МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ «КИЇВСКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ» ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ЛАБОРАТОРНОГО ПРАКТИКУМУ З МЕХАНІКИ
ДЛЯ СТУДЕНТІВ ФІЗИКО-ТЕХНІЧНОГО ІНСТИТУТУ НТУУ"КПГ
<*>'
Київ
«Політехніка»
2002


Методичні вказівки до лабораторного практикуму з механіки для студентів Фізико-технічного інституту НТУУ "КПГ. Укладачі:
Д. В. Філій, М. В. Грайворонський, О. В. Гомонай, Г. Є. Монастирський. — K.: ІВЦ «Політехніка», 2002. — 76 с.
Навчальне видання
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ЛАБОРАТОРНОГО ПРАКТИКУМУ З МЕХАНІКИ
ДЛЯ СТУДЕНТІВ ФІЗИКО-ТЕХНІЧНОГО ІНСТИТУТУ НТУУ "КПГ
Укладачі: Д. В. Ф і л і н
М. В. Грайворонський
О. 	В. Гомонай
Г. Є. Монастирський
Відповідальна за випуск:
Т. В. JI и т в и н о в а, канд. техн. наук, доц.
Рецензент: О. В. K р а в ц о в, канд. фіз.-мат. наук, доц.
За редакцією укладача
Темплан 2002 р. поз.2-2-93
Підп. до друку 02.09.02 Формат 60x84 V16. Папір офс. Спосіб друку - ризографі*. Ум друк арк. 4 33. Обл вид арк. 7.23. Зам Jfe Наклад 25Q прим.
Інформаційно-видавничий центр «Видавництво «Політехніка» НТУУ «КПІ» 03056, м. КиГв-56, просп. Перемоги, 37


ЗМІСТ
Загальні вказівки до виконання робіт 4
1. Закони збереження енергії та імпульсу
1.1. Вивчення законів збереження енергії та імпульсу за зіткнення куль 6
1.2. Вивчення законів збереження енергії на прикладі зв'язаних коливань 11
2. Динаміка твердого тіла
1. 	Вивчення законів обертального руху на прикладі маятника Обербека 18
2.2. Вивчення прецесії вільного гіроскопа. 22
2.3. Вивчення прямолінійного руху тіл в полі тяжіння за допомогою маршни Атвуда ..28
3. Коливальний рух
3.1. Вивчення фізичного маятника 32
3.2. Вивчення коливань струни 38
3.3. Визначення пружних сталих твердих тіл та газів за швидкістю розповсюдження
звуку 46
3.4. Вивчення гравітаційних хвиль на глибокій воді 55
4. Знайомство з методами обробки результатів експерименту
4.1. Вивчення статистичних закономірностей на прикладі флуктуацій радіаційного фону 60
4.2. Знайомство з методами обробки експериментальних результатів на прикладі вивчення
залежності електроопору від температури 67


Дана збірка містить опис 11 робіт лабораторного практикуму з механіки. Практикум має на меті безпосереднє знайомспіво студентів із фізичними явищами та оволодіння навичками постановки експерименту, обробки, трактування та верифікації отриманих даних. На виконання кожної роботи відводиться 4-6 годин аудиторного часу. Крім того, передбачається, що перед виконанням роботи студент самостійно знайомиться з необхідною літературою, а після виконання експериментальної частини самостійно обробляє та аналізує отримані дані. Робота завершується бесідою з викладачем (звітом), під час якої студент повинен продемонструвати володіння теоретичним матеріалом та обґрунтувати достовірність отриманих даних.
При укладанні програми практикуму та даної збірки автори користувалися наробками викладачів та методистів кафедри загальної фізики МФТ-І.
ЗАГАЛЬНІ ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ РОБІТ
"Вся шрудность физики, как будеш видно, состоит в том, чтобьх по явлениям движения распознать сильї природи, а затем по зтим силам обьяснить остальньїе явленая."
Исаак Ньютон Математические начала Натуральной фтософии
Лабораторна робота - це маленьке наукове дослідження. Як і кожне дослідження,
виконання лабораторної роботи з фізики проводиться в 4 етапи.
Підготовчий етап
Перед тим, як ставити той чи інший експеримент треба:
1. Усвідомити, яке саме явище буде досліджуватись і навіщо.
2. Дізнатись із літератури, що вже відомо про це явище, хто і як його досліджував і які результати отримав.
3. Обміркувати, які саме величини і з якою точністю необхідно виміряти, яка методика буде застосовуватися та які для цього потрібні прилади.
Виконання роботи
1. Перед початком роботи бажано ознайомитись з наявними приладами, визначити їх можливості (принцип роботи, класи точності, тощо), впевнитись у їх справності.
2. Занотувати характеристики приладів, калібрувальні таблиці, графіки та ті параметри зразків, що не змінюються під час експерименту.
3. Перед початком вимірювань бажано "погратися" з установкою, щоб з’ясувати за яких умов вона працює найкраще. Можливо, прилад потребує наладки та перевірки. Якщо прилад не працює, ознайомтесь з інструкцією, а потім спробуйте самостійно встановити несправність. Той досвід та знання, які надуваються при ліквідації несправності — це золотий фонд експериментатора.
4. Під час експерименту ретельно занотовуйте всі виміри в лабораторному журналі. Супроводжуйте їх нотатками та схемами, що полегшить подальшу обробку результатів. Не робіть чернеток! Якщо отримані дані не вкладаються у ваші уявлення про досліджувані
4


процеси, не відкидайте їх, а спробуйте розібратись, в чому причина розбіжності. Можливо, ви на порозі відкриття!
5. 	Занотовуйте тільки первісні дані — тобто показання приладів та вимірювальних пристроїв.
Ніколи не робіть перерахунків на кшалт оскільки в разі помилки ви вже ніколи не
b
отримаєте достовірної інформації.
6. 	Виконуйте роботу не поспішаючи і з максимальною точністю. Нашвидкуруч зроблені виміри нікому не потрібні! При виконанні роботи намагайтесь обмірковувати вже отримані вами результати — можливо, експеримент слід повторити, або поставити інакше. Дуже корисно наприкінці роботи повернутися до початкових вимірів та перевірити їх. Це дає можливість впевнитись у стабільній роботі установки. Ще краще зробити всі виміри в зворотній послідовності, можливо, відкриються нові експериментальні подробиці.
Обговорення результатів роботи з колегами та викладачем
Це найважливіша частина наукової діяльності як студента, так і “дорослого” дослідника, тому що по-перше, з боку видніше, а по-друге, раніше чи пізніше, а сесія буде.


Робота 1.1. Вивчення законів збереження енергії та імпульсу для зіткнення куль
Теоретична довідка
Рухаючись, тіла часто стикаються одне з одним. При зіткненні обидва тіла деформуються, в результаті чого та кінетична енергія, що її мали тіла до зіткнення, частково або повністю переходить у потенціальну енергію пружної деформації і внутрішню енергію тіл. Розрізняють два граничні види удару - абсолютно пружний і абсолютно непружний.
Розглянемо ці процеси на прикладі пружного та непружного зіткнення в одно- вимірному просторі. Це значно спростить математичні викладки, не змінюючи суті. Спрощення стосується швидкості, яка в одновимірному просторі є скаляр. Звичайно, в загальному випадку швидкість - це вектор.
При абсолютно непружному ударі одне тіло прилипає до іншого. При цьому потенціальна енергія деформації не виникає; кінетична енергія повністю або частково перетворюється у внутрішню енергію; після зіткнення обидва тіла рухаються з однаковою швидкістю.
Припустимо, два тіла з масами т\ і т2 рухаються
НаЗуСТрІЧ ОДНе ОДНОМУ (рИС. 1.1) ІЗ ШВИДКОСТЯМИ Vj і V2, відповідно. Після непружного зіткнення вони утворюють одне тіло масою т\ ^ ті, яке рухається із швидкістю V. Із закону збереження імпульсу:
т\Vj—/W2V2 — (т\ + ττί2)ν. (І)
Звідси знаходимо швидкість тіл після зіткнення:
V = (WjV1 — т2\'гУ(ті + т2). (2)
При непружному зіткненні має місце лише закон збереження імпульсу. Механічна енергія при цьому не зберігається. Дійсно, повна механічна енергія системи ^ис*
перед зіткненням дорівнює сумі кінетичних енергій кожного з тіл:
£поч = "(^1 V12 Tm2V22).
Механічна енергія після зіткнення визначається як
1/ \ 2 I(mIvI-fflZvJ)2
£юнц=т(т, +W2 Iv =-
2 ν 1 2 т, +
(3)
(4)
При написанні другої рівності в формулі (4) ми скористалися співвідношенням (2). Відновлення механічної енергії зручно характеризувати за допомогою коефіцієнта/С який визначається як відношення £юні/£иоч· Беручи до уваги (3), (4), отримуємо
;:_1 т,т,(у, +V2)2 (5)
(ти, Tm2^m1V12 Tm2V2)
6


Формула (5) вказує на те, що коефіцієнт відновлення механічної енергії при не- пружному ударі завжди менший від одиниці. У випадку, коли одне з тіл, скажімо, перше, до зіткнення було нерухомим (тобто Vi = 0), K визначається лише співвідношенням мас тіл:
K =
(6)
(ба)
У випадку рівних мас (ті = тг) та ненульових початкових швидкостей:
* = 1_(ν^
2(ν, +Vj)
і 	залежить тільки від початкових швидкостей.
Абсолютно пружним називають удар, при якому механічна енергія системи зберігається. При пружному зіткненні тіла спочатку деформуються і їх кінетична енергія переходить у потенціальну енергію пружної деформації. Потім тіла відновлюють свою форму і відштовхуються одне від одного, при цьому енергія пружної деформації знов переходить у кінетичну. Рух тіл після пружного зіткнення визначається законами збереження імпульсу та кінетичної енергії. Розглянемо центральне зіткнення двох тіл, що рухаються назустріч одне одному ІЗ ШВИДКОСТЯМИ Vio І V20 (Рис. 1.2). Якщо тіла рухаються тільки поступально і не обертаються, то рівняння збереження енергії та рис ^ 2 імпульсу мають вигляд:
UmlVf0 + M2Vf0) = ^m1Vl2 + Μ2ν|).
(7)
mIvIO -mIvK- -mIvI + Щν2 - (8)
де Vi і V2 — швидкості тіл після зіткнення і вважається, що після зіткнення тіла рухаються вздовж тієї ж прямої, що і перед зіткненням. Перепишемо рівняння (7), (8) у такому вигляді:
mI (vIO + vI XvIO - vI) = mI (ν20 + ν2 Χν2 ~ ν20 ).
mIivIO +νΐ) = «2(ν20 +ν2)·
Порівнюючи (7а) та (8а), приходимо до висновку, що
V10-V1 =V2-V20.
З (8а) та (9) легко визначити швидкості обох тіл після зіткнення:
(т2 - mI )ν10 + 2M2V20 (mI - т2 Ko + 2mIvIO
V1 = -і , V2 = —
т, + т2 * т, + т2
У випадку, коли перше тіло до зіткнення перебувало у стані спокою (Vj0 = 0), формула (10) приймає вигляд:
(7а)
(8а)
(9)
(10)
7


ν20> ν2
(11)
2 W2
W1 + W2
rrLi.
- т2
mI
+ W2
Формула (11) вказує на те, що при рівних масах (Wi = ті) тіла після зіткнення обмінюються швидкостями, тобто після зіткнення друге тіло зупиняється, а перше тіло рухається із швидкістю ν2ο, яку мало друге тіло до зіткнення. Чим більша різниця між масами тіл, тим менша швидкість першого і більша швидкість другого тіла після зіткнення.
Поміркуйте
1. Забивати цвяхи — справа нелегка. Куди зникає та енергія, яку ви втрачаєте на цей процес?
2. Що відбувається з імпульсом та енергією ракетки при ударі по тенісному м’ячу? Чи може ракетка теж відлетіти (якщо її слабо тримати)? В який бік? Чому?
Література
1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. — M.: Наука, 1979, п.п. 22,24-26,28.
2. Стрелков С. П. Механика. — M.: Наука, 1975, гл. III, п.п. 24, 25; гл. IV, п.іі. 28-37.
Мета: на прикладі зіткнення куль перевірити закони збереження; розрахувати коефіцієнт розсіювання енергії та співвідношення мас куль.
Устаткування:
експериментальна установка, до якої кріпляться кулі; набір куль з різними масами та з різних матеріалів; шкали, електроний секундомір, терези.
Теоретичні основи експерименту
Експериментальну установку зображено на рис. 1.3. Дві кулі, 1 і 2, підвішено до стояка на струмо- провідних нитках довжини /. У нижній частині стояка розміщено дві шкали 3 та 4, за допомогою яких вимірюють відхилення куль від положення рівноваги.
На початку експерименту куля 1 знаходиться у рівновазі, а кулю 2 відхиляють на кут а від вертикальної осі і фіксують за допомогою електромагніта 5. Після вимикання електромагніта куля 2 починає рухатись (початкова швидкість кулі дорівнює нулю). Швидкість руху кулі 2 перед зіткненням визначають за початковим кутом відхилення а, виходячи з закону збереження механічної енергії.
mgh = -"!Vj20
6
Рис. 1.3.
(12)
де Λ — висота, на яку кулю було піднято, g — прискорення вільного падіння, ν2ο — швидкість кулі 2 в точці рівноваги. Із геометричних міркувань:
8


/ζ = Z(I-Cosa) = IZsin2 ^ . (13)
Таким чином, якщо максимальний кут відхилення кулі дорівнює а, то її швидкість в точці рівноваги визначається за формулою
V2O = ZyfgiSiny ■ (14)
Аналогічно, вимірявши кут відхилення кулі 1, можемо знайти ЇЇ ШВИДКІСТЬ V2O одразу після зіткнення.
У теоретичній довідці ми розглянули два граничні випадки абсолютно пружного та абсолютно непружного зіткнення. В реальних експериментах під час зіткнення енергія частково розсіюється. В даній роботі вимірюється коефіцієнт розсіяння енергії Д який визначається як відношення втрати енергії під час зіткнення до початкової енергії:
β - (£поч £кінц)/-Епоч · (15)
Розглянемо випадок, коли перша куля до зіткнення перебуває у спокої (V2O = 0). Тоді закони збереження енергії та імпульсу (7), (8) з урахуванням (15) будуть мати вигляд
(1 -β)/η2ν20 = "1IvI2 + mIvI і
(16)
W2V20 =WiV1-т2 V2. (17)
(у формулі (17) підставлено модулі швидкостей!).
Експериментальна установка дозволяє виміряти швидкості ν2ο та Vj. Отже, виключаючи із рівнянь (16), (17) V2, можемо знайти коефіцієнт Д При однакових кулях:
P =
= 2Л(1 - R),
(18)
З іншого боку, за відомого коефіцієнта β з рівнянь (16), (17) можна знайти відношення мас куль, що стикаються. Дійсно, розв’язуючи ці рівняння відносно ν2, m і/т2 отримуємо:
W1
ті IR
(19)
Експериментальні подробиці
Електромагніт вимикається натисканням кнопки "Пуск". В проміжках між експериментами електромагніт бажано вимикати!
Час зіткнення куль фіксується електронним секундоміром, якого підключено до електричного кола, утвореного кулями та нитками підвісу. При зіткненні куль коло замикається і секундомір спрацьовує.
9


Завдання
1. Візьміть дві сталеві кулі з однаковими номерами. Зважте їх і обережно закріпіть на підвісах. Впевніться у тому, що при зіткненні удар буде центральним1.
2. Відхиліть кулю 2 (рис. 1.3.) на деякий кут і відпустіть. Виміряйте кут відхилення кулі 1 після першого зіткнення. Вимірювання слід повторити не менше 10 разів.
3. Повторіть вимірювання за п.2 для різних початкових кутів відхилення кулі (рекомендуємо 5°, 10°, 15°).
4. Повторіть досліди п. 2, 3 для іншої пари однакових куль (всього необхідно дослідити три пари куль).
5. Візьміть пару куль з різними номерами. Зважте їх. Повторіть дослід п.2 та п.З. Як ви вважаєте, чому кулі мають як різні, так і однакові номери?
6. Підберіть ще дві пари куль з різними номерами і повторіть з ними дослід п.5. Таким чином ви повинні отримати дані для 6 пар куль по три кути для кожної пари (всього 18 вимірів кута відхилення).
7. Поміркуйте, які похибки вносять прилади? Чи можна їх оцінити, як це зробити? Які вони: випадкові чи систематичні?
Обробка результатів експерименту
1. Для пар куль з однаковими номерами.
1.1 Розрахуйте за формулою (14) швидкість куль перед та після зіткнення.
1.2 За формулою (18) знайдіть значення βу кожному випадку.
1.3 Визначте похибку експерименту. Чи залежить величина похибки від початкового кута відхилення кулі? Чи залежить значення β від маси куль в межах похибки експерименту?
2. Для пар куль з різними номерами.
2.1 Повторіть розрахунки п. 1.1. Визначте похибку.
2.2 Користуючись отриманими значеннями Д розрахуйте співвідношення для мас куль за формулою (19). Визначте похибку.
2.3 Порівняйте отримані значення співвідношень для мас куль за результатами безпосередніх вимірів. Чи співпадають ці величини в межах похибки експерименту?
Контрольні запитання:
1. Поясніть, як будуть рухатись кулі за нецентрального зіткнення.
2. Припустимо, маса однієї з куль значно більша за масу другої кулі. Визначте швидкості куль після абсолютно пружного зіткнення, якщо на початку експерименту у стані спокою перебувала а) легша куля; б) важча куля. Визначте частку переданого імпульсу та енергії порівняно з початковими значеннями в обох випадках.
3. Наскільки точно виконуються закони збереження імпульсу та механічної енергії в проведених експериментах? Що призводить до відхилень від законів збереження?
4. Як на вашу думку, чи залежать похибки проведених експериментів від розмірів куль? Які труднощі виникнуть, якщо збільшити розміри куль? А якщо зменшити?
1 Центральним ударом називають зіткнення двох тіл, при якому Tx відносна швидкість лежить на прямій, що з’єднує центри мас тіл в момент зіткнення.
10


Робота 1.2. Вивчення законів збереження енергії на прикладі зв’язаних коливань
Теоретична довідка
Яскравим прикладом закону збереження енергії та її переходу з однієї форми в іншу є гармонічний коливальний рух. При цьому потенціальна енергія переходить в кінетичну і навпаки, породжуючи коливання. Коли б сумарна енергія не змінювалась, рух би не припинявся, але за наявності сили тертя коливання поволі згасають.
Систему, що виконує коливальний рух, називають осцилятором. Це може бути, наприклад, коливання тягарця на пружині (рис. 1.4.) чи гойдання маятника навколо горизонтальної осі (рис. 1.5.) Коли накопичена потенціальна енергія U пропорційна квадрату відхилення від положення рівноваги х, напри- Jc k
клад, U--X2 (— - певна стала), осцилятор виконує гармонічний1 коливальний рух, який описується рівнянням:
/////////
—τ + ω£χ = 0, а /
(1)
Рис. 1.4.
де ωο - власна частота коливань.
Дійсно, оскільки потенціальна сила F - - закону Ньютона
άϋ_ άχ ’
згідно другого
άχ
dU
m ,- - - ~ -Icx
dt1
k
άχ
і, поклавши ω: = —, отримуємо рівняння (1). m
Розв’язком цього рівняння є функція
х =A cos (ωί +δ),
(2)
де А - максимальне відхилення від положення рівноваги, що називається амплітудою коливань, GtjT δ- фаза коливань (δ- початкова фаза, тобто значення фази при t = 0).
Таким чином, коливання осцилятора з одним ступенем вільності, які відбуваються за гармонічним законом, можна описати за допомогою однієї змінної (в нашому випадку це х). Така система має один коливальний ступень вільності та одну власну частоту.
Можливості для перетворювання енергії значно збільшуються, коли система має два коливальних ступеня волі. Тут енергія не тільки переходить з потенціальної форми у кінетичну і навпаки, але і від одного коливального степеня волі до другого. При цьому амплітуда перших коливань зменшується, а других зростає, потім коливання обмінюються ролями (і енергією!). В природі існує багато таких систем, наприклад:
1 Коливальний рух називається гармонічним, якщо законом руху є синус чи косинус.


