основы
теории бункеров и силосов
Министерство высшего и среднего специального
образования РСФСР
Алтайский политехнический институт
им.JL И.Ползунова
Л.В.Глчев
ОСНОВЫ ТЕОРИИ БУНКЕРОВ И СИЛОСОВ
Учебное пособие
Барнаул 1986
УЖ 631.243.242 : 539.215 : 531.13 (075.8)
Гячев Л.В. Основы теории бункеров и силосов: Учебное
пособие /Алт.политехи.ин-т им.И.И.Ползунова.-Барнаул:Б.и..
1986. - 84с.
В пособии рассмотрены законы истечения несвязный сыпу-
чих материалов из бункеров произвольных форм при сухом тре-
нии между зернами.
Определены давления на дно и стены бункеров и силосов.
Приведены примеры расчета давлений и производительности бун-
керов.
Пособие предназначено для студентов специальностей 0502;
0509; 0517; 1001; 1202; 1205; 1207.
Рецензенты: кафедра теоретической механики и математики АСХИ;
канд. техн, наук Б. Т. Тарасов (АСХИ).
CJ Алтайский политехнический институт, 1986
3
РАЗДЕЛ I
ТЕОРИЯ ИСТЕЧЕНИЯ СЫПУЧИХ 1ШЕРИАЛ0В ИЗ БУНКЕРОВ
I.	Введение
Сыпучие материалы широко распространены во всех отраслях про-
изводства. В сельском хозяйстве к ним относятся различные виды
зерна (пшеница, кукуруза, горох, просо и т.п.), семена технических
культур и трав, гранулированные корма и минеральные удобрения и др.;
в пищевой промышленности - зерно, крупа, сахарный песок и т.п.; в
строительстве - песок, щебень и другие сыпучие строительные матери-
алы; в угольной, горной, топливной, металлургической промышленно-
сти - уголь, руда, кокс, флюсы и т.п. То же можно сказать о комби-
кормовой, химической промышленности, литейном производстве и т.п.
Все виды транспорта, особенно железнодорожный, водный и авто-
мобильный, в значительной мере загружены перевозкой сыпучих грузов:
песка, щебня, угля, руды, кокса, зерна и т.п.
Для погрузки и выгрузки, переработки и хранения сыпучих мате-
риалов созданы разнообразные рабочие органы и машины, неотъемлемой
составной частью которых являются различного рода бункеры, силосы,
трубы постоянного сечения. Во многих случаях бункерные устройства
входят в состав поточных линий, (химическая, пищевая, комбикормовая
промышленность; литейное производство и т.п.), что предъявляет
повышенные требования к точности и согласованности их работы.
Выбор рациональных параметров бункеров для конкретных условий
работы, очевидно, невозможен без их теоретического обоснования и
инженерного расчета, А поскольку движение сыпучих материалов, как
и других тел природы и техники (жидкостей, твердых тел и т.п.),
подчиняется законам механики, то в основу теории бункера должна
быть положена механика сыпучих тел. Таким образом, теория бункеров
и силосов является разделом механики, изучающим законы равновесия
и движения сыпучих материалов в бункерах и силосах.
Механические свойства сыпучего тела (сыпучего материала; зер-
нистого материала; зернистой среды и т.п.), состоящего из отдель-
ных твердых частиц (зерен), определяются преимущественно фрикцион-
ными свойствами поверхностей зерен, а также их формой i взаимным
расположением (укладкой).
Относительным смещения!.! зерен сыпучего материала при его дефор-
мациях могут препятствовать силы сопротивления различней природы:
4
силы сухого и вязкого трения, сцепления, электростатического вза-
имодействия и т.п. Однако у многих широко распространенных мате -
риалов существенное значение имеют лишь силы сухого трения, к тако-
го рода материалам можно отнести сухое зерно, сухой песок, уголь
и т.п. Ограничиваясь подобными материалами, будем считать, что
мекду зернами сыпучего тела существуют только силы сухого трения,
подчиняющиеся закону Кулона.
Будем предполагать также, что сыпучий материал обладает так
называемыми распорными свойствами: под действием сжимающих сил час-
тицы раздвигаются, преодолевая силы трения, в результате чего воз-
никают “распорные" силы, действующие в плоскости, перпендикулярной
сжимающим силам. Эти распорные силы и создают давления на стенки
сосудов.
Сыпучий материал, между зернамг которого существуют силы сухо-
го трения такой интенсивности, при которой еще сохраняются его рас-
порные свойства, будем называть "идеально сыпучим" телом. Нижё из -
лагается теория оункеров и силосов для идеально сыпучих тел.
Переходя к обоснованию механической модели сыпучего тела, от-
метим прежде всего двоякий характер его механических свойств: яв -
ляясь материалом дискретным, сыпучий материал обладает в то хе вре-
мя некоторыми свойствами, приближающими его к сплошным средам, на -
пример, жидкостям. Подобно жидкости, он может принимать форму сосу-
да, в котором заключен; может вытекать из сосуда; оказывать даъле -
ния на его дно и стенки и т.п. механическая модель сыпучего тела,
способная с достаточной полнотой описать его механические свойства,
по необходимости также должна оыть двоякой.
На первом этапе исследования сыпучее тело будем рассматривать
как сплошную несжимаемую "сыпучую среду", обладающую некоторой плот-
ностью (массой в единице объема). Однако силовые характеристики
этой среды могут быть найдены лишь на основе учета дискретности сы-
пучего материала. Это в принципе позволяет учесть как форму зерен,
так и их взаимное расположение, фрикционные свойства поверхностей
зерен и стенок бункера и т.п.
Дискретную сторону механической модели сыпучего тела будем ха-
рактеризовать следующими допущениями:
1)	сыпучее тело представляет собой совокупность отдельных аб-
солютно твердых шаровых зерен, уложенных правильными слоями;
2)	в процессе движения материала в бункере его зерна переме -
щэются поступательно (не вращаются), скользя друг по другу и по
стенка"» бункера *
3)	силы трения : зрей о стенки бункера (внешнее трение) и друг
о друга (внутреннее трение) подчиняются законам сухого трения Куло-
на; силы сцепления отсутствуют;
4)	вертикальные давления распределены равномерно по площади
поперечного сечения потока сыпучего материала в бункере.
Используемый ниже метод решения задач механики идеально сыну -
чих тел соответствует классической схеме: выделяется некоторый
обьем сыпучего тела (сначала сплошной, а затем и дискретной среды)
и рассматриваются действующие на него внешние силы; составляются и
интегрируются дифференциальные уравнения движения этого объема.
На основе дифференциальных уравнений движения решаются две за-
дачи динамики:
а)	определение законов движения сыпучих тел в бункерах и сило-
сах и законов истечения;
б)	определение законов распределения давлений на дно и стены
сосудов при заданном движении (в частности, при покое) сыпучего те-
ла.
2.	О двух видах истечения сыпучих материалов
Из опыта известны два вида истечения сыпучих материалов из
бункеров: нормальное и гидравлическое.
При нормальном истечении (рис. 1,а) в центральной части бунке-
ра над отверстием возникает поток сыпучего материала A&CZ) \ по
краям бункера появляются застойные soauZOC *ММА&\ поток по -
полняется за счет соскальзывания частиц в зону потока по откосам NA
и К5 ; на поверхности сыпучего материала образуется воронка.
Рис. 1. Два вида истечения сыпучих материалов: а - нормаль -
ное; б - гидравлическое.
6
При гидравлическом истечении (рис. 1,6) материал опускается
"всем столбом", без образования воронки на поверхности. Верхний
слой АВ в процессе опускания сохраняет первоначальную плоскую
форму, последовательно занимая положения А, В, ^А£В^ и т.д.;
крайние частицы потока скользят по стенкам бункера; застойные зо-
ны отсутствуют» Гидравлическое истечение наблюдается при не един -
ком больших значениях угла наклона стенок бункера к вертика -
ли» Как правило, для зерна ol$ 35°-40°.
Перечисленные признаки двух видов истечения свидетельствуют о
существенных различиях между ними (воронка на поверхности, застой-
ные зоны - при нормальном истечении; отсутствие воронки, скольжение
частиц по стенкам бункера - при гидравлическом истечении). Однако,
между рассматриваемыми видами истечения есть и общность - поток
ABCD сыпучего тела в одном случае ограничен стенками бункера (ги-
дравлическое истечение; рис» 1,6), а в другом - неподвижными части-
цами самого сыпучего материала (нормальное истечение,рис» 1,а).
Отыскание закономерностей гидравлического истечения является,
очевидно, более простой задачей, чем определение соответствующих
законов нормального истечения, поскольку при гидравлическом истече-
нии форма потока сыпучего тела заранее известна - она задана формой
стенок бункера. В случае нормального истечения форма потока неиз -
вестна и должна быть предварительно определена о учетом физико-ме-
ханических свойств материала. После этого обе задачи становятся
тождественными.
3.	Дифференциальное уравнение движения элементарного
объема сплошной "сыпучей среды"
Пусть поток сыпучего тела течет по трубе переменного сечения
вниз г соответствии со схемой "гидравлического" ^стечения (рис.2).
В некоторый фиксированный момент времени Const из дви -
жущегося в трубе потока сыпучего тела, рассматриваемого как сплош-
ная среда, выделим двумя бесконечно близкими горизонтальными плос -
костями элемент толщины dx • На него действуют следующие внешние
оилы£ dC_ - сила тяжести, приложенная в центре масс С элемен -
та;Р ъР+dfi - вертикальные силы ^приложенные к элементу со
стороны выше- и нижележащих сДоев; dR -—реакции стенок бункера,
распределенные по площади соприкосновения элемента со стенками»
Рассматриваемый элемент при бесконечно -малой толщине имеет
7
конечные размеры в горизонтальных направлениях и может раосматрж -
ваться как механическая система материальных точек.
Рис. 2. Схема действия сил на движущийся элементарный объем
сплошной "сыпучей" среды
Дифференциальное уравнение движения центра масс системы (эле-
мента) в проекции на ось 0с (рис.2) получает вид
dm a -dG+dRx-dP,	(1)
где dm - масса элемента;
<7=<7С	- проекция ускорения центра масс С элемента на ось Ох
(ускорение элемента);
dR* - сумма проекций элементарных реакций стенок dR на
ось Л* ;
dP~Q~P - приращение вертикального усилия Р , соответствующее
рассматриваемому элементу.
Масса dm и вес dir элемента получают значения
dm•'jfFdx, dG~%$Fdx ,	(2)
где F - площадь поперечного сечения бункера горизонтальной
плоскостью, имеодей абсциссу X ;
у - объемная плотность (масса единицы объема) сыпучей сре-
ды.
Реакции стенок бункера на. элемент сплошой среды пока неиз -
веотны. Однако, если представить себе эту среду в виде зернистого
материала (совокупности шаровых или клинчатых верен), то ухе при
в
ориентировочной оценке сил нетрудно прийти к выводу, что по пере
возрастания сжинающего усилия Р будут пропорционально увеличивать-
ся распорные силы, а, следовательно, реакции стенок бункера и их
проекции на ось О# , т.е.
о7?Л «- KPdx,
где К - коэффициент пропорциональности.
Этот коэффициент характеризует сопротивление продвижению сы -
пучего материала в трубе; одновременно он служит и мерой распор -
ных свойств среды. Рассматриваемый коэффициент является неизвестной
функцией формы, размеров и расположения зерен, коэффициентов трения
зерен друг о друга и о стенки трубы; формы и размеров поперечного
сечения бункера. При заданных параметрах сыпучего материала и бук -
кера он зависит лишь от глубины Л сечения
В дальнейшем коэффициент к » имеющий важное значение в теории
бункеров, будем называть коэффициентом сопротивления.
Подставим значения величин (г) и (3) в уравнение (1) и разде -
лим полученное выражение на б/х. Сравнение примет вид:
^-гкР~ЪГ(д-а)	(4)
Знак частной производной поставлен здесь потому, что при выде-
ление элементарного объема (рис.2) сила Р^Р(х, получила прира-
щение	лишь за счет изменения абсциссы сечения при фиксиро-
ванном времени tж Cof&t.
Way Р в уравнении (4) можно выразить через вертикальное дав-
ление б"« £
F P-F6-F(x)5(x,t)-,
дх dx и Эх
Уравнение (4) получит вял
где ~dF
Практическое использование уравнений (4) и (5) затруднено, од-
нако, тем, что ускоренье Q элемента не выражено здесь через закон
истечения - зависимость	объемного расхода от времени. Та-
кое выражение можно подучить, воспользовавшись известным соотноже -
нием между объемным оесходом О , скоростью течения У и плоцадьв
9
поперечного сечения F трубы
£ ~FV\
справедливым для н сжимаемой сплошной среды»
Следовательно
.. *
где	- закон движения элемента в трубе;
F[xft}]- F(t)- закон изменения с течением времени площади попе -
речного сечения трубы, занимаемой движущимся элементом.
Продифференцировав скорость движения V элемента по времени,
Q,F* • X
найдем его ускорение
и dt
Так как К « V	, »о
Подставив значение ускорения (о) в дифференциальные уравне -
ния движения элемента (4) и (5), придадим им окончательный вид
: (?)
(8)
С помощью уравнений (7) или (8) могут быть найдены как зако-
ны истечения, так и законы распределения вертикальных давлений в
бункерах и силосах» Однако, интегрирование уравнений возможно лишь
после отыскания вида функции	- коэффициента сопротивле -
ния зернистого материала»
4.	Влияние относительных размеров зерен на
характер их укладки
В процессе перемещения сыпучего материала в трубе переменного
сечения взаимное расположение (укладка) зерен, вообще говоря, из -
меняется.	zV
В широких сечениях бункера (при малых значениях отношения у,
где d - диаметр зерен; D - диаметр поперечного сечения бункера)
вероятность образования сводов весьма мала (рис.3,а). Можно счи -
тать, что зерна сыпучего тела располагаются здесь без образования
сводов»
10
Рис, 3. Схемы укладки зёрен? аГ- при отсутствии сводообразо-
вания; б - при возникновении частичных сводов; в - при возникнове-
нии скользящих сводов по всему поперечному сечению бункера.
При переходе сыпучего материала в более узкие сечения прозе -
ходит сближение зерен в слое к между ними возникают сначала частич-
ные своды (рис. 3,6), а затем и скользящие по стенкам своды, охва-
тывающие все поперечное сечение бункера (рис. 3,в). При дальнейшем
уменьшении размеров сечения бункера (до значений ^>*0,2) возни-
кают устойчивые своды и истечение прекращается.
Из рассмотрения рис.З можно сделать вывод о существовании двух
предельных случаев расположения зерен при движении сыпуче*о матери-
ала в бункере:
а)	случай полного отсутствия сводов (рис. 3,aj;
б)	случай возникновения скользящих сводов по всему сечению бун-
кера (рис. 3,в).
Первый предельный случай имеет место при малых значениях отно -
шения , т.е. в бункерах н силосах больших размеров, при мелко-
зернистом сыпучем материале и т.п. Второй случай, соответствующий
большим значениям отношения , осуществляется в бункерах малых
размеров, вблизи малых выпускных отверстий, в случае крупнозернис -
того сыпучего материал^ и т.п.
