7= I. Решив систему: h Н--= г = —= /;
У 6	2/2	2 /Т
h + 2 / 2г = -1= I, найдем, что г = I, a h =	1.
г У 6	7	21
Отсюда
I/ 21.	//Т , V /Г, Я / 6 ,ч
V _ я г h — я lj - -ур I	.
1022.	Соединим центр ок-
ружности С (рис. 245) с се-
рединой D хорды АВ отрезком
прямой, а также соединим
точку D с вершиной конуса Е.
Так как CD ± АВ, a tg £.DEC=
CD
-™, то отсюда видно, что
сС
Z DEC — наименьший из всех
углов, которые образует пря-
мая ЕС с различными прямы-
ми, проведенными в данной
плоскости через вершину Е.
Следовательно, прямая ED есть
проекция прямой ЕС на эту
плоскость и ZDEC=<p. Учиты-
вая это, найдем длины отрез-
ков ED и АВ, после чего
искомую площадь S можно бу-
дет легко вычислить. Имеем:
ED=-^- =	АВ = 2 • AD = 2/AC* — CD* =
COS COS ’	T
32*
511
= 2 VR*- (CE • tg<p)2 = 2 J//?2- (R tga • tg<?)* =
<= 27? |/1 — tg2a tg2 <p =	Vcos2acos2<p—sin2asin2<?=.
WO WO у
=	/ cos (a + <p) cos (a — <p).
Поэтому
S = AB ‘ED = сТзЛз^/cos (a+ ?) cos (a —<p).
1023.	Искомый объем V равен сумме объемов кону-
сов ADE и АСЕ (рис. 246). Поэтому V = АВ2- BD +
+ 4- " • ЛВ2 • ВС = 4-*-ЛВ2 • (DB 4- ВС) =4«-АВ2-DC.
О	О	о
Но DC = DF • cos а = I cos a. С другой стороны, DC ==
= DB + ВС = АВ ctg a + АВ ctg р или / cos a =
= АВ • (ctg a + ctg P) = AB  sin(a + ?.
' &	& r/	Sin a sin Э
Отсюда
- n / COS a sin a sinp n	•>	A n
—sin(a -i-~py	Подставив найденные значения AB и
к/3 cos8 a sin2 a sin2 8
DC в формулу объема, получим V=—3Sin» (a -f pj—“•
512
1024.	На рис. 247 изображено осевое сечение тела
вращения (заштрихованная фигура). Искомый объем V ра-
вен разности между суммою объемов конуса ABL и усе-
ченного конуса LKDA и объемом конуса DCK. Поэтому
V=^-[AF • BF + (AF + AF-DE + DE2)  EF —
— DE2 • EC) = -J- [AF2 • (BF 4- EE) + DE2  (FE — EC) +
4- AF • DE • EF\ = -J- (AF-BE—-DF-FC + AF-DE-EF) =
= 4- [AF • (ВС + CE) 4- DF • (BC — FB) 4- AF • DE x
u
X (ВС + CE — BF)] =	[(2a sin a)2 (b + a cos a) +
+ (cl sin a)2 (b — 2a cos a) + 2a sin a • a sin a (6+a cos a —
— 2a cos a)] =	(46 + 4a cos a 4- b — 2a cos a +
, o x 7n a2 b sin3 a
+ 26 — 2a cosa) =--~.
1025.	V =±Sh = ± AD • CD sin ₽ • OM=^CD2-OMs\n^
(рис. 248). Но МО = AlLsina = a sin a, CD=—Q =
'	smp
513
. Таким образом,
EF _ 2 - OL = 2 - LM cosa
sinp sin₽	sin£
2a cos a
sin^
1 (2acosa \2	.	. o
V = 'tHm7 • a sin a sin p =
2a8 sin 2a cos a
3sinp
Рис. 248.