коливання атомів в триатомній молекулі або струму в зв’язаних LC-KOHiypax (рис. 1.6.). В загальному випадку рух системи з двома коливальними ступенями вільності може мати дуже складний вигляд, не схожий на просте гармонічне коливання.
Однак у разі, якщо рух системи описується лінійними диференційними рівняннями вигляду:
U Xj ,
A2 +щ2 dt2 =
-Ar12X2
Й?2х, (І2Х2
mU 1,2 + Щ J2 _ к\гХ\ ^2х2
at at
(3)
Li, L2 — котушки індуктивності, Сі, C2 — ємності.
Рис. 1.6.
(тут Xi, х2 - змінні, що відповідають різним коливальним ступенями вільності, а всі т та к - певні сталі >0), корисно зробити такі перетворення: ввести замість х/ і х2 нові координати Bi і B2 таким чином, щоб отримати замість системи (3) два незалежних рівняння типу (1). Тоді рух системи можна представити як суму двох незалежних гармонічних коливань, які проходять одночасно. Ці два гармонічних коливання називають нормальними або власними коливаннями системи, а також нормальними модами (чи просто модами).
Нормальні коливання описуються змінними, які називають нормальними координатами систему отже в\ та B2 є нормальні координати. Кожній такій координаті відповідає своя нормальна або власна частота. У нормальних координатах система (3) приймає вигляд:
ч
dt2
d Bx ,
—Y^mxBx — 0
ά2Β2
Jt2
+ (й 2 B2 — 0
(4)
де ω\ і (O2 - нормальні або власні частоти.
При цьому переході (від (3) до (4)) координати X1 і х2 будуть зв’язані з нормальними координатами Bi і B2 наступним чином:
|*І =М+*!2<% (5)
[*2 =^A +Z22O2 '
де всі k — константи, що залежать від сталих ттьк (через громіздкість формул ми не виписуємо к у явному вигляді).
Застосування нормальних мод спрощує розв’язок і аналіз коливань руху. При спеціальному типі збуджень ми можемо спостерігати нормальні коливання системи.
Поміркуйте
1. 	Чому у вітряну погоду часто спрацьовує охоронна сигналізація?
12


2. 	Чому камертон "звучить" за одного тону і "мовчить" за іншого? Що буде, якщо розмістити поряд два однакові камертони і збудити один з них?
Література
1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. ΊΓ.1. Механика. — M.: Наука, 1979, п.п. 22,24-26,28.
2. Стрелков С. П. Механика. — M.: Наука, 1975, гл. XTVr, п.п. 132-134; гл. IV, 28, 32, 34.
Мета: вивчення коливального руху двох зв’язаних маятників, спостереження за обміном енергією та розрахунки параметрів системи.
Устаткування:
струна; набір маятників різних мас; секундомір; масштабна лінійка.
Теоретичні основи експерименту
Розглянемо два однакових маятники масою т і довжиною / кожний, які розташовані на деякій відстані один від одного і з’єднані між собою пружиною з жорсткістю 2к[ Пружина розташована на відстані И від точки підвісу (рис. 1.7.). Маятники можуть коливатися у площині, перпендикулярній до штанги. Гойдання кожного з маятників призводить до деформації пружин та виникнення відповідних моментів сили М\, M2, що дію& на маятники.
Рух маятників описується рівняннями
J-T- -тЄіф, -M1
at
ά1ώ ' (6)
J - г - -M2
Ш
де ф\ і фг — кути відхилення від положення рівноваги першого та другого маятників відповідно, J— момент інерції маятника.
Якби не було пружини (Мі = Mz ~ 0), то кожен з маятників гойдався незалежно від іншого з власною частотою
CO0 = JmgiTJ , О)
згідно рівняння (1). За наявністю пружини рух маятників стає взаємопов’язаним і описується системою рівнянь (6).
Щоб розв’язати (6), необхідно визначити Mj та M2. Із закону Гука та геометричних міркувань (рис. 1.7.) отримуємо
M, = -M2 = 2кк(ф] — ф2), (8)
Підставляючи (7), (8) в (6), маємо
1 На експериментальній установці - дві пружини, кожна з жорсткістю к.
13


(9)
+ ^oVl +Μ& -Λ) = 0, ώ
-^ + ωΐφ1+σ{φ2 -^,)=0.
де σ = — коефіцієнт зв ’язку між коливаннями фі та Прийнявши наближено,
що У- т/2, отримуємо
ω
(10)
Систему (9) можна легко розв’язати, якщо замість змінних ф\, фг ввести
ф — ф\ + ф2, та Аф = ф\ — Ф2 . (H)
Змінна ф визначає відхилення центра мас обох маятників від положення рівноваги, а Аф - взаємне відхилення маятників. Перехід до нових змінних легко здійснити, додаючи та віднімаючи друге з рівнянь (9) від першого. В результаті отримуємо
+ +2σ)Δ^ = 0,
%*<*· 0
(12)
Кожне з рівнянь системи (12) описує окремий тип гармонічних коливань, або моду. Одна з мод відповідає синфазному коливанню обох маятників. Закон руху для неї має вигляд
(fct) = ^ocosi ω о/ + Sq), Аф — 0. (13а)
Частота такого коливання співпадає з власною частотою ω о кожного з маятників. Інша мода відповідає взаємному коливанню обох маятників при нерухомому центрі мас:
Аф = А\Cos(Q)Xt + δ\\ φ(ί) = 0. (136)
Частота взаємних коливань
2
«1=(<Ч?+2 σ)* (14)
більша за ωο завдяки моменту сили, що діє на маятники з боку пружини, і таким чином прискорює рух маятників.
Описані два типи коливань і відповідні частоти називають нормальними (власними). Отже, на відміну від окремого маятника, система двох зв’язаних маятників має дві власні частоти і два коливальних ступеня вільності.
Нормальні коливання (моди) виникають за спеціального типу збудження. У загальному випадку одночасно збуджуються обидві моди, і кожен з маятників приймає участь у двох коливаннях:
2φχ(ή = AqCos(^)O/+ £о) + Ai cos^i/ + £1),
(15)
2ф2(0 = Aq cos^of + £о)—Лісової/ + £і).
14


Припустимо, ми відхилили один з маятників на кут ^0, притримуючи інший в положенні рівноваги, а потім одночасно відпустили обидва маятники. У цьому випадку в початковий момент часу
^i(O) - фь фг(0)-=0.
Порівнюючи з (15) і зважаючи на те, що на початку руху обидва маятники перебували у спокої, тобто
‘аФ\ _лФг _.0
dt ,.о dt I=Q
отримуємо
-= 1 2 3fI4“\“" ’)'·
або
Ф\ (0 * фQCOSCOt COSVt, ф2( 0 = ^0SiniOisinvr,
(16)
(17)
сл+б)0 ω, - ω0 де =—-—, VS—-—.
За малого коефіцієнту зв’язку σ« власні частоти системи відрізняються
мало, і можна вважати, що
У ·
(ύ\ « 6>о + ОІ&0·
(18)
Тоді
ωο + σ/(2ά>ο)> ν* σ/(2#ο)·
(18а)
Ми бачимо, що ω» ці функції ф\(і) та ^(0 можна розглядати як коливання з частотою й)і амплітудою ф0 CosvY або SinvY, відповідно, Іцо повільно змінюється.
!Взаємодія маятників істотно ускладнює їх рух. На початку руху перщий маятник коливається так, наче другий маятник було . зафіксовано Ці коливання помітно впливають на пружину. Пруйоша діє на другий маятник, і він починає поступово розгойдуватися. Енергія, яку на початку експерименту було передано першому маятнику, через пружину частково передається другому, тому амплітуда коливань першого маятника буде поступово зменшуватися, а другого — збільшуватися.
Через проміжок часу t- ζ/4, де т=2я/у, перший маятник зупиниться (за умови малих втрат на тертя), а другий буде гойдатися з такою ж амплітудою, як перший маятник на початку руху. Тепер навпаки, другий маятник починає розгойдувати' перший, поки сам не зупиниться. За час х/2 маятники знов мають початкові енергіїТаким чинбм, маятники здійснюють то зростаючі, то спадаючі За амплітудою коливання, обмінюючись енергією. 'Такі коливання називають биттям, а частоту обміну енергією 6*5=2 ν - частотою биття. Частота биття значно менша за несучу частоту ωΊ яка, як правило, близька до власної частоти ізольованих Маятників б>о- Добуток несучої частоти та частоти биття визначає коефіцієнт зв’язку:
15


σ= ω$ω.
(19)
Таким чином, коливання кожного маятника у загальному випадку негармонійні. Кожен з маятників здійснює приблизно гармонічне коливання, але амплітуда цього коливання періодично змінюється із частотою биття. Величина, або глибина, модуляції амплітуди залежить від способу збудження коливань. Так, якщо ми одночасно відхилимо обидва маятники на різні кути і відпустимо, то амплітуда коливань жодного з маятників не зменшиться до нуля, а буде змінюватися між деякими значеннями. Картина руху маятників з різними масами буде ще більш ускладненою, проте залишиться незмінною характерна риса зв’язаних коливань з двома близькими частотами, а саме, періодичний обмін енергією між двома маятниками.
Завдання
1. Визначення періоду коливань окремого маятника.
Розгляньте установку. Зніміть пружини. Підвісьте на спиці маятників вантажі однакової маси. Виміряйте час /, за який маятник зробить я= 10 або 20 коливань. Експеримент повторіть 8-10 разів для різних п.
2. Оцінка часу згасання коливань у системі.
Виміряйте час, доки амплітуда маятника не спаде вдвічі, в чотири рази.
3. Визначення періоду биття.
Прикріпіть пружини. Відхиліть один з маятників, притримуючи інший рукою, а потім одночасно відпустіть обидва маятники. Виміряйте період биття. Зробіть 8-10 вимірів. Порівняйте його із часом згасання.
4. Визначте період коливань одного з маятників (маятники пов’язані пружинами). Впевніться у тому, що несуча частота співпадає з власною частотою маятників. Приблизно у скільки разів вона більша за частоту биття?
5. Повторіть дослід п.З для інших вантажів.
6. Розрахуйте коефіцієнт жорсткості. Для цього напишіть відповідну формулу та виміряйте величини, яких вам ще не вистачає.
7. Визначення коефіцієнту жорсткості безпосередніми вимірами.
Зніміть (іобережно/) одну з пружин і підвісьте до неї вантаж відомої маси. За видовженням пружини та масою вантажу визначте коефіцієнт жорсткості пружини. Зробіть 3-5 вимірів з різними вантажами < 70 г. Маси тіл, які потрібні при розрахунках, виміряйте самі.
8. Відхиліть одночасно обидва маятники на різні кути і відпустіть. Як будуть рухатись маятники? Оцініть період коливань і період биття у цьому випадку.
9. Повторіть дослід п.8, відхиляючи маятники на однакову відстань. Порівняйте рух в обох випадках.
Обробка результатів експерименту
1. Розрахуйте період коливань окремого маятника для різних и, результат усередніть та визначте похибку.
2. Оцініть похибку, яку вносять сили тертя, виходячи з оцінки часу згасання. Визначте оптимальну кількість коливань, за яку період буде мати найкращу точність.
3. Побудуйте графіки функцій ф\(і) та фііі) для однієї пари вантажів.
4. Розрахуйте коефіцієнт зв’язку σ згідно отриманих даних.
5. Побудуйте залежність коефіцієнта зв’язку від маси маятників.
16


6. Користуючись попередніми результатами та відповідними вимірами, розрахуйте коефіцієнт жорсткості. Оцініть похибку.
7. Порівняйте отримане таким чином значення коефіцієнта жорсткості із знайденим безпосередньо в досліді по видовженню пружини. Чи збігаються ці значення в межах похибки експерименту? Якщо ні, то поміркуйте, в чому причина розбіжності.
Контрольні запитання
1. Поясніть, чому для точного визначення періоду коливань η не слід вибирати дуже великим? Що мається на увазі під "дуже великим" значенням я?
2. Яким чином можна збудити гармонічні коливання в системі з двох однакових маятників?
3. Скільки нормальних мод матиме система із 10 зв’язаних маятників?
4. Припустимо, ми розгойдуємо один з двох зв’язаних маятників із сталою частотою ω, яка істотно відрізняється від власної частоти маятників. Що відбуватиметься з другим маятником? А що буде, коли зовнішня частота близька до власної частоти? Частоти биття системи?
5. Виведіть (17) з (15), (18) з (14).
17


Робота 2.1. Вивчення законів обертального руху на прикладі маятника Обербека
Теоретична довідка
Обертальний рух є прикладом простого механічного руху. Для опису обертального руху вживають такі категорії як момент інерції тіла та момент сили. Для окремої матеріальної точки моментом інерції відносно осі обертання називають добуток маси на квадрат відстані до цієї осі. Момент інерції J системи матеріальних точок з масами m знаходиться як сума моментів окремих точок.
^ = E"*,7;2 (і)
Моментом сили K відносно осі обертання називають векторний добуток радіус-вектору R від осі обертання до місця прикладення сили на діючу силу F :
K = RxF (2)
Модуль моменту сили:
K - R ■ F · sin а (2')
де а — кут між векторами F та R . R sin а — це плече дії сили F, що дорівнює довжині перпендикуляру, проведеного від початку радіус-вектору R до лінії дії сили.
Рух тіла з моментом інерції Ji що обертається з кутовою швидкістю ω навколо нерухомої осі, описується таким рівнянням.
^r(Jm) = K (3)
dt
де K — момент зовнішніх сил відносно осі обертання. При обертанні твердого тіла його момент інерції не залежить від часу і рівняння (3) спрощується:
(4)
Рівняння (4) подібне до рівняння Ньютона та - F ,що описує рух матеріальної точки. Момент сил K відіграє роль сили Ft момент інерції J — роль маси т, а кутове прискорення β = άω/άί є аналогом лінійного прискорення а ξ άν/άΐ.
Література
1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. — M.: Наука, 1979, п.п. ЗО, 32,35,36.
2. Стрелков С. П. Механика. — M.: Наука, 1975, гл. VII, п.п. 52,53, 59; гл. V, п.п. 41,42.
Поміркуйте:
1. Чому колесо на велосипеді має багато спиць? Що було б, якби спиць було всього дві?
2. Чому, коли кидають камінець, намагаються відвести руку якомога далі від тіла?
18


Мета: вивчення обертального руху маятника Обербека є залежності від прикладеного моменту сил та моменту інерції маятника
Устаткування:
маятник Обербека; набір тягарців; секундомір: масштабна лінійка, терези.
Теоретичні основи експерименту
Маятник Обербека схематично зображено на рисунку 2.1. Чотири спиці, закріплені на втулці, утворюють одна з одною прямі кути. Спільна вісь проходить через втулку та два шківи з радіусами /т та . Вісь закріплена в голчатих вальницях, гак що вся система може вільно обертатися навколо горизонтальної осі. Момент інерції приладу можна змінювати, пересуваючи вантажі т вздовж спиць.
На один із шкивів маятника намотано тонку нитку. До нитки прив'язано тягарець відомої маси. (У комплекті с тягарці різних мас). Обертовий момент утворюється силою натягу нитки Т:
K = Г'Т, де / = 1,2. (5)
Силу Tможна знайти з рівняння руху тягарця маси \1:
Mg-T=Mu (6)
Прискорення а пропорційне кутовому прискоренню β
Ul=-Pr, / = 1,2. (7)
і визначається експериментально. Дійсно, вимірюючи час /. за· який тягарець від стану спокою знижується на відстань h , знаходимо а За формулою
Ih
а~7 А
Система рівнянь (5)48) дозволяє визначити момент інерції маятника та перевірити загальне рівняння динаміки (4) за умови, шо момент сил тертя Kjr? відносно осі маятника значно менший, ніж момент натягу нитки T
Насправді момент сил тертя Ky^ може бути досить великим і призвести до спотворення результатів вимірювань. На перший погляд здається, що зменшити ролі,
19


сил тертя можна завдяки збільшенню маси тягарця М. Але така точка зору є хибною, тому що
1) збільшення маси M призводить до збільшення тиску маятника на вісь і, тим самим, до збільшення сил тертя;
2) збільшення M призводить до зменшення часу падіння тягарця, що знижує точність вимірювання часу.
В запропонованій установці момент сил тертя знижено завдяки використанню голчатих вальниць для кріплення осі маятника. Незважаючи на це, повністю запобігти впливу тертя неможливо, і це повинно братися до уваги при обробці результатів експерименту.
При обробці результатів експерименту зручно переписати рівняння (4) таким чином, щоб воно містило момент сил тертя в явному вигляді:
де Jo — момент інерції системи без вантажів, R — відстань від осі обертання до центра мас вантажів Jb — момент інерції одного вантажа відносно осі, що проходить через його центр мас паралельно осі обертання. Пропонуємо вивести цю формулу самостійно.
Експериментальні подробиці
Час руху тягарця вимірюється електронним секундоміром, що вмикається та вимикається сигналами від фотодатчиків. Початок та кінець руху тягарця реєструється його проходженням оптичної осі фотодатчиків, тому перед початком експерименту треба слідкувати за там, щоб нижній кінець тягарця знаходився безпосередньо над оптичною віссю верхнього фотодатчика.
Фотодатчики та шкала цифрової індикації часу вмикаються при ввімкненні приладу. При цьому вмикається також фрикційне гальмо, що утримує маятник у заданному положенні. Гальмо вимикається, якщо натиснути на кнопку "Пуск" і утримувати її у натаснутому стані.
Висота падіння визначається за шкалою, що нанесена на стояк, за різницею положень оптичних осей верхнього та нижнього фотодатчиків.
Завдання
1. Дослідіть обертальний рух маятника під дією різних тягарців при сталому моменті інерції системи.
1.1 Розташуйте вантажі т на деякій відстані R від осі обертання і досягніть байдужої рівноваги маятника. Виміряйте та запишіть відстань R.
1.2 Проведіть експеримент з тягарцем маси Mi вимірюючи час падіння тягарця. Експеримент слід повторити 8-10 разів, а'Цотім усереднити значення /.
1.3 Повторіть дослід п. 1.2 на обох шківах для 3-4 різних значень М.
2. Повторіть виміри п.п. 1.2, 1.3 для 3-4 різних значень моменту інерції системи.
3. Повторіть виміри п. 1.2 для 3-4 різних значень мас M для системи без вантажів т.
4. Зробіть необхідні виміри для визначення власного моменту інерції вантажів Jb.
(Я
Момент інерції системи визначається за формулою Гюйгенса-Штейнера: J=J^AJs +AmR2
(9)
20


Обробка результатів експерименту
1. Користуючись вимірами п.п. 1.2. та 1.3 знайдіть кутове прискорення β та обертовий момент А, які відповідають руху кожного з тягарців на обох шківах для усіх значень моменту інерції системи J. Визначте похибки.
2. Для кожного значення R подайте у графічному вигляді залежність кутового прискорення β від обертового моменту К. Визначте моменти інерції системи J та моменти сил тертя ΑχΕΡ. Які похибки мають ці величини?
3. Порівняйте отримані значення Kje?. Чи залежить величина Atep від моменту інерції системи? Усередніть значення Atep-
4. Результати визначення J при різних значеннях R подайте у графічному вигляді як залежність JiR2). Поміркуйте, чому пропонується побудувати саме таку залежність. Обробивши результати, визначте момент інерції системи без вантажів Jq. Як узгоджуються результати експерименту з формулою (9)? Як співвідноситься величина похибки експерименту з Ув? Які можливі джерела експериментальних похибок?
Контрольні запитання
1. Наскільки істотна величина моменту сил тертя? Чи дозволяє рівняння (4') визначити будь-яку величину Атнр?
2. Яку роль в експерименті відіграє товщина та пружність нитки?
3. Яку з величин у даному експерименті треба вимірювати з найбільшою точністю?
4. Чому маятник має саме 4 спиці? Що зміниться, якщо взяти лише 2 спиці (6 спиць)?
5. Як з’ясувати, чи добре збалансовано маятник (чи дійсно він знаходиться у байдужій рівновазі)?
6. Сформулюйте й доведіть теорему Гюйгенса-Штейнера.
21