Указанным двум предельным случаям, которые в дальнейшем будем
называть, соответственно, случаями °мелкозернмстогог5 и ^крупнозер -
нистого" сыпучего материала, соответствуют различные значения коэф-
II
фициента сопротивления К (3). В первом из этих случаев (рис» 3»а)
нормальные реакции стенок и силы трения зерен о стенки обусловлены
действием сжимающих сил Ок и Рк , приложенных только к крайнему
ряду шаров» Во втором предельном случае (рис» 3,в) реакции стенок
уравновешивают распорные силы, возникающие под действием полных
сжимающих сил Q и Р , приложенных ко всему поперечному сечению
слоя в бункере. Коэффициент сопротивления К во втором предельном
случае окажется, очевидно, значительно (в десятки и сотни раз)боль-
шим, чем в первом предельном случае. Соответственно, законы истече-
ния и распределения давлений в рассматриваемых предельных случаях
окажутся существенно различными.
Учитывая сказанное, можно сформулировать четыре задачи, подле-
жащие исследованию. Они заключаются в определении законов истечения,
соответственно, крупно-и мелкозернистых материалов и в определении
закономерностей распределения вертикальных и нормальных к стенкам
давлений также для крупно-и мелкозернистых материалов.
Первая из этих задач - определение законов истечения крупно -
зернистых материалов - важна для практики, поскольку обычно выпуск-
ные отверстия бункеров имеют сравнительно малые размеры (отношение
М- велико).
Значительно реже встречается вторая задача - истечение мелко-
зернистых материалов из крупных отверстий. К тому же истечение в
этом случае часто нельзя считать свободным - производительность вы-
пуска из бункеров обычно ограничивается пропускной способностью от-
водящих устройств (транспортеров и т.п.). Зто делается, например,
при выпуске зерна из элеваторных силосов. Таким образом, вторую за-
дачу следует признать менее актуальной, чем первую.
ввиду краткости пособия ниже рассматриваются законы истечения
лишь крупнозернистых материалов.
Степень актуальности двух отмеченных выше задач об определении
давлений сыпучих тел также неодинакова.
Так, исследование закономерностей распределения давлений для
предельного случая крупнозернистого материала лишено практического
смысла, поскольку речь в этом случае идет, по существу, о давлениях
в бункерах и силосах небольших размеров. Однако, эти давления малы
и их определение интереса не представляет.
С другой стороны, важное практическое значение имеют законы
распределения давлений по стенам бункеров и силосов в продельном
случае мелкозернистых материалов, т.е. давления, возникающие в ем-
12
костях больших размеров. Эти законы могут быть положены в основу
расчетов на прочность, устойчивость и долговечность оболочек круп-
ных хранилищ для зерна и других сыпучих материалов.
С учетом сказанного, ниже рассмотрены законы истечения лишь
для предельной модели крупнозернистого материала, а давления наи -
дены для бункеров и силосов, заполненных предельной модельо мелко-
зернистого сыпучего материала.
5.	Дифференциальное уравнение истечения
крупнозернистого материала
Проинтегрируем уравнение (7) по переменной X при фиксирован-
ном времени t9 Const • Выражение, стоящее в правой части уравнения,
при t9 Const является функцией только X , поскольку в этом случае
величины0,9<}fy9Cbnst	”Const , а величины F~F(x)
и	для бункера заданной формы являются известными функция-
ми координаты X .
Уравнение (7) в этом случае можно записать в виде
+ ф)• Р “ <2/х) А	(У)
где через б? А) обозначена правая часть уравнения (7)
Общий интеграл уравнения (9) можно представить в форме Кови
Ха
где черва Аа обозначена абсцисса верхнего сечения Q-Q столба
сыпучего тела в бункере (рис.4).
Рис. 4. Схема бунке-
ра (к выводу диффе-
ренциального уравне-
ния истечения)
а
13
Поскольку над слоем Q-Q вышележащих слоев нет, считаем
усилие PQ * О и приходим к граничному условию: при Х«Ха, Р~О>
Если теперь в выражении (И)ппложить х»/* и Р~О , то
интегралы получат нулевые значения, поскольку верхний и нижний пре-
делы интегрирования совпадут. В результате окажется, что С~О и
зависимость РжР(х} примет вид х
-(к.(х)с1х	J K(x)ofx
Р» fp° -J Qp)Q *а dx .	(i2)
л.
Положим теперь, что и в выпускном отверстии 6'6 (рис.4)
вертикальное усилив Pg * О - нет нижележащих слоев. Получаем
второе граничное условие: при Х«Х^Ж// усилие Р~ Pg "О <
Формула (12) принимает вид
/у Н *
е*° . Q(*)e*	'
(13)
(14)
Первый множитель этого выражения при любых конечных значениях
показателя в нуль обратиться не может, следовательно, нулю равен
второй множитель
dx~o 
Поскольку второй и третий ( <Ух ) множители подынтегрального
выражения (14) знакопостоянны и нулю не равны, обращение в нуль ин-
теграла (14) возможно в двух случаях:
1) функция Q(*) в процессе истечения тождественно равна
нулю;
2) функция Q(x) является знакопеременной, причем характер
зависимости таков, что удовлетворяется условие (14).
Нетрудно убедиться, что случай соответствует большим
значениям	, свойственным крупиоэернистоцу материалу.
Действительно, перепишем формулу (12) в виде
<Ул
(1&)


14
При больших значениях коэффициенза сопротивления X"/xj числи-
тель и знаменатель формулы (15) с возрастанием X быстро увеличи-
ваются (за счет роста величиныexp(f x/х) t/xj	) и принимают весь-
ма большие значения. Можно считать, ^то правая часть формулы (15)
становится как бы неопределенностью вида —	. Раскрыв эту неоп-
ределенность по правилу Лопиталя, подучим зависимость PaP(x) при
достаточно больших X в вида
Если в сечении, совпадающем с выпускным отверстием, положить
вертикальное усилие Р~-0 » то из (15) получим
Из этого условия и вытекают закономерности истечения крупно-
зернистых материалово
У мелкозернистых материалов коэффициент сопротивления л* мал.
Числитель и знаменатель формулы (15) получают ограниченные знача -
ния,и никакой неопределенности в выражении (15) не возникает.
Для определения законов истечения мелкозернистого материала
необходимо, очевидно, проинтегрировать уравнение (7) по абсциссе
при конкретном виде зависимости Л'4* xfx) « после чего принять ну-
левые граничные условия на концевых сечениях столба сыпучего тела
(если рассматривается свободное истечение).
Дифференциальное уравнение истечения крупнозернистого материа-
ла получим, приравняв чулю функцию	(10) в соответствии
с найденным выше условием (17). Получим
F&—€.(*), Q* --QF(x),	(18)
oft [F(*)]2r ' 1 J
Найденное условие (18) должно выполняться, очевидно, в любом
сечении Л , если это сечение является выпускным отверстием
Условие (18) может быть шреписано также в виде
F'M п‘-д.р(Н\
ИМИ	•	V
Fa n£ лГ
~d.t У s 9F° ’	(19)
15
где F(H) - Fq - площадь выпускного отверстия;
F'(h)~ F1 - производная от функции	ио абсциссе» в
сечении л » // , соответствующем выпускному отверстию»,
Уравнение (19) будем называть дифференциальным уравнением ио- .
течения крупнозернистых материалов из бункеров. Оно справедливо»
вообще говоря, для бункеров любых форм. Некоторые уточнения приме -
нительно к бункерам сложных форм будут указаны в дальнейшем.
Из уравнения (19) следует важное свойство процесса истечения
крупнозернистых материалов из бункеров: полное ускорение элемента
сыпучего тела в момент прохождения выпускного отверстия постоянно
в течение всего времени истечения и равно ускорению свободного па-
дения.
Действительно, разделив уравнение (19) почленно на площадь
выпускного отверстия, получим
1 . Г* 2
•	(20)
Сравнив левую часть полученного выражения с формулой (б) для
ускорения элементарного объема сыпучей среды, находим, что в левой
части выражения (20) стоит ускорение элемента в момент прохождения
им выпускного отверстия.
Следовательно, полное ускорение крупнозернистого материала в
отверстии равно ускорению свободного падения
QomS - Const.	(21)
У мелкозернистых материалов это условие не выполняется
(Оал£7$ ‘
6.	Закономерности истечения крупнозернистых мате налов
из конических бункеров
Пусть у конического бункера, изображенного на рис. 5, заданы
следующие геометрические параметры:
Н - высота бункера;
R - радиус верхнего (при ) сечения;
- угол отклонения образующих конуса от вертикали;
2 * радиус выпускного отверстия.
16
Ив рис, 5 следует:
где
Z = R-Hty<l-R-6H,
в-tgd.
Рио. 5.
Основные размеры
конического бункера
Найден постоянные Fo и Fo, вошедшие в уравнение (19).
Площадь F(x) текущего поперечного сечения /71-ГТ) (рис.5),
имеющего абсциссу X , и ее производная по абсциссе F'(k) выра -
зятся формулами
F(x)-Tt(R-elf . 1
F'fa—zt/ifR-Bx').}	( 1
При /“// получим :
/ь - F(H) - T(R-SH?~ гг2 1 1
F° - F'(H) - -гл£(Я-6Н)—2f6Z. I	(23)
Подставив выражения (23) в уравнение (19), придем к дифферен-
циальному уравнению истечения крупнозернистого сыпучего материа-
ла из конического бункера
17

где
(26)
Частное решение уравнения (25) при начальном условии t*O ,
С^~О имеет вид
th\[E) t.	<27>
Подставив в зависимость (27) значения D и Е (26),най -
дем зависимость расхода от времени, а разделив расход на площадь
отверстия Е ~ 7LZ 2 , получим зависимость скорости ZC истече -
ния от времени
S-^'vlr th\j^ t,
Производные от расхода и от скорости истечения ZC по
времени найдем путем дифференцирования законов истечения (28)
к	(28)
Функция гиперболический тангенс
th х =
и'* е*+
при Х*О имеет, очевидно, нулевое значение, а с возрастанием X
асимптотически стремится к единице. График гиперболического тан-
генса приведен на рис. 6,а.
18
Рио*5» Графики: а - функции гиперболический тангенс; б - за-
висимости расхода от времени
Следовательно, с возрастанием времени//уч/ i-i)
расход и скорость истечения Ш асимптотически стремятся к
своим предельным значениям fynp и
(30)
График функции £ * показан на рис» 6,6.
Из формул (30) видно» что предельные значения расхода и ско-
рости истечения крупнозернистого материала не зависят от высоты
столба материала над отверстием. Они являются функциями лимь ра-
диуса ? отверстия и угла	9 составленного образу-
ющими конуса о вертикалью.
С возрастанием величины и (30) убьзают. а
с уменьшением В » наоборот» увеличиваются. При В~*~О величины
и Vnp растут неограниченно. Очевидно» при в** О	мы получим трубу
постоянного сечения» в которой зерна сыпучего тела будут свободно
падать8 а скорость свободного падения может стать сколь угодно
большой.
величина
(31)
вошедшая в формулы (28), характеризует быстроту (темп) приближения
скорости и расхода к их предельным значениям. Действительно, чем
больше U) , тем больше при заданном t аргумент СО t гиперболично»
кого тангенса; тем ближе к единице значение thwt .
Из формулы (31) видно, что с возрастанием Z величина СО
уменьшается; процесс неустановившегося истечения растягивается во
Времени. Наоборот, при малых Z процесс истечения стабилизирует»
ся за короткое время.
Величина в«tgol оказывает на СО противоположное влияние.
Чем больше & , тем быстрее достигается предельная скорость истече»
ния. При малых значениях 6 процесс стабилизации истечения растя »
гивается во времени. При 6 я* О истечение стабилизироваться не мо »
жет; бесконечно большая предельная скорость никогда не может быть
достихнута.
Следовательно, чем меньше угол наклона стенок бункера к его
реи, тем больше Unp и меньше U) - больше период неустановившегося
истечения. Произведение этих величин, как следует из формул (30) и
(31), есть величина постоянная, равная ускорешо свободного падения
Для определения времени истечения сыпучего материала из кони »
ческого бункера проинтегрируем первое из уравнений (z8) по времени,
учитывая, что
/	' сП
тле V - текущий ооъем сыпучего тела, заключенный в бункере
Приняв начальное условие: при t*O , (we - перво-
начальный объем находившегося в бункере сыпучего тела), получим:
&/chwt	<зг>
или решив зависимость (32) относительно времени
<аз)
Приравняв в этой формуле нулю текущий объем V находящегося
в бункере сыпучего тела, найдем время Т истечении
(М)
20
Учитывая» что у конического бункера объем можно выразить
через радиусы Ля? верхнего и нижнего сечений и величину
Z’] ?
, J
получим выражение преавав вочечеяпя через величины /?, г и 6
<3S)
Так как	, отношение f. Это означает, что
показательное слагаемое в подкоренном выражении, стоящем под зна -
ком логарифма в формуле (35)» практически равно нулю»
Пренебрегая этим слагаемым, получим
^~ж	* О * &>?] *	(з5)
а если положить tn?*? 0,693	, то формула (36) примет
удобный для расчетов приближенный вид
Пр""'
Из основных уравнений (28) следует, чтс законы истечения круп-
нозернистых материалов из конических бункеров определяются геомет-
рическими параметрами бункера ? и	, т.е. фактически .фор-
мой и размерами той части бункера, которая расположена вблизи вы -
пускного отверстия» Форма верхней части бункера на законы истече -
ния практически не ьлияет» поэтому< формулы (28) применимы не толь-
ко для конических, но и для составных бункеров с конической выпуск-
ной частью (рис.7).
При тех хе допущениях, что были приняты для конического бунке-
ра, из формулы (34) получим
• <38)
Формулы (37) и (38) становятся неточными при малых
и больших размерах ? отверстия. В этих случаях нужно применять
точную формулу (34)д1олажив в ней (рис. 7)
7. Законы истечения крупнозернистых материалов из
бункеров сложных форм
В основу определения законов истечения примем, как и в случае
конического бункера, уравнение (19). Структура полученного уравне-
ния оказывается такой же, как и уравнении (25). В частности, коэф-
фициент при квадрате расхода D и свободный член уравнения Е яв-
ляются, как и в случае конического бункера, величинами постоянными
D Const , Е * Const.	(39)
Л»	9
Решение уравнения (25) при начальном условии t “ О ,	*0
было уже найдено (25). Подставив в (26) значения D и Е (39),
получим расход в функции времени, а разделив расход на площадь
Го отверстия, найдем скорость V» истечения
22
Как видим, законы истечения (40) аналогичны соответствующим
зависимостям, найденным для конических бункеров. Расход и скорость
истечения с течением времени изменяются по закону гиберболическо-
го тангенса, стремясь к предельным значениям
*1	(41)
J
Величина	___
’	(42)
определяющая быстроту приближения расхода, и скорости истечения к
их предельным значениям, находится в обратной (по сравнению с рас -
ходом и скоростью) зависимости от fi и • Произведение предель-
ной скорости истечения Unp на величину СО , как и в случае кони-
ческого бункера, является величиной постоянной
ШОпр * Const .
