/
Текст
7/1978
СЕРИЯ
МАТЕМАТИКА,
КИБЕРНЕТИКА
НОВОЕ
В ЖИЗНИ, НАУКЕ,
ТЕХНИКЕ
Серия «Математика, кибернетикам
№ 7, 1978 г.
Издается ежемесячно с 1 967 г.
И. М. Яглом,
доктор физико-математическим 1
наук, профессор
МАТЕМАТИКА
И РЕАЛЬНЫЙ
МИР
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»
Моск в а 1978
1
22.1Г
Я 27
Яглом Исаак Моисеевич.
Я 27 Математика и реальный мир. М., «Зна-
ние», 1978.
64 с. (Новое в жизни, науке, технике. Серия «Мате-
матика, кибернетика», 7. Издается ежемесячно с 1964 г.)
Что такое математика? Что можно считать периодом ее за-
рождения? Какова ее роль в развитии других наук?
На эти и многие другие вопросы в доступной и заниматель-
ной форме дает ответ предлагаемая брошюра, представляющая
интерес для весьма широкого круга читателей, начиная от
школьников и кончая специалистами по прикладной мате-
матике.
20 201
22. 1Г
51 (09)
© Издательство «Знание», 1978 г.
§ 1. ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА?
Сложен процесс познания человеком реального мира.
В этом процессе участвует вся система наук, все три ее под-
системы естественные, гуманитарные и математические
науки, различающиеся по своим методам и по объектам
исследования. Фундаментальную роль в процессе познания
играет философия, изучающая мировозренческие вопросы,
общие для всех наук, задающая общую систему взглядов
на окружающий мир: на природу, общество, человека.
Математику можно считать находящейся на стыке
между естествознанием и философией. Абстрактная по фор-
ме, эта наука по существу изучает (широко понимаемые}
количественные отношения и пространственные формы
реального мира. Она дает в распоряжение ученых методику
качественных оценок и конкретного количественного ана-
лиза наблюдаемых результатов, средства и способы иссле-
дования. И арсенал этих средств в наши дни необычайно
богат.
Методами математического анализа и моделирования
исследуют и зарождение галактик, и геологические про-
цессы в недрах земли, решают вопросы экономического
и социального планирования в стране, районе, производ-
ственном коллективе.
Что же такое математика в современном мире и какова
ее роль? Почему так быстро растет ее значение во всех
областях деятельности? Попробуем разобраться в этом
вопросе.
Давно сложилось разделение наук на естественные и
гуманитарные. Естественные науки «—физика, химия, гео-
логия и др.»— изучают окружающий нас материальный мир;
гуманитарные *— история, филология, социология и др.*—*
человеческое общество.
Математика образует сравнительно самостоятельную
группу. Это объясняется тем, что, хотя математика и ухо-
1* з
дит двоими историческими корнями в практику, в ходе раз-
вития она отрывается от своей эмпирической базы и разви-
вается сугубо теоретически, имея дело с абстрактными
конструкциями, создаваемыми в нашей голове. И с этой
точки зрения различие между математикой и «нематемати-
кой» оказывается несравненно более глубоким, чем разли-
чие между естественными и гуманитарными дисциплинами.
Более того, за последние десятилетия граница между по-
следними постепенно стирается, так что про ту или иную
область знания в настоящее время зачастую оказывается
уже вовсе не просто сказать, относится ли она к кругу
естественных или гуманитарных наук. Что представляет
собой сегодня, скажем, экономика? По происхождению
и стоящим перед ней целям она бесспорно должна быть
причислена к наукам гуманитарного цикла; однако харак-
терная для наших дней методика экономических исследова-
ний да и сама постановка основных вопросов здесь таковы,
что в ряде отношений представляется гораздо более есте-
ственным отнести экономику к той же группе наук, что
и физика или геология, а не объединять ее, скажем, с исто-
рией или искусствоведением. Далее, для гуманитарных
наук всегда характерен был несколько умозрительный ха-
рактер используемых в них рассуждений, отсутствие экс-
периментов: ведь как не соблазнительно было бы, скажем,
опытным путем осуществить еще одну битву при Ватерлоо,
где на этот раз французский маршал Груши пришел бы
на поле боя раньше австрийца Блюхера, и посмотреть,
как выглядела бы история Европы в этом варианте,*—
но возможности-то такой у нас все равно нет. А вот, без-
условно, изучающая человеческое общество социология
сразу зародилась (в XX в.) как чисто экспериментальная
наука; ныне же она широко использует и математические
методы и дедукцию, пройдя за короткий срок путь, во мно-
гом подобный тому, какой прошла некогда физика.
Сращивание естественных наук с гуманитарными стиму-
лируется бурным проникновением в гуманитарные науки
математических методов (ранее традиционно применявших-
ся только в физике и в астрономии !), характерной для наших
дней широкой «математической экспансией», завоеванием
Математикой новых, до того совершенно ею не контроли-
руемых территорий. В самом деле, ранее гуманитарные
науки математическим аппаратом и дедуктивными рассуж-
дениями, как правило, не пользовались, что в первую оче-
редь и создавало резкое отличие этих наук от физики, на-
4
пример, или химии. Это отличие заходило настолько да-
леко; что во французском или в английском языках сам
термин «наука» (science) до сих пор, как правило, не при-
лагают к таким дисциплинам, как литературоведение или
история. Однако в настоящее время ситуация здесь изме-
нилась весьма радикально ~ и «математическая лингвисти-
ка» (и даже «математическое искусствоведение» или «мате-
матическое литературоведение»), «математическое право-
ведение» и иные подобные области знания (не говоря уже
о «математической экономике»!) заняли весьма большое
место в научном багаже ученых-гуманитариев. В силу
этого на филологических, юридических или экономических
факультетах университетов ныне зачастую читаются весьма
обширные курсы математики, заметно превосходящие по
объему традиционный курс «высшей математики», испокон
веков читавшийся будущим инженерам.
Заметим, впрочем, что изменились за последние десяти-
летия не только гуманитарные науки, но и математика.
В самом деле, ранее «доказательная» математика всегда
принебрегала индуктивными и чисто описательными сооб-
ражениями, в силу чего столь неожиданно прозвучало
само название известной книги Дж. Пойа «Математика
и правдоподобные рассуждения»х, в которой автор рас-
крывал те «секреты» математического творчества, о кото-
рых не принято было говорить вслух. Однако ныне сближе-
ние математики и гуманитарных наук привело к определен-
ной «гуманизации» математики, к проникновению в нее
подходов и точек зрения, характерных именно для гумани-
тариев. Выразительным примером этого положения может
служить, скажем, учение Л. Заде о «размытых множе-
ствах» 1 2.
Естественные и гуманитарные науки изучают объектив-
но существующую реальность и единственным критерием
истины, скажем, для физика является совпадение получа-
емых им результатов с наблюдаемыми, с прямым экспери-
ментом. Физическое доказательство является правильным,
если полученный с его помощью результат совпадает с реаль-
но наблюдаемыми фактами, и неправильным, если этот
результат противоречит экспериментам', никакого другого
определения «истинности» физика не знает» Напротив,
1 См: Дж. Пойа, Математика и правдоподобные рассуждения,
М., «Наука», 1975.
2 См.: Л. Заде. Понятие лингвистической переменной и его
применение к принятию приближенных решений. М., «Мир», 1976.
математика не имеет дела ни с какой «лабораторией», отлич-
ной от человеческой головы. Критерием истинности мате-
матического рассуждения является лишь логическая его
безукоризненность, выполнение на всех этапах рассужде-
ния устанавливаемых самим математиком правил вывода,
относящихся к-вполне определенной ветви математической
науки,’-- к математической логике. При этом на сегодняш-
ний день мы имеем уже вовсе не один единственный набор
правил вывода, а много разных a priori возможных таких
наборов, достаточно глубоко расходящихся между собой.
Правда, реально сказываются эти различия пока лишь
в научном творчестве специалистов по математической ло-
гике и основаниям математики, однако, вполне возможно
допустить, что впоследствии мы столкнемся с ними и в во-
просах, относящихся к области прикладной математики:
ведь недаром некоторые из новейших школ в области осно-
ваний математики, вроде так называемого ультраинтуицио-
низма, декларируют свое происхождение из попыток осмыс-
ления возможностей электронных вычислительных машин.
При этом ныне вполне может случиться, что математиче-
ское рассуждение, которое признает правильным один уче-
ный, другой таковым считать откажется,, причем эти две
диаметрально противоположные позиции вовсе не будут
означать, что один из упомянутых ученых (скажем, сторон-
ник гильбертова формализма) прав, а второй (например,
математик-конструктивист) ошибается: нет, правы они
будут оба, только исходят они из разных «правил (матема-
тической) игры», что и приводит их к двум разным «мате-
матикам» (в нашем случае«— неконструктивной и кон-
структивной).
1 В старых школьных учебниках геометрии бытовая фра-
за: «Справедливость аксиом подтверждается многовековым
опытом человечества». С позиций прикладной математики 3
этот тезис, конечно, правилен (исторически он идет от
Аристотеля, о воззрениях которого мы еще будем говорить
ниже), однако он апеллирует к нематематическим сообра-
жениям (к эксперименту) и потому будет, вероятно, отве-
ден «чистым» математиком. В самом деле, как может какой
бы то ни было «опыт» подтвердить (или опровергнуть)
тот факт, что ладья на шахматной доске может передви-
гаться лишь по горизонтали или по вертикали? ♦—1 ведь
3 См.: И. И. Блехман, А. Д. Мышкис, Я. Г. Панов-
к о. Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов,
Киев, «Наукова думка», 1976.
6
этот факт представляет собой условное соглашение, входя-
щее в определение ладьи как шахматной фигуры, и ни-
какой проверке его истинность не подлежит. Как может
многовековой опыт человечества подтвердить или опровер-
гнуть, что
уЛ,В^(Л^В)3!^|(О^)Л(ОВ), (I)
т. е. что для каждых двух (различных) точек А и В плоско-
сти & («квантор общности» у указывает, что речь здесь идет
о двух совершенно производных точках) суще-
ствует (и притом единственна, как о том свидетельствует
«квантор существования и единственности» 3!) прямая
I плоскости 5s, проходящая как через А (это записывается
так: I ЭЛ), так и одновременно (символ Д конъюнкции как
раз и заменяет это «и») проходящая через В? Ведь с точки
зрения современной математики (об этом мы еще подроб-
нее скажем ниже) под «плоскостью» S5 понимается просто
множество элементов {Л, В, С, обозначаемых боль-
шими латинскими буквами, и множество элементов {/, т9
п, обозначаемых малыми латинскими буквами; первые
из этих элементов мы называем «точками», а вторые «пря-
мыми», но свободно могли бы выбрать для них и какие
угодно другие наименования. [Вспомните знаменитое изре-
чение Давида Гильберта (1862*—1943) о том, что
содержание евклидовой геометрии не претерпело бы ника-
ких изменений, при замене слов «точка», «прямая» и «пло-
скость», скажем, терминами «стул», «стол» и «пивная круж-
ка» (из самой формы этого утверждения видно, что роди-
лось оно в гёттингенской пивной, где Гильберт любил
обсуждать со своими учениками и сотрудниками проблемы
математики и логики). Впрочем, здесь Гильберта частично
обогнал Жан Лерон Да ламбер (1717*—1783), указав-
ший в статье «Определение» своей прославленной «Энцикло-
педии»: «элементы геометрии можно сделать точными,
но смешными, назвав треугольником то, что обычно
называется кругом». 1 Далее, про вводимые таким образом
(без всякого определения!) «точки» и «прямые» известно,
что они связаны между собой рядом отношений, первым
и главнейшим из которых является отношение I ^А (послед-
няя запись читается так: «точка А принадлежит прямой /»
или «/ проходит через Л», однако более правомерной была
чисто условная формулировка: «элементы I и А плоскости 3*
связаны между собой отношением Э» (в силу чего это от-
ношение лучше было бы записывать с помощью «более
7
нейтрального» символа, скажем, как I ♦ Л, тем более, что
без этого понимание смысла формулы (1) затрудняется
наличием в ней близких по форме и далеких по смыслу
записей А £ 9^ и I Э Л). При этом от связывающих точки
и прямые отношений требуется лишь выполнение ряда
«правил» или «условий», одним из которых как раз и яв-
ляется условие или формула (1). Здесь уместно еще раз
подчеркнуть, что вопрос об истинности или ложности, о до-
казательстве этих условий (и даже о какой бы то ни было
их мотивации !) никак не ставится он cjoль же бессодер-
жателен, как вопрос о том, «почему» ладья на шахматной
доске ходит именно по вертикалям и горизонталям: вряд ли
вызвало бы у вас особое уважение лицо, взявшееся доказы-
вать, что ладья должна ходить именно таким образом,
или даже лишь убеждать вас в том, что это соглашение
надо считать «совершенно естественным». Конечно, пре-
увеличивать значение аналогии между математикой и шах-
матами ни в коем случае не следует, ибо место математики
в жизни человека определяется как раз теми обстоятель-
ствами, которые ее от шахмат отличают — широкой приме-
нимостью математических конструкций вне самой матема-
тики, в естественных и гуманитарных науках и в технике.
Однако формально математика строится в отрыве от этих
ее приложений (которые, однако, всегда, пусть незримо,
но присутствуют, отбраковывая одни математические схемы
как мало продуктивные или даже ненужные и подчеркивая
важность и инТерес других), что и позволяет говорить о ма-
тематике как о некоторой «игре».
Здесь, видимо, уместно сказать еще несколько слов
о месте математики в жизни, т. е. о том вопросе, которому
будет специально посвящен наш § 4. Американец Джошуа
Уиллард Гиббс (1839—-1903), стоящий у истока многих
основных концепций современной физики (статистическая
механика) и математики (векторное исчисление), был мол-
чаливым человеком; на заседаниях совета Йельского уни-
верситета, где он проработал много десятилетий, Гиббс
выступал очень редко. Тем более запомнилась его реплика
во время обсуждения вопроса о том, надо ли в университет-
ском обучении уделять больше внимания математике или
древним языкам: «Ведь математика •— это тоже язык»,
вмешался в спор Гиббс. Да, по отношению к другим наукам
математика играет роль языка, причем, как говорил еще
Галилей, это именно тот язык, на котором записываются
законы природы. И отношение математики, например, к фи-
8
зике можно сравнить с взаимоотношением филологии и ли-
тературоведения: разумеется, сама по себе наука о языке
с литературоведением никак не связана, однако литерату-
ра-то пишется на языке и потому без знания языка
.вовсе невозможна. Точно так же невозможна и физика
без математики, а пожалуй, несмотря на полную независи-
мость математических понятий и отношений от породив-
ших их фактов реального мира,’— и математика без физики:
ведь вряд ли имеет смысл создавать язык, которым мы не
имеем в виду пользоваться. И хотя, скажем, изучать мате-
матику вполне можно и в отрыве от каких бы то ни было
ее приложений, но поступать так, разумеется, не следует,
поскольку при всей важности для математики составляю-
щих ее абстрактных конструкций, ограничение лишь
ими не только обедняет математику, но и создает о ней
превратное представление.
Однако вернемся снова к математике как к формальной
системе, ибо и этот взгляд на математику игнорировать
никак нельзя, так как он тесно связан с самой сущностью
математики как науки. Выше мы сказали, что в геометрии
понятия «точки» и «прямой» вводятся без всякого опреде-
ления »— и даже подчеркнули эту мысль как чрезвычайно
важную восклицательным знаком в конце соответствую-
щего утверждения. Однако теперь мы, пожалуй, возьмемся
оспаривать наш собственный тезис. Имеет или не имеет
определение понятие «шахматная ладья»? Ответ на этот во-
прос, по существу, был дан выше. Разумеется, для лица,
не умеющего играть в шахматы, понятие это совершенно
бессмысленно •— нисколько не лучше, чем для современ-
ного школьника понятия симедианы или антибиссектрисы
(существовали когда-то в элементарной геометрии и такие
ныне совершенно заслуженно забытые термины!). Но для
шахматиста понятие «шахматная ладья» имеет абсолютно
четкий смысл: под ладьями он понимает фигуры, в началь-
ном положении занимающие на доске позиции al и hl
(«белые ладьи») и а8 и h8 («черные ладьи»), причем в процес-
се игры эти фигуры могут перемещаться (а также исчезать
с доски или возникать на ней) в соответствии со вполне
определенными правилами, полный набор которых и может
рассматриваться как (косвенное или «дескриптивное» •—
см. ниже) определение соответствующего понятия. Дру-
гими словами, само по себе понятие «шахматная ладья»
следует считать бессодержательным, неопределенным; од-
нако сочетание слов «игра в шахматы» имеет четко очерчен-
9
ный, хоть и достаточно сложный смысл — и вот в рамках
этого-то понятия находит место также и более частное
понятие шахматной ладьи. В самом деле, ведь описание
(можно также сказать <— определение) шахматной игры
задается указанием «поля игры», состоящего из так назы-
ваемой «шахматной доски», т. е. просто списка из 64 «пози-
ций» (которые можно нумеровать числами от 1 до 64, или,
как это принято, «двойными символами» от а! до h8), а так-
же перечнем набора «основных элементов» или «фигур»,
к числу которых принадлежат и ладьи; помимо этого в опи-
сание игры входит (достаточно громоздкий) список всех
без исключения правил, которым должны подчиняться
вышеуказанные фигуры- (этот список включает техниче-
ские термины «мат», «пат», «повторение ходов», «сдаюсь»,
«согласились на ничью» и др., завершающие игру).