Робота 2.2. Вивчення вимушеної прецесії гіроскопа
Теоретична довідка.
Гіроскопом називають тверде тіло, що швидко обертається, і вісь обертання якого може змінювати свій напрям у просторі.
Гіроскоп може бути симетричним та несиметричним. Симетричним називають гіроскоп, який має симетрію обертання навколо деякої осі Найбільше значення в науці і техніці мають симетричні гіроскопи, до того ж їх теорія простіша ніж теорія несиметричних гіроскопів. Враховуючи це, подальший розгляд ми присвятимо виключно теорії симетричного гіроскопа
Оскільки гіроскоп — це тіло, що обертається, його поведінку описує рівняння:
(і)
Тут Z — момент імпульсу гіроскопа, а M — момент сил, що діють на гіроскоп. Це рівняння справедливе для інерціальних систем відліку, але зручніше розглядати Z відносно системи відліку, що обертається разом з тілом гіроскопа. Тоді моменти інерції відносно координатних осей не змінюються.
dl .
Система, що обертається, не є інерціальною, і для неї зв’язок між — і M буде
dt
іншим ніж (1), а саме:
^- + [Sxl]= M
(2)
Тут усі вектори даються відносно системи відліку, яка обертається з кутовою швидкістю ώ. L та M — відповідно момент імпульсу та момент сил у цій системі. Слід наголосити, що ми не переходимо в неінерціальну систему відліку, що пов'язано з введенням сил інерції. Тобто ми самі знаходимось у нерухомій інерціальній системі і
- dl
спостерігаємо зв’язок між векторами L , — та M у рухомій системі, що обертається.
Цей зв’язок відбиває формула (2). Для його аналізу ми повинні спроектувати вектори, що входять до (2), на осі координат системи, що обертається. Введемо цю рухому систему координат. Як ми казали вище, її зручно
пов’язати з рухом самого гіроскопа. Тобто вважати Z
осі X, Y1 Z вмороженими в тіло гіроскопа.
Розташуємо вісь Z вздовж осі обертальної симетрії, так званої осі фігури гіроскопа. Тоді, завдяки цій симетрії, осі X та Y можуть бути зорієнтовані в площині, перпендикулярній Ζ, як завгодно (див. рис.2.2). Початок системи відлік}' розташуємо в точці опори гіроскопа О. Будемо вважати її нерухомою, це не вплине на наш аналіз.
Як відомо, момент імпульсу L, та момент сил M залежать від того, відносно якої точки їх розглядають. Прийнявши за цю точку точку опори гіроскопа О, запишемо
22


(3)
l=Σηί[ή x^1]=Σ*φ xI^x *>]]
/ /
де η — радіус-вектор /-тої точки гіроскопа відносно точки О, т, — її маса, а V1 — швидкість цієї точки; як відомо, кутова швидкість ώ однакова для усіх точок тіла (зверніть увагу, що кутова швидкість точок гіроскопа співпадає з кутовою швидкістю обертання нашої системи відліку!)
Користуючись правилами векторного та скалярного добутку, перепишемо (3), як L = Σт< {(')*ώ -{г а>)г) (4)
Спроектувавши усі вектори на осі рухомої системи Xi Yi Z, маємо систему:
Lx = £»,2>,(у,2 +ζ,2-IylZl-IylZl -2Z1X1)
І
' Ly = ω,Σ*.{*.2 + 2‘2 ~ 2У'гі ~ 2х>Уі ~ 2W) ^
і
L = ω:Σηί{χί2 +У,2-!У,*, ~2хіУі ~2ζιχ)
і
Не важко здогадатись, що для нашої системи відліку Σ У і2 і ~ ZjW = Zw=O (спробуйте довести це самостійно). Оскільки ми
і і і
вважаємо гіроскоп тілом однорідним, то іΣmIzіУі = ILmIzіУі = ZтіУі2і = 0·
і і
Позначимо ХлСу,2 +гі2) = Іх’ Хті(χ* +ζι2)= гу Σ'"/(V + 1.2) = 4. ТОД>
І І і
система (5) прийме дуже простий вигляд:
Lt=O1It
Ly=Vy1у
[Lt=OtIt
(6)
Осі координат, у яких система (5) зводиться до випадку (6), носять назву головних осей симетрії тіла, а моменти інерції відносно цих осей Jx, Iy та Iz — головних моментів інерції.
Слід додати, що для будь-якого твердого тіла, в якій би точці не було вибрано початок координат, завжди існують три головні осі симетрії тіла.
В нашому випадку, внаслідок обертальної симетріїIx = I =Il. Тоді, вводячи позначення
ώχ + Sy = S1, Sz = S^, Iz = /,[, маємо з формули
Рис.2.3
(6)
L = SrJ.
+ SyIу+S2I1
=K
+ <У,
.)^+0,1,
-SJ1 +S11I11,
(7)
Як бачимо, напрямки моменту імпульсу L і кутової швидкості S не співпадають (Рис.2.3).
Строго кажучи, тепер ми повинні підставити вираз (7) у (2) і розв'язувати отримане рівняння. Цим і займається точна теорія гіроскопа. Але цей шлях досить
23


складний, і для першого знайомства· з гіроскопом ми задовольнимося приблизною теорією, яка розглядає випадок >> ω±. Це цілком виправдовує себе, бо найбільш
важливі гіроскопічні ефекти, яким гіроскоп зобов'язаний своєму широкому використанню у науці та техніці, проявляються за такої умови.
Гіроскоп за умови ω|( » Col називають швидким. Як правило, для швидких гіроскопів: /ц^| » IlCOl, і тому, замість точного виразу (7) можна записати
Z ~ І\\&\ (8)
В цьому наближенні вектори ω та L не відрізняються за напрямком, який співпадає з віссю фігури гіроскопа. Якщо ми тепер підставимо в рівняння (2) не точну формулу (7), а наближену (8), то, завдяки [<й χ Ζ] = 0, маємо
Ik-J
* ~7»
£4
dt
M
(9)
Згідно (8) L лежить вздовж осі фігури гіроскопа (у нас спвпадає з Z), і тому по зміні L ми можемо судити про'рух гіроскопа.
Розглянемо рис.2.4. У однорідного тіла, яке має симетрію обертання вздовж осі Ζ, радіус-вектор центра мас а лежить на цій осі, тому а\\ Z. Звідси момент сил, що
діють на тіло, Й = [а х Zi], завжди перпендикулярний до напрямку Z, а, отже, і Z . Оскільки, згідно з (9), Щ\M, маємо dLlL. Це означає, що момент імпульсу гіроскопа у
нашому наближенні змінює тільки свій напрямок, залишаючи
|Ζ| - const. Неважко
здогадатись, що якщо сила F — стала, то кінець вектора L буде рухатись по колу у площині, перпендикулярній до напрямку дії сили F (див.рис.2.4). Тоді Z, а, отже, і вісь фігури гіроскопа Z , будуть обертатись навколо певної осі ОТ\\Р. Таке обертання називається вимушеною прецесією гіроскопа.
Згідно умові І Ζ|= const
dL ’ dt
можна розглядати, як швидкість “кінця” вектора Z .
Ζ,[Ω х е2
Це є швидкість обертання навколо OZ'. Таким чином,
dL г -г —і
- = [ω*4 (10)
де Ω — кутова швидкість обертання Z навколо ОТ. Оскільки напрямки Z та Z співпадають, Ω — кутова швидкість прецесії гіроскопа. З рівняннь (9) та (10) отримуємо:
[ΩχΖ]=Μ (11)
Введемо одиничний вектор ег вздовж Ζ. Тоді Z = Lez, а - ае2, А/ = [а χ Ζ] =
= а[ег χΖ1]. Підставляючи ці формули у (11), отримаємо
=4^]’
звідки
24


а
(12)
Згідно (12), якщо Zr=Const, то Ω теж не змінюється. Такий рух гіроскопа називають вгшушеою регулярною прецесією \ Слово регулярна означає, що на обертання осі фігури гіроскопа, яка описує собою поверхню конуса, не накладуються ніякі тремтіння, або так звані нутації.
Література.
1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. - M.: Наука, 1979, п.п. 49-51.
2. Матвеев А.Н. Механика и теория относительноста. - M., 1986, п.гі. 35
3. Стрелков С. П. Механика. - M.: Наука, 1975, гл. УП, п.п. 65-67.
4. Хайкин С. 3. Физические основи механики. - M.: Наука, 1971, п.п. 99-104.
Поміркуйте.
1. Зробіть із загостреного сірника та картонного кола дзигу. Чому, коли розкрутити дзигу, вона "стоїть" майже вертикально?
2. Зробіть дві дзиги з колами різних радіусів. Розкрутіть кожну з них і легенько доторкніться олівцем до осі. Яка з цих дзиг більш стійка?
Мета: вивчення примусової прецесії гіроскопа під дією сили тяжіння; визначення швидкості прецесії.
Устаткування:
експериментальна установка гіроскопа з секундоміром; масштабна лінійка.
Теоретичні основи експерименту.
Експериментальна установка гіроскопа являє собою високообертовий електродвигун з регульованою частотою обертання. На малюнку 2.5 зображена установка у двох ракурсах: збоку та зверху. Ротор R мотору відіграє власне роль гіроскопа. Корпус В мотору закріплено таким чином, що він може обертатись у всьому діапазоні в горизонтальній площині та ±6° від горизонту у вертикальній площині. На продовженні осі обертання ротора розташовано важіль W з тягарцем ш, який можна пересувати вздовж важеля. Пересуваючи тягарець, ми можемо змінювати момент сили тяжіння, що діє на гіроскоп.
Згідно приблизної теорії симетричного гіроскопа, момент імпульсу L спрямований вздовж осі фігури гіроскопа Ζ. (Те, що наш гіроскоп відповідає вимогам цієї теорії,
впевнитесь самостійно). В межах приблизної теорії формула dL! dt- M переходить у:
άώ,
1 dt
'=M,  1(13)
11снує ще вільна регулярна прецесія у випадку, коли результуюча сила, що діє на гіроскоп, дорівнює нулю.
25


де Iz — момент інерції гіроскопа, а M — момент діючих на нього сил, ώζ — складова кутової швидкості гіроскопа вздовж осі Ζ, ώζ « ώ. Якщо розглядати M тільки як момент сили тяжіння відносно горизонтальної осі кріплення гіроскопа 00', то
й = Mm=Iax?] (14)
де P — сила тяжіння, а а — радіус-вектор центру мас гіроскопа відносно точки С.
Оскільки як С, так і центр мас розташовані на осі симетрії Ζ, то а паралельно осі Ζ. Згідно (14) MJLfl , а, отже, і Ζ, звідки Μ±ώζ.
Розглядаючи рівняння (13), ми бачимо, що приріст άώζ кутової швидкості, напрямок якого співпадає з M, завжди пер¬
пендикулярний до ώτ. Тобто, “кінець” вектора ωζ описує коло, а сам вектор — конус навколо осі дії сили тяжіння. Ця вісь є вертикаль,
позначимо ЇЇ Z'. Так само, як ώ,, буде
.... _ т Рис. 2.5
рухатись і вісь фігури гіроскопа Ζ. Інакше кажучи, тіло гіроскопа буде обертатись навколо
Z, тобто прецесіювати. Кутову швидкість прецесії Ω знайдемо за допомогою формули
άώ. г- _ і — =[Ωχ^]
(15)
підставляючи (15) та (14) у (13) отримуємо
/г[Пх<йг]=[ах?]
(16)
Зауваживши, що ώζ » ώ0 — кутової швидкості обертання ротора гіроскопа, наприкінці
маємо
Ω -
07)
Виконуючи ці викладки, ми брали до уваги тільки силу тяжіння. Але крім цієї сили в експериментальній установці звичайно присутні ще й сили тертя. Моменти цих сил теж будуть впливати на рух гіроскопа. Можна вважати, що ці моменти виникають тільки у горизонтальній (вісь OO') та вертикальній осях, навколо яких обертається гіроскоп. Тоді рівняння (13) слід записати як
άώ
= Mmxx +Mme р (18)
Аналіз цього рівняння пропонуємо провести студентам самостійно і перевірити його в експерименті.
Завдання
1. 	Запуск гіроскопа та спостереження за його рухом.
1.1. 	Перед початком роботи впевніться у тому, що гіроскоп зафіксовано (гвинт фіксації гіроскопа розташовано знизу). Увімкніть живлення гіроскопа (кнопка
26


“СЕТЬ”). Починайте розкручувати гіроскоп, повільно збільшуючи оберти двигуна ручкою “РЕГ. СКОРОСТИ”. Увага! Швидкість збільшення обертів — не більше двох поділок шкали за хвилину! Доведіть швидкість обертання гіроскопа до 8000 об/хв і зачекайте кілька хвилин, доки обертання ротора стабілізується.
1.2. 	Відпустіть гвинт, що фіксує гіроскоп. Впевніться в тому, що ротор обертається з достатньою швидкістю — при легенькому штовханні важіль W не повинен змінювати свого положення. Чим пояснюється стійкість осі гіроскопа? "Пограйтеся" із гіроскопом, натискаючи олівцем на важіль W. Як рухається при цьому гіроскоп? За реакцією гіроскопа визначте, у який бік обертається ротор.
2. Визначення швидкості прецесії Ω.
2.1. Знову зафіксуйте гіроскоп. Зменьшіть швидкість обертання ротора гіроскопа до 7000 обертів/хв. Розташуйте тягарець m на максимальній відстані від центру мас гіроскопа та зафіксуйте його. Кнопкою “СБРОС” виставте на нуль покажчики секундоміра та кута повороту. Встановіть на нуль також стрілку, що вказує кут повороту осі гіроскопа.
2.2. Відхиліть важіль L вгору від горизонтальної площини і притримуючи його, відпустіть гвинт, що фіксує гіроскоп. При цьому повинна початися регулярна прецесія гіроскопа. Виміри продовжуйте доти, доки важіль L не прийме горизонтальне положення. Дослід повторіть ще раз. Фіксуйте не тільки величину швидкості прецесії, ате і в який бік вона відбувається.
3. Виконайте всю послідовність експериментів, вказаних у п. 2, при 3-х різних значеннях моменту Мтяж (Mms0K — момент сили тяжіння відносно центру інерції гіроскопа). Його змінюють, пересуваючи тягарець вздовж важеля.
4. Зменьшіть швидкість обертання ротора гіроскопа до 5000 обертів/хв і виконайте всю послідовність експериментів, вказаних у п.п. 2-3. Кожний експеримент проведіть тричі.
5. Повторіть дослід (п.п. 2-3) ще для декількох швидкостей обертання, (рекомендовано 4000, 3000 та 2000 об/хв). Якщо важіль L опускається швидко (на частотах 2000 об/хв та меньших), продовжуйте експеримент (п. 2.2) доки важіль не перестане опускатись. Для кожної частоти проведіть дослід 4-5 разів.
Обробка результатів експерименту
1. Усередніть отримані результати Ω з п.2. Зробіть це для кожного моменту сили тяжіння Mmsotc. при певній швидкості обертання ротора ωο· Визначте похибки.
2. Перевірте розрахунки попереднього пункту для кожного значення ωο·
3. Результати вимірів п.З (для кожного ωά) подайте у графічному вигляді як залежність Q=Q(M). Визначте за нею момент інерції гіроскопа Iz.
4. Побудуйте залежність виміряних значень I2 від швидкості обертання ротора ωο.
5. Оцініть момент сил тертя.
6. Оцініть похибки у визначенні Iz та Ω.
Контрольні запитання
1. Що таке гіроскоп? Які він має властивості? Що таке прецесія гіроскопа?
2. Від чого залежить швидкість регулярної прецесії гіроскопа?
3. Поясніть, чому жетон (диск), що котиться по підлозі, повертає у той бік, у який його нахилено?
27


4. Поясніть, чому під час прецесії важіль гіроскопа опускається? Що відбудеться, якщо підшовтхувати гіроскоп в бік прецесії? В протилежний бік?
5. Як впливає швидкість обертання на точність визначення моменту інерції? Якими даними можливо скористуватись для визначення моменту інерції*? Які фактори найбільш впливають на точність визначення моменту інерції гіроскопа?
28


Робота 2.3. Вивчення прямолінійного руху тіл у полі тяжіння за допомогою машини Атвуда
Теоретична довідка
Машина Атвуда призначена для вивчення законів руху тіл у полі тяжіння. Безумовно, найкраще вивчати поле тяжіння , досліджуючи вільне падіння тіл. Але прискорення земного тяжіння досить велике, і тому дослід потрібно проводити або на дуже високому приладі (висотою з Пізанську башту), або за допомогою приладів, що дозволяють вимірювати час з високою точністю (долі секунди). Машина Атвуда дозволяє сповільнити рух тіл до зручних швидкостей і за допомогою звичайних приладів визначити прискорення вільного падіння.
Література
1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. - M.: Наука, 1979, п.п. 10-13,22,25.
2. Стрелков С. П. Механика. - M.: Наука, 1975, гл. II, п.п. 13, 18, 21; гл. IV, п.п. 36, 37.
Поміркуйте:
1. Навіщо ліфтові потрібна противага? Як зміниться швидкість ліфта, якщо збільшити масу противаги?
2. Яким чином можна експериментально виміряти прискорення вільного падіння?
Мета: визначення прискорення вільного падіння в полі тяжіння Землі за допомогою машини Атвуда.
Устаткування:
машина Атвуда; набір тягарців та вантажів; терези.
Теоретичні основи експерименту
Машину Атвуда зображено на рис. 2.6. Легкий алюмінієвий блок 1 вільно обертається навколо горизонтальної осі, яку закріплено у верхній частині стояка. Через блок перекинуто тонку нитку, на кінцях якої підвішено тягарці А і Б, що мають рівні маси M Якщо на тягарець А покласти вантаж масою т, то рівновагу тягарців буде порушено, і система почне рухатися з прискоренням. На вертикальній колоні закріплено три кронштейни 2, 3, 4. Кронштейн 2 фіксує початкове положення тягарця А. Тягарець слід виставляти так, щоб його нижній край знаходився на одному рівні з бідою смугою на кронштейні. На кронштейнах 3 і 4 розміщено два фотодатчики, які дозволяють вимірювати час падіння тягарця А.
На початку експерименту тягарець А з вантажем зафіксовано завдяки фрикційному гальму. Вимкнення фрикційного гальма звільняє тягарець і система тягарців починає рухатись рівноприскорено. Коли тягарець проходить повз кронштейн
3. додатковий вантаж знімається за допомогою кільця, розташованого на тому ж кронштейні, і далі система рухається рівномірно. Таким чином, фотодатчики фіксують час рівномірного руху тягарця.
29


Для визначення закону руху тягарця А виберемо нерухому систему відліку з центром на осі блоку. Вісь X спрямовано вертикально вниз.
На тягарець А діють дві сили — сила тяжіння (M + n^g, та сила натягу лівої частини нитки Т\. За другим законом Ньютона
(М + т)% — T1=XM+т)а, (1)
де а — прискорення тягарця А.
Якщо вважати, що нитка, яка поєднує тягарці, не розтягується, то прискорення тягарця Б дорівнює за абсолютною величиною прискоренню тягарця А і спрямовано у протилежний бік, тобто дорівнює — а.
Таким чином, для тягарця Б другий закон Ньютона має вигляд
Mg-T2--Mat (2)
де T2 — сила натягу правого (за малюнком) кінця нитки.
Співвідношення між силами натягу Т\ і T2 можна знайти із рівняння моментів для блока, якщо знехтувати силою тертя у вальницях осі блоку:
(T1-T2)r=^, (3)
де J — момент інерції блоку, г — його радіус. Із сукупності рівнянь (І)-(З) дістаємо зв’язок між прискоренням вільного падіння g та прискоренням тягарців а:
m
Таким чином, тягарець А рухається рівноприскорено згідно з рівнянням (4). Якщо маса вантажу значно менша ніж маса тягарців m « M, то прискорення а значно менше ніж g, і тому його легше виміряти. Формула (4) значно спрощується, якщо знехтувати моментом інерції блоку:
тп
а - g
2 	M + т
(5)
За допомогою формули (4) чи (5) можна визначати прискорення вільного падіння. Для цього треба виміряти прискорення а. Для визначення а скористаємось тим, що на проміжку к\ між кронштейнами 2 і 3 тягарець рухається рівноприскорено і набуває швидкості
ν = д/2\а (6)
Після того, як біля кронштейна 3 тягарець А звільниться від вантажу, він проходить відстань H2 між кронштейнами 3 і 4 із сталою швидкістю ν. Вимірюючи час рівномірного руху t, знаходимо
ν = H2Zt. (7)
Порівнюючи (6) та (7), остаточно обчислюємо прискорення:
ЗО