Исследуем подробнее зависимость пропускной способности бунке -
ра - его предельного расхода - от абсциссы Л отверстия.
Для бункера, форма которого задана зависимостью Zr*/rj<xJ
(рис. 8,а), пропускная способность (предельный расход) определится
первой из формул (41)
где X - абсцисса отверстия, которая может быть переменной, если
отсекать нижележащую часть бункера на той или иной глубине X
В дальнейшем удобнее рассматривать не сам предельный расход,а
квадрат предельного расхода
(43)
Функция U(*) в зависимости от вида функции /у Ху может
быть как монотонно убывающей, так и иметь те или инне особенности:
макси’фш и минимумы, конечные и бесконечные разрывы и т.п. В прос-
тейших случаях ксзического, пирамидального, щелевого с плоскими
стенками и т.п. бункеров функция U ^U(x) является монотонно убы -
вающей. Так, в случае конического бункера с параметрами /4
(рис.5) из формулы (43) с учетом значений F(x) и F ( Х\)
(22) найдем
23
lx
Рис.8. К определению пропускной способности бункеров сложных
геометрических срорм: а - схема бункера; б * примерный вид графика
для бункера, имеющего разрывное сечение; в - график
ZZх U(*) М& бункера наибольшей пропускной способности
Эта зависимость является монотонно убывающей. Пропускная спо-
собность такого бункера fynp определяется параметрами его отвер -
стия F> ~7L?2 vlFo~-2%6z , имеющего наименьшую пропускную способ-
ность среди всех других сечений в интервале
В других случаях функция 4/*Z//x) при некотором значении
/<// может иметь минимум (рис.8,6). Тогда пропускная способность
всего бункера определится» очевидно» не параметрами отверстия, а
параметрами сечения,имеющего наименьшую пропускную способность. Та-
кое сечение будем называть разрывным, поскольку в нем происходит
разрыв струи сыпучего тела. Частицы» лежащие над разрывным сечением,
сжаты силами веса и реакциями стенок бункера, а частицы, прошедшие
разрывное сечение» свободно падают. Это возможно потому, что пропуск-
ная способность нижележащих сечений больше, чем у разрывного сече -
ния о
Таким образом, пропускная способность бункера, имеющего Хр<Н
(где Хр - абсцисса разрывного сечения), должна определяться по
формулам:
24
где FrF(f„) «	- параметры разрывного сече-
ния.
Для определения пропускной способности бункера заданной
(задана функция F~ F(t) ) находим абсциссу м/ разрывного
ния из условия . Получаем алгебраическое уравнение
ним неизвестным
формы
еече-
с од -
(4b)
РР*-ЗГ,2-О.
Воиедине в это уравнение функции д известны: Fж F(k)
заданная функция формы бункера;	и F*~ F*~ ее про -
изводные.
Решив уравнение (46) находим абсциссу Хо разрыв эго сечения,
а затем и его параметры Fp*F(tp) и Fp*F*(Xf>) • Далее, опреде -
ляем зависимость расхода от времени и предельный расход по
уравнениям (44).
Найденные закономерности истечения крупнозернистых материалов
из бункеров сложных форм позволяют поставить ч решить важную прах -
тическую задачу - определить форму бункера, обладающего наибольшей
пропускной способностью. В этом случае необходимо вид функции
выбрать таким, чтобы предельный расход каждого последующе-
го (более узкого) сечения был равен предельному расходу предыдущего
сечения.
В итоге задача сводится к отысканию фориц бункера, пропускная
способность которого одинакова во всех сечениях: « Const и
прямая, параллельная вертикальной
оси ОК (рис. 8,в).
Следовательно, *0 во всех сечениях бункера, что приво •
дит к дифференциальному уравнению относительно неизвестной функции
FFe-3P^O.	(46)
Интегрированием итого уравнения нетрудно найти функцию,
определяющую форму бункера постоянной во всех сечениях пропускной
опособиости.
25
Рис.9. Бункер» поверхность кото-
рого описана вращением экспоненциаль-
ной кривой АВ относительно верти -
калькой оси 42/
X в интервале
указывает
8. Примеры расчета производительности бункеров
Пример 1. Кривая АВ продольного сечения бункера» имеюще-
го форму тела вращения (рис.9), задана уравнением
у«£еТ*
Отверстие бункера располо -
жено в сечении Х*Н . Найти
зависимость скорости истече -
имя от времени.
Ренеине» Находим парамет-
ры сечения бункера на глуби-
не X
Р-ху£-%#ге'*к*-,
F^MYY- ~fcr#2e 'г™
и далее, величину Ц по фор-
муле (43):
Отрицательный знак про-
изводной при всех значениях
на то» что пропускная спо ~
собность u-Q? бункера монотонно уменьааетон по мере возраста -
ния абсциссы '% отверстия; экстремумов функция ^•^/х) не
имеет. Разрывным сечением является сечение» совпадающее с отвер -
стием бункера.
Скорость истечения 1Л определится из второй формулы (40)
•	(47)
Из найденных формул следует» что особенностью бункера рассмат-
риваемой формы является независимость предельной скорости истече -
ния и величины СО* \/2^^ абсциссы (и от радиуса) отверстия»
Если задаться предельной скоростью» положив	» «о не
(47) найдем
26
и зависимость скорости истечения от времени запишется в виде
Уравнение кривой продольного сечения бункера получит в этом
случае вид	- У у
К тому же результату (экспоненциальному виду кривей продоль -
кого сечения бункера) можно было прийти и непосредственно поставив
задачу отыскания формы бункера, обладающего свойством независимос-
ти предельной скорости истечения от абсциссы отверстия.
Действительно, если у----
VnP	~ Const >
то производная от по абсциссе равна нулю при всех значениях
X . Это приводит к дифференциальному уравнению
рр»-р*~О,
решение которого и определяет экспоненциальную форму кривой продоль-
ного сечения.
При .мер 2. Найти предельный расход и предельную скорость исте-
чения сыпучего материала из отверстия бункера, если его поверхность
образована четырьмя плоскими стенками (рис. 10 ,а), попарно симмет-
рично расположенными относительно двух вертикальных плоскостей сим-
метрии бункера. Поперечные (горизонтальные) сечения имеют форму
прямоугольников, центры которых лежат на вертикальной оси симмет -
рии бункера ОХ * Заданы размеры начального (при х	) сечения
; углы наклона стенок к вертикали ^azetg Sf и
о^-агс^вг » высота бункера Н-, H,<fy .	.
*	,	Oj	02
Решение.
Находим площадь F текущего поперечного сечения и произвол -
ную f4- для бункера, изображенного на рис. 10,а.
<7Л А = 4/Л -	- <W)	j ?
А'« -4[б,/Ъ-&х)+&{&-&*)] . J
Далее, определяем для рассматриваемого бункера функцию
по формуле (43)
U » /во -t-f ~С1Х)	.
я
Рио. 10. Бункеры о плоскими стенками: а - суживающийся С
двумя плоскостями симметрии; б - щелевой; в - пирамидальный;
р) расширяющийся относительно одной из плоскостей симметрии
Из полученной формулы видно, что числитель правой части с
ростом X убывает значительно быстрее, чем знаменатель. Пропуск -
ная способность бункера с ростом X монотонно убывает.
Положив X * Н и обозначив
Ri ~bfH ж } Rz * &гН *
получим параметры отверстия
Ъ -	-ЬН)(Ь-в3Н) « ^?/ ?£
(48)
Далее, из формул (41) найдем предельный расход и предельную
скорость истечения 

Если бункер щелевой с двумя вертикальными стенками(рис.10,б),
то можно положить: 6/-<5с/«с я .
Тогда формулы (48) для и Zfyo примут вид
и
Если бункер пирамидальный (рис.10,в), тс	uf~O^O
tynp =	\/^>g~ > 'Rnp в *	(®)
Наконец, если у бункера две противоположные стенки расположе-
ны так, что бункер “расширяется" книзу (рис.10,г), то можно поло -
жить	.
ймеем ;

Переписав выражение для производной г в виде
Л 6iRf * 6fR%) ~&6f6zX :
видим, что в начальном ^ечеими (при Х^О ) производная положи *
телька, если
C^>Rf *
в этом случае вблизи начального сечения бункер расширяется -
площади его поперечных сечеой с возрастанием X увеличиваются.
Если же при Л * О выполняется противоположное неравенство
^2 Rfi *	/
то бункер вблизи нгщл&ного сечения суживается.
39
Производная F' меняет знак при
следовательно, плоскость л « д* разделяет расширяющуюся и сухи*
веющуюся части бункера.
Поскольку выпускное отверстие может быть расположено только
в суживающейся части бункера, то всегда должно выполняться мера -
ьенство
&,Ъ	>0.
Формулы для предельного расхода и продельной скорости исте-
чения получают вид
а,» • y'?Fb' • I
Пример 3. В конический бункер, имеющий радиус отверстия
и угол наклона образующих к вертикали	tg &f (рис.И),
вставлен встречный конус с радиусом основания и углом.
tg 82 < Найти предельную скорость истечения.
решение
Площадь текущего поперечного се-
чения бункера с абсциссой X нахо-
дим, как разность длошадей двух
кругов
F^FrF^x[(Z'6,)Cf-(7t *4л)*];
ее производная
В исследовании пропускной способ-
ности различных сечений бункера в
данном случав нес необходимости,так
как очевидно, что наименьшую про -
f	пускнув способность имеет кокьцев.
XI*	сечение бункера и абсциссой X *€>.
Рис. 11. Конический буи- Положив в формулах для F и Р'
кер во встречным конусом Х*О, найдем параметры отверстия
30
после чего из второй формупы (41) находим пре де льнув скорость
истечения	._______:__
?т

(Ы)
В частных случаях:
(встречный конус отсутствует)
(в наружный конус вставлен цилиндр раджу *

са ?г.)

нус)
{д наружный цилиндр вставлен встречный ко -

Прт.ор 4» Бункер иыезт ^орцу однополостного гиперболоида вра- •
женич (рис.;<) с радиусом горловины в ее самой узкой части - и
верхним радиусом ? ; высота бункера 7 <. Яаити продельный расход
бункера у
Рис»12, Буплер, иые?лций фор-
•л^ одп^полостиогэ гиперболоида
Решение»
Уравнение гиперболы (кривой 45
центр, с* когоуой смелей по оси
абсцисс на расстояние ,7 ка-
ркаем в вида
X -	f.	(S3)
Здесь 5 - взимая полуось гипер-
болы, которая может быть найдена
и:~ условия прохождения кривой
(Ьг) через точку А[О:
heлучим .
в -		(68)
v,₽~  *•z
~ Площадь текущего поперечного се-
чения гиперболоида найдем по
феруле
Следовательно г-' 2X71
F^-gn-
Подставив значения/7, F' и ,г* в уравнение (45). определяющее
абсциссу разрывного сечения, придем к квадратному уравнении отно -
сительно Л , которое имеет два корня
v = // ±	.
Корень, соответствующий в&ркному двойному знаку, находится га
пределами рабочей части бункера - в расширяющейся части гиперболо-
ида - и должен быть отброшен.
Следовательно,
Ff.-F(xr) ^i2‘: F/-•
Предельный расход гиперболоидального бункера, в соответствии
со второй из формул (44), может быть записан в виде
к  S R
или» с учетом значения £	(53),
с. _
Сравним производительности с^г и fy* гиперболоидального и
конического бункеров в предположении, что они имеют одинаковые ге-
ометрические параметры^
Производительность конического бункера
?< •
так как у конуса	•-
Отношение производительностей
>9-9
где d' = -^-.
Ив найденной формулы следует, что прималых 6' гипербрлои-
дальцые бункеры производительнее конических. При сГ •—О
л—»/.Р7
гяперболоздальный бункер может быть почти вдвое производительнее
кои'лческогс.
32
С возрастанием и величина .А уменьаается и при
8 = ^Lx-SiL ^0,875
6° + 5s
производительности обоих бункеров сравниваются* При 0,875 ко-
нический бункер производительнее гиперболоидальксго. Однако, при -
менечие бункеров с параметром > 0,875 лишено практического
смысла. Следовательно, при проектировании буккерных устройств не -
обходимо учитывать, что вс всех реальных случаях гиперболоидальный
бункер производительнее конического»
Призер 5» Дозирующее устройство представляет собой задвижку
1 (рис.13), которая может перемещаться возвратно-поступательно в
горизонтальном направлении по некоторому закону ' = ?/
Составить дм^еренциаль-
Рис. 13.
Схема буикер?.~д6зэгора
ноо уравнение истечения вер
нистого материала из бунке-
ра в общем случае, а также
в случае	CuSect,
если 6 * и длина щели
в направлении, черпендику -
лярном ачлоскостг чертежа,
равна и' .
Решение
В дифференциальном урав-
нении истечения (19)
необходимо найти площадь
отверстия Л и производную
от площади по абсциссе
в сечении, совпадающем с
отверстием.
В текущем сечении на высоте	имеем
>' = --6х =	,
следовательно, площадь текущего сечения и ее частная производная
по /X получат значения
/^^04 ; }
у— —6£ -Swst , j
33
В сечении, совпадающем о выпусками о»иеротнем/4	’
Уравнение истечения (19) получает вид
с$~*9^$ *
Вели , в частности» с « Я  ?* Zbs a)t , то
r _ J--------------- ; q* =, g P(q. ?k> < а» r),
at t(a~?oCasu)iy- r J {
В каждом конкретном случае - при ладанном законе движении
плунжера 1 * полученное уравнение может быть решено численными ш:
годами.
9. Некоторые результаты экспериментальной проверки
законов истечения
Эксперименты выполнялись на конических и щелевых бункерах я
Привели к аналогичным выводам, Ниже приведены основные параметры
комических бункеров (табл.1).
Таблица 1
Основные параметры экспериментальных
бункеров
			U б-ра	?  АС	| /? .а	Hid1 а		
	ж		1	33,8	93,2	505,0	5°37*	0,0^3
			2	30,8	156,0	600,0	11°47'	0,209
		у	3	35,2	151,0	600,0	11°52'	0,210
\ i	। |Г7		4	39,7	153,0	602,5	11°84'	0,206
	тк		5	33,4	215,5	600,0	1б°5О'	0,303
Как было найдено ранее, процесс истечения не ядляотся ста
циоиарным. Скорость истечения после открытия затвора возрасти
от жуля, приближаясь к некоторому пределу. Экспериментально олри
делилась средняя скорость истечения некоторого обьома лорнз
(пленицы, проса и гороха).
Действительная средняя скорость иотзчаьмя Да	и
ао формуле	тг .
£JT
где /о ~ площадь отверстия»
J" - ьрма истечения.
34
По этой so формуле можно найти ж теоретическую среднюю ско-
рость, если вместо деЙотвитального времени истечения подставить
его теоретическое значение*
При опытах каждый же бункеров (табл.1) заполнялся зерном про-
ев» пюенццы или горсха из 0,25; 0,50; 0,75 высоты и на полную вы-
соту. Время истечения определялось при помощи злектросекундомера,
контакты которого автоматически включались и выключались педалью,
не которую нанимала струя зерна, выт^кчюцегс из суикера. Цена де-
лений секундомера - 0,01 о.