1026.	Обозначим радиус основания конуса буквой г,
а его образующую — буквой I (рис. 249). Боковая поверх-
514
ность конуса образующими МК, ML и MN, по которым
касаются коническая поверхность и описанная вокруг ко-
5,6,7,
нуса пирамида, делится на части -jj it rl,
Отсюда видно, что KL = it г, \jLN = ^-vr,
1о	io
14
NK = -jg-«г и, следовательно, KL : оLN : оNK=
= 5:6:7, так что Z KOL = 100°, Z LON = 120°,
Z N0K. = 140°. Обозначим площади частей боковой
поверхности пирамиды, на которые ее делят обра-
зующие МК., ML, MN, через Sx, <Sa, S3. Очевид-
но, Sx = 2 • Smcl = CL • 1 = OL • tg Z LOC • I = rltg 50° и
аналогично S2 = rl tg 60°, S3 = rl tg 70°. Итак, имеем
Sx: S2: Ss=rl tg 50° : rl tg60° -.rl tg 70°=tg 50°: tg 60°:tg70°.
1027.	Приведенный в тексте решения рис. 250 не соот-
ветствует действительности. Однако это искажение позво-
ляет лучше подметить нужные для решения зависимости.
Пусть SO и SOX — высоты двух смежных конусов; S/С и SL —
их образующие, по которым они касаются плоскости, и
точки А и В — проекции центров О и Ох на эти образую-
щие. Точка М есть точка пересечения линии ООХ с обра-
зующей, по которой эти конусы касаются. Очевидно,
Z OMS = 90°. Из ДОЛТЭ находим АВ = ООХ = 2 • ОМ =
= 2 • OS • sin Z OSM = 2 • OS • sin где x — искомый
угол. Из ДЛБС находим АВ = 2 • АС = 2 • SA • sin 60° =
515
=2 -SO- cos у • sin 60°. Сравнивая, находим: 2-OS- sin у =
= 2-OS-coSy-sin60°,siny =cosy • sin 60°, tgy=sin60°,
tg'T = ¥’ x = 2arctg^--
1028.	Как видно из рис. 251, искомый объем
V = |кг2 • KF + 4- * • FD2 • AF — 4 * • FD* - OF =
О	О	и
= 4 [2г2 • KF + FDZ • (AF — OF)] = ^(2r*-KF + FD2-r) =
=	(2г • KF + FD2), где г = А;
KF = KD • sin а = 2г sin2 а = h sin2 а;
FD = OD • sin 2 а = г sin 2<х = -^ sin 2а.
Отсюда
V = -у- Л2 sin2 а 4- у- sin2 2 aj =	(1 4~ cos2 а) • sin2 а.
а
Рис. 251.
1029.	Пусть искомый радиус есть х = OD (рис. 252),
объем конуса и объем шарового сектора, заключенно-
го внутри конуса, Ve. По условию Vx = 2Ка. Выразим Ух
и V2 через г, а и х. Получим:
V, = 4-*rz • ОЕ = 4-яF>ctgа; Va = 4«x2-KA1 =
о	о	о
516
== -^- к х2 • (ОК — ОМ) = 4- л X2 • (х — X COS а) =
О	О
= гс х3 • (1 — cos а) = -4- гс х3 sin2 4~.
о	о	Z
Подставим найденные значения для V] и V2 в равенство
Vi = 2V2. Это flacT-|-rcr3ctga=4rcx3sin24-.
Отсюда:
8sina -у	У sin2 у
1030.	Проведем плоскость через высоту МС (рис. 253)
и апофему ME пирамиды. Образовавшиеся при этом тре-
угольники MCE и MD0 подобны. Из их подобия нахо-
дим, что СЕ : OD в ME : МО. Но СЕ—BE • ctg Z ЕСВ —
ctg^-; OD — R (неизвестный); ME = I^AfB2—BE2=
= У a2 —	MC= — CE2 =
517
MO = MC — CO = MC — R.
Из предыдущей пропорции имеем:
ТГ = ИгЬг СЕ ' WC-R) =ME.R;
„ ^„180° т/ 180°
СЕ-МС _ ?-ctg~ У 4*asina—-?а
СЕ + ME I 180°	/—«--- 180° \ *
21 geos —-1- У 4а2 — аг • sin -- - I
\ п '	nJ
1031.	Проведем высоту СВ и апофему С/С пирамиды
и соединим их концы В и К (рис. 254). В полученном
ЛСВК Z СКВ = Z COF = л в силу перпендикулярности
сторон. Проведем диагональ LD основания и соединим точ-
ку D с концом Е диаметра СЕ. Из прямоугольного ACDE
получаем
BD2 = СВ • BE. Но BD = ~LD=~ V AD2 + AL? =
= ^AD=V~2DK=V~2 • ВК=]Л2 -СВ  ctga =
= /"2 • h . ctg а; СВ = h; BE = 2R — h.