(8)
Виводячи формулу (8), ми нехтували силою опору повітря.
Експериментальні подробиці.
Час руху тягарця вимірюється електронним секундоміром, який вмикається та вимикається при проходженні тягарцем оптичної осі фото датчиків S та 4, відповідно. Секундомір готовий до наступного виміру лише після натискання кнопки "Сброс", яка встановлює на нуль покази секундоміра.
Для того, щоб система тягарців з вантажем почала рухатись,, необхідно натиснути на кнопку "Пуск" (з фіксацією). При цьому вимикається фрикційне гальмо, що утримує тягарці у початковому положенні; секундомір приходить у стан очікування і запускається при проходженні тягарцем фотодатчика 3. Після проходження фотодатчика 4 секундомір вимикається і вмикається фрикційне гальмо.
Висота падіння визначається за шкалою, що нанесена на стояк, за різницею положень оптичних осей верхнього та нижнього фотодатчиків. Маса кожного з тягарців та маса вантажів визначається експериментально. Похибка вимірювання положення кронштейнів 2, 3, 4 є ±1 мм. Похибка вимірювання часу визначається експериментально. Інструментальна похибка вимірювання часу - 0,001 сек.
Завдання.
Перед початком систематичних вимірів корисно зробити кілька експериментів при різних Л і т для того, щоб впевнитись, що установка працює справно.
1. Визначте прискорення системи зв’язаних тягарців з вантажем (рис.2.6.).
Зафіксуйте кронштейн 3. Для обраних Лі і hi проведіть серію з 10 вимірювань часу / руху системи тягарців між 3 та 4 кронштейном. Чи достатньо цих даних для визначення я?
2. Повторіть експеримент для всіх наявних вантажів та їх різних комбінацій.
3. Поміняйте положення кронштейну 3 і повторіть дослід п.2 та п.З для нових значень Лі і Лг. Зробіть це ж для третьої пари Лі і Лг.
4. Зважте тягарці т та М. Оцініть із ваших даних значення g.
5. Зробіть необхідні виміри для оцінкі моменту інерції дюралевого блоку 1. Обміркуйте джерела імовірних похибок. Оцініть їх. Якщо для цього вам потрібні досліди, проведіть їх.
Обробка результатів експерименту.
1. Усередніть час / для кожного експерименту з окремим вантажем т (кожному ти, своє /,) та фіксованими Лу і Л2. Визначте випадкову похибку часу та порівняйте із похибкою, яку вносить секундомір. Дані зведіть у таблицю.
2. Для кожного випадку, користуючись формулами (5) та (8), розрахуйте прискорення а і g. Визначте похибки.
3. Побудуйте графічну залежність g від 1/т. Який вигляд має ця залежність? За яких мас отримане значення g найкраще узгоджується із табличним? (Див. таблицю). Користуючись отриманою залежністю визначте значення g.
4. Оцініть похибку експерименту. Зробіть висновки.
31


Контрольні запитання.
1. Як інакше можна виміряти прискорення вільного падіння, не застосовуючи надвисоких та надточних приладів?
2. Оцініть необхідну висоту приладу для безпосереднього дослідження прискорення вільного падіння тіл з тією ж точністю, що і в даній роботі в умовах Землі та на поверхні Місяця (силою опору повітря знехтувати).
3. Які недоліки непрямих методів виміру?
4. Як можна вдосконалити фотодатчик, щоб зменшити несвоєчасність спрацьовування фото датчика?
5. Чому для визначення g будують графік залежності від 1/т, а не т?
6. Чи можна нехтувати моментом інерції та тертя? Як вони впливають на визначення g для різних вантажів? Чи можна якось запобігти цьому впливу при розрахунках g?
Таблиця 1.
Прискорення сили тяжіння g (м/с2) на різних широтах.
Широта
0°
15°
30°
45°
60°
75°
0°
9,78030
9,78376
9,79321
9,80616
9,81914
9,82867
1°
9,78032
9,78422
9,79400
9,80706
9,81992
9,82911
2°
9,78036
9,78471
9,79481
9,80797
9,82068
9,82952
3°
9,78044
9,78523
9,79563
9,80887
9,82142
9,82990
4°
9,78055
9,78577
9,79646
9,80977
9,82215
9,83026
5°
9,78069
9,78634
9,79730
9-,81066
9,82285
9,83058
6°
9,78086
9,78693
9,79815
9,81155
9,82355
9,83088
7°
9,78107
9,78754
9*79902
1>,8Ї24?\
9,82420
9,83115
δ°
9,78130
9,78818
9,79989
9,81331
9,82485
9,83138
9°
9,78156
9,78884
9,80077
9,81418
9,82547
9,83159
IO0
9,78186
9,78952
9,80166
9,81504
9,82606
9,83176
11°
9,78218
9,79022
9,80255
9,81588
9,82663
9,83190
12о
9,78253
9,79094
9,80345
9,81672
9,82718
9,83201
13°
9,78291
9,79168
9,80435
9,81754
9,82770
9,83209
14°
9,78332
9,79244
9,80525
9,81835
9,82820
9,83214
32


Робота 3.1. Вивчення фізичного маятника.
Теоретична довідка
Фізичним маятником називають будь-яке тверде тіло, яке може вільно коливатись навколо горизонтальної осі під дією сили тяжіння. Рух такого маятника описується рівнянням:
А
ώ2
= M
(1)
де J — момент інерції маятника, φ — кут відхилення центра мас маятника від положення рівноваги, M— момент сил, що діють на маятник, t — час (рис.3.2 ). Наприклад, для однорідного стержня довжиною / за теоремою Гюйгенса- Штейнера момент інерції дорівнює
2 ті2
J ~ ms ,
12
де т — маса маятника, s — відстань між центром мас та віссю обертання,
Момент сили тяжіння, що діє на маятник знаходиться за формулою
M = -smg sin^,
Якщо кут φ малий, тоді sin^*^, і
M K -Smgq)
Добре налагоджений маятник може зробити кілька сот коливань без помітного згасання, тому моментом сили тертя в першому наближенні можна знехтувати. Підставляючи вираз для M в (1), легко отримати рівняння для коливань
з частотою
φ + ω2φ = 0
(2)
(3)
Рівняння (2) описує гармонічні коливання, що відбуваються за законом φ(ί) = A sin(cot + δ). Амплітуда коливань А та їх фаза £ залежать від способу збудження коливань, тобто від початкових умов. Власна частота коливань ω, згідно з (3), визначається тільки параметрами маятника J та s.
Період коливань фізичного маятника T= 2 я/ω, як і його частота, не залежить від фази та амплітуди коливань і дорівнює
T = 2 π . (4)
V mgs
33


Рух маятника описується рівнянням гармонічних коливань (2) лише за умови малих амплітуд, а саме, коли ςίηφπφ. Слушність такого припущення можна перевірити експериментально, впевнившись у незалежності періоду коливань від амплітуді.
то формула (4) буде мати такий самий вигляд, як і формула для періоду коливаінь математичного маятника з довжиною L:
Тому величину L називають зведеною довжиною фізичного маятника. Точку 0\ що віддалена від точки опори O на відстані L1 називають центром гойдання фізичного маятника. Точка опори та центр гойдання маятника взаємні, тобто при гойданні маятника навколо точки 0' період коливань повинен бути таким самим, як і підчас гойдання навколо точки О. Пропонуємо довести цей факт самостійно.
Література
1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. — M.: Наука, 1979, пл. ЗО, 33,35,36,40,41.
2. Стрелков С. П. Механика. — M.: Наука, 1975, гл. VII, п.п. 52, 59; гл. XIV, іт. 124.
Поміркуйте
1. Навіщо раніше годинники робили з маятником? Яку роль відігравав маятник і як у сучасних годинниках обходяться без нього?
2. Чому кулі із зміщеним центром мас вважаються небезпечнішими за звичайні?
Мета: Визначення прискорення вільного падіння за допомогою оборотного маятника.
Устаткування:
фізичний маятник (однорідний сталевий стержень з парою вантажів та призм); штатив для підвісу маятника; математичний маятник; лічильник коливань; секундомір; масштабна лінійка.
Теоретичні основи експерименту
В даній роботі використовується метод знаходження прискорення вільного падіння за допомогою визначення періоду вільних коливань фізичного маятника за формулами (4), (6).
Тут J — момент інерції маятника відносно осі гойдання, т — його маса, s — відстань від центра мас до осі обертання, L — зведена довжина фізичного маятника.
Масу маятника та період його коливань можна визначити з досить високою точністю. Але зробити це для моменту інерції досить важко. Уникнути цих труднощів допомагає метод оборотного маятника. В ньому замість величини J міряють зведену довжину маятника (5).
Якщо ввести позначення
(S)
(6)
34


Цей метод заснований на тому факті, що період коливань фізичного маятника не зміниться, якщо перечепити його так, що новою точкою підвісу стає колишній центр гойдання. Ця точка знаходиться якраз на відстані, рівній зведеній довжині фізичного маятника від осі гойдання та на одній прямій з віссю гойдання і центром мас.
Оборотний маятник, застосований у цій роботі, складається із сталевого стержня на якому закріплено два вантажі Bj і В2, кожен масою т, та дві опорні призми Пі та Пг (рис. 3.3).
Припустимо, що нам вдалося знайти такі положення вантажів, при яких періоди коливань маятника Т\ та 7Ь навколо с призм Пі та Пг співпадають, тобто
J і
MgSx У mgs2
(7)
Ця рівність можлива за умови рівності зведених довжин Li та Іг· З іншого боку, за теоремою Гюйгенса-Штейнера
J1 = Tnsi +J0, J1- msl + J0, W
де Jo — момент інерції маятника відносно осі, що проходить крізь центр мас паралельно до осі гойдання. Виключивши з формул (7), (8) Jq і /л, та використовуючи (4) знаходимо, що
4 л·2 (i, +¾)
(9)
П
jS,
Рис. 3.3
Таким чином, згідно з (6), L =Si+ $2· Зверніть увагу, що формулу (9) виведено із формул (7), (8) за умови Si * Si інакше формули (7) та (S) задовольняються тотожньо.
Виводячи формулу (9), ми нехтували різницею між періодами Т\ та Ті. Насправді, домогтися того, щоб вказані періоди співпадали неможливо, адже
T2 =2π.
V mSs І
J0 + Tns1
У "Igs2
(10)
Звідки маємо
Tigsi - Ths2 = 4л2 (J12 -J22), Враховуючи це, отримаємо більш точну формулу для g
8
4д·2
(H)
де введено період
Tj2-yI ~~ T12S1 Si -S1
(12)
Проаналізуємо межі застосування нашої теорії. Для цього розглянемо похибку визначення Tb, яка сама залежить від похибок вимірювання періодів аТу та στ%:
35


(13)
σΓ0 =
При непоганому обладнанні, коли — ® —1 = Er «1 маємо
T1 T2
(14)
Зауважимо, що при $2 »похибка σΤο значно зростає і це відбивається на точності визначення g. Тому значення S2IS1 не повинні бути дуже близькими. З іншого боку, якщо ці величини дуже відрізняються, то, період коливань істотно збільшується, отже, збільшується час спостереження і; відповідно, роль сил тертя. Таким чином, під час виконання експерименту треба слідкувати за тим, щоб відношення SiZs2 було не дуже великим і не дуже малим, рекомендований інтервал
Експериментальні подробиці.
Система для визначення періоду коливань складається із електронного секундоміра та лічильника періодів. Лічильник періодів працює так. Поблизу положення рівноваги маятника розташовано фотодатчик. Підчас коливань стержень перетинає вісь фотодаггчика і таким чином посилає сигнал на лічильник. Лічильник реєструє кожен другий імпульс. Оскільки протягом періоду маятник проходить через будь-яке положення двічі, то таким чином показ лічильника відповідає кількості періодів. Лічильник періодів вмикається кнопкою "Сброс", яка разом з цим виводить на нуль покази вимірювача. Одночасно з лічильником вмикається електронний секундомір. На цифровому табло лічильника періодів можна спостерігати кількість зроблених маятником коливань (від моменту вмикання вимірювача). Вмикання кнопки "Стоп" призводить до зупинки лічильника періодів і секундоміра після проходження маятником ще одного положення рівноваги. Тому за необхідності дослідити певну кількість періодів (припустимо, 10) кнопку "Стоп" слід натискати в той момент, коли цифрове табло показує кількість періодів на одиницю меншу за необхідну (в наведеному прикладі, 9).
Таким чином, рекомендований порядок вимірів такий:
а) відхиливши стержень від положення рівноваги, збуджуємо коливання;
б) вмикаємо кнопку "Сброс";
в) при необхідності виміряти час п коливань (для грубих вимірів п- 10-15, для точних п = 20-25 періодів) вмикаємо кнопку "Стоп" в той момент, коли на табло кількості періодів з’явиться число п-1;
г) визначаємо період одного коливання, поділивши зареєстрований секундоміром час спостерігання на кількість періодів.
Власна похибка вимірювання електронного секундоміра ± 0,001 сек.
1,5 < SiZs2 < 3.
(15)
36


В даній роботі для незалежної оцінки приведеної довжини фізичного маятника застосовується модель математичного маятника, що являє собою масивну кулю, підвішену на двох нитках (рис. 3.4). Довжину ниток змінюють, намотуючи їх на вісь. Повертаючи верхній кронштейн, на якому закріпалено маятник, на 180° так, щоб куля маятника перетинала оптичну вісь, можна виміряти період цього маятника. (Риска на кулі має знаходиться на одному рівні з фотодатчиком).
Завдання
1. Визначте діапазон амплітуд, за яких період коливань маятника T не залежить від амплітуди. Для цього відведіть маятник від положення рівноваги на деякий кут <р\ (-10°) та виміряйте час, за який маятник зробить 50 коливань. За результатами експерименту знайдіть період коливань Т.
Повторіть експеримент, зменшивши початкове відхилення в 1,5-2 рази, а потім ще раз так само зменшіть амплітуду. Якщо періоди збігаються в границях похибки вимірювань, то для подальших вимірювань можна вибирати будь-яке початкове відхилення, менше за φ\. Якщо періоди значно відрізняються, треба вивчати поведінку маятника за ще менших відхилень.
З’ясуйте, що вносить найбільшу похибку у визначення періоду і спробуйте її зменшити.
2. Зафіксуйте вантажі на стержні несиметрично, таким чином, щоб один з них був розташований біля кінця стержня, а інший — біля середини стержня. Розташуйте опорні призми по обидві сторони від центра мас системи. Виміряйте періоди коливань маятника Т\ та T2 навколо призм П| та U2.
3. Дослідіть залежність періодів коливань Т\ та T2 від положення вантажів Bi та Вг. При цьому достатньо вимірювати час 10-15 коливань. З’ясуйте:
• який з вантажів сильніше впливає на величину періодів;
• який з вантажів істотно впливає на різницю періодів.
4. Пересуваючи вантаж, що істотно впливає на різницю періодів, досягніть грубого співпадання періодів. Визначте періоди за 10-15 коливаннями. Виміряйте відстані між вантажами та їх положення на стержні, знайдіть положення центра мас маятника. Оцініть величину відстаней Jj та S2. Як зазначалось вище, вони мають відрізнятись не менше як у 1.5, і не більше як у 3 рази.
5. Змінюючи положення вантажу, який менше впливає на періоди, досягніть збігу періодів Т\ та T2 з точністю не меншою, ніж \%. Перевірте, чи задовольняють в цьому випадку значення Ji та S2 нерівністі (15). Остаточне вимірювання періоду коливань маятника слід робити за 20-30 повних коливань. Необхідно також впевнитись в тому, що вплив тертя при такій кількості коливань незначний (тобто амплітуда коливань помітно не зменшується).
6. Знайдіть зведену довжину фізичного маятника. Перевірте це значення за допомогою моделі математичного маятника. Змінюючи довжину маятника за допомогою котушки, добийтесь співпадіння періодів математичного та фізичного маятників у межах точності вимірів.
37


7. 	Повторіть вимірювання ще для декількох (не менше 4-5) значень зведеної довжини фізичного маятника (відстані між опорними призмами).
Обробка експериментальних даних
1. Побудуйте графік залежності І від T2t і за ним визначте прискорення вільного падіння (згідно із формулою (9)).
Порівняйте знайдене значення g із табличним (див. Таб.1).
2. Визначте похибки обчислень на кожному кроці експерименту та оцініть загальну похибку.
Контрольні запитання
1. При яких спрощуючих припущеннях отримано формулу (4)?
2. На якій відстані між центром мас та точкою опори період коливань буде найменшим?
3. Поясніть, як буде рухатись фізичний маятник, якщо точку опори розташувати в центрі мас маятника.,
4. Чому у математичного маятника дві нитки?
5. Сформулюйте та доведіть теорему Гюйгенса-Штейнера.
6. Чим в даному експерименті визначається абсолютна похибка вимірювання періоду коливань маятника?
7. Виведіть (4), (9), (11).
38


Робота 3.2. Вивчення коливань струни
Теоретична довідка
Розглянемо процес розповсюдження хвиль у струні, яку закріплено на кінцях. Найпростішу хвилю, яку зображено на рис. 3.5, можна утворити, відтягнувши струну, і відпустивши її. Утворене збурення пересувається вздовж струни, не змінюючи своєї форми, при цьому ділянки струни відхиляються перпендикулярно до напрямку розповсюдження хвилі (напрямку струни). Таке збурення називається поперечною хвилею. Швидкість розповсюдження збурення вздовж струни називається швидкістю хвилі с. Ця швидкість стосується збурення як цілого й залежить тільки від густини та натягу струни. Швидкість с слід відрізняти від швидкостей окремих точок струни иу яку вони набувають під час розповсюдження хвилі. Швидкості и залежать від початкового відхилення струни, змінюються з часом, а у поперечній хвилі перпендикулярні до струни, і, відповідно, до напрямку с.
Розглянемо два положення струни — початкове (лінія 1 на рис. 3.5) і наступне, (лінія 2). За час At кожна точка хвилі зсунеться вздовж напрямку струни на однакову відстань Ах. Швидкість хвилі визначається як
Рис. 3.5
Δχ άχ
(I)
Нехай генератор збуджує в струні коливання з частотою ω. Для струни, що мас скінченну довжину (тобто обмежена з двох сторін), картина коливань досить складна за рахунок додавання багаторазово відбитих хвиль. Проте, за деяких значень частоти в струні збуджуються так звані стоячі хвилі, які ми розглянемо докладніше»
Гармоничні коливання струни при розповсюдженні біжучої хвилі мають вигляд
Ух = ^s
(2)
якщо хвиля рухається у бік збільшення х, або
(3)
при русі хвилі в бік зменшення X
У наведених формулах у і та уг — зміщення точок струни від положення рівноваги, А та В — амплітуди, ω— кругова частота хвилі, с — швидкість розповсюдження хвилі. Хвилю, що описується рівнянням (2), будемо вважати, наприклад, набігаючою, а ту, що описується рівнянням (3) - відбитою. При додаванні хвиль (2) та (3) зміщення точок струни рівне:
У = Ух +У? = ^sin
(4)
Запишемо (4) у вигляді
39