Показания ьлектросекундоыера оказались весьма устойчивыми,
при повторении опытов отклонения показаний не превышали одной -
двух сотых долей секунды.
На рис* 14, а, б и в приведены графики ензлсимостсй средней
скорости истечения от времени t i для буккеров Й 1, 2 и 5.
Соответетвуювше эавпсимости для целевых бункеров имеют аналогия -
ньй вид,	£
ра Ж А; б - для бункера 12; р - для бункера й М - теоретичес-
кая; £ ’* гросс; 3 - пшеница; 4 *• горох; г * скорость истечения в
Функции € «toL&
36
Из графиков следует, что характер зависимости I' •*J/i)
одинаков для теоретических к действительных кривых. Наибольшую
скорость истечения при прочих равных условиях имеет просоi иан -
меньаую - горох. Снижение скорости истечения более крупных зорей
по сравнение с мелкими можно обменить возникновением и разруае -
нием устойчивых (не скользящих) оводов, что приводит сначала к
неравномерности ("пульсации") расхода, а затек и к полному прекра-
щению истечения.
Зависимость скорости истечения от величины & " близка к
теоретической (рис. 14,г).
На основе опытных данных для конических бункеров получена
уточненная формула действительней скорости истечения в виде
где VT - теоретическая скорость (30);
?)- поправочный коэффициент ;
Ч - (0.У2 6 + 0,99) - (4,61 а ♦ 4,12)$ j (04)
относительный размер зерен i £ -tyd.
Положив в формула (54) 0-0, подучим условие прекращения
истечения	J,
“ у, 6,' а * О, !2
(56)
Если у бункера с/ в * о. OS 7 ), то истечение пре-
кратится, как следует из условия (65), при §. 0,226. При диа-
метре отверстия бункера J)» 50 мм диаметр а/» шаровых зерен в
этом случае составит
do ~	« fl,5 по .
Из формулы (54) нетрудно найти также относительный размер
зерен, при котором истечение будет происходить со скорость», рав-
ной теоретической. Полсив в формуле (54) Ч «У , подучим
£	О>9?& -0,0!
“ */,&!& -	‘	С03)
Иркol *25° и D  50 мм получим	• 0,056 и d*U,ti им.
В общем случае при заданных	и $ « необходимо
по формуле (54) вычислить поправочный коэффициент 1 * ж теоретичео
кую скорость истечения Vr -	(30), после чего нетрудно найти
. -г. « Г> »	г
Зв
РАЗИМ И
СЫНОВЫ ТЕОРИИ ДАВЛЕНИЯ СЫПУЧИХ ТЕЛ НА ДНО И СТЕНЫ
БУНКЕРОВ И СИЛОСОВ
10* Ксходнно соображения
Теория лолеккй сыпучих материалов на стены хр&нядвд * вте •
рой основной рзадел механик» сыпучих материалов* Знание законе *
мерностей распределен»» давлвшй по arena# необходимо эр» расме *
тпх на прочность и уогоКчмвесть адоваторных омжеоз* а также грум-
нах бункеров, заполненных сыпучими материал?»» большой о&мжва!
пдотнсст» (пооск, щебень, уголь, руда и т.п.). Степень точное*»
расчета оболочек хрпиплищ методами сопротивления материалов»етров*
тальиой механи-си, теории упругости целиком зависит, очевидно, от
степени точности расчета давлений сыпучего материала на стены ом -
костей.
Ниже рассматривается теория давлений на дно и стены силосов
и бункеров для модели *ютально сыпучего* тела * сыпучего матери-
ям, х'ожду зернами которого существует ликь силы сухого трения.
определение давлений основывается на принятых ранее (в разде*
ле 1) допущениях: двоякая механическая модель сыпучего тела; по *
с’: упкельиое по ращение зерен в процессе двияеняя сыпучего тела;
Р’ивонсрноо распределение вертикальных давлений по площади попе -
п-иного сечения оункера.
В основу определения вертикальных давлений 6* , как я ранее,
::<‘?'слено дггНреншпльгое уравнение движения элемента спломной сы-
•ц «ей с роды (п):
дпсическкй смысл величин, доведших В это уравнение, был рас *
".’.егрен ирг выводе уравнения (в разделе 5).
Рл’тегрйровапйэ уравнения (8) о цель» отыскания зависимости
’ ’ 'ъЧЬозмохно. если предварительно определять зозедьий в уравне*
ччг кс м$фпиисит сопротивлении -'функцно гх ’ ,</х) . Вид этой функ-
ции. как пока'Нпо ниже, зависят от формы и размеров бункера, а таи*
^е от ксзффйгшинтог вненаего ж вкутренпегб трения зерен.
Весле’ определения вертяжальйых дайёииЙ <У*б/д) могут бить
??i г?й иоф1.пльяые давления ^5? сыпучих4 тел га стевы бункеров и
гь\<:ов я.-> еспова осотновеиж (5й ~ K»^t
з?
(57)
где бп - нормальное давление;
6 - вертикальное давление;
- коэффициент пропорциональности между ними - “коэффи -
циент нормального давления*»
При выводе формул для коэффициентов сопротивления /V и нор-
мального давления Л/> оудем пренебрегать собственным весом “дис-
кретного элемента* (рис. 15 ,а) по сравнении о внешними силами при-
ложенными к элементу со стороны выше - и нижележащих слоев, а так-
же со стороны стенок бункера, т.е» будем считать зерна, входящие
в элемент, невесомыми.
Рис. 15* Схема действия сил да плоские диски: а - дискретный
элемент, состоящий из трех слоев дисков; б, в и г • силы, дейст-
вующие на крайние диски, соответственно, ведущего, промежуточного
и ведомого слоев
38
11. 0 соотношении сил, приложенных к ведущему и
ведомому сломи дискретного элемента
На рис. 15,а изображена схема правильной послойной укладки
одииекоьых абсолютно твердых плоских дисков, центры которых ле -
жат в плоскости чертежа. Поскольку расстояния между центрами дис-
ков постоянны и равны диаметру диска, то рассматриваемая система
дисков кннематмчэски эквивалентна шарнирно-стержневой системе -
механизму, состоящему ив стержней, соедигеяных по концам ашрнира-
мп, совпадающими с центрами дисков.
Если считать, что движение совокупности дисков на рис. 15 ,а
("дискретного влемента*) происходит вняв, то ведущими звеньями яв-
ляется диска 1,5 и 8,г. которым приложены силы	направ-
ленные в сторону движения. Слой, образуемый этими дисками, будем
нязквягь ведущим» Аналогичное слой» образуемый дисками 3,6 и 9,
к которые приложены силы 4^, (%	, направленные против дви-
жения, назовем ведомым. Наконец, диски 2,4, 7 и 10 образуют про-
межуточный слой.
При движения дискретного элемента вниз - в сторону сужения
погона - дчеки промекут-^ного слоя вклинивается между дисками ве-
дущего п ведомого слоев, раздвигая их. Этим определяются направ -
леннн сил ’’внутреннего* трения между дисками.
На рис. 15,в,г и д показаны силы, действующие на крайние дис-
ки 1,2 и 8 ведущего, промежуточного к ведомого слоев при движении
дискретного элемента вниз.
Янтенсивнсоть силового взаимодействия джеков Друг о другом
зависит, прежде всего, от способа их укладки - угла .S между об*
шей нормалью к дискам в точке их соприкосновения и вертикальвой
ссьа #Л * При регулярной укладче дасков, показанной на рис. 15,а*
эют угол является заданным и постоянным.
В реальных убловпях зерна сыпучего тела располагаются беспо*
рядочпо. Однако, и при беспорядочной укладке Существует некоторое
среднестатистическое (вернее, *эффективновя) значение v6 , кото-
рое также можно считать постоянным, если беспорядочность укладки
сохраняется.	’ ; г ,
Соотношения !<еад силами И при равновесии невесомых
плоских дисков 1,2 я В о учетом тренмя нетрудно найтг путем сое -
тленйя уравнений их равновесия. Для случая, изображенного на
рме» 13, они имеют вид;
39
л ~ #
я=Г 6)	.	“1
2.	(_	12 Т» $1/) ^ --= <9;
~(^!г	V? " Ts^Sl/jjS ~	- Tvi fy&x ~ О ;
«ЗС’у//*') /	\	Z	^(^O
(^!2 г^3г)&л& *(^2 PTty&2S'j3 ~/Vf * Ф^^-Tf2	да & ;
~ 27i$$L0jty *0.
ЗДвОЬ A^Z * V-?/ > /V^3 Я/Й i * T2f p'2 ;
ZI\5 ** 7&? ” Л’Л^з ; 7lz ^’fa/'hz ,
где /- t<) ¥ * Угод "внутреннего* троима между дисками;
с/ - угод "внешнего* троими диаков о стяну огражде-
ния,
Из первого уравнения (58) можно выразить нормальную реакцию
л4г*Л^г/ через силу Р& , а из последнего - реакцию Л^-А/^
через силу 4\ • Подставив затем нормальные реакции W/^ и
во второе и третье из уравнений (58), можно из каждого из этих
уравнений найти нормальную реакцию //*г • Приравняв полученные
значения Л4^ (исключив эту силу из уравнений), придем к соотно -
шению между силами й* и Рк при равновесии дисков
Ок ~
Р* f + typ/	-tty
Верхний знак в этой формуле соответствует движению дискретно-
го элемента в сторону сужения ограждения (рис,15); нижний знак -
движению в сторону расширения ограждения (на рис,не показан),
укладка дисков, изображенная на рис,15, применима, строго го-
воря, лишь для тел цилиндрической формы (бревна, трубы, плоские
диски). Для шаровых зерен "плоская" укладка маловероятна. Более
вероятной здесь является пространственная укладка, при которой
каждый ведущий шар "опирается" не на два, а на три равноотстоящих
мара промежуточного слоя. Центр ведущего (или ведомого) шара и
центры трех соприкасающихся с ним шаров промежуточного слоя распо-
лагаются в атом случае в вершинах пирамиды, имеющей в основании
правильный треугольникг такую укладку шаров будем называть пирами-
дальной.
Каждый из ведущих шаров ( А, В и С на рис, 18) опирается на
три равноотстоящих шара промежуточного слоя (шары 1,2,3,4,5 и 6),
Нормальные реакции и Нгл направлены в пространстве по при -
мой М (риоДб); реакции и ^4/3 прямой В2 и х,д. Пря-
40
мая А2, соединяющая центры жаров А и2, составляет угол с
вертикалью, а ее проекция на плоскость Ух? - угол 60° с осью У
и т.п.
Рис.16
Пирамидальная укладка паров
(зид сверху)
5	=• О ,
(S9)
Учитывая сказанное, нетрудно составить уравнения равновесия
для одного из ведущих шаров (например, А), промежуточного шара Z
прилегающего к стенке, я ведомого шара 2? • расположенного
"под* шарой А. Подучим
Л/ ' =;	''os^ fi ' £>
~ ~ Ltх'3^7) Cos ft
__gj
T^Cosol*G-,
2	~ ^(NA2 "^Sio&CbsSO^ 2(7*2
~ l(^cCc$ol t Tn Slffot. *O.
Выразив реакции и Nsj> через
уравнений (59) и подставив их значения
найдем два выражения для нормальной реакции стенки
• /z и txx из первых двух
в два последних уравнения.
,цг
л' _ 1 CosYtg(№>)
- з ‘ го?^^Л
(60)
41
Приравняв правые части формул (60), найден отношение сил Gx
и Рк при пирамидальной укладке шаров в виде
А -	.	(61)
Рк 2 rt$.('/td.)tg(j5+w')
В полученном соотношении, как и в уравнениях (59),верхний
знак соответствует движению дискретного элемента в сторону суже -
ния, а нижний - в сторону расширения потока.
12. Приращение осевого усилия при переходе от ведущего
слоя к ведомому
Рассмотрим соотношение между вертикальной составляющей реак-
ций стенки к сжимающей силой Р для дискретного элемента
конечной толщины Лл ~2dCosfi (рис.15), пренебрегая собственным
весом элемента.
Внешними силами, действующими на дискретный элемент сыпучего
тела (рис. 15,а), являются вертикальные силы Р и Q и.реак-
ция стенки бункера, причем
_ л/ _	,7 _
P = ZPK -	R-Z AJZ .
Здесь Л/ - общее число шаров в каждом слое (ведущем; ведо-
мом; промежуточном);
Р - число крайних шаров промежуточного слоя, при -
лагающих к стенке бункера.
При равновесии группы шаров система приложенных к ним внеш-
них сил должна быть уревновешенной (аксиома гатвердевания). В
частности, сумма проекций внешних сил на любую ось должна рзв -
няться нулю.
Спроектировав все внешние для рассматриваемого дискретного
элемента силы на вертикальную ось Ок (рис. 15,а), получим
2?Л; = P-Qt&Ra -О,	(<й)
42
W
n
** Pi - сумма проекций на ось Ох сил реакций /?/
стенки, приложенных к шарам промежуточного слоя.
Следовательно,
aRx~Q~P>	(бз)
т.е. при известных вертг5кальных силах Q и р сумма проекций
реакций стенки на ось ОХ для какого-либо объема сыпучего тела
может быть найдена, как разность полных вертикальных сил Р и О »
приложенных к концевым сечениям объема. В суживающейся трубе
всегда Q<P и ДРл<0 .
13. Коэффициент сопротивления движению
* крупнозернистого материала
Поскольку в предельном случае крупнозернистого материала
(рис. 3,в) распорные усилия, прижимающие шары промежуточного слоя
к стенке бункера, создаются полными вертикальными силами О и Pt
к ведомому и ведущему слоям, перепишем формулу (61)
в зиде
j? 2-tg.(v*Ptg(fi * ч*
Р = 2 +
Вычтя по единице из правой и левой частей полученного выра-
жения и обозначив Q-P ~&Ra (63), найдем сумму проекций реакций
стенок на вертикальную ось для пассматриваемого слоя
fl- р PR, . _	. р
Переходя от дискретного к непрерывному распределению реак-
ций по глубине х , запишем пропорцию
С? _ ДР*
43
где 4Х = 2d.Cosfi>^ тоддина дискретного элемента (рис. 15,а).
Следовательно
“	G-^.	________.pdx .
[2i-tp (y±^)tg(e ± yjjdcbsjs
Сравнив полученную формулу с формулой (3), видим ,что коэф -
фициент сопротивления движению крупнозернистого материала опреде-
ляется формулой
[2t t§(4±<*yty(flt rfjdfafi
(64)
14о Коэффициент сопротивления движению мелкозернистого
материала
В рассматриваемом случае формулу (63) можно преобразовать с
учетом различий между числом Л/ шаров в каждом слое дискретного
элемента и числом /7 шаров, прилагающих к стенке бункера (/7х<д/ ).
Воспользуемся с этой целью допу⻈нием о равномерном распреде-
лении вертикальных давлений по площади поперечного сечения бункера»
Это дает основания считать все силы и Q# (К « 1,2 .... к/ ),
приложенные к шарам ведущего и ведомого слоев, соответственно»
равными по модулю. Аналогично, будем считать равными по модулю и
все реакции	П)ц
Соотношение (63) получит тогда вид
/7/?/х « -йРк
или
(35)
(36)
44
Найдем числа /? и /V
п яра мидельную укладку.