Подставив в предыдущее ра-
венство, получим
2Л2 - ctg2 а = ft (27? — Л); ₽ =
= A(l+2ctg2a); V =
= 4К.^8 I кЛ»(1 +
+ 2ctgaa)8.
1032.	Возьмем осевое сече-
ние конуса АВС (рис. 255).
Пусть искомый Z BCD = х.
Соединив центр О шара с
концом С образующей ВС и
его же с точкой касания F
шара и образующей ВС ко-
нуса, видим, что Z BOF —
Рис. 254.	_ BCD = х (перпендику-
- лярность сторон) и Z OEF =
= Z BCD = х (как соответственные). По условию задачи
У2 = 4 У1(' где Vx — объем данного конуса, a Va — объем
отсеченного плоскостью конуса со стороны вершины дан-
518
него. Обозначив радиус шара буквой г, выразим объемы
и У2 через г и угол х. Находим:
Ух =	• СОа-ВО=4(02) • ctgZOCD? . CD  tg^BCD=
и	О
= 4-^ • ctg2-~r- ctg Y • tgx =4 «Г3 • ctg3 4 • tgx;
О	Z	u	it
17 п ГЬ1Г2 Г\п Я ( OF \2 OF
y2 — -J-'OE* -OB- 3 ^sjn FEOj • cos^ B0F —
__ Ttr3
3sina x • cos x*
Подставляя найденные значения Ух и У2 в равенство
У8 = -^-Ух, получаем:
Sin» AosX = TctgST* t&x' sin2x • cosx • ctg3-J • tgx = 2,
Рис. 255.
Рис. 256.
519
1033.	Пусть ВО (рис. 256) есть высота конуса. Она
проходит через центр шара и центр О основания ко-
нуса. Опустим перпендикуляр CD из точки С касания
шара с образующей АВ на высоту ВО и центр Ог шара
соединим прямой с точкой С. Получившийся при этом
Z DCOi = Z ABO = (в силу перпендикулярности сто-
рон). Опустим из точки С перпендикуляр СЕ на плоскость
основания конуса. При этом получим, что Z АСЕ =
= Z А ВО — 4~ (соответственные). Искомый объем
V = 4- «(CD2 + CD-OA+ О А2)  DO.
О
Определим входящие сюда отрезки:
CD = ОГС • cos Z DCOi = г cos
DO — DOX 4- Oft — Oft  sin Z ОСОг 4- r = r
OA = AC = —7^7?-=
cos / ACE	a
cos y
+ sin -~
a
cos ~2~
Подставляя найденные величины в выражение объема, по-
лучаем
V= —
v 3
\2	r (1 + sin 4
r COS у I 4- /"COS у • —i-----------—'
cos"2
/	\2 n
r211 4- sin A j
COS2 1g-
,	x	кг3 ( 1 + sin —
11	. a \	\	2t
r(14-sinT) = —l-з--------'
X
(14-sin Л)
1 - sin2 4 4-1 + sin 4 4- V----------4-
l-sin’-g-
i2 /.	. a . , .	1
Hl—Sin y4-l +----------
1	1 — sin у
620
= 4-^1 + sin 4)
u \	Z /
a	a
2	3 — 3sin ~2 + sin2 “2
l-Siny
= -q-irr- ----j------— • (3 —3sin-£- + sin2 -£-).
«	. « I it a \	\	*	4
Sin2 I — _ —
\4	4/
1034.	По теореме синусов имеем АВ = 27?sin Z АСВ =
— 2R • sin (180° — 2<р) = 2/? • sin 2 <р (рис. 257). Высота
пирамиды CD = AD tg <р = АВ • tg <р = R sin 2<р • tg <р.
Поэтому искомый объем
V = 4-S • Н = ^АВ • EFsina • CD =-^АВ2sina  CD =
о	О	о
=	• 47?2 • sin22<р • sina • R• sin 2<p • tg<p =
= -^-R3 • sin32® • tg<p • sina.