у = А\sin со\
('-^1“5тК,+с)
+ (A-B) sin
звідки після застосування формули для різниці синусів двох кутів, отримуємо
У =
-2A SinJ ω — J cosiyr + (А - В) sin
(5)
Якщо A=B, то у виразі (5) залишається перший доданок, що описує стоячу хвилю. Всі точки стоячої хвилі коливаються синфазно, а її амплітуда залежить від координати за синусоїдальним законом, тобто кожну мить струна має форму синусоїди (рис. 3.6).
В точках струни, де Sin(^icZc)=O, немає зміщень. Такі точки називають вузлами коливань. Очевидно, що координати вузлів задаються виразом
Рис. 3.6
пж
X
ω
(6)
де п — будь-яке ціле число. (Зауважте, що за початок відліку х у наведених формулах обрано вузол стоячої хвилі). Якщо ввести довжину коливань за формулою
с _ 2ж
f <*>
(7)
(f — частота коливань в герцах), то замість (6) маємо
ηλ
(Ю
Сусідні вузли коливань віддалені один від одного на половину довжини хвилі. В точках закріплення струни завжди розташовуються вузли стоячої хвилі. Таким чином, точки закріплення віддалені одна від одної на ціле число півхвиль, і стоячу хвилю можна збудити тільки на частотах, при яких на довжині струни вміщується ціле число півхвиль.
Коливання, при якому на довжині струни вміщується одна півхвиля, називають основним тоном. Всі інши стоячі хвилі називають обертонами. Точки, в яких амплітуда стоячої хвилі найбільша, (тобто Sin(^zcZc)=Il) називають пучностями.
Другий доданок в (5) описує біжучу хвилю. Біжуча хвиля з’являється за нерівних амплітуд А та В, що призводить до коливального руху в вузлах стоячої хвилі. З урахуванням (7) формулу (5) можна переписати у вигляді
У =
coscot + (А- В) sin^ соі +
(9)
З рівняння (9) при A =B та мал. 3.6 видно, що всі точки між двома сусідніми вузлами коливаються синфазно, але з різними амплітудами. При переході через вузол, амплітуда хвилі змінює знак (або фаза змінюється на я).
40


За відсутності другого доданку у формулах (5) або (9) вузли коливань не рухаються, тому через них не може переноситись енергія. У реальному експерименті завжди існують ті чи інші енергетичні втрати, які компенсуються зовнішнім збуджувачем коливань. Таким чином, у реальних умовах другий доданок в (5) та (9) ненульовий: під час коливань обов’язково існує як стояча хвиля, так і біжуча, що переносить енергію від збуджувача вздовж всієї струни.
Література
1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. — M.: Наука, 1979, п.п. 81, 84.
2. Стрелков С. П. Механика. — M.: Наука, 1975, гл. XV, п.п. 137-143.
Поміркуйте:
1. Навіщо під час гри на гитарі або скрипці притискають струну до грифу?
2. Що відбувається, коли притискають струну в іншому місці?
3. Пригадайте, яким чином настроюють гітару. Що при цьому відбувається?
Мета: збудження та дослідження стоячої хвилі на гнучкій однорідній струні.
Устаткування:
Прилад для вивчення коливань струни, що включає: лаву із струною, звуковий генератор, магніт, динамометр.
Теоретичні основи експерименту
В роботі досліджуються коливання гнучкої однорідної струни, яку натягнуто між двома нерухомими точками. Схему експериментальної установки зображено на рис. 3.7. Для збудження коливань від генераторі 8 через струну подається змінний струм. Магнітне поле сталого магніту 3 діє на електричний струм. Сила Лоренца відхиляє струну в той чи інший бік в залежності від напрямку струму і, таким чином, у струні збуджуються коливання із частотою звукового генератора.
На металевій лаві 1 розташовано кілки 2 і 4, магніт 3 та динамометр 5. Струну протянуто крізь кілок 4 та отвір у електромагніті 3. Один з кінців струни прикріплено до кілка 2, а інший — до динамометра 5, що за допомогою ручки 6 може змінювали натяг струни. Сила натягу подана на шкалі динамометра 7 у ньютонах.
41


Збуджені у струні хвилі відбиваються від кілків 2 та 4У додаються і, на кінець, утворюють досить складну картину коливань Але за умови, що на довжині струни вміщується ціле число півхвиль, падаючі та відбиті хвилі співпадають по фазі. Підсилюючи одна одну, вони утворюють стоячі хвилі. Рівняння стоячих хвиль згідно з (9) (при A=B) має вигляд:
у = -2ASin(2J) cosiy/. (10)
Тут змінні: у — зміщення точок струни від положення рівноваги, х — координата вздовж струни, / — час; сталі: А — амплітуда, ω — кругова частота, λ — довжина хвилі.
Припустимо, що при деякому натягу струни та частоті генератора в струні з’явилася стояча хвиля. З експерименту відомо, що будь-яка зміна натягу струни призводить до розмиття картини коливань. Щоб за цих умов знову отримати стоячу хвилю з тим самим числом вузлів, треба змінити частоту генератора. Таким чином, довжина стоячих хвиль залежить від натягу струни. З’ясуємо цю залежність.
Вивід рівняння коливань струни з застосуванням диференціальних рівнянь
Розглянемо рис. 3.8. Припустимо, що струна, яку закріплено в точках Oy 0' коливається в площині ху. Виділимо елемент струни, розташований між точками X та х+сіх. На кінці цього елемента діє сила натягу Ty що не залежить від х. Проекції сили натягу струни на вісь у у точках Jc та х+сіх дорівнюють, відповідно, (рис. 3.8)
T sin Qr(Jc) * TIga(Jc) = Т— дх
T sin а(х + άχ)-T^- ’ дх
і+Лс
(Ми скористалися тим, що кут а« 1).
Сила, що призводить до руху елемента άχ вздовж осі у, дорівнює різниці проекцій сили натягу на цю вісь. Отже, за другим законом Ньютона
' & У
д у
\
д х
V
«А д х
х)
άχ,
(П)
де р — густина струни на одиницю довжини. Поділивши обидві частини (11) на άχ, отримуємо за умови άχ -> O так зване хвильове рівняння
42


(12)
2 ^ У &У
аг = аг'
де введено позначення с2 = ТІр.
Хвильове рівняння (12) — не^рівняння з частковими похідними. У загальному випадку Його розв’язок у(х, t) складним чином залежить від х та Л Задача значно спрощується, якщо припустити, що
у = А(х)Щ. (13)
Саме такий вигляд має стояча хвиля. Дійсно, в стоячій хвилі всі точки струни коливаються за одним й тим самим законом, тобто як Β(ί), а амплітуда коливань залежить тільки від координати точки, тобто описується функцією А(х).
Підставимо (13) у хвильове рівняння. Після ділення обох частин рівняння на AB, отримуємо
, і а2 л(х) і а2в(о са аг ~ в аг
(14)
Видно, що ліва частина цієї рівності не залежить від t, а права — від х. Це можливо лише за умови, що обидві частини не залежать ні від ґ, ані від х, тобто є сталими. Припустимо, що ця стала від ’ємна і позначимо її як -Ar2C2. В цьому випадку рівняння (14) розпадається на два:
ά]Β_
dt2
+ с2к2В = 0,
Ci2A
сіх2
+ к2А = 0.
(15)
Розв’язки рівнянь (15) мають вигляд гармонічних функцій (впевніться в цьому):
А = Aq sinfcc, B = Bo coskct, (16)
а розв’язок хвильового рівняння описує стоячу хвилю
у =уо SinAx-Costo, (17)
деуо — стала, що визначає амплітуду коливань.
Якщо припустити, що (14) дорівнює додатній сталій, то в рівнянні (15) слід поміняти знак перед А2. Тоді їх розв’язками будуть експоненційні функції, що описують згасаючий, а не коливальний рух.
Величина А не може бути довільною. Вона приймає лише значення, що визначаються умовами на кінцях струни χθ, ή = у (Lj) = O (L — довжина струни):
sinAT = 0, HL = яи, п= 1,2,3,... (18)
Число п визначає кількість пучностей (але не вузлів!) стоячої хвилі. Таким чином, хвильове рівняння має розв’язок (17) із значеннями А, що задовольняють (18).
Частота коливань/визначається із (17) як
Ac = Iuf. (19)
З 	рівнянь (18), (19) визначаються власні частоти струни, тобто частоти, при яких в струні збуджуються стоячі хвилі:
п
IL
L
(20)
43


Підставляючи (18), (19) в (17), отримуємо
у(х, ή = уо SmimtxfLycos(ITft). (21)
Цю формулу слід порівняти з формулою (9).
Вивід рівняння коливань струни через обертальний рух
Як ми бачили вище, точний розрахунок коливань струни призводить до диференціального рівняння. Задача значно спрощується, якщо звести коливання струни до обертального руху. Обертання можна розглядати як суму коливань з однаковою частотою у взаємоперпендикулярних напрямках. Таким чином, якщо знайти умови, за яких струна може обертатися із даною частотою, то за цих же умов вона може й коливатись з тією ж частотою.
Отже, розглянемо закріплену з двох боків (точки О, 0' на рис. 3.8) струну, що обертається з кутовою швидкістю (о. Виділимо елемент струни розташований між точками х та х+сіх. На кінці цього елемента діє сила натягу Г, що не залежить від х і визначається силою, прикладеною до кінця струни. Проекції сили натягу струни на вісь у у точках х та χ+άχ дорівнюють, як це вже було знайдено, відповідно (рис. 3.8)
ду
T Sina(X)» T tga^) = Т—
,Tsmaix + ^x) ~
Ми скористалися тим, що кут а « 1. Виконуючи тотожні перетворення, знаходимо, що різниця проекцій сили натягу дорівнює
<?У
Ух
, дх
х+ах
х'
-pIoix-
(22)
(22) за виглядом співпадає з (11), але на відміну від (11), (22) є тотожністю, а не рівнянням).Проекція сили T є доцентровою силою, що призводить до обертання струни. З іншого боку, доцентрову силу можна записати у вигляді
- ρωιγάΙ» -ρω1 усіх, (23)
де dl — довжина елементу струни, р — густина на одиницю довжини, і зважено на те, що сила спрямована в бік від’ємних значень у. Приймаючи до уваги (22) та (23), отримуємо рівняння для обертання струни:
= Paf2y-
Легко впевнитись, що рівнянню (24) відповідає функція
1
у = уо sinfoc, k = ω
(24)
(25)
Таким чином, струна, що обертається, має форму синусоїди. Відхилення у рівне нулю на кінцях струни. Звідки знайдемо, що kL= т, де L — довжина струни. Підставляючи це співвідношення в (25), отримуємо для циклічної частоти ω
44


2
(26)
Для частоти /маємо
(27)
Зауважимо, що власні частоти (26) не залежать від пружних властивостей струни. Цей дивний на перший погляд результат є наслідком припущення про те, що сила натягу не змінюється під час коливань. В умовах нашого експерименту це припущення виконується.
Розвинута вище теорія описує рух ідеально гнучкої струни у вакуумі. При коливаннях реальної струни завжди виникає розсіювання енергії (за рахунок опору повітря, тертя в кілках, тощо). Розсіяння енергії призводить до виникнення біжучої хвилі. Впливом біжучої хвилі можна знехтувати, якщо енергетичні втрати за: період значно менші від запасу коливальної енергії в системі.
Енергія хвилі пропорційна квадрату її амплітуди, тому умови застосування розвинутої теорії можна записати у вигляді нерівності
де я, у — амплітуди біжучої та стоячої хвилі, відповідно. Амплітуду біжучої хвилі визначають за розмиттям вузла, а амплітуду стоячої хвилі міряють в найближчій до цього вузла пучності.
Експериментальні подробиці
Після того, як генератор ввімкнуто, він має прогрітися протягом 5-10 хвилин. Сила натягу струни регулюється динамометром. Частота генератора регулюється ручкою “Частота” та змінюється в двох діапазонах 10-М00 та 100-М00 Гц. Амплітуда коливань реіулюється ручкою “Вьіход”
Завдання
1. Розгляньте конструкцію установки. Увімкніть прилад.
2. Підбираючи належним чином частоту генератора, отримайте картину стоячих хвиль. Перевірте, чи виконується нерівність (28).
3. Змінюючи натяг струни при фіксованій частоті коливань, згенеруйте стоячі хвилі з різною кількістю пучностей п. Занотуйте значення сили натягу для різних п.
4. Повторіть виміри п.З ще для 3-4 зпачень частоти.
5. При постійному натяг)' струни, змінюючи частоту генератора, отримайте стоячі хвилі з різною кількістю пучностей η (до максимально можливої). Для кожного η зафіксуйте значення частоти.
6. Натягуючи струну, повторіть виміри п.5 для різних значень натягу (10-12 значень). Повторіть виміри для цих же значень натягу, послаблюючи струну.
7. Визначте довжину та товщину струни.
(28)
45


Обробка експерименту.
1. Користуючись даними, отриманими в п. 3-4, побудуйте залежність сили натягу T від
Mn2. Чи відповідає вона формулі (27)? Розрахуйте густину матеріалу струни.
2. Результати п. 5-6 подайте у графічному вигляді, відкладаючи вздовж осі абсцис виміряні значення частоти, а вздовж осі ординат — значення власних частот струни, розраховані за формулою (27). Позначення точок слід вибирати таким чином, щоб можна було розрізнити дані, що відповідають різним значенням натягу. Визначте похибки, з якими отримані експериментальні точки. Позначте їх на графіку. Чи збігаються розраховані та виміряні значення в межах похибки експерименту? Які можуть бути причини розбіжності?
Контрольні запитання.
1. Формулу (21) було застосовано для опису стоячої поперечної хвилі. Чи можна за допомогою тієї ж формули описати коливання, що відповідають стоячій поздовжній хвилі?
2. Яким чином відбиваються хвилі від вільного та закріпленого кінця струни? Чому в одному з випадків хвилі відбиваються із втратою півхвилі, а в іншому - без втрати?


Робота 3.3. Визначення пружних сталих твердих тіл та газів за швидкістю розповсюдження звуку
Теоретична довідка
Швидкість звуку та пружні сталі
Розповсюдження звукових хвиль у середовищі зумовлене наявністю в останьому пружних сил. Ця обставина дозволяє використовувати звукові та ультразвукові методи для вивчення пружних властивостей різних тіл.
Звукові хвилі — це хвилі, частоти яких лежать в звуковому та ультразвуковому діапазоні, вони бувають поздовжні та поперечні. В поздовжній хвилі частинки середовища відхиляються вздовж напрямку розповсюдження хвилі, а в поперечній — перпендикулярно до нього. Поздовжні ультразвукові хвилі можуть розповсюджуватися у будь-якому середовищі, а поперечні — лише в твердих тілах, здатних до опору зсуву.
Швидкість розповсюдження хвиль залежить від їх типу та визначається густиною та пружними властивостями середовища. Загальна формула для швидкості хвиль має вигляд
'■1-1
№).
(і)
де р — густина середовища, P - тиск у ньому, а нижній індекс 41 ад ” означає, що похідна береться для адіабатичного процесу.
Пружні властивості газа та рідини визначаються адіабатичним коефіцієнтом стисливості
1I^l =1(ФЇ \я)« рUpJ.
Підставляючи (2) в (1), отримуємо формулу для швидкості поздовжних хвиль
C - ; Wj
■ірк
В газах та рідинах з нехтовно малою в’язкістю поперечні хвилі не розповсюджуються.
Пружні властивості ізотропних твердих тіл визначаються двома незалежними сталими, а саме, коефіцієнтом Пуассона та одним з модулів — модулем Юнга, зсуву або однобічного розтягнення.
Коефіцієнтом Пуассона μ називають відношення відносного поперечного стиснення до відносного подовження зразка:
AaAI Aa І (4)
М~~ а
Для більшості речовин коефіцієнт Пуассона менший, ніж 0,5.
47


Модуль Юнга E визначається як коефіцієнт пропорційності між напругою
* Al
T та відносним подовженням зразка —
за такого статичного навантаження, коли разом із подовженням зразка у поздовжному напрямку виникає стиснення у поперечному напрямку і навпаки (рис. 3.9):
Ψ
Лп А
T
T
Ж > Al
Рис. 3.9
T = E-. І
(5)
Аналогічна ситуація виникає при розповсюдженні поздовжної хвилі з довжиною, що значно більша від поперечних розмірів зразка. Тому модуль Юнга можна визначити і за швидкістю звуку, користуючись формулою (3), в якій K =1/Е.
Якщо при навантаженні зразок розтягується або стискається у поздовжному напрямку, а його поперечні розміри залишаються незмінними, замість модуля Юнга використовують модуль однобічного розтягнення:
E1 = E
2 1
3(1 + а) + 3(1-2а)
(6)
Модуль однобічного розтягнення визначає швидкість розповсюдження поздовжних хвиль з довжиною значно меншою за поперечні розміри зразка; у цьому випадку в формулу (3) треба підставити K =1/Е'
Нарешті, модуль зсуву G-He коефіцієнт пропорційності між дотичною напругою τ
σ
та кутом зсуву /(рис. 3.10):
T = G/.
В ізотропних тілах
G = ———. 2(1+ а)
(7)
(8)
Модуль зсуву можна визначити і за швидкістю розповсюдження поперечних хвиль, якщо в формулу (3) підставити X=
Рис. ЗЛО
48


Звукові хвилі
Виведемо рівняння, що описує розповсюдження поздовжних звукових хвиль у твердому тілі. Розповсюдження поздовжної хвилі призводить до виникнення областей з підвищеною та пониженою густиною. Виділимо В середовищі ДВІ ПЛОЩИНИ S] та $2, розташовані на відстані Лх одна від одної перпендикулярно до напрямку розповсюдження хвилі х (рис. 3.11а). Якщо внаслідок розповсюдження хвилі точки однієї площини зсуваються на відстань у{х) від положення рівноваги, а другої —■ на відстань у(х^ Ах), то відносна деформація елемента середовища Ax дорівнює
[Я* + Ах)-Я*)] dy
’ Ax ia^dx '
Згідно із законом Гука, деформація в точці х призводить напруги)
Г(х)=£^, ах
якщо поперечні розміри середовища змінюються, та
Т(х) = Е'& (Ю')
άχ
якщо не змінюються. Тут E — модуль Юнга, E'— модуль однобічного розтягу, Г(х) — сила, яка діє на одиницю площі перпендикулярно до неї (тобто, вздовж х).
Розглянемо елемент середовища Δχ між площинами Si та S2 (рис. 3.116). Ліворуч на Si зі сторони середовища діє тиск Т(х), який передається елементу Δχ. В свою чергу, Δχ діє на S2 з зусиллям Цх+Дх). Будем вважати середовище нескінченно широким, тому зміну напруги між площинами Si та S2 знайдемо за допомогою формули (10'):
Г(х + Ах)-Г(х) = АхЕ‘-4 (11)
Згідно третього закону Ньютона, на одиницю площі елемента Δχ з боку S2 діє така ж сама сила Γ(χ+Δχ), але протилежного напрямку (вказано на рисунку). Ми бачимо, що сумарне зусилля на елемент Δχ дорівнює 7\х+Ах) — Г(х), що за другим
<ігу _
законом Ньютона повинно призводити до прискорення —у точок Δχ. Тоді
до виникнення зусилля (або (10)
49