D
Рис .17.
Каждая из сил реакций стенки, приложенная к шару проме-
жуточного слон, состоит из нормальной реакции и силы трения
(рис. 15,а)
О ’ ^2 * Кг .
Проекция этой силы на ось ОХ определяется двумя последними
слагаемыми правой части третьего из уравнений (59):
- т Nikina - fofrsoi - -	•
1 л	'I. оз г
Подставив в это выражение значение 113 второй формулы
(30), получим
Д.х - -	У-),	(67)
Приравняв значения (66) и (67), получим соотношение
сил и в виде
~ о_	(S8)
поскольку /?*. = д/ЛУ Q
Р\ ,0'0 “ о ’
где Q и Р - полные вертикальные силы, приложенные, соответствен-
но, к ведущему и ведомому слоям дискретного элемен-
та.
, принимая в качестве основной
На рис.17 показаны точки А, В и
С - центры шаров промежуточного
слоя; Д - центр шара ведущего
слоя.
Общими нормалями к шарам в
точках соприкосновения являются
ребра DA , ВР> и DC пирамиды
DA8C. » составляющие с верти -
калькой осью DOX углы ~ ODA —
~^OjDB~^ODC ~J3.
Очевидно, длина ребер DA -D3 *
-DC	равна диа -
мэтру пара.
К определения чисел П и А/ па-
ров в слоях дискретного эле -
мента
45
Обозначим/Л2)8 ^BDC-^CDA	^АО&^СЗОС^СОА
Опишем, далее, из вершины ]) пирамиды сферу единичного ра -
диуоа; она пересечет pe6paZ?4 vljDB и высоту DO в точках
Получим равнобедренный сферический Л КсМ , в котором
Ж»Л7д.=/?;	ZKML-/.AD& Ч20“.
Решив треугольник, найдем сторону
Cosy * CosCft * SLnzfi Cos
откуда после преобразований получим
= -J- &>?/- •	(ЗУ)
Зная угол и диаметр каждого шара	= DC,
нетрудно вычислить расстояние	(рис. 17) между центрами
смежных шаров промежуточного слоя, а также ту часть площадид№С,
которую занимают проекции шаров промежуточного слоя на плоскость
yz?Z (заштрихованные на рис.17) при заданном значении угла уклад-
ки ft ,
Из рис.17 и формулы (69) следует,
?о = А& = 2rising =• d'.’s Sin в,	(70)
а число /7 шаров промежуточного слоя, расположенных на дуге дли-
ною о
"si	™
Отношение заштрихованной на рис.17 площади Fc (площади,за-
нятой шарами промежуточного слоя) к площади /л всего Д/)£>С
определится формулой
__
F 'f8Scn;fl '
Следовательно, занятая шарами чаоть Fm общей площади F
поперечного сечения бункера составит
~	= ffscnFfi?
Разделив полученную площадь на площадь диаметрального сече -
ния одного шара, получим число // шаров в поперечном сечении
 (Ж>
Зная числа П. (71) и /V (72), находим коэффициент |В0_
ведший в формулу (66)
JL .	
46
где
Обозначим
(73)
Ал - “гидравлический радиус" сечения.
Тогда .. j „
Отношение сил О и Р (68)
перепишется теперь в виде
Q	Rr - dsinfi tg (V top tg (fi * >p)
P Rrt dStr/fc tg	V)
Вычитая иг левой и правой частей этого отношения по единице,
найдем приращение &Ra^Q~P осевого усилия, соответствующее дис-
кретному элементу
ЛР __ tin# W±o/) tyQS* n
или, если отбросить второе слагаемое в Знаменателе формулы ввиду
его малости ( d.«Rr ), получим
ЛА>Х =	Р< (?4)
Переходя от дискретного к непрерывному распределению реакций
стенок по высоте трубы, примем, что
d£* _ д£а f	(75)-
qx ~~ ДХ
причем (рис. 15,а)
дх * 2d Cos £ .	(/б)
Подставив в пропорцию (75) значения дАх (74) и ДХ (76),
найдем элементарную реакцию dR* , приходящуюся на элемент
“сплошной среды* бесконечно малой толщины
v/7;
Сравнив полученное выражение с 'найденной ранее формулой (3),
видим, что
	С*3)
Формулу (78) можно переписать также в виде
где	. . . z
<• (g0)
47
Безразмерный коэффициент .Кс зависит от "угловых" парамет -
ров трубы и сыпучего тела<^Л/3// и У , но не зависит от их ли-
нейных размеров. Линейные размеры поперечного сечения трубы харак-
теризуются ее гидравлическим радиусом Rr . Для различных форм
поперечных сечений его нетрудно определить.
Так, для окружности радиуса R
р ~ 2F ~ 2 XR2 р .
для квадрата со стороной Q (рис.18,а)
<**>
для прямоугольника со сторонами а и S (рис.18,6)
/? «ZL ~ 2а6 _ aS .	Ля2>
S 2(а+в)	'	(82)
для кольцевой фигуры, образованной двумя концентрическими окруж -
ностями радиусов ? и R (рис. 18,в)
О ~ 2Е- „ г/л^-хг2) _ ? 7 .
 Г S 2XR+2Z.Z	>	(83)
для правильного многоугольника (рис. 18,г)
Рис.18. Гидравлические радиусы поперечных сечений труб раз-
личных форм: а - квадрата; б - прямоугольника; в - кольцевого се-
чения; г - правильного многоугольника
48
Труба постоянного сечения. например, силос, отличается от
суживающейся и расширяющейся труб нулевым значением и, следо -
вательно, отсутствием относительного скольжения зерен. Нет и сил,
стремящихся вызвать относительное скольжение зерен, поскольку пло-
щадь•поперечного сечения постоянна при всех значениях X.
Следовательно, силы внутреннего трения в данном случае отсут-
ствуют, И можно положить -О	, Формула (78) для коэффи-
циента сопротивления прио( -О и получает вид
, й	(85)
где f "tyV.
Формула (85) справедлива, однако, лишь при строго постоянных
размерах поперечного сечения силоса. При наличии местных сужений
(например, за счет неточностей изготовления силоса) в формуле(78)
нельзя полагать . Формула для коэффициента сопротивления
на участке сужения примет вид
(86)
Тот же вид получит формула для коэффициента сопротивления си-
лоса и в случае, если его размеры уменьшатся, например, за счет
понижения температуры окружающей среды, так как и в этом случае бу-
дет происходить сближение зерен промежуточного слоя, аналогичное
случаю суживающейся трубы. Впрочем, если учитывать деформируемость
зерен, то между пределами значений к , соответствующими формулам
(85) и (86), должна существовать фаза упругих деформаций сжатия зе-
рен л растяжения стенок силоса, в которой
< к с f * •
Лишь при достижении напряжений в стенках, достаточных для пре-
одоления сил внутреннего трения зерен, коэффициент сопротивления
силоса получит значение (86).
В заключение найдем отношение коэффициентов сопротивления для
суживающихся конических бункеров в двух предельных едучаях крупно-
зернистого и мелкозернистого сыпучих материалов ЛА (64) и Хм
(7Б). Лилучин
Х< £г__________/____________________
а * Х-?
Аналогично для силоса постоянного сечония
\ к __' Аг	____
А cl > - ’ г / л'' j	- *
49
Поскольку в этих выражениях ЛУ коэффициент сопрэ -
тивления крупнозернистого материала в сотни раз превышает соот-
ветствующий коэффициент для мелкозернистого материала. Это и лег-
ло в основу вывода формул (15) и (17), определяющих законы исте-
чения крупнозернистых материалов (раздел 5).
15.	Коэффициент нормального давления на стешу
бункера
Коэффициент нормального давления Кп (57)
х -
л * ~ (У
может быть найден с помощью соотношений (60), устанавливающих
взаимосвязь между вертикальными силами Лг и Ок и нормальной .
реакцией стенки Nyz • Решив совместно эти уравнения, можно реак-
цию Л^г выразить только через силу Р^ или силу Q,
получим
/ 4	,	р '
' *г '*
=  ...-	__________п
к зCosfi
; тогда
(87)
Будем считать, что каждому из шаров промежуточного слоя,при-
легающих к стенке бункера, соответствует некоторый участок Ли
периметра $ поперечного сечевик трубы. Ширина Д/ полосы при
укладке плоских дисков (рис. 19) равна, очевидно,
ЬЧ-ZdSinfi-
При пирамидальной укладке шаров (рис. 16)
или, с учетом значения Л (70),
Ду	.
Следовательно, площади F Р’ Fn t по которым, соответст-
венно, распределены силы P^,QK А /У^~ » определится формула*
F w F 4 Yли ~ dScfiji ли ; ]
7bs<x'	J.
Формулы для сил Р*, Ох и Л/у2 могут быть записаны теперь
в виде :
so
(86)
44' •	;
Z?K	ЛУ G1, >
ki I	2dCOS'A . . . zar
N<> * -s^~ aue" >
Рио. 19. К определении соотношений между вертикальными
и нормальными давлениями
Подставив значения сил Д и Л^г (88) в первое из ооот- 4
ношений (8?), найдем отношение Sa гка - коэффициент нормаль-
ного давления при пирамидальной укладке шаров
XT _ Co3<*CosVt$tt§(JxW}	й9
" ~ Лл/У * ^)[2 *	t <?) '	' 1
Верхний анак в формуле (89) соответствует, как и ранее, су-
живающейся трубе - бункеру; нижний - расширяющейся книзу трубе, с/
В случае трубы постоянного сечения полагаем в формуле (89)
<Л « о ; кроме того, из-за отсутствия относительного скольжения
аорен друг по другу, принимаем УМ. Коэффициент нормального
давления превращается в так называемый коэффициент бокового давле
имя на стены силосов постоянного сечения ("коэффициент Янсена")$
<»>
где /*	(f.,
51
Взаимосвязь между горизонтальным ("распорным") давлением
в вертикальным давлением получает вид
,(Я)
На участках местных сужений силоса формулы (90) и (91) при -
я имеют вид
К, =	,
(^)
бу, «	г
16.	Давления мелкозернистого сыпучего материала ва
дно и стены силоса постоянного сечения
Вертикальные давления О' при поксз сыпучего теле в силосе
(рис. 20 ,а) найдем из уравнения (8), положив в вей
(поскольку материал находятся в покое) я Г* *О (поскольку
F	* плонади поперечных сечений силоса одинаковы при
всех значениях А ).
Рио» 20» Давления в силосе постоянного сеченая? а * схема
силоса; б * графики зависимостей О
52
Уравнение примет вид
-^2- хд.
С<Х
(93)
Коэффициент сопротивления X определим формулой (85)
№*
,	Яг J
7 - коэффициент внешнего трения зерен о стенку силоса;
Яг - гидравлический радиус поперечного сечения силоса.
Общий интеграл уравнения (93) имеет вад
J&L .	(94)
Поскольку на поверхности зернистого материала в силосе дав -
ление отсутствует, принимаем граничное условие: при X
тогда ( --= -	.
Следовательно, вертикальные давления в силосе с возрастанием
глубина X изменяются по закону
(95)
или, с учетом значения < (85)
' <96)
С возрастанием глубина % давление & асимптотически отре -
митоя к пределу
°"Л ’ к	'	(97)
Продифференцировав зависииссть б'^л) (95) по абсциссе,
найдем производную /~
« О yz?
’
из которой видно, что касательная кривой <5 ~~О ( л) имеет наиболь-
ший наклон к оси абсцисс в начальной точке - при Х~О
-(<и - 
Следовательно, касательная в начальной точке кривой 5
наклонена к оси абсцисс под углом, равным углу наклона эпюры гид -
ростатического давления 5r х (рис.20,б) для жидкости той же
плотности.
Произведение предельного вертикального давления Зпр на пока-
затель <Х экспоненты, как следует из уравнений (95) и (96), яв-
ляется величиной постоянной, равной гидростатическому давлению
63
Гидравлический радиус Rr силоса, вошедмий в формулы (96) 
(97), в общем случав определяется формулой (73); в частных случаях
- формулами (81), (88), (83), (84) и т.п.
Горизонтальные давления в оилоое при покое сыпучего тела на-
ходим на формулы (91). Подставив в нее значение ? (96), получим
(5	____Л
rz е
Предельное горизонтальное давление на стену силоса определит*
ся, следовательно, формулой
(98)
_________________ (#’)
"rz______________*
При.движении (истечении) сыпучего материала вертикальные дав*
ления в силосе могут быть найдены из Того хе уравнения (6) что и
в случае покоя. Однако, при движении	6 *4Ji * Си
ллаь	''
Уравнение (8) получает вид
= (10°)
Расход сыпучего тела в уравнение (100) не воиел; следова-
тельно, он не окззычеет влияния на вертикальные давления сыпучего
материала в силосе. Что касается величина 4 , то она чала по ве -
личине и существует лиль в течение весьма короткого промежутка вре-
мени после начата истечения. Аак тслько процесс истечения слабили*
зируетоя (£ -0^, ;	), величина исчезает. Таким образом,
вертикальные давления идеально сыпучего тела при выпуске из сил зол
теоретически возрастать не должны.
Практически при выпуске обычно наблюдается некоторое возраста-
ние вертикальных (а, следовательно, и горизонтальных) давлений.
Рассматриваемое явление связано со слежавадиеи материала в си-
лосе, в результате чего появляются силы сцепления,и материал пере-
стает быть идеельно сыпучим телом. В силосе образуется своего рода
монолит, который с началом двихеяия раскалывается не отдельные бло-
ки (глыбы). Эти глыбы, заклиниваясь в силосе, образует своды, кото-
рые затеч разрушается и видает.'В результате распределение дэзле -
ний по контуру поперечного сечения силоса стажииггся нерокогерным-
в местах опоры глыб на стены силоса давления	При пгд?«
нии глыб на поверхность зерна над выпускной воронков происходит
удар, при кстором увеличиваются хзк вертикальные, так к гмрячшя? -
тальные давления в авалей части силоса.
54
Расчет нормативных горизонтальных давлений ж
силосах постоянного сечения
Для расчете нормативных горизонтальных давлений верна в сило-
сах в настоящее время (согласно Инструкции СН 261-77 /2/ иополь-
еуется формуле
<101)
в которой
Я <*. горизонтальное давление;
У - объемный вес материала;
/ - коэффициент трения материала о стенку силоса;
у - глубина сечения;
дг - коэффициент бокового давления
где у - угол внутреннего трения, принимаемый равным углу ес-
тественного откоса у « X;
гидравлический радиус силоса;
F* U - соответственно, плоцадь и периметр поперечного сечения
силоса.
Дм силоса радиуса Rr
p.^Rr.
Если перейти к принятым нами обозначениям, то формула (101)
яолучит вид
т
(102)
Дм материалов, обладающих хорою выраженными распорными
свойствами (горох; просо), формулы (101) им (102) дам заниженные
значения горизонтальных давлений.