Но точно так же обстоит дело и с понятиями (матема-
тическими) «точки» или «прямой»! Для незнакомого с ма-
тематикой лица эти понятия, разумеется, совершенно бес-
содержательны. Однако уже школьник знает, что пла-
ниметрия в целом может быть описана как совокуп-
ность элементов двух родов: точек А, В, С, ... и прямых
I, т, п, ... в объединении составляющих то, что принято
именовать «плоскость»; при этом точки и прямые подчи-
няются определенным «правилам», вроде формулы (1),
в своей совокупности дающих дескриптивное определение
как всей планиметрии, так и образующих планиметрию
элементовточек и прямых, и связывающих эти эле-
менты основных отношений, вроде отношения Э (ср. ни-
же § 3). Таким образом, понятие (математической} точки
«само по себе» вне рамок планиметрии никакому определе-
нию не подлежит; в рамках же планиметрии точка вполне
определима: это определение дается списком геометриче-
ских аксиом, т. е. является одним общим определением
сразу большого числа важных понятий («точка», «прямая»,
«принадлежит» и др.’— ср. ниже § 3). Заметим здесь только,
что соответствующее определение, разумеется, вовсе не-
просто, ибо по своей замысловатости и содержательности
«игра планиметрия» многократно превосходит даже такую
сложную игру, как шахматы.
Обратимся еще к сказанному выше о дескриптивном
характере определения понятия «шахматная ладья», соот-
ветственно, «точка» набором правил шахматной игры
или аксиом планиметрии. Дело в том, что все (общежитей-
ские или научные) понятия могут быть определены «прямо»
ю
или конструктивно <— точным описанием строения соот-
ветствующего объекта: скажем, «арифметической прогрес-
сией называется последовательность чисел а, а + d, а +
+ 2d, а + 3d, ..., где а и d<— произвольно фиксирован-
ные числа»; «максимумом функции у = —х2 является ее
значение 0, отвечающее значению х = О», «ключом от на-
шего замка называется кусок металла строго определен-
ный,»— например, изображенной на рисунке или чертеже
формы»; «паровым двигателем называется описываемый
таким-то образом прибор» — описание парового двигателя
обычно начинают с указания на полый цилиндр, в котором
свободно ходит поршень. Однако гораздо чаще в жизни
и в науке встречаются «косвенные» {описательные или
дескриптивные) определения, задающие тот или иной
объект перечислением требуемых его свойств {«арифмети-
ческая прогрессия — это последовательность а1У а2, а3, ...
чисел, для которой разность ai+1 — at двух соседних чисел
при всех i = 1, 2, 3, ... сохраняет одно и то же значение»;
«максимум функций у— — х2 — это то ее значение, которое
больше всех других значений той же функции»; «ключом
от замка на двери называется предмет, позволяющий от-
крыть дверь при любом положении замка»; «паровым
двигателем называется прибор для преобразования тепло-
вой энергии в механическую»). При этом все основные стоя-
щие перед людьми задачи обычно Сводятся к преобразова-
нию тех или иных дескриптивных определений в конструк-
тивные - таковы, скажем, задача нахождения максимума
функции или конструирования парового двигателя. [На-
хождение конструктивного определения того или иного
объекта попутно доставляет нам и доказатель-
ство его существования, поскольку дескрип-
тивные определения могут также описывать бессмысленные
или несуществующие объекты (примеры: «сходящимися
прямыми называются две такие прямые а и b евклидовой
плоскости, что при неограниченном движении точки М
в определенном направлении вдоль а расстояния от М
до b неограниченно убывает»; «вечным двигателем называет-
ся механизм, способный производить работу без затраты
энергии»). Это полностью понимал еще Аристотель, а за
ним — и Евклид (который не случайно вслед за дескрип-
тивным определением даже таких простых объектов, как,
скажем, равносторонний треугольник, сразу же указывает
и построение, устанавливающее существование этого объ-
екта). ]
и
§ 2. КОГДА ВОЗНИКЛА МАТЕМАТИКА?
На первый взгляд может показаться, что поставленный
в заголовке этого параграфа вопрос однозначного ответа
не имеет, что процесс создания математической науки
растянулся на многие столетия и тысячелетия. В самом
деле, в определенном смысле процесс этот можно начинать
с возникновения у первобытных людей (или, даже, еще
у «не людей») различия между понятиями «один» и «два»
(или «один» и «не один»); не менее сложно указать, когда
этот процесс закончился «— допустимо даже считать, что
он продолжается и по сей день. Однако такая точка зрения
представляется нам все же неправомерной более обосно-
ванным является ограничение периода возникновения ма-
тематики куда более узкими хронологическими рамками.
Несомненно, что формирования первоначальных пред-
ставлений о числах и фигурах можно отнести еще к периоду
палеолита (или раннего неолита); имеющие, видимо, ри-
туальный характер петроглифы (наскальные рисунки),
найденные в пещерах Южной Франции и Испании и создан-
ные около 15 тыс. лет тому назад, обнаруживают замеча-
тельное чувство формы.
К пятому и последующим тысячелетиям до нашей эры
относится формирование в долинах знаменитых рек •—
Нила, Тигра и Евфрата, Инда, Ганга, Хуанхэ, Янцзы -—
древних восточных цивилизаций. К сожалению, знания
наши об этих великих культурах очень ограничены; еще
менее знаем мы о древних цивилизациях, существовавших
некогда в Африке и Америке, в Японии и на островах
Океании.
В Древнем Египте, расцвет которого относится к огром-
ному по длительности периоду от примерно 3000 г. до
н. э. и вплоть до середины последнего тысячелетия до на-
шей эры, почти все записи делались на папирусе. Обычай
вкладывать в могильники по той или иной причине дорогие
захороненному лицу свитки сохранил для нас ряд матема-
тических текстов учебного характера. В первую очередь
здесь идет речь о так называемых «лондонском» и «москов-
ском» папирусах размером соответственно 5,25 м X 0,33 м
и 5,44 м X 0,08 м, ныне принадлежащих Британскому музею
в Лондоне и Музею изобразительных искусств в Москве;
первый из них содержит решения 84 задач, а второй —
25 задач. «Лондонский» папирус был переписан писцом
Ахмесом где-то около 1800 г. до н. э., но содержит мате-
1'2
риал, относящийся к более древнему времени (ориентиро-
вочно*—к 1900—2000 г. до н. э.); к этой же примерно
эпохе относится и содержание «московского» папируса,
переписанного каким-то безымянным учащимся школы пис-
цов между 1600 и 1800 г. до н. э.
Обожженные глиняные таблички, на которых с помощью
палочек писали в Древнем Вавилоне, существовавшем на-
чиная примерно с XIX в. до н. э. (конечно, таблицы об-
жигались уже после того, как на них были сделаны над-
писи). В настоящее время в различных музеях мира зареги-
стрировано не менее полумиллиона таких таблиц, большая
часть которых пока не прочитана. Расшифровка и публи-
кация математических клинописных текстов начались в
30-х годах нашего столетия; особенно велики здесь заслу-
ги немецкого математика Отто Нейгебауера, ученика
Д. Гильберта. [См., в частности, книгу О. Нейге-
б а у э р а, «Точные науки в древности» *, а также книги
Б. Л. Ван дер Варден, «Пробуждающаяся на-
ука» 4 5 6; История математики (под ред. А. П. Юшкевича)® ;
Н. Бурбаки, «Очерки по истории математики»7, — все они
содержат много материала, близкого к содержанию настоя-
щего параграфа. ] До настоящего времени расшифровано
около 150 «математических» вавилонских таблиц главным
образом учебного характера, в большинстве своем относя-
щихся к «древней» эпохе (к периоду от 1800 до 1600 г.
до н. э.); небольшое число таблиц (в которых, кстати гово-
ря, не наблюдается почти никакого прогресса по сравнению
с «древними» таблицами) относится к эллинистической эпо-
хе Селевкидов (последние три столетия до нашей эры).
Наряду с этим разобрано еще свыше 200. вспомогательных
математических таблиц, содержащих справочные материалы
(числовые таблицы).
Общий объем математических знаний, которыми обла-
дали вавилоняне и египтяне, был весьма большим; надо
полагать, что примерно таким же был уровень (и характер)
математики и в других восточных государствах, от которых
до нас не дошли никакие (или почти никакие) письменные
4 См.: О. Нейгебауэр. Точные науки в древности, М.,
«Наука», 1968.
См.: Б. Л. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука.
М., «Наука», 1959.
6 См.: История математики (под ред. А. П, Юшкевича), т. I.
М., «Наука», 1970.
7 См.: Н. Б у р б а к в, Очерки по истерии математики. М.,
ИЛ, 1963,
13
памятники. Так, например, вавилоняне свободно опери-
ровали с квадратными и даже с некоторыми кубическими
уравнениями (для решения которых использовались таб-
лицы квадратных и кубических корней).и хорошо знали
теорему Пифагора, которая, в частности, использовалась
для составления задач на квадратные уравнения. Египтяне
знали, скажем, арифметическую и геометрическую прогрес-
сии и формулу суммы членов геометрической прогрессии
(а вавилоняне — и формулу для суммы квадратов первых п
последовательных натуральных чисел); длину $ окружно-
сти и площадь S круга египтяне находили по верным
формулам s = 2лг и S = лг2, где для л использовалось
/ 8 \2
хорошее приближение: л = 4-д- (= 3, 160...). Наконец,
как египтяне, так и вавилоняне знали известные формулы
S = -~ah и S = -~(а + b)h для площадей треугольника и тра-
пеции; они также владели (в применении к усеченной пра-
вильной четырёхугольной пирамиде) самой сложной фор-
мулой современного школьного курса математики фор-
мулой для объема усеченной пирамиды.
Но несмотря на такое обилие известных вавилонянам
и египтянам впечатляющих математических фактов, мы
склонны считать, что ни в Древнем Египте, ни в Вавилоне
математики еще не было. Ведь математику мы характе-
ризовали выше ее абстрактной (аксиоматической) структу-
рой •— а вот эта-то идея была полностью чужда всем древ-
ним культурам Востока. Вавилоняне обладали высокораз-
витой арифметикой, базой для которой служила тщательно
разработанная система записи чисел и алгоритмы для про-
изводства действий над ними•— в. основе того и другого
лежала широко известная вавилонская шестидесятиричная
система счисления, включающая учение о шестидесятирич-
ных дробях. Но*ведь арифметика •— это просто искусство
счета, возникшее в связи с самыми примитивными практи-
ческими потребностями людей; от «абстрактной» матема-
тики, понимаемой так, как это объяснялось в предыдущем
параграфе, она достаточно далека.
Разумеется, среди культивируемых в вавилонских
и дренеегипетских училищах задач были такие, «приклад-
ное» значение которых имело чисто педагогический харак-
тер, вроде пресловутой «задачи о кошках» из лондонского
папируса, которая затем в течение тысячелетий (!) кочева-
ла из одного сборника математических развлечений в дру-
14
гой, с завидной легкостью преодолевая все временные и
государственные границы: в каждом из 7 домов имеется
по 7 кошек; каждая кошка съела по 7 мышей; каждая
мышь могла уничтожить по 7 колосьев; из каждого колоса
можно получить по 7 мер хлеба — чему же будет равно
общее число домов, кошек, мышей, колосьев и мер хлеба?
Однако ведь эта, казалось бы, «чисто теоретическая» задача
требует вовсе не отточенной математической дедукции,
а лишь известной беглости в обращении с числами, да за-
поминания догматически сообщаемой формулы. Также
и вавилонскую, а особенно египетскую геометрию вполне
можно охарактеризовать как «прикладную арифметику»:
логических доказательств в том виде, в каком они дошли
до нас от древних греков, египтяне и вавилоняне, видимо,
вовсе не знали (да и сама идея доказательства была им,
вероятно, чужда!); в геометрических задачах речь шла
о вычислениях по известным (кем-то когда-то отгаданным)
формулам, позволяющим находить важные для практики
величины площадей и объемов. Уровень математики был
таков, что он обеспечивал и в самом деле замечательные
достижения древних землемеров, строителей (вавилонские
дворцы и храмы или египетские пирамиды!), астрономов
(особо сильное впечатление производят вавилонские аст-
рономические таблицы),— но ни о каком самостоятельном
значении математики в то время не помышляли. Возвра-
щаясь к сказанному в § 1 о классификации наук, можно
считать, что математика на Древнем Востоке была еще
одной естественнонаучной дисциплиной (где
под треугольником понимался просто участок земли тре-
угольной формы, а под кубом, конусом или пирамидой —
материальные тела соответствующего вида); что же до груп-
пы математических наук, то можно считать, что
она еще не существовала.
Зарождение «теоретической» математики естественно
связать с Древней Грецией — и это обстоятельство весьма
весомо входит в тот поистине необъяснимый феномен,
который называют «чудом греческой цивилизации». Мы
пока слишком плохо разбираемся в том, что можно назвать
«исторической психологией рас и народов», и не можем
вразумительно объяснить взрывоподобный подъем культу-
ры в Италии эпохи Возрождения, не сравнимый ни с ка-
кими предшествующими или последующими достижениями
итальянских художников, писателей, ученых; столь же
загадочным представляется и поразительное явление древ-
15
них Афин, сконцентрировавших уникальные культурные
силы. Горячий патриот Аристотель, преклонявшийся перед
греческой культурой и греческой государственностью,
склонен был объяснять расцвет наук и искусств в грече-
ских полисах специфическими условиями греческой демо-
кратии, предоставляющей своим гражданам (о рабах он
при этом, естественно, просто забывал) максимально бла-
гоприятные условия для творческой работы; вслед за Ари-
стотелем эту мысль зачастую повторяют и современные
авторы 8. Связь возникновения «доказательной» математики
с традиционной для греческого полиса системой широкого
публичного обсуждения всех интересующих горожан во-
просов, при котором каждый выступающий вынужден был
тщательно аргументировать свое мнение, является доволь-
но очевидной; однако она мало что объясняет, ибо остав-
ляет открытым вопрос о причинах, породивших именно эту
политическую структуру. Поэтому здесь нам, кажется,
уместнее просто говорить о «греческом чуде», которое,
конечно, можно комментировать со ссылками на географи-
ческие, политические, экономические и другие факторы,
но объяснить которое мы не в силах.
Зарождение греческой науки обычно связывают с мыс-
лителями, проживавшими в так называемой Ионии —
на западном побережье Малоазиатского полуострова и на
островах Эгейского моря. Основоположником ионийской
школы принято 'считать первого из «семи мудрецов» —
Фалеса Милетского (ок. 625—547 до н. э.) (Милет —
порт в Малой Азии на побережье Эгейского моря, крупней-
ший из городов Ионии) — философа и ученого, торговца
и государственного деятеля. Купец Фалес поддерживал
традиционные для торговцев Ионии связи с Востоком:
он бывал в Египте, а также, видимо, и в Вавилонии и хоро-
шо знал достижения египетской и вавилонской науки.