(12)
Прирівнюючи праві частини (11) та (12), одержимо:
(13)
де р — густина середовища.
Рівняння (13) (так зване хвильове рівняння) описує розповсюдження плоскої звукової хвилі вздовж осі х. Зсув у залежить від часу та координати х за законом:
де А — амплітуда зсуву; ω — кутова частота коливань; к — хвильове число. Якщо винести к за дужки, то
визначає швидкість звуку в пружному середовищі. В звичайних умовах швидкість звуку в повітрі дорівнює приблизно 330 м/с, у воді — 1500 м/с, в кварці — 5700 м/с, в залізі — 6000 м/с.
Швидкість розповсюдження звуку є фактично швидкістю розповсюдження сигналу. Її треба відрізняти від швидкості часток середовища. Швидкість частинок знаходиться диференціюванням (14) за часом:
Таким чином, швидкість частинок гармонічно залежить від часу. Амплітуда цих коливань дорівнює A ω.
Кінетична енергія середовища, віднесена до одиниці об’єму, дорівнює
За гармонічних коливань потенціальна енергія хвилі в середньому дорівнює кінетичній. Сума цих двох енергій — повна енергія, віднесена до одиниці об’єму, — дорівнює
(Ми скористалися тим, що усереднене за період значення квадрата косинуса дорівнює
1/2).
Повна енергія передається хвилею, тобто пересувається із швидкістю с. Потік енергії через одиничну площадку, що перпендикулярна до напрямку розповсюдження хвилі, називають інтенсивністю. Вона дорівнює
у = Asiniw t — кх\
(14)
у = А$шЩсї—др)].
(14')
В цій формулі величина
(15)
к
учас = A ω соб( ω і — кх).
(16)
(17)
(18)
J _ PcA2CO1 ” 2
(19)
50


У реальному середовищі при проходженні звукової хвилі частина її енергії поглинається речовиною і перетворюється на теплову. Це призводить до згасання хвилі, тобто амплітуда коливань в плоскій хвилі при розповсюдженні зменшується за законом
А = ЛоЄхр(—Aor). (20)
Коефіцієнт Ao називають коефіцієнтом поглинання. Інтенсивність коливань І пропорційна квадрату амплітуди, отже
/ = /0ехр(—2Аох). (21)
Вимушені коливання. Резонансна крива
Оскільки між частотою поздовжних коливань та довжиною звукової хвилі існує зв’язок (15), стояча хвиля збуджується тільки за певних частот (згадаємо роботу 3.2). Динаміку розповсюдження хвилі в поглинаючому середовищі можна описати рівнянням, аналогічним (13):
2 dt2 &
(22)
де, порівняно з (13), введено додадковий член, що відповідає за поглинання хвилі з часом. Коефіцієнт δ називають коефіцієнтом згасання Він характеризує поглинаючи властивості середовища.
Нас цікавлять стоячі хвилі, тому будемо шукати розв’язок у вигляді (дивись роботу 3.2)
у(х,і) = Cosikx-кр') у(ї)
Для того, щоб цей розв’язок дійсно описував стоячі хвилі, необхідно аби виконувалися граничні умови. На стержень довжиною L із незакріпленими кінцями з боку зовнішнього середовища ніяка сила не діє. Отже сили, що діють з боку стержня на середовище, теж мають дорівнювати нулю. Згідно із (10) ці сили дорівнюють
сIy
Т(х) = Et —. Звідси маємо умови: сіх
T(O) =E'f сіхх
= T(L)=E Λ сіх
= 0
(24)
Оскільки рівності (24) справедливі для будь-якого моменту часу, то підставляючи (23) в (24) отримуємо:
(25)
біп(0 + <р') = sin (kL + φ') = 0.
Це означає, що φ' = 0, а друге -IcL = Tm. Хвильове число k = , де λ - довжина хвилі.
Λ
Таким чином, хвильове число визначає кількість пучностей на 2π одиниць відстані.
51


Друга умова в (25) накладає обмеження на можливі значення хвильових чисел, а отже, і частот, за яких можливе існування стоячих хвиль:
к,
т
T
λ,
2 L
2ж _ ст
п = 1,2,...
(26)
Коливання, що збуджуються сторонньою силою носять назву вимушених. Розглянемо процес збудження стоячих хвиль генератором, що діє на середовище із силою Fft) = Acoscot. Такий процесе описується рівнянням типу (22), але із стороньою силою у правій частині:
Sy
<ь2
I d2 у dy
—■ + 26 — = Acoscot.
di2
ώ
(27)
Шукаємо розв’язок у вигляді стоячої хвилі (23). Підставляючи (23) в (27) та враховуючи, що кс = ω0, отримуємо рівняння, яке описує динаміку стоячих хвиль:
dLl
ώ2
+ 26 — + eoly = A cos cot. dt
(28)
За відсутності зовнішньої сили права частина (28) дорівнює нулю:
dt
у + 26% + а>1у- dt
0.
Такс рівняння має розв’язок
у = В ехр(—61) Siniyj Г, (29)
де <у, - ^COq -S2 — частота вільних коливань у стоячій хвилі з урахуванням згасання, а В — її амплітуда. (Пропонуємо перевірити формулу (29) самостійно).
За наявності зовнішньої сили розв’язок рівняння (28) будемо шукати у вигляді
у = D Cos(O) t.+ ф), (ЗО)
де D — амплітуда, ер— фаза коливань. Підставляючи (ЗО) в (28), отримуємо
ϋ{(ο)ο2— а?) Cos(O) t + φ) — 2о)6Sin(O)t+ φ)} =A cos(ωή. (31)
Після елементарних алгебраїчних перетворень рівняння (31) зводиться до {я(<у2 - о)2 Jcosφ - D - 2ω6 sin φ - ^Jcos eot - - {/)(α>ο2 - о)2 Jsin ер +D- 2ωδ cos 0>}$іп eot = 0.
Рівняння (29) повинно виконуватись для будь яких значень часу t. Щоб це відбувалось, вирази, на які домножуються синус та косинус у (32), повинні дорівнювати нулю. Звідси
JD^eol - ω2 Jcos φ - 2ωδ sin φ} = At
}(ύ?02 - ω2 ^in φ + 2ωδ cos φ = 0. @3)
Розв’язком системи (33) є
52


(34)
Ί(ύδ 2ύ)δ
φ ^arctg = - arctg - — ;
ω-COq ω,
Λ/(ύ)02-φ2)2 +MjdS)2
Таким чином, амплітуда вимушених коливань завжди пропорційна амплітуді вимушоючої сили. Із (35) легко отримати формулу для співвідношення інтенсивностей примусових коливань І ~ D2 та зовнішньої сили Iq ~А2:
у = |й>02 - ωг J + 4(ωδУ [ , (36)
З формули (36) видно, що інтенсивність збуджуваних хвиль значно зростає, якщо частота зовнішньої сили ω співпадає з частотою сиь. Таке явище називають резонансом. Отже, ми отримали результат, що резонанс наступає тільки за певних
- 2 кс пкс ,
частот збуджуючої сили ω - - = , де п — ціле, а / — довжина тіла чи середови-
λ І
іца, що резонує. Тобто збудження стоячої хеті співпадає з резонансом нашої системи. Зауважте, що за наявності згасання, частота вільних коливань ωі відрізняється від щь-
Jlimepamypa
1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. — M.: Наука, 1979, п.п. 78, 81,83,85.
2. Стрелков С. П. Механика. — M.: Наука, 1975, гл. XV, п.п. 137-148.
3. Берклеевский курс физики. Волньї. т.З. 1974, гл. 1, 2, 3, 4
Поміркуйте:
1. Чому у казках прикладають вухо до землі, щоб дізнатись, чи не скаче вдалині вершник?
2. Чи може людина розмовляти у воді? Чи змінюється при цьому тембр голосу і як? А можливо таке у твердому тілі?
3. Як пояснити з точки зору фізики, що «вітер відніс слова»?
Мета: визначення характерних сталих для металів та повітря при розповсюдженні повздовжних хвиль
Устаткування:
вимірювальний стояк, набір зразків, лінійка.
Теоретичні основи експерименту
Роботу можливо умовно розподілити на дві частини. У першій частині досліджується розповсюдження звукових хвиль у газі, а саме в повітрі; у другій — в твердому тілі на прикладі металевих стержнів.
Звук у повітрі виробляється генератором та приймається мікрофоном, який розташовано на деякій відстані L від генератора. Якщо відстань L підбирати кратну довжині звукової хвилі Я, швидкість звуку с можна визначити за очевидною формулою:
53


C = Xf=LnfZn, (37)
де/ — частота звукових коливань, а Ln — відстань між джерелом звуку та мікрофоном, що відповідає фазам φ= 2лп, п = 0,1,2,...
При фазовому методі піки сигналу від мікрофона, що реєструються осцилографом, відповідають різниці фаз сигналів від збуджувача звуку та мікрофона, відповідно т (подумайте, чому). При проходженні звуку через повітря, його інтенсивність зменшується. Реєструючи залежність інтенсивності звукової хвилі від відстані між збуджувачем та мікрофоном, можна оцінити коефіцієнт поглинання звуку в повітрі.
У другій частині роботи резонансним методом вивчається швидкість розповсюдження звуку у металевому стержні. До одного з кінців за допомогою генератора звукових сигналів прикладають зовнішню силу, що змінюється в часі за гармонічним законом. Якщо на довжині стержня вкладається надівціле число довжин хвиль, то в ньому збуджується стояча хвиля. При стоячій хвилі виникає резонанс, коли власна частота коливань майже співпадає зі збуджуючою, і амплітуда сигналу збільшується. Для першої резонансної частоти на всій довжині стержня вкладається половина звукової хвилі. Отже, формула для швидкості звуку в металі буде
C = ILf (38)
де L — довжина стержню, / — частота звукових коливань.
При відхилені від точного значення резонансної частоти, інтенсивність сигналу на осцилографі падає згідно формули (36):
///0 = [(йь2 - ύ?γ + 4ωδ)2γ\
де со — частота збуджуючої сили, S — коефіцієнт згасання. Залежність (36), яку іноді називають спектральною, зображено на рис. 3.12.
Проте, в широкому діапазоні, як вище резонансної частоти, так і нижче, інтенсивність сигналу залишається істотною. Коли відхилення від резонансної частоти (ω — <2*>) зрівнюється із 20, інтенсивність / зменшується вдвічі. Величина 20, яка співпадає з пів- шириною лінії I(CiS) на піввисоті, характеризує якість резонансу — так звану добротність системи:
O=aV (39)
2δ
Чим більша добротність, тим вужча область резонансу і тим більша енергія передається системі за допомогою коливань і шм менше енергії розсіюється.
Дійсно, з енергетичної точки зору при умові якісного резонансу (Q » 1) добротність дорівнює відношенню повної енергії хвилі E до втрат системою енергії за період коливань ΔΕ:
Рис. 3.12
54


(40)
Q = EfAE.
(Формулу (40) доведіть самостійно).
Експериментальні подробиці
Для вимірювання швидкості звука в повітрі використовується фазовий метод вимірювання довжини звукової хвилі. Звукова хвиля збуджується збуджувачем та реєструється мікрофоном. Відстань між ними може змінюваться. Сигнали від збуджувача та мікрофона подаються на два входи осцилографа.
Для встановлення швидкості розповсюдження звуку в металах, а отже і пружних сталих та коефіцієнтів згасання, в роботі використовується резонансний метод. На кінцях металевих стержнів запресовані феромагнітні вставки. Стержень жорстко закріплений в геометричному центрі. З одного боку встановлено збуджувач, з другого, на відстані 0,1-0,3 мм — датчик. При зміні частоти генератора в збуджувачі виникає змінний струм. Кінець стержня при цьому притягується з частотою генератора, і в ньому виникають повздовжні хвилі, що реєструються датчиком, сигнал від якого подається на осцилограф. При деякому значені частоти в стержні можна отримати стоячу хвилю.
В цій роботі використовується двоканальний осцилограф, що може працювати в декількох режимах: режимі почасової розгортки сигналу, коли сигнал розгортається в часі, та в режимі осцилоскопа, коли на вертикальні обкладки подається сигнал II каналу, а на горизонтальні — І. В цьому випадку на екрані осцилографа будується функція у Співвідношення фаз між гармонійними сигналами тоді легко встановити, спостерігаючи фігури Ліссажу. При <р = 2т (сигнали в фазі) на екрані має спостерігатися пряма, що проходить через 3 та 1 квадранти; при ^-(2т+1);г (сигнали в протифазі) пряма, що проходить через 2 та 4 квадранти (подумайте чому). В інших випадках, якщо вивчаються гармонійні сигнали, має спостерігатися еліпс, довжина півосей якого залежить від амплітуд сигналів. Водночас, перемкнувши осцилограф в режим почасової розгортки, можна безпосередньо спостерігати різницю фаз між двома каналами.
Завдання
1. 	Дослідження стоячих хвиль у повітрі.
1.1. Увімкніть установку у заданий режим вимірів.
1.2. Отримайте на екрані осцилографа фігури Ліссажу. При цьому бажано, щоб частота генератора була не менша, ніж 1 кГц.
1.3. Перейдіть у режим почасової розгортки. Виведіть сигнали від генератора та мікрофона на екран осцилографа. Встановіть необхідний період розгортки, стабілізуйте сигнали.
1.4. Встановіть бігунок мікрофона максимально близько до збуджувача звуку. Зніміть кожух. Повільно відсуваючи бігунок від збуджувача, реєструйте положення мікрофона, що відповідає різниці фаз φ= 1/2т, яи, У2т та 2т. Почергово змінюючи режим осцилографа, спостерігайте фігури Ліссажу, що відповідають цим різницям фаз. Замалюйте їх. Зареєструйте амплітуди сигналу від мікрофона, що відповідає різниці фаз φ = т та 2т. Особливу увагу зверніть на похибки реєстрації.
1.5. Підвищуючи частоту приблизно на 400-600 Гц, повторіть попередній пункт чотири рази.
55


1.6. 	Для кожного значення частоти побудуйте графік залежності Ln =У(/ї), де п номер відповідної точки в якій <р= т та 2т. З графіка, використовуючи формулу (37), знайдіть значення швидкості розповсюдження звуку в повітрі. Оцініть похибки.
2. 	Дослідження стоячих хвиль у металі.
2.1. Повторіть п.п. 1.1.,1.2. та 1.3. для вимірів у металі.
2.2. Виміряйте залежність амплітуди сигналу, що пройшов через стержень, від частоти генератора (не менше 10 вимірів). Оцініть похибку виміру частоти та амплітуди.
2.3. Повторіть дослід п.2.2. для двох ійших металів.
Обробка результатів експерименту
1. Побудуйте графік залежності Ln від η згідно формули (37) для досліджуваних частот звукових коливань у повітрі. Визначте швидкість звуку.
2. Побудуйте графік залежності логарифма амплітуди сигналу, що реєструє мікрофон в точках φ = т. Оцініть з нього коефіцієнт поглинання звуку в повітрі.
3. Визначте коефіцієнт адіабитичної стисливості за формулою (3).
4. Побудуйте графік залежності інтенсивності сигналу , що пройшов через стержень, від частоти генератора. Для трьох матеріалів криві нанесіть на один графік.
5. Визначте, якому матеріалу відповідає кожний з досліджуємих зразків (у роботі досліджуються зразки сталі, латуні та алюмінію). З графіків та за формулами (3), (6), (8), (15), (36), (38), (39) знайдіть для кожного з цих матеріалів швидкість звуку, модуль Юнга, модуль однобічного розтягу, модуль зсуву, коефіцієнт згасання, якість системи. Густину матеріалу та коефіцієнт Пуассона візьміть із таблиць.
6. Порівняйте отримані результати з табличними і визначте похибку експерименту.
Контрольні запитання:
1. Що призводить до виникнення паразитних імпульсів? Як їх позбутися?
2. Як залежить коефіцієнт згасання звукових хвиль від довжини зразка? Чи залежить він від речовини?
3. Що призводить до згасання хвиль і як можна його зменшити?
4. Припустимо, ми спостерігаємо на екрані осцилографа два імпульса, що відповідають початковій та відбитій поперечній хвилі. Як зміниться зображення на екрані, якщо хвиля буде поздовжна? А якщо збуджуються як поздовжна, так і поперечна хвилі?
56


Робота 3.4. Вивчення гравітаційних хвиль на глибокій воді.
Теоретична довідка.
Капілярно-гравітаційними хвилями називають хвилі, які розповсюджуються по поверхні рідини під дією сил поверхневого натягу та сил тяжіння.
Закони розповсюдження таких хвиль істотно залежать від співвідношення глибини рідини h і довжини хвилі Я. Ми розглянемо випадок хвиль малої амплітуди α«λ на глибокій рідині Я«Н. За таких умов по поверхні рідини будуть розповсюджуватись плоскі сінусоідальні хвилі малої амплітуди. З рівнянь гідродинаміки для нестискувсиїьної рідини відомо, що кожна частинка рідини у такій хвилі рухається по колу, розташованому у вертикальній площині, по напрямку розповсюдження хвилі.
Якщо спрямувати вісь х вздовж напрямку розповсюдження хвилі, а вісь ζ — перпендикулярно до поверхні рідини (мал. 3.13), рівняння руху частинок рідини будугь мати вигляд:
Ι2πί
х = х„ +гсоя —(х
-Ct)
!
і H
йН
І 1
C
‘«75
1'
N
де хл— абциса частинки у спокої (до збурення хвилі), г— радіус кола руху, с —- швидкість хвилі. На поверхні рідини г співпадає з амплітудою хвилі а, а при віддаленні у глибину зменшується по експоненті.
C
А с
Розглянемо рух рідини у системі відліку, що рівномірно рухається разом із хвилею зі швидкістю с. Оскільки г«Я, знехтуємо горизонтальними коливаннями часток, тоді
57


-(2)
χ - χη + ¢/;
ζ
= TSfH
2 леї
λ
У такій системі відліку хвиля стоїть на місці. Розв'язуючи систему (2). отримуємо форму хвилі: ζ = /* sin (2ясї/Л) — це синусоїда, що підтверджує сказане вище. Частки, що розташовані в глибині, теж рухаються за синусоїдами, але з меншою амплітудою, яка швидко спадає із зростанням глибини. Скористуємось цим фактом для розрахунку швидкості капілярно-гравітаційних хвиль: будемо вважати, що коливається нескінченно тонкий-шар на поверхні рідини. На малюнку 3.13 зображено траєкторії двох часток рідини, що знаходяться поблизу поверхні (синусоїди ABC та А'В'С',). Простір між поверхнями ABC та А'В'С' утворює трубку потоку. Застосуємо для цього потоку рівняння Бернуллі:
ν“ г
+-Bz = COllSt,
.2 . £
(3)
де ν — швидкість пбтоку, P — тиск, р— густина рідини.
Швидкість рідини в різних точках потоку різна. Якщо ν — швидкість обертального руху частинки рідини, то в точці А (на гірці) повна швидкість рідини буде с - ν, а в точці В (у ямі) — с + ν. Різниця висот між точками А і В дорівнює 2г, отже згідно (3):
/Іс-ν)1 Мс + ν)2
; + 2 Pgr= Pb + г
(4)
або
2рс\- = 2я;г + {РА- Pt). (4-)
Тиск рідини у точках Я та і? за формулою Лапласа:
Pa ~ ^о + ^
Рв = Р0~оК,
де K — абсолютне значення кривини у точках А чи By відповідно. За визначенням кри¬
вина K - І
Idx
Користуючись формулою (3). знаходимо
K =
4 тгг
?}
Підставляючи (5) та (6) в (4'), отримуємо
4 	п~ог
CV = ST+—-т-
ρλ~
(6)
(7)
Оскільки ν — швидкість обертального руху, то
2 лсг
(8)
Підставляючи (8) в (7). маємо вираз для швидкості розповсюдження капілярно- гравітаційних хвиль:
58