Предельное нормативное давление в навях обозначениях подучает
Г„	2J-
55
18. Вертикальные и нормальные давления в коническом
бункере при покое сыпучего тела
i)
я' л»
Рас. 21. К определение вертикальных давлений в коническом
бункере: а - схема бункера; б - графики вертикальных давлений
Положив в уравнении (0) 0	Л* О , приведем его к виду
Зависимости F*Ffn)u	воиедиме в уравнение (10В),
определяются формулами (22)
F~JCfe-6x}e j X
J .
где .
Коэффициент К сопротивления движения определим формулой (7Э)
при. верхнем двойном знаке, соотьетствупкем оуиевио трубы
х-. **
(Ю4) .
*. - tfflfy/fi	(<М*).»
После подстановки в уравнение (103) вначеикй X"
(104), подучим
66
«X	(106)
ОбщаИ интеграл этого уравнения имеет вид
О»	ж].
Выполнив интегрирование, получим
Примем граничное условие: при х <3-^ тогда
Г $9 р7тЧ
и	^’лЙГ*
а-Дг-^-лУ/-/'^)*'3].	‘1И)
Ар □ Q ’	L ' Л / J
Формулу (107) можно переписать также л лиде
6 /]  ‘106)
Ив полученных зависимостей для б ~67х) (ЮТ) и (108) еле ~
дует необходимость различать случаи ^>56 и <а<3б	• Ь пер-
вом из них удобно пользоваться формулой (107), а во втором - (108),
На границе указанных областей (при дь - 3&	) оба формулы
(107)	и (108) превращаются в неопределенности вида %	. Ьти не-
определенности можно раскрыть; однако, удобнее просто в исходном
уравнении (106) положить	. Оно примет тогда вид
гг'тиг3-»-
Выполнив интегрирование зтого уравнения при граничном условии
Л^О» получим
- 4-8 -	I
Графики кривых 6’^<5(л) при л*0^3£> , кс-3& и А* <5&
приведены на рис. 21,6. Кривые имеют в начальной точке общую каса-
тельную
совпадающую с графиком гидростатического давление для жидкости
той же плотности $ л
Нормальное давление ва станку конического бункера найдем,
умножив вертикальное давление О на коэффициент нереального дав -
леная Л/? в соответствии с формулой (37)
57
Для суживающегося бункера коэффициент определяется фор-
мулой (89) при верхнем двойном знаке* т.е.
г «	,	(Ю9)
7 &$(у fcjji.? j)
19. Вертикальные и нормальные давления в расширяющемся
силосе
Гис. 22. Вертикальнее давления в расширяющемся силосе:
а - схема силоса; б - графика давлений
Силосы такого типа (рис.22,3) встречаются в практике; приме -
ром может служить верхняя (расширяющаяся книзу) часть доменной ке-
чи.
Зависимость вертикальных давлений от глубины (У *<5/х) будем,
как и ранее, определять уравнением (6). Поскольку рассматривается
состояние покоя сыпучего материала; полагаем в уравнении >
Угол	расширения силоса считаем заданным; следова-
тельно, известна и величина B^tg^ ’
Для площади текущего поперечного сечения силоса и ее производ-
ной по абсциссе получим значения
^«Z/бМл/; F' *2'I&(Rrty , .
а их отноаение ,	*. j< i.
\	. -’У..
Наконец, коэффициент сопротивления движению определяем форму-
лой (79) при нижнем двойном знаке
58
JbX Л<>
Л* AV '
где
•	(ИО)
После подстановки в уравнение (8) найденных значений входя -
щих в него величии, получим
Проинтегрировав уравнение (Ш) при граничном условии х *£,
* СГ^О, получим зависимость вертикальных давлений от глубины
]  <“2>
Производная при Х*4> имеет значение
следовательно, кривая О'- Sfa) в начальной точке имеет тот же
наклон к оси абсцисс, что и эпюра гидростатического давления. При
достаточно больших значениях X мозно пренебречь вторым слагаемым
в квадратных скобках формулы (112); получим уравнение асимптоты
кривой О ~О(х)
Таким образом, на достаточно больших глубинах вертикальные
давления в расширяющемся силосе растут по закону, близкому к линей-
ному.
Нормальные давления Q на стенку силоса пропорциональны вер-
тикальным давлениям
О\
причем коэффициент нормального давления расширяющегося силоса най-
дем из формулы (89) при нижнем двойном знаке
К, .(115)
20. Механические характеристики некоторых видов зерна
В формулы длц.вертикальных и горизонтальных давлений сыпучих
материалов * на дно' и стены бункеров, и силосов входят величины, ха -
рактеризущю махапичесыме свойства материала. К ины относятся: уг-
лы4/ и ^внешнего и внутреннего трения зерен; среднестг-тистичес -
59
кий угод укладки j5 зерен; объемная масса материала У • В фор-
мулы (101) и (102) для нормативных горизонтальных давлений на сте-
ны силосов входит угол естественного откоса X .
Ниже приводится методика акопериментального определения углов
и У'7 внешнего и внутреннего трения зерен и среднестатистическо-
го значения угла укладки J3 « Методика определения объемной массы
У и угла естественного откоса X общеизвестна ж пояснений не
требует.
Для определения углов трения скольжения и использо-
валась линейка В.АЛелиговокого /1/.
Принцип действия прибора (рис.23) состоит в следующей. На го-
ризонтальной плоскости стола закреплен лист чертежной бумаги
Если некоторое тело М перемещать по плоскости стола поступатель-
но движущимся угольником EFG > то абсолютная скорость какой-либо
точки тела А/ составит с нормалью к прямой F& угол трения *?
о направлнодус грань FG . Если, делео, с точней Л/ тела связать
карандаш, то он проведет на листе бумаги прямую, составляющую угол
•/ с нормалью. Полученный угол является "динамическим" углом
трения, имеющим место при скольжении тела по направляющей с явке -
торой относительной скоростью \ 'г*
Трущуюся псвер.хность,
Рис.23
Схема устройства линейки
Б.А.Медиговского 
. некрытую зерном t взготоэля-
' ли следующим обрезом: тонкую
дощечку покрывали слоем
пластилина толщиной 1*2 им
(В зависимости от толщины
верен)* Зерна горохаtnpoce,
пзевицы насыпали на пласти-
лин вплотную я вдавливали
на негогдаугей дощечкой* в
результате чего зерна зак -
реплялись в пластилине и вы-
равнивались во высоте. Втэ -
* РУ» трущуюся поверхность
. (направляющую .Z7?/) при оп-
ределении угла внешнего пре-
ния У покрывали материалом етенок бункера (жестью, оргстеклом
й т.п.). При определении угла внутреннего трения У7 Направляющую
FG также покрывали дощечкой с зерном.
60
Точность олредилэния угла внутреннего трения %7 при такой
методика может вызывать некоторые сомнения, так как поверхности,
покрытью зерном, не имеют строго плоской формы. Вследствие этого,
зерна одной трущейся поверхности могут попадать в углубления дру-
гой поверхности, тогда получившийся приведенный угол трения будет
больно угла внутреннего трения Уу .
Однако, если выравненные по высоте зерна расположены беспорят
дочно и число их достаточно велико, точность метода значительно по-
вызаетоис В этом случав все точки контакта зерен двух смежных по-
верхностей распслагоютоя практически в одной плоскости, касающейся
"вернин* зорен обеих дощечекi кроме того, в соприкосновении нахо-
дятся одновременно несколько нар зерен. Попадания зерен одной до -
щечки в углубления другой практически исключены, так как этену пре-
пятствуют находящиеся в данный момент в соприкосновении другие ла-
ры зерен. В результате сказалось (табл,2), что угол естественного
откоса X всех трех исследованных видов зерна (пшеница, просо, го-
рох) примерно вдвое превосходит угол внутреннего трения зерен,
этим подтверждается и отсутствие западания зерен в уг -
дубления.
Угол^ укладки зерен вычислялся из формулы (85)
(П4)
Однако,для этого необходимо было предварительно найти коэффициент $
сопротивления К трубы постоянного сечения - модели силоса, запол-
ненного исследуемым зерном (табл.2).
Таблица 2
Основные геометрические размеры и материал
моделей силосов
				& мо- дели силоеа	я мн	Н МН	Материал стенок
				1	104,0	800	железо
	1 *05*		Я	F см оо	84,5 аг ,5	'385 290	оргстекло чугун
Зернозасылаемое в трубу, предварительно взвешивалось, а за-
тем определилось его давление на подвижное дно. Всегда оказывалось
Р<
61
Р - усилие, действующее на дно сосуда;
Ро - вес засыпанного в сосуд зерна.
Зная эти силы, можно найти коэффициент Д' из формулы (95)
в^(!-е-к‘У
Умножим правую и левую части этой формулы на площадь F по-
перечного сечения трубы. Затем, учитывая, что
P-FQ , P*~tyFh,
где h - высота столба зерна в модели силоса, придем к трансцен-
дентному уравнению для вычисления коэффициента К
(ns)
Определив К из формулы (115), вычисляем затем угол укладки
Ji из формулы (114).
Основные механические характеристики зерна пшеницы, пооса и
гороха (^^Х; ви Н приведены в табл.З. Здесь же приведены
механические характеристики "нормативного* сыпучего материала,не -
обходимые для расчета горизонтальных давлений на стены силосов в
соответствии с Инструкцией СК 261-77 /2/ .
Таблица 3
Механические свойства зерна
Вад аерва	Материал стенок			У	Л		ki-Jm*
	железо	оргстекло	чугун				
			V				
Просо	13Оо00	13°20'	13°ю'	14°00'	25°50	49°45'	743,0
Пшеница	1У°10'	20°00'	16о4О*	15°5О'	29°35'	43°00'	770,0
Горох	1б°10'	16°50'		14°50'	25°0(У	56°00'	772,0
СН 261-77	’	21°4В' ( / - \ с		0,4)	25	w		800,0
Пример
Рассчитать горизонтальные давления зерна, возникающие в приз-
матическом силосе с квадратным поперечным сечением со стороной
квадрата <7= 4,0 м, а также нормативные давления по СК 261-77.
Решение
Используем механические свойства зерна пшеницы, проса и гори-'
ха, а также нормативного сыпучего материала, приведенный в табл.З.
вычислений применяем формулы, соответственно (98) или (101),
62
Гидравлический радиус силоса Rr » вошедший в формулу (98)»
равен радиусу вписанной окружности квадрата (81)
Rr'2a = 2>Ot1'
Гидравлический радиус р силоса, вошедший в формулу (101),
равен половине радиуса вписанной окружности» т.е. р ~ 1,0 ....
Результаты вычислений представлены в виде графиков на рис.24.
Кривая 4 нормативного давления расположена между кривыми, соответ-
ствующими пианице (2) с одной стороны; просу и гороху (1) и (3)-
о другой.
Рис.24. Теоретические графики зависимостей горизонтальных
давлений зерна в силосе в функции глубины: 1 - просо; 2 - пше-
ница; В - горох; 4 - нормативное давление по СН 261-77 /2/

РАЗДЕЛ Ш
НЕКОТОРЫЕ СПЕПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ ЗЕРНИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ
21.Независи?лая работа бункера со скатной доской, лотком, желобом»
Конструкция бункерных устройств в ряде случаев предусматривает
несвободное истечение сыпучего материала из бункера. Производитель-
ность бункерной установки определяется (ограничивается) в этом случае
производительностью отводящих устройств: транспортеров, лотков , же-
лобов и т.н.
Широко распространенными типами отводящих устройств являются
скатные доски» лотки, желоба. В зависимости от их расположения отно-
сительно бункера» наклона к горизонту и других параметров они могут
существенно снижать производительность бункерных устройств вплоть
до полной остановки истечения, поэтому влияние скатной доски на
производительность проектируемой бункерной установки обязательно
должно учитываться.
Перейдем к исследованию влияния скатной доски (желоба) на про-
изводительность бункерной установки.
Пусть зерна сыпучего материала вытекают из бункера со скоростью
(рис. 25,а) и падают с высоты Н на наклонную шероховатую плос-
кость А В , составляющую угол с горизонтом. Коэффициент трения
Рис. 25. К определению скорости скольжения сыпучего материала на
лотке (желобе): а - взаимное расположение бункера и желоба^
б - векторы скоростей частицы в момент падения на наклон-
ную плоскость; в - форма поперечного сечения лотка (желоба)
64
зерен о плоскость равен f =	; удар считаем абсолютно неуп-
ругим; зерна скользят (а не катятся) по плоскости А В ; сопротив-
лением воздухе будем пренебрегать.
Применяя теорему об изменении кинетической энергии материаль-
ной точки	р	*
S^L _ 2^= щ^Н,
находим скорость У1 падения
2Г' - \/vQz+Z(}H .	< П6 )
Ее проекции на неподвижные оси АХ и А У , связанные с нак-
лонней плоскостью, будут
- zr'stnj*-; Щ = v'cos^ .
Поскольку точкаМ* имеет составляющую скорости У* , направ-
ленную вниз по наклонной плоскости, то реакция R плоскости,возни-
кающая в момент удара, будет отклонена от нормали к плоскости на
угод трения в сторону, обратную направлению скорости^скольжения.
В результате скорость скольжения в начальный момент определится,
как геометрическая сумма двух слагаемых (рис. 25, б)
гг; = тл1 - гг"5
где У”- скорость, "потерянная" частицей за счет действия реакции.
Из треугольника скоростей (рис. 25,6) следует
У . _ V’ _ У"
Sin(y-(p) “ sin(9O°+if) “ sin(90<>-£) ’
откуда, с учетом формулы (116), найдем
V, = У V^2.- 23Н  1 П”
Для определения скорости скольжения частицы в функции
пройденного ею пути S вновь используем теорему об изменении кине-
тической энергии материальной точки
.trxf _ -DHL2 = ГП^( S ln^-	s
и находим
<ne>
Из формул (117) и (118) следует, что скоростн QZJ и ТГ сущест-
вуют ЛИШЬ ЩЯ & > . ЕСЛИ If , TO'QJ" О; IT» 0.
При > if всегда »0. Скорость V' растет по мере уда-
ления точки от начального положения - расстояния М*М ж S (рис.25,а)
Наименьшей скоростью скольжения является начальная скорость •
Перейдем к определению толщины И. слоя материала на лотке.
При этом расход бункера будем считать постоянны*
V <^ПР = Р0^0= const,
где Fo - площадь отверстия бункера;
Vq - предельная скорость истечения.
Очевидно, во всех сечениях потока на лотке
(j, = Fir= F0'V3 = const,
где F и 2Л , соответственно, площадь поперечного сечения потока
м скорость движения материала иа лотке,
Ясли подача материала на лоток производится равномерно по всей
его ширине с (рис. 25,в), например, при истечении из щелевого бун- .
кера, то толщина 11 слоя f р
A = -g-’
Приравняв расход бункера производительности лотка, найдем
толщину h слоя	4
F=^4“t(^H)“+2r’
Как видим, толщина слоя уменьшается по мере возрастания S
Наибальиую толщину h0 слов имеет в начальном сечении S « 0..
'	=	чмо.
От наибольшей толщины h0 слоя материала на лотке зависит
наименьшая высота Н расположении бункера над плоскостью лотка, при
которой лоток не ограничивает производительности бункера.