О
1035.	На рис. 258 изображено сечение конуса плос-
костью, проходящей через ось конуса, и ту его образую-
щую, к которой перпендикулярна касательная к шару
плоскость. Следу этой плоскости на рисунке соответствует
прямая DF, Соединим центр шара О с точкой касания С
шара и образующей МА и его же с точкой касания F
521
шара с построенной плоскостью. Очевидно, четырехуголь-
ник COFD есть квадрат со стороной г. Высота конуса
МВ = ОВ + ОМ = ОВ -ь У ос2+см2 = 0В +
+ VOC2 + {MD—CD)2 = г + /r2 + (d —г)2.
Радиус основания конуса АВ определится из подобия тре-
угольников АВМ и ОСМ (прямоугольные, имеющие общий
угол АМВ). Имеем:
АВ: ОС == МВ: МС-, АВ = ОС = г. г.+У.^ + ^-0\
МС	а — г
Таким образом, объем конуса
V = 4- - АВ‘  МВ _ 4-«.
3	3	(а — г)л
Замечание. Возможна и другая касательная плос-
кость, кроме изображенной на рисунке. Она отстоит от
построенной на расстояние, равное 2г. В этом случае
объем конуса
и	[/• + /'* + (* + г)а]3
v ~ 3 * (d + r)*
Рис. 259.	Рис. 260.
1036. Возьмем осевое сечение цилиндра (рис. 259). Обо-
значая радиус цилиндра буквой х, а объем буквой у, мо-
жем написать у — л № • CD. Но из прямоугольного тре-
угольника CDA находим, что
CD = У AC2 —AD2 = У 4R2 — 4x2 = 2 У R2 — х2.
Отсюда получаем формулу
у = 2тс х2 У R2 — х2.
1037. Можно, но тогда придется отнести к призмам
также такие многогранники, которые не принято называть
призмами. Например, ромбический додекаэдр (см. рис. 260).
522
ОГЛАВЛЕНИЕ
Задачи
I.	Преобразование алгебраических выражений < . , . .	3
II.	Алгебраические уравнения . « ...............14
III.	Составление уравнений . ........ж... 24
IV.	Прогрессии . . . . « . « « - - -.............34
V.	Логарифмы . . м .............. 39
а)	Общие свойства логарифмов	39
б)	Логарифмические и показательные уравнения . . « 40
VI.	Соединения и бином Ньютона • • t ....... 43
VII.	Преобразование тригонометрических выражений ... 46
VIII.	Тригонометрические уравнения	55
IX.	Неравенства	58
X.	Комплексные числа	65
XI.	Математическая индукция . . ...... » . . 68
XII.	Исследование функций и построение графиков ... 69
XIIL	Геометрические задачи на плоскости (Планиметрия) < . 72
XIV.	Геометрические задачи в пространстве (Стереометрия) 84
Решения
I.	Преобразование алгебраических выражений . . » . 92
II.	Алгебраические уравнения . .......... 123
III.	Составление уравнений . . .......... 168
IV.	Прогрессии . . . . ... х ........ . 198
V.	Логарифмы ... .............. 216
а)	Общие свойства логарифмов ......... 216
б)	Логарифмические и показательные уравнения . . 220
VI.	Соединения и бином Ньютона .......... 236
VII.	Преобразование тригонометрических выражений . . . 248
VIII.	Тригонометрические уравнения .......... 293
IX.	Неравенства ................. 317
X.	Комплексные числа . ........... 345
XI.	Математическая индукция ........... 361
XII.	Исследование функций и построение графиков . . . 371
XIII.	Геометрические задачи на плоскости (Планиметрия) . . 398
XIV.	Геометрические задачи в пространстве (Стереометрия) . 468
523
Шахно Константин Устинович. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕН-
ТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ. Минск»
«Высшая школа», 1965.
523 стр. с илл.
Редактор Костюковец Ф. Т. Худож. редактор Кононов А. А. Техн,
редактор Моргунова Г. М. Корректор Дубовик Л. А.
Подписано к печати с матриц 27/1II 1965 г. Формат 84х108’/з2.
Печ. л. 16,375 (26,855). Уч.-изд. л. 26,13. Изд. № 278. Тип. зак. 787.
Тираж 75 000 экз. Цена 93 коп.'
Издательство «Высшая школа» Государственного комитета Сове-
та Министров БССР по печати. Редакция физико-математической
литературы. Тем. план. 1965 г., № 52.
Минск, ул. Кирова, 24,
Полиграфический комбинат им. Якуба Коласа Государственного
комитета Совета Министров БССР по печати.
Минск, Красная, 23,
93 к.