(9)
IgA 2πσ Y 2π^~ρλ
Величину с називають фазовою швидкістю хвилі; це швидкість, з якою розповсюджується фаза хвилі.
Література
1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.2. Термодинамика и молекулярная физика. — M.; Наука, 1979, п.110.
2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. — M.: Наука, 1979, п.п. 90, 91.
3. Стрелков С. П. Механика. — M.: Наука, 1975, гл. XII, п.п. 101, 102.
Теоретичні основи експерименту
Теорія капілярно-гравітаційних хвиль, що заснована на рівняннях гідродинаміки, веде до формули (9) для швидкості розповсюдження хвилі, в якій с — фазова швидкість хвилі, g — прискорення вільного падіння, λ — довжина хвилі на поверхні, σ— коефіцієнт поверхневого натягу, р — густина рідини. Рівняння (9) встановлює зв’язок між швидкістю хвилі та її довжиною. Залежність швидкості збурення від довжини хвилі називають дисперсією. Частіше, однак, розглядають зв’язок між обертальною часткою коливань ω = та хвильовим вектором А = ~. Перепишемо (9) як
а>2 (10)
P
Рівняння (10) називають дисперсійним. Воно має виняткове значення у фізиці. Згідно (9), с ~ ω/к залежить від Я, тобто капілярно-гравітаційні хвилі мають дисперсію на відміну від звукових, швидкість розповсюдження яких не залежить від довжини
Слід зазначити, що закон дисперсії (10) можна отримати із міркувань розмірності та здорового глузду. Проведемо такий вивід.
За великих довжин хвиль, коли кривизна поверхні мала, поверхневим натягом можна знехтувати. Тоді випадкове збурення на поверхні рідини буде зникати завдяки гравітаційному полю Землі, яке сплощює поверхню рідини. Отже в рівняння, яке ми шукаємо, обов’язково має ввійти прискорення вільного падіння g [м/с2]. Частота яшає розмірність [1/с]. Отже, о} --= K -g, де K має розмірність [1/м], тобто розмірність хвильового вектора. Таким чином, для великих довжин хвиль:
ω2 = Agki
де А — безрозмірна стала, к — хвильовий вектор.
Для коротких довжин хвиль, коли кривизна поверхні велика, істотним є вплив поверхневого натягу. В рівняння типу, (10) має ввійти коефіцієнт поверхневого натягу σ розмірності [кг/с2]. Поверхневий натяг відіграє роль завертаючої сили. З іншого боку, інерція рідини тим більша, чим більша її густина р. Таким чином, <У2, сгта р входять;в комбінації ω2 = Β σ/ρ, тобто чим більший поверхневий натяг і менша густина рідини, тим більша частота коливань. Легко бачити, що розмірність коефіцієнта В є [1/м3], тобто співпадає з третім степенем хвильового вектора. Ураховуючи вклад гравітації та поверхневого натягу, отримуємо:
59


cO2 = gk^ak31p,
що співпадає з формулою (10). Тут A = B=I. Зауважимо, що методом розмірностей чисельні коефіцієнти не визначаються - встановлюється тільки функціональна залежність.
Експериментальні подробиці.
Ця робота спрямована на вивчення закону дисперсії гравітаційних хвиль на глибокій воді. Коливання у рідині збуджуються за допомогою електромагнітного вібратора, якого підключено до звукового генератора. Частоту коливань можна визначити за шкалою генератора.
Для того, щоб спостерігати картину біжучих хвиль, застосовують стробоскопічне (переривчасте) освітлення. Картина біжучих хвиль здається нерухомою, якщо за проміжок часу між спалахами стробоскопа хвиля переміститься на ціле число довжин Л. В даній роботі частота спалахів співпадає із частотою генератора. Це співвідношення досягається автоматично, оскільки стобоскопичяий ефект утворюється за допомогою крильчатки, що обертається навколо лампи з частотою генератора.
В комплект установки входить екран, на жому можна спостерігати картину гравітаційних хвиль. Для вимірювань зручно замалювати картину, поклавши аркуш паперу безпосередньо на екран. Вимірюючи довжини, треба зважати на те, що залежно від розташування екрану змінюється коефіцієнт збільшення зображення. Коефіцієнт збільшення легко розраховується із геометричних міркувань.
Завдання.
1. Перед початком роботи вимийте кювету дистильованою водою та наповніть її досліджуваною рідиною. Опустіть вібратор в кювету.
2. Ввімкніть звуковий генератор і дайте йому прогрітись 5-10 хвилин. На екрані можна розташувати чистий аркуш паперу для замальовування картини хвиль.
3. Виміряйте довжину гравітаційних хвиль. Зробіть виміри для різних пар гребенів і усередніть результат. Оцініть похибку вимірів.
4. Встановіть експериментально коефіцієнт збільшення.
5. Оцініть глибину рідини в кюветі і порівняйте її величину з довжиною хвилі. Впевніться, що вода дійсно глибока.
6. Повторіть виміри на інших частотах (8-10 значень).
Обробка експерименту.
1. Осередніть результати вимірів довжини хвилі для кожної частоти. Визначте похибку.
2. Побудуйте графік залежності частоти від довжини хвилі. Найзручніше будувати його в координатах йД 2л/λ. За графіком оцініть прискорення вільного падіння та знайдіть коефіцієнт поверхневого натягу. Порівняйте знайдені значення з табличними. За графіком оцініть похибку експерименту.
Контрольні запитання.
1. 	Порівняйте закони дисперсії гравітаційних хвиль та звукових хвиль в твердому тілі. Яка між ними різниця? Як ви вважаєте, чим вона зумовлена?
60


2. Що буде, якщо зменшити глибину рідини в кюветі? А якщо збільшити? Як це вплине на точність вимірів?
3. Якою буде картина хвиль на екрані, якщо частота спалахів стробоскопа буде у цілу кількість разів більша за частоту генератора? А якщо менша?
4. Для яких довжин хвиль у даному експерименті справедливе співвідношення (8) (оцініть верхню границю).
61


Робота 4.1. Вивчення статистичних закономірностей на прикладі флкжтуацій радіаційного фону
Теоретична довідка
Для будь-якого фізичного експерименту результат вимірювань трохи відрізняється від дійсного значення тієї величини, що досліжується. Похибки вимірювань утворюються похибками, що пов’язані з недосконалістю методики, вимірювань та неточністю калібровки приладу (так звані систематичні помилки), а також випадковими похибками експерименту, що змінюють знак та величину від експерименту до експерименту. Випадкові відхилення значень будь-якої фізичної величини від середнього називають флюктуаціями. Якщо флюктуює та величина, що вимірюється, то виникаючі похибки називають статистичними. При дослідженні величини, що істотно флюктуює, наприклад, інтенсивності радіоактивного випромінювання1, фізичний зміст мають не результати окремих вимірювань, а значення, усереднене за багатьма вимірюваннями.
Для оцінки точності вимірів користуються таким поняттям, як дисперсія. Дисперсією σ2 випадкової величини п називають середнє значення квадрата відхилення цієї величини від її середнього значення щ:
а1 =(л-л0)2 (1)
Саму величину σ (корінь квадратний із дисперсії) називають середньоквадратичною (стандартною) похибкою, або стандартним відхиленням.
Зауважемо, що п може бути не тільки показник лічильника за один вимір, як при флуктуації радіаційного фону. Для будь-якого приладу за п можно вважати п ~ Iaewi IRmia І, де Rnui - значення величини, що вимірюється приладом у даний момент
часу, а Rvaa - мінімальне значення реєструемої величини, при якій прилад фіксує нове значення (згадаємо цифрові прилади!).
Ймовірність отримати в експерименті значення п позначимо за W (п). При досить великих п, коли виконується умова \ψ (п + 1)- W (п)\«Ψ(η), ми можемо розглядати W (п) як плавну функцію непреривної змінної п (хоча фізичний сенс мають тількі дискретні значення п). Одним з постулатів теорії є припущення, що випадкові похибки описуються нормальним розподілом, або розподілом Гаусса. Щільність цього М(п)
розподілу со(и) = -
dn
задається формулою2:
ω(η)άη =
σ\'2π 2σ2
>άη.
(2)
1 Інтенсивність випромінювання — це число часток, що проходять крізь одиницю площі за одиницю часу.
2 Тут було враховано той факт, що повна ймовірність дорівнює одиниці, тобто
«і
^ω{η)άη = 1
"І
62


Ця формула добре підтверджується експериментом у випадку так званих малих флуктуацій, коли |л-л0|«/I0.
Ймовірність отримати результат у інтервалі Δη: п]<п<п2 згідно (3) є
пг
W(п) = Jo(ή)άη. Наприклад, ймовірність знайти п у інтервалі л0-а<л</?0+а п\
зводиться до визначення інтегралу
Winf^+0 = [-!=-<· 2^dx, } σν'2π
(4)
де зроблено заміну п на нову змінну х = л-л0. Значення інтегралу (4) добре відомо:
W * 0,68 - це означає, що з достовірністю 68 % п буде відрізнятись від п0 не
більше ніж на σ. Інакше кажучи, з точністю 68 % значення п буде лежати у інтервалі х = [-σ;σ]. У інтервалі х = [-2σ;2σ] ймовність отримати п сягає вже 95 %. Інтервал \х\
носить назву довірчого інтервалу. Таким чином, середньоквадратична похибка σ пов’язана з ймовірністю 68 % отримати очикуваний результат (значення п) у довірчому інтервалі |χ|=σ.
Крім розподілу Гаусса, котрий добре описує незалежні малі флуктуації, слід вказати ще так званий розподіл Пуассона:
W (л) =
пре-"*
п\
(5)
Він набуває чинності у випадку, коли щ є меньше або співпадає по порядку величини з одиницею. Тоді суттєву роль відіграють великі флуктуації, тобто такі, що |л-л0| > п0. Неважко перевірити, що при п0 »1 формула (5) переходить у (2), тобто розподіл Пуассона переходить у розподіл Гаусса.
Приємним фактом є то, що для обох розподілів теорія дає одну й ту саму формулу для визначення середньоквадратичної похибки σ, а саме σ = п(\/2. Але оскількі
точне значення величини по невідоме (інакше не було б потреби ставити експеримент!), тому в формулу для визначення стандартної похибки окремого виміру доводиться підставляти не справжнє середнє значення п^ а виміряне значення п:
σ = *"2 (6)
Згадаємо, що середньоквадратична похибка є мірою довірчого інтервалу, в який з певною довірчою ймовірністю потрапляє відхилення результату виміру від справжнього (невідомого нам) значення. Як правило, з певних міркувань задають довірчу ймовірність, і шукають довірчий інтервал. Для нормального розподілу звичайно задають довірчу ймовірність в 68% — тоді довірчий інтервал дорівнює σ. Так, наприклад, формула (6) вказує на те, що виміряна кількість часток п відрізняється від
63


справжньої середньої кількості не більш ніж на пт з ймовірністю 68%. Результат вимірювань записують так:
п0 = п±пт (7)
Розглянемо тепер таке важливе питання. Припустимо, ми провели N вимірювань і отримали такі значення кількості часток: пг и2, ... п^. Поки що ми використовували ці дані для того, щоб визначити, наскільки відрізняються результати окремих вимірювань від справжнього значення. Це давало оцінку вірогідності результату за одного вимірювання. Якщо ж проведено кілька вимірювань, то їх результати можна використати і для більш точного визначення середньої величини. Для N вимірювань середня кількість часток, зареєстрованих протягом одного досліду, дорівнює
-In
" = (8)
1=1
а стандартна похибка окремого вимірювання (тобто очікувана різниця між п0 та будь- яким щ ) за дефініцією дорівнює
де замість невідомого по ми підставили п]. Згідно із формулою (6), можна сподіватись, ^ . . νι п .
що ця похибка майже не відрізняється від щ , тобто σοκρ« σ = щ ,де замість п. можна
підставити будь-яке із виміряних значень п. Оскільки п. відрізняються один від одного, то для σοκρ ми дістанемо різні оцінки. Деякі з них будуть краще співпадати із оцінкою, зробленою за результатами всіх вимірів (формула (9)), а деякі — гірше. Звісно, що найкраще узгоджується із значенням, розрахованим за формулою (9), величина
σ0Ιφ*·ν/«. (10)
Величина п з формули (8), яку отримано осередненням за результатами N вимірювань, теж є випадковою величиною і відрізняється від справжнього середнього значення л0> Згідно із теорією ймовірностей, стандартну похибку експерименту, тобто
відхилення п від п0 можна визначити за формулою
Jn
(H)
(За написання другої рівності було використано формулу (9).) Результат визначення по за N вимірів у межах стандартного відхилення записують аналогічно (7):
П0~ п - σπ (!2)
Загалом, при обробці експериментальних даних цікавляться не абсолютною, а відносною точністю окремого виміру. У нашому випадку із N вимірювань відносна похибка окремого виміру, дорівнює
1 п0 - точне значення середньої величини, а п - її виміряне значення за N спроб.
64


= —•100%» пі
100%
її-
03)
Аналогічно розраховується й відносна похибка експерименту, тобто осередненого за всіма вимірами значення п:
£- = -=?-· 100% = 100%
" η ηΊΝ
100% (14)
JnN '
За написання останньої із рівностей формули (14) було використано формулу (10).
Таким чином, відностна точність виміру п визначається тільки поєною
кількістю відліків п N і не залежить від тривалості окремого виміру. Інакше кажучи, всі
N
виміри складають один довгий вимір, в якому зареєстровано ^ni =ηΝ відліків і зовсім
і=1
неважливо, чи зроблено 100 вимірів тривалістю 40 с кожний, чи 400 вимірів тривалістю 10 с, чи один вимір тривалістю 4000 с. Тривалість окремого виміру впливає саме на відносну точність одного виміру із серії.
Відносна точність вимірювань зростає із збільшенням кількості відліків. Справді, для визначення інтенсивності радіоактивного випромінювання із точністю 1% потрібно якнайменше 100 =10 000 відліків, для точності 3% достатньо 1000 відліків, а точність 10% отримаємо, здійснивши всього 100 відліків.
Література
1. Лабораторньїе занятия по физике. / Под ред. Л. Л. Гольдина. — M.: Наука, 1983, п.п. 1-5, 7-9.
2. Зайдель А. Н. Злементарньїе оценки ошибок измерений. — Л.: Наука, 1974
Поміркуйте
1. Підкинь жетон від метро і подивись, яким боком він впаде. Зроби 10 таких "експериментів”. Яка частка випадків, коли жетон впав "гербом"? Яка вона повинна буде із загальних міркувань? Скільки разів треба провести експеримент, щоб в половині випадків жетон впав "гербом"?
2. Як ви вважаєте, чому у прогнозі погоди температуру на найближчу добу провіщають в межах 2 градусів, а на найближчий тиждень — в межах 5 градусів?
3. Уявіть себе володарем страхової компанії. Ви страхуєте своїх клєнтів на суму 1000 S від нещасного випадку, який відбувається з вірогідністю 0,001. Яким чином ви оціните суму, яку необхідно брати з клієнтів, щоб не зазнати збитків?
Мета: вивчення статистичних закономірностей на прикладі
флюктуацій радіаційного фону
Устаткування:
перерахувальний прилад; сцинциляційний лічильник.
65


Теоретичні основи експерименту
Джерелом радіаційного фону є космічні промені та радіоактивні речовини, що містяться у навколишньому середовищі. Радіоактивний фон додається до випромінювання інших джерел за присутності таких.
Для того, щоб визначити середню інтенсивність радіоактивного випромінювання, треба виміряти кількість часток, що пройшли крізь установку протягом досить великого проміжку часу, і поділити цю кількість на час вимірювань та площину лічильника. Справжнє значення середньої інтенсивності визначається протягом нескінченого часу вимірювання. Окремі вимірювання, проведені протягом скінченого проміжку часу, дають значення середньої інтенсивності з деякою похибкою. Чим більше час вимірювання. тим менше відрізняється знайдена величина від справжньої.
Припустимо, ми провели кілька вимірів кількості часток, що влучили у лічильник протягом деякого фіксованого часу і. Отримані значення будуть істотно відрізнятись один від одного, хоча серед них можуть бути й однакові.
Зобразимо отримані результати у вигляді гістограми (рис. 4.1).
20%
18%
16%
£ 14%
1 12%
S 10%
і 8%
* 6%
4%
2%
0%
0 5 10 15 20 25 ЗО 35
Кількість імпульсів
Рис. 4.1.
Гістограма — це графік, утворений сукупністю розташованих послідовно прямокутників, що мають однакову ширину. Порядковий номер прямокутника відповідає кількості часток я, зареєстрованих протягом одного виміру. Висота прямокутника дорівнює частці випадків Wn (відносно повного числа вимірювань), в яких було зареєстровано таку кількість. Величину Wn визначають за очевидною формулою:
Wn = (кількість випадків з відліками л)/(повне число вимірювань Sr).
У відповідності до закону великих чисел за великих А’ величину Wn можна вважати ймовірністю отримати під час вимірювання η відліків. Побудована гістограма характеризує розподіл ймовірності реєстрації η часток за час / залежно від величини п. Графік має максимум, який знаходиться біля середнього значення, яке власне підлягає визначенню. Проте, серед результатів вимірювань є і такі, що істотно відрізняються від
66


середнього. Позначимо середню (невідому нам) інтенсивність радіоактивних променів як ν. Середня кількість часток «0, що проходять крізь лічильник протягом часу г, дорівнює Vt - п0. Середня кількість часток не повинна бути цілим числом, хоча число підрахованих лічильником імпульсів, звісно, завжди ціле.
На рис. 4.2 зображено залежність Wn від п для різних п0. Із збільшенням п0 максимум графіка зсувається праворуч, залежність стає більш розмитою і симетричною відносно значення п = п0. За малих п0 графік стає несиметричним. За кожного значення п0 в результаті вимірювань можна отримати будь-які значення п, але ймовірність таких значень різна: чим менше п відрізняється від л0, тим більша ймовірність Wn. За великої різниці між п та «0 Wn дуже мала.
Wn = З
0-20 л„= І 0
л, = 20
0 15 OJO 0.05
6
5
10
Ї5
20
25
10
2 0
зо
40
Рис. 4 .2
На практиці багатократні вимірювання здійснюють дуже рідко. Тому найбільш цікаво знати, наскільки очікуваний результат окремого вимірювання буде відрізнятись від справжньої величини. Результат одного вимірювання може істотно або неістотно відрізнятися від справжнього значення, і це залежить від випадкових обставин. Але найчастіше отримане значення за порядком величини дорівнює півширині1 кривої розподілу Wn. Тому ця півширина характеризує точність одного виміру. (Спробуйте довести це самостійно).
Цікаво порівняти різні розподіли за шириною, якщо підігнати масштаби вздовж осі абсцис, щоб максимуми гістограм співпадали (рис. 4.2). Чим вужче розподіл, тим меньше відносна похибка окремого вимірювання.
Експериментальні подробиці
В роботі для реєстрації радіоактивного фону використовується ядерний спек- трометр. Окрім реєстрації фону, реєструються власні шуми, що утворюються в ви- мірювальном тракті спектрометра. Датчиком спектрометра є сцинциляційний лічиль¬
1 Півширина розподілу, як правило, це ширина на піввисоті.
67


ник, що складається з напівпровідникового кристалу та фотоелектронного підсилювача (ФЕП).
Радіоактивне випромінювання, що проходить через товщу сцинциляційного кристала, вибиває з нього кванти світла. В свою черіу, ці кванти вибивають з зовнішньої поверхні ФЕП первинні електрони, а останні під дією електричного поля вибивають з електродів ФЕП нові електрони. Накінець, утворюється електронна лавина, що формує імпульс струму. Цей імпульс послідовно підсилюється, дискретизується і, нарешті, реєструється електронним лічильником.
Параметри підсилювача (коефіцієнт підсилення та постійна часу інтегрування) підібрані оптимальним чином і при виконанні роботи не будуть змінюватися.
Амплітуда сформованного після ФЕП імпульсу струму прямо пропорційна енергії кванта радіоактивного випромінювання. З допомогою дискимінатора можна реєструвати тільки підсилені імпульси, амплітуда яких більша за нижній Ui і менша за верхній Uh поріг (наприклад більше 3,5 та менше 3,8 вольт). Отже, після дискримінатора електронний лічильник зареєструє кількість імпульсів, що пропорційна кількості радіоактивних квантів, енергія яких коливається в межах E * Е+АЕ. Ще одним призначенням дискримінатора є “відрізання” шуму — тобто імпульсів струму малої амплітуди, що формуються в вимірювальному тракті випадковим чином.
Число зареєстрованих квантів випромінювання залежить від матеріалу сцинциляційного лічильника, параметрів електронної схеми, а також часу вимірювання. Для точних вимірювань необхідна попередня калібровка приладу — встановлення залежності між кількістю зареєстрованних імпульсів і інтенсивністю випромінювання якогось відомого радіоактивного джерела. В роботі це робитись не буде, оскільки кінцевою метою роботи с встановлення статистичної природи як радіоактивного випромінювання, так і власних шумів приладу.
Завдання
1. Ознайомтесь із конструкцією установки та перевірте заземлення (без заземлення працювати не можна!).
2. Ввімкніть прилад, натиснувши кнопку NETZ. Натисніть кнопку ВО. Прогрійте прилад 2-3 хвилини.
3. Перевірте, чи правильно працює перерахувальний пристрій. Зробіть тестові виміри 5-6 разів.
4. Встановіть необхідне вікно дискримінатора. Для вимірювання радиоакгивного фону воно має бути: Ui = I В (ліва ручка дискриминатора PEGEL) і (Ui - Uti) - 2 В (права ручка KANALBREITE). Для вимірювання власних шумів Ui - 0,1 В, а (Ui- Uh) максимальне.
5. Встановіть режим роботи лічильника: час реєстрації 0,1 с (ручка VORWAHL), час повтору вимірювань (ручка WIEDERHOLUNGZEIT). Увага! Час повтору вимірювань має бути більшим за час вимірювань. В такому випадку вони будуть повторюватися автоматично. Натиснувши на кнопку START переконайтесь, що через 0,1 с лічильник перестає рахувати. При цьому на табло з’являється кількість зареєстрованих імпульсів і висвітлюється кнопка STOP.
6. Виміряйте кількість імпульсів, що реєструються лічильником N = 300 разів.
7. Повторіть пункти 5 та 6, змінивши час реєстрації до 1 та 10 с. Виміряйте кількість імпульсів по 300 разів.
68