Из рис. 26,а видно, что диг^ ; '	. ,',д[д
<и’
. ( 119 )
66
Производительность бункера теоретически не связана с пропускной
способностью лотка.
практически, однако, желательно, чтобы начальная толщина
слоя не превышала кратчайшего расстояния h < от кромки ышускного
отверстия до плоскости лотка
==Hcos£ + ctsirif.	(i^.)
Поскольку начальная толщина ho слоя сама зависит от Н (120),
то, приравняв правую и левую части неравенства (122) и подставив в
полученное равенство значение ho (I2C), придем к кубическому урав-
нению о одним неизвестным Н - нтМ
Н *а,Н+ a!>H-as=0,	(из)
где	2	2
a = ?r2. Focos2^ - (Vsi-rfy
5	° 2^£COS£^sinS^-If)
Пример.
Дана бункерная установка (рис. 25,а), состоящая из симметрич-
ного щелевого бункера и наклонного желоба.Угол отклонения боковых
стенок бункера от вертикали (X = 25°; длина выпускной щели (ширина
желоба) £ = 0,5 м; d = =0,1 м; £ = 30°; <f = 20°.
Найти наименьшую высоту /7 расположения бункера над дном
желоба, при которой производительность установки равна производи-
тельности бункера.
Решениео
I. Из неравенства (121) следует, что теоретически можно взять
=	~-----= 0,567 м.
Птш
Однако, из практических соображений целесообразно выполнить условие
(122), что требует решения уравнения (123).
2. Находим предельную скорость истечения из щелевого бункера по
формуле (49)	Ind	—
3. Находим коэффициенты уравнения (123)
Ct< = 0Д69 м; Ct2= 0,0095 М2’’ аз= 0.478 м3 *.
67
Уравнение получает вид: Н3+ 0,169 Н 2 + 0,0095 Н - 0,478 « Л.
Положительный корень уравнения Н = 0,724 м.
22. Влияние желоба на производительность
бункерной установки
В предыдущем пункте было найдено, что при выполнении условия
(122) бункер и желоб работают независимо друг от друга; существо-
вание желоба не ограничивает производительности бункера. Если же
условие (122) нарушено, т.е. ho3* Ир то производительность
установки снижается и начинает зависеть от взаимного расположения
бункера и желоба - высота Н .
Рассмотрим этот вопрос применительно и щелевому бункеру с
желобом прямоугольной (рис, 25,в) формы.
Пропускную способность всей установки определим, как объемный
расход желоба через сечение ВС (рис. 26,6):,
Очевидно
S*« dcosy-Hsinj,'
где F2 и Vg - соответственно, площадь поперечного сечения
рость погожа материала в сечении ВС ;
' ( 124 )
и ско-
£ - ширина желоба - длина'выпускной цели бункера;
d -СР - ширина выпускной цели бункера;
Ь2 = ВС - высота сечения ВС - толщина слоя материала в этом
сечении;
=ДВ - расстояние от начальной точки А до сечения ВС .
Скорость в сечении ВС определим из формулы (118), поло-
жив в ней Sa= dcosj-Hstn/ ; тогда. ,
,(В6)
Подставив в выражение для расхода (124) значения ho (124)
ж "Vj (125), получим расход (|ж , как функцию величин Q , у
(f » Н » d  скорости Т/q истечения материала из бункера. Однако,
эта скорость неизвестна, поскольку расход ограничен пропускной спо-
собностью желоба.	.
Приравняв производительность бункера =FoVq
ной способности желоба	• получим уравнение с одним
неизвестным % . Решив его, найдем дейс! зительную скорость истече-
68
нжя из бункера	—
Скорость vg в сечении ВС (рис. 26,6) ж производительность
бункерной уотевяяп найдем из равенства расходов в сечениях ВС и
СТ> жа рже. 26,6: fy-Mb-ehzVt
** (12”
где 2/о определяется формулой (126).
Соотношения (126) ж (127) справедливы при условии зависимой
работы бункера схелобсм ( |з0>>	).
В частном случае можно положить Н = 0, считая, что скатная
доска начинается от левой кромки выпускного отверстия бункера;
точка А совпадает с точкой!) (рис. 26,в). Тогда формулы для 7% ,
7)g ж (£, (126) ж (127) примут вид
’ L
Vi -	* О Н =	.
’ U° tot
Как следует же первой формулы (128), пропускная способность
бункерной установки со скатной доской увеличивается по мере возра-
стания утла , ж при некотором значении =^0 достигает значе-
ния, равного предельному расходу <jo бункера при свободном истече-
нии. Дальнейшее возрастание утла / » очевидно, ухе не увеличивает
предельного расхода.	°
Зависимостьдая сшааетричного целевого бункера найдем,
разделив расход су® бункерной установки со скатной доской на пре-
дельный расход (|0 бункера при свободном истечении (49). Получим
А = 9.in»A	_ (I29)
A (J V
Графики этих зависимостей при tf « 20° и различных значениях
о( приведены на рас. 27 (кривые I - 9). Кривая 10 на том же рисув»-
«• соотвзтстЕует^ случаю, когда скатной доской служит продолжение
одной из доковых стенок бункера.
Значение , щи котором скатная доска не снижает про-
пускной способности бункера, найдем же зависимости (129) при i  I.
69
Придем к трансцендентному уравнению
sin^oSln^0-<f)^^(XC05tfC0S^Sm(j0-f)] =СО5^- (130)
Решение этого уравнения при заданных d и ф и определит
угол Jo , ,сэхттствушйй максимальной цроизводителык»» бункера .
со скатной доской.
Пример
Дан симметричный щелевой бункер, наклонные баковые стевии
которого отклонены от вертикали на угол = 25°. Известны также
d = 0,1 м; Н = 0; с ~ 0,1 м. Бункер заполнен крупнозернистым
сыпучим материалом, имеющим угол трения о поверхность скатной дос-
ки = 20°.
Найти:
I.	Предельный расход Cf,0 бункера при свободном истечении.
2.	Предельный расход при условии, что одна из боковых сте-
нок бункера продолжена ниже уровня выпускного отверстия.
3.	Предельный расход при заданном наклоне скатной доски
= ^2 ~ 30° (начинающейся от одной из боковых станок; Н « 0).
4.	Значения у =	, при которых скатная доска не снижает
предельного расхода бункера.
Решение
I.	Предельный расход (£0 сишетричного щелевого бункера находим
из формулы (49)	I ~7 ' ?
% “ V	”’Л-
2.	Предельный расход при А = 90°- d = 65° находим из (128)
« 9,08 Ю”8 М3/с.
3.	Расход при J* ®	» зо° находим также жз формулы (128)
= 2,81 10“3 м3/с.
4.	Подставив значения заданных величин (X и Ц7 в уравнение
(130), найдем
О. До» 67°25 .
График = = -f-(J) для рассмотренного примера приведен на
рис. 27 (кривая 5).
то
Рмс» 26 в К определению толщины слоя сыпучего материала на лотке:
а - предельный случай расположения бункера ( Ц =	при кот°-
ром лоток перестает оказывать влияние на производительность бункер-
ной установки; б - |®оыежуточннй случай	^;в “ случай Н-6
Рже. 27. Зависимости «д|)при Н = 0, 1^= 20° и различных зна-
чениях 0( ; I - <Х « 5°; 2 - 0(« 10°; 3 -(X = 15°; 4 -<Х = 20°;5 -(X .
• 25°; в -<Х-30°; 7 -(Х»35°; 8 -<Х=40°; 9 -*=45°; 10 -« » '
• 90°~у (скатной доской служит продолжение наклонной боковой
отенки бункера)
71
23. Нормальное истечение крупнозернистых материалов
Законы нормального истечения (рис. 1,а) сыпучих материалов
в настоящее время изучены слабо. В частности, неизвестна форма
потока материала при нормальном истечении, от которой зависят за-
коны истечения. Экспериментальных данных по нррмальнсму истечению
также недостаточно.
При определении формы потока ABCJD (рис. 1,а) будем исходить
из соотношения (61) сил Qu ир^ , приложенных к зернам ведомого
и ведущего слоев дискретного элемента (рис. 15,а). Из формулы (61)
следует, что в суживающемся потоке (при верхнем двойном знаке)
сила Qк = 0, если
ty(ft + ft} = 2 .	(131)
Это означает, что никакая движущая сила Р , приложенная к
ведущему слою (рис. 3,в), не может в этом случае преодолеть сопро-
тивления Q ведомого слоя, даже если Q % 0. Это - известное в
механике явление "самоторможения" системы твердых тел. Скольжение
крайних частил слоя по стенкам становится невоэможшш. В результате
подвижные частицы скользят уже не по стенкам, а по неподвижна! зер-
нам самого сыпучего тела; возникают застойные зоны.
Уравнение (131) в рассматриваемом случае превращается в урав-
нение с одним неизвестным о< , которое и определит форму потока
ABCD на рис. 1,а. Однако, для этого необходимо знать величины
fo , ip и ф , вошедшие в уравнение (131).
Углы и ф могут быть без труда найдены ьлспериментально; в
табл. 3 на стр. 61 приведены значения этих величия для зерна проса,
пшеницы к гороха.
Угол внешнего трения при нормальном истечении превращается
в угол отклонения реакций "стенок потока" (неподвижных частиц, при-
надлежащих застойной зоне на частицы, принадлежащие потоку), от
нормалей к граничной поверхности потока - поверхности скольжения.
Этот угол мажет быть назван "приведенным* углем внутреннего трения,-
который в рассматриваемом случае может окаэатгея как меньше, так и
больше угла ft внутреннего трения зерен.
Если принять, что зерна, расположенные вдоль поверхности
скольжения с той и другой стороны, щюсто скользят друг по другу,
то мы должны положить	. С другой «торока. если допустить
возможность "западания* подвижна зерен в углубления между непод-
72
вшивыми, как это имеет место» например, на откосе насыпи, то сле-
дует положить «X • где “ угол естественного откоса.
ЭйтГугол значительно больше угла внутреннего трения зерен. По
нашим давним, приведенным в табл. 3, угол естественного откоса
примерно вдвое превышает угол трения зерен друг о друга.
Наконец, возможен и третий вариант относительного движения
зерен вблизи поверхности скольжения - перекатывание подвижных зе-
рен по неподвижным. Тогда угол внешнего трения <fnp окажется ма-
лый; он будет значительно меньше угла внутреннего трения;
Таким образом, форма потока и законы нормального истечения
оказываются связанными с характером относительного движения зерен
на границе потока.
Угол сужения потока О< = О(и (будем называть его "углом исте-
чения*) можно выразить из условия (131) через уВ 9 и .
При нормальном истечении, однако, нет необходимости отличать внеш-
нее трение от внутреннего, поскольку в рассматриваемом случае су-
ществует лишь относительное движение зерен друг по другу и соот-
ветствующий ему приведенный угол трения. Положим поэтому в формуле
(131)	« ф = tfy , где - приведенный угол внутреннего тре-
ния зерен.
Формула (131) примет вид
Ь}(о1+ %)	= 2 •	-	<132)
Решив эту зависимость относительно утла , найдем угол
(133)
иствадния £«<*
<J И
Из формулы (133) видно, что с увеличением приведенного угла
lf>0 внутреннего трения зерен угол истечения сХц уменьшается; сле-
довательно, скорость истечения растет.
Угол истечения можно также вычислить из второй формулы
(30)
0 _ g^a ,
где ТХН - скорость нормального истечения;
1 - радиус отверстия.
Если скорость нормального истечения определить эксперимен-
тально. то из формулы (134) может быть вычислен угол истечения
(134)
73
Далее, зная о(и , из формулы (133) можно найти приведенный угол
внутреннего трения <-Ро и выразить его в долях угла внутреннего
трения ф
’фо=л4».	(135)
Коэффициент Я является, очевидно, величиной, характеризую-
щей относительное движение зерен на границе, отделяющей подвижный
слой (поток) от застойной зоны. Значению = I соответствует
чистое скольжение зерен; Л < I - скольжение о перекатыванием;
> I - скольжение о западанием зерен в углубления.
В табл. 3 и 4 приведены, соответственно, значения скоростей
нормального истечения зерна из круглых отверстий (найденные экспе-
риментально) , и параметры нормального истечения <ХИ , и Л . *
Таблица 4.
"виЙ^1&(мм1	44,6	48,75	54,75	64,3	85,0
Просо	0,424	0,469	0,490	0,520	0,600
Пшеница	0,325	0,373	0,430	0,465	0,520
Горох	0,245	0,280	0,330	0,370	0,415
Таблица 5
—^Параметр		ыи	Ч’о	Ф	7 = 1° А
Вид зерна	^стечения				
Просо		зоЯоо'	14°Х6'	14°00'	1,019
Пшеница		зб9зо'	14°55'	15^0'	0,942
Горох		50°00'	1°40'	14%(У	0,113
Приведенные в табл. 5 результата можно истолковать, как сви-
детельство того, чтоsдм£ани’?проеа происходит в основном путем
скольжения зерен потока по зернам застойной зоны с незначительным
"зилданием" зерен в углуоления. Движение пшеницы также сводится
в основном в скольжению с некоторым перекатыванием зерен. И лишь
движение гороха существенно отличается от движения проса и пшеницы.
Зерна гороха в основном перекатываются друг по другу с незначитель-
ным проскальзыванием.Это можно объяснить формой горошин, близкой
к идеальному шару.
Таким образом, зная форму зерен сыпучего тела, можно предви-
деть характер их относительного движения цря нормальном истечении—
величину А • И хотя этот вопрос требует дальнейших исследований,
74
при ориентировочном расчете скорости нормального истечения зерен,
имедих форму, близкую к шаровой, мокко принять Я = 0,1 ? 0,2 ;
для.Неверовых зерен -	~ I. После этого из формулы (135) нет-
рудно определить угол 1р0 - приведенный угол внутреннего трения.
Далее, исключив из формул (133) и (134) и решив it.жу-
ченную зависимость относительно 2^ , найдем скорость нормального
истечения, как функцию параметров 7 , j8 и
v . (I36)
и V 2 S-tytotglJt-nfr)
Из формулы (136) видно, чио с возрастанием </>0 (или величины
) скорость нормального истечения увеличивается; с уменьшением
фо (ши Л ) - снижается.
Если представить себе предельный случай нормального истечения
при чистом перекатывании зерен ( ^ = О), то получим наименьшую
скорость нормального истечения
(^н)тьп ~	'
. Так» для гороха щж t = 0,0425 ми >8 = 56° (табл. 3) полу-
чим	0,392 м/с. Действительная скорость нормального исте-
чения гороха ( А = 0,1X3) из отверстия этого радиуса (табл. 4)
составила = 0,415 м/с, т.е. превысила минимальную скорость на
~ 6%.
В случае малых отверстий, соизмеримых размерами зерен, ско-
рость нормального истечения оказывается ниже расчетной. Из опыта
известно, что цри f б) истечение прекращается. Аналогичный
результат следует ж из эмпирической формулы (55) для гидравличес-
кого истечения.
24. О законах истечения мелкозернистых сыпучих материалов
Законы истечения мелкозернистых сыпучих материалов из бункеров
могут быть найдены из того же дифференциального уравнения движения
аламэнтарнэгэ! объема сплошной сыпучей средн (7), которое уже ис-
пользовалось нами в случае крупнозернистого материала. Изменится в
данном случае лишь вошеляяй в уравнение (7) коэффициент К сопро-
тивления движению, который будет теперь определяться формулой (78),
соответствующей мелкозернистому материалу.
Таким образом, в основу теории истечения мелкозернистых сыну-
чжх материалов лшхожешгдва ооофнойизшя
та
^-KP=X(gF-^--£r^);
K =	lJ37)
Ограничимся рассмотрением законов истечения из конических
бункеров. Учитывая, что гидравлический радиус окружности, лежащей
в поперечном сечении конуса, Rr =	, запишем по формуле (137)
К = у-»	(138)
Подставим значение К (138) в первое из уравнений (137) я
произведем в нем замену переменной X на переменную £ =R-$X.
а затем проинтегрируем уравнение по переменной U при const.
При этом функции времени = Q(t) и Л будем считать
постоянными.	-	
Решение уравнения при граничных условиях U
Z ,Pg = 0 (рис. 5) монет быть записано в виде
+	Efa),	(139)
№ я/м- * *.-( ЛЩ^2 . '
W’^3	/-&)*’" ’ I (F„
FllJ = Sizsalt',’~S
Е1 h°-3e /-ед*+1_ |
Коэффициенты 2) и Е уравнения (139), наличии. от соот-
ветствующих коэффициентов уравнения (25), являются функциями
высоты /г столба сыпучего тела в бункере. Слщдовательво, и зако-
н'черности истечения мег-©зернистых сыпучих материалов зависят
"	я. е (Ио>,	
чаем, что здесь возможны два случая: Ко>3& и Ко<35" .	.
В первом из этих случаев (к0>3£ ) коэффициенты сЗ& и С
при возрастании Н остаются ограниченншж по величине, поскольку-
в последних (переменных) множителях этих формул содераится отно-
шение <1:6 возрастанием h. оно стремится к нулц.Во втором
случае (Ко-<3#) коэффициент £ при возрастании fi неограни-
ченно увеличивается. В результате приходим и выводу о существова-
нии двух различных типов истечения.
76
Первый тал существует при К0>М или
3 • (м)
Зернистый материал обладает в этом случае ярко выраженными
распорнши свойствами, поскольку выполнение неравенства (141) мо-
жет быть обеспечено лишь при достаточно больших значениях угла
укладки Ji (ветчины	и о< считаем заданны®!).
Второй тип истечения имеет место при К0<3#или
3фог .	(142)
Такой сыпучий материал обладает, очевидно, ограниченными рас-
норнами свойствами (малым значением J*> ).
Учитывая, что тип истечения определяется соотношением между
величинами К© и & , введем понятие "параметра сопротивления”^ ,
где
или
Т	л	(143)
0= -^7
Эта величина является мерой сопротивления движению мелкозер-
нистого сыпучего тела в бункере. Предельному случаи крупнозернис-
того материала соответствует бесконечно большое значение G,
С учета» принятого нами обозначения (143) форщды (140) для
коэффициентов ZJh) и E(lt) запишутся в виде
ЁбИ) = ЗП2а £^Аг)--------------
> (144)
Рассмотрим законы истечения.
А. Истечение первого типа (Q >3) ,
В рассматриваема» случае показатели степеней, в которые возво-
дятся отношения в формулах для §0 и Е (144) положительны
+ 2>0; О- 1»0;&-3>Ю). Коэффициенты $) яЕ зависят от
К, ; следовательно, расход (£, является функцией не только времени,
во и высоты It столба сыпучего тела над отверстием.
Проинтегрируем уравнение (139) по времени в предположении,
что уровень сыпучего тела в бункере поддерживается постоянным:
h. = ко = const . Тогда £)(h)»S)(ho) = const;
= const . Уравнение (139) и его решение при начальном условии
t = 0,	= О получают, соответственно, вид (25) и (27), или
(145)
t = °, 9 =
r 1
1 V г №-!№-$
При ha"0 коэффициенты SDfM ж E(ho) стремятся к найденной
ранее значениям (25)
®,=МЖ)]= Дг •
где
0*2
>(146)
>
Ео= llm. [E0Q] = srz^ = const.
Следовательно, законы истечения .при малых ho Ошки к найденным
ранее законам истечения крупнозернистых материалов (28).
При h0—©^коэффициенты	я Efhj) стремятся также к пос-
тоянным пределам	О/?
5О.= МЯМ =-577-?^-=“"Л;
Л0-оо
Е,- ME6")]=-|zT-5r^=“"st
ho-* °°
Законы первого типа истечения цри достаточно высоком
засыпки (ho”***’) получают вид	.
f=®r^2VlT	>
ГДв	/ J1
уровне
’ че+ые-зу'
(148)
78
Формулы (148) позволяют исследовать характер зависимостей
величин	от параметра сопротивления © и построить графики
= <3j(G) и <gjr г= *C±(Q) (Приложение I).
Следует отметить, что при первом типе истечения произведение
предельной скорости истечения на величину СО/ является величи-
ной постоянной	т
Полное ускорение сыпучего материала в выпускном отверстии, как нет-
рудно убедиться, находится в пределах Cllin 011 Dfl » причем
r/rwi	iTfQfjC
Ctmax = —
Примерный график зависимости полного ускорения CL1 элемента
сыпучего тела в момент прохождения выпускного отверстия в функции
времени приведен на рис о 28, а, причем Т - время истечения.
Аналогично можно построить и график зависимости расхода от
времени (рис* 28,6). Расход	при достаточно больших зна-
чениях/^ растет по закону гиперболического тангенса (147) и через
некоторое время достигает максимального значения^^б^^,. Пока
высота ho достаточно велика, расход удерживается на этом уровне.
В конце истечения (приДу*-0) расход уменьшается до значения
соответствующего предельному расходу крупнозернистого материала*
На рис. 28,в изображен примерный график зависимости предельно-
го расхода от высоты ho столба сыпучего тела в бункере. При/^^С
предельный расход	; с возрастанием ho предельный расход
увеличивается и стремится к своему верхнему пределу
^P)max = <3^"p'
Дальнейшее возрастание ho уже не увеличивает предельного

расхода.
Тот же вывод следует и из безразмерных графиков
при 0 > 3, приведенных в Приложении П.
На рис. 28,а, бив области, заключенные между кривыми, соот-
ветствующими крупнозернистому материалу (нижние кривые) и первому
типу истечения мелкозернистого материала (верхние кривые), заштри-
хованы. Между этими ^дельными кривыми расположатся соответствую-
щие кривые для реальных мелкозернистых материалов при 0 > 3.

t 3
Рис. 28. Примерный вид графиков» иллюстрирующих
законы первого типа истечения мелкозернистого ма-
териала: а - ускорение слоя в момент прохоадения
выпускного отверстия в функции времени; б - расход
в функции времени; в - предельный расход в зависи-
мости от высоты столба сыпучего тела над отверстием
80
Из графиков на рис. 28 следует, что законы первого типа ис-
течения отличаются от законов истечения крупнозернистых материалов
более высокоми скоростями и ускорениями; существенно большим пре-
дельным расходом при любой высоте И о столба сыпучего тела над
отверстием (кроме случая /1г О, когда расходы одинаковы).
Однако, между этими двумя типами истечения имеется и общность.
Она заключается в существовании предельного расхода, не зависящего
от высоты ко столба сыпучего тела над отверстием (при достаточно
больших значениях ho ). На графике фпр = 4пр( ) (рис. 28,в)
имеется горизонтальный участок = const , на котором предель-
ный расход не зависит от ho *
Указанным свойством не обладает второй тип истечения мелко-
зернистого материала. От первого типа он отличается постоянным
возрастанием предельного расхода при увеличении высоты столба
производная	при всех значениях |тп •
°
Бс Истечение второго типа (	3)
Пр®
При истечении второго типа ( & < 3) в числителе формулы (144)
для £ отношение возводится в отрицательную степень.
Вторую формулу (144) целесообразно в этом случае переписать в виде
L л	.х ? + £ho/
МзМ = ^=а50;	1
Ко*0 , rt _	f
&m[F070)] = Srt2g=Eo.
ho-* о	I
Таким образом, при малой высоте столба сыпучего тела за-
коны истечения мелкозернистых сыпучих материалов перестают зави-
сеть от их механических свойств (углов трения и ф ) и от
высоты столба Но и становятся тождественными законам истечения
крупнозернистых материалов.
При ho-const коэффициенты jOOio) и Elko) (140) являются
величинами постоянный. Интегрирование уравнения (139) npa2)*const.
Е =const. * при начальном условии t - С. = П, дает зависимость
расхода ср от времени в вида
<150>
где
ex
Япр	•
Подставив в уравнение (150) значения 3) (144) и Е (149),
найдем С^рЪ6)[j , как функции /?0 и О
_	/—т	/ / ***	Л
а5 _ Z- ^72 ,/F .\/(^r~) -1	•
V I (2fgh о/________
Wr-<?-.i/s Jh^HE^SZET, lBI)
“ i,v’ ’
гм r -\/^e . <7- _ e-t
E V3-e ’ a~ У(г7б)1з-ЪТ' I5I>
Пользуясь зависимостями (151) и (152), можно найти законы
второго типа истечения при hQ= C^nst и любом значении © < 3\«
Так» при @ « 2 и достаточно большом значении 1г0 (таким, что
можно пренебречь слагавшая (—по сравнению с единицей),
декдем _	_t+Ghc' А ч i __________
<jz пр e\j^ho ; й>д ^~т)
1 Wee
^й=\^ь^[у^о(1 +	• I
Законы истечения мелкозернистого материала ярк. Q « 2 окааа-
Лю> близкими к законам г'Упя&пи. мемкков жидкости
При уменьшении параметра сопротивления 0 расход ж ахорЗяь
имечепи еже более возрастают. Так, здж ф
^=VW?^---^)<'2S'- j
Экспериментальные исследования законов яетевия смцучих мате-
риалов из бункеров показывают, что в большинстве случает сыпучие
тела вытекают по законам, близким к законам истечеетя щцршааяр-
82
ннстых материалов
При малых значениях отношения (начиная примерно, с g-<15)
скорость истечения становится ниже теоретической (для крупнозернис-
того материала), что можно объяснить тормозящим влиянием сводообра-
зования на процесс истечения. При этом вблизи малого выпускного
отверстия систематически возникают и разрушаются статически устой-
чивые (не скользящие по стенкам) своды, что становится причиной
явления так называемой "пульсации расхода", предшествующего полной
остановке истечения.
С другой стороны, у материалов с мелкими зернами (например,
при ^->30) скорость начинает превышать теоретическую крупнозерни-
стого материала, что можно истолковать, как первое проявление зако-
номерностей, свойственных мелкозернистому материалу. Это видно,
например, на рис. 14,в, на котором показана зависимость от времени
скорости истечения зерна проса из бункера >5 (^-а 30).
В полной мере закономерности истечения мелкозернистых материа-
лов могут проявиться, вероятно, лишь при ^->100. Расход в этом
случае должен оказаться весьма большим, и не только по причине
большой площади отверстия, но и вследствие влияния высоты столба
h,0 ("напора") на скорость истечения.Однако, в подобных случаях
(например, при выпуске зерна из элеваторных силосов) истечение
обычно не является свободам; расход ограничивают путем установки
специальных отводящих устройств: транспортеров, скатных досок и т.п.
Закономерности истечения в чистом виде здес^ не проявляются.
Для экспериментальной проверки и уточнения теоретических зако-
номерностей истечения маякозернистых материалов необходимы специ-
альные исследования.
А И ТЕР АТУ РА
I. Гячев Л.В. Движение сыпучих материалов в трубах и бункерах.
М., Машиностроение, 1968.
2. Инструкция по проектированию элеваторов, зерноскладов и
других предприятий, зданий и сооружений по обработке и хранению
зерна (ОН 261-77). И., Стрсйиздат, 1977.
83
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Теоретические зависимости коэффициентов <5 и от параметра
сопротивления & .

84
ПРИЛОСКЕНИВ П
К исследованию влияния высоты ho столба сыпучего тела в кони-
ческом бункере на законы истечения: теоретические зависимости отно-
сительного предельного расхода Я в функции относительного радиуса
ОГЛАВЛЕНИЕ
стр.
Раздел I. ТЕОРИЯ ИСТЕЧЙЖЯ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ
ИЗ БУНКЕРОВ
I.	Введение.............................. 3
2.	О двух видах истечения сыпучих материалов ....	5
3.	Дифференциальное уравнение движения элементарного
объема сплошной сыпучей среды ......... 6
4.	Влияние относительных размеров зерен на характер их
укладки................................................  9
5.	Дифференциальное уравнение истечения крупнозернистого
материала.............................................  12
6.	Закономерности истечения крупнозернистых материалов
из конических бункеров..................................15
7.	Законы истечения крупнозернистых материалов из
бункеров сложных форм...................................21
8.	Примеры расчета производительности бункеров .... 25
9.	Некоторые результаты экспериментальной проверки
законов истечения.......................*.....	33
Раздел П. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДАВЛЕНИЙ СЫПУЧИХ ТЕЛ
НА ДНО И СТЕНЫ БУНКЕРОВ И СИЛОСОВ
10.	Исходные соображения	36
II.	0 соотношении сил, приложенных к ведущему и ведомому
слоям дискретного элемента..............................38
12.	Приращение осевого усилия при переходе от ведущего
слоя к ведомому......................... ....	41
13.	Коэффициент сопротивления движению крупнозернистого
материала...............................................42
14.	Коэффициент сопротивления движению мелкозернистого
материала...............................................43
15.	Коэффициент нормального давления на стенку бункера . . 49
16.	Давления мелкозернистого сыпучего материала на дно
и стены силоса постоянного сечения.....................51'
17.	Расчет нормативных горизонтальных давлений в силосах
постоянного сечения ................................... 54
18.	Вертикальные и нормальные давления в коническом
бункере при покое сыпучего тела........................ 55
19.	Вертикальные к нормальные давления в расширяющемся
силосе.........................................................57
20.	Механические характеристики некоторых видов зерна ... 58
Раздел Ш. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ
ЗЕРНИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ
21.	Независимая работа бункера со скатной доской, лотком,
желобом *....................................................	63
22.	Влияние желоба на производительность	бункерной установки	67
23.	Нормальное истечение крупнозернистых	материалов ...	71
24.	О законах истечения мелкозернистых сыпучих материалов .	74
Литература............................................... 82
Леонад Викторович Гячев
СЗНОВЫ ТЕОРИИ БУНКЕРОВ И СИЛОСОВ
Учебное пособие
Доп. план Минвуза РСФСР 1986г. поз. J.
Редактор В. Красильникова
Подписано в печать 25.07,86. АГ 02058. Формат 60x84 I/I6
Офсетная печать. Усл.п.л. 5.IIZ Уч-изд*4.86,
Тираж 300 экз. Заказ 86- 770 Цена 20 коп.
Редакционно-издательский отдел Алтайского политехнического
института, 656099, Барнаул,пр.Ленина, 46,