Явно от вавилонской традиции идет произведшее огромное
впечатление на современников Фалеса предсказание им
солнечного затмения 585 г. до н. э.— в греческой астроно-
мии здесь предшественников у Фалеса не было. Философ
Фалес стремился построить единую систему мира; именно
в связи с религиозно-философскими, а не с практическими
запросами занялся он геометрией. Поразительна простота
приписываемых Фалесу геометрических теорем: диаметр
8 См.: Я. Д- Стро й к, Краткий очерк истории математики,
М., (Наука», 1969,
16
делит круг на две равные части или углы при основании
равнобедренного треугольника равны (и это в то время,
когда вавилоняне ^совершенно свободно пользовались тео-
ремой Пифагора и знали формулу7 для объема усеченной
пирамиды!). Ясно, что «ни один (владеющий математикой)
дурак» не усомнился бы в этот период в справедливости
названных фактов,'— но великий ученый Фалес усомнился,
и тем самым и заслужил звание «великого ученого». Несо-
мненно, что сами эти факты были известны много раньше
Фалеса; то, что принадлежало Фалесу (или другим ученым
ионийской школы),— это доказательства соот-
ветствующих теорем. Именно простота приписываемых
Фалесу предложений со всей определенностью указывает,
что новым здесь был именно факт логического их доказа-
тельства: известный нам, по Аристотелю, тезис о том, что
доказательство не только устанавливает справедливость
тех или иных фактов, но и проясняет сущность этих фактов
и устанавливает логические связи между ними, был явно
близок уже мыслителям ионийской школы. Воспитанный
на всех тонкостях Евклида и его последователей математик
V в. н. э. Прок л Диадох (410—485) прямо указывал,
что данное Фалесом доказательство одной из приписываемых
ему теорем . теоремы о равенстве вертикальных углов,—
было логически неполноценным, подчеркивая тем самым,
что доказательство остальных предложений следует счи-
тать безукоризненными. Элементарный характер всех тео-
рем Фалеса показывает также, что в ионической школе
впервые была предпринята попытка пересмотреть логиче-
скую структуру всех известных геометрических фактов:
ясно, что построение систематического курса геометрии
приходится начинать с самых элементарных предложений.
При этом анализ содержания всех приписываемых Фалесу
теорем позволяет высказать обоснованные гипотезы о путях
их доказательства: все эти предложения тесно связаны- с
перемещениями фигур и с симметрией. Возможно, что
с этим связана и прокловская критика доказательств
Фалеса, поскольку в школе Аристотеля Евклида приня-
то было игнорировать движения и симметрию; этим объяс-
няется и неодобрительное замечание Прокла о том, что
Фалес в своих геометрических рассмотрениях «иногда
более опирался на наглядность» (чем на дедукцию).
Поразительны темпы развития греческой науки! Рас-
цвет деятельности ионийской школы Фалеса надо отнести
к первой половине VI в. до н. э.,~ а к середине того же
2 Серая «Математика» № 7 17
века относится деятельность иной философской и научной
школы, видимо, обладавшей неизмеримо большим научным
багажом • знаменитой школы Пифагора Самосского (ок.
570 ок. 500 до н. э.) [Самос остров в Эгейском море
у побережья Малой Азии; расцвет деятельности Пифагора
Ван дер Варден относит к 550 г. до н. э. 1. Таким образом,
Фалес и Пифагор вполне могли быть лично знакомы; впро-
чем, это знакомство вряд ли доставило бы им радость,
ибо основные установки этих выдающихся ученых и поли-
тических деятелей были во всем различны: рационализму
Фалеса и ионийской школы противостоит мистицизм пи-
фагорейцев; демократические принципы ионийцев, сыграв-
шие заметную роль в становлении великой афинской демо-
кратии, в корне противоречили аристократизму замкнутой
военно-политической организации пифагорейцев, одно вре-
мя захватившей власть в ряде городов так называемой
«Великой Греции», т. е. греческих колоний в южной Ита-
лии. Центром пифагорейского союза являлся южноитальян-
ский город Кротон; впрочем, в конце жизни Пифагора
пифагорейцы были изгнаны из Италии; согласно одной
из легенд престарелый Пифагор окончил жизнь в уличной
схватке в одном из малоазиатских городов, который пифа-
горейцы попытались захватить. [Политическое поражение
пифагорейцев сыграло положительную роль в пропаганде
их достижений, а тем самым •— и в развитии греческой
науки. Ранее Пифагор стремился держать в тайне все полу-
ченные в его школе научные результаты; однако после
потери контролируемой Союзом территории и вынужден-
ного расселения пифагорейцев по многим греческим горо-
дам им было позволено зарабатывать на жизнь преподава-
нием —• и руководимые пифагорейцами школы сыграли
очень большую роль в дальнейшем распространении мате-
матических знаний. ]
Школе Пифагора свойственно было четко формулируе-
мое стремление к раскрытию «гармонии мира»; именно
этой цели способствовали культивируемые пифагорейцами
арифметика, геометрия и теория музыки (впрочем, начало
всех этих дисциплин пришло к пифагорейцам с Востока).
Мистицизм пифагорейцев, также родственный многим ре-
лигиозно-философским учениям Востока, привел к рас-
цвету в их учении числовой мистики; при этом очень боль-
шое внимание уделялось делению всех чисел на четные
и нечетные (еще Аристотель, следуя пифагорейцам, не-
сколько неожиданно определял арифметику как «науку
18
о четных и нечетных числах», а в «Началах» Евклида
общей теории делимости предшествует явно пифагорей-
ская «теория делимости на 2»).
На базе учения о четных и нечетных числах доказывали
пифагорейцы и одну из самых глубоких известных им
теорем (являющуюся одновременно и одним из самых по-
разительных достижений всей греческой математики) —
теорему о существовании иррациональных чисел (теорему
об иррациональности числа УТ или о несоизмеримости
диагонали квадрата с его стороной); соответствующее рас-
суждение, известное нам в передаче Аристотеля (оно начи-
нается с утверждения: если У"2~ = —и дробь несокра-
п п
тима, то т четно, а п нечетно), сегодня воспроизводится
во всех школьных учебниках.
Существенным достижением пифагорейской арифметики
было выделение простых чисел (их пифагорейцы называли
«линейными», подчеркивая, что если число р простое,
то р точек можно расположить лишь в отрезке, но не в пря-
моугольнике); большую роль в их арифметической системе
играли и так называемые треугольные, квадратные, пяти-
угольные и т. д. числа (см. рис. 1). От них же идет дошед-
ший до наших дней термин «кубические числа» (число
точек, которые можно расположить в пространстве в виде
куба); им, безусловно, были известны формулы для суммы п
первых-нечетных чисел (в результате получается п-е квад-
ратное число) и для суммы п первых кубических чис£л
(получается квадрат Ъ-го треугольного числа). Большое
значение придавали пифагорейцы так называемым совершен-
ным числам (равным сумме своих собственных делителей)
и дружеским числам (каждое из которых равно сумме дели-
телей другого).
Арифметика играла столь значительную роль в раз-
виваемой пифагорейцами системе мира в силу их стремле-
ния свести все сущее к системе числовых отношений («все
есть число»); впрочем, здесь пифагорейцам был нанесен
удар доказательством того, что уже длину диагонали квад-
рата со стороной 1 нельзя выразить никаким числом (к чес-
ти пифагорейцев, они немедленно оценили значение этого
открытия). Такая их установка объясняла большое место,
уделяемое пифагорейцами учению о музыкальной гармо-
нии; ими, в частности, была открыта связь между благо-
звучием музыкальных интервалов и простыми отношения-
ми длин издающих звуки струн. В пифагорейской школе,
2*
19
10
видимо, сложилось убеждение о шарообразности Земли
и о множественности миров. Но наиболее интересны нам
достижения пифагорейцев в геометрии.
Уже упоминавшийся выше неоплатоник Прокл, ссылаю-
щийся на заслуживающего, видимо, полного доверия ари-
стотельянца Е в д е м а Родосского (конец IV в. до н. э.),
писал: «Следовавший за ними (за Фалесом и другими)
Пифагор... изучал эту науку (геометрию), исходя от первых
ее оснований, и старался получать теоремы при помощи
чисто логического мышления, вне конкретных представле-
ний». Таким образом, Евдем приписывает Пифагору науч-
ную платформу, под которой не отказался бы подписаться
и Д. Гильберт, не говоря уже об Аристотеле и Евклиде.
Конечно, можно опасаться, что на эту оценку деятельности
20
Пифагора оказало воздействие созревшее в школе Плато-
на Аристотеля представление о геометрии; однако, не-
смотря на полное отсутствие принадлежавших Пифагору
и первым пифагорейцам материалов, у нас есть все основа-
ния полагать, что информация Прокла соответствует дей-
ствительности. К V в. до н. э. относится первый дошедший
до нас отрывок из составленного греческими учеными
учебника геометрии отрывок из «Начал» Гиппо-
крата Хиосского (2-я пол. V в. до н. э.), которого не
следует путать с гораздо более знаменитым врачом Гиппо-
кратом из Косса (впрочем, заслуживает быть отмеченным,
что оба ионийца ибо Хиос и Косс это острова в Эгейском
море у побережья Малой Азии ►— примерно в одно время
руководили в Афинах математической и медицинской
школами). Гиппократ не был пифагорейцем»—он принад-
лежал к философской школе софистов, критический дух
которой оказал заметное воздействие на рост математиче-
ской строгости. Однако никакой заметной научной школы,
отличной от пифагорейской, до Гиппократа не было; по-
этому естественно считать, что все, что он полагал хорошо
известным, было закреплено в (не дошедших до нас) пифа-
горейских руководствах. Замечательно, что общий стиль
Гиппократовых «Начал», поскольку об этом можно судить
по дошедшему до нас отрывку, полностью соответствовал
евклидовой линии изложения геометрии, столь выразитель-
но охарактеризованной в прокловской оценке вклада Пи-
фагора в геометрию; при этом к моменту составления этого
руководства явно было уже хорошо известно все учение
о треугольниках, включая и теорию подобия, требующую
развитой теории отношения отрезков. Вершиной пифа-
горейской геометрии было доказательство знаменитой тео-
ремы, и поныне носящей имя основателя школы; сравне-
ние этой теоремы с совсем простыми предложениями Фале-
са показывает, какой громадный путь прошла за считанные
десятилетия греческая геометрия. При этом сам факт,
как мы знаем, был хорошо известен уже древним вавило-
нянам (а быть может»—также и египтянам); присвоение
теореме имени Пифагора еще раз показывает, какое значе-
ние придавали древние греки самому доказательству.
Примечательна также та задача, которой посвящен
сохранившийся отрывок из «Начал» Гиппократа (а также
высокая оценка этого отрывка современниками Гиппо-
крата и последующими геометрами, которой мы и обязаны
сохранностью этого отрывка): она связана с так называе-
21
Рис. 2
мым квадрированием луночек. По-видимому, еще пифагорей-
цами (возможно — не самим Пифагором, а ближайшими
его преемниками) были поставлены знаменитые задачи
о возможности осуществления циркулем и линейкой уд-
воения куба, трисекции угла и квадратуры круга', неразре-
шимость соответствующих задач, которую, видимо, подо-
зревали уже пифагорейцы, была доказана только в XIX в.
При этом сама постановка вопроса об осуществимости или
неосуществимости тех или иных построений с помощью ш
заданного набора «абстрактно-математических» инструмен-
тов свидетельствует о поразительной научной зрелости
школы, занимавшейся такими задачами. Гиппократ указал
первые криволинейные фигуры,- для которых циркулем
и линейкой можно построить равновеликий им квадрат:
этими фигурами являлись луночки, ограниченные двумя
дугами окружностей (простейшая из этих луночек изобра- .
жена на рис. 2; используя теорему Пифагора, нетрудно 1
показать, что заштрихованные на рис. 2 луночка и прямо- |
угольный треугольник равновелики). [С использованием I
всего аппарата современной алгебры вопрос о «луночках I
Гиппократа» был исследован в 30-х и 40-х годах нашего |
века выдающимся казанским алгебраистом Николаем Гри- |
горьевичем Чеботаревым (1894—1947): оказалось, |
что если требовать соизмеримости квадратов радиусов 4
ограничивающих луночки окружностей, то кроме трех ука- i
занных Гиппократом луночек существуют еще всего два
других квадрируемых их типа. ] |
Таким образом, с достаточно высокой степенью опре-
деленности можно говорить о создании математики в Гре- j
ции в VI в. до н. э.: если формально-логический уровень
греческой математики VII в. до н. э. был столь же низок,
как и уровень египетской или вавилонской математики
(а, вернее всего,— даже и еще ниже того), то к V в. до н. э.
_здесь сложилась уже достаточно утонченная, в чем-то даже
изысканная (доказательства иррациональности некоторых
выражений или обсуждение неразрешимости тех или иных
22
задач!) математическая наука. Дальнейший прогресс
заключался в колоссальном увеличении объема и глубины
математических знаний и,— что интересует нас здесь боль-
ше всего,—-* в более отчетливом понимании своеобразия
математики, ее отличия от всех других наук.
В этом отношении основные заслуги принято приписы-
вать знаменитому Платону (429—348 до н. э.), что,
впрочем, справедливо лишь частично. Бесспорно, Платон
в течение длительного срока стоял в центре всей интеллек-
туальной жизни Афин, а созданная им (вблизи афинской
горы Акад) научная школа4 или «Академия» — прообраз
будущих университетов — еще долго после Платона ока-
зывала воздействие на греческую науку и культуру. (Пла-
тоновская Академия в Афинах была закрыта как языческая
декретом византийского императора Юстиниана в 529 г.
н. э.; упоминавшийся выше Прокл возглавлял ее в V в.
н. э. ]. Но сам Платон математиком не был, хотя он, бес-
спорно, был в курсе всех достижений современной ему
науки: этому способствовал горячий интерес Платона к ма-
тематике и дружба его со столь выдающимися учеными,
как влиятельный пифагореец Архит Тарентский
(ок., 428—365 до н. э.) и крупнейшие математики афин-
ского периода Евдокс Книдский (ок. 408 — ок. 355
н. э.) и Т е э т е т Афинский (ок. 410—369 до н. э.),
настолько же превосходящие Платона в области точного
знания, насколько он был выше их в философии (Евдокс
и Теэтет, видимо, преподавали математику в Академии
Платона). Архиту, занимавшему выдающееся положение
в городе Таренте в Южной Италии, даже и тогда, когда
пифагорейцы в целом были изгнаны из «Великой Греции»,
Платон был обязан'свободой, а быть может, и жизнью:
благодаря своему влиянию Архит сумел добиться освобож-
дения* Платона, заключенного в тюрьму в Сиракузах во
время своего (неудачного)] путешествия в Южную Ита-
лию.
Происходящему из г. Книда на юго-западе Малой Азии
Евдоксу принадлежит глубокий метод исчерпывания, пред-
ставляющий собой чуть ли не высочайшее достижение всей
античной математики, а также, видимо, общее учение о гео-
метрических величинах; Теэтету (ему посвящен одноимен-
ный диалог Платона) принадлежит теория отношений
отрезков, а также, скажем, разработка общей теории
правильных многогранников, совершенно неосновательно
называемых «Платоновыми телами».
23
Выдающиеся философские и литературные (а также
и организаторские) таланты Платона обусловили продер-
жавшийся столетия колоссальный его авторитет: так,
например, европейское Возрождение ознаменовалось все-
общим увлечением Платоном, организацией в Европе
так называемых «платоновых академий», явившихся основ-
ными очагами итальянского гуманизма. [В некоторых от-
ношениях это влияние явилось даже весьма вредным:
скажем, ему мы обязаны уничтожением большинства руко-
писей основного оппонента Платона и выдающегося уче-
ного-материалиста Демокрита Абдерского (Абде-
ра город во Фракии, на северном побережье Эгейского
моря). ] Не удивительно поэтому, что поклонники Платона
охотно приписывали своему кумиру всевозможные науч-
ные достижения, в том числе и не принадлежащие ему:
так, например «платоновы тела» (правильные многогран-
ники\ были классифицированы и изучены не Платоном,
а Теэтетом. Но глубокое уважение, которое питал Платон
к математике, рассматривавшейся им как бесценное сред-
ство тренировки ума (вспомним надпись: «Путь сюда за-
крыт тем, кто не знает геометрии», по преданию украшав-
шую вход в Академию Платона), сыграло громадную роль
в дальнейшем прогрессе математической науки, а общие
принципы «дедуктивных рассуждений» были развиты Пла-
тоном с исчерпывающей полнотой.
В основе всей деятельности Платона литературной
и научной, педагогической и организаторской •— лежало
стремление к «научному обоснованию» всей жизни людей,
всех их усилий в области науки и искусства, философии
и частной жизни, общественной деятельности и практики.
При этом под «научными основами» жизни Платон понимал
логическое обоснование всех поступков, базирующееся
на определенных общих принципах, из которых уже все
остальное вытекает по свойственным нашей умственной
деятельности правилам; подобное «логическое обсуждение»
самого широкого круга явлений и составляет содержание
знаменитых диалогов Платона, не случайно построенных
в форме беседы, в форме всестороннего рассмотрения того
или иного круга вопросов. При этом с «руководящими
принципами» Платона можно соглашаться или не согла-
шаться; однако убедительность делаемых из них выводов
всегда безусловна. Блестящий полемист и замечательный
• писатель Платон всем своим творчеством демонстрирует
«кухню» дедуктивных выводов, по-разному варьируя аргу-
24
менты в пользу тех или иных положений, оспаривая их
и опровергая затем им же выдвинутые возражения. Платон
ценил геометрию как в высшей степени «способствующую
развитию мышления»; но и геометрия должна быть благо-
дарна Платону, мышление которого, бесспорно, «способ-
ствовало развитию геометрии». И несмотря на отсутствие
у Платона четких указаний как на общие правила логиче-
ского вывода, так и на те основы, которые следует поло-
жить в фундамент математической науки, роль его в выяв-
лении строя математики как своеобразной «логической иг-
ры» никак не может быть преуменьшена.
Заслугой Платона является не только тщательная раз-
работка общих принципов дедуктивных рассуждений,—
нет, в своей попытке разработать полную систему мира
Платон не прошел и мимо математики, обнаружив глубо-
кое понимание специфичности ее структуры, ее «особен-
ности», коренящейся в принципиально отличном от всех
естественнонаучных дисциплин «строительном материале»
математики, конструирующей свой мир не из реальных
объектов, а из абстрактных понятий или «идей» (любимое
слово Платона, являющегося отцом философского идеализ-
ма!). Более того, даже представление о невозможности
корректного определения исходного материала математи-
ки, из которого она потом, руководствуясь внутренними
своими законами, строит все другие интересующие ее об-
разы, было, по существу, ясно Платону. Так в замечатель-
ных с точки зрения проникновения в суть математики пунк-
тах «Мир умопостигаемый и мир видимый» и «Беспредпо-
сылочное начало. Разделы умопостигаемого и видимого»
одного из самых больших по объему и самых знаменитых
диалогов Платона — «Государство» — говорится:
«— Ты знаешь, что те, кто занимается геометрией, сче-
том и тому подобным, предполагают в любом своем иссле-
довании, будто им известно, что такое чет и печет, фигу-
ры, три вида углов и прочее в том же роде. Это они прини-
мают за исходные положения и не считают нужным отда-
вать в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и
без того ясно. Исходя из этих положений, они разбирают
все остальное и последовательно доводят до конца то, что
было предметом их разбирательства.
— Это-то я очень хорошо знаю.
— Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами
и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж,
а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои
25
они делают только для четырехугольника самого по себе
и его диагонали, а не для той диагонали, которую они на-
чертили»9.
И все же главное, что дал Платон математике — это
Аристотель (384—322 г. до н. э.). Хорошо известны
расхождения Аристотеля со своим великим учителем (фра-
зу «Платон мне друг, но еще больший друг — истина»
знают даже те, которые понятия не имеют об обстоятельст-
вах, при которых она была произнесена); известно, что
Аристотель вынужден был бежать из Афин, опасаясь мес-
ти поклонников Платона; известно также, что в противовес
платоновской Академии он организовал в Афинах собст-
венную школу — Ликей. Но при этом сплошь и рядом сбра-
сываются со счета 20 лет, которые провел Аристотель в на-
пряженной интеллектуальной атмосфере платоновской Ака-
демии, т. е. те годы, которые сформировали его как чело-
века и ученого. Конечно, Аристотель,— бесспорно, один
из самых глубоких мыслителей в истории человечества,—
не мог некритически воспринимать все, излагаемое Плато-
ном; гораздо более трезвый ум его не принимал мистиче-
ских элементов в учении Платона; самое дорогое детище
Платона — его теорию идей, Аристотель безжалостно кри-
тиковал, а там, где он соглашался со своим учителем, он
сплошь и рядом дополнял Платона до такой степени, что
тот мог бы и не узнать свои мысли. И все же объединяющего
Платона и Аристотеля больше, чем разделяющего их; в
частности, платоновские «принципы научности» Аристотель
продолжил и развил построив на их базе глубоко содер-
жательную теорию.
Аристотель хорошо понимал, что деятельность нашего
ума не ограничивается одной лишь дедукцией; соответст-
венно этому все науки он делил на индуктивные, базиру-
ющиеся на частных наблюданиях, и выводные (дедуктив-
ные), которые строятся на общих принципах в соответст-
вии с установками Платона. Однако при этом Аристотель
явно недооценивал значение индуктивных наук, даже за
настоящие-то «науки» их не считая; именно с этим (а так-
же со свойственной Аристотелю метафизикой, о чем мы еще
скажем ниже) была связана резкая критика аристотельян-
ства, например Роджером Бэконом (около 1214—1294)
или Петрусом Рамусом (Пьер де ля Раме; 1515—1572):
9 См.: Платон, Собрание сочинений, т, 3, ч, 1, М., «Мысль»,
1970, с. 319—320,
26
ведь ясно, что в области естественных наук «дедуктив-
ному» периоду должен предшествовать достаточно продол-
жительный чисто «индуктивный» период первоначального
накопления знаний (так сказать, Ньютону должны пред-
шествовать Тихо-Браге и Кеплер или Дарвину —
Линней). [Впрочем, и в области математики «доказатель-
ным рассуждениям» предшествовал период конкретных
наблюдений над числами и фигурами — причем здесь «ин-
дуктивный» период растянулся на ряд тысячелетий, захва-
тывая все научные достижения вавилонян или египтян.]
Все внимание в «Органоне» Аристотеля (так назвал
Андронник Родосский, выпустивший в середине I в. до
н. э. первое Собрание сочинений Аристотеля, свод его трак-
татов, посвященных логике и строению наук; это название
и этот свод, объединяющий довольно разнородные сочи-
нения, сохранились до наших дней) посвящено именно вы-
водным наукам, образцом которых признается математи-
ка (в первую очередь — геометрия)*, более того, само сло-
во pavr||Lia для Аристотеля зачастую является синонимом
любого точного знания. При этом строение «выводных
наук» Аристотель описывает с редкой тщательностью и
полнотой.
Всякую «выводную» науку образуют, по Аристотелю,
определения фигурирующих в этой науке понятий и пред-
ложения, устанавливающие свойства этих понятий; при
этом основное содержание науки составляют цепочки сле-
дующих друг за другом предложений. Вопрос об о п р е -
делениях беспокоил Аристотеля мало: утвердившийся
на века аристотелевский принцип определения новых
понятий рекомендует выделять их указанием «ближайшего
рода и видового отличия» (например, «ромб — это парал-
лелограмм с равными сторонами», а «квадрат — ромб с
одинаковыми углами»: здесь «параллелограмм» соответст-
венно «ромб» — это ближайший «род», а равенство сторон
или углов образует то «видовое отличие», которое и задает
рассматриваемый новый вид). При этом Аристотель, разу-
меется, понимал, что подобный процесс сведения одних
понятий к другим не может продолжаться бесконечно:
ну, хорошо, пусть, далее, «параллелограмм — это четырех-
угольник с двумя парами параллельных сторон», «четы-
рехугольник —это многоугольник, имеющий четыре сторо-
ны», а «многоугольник — замкнутая несамопересекающаяся
линия, образованная последовательностью отрезков, каж-
дые два соседние (а также — первый и последний) из ко-
27
торых имеют общую вершину», но где-то ведь все равно
придется остановиться, ибо бесконечный ряд понятий ана-
лизировать невозможно.
Учение о «категориях», к которым, по Аристотелю, в
конце концов сводятся все без исключения понятия, не осо-
бенно вразумительно и является самым слабым местом ари-
стотелевской системы; ничего особенно дельного не доба-
вили к нему и бесчисленные последующие комментаторы
Аристотеля, даже столь великие как Гегель или Кант.
Но достаточно конкретно мыслящий, Аристотель сам пони-
мает некоторую неясность в своей трактовке категорий;
поэтому он, скрепя сердце, позволяет в каждой науке
устанавливать «свои категории», т. е. свой список исход-
ных понятий: «так в геометрии,— пишет он,— мы должны
принять существование небольшого количества вещей, а
именно точек и (прямых?) линий». При этом основные
понятия, по Аристотелю, должны быть непосредственно
понятны (интуитивно ясны?), что и позволяет (или делает
необходимым) обойтись беЗ их определения; они должны
быть также достаточны для обоснования по описанной вы-
ше схеме всех остальных понятий данной науки.
Гораздо более, чем определения, заботят Аристотеля
предложения, совокупность которых и составляет
основной костяк «выводной» науки. Классификация пред-
ложений Аристотеля ясна: все предложения он делит на
«выводные», справедливость которых устанавливается све-
дением их к уже известным предложениям (аристотелевские
#£(орт|рата) и (процесс сведения теорем к более простым то-
же ведь должен иметь конец!) основные или исходные,
принимаемые без доказательства (аВтрората). От аксиом
при этом Аристотель требует, чтобы они были непосредст-
венно очевидны, что позволяет (или делает необходимым)
не давать им доказательства; наряду с этим предполагается,
что аксиомы достаточны для дальнейшего логического
построения всей науки и (характерное для глубины аристо-
телевской мысли требование!) «аподиктичны», т. е. совер-
шенно необходимы для построения данной науки и потому
никак не могут быть отброшены (из последних двух требо-
ваний родились современные условия полноты и незави-
симости аксиоматики).
Однако если деление всех предложений на теоремы и
аксиомы представляется Аристотелю достаточно ясным, то
сам процесс вывода новых предложений из известных ра-
28
нее по своей сложности не идет ни в какое сравнение с
системой образования определений — и этому-то процес-
су логического вывода и посвящено основное содержание
«Органона». Не отличавшийся особой скромностью Ари-
стотель писал даже, что по общей теории доказательств он
«не нашел решительно ничего, что было бы сказано ранее,
а разработал ее самостоятельно путем продолжительных и
трудных изысканий» (он действительно потратил на разра-
ботку соответствующей теории десятилетия). Впрочем,
это заявление не совсем соответствует истине: вопросы ло-
гики занимали греческих ученых и до Аристотеля, и нель-
зя сказать, что он возводил грандиозное здание своей «сил-
логистики» на-совсем уж пустом месте. В первую очередь
здесь должна быть указана славившаяся своей логи-
ческой требовательностью философская школа элейцев
(ее название происходит от города Элея на берегу Адриа-
тического моря в Южной Италии, где проживали основа-
тель школы Парменид и его любимый ученик Зенон).
Парменид (V в до н. э.), впечатляющий портрет ко-
торого дан в диалоге Платона, стремился к строгому ло-
гическому обоснованию всех высказываемых положений;
от него, как будто, идут наши логические законы противо-
речия (ничто не может быть одновременно истинно и ложно)
и исключенного третьего (всякое утверждение либо истин-
но, либо ложно). Проживавший в VI в. н. э. в Афинах (а поз-
же— в Иране) христианин-киликиец Симпликий сообщает
даже (со ссылкой на уже упоминавшегося выше Евдема),что
Парменид впервые начал строить философию на логической
основе, тогда как «прежние же (мыслители) высказывали
свое мнение без логических доказательств». Зенон в своих
знаменитых софизмах демонстрировал метод приведения к
абсурду; этот метод высоко ценил Платон, неоднократно
ссылавшийся как на «эталонный» образец чистой дедукции
/ на доказательство иррациональности Уъ («предположим,
что уТ рационально—и далее показывается, что это пред-
положение приводит к абсурдным выводам). [Заметим, здесь,
же, что именно критика элейцев, облаченная в форму па-
радоксов Зенона, породила типичную для древнегре-
ческих ученых метафизику, отказ от рассмотрения ка-
ких бы то ни было текущих процессов, якобы недоступных
для научного анализа, и ограничение одними лишь застыв-
шими «состояниями» (вспомните знаменитый вопрос
Зенона: «можете Вы указать, где находится кончик
летящей стрелы?»). ]
29
Но, разумеется, подобные более или менее частные мо-
менты не идут ни в какое сравнение с обстоятельнейшей
«силлогистикой» Аристотеля, поставившего перед собой
задачу подробного описания не только процесса составле-
ния новых определений, но и (несравненно более сложно-
го!) процесса доказательства новых теорем: недаром все
ученые, обращавшиеся вслед за Аристотелем к теории до-
казательства (и в том числе — Кант и Регель) подчеркива-
ли, что до них после Аристотеля в этой области не было
достигнуто решительно ничего. Следует, впрочем, указать,
что, по существу, вся теория Аристотеля (если исключить
принадлежащую ему классификацию высказываний, се-
годня относимую к учению о кванторах) связана с обсуж-
дением свойств логического отношения следствия, связы-
вающего (или не связывающего) два высказывания, и пу-
тей доказательства того, что два высказывания связаны
этим отношением; «исчисления высказываний», как тако-
вого, у Аристотеля не было. (Можно предполагать, что это
исчисление,— не без влияния Аристотеля, разумеется,—
было создано в так называемых мегарской и стоической
школах древнегреческой философии, от которых до нас,
однако, не дошли никакие письменные источники.]
Таким образом, к IV в. до н. э. (и даже гораздо раньше)
можно было со всей определенностью сказать, что матема-
тика сложилась; задача состояла в том, чтобы эту четко
очерченную дисциплину развивать и дополнять. В этом
отношении успехи наследников Аристотеля были весьма
значительны, — но саму эту задачу все же никак нельзя со-
поставить по масштабу с грандиозной задачей создания
математической науки. Из следующих за Аристотелем уче-
ных надо в первую очередь назвать Евклида Алек-
сандрийского (365 — около 300 г. до н. э.) и (несколько
более позднего по времени) представителя бывшей «Вели-
кой Греции» знаменитого Архимеда Сиракузского
(287—212 до н. э.): первый из них составил «ортодоксально
аристотельянский» свод математических знаний, включав-
ший основные достижения предшествующих ему матема-
тиков, в первую очередь — пифагорейцев, Евдокса и Те-
этета, а второму мы обязаны самыми впечатляющими из
триумфов греческой науки. Третьим великим представи-
телем александрийского периода греческой математики
был создатель развернутой теории конических сечений (эл-
липс, парабола, гипербола) Аполлоний Пергский
(около 260—170 до н. э.; Перга — город в Малой Азии).
33
Название «александрийская» для представляемой всеми
этими математиками научной школы объясняется тем, что
все они были тесно связаны с александрийским Музеем —
основным научным заведением эллинистической эпохи:
Евклид преподавал в Музее, Аполлоний там учился, Архи-
мед, видимо, часто бывал в Александрии и систематически
переписывался с александрийскими учеными (в частности,
с Эратосфеном).
При всем том для нашей темы все эти знаменитые ученые
особого интереса не представляют: можно сказать, что,
в противоположность Аристотелю или Платону, «метамате-
матикой» (наукой, изучающей те принципы, на которых
базируется математика) они почти не интересовались (един-
ственным исключением здесь можно считать Евклида,
«Начала» которого составлены с подчеркнутым вниманием
к общим вопросам строения математической теории). Но,
безусловно, заслуживает быть отмеченным характерный
для всех древнегреческих ученых высочайший уровень
математической абстракции и безукоризненность дедук-
ции: так, идущая, видимо, от Евдокса общая теория «ве-
личин», отголоски которой явственно слышны в несколько
даже озадачивающих первых аксиомах (не постулатах, а
именно аксиомах!) Евклида, родственна самым современ-
ным подходам к этому понятию (ср., например, со статьей
А. Н. Колмогорова «Величина» в последнем издании Боль-
шой советской энциклопедии). Замечателен также*и ев-
доксов метод исчерпывания, сущность которого сводилась
к исключению из решения интеграционных задач каких
бы то ни было бесконечных процессов и предельных пере-
ходов: эти процессы использовались как эвристическое
средство для нахождения ответа, но окончательное обос-
нование полученного с их помощью результата было уже
чисто «финитным», не включавшим никаких сомнитель-
ных (с точки зрения Зенона — Аристотеля) процедур.
При этом главную роль в предложенных Евдоксом построе-
ниях играла специально им для этого введенная аксио-
ма, ныне называемая аксиомой Архимеда:
Архимед широко пользовался методом исчерпывания, а
значит и этой аксиомой, нисколько, впрочем, при этом не
скрывая, что он заимствовал эту аксиому у Евдокса. На-
конец, разработанная Евдоксом и Теэтетом теория отноше-
ний отрезков была настолько близка к относящимся ко
второй половине XIX в. теориям вещественного числа,
что хорошо знакомый с античной наукой немецкий мате-
81
матик Р. Липшиц (1832—1903) даже спрашивал в од-
ном письме Рихарда Дедекинда (1839—1916) о том,
что, собственно, нового содержит дедекиндова теория «се-
чений» (теория иррациональных чисел) по сравнению с по-
строениями греческих геометров.
Таким образом, можно с полной определенностью ука-
зать как довольно узкие временные рамки создания ма-
тематической науки (от VI до IV в. до н. э., причем на IV в.
падает уже только чисто словесное оформление созревших
ранее концепций), так и место, где произошло это событие
(Древняя Греция; конкретнее — Иония, «Великая Греция»,
Афины). При этом уровень строгости п глубина понимания
характерных особенностей математической науки были здесь
таковы, что вновь достигнуты они были, пожалуй, лишь
в европейской науке XIX столетия (об этом мы еще ска-
жем ниже). В самом деле, разумеется, отчетливость, с ко-
торой, скажем, Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—
1716) осознавал общую идею аксиоматики и «абстрактного»
построения математической теории ни в чем не уступала
ясности мысли классиков античной науки; однако лейбни-
цевская же практика, его манипулирование с несколько
сомнительными «бесконечно малыми величинами», прави-
ла действий над которыми базировались лишь на интуиции,
а вовсе не на законах арифметики или логики, резко
противоречили «канонам строгости» свойственным Евкли-
ду или Архимеду. Лейбниц писал, что «универсальная ма-
тематика — это, так сказать, логика воображения», что
предметом ее изучения является «все, что в области вооб-
ражения поддается точному определению»— но он только
мечтал об «универсальной математике» как сгнауке буду-
щего. Лейбницу принадлежит постановка задачи о закреп-
лении . аристотелевой схемы «выводной науки» в форма-
лизованных построениях «исчисления математических пред-
ложений». Однако хоть на этом пути он и добился опре-
деленных частных успехов (не оказавших, впрочем, ника-
кого воздействия на дальнейшее развитие науки, ибо по-
строенные Лейбницем фрагменты логического исчисления
его не удовлетворили и потому не были им опубликованы),—
решить эту задачу и довести тем самым общую схему Арис-
тотеля -т- Евклида до уровня математической теории (ме-
таматематики) суждено было лишь ученым XIX—XX вв.
32
§ 3. КАК УСТРОЕНА МАТЕМАТИКА
Итак, «чистая» математика (если только возможна «совсем
чистая» математика, поскольку внешними стимулами для
развития математической науки всегда служат возможно-
сти ее внематематических приложений) строится как не-
которая логическая «игра», базирующаяся на формули-
руемых самими математиками «правилах» или законах
логического вывода. В основу любой математической тео-
рии кладутся те или иные условные объекты; их названия
(«числа», или «точки», или «векторы») связаны с историче-
ским происхождением соответствующих понятий и с (в зна-
чительной степени формирующими математику) возмож-
ностями их приложений, но внутри самой математики они
безразличны. Определением этих понятий и (также не
определяемых или даже безымянных) отношений между
ними служит список задающих математическую теорию
аксиом: объекты теории и связывающие их отношения
должны удовлетворять этим аксиомам, причем поскольку
последнее требование является единственным, то можно
считать, что оно служит определением рассматрива-
емых. объектов и отношений.
В качестве примера подобной «математической теории»
укажем на очень красивую теорию аффинных плоскостей,
о которой уже шла речь в одной из недавних брошюр
этой серии 10. Эта теория имеет дело с двумя типами объек-
тов, которые принято называть прямыми и точками, но
можно было бы, конечно, назвать как угодно иначе;
объекты связаны единственным отношением, которое обыч-
но называют отношением инцидентности точки А и пря-
мой а, или говорят, что прямая а проходит через точку А
(тот же смысл имеет утверждение: точка А принадлежит
прямой а), хоть можно просто говорить, что объекты А
и а связаны условным отношением * и писать А*а, не со-
поставляя с этим никаких наглядных представлений.
При этом от точек А, В, С, ... и прямых а, Ъ, с, ... требу-
ется всего лишь выполнение трех простых аксиом Ai—А3.
АР Существуют три точки, не инцидентные никакой
одной прямой.
В дальнейшем точки, инцидентные одной прямой, мы
будем называть коллинеарными, а точки, не ин-
цидентные все одной прямой — неколлииеарны-
е___________
10 См.: Э. Г. Бел ага. Мишьгеомегрии. М., «Знание», 1977.
33
м и; таким образам Ai утверждает существование трех не-
коллинеарных точек. Если условиться обозначать множест-
во {А, В, С, ...} точек аффинной плоскости через а
множество {а, Ь, с, ...} ее прямых через X, принять ука-
занную выше запись А* а инцидентности точки А и пря-
мой а и использовать столь модные ныне кванторы: у, g
(существует); з!, а также черту как знак отрицания (так
что, скажем, запись g читается как «не существует»)
и конъюнкцию Д, то Аг можно будет переписать так:
3 А,В,С£^,3 /£^|(A*/)A(B*/)A(C*/). (2)
А2. Каждые две (различные) точки из & инцидентны
единственной прямой.
Таким образом, аксиома А2 утверждает сразу два об-
стоятельства: что для каждых А, В£3° (где А^В) су-
ществует такая прямая /, что А*1 и В*/, и что та-
кая прямая единственна:
VA,BC^,A^B,3!/C^|(A*/)A(B*/) (3)
(эта запись лишь обозначениями отличается от форму-
лы (1)).
Следствие. Пусть I и т—две прямые из SP. Тог-
да справедливо одно и только одно из нижеследующих ут-
верждений: а) I и т совпадают'. 1~т; б) имеется единст-
венная точка, инцидентная с I и с т; в) не имеется ни од-
ной точки, инцидентной и с I и с т. (Докажите это утверж-
дение сами.)
Прямые, имеющие одну (и только одну) общую точку,
мы будем называть пересекающимися. Прямые,
не имеющие ни одной общей точки или полностью совпа-
дающие, мы назовем параллельными; параллелизм
прямых будем обозначать привычным символом || (будем
писать 11| т, если I параллельна т).
А3 (аксиома параллельных). Пусть А — точка из SP,
а I — прямая; существует единственная прямая m£S8t
проходящая через А и параллельная I:
VA£^,/C^,3!me^|(AMA(/nl|/). (4)
Ясно, что если А*1, то единственная проходящая через
А прямая, параллельная I — это сама прямая Z; поэтому
содержательная часть аксиомы А3 утверждает, что если А
не инцидентна I, то имеется единственная прямая т,
инцидентная А, и такая, что нет ни одной точки, инцидент-
ной и I и т.
34
Таким образом, задача построения теории аффинных
плоскостей состоит в описании задаваемой аксиомами Аг—
А3 структуры
< * >. (5)
Поразительно, что такая бедная аксиоматика (всего три
простые аксиомы!) приводит к содержательной теории.
Это пример, к которому мы еще чуть ниже снова вернем-
ся, хорошо раскрывает само понятие математиче-
ских структур, изучением которых и занимается
математика. А именно, математическая структура S
это набор
S=<^; Rlt R2.....Rh> (5)
из определенного множества Лг={х, у, г, ...} «объектов»
или «основных элементов» нашей структуры и тех или
иных отношений Rlt R2, ... между ними. При этом отно-
шение R=R(a> «связывает» некоторое фиксированное чис-
ло п (иногда называемое порядком отношения) эле-
ментов нашей структуры, т. е. для любого набора xlt х3.
..., хп из га элементов множества можно сказать, удов-
летворяют ли они отношению R или нет. Отношение га-го
порядка называют п-арным отношением; таким образом,
различают унарные (га=1), бинарные (га=2), тернарные
(п=3) и т. д. отношения.
Унарное отношение /?(1) касается единственного
элемента х из для каждого х^Л можно сказать, удовлет-
воряет ли х отношению или нет; в соответствии с этим
отношение Rw можно понимать просто как подмножество
множества элементов Л (образованное теми элементами
х£Л, которые RW удовлетворяют) и даже (не совсем стро-
го) писать R^czJl. Поэтому, зачастую говоря о математи-
ческих структурах считают, что отношения Ri, R* •••, Rh.
могут быть бинарными, тернарными и т. д.; что же каса-
ется унарных отношений, выделяющих те или иные части
множества то их не вписывают в ряд свойственных
структуре отношений, а вместо этого считают, что Л мо-
жет распадаться на отдельные части (даже не обязательно
неперекрывающиеся между собой). Так, в случае аф-
финной [Носкости мы имеем унарные отношения «быть
точкой» и «быть прямой»; в данном случае множества,
удовлетворяющие этим отношениям объектов, не пе-
ресекаются (ибо у нас точка никак не может одновременно
являться и прямой), в соответствии с чем мы вместо одного
- 35
основного множества элементов структуры пишем два
множества: ёР (точки) и X (прямые).
Аналогично, бинарное отношение /?<2> связывает
(упорядоченные) пары х, у элементов из «Ж. Таким образом,
можно понимать просто как некоторое множество пар
элементов х, у^Л, а именно множество тех пар, которые от-
ношению /?<2> удовлетворяют, т. е. можно (условно) писать
где ЛХЛ — множество всевозможных пар
элементов из Л, называемое также декартовым квадратом
множества Л. Для примера на рис. 3, а изображено от-
ношение хё>у в множестве вещественных чисел, заключен-
ных между 0 и 1 — оно выделяет пары (х, у) (т. е. точки
квадрата ОАСВ), расположенные под диагональю ОС.
На рис. 3, б изображено бинарное отношение х+г/>1,
заданное в том же множестве чисел; в противоположность
отношению х>у оно является симметричным,
т. е. не зависит от порядка входящих в него чисел: если это
отношение выполняется для пары чисел х, у, то оно имеет
место и для пары у, х. Бинарное отношение *, фигури-
рующее в определении аффинной плоскости, состоит из
всевозможных пар: точка А и инцидентная ей прямая а;
его тоже можно считать симметричным. Подобно этому
тернарное отношение /?<3) — это просто множество
троек х, у, z, £Л, т. е. подмножество /?(3)С М'КЛ'ХМ
декартова куба множества Л.
Первый вопрос, который возникает, когда рассматрива-
ется та или иная аксиоматическая теория, — это вопрос
о непротиворечивости, полноте и независимости системы
аксиом. Система аксиом называется противоречи-
вой, если из нее можно вывести одновременно и некото-
рое предложение, касающееся фигурирующих в нашей
36
теории объектов и отношений, и опровержение этого пред-
ложения; так, например, противоречивой является систе-
ма из аксиом Аг—А3 и еще одной аксиомы А4: существуют
такие две различные точки А и В и такие две различные
прямые тип, что А*т и А*п, В*т и В* п. Разумеется,
никакая противоречивая аксиоматическая теория рассмат-
риваться не может: такую теорию можно считать ошибоч-
ной, не описывающей никаких объектов, бессодержатель-
ной и ненужной. Непротиворечивость аксиоматической
теории устанавливается построением ее модели или ин-
терпретации: системы каких-то (условных или известных
нам ранее) «вещей» и отношений между ними, которые
мы принимаем за объекты и отношения нашей теории и для
которых выполняются все сформулированные аксиомы.
Непротиворечивость аксиоматики аффинной плоскости вы-
текает из существования хорошо нам знакомой «школь-
ной» или обычной плоскости (та плоскость, которая изу-
чается на уроках геометрии в школе) с обычным отношением
принадлежности точки А прямой а — для этой плоскости,
очевидно, выполняются все аксиомы А2—А3, откуда сле-
дует, что «школьная» (евклидова) плоскость представляет
собой модель аффинной.
Полнота аксиоматики утверждает, что, грубо го-
воря, описываемая нашей системой аксиом математиче-
ская структура является единственной', иногда полноту
(или категоричность) аксиоматики определяют требовани-
ем, чтобы в данной математической теории каждое содержа-
тельное предложение, формулируемое на языке существу-
ющих в этой теории отношений между объектами, было
либо истинным, либо ложным (мы здесь не останавлива-
емся на некоторых чисто логических тонкостях, связан-
ных с понятиями непротиворечивости и полноты). Точнее
говоря, аксиоматическая теория называется полной, если
изоморфны любые две ее модели (интерпретации)
{Л', Rv Rv ..., R^ и <Л- R\, R^ R*>, (7)
где конкретно указанные отношения R'. между элементами
множества ...}и между элементами множест-
ва ^={уъ у2, ...} (здесь /=1, 2, ... или k) удовлетворяют
всем аксиомам структуры. Изоморфизм же моделей
(7) означает возможность установить между множествами
Л и Ж такое взаимно однозначное соответствие х^у (где
что отношение R'. (хь х2» •••> хп) (отношение
37
R’. между элементами х15 х2, ..., хп£,М) выполняется тогда
и только тогда, когда выполняется отношение R". (уъ
у2^-^Уп)и наоборот, где х^у^^Уъ, хп<-*уп. Неполнота
аксиоматики аффинной плоскости вытекает, например, из
наличия явно неизоморфной евклидовой плоскости модели
из 4 точек А, В, С, D и 6 прямых a, b, с, d, е, f со следу-
ющей таблицей инцидентности точек и прямых:
а Ь с d е f
А * * *
со * *
С * ♦ *
D * * *
Нетрудно проверить, что для такой аффинной плоскости
<{А, В, (?,£>}, {а, Ь, с, d, е, /};*>
выполняются все аксиомы Ах—А3 (см. также рис. 4, ил-
люстрирующий эту модель).
У Аристотеля родственное полноте требование, по су-
ществу, входило в’ число основных требований к аксиома-
тической теории; те примеры математических структур, с
которыми имели дело древние (натуральные или вещест-
венные числа, евклидова геометрия) все являются полны-
ми. Однако, в противоположность непротиворечивости,
требование полноты отнюдь не является обязательным
для любой структуры; более того, основное место в совре-
менной науке играют математические структуры, описы-
ваемые не полными аксиоматиками (к их числу принадле-
жит и аффинная плоскость).
Наконец, система аксиом Аь А2, ...» Ат называется
независимой, если ни одна из аксиом не является
лишней, ни, одну «из них нельзя вывести из остальных ак-
сиом, доказать как теорему. Независимость какой-либо
аксиомы Аг- (где /=1, 2, 3, ... или т) от остальных аксиом
устанавливается построением модели аксиоматики Аь
£8
А2, ...» Af, Ai+1, ...» Am, где черта, как всегда, оз-
начает отрицание, т. е. системы, где верны все аксиомы
кроме Аг-, а аксиома Af не верна (верна AJ. Так, незави-
симость аксиомы А! аффинной плоскости от всех других
аксиом устанавливается, например, моделью из единствен-
ной прямой а и точек А, В, С с таблицей инцидентностей
АВС
♦ * *
(см. также рис. 5, а); независимость аксиомы А2 — моделью
из 4 точек А, В, С, D и 4 прямых a, b, с, d с таблицей ин-
цидентностей
(здесь, скажем, нет ни одной прямой, инцидентной точкам А
и С — см. рис. 5, б); независимость аксиомы А3 — мо-
39
делью из 3 точек A, В, С и 3 прямых-а, Ь, с с таблицей ин-
цидентностей
(здесь через А не проходит ни одной прямой, параллельной
а, см. рис. 5, в). Таким образом, наша аксиоматика аффин-
ной плоскости является непротиворечивой, неполной и не-
зависимой.
Ясно, что с чисто теоретической точки зрения требова-
ние независимости аксиоматики является весьма важным —
в противном случае одна или несколько из наших аксиом
получили этот титул совершенно незаслуженно — они
являются теоремами, а не аксиомами. Реально, однако,
проверка независимости достаточно обширной системы
аксиом весьма не проста (приходится строить большое
число моделей); с другой стороны, выводы из независимой
аксиоматики зачастую очень сложны в силу бедности
той базы, на которую нам можно ссылаться. Поэтому в
своей практической деятельности ученые, не являющиеся
специалистами в области оснований математики (в области
метаматематики, как ныне, следуя Д. Гильберту, име-
нуют науку о математических доказательствах и об общем
строении математических теорий), обычно особого внима-
ния на требование независимости аксиоматики не обра-
щают: они свободно пользуются зависимыми аксиомати-
ками, иногда специально расширяя список аксиом для то-
го, чтобы упростить дальнейшие выводы из этого списка.
Вернемся теперь к понятию аффинной пло-
скости. После того как выписана задающая ту или
иную математическую структуру аксиоматика, мы можем
на базе имеющихся основных объектов и отношений оп-
ределять новые относящиеся к этой структуре понятия и
40
доказывать содержательные теоремы. Так, для аффинной
плоскости, очевидно, справедлива
Теорема 1. Отношение параллельности прямых
аффинной плоскости является отношением эквива-
лентности, т. е, оно обладает свойствами:
а) а || а для всех а^Х (рефлексивность);
6) если а || Ь, то и b |( а (симметричность);
в) если а\\ b и Ь\\с, то а\\с (транзитивность).
Хорошо известно, что заданное на любом множестве
J£~{x, у, 2, ...} отношение эквивалентности ~ разбивает
все множество .М на классы эквивалентных элементов, таких,
что для любых двух элементов хъ х&М одного класса X
имеем Х!~х2, а для элементов разных классов это не так 51.
Множество {X, Y, Z, ...} классов эквивалентных элемен-
тов называется фактормножеством Л по отно-
шению ~ и обозначается через .Ж/~. Классы параллель-
ных прямых аффинной плоскости обычно называют направ-
лениями; таким образом, множество $в/\\ — это множество
направлений.
Неполнота аксиоматики аффинной плоскости делает
естественным рассмотрение тех или иных специальных ти-
пов аффинных плоскостей, выделяемых какими-то допол-
нительными условиями. Прежде всего аффинные плоскости
делят на конечные и бесконечные, где конечные плоскости
характеризуются наличием у них лишь конечного числа
точек и прямых. Аффинную плоскость иногда называют
плоскостью ранга k, если некоторая прямая I этой пло-
скости содержит ровно k разных точек (т. е. если существует
k и только k таких точек Аг,А2, ... Ah£X>, что и
А2*/, ..., и Ak*l). Аффинная плоскость ранга k обяза-
тельно является конечной, ибо справедлива следующая
замечательная теорема.
Теорема 2. Если (5) — аффинная плоскость ран-
га k, то
а) каждая прямая из X содержит k точек;
б) через каждую точку из 5° проходит k+\ прямая;
в) X содержит k + 1 различных направлений;
г) каждое направление содержит k прямых;
д) 5° содержит k2 точек;
е) X содержит k2 + k прямых. 11 *
11 См.: Н. Я. Виленкин. Теоретические основы начального
курса математики. М., «Просвещение», 1973.
41
По поводу доказательства этой теоремы см., например,
названную выше брошюру Белаги Э. Г.
Так как в силу А2 через каждые две точки аффинной
плоскости проходит прямая, то /О>2; аффинная плоскость
ранга 2 изображена на рис. 4 (стр. 39).
Теорема 2 является первым содержательным предло-
жением о конечных плоскостях, но, к сожалению, она же
и почти исчерпывает всю имеющуюся у нас на этот счет
существенную информацию. Правда, еще в 1906 г. извест-
ный американский математик Освальд Веблен (1880—
1960) установил, что для каждого k=pq, где число р — про-
стое, a q — произвольное натуральное, конечная плоскость
ранга k существует, а в 1949 г. Р. Брук и Г. Рей-
зер показали, что если k имеет вид 4п + 1 или 4п + 2
(где п — натуральное) и k не представимо в виде суммы
двух квадратов натуральных чисел (или, что то же самое,
если в разложении k на простые множители хотя бы один
простой множитель вида 4 т — 1 входит в нечетной сте-
пени), то конечной плоскости ранга k не существует.
Однако этим ограничиваются почти все общие сведения о
плоскостях ранга k: мы имеем ряд значений k, для которых
существование плоскостей соответствующего ранга известно
(значения, удовлетворяющие теореме Веблена); ряд дру-
гих, для которых известно, наоборот, отсутствие плоско-
стей ранга k (значения, удовлетворяющие теореме Брука —
Рейзера), и множество чисел k, про которые пока нельзя
сказать ни того, ни другого. Далее, теорема 2 внушает
надежду на то, что аксиоматика конечной плоскости ранга k
полна (эта аксиоматика состоит из аксиом Ах — А3 и ак-
сиомы Б: существует прямая инцидентная-рав-
но k точкам Alf А2, ..., Ak£ff>). Однако и эта надежда
реально не оправдывается: правда, удалось доказать, что
плоскости рангов 2, 3, 4, 5, 7 и 8 единственны, но сущест-
вует не менее четырех существенно различных плоскостей
ранга 9 и не менее семи разных плоскостей ранга 16.
Общая концепция математической структуры и пред-
ставление о математике как о науке о разнообразных ма-
тематических структурах (6) идет от знаменитого «Nicolas
Bourbaki» — группы авторитетных французских мате-
матиков, выпускающих под псевдонимом Н. Бурбаки все-
объемлющий трактат «Элементы (или Начала) математики»,
излагающий всю математику с этих позиций; статья,
разъясняющая взгляд Н. Бурбаки на математику, «Архи-
тектура математики» неоднократно публиковалась на рус-
42
ском языке . [По поводу группы «Ы. Бурбаки» см на-
пример, обстоятельную статью П. Халмоша. «Николай
Бурбаки» , на русском языке изданы пока 18 томов со-
чинения «Элементы математики» общим объемом свыше 7
тыс. страниц!] При этом в качестве основного примера по-
нятия математической структуры в статье «Архитектура
математики» фигурирует структура группы.
Книга «Алгебра» трактата «Элементы математики» начи-
нается с определения алгебраических струк-
тур, рассматриваемых Н. Бурбаки как. важный част-
ный случай общей математической структуры. А именно,
под алгебраической структурой Бурбаки
понимает основное множество Л (неопределяемые), отноше-
ния между элементами которого сводятся к определенному
числу (бинарных) алгебраических операций; при этом под
действующей на множестве Л бинарной опера-
цией со понимается отображение со: Л «декарто-
ва квадрата» Л X Л множества Л (т. е. множества всевоз-
можных упорядоченных пар элементов из Л) на само мно-
жество Л, сопоставляющее каждым двум х, у 6 л третий
элемент 2^Л,— результат операции со, примененной к х
и у; при этом пишут z=co (х, у) или z=xay. В принципе
возможно также, что элементы х и у принадлежат не од-
ному и тому же множеству^, а разным множествам^,
(ниже мы встретимся и с подобными ситуациями); элемент z
может принадлежать и третьему множеству Л. В случае,
когда х, z б а, скажем, у £ Л, Бурбаки говорит о в н е ш -
ней алгебраической операции, называя множество Л
областью (действующих на Л) операторов; в конкретных
примерах роль множества операторов Л чаще всего играет
множество чисел (например, вещественных).
Аксиомы структуры задают свойства участвующих в ее
определении операций — как относящиеся к одной фик-
сированной операции (например, коммутативность или ас-
социативность), так и связывающие их между собой (ска-
жем, дистрибутивность). При этом заданная на Л алгеб-
раическая операция со называется коммутативной, если
xcoy=z/cox для всех х, у б Л\ она называется ассоциативной,
если (хсо//)сог=х со (z/coz) для всех х, у, z 6 Л\ она называется
дистрибутивной по отношению к операции т если (xcoz/)tz=
32 См.: Сб. «Архитектура математики». М., «Знание», 1972.
13 См.: П. Халмош. Николай Бурбаки. — В сб. «Мате-
матическое просвещение» (новая серия). М., Физматгиз, вып. 5, с.' 229—
239.
43
== (xtz) co (z/tz) для любых x, у, Заметим еще, что ре-
зультат примененной к х и у бинарной операции зачастую
обозначают через х-у или ху и называют произведением к
и у (мультипликативная запись) или обозна-
чают через х+у и называют суммой хм у (аддитивная
запись); в настоящее время чаще всего аддитивная запись
используется для коммутативных операций (таких, что
*+*/=z/+x), а мультипликативная — для произвольных
(бинарных алгебраических) операций.
Таким образом, простейшей следует считать алгебраи-
ческую структуру (Л/; со> или, в мультипликативной
записи, < • > (9) с одной операцией со: для каждых х, у£Л
определен элемент обозначаемый через z—x&y (или
z=xy). Однако ясно, что структура (9), где операция со не
подчинена никаким общим законам (структура с пустым
множеством аксиом; такую структуру иногда называют груп-
поидом), является весьма бедной; трудно даже представить
теоремы, которые здесь можно было бы доказать: ведь мы
не имеем ни одной аксиомы,—откуда тогда могут взяться
теоремы? [Впрочем, это заключение не безусловно вер-
но: для группоида, по существу, выполняется аксиома
yX,y£JI1,^\z^Jt\z = XWlJ (10)
А
—и из нее могут быть сделаны и некоторые выводы.] И пер-
вой структурой, которую Бурбаки детально анализирует,
является структура (9) с ассоциативной алгебраической
операцией, т. е. бинарной операцией со, подчиняющейся
аксиоме:
\X4j,z£J4\(xwy)wz = xw(ywz) (11)
или, в мультипликативной записи, которой мы далее пре-
имущественно будем пользоваться—
(xy)z = x(yz). (На)
Эту структуру Бурбаки называет моноидом.
Примерами моноидов могут служить множество на-
туральных чисел с операциями сложения или умножения,
множество четных (или нечетных натуральных) чисел с
теми же операциями, множество нечетных чисел с опера-
цией умножения (но, разумеется, не со сложением) и т. д.;
моноидом также является, скажем, множество любых
«слов» с алфавитом {а, |3, у, т. е. конечных по-
следовательностей «букв», где по определению положено,
44
что, например, (арб)-(уаа)=арбуаа (свободный моноид),
или множество всевозможных отображений заданного, «ос-
новного множества» (которое может быть конечным или
бесконечным, например, плоскостью) в себя, где за опера-
цию принята композиция г|?оф отображений (риф (сначала
производим отображение ф, а вслед за ним г|)). При этом
все перечисленные «числовые моноиды» являются комму-
тативными — они удовлетворяют дополнительному усло-
вию коммутативности (дополнительной аксиоме):
\х,у^Л\хшу = ушх (или ху—ух, или х-\-у~ у + х)\ (12)
последние же два моноида некоммутативны (ибо в свобод-
ном моноиде, скажем, a-|3—aP^|Ja==|3-a; аналогично
и фоф это, вообще говоря, разные отображения). Напротив,
множество натуральных чисел, где в качестве основной
операции выбраны вычитание или возведение в степень,
моноидом не является (а лишь группоидом), ибо (k—l) —tn
~k—(I—tn) лишь при /п=0; (kl)fn~k^ni) лишь если
k=l, или m—1, или, наконец, 2.
Теперь мы можем дать определение одной из самых фун-
даментальных математических структур.
Группой называется структура
G=<S; •> , (13)
удовлетворяющая следующим аксиомам:
Tj. Групповая операция ассоциативна:
(ху) z—x (yz) для любых х, у, Z&-, (13а)
Г2. Группа обладает единичным элементом е, таким,
что
хе=ех=х для всех х£&; (136)
Г3. Каждому элементу х группы соответствует ему
обратный, т. е. существует х~г такой, что
хх-^х^х—е. (13в)
Если, кроме того, выполняется также аксиома
Г4. Групповая операция коммутативна:
ху—ух для любых х, у&, (14)
то группа называется коммутативной или абе-
левой. Наконец, группа называется бесконеч-
ной или конечной, в зависимости от того, является
ли множество $ бесконечным или конечным; в этом послед-
нем случае число элементов $ называется порядком группы.
45
Ясно, что примерами групп могут служить, скажем,
множество целых (или четных, или рациональных, или
вещественных) чисел с операцией сложения и множество
всех отличных от нуля (или положительных) рациональных
(вещественных) чисел с операцией умножения. Примером
группы является также множество многочленов М (/) =
z70-r/7i/+^2/2+... +aktk (произвольной или меньшей задан-
ного числа N степени k) с обычной операцией сложения
многочленов в качестве групповой операции (здесь роль
нейтрального или «единичного» элемента группы играет
нулевой многочлен, все коэффициенты которого равны
нулю, а — [М (/)]=—Л4 (/), где— М=—... — aktk).
Дальнейшими примерами групп являются, например, са-
мосовмещения определенной фигуры F, где под произве-
дением двух самосовмещений понимается результат их
последовательного выполнения (эта группа называется
группой симметрии F; если под F понимать
простом точек с номерами 1, 2, 3, ..., и, а под совмеще-
нием — любое взаимно однозначное отображение этой
системы точек на себя, то мы придем к так называемой
группе подстановок ^ элементов) или «слова»
с алфавитом а={а, р, у, ...}, где наряду с каждой бук-
вой а в алфавит включается и «обратная а» буква а-1
и устанавливаются, что две стоящие рядом буквы а и
(или а”1 и а) взаимно уничтожаются (свободная группа).
При этом единичным элементом группы симметрии F яв-
ляется тождественное самосовмещение (отображение) е, не
меняющее ни одной точки F; обратным к отображению ср:
F-+- F' ,(где F' совпадает с F, но точка А € F, разумеется,
не обязана совпадать с ее образом ср (Л)=Л' gF') является
отображение ср-1 : F'-+ F; единичным элементом свобод-
ной группы является «пустое» слово, не содержащее ни
одной буквы, а, например, (xXpv)“1=v“1p“1Z~1x“1 (где
принято (а~1)“1=а). Ясно, что, скажем, группа подста-
вок или группа симметрии квадрата является конечной
(но группа симметрии всей плоскости бесконечна); конеч-
на также (аддитивная) группа многочленов степеней <JV,
если в качестве коэффициентов многочлена выбираются
элементы какой-то конечной группы. Все остальные, фи-
гурирующие в перечисленных примерах, группы —
бесконечные.
Наконец, в качестве последнего примера математических
структур, систематическое изучение которых и составляет
предмет математической науки, причем примера, играюще-
46
го ныне огромную роль как в чистой, так и в прикладной
математике, остановимся еще на.понятии векторно-
го пространства; эта структура (и некоторые дру-
гие, тесно с ней связанные) позволит нам также с новых
позиций ответить и на обсуждавшийся выше вопрос о
том, что такое точка. А именно, векторным пространством
называется структура
V=<^; +, • >, (16)
где V"— какое-то множество {а, Ь, с, ...} элементов, на-
зываемых векторами; в V определены две (бинарные
алгебраические) операции: «внутренняя» операция сложе-
ния векторов (а, с (~а+Ь) и «внешняя» операция ум-
ножения вектора на число, сопоставляющая новый вектор
каждой паре из числа X и вектора а, т. е. представляющая
собой отображение (X, а)-> d (=Ха). Таким образом, сложе-
ние векторов— это отображение а умножение
вектора на число — отображение , где
Л — множество вещественных чисел. [Область Л действу-
ющих в пространстве «операторов» А мы понимаем как
множество вещественных чисел; однако можно свободно
считать, что Л — это произвольное множество элементов с
обычными свойствами их сложения и умножения — про-
извольное поле или даже кольцо; в частности, если Л —
конечное поле, то мы приходим к конечным векторным
пространствам, родственным рассмотренным на стр. 41
конечным плоскостям.]
При этом, по отношению к сложению, векторы должны
представлять коммутативную группу. Наряду с этим ум-
ножение вектора на число подчиняется двум коммутатив-
ным и ассоциативному законам: (А+р) а=Аа+ра; А (а+
+d)=Aa+Afe и Л (р«) = (Ац) а; кроме того 1 а=а для всех а
(8 аксиом Вх—В8; Вх—В4 — это аксиомы коммутативной
группы).
Примерами векторных пространств над полем веществен-
ных чисел могут служить векторы (направленные отрез-
ки) плоскости или пространства, которые можно считать
отложенными из одной точки О и задавать сумму а+Ь
векторов а, Ь известным правилом параллелограмма, ко-
торое надо еще дополнить обычными соглашениями ка-
47
сающимися случаев, когда а и b принадлежат одной прямой,
а умножение на число л определять как гомотетию с цент-
ром О и коэффициентом X. Другими примерами могут слу-
жить «л-^ерные векторы-строки», т. е. упорядоченные на-
боры п (вещественных) чисел со следующими определения-
ми сложения векторов и умножения вектора на число:
если а=(аъ а2, ..., ап) и b=(bL, Ь2, ..., Ьп), то a+b=(at+
+&i, a2+b2, ...» ап+Ьп), а Ка2, ...» tazn); матрицы
(числовые таблицы, скажем, из т строк и п столбцов),
где сложение матриц и умножение матрицы на число оп-
ределяются «поэлементно»; многочлены (например, с ве-
щественными переменными — меньшей заданного N сте-
пени или произвольные) или функции (например, опре-
деленные на [01]) с обычными правилами сложения мно-
гочленов (функций) и умножения многочлена (функции)
на число. Если считать, что элементы векторов-строк или
матриц и коэффициенты многочлена выбираются не из по-
ля вещественных чисел, а из какого-либо другого (беско-
нечного или конечного) поля то мы, естественно, придем
к векторным пространствам над полем так, например,
многочлены с комплексными коэффициентами доставляют
нам естественный (и важный) пример векторного простран-
ства над полем комплексных чисел.
Для того чтобы оттенить различие между двумя послед-
ними примерами (многочлены любой степени; произ-
вольные функции) и всеми им предшествующими, введем
еще одно определение. Векторы аъа2, ...,ah векторного
пространства (16) называются линейно зависимыми, если
существуют такие k чисел 12, ..., не все одновремен-
но равные нулю, что
+^2^24“ ••• ([7) t
если же равенство (17) влечет за собой равенство
=^Х2= ....=Xfe=0, то "наши векторы называются линейно
независимыми.
Нетрудно понять, что линейно зависимые два вектора
а=ОА, Ь=ОВ плоскости или пространства — это такие
векторы, что к1а+Х2Ь=0, где, скажем, Х2^0, т. е. Ь—уа,
где Хх/Х2, другими словами, это векторы, принадле-
48
жащие одной прямой; если же а и b линейно независимы,
то они порождают плоскость. Аналогично, если три век-
тора ау Ь. с линейно зависимы, т. е. таковы, что
Ч-Х^+Хз^з^О, где, скажем, Z3=+0, т. е. б^р^+рЗ, где
рх=—Хр/Лз и Ра3*—ЛАз, то вектор с принадлежит плоско-
сти- векторов а, Ь; если же а, Ь, с линейно независимы, то
они не принадлежат одной плоскости. Наконец, если мы
имеем 4 вектора ау by су d (обычного) пространства, и если
а, Ьу с независимы, то четвертый вектор d можно «разло-
жить» по этим трем (сделайте чертеж), т. е.
d=p1a+p2b+p3c или р1«+р2?+р3с+ (—1) d -О
—и значит наши четыре вектора линейно зависимы во всех
случаях. Таким образом, мы видим, что (понимаемые как
направленные отрезки) векторы плоскости таковы, что из
них можно выбрать 2 независимых, но любые 3 уже обяза-
тельно линейно зависимы; среди векторов пространства
можно выбрать 3 линейно независимых, но любые 4 всегда
линейно зависимы.
Эти соображения делают естественным следующее оп-
ределение: векторное пространство (16) называется п-мер-
ныму если для него выполняются следующие аксиомы:
В(эг>. Существуют п линейно независимых векторов;
В^. Каждые п+1 вектор aLy а2У ..., апУ ani.t линейно
зависимы.
Если в векторном пространстве можно выбрать л ю -
бое (сколь угодно большое) число линейно независимых
векторов, то оно называется бесконечномерным] если мы
не имеем никакого варианта аксиомы В9(+10, то прост-
ранство иногда называют безразмерным. Таким образом,
множество векторов (направленных отрезков) плоскости
образует (по введенным выше операциям сложения векто-
ров и умножения числа на вектор) двумерное векторное
пространство, а векторы обычного (наблюдаемого или «фи-
зического») пространства образуют трехмерное векторное
пространство. При этом, если аксиоматика бесконечно-
мерного или, тем более, безразмерного векторного про-
странства полной не является, система аксиом конечномер-
49
ного векторного пространства фиксированной размер-
ности п уже полна — доказательство этого можно найти
в любом учебнике линейной алгебры.
Собственно, уже связь общей концепции векторного
пространства с «геометрическими» векторами демонстри-
рует близость («обычных», т. е. рассматриваемых в школь-
ном курсе геометрии) плоскости и пространства с двухмер-
ным и трехмерным векторными пространствами над полем
вещественных чисел, задаваемых аксиомами В^ и В9^0
соответственно В9^10. Наша привычка считать основным
элементом (элементарной) геометрии точку, а не вектор
привела к стремлению обогатить понятие векторного про-
странства еще одним типом основных (неопределяемых)
элементов — точками. Связь между точечным простран-
ством S и множеством векторов 2^ задается с помощью до-
полнительной (неопределяемой) бинарной операции , об-
ластью определения («областью отправления») которой
является множество У, а областью значений («областью
прибытия») — пространство другими словами есть
отображение сопоставляющее каждым двум
точкам А,В^З некоторый вектор а £ который принято
обозначать символом А В. Операцию обычно называют опе-
рацией откладывания вектора от точки — эта термино-
логия оправдывается аксиомой
Вп. Каждой точке А и каждому вектору aQffl
отвечает единственная точка В^3\ такая, что АВ=а,
Аксиома Вп позволяет рассматривать как «внешнюю»
(в смысле Н. Бурбаки — см. стр. 43) операцию а : В
(где АВ=а) в множестве S' точек, для которой «областью
операторов» служит множество V векторов а.
Дополнительно к Ви от операции требуется выполне-
ния еще лишь одного условия:
В12. АВА-ВС^АС для любых А, В, С £S\
ИзВ12, в частности, вытекает, что ММ=0 при любом {S'
(ибо АМ+ММ^АМ), откуда, в свою очередь, следует, что
операция, понимаемая как бинарная операция с областью
определения S', антикоммутативна в том смысле, что
АВА-ВА=0 или ВА=— АВ при любых
50
Структура
А=<Х 2У\ (16а)
называется точечно-векторным (или аффинным) простран-
ством (над основным полем J?); в зависимости от наличия
или отсутствия аксиом Bg2_i0 это пространство называ-
ется n-мерным (при п=2 — плоскостью), безразмерным
или бесконечномерным. Аффинное пространство (аффинная
плоскость)—это достаточно содержательный объект; ж/ь
финная геометрия —совокупность всех тех свойств аф-
финного пространства, которые могут быть выведены из ос-
новных ее аксиом В^, Вп_12 и, быть может, В9_10 — це-
лая ветвь геометрической науки, включающая большой
массив понятий и теорем.
Наконец, евклидовым векторным пространством (опять
же—n-мерным или двухмерным, т. е. плоскостью; беско-
нечномерным; безразмерным) называется структура
<Т;+, •,(,)>> (18)
получаемая из векторного пространства добавлением еще
одной (основной или неопределяемой) операции над век-
торами, ставящей в соответствие двум векторам а м Ь
число (скаляр) а, обозначаемое через (а, Ь) и называемое
скалярным произведением а и Ь. Таким образом, операция
образования скалярного произведения — это отображение
Л. При этом скалярное произведение векторов
обладает следующими основными свойствами: В13. (а, Ь)==
= (&, а) для любых а, b ^(коммутативность
скалярного умножения векторов); В14. (а+b, с) = (а, с) +
+(&, с) для любых а, Ь, с ^(дистрибутивность
относительно сложения векторов); В15. (Ка, Ь)—Ца, Ь) для
любых а, b ^2^ и любого % gJ? (ассоциатив-
ность относительно умножения вектора на число);
В16. а2~(а, а)^0 для всех а и а2=0 лишь для
(положительность или положительная определенность ска-
лярного произведения).
Нетрудно убедиться, что при любом фиксированном
натуральном п мы имеем единственное n-мерное веществен-
51
ное евклидово векторное пространство, т. е. что аксиома-
тика, задаваемая 16 аксиомами В£_8, В9^}0 и В13_1б,
является полной', доказательство этого (базирующееся на
процессе так называемой ортогонализации си-
стемы векторов) читатель сможет найти в учебниках ли-
нейной алгебры. Евклидово векторное пространство можно
представлять себе как пространство векторов-строк (£ь
•••> 1п) (где |2, •••» In € <#) ео следующим определе-
нием основных операций +, •, (,): если а=(1ь В2> •••> £п)
и Ь=(1]ъ )]2, ..., 1]п),то
а+Ь^Ъ+щ, Вп+Пп),
(a, b)^ ih+^2 Пг+.-.+ВиПп-
- .(18а)
Сводимость к этой модели любого п-мерного евклидова
векторного пространства и доказывает полноту соответ-
ствующей аксиоматики.
Аксиома В16 позволяет определить длину |а | или а
вектора а как числа ]/”(а, а). Аналогично, угол Z_(a, Ь)
между векторами я(Е15 Е2, ..., Еп) и £(%, •••> Лп) опреде-
ляется формулой: cos £_(а, b) = (a, b)/( |a |- |fe|).
Наконец, п-мерным (вещественным) евклидовым про-
странством (при — евклидовой плоскостью) называ-
ется структура
Е=<^, +, - Л, (,)>,
(18')
где элементы основных, множеств У и — это точки и век-
торы пространства. Здесь свойства основных операций
+ ; •; ~ и (,) (т. е. соответственно отображений 2^x3^->
j 9 11 С J у 1 • V/ 1 DV 1 V* 1 D ГТ XT V/ \J 1 V/ V/ d zT\ XT *1 *1 С/ < С/
-> Г, V, V и мно-
жество вещественных чисел) задаются аксиомами Вг_4
(свойства операции +); B5_g и Вя_10 (свойства опера-
ции •; в формулировках этих аксиом фигурирует также и
операция +); Вп_12 (свойства операции ; в аксиоме В12
также используется сложение векторов) и BJ3_ie (свойства
операции (,); в этих аксиомах предполагается, что мы
62
владеем операциями + и •). Ясно, что аксиоматика «-мер-
ного евклидова пространства является полной.
Связь между векторами и точками позволяет определить
в евклидовом пространстве расстояние d(A, В) между точ-
ками, положив d(A, В)=\АВ\. (19)
Зафиксировав какую-то (какую угодно!) точку О евклидо-
ва пространства, мы можем установить взаимно-однознач-
ное соответствие между точками и векторами, сопоставив
каждой точке А £ У вектор ОА =а g после этого мы
можем ввести координаты точек, приняв за координаты
(gp ... £п) точки А координаты отвечающего ей вектора
£г, •••» §п)- Таким путем можно построить пол-
ную теорию евклидовой плоскости (евклидову планимет-
рию) или евклидова пространства (евклидова стереомет-
рия; пространство может быть трехмерным или «-мерным,
где п — любое натуральное число).
§ 4. РЕАЛЬНЫЙ МИР И ФОРМАЛЬНЫЕ
СИСТЕМЫ
Итак, мы, как будто, исчерпывающим образом определили -
элементарную планиметрию — как структуру E=<cF,
+, •. . (,)>,. где косвенное определение основных объек-
тов и операций дается списком из 16 аксиом Bj_8, Вэ<_2>в ,
Ви-12 и В13_1в. Почему же определение это оставляет у нас
смутное чувство неудовлетворенности, сознания, что опре-
делили-то мы что-то не совсем то? Повторяя Гильберта,
мы утверждали, что точку свободно можно назвать хоть
пивной кружкой, что к «физической точке» («физическая
точка — это просто очень малое пятно», говаривал Фе-
ликс Клейн) наша абстрактная «математическая точка»
прямого отношения не имеет, — но ведь каждый человек, го-
воря о точке, всегда представляет себе именно мельчайшую
область того пространства, в котором мы живем, а аксиомы,
которые для математика служат определением точки, мало
кто помнит даже и из самих математиков.
Выше мы сравнивали математику с шахматной игрой,—
но насколько полна эта аналогия? Ведь не случайно же ни
в одном университете мира нет шахматного факультета,
но математические факультеты (и отделения) есть, прак-
тически, во всех университетах: видимо, человечество все
53
же привыкло совершенно по-разному относиться к «мате-
матической» и к шахматной игре.
В § 2 мы отмечали глубокие знания по геометрии древ-
них вавилонян или египтян — знания, включаю-
щие столь содержательные факты как теорема Пифагора
или формула для объема усеченной пирамиды. Но ведь
математика-то, как доказывалось в этом же параграфе,
возникла гораздо позже, чем составляли свои пособия
вавилонские жрецы и египетские писцы, а именно всего
лишь в VI—V вв. до н. э. — как же могла геометрия 5 со-
ставляющая раздел математики, появиться раньше мате-
матики? Не равносильно ли подобное предположение па-
радоксальной мысли о том, что, скажем, судак появился
на земле раньше, чем вообще возникли рыбы? Объяснить
это кажущееся противоречие можно тем, что слово «гео-
метрия», подобно, допустим, словам «точка» (математиче-
ская и физическая) или «ладья» (шахматная и плывущая
по реке), имеет два совершенно разных смысла; при этом,
однако, связь между двумя понятиями слова точка или
геометрия (но не между двумя понятиями слова ладья)
является вовсе не только лишь чисто лингвистической, но
также и содержательной, — на чем здесь необходимо ос-
тановиться подробнее.
Странный мир геометрии — все в нем предельно кон-
кретно, наглядно, осязаемо, и в то же время призрачно,
бестелесно, условно. Формула для объема цилиндра точно
оценивает количество воды, которое можно налить в стакан
или в бидон, — но ведь на самом деле слова «цилиндр»,
«конус», «прямая», «плоскость» обозначают некие абстрак-
ции, нигде в жизни не встречающиеся и не реализуемые.
Представление о плоскости может дать, скажем, хорошо
отшлифованная металлическая пластина, — но не о плос-
кости, конечно, а лишь об ее небольшом участке, ибо всю
(безграничную!) плоскость даже и пытаться представить
себе нельзя, так как попытка «далеко» продолжить в во-
ображении видимую поверхность пластины сразу же поста-
вит перед нами немыслимо сложные вопросы о глобальном
строении Вселенной. Но даже и маленькую часть плос-
кости наша пластина представляет весьма приближенно —
ведь если мы захотим отшлифовать ее до «полной» глад-
кости, то неизбежно придем в противоречие с атомным
строением вещества — и это еще ранее того, как перед
нами возникнет вопрос о природе самих образующих пла-
стину атомов, устраненных столь сложно, что уж на атом-
54
ном-то уровне и речи быть не может ни о какой плоскости.
Грубую модель прямой линии дает нам, например, край
стола, а «точное» ее представление дает луч света. Но с
точки зрения современной физики свет имеет сложную
корпускулярно-волновую природу, причем если даже и
мыслить свет «по Ньютону» как поток элементарных ча-
стиц — фотонов, то все равно вопрос о траектории фотонов
оказывается некорректно поставленным, т. е. попросту
бессмысленным, так что о прямой здесь говорить никак не
приходится. И при всем том практическая применимость
геометрических формул и теорем, скажем, в деятельности
конструктора оказывается столь полной, что в случае неу-
дачи выполненной по его расчетам модели инженер усом-
нится в чем угодно, но только не в этих теоремах и фор-
мулах.
Таким образом, мы явно имеем две «геометрии»: «геомет-
рию-физику», являющуюся одной из естественнонаучных
дисциплин и изучающую специфические свойства реаль-
ных тел, в первую очередь — их размеры и форму,и «гео-
метрию-математику», относящуюся к кругу математиче-
ских наук и изучающую определенные математические
структуры, родственные основной структуре евклидова
пространства, подробно описанной в § 3 этой брошюры,
и во всей («идеальной») полноте в практической жизни не
реализуемые (т. е. не существующие). При этом возникла
«геометрия-физика» раньше «геометрии-математики» (чем
снимается всякая загадочность с факта появления геомет-
рии до математики); однако с самого зарождения «геометрии-
математики» развивались наши две геометрии в постоян-
ной и неразрывной связи. Логическая система «геометрии-
математики» первоначально строилась на пути идеализа-
ции свойств реальных тел, на пути предельного упрощения
наблюдаемых в окружающем нас мире явлений, сохранения
лишь самых фундаментальных (т. е. самых простых и глу-
боких) из относящихся к ним фактов, компактно записывае-
мых в виде списка «аксиом», возникающих в результате
суммирования данных многократных экспериментов, про-
изводимых над поверхностями пластин и плит (эти поверх-
ности получили общее наименование «плоскостей»), над
лучами света и краями этих плит (называемых «прямыми»)
и т. д. С другой стороны, делаемые уже чисто логическим
путем выводы, касающиеся свойств абстрактных объектов,
рассматриваемых в «геометрии-математике», немедленно
(и успешно) применялись к изучению свойств материальных
55
тел, изучением которых занималась «геометрия-физика».
Йногда, правда, возникало несоответствие между матема-,
тическими выводами и физическими наблюдениями; но оно
лишь приводило к необходимости модификации «матема-
тического пространства», к построению новых абстрактных
схем, с большей полнотой, чем прежние, охватывающие
феномены действительного (так невозможность объяснить
в рамках сложившихся представлений результаты наблю-
дений Майкельсона над скоростью света заставили перейти
от классического «абсолютного пространства» Ньютона к
более сложному четырехмерному пространству Эйнштейна-
Минковского). Другими словами, «геометрия-математика»
возникла как «математическая модель» физической Все-
ленной, после чего «геометрию-физику» стало возможно
рассматривать как «физическую модель» абстрактного про-
странства, описываемого в соответствии с общей схемой
построения математических дисциплин списком основных
(неопределяемых) объектов и отношений и аксиомами, ха-
рактеризующими эти объекты и эти отношения.
Эта двусторонняя связь наук математических (в данном
случае — «геометрии-математики») с науками естествен-
ными («геометрией-физикой») указывает то место, которое
занимает математика в системе наук и в жизни людей.
Когда-то знаменитый К. Ф. Гаусс сказал: «математика —г
это царица наук», однако, теперь-то мы понимаем, что по-
добная точка зрения не возвеличивает математику, ибо
сегодня, в отличие от эпохи Гаусса, мы убеждены в полной
бесполезности всех на свете цариц. Нет, математика —это
отнюдь не царица наук, она занимает в мире, иное, куда
более значимое положение: она обслуживает естествен-
ные и гуманитарные науки, доставляя им адекватный ап-
парат для описания всевозможных фактов и явлений,
составляя тот язык, на котором эти факты удобнее всего
записывать, классифицировать и сопоставлять (ср. со ска-
занным на стр. 8—9). Более того, «уровень зрелости» той
или иной дисциплины в значительной мере определяется
степенью использования в ней математического аппарата,
содержательностью присущих данной дисциплине «мате-
матических моделей» и тесно с ними связанных дедуктив-
ных выводов, — например, современная биология.,
широко использующая математические методы, заметно
глубже проникает в суть изучаемых явлений, чем «наблюда-
тельная» биология XVII, XVIII и даже XIX вв. При этом,
математика, возникшая в Древней Греции в кажущемся
Б6
отрыве от практических потребностей людей (но на самом
деле — в тесной связи с ними, что превосходно понимал,
скажем, Архимед), доставляет нам некий универсальный
ключ для отпирания всех на свете дверей: возникшие в ее
рамках числовые системы и формальные схемы равно при-
ложимы к физике и к биологии, к экономике и к социологии,
позволяя записывать относящиеся к этим дисциплинам
факты и наблюдения в компактном и легко обозримом виде,
дающем возможность исчерпывающе их анализировать и
даже предсказывать результаты будущих наблюдений,—а
между тем именно оправдывающиеся впоследствии пред-
сказания составляют основной предмет гордости каждой
науки, определяют ее ценность. Эта универсальность ма-
тематического аппарата дала основание выдающемуся фи-
зику, лауреату Нобелевской премии Е. Вигнеру с некото-
рым даже недоумением говорить о «непостижимой эффек-
тивности математики в естественных науках» 14. [При по-
становке вопроса о «поразительной приложимости» самых
абстрактных математических теорий к прикладным вопро-
сам Вигнер мог базироваться на собственном опыФе. Физики
по сей день рассказывают как о смешном анекдоте о вы-
ступлении в 10-х годах нашего столетия на совете Прин-
стонского университета известного физика и астронома
Дж. Джинса, автора весьма популярной некогда космо-
гонической гипотезы: Джинс активно протестовал против
включения в программу подготовки физиков элементов
теории групп, утверждая, что «уж эта-то теория наверняка
ни одному физику никогда не понадобится». Однако в
20-х годах замечательные работы Е. Вигнера и математика
Г. Вейля15 привели к тому, что ныне теория групп счита-
ется чуть ли не первой из тех областей математики, которые
используют в своей работе физики-теоретики.]
Универсальность приложимости математических кон-
струкций к изучению реально существующих объектов свя-
зана, прежде всего, с ограниченностью числа математиче-
ских схем, возникающих в качестве «математических моде-
лей» самых разнообразных явлений — кто перечислит,
скажем, количество «внематематических» объектов, для
описания которых оказывается удобной одна и та же схе?ла
группы или, скажем, векторного пространства* В этой
14 См.: Е. Вигнер. Этюды о симметрии. М., «Мир», 1971,
с. 192—198.
См.: И. М. Я г л о м. Герман Вейль. М., «Знание», 1967.
67
связи мы можем теперь снова вспомнить и о возникшем
уже выше не раз вопросе о связи понятий «математической»
и «физической» точки. Разумеется, представление об окру-
жающем нас (трехмерном) пространстве как физическом
прообразе абстрактно-геометрических построений играло
основную роль в самом формировании геометрии, и все
описывающие свойства точек аксиомы возникли как обоб-
щение наблюдений над «физическими точками», т. е. над
«маленькими пятнами» Клейна; также при обсуждении
вопроса о приложимости геометрических теорем к жизнен-
ным явлениям первоначально «точку» воспринимали толь-
ко лишь как крошечную область физического пространства.
Однако сейчас — и это очень характерно для всей матема-
тики — понятие «математической точки» имеет широчай-
ший спектр прикладных значений, зачастую очень дале-
ких от тех представлений, с которыми оно первоначально
связывалось. Еще во времена Ньютона физики прекрасно
представляли возможность такого моделирования свойств
Вселенной, при котором под «точкой» понимается планета
или звезда (а ныне за «точку» сплошь и рядом понимают
и галактику); с другой стороны, в механике Лагранжа ос-
новную роль занимало пространство состояний механи-
ческой системы, «точкой» которого является (сколь угодно
сложная?) система с любым числом степеней свободы.
[В настоящее время состояние механической системы ча-
ще всего характеризуют указанием отвечающей ему «точки»
в фазовом пространстве системы, роль координат в которой
играют как характеризующие положение системы пара-
метры, так и скорости изменений этих параметров, указы-
вающие, так сказать, тенденции изменения системы; эво-
люция системы описывается как линия в фазовом про-
странстве, задающая так называемый «фазовый портрет»
системы.] Сегодня же использование в математическом мо-
делировании всевозможных явлений геометрического язы-
ка и геометрической интуиции сводится к пониманию лю-
бых физических, химических, биологических, медицинских,
экономических, социологических и иных систем как «то-
чек» в пространстве состояний этих систем, а их измене-
ний — как точечных преобразований в рассматриваемом^
«пространстве». При этом общее понятие математической
модели той или иной реальной системы означает опреде-
ленную математическую структуру в смыс-
ле Н. Бурбаки (см. §3), неопределяемые объекты и отно-
шения которой понимаются как те или иные объекты ре-
58
ального мира и реально существующие отношения между
ними. Так, например, при необходимости специально рас-
сматривать ^-элементные и /-Элементные подмножества ка-
кого-либо «универсального» множества J зачастую оказы-
вается удобным назвать ^-элементные подмножества J «точ-
ками», а /-элементные подмножества (где l>k) — «прямыми»
и считать, что «прямая» а «проходит» через «точку» Л, ес-
ли а $ А. [Правда, в этом примере мы приходим не к обыч-
ной геометрии, а к занимающей сегодня заметное место, в
чистой и в прикладной математике «геометрии со смежными
элементами», где через две точки могут проходить несколько
различных прямых. ]
Двусторонняя связь математики и «не математики»
(естественных и гуманитарных наук) дает чрезвычайно много
изучающим окружающую нас действительность дисципли-
нам, вооружая их мощным аппаратом исследования все-
возможных явлений; но не менее плодотворна она и для
математики, доставляя ей существенные стимулы для рас-
ширения поля деятельности, в известной мере даже форми-
руя в соответствии с запросами «земной жизни» саму аб-
страктнейшую из наук. Новую струю в старый вопрос о
взаимодействии чистой и прикладной математики вносит
в наши дни широкое использование современной вычисли-
тельной техники для доказательства математических тео-
рем, например, решение с использованием ЭВМ знамени-
той проблемы четырех красок 16.
Сказанное выше о роли в математике внематематических
запросов, разумеется, не следует понимать в том прими-
тивном смысле, что, дескать, вся деятельность математи-
ков направлена на решение чисто практических задач,
в соответствии с чем и формируются занимаю-
щие их в каждый момент времени вопросы: нет, связь
'математики и жизни является гораздо более опосредство-
ванной. Основой этой связи служит то, что творцами-то
математики являются живые люди, неразрывно связанные
с окружающим их миром, причем великие ученые как
Архимед, Ньютон или Гильберт всегда воспринимают эту
связь особенно обостренно, чувствуя не только характер-
ные для настоящего времени моменты, но также и относя-
щиеся к будущему тенденции. Мы уже говорили выше, что
сама (абстрактная) математика была создана древнегре-
16 См.: Э. Г. Б е л а г а, Мини-геометрии. М., «Знание», 1977,
с. 5—22.
69
ческими мыслителями, исходя из их общефилософских и
религиозных интересов (впрочем, в то время философия и
религия не слишком различались между собой!). Но не-
смотря на это, возникшая «математическая вселенная»
копировала вовсе не какой-то там «потусторонний» мир,
а материальный мир античности. В частности, характер-
ная для Зенона — Аристотеля •— Евклида метафизичность
научного творчества, строгий запрет изучения каких бы
то ни было процессов (а только состояний — типичными
примерами таких застывших состояний являются евкли-
довы треугольники) — все это было связано со статическим
характером жизни, наиболее выдающимися достижениями
которой являлись неподвижные храмы с их статуями .и
колоннадами. Напротив, декартова диалектика, свойствен-
ный картезианству интерес именно к текущим процессам,
несколько даже наивная убежденность в неизбежной из-
менчивости всего сущего, выражением которой явились,
в частности, знаменитые «вихри» Декарта — все это было
порождено промышленной революцией, появлением дви-
жущихся механизмов, изучение и конструирование кото-
рых стало главной обязанностью науки. И не случайно
дифференциальное и интегральное исчисления возникли
именно тогда, когда античная метафизика могла лишь
сковывать научную инициативу, препятствовать прогрессу
техники. При этом математические открытия зачастую
предшествуют тем внематематическим достижениям, для
которых они необходимы, никогда не обгоняя, впрочем,
последние слишком уж значительно, ибо очень уже несвое-
временные исследования просто не находят отклика у
современников и не оказывают никакого влияния на те-
кущий научный процесс — так, например, остались в
свое время незамеченными замечательные работы Жирара
Д е з а р г а (1593—1661) и Блеза Паскаля (1623—
1662) по проективной геометрии, впервые оцененные лишь
в XIX в., или предвосхищение Джироламо Кардано
(1501—1576) некоторых идей теории вероятностей, впер-
вые замеченное лишь в XX в. (заметьте, что, напротив,
вполне актуальные именно в тот период исследования Кар-
дано по алгебре были сразу же замечены и принесли ему
громкую славу!). Разумеется, Огюстен Коши (1789—
1857) и Бернгард Риман (1826—1866), создавая тео-
рию функций комплексного переменного, не думали о гидро-
и аэромеханике, Давид Г ильберт (1862—1943) за-
кладывал основы функционального анализа вне всякой свя-
60
зи с (уже в то время созданной) квантовой механикой,
и тем более работы Джорджа Буля (1815—1864) по
формализации аристотелевой логики никак не имели в
виду важность развиваемых им построений для конструи-
рования и функционирования ЭВМ, появившихся через
100-летие после Буля — и все же источником всех этих
выдающихся произведений чистой науки явились гряду-
щие перевороты в физике и в технике, которые Коши,
Риман, Гильберт или Буль сумели почувствовать зара-
нее. [Блистательным подтверждением сказанного может
служить заключительный отрывок знаменитой лекции
«О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочи-
танной Б. Риманом в Геттингене в 1854 г.: этот отрывок
нельзя расценить иначе, как предвидение Риманом создан-
ной более чем через 60 лет после того общей теории отно-
сительности (для которой, собственно, впервые и понадобил-
ся созданный Риманом аппарат теории так называемых
римановых пространств переменной кривизны).]
Объективный характер развития математики, в кото-
рой великие открытия делаются не волей тех или иных
выдающихся ученых, а просто тогда, когда им приводит
время («подобно тому как весной фиалки появляются всюду,
где светит солнце», как писал по этому поводу видный вен-
герский математик Фаркаш Бойяи своему гениальному сыну.
Яношу), лучше всего демонстрируется тем, сколь часто
существенный шаг вперед делался в математике одновре-
менно и независимо несколькими учеными из разных стран,
в то время как ранее к этим идеям не смог прийти никто.
В качестве примеров здесь можно указать на открытие
аналитической геометрии Р. Декартом и П. Ферма, откры-
тие математического анализа И. Ньютоном и Г. В. Лейб-
ницем, открытие неевклидовой геометрии Н. И. Лобачев-
ским, Я. Бойяи и К. Ф. Гауссом, открытие векторного
исчисления Г. Грассманом и У. р. Гамильто! ом и т. д.,
подобно тому как к идеям (специальной) теории относи-
тельности одновременно пришли А. Эйнштейн и А. Пуан-
каре, а квантовая механика в разных, но эквивалентных
обличиях была независимо и одновременно разработана
Э. Шредингером и В. Гейзенбергом. При этом, для того
чтобы еще больше оттенить независимость развития науки
от каких бы то ни было индивидуальных свойств ученых,
делавшие одни и те же открытия люди сплошь и рядом
оказывались по своим человеческим свойствам весьма
различными, чуть ли не несовместимыми. Так, например,
трудно найти более непохожих друг на друга людей, чем
абстрактнейший мыслитель, никогда не получивший систе-
матического образования и пришедший к математике от
своих теологических и филологических интересов, Гер-
ман Грассман, всю жизнь проработавший учителем матема-
тики в гимназии провинциального немецкого города Штет-
тина, и общительный (а порой—даже беспутный) астроном
из ирландской столицы Дублина Роан Уильям Гамильтон,
в трудах которого математика всегда связывалась с физи-
кой и механикой (прогресс которых в XIX в. во многом свя-
зан с именем Гамильтона), или как кабинетный ученый Иса-
ак Ньютон, не посетивший, кажется, ни одного города, кро-
ме Лондона и Кембриджа, и объехавший чуть ли не весь
свет Готфрид Вильгельм Лейбниц, ^разностороннейший
ученый и мыслитель с широчайшими внематематическими
интересами. Но развитие физики в XIX в. потребовало
векторного исчисления, а развитие техники в XVII в. тре-
бовало дифференциального и интегрального исчисления;
математика же всегда оперативно откликается на требо- *
вания жизни, ибо она есть все же не шахматная игра, а
наука, создаваемая усилиями людей — и для людей.
62
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА? ..... 3
§ 2. КОГДА ВОЗНИКЛА МАТЕМАТИКА? ... 12
§ 3. КАК УСТРОЕНА МАТЕМАТИКА .... 33
§ 4. РЕАЛЬНЫЙ МИР И ФОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 53
63
Исаак Моисеевич ЯГЛОМ
МАТЕМАТИКА И РЕАЛЬНЫЙ МИР
Главный отраслевой редактор В. П. Демьянов,
Редактор Г. Г. Карвовский.
Младший редактор Е. М. Авешникова.
Художник Л. П. Ромасенко.
Художественный редактор М. А. Бабичева.
Технический редактор А. М. Красавина.
Корректор А. А. П у з а к о в а.
ИБ № 20П
Т12658 Индекс заказа 84307 Сдано в набор 16.5.78 г.
Подписано к печати 26.6.78 г» Формат бумаги 84ХЮ8‘/м.
Бумага типографская № 3 Бум. л. 1 Печ. л. 2
Усл.-печ. л. 3,36 Уч.-изд. л. 3,40 Тираж 42 600 экз.
Издательство «Знание». 101835, Москва, Центр, проезд
Серова, д. 4. Заказ 1100 Цена 11 коп.
Чеховский полиграфический комбинат Союзполиграфпро-
ма при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
г. Чехов Московской области