Обробка результатів експерименту
1. Результати експерименту подайте у вигляді гістограм Wn = fin). Для цього вздовж осі абцис відкладіть послідовно цілі числа и, а вздовж осі ординат — частку випадків, у яких кількість відліків лічильника Дорівнювала п.
2. Гістограми розподілу середньої кількості імпульсів протягом певного часу бажано будувати на одному малюнку так, щоб положення їх максимумів співпадали. Для цього ренормуйте ціну поділки вздовж осі абцис для 0,1 та 10 с. Осі ординат для обох розподілів відкладають ймовірності Wn (йк на рис.4.2).
3. Визначте середнє число імпульсів лічильника протягом 0,1, 1 та 10 с. Знайдіть середньоквадратичну похибку окремого виміру.
4. Порівняйте середньоквадратичні похибки окремих вимірювань для всіх розподілів. Яка їх відносна півширина?
5. Визначте відсоток випадків, для яких відхилення від середнього значення менші за σ , 2σοκρ, менше та порівняйте експериментально знайдені величини із теоретичними оцінками. Порівнюючи теоретичні та експериментальні дані слід пам’ятати, що за малої кількості дослідів обов’язково будуть розбіжності. В експериментальних даних, на відміну від теоретичних, завжди неабияку роль відіграє випадок, тому величини можуть співпадати лише за порядком.
6. За даними для часу виміру 0,1 с побудуйте гістограму розподілу середньої кількості вимірів протягом 1 с. Для цього об’єднайте результати кожних 10 послідовних вимірів в одну групу. Визначте середню кількість імпульсів та середньоквадратичну похибку для цього розподілу. Впевніться у слушності формули (7).
7. Визначте стандартну похибку експерименту ση для всіх розподілів. Знайдіть відносну похибку цього результату за першою та останньою рівністю формули (10). За зразком формули (4) запишіть результат вимірювання середньої кількості часток, що проходять крізь лічильник протягом 0,1, 1 та 10 с.
8. Апроксимуйте отриманий розподіл за формулою Гауса (2). Чи добре описує вона результати експерименту?
9. Побудуйте гістограму для будь яких 30 послідовних вимірів для часу виміру 0,1 с. Чи задовольняє розподіл Гаусовому розподілу? Порівняйте цей розподіл з попередньо побудованим для повної (300) кількості вимірів, побудувавши графіки
залежності In Wn- ^(л - л)2). Який вигляд вони повинні мати?
Контрольні запитання
1. Яке значення має передекспоненціальний коефіцієнт у формулі розподілу Гаусса? Чому дорівнює півширина розподілу? Чому дорівнює дисперсія розподілу? Як показати на графіку цього розподілу «магічну» довірчу ймовірність в 68%?
2. Як будують гістограми? Що при цьому відкладають вздовж координатних осей?
3. Як залежить точність вимірювань від кількості відліків?
4. Чи залежить точність окремого результату та точність середнього результату, якого обчислено за великою кількістю вимірювань, від їх кількості? Якщо залежить, то як саме?
5. Від чого залежить точність виміру інтенсивності радіоактивного випромінювання?
69


Робота 4.2. Знайомство з методами обробки експериментальних результатів на прикладі вивчення залежності електроопору від температури
Теоретична довідка
При проведенні будь-якого експерименту перед дослідником неодмінно постають запитання : яким чином можна інтерпретувати отримані дані, наскільки вони є достовірні і наскільки правильним є запропонований опис експериментальних результатів? Що стосується першого запитання, то тут на допомогу приходять теоретичні уявлення або припущення, досвід експериментатора і неодмінно творчий підхід. Для вирішення двох інших розроблено багато математичних методів, які дозволяють кількісно оцінити вірогідність отриманих даних.
Для визначеності будемо розглядати досить типову ситуацію, коли в результаті експерименту одержано досить багато експериментальних точок, які визначають деяку функціональну залежність (виключно для зручності одразу позначимо її як залежність R(T)). Безумовно, ці точки знайдено з певними похибками, як систематичними, так і випадковими. Будемо вважати, що ми у змозі оцінити похибку для кожної точки. Спробуємо апроксимувати ці точки поліноміальною залежністю (можливо узагальнити такий підхід на інший вид функції). Будемо вважати, що а' ргіогі ми не знаємо, якого степеня має бути цей поліном. Фактично ми маємо незалежні задачі:
1. Визначити степінь полінома, яким можна апроксимувати отримані експериментальні дані (в загальному випадку — визначити вигляд апроксимуючої функції).
2. Знайти коефіцієнти полінома, які забезпечують найкращу апроксимацію (в загальному випадку — якісь чисельні параметри функції).
3. Визначити ймовірність того, що знайдена нами апроксимація відповідає дійсності.
Апроксимація експериментальнх точок, що знайдені з похибками, фактично означає, що ми маємо виділити так звану регулярну складову — власне апроксимуючу функцію,— причому кожна точка буде відхилятись від неї на величину відповідної випадкової похибки. Для будь-якого /-того виміру отримане нами значення має вигляд
Rt(T)= а„ Т" + α„-ι Т^[ +...+ а, T+ <ю + SRi(T), (1)
де SR1(T) називається випадковою складовою і є випадковою функцією від Т. В більшості випадків можна вважати, що вона розподілена за Гаусовим законом з нульовим середнім та дисперсією σ. Останнє є одним з важливих припущень теорії вимірів, яке добре зарекомендувало себе на практиці.
Метод найбільшої правдоподібності Метод найменших квадратів.
Досліджувана нами величина R за визначеного значення T є випадковою величиною, яка зкладається з регулярної та випадкової складової. Отже, формально SRi можна вважати функцією коефіцієнтів в рівнянні (1).
SRi(T)= R1(T) — (а„ Т" + α_, Τ’—1 +...+ а, T+ сц). (2)
Припустимо, що необхідно для обраної функції (в нашому випадку — для полінома заданого степеня) найбільш ефективно оцінити систему параметрів а,·. Метод
70


найбільшої правдоподібності дозволяє розв’язати цю проблему. Цей метод полягає в тому, що для набору випадкових величин SRi будується функція правдоподібності L4 яка є ймовірностю отримати на експерименті саме цей набір значень R1(T1) для обраної функції R(T).
Якщо величини SRi незалежні одна від одної (це дуже суттєве обмеження, яке на практиці може і не виконуватись), функція правдоподібності L дорівнюватиме добутку ймовірностей P(SRi):
L =P(SRn)-PiSRtt.!) ...P(SR1)9 (3)
де п — кількість експериментальних точок. За умов нормального розподілу SRi
P^Ri)= Pi(O)Sxp
і функція правдоподібності дорівнює
(δ*,)2)
.W
2σ2
jL=Po " П exP
2σ2
■і /2
= Po exP
' η \
ΣΜ
M
2σζ
(4)
(5)
де Pi(O)=Po і σ2 (дисперсія величини R) вважаються однаковими для кожного виміру.
Методами математичної статистики доводиться, що найбільш правдоподібна оцінка системи параметрів а, відповідає максимуму функції правдоподібності (максимальна ймовірність), тобто знаходиться із умов
SLIdai = O4 і-0,1,2, ...,η; (6)
оскільки логарифм є монотонною функцією аргументу, іноді використовують оцінку 01ηΖ,/5α, = Ο, і = 0,1,2, ...,п. (7)
Виражаючи (3) через (2) та підставляючи в (T) отримуємо систему лінійних рівнянь, які легко розв’язуються методами алгебри або аналітично на комп’ютері (пропонуємо вивести самостійно системи рівнянь). Як видно з (4), для нормального розподілу величини SRi з нульовим середнім максимум функції правдоподібності має місце за
п
умови мінімума величини у , тобто одержуємо окремий випадок метода най-
/=1
більшої правдоподібності — метод найменших квадратів, який детально описано в [ 1 ].
Довірчі оцінки. Критерій значущості ^
Метод найменших квадратів дозволяє знайти коефіцієнти а, в рівнянні (1). Проте, він нічого не говорить про точність або достовірність оцінок, зроблених таким чином. Методи математичної статистики дають можливість кількісно оцінити, наскільки правильною була висунута гіпотеза, тобто запропонована експериментатором інтерпретація отриманих результатів. Робиться це за допомогою довірчих оцінок. Останні вказують ймовірність р отримати дане значення величини, що
71


вимірюється, в серії однакових експериментів. Цими величинами можуть бути середнє значення, дисперсія, будь-яка функція вибірки “випадкових” експериментальних значень (наприклад Ri(T)).
Нехай ми висунули деяке припущення щодо істиної поведінки величини R в залежності від Ti тобто ми висловили гіпотезу. Очевидно, що між експериментальними точками та теоретичною кривою буде існувати деякий розкид. Справедливе запитання — наскільки уваги треба йому приділяти? Наскільки істотними є спостережені розбіжності? Чи не є вони передвісниками нового, невідомого ще явища? Очевидним розв’язком проблеми є багатократне повторення експерименту. Проте, воно є дорогим, віднімає багато часу, а іноді просто неможливе. Дослідження цієї проблеми робиться за допомогою критеріїв значущості.
Зрозуміло, що відносно однієї і тієї ж низки результатів можна висунути декілька гіпотез. В тому числі, що теоретична крива проходить через усі точки. Формально, така крива найліпше задовольняє експериментальним результатам. Однак, здоровий глузд вказує, що це не так. До того ж, висновки математичної статистики, яку застосовують при обробці результатів, справедливі в асимптотиці, тобто при великій кількості ступенів вільності. Це означає, що кількість експериментальних точок має бути значно більшою, ніж степінь полінома п. Чим більше експериментальних точок, тим більше ступенів вільності. Ступенем вільності називається число, що дорівнює різниці між кількістю експериментальних точок та кількістю параметрів, що необхідно встановити з експерименту. Наприклад, при числі експериментальних точок 2 можна одним єдиним чином провести пряму (встановити два параметри), 3 — параболу (встановити три параметри), тощо. В такому випадку число ступенів вільності дорівнює 0. Проте із збільшенням числа експериментальних точок, з’являється вибір — зростає кількість ступенів вільності. Чим більше ступенів вільності, тим достовірніша інтерпретація результатів експерименту. В конкретно^ випадку поліноміальної залежності, кількість ступенів вільності має бути набагато більша за степінь полінома.
Корисним критерієм оцінки розбіжностей між теоретичною і експериментальною кривою є оцінка того, наскільки розкид задовольняє нормальному або Гаусовому розподілу (4)! Принаймі, якщо дійсно має місце такий розкид, це дозволяє з чистим серцем облишити подальші пошуки невідкритих закономірностей. Мірою порівняння, очевидно, виступає точність, з якою вимірюються експериментальні точки, і яку можна (і необхідно!) оцінити з незалежних джерел — багатократних повторів вимірів, припустимих похибок приладів, тощо. В методі χ2 за таку міру приймається сума квадратів відхилень від теоретичної залежності, віднесені до стандартної похибки данного виміру
у2 _ yi R0^KcnjT )~ R^meopiT )"і (g )
Sl сКг) J
За допомогою таблиці, яку наведено в [1] і яку легко знайти в будь-якому математичному довіднику (наприклад [3]), для відповідного числа ступенів волі встановлюється ймовірність р знайти залежність, що припускається, в серії однакових експериментів. Детально робота з таблицею описано в [1].
При порівнянні з таблицею використовують таку термінологію. Якщо знайдена з досліду величина χ2 має спостерігатися в 1...5 % випадків, то відхилення експериментальних точок від теоретичних є майже значні, якщо в 0,1... 1%, то значні, якщо хченше 0,1% — дуже значні (тобто теоретичній залежності нема віри). В останньому випадку треба шукати іншу теоретичну залежність, наприклад, підвищити степінь полінома.
72


При ймовірності χ2 більше 5% — експериментальних точок занадто мало, щоб відкинути гіпотезу. Це може означати, що гіпотеза вірна, а з іншого боку — що експериментальні точки недостатньо точні, і для підтвердження або спростування гіпотези треба виконати більш точні виміри.
Література
1. Лабораторньїе занятия по физике. / Под ред. Л. Л. Гольдина. — M.: Наука, 1983, п.п. 1-5,7-9.
2. Зайдель А. Н. Злементарнме оценки ошибок измерений. — Л.: Наука, 1974.
3. И.Н. Кронштейн, К.А. Семендяев Справочник по математике. — М: Наука, 1981, стр. 598 -613
Мета: аналіз залежності опору постійного струму в металевому дроті відтемператури.
Устаткування:
муфельна піч, вольтметр універсальний, комп’ютер
Теоретичні основи експерименту
В якості функціональної залежності будемо вивчати залежність величини опору R провідника від температури Т. При підігріві величина опору провідника в межах невеликого температурного інтервалу близько кімнатної температури змінюється з температурою за лінійним законом
R(T)=^T+R0, (9)
де Rq — величина опору при кімнатній температурі, β — коефіцієнт, що залежить від матеріалу провідника. В більш широких межах температурна залежність електроопору від температури описується іншою функцією, яку в випадку сплавів, що не зазнають фазових перетворень, з великою точністю можна зобразити в вигляді полінома «-того степеня
RiTp а„ Т" + Otn-I Г”-1 +■...+ (Х| 74 R0. (10)
В данній роботі буде аналізуватися поліноміальна залежність, з допомогою якої в фізиці часто интериретують отримані результати. Треба зазначити, що і експоненціальну або логарифмічну залежність (наприкладу = In (ап Tn + а„-\ Тп~[ + ... + а\ T +
+ Rq) можна просто привести до вигляду (10), відповідним чином вибравши осі графіків. Зауважимо, що ми не розглядаємо значний клас функціональних залежностей осциляторного типу, коли кількість максимумів та мінімумів значно перебільшує 5-8, і для опису яких треба застосовувати апарат Фурьє-аналізу. Однак, і у цьому випадку ідеологія та навіть термінологія оцінки достовірності результатів лишається тією ж.
Перше, що необхідно визначити, це максимальний степінь п полінома, яким апроксимується експериментальна залежність. Якщо максимуми та мінімуми експериментальної залежності виражені чітко, то п дорівнює кількості максимумів та мінімумів плюс один (поясніть чому). Якщо ж кількість їх не очевидна або затьмарюється випадковими відхиленнями, то встановити п можна “продиференціювавши” декілька разів експериментальну залежність. В ролі “похідної” в /-й точці буде виступати величина (Ri — ) / (Ti — 7У_, ). Чергове диференціювання функції не має сенсу,
73


коли розкид експериментальних точок буде перебільшувати характерні регулярні зміни функції. Або, коли випадкова складова п похідної від функції буде перебільшувати регулярну. Тоді п якраз і буде дорівнювати номеру похідної, вигляд якої ще не нагадує зоряне небо. Зауважимо, що розкид експериментальних точок збільшується в міру диференціювання (спробуйте показати це самостійно).
Експериментальні подробиці
В данній роботі величина опору вимірюється безпосередньо універсальним вольтметром, де стабілізований струм пропускається через провідник. Вимірюється падіння напруги на провіднику і відповідно опір. Провідник — тонка сталева дротинка, що щільно намотана на керамічну трубку. Діаметр мідних струмопідводів набагато більший за діаметр дротинки, тому їх опором можна знехтувати. Температура змінюється за допомогою муфельної печі з автоматичним керуванням (в роботі рекомендується керувати піччю вручну). Опір вимірюється з випадковою похибкою, що встановлюється за формулою, яка має вигляд
Qr (%)= (к\ + kr Лд/Дх)%, (H)
де Ra — кінцеве значення діапазона прилада, Rx — поточне значення, що показує прилад. Коефіцієнти к\ та к2 залежать від типу приладу і діапазону вимірювань. Конкретні величини треба брати з паспорту приладу. Температура вимірюється за допомогою платинової термопари. Відносна похибка вимірювання температури становить не більше 0,5 °С в робочому діапазоні.
Завдання
1. Ознайомтесь з інструкціями та особливостями печі та вольтметру універсального. Особливо важливо виписати з інструкцій похибки приладів, робочий діапазон температур та інші паспортні дані.
2. Ввімкніть муфельну піч. Ввімкніть вимірювальний пристрій. Переведіть його в режим вимірювання опору і автоматичного вибору діапазону вимірів. Відкалібруйте його, якщо є можливість.
3. Встановіть бажану температуру печі і ввімкніть нагрів. Після зупинки нагріву почекайте, поки встановиться теплова рівновага (вимірювач температури перестане показувати зростання температури, вимірювач опору — швидкі зміни опору). Зніміть відлік.
Будьте готові до великої інерційності печі за низьких (до 200°С) температур. Пам’ятайте, що піч може швидко нагріватися, але не може швидко охолоджуватись! Тому не поспішайте піднімати температуру.
4. Проведіть виміри через кожні 15-20 °С, але так, щоб загалом було не менше ЗО вимірів. Верхня температура не повинна перевищувати 500°С. Результати занотуйте у таблицю.
Обробка результатів експерименту
1. За даними, отриманими в п.З, побудуйте графік залежності опору від температури.
2. Про диференціювавши отриману залежність декілька разів, встановіть степінь полінома, до якої є сенс апроксимувати отриману залежність.
3. Користуючись методом найменших квадратів, апроксимуйте експериментальну криву прямою лінією.
3.1. Оцініть коефіцієнт температурної зміни електроопору.
74


3.2. За критерієм χ2, встановіть достовірність інтерпретації отриманих результатів.
3.3. Побудуйте залежність Rexcn — Rmeop =AT)- Чи є розкид експериментальних точок випадковим? Як ви думаєте, чому?
4. 	Побудуйте поліном, що апроксимус залежність електроопору від температури.
4.1. Проаналізуйте отриману залежність за методом найменших квадратів або за допомогою комп’ютера (відповідні опції є в будь-якому професійному програмному продукті, що працює з таблицями).
4.2. Зобразьте її на графіку разом з експериментальними точками.
4.3. Оцініть достовірність за допомогою критерію χ2.
Контрольні запитання
1. Що таке ступінь вільності? Чому, диференціюючи експериментальну функцію, ми зменшуємо кількість ступенів вільності? Наскільки?
2. Що таке регулярна та випадкова складова експериментальної функції?
3. Що таке функція правдоподібності?
4. Покажіть, що метод найменших квадратів є частковим випадком методу найбільшої правдоподібності. Чому умові максимуми функції правдоподібності відповідає умова мінімуми суми квадратів відхилень теоретичних та експериментальних точок, що використовується в методі найменших квадратів